В.И.Шалашилин
Е.Б.Кузнецов
МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ
РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ
И НАИЛУЧШАЯ
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ
в прикладной математике и механике
КОЛОХ2А
Эдиториал УРСС
Москва, 1999

Настоящее издание осуществлено при финансовой
поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект N° 98-01-14030)
Шалашилин Владимир Иванович, Кузнецов Евгений Борисович.
Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация
(в прикладной математике и механике).
М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 224 с.
В книге рассмотрено и обосновано применение метода продолжения решения
по наилучшему параметру для решения различных классов задач, решениями ко-
которых являются однопараметрические множества, т. е. кривые. Рассматриваются
нелинейные задачи с параметром, задача Коши для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений (ОДУ), в том числе и жестких, интегро-дифференциальных
уравнений, дифференциально-алгебраических уравнений. Изучается проблема
интерполяции и аппроксимации кривых. Исследуются нелинейные краевые за-
задачи для ОДУ, а также анализируется построение решения вблизи особых точек.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов, инженеров и сту-
студентов, работающих в областях вычислительной, прикладной математики и ме-
механики.
Группа подготовки издания:
Директор — Доминго Марин Рикой
Заместители директора — Нвталья Финогенова, Ирина Макеева
Компьютерный дизайн — Виктор Романов, Василий Подобед
Верстка — Михаил Кириллов
Обработка текста и графики — Наталия Бекетова, Виталий Волков,
Елена Ефремова, Наталья Аринчева
Издательство «Эдиториал УРСС». 113208, г. Москва, ул. Чертановская, д. 2/11, ком. прав.
Лицензия ЛР №064418 от 24.01.96 г. Подписано к печати 17.03.99 г.
Формат 60x88/16. Тираж 1000 экз. Печ. л. 14. Зак. N& 503
Отпечатано в АООТ «Политех-4». I29II0, г. Москва, Б. Переяславская, 46.
ISBN 5-901006-77-1 © В. И. Шалашилин,
Е. Б. Кузнецов, 1999
© Эдиториал УРСС, 1999

Содержание
Введение 5
Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные
уравнения с нараметром 7
1.1. Две формы метода продолжения решения по параметру .... 7
1.2. Проблема выбора параметра продолжения. Смена параметра . 13
1.3. Наилучший параметр продолжения 17
1.4. Алгоритмы, использующие наилучший параметр продолжения,
и примеры их применения 30
а. Явная схема метода Эйлера 31
б. Явная схема модифицированного метода Эйлера 32
в. Неявная схема Эйлера 32
г. Неявная схема второго порядка точности 33
1.3. Геометрические представления шаговых процессов 38
1.6. Продолжение решения в окрестности существенно особых
точек 46
Глава 2. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений 30
2.1. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру . 30
2.2. Некоторые свойства А-преобразования 53
2.3. Алгоритмы, программы, примеры 65
Глава 3. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных
уравнений 74
3.1. Особенности численного интегрирования жестких систем
ОДУ 74
3.2. Сингулярно возмущенные уравнения 85
3.3. Жесткие системы 94
3.4. Жесткие уравнения в частных производных 102
Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения 104
4.1. Классификация систем ДАУ 104
4.2. Наилучший аргумент системы
дифференциально-алгебраических уравнений 109
4.3. Явно заданные дифференциально-алгебраические уравнения . 112
4.4. Неявно заданные обыкновенные дифференциальные
уравнения 116
4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические
уравнения 124

4 Содержание
Глава 5. Функционально-дифференциальные уравнения 141
3.1. Задача Коши для дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом 141
3.2. Задача Коши для интегро-дифференциальных уравнений
Вольтерра 147
Глава б. Параметрическое приближение 131
6.1. Параметрическая интерполяция 152
6.2. Параметрическая аппроксимация 159
6.3. Непрерывное приближение 163
Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений 166
7.1. Уравнения продолжения решения для нелинейных одномерных
краевых задач 167
7.2. Дискретная ортогональная прогонка 174
7.3. Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения
по параметру решения нелинейных одномерных краевых задач. 181
7.4. Пример: большие прогибы круговой арки 189
Глава 8. Продолжение решения в особых точках 196
8.1. Классификация особых точек 196
8.2. Простейшая форма уравнений разветвления 201
8.3. Простейший случай ветвления (rank(J°) = n - 1) 207
8.4. Случай ветвления, когда rank(J°) = n - 2 210
Литература 217

Введение
С момента выхода в свет первой книги (Э. И. Григолюк, В. И. Ша-
лашилин. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988),
в которой были систематически изложены основы метода продолжения
решения по параметру, прошло десять лет. За это время существенно
расширилось понимание возможностей метода. Если раньше он рассма-
рассматривался как метод построения множества решений нелинейных задач
с параметром, то теперь наступило понимание, что алгоритм продолже-
продолжения по параметру может быть эффективно использован для построения
любых однопараметрических множеств. Это существенно расширило
круг задач, к которым метод может быть с успехом применен.
Простейшим из таких множеств является кривая, которая может
быть решением самых разных задач, в частности, задачи Коши для обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), задачи интерполяции
и аппроксимации кривых и т.п. Исследования в этом направлении
привели к очень интересным результатам, главным из которых являет-
является осознание и доказательство того факта, что наилучшим параметром
продолжения решения является длина дуги, вычисляемая вдоль кривой,
которая этим решением является.
Реализация продолжения решения с использованием такого наилуч-
наилучшего параметра названа нами наилучшей параметризацией и рассмотрена
для различных классов задач: в главе 1 для нелинейных задач с параме-
параметром, в главах 2, 3 для начальных задач для ОДУ, в том числе и жестких,
в главах 4, 5 для дифференциально-алгебраических и функционально-
дифференциальных уравнений.
Одним из удивительных для нас самих результатов оказалось то,
что в задаче Коши для нормальной формы ОДУ переход к наилучшему
параметру осуществляется с помощью аналитического преобразования,
названного нами А-преобразованием.
Другим результатом, рассмотренном в главе 6, который хотелось бы
отметить, является разработка общего подхода использования наилучше-
наилучшего параметра в задачах параметрического приближения.
В главе 7 рассмотрена возможность использования продолжения
по параметру при построении более сложных однопараметрических
множеств — множеств решений нелинейных краевых задач для ОДУ
с параметром.
И, наконец, в главе 8 продолжение по наилучшему параметру ис-
использовано для продолжения решения в окрестности особых точек.

6 Введение
Авторы благодарны Н. С. Бахвалову и Г. М. Кобелькову за внима-
внимательное и благожелательное обсуждение результатов, а также В. А. Трено-
гину и В. В. Дикусару, взявших на себя труд внимательно ознакомиться
с рукописью и высказавших ряд очень полезных замечаний. Нельзя также
забыть о поддержке на всех этапах работы, которую оказал безвременно
ушедший В. В Поспелов.
Основные научные результаты, представленные в монографии, полу-
получены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (шифр проекта №97-01-00091) и Минобразования (шифр
проекта №97-0-1.8-90).

Глава 1
Нелинейные алгебраические
или трансцендентные уравнения
с параметром
Множества, непрерывно зависящие от одного параметра и диффе-
дифференцируемые по этому параметру, являются решением многих типовых
математических задач. Простейший пример такого множества — это
непрерывная и гладкая кривая в многомерном пространстве. Она может
быть решением системы нелинейных уравнений с параметром, инте-
интегральной кривой задачи Коши для системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений (ОДУ), интерполирующей или аппроксимирующей
кривой и т. д.
В этой главе мы рассмотрим процесс построения кривой как ре-
решение системы нелинейных уравнений, содержащих параметр. Это
позволит нам не только наглядно продемонстрировать идею и метод
продолжения решения по параметру, но и сохранить историческую пре-
преемственность, поскольку сам этот метод был впервые сформулирован
как раз для таких задач. Более сложным примером непрерывного и диф-
дифференцируемого однопараметрического множества является множество
решений краевой задачи для системы ОДУ с параметром. Он будет
рассмотрен в седьмой главе.
1.1. Две формы метода продолжения решения
по параметру
Рассмотрим систему из п нелинейных алгебраических или транс-
трансцендентных уравнений относительно п неизвестных х\,Х2,... ,х„, со-
содержащую параметр р. В n-мерном евклидовом пространстве К" эту
систему можно представить в форме
F(x,p) = 0. A.1)
Здесь х = (xi,x2,...,xnf - вектор, af= (FuF2,...,Fn)T -
вектор-функция в пространстве К".
Нас будет интересовать поведение решения системы A.1) при из-
изменении параметра р. Пусть для некоторого значения р = ро известно

Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
решение Ж@) = (х, @), ж2@),..., жп@)) уравнения A.1), т. е.
A.2)
Введем пространство Кп+| : {х, р}, дополнив пространство К" коор-
координатной осью, по которой будет отсчитываться параметр р. Рассмотрим
окрестность U точки (х@), ро) € К"+1 в виде прямоугольного паралле-
параллелепипеда с центром в точке (ж/0), Ро). Свойства решений системы A.1)
в этой окрестности устанавливает известная теорема о неявных функ-
функциях (см., например, [61]). В ней доказывается, что если выполнены
следующие условия:
1) вектор-функция F (т.е. все ее компоненты F,, i= \,n) определена
и непрерывна в U;
2) в U существуют непрерывные частные производные от Fi (i = 1, п)
по всем аргументам х{ (t = 1, п) и параметру р;
3) уравнение A.1) удовлетворяется в точке (#(о),Ро)> т.е. выполняется
равенство A.2);
4) в точке (&(o)iPo) отличен от нуля якобиан det(J) вектор-функции F,
матрица которого является матрицей Якоби и имеет вид
J=dF = djFlt...,Fn)
д
дх d(xi,...,xn)
dF2 дВ^
дх\ дх2
OFnOF^
дх\ дх2
дх„
~дх~п\
, A.3)
то в некоторой окрестности точки (a?(o),Po) решение ж,- (t = 1,п)
системы A.1) задается однозначными непрерывными функциями р
i = T~n
A.4)
такими, что ж,(ро) = а:*(о) (»' = 1,п) и производные dxt/dp (i = l,n)
также непрерывны в этой окрестности.
Таким образом, теорема о неявных функциях устанавливает, что
при выполнении условий 1-4 решение системы A.1) в некоторой
окрестности точки (ж(О),Ро) образует единственную гладкую кривую К,
которая имеет параметрическое представление A.4) и проходит через
точку (ж(о),ро)-

1.1. Две формы метода продолжения решения по параметру 9
Чтобы получить теперь решение х^\ системы A.1) при близком
к ро значении р\, мы можем продвинуться вдоль кривой К. При этом,
конечно, точка (x^,pi) должна находиться внутри некоторой окрест-
окрестности точки (ж(о), ро). Иными словами, мы можем из точки (х^,ро)
однозначно продолжить решение в пределах некоторой ее окрестности.
Если условия 1-4 выполняются в окрестности точки (хп\,р\), то ре-
решение снова можно продолжить и т.д. Таким образом, условия 1-4
достаточны для того, чтобы решение системы A.1) образовывало в про-
пространстве Кп+| непрерывную гладкую кривую К. А это позволяет
получить решение (ж(*),р*)« двигаясь вдоль этой кривой от известного
решения (ж(О),ро), как это показано на рис. 1.1 для случая трехмерного
пространства К3 : {xi,X2,p}. Этот процесс как раз и реализует метод
продолжения решения по параметру.
К
Рис. 1.1.
Условия 1-3 не слишком ограничительны и выполняются в боль-
большинстве прикладных задач. Точки, в которых выполняются также и усло-
условие 4, т. е. det(J) Ф О, будем называть регулярными, а точки, в которых
det(J) = 0, назовем особыми. Как будет видно в дальнейшем, в осо-
особых точках возможность продолжения решения обычно сохраняется,
но само продолжение может оказаться неоднозначным, т. е. появляется
возможность разветвления кривой К множества решений системы A.1).
Сама идея продолжения решения известна и используется в ма-
математике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она,
по существу, лежит в основе известного метода возмущений (метода

10 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
малого параметра), первые применения которого восходят к работвм
У. Леверье A886 г.) и А. Пуанкаре A892 г.).
Эта идея также неоднократно использовалась для доказательства
существования решений нелинейных уравнений. Схема такого доказа-
доказательства обычно следующая: в исходное нелинейное уравнение вводится
параметр р так, чтобы при начальном значении параметра, например,
при р = ро> решение уравнения было известно, а при р = рь урав-
уравнение обращалось в исходное. В этом случае вопрос о существовании
решения исходного уравнения сводится к существованию непрерыв-
непрерывной кривой К. Обзор работ математического характера с подобным
применением идеи продолжения решения дан в (91]. В теории пла-
пластин конечного прогиба такой способ доказательства успешно приме-
применил Н. Ф. Морозов [42, 43, 44, 43, 46]. Он ввел параметр р в виде
множителя при нелинейных частях операторов уравнений Феппля—
Кармана и доказал топологическую гомотопность операторов уравнений
при р = 0 и р = 1. Таким образом, параметр р использован для по-
построения непрерывного топологического преобразования от линейных
операторов, соответствующих уравнениям Жармен—Лагранжа и плоской
задачи теории упругости (р = 0), к нелинейным операторам уравнений
Феппля—Кармана (р= 1).
Первое использование идеи продолжения в вычислительных целях
принадлежит, по-видимому, М. Лаэю [103] A934 г.). Он ввел в транс-
трансцендентное уравнение Н{х) = 0 параметр р и, таким образом, свел
его к уравнению вида A.1). Причем параметр был введен так, чтобы
при р = ро = 0 можно было легко получить решение ж/0) = ж(ро)>
а при р = рк = I уравнение обратилось бы в исходное. Продвигаясь
по последовательности значений параметра ро < р\ < рг < • • • < Рк >
М. Лаэй предложил строить решение для каждого р,- (t = 1, к) методом
Ньютона—Рафсона, использую решение для предыдущих значений p,_i
в качестве начального приближения.
Формулируя свой процесс, М. Лаэй ставил задачу решить централь-
центральную для метода Ньютона—Рафсона (а равно и для любого итерационного
метода) проблему выбора начального приближения, которое должно быть
выбрано достаточно близким к искомому решению. Действительно, если
на кривой К множества решений уравнения A.1) нет особых точек,
то всегда можно выбрать шаг движения по параметру р таким малым,
чтобы искомое на г'-м шаге решение х(р<) и его начальное приближе-
приближение a;(pi_i) были достаточно близки друг к другу, и условия сходимости
метода Ньютона—Рафсона по выбору начального приближения были
обеспечены. Это следует из непрерывности и гладкости кривой К.
Позднее в работе [104] М. Лаэй распространил этот подход на системы
уравнений.

1.1. Две формы метода продолжения решения по параметру 11
Очевидно, что предложение М. Лаэя применимо и к уравне-
уравнениям, которые уже содержат параметр. Для них такой подход по-
позволяет организовать шаговый процесс по параметру для построения
множества решений в интересующем нас интервале значений параме-
параметра ро ^ р ^ Рк- Обозначим через xY! = x^'(j>i) приближенное значение
искомого решения х^ = ж(р,) на j-м шаге итерационного процесса
метода Ньютона—Рафсона при р = р,-. Тогда предложенный М. Лаэем
процесс построения решения уравнения A.1) при переходе от p,_i к pt
можно записать в виде
@)
ж =x(ii)
Здесь е > 0 — заданная погрешность по норме искомого решения;
||ж|| — норма вектора х; J (xY, , рЛ — матрица Якоби вектор-функ-
вектор-функции F при х = жНГ ' и р = р(.
На наш взгляд, основное в работах М. Лаэя то, что он дал пример
построения шагового процесса по параметру, в котором реализует-
реализуется главный для метода продолжения решения принцип: использовать
на каждом шаге информацию о решении, полученную на предыдущем
шаге (предыдущих шагах). С этой точки зрения несущественно ста-
становится использование для итерационного уточнения решения именно
метода Ньютона—Рафсона. Возможна реализация шаговых процессов
по параметру с применением и других итерационных процессов. Нап-
Например, замена в соотношениях A.5) матрицы J (хТ.Г , рЛ на матри-
матрицу J (aJ/ir ,Рп соответствует переходу к модифицированному методу
Ньютона и т. п.
Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением реше-
решения на каждом шаге будем называть дискретным продолжением решения.
Другую форму метода продолжения решения по параметру предло-
предложил Д.Ф. Давиденко [20, 21] A953 г.). Он, по-видимому, был первым,
кто осознал процесс продолжения решения как процесс движения и при-
применил к нему адекватный математический аппарат дифференциальных
уравнений. Продифференцировав исходную систему A.1) по параметру
и учитывая исходное решение х^ = x(j>q), он сформулировал задачу

12 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
отыскания множества решений системы A.1), как задачу Коши для сис-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx 8F 8F
7 0 Jr
Систему уравнений этой начальной задачи мы будем называть урав-
уравнениями продолжения в неявной форме.
Для нее уравнение A.1) является полным интегралом, удовлетворя-
удовлетворяющим условию F(x(ty,po) = 0.
Система A.6) линейна относительно производных dx/dp, и в со-
соответствии с известными теоремами существования и единственности
(см., например, [52]) решение задачи A.6) существует и единственно
во всем интервале изменения ее аргумента — параметра р, в котором
якобиан det J отличен от нуля. Более того, это решение является не-
непрерывной и дифференцируемой вектор-функцией, и по построению
является кривой К множества решений системы A.1) в пространстве
Rn+1 : {х,р}, проходящей через точку (х^,ро)-
Более того, в этом же интервале изменения р, где det(J) ф 0,
система ОДУ A.6) может быть сведена к нормальной форме Коши,
для которой соответствующая системе A.6) начальная задача имеет вид
dx ,dF
Г () A-7)
Систему уравнений этой задачи назовем уравнениями продолжения
в нормальной форме.
Такой подход открывает возможности использования для построения
решения х(р) различных и хорошо исследованных схем интегрирования
начальных задач. Простейшая из этих схем, схема метода Эйлера, при-
приводит к следующему алгоритму
= x(i) - J~l(x(i)> Pi)FAx(i)>Pi)AP> A-8)
i = 0,fc-l,
где Ар = p,-+i - р{, Fp = dF/др.
Без труда можно построить алгоритмы других схем, имеющих более
высокий порядок точности, таких, как модифицированный метод Эйле-
Эйлера, методы Рунге—Кутта, Адамса—Штермера и др. Эти схемы в рамках
метода продолжения решения по параметру исследовались и использо-
использовались в статьях [21, 22, 101, 102, 75] и в целом ряде других работ.

1.1. Две формы метода продолжения решения по параметру 13
Покажем, что шаговые процессы с итерационным уточнением ре-
решения, подобные процессу М. Лаэя A.5), также могут быть связаны
со схемами интегрирования начальной задачи для уравнений продолже-
продолжения A.7). Для этого решение начальной задачи на каждом шаге по р
представим в виде
я*.
я*.
= ж(о - у
Если положить pi+i = р( + Ар, то по теореме о среднем из A.9)
получаем
*(.•+!) = x(i) ~ J~l(xb>)>P)FAxto>)'P)AP> Pi.< Р < Pi+l- (ЫО)
Это соотношение может быть рассмотрено как нелинейная неявная
разностная схема, которая включает новое неизвестное р, и потому
должна решаться совместно с уравнением A.1), что делает ее прямую
реализацию нерациональной. Но на основе приближенного представле-
представления выражения A.10) можно получить самые различные разностные
схемы. Так, при р = р% получаем явную схему Эйлера A.8). Методы
построения других явных разностных схем на базе различных формул
численного интегрирования соотношения A.9) рассмотрены, например,
в книге Н. С. Бахвалова [5].
Положим в выражении A.10) J(x(p),p) « </(я(,), Pt+i) и используем
следующую формулу численного дифференцирования
х«+1) = —P(x(i)>Pi+i)~P(x(^Pi) + O(Ap2). A.11)
В результате, с учетом того, что F(x^,pi) = 0, получаем из A.10)
соотношение, которое совпадает с одним шагом метода Ньютона—Раф-
сона
l i),Pi+l) + О(Ар2). A.12)
Тогда алгоритм шагового процесса построения решения х(р), осно-
основанный на этом соотношении и на выборе в качестве начального при-
приближения решения г(р,), полученного на предыдущем шаге, в точности
совпадает с алгоритмом М. Лаэя A.5).
Таким образом, алгоритмы, названные в книге [17] непрерывным
и дискретным продолжением, сводятся к интегрированию задачи Ко-
ши A.7) с помощью явных и неявных схем, соответственно.
Отметим здесь еще одну, установленную М. К. Гавуриным [13],
интересную возможность использования метода продолжения решения

14 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
по параметру для организации итерационного процесса решения не-
нелинейного уравнения Н(х) — 0. Построим уравнение с параметром
следующим образом
F(x)p) = H(x)-(l-p)H(x{0))=0) ре [0,1]. A.13)
Здесь параметр р введен так, что х^ является решением уравне-
уравнения A.13) при р — 0, а при р — 1 уравнение обращается в исходное.
Если теперь ввести новый параметр Л так, чтобы
1-р = е-\ А е [0,оо), A.14)
то уравнение A.13) примет вид
F(x, А) = Н(х) - е~хЩх{0)) = 0.
Дифференцирование этого уравнения по А приводит к следующей
задаче Коши по параметру А
~1 Aл5)
Интегрирование же этой задачи по А методом Эйлера с шагом
ДА = 1 приводит к итерационному процессу
A.16)
т@) т «• _ о 1 9
* — @)> • "" ' ' ''' * '
А этот процесс в точности совпадает с итерационным процессом
метода Ньютона—Рафсона для уравнения Н(х) = 0 при начальном
приближении х^ = х^у
Метод продолжения решения по параметру в изложенном здесь
виде может быть практически без изменения распространен на нели-
нелинейные операторные уравнения, если под F(x, p) понимать нелинейный
обратимый оператор с параметром.
Многие методы решения прикладных нелинейных задач можно по-
понимать как частные случаи метода продолжения решения по параметру.
Так, в механике твердого тела известен метод последовательных нагруже-
ний, сформулированный В.З. Власовым и В. В. Петровым в 1959 г. в ста-
статье [51] на примере нелинейных уравнений Феппля—Кармана прогиба
пластин. Алгоритм этого метода является алгоритмом интегрирования
уравнений продолжения методом Эйлера.

1.2. Проблема выбора параметра продолжения. Смена параметра 15
1.2. Проблема выбора параметра продолжения.
Смена параметра
Изложенные выше формы метода продолжения решения по пара-
параметру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений па-
параметра ро ^ Р ^ Рк определитель det(J) матрицы Якоби системы
уравнений A.1) отличен от нуля. Использование метода в окрестности
особых точек, где det(J') = 0, требует особого обсуждения.
Рассмотрим развернутую форму системы A.1)
Ж*ь*2 хп, р) = 0, t=T~». A.17)
Дифференцирование этой системы по параметру р приводит к урав-
уравнениям продолжения в неявной форме
jx xj dp дР К '
Эта система уравнений линейна относительно неизвестных про-
производных dxj/dp, j = l,n. В регулярных точках множества решений
системы A.17), где det(J) ф 0, система A.18) разрешима.
Наряду с матрицей Якоби J = [dFi/dXj], i,j = l,n, будем рассмат-
рассматривать расширенную матрицу Якоби J, образованную путем присоеди-
присоединения к J справа вектора 8Fi/8p = [OFi/др], i = 1, n:
i-
[>.%.
Тогда решение системы A.18) по правилу Крамера можно записать
в виде
Здесь det(Ji) — определитель матрицы J{, получающейся из матри-
матрицы J вычеркиванием г-го столбца
_ Заметим, что матрица J квадратная и имеет порядок п, а матрица
J — прямоугольная и имеет размеры п х (п+ 1), т.е. состоит из п строк
ип + 1 столбцов.
Ранг матрицы А размера т х п, будем обозначать как rank(A).
Он определяется числом линейно независимых строк или столбцов
матрицы. При этом столбцы матрицы удобно рассматривать как векторы
в пространстве Rm, а строки — как векторы в Е". Число линейно
независимых строк и столбцов всегда совпадает.
В регулярных точках множества решений системы уравнений A.17)
det(J) Ф 0, т.е. столбцы матрицы J образуют n-мерный базис в R".

16 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Поэтому вектор dF/др G M" будет линейно зависим по отношению
к столбцам матрицы J,_h его присоединение к ним при образовании
расширенной матрицы J не изменит ранга матрицы новой системы,
состоящей уже из (п+1) векторов-столбцов. Таким образом, в регулярных
точках
rank(J) = rank(J) = п. A.21)
В особых точках ситуация меняется. В них det(J) = 0, поэтому
rank(J) = г < п, т.е. среди п столбцов матрицы J линейно незави-
независимы только г столбцов, и они образуют в М" г-мерный базис Вт,
который определяет г-мерное подпространство V С К". Теперь, если
вектор dF/др ? If, т. е. он линейно зависим с векторами базиса Вт, то
rankG) = rank( J) = r<n. A.22)
Если же вектор dF/др $. LT, т. е. он линейно независим с векторами
базиса Вт, то
rankG) = rank( J) + 1 = г + 1. A.23)
Особое место среди подобных случаев занимает такой, когда
rank(J) = п, rank( J) = п - 1. AЩ
Точки, в которых выполняются эти условия, принято называть
предельными. Особые точки, в которых rank(J) < n, будем называть
существенно особыми. Особенности поведения решения в этих точках
будут рассмотрены позднее. Здесь же мы ограничимся рассмотрением
предельных точек.
Ниже будет показано, что в предельных точках касательная к кри-
кривой К множества решений системы A.17) в Kn+I : {х\,Х2,.-.,х„, р}
становится нормальной к оси р. В этих точках условие rankG) = n рав-
равносильно требованию, что среди (»+ 1) столбцов матрицы J найдутся
п линейно независимых. А это значит, что хотя бы один из определите-
определителей det(J*), к = 1, п, не равен нулю:
<1е1(^)?бО. A.25)
В таком случае в качестве параметра продолжения можно при-
принять Xj. Тогда в окрестности предельной точки выполняются все условия
теоремы о неявных функциях и решение может быть однозначно про-
продолжено. Продифференцировав систему уравнений A.17) по Xj и считая
при этом, что все ж<, i = 1, п, i Ф j, и параметр р являются функция-
функциями Xj, получаем уравнения продолжения в виде
Fi dx, dFi dp
^+^4=0> i=1>n> '*'- (L26)

1.3. Наилучший параметр продолжения 17
Отсюда с помощью правила Крамера получаем
dxj y-jdet(J,) dp ^ t det(J)
dx, K > det(^)' ex, K > det(J,)' A27)
Ввиду того, что det(Jj) Ф 0, при интегрировании этих уравнений
устраняются трудности, связанные с неограниченным ростом решения.
Последнее уравнение в A.27) ввиду того, что det(Jr) = 0, и показывает,
что в предельной точке касательная к кривой К множества решений
нормальна к оси р. Действительно, представим касательную к К в виде
вектора в Rn+I
dx /dx\ dx% dxn dp
dxj \dxj dxj dxj dxj
Но так как det(Jr) = 0, то dp/dxj = 0, и тогда скалярное произведе-
произведение вектора dx/dxj на орт @,0,..., 0, р) оси р равна нулю.
Переход от уравнений продолжения по параметру р A.20) к урав-
уравнениям продолжения по параметру Xj A.27) в окрестности предельной
точки называют сменой параметра. Этот прием был предложен Д. Ф. Да-
виденко еще при формулировке самого метода [21].
1.3. Наилучший параметр продолжения
Изложенный в предыдущем параграфе прием смены параметра про-
продолжения показывает, что с точки зрения продолжения решения нет
принципиальной разницы между неизвестными Х{ и параметром зада-
задачи р. Учитывая это обстоятельство, обозначим р = хп+\ и запишем
задачу A.17) в форме
Fi(xi,x2,...,xn+i) = 0, i =TT», A.28)
или
F(x) = 0, xeRn+l, F:Rn+l^Rn. A.29)
Из рассуждений предыдущего параграфа следует, что в каждой
регулярной и предельной точке кривой К множества решений в ка-
качестве параметра продолжения можно выбрать любую из неизвест-
неизвестных Xj, j = l,n + 1, для которой det(Jj) Ф 0. Такая неоднозначность
в выборе параметра продолжения позволяет поставить вопрос о выборе
наилучшего в некотором смысле параметра продолжения.
Поясним эту проблему для простейшего случая одного уравнения
с двумя неизвестными
2) = 0. A.30)

18 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Пусть множество решений этого уравнения образует кривую К,
показанную на рис. 1.2. Если процесс продолжения решения реали-
реализуется как процесс интегрирования задачи Коши по параметру, то он
сведется к шаговому процессу, оперирующему приращениями на каждом
шаге. С этой точки зрения очевидно, что если в качестве параметра
продолжения выбран х\, то вычислительная ситуация будет наилучшей
в окрестности точки А, так как в этой точке приращение аргумента Ах\
существенно больше приращения axj. При приближении к точке В вы-
вычислительная ситуация ухудшается, так как вблизи нее Джг > Ах\, т.е.
малому приращению аргумента Ах\ соответствует немалые приращения
функции Л?2. А это типичный признак неустойчивости.
Рис. 1.2.
Если же в качестве параметра выбрать xj, то наоборот, наилучшая
вычислительная ситуация окажется вблизи точки В, а вблизи точки А
появится неустойчивость.
Обратим внимание на то, что наилучшая ситуация в окрестностях
точек А и В реализуется, когда ось отсчета параметра параллельна ка-
касательной к кривой К в этих точках. Это наводит на мысль, что если
мы в каждой точке кривой К хотим обеспечить наилучшую вычисли-
вычислительную ситуацию, то этого можно достичь, выбрав в качестве параметра
продолжения длину дуги Л, отсчитываемую вдоль кривой К, как это
показано для точки Т на рис. 1.2. Действительно, локально, т. е. вблизи
каждой точки кривой К, такой параметр совпадает по направлению
с касательной к этой кривой.
Введение Л в качестве параметра продолжения основано на предпо-
предположении, что неизвестные х\ и хг являются функциями А, т.е.
A.31)

1.3. Наилучший параметр продолжения 19
Фактически это равносильно введению нового неизвестного, кото-
которое не входит явно в уравнение A.30). Чтобы определить этот параметр,
необходимо дополнительное соотношение, устанавливающее связь меж-
ду х\, Х2 и А. Локально эта связь очевидна
d\2 = dx\ + dx\. A.32)
Таким образом, введение параметра Л требует совместного решения
уравнения A.30) и соотношения A.32). Поскольку соотношение A.32) —
дифференциальное, то было бы логично использовать также дифферен-
дифференциальную форму и для уравнения A.30), использовав ее эквивалент —
задачу Коши по параметру А. Продифференцировав уравнение A.30)
по А и учитывая известные значения хщ, »2о. получаем следующую
задачу Коши по параметру:
dF_dx± 8F_dx2_ (^Л2 /^а?2\2 _
A.33)
Здесь предполагается, что значениям хщ, жго соответствует значение
параметра А, равное Ао-
Не останавливаясь здесь на методах решения этой начальной задачи,
отметим, что все проведенные выше рассуждения носят скорее эвристи-
эвристический характер и никак не могут быть поняты как некоторое строгое
доказательство.
В общем случае будем считать, что неизвестные в уравнениях A.28),
A.29) зависят от некоторого параметра \х
x = x(fi). A.34)
Тогда уравнения продолжения получим, продифференцировав урав-
уравнения A.29) по ц
_ dx — — 8F
J~ = 0, J = JW = ^. 0.35)
Здесь 7 совпадает с расширенной матрицей Якоби, введенной
в предыдущем параграфе. Она имеет п строк ип+1 столбцов. В окрест-
окрестности точки х на кривой множества решений введем параметр ц так,
чтобы он отсчитывался вдоль оси, определенной единичным вектором
о = (ori,..., otn+i)T € En+ , oo = о,о< = 1. Тогда в этой точке
dp = adx = otidxi, г = l,n+ 1. A.36)
Здесь и ниже используется суммирование по повторяющимся ин-
индексам в оговоренных пределах.

20 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Выбирая различным образом вектор а, мы можем задать любой
параметр продолжения. Например, выбрав а — A,0,... ,0)г, мы по-
получаем из A.36), что dfi = dx\ и ft = x\ + С. И если произвольную
постоянную С положить равной нулю, то ц = х\. Точно так же, если
о = @,..., 0, 1)г, то fi = xn+i = р и т. п.
Уравнения продолжения A.35), A.36) запишем в форме
7
dx dx _,,, —„j.i . -— . .
Здесь матрица J представлена как совокупность ее строк J*1', каж-
каждую из которых можно рассматривать как вектор в Rn+1. В регулярных
и предельных точках множества решений уравнений A.29) хотя бы один
из определителей det(Jj) Ф 0. Поэтому строки матрицы J линейно
независимы и образуют в Rn+1 n-мерный базис В", определяющий
в Rn+1 n-мерное подпространство L".
Первое векторное уравнение или первые п скалярных уравнений
в A.37) показывают, что искомый вектор dx/dfi ортогонален всем векто-
векторам базиса В", т.е. он ортогонален подпространству ?". Геометрически
он направлен по касательной к кривой К множества решений. Послед-
Последнее уравнение в A.37) показывает, что его проекция на направление а,
определяющее ось ц, должна быть равна единице. Геометрически это
показано на рис. 1.3 для случая п = 1.
Теперь становится очевидным, что если вектор а (ось ft) выбран
ортогонально к кривой К, как это показано на рис. 1.3 пунктиром,
то квадратная матрица системы A.37) окажется вырожденной, так
как вектор о ортогонален dx/dfi, значит, он принадлежит_подпростран-
ству L", т.е. линейно зависим со строками матрицы J. Поскольку
для интегрирования уравнений продолжения A.37) необходимо перейти
к нормальной форме уравнений, т.е. разрешить их относительно dx/dfi,
то такой выбор параметра ц неприемлем.
И, наоборот, следует ожидать, что наиболее удачным будет такой вы-
выбор оси fi, когда вектор а будет касателен к кривой К, т.е. коллинеарен
с dx/dfi.
Для того, чтобы придать этим рассуждениям достаточную строгость,
остается только ввести критерий, определяющий качество параметра fi,
определенного вектором а. Поскольку качество параметра ft связано
с разрешимостью системы A.37), то естественно связать это качество
с обусловленностью матрицы этой системы. Матрица системы линейных

1.3. Наилучший параметр продолжения
21
Рис. 1.3.
алгебраических уравнений считается тем лучше обусловленной, чем
меньшие изменения (погрешности) решения системы вызывают малые
изменения (погрешности) элементов матрицы и правой части системы.
В качестве меры обусловленности \D\ матрицы
А =
i,j = \,п,
строками, которой являются векторы ?,-, г = 1,п, примем отношение
модуля ее определителя det(A) = Д, к произведению квадратичных норм
ее строк
|Д|= „ |А| • A-38)
.=1
В [49] доказано, что большему значению \D\ соответствует лучшая
обусловленность матрицы системы линейных уравнений.
Перепишем систему A.37) в развернутом виде
«1 «2
«п+1
Здесь Fij =
n,2 • • • Fn,n+l-
A.39)

22 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Решение этой системы по правилу Крамера можно записать в виде
Н)<+1^, г = МГ+Т. A.40)
Здесь А,- — определитель, получающейся из расширенной матри-
матрицы Якоби J вычеркиванием г-го столбца. Он в тоже время является,
с точностью до знака, алгебраическим дополнением элемента од в ма-
матрице системы A.39). Если раскрыть определитель А этой системы
по элементам его первой строки, то
Д = (-1)<+Чд,-, i = 1,71 + 1. A.41)
Покажем, что справедливо следующее утверждение [68, 31, 32]:
Лемма 1. Мера обусловленности \D\ матрицы системы уравнений A.39)
достигает наибольшего значения в том случае, когда вектор а ка-
сателен к кривой К множества решений системы уравнений A.28)
в рассматриваемой точке.
Доказательство. Исследуем на экстремум величину D как функцию от а,-,
г = 1,п + 1 A.38), которая для матрицы системы A.28) представляется
в виде
j, A.42)
где d = d\d2...dn+i > 0;
d, = (ододI/2 = 1,
Здесь нет суммирования по индексу /3.
Заметим, что так как а — единичный вектор, то d\ = 1 и величина d,
таким образом, не зависит от од, i = 1, п + 1.
Для нахождения экстремума функции D при условии аа = 1
составим функцию Лагранжа с учетом выражения A.41) для А
1 = (-1)<+1одА/+7A-ОДОД), г = Т^ТТ, A.43)
а
где 7 — неопределенный множитель Лагранжа.
Экстремум этой функции достигается при
8L г.. i Д
= 0, fc=l,n+l,
т. е. при a/i = (- l)fc+1 -—¦-. Подставив эти значения aj в условие aa = 1,
27»
найдем множитель Лагранжа
Т-±М. ,,44)

1.3. Наилучший параметр продолжения 23
Таким образом, экстремум функции Лагранжа достигается при
Если эти выражения для а& подставить в равенство A.41), то полу-
получаем, что определитель системы A.39) должен удовлетворять равенству
Д = ±(Д,Д01/2, ¦ 1 = Т^Г+Т, A.46)
и экстремум функции Лагранжа достигается при значениях од =
(-l)fc+1—, в точности совпадающих с выражениями для ж^ A.40).
Таким образом, имеют место равенства
«* = Н)*+1^ =**,„• A.47)
При этом, согласно A.44), A.46), значение множителя Лагранжа
будет равным
i-s-t с-48'
Анализ второго дифференциала функции Лагранжа как квадра-
квадратичной формы относительно дифференциалов da^ показывает, что
Д
модуль функции D - — принимает в этом случае наибольшее зна-
о
(Д,ДЛ1/2
чение \D\ = . В самом деле, знак второго дифференциала
а
функции Лагранжа
d2L = -27(da,da.)
определяется множителем Лагранжа 7, который согласно формуле A.48)
положителен, если D > 0 и, следовательно, функция D принимает
наибольшее значение. Знак множителя 7 отрицателен, если D < 0 и,
следовательно, функция D принимает наименьшее значение. Лемма
доказана. ¦
Таким образом, доказано, что вектор а, определяющий, соглас-
согласно выражению A.36), параметр продолжения ц, доставляет наибольшее
значение абсолютной величине функции D в том случае, когда он совпа-
совпадает с самим вектором решения (x\ilt, X2tli, ¦ ¦ ¦, xn+iilt)T линеаризованной
системы A.37), т.е. когда вектор а направлен по касательной к кривой
множества решений нелинейной системы уравнений A.28).
Теперь рассмотрим влияние возмущений элементов матрицы систе-
системы A.39) на ее обусловленность. Покажем, что имеет место утверждение

24 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансиендентные уравнения
Лемма 2. Квадратичная погрешность решения системы уравнений
A.39), возникающая при возмущении элементов матрицы системы,
достигает наименьшего значения в том случае, когда вектор а нап-
направлен по касательной к кривой множества решений системы A.28)
в рассматриваемой точке.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда с погрешностью за-
задана первая строка матрицы системы A.39). Пусть вектор а имеет
вид (с*], <Х2,... a,_i, а,- + e, aj+\,..., an+i)T. Определитель Д? такой
системы будет выражаться через определитель А исходной системы
по формуле
Ае = A + (-l)i+1eAj = Д (l + (l)e
Так как рассматриваются малые возмущения е, то компоненты
возмущенного решения у^ можно переписать в виде
Тогда компоненты Ф вектора погрешности 6 = F\,&2, • ¦., 6n+i)T
решения возмущенной системы будут вычисляться по формулам
,, ,2 2 Д?Д. Д.
Исследуем на экстремум квадратичную погрешность о = е —*2?—
2?
в предположении, что имеет место условие аа = I, тогда функцию
Лагранжа можно взять в виде
Минимум этой функции достигается при
Отсюда получаем
ал = 2е2(_1Г,д|дАД1) fc = T__ (l49)
Деля fc-oe уравнение этих соотношений на тп-ое, получаем равенства

1.3. Наилучший параметр продолжения 25
позволяющие выразить ат через а*
ат = (-1ГЧ^. A.50)
Тогда определитель A.41) системы уравнений A.39) можно предста-
представить как
Д = (-1)т-'атДт = (-1Г-Ч=1Р11 т=1,га+1. A.51)
Д*
В этом случае система уравнений A.49) принимает вид
«к= А НN*+6аЕ, ™ = Т^П A.52)
и может быть легко разрешена относительно ак
1
Заметим, что в выражениях A.50)-A.52) нет суммирования по ин-
индексу к.
Множитель Лагранжа у найдем, подставив A.53) в условие аа= I,
2
2
д
тогда 7 = 2е2——~— и выражение A.53) примет вид
ДД
Если теперь эти значения а* подставить в формулу A.41), то
получим, что Д = (ДтДтI''2 и равенства A.54) в точности совпадут
с равенствами A.40) для ж*^, т. е. будут иметь место соотношения A.47),
а это и требовалось доказать. ¦
Теперь рассмотрим ситуацию, когда с погрешностью задана строка
матрицы системы A.39), отличная от первой. Доказательство проведем
для случая га = 1, тогда исследуемая невозмущенная система будет иметь
вид
()&) 0) .
Пусть с погрешностью задана вторая строка матрицы (^ii( F\t2 + e),
тогда определитель Д? возмущенной системы будет выражаться через
определитель исходной системы A.55) по формуле

26 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
При этом возмущенная система будет иметь решение
где Д] = F\t2, Д2 = F\f\, и компоненты вектора погрешности 6,
учитывая малость е, примут вид
д,A + ?) Д] д ?ai ^
f X) Д Д LV Д1/ д J д2
.2л2
^ Д /
Для исследования на экстремум квадратичной погрешности б2 =
е'А
_ ППи lf/«nADUU /V*
при условии а = 1 составим функцию Лагранжа
Д4
Если при исследовании этой функции на экстремум применить
ранее использованный алгоритм, то получим, что компоненты вектора
должны удовлетворять равенствам A.47), и лемма для п = 1 доказана.
Наконец, рассмотрим общий случай, когда с возмущением задан
некоторый столбец матрицы системы A.39).
Для этого возмутим элементы матрицы системы, прибавив к j-му
столбцу вектор e(ctj, F\j Fnj)T* где е — некоторое малое число.
Тогда легко видеть, что определители возмущенной (Дг, Д^) и невозму-
невозмущенной (Д, Д,) систем будут связаны соотношениями Д? = ДA +е),
Aie = Д,A + е), % = 1,п+1, i Ф j, Ajt = Д,-.
Решение возмущенной системы примет вид
А'
Д*
Компоненты вектора ошибки S = (Si, 62,. ¦., Sn+i)T, вычисляемые
юрмулам Si = yi,p - Xi#, примут вид Si = 0, i = l,n+ 1, i Ф j,
л.

1.3. Наилучший параметр продолжения 27
Поэтому квадратичная погрешность 6 = tf,-tf,- будет равна б2 =
? »—г и при исследовании ее на экстремум в предположении,
(()Г
что вектор а является единичным, функцию Лагранжа можно принять
в виде
Если теперь при исследовании функции Лагранжа на экстремум
применить алгоритм, используемый выше, то получаем доказательство
леммы 2.
Изучим влияние возмущений правых частей системы A.39) на ее
обусловленность.
Покажем справедливость утверждения
Лемма 3. Квадратичная погрешность решения системы уравнений
A.39), возникающая при возмущении правых частей системы, дости-
достигает наименьшего значения в том случае, когда вектор а направлен
по касательной к кривой множества решений системы уравнений A.28)
в рассматриваемой точке.
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда вектор возмущенной
правой части системы A.39) имеет вид A 4-е,0,.. .,0) , тогда вектор
погрешности будет 6 = е(х\ф, хг,,,, • • •, хп+\ф)Т и квадратичная погреш-
погрешность имеет вид
Функцию Лагранжа можно взять в виде
и исследовать ее на экстремум при помощи вышеописанного приема,
тогда получим, что в точке экстремума компоненты вектора должны
удовлетворять равенствам A.47), и для этого случая лемма доказана.
Доказательство для другого случая проведем на примере системы
уравнений A.33). Пусть вектор возмущенной правой части этой системы
имеет вид A, е)т, тогда решение возмущенного уравнения будет
(Д1-еаг) _ (&2-€<х\)
¦¦ д , йл- д ,
и вектор погрешности примет вид
(-а2,а\)те
О — ¦ .

