А. И. ЖУКОВ
МЕТОД ФУРЬЕ
В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
гш
ш
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 992

ББК 22.18
Ж86
УДК 519. 64
Жуков А. И. Метод Фурье в вычислительной математике.— М.: Наука. Гл.
ред. фш.-мат. лит., 1992.— 176 с— ISBN 5-02-014885-7.
Ихтагаются основы теории интегрального преобразования Фурье и его
приложения к построению интерполяционных формул, к сглаживанию табличных данных
и фильтрации шума, к задачам численного решения уравнений типа свертки, для
исследования устойчивости разностных уравнений, а также некоторые другие
приложения.
Для научных работников, аспирантов и студентов, интересующихся численными
методами решения задач математической физики и обработки наблюдений.
Ил. 54. Библиогр. 26 назв.
Рецензент академик РАН //. С. Бахвалов
Научное издание
ЖУКОВ Анатолий Иванович
МЕТОД ФУРЬЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ МАТЕМАТИКЕ
Заведующий редакцией Е. Ю. Ходан
Редактор И. В. Викторенкоеа
Художник Б. М. Рябышев
Художественный редактор Г. Л/. Коровина
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Л/. А. Смирнов, Л. С. Самоед
ИЬ № 41503
Сдано в набор 0°.04.91. Подписано к печати 10.09.92. формат 60 х 90'16. Ьумага книжно-журнхпная.
Гарнитура Тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 11. Усл. кр.-отт. 1],5. Уч.-изд. л. 11.19. Тираж 1660 :»к '.
Заказ N° 760. С-088.
Издзтельско-производстненное и клиготортвое объединение "Наука*
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71. Ленинский проспект, 15
Новосибирская типография N'.1 4 ВО "'Наука*
630077 I. Новосибирск-77, Станиславского. 25
1602120000-088
Ж 053@2)-92 9~92 ° А и- Жуко3' т2
ISBN 5-02-014885-7

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Глава!. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 5
§ 1. Преобразование Фурье 5
§ 2. Регулярность 11
§ 3. Свертка 15
§ 4. Суммирование интеграла Фурье 20
§ 5. Функции с финитным спектром 26
§ 6. Сумма Пуассона 32
§ 7. Формулы Ьссселя 43
§ 8. Вычисление интеграла Фурье 48
Глава И. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 52
8 1. Примеры 52
§ 2. Фундаментальные функции 57
§ 3. Оценки точности 67
§ 4. Кубический сплайн 70
§ 5. Вычисление интегралов с бесконечными пределами 76
§ 6. Заключение 80
Глава III. СГЛАЖИВАНИЕ 83
§ 1. Формулы сглаживания 84
S 2. Сглаживающий функционал 87
§ 3. Случайные функции 91
§ 4. Фильтрации шума 94
§ 5. Оптимальный филыр 102
§ 6. Заключение 106
Глава IV. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО
§ 1. Дифференцирование 110
§ 2. Уравнения типа свертки 113
§3. Уравнения типа свертки (продолжение) 120
Глава V. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 123
§ 1. Устойчивость 123
§ 2. Корректность постановки задачи Коши 128
§ 3. Уравнения акустики 134
8 4. Неявная схема 140
§ 5. Трехслойная схема 142
Глава VI. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 149
§ 1. Примеры 149
8 2. Дифференциальное приближение 154
8 3. Вспомогательные построения 161
§ 4. Предельная теорема 166
Список литературы 176

ПРЕДИСЛОВИЕ
Интеграл Фурье в вычислительной математике играет двоякую
роль. Во-первых, он выступает в качестве инструмента исследования
свойств вычислительных алгоритмов, таких как вопрос об
устойчивости разностных схем. Во-вторых, преобразование Фурье может
входить в качестве составной части в ту или иную вычислительную
процедуру. Характерный пример — решение интегральных
уравнений типа свертки.
В настоящей книге представлены оба аспекта метода Фурье.
Отбор материала подчинен единственному принципу —
рассматриваются задачи, для которых метод Фурье особенно эффективен. Книга
не претендует на полноту; не может она служить и справочником.
Автор преследовал лишь одну цель — показать, как «работает»
интеграл Фурье в некоторых (представляющихся достаточно
важными и интересными) разделах вычислительной математики.
В книге принята нумерация формул, теорем и т. п. внутри
каждого параграфа. При ссылке на формулу, теорему или т. п. из
другого параграфа или главы указываются также номера этих
параграфов, глав.
Автор выражает глубокую благодарность Т. В. Уваровой,
выполнившей все необходимые вычисления.

Глава I
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
На протяжении всей книги мы будем иметь дело с двумя классами,
4ли областями, функций — функций от дейтвительной переменной
t, которая условно будет называться пространственной переменной,
i функций от (также действительной) переменной со, именуемой
частотой. Переход из пространственной области в частотную и
обратно осуществляется в помощью преобразования Фурье.
Большей частью функции будут задаваться на всей бесконечной
оси х (или со). Поэтому, если в интеграле не указаны пределы
интегрирования, это означает, что он берется от — оо до оо. Это
относится и к символам функциональных пространств Lu Lj. Иногда,
чтобы явно указать на пространственную или частотную область,
будем применять обозначения вида L^ (x) или Li (со). Мы будем
стремиться обозначать величины (и функции) из пространственной
области латинскими буквами, а из частотной — греческими, хотя это
правило и не всегда удается выдержать до конца.
Глава I является вводной. В ней излагаются те сведения о
преобразовании Фурье, которые будут необходимы в дальнейшем.
Предполагается, что читатель знаком с элементами теории
преобразования Фурье в объеме гл. VIII книги [14].
§ 1. Преобразование Фурье
Преобразованием Фурье функции f(x) называется функция
<р(о>), определяемая интегралом Фурье JV"*V/ (jc) dx:
f(o>) = fe-iaxxf(x)c/x. A)
Если функция fix) абсолютно интегрируема (/ Е Ц), то интеграл
Фурье существует для каждого ш. Функция <р(и>) будет тогда
ограниченной:
|«р(со)| <f\f(x)\dx. B)
Далее оказывается, что у(ш) равномерно непрерывна на всей оси со
и при |со| -» оо стремится к нулю (теорема Римана — Лебега). Имеет
место также теорема единственности: если <р(оз) = 0, то f(x) = О
почти всюду.
Класс функций, являющихся фурье-образами функций
пространства Lj, будем обозначать через L*.
5

Преобразование Фурье есть, очевидно, операция линейная: если
<Рь Ч>2 суть фурьс-образы функций /х, /2 и а\, а2 — любые
комплексные числа, то преобразованием Фурье функции / = ajx + aji будет
<р = ai<pi + a2f>2- Неравенство B) показывает, что если
последовательность Л Ос) сходится по норме пространства Ц(х), то
последовательность <р*(со) соответствующих образов Фурье сходится
равномерно на всей оси с».
Если функция ip(oj) сама оказывается абсолютно интегрируемой,
то имеет место формула обращения
f (х) = ~ JV"" <р (со) dm. C)
При этом, очевидно, / G L (.v); кроме того,
l/wl <^/|«р(<»)!«/<»>• D>
Приведем некоторые элементарные свойства преобразования
Фурье. Заменим в интеграле A) функцию fix) функцией fix—.v0):
/С-""У(л-^)^ = Д'",Ч'+д01/(>-)^ =
= g-"utt' / e-"yf(y) (Jу = <?-"n°'<p(oj).
Итак, сдвиг функции /(л-) вправо на величину х0 эквивалентен
умножению ее преобразования Фурье на множитель е~"°"'.
Далее, подставим в A) вместо fix) функцию /(ох) (о > 0):
/ с—/(ox) dx = f е-'^/(У)~ = 11 е-^ /(у) dy = ^ Щ.
Функция /(ох) при о > 1 по сравнению с /(х) «сжата» к началу
координат в о раз; оказывается, что се преобразование Фурье,
наоборот, «растягивается» во столько же раз; кроме того, оно
умножается на о-1, так что его интеграл по всей оси со остается
неизменным.
Остановимся подробнее на важнейшем для приложений случае,
когда функция /(х) действительна. Имеем
Ч>( - ш) = / е,м/(х) dx.
Правая часть здесь комплексно сопряжена правой части равенства
A). Таким образом,
<р( - си) = ф(со) E)
(здесь и в дальнейшем чертой наверху мы обозначаем комплексно
сопряженные величины). Разложим функцию <р(ш) на
действительную и мнимую части:
ip(oj) = а(со) + ф(о)).
Тогда из E) получим
<х( - со) = сх(со), (J(- со) = - р(со). F)
6

Следовательно, действительная часть функции <р(а>) есть функция
четная, а мнимая — нечетная. Кроме того, из E) следует, что модуль
функции f(cu) есть функция четная:
|<р(-со)| = |«р(а>)|. G)
Равенства F), G) показывают, что функцию >p(w) B нашем случае
достаточно знать лишь на полубесконечном интервале со > 0.
Из равенства A) вытекает, что
а(со) = / / (х) cos сох dx, (J(co) = - f f (x) sin cox Jx. (8)
Допустим, что функция fix) сама четна. Тогда во втором равенстве
(8) под интегралом стоит нечетная функция, и, следовательно, этот
интеграл равен нулю. Значит, в этом случае <р(со) = а(со). Если же
fix) нечетна, то обращается в нуль первый интеграл (8) и
<р(со) = / P(oj).
Любую функцию fix) можно (и притом единственным способом)
представить в виде суммы
где /i(a") — четная, а f2ix) — нечетная функции. Именно
/. (*) = \\f (-v) + /(-х) I, /2 (х) = \ [/(*) -f(-x) |.
Из приведенных выше рассуждений следует, что преобразованием
Фурье для функции /|(х> будет а(со), а для функции /2(х) им будет
ф(ш). Таким образом, разложению функции <p@J) на действительную
и мнимую части соответствует разложение функции fix) на четное
и нечетное слагаемые.
Рассмотрим теперь обратное преобразование. Легко подсчитать,
что
е'ш f (oj) = [а (со) cos cox - fi (со) sin cox] +
+ / |[i (со) cos cox + а (со) sin cox].
Действительная часть этого выражения четная, а мнимая нечетная
(при интегрировании она сократится). Кроме того, интеграл по всей
оси со от действительной части ввиду ее четности можно заменить
удвоенным интегралом по положительной полуоси. Следовательно,
i "
/(х) = - J [a (со) cos cox - (i (со) sin cox | dw. (9)
о
Пусть снова fix) — четная функция. Тогда, как уже было
отмечено, <р (со) = а (со), т. е. преобразование Фурье действительной
четной функции есть снова действительная четная функция. В первом
равенстве (8) интеграл мы снова можем заменить удвоенным
интегралом по полуоси. Совместно с равенством (9) получим
f (со) = 2 / / (х) cos cox dx, Дх) = - / <р (oj) cos cox t/co. A0)
О ' О
7

В случае нечетной f(x) аналогичным образом получится
ОС , 00
ip(w) = - 2/ / / (х) sin шх dx, f{x) = - / ip(o>) sin шд: d<x>. A1)
о о
Рассмотрим простейший пример, который в дальнейшем будет
постоянно нужен. Положим
[1, \х\ ^Ь,
f(x) = A2)
[О, \х\ > Ь,
где b — некоторая положительная константа (эту функцию мы будем
называть прямоугольной). Функция fix) четная; применяя первую
формулу A0), получаем
i sin шх , 6 sin bo
ф (ш) = 21 cos шд: ах = 2 =2
О
(D
т. е.
Sin /ко
9М = 2—. A3)
Следует, очевидно, положить <р @) = 2?.
Как и следовало ожидать, функция ср (о>) непрерывна, ограничена
и на бесконечности стремится к нулю. Однако она не является
абсолютно интегрируемой (функция f(x) разрывна), а потому
формула обратного преобразования Фурье к ней неприменима. Заметим
все же, что интеграл C) существует в смысле главного значения и
дает правильный результат.
Допустим теперь, что функция /(лт), будучи по-прежнему
абсолютно интегрируемой, имеет, кроме того, интегрируемый квадрат.
Оказывается, что ее преобразование Фурье ф (со) также имеет
интегрируемый квадрат; при этом выполняется равенство Парсеваля
Я/(*)|2^ = ^/|'Р(со)|2Лш. A4)
Это обстоятельство позволяет распространить преобразование Фурье
на любые функции с интегрируемым квадратом (не обязательно
абсолютно интегрируемые).
Как известно, в пространстве Li абсолютно интегрируемые
функции составляют всюду плотное множество. Пусть fix) —
произвольная функция с интегрируемым квадратом. Возьмем какую-
либо последовательность fk (к = 1, 2,...), состоящую из абсолютно
интегрируемых функций и сходящуюся к fix) по норме L^ix). Пусть
<р* — последовательность их преобразований Фурье. Из равенства
Парсеваля A4) немедленно вытекает, что последовательность ук
сходится по норме /^(ш). Предельная функция f(oj) зависит лишь от
fix), но не от конкретного выбора последовательности fk. Эту
предельную функцию мы и считаем преобразованием Фурье функции
fix). Для определенных таким образом функций fix), <p(w) сохраняет
силу равенство Парсеваля.
8

Простейшим способом построения последовательности fk является
следующий. Положим
'/(*). \х\<а,
/.W= , , A5)
О, \х\ > а.
При а -» оо имеем fa(x) -» Дх) по норме /^(.v). Все функции /eU)
абсолютно интегрируемы, и для них существуют обычные интегралы
Фурье
«Р.
,(о>) = / e-""f(x) dx. A6)
При й -» оо преобразование Фурье *рв(ш) стремится к <р(а>)—
преобразованию Фурье функции fix).
Вернемся к разобранному выше примеру. Функция, определенная
равенством A2), интегрируема и имеет интегрируемый квадрат, так
что с ее (прямым) преобразованием Фурье проблем не возникает.
Функция же A3) неинтегрируема, но имеет интегрируемый квадрат.
Поэтому ее (обратное) преобразование Фурье можно вычислить
следующим образом. Положим
/«(*) = 2^ J* •2-^r-J(o = -J coswxsinZxo—.
-о О
При а -» оо эта функция сходится к «прямоугольной» функции A2).
Заметим, что в данном конкретном случае сходимость имеет место
не только в метрике L2ix), но и в каждой точке оси л:, кроме точек
разрыва х = ± Ь; в каждом замкнутом отрезке, не содержащем этих
точек разрыва, сходимость будет равномерной.
Преобразование Фурье устанавливает между пространствами
L^ix) и Li{b>) взаимно однозначное непрерывное линейное
соответствие, т. е. изоморфизм; равенство Парссваля показывает, что это
соответствие является с точностью до коэффициента 2и изометрией.
В частности, каждый оператор в пространстве Ц(х) индуцирует
некоторый оператор в ^(ш), и обратно. При этом линейность и
ограниченность оператора в L^ix) влечет линейность и
ограниченность соответствующего оператора в /^(со) и нормы этих двух
операторов совпадают (норма оператора определяется через
отношение норм элементов; при этом множитель 2л
сокращается) .
Наибольшее расширение класса функций, для которых
определено преобразование Фурье, доставляет, как известно, теория
обобщенных функций 114, гл. VIII, § 8; 8, гл. II]. Мы будем прибегать к
результатам этой теории (особенно в гл. VI). В частности, мы будем
пользоваться обобщенными функциями и для вычисления
преобразований. Фурье обычных функций, применяя при этом следующий
принцип: если функция fix) абсолютно интегрируема (или имеет
интегрируемый квадрат) и если эта функция, рассматриваемая как
9

обобщенная, имеет преобразование Фурье <p(w), то <р(ш) совпадает с
обычным преобразованием Фурье функции fix). Проиллюстрируем
применение этого принципа на простом примере.
Пусть f(x) — «треугольная» функция:
I + х, - 1 < х < О,
/(*) =
1-х, 0 *? х =S 1,
О, \х\ > 1.
A7)
Преобразование Фурье ip(co) функции fix) без особого труда
вычисляется прямым интегрированием. Но мы решим эту задачу
несколько иначе. Нетрудно убедиться, что
f(x) = \\x-\\ - \x\ + 11\х+\\.
Преобразование Фурье обобщенной функции |дг| есть —2ш~2 [8,
гл. II, § 2, п 3; 4, гл. 8, § 1 ]. Следовательно, для функций \х ± 11
преобразованием Фурье будут функции —2е±ш'ш'2. Отсюда получаем
<р(ш) = (-«Г'" + 2 - е-'ш)ш = 2* "C20SI",
Применив известное тригонометрическое тождество, получим
у(ы) =
sin (ш/2)'
т/2
A8)
8(Х)
Более общая «треугольная» функция
а{\ + х/Ь), - Ъ =s х < О,
а{\ - х/Ь), 0 ^ х ^ Ь, A9)
О, \х\ > Ь,
выражается через Да) следующим образом:
g(x) = af(x/b).
Если, следовательно, Ч'С00) — преобразование Фурье функции
gix), то
ф(ш) = аЫр(Ьш),
или
xj'(aj) = ab
'sin(/>U)/2)
\2
Ьт/2
B0)
В заключение необходимо заметить, что в литературе
встречаются и несколько иные определения прямого и обратного
преобразований Фурье. Например, в интегралах A), C) в показателях
экспоненты знаки при /w.v могут быть изменены на обратные (так
10

всегда поступают в теории вероятностей). Коэффициенты при этих
интегралах для большей симметрии часто берутся равными 1 / Vbi.
(Поэтому при обращении к таблицам преобразований Фурье следует
соблюдать известную осмотрительность.
§ 2. Регулярность
Интеграл Фурье A.3) представляет функцию fix) в виде суммы
бесконечно большого числа гармонических колебаний типа е"°\ При
Ьтом относительная амплитуда гармоники частоты ш определяется
значением функции <p(oj) в соответствующей точке. Если fix)
абсолютно интегрируема, то при \ш\ -» оо функция <p(w) стремится к
нулю, т. с. доля высоких гармоник, входящих в fix), с ростом частоты
убывает. Чем быстрее стремится к нулю <p(oj), тем эта доля будет
меньше, так что функция fix) будет составлена преимущественно из
низкочастотных (длинноволновых) колебаний, а это влечет за собой
ее гладкость. Следовательно, имеется тесная связь между гладкостью
функции и скоростью убывания ее преобразования Фурье. Эта связь
и устанавливается следующими ниже теоремами.
Говоря в дальнейшем, что некоторая функция имеет
производную, мы всегда будем подразумевать, что эта функция абсолютно
непрерывна (в каждом конечном интервале).
Предположим, что интегрируемая функция fix) имеет
производную f'(x) и эта производная также абсолютно интегрируема. Тогда
л
/ (.v) = / @) + / /' (>•) dy.
о
Поскольку /' (.v) абсолютно интегрируема, правая часть этого
равенства при .v -* ± оо имеет конечные пределы. Пределы эти должны
быть нулями, ибо в противном случае функция /(.v) не была бы
интегрируемой. Теперь, интегрируя по частям, получаем
/ е-"У (х) dx = е" / (.V) Г - / (-to) e-"xf(x) dx,
. или поскольку /(± оо) -» О,
/ <'-"чУ (.v) dx = ко / <'"""У (.v) dx. <1)
Обозначим, как и прежде, через <р (да) преобразование Фурье
функции /(л), а через Ф(да) преобразование Фурье ее производной f'(x).
Равенство A) означает, что
Ф (да) = h>f (да). B)
Итак, дифференцирование в пространственной области означает в
частотной области умножение на /да.
Допустим теперь, что функция fix) имеет интегрируемые
производные до п-го порядка включительно. Обозначим через Ф„ (а>)
преобразование Фурье и-й производной /"'(.v) (так что, в частности,
11

Oj (со) = Ф (со), Ф0 (со) = <р (ш)). Повторив п раз предыдущие
выкладки, получим
Ф„ (со) = (to)"«p (со). C)
Напомним, что функция <р (со) непрерывная ограниченная.
Следовательно, Ф„ (со) имеет в точке со = 0 нуль по крайней мере «-го
порядка.
Равенство C) можно переписать следующим образом:
у (Ш) = (_/)» ф„ (со) со-". D)
Поскольку функция Ф„ (со) непрерывна, ограничена и на
бесконечности стремится к нулю, то при больших | со |
|«р(со)| =о(|соГ). E)
Чем больше (интегрируемых) производных имеет функция f(x), тем
быстрее стремится к нулю ее преобразование Фурье.
Заметим, что соотношение B) мы можем получить формально
дифференцированием интеграла Фурье
по параметру х. Действительно, в результате получится
/' (х) = ^ / <Г"(Ьа) <р (со) Ао, F)
так что функции /' (х) и г'со<р (со) оказываются связанными между
собой преобразованием Фурье. Ниже указываются условия, при
которых эта формальная операция законна.
Нам понадобится одно простое неравенство, а именно при любых
действительных аь а2 имеем
|^_^i| ^ |а2_а1|. G)
Неравенство это очевидно. Действительно, на комплексной
плоскости точки е'а\ е'*2 лежат на единичной окружности. Величина
|а2 — aj совпадает с длиной дуги, концами которой являются эти
точки, а \еш2 — е'а1|есть длина хорды, стягивающей эту дугу.
Предположим теперь, что функции f (со), со<р (со) абсолютно
интегрируемы. Тогда
/ (*2) - / (*0 = ^ / (е'™2 - е^) <р (со) </со.
На основании неравенства G) имеем
|/ (*г) - / (*i)I < ^ / |ш*2 - сод:] | |(р (со)| с/со =
1*2 - *l|
2п / |омр (о>)| Ао.
Интеграл в правой части по предположению существует. Обозначая
его величину через 2яМ, имеем
|/(*2)-/(*i)| *M\x2-Xl\.
12

Функция fix) удовлетворяет условию Липшица и, следовательно,
абсолютно непрерывна. Покажем, что ее производная существует в
каждой точке и выражается формулой F).
Пусть А Ф О — произвольное действительное число. Фиксируя
произвольное х, имеем
/ (дг + /1) - / (дт) 1 f JlMe""h - 1
h = 2^ J Л "Р ^ *
При А -» 0 подынтегральная функция сходится к е,ииг(/ш) ip(co) в
каждой точке со. Далее на основании неравенства G) имеем
| —ИИ.
так что подынтегральная функция в (8) мажорируется функцией
| со<р (со) |, которая по предположению интегрируема. На основании
известной теоремы Лебега об ограниченной сходимости мы имеем
право совершить в интеграле (8) предельный переход. Значит, имеет
предел и левая часть этого равенства. Тем самым формула F)
доказана.
Пусть при некотором натуральном к функция аЛр (со)
интегрируема. Тогда интеграл
тк = / со*<р (со) Jco (8)
называется к-м моментом функции <р(со). Если функция <р(со)
сама абсолютно интегрируема, то, как легко видеть, из
существования А-го момента вытекает существование у-х моментов для всех
у @ </<*).
Повторяя приведенные выше рассуждения, приходим к
следующему результату.
Если функция <р (со) имеет моменты тк (к = О, 1, ..., п), то
функция f(x) имеет производные fk)(x) до п-го порядка
включительно; при этом
/*' (*) = ^ / 4" (ко)* <р (со) dm. (9)
Разумеется, ввиду присущей преобразованию Фурье симметрии
во всех приведенных выше результатах пространственную и
частотную области можно поменять местами. Разница будет лишь в том,
что производная функции ip (со) выражается через fix) следующим
образом:
<р' (со) = / еЧшх (-ix) f (x) dx. A0)
Отметим простейшие следствия из доказанных выше
утверждений. Положив п = 1 в равенстве D), получим
Ысо)|2=|Ф|2|со|-2.
Поскольку функция Ф @) ограничена, справа стоит интегрируемая
функция, так что <р (со) имеет интегрируемый квадрат. Но тогда
и fix) квадратично интегрируема. Итак, если функция fix)
13

интегрируема и имеет интегрируемую производную, то она имеет
интегрируемый квадрат. Впрочем, это утверждение нетрудно
доказать и непосредственно, не обращаясь к преобразованию Фурье.
При п = 2 равенство D) дает
\<р (си)\ = \Ф,\ \а>\~2.
Это означает, что если функция fix) имеет интегрируемые
производные до 2-го порядка включительно, то ее преобразование Фурье
<р (со) есть абсолютно интегрируемая функция. В частности, в этом
случае применима формула A.3) для обратного преобразования
Фурье.
В заключение приведем несколько примеров.
1. «Прямоугольная» функция A.12), будучи финитной, имеет
моменты всех порядков. Соответственно ее преобразование Фурье
A.13) есть бесконечно дифференцируемая функция (даже целая
аналитическая). Все функции ( — ix)k f(.x) разрывны, а поэтому
ip (ш) и все се производные нсинтегрируемы, хотя и имеют
интегрируемый квадрат.
2. «Треугольная» функция A.17) абсолютно непрерывна, а ее
производная интегрируема (хотя и разрывна). Поэтому се
преобразование Фурье A.18) удовлетворяет условию
\<p(oj)\ = о(\ш\~])
(в правой части в данном случае можно даже поставить О (|w|~2)).
Функция f (со) и все ее производные интегрируемы; все функции
(-1х)" f (х) непрерывны.
3. Пусть
<р (со) = е~''".
Тогда, как нетрудно убедиться,
1 1
I + х
Функция 'р(ш) имеет моменты всех порядков, и функция fix)
бесконечно дифференцируема (хотя и не является целой). Все
производные /'"(х) интегрируемы, и ср (со) при любом п удовлетворяет
условию
\<р(со)\ =о(И-").
В то же время fix) не имеет даже первого момента; производная
функции f (со) разрывна.
4. Пусть функция /(.v) имеет производные всех порядков и все
эти производные (включая саму fix)) ограничены и стремятся к нулю
быстрее любой степени |.v|~". Из изложенных выше результатов
следует, что и преобразование Фурье <р (ш) обладает такими же
свойствами. Классическим примером здесь является функция Гаусса
14

В теории вероятностей доказывается, что ее преобразование Фурье
есть
<р (со) = е
Из таких «быстро убывающих» бесконечно дифференцируемых
функций формируются основные пространства в теории обобщенных
функций.
§ 3. Свертка
Сверткой функций h(x), и(х) называется функция /(.v),
определяемая интегралом
f(x) = jh(x-y)u(y)dy. (!)
Простой заменой переменного этот интеграл приводится к виду
f(x) = jh(y)u(x-y)dy. B)
Если функция Л(.у) интегрируема, то интегралы A), B) существуют
для любой ограниченной функции г/(.у); при этом функция f(x) также
будет ограниченной.
Пусть теперь Л (.у), и(х) — произвольные абсолютно
интегрируемые функции; г] (со), Ц' (со) — их фурье-образы. Имеет место
следующая теорема [14, гл. VIII, § 4, п. 5].
Интегралы A), B) существуют для почти всех х. Функция fix)
абсолютно интегрируема. Если р (со) — преобразование Фурье
функции /(.у), то
<р (со) = г] (со) ц> (со). C)
Таким образом, при переходе из пространственной области в
частотную операция свертки переходит в операцию умножения.
Операцию свертки часто обозначают символом *:
/ = h* и. D)
Допустим теперь, что функции h(x), и(х) содержатся в классе Lj,
т. с. имеют интегрируемый квадрат. Поскольку произведение двух
функций из Li есть абсолютно интегрируемая функция, то свертка
f(x) функций И, и существует для любого х. С другой стороны,
функции п (со), у (со) принадлежат классу Li (со), а их произведение
<р (со) — классу Ц (со), т. е. абсолютно интегрируемо. Оказывается
[1, гл. III, п. 61], что обратное преобразование Фурье функции
<р (со) = п (со) ц< (со) совпадает с функцией f (х) = h (x) * и (х).
Функция f(x) принадлежит классу /Д т. е. она ограничена, непрерывна и
стремится к нулю на бесконечности. Однако она не обязана быть
абсолютно интегрируемой или иметь интегрируемый квадрат.
Нас будет еще интересовать случай, когда h ? Ц, и G L>.
Оказывается 123, гл. III, п. 3.13], что тогда интегралы A), B) существуют
для почти всех х и функция fix) квадратично интегрируема, т. с.
содержится в Ц. Равенство C) остается в силе.
г

Мы не будем задерживаться на таких свойствах операции свертки,
как коммутативность, ассоциативность, билинейность, которые ввиду
равенства C) очевидны и даже тривиальны. Отметим лишь еще одно
свойство, играющее важную роль во многих приложениях.
Если мы в интеграле B) функцию uix) заменим «сдвинутой»
функцией и(х — х0), то вместо fix) получим f(x - хй). Поэтому
говорят, что свертка инвариантна относительно сдвига.
Далее, пусть функция hix) при л: < О тождественно равна нулю.
Тогда формулу A) можно переписать в виде
х
f(x) = fh(x-y)u {у) dy, E)
— 00
ибо при у > х имеет место тождество h (х — у) = 0. Предположим,
что при х < х0 функция и(х) также обращается в нуль. Если теперь
х < Хо в интеграле E), то на всем интервале интегрирования
и (у) s 0; следовательно, и fix) при х < х0 также равна нулю.
Интеграл E) теперь можно, очевидно, записать в виде
X
f(x) = fh(x-y)u (у) dy. F)
"о
Оказывается, что эти свойства операции свертки тесно связаны с физическим
принципом причинности. В качестве иллюстрации рассмотрим одну
физическую модель, причем для наглядности вместо переменной х будем употреблять
переменную t, которую считаем временем.
Пусть имеется физическая система 5, способная воспринимать и преобразовывать
поступающие в нее сигналы. Точнее, пусть у системы S имеется «вход» и «выход», и
пусть всякий раз, когда на вход поступает сигнал (например, электрический) ц(г), на
выходе возникает «отклик» fit). Предположим, что свойства (характеристики)
системы 5 не меняются со временем в том смысле, что один и тот же сигнал вызывает один
и тот же отклик независимо от конкретного момента поступления сигнала.
С математической точки зрения мы имеем здесь оператор Я, перерабатывающий
входной сигнал uU) в выходной /(О:
/@-Яи@- <7>
Постулированное выше свойство постоянства характеристик системы S означает, что
временной сдвиг сигнала uU) влечет за собой такой же сдвиг отклика fit):
Ни (< -*>) = /(*- t0).
Предположим теперь, что оператор Н линеен; тогда и система 5 называется
линейной. Это может быть электрический фильтр, усилитель, канал связи и т. д.
Известно, что все эти устройства в той или иной степени искажают поступающий в
них сигнал. Часто такие искажения являются нежелательными; в других случаях
устройство 5 создается как раз с целью надлежащего искажения, а лучше сказать,
преобразования сигнала и(О.
Подадим на вход нашей системы в момент г = 0 короткий (в пределе бесконечно
короткий) импульс Ъ (t). Отклик на выходе обозначим через hit):
Л @ = НЪ {t).
Функцию hit) называют импульсной характеристикой системы 5. Поскольку,
очевидно, отклик не может начаться раньше момента воздействия на вход (здесь и
проявляется принцип причинности), функция hit) при отрицательных t должна быть
тождественным нулем. Это свойство является необходимым условием
физической реализуемости системы с импульсной характеристикой hit).
Произвольный сигнал u(t) можно приближенно представить последовательностью
импульсов с амплитудами, пропорциональными соответствующим мгновенным зна-
16

чениям и (О. Выберем, например, некоторый шаг по времени At и положим tk = kAt,
Uk = и (tk)- Тогда выражение
"(О = А< 2 «* 6 (г - tk)
к
будет приближенно представлять функцию и@ (при At -» 0 обобщенная функция,
стоящая в правой части, сходится к и(О). Направив сигнал й(г) на вход системы 5,
мы получим на выходе
/@ = At^UkhO-tk).
к
Если теперь At -» 0, сумма в правой части превратится в интеграл, и мы будем
иметь ,
f(t) = fh(t-S)u(s)ds.
Таким образом, зная импульсную характеристику, мы можем найти отклик на любой
сигнал: он получается сверткой этого входного сигнала с импульсной характеристикой
h(t).
Если входной сигнал начинается в момент t = to, то и отклик (принцип
причинности) не может возникнуть раньше этого момента, так что при t < to должно
быть / (?) = 0. Как мы уже знаем, свойства операции свертки обеспечивают
выполнение этого требования.
Подадим теперь на вход нашей системы гармонический сигнал е""' и найдем
отклик fit) (нас не должно смущать то, что мы пытаемся ввести в реальную
физическую систему комплексный сигнал: можно подать сигналы cos u>t, sin att,
получить отклики /c(f), /s@, а затем, пользуясь линейностью системы, вычислить их
комплексную комбинацию / (?) = fc (t) + if, (/)):
/ @ = / Л («) ^'~S) ds = If e-iu,s h (s) ds\ e".
Выражение, заключенное в скобки, есть не что иное, как преобразование Фурье
функции Л@; мы ранее обозначили его через г) (со). Таким образом, в данном случае
На выходе получилось снова гармоническое колебание, умноженное на (комплексный)
коэффициент г;, зависящий от частоты со. Этот коэффициент называют частотной
характеристикой или передаточной функцией системы S. Ее модуль определяет
амплитуду выходного сигнала, а аргумент — фазовый сдвиг. Эта функция
характеризует нашу линейную систему столь же полно, как и импульсная характеристика.
Если xj) (со) и (р (со) — фурье-образы входного и выходного сигналов, то, как и прежде,
<Р = ЧЧ>-
Частотная характеристика rj (со) не может быть произвольной, поскольку ее
обратное преобразование Фурье Л (О при отрицательных / должно обращаться в нуль.
Условия, которые налагаются на tj (w) этим требованием, можно получить следующим
образом.
Рассмотрим функцию
-1, f<0,
S@ = sign? = j и (>0
Легко видеть, что условие
h(t) = s (t) h A) (8)
необходимо и достаточно для того, чтобы h (г) = 0 при 1 < 0.
Подобно тому как при переходе из частотной области в пространственную
умножение функций заменяется сверткой, аналогичная замена происходит и при
обратном переходе; однако здесь нужно учесть некоторую асимметрию, вносимую
множителем Bл-)-1 в формуле A.3). Именно, если f (t) = s (t) h (t) и f (со), о (ш),
rj (a>) — фурье-образы функций /, s, h, то
17

Функция s(t) имеет преобразование Фурье
о(о)) = - 2|7ш A0)
[8, гл. II, § 2, п. 3; 3, гл. 8, § 3). Поэтому (8) эквивалентно ввиду (9) следующему
равенству: .
^с,)=-л/^1^ П1)
Стоящий в правой части интеграл (так называемый интеграл Гильберта) следует
понимать в смысле главного значения.
Равенство A1) и есть искомое условие физической реализуемости системы с
частотной характеристикой ч (<о). Его чаше записывают в несколько иной форме.
Именно разложим функцию г\ (ш) на действительную и мнимую части:
г) (о>) = « (ш) + /р* («)).
Подставляя в A1) и приравнивая в отдельности действительную и мнимую части,
приходим к равенствам
1 г Pft) 1 г «ft)
«(«•> = ,/^«fc- tH-) = --/^^ <12>
Их часто называют дисперсионными соотношениями.
Для реальных физических систем импульсная характеристика Л (Г) есть
действительная функция. Для частотной характеристики т| (о>) это означает, как мы уже
знаем,
г|(-и>) = пМ-
Вернемся к основной теме настоящего параграфа. Фиксируем
некоторую абсолютно интегрируемую функцию h(x). Для любой
функции и(х) G L2 (х) формула
/ = h * и
определяет некоторую новую функцию / (х) S Ьг (jc), т. е. мы имеем
здесь некий оператор Н:
/= Ни,
действующий в пространстве l^ix). Оператор этот линеен; покажем,
что он ограничен, и вычислим его норму.
В частотной области, а точнее в пространстве Ц (ш), оператор Н
порождает линейный оператор й; согласно равенству C), он сводится
к умножению на функцию г\ (со), являющуюся фурье-образом
функции h (х). Функция Г| (ш) непрерывна, ограничена и стремится
к нулю на бесконечности. Следовательно, се модуль в некоторой
точке ш0 достигает своего максимума. Обозначим величину этого
максимума через т:
т - max | г) (со) | = | т) (ш0) | •
Из равенства C) теперь вытекает неравенство
Ы1< т Ik II.
откуда следует, что ||й||^ т. Покажем, что на самом деле здесь
имеет место точное равенство.
Пусть е — произвольное положительное число. В силу
непрерывности функции п, ((и) существует окрестность точки w0, в
которой выполняется неравенство |n,(w)l > т - е. Построим функцию
ц\ (ш), равную единице внутри этой окрестности и нулю вне ее.
18

Легко видеть, что | ц (со) % (со) | > (т - е) | \рг (со) |, откуда
||в^,||>(т-е) |М|.
Ввиду произвольности е это и доказывает, что || в|| = т.
Но, как было отмечено, нормы операторов Я и 9 совпадают.
Следовательно,
||Я|| = max |л(о>)|. A3)
Функцию г) (to) мы будем называть частотной
характеристикой оператора Я.
Заметим, что поскольку для всех со (см. A.2))
|П(со)| <!\h(x)\dx,
то, очевидно,
\\H\\<J \h(x)\dx. A4)
Точного равенства здесь, вообще говоря, не будет; однако есть
одно важное исключение. Пусть /г Ос) — действительная и
неотрицательная функция. Тогда
т] @) -Sh(x)dx = f \h(x)\ dx.
Значит, функция |т) (со)| достигает максимума в точке со = 0:
/ h {x) dx = max | т] (со) |,
и неравенство A4) переходит в равенство.
Все эти построения допускают довольно очевидное обобщение.
Возьмем произвольную (измеримую) функцию л (со) и определим
с помощью равенства C) в пространстве L? (со) линейный оператор
9, переводящий функцию ц> Е L^ в функцию <р = г)^. Разумеется,
оператор 9 определен лишь для тех i|>, для которых <р S Li. Если
функция г) (со) (существенно) ограничена, то оператор 9 определен
на всем пространстве Lj (to), ограничен и его норма равна
(существенной) верхней грани модуля функции ri (со); в противном случае
оператор 9 неограничен.
В пространстве Щх) оператор 9 индуцирует линейный оператор
Я, норма которого совпадает с нормой оператора 9. Всякий такой
оператор Я мы будем называть оператором типа свертки, хотя его
и нельзя, вообще говоря, представить в виде A). Тривиальным
примером является единичный оператор ?, для которого т) (со) s 1.
Функцию г) (со) мы по-прежнему называем частотной
характеристикой оператора Я. Функцию же h(x), если она существует, будем
называть ядром.
Примером неограниченного оператора типа свертки служит
оператор дифференцирования D, частотная характеристика которого,
согласна равенству B.2), есть г\ (со) = /со.
Все операторы типа свертки между собой перестановочны. Если
частотная характеристика г) (со) непрерывна (или хотя бы кусочно
непрерывна), то все ее значения, и только они, являются точками
спектра оператора Я. Число \ будет собственным значением опера-
19

тора Н в том и только в том случае, когда равенство т) (ш) = X имеет
место на множестве положительной меры. Оператор Н самосопряжен
тогда и только тогда, когда его частотная характеристика
действительна.
Важным примером оператора типа свертки является оператор
сдвига Т*1, определяемый равенством
Т"и (х) = и (х - h) A5)
(Л — любое действительное число). Его частотная характеристика
CCTh
r\ (w) = е~ш,° A6)
(см. § 1). Оператор сдвига имеет норму 1 (он унитарен). Очевидно,
что
это оправдывает форму записи оператора Тн.
Выберем некоторое Л, и пусть qk — двусторонняя числовая
последовательность, причем
2 Ы < »• <17>
Положим
G = 2 <7*Г*\ A8)
к
Это будет оператор типа свертки; его частотная характеристика есть
i| (со) = 2 Qke-ikh". A9)
*
Из условия A7) вытекает ее непрерывность и ограниченность. Кроме
того, функция т) (ш) периодична — ее период равен 2л/h.
Для любой функции и(х) результат применения к ней оператора
G можно, очевидно, написать в виде
/(*> = 2 «*«(*-**)¦ B0)
Такие операторы будут играть основную роль в гл. V, VI; мы будем
называть их разностными операторами.
Любой оператор типа свертки перестановочен с любым
оператором сдвига; в этом, в сущности, и состоит то свойство, которое мы
выше назвали «инвариантностью относительно сдвига».
§ 4. Суммирование интеграла Фурье
Преобразование Фурье нередко можно вычислить лишь
приближенно, например в тех случаях, когда исходная функция задана
таблицей. При этом на погрешность результата оказывают влияние
три основных обстоятельства. Во-первых, это неточность исходных
табличных значений, которая, естественно, передается и результату.
Во-вторых, применение для вычисления интеграла Фурье тех или
20

иных квадратурных формул вместо точного процесса
интегрирования. И в-третьих, замена бесконечных пределов интегрирования
конечными.
Что касается первых двух источников погрешностей, то они
подробно будут рассмотрены в следующих главах; сейчас же мы
займемся третьим фактором.
Пусть функция fix) представлена в виде интеграла Фурье
00
— 00
Заменив здесь бесконечные пределы интегрирования конечными,
получим новую функцию
Л (*) = ^ / eiwf (ш) da. B)
Этот интеграл можно представить в виде
00
Л (*) = ^ / «"V И «Р (<») </0), C)
— ж
где \i (ш) — «прямоугольная» функция:
1, | о>| К у,
ц(ш) =
О, |о| >7.
D)
Пусть ру (х) — обратное преобразование Фурье функции ц (о>);
равенство C) показывает, что
fy(x) = Py(x)*f(x). E)
Функция Ру (х) легко вычисляется (ср. A.13)):
Ру (X) = . F)
Она имеет ярко выраженный колебательный характер, причем
амплитуда колебаний с ростом \х\ убывает медленно (как 1/|jc|). Эти
ее качества, естественно, в какой-то мере передаются и функции
/у (х). Особенно ярко это влияние сказывается в случаях, когда fix)
имеет разрывы.
Чтобы исследовать этот эффект в «чистом» виде, возьмем в
качестве f(x) «ступенчатую» функцию:
\ О, х < О,
1 1, х>0.
Нетрудно убедиться, что свертка E) с функцией G) может быть
выражена следующим образом:
X
fy(x) = fPy(y)dy. (8)
— 00
21

