/
Author: Цыпкин А.Г. Пинский А.И.
Tags: математика задачи по математике справочник естественные науки точные науки
ISBN: 5-02-013792-8
Year: 1989
Text
А.Г ЦЫПКИН
А. И. ПИНСКИЙ
СПРАВОЧНИК
ПО МЕТОДАМ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ
СРЕДНЕЙ
ШКОЛЫ
А. Г. ЦЫПКИН. А. И. ПИНСКИП
СПРАВОЧНИК
ПО МЕТОДАМ
РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Ишим второе,
DepepifoTiHaoe дополвевяое
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ
Гавэ
ББК 22.1
Ц97
УДК 51(03)
Цыпкин А. Г., Пинский А. И.
Ц97 Справочник по методам решения задач по
математике для средней школы. — 2-е изд., пе-
рераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
Ли*., 1989.-576 с.
ISBN 5-02-013792-8
Содержит основные методы решения задач школь-
ного курса математики, а также некоторые задачи, не
входящие в существующую программу среднее школы.
Приводятся необходимые теоретические сведения. Изло-
жение метода сопровождается разбором типичных задач.
Приводятся задачи для самостоятельного решения.
Методически связан со справочником: Цыпкин А. Г.
Справочник по математике для средних учебных заведе-
ний.
Для школьников -старших? классов и учащихся техни-
кумов. Может быть полезен для поступающих в вузы н
техникумы.
Табл. 18. Ил. 73.
ISBN 8-02-013792-8
Издательство <Hayia>.
Главная редакция ,
физико-математвчесКой
литературы, |МЗ; \
с тиснениями, 1169 <
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов................................................7
Глава I. Преобразование алгебраических выражений . . 9
$ 1. Упрощение иррациональных алгебраических выраже-
ний ..............................................10
$ 2. Преобразование алгебраических выражений, содержа-
щих знак абсолютной величины......................13
§ 3. Доказательство тождеств..........................19
$ 4. Условные тождества...............................23
9 б. Преобразование логарифынческих выражений ... 25
Глава 2. Уравнении .....................................31
$ 1. Нахождение корней многочленов....................32
$ 2. Рациональные уравнения...........................38
$ 3. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком аб-
солютной величины.................................42
§ 4. Иррациональные уравнения.........................43
$ 5. Показательные уравнения..........................48
$ 6. Логарифмические уравнения........................54
$ 7. Разные зздачн....................................59
Глава 3. Системы уравнений .............................61
$ 1. Системы линейных уравнений.......................61
1 2. Системы нелинейных алгебраических уравнений , . 66
'Системы показательных и логарифмических уравне-
ний ..................................................74
$ 4. Разные задачи....................................77
Глава 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с пара-
метрами ...................................... ......... 79
§ 1. Рациональные и иррациональные неравенства ... 79
$ 2. Показательные неравенства........................86
$ 3. Логарифмические неравенства......................88
9 4. Решение неравенств, содержащих сложные функции 93
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Уравнения и неравенства с параметрами..............99
§ 6. Доказательство неравенств.........................102
Глава 5. Тригонометрия ...................................107
§ 1. Тождественные преобразования тригонометрических
выражений..............................................108
§ 2. Вычисление значений тригонометрических функций 111
§ 3. Тригонометрические уравнения......................117
§ 4. Системы тригонометрических уравнений..............131
$ 5. Уравнения, содержащие обратные тригонометриче-
ские функции.......................................134
$ 6. Тригонометрические неравенства....................137
$ 7, Неравенства, содержащие обратные тригонометриче-
ские функции.......................................139
$ 8. Доказательство тригонометрических неравенств . . 141
Глава 6. Комплексные числа..............................149
§ 1. Действия с комплексными числами................146
§ 2. Геометрическое изображение множества комплексных
чисел................................................148
§ 3. Решение уравнений в множестве комплексных чисел 160
§ 4. Применение комплексных чисел для решения некото-
рых задач............................................163
Глава 7. Последовательности...............................167
$ 1. Определение и свойства последовательности .... 167
§ 2. Предел последовательности.......................160
§ 3. Вычисление пределов последовательностей .... 162
§ 4. Арифметическая прогрессия........................167
§ 5. Геометрическая прогрессия.......................171
§ 6. Смешанные задачи на прогрессии..................175
§ 7. Разные задачи...................................178
Глава 8. Предел функции, непрерывность функции ... 183
$ 1. Предел функции.................................183
$ 2. Вычисление пределов функций....................185
$ 3. Непрерывность функции в точке................ 190
$ 4. Разные задачи..................................194
Глава 9. Производная и ее применения....................197
§ 1. Вычисление производных.........................197
§ 2. Промежутки монотонности и экстремумы функций 202
ОГЛАВЛЕНИИ
Б
$ 3. Наибольшее и наименьшее значения функций . . . . 206
$ 4. Задачи, сводящиеся к нахождению наибольшего и
наименьшего значений и экстремумов функций . . . 209
$ 5. Текстовые задачи на нахождение наибольших н наи-
меньших значений функций........................ 213
$ 6. Задачи на геометрический смысл производной . . . 223
$ 7. Приложения производной в задачах механики . . 229
Глава 10. Первообразная и интеграл...................232
$ 1. Неопределенный интеграл......................232
§ 2. Задачи на свойства первообразных.............236
$ 3. Определенный интеграл...................... 238
$ 4. Интегралы с переменным верхним пределом .... 242
$ 5. Задачи на свойства интегралов................244
$ 6. Вычисление площадей фигур....................246
§ 7. Задачи на нахождение наибольших (наименьших)
площадей фигур.................................250
$ 8. Вычисление объемов тел.......................253
§ 9. Приложения определенного интеграла в задачах фи-
зики н механики................................254
Глава И. Задачи на составление уравнений ...... 257
§ 1. Задачи на движение...........................257
§ 2. Задачи на работу и производительность труда . . . 278
$ 3. Задачи на процентный прирост и вычисление «слож-
ных процентов» .................................. 287
$ 4. Задачи с целочисленными неизвестными.........291
§ 5. Задачи на концентрацию и процентное содержание 299
$ 6. Разные задачи.............................. 304
Глава 12. Планиметрия ............................. 308
§ 1. Треугольники.................................308
$ 2. Четырехугольники.............................318
§ 3. Окружность и круг............................326
§ 4. Треугольники и окружности....................332
§ 5. Многоугольники н окружности..................345
Глава 13. Стереометрия ..............................353
§ 1. Многогранники................................354
§ 2. Сечения многогранников................... 361
' " •§ 3. Фигуры вращения .............. 374
§ 4. КбйбнааЦин многогранников и фигур вращения . . 380
в ОГЛАВЛЕНИЙ
Глава 14. Метод координат и элементы векторной алгебры 397
§ 1. Векторы в координатах..............................397
§ 2. Задачи на аналитическую запись линий на плоскости
и поверхностей в пространстве ................... 40В
$ 3. Решение геометрических задач с помощью метода
координат.........................................412
$ 4. Простейшие задачи векторной алгебры................420
$ 5. Геометрические задачи, решаемые методами вектор-
ной алгебры 426
§ 6. Скалярное произведение векторов ......... 436
Глава 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей 441
§ 1. Размещения. Сочетания. Перестановки......................441
$ 2. Перестановки и сочетания с заданным числом по-
вторений ............................................444
§ 3. Бином Ньютона................................................446
} 4. Вычисление вероятностей событий с помощью фор-
мул комбинаторики 451
$ Б. Задачи на вычисления вероятностей, решаемые гео-
метрическими методами.............................455
$ 6. Вычисление вероятностей сложных событий .... 459
Глава 16. Элементы логики. Системы счисления .... 468
§ 1. Высказывания...................................468
§ 2. Предложения, зависящие от переменной .... 476
$ 3. Метод математической индукции..................482
j 4. Системы счисления .................................486
Ответы.................................................. .491
Варианты экзаменационных работ письменного экзамена по
математике в МГУ.....................................565
ОТ АВТОРОВ
В справочнике изложены методы решения задач из курса ма-
тематики средне* школы. Цель книги — помочь учащимся систе-
матизировать свои знания по решению аадач курса средней
школы, а также ознакомиться с некоторыми методами решения
аадач, которым в школе по тем или иным причинам не уделяется
достаточно внимания. Попыткой достигнуть этой цели и опреде-
ляется структура настоящего справочника: в начале каждого
параграфа кратко изложен теоретический материал (определе-
ния, основные теоремы и формулы), знание которого необхо-
димо для решения задач данного раздела. Это позволяет нсполь-
воватъ справочник, не прибегая к учебникам. Далее указывается
метод решения задач какого-либо вида и разбирается конкрет-
ный пример на использование метода. После этого даны условия
задач для самостоятельного решения.
Такая форма изложения, по мнению авторов, наиболее удоб-
на для активного усвоения методов решения задач. В ряде слу-
чаев при разборе конкретных примеров приводится, возможно,
не самое короткое и изящное решение задачи. Это объясняется
прежде всего тем, что при раэборе примера авторы в первую
очередь стремились дать наглядное применение предложенного
метода, а вовсе не продемонстрировать примеры нестандартных
подходов к решению различных задач. Задачи для самостоя-
тельного решения в основном взяты из вариантов, предлагав-
шихся в последние годы на вступительных экзаменах по матема-
тике в вузы с повышенными требованиями к математической
подготовке абитуриентов.
Авторы попытались расположить задачи для самостоятель-
ного решения по возрастанию их сложности, сознавая при этом,
что каждый читатель, в зависимости от своих знаний и наклон-
ностей, возможно, изменил бы порядок следования задач. Такие
традиционные разделы школьного курса математики, как плани-
метрия и стереометрия, в основном представлены задачами на
вычисление, так как именно эти задачи преобладают среди задач
этих разделов в вариантах письменных экзаменационных работ,
в
ОТ АВТОРОВ
При наложении материала, посвященного стереометрии, ав-
торы несколько отошли от изложенной выше структуры пара-
графов, так как в отличие от задач планиметрии, методы реше-
ния которых допускают достаточно четкую классификацию, ре-
шение любой нетривиальной задачи по стереометрии содержит)
набор различных методов. В связи с этим примеры, рассмотрен-
ные в главе 13, имеют довольно подробные решения, в которых
выделены основные приемы, сводящие исходную задачу к более
простым. Приведенные решения также могут служить иллюстра-
цией правильного оформления решения стереометрических задач
в письменной экзаменационной работе.
В главах 7—10 собраны и классифицированы задачи по на-
чалам математического анализа. Заметную долю в этих главах
представляют задачи, при решении которых следует использо-
вать также сведения из традиционных разделов курса школьной
математики. Среди задач, собранных в главе 14, наряду с обыч-
ными упражнениями присутствуют довольно трудные геометриче-
ские задачи, решение которых значительно упрощается благодаря
применению векторов и метода координат. Следует сказать, что.
включая задачи в эти главы, авторы старались следить за тем,
чтобы решение опиралось только на сведения, входящие в
школьную программу.
Задачи, собранные в главе 6 (комплексные числа) и главе 15
комбинаторика н элементы теории вероятностей), основаны на
материале, который сейчас не входит в программу.
Включение в справочник комбинаторики и элементов теории
вероятностей объясняется тем значительным вниманием, которое
уделяется в последнее время теории вероятностей и связанным с
ней разделам математики. Авторы учли, что для большинства
читателей этот материал — совершенно новый, и поэтому в этой
главе позволили себе несколько отойти от принятой в книге
очень сжатой формы перечисления основных сведений, необхо-
димых для решения задач.
В справочнике принята двойная нумерация задач и приме-
ров в каждой главе. Первое число указывает номер параграфа,
а второе — порядковый номер задачи (или примера) в этом па-
раграфе. Звездочка при номере задачи указывает на более труд-
ную задачу, а две звездочки — на наличие полного решения (они
приводятся в разделе «Ответы»),
Справочник в основном предназначен для учащихся старших
классов средних школ и учащихся средних специальных учебных
заведений.
Г Л А В A I
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИИ
Пря преобразованиях алгебраических выражений используются фор*
пулы сокращенного умножения:
(о + Ь) (а —б)—а’—Ь*, <0
la* + ab + б’) (а—А)—о1— Ь*. (2)
(o' —ab + 6*) (О + А)—а’ + Ь1, (3)
(а ± А)’—а’ ± 2аЬ + б'. (4)
(а ± ЬР-а1 ± Зо*А + ЗоА* ± А1, (б)
и правила действий ео степенями.
Если о > 0, то
oman—em+»t
(ат)л_аш-л| (7)
«•-I. (8)
а"1 . an^,am—nt (9)
п____
—ат1п, лчй<Х (10)
Если а > 0. А > 0. л s N, то
Вела а < о, * < 0> л—2*. * в N, то
Л л я
^аЬ —Via]
(12)
(13)
(14)
vrn
(15)
10
ГЛ. f. алгебраические выражения
Если п—2*+ 1, 4 N, то
п__________________ п п
^ab «“Vo" V5",
Бела и, ma N, то
(10
<П)
(18)
§ 1. Упрощение иррациональных алгебраических
выражений
Под упрощенней иррационального алгебраического выраже-
ния понимается приведение его к виду, содержащему меньшее
число алгебраических операций пад входящими в исходное вы-
ражение переменными.
Упрощение иррационального алгебраического выражения ча-
сто достигается разложением исходного выражения на множи-
тели с последующим вынесением общего множителя за скобки.
а Уа + Ь ^Ь
Ща + УЬ)(а —6)
2 Уб~ Уаб
Уа + УГ а — Ь
Решение. Выделим общий множитель в числителе и зна-
менателе первой дроби данного выражения. Для этого предста-
вим числитель дроби в виде
а л/а + b Jb - а*2 + Ь3* - (а*/2)3 + (б1/2)3.
Используя (3), получаем
(а'/2)3 + (б*/2)3 - (а*/2 + Ь"2) (а - а1'2*1'2 + 6).
Множитель а1/2 + 61/2«— а является общим для числи-
теля и знаменателя. Проведя сокращение, представим (♦) в виде
а —Уёб+ Ь 2^Ь_______________________________'/ab
а — Ь ^а+^/Ь a — b'
После приведения (»•) к общему знаменателю имеем
а — л/аЬ + 64-2 ^ab — 2Ь — *jab а — Ь
a — b a — b в
Ответ. 1.
9 I. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 11
Упростить следующие алгебраические выражения:
В выражениях, содержащих произведение радикалов с раз-
личными показателями степени, в ряде случаев удается добиться
{упрощения, приведя все радикалы к одному показателю.
Пример 1.2. Упростить выражение
4 ________ _____
V*(7 + 4V3) -VSr.
12
ГЛ. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решение. Представляя выражение -у 2 Vе — V3* виде
____________ 4 _______________ 4 _______________
V2Vx - V3* = V(2 V* - V3x)2 = V4-T-4V3 х + Зх —
t
и подставляя его в исходное выражение, получаем
«___________ ____________ 4_____________________
V* (7 + 4 V3) V2 V7-73х — Vх’(7 + 4 V3) (7 — 4 д/З) -
= Vx’ (49 - 48) — Vx1" — V*"
{при переходе к последнему выражению знак абсолютной вели-
чины может быть опущен, так как исходное выражение опреде-
лено только при х > 0).
Ответ. Vx.
При преобразовании радикалов необходимо учитывать, что
но определению корень четной степени есть величина неотрица-
тельная, в то время как корень нечетной степени может быть
как неотрицательной, так и отрицательной величиной.
Пример 1.3. Упростить выражение
е ___________________ з ___________
V*(7 + 4V3) • V V3x - 2 Vx.
Решение. Так как V3x — 2 V* ° (в чем можно убе-
диться, сравнив квадраты уменьшаемого и вычитаемого), то пе-
ред приведением радикалов к общему показателю представим
второй сомножитель в виде
3 __________ з _____________ 6
V V3* — 2 V* — — V2 V* — V3* — — V(2V* — V3*)2
Дальнейшее упрощение проводится по схеме предыдущего при-
мера:
в __________ з __________
•Vx (7 + 4 V3") •VV3x~2Vx «
- - Vx(7 + 4V3) V(V3i-2Vr)2 -
в _______________________________ з _
= - Vx* (49 — 48) = — Vx.
Ответ. — V* •
Упростить следующие выражения:
4 __________ ______________
1.10. V6x(5 + 2Ve)«V3VS-2V3x-
f Z ВЫРАЖЕНИЯ, содержащие МОДУЛЬ
13
С _________ 3
1.11. (11 + 4 У<Г ) • V2 V3x —4 V2*.