28 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Учитывая, что квадратичная погрешность с учетом условия а2 = 1
л 0 0
может быть записана как 6 = е /А , берем функцию Лагранжа в виде
L = е2/Д2 + т(а«а1 ~ О» 1 = 1) 2. Исследуя эту функцию на экстре-
экстремум, получаем, что в точке минимума компоненты вектора а должны
вычисляться по формулам A.47).
Таким образом, лемма доказана для п = 1. Для доказательства
общего случая возмутим столбец правой части системы A.39), прибавив
к нему вектор еA+аи Ful,...,Fn>if.
Учитывая свойства определителей, легко показать, что в данном слу-
случае определители возмущенной и невозмущенной систем будут связаны
соотношениями
j=2,n+l.
Решение возмущенной системы и компоненты вектора ошибки
можно представить в виде
„. _/ iu+iA>?
Следовательно, квадратичная погрешность будет равна
При исследовании ее на экстремум, учитывая единичность векто-
вектора а, функцию Лагранжа возьмем в виде L = б2 4-т(а>а; ~ !)• Минимум
этой функции достигается при
= о, А * =
Таким образом, в точке минимума имеют место равенства
. A.56)
Тогда из условия а = 1 следует, что
w = ±{AkAk)l/2, fc = l~?+T. A.57)

1.3. Наилучший параметр продолжения 29
Если соотношения A.56) подставить в выражение A.41), то с учетом
A.57) получаем
Д = ±(Д*Д*)'/2,
а значит, верно равенство ш = 1/Д, и формулы A.56) примут вид
^f, fc=l,n+l.
Сравнивая эти соотношения для а* с выражениями A.40), получаем
равенства
которые означают, что минимальную квадратичную погрешность обеспе-
обеспечивает параметр продолжения, отсчитываемый вдоль касательной к кри-
кривой множества решений системы A.28). Это доказывает лемму 3 для об-
общего случая. ¦
Отметим, что при обобщении лемм 2, 3 в каждом уравнении си-
системы A.39) можно было принять свое значение погрешности е = е<,
t = 1, п + 1. Для того, чтобы прийти к рассматриваемому случаю, доста-
достаточно положить с = max |e;|, причем некоторые е,- могли быть равными
нулю.
Теперь, наконец, можно доказать основной результат данной главы.
Теорема 1. Для того, чтобы система линеаризованных уравнений A.39)
была наилучшим образом обусловленной, необходимо и достаточно в ка-
качестве параметра продолжения решения системы нелинейных урав-
уравнений A.28) принять длину дуги кривой множества решений этой
системы уравнений.
Доказательство.
Необходимость. Согласно смыслу, который мы вкладываем в поня-
понятие обусловленности, доказанные леммы можно объединить следующей
формулировкой.
Система линейных уравнений A.39) будет наилучшим образом обу-
обусловленной в том случае, когда вектор а направлен по касательной
к кривой множества решений нелинейной системы уравнений A.28)
в каждой ее точке, т.е. когда будут иметь место равенства A.47). С уче-
учетом этого факта выражение а = 1 можно записать в виде
= Aх{(кц, i=l,n+l, A.58)
откуда следует, что dy, = (dxidxi)l/2 является дифференциалом длинны
дуги кривой множества решений системы A.28). Если положить, что
начальной точке этой кривой соответствует значение ц = 0, то параметр

30 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
продолжения ц будет равен ее длине, отсчитываемой от этой точки.
Необходимость доказана.
Достаточность. Выберем в качестве параметра продолжения решения ц
длину кривой множества решений системы A.28). Вектор т, касатель-
касательный к этой кривой, равен т = (х\ф хп+\ф)т. Как отмечалось
ранее, смысл единичного вектора а заключается в том, что он опреде-
определяет направление продолжения решения задачи A.28), поэтому, в силу
выбранного параметра продолжения, он тоже должен быть направлен
по касательной к кривой множества решений, т. е. векторы а и г долж-
должны быть коллинеарными. Но они не только коллинеарны, но и равны,
так как вектор т также единичный. В самом деле, дифференциал вы-
выбранного параметра продолжения как элемент длины кривой должен
удовлетворять равенству A.38). Если это равенство разделить на (dpJ,
то получим
«•./ха:^ = т2 = 1, i = 1,п + 1.
Из равенства векторов следует равенство их компонент
A.59)
Компоненты же dx^/d^i = Хкф при любом параметре продолже-
продолжения ц должны удовлетворять системе линейных уравнений A.39), т.е.
определяться в соответствии с формулами A.40). Из соотношений A.59)
и A.40) вытекают равенства A.47), левая часть которых доставляет со-
соответствующие экстремумы функциям, фигурирующим в доказанных
леммах. Реализация же этих экстремумов обеспечивает наилучшую обу-
обусловленность системы A.39). Теорема доказана. ¦
1.4. Алгоритмы, использующие наилучший параметр
продолжения, и примеры их применения
Итак, показано, что процессу продолжения решения системы нели-
нелинейных уравнений
" F(a:) = 0, F:En+l^E", х 6 En+l, F(xq) = 0
по наилучшему параметру Л соответствует решение задачи Коши для си-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений продолжения ви-
вида A.37), когда вектор а в каждой точке множества решений К
направлен по касательной к этой кривой, т.е. совпадает с вектором
г,А = dx/dX. Эту задачу Коши удобно записать в виде

1.4. Алгоритмы, использующие наилучший параметр продолжения 31
Матрица J здесь является матрицей Якоби вектор-функции F(x)
т dF д^ F") Гр Щ
которая совпадает с введенной раннее расширенной матрицей Якоби.
Как видно, для сведения этой задачи к нормальной форме Коши
необходимо решить систему нелинейных уравнений. Разрешение этих
трудностей в рамках шагового процесса продолжения предложено в [17].
Оно основано на том, что последняя строка матрицы уравнений A.60)
определяет мгновенное положение вектора, вдоль которого отсчитывает-
ся параметр продолжения Л. Замена в этой матрице вектора ж,л на другой
вектор а означает замену наилучшего параметра продолжения Л на па-
параметр ц, который отсчитывается вдоль а. И чем ближе вектор а будет
к вектору х,л, тем ближе окажется параметр ц к наилучшему параметру
продолжения А. Обозначим этот вектор через а;^. Тогда задача Коши
для продолжения кривой множества решений от к-й точки к (к + 1)-ой
запишется в виде
[?] A.61)
Матрицу этой системы назовем расширенной матрицей Якоби.
Способы формирования вектора х*\ дадим на примерах конкретных
разностных схем.
а. Явная схема метода Эйлера
Здесь в качестве вектора х*\ примем вектор х,л(*_1), вычислен-
вычисленный на предыдущем шаге. При этом возникает вопрос о выборе это-
этого вектора в начальной точке к = 0. При его решении учтем, что
при постановке реальных задач начальная точка обычно не являет-
является предельной по параметру задачи xn+i = p, и тогда можно, при-
принять х;Л(_0 = (о,.... о, if.
Отметим, что в силу структуры дифференциальных уравнений A.61)
получающийся в результате ее решения на к-м шаге вектор х,л будет
касательным к интегральной кривой задачи, но последнее уравнение
системы х*х ху\ = 1 означает, что этот вектор не будет единичным,
однако его проекция на направление вектора х*х вычисленного на пре-
предыдущем шаге, будет равна единице. Таким образом, если вектор х^
нормировать, то получим на к-м шаге решение исходного уравне-
уравнения A.60).

32 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Поэтому схема явного метода Эйлера примет вид
i-i
(
= XtT
I х
,х(*-i
A.62)
A*+i = Afc +
fc = 0,1, 2,... .
Здесь J(fc) = J(ai(fc)), ||s|| = (x,x)^2 — евклидова норма вектора х,
&\k — шаг интегрирования по А,
При вычислении ?,>(&) конечно нет необходимости обращать ма-
матрицу продолжения системы вида A.61). В дальнейшем принятую запись
для хдк) будем понимать как результат решения этой системы линей-
линейных алгебраических уравнений любым эффективным и экономичным
методом. Как правило, таковым является метод Гаусса.
б. Явная схема модифицированного метода Эйлера
а»@) = *(*>). *?(_!) = @,.--, 0,1),
а*>=['%-1)
„2 _
-1
-1
_ *,*(*)
0] 2* _ ¦>(*)
1 I > *,A(fc) ~ и 2 || >
* а(*) = 2 (*,>(») + яг,д()к)), хМк) = |^—-,
, & = 0,1,2,....
в. Неявная схема Эйлера
A.63)
Неявную схему метода Эйлера реализуем в виде метода прогноза
и коррекции.

1.4. Алгоритмы, используюшие наилучший параметр продолжения
33
Прогноз:
x{o) = x(Xo), »5J_1) = @ 0,1),
. ри*))! foi
,A(ft-l) L J
КОЛОХ2А
ОСКОРЩк
Коррекция:
A.64)
fc = 0,l,2,....
Если норма разности корректируемого и прогнозируемого реше-
решений Д = \\xctk. п - af. ,J| не удовлетворяет заданной точности е,
то можно применить итерационный процесс, описываемый формула-
формулами A.64), в которых за прогноз принимается значение, полученное
~ х
()
на предыдущем шаге коррекции: a?k+l\ = x\k+i)' ) %()
же условия по точности удовлетворяются, то на следующем шаге нужно
принять х(ш) = хс(ш),
ае н
г. Неявная схема второго порядка точности
Рассмотрим двухшаговый метод прогноза и коррекции второго по-
порядка точности, основанный на использовании формул дифференциро-
дифференцирования назад (BDF), [86, 93].
Прогноз, согласно рекомендациям [S, S3], целесообразно вычислять
по экстраполяционным формулам, использующим только значения са-
самого вектора решения в предыдущих точках. Первый прогноз вычисляем
по формуле
*(*+1) = 2я(*)-*(*-!)¦
Коррекция
КОЛОХЗА
ОСКОР^А
X WiA =
-1
i) J
A.65)
НЕ БОЛЕЕ Ш КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ

34 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
На первом шаге (к = 0) принималось хщ = x(Xq), Xk+i = .
Если норма Д > е, то можно организовать итерационный про-
процесс, описываемый формулами A.65), в которых а&+1\ = х(к+\)>
х*\(к-\) ~ х<л(к)' ^сли же Д < е, то для следующего шага имеем
х(к+\) = х\к+1)> ^(Л) = х"(к)-
В книге [17] для перехода к нормальной форме Коши уравнений
продолжения A.61) предложено также использовать процесс ортогонали-
зации Грама—Шмидта. Он также требует расширения матрицы Якоби J
путем присоединения к ней снизу вектора x*J. Однако такой подход
потребует большего числа вычислений в сравнении с использованием
метода Гаусса при равной обусловленности системы, если векторы x*J
будут заданы одинаково.
Рассмотрим теперь два тестовых примера, которые решались в [17].
Лемниската Бернулли
Уравнение этой кривой в координатах х\, xj имеет вид
F(x) = (х\ + х2) — 2й (х\ — х2) = 0, х = (х\,Х2) • A.66)
Эта кривая, которая показана на рис. 1.4 сплошной линией, пересе-
пересекает ось xi в точках х\ = ±aV2 и х\ = 0. Ниже мы будем рассматривать
случай о = 1. Уравнения продолжения A.61) принимают вид
)
XU 4а
Вычисления производились от точки А, т.е. начальные условия
принимались в виде
x{0) = (V2,0)T. A.68)
Необходимый для начала вычислений вектор 2*w_n задавался
как @,1)т, так как точка А является предельной по переменной х\.
На рис. 1.4 представлены результаты интегрирования задачи Ко-
Коши A.67), A.68) с шагом АЛ = 0,2, причем система линейных уравнений
решалась методом Гаусса. Точки соответствуют результатам с использо-
использованием разностной схемы метода Эйлера A.62). Крестиками обозначены
результаты использования модифицированного метода Эйлера. Кружка-
Кружками показаны результаты использования схемы Рунге—Кутта 4-го порядка
и всех неявных схем. Чтобы избежать накопления ошибки вблизи точ-
точки ветвления 0, она проходилась следующим образом: если точка Т
попадала в круг радиуса 0,1 с центром в точке 0, то продолжение инте-
интегрирования проводилось из точки Г', симметричной к Т относительно 0.

1.4. Алгоритмы, использующие наилучший параметр продолжения
35
Рис. 1.4.
Накапливающуюся при использовании метода Рунге—Ifyrra с ша-
шагом ЛЛ = 0,2 ошибку можно охарактеризовать следующим результа-
результатом: после четырехкратного обегания лемнискаты мы оказались в точ-
точке xi = 1,4112, «2 = -0,0026. Если бы ошибка не накапливалась вовсе,
то эта точка должна была бы совпасть с точкой А(у/2,0).
Более подробно алгоритмы этих программ описаны в главе далее.
Трехстержневая ферма
Рассмотрим симметричную деформацию трехстержневой фермы
(рис. 1.5) с возможной потерей устойчивости стержней. Предполагается,
что стержни имеют единичную длину, не являются идеально прямыми
и в недеформированном состоянии искривлены по полуволне синусо-
синусоиды с амплитудами ei и ei (\е\\ < 1, \ej\ < 1, индексы 1 и 2 здесь
и ниже соответствуют номерам стержней). Деформация такой фермы по-
подробно рассмотрена в [17]. Она описывается следующими уравнениями
(для стержней с одинаковыми поперечными сечениями):
Nx + N2 - Р = 0
2V, -
- {е\ - 2е\)\ = 0
W2(\-N2)-e2 = 0.
A.69)

36 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
\
Рис. 1.5.
В этих уравнениях Р, N\ и N2 — нагрузка на ферму и усилия,
возникающие в ее стержнях, отнесенные к критическим эйлеровым
силам стержней; Wi — амплитуды полного прогиба стержней; /? —
параметр, характеризующий гибкость стержней.
Если Р — 0, то нелинейная система уравнений A.69) имеет триви-
тривиальное решение, соответствующее недеформированному состоянию:
Если стержни системы идеально прямые, т.е. при ?\ = е2 = О,
система A.69) имеет четыре точных решения
1) N{ = jP, N2 = ^P,
= W2 = 0;
3) ЛГ,=Р-1,
= l, Wi=0, W22 =
= 2,
Р-3
1
Для р = 100 эти решения и соответствующие им формы деформа-
деформации фермы показаны на рис. 1.6 в пространстве W\W2P. Видно, что
множество решений системы A.69) меняется в пространстве сложным
образом и имеет три точки ветвления В\, В2, By.

1.4. Алгоритмы, используюшие наилучший параметр продолжения 37
Рис. 1.6.

38 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Если ввести вектор х =
жения A.69) примут вид
¦ 1
1
-wx
0
.х\,х
1
-2
0
-W2
4л
0
2fiWi
1 - N\
0
4л
0
-4f3W2
0
1-JV2
Х*4,Х
-1 ¦
0
0
0
4л J
х,х =
¦о-
0
0
0
1
1, W2, P)T, то уравнения продол-
A.70)
Начальные условия определяются недеформированным состоянием
в0 = »(Ао) = @, 0, еи ег, 0)т. A.71)
В качестве стартового значения вектора х*х можно принять век-
вектор @,0,0,0,1)г.
На рис. 1.7 в проекциях на плоскости PW\ и W\W2 показаны ре-
результаты интегрирования задачи Коши A.70), A.71) для е\ = е2 = 0,001.
Сплошными линиями показано решение, которое получено методом
Рунге—Кутта с шагом 0,1, а также при использовании неявных схем.
Кружки (пунктирная линия), треугольники и крестики соответствуют ис-
использованию метода Эйлера с шагом ДА, равным соответственно 0,025,
0,05 и 0,1; квадраты соответствуют модифицированному методу Эйлера
с шагом ДА = 0,1.
Сложная пространственная форма решения в этом примере по-
показывает, что попытка построить решение с использованием одной
из неизвестных в качестве параметра продолжения обречена на неудачу.
Например, если в качестве параметра продолжения взять нагрузку Р,
то вычислительные трудности появятся уже вблизи точки ветвления В\,
а при приближении к точке В2 они станут непреодолимыми.
1.5. Геометрические представления шаговых процессов
Напомним суть метода Ньютона—Рафсона на примере решения
нелинейного уравнения с одним неизвестным
F(x)=0. A.72)
Идея метода состоит в том, что для уточнения приближенного зна-
значения корня аг1' функция F(x) заменяется ее линейной аппроксимацией
по формуле Тейлора в окрестности точки аг1'
Решение этого уравнения
х = х«+» = *
A.73)
A.74)

1.5. Геометрические представления шаговых процессов
39
2,5
Р
2,0
1,5
г
0=100
Wio-W»- 0,001
У'
Рис. 1.7.

40 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансиенлентные уравнения
и дает новое приближение а;^+1^) решения уравнения A.72). Повторяя
эту операцию, мы строим итерационный процесс, который при удачном
начальном приближении позволяет найти решение уравнения A.72)
с заданной точностью. Геометрическая интерпретация этого процесса
показана на рис. 1.8. Очевидно, что в процессе итераций F1 = dF/dx
не должна обращаться в нуль.
Иногда удобно записать уравнение A.73) как уравнение для поправ-
поправки 6х^'' = sb'i+1' - a;W, уточняющее решение на i-й итерации
F(x(i)) + ?(х®Nх® = 0.
Тогда уравнение A.74) представляется в виде
бх® = -
A.75)
*{Ш) = *(° + 6xii)- О-76)
Если F является n-мерной вектор-функцией и х — вектор из М",
то соотношения A.76) остаются практически без изменения, если учесть,
что роль производной ^(а;) = dF/dx в многомерном случае играет
матрица Якоби J = dF/dx. Тогда соотношения A.76) примут вид
*bW = -(J(x®))-lF(x% *(t+1) = *« + 6х®. A.77)
При исследовании системы нелинейных уравнений, содержащих
параметр р
F(x,p) = 0, F:Rn+1->Rn, x(ERn, A.78)

1.5. Геометрические представления шаговых процессов 41
обычно возникает задача определения множества решений этого урав-
уравнения в зависимости от значения параметра. Если выполнены условия
теоремы о неявных функциях, то решения х представляются непрерыв-
непрерывными и дифференцируемыми функциями р, т.е. х = х(р).
Простейшей формой представления этой зависимости было бы отыс-
отыскание решений хщ = х(рк) для некоторого множества значений пара-
параметра р : ро < Р\ < ... < Рк < • ¦ • < Pn- Процесс М. Лаэя A.5) демон-
демонстрирует, как на основе идеи продолжения решения можно экономично
организовать процесс построения множества решений. Его предложе-
предложение, по существу, свелось к использованию решения для предыдущего
значения параметра задачи р в качестве начального приближения для те-
текущего значения параметра. Для р = Рь этот процесс можно записать
в виде
@)
(L79)
Этот процесс продолжается, пока норма поправочного вектора
||&еУ.|| превышает заданную точность е > 0.
Геометрическое представление этого процесса показана на рис. 1.9
для случая одного уравнения с одним неизвестным п = 1 при переходе
от pii-i к Рк. Искомым множеством решений этого уравнения F(x,p) = 0
является кривая К, по которой поверхность F = F(x,p) в пространстве
М3 : {х, р, F} пересекается с плоскостью R2 : {х,р}. Итерационный
процесс Ньютона—Рафсона происходит в плоскости р = р* с начальным
приближением arjj = ?(&_!)•
Этот же рисунок наглядно показывает, что трудности, возникающие
в окрестности предельной точки Г, связаны с переходом от р* к рц+1.
которкй выводит процесс A.79) из области, где существует решение.
Как видно, эти трудности обусловлены тем, что решение отыскивается
в плоскости р = Pk+i, которая не имеет пересечения с кривой множества
решений К.
Таких трудностей удалось бы избежать, если для каждого к организо-
организовать итерационный процесс Ньютона—Рафсона поиска х/к\ в плоскости
М/к\, которая ортогональна к кривой К при х = х/к\. Но пока не най-
найдено решение х^, плоскость М^ неизвестна. Однако, можно искать
решение в плоскости M/U, близкой к М(м.

42 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
F(x,p)
UT
Рк-l
Рис. 1.9.
Рассмотрим один из способов задания плоскости М?ку Введем
вектор х = (ari, «2 = р)т и рассмотрим уравнение
F(ar) = 0. A.80)
Пусть t — величина шага, с которым мы стремимся двигаться вдоль
кривой К. Тогда при достаточно малом шаге t близкой к плоскости Мдо
будет плоскость МД>, проходящая через точку (x^k_^+tdx^k_^/dX)?Rn+1
так, чтобы она была ортогональна единичному вектору dar^n/dA, каса-
касательному к кривой К в предыдущей точке Я(*_1) (рис. 1.10). Уравнение
плоскости M/U поэтому будет следующим
dx(b-l)
A.81)
Вектор, заключенный здесь в круглых скобках, соответствует точке С
на рис. 1.10. А вектор, заключенный в фигурную скобку, соединяет
точку С с произвольной точкой х плоскости R : {xi,
Если он

1.5. Геометрические представления шаговых процессов
43
Рис. 1.10.
будет ортогонален вектору dx^k_^/dX, как этого требует уравнение A.81),
то он будет лежать на прямой АВ.
Таким образом, определение решения х^ сводится к нахождению
решения уравнения A.80) в плоскости М?ку т. е. к совместному решению
уравнений A.80), A.81). Если второе уравнение упростить с учетом того,
что вектор <te(t_i)/dA — единичный, то эта система примет вид
A.82)
Для этой системы итерационный процесс метода Ньютона—Рафсона
имеет вид
-1
. dA J
dX(k-l), (,)
, A-83)
0+1) _ @ , л @ ..nn
х(к) ~х(к) + ох(к)> *-"|i,^, ••••

44 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Обратим внимание на то, что вектор хЛ - X(k-i) начинается в точ-
точке ?(*_!), а конец его лежит на прямой АВ. Тогда его проекция
на вектор dx/k_^/dX, т.е. скалярное произведение этих векторов, как
раз равна t. Поэтому последняя компонента вектора в правой части
уравнения A.83) равна нулю и оно упрощается:
dx(k-i)
dX
-1
A.84)
Учитывая это, второе уравнение в A.82) можно записать в виде
dx(k_\\
- О
A.85)
М
Геометрически это условие требует ортогональности поправочного
вектора бхУ, к орту dX(k_{\/dX (см. рис. 1.10). Такая интерпрета-
интерпретация дополнительного урав-
*B) нения в A.82) подсказы-
подсказывает некоторые итерацион-
итерационные процессы, от которых
следует ожидать еще боль-
большей эффективности. Так,
если ввести вектор
?('> = х^ - х
то по аналогии с услови-
условием A.8S) можно дополни-
дополнительное условие в A.82)
сформулировать в форме
Рис. 1.11. ¦
Геометрия итерацион-
итерационного процесса с таким условием показана на рис. 1.11 в плоскос-
плоскости Ш
. В этом процессе на каждой итерации корректируется
{ } р р
положение плоскости Мк, в которой ищется решение.
Если к тому же вектор rf! на каждой итерации нормировать
так, чтобы он имел длину t, то получится итерационный процесс,

1.5. Геометрические представления шаговых процессов
45
проиллюстрированный на рис. 1.12 в плоскости Ш.2 : {x\yxi}. Его
алгоритм имеет вид
f@) ,<**(*-!)
Лй-i)
=*<-.,-<
8
ч») J
Л+1)
«(*) '
A.86)
i = 0,1, 2,...
дх
Заметим, что все рас-
рассмотренные здесь алгорит-
алгоритмы допускают обычную для
метода Ньютона—Рафсона
модификацию с заменой
матрицы J(x(k)) > которая
меняется от итерации к ите-
итерации, на матрицу J(x/kl)
первого приближения. Об-
Обратим внимание, что, по су-
существу, все описанные здесь
итерационные процессы ре-
решают уравнение A.72) сов-
совместно с некоторым допол-
дополнительным условием. Так,
в процессе М. Лаэя A.79)
используется простейшее
дополнительное условие
Х2 = Рк, в процессе A.83) —
условие A.81) и т.д. Все эти
дополнительные условия определяют в Ш некоторую линию пересече-
пересечения плоскости М?к) с плоскостью Ш : {ж 1,2:2}, которая может изме-
изменяться от итерации к итерации. Обобщая этот подход, можно сфор-
сформулировать дополнительное условие, определяющее некоторую линию
в Ш. : {х\,Х2}, и искать решение уравнения A.80) как точку пересечения
кривой множества решений К с этой линией. Если в качестве такой
линии выбрать окружность радиуса t с центром в точке a^-i), то на fc-м
Рис. 1.12.

46 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
шаге продолжения решения придем к совместному решению следующих
уравнений
F(x) = О, (х-
-аг(*_,)) -12 = 0.
A.87)
Алгоритм метода Ньютона—Рафсона для такой системы уравнений
имеет вид
-I
-С+0 _ -С)
Х
-0)
х
Л'+О _ -0+0 _
A.88)
Все рассмотренные выше процессы могут быть без изменения ис-
использованы для решения системы п уравнений сп+1 неизвестными
=0, F : R1
п+1
„п+1
Истолкование этих процессов как алгоритмов совместного реше-
решения основной системы уравнений с дополнительным уравнением по-
позволяет рассматривать их с общей точки зрения на метод Ньютона—
Рафсона и другие итерационные процессы, которые подробно иссле-
исследуются во многих монографиях (см. [69, 28, 5] и др.) В них детально
обсуждены вопросы сходимости итерационных методов. Мы отметим
только, что для сходимости этих методов начальное приближение обыч-
обычно не должно слишком сильно отличаться от искомого решения. В по-
построенных выше итерационных алгоритмах по самому смыслу метода
продолжения решения это требование удовлетворяется при достаточно
малых величинах шага t по. параметру продолжения Л.
1.6. Продолжение решения в окрестности
существенно особых точек
В цели этой книги не входит разработка алгоритма продолжения
в окрестности существенно особых точек. Решение этого вопроса связано
с проблемой поведения решения в таких точках, которая в настоящий
момент исчерпывающе решена только для некоторых классов функций.
Анализ этой проблемы с точки зрения продолжения решения дан в мо-
монографии [17] и в главе 8 данной книги. Здесь же мы ограничимся

1.6. Продолжение решения в окрестности существенно особых точек 47
рассмотрением простейшего случая — анализа особых точек плоской
кривой, что позволит нам обозначить возникающие при этом проблемы.
Плоской кривой соответствует множество решений одного уравне-
уравнения с двумя неизвестными
0. A.89)
Здесь функция F{x\,xi) предполагается непрерывной и достаточно
гладкой по обеим переменным в окрестности рассматриваемой точки
х° = (х°и х2) € r2. которая является решением уравнения A.89), т. е. '
*•(*?, *2) = 0. A.90)
Для упрощения записи производные обозначим как dF/dXi = Fj.
Тогда матрица Якоби J функции F(x\,x2) примет вид
J = (FtUF>2). (I.9I)
В окрестности точки х° решение можно продолжить, если хотя
бы одна из производных Fj отлична от нуля. Так, если в качестве
параметра принять х2, то точки, где Fj ф 0, будут регулярными,
а точки, где Ft\ = 0, Ft2 Ф 0, будут предельными. Но для всех этих точек
rank(J)= 1.
Если же в точке х°
^i(*i,*2) = 0, Fa(x°ux°2) = 0, A.92)
то в этой точке rank(J) = 0, т.е. матрица 3 вырождается, и эта точка
является существенно особой.
В окрестности такой точки представление функции по формуле
Тейлора в силу равенств A.90), A.92) имеет вид
F(xu хг) = JJ (*5i А»? + 2fJ2 дх, Д*2 + F%Ax22) + О(р3). A.93)
Здесь обозначено AXi = Х{ -х^, р = J Ах* + Ах\, F^j = F^
i,j = l,2.
По смыслу представления A.93) сумма членов второй степени это-
этого представления в окрестности точки х должна обращаться в нуль
на касательной к кривой множества решений К, т.е.
FjxAx] + 2F^2^x\Ax2 + Fpbxl = 0. A.94)
Если, например, Fj2 Ф 0, то касательную к кривой К можно задать
выражением
A.95)

48 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
Тогда из A.94) следует уравнение
J7* -1— О IP 'f _i_ IP 'f — Л (\ Qfi^
Касательная существует, если это уравнение имеет действительные
корни. Число корней определяется дискриминантом
— -^ 11-^ 22 — \ 12/ • М /
Если D < 0, то уравнение имеет два различных действительных
корня t\ и <2. которые в соответствии с A.95) дают два различных
значения производной в точке х°
dx2
dx2
хг
dx2
^ dxx ll
\ dXl I
Рис. 1.13.
Таким образом, через точку xq про-
проходят две кривые, к которым в этой
точке касательные определяются выра-
выражениями A.95) при t = t\ и t = <2- Та-
Такая точка xq является точкой ветвления.
В ней имеет место картина, показанная
на рис. 1.13.
При D > 0 уравнение A.96) не име-
имеет действительных корней. Это означает,
что касательная к кривой, да и сама кривая, в этой точке не существуют,
а сама точка является изолированной особой точкой, т.е. в нее нельзя
прийти путем продолжения решения.
И, наконец, при D — 0 уравнение A.96) имеет два равных действи-
действительных корня t. В этом случае истинное поведение кривой в точке х°
может быть установлено только на основании анализа членов представ-
представления по формуле Тейлора третьего и более высокого порядка. Здесь уже
dxK
Рис. 1.14.
Рис. 1.15.

1.6. Продолжение решения в окрестности существенно особых точек 49
возможно, что особая точка является общей точкой двух соприкасаю-
соприкасающихся кривых (рис. 1.14) или точкой возврата (рис. 1.15).
Общий случай ветвления кривых в ln+1 в настоящее время до кон-
конца не исследован. Результаты для аналитических функций J1,, начало
которым положили исследования А. М. Ляпунова [39] и Е. Шмидта [111],
приводятся в монографиях [9, 28, 3, 26].
Интересный для механики случай, когда существует такая функ-
функция F, что Fi = dF/dXi, был рассмотрен А. Пуанкаре [109]. Для упругих
систем с конечным числом степеней свободы наиболее полные резуль-
результаты изложены в монографии Дж. Томпсона и Г. Ханта [115]. Более
подробный обзор дан в книге [17].
Общий случай ветвления, определенный слагаемыми второй степени
в формуле Тейлора, рассмотрен в главе 8.

Глава 2
Задача Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
В этой главе мы рассмотрим задачу Коши для системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). При определенных огра-
ограничениях решением этой задачи является гладкая интегральная кривая
в пространстве неизвестных и параметра, т. е. такое же однопараметри-
ческое множество, какие были рассмотрены в предыдущей главе. Это
обстоятельство позволяет нам посмотреть на задачу Коши с точки зрения
метода продолжения решения по параметру. А такой взгляд приводит
к постановке задачи о наилучшем параметре продолжения, которая
и решается ниже.
2.1. Задача Коши как задача продолжения решения
по параметру
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ):
-? = МУиУ2,---,Уп, 0» У*(*о) = У.О, * = ТГп- B-1)
Полагаем, что выполняются условия теоремы о существовании
и единственности решения этой задачи.
Пусть интеграл этой задачи задается соотношениями
ЩУи ¦ ¦ •, Уп, t) = 0, J = "M, Fj(yl0,..., у„о, *о) = 0, B.2)
которые определяют интегральную кривую задачи B.1) в (п+ 1)-мерном
евклидовом пространстве Kn+1 : {j/i,..., у„, t].
Процесс построения этой кривой можно рассматривать как задачу
построения множества решений системы уравнений B.2), содержащих
параметр-аргумент t, для различных значений t. Будем решать эту си-
систему методом продолжения по параметру. Тогда задача B.1) может быть
рассмотрена как задача Коши для уравнений продолжения решения си-
системы B.2) по параметру t, приведенных к нормальной форме. Поэтому,
так же, как и в главе 1 можно поставить вопрос о наилучшем параметре
продолжения. Мы будем называть его также наилучшим аргументом.

2.1. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру 51
Так же, как и в главе 1, мы будем выбирать наилучший параметр-
аргумент локально, т.е. в малой окрестности каждой точки кривой
множества решений, которая является интегральной кривой задачи B.1).
Для решения этой проблемы считаем yi » t такими функциями
некоторого аргумента р, что в каждой точке интегральной кривой задачи
dp = a< dyt + an+l dt, i = T7n. B.3)
Здесь а* (к = 1,п+1) — компоненты единичного вектора а =
(а\,..., ап+[)т, задающего направление, в котором отсчитывается аргу-
аргумент р. Напоминаем, что в выражении B.3) предполагается суммирова-
суммирование по индексу г.
Правую часть равенства B.3) можно рассматривать как скаляр-
скалярное произведение вектора а на дифференциал вектор-функции
(dyi,..., dyn, dt)T. Придавая компонентам вектора а различные значе-
значения, можно рассмотреть все возможные параметры продолжения зада-
задачи B.2), а значит, и аргументы задачи B.1).
Поскольку конкретный вид уравнений B.2) нам неизвестен, то пере-
переход к аргументу р можно осуществить непосредственно для задачи B.1).
Сделав это и поделив равенство B.3) на dp, получим
У.> - fittli = 0, ощ,, + an+1 ttlt = 1, i = T7n. B.4)
Если ввести вектор у = (у\,...,уп, t)T € R" , то в матричной
форме систему B.4) можно записать в виде
Здесь матрица А размером пх(п+1) имеет структуру
А = [Ef],
где Е — единичная матрица n-го порядка и / = (/i,..., fn)T — вектор
в К".
Структура системы B.5) в точности совпадает со структурой системы
A.37). Поэтому, согласно теореме 1, переход к нормальной форме
системы B.5) будет наилучшим образом обусловлен тогда и только тогда,
когда а = у,л, т. е. когда в качестве параметра р выбирается длина дуги Л
вдоль кривой множества решений системы B.2), т.е. вдоль интегральной
кривой задачи B.1). Тогда система B.5) может быть записана в виде
что делает возможным ее аналитическое разрешение относительно про-
производных. Поскольку аргумент А не входит явно в уравнения, будем

52
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
его отсчитывать от начальной точки задачи Коши B.1), тогда приходим
к следующей формулировке задачи Коши [66]
= 2/,o,
B.7)
В дальнейшем аргумент Л, доставляющий системе уравнений B.S)
наилучшую обусловленность, будем называть наилучшим аргументом,
а преобразование задачи Коши B.1) к задаче Коши B.7) — Л-преобра-
Л-преобразованием.
Таким образом, доказан основной результат данной главы.
Теорема 2. Для того, чтобы задачу Коши для нормальной системы ОДУ
B.1) преобразовать к наилучшему аргументу, необходимо и достаточно
в качестве такового выбрать длину дуги, отсчитываемую вдоль ин-
интегральной кривой этой задачи. При этом задача B.1) преобразуется
в задачу B.7).
Вновь сформулированная задача Коши B.7) обладает рядом дос-
достоинств по сравнению с задачей Коши B.1). Так, правые части каждого
уравнения B.7) не превосходят еди-
единицы. Более того, квадратичная нор-
норма правой части системы всегда равна
единице. Это снимает многие пробле-
проблемы, связанные с неограниченным ро-
ростом правых частей системы B.1), что
позволяет интегрировать дифферен-
дифференциальные уравнения, интегральные
кривые которых содержат предель-
предельные точки (точки А и В, рис. 2.1),
производные в которых обращаются
в бесконечность. Появляется возмож-
возможность решать задачи, имеющие за-
замкнутые интегральные кривые (кри-
(кривая 1, рис. 2.1). Как будет показано далее, предложенное преобразование
ослабляет также трудности, характерные для жестких систем.
Заметим, что достоинства Л-преобразования не ограничиваются
только вычислительным аспектом. Оно может с успехом использоваться
и в качественной теории дифференциальных уравнений, осуществляя
переход из пространства с неограниченными функциями, стоящими
в правой части системы, в пространство, где они ограничены. Такой пе-
переход осуществляется в [52] при исследовании автономных систем ОДУ.
Рис. 2.1.

2.2. Некоторые свойства Л-преобразования 53
Однако, нормировка, предложенная в [52], не изменяя фазового портрета
системы, изменяет интегральную кривую задачи. Очевидно, что А-преоб-
разование лишено такого недостатка. Наконец, леммы 2 и 3 утверждают,
что при выборе наилучшего параметра в качестве аргумента квадратич-
квадратичная погрешность, возникающая из-за возмущения элементов матрицы
или правой части системы B.5), принимает наименьшее значение. Это
особенно важно при численном интегрировании нормальной систе-
системы ОДУ B.7), которая получается из неявной системы B.6), так как
вычислительные погрешности в этом случае будут иметь наименьшее
влияние на решение.
2.2. Некоторые свойства Л-преобразования
Прежде чем рассмотреть свойства полученного преобразования, за-
заметим, что в том случае, когда функция, стоящая в правой части
системы B.1), может принимать комплексные значения, а искомое ре-
решение является действительным, преобразованная задача B.7) примет
вид
dX г-^?> »(О) = »о,
dt
dX V 1 + //
где / — функция, комплексно-сопряженная к функции /.
Известно, что любая система ОДУ может быть записана в автоном-
автономном виде
§ = /<»)• B-8)
Исследуем устойчивость метода Эйлера на известном тестовом урав-
уравнении [87, 105, 29]
^ = ах, B.9)
которое получается, если функцию, стоящую в правой части уравнения
B.8), представить в окрестности точки у = ут по формуле Тейлора
f(y) = fto/m) + а(у - ут), где о = df(ym)/dy — некоторая, вообще
говоря, комплексная константа, а функции х и у связаны зависимостью
х = у-ут + —. B.10)
а
Здесь и далее используется обозначение fm = f(ym).

54
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
Отметим следующее обстоятельство: так как нас будут интересовать
вещественные решения уравнений B.8), B.9), т.е. вещественные значе-
значения функций г и у, то из равенства B.10) следует, что должна быть
вещественной дробь fm/a.
Явная разностная схема метода Эйлера для уравнения B.9) имеет
вид:
xm+i = xm + htaxm = A + aht)xm.
B.11)
Здесь ht — шаг интегрирования по переменной t. Как известно
(см., например, [57]), эта схема будет абсолютно устойчивой, если
|1+о/ц|<1 или A+Л<а) +(ht/3) < 1, B-12)
где а = Re о, /3 = Im а — действительная и мнимая части о.
Таким образом, областью абсолютной устойчивости схемы B.11)
на плоскости hta, Ъф является внутренность единичного круга с цент-
центром в точке (-1,0), показанного на рис. 2.2, а.
-asinC»>/2))
hta
h^acos&p/l) +/SsinCp/2))
Применяя к уравнению B.8) А-преобразование, получаем систему
dX
fW(v)'
B.13)
В этой системе двух уравнений решение второго уравнения опреде-
определяется решением первого. Поэтому рассмотрим только первое уравнение
B.13). Легко установить равенство afm = S/m, вытекающее из условия
вещественности решений уравнений B.8), B.9). В самом деле, так как,
согласно B.10), функция /т/о-вещественная, то функции /mS = aafm/a
и /me = fmfmu/fm — также вещественные. Но данные функции могут
быть представлены в виде
/т5 = (и + iv)(a - ifi) = ua + v/3 + i(va - u/3),
fma = (u- iv)(a + ifi) = ua + v/3- i(va - u/3),

2.2. Некоторые свойства Л-преобразования 55
где i — мнимая единица. Очевидно, что они будут вещественными, когда
выполняется условие va = up, но в этом случае имеет место равенство
«Л. = 5/то.
Линеаризуем правую часть первого уравнения системы B.13) с по-
помощью формулы Тейлора в окрестности значения у = ут
-Х{у-Ут)-
Тогда для новой функции
* = У ~ Ут + /m(l + fmfm)/a = х + fmfm/л получим уравнение
dz
/m/mK/2
z. B.14)
Область абсолютной устойчивости явной схемы Эйлера для этого
уравнения определится неравенством
' < 1. B.15)
Здесь Ад — шаг интегрирования по переменной Л. Введем обозна-
обозначение
Тогда неравенство B.15) может быть приведено к виду
Таким образом, областью абсолютной устойчивости явной схемы
Эйлера для уравнения B.14) будет внутренность круга радиуса р3/2
с центром в точке (-/>3/2,0) (см. рис. 2.2,6).
Для большей наглядности рассмотрим случай действительного зна-
значения а и функции /то. Неравенства B.12) и B.15) тогда упрощаются и,
учитывая, что области абсолютной устойчивости соответствует а < 0, их
можно представить в виде
Отсюда видно, что применение Л-преобразования расширяет об-
область абсолютной устойчивости явной схемы Эйлера.
Использование Л-преобразования имеет смысл в том случае, если мы
сможем прийти из начальной точки .4о(^О. Уо) интегральной кривой y(t)
в конечную точку В (см. рис. 2.3) за меньшее число шагов, двигаясь

56
Глава 2. Задача Кош и для дифференциальных уравнений
4<>
Их
по параметру А, чем при движении по параметру t. Другими словами, оно
эффективно, если в каждой точке кривой y(t) выполняется неравенство
ffAcos0^ffi, B.17)
где в — угол между касательной к кривой y(t) и осью t (рис. 2.3);
Щ, Н\ — наименьшие шаги интегрирования по переменным t и А со-
соответственно, при которых итерационный процесс, описываемый явной
формулой Эйлера, перестает сходиться. Если о — действительное чиСло,
то согласно B.16) в точке Ат имеем
„ 2 „ 2A + flf2
Так как
то получаем
cos*= 1 + Нт
¦tit
_ 2
—1т Jm
Это доказывает неравенство B.17) и, следовательно, эффективность
А-преобразования для задачи B.9).
Изучим теперь влияние А-преобразования на устойчивость неявной
схемы метода Эйлера. Для уравнения B.9) она имеет вид
хт+\ =хт + htaxm+i, xm+i = xm(l - hta) .
Решение будет абсолютно устойчивым при выполнении условия
|A - hta)~ | < 1 или |1
Таким образом, на плоскости hta, htp областью устойчивости будет
внешность круга единичного радиуса с центром в точке A,0) (рис. 2.4, а).

2.2. Некоторые свойства А-преобразования
57
Рис. 2.4.
Для уравнения B.14) область устойчивости неявной схемы Эйлера
определится неравенством
1-
которое может быть преобразовано к виду
оЛЛ
и определяет внешность круга радиуса р3/2 с центром в точке (р3/2,0)
(рис. 2.4,6).
Если а и функция fm — действительные числа, то неустойчивость
неявной схемы Эйлера может возникнуть только при о > 0, и область
неустойчивости для уравнений B.9) и B.14) определится неравенствами
a a
Таким образом, А-преобразование увеличивает область устойчивости
явной и область неустойчивости неявной схемы Эйлера.
Отметим, что несмотря на уменьшение области устойчивости не-
неявной схемы, она остается как Л-устойчивой в терминологии Далкви-
ста [87], так и жесткоустойчивой в смысле Гира [93].
Исследуем теперь, как А-преобразование влияет на спектральные
характеристики системы двух дифференциальных уравнений
dt
B.18)
Линеаризуем функции, стоящие в правой части системы B.18),
в окрестности значений у\ = у\т, уг = угт:
МУ\) = f\
~ У1го),
где f\m =
= Нт + а2(У2 ~ У2т),
= dfх(уХт)/dyx, о2 = df2(y2m)/dy2.