Подставив сюда функцию F), получим
л- ;'.v
/sin vv , 1 Г sin z ,
или
f.,{x)=l- + jS\(yx),
(9)
где Si(z) — интегральный синус:
Si(z;
= /~
</.V.
о
График функции /.. (.v) изображен на рис. 1. Как видим, здесь
полностью проявляется колебательный характер функции р.. (х). Этот
эффект (замеченный вначале на
рядах Фурье) получил название
J явление Гиббса. Заметим, что
при z з> 1 имеет место
асимптотика
т COS Г
Si (z) ~ - - -7-,
а поэтому
1
COS }'.V
-t.v
~ " .77 Отсюда видно, что частота
колебаний (или, если угодно, длина
волны) соответствует «частоте
среза» у и амплитуда этих
колебаний с ростом х убывает
медленно (как \/х). Величина у
входит в выражение (9) лишь под
знаком функции Si, а потому
с ростом у волны становятся все
Рис. 1 более короткими и «стягиваются»
к точке разрыва, причем амплитуды «выбросов» вблизи разрыва не
зависят от 7 (т. е. с ростом •/ отнюдь не уменьшаются).
Явление Гиббса возникает не только вблизи разрывов, но и около
других особенностей, таких, например, как острые пики. Возьмем,
например, «треугольную» функцию A.17). Ее преобразование Фурье
выражается формулой A.18). Если мы теперь в интеграле B)
положим 7 = Зя, то получим функцию /у (л), изображенную на рис. 2
(здесь же для наглядности показана и исходная «треугольная»
функция). Заметим, что здесь, как и прежде, колебания затухают по
закону l/.v.
Явление Гиббса, безусловно, есть эффект нежелательный. Он
маскирует истинным ход функции, создает ложные «детали» и
затрудняет дальнейшую математическую обработку. Вполне понятно
22

поэтому стремление избавиться от эффекта Гиббса даже ценой
некоторой потери точности.
К сказанному необходимо добавить существенное
обстоятельство. Если fix) — произвольная, абсолютно интегрируемая функция,
то последовательность функций fy(x), задаваемых интегралом B),
при у -* °° будет, вообще говоря, расходящейся (заметим, что для
почти всех у функции /v неинтегрирусмы). Формула обратного
преобразования Фурье A.3), строго говоря, теряет смысл.
Существует, однако, способ, позволяющий, исходя из функции
(р (со), построить и функцию fix). Это так называемое
суммирование интеграла Фурье по Фейеру. Способ этот заключается в том, что
в интеграле C) в качестве множителя ц (со) берется не
«прямоугольная» функция D), а «треугольная» вида A.19) (с заменой, конечно,
х на ш). Ее часто записывают в виде
1 - |со|/7, |со| « v.
Н (<*>)= , , A0)
О, |со| >7.
Оказывается [6, гл. II, § 11 1, что последовательность функций
Л (*), определяемых интегралом C), при у -* оо всегда сходится
по норме Lt к функции fix).
Функция ру (х) теперь будет такой (ср. A.20)):
A, (-V) =
ziyx
sin2^x;
A1)
ее называют ядром Фейера.
Итак, множитель A0) превращает в некотором смысле
расходящийся интеграл Фурье в сходящийся. На этом основании его можно
назвать суммирующим множителем, а функцию A1) —
суммирующим ядром. Нелишне отметить, что «суммирующая способность»
23

множителя A0) распространяется и на более широкие классы
функций. В качестве примера вычислим преобразование Фурье от
функции
s (л:) = sign х = <
I 1, *>0,
рассматривавшейся нами в § 3. Внесем под знак интеграла Фурье
A.1) (где fix) = s(x)) «треугольный» множитель, аналогичный
функции A0), заменив там ш на х, у на с. Функция, стоящая под
знаком интеграла Фурье, оказывается нечетной, и можно применить
формулу A.11):
х\ , 2/ /, sin ctu\
ipr (ш) = - 2/ / 1 sin шх dx — — — 1
При с -» оо второе слагаемое в скобках стремится к нулю равномерно
в каждом замкнутом интервале, не содержащем точки со = 0.
Поэтому в пределе мы получим (ср. C.10))
ip (со) = — 2//со.
Кроме функций A0), A1) известны и другие суммирующие
множители и ядра [1, гл. III, п. 71 ].
А теперь обратим внимание на то, что ядро Фсйсра A1) есть
функция неотрицательная. Отсюда немедленно следует, что свертка
этого ядра со «ступенчатой» функцией G), выражающаяся
интегралом (8), есть функция монотонно возрастающая. Другими словами,
при суммировании по Фейеру явление Гиббса исчезает. На этом
основании множитель A0) и ядро A1) можно назвать
сглаживающими множителем и ядром.
Следует признать, однако, что такое сглаживание достается
слишком дорогой ценой, ибо сглаживающий множитель A0) слишком
сильно искажает низкочастотные составляющие функции fix).
Поэтому в качестве сглаживающих множителей чаше применяются
другие функции. Известен, например, так называемый о-множитель
Ланцоша [18, гл. IV, пп. 6, 22]:
ц (ш) =
sin — ш
я—^-« Н *v, A2)
О, |ш| > у.
Ядром для него служит функция
р (х) = -*r [Si (у* + л) - Si (v* - л) ] A3)
2п
(рис. 3). Хоть эта функция и принимает отрицательные значения, но
эти значения относительно невелики, так что явление Гиббса
выражено здесь сравнительно слабо.
Здесь не следует, однако, упускать из вида одно существенное
обстоятельство. Если мы будем оценивать разницу между функциями
24

fix) и fy (x), например, по норме пространства 1^, то окажется (при
одном и том же значении у), что эта разница минимальна в том
случае, когда fY (х) определяется формулой B), т. е. когда явление
Гиббса проявляется наиболее отчетливо. В качестве примера на рис. 4
изображены «треугольная» функция (та же, что и на рис. 2), а также
результаты ее свертки с ядрами рг (х) вида F), A1), A3) для
у = Зл; соответствующие графики помечены номерами 1, 2, 3. Видно,
что на отрезке, где fix) отлична от нуля, ближе всего к fix) та
функция /,. (х), которая получена с помощью ядра F) (т. е., в
сущности, с помощью интеграла B)). Но за пределами этого интервала
наилучший результат дает ядро Ланцоша A3). Как и следовало
ожидать, ядро Фейера дает наиболее гладкую функцию. Из этого
примера ясно видно, что универсального рецепта для выбора
сглаживающего множителя (или ядра) существовать не может.
25

Нужно подчеркнуть, что все сказанное выше относится главным
образом к тому случаю, когда «обрыв» интеграла Фурье происходит
на такой частоте у, для которой функция <р (со) еще существенно
отлична от нуля. Здесь уже сам факт «обрыва» интеграла вызывает
заметное искажение функции
¦/г fix), которое невозможно
исправить никаким
сглаживающим множителем. Иногда
такие искажения для задачи в
целом несущественны;
например, при обработке сигналов
встречаются случаи, когда вы-
-> сокочастотные составляющие
'" сигнала не имеют значения.
Тогда, действительно,
основной заботой будет сохранение
гладкости функции fix), т. е. борьба с явлением Гиббса.
В тех же случаях, когда «обрыв» интеграла Фурье производится
на таких частотах, за пределами которых функция <р (со)
пренебрежимо мала, ситуация существенно упрощается. Эффект Гиббса здесь
носит «остаточный» характер, и его ликвидация может быть
достигнута без заметного искажения функции f(x). Можно,
например, рекомендовать следующий сглаживающий множитель:
1, | со | < 6,
Рис. 5
ц(со) =
- I1 + cos л
О, |со| >7.
-6
, 6 < |со| < у.
A4)
Этот множитель зависит от параметров 7, &> причем должно
выполняться неравенство
О < 6 < 7
(рис. 5). При 6 = 7 множитель A4) превращается в
«прямоугольный»; при малых о он близок по своему характеру к множителю
Ланцоша, отличаясь от последнего непрерывностью первой
производной и, следовательно, более быстрым затуханием колебаний
соответствующего ядра pix). В общем, чем ближе 6 к у, тем меньше
искажается функция ip (со) (а следовательно, и fix)), но тем больше
опасность возникновения гиббеовских осцилляции.
§ 5. Функции с финитным спектром
Говорят, что функция fix) имеет финитный спектр, если ее
преобразование Фурье финитно, т. е. сосредоточено на некотором
конечном интервале оси со. Такие функции обладают рядом
замечательных свойств, которые мы и рассмотрим в настоящем параграфе.
26

Пусть р — фиксированное положительное число. Рассмотрим <н
частотной области) пространство L^ (- (i, {}) функций <р (со) с
интегрируемым квадратом, заданных на интервале (— р\ ji) оси си.
Доопределим эти функции на всю бесконечную ось со, полагая
ip (w) s 0 при |со| > (}.
Обратные преобразования Фурье функций у G Li (- fi, fi)
представляются в виде о
/W^/^Ч (<•>)*».
A)
Эти функции, очевидно, имеют интегрируемый квадрат. Кроме того,
поскольку функции из Ьг(-р, fi) абсолютно интегрируемы, все
функции f(x), представимые в виде A), принадлежат классу L*, т. е.
они ограничены, непрерывны и на бесконечности стремятся к нулю.
Все эти функции образуют, очевидно, замкнутое подпространство
пространства /^(д-); мы обозначим его Ул. Таким образом, функции
f(x) G Ул характеризуются тем, что их преобразования Фурье
ф (со) = / <,-*» / (л-) dx B)
за пределами интервала |со| < § почти всюду равны нулю.
Класс всех функций из Ул описывается известной теоремой
Пэли — Винера [7, п. 6; 1, п. 82].
Для того чтобы функция fix) представлялась в виде A), где
ip e La (— {}, ji), необходимо и достаточно, чтобы:
1) fix) имела интегрируемый квадрат;
2) функция fix) продолжалась на комплексную плоскость z =
= х + iy как целая аналитическая функция; при этом
\f(z)\ <«">¦!,
где константа с зависит от /.
Разложим функцию ip (со) на интервале (— р\ {}) в обычный ряд
Фурье:
«р (а>) = ? скеЧкл"*. C)
При этом
* =4 ./>""%<<¦»)
сЛо. D)
Сравнивая равенства D) и A), убеждаемся, что ск = if \ki\-
Положим ж/$ = Ах, хк = кАх (к = О, ± 1, ± 2, ...). Другими
словами, построим на оси х сетку с шагом Ал- и узлами л*. Обозначим
fk = fixk). Тогда ck = Axfk и равенство C) принимает вид
<р (со) = Ах ? /*<?-"*"¦. <5)
к
Сравним это равенство с формулой B). Заметим, что оно
получается простой заменой интеграла суммой; в сущности, правая часть
27

равенства E) есть сумма Римана для интеграла B). Такая замена,
как известно, широко распространена в вычислительной практике,
однако она может привести к удовлетворительному результату
только при условии достаточной гладкости подынтегральной функции. В
нашем случае под знаком интеграла стоит быстро осщылирующая
функция — для крайних значений со = ± В на интервале сетки
длиной Ах умещается целая полуволна множителя е~,шх. В обычных
условиях такая процедура сопряжена, как хорошо известно, с
большой погрешностью. Тем не менее формула E) является точной.
Следует напомнить, что как ряд E), так и интеграл B) сходится,
вообще говоря, лишь по норме Li. Кроме того, равенство E) имеет
силу лишь на интервале | со [ < 8 — правая часть есть периодическая
функция (с периодом 28), тогда как функция <р (со) за пределами
этого интервала равна нулю.
Из общих свойств рядов и интегралов Фурье тотчас вытекает, что
функция f{x) e Ур определяется своими значениями fk
единственным образом. Это утверждение в теории связи называют теоремой
отсчетов.
Поскольку <р G Li, а величины fk пропорциональны
коэффициентам Фурье функции *р (со), то
21/*12<во- <6)
Обратно, если задана произвольная двусторонняя числовая
последовательность Д, удовлетворяющая условию F), то мы можем
определить функцию <р (со) посредством равенства E), а затем с помощью
интеграла A) найти функцию fix). Очевидно, что / G VB, f(xk) - fk.
Существует, однако, формула, выражающая f(x) через fk
непосредственно, минуя ряды и интегралы Фурье.
Подставим выражение E) для ip (со) в равенстве A):
Р р
/ (*) = ^ / it" Ux 2 Л<?~Н с/со = Ах 2 Л ^ / Р-ХкУа с/со.
-В \ * / * -5
Но, как легко подсчитать,
Р
2л J л (л - лт*)
^J^-^c/co = SinP.(Af-,^. G)
Следовательно,
,, ч а V / sin ft (х - хк)
(8)
Это и есть искомая формула. Иногда считается "предпочтительнее
внести Ах под знак суммы:
/м-2/.=^
Функция ^^»
Р (дг - хк)
28

в точке х » хк равна единице, а в остальных точках сетки
х = х„ (п ?* к) — нулю, ибо (J (х„ - хк) - (п - к) л. Отсюда особенно
ясно видно, что определяемая равенством (9) функция fix)
удовлетворяет условию /(*„) = f„ (п = 0, ± 1, ± 2, ...). Формулы (8), (9)
являются по своему характеру интерполяционными.
Поскольку р1 (х - хк) = $х — кп, то sin fi (х — хк) = (- 1)* sin fi.vv
Поэтому формулу (9) можно переписать в виде
В такой форме она известна под названием формула Картрайт.
В пространстве L^ (- fi, р1) функции е_и*ш образуют полную
ортогональную систему (см. C)). Равенство G) показывает, что их
преобразованиями Фурье являются с точностью до множителя Дл
функции A0). Следовательно, эти функции образуют полную
ортогональную систему в пространстве Кр, а формула (9) есть не что иное,
как разложение функции fix) по этой системе. Отсюда вытекает, что
значения fk функции fix) в точках сетки хк суть коэффициенты
разложения этой функции по ортогональной системе A0).
Преобразованием Фурье функции
является «прямоугольная» функция, тождественно равная единице
на интервале (- (J, (}). Умножая любую функцию ip(co) G L^— p\ (J)
на такую прямоугольную функцию, мы, естественно, функции
<р(ш) не изменим. Значит, свертка любой функции f(x) 6Kf с
функцией vix) приводит снова к fix):
Sv(x-y)f(y)dy = f(x). A3)
Такое равенство, как известно, характерно для 6-функции.
Можно утверждать, следовательно, что в некотором смысле функция vix)
играет в пространстве Ур роль Ь-функции.
Интересно сравнить равенство A3) с формулой (8), которую
можно переписать так:
А* X v (х - хк) Л = / (х).
к
Видно, что (8) получается из A3) заменой интеграла суммой; и
снова в результате получается точное равенство. Это не означает,
конечно, что в пространстве V$ любые интегралы можно заменять
суммами, но некоторые соотношения такого типа нам еще встретятся.
Зафиксируем в равенстве A3) произвольное х и применим к левой
части неравенство Коши — Буняковского:
| fv(x-y)f(y)dy\2<S \v(x-y) \2dyf |/(у) \2 dy. A4)
Положив в A3) л: = 0, fix) = vix), получим
fv(-y)v(y)dy=v(Q),
29

или, учитывая, что v(— х) = v (x), v @) = 1/Дд:,
f\v(y)\2dy = ±, A5)
и, следовательно,
f\v(x-y)\2dy = f\v(y)\2dy = ±.
Теперь из A3), A4) вытекает, что
1/м12^И/И2.
Поскольку л' произвольно, то
тах|/(*)| <^ ||/||. A6)
Это означает, что в пространстве Ир сходимость по норме
влечет за собой равномерную сходимость на всей бесконечной оси
х. В частности, ряды (8), (9), A1) сходятся равномерно.
Функции ортогональной системы A0) отличаются от функций
v(x—xk) (см. A2)) множителем Ах. Из A5) вытекает, что нормы
функций A0) равны </Ах. Пусть теперь fix), g(x) — функции из
Ир. Используя тот факт, что fk, gk представляют собой коэффициенты
разложений функций f(x), gix) по ортогональной системе A0), и
вышеуказанную нормировку этой системы, мы можем написать
равенство Парсеваля для скалярного произведения:
/ f{x)g{x)dx = Ax^fkgk. A7)
Снова имеем равенство типа интеграл — сумма. В частности, при
* = '
f\fix)\2dx = Ax'2\fk\2. A8)
Рассмотрим еще в пространстве И? оператор
дифференцирования D. Его частотной характеристикой может, очевидно, служить
функция
/СО, |ш| «S Р,
г) (со) = \ A9)
0, |ш| >р.
Максимум модуля этой функции равен fi. Следовательно, в
пространстве И3 оператор дифференцирования ограничен, причем
|| Я || = р. B0)
Нелишне заметить, что, поскольку р обратно пропорционален Ах,
при малом шаге сетки норма D может оказаться весьма большой.
Обратное преобразование Фурье функции A9) совпадает,
очевидно, с производной функции A2); поэтому мы можем в соотно-
30

шснии A3) произвести дифференцирование под знаком интеграла,
так что
Имеем
/' (х) = / v' (х - у) f (у) dy. B1)
ff.Ycos/?x-sin/3.v
V (х) = 1 . B2)
лх
В частности, при х = хк будет fixk — кл, так что
Vat = —г —Г—' * * О,
* * B3)
^0=0.
Положим в B1) х = хк:
fk = f V (хк - у) f (у) dy.
При любом фиксированном к правую часть здесь можно
рассматривать как скалярное произведение; поэтому, согласно A7),
или, согласно B3),
п
A.V у (- ')
'* _ 2 Zj к-П '
л п*к
!,, B4)
Подведем некоторые итоги. Пространства типа Vp обладают
целым рядом замечательных свойств. Гладкость входящих в них
функций, равномерная сходимость, ограниченность оператора
дифференцирования позволяют свободно обращаться с
дифференциальными операторами и операторами типа свертки, ставить и решать
задачи, которые в обычных пространствах наталкиваются на
серьезные трудности (например, некоторые некорректные
задачи). Наличие точной интерполяционной формулы, замена многих
интегралов суммами открывают дорогу для точного численного
выполнения основных операций анализа. Поэтому, если с самого начала
исходные данные какой-либо (линейной) задачи помещаются в одно
из пространств Vp, ее решение существенно облегчается.
Но если некоторая функция и не принадлежит пространству Vp
ни при каком /9, то при условии ее достаточной гладкости ее
преобразование Фурье будет быстро стремиться к нулю. Поэтому
появляется возможность аппроксимации нашей функции
функцией с финитным спектром. Некоторые вопросы, связанные
с такой аппроксимацией, будут рассмотрены в следующем
параграфе.
31

§ 6. Сумма Пуассона
разов;
[фун!
<р (со), |со| < В,
Допустим, что преобразование Фурье <р (со) функции fix) есть
абсолютно интегрируемая функция. Выберем некоторое В и положим
'о, И >в.
Тогда по норме Lx при В -* оо будем иметь || >р (со) - <р (со) || -* 0.
Отсюда следует, что если J (x) — обратное преобразование Фурье
функции <f (со), то
max \f(x)-?(x) | -0.
Функция <f (ш) финитна. Таким образом, выбрав достаточно большое
В, мы можем аппроксимировать нашу функцию fix) функцией с
финитным спектром. Аналогичный результат мы получим, если fix)
имеет интегрируемый квадрат; в этом случае, естественно,
аппроксимация будет оцениваться по норме Li.
Трудность здесь состоит в том, что мы, вообще говоря, не можем
вычислить функцию ip (со) (а следовательно, и <р(со)). В самом деле,
функция fix) задается, как правило, таблицей своих значений, и все,
что мы можем сделать, это вычислить правую часть равенства i5.5),
которая теперь не обязана совпадать с ip (со). Попытаемся выяснить,
что же представляет собой эта сумма.
Будем считать, что функция fix) выражается интегралом Фурье:
/(*) = ^//">(«) А», A)
где ip (со) абсолютно интегрируема, ip ? Lv. Выберем некоторый шаг
A.v и построим на оси х сетку с узлами хк — кАх. Как всегда, будем
обозначать fixk) = fk. Имеем
'"*/¦
е " <р (ш) dv. B)
Положим, как и прежде, В = ж/Ах и разобьем ось со на
интервалы длиной 2В с концами в точках Bп — 1) В, (In + 1) В (п = 0,
± 1, ± 2, ...). Интервал (- В, В), отвечающий п = 0, будем называть
центральным, а остальные — побочными. Представим интеграл B)
в виде суммы интегралов по всем этим интервалам:
«и + 1)р
Л = ^ 2 / «Г* <р (со) с/со. C)
" Bи-1)р
Произведем в каждом слагаемом замену переменной со = % + 2лВ.
Пределами изменения переменной ]• будут — В, В. Далее, так как
шхк = \хк + 2пкп, то e'Mk = е ч. Следовательно,
I»
Л = ^ 2 / e*r* f (I + 2«В) d\. D)
" -Р
32

Внесем знак суммы под знак интеграла. Для этого нужно, чтобы
ряд
2<РA + 2лE) E)
сходился по норме пространства Ц (- C, Р). Но это почти очевидно.
В самом деле, так как функция ф (со) абсолютно интегрируема, ряд
Bл+ 1H
2 / |ф(со)|</со
л Bя-1)Р
сходится (этот факт мы, собственно говоря, уже использовали,
выписывая равенство C)); значит, сходится и ряд, полученный из
него указанной заменой переменной:
2/|<Р(* + 2яр)|</?.
л -Р
Но это и означает сходимость ряда E).
Обозначая в равенстве D) переменную интегрирования снова
через to и меняя порядок суммирования на обратный, получаем
р
-р
где
ф* («,) = ? ф (со - 2яВ). G)
л
Заметим, что функция ф*(о>) принадлежит пространству L\{— Р, Р).
Равенство F) означает, что величины Axfk совпадают с
коэффициентами Фурье функции ф* (со). Поэтому можно написать
Д*2/**"*" = 2 <р(ш-2лв). (8)
* л
Правда, левая часть здесь носит несколько условный характер,
поскольку стоящий там ряд Фурье может расходиться (впрочем, он
всегда суммируется в Ц по Фейеру).
Справедливость равенства (8) доказана нами лишь на
центральном интервале |со| «; р. Однако легко убедиться, что как левая, так
и правая его часть представляет собой периодическую функцию с
периодом 2р. Поэтому мы можем распространить его на всю ось со.
Равенство (8) есть формула суммирования Пуассона. Наиболее
известен ее частный случай, получающийся при со = 0:
A*S Л = 2 «Р B/iB). (9)
* л
Однако для корректной формулировки и вывода этого равенства на
функцию ф (со) необходимо наложить некоторые дополнительные
условия [13, т. I, гл. II, п. 13].
Ряд, стоящий в правой части равенства G), мы будем называть
суммой Пуассона функции ф (со). Она состоит из слагаемых, явля-
2 Заказ № 760
33

ющихся сдвигами одной и той же функции tp (ш) на величину,
кратную 2ji (рис. 6). Слагаемое, отвечающее п = О (и совпадающее
с ip (oj)), будем называть центральным или главным, остальные —
побочными.
Рис. 6
Теорема. Пусть функция fix) имеет интегрируемые
производные до т-ro порядка включительно. Тогда:
1) если т > 1, то тригонометрический ряд в левой части
равенства (8) сходится абсолютно и равномерно;
2) если т > 2, то ряд Пуассона в правой части равенства (8)
сходится абсолютно и равномерно на каждом конечном интервале
оси ш.
Доказательство. Первая часть теоремы будет доказана,
если мы покажем, что сходится ряд
21Л1-
к
Для любого к и х > хк имеем
f (х) - f (хк) = } Г (У) dy.
"к
Положим
г (х, у) =
A0)
A1)
1, у<х,
0, у > х.
Тогда для любого х S [xki xk+1] равенство A1) можно переписать в
виде
/(х) -/к =Тг (х, у) f (у) dy.
*к
Проинтегрируем это равенство по х от л* до xk+i. Поскольку
xk+i
S г (х, у) dx = х*+1 - у,
то
•4 + 1
/ / (л:) dx - ДлгЛ = / (х*+1 - у) Г (у) dy,
34

или, перегруппировав слагаемые и заменив переменную
интегрирования у в правой части на х, получим
•4 + 1 хк + 1
Д*Л = / / О) dx - f (хк+1 - х) f (х) <1х.
Ч хк
Отсюда
А* |Л| < / |/(jc) \dx + / \хм - х\ \Г (х) | dx.
ч ч
Но, поскольку на всем интервале интегрирования |**+1 — л:| ^ Ах,
очевидно, что
Ах |Л| «?Т\/(х) \dx + AxT\f (x) I dx. A2)
ч ч
Пусть теперь р, д — целые числа, причем р < д. Складывая
неравенства вида A2) для к = р, р + 1, ..., д, получаем
Л*2 Ш <1 l/l dx + Ах) I/'I dx<] |/| dx + AxS |/'| dx.
k=p xp xp ~x -°°
Это значит, что сумма, стоящая в левой части, при р -* — », д -*¦ <х>
остается ограниченной, и, следовательно, ряд A0) сходится.
Для доказательства второй части теоремы заметим, что при
m > 2, согласно B.4),
<р (ш) = — Ф2 (ш) ш~2.
Отсюда
<р (ш - 2/ф) = - Ф2 (ш - 2/ф) (ш - 2п$у2 =
= - Ф2 (ш - 2/ф) §-2 Bл - ш/ру2.
Функция Ф2 (со) ограничена; пусть |Ф2| < Л/. Пусть л > 1. На
центральном интервале |со| < р, т. е. |cu/ji| < 1, имеем
и, следовательно,
Значит, члены ряда
00
2ч>(а>-2лР) A3)
л=1
мажорируются членами сходящегося ряда
2л
2/7
-<о/р
>
<
2л-
Bл
-1,
1
„TiBh- IJ'
35

и, следовательно, ряд A3) сходится (на центральном интервале)
абсолютно и равномерно.
Аналогично доказывается сходимость ряда
-1
%<р(со -2пр),
а вместе с тем и всего ряда Пуассона.
На к-м побочном интервале ряд Пуассона состоит из тех же
слагаемых, что и на центральном, лишь сдвинутых вдоль оси со на
величину 2/ф. Следовательно, и здесь он сходится. Отсюда
немедленно вытекает его (абсолютная и равномерная) сходимость на любом
конечном интервале оси со.
Заметим, что при выполнении всех условий этой теоремы будет
справедлива также и формула (9).
Формула Пуассона (8) тесно связана с эффектом так называемого наложения
частот. Если мы «наблюдаем» функцию fix) только в точках сетки хк, то, естественно,
многие детали остаются для нас скрытыми. В частности, если в спектре функции fix)
присутствуют частоты <х>\, и>2, разность которых a>i - <ui равна (или кратна) 2fi, то
соответствующие гармоники на сетке мы различить не в состоянии, ибо для всех
к будем иметь е"Х>с = ет^к. Пусть эти гармоники входят в fix) с амплитудами а\, ai.
Рассматривая только сеточную функцию /*, мы с полным правом можем утверждать,
что имеется лишь одна гармоника с частотой а>\ и суммарной амплитудой а\ + аг-
При суммировании ряда Фурье в левой части равенства (8) эта общая амплитуда
01 + ai войдет в значение функции у> (а>) в точке ш = ш\.
Но с тем же правом можно сказать, что у нас есть гармоника с частотой и>г и той
же суммарной амплитудой а\ + аг\ эта амплитуда будет присутствовать и в значении
<р (а>) в точке <о = Ю2- И так будет, конечно, на каждом интервале, центральном и
побочных. Поэтому-то функция ip (и>) и получается периодической.
Некоторая парадоксальность формулы Пуассона состоит в том,
что левая часть равенства (8) полностью определяется значениями fk
функции fix) лишь в точках сетки хк, тогда как каждое слагаемое
правой части, будучи сдвигом функции <р (со), т. е. преобразования
Фурье функции fix), зависит от поведения функции fix) во всех
точках оси х, а не только в узловых. Если имеется две функции /j ix),
/2(дс), совпадающие в точках хк и существенно различающиеся в
промежуточных точках, то их преобразования Фурье <pi (со), <рг (со)
будут также существенно различны. Тем не менее суммы Пуассона
<Р* (ft>)> <p* (ш) совпадут. Одним из следствий такого положения (и это
понадобится нам в дальнейшем) является утверждение, что для того,
чтобы функция fix) во всех точках хк, кроме ,v0 = 0, обращалась в
нуль, необходимо и достаточно, чтобы сумма Пуассона ее
преобразования Фурье была тождественной константой. Таковы, например,
функции sin/?*/*, siiffix/x2.
Пусть теперь шаг Дл- стремится к нулю, т. е. у нас имеется (при
фиксированной функции /(,х)) последовательность сеток с
неограниченно уменьшающимися шагами. Величина 0 = л/Ах будет
стремиться к бесконечности, так что длины интервалов на оси со,
центрального и побочных, будут неограниченно возрастать. Если
функция fix) имеет финитный спектр, то, начиная с некоторого
36

Ajc, преобразование Фурье <р (со) будет целиком сосредоточено на
центральном интервале, а остальные слагаемые суммы Пуассона G)
сосредоточатся в соответствующих побочных интервалах (рис. 7);
сумма Пуассона будет «разделена». Для этих Аде вступят в силу все
ЛЛЛЛ
-pop ы
Рис. 7
соотношения предыдущего параграфа. В частности, функция fix)
будет полностью определяться таблицей своих значений fk;
можно утверждать, что эта таблица содержит полную информацию о
функции fix). Если, как и прежде, символом <р* (со) обозначить
функцию, совпадающую с <р* (со) на центральном интервале и равную
нулю за его пределами, то условие «разделения» можно выразить
в форме
<р* (со) = <р (со). A4)
Если же функция >р (со) инфинитна, то это равенство не
наступит ни при каких Аде, ибо на центральном интервале, кроме
главного слагаемого суммы Пуассона <р (со), будут присутствовать «хвосты»
побочных слагаемых. Однако если ip (со) достаточно быстро стремится
к нулю на бесконечности (т. е. fix) достаточно гладка), то при
больших р роль этих «хвостов» будет мала, и можно ожидать, что
при Ад; -» 0 равенство A0) будет выполняться с любой заданной
степенью точности. Мы подтвердим это сейчас более строгими
рассуждениями.
Предположим, что функция fix) имеет интегрируемые
производные до т-го порядка включительно, причем т > 2. Тогда (см. B.4))
9 (со) = (- 0" Фт (со) со". A5)
Функция Фт (со) есть фурье-образ т-й производной fm)ix). Поэтому
|Ф«Н I *S\fml(*) \dx. A6)
Отсюда, в частности, получаем
|<р(со)| < Ы~т f If* (х) \ dx. A7)
Если мы из суммы Пуассона исключим член, отвечающий п=0,
то получим, очевидно, разность <р* - <р. Следовательно, согласно
A5),
9* (со) - <р (со) = (- 0И2 Фт (со - 2иР) (со - 2лр)-",
л*0
37

л*0
откуда, учитывая A6), получаем
|«р* (со) - ф (со) | S 2 |<о - 2/фГ / |/m) W | dx =
I—m /•
J | /т) (дс) | rfx A8)
Рассмотрим это неравенство на центральном интервале
| ш | < р. Пусть сначала п > 0. Тогда
|2и-ю/р| >2п - 1.
Значит, члены ряда
ii2«-?i-
л=1 Г
мажорируются соответствующими членами ряда
2 (In - \ут < i Bn - I) = ?.
я=1 л=1
Аналогично можно доказать, что
V h <° I ^ п
2) 2n--g- <T.
л-— оо
Теперь неравенство A8) принимает вид
|ф*(со)-ф(со)| <^-"'J\fm)(x)\dx
или, поскольку р = л/Адс,
|ф* (со) - ф (со) | < ?g Г |/т> (х) | Лс. A9)
На центральном интервале ф* = ф*; поэтому в неравенстве A9)
вместо ф* (со) можно подставить ф* (со). За пределами центрального
интервала имеем ф* (со) з 0, т. е. |ф* - ф| = |ф|. Неравенство A7)
дает при | со | > JJ
1<р(«>)| «Р-" Л/ (*)!<**,
или, что то же самое,
|ф(со)| <^ $ \fm\x)\dx. B0)
Сравнивая неравенства A9) и B0) и учитывая, что
1 1
>
. т-Ъ ту
4л л
получаем, что для всех со
|<р* (со) - ф (со) | < -^ Г |/«» (*) | dx. B1)
4л'
38

Оценим теперь эту же разность по норме Ц. Тогда, очевидно,
Р
/ | <р* - f | t/ш = / | ip* - f | dw + / | f | c/cu. B2)
-P W>P
Для первого слагаемого правой части получаем
р р
/ 1<Р* - 91 Л» * 2 / I <Р (« - 2/?Р) | </ш =
-Р л*0-Р
Bл + 1)Р
= 2 / кН1^ = / |<р(о>) |Ло.
л#0Bл-1)Р |ш|>Р
Поэтому (см. B2))
/ |«р* - ч>| с^ш < 2/ Ы «Ло. B3)
Оценку этого интеграла мы получим на основании неравенства A7).
Поскольку
Г аГт</со = -В^-,
Р
ТО
|u,|>p
откуда легко получаем
JV-y|*,< /^fl/l/'l^ B4)
^ (/и - 1) л ^
Этот результат можно усилить, если предположить, что функция
Фт (to) абсолютно интегрируема. Действительно, тогда из равенства
A5) непосредственно вытекает неравенство
/ Ы </ш < р-J |ф»| «fa < Р~" J |ф«1 </<«>,
hl>P 14 >Р
и на основании B3)
/|<Р*-«р| ^^^—^ f |Ф-.|</«>. B5)
Обозначим через g(x) обратное преобразование Фурье функции
S(*) = ^J*e*"V (<•>)<*«>•
Из формулы Пуассона (8) и результатов § 5 вытекает, что функция
g(x) получается из последовательности Д с помощью
интерполяционных формул E.8), E.11). Поскольку
!*(*)-/(*) | <^/|?*-«p|«fo>,
39

то из B0), B1) получаем соответственно
|,(*)-/W |<1J^J|/">| Л, B6)
uw-/wi <^ Г |Фяи<». B7)
Эти неравенства могут служить оценками точности
интерполяционных формул E.8), E.11).
Наконец, проведем те же оценки в метрике Z^. Из неравенства
A9) имеем
W-^<^{l\r\d,)\
откуда
J|f*-9|Au«2pi^(J|/«",|«fc) =
_ii V / ^
= ^G(/l/m,l^). B8)
За пределами центрального интервала мы снова воспользуемся
неравенством A7). Тогда
/
ш""" «/ш =
р1--" _ (Ал)"
2ш - I Bш- 1)л:
2т- Г
Отсюда легко следует, что
1>Р
Из B8), B9) получим
/|"'<h=^(J"in4
(J |*--,,|' *¦)" s V^;^'.: (чг" / Ш*. <зо»
Если функция Ф„, (ш) квадратично интегрируема, неравенство
C0) можно несколько усилить. Опуская довольно очевидные
выкладки, приведем окончательный результат:
1/2 V7~~
(JV-V|2c/cd) <^^-(Ахг(/|Ф.|а«/ш|'. C1)
В пространственной области
/ U - /И </*]  < ^ V^ + ^-f (А*)"- J |/"'| Ле, C2)
1/2 ,/ 4 . ~ / Л ч 1'2
(J |« - /|2 Лс) ^ ^-^ (Аде)" (/ |Фт|2 Л») . C3)
40

Полученные выше неравенства показывают, что, если шаг Ад:
достаточно мал, функцию /(л) можно заменить функцией f(x),
имеющей финитный спектр. Тогда преобразование Фурье можно
вычислять по формуле E.5). Слагаемые суммы Пуассона будут
(приближенно) разделены. Если при этом не будут нарушены
пределы точности, обусловленные характером данной конкретной задачи,
то мы будем говорить, что выполнено условие
разделения. В дальнейшем нам еще не раз придется убедиться в важности
этого условия. Смысл его, вытекающий из предыдущих рассуждений,
состоит в том, что лишь при его соблюдении таблица А дает
достаточно полную информацию о функции fix).
Вполне правомерен вопрос о критериях, позволяющих судить о
выполнении условия разделения. Пусть последовательность значений
А получена в результате физических измерений или, например,
путем численного интегрирования какого-либо дифференциального
уравнения. Спрашивается, можно ли, исследуя эту таблицу А,
вынести достаточно определенное суждение о соблюдении условия
разделения?
Ответ подсказывается сравнением рис. 6 и 7. Следует прежде
всего найти функцию ip* (со):
<р* (ш) = Ах 2 Ае~""Ш; C4)
достаточно вычислить се на отрезке 0 < cu ^ (J. Если окажется, что
в точке со = р* эта функция существенно отлична от нуля, то условие
разделения нарушено — шаг Ах слишком велик и информация
о функции f(x) явно недостаточна.
Если же по мере приближения к концу центрального интервала
функция ip* (со) уменьшается (по модулю) и в точке C обращается в
нуль (с надлежащей точностью), то с большой долей уверенности
можно считать условие разделения выполненным. Конечно, нетрудно
построить примеры, когда обращение в нуль величины <р* (ji)
обусловлено случайным стечением обстоятельств и условие разделения
все же нарушено, но это будут специально подобранные примеры;
они теряют силу, скажем, при небольшом изменении шага Дл:. Если
таблица А возникла так, как это было сказано выше, такое
совпадение чрезвычайно маловероятно.
Еще больше уверенности в выполнении условия разделения будет
в том случае, когда >р* (со) обращается в нуль на целом отрезке
7 < со < р\ составляющем заметную часть половины отрезка.
Когда функция fix) задается таблицей, практически всегда о ней
бывает известна и некоторая дополнительная информация; правда,
ее часто бывает трудно выразить в точных терминах. Обычно она
сводится к высказываниям о том, что таблица, в общем, правильно
передает «общий характер» функции, а сама эта функция «гладкая».
Можно понимать это в том смысле, что спектр функции не содержит
гармоник, которые невозможно отразить на данной сетке, т. е. час-
41

тоты которых выходят за пределы центрального интервала. Возможно
также, что эти частоты несущественны для данной конкретной
f ¦
О I
Рис. 8
задачи. Так или иначе, но приведенное выше условие разделения
может служить эффективным критерием того, что «дополнительная
информация» не противоречит самой таблице.
В качестве иллюстрации на рис. 8 изображен график некоторой
функции fix); кружками обозначены значения /к, по которым была
О ? <"
Рис. 9
вычислена функция <р* (ол). Модуль этой функции для 0 «= ш =ё ji
показан на рис. 9. Видно, что условие разделения (в пределах
точности чертежа) выполнено. Если вычислить теперь функцию
7 (х), то обнаружить се отличие от f(x) на графике будет невозможно.
8 то же время из рис. 8 достаточно ясно, что шаг Ад- (особенно в
левой части графика, для х < 0) никак нельзя признать слишком
42

малым. Скорее наоборот — далеко не очевидно, что по обозначенным
там точкам можно с удовлетворительной точностью восстановить всю
функцию fix). С другой стороны, рмс. 9 показывает, что этот шаг
является, пожалуй, предельным: дальнейшее его увеличение
приведет к нарушению условия разделения.
В заключение приведем некоторые соотношения, которые
понадобятся нам в дальнейшем. Полагая в формулах B), F) к = О,
получаем
Р оо
/ <р* (со) с/со = / ф (со) с/со. C5)
-(S -оо
Далее,
/ |v* (ш)| с/со = / |2 «р (оз - 2/ф) | с/со <
-Р -Р п
< / 2 |<Р (си - 2лР) | с/а> = X / к (со) | с/со =
~Р л я Bл-1)Р
= / 1ч>(°>) I rfw'
так что
/|"Р* (<»)| А*> < j |<р (<о) | с/со. C6)
До сих пор мы предполагали, что функция <р (со) абсолютно
интегрируема. Допустим теперь, что <р (со) имеет интегрируемый
квадрат, т. е. принадлежит пространству L^ (со). Тогда, очевидно,
оо Bя + 1)Р Р
/|<РН|2^ = 2 / If (со) |2Ао = 2 Л-Р (<•>-2n(J) |2с/со.
-» л Bл-1)Р л -Р
Отсюда немедленно вытекает, что ряд Пуассона G) сходится по
норме La (— (}, Р). Аналогично неравенству B6) легко получим
Р оо
/ |ф*(со)|2с/ш </ |<р(со) |2с/ш. C7)
§ 7. Формулы Бесселя
В § 6 выяснены условия, при которых преобразование Фурье
ip(co) функции f(x) может быть заменено функцией <р*(со),
вычисляемой по формуле F.24). На практике, разумеется, число отличных
от нуля величин fk всегда конечно, и вообще функцию f(x) можно
считать финитной. Но тогда и обратное преобразование мы можем
вычислять по аналогичной формуле. Именно, если f(x)
сосредоточена на интервале (— b, b), можно выбрать шаг Асо,
удовлетворяющий условию Дсо < п/Ь, построить на центральном интервале сетку
43

с узлами (Oj = jAio (j = 0, ± 1, ±2, ...) и вычислить обратное
преобразование Фурье по формуле
/м-?2*^. A)
2л
i
где <р, = <р (wj).
Поскольку условия разделение для прямого и обратного
преобразований носят приближенный характер (хотя бы потому, что
функция и ее преобразование Фурье не могут быть финитными
одновременно), вычисленная по формуле A) функция fix) будет,
вообще говоря, отличаться от исходной. Оказывается, однако, что
если соблюдены некоторые условия, то при х = хк величины fk =
= /Ос*), вычисленные по формуле A), совпадут с теми, которые
фигурируют в правой части формулы F.24). К выяснению этих
условий мы и приступаем.
Пусть на оси х имеется сетка с шагом Ах, и пусть задано конечное
число величин fk, где индекс к пробегает значения
к = ко, ко + 1, ..., к„; к„ = ко + п.
Положим
у» И = Д* ?/**"**". B)
Построим на оси ш сетку с шагом Да» и узлами со, = jAto. Вычислим
функцию <р (со) в некотором конечном числе узлов этой сетки:
<Р, = <Р (о»>),
I = к, к + 1. •••> im', L = k + т.
Тогда
П = Ах2/ке"х*ч. C)
к
Подставим эти <р, в формулу A) и потребуем, чтобы в точках сетки
хк = кАх, к = ко, к0 + 1, ..., к„ получились снова величины Д.
Для любого q = ко, ко + 1, ..., к„ должно выполняться равенство
i
Подставляя сюда <pt из C), получаем
или
Ллг Лш
Л = -ьг Z /*с«-*- E)
где
2л
44