U2. У(2р + 1П +V(2p-1)» ✓
V<p + 2 V4ps — 1
3 _________ в _______=^
V* + л/2 — *’ • д/1 — * V2 — ** J-
'•,3- ------- з •
Vi — *’
з _________
( м д/28- 15 УЗ (2-УЗ) У
7-4УЗ
з ______
1.15. (у ^20+ 14-^2 - V6"4 V2 + V
+ У "^(а + 3> V--За - 1) : (a(Vo 4-1)
УМ-4 - (Ы- 2)
§ 2. Преобразование алгебраических выражений,
содержащих знак абсолютной величины
Преобразование алгебраических выражений, в которых на*
ряду с арифметическими операциями присутствует знак абсолют-
ной величины (модуля) от некоторой функции, обычно произво-
дится отдельно на каждом промежутке знакопостоянства этой
функции.
Пример 2.1. Упростить выражение
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в знамена-
теле
л/х-2 + 1-. /х»-2х+._ Д1371)Г _
V X 'V X V ж У7
и подставим его в исходную дробь. Получим выражение
(* х И + X (х - 1) + 2 - у) У7
Т^гт
14 . ГЛ. L АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Разделим действительную ось на два промежутка (—оо; 1]я
(1; оо) знакопостоинства функции f(x)=x — 1 проведем
.упрощение исходного выражения на каждом из указанных про-
межутков отдельно.
Так как выражение (»•) определено только при х > О,
х^1, то вместо промежутка (—оо; 1] будем рассматривать
промежуток хе (0; 1). На этом промежутке по определению мо-
дуля имеем |х—!| » 1—х я исходное выражение приобретает
вид
(1-х)
2)
При хв(1; оо) по определению модуля имеем
— х — 1 в
Ответ. При хе (0,4-1) исходное выражение равно
х * — I .. . Xs 4- 3
—=—, а при хе(1; оо) равно —=—.
Vx Vx
Упростить следующие выражения и найти область допусти-
мых заачений параметров, если они не указаны;
2.1.
2.2.
И + у« $2 ц. ^4р
х’-5х»4-7х—3
х|х —3
(х»-х-6)|х|
х I х — 314-х1 —
2х’ - Зх» - Эх
21 у 4-б | — у 4-—-
ок &
Зу® +100-25
2.6. V^ + 44-х-'
" ' V* |2х* — X — 11 ’
I S. ВЫРАЖЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
IS
28 Vo* — 2ad + ft3 9a
' Ya1 + 2a* + &» a + *
при 0 < a < b.
/ i +yr=7 1-V1+* У. *2 — 1
\1—x + Vl-* l+*-Vl+*/’ 2
2.10. V2 (2a + Va’ — bl) ^/a — *Ja* — *’ при о > 0, b > 0,
a > b.
Упрощение иррациональных выражений,
содержащих полный квадрат под знаком pa-
fl и к а л а. Для того чтобы убедиться, что под радикалом стоит
полный квадрат некоторого выражения, иногда удобно сделать
замену, рационализирующую это выражение.
Пример 2.2. Упростить выражение
V* + 2 V2* — 4 — V* — 2 V2x -^4.
Решение. Сделаем замену
1 — 72*-4.
t* -4- 4
ТогХа * — —j—» и выражение (») приобретает вид
VI2 + 41 4- 4 /12 —414-4 , /(1 + ?)2
2 V 2 “ V 2
. /(1-2)2 |Г + 2|
"V-2------------т~_
(•)
И~2|
2
Дальнейшее упрощение проводится по схеме, рассмотренной
в примере 2.1. Разбиваем все множество допустимых значений 1
последнего выражения на три области! (—оо| —2]; (—2) 2}>
(2; <ю), В каждой из них получаем
-£г? + (~Я—а, -2J,'
< + 2 + <~2-^
Для того чтобы вернуться к исходной переменной *, необходимо
равжтъ неравенства
V2* - 4 < -2, -2<VSr=4<2,
Их решениями будут» соответственно, следующие множества зна-
чений!
2<*<4, *>4,
IB гл. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Такны образом, окончательно имеем
+ 2 V2* - 4 - Ух - 2 V2x - 4 «=- ( У2х 4’ 2<*<4>
к 2, X 4.
Ответ. При хе|2; 4] данное выражение равно У2х — 4,
при х е (4; оо) равно 2.
Упростить следующие выражения:
ы '• VVttt+Vf=t-2-(&+v?zri)- *
2.14. V* + 6Vx - 24-7 + Vx-6-Vx^b2 + 7.
2.15. V* 4- 2 7х — I — Ух —2 7x — 1.
2.16. V*2 - 12x + 36 - V*5-
2.17. (x + 2 V2x - 4)-1/2 + (x - 2 ^2х-4)-1/2У
Вычисление значений алгебраического вы-
ражения с предварительным упрощением дан-
ного выражения. В некоторых случаях для того, чтобы
вычислить алгебраическое выражение при конкретных значениях
входящих в него переменных, целесообразно его предварительно
упростить.
Пример 2.3. Вычислить значение выражения
----У» + »УГ ,-3.
Vx’ —4xV2+8 V*a + 4xV2+8
Решение. Упрощая исходное выражение, имеем
Ух —272 Ух + 2У2
У (х —2-72? У(х + 2 72)*
(х - 2 7231Д (х + 2 72)1/а
= |х-272 I 1х + 2 72" I ‘
Значение х = 3 принадлежит промежутку (2л/2', <ю) знакопо-
стоянства функций, стоящих под знаком абсолютной величины.
На этом промежутке имеем
|х-272 I —ж-272 » I х+ 272 l-x-^2-7*’. *
f 1 ВЫРАЖЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ 17
следовательно,
1 1 д
(x-2V2),/2"' U + 2Ve)W"
(ж + 2 V2)l/2- (х - 2 У?)172
" (ж’-в)1'2 ‘ W
Подставив ж = 3 в выражение (•), получим
(з + гУг^-О-гУг-)172-
_(3+2^»[1-(|^)'°]. <->
,, . 3 - 2 V2
Умножим числитель н анаменатель дроби ---= на
34-2 V 2
3 + 2V2* Имеем
3 —2 VF ' 3 + 2 У2~ __ 9 — 8 i
3 + 2У? * (3 + 2УГ) ” (3 + 2 У2)’ " (3 + 2УГ)* ’
^Теперь, с учетом равенства (l +У2)2 = 3 + 2У2, получим
<3 + 2V2)’'[1 -“ <33++2VV?” 12 + 2“
. (з + 2У2)|/а(1 +УГ) (1 + У2)(1 +УГ)
3 + 2У2 ” (1 + У2Т
Ответ. 2.
Вычислить значения следующих алгебраических выражение
при указанных значениях неизвестного:
2.18.
ж —2.
2Л2. ж1 — Зж-2 Д.,
Л’-В
,„ J/л+Уа , J/л-УВ
18
ГЛ. 1, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2.23.
X
(/— \1/2
i+2Vf+^) •
ж — 9, я—0,04
/ (ж* + д*)|/а + (ж* - а*)1* V2
\(х» + а*),/2-(ж«- а‘)1/4/ ’
т* + л«\|/а
2тл / 1
где а > 0, nt > 0, п > 0, т > п.
Упрощение численных иррациональных вы-
ражений. В примере 2.3 после подстановки значения ж — 3
решение свелось к упрощению иррационального числового выра-
жения. Приведем некоторые приемы, упрощающие решение аадач
подобного типа.
Числовое иррациональное выражение удается упростить, если
под знаком квадратного радикала стоит полный квадрат неко-
торого выражения. Так в случае радикала второй степени вида
Vo* ± to, упрощение достигается представлением
•V0’ Л2|б| — V(V* * Vp)’ —IV* ± Vp k (•)
где ж в у находятся как решение системы уравнений
ж + у — а*.
жр — Ъ*.
(2)
Так, в примере 2.3 упрощение
Vi + »V2-(i + Vi?
проводилось согласно (1), а система (2) при этом имела вид
ж + р —3,
ху — 2.
Пример 2.4. Вычислить
Узо — 1?Уб
(2 -Д + 3 V5")
.(6 + 2 V«).
Решение. Система (2) для выражения, стоящего в чис-
лителе дроби, записывается в виде
ж + р-ЗО,
жр —216
в имеет решения (12; 18), (18; 12),
11 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 19
Следовательно, согласно (1), получаем
•\/зо —12 Тб = Vie — Vi2 — 3 V2* — 2 V3 .
_ . 3V2-2^
Домножая числитель н знаменатель дроби —---------= на
2 V3 + 3 V2
3 V2 — 2 V3, имеем
(3V2-2V3)* 30-12V6 - „ «
---18=12--------------6---“ 5 - 2 <6 .
Перемножив 5 — 2^6 и 5 +2 Vе, окончательно получаем
(6-2 V6) (6 + 2 V6) — 25-24—1.
Ответ. 1.
Вычислить значения следующих иррациональных выражений]
л/& + 2л/\2-^2 .
V8-2V12+V2 '
2Л8. 3 . Vg+2VS V
4 + V5' Ve — 2 Vs
2.27. Ve + 2 V5 - Ve-2 VS"-
V20 + 2 Vo’ — S* — V«— t>
2.28. , *--------- y
•y 2a — 2 Vo’ — 61 + Vo — 6
2.29. '\/бт + 2 V9m’ — n3 — — 2 ^9m* — n3.^
§ 3. Доказательство тождеств
Доказательство тождеств непосредствен*
нойпроверкой.
Пример 3.1. Доказать, что
(а + b + с) (be + со + ab) — abc = (6 + с) (с + о) (а + 6). (♦)
Решение. Раскроем скобки в левой части выражения в
приведем подобные члены. Имеем
abc + Ь’с + be3 + о’с + abc + с’о + агЬ + ab3 + abc — abc —
= 2аЬс + Ь3с + Ьс* + а’с + с’о + о*6 + 6’а.
Раскрытие скобок в правой части выражения приводит к та-
кому же выражению. Действительно,
abc + с’о 4* а3Ь + о’с + Ь*с + 6с* + abc —
•—2о6с + с’о + а3Ь + а’с + Ь’с + 6с*>
20
ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Исходное тождество доказано, так как если каждое из двух
выражений равно третьему, то эти выражения равны между
собой.
Доказать следующие тождества:
3.1. (а’ + ft») (х» 4- р») = (ах - by)1 + (bx + ар)».
3.2. (д’ + Ь1 + с1 + d») (х’ 4- у1 + z’ + /») —
= (ах — by — cz — dt)14- (bx 4- ay — dz 4- ct)14-
4- (ex 4- dy 4- аг — bl)* 4- (dx — cy 4- bz 4- el)»,
.(a* - ft»)» 4- (2aft)* — (д’ 4- ft»)».
(a + p 4- c 4- d)* 4- (a 4- b - c - d)»4-(a4-c -ft-d)»4-
4- (a 4- d — ft — c)* - 4 (a* 4- ft’ 4- c* 4- d»).
1.1 1
। * : , 1
e+—Г a+T
b + ~
д 4~ 3 _ a’ — 5 __ __________________
2a — l 4д» — 4a 4- 1 8a’ — 12а» 4- 0a — 1 ”
2a 4- 1
ЭЛ.
8.4.
8Л.
Зв.
b (abc + а + с)
2а»-а(1 - ба) — 1
8.7.
8А
3.9.
8.10.
а» (с -6) ft* (а-с) . c*(ft-
Ьс ас ' ab
а(с — Ь) ft (а —с)
Ьс ‘ ас *"
с (ft — а)
ab
1.6.
»-4
а
Доказательство тождеств с помощью усло-
вия равенства двух многочленов. Если в левой и
в правой частях тождества стоят некоторые алгебраические вы-
ражения, которые можно рассматривать как два многочлена
одной и той же степени, то доказательство таких тождеств мо-
жет быть основано на следующем свойстве многочленов. Два
I 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ
21
ыногочлена л-А степени одной переменной х равны (тождествен-
во равны), еслв значения этих многочленов совпадают при
х “ хь х ™ х»......х = ха, х=х„+|.где всеХ|,х2.....х„, хя+|—
произвольные, не равные между собой числа.
Пример 3.2. Доказать тождество
а* (х — Ь)(х — с) Ь1 (х — с) (х — а) ,
(л — Ь) (а — с) (Ь — с) (Ь — а)
с* (х — а) (х — Ь) .
(с — а)(с — Ь) ’
Решение. Сравнивая значения левой и- правой частей при
х " а, х — Ь, » — с, можно убедиться, что при этих значениях
переменной многочлены совпадают. Так как левая и правая ча-
сти представляют собой многочлены второй степени относитель-
но х, которые совпадают более чем при двух значениях пере-
менной, то эти многочлены тождественно равны.
Доказать следующие тождества:
о < । а . ______________________
(х — а) (а — Ь) (а — с) ' (х — Ь) (Ь — а) (Ь — с) ~г
+___________£________________________£__________
т (х — с) (с — а) (с — Ь) (х — b) (х — а) (х — с)
«|2 (* — Ь)(х — с) (х — с) (х — а)
(а - Ь) (а - с) (Ь - с) (Ь - а) *
. (х-а)(х-6)
‘г (с — а)(с — Ь) ” *
3.18. b + c+d__________________
(Ь — а) (с — a) (d — а) (х — a) '
b
т (с — b) (d — b) (а — Ь) (х—Ь)
_______d + а + 6 .
*" (d — с) (а — с) (Ь —с)(х — с) '
* (а - d) (b - d) (с -d)(x-d)~
х — а — Ь — с — d
(х — а) (х — Ь) (х — с) (х — d) ’
8.н*.-^4-+4^-+-Ц=^-+
, (а — b) (Ь — с) (с — а)
* (а+6)(& + с)(с + а)
8.W. ^. ?--с___+:____--------+____---------я
„ —W(« —с) ~ (6 — с) (Ь — а) т (с — а)(с — Ь)
а — b Ь —о с — а
22
ГЛ. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
я 1Я» а* -6с Ь3-ас
• (a+b)(a + c) + (ft + с)(Ь + а) +
+____*~аЬ ..-о
Т (с + а)(с+й) ’
К доказательству алгебраических тождеств близко примы*
кают и задачи, связанные с проверкой некоторых числовых ра-
венств. Обычно эта проверка осуществляется теми же методами,
что и доказательство тождеств (сюда же включаются методы
упрощения алгебраических выражений, см. § 1).
Однако существуют и специальные методы проверки число-
вых равенств.
Пример 3.3. Доказать, что
^9 4-780 + ^9-780 — 3.
Решение. Обозначим
х — 4^9 + 780 + ^9-780.
(•)
Тогда, уединяя один из радикалов н возводя в куб обе части
получившегося уравнения, имеем
(х - ^9 + 7во)’ — 9 - <80,
Xs - аж* ^9 + 756 + Зх (-^9 +Тео)’ - 9 - 780 = 9 - Твб,
х» - Зх« 4^9 + 780 + Зх 7(9 + 780)2 — 18»
х» - Зх ^9 + 780 (х - ^9 + Твб) — 18-
Выражение х — 4^9 + 7® в силу (•) равно 4^9 — 780, и, следо-
вательно, уравнение приводится к виду
х®-3х7в1 - 80 = 18-с=»-х’- Зх - 18 = 0. (•*)
Очевидно, что х = 4^9 + 780 + 4^9-783 является корнем
уравнения (*•). Кроме того, непосредственной подстановкой лег-
ко убедиться в том, что х = 3 также является корнем уравне-
ния (••). Других действительных корней уравнение (•*) не
имеет, так как кубичный многочлен (•*) может быть записан
в виде
х’ - Зх - 18 — (х - 3) (х2 + Зх + 6),
а дискриминант квадратного трехчлена х1 + Зх + в отрицателен.
Таким образом, исходное равенство следует из существова-
ния единственного действительного корня уравнения
} 1. УСЛОВНЫЕ тождества
23
'§ 4. Условные тождества
Тождества, справедливость которых требуется установить
'лишь при выполнении некоторых условий относительно входящих
в исходное тождество переменных, называют условными тожде-
ствами.
Пример 4.1. Доказать, что если
а + b + с — О,
го
а3 + 6* + с* “ ЗаЬс.
Решение. Из условия
а+ & + с = 0
получаем
с* ~ — (а + 6)’.
Используя тождество (5), имеем
— с3 — — а3 — &3 — ЗаЬ (а + Ь)
или, заменяя а + Ь на —с,
а3 + Ь* + с3 = ЗаЬс,
что и требовалось доказать.
4,1. Доказать, что если
а 4-6 + с — О,
то
а* + 6’ + с’ а3 + Ь3 + с3 а3 + 6» + с’
5 ” 3 ' 2 1
4Л. Показать, что из равенства
а* + Ьг + с3 = ab + Ьс + ас
следует равенство а = Ь = с.
43. Доказать, что если а,/3 + 6|/3 + с,/3 = 0, то
(а + b + с)3 = 27abc.
4.4. Доказать, что если
4.5. Доказать, что если
24
ГЛ. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ТО
х2/3+у2/3 = а2/3#
4,6. Доказать, что если а + Ь + с = 0, то
а) (а* + Ь* + с3)3 = 2 (а’ 4- д’ 4- с’).