58 Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
Если ввести новые независимые переменные ху, xi по формулам
2| = У\ ~ У\т + /lro/«b Х2 = У2 ~ У2т + hmla1,
то получаем следующую тестовую систему двух уравнений
= «|"^*lj — Л2«^*2* \ /
or at
Ясно, что, вообще говоря, комплексные числа а\, aj являются
собственными значениями этой системы. После применения А-преобра-
зования к уравнениям B.18) получаем следующую систему
dyy _ /| йуг _ /г dt _ 1
dX ~ y/Qy d\ ~ y/Q' d\ ~ y/Q' B.20)
Q=l + /l/l+/2/2.
Определяющими здесь являются первые два уравнения, так как
правая часть последнего уравнения является следствием первых двух.
Рассмотрим поведение системы в малой окрестности точки (уут) j/2mi *m)
на интегральной кривой, соответствующей значению А = Ат. Тогда,
сохраняя только линейную часть в разложениях по формуле Тейло-
Тейлора функций, стоящих в правых частях уравнений, получаем следую-
следующие соотношения, характеризующие поведение системы B.20) в малой
окрестности точки (y|m, y2m, tm)
f\m , i( + /2
QU2 + Q3j2
hm ei/2m/lm,.. ч , Д2A + S\mf\m)
Q3j2 ^2 "
При выводе этих соотношений использовались равенства
/lmsl =
вытекающие из вещественности функций у\, yj, x\, xj-
Последняя система линейных неоднородных ОДУ может быть пре-
преобразована к однородной системе, если ввести новые функции
** = »¦• + *.•, * = 1,2,
где числа 0, являются действительными корнями системы линейных
алгебраических уравнений
+«22*2 = h>

2.2. Некоторые свойства Л-преобразования
59
коэффициенты которой вычисляются по формулам
«И = Oj(l + flmflm), «12 = ~<Ч flmflm,
О21 = -a\f2mflm, «22 = ОгA + flmflm),
Ь\ = f\mQ ~ а\\У\т ~ а\2У2т, *>2 = hmQ ~
ft 2\)
Тогда в некоторой окрестности точки (у\т, yjm, tm) первые два
уравнения системы ОДУ B.20) можно представить в виде
dz\ dz2
—- = q(auzi + «42*2), -jr =
ал ал
+ «22*2I B.22)
где q = Q~3/2.
Спектр собственных значений системы B.22) состоит из корней
характеристического уравнения
г
«11 «12
9
«21 «22 - ~
= 0,
которые вычисляются по формулам
9
-«22J+4o12«2i)-
Введем параметр е = ог/ei, тогда
Ч ( . ,, \ А ¦ 4«l«2/lm/im/2m/2m
«•1,2 = X I «И + «22 ± («11 " «22I/ 1 + Z Гг
2 V V (ап -
«11+«22 ±(«11 ~«22)
\
4/lm/lro/2m/2m
Введем обозначения
1
е,=
7 =
flmflm ?2
flmflm flmflm flmflm

60
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
тогда
1+е-
')¦
Оц
Пусть |ai| > |a2|, т.е. величина е мала по модулю, а величины е\,
е2, 7 являются конечными числами, тогда справедливы следующие
оценки
г1Я(?о,A+/2т/2т)П+ П
Г2 « до2A + /im/lm) ( 1 ~
Оценим влияние А-преобразования на спектральное число обуслов-
обусловленности К = тах .
lrminl
Для непреобразованной системы B.19) оно равно Kt = -—-.
Для преобразованной системы B.22) имеет место равенство
1
ИI
l+/2m/2m
l+/lm/l
1
lro
1-
A
Другой важной спектральной характеристикой является размах спек-
спектра 5 = тах|г,-г7|. Если для системы B.19) размах равен St = \а\ -о2|,
то для системы B.22) он равен
A+/2т/2т)г-
W
1-е
+ /2m/2m)-
1-?У
Таким образом, спектральное число обусловленности может изме-
изменяться по-разному, а размах спектра всегда уменьшается.
Используем теперь результаты работы Брауэра [76] и Гершгори-
на [15] для оценки собственных значений матрицы системы B.22), когда
kil > l«2l, но не обязательно |а|| > |о2|. Брауэр показал, что наибольшее
собственное значение Гщах должно удовлетворять условию

2.2. Некоторые свойства Л-преобразования 61
где R = тахй,-, Г = max 2); Д,-, Т] — суммы абсолютных величин
элементов г-ой строки и j-ro столбца матрицы. Для нашего случая
|o2i| + |о22|),
|o12| + |о22|),
и это неравенство примет вид
kmaxl < 9(|оц| + |о|2|) = ?|о,|A +/2m/2m + |e/im/2m|),
или
kmaxl < Я{\а2\\ + Wl2\) = ?|ail(l/2m/lml + ИО + /lm/lm))-
Из теоремы Гершгорина следует, что для наименьшего собственного
значения справедлива оценка
где Pi = R{ - \ац\, пц — диагональный элемент матрицы. Для матрицы
системы B.22) эта оценка примет вид
kminl ^gmin(|an|-|ai2|, |o22| - |o2i|),
и мы приходим к неравенству
kminl > ?|в2|A + /lm/lm ~ l/2m/lml/|e|), вСЛИ |О22| - |o2l | > О,
\rmin\>0, если |a22|-|a21|<0.
Таким образом, для спектрального числа обусловленности и размаха
спектра справедливы оценки
v1 + /2m/2m
K
l»"minl 1 + /lm/lm - l/2m/lml/M
Sx = |rmax - rmin| « Stq(l + /2m/2m + |e/2m/lml)-
Таким образом, справедливы выводы, сделанные выше.
В обзоре Маркуса и Минка [40] дано неравенство, которому должен
удовлетворять размах 5 матрицы А порядка п
Здесь tr A — след матрицы А, Ег(А) — сумма всех главных миноров
второго порядка. Для матрицы системы B.22) при малом е эта оценка
приводит к неравенству
+ flmhm),

62
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
для которого предельным является ранее полученное выражение для раз-
размаха спектра.
Из анализа полученных соотношений следует, что А-преобразова-
ние улучшает спектральные характеристики системы уравнений, так как
при этом уменьшаются собственные значения, размах спектра матрицы
системы и, вообще говоря, спектральное число обусловленности.
Более наглядно этот результат можно продемонстрировать, восполь-
воспользовавшись теоремой Гершгорина [13]. Согласно этой теореме, каждое
собственное число г матрицы А = ||а,-;-|| порядка п всегда расположено
в одном из кругов
i = 171г.
т>=1
В нашем случае это означает, что характеристические числа r\,
матрицы системы B.22) должны лежать в кругах
flmflm) ~ Г\ | < q\a2f\mf2m\,
На рис. 2.5 показана ситуация, которая может иметь место в слу-
случае действительных характеристических корней. Фигурными скобками
отмечены области локализации г\ и т2.
Рис. 2.5.
Покажем, что и для системы уравнений B.19) А-преобразова-
А-преобразование имеет смысл, так как мы можем прийти из начальной точ-
точки j4o(j/1O, 2/20, 'о) интегральной кривой задачи в конечную точку В
(см. рис. 2.6) за меньшее число шагов, двигаясь по аргументу А, чем
при движении по аргументу t. Другими словами, покажем, что в любой
точке интегральной кривой справедливо неравенство
H\cosO^Ht. B.23)
Здесь в — угол между касательной к интегральной кривой и осью t,
Ht и Н\ — наименьшие шаги интегрирования по переменным t и А

2.2. Некоторые свойства Л-преобразования
63
Рис. 2.6.
соответственно, при которых итерационный процесс, описываемый фор-
формулой Эйлера, перестает сходиться.
Явная схема метода Эйлера для системы уравнений B.19) будет
иметь вид
У{т+1 = Угт + Ь<Ну{т = A+}иа{)у{т, т = 1, 2,..., <=1,2,
где Л( — шаг интегрирования по переменной t.
Эта схема будет абсолютно устойчивой, если выполняется условие
|1 + Л{о,| < 1, т.е. при о,- < О
_2
«1
= , п\ < O2.
B.24)
После преобразования системы B.19) к виду B.20), в получен-
полученной системе трех дифференциальных уравнений решение уравнения
для функции t будет определяться решением уравнений для функций у,-.
Если эти уравнения линеаризовать в окрестности некоторого значе-
значения yt — yim, то условие устойчивости преобразованной задачи B.22)
в случае <ц < аг примет вид
|1+Лл»тах|< 1,
где Лл — шаг интегрирования по А. Это неравенство будет удовлетво-
удовлетворяться при о, < 0, и
Я
Так как cos0 = A + f\m + /|m)/2, то при учете B.24) и B.25)
получим неравенство
ffAcosfl

64 Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
Это соотношение доказывает неравенство B.23), а значит, и эффек-
эффективность А-преобразования для системы ОДУ B.19), т.е. для двумерного
случая.
Выясним как связаны пофешности явного метода Эйлера при обыч-
обычном подходе и после применения А-преобразования при решении задачи
Коши для одного уравнения
^ = /(», *), V(to) = lft), * € [«о, Г]. B.26)
Полагаем, что решение этой задачи является достаточно гладким.
Согласно методу Эйлера, значение функции у на (т + 1)-ом шаге
находится по формуле
Ут+l =Ут + htf(ym, tm), т = 0, 1, 2,...,
где ht — шаг интегрирования по переменной t, ym — численное решение
найденное на то-ом шаге.
Ошибка аппроксимации [57] этой формулы в точке t = tm+\ будет
равна
Д< = V(tm+i) - y(tm) - htf(y(tm), tm) = y(tm+l) - y(tm) -
где y(tm+\) — точное решение в точке t = tm+\.
Принимая во внимание представление функции y(t) по формуле
Тейлора в окрестности точки t = tm, получаем
~~t a ti1} * "* 171+1)
2 at*
где справа от знака равенства стоит остаточный член формулы Тейлора
в форме Лафанжа.
После применения А-преобразования задача B.26) принимает вид
dy _ f(y,t) _ =
B.27)
dt
dX
У
X
А
6
1
\ + f2''
Ю.А1.
Ошибка аппроксимации формулы Эйлера для этой задачи в точ-
точке А = Am+i интефальной кривой будет равна
Да = y{Xm+i)-y(Xm)-hxF[y(Xm),t(Xm)] = y(Xm+i)-y(Xm) -
где ЛА — шаг интегрирования по переменной A, F(y, t) =
dX
f(V,t)

2.3. Алгоритмы, программы, примеры 65
Если ошибку представления правой части этой формулы оценить
при помощи остаточного члена в форме Лагранжа, то приходим к равен-
равенству
С учетом систем уравнений B.26), B.27) вторую производную этой
формулы можно записать следующим образом
(FflFy..
Здесь нижний индекс при функции обозначает переменную, по ко-
которой производится дифференцирование.
Пусть tm = t(Xm). Тогда при достаточно малых шагах интегрирова-
интегрирования Л(, Ад можно принять, что г « t(v), поэтому будет выполняться
соотношение
Из условия устойчивости явной схемы Эйлера следует, что шаги
интегрирования должны удовлетворять неравенству B.17), т.е.
ftAcos0^ft,, или
так как cos в = —. , откуда получаем
/1 + /2
Ал ^ 7^2 • B-28)
В [57] показано, что для явных многошаговых линейных схем инте-
интегрирования задачи B.26) полная пофешность метода равна с точностью
до постоянной (равной для метода Эйлера единице) погрешности ап-
аппроксимации.
Следовательно, неравенство B.28) показывает, что полная погреш-
погрешность явного метода Эйлера при применении А-преобразования будет
меньше, чем пофешность метода при традиционном подходе, причем
это отличие будет тем ощутимее, чем большее значение имеет функция,
стоящая в правой части уравнения B.26).
2.3. Алгоритмы, программы, примеры
В монографии [17] при обсуждении подходов к решению систем не-
нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с параметром
отмечалось, что все методы продолжения решения можно разбить на две

66 Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
группы. Первая группа — методы дискретного продолжения, в осно-
основе которых лежит итерационный процесс, описываемый, как правило,
формулой Ньютона—Рафсона. Вторая группа — методы непрерывно-
непрерывного продолжения. Как правило, это метод Эйлера и его модификации
и метод Рунге—Кутта, при помощи которых осуществляется численное
интефирование задачи Коши для ОДУ. В [17] обсуждались преимущества
и недостатки этих двух подходов. Там же была высказана мысль о том,
что, по-видимому, наиболее рационально использовать оба подхода
совместно. В п. 1.1 показано, что оба этих подхода сводятся в интегри-
интегрированию задачи Коши по параметру с помощью явных и неявных схем.
Поэтому, при разработке профамм численного интегрирования за-
задачи Коши для ОДУ остановимся на методах типа прогноза и коррекции,
сочетающих в себе достоинства явных и неявных схем, тем более, что
это самые подходящие методы интегрирования жестких систем ОДУ,
которые будут рассмотрены позже.
Прогноз будем осуществлять при помощи явных формул, а коррек-
коррекцию — по неявным, что даст возможность образовать итерационный
процесс по неявной схеме и использовать все преимущества дискретного
продолжения, основанные на вычислительном процессе, описываемом
неявными соотношениями.
В основу простейшего алгоритма такого подхода можно положить
метод Эйлера. Тогда при решении задачи B.1) первый прогноз будем
получать согласно формуле
fm+l tm), i=T7n, га =1,2,...,
Ут € К", ут = (уы,..., у„т)Т.
Первая коррекция будет подсчитываться по формуле
Vim+l = Vim + ft/.(j^,+ 1, *m+l). B-29)
+
Последующие вычисления проводятся по формуле B.29) как процесс
простой итерации, в котором полученное на данном А;-ом шаге итерации
скорректированное значение на следующем (к + 1)-ом итерационном
шаге рассматривается как прогноз:
Уы+i =У^ + Л/.B&> Wi), ft = 1,2,.... B.30)
В качестве ошибки б на (т+ 1)-ом шаге интефирования задачи B.1)
рассматривается величина
6 =
\
v{k) }

2.3. Алгоритмы, программы, примеры 67
Если за 10 итераций величина погрешности 6 не стала мень-
меньше заданной точности е, то шаг интегрирования Л делится попо-
пополам, и вычислительный процесс повторяется от точки (ут, tm) с но-
новым шагом. В противном случае интегрирование продолжается с точ-
точки (ут+1, tm+\ = tm + A). Если же заданная точность вычислений е
превосходит величину погрешности 6 более чем в 100 раз, а итераци-
итерационный процесс, описываемый формулой B.30), сошелся на первой же
итерации, то шаг интегрирования удваивается. Предпочтительность тако-
такого подхода при решении жестких систем отмечается, в частности, в [93].
Согласно вышеописанному алгоритму была разработана на алгорит-
алгоритмическом языке ФОРТРАН для ПЭВМ типа IBM профамма РС1
SUBROUTINE PCKn, d, h, в, fct, t, у, k, m),
где формальными параметрами являются следующие величины:
п — размерность интефируемой системы ОДУ;
d — шаг выдачи результата на печать;
h — шаг интегрирования;
е — заданная точность вычислений е;
t — переменная t;
у — массив искомых функций у,-, г = 1, п;
к — число удвоений начального шага интегрирования Л;
ш — число делений пополам начального шага интефирования Л;
fct — подпрограмма вычисления правых частей /,-, г = 1,п систе-
системы ОДУ. Она имеет вид SUBROUTINE fct(t, у, f), где
f — массив правых частей ft системы ОДУ.
Отметим, что как задачу B.1), так и задачу B.7) можно решить
не только при помощи разработанной профаммы РС1, но и с ис-
использованием любого численного метода интефирования задачи Коши
для ОДУ.
Изучим эффективность применения Л-преобразования к дифферен-
дифференциальным уравнениям, правые части которых могут в некоторых точках
обращаться в бесконечность. Очевидно, что решение таких уравнений
при помощи обычных подходов может привести к непреодолимым вы-
вычислительным трудностям.
Пример 2.1. Кубическая парабола. Исследуем решение задачи Коши
которая допускает точное решение v = Уп.
Эта задача примечательна тем, что ее интефальная кривая содержит
точку @,0) в которой правая часть уравнения обращается в бесконеч-
бесконечность. Эта точка лежит внутри отрезка [-1,1], на котором мы будем
отыскивать решение задачи. Для проведения параметрического анализа

68
Глава 2. Задача Коши для дифференииальных уравнений
решения задачи, перепишем
ее в системе координат (х, у),
повернутой относительно си-
стемы координат (и, v) на не-
который угол а (см. рис. 2.7),
на котором сплошной кри-
кривой изображен график реше-
решения задачи B.31) v = j/u.
Учитывая связь новых и ста-
старых переменных
у = v cos a - и sin а,
х = v sin а + и cos а,
v = у cos а + х sin а,
и = -у sin а + х cos a,
запишем задачу B.31) в переменных х, у:
dy __ P{x, у)
их Q(x,y)'
Р(х> У) = cos a - R(x, у) sin а,
Q(x, у) = JR(x, у) cos а + sin а,
Щх, у) = 3(j/ cos а + х sin аJ.
Точное решение этой задачи будет даваться формулой
у(- sin а - cos а) = - cos а + sin а,
B.32)
у cos а + х sin а = у/х cos а - у sin а.
B.33)
Понятно, что в предельном случае, когда а —> 0, задача B.32)
переходит в задачу B.31), а решение B.33) в решение у = у/х.
После применения А-преобразования задача B.32) принимает вид
dy _P(x,y) dx _ Q{x,y)
d\ Z(x,y)' d\ Z(x,y)'
y@) — - cos a + sin a, x@) = - cos a - sin a,
B.34)
Обозначим через А величину
Д = \y* cos a + x* sin a - y/x*cosa- y*sina\,

2.3. Алгоритмы, программы, примеры
69
где х , у — величины х, у, полученные в результате численного
решения задач B.32) или B.34), т. е. это модуль невязки уравнения B.33).
Задачи B.32) и B.34) интегрировались на IBM PC AT 286/287
при помощи программы РС1 и метода Рунге—Кутта 4-го порядка. Ниже
приводятся результаты, полученные с использованием метода Рунге—
Кутта, которые имели более высокую точность. На рис. 2.8 приводится
зависимость величины А от угла а для одинакового времени t = to
интегрирования задач на отрезке х 6 [- sin a - cos a, sin a + cos а]. Это
время соответствует шагу интегрирования Л, = 0,25/40 для задачи B.32)
и шагу Лд = 0,25/20 для задачи B.34). Кривые 1 и 2 были получены как
решения задач B.32) и B.34) соответственно.
1/16 1/8 1/4 1/2
Рис. 2.8.
На рис. 2.9 величина А дана как функция безразмерного времени
счета t/to для угла а = 1/1024. Кривые 1 и 2 также соответствуют
задачам B.32) и B.34).
Из анализа результатов следует:
— при применении Л-преобразования ошибка А не зависит от угла а
(кривая 2, рис. 2.8), тогда как точность при использовании исходного
уравнения существенно зависит от а (кривая 1, рис. 2.8);
— в зависимости от шага интегрирования, что, в свою очередь, опре-
определяет время счета t, ошибка интегрирования задачи B.32) носит
существенно немонотонный характер (кривая 1, рис. 2.9). Это,

70
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
по-видимому, объясняется тем, что при некоторых значениях шага
интегрирования происходит попадание в малую окрестность начала
координат, где правая часть уравнения принимает большие значе-
значения. Ошибка же решения преобразованной задачи B.34) (кривая 2,
рис. 2.9) вначале убывает до 0,18 • 10~6 при ЛА = 0,25/4, а затем
монотонно растет, по-видимому, из-за того, что начинают играть
существенную роль ошибки округления;
для исходной задачи B.32) полная ошибка А ни при каких шагах
разбиения hx не может быть меньше 10~4, тогда как для пре-
преобразованной задачи B.34) ошибка достигает наименьшего значе-
значения 0,18-10, а на рис. 2.8 для кривой 2 А = 0,3- 10~б соответствует
времени счета t = to.
д Кроме того, для решения
данной задачи была исполь-
использована последняя версия про-
программ серии Гир для интегри-
интегрирования жестких систем ОДУ
из пакета программ ODEPAK,
собранного Хиндмаршем [100].
Интегрирование уравнения
B.32) при помощи программы
DLSODE, настроенной на ра-
работу с жесткими ОДУ, привело
к тому, что при малой задан-
заданной точности расчетов (еабс =
Ы^_^— л. Ю~4) задача считается. Это объ-
\^, ясняется тем, что такой точ-
л-ю5 I ности соответствует достаточ-
„ но большой шаг интегрирова-
интегрирования, и программа успешно про-
8
Рис. 2.9.
12
16
скакивает особую точку зада-
задачи B.31). При увеличении точности вычислений появляются сбои
и при еабс = 10 происходит переполнение памяти ЭВМ. Решение же
задачи B.34) при принятых точностях вычислений завершается успешно.
Пример 2.2. Брахистохрона. Задача о брахистохроне (кривой наискорей-
наискорейшего спуска) была впервые рассмотрена Иоганном Бернулли в 1696 г.
Задача заключается в решении дифференциального уравнения
B.35)
где L — некоторая положительная постоянная.

2.3. Алгоритмы, программы, примеры 71
Если искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному
условию
у@) = 0, B.36)
то при х = 0 правая часть уравнения B.35) обращается в бесконечность,
и большинство численных методов интегрирования ОДУ потерпело бы
неудачу. Будем искать решение задачи B.35), B.36) для у € [О, L]. После
применения к этой задачи А-преобразования получаем задачу
dx Гц
_ Ш "^ :(), х@) = 0. B.37)
Для оценки точности численного решения найдем аналитическое
решение задачи, которое может быть представлено в параметрическом
виде
х = R(t - sin t), y = R{\-cast), R=-.
Исключая параметр t, получаем
Поэтому для оценки точности воспользуемся выражением
Д =
— - 1 + cos
R
W-O-0
где а; и у — численные значения.
Задача B.37) с одинаковым успехом интегрировалась как при по-
помощи программы РС1, так и с использованием метода Рунге—Кутта
4-го порядка при L — 2. При шаге интегрирования Ал = 0,5 • 10~2
методом Рунге—Кутта наибольшее значение Д = 0,8 • 10~4 достигалось
при А = 1,25. Конечной точке интегрирования соответствовало значение
аргумента А = 3,75.
Программа DLSODE при решении задачи B.35) на первом же шаге
попадает в аварийную ситуацию, что естественно. Интегрирование же
при помощи этой программы задачи B.37) происходит успешно.
Пример 2.3. Улитка Паскаля. Рассмотрим задачу Коши

72
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
где
Р(х, у) = 1х2 - S(x, у)Bх - a), Q(x, у) = yBS(x, у) - /2),
S(x, у) =
- ах,
а и I — заданные числа. Эта задача имеет замкнутую интефальную кри-
кривую, которая называется улиткой Паскаля. На рис. 2.10 показан вид этой
кривой в случае, когда параметры а
и { удовлетворяют неравенствам
а<К2а.
Улитка Паскаля описывается ура-
уравнением
S2(x,y)-l2(x2 + y2) = 0,
поэтому точность вычислений оцени-
оценивалась по формуле
Рис. 2.10.
где х*, у* — численные величины.
Обычные численные методы, в том числе и профамма DLSODE,
не в состоянии построить всю интефальную кривую задачи B.38).
Но задача может быть решена как при помощи программ DLSODE,
PCI, метода Рунге—Кутта, так и других численных методов, если к ней
применить Л-преобразование, после которого задача примет вид
<*у_-х-,„ ~_^-,„ т = ^ х@) = ())
B.39)
dX Z(x,y)'
dx _ Q(x,y)
d\ Z(x>yy
где Z(x, y) = y/p2(x, y) + Q2(x, y).
Задача B.39) решалась при а = 1, I = 1,5 при помощи профамм
DLSODE, PCI, метода Рунге—Кутта 4-го порядка. Для получения всей
замкнутой кривой параметр А изменялся от 0 до 10,5. При интефиро-
вании задачи методом Рунге—Кутта с шагом Ад = 0,5 • 10 величина Д
не превосходила значения 0,2 • 10~4.
Примеры, рассмотренные выше, носят искусственный характер,
однако проблемы, возникающие при их решении, присутствуют и при
решении реальных задач. Для примера рассмотрим кинематические урав-
уравнения Эйлера [38]
/sin^sinу> 0 cosip \
= I sin в cos <р 0 - sin у I
\ cos^ 1 0 J
B.40)

2.3. Алгоритмы, программы, примеры
73
определяющие связь между компонентами вектора угловой скорости
u(u\(t),u>2(t),U3(t)) в подвижной системе координат, связанной с объек-
объектом, и производными по времени от углов Эйлера ¦ф, <р, в, где ¦ф — это
угол прецессии, tp — угол собственного вращения и в — угол нутации.
Для определения закона изменения углов Эйлера разрешим систему
уравнений B.40) относительно производных, тогда получим [38]
# SUp) dip
йв
S(ip) = ш\ sin ip + W2 cos y>.
Очевидно, что при численном интегрировании данной системы
уравнений возникнут трудности при угле нутации в = 0, так как в этом
случае правые части первых двух уравнений обращаются в бесконечность.
Однако проблема исчезает, если к системе B.41) применить А-преобра-
зование. В этом случае эта система может быть представлена в виде
dip
dA
M_
dX
dt
I dX
0/3 sin в - S(<p) cos в
Q
ш\ cos <p - щ sin <p
sign (sin в),
B.42)
Q
| sin g|
Q '
Q = [sin2 0+S2(ip)+sin2 0{u)\ cos <р-Ш2 sin <рJ+(и>з sin 0-S(<p) cos 0Jj
в котором она может быть численно проинтегрирована и при угле
нутации, принимающем нулевые значения.
Система уравнений B.42) решалась численно при помощи програм-
программы РС1 для ш\ = -1, а/2 = 1> Ц} = 0 и начальных условиях: при А = О,
il) = (p = 0 = t = Q. Полученное численное решение определяло связь
между углами Эйлера вида ¦ф — -<р.
Заметим, что те же проблемы могут быть разрешены и при чи-
численном интегрировании кинематических уравнений для самолетных
углов [36]. Эти уравнения имеют особенность при значении угла танга-
тангажа, равном эг/2.

Глава 3
Жесткие системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
Опыт численного интегрирования задач Кош и для ОДУ показал,
что среди них необходимо выделить так называемые жесткие уравнения,
которые требуют специальных численных методов. В этой главе будет
рассмотрено влияние А-преобразования на такого рода системы ОДУ
и на методы их интегрирования.
3.1. Особенности численного интегрирования
жестких систем ОДУ
Многие задачи моделирования процессов в аэродинамике, баллисти-
баллистике, динамике и управлении движением самолетов и ракет, химической
кинетике, в кинетике элементарных процессов атомной, молекулярной
и ядерной физики и т.д. сводятся к численному интегрированию за-
задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Учет большого числа параметров при построении таких моделей при-
приводит к необходимости привлечения для полного описания процессов
на любом отрезке наблюдения явления двух видов функций: убывающих
быстро и медленно. Функции первого типа убывают быстро, так что
большую часть времени протекания процесса доступны для наблюде-
наблюдения только функции второго типа, которые убывают медленно. Однако,
в любой момент наблюдения сохраняется возможность возникновения
быстрозатухающего процесса, описываемого функциями первого типа.
Такое явление называется жесткостью, а системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, моделирующие процессы такого типа,
называются жесткими системами уравнений.
Отметим, что жесткость задачи — это свойство математической мо-
модели, и она не связана с используемым численным методом. Жесткость
задачи является математическим отражением того факта, что в соот-
соответствующем физическом объекте протекают процессы с существенно
различными скоростями.
Характерным для всех жестких систем является такое поведение
решения задачи Коши, при котором компоненты первого типа претерпе-
претерпевают либо быстрые начальные изменения, либо значительные изменения
на некотором участке наблюдения (пограничном слое).

3.1. Особенности численного интегрирования жестких систем ОДУ 75
Необходимость выделения данного вида уравнений в отдельный
класс вызвана трудностями их численного интегрирования классичес-
классическими методами, например, явными одношаговыми и многошаговыми
методами. Выяснилось, что малый шаг интегрирования, используе-
используемый для воспроизведения быстропротекающих процессов в пограничном
слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производ-
производные становятся существенно меньше. Даже незначительное превышение
некоторой величины шага, определяемой данным методом и решаемым
уравнением, приводит к резкому возрастанию погрешности. В самом
деле, как показано, например, в работах [5, 53, 57, 55], для того, чтобы
обеспечить абсолютную устойчивость численного решения задачи Коши
% Уо, t?lto,T], C.1)
необходимо использовать такой шаг интегрирования А, при котором
каждое из, вообще говоря, комплексных значений Я, = AAj (г = 1,п),
где Xi — собственное значение матрицы Якоби df/dy, лежало бы
внутри области абсолютной устойчивости. Таким образом, для методов
с ограниченной областью устойчивости длина шага лимитируется поряд-
порядком величины наименьшей временной постоянной системы. Поскольку
интервал интегрирования может во много раз ее превосходить, то не-
необходимое число шагов интегрирования может оказаться чрезвычайно
большим.
Для того, чтобы устранить это ограничение, были предложены
численные методы, см., например, [93, 80, 112], допускающие значи-
значительное увеличение шага интегрирования вне пограничного слоя, однако
и в настоящее время проблема численного решения жестких уравнений
является актуальной [4, 97, 37, 60, 106, 88].
Дело в том, что первоначальное отношение к жестким системам,
как к некоторой частности основывалось на быстродействии будущей
вычислительной техники. Однако увеличение классов решаемых задач,
общность их постановки и разнообразие численных методов, которые
стали возможными именно благодаря применению высокопроизводи-
высокопроизводительных вычислительных машин, позволило установить, что явление
жесткости в исследованиях динамических моделей различных систем
и процессов скорее правило, чем исключение.
Так, известно, что необоснованное пренебрежение «малыми вели-
величинами» при математическом моделировании реальных процессов может
существенно исказить истинную картину явлений. Поэтому в системах
уравнений, описывающих еще не изученный процесс, нужно учиты-
учитывать большое количество, на первый взгляд, второстепенных факторов.

76 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
Следствием этого, как правило, является с одной стороны относительно
высокий порядок системы уравнений, а с другой — ее жесткость.
Следует также отметить и скрытые формы проявления жесткос-
жесткости. Так, большой класс гладких оптимизационных конечномерных за-
задач [53, 119] с трудом поддается решению традиционными методами из-
за овражного рельефа поверхностей уровня. Изучение этого явления [53]
показало, что трудности связаны с жесткостью системы дифференци-
дифференциальных уравнений, описывающих траекторию наискорейшего спуска,
и поэтому естественно строить овражно-ориентированные алгоритмы
оптимизации с учетом этого факта.
Заметим, что жесткими могут оказаться задачи, описываемые урав-
уравнениями в частных производных, если их решение сводится к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, в [80] показано, что
жесткой будет задача теплопроводности для стержня, а в [97] указано
на жесткость одномерной задачи диффузии и задачи движения упругой
балки.
Выделим следующие характерные свойства жестких линейных сис-
систем [53]:
1. Почти всегда существует два участка решения с существенно различ-
различными характерами поведения. Почти всегда — лотому, что можно
подобрать начальные условия с целью устранения пограничного
слоя, хотя специфика уравнений не изменится.
2. Собственные числа А,- матрицы Якоби 3 = df/dy полностью опре-
определяют характер решения.
3. Из жесткости неоднородной системы
^ = Jy + g(t), уежп, te[to,T], C.2)
следует жесткость системы однородной. Это подтверждает, что жест-
жесткость является внутренним свойством и не может появиться только
благодаря изменениям функции g(t).
4. Вне пограничного слоя между компонентами вектор-функции y(t)
можно установить линейные соотношения, число которых равно
количеству быстро осциллирующих частных решений системы C.2),
т. е. вне пограничного слоя решение жесткой системы может быть
описано решением системы меньшей размерности, уже не являю-
являющейся жесткой (см., например, [93]).
Несмотря на большое число публикаций по данной проблеме, до сих
пор не существует общепринятой концепции жестких систем [5, 60, 88].
Более того, нет даже общепринятого определения жесткости.
Так, в [112] понятие жесткости связывается с понятием устойчиво-
устойчивости, и под жесткой задачей понимается задача, не имеющая неустой-
неустойчивую компоненту решения (у матрицы Якоби системы уравнений C.1)

3.1. Особенности численного интегрирования жестких систем ОДУ 77
отсутствуют собственные значения с большими положительными дей-
действительными частями), но имеющая несколько очень устойчивых ком-
компонент (по крайней мере одной компоненте соответствует собственное
значение с большой отрицательной величиной действительной части).
В [105, SS] придерживаются следующего определения.
Задача Коши C.1) называется жесткой на некотором интервале
IС [to, T], если для *€/
max |НеЛ|(*I C.3)
где А< — собственные значения матрицы Якоби J = df/dy, в кото-
которую подставлено решение задачи C.1) у — y(t) при значении аргумента
равного t.
В [S3] проводится подробное критическое обсуждение наиболее
известных определений жестких систем уравнений, при этом сами авторы
отдают предпочтение следующему определению:
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
ecjjV), C4)
Г С It х В», It = {0 ^ t < со}
называется жесткой на отрезке изменения независимой переменной [а, Ь],
принадлежащем интервалу существования ее решений, если при любом
векторе начальных значений (уо, to) € Г и на любом отрезке [to, to+T] С
[а, Ь] найдутся такие числа г, L, N, удовлетворяющие неравенствам
т<Ь-а C.5)
где p(df/dy) — максимальный модуль собственных чисел матрицы
Якоби (спектральный радиус), || • || — принятая норма матрицы, что
справедливы неравенства
dt
— max
N te\k, h+т]
N>\.

78 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
Если начальные условия таковы, что пограничный слой явно при-
присутствует, то величина N дает представление о том, во сколько раз
уменьшились производные после его прохождения.
Авторы считают, что важным моментом введенного определения
является неразрывная связь понятия жесткости системы C.4) с вели-
величиной промежутка наблюдения решения [а, Ь], заложенная в неравен-
неравенстве C.5). Если жесткую на [а, Ь] систему рассматривать лишь на проме-
промежутке [о, с] С [а, Ь], включающем только пограничный слой т = с - о,
то на [а, с] ее нельзя считать жесткой, так как никакого различия
в характере поведения решения не наблюдается.
Понятие жесткой системы уравнений в [37, 106] вводится следую-
следующим образом.
Пусть J(t) = J(y,t) = \\dfi/dyi\\ (i,j = l,n) — матрица Якоби
функции f(y,t), где y(t) — решение задачи C.1).
В окрестности точки (эдь^о) системе уравнений C.1) можно по-
поставить в соответствие систему линейных дифференциальных уравнений
вида
^=Ш(у-уо) + НуоЛ . (з.б)
которая является линеаризацией по у исходной системы уравнений C.1)
в окрестности (уо>*о)- Предполагается, что решение системы уравне-
уравнений C.6) с начальными условиями y(t$) = y$ аппроксимирует с задан-
заданной точностью е > 0 при при to ^ t ^т решение задачи Коши C.1),
где 0 < т < Т, т — зависящая от Iq величина. Пусть А,(?) (г = 1, та) —
собственные значения матрицы J{t), которые все являются действи-
действительными. Им соответствует полная система собственных векторов ?,-(?)
(г = 1,п). Спектр матрицы J дает верную информацию о качествен-
качественном поведении решения системы C.1). Задача Коши C.1) называется
в [37, 106] жесткой, если существует не зависящая от t постоянная С > 0
такая, что
С для te[to,T], г=ТЯ C.7)
и при этих условиях имеет место
M=M(t)=mzx(-\i(t))>0, S=M(T-tQ)>l, t?[to,T]. C.8)
В работах [60, 88] задача Коши C.1) называется жесткой, если спектр
матрицы Якоби системы уравнений C.1) может быть разделен на две
существенно различные части:
1) жесткий спектр, где собственные значения и собственные векторы
обозначаются через Ai(t) и Ф<(<) (г = 1,...,/) соответственно.
Для жесткого спектра выполняются условия
Re At(t) <-?<0, | Im A;(*)l < I Re Л,(*)|, i = TJ;

3.1. Особенности численного интегрирования жестких систем ОАУ 79
2) мягкий спектр, где собственные значения и собственные векторы
обозначаются через Xj(t), <pj(t) (j = \,J; J = n-1). Для этой части
спектра справедливы условия
и если отношение L/1 принимает большое значение.
При этом, так как матрица Якоби df/dy, вообще говоря, зависит
от t, то следует писать I(t), J(t).
В [93, 53, 105, 57, 80, 112, 97] приводится обзор работ как по методам
и алгоритмам, применяемым при решении жестких систем [93, 53,
105, 57, 97], так и по вычислительным программам этого направления
[80, 112,97].
Термин «жесткая система», по-видимому, впервые был введен в ра-
работе [86] при анализе решения задачи
t/ = -50(y-cos*), y@) = 0,
методами Адамса и Рунге—Кутта. Была также показана целесообразность
использования неявных методов при численном решении уравнений
такого типа.
Впервые явление неустойчивости с ограничениями на шаги интегри-
интегрирования для гиперболических систем уравнений в частных производных
изучено в знаменитой статье [83].
Однако, применительно к жестким системам обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений именно в [87] указано на численную не-
неустойчивость как на причину затруднений, введены основные понятия
и определения.
Для того чтобы обеспечить устойчивость численного решения задачи
C.1), необходимо использовать такой шаг интегрирования h, при ко-
котором каждое из, вообще говоря, комплексных значений Щ = ЛА,-
й f
(i = \,п), где А,- — собственные значения матрицы Якоби J(t) = —,
ду
лежало бы внутри области абсолютной устойчивости. Таким образом,
для методов с ограниченной областью устойчивости длина шага лими-
лимитируется величиной наибольшего собственного значения матрицы J.
Поскольку интервал интегрирования может значительно превосходить
величину 1/ min |А<|, необходимое число шагов интегрирования может
оказаться сравнимым с коэффициентом s(t), задаваемым формулой C.3).
В самом деле, на каждом шаге интегрирования система уравне-
уравнений C.1) может быть преобразована к линейной системе C.2) с матри-
матрицей Якоби. Если предположить, что все собственные значения матрицы
Якоби различны, то произведя соответствующую замену переменных,

80 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
матрицу можно привести к диагональному виду с собственными значе-
значениями Aj, г = 1,п, на главной диагонали, и система уравнений C.2)
примет вид
Поэтому изучение свойств методов принято проводить на тестовом
уравнении [87, 105]
S-* ,3,)
где y(t) — скалярная функция. Решение уравнения C.9) асимптотически
устойчиво, если Re A < 0, неустойчиво, если Re A > 0, и устойчиво,
если Re A = 0.
При использовании численных методов дифференциальное уравне-
уравнение обычно преобразуется в разностное. Разностное уравнение асимпто-
асимптотически устойчиво, если все корни его характеристического уравнения
по модулю меньше единицы, неустойчиво, если хотя бы один корень
по модулю больше единицы, и устойчиво, если есть некратные корни,
по модулю равные единице, а остальные меньше единицы. Очевидно,
методы следует использовать при таком шаге интегрирования в зави-
зависимости от А, когда наблюдается соответствие по всем видам устой-
устойчивости тестового дифференциального и соответствующего разностного
уравнения.
Множество значений ЛА, удовлетворяющих условию асимптотичес-
асимптотической устойчивости решения разностного уравнения численного метода,
возникающего при интегрировании тестового урввнения C.9), называ-
называется областью устойчивости (абсолютной устойчивости) метода в ком-
комплексной плоскости Л А.
В главе 2 было показано, что областью устойчивости явного метода
Эйлера является внутренность круга единичного радиуса с центром
в точке ft Im А = 0, ft Re А = — 1.
Анализ области устойчивости традиционных алгоритмов Рунге—
Кутта и Адамса показывает, что они не годятся для решения жестких
систем, так как использование малых значений h требует больших за-
затрат на вычисления. В связи с этим в [87] было предложено создавать
и применять для жестких уравнений такие методы, у которых область
устойчивости при решении тестового уравнения C.9) содержала бы всю
левую полуплоскость плоскости Л А, т.е. при Re A < 0 решение соответ-
соответствующего разностного уравнения было бы асимптотически устойчиво
при любом положительном h. Эти методы называются Л-устойчивыми.
В [87] также доказано, что явный линейный многошаговый метод
не может быть ^-устойчивым и что порядок неявного многошагового
метода не может превосходить двух. Поэтому подавляющее большинство

3.1. Особенности численного интегрирования жестких систем ОДУ 81
алгоритмов, успешно решающих жесткие системы, относится к категории
неявных. Однако и здесь имеются исключения. Так, в [37, 106] показано,
как можно решать жесткие системы при помощи явного метода Эйлера.
Предложенный подход основан на достижениях в теории численной
устойчивости разностных схем и итерационных процессов чебышевского
типа. На основании этого разработана программа DUMKA.
Позднее было доказано, что для многошаговых методов значительно
полезнее некоторые менее ограничительные требования к устойчивости,
и были введены понятия А(а)-устойчивости [118] и жесткой устойчи-
устойчивости [93].
Численный метод называется -4(а)-устойчивым, a G @, тг/2), если
его область устойчивости включает бесконечный клин | arg(-A)| < о.
Если в предыдущих определениях речь шла только об устойчивости,
то в [93] было введено более сложное понятие жесткой устойчивости,
включающее в себя как устойчивость, так и точность приближения
к экспоненциальному фундаментальному решению уравнения C.9).
Метод называется жестко устойчивым, если он абсолютно устойчив
в области R\ и точен в области Ri, где R\ : {Re(Aft) < D}, R2 : {D <
Re(Afc) ^ o, I Im(Afc)| < в}, D,a,6— числа.
В работе [86] была описана формальная методология решения
жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, использующая
формулы дифференцирования назад. Первый пакет программ DIFSUB,
использующий эти формулы, которые до этого не пользовались популяр-
популярностью, был разработан Гиром и описан в [93] Этот комплекс программ
позволяет также применять модифицированные методы Адамса для ре-
решения нежестких систем уравнений. Следующий комплекс назывался
STIFF (см. [93]). Рассмотрим идеи, лежащие в основе данных программ.
Формулы дифференцирования назад (BDF) А;-того порядка для ре-
решения на т + 1 шаге системы уравнений C.1) имеют вид
к-\
ут+\ - hbf(ym+i, tm+i) - ]Р a,t/m_, = 0. C.10)
«=0
При к > 6 методы, описываемые этими формулами, неустойчивы.
Для решения системы нелинейных уравнений C.10) используется метод
Н ьютона—Рафсона
t
f
tm+l>

82 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
где j — номер итерации,
& 22 &
e
<=<»+!
ду
Начальное приближение задается полиномиальной аппроксимацией
неизвестных функций. Из формул C.10), C.11) следует, что рассматрива-
рассматриваемые методы являются методами прогноза-коррекции. Для оптимального
применения методов был разработан алгоритм управления порядком ме-
метода и шагом интегрирования.
Дальнейшие усовершенствования рассматриваемых программ связа-
связаны с исследованиями Хиндмарша. Разработанный под его руководством
комплекс программ GEAR [113] является модификацией DIFSUB, ко-
которая связана с изменением способа определения точностных характе-
характеристик решения (осуществляется контроль только локальных ошибок),
способом вычисления якобиана и рядом программных изменений.
Пакет программ EPISODE [79] предназначен для решения как жест-
жестких (методы дифференцирования назад), так и нежестких (методы типа
Адамса) систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Основное
отличие этого вычислительного комплекса от пакета программ STIFF
заключается в различных способах изменения шага интегрирования,
частоте вычислений якобиана, оценке локальной ошибки.
Самая последняя, известная нам версия программ серии Гир называ-
называется LSODE [100, 99]. В ней для решения нежестких дифференциальных
уравнений используется неявная формула Адамса—Мултона. Жесткие
уравнения решаются при помощи формул дифференцирования назад.
В итерационном процессе C.11) применяется модифицированный метод
Ньютона—Рафсона. Начальное приближение определяется по формулам,
аналогичным C.10), но явным. Якобиан вычисляется только при плохой
скорости сходимости итерационного процесса.
Другим известным пакетом программ решения жестких систем,
основанном на формулах дифференцирования назад является комплекс
FACSIMILE [85], который предназначен для решения жестких задач,
возникающих в химической кинетике.
Следует также отметить программы для решения жестких за-
задач, содержащиеся в библиотеке программ ВЦ МГУ [12] и програм-
программы RKF4RW [110], RAI4 [78], позволяющие автоматически определять,
является ли задача жесткой, основанные на формулах Рунге—Кутта, при-
причем последняя программа использует адаптивные формулы. Упомянем
здесь также программу RADAU5 [97].

3.1. Особенности численного интегрирования жестких систем ОАУ 83
Изучим особенности применения А-преобразования к жестким си-
системам уравнений C.1) при использовании линейных многошаговых
методов. Общая форма записи этих fc-шаговых методов такова
m = 0,1,2,..., C.12)
1=0 i=0
где оь 0i — постоянные, о* Ф 0, |оо| + |А)| Ф 0.
Формулы C.12) определяют линейные соотношения между ут-н
и fm+i, г = 0,к. Для того, чтобы вычислить последовательность
приближенных значений ут, необходимо сначала каким-либо спосо-
способом получить к начальных значений уо,У\,¦ ¦ • ,Ун-1- Если /3* = 0,
то ут+к легко вычисляется, и метод C.12) называется явным многоша-
многошаговым методом. Если /9* Ф 0, то правая часть формулы C.12) содер-
содержит Sm+k - /{Ут+к, tm+k), и в общем случае для определения ут+к
необходимо решать нелинейное уравнение. В этом случае метод C.12)
называется неявным многошаговым методом. По сравнению с явны-
явными методами [57] неявные являются более точными и устойчивыми
в том смысле, что при возмущении значений ут шаг интегрирования h
в неявных методах может принимать гораздо большие значения.
Ранее была показана предпочтительность неявных методов при ре-
решении жестких систем уравнений. В этом случае проблема заключается
в нахождении решения уравнения
• /О
Ут+к = -^НУт+к, tm+k) + дт, 0к ф 0, C.13)
где функция дт содержит известные величины ym+j, fm+j, 3 = 0, к - 1,
определенные на предыдущих шагах процесса интегрирования уравне-
уравнений C.1). В [98] доказано, что если шаг интегрирования
1
I'
C.14)
где L — постоянная Липшица (||/(уь t) - }{уг, 011 < Ц\У\ ~ Уг\\ Для всех
* ^ [fo.21]). то существует единственное решение ут+к уравнения C.13),
которое может быть получено с помощью итерационного процесса
^J = 0, 1, 2,.... C.15)
ак
Важно заметить, что скорость сходимости зависит от величины
h\Pkl&k\L, и тем выше, чем эта величина меньше единицы. Такое требо-
требование накладывает сильные ограничения на величину шага интегрирова-
интегрирования h, поэтому при решении жестких систем уравнений вместо метода
простой итерации C.15) используется метод Ньютона—Рафсона C.11).

84 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
Но ситуация улучшается, если применить Л-преобразование. Рас-
Рассмотрим это на примере одного уравнения (случай п = 1 для систе-
df
мы C.1)). Можно принять, что L = |—| = |/iV|. После применения
к уравнению C.1) Л-преобразования, первое уравнение полученной си-
системы примет вид
dy = f(y,t)
dX аД+72'
Константа Липшица для этого преобразованного уравнения будет
равна
2
ll+/2l3/:
Очевидно, что при большом значении правой части f(y, t) выполня-
выполняется условие Ь\ С L, и требование C.14) будет менее ограничительным.
Если положить, что ЛЛ = ЛA + /2I/2, то неравенство C.14) примет вид
1+/2
Это подтверждается и примерами, приведенными ниже, которые
показывают, что в этом случае можно использовать модифицированный
метод простой итерации.
Исследования, проведенные в главе 2, показали, что Л-преобра-
Л-преобразование увеличивает область устойчивости явной схемы метода Эйлера
и область неустойчивости неявной схемы, однако и после применения
Л-преобразования свойство .4-устойчивости метода сохраняется, что, как
было установлено, очень важно при решении жестких систем уравнений.
Применение Л-преобразования к тестовой системе уравнений B.18)
в случае, когда собственные значения матрицы этой системы удовлетво-
удовлетворяют условию |oi| > I02I, показало: если предположить, что решения j/i
и уг одного порядка, то спектральное число обусловленности пре-
преобразованной системы будет меньше числа обусловленности исходной,
а, как мы видели выше, эта характеристика может служить косвен-
косвенной мерой жесткости системы. Это же касается и размаха спектра,
который уменьшается после применения Л-преобразования, что свиде-
свидетельствует о сближении собственных значений преобразованной системы
уравнений.
Таким образом, из всего сказанного можно сделать вывод о том,
что предложенное Л-преобразование смягчает жесткость исходной систе-
системы уравнений, а значит, повышает эффективность любого численного
метода ее решения.

3.2. Сингулярно возмущенные уравнения 85
3.2. Сингулярно возмущенные уравнения
Уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной,
называются сингулярно возмущенными. Они образуют класс жестких
систем, на котором удобно проводить теоретические исследования с це-
целью определения эффективности численных методов, предназначенных
для интегрирования жестких систем уравнений. Это возможно благо-
благодаря достижениям в асимптотической теории [11], теории разностных
схем [24] и простоте анализа качественного поведения траектории задачи.
Рассмотрим сингулярно возмущенную систему уравнений [88]
* = /,
которую представим в форме
' ez = Z(y, z), e = i<i. C.16)
¦ z), L
Здесь Y, Z — гладкие вектор-функции, имеющие вместе со своими
производными порядок малости 0A). Размерности векторов у, z рав-
равны к и I соответственно. Введем следующие обозначения для векторов:
Спектр матрицы /)Х определяется уравнением
Yv - ХЕк Гг
LZ,y LZtl-XEi
где Ek, Ei — единичные матрицы порядка к и I.
Очевидно, что жесткий спектр определяется спектром матрицы LZ<t
и соответствующими собственными векторами, имеющими определяю-
определяющие компоненты z. Их компоненты у имеют порядок О ( j). Качествен-
Качественная структура траектории хорошо известна и определяется поверхностью
T = {x = {y,z}:Z(y,z) = O},
которая разделяет фазовое пространство на две части Z(y,z) > О
и Z(y,z) < 0. Система C.16) является жесткой только в тех точ-
точках x(t), где спектр матрицы Z>t устойчив, т.е. где действительные
части собственных значений отрицательные. На рис. 3.1 показана ти-
типичная траектория системы C.16) для скалярных функций у и z, но та
же картина будет и в общем случае. Вне малой окрестности поверх-
поверхности Г фазовая скорость имеет почти горизонтальное направление
и очень большую величину (||?|| = O(L), \\y\\ = 0A), ||i|| = 0(L)).
Точка x(t) быстро перемешается направо, если Z(y,z) > 0, или налево,

86
Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
если Z(y,z) < 0. За короткий промежуток времени, О (?), точка x(t)
перемещается из начального положения го в О (?)-окрестность по-
поверхности Г. Здесь х = 0A), и точка x(t) медленно перемещается вдоль
поверхности Г. Поверхность Г разбивается на две части в соответствии
со знаком Zy. устойчивая часть Г (если Ztz < О в скалярном случае,
или" если спектр матрицы ZtZ является устойчивым в общем случае) и не-
неустойчивая часть (если Ztг > 0 в скалярном случае, или если матрица Zz
имеет по крайней мере одно собственное значение с положительной
действительной частью). На рис. 3.1 устойчивые участки Г — это участ-
участки АВ и CD, а неустойчивый участок — BD. Система C.16) не будет
жесткой в малой окрестности неустойчивой части Г, так как здесь
матрица />х имеет большие собственные значения с положительными
действительными частями.
Рис. 3.1.
Наиболее интересное явление проявляется около точки В или D,
где Г теряет устойчивость, и одно из собственных значений матрицы Zz
перемещается из левой части комплексной плоскости в правую по-
полуплоскость, а точка x(t) перемещается из устойчивой части Г в точку С
на другой устойчивый участок Г в течение короткого промежутка време-
времени, О (^|f) • Эта часть траектории образует так называемый внутренний
слой. Затем x(t) движется согласно знаку У вдоль поверхности Г со ско-
скоростью 0A) в точку D и так далее. Та же траектория x(t) показана
на рис. 3.2. Интервалы с медленным движением разделяются коротки-
короткими О (^J пограничными или внутренними слоями быстрых перемеще-
перемещений со скоростями 0(L), и кажется, что траектория становится раз-
разрывной. Такого типа ситуации наблюдаются с траекториями уравнений,

3.2. Сингулярно возмущенные уравнения
87
Рис. 3.2.
описывающих процессы, происходящие в химической кинетике, см.,
например, поведение траектории в задаче об орегонаторе [92, 63].
К таким же результатам приводит и анализ простейшего сингулярно
возмущенного уравнения вида [53]
C.17)
Рассмотрим случай, когда вырожденное уравнение, соответствующее
уравнению C.17)
/(*, 0 = 0,
имеет единственное решение х = x(t), и в окрестности этого решения
величина df/dy отрицательна. Последнее условие является достаточным
для устойчивости решения х = x(t).
Характер поведения решения уравнения C.17) следующий. Для дос-
достаточно малого е касательные к интегральным кривым даже при не-
небольшом отклонении от функции x(t) почти параллельны оси у. И чем
меньше величина е, тем быстрее осуществляется сближение интеграль-
интегральной кривой и решения x(t) вырожденного уравнения.
Эта ситуация может быть описана следующим образом. У любой ин-
интегральной кривой из рассматриваемой области выделяются два участка
с существенно различным поведением решения, причем продолжитель-
продолжительность первого участка значительно меньше второго. Первый участок
с быстрым изменением искомой функции отражает стремление инте-
интегральной кривой к графику функции x(t) и называется пограничным
слоем. На втором участке производные решения значительно меньше,
а интегральная кривая практически совпадает с графиком x(t). Погра-
Пограничный слой всегда будет иметь место, кроме случая, когда начальное
условие является корнем вырожденного уравнения, т.е. уо — x(to). Раз-
Различный характер поведения решения на обоих участках проявляется тем
отчетливее, чем меньше величина параметра е.