В правой части этого равенства стоит сумма геометрической
прогрессии со знаменателем
г = ел«-*>д«Ашф G)
Поэтому
in, jm + l _ Jo fo+im+W r(im-i0+W _ -<Jm-i0+W
Ц-* = Zl Г = r_ J = Тд 1/2 _ - 1/2 •
Mo r r
Подставляя сюда г из G), получаем после несложных выкладок
Ах Л(о
\ия-
Cq.k - ехр И (д - к) (у0 + j„)
Ах Дш
sin (^ - к) (т + 1)-
2
Дх Лю
sin (9 - *) —-—
(8)
Обозначим q — к = р. Поскольку q, к меняются от к0 до к0 + п,
то, как легко видеть, р пробегает значения от —п до п. Для
выполнения равенства E) нужно, чтобы при q - к (т. е. р = 0)
имело место равенство
а при всех остальных /> (т. е. при р *¦ 0) — равенство Ср = 0.
Из (8) легко находим, что С0 = т + 1. Условие (9) дает
ДхДа) = -^--. A0)
m + 1
При этом условии, как нетрудно убедиться, числитель дроби в правой
части равенства (8) для всех целых р = q — к обращается в нуль.
Значит, Ср будет равен нулю во всех точках, где отличен от нуля
знаменатель. Там же, где знаменатель обращается в нуль, будет, как
легко видеть, снова справедливо равенство Ср = т + 1. Первый нуль
(кроме р — 0) знаменателя наступает при р = ± (т + 1). Значит,
должно выполняться неравенство п < т + 1, или, что то же самое,
т > п. A1)
Нами доказано следующее утверждение.
Условия
ДхДо> = -, т>п, A2)
т + 1
необходимы и достаточны для того, чтобы при любых fk
(к = ко, к0 + 1, ..., &о + я) выполнялись равенства
/* = §2^'^. A3)
Мо
к0+п
«P^AjcS/**"**4". (И)
45

Под знаком суммы в равенстве A3) расположены т + 1
последовательных значений сеточной функции <р;; при этом общая длина
интервала оси со, заключенного между начальной точкой /оАсо и
конечной /„Асо (jm = j0 + т), равна /пДсо. Но из A2) следует, что
2{$ = 2п/Ах = (т + 1) Асо; таким образом, /и Асо = 2(J — Аш.
Интервал суммирования в A3) меньше длины центрального интервала
ровно на один шаг. Это, впрочем, и понятно, ибо следующее за fjm
значение совпадает с <р;о.
Точки coJ0, сол, ..., соУт могут занимать на оси со любое место, лишь
бы они охватили интервал общей длиной 2р* — Асо. Но, конечно,
лучше всего расположить их на центральном интервале. Здесь можно
указать два основных способа.
1.Симметричное расположение. Число т
четно, т = 2q (так что общее число точек нечетно). Индекс /'
пробегает значения от /0 = _ Q ДО jm = Q- Точка со0 = 0 занимает
центральное положение; по обе стороны от нее имеется по q точек.
Крайние точки с индексами — q и q расположены на расстоянии
Дсо/2 от концов центрального интервала.
2. Несимметричное расположение. Число т
нечетно, т = 2q — 1 (так что общее число точек 2q ч е т н о). Индекс
/' пробегает значения от j0 = 1 - q до jm = q. Точка wq совпадает с
правым концом (J центрального интервала; крайняя левая точка
о)!_, отстоит на величину шага Асо от левого конца центрального
интервала.
Трудно отдать решительное предпочтение одному из этих двух
способов построения сетки. Можно заметить, что второй способ
пользуется, пожалуй, большей популярностью. Одной из причин
является то, что крайняя правая точка совпадает с концом
центрального интервала; вторая причина — при четном числе точек удобнее
применять алгоритм быстрого преобразования Фурье.
Построим теперь конкретные расчетные формулы для случая,
когда величины fk действительны. Величины ip, будут
комплексными, но <р; и <р_; комплексно сопряжены, так что эти
величины достаточно вычислить лишь для положительных значений
индекса /. Обозначим
<р; = а,- + фг A5)
Из A4) следует, что
а; = Ajc ^ fk cos kj Ax Асо,
к
fy = - Дл: 2 A sin kj Ax Aco, A6)
j= 0, 1, ..., q.
Полагая j = 0, получаем, в частности,
а„ = Д*2/*. Ро = 0. A7)
к
46

Далее,
y.jkjb'b» _ (а. + ф^ (CQS kj Ах дш + i sJn kj Ax Дц)) _
= а; cos kj Ах Дш — fy sin kj Ax Дш +
+ / (Р; cos kj Ах Да) + а, sin kj Ax Дш). A8)
Поскольку а; = а_;, jiy = — {}_,, действительная часть этого
выражения (как функция от у) есть функция четная, а мнимая —
нечетная.
При первом (симметричном) расположении точек в результате
суммирования от — q до q мнимая часть сократится, а все члены
действительной части, кроме отвечающих / = 0, войдут парами.
Формула A3) примет вид
, Л<и
+ 2 (o-j cos kj Ах Дсо - Р; sin kj Ax Дш)
A9)
При втором (несимметричном) расположении q Дш = ji =
= л/Ах, kqAxAiu = kn. Поскольку cos кп = (— l)k, sin кя = 0, то из
A6) следует, что
а, = Д*2(-1O*. р, = 0.
*
Формула A3) теперь преобразуется к виду
-^ + 2 (a, cos kj Ах Дш - j3; sin Лу Дл: Дш)
1 /-1
.B0)
Вместо Дх Дш можно, согласно A2), подставить 2ж/(т + 1), что
иногда бывает удобнее.
Формулы A6), B0) в гармоническом анализе называются
формулами Бесселя; при этом там всегда считают, что т = п. Мы не
будем связывать себя этим равенством и распространим название
«формулы Бесселя» также и на формулы A3), A4), A9). Условия
A2) мы для краткости также назовем условиями Бесселя.
Для вычисления сумм A6), A9), B0) нужны значения
тригонометрических функций cos/ДхАш, sin/ДхДш для /от 0 до
максимального значения произведения kj (поэтому, между прочим,
выгодно начало координат на оси х выбирать в середине области
задания функции f(x) — тогда это значение будет наименьшим).
Чтобы избежать многократного обращения к специальным
подпрограммам, можно применить рекуррентные формулы. Положим
А = cos Дх Дш, В = sin Дл: Дш,
с, = cos / A.v Дш, s, = sin lAx Дш.
Тогда на основании общеизвестных тригонометрических тождеств
C;+i = Ас, - lis,, s/+i = Bci + As,. B1)
47

По этим формулам, начиная с с0 = 1, s0 = 0, мы можем
последовательно вычислить все необходимые значения с„ s,. Матрица перехода
здесь ортогональна, так что накопление погрешностей при некотором
запасе точности не будет ощутимым.
Для вычисления сумм A3), A4) (а следовательно, и A6), A9),
B0)) часто применяется алгоритм так называемого быстрого
преобразования Фурье. Если целое число т + 1 разлагается на
множители, формулу A3) можно преобразовать так, что общее число
арифметических операций, необходимых для вычисления всех
величин fk, будет существенно уменьшено. Аналогично обстоит дело и
с формулой A4). Изложение этого алгоритма можно найти в книге
[19, п. 4.7] (см. также [2, гл. 1, § 4, пп. 6, 7]).
Если в формулах A3), A9), B0) вместо к&х подставить
переменную х, то их правые части превратятся в тригонометрические
полиномы, принимающие в точках хк (к = к0, ки ..., к„) значения fk.
Другими словами, это будут интерполяционные полиномы.
Поэтому формулы Бесселя применяются для тригонометрической
интерполяции. Здесь, конечно, желательно, чтобы
интерполяционный полином имел наименьший порядок; поэтому полагают
т = п.
В связи с этим заметим, что если при обратном преобразовании
нам понадобится вычислить таблицу функции fix) с шагом,
отличным от первоначального, то для этого достаточно в формулы A3),
A9), B0) подставить вместо Ах этот новый шаг.
§ 8. Вычисление интеграла Фурье
До сих пор известна только одна формула, которая может служить
для непосредственного вычисления интеграла Фурье,— это формула
E.5):
Ф(Ш) = Ах2Ае~"кШ; A)
к
точность ее была исследована в § 6. Там же было указано, что она
применима лишь при выполнении условия разделения, состоящего,
в сущности, в том, что функция ф (о>) должна быть сосредоточена (с
требуемой точностью) на центральном интервале.
Как уже было замечено, эта формула может рассматриваться как
простейшая, ибо она получается простой заменой интеграла Фурье
его суммой Римана. В арсенале численных методов анализа имеется,
как известно, большое количество более совершенных квадратурных
формул; вполне понятно поэтому стремление заменить формулу A)
другой, более сложной, но зато более точной. Заметим сразу же, что
такая замена оправданна лишь при нарушении условия разделения,
так как, если ф (ш) сосредоточена на центральном интервале,
формула A) является точной (а всякая другая формула будет создавать
некоторую погрешность).
48

Наиболее распространенные квадратурные формулы (типа
Ньютона — Котеса) основаны на замене подынтегральной функции
интерполяционным полиномом. Применительно к интегралу Фурье
«р (со) = / е-т f (х) dx B)
такая простая замена выглядит неразумно, ибо подынтегральная
функция содержит быстро осциллирующий множитель е~'ш:. Более
оправданна аппроксимация не всего подынтегрального выражения,
а лишь функции fix). Именно поступают следующим образом. На
каждом сеточном интервале (хк, xk+i) заменяют функцию f(x) тем
или иным интерполяционным полиномом рк(х). Тогда интеграл
/ е""* рк (х) dx
'к
выражается в элементарных функциях. Сложив все такие интегралы
по всем сеточным интервалам, мы и получим в результате искомое
приближение для интеграла Фурье. Такие формулы хорошо известны
[16, гл. 9]. В последние годы к ним прибавились формулы,
основанные на применении сплайнов [12, гл. VIII, § 6].
Эта процедура будет подробно исследована в гл. II. Несколько
забегая вперед, приведем некоторые результаты.
Во-первых, оказывается, что функция у (со), полученная
описанным выше интерполяционным методом, на центральном интервале
представляет собой лишь несколько искаженную функцию <р* (а>),
причем эти искажения направлены отнюдь не в сторону приближения
к «точной» функции <р (со). Любопытно, что чем выше порядок
точности интерполяционной формулы, тем меньше искажения, т. е.
тем ближе к (р* (со) оказывается у (со).
Во-вторых, за пределами центрального интервала г|> (со) не
периодична и стремится к нулю; однако, за исключением этих качеств,
она не имеет ничего общего с функцией <р (со).
В-третьих, условия, при которых Ц (со) будет близка к <р (со),
оказываются сильнее условия разделения — нужно, чтобы функция
<р (со) была мала на целом интервале у < со < ($.
По этим причинам указанный выше интерполяционный метод в
значительной степени обесценивается. Формула A) и в дальнейшем
будет для нас основной.
Остановимся еще на вопросе о том, насколько обязательно
соблюдение условий Бесселя G.12). Следует прежде всего заметить, что
полная обратимость формул G.13), G.14), обеспечиваемая этими
условиями, может создать иллюзию абсолютной точности этих
формул. На самом деле, конечно, их точность полностью определяется
точностью выполнения условий разделения (в ту и другую сторону).
Что касается условия разделения для функции ip (со), о нем подробно
говорилось в § 7; рассмотрим это условие в отношении функции fix).
Как уже говорилось, считаем, что среди значений fk имеется лишь
конечное число отличных от нуля; все они охватываются индексами
к от к0 до к„, так что общая длина интервала оси х, на котором
49

сосредоточена функция fix) (т. е. носителя этой функции), равна
пАх. С другой стороны, сеточная функция fk, задаваемая формулой
G.13), периодична, и нетрудно подсчитать, что ее период составляет
т интервалов, т. е. его длина есть тАх. Таким образом, можно
считать, что неравенство т > п (см. G.12)) как раз и обеспечивает
условие разделения для /Ос). На этом основании, казалось бы, можно
в целях экономии всегда полагать т = п. Однако такое заключение
было бы слишком поспешным.
Дело в том, что равенство т = п оправданно, лишь если все
операции с функцией fix) сводятся к прямому и обратному
преобразованиям Фурье. Если же над ней производятся другие
математические операции и преобразования, носитель функции может
существенно расшириться. Например, одной из самых обычных
операций является умножение функции >р (oj) на некоторый множитель
X(w). В пространственной области это означает свертку функции fix)
с некоторой функцией hix). Если а, Ь — длины носителей функций
/, h, то длина носителя свертки / * h будет равна а + Ь. Число т
должно быть выбрано таким, чтобы было обеспечено неравенство
тАх > а + Ь, иначе мы уже в пространственной области столкнемся
с «эффектом наложения». Словом, число точек oj; практически всегда
приходится брать по сравнению с хк с достаточным запасом. Это
замечание особенно существенно в связи с тем, что в ряде руководств
равенство т = п принимается без особых объяснений.
Первое равенство G.12) обеспечивает, как уже было сказано,
полную обратимость формул G.13), G.14), что удобно, например,
при проверке программ, а также и в некоторых других случаях.
Вообще же его нарушение не влечет за собой сколько-нибудь
катастрофических последствий. Необходимо только следить, чтобы точки
oj, полностью заполняли центральный интервал.
Допустим теперь, что условие разделения не выполнено (шаг
Ах слишком велик). Можно ли все же каким-то образом вычислить
интервал Фурье с удовлетворительной точностью? Здесь прежде всего
следует предостеречь от попытки решить эту проблему путем
интерполяции функции fix) на более частую сетку. В сущности, это будет
не чем иным, как одним из вариантов интерполяционного метода,
о котором было сказано в начале параграфа.
Иногда, однако, оказывается возможным привлечь некоторую
дополнительную информацию о функции fix). Преобразование
Фурье ф (ы) стремится к нулю особенно медленно в том случае, когда
fix) имеет особенности типа разрывов, изломов и т. д. Если
положения и величины этих особенностей известны, то можно
применить прием «выделения особенностей», указанный (для
тригонометрических рядов) А. Н. Крыловым [15, § 54—59; 11, гл. VI, § 4;
11, гл. 12]. Строится функция qix) с теми же особенностями, что и
/(.v), имеющая простое аналитическое выражение (в простейших
случаях она может быть, например, кусочно линейной). Тогда
разность gix) = fix) - qix) уже будет свободна от особенностей, и се
преобразование Фурье ф (oj) будет стремиться к нулю быстрее; может
оказаться, что для нес условие разделения уже выполняется. Тогда
50

преобразование Фурье функции g(x) вычисляется обычным образом,
а для функции qix) выражается в элементарных функциях. Если
решаемая задача в целом линейна, можно решить ее в отдельности
для функций gix), qix), а затем результаты сложить. Этот метод
особенно эффективен, если для qix) задача поддается точному
(аналитическому) решению.
На практике не так уж редко встречаются случаи, когда функция
fix) известна лишь на ограниченном интервале, на концах которого
(одном или обоих) она еще существенно отлична от нуля. Тогда,
конечно, преобразование Фурье вычислить невозможно. В то же
время задача в целом может быть такова, что ее решение, по
существу, не зависит от неизвестных значений fix) за пределами
интервала задания. Примером могут служить задачи сглаживания
(гл. III) и дифференцирования (гл. IV). Можно указать несколько
способов обхода этой трудности.
Простейший способ состоит в том, чтобы на концах интервала
гладким образом свести функцию к нулю. Для этого можно
использовать «сглаживающие множители» типа изображенного на рис. 5.
При этом значения функции вблизи концов интервала будут
испорчены. Можно продолжить функцию за пределы интервала задания,
по возможности плавно сведя ее там к нулю. Наконец, можно просто
положить fix) за пределами интервала задания равной нулю,
применив затем к полученной разрывной функции метод выделения
особенностей.

Г л а в а II
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
В настоящей главе метод Фурье будет применен для исследования
некоторых классов интерполяционных формул. Ближайшей нашей
целью будет обоснование утверждений, высказанных в § 8 гл. I.
Интерполяционные формулы рассматриваются здесь под
несколько специфическим углом зрения. Если в классической теории
интерполяция служит главным образом алгоритмом для вычисления
отдельных значений функции, то сейчас она для нас будет средством
для аппроксимации функции в целом. Функция
предполагается заданной на всей бесконечной оси х, достаточно
гладкой и достаточно быстро стремящейся к нулю на бесконечности.
В этих условиях метод Фурье позволяет с особой наглядностью
представить «механизм действия» интерполяционных формул и
выявить некоторые их принципиальные особенности.
§ 1. Примеры
Начнем с простейшей интерполяционной формулы — линейной.
Пусть по-прежнему /к — значения функции fix) в точках сетки
хк = ЛДх. На каждом сеточном отрезке [хк, xktl] построим линейную
функцию, совпадающую на концах отрезка с fk, /*+1:
«W=^ I/* (**+i - х) + Д+1 (х - хк) ]. A)
В результате получится непрерывная кусочно линейная («ломаная»)
функция g(x) (она будет называться интерполирующей),
совпадающая в узлах сетки с исходной функцией f(x).
Поскольку величины fk входят в формулу A) линейно, то
соответствие между fk и g(x) будет также линейным: сумме двух сеточных
функций отвечает сумма соответствующих интерполирующих
функций и умножение сеточной функции на константу вызывает
умножение функции g(x) на ту же константу. Кроме того, сдвиг сеточной
функции fk на целое число шагов сетки порождает такой же сдвиг
интерполирующей функции g(x).
Введем элементарную (так называемую единичную) сеточную
функцию
Г 1/Дх, * = 0,
Ь„ = \ B)
О, к * 0.
52

Для произвольной сеточной функции fk имеет место очевидное
тождество
/у = А*2/Л-*- <3>
Построим для единичной сеточной функции Ьк кусочно линейную
интерполирующую функцию /(дг); это будет, очевидно, знакомая нам
«треугольная» функция
L_L, 0 < л: ^ Л*>
/ (л:) = (АхJ D)
О, |д:| > Дл:.
Из равенства C) для произвольной сеточной функции fk в силу
указанных выше свойств линейности и инвариантности относительно
сдвигов следует, что
*(*) = Д* 2/*'(*-**)• E)
к
Эта функция совпадает, конечно, с интерполирующей функцией,
определяемой равенством A).
Функцию Кх) мы будем называть фундаментальной функцией.
Вычислим теперь преобразование Фурье интерполирующей
функции g(x). Для этого найдем сначала фурье-образ X (со)
фундаментальной функции 1(х). Из формул A.1.19), A.1.20) легко получаем
Преобразованием Фурье функции / (д; - д;*) будет е~"*ш X (со).
Обозначая через г|> (со) фурье-образ функции glx), из равенства E)
находим
^ (ш) = Ах 2 he**- X (со) = X (со) Ах ? Ле"**",
или
гр (со) = X (со) <р* (со). G)
Рассмотрим это соотношение внимательнее.
Нас, естественно, интересуют прежде всего условия, при которых
функция у (со) близка к <р (со). Функция <р (со) есть сумма Пуассона
функции ip (со); если выполнено условие разделения, то на
центральном интервале <р* мало отличается от ip, а на всех побочных
интервалах представляет собой сдвинутую «копию» той же функции.
Чтобы из этой периодической функции «выделить» функцию,
близкую к ip (со), нужно, оставив функцию <р* (со) по возможности
неискаженной на центральном интервале, «подавить» ее на всех
побочных интервалах.
График множителя X (со) изображен на рис. 10 (так как X (со) —
функция четная, достаточно рассмотреть ее для положительных со).
При малых со она близка к единице, а в центрах всех побочных
53

интервалов имеет нуль второго порядка. Для того чтобы множитель
X (ш) в равенстве G) успешно выполнял операцию «выделения» <р из
ip*, нужно, чтобы функция <р (со) была сосредоточена на достаточно
малой средней части центрального интервала.
Л4
2/3
4/3
Рис. 10
Сопоставим эти качественные соображения с обычной практикой
линейного интерполирования. Остаточный член линейной
интерполяционной формулы (на отрезке [хк, xk^i]) имеет, как известно, вид
(х - хк) (х - хк+1)
R- -2 / ,
где вторая производная /" берется в некоторой промежуточной точке
отрезка. Максимум модуля выражения (jc — хк) ix — хкц) равен
(ДхJ/4. Поэтому
I"!
<^1/"|.
(L)
Возьмем в качестве примера функцию
/ (х) = sin х/х.
Ее преобразование Фурье ip (со) сосредоточено на отрезке — 1 «S
$ю< 1 и равно там тождественно константе л.. Вторая
производная функции fix) достигает своего максимума (по модулю) в точке
х = 0, и этот максимум равен 1/3. Из (8) имеем, следовательно,
|Л| < (ДхJ/24.
(9)
Допустим, что мы хотим обеспечить точность линейной
интерполяции е = 10~4. Тогда, как легко подсчитать на основании
неравенства (9), шаг Ах должен быть около 0,05; при этом ji ~ 60. Значит,
преобразование Фурье <р (со) функции fix) должно быть
сосредоточено на 1/60 центрального интервала.
Из всего сказанного вытекает, что если выполнено условие
разделения, то простейшая формула дискретного преобразования
54

Фурье A.5.5) оказывается более точной, чем описанная выше
процедура линейной интерполяции с последующим точным вычислением
интеграла Фурье. Множитель Х(со) в формуле G) вносит лишь
дополнительные искажения.
Но, быть может, если условие разделения нарушено и функция
<р* (со) совсем не близка к <р (со), умножение на X (со) способно
каким-то образом уточнить результат и функция г|> в равенстве G)
окажется ближе к <р, чем <р*? Такие случаи, действительно,
возможны. Например, если функция fix) на самом деле есть кусочно
линейная непрерывная функция и все ее изломы совпадают с узлами
сетки. Тогда процедура линейной интерполяции будет точной, и мы
будем иметь точное равенство
X (со) <р* (со) = <р (со).
Но такой случай является, конечно, исключением. Уже самое
небольшое изменение сетки полностью разрушает все построение.
Так что и при нарушении условия разделения линейная
интерполяция неспособна исправить положение.
Рассмотрим теперь интерполяционную формулу третьей степени.
Интерполяционный полином на отрезке [.v*, x**il строится теперь по
точкам jc*_i, xk, хк*и хк^2- Конкретно можно взять, например,
формулу Эвсретта со вторыми центральными разностями. Применив ее
к единичной сеточной функции Ьк (см. B)), получим
фундаментальную функцию 1(х), которую можно привести к виду
' - (х2 - (АхJ) (\х\ - 2Ддг), 0 =? |jc| ^ Ад:,
1(х)
2(Л.г)
—л:.(Ы-Дл:)(|л-|-2Лл-)(|л-|-ЗЛл-), Ла-< |jc| ^ 2A.v,
6 (Ах)"
О, l.vl > 2A.v.
A0)
График этой функции изображен на рис. 11. Обратим внимание
на наличие угловых точек, т. е. разрывов производной.
Интерполирующая функция gix) будет по-прежнему выражаться
формулой E).
Преобразование Фурье X (со) фундаментальной функции 1(х)
можно получить прямым интегрированием, исходя из формулы A0).
Впрочем, в § 2 эта функция будет вычислена другим способом. Так
или иначе, имеем
(Ах) 2
Х(со)
1 + Ч^- о/
sin (Лла>/2)\
1 A1)
Лл-а>/2 I
(рис. 12). Формула G) остается, конечно, в силе.
По своему общему характеру функция A1) похожа на функцию
F). Основная разница состоит в том, что функция F) при малых
со отличается от единицы на величину второго порядка, а в серединах
побочных интервалов имеет нули также второго порядка; у функции
55

A1) эти величины имеют уже четвертый порядок. Поэтому и
требования к функции ip (ш) будут менее строгими. Для остаточного члена
вместо неравенства (8) будем иметь
1*1 < is <А*L т.
У взятой нами выше в качестве
примера функции / (л:) = sin х/х
максимум модуля четвертой
производной равен 1/5, а потому
2Лх х
1*1
*ш^А-
Рис. 11
Если мы снова потребуем, чтобы
е = 10~4, то получим Ах = 0,382,
(S = 8,22. Преобразование Фурье <р (w) должно быть сосредоточено
лишь на 1/8 центрального интервала.
В остальном о формуле третьей степени можно повторить все то,
что говорилось о линейной интерполяционной формуле. Если иск-
4/3
Рис. 12
лючить мало интересные особые случаи, кубическая интерполяция
приводит к менее точному результату, чем простейшая формула
дискретного преобразования Фурье A.5.5).
Это заключение будет выглядеть, быть может, менее
парадоксальным, если мы примем во внимание следующее обстоятельство.
Формула дискретного преобразования Фурье при всей ее
примитивности (она получается заменой интеграла Фурье его суммой
Римана) может быть получена также с помощью некоторой
интерполяционной процедуры. Именно если к последовательности Д
применить интерполяционную формулу A.5.8), а затем полученную
интерполирующую функцию g(x) подвергнуть (точному)
преобразованию Фурье, то в результате получится как раз правая часть
56

равенства A.5.5). Фундаментальной функцией здесь служит
/ (jc) = ,
а множитель X (су) есть «прямоугольная» функция, сосредоточенная
на отрезке [—/3, /3] и тождественно равная там единице.
Следовательно, дело в том, что формула A.5.8) оказывается
точнее «классических» интерполяционных формул параболического
типа. Более определенные результаты в этом направлении будут
приведены ниже.
§ 2. Фундаментальные функции
В настоящем параграфе мы исследуем некоторую серию
интерполяционных формул; рассмотренные в § 1 формулы являются первыми
членами этой серии. Они могут быть получены из формулы Эверетта
путем ее обрыва на членах с разностями заданного (четного) порядка,
а также из формулы Бесссля или первой формулы Гаусса обрывом
на разностях нечетного порядка. Опишем общий принцип построения
этих формул.
Фиксируем некоторое натуральное число п (определяющее
порядок интерполяционной формулы). Для произвольного
сеточного отрезка [хк, xk+i] выбираем In узлов: хк,ь xkt2i •••> хк^„; хк,
xk_i, ..., х*_(л_1). По этим узлам строится интерполяционный
многочлен; степень его не превосходит т = 2л — 1. Отрезок, концами
которого служат крайние узлы хк.„ц, хк+„, обозначим через Ек
(зависимость его от п неявно подразумевается); он содержит 2п — 1
элементарных сеточных отрезков, и исходный отрезок [хк, xfc+i J
занимает в нем центральное положение.
Прежде всего вычислим фундаментальную функцию /(*). Вообще
говоря, найти Кх) на любом конкретном сеточном отрезке [хк, xkii \
не составляет особого труда. В самом деле, если точка л0 = 0 не
попадает в (замкнутый) отрезок Ек, то, очевидно, будет / (jc) = 0.
Отсюда немедленно вытекает, что функция Кх) сосредоточена на
отрезке [*_„, jc,,]. Если же точка jc0 = 0 содержится в отрезке Ек, то
Кх) на отрезке [хк, хк^{] совпадает с полиномом р(х), имеющим нули
во всех узлах сетки, содержащихся в Ек, кроме точки х0 = 0.
Поскольку этих узлов всего In — 1, т. е. ровно столько же, какова
степень полинома р(л), то должно выполняться равенство
р(х) = С (х - хк-„+1) ... (х - xi) (х - jc,) ... (jc - хк+„).
Коэффициент С определяется из условия р @) = 1/A.v. Нетрудно
проверить, что, например, функция A.10) получается как раз таким
способом.
Но мы хотим получить выражение для фундаментальной
функции в более компактной форме. Для облегчения выкладок
перейдем временно от переменной .v к переменной у = .v/Дл',
принимающей в точках сетки целые значения, так что Ду = 1. Соответ-
Z1

ственно будем считать, что единичная функция 6* (см. A.2)) в точке
у = О равна единице. Положим
а (У) = Ы (У2 ~ I2) (У2 ~ 22)... (/-("- IJ). A)
Эта функция на любом сеточном отрезке, а также на любом отрезке
оси у, не содержащем точку у = 0 в качестве внутренней точки, будет
полиномом степени 2л — 1. Рассмотрим выражение
*<")- 1^71O Ъ**(У), B)
где о2" есть 2л-я центральная разность. В более развернутой форме
равенство B) можно записать в виде
^)«201)?Д(-1)'(Я + у)вО'-/). C)
Покажем, что q(y) и есть искомая фундаментальная функция.
Заметим, что как а(у), так и q(y) — функции четные.
Наряду с а(у) рассмотрим функцию
Ь(У) = У(У2- I2) (У - 22) ... (у2 - (л - IJ), D)
отличающуюся от а (у) лишь отсутствием знака модуля в первом
сомножителе. Пусть
c(y) = 2(-iyln2"}b(y-f). E)
Это есть с точностью до знака 2л-я центральная разность функции
Ь(у); а поскольку Ь(у) есть полином степени 2 л — 1, то она должна
быть тождественным нулем:
с (у) s 0. F)
Выберем на оси у произвольный отрезок к < у < к + 1 и
рассмотрим на нем функцию q(y). Если к > и, то в сумме C) все
сомножители у — j, входящие в а(у — у), будут неотрицательными,
и знак модуля можно опустить. Но тогда сумма в формуле C)
совпадает с суммой E), которая в силу F) тождественно равна нулю.
Следовательно, при у > п будет q (у) s 0. В силу четности функции
д(у) то же самое будет и при у < — п. Итак, функция д(у)
сосредоточена на отрезке — п < у < п. Будем далее считать, что А; < п; кроме
того, из-за четности q(y) можно принять к > 0.
В выбранном нами отрезке к < у ^ к + 1 функция а(у) есть
полином степени 2л - 1; следовательно, и q(y) будет полиномом
степени не выше 2л — 1. Найдем его нули. Для этого, естественно,
его придется рассматривать не только на отрезке от к до к + 1, но и
на всей оси у. Обозначим этот полином через рк(у); он совпадает с
q(y) лишь на [к, к + 1 ]. Разобьем сумму, входящую в C), на две:
* (У) = 2 ("!); fД" ,) а (у - у), s2 (у) = j) (-1У (Д ) а (у - у).
G)
58

Поскольку у > к, то в первой сумме все множители вида у — у,
стоящие под знаком модуля, будут неотрицательными и все
слагаемые совпадут с соответствующими слагаемыми суммы E). Но
у ^ к + 1, а потому в сумме s2(y) эти множители будут уже
неположительными и, чтобы отбросить знаки модуля, у всех слагаемых
придется переменить знак. Следовательно,
с {у) = s, (>') - s2 (у),
и в силу равенства F)
Sl (>') = S2 (У).
Поэтому из равенства C) получается
л <*> = * М = <?%Sl <"> = (?г7)[ * Су). (8)
Все это верно пока лишь на отрезке [к, к + 1 ]. Чтобы получить
выражение для рк(у) на всей оси у, нужно, очевидно, в суммах s\, s2
отбросить знаки модулей у множителей у — /', т. е., в сущности,
подставить туда вместо а(у) функцию Ыу). Разумеется, у суммы s2(y)
нужно переменить знак.
Первое слагаемое суммы sx содержит (см. G)) функцию а(у +
+ п), нули которой суть — In + 1, — In + 2, ..., —1. Последнее же
слагаемое содержит а(у — к) с нулями к — п + 1, ..., к + п — 1.
Общими у них будут нули к — (п — 1), ..., - 1. Очевидно, и все
остальные слагаемые суммы si в этих общих точках также
обращаются в нуль. В силу равенства (8) эти точки будут также нулями
полинома рк(у). С другой стороны, в первое слагаемое суммы s2 входит
а(у — к — 1) с нулями к — п +2, ..., к + п, а в последнее входит
а(у — п) с нулями 1, 2, ..., 2п — 1. Общими нулями для всех
слагаемых суммы s2 будут 1, 2, ..., к + п.
Итак, многочлен рк(у) имеет нули в точках у = к — (п — 1), ...
..., —1,1, ..., к + п. Общее их число будет, как нетрудно подсчитать,
2/1 — 1, а поскольку полином рк(у) имеет степень 2п — 1, то это будут
все его нули. Поскольку точки у = к — (.п — 1) и >' = к + п суть
концевые точки интервала Ек, то можно утверждать, что полином
рк(у) имеет нули в надлежащих точках.
В сумме S\(y) лишь первое слагаемое (/ = — п) при у = 0 не
обращается в нуль. Поэтому
М0) = (-1)- (о") * (") = (- 1)"в(").
Равенство A) можно переписать в виде
а (у) = (у-(п- 1)) (у - (п - 2)) ... (у - 1) | у\ (у + 1) ...
... (у + (п- 1)),
откуда
а(п) = 1-2- ... -B/1 - 1) = Bя - 1)!.
59

Значит, .<?! @) = (- 1)" Bл - 1)!. и и3 равенства (8) получаем
Л@)=1-
Это означает, что полином рк(у) удовлетворяет всем требованиям, а
функция q(y), определяемая равенствами B), C), есть
фундаментальная функция.
Чтобы вернуться к переменной х, нужно, во-первых, в равенствах
A) — C) заменить у на х/Ах и, во-вторых, учесть, что д0 = \/Ах,
так что
1 /
П*) = ъя
Таким образом, получаем
/(*) =
или в развернутой форме
(- 1/
2Bн - \)\\х
А 2"
о а
Ах Г
'«=!&; 2 <"Ч^
2и \ I
а
Ах
(9)
A0)
На рис. 13 изображена функция Их) для п = 4, т. е.
фундаментальная функция, отвечающая интерполяционной формуле седьмой
степени.
2Лх ЗАх 4Асс
Рис. 13
Переходим к вычислению преобразования Фурье функции Кх).
Прежде всего найдем фурьс-образ функции а (х/Ах), которую мы
запишем в виде
\ / 2
A.V
I
/ 2
Л-
(Л.г)'
- (п - IJ
I
(Л-v)
(п - If
I 2
X
(Аде/
Г
X .
A1)
Преобразование Фурье функции |.v| есть, как мы уже знаем,
— 2со . Умножение на — х2 в пространственной области означает в
частотной области взятие второй производной. Поэтому, обозначая
60

через а (со) фурье-образ функции а (х/Ах), мы после очевидных
упрощений получаем
«(»)-(- 1)"^
(Ах) dcu
+ (и - О2
^ ' 1 rf2
(Адг) rf(y
+ I2
A2)
Нам удобно будет наряду с переменной со употреблять также
переменную
. Ах
Заметим, что точке со = /3 отвечает ? = л/2. Тогда имеем
id2 id2
(Ах) du>
*d?
Соотношение A2) после небольших преобразований приводится к
виду
а(ш) = (-1)1-2пАхРпГ2,
где F„ — дифференциальный оператор:
A3)
d2
Fn =
Имеем, очевидно,
- + 4(п-1У
dt,
'4+ 4 („-2)'
dt,
\ IJ
-^ + 4-12
dt
\
F„+] —
d i 7
—г + 4л2
dt
A4)
A5)
Применим к произвольной функции f(x) оператор центральной
разности д:
( Ах\ ( Ах\
h(x)=df(x) = f\x +
-f[*-T
Если <р (со), г] (со) — фурье-образы функций fix), h(x), то
tf (со) - exp \ i y со I - exp \ - г у со I \<p (со) = 2i sin 1--<р (со).
Это значит, что оператор д имеет частотную характеристику
2i sin ?. У оператора д2" частотной характеристикой будет, очевидно,
B/sin?J" = (- 1)" г2" sin2"^. Обратившись к формулам (9), A3),
получим
._2nh
-FT2-
К (со) =
Sin2"i;
Bи- I)!
A6)
Символом А„ мы обозначили фурье-образ функции Кх) (для большей
ясности мы явно указываем параметр п).
Если раскроем скобки в правой части равенства A4), то
обнаружим, что оператор F„ содержит дифференцирования четных
порядков от 0 до 2(п — 1). Выражение F,?~2 будет комбинацией четных
61

отрицательных степеней ? от ? до ?~2". Если умножить это
выражение на I2", то получится четный полином степени 2(п — 1).
Поэтому вместо A6) можно написать
м^м*)^J". <17>
где
Из соотношения A5) вытекает, что
2п+2 ..2/1 + 2 ( j2 \
— + 4л2
« с- . t-2 ^ _!.
Я«+1 - 7ГГТ7ТГ F«+i ? ~
B« + I)! ""* Bн+ 1)
Но согласно A8)
d?
FnF
F„r2 = Bn- 1IГ2п Рп-
После необходимых выкладок приходим к следующему
рекуррентному соотношению:
'-¦I =?»+ i^&TV) [4р>- - т* + р'-) • A9)
где штрихом обозначено дифференцирование по ?.
Формула A.6) показывает, что pi з 1. Положив в A9) п = 1,
получим
* = !+!?.
что полностью согласуется с формулой A.11). Применяя соотношение
A9) и подставляя результаты в равенство A7), получаем
последовательно
Д,=
2
sin §'
т
2 h2] I sin S
1+I^] l*
Аз- М+Г + Tj*
4
sin A6 B0)
4 „2 , i4 t4 , 16 fc6^ /Si"?
Д4=|1+1? + _Г + _?
Эти функции изображены на рис. 14.
При виде этой последовательности естественно возникает вопрос о ее предельном
поведении. Будет ли последовательность ).„ (со) при п -» » сходящейся? И если да, то
какова будет предельная функция? Соответствующие теоремы автору неизвестны, хотя
близкие результаты в литературе имеются [9, гл. II, § 3, пп. 1,3]. Эти результаты
позволяют высказать следующую гипотезу.
62

Па отрезке |u>| < о^, где
In C + 2 vT)
а = — = 0,561100.
последовательное 11, ).„ (ш) при п -» оо сходится к единице. При всех других ш этот
предел (если он су тостует) отличен от единицы.
Рис. 14
Для дальнейшего существенно будет поведение функций Х„ (ш) в
окрестностях точек 2?р\ т. е. в серединах центрального и побочного
интервалов. Заметим прежде всего, что функция Х„ (о>) отвечает
интерполяционной формуле степени т = 2л — 1, которая для всех
многочленов степени не выше т является точной. В частности, для
всех q =¦ 0, 1, ..., т (см. A.5))
АхУхЩх- хк) = хч.
к
B1)
(Заметим, что функция 1(х) финитна, а потому для каждого х в левой
части имеется лишь конечное число отличных от нуля членов, так
что вопрос о сходимости этого ряда не возникает.) Теперь, как бы
поменяв местами пространственную и частотную области, введем на
оси ш сетку с шагом Aw = 2(i, так что тк = 2&р\ Поскольку л/Аш =
= A,v/2, то на оси л: центральным интервалом будет
- Дл:/2 s* jc *? Дл:/2,
а середины побочных интервалов совпадут с узлами хк. Сумма
Пуассона функции fix) будет выглядеть следующим образом:
Л*) = 2/<*-**). B2>
к
Положим в равенстве B1) q = 0. Получим
A.v ? / (х - хк) = 1,
63

или, согласно B2),
С(х) = 1/Дл:.
B3)
Из того, что f(x) есть тождественная константа, немедленно следует
(см. § 1.6), что при всех к * О будет Х„ AЩ) — 0. Далее, так как
(см. A.6.25))
ae Av/2
/ l(x)dx = J f(x) dx,
-оо -Av/2
то в силу B3)
fl(x)dx= 1,
B4)
откуда вытекает, что \„ @) = 1.
Пусть д — целое, \ < а < т. Производная <7-го порядка Х^' (со)
есть с точностью до множителя (— l)q преобразование Фурье функции
хч1(х). Подсчитаем ее сумму Пуассона:
[л«/ (х) Г = 2 (* " **)* I (* ~ хк) =
= 2
i(-iy(j)x^
/ (л; - хк) =
| (-.,'(«),"
2 х'к1 (х - хк)
• B5)
Но в силу равенства B1) сумма в квадратных скобках есть У/Дх.
После подстановки и очевидных сокращений получаем
= 0,
ибо, как известно, сумма биномиальных коэффициентов с
чередующимися знаками равна нулю. Значит,
1х(х) ]* а 0, д= 1, 2,..., т.
B6)
Но если сумма Пуассона некоторой функции f(x) тождественно равна
нулю, то ее преобразование Фурье <р (со) во всех точках со* = 2к$
обращается в нуль. Следовательно, для всех целых к
Х?'B*Р) = 0, 0= 1,2,
т.
B7)
Из всего этого вытекает, что во всех точках ык = 2к${к =
= ± 1. ± 2, ...) функция Х„(ш) имеет нули порядка не менее т + 1,
а в окрестности точки со = 0 справедливо разложение
Х„ (со) = 1 + ссо
m + l
+ ...
B8)
Из соотношения B5) следует также равенство нулю моментов
/ л4/ (х) dx = 0, <? = 1, 2, ..., т. B9)
64

Заметим, что все эти выводы получены нами из единственного
условия — равенства B1), т. е. из того факта, что наша
интерполяционная формула точна для всех полиномов степени не выше т.
Покажем еще, что все производные функции Х„ (со) ограничены.
Действительно, моменты B9) существуют для любого натурального
q, поскольку функция Их) финитна. Следовательно (см. § 1.2),
существуют и производные Х^' (со). Их ограниченность вытекает из
неравенства
\КЧ)Ы *f\x<l(x)\dx.
Ограниченными будут, конечно, и производные функций Х„ по
%. Здесь существенно заметить, что поскольку выражения функций
Х„ через % не зависят от Ад: (см. B0)), то и верхние границы модулей
производных (P\n/d^ также не зависят от Ах.
Предположим теперь, что некоторая интегрируемая функция
X (со) обладает следующими свойствами:
1) функция X (со) имеет интегрируемые производные до (т + 2)-го
порядка включительно;
2) сумма Пуассона X* (со) тождественно равна единице;
3) X @) = 1, X B/ф) = 0 (к = ± 1, ± 2, ...);
4) во всех точках со* = 2/ф (к - 0, ± 1, ± 2, ...) производные
функции X (со) до m-го порядка включительно равны нулю.
Обозначим через 1(х) обратное преобразование Фурье функции
X (со). Из 1) вытекает, что при | jc | -» оо
|/(*)|=о<|*Г-»).
Значит, для любой функции fix), растущей не быстрее, чем |jc|m,
определена функция
g(x) = Ax2fkl(x-xk). C0)
к
Покажем, что это есть интерполяционная формула порядка т, т. е.
g„ = /„ для всех целых л, и формула C0) точна, если fix)
есть многочлен степени не выше т.
Из 2) вытекает, что / @) = 1 /Ах и / (хк) = 0 при всех к * 0.
Положив в формуле C0) х = х„, получим g(xn) = /„. Таким образом,
формула C0) является, действительно, интерполяционной.
Свойство 3) означает, что, во-первых, сумма Пуассона t(x)
функции Нх) есть тождественная константа и, во-вторых,
/ l(x)dx= 1,
откуда
Аг/2
/ t(x)dx= 1,
-Дг.'2
так что С (х) s 1 /Ах. Следовательно,
Ах2Кх-хк)= 1.
3 Заказ N° 7Л0
65