б) 2 (а® + д’ 4- с») — бадс (а1 + д’ + с’).
в) б (а3 + д’ 4- с3) • (а* 4- д’ + с2)-6 (а’ 4- д’ 4- с").
Xi U i
4.7* . Доказать, что если —L ч* —, то из системы урав*
Hi
иеиий
dX| 4-= 0,
• “Vi 4-Ру а —О
следует, что а2 4- Р3 " 0.
4.8. Доказать, что если l/^z, г^хп
то
х . У , г
(У - г)’ "Г (2 - X)3 (X - у)’
4.9* . Доказать, что если
а1 + °а + ••• +ал“Р1-
д’ 4-1>1 4- ... 4- b2 — q2, р чА 0, q О,
a|d|4‘°Jfti+ ••• + anbn — pq.
то Д| —Лд|, аа — Ад* ..., ап — М>п, где ^"~.
4.10. Доказать, что если
а д
д ” с ‘
то
о2 4- Ь* _, а
д2 4- с* ” с ’
4.11. Доказать, что если
ау — дх сх — аг Ьг —у
с д a '
то
_х__в Л_^±_
а •“ д — с ‘
4.12. Доказать, что если
а — д д — с с — а
н4-д " д4-с с4-в
то
(I + х) (1 4- У) (1 + 2) = (I - х) (1 г- у).(1 - а).
$ S. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 25
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
Пусть а — положительное число, отличное от единицы, а
М— любое положительное число. Логарифмом числа М по осно-
ванию а называется такое число, обозначаемое loga М, что
д^-М.
Основные свойства логарифмов. Пусть о > О,
а Ф 1, Ь > 0, с > 0, тогда
loga (“ logo * + loge с, (О
toga у — loga b — loga c> (2)
log pbl — 4-log b. (3)
A p A
10gaft-4^4» «)
loge д
14.»—»*!• <5>
Тождественные преобразования логарифмических выражений
проводятся с помощью формул (1)—(5) и определения лога-
рифма.
Пример 5.1. Упростить выражение
loga Vo2 — 1 log?/,, Уд2 — 1
logB> (д’ — 1) log^- Уд’ — 1
Решение. Согласно свойству (3) имеем
(log1/e Va* - 1)2 — (- loge Уд1 — l)2 — (loga Уд* - l)2, (•)
Jog77 Vo* — 1 — log(77)» (V°* “ *)" — loge Vo* — 1 • (♦•)
logai (д* — I) — l°g(el)i/2 (a* - 1)1/2 — loge Уд1 — 1. (•♦♦)
Подставляя правые части выражений (•) — (*♦•) в исходную
дробь, получаем
loge -у/а* — 1 Jog2 Уд* - 1 ——_
loge Уд* — 1 loge Уд* — 1 °*° °
Ответ., logo Vo* — 1.
Пример 6.2. Вычислить
щ 27 Ьв» И й
88
ГЛ. Т. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решение. Согласно свойству (5) имеем
gl>/loB»3 = 3(logi6
Используя свойства степеней, получим далее
811ов>в_ (З«)1оя,5_ (з|о««5)\
Согласно определению логарифма 3loi,sw»5. Таким образом,
81>/1ои|3_5«мз2б.
Аналогично,
_ 3< 1ОВ.7 _ (32)2 '°«17 _ (91о«.7)2 e -fl в ад
27,ОИ»36 = 2710g, в =м 3З log, в — (з log, 6)3 — 2|gt
Складывая полученные значения, получаем искомое число.
Ответ. 890.
Упростить следующие выражения:
М. ?|l/l°g,.1> +£((VT-)27108”7 - 12510»"6). V
5.2. e,+*to«S% _2al08«6+,&to8»a+1 4- flft,+2/,°8a6. J
(log 4fl \
2 -V2 _з10Я|»(а’+1),_2а^:(741°в«0 —a—l).
8.4*. logj 2 log« 3 toga 4 logt 6 log; 6 logs 7.
5Л. log^J^+log^x108* (Io«»z+1)+^ Iog2 /+2-31ОВ1/2М, *.
logfl ft + loga (ft 2 l0<t ° ) loga> 6 logg b
logaft-logatft ’ 621оий1ояв0 _ j •
R7> + t 4 т-Ч-Юе,/,--------!-₽.
V2 <v^ + V3 ,/s 104-2V21
Связь между логарифмами составных чисел обычно удается
установить, используя логарифмы их простых сомножителей.
Пример 5.3. Найти log»8, если известно, что lg5 = o,
Ig3 = ft.
Р е ш е в и е. Представим log>« 8 в виде
,0В”8“Т^
> S. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Разлагая числа 30 и 8 на простые множители в используя сво*
ства логарифмов, получаем
я. 31«2
1ов’"8 Ig6+lg3 + lg2'
Учитывая, что
1g2-1g-^-I - 1gВ,
в используя условия задачи, получаем
о 3(1-а)
logM8- 6 + —•
л 3(1-а)
Ответ- 6+1 •
6.8. Вычислить без помощи таблиц
1og3135 log» В
loguS log40»3 ’
6.9. Зная, что 1g2-a, log» 7— 6, найти 1g88,
В.10. Зная, что lg 3 = а, 1g 2 = b, найти log» 6.
В.11. Известно, что log» 7— a, log? В — b, log»4 —с. Найт»
log» 12.
В.12. Зная, что t = 8w'4o1 и с-81Л,‘|о’<,>, выразит»
log» а через log» с.
6.13* . Известно, что
loge х = а, log4 х = р, loge х = у, logd х — (ц х + 1.
Найти logoftcJx.
Для доказательства тождественности двух логарифмических
выражений при выполнении некоторых условий иногда удобно
сначала преобразовать данные условия, а затем их прологариф-
мировать.
Пример 5.4. Доказать, что
ig-4^=4-(,ea + ,B6>’
О 4
если в* + b*— 7аЬ, а > О, b > 0.
Решение. Преобразуем условие а1 + 6* -• 7аЬ, выделяя
в левой части полный квадрат:
а* + д’+ 2oi — 9а5,
т. е.
(а+ (*)* — 9аЬ.
ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Логарифмируя последнее равенство по основанию 10 и приводя
подобные члены, получаем
21g (п + 6) — 21g 3 -» log а + lg b.
Разделив обе части равенства на 2 и используя свойство логарифм
мое (2), получаем искомое равенство.
5.14. Показать, что при условии х > 0, у > 0 из равенства
<*4-40 = 12*у следует равенство
1g (* + 20 - 21g 2 — 1 (1g х + 1g у).
5.15. Доказать, что
loga+ft т + 1ое—ьт “ 21о«а+ь т 1о*а-ь "*•
если известно, что т* — а* — 5*.
5.15. Доказать, что если а, Ь, с — последовательные (положи-
тельные) члены геометрической прогрессии, то
loga — log» v = loga
logfc N — log£ N “ logc N *
5.17. Доказать, что если
, JoH_» 2
(ас) а = с.
то для любого положительного числа N числа logaV, log» У,
log; У являются тремя последовательными членами арифметиче-
ской прогрессии.
При доказательстве тождеств обычно используются те же
приемы, что и при упрощении логарифмических н показатель-
ных выражений.
Пример 5.5. Доказать, что
logplogp * V...7p=-n
п
при р > 1.
Решение. Записывая иррациональное выражение, стоящее
под знаком второго логарифма, в виде
Л - Р1,рП
п
t 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 29
и логарифмируя два раза это равенство по основанию р, полу-
чаем
, Чрп * . I
logpP — рг. logp-^Г--'»-
Таким образом, исходное тождество доказано.
5.18* . Доказать, что для любых допустимых положительных
чисел а и N имеет место равенство
-——17 + i—тг + т—17 “ 10 log„ “•
loge N log„, N т loge, N т log0. N
5.19 *. Доказать, что
2 (V ioga Ve6+iogj veF - д/iogfl д/4+10g* '''Zb) X
XVbg^-{ 2Ioge6> !<J<£
5.20 *. Доказать, что
logfl N logt N + log6 N logc N + logc N logfl N “
logfl N logfc N log,. N
lo«abcN
5J1*. Доказать тождество
, »Ogq
°Be/fc X “ logb*-loge * '
При сравнении двух логарифмических выражений удобно
пользоваться эквивалентностью следующих неравенств. Если
основания логарифмов одинаковы, то
при а > 1:
0 < Ь < с -о»- 1oga b < loga о. . (6)
при 0 < а < 1:
0 < Ь < с ++ loga b > loga с. (7)
Если одинаковы числа, от которых вычисляются логарифмы,
и а > 1, b > 1 или 0<о<1и0<5< 1, то
при с > 1:
logec < logftc -«=>-a > b, (8)
при 0 < с < I:
1oge с < logb с Ф* b > а. (9)
Пример 6.6. Не пользуясь таблицами, определить, что
больше;
loge 9 или logr 8?
to гл. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решение. Представим исследуемые логарифмы в виде
log,9 - log, (8 + 1) = 1 + log, (1 + у),
log, 8 - log, (7 + I) - I 4-log, (1 + у)-
В силу (8) и (6) справедливы неравенства
!og.(l + y) <log, (1+у)< log,(l + y).
Таким образом,
log, 9 < log, 8.
Не пользуясь таблицами, доказать неравенства!
5.22 *. log, 75 < log, 22.
5.23 *. log, 70 < log, 20.
««log, 2 (у) > ’•
5.25 *. Доказать, что для любого натурального N > 3 спра»
ведляво неравенство
^(X+lXlog^W.
Г Л А В A 2
УРАВНЕНИЯ
В алгебре рассматриваются два вида равенств — тождества я урам
веяв я. Тождество — это равенство, которое выполняется при всех (до*
пустнмыя) значениях входящих в него букв. Для записи тождества вая
ряду со знаком — также используется ввак
Уравнены— это равенство, которое выполняется лишь при некого*
рых аначениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравиеивба
по условию задачи могут быть веравмоправными: одни могут принимать
все свои допустимые аиачеяия и называются коэффициентами (режа но»
раметрами) уравнения; другие, значения которых требуется отыскать,
называются неизвестными (нх обычно обозначают последними буквами
латинского алфавита: х, у, х, нлн теми же буквами, снабженными ан*
девсами:Л|. яя..*п или р,. р9, ..., р4‘)).
В общем виде уравнение с л неизвестными Хр ха......*п можев
быть записано в виде
.............. <•)
где F (Х|, ха.х„) — Функция указанных переменных. В зависимости
от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя
и более неизвестными.
Знач> ия неизвестных, обращающие ураввеаие в тождество, вазы*
веют решениями уравнения. Уравнение считается решенным, если на**
дены все его решения или показано, что уравнение решений не имеет.
Если все решения уравнения F - 0 являются решениями урапиеявя
G - 0, то говорят, что уравненне G - О есть следствие уравнения F - О,
в пишут
Л—0“*-О—0.
Два уравнения
F—0 и G—О
взывают эквивалентными, если каждое из анх является следствием дру*
ого, и пишут
Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множе-
ства решений этих уравнений совпадают.
Уравнение F»»(l считают эквивалентным двум (или нескольким) уравне-
вяям Fi—0, Fi—0. если множество корней уравнения F—0 совпадает
с объединением множеств корней уравнений F0, Fi—0.
Некоторые эквивалентные уравнения;
(. Уравнение F + О - G эквивалентно уравнению F — 0, рассматри-
ваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.
р
2. Уравнение-д-—0 эквивалентно уравнению F - 0. рассматривае-
мому на множестве допустимых значений исходного уравнения.
•) Если специально не оговорено, то считается, что ведэвествыо
принимают действительные значении.
82
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
3. Уравнение F • О - 0 эквивалентно двуи уравненнвн Р — 0 О — О.
каждое нз которых рассматривается на множестве допустимых аяачеяпй
сходного уравнения.
<. Уравнение Fn=0 эквивалентно уравнению f—0.
в. Уравнение Fn«On при нечетном л эквивалентно уравнению Р — О,
нрн четном п эквивалентно двум уравнениям: F — G н F — —О.
Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уряя*
еяне, сводящееся к уравнению вида
аохп + а1хп-1+ aJx',-2+ ... +ап_|х + оп*=0,
где л —неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена
Од. Яр at....ал—г ап яээываются коэффициентами (или параметрами)
уравнения и считаются заданными; ж называется неизвестным и является
искомым. Число л называется степенью уравнения.
Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение и
тождество, называются корнями (или решениями) алгебраического урав-
нения. *
§ 1. Нахождение корней многочленов
Многочленом (полиномом) л-А степени относительно переменное
дичины х называется выражение вида
Р U)—fl0xn + n1x',-l + oJxn~2+ ... +on_|x + on,
где л—неотрицательное целое число; а0, а,, аг, .... an_t. ап—коэффи-
циенты многочлена, причем коэффициент а*. называемый старшим коэф*
фицнеитом. считается не равным нулю.
Многочлен первой степени называют также линейным многочленом,
многочлен второй степени — квадратным, а многочлен третьей степени —
кубичным многочленом.
Число с называется корнем многочлена, если Р(с) - 0.
Ураввеане вида
ах + 4-0, а У- 0. (1)
взывается линейным уравнением. Линейное уравнение имеет единствен*
ый корень х - —Ыа.
Уравнение вида
пл' + йх + с—О, ОчЬО, (2)
называется квадратным уравнением. Выражение Ь* — 4ас - D называется
дискриминантом квадратного уравиения. Если D > 0. уравнение (2) имеет
два действительных корня:
— Ь+ч/Ъ -Ъ-^О
Х,— 2о ’ 2а
Если D - 0. то уравнение (2) имеет один действительный корень крат*
иостн 2: х=—Если D <0, то уравнение (2) действительных корней
не имеет.
Решение уравнений методой замены неиз-
вестного. Решение многих уравнений заключается в сведении
их к уравнениям вида (1) или (2). Одним нз таких способов
- является введение вспомогательного неизвестного.
Пример J-1. Решить уравнение
(х’-2х)’-(х-1)’ + 1=0.
Решение. Обозначая у = (х — 1)г, запишем исходное
уравнение в виде
1-0. (»)
• !. НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЯ МНОГОЧЛЕНОВ 33
Несложные преобразования приводят уравнение (•) к виду
у» — Зу + 2 — 0. (•*)
Решая (•*), получаем, что исходное уравнение эквивалентно
двум квадратным уравнениям
(*—1)»—| и
корни которых *1 — 2, *» — 0 и < — 1 ± д/Т являются кор-
нями исходного уравнения.
Ответ. *| — 2, *8 — 0, *ti 4 — 1 ± V2*.
Решить уравнения:
1.1. (** + 2*)» — (* + I)* — Б5.
1.2. (*» + *+ I) (*» + * +2) — 12 —0.
1.3* . (*» — Б* + 7)’ — (* — 2) (* - 3) — 0.
1.4* . (* - 2) (* + 1) (* + 4) (* + 7) - 19.
1Л*. (2** + 3* - 2) (Б - 6* - 4*‘) — —5(2*» + 3* + 2).
1.3. х* - 13*»+ 36 — 0.
1.7. 2*‘ + г4 - 15 — 0.
1Л. (2* — !)• + 3 (2* — 1)’— 10.
1.3* . (1 + *)» + (1 + *»)4 — 2*’. yS
1.10. (* - 2)" - 19 (* - 2)* — 216.
Решение уравнений методом разложения
на множители. Один нз способов решения уравнения л-й
степени (л > 2)
Рп W-0
состоит в разложении многочлена Р„(х) на множители, что по>
аволяет свести решение исходного уравнения к решению не-
скольких уравнений более низких степеней. Этот способ основан
на следующем свойстве корней многочлена п-й степени. Если *=в
является корнем многочлена
Рл(х)“"аох'’ + а1х"-1 + ... +ал-1* + ап»
го этот многочлен можно записать в виде
Рп (х)-(х- С) <?«-. (X), (3)
где Q„-i(*) — многочлен степени л—1, т.е. многочлен Р»(*)
делится на многочлен * — с.
Разложение многочлена на множители равносильно нахожде-
нию корней многочлена. Нахождение корней многочлена являет-
ся . трудной аадачей, и в общем случае для многочлена л-й сте-
пени с действительными коэффициентами нельзя указать универ-
сального способа нахождения корней. Однако для многочленов
Я А. Г. Цыпки, А. И, Панский
84 ГЛ. 1 УРАВНЕНИИ
с целыми коэффициентами существует теорема, позволяющая
отыскивать их рациональные корни.
Рациональными корнями многочлена
eot" + ai*',-l+ ••• +an-ix + en-
где во. Bi...вя-1, а, —целые числа, могут быть лишь числа
вида т/р (т — целое, р — натуральное), при этом число |/п|
является делителем числа |а„|, а число р — делителем числа
|оо|.
Пример 1.2. Найти корни уравнения
Зх’ —4х’4-Бх-18 — 0.