88 . Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
Таким образом, вне пограничного слоя для описания решения
дифференциального уравнения C.17) может быть использовано реше-
решение вырожденного уравнения. То, что даже при небольшом отклонении
начальных условий от графика функции x(t) в любой его точке производ-
производная решения dyjdt резко возрастает по сравнению с производной dx/dt
и определяет сложность численной реализации задач рассматриваемого
типа.
В качестве первого примера рассмотрим решение задачи Коши
f = -%-<KOl + f, У@) = Ю, C.18)
где к > 1, g(t) = 10 - A0 + t)e~*.
В [24] при к = 200 эта задача названа «искусственной тестовой
задачей Лапидуса и Зейнфельда». Она имеет аналитическое решение
y(t)=g(t) + lOe-kt. C.19)
Здесь мы изучим более жесткий случай: к = 1000. Для численно-
численного решения задачи использовался метод прогноза и коррекции первого
порядка, в котором прогноз осуществлялся при помощи явной фор-
формулы Эйлера, а коррекция — неявной. Более подробно данная про-
программа РС1 описана в главе 2. Решение с точностью 10~5 строилось
на отрезке ?€[0,1].
После применения А-преобразования задача C.18) принимает вид
Нд-у)+д
gJ'
= Ю, *@) = 0. C.20)
Время счета этой задачи было в три раза меньше времени счета за-
задачи C.18). Это объясняется тем, что для получения результатов, хорошо
согласующихся с точным решением C.19) для малых значений t, т.е.
в пограничном слое, при решении задачи C.18) приходилось принимать
очень малый шаг интегрирования по координате t, равный 10" , тогда
как при решении преобразованной задачи C.20) допустимый начальный
шаг по аргументу А был равен 0,1.
Вторая задача, взятая из [24], это нелинейная задача Эдсберга:
?L 2 = 10, C.21)

3.2. Сингулярно возмущенные уравнения 89
имеющая точное аналитическое решение
10
»(«) =
1 + 20Ы
После А-преобразования задача C.21) принимает вид
dy -2ky2
dX J\ л. <\}V
VI +4* у 2,@) = 10, *@) = 0.
at 1
dX л/l + 4к2у4'
Эта задача интегрировалась с точностью 10 при к — 103 на ин-
интервале t € [0, 1] при помощи программы РС1. Время счета на PC
AT 286/287 при начальном шаге интегрирования равном 0,1 составило
5 секунд. Решение иепреобразованной задачи потребовало в два раза
большего времени счета.
В качестве еще одной задачи такого типа рассмотрим так называемую
«специальную задачу» Далквиста [24]
e^ = (l-t)y-y2, у@) = 0,5, е=10-6. C.22)
Хотя это нелинейное уравнение является уравнением Бернулли,
но оно не имеет аналитического решения, однако вне пограничного
слоя, который для данной задачи чрезвычайно мал, численное решение
может быть сравнено с решением вырожденного уравнения х = 1 - t.
Решение задачи C.22) будем отыскивать на отрезке t € [0,1] с точ-
точностью 10~7. После применения А-преобразования задача C.22) прини-
принимает вид
dy = A-%-у2
y2J'
У) = 0,5, t@) = 0. C.23)
Программа РС1, описанная в главе 2, потребовала слишком большо-
большого времени счета при решении этой задачи, поэтому была предпринята
попытка, находясь в рамках процесса простой итерации, модернизиро-
модернизировать его таким образом, чтобы добиться приемлемого времени счета.
Модернизация заключалась в том, что итерационный процесс решения
нелинейной системы уравнений
Ут+l = ym+hf(ym+i, tm+i), m = 0, 1, 2, ...,

90 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
к которой сводится интегрирование задачи Коши для системы диффе-
дифференциальных уравнений
неявным методом Эйлера, строится на основе метода Ньютона—Раф-
сона, в котором учитываются только элементы, стоящие на главной
диагонали матрицы Якоби. В этом случае итерационный процесс будет
описываться формулой
dyi<m
т = 0,1,2,...; к = 0,1,2,...; t=l,n,
а начальное приближение вектор-функции у, вычисленное на т + 1
шаге интегрирования, определяется явным методом Эйлера.
Принят следующий алгоритм вычислений: если итерационный про-
процесс, задаваемый формулой B.30), не достиг заданной точности за 10 ите-
итераций, то включается итерационный процесс, опысываемый форму-
формулой C.24), в котором диагональные элементы матрицы Якоби Ofi/dy^m
вычисляются не на каждой итерации, а только в случае, если этот итера-
итерационный процесс не сходится за 10 итераций, если же и эта мера не дает
результата, то только в этом случае происходит деление шага пополам.
Согласно вышеописанному алгоритму была разработана программа
SUBROUTINE PClMCn, d, h, e.fct.t, у, k, m) ,
написанная на алгоритмическом языке ФОРТРАН для PC типа IBM,
имеющая такие же идентификаторы, что и программа РС1.
При помощи программы РСШ задача C.23) была проинтегрирована
на PC AT 286/287 за 5 минут.
Программы РС1 и РСШ реализуют одношаговый метод перво-
первого порядка точности. Такого типа методы в основном используются
при больших расчетах реагирующих течений в двухмерных и трехмерных
задачах [48], так как они требуют хранения в памяти минимального
объема информации. Однако, многошаговые методы более высокого по-
порядка точности сходятся быстрее и являются более точными. Поэтому
были разработаны еще три программы РС2, РСЗ, РС4, использующие
многошаговые формулы дифференцирования назад [93] второго, третьего
и четвертого порядка точности соответственно.
Согласно рекомендациям [5, 53], прогноз целесообразно вычислять
по экстраполяционным формулам, использующим только значения са-
самого вектора решения в предыдущих точках.

3.2. Сингулярно возмущенные уравнения 91
При разработке программы РС2 первый прогноз вычислялся по фор-
формуле
гСц =2Ут-Ут-1,
а коррекция по формуле
Ут+l = \DУт ~ Ут-1 + 2Л/(^+„ <m+l))- C-25)
При удвоении шага использовались результаты, вычисленные ранее,
а при делении пополам решение в точке то-1/2 вычислялось по формуле
Ут-l +Ут
Ут-1/2 = 2 '
В программе же РСЗ первый прогноз вычислялся по формуле
lC+l = Ут-2 ~ tym-l + Ъут,
а коррекция по формуле
18ут - 9ym-i + 2ут_2 + 6/i/(j? ,, fm+i)
Ут+l = j- • C.26)
Недостающие значения у при делении шага пополам подсчитыва-
лись как
3ym + 6ym_| -ут-2
Ут-1/2 = ^ ,
а при удвоении шага как
Ут-3 = Ут~ Зут-1 + Зут_2.
В программе РС4 первый прогноз вычислялся по формуле
Уп+i = 4ут - 6ут_ | + 4ут_2 - 4ут_3, C.27)
а коррекция
48j,m36ym_i + 16ym_23ym_3 + 12/i/(j^+l,tm+i)
ym+l = — . C.28)
Недостающие значения при делении шага пополам подсчитывались
согласно выражениям
$Ут + 15Ут-1 - 5ут-2 + Ут-3 ,, -пч
Ут-1/2 = jg . C-29)
~Ут + 9ут-1 + 9ут-2 ~ Ут-3 /., -т
Ут-г/г = jg • C-30)

92
Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
При удвоении шага новое значение ут-2 не вычисляется — оно
хранится в памяти ЭВМ, a ym-j подсчитывается по формуле
Ут-3 - -5
C.31)
Остановимся подробнее на том, как получены формулы построения,
например, последней программы РС4.
Формула коррекции C.28) взята из [93].
Экстраполяционная формула прогноза C.27) получена как результат
решения следующей системы уравнений
Ут+а = Ут+ ahy> +
Ут-l =ym-
ym-2 = Vm-
^y" - |У" + 0{h\
C.32)
2h2y" - lh3
\h2y" - |ft
O(ft4),
O(h4).
Здесь производные вычисляются в точке ут, а значение параметра а
принималось равным а = 1.
Формулы C.29), C.30) получим, если в системе C.32) положить
а = —0,5, а = -1,5, соответственно.
Наконец, формулу C.31) можно получить, разрешая соотношение
C.29) относительно ут-з-
Стартовой процедурой для профамм РС2, РСЗ, РС4 является усо-
усовершенствованный метод Эйлера.
Помимо этих профамм были также разработаны профаммы РС2М,
РСЗМ, РС4М, которые построены по принципу профаммы РС1М,
описанной выше, т.е. итерационный процесс организуется на основе
метода Ньютона—Рафсона, в котором учитываются только элементы,
стоящие на главной диагонали матрицы Якоби.
Так, итерационный процесс в программе РС2М строится на основе
формулы C.25) в виде
(ft+I) _ (fc)
ro = 0,1,2,..., * = 0,1,2,..., » = T7n.

3.2. Сингулярно возмущенные уравнения 93
Итерационный процесс в программе РСЗМ организуется в соответ-
соответствии с формулой C.26) и имеет вид
„(*+«) = „W _
H &, tm+i)
6
11
m = 0,l,2,..., k = 0,1,2,..., i = T~^.
Наконец, в программе РС4М итерационный процесс в соответствии
с формулой C.28) описывается выражением
У^т+l ~ У^т+1
25 dytjm
m = 0,1,2,..., fc = 0,1,2,..., i = T~i^.
Задача C.23) была решена при помощи программы РС2М за 2 мин.
20 с, однако решение этой задачи при помощи программы РСЗМ при-
привело к увеличению времени счета до 6 минут. Это, по-видимому, объ-
объясняется тем, что линейный прогноз, заложенный в программах РС1М,
РС2М, более эффективен при отыскании решения вне пограничного
слоя, где, как показано выше, решение хорошо описывается линейной
функцией х = 1 — t, являющейся решением соответствующего выро-
вырожденного уравнения. Это подтверждается и численными результатами,
которые согласуются с аналитическими, задаваемые функцией х = 1 — t,
до четвертого знака.
В качестве другой проблемы рассмотрим численное решение зада-
задачи Коши для уравнения Ван-дер-Поля [97, 63]. Если в классическом
уравнении Ван-дер-Поля у" - цA - у2)у' + у = 0 перейти к новой пе-
переменной t = х/р, то уравнение примет вид еу" — A - у )у' + у = 0,
где ? = l/fi , и задачу Коши можно сформулировать в виде
^=У2, е^ = A-»?)и-Уь 01@) = 2, й@) = -0,66.
Здесь малый параметр е = 10" .
Это хорошо известный пример для проверки эффективности работы
вычислительных программ решения жестких систем. Для решения задачи

94 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
использовалась программа РС1. Точность вычислений контролировалась
сравнением с «точными» результатами, полученными в [97], и не превос-
превосходила 10~3. Решение задачи Ван-дер-Поля при t € [0,0,01] потребовало
в десять раз большего времени счета и в двадцать раз большего числа
вычислений правой части системы, чем решение той же задачи после
применения А-преобразования. При этом шаг интегрирования непре-
образованной задачи был в десять раз меньше.
Отметим, что программа РС1 позволила найти решение задачи Ван-
дер-Поля после применения Л-преобразования при t € [0,2], тогда как
решение непреобразованной задачи прекращалось после t = 0,03 из-за
переполнения памяти ЭВМ.
3.3. Жесткие системы
Переходя к изучению решения жестких систем обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, следует отметить, что существует точка зре-
зрения, согласно которой жесткие системы можно рассматривать как систе-
системы, получающиеся из сингулярно возмущенных уравнений при помощи
некоторой неизвестной замены переменных. Следовательно, жесткие
системы — это системы с многочисленными неявными параметрами,
так как не существует явной группы переменных, которые можно было
бы разбить на быстрые и медленные (как z и у для системы C.16))
и нет простого уравнения для поверхности Г, как Z{y, z) = 0 для систе-
системы C.16). Поэтому не существует асимптотической теории, аналогичной
теории для сингулярно возмущенных уравнений.
Однако, в [60, 88, 59] для специального вида жестких систем, наз-
названных регулярными, предпринята попытка разработать такую теорию,
и в [60, 88] эта теория используется при анализе некоторых численных
методов решения жестких систем уравнений.
Рассмотрим решение некоторых жестких задач с использованием
А-преобразования.
В качестве первого примера проявления жесткости обратимся к про-
продольному возмущенному движению самолета [53]. Если рассматривается
прямолинейный установившийся полет без скольжения с небольшим от-
отклонением параметров от начальных в процессе возмущенного движения,
то уравнения возмущенного движения распадаются на две независимые
системы, описывающие продольное и боковое движения. Применяя ско-
скоростную систему координат с началом в центре масс самолета, в которой
ось х направлена по скорости полета v, ось у ортогональна оси х
и лежит в плоскости симметрии самолета, а ось z направлена вдоль

3.3. Жесткие системы 95
размаха правого крыла, имеем
dv dO йг$
^-P-Q-Gsin0, mv-=Y-Gcos0, Iz —=MZ
a = ¦»-$,
где m — масса самолета; ур — плечо силы тяги двигателя относительно
центра тяжести самолета; v — величина скорости; Р — сила тяги,
приложенная вдоль оси двигателя; У — подъемная сила, направленная
ортогонально к скорости полета вверх; G — вес самолета, направленный
вертикально вниз; Q — лобовое сопротивление, направленное по оси
скорости набегающего потока; Мг — момент внешних сил относительно
оси OZ; 1г — момент инерции самолета относительно оси OZ; 0 —
угол между вектором скорости и горизонтальной плоскостью; 0 — угол
тангажа (угол между хордой крыла и горизонтальной плоскостью; а —
угол атаки.
В общем случае силы и моменты, входящие в систему C.33), зависят
от многих параметров движения: угла атаки а, плотности воздуха р,
скорости полета, угла отклонения руля высоты, угла тангажа и их
производных по времени.
Основываясь на методике малых возмущений и переходя к безраз-
безразмерной форме, получаем систему линейных уравнений для возмущений
д„ = -—!!?) да = а - а0, Д0 = ¦в - % т = ^^-t,
vq 2m
где s — площадь крыла. Далее знак Л перед v, а, -д опускаем.
В условиях горизонтального полета для конкретных значений пара-
параметров самолета система уравнений C.33) принимает вид:
dv
— = -0,104и + 0,043а - 0,10,
ат
da
— = -0,57и - 5,12а + wz,
%
dw,
—- = - 12,574т; - 43,69а - 9,672а»2.
v dr
Корни характеристического уравнения этой системы, приведенные
в монографии [53], равны А|J«-7,4±6,2г, Аз и-0,27, А4»0,16, г'2 = -1,
и разделяются по величине модуля на две группы |А|| = |Аг1 > |Аз| > IA4I,
что является типичным при горизонтальном движении самолета и обус-
обуславливается физикой рассматриваемого процесса. Движение, отвечаю-
отвечающее большим по модулю корням, называется короткопериодическим

96
Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
движением. Движение, отвечающее двум малым корням — длиннопе-
риодическим или фугоидным движением.
Таким образом, система C.34) является жесткой на любом отрезке
[О, Т], длительность которого значительно превышает длину погранич-
пограничного слоя (тпс < 0,1).
В режимах набора высоты и планирования система сохраняет свой-
свойство жесткости, хотя разброс корней характеристического уравнения
несколько уменьшается.
Жесткой является также система уравнений бокового движения са-
самолета и полного описания движения самолета, объединяющего боковое
и продольное движения.
Отметим, что подобное различие в движениях характерно не только
для самолета, но и для ракет.
Для того, чтобы можно было оценить точность численного решения,
получим аналитическое решение системы линейных дифференциальных
уравнений C.34), которое следует отыскивать в виде
= се
o,2 = deA'.
C.35)
Здесь принято, что t — т. Подставляя C.35) в C.34), получаем систему
линейных алгебраических уравнений относительно а, Ь, с, а*
( -@,104 + А)о +0,0436-0,1с = 0,
-0,57а - E,12 + X)b + d = 0,
-Ас+а* = 0,
I - 12,574а - 43.69& - (9,672 + X)d = 0,
C.36)
Это линейная однородная система уравнений. Для того, чтобы она
имела нетривиальное решение, ее определитель должен равняться нулю
-0,104-A 0,043 -0,1 0
-0,57 -5,12-A 0 1
0 0 -A 1
-12,574 -43,69 0 -9,672 - A
= 0.
Раскрывая этот определитель, приходим к характеристическому
уравнению
А4 + 14,896А3 + 94.774А2 + 9,215А - 3,948 = 0,
корни которого, уточненные при помощи метода Ньютона, имеют зна-
значения
Ai= 0,1596, А2 = -0,2651, А3,4 = -7,3952 ±t • 6,211.
C.37)

3.3. Жесткие системы
97
Учитывая систему уравнений C.36) и принимая в качестве свобод-
свободного параметра с= 1, получаем, что собственным значениям C.37) будут
соответствовать следующие значения параметров а, Ь, с, d
А| : а =-0,36795, Ь = 0,06996, с=1, d = 0,1596,
А2: а = 0,6563, Ъ =-0,1316, с=1, d = -0,265,
А3 = -7,3952 - i ¦ 6,211 : а = 0,57385 • 10~2 - i ¦ 0,5971 • 10,
6 = 1,2664 - * • 0,7274, с=1, d=-7,3952 - i • 6,211.
Поэтому общее решение системы C.34) будет иметь вид:
+ cos6,2U
-0,5971 • 10~3\
-0,7274
0
-6,211 /J
-sin6,2H
,-3"
0,5971 • 10
СI °-70274 |+C
6,211
0,57385- 10^
1,2664
1
-7,395 /J
„-7.395J
где С\, Ci, Сз, С/[ — произвольные константы, определяемые из на-
начальных условий. Если взять начальные условия в виде
= 0, « = 0 = ш2=О, а=1,
C.38)
то
С\= -0,2969, С2 = -0,17106, С3 = 0,46798, С4 = -0,5576.
Задача C.34), C.38) интегрировалась на отрезке ( € [0, 5] при по-
помощи программы РС1. Причем при той же точности вычислений время
счета задачи после применения А-преобразования оказалось почти в два
раза меньше.

98
Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим теперь жесткую систему обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений, возникающую в химической кинетике [92]
-^ = 77,27B/2 + 2/1A-8,375.
dy2 1
~Ж = 7^27(УЗ
^ = 0,161B/1-2/3)-
- 2/2».
C.39)
Эта система уравнений описывает знаменитую химическую реакцию
с предельным циклом в трехмерном случае, так называемый «орегона-
тор». Это реакция между НВЮг, Вг" и Ce(lV). В [92] система уравнений
C.39) интегрировалась при начальных условиях
У!@) = 3, 2/2@) =1, 2/3@) = 2.
C.40)
При этом решение задачи обычным методом прогноза-коррекции,
в котором стартовой процедурой был метод Рунге—Кутта, не получилось
из-за высокой жесткости задачи. Решение удалось получить методом,
приведенным в [93].
В монографии [63] приводятся графики решения задачи C.39),
C.40) (см. рис. 3.3, 3.4) и отмечается, что это пример жесткой си-
системы уравнений, решение которой быстро изменяется по величине
на много порядков. Поэтому данный пример может служить серьезным
испытанием для программы численного интегрирования.
5-
4-
3-
2-
1-
0-
-1-
-3-2-10 1 2 3
«У1
5-
4-
3-
2-
1-
0-
-1
-3-2-10 1 2 3
Рис. 3.3.
Попытка решить задачу C.39),C.40) при помощи программы РС1
не привела к успеху, однако после применения к этой задаче
Л-преобразования решение было получено на интервале, равном одному
циклу орегонатора, т. е. для t € [0, 303]. Но при этом потребовалось очень
большое время счета на PC AT 286/287 (около одного часа). После при-
применения к задаче C.39), C.40) Л-преобразования, последняя примет вид:

3.3. Жесткие системы
99
100 200 300 400
5
4-
3-
2-
1-
100 200 300 400 t
Рис. 3.4.
dX Q' dX Q' dX Q' dX Q' ^Al)
= 3, 2/2@) = 1, 2/3@) = 2,
где Р{ — правые части системы уравнений C.39), <? = л/1+Р,2+Р22+Pj ¦

100 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
Было предпринято несколько попыток уменьшить время вычисле-
вычислений.
Так, ни к чему не привела попытка строить итерационный процесс
на (т+ 1)-м шаге согласно формуле
в которой параметры П, подбирались, исходя из некоторых оценок
нормы матрицы Якоби правой части системы, обеспечивающей условия
сходимости.
Зато существенное улучшение ситуации наступило после примене-
применения итерационной схемы, предложенной в [S3], в которой внешние
итерации осуществляются по Ньютону, а внутренние — по Зейделю.
Применительно к исследуемому случаю с учетом того, что, в виду авто-
автономности системы C.39), последнее уравнение системы C.41) является
следствием интегрирования первых трех уравнений, рассматриваемая
итерационная схема примет вид
(ft+i) _ (*)
У\,т+\ - У\,т+\
У2,т+\ - У2,т+\
(*+1) _
Данная схема определяет последовательные итерации по Ньютону
и только одну итерацию по Зейделю, сохраняя структуру метода Зейделя.
Здесь b{j — компоненты матрицы Якоби преобразованной системы
уравнений C.41), которые вычисляются по формулам
(ел2)
3/2
C-42)
Здесь /,• — правые части системы уравнений C.39), причем пред-
предполагается, что /„ = 1, //;- — производная /, по переменной yj,
i,j = l,n- 1, n = 4.
Но еще более эффективным вычислительный процесс становится,
если итерации проводить в соответствии с формулой C.24), т.е. решать
задачу при помощи программы РС1М. В этом случае один цикл пове-
поведения орегонатора, соответствующий изменению времени t в пределах
от 0 до 303, просчитывается на IBM PC AT 286/287 за 90с. при заданной

3.3. Жесткие системы 101
точности вычислений 10" и начальном шаге интегрирования Лд = 0,1.
Интересно отметить, что если из программы вычислений исключить про-
процесс простой итерации, то время счета увеличивается, т. е. наилучший
вычислительный процесс обеспечивается совместным использованием
итерационных формул B.30) и C.24).
Также была разработана программа, учитывающая в итерационном
процессе не только элементы, стоящие на главной диагонале матрицы
Якоби, но и наибольшие по абсолютной величине один или два внедиа-
гональных элемента. Так, например, если наибольшим внедиагональным
элементом является элемент by, то i-тую формулу итерационной схемы
C.24) следует подкорректировать слагаемым
(hba - \Xhbjj -1)
Однако, проведенные вычисления показали, что такая корректи-
корректировка не приводит к уменьшению времени счета, хотя наименьший
шаг интегрирования уравнений увеличивается. Это, по-видимому, объ-
объясняется тем, что полученное преимущество по шагу интегрирования
компенсируется усложнением алгоритма процесса.
Кроме того, для решения непреобразованной задачи C.39), C.40)
была использована программа DLSODE, которая является одной из по-
последних версий программ серии Гир, предназначенных для интегрирова-
интегрирования жестких систем уравнений. Эта программа взята из пакета программ
ODEPACK, собранных Хиндмаршем [100]. С ее помощью задача была
решена за 13 с.
Большое отличие во времени счета программ РС1М и DLSODE
объясняется тем, что последняя использует формулы интегрирования
до 5-го порядка точности, имеет алгоритм выбора оптимального порядка
BDF-формул и оптимального шага интегрирования.
Однако, задача C.41) была решена при помощи программ РС2М
за 70с, РСЗМ за 20с, РС4М за 17 с счета на PC AT 286/287.
Анализируя численные результаты, можно сделать выводы:
— программа РС1М, конечно, значительно уступает по времени сче-
счета программе DLSODE, но она не требует хранения информации,
полученной на предыдущих шагах. Это может оказаться решаю-
решающим при изучении многомерных задач механики сплошной среды,
которые приводятся к системам обыкновенных дифференциальных
уравнений высокого порядка;
— программа РС4М по времени счета уже незначительно отличается
от своего зарубежного аналога, однако, несомненным ее преимуще-
преимуществом является то, что при ее помощи могут быть проинтегрированы
задачи, имеющие замкнутую интегральную кривую или интеграль-
интегральную кривую, содержащую предельные точки, а также могут быть

102 Глава 3. Жесткие системы дифференциальных уравнений
решены некоторые уравнения, правые части которых обращаются
в некоторых точках в бесконечность.
Рассмотрим решение модельной жесткой задачи, которую предло-
предложил И. Бабушка [80, 37, 106]. С учетом того, что один интеграл этой
задачи известен, ее можно представить в виде
dy2 /ЛЧ ,л. .
л = а V ¦ "= ~ауз> М) = У2{0} = 1>
(с + ауг)уг - ъ) ¦ —J-, у3@) = 0,
/ У2 + У
f€[0,l] a = d=100, b = 0,9, с =1000.
В [37] отмечается, что ненулевой спектр матрицы Якоби этой
системы лежит по обе стороны от нуля на достаточном расстоянии.
Из-за этого шаг аппроксимации в явных и неявных методах с течением
времени не будет расти, оставаясь достаточно малым, и в неявных
методах возникнут дополнительные сложности при итерационном методе
нахождения решения.
После применения к задаче Л-преобразования, она была решена
при помощи программы РСЗМ на PC AT 286/287 за 24 с. Наиболь-
Наибольшая ошибка при t = 1 была равна 0,04. Заметим, что при решении
непреобразованной задачи такой точности достичь не удается.
Эта же преобразованная задача решалась на PC с 486 процессором.
Для достижения той же точности программе DUMKA [37, 106] потребо-
потребовалось 1,4с, а программе DLSODE [100] 0,03 с. При этом, если в про-
программе DUMKA правые части системы уравнений вычислялись 36074
раза, то в программе РСЗМ они вычислялись 4 223 раз, а в программе
DLSODE только 520 раз.
«Точное» решение было получено при помощи программ RADAU5,
DLSODE и при t = 1 было равно
у\ = 0,58367615856- 105, у2 = 0,171327881975 • 10,
у3 = 0,1903613486 • 10~5, у4 = 0,583667158388 • 104.
3.4. Жесткие уравнения в частных производных
Ранее Л-преобразование использовалось при решении задач малой
размерности (n ^ 4). Теперь исследуем решение жесткой системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности (п > 10),
к которой сводится решение уравнений в частных производных [33].

3.4. Жесткие уравнения в частных производных 103
В качестве примера исследуем жесткую задачу [97] о движении
прямоугольной упругой пластины при переезде ее автомобилем. Переме-
Перемещения пластины W(x, y,t) описываются следующими соотношениями
8W
DV2V2W + G— + ^- = f(x, y, t),
aw
Здесь V2V2 — бигармонический оператор; D = 100, G = 1000 —
параметры жесткости пластины и трения; V2 — оператор Лапласа,
5П — граница области п = {(х, у), 0 ^ х ^ 2, 0 ^ у ^ 4/3}, которая
разбивается на ячейки точками я,- = ih, yj = jh, h = 2/9, * = 1,8,
Нагрузка f(x, у, t) приближается суммой двух гессианов, которые
описывают движение в направлении оси х четырех колес
(*,»,«)=<
у = уи У =
Бигармонический оператор представляется в стандартном конечно-
разностном виде, использующим центральные разности
+ Wtj-2 - 8WfJ_i - SWiJ+i + WiJ+2
+ 2Wi+lJ+l
Согласно граничным условиям, в контурных точках рассматривае-
рассматриваемой пластины Wtj{t) = 0, а в предконтурных значение прогиба в два раза
меньше, чем в предшествующих точках, лежащих по нормали к контуру.
Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений
интегрировалась на отрезке [Q,t], t € [0,7] при помощи программы
РС1, в которой из-за малых значений прогиба, не превосходящих 10~2,
контролировалась не абсолютная, а относительная погрешность вычисле-
вычислений, полученная делением абсолютной погрешности на сумму квадратов
функций Wij. Оказалось, что применение преобразования в тринадцать
раз сокращает время счета и требует в 16 раз меньшего числа обращений
к вычислению правой части. А шаг интегрирования увеличивается более
чем в 10 раз.

Глава 4
Дифференциально-алгебраические
уравнения
Среди задач, решениями которых являются гладкие непрерывные
однопараметрические множества, можно выделить дифференциально-
алгебраические уравнения (ДАУ), которые сочетают в себе особенности
нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с особен-
особенностями ОДУ. Для таких задач можно поставить задачу Кош и, кор-
корректная постановка которой связана с необходимостью решения систем
нелинейных уравнений. В этой главе мы сформулируем и исследуем
алгоритм численного продолжения решения задачи Коши для различных
форм дифференциально-алгебраических уравнений.
4.1. Классификация систем ДАУ
Напомним, что системой неявно заданных обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений называется система вида
y(t) :Rl^Rn, te[tQ,T), Ф:Е2п+1^Г, у = %. DЛ)
at
Если матрица дФ/ду невырождена, то эта система может быть
разрешена относительно производных и представлена в явном виде
(в нормальной форме Коши)
y = <p(V,t), f = (<Pi,...,<Pnf. D.2)
Системой дифференциально-алгебраических уравнений называется
система вида
Р(У, У, х, t) = О, G(y, х, t) = 0,
F : E2n+m+1 -> 1", G : ln+m+1 -> Rm, D.3)
y(t): I1 ^ 1", x(t): I1 ^ lm, t € [tQ, T],
состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений F и не-
недифференциальных соотношений G, в качестве которых обычно рассма-
рассматриваются нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения.

4.1. Классификация систем ДАУ 105
При формулировании системы D.3) предполагается, что матрица
dF/dy не является вырожденной. Очевидно, что к системе уравнений
такого типа может быть сведена система D.1) в случае сингулярной
матрицы дФ/ду этой системы. Поэтому наряду с установившемся в по-
последнее время термином дифференциально-алгебраические уравнения,
для обозначения систем вида D.3) используется термин «сингулярные
системы уравнений» (см., например [81, 82, 8]).
Существует глубокая связь между дифференциально-алгебраиче-
дифференциально-алгебраическими уравнениями и сингулярно возмущенными уравнениями, которые,
как мы видели ранее, относятся к классу жестких систем обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений. В самом деле, когда в сингулярно
возмущенных уравнениях мы имеем малый параметр е, то получаем
жесткую систему уравнений. Если же этот параметр е устремить к нулю,
то приходим к дифференциально-алгебраическим уравнениям.
Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля, которое изучалось в класси-
классической работе [23], записав его в виде
Так как
то, введя обозначение у = ez' + z3/3 - z, имеем систему
= т. \ez + — - z = -z,
у' = -z, ez
--(*-)•
которую в общем случае можно записать в виде
У = НУ, *), ez = g(y, z).
Полученная система сингулярно возмущенных уравнений при малых
значениях параметра е будет жесткой. Если теперь параметр е устре-
устремить к нулю, то получаем систему дифференциально-алгебраических
уравнений
?
(у)°. D-4)
или в общем случае
y' = f(y,z), g(y,z) = 0.

106 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Задача D.4) имеет точное решение
\n\z\-j = t + C.
Это решение реализуется, если только начальные значения ле-
лежат на кривой L, задаваемой вторым уравнением системы D.4). Осо-
Особый интерес представляют точки этой кривой, имеющие координа-
координаты у = ±2/3, z = т1 в которых производная дг = dg/dz обращается
в нуль. Ветвь -1 < z < 1 кривой L является неустойчивой (gz > 0),
поэтому в отмеченных точках происходит перескок решения на другую
устойчивую ветвь (дг < 0).
Системы дифференциально-алгебраических уравнений принято ха-
характеризовать дифференциальным индексом. Рассмотрим это понятие
вначале на примере системы D.1). Система уравнений D.1) имеет диф-
дифференциальный индекс г, если г есть минимальное число дифференци-
дифференцирований
„ „, о о,
переводящее систему D.1) в явную систему D.2).
Из определения следует, что если матрица системы D.1) дФ/ду
не является сингулярной, то эта система имеет дифференциальный ин-
индекс, равный нулю. В этом случае система приводится к каноническому
виду D.2) без дифференцирований.
Дифференциальный индекс системы D.3) определяется следующим
образом. В силу того, что матрица dF/dy не сингулярна систему можно
представить в виде
y = f(y,x,t), G(y,x,t) = 0. D.5)
Эта система имеет индекс, равный единице, если после дифферен-
дифференцирования второго векторного уравнения по t получаем систему вида
G,yy + G,xi + G,j = 0, D.6)
где G;X не сингулярна, поэтому система D.3) может быть записана явно
в нормальной форме Коши
Г У = /(*, У, *)
Если же матрица GiX сингулярная, то выражение D.6) принимает
вид

4.1. Классификация систем ДАУ 107
и его следует дифференцировать еще раз относительно t, и так далее
до тех пор, пока матрица, стоящая перед производной х, не станет
обратимой.
Таким образом, индекс системы дифференциально-алгебраических
уравнений D.3) равен наименьшему числу дифференцирований по t,
позволяющих определить х как непрерывную функцию у, х, t.
Заметим, что система уравнений D.1) с несингулярной матрицей
дФ/ду, имеющая индекс равный нулю, после введения новой функции
у = х может быть преобразована к системе типа D.3)
у = х, Ф(у,х,г) = 0, D.7)
которая имеет уже индекс, равный единице, т.е. преобразование D.1)
к виду D.7) увеличивает дифференциальный индекс на единицу [77].
В данной работе изучается численное решение задачи Коши системы
дифференциально-алгебраических уравнений, имеющей индекс, равный
нулю или единице. Однако, допускается, что в некоторых точках ин-
интегральной кривой производная Gx может вырождаться. Такие системы
наиболее часто встречаются в вычислительной практике.
Решение дифференциально-алгебраических уравнений является бо-
более сложной задачей по сравнению с решением обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. В [77] отмечаются следующие трудности:
1) начальные условия должны быть согласованными с недифференци-
недифференциальными соотношениями;
2) система линейных алгебраических уравнений, решаемая на каждом
шаге интегрирования, является плохо обусловленной для мелких
шагов. В [77] показано, что обусловленность системы равна О(Л"),
где v — индекс системы, Л — шаг интегрирования;
3) ошибка ограничения при выборе шага интегрирования чувствитель-
чувствительна к несогласованности в начальных условиях и резкому изменению
решения;
4) численное решение в большей степени зависит от точности аппрок-
аппроксимации итерационной матрицы, чем для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений.
Предложенный здесь подход построения численного решения задачи
позволяет ослабить некоторые из отмеченных трудностей.
Что касается согласованности, то начальные условия для системы
D.3) можно принять в виде
У(<о) = УО,
причем векторы уо и xq должны удовлетворять системе уравнений

108 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
По-видимому, первой работой, в которой исследуется численное
решение дифференциально-алгебраических уравнений, является рабо-
работа [94]. В ней система уравнений, описывающая процессы, протекающие
в электрических сетях, интегрировалась при помощи формул диффе-
дифференцирования назад. Проблема заключалась в решении линейных отно-
относительно производных дифференциальных уравнений и алгебраических
соотношений типа
А(у)у + В(у) = /(«), D.8)
где А(у) — матрица.
В настоящее время помимо многочисленных статей, посвященных
данной тематике, имеется несколько монографий [97, 81,82, 8, 77,95,96].
В работе [99] описывается программа LSODI, предназначенная
для интегрирования задачи Коши для неявных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, а в работе [114] программа интегрирова-
интегрирования задачи Коши для систем вида D.8), возникающих в электротехни-
электротехнике. Обе программы используют версию программы GEAR, основанную
на формулах дифференцирования назад. Программа DASSL [77, 108]
разработана для решения начальной задачи для неявной системы ви-
вида D.1), имеющей индекс, равный нулю или единице. В соответствии
с общим подходом, предложенным в [94], производная заменяется раз-
разностной аппроксимацией, использующей формулы дифференцирования
назад, а полученная система нелинейных уравнений решается методом
Ньютона—Рафсона, в котором матрица Якоби вычисляется не на каждом
шаге, а по мере необходимости.
Для решения аналогичной задачи разработана программа STIFSP
[14], в основу которой положена программа STIFF и метод равных
корней, предложенный в [14]. Программа предназначена для работы
с разряженными матрицами Ф)У Фу.
Программа RADAU5 [97, 96] разработана для решения начальной
задачи для системы типа D.8), имеющей индекс более двух. В отличие
от предыдущих программ здесь применяются неявные методы типа
Рунге—Кутта. Получающиеся при этом системы нелинейных уравнений
решаются модифицированным методом Ньютона. В [97] проводится
также сравнение эффективности различных программ.
В [8] описывается программа SINODE, осуществляющая решение
задачи Коши для системы уравнений типа D.8) с вырожденной матрицей
некоторыми численными методами (Рунге—Кутта, Адамса).
Численное решение задачи Коши для системы дифференциально-
алгебраических уравнений вида
»(*) = /(»,*,*), x(t)=g(y,x,t)
рассматривается в [35]. Предлагается комбинировать неявный метод Эй-
Эйлера с методом простой итерации или неявный метод Адамса с методом
Ньютона.

4.2. Аргумент системы дифференциально-алгебраических уравнений 109
\ Предложенный краткий обзор численных подходов к решению диф-
дифференциально-алгебраических уравнений отражает несомненные дости-
достижения в данной области, однако получанные результаты не ликвидируют
те трудности решения задач рассматриваемого типа, которые были отме-
отмечены выше.
Подход, предложенный в данной главе, позволяет ослабить часть
из этих трудностей. Как будет видно ниже, система линейных алгебраи-
алгебраических уравнений, получающаяся на каждом шаге процесса интегрирова-
интегрирования, будет наилучшим образом обусловленной, а в силу выбора аргумента
задачи ошибка будет менее чувствительна к резкому изменению решения.
В следующем разделе этой главы задача Коши для системы диффе-
дифференциально-алгебраических уравнений рассматривается с позиций ме-
метода продолжения решения по параметру и изучается вопрос о выборе
наилучшего параметра.
В монографии [77] отмечается, что при разработке программы
DASSL в систему дифференциально-алгебраических уравнений вводился
параметр и для отыскания решения использовался метод продолже-
продолжения, но вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения
не рассматривался.
4.2. Наилучший аргумент системы
дифференциально-алгебраических уравнений
Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциально-алгебра-
дифференциально-алгебраических уравнений
Г Р(У, У, x,t) = 0,
\G(y,x,t) = 0,
F = (Fu...,Fn)T, G = (Gu...,Gmf, *6R\
y(t) = B/1 (*), • • ¦, yn(t)f, *(*) = (*l (*), ¦ • ¦, xm(t)f,
У~ dt~\dt'"' dt ) '
2/0 = B/10, • ¦ • . Уп0)Т, Я0 = (хю, • • • , Жт0)Т-
Причем векторы уо> хо должны быть согласованными, т.е. удовлет-
удовлетворять системе уравнений G(yo, xq, to) = 0.
Интеграл задачи D.9)
/(у,М) = 0, f(yo,xo,to) = O, f = (fi,...,fn+mf D.10)
задает в (п+m+l)-мерном евклидовом пространстве Rn+m+I интеграль-
интегральную кривую К, процесс построения которой может быть представлен

110 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
как процесс продолжения решения у = y{t), х = x(t) по параметру t. Та-
Такой подход позволяет поставить вопрос о выборе наилучшего параметра
продолжения решения системы D.10), а значит, и наилучшего аргумента
задачи D.9).
Будем, как и в главах 1 и 2, вводить наилучший аргумент локально,
т.е. в малой окрестности каждой точки интегральной кривой К. Чтобы
найти наилучший аргумент, введем в окрестности рассматриваемой точки
параметр ft так, что
dfi = ctidyi + Pjdxj +fdt, i = T7n, j = \,m. D.11)
Здесь a,-, pj, f — компоненты ранее рассмотренного единичного
вектора а = (ai an, p\ рт, if 6 Rn+m+l, задающего на-
направление оси, по которой отсчитыается аргумент ц. Предполагается
суммирование в произведениях по повторяющимся индексам в огово-
оговоренных пределах.
Уравнения продолжения решения задачи D.10) получим, если
в предположении дифференцируемости функций yi(ft), Xj(fi), t(p)
равенство D.11) разделить на dp, а первое из соотношений D.10)
продифференцировать по ft:
ачУ>,г + PjHf + Т*,л* = 1. /,у,У.\/1 + Upiv + f^j> - °- D-•2)
Здесь приняты обозначения у,-^ = dyi/dp, />У). = df/dyt, ....
Однако такой подход неконструктивен, так как интеграл D.10)
до решения задачи D.9) неизвестен.
Уравнения продолжения могут быть получены иначе. Линеаризуем
вектор-функцию F относительно производных у,- в окрестности неко-
некоторых значений у, — у*, полученных, например, на предыдущем шаге
итерационного процесса или процедуры итерирования. Тогда имеем
F* +1* (п -у*)=0, i = Т7п.
Здесь вектор-функции F* и F*^ вычисляются при у,- = у*.
Принимая во внимание первое уравнение системы D.12) и равенства
Hi = &',/«/*,/«> til ~ У|>/С» а также дифференцируя вектор-функцию G
относительно ц, получаем следующее представление уравнений продол-
продолжения
aiVi^ +PjXj,ii +7t,n = 1,
О » 0, D.13)
Интегральная кривая задачи D.9) может быть построена в результа-
результате интегрирования системы дифференциальных уравнений, полученной

4.2. Аргумент системы дифференциально-алгебраических уравнений 111
после разрешения уравнений продолжения D.13) относительно произ-
производных с учетом начальных условий
\ У<@) = У«ь »*@)=*яь *(О)=*о- D.14)
Здесь предполагается, что аргумент у. отсчитывается от начальной
точки задачи D.9). Обусловленность системы D.13) зависит от выбора
аргумента ц, который определяется вектором а. Структура этой систе-
системы полностью совпадает со структурой системы A.37), рассмотренной
при доказательстве теоремы 1 о необходимых и достаточных условиях
выбора наилучшего параметра продолжения решения системы нели-
нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, содержащих
параметр. Таким параметром, доставляющим наилучешую обусловлен-
обусловленность системе продолжения, является длина дуги А, отсчитываемая
вдоль кривой множества решений системы D.10), которая в данном
случае является интегральной кривой К задачи D.9), а параметр про-
продолжения системы D.10) — аргументом задачи D.9). Аргумент ц = А,
обеспечивающий системе уравнений продолжения D.13) наилучшую
обусловленность, будем называть наилучшим. Напомним, что в качестве
меры обусловленности принимается величина определителя системы,
деленная на произведение квадратичных норм_ его строк. При доказа-
доказательстве теоремы 1 было показано, что в случае выбора наилучшего
аргумента ошибки, возникающие при численном решении задачи, будут
оказывать на решение наименьшее влияние.
Согласно правилу Крамера, решение системы D.13) в данном случае
можно представить в виде
dX Д1 dX Д ' dX Д ' Dil5)
* = T», 3 = T7m,
где Д — определитель системы, Д* = (-1)*+1?* (к = l,n+m+l),
6k — определитель, получающийся при вычеркивании в матрице пос-
последних п + т уравнений системы fc-ro столбца. Эти определители
удовлетворяют равенству типа A.46), которое можно записать в виде
D.16)
Это равенство показывает, что квадратичная норма правой части си-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений D.15) всегда равна
единице. Если аргумент А отсчитывать от начальной точки задачи D.9),
то начальные условия примут вид D.14).
Таким образом, опираясь на результаты главы 1, доказана следующая
теорема.