Но это значит, что формула C0) точна для многочлена нулевой
степени. Пусть 1 < q < m, и пусть уже доказано, что эта формула
точна для любого многочлена степени не выше q — 1; докажем ее
для многочлена степени q. Достаточно убедиться в этом для f(x) =
= х4.
Нам нужно доказать равенство
Дх ? 4/(* - **) = •**• <31)
к
Из 4) вытекает, что сумма Пуассона функции ^Кх) тождественно
равна нулю:
[Л (дс) ]* = 0. C2)
Но, согласно B5),
W (х) Г = t (- 1У ("] *'* fe д4 (* - xk) .
1=0 \ > Ik
Во внешней сумме выделим последний член:
w (х) г = 2 (- iy ('•) ^ \2 41 (х - Хк)
+
+ (-lL2lxll(x-xk). C3)
Согласно индуктивному предположению для всех ; = 0, 1, ..., q — 1
будет
Дл: 2 *U (х - хк) = х'.
Поэтому первый член правой части равенства C3) принимает вид
X
Ах
;,?„<--
Нетрудно установить, что
;=0
Равенство C3) теперь можно переписать в виде
[*/(*)]* = ^[ Ах24Цх - хк) - *'] .
Равенство C1) непосредственно следует из тождества C2).
Интересно отметить, что, хотя наша интерполяционная формула
C0) оказывается точной для всех полиномов до m-й степени
включительно, сама фундаментальная функция 1(х) не обязана быть
кусочно полиномиальной. Это обстоятельство позволяет
конструировать необычные интерполяционные формулы. Приведем только
один пример.
66

Выберем некоторый положительный параметр е @ < е < (J) и
построим функцию
с ехр {е2/(со2 - е2)}, |со| < е,
ц(со) =
О, |со| > е.
Эта функция (рассматриваемая на всей оси со) имеет непрерывные
производные всех порядков. Коэффициент с выберем с таким
расчетом, чтобы выполнялось равенство
/ ц (со) Ло = 1.
Возьмем свертку этой функции с «прямоугольной» функцией,
сосредоточенной на центральном интервале |со| °s (J и равной там
единице. Результат обозначим через X (со).
Функция X (со) сосредоточена на отрезке |со|<р + е<2^и имеет
производные всех порядков. На отрезке | со | =ё (} - е функция X (со)
тождественно равна единице. По своему «общему виду» она
напоминает функцию, изображенную на рис. 5, если положить 6 = ji —
— е, у = Р + е- Основное отличие состоит в том, что функция X (со)
бесконечно дифференцируема.
Легко установить, что сумма Пуассона Х*(со) тождественно равна
единице и вообще X (со) удовлетворяет всем указанным выше четырем
свойствам для любого натурального т.
Соответствующая фундаментальная функция Их) будет целой
аналитической; на бесконечности она стремится к нулю быстрее
любой отрицательной степени l*!-. Построенная на ее основе
интерполяционная формула будет точной для многочленов любой
степени. К сожалению, 1(х) не выражается в элементарных
функциях.
§ 3. Оценки точности
В этом параграфе мы оценим погрешность, возникающую в
результате применения описанной выше интерполяционной
процедуры вычисления преобразования Фурье. Погрешность эта равна
разности между функциями Х«р* и <р.
Займемся сначала этой оценкой на центральном интервале. Пусть
т по-прежнему есть степень (порядок) интерполяционной формулы.
Из § 2 известно, что
Х@) = 1, Xw@) = 0, q= 1,2, ..., m.
Тогда по формуле Тейлора
1.1Я + 1
х = 1 + (Ь)[х(т+1)' A>
где X(m+1) есть (т + 1)-я производная от X по \, взятая в некоторой
точке центрального интервала (зависящей от \).
Пусть т|' = Xip* - преобразование Фурье интерполирующей
функции.
67

Тогда
г|> — <р = Xip* — <р = (Х— 1)(р + Х (<р* — <р). B)
Оценим каждое из этих слагаемых в отдельности.
Из равенства A), учитывая, что \ = (Дх/2)ш, получаем
X - 1 = -ip o/"+1 Х(и+1>. C)
2m + 1 (ш + 1)!
Относительно функции fix) будем предполагать, что она имеет
интегрируемые производные до (m + D-го порядка включительно.
Тогда (см. A.2.3))
ip = (- /у+1 фт+1 от'-1' D)
и вместе с равенством C)
(Х- 1)Ф = (- /Г' У X'-1' Фт+, E)
2 (w + 1)!
В § 2 было показано, что производная Х(т+,) ограничена. Положим
max |X(m+1)| =M.
Кроме того, как известно,
|Ф*,+1| <f\r+n\dx.
Поэтому из равенства E) следует, что
1(Х-1)^|<2^7^(А^+1/|/"'+1>|^
F)
(»! + 1)!
Формула A.6.15) в нашем случае дает
1ч»*-ч»1 <^=t/I/"+1,Ujc G)
4л
Пусть
max |X| = N.
Тогда очевидно, что
|х (ч>* - «р) I « -?п (^)m+1 / l/"+1,l dx- <8>
4л
Положим
л/
А =
2 (;н +1)! 4п
Подчеркнем, что константа Л зависит лишь от вида
интерполяционной формулы. Теперь на основании равенства B) из неравенств
F), (8) вытекает неравенство
|Ч'-Ч>| «Л(ДдгГ+1 J |/mt,,| dx. (9)

Заметим, что эта оценка основана, по существу, целиком на
соотношении A).
За пределами центрального интервала положение радикальным
образом меняется. На центральном интервале величины Х<р* и tp
близки друг к другу, потому что близки >р* и ip и X близка к единице.
При | со | > 8 не имеет места ни то, ни другое и разность Х<р* - ip
мала потому, что малы оба слагаемых в отдельности. Поэтому при
вычислении преобразования Фурье с помощью интерполяционной
процедуры проще всего при |со| > В положить искомую функцию
равной нулю. Если выполнено условие разделения, то это будет
единственно правильным решением. Погрешность при этом будет
определяться величиной |ip| при | со | > В. Ее можно оценить на
основании равенства D). Поскольку |со| > В, то
ИЛИ „,4-1
/ А Ч
Ы<^т-/|/'"+1I</*. (Ю)
Если же условие разделения не выполнено и мы по каким-либо
причинам вынуждены с этим мириться, то такой образ действий
повлечет за собой появление разрывов в точках ш = ± В. Это может
оказаться нежелательным, и тогда функцию ^ можно вычислить при
| со | > В просто для того, чтобы плавно свести вычисляемое
преобразование Фурье к нулю. В таком случае вычисления имеет смысл
продолжить лишь до первых нулей функции X (со), т. е. до точек
со = ± 2В. Для оценки общей погрешности придется учесть и
величину первого члена разности Xip* — <p. Сделать это нетрудно.
В самом деле, рассмотрим к-к побочный интервал с центром в
точке со* = 2/:В (к * 0). В этой точке \ = кп. Мы знаем, что в центрах
побочных интервалов функция X обращается в нуль вместе со своими
производными до т-го порядка. Поэтому
X = <*"*» х<-+». (И)
(т + 1)!
Обозначим через X (со) функцию <р (со), сдвинутую на величину со*:
?(со) = <р(ш - <"*)•
Имеем
х9* = хх + х ор* - г). A2)
Сравним это представление с формулой B). Учтем, что функция х
в окрестности точки со* ведет себя так же, как X в окрестности нуля.
Учтем также, что функция <р* периодична и выдерживает сдвиг на
величину со*. Повторяя все выкладки, приводящие к неравенству (9),
мы легко получаем
|Х<р*| <Л(ДлГ+1/|/от+1>|с/л% A3)
где константа Л та же, что и в неравенстве (9).
69

Сопоставляя неравенства A0), A3) и полагая
В = А + 1/%т+\
получаем, что за пределами центрального отрезка
|4>-f| *B(Ax)m+lf |/m+1)| dx. A4)
Несколько уточнив рассуждения (например, учтя порядок
стремления функции X (ш) к нулю на бесконечности), можно было бы
получить оценки разности tf-ipe метриках пространств Lb L2, а
затем, перейдя в пространственную область, оценить разность gix) —
— fix). Мы, однако, не будем этим заниматься, так как ничего нового
по сравнению с тем, что известно из литературы по теории
интерполяции, не получим.
В заключение обратим внимание на следующее существенное
обстоятельство. Остаточный член формулы линейной интерполяции
(см. A.8)) имеет относительно Ах второй порядок малости. Порядок
этот не зависит от степени гладкости функции fix): сколько бы
непрерывных производных ни имела эта функция, погрешность при
линейной интерполяции будет порядка (АхJ. Так же обстоит дело и
с другими формулами параболической интерполяции — формула
т-тл степени имеет порядок точности (Ах)т+\
Совсем другая ситуация имеет место с формулой A.5.8). Оценка
ее остаточного члена дается формулами A.6.22), A.6.23). Здесь
параметр т означает как раз порядок гладкости функции
fix). Чем больше интегрируемых производных имеет функция fix),
тем выше порядок точности интерполяционной формулы. В этом
смысле формула A.5.8) точнее любой «классической»
интерполяционной формулы. Если придерживаться терминологии К. И. Бабенко
12 J, то можно сказать, что алгоритмы интерполяции и
преобразования Фурье, основанные на классических формулах
параболической интерполяции, оказываются насыщенными, тогда как
аналогичные алгоритмы, построенные на основе формулы A.5.8), уже
не насыщены.
§4. Кубический сплайн
Рассмотренные в § 1—3 формулы обладают одним общим
недостатком — построенные на их основе интерполирующие функции
gix) имеют угловые точки, т. е. разрывы первой производной, во всех
узлах сетки. Стремление обеспечить большую гладкость функции
gix) привело к созданию сплайнов — таких интерполирующих
функций, у которых непрерывны несколько первых производных.
Рассмотрим одну из простейших таких формул (и в то же время
наиболее популярную), а именно так называемый кубический сплайн
дефекта 1.
70

Будем исходить из интерполяционной формулы Эверетта со
вторыми разностями. На отрезке [хк, хк+^] она может быть записана
в виде
* М = vA + ufM + ^^ */* + ii^il */,¦,. A)
Здесь
л - хк xk+i - х
и=—~—, v = — , u + v=l.
Ах Ах
Эта формула совпадает с интерполяционной формулой третьей
степени, рассмотренной в § 1; фундаментальная функция Кх) для нее
определяется равенством A.10) (см. рис. 11).
Заменим в формуле A) вторые разности б2/* неопределенными
пока коэффициентами тк:
/ \ f ± е . v(y2 _ О . " ( - О ,Оч
g (x) = vfk + ufk+l + тк + mk+i. B)
Эта формула, как легко убедиться, продолжает удовлетворять
условию g(xk) = fk, т. е. остается интерполяционной при любых тк.
Постараемся подобрать эти коэффициенты так, чтобы обеспечить
наибольшую гладкость интерполирующей функции g(x).
Дифференцируя равенство B), получаем последовательно
» / ч _ /*+i ~ /* _ "'* (Зу2 ~ х)~ mk+i (Зц2 - 1)
8 {Х) Ах бДд:
g"(:t) = "'*V + mr1". C)
(Ах)
8 (Л) = /л ^ •
(Ах)
Из второго равенства легко усматривается, что при любых тк вторая
производная g" {x) остается непрерывной. Попутно выясняется и
смысл коэффициентов тк:
тк = (АхJ g" (xk). D)
Остается добиться непрерывности первой производной.
Вычислим в точке хк первые производные функции g(x) справа и
слева. Полагая в первом равенстве C) х = хк, т. е. и = 0, v = 1,
получаем
Чтобы получить в той же точке производную слева, нужно в формуле
C) заменить к на к - 1 и снова положить jc = xk; теперь уже будет
,,*-о>-^ + =^. <»
71

Приравнивая правые части равенств E) и F), приходим к
соотношению
тк-] + 4тк + тк+1 = 6 (A_i - 2/к + /*+,)• G)
Этому уравнению и должны удовлетворять коэффициенты тк —
тогда функция g(x) будет иметь непрерывные первую и вторую
производные. Что же касается третьей производной, то она, согласно
третьему равенству в C), кусочно постоянна, и добиться се
непрерывности невозможно.
Если функция f(x) задана на конечном отрезке оси х и число
узлов хк конечно, разностное уравнение G) решается (например)
методом прогонки; при этом встает вопрос о граничных условиях. В
связи с этим особую важность приобретает равенство D). Но мы
рассматриваем случай, когда областью определения функции /(л)
служит вся бесконечная ось х и fix) стремится к нулю при |.v| -» °°.
Поэтому на коэффициенты тк мы наложим условие
ограниченности.
Найдем для нашего сплайна фундаментальную функцию Их).
Полагаем
1/Ах, к = 0,
(8)
0, к * 0.
Теперь из уравнения G) определим величины тк. Правая часть
этого уравнения есть четная сеточная функция; ввиду общей
симметрии этого уравнения оно должно допускать четное решение. Его
мы и будем искать, положив т _к = тк.
Полагая в уравнении G) к = 0, к = 1, легко получаем
(учитывая, что т 1 = т{)
2т0 + т, = - 6/Дл, т0 + 4mt + т2 = 6/Ддг. (9)
При к = 2, 3, ...
mk-i + 4тк + mk+i = 0. A0)
Это соотношение есть линейное однородное разностное уравнение
с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид
тк = dz? + c24 A1)
где сх, с2 — произвольные константы, а гь z2 — корни квадратного
уравнения
z2 + 4z + 1 = 0, A2)
т. с.
zh2 = - 2 ± vT.
Мы ищем решение, ограниченное для всех положительных к;
поэтому в формулу A1) могут входить лишь такие zb z2, которые по
модулю не превосходят единицы. Один из корней по модулю больше
единицы; поэтому мы должны положить
mk = czk, A3)
где z = - 2 + v^ = - 0,267 949.
Л =
72

Обратимся к равенствам (9). Туда входят величины /яь т2,
удовлетворяющие уравнению A0); для них, следовательно,
действительна формула A3). Подставляя в (9) т± = cz, m2 = cz2 и
учитывая, что, согласно A2), z2 = — 4z — 1, легко получаем
, z + 2 . z + 1 , .
с=-6 ——, т0 = - о ——. A4)
Ajf Ллг
Тем самым коэффициенты тк определены для всех
неотрицательных к. Для к < 0, как уже сказано, тк = т_к (нетрудно проверить,
что уравнение G) остается в силе). Подставив эти тк, а также /к из
(8) в формулу B), получим фундаментальную функцию Нх) на
каждом сеточном отрезке. Функция эта будет, конечно, четной.
Положим для удобства с' = Ах-с, т'й = Ах-т0; эти величины не
зависят от Ах. Подставляя в формулу B) надлежащие
коэффициенты, получаем на отрезке 10, XiJ
/ (х) = -^ [6v + mi v (v3 - 1) + c'zu (и2 - 1) ],
а на отрезках [хк, хк+1], где к > 1,
График этой функции изображен на рис. 15. Фундаментальная
функция получилась на сей раз инфинитной; правда, при \х\ -» °°
она убывает по закону геометрической прогрессии, т. е.
экспоненциально, так что ее колебания быстро затухают. Заметим, что
для 1(х) существуют все моменты.
Переходим к вычислению функции X (со). Ее можно найти путем
прямого интегрирования выражения е~"м1{х) на каждом сеточном
отрезке — эти интегралы выражаются в элементарных функциях.
Однако такой способ требует довольно громоздких выкладок, а
потому мы выберем другой путь.
Представим сплайн B) в виде суммы
8(х) = gi (х) + g2(x),
где
gi (х) = vfk + иЛ+ь
. 2 ,, , 2 .. A5)
/ ч v(v - 1) и (и - 1)
82 W = 1 тк + 1 mk+i.
Соответственно преобразование Фурье лр (со) функции g(x)
распадется на сумму фурье-образов слагаемых gu g2:
г|> (си) = 4>i (to) + Ч>2 (oj). П6)
Поскольку gi(x) есть не что иное, как кусочно линейная
интерполирующая функция, то
Ч>, (со) = Х1 (со) <р* (со), A7)
73

где
Xi (со) = (sin \/\J. A8)
После всего изложенного очевидно, что и слагаемое гр2 (<°) должно
представляться в аналогичной форме:
% (») = Л (со) ц (to), A9)
причем
ц (со) = Ах ^ тке~"кт.
к
Множитель же т) (со) получается следующим образом. Положим
1/Дх, * = 0,
О, Л * 0.
Подставим эти коэффициенты вместо тк в выражение для функции
g2(x); полученную в результате функцию обозначим через h(x). Ее
преобразование Фурье и есть ц (со).
т° =
Рис. 15
Нетрудно убедиться, что функция h(x) сосредоточена на отрезке
- Л* «J л: «S Ах и равна там
h (х) = Ц |х| (|х| - Ах) (|*| - 2Дх).
6 (Ах)
Преобразование Фурье можно вычислить прямым интегрированием.
Получится
г|(со)=—7 [3?2 - Bfc2 + 3) sin2 U
12V
B0)
Чтобы найти ц (со), перепишем уравнение G) в следующей
символической форме:
(б2 + 6) тк = 662Д,
где б2 - оператор второй центральной разности. Его частотная
характеристика, как мы знаем, есть - 4 sin21. Значит,
(- 4 sin21 + 6) ц (со) = - 24 sin2 %-у* (со).
Отсюда
ц (со) = о (со) <р*(со), B1)
74

где множитель о (со) приводится к следующему виду:
а(ш) = -
12 sin ?
1 + 2cos2?*
B2)
Вычисленные нами ранее коэффициенты тк фундаментальной
функции (см. A3), A4)) являются с точностью до множителя Л'д
коэффициентами Фурье периодической функции о (со); между
прочим, их можно было бы вычислить именно таким путем.
Из равенства A6), A7), A9), B1) вытекает .
V (ш) ~ ^i (ш) ?>*(w) + rj (со)а (со) <р*(со),
и, следовательно,
X (со) = Я, (со) + rj (со) о (со).
Подставляя сюда выражения A8), B0), B2), получаем после необ-
4
i I sin F '
к (со) = ——
1 + 2 cos ?
ходимых выкладок
sin ?
B3)
Эта функция, как и положено, при со = 0 равна единице, а в
точках сок = 71ф обращается в нуль. Во всех этих точках (в том числе
и при со0 = 0) первые, вторые и третьи производные функции X (со)
равны нулю. Для нее сохраняют силу оценки точности C.9), C.14)
(т = 3), и в этом отношении формула B) сопоставима с кубической
интерполяционной формулой, рассмотренной в § 1 (см. также вторую
формулу из B.20)). Но есть и существенная разница. В окрестности
точки со = 0 функция B3) имеет разложение
Л = ,-±г + ....
75

тогда как для Х2 (ш) из B.20)
Х.-1-$? + -.
Мы видим, что, хотя порядок здесь одинаков, первый коэффициент
разложения у функции B3) в 11 раз меньше соответствующего
коэффициента для Х2. Кроме того, функция B3) на бесконечности
стремится к нулю как | ш | ~\ а Х2 — всего лишь как | ш | ~2 (это
объясняется, конечно, большей гладкостью сплайна).
На рис. 16 функция X (со) (см. B3)) изображена вместе с
функциями Х2 (со), Х4 (со) из B.20). В пределах точности чертежа X (со)
не уступает даже функции Х4 (со). Не следует, однако, забывать, что
Х4 (со) относится к интерполяционной формуле седьмой степени со
всеми вытекающими отсюда последствиями.
Заметим еще, что на всей бесконечной оси*
сплайн B) дает точный результат, если fix) есть полином не выше
третьей степени. Этот факт не тривиален, так как на конечном
отрезке он, вообще говоря, не имеет места. Точнее, он имеет место
лишь при надлежащем выборе граничных условий для тк,
согласованных с соотношением D).
§ 5. Вычисление интегралов
с бесконечными пределами
Описанный в предыдущих параграфах способ применения
интерполяционных формул для вычисления интеграла Фурье не является,
конечно, единственно возможным. Можно, например, поступить
следующим образом. Для каждого узла х^ с четным номером рассмотрим
отрезок [х2к-и Xu+i ] и построим на нем по трем точкам x2k-i, х^, x2k+i
для функции fix) интерполяционный полином второй степени рк(х).
Проинтегрируем выражение е~'шрк(х) в пределах от x^-i до лг^-ч и
сложим затем все эти интегралы. Эта процедура напоминает вывод
известной квадратурной формулы Симпсона. Таким же образом
можно получить аналоги других квадратурных формул типа
Ньютона — Котеса.
Мы не будем анализировать детально эти формулы, а
ограничимся вопросом о вычислении интегралов от функции fix) по всей
бесконечной прямой, т. е., в сущности, о нахождении значения
функции <р (со) в точке со = 0, ибо
<р @) = / / (х) dx. A)
Начнем с простейшего примера. Пусть р, ц — целые, причем
р < Q. Квадратурную формулу трапеций можно записать в виде
хч
Л* (| /, + fr+i + - + /,_, + \ /д) = / / (х) dx + R, B)
76

где R — остаточный член:
* = ^fV. C)
Здесь L — длина интервала интегрирования (L = xq — хр), а вторая
производная /" берется в некоторой точке этого интервала. Формула
B) получается из линейной интерполяционной формулы, и
выражение для остаточного члена C) непосредственно вытекает из
выражения остаточного члена для линейной интерполяции.
Подчеркнем два существенных обстоятельства. Во-первых,
поскольку формула B) тесно связана с линейной интерполяционной
формулой, приемлемый по точности результат можно получить лишь
в том случае, когда достаточно точна процедура линейной
интерполяции, т. е. кусочно линейная интерполирующая функция
(«ломаная») достаточно близка к исходной функции fix).
Во-вторых, остаточный член C) имеет второй порядок по Ах. От
функции fix) требуется лишь, чтобы она имела непрерывную вторую
производную; наличие производных более высокого порядка на
порядок точности влияния не оказывает.
Попробуем применить формулу трапеций к интегралу по всей
бесконечной оси х. Пусть р-*-оо,<7-» + оовA2); тогда
&x2f* = ff(x)dx + R. D)
Однако для остаточного члена мы не можем воспользоваться
формулой C), ибо величина L обращается в бесконечность.
Применим здесь формулу Пуассона A.6.9). Ввиду того что <р @)
равно как раз искомому интегралу (см. A)), получится
Л = 2 «Р B/Ф)- E)
Рассмотрим конкретный пример. Пусть fix) — функция Гаусса:
/ (х) = -L е~л\ F)
Ее преобразование Фурье есть, как известно (см. § 1.2),
<р (а>) = е~:\ G)
Интеграл от функции F) равен единице. Выберем A.v = 1 и
подсчитаем сумму в левой части равенства D). С точностью до девяти знаков
после запятой получим
? Л = 1,000 000 005. (8)
к
Между тем шаг Ах = 1 для линейной интерполяции совершенно
непригоден, в чем легко убедиться, рассмотрев график функции
Гаусса. Следует признать, что точность результата (8) получилась
неожиданно высокой. В то же время она вполне согласуется с
выражением E). Это нетрудно подтвердить, вычислив функцию G)
77

в точках о = ± 2р = ± 2п (остальные члены ряда E) пренебрежимо
малы).
Интересно, что, как показывает выражение E), формула D)
будет точной, если ip (ш) сосредоточена на интервале |со| < 2(i (а не
только на центральном интервале). Так, если мы будем по формуле
D) вычислять интеграл от функции sin2 х/х2, то будем получать
точный результат всякий раз, как только Лл не превосходит л.
Выразим остаточный член R в более привычной форме.
Предположим, что функция f(x) имеет интегрируемые производные до т-то
порядка включительно, причем m > 2. Тогда
<р (о>) = (-0м Фт (ш) «Гм. (9)
Отсюда (см. E))
л = 2 ? B/ф) = (-0я 2 ф». B«Р) B«P)~m =
л*0 п*0
Далее,
Но
(Л \
-(-0"^ЕФ-BяР)«-
Bл) „,о
1*1 ^^Чг f |/т)|</*-22>-"\ A0)
Bл) ^ „=1
л=1 п=1
Подставив это выражение в A0), получим
1*1 ^~^П f\fmy\dx. (ID
\2{2zC)ml J
В отличие от формулы трапеций на конечном отрезке порядок
точности формулы D) определяется степенью гладкости функции
fix). В частности, в нашем примере с функцией Гаусса F), имеющей
интегрируемые производные всех порядков, порядок точности будет
бесконечным: остаточный член стремится к нулю быстрее любой
степени Ах.
Исследуем теперь таким же способом формулу Симпсона:
л* Xq
-j if, + 4/r+i + 2fp+2 + 4/я+3 +...+ 4/,_! + /,) = // (jc) dx + R
xp
A2)
(разность q—p должна быть четной). Для остаточного члена имеем
известное выражение
* = ^V. A3)
Формула Симпсона на два порядка точнее формулы трапеций.
78

На бесконечном интервале формула Симпсона A2) принимает
вид
| Ах (... + /_з + If-г + /_i + 2/о + Л + 2/2 + /з + ...) =
= Jf(x)dx + R. A4)
Левую часть можно записать в виде
| ах 2 /* +1Д* 2 /»• A5)
fr к
Первый член непосредственно выражается через сумму Пуассона.
Второй член содержит сумму значений функции f(x) с шагом 2Дх.
Его также можно выразить в виде суммы Пуассона, но вместо fi надо
взять pV2. Получим
» i
Возьмем из второй суммы все члены с четными индексами /' и
прибавим их к первой сумме. Получим окончательно
R = 2fBn$)+l-2<p[Bj+ l)p]. A6)
Сравнивая A6) с E), обнаруживаем, что к остаточному члену
формулы трапеций добавлено еще одно слагаемое. Оно отнюдь не
уменьшает общей величины R. В самом деле, например, для функции
Гаусса F) функция G) положительна, так что второе слагаемое в
формуле A6) заведомо увеличивает значение R. Кроме того, если в
выражении E) главными членами были значения функции <р в точках
со = ± 2р\ то для F) такими главными членами будут значения
<р (со) в точках со = ± р. Все это означает, что формула Симпсона
A4) менее точна, чем формула трапеций D). Это можно
подтвердить на том же примере с функцией Гаусса F). Если мы вычислим
сумму в левой части формулы A4) (с тем же шагом Ах = 1), то в
результате получим 1,004 794 592.
В то же время, вычисляя для той же функции Гаусса интеграл на
конечном отрезке, например, от — 1 до +1, мы получаем с помощью
формулы Симпсона более точный результат, чем с помощью формулы
трапеций.
Таким же способом можно исследовать и другие формулы типа
Ньютона — Котеса. Результаты будут еще хуже, и главным
образом из-за того, что остаточный член будет содержать значения
функции ip (со) в точках, еше более близких к нулю. Получается, что
на бесконечном интервале (точнее, на всей оси х) формула
трапеций D) является не только наиболее простой, но и наиболее
точной.
Это (несколько парадоксальное) заключение проливает
дополнительный свет на известный факт, что для вычисления интеграла
Фурье простейшая формула A.5.5) оказывается наиболее точной.
79

Действительно, ее правая часть построена так же, как левая часть
формулы D), если подынтегральной функцией считать е~кш/(х).
Отметим в заключение, что повышение точности формулы
трапеций имеет место (и это хорошо известно) также при
интегрировании периодических функций на интервале, совпадающем с
периодом. Это непосредственно следует из классической формулы
Эйлера — Маклорена.
§ 6. Заключение
Первый вывод, вытекающий из материала этой главы, состоит в
том, что для вычисления интеграла Фурье простейшая формула
A.5.5) оказывается наиболее точной. В сущности, эта формула
находится вне конкуренции.
Что же можно сказать об интерполяционных формулах, если они
применяются не как средство для построения квадратурных формул,
а по своему прямому назначению?
Прежде всего, особая роль принадлежит формуле A.5.8) (или, что
то же самое, A.5.11)). Она тесно связана с формулой A.5.5) и является
в некотором смысле идеальной. Для ее применимости достаточно
выполнения условия разделения. В то же время эта
интерполяционная формула особой популярностью не пользуется. Тому есть
несколько существенных причин. Фундаментальная функция A.5.12)
убывает сравнительно медленно, что ведет к излишней громоздкости
•вычислений. Если х близко к какому-либо из узлов сетки хк, в
интерполяционной формуле появляется малый знаменатель, и для
устранения этой неприятности приходится принимать специальные
меры (например, степенное разложение функции sin $х/(х — **)).
Наконец, эта формула совершенно непригодна в случае, когда
область определения функции fix) конечна. Правда, некоторые
способы обхода этой трудности указаны в конце § 1.8, но их
реализация также требует определенных усилий.
Поэтому «классические» интерполяционные формулы отнюдь не
теряют своего значения, несмотря на довольно неблагоприятные
результаты предыдущего анализа. Вместе с тем этот анализ дает нам
в руки достаточно эффективный способ оценки той или иной
интерполяционной формулы в данной конкретной ситуации.
Типичную проблему можно описать следующим образом. Дана
таблица функции fix) с шагом Ах. По этой таблице предполагается
вычислять значения f(x) для произвольных х. Какую
интерполяционную формулу следует выбрать, чтобы обеспечить приемлемую
точность?
Из предыдущих рассуждений достаточно ясно, что следует
начинать с вычисления дискретного преобразования Фурье, т. е. функции
ip*(w). Первый вопрос, который необходимо после этого решить,—
это вопрос о том, выполнено ли условие разделения. Если ответ будет
отрицательным, ни о какой интерполяции речи идти не может —
80

информация о функции f(x), содержащаяся в таблице Л, явно
недостаточна.
Если же условие разделения выполнено, необходимо установить
минимальный интервал, на котором (практически) сосредоточена
функция ip (со). Интерполяционная формула выбирается с таким
расчетом, чтобы множитель Х(со) на этом интервале был достаточно
близок к единице. Существенную помощь здесь могут оказать
графики, подобные тем, которые изображены на рис. 14.
Рассмотрим в качестве примера функцию, показанную на рис. 8.
График функции |ip*| для нее изображен на рис. 9. Сразу ясно, что
никакая интерполяционная формула (кроме, разумеется, формулы
A.5.8)) здесь неприменима. Для успешной интерполяции шаг
таблицы должен быть уменьшен по крайней мере в 3—4 раза.
На практике пользуются более простыми критериями. Самый
распространенный из них состоит в том, что результат интерполяции
по выбранной формуле сравнивается с результатом, полученным по
формуле более высокого порядка. Если разница пренебрежимо мала,
то считается, что выбранная формула проверку выдержала. На этом
критерии, в сущности, основаны хорошо известные правила вроде
следующего: «линейная интерполяция допустима, если вторые
разности не превосходят четырех единиц последнего знака». Если для
линейной интерполяции такое правило можно считать в какой-то
, мере оправданным (множители X (со) мало отличаются друг от друга
лишь в малой окрестности точки со = 0), то для интерполяционных
формул высокого порядка дело обстоит совсем иначе. Из рис. 14
видно, что для больших п функции Х„ вблизи краев центрального
отрезка мало отличаются друг от друга и в то же время существенно
отличны от единицы. Результаты интерполяции по различным
формулам могут практически совпадать и в то же время быть далеки от
точного значения.
В этой связи заслуживают упоминания нередко встречающиеся
рекомендации, касающиеся оценки остаточных членов квадратурных
и других подобных им формул. Предлагается подставлять в эти
остаточные члены вместо входящих в них высших производных
соответствующие разностные отношения. Но после такой
подстановки исходная квадратурная формула превращается в другую
формулу, более высокого порядка. Ввиду изложенного выше к такой
Оценке точности следует относиться с осторожностью.
Но предположим, что условие разделения нарушено и у нас нет
возможности уменьшить шаг сетки (например, значения /к получены
экспериментально, путем физических измерений). Теперь
математические операции над последовательностью fk не могут привести
к точным количественным результатам и речь может идти лишь о
качественной передаче «общего вида» решения данной конкретной
задачи, т. е., в сущности, о моделировании точной
математической процедуры. Справедливости ради нужно сказать, что
такие «модельные» задачи не составляют большой редкости.
Прежде всего ясно, что функция ip* (со) на центральном интервале
сильно отличается от <р (to) — она безнадежно испорчена эффектом
4 Заказ № 760
81

наложения частот. Никакие множители X (со) не могут здесь
исправить положения. Если все же встает вопрос об интерполяции, то
следует признать, что «идеальная» формула A.5.8) здесь будет
наименее подходящей, несмотря на ее «безграничную» формальную
точность. Эта формула «отрезает» функцию ip* (со) на концах
центрального интервала, следствием чего будет более или менее ярко
выраженное явление Гиббса (см. § 1.4).
Графики функций X (со), изображенные на рис. 14, 16,
показывают, что эти функции обладают свойством «плавно» сводить функцию
<р* (со) к нулю. В данном случае они играют роль «суммирующих»
или «сглаживающих» множителей (см. § 1.4). Правда, формулы,
рассмотренные в § 1, 2, выполняют «сглаживание» не очень
эффективно, ибо интерполирующая функция g(x) имеет разрывы
производной, но от этого недостатка свободен кубический сплайн.
Интерполяция с помощью этого сплайна будет в данных условиях,
по-видимому, решением, близким к оптимальному.
Следует указать, что это «сглаживание» может проявить себя
весьма своеобразно. Предположим, что условие разделения нарушено
настолько, что функция <р (со) не помещается не только на
центральном интервале, но и на вдвое большем, т. е. в точках со = ± 2fJ
функция <р (со) еще существенно отлична от нуля. Тем не менее
возьмем любую интерполяционную формулу и с ее помощью
вычислим значения функции f(x) в середине каждого сеточного отрезка,
т. е. с помощью интерполяции уменьшим шаг сетки ровно вдвое. По
этой новой сетке найдем дискретное преобразование Фурье; пусть это
будет функция <pi(co).
Множители X (со) имеют нули во всех точках со* = 2к$ (к & 0).
Такие же нули имеет, конечно, и функция гр = Xip*. При уменьшении
шага сетки вдвое длины интервалов на оси со вдвое возрастут. Легко
видеть, что концы всех этих интервалов — центрального и
побочных — попадут как раз в точки, где функция ip (со) имеет нули.
Функция <р! (со) есть сумма Пуассона функции гр (со), вычисленная
для этих увеличенных вдвое интервалов. Нетрудно понять, что
ip] (со) на концах (нового) центрального интервала будет обращаться
в нуль.
Следовательно, после описанного измельчения сетки у нас может
создаться полная иллюзия того, что теперь условие разделения
выполнено, хотя такое заключение может быть далеким от
действительности. Именно поэтому мы в § 1.8 сочли уместным
предостеречь от уменьшения шага сетки путем интерполяции. Здесь мы
как раз имеем пример того, что обращение функции ip* (со) в нуль на
концах центрального интервала не означает выполнения условия
разделения.
С другой стороны, если мы вынуждены работать при нарушенном
условии разделения, описанный выше прием удвоения сетки может
оказаться полезным. Проведя его с помощью подходящей
интерполяционной формулы (например, кубического сплайна), в дальнейшем
можем поступать так, как будто условие разделения выполняется.
82

Гл а в a III
СГЛАЖИВАНИЕ
Настоящая глава посвящена одной из основных задач
математической обработки результатов измерений — задаче об «очистке»
данных от случайных погрешностей. Более конкретно,
предполагается, что последовательность }к значений функции fix) получена,
например, в результате физических (или технических) измерений и,
следовательно, содержит погрешности. Таким образом, величины fk
можно представить в виде
А = fk + Е*>
где /I — точные значения функции fix) в точках сетки хк, а гк —
погрешности, имеющие случайный характер. Требуется подвергнуть
величины Л такой математической процедуре, в результате которой
они заменятся величинами gk, более близкими к f°k, чем fk.
Все методы решения этой задачи основаны на некоторых
гипотезах о характере функции fix) и случайных погрешностей е*.
Считается, что fix) — гладкая функция и величины fk должны вести себя
достаточно «плавно». В то же время погрешности е* по
предположению меняются от точки к точке самым неправильным образом.
Результирующие величины gk должны по сравнению с Д получиться
более гладкими. Поэтому и вся процедура носит название
сглаживания.
Если отрезок задания функции fix) сравнительно невелик и она
на нем может быть достаточно точно аппроксимирована, например,
многочленом невысокой степени, то наиболее обычным способом
решения задачи сглаживания является приближение по методу
наименьших квадратов. Но мы рассматриваем случай, когда функция
fix) задана на всей бесконечной оси и аппроксимация ее в целом
посредством аналитического выражения с небольшим чистом
параметров не представляется возможной. В таких случаях применяют
другие методы сглаживания; некоторые из них будут здесь
рассмотрены.
В дальнейшем все построения в частотной области будут
проводиться внутри центрального интервала. Условие разделения будет
предполагаться выполненным. Поэтому вместо <р*(ш) будем писать
vp(w).
83

§ 1. Формулы сглаживания
Простейшая из формул сглаживания выводится следующим
образом. Предположим, что функция fix) настолько гладкая, а шаг Ад:
настолько мал, что на всяком двойном сеточном отрезке [х*_ь jc*+i]
эту функцию с достаточной точностью можно аппроксимировать
линейной функцией р(х) (зависящей, конечно, от к). Найдем такую
линейную функцию по методу наименьших квадратов, опираясь на
значения функции fix) в точках хк.и хк, xk,i. Величину pixk) = gk
будем считать сглаженным значением функции fix) в точке хк.
Функцию pix) запишем в виде
р (х) = а + Ь (х — хк).
Тогда
р (хк-л) = а - Axb, р (хк) = а, р (хк+1) = а + Axb.
Составим сумму квадратов уклонений:
J = (a-Axb- Л_02 + (а - fkf + (а + Axb - fk+lJ.
Чтобы найти минимум этого выражения, надо продифференцировать
его по а и по Ъ и приравнять производные нулю. Имеем после
очевидных сокращений
^ = 2 ГЗа - (Д_! + Д + Л+1I •
Поскольку коэффициент а совпадает с р(хк), т. е. с искомой
величиной gk, то, приравнивая найденную производную нулю,
получаем
Это и есть простейшая (и широко известная) формула
сглаживания. Проведем для нее фурье-анализ.
Полагаем
<р (со) = Ах ?Д <.-*"",
*
Ч> (со) = Ах ? gk е'1*""".
к
Формулу A) можно переписать в виде
gk = fk + у (Л-i - Vk + /*+i) = A + j Ъ2) fk- B)
Частотная характеристика оператора б2 есть, как мы помним,
—4 sin2 X (через % по-прежнему обозначено (Ах/2) со). Из равенства
B) теперь вытекает
4' (со) = и (ш) <р (со), C)
где 4
ц (ш) = 1 - - sin2^ D)
84

График этой функции изображен на рис. 17. В каких же случаях
можно утверждать, что операция сглаживания посредством формулы
A) будет успешной?
Величины fk представляются в виде
/* = /* + е*. E)
где fk — точные значения функции fix), ae„ — случайные
погрешности. Соответственно и функция ф(со) будет суммой двух слагаемых:
«р (со) = <р° Ы + о. (со), F)
где
<р°(со) = Д*2/2<Г"*,'\ а(со) = Ах2^"и*ш. G)
к к
Нам нужно, чтобы процедура сглаживания, не исказив заметно
величин fk, существенно уменьшила погрешности гк. Первое
требование будет выполнено, если функция <р° (со) будет сосредоточена в
Рис. 17 Рис. 18
области, где множитель ц (со) близок к единице, т. е. в сравнительно
малой части центрального интервала. Собственно говоря, это условие
прямо вытекает из предположения, что fix) на каждом удвоенном
сеточном отрезке аппроксимируется линейной функцией. Чтобы в
этом убедиться, достаточно вспомнить анализ линейной
интерполяционной формулы (§ II. 1) и сравнить рис. 17 с рис. 10.
Что же касается функции а (со), то она, наоборот, в существенной
своей части должна располагаться там, где множитель \к (со) заметно
меньше единицы, т. е. ближе к краям центрального отрезка —
только при этом условии функция а (со), а вместе с ней и величины
tk будут сколько-нибудь значительно подавлены. Интуитивно ясно,
что если tk меняются от точки к точке случайным, неправильным
образом, то их спектр должен содержать высокие гармоники. Позже
мы подтвердим это более точными рассуждениями.
Основываясь на той же идее, можно получить и другие формулы
сглаживания. Так, если по пяти последовательным точкам сетки
подберем многочлен третьей степени, дающий наилучшее в смысле
наименьших квадратов приближение для соответствующих значений
fk, то придем к следующей хорошо известной формуле:
8k=ij (-3/*-*+ 12/*-<+ 17/*+12/*+> - 3/«^ = о - 3J64)Л- (8)
85

В частотной области мы снова приходим к формуле C), где теперь
И (ш) = 1 - Ц sin4^. (9)
Общий характер этой функции (рис. 18) такой же, как и у функции
D). Но при малых ш она отличается от единицы на величину
четвертого порядка, а не второго, как у функции D). Поэтому и
носитель функции >р(ш) может быть более широким.
Проиллюстрируем эффект сглаживания на простом примере.
На рис. 19 сплошной линией изображен график «точной» функции
и—о—о-о о
Рис. 20
f{x). Эта функция сосредоточена на отрезке | х\ < л./2 и выражается
следующим образом:
Л*)
cos4 х — - sin4 2х, х < 0,
cos4 х, х > 0.
A0)
На оси х выбрана сетка с шагом Ах = 0,1. В точках хк = —1,6,
— 1,5, ..., 1,6 на значения fk наложены возмущения е*. в виде
случайных (вернее, псевдослучайных) чисел, равномерно
распределенных по отрезку [—0,1, 0,1 ). Величины fk = fl + tk обозначены
кружками.
. Для сглаживания была применена формула (8); результаты
показаны на рис. 20. Мы видим, что через «сглаженные» точки можно,
86