Решение. Делителями числа 18 будут числа 1, 2, 3, 6, 9,
а делителями числа 3 — числа I, 3. Множеством значений л» бу-
дет множество (—9, —6, —3, —2, —1, 1, 2, 3, в, 9}, а множе-
ством значений р — множество (1, 3). Множеством всевозмож-
ных различных значений чисел вида т/р будет следующее мно-
жество рациональных чисел:<± 1»±2, ±3, ±в>±9, ±-j.
Подставляя эти числа в уравнение, получаем корень уравнения —
число 2. Следовательно, многочлен, стоящий в левой частя урав-
нения, делится иа (х — 2).
Произведя деление углом, находим частное — многочлен
Зх* 4- 2х + 9, который действительных корней не имеет. Следова-
тельно, х = 2 — единственный действительный корень исходного
уравнения.
Ответ. i = 2.
Решить уравнения методом разложения на множители:
1.41. 8х* + 6х»—13х4 —х-ЬЗ —0.
1.12. х» + 6х 4- 4х» + 3 — 0.
1.13. 2х«-xs-9x’4-13X-6 — 0.V
1.14* . (х - 1)’ 4- (2х 4- З)3 = 27х3 4- 8V
1.16. х’ — (2а 4- О 4- (o’ 4- в) * — (в* — в) ™oV
1.18. х4 - 4х3 - 19х’ 4- 106х — 120 = 0. V
Некоторые уравнення специального виде.
Уравнение четвертой степени внда
(х4-о) (х Ч- 6) (х + с) (*4-rf) = m
при условии
а4- 4- d=* 1
приводится к квадратному уравнению относительно неизвестной
f I, НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ 85
Пример 1.3. Решить уравнение
х (х + 1) (х + 2) (х + 3) - 0,6625. (•)
Решение. Перемножив попарно х(х4-3) и (х+ 1)(х4-2),
имеем
(Д + Зх) (х* 4- Зх + 2) — 0,5625.
Вводя вспомогательное неизвестное у = х1 + Зх, после очевид-
ных преобразований получаем квадратное уравнение
0*4-20 - 0,5625 — 0,
корнями которого будут числа yt — 0,25 н у» = —2,25.
Возвращаясь к исходному неизвестному, заключаем, что (•)
эквивалентно двум уравнениям:
х« 4- Зх - 0,25 — 0, х* 4- Зх 4- 2,25 = 0.
-3 4- Vio
Первое уравнение имеет два различных корня: х( —------------—
—3 — VT5 3
и х> —------------, второе — один корень хЭ14 — — у кратности
два. _
-3 4-д/ю —з —Vio з
Ответ, х,—---------—, ха —------------
Найти корив уравнений:
1.17. (х 4- о) (х 4- 2а) (х - За) (х - 4а) — Ь*. у
1.18. (х — 4) (х — 5) (х — 6) (х — 7) — 1680.
1.19. (6х 4-5)’(Зх 4-2) (х 4-1) = 35. V
1.20. х4 — 2х’4-х—132 —0.
1.21. (х — 1) (х 4-1) (* 4-2) х — 24.
1.22. (х - 4) (х 4- 2) (х 4- 8) (х 4- 14) — 354. *
1.23* . (х14- х 4- 1) (2х* 4- 2х 4- 3) — 3 (1 — х — х1).
Алгебраическое уравнение четвертой степени вида
ах4 4- б*’ 4- с** 4- d* 4- в “ 0. е ч* 0,
называется возвратным, если коэффициенты уравнения связаны
равенством d = М, с — Ma (X — некоторое отличное от нуля
число).
Решение возвратного уравнения может быть сведено к реше-
нию квадратного уравнения заменой
Пример 1.4. Решить уравнение
18х4 —Зх’ —25х*4-2x4-8 —0.
9*
36
ГЛ.2 УРАВНЕНИЯ
Решение. Так как х = 0 не является корнем уравнения,
то, разделив обе части уравнения на х2, перейдем к эквивалент-
ному уравнению
18х’ - 3* - 25 + — 4- X = 0.
х х2
Сгруппируем слагаемые в правой части этого уравнения следую-
щим образом:
Теперь очевидно, что если в качестве новой неизвестной выбрать
2/3 . . 4/9 . , 4
у “ х---то, так как х1 + —“ Г + у, исходное урав-
нение приобретает вид
18^-30- 1=0. (•♦)
Корни этого уравнения равны -= и — -г- соответственно.
3 б
Таким образом исходное уравнение оказывается эквивалентным
следующим двум уравнениям:
х 2/3 - 1 и х 2/3 - 1
* х 3 “ Х ~ ‘6-
„ . 2
Первое уравнение имеет корни Х| —I a Xj"—5-, а вто-
Решить, уравнения:
1.24. х« + бх1 + 2х» + Бх + 1-0. .
1.25. 2х« + Зх’ - 4х’ - Зх + 2 — 0. V
1.26. 15х’ + 34х« + 15х» - 1Бх* — 34х — 15 — 0.\/
1.27. 8х’-х»-20х+ 12 — 0. V
1.28. х«+ 1-2(1 +х)«. V
Некоторые алгебраические уравнения л-й степени (л > 2)
допускают понижение порядка, если использовать формулу би-
нома Ньютона (см. гл. 14, § 3).
Пример 1.5. Решить уравнение
8х’ + 36х* + Б4х — 98.
Решение. Воспользовавшись тем, что
(2х + 3)’ — 8х’ + Эбх* + Б4х + 27,
s l. НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕИ МНОГОЧЛЕНОВ .47
запишем исходное уравнение в виде
(2х + З)1 = 125,
ялн
2х 4- 3 = 5,
Таким образом, единственным корнем исходного уравнения будет
х = 1.
Ответ, х = 1.
Решить уравнения:
1.29. 8х' - 36х* + Б4х — 28. *
1.30. 16х« 4- 32х’ + 12х’4- 8х - 80 — 0. /
U1. х* - 8х’ 4- 24х* - 8х — 65.
Уравнение вида
а)ив4-ван"”’»’4-в«ип-2о24- ... 4-ОпРп™0
называется однородным уравнением л-й степени относительно не-
известных и и о. Деление обеих частей однородного уравнения
на Vя сводят его к уравненню л-й степени относительно неизвест-
и
ного и =—.
о
Если ая *= 0, то следует отдельно рассмотреть случай, когда
о = 0.
Сводя уравнения к однородным и производя указанную
выше замену, иногда удается понизить степень исходного урав-
нения.
Пример 1.6. Решить уравнение
(х» 4- 27)1 — 5 (х* 4- 27) (х» 4- 3) 4- 6 (х* 4- З)1 = 0. («)
Решение. Обозначим х1 4- 27 = и, х* 4- 3 = о. Тогда ис-
ходное уравнение приобретает вид однородного уравнения вто-
рой степени относительно неизвестных и и о:
в1 — био 4- во* = 0.
Производя замену ““У, получаем уравнение
у* — 5у 4-6 = 0,
корни которого у = 2 и у = 3.
Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем, что урап^
некие £•) эквивалентно двум уравнениям
х« 4-27 = 3 (ж14*3). х»4-27 = 2(х*4-3).
корнями которых являются числа ± 3 i ± V21 соответственно.
Ответ. xt3 = ±r3, V5T,
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
38
Решить уравнения:
1.32. (ха - 1)’ + 5 (х4 - 1) - 6 (х2 + 1)’ = 0.
1.33. (х1 - 3)’ - 7 (х4 - 9) + 6 (ха + 3)а = 0.
1.34. (х - 2)а (х 4- 1)а - (х - 2) (ха - I) - 2 (х - 1)« = 0.^/
Если уравнение может быть записано в виде Л/(х)] = Ж то
средн корней этого уравнения содержится корень уравнения
f(x) = х. i
Пример 1.7. Решить уравнение
(ха — 4х + в)» - 4 (ха - 4х + 6) + 6-д
Решение. Найдем корни квадратного уравнения
‘ ха —4х + в = х. (•)
Его корни х = 2 и х = 3. Следовательно, многочлен, стоящий
в левой части исходного уравнения, делится на произведение
(х—2)(х —3).
Производя деление углом, находим многочлен частного:
х* —3x4-3.
Таким образом, исходное уравнение можно представить в
виде
(х« - 5х 4- б) (х« - Зх 4- 3)-О,
в, следовательно, оно эквивалентно двум уравнениям
ха — 5x4-6 —О, х> — 3x4-3 —О. (*•)
Второе из уравнений (••) действительных корней не имеет, и
действительными корнями исходного уравнения являются корня
уравнения (•).
Ответ. Xi = 2, х> = 3,
Решить уравнения:
1.35. (х*4- 2х - 5)а 4- 2 (х*4- 2х - 5) - В— х,
1Л5. (х’-х-3)»-(х»-х — 3) —3 — х. V
§ 2. Рациональные уравнения
Рациональным алгебраическим уравнением называется урав-
нение вида
где Р(х) и Q(x) — многочлены. Далее для определенности будем
полагать, что Р(х) — многочлен лв-й степени, a Q(x) — много-
член л-й степени.
Множество допустимых знамшпй ранмоаыьвш» ажеброшче-
ского уравнения (1) определяется условнее Q(x) Д откуда
$ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
39
следует, что х Ф с(, х«й й, .... х ч* о», где й. Аь .... ся —
корни многочлена Q(x).
Метод решения уравнения (1) заключается в следующем.
Решаем уравнение
Р(х)=0,
корни которого обозначим через xi, х2, х»...хт. Сравниваем
множества корней многочленов Р(х) и Q(x). Те корня много-
члена Р(х), которые не являются нориями многочлена Q(x),
являются корнями (решениями) рационального уравнения (1).
Пример 2.1. Решить уравнение
9-х ц б
х — 4 “ х — 4
Решение. Исходное уравнение эквивалентно уравнению
9-х —6 4-3 (х-4)—О
при условии х — 4 0. Решая полученное уравнение, находим:
х = 4. Так как х = 4 не входит в область допустимых значений
неизвестного, то данное уравнение решений не имеет.
Пример 2.2. Решить уравнение
1 1 1
х (х + 2) (х + 1)« “ 12 •
Решение. Обозначая г = х* 4- 2х, запишем исходное урав-
нение в виде
±_______!_______L (.)
z Z4- 1 12 • ' ’
Несложные преобразования сводят уравнение (») к уравнению
*’ + ?т12 .о
12z(z4-0 ’
(•*)
которое эквивалентно уравнению г* + г—12 = 0. Эквивалент-
ность этих уравнений следует из того, что корни последнего
уравнения z = —4, г = 3 принадлежат множеству допустимых
значений уравнения (••). Таким образом, исходное уравнение
эквивалентно двум квадратным уравнениям: х* 4- 2х — 3 = 0 н
х14-2x4* 4 = 0. Корни первого уравнения: х»=. 1, Xi = —3.
Второе уравнение действительных корней не имеет.
О т в е т. Xi = 1, х* = е-3.
40
ГЛ. 2 УРАВНЕНИЯ
Найти корни следующих уравнений:
12x4-1 Эх —5 108х — 36х2 — 9
6х — 2 Зх + I = 4 (Эх2- I) •
2 2 *_________!____I____!________
2х + 3 х2 - 16 т 2х2+Пх+12
_________х~8 _.р
2х’ 4- Зх1 - 32х — 4в '
2.4 х + !_____—_________1___1__
2 (х — I) 2 (х 4-4) т х — I'
,« х2 ’ *+________!_______!_
м х2 — 4 т 2 (х — 2) 2-х х4-2’
,в 4х2 4- 29х 4- 45 — (х 4- I) (2х 4- 16) (х 4- D (х 4- б)
хл' (2 (х — I))2 - 2 (х 4-1) (х - 2) Г (х-1)(х-2)’
(д - х)« 4-(х - Ь)4 д4 4-Ь4 V
’ • (д 4- 6 - 2х)» (д 4- й)2 ' v
2.13. 7 (х 4- -J-) - 2 (*’ + 7?) -9-
, х*<4-2x4-1 , х2 4-2x4-2 7_
х2 4-2x4-2 *’ х2 4-2x4-3 6*
Уравнение вида
_______________ах________._____Ьх_____
сх* 4- йх 4- d ‘ схг 4- гх 4- d
сводится к уравнению
Ь
—— =с
s 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
41
введением вспомогательного неизвестного
, d
Р“« + —•
Пример 2.3. Решить уравнение
х______, 2х .
ж1 - ж + 1 ж’ + ж + 1 “
Решение. Подстановкой проверяем, что ж — 0 не является
корнем исходного уравнения. Поделив числитель и знаменатель
каждой дроби на х, получаем эквивалентное уравнение
1 . 2
-----i + i-- h
ж+--1--------------------ж+-+1
X X
Обозначая хЦ- —— у, получаем уравнение
—1_ + _2________J,
V - I V + I ’
сводящееся к квадратному уравнению, корнями которого будут
Pi “ 0, ji = 3.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно двум урав*.
пениям
*+— — 0, *4-1 — 3,
х х
первое из которых не имеет действительных корней, а корни
второго суть хм — (3 ± Уб)/2.
Ответ. Xi.j
3 * V5
2
Решить уравнения:
2.18.
2.19.
2.20.
2х , 13х
2ж* - Бж 4- 3 *" 2ж* 4- ж 4- 3 ~ '
Зх 2ж 8
ж’ 4-1 - 4х ж* 4- I 4- < ” 3
Зх*—1 , Бж 119
х + Зх* —х —1 “ 18 *
42
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
§ 3. Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком абсолютной величины
Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неиз-
вестное, стоят под знаком абсолютной величины, то решение
исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежут-
ков знакопостоянства этих выражений.
Пример 3.1. Решить уравнение
12х — Б | — х — 1.
Реше Я не. Выражение 2х — Б, стоящее под знаком абсо-
лютной величины! неотрицательно при 5/2 и отрицательно
при х < 5/2. Рассмотрим исходное уравнение отдельно на каж-
дом из этих промежутков.
Пусть х > 5/2. Тогда по определению абсолютной величины
|2х —5| = 2х— 5, и данное уравнение преобразуется к виду
2Х-Б — Х- 1.
Решая это уравнение, находим х 4. Так как число 4 принад-
лежит рассматриваемому промежутку, то х ™ 4 является реше-
нием исходного уравнения.
Пусть теперь х < 5/2. Тогда по определению абсолютной
величины |2х — 5| = — (2х— 5), и данное уравнение преобра-
зуется к виду
- (2х - Б) — х - 1.
Решая это уравнение, находим х = 2. Так как число 2 принад-
лежит рассматриваемому промежутку, то х = 2 является реше-
нием исходного уравнения.
Ответ. X, = 2, xi = 4.
Пример 3.2. Решить уравнение
| х - 1|-2|х-2|4-3|х-3| = 4.
Решение. Данное уравнение эквивалентно следующим
уравнениям:
1) 1 - х + 2 (х - 2) - 3 (х - 3) — 4 для х< 1;
2) х - 1 + 2 (х - 2) - 3 (х - 3) «= 4 ДЛЯ 1 <х<2;
3) х - 1 - 2 (х - 2) - 3 (х - 3) — 4 для 2 <х<3;
4) х - 1 - 2 (х - 2) 4- 3 (х - 3) — 4 для х > 3.
Первое уравнение имеет решение х = 1; второе уравнение
обращается в тождество для всех значений х, удовлетворяющих
неравенству 1 < х С 2; третье не имеет решений; четвертое
имеет решение х = 5.
Ответ: хе [I; 2], х « 5,
9 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
43
Решить уравнения:
8.1.
3.2.
3.3.
3.4.
ЭЛ.
8.3.
8.7.
ЭД
3.9.
х | = х + 2.
— х + 21 = 2х + 1.
х —1| + |х —2|=1. V
х — 11 4-1х 4-2| — | х — 31 = 4. V"
2-|1_|х|||»1.^-
5х - х2 - 61 = хя - 5х 4- 6.
х2- 1|--|х| + I.
§ 4. Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называют уравнение, в кото-
ром неизвестная величина содержится под знаком радикала. Об-
ласть допустимых значений неизвестных иррационального урав-
нения состоит из тех значений неизвестного, при которых неот-
рицательны все выражения, стоящие под знаками радикалов
четной степени.
Решение иррационального уравнения воз-
ведением в степень. Один из способов решения иррацио-
нального уравнения заключается в последовательном возведении
обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим об-
щим кратным показателей всех радикалов, входящих в данное
уравнение. Если степень, в которую возводится уравнение, четная,
то полученное уравнение может иметь корни, не являющиеся кор-
нями исходного уравнения. Поэтому необходима проверка корней.
Пример 4.1. Решить уравнение
д/Зх4-4 +77^4 —2-V7. ' (•)
Решение. Возводим обе части данного уравнения в квад-
рат:
Зх + 4 + 2 V(Зх + 4) (х — 4) + х — 4 — 4х. (**)
Приводя подобные члены, получаем уравнение
2 V(3x + 4) (х — 4) =0,
корни которого х = —4/3 и х = 4. Одни из полученных корней,
а именно х = —4/3, не удовлетворяет исходному уравнению, так
как не входит в область его допустимых значений. Проверкой
убеждаемся, что при х = 4 исходное уравнение обращается в
тождество.