112 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Теорема 4. Для того, чтобы задачу Коши D.9) для системы диф-
дифференциально-алгебраических уравнений сформулировать относительно
наилучшего аргумента, необходимо и достаточно выбрать в качестве
такого длину дуги А, отсчитываемую вдоль интегральной кривой за-
задачи. При этом задача D.9) формулируется в виде D.15), D.14),
а правые части системы D.15) удовлетворяют равенству D.16)/
В следующих разделах, основываясь на этой теореме, сформулируем
алгоритм и опишем программы решения некоторых систем дифферен-
дифференциально-алгебраических уравнений. Эффективность работы программ
изучим при решении некоторых тестовых задач для дифференциально-
алгебраических уравнений. Отметим, что в [66, 30, 67] рассматривались
некоторые подходы к решению таких задач, но здесь описывается более
совершенный алгоритм.
4.3. Явно заданные дифференциально-алгебраические
уравнения
Под явно заданными уравнениями будем понимать систему, опре-
определяющую задачу Коши вида
yo, D17)
G(y,x,t) = 0, x(to) = xo,
у : R1 —»1", х : I1 —¦ Rm, / : 1
G : Kn+m+1 —* lm, G(y0, xo, t0) = 0.
Сформулируем задачу D.17), которая, очевидно, является частным
случаем задачи D.9) относительно наилучшего аргумента А. Пусть функ-
функции у = у(Х), х = х(Х), t = t(X) являются дифференцируемыми. Введем
обозначения
fl-Y —-X —-т
dX~*' dX~A> dX~1' D.18)
Y = (Fj,... ,Yn) , X = (X\,... ,Xm) .
После дифференцирования по А вектор-функции G, принимая
во внимание соотношения D.18) и смысл наилучшего аргумента, запи-
запишем систему D.17) в виде
GyyYi + G,XjXj + G<tT = 0, * ^ _1^1 D.19)

4\з. Явно заданные дифференииально-алгебраические уравнения
113
Т
\ Из-за последнего уравнения эта система является нелинейной отно-
относительно функций Y, X, Т. Однако, ее можно представить в линейном
виде\ если использовать решение, найденное на предыдущем (к - 1)-ом
шаге.Для этого перепишем систему D.19) в виде
Г
4=1,2,...
D.20)
Обозначим через
вектор размерности
n+m+l. В силу структуры системы D.20) этот вектор является касатель-
касательным к интегральной кривой К задачи D.17) в точке, соответствующей
fc-му шагу, поэтому последнее уравнение системы D.20) представля-
представляет собой скалярное произведение векторов Z^ и Z^k~l\ касательных
к интегральной кривой на fc-ом и (&-1)-ом шагах. Это уравнение утвер-
утверждает, что проекция вектора Z^ на направление вектора Z^k~1^ рав-
равна единице (см. рис. 4.1).
Заменив в D.20) неизвест-
неизвестный вектор Z^k' на извест-
известный Z^k~l\ мы обеспечива-
обеспечиваем такой локальный выбор
аргумента, который являет-
является близким к наилучшему.
Очевидно, что вектор
Z^k>, удовлетворяющий си-
системе линейных алгебраи-
алгебраических уравнений D.20), _ .
вообще говоря, не будет
единичным, как этого требует система D.19), поэтому после решения
системы D.20) найденный вектор Z^ следует нормировать по формулам
D.21)
При этом мы получаем решение системы D.19). Далее звездочку
в формуле D.21) опускаем.
Так как начальная точка обычно не бывает предельной, то в качестве
начального приближения вектора Z можно взять вектор
D.22)

114 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Полагая, что аргумент А отсчитывается от начальной точки задачи
D.17), можно предложить следующий алгоритм ее решения. /
Находим решение системы дифференциальных уравнений D.18),
удовлетворяющее начальным условиям /
У@) = «о, *@) = х0, t@) = t0. I D.23)
Правые части системы D.18) определяем из решения методом Гаус-
Гаусса системы линейных уравнений D.20) с последующей нормировкой
по формулам D.21).
При таком подходе можно обходить не только ситуации, возникаю-
возникающие из-за обращения в нуль якобиана GyXj, но и решать системы D.17),
у которых правые части / дифференциальных уравнений обращаются
в некоторых точках в бесконечность. Чтобы преодолеть возникающие
при этом трудности, достаточно переписать, если это возможно, пер-
первые п уравнений системы D.19) в виде
QaYa-PaT = 0.
Здесь а = 1, п и по индексу нет суммирования, а функции Qa, Pa
не обращаются в бесконечность.
Если же правые части / дифференциальных уравнений системы
D.17) не обращаются в бесконечность, то размерность системы D.20)
можно уменьшить на п единиц, записав ее в виде
Зная решение системы D.24) значения Y{ определяем по формулам
Yf = /,-Т^, после чего следует произвести нормировку вектора Z^
согласно соотношениям D.21) и использовать полученные значения как
правые части системы D.18).
В соответствии с этими двумя алгоритмами были разработаны на ал-
алгоритмическом языке ФОРТРАН программы DA1EXG, в которой решает-
решается система D.20), и DA1EXP, решающую систему D.24). Интегрирование
системы дифференциальных уравнений D.18) осуществляется при помо-
помощи программы РС1, а система линейных уравнений решается методом
Гаусса.
При разработке программ неизвестные функции у*, Xj, t, i = l,n,
j = 1,7л, задавались единым массивом уи, к = 1,п+тп+1; у,- = у*,
yn+j = Xj, Уп+m+i = t, а коэффициенты системы линейных уравнений
D.20) как элементы а^ матрицы порядка п+тп+].

4.^. Явно заданные дифференциально-алгебраические уравнения 115
\ Примеры
качестве первого примера рассмотрим задачу [82]
Г ^ 2
dt " ' y@) = 4, i@) = 2, D.25)
имеющую точное решение
у = 4е2', х = 2е*.
Интефирование задачи D.25) на отрезке t 6 [0,1] при помощи
программы DA1EXG требовало на 25% большего времени счета по срав-
сравнению с программой DA1EXP. Точность вычислений была практически
одинаковой.
В качестве второго примера исследуем задачу [77, 96]
У1+'7<У2 + A+'7)И2 = О, . dy
где g(t) — дифференцируемая функция, rj — число.
Задача имеет точное решение
D27)
Погрешность вычислений оценивалась по формулам
Ат = Ут-Ут, т = 1, 2, D.28)
we Ут — численное решение, ут — точное решение D.27).
В [77, 96] отмечается, что эта задача является трудной для любого
численного метода. Она имеет индекс 2, а численные методы на высоких
индексах часто неустойчивы. Так, решение задачи неявным методом
Эйлера неустойчиво, если щ < -0,5.
Применим для решения задачи D.26) вышеизложенный алгоритм,
понизив предварительно ее индекс и используя метод j -продолжений
(см. [8]). Для этого второе уравнение D.26) дважды продифференцируем
по t. С учетом первого уравнения получаем
3/2 = -№¦ { }
Решим эту задачу при начальных условиях
D.30)

116 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Задача D.29), D.30) решалась при g(t) = е' и rj = 1,т] = -2 на От-
Отрезке t 6 [0,1]. При практически одинаковой точности вычислений
программа DA1EXG требовала на 30% большего времени счета. При7 по-
помощи программы DA1EXP в момент t — 1 были получены следующие
результаты (tC4 — время счета)
ч = 1, *сч = 57с, Д1=0,3-10-2, Д2 = -0,73 • 10~3,
v = -2, tC4 = 68с, Д, = -0,28 • Ю-2, Д2 = -0,57 • 10+3.
Таким образом, если нет необходимости, то лучше проводить вычи-
вычисления при помощи программы DA1EXP.
Рассмотрим решение задачи, в дифференциальное уравнение кото-
которой производная входит нелинейно,
y-t-y + lny = 0, y(l) = e. D.31)
Ее аналитическое решение у = е*. Точность вычислений оцениваем
по формуле
Д = 2/-е', D.32)
где рассматриваются численные значения функций.
Уравнение D.31) имеет также особое решение у = t + 1, именно
поэтому решение отыскивается при 1 ^ ? ^ 2, где интегральные кривые
не соприкасаются.
Преобразуем задачу D.31) к виду D.17)
Tt=x, y(l) = e,
у — t- x + \nx — 0, x(l) = e.
Эта задача решалась при помощи программы DA1EXP при началь-
начальном шаге интегрирования 0,001 с точностью 10~5 на PC AT 286/287 31с.
В момент t = 2 ошибка, подсчитанная по формуле D.32) была равна
Д = 0,28 • 10~2. Начальный шаг интегрирования трижды удваивался.
4.4. Неявно заданные обыкновенные дифференциальные
уравнения
Рассмотрим задачу
Ж> У1,--,Уп, У1,---,Уп) = 0,
. _ т . _dVi D.33)
Если матрица Якоби df/dy не является сингулярной, то рассма-
рассматриваемая система неявных уравнений является системой дифферен-
дифференциально-алгебраических уравнений индекса нуль.

4.4. Неявно заданные обыкновенные дифференциальные уравнения 117
Введением новых переменных х,- = у{ эта задача преобразуется
в задачу с расширенным пространством решений D.17). Кажется, что
это снимает проблему решения задачи D.33), так как алгоритм решения
задачи D.17) разработан и подробно описан в предьшущем разделе.
Однако, как показывает пример, приведенный ниже, такое преобра-
преобразование не всегда оправдано и может даже привести к непреодолимым
вычислительным трудностям.
Рассмотрим задачу Коши для вырожденного уравнения Ван-дер-
Поля D.4), записанного в неявном виде
A~У2)^-У = О, „(О) = 2.
Частный интеграл этой задачи можно представить в виде
D.34)
D.35)
График этой непрерывной функции в осях (у, t) показан на рис. 4.2
сплошной линией.
1 2 t
Рис. 4.2.
Если же задачу D.34) преобразовать к виду D.17), в каком она
приводится в [96], то получим
У@) = 2,
D.36)

118 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Интегральная кривая этой задачи в пространстве переменных t, у± х,
пунктирная кривая на рис. 4.2, имеет разрыв вдоль прямой у ~ \,
t = 3/2 - In 2 и, естественно, при интегрировании задачи D.36) любым
численным методом в окрестности этой прямой возникнут непреодоли-
непреодолимые вычислительные трудности.
Приведенный пример показывает, что следует быть осторожным
при переходе от задачи D.33) к задаче с расширенным пространством
решений D.17), хотя в отдельных случаях такой переход допустим
и оправдан, несмотря на то, что он увеличивает индекс системы на еди-
единицу.
Рассмотрим алгоритм численного решения задачи D.33) без пре-
преобразования ее к виду D.17). Ясно, что задача D.33) является частным
случаем задачи D.9). Сформулируем задачу D.33) относительно наилуч-
наилучшего аргумента.
Пусть величины yt, t являются функциями наилучшего аргумента А,
отсчитываемого от начальной точки задачи D.33). Введем обозначения
правые части которых, учитывая смысл наилучшего аргумента, удовле-
удовлетворяют равенству
YiYi+T2 = l. D.38)
Линеаризуем систему D.33) относительно функций гц, а равенство
D.38) — относительно функций Y{ и Т. Тогда с учетом соотношений у,- =
Yi/T получаем систему линейных уравнений относительно функций Yt-
и т(к>, вычисленных на fe-ом шаге итерационного процесса
(*-!)(*) (fc_i)fr(ft) = j
D 39)
= 0.
Здесь звездочкой помечены векторные функции, вычисленные при
2/i = Yt- ~ '/т(к~1'. Систему D.39) рекомендуется записывать таким обра-
образом, чтобы, по возможности, отсутствовали соотношения, обращающие-
обращающиеся в бесконечность, и деление на Y{, Т.
Если начальная точка не является предельной, то начальное значе-
значение вектора Z = (У\,..., Yn, T)T можно взять в виде
^@) = @,.... 0,1). D.40)
Таким образом, проблема заключается в интегрировании систе-
системы дифференциальных уравнений D.37), удовлетворяющей начальным
условиям
D.41)

4.4. Неявно заданные обыкновенные дифференциальные уравнения 119
Правые части системы D.37) определяются из решения системы
D.39) с последующей нормировкой по формулам типа D.21).
Понятно, что последние п уравнений системы D.39) определя-
определяют процедуру Ньютона—Рафсона, поэтому систему уравнений D.39)
следует решать до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется
с принятой точностью е : \\Z^k' — Z^k~l'\\ < e. Заметим, что при ис-
использовании при интегрировании системы ОДУ D.37) программы РС1,
это условие реализуется благодаря методу прогноза и коррекции. В ка-
качестве начального приближения итерационного процесса принимается
решение, вычисленное на предыдущем шаге процедуры интегрирования.
Очевидно, система D.39) будет иметь наиболее простой вид в том
случае, когда система дифференциальных уравнений D.33) линейна
относительно функций гц, т. е. имеет вид
dy;
ац(Уи¦ ¦ ¦,Уп, t)-? + 9i(yh...,yn, 0 = 0» *,3 = 1,»•
При этом, как ранее отмечалось, несмотря на приближенность
последнего уравнения системы D.39), после нормировки получается
решение нелинейной системы
не зависящее от У|- , Т** ''.
В соответствии с изложенным алгоритмом была разработана вычи-
вычислительная программа DE1ILN, в которой интегрирование задачи D.37),
D.41) осуществлялось с помощью программы РС1, а система D.39)
решалась методом Гаусса.
Для решения нелинейной задачи D.33) можно предложить дру-
другой алгоритм, не требующий линеаризации уравнений, но требующий
дополнительного дифференцирования. Рассмотрим его.
Принимая во внимание равенства у,- = Yi/T, перепишем уравнения
D.33) таким образом
F(t, yi,...,yn,Yu...,Yn,T) = 0, F = (FU...,Fnf, D.42)
чтобы, по возможности, отсутствовали соотношения, обращающиеся
в бесконечность, и деление на Yi, Т.
После дифференцирования выражений D.38), D.42) по Л получаем
систему линейных уравнений
Г ад1 + F,TT' = -F^Yi - FttT,

120 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
относительно функций
^7 = tf, ^=Г'> i = T^, D.44)
ал ал
и проблема заключается в интегрировании системы дифференциальных
уравнений D.37), D.44), удовлетворяющей начальным условиям D.41)
и условиям
2Ь, « = ТЯ D.45)
Правые части уравнений D.44) определяются в результате решения
линейной системы D.43), а начальные значения D.45) функций Y^, Tq
находятся из решения следующей системы
, J/io, ¦ ¦ ¦, УпО, Yi0,..., Гп0, Т0) = 0,
D.46)
В соответствии с изложенным алгоритмом разработана вычисли-
вычислительная программа DE1IN, в которой интегрирование систем диффе-
дифференциальных уравнений производилось посредством программы РС1,
а система линейных алгебраических уравнений решалась методом Гаусса.
Примеры
В качестве примера рассмотрим решение задачи D.34). Погрешность
вычислений подсчитывается по формуле, стоящей слева в равенстве
D.35), в которой используется численное решение. Задача интегрируется
от точки А до точки В (рис. 4.2), соответствующей значению t = -2.
Решение задачи при помощи программ DE1ILN было получено
за 28 с. Ошибка Д при t = -2 была равной Д = 0,55 • 10~ . Начальное
значение вектора Z принималось в виде D.40).
Эта же задача при тех же условиях решалась при помощи програм-
программы DE1IN 43 с. Погрешность Д составила значение Д = 0,27- 10" .
Начальные значения Yq = -2/л/ГЗ, То = 3/л/ГЗ определялись из реше-
решения нелинейной системы уравнений
Г A - yfoYo - у0Т0 = 0,
Отметим, что уравнение D.34) может быть записано в виде, разре-
разрешенном относительно производной. Если применить А-преобразование,

4.4. Неявно заданные обыкновенные дифференциальные уравнения 121
то задача D.34) примет вид
( dy
У@) = 2,
у/A-У2J+У2
Эта задача была проинтегрирована при помощи программы РС1
за 14с. Ошибка Д при t = -2 была равна Д = 0,55 • 10~2.
В качестве другого примера рассмотрим решение задачи D.26),
преобразованной к виду D.29).
Решение этой задачи для t 6 [0,1] при помощи программы DE1TLN
приводит к следующим результатам, когда g(t) = e':
0~3
= 0,79 • 10~3, Д2 = 0,21 • 10
~3
0
0
ц = -2, tc4 = 42с, А{ = 0,23 • 10, Д2 = -0,53 • 10"
Здесь погрешности вычислений подсчитывались по формулам D.28)
при t = 1, а начальное значение вектора Z принималось в виде D.40).
Интегрируя задачу при помощи программы DE1IN, получаем:
Д2 = -0,33 • 10,
0
= -0,93 • 1(Г4,
v = 1, *сч = 48с,
т/= -2, iC4 = 51с, Д, =0,79-10~3, Д2 = 0,2Ы0"
Начальные значения D.45) определялись из решения в начальной
точке нелинейной системы уравнений
и оказались равными
_ A+чЩО) _ 9@) _ 1
Yl0- , Y20--—, Го--,
Наконец, рассмотрим решение задачи D.31). После линеаризации
относительно производной у, система D.39) примет вид
- 0
D.47)

122 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Из-за наличия в системе логарифма не всякое начальное зна-
значение вектора Z будет удачным. Так, к неудачам приводят значе-
значения @,1); A,1)/\/2; A,л/3)/2; A,2)/V5.
Если же при решении системы линейных уравнений D.47) взять
точное начальное значение вектора Z
z@) _ (f^l) g = (i + e2)l/2 D.48)
Q '.
получающееся из решения в начальной точке системы
У Г _
Г2+Г2 = 1,
или принять Z^ в виде (л/3,1)/2; B,1)/л/5 близком к точному, то
получаем достоверное решение задачи, которое не зависит от начального
значения Z, если решение системы D.47) сопровождается нормировкой
вектора Z. Если нормировка отсутствует, то достоверные результаты
получаются только при точном значении Z*', определяемом равенст-
равенством D.48).
Решение задачи D.31) на отрезке t 6 [1,2] строилось при помощи
программы DE1ILN за 23 с. Ошибка D.32), вычисленная при t = 2, была
равна Д = 0,29- 10~2.
Рассмотрим решение этой задачи при помощи программы DE1IN.
Уравнение типа D.42) примет вид
(y-t + lnY -1пГ)Т-Г = 0.
Производные Y1, Т' удовлетворяют системе линейных уравнений
{{% ~ Ч Y> + (У ~ t + \nY - In Г - 1I" = (Г -Y)T,
ГГ' + ГГ'-О
При интефировании системы дифференциальных уравнений D.44)
начальные условия для функций Y, Т с учетом D.46) следует взять в виде
Задача была решена за 27 с. Погрешность в момент t — 2 была равна
Проведенные исследования позволяют сделать некоторые выводы.

4.4. Неявно заданные обыкновенные дифференциальные уравнения 123
Начальное значение вектора Z в программе DE1ILN не всегда
можно принять в виде D.40). Иногда следует поварьировать его компо-
компоненты или выбрать их близкими к точным значениям, получающимся
из решения системы D.46).
Наличие нормировки решения системы линейных уравнений D.39)
гарантирует от неприятностей, связанных с приближенным значением
вектора Z^°K
Переход от неявной системы дифференциальных уравнений D.33)
к явной системе дифференциально-алгебраических уравнений D.17) при-
приводит к увеличению времени счета и к уменьшению точности вычисле-
вычислений.
По сравнению с программой DE1ILN программа DE1IN имеет
большее время счета, но, как правило, более высокую точность вычисле-
вычислений. Однако, существенными недостатками программы DE1IN являются
следующие:
— переход к системе D.43) сопряжен с дополнительным дифференци-
дифференцированием, что может оказаться довольно сложной задачей;
— интегрируется система дифференциальных уравнений D.37), D.44)
в два раза большего порядка, что может привести к большому
времени счета при решении неявных систем уравнений высокого
порядка;
— наконец, программа требует точного решения нелинейной системы
D.46), из которой определяются начальные условия D.45).
В качестве еще одного примера рассмотрим численное интегрирова-
интегрирование неявной системы кинематических уравнений Эйлера B.40). Матрица
этой системы вырождается вблизи значения угла в = 0 и решение этой
системы с помощью программы DE1ILN при условиях ш\ = -100,
Ш2 = 1. <*>з = 0, ф = tp = t = 0, в = тг/100 приводит к неудаче.
После применения к системе B.40) Л-преобразования ее можно
записать в виде
sin в sin tp
sin в cos tp
COS0
21
0
0
1
22
cosp
-sinp
0
23
—wi \
-W2 I
-W3 1
24 У
^A 1 -
1 0,x I
Эта система уравнений успешно решается при помощи программы
DE1ILN как при условиях ш\ = -100, и>2 = 1, Шз — 0» "Ф = 9 — t — 0.
в = тг/100, так и при последнем условии в = 0, если начальное значение
вектора Z принять в виде Z^ = A,0, 0,0).

124 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Заметим, что таким же образом численно может быть успешно
решена система кинематических уравнений для самолетных углов [36]
/ sintf 0 1
I cos ti cos 7 sin 7 0
\-cos 4? sin 7 C0S7 0
Здесь ¦ф — угол рыскания, ¦д — угол тангажа, у — угол крена.
Матрица этой системы вырождается при •& = тг/2. После применения А-
преобразования последняя система примет вид
sin <?
cos ¦д cos 7
- cos ¦d sin 7
z\
0
sin 7
cos 7
Z2
1
0
0
Z3
-w2
-«3
Z4 /
[b
- °
г °
4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические
уравнения
Под неявно заданными понимаются дифференциально-алгебра-
дифференциально-алгебраические уравнения, определяющие задачу Коши вида
Г f(t, У\,---,Уп, х\,...,хт, У\,.--,уп) = 0,
{G(t, уи...,у„, хи...,хт) = 0,
yi(k) = УЯ, Xj(tQ) = xjQ, г - 1, п, j = 1, т,
/ = (/!,.. -./пГ, G = (Gu...,Gm)T,
G(t0, y\o,..., у„о, xio, • • •, xm0) = 0, у{ = —.
Введением новых переменных z* = jf,- эта задача преобразуется в за-
задачу с расширенным пространством решений D.17), определяемую явно
заданными дифференциально-алгебраическими уравнениями. Однако,
как показано выше, такой подход может привести к вычислительным
трудностям.
Рассмотрим алгоритм решения задачи D.49) без преобразования
ее к виду D.17). Для задачи D.49) доказана теорема 4 о наилучшем
аргументе А. Сформулируем задачу относительно этого аргумента.
Пусть yt = yi(X), Xj = Xj(A), t = t(X) являются дифференцируемыми
функциями аргумента А, отсчитываемого вдоль интегральной кривой
от начальной точки задачи Коши D.49).
С учетом обозначений D.18), принимая во внимание смысл наилуч-
наилучшего аргумента, получаем равенство
2 = l. D.50)

4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические уравнения 125
Линеаризуем систему D.49) на (к - 1)-ом шаге итерирования от-
относительно функций у*, равенство D.50)-относительно квадратичных
слагаемых, а вектор-функцию G дифференцируем по А. Получаем систе-
систему линейных уравнений относительно функций Yi,Xj,T, вычисляемых
на Л-ом шаге
*1)^ (') М)« = о,
D.51)
Звездочкой помечены функции, вычисленные при
Если начальная точка не является предельной, то начальное зна-
значение вектора Z = (Yj,..., Yn, X\,..., Хт, Т)Т можно принять в ви-
виде D.22); проблема состоит в интегрировании системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений D.18), правые части которой определяются из решения
системы линейных уравнений D.51) с использованием метода Ньютона—
Рафсона и с последующей нормировкой по формулам D.21). Так как
аргумент А отсчитывается от начальной точки задачи D.49), то начальные
условия для системы D.18) будут иметь вид
*o, «=l,n, j = I,m. D.52)
Очевидно, что в случае системы D.49), линейной относительно про-
производных &, такой подход позволяет отыскивать решение системы D.51),
которое не требует итерационного уточнения, не зависит от решения,
найденного на предыдущем шаге, и удовлетворяет равенству D.50).
В соответствии с этим алгоритмом разработана вычислительная
программа DA1ILN, в котрой интегрирование дифференциальных урав-
уравнений осуществлялось при помощи программы РС1, а система линейных
уравнений решалась методом Гаусса.
Отметим, что наличие программы метода прогноза и коррекции РС1
обеспечивает итерационное уточнений решения линеаризованных систем
D.39), D.51), когда производные & входят нелинейно в уравнения задач
D.33), D.49).
Другой алгоритм решения задачи D.49) заключается в следующем.
Перепишем первое векторное уравнение задачи с учетом равенств jfc =
в виде
F(t, уи..., у„, х,, -.., хт, Г,,..., Г„, Г) = 0. D.53)

126 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
При записи этого соотношения следует придерживаться правил,
оговоренных выше.
Продифференцируем выражения D.50), D.53) по Л один раз, а век-
векторную функцию G системы D.49) два раза, тогда получаем следующую
систему линейных уравнений относительно производных от функций Yi,
Xj, Т
FtYiY? + *>!* = -(ад + F)Xj Xj + FitT),
G>yiY> + G^X'j + GfT' = -(G\yiYi + G^Xj + G'^T), D.54)
YtY- + XjX'j + TT1 = 0.
Здесь штрих означает дифференцирование по Л:
§-*¦ ?-;¦ §-*¦
Таким образом, проблема заключается в интегрировании системы
дифференциальных уравнений D.18), D.55), удовлетворяющей началь-
начальным условиям D.52) и
Yi0 Xy@) = Xi0 T@) = 2b,
D-56)
г = 1,п, .7 = 1, го.
Правые части уравнений D.55) удовлетворяют системе линейных ал-
алгебраических уравнений D.54), а начальные условия D.56) определяются
из решения нелинейных уравнений
, Ую, ¦ • •»УпО, zio. • • •»а?то. Уш» • • •»5^0» 2о) = 0,
o + G% Xjo + G°4T0 = 0, D.57)
где нуль при производной от векторной функции G означает, что
производная вычисляется в начальной точке задачи D.49).
В соответствии с этим алгоритмом разработана программа DA1IN,
интегрирующая дифференциальные уравнения при помощи программы
PC 1 и решающая систему линейных уравнений методом Гаусса.
Примеры
Рассмотрим задачу Коши для системы
A — у ) у = О,
x2+4{y-O,5J + t2 = 32,
«М-». D.58)

4.5. Неявно заданные дифференииально-ал[ ебраические уравнения 127
Интегральная кривая задачи получается в результате пересечения
поверхности цилиндра D.35) с поверхностью эллипсоида, заданного
вторым уравнением системы D.58).
Ошибку вычислений можно оценить по формулам
где фигурируют численные значения функций.
Задача решалась при помощи программы DA1ILN с начальным ша-
шагом интегрирования по переменной А, равным 0,001, и точностью КГ5
до значения t = -2. Время счета *Сч составило 138с. Ошибки, подсчитан-
подсчитанные по формулам D.59), были равны А{ = 0,22-10~2, Дг = -0,96-10~2.
Система линейных уравнений D.51) имела вид
А(у - 0,5)У(*> + ххМ + <Т<*> = 0, D.60)
Если при решении этой системы начальное значение вектора Z взять
в виде D.22), то получается вырожденная система уравнений, но она
с одинаковым успехом решалась при Z^' = @,1,0), Z^ = A,1,1)/л/3.
Отметим, что если определители, стоящие в правой части преобра-
зованой системы D.15), подсчитывать по правилу Крамера с учетом
равенства D.16), то при сохранении той же точности вычислений время
счета возрастает до 163с.
При решении задачи D.58) посредством программы DA1IN получаем
следующие результаты tC4 = 163 с, Д) = -0,3 • 10, Дг = 0,13 • 10.
В этом случае система линейных уравнений D.54) имела вид
(l-y2)Y'-yT' =
4(у - 0,5)У + хХ' + tT' = -4Y2 -X2- Г2,
YY' + XX' + ТТ' = 0.
Начальные условия для системы дифференциальных уравнений
D.55) определялись из решения в начальной точке задачи D.58) уравне-
уравнений D.60) при
()
-i) = X® = X = Хо, D.61)

128 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
и оказались равными
0, Х0 = Х@)=1, Т0 = Т@) = 0.
Чтобы образовать в системе D.58) зависимость первого уравнения
торого, подставим в первое уравнение выра
из второго, тогда первое уравнение примет вид
от второго, подставим в первое уравнение выражение 1 - у , найденное
(x + t4y4)^4y = 0.
at
Решение задачи D.58) при таком первом уравнении дало следующие
результаты:
программа DA1ILN tC4 = 141 с, А{ = 0,45 • 10, Д2 = -0,95 • 10~2;
программа DAI IN tc4 = 167 с, Д, = 0,49-Ю, Д2 =-0,13 • 10.
Заметим, что эта задача является трудной для любого традиционного
численного метода решения обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. Помимо ранее отмеченной предельной точки, лежащей на пря-
прямой у = 1, t = 3/2 - In 2, здесь присутствует неприятность в начальной
точке. В ней обращается в нуль производная GtX = 2х, что делает
невозможным определение функции X при обычном подходе.
В качестве другого примера рассмотрим задачу, в уравнение которой
производная входит нелинейно,
0, y(\) = e,
< , , , D-о2)
\y-x2-t2 = 0, x(l) = Ve^T.
Пространственная интегральная кривая задачи получается в резуль-
результате пересечения поверхности цилиндра у - е* — 0 с поверхностью
параболоида, заданного вторым уравнением системы D.62). Ошибку
вычислений оцениваем по формулам
Д,=у-е{, Д2 = у-х2-*2, D.63)
где присутствуют численные значения функций.
Задача D.62) при начальном шаге интегрирования по перемен-
переменной А = 0,001 и точности вычислений программы РС1 10 решалась
при помощи программы DA1ILN на отрезке t € [1,2] за 38с. Ошибки
D.63), вычисленные в момент t = 2, имели значения Д] = 0,29- 10" ,
Д2 = 0,9- 10~3.

4.5. Неявно заданные дифференииально-алгебраические уравнения 129
Система линеаризованных уравнений D.31) имела вид
= О,
+X(k-l)x(k) +T(k-l)T(k) _ j_
При решении задачи рассматривалось как точное значение вектора
2\/t-\
найденное из решения системы
D.64)
- 2Г0 = О,
так и приближенное Z^' = B,2,1)/3. На решение задачи это влияния
не оказывало.
При помощи программы DA1IN задача D.62) решалась 43 с. Погреш-
Погрешности в момент времени t = 2 были равны Д] =0,15-10, Дг=0,68-10.
Значения производных Y', X', Т' определялись из решения системы
линейных алгебраических уравнений
Y' - 2xX' - 2*2" = 2(X2 +T2),
а система дифференциальных уравнений D.55) интегрировалась при на-
начальных условиях, определяемых значениями D.64).
Чтобы в системе D.62) образовать зависимость первого уравнения
от второго, первое уравнение принималось в виде
В этом случае получены следующие результаты решения задачи:

130
Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Г2
0;
программа DA1ILN <сч = 39 с. Д] = 0,21 • 1(Г2, Д2 = 0,91 • 10"
программа DA1IN tC4 = 44c. А\= 0,79-10~3, Д2 = 0,51 • 10
Эта же задача, преобразованная к виду
xi + Г - t -;
In a?2 = 0,
у
- х\ - t2 = 0,
решалась при помощи программы DA1EXP. Система уравнений D.20)
имела вид
= о,
(j- - Л
= 0,
= О,
- О Х W
Начальный вектор ^ принимался в виде D.22). Время счета соста-
составило 43с, а ошибки вычислений Ai = 0,28 • 10~2, Д2 = 0,99 • 10.
В качестве еще одного примера рассмотрим решение задачи Коши
для дифференциально-алгебраических уравнений, которая имеет замкну-
замкнутую интегральную кривую
D.65)
где Р = Р(у, t) = у +t -at; a, b — заданные числа. Интегральная кри-
кривая задачи получается в результате пересечения поверхности цилиндра,
направляющей которого является кривая, называемая улиткой Паска-
Паскаля, описываемая уравнением Р2(у, t) - Ь2(у2 +12) = 0, с поверхностью
эллипсоида, заданной вторым уравнением системы D.65).
Для того, чтобы система оказалась связанной, учитывая уравне-
уравнение элипсоида, выражение для функции Р(у, t) записывалось в виде
Р = P(y,t, х)=16-х2- Зу2 - at.
Для оценки погрешности использовались соотношения
Al=(y2 + t2-atJ-b2(y2 + t2),
Д 42 2+*216
в которые подставлялись вычисленные значения функций.

4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические уравнения 131
Задача решалась с точностью 10~5 и с начальным шагом интегри-
интегрирования по аргументу А, равном 10 , для о = 1, b = 1,5 при помощи
программы DA1ILN. Вся интегральная кривая была построена за 160с.
В конце ее обхода ошибки, подсчитанные по формулам D.66), были
равны Ai = 0,036, Д2 = -0,042.
Система уравнений D.S1) имела вид
( BР - b2)yYW - [bh - PBt - а)]тЮ = 0,
| 0, D-67)
Начальное значение вектора Z принималось в виде ZK)—{
Задача также решалась при помощи профаммы DA1IN. Время счета
составило 255 с, а ошибки Д| = -0,012, Дг = -0,037.
Система уравнений D.54) имела вид
' BР - b2)yY' - [b2t - PBt - а)]Т' =
= -[2Р'у + BР - b2)Y]Y + [Ь2Т - P'Bt - о) - 2РТ]Т,
4yY' + хХ' + tT' = -AY2 -X2- Т2,
{YY' + XX'+TT1 = 0,
где Р* = -2хХ - 6yY - aT.
Система дифференциальных уравнений D.18), D.55) интегрирова-
интегрировалась при начальных условиях
у@) = Ь, х@) = 2\/4 - Ь2, Щ = О,
2аЬ
EZ> X@) = ~,
Q = ^4(а2 + Ь2) + За2Ь2 - Ь4,
в которых значения функций Y, X, Т найдены из решения системы
уравнений D.67) при условиях D.61).
Результаты данного раздела подтверждают выводы, сделанные в пре-
предыдущем разделе. Как и предполагалось, при увеличении размерности
решаемой задачи время счета ее при помощи программы DA1IN зна-
значительно возрастает, хотя по точности вычислений программы DA1IN
и DA1ILN близки.
Следует обратить внимание на использование при интефировании
задач, нелинейно зависящих от производных 2Л, программы DA1EXP,
которая при несколько большем по сравнению с программой DA1ILN

132 Глава 4. Дифференииально-алгебраические уравнения
времени счета приводит к результатам практически той же точности.
Но в данном случае линеаризация уравнений не требуется. Поэтому,
если перевод задачи в расширенное пространство решений, о котором
говорилось выше, не приводит к недоразумениям, по-видимому, разумно
использовать программу DA1EXP.
Обратим внимание еще на один момент. В [77] показано, что ошибка
из-за плохой обусловленности концентрируется в алгебраической пере-
переменной и ее нет в дифференцируемой переменной. Это предлагается
использовать для контроля точности вычислений. Анализ численных ре-
результатов, полученных в данном исследовании, показывает, что отмечен-
отмеченные ошибки близки. Это может указывать на хорошую обусловленность
вычислительного процесса.
В качестве более сложной рассмотрим модельную задачу о раскрытии
купола осесимметричного парашюта под действием заданного перепада
давлений р. Аэродинамическое влияние строп не учитывается. Материал
стропы и ленты радиального каркаса подчиняется при растяжении закону
Гука
* •-?>¦¦
о, KI,
где N — усилие; Е — модуль упругости, имеющий размерность силы;
dS и ds — длина элемента дуги соответственно в деформированном
и недеформированном состояниях.
Если обозначить через то и т массы единицы длины стропы
или ленты радиального каркаса с прилегающей к ней тканью вме-
вместе с кольцевым каркасом соответственно в недеформированном и де-
деформированном состоянии, то с учетом диссипативных сил уравнения
движения осесимметричного парашюта примут вид [54, 7]
д2х д /Ndx\ дх 2-кгдг
moW = d-s{TTs)-elm-plTTs6'
д2г д /Ndr\ ,дг 2жгдхс .. ,о.
{Ts)-slm+plFirs6> D'68)
2
Здесь х, г — оси неподвижной системы координат (рис. 4.3)
с началом в куполе парашюта; t — время; е — коэффициент диссипации;
М — число строп парашюта; параметр 6 = 1 для ленты радиального
каркаса и 6 = 0 для стропы.

4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические уравнения 133
1,0-
0 0,5 1,0 1,5
Рис. 4.3.
Введем безразмерные величины
«* - — т* -hi -• - Л. ,.• - _L
~Д0' С~ДО' Ко' Ко'
_
* _ ?До
e
МЕУ'
где ггас — масса единицы длины стропы; Lc — длина стропы; До —
раскройный радиус купола парашюта.
С учетом введенных обозначений система уравнений D.68) запи-
запишется в виде
д1х _ тпс
дт2 ~ тп0
д2г тпс
MraJa7 + |1^
д2
\ (
дх дг
l
дг дх
Z +
В этих уравнениях звездочка при безразмерных величинах опушена;
v = Ес/Е, если Z > 1, v — 0, если J < 1, J5e — модуль упругости
материала стропы.

134 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Начальные условия для системы D.69) принимаем в виде
аг(О, s) = xo(s), r@, s) = ro(s),
дт "хк°"
В силу симметрии рассматриваем только половину парашюта, по-
поэтому граничные условия будут иметь вид
х(т, 0) = 0, г(т, 0) = 0,
D.71)
Для решения задачи D.69)—D.71) применялся метод прямых по ко-
координате s, согласно которому безразмерная начальная длина ленты
паргшютной системы Lc + 1 делилась на (п - 1) равную часть с шагом
Л = (Lc+ 1)/(я - 1). Производные по координате s аппроксимирова-
аппроксимировались центральными разностями, имеющими второй порядок точности,
которые, записанные для функции Z(s) в fc-ой точке A <к <п), будут
иметь вид
5? Zk+l - gt-i д^? Zk+l - 2Zk + Zk+l
ds 2h ' ds2 h2
Значения производных, входящих в граничные условия, опреде-
определялись из следующих соображений. Запишем в окрестности начала
координат (Z = Z\) представление функции Z(s) по формуле Тейлора,
ограничившись членами второго порядка относительно Л (здесь Z(s) это
функция Xi(s) или ri(s))
az h2d2z az 4h2e2z
Решая эту систему относительно производных, получаем, что в на-
начале координат
0
ds 2Л '
В центре купола с учетом того, что дх/ds = 0, получаем выражение
для хп = Dаг„_| - аг„_2)/3.

4.5. Неявно заданные дифференииально-алгебраические уравнения 135
С учетом разностных аппроксимаций задача D.69)—D.71) преобра-
преобразуется к задаче Коши для системы дифференциально-алгебраических
уравнений, которую можно представить в виде
~d7 = Xi' ~d7 = fx" !r~ = Ri' ~d7 = fr"
+ /r'+.L-f'-M _i2
2ft ) +\ 2ft
Здесь fx., /f( — правые части первых двух уравнений системы D.69),
записанные в t-й точке с учетом формул D.72).
Сформулируем задачу Коши для системы D.73) относительно наи-
наилучшего аргумента А. После дифференцирования по этому аргументу
алгебраических соотношений систему D.73) можно преобразовать к виду
dXi _ dr dXi _ dr dT{ _ dr dRi _ dr
~dT= 'dX' ~dX~fx'dX' ~dX~*d~X' Tx~fr'dX'
dA Z, V 2ft 2ft
Ri-\\ dT dT
—)dx=fl'dx-
2ft 2ft
Эти уравнения с учетом смысла наилучшего аргумента, удовлетво-
удовлетворяющего равенству
2
lx lx +"dA~"dA~+ dA lx +~dX~dX+ \dx) =l'
могут быть аналитически разрешены относительно производных и пред-
представлены в виде
А ~
1Щ
dX
Xi
"z'
Л,
~ z'
dX{
~dX
dU
dX
~~Z'
Л
~ z'
dn _
dX
dr
dX~
Ri
Z'
1
Z'
D.74)
где Z = (\+ XiXi + fXifXi + RfRi + /r,./r, + ДДI/2, i = 2, n - 1.
Пусть в момент т = 0 купол парашюта исходной формы начи-
начинает наполняться. Считаем, что ненаполненная часть купола задается
в виде усеченного конуса малого угла раствора, образующая которого
является продолжением стропы, а выполненная — частью сопряженной
с этим конусом сферы (рис. 4.3, штриховая кривая). Такое представление
начальной фазы этапа раскрытия осесимметричного парашюта хорошо

136 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
согласуется с экспериментальными данными [7]. Таким образом, началь-
начальная форма парашюта может быть полностью описана, например, через
радиус его входного отверстия Re (рис. 4.3), Лв = O,lSiZo [7]. Скорость
точек парашютной системы в начальный момент полагается равной ну-
нулю. Отсчитывая аргумент А от начальной точки задачи D.69)—D.71),
начальные условия примем в форме
хю, Х,@) = 0 г,(О) = г,О) Ri@) 0,
/,@) = 1, т@) = 0, t = 2^T,
где величины х^, rto описывают контур, показанный на рис. 4.3
штриховой линией.
Задача D.74), D.7S) интегрировалась с помощью программы РС1
при
До = 1м, 1с = 1,5м, # = 2000Н, тс = 0,012^,
М = 30, Р=Ю4&, е = 0,015^, п = 26,
¦{"
mc \ 1, s < Lc,
[7].
Задача интегрировалась с начальным шагом h\ = 0,05 и точнос-
точностью 10 . На рис. 4.3 приводится конфигурация парашюта для пяти
моментов безразмерного времени го = 0, т\ = 2,5, tj_ = 5,0, ту = 7,5,
г* = 10,0. На рис. 4.4 для тех же моментов времени показано изменение
усилий вдоль стропы и ленты купола парашюта. На рисунках звездочкой
обозначено начало купола парашюта. Увеличение числа разбиений вдоль
координаты S к существенным изменениям ситуации не привело.
Заметим, что при решении задачи D.74), D.75) без применения
Л-преобразования выяснилось, что вычислительный процесс зависит
от выбора начального шага интегрирования Л<о- Так, при Л*о ^ 1 про-
происходил останов из-за переполнения памяти ЭВМ. Это, по-видимому,
объясняется тем, что при поиске подходящего шага интегрирования Л*
получаются большие значения правых частей дифференциальных урав-
уравнений. При решении же Л-преобразованной системы таких ситуаций
не возникало даже при начальном шаге интегрирования ЛАо = 10.
Изучим еще одну модельную задачу. Кинетические уравнения ней-
нейтронов в реакторе в одномерном случае можно представить в виде [97,41]
dv
— = av + bu+g(u,v,t),
* ^ D76)

4.5. Неявно заданные дифференииально-алгебраические уравнения 137
3-
И 16 21
Рис. 4.4.
26
Здесь первое уравнение является кинетическим уравнением запаз-
запаздывающих нейтронов, а второе — кинетическое уравнение мгновенных
нейтронов; и(х,t), v(x,t) — концентрации мгновенных и запаздыва-
запаздывающих нейтронов; а(х, t), b(x,t) — заданные функции, е — малый
параметр, равный обратному значению скорости мгновенных нейтронов.
Исследуем вырожденный случай, когда параметр е = 0, тогда систе-
систему D.76) можно записать в виде
8v
— = av + bu+g(u,v,t),
д2и
О /(М)
Решение этой системы отыскиваем при нулевых фаничных
D.77)
D.78)
и начальных условиях
v(x, 0) = 0. D.79)
Очевидно, что в начальный момент функция и(х, t) должна удов-
удовлетворять равенству
82и(х, 0)
¦+/(«(», 0), 0,0) = 0.
Пусть функция f(u(x, 0), 0,0) = 0, тогда
и(х, 0) = 0.
D.80)

138 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
Для решения применим метод прямых, разделив отрезок [0, 1]
изменения х на (п - 1) частей. Тогда с учетом граничных условий
и разностной аппроксимации D.72) систему D.77) можно представить
в виде
Uj-i - 2uj + uj+i + hfj = 0,
Здесь vt = Vi(t) = v(xi, t), и, = Uj(t) = u(xj, t), at = a(xit t), h = b{xt, t),
9i = дЫ, v» t), fj = f(uj, vj, t),h= l/(n - 1).
При записи системы D.81) учтено, что граничные условия D.78)
принимают вид
ш, = ип = 0. D.82)
Эта система является системой дифференциально-алгебраических
уравнений. Принимая во внимание соотношения D.79), D.80), началь-
начальные условия будут иметь вид
г/,@) = 0, «,(<>) = 0, г=\,п, j = 2,n-l. D.83)
Сформулируем задачу D.81)—D.83) относительно наилучшего аргу-
аргумента А. Дифференцируя алгебраические соотношения и учитывая смысл
наилучшего аргумента, получаем
,_1,А - B - h2fjtU)ujtX + «i+liA + h2fj<uvjtX + h2fjttttX = 0, D.84)
Для приведения этой неявной системы дифференциальных урав-
уравнений к нормальной форме, разрешаем ее относительно производных,
представляя последнее уравнение в виде
vv +uu +^? - \
где индексом (к - 1) помечена функция, найденная на предыдущем
шаге процесса интегрирования, тем самым используя аргумент, близкий
к наилучшему.
Так как начальная точка не является предельной по t, то начальное
значение вектора Z = («1>л, «2)Л,..., «В)А, «2,A, ¦ • •, «n-l,A, ^,а)Г можно
принять в виде D.22). В этом случае получается точное решение системы
D.84), если на каждом шаге проводить нормировку в соответствии
с формулами D.21).

4.5. Неявно заданные дифференииально-алгебраические уравнения 139
Очевидно, что размерность системы D.84) может быть уменьшена,
если представить ее в виде
D.85)
+ toJS^
Здесь учтены условия D.82), поэтому щ<х = шП)х = 0.
После решения системы D.8S) относительно производных и нор-
нормировки в соответствии с формулами D.21), получаем систему ОДУ
в нормальной форме
dvt dt
квадратичная норма правой части которой, очевидно, равна единице.
Эту систему следует интегрировать при начальных условиях
= i(O) = O, i=\,n, j = 2,n-l, D.87)
принимая во внимание граничные условия D.82), при помощи програм-
программы DA1EXP.
В качестве примера рассматривалась задача
dv
— = v + и + At sin irx,
Л 2
«@,i) = «A,0 = 0, D-89)
v(s,0) = 0. D.90)
Если решение задачи D.88)-D.90) отыскивать в форме
v(x, 0 = ^2 Vi(t) sin ivx, u(x, t) = J^ Щг) sin ivx,
i=l i=l
то нетрудно показать, что аналитическое решение имеет вид
v(x, 0 = и(х, 0 = (е2* - 1 - 2*) sin згж. D.91)
Численное решение, полученное для t € [0, 1], сравнивалось с ана-
аналитическим D.91) при t = 1.
При уменьшении начального шага интегрирования точность вычи-
вычислений повышается. Вычисленные функции v(x,t), u(x,t) симметричны

140 Глава 4. Лифференииально-алгебраические уравнения
по х относительно середины отрезка [0,1] изменения х. При увеличении
числа точек разбиения п (рассматривалось п = 11 и п = 16) отличие
между функциями v(x, t) и и(х, t) уменьшалось.
Так, при начальном шаге интегрирования Л до = 0,05 и при п = 11
ошибки Д„ и Аи, равные разностям между численными значениями
функции v и и и аналитическими, подсчитанными по формулам D.91),
в момент t = 1 были равны Д„ = 0,163 и Ди = 0,202. При Лдо = 0,025
Д„ = 0,091 и Д„ = 0,128. При ЛЛ0 = 0,0125 Д„ = 0,0386 и Д„ = 0,0755.
При п = 16 и Лло = 0,025 Д„ = 0,075 и Д„ = 0,094.
Как и следовало ожидать, большая ошибка накапливается в пере-
переменной, которая не дифференцируется, т.е. в функции и.

Глава 5
Функционально-дифференциальные
уравнения
В этой главе мы рассмотрим с позиции метода продолжения реше-
решения по параметру еще один класс задач, для которых решение может
быть построено этим методом. Это задача Коши для функциональ-
функционально-дифференциальных уравнений. К таким уравнениям можно отнести
дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом и интегро-
дифференциальные уравнения Вольтерра.
5.1. Задача Коши для дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом
Такого типа задачи возникают в самых различных областях приложе-
приложений: от исследований распространения эпидемий, динамики популяций
и создания моделей сердечно-легочных систем до теории управления.
Достаточно подробные обзоры численных методов решения урав-
уравнений с запаздывающим аргументом приводятся в [57, 72, 84]. По-
видимому, впервые качественные основы применения методов Эйлера
для численного интегрирования таких уравнений рассмотрены в рабо-
работах [70, 71], а первая вычислительная программа, использующая метод
Эйлера и кусочно-постоянную или кусочно-линейную интерполяцию
приводится в [89].
Анализ показывает, что для численного интегрирования уравнений
с запаздывающим аргументом могут быть применены программы, раз-
разработанные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
В [117] приводится сравнение некоторых наиболее известных вычи-
вычислительных программ при решении задач Коши как для жестких, так
и для нежестких уравнений с запаздывающим аргументом.
Отметим, что применение методов порядка выше первого к урав-
уравнению с запаздыванием осложняется тем, что с помощью этих методов
хорошо аппроксимируются лишь решения, дифференцируемые доста-
достаточное число раз. Поэтому хорошие результаты эти методы дают лишь
начиная с тех значений аргумента, для которых решение оказывается
уже достаточно сглаженным.