действительно, провести более «плавную» кривую, чем через точки,
показанные на рис. 19. Однако сколько-нибудь радикального
уменьшения общей погрешности не наблюдается.
Формул сглаживания, полученных по тому же принципу,
существует великое множество (см., например, [20, гл. IX, пп. 73, 74; 3,
гл. 5, § 10]). Нет никакой необходимости приводить здесь их список.
Не будем также повторять рекомендации (не очень, правда, четкие)
по их выбору и применению. К этим формулам мы еще вернемся,
а сейчас рассмотрим другой распространенный метод сглаживания.
§ 2. Сглаживающий функционал
Кубический сплайн, рассмотренный в § 11.4, обладает важным
экстремальным свойством. Именно среди всех интерполирующих
функций g(x), т. е. функций, удовлетворяющих условиям g(xk) =
= fk, и имеющих производные второго порядка, кубический сплайн
выделяется тем, что для него интеграл
4>[g] = f\g"(x)\2cJx A)
принимает наименьшее значение. Если этот интеграл считать мерой
гладкости функции g(x), то можно сказать, что сплайн является
наиболее гладкой из всех интерполирующих функций. Это
обстоятельство породило следующий метод сглаживания.
Пусть дана сеточная функция /к = fk + гк. Для оценки ее
отклонения от точной функции fk будем применять квадратичную метрику.
Пусть известно, что это отклонение не превосходит некоторой
положительной величины 6:
Ax2\fk-fk\2^b. B)
Поставим задачу: среди всех дважды дифференцируемых функций
g(x), удовлетворяющих условию
Ьх2Ы-Л\2^Ъ, C)
к
найти такую, для которой функционал A) принимает
минимальное значение. В этом и состоит идея описываемого метода
сглаживания.
Обозначим через Qb множество (дважды дифференцируемых)
функций, удовлетворяющих неравенству C). Легко видеть, что
искомая функция может находиться лишь на границе области Qb.
В самом деле, пусть g(x) лежит внутри Qh. Тогда мы можем
подобрать множитель q, меньший единицы, и в то же время настолько
близкий к единице, что функция qg(x) все еще будет принадлежать
множеству Qb. Но функционал Ф [g] после умножения g(x) на q
уменьшится.
Таким образом, в соотношении C) можно заменить знак
неравенства знаком равенства. Приходим к следующей вариационной
87

задаче: найти функцию g(x), минимизирующую функционал A), при
условии
Л*Х1&-Л|2 = о. D)
Это есть задача на условный экстремум.
Классическим способом ее решения является метод множителей
Лагранжа. Строим функционал
/ [g] = Дх? |& - Д|2 + т / \g"(x)\2dx. E)
Здесь т — неопределенный пока положительный множитель
(множитель Лагранжа). Найдем (безусловный) минимум функционала
E). Доставляющая этот минимум функция g(x) будет зависеть от т
как от параметра. Остается подобрать т так, чтобы было выполнено
условие D).
При любом положительном т функция g(x), минимизирующая
функционал E), будет кубическим сплайном. Этот сплайн интер.-
полирует последовательность gk (а, конечно, не /к). Его часто
называют сглаживающим сплайном, а функционал E) — сглаживающим
функционалом.
Мы не будем излагать здесь алгоритм построения сглаживающего
сплайна, отсылая читателя к специальной литературе [19, гл. 3,
п. 3.1.2; 12, гл. IV, § 2]. Вместо этого решим ту же задачу в несколько
иной постановке.
В начале этой главы мы постулировали выполнение условия
разделения. Оно относится, конечно, лишь к «точной» функции
/°(дг); возмущенная функция, задаваемая последовательностью
/* = /* + е*> как мы убедимся ниже, условию разделения
удовлетворять не может. В связи с этим имеет смысл решать задачу
сглаживания в классе функций, удовлетворяющих условию разделения.
Мы так и поступим. Будем искать функцию, минимизирующую
функционал E), среди функций пространства V$ (см. § 1.5).
Из равенства Парссваля имеем
д*2к-л12 = ^/K'-fl'^- F)
/с -|>
Преобразованием Фурье второй производной g"(x) служит функция
—ш2\ь ((d). Отсюда
/|g"(A-)|2^-v = 5-/cu4U'|2JoJ. G)
Подставляя выражения F), G) в E), получаем
J = i; J (\У - f\2 + ™4 Ы2) do>. (8)
Нам нужно отыскать функцию 4' (°->)> минимизирующую этот
функционал. Поскольку подынтегральное выражение не содержит
88

производных, мы добьемся минимума, если потребуем, чтобы
величина Ц' минимизировала это подынтегральное выражение для каждого
фиксированного со.
Если в выбранной точке со будет ф = 0, то, очевидно, следует
положить ц> = 0. Если же ф * 0, то отношение Ц>/ф должно быть
действительным числом. В самом деле, зафиксируем
\у\, т. е. позволим точке Ц< на комплексной плоскости
перемещаться по окружности с центром в начале координат. Второе слагаемое
под интегралом в равенстве (8) будет оставаться неизменным. Что
же касается первого слагаемого, то, где бы ни находилась на
комплексной плоскости точка ф * 0, минимум модуля разности \Ц' — <р\,
т. с. расстояние между точками ф и \р, будет минимальным, только
если ф и V лежат на одном и том же радиусе-векторе.
Следовательно, можно положить
V (w) = ц (со) <р (со), (9)
где // (со) — действительная функция. Заметим, что это равенство
охватывает и случай ф = 0.
Подставив в (8) вместо ц> произведение fif, получим
1 р
J = 4zS ГС»" \f + тсоУ]\ф\2 dco. A0)
т -Р
Минимум выражения, стоящего в квадратных скобках, отыскивается
элементарным способом. В итоге получится
fi(co) = —Ц, A1)
1 + но
Тем самым функция Ц'(ш), а вместе с ней и величины gk найдены.
Нужно еще, конечно, подобрать надлежащее значение параметра т.
Вместо г удобно ввести параметр в = г . Тогда формула A1)
принимает вид
/<(<») = ' J- <12>
1 + (ш/в)
89

График этой функции изображен на рис. 21. На нем в качестве
«опорной» отмечена точка ш = 6, в которой ц = 1/2. Параметр G
играет роль масштабного множителя: чем меньше 6, тем более
«сжата» к началу координат функция \i (ш). Выражение A2) вряд ли
а л о о о 0
Рис. 22
нуждается в особых комментариях. Отметим лишь, что при малых
а) функция \i (ш) отличается от единицы на величину четвертого
порядка.
Если бы мы решали задачу на минимум функционала E) в первоначальной
постановке, т. е. искали бы функцию g(x) не в классе Vp, а среди всех дважды
дифференцируемых функций, то вместо множителя A2) получили бы
1
ц(«>) = г <13)
1 + (о./6)\ (ш)
где функция X (ш) определяется равенством (II.4.23). Не график изображен на рис. 16.
В средней части центрального интервала эта функция близка к единице и лишь на
краях уменьшается, достигая при и> — р" значения 48/я = 0,493. Поэтому и множитель
A3) весьма близок к A2), лишь несколько превосходя его вблизи точки ш = р.
Рис. 23
На рис. 22 приведены результаты сглаживания той же
последовательности (см. рис. 19) по только что описанному алгоритму
(с помощью множителя A2)). Величина Ь подсчитана путем
вычисления суммы
6 = АхХ1Л-^|2 = Ах^. A4)
90

Точки gk ложатся на весьма гладкую кривую; однако эта кривая
при х < О заметно отличается от функции f{x). Причина такого
расхождения заключается в том, что множитель // (ш) действует не
только на «функцию погрешности» а (со), но и на функцию <р°(со)
(см. A.6), A.7)). Подтверждением служит рис. 23, на котором
кружками обозначены тс же точки, что и на рис. 22, а сплошной
линией — функция g°(x), являющаяся обратным преобразованием
Фурье произведения /< (w) <р°(со). Позже мы еще вернемся к этому
вопросу.
§ 3. Случайные функции
Как уже было отмечено, рассмотренные в § 1, 2 методы
сглаживания могут быть сколько-нибудь эффективными, лишь если
случайные погрешности ек удовлетворяют некоторым определенным
условиям; в первую очередь это касается ширины их спектра, т. е.,
в сущности, свойств функции
а (со) = Ал: ^ е* е~акЮ. A)
к
Этими вопросами мы сейчас и займемся.
Будем считать ек случайными величинами,
удовлетворяющими следующим требованиям:
1) случайные величины ек имеют нулевые математические
ожидания и конечные дисперсии si;
2) ряд, составленный из дисперсий si, сходится;
3) величины ек попарно независимы.
При этих условиях ряд A) сходится с вероятностью единица:
Требование 2) гарантирует существование конечной величины
S2 = Ах*2 «*. B)
Будем называть S2 суммарной дисперсией величин ек; ее можно
рассматривать как общую меру точности значений /к.
Поскольку в правую часть равенства A) входят случайные
величины ек, функция а (со) также будет случайной. Это означает, что
для любого фиксированного со значение а (со) будет случайной
величиной. Найдем ее основные характеристики — математическое
ожидание и дисперсию.
Для любого со каждый член ряда A) имеет, очевидно, нулевое
математическое ожидание. Поэтому
М [а (со) | = 0. C)
(Символом М [ • ] обозначается математическое ожидание, a D [ • J —
дисперсия.) Далее, для любого к имеем
D [Ах€кС-аП = М [|Ла-м>-"*'"|2] = (Л*JМ [Ы2] = (Axfsl
91

Поскольку случайные величины Ахеке "**" попарно независимы, то
D [а (а>)] = (АхJ ? & D)
или, обозначая дисперсию а (со) через а2,
о2 = AxS2. E)
Дисперсия случайной величины а (со) не зависит от со.
На самом деле имеет место более сильное утверждение: функция а (ш) есть
стационарная случайная функция. Но нам будет достаточно соотношений D), E).
Заметим также, что для их вывода (а также для заключения о стационарности
а (<у)) условие независимости ек является, строго говоря, излишним. Достаточно
потребовать попарной некоррелированности этих величин.
Когда мы получаем в свое распоряжение определенную
числовую последовательность fk (полученную, скажем, из измерений), то
имеем дело не с самими случайными величинами ек, а лишь с их
некоторой конкретной реализацией. Если (допустим такую
возможность) измерения величин fk будут повторены многократно,
в тех же условиях и с тем же уровнем точности, то мы сможем
подвергнуть этот материал надлежащей статистической обработке.
Статистические средние измерений fk будут близки к fk, и мы сможем
выделить реализации величин ек в «чистом» виде. Подставив их в
формулу A), найдем соответствующее число реализаций случайной
функции а (со). Если оценить по правилам математической
статистики дисперсии s\ и дисперсии а (су) для различных со, то D), E)
будут иметь реальное содержание.
Но, как правило, мы располагаем лишь единственной
реализацией случайных величин ек. Подставим эти числа в формулу A);
получится некоторая реализация случайной функции а (со). Можно
ли, основываясь на полученных выше результатах, высказать какие-
либо определенные суждения о характере этой функции?
В дальнейшем будем допускать некоторую вольность, обозначая
одним и тем же символом ек или а (со) как случайные величины и
функции, так и их реализации. Надеемся, что это не приведет к
недоразумениям.
Функция а (со) комплексная; нас в первую очередь будет
интересовать ее модуль (или квадрат модуля). Математическое ожидание
квадрата модуля есть дисперсия а2; она, как мы убедились, не
зависит от со. Согласно законам теории вероятностей (наиболее общий
из них — неравенство Чебышсва), большие уклонения величины
\а\2 от о2 маловероятны, т. е. редки. Значит, функция \а (oj)\2 будет
«привязана» к уровню а2, испытывая лишь некоторые колебания
вокруг него в ту и другую сторону. Точно так же функция \а (со)\
колеблется вокруг уровня а (хотя сг и не совпадает с математическим
ожиданием случайной величины |«|).
Довольно типичная картина изображена на рис. 24. Она получена
путем математического моделирования стационарного случайного
процесса. Здесь показан модуль функции а (со), горизонтальной
линией обозначен уровень ст.
92

В § 4 мы убедимся, что, хотя при единственной реализации
величин fk мы и не в состоянии выделить из них случайные слагаемые
е*, некоторый отрезок функции а (а>) получить можем. Возникает
вопрос: нельзя ли, воспользовавшись этим обстоятельством, оценить
Рис. 24
дисперсию а2, а вместе с тем, согласно равенству E), суммарную
дисперсию S2, т. е. уровень точности измерения величин /*?
Такая задача в теории стационарных случайных процессов
рассматривается. В нашем случае ее решение наталкивается на
некоторые затруднения. Дело в том что значения случайной функции
а (со) в различных точках со нельзя, вообще говоря, считать
независимыми — между ними имеется некоторая корреляция. И хотя
эта корреляция с расстоянием, вообще говоря, убывает, все же
отрезка функции а (со), которым мы располагаем, для точных оценок
может оказаться недостаточно.
Если же не гнаться за точными и статистически
обоснованными результатами, а ограничиться некоторой «прикидкой» (которой,
кстати сказать, часто бывает вполне достаточно), то такая оценка
вполне возможна. При некотором навыке ее можно делать «на глаз»
на основании графика функции |а(со)| или даже |а (со) | -
Формула A) показывает, что для всякого фиксированного ш случайная величина
« (ш) представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин.
Поэтому часто можно считать, что а (а>) имеет нормальное распределение. Это
означает, что действительная и мнимая части величины а суть независимые случайные
величины, распределенные нормально с нулевым математическим ожиданием и
дисперсией о /2. Сумма квадратов этих величин есть квадрат модуля |u(u>)| ; он
будет распределен по закону у,2 *с двумя степенями свободы). Сам же модуль
| а (о>) | распределен по закону Рэлея с плотностью
р(х)
~:хе-х2'а\ хэ-0,
о
F)
О,
х < О,
где о определяется равенством E). Математическое ожидание величины |а(о>)| равно
(Vtl/2) о = 0,8862 о. Вероятность неравенства |а| >а составляет е-1 = 0,36788.
Следовательно, если мы на графике функции |а(ш)| проведем горизонтальную
прямую на уровне о (см. рис. 24), то сумма длин интервалов, на которых график
проходит выше уровня о, составит примерно 37 % длины всего интервала, на котором
рассматривается функция а (ш). Этот критерий может быть полезен при оценке
величины о.
93

§ 4. Фильтрация шума
В дальнейшем мы часто будем пользоваться терминологией,
заимствованной из радиофизики и теории связи. Функцию f(x)
(«точную»), а также последовательность fk мы будем называть
сигналом, а случайные слагаемые гк — шумом.
Предположим, что при выбранном шаге Ах функция <р°(со)
сосредоточена на отрезке [—у, у], где у < $. Таким образом, концевая
часть центрального интервала, где у < |со| =s (J, оказывается
«свободной» от <р°(со). Как будет выглядеть функция f (со) = <f>°(oy) + cc(to)?
В § 3 было показано, что если случайные величины е* взаимно
независимы, то случайная функция а (со) равномерно «заполняет»
весь центральный интервал — ее дисперсия не зависит от со (такой
шум называется белым). Следовательно, в средней части
центрального интервала (|со| <¦;) будет располагаться функция у°(а>),
возмущенная случайным слагаемым а (со), а на концевых частях эта
случайная функция а (со) будет представлена в «чистом» виде.
Если же функция <р (со) и не финитна, но достаточно быстро
убывает, картина будет сходной. Там, где величина |ip°| мала по
сравнению с о, сигнал будет практически поглощен шумом.
Будем считать, что функция fix) действительна, а потому вместо
всего центрального интервала — р" < со < р" достаточно рассматривать
отрезок 0 г? со =s E. Согласно предыдущим рассуждениям, этот
отрезок разделяется на две части. В левой части, отвечающей низким
частотам, отношение сигнал/шум сравнительно велико — здесь
сигнал несколько испорчен шумом. В правой же части, для высоких
частот, отношение сигнал/шум мало, сигнал полностью «забит»
шумом и содержащаяся здесь информация о сигнале fix)
практически потеряна. Границу между этими частями по-прежнему
обозначим через у .
Разумеется, нарисованная только что картина сильно упрощена.
Граница между «информативной» и «чисто шумовой» частями более
или менее размыта, и в определении величины у имеется некоторая
доля произвола. Кроме того, и при со < 7 могут существовать участки,
где <р°(со) мала.
Проиллюстрируем все это на примере функции, показанной на
рис. 19. Функция
показана функция
<р (со) изображена на рис. 25. Тонкой линией
<р°(со) , полученная прямым вычислением
интеграла Фурье от функции A.10) (он выражается в элементарных
функциях). Точку 7 следует, очевидно, поставить где-то вблизи
точки со = 10.
Исследованные в § 1, 2 методы сглаживания свелись, как мы
убедились, к умножению функции <р (со) на некоторый множитель
ц (со). Такую операцию в дальнейшем мы называем фильтрацией, а
сам множитель ц (со) — фильтром.
Процедура фильтрации воздействует, конечно, на оба слагаемых
функции ф(со) — как а (со), так и >р0(со). К чему может привести
искажение функции vp', мы имели возможность убедиться на примере
94

из § 2 (см. рис. 22). Здесь параметр в, входящий в множитель B.12),
оказывается равным 6,44. Достаточно сопоставить между собой
графики функций |^>°| и/<(су) (рис. 25 и 21), чтобы понять
неизбежность заметного искажения в этих условиях функции <р°, а
следовательно, и f.
0 ' 0 20 30 /3 ь,
Рис. 25
Величина этого искажения может быть в принципе оценена
методами гл. II. Следует, однако, оговориться, что полученные там
оценки разности </' - <р практически мало эффективны, хотя бы из-за
того, что в них входят интегралы от модулей высших производных
функции fix) (см. (II.3.9)).
Но если мы вычислим функцию <р(ш), то, имея перед собой
картину, подобную той, что изображена на рис. 25 (разумеется, без
тонкой линии), можем проконтролировать выбор того или иного
фильтра // (си), пользуясь очевидным критерием: на отрезке \си\ < у
функция f4 (cw) должна быть близка к единице. Так, рассматривая
рис. 17, 18, мы сразу же можем заключить, что формула сглаживания
A.1) для нашего примера должна быть забракована; формула же A.8)
уже, пожалуй, допустима (напомним, что этой последней формулой
мы уже пользовались — см. рис. 20). В § 5 этот критерий будет
несколько уточнен.
Перейдем к исследованию фильтрации «шумового» слагаемого
а (со). Дисперсия о2 этой случайной функции определяется формулой
C.5) и не зависит от су. После фильтрации мы получим функцию
// (су) а (со), тоже, конечно, случайную. Но ее дисперсия уже не
постоянна — она равна а2 |// (су)|2. Следовательно, если мы,
совершив обратное преобразование Фурье, вычислим отфильтрованные
случайные погрешности
,i
еь = — J еч'"ц (су) а (со) с/су , A)
-я
то они уже не будут независимыми — между ними возникнет
некоторая корреляция. Собственно говоря, об этом уже свидстсльст-
95

вуст тот факт, что отфильтрованные величины gk ложатся на более
плавную кривую, чем fk. Ведь это означает, что если, например,
в какой-то точке л* величина е'к положительна, то и в соседней точке
.Vfc+i для величины ?*+1 больше вероятность оказаться также
положительной, чем отрицательной.
Приведем еще один пример. На рис. 26 кружками изображена
последовательность случайных чисел, равномерно распределенных на
-\
Рис. 26
Рис. 27
отрезке | — 1, 1 |; для большей ясности эти случайные точки соединены
отрезками прямой. Для этой последовательности по формуле A.7)
была вычислена функция а (со) (ее модуль показан на рис. 24).
Фильтрация выполнена с помощью прямоугольного множителя
." (ш) =
B)
96

Было положено v = р/3. Затем по формуле A) вычислены
«сглаженные» величины е*; они изображены на рис. 27. Получилась
«волнообразная» квазипериодическая функция. Здесь наблюдается
эффект, несколько напоминающий явление Гиббса (§ 1.4). Однако
в отличие от истинного эффекта Гиббса его невозможно устранить
ни суммированием по Фейеру, ни какими-либо сглаживающими
множителями. К каким последствиям может привести этот эффект,
можно увидеть из рис. 20. Представим себе (как это и бывает в
действительности), что сплошная кривая на рисунке отсутствует и
вся информация о функции f(x) содержится в точках, показанных
кружками. Мы должны будем заключить, что вершина кривой вблизи
точки х = 0 является более «плоской», чем на самом деле. Ясно виден
также ложный «горбик» вблизи левого конца графика. Сглаженным
значениям функции нельзя доверять больше, чем они того
заслуживают.
Этот феномен — возникновение квазипериодических колебаний при
сглаживании случайных последовательностей — был в свое время детально исследован
Е. Е. Слуцким B1, с. 99]. В частности, было показано, что для последовательности
случайных чисел можно подобрать такую формулу сглаживания (или, как ее еще
называют, скользящего суммирования), что в результате получится синусоидальное
колебание с любым наперед заданным периодом.
Вернемся к формуле A). Из нее сразу же следует, что
М [еЛ = 0. C)
Действительно, под интегралом стоит случайная функция, имеющая
нулевое математическое ожидание в каждой точке ш. Далее, из
равенства Парсеваля имеем
* ¦ -и
Обозначим через я^дисперсии величин е*. Поскольку М [|а|2| = а2,
то взяв математические ожидания от обеих частей равенства D),
получим р
Д^Е^й/м2</<0- <5>
' -I»
В левой части стоит суммарная дисперсия величин е* (ср. C.2)),
которую мы обозначим через S'2. Положим К2 = S'2/S2.
Коэффициент К указывает, во сколько раз уменьшается в результате
фильтрации средняя случайная погрешность. Из равенств E), C.5)
вытекает соотношение „
р
к2 = ^/Ы2«л»>. F)
-р
Применим эти соотношения к формулам сглаживания,
рассмотренным в § 1. Все они имеют вид
8k = ^<ljfk-y <7)
97

Тогда
Поскольку
то согласно F)
Н (ш) = X Ч,е "'Ш •
(8)
I
2Р
/|и|2Ли = 2ч?,
к2 = 2^-
(9)
Формулы того класса, какой рассматривается в § 1, обладают
любопытным свойством: сумма квадратов их коэффициентов равна
среднему коэффициенту <?0 [20, гл. IX, § 74]:
Так, для формулы A.1) имеем
1
3'
для формулы A.8), как нетрудно проверить,
Л /,^2 /,.х2 ,.„,2
(^2
_
3
+
fo2
—
3
1 У
+
(П
—
3
1 /
35
+
35
+
35
+
Получается простое соотношение
35
\ I
3_\
35
17
35"
К2 = </0.
A0)
В книге [20, § 741 приведен список средних коэффициентов д0
наиболее употребительных формул сглаживания, из которого можно
вынести некоторые суждения об эффективности этих формул.
Обратимся к методу сглаживающего функционала (см. § 2).
Интеграл F) здесь выражается в элементарных функциях, но
выражение это достаточно громоздко, и мы его приводить не будем.
При необходимости его можно получить хотя бы численным
интегрированием.
Рассматривая пример на применение метода сглаживающего
функционала (см. рис. 22), мы обратили внимание на то, что в
результате появляется заметная систематическая погрешность,
состоящая в том, что функция ga(.x) существенно отличается от fix).
Постараемся выяснить причины этого явления.
Исходным пунктом для процедуры сглаживания здесь является
неравенство B.2), которое можно переписать в виде
Ах X *1* о
или, что то же самое,
~ J м2^ 6.
A1)
98

Поскольку а - Л = (g°k - fk) + (e; - е*), то
Ах 2 (& - АJ < Ах ? (&3 - Л°J +
+ 2 VAjc 2(^-/2)' VAx 2 (е*' - гкУ + Ах ? (е*' - е*J. A2)
* * *
Но в
Et — €
-Р
= — J <?"**" (ца - а) Ли,
откуда
|>
A.*2(^-e*J = ^/(l -f1J |а|2Л». A3)
Фильтр ц (a>) (см. B.12), B.13), рис. 21) при всех ш
удовлетворяет двойному неравенству 0 < ц ^ 1, а потому
A - ЦJ< 1. <14>
причем это неравенство является строгим; вблизи точки ш = 0
величина 1 — и близка к нулю. Из равенства A3) вытекает теперь
Ал: 2 Ы ~ е*J < Ь.
Таким образом, последний член правой части неравенства A2)
существенно меньше 6. Но мы требуем (см. B.4)), чтобы левая часть
равнялась в точности 6. Это может быть лишь при условии, что
сумма
д*2(«2-/2J
существенно отлична от нуля. А это и означает наличие
систематической погрешности.
После всего изложенного вполне естественным представляется
метод сглаживания с помощью «прямоугольного» фильтра вида B).
Точка v выбирается, как и прежде, на границе между
«информативной» и «чисто случайной» частями функции <р (ш). Тем
самым будет отброшена часть случайной погрешности, обусловленная
функцией a (w) при w > 7- При этом, конечно, заодно будет
отброшена и соответствующая часть функции <р°(о>); но эта часть
полностью поглощена шумом и восстановлению не поддается. Остальная
же часть функции ip°(co) сохраняется в неприкосновенности.
Пример применения такой фильтрации приведен на рис. 28. Было
положено 7 = 9 (ср. рис. 25). Из формулы F) следует, что
К2 = «//р. A5)
В нашем случае К2 = 0,286, так что средняя погрешность
результата составляет 0,535 средней погрешности исходных данных.
99

Метод «прямоугольной» фильтрации заслуживает того, чтобы
остановиться на нем детальнее. Прежде всего, конечно, следует
рассмотреть вопрос о том, при каких условиях можно рассчитывать
на удовлетворительную точность результатов. Или, иначе: каковы
пути для уменьшения уклонений величин gk от fk ?
Рис. 28
Ясно, что точность результата зависит прежде всего от точности
исходных данных. Но если величины fk получены из измерений, их
точность определяется уровнем применяемой измерительной техники
и находится, как правило, вне нашего контроля.
Но имеется еще один путь — уменьшение шага таблицы, т. с.
переход к более подробной таблице, содержащей большее число
измеренных значений /к. Если при этом средний уровень точности
измерений исходных данных /к сохраняется, то можно считать, что
суммарная дисперсия S2 (см. C.2)) остается постоянной.
Будем считать для определенности, что в точке си = у выполняется
условие |f°G)| = о. С уменьшением Ах возрастает длина
центрального интервала, ибо [5 обратно пропорционально Дл\ Далее, согласно
равенству C.5), величина о, определяющая уровень «шумового»
слагаемого а (ш), уменьшается пропорционально VAx. Это влечет
за собой два основных следствия. Во-первых, на средней
«информативной» части центрального отрезка функция *pn(w) оказывается
менее «зашумленной». Во-вторых, точка у, отвечающая равенству
I Ч>°('У) I = °< отодвигается вправо и некоторая часть функции <р°(о>),
ранее скрытая за шумом, теперь будет «обнажена». В формуле A5)
растет как знаменатель, так и числитель.
Перепишем эту формулу в виде
К2 = ^уАх. A6)
Дисперсия о пропорциональна Ах (см. C.5)). Значит, произведение
yA.v пропорционально у |<p°(v)|2* Эта комбинация будет стремиться
к нулю, если oj |<р°(ш)|2 -» 0 , т. е. если при со -» оо
|fn(co)| = ofl/Vw). A7)
100

Это соотношение будет заведомо выполнено, если fix) имеет
интегрируемую производную (см. § 1.2). Если же f(x) имеет
интегрируемые производные до т-го порядка включительно, то (при со > 0)
|«р°(юI = |Фт(со)|ш-'я.
Положим
М = f \f(m) (x)\ dx.
Тогда
|<р°(соI < Mia"".
Из равенства |<р°(уI = ° следует о < Му~т, так что
V « MVmo-Vm. A8)
Поскольку о = S VKx, отсюда получаем
у < (M/Sy""(Ax)'w2m).
Теперь из A6) имеем
К1 < ^ (M/SIУ'и(Aд:I"•17Bm,. A9)
Порядок коэффициента К2 относительно Ал: сравнительно слабо
зависит от степени гладкости функции fix).
Формула A9) дает представление о характере убывания
коэффициента К (т. е. S') при неограниченном уменьшении шагов
сетки. Практическое значение ее невелико хотя бы потому, что в нее
входит величина М, вряд ли поддающаяся сколько-нибудь реальной
оценке.
Полная погрешность результата фильтрации складывается не
только из случайных погрешностей е*, но и из разностей $ — fk
(т. е. того, что мы называли «систематической погрешностью»). Они
зависят от той части функции <р°(о>), которая расположена правее
точки у. Оценка ее затруднена, так как требует таких сведений о
функции <р°(о>) (или, что то же самое, о fix)), которыми мы на
практике располагать не можем. Можно лишь утверждать, что с
ростом 7 эта погрешность, несомненно, убывает.
Все эти рассуждения нам понадобились главным образом для того,
чтобы подчеркнуть, что для успеха операции сглаживания весьма
существенна малость шага таблицы Дл\ Из результатов гл. II
вытекает, что если значения /к точны, то для интерполяции, т. е.
«восполнения» функции по ее значениям в точках сетки, достаточно в
конце концов выполнения условия разделения. Сейчас же дело
обстоит совсем иначе. Чем меньшую часть центрального интервала
занимает функция <f>°(oj), тем больше эффект операции сглаживания.
Лучше всего, если это обстоятельство учитывается уже на стадии
планирования эксперимента.
Приведем еще одно замечание об условии разделения. До сих
пор оно означало, что преобразование Фурье (р°(ш) функции fix)
101

«практически полностью сосредоточено на центральном интервале».
В той ситуации, с которой мы сейчас имеем дело, т. е. при наличии
шума, взятые в кавычки слова должны расшифровываться
следующим образом: «у правого конца центрального интервала должен быть
участок, на котором отношение сигнал/шум настолько мало, что
функция <р(ш) неотличима от своей случайной компоненты а (со)».
Выше было замечено, что точность результата сглаживания определяется в первую
очередь точностью исходных данных. Это в общем справедливое высказывание
нуждается в некоторой оговорке. Дело в том, что возможна такая (несколько
парадоксальная) ситуация, когда уменьшение случайных величин е* влечет за собой
увеличение величин е*. Действительно, равенство A5) означает, что
Мри неизменном Ах, т. е. при р = const, и уменьшающейся суммарной дисперсии
S величина о падает, а 7- вообще говоря, растет. Она может возрасти настолько, что
произведение yS не уменьшится, а увеличится. Такой случай следует, конечно,
рассматривать как исключение. Кроме того, при этом весьма существенно уменьшится
разность ц> - <р , г. е. систематическая погрешность.
§ 5. Оптимальный фильтр
Мы рассмотрели несколько способов фильтрации шума. Теперь
естественно возникает вопрос о наилучшем фильтре Н-(оэ).
Прежде всего уточним постановку задачи.
Пусть исходная последовательность fk = fk + гк подвергнута
сглаживанию посредством фильтра ц (<"). Пусть gk — сглаженная
последовательность. Какова должна быть функция ц (ш), чтобы величины
gk были возможно ближе к fjp.
Уклонение Е величин gk от fk мы будем оценивать в квадратичной
метрике. Положим
Е=Ах2\8*-Л\2- A)
к
Поскольку величины gk содержат случайные слагаемые е*, то Е
будет случайной величиной, и притом неотрицательной. Мы будем
добиваться минимума математического ожидания
случайной величины Е:
М [?] = min. B)
С помощью равенства Парсеваля уклонение Е можно выразить
через функции ц (со), <f°(oj):
Р
? = i/ ln>(w)-f°H|2^. о)
-р
Имеем
р
м |?| = iI M Пч,(ш)-<р°(шI2] dw- <4>
102

Под интегралом стоит действительная неотрицательная функция от
со. Очевидно, мы должны потребовать минимальности этой
функции в каждой фиксированной точке со. Поскольку ty = р.<р = ц(ф +
+ а), то
гр — tp° = (fx — 1) ip° + ца,
k--pT= №~ 1)«р° + ца] [(ц- 1)? + ца] =
= |ц-1|2|<р°|2 + |^|2|а|2 + (ц- 1)ц<р0а + (ц- 1)^°а.
Поскольку М [а ] = М 1а | = О, М [ | а |2] = о2, то
M[k-f°|2] = |jl-l|2|/|2+|H2o2. E)
Мы должны выбрать \i так, чтобы это выражение было
минимальным. До сих пор мы считали ц величиной комплексной; однако
легко видеть, что она должна быть действительной. В самом деле,
зафиксируем модуль ц. Тогда при изменении arg (\i) второй член
правой части равенства E) будет постоянным; величина же |ц— 1|
будет, очевидно, минимальной лишь тогда, когда ц попадет на
действительную ось. Значит, вместо E) можем написать
м [|ч>-<рТ1 = (ц - iJ kT + nV.
Минимум этого выражения находится элементарно. Получим
Это и есть искомый оптимальный фильтр.
Нетрудно проверить, что при выводе формулы F) условие о = const
несущественно: если A есть произвольная функция от и>, результат будет тот же.
Отмстим сразу же некоторые очевидные свойства функции
".(со). Прежде всего,
О s? ц »? 1,
и ". обращается в нуль только вместе с <р°- Далее, на тех частотах,
где |<р°| :» о, т. с. где отношение сигнал/шум велико, множитель
(.i (со) близок к единице. Наоборот, там, где это отношение мало, ц,
близко к нулю; на этих частотах и происходит основное подавление
шума. Существует, конечно, и переходная область, ширина которой
определяется характером убывания функции <р° (со). Заметим, что
в точке, где \<р°\ = а, будем иметь и = 1/2. В качестве примера на
рис. 29 изображен фильтр и (оз), вычисленный для функции <р°(ш),
являющейся фурье-образом функции A.10) (на рис. 19, 22, 23,
28 она изображена сплошной линией). Дисперсия о2 здесь равна
0,0011.
Но возникает естественный вопрос: какую пользу можно извлечь
из формулы F)? Ведь «истинная» функция ip°(oo) нам неизвестна.
Здесь на помощь приходит одно простое соображение.
103

Предположим, мы ищем минимум некоторой функции Fix), и
пусть этот минимум достигается в точке х0. Если функция Fix) в
окрестности точки х0 имеет вторую производную и точка х близка
к Ло, то отклонение Fix) от минимального значения F(x0) будет
10
20
SO j3
Рис. 29
пропорционально квадрату отклонения аргумента х — х0, т. е.
изменение функции будет мало по отношению к изменению
аргумента. Точно так же относительно небольшое искажение оптимального
фильтра, т. е. замена функции F) близкой к ней, мало скажется на
отклонении сглаженных значений gk от fk. Поэтому можно строить
различные приближения к оптимальному фильтру.
Первым приближением является, безусловно, «прямоугольный»
фильтр. В некоторых случаях он может давать очень неплохие
результаты. В частности, если в нашем примере (см. рис. 19)
проведем фильтрацию с помощью оптимального фильтра, изображенного
на рис. 29, то получим результат, который в пределах точности
чертежа не отличается от того, который изображен на рис. 28 и
который получен как раз с помощью «прямоугольного» фильтра.
Но так будет, конечно, не всегда. Поэтому желательно иметь
какой-то способ более точной аппроксимации оптимального
фильтра. Здесь может возникнуть идея замены в формуле F) функции
ip° (со) функцией ip (со) (об оценке величины о было сказано в § 3).
В средней «информативной» части центрального интервала (левее
точки у) функция
,2
М (ш) =
I *(«>)!
I / М2 j2
I v (<") I + °
G)
должна быть, действительно, близка к ц(со). Но при со > у, где
<р(со) практически совпадает со случайной функцией а (со), ji (со)
также должна носить чисто случайный характер. Поскольку |а(со)|
104

колеблется около значения а = о, то j! будет колебаться вокруг
значения 1 /2. Можно заметить, что, согласно формуле G), величина
fi зависит от |ip| (а также от |<р|2) монотонно; поэтому
участки роста и убывания у функций |ip (со) j и (i (со) совпадают и
вообще ji (со) можно рассматривать как сильно искаженную «копию»
функции |ф(ш)| (или, если угодно, |(р(со)|2). Иллюстрацией ко
всему этому служит рис. 30, на котором изображена функция Ц (со),
вычисленная по формуле G). Читателю рекомендуется сравнить его
с рис. 25, где показана функция |ip (со)|.
Дальше можно поступать по-разному. Прошс всего оборвать
функцию |Х (со) в точке со — у, причем в качестве у можно выбрать
значение со, при котором \к (со) = 1/2 (в нашем примере у будет
близка к 8), т. е. положить
ц (со) =
fl (со), со < у,
0,
(8)
си > 7-
Более аккуратной будет аппроксимация, например, с помошью
функции вида A.4.14) (см. рис. 5). Изменив обозначения, эту
формулу нам удобно будет переписать в bvuc
1, 0 *? о «S 7 - о,
и (со)
1-мпд —
0, со > 7 + о.
-\ , у - 6 s? со ^ 7 + &,
(9)
Из рис. 30 видно, что можно положить 7
И (со) будет уже достаточно близка к F).
8, 6 = 4. Функция
105

Но универсального рецепта здесь, конечно, дать нельзя. Все
зависит от конкретного вида функции <р{ш) и тех возможных
дополнительных сведений, которыми мы располагаем (может случиться,
например, что левее точки у функция <р(ш) при некоторых си
обращается в нуль). Во всяком случае, построению фильтра /<(о>) должен
предшествовать достаточно тщательный анализ функции <р(си).
§ 6. Заключение
Вернемся еще раз к простейшим формулам сглаживания,
описанным в § 1. После всего сказанного ясно, что единственным их
достоинством является простота — их можно применять даже при
«ручных» вычислениях, тогда как другие методы требуют
применения ЭВМ. Уже выбор формулы может доставить серьезные
затруднения. В учебниках вывод этих формул обычно начинается словами:
«предположим, что функция fix) на протяжении п сеточных
интервалов может быть достаточно точно аппроксимирована многочленом
степени т, причем т < п». Как определять в конкретных случаях
эти числа п, т, не очень ясно. Считается, видимо, что это содержится
в некой априорной информации о функции fix). Основная надежда
здесь — опыт и интуиция вычислителя.
Самый, пожалуй, главный недостаток этих формул — слабое
подавление высоких частот и связанная с этим незначительность
общего эффекта сглаживания. Это обстоятельство породило
рекомендации применять формулу сглаживания не один раз, а дважды и даже
многократно. Действительно, при двукратном применении одной и
той же формулы соответствующий фильтр //(а») возводится в
квадрат и его значения в правой части центрального отрезка
существенно уменьшаются. Однако при этом существенно уменьшается и
ширина области, где fi(a>) близок к единице и где расположена основная
«информативная» часть функции <p{oj). Поэтому вслед за
вышеупомянутыми рекомендациями следует оговорка: «многократное
сглаживание может сильно исказить истинную картину». Конечно, фурье-
анализ внесет полную ясность, но если уж преобразование Фурье
выполнено, то лучше всего применить более совершенные методы.
Метод сглаживающего функционала (см. § 2), как было выяснено,
связан с систематической погрешностью, т. с. как раз с тем самым
«искажением истинной картины». Этот эффект может быть устранен
или хотя бы ослаблен на пути отказа от точного соблюдения равенства
B.4) (его иногда называют принципом невязки). Следует заметить,
что в некоторых руководствах метод сглаживающего функционала
трактуется просто как задача минимизации функционала B.5), без
упоминания о функционале B.1) и неравенствах B.2), B.3). При
этом делаются пояснения следующего примерно характера. Если в
правой части равенства B.5) параметр г мал, то второй член не
существен и величины gk будут близки к fk\ эффект сглаживания будет
невелик. Если же параметр т велик, то второй член играет основную
роль; решение будет гладким, но далеким от fk (т. е. возникнет
106

большая систематическая погрешность). Сколько-нибудь четкие
указания на способы выбора параметра т, как правило, отсутствуют.
На практике пользуются разными критериями. Упомянем лишь
об одном из них. Рекомендуется уменьшать т до тех пор, пока в
сглаженных значениях gk не станут отчетливо проявляться
нерегулярные случайные погрешности (или, как выражаются некоторые
авторы, «дребезг»). Однако если сглаживание проведено сколько-
нибудь эффективно, то, как мы уже убедились (см. рис. 27),
результирующие погрешности е* получаются гладкими и распознать
присутствие случайных слагаемых в величинах gk бывает нелегко. Выше
упомянутый «дребезг» проявится лишь тогда, когда в спектре величин
ек' будут присутствовать самые высокие частоты, т. е. когда фильтр
/<(о») (см. B.11), B.12)) на концах центрального отрезка заметно
отличен от нуля. Между тем характер функции (р°(ш) может быть
таков, что будет допустима гораздо более сильная фильтрация
(величина у мала). Таким образом, пользуясь указанным критерием, мы
вынуждаем себя довольствоваться результатами, порой весьма
далекими от оптимальных.
Остается метод Фурье. На первый взгляд он выглядит несколько
громоздким. В самом деле, здесь необходимо:
1) с помощью дискретного преобразования Фурье вычислить
функцию <р(ш);
2) оценить величину а и наметить точку у;
3) построить подходящий фильтр ц{ш)\
4) вычислить произведение у{ш) = fi(w) f{oj);
5) выполнить обратное преобразование Фурье.
Основная масса вычислительной работы заключается в п. 1), 4),
5). Но здесь составление соответствующих программ не вызывает
затруднений. Хуже обстоит дело с остальными пунктами, особенно с
п. 2), который поддается автоматизации с большим трудом. В то же
время при наличии некоторого минимального опыта операции п. 2)
производятся практически моментально, при одном взгляде на
график функции |^>(а>)|.
Все же этот метод следует признать одним из самых совершенных.
Он с наибольшей полнотой учитывает характер исходных данных,
вносит минимальные искажения; результаты получаются близкими
к оптимальным.
Методы, описанные в § 1,2, имеют одно неоспоримое
преимущество — их можно применять в случае, когда функция fix) задана на
конечном отрезке, тогда как метод Фурье требует, чтобы
функция fix) была задана на всей бесконечной оси х. Этот недостаток,
однако, легко устраним; об этом упоминалось (бегло) в конце § 1.8.
Остановимся на этом вопросе подробнее.
Пусть функция fix) задана последовательностью своих значений
/* = /* + е* на отрезке \xin xh\. Оценим каким-либо способом (хотя
бы графически) величины
fa = J°(Xa). fb = f(Xb)\
Г. = f\xa), Я = f'(xb). ( }
107

Построим
условиям
полином третьей степени р(.
р(ха) = /ц, р(хь) = }ь\
р'(ха) = fa, р'(хь) = fb
удовлетворяющий
B)
Рис. 31
f\
Тогда функция h°(x) = fix) - р(х) на концах отрезка \ха, хь] будет
обращаться в нуль вместе со своей производной (разумеется, с той
точностью, с какой выполняются условия A)) и мы можем
продолжить ее на всю бесконечную ось д;, положив И°(х) = О вне отрезка
[ха, хь |. Положим hk = /к — рк и подвергнем последовательность hk
той или иной процедуре сглаживания. После этого снова прибавим к
сглаженным значениям
величины рк.
В качестве примера на
рис. 31 изображен
(кружками) отрезок
последовательности fk, показанной
на рис. 19; здесь
положено ха = — 1, хь = 1.
Сплошная линия изображает
кубический многочлен,
построенный согласно
условиям B). На рис. 32
показана последовательность hk =
- fk ~ Рк- Мы ВИДИМ, ЧТО
к этой последовательности
уже можно применить
метод Фурье.
Разумеется, совсем не
обязательно, чтобы
вспомогательная функция р(х)
была именно полиномом
третьей степени; в разных
конкретных случаях здесь
могут оказаться
подходящими другие функции. Важно лишь, чтобы функция h(x) по
возможности более плавно обращалась в нуль на концах отрезка.
Поэтому нужно стремиться к тому, чтобы оценки A) были как
можно более точными; если же удастся оценить и вторые
производные, то их следует, конечно, использовать для построения
функции р(х).
Процедура сглаживания по методу Фурье состоит, в сущности, в
том, что «уничтожается» та часть случайной функции а(а>),
которая расположена правее точки у. Существует, однако, прием,
позволяющий «проникнуть» и на интервал \ш\ < у. Его можно
назвать методом предварительной аппроксимации. Поясним его на
примере функции, график которой изображен на рис. 8; модуль ее
преобразования Фурье показан на рис. 9.
108
0
Рис. 32

Здесь прежде всего обращает на себя внимание «пик»,
расположенный в крайней левой части графика. Вспомнив основные свойства
преобразования Фурье, мы заключаем, что общая ширина спектра
функции f(x) определяется именно этим пиком; если бы его каким-
нибудь образом удалось убрать, спектр существенно бы сократился и
точка у передвинулась бы левее.
Попытаемся отыскать функцию р{х), которая достаточно точно
аппроксимирует наш пик. Тогда разность h = / - р этого пика уже
не имеет; мы можем подвергнуть ее сглаживанию, с тем чтобы потом
снова прибавить вспомогательную функцию р(х).
После того как самый острый пик таким образом устранен, ничто
не мешает нам «обработать» и следующий, более «слабый» пик,
расположенный ближе к середине графика. Если соответствующая
аппроксимация будет удачной, эффект сглаживания существенно
усилится.
Процедура подбора вспомогательной функции р(х) начинается с установления ее
«общего вида», т. е. формулы, содержащей некоторое количество свободных
параметров. Значения этих параметров уточняются в процессе аппроксимации. Поскольку
исходная последовательность Д включает случайные слагаемые ?/t, параметры
функции р(х) будут также случайными величинами и сама р(х) — случайной функцией.
После прибавления р(х) к сглаженной функции h(x) этот случайный элемент будет
внесен в окончательный результат.
Для того чтобы прием предварительной аппроксимации себя оправдал, нужно,
чтобы, во-первых, случайная компонента функции р(х) была мала и, во-вторых, ее
спектр состоял из низкочастотных гармоник. Это возможно, лишь если число
параметров, входящих в p(.v), невелико и если каждый из них определяется по большому
количеству точек Д.
Поэтому, применяя метод предварительной аппроксимации, нельзя заходить
слишком далеко, увлекаясь аппроксимацией все более мелких «деталей» функции
f(x). Так мы рискуем «перекачать» в р(х) слишком большую часть случайных
слагаемых е*.
Нетрудно усмотреть, что изложенный метод предварительной
аппроксимации представляет собой лишь развитие метода ускорения
сходимости тригонометрических рядов Крылова (см. § 1.8).