Ответ, х = 4.
44
ГЛ. Я. УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения:
4.1. V*+1=8-V3x+1.
4.2. V* +Vx'+TF + V* - V*+ И — 4.
4Л. Vl7-px-V17-X — 2.
4.4. V3* + 7 — Vx^H = 2.
4Л. V25 - x = 2 - V9 + x.
4.6. V*’ + I + Vx’ — 2x + 3 — 3.
4.7. Vx« + x - 6 + Vx’ + 8x — 4 — 5.
4.8. Vx’ + x + 1 — Vx’ — x + 1 + 1.
4.8. (x’-4)V^M=0.
4.10. V^x-3 + V5x+ 1 — V15x + 4.
4.11. Vx+"5 + Vx~+3 — V2x + 7.
4.12. V4 — x+V6 + x=3.
4.13. V*x + 2 + V4x —2 — 4.
4.14. Vx- VT=T + Vx + V*^2 — 2,
4.15. VxT7 - x + 3 — 0.
4.16. Vx + 34 - V^=3 — 1. V
4.17. V2x + 5 - V3x-5 — 2.
4.18. Vx + Vx - 16—Vx^. *
4.19. VxT5 + V^+6 =• V2x+ 11. 4
4.20. Vx+"l + V3x+ 1 — V^H. <
4.21. Vx+1 + VxT2 +Vr+3 — 0. v
4Д2. V> +Vx + Vl - Vx — 2.v
4.23. V5x + 7 - V5x — 12 — 1.
4.24. Vs —V^-П + V7 + Vx'+’i = 4Л
4.25. V24 +Vx - V5 + Vx — l.v
Некоторые специальные приемы решения
иррациональных уравнений. В некоторых случаях
можно освободиться от иррациональности в уравнении умноже-
нием обеих частей уравнений на некоторое не обращающееся
в нуль выражение. i
Пример 4.2. Решить уравнение ’
V3x’ + Бх + 8 — V3xs + 5х + 1 = 1. (•)
Решение. Умножим обе части уравнения на выражение
V3x* + бх + 8 + V3x* + бх + 1, являющееся сопряженным ле-.
s 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
45
вой части уравнения (•). После приведения подобных членов по-
лучаем уравнение
7 — V3*’ + 5х + 8 + УЗх1 + бх + 1, (*•)
которое эквивалентно исходному, так как уравнение
УЗх1 + Бх + 8 + 73ха + 5л + 1 — О
действительных корней не имеет.
Складывая уравнения (♦) и (**), получаем
уЗж»4-5х + 8 — 4.
Возводя последнее уравнение в квадрат, получаем квадратное
уравнение
Зх* + бх - 8 — О,
корни которого Х| = —8/3, х> = 1. Делая проверку, убеждаем'
ся, что оба корня являются корнями исходного уравнения.
О т в е т. х( = J, хг = —8/3.
Решить уравнения:
4.28. 73x’ - 2х + 15 + V3xs - 2х + 8 — 7. *
4.27. V*’ + 9 - Vx* —7 — 2. v
4.28. V15 —х + V3^I — в. *
4.29. Ах* + Вх + С + -у/Ах* -Ь Вх + С( —
4 30. V2TT7 + V2— и
V21 + х — V21 — х х
Введение вспомогательных неизвестных в ряде случаев по-
зволяет перейти от иррационального уравнения к системе рацио-
нальных уравнений.
Пример 4.3. Решить уравнение
х’— 4х —6 —V2x’— 8х+ 12. У
Решение. Обозначая V2** —8x-f- 12 — у, получаем сле-
дующую систему уравнений:
р»-2х»-8х+12, .
у = х» - 4х - 6. ' '
Исключая нз системы (•) неизвестное х, получаем уравнение
р’-2у-24 —0.
Кориями этого уравнения являются yt — 6, уi -= —4. Так как
через у обозначен арифметический корень, то нз двух найден-
ных корней уравнения выбираем положительный. Подставляя
его во второе уравнение системы (•), получаем уравнение
д*-4х-12-0>
46
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
корив которого х< = —2, xt — 6. Делая проверку, убеждаемся,
что оба корня являются корнями исходного уравпевкя.
Ответ, xt = 6, Хг = —2.
Пример 4.4. Решить уравнение
<у/х + 1 — Ух — 3.
Решение. Обозначим Ух + 1 — а, Ух — 3 = о. Исклю-
чая х из уравнений и’ — х + 1, и1 = х —3, приходим к системе
и — о, и* — о1 — 4.
Ее решение сводится к решению уравнения
о* — о* — 4 ™ О,
единственный действительный корень которого о = 2. Возвра-
щаясь к исходному неизвестному, получаем линейное уравнение
4 “ х — 3, корень которого является единственным корнем ис-
ходного уравнения.
Ответ, х = 7.
Решить уравнения!
5 ____________ • _______________
4.31. V(7x - 3)’ + 8 V(3 - 7х)-3 — 7.
4.32*. Ух^2 + У+=Гх — х* — 6х + 11.
4 _______ 4__________
4ЛЗ. У47 - 2х + Узб + 2х — 4.
4.84. (х + 4) (х + 1) - 3 Vx* + 5х + 2 — 6.
4 _____
4.36 . V*’ + 32 — 2 V*’ + 32 — 3.
. Ух + 4 + Ух — 4 . /л _ \ i
4.37 *. —-‘--у-!-------— х + ух* — 16 — в. \
4.38 *. з+/^5—- = 2.
%----7=
4.39 . V х Ух — Ух Vx — 56.
44в (5 - х) Уб^х + (х - 3) Ух — 3 д
Уб — х + Ух — 3
4.4L х Ух — 4 Ух5 + 4—0.
4.42 . х’ + Зх - 18 + 4 Ух» + Зх - 6 — 0.
4.48 . У3у* + бу + 16 + Уу2 + 2у = 2 Уу’ + 2у + 4.
4.44 *. - -УхУх’ + бб» -хэ — 5.
s 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 47
3 (х - 2) + 4 <2х« - Зх + 1
--------2(х* - 1)--------к
4.40. V х - 2 + <2х — 5 + •V* + 2 + 3V2x—5 — 7 V2.
4.47*. (х - 3)’ + Зх - 22 = Vх’ - Зх 4- 7.
Решение иррациональных уравнений мето-
дом выделения полного квадрата в подкорен-
ных выражениях.
Пример 4.4. Решить уравнение
V* — 1 + 2 — V*- 1 —2 Vx —2— 1.
Решение. Обозначим Vх — 2 “ t; тогда исходное уравне-
ние приобретает вид .
V<’ + 2< + 1 - V<’ -2/4-1 —!. (♦) !.
Так как под радикалами в левой части уравнения («) стоят пол-
ные квадраты, то уравнение сводится к следующему уравнению:
Единственным корнем этого уравнения является t“ 0,5. Возвра-
щаясь к исходному неизвестному, получаем уравнение
V* — 2 = 0,5,
корнем которого является х = 2,25.
Ответ, х — 2,25.
Решить уравнения: 1
4.49. V* + 2 + 2 V* + 1 +Vх 4-2-2 Vх+1—’2-
430. Vx + 5-4 Vх + I + ^/х + 2-2л/Т+1 “
431. Vx + 84-2 V*T7 + Vx+ I - V* + 7 — 4.
432. Vх*+ 2 V*1- I - Vх’ - 2 Vх’ - 1 = I-
433. Vх+ 2 Vх"—- Vх-2 Vх ~ = 3.
434. Vх 4- 2 л/x^i + Vх - 2 = x - 1.
436. V2x -2V2FrT - 2 V2x4-3-4V2x- 1 4-
4- 3 V2X 4- 8 — 6 V2X — I = 4,
43». V* + 3 —4VX^> + Vх4-8-6V*77^ — 1.
48
ГЛ. 2 УРАВНЕНИЯ
4.58. + Л/*’ “ = Л
4.59. 2 Л/б7*'+’’1 + 4 - V2 V7T1 - 1 =
= /V20Vr+~14- 5
4.60. V2*’ — Эх -f- 4 + 3 V2x— I — V2x2 + 21x — il.
4.61. V4x* + 9x + 5 — V2x* + x — I — Vx’ — 1.
4.62* . V4 — 4x + x* + ^49 + 14x + x’ =
, — 3 +-^14-5x — x1.
4.63* . V2xs + 8x + 6 + Vx’- 1 — 2x + 2.
4.64. Vx^2 4- Vl - x “= 2.
4.65. 1 x - (VTTi - 1) (VHTi 4- 1).
4.66. —=== 4- , !- _1-“ 2^7-
Vx4-2Vx—i Vx-2Vx-l
4.67. + x)’ + 4 $(a - x)’ = 5 $ a2 — x’.
4.68. V(x4- 1)’ 4- V (x - I)1 = 4 Vx’ - I.
4.69. У** + .8х. 4- ViT7-
V* + 1 Vx 4- 1
«0. + м
V34 — x — Vx 4- 1
4.71. V(2-x)» 4- V(7 4- x)* - V(2- x)(7 4-x) - 3.
§ S. Показательные уравнения
Показательными называются уравнения, в которых неизвест-
ное входит только в показатели степеней при постоянных осно-
ваниях. Простейшим показательным уравнением является урав-
нение вада
а* — b. (1)
Его решением при а > 0 в 8 > 0, а^ь 1, является
х -= logfl6.
Если вместо х в показателе степени стоит некоторая функ-
ция /(х), т. е. уравнение имеет вид
— Ь, а>0, а-^l, 8>0, (2)
t t ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 49
то, логарифмируя обе части этого уравнения, приходим к эквнва.
лентному уравнению
f (*) — logo b.
Решение простейших показательных уран»
н е н н й. Некоторые показательные уравнения приводятся к виду
Р) или (2) с помощью равенств
дх + Э еа д* • дИ(
(а*)» — вх*.
(д. Ь)* — а* • Ъх,
(а \* ах
-ь)
Пример 5.1. Решить уравнение
6”+« — 3“х. 2*+*.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
3“+«. 2,х+* — 3”. 2Х+*.
Используя свойство членов пропорции, имеем
3»Х+4 2Х+8
3“ ” 2,х+« ’
млн после упрощения З‘_ж = 2‘_ж, Преобразуя данное уравнение
ж виду
получаем 4 — х — О, откуда следует, что х — 4,
Ответ. 4.
Решить уравнения:
5.1. VS’-VS’ —225.
5Л. 2*ж • б* — 1600.
6А 9»-‘х.7‘х-»—|.
5.4. 8м-1• Б,х+* —. 5м • 3м.
О
5Л. 3-4х + 4--91+‘ — 6.4'+'-X. 9*+'-
о 2
5Л. 7 1 e(V2)S,oe’7.
fj. 4.3«+« + 5.8х — 7.3*+'— 40,
м
ГЛ, С. УРАВНЕНИЯ
БД Б+ 4• 5С0**-= 252 **В2’ V
Х+6 Х+ 17
Б.9. 16 х-7 =512-64 *~3 .
5.10. 51 | — 25м-4. V
5.11, V3.31 + ''/Т • (у)’0 +'v7) — 81.
5.12, -8^* Л/1. V
5.14. (2,4),-4И* .[0,41(6))м,х+1'а - (-у-)‘а.
Б. 15. Найти решение уравнения /
3<’+4я = — ’
26’
удовлетворяющее условию х > —3.
Решения показательных уравнений, сводя*
шихся заменой переменных к алгебранчееко*
му уравнению.
Если показательное уравнение имеет вид
<(afW)-0, (3)
то заменой у « а,(х> оно сводится к уравнениям вида
®,(Ж)-УЛ
где у» — корни уравнения g\y) = 0.
Пример БД Решить уравнение
4л/*«-2 + х _ 5.2*-1 + V*’-2 и в.
Решение. Обозначая 2^х’-2+х — у и производя замену
переменных, получаем квадратное уравнение
У1 — уУ-в —°.
корнями которого будут yi = 4 и уг = —3/2. Таким образом, ре*
шенне данного уравнения свелось к решению уравнений
2* + Vx,-a — -8/2,
$ 8. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ы
Второе уравнение решений не имеет, так как 3*+^**-* > о
при всех допустимых значениях х. Из первого уравнения полу-
чаем
х +Vx’-2-2,
Уединяя радикал в возводя обе части уравнения в квадрат,
имеем
Xs _ 2 = 4 - 4х + х».
Приводя подобные члены, получаем единственный корень х=
= 3/2. Проверкой убеждаемся, что этот корень удовлетворяет
исходному уравнению.
Ответ, х = 3/2.
Решить уравнения:
5.19. 9х’-1 -36• 3х’-3 + 3- 0.
X X _
5.17. зУвТ— 10 V9 +3 = 0.
5.18. 3,-х — 31+я + 9х + 9~* = 6.
5.19. б41/х - 22+3/х +12 = 0.
5.20. 4|оя,х — б • 2,ов,х + 2,ов'27 = 0.
6.21. 4^3х'~2х +1 + 2 — 9 • 2''/з*,-2х.
J Показательные уравнения, основания степеней которых явля-
ются последовательными членами геометрической прогрессии, а
показатели степеней одинаковы, приводятся к уравнениям вида
{3) делением на любой из крайних членов.
Пример 5.3. Решить уравнение
6-4* — 13-6Х + б • 9х = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на 9х. -Имеем
Обозначая (у) “ V “ производя замену переменных, получаем
уравнение
бу’ — 13у + 6 — 0,
корнями которого будут «/, = 3/2 и yi = 2/3. Таким образом,
решение уравнения сводится к решению двух простейших пока-
зательных уравнений
/з\* — (—V —
U"2* “з*
Ответ. Xi = 1, х* = —-I.
52
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения:
5.22. 7.^-9- 14х' + 2 49х’ — 0.
5.23. 3 - 16х + 36х = 2-81х.
5.24. 8х + 18х = 2 • 27х.
X _ X _ Х_
535. вУ9 - 13 Уб + 6 V4 =0.
5Л5. 16х —5-8х4-в-4х = 0.
537. 2ЗХ“» - 5 + 6 • 2»~м — 0.
538. 27х + 12х —2-8х.
539. (4 + УТб/ + (4 - V16)' — 62.
530. (Vs + 2Ve")х + (у^-г-Ув )' — 10.V
531. 9,/х+ 121/х= 16,/х.
532. Б,+х‘— Б1-х* — 24.
5.33 . Бх-' + Б-0,2х~1 — 26.
534. 10^х + 25|/х = 4,26 • 50|/х.
Уравнения вида
[а (*)]Ь1х,-[а(х)1с«
эквивалентны уравнению
о (*) — 1
н системе
6 (х) — с (х),
а (х) > 0.
Пример 5.4. Решить уравнение
|х-2|10х’-,-|х-2|3х.
Решён не. Исходное уравнение эквивалентно уравнению
|х —2| —1
н системе
10х* — I— Зх,
|х-2|^0.
Первые два уравнения имеют корни Х| = 3, х» = 1, а си-
стема — х» — 1/2, х< — —1/5.
Ответ. Х| = 3, ха = 1, ха = 1/2, х< = — 1/5
Решить уравнения:
4 ______________ _____________
535. V|x-3|X+1 —Vl*- 31х-2. \/
530. |x-3|ax*~Ifc+3—1. ’
$ 5. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
53
U7. «’“•'-(Л'*.
БЖ (V7),o“,x-1 — 5.
5.39 . х'“х+7 = ю<|«1+|)"*.
Некоторые специальные методы решеняя
показательных уравнений. Некоторые уравнения сво-
дятся к рассмотренным выше, если преобразовать отдельные и
элементы, используя основное логарифмическое тождество.
Пример 5.5. Решить уравнение
2
Решение. Согласно сделанному замечанию преобразуем
второе слагаемое в левой части уравнения:
х'°г’х = (з1о’»х)10'’' -з'°^Х. (•)
Подставляя полученное выражение в исходное уравнение,
получаем
2.3,О“зХ —162. (•♦)
Уравнение (••) эквивалентно уравнению log2x«»4, которое
В свою очередь эквивалентно двум уравнениям
log3x = 2, logsx = —2.
Решая последние уравнения, получаем =9, х^ — -у.
Ответ: х( — 9, xs — -^-.
Решить уравнения:
5.40 . 5*«х —БО-х1’5. V
5.41 . 10,в’х—20.
5.42 . х!|“2 —5-2,вх +6 —0.x/
Некоторые уравнения, содержащие неизвестное в показателе
степени, удается решить с помощью исследования функций, вхо-
дящих в левую и правую части уравнений.
Пример 5.6. Решить уравнение
7®~х — х + 2.
Решение. Корень х = 5 может быть найден подбором.