142 Глава 5. Функиионально-дифференииальные уравнения
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами Tjj- ^ О
^ = fi(t,
i = min \t - тф
i =
Здесь <pi(t) — заданные функции. Решение задачи отыскивается
на отрезке [to, T] Э t.
Пусть интеграл задачи (S.1) задается соотношениями
Fj(yu---,yn,t) = O, J=T7^, E.2)
которые определяют интегральную кривую в (п+ 1)-мерном евклидовом
пространстве Е"+1.
Процесс построения этой кривой можно рассматривать как задачу
решения системы уравнений (S.2), содержащих параметр-аргумент t.
Будем решать эту систему методом продолжения по параметру. В этом
случае, как мы видели, параметр задачи t не всегда будет удовлетво-
удовлетворительным, и можно поставить вопрос о выборе наилучшего параметра
продолжения решения задачи (S.2), а значит и наилучшего аргумента
задачи (S.1). Эту задачу будем, как и в предыдущих главах, решать
локально, т.е. в малой окрестности точки интегральной кривой, в ко-
которой осуществляется продолжение решения. В этой окрестности будем
считать все у\ и t функциями некоторого аргумента ц, который задан
соотношением
dp = etidyi + an+idt, i = 1, п. E.3)
Здесь а/, (к = 1, п + 1) — компоненты единичного вектора а =
(<*!,..., an+i)T, задающего направление, в котором отсчитывается аргу-
аргумент ц.
Уравнения продолжения решения получим, если соотношения (S.2)
продифференцировать по ц как сложную функцию
°» *> 3 = ^п» E-4)
и разделить равенство (S.3) на dfi
t,ii =1. » = l7«- E.5)
Если матрица Якоби (FiiVi) невырожденная, то соотношения E.4)
могут быть записаны в виде

5.1. Задача Коши для уравнений с запаздывающим аргументом 143
На основании теоремы о дифференцировании функций, заданных
неявно [61], получаем
Поэтому, с учетом системы уравнений E.1), соотношения E.4), E.5)
примут вид
Эта система уравнений является системой уравнений продолжения
для построения кривой множества решений, заданной соотношениями
E.2). Очевидно, что эта кривая, в то же время, является интегральной
кривой задачи E.1).
Для построения этой кривой систему E.6) необходимо записать
в нормальной форме Коши, т.е. разрешить относительно производ-
производных. Успех этой операции определяется обусловленностью системы.
Обусловленность же зависит от выбора параметра-аргумента р, ко-
который определяется вектором а — (а\,..., an+l)T- Структура систе-
системы E.6) полностью совпадает со структурой системы A.37), фигури-
фигурирующей в главе 1 при доказательстве теоремы о наилучшем параметре
продолжения решения системы нелинейных уравнений. Следовательно
наилучший параметр А будет реализован, если вектор а принимает зна-
значения а = (yitx,...,у„,\, t,\) . Тогда, как в главе 1, система E.6) может
быть решена относительно производных аналитически. Поскольку аргу-
аргумент А не входит явно в уравнения, будем его отсчитывать от начальной
точки задачи E.1). В итоге приходим к следующей формулировке задачи
Коши
() *о, E-7)
yt = ipi(t), min(t0, Ui) ^t^t0, Ui = min ЩХ) - тф(Х))},
A€[0,?l, T = t(L), i = T~ii.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 5.1. Для того, чтобы задачу Коши для системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами
E.1) сформулировать относительно наилучшего аргумента, необходимо
и достаточно в качестве такого выбрать длину дуги, отсчитываемую

144 Глава 5. Функиионально-дифференииальные уравнения
вдоль интегральной кривой этой задачи. При этом задача (S.1) будет
формулироваться в виде (S.7).
В качестве модельного примера, демонстрирующего достоинства
предложенного преобразования, рассмотрим численное решение задачи
Коши для уравнения с запаздывающим аргументом
-*<•<*>•• <5-8>
Решение этой задачи отыскиваем на отрезке т ^ ? ^ Зт. Используя
метод шагов [72], решение задачи (S.8) сводим к решению задачи Коши
без запаздывания
Частный интеграл этой задачи имеет вид
-* + 2т = 0. E.10)
Отметим, что для численной реализации задача (S.8) неприятна тем,
что в точке t = 2т интервала интегрирования правая часть уравнения
обращается в бесконечность. Для численного решения этой задачи была
разработана программа на алгоритмическом языке ФОРТРАН. Интегри-
Интегрирование уравнения осуществлялось при помощи явного метода Эйлера.
Вычисленные узловые значения искомой функции сохранялись в памяти
ЭВМ. Для нахождения межузловых значений функции у использовалась
кусочнолинейная интерполяция.
Попытка при помощи такой программы найти численное решение
задачи (S.8) при т = 1 окончилась неудачей. Вычислительная ошибка,
которая оценивалась посредством выражения
где у* — численное решение задачи, при t = 2т = 2 принимала ката-
катастрофические значения.
После применения к задаче (S.8) Л-преобразования, получаем задачу
Коши вида
dy I dt w
t@) = T,
w = 3y\t - 2r),

5.1. Задача Коши для уравнений с запаздывающим аргументом
145
Рис. 5.1.
интефирование которой на отрезке [т, Зт] изменения t прошло успешно.
Для того, чтобы проанализировать поведение численного решения,
когда правая часть уравнения стремится к бесконечности, сформулируем
задачу Коши E.8) в системе прямоугольных осей координат (z,x),
повернутых относительно осей координат (у, t) на угол а (см. рис. S.1).
Связь между системами координат задается соотношениями
И -ад [У].
;]-*»[:].
j>( \ _ cos a - sin a
' a> ~ [ sin a cos a
Задача E.8) при т = 1 преобразуется к виду
dz cos a - 3Q sin a
— матрица поворота.
E.12)
E.13)
-V
E.14)
dx sin a + 3Q cos a'
где Q = [z(x - 2v) cos a + (x - 2v) sin a] ,
z cos a + x sin a = (-z sin a + a; cos a) ' ,
Проекции точки t = r = 1, у(т) = т" = 1 на оси х и z будут
равны
v = sin a + cos a, z(v) = zv = cos а - sin a.
Частный интеграл этой задачи на отрезке v ^ x ^ 3v можно
получить аналитически при помощи метода шагов, преобразуя задачу
Коши E.9) при г = 1 согласно E.12) к виду
dz _ cos a - ЪР sin a
dx sin a + ЪР cos a'
Р = [-z sin a + х cos a - 2v]
2/3
E.15)

146
Глава 5. Функиионально-дифференииальные уравнения
Начальные условия примут вид
z(y) = zv = cos a - sin а.
E.16)
Записывая выражения E.10) с учетом E.12), приходим к частному
интегралу задачи E.15), E.16), а, значит, к частному интегралу задачи
E.13), E.14) на отрезке v < х < 3i/. Это соотношение использовалось
для оценки точности вычислений по формуле
Д = z* cos а + х sin а - zv - и ' + [z* sin а - х cos а + 2v)
1/3
E.17)
где z — численное решение задачи.
На рис. 5.2 показано поведение десятичного логарифма от абсо-
абсолютной величины ошибки Д, подсчитанной по формуле E.17), в за-
зависимости от значения угла поворота осей координат а. Приводится
наибольшее значение ошибки Д, которое имеет место в конце интер-
интервала интегрирования, т.е. при t = Ъи. Штриховая линия соответствует
численному интегрированию задачи E.13), E.14), а сплошная — той же
задаче, но после применения А-преобразования.
4
1st
2
0
1
2
/
3
/
(
/
4
г
5
-lga
Рис. 5.2.
Значение начальной функции z(x), —v^x^v определялось
из уравнения E.14), которое решалось численно методом Ньютона—
Рафсона с точностью 10~4.
Задачи интегрировались с одинаковыми шагами по переменным х
и Л, равными 0,1.
Из рис. 5.2 видно, что ошибка решения Л-преобразованной задачи
незначительно зависит от угла а, тогда как ошибка решения при тра-
традиционном подходе неограниченно возрастает, когда угол а стремится
к нулю.

5.2. Задача Коши для интегро-дифференииальных уравнений Вольтерра 147
5.2. Задача Коши для интегро-дифференциальных
уравнений Вольтерра
Рассмотрим численное решение задачи Коши для системы уравне-
уравнений вида
(
t, y(t), №, [MQ)
(
i
с начальными условиями
E-19)
у: ?'-*?", teR1, У=^, z = T~n.
at
Обзоры работ, посвященных задачам такого типа, приводятся в [57,
84, 73].
Уравнения E.18) называют уравнениями с бесконечным запазды-
запаздыванием, так как в общем случае производная y(t) зависит от всех
предыдущих значений функции y(t). Как и уравнения с запаздываю-
запаздывающим аргументом, такие уравнения являются примером функционально-
дифференциальных уравнений Вольтерра.
Задачи вида E.18), E.19) представляют практический интерес. Они,
в частности, встречаются при изучении конкурирующих популяций.
Численные методы решения задачи Коши E.18), E.19) известны
давно, но развитие практически применимых алгоритмов было огра-
ограничено [90]. Достаточно обширный обзор численных методов решения
задач такого типа приводится в [57], где отмечается, что все численные
методы можно условно разбить на два класса. Первый класс методов
включает в себя непосредственную адаптацию формул и методов реше-
решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (см.,
например, [74]).
Второй класс методов относится к случаю, когда уравнения E.18)
записываются в виде интегральных уравнений и к ним применяются
методы теории интегральных уравнений (см., например, [28]).
Здесь задача E.18), E.19) формулируется относительно наилучшего
аргумента. Для этого применим алгоритм, рассмотренный ранее.
Отметим, что формальный подход для решения этой задачи был
использован в [67].
Интеграл задачи E.18), E.19)
/(у, 0 = 0, /: Rn+1-^En, E.20)
задает в (п+ 1)-мерном евклидовом пространстве Rn+1 некоторую кри-
кривую, процесс построения которой может быть представлен как процесс

148 Глава 5. Функиионально-дифференииальные уравнения
продолжения решения y(t) по параметру t. Такой подход позволяет по-
поставить вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения,
а значит и наилучшего аргумента задачи.
Пусть величины у и t являются функциями некоторого аргумента р,
который локально, т. е. в малой окрестности каждой точки интегральной
кривой задачи представляется соотношением
dp = otidyi + an+ldt, i = T^n, E.21)
где числа щ (j = 1,п+1) являются компонентами единичного вектора
а = («1,..., an+i)T> задающего направление отсчета аргумента р.
Уравнения продолжения решения задачи E.20) получим, если ра-
равенство E.21) разделим на dp, а соотношения E.20) продифференцируем
по р:
\/Л + /Д„ = 0. К' '
Здесь ъ = —,t,, = -, /Л = —, f>t = -.
Однако такой подход неконструктивен, так как интеграл E.20)
неизвестен.
Уравнения продолжения можно получить иначе. Линеаризуем век-
вектор-функцию F = (F\,...,Fn)T в окрестности некоторых значений
yt = У*, тогда получим
Здесь функции F* и F*- вычисляются при
Принимая во внимание равенства
приходим к следующей форме записи уравнений продолжения
E-23)
Интефальная кривая задачи E.18), E.19) может быть построена
в результате интегрирования дифференциальных уравнений, полученных
после разрешения уравнений продолжения E.23) относительно произ-
производных. Обусловленность этой системы зависит от выбора аргумента р,
который определяется вектором а. Структура системы E.23) полностью
совпадает со структурой системы A.37), рассмотренной при доказатель-
доказательстве необходимых и достаточных условий выбора наилучшего параметра

5.2. Задача Коши для интегро-дифференииальных уравнений Вольтерра 149
продолжения решения нелинейных алгебраических или трансцендентных
уравнений, содержащих параметр. Таким параметром, доставляющим
системе уравнений продолжения наилучшую обусловленность, является
длина дуги Л, отсчитываемая вдоль кривой множества решений систе-
системы E.20), которая является интегральной кривой задачи E.18), E.19),
а параметр задачи ее аргументом.
Согласно правилу Крамера, решение системы E.23) в данном случае
можно представить в виде
где Д — определитель системы, Д,- — определитель, получающийся
при вычеркивании в матрице последних п уравнений системы 1-го
столбца. Эти определители удовлетворяют равенству
j=l,n+l, E.25)
которое показывает, что квадратичная норма правой части системы
уравнений E.24) всегда равна единице. Если аргумент А отсчитывать
от начальной точки задачи E.18), E.19), то начальные условия примут
вид
у@) = у0, t(O) = to. E.26)
Таким образом, опираясь на результаты главы 1, доказана следующая
теорема.
Теорема 5.2. Для того, чтобы задачу Коши для системы интегро-диф-
ференциальных уравнений E.18), E.19) сформулировать относительно
наилучшего аргумента, необходимо и достаточно выбрать в качестве
такого длину дуги Л, отсчитываемую вдоль интегральной кривой зада-
задачи. При этом задача E.18), E.19) формулируется в виде E.24), E.26),
а правые части системы E.24) удовлетворяют равенству E.25).
Преобразование задачи E.18), E.19) к задаче E.24), E.26), как
и ранее, будем называть А-преобразованием. Одно из его достоинств
продемонстрируем на примере решения следующей задачи Коши
S 5М Н> 1
-1
Задача имеет точное решение y(t) = tx^, на котором правые ча-
части уравнения E.27) при t = 0 обращаются в бесконечность. После

150 Глава 5. Функиионально-дифференииальные уравнения
применения к задаче А-преобразования она примет вид
11 = Ч.
!А *'
U у2
Здесь р = - + y2S(t, у), г = (у4 + <р2)Щ.
Задачи E.27), E.28) интегрировались на отрезке t 6 [-1, 1] численно
при помощи метода Эйлера. Интеграл, входящий в правую часть уравне-
уравнений, подсчитывался по формуле трапеций с переменным шагом. Задача
E.27) интегрировалась с шагом ht = 0,002. Ошибка Д, подсчитанная
по формуле
A = y*-tl/\ E.29)
где у* — численное решение задачи, резко, на два порядка, возрастала
(от Д = -0,175 до Д = 17,4) при t = 0. При интегрировании же
А-преобразованной задачи E.28) с шагом Лд = 0,02 скачков ошибки
не наблюдалось.
Рассмотрим уравнение, содержащее более сложное подынтефальное
выражение, но имеющее то же решение, что и задача E.27). Для этого
в задаче E.27) функцию S(t, у) примем в виде
где 6(t)=
[ Ш§ t = -\
При численном решении такой задачи при помощи вышеописанно-
вышеописанного алгоритма ошибка E.29) при прохождении значения t = 0 возрастала
при шаге интефирования ht = 0,002 с Д = -0,138 до Д = 0,226 • 103.
После применения к задаче А-преобразования скачков ошибки не про-
происходило.

Глава 6
Параметрическое приближение
Задачи приближения играют исключительно важную роль в совре-
современной вычислительной математике, так как идеи приближения лежат
в основе многих численных методов [5, 55]. В данной главе изучается
параметрическое приближение плоских кривых с выбором наилучшего
параметра. Показано, что такой подход обладает рядом преимуществ
по сравнению с традиционным.
Достоинства параметрического приближения при аппроксимации
сложных кривых параметрическими сплайнами более подробно обсу-
обсуждаются в [25]. Отмечается, что главной особенностью параметрических
задач приближения кривых является то, что заданы бывают только
упорядоченные массивы точек на них, а информация о способах пара-
параметризации, которая необходима для построения сплайнов, отсутствует.
В такой ситуации при построении параметрических сплайнов в [25] при-
принимается естественная параметризация — в качестве параметра берется
длина дуги кривой, отсчитываемая от начальной точки.
В [50] для моделирования кривых используются кубические и би-
бикубические параметрические сплайны. Задача определения приближаю-
приближающего сплайна формулируется либо как задача о восстановлении объекта,
либо как задача о приближении с заданной точностью. В первом случае
по заданному множеству точек ищется интерполяционный или сгла-
сглаживающий сплайн, а во втором по заданной кривой выбирается такое
множество точек, чтобы интерполяционный сплайн приближал кривую
с заданной точностью. В качестве параметра выбирается длина лома-
ломаной или длина дуги кривой, которая определяется по итерационным
формулам.
В [56] рассматривается параметрическое приближение замкнутых
кривых на плоскости полиномиальными сплайнами. Оценки приближе-
приближения даются в терминах метрики Хаусдорфа. Под хаусдорфовым рассто-
расстоянием между точечными ограниченными замкнутыми множествами Е
и F понимается величина
r(E, F) = max [max min p(P, Q), max min p(P, Q)\,
где p(P, Q) — евклидово расстояние между точками Р и Q.

152 Глава 6. Параметрическое приближение
В [47, 10] получены точные оценки погрешности приближения
кривых параметрическими эрмитовыми сплайнами в евклидовой и хаус-
дорфовой метриках. В качестве параметра использовалась длина ломаной
или кривой.
Отметим, что во всех этих работах вопрос о выборе наилучшего
параметра не рассматривался.
6.1. Параметрическая интерполяция
В отличие от традиционной задачи интерполяции (см., напри-
например, [5]), задачу параметрической интерполяции поставим как задачу
построения таких двух функций Х(ц) и Y(fi), которые при некото-
некоторых выбранных значениях параметра /*,-, г = 1,п, принимают наперед
заданные значения ж,-, у,-, t = Т^п, т.е.
Х(^) = х{, Г(к) = у(, » = ТЯ F.1)
В такой постановке очевидно, что выбор значений щ неоднозначен.
Достаточно, чтобы /^ образовывали монотонную последовательность
чисел. Можно, например, выбрать в качестве /j,- номера пар чисел ж<,
yi, т.е. положить /i,- = i.
Вообще говоря, функции Х(ц) и У(ц) могут быть функциями
различных классов или различными функциями одного класса. Напри-
Например, традиционная задача построения интерполяционного многочле-
многочлена у = Цх) с точки зрения параметрической интерполяции формулиру-
формулируется как задача построения многочлена у = L(fi) при х = ц.
Неоднозначность выбора параметра ц позволяет ставить вопрос
о выборе его как наилучшего в каком-то смысле параметра. Об ак-
актуальности этой задачи говорят результаты, полученные в [62], где
при изучении параметрического кубического сплайна установлено, что
выбор параметра существенно влияет на интерполяционную кривую,
на которой в некоторых случаях могут появиться даже петли.
Если две такие функции
F.2)
удовлетворяющие условиям F.1), построены, то задача вычисления
межузловых значений может быть поставлена двояко:
1. По заданному ц вычислить хну. Решение этой задачи тривиально
и сводится к вычислению х = Х(ц) и у = Y(fi).
2. По заданному х (или у) вычислить у (или х).
Именно в такой форме эта задача и ставится при традиционной
интерполяции. При параметрической интерполяции придется снача-
сначала по заданному х найти //, как решение нелинейного уравнения

6.1. Параметрическая интерполяция 153
х - Х(ц) = О, и, далее, по полученному ц вычислить у, как у = Y{(i).
Таким образом, вычисление межузловых значений при параметрической
интерполяции в самом общем случае сводится к решению системы двух
нелинейных уравнений
х-Х(ц) = 0, у-У(ц) = 0. F.3)
Исключим из этих уравнений \i. Мы не будем обсуждать условий,
налагаемых на функции Х{\з) и У(д), при которых это можно сделать,
но ясно, что эти условия не слишком обременительны. В результате
задача вычислений межузловых значений ж и у сведется к решению
нелинейного уравнения
F(x,y) = 0. F.4)
Причем в силу F.1), F.2) п решений ж,-, у,' этого уравнения
известны, т.е.
^(ж{)у,) = 0. * = ТЯ F-5)
Такая формулировка задачи интерполяции позволяет посмотреть
на нее с позиции метода продолжения решения по параметру и ввести
параметр ц как параметр продолжения, т.е. искать решения хну
уравнения F.4) как функции некоторого параметра ц [34]
х = х(ц), у = у{ц). F.6)
В главе 1 доказано, что получающаяся на каждом шаге процесса
продолжения решения система линеаризованных уравнений, соответ-
соответствующая уравнению F.4), будет наилучшим образом обусловлена тогда
и только тогда, когда в качестве параметра продолжения ц выбрана
длина Л кривой множества решений уравнения F.4), т.е. кривой у(х)
или х(у), дающей решение уравнению F.4). При этом дифференциал
длины кривой d\ должен удовлетворять равенству
(d\J = (dxJ + (dyJ. • F.7)
В дальнейшем параметр, доставляющий линеаризованной системе
продолжения наилучшую обусловленность, будем называть наилучшим.
Таким образом, доказана
Теорема б. Для того, чтобы задачу параметрического интерполиро-
интерполирования кривой сформулировать относительно наилучшего параметра,
необходимо и достаточно выбрать в качестве такого длину дуги А
интерполируемой кривой.
Если уравнение F.4), удовлетворяющее условиям F.S), задано, то
интерполяционные функции F.6) ж(А) и у(А) могут быть получены как

154 Глава 6. Параметрическое приближение
решения уравнения продолжения, которое получим, продифференциро-
продифференцировав уравнение F.4) по Л:
dx ,pdy_ dF dF
F+F° F F
Это уравнение вместе с равенством F.7) можно разрешить от-
относительно dx/dX, dy/dX и свести таким образом задачу построения
интерполирующих функций к интегрированию следующей задачи Коши
1 =-!==
Здесь параметр Л отсчитывается от первого узла интерполяции
(х\,у\). В главе 2 отмечаются некоторые преимущества сформулирован-
сформулированной таким образом задачи Коши.
Для решения в таком виде традиционной задачи построения интер-
интерполяционной функции у = f(x) заданного класса, например, интерпо-
интерполяционного полинома, достаточно принять равенство F.4) в виде
F(x,y) = y-f(x) = 0. F.9)
Тогда, в силу F.9), FiV = 1, F<x = -df/dx, второе из уравнений про-
продолжения F.8) упрощается, и узловые значения параметра наилучшего
приближения могут быть найдены по рекуррентной формуле
А, =0, K+l = K + J \ll + (±) dx, i= 1,п-1.
В силу своей симметрии относительно хну представляется интерес-
интересной и параметрическая интерполяция F.3) с использованием наилучшего
параметра продолжения Л. Для ее реализации, т.е. для построения при-
приближающих функций Х(Х), У (А), необходимо задание узловых значе-
значений Aj. А их, в свою очередь, нельзя вычислить, не задав функции Х(Х),
Y(X). He обсуждая здесь общей постановки возникшей задачи, заметим,
что в качестве первого приближения можно задать в качестве узловых
значений X] (i = 1,п) длину ломаной, соединяющей точки (ж;,У|)
(i = 1,п) на плоскости х,у, начиная от точки х\, у\, т.е. по рекуррент-
рекуррентной формуле
/ _
ДА, = yfo+i - х{J + (yi+{ - ytJ, i = 1, n -

6.1. Параметрическая интерполяция 155
После построения интерполяционных функций первого приближе-
приближения X^(fi), ГA)(/*) таких, что
узловые значения А< могут быть уточнены
и построены интерполяционные функции второго приближения
X^'(fi), Y^'(fi) и т.д.
Не обсуждая здесь вопросов сходимости этого процесса, заметим,
что для практических целей параметрической интерполяции вполне до-
достаточно первого приближения. Отметим, что параметр длины ломаной
вида F.10) использовался в [25, 50, 62] при построении параметрического
кубического сплайна. Близость длины ломаной к наилучшему параме-
параметру продолжения обеспечивает близкую к наилучшей обусловленность
решения задач определения межузловых значений х (или у) по задан-
заданным у (или х).
Отметим также, что наилучший параметр продолжения, рассмо-
рассмотренный в главе 1, обеспечивает минимальную квадратичную погреш-
погрешность решения соответствующего линеаризованного уравнения для F.4)
при погрешностях аргументов. Как следствие этого, при выборе в ка-
качестве параметра длины ломаной F.10) будут близки к минимальным
изменения интерполяционных функций X(fi), Y{fi), возникающие из-за
погрешностей в узлах интерполяции.
Кроме того, параметрическая интерполяция с таким параметром по-
позволяет интерполировать многозначные функции у(х) и х(у), в том числе
и функции, графиками которых являются замкнутые кривые или кри-
кривые, образующие петли. Примеры, рассмотренные ниже, показывают,
что кривые, построенные с использованием такой параметрической ин-
интерполяции, теснее примыкают к графику заданной функции.
В качестве первого примера рассмотрим приближение многочлена-
многочленами единичной полуокружности х + у2 = 1, у ^ 0 с узлами интерполя-
интерполяции (xi, у<) (г = 1, п), равномерно расположенными вдоль ее дуги. Зада-
Задачу обычной интерполяции будем решать с помощью интерполяционного

156
Глава 6. Параметрическое приближение
многочлена Лагранжа
F.11)
W
Параметрическую интерполяцию реализуем в виде двух полиномов
Лагранжа от параметра длины ломаной F.10)
*(А) = Х>.П Х
,=1 j=\ Л,- - Л,-
i
F.12)
Ошибку интерполяции 6 будем вычислять по формуле
6к = 1-х2-у2, к =1,2,
где значение к = 1 соответствует обычной интерполяции, определяемой
многочленом F.11), а значение к = 2 соответствует параметрической
интерполяции, осуществляемой при помощи многочленов F.12).
Наибольшее значение абсолютной величины 6). будем обозначать
через А*.
На рис. 6.1 приводится зависимость десятичного логарифма А
от числа узлов интерполяции п. Пунктирная кривая описывает за-
зависимость lgA(, а сплошная — lgA2- Более наглядно это показано
на рис. 6.2, на котором величины <5i и 62 (пунктирная и сплошная кри-
кривые, соответственно) представлены как функции длины дуги А в случае
семи узлов интерполяции (п = 7). Видно, что ошибка А] более чем
lgA
13
17
21
25
29 п
Рис. 6.1.

6.1. Параметрическая интерполяция
157
Рис. 6.2.
на два поряцка превосходит ошибку параметрической интерполяции Дг.
А при п = 9 это отличие еще более существенное: почти на три порядка.
Отметим, что для ошибки 6i характерно то, что она имеет всплески
на концах области интерполирования, тогда как внутри этой области она
почти на порядок меньше. Обратим внимание также на то, что в рассма-
рассматриваемом примере ошибка обычной интерполяции Д] имеет свое наи-
наименьшее возможное зна-
значение, когда узлы интер-
интерполяции совпадают с ну-
нулями многочленов Чебы-
шева, см. [5]. При этом,
например, для п = 7, как
Ai, так и Дг уменьшают-
уменьшаются более чем в три раза.
Если провести пара-
параметрическое интерполи-
интерполирование полной единич-
единичной окружности с рав-
равномерно распределенны-
распределенными вдоль дуги узлами, то
в случае числа участков
разбиения, равного 4, 8,
12, ошибки Дг будут сле-
0,6
0,4
0,2
дующими: 0,39, 0,13510
-1
8
Рис. 6.3.
12
16

158
Глава 6. Параметрическое приближение
1 2 3
7 6 5
Рис. 6.4.
гч-5
0,88 ¦ 10 . Заметим, что в [1] эта же задача решалась при помощи ку-
кубических периодических параметрических сплайнов с использованием
в качестве параметра, как и в нашем случае, длины хорды. Здесь
при тех же условиях ошибка Дг принимает следующие значения: 0,01,
0,113- 10, 0,165 10.
На рис. 6.3, 6.4 приводятся результаты параметрической интерпо-
интерполяции F.12) для квадрата со стороной, равной 2. В качестве ошибки 6
принималась величина отклонения по нормали от соответствующей
стороны квадрата. На рис. 6.3 представлено изменение Д = max \6\ в за-
зависимости от количества участков разбиения контура квадрата. Схема
разбиения приводится на этом же рисунке. На рис. 6.4 для восьми
участков разбиения представлена зависимость |<5| от параметра Л. Как
и в случае окружности, наблюдаются всплески \6\ на концах области
интерполяции, где ошибка почти на порядок превосходит свои значения,
достигаемые внутри.
Наконец, на рис. 6.5
представлены результаты
интерполяции полуокруж-
полуокружности по четырем узловым
точкам, равномерно распо-
расположенным по дуге окруж-
окружности. Ошибка традицион-
традиционного полинома Лагранжа
Д] = 0,333. Ошибка па-
параметрического интерпо-
интерполирования Дг, когда функ-
функции Х(Х), У(А) также
представлены полиномами
Лагранжа, а за параметр Л
принята длина ломаной,
является минимальной:
min Д2 = 0,0586. Кривая 1
0,6
0,4
0,2
Д,
Я,=1
1*2 1
2
Рис. 6.5.
/*¦

6.2. Параметрическая аппроксимация 159
показывает изменение ошибки Aj, если значение параметра щ Для
узла 2 отлично от наилучшего значения Аг = 1. При этом значения
параметра ц для остальных узлов являются наилучшими /*,- = Л,-. Кривые
2 и 3 соответствуют аналогичной ситуации для узлов 3 и 4. Видно, что
при отклонении значений параметра /*,- от наилучшего Л,- ошибка Aj
резко возрастает.
6.2. Параметрическая аппроксимация
Задача обычной аппроксимации заключается в построении много-
m
члена у = Р(х) = ?) tux степени т, фафик которого проходил бы
4=0
возможно ближе к заданному множеству, состоящему из п точек (х,-, у,-),
t = 1,п. При аппроксимации по методу наименьших квадратов за меру
п 2
близости принимается среднеквадратическое отклонение J2 [yi ~P(xi)] •
i=l
Рассмотрим задачу параметрической аппроксимации, для чего вве-
введем некоторый параметр /z, и пусть точке (я,-, j/j) соответствует значение
ц = Цх, г = 1,п. Тогда задача параметрической аппроксимации будет
состоять в построении двух многочленов степени т каждый
4=0 4=0
допускающих наименьшее среднеквадратическое отклонение
R = J2 *(/**)» *Ы = [** - ХЫ]2 + Ь - Y(lH)]2- F.14)
Имея в виду неоднозначность выбора параметра, будем искать
такой параметр ц, который бы также доставлял выражению F.14)
наименьшее значение. Поставим в соответствие первой точке (х\,у\)
значение ц\ = 0, остальные значения щ будем подсчитывать по формуле
i= 1,п-1, F.15)
причем A/z,- примем в виде
Д/Zi = otjAa:,- 4- ААу«. F.16)
Здесь Axi = Xi+\-Xi, Ay,- = yi+\ -у,-; а,-, /3,- — пока не определенные
константы, которые по смыслу представления F.16) можно рассматри-
рассматривать как компоненты вектора, указывающего направление прямой, вдоль
которой отсчитывается параметр ц. Для того, чтобы все направления

160 Глава 6. Параметрическое приближение
были равноправными, будем их определять единичными векторами,
поэтому должны иметь место равенства
л?+А=1| * = 1,п - 1- F.17)
Таким образом, задача сводится к исследованию на экстремум
функции F.14) при условии, что имеют место равенства F.17). Функцию
Лагранжа L примем в виде
(? ?) F.18)
где 7< — множители Лагранжа.
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является
равенство нулю частных производных
dL_
dL
';' * = 0,m, F.19)
еь лад , „ „ '-1--1- '""»
5Л ¦
Уравнения F.19) можно использовать для определения коэффици-
коэффициентов a*, bk многочленов F.13).
Если в уравнениях F.20) перенести последние слагаемые в правую
часть и разделить полученные равенства друг на друга, то приходим
к соотношениям
ffl = ^, F.21)
Pi Д»
что с учетом условий F.17) дает
^ = -7==—ft
<6-22>
Подставив эти выражения в F.16), получаем значения
2, F.23)

6.2. Параметрическая аппроксимация 161
совпадающие с равенствами F.10) для ДА,-. Таким образом, наилучший
параметр должен отсчитываться вдоль ломаной, соединяющей заданные
точки (х,,2л). Обозначим его, как и ранее, через Л.
Заметим, что при вычислении or,-, /3j в правых частях равенств
F.22) был взят знак плюс, соответствующий минимуму функции Лагран-
жа. В этом легко убедиться, вычисляя второй дифференциал функции
Лагранжа d L и пренебрегая членами с квадратами и произведения-
произведениями Дж, Ду. Тогда соответствующая квадратичная форма примет вид
п-1
[2 2] F.24)
Возводя равенства F.20), последние слагаемые которых перенесем
в правую часть, в квадрат, и складывая их с учетом соотношений F.17),
получим
-
'3 *\
Здесь при вычислении корня мы выбираем знак плюс, соответ-
соответствующий положительному приращению Д/j,- и otj, fy, вычисляемым
по формулам F.23), F.22). Поэтому квадратичная форма F.24) бу-
будет положительно определенной, что соответствует минимуму функции
Лагранжа F.18). Заметим, что при этом значения параметра /ij( вычи-
вычисляемые по формулам F.15), будут положительными.
Очевидно, что доказанное условие минимума функции Лагранжа
является так же и достаточным. В самом деле, если параметр А является
длиной вышеописанной ломаной, то направление каждого звена этой
ломаной будет задаваться вектором, компоненты которого вычисляются
по формулам F.22), которые доставляют минимум функции Лагранжа
F.18). Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 6.1. Для того, чтобы многочлены F.13), определяющие па-
параметрическую аппроксимацию, наилучшим образом приближали ап-
аппроксимируемые точки (xi, у,), г = 1,п, необходимо и достаточно
в качестве параметра fi принять длину ломаной, соединяющей эти
точки.
В качестве примера рассмотрим аппроксимацию точек, равномерно
расположенных по дуге полуокружности единичного радиуса. Ошибку

162
Глава 6. Параметрическое приближение
обычной аппроксимации А\ и ошибку параметрической аппроксима-
аппроксимации Дг будем вычислять по формулам
«/2
1/2
0,2
0,1
1
1
1/2
/. /1 j
Л/
1
1/3
1
У
1
1
1 /4 i
..л/.
1
4,
/
Рис. 6.6.
На рис. 6.6 представ-
представлены результаты аппрок-
аппроксимации девяти точек,
равномерно расположен-
расположенных по полуокружности,
параметрическими мно-
многочленами F.13) шестой
степени. Ошибка обыч-
обычной аппроксимации Д)
равна 0,072. Ошибка па-
параметрической аппрок-
аппроксимации с использовани-
использованием наилучшего параме-
параметра Л — длины ломаной,
соединяющей эти точки,
равна гшпДг = 0,0072.
Кривая 1 демонстрирует
изменение ошибки при
отклонении значения па-
параметра второй точки hi
от наилучшего значения
\i- При этом значения
параметра /*,- для осталь-
остальных точек (t = 1,3,4 9) оставались равными наилучшим значени-
значениям А,. Кривые 2, 3, 4 показывают, как меняется ошибка Дг в ана-
аналогичной ситуации при отклонении от наилучшего значения параметра
в точках 4, б, 8, соответственно.
На рис. 6.7 показано, как ведут себя ошибки Д) (пунктирная
линия) и Дг (сплошная) в зависимости от степени т аппроксими-
аппроксимирующих многочленов и числа п аппроксимируемых точек. Кривые 1,
2, 3 соответствуют значениям п = 9, 15, 33 соответственно. В свя-
связи с рекомендациями, высказанными в [64], здесь мы ограничились
аппроксимирующими многочленами до шестой степени включительно.
Преимущество параметрической аппроксимации очевидно.

6.3. Непрерывное приближение
163
0,6 •
6 m
6.3. Непрерьтное нриближение
Пусть приближаемая кривая АВ задана неявно посредством вы-
выражения F.4), а аппроксимирующие функции — параметрическими
соотношениями
х = Х(ц), у = Y(fi). F.25)
Задача заключается в том, чтобы найти такой параметр //, при ко-
котором интеграл
F.26)
/¦
АВ
достигал бы наименьшего значения.

164 Глава 6. Параметрическое приближение
Пусть интеграл F.26) является пределом при п —* оо интегральной
суммы
п-1
1=1
где fii и Л/*, вычисляются по формулам F.15), F.16), а коэффици-
коэффициенты а,, ^ удовлетворяют равенствам F.17), причем выполняются
соотношения F.S).
Тогда проблема сводится к исследованию на экстремум функции
Лагранжа
п-1
L = ffn 4- X) Tf(-1 4- а] + /J?).
i=l
Экстремум этой функции возможен в точках, удовлетворяющих
условиям
dL "zj df(to)
Здесь введено обозначение /(/i,) = F2[X(fii), F(/i,)], i = l,n- 1.
Если в равенствах F.27) последние слагаемые перенести в правую
часть и разделить полученные выражения одно на другое, то приходим
к соотношениям F.21). Если теперь почти дословно повторить те рас-
рассуждения, которые приведены в предыдущем разделе при доказательстве
теоремы 6.1 и перейти к пределу в интегральной сумме при п -» оо, то
будет доказана следующая теорема.
Теорема 6.2. Для того, чтобы интеграл F.26) достигал наименьшего
значения, необходимо и достаточно в аппроксимирующих выражениях
F.2S) в качестве параметра у, принять длину X кривой F.4).
В качестве примера рассмотрим аппроксимацию параболы, заданной
на отрезке [0, 1] неявно в виде
*"(*. У) = У~Х2 = О. F.28)
Представляя функцию х на отрезке [0, 1] в виде ряда Фурье
по косинусам, получаем решение задачи обычной аппроксимации в виде
у = X) on cos(nTTir), F.29)
п=0

6.3. Непрерывное приближение 165
где
Понятно, что при численных исследованиях приходится в F.29)
ограничиться суммированием до некоторого конечного значения п,
равного га. Ошибку обычной аппроксимации Д( будем определять
по формуле типа F.26)
' /m \2
Д, = / I J2 о„ cos(mrx) - х2 I dx. F.30)
{ \n=0 /
Функции F.2S), задающие параметрическую аппроксимацию, най-
найдем в результате интегрирования задачи Коши F.8) с функцией F(x, у),
заданной в виде F.28), и нулевыми начальными условиями х@) =
у@) = 0. Ошибку параметрической аппроксимации Дг будем вычислять
по формуле типа F.26)
J[y(\)-x2(\)]2 d\.
АВ
J
АВ
Интефалы F.30), F.31) вычислялись методом прямоугольников чи-
численно, причем интеграл F.31) вычислялся совместно с интегрированием
задачи Коши F.8). Значение интеграла F.30) Д] = 0,167 • 10~3, соот-
соответствующее значению то = 5, стабилизировалось при шаге вычисления,
равном 0,002. При га = 10 Д[ = 0,24-10~4, а при га = 20 Д] = 0,36-10~5.
Как и следовало ожидать, интеграл F.31), вычисленный при том же
шаге 0,002, оказался равным Дг = 0,341 • 10" , что существенно меньше
значений Д i, полученных выше.
Таким образом, проведенные исследования показывают, что параме-
параметрическое приближение с выбором наилучшего параметра обладает рядом
достоинств по сравнению с традиционным способом приближения.

Глава 7
Нелинейные краевые задачи
для обыкновенных
дифференциальных уравнений
В предыдущих главах были рассмотрены примеры наилучшей пара-
параметризации в задачах, решением которых являлись простейшие однопа-
раметрические множества — кривые в евклидовом пространстве. Здесь
мы рассмотрим более сложный случай — нелинейную краевую задачу
для ОДУ с параметром, решением которой является однопараметричес-
кое семейство кривых.
Возможны различные подходы к решению нелинейных краевых
задач. Широкое распространение получили проекционные и вариацион-
вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, а также разностные и ва-
вариационно-разностные методы, такие, как метод конечных разностей
и метод конечных элементов. С помощью всех этих методов нелиней-
нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных алгебраических
или трансцендентных уравнений с параметром, для решения которых
непосредственно применимы алгоритмы продолжения решения по па-
параметру, разработанные в главе 1. Поэтому мы не будем рассматривать
здесь такие алгоритмы.
Другой подход связан с локальной линеаризацией нелинейной кра-
краевой задачи. В рамках метода продолжения решения по параметру он
реализуется непосредственным применением процедуры метода к исход-
исходным уравнениям. Первый шаг в направлении такого использования про-
процедуры продолжения решения был, по-видимому, сделан В. 3. Власовым
и В. В. Петровым при формулировке алгоритма метода последовательных
нагружений [51].
При таком подходе построение множества решений нелинейной
краевой задачи с параметром сводится к решению последовательности
линейных краевых задач, которые являются удобным объектом для ре-
решения методом типа прогонки. Сейчас отработано несколько вариантов
метода прогонки, обеспечивающих высокую точность решения при при-
приемлемой трудоемкости [5]. Мы будем использовать дискретную орто-
ортогональную прогонку С. К. Годунова [16, 5]. Для эффективного исполь-
использования в алгоритмах продолжения решения по наилучшему параметру
в традиционный алгоритм метода прогонки будут внесены некоторые

7.1. Уравнения решения для нелинейных одномерных краевых задач 167
изменения, необходимость и существо которых будут выяснены на при-
примере метода начальных параметров, который существенно используется
в методе ортогональной прогонки.
7.1. Уравнения продолжения решения
для нелинейных одномерных краевых задач
Рассмотрим краевую задачу для системы нелинейных ОДУ с пара-
параметром р
y' = F(x,y,p), Ay(xi) = a, By(x2) = b,
х € R1, у : R1 -> R", F : Rn+2 -> R", о € Шт, b € К"". '
Здесь введены следующие обозначения: А — прямоугольная матрица
размера тх п (т < п); В — прямоугольная матрица размера / х «,
где / = « - m; rank А = т; rank В = I; у' = dy/dx.
Будем считать, что краевая задача G.1) имеет решение для некото-
некоторого интервала значений параметра р и для некоторого значения р = Ро
из этого интервала такое решение уил известно, т. е.
У\р=Ро=У(О)- G-2)
В соответствии с основной идеей метода продолжения решения
по параметру будем считать независимую вектор-функцию у и пара-
параметр р непрерывными и дифференцируемыми функциями некоторого
параметра ц, смысл которого определим позже,
У = У(х, f), P = Р(р)- G.3)
Так как /х не входит явно в соотношения краевой задачи G.1), то
мы вправе выбирать начало отсчета ft так, чтобы известному решению
G.2) соответствовало ft = 0, т. е.
У(*,0) = У@), Р@)=Р0- G.4)
Обозначим производные у и р по параметру ft соответствующими
прописными буквами
Эти обозначения можно рассматривать как уравнения продолжения
решения, которые вместе с начальными условиями G.2) образуют задачу
Коши по параметру ft. Их необходимо дополнить соотношениями,
определяющими У и Р. Получим их, продифференцировав по ц краевую
задачу G.1). В результате для У и Р имеем линейную краевую задачу
), AY(xl) = 0, BY(x2) = 0. G.6)

168 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
Здесь L(y,p) = [Lij(y,p)], M{y,p) = (Mi(y,p),..., М„(у,р))т — мат-
матрица и вектор, компоненты которых определены соотношениями
ъ-щ- Mi=w и=т^- G7)
Обратим внимание, что в уравнении G.6) величина Р = dp/dfi
также является неизвестной.
Одним из методов решения линейной краевой задачи является
метод ортогональной прогонки С. К. Годунова [16]. Он отличается устой-
устойчивостью и высокой эффективностью. Однако для его использования
в алгоритмах продолжения по наилучшему параметру в его процедуру
необходимо внести некоторые изменения. Для того, чтобы существо этих
изменений не затенялось деталями, связанными с дискретной ортого-
нализацией решений, рассмотрим сначала решение методом начальных
параметров, который существенно используется в методе ортогональной
прогонки.
Метод начальных параметров предполагает представление решения
линейной краевой задачи G.6) в виде
Y = CiYil) + С2УB) + ... + QY® + РУ('+1). G.8)
Здесь I = n — m; C\,C2,...,Ci — произвольные постоянные, вектор-
функции yW(x),Y^2\x),...,Y®(x) — линейно независимые решения
следующей краевой задачи:
Y' = LY, AY(xi)=0, (Y(Xl)jt0). G.9)
Вектор-функция Y^l+^(x) является решением неоднородной крае-
краевой задачи
Y' = LY + M, Y(x{) = 0. G.10)
Представление G.8) устанавливает соответствие между функцио-
функциональным пространством решений уравнения G.6), удовлетворяющих
граничному условию AY{x\) = 0, и I + 1-мерным векторным прост-
пространством R'+1 : {C\,...,Q,P}. Другими словами, любому вектору
С = (С\,..., Q, Р)т € R/+1 в силу выражения G.8) соответствует реше-
решение задачи
Y' = LY + PM, AY(x{)=0. G.11)
Задача метода начальных параметров состоит в определении та-
такого вектора С € R/+1, при котором функция У из выражения G.8)
была бы решением краевой задачи G.6), т.е. удовлетворяла бы также

7.1. Уравнения решения для нелинейных одномерных краевых задач 169
и условию BY{xi) = 0. Из векторов Y^'(x) (i = 1,1 + 1), являющих-
являющихся значениями вектор-функций Y^> при х — х2, составим матрицу D
размера пх A+1)
]. G.12)
Тогда условие BY(x2) = 0 приводит к уравнению
BDC = JC = Q, J = BD. G.13)
Это уравнение для нелинейной краевой задачи G.1) имеет тот же
смысл, что и уравнение продолжения A.35) для системы нелинейных
уравнений A.28). Действительно, определяемому из уравнения G.13)
вектору С € Rl+1 в силу соответствия, установленного представлени-
представлением G.8), отвечают такие вектор-функция Y(x) и параметр Р, которые
являются правыми частями уравнений продолжения G.5), т.е. имеет
место соответствие
№ f) G.14)
dfi dfi
Поэтому мы и обозначили матрицу BD через J, т.е. так же, как
и матрицу уравнений продолжения A.35). Так как матрица В имеет
размерность I х п, а матрица D — п х (I + 1), то размерность матрицы J
будет I х (I + 1). Таким образом, уравнение G.13) представляет собой
систему из I однородных линейных алгебраических уравнений относи-
относительно J+1 неизвестных компонент вектора С = (С\,..., Q, Р)т € R'+1.
По смыслу процесса продолжения решения по параметру вектор С явля-
является функцией параметра fi, т. е. С = C(fi).
Образуем вектор с € Rl+1 такой, что
Его нетрудно построить, например, как интеграл вида
с = j С(ц)йц. G.16)
О
Тогда соответствие G.14) можно представить в форме
{
$-¦ Т
Теперь видно, что кроме соответствия {Y, Р} -+ С представление
G.8) устанавливает также соответствие
{У, Р\ -* с.