Г л а в а IV
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
Теория и практика решения широких классов некорректных
задач освещены в настоящее время в литературе достаточно полно
(см., например, [20, 21 ]). Нет никакой необходимости повторять
здесь основные определения и конструкции, относящиеся к этому
вопросу. Скажем лишь, что мы будем рассматривать в настоящей
главе линейные задачи, для которых отсутствует непрерывная
зависимость между исходными данными и решением. Другими словами,
оператор, выражающий решение через исходные данные,
неограничен, так что малые возмущения исходных данных могут вызвать
большие возмущения результата.
Мы будем иметь дело с операторами типа свертки; для таких
задач метод Фурье особенно эффективен. Возмущения начальных
данных будут иметь характер случайных погрешностей точно так же,
как и в предыдущей главе. Главные усилия здесь должны быть
направлены на то, чтобы нейтрализовать рост погрешностей в
процессе решения задачи. В этих условиях основную роль будет играть
процедура сглаживания, которой посвящена гл. III. Алгоритм
решения включает в себя эту процедуру в качестве необходимой
составной части.
§ 1. Дифференцирование
Недостатки, присущие элементарным методам численного
дифференцирования, хорошо известны. Мы все же разберем их на
примере простейшей формулы
"* = ^(/*+i-Л-i)- <1>
Здесь ик — приближенные значения производной f'k. Если функция
/Ш дифференцируема, то при Ах -> 0 величины ик стремятся к f'k.
Но это имеет место только тогда, когда /к — точные значения
функции /(.v). В реальных условиях, когда /к известны лишь
приближенно, возникает явление, известное под именем «потери
точности при вычитании». При малых Ах величины fk^ и Д_] в правой
части формулы A) близки друг к другу, первые значащие цифры у
них совпадают и при вычитании сокращаются. Чтобы сохранить
надлежащую точность величин ик, необходимо добиться того, чтобы
110

по мере уменьшения Ах погрешности величин /к достаточно быстро
уменьшались. Если по-прежнему fk — fk + ек, где fk — точные
значения функции fix), ek — случайные погрешности, то должно
выполняться соотношение
ек = о (Ах). B)
Такое положение не является, конечно, следствием какого-то
неудачного стечения обстоятельств. Дело в том, что сама задача
дифференцирования — задача некорректная, ибо, как хорошо
известно, оператор дифференцирования неограничен.
В гл. III было показано, что с помощью подходящего фильтра
случайные погрешности ек можно существенно уменьшить, причем
при Ал: * 0 будет е'к -» 0. Правда, формулы (III.4.16), AII.4.19)
показывают, что мы в лучшем случае можем надеяться лишь на
выполнение соотношения е'к ~ VAx, так что условие B) не
достигается. Однако здесь нами упущена одна тонкость.
Откуда вытекает требование B)? Формулу A) можно
переписать так:
"* = 2te (/*+1 " ft-й + Ш (?*+1 " ?к-^ C)
Поскольку случайные величины ек по предположению взаимно
независимы, разность е*+1 — ek-i имеет тот же порядок, что и каждое
из слагаемых е*+1, ek-i (во всяком случае, она не меньше их). Чтобы
последний член равенства C) стремился к нулю, нужно,
действительно, выполнение соотношения B). Но если величины fk были
подвергнуты сглаживанию, в равенстве C) вместо e^+i, ek.l нужно будет
подставить ек+1, ek-i, а эти величины уже не будут независимы
(см. § III.4). Поэтому разность ek+i - ek-y может оказаться много
меньше каждого из своих членов (ср. рис. 26, 27). Именно потому и
не лишены оснований рекомендации проводить перед численным
дифференцированием сглаживание. Процедуру такого типа мы и
намерены сейчас исследовать.
Перейдем в частотную область. Положим
Через ик обозначаем вычисляемые (приближенные) значения
производной f'(x); условие разделения считается, как всегда,
выполненным. Метод Фурье состоит в том, что сначала вычисляется
функция Ц'{и>), а затем с помощью обратного преобразования Фурье
последовательность ик.
Частотная характеристика оператора дифференцирования есть,
как известно, ia>. Но положить просто *р(ш) = ки<р(а>) было бы
ошибкой. Функция /со возрастает и достигает максимума на концах
центрального интервала, т. е. там, где функция <р(ш) сводится к своей
случайной компоненте а(си). Чисто «шумовые» слагаемые в
величинах ик могут возрасти настолько, что «истинная картина»
производной /'(.v) будет полностью замаскирована.
m

Нужно, следовательно, осуществить фильтрацию шума.
Посмотрим, что здесь может дать «прямоугольный» фильтр вида (III.4.2):
ц(ш) =
1, |ш| < v,
О, |ш| >7-
E)
Будем по-прежнему считать, что в точке 7 выполняется равенство
19° G) I = °- Теперь можно написать
гр(а>) = x(cd) <p(w)> F)
где
х(со) = /а)ц(о)), G)
т. е.
х(ш)
/ш, |ш| < у.
О, N>7-
(8)
Величину К1 (см. § III.4) можно вычислить по формуле (Ш.4.6),
подставив туда вместо \к функцию х(а>). В результате получим
3 ,
К2 =
= -у> Ах.
ЗР Зл
Но Ах пропорционально
чит, чтобы К2 при Ах -
оK|(р°(оУ) |2 -* О при о; -* а
о2 (см. (Ш.3.5))
• 0 стремилось к
, или
и |«p°(Y) I =°-
нулю, должно
№(ш)\=о(\«>Г2).
(9)
Зна-
быть
A0)
Такая асимптотика будет обеспечена, если функция f(x) имеет
интегрируемые производные до второго порядка включительно.
Тогда, как и в гл. III, точность результата можно повышать за счет лишь
уменьшения шага сетки, т. е. увеличения числа измеренных
значений исходной функции f(x), без увеличения точности измерений.
Правда, в лучшем случае, когда ip° финитна и 7 ограничена, равенство
(9) даст К ~ VAx. Если fix) имеет интегрируемые произ-водные до
т-го порядка включительно, то рассуждения, приводящие к
неравенству (Ш.4.19), на сей раз дают
кг *s —
S
I
(Ах)
l-3.'Bm)
A1)
Попытаемся, например, вычислить производную функции,
которую мы в гл. Ill подвергали сглаживанию; ее «измеренные»
значения показаны на рис. 19 кружками. Для этого ее сумму Фурье
ip(w) (модуль этой функции изображен на рис. 25) оборвем в точке
7 = 9 и умножим оставшуюся часть на 1ш. Совершив обратное
преобразование Фурье, получим последовательность ик, показанную
на рис. 33 кружками; сплошная линия изображает точную производ-
112

ную функции f(x) (см. (III.1.10)). Конечно, при таком качестве
исходного материала трудно рассчитывать на ббльшую точность.
Обращает на себя внимание большая гладкость последовательности ик\
рассматривая ее, трудно даже заподозрить присутствие в ней случайной компоненты. Этот
феномен уже обсуждался в гл. Ш. Но здесь к нему прибавляется еще один эффект, на
графике почти незаметный и выступающий более отчетливо, если продолжить
вычисление последовательности ик дальше вправо и влево. Имеется в виду классическое
явление Гиббса (см. § 1.4).
Рис. 33
Ранее, в гл. III, рассматривая «прямоугольный» фильтр, мы этим явлением
пренебрегали, так как разрыв, возникающий у функции гр(о>) в точке v- был
относительно невелик; теперь положение иное. Исходная функция f(to) умножается
на возрастающий множитель ко, и значение произведения /oip(o>) в точке разрыва 7
может оказаться вполне ощутимым. Связанные с этим осцилляции могут выступить с
полной отчетливостью. Способы нейтрализации этого явления указаны в § 1.4;
простейший из них — применение сглаживающего фильтра вида A.4.14) (рис. 5).
Конечно, ничто не мешает нам применить вместо
«прямоугольного» фильтр, более близкий к оптимальному.
§ 2. Уравнения типа свертки
Уравнения вида
Аи = /, A)
где/ — заданная функция, и — искомая, А — оператор типа свертки
(см. § 1.3), называются уравнениями типа свертки. Если этот
оператор имеет ядро А (л), то уравнение A) можно представить в
интегральной форме:
/ h(x - у) и(у) dy = f{x). B)
Пусть г) (о) - частотная характеристика оператора Л; если уравнение
имеет вид B), то г\ (ш) есть фурье-образ ядра h(x). Если у (ш),
\р (ш) — преобразования Фурье функций fix), u{x), то
т)(со) tjj(w) = ip(co), C)
5 Эакал № 760
113

откуда
ip(oj) = <р(ш)/г](ш). D)
Следовательно, функция 1 /rj(a>) = ц~\ш) есть частотная
характеристика обратного оператора Л~\ выражающего решение и(х)
через fix):
и = Л-1/. E)
Задача решения уравнения A) будет корректной, если оператор
А'1 ограничен, и некорректной в противном случае.
Этот второй случай имеет место, если ядро h(x) есть абсолютно
интегрируемая функция. Действительно, тогда в силу теоремы Рима-
на — Лебега при со -» ±оо функция г]{ш) стремится к нулю, а
функция г)~\ш) неограниченно возрастает, откуда и следует, что оператор
Л-1 неограничен (см. § 1.3).
Запишем функцию fix) в виде f{x) = f(x) + е(х), где fix) —
«точная» часть, a e(.v) — погрешность измерений. Тогда и <р(а>)
представляется в виде <р(а>) — <р°(со) + а(со), и соотношение D)
принимает вид
Ц'{со) = (р°(си)/г](ш) + а(ш)/г](со). F)
Первый член дает точное решение, а второй — погрешность. Спектр
функции а(со), как мы знаем, может простираться до самых высоких
частот, где функция г]~\со) весьма велика. Второй член правой части
равенства F) может возрасти настолько, что точное решение будет
им полностью «поглощено».
Все это вполне аналогично картине, с которой мы ознакомились
в § 1. Если функция fix) задается последовательностью своих
значений fk = fk + ек, то f(co). Ч'(ш) представляются в виде A.4);
кроме того,
<р\ш) = Дл: 2 fie-"*", а(со) = Ах ? е*<Г"*". G)
к к
Будем по-прежнему применять «прямоугольный» фильтр с
частотой среза у. Чтобы оценить величину К2, нужно, очевидно,
в формулу (III.4.6) вместо // подставить rj~l, а интеграл взять от
-у до у:
К2 = ^]\г,-\со)\Ысо. (8)
Положим
/ \ri-\t) \гст = н:(Ш). (9)
Тогда из (8) имеем
К2 = ^Н\у). A0)
114

Ho A.v пропорционально о2, а в точке 7 будет | ч?°("/) I = °- Теперь
из соотношения A0) вытекает, что К будет стремиться к нулю, если
при ш -» оо
Я(со) |<р°(ш) I "*0. (И)
Во всем этом нет пока что, по существу, ничего нового по
сравнению с § 1. Мы остановимся подробнее на одном особом случае,
а именно когда функция т|(а>) обращается в нуль не только на
бесконечности, но ив конечных точках оси со.
Примером может служить «прямоугольное» ядро (или, как его еще
называют, окно):
h(x) =
1/Bа),
О,
1*1 <о,
\х\ > а.
A2)
Функция эта пронормирована так, чтобы интеграл от нее равнялся
единице. Ядра такого вида встречаются в некоторых задачах
спектроскопии (они называются там аппаратными функциями).
Частотная характеристика ядра A2) есть
Ч(<»)
A3)
она обращается в нуль во всех точках со = кп/а (к = ± 1, ± 2, ...).
Все основные особенности этой задачи лучше всего
проиллюстрировать на конкретном примере.
Положим
и(х) =
cos4.v, |.v| *? л/2,
О, \х\ > п/2.
A4)
Для ядра A2) выберем значение параметра а = л/3. Функция
f(x) получается сверткой функций и(х), h(x). Обе функции и(.х'),
fix) изображены на рис. 34.
Нашей задачей является,
исходя из функции /(.v),
попытаться «восстановить» и(х).
Для большей ясности не будем
пока вводить в fix) случайных
погрешностей.
На рис. 35 изображено
преобразование Фурье у (со)
функции /(.v) (поскольку
функции /(.v), и(х) четны, их
фурье-образы ip(oj), Ч'(°-0 действительны). Оно обращается в нуль i<
точке со = 3; этот нуль совпадает, конечно, с одним из нулей
функции г](ш). Из рисунка видно, что точка у может быть взята не дальше
точки со = 6.
Рис. 34
115

Для вычисления функции гр(со) мы не можем воспользоваться
непосредственно соотношением D): в окрестности точки со = 3
знаменатель мал. А в реальных условиях, когда <р(со) имеет
случайное слагаемое, она в этой окрестности может в нуль не
обращаться.
Мы знаем, что «оптимальный» фильтр (III.5.6) обладает тем
свойством, что в точках, где <р° = 0, обращается в нуль и/<. Поэтому
имеет смысл применить этот фильтр перед делением на rj(co); но его
нужно несколько преобразовать. Поскольку (р° = rftP, то
0,2
|2 , 0,2
'* | 0,2 , 2"
обозначая
приходим к выражению
ы2к°|2 + *2
c2 = oV|v°|2,
и - М'
f \v\2 + c\
I I2 , 2/l °l2'
A5)
A6)
Теперь мы можем вычислять функцию Ц) по формуле ц> = ц<р/>] =
= Х(р, где Я = ц/г], или, согласно A6),
A7)
II2, 2'
\п\ + с
Функция к(ш) аппроксимирует функцию t]~l(w) всюду, где
|^| з> с; в окрестности точки со, в которой rj(a>) = 0,
функция Д(су) особенности не имеет (она там обращается в нуль). Правда,
в выражение A5) для с2 входит ц>°, которая нам заранее не
известна. Но ведь выражения A6), A7) выведены нами с единственной
целью — ликвидировать особенность в окрестности точки со = со
(в нашем конкретном примере со = 3). А такая ликвидация с
успехом проходит, если положить с равным любой (достаточно малой)
константе.
116

Интересно, что формулу Ц> = Х<р можно получить из вариационного принципа,
подобно тому как был получен фильтр (Ш.2.11). А именно будем искать функцию
Ч>, удовлетворяющую условию (символом || • || обозначается норма пространства Ьг)
|| Аи - / | < 6
и имеющую минимальную норму
A8)
A9)
Как и в § Ш.2, легко убедиться, что в соотношении A8) должен стоять знак равенства.
Мы приходим к задаче минимизации функционала
J = || Аи - f ||2 + х || и ||2, B0)
где т - множитель Лагранжа. Перейдя в частотную область, получим
У =
2л
J Aчч>-<р|2 + х HV«>-
B1)
Подынтегральное выражение достигает минимума при условии г|) = )ир, где X
определяется формулой A7), причем с = т. Применяются и более сложные функционалы
(см. [24, гл. IV, § 1; 25. гл. I, § 7]).
Вернемся к нашему примеру. Положим с = 0,05 и вычислим
функции Х(ш), ^(ш). Последняя функция изображена на рис. 36;
тонкой линией показана «точная» функция t|>°(w), являющаяся
фурье-образом функции и(х) (см. A4)). Выполнив обратное
преобразование Фурье этих двух функций, получим картину,
воспроизведенную на рис. 37. Разность и0 Ос) - и Ос) представляет собой
синусоидальную, медленно затухающую в обе стороны функции. Эта
117

функция является, конечно, обратным преобразованием Фурье
разности Ц0(ш) — 4'(w)' а разность есть сумма двух 6-образных
функций, сосредоточенных вблизи точек ш = ± а> (в нашем случае
ш = 3). Поэтому в первом приближении и0 — и = р cos (Ьх. Можно
получить и более точное выражение для этой разности.
Имеем \р = и.ф°, где
ц =
1,2,2
= 1
I I2 , 2 '
111 + С
Поэтому, обозначая через 6\|> разность \р — гр, получаем
.2
6^ =
ll|2 + c2
ч>°.
B2)
Поскольку 6\|> заметно отлична от нуля лишь вблизи точек
ш = ± й, можем положить
г) = Л (со — й>);
из формулы A3) легко следует, что
Ь= - 1/ш.
Кроме того, положим здесь \|>° = у0 (ы) = const. Аналогичную
аппроксимацию проделаем и в окрестности точки о> = — ш. В
результате из B2) получится
6г|) = с со \J>'
1
1
, -.2 , 2-2
((U — 0>) + С О)
/ . -\2 . 2~2
(U) + (U) + С О)
B3)
Обратным преобразованием Фурье для этой функции будет
Ьи = cu>\|'Vr=lM cos <Ъх.
B4)
Обратим внимание на то, что общая амплитуда пропорциональна с;
кроме того, с входит в показатель экспоненты: чем меньше с, тем
медленнее затухание.
Следует заметить, что параметр с нельзя брать слишком
малым. Функция \|? вычисляется по формуле хр = Хф, а при
малом с коэффициент X в некоторых точках (вблизи oj = ± ш)
может быть весьма велик — нетрудно подсчитать, что max |Х| =
= 1/Bс).
Придадим теперь функции fix) случайное возмущение.
Положим A.v = 0,1 и во всех точках хк (—30 < к < 30) прибавим к
значениям fk случайные числа гк, равномерно распределенные на
отрезке (—0,2, 0,2 ]. Полученные таким образом значения fk = fk + zk
изображены на рис. 38. Вычисленная по этим величинам
функция [ф (<о)| показана на рис. 39, а функция \ц>\ — |Хф| — на рис. 40.
Мы видим, что вполне можно принять 7 = 6. Вычисленные при этих
условиях значения ик изображены (кружками) на рис. 41; сплошной
линией показана «точная» функция и ix).
118

fh
L,-
0
3 4 5 6
Рис. 40
119

Общая погрешность результата складывается здесь, во-первых,
из многократно увеличенных (и сглаженных) погрешностей е* и,
во-вторых, из погрешности, обусловленной «провалом» функции
гр(со) вблизи точек ш = ± &.
§ 3. Уравнения типа свертки (продолжение)
Рассмотрим еще раз формулу B.4):
^(ш) = т)_1(ш) ip(w). A)
Пусть q(x) — обратное преобразование Фурье функции т)-1(со). Тогда
на основании теоремы о свертках
и(х) = q(x) * f{x). B)
Правда, в нашем случае функция т)-1(со) неограниченно возрастает,
и ее преобразование Фурье в обычном смысле не существует, но мы
в частотной области всегда обрываем наши функции в некоторой
точке а) = V- Поэтому можно считать, что
v
q(x) = ^j ^"W) doy. C)
-у
Если функция т)_1(со) на отрезке | со | < у ограничена, решение
уравнения B.1) вполне можно вычислять из соотношения B); при
этом для свертки имеет место формула
ик = Ах ^ qk4 fj D)
/'
(см. § 1.5). Такой метод может оказаться выгодным, например,
если нужно решить ряд задач с одним и тем же ядром, но с
разными правыми частями fix). Нужно только иметь гарантию того,
что ни одна из функций у(ш) не выйдет за пределы отрезка
|ш| «7-
Но нас интересует ситуация, при которой функция г\ '(ш) имеет
особенности. Ограничимся случаем, когда они сводятся к конечному
числу простых полюсов. Перейдя к обобщенным функциям,
обнаружим, что q(x) есть регулярный функционал, т. е. самая обычная
функция, и ее можно вычислять по формуле C), если интеграл
понимать в смысле главного значения. Численное его определение
наталкивается на понятные трудности, и здесь следует применить
метод выделения особенностей.
Опишем эту процедуру применительно к примеру § 2. Здесь
ti~'(oj) = aw/sin aw. E)
Положим, как и прежде, а = л/3 и будем считать, что у < 6, Тогда
на отрезке |со| ^7 функция t]_1(oj) имеет два простых полюса в
120

точках со = ± со, где со = 3. Подберем рациональную функцию,
имеющую такие же полюсы. Простейшей из таких функций будет
F)
р(со) = 2со2/(со2
*2).
Нетрудно проверить, что разность д(а>) = ri~l{w) — р(ш) особенностей
уже не имеет.
Обратное преобразование Фурье функции р(со) вычисляется без
особого труда:
г (х) = со sin сох + {ci[(y + со) х] - ci|(y - со) х]\ +
+ ^-^jsi[(y + со) х] - si [(у - со) *]}. G)
Здесь si(z) и ci(z) — интегральные синус и косинус:
00 00
., n Г sin t , ., ч Г cos Г ,
si(z) = - J —Л, ci(z) = - J -у- Л.
В формуле G) предполагается, что х > 0; для отрицательных х
функция л (я) определяется по четности: г (х) = г (—х).
Преобразование Фурье d(x) функции д(ш) можно найти с
помощью обычного численного интегрирования. Необходимо только
учесть наличие разрывов в точках со = ± у; поэтому и здесь следует
применить прием выделения особенностей. Функция с/(х) теперь
может быть найдена из равенства
q(x) = r(x) + d(x). (8)
Отметим, что при х -» ±оо функция у(х) к нулю не стремится, о чем
свидетельствует первое слагаемое правой части равенства G); это,
конечно, является следствием неинтегрируемости функции rj~l(co).
Результаты решения той же задачи с исходными данными,
показанными на рис. 38, изображены на рис. 42. При сравнении с рис. 41
следует иметь в виду, что разница объясняется не только более
аккуратной обработкой сингулярности в точках со = ± сЪ, но и
изменением положения точки у.
121

В заключение остановимся на одном существенном вопросе. Если
мы попытаемся оценить общую величину случайной погрешности
результата с помощью коэффициента К (см. § III.4), который на сей
раз должен вычисляться по формуле
У
-г
то обнаружим, что К = оо. Это означает, что бесконечной будет
суммарная дисперсия
S'2 = Ал 2 s*
к
Дело в том, что, хотя величины sk2 конечны, ряд в правой части
последнего равенства расходится — его члены даже не стремятся к
нулю (это обстоятельство находится в прямой связи с тем, что
функция q(x) на бесконечности не стремится к нулю).
Характер нашей задачи таков, что ее решение и°(х) финитно, и
носитель решения заведомо меньше носителя исходной функции fix).
Поэтому те величины ик = и°к + ек, которые расположены за
пределами носителя и°(х), мы можем игнорировать, ибо там и°к = 0. Все
это показывает, что суммарная дисперсия S'2 не может в данном
случае служить эффективной мерой точности решения, ибо в нее
входит бесконечное число «лишних» величин ек.
В этой связи полезно вернуться еще раз к процедуре сглаживания (см. гл. III). На
рис. 28 показан результат, полученный с помощью «прямоугольного» фильтра. Там
же было сказано, что если применить оптимальный фильтр, то результат в пределах
точности чертежа не будет отличаться от рис. 28. На самом деле, если проделать
вычисления со всей возможной аккуратностью, можно будет заметить, что погрешности
при оптимальной фильтрации получаются даже несколько больше, чем при
«прямоугольной». Все дело в том, что «прямоугольный» фильтр, порождая эффект Гиббса,
вызывает медленно затухающие колебания по обе стороны носителя функции fix) (на
чертеже эти колебания не заметны). Оптимальный же фильтр, играя роль
сглаживающего множителя, эти колебания подавляет. И лишь за этот счет суммарное уклонение
величин qk от fl получается все же меньше.
Некорректные задачи принадлежат к числу наиболее трудных и
деликатных задач математической физики. При их решении
необходимо принимать все меры для нейтрализации роста погрешностей.
Здесь хотелось бы обратить внимание на прием предварительной
аппроксимации, о котором говорилось в конце гл. III. При этом
аппроксимирующую (для/(л:)) функцию следует выбирать такой, для
которой известно точное решение исходного уравнения B.1), — в
этом случае вся процедура существенно упрощается.
122

Глава V
УСТОЙЧИВОСТЬ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Устойчивости разностных уравнений всегда уделяется внимание
при изучении численных методов интегрирования уравнений
математической физики. В соответствии с общим характером книги
среди результатов, представляющих принципиальный интерес, мы
отобрали те, которые легко получаются с помощью
преобразования Фурье.
Мы ограничимся задачей Коши для линейных уравнений
эволюционного типа на всей бесконечной оси х.
§ 1. УСТОЙЧИВОСТЬ
Начнем с простого примера. Рассмотрим линейное уравнение
теплопроводности
Ни , Ь и
м дх2
где а = const. Будем решать для него задачу Коши на всей
бесконечной прямой. Пусть при / = 0 задана начальная функция
и@, х) = и°(х). B)
Тогда, как известно, для всех / > 0 решение выражается
формулой
и(/, х) = F(t, х) * и\х) = / F(t, х - у) и\у) dy, C)
где
' [ *Ч
F(/, .v) = —-= ехр - — . D)
Построим для уравнения A) простейшую разностную схему.
Выберем положительные величины г (шаг по времени) и h
(пространственный шаг). Заменяя в уравнении A) производные
разностными отношениями, можем написать
u{t + г, .у) - ц(/, .у) _ 2 »(/, .у + /)) - 2u(t, х) + u(t, x - /i)
Г h2
123

Введем обозначения: i" ¦= пх (п = О, 1, ...), u(t", х) = и"(х); г =
= (т/Л2) а2. Из уравнения E) следует, что
r/'+Vv» =
(х) = тп(х + Л) + A - 2г) и\х) + ги"(х - Л).
F)
Пользуясь этим уравнением, можем, начиная с и°(х), вычислять
последовательно функцию u(t, x) в моменты f1, i2, ... Подчеркнем, что
это уравнение имеет силу для произвольного х.
Конечно, при практических вычислениях вводится и
пространственная сетка хк = kh. Обозначив и"(хк) = и"к, перепишем уравнение
F) в виде
G)
и?1 = гипк+1 + A - 2г) и"к + л?-1.
В дальнейшем, как правило, будем считать, что разностное уравнение
имеет вид F); формулу же G) рассматриваем как своего рода
сокращенную запись формулы F).
Разберем конкретный пример. Положим а = 1; начальную
функцию и°(х) выберем «прямоугольной»:
и\х) -
1, |*| <6,5,
О, |*| > 6,5.
(8)
Пусть А = 1, т = 3/8, так что г = 3/8. Вычислим по формуле G)
решение в момент времени t = 3; для этого придется сделать
восемь временных шагов. Результат показан на рис. 43; здесь
кружками обозначены значения сеточной функции usk.
Сплошной линией изображено точное решение, вычисленное по
формуле C). В пределах точности чертежа приближенное решение,
полученное с помощью разностного уравнения, неотличимо от
точного.
Увеличим теперь шаг по времени вдвое, т. е. положим т = 3/4;
теперь будет г = 3/4. Чтобы достичь того же момента / = 3,
достаточно теперь четырех шагов. Функция и4к изображена на рис. 44;
для большей ясности ее значения соединены отрезками прямой.
Решение, как видим, представляет собой резко осциллирующую
124

(«пилообразную») функцию, ничего в этом смысле не
имеющую общего с весьма гладким точным решением. Если
продолжить расчет дальше, то размах колебаний будет стремительно
нарастать.
Рис. 44
Чтобы разобраться в этом вопросе, перейдем в частотную область.
Преобразование Фурье функции и"(х) обозначим через <р"(ш).
Произведя преобразование Фурье над обеими частями равенства F),
получим
<р"+\ш) = Х(ш) у»,
где
Л(о>) = re""" + A - 2г) + ге-"ш = 1 - 4rsm\haj/2).
Введя, как и ранее, обозначение ? = /ко/2, можем написать
Х(ш) = 1 - 4rsin2?.
(9)
A0)
A1)
125

Аналогичное соотношение имеет место и для точного решения.
Из равенства C) имеем
ип+\х) = F(x, х) * и"(х), A2)
откуда
<р"+1(<о) = ц(со) ^"(ш), A3)
где и(ш) - преобразование Фурье функции F(x, x):
ц(со) = е~а1х"'г. A4)
Перейдя от oj к переменной \, получим
И-(ш) = е~^\ A5)
Функции Х(ш), и(со) для г = 3/8 показаны на рис. 45.
После того, что было изложено в гл. II, III, этот рисунок вряд ли нуждается в
подробном комментарии. Отмстим лишь, что, сравнивая между собой функции >.(<о)
и ц(о>), можно установить порядок точности разностной формулы F)
подобно тому, как в гл. II исследо-
i ,,_ валась точность
интерполяционных формул. Однако нас сейчас
интересуют другие вопросы.
Те же функции Х(ш),
".(ш) для г = 3/4
изображены на рис. 46.
Функция f"(w)
получается из ip°(o>) умножением
на п-ю степень множителя
Х(со):
<Р»= lX(w)]V(w).
A6)
Обратимся снова к рис. 45 и попытаемся представить себе характер
функции [Х(со) ]" при больших п. В пределах центрального отрезка
|ш| sg (} ф = тс/Л) функция Х(со) всюду, кроме точки ш = 0, строго
меньше единицы. Поэтому ее л-я степень на любом замкнутом
отрезке, не содержащем точку со = 0, при п -* о° равномерно
стремится к нулю. Методами, которые применяются в теории
вероятностей при доказательстве центральной предельной теоремы, можно
показать, что в некотором смысле (который пока нет
необходимости уточнять) функция X" сходится к ц". Правда, функция X (oj)
периодична (ее период равен 2{i) и в окрестностях точек oj =
= ± 2k[i (к = 1,2, ...) близка к единице; в этих точках будут
равны единице и все ее степени. Эти «побочные пики» создают
дополнительную разницу между точным и приближенным решениями
нашего исходного дифференциального уравнения A). Все же решение
разностного уравнения будет оставаться близким к решению
дифференциального уравнения.
Совсем иная картина наблюдается при г =3/4 (см. рис.46).
У точек си = ± (} теперь существуют окрестности, в которых
|X(oj)| > 1; в частности, X(±ji) = —2. При возведении функции
126

X(oj) в /7-ю степень се значения в этих окрестностях будут
экспоненциально возрастать. С увеличением номера шага п
соответствующие гармоники «забьют» все остальные. Длина волны, отвечающая
частоте ш = ±р\ составляет 2Л; поэтому и получается пилообразная
сеточная функция (см. рис. 44). Конечно, аналогично будут вести
себя и гармоники с частотами со = ±3fJ, ±5p\ ... , но, если мы
рассматриваем лишь точки д
сетки с шагом h, они
будут неотличимы от частот
со = ±р\
Но предположим, что
начальная функция w°(.v)
имеет финитный спектр,
который сосредоточен в о
такой окрестности точки
со = 0, где функция Х(со)
не превосходит по модулю
единицы. Тогда, казалось
бы, описанного выше
роста гармоник уже быть не
может. Однако здесь
вступает в игру фактор,
присутствующий в любом
вычислительном процессе,—
погрешности округления.
Поскольку они носят
нерегулярный, беспорядочный Рис. 46
характер, мы имеем право
рассматривать их как случайные. Но в таком случае (см. гл. III) и\
спектр распределен равномерно по всем частотам, и часть его
обязательно попадет в окрестности точек со = ±р. Как бы малы они
вначале ни были, с ростом п они возрастут настолько, что результат
будет полностью обесценен — мы снова получим «пилообразную»
функцию. Это явление неудержимого роста гармоник получило
название неустойчивости.
Чтобы избавиться от этого эффекта, нужно, очевидно, подчинить
выбор параметра г условию |Х(со) | s? 1. Согласно формуле A1)
функция Х(со) меняется в пределах от 1 до 1 — 4г. Условие
1 - Аг > — 1 дает
/•< 1/2. A7)
Это и есть условие устойчивости разностного уравнения F) (или
G)). Оно хорошо известно, и его соблюдение с полным основанием
считается обязательным.
Если это условие выполнено, то, как показывают формула A1)
и рис. 45, все гармоники (за исключением отвечающей частоте
со = 0 и, быть может, ш = E) будут с ростом номера шага п убывать
по закону геометрической прогрессии. Предположим, например, что
начальная функция и°(х) задана точно, посредством простого
аналитического выражения. Тогда начальное возмущение Ьип будет со-
127

стоять только из погрешностей округления, возникших при
вычислении функции и0, и, следовательно, по своей величине сравнимо с
последними знаками разрядной сетки вычислительной машины. Уже
через несколько шагов (или десятков шагов) величины Ьи"
уменьшатся настолько, что выйдут за пределы разрядной сетки и полностью
«исчезнут».
Но ведь погрешности округления возникают буквально на каждом
шагу, после практически каждой арифметической операции.
Параллельно процессу затухания начального возмущения Ьи" идет процесс
«зарождения» новых возмущений. Эти новые возмущения в свою
очередь вовлекаются в механизм затухания. В целом оказывается,
что на каждом временном шаге общая погрешность величины и"
состоит из возмущений, возникших на некотором ограниченном
числе предыдущих шагов. Словом, здесь действует принцип «старые
ошибки забываются». Общая погрешность не выходит за пределы
(как правило) двух-трех последних разрядов.
Несколько иначе будет обстоять дело, если начальная
функция «° получена в результате измерений. Погрешности измерений
на много порядков превосходят погрешности округлений, которые
на первых порах можно не принимать во внимание. Все
гармоники начальных погрешностей Ьи° будут затухать по
экспоненциальному закону, пока возмущение Ьи" не сравняется с
погрешностями округления. Дальше процесс будет идти так, как
описано выше.
Здесь, правда, необходима оговорка. Существуют разностные
схемы (мы с ними в дальнейшем познакомимся), для которых при
всех со соблюдается равенство | Х.(ш) | = 1. Описанное выше затухание
здесь отсутствует. Новые погрешности округления просто
складываются со старыми. Однако в подавляющем большинстве случаев эти
погрешности можно считать независимыми случайными величинами,
так что при их суммировании будут действовать статистические
законы. Общая погрешность будет расти примерно как Vn. Но это
свойство присуще любой сколько-нибудь сложной вычислительной
процедуре.
§2. Корректность постановки задачи Коши
Рассмотрим уравнение эволюционного типа
ди/д! = Ли. A)
Здесь А — линейный дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами или вообще оператор типа свертки. Для этого
уравнения решается задача Коши на всей бесконечной прямой: при
/ = О задается начальная функция и0Ос) и ищется решение u(t, х)
для всех / > 0.
Эта задача по определению поставлена корректно, если:
1) для любой начальной функции и°(х) решение существует;
2) это решение единственно;
128

3) для любого фиксированного t > О решение u(t, х) непрерывно
зависит от и0Ос).
Будем предполагать, что как начальная функция и (х), так и
решение uU, x) при любом фиксированном t > 0 принадлежит
некоторому линейному нормированному пространству (как правило, Ц).
Пусть <p(t, со) — преобразование Фурье функции u(t, х), а(ш) —
частотная характеристика оператора А. Тогда из A) имеем
d<p/dt - a<p. B)
Решение этого уравнения выражается формулой
>р{1, со) = (TMf\co). C)
Фиксируем произвольный момент t > 0. Вспомнив § 1.3,
заключаем, что переход от начальной функции и°(х) к решению u(t, x)
уравнения A) осуществляется линейным оператором типа свертки F,:
u(t, x) = F,u\x), D)
с частотной характеристикой
fi,(co) = e"'M. E)
Пример такого оператора дает формула A.3).
Поскольку непрерывная зависимость u(t, x) от и°(х) эквивалентна
ограниченности оператора F„ а норма этого оператора в метрике L2
совпадает с максимумом модуля частотной характеристики /и,(со)
(см. § 1.3), то задача Коши для уравнения A) будет поставлена
корректно в том и только в том случае, когда функция fi,(co)
ограничена.
Так, в случае уравнения теплопроводности A.1)
а{со) = - а2со\ ц,{со) = е-".
Поскольку |/11 < 1, задача Коши поставлена корректно. Если же мы
в уравнении A.1) переменим знак у правой части (получится так
называемое обратное уравнение теплопроводности), то получим
fi(t) = e".
Эта функция неограниченна, и соответственно задача Коши будет
уже некорректной.
Аппроксимируем теперь дифференциальное уравнение A)
разностным уравнением вида (мы сохраняем обозначения § 1)
""+1М = 2 <&"«"(* - mh)- <6>
т
Коэффициенты а,„ зависят, конечно, от шагов сетки т, п, но не
зависят от номера шага п. Поэтому для упрощения записи будем
полагать п - 0 и, кроме того, опускать верхний индекс 0. Уравнение
F) примет вид
«'(*) = Е ЯпМ{х - mh). G)
129

Коэффициенты qm подчиним условию
2 Ш < <*>• (8)
т
Тогда, если функция и Ос) принадлежит некоторому линейному
нормированному пространству, ряд в правой части равенства G)
сходится по норме этого пространства.
Рассмотрим вопрос о корректности постановки задачи Коши для
разностного уравнения F) (или G)). Фиксируем некоторый
момент времени t и натуральное число п; положим т = t/n.
Выберем также некоторый пространственный шаг А. Функция u(t, х) =
= и"(х) получается из и°(х) и-кратным применением разностной
формулы G).
Первые два условия корректности выполняются тривиальным
образом, так как на каждом временнбм шаге формула G) дает явное
выражение для функции и. Остается вопрос 6 непрерывной
зависимости функции и"(х) от ы°(;с).
Формула G) задает оператор G, переводящий функцию и(х) в
функцию и1(х):
и1 = Gu\ (9)
этот оператор, очевидно, линеен. Предположим, что наше линейное
нормированное пространство таково, что в нем норма функции не
меняется при сдвиге, т. е. для любого а
|| и(х - а) || = || и(х) ||. A0)
Тогда из равенства G) имеем
1И*) II < 2 II</».«(*-«А) 11= BШ) IN*) II- (in
т 1 т J
В силу условия (8) величина, заключенная в скобки, конечна. Отсюда
11с||<2Ы- A2)
т
Таким образом, оператор G ограничен. Но для функции и"(х) имеем
и" = С'и°, A3)
а поскольку для любого линейного оператора
\\G"\\< || С IIя, A4)
то ограничен (а стало быть, непрерывен) и оператор, переводящий
и0 в и".
Таким образом, функция и"(х) = uU, x) зависит от и°(х)
непрерывно. Однако для заключения о корректности нашей задачи этого
еще недостаточно. С помошью разностных формул точное решение
можно получить только в пределе при т, h -* 0. Следовательно,
разностный метод должен «выдерживать» процедуру вычислений со
сколь угодно малыми шагами сетки.
130