Других решений уравнение не имеет, тдк как функция f(x) =
>7*-* монотонно убывает, a £(x)f-x + 2 монотонно возра-
54
ГЛ, 2. УРАВНЕНИЯ
стает, я, следовательно, графики этих функций могут пересечься
не более одного раза.
Ответ, х = 5.
Решить уравнения:
5.43 *. (^2 +л/з)* + (д/2 —л/з)* = 2*.
5.44 *. 3х-1 + 5х-' —34.
«.«• г3**-2** — 1.
х
5.46 *. 4х + (х - 1) 2х — 6 - 2х.
5.47 * (х + 1) 9х-’ + 4х • 3х-’ -16 — 0.
5.48 *. х* - х + 1 =2 2х-' - 4х-'.
&4К 5^х 4- 12“^ — 13^.
5Л0. 3х’+ 4х’— 5х’.
5.51 . (у)* —2х* + 6х - &
§ 6. Логарифмические уравнения
Логарифмическим называется уравнение, содержащее вевз-
веетную величину под знаком логарифма. Простейшее логариф-
мическое уравнение
logax«=6, а>0, а^1, (1>
с множеством допустимых значений х > О имеет решение х=а’.
Логарифмическое уравнение, в котором под знаком логариф-
ма стоит некоторая функция f(x),
logo f (*) — b, a > 0, a чЫ, (2)
имеет множесто допустимых значений х, задаваемых неравен-
ством / (х) > 0, и эквивалентно уравнении
Решение логарифмических уравнений све-
дениям к простейшим логарифмическим урав-
нениям. Некоторые логарифмические уравнения решаются с ис-
пользованием основных свойств логарифмов ())—(Б) (гл. 1, § 5).
сводящих решение уравнения к решению простейшего логариф-
мического уравнения.
Пример 6.1. Решить уравнение
2 — х + 3 logs 2 = logs (3х — 5’-х).
Решение. Перенесем логарифм, стоящий в левой частя
уравнения, в правую часть и, воспользовавшись свойствами ло-
f в. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 55
гврмфмов, запишем уравменне в виде
о , /3х —в,-х\
2-х-log, (-------g----).
Последнее уравнение эквивалентно уравнению
8 ’
которое можно зашсать в виде
3х —9-5,_х, илн 3х-1 = 5,-х, или 15х-* — 1.
Полученное показательное уравнение аквивалентно уравнению
х — 2 = 0, решение которого х = 2.
Множество допустимых значений х данного уравнения опре-
деляется как решение неравенства
3х - Б’-х > 0.
При х = 2 данное неравенство справедливо, и, следовательно,
х — 2 является решением исходного логарифмического урав-
нения.
Ответ, х = 2.
Решить уравнения t
8.1. log, [2 + log, (3 + х)] - 0. Vf
6.2. lg(5-x)--ylg(35-x») = 0.
6Л leg, (3х - 8) =2 - x. t/
6.4. log^- (4х - 6) — log^- (2х - 2) = 2.
6Л. 1g (Зх1 + 12x 4-19) - 1g (3x + 4) = 1.
Логарифмическое уравнение вида
loga(x)Hx)-logaWg(x)
вквивалентно уравнению
рассматриваемому на множестве допустимых значений х, зада-
ваемом системой неравенств
f(x)>0. g(x)>0, а (х) > 0, а(х)=/-1.
Если в данное уравнение входят логарифмы по разным осно-
ваниям, то предварительно необходимо привести все логарифмы
д одному основанию.
Пример 62. Решить уравнение
1вУ7=7 + -1.|в(2х+1Э-1. (.)
66
ГЛ. t УРАВНЕНИЯ
Решение. Множество допустимых значений неизвестногох
в данном уравнении находится как решение системы
х - I > 0, 2х + 15 > О
в представляет собой промежуток (Г, оо). Используя свойства
логарифмов, преобразуем данное логарифмическое уравнение
следующему виду:
lg (V(* “ О V2x+ 16) - 1.
Из последнего уравнения по определению логарифма получаем
иррациональное уравнение
V(* - 1) (2х + 15) - 10.
решение которого Х| “Б, х, — —23/2. Множеству допустимых
вначеннй х исходного уравнения принадлежит лишь корень xi ”1
= 5, который и является решением исходного уравнения.
Ответ, х — 5.
Решить уравнения:
6.6 2 log, (х - 2) + log, (х - 4)’ = 0.
6Д -1- lg (X* - 10х + 25) + 1g (х» - бх + 3) -
- 21g (x - 5) + -1 lg 25.
6.9. "ПТ,g V**-4x + 4 — -1- lg x — lg "4=- “0.
lv л
6.10. lg (x (x 4- 9)) 4- lg - °-
6.11. log»(2x* - 2) — log, (5x - 4).
6.13. logx+i (x — 0.5) — logx-o,s (« + O.X
6.14. log^^^j (xJ + Зх* + 2x — 1) — logu x + 1ogto 2. V
6.15. logi+e (2x* + 2x* - 3x + 1) — 3. **
6.16. loge+i (x* — 9x + 8) log,.. 1 (x + I) - J.V
6.17. Iogx+I (x’ + x - 6)»-4.
6.18. log(3_ttl) (9 - 16x‘) = 2 4-
6.19. Iog3x -у + ,06з x “ !•
6Л0. log,: 16+logte64 — 3.
{ 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
57
6Л1 20 log4jt V* + 7 log16jt Xs — 3 log^x’=»0. V
6.22. log* 2 - log, x + — 0.
6.23. 2 — log^, (I 4- x) — 3 log4 V* — • — l°g/>' (** — *)’•v
6J4. 31ogx4 4-21og,x4 4-3 logle*4 —0. V
Решение логарифмических уравнение, сво«
дящихся заменой переменных к алгебраиче»
скому уравнению. Если логарифмическое уравнение имеет
вид
f (loge х)—0,
где f — некоторая функция, то заменой у = logs х оно сводится
к уравнениям вида (I):
logax —у/,
где yi — корни уравнения f (у) » 0.
Пример 6.3. Решить уравнение
(log, х)’ — 5 (log, х) 4- 6-0.
Решение. Обозначая log, х “ у, получаем уравнение
у* — бу + 6 — 0,
корни которого у< -> 2, у, -> 3. Таким образом, исходное урав«
ненне эквивалентно двум уравнениям вида (I):
log, х->2, log, х—3,
решения которых: xt = 4 и х, = 8.
Ответ, х,-4, х» = 8.
Решить уравнения:
6.25. 1g* х — Ig1 х — 61g х “ 0.
6.26. 2^2 logje x — /^log2x -6 — 0.
6.27. -l-log^-x-30 ^/logfx4-36 — 0.
6.28. log1/9 (yr) logl/9 [x tg’ -y] - 2 cos’ -y-.
6J2fl. Vl 4- log* V27 log, x 4- 1 — 0.
6.30. 4 — Ig x —> 3 Vlg *•
6Л1. 3 Vlgx 4- 2 Ig V17* “ 2.
6.32* . Vlg (—*) “ Ig V*®«
6Л8. log, (3х - 1) log, (3Jl+l - 3) — 6.
6Д4. 21ogalog2x4-log^log^VS x) —t.
68
ГЛ. » УРАВНЕНИЯ
Решение логарифмических уравнений ме<
годом логарифмирования. Если неизвестное входит в
уравнение как под знаком логарифма, так л в основании сте-
пени, то в некоторых случаях уравнения указанного типа могут
решаться логарифмированием обеих частей уравнения с после-
дующим использованием приведенных выше методов решети. ло-
гарифмических уравнений.
Пример 6.4. Решить уравнение
х2+!оа, X — з3.
Решение. Прологарифмируем обе части уравнения
log. (*2+loetX)-> log, 3е;
используя свойства логарифмов, получаем уравнение
(2 + log,x) log, х = 8.
Обозначая log, х у и производя аамену переменных, на-
ходим корни квадратного уравнения
р» + 2у-8-0,
yi — —4, yt “ 2.
Решая простейшие логарифмические уравнения, получаем зна-
чения
log, х - -4*х - З-4,
log, х — 2 •*- х “ 3*.
Ответ. Х| — З1, х, — 3“4.
Решить уравнения:
6.35. х*21в*х-,в 1в х) =• ViO.
0.36. х|«'х+1вх'+3---------------2--------------. v
Vx +1 — i V* +1 + •
6.37. х2|“’х—10х3.
6.38. i5lox»«x,°«»«»+I — 1.
6.36. 9xl(t x + 9x“ lg x= 60.
log2 (x2)-log (2x)-2 loB(«4.ou 4
6.40. x 2 2 - (x + 2) ,x+2H =3.
3 — log, x +--1 _
6.41. loe.VF.
'• (log’x*)* +l0B8 log ’(x+7)
6.42, 7-x' 2 ' — 6+(x + 7) *1
t 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
59
Решение логарифмических уравнение о по-
мощью свойств логарифмической функции. Не-
которые логарифмические уравнения удается решить с помощью
исследования поведения функций, входящих в левую и правую
части уравнения.
Пример 6.5. Решить уравнение
tog, (х +2)-6-х.
Решение. Подстановкой проверяем, что х = 5 является
решением уравнения. Других решений уравнение не имеет, тая
как функция, стоящая в левой частя, воврастает, а в правой —
убывает, и, следовательно, графики атих функций не могут иметь
более одного пересечения.
Ответ, х — 5.
Решить уравнения!
6.43. (х + 1) togjX + 4х 1og3x — 16 —0. ’
6.44. Зх’ — 2х3 — log, (х1 + 1) — log, х,
6.46. 3'— 10-log, х.
6.46. log£r + (х — 1) loga х — 6 — 2х.
§ 7. Разные задачи
Решить уравнения!
7.1. 122х+4 — З3х-4х+8.
7Л. 2* + 4(х+ — 8 • 3х'3.
7Л 2х - Зх/2 — 1. V
7.4. (sin 1)*+(соа 1)ж—1. У
1А. 10х* — 2 • 100*.
7.6. х^ —(Vx)*.
х+1
7.7* * 5х V83" = 100Л
7.8. Il3*"2-}-l3te-2= 133*-* — И3*-1.
7.9* . 10^х"*’^3х4’4) — 2 • 10*х+*1 Iх4"2’ «= Ю1-’"*’.
7.10. x^ = (Vx)*.
7.11. 9х —5- 12х 4- 6 • 16х — 0.
7.12. log3 Цх + 2) (х - 3)] - 4 log, (2х + 1) - log^j- Л
7.18. Ig’x3 - 20 Ig Vx + 1 — 0.
7.14. | 1 — logj^x | +2 — |3-log1/ex|_
X18. log Ux + lx-2|)-log,(6x-6 + 5|x-2|).
ft+«)ert>019 o+«z+t»)e>oix I )
•f - , .ociflA » ~ МЛ + . .oa( ед » + 2Д) -orz
Z S/'3ol E - Y = [r(3 - ЗД) - ,( ЗД + Z)] 93<n '817
( E - *Д - E + »Д) -^3o[
4---------(г-хрЖЙ-И---------™
W9-* + tx) '+x3oi •BJ2
иинаннуал c 'itj 03
ГЛ АВ АЗ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
Несколько уроаеввА
(*|. *1...»л)-°. *4...*«)““• —• ph(*l- х1.....
рассматриваемых совместно, называют системой уравнений. Решением
этой системы называется упорядоченный набор аваченнй неизвестных,
обращающий все уравнения системы в тождества.
Если система уравнений имеет решения, то говорят, что она сов-
местная. Если система уравнений не имеет решений, то говорят, что
она несовместная.
Линейным уравнением с п неизвестными называют уравнение вида
°11| + °Л+ •” +влхл=6-
где о,, Oj, .... en. Ь—некоторые числа.
Система уравнений называется линейной, если все уравнения си-
стемы линейные. Совместная система называется определенной, если она
имеет единственное решение (т. е. существует единственный набор чисел
*,....обращающий все уравнения системы в тождества).
Совместная система уравнений называется неопределенной, если она
имеет более одного решения. Две совместные системы уравнений еквива-
лентны, если множества их решений совпадают.
При решения систем уравнений часто используются следующие пре-
образования системы, приводящие к системе уравнений, эквивалентной
исходной.
I. Если обе частя какого-либо уравнения системы домножить на одно
то же (не равное нулю) число, то полученная система будет эквива-
лентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, нлн же обе
совместны н множества их решений совпадают).
2. Если обе части какого-либо уравнения системы, умноженные' на
некоторое (отличное от нуля) число, вычесть нз соответствующих частей
другого уравнения н составить систему, в которой вместо одного нз упо-
мянутых уравнений стоит уравнение, полученное в результате вычитания,
в остальные уравнения оставлены без изменений, то полученная система
будет эквивалентна исходной.
§ 1. Системы линейных уравнений
Решение систем линейных уравнений мето-
дом Гаусса. При нахождении решений системы m линейных
уравнений с л неизвестными удобно использовать метод Гаусса,
состоящий в том, что систему приводят к треугольному или
трапецнедальному виду. Проиллюстрируем метод Гаусса на при-
мере.
62
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
Пример 1.1. Решить систему
х 4- 2у + Зг — 8,
Зх + У + 2 = 6,
2х + у + 2г — 6.
Решение. Умножая обе части первого уравнения на —3 и
складывая со вторым уравнением, получаем уравнение
—бу — 8г — —18, или
бу 4- 8г — 18.
Умножая обе* части первого уравнения на 2) и складывая с
третьим уравнением системы, получаем уравнение — Зу — 4z—i
—10, или
Зу4-4г—10.
Следовательно, данную систему можно записать в виде эквива-
лентной системы, в которой второе н третье уравнения ие содер-
жат неизвестного xi
х + 2у + Зг — 8,
Бу 4- 8г- 18, (•)
Зу4-4г—10.
Умножая обе части второго уравнения на 3, а третьего —на
(—Б) и складывая эти уравнения, получаем уравнение 4г — 4;
таким образом, система (•) записывается в виде эквивалентной
системы
х 4- 2у 4- Зг = 8,
Бу 4- 8г — 18,
г—1.
Итак, исходная система приведена к треугольному виду. Под-
ставляя г — 1 во второе уравнение системы, находим у — 2.
Подставляя значения г = 1 и у = 2 в первое уравнение, нахо-
дим х — 1.
Ответ, х = 1, у = 2, г = 1.
Решить системы линейных
1.1. 2x4-У 4-г = 7,
х 4- 2у 4- z = 8,
х 4- У 4- 2г = 9.
1Л. 10х— Яг — 19,
8х —у—10,
у- 12г— 10.
уравнений методом Гаусса:
1.2. Зх-4у4-5г—18,
2х 4-4у — Зг — 26,
х — бу 4- 8г =” 0.
1.4. х4-2у 4-24-7 — 0,
2х + у - г -1 — О,
Зх —у 4" 2г —2 — 0.
$ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ уравнений
l.e. X + а* у + Ь*г — О,
X + a/f + bz — О,
x + l/ + z“l.
Решение и исследование систем двух ли-
нейных уравнений с двумн неизвестными. Рас-
смотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвест
нымн
Оц* + яиУ ” bi, , .
оцх + a»iy “ bi
при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от
нуля. Пусть А, Д> и А, — определители системы (•) :
А — О|| Oj| вц Ojj — ОцОзз — 0)3031,
Ах“ ь, bt 0)3 о»з — Ь\ац — баОц,
Ду — Oil 031 bi — Оцба — o»)ft)‘
При А # 0 система А имеет единственное решение х = —
При А = 0:
1) если хотя бы один из определителей Д< или не равен
нулю, то система («) несовместная (т. е. не имеет решений);
2) если Дх = А» = 0, то система («) совместная и Неопре-
деленная (т. е. имеет бесконечно много решений).
Каждое из уравнений системы (•) задает линейное соответ*
стене между переменными х в у. Всякое линейное соответствии
между переменными х и у определяет в прямоугольной системе
координат некоторую прямую. Если система имеет единственное
решение, то прямые, задаваемые первым и вторым уравнениями'
пересекаются. Если система имеет бесчисленное множество реше-
ний, прямые совпадают; если система несовместна, прямые оа»
раллельны.
Пример 1.2. Решшъ и исследовать систему
ах 4-0 —2,
х 4* ар —2а,
64
гл а. системы уравнения
Решение. Вычислим определители системы:
Д =
Дх =
Ду™
а 1
I а
2 I
2а а
а 2
1 2а
= а* — 1,
= 2а — 2а = О,
— 2а’ - 2.
1} Пусть Д = а* — 1 ч* О, т. е.
ачЬ±1. В этом случае си.
стема имеет единственное решение}
Д^ О
Ду
2а* — 2
а’— 1 =2,
2) Пусть Д " а1 — 1 — 0, т. е. а — ±1. В этом случае Д ='
— Дж ™ Д» — 0, т. е. система совместная и неопределенная.