170 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
Таким образом, определенное параметром р функциональное про-
пространство решений нелинейной краевой задачи G.1) отображается на
множество c(fi), которое в силу непрерывности С(р) и выражения G.16)
представляет собой гладкую кривую К в R(+l. Так же, как и в главе 1,
определим параметр р локально в каждой точке кривой К, т. е. положим
dp = a-dc, a€Rl+I, aa=l, G.18)
где орт а определяет направление оси, по которой отсчитывается пара-
параметр р. Тогда уравнения G.13) и G.18) с учетом выражения G.15) можно
записать в виде
4 = 0, «.? = !. G.19)
dp dp
Эта система в точности совпадает с системой A.37) и, далее, повто-
повторяя все рассуждения главы 1 при доказательстве теоремы 1, приходим
к следующему утверждению:
наилучшая обусловленность системы G.19) будет обеспечена тогда
и только тогда, когда параметр р является параметром длины Л, который
вычисляется вдоль кривой К в Rl+1.
Это позволяет нам использовать для процесса продолжения решения
все алгоритмы, разработанные в главе 1.
Рассмотрим теперь шаговый процесс Лаэя для решения краевой
задачи G.1). Тогда на к-м шаге по параметру продолжения (при р = ри)
необходимо сформулировать алгоритм Ньютона—Рафсона применитель-
применительно к задаче G.1). Воспользуемся для этого его обобщением, называемым
квазилинеаризацией [6]. Тогда на (J + 1)-й итерации алгоритм сводится
к решению следующей линейной краевой задачи
_гЛ, ( „Oh
)
)\Рк ~Рк
Такая запись уравнения квазилинеаризации подчеркивает тот факт,
что если итерационный процесс сходится, т.е. если y9J.~+У(к) и Рк -*Рк,
то он сходится к решению исходной краевой задачи. Действительно,
в этом случае первые два слагаемых в правой части уравнения G.20)
стремятся к нулю, и в пределе уравнение G.20) обращается в исходное
уравнение G.1).

7.1. Уравнения решения для нелинейных одномерных краевых задач 171
Для удобства перепишем задачу G.20) в форме
+Pk М(
Здесь обозначено
Эта форма записи показывает, что в шаговом процессе Лаэя, т.е.
при дискретном продолжении решения, необходимо решать более слож-
сложную линейную краевую задачу G.21), чем задачу G.6), возникающую
при непрерывном продолжении решения.
Задача G.21) имеет более сложную неоднородность в уравнени-
уравнениях и неоднородные граничные условия. Поэтому ее решение методом
начальных параметров представляется в виде
„0+0 _
У(к) ~1(к)У(к) i(k) У(к)
Здесь j/JM ' (* = 1,1) — вектор-функции, являющиеся линейно
независимыми решениями однородной задачи
у' = 1®у, Ay(Xl) = 0, (y(*,)*0). G.24)
Вектор-функция j/L строится как решение неоднородной
задачи
у' = 1,Му + М$, у(х{) = 0. G.25)
И, наконец, J/L представляет собой решение следующей
неоднородной задачи:
y'^L^y + Ф^, Ау(Х1)=а. G.26)
Введем, как и ранее, матрицу Dji> , составленную из вектор-
столбцов значений вектор-функций У/Ja (* = 1,1 + 1) при х = xi'.
4ГЮ+1)]G-27)

172 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
Введем также вектор С§+1) = (€$*,... ,С$1) ,Д+1))Т. состав-
ленный из I произвольных постоянных интегрирования и параметра.
Тогда функция ylL (x) G.23) будет решением краевой задачи G.20),
если она удовлетворяет второму граничному условию Ву^ 'fa) = b,
которое с учетом принятых обозначений сводится к линейному алгебра-
алгебраическому уравнению
RnG+0r(i+l) , И„('+2H+1)/_ ч _ h /7 ,оч
BD(k) С(к) +ВУ(к) \Х2)-Ь. G.28)
(k) С(к)
Это уравнение перепишем в виде
j
J(k)
где
J(k) ~BD(k) > >) -6~-B!'(ifc) №)• G.30)
Уравнение G.29) представляет систему из I линейных алгебраичес-
алгебраических неоднородных уравнений относительно {+1 неизвестных компонент
вектора С"Н>+ . Его решение можно представить в виде
.0+1)
^
Здесь (/^ — частное решение неоднородного уравнения G.29),
— общее решение однородного уравнения
j0+0r0+i)_n
Это уравнение имеет однопараметрическое подпространство реше-
решений в R'+1 : {С\,... ,С|,р}. И мы будем понимать под С^1' орт
этого подпространства. Коэффициент оН^" ' в представлении G.31) по-
пока не определен, так как решение однородного уравнения может быть
получено только с точностью до постоянного множителя.
Как и выше, при рассмотрении процессов интегрирования уравне-
уравнений продолжения G.5), воспользуемся теми возможностями, которые
дает толкование представления решения G.23) как отображения функ-
функционально-векторного пространства {у, р} на A + 1)-мерное векторное

7.1. Уравнения решения для нелинейных одномерных краевых задач 173
пространство Е+ : {С[,... ,Ci,p}. В силу этого отображения уравне-
уравнению G.32) соответствует линейная краевая задача
(k)Y(k) +F* M(*)>
)
Если итерационный процесс сходится, т. е. если при j -+ оо имеет
место
8Р $ P
то задача G.33) сходится к следующей
Y(k) = Щк), Рк)У + РкМ(у{к), рк),
^)(х,) = 0, BY{k)(x2) = 0.
Эта краевая задача с точностью до обозначений совпадает с краевой
задачей G.6). Отсюда следует, что вектор C^L в итерационном про-
процессе сходится к вектору Сдо = С{цк), являющимся ортом касательной
к кривой К, на которую отображается в М(+1 решение нелинейной
краевой задачи G.1). Наличие в решении G.31) произвольного коэффи-
коэффициента aL позволяет выбрать его значение так, чтобы отображение
итерационного процесса G.21) в пространстве К'+1 обладало теми же
свойствами, что и итерационные процессы дискретного продолжения,
рассмотренные в п. 1.5.
Так, условие, эквивалентное условию A.85), должно требовать орто-
ортогональности поправочных векторов
к орту QD_i) касательной к кривой К € Rl+1 в предыдущей точке. Это
условие записывается в виде
G-35)
Подстановка сюда решения G.31) определяет о^ ' в виде
Jj+i)_
(*) ~"
Геометрия такого итерационного процесса в R2 подробно показана
на рис. 1.10.

174 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
Точно так же для определения а^ можно использовать и дру-
другие условия, сформулированные в п. 1.5 и продемонстрированные
на рис. 1.11, 1.12.
7.2. Дискретная ортогональная прогонка
В предыдущем разделе показано, что алгоритмы метода продолжения
решения по параметру для нелинейных краевых задач требуют решения
на каждом шаге линеаризованных краевых задач G.6), G.21). Но реа-
реализация решения этих задач методом начальных параметров, особенно
для жестких систем ОДУ, наталкивается на известные трудности, свя-
связанные с наличием быстрозатухающих и быстровозрастающих решений.
Это приводит к плохой обусловленности систем уравнений G.13), G.29),
которая связана с тем, что матрица 3 близка к вырожденной. Одним
из наиболее эффективных путей преодоления этих трудностей является
использование метода дискретной ортогональной прогонки, разработан-
разработанного С. К. Годуновым [16]. В отличие от традиционного алгоритма этого
метода, изложенного, например, в [5, 18, 27], при реализации алгорит-
алгоритма продолжения решения приходится решать линейные краевые задачи
G.6), G.21), содержащие подлежащий определению параметр р или р*
в свободных членах. А это требует некоторой модернизации известного
алгоритма метода ортогональной прогонки.
Итак, рассмотрим линейную краевую задачу
у' = Цх)у + рМ(х) + Ф(х), Ау(хо) = а, Ву(х„) = Ъ. G.37)
Здесь у(х) = (у\(х),... jj/ji(a:))T — искомая n-мерная вектор-функция;
L(x) = \Lij(x)\ (i,j = l,n) — заданная квадратная матрица-функция
порядка п; М(х) = (М,(а:) М„(х))т, Ф(х) = (Ф,,..., Ф„)т -
заданные n-мерные вектор-функции; А — заданная прямоугольная
матрица размерности m x n (n > m, rank А = го); В — заданная
прямоугольная матрица размерности Ixn, I = n-m (rankВ = /); о =
(oi,..., о„)т, Ь = (Ь\,..., Ьп)Т — заданные векторы; р — параметр; хо,
хц — координаты начала и конца интервала, на котором разыскивается
решение краевой задачи G.37).
Прежде чем переходить к алгоритму ортогональной прогонки, обра-
обратим внимание на лежащее в его основе свойство общего решения
уравнения G.37), удовлетворяющего условию Ау(хо) = 0. Это решение
представим в виде
l = m-n. G.38)

7.2. Дискретная ортогональная прогонка
175
Здесь у") — (у, ,...,ув ) (i = 1,0 — линейно независимые
вектор-функции, являющиеся решениями однородной задачи
y' = L(x)y, Ay(xo) = a (у(хо)#О), G.39)
y('+I) = (у{'+1\... ,уп )Т — вектор-функция, представляющая собой
частное решение задачи
у' = Цх)у + рМ(х), Ау(хо) = а, G.40)
у('+2) = (у|'+ ',... ,yi+ ') — вектор-функция, являющаяся частным
решением задачи
у' = Ь(х)у + Ф(х), Ау(хо) = а, G.41)
С{,..., Q — произвольные постоянные; р — параметр.
Введем вектор С = (С\,..., Q,р, 1)т € Rl+2 и матрицу U(x), столб-
столбцами которой являются вектор-функции у^> (j = 1,1 + 2),
СГ(«) = [Щ(х)] = [уA)(х) у<2>(х)... у<'+2)(*)], G.42)
где Uij(x) = ур-)(ж), t = 7~?, j = 1./ + 2.
Эту матрицу будем называть матрицей общего решения. Тогда ре-
решение G.38) представится в матричной форме
у(х) = UC.
G.43)
Введем теперь невырожденную квадратную матрицу Q порядка I + 2
со следующей структурой
Ч\\
9»
?м ••• Ям Яи+l Яи+2
О ••• 0 1 О'
О ¦•• О О 1
Нетрудно видеть, что матрица U* такая, что
U* = UQ,
G.44)
G.45)
имеет ту же структуру, что и матрица U, так как ее первые I столбцов
представляют собой линейно независимые комбинации столбцов матри-
матрицы U, т.е. являются линейно независимыми решениями однородной
задачи G.39), а последние два столбца являются частными решениями
задач G.40) и G.41). Поэтому вектор-функция
G.46)

176 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
где С* = (С\,..., С*,р, 1)т, также является общим решением уравне-
уравнений G.37), удовлетворяющим условию Ау(хо) = а при произвольных
значениях C\,...,Ci. Т.е. U* также является матрицей общего/ре-
общего/решения. Если у(х) = у*(х), то векторы С и С* связаны ввиду G.45)
соотношением
QC = С*. G.47)
Рассмотрим теперь алгоритм ортогональной прогонки. Для этого
разобьем интервал интегрирования хо < х < хц на N участков. Коор-
Координаты границ участков обозначим через хо, х\,..., хц, а сами участки
пронумеруем слева направо от 1 до N. На первом участке хо ^ х ^ х\ по-
построим общее решение G.38) уравнений G.37) при условии Ау(хо) = а.
Сначала получим решения однородной задачи G.39), которые обозна-
обозначим 2//,)(? = 1H- Здесь и далее нижний индекс в скобках (*) будет
означать принадлежность к г'-му участку. Для этого возьмем I ортонор-
мированных решений rfj 6 К"(; = Tj) уравнения А? = 0 и, принимая
их в качестве начальных, построим каким-либо численным методом
(Рунге—Кутта, Адамса и т. п.) I решений начальной задачи у' = L(x)y,
т.е. получим УA(] = 1,1) как решения начальных задач
(у$' = Цх)у®, 3$Ы=$, 3=~l, xo^x^xl G.48)
Решения yL и j/L ' получим как решения следующих начальных
задач
=о,
G.50)
Здесь f/Ц 6 К" - вектор, являющийся частным решением систе-
системы уравнений А? = а и ортогональный к векторам ?m (j = T77),
но не нормированный.
На вопросе о том, как практически построить векторы ?Нч (j=1,1+2)
мы здесь не задерживаемся, чтобы не загромождать изложение деталями,
а рассмотрим его позже.
Теперь общее решение уравнений G.37), удовлетворяющее условию
Ау(хо) = о, на первом участке можно представить в виде

7.2. Дискретная ортогональная прогонка 177
Здесь матрица Щ^(х) является матрицей-функцией G.42) и Сп\ =
(СA\[,- • • ,Cmhp, l)T — вектор произвольных постоянных на первом
участке.
На левом конце первого участка (при х = xq) матрица-функция
U^(x) принимает значение
- G'52)
Здесь ?м\ — матрица, столбцами которой являются ортогональные
векторы fijj (j = \,l + 2), введенные выше.
На правом конце первого участка, т.е. при х = х\, значение
матрицы Ui\\(x) обозначим так
G.53)
Если столбцы матрицы U^(xq) = ?([) образовывали ортогональную
систему векторов в W, то по мере увеличения х столбцы матрицы
Un\(x) все больше отклоняются от ортогональной системы. Отклонения
нарастают особенно быстро, если уравнение G.37) имеет быстрозатухаю-
щие и быстровозрастающие однородные решения. Это приводит к тому,
что векторы 2/Нч(а:)О = 1,/ + 2) при больших х могут стать почти ли-
линейно зависимыми. Идея дискретной ортогональной прогонки состоит
в том, чтобы, пока эти отклонения не слишком велики, прервать про-
процесс интегрирования и перейти на следующем участке к другому общему
решению. Это решение должно быть таким, чтобы составляющие его
векторы однородных и частных решений были ортогональны при х = х\,
т. е. в начале следующего участка. Для этого проортогонализируем с по-
помощью процесса Грама—Шмидта (см., например, [5]) столбцы матрицы
G.53), причем первые I столбцов, представляющих в Фт решения од-
однородной задачи G.39), кроме того, пронормируем, а векторы <pL
и \p!jt ' только проортогонализируем к Ф^> (j =1,1) без нормиров-
нормировки. Полученную систему векторов обозначим через ?г1(х) (J = ^' "*" ^)
и образуем из них матрицу ^ точно так же, как матрица $щ G.52)
образована из векторов ?/,((х) (j = l,/ + 2). Результаты этой операции
МО
можно представить в виде
ФA) = *B)ПA)- G-54)
Так как матрица Фт ортогонализируется по столбцам, то матрица
ортогонализации пп\ является верхней треугольной матрицей, и с учетом

178
Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
особенностей, связанных с ортогонализацией векторов Ф
имеет вид
0)
A)
rll
0
0
0
0
•4° ••
0 ••
0 ••
0 ••
A)
• 4°
• Jl)
• 0
• 0
J1'
wl/+l
«a.
¦a.
i
0
(i)
wU+2
w@2
0
1
G.55)
Векторы ^У 0 = M) выражаются через векторы
следующим образом
ш
L
717
(j = T7I)
G.56)
где
1/2
. G-57)
Векторы &2) и ^B) не нормируются и вычисляются по формуле
/
((*) iTiW х Л • .(')^@ b__iii и iii in «o\
V2) (О ~ ' -* *» W2)* * ~ * + If * = iTi \''Э8^
Полученную ортогональную систему векторов ?,У 0 = 1, Z -1-2)
возьмем в качестве начальной системы для построения решений уН!
0 = 1, / -Ь 2), составляющих общее решение уравнения G.37) на втором
участке. Т.е. так же, как и на первом участке, построим решения
следующих начальных задач
,,"//_ V _ Al) ? Т I _ ^- _ ^ —,
= 0.
"B)
G.59)
G.60)
G.61)

7.2. Дискретная ортогональная прогонка 179
Из этих решений общее решение образуется в виде
УB)(х) ~ UB)(X)CB)- G-62)
иф) = [»§ • • • У§\ С2 = (Cg eg, р, if. G.63)
В силу соотношений G.59)—G.61)
^B)(!Cl) = ?B) — (fB)> • • • > ^B) ) • G-64)
Из соотношений G.52), G.54), G.62), G.64) следует, что
^A)(яг) = ^B)(Я5)^A)* G.65)
Тогда по отмеченному выше свойству УB)(х) G.62) является общим
решением уравнения G.37), удовлетворяющим условию Ауп)(хо) = а-
Поскольку У([)(х) G.51) является общим решением той же задачи, то
векторы произвольных постоянных Сп\ и Сп) связаны соотношением
СB) = 0A)^A). G.66)
Поступая точно так же на участках 3,4,..., JV, строим на них
общие решения од (я:) уравнения G.37), удовлетворяющие условию
'(i)(xo) = в, в виде
i = TJf. G.67)
Так как все y^\(x)(i — 1, JV) являются общим решением одной и той
же задачи, то векторы С^ и С(,-+1) связаны соотношением
C(j+I) = nwcw, i=l,JV-l, G.68)
где 0^) — матрица ортогонализации вида G.55) и такая, что
*(.-) = п»*(<+1)» ф@=сг@(х<)' ^+i)=^+i)(iB<), ^Т^1!. G.69)
Вектор постоянных С<Я) находится из условия на правом конце
) (
(при х — хн), которое принимает форму By^(xN) = Ь. С учетом
выражения G.67) это условие сводится к уравнению
G.70)
Так как в векторе С^ = (cLl,..., C?L,p, l) неизвестными явля-
являются только первые (I + 1) компоненты, то уравнение G.69) можно
представить в форме
JC(N) = d. G.71)

180 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
Здесь
= BD, й = Ъ-В*№
G 72)
«w J, C(JV) - [C(N) Cw,p) .
Матрица В имеет размер I х п, матрица D — п х A+1). Поэтому размер
матрицы J = BD равен I х (I + 1).
Уравнение G.71) ифает ту же роль, что и уравнение G.29) при ре-
решении задачи G.37) методом начальных параметров. Поэтому его ре-
решение может быть построено так же, как и в разделе 7.1, в виде
С^ = oC0(jv) +0(лг)> где коэффициент а определяется из дополнитель-
дополнительного условия, например, из условия вида A.85).
После того, как тем или иным способом найден вектор C^N\, совер-
совершается обратный ход прогонки, на котором определяются векторы С^
как решения уравнений G.66)
i = N-\,...,l. G.73)
Решение краевой задачи G.37) на участках строится по полученным
С(,\ и построенным на прямом ходе матрицам U^\ в соответствии
с зависимостью G.67)
У((х) = иф)С(!), Xi-i^x^Xf, i = N,...,l. G.74)
Обратимся теперь к вопросу о том, как построить нужные нам
для начала прямого хода векторы {W(* = \,l + 2). Рассмотрим его
при условии, что главный (левый) минор матрицы А отличен от нуля.
В других случаях видоизменения решения очевидны.
Сначала построим I линейно независимых решений 0*'(г = 1,0
однородного уравнения А? = 0. Это уравнение представим в форме
G-75)
amlf 1 + • • • + <1тт€т = 0,тт+\?т+\ + ¦ ¦ • + «тп^п-
Теперь, задав I линейно независимых комбинаций величин ^
(г = т+ 1, п), входящих в правые части этих уравнений, например, в ви-
виде A,0,..., 0), @,1,..., 0),..., @,0,..., 1), и решив систему уравне-
уравнений G.75), получим I линейно независимых векторов C*'(i = T^J). Про-
ортогонализировав эти векторы с помощью процесса Грама— Шмидта,
построим I ортонормированных векторов С/п(* — 1>0> являющихся ре-
решениями уравнения АС, = 0.

7.3. Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения... 181
Для получения вектора С^ ' построим сначала произвольное част-
частное решение f (/+2) g Rn уравнения А? — 0. С этой целью достаточно
положить равными нулю последние I его составляющих f^+i = ... =
Q + ' = 0, а первые m компонент найти как решение уравнений
G-76)
Проортогонализировав (но без нормировки) полученный вектор
) ^ ?#>t о,..., 0)г к веюгорам <g« = ТЛ), построим
требуемый вектор 0,t в виде
(;(^S G.77)
7.3. Алгоритмы непрерывного и дискретного
продолжения по параметру решения
нелинейных одномерных краевых задач
Суммируя результаты этой главы, приведем для нелинейной краевой
задачи G.1) алгоритм непрерывного и дискретного продолжения решения
по параметру. Из алгоритмов непрерывного продолжения рассмотрим
метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера. Алгоритмы метода
Рунге—Кутта и других методов, реализующих явные схемы интегриро-
интегрирования задачи Коши, читатель легко может построить самостоятельно
по аналогии.
В качестве примера алгоритма дискретного продолжения рассмотрим
только тот, который связан с дополнительным условием вида A.85)
или G.35). Видоизменения, необходимые для использования других
условий из раздела 1.5, очевидны.
1. Метод Эйлера
Рассмотрим алгоритм метода Эйлера для интегрирования задачи Коши
для уравнений продолжения по наилучшему параметру А
^=у. ^=р- »1а«а, = У@). р1а=Ао=Ро, G.78)
где у(яг, А) и р(А) образуют множество решений нелинейной краевой
задачи G.1).

182 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
Будем считать, что движение по параметру продолжения осуще-
осуществляется с шагом ДА, т.е.
A*+i = А» + ДА. G.79)
Верхний и нижний индексы «к» будут указывать, что данная функ-
функция, вектор или величина взяты при А = А*.
На каждом шаге по параметру А для определения правых частей
уравнений G.78) необходимо решать линеаризованную краевую зада-
задачу G.6). Ее будем решать с использованием ортогональной прогонки.
Для этого интервал хо ^ х ^ х^, на котором строится решение нелиней-
нелинейной краевой задачи, будем, как и в разделе 7.2, считать разбитым на N
участков. Индекс «г» будет указывать, что величина, вектор или функция
с этим индексом относится к г-му участку x,_i ^ х ^ а:,-.
1. Прежде, чем начать процесс интегрирования задачи Коши по па-
параметру А, необходимо задать начальное состояние, определенное на-
начальным условием G.78)
к = 0, А0 = 0, 2/@) = у(х, 0),
РО=Р(О), «@) = @ 0,1N*4 (?-80)
Вектор-строка ег/0\ необходим для формирования матрицы системы
G.19) при ц = А. Такой выбор вектора ег(о) указывает, что первый шаг
мы делаем фактически по параметру р.
2. Для реализации ортогональной прогонки необходимо построить I
ортонормированных однородных решений СО = М) алгебраической
системы уравнений
А(=0. G.81)
Как указывалось в разделе 7.2, для этого можно сначала построить I
линейно независимых решений $)(j = J^f) этой системы, а потом
ортонормировать их с помощью процесса Грама—Шмидта, результат
которого с помощью матрицы ортогонализации О можно представить
в форме
\c(l) e(t)] _ f/0) (
К -••* J-KA)---<
3. Далее производится прямой ход прогонки — построение по участ-
участкам ?,¦_! < х < Xi общих решений задачи
dY(k)
-?г = Щк), Pk)Y(k) + ЩУ(к), Рк), Щ)Ы = 0 G.82)
и матриц ортогонализации Пл\(г = 1, N - 1), связывающих обшие реше-
решения соседних участков на г'-й границе.

7.3. Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения... 183
Линеаризованная краевая задача непрерывного продолжения G.6)
проще задачи G.21), возникающей при дискретном продолжении, тем,
что граничные условия в ней однородные (о = 6 = 0) и функция Ф = 0.
Поэтому общее решение задачи G.82) будет состоять из I линейно
независимых решений Улл 0' = ^Л) однородной задачи G.39) и частного
Улл
решения У,!\+ неоднородной задачи G.40). Поэтому матрицы общих
решений UlMx) (i = l,N) по участкам будут состоять только из I + 1
столбцов
Они строятся последовательно как решения начальных задач вида
G.48) при а = 0 и G.49), и связаны между собой соотношениями
»=ТГЛГЛ. G.84)
Матрица Щ.} из-за того, что, j/Ht ' = 0, отличается от матрицы
ортогонализации вида G.55) отсутствием последней строки и последнего
столбца.
В результате прямого хода имеем матрицы общих решений по участ-
участкам
U$(x), i=T7N, G.85)
матрицы ортогонализации
n|J(x), i = l,N-l G.86)
и матрицу
« $ G.87)
4. Из условия BY(xn) = 0 находится вектор произвольных по-
постоянных cLl = (cL'w,...,cLj/fflk)r, определяющий решение ли-
лий й
неаризованной краевой задачи непрерывного продолжения. Для этого
с использованием матрицы D^k' и вектора <*(*_!) строится и решается
система уравнений вида G.19):
где J(k)=BD(k). G.89)

184 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
Полученный в результате решения вектор С**' нормируется
Величина Р* определяется как последняя компонента вектора
5. Обратный ход прогонки сводится к построению решения линеа-
линеаризованной краевой задачи по участкам в виде
Y(k)(x) = U§C§, хм < х < х,, i = N,N-l,...,l. G.91)
Ik)
Здесь C,V находятся последовательно как решения систем уравне-
уравнений
^К)С)' i = N~l,N-2,...,L G.92)
6. Теперь можно осуществить шаг метода Эйлера
= At + ДА, j/(fc+1) = j/(i) + ДАУD), pfc+i=Pi+AAPt. G.93)
7. Полученные значения J/(t+n и pfc+i используются для следующего
шага. Для этого нужно повторить вычисления, начиная с п. 3, положив
в них к + 1 вместо к и приняв <*(*+!) = cLl.
Для метода Эйлера, как известно, характерно накопление ошибки,
которая на каждом шаге имеет порядок 0(дА ).
2. Модифицированный метод Эйлера
Модифицированный метод Эйлера дает погрешность на каждом шаге
по А порядка 0(дА3). Мы остановимся на том варианте метода, кото-
который уже использовался в п. 1.4 (формула A.63)). Поскольку в этом ме-
методе все вычисления на первом полушаге полностью повторяют метод
Эйлера, то мы дадим их в виде сокращенной блок-схемы. В ней обо-
обозначение вида {F(x) = О}" -* х означает, что х получен как решение
уравнения F(x) = 0.
1. Задание начального состояния.
fc = 0, А0 = 0, 2/(о) = 2/М), Ро=р{О), а@) = @,...,0,1)г. G.94)

7.3. Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения... 185
2. Построение I ортонормированных решений ?"' (j — 1,1) уравне-
уравнения А( = 0.
3. Определение производных Y и Р в начале интервала ДА.
3.1. Прямой ход прогонки.
dY(k) I
^"^«•Л^)+"<»№•»>• *yw(»o)«oj "* G>95)
3.2. Определение вектора cL(.
1J1 Ч*Г
3.3. Обратный ход прогонки: последовательное решение систем
с@11» ~С(<+1)/ С@' *~Л !>1>
построение решения линеаризованной краевой задачи
4. Построение первого приближения для функции у(х) и параме-
параметра Рк+\ в конце интервала ДЛ на fc-м шаге
а(к) = С$. G.99)
5. Вычисление приближенных значений производных в конце ин-
интервала ДА на fc-м шаге.
5.1. Прямой ход прогонки
-1

186 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
5.2. Определение вектора /д
_ Br>*(*+1) 7
<7Л01>
"k)J
5.3. Обратный ход прогонки
6. Шаг модифицированного метода Эйлера — вычисление уточнен-
уточненных значений у(х) и р в конце интервала ДА на fc-м шаге
G.104)
Рк+\ =Рк + ДА(Р + P)/2
7. Переход к следующему шагу по A: «(fc+i) = C?L , повторение
вычислений, начиная с п. 3 с заменой к на к + 1.
Хотя модифицированный метод Эйлера приводит к накоплению
меньшей ошибки, чем метод Эйлера, но при достаточно большом числе
шагов по А ошибка все же может оказаться существенной.
Дальнейшего уменьшения ошибки можно достичь двумя путями.
Один из них — повышать порядок точности явных схем, для чего можно
воспользоваться методами типа Рунге—Кутга или Адамса—Штермера.
Построенные на их основе алгоритмы продолжения решения нелиней-
нелинейной краевой задачи будут аналогичны приведенным выше. Однако они
потребуют большего времени счета и дополнительных ресурсов памяти
компьютера. Второй путь — использование неявных разностных схем,
т. е. переход к дискретному продолжению решения.
3. Алгоритм дискретного продолжения решения
Мы здесь рассмотрим только алгоритм с использованием дополни-
дополнительного условия A.85). Остальные дополнительные условия из п. 1.5
реализуются аналогично.
Будем рассматривать итерационный процесс при А = А». Указыва-
Указывающий на это индекс к ниже будет опущен. Индекс j будет обозначать

7.3. Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения... 187
номер итерации. Как и при непрерывном продолжении, индекс i будет
указывать на принадлежность к t'-му участку x,_i < х ^ х,.
Как видно из п. 7.1, на каждой итерации приходится решать ли-
линеаризованную краевую задачу G.21). Так как она полностью совпадает
с задачей G.37), то и алгоритм решения ее методом ортогональной
прогонки не отличается от изложенного в п. 7.2. Этим алгоритмом мы
и будем пользоваться. Введем обозначения
фЮ = Ф(»«,1,Ю). G.105)
Пусть для предыдущего значения Л, равного А4_[ = А* - ДА, из-
известны: вектор-функция у(г)|л=л».,> которая является решением не-
нелинейной краевой задачи G.1) и соответствующее значение параметра
задачи р = pt_i; вектор-функция Y(x)\\=xk_l, являющаяся решением
линеаризованной краевой задачи G.6) при А = At_i, вектор Со(#Iа=а»_,,
являющийся решением однородной части уравнения G.71) и соответ-
соответствующей вектор-функции У(а:)|л=л»_|; вектор с^д^д,.,, определяю-
определяющий решение уравнения G.70) и являющийся, в силу представления
G.23), отображением вектор-функции у(аг)|д=д,_, в R'+1. Учтем также,
что Pt_i = dp/d\\x=Xt., — является (I + 1)-й составляющей векто-
вектора Со(л)!а=а»-| и поэтому известен вместе с этим вектором.
Итерационный процесс при А = А* будет состоять из следующих
этапов.
1. Задание начального приближения (j = 0)
У{0) = у1а=а,_, + ДАУ |А=д4_,, р@) = й-1
@)
(N)
2. Итерационный процесс j = 1.
2.1. Прямой ход прогонки — построение по участкам х^\ < х < ж,,
У у1аа,_, + |Ад4_,, р й1 th
@) (о) G.106)
C(N) = C(Ar)U=A»., + Д АС0(лг) | А=А».,, С(лг) = С(ЛГIа=А».,.
t = 1, JV матриц общих решений начальной задачи и матриц ортогона-
лизации
dx
""'¦->17#(?(х), i = Or, G.Ю7)

188 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
2.2. Удовлетворение граничных условий при х = хц
<7108>
G.109)
При решении уравнения G.109) ищется его любое частное реше-
решение д^\
2.3. Использование дополнительного условия вида A.85)
{0) ¦ (cU) c°-'h - Г
@)
2.4. Обратный ход прогонки
Последовательное решение систем
I @ @ ~ («+i)J (*)' ' \'1U)
Построение общих решений
vU) = и$е®' *»-» < * < *»• •¦ = :Я1ГГ- GЛ13)
2.5. Проверка условий сходимости
Если [(cjjj - cjjj0) • (cjjj - cjjj0)]"* > ? > 0, то вычисления,
начиная сп. 2.1 повторяются при j' = j + 1. В противном случае можно
считать итерационный процесс законченным и принять решение в виде
*(*)=<$)> C(N)=C$y у\х=хк=У^\ Y\x=h=Y^. G.114)
Эти векторы и вектор-функции используются для задания начально-
начального приближения для следующего значения Afc+] = А* + ДА в соответствии
с п. 1.
Заметим, что использование других дополнительных условий из п. 1.5
скажется только на вычислениях п. 2.3. Их реализация по аналогии
не составит труда. Подробно этот вопрос рассмотрен в книге [17]. Там же
в главе 4 подробно рассмотрены примеры использования приведенных
здесь алгоритмов. Здесь мы рассмотрим только один из таких примеров.

7.4. Пример: большие прогибы круговой арки
189
7.4. Пример: большие прогибы круговой арки
Уравнения, описывающие большие прогибы круговой арки ради-
радиуса R под действием равномерной нормальной нагрузки р° (рис. 7.1)
подробно рассмотрены в книге [17]. Они имеют вид
ar' = (l+cn)costf,
1?' = A + сп)к,
q' = (l+ ai)(kn - p),
j/= A + en) sintf,
ri = -A + cn)kq,
k' = (\+ at)q.
G.115)
Рис. 7.1.
Здесь х = x(P) = x°/R, у = y(/3) = уr/R — безразмерные коорди-
координаты точек оси арки; /3 — длина вдоль недеформированной оси; $ —
угол между касательной к ее оси и осью х; к — кривизна деформиро-
деформированной оси; п, q — безразмерные продольная и поперечная силы в арке;
р — безразмерный параметр нагрузки; ()' = d()/dp; с — константа,
определяющая гибкость арки.
Мы будем рассматривать условия шарнирного закрепления концов
арки, которым соответствуют следующие соотношения
= ± sin А), У(±ро) = cos A), ft(±A)) = -1 •
G.116)
Начальное недеформированное состояние арки определяется следу-
следующими соотношениями
х0 = sin /3, уо = cos/З,
«о = 0,
G.117)

190 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
Как видно, эти соотношения явялются решением уравнений G.115).
Итак, уравнения G.115) с граничными условиями G.116) составля-
составляют нелинейную краевую задачу, содержащую параметр р. Кроме того,
для р = 0 известно решение G.117) этой задачи.
В соответствии с основной идеей метода продолжения будем считать
неизвестные функции х, у, д, п, q, к и параметр р функциями
параметра продолжения Л, смысл которого выяснен в п. 7.1, т.е.
х = х(р,\), у = у(р,), ф,), (/,), g
Тогда уравнения продолжения G.5) запишутся в виде
ter !*v a
Линеаризованную краевую задачу для определения X, Y, в, N,
Q, К, Р получим, продифференцировав задачу G.115), G.116) по пара-
параметру А
X' = ccostiN - A + en) sin#e,
Y' = с sintiN + A + en) cos #0,
N' = -ckqN - A + cn)(kQ + qK), G.120)
Q' = c(kn - p)N + A+ cn)(kN + nK- P),
K' = cqN + (l+cn)Q,
X(±/Jo) = У(±А>) = K(±p0) = 0.
Эта краевая задача линейна относительно неизвестных функций
X,...,К и параметра Р, определяющих правые части уравнений про-
продолжения G.119).
Для сведения краевой задачи G.115), G.119) к форме G.1) введем
вектор-функции z = [х, у, 0, n, q, kf и Z = [X, У, в, N, Q, К]т. Тогда
задачу G.115), G.119) можно представить в виде
z' = F(z,p), Az(-{30) = a, Bz(Co) = b. G.121)
Здесь введено обозначение F(z, p) = [F\ (z, p),..., Fs(z, p)]T для не-
нелинейной вектор-функции, соответствующей уравнениям G.115). Пря-
Прямоугольные матрицы А,В размером 3x6 и трехмерные векторы а,Ь

7.4. Пример: большие прогибы круговой арки
191
определяются условиями G.116) и записываются следующим образом
[1 0 0 0 0 01
0 10000,
0 0 0 0 0 lj
а=
-sin/3o
cos/Эо
fsin/Зо]
3
G.122)
]
, 6= cos/3o .
L -1 J
В этих обозначениях уравнения продолжения G.119) принимают вид
§ = *, | = Р. GЛ23,
А начальными условиями G.116) для них являются условия
z(a) = z@) = [sin/3, cos/3, -/3,0, -1], p@) = po = O. G.124)
Краевая задача G.120) принимает форму
Z' = L(z,p)Z + PM(z,p), AZ(-p) = 0, AZ(p) = 0. G.125)
Здесь L(z,p) и M(z,p) — матрица и вектор, компоненты которых
для нелинейной вектор-функции F(z,p) правых частей уравнений G.115)
определяются следующими соотношениями
= Ьг » М = 1,б. G.126)
Щ
dzj
Развернутая матричная форма уравнений G.125) приведена ниже
Y
в
Q
к
t
О 0 ?J3
О 0 ?23
0 0 0
?l4 О О
?24 О О
ск 0 ?3б
X'
Y
в
N
Q
К
+р
о ¦
0
0
0
м5
0
О О О ?44 As ?46
О О О ?54 0 ?5в
0 0 0 cq ?65 О
Здесь ?13 = -A +cn)sintf, ?14 = ccostf, ?23 = A + cn)costf, ?24 =
csintf, ?35 = 1 + cn, ?44 = -ckq, ?45 = -A + cn)k, Ly, = -A +cn)q,
L<A = 0 + 2cn)* ~ c?> -^56 = A + с™)™. ?б5 = 1 + en, M5 = 1 + en.
Для проведения конкретных расчетов в качестве основного метода
интегрирования уравнений продолжения G.123) был принят алгоритм
модифицированного метода Эйлера G.94)—G.104), поскольку простой
метод Эйлера, как известно, приводит к существенному накоплению
ошибки. Для устранения накопления ошибки модифицированного ме-
метода Эйлера он комбинировался с методом дискретного продолжения,
для которого применялся алгоритм в форме G.106)—G.114) с выбором
коэффициента а^ по выражению G.110). В уравнениях для квазилине-
квазилинеаризации G.21) для упрощения записи прописными буквами обозначим

192 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
искомые функции текущего (j+ 1)-го приближения, а строчными — уже
известные функции предыдущего j-ro приближения при А = А*
Тогда краевая задача G.21) примет вид
Z1 = L(z,p)Z + PM(z,p) + [-L(z,p)z -PM(z,p) + F(z,p)],
G.128)
ЛЯ(-/Э0) = а, BZ(po) = b.
Сравнивая уравнения из G.128) с уравнениями из G.125) замечаем,
что они отличаются только наличием в G.128) слагаемых, заключенных
в квадратные скобки. В развернутой форме краевая задача G.128) имеет
вид
X' = ccosfli!V-(l+cra)smfle +
A + cn)cosfl],
У = с sin flJV + A + ста) cos 09 +
+ [-с sin tin - A + en) cos flfl + A + en) sin fl],
+ cra)g +
N' = -cfcgJV - A + cn)(kQ + qK) +
+ [ckqn + (l+cn)(kq + qk - A + cn)kq],
Q' = c(kn - p)N + A + cn)(kN + nK) - A + cn)P +
+ [-c(kn - p)n - A + cn)(kn + nk + A + cra)fcn],
K' = cgN + (l+cn)Q + G.130)
+ [-cgn-(l+cn)g + A + cn)q],
X(±p0) = ± sin /Зо, У(±/Зо) = ± cos Дв, JT(±/3b) = 1.
Уравнения G.129), G.130) мы постарались записать в такой фор-
форме, чтобы подчеркнуть сходство слагаемых в правых частях, которые
записаны одно под другим и подчеркнуты. Тоже самое сходство видно
и в обобщенной записи G.128), где сходные слагаемые подчеркнуты.
Это позволяет при составлении компьютерной программы использовать
одни те же процедуры как для непрерывного, так и для дискретного
продолжения.

7.4. Пример: большие прогибы круговой арки
193
При практической реализации э.их алгоритмов [65] для интегри-
интегрирования линейных уравнений G.120), G.129), G.130) с целью получе-
получения их фундаментальных решений на прямом и обратном ходах про-
прогонки использовался метод Рунге-Кутта. При этом пробные расчеты
показали, что достаточная точность обеспечивается при разбиении арки
при До = 22,5° на 30 участков, а при р$ = 90° — на 100 участков.
Оказалось также, что достаточно пяти промежуточных ортогонализаций.
При отработке алгоритма программы проводился целый ряд проб-
пробных расчетов с целью выявления влияния шага по Л на накопление
ошибки и эффективность комбинирования непрерывного и дискретного
продолжения. На рис. 7.2 приведена зависимость параметра давления р
от относительного вертикального смещения W = w/R средней точ-
точки (р = 0) арки при ее симметричном деформировании. Расчеты прово-
проводились для арки с параметром с = 10~4 и углом /3 = 45°.
Рис. 7.2.
Штриховая кривая 1 на рис. 7.2 соответствует интефированию урав-
уравнения продолжения модифицированным методом Эйлера с шагом ДА
по параметру А, который на начальном участке деформирования при ма-
малых р соответствовал приращению относительного прогиба W — 0,005.
Штрихпунктирная кривая 2 соответствует тому же методу, но с шагом
при W = 0,0025. Сплошная кривая 3 получена при комбинировании двух
шагов с W = 0,005 модифицированного метода Эйлера с одним шагом
по неявной схеме дискретного продолжения. Эта кривая практически
соответствует точному решению задачи. Как видно из рис. 7.2, моди-
модифицированный метод Эйлера дает накопление ошибки, особенно суще-
существенное в тех областях изменения параметра, где решение претерпевает
значительные изменения. В то же время расход машинного времени

194
Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
30
20
0,6 0.4 0,2 о
0,4
при получении кривых 2 и 3 был практически одинаков (для кривой 3 он
был даже несколько меньше). Это позволяет рекомендовать при расчетах
комбинировать непрерывное и дискретное продолжения.
На рис. 7.3 показаны полученные с использованием такого алго-
алгоритма кривые деформирования p(W) для арки с /3 = 45°. При этом
рассмотрены как симметричные, так и несимметричные формы дефор-
деформирования, которые возникают в результате потери устойчивости арки.