При т -* 0 величина п = t/x стремится к бесконечности. Если при
этом норма оператора G" неограниченно возрастает, то малые
возмущения функции и (х) могут привести к сколь угодно большим
возмущениям функции и"(х) = u(t, x) Этот феномен и есть то, что
называют неустойчивостью. Корректность постановки задачи Коши
для разностного уравнения должна означать, что непрерывная
зависимость функции u(t, x) от и°(х) равномерна пот, Л. Для
этого нужно, чтобы семейство операторов G" было равномер-
ноограничено.
Для более строгой формулировки этого условия необходимы
некоторые уточнения. Существуют разностные схемы, остающиеся
устойчивыми, когда х, h стремятся к нулю независимо друг от друга
(к ним принадлежит, например, рассматриваемая далее неявная
схема для уравнения теплопроводности A.1)). В других случаях
требуются некоторые условия, связывающие шаги х, h (например,
как в случае уравнения A.6), условие A.17)). Поэтому будем
считать, что фиксирована некоторая функциональная
зависимость h = h (х) такая, что при х -* 0 также и h -* 0. Тогда
коэффициенты дт уравнения G) будут зависеть лишь от х, и
соответственно оператор G зависит от х как от параметра. Этот факт будем
подчеркивать, обозначая
G = GX. A5)
Фиксируя произвольное t, для любого натурального п положим
x = t/n. A6)
Разностное уравнение G) называется устойчивым, если семейство
операторов G" равномерно ограничено:
||G?||=SM, A7)
где М — некоторая константа, не зависящая от п (но она может
зависеть от 0.
Важнейшее достаточное условие устойчивости выражается
неравенством
||G,||=1+0(t). A8)
Действительно, тогда существует константа Ь, для которой
|| С7,|| < 1 + Ьх.
Отсюда
|| G: || < || G, ||" < A + Ьх)" = A + Ы/п)" < еы.
Более сильным является требование
||С, ||<1. A9)
Разностные уравнения, удовлетворяющие этому условию,
называем строго устойчивыми. Необходимо заметить, что строго
устойчивые разностные схемы могут существовать лишь для таких диффе-
131

ренциальных уравнений, решения которых подчиняются принципу
максимума:
И «</,*) И < ||«V)I|.
Важнейшие уравнения математической физики этому
принципу удовлетворяют; поэтому условие строгой устойчивости
весьма распространено. Некоторые авторы признают
устойчивыми лишь разностные уравнения, для которых имеет силу
неравенство A9).
В пространстве Ц, вычисление нормы разностного оператора (как
и любого оператора типа свертки) основано на равенстве
|| С, || = max |Х(со) |, B0)
где Х(ш) — частотная характеристика оператора Gt (см. A.3.13)).
Функцию Х(ш) можно отыскать следующим образом. Подставим
и (х) = ёы в правую часть равенства G); тогда (см. § 1.3)
и\х) = X(wyw. B1)
Выполнив эту операцию, получим
Х(ш) = ^ Яте-^т. B2)
т
В силу неравенства (8) частотная характеристика Ц<») есть
функция ограниченная и непрерывная, так что равенство B0)
корректно.
Частотной характеристикой оператора G" будет, конечно, л-я
степень частотной характеристики оператора G„ т. е. функция
[Х(ш) ]". Поскольку
max |Х"| = (max |X|)",
то очевидно, что
II СГ ||= II С II". B3)
т. е. в пространстве Li неравенство A4) переходит в равенство.
Отсюда вытекает, в частности, что достаточное условие
устойчивости A8) будет и необходимым.
Для примера предыдущего параграфа частотная характеристика
указана в формуле A.11). При условии A.17) формула A.6) строго
устойчива; если же это условие нарушено, то, как легко видеть,
К 11 = 41- 1.
Отсюда следует, что уравнение F) будет устойчивым, лишь если г
отличается от 1/2 на величину порядка т.
Остановимся еще ма вопросе о вычислении нормы разностного оператора в
пространстве С непрерывных ограниченных на всей оси х функций и(х) с нормой
II «(*) II = sup |и(л-)|.
132

1,
0,
1,
q-k >0
<?-* = o
q-k < О
Неравенство A2) здесь остается в силе. Покажем, что на самом деле здесь имеет место
точное равенство. Зададим функцию и(л) следующим образом. В точках сетки Хк =
= АЛ положим
Uk =
На каждом же сеточном отрезке [**, jc*,i] определим и(х) как линейную функцию,
принимающую на концах значения и*, и**ь Получится непрерывная кусочно
линейная («ломаная») функция, причем очевидно, что
II «W 11 = 1 B4)
(мы предполагаем, что не все <?* равны нулю). Теперь из G) имеем
«'@) = 29т"-т = 2кт|.
т т
так что
т
В силу B4) отсюда вытекает неравенство
11^11» 2 1в»|.
т
что вместе с A2) дает
|Ст| = 2|«™|. B5)
т
Многие важные уравнения математической физики обладают тем свойством, что
если начальная фунция и (х) есть тождественная константа, то и решение u(f, x) для
любого фиксированного t также есть константа, совпадающая с и (таково, например,
уравнение теплопроводности A.1)). Вполне естественно потребовать, чтобы
аналогичным свойством было наделено и разностное уравнение G). Если положим и(х) =
= и (х) = const, то получим
3>т=1. B6)
m
Требование строгой устойчивости приводит, согласно B5), к равенству
2Ы = 1. <27>
т
Равенства B6), B7) влекут за собой неотрицательность
коэффициентов <?,„.
Условие неотрицательности коэффициентов зачастую оказывается
обременительным (например, оно может существенно ограничивать порядок точности
разностного уравнения). Поэтому условие строгой устойчивости в пространстве С
играет несравненно меньшую роль, чем в пространстве Li- Заметим, что условие
устойчивости A8) в пространстве С отнюдь не является необходимым.
Из очевидного неравенства
I >•(«>) I = 12 «»*-"¦*-1 <2Ы
т т
вытекает соотношение
||С||,.2< || С ||с B8)
для любого разностного оператора С. Поскольку степень разностного оператора есть в
свою очередь разностный оператор, то неравенство B8) означает, что разностная схема,
устойчивая в С, устойчива и в 1.2. Обратно, схема, неустойчивая в L.2, неустойчива и
в С. Поэтому и мри исследовании устойчивости в С анализ функции Х(ш) сохраняет
свое значение.
Заметим, что в пространстве С функции с""г являются собственными функциями
любого разностного оператора G. а соответствующие значения функции ).(ш) —
133

собственными значениями. Полтому вычисление функции Д(а>) трактуется иногда как
нахождение собственных значений оператора С. Пространству Li функции e""v \w
прина;1лежат; поэтому оператор G собственных значений, вообще говоря, не имеет —
значения функции Л(<о) составляют его спектр.
Отметим еще, что для разностного уравнения теплопроводности A.6) условия
строгой устойчивости в пространствах Z.2, С совпадают — сумма коэффициентов
уравнения A.6) равна единице, а при условии A.17) эти коэффициенты
неотрицательны.
В заключение подчеркнем, что ограниченность оператора и его
непрерывность эквивалентны лишь для линейных операторов.
Для нелинейных уравнений ограниченность решений и
устойчивость их по отношению к малым возмущениям начальных
данных отнюдь не являются синонимами.
§ 3. Уравнения акустики
В этом параграфе займемся одномерной задачей акустики, т. е.
задачей о движении малых возмущений в неподвижной сплошной
среде (газе или жидкости). Пусть и — колебательная скорость среды,
которая предполагается малой; р, р — малые отклонения плотности
и давления от постоянных величин р0, р0; I — время; л: —
пространственная координата. Одномерные уравнения акустики имеют вид
[17, гл. VIII, §64]
+ Ро —= 0, — + —— = 0. A)
т r ox dt Pa ох
Величины /;, р связаны уравнением состояния
р = сгр; B)
здесь с - скорость звука, которая считается постоянной. С
помощью соотношения B) первое уравнение системы A)
преобразуется К ВИД;
ор ¦> я и
-+р0с-2- = 0. C)
Введем так называемые инварианты Римана:
Обратно,
Л =
л + в
U~ 2 '
Рас
Р = Рос
В = и - —.
Рос
.1 - 11 />0 А - 11
2 ' Р- с 2 '
D)
E)
Разделив уравнение C) на рсс, а затем прибавив и вычтя его из
второго уравнения системы A), получим
НА о А „ оВ ЬВ
— + с — = 0, — - с — = 0. F)
01 ОХ <I ОХ
Таким образом, исходная система A) распалась на два независимых
уравнения F).
134

Дальнейшее изложение построено по следующему плану.
Сначала рассмотрим один класс разностных схем для уравнения типа F)
и исследуем их устойчивость. Затем с помощью соотношения E)
вернемся к переменным и, р, р и получим тем самым разностные
уравнения для исходной системы A).
Итак, рассматриваем уравнение
dv dv n
— + а — = 0, G)
rit d.v
где а = const, которое можно считать простейшим уравнением
гиперболического типа. Как всегда, обозначаем
v(t", х) = v\x), v"(x*) = tf •
Как мы уже условились, верхний индекс 0 будем опускать. Тогда
, dv т1 Ъ V
vl= v0 +r-- + -— +... (8)
'" 2 ;>Г
(все производные относятся к точке (Л х0)). Из уравнения G)
следует, что
bv dv д V 2 д v
« = -fl^' li? = a H72'
Подставляя эти соотношения в (8), получаем
2 2 J
vl = v0 - та — + —- —- + ... (9)
Будем конструировать трехточечную разностную схему вида
vl = (i-ivk + i + q0vk + q\Vk-u A0)
коэффициенты <?_i, qa, qx подберем так, чтобы величины v[
аппроксимировали точное решение v(r, x) уравнения G) в точках л*.
Поскольку коэффициенты q,„ предполагаются не зависящими от к, в
равенстве A0) для упрощения записи положим к — 0:
vl - <7-iV| + q0v0 + qiv.i. A1)
Имеем
(iv A a v
(')v h h v
у.1 = и,-Л- + т^+...
Подставляя эти выражения в A1), получаем
'iv Л ч r/v
v0 = (v-i + Qo + qi) Щ + h (</_, - </,) — + — (</_, + qx) — +... A2)
« 2 -- *" (lx2
Потребуем, чтобы первые два члена в правых частях разложений (9),
A2) совпали. Обозначая г = та/h, приходим к равенствам
(/_; + С/п + </; = 1, qx— </._, = Г. A3)
135

Мы не будем добиваться совпадения третьих членов, содержащих
вторую производную d2v/dx2. Общее решение уравнений A3) будет
содержать свободный параметр, который обозначим через s; положим
s = 1 — <70. Как легко убедиться,
<7-i
- (s -г), а0 = 1 - s, qy = -(s + r).
Подставив эти выражения в формулу A1), получим
vo = v0 - - (vj - v_i) + - (vi - 2v0 + v_j).
A4)
A5)
Если теперь подставим A4) в разложение A2) и вычтем полученное
выражение из (9), то придем к формуле для остаточного члена:
R
2 J-
,, Г - S д V
h2-r~+..
* дх
A6)
Займемся исследованием устойчивости формулы A5). Ее удобно
переписать в виде
s . г
vl = A - s) v0 + - (^ + v_t) - - (v,
v-.).
A7)
Чтобы найти частотную характеристику этого оператора,
положим, как всегда, v{x) = е'ш. Получим \^(х) = Х(а>) е'"'х, причем
Х(а>) = A — s) + s cos Лш — ir sin Леи.
A8)
Эта функция имеет период 2n/h. Когда со меняется от 0 до 2n/h,
точка X на комплексной
плоскости описывает замкнутую
кривую, а именно эллипс с центром
в точке 1 — s, горизонтальной
полуосью \s\ и вертикальной
|г| (рис. 47).
Условие строгой
устойчивости |Х(со) | < 1 означает, что
этот эллипс не должен выходить
за пределы единичного круга
(изображенного на том же
рисунке). Для этого необходимо и
достаточно, чтобы были выполнены
два условия.
1. Вершина эллипса,
отвечающая со = ж/h, т. е. X = 1 — 2s,
должна лежать на отрезке действительной оси | — 1, 1 ]:
|1 - 2s | < 1.
Отсюда легко вытекает
О «; s =S 1. A9)
Рис. 47
136

2. Радиус кривизны эллипса в точке X = 1 не должен
превосходить единицы. Согласно известной формуле, радиус кривизны в
этой вершине равен i*/s. Следовательно,
? < s. B0)
Условия A9), B0) объединяются в одно двойное неравенство
? < s< 1. B1)
Это и есть условие строгой устойчивости разностной
формулы A5).
Первым следствием из условия B1) будет неравенство
М<1.
B2)
Его часто называют условием Куранта. Смысл его хорошо известен,
и мы не будем на нем задерживаться.
Если не требовать строгой устойчивости, условие B1) может быть и
нарушено. Положим, например, s = 0. Тогда
X = I - ir sin /к».
B3)
B4)
Имеем
|).| = V] + г2 sin2 Ли
Максимум этой величины равен
1>.|тах = ^1 +г>.
B5)
Из условия B.18) следует, что для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы
^ = 0(т),
т. е. чтобы
г2 < Лт,
где Ь — ограниченная величина. Отсюда
х<-г?
B6)
Это условие, как правило, слишком обременительно. Поэтому формулы, подобные
B3), на практике применения не находят.
Вернемся к формуле A5). Поскольку
V\ ~ V_, = (Vi + V0) - (Vb + V-i),
Vi - 2v0 + v_i = (v, - v0) - (v0 - »_,),
то очевидно, что
Vo = v0 - r
V] + V0
2r
(Vi - V0)
v0 + v_,
2r
(Vq - V_i)
137

Положим
* V! + V0 S
B7)
* V0 + V_! S
V-i/2 = j Yr ^V° ~ V_1^
Тогда
vj = v0 - /-(v*2 - v!w). B8)
Нетрудно убедиться, что величины v*m, v*.m, задаваемые
формулами B7), сами по себе аппроксимируют решение
уравнения G). В самом деле, положим в формуле A7)
s=l:
* = —г- ~ ха -ИГ' B9)
Если введем величину т* с помощью соотношения
то первая формула B7) примет вид
* Vl + V0 * Vi - V0
^ = — -xe—•
Отсюда видно, что величина v*2 аппроксимирует значение функции
v(/, х) в точке t = х*, х — /г/2, т. е. имеет место приближенное
равенство
v*m « v (т\ Л/2). C1)
Аналогично
v.m~ v(x*, -Л/2). C2)
Из C0) получаем
s = 2п* j = 2? х~.
Подставим эту величину в условие строгой устойчивости B1). После
элементарных преобразований получим
i*i-«if. ш.
В этих пределах и надлежит выбирать «вспомогательный шаг» х*.
Напишем теперь схему типа B8) для уравнений F):
Ло = Л о - j{ с (Л*У2 - Л1Ь7),
C4)
вЪ = в0 + jtc(K2 -в%2).
138

При этом
.* Лх + А0 Г* . . . .
Лу2 = j "Л ^ ' ~ °^'
C5)
Вт = -L2-? + \ с № ~ *<>).
Складывая и вычитая равенства C4), C5) с учетом соотношения E)
приходим к формулам
Рй = Рп ~ Со Jt («*2 - U*-.u2),
C6)
1 х t * * \
"° = "" ~^о Л (Рт ~ P~vl)-
Через а0 мы обозначили константу р0, входящую в уравнения A),
чтобы отличить ее от значения функции р (Л .v()). Для величин
"i/2> Р\;г получим
«1,2
 + "О I
2 "о Л
TZTilh -По),
* Р\ + Рп л , .
Р\ 2 = , <70С — («! - и0)\
C7)
аналогично, конечно, вычисляются и*ш, /j*i-2. Условие устойчивости
C3) сохраняет силу; нужно только положить г = тс/h.
Что касается выбора вспомогательного шага г*, то мы
ограничимся самыми общими замечаниями. Во-первых,
выражение A6) для остаточного члена показывает, что при \ = л2
точность наших формул повышается. Условие s = г эквивалентно
равенству
т* = г/2.
К сожалению, при таком выборе параметра г* наша схема
приобретает некоторые нежелательные качества, о которых подробнее будет
говориться в гл. VI.
Среди рассматриваемого семейства разностных уравнений
выделяются те, для которых коэффициенты q,„ (см. A4)) неотрицательны;
наиболее точными из них будут такие, для которых \ = \г\ (см. [10,
гл. I, § 4 |). При этом, как легко убедиться,
г* = ^. C8)
И 2
Следует, однако, иметь в виду, что при малых \г\ вспомогательный
шаг г может быть весьма большим и намного превышать «основной»
шаг т. Довольно ясно, что в таких условиях трудно ожидать
сколько-нибудь удовлетворительных результатов.
13''

§4. Неявная схема
В § 1 было рассмотрено уравнение теплопроводности A.1). Для
него было построено разностное уравнение A.5) — A.7) и получено
условие устойчивости A.17). Оно эквивалентно неравенству
т < А2/Bа2). A)
Практическое неудобство этого условия, вынуждающего часто
выбирать слишком малый шаг т и тем самым сильно увеличивающего
общий объем вычислительной работы, заставляет искать схемы,
свободные от этого недостатка. Одна из таких схем получается из
уравнения A.5), если стоящую в правой части вторую разность
отнести к верхнему шагу:
и\х) - и(х) _ 2 и\х + h) - 2и\х) + и\х - h)
Л2 • (>
В «сеточной» форме это уравнение приводится к виду (по-прежнему
г = ia2/h)
ruUi - A - 2r) u\ + rul-i - - ик. C)
Как видим, эта формула не дает явного выражения величин через
ик, а представляет собой конечно-разностное уравнение для сеточной
функции и\, которое надлежит решать на каждом временнбм шаге.
Поэтому она и называется неявной.
На практике, когда интервал задания функций и"(х) конечен и
на его концах заданы определенные граничные условия, уравнение
C) решается, как известно, методом прогонки. Но мы будем
исследовать это уравнение на всей бесконечной оси лс; в первую очередь
займемся его устойчивостью.
Обозначая, как и прежде, через <р"(си) преобразование Фурье
функции и"(х), из уравнения B) легко получим
11 + 4г sin2 - со J ipl = <р. D)
ip1 = Х<р,
т. е.
причем
X = : E)
1 + 4r sin (W2).
Очевидно, что всегда | X | < 1. Нами доказаны утверждения:
1. Для любой функции и (х) G Ц уравнение B) имеет
единственное решение и1(х), принадлежащее тому же пространству.
2. При любых шагах сетки т, h норма оператора Gx равна
единице, так что выполняется неравенство
\W\\<\\»\1 F)
Тем самым разностная схема C) безусловно устойчива.
140

Решение уравнения B) можно выписать и в явной форме в виде
формулы типа B.7):
и\х) = X Qmu(x - mh). G)
m
Действительно, согласно равенству B.22), величины qm суть
коэффициенты Фурье функции А(а>), так что
<*•» = м J «*"*"*И dot, (8)
-Р
где по-прежнему /3 = л/h. В нашем случаеА(а>) выражается формулой
E) и является четной функцией. Поэтому
Р
=;/
c0,""", do>. (9)
1 + 4r sin2 (hat/2)
Эти интегралы поддаются преобразованию к «табличной» форме. Мы,
однако, вычислим коэффициенты q,„ другим способом.
Напишем уравнение G) в «сеточной» форме:
и\ = ^дтик-,„. A0)
т
Положим теперь
ик
A1)
1, * = 0,
0, к * 0.
Подставив это значение ик в A0), легко получим
и\ = дк. A2)
Следовательно, чтобы получить коэффициенты qk, достаточно
решить конечно-разностное уравнение C) с правой частью A1).
Подобную задачу мы уже решали в гл. II (см. § II.4). Не будем
поэтому приводить все выкладки, а укажем сразу результат (который
при желании нетрудно проверить). Оказывается, что
г-1*1
«* = ттр (,3)
где
1 + 2г + VI + 4?
2г
A4)
При к -* ±оо коэффициенты qk экспоненциально убывают, ибо
1 + /ПГ4г
2=1+ " > 1.
2г
141

Поэтому условие B.8) выполняется. Более того, легко
подсчитать, что
2>„ = i. A5)
Поскольку величины qk положительны, это означает, между прочим, строгую
устойчивость исследуемой схемы в пространстве С (см. B.27)).
§ 5. Трехслойная схема
До сих лор мы рассматривали «двухслойные», или «двухша-
говые», уравнения, т. е. такие, которые связывают между собой
значения искомой функции на двух последовательных временных
шагах. Сейчас мы исследуем один пример трехслойного разностного
уравнения.
Возьмем классическое волновое уравнение
^ = с^. A)
ht ОХ
где с = const, и заменим в нем вторые производные вторыми
разностями:
h" + ,(.v) - 2и"(х) + и"~\х) 2 и"(х + Л) - 2и"(х) + ,"(х - Л)
— > = С . B)
т /I
Традиционный способ исследования устойчивости схемы B)
состоит в следующем. Полагаем
и"(х) = Д V™. C)
Подставив это значение и" в уравнение B), после элементарных
выкладок получим для X квадратное уравнение
Л2-2A - 2r2 sin2 \ ш) X +1=0, D)
где г = тс/h.
Произведение корней уравнения D) равно единице. Поэтому,
если имеется два различных действительных корня, один из них по
модулю обязательно больше единицы; во всех остальных случаях
модули обоих корней равны единице. Далее оказывается, что первый
случай (корни действительны и различны) возможен только при
г > 1. В самом деле, введя обозначение
Л <5)
а(а>) = г sin -co,
для корней уравнения D) получим
ХХ1=\ -2аг ±7а^аг-~\. F)
Если /•> 1, то из равенства E) легко вытекает, что на оси ш
существует интервал, на котором \а\ > 1, и, следовательно, оба X
142

действительны и различны. Если же г < 1, то осуществляется второй
случай (корни по модулю равны единице).
На этом основании делается заключение, что условием
устойчивости уравнения B) является неравенство
/¦< 1. G)
Правда, случай равенства г = 1 является в некотором смысле
особым — при нем в уравнении D) появляются кратные корни.
Поэтому некоторые авторы предпочитают считать условием
устойчивости строгое неравенство
/¦< 1. (8)
Случай, когда нарушено неравенство G), сомнений не вызывает.
Однако вывод, что это неравенство или даже неравенство (8)
гарантирует устойчивость, будет, как мы сейчас покажем, несколько
поспешным. Но сначала нужно уточнить некоторые основные
определения.
Уравнение B) выражает функцию и"*1 Ос) через и"(х), и"~1(х):
и"+\х) = fu\x + h) + 2A - r)u"(x) + /V(x - h) - tf~\x). (9)
Чтобы «запустить» вычислительный процесс, нужно вначале иметь
значения функции иA, х) на двух последовательных временных
шагах, например w°(.v), и](х). В классической постановке задачи
Коши для волнового уравнения A) в качестве начальных данных
фигурируют две функции:
и@, х) = и°(х), du/dt |,-о = и°(х). (Ю)
Отсюда можно вычислить и{(х):
и\х) = и°(х) + тгДл"). A1)
Эта формула является, конечно, приближенной, но се точность
соответствует общей точности рассматриваемого вычислительного
процесса.
Предположим, что единственными возмущениями, наложенными
на начальные функции и0, и1, являются погрешности округления;
будем считать их независимыми случайными величинами. Заметим,
что с учетом этих возмущений разность и1(х) — и°(х) при малых т
к нулю не стремится (мы, естественно, исключаем неинтересный
крайний случай, когда х имеет порядок последнего знака разрядной
сетки ЭВМ, т. е. почти равен машинному нулю).
При каждом п функция и"(х) определяется начальными
функциями и (.v), и1(х), причем эта зависимость будет линейной. Мы
можем объединить и0, w1 в одну вектор-функцию
v° = {иа, и]}
и написать
«" = GtV, A2)
143

где &С — линейный оператор. Конечно, теперь G[n) уже не есть
степень элементарного оператора G, (вообще понятие степени
оператора С\я) не имеет смысла).
Это неудобство можно обойти следующим образом. Для каждого п две
последовательные функции и", и"" объединим в одну вектор-функцию
v" = {(Л un + i}.
Тогда на основании уравнения (9) можно выписать оператор С,
переводящий v" в v" :
v" + I = G\T.
Теперь уже можно будет написать
v" = G"v°.
В частотной области также полагаем ч>" = {ip", фя+1}. Переход от ц>" к Ч> будет
выражаться матрицей второго порядка (так называемой матрицей перехода). Однако
такой способ рассмотрения не дает каких-либо особых преимуществ. Но матрицы
перехода неизбежно возникают, если мы рассматриваем системы разностных
уравнений.
В силу линейности оператора G*,"' его непрерывность означает, что
при любых и0, их
|М| « с» || «1 + с, |И1, A3)
где константы с0, С\ не зависят от т (напомним, что мы считаем, что
h = h{\)). Процедуру решения уравнения (9) мы считаем
устойчивой, если константы с0, С\ существуют, и неустойчивой в
противном случае.
Перейдем в частотную область. Если <р"(си) — преобразование
Фурье функции и"(х), то условие A3) принимает вид
Ikll <сь|к0|| + с1||4>,||. (И)
Обращаем внимание на то, что константы с0, с, в неравенствах A3),
A4) одни и те же.
Из уравнения (9) после простых преобразований получим
<рл+1 - 2A -2а2)9л + f>"'l = 0. A5)
Для каждого фиксированного ш это соотношение есть обычное
конечно-разностное уравнение второго порядка. Его общее решение
выражается формулой
Ч>" = а{кпх + а2ХЗ, A6)
где X), Х2 суть корни уравнения D) и, следовательно, вычисляются
по формуле F). Будем считать, что выполнено неравенство (8); тогда
формулу F) лучше переписать в виде
Х,.2= 1 -2a2±/-2aVT^7. A7)
Если в равенстве A6) положить последовательно п = 0, п = 1,
то получится два уравнения, из которых коэффициенты яь а2 можно
144

будет выразить через <ра, <р\ Проделав необходимые выкладки,
получим
У = ; -з—V +TZTf-
'¦1 '-г 'л '-г
A8)
Из A7) имеем
А, -А, = /-4а VI -а7. A9)
Формула E) показывает, что при А -» 0 и любом фиксированном
со * 0 также а -» 0, так что знаменатели в формуле A8) малы. В то
же время числители малыми считать нельзя. В самом деле, А1; А3 по
модулю равны единице и при малых hoj, как показывает
формула A7), близки к единице. С ростом п величины А", Х
перемещаются по единичной окружности комплексной плоскости, оставаясь
комплексно сопряженными. При некоторых п величины А" 2 будут
близки к ± L
Подтвердим это более точными рассуждениями. Из A7) имеем
А = 1 + 2а (± / Vl -a7 -a)=l+jP, B0)
где
/3 = 2па(± /Vl -a7 -a). B1)
Поскольку п = t/т, то
л ^ ' • Л < sin (л'»/2) ,<п,
2ла = 2 - г sin - w = с/су —;———. B.1)
г 2 Лы/2
Из формулы E) вытекает, что при Л -» 0 будет а -» 0, причем
эта сходимость равномерна на каждом конечном отрезке оси со.
Далее, равенство B2) показывает, что при этом 2па -»cto, a
из B1) вытекает, что /3 -» /cftw. Но тогда на основании
равенства B0)
причем по-прежнему сходимость будет равномерной на каждом
конечном отрезке. Следовательно,
А" - А; -* 2/ sin cfco. B3)
Теперь на основании A9)
^-''¦г . 4 .Л ,Л 7 о- sin (Лш/2) л 7
—г— = / - г sin - о> V1 - сг = 2icw —р-—— VI - а .
т ' 2 Лй)/2
При /г -» 0 это выражение стремится к 2icco. Мы пришли к
выводу, что второй член правой части формулы A8) можно
представить в виде
Г^*' = 9И? B4)
6 Заказ № 760 145

причем при h -* О функция г/(ш) равномерно на любом конечном
отрезке оси ш сходится к функции
(sin cta))/ca>. B5)
Выберем на оси ш замкнутый интервал, не содержащий нулей
функции B5). Тогда при достаточно малых h функция rj(cj) в
равенстве B4) будет ограничена снизу. Положим <р = О, а в качестве
(р1 возьмем любую функцию, сосредоточенную на этом замкнутом
интервале. Тогда норма левой части равенства B4) при т -* 0 будет
неограниченно возрастать. Отсюда немедленно вытекает, что
константы с\ в неравенстве A4) не существует.
Аналогичный вывод справедлив и для первого слагаемого
формулы A8); это видно уже из того, что в силу к\к2 = 1 его можно
представить в виде
¦ л-1 ,п-1
Л2 *1 О
Я, - Я,
f
Если заменить в A8) оба слагаемых правой части их предельными
выражениями, то получится асимптотическое соотношение
г Си) г
Отсюда особенно ясно видно, насколько существенно выдвинутое
ранее условие, что при т -* 0 разность и1 — и0 (а следовательно, и
(р1 — <р ) не стремится к нулю.
Итак, мы пришли к выводу, что вычислительная процедура,
использующая уравнение (9), неустойчива. Правда, эту
неустойчивость можно назвать слабой, так как погрешности растут здесь не
экспоненциально, как при нарушении условия Куранта G), а лишь
линейно. Нетрудно подсчитать, что при вполне разумных
допущениях относительно требуемой точности результата и величины
разрядной сетки ЭВМ могут понадобиться десятки и сотни тысяч
шагов для того, чтобы вывести исходные погрешности округлений на
заметный уровень. На практике, как правило, такая неустойчивость
никак себя не обнаруживает. Некоторые авторы вообще не считают
такую неустойчивость «истинной».
Но начальные возмущения могут возникать не только за счет
погрешностей округления. Предположим, например, что начальные
данные для задачи Коши получены в результате измерений. Тогда,
во-первых, погрешности округлений по сравнению с погрешностями
измерений, как правило, пренебрежимо малы, и их можно не
принимать во внимание. Во-вторых, эти погрешности измерений могут
быть вполне ощутимыми, и их дальнейший рост, даже сравнительно
медленный, способен заметно обесценить результат.
Однако в процессе измерений никогда не получаются значения
функции на двух последовательных шагах и0, и1. Гораздо более
реальным является, например, случай, когда измеряются функция
и (а) и производная по времени и°(х), и именно в эти функции
вносятся возмущения — результаты погрешностей измерений. Функ-
146

ция и'(х) может быть вычислена теперь по формуле A1). Но
теперь, поскольку погрешностями округления мы пренебрегаем,
возмущения Ьи°, Ьи1 уже нельзя считать независимыми. В частности,
при х -* 0 функция и1 (л;) будет стремиться к и°(х). И вопрос об
устойчивости теперь нужно ставить по отношению к
возмущениям Ьи°, Ьи,°.
Если в формуле A8) положим
ф1 = <р° + V,
то получим
<р =
A - Х2) 11-0- h) ^2 0 X? - Х-2
ф + X
¦4>i
Xi - Х2 r Xj - Х2
Из A7), A9) имеем
1-Х _ 2а (а + 1 Vj - а7) _ / а +/Vl -а7
_ _ _ _
B7)
1-4а Vl -а7
V7
Поскольку
|аТ/^1 -а2| = 1,
VI - а2 > vT^7, |X| = 1,
то
A -Х2)Х?
>.1
2 VT
Т '
и такое же неравенство получится, если Х); Х2 поменять местами.
Отсюда
A -X2)Xf-(l -XJXS 0
гтгт: «р
IIЛ
B8)
Далее
'_± 12 _ <_ (-^п-\ L Т>-21 1 _i_ 1"~1\
Xj-X2
= - (ХГ1 + ХГ2Х2 + ... + ХГ1).
Поскольку |Xi| = |Х2| = 1, то очевидно, что
1"г
.п Лл
Л-1
Следовательно,
Xi - X,
^2 _0
=S I.
X, - к2
Из B7) — B9) имеем окончательно
fv\\«t\\tf\\-
B9)
1
•р°11 + /Ш
VT-7^
Нами доказана устойчивость задачи Коши в новой постановке.
C0)
147

Если мы, как и выше, в формуле B7) устремим т, Л к нулю и найдем предел для
правой части, то получим вместо B6)
n sin ctw n
ф" - cos eta) ф" + ф,. C1)
ecu
Правая часть здесь есть не что иное, как точное решение исходного
уравнения A), или, вернее, его частотной формы
дг<р/др- = - <AuV C2)
В этом легко убедиться прямой подстановкой. Заметим, однако, что предельное
соотношение имеет место пока что лишь для любого конечного отрезка оси ю.
Для доказательства сходимости решения разностного уравнения к решению
дифференциального уравнения не хватает нескольких простых замечаний; их мы
предоставляем читателю.
Попытаемся отыскать решение уравнения C2) при следующих начальных
условиях:'
*>@, ш) = ф°(<о), ф(т, со) = ф\о>), C3)
где функции ф°, ф1 считаются заданными. Получится
sin ctw , sin с (t - т) ш .
ф = - ф1 г — ф°. C4)
sin ехш sin стсо
Если теперь г -» 0, причем ф не стремится к ф , то для фиксированного t решение ф
неограниченно возрастает. Можно утверждать поэтому, что неустойчивость решения
нашего разностного уравнения по отношению к независимым возмущениям начальных
функций ф , ф является следствием неустойчивости (некорректности) аналогичной
задачи для исходного дифференциального уравнения.
Как видим, характер начальных возмущений играет здесь далеко
не последнюю роль. Следует вообще заметить, что выражение
«устойчивость разностного уравнения» не очень удачно. Точнее было бы
говорить об устойчивости (или, лучше, корректности) задачи
Коши в данной конкретной постановке.

Глава VI
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
В настоящей главе мы продолжим изучение свойств решений
разностных уравнений. Выберем некоторое дифференциальное
уравнение эволюционного типа и будем решать для него задачу Коши с
помощью различных разностных уравнений, сравнивая каждый раз
полученное приближенное решение с точным. При этом можно будет
заметить, что в одних случаях разница между точным решением и
приближенным сводится к некоторому сглаживанию, словно здесь
действует некий диссипативный механизм, подобный диффузии или
теплопроводности. В других случаях более или менее отчетливо
проявляются колебания, наиболее заметные вблизи разного рода
особенностей — пиков, разрывов и т. д. Это напоминает картину
явления Гиббса (§ 1.4). Именно эти эффекты и будут предметом
нашего внимания.
§ 1. Примеры
Подобно явлению Гиббса, интересующие нас эффекты с особой
четкостью проявляются вблизи разрывов. Поэтому в качестве
иллюстрации выберем дифференциальное уравнение, решение которого
может содержать длительно существующий разрыв. Простейшим из
таких уравнений является уравнение (V.3.7):
ди
—
dt
+
а
ди
дх
=
0;
A)
для определенности будем считать, что а > 0. Общее решение
(обобщенное) этого уравнения имеет вид
u(t, х) = и°(х - at), B)
где и°(х) — произвольная начальная функция. Функция B)
представляет собой «бегущую волну», передвигающуюся слева направо с
постоянной скоростью а. В качестве и°(х) выберем «ступенчатую»
функцию:
и\х) =
1, х «? 0,
C)
0, х > 0.
149

Построим для уравнения A) разностную формулу вида
т
причем коэффициенты ат удовлетворяют условию (V.2.8):
На основании процедуры вывода формулы (V.3.15) заключаем, что
коэффициенты qm должны подчиняться равенствам
^Qm=\, F)
т
^ xmqm = ха. G)
т
Сумма F) существует в силу условия E); существование же суммы
G) придется постулировать (в смысле абсолютной сходимости ряда в
левой части равенства).
Предположим сначала, что все коэффициенты qm
неотрицательны:
ат > 0. (8)
Равенство F) показывает, что их можно рассматривать как
вероятности. Именно разностному оператору G, задаваемому
формулой D), мы сопоставляем случайную величину %, принимающую
значения хт с вероятностью qm:
Р{1 = хт) = qm. (9)
Тогда в левой части равенства G) стоит математическое ожидание
случайной величины ^:
М[\] = та. A0)
Частотная же характеристика оператора G
ад = ? ««*"ЛтШ (in
т
есть не что иное, как характеристическая функция случайной
величины ?.
В теории вероятностей принято при определении характеристической функции
приписывать частоте ц> противоположный знак; это обстоятельство не имеет
существенного значения.
Функция распределения Fix) случайной величины %
определяется, как известно, следующим образом:
Fix) = Р{^ < х).
В частности, для любого целого к
F(xk) = Р{\<хк} = 2от. A2)
т— — х
150

Применим теперь разностный оператор G к функции и°(х),
определенной формулой C), или к ее «сеточному» аналогу
1, к< О,
ик = { A3)
[О, * > 0.
Получим, согласно D), F),
и\ = 2 qm = 1 - 2 Я",
т. е. в соответствии с равенством A2)
u\=\-F{xk). A4)
Пусть имеется два разностных оператора Gi, G2 с
(неотрицательными) коэффициентами </),',' и q™ соответственно. Пусть G = G\G2.
Тогда G также есть разностный оператор, причем, как легко
убедиться,
J
Частотная характеристика Х(а>) оператора G равна произведению
частотных характеристик Х^со), Х2(со) операторов С7Ь G2:
X(u>) = Xi(o>) Х2(ш). A6)
Случайные величины, сопоставленные операторам Gu G2, обозначим
через \и \2. Равенства A5) и A6) показывают, что случайная
величина \, соответствующая оператору G, есть сумма независимых
случайных величин ?,, \2:
\ = Ъ + Ь- A7)
Пусть снова G — разностный оператор, определенный формулой
D). Тогда для л-го временнбго шага
и" = G"u°.
Обозначим через </'"' коэффициенты оператора G" и через \м
соответствующую ему случайную величину. Предыдущие рассуждения
показывают, что
\in) = h + 12 + ... + 1„, A8)
причем каждая из случайных величин имеет распределение (9) и все
эти величины между собою независимы.
Предположим, что коэффициенты q„, удовлетворяют условию
2m2qm<™. A9)
т
Тогда для случайной величины \ существуют второй момент
m[^2i = 2^- B0)
т
151

и дисперсия
о2 = М\(\ - М[\] J1 = М[^2] - (М[\]J. B1)
Случайная величина \("\ представляющая собой сумму п
независимых случайных величин, имеющих математическое ожидание
та (см. A0)) и дисперсию о2, будет иметь математическое ожидание
пта=а( и дисперсию по2. Согласно центральной предельной теореме
теории вероятностей, при больших п распределение случайной
величины Xм будет близко к нормальному. Если F„(x) — функция
распределения случайной величины ?(л), аФ(х) — нормальная
функция распределения:
то при больших п имеет место асимптотическое равенство
Для функции и" в соответствии с равенством A4) будем иметь
хк - at"
"-'-¦(тЁЧ-
B3)
Таким образом, при больших п решение нашего разностного
уравнения также представляет собой своего рода бегущую волну,
только форма этой волны не остается неизменной — она
«расплывается» пропорционально у/~п .
Возьмем, в частности, формулу (V.3.15):
"о = "о - 1 ( - "-i) + 2 ("l - 2"о + "-О- B4)
Коэффициенты цт для нее выражаются равенствами (V.3.14):
</_, = J (* - г), </0 = 1 - s, <7, = \ (s + г). B5)
Для неотрицательности этих коэффициентов нужно, чтобы
выполнялось неравенство я > г (напоминаем, что мы условились, что
а > 0; кроме того, будем соблюдать условие устойчивости (V.3.2D).
Теперь
М?2] = Л2<м + Л2„, = h2s,
откуда, согласно B1), A0),
о2 = h1 (s - г2). B6)
Если подставить эту величину в формулу B3), то в правой части
получится асимптотическое (при больших п) выражение для величин
и"к при начальных значениях A3).
Все это верно, если выполнено условие q,„ 2> 0. Замечательно,
однако, что это условие не является необходимым. Например, в
152

формуле B4) положим h = 1, т = 1/2, так что г = 1/2; выберем
s = 3/8. Тогда, как легко подсчитать,
<7-i = - 1/16, </0 = 5/8, </, = 7/16.
Из формулы B6) получиться ст2 = 1 /8. На рис. 48 изображены
(кружками) величины и"к для п = 10, 50. Сплошной линией показана
й?
2/7
SO
Рис. 48
правая часть соотношения B3) для л = 50. Асимптотическое
равенство B3) явно выполняется; если продолжить счет для ббльших л,
то разница будет еще меньше. Как видим, асимптотический механизм
теории вероятностей и в этих условиях продолжает функционировать.
Из гл. V мы знаем, что при а- = г1 порядок точности разностной
формулы B4) повышается на единицу. При этом, согласно B6),
получается а = 0. При о -* 0 правая часть формулы B3)
превращается в «ступенчатую» функцию, совпадающую с точным решением
исходного дифференциального уравнения A). Однако если мы
предпримем соответствующий расчет по разностной формуле B4), то
получим совсем другую картину.
А о о о о
10 20
Рис. 49
° О п г> 0 i ^
30 .7
Пусть, например, h = 1, г = 0,2, д- = г2 = 0,04. Результат
расчета для п = 100 изображен на рис. 49. За фронтом разрыва
возникают отчетливо выраженные колебания, амплитуда которых
с ростом п отнюдь не убывает. Если продолжить счет достаточно
далеко, можно убедиться, что и здесь вырисовывается некая предель-
153