При а я 1 система принимает вид
х + у-2, х + р — 2,
в ее решениями будут все пары чисел (ж, у), связанные равен,
ством * + у “ 2.
При а = —1 имеем
—х + у — 2, ^х-у — -2,
х — у = —2. х — у — —2,
ее решениями будут все пары чисел (х, у), связанные равен.
Ством х — у — —2.
Ответ. Прв а ф ±1 система имеет единственное решение
ж — 0, у — 2;
при а = 1 система имеет своими решениями все пары чисел
(ж,у), связанные равенством х + у “ 2;
при а — — 1 система имеет своими решениями все пары чи.
сеа (х, у), связанные равенством х —уя—2.
Решить и исследовать системы уравнений:
1.7. х + ау — 1-0, 1А Зх + ау — Ба1,
ах — Зау — (2а + 3) — 0. Зх — ад — а1.
1.0. (а + 6) х + (2а + 3) у — (За + 2) яО,
(За + 10) х + (5а + 6) у — (2а + 4) я 0.
1.10. а (а — 1) х + (а 4- 1)ауяа’ + 2, 1.11. ах — у я Ь,
(а* — I) х + (а’ + 1) у я д4 — 1, Ьх + у я а.
1.12. (а’ + Ь*) х + (а* — Ь*) у я а*,
(а + Ь) х + (а — Ъ) у — а.
9 I. СИСТЕМЫ ЛИНВЯНЫХ УРАВНЕНИЙ 65
1.13. Найти такие значения параметров тир, при которых
система
(3m — 5р + 6) х + (8m — Зр — а) у — 1,
(2m — Зр + Ь) х + (4m — р) у “ 2
была бы неопределенной.
1.14. Совместны ли уравнения
х + ay ™ b + с,
х + by = с + а,
х + су**а + Ь,
где а* 4- Ь1 4- с* = 1, а, Ь, с — действительные числа?
1.15. Числа а и Ь таковы, что система
а*х — ау~\—а,
Ъх 4- (3 - 2ft) у — 3 4- а
имеет единственное решение х = 1, у = 1. Найти числа а и Ей
1.18. При каких значениях о и ft система
а*х — by а* — Ь,
Ьх - Ь3у — 2 4- 4ft
меет бесконечно много решений?
1.17. При каких значениях а система
а*х 4- (2 — а)'у = 4 4- а’,
ах 4- (2а — I) у = а5 — 2
не имеет решений?
1.18. Числа а, b я с таковы, что система
ах — by 2а — ft,
(с 4-1) х 4- су** 10 — а 4- 3ft
имеет бесконечно много решений, причем х “ I, у = 3 — одни
из этих решений. Найти а, b н с.
1.19. При каких значениях параметра а система уравнений
ах — 4у — а + 1,
2х 4- (л 4- 6) у = а 4- 3
не имеет решений?
U0. При каких значениях параметра а система
2х 4- оу — а 4- 2,
(а 4- I) х 4- Чау«- 2а 4- 4
имеет бесконечно много решений?
Э А. Г, Цыпкяя, А, И, Пивеня*
66
ГЛ. а. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
2.2. (х + 0,2)’ + (у + 0,3)’ — 1.
х+к-0,9.
2.4. (х+у)Ж (*+?)’- Н 7 - 0.
х — у —’ 25.
2.6. х,+(/1+>0х-10у — 2ху-21,
х + у — б.
содержащих одвородное
§ 2. Системы нелинейных уравнений
Решение систем, содержащих линейное
уравнение. Если одно из уравнений системы двух уравнений
с двумя неизвестными линейное, а второе — нелинейное, то эта
система решается следующим способом. Из линейного уравнения
выражают одно неизвестное через другое и подставляют во вто-
рое уравнение, которое после этого превращается в алгебраиче-
ское уравнение с одним неизвестным.
Решить системы уравнений:
2.1. (х-р) (х»-р»)-4б,
' х + У — 5.
у ' X 6
X + у — б.
2Л. х« + р»-2(хр + 2),
X + у — 6.
Решение
уравнение. В тех случаях, когда одно из двух уравнений не-
линейной системы однородное, можно с помощью этого уравне-
ния линейно выразить одно неизвестное системы через другое.
Пример 2.1. Решить систему
х’-бху + вр» — Q, ..
х* + у* — 10. 1 >
Решение. Разделив первое уравнение на у*, получаем от-
носительно неизвестного t D х/у квадратное уравнение
<» — 61 + 6 — 0,
корнями которого являются /| = 2, h = 3. Возвращаясь к исход-
ным неизвестным, получаем следующие линейные зависимости
между неизвестными, входящими в исходную систему (•):
х — 2у, х — Зу. (••)
Подставляя последовательно х — Зу и х — 2у во второе
уравнение данной системы, получаем относительно неизвестного у
квадратные уравнения у’ = 1 и уг - 2, корни которых
pt,» — ± 1, yt, 4 “• ± • Соответствующие значения Xi, х>, ха, х*
находятся из равенств (•*).
Ответ. Пары чисел (3, 1), (—3, —1), (2-^2, Vs)» (—2 V^»
— V2).
Система вида
a,x* + bty* + с,ху — dh .
11. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 07
сводится к системе, содержащей однородное уравнение, следую*
щнм обравом: умножаем обе части первого уравнения на di, обе
частя второго —на (—dt) в складываем первое уравнение со
вторым. В результате сложения получается однородное уравне-
ние. Далее исходную систему заменяем эквивалентной системой,
состоящей из полученного однородного уравнения в одного из
уравнений исходной системы.
Пример 2.2. Решить систему уравнений
х* —/= 1,
х* + ху — 2.
Решение. Умножив обе части первого уравнения на 2,
обе части второго —на (—1) в складывая полученные уравве*
пня, получаем однородное уравнение
х* — 2у‘ — ху = 0.
Поделив обе части однородного уравнения на у3, получим отно-
X
сительно z = —- квадратное уравнение
z’-z-2-О,
корни которого zt = —1, Za -= 2.
Исходная система, таким образом, эквивалентна двум св-'
стенам
х* —р’=1, x’-y'-l,
первая из которых несовместная, а решения второй имеют вид
/2д/3 V3A ( 2^3 д/зЛ
I 3 ’ 3 \ 3 * 3 /
о,... (2#, <). (-«£, -#).
Решить системы уравнений:
2.7. х*у3 4- х3у3 = 12, . / 2.8. х3 4- у1 — 65,\/
х3у3 — х3у3 = 4. х’у -f- ху3 = 20.
2.9. х«-р«=15, \
х»р — ху* = 6. V
' Решение симметрических систем. Системаурав*
нений с л неизвестными Х|, х>, ..,, х. называется симметриче>
слой, если она не меняется при перестановке неизвестных. Если
неизвестных два (х и у), то часто решение таких систем может
быть аайдево с помощью введении новых неизвестных u=x4*tfi
ев гл: а. системы уравнении
о — ху. При этом удобно использовать следующие равенства]
д’ + У* = U + у)’ — 2ху = и’ — 2о.
х» + у» = (* 4- у)3 - Зху (х 4- у) = и’ - Зио,
х4 4- у4 » (ж14- у1)1 — 2хгу2 =»
= ((* + у)1 — 2ху)а — 2х’уа— (и* — 2о)а — 2с1,
позволяющие выразить комбинации неизвестных х1 4- у1. д’4-У*,
х4 4- у4 через неизвестные и и о.
Пример 2.3. Решить систему уравнений
ха + у’ = 2(ху 4- 2)
х 4- у = 6.
Решений. Обозначим и = ху, и = х + у. Тогда, нсполь-
вуя равенство
х’ + У* — (х + у)’ — 2ху,
получаем относительно новых неизвестных систему
и1 — 2v = 2о 4- 4,
и — 6,
единственным решением которой является и — 6, о — 8. Воз*
вращаясь к исходным неизвестным, получаем, что решение ис-
ходной системы сводится к решению более простой системы
х + У “ 6, ху — 8.
корни которой можно найти, используя, например, теорему Виета.
Ответ. (2, 4); (4, 2).
Решить системы уравнений:
2.10. х»у + у»х-20. . ,
—+—-4* v
д у 4
2.12. х’у 4* ху’— в.
ху + д + у — б.
2.14. х’4- у'= 9,
ху— 2.
2.1в. (X* 4- У*) ху — 78,
х44-у4 —97.
2.18. х* 4-у4 — 97, \/
ху —в. V
Решить следующие системы
комбинации изложенных выше методов:
2.19* . (х’-х4- 1)(у’-у4- 1)=3,
(х4- 1)(у4- 1) = б.
2Л0*. iiJL + Х~У „ Ю 2.21*. 2х’у>-у’х* — Зв,
2.11. х’4-У* —в,
2.13. х4 4-у4—82,
х 4- у — 4.
2.16. х’4- У*“2,
ху (х 4- У) — 2.
2.17. 5 (х4 4- У4) - 41 (x’4-y*)’
х’4-у’4- ху — 13.
уравнений с использованием
I X СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ уравнении
69
2.22. ху — х 4- у — 1, 2.23. ху 4- х — у — 3.
х*у — у’х — 30. х’у — ху1 — 2.
2.24. х» 4- ху + х — 10. 2.25. х* 4- ху 4- 2у* = 37.
У14- ху 4- у - 20. 2х« 4- 2ху 4- у3 — 26.
2.26*. х»-хр4-у* — 19, 2Л7*. (х’+ 1) (у1 + 1) - 10,
х« + хУ + У4-931. (х + у)(ху-1)-3.
2.28*. х» —у* —3093,
х — у — 3.
Симметрические системы трех уравнений с тремя неизвест-
ными х, у, г обычно решаю.ся с помощью введения новых не-
известных
и — х 4- у + х, о — ху + уг + хг, w — хух.
При этом удобно использовать следующие равенства:
х* + У* + г* — (х + у 4- г)* — 2 {ху 4- ух 4- хх) — и* — 2о.
х’4-у, + г,-(х4-у4-х)э-
— 3 (х + у + х) (ху + ух + хх) + Зхух — и’ — Зио 4- Зю.
Пример 2.4. Решить систему уравнений
х + у + г—1.
ху + Уг + хх — — 4,
х* + у1 + г*“ I.
Решение. Система симметрическая. Вводя вспомогатель-
вые неизвестные
х + у + х = и, ху + ух + хх — о. хуг — ю
в пользуясь равенством
х* + у* + х1 “ и* — Зио + Зю,
получаем систему
и — 1, о — —4, и* — Зио + Зю — 1,
или, возвращаясь к старым неизвестным, систему
х + у + х—1,
ху + уг + хх = —4, (•)
хух = —4.
Решение системы (•) может быть найдено о помощью тео-
ремы Виета для кубичного многочлена: корни Л, h, It кубичного
многочлена 4- аР + bt + с связаны равенствами
tj, + М. + М. - b.
о.
70
ГЛ. а. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ
Нетрудно заметить, что при а = —1, b “ —4, с “ 4 корна ку-
бичного уравнения
4t 4-4-0
связаны теми же равенствами, что и неизвестные х, у, х снсте-
мы (*), и, следовательно, тройка значений неизвестных
X = h. 2 = G
будет решением системы (•). Кроме этой тройки значений неиз-
вестных, в силу симметричности системы решениями также будут
тройки значений неизвестных:
X — у — G, 2 — G,
2“<а. y = ti, 2 —/|,
»"<Ь P — fs. 2 —G,
х — G. y — tf, а —Г|,
x-G. у —<i. z —
Таким образом, решение данной системы свелось к на-
хождению корней кубичного уравнения
Ими являются числа
G-2, G--2, G-1.
Следовательно, решениями исходной системы будут следую-
щие упорядоченные тройки чисел:
(2, —2, 1); (—2, 2, I); (1, 2, -2); (-2, 1, 2);
(1, -2, 2); (2, 1, -2).
Решить системы уравнений:
2-М. х + у + х — О,
x* + y* + z»-x» + y’ + z«,
хуг = 2.
2.30.
х + у + z—1,
х’ + у’ + г'-!,
X* + У* + 2*— 1.
Иногда системы трех уравнений с тремя неизвестными ре-
шаются с помощью введения вспомогательных неизвестных.
Пример 2.6. Решить систему уравнений
-^=8, _?££_вз. ----4.
х + у х + х у + х
Решение. Данная система равносильна системе
х + у _ 3 g + 2 _ 2 у + х _ 1
ху ” б * ХЯ ” 3 * ух 4
• 1 СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 71
Произведя почленное деление в левых частях уравнений, приве-
дем ее к виду
1±1-А -4- — — — —+ —= —
у х “ б ’ х ‘ z " 3 ’ у г ““ 4 '
Обозначая — — и, — — о, — = ш, получаем линейную
X у 2
систему относительно введенных неизвестных:
3 2 1
“ + ’“у, u4-to=-g-, и + о = —.
/ 61 11 19 \
Ее решением будет тройка чисел Т20" J’ ^лед0"
вательно, решением исходной системы будет тройка чисел
/ 120 120 120 \
Ч 61 ’ 11 ’ 19 )'
В отличие от систем линейных уравнений системы нелиней-
ных уравнений могут быть определенными даже в тех случаях,
когда число уравнений меньше чисел неизвестных. Простейшим
примером такой системы является система, состоящая нэ одного
уравнения
(х-1)' + (у-2)» + (г-3)»«0;
единственным решением которого является х ™ 1, у = 2, z “ 3.
Пример 2.6. Решить систему уравнений
X + у + 2 — 4,
2ху — Z1 = 16.
Решение. Возводя обе части первого уравнения в квад-
рат, имеем
х* + y* + z* +2xy + 2yz +2хг—16. (*)
Вычитая из уравнения {•) второе уравнение системы, пору-
чаем уравнение
*’ + ?’ + 2z2 + 2yz + 2гх — 0,
которое можно записать в виде
(x + 2)«+(y + z)’--0.
Последнее уравнение выполняется только при х = —г, у — —г.
Возвращаясь к исходной системе, получаем из первого урав-
нения 2 “ —4 и, следовательно, х «= 4, у = 4.
Полученное решение (4, 4, —4) н будет решением исходной
системы.
Ответ, « 4, —4),
ГЛ. S. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ
Решить системы уравнений:
2.31. у» 4- ху - г* =. 4. х4-50«-8. 2.33*. 3x0- —=-5, хг ху 4- — = 5, ух 02-l_L 02 2.35. х* — (р — г)’ — а, у* — — х)’ = Ь, 2* - (2 - 0)’ = с. 2.32. х*—202—-1, 0 4-Z-X—1. ,«жг, х 4- 2 = , 1 4- хг 04-г У 1 4- 02 * 2.30. = а. 04-2 -^—0, 2 4-х °’ 24-0
2Л7. х + у + z — 13,
**+ 0*4- г’ — 91.
у* = хг.
2.38. х + у 4- 2 - О,
х* + У* + г1 — 2 (у — х — г) — 2,
X* + у* + Z3 — 3 (х* — у* + 2а).
2Л0. х 4-0 4-2—1,
4х» + у1 + г1 - бх — х’ + у* + г’ - 2,
хуг = 2 + уг.
2.40. ху 4- уг + гх — 11,
2*4-0*4-2* — 14,
Х02 —в.
2.42. х (х 4- у 4- г) — а,
У U 4- у 4- г) — Ь,
г (* 4- У 4- 2) — с.
2.44. х*у — х 4- у — г,
г*х — к — у 4- г,
у*х -=у — х + г.
2.40. 2 (х* 4- у*) — хуг,
Ю (У1 + «’) “ 29x02,
б (г* 4- **) “ 13x02.
2.47. хуг* в, — у — 2х,
2х*уг — — у — г,
Зху*г — 2х — г.
2.41. 2 (х 4- У) — ху.
ху 4- 02 4- zx = 108,
хуг — 180.
2.43. х’ 4- 0* “ 0202,
у* 4- z* — Ьхуг,
г* 4- 2* “ схуг.
2.4В. 4x0 4- х* 4- У* — I.
8x2 4- 2* 4- 42* = —2,
802 4- 014- 4г* -» 1.
1.48. ху 4-24-0-7,
02 4- у 4- z -= —3,
хг 4- 2 4- 2 = —5.
Если средн уравнений системы есть иррациональные, то при
ее решении обычно освобождаются от иррациональности. При
« 2. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯ 73
этой применяются методы, используемые при решении ирра-
циональных уравнений.
Пример 2.7. Решить систему уравнений
<______ <_________
V 1 + бх 4- V6 — if — 3,
Бх — у — 11.
4 . 4 ______
Решение. Обозначая V1 4* бх — а и V5 ~ У “ полу-
чаем симметрическую систему нелинейных уравнений
и 4-0 — 3, и’4-о4 = 17, (*)
решения которой u—1, о — 2 и и — 2, о — 1. Возвращаясь я
исходным неизвестным, получаем следующие системы линейных
уравнений:
1 4- бх — 16. 1 4- Бх — 1,
5 — у — 1, 6 — у = 16.