7.4. Пример: большие прогибы круговой арки 195
Для того, чтобы получить закритические формы деформирования,
вблизи точек бифуркации вводились возмущения на нагрузку. Так,
для симметричных форм нагрузка принимается в виде
а для несимметричных форм
Введение таких возмущений позволило обойти точки бифуркации
по возмущенным решениям.
Другие примеры использования приведенных алгоритмов даны в гла-
главе 4 книги [17].
т

Глава 8
Продолжение решения
в особых точках
Развитые в главе 1 методы продолжения решения, реализующие
равноправие неизвестных и параметра, имеют единый алгоритм продол-
продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений
нелинейных систем уравнений. Поэтому с точки зрения этих форм алго-
алгоритма продолжения нет необходимости во введении понятия предельной
точки. Продолжая начатое в главе 1 обсуждение, здесь мы основное вни-
внимание уделим анализу поведения решения в окрестности существенно
особых точек, т.е. точек, в которых вырождается расширенная матрица
Якоби J. В качестве основного метода исследования будет принят метод
разложения в ряд Тейлора в окрестности особой точки. Он позволяет
построить уравнение разветвления, анализируя которое, можно найти
все ветви решения. Причем сложность анализа будет зависеть от степе-
степени вырождения матрицы Якоби J. Будет рассмотрен наиболее важный
для практических приложений случай однократного вырождения матри-
матрицы J(rank(J) = п - 1), а также более сложный случай ее двукратного
вырождения (rank(J) = п - 2).
8.1. Классификация особых точек
Как и в главе 1, задачу продолжения решения системы уравне-
уравнений A.1) будем рассматривать в (п + 1)-мерном евклидовом простран-
пространстве Rn+l, в котором введен вектор ж = (х\,..., хп, хп+\ — р)т. Тогда
задача сводится к продолжению решения системы-уравнений
Ъ(х) = 0, г = п. (8.1)
Пусть функции F,(x) являются аналитическими, тогда компоненты
вектора х могут быть рассмотрены как функции параметра продолже-
продолжения Л
Xi = х{(Х), i = l,n+l. (8.2)
Пусть в некоторой точке, для которой будем считать параметр А
равным нулю, известно решение х@) — х^у Тогда поведение решения

8.1. Классификация особых точек 197
х(Х) в окрестности этой точки определится разложением в степенной
ряд Тейлора
х(\) = Z@) + х\0)Х + — ж)А2 + — a:J'0)A3 +... . (8.3)
Здесь обозначено
х'@) = dx/d\\x=0, х'@) = d2x/d\2\x=0 (8.4)
Уравнения для определения x',Qx, x'Lx,... получим, последовательно
дифференцируя уравнение (8.1) по А:
F?jx[0)j = 0, i = XJi. (8.5)
(8-7)
В этих уравнениях опущен знак суммирования от 1 до п + 1 по по-
повторяющимся индексам и приняты обозначения
, .... (8.8)
Последовательность систем уравнений (8.5), (8.6), ... рекуррентна,
и в каждой цз систем коэффициенты образуют расширенную матрицу
Якоби J° = J(a;(o)) = [f?jh г = 1>п» 3' = 1,п + 1. Обратим внимание,
что первая из этих систем — (8.5) — однородна, а все последующие —
неоднородны.
В регулярных и предельных точках множества К решений систе-
системы (8.1) в Rn+I матрица J не вырождена, т.е. rank(J) = п. Поэтому
решение однородной системы (8.5), как это было показано и ранее
в п. 1.5, принадлежит одномерному подпространству А1 € En+1. Соглас-
Согласно (8.5) это подпространство А1 ортогонально n-мерному подпростран-
подпространству Р" G Kn+l, которое определено базисом из п линейно независимых
векторов-строк матрицы 3. Пусть cSl> = (а, ,..., лЦ,) — орт подпро-
подпространства А1. Тогда решение системы (8.5) представляется в виде
x[0)=caW. (8.9)
Здесь с — произвольный постоянный коэффициент. Так как вектор
oj/qj при изменении А меняет только свое направление при неизмен-
неизменна
ной длине, определенной соотношением (8.9), то векторы х,0\, х,Оу...,

198 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
характеризующие изменение направления вектора х'/0\, должны быть
ортогональны к нему и потому должны принадлежать подпростран-
подпространству Р", которое является ортогональным дополнением подпростран-
подпространства А1 в Rn+l. Таким образом, так же как и в п. 1.5,
(8.10)
Из (8.9) сразу следует, что при с = 1 параметр А является диффе-
дифференциалом длины кривой К множества решений системы (8.1) в Rn+l.
Действительно, так как о'1' — единичный вектор, т.е. (о'1', аУ') = 1, то
п+1
(ж'(о)' х'(о)) = ^2(dxj/dM\=o) =c. (8.11)
Отсюда следует
1/2
= cd\. (8.12)
Так как х € К, то в этом соотношении левая часть является
дифференциалом длины кривой К. Поэтому при с = 1 и правая часть
d\ также будет дифференциалом длины К.
Рассмотрим теперь точку Ж@), в которой rank(J(a;@))) = г < п. Это
означает, что среди п строк матрицы J = J\x^) линейно независимы
только г. Для определенности будем считать, что линейно независимы
первые г строк матрицы J0. Любой другой случай всегда можно свести
к таковому очевидной перенумерацией уравнений в системе (8.1).
Разобьем уравнения (8.1) на две группы
F{(x) = 0, i = T^, (8.13)
Fj(x) = 0, j = r + l,n, (8.14)
Для упрощения дальнейших выкладок будем считать, что начало
координат пространства Rn+l помещено в точку х/0\, в окрестности
которой исследуется поведение решений, т.е. хм = 0. Этого всегда
можно добиться введением вместо х новой неизвестной у такой, что у =
х - Ж@). Таким образом, будем считать, что
0, г=ТЯ (8.15)
Продифференцируем уравнения (8.13) по параметру А. В результате
получим в точке Ж@) = 0
&' = Т^> j = V^TT. (8.16)

8.1. Классификация особых точек 199
Матрицу Якоби системы (8.13) обозначим через Jr = [Fij], (i = l,r,
j = 1, n). Она имеет г строк ип+1 столбцов. По построению ее строки
в точке Ж@) = 0 линейно независимы, и поэтому ее ранг в этой точке
равен г:
rank(Jr@)) = r. (8.17)
Представим Mn+1 в виде прямой суммы двух подпространств
Е"+1 = Ргф/, d = n+\-r. (8.18)
Первое из них, Рг — это r-мерное подпространство в Rn+1, базисом
которого являются векторы-строки матрицы jj? = Л@), а второе, Ad —
ортогональное дополнение Рт в Rn+1.
Пусть р(') € Рт, (г = Т7г) и а® € Ad, (j = T^d) — ортонормирован-
ные базисы в Рг и Ad соответственно. В дальнейшем будем принимать
в качестве р^1' базис, построенный из строк матрицы Jr° с помощью
процесса Грама—Шмидта (см. раздел 7.2). По построению для введенных
таким образом базисов имеют место соотношения
««, i,3=T^, (8.19)
fy, i,j = T^ (8.20)
i = T7F, j=T^ (8.21)
_ / 1 при i = j,
i] ~ \ 0
при i ф j.
Здесь tfy — символ Кронекера. В совокупности базисы pW и о^:^
образуют базис в Rn+l, и поэтому ясно, что каждый вектор х € Rn+1
единственным образом может быть представлен в виде разложения
по базисным векторам р'1', о':Ь
И, наоборот, каждому разложению вида (8.22) соответствует един-
единственный вектор х € Mn+l. Кроме того , если х = 0, то pt = 0 (i = T~r)
и otj — 0 (j = 1, d). Таким образом, соотношение (8.22) определя-
определяет взаимно однозначное соответствие между компонентами вектора х
и коэффициентами его разложения />,-, а;-. Это позволяет в уравнениях
(8.13), (8.14) произвести замену переменных с помощью (8.22). Тогда эти

200 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
уравнения принимают вид
*i(/>i>...,fl.,ari,...,a*) = O, i = T^, (8.23)
Ц(ри...,Рг,аъ...,а*) = 0, j = r+l,n. (8.24)
Перейдем к неизвестным р,-, otj и в уравнениях продолжения (8.16).
Тогда они принимают вид
п+1 / г d \
Е *6 Е #4р(»>+Е ^1) )=о. •• = V?-
;=1 \*=1 ;=1 /
Матрицу этого уравнения Jr° = [.FJj] (t = 1, г, j = l,n+ 1) с по-
помощью процесса Грама—Шмидта представим в виде произведения ма-
матрицы ортогонализации П порядка г и ортогональной матрицы Р
размера г х (п+ 1), строками которой являются векторы р':' (» = 1,г)
ортонормированного базиса подпространства Р1" С Rn+1
Jr° = ПР, Р =
(8.26)
v)T
Если, учитывая это представление, домножить систему (8.25) слева
на матрицу П~1, то она примет вид
Раскрывая эти уравнения с учетом (8.26) и используя соотношения
(8.19)—(8.21), получаем
ErP' = 0, p' = (p\,...,p'rf. (8.28)
Здесь Ег — квадратная единичная матрица порядка г.
Полученный результат позволяет сделать два вывода. Во-первых,
р'к = 0, (к = Т/г), что еще раз подтверждает тот факт, что ненулевые
решения х' уравнения (8.16) принадлежат подпространству Ad. Во-вто-
Во-вторых, определитель системы (8.28) равен 1 и с точностью до неравного
нулю постоянного множителя det(fF') совпадает с якобианом уравне-
уравнений (8.23) по переменным рк (к = L/г). Тогда по теореме о неявных
функциях в малой окрестности рассматриваемой точки х = 0 перемен-
переменные рк (к = 1,г) могут быть на основании уравнений (8.23) получены
как функции переменных at (I = I, d)
Рк = Pt,(a\,...,ad), k = 17^. (8.29)

8.2. Простейшая форма уравнений разветвления 201
Функции ри являются однозначными, непрерывными и дифферен-
дифференцируемыми. Подстановка выражений (8.29) в уравнения (8.24) приводит
к уравнениям разветвления
*i(Pl(«i» .-.,ad),..., Pr(ah..., ad), «i,..., ad) = 0,
(8.30)
j=r+l,n. '
Эти уравнения определяют как число ветвей решения, так и их
поведение в окрестности исследуемой точки.
Поскольку уравнения разветвления (8.30) построены так, что их
якобиан равен нулю, то они могут иметь не единственное решение.
Для каждого решения этих уравнений как функции параметра А
af^afHx), 1 = ТД (8.31)
из уравнений (8.30) или, что одно и то же, из уравнений (8.24) получаем
И тогда можно построить одну из ветвей решения я^(А), по-
поведение которой в малой окрестности исследуемой точки определится
разложением (8.22).
Следует заметить, что процесс построения уравнений разветвления
достаточно сложен, и в явном виде они могут быть выписаны только
в исключительных случаях. А их решение в явной аналитической фор-
форме может быть найдено еще в более редких случаях. Поэтому особое
значение приобретают методы, не использующие уравнения разветвле-
разветвления в форме (8.30), а решающие задачу на основе более простых
соотношений.
8.2. Простейшая форма уравнений разветвления
Преобразуем систему (8.1) так, чтобы ее линейная часть приня-
приняла простейший вид. Для дальнейшего удобно использовать следующие
обозначения для матрицы Якоби (см., например, [61]):
*> (8.33)
дх 9(xi,..., Xn+l)
Строки этой матрицы [F^i,... ,^l>+i] (i = 1, n) будем, как и рань-
раньше, рассматривать как векторы в пространстве Rn+I и обозначим их
через /('). Тогда
/» = №,,,... ,*i,n+i]T. (8.34)
Пусть, как и в п. 8.1, решение системы (8.1) исследуется в окрестно-
окрестности точки х = 0, и в этой точке rank(J°) = r <n. Индекс нуль у какой-

202 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
либо функции будет ниже указывать на то, что берется значение этой
функции в точке х = 0. Пусть снова линейно независимыми являются
первые г строк матрицы Якоби J0. Тогда последние п — г = d — 1 строк
этой матрицы являются линейными комбинациями первых г строк, т. е.
(8.35)
Так же, как и в п. 8.1, разобьем систему (8.1) на две группы
уравнений (8.13), (8.14). Обозначим через jO и J^ матрицы Якоби
этих групп уравнений
**> B) y+1F)
j= J
d(xu...,xn+i)
Ясно, что
['S]. (8.37)
Если ввести матрицу D = [dik] (г = 1, d - 1, к — 1, г), то предста-
представление (8.35) в матричной форме примет вид
/И =.0/0). (8.38)
Так же, как и в п. 2.1, представим пространство Mn+l в виде прямой
суммы двух ортогональных подпространств
Mn+1 =Pfe/, d = п + 1 - г. (8.39)
Здесь г — мерное подпространство Рг определено базисом из век-
векторов-строк матрицы J°O, а Лй — его ортогональное дополнение
вЕп+1. .
Введем в Рг ортонормированный базис р':' (г = 1,г), построенный
из векторов-строк матрицы J™1' с помощью процесса Грама—Шмидта.
Тогда
J0(l> = ПР. (8.40)
Здесь ортогональная матрица Р имеет размер г х (п + 1) и ее
строками являются векторы р^' ортонормированного базиса в Рг
p —
п — левая треугольная матрица ортогонализации.
(8.41)

8.2. Простейшая форма уравнений разветвления
203
Введем также в подпространстве Ad ортонормированный базис a(i)
(г = 1, й) и матрицу А размера d х (п + 1), строками которой являются
векторы а*') (г = T^d):
(8.42)
Преобразуем исходную систему уравнений (8.1) следующим образом.
Уравнение (8.13) помножим слева на матрицу П. Получим систему
уравнений
¦>-!
Fr(x)
Ur(x)
= U(x) = 0.
(8.43)
В силу линейности преобразования и невырожденности матри-
матрицы П уравнения (8.13) и (8.43) эквивалентны в том смысле, что все
решения х уравнений (8.13) являются решениями (8.43) и наоборот, т.е.
множества решений уравнений (8.13) и (8.43) совпадают. Но матрицей
Якоби системы (8.43) при х = 0 является ортогональная матрица Р.
Действительно, из (8.43) и (8.40) следует
(8.44)
(8.45)
(8.46)
d(xU...,Xn+l) дх
На основе уравнений (8.14) построим следующие уравнения:
Fr+i(x) - ^ dikFk(x) = Ц(х) = О, i = 1, d - 1.
Или, в матричной форме,
...
. Fn(x)
-D
...
Fr(x)
=
Vi{x) '
...
= V(x) = 0.
Матрица Якоби этой системы при х = 0 обращается в нуль. Дей-
Действительно, из (8.46) в силу (8.38) получим
-. W = д!1 = jOP) _^0@ = о. (8.47)
д(хь...,хп+1) дх
Нетрудно видеть, что множества решений систем (8.1) и (8.43),
(8.46) совпадают. Мы, конечно, исключаем здесь случай, когда хотя бы
одна из функций Ц (г = 1, d - 1) тождественно равна нулю. Этот случай
попросту сводится к уменьшению числа уравнений в системе (8.1).

204 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
В результате преобразований система (8.1) сводится к эквивалентной
ей системе из п уравнений
Щх) = 0, i = T7F, (8.48)
ВД = 0, j = hd=T. (8.49)
Матрица Якоби этой системы по построению при х = 0 принимает
вид
d(U,V)° _ \dU°/dx] _ \Р
дх
Ортонормированные базисы р^> (i = 1,г) и о"' (j = \,d) в си-
силу (8.39) вместе образуют ортонормированный базис в R . Поэтому
можно представить искомое решение в виде разложения по этим орто-
нормированным базисам
•=1 ' j=i ' ' 1А\ LaTJ
Здесь р = (pi,..., Рг)Т и а = (ai,..., аг)т можно рассматривать
как векторы в евклидовых пространствах Vr и Ла размерности г и d со-
соответственно и таких, что имеется их взаимно однозначное соответствие
с подпространствами Рг и Ad, обусловленное соотношением (8.51).
Перейдем в уравнениях (8.48), (8.49) от неизвестной х к неизвест-
неизвестным р и а. Получим
Ui(pi> ¦ ¦ • iPn ait • • • > ad) = 0, t = 1, r, (8.52)
Vj(pi,...,pr,ah...,ad) = 0, j = l,d-l. (8.53)
Или, в векторной форме,
= 0. (8.54)
Матрица Якоби этой системы по переменным р, а при х — 0 имеет
вид
d(U,V)° J(U,V)° дх \Р]1гтАТ]\РРт РАт]^
д(р,а) дх д(р,а) [о\1 [О 0 J
Произведение РРТ равно единичной матрице Е порядка г, так как
Р — ортогональная матрица; а РАТ — 0 в силу (8.21).
Таким образом, в результате преобразований (8.43), (8.45) и (8.51)
мы перешли от системы (8.1) с неизвестным х к системе (8.54) с неиз-
неизвестными р, а. Причем преобразования таковы, что между множествами

8.2. Простейшая форма уравнений разветвления 205
решений этих систем имеется взаимно однозначное соответствие. Но ма-
матрица Якоби системы (8.54) в особой точке р = а = 0 (х = 0) имеет
простейший вид (8.55). Учитывая это, из уравнений (8.52) по теореме
о неявных функциях можно выразить р через а
р = р(а). (8.56)
Причем в этих выражениях должны отсутствовать линейные по а за-
зависимости. Подставив (8.56) в (8.53), получим уравнения разветвления
в виде
,а) = 0. (8.57)
В силу структуры матрицы Якоби (8.55) эти функции не должны
содержать линейных по а зависимостей.
Как уже отмечалось, уравнение разветвления (8.57) в явном виде
удается построить в исключительных случаях. Методам его прибли-
приближенного построения и исследования посвящена обширная литература
([9, 28] и др.), начало которой положили работы А. М. Ляпунова [39]
и Е. Шмидта [111]. Мы здесь ограничимся методом, основанным на ана-
анализе разложений в ряды Тейлора вида (8.3), (8.5)—(8.7) в окрестности
особой точки.
В силу представления (8.51) поведение решения ж(А) в малой
окрестности особой точки А = 0 определится разложением в степенной
ряд Тейлора по А
| ) +АТ
р'@) = dp/d\\x=0, р'@) = d2p/d\\=0,....
Уравнения для определения р\оу р'(оу • ¦ •, <*\0), а'('0)>- • • получим,
дифференцируя по А уравнения (8.48), (8.49). Из (8.48) имеем после
формального дифференцирования
+ UfpppP'@)P'@)P'@)
ЗЕ$аар'(о)а'(о)а'(о) + +[Г°аааа'@)а'@)а'@) = 0.

206 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
В этих уравнениях приняты обозначения, смысл которых становится
ясным из сравнения второго уравнения с его развернутой записью
dUj <*2P(o)j dUf d2a@)j d2U? dp@)jdp@)k
dpj dX2 + daj dX2 + dpjdpk dX dX
82Uf dpmdam d2U? damdam
dpjdak dX dX dajdoLk dX dX
Здесь производится суммирование по повторяющимся индексам у р
от 1 до г и у а от 1 до d.
Из (8.55) следует, что
U° = Е, U% = 0. (8.60)
Тогда из первого уравнения (8.S9) следует известный нам уже из п. 8.1
результат
Р@) = 0, (8.61)
который в соответствии с представлением (8.51) указывает на то, что
вектор х' = dx/dX принадлежит подпространству Ad.
Выражения (8.60) и (8.61) позволяют упростить второе и последую-
последующие уравнения в (8.59). Они принимают вид
Р@) + ^ааа'@)а'{0) = 0,
P'io) + 3^>'@)а@) + 3tf0aa«@)«@) + ^а««'@)а@)«'@) = °-
Эта последовательность уравнений позволяет рекуррентно опреде-
определить Р('о))Р(о)> • • ¦> если известны a',Qya'L\,..., которые определяются
уравнением разветвления (8.57). Каждое решение этого уравнения при-
принадлежит пространству Ad и, в соответствии с рекуррентной последова-
последовательностью уравнений (8.62), оно определяет рм) 6 Vr.
Учитывая взаимно однозначное соответствие между пространства-
пространствами Т>Г,ЛЛ и подпространствами Pr,Ad С Е"+|, заключаем, что каждое
решение уравнения разветвления определяет составляющую вектора х
в Ad, которая, в свою очередь, определяет в силу уравнений (8.62) соста-
составляющую вектора х в Рг. Поэтому, следуя Томпсону, будем называть Ad
и Ad активными подпространством и пространством, а Рг и Т>т —
пассивными.
Дифференцируя по А уравнения (8.49), получаем рекуррентную
систему уравнений, аналогичную системе (8.59). Упрощаем ее с учетом
следующих из (8.51) и (8.61) результатов
У
pjo)=O. (8.63)

8.3. Простейший случай ветвления (rank(J°)=n- 1) 207
В итоге получаем последовательность уравнений
<,а'@)«@) = 0,
O)a'(oA<» = 0-
Эти уравнения совместно с системой (8.62) позволяют последо-
последовательно определить векторы а',0>, p'L, a!^,... и, таким образом,
определить в силу разложения (8.58) вектор х в окрестности особой точ-
точки. Причем уравнения (8.64) могут иметь несколько решений, и каждое
из таких решений определит свою ветвь множества решений исход-
исходной системы (8.1). Вообще говоря, уравнения (8.62), (8.64) содержат
ту же информацию о поведении решения в окрестности особой точки,
что и уравнения (8.52), (8.53). Но они позволяют часто решать задачу
о ветвлении не на основе уравнения разветвления (8.57), а используя
его приближенные (и более простые) представления. Ниже рассмотрим
некоторые простые случаи.
8.3. Простейший случай ветвления (rank(J°) = п — 1)
Пусть rank(J°) = п - 1. В этом случае размерность d активного
подпространства Ad равна 2. После преобразований (8.43), (8.45) и (8.51)
с использованием ортонормированных базисов подпространств Р""'
и А2 исходная система уравнений (8.1) в особой точке сведется к виду
Щри. ..,рп.иаиа2) = 0, г = 1, n — 1, (8.65)
..,pn-i,ai,a2) = 0. (8.66)
Геометрически эта ситуация означает, что являющееся плоскостью
в К"+| активное подпространство А2 соприкасается в особой точке
с множеством решений К (со всеми его ветвями, проходящими через
особую точку). Поэтому анализ ветвления здесь может быть сведен
к ветвлению плоской кривой.
Первым приближением уравнения разветвления будет первое из
уравнений (8.64). Оно принимает вид
и является однородной квадратичной формой. Здесь возможны следую-
следующие случаи.
1. Квадратичная форма (8.67) знакоопределена. В этом случае она
имеет единственное действительное тривиальное решение а\ = а'2 = 0.
А это означает, что в малой окрестности особой точки больше нет

208 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
точек из искомого множества решений, т. е. исследуемая точка является
изолированной особой точкой. В такую точку нельзя прийти, двигаясь
вдоль непрерывной кривой К множества решений. Поэтому появление
изолированной особой точки в процессе продолжения решения свиде-
свидетельствует о некорректности этого процесса. Причиной возникновения
такой ситуации обычно является излишне большой шаг по параметру
продолжения Л. Знакоопределенность квадратичной формы (8.67), как
это уже отмечалось в главе 1, зависит от знака ее дискриминанта
Л = ^22 ~(V?2J. (8.68)
Если D > 0, то форма (8.67) знакоопределена.
2. Квадратичная форма (8.67) знакопеременна. В этом случае D < 0.
Если, например, V22 ^ 0> то положение касательной к кривой множества
решений можно определить на плоскости А2 : (а\, а2) С К"+1 ее углом <р
с осью а\. Тогда
t = tgtp = a'2/a\=da2/dai. (8.69)
Из (8.67) без труда получаем для t квадратное уравнение
(8.70)
Так как D < 0, то это уравнение имеет два действительных корня
^T0. (8.71)
Таким образом, в особой точке пересекаются две ветви множества
решений, касательные к которым определяются выражениями
da2/dai=ti, da2/dai=t2. (8.72)
Геометрически эта ситуация выглядит так, как это показано на
рис. 8.1 в плоскости А2.
3. Квадратичная форма (8.67) знакопостоянна. В этом случае D = 0
и квадратное уравнение (8.67) имеет кратный корень t\^2 = t = -Vl2/V22.
Для выяснения характера особой точки необходим анализ высших чле-
членов разложения и более тонкий анализ уравнения ветвления. Примеры
такого анализа для плоских кривых даны, например, в [61], а анализ
возможных случаев приведен в [107, 116, 19]. Здесь особая точка мо-
может оказаться точкой соприкосновения двух ветвей решения или точкой
возврата. В последнем случае приведенными выше уравнениями (8.62),
(8.64) надо пользоваться с осторожностью, поскольку они построены
в предположении дифференцируемое™ множества решений по Л в осо-
особой точке. А это условие в точке возврата не выполняется.

8.3. Простейший случай ветвления (rank(J°) = n - 1)
209
К
Рис. 8.1.
Для численной реализации продолжения решения в существенно
особой точке анализ уравнений (8.62), (8.64) представляется неудоб-
неудобным. Здесь можно пойти по пути численного установления количества
и характера решений ветвей в ок-
окрестности особой точки в плоско-
плоскости А2. В рассматриваемом случае
кратного корня поиск этих ветвей
облегчается тем, что в окрестно-
окрестности особой точки они должны быть
близки к направлению, задаваемо-
задаваемому касательной
t = da2/dai = ~V%/VQ22. (8.73)
Это позволяет вести поиск ре-
решения в области, заштрихованной рис 8 ^
на рис. 8.2 на окружности с малым
радиусом е. Поиск решения можно облегчить переходом к полярным
координатам, как это рекомендовано в [61].

210 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
4. Квадратичная форма (8.67) тождественно равна нулю (У°( =
У12 = у^2 = 0). Здесь в первом приближении поведение решения
определяется вторым уравнением (8.64), левая часть которого с учетом
первого уравнения (8.62) приводится к однородной кубической форме
3V0paU,aaa[Q)a\0)a[0) + VOaaaa\o)a[o)a[o) = 0. (8.74)
Тогда, рассуждая так же, как при анализе уравнения (8.67), приходим
к выводу, что в особой точке могут пересекаться три ветви решения.
Как только что отмечалось, анализ уравнения разветвления с учетом
высших производных мало пригоден. Выявление ветвей решения удобнее
также свести к поиску нулей на е-окружности в плоскости А2: (а\, aj) С
Kn+I (рис. 8.2).
8.4. Случай ветвления, когда rank(J°) = n — 2
Для того, чтобы подчеркнуть проблемы, возникающие при анализе
ветвления решения в более сложных случаях рассмотрим ситуацию,
когда г = rank(J°) = п - 2. Здесь размерность d активного пространства
Ad равна 3. Уравнения разветвления с точностью до второго порядка
разложения в ряд Тейлора определяются первым уравнением в (8.64).
Эти уравнения при d = 3 примут следующий вид:
V?dka'ja'k = 0, vZJka'jak = 0, j,k= 1,2,3. (8.75)
Левые части этих уравнений представляют собой однородные ква-
квадратичные формы, матрицы которых обозначим следующим образом:
[if] = [V2°jk]. (8.76)
Тогда уравнения (8.75) в матричной форме можно записать в виде
(8.77)
(a')W = O, (a')V2>a' = O, a'=
La3j
Ясно, что если хотя бы одна из этих квадратичных форм является
знакоопределенной, то особая точка будет изолированной, поскольку
в таком случае система уравнений (8.77) не имеет действительных ре-
решений, кроме тривиального а' = 0. Но изолированная особая точка
не может быть достигнута в процессе корректного продолжения решения
по параметру. Знакоопределенность хотя бы одной из квадратичных форм
(8.77) свидетельствует обычно о слишком большом шаге при движении
по кривой решений К.

8.4. Случай ветвления, когда rank(J°) = n - 2 211
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда квадратичные фор-
формы (8.77) не являются знакоопределенными. В этих случаях каждому
из уравнений (8.77) в пространстве Л3 соответствует некоторое дей-
действительное множество решений. И вопрос о решении системы (8.77)
сводится к отысканию пересечения этих множеств.
Обозначим через А, , А2 , Aj собственные значения матриц yW,
* = 1,2, и пусть им соответствуют собственные нормированные век-
векторы в| , 4 ,лз • Рассмотрим различные возможные комбинации соб-
собственных значений.
1. Случай А^ > О, А^ > О, А^ < 0, i = 1, 2. Здесь квадратичные
формы (8.77) знакопеременны, и их матрицы имеют по два положи-
положительных собственных значения и по одному отрицательному. Перейдем
в пространстве Л : {оц,а2,а^} к базису, образованному собственны-
собственными векторами з\',82 ,s\ матрицы И1'. Другими словами, совершим
преобразование
(878)
Здесь S^1' — матрица, столбцами которой являются собственные
векторы в, , 4 , Sj • В силу ортонормированности собственных векто-
векторов матрица S^ — ортогональна, т. е. S^l'TS^ = Е, где Е — единичная
матрица. Тогда первое уравнение из (8.77) примет вид
(8.79)
Геометрически это означает, что в пространстве /? первое из урав-
уравнений (8.77) определяет поверхность в виде эллиптического конуса
с вершиной в начале координат. Ось конуса направлена вдоль собствен-
собственного вектора Sj . Точно так же можно показать, что второе уравнение
определяет также эллиптический конус с осью вдоль вектора з\ '.
Таким образом, вопрос о действительных решениях системы урав-
уравнений (8.77) геометрически сводится к определению общих образующих
двух эллиптических конусов с обшей вершиной в особой точке. Для ре-
решения этого вопроса применим к уравнению (8.77) преобразование
2Li Pisi
i=l
)v{l)(j2Pi4

212
Глава 8. Продолжение решения в особых точках
(8.78). Тогда они примут вид
11 2 2 ' 3 1 - > /8 80\
Для дальнейшего упрощения первого из уравнений (8.79) положим
ft=ft/y|A[$l, *' = 1,2,3, (8.81)
что равносильно следующей матричной операции:
р = Л р, (8.82)
Тогда первое из уравнений (8.80) примет простейший вид
—2 I —2 —2 л /о о"}\
Р\ -г Pi ~ Р% =: "• ^о.оэ)
А структура второго уравнения принципиально не изменится, и оно
примет форму
Р = Л0)РЛA).
(8.84)
В результате проделанных преобразований первый из рассматривае-
рассматриваемых конусов стал круговым (8.83), и его ось в пространстве {риР2>Рз}
совпадает с осью р^.
Второй конус теперь определяется уравнением (8.84). Он в общем
случае остается эллиптическим и определится собственными значениями
матрицы Р. В частности, его ось будет направлена вдоль того собствен-
собственного вектора, который соответствует отрицательному собственному зна-
значению. Проделанные преобразования таковы, что число положительных
и отрицательных собственных значений матриц V^2' и Р совпадает.
Рассечем теперь конусы плоскостью fy = 1. Тогда линия пересече-
пересечения этой плоскости с конусом (8.83) будет окружностью, а с конусом
(8.84) — эллипсом или гиперболой в зависимости от взаимного распо-
расположения конусов. Таким образом, задача определения действительных
корней уравнений (8.77) свелась к нахождению общих точек единичной

8.4. Случай ветвления, когда rank(J0) = п - 2
213
О
ж
Рис. 8.3.

214
Глава 8. Продолжение решения в особых точках
окружности и эллипса или гиперболы на плоскости р$ = 1. Аналитичес-
Аналитического решения этой задачи в общем случае, по-видимому, не существует.
Возможные случаи взаимного расположения окружности и эллипса пред-
представлены на рис. 8.3.
Из него видно, что чи-
число действительных ре-
решений уравнений (8.77)
может изменяться от О
до 4. В частности, мож-
можно отметить тот факт,
что сама по себе зна-
копеременность квадра-
квадратичных форм, имеющих
матрицы 7A) и 7B\
не гарантирует сущест-
существования действитель-
действительных решений уравне-
уравнений (8.77). Такое поло-
положение имеет место для
случаев, показанных на
рис. 8.3, а, б, в.
Окончательно о ве-
ветвлении можно судить
только в случаях, приве-
приведенных на рис. 8.3, к,л.
В первом из них в точке
ветвления пересекаются две ветви решения. При этом они касаются двух
общих образующих конусов (8.83), (8.84) (рис. 8.4). Поэтому продолже-
Рис. 8.4.
Рис. 8.5.
ние решения из особой точки в этом
случае возможно вдоль четырех направ-
направлений, как это показано на рис. 8.5.
В случае «л» в особой точке пе-
пересекаются четыре ветви решения, ка-
касающиеся четырех общих образующих
конусов (8.83), (8.84). Здесь ветви уже
не лежат в одной плоскости, и продол-
продолжение решения из особой точки воз-
возможно в восьми направлениях.
В случаях «г*-«и» (рис. 8.3) име-
имеют место касания конусов. Соответ-
Соответствующая общая образующая конусов
здесь может оказаться касательной двух
и более касающихся в особой точке

8.4. Случай ветвления, когда rank(J°) = п - 2 215
решений. Для нахождения этих решений необходимо рассматривать урав-
уравнения разветвления с учетом высших слагаемых в разложении Тейлора,
причем в плоскости, касающейся обоих конусов по общей образующей.
Последнее обстоятельство упрощает исследование, так как число пере-
переменных уменьшается и становится равным двум. Иными словами, в про-
пространстве активных переменных для каждой образующей, по которой
конусы (8.83) и (8.84) касаются, выделяется двумерное подпространство-
плоскость, касающаяся обоих конусов по общей образующей. В этом
подпространстве и нужно исследовать уравнения разветвления.
Если решения уравнений (8.80) разыскиваются численно, то можно
использовать следующее представление вектора р = (риР2,Рз)Т
sin <p cos <р 1 /о„,ч
Р1 = ? = ф РЗ = (8.85)
. VA2
Нетрудно видеть, что такой вектор p(tp) удовлетворяет первому
уравнению (8.80) при любых <р. Такое представление реализует простую
геометрическую идею: при изменении <р в пределах от 0 до тг вектор p(tp)
обегает первый конус так, что его конец находится на эллипсе, по кото-
которому этот конус пересекается с плоскостью рз = 1/ у \*з I- Очевидно,
что второе уравнение будет удовлетворено тогда и только тогда, когда
вектор р(<р) совпадет с линиями пересечения конусов. Таким образом,
задача нахождения действительных корней уравнений (8.80) сводится
к определению корней тригонометрического уравнения
f(<p) = pT(<p)Pp(<p) = 0, 0^<2тг. (8.86)
При этом известно, что число корней в интервале 0 ^ <р < 2тг
не более четырех. Корни, соответствующие пересечению и касанию
конусов, легко разделить. При пересечении конусов прохождение корня
при изменении (р сопровождается изменением знака функции f(<p),
а при касании знак не меняется.
2. Случай \\1) > 0, А^0 > 0, aJI} < 0, а[2) > 0, А^2) > 0, \f] < 0.
Преобразованием (8.78) задача (8.77) сводится к следующей системе
уравнений:
AVl - \41) \Р2 - 1*3° IP3 = 0, РТРР - 0. (8.87)
Эти уравнения снова являются уравнениями конусов, только в отли-
отличии от случая 1 ось первого из конусов направлена вдоль оси р\, а не j>2-
Поэтому этот случай может быть сведен к случаю 1 соответствующей
перенумерацией переменных.

216 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
3. Случай а{° > О, А^ < 0, \[1) < О, л{2) > О, А^2) < О, Л$2) < 0.
Так же, как случай 2, сводится к случаю 1 перенумерацией переменных.
Кроме рассмотренных, возможны также такие ситуации, когда ма-
матрицы V*1' и V*2' имеют нулевые собственные значения. Тогда множе-
множества в Л , на которых лежат решения уравнений (8.77), вырождаются
либо в прямые, либо в плоскости. Это облегчает поиск действительных
решений системы уравнений (8.77). При этом возможно большое число
различных комбинаций. Рассмотрим в качестве примера одну из них.
4. Случай AJ0 > 0, \[1) = 0, А^ < 0, а|2) > 0, А<2) > 0, А^2) < 0.
Преобразование (8.78) сводит здесь систему (8.77) к следующей:
А(,1)Р1-|а51)|^ = 0> ртРр = 0. (8.88)
Множество решений второго уравнения в пространстве {рьР2)Рз}
по-прежнему образует конус. А решения первого уравнения образуют
две плоскости
Pl = ±*
\ AA
(8.89)
Подстановка каждого из этих соотношений во второе уравнение
(8.88) сводит задачу к однородному квадратичному уравнению относи-
относительно Р2 и рз виДа
С\Рг + 2С2р2Рз + Сър\ = 0. (8.90)
Таким образом, в каждой из плоскостей (8.89) в А? задача устано-
установления ветвей решения сводится к задаче, рассмотренной в предыдущем
параграфе.
В заключении отметим, что, как следует из изложенного, когда
размерность пространства активных переменных d > 2, для установле-
установления ветвей решения в особой точке необходимо рассматривать большое
количество различных ситуаций. Это делает задачу анализа решений
в особой точке громоздкой и весьма трудоемкой при практической реа-
реализации. Общая теория этого вопроса, как нам кажется, далека от своего
завершения. Для более детального ознакомления можно рекомендовать
монографии [9, 28]. На практике часто и эффективно используют возму-
возмущенные решения. Примером такого подхода является численное решения
о поведении трехстержневой системы, приведенное нами в п. 1.4.

Литература
1. Алберг Дж., Нильсон Э., Улан Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.:
Мир, 1972.
2. Александров А. Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругос-
упругости. М.: Наука, 1978.
3. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференци-
дифференцируемых многообразий. М.: Наука, 1982.
4. Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений на ФОРТРАНЕ. М.: МГУ, 1990.
5. Бахвалов N. С. Численные методы. Т. 1. М.: Наука, 1973.
6. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи.
М.: Мир, 1968.
7. Белоцерковский С М., Ништ М. И., Пономарев А. Т., Рысев О. В. Исследова-
Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1987.
8. Бояринцев Ю.Е., Данилов В. А., Логинов А. А., Чистяков В.Ф. Численные
методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989.
9. Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных
уравнений. М.: Наука, 1969.
10. Вакарчук СБ. О приближении кривых, заданных в параметрическом ви-
виде, при помощи сплайн-кривых // Укр. матем. журн. 1983. Т. 36. №3.
С. 352-355.
11. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений син-
сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
12. Воеводин В. В., Арушанян О. Б. Численный анализ на фортране. М.: МГУ,
1979.
13. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные ана-
аналоги итеративных методов // Изв. вузов. Математика. 1958. №5. С. 18-31.
14. Герасимов Б. П., Кульчицкая И. A. STIFSP — пакет программ интегрирования
дифференциально-алгебраических систем большой размерности // Ин-т
прикладной математики. Препринт. № 103. М.: 1984.
15. Гершгорин С.А. Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix // Изв. АН
СССР. Сер. физ.-матем. 1931. С. 749-754.
16. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1962.
Т. 16. №6. С. 171-174.
17. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования.
М.: Наука, 1988.
18. Григоренко Я. М., Мукоед А. П. Решение нелинейных задач теории оболочек
на ЭВМ. Киев: Виша школа, 1983.
19. Гуляев В. И., Баженов В. А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механи-
механических систем. Львов: Вища школа, 1982.
20. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нели-
нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 88. №4. С. 601-602.

218 Литература
21. Давиденко Д. Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений //
Укр. мат. журн. 1953. Т. 5. №2. С. 196-206.
22. Давиденко Д. Ф. О применении метода вариации параметра к построению
итерационных формул повышенной точности для определения численных
решений нелинейных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т. 162.
№3. С. 499-502.
23. Дородницын А. А. Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля //
ПММ. 1947. Т.П. Вып.3. С.313-322.
24. Дулан Э., Миллер Дж., Шипдерс У. Равномерные численные методы решения
задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.
25. Завьялов Ю. С, Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций.
М.: Наука, 1980.
26. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркации. М.:
Мир, 1983.
27. Кармы шин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и ди-
динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение,
1975.
28. Кросносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Сте-
ценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука,
1969.
29. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Задача Кош и как задача продолжения
решения по параметру // Журн. выч. математ. и математич. физики. 1993.
Т. 33. №12. С. 1792-1805.
30. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Задача Коши для деформируемых систем
как задача продолжения решения по параметру // Изв. РАН. МТТ. 1993.
№6. С. 145-152.
31. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В. И. Задача Коши как задача продолжения
по наилучшему параметру // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30.
№6. С. 964-971.
32. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Задача Коши для механических систем с ко-
конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему
параметру// ПММ. 1994. Т.58. Вып.6. С. 14-21.
33. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Движение заряда дроби по стволу // Изв.
РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 189-199.
34. Кузнецов Е Б., Шалашилин В. И. Параметрическое приближение // Журн.
вычисл. матем. и математ. физики. 1994. Т. 34. № 12. С. 1757-1769.
35. Куликов Г. Ю. О численном решении автономной задачи Коши с алгебраи-
алгебраической связью на фазовые переменные // Журн. выч. математ. и математич.
физики. 1993. Т. 33. №4. С. 522-540.
36. Лебедев А. А., Чернобровкин Л. С. Динамика полета. М.: Машиностроение,
1973.
37. Лебедев В. И. Как решать явными методами жесткие системы дифференци-
дифференциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы. 1991. Вып. 8.
С. 237-291.
38. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.
39. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892.
40. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.:
Наука, 1972.

Литература 219
41. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов.
М.: Атомиздат, 1981.
42. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // ДАН СССР. 1957.
Т. 114. №5. С. 968-971.
43. Морозов N. Ф. Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин //
Вестник ЛГУ. 1958. № 19. С. 100-124.
44. Морозов Н. Ф. Единственность симметричного решения // ДАН СССР. 1958.
Т. 123. №3. С. 417-419.
45. Морозов N. Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения //
Изв. вузов. Математика. 1961. №2. С. 126-129.
46. Морозов N. Ф. К нелинейным задачам теории тонких пластин с осями сим-
симметрии // Тр. Ленингр. технолог, ин-та целлюлозно-бум. промышленности.
1962. Вып. 11. С. 206-208.
47. Назареико N.A. О приближении плоских кривых параметрическими эрми-
эрмитовыми сплайнами // Укр. матем. журн. 1979. Т. 31. №2. С. 201-205.
48. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.:
Мир, 1990.
49. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференци-
дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.
50. Павлов Н.Н., Скороспелое В. А. Моделирование кривых и поверхностей
в системе автоматизации геометрических расчетов // Сплайн-функции
в инженерной геометрии. Вычислительные системы. Ин-т математ. СО АН
СССР. 1981. Вып. 86. С. 44-59.
51. Петров В. В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научн.
докл. высшей школы. Строительство. 1959. № 1. С. 27-35.
52. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1970.
53. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы
решения жестких систем. М.: Наука, 1979.
54. Ридель В. В., Тулин Б. В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990.
55. Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
56. Сендов Б. Хаусдорфовые приближения. София: Болгарская АН. 1979.
57. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. М.: Мир, 1979.
58. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1972.
59. Федоренко Р. П. О регулярных жестких системах обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений //Докл. АН СССР. 1983. Т.273. №6. С. 1318-1322.
60. Федоренко Р. П. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений и их численное интегрирование // Вычислительные процессы и си-
системы. 1991. Вып. 8. С. 328-380.
61. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т. 1. М.: Наука, 1969.
62. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982.
63. Хайрер Э., Нерсетт С, Ватер Г. Решение обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990.
64. Хемминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, 1972.

220 - Литература
65. Шалашилин В. И. Метод продолжения по параметру и его применение
к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР.
Механика тверд, тела. 1979. №4. С. 178-184.
66. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Задача Коши для нелинейно деформируе-
деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру // Докл. РАН.
1993. Т. 329. №4. С. 426-428.
67. Шалашилин В. И., Кузнецов Е.Б. Об одной формулировке задачи Коши
для систем с сосредоточенными параметрами // Проблемы машиностроения
и надежности машин. 1994. №3. С. 120-121.
68. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Наилучший параметр продолжения реше-
решения // Докл. РАН. 1994. Т. 334. № 5. С. 566-568.
69. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ.
4.2. Киев: Наукова думка, 1966.
70. Эльсгольц Л. Э. О приближенном интегрировании дифференциальных урав-
уравнений с запаздывающим аргументом // ПММ. 1951. Т. 15. Вып. 4. С. 771-
772.
71. Эльсгольц Л.Э. Приближенные методы интегрирования дифференциально-
разностных уравнений // УМН. 1953. Т. 8. № 4. С. 81-93.
72. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных урав-
уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.
73. Baker С. Т. Н. Methods for integro-differential equations // Numerical solution
of integral equations. Oxford: Clarendon Press, 1974. P. 189-206.
74. Baker С. Т. Н. The numerical treatment of integral equations. Oxford: Clarendon
Press, 1976.
75. Bergan P. G., Horrigmoe G., Krakeland В., Soreide Т. Н. Solution techniques for
nonlinear finite element problems // Int. J. Num. Meth. Eng. 1978. V. 12. № 12.
P. 1677-1696.
76. Brauer A. Limits for the characteristic roots of matrix // Duke Math. J. 1946.
№13. P. 387-395.
77. Brenan K. E., Campbell S. L, Petzold L. R. Numerical solution of initial-value
problems in differential-algebraic equations. N.Y., Amsterdam, L.: North-
Holland, 1989.
78. Bruder J., Strehmel K, Weiner R. Partitioned adaptiv Runge-Kutta methods for
the solution of nonstifTand stifTsystems// Numer. Math. 1988. V.52. P.621-638.
79. Byrne G. D., Hindmarsh A. С A polyalgorithm for the numerical solution of
ordinary differential equations // ACM. Trans on Math. Software. 1975. V. 1.
P. 71-96.
80. Byrne G. D., Hindmarsh A. C. Stiff ODE solvers: A review of current and coming
attraction // J. of Computational Physics. 1987. V.70. № 1. P. 1-62.
81. Campbell S.L. Singular system of differential equations. San-Francisco, L,
Melboura: Pitman Advanced Publ. Program., 1980.
82. Campbell S. L. Singular system of differential equations. II. San-Francisco-L-
Melbourn: Pitman Advanced Publ. Program., 1982.
83. Courant R., Fridrichs K, Lewy H. Ueber die partiellen Differenzen-gleichungen
der mathematischen Physik // Math. Ann. 1928. V. 100. P. 32-74.
84. Cryer С W. Numerical methods for functional differential equations // Delay and
functional differential equations and their applications. Proc. of the Park City
Conf. N. Y.: Acad. Press, 1972. P. 17-102.

Литература 221
85. Curtis A. R. The FACSIMILE numerical integrator for stiff initial value problems//
AERE-R. 9352. Oxfordshire: AERE Harwell, 1978.
86. Curtiss C. K, Hirschfelder J. 0. Integration of stiff equations // Proc. of the
National Academy of Sciences of US. 1952. V. 38. P. 235-243.
87. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. 1963.
№3. P. 27-43.
88. Fedorenko R. P. Stiff systems of ordinary differential equations // Numerical
methods and applications. Boca Raton, Ann Arbor, L, Tokyo: CRC Press. 1994.
P. 117-154.
89. Feldstein A. Discretization methods for retarded ordinary differential equations //
Ph. D. Thesis. Los Angeles: Univ. of California, 1964.
90. Feldstein A., Sopka J.R. Numerical methods for nonlinear Volterra integrodiffer-
ential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1974. V. 11. P. 826-846.
91. Ficken F. The continuation method for nonlinear functional equations // Comm.
Pure Appl. Math. 1951. V.4. №4. P. 435-456.
92. Field J. R., Noyes R.M. Oscillations in chemical systems. IV, Limit cycle behavior
in a model of a real chemical reaction // J. Chem. Physics. 1974. V.60.
P. 1877-1884.
93. Gear С W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
N.Y.: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1971.
94. Gear C. W. The simultaneous numerical solution of differential-algebraic equa-
equations // IEEE Trans. Circuit Theory. CT.-18. 1971. P.89-95.
95. Griepentmg E., Mart R. Differential-algebraic equations and their numerical
treatment. Leipzig: Teubner, 1986.
96. Hairer E., Lubich C, Roche M. The numerical solution of differential-algebraic
systems by Runge-Kutta methods. Berlin etc.: Springer, 1989.
97. Hairer E., Wanner G. Solving ordinary differential equations 2. Stiff and
differential-algebraic problems. Berlin, e. a.: Springer-Verlag, 1991.
98. Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations. N.Y.:
Wiley, 1962.
99. Hindmarsh A. C. LSODE and LSOD1, two new initial value ordinary differential
equations solvers // ACM. SIGNUM. Newsletter. 1980. V. 15. №4. P. 10-11.
100. Hindmarsh A. C. ODEPACK // A systematized collection of ODE solvers in
numerical methods for scientific computation. N. Y.: North-Holland. 1983. P. 55-
64.
101. Kisner W. A numerical method for finding solutions of nonlinear equations //
SIAM J. Appl. Math. 1964. V. 12. P. 424-428.
102. Kleinmichel H. Stetige Analoge und Iterations verfaher fur nichtlinear Gleichungen
in Banachraumen // Math. Nach. 1968. V.37. P. 313-314.
103. Lahaye M. E. Une metode de resolution d'une categorie d'equations transcen-
dentes // Compter Rendus hebdomataires des seances de L'Academie des sciences.
1934. V. 198. №21. P. 1840-1842.
104. Lahaye M. E. Solution of system of transcendental equations // Acad. Roy. Belg.
Bull. Cl. Sci. 1948. V. 5. P. 805-822.
105. Lambert J.D. Computational methods in ordinary differential equations. N.Y.:
Wiley, 1973.
106. Lebedev V. I. How to solve stiff systems of differential equations by explicit
methods // Numerical methods and applications. Boca Raton, Ann Arbor, L.,
Tokyo: CRC Press. 1994. P. 45-80.

222 Литература
107. Lyttleton R.A. The stability of rotating liquid masses. Cambridge: University Press.
1953.
108. Petzold L.R. A description of DASSL: A differential-algebraic system solver //
Scientific Computing. Amsterdam: North-Holland, 1983. P. 65.
109. Poincare H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animal d'un mouvement de
rotation // Acta mathem. 1885. V. 7. P. 259-380.
110. Rentrop P. Partitioned Runge—Kutta methods with stiffness detection and stepsize
control // Numer. Math. 1985. V.47. P. 545-564.
111. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3.
Ober die Auflosungen der nicht-linear Integralgluchungen und die Verveigung
ihrer Losunger // Math. Ann. 1908. S. 370-399.
112. Shampine L.F., Gear C. W. A user's view of solving stiff ordinary differential
equations // SIAM Review. 1979. V.21. № 1. P. 1-17.
113. Sherman A. H, Hindmarsh A. C. GEAR: A package for the solution of sparse, stiff
ordinary differential equations // Electrical Power Problems. The mathematical
challenger. SIAM. Philadelphia. 1980. P. 190.
114. Sincovec R. F., Erisman A. M., Yip E. L, Epton M. A. Analysis of descriptor
system using numerical algorithms // IEEE Trans, on Auto Control. 1980. V. 26.
P. 139-147.
115. Thompson J.M.T., Hunt G.W. A general theory of elastic stability. London:
G. Wiley interscience publ. 1973.
116. Thompson J. M. Т., Hunt G. W. Towards a unified bifurcation theory // J. Appl.
Math, and Physics. 1975. V.26. P. 581-603.
117. Weiner R., Strehmel K. A type insensitive code for delay differential equations bas-
basing on adaptive and explicit Runge—Kutta interpolation methods // Computing.
1988. V. 40. P. 255-265.
118. Widlund О. В. A note on unconditionally stable linear multistep methods // BIT.
1967. V. 7. P. 65-70.
119. WillardL. Numerical methods for stiff equations. N.Y.: Acad. Press, 1981.