ная функция; она будет вычислена в § 2. Основной вывод, который
здесь напрашивается,— это то, что при s = г1 формула B4) для
расчета разрывных решений непригодна.
Можно попытаться объяснить этот эффект на основании
принципа «точные формулы требуют гладкости». Но в действительности
дело обстоит не так просто. Чтобы в этом убедиться, попытаемся
применить к той же задаче Коши еще более точную разностную
формулу.
Для такой формулы число коэффициентов qm должно уже быть
больше трех. Мы возьмем пятиточечную формулу, содержащую
коэффициенты </_2, q_u q0, qb q2. Для се вывода можно применить
тот же метод, с помощью которого в § V.3 была получена формула
(V.3.15). Опуская довольно громоздкие выкладки, приведем
окончательный результат:
2
«о = «о ~ 2 ("I ~ и-\) + 7 ( - 2"о + "-0 +
г A — г ) - s
+ —— (и2 - 2w, + 2t/_! - и_2) - — (и2 - 4ы, + 6м0 - 4м_, + и-2).
B7)
Здесь .9 — параметр. Если s>r2(l - г2), то порядок точности
формулы B7) третий (при
s < г2 A - г2) формула
будет неустойчивой). Возьмем
г= 1/2, s = 3/4.
Результаты расчета для п = 100
приведены на рис. 50.
Общая картина очень близка
к той, что изображена на
рис. 48, и радикальным
6 о о о О
40 50 ° ° во х образом отличается (в луч-
5 шую сторону) от
предыдущей (см. рис. 49). Таким
образом, повышение
порядка точности разностной формулы отнюдь не всегда ведет к
ухудшению результатов расчета решений, содержащих разрывы.
Нам предстоит разобраться в причинах, порождающих эти
странные явления. Первый подход (пока еще на полуэвристическом
уровне) будет изложен в § 2.
§ 2. Дифференциальное приближение
Запишем формулу A.24) в виде
иA + т, л) = »(/, л-) - ^ \u(t, х + h) - u(t, х - h) 1 +
+ ^ \u(t, x + h) - 2uA, x) + и A, x - h) |. A)
154

Предположим, что для всех х и всех t > О существует гладкая
функция u(t, x), удовлетворяющая в каждой точке t, x уравнению
A). Зафиксируем некоторые т, Л, s. Обозначим для краткости и((, х)
просто через и. Тогда
ди т 3 и х д и
Ц/ + т,*) = Ц + т- + у—+ -^+...,
u(t, х — К) = и — h
Допустим, что все эти ряды сходятся. Подставив их в формулу A),
получим после элементарных преобразований
л" вы s n д и а 2 & и х а и т 3 "
ди
—
Зх
Ям
Ьх
+
+
И2
—
2
Л2
2
*2
1 2
з2
3 и
1 2
+
Л3
6
Л3
6
Л
ах3
Л
зл-3
+
+
*' дх 2 т ах2 б ox3 2 a/2 6 at3
Каждая функция, удовлетворяющая уравнению A),
удовлетворяет и уравнению B), и наоборот. Однако эти два уравнения нельзя
еще считать полностью эквивалентными. Например, совершенно
неясно, как для уравнения B) надлежит ставить задачу Коши.
Поэтому мы уравнение B) подвергнем преобразованию с целью
исключить в его правой части производные по t.
Дифференцируя соотношение B), получаем последовательно
(выписываем только члены с производными не выше третьего
порядка):
¦J ^ I2 -J v1
а и а и s п а и i ju
а—г + - — —-г - - ——- + ... ,
« а* ах2 2 х a.v3 2 at2dx
.2 ,2 ,2 ,3 ,3
а и а и s п а и т а и
—т=-а——+ - — г --— + ..., C)
зг2 а'а* 2 x at ax2 2 а/3
а и а и
= - а— +
зг rf.v2 ад:3
,з ,з ,з
а и а и 1 а и
= - а + ... = а2 —- +
at2ax at a.v2 ax3
,3 .3 ,3
а и a и -i a u
—j =- a—r— + ... = - a3—r + ... D)
зг згйл а/
После очевидных подстановок равенство C) приводится к виду
at ox T a.v
Наконец, подставив D), E) в правую часть равенства B), получим
ди аи
~д! = -атх
ди ди s - г h д и а ,„ _ , , ч ,-, а и
155

Мы избавились от вторых и третьих производных по t в правой
части уравнения B). Но ясно, что таким же образом можно в
принципе исключить и все производные по времени; можно
считать, следовательно, что в правой части равенства F)
присутствуют лишь производные по х.
Уравнение F) имеет вид дифференциального уравнения
бесконечного порядка; его можно считать эквивалентным разностному
уравнению A). Сравнивая его с исходным дифференциальным
уравнением A.1), заключаем, что его можно записать в виде
ди ди _ _
Tt + aTx = R> G)
ди
dt
+
а
ди
дх
=
2
о
2т
Л
—
дх2
где R — остаточный член:
R = ~—-T—2 + -Cs-2r2-l)h2—i + ... (8)
2 г дх 6 дх
Допустим сначала, что s * г2 (точнее, s > г2), так что первое
слагаемое в остаточном члене (8) отлично от нуля. Отбросим все
слагаемые, кроме этого первого. Уравнение G) примет вид
(9)
at ах а Ъх-
где величина о2 определяется равенством A.26). Уравнение (9)
занимает промежуточное положение между дифференциальным
уравнением A.1) и разностным уравнением A). Можно ожидать
поэтому, что его решение отражает некоторые существенные свойства
решения уравнения A). Это уравнение (9) называют
дифференциальным приближением (точнее, первым дифференциальным
приближением) для разностного уравнения A).
Чтобы решить уравнение (9), переведем его в частотную область.
Пусть <p(t, со) — преобразование Фурье функции u(t, x). Из (9)
вытекает
dip _
dt ~
- iaa> - yx со21 f.
откуда 2
0i ,2l „0
f = exp {- iatw — -co \<p . A0)
Здесь <p° — фурьс-образ начальной функции и°(х). Учитывая, что
t/z = п, переписываем равенство A0) в виде
<р = exp j-nc^y} (exp j-tato} <p°). A1)
В круглые скобки заключено преобразование Фурье функции и°(х —
— at), т. е. точного решения дифференциального уравнения
A.1). Поэтому решение уравнения (9) представляется в виде
u(t, х) = f{x) * и\х - at), A2)
156

где fix) — обратное преобразование Фурье функции
ехр {—пс^со2/!} (fix) зависит как от параметра от п, т. е. в конце
концов от t). Как хорошо известно,
/w = 7^expl
2
2па2
A3)
В частности, если и°(х) — ступенчатая функция A.3), то
00
"С х) = J f(y) dy,
х-т
или, как легко видеть,
х - at
•<'.*>-i-*(t?)-
A4)
Здесь Ф(х) — нормальная функция распределения.
Мы пришли к замечательному результату: решение уравнения
дифференциального приближения (9) совпадает с решением
разностного уравнения A) асимптотически при п -* °°.
Пусть теперь s = гг. Тогда в остаточном члене (8) первое
слагаемое пропадает и уравнение дифференциального приближения
принимает вид
— + а — = т (г2- l)h2—r. A5)
dt дх 6 дх*
Введем обозначение а3 = а A — г2) rh2. Тогда уравнение A5)
запишется в виде
ди ди аЪ 33и
—- + а — = - т . A6)
dt дх от 3jf3
Решая его так же, как и уравнение (9), мы получаем в частотной
области
откуда
<р = ехр
ina3 ^ I (ехр { - iatcu] <р°). A7)
Функция ехр {ina3a>3/b} по модулю тождественно равна единице,
к нулю на бесконечности не стремится и обратного преобразования
Фурье в обычном смысле для нее не существует. Тем не менее
интеграл
— J ехр jto.vj ехр \ ina3 у Ысо = - J cos \wx + па3 ^- tfco A8)
при д -» оо сходится. Обозначим предельную функцию через /(х).
157

Среди специальных функций известна так называемая функция
Эйри AiOc) [5, гл. VI, п. 64; 22, гл. 10, п. 10.4], определяемая
интегралом
Ai(x) = - J cos wc + ~ \ du>.
Сравнивая выражения A8), A9), легко заключаем, что
/(*) = —i-Ai
х\.
A9)
B0)
График этой функции при aVn = 1 изображен на рис. 51. При
х -» + оо она быстро убывает, а при х -* — оо медленно убывает (как
|лг|_1/4) и при этом сильно осциллирует.
Рис. 51
Для ступенчатой начальной функции и°(х) решение, как и
прежде, выражается интегралом
u(U х) = //(>-) dy.
B1)
В качестве примера рассмотрим рис. 49. Здесь а = 1, Л = 1, т =
= 0,2, г2 = 0,04, п = 100. Легко подсчитать, что а3 = 0,192 и
У?
а •/»
= 0,470 518.
Функция u(t, х), вычисленная по формуле B1) (где/0с) определяется
равенством B0)), показана (сплошной линией) на рис. 52. Здесь же
кружками изображены тс же точки, что и на рис. 49.
Можно заметить, что сплошная линия отстает от «сеточной» примерно на полшага.
Причина этого сое ют и том, что при начальной сеточной функции A.13) разрыв
правильнее было бы поместить в точку .г = Л/2, а не в точку х = 0.
158

Если продолжить расчет дальше, на больших п совпадение будет
сшс лучше. И здесь уравнение A6) дифференциального приближения
дает решение, асимптотически совпадающее с решением разностного
уравнения.
SO х
Рассмотрим, наконец, разностное уравнение B7). Для него
дифференциальное приближение можно отыскать тем же способом.
Опуская довольно громоздкие выкладки, приведем окончательный
результат:
,4 ,4
Oil rill k , , д 1/
— + а — = - — [s - г2(\ - г2) —.
•» ах 24r v д/
J 11 _2Ч
B2)
Положив а4 = Л4 Is - г1 A - г1) \ и перейдя в частотную область,
получим
<р - ехр \ -пал ~ > (ехр | -ш/toj <р°). B3)
Решение по-прежнему выражается формулой A2), только теперь
*¦>-=/
ехр \1шх\ ехр
¦na*fn\d0>-
B4)
Под интегралом стоит быстро убывающая функция, и никаких
затруднений с его существованием не имеется. Функция fix) (для
па1 = 1) показана на рис. 53. Для «ступенчатой» начальной функции
сохраняется, естественно, формула B1). Для параметров а, И, т, п,
соответствующих примеру на рис. 50, функция u(t, х) изображена на
рис. 54 вместе с «сеточной» функцией.
Остальная часть этой главы посвящена доказательствам теорем,
объясняющих приведенные выше рисунки. Но сначала обратим
внимание на одно существенное обстоятельство. На предыдущих
страницах, переходя от одного примера к другому, мы каждый раз
повышали точность разностной формулы, т. е. суммарную
степень шагов Л, т, входящих в остаточный член. Однако уравнения
дифференциального приближения (9), A6), B2) свидетельствуют о
159

том, что качественная картина решения определяется в первую
очередь порядком производной, с которой остаточный
член начинается. Эти два параметра — порядок точности и порядок
производной — совпадать не обязаны.
Возьмем, например, разностную схему A) при s = г2; она
имеет второй порядок точности, но очень плохо приспособлена
для расчета разрывов (см.
рис. 49, 52). Нетрудно
подсчитать, что величина u(t + г,
х), вычисляемая с помощью
формулы A), отличается от
точного решения
дифференциального уравнения A.1) на
величину
х а , •> d3u
S = -(l - f)Th2—^ + ... ,
6 дх
где многоточием обозначены члены более высокого порядка малости.
Следовательно, если мы введем в правую часть формулы A) любой
член порядка тЛ2, точность ее не пострадает. Попытаемся выбрать
этот дополнительный член с таким расчетом, чтобы он внес в
остаточный член формулы A) вторую производную д2и/дхг;
тогда в уравнении дифференциального приближения A5) справа
будет фигурировать не третья, а вторая производная со всеми
вытекающими отсюда последствиями. Простейшим таким
дополнительным членом является
w = Ьт [иG, х + h) - 2u(t, x) + u(t, x - h) ].
Действительно, разлагая его в ряд по х, получаем
.2
w = bih1 —7 + ...
a.v
160

Такой прием «исправления» разностной схемы широко, как
известно, распространен на практике. Дополнительный «сглаживающий»
член трактуется обычно как «искусственная вязкость». Заметим, что
здесь еще существует весьма нетривиальный вопрос о выборе
коэффициента Ь.
§ 3. Вспомогательные построения
Начнем с некоторых чисто формальных выкладок. Рассмотрим
дифференциальное уравнение
du/dt = Аи, A)
где А — дифференциальный оператор конечного порядка:
.2 .т
А = «, -—1-а, —г + ... + а,„ -—. B)
"л <)Х 'IX
Коэффициенты ак предполагаются действител ьными.
Решение уравнения A) выражается формулой
и{1, х) = F,u°(x), C)
причем
F, = ёА = Е + 1А + '- А2 + ... D)
Если подставить сюда вместо А его выражение B), то после
очевидных перегруппировок получим разложение оператора F, по
степеням оператора дифференцирования D = 0/Ох.
Предположим, что дифференциальное уравнение A) решается
приближенно с помощью разностной схемы:
и(( + т, х) = Gu(t, x), E)
где G — разностный оператор:
Gu(t, х) = ^ qku(l, х - kh)... F)
к
Подставив сюда вместо иA, х — kh) разложение
,2,2 .2
и{1, х - kh) = u{U х) - kh — + — - ... , G)
пх 2! !)х2
получим разложение оператора G по степеням оператора
дифференцирования D.
Для произвольного натурального п имеем
и(пт, х) = G"u°(x).
Поскольку п = /"/г, можем положить для произвольного /
и(/, х) = G'V(x), (8)
161

определив, как обычно,
С" = exp J *- In g\. (9)
Если представить оператор G в виде G = Е + Н, то можно положить
In G = Н - Х-Н2 + Х-Нг - ... A0)
Дифференцируя равенство (8) по 1 и принимая во внимание
соотношение (9), получаем
^ = j\nGu. A1)
Если положить
или, что то же самое,
то получим
\\nG=B, A2)
G=e'B, A3)
ди/д(=Ви. A4)
Этому дифференциальному уравнению должна подчиняться
функция, удовлетворяющая разностному уравнению E).
Рассмотрим, например, еще раз разностное уравнение B.1). Из приведенных там
же разложений функций u(t, х + It), u(t, х — Л) легко получим
сш s . Ь и а , Я и
1,2 ,1,2 .
u(t + т, х) = и - ат — + -If —г - - xlf —г +
так чю j a
G = Л" - шй + - h2uf - 7 гЛ2Я"' +
I о
Следовательно,
// = - aiD + - 1?1? - - т/fn3 + ..
2. о
Отсюда, как легко подсчитать,
II2 = а2?!J - cmlfrf + ... .
Подставив :>ги выражения в ряд A0) и воспользовавшись соотношением A1), получим
снова уравнение B.6).
Поскольку решение разностного уравнения E) должно
аппроксимировать решение дифференциального уравнения A),
оператор G должен быть в каком-то смысле близок к оператору F,;
этот последний оператор будем обозначать просто через F.
Согласно D), имеем
F= Е+тА + т-А2 + ..., A5)
где (см. B))
Л = UlD + a2D2 + ... + а,„1У" ¦ A6)
162

Подставив A6) в A5), получим, как выше уже было отмечено,
разложение оператора F по степеням оператора дифференцирования
D; это разложение запишем в виде
F =Е+ 1 (a{D + ^ D2 + ...\. A7)
Теперь потребуем, чтобы разложение оператора G по степеням D
имело такой же вид:
С = ?+ т ($1D + ^D1 + ...), A8)
причем несколько первых коэффициентов (J* должны совпадать с
соответствующими коэффициентами ак из разложения A7)
оператора F:
O-l = Pi, 0-2 = ^2, —. °-р-\ = P/.-H
но ар ^ $р; будем считать, что р > 2. Обозначим
е = р,-а,. A9)
Пусть С = f + 5; тогда очевидно, что
S = xifl''+... B0)
р!
Введем оператор Л = GF \ Из G = F + S вытекает, что
R = E + Sr]. B1)
Из A7), B0) имеем равенство
БГ' = т -, Dp + ... ,
р!
так что
Я = F 4- т
р!
Теперь (см. A4))
R = G/^1 = cu"-A)
откуда
/? = Е+ x1-Dp + ... B2)
т (В - А) = In R = In [ ? + т -^ Dr + ...) = т ^ D" +
Значит,
В - Л = ± D" + ..
р!
и уравнение A4) запишется в виде
Ни
dt= [A + ^DP + ...)«. B3)
163

Отбрасывая здесь все члены, обозначенные многоточием, приходим
к уравнению дифференциального приближения
— = Аи + ——. B4)
а/ р! д/
Будем обозначать через u(t, х) решение исходного
дифференциального уравнения A), а через U(t, х) решение разностного
уравнения E). Тогда для 11 = т имеем
ul = Fu\ ul = Gu\
откуда
й1 = Ru\ B5)
На а;-м шаге (при /" = пт)
й" = R"u", B6)
поскольку операторы F, G перестановочны. Таким образом, оператор
R" переводит решение дифференциального уравнения в решение
разностного уравнения. Из формулы B2) следует
R" = Е + пт 4 Dp + ... B7)
р!
Пусть и (/, х) — решение уравнения дифференциального
приближения B4). Имеем для f = пт
или
и" = ехр [пт (A+j; D"\ } и\
и" = ехр {пт ^ Dp\ ( ехр \пхА\ и0).
Но в круглых скобках стоит решение дифференциального
уравнения A). Таким образом,
и" = ехр [пт -7 D") и". B8)
Легко видеть, что начальные члены разложения оператора
ехр \пт —% Dp\ совпадают с соответствующими членами разложения
оператора R" (см. B7)).
Перейдем в частотную область. Частотной характеристикой
оператора А (см. B)) служит функция
а(ш) = а^со + a2(iojJ + ... + a,„(wo)m. B9)
Частотная характеристика оператора F, есть
fi,(oj) = ё"'ш\ C0)
При любом фиксированном ( это есть целая функция от со. Если
она ограничена (константой, зависящей, вообще говоря, от О, то
задача Коши для уравнения A) поставлена корректно (в
пространстве Lq). Если это условие нарушено, корректность сохраняется для
164

более узких классов функций (например, для функций с
ограниченным спектром).
При / = л функцию ц, будем обозначать просто через ц. Для
нее имеет место разложение во всюду сходящийся степенной ряд
(ср. A7)):
ц(ш) = 1 + т (а^ш) + ^ (toJ + ...). C1)
Частотная характеристика Х(о>) разностного оператора G (см. F))
выражается формулой
Х(со) = ? Qke-kh\ C2)
Относительно коэффициентов qk потребуем, чтобы существовали
моменты всех порядков
тп = 2 кпс/к; C3)
к
при этом предполагается, что т0 = 1. Функция Х(ш) будет
ограниченной периодической функцией, имеющей ограниченные
производные всех порядков. Ряд Маклорена для нее можно записать в
виде (ср. A8))
Х(ы) = 1 + т (р\(/ш) + § (toJ + ...). C4)
Частотной характеристикой оператора R = GF'1 будет,
очевидно,
РН = ИЗ = М")<Г"Ы. C5)
Эта функция, во всяком случае, имеет производные всех порядков.
Обратившись к равенству B2), заключаем, что имеет место
представление
РН = 1 + V(/ш)" + ^Т^?0/+1' C6)
где |ш'| ^ |ш| . Заметим, что производная р(р+1)(а)') ограничена на
всяком конечном отрезке оси ш.
Рассмотрим еще уравнение A4). Частотной характеристикой
оператора В, согласно A2), будет
P(a>) = ilnX(a)).
Эта функция может и не быть ограниченной, поскольку Х(со) может
для некоторых со обращаться в нуль. Таким образом, уравнение A4),
вообще говоря, имеет смысл не для всех функций из L^. Однако его
решение задастся формулой (8), а функция [X(cu)l'/t всегда
существует и ограничена (мы не останавливаемся на деталях, связанных с
многозначностью степени). Отсюда вытекает, что функция, о которой
говорится в начале § 2, существует при любой и@, х) G 1^ для любого
разностного оператора G (подчиняющегося условию C3)).
165

§ 4. Предельная теорема
Исследуем асимптотическое поведение операторов R" (или, что
то же самое, функций [р(ш) ]") при неограниченно возрастающем
показателе п. Собственно говоря, в одном частном случае {qm > 0)
такое исследование нами уже проделано в § 1. Правда, оператор R
и функция р(ш) в явном виде там не фигурировали, но сути дела это
не меняет. Наиболее существенным моментом там было обращение
к предельной теореме теории вероятностей. Остановимся на этом
вопросе подробнее.
Пусть имеется бесконечная последовательность независимых
случайных величин \и \2> ••• > имеющих одно и то же распределение с
математическим ожиданием 0 и дисперсией о2. Пусть это
распределение имеет плотность fix), и пусть эта функция непрерывна и
ограничена. Положим
ть, = Si + k + .» + ?»• A)
Эта случайная величина имеет плотность f„ix), которую можно
представить в виде л-кратной свертки функции fix) самой с собой:
fn(x) = f(x)*f(x)*...*f(x). B)
Согласно предельным теоремам теории вероятностей, при
больших п распределение случайной величины г\п будет близко к
нормальному. Однако если мы рассмотрим последовательность функций f„(x),
то обнаружим, что при п -» °о она равномерно на всей оси х стремится
к нулю. К нормальной плотности сходятся нормированные
функции плотности: если положить
gn(x) = \fn afn(Vn ox), C)
то, согласно локальной предельной теореме, равномерно для всех х
Если <р(о>) — характеристическая функция случайной величины
Ъ,к (т. е. преобразование Фурье функции fix)), то характеристической
функцией величины цп будет [ip(w) |". Нормированная
характеристическая функция есть
*"<щ>вИ^)]"- E)
При П -* оо
4>я(си) ¦* е~Лг. F)
Докажем аналогичную теорему. Основную роль в дальнейшем
играет следующая
Лемма. Пусть функция <р(со) при |с»| < а
представляется в виде
«р((о) = 1 +о^- + а(ш)а/+1, G)
166

где а(ц>) — ограниченная функция, о — действительный
коэффициент. Положим
4>я((и)= [«р((п|а|)-^ш)Г. (8)
В таком случае при п -* <х>
грл(а») - e±w, (9)
причем сходимость будет равномерной на каждом конечном
отрезке оси со; знак в показателе экспоненты совпадает со знаком
коэффициента о.
Доказательство. Пусть Д — произвольный конечный
отрезок оси ш; при достаточно больших п для всех со е А
(п\а\уирш *? а,
так что к правой части формулы (8) мы имеем право применить
представление G). После несложных выкладок получим
где
^(ш) = {1+1[±^+,Г*Р<ш)
р»= \o\-"+])lpa((n\o\)-v>'u)i>f+l.
A0)
Эта функция на отрезке А очевидным образом ограничена.
Следовательно, выражение в квадратных скобках в равенстве A0) с ростом
п равномерно на А сходится к ± (mf/pl. Отсюда вытекает
соотношение (9) (равномерно на А).
Обратимся теперь к оператору R и его частотной характеристике
р(со). Равенство C.36) показывает, что функция р(со) удовлетворяет
условиям только что доказанной леммы (в качестве а можно взять
любое положительное число). Отсюда вытекает, что
последовательность нормированных степеней функции р(со)
Ч>„(со)= [р((лт lei)-1'" со) Г (И)
при п -* оо сходится (равномерно на каждом конечном отрезке
оси со) к функции
rj(co) = «,*"»¦>¦'/¦' A2)
(знак в показателе экспоненты совпадает со знаком величины е).
Отсюда, однако, никоим образом не следует, что
последовательность функций \\>п сходится в каком-либо «обычном» смысле
(например, по норме L или L^). Функции 4'л(ш) могут быть
неограниченными или неограниченно возрастать с ростом п (напомним,
что мы, например, не требовали устойчивости разностного
оператора G). Тем не менее существует функциональное пространство,
заведомо содержащее все функции ф„ и по топологии которого эта
последовательность будет сходящейся. Это — пространство
обобщенных функций К'. Напомним его построение. Все детали читатель
может найти, например, в книге 114. гл. IV, § 4 ].
167

Основное пространство К состоит из всех бесконечно
дифференцируемых финитных функций х(ш). Топология в него вводится
хорошо известным способом — последовательность х„(ш) по
определению сходится к нулю, если все x„(w) имеют общий носитель, и при
п -* оо эти функции равномерно сходятся к нулю вместе со всеми
своими производными. Пространство обобщенных функций К' есть
сопряженное с К пространство, состоящее из всех линейных
непрерывных функционалов над К.
Всякая локально интегрируемая функция (р(ш) задает
функционал над К по формуле
(¦Р. х) = / <Р(Ш) *(w) ^ш-
Такие функционалы называются регулярными. Если
последовательность локально интегрируемых функций f„(w) сходится равномерно
на каждом конечном отрезке оси ш, то последовательность
соответствующих регулярных функционалов будет сходиться по топологии
пространства К' к регулярному функционалу, определяемому
предельной функцией <р(о)).
В частности, функции р(ш), ty„((x>), т](ш) определяют в К'
регулярные функционалы; на основании доказанной выше леммы
последовательность обобщенных функций г|>„ сходится к г).
Функция р(ш) имеет производные всех порядков и,
следовательно, является мультипликатором в К' — для любой обобщенной
функции <р G К' определено произведение р<р. Мультипликаторами
будут также, конечно, и все функции ^„(ш), и предельные
функции т](ш).
В пространственной области также перейдем к обобщенным
функциям. В качестве основного пространства Z возьмем множество
всех функций w(x), являющихся (обратными) преобразованиями
Фурье функций х(ы) G К:
4*0 = ^ / e""x x(w) d<a.
Поскольку x(oj) бесконечно дифференцируема и финитна, на
функции Мх) распространяются теоремы § 2, 5 гл. I. В частности,
все функции w(x) G Z продолжаются на плоскость
комплексного переменного z = х + iy как целые аналитические
функции и при \х\ -* оо функции w(x) стремятся к нулю быстрее
любой отрицательной степени х. Сопряженное к Z пространство Z'
будет пространством обобщенных функций над Z. Каждая из
функций f(x) ? Z' взаимно однозначно соответствует некоторой
обобщенной функции ip (ш) Е. К' — преобразованию Фурье
функционала /.
Пусть v — обратное преобразование Фурье функционала р. Из
того, что p(oj) есть мультипликатор в К', вытекает, что v(x) —
свертыватель в Z'. Значит, оператор R, имеющий р(ш) своей
частотной характеристикой, есть оператор свертки с ядром v(x):
Ru - v * и. A3)
168

Здесь под и можно понимать любую обобщенную функцию т
пространства Z'.
Оператор R" имеет своим ядром «-кратную свертку функционала
v с собой:
v'('0 = v * v * ...» v. A4)
Преобразование Фурье функционала v*'"' есть \р(ш)\'. Из равенства
A1) следует, что нормированные ядра g„(x) выражаются формулой
gn(x) = (ni\e\I"'V-i")(m\e\ypx). A5)
Из того, что (/'„ -* п в пространстве К', вытекает, что в Z'
последовательность gn сходится к некоторому предельному функционалу h.
Итак, имеет место следующая
Теорема. Оператор R есть оператор свертки с ядром vtx).
Прип -» «о последовательность нормированных ядер gn(x) сходится
в Z' к ядру h(x), преобразование Фурье которого совпадает с
функцией
у]{ш) — е ' .
Рассмотрим подробнее эти предельные функции Л(.х). Пусть
сначала р — число четное; тогда ip = ± 1. Если в представлении
C.36) ipe < 0, то
Ч(а>) = е-"р:р':
Эта функция при больших \а>\ быстро убывает и, во всяком случае,
абсолютно интегрируема, так что для нее существует обычное
преобразование Фурье, которое и будет (регулярным) функционалом
h(x). При р = 2 это есть хорошо известная функция Гаусса
Для других р (р = 4, 6, ...) функция h(x) через элементарные
функции уже не выражается; для /> = 4 функция A(.v) изображена на
рис. 53.
Если ?е > 0, то
rj(co) = j**':
Эта функция быстро возрастает, и преобразование Фурье от нее есть
сингулярный функционал; изобразить его хотя бы
приближенно с помощью «обычных» функций затруднительно.
Пусть теперь р — число нечетное. Поскольку 1Р = ±/, то
т](ш) = е±и"р:>".
Перемена знака в показателе экспоненты означает переход от
функции п(а>) к сопряженной функции 7}(ш) и, следовательно, переход от
функции h(x) к функции Л(—.v). Поэтому можно для определенности
положить
Ч(ш) = ё",Г!р\ A6)
169

Эта функция по модулю тождественно равна единице, т. е. неин-
тегрируема. Тем не менее, как мы сейчас покажем, ее (обратное)
преобразование Фурье есть регулярный (о Z') функционал,
совпадающий с функцией
00
Н(х) = - J cos (сох + —) dco. A7)
о
Докажем прежде всего сходимость этого интеграла. Точнее,
исследуем функции
h,.(x) =~j emxe'"r:p'dco = Х- j cos (сох + ^) dco
A8)
-у
и покажем, что при у -» °о последовательность h..{x) сходится к
предельной функции h(x) (которую мы изобразили в виде
несобственного интеграла A7)). Введем для краткости обозначение
й(ш) = сох + ~; A9)
зависимость $(ш) от х как от параметра здесь, конечно,
подразумевается. Указанная выше сходимость будет установлена, если мы
покажем, что для всякого е > 0 существует такое « > 0, что при
любом у > а интеграл
/ = — I cos д(а>) doj
B0)
по модулю не превосходит е.
Рассмотрим производную (по со) от функции д(со):
r^ = x + ^fly: <21>
Эта функция монотонно возрастает; при х > 0 она положительна
(мы, конечно, ограничиваемся неотрицательными значениями со).
При отрицательном .v она вначале отрицательна, затем при со = w0,
а>о=1(р-Щ-х)]и(р-1), B2)
она проходит через нуль и в дальнейшем остается положительной.
Запишем интеграл B0) в виде
И
cos д(со) д '(со) с/со; B3)
1ГЩ
будем считать, что а > со0. Тогда функция 1 /д'(ш) положительна и
монотонно убывает. Поэтому к интегралу B3) можем применить так
называемую вторую теорему о среднем [26, п. 4.14 |. Согласно этой
теореме, на отрезке [а, у ] найдется такое /3, что
Р
\ \ Г
•/=??F(^)J cos д(со) д'(со) do;. B4)
170

Интеграл здесь легко вычисляется; учитывая A9), получаем
/= sin 0№)-sin 0(g) B5)
л (x + vf'/ip- 1)!\
Отсюда
И < -; • B6)
л |х + с/ 7(р- I)!|
При а -» оо и любом фиксированном х правая часть стремится к нулю;
это значит, что при 7 -* °° будет hy(x) -* h(x) в каждой точке л:. Но
справедливо более сильное утверждение.
Пусть с — произвольное действительное число. Рассмотрим на
оси х отрезок |д:| =s с. Пусть а велико настолько, что
(р- 1)!
- о 0.
Тогда, если \х\ ** с, то очевидно, что
Г (P-l)'l (P-1)! С'
Из неравенства B6) получим
\J\< -г-? . B7)
я((/ /(р- 1)! - с)
А это означает, что последовательность функций /^(х) сходится к
h(x) равномерно на каждом конечном отрезке оси х.
Введем в частотной области функции
T)Y(W)
т)(ш), |со| =5 7,
О, |ш| > 7-
B8)
Каждая из этих функций абсолютно интегрируема и
определяет в К' регулярный функционал. При у -» оо
последовательность этих функционалов сходится к регулярному
функционалу ч(о>).
Обратные преобразования Фурье функций г\..(ш) суть
функции hy(x). Из того, что цу(ш) ограничены и абсолютно
интегрируемы, вытекает, что h.,(x) ограничены, непрерывны и на
бесконечности стремятся к нулю. Следовательно, они определяют в Z'
регулярные функционалы, которые при у -* <х сходятся. Нам
остается показать, что предельным здесь будет регулярный
функционал h{x).
Фиксируем произвольное х * 0. Интеграл A8), определяющий
функцию /ц(х), разобьем на два:
а Ч
A,(.v) = ^ J cos ft (ш) c/w + ~ j cos ft (w) (]ш. B9)
171

< ?. C0)
Для первого интеграла имеем очевидную оценку:
а.
11 Г
- I cos ft (ш) Jo)
о
Для второго интеграла справедливо неравенство B6) при условии,
что (см. B2))
а> l(p-l)l\x\)^-n.
Положим
a = 2[(p-iy.\x\]V(p-l\ C1)
Тогда
(/"' = 2/Ы
.v +
(р ~ О'
>У-1 |jc| - |jc| >2P'2 \х\. C2)
Подставив C1) в C0), а C2) в B6), получим после несложных
выкладок
|ад| «?([(,-i)!|*|]^> + i2j. C3)
С ростом |л:| первое слагаемое в фигурных скобках монотонно
возрастает, а второе монотонно убывает. Они равны друг другу, как
легко убедиться, при
\х\ = г-*-"*-2'* [(р - I)!]*. C4)
Обозначим правую часть этого равенства через Ь. При j jc | > b вместо
второго слагаемого в фигурных скобках в неравенстве C3) можно
еще раз подставить первое. Приходим к неравенству
|ВД| П[0>-1)!]1/("-1)М'/(/,-,\ C5)
справедливому при |л:| > Ь.
Конечно, эта оценка несколько груба: как мы знаем, функции
1ц(х) при |jc| -* оо стремятся к нулю. Но нам достаточно будет и
неравенства C5). Существенно, что оно не зависит от у и,
следовательно, распространяется на предельную функцию h(x).
Пусть теперь w(x) — произвольная функция из основного
пространства Z. Поскольку при J jc| -* оо функция w(x) стремится к нулю
быстрее любой отрицательной степени |л:|, найдется с > b такое, что
?[(/>- 1)! l1''^ / М^'К*) <Н <*,
где е — произвольное фиксированное положительное число. Из
неравенства C5) и аналогичного неравенства для h(x) тотчас следует, что
| / \Щ -~hjx)]w{x)dx\ < 2e. C6)
|.vl*r
172

На отрезке \х\ «? с последовательность функций h,,{x) равномерно
сходится к Л(.х). Значит, существует такое "/о. что при 7 > 7о ял я всех
\х\ <с
|Л(*)-/ц(*)| <
2с max \w\'
Отсюда
с
| / [Щ) - hy{x)\w{x)dx\ < е. C7)
Вместе с неравенством C6) это даст
| / Щх)-Щх)\^х)с1х^ *3е.
Ввиду произвольности е это и означает, что при v -* °°
последовательность функционалов Л7 Е Z' сходится к функционалу Л.
Следовательно, hix) есть, действительно, обратное преобразование Фурье
функционала ti(o>) Е К'.
Итак, при п -* а> последовательность нормированных функций
g„(x) сходится к h(x). Выберем достаточно большое п и заменим
функцию g„(x) функцией hix), осуществив своего рода «предельный
переход» при конечном п. Обратившись к соотношению A5),
обнаружим, что вместо исходной (ненормированной) функции v*1"'
мы должны теперь взять функцию
/(/, *) = (/|е|Г1*А((/|е|)-1*,х), C8)
поскольку п\ = t. Но vM(x) есть ядро оператора R", переводящего
решение и"(х) дифференциального уравнения C.1) в решение и"(х)
разностного уравнения (см. C.26)). Теперь после проделанного нами
«предельного перехода» можно написать
u(t, x) = fit, x) * u(t, x). C9)
Перейдем в частотную область. Здесь мы должны будем вместо
функции ty„(a>) (см. A1)) взять предельную функцию Г|(с»), а вместо
[р(о>) Г — функцию (см. A2))
r,(G|e|)V) = cxp|/e^}. D0)
Но тогда из C.35) вытекает, что вместо (Х(о>) ]" будет фигурировать
функция
| (@>/ ) I I . г (ЙиУп 1
схр г ~JrIсхр Нш)|= cxp l? [н<»)+ z~j~] Ь
так что преобразование Фурье ф(/, о>) решения разностного
уравнения запишется в виде
<р(/, си) = схр | / Г{а(со) + е —^-1J у°(ы). D1)
173

Но это есть решение дифференциального уравнения
dip
Hi
а(со) + е ——
<р. D2)
В пространственной области уравнению D2) отвечает уравнение
ди . ? д и
^- = Ли + ^—р D3)
dt P\ вхр
(см. C.24)).
Следовательно, переход от функции gn(x) к предельной функции
h(x) эквивалентен переходу от разностного уравнения C.5) к
уравнению дифференциального приближения D3).
Решение уравнения D3) выражается формулой C9).
В § 1 приведено несколько примеров, показывающих близость
решений разностного уравнения и уравнения дифференциального
приближения. Следует, однако, подчеркнуть, что доказанная выше
теорема никоим образом не означает, что решение уравнения
дифференциального приближения в каком-то смысле стремится к решению
разностного уравнения. Речь идет лишь о сходимости некоторых
нормированных функций. Кроме того, эта сходимость
утверждается в топологии пространства обобщенных функций, а
такая сходимость может сильно отличаться от привычной
равномерной сходимости или сходимости в среднем. Например, в пространстве
Z' последовательность
/„ = а„ cos nx
сходится к нулю при любой, сколь угодно быстро растущей
последовательности ап. Можно привести еще более экзотические
примеры. Однако в такой общей постановке никакой более сильной
сходимости гарантировать, по всей видимости, невозможно. Ведь
мы, напомним, не предполагаем ни корректности решения
исходного дифференциального уравнения, ни устойчивости
разностной схемы.
Но и в самых «благополучных», казалось бы, случаях здесь
возможны некоторые сюрпризы. Рассмотрим, например, уравнение
теплопроводности (см. (V.1.D)
ди
Л
(t —т D4)
* uv2
и разностное уравнение (см. (V.1.5))
и(г + т, х) = u(t, х) + г \u(t, -v + h) - 2u(t, x) + u(t, x - h) ], D5)
где г = та2/И2 . В § V.1 вычислена функция Х{о>) (см. (V.1.10)):
Х(ш) = 1 - 4rsin2^a». D6)
174

Будем предполагать, что условие устойчивости (V.1.17) выполнено.
Для уравнения D4) очевидно имеем
а(ш) = -а2ш\ D7)
/<(«0 = е-'2. D8)
Отсюда (см. C.35))
р(ш) = e'a2w2 (l-4r sin2 j <a). D9)
Функция эта, как видим, не ограничена. Следовательно, в
пространстве Ьг оператор R не ограничен; он определен лишь на
функциях, которые могут быть получены как решения уравнения
теплопроводности и, значит, во всяком случае, достаточно гладки.
Уравнение дифференциального приближения имеет вид
ди ¦> о и 1 ,,, / 1 \ д и
— = а —г
dt дхЛ i \ о/ дх-
-\Щг-У~
Оставим в стороне случай г= 1/6 (при этом условии, как хорошо
известно, разностное уравнение D5) имеет повышенную точность).
Нетрудно убедиться, что задача Коши для уравнения E0) будет
поставлена корректно, лишь если коэффициент при четвертой
производной отрицателен, т. е. если
г > 1/6. E1)
Помня о том, что уравнение дифференциального приближения
«изображает» разностное уравнение, мы должны ожидать, что нарушение
условия E1) влечет за собой неустойчивость или, во всяком случае,
какое-то качественное отличие решения разностного уравнения по
сравнению со случаями, когда это условие соблюдено.
Однако все свойства разностного уравнения определяются
функцией D6), а для этой функции случай г= 1/6 не является в
каком-либо смысле критическим, и условие E1) на характер решения
разностного уравнения никакого существенного влияния не
оказывает. Все это должно служить иллюстрацией того обстоятельства, что
уравнение дифференциального приближения отражает свойства
разностного уравнения далеко не полностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А х и е з е р И. И. Лекции по теории аппроксимации.— 2-е изд.— М.: Наука,
1965.
2. Б а б е н к о К. И. Основы численного анализа.— М.: Наука, 1986.
3. Б е р е з и н И. С, Ж и л к о в Н. П. Методы вычислений. Т. I.— М.:
Физматгиз, 1959.
4. Б р ы ч к о в Ю. А., Прудников А. П. Интефальные преобразования
обобщенных функций.— М.: Наука, 1977.
5. В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций.— М.: ИЛ, 1949.
6. В и н е р II. Интефал Фурье и некоторые его приложения.— М.: Физматгиз,
1963.
7. В и н е р Н., П э л и Р. Преобразование Фурье в комплексной области.—
М.: Наука, 1964.
8. Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над
ними.— М.: Физматгиз, 1959.
9. Г е л ь ф о и д А. О. Исчисление конечных разностей.— М.: Наука, 1967.
10. Г о д у и о в С. К., Забродин А. В. и др. Численное решение
многомерных задач газовой динамики.— М.: Наука, 1976.
П.Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной
математики.— М.: Физматгиз, 1963.
12. Завьялов Ю. С, Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л.
Методы сплайн-функций.— М.: Наука, 1980.
13. 3 и г м у н д А. Тригонометрические ряды.— М.: Мир, 1965.
14. Колмогоров А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и
функционального анализа.— 6-е изд., испр.— М.: Наука, 1989.
15. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях.— М.— Л.: ГИТТЛ,
1950.
16. К р ы л о в В. И., Скобля 11. С. Методы приближенного
преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа.— М.: Наука, 1974.
17. Ла н да у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика.— М.: Наука, 1986.
18. Л а н ц о ш К. Практические методы прикладного анализа.— М.:
Физматгиз, 1961.
19. М а р ч v к Г. И. Методы вычислительной математики.—3-е изд. — М.:
Наука, 1989.
20. М и л и В. Э. Численный анализ.— М.: ИЛ, 1951.
21. С л у ц к и й Е. Е. Избранные труды.— М.: Изд-во АН СССР, 1960.
22. Справочник по специальным функциям.— М.: Наука, 1979.
23. Т и т ч м а р ш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.— М.— Л.: ГИТТЛ,
1948.
24. Тихонов А. П., А р с е н и н В. Я. Методы решения некорректных
задач.— 2-е изд.— М.: Наука, 1979.
25. Тихонов А. Н., Г о и ч а р с к и й А. В., Степанов В. В., Я г о-
л а А. Г. Ре1уляризир\'юшие алгоритмы и априорная информация.— М.: Наука,
1983.
26. У и т т с к е р Э. Т., В а т с о н Д. II. Курс современного анализа. Ч. I.—
М.: Физматгиз, 1963.