Решение первой системы х = 3, у = 4. Решение второй си-
стемы х = 0, у = — 11.
Ответ. (3, 4); (0, —11).
Решить системы уравнений:
2.49. V2x 4- Р 4- 1 - V*+7 - I.
Зх4-2у-4.
2.50. Vх + 20 + Vх — Р + 2 — 3,
2х 4- у = 7.
2J51. Vх’ ~ ХР 4- ху — у2 => 3 (х — у),
х’ — 0’ —41.
2Л2. Vх* 4- У* 4- V2X0 — 8 т/2,
4- Vp “4.
2.53. Vх’4-5 4- Vp*-5 — 5, 2.54. Vх 4- Vp — 2,
х* + р’ = 13. х-20 4-1— 0.
2Л5. Vx4-V0— 8.
х4-0 — Vx4-Vp~2 Vxp" — 2.
2.66. Х0 4- Vх V — 04 — 8 (Vх 4-0 4- Vх — рЛ
(х4-р)а/2-(х-р)3/2 = 2б.
Используя изложенные выше методы, решить системы:
2Л7. Зх* 4-2x0 4-р’— 11,
х* 4- 2x0 4- Зр1 — 17.
2.58*. х’ 4- *У 4- р* —18 (х - у)\
х* — яу + у* — 7 (х — р).
74 ГЛ. а. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
(х-1)»+(у+
x — z — 1 —0.
^27+7 , ^2х4-у 8!
" ~у~ +~**—
$2х — у _ ^2х — у 1
у 2х = 182 ‘
2.61. x + y-z = 2, 2.62. х’-|-ху 4-У*“ 1,
х* + У* + г* — 6, у* 4- уг + х* — 3,
x’ + d'-z’-S, x’4-« + z’ — 7.
§ 3. Системы показательных н логарифмических
уравнений
Системы, содержащие показательные или логарифмические
уравнения, обычно решаются сведением показательного (или ло«
гарифмнческого) уравнения к алгебраическому уравнению с по*
следующим решением полученной алгебраической системы.
Пример 3.1. Решить систему уравнений
«(УгГ-* —0.5*”4,
logs (х — 2у) 4- log» (Зх 4- 2у) — 3.
Решение. Множество допустимых значений неизвестных X
н у определяется системой неравенств
х - 2у > 0, Зх 4- 2у > 0. (•)
Из показательного уравнения исходной системы, записанного
в виде
(У2),-*'+6=(У2)в-2|,1
получаем уравнение
х — у 4- 6 = 6 — 2у;
пз логарифмического уравнения, записанного в виде
log, Цх- 2у) (3х4-2у)]-3,
получаем уравнение
(х — 2у) (Зх 4-2у) — 27.
Таким образом, решение исходной системы свелось к рейте
нню системы уравнений
х —у4-6 — 6-2у,
(х - 2у) (Зх 4- 2у) = 27, 1
рассматриваемой на множестве допустимых значений неизвест*
йых, задаваемом системой (*). Выражая у из первого уравнения
f 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 75
системы (»•) и подставляя у “ —х во второе уравнение, полу-
чаем уравнение
Зх» = 27,
решения которого Х| = 3, Ха •= —3. Из первого уравнения си-
стемы находим ffi = —3, ffi = 3. Из двух найденных пар чисел
'(3, —3), (—3, 3) решений системы (♦») лишь пара (3, —3) удо-
влетворяет системе неравенств (♦).
Ответ. (3, —3).
Решить системы уравнений: ~
8.1. logy х + log, у — 2,
х2-у = 20.
8Д 4х+*-2‘'-’.
8.5. х + у
2(2 logv, х - log1/x у)
ЗХ. log«x — log» у — О,
х’-2у2-8~0.
2- ЬВа х ц. glog, (1/х,) e .£»
3
12,
б.
4* _ 7.?*-№ — 23-»
у — x —3.
__ ° ( 2 V*-» , _ ( 2 х(2х-у)/з
-в-в.
Ig (3x — У) + 1g (* + У) — 4 1g 2 “0.
8Д 4*V+W*_32,
log» (л — y) — 1 — log» (x + y).
ЗЛ. — 27.3^ — 0,
|-lg*+у lg 1/— IgG —V*).
8.10. 8-*.2»—ИБ2, 8.11. 2'.3r — a
log^jJx + jO-X 3«-4^=12.
8.12. (0148*’+2)2Х-,/ = 1,
lg (* + g) — I — 1g 6 — 1g (* + 2У).
8.I8%xx’-«’-‘e—1,
x —y—2.
Если основание степени в показательном уравнении систему
является функцией неизвестных, то систему можно свести к «ф
«теме рациональных уравнений, принимая в качестве одного ф
иеизвестаых логарифм этой функции по некоторому оснований
16 гл. s. системы уравнении
Пример 3.2. Решить систему уравнений
х**+2 = 125.
Решение. Логарифмируя оба уравнения системы по осно-
ванию 5, получаем систему уравнений, эквивалентную исходной
системе
&у'- l)log.x = l,
(У* + 2) logsx = 3.
Обозначая log.x = г, получаем систему рациональных уравне-
ний
(2уг — l)z= 1,
(у» + 2)г = 3.
Выражая г из первого уравнения системы и подставляя во вто-
рое, получаем уравнение
решение которого pi - 1, yi = —1. Из первого уравнения си-
стемы находим (как при у = 1, так и при у = —]), что z = 1.
Из уравнения
log» х — 1
находим х = 5. Таким образом, решениями исходной системы
будут две пары чисел: (5, 1) и (5, —1).
Ответ. (5, 1); (5, —1).
Решить системы уравнений:
8.14. у = 1 + logs х,
х* — 4».
8.1Й. (х + у)3»-* = -^-,
31og,(x + y) — х — у.
8.18. (х + у)-г»-2* = 6,25,
(х + у)^2*-*1 = 5.
3.15. у — logs х — 1,
х»-3'«
3.17. хж~2и — 36.
4 (х — 2у) + log. х — 9.
Некоторые системы логарифмических или показательных
.уравнений сводятся к системам рациональных уравнений непо-
средственной ваменой входящих в них логарифмов (или, соответ*
ственно, степеней} новыми неизвестными.
9 4. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Tf
Пример 3.3. Решить систему уравнений
2Vv «,200,
+ «689.
Решение. Обозначая 2 — 5^' и « = 2^, получаем си*
стему рациональных уравнений
ги = 200, z’ 4- и* — 689,
которая эквивалентна с учетом условий г > 0 н и > 0 системе
га —200,
г + и — 33.
Решениями этой системы являются следующие пары чисел;
(25. 8); (8, 25).
Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем следующие
системы уравнений:
5^ = 25, 5^ = 8,
2^ = 8, 2^ = 25,
которые имеют решения х = 8, у = 9 и х = (log, 8)», у “ (log, 25)*.
Ответ. (8. 9); (27 logj 2, 4 logf б).
Решить системы уравнений:
3.19*. г^-2 + 4Л^’_| = 5,
3(х + у) 5(х —у) в
*—У *+у =
»^0*. (х24-у)"2|'**’ = I, 3.21. П*»-2«5* —71,
9(х2 + у) — 6*’“*'. 11»+ 2-б1"2 —21,
П(х-1)г + 6»««}в>
§ 4. Разные задачи
Решить системы уравнений:
4.1* ух'^'-х28,
logj plogy (у — 2х)= I.
4J2. log, х + log, у 4- log, г — 2,
logs у 4- logs г 4- log, х — 2,
log, z 4- log, x + logu у = 2.
4Л
ю 2 —looVTo
>/х*4- 10g _ 6
8 “ 2^**+ Юу -9*
78
ГЛ. S. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
4.4е. х^х в у* фу*,
уУ*"+Vy а фх*.
4Л*. log„ | logv х | = log* | log* у f,
lg2 * + lg* У = 8.
4Л +logay)-log,r.
logs x [log, (x + log» x.
4.7. 2*-X, 2»-f, g» — X.
4Л. logs x loga —48ь
logo у loga(xi/z)= 12, a > 0, a & 1,
logo X logo (xyz) — 84.
ГЛАВА 4
НЕРАВЕНСТВА. УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
Пусть И*) — числовая функция одного иля весхолыхх переменных
[аргументов). Решать неравенство
fW<0 (f(x)>0) (1)
— ето ввачят найти все значения аргументе (аргументов) фунхцяя I,
при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значений аргу-
мента (аргументов) функции I, при которых неравенство (I) справедливо,
называется множеством решений неравенства илн просто решением не-
равенства.
Множество решеавй нестрогого неравенства
fU)<0 tf(x)>0) (2)
представляет «обой объедвнеиие множества решений неравенства (1) к
Множества решений уравнения Дх) — 0.
Два неравенства считаются вквивалентнымм, веля множества и ре-
шений совладеют.
Под множеством болрегажых аявеиашб аенавестяых, входящих я не.
равенство, поннмаюг область определенна функция |(х).
Неравенства вида (1) или (2), составленные для равянчв1п функций
могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему нера-
венств — вто аввчят найти множество всех значений аргументов функций
fl (х), при которых справедливы все неравенства системы одновременно.
Говорят, что системы неравенств еквивалентны, селя множества ия
решений совпадают.
$ 1. Рациональные н иррациональные неравенства
А а ге бр а нч вс к л а параяаяства. ЛюиДиыяи (строгими я
нестрогими) зазываются неравенства вида
oi + J>0, ах + б<0, ах + б>0, ах + й<0, а у* О, (I)
решениями которых будут|
при а > 0
,вН") хв(—: -т) Хе[-Т:”)- хв(-“: “41
при е<0
*«=(-»: —) « = (--4 “)• *е(—• "41 х"[~4; “)•
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства анха
<x*+*x+«>0l ex* + ta + с < 0,
ах*+йх+с>й, ах*+Ах+е <0,
где о. Ь, в—некоторые дейспжтошом числа а уЗО,
80
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Квадратов неравенство ах* + Ьж + е >• 0 в ааввсьаосп от авеяеяяй
своп коэффициентов а, Ь и с имеет решения:
при а > 0 в D-Ь’—4ас>0
при а > 0 п D <0 х—любое деПствнтельное число;
при а < 0 и D>0
при а < 0 и D < 0
Х“0 (т. е. решений нет).
Решение неравенства ах* + бх + с < 0сводится к решению рассмотрев»
кого неравенства, если обе части неравенства умножить на (—1).
Метод интервалов. Пусть Р,(ж) — многочлен л-flсте-
пени с действительными коэффициентами, a Ci, Сг.........й — все
действительные корни многочлена с кратностями kt, kt..........kt
соответственно, причем с, > с2 > ... > С|. Многочлен (ж)
можно представить в виде
Рп (х) - (ж - d)*1 (* - «а)** ... (ж - с,)*' Q„ (ж). (3)
где многочлен Qn(x) действительных корней не имеет и либо
положителен, либо отрицателен при всех ж е R. Положим для
определенности, что Qm(x) > 0. Тогда при ж > С| все сомножи-
тели в разложении (3) положительны и Р«(ж) > 0. Если С; —
корень нечетной кратности (А( — нечетное), то при xe(ci; ci)
все сомножители в разложении (3), за исключением первого,
положительны н Р«(ж) < 0. В этом случае говорят, что много-
член Рл(ж) меняет знак при переходе через корень с(. Если же
Ci— корень четной кратности (А,— четное), то все сомножители
(в том числе и первый) при ж е (с»; ct) положительны и, сле-
довательно, Р„(ж) >0 при ж е (са; с1). В этом случае говорят,
что многочлен Ря(ж) не меняет знака при переходе через ко-
рень С;,
Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно
убедиться, что при переходе через корень Ct многочлен Ря(ж)
меняет знак, если kt — нечетное, н не меняет знака, если kt —
четное. Рассмотренное свойство многочленов используется для
решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти
все решения неравенства
Рп (х) > 0. (4)
достаточно знать все действительные корни многочлена Ря(х) их
кратности и знак многочлена Р„(ж) в произвольно выбранной
точке, не совпадающей с корнем многочлена.
I I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 81
Пример 1.1. Решить неравенство
х4 + Зх» — 4х > 0. (♦)
Решение. Разложим на множители многочлен Р«(х), стоя*
щий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за
скобку, получаем
Р, (х) -х(х' + Зх» - 4).
Второй сомножитель, представляющий собой кубический много-
член, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть пред-
ставлен в виде
х’ 4- Зх» - 4 = (х - I) (х’ 4- 4х 4- 4) = (х - 1) (х 4- 2)1.
Таким образом, Р»(х) — х(х— 1)(х +2)» в неравенство (•)
может быть записано в виде
х (х — 1) (х 4-2)* > 0. (•♦)
Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > I
все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положи-
тельны.
Будем двигаться по осн Ох справа налево. При переходе
через точку х = 1 многочлен Р«(х) меняет знак и принимает
отрицательные значения, так как х = 1 — простой корень (ко-
рень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен
также меняет знак и при-
нимает положительные зна- “f'V'-----+ \ /^+ _
чеиия, так как х = 0 — так- — у/ х
же простой корень; при
переходе через точку х =
1= —2 многочлен знака не
меняет, так как х = —2 — корень кратности 2. Промежутки зна-
копостоянства многочлена Р4(х) схематически представлены на
рис. 4.1. Используя этот рисунок, легко выписать множество
решений исходного неравенства.
Ответ, хе (-оо;-2)U(-2; 0)U(l: “).
Рациональные неравенства.
Решение рационального неравенства
Рп (х)
Qm (х)
>0.
(5)
где Р.(х) и Qm (х) — многочлены, сводится к решению эквива-
лентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе ча-
сти неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]1, который положите-
лен при всех допустимых значениях неизвестного х {т. е. при
82
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
тех х, при которых Qm(x) 0), получим неравенство
/’n(x)-Qm(x)>0,
эквивалентное неравенству (5).
Дробно-линейными называются неравенства вида
ах + ft
71+Т>*' (в)
где а, Ъ, с, 4, А—некоторые действительные числа и с ч* 0, — т* Д* (если
С а
л b
С^й, то дробно-линейное неравевство превращается в линейное, есдя —
то неравенство (В) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравен'*
ствам относятся н неравенства вида (6). где вместо знака > стоят
знаки <, >. Решение дробно-линейного неравенства сводится н ре*
шению квадратного неравенства. Для этого необходимо умножить обе
----- ' “ ------ при всея
части неравенства (6) на выражение (сх + d)1, положительное
>e Я * *—<Ца.
Пример 1.2. Решить рациональное неравенство
Решение. Прибавляя к обеим частям неравенства
чаем неравенство вида (Б)
1. полу<
7<0.
которое эквивалентно неравенству
х*(х* — х — 2) <0.
Множество решение последнего неравенства находится методом
интервалов: хе (—1; 0) U (0; 2).
Ответ, х s (—1; 0) (J (0; 2).
Решить неравенства:
2 —х + 2+х < L ,Д х + 2 < х — 3'
1Д (х+ 1)(3 — х)(х-2)«>0. 1А
О 9 — А
L10. Д|£.-—<0.
Иррациональные неравенства. Под нррационяль*
пш неравенством понимается неравенство, в котором неиавест*
ные величины (или некоторые функции неизвестных величин) ни
t 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 88
холятся под знаком радикала. Для того чтобы найти множество
решений иррационального неравенства, приходится, как правило,
возводить обе части неравенства в натуральную степень. При
втом (в силу принципиальной невозможности проверки получен-
ных решений подстановкой) необходимо следить за тем, чтобы
при преобразовании неравенств каждый раз получалось нера-
венство, эквивалентное исходному.
При решении иррациональных неравенств следует помнить,
что при возведении обеих частей неравенства в нечетную сте-
пень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному
неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную
степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исход-
ному и имеющее тот же знак лишь в случае, если обе части
исходного неравенства неотрицательны.
Пример 1.3. Решить неравенство
V* + 3 < v* — 1 + V* —2. (•)
Решение. Множество допустимых значений неравенства
(*) представляет собой промежуток [2; оо).
Обе части неравенства (•) на промежутке [2; оо) неотрица-
тельны, поэтому, возведя обе части исходного неравенства в
квадрат н приведя подобные члены, получим эквивалентное не-
равенство
6 — х < 2 V*1 — Зх-|-2. (♦♦)
Рассмотрим теперь два возможных случая:
1) если 6 — х<0 (т. е. х > 6), то левая часть (•♦) отри-
цательна, а правая — неотрицательна и, следовательно, неравен-
ство (**) справедливо при всех хе (6; оо).
2) если 6 — х > 0, то для всех х е [2; 6] обе части неравен-
ства (••) неотрицательны. Возведя обе части неравенства (**)
в квадрат, получаем неравенство
Зх’ - 28 > 0, (•♦♦)
решениями которого с учетом сделанного предположения будут
значения нз промежутка ej.
Объединяя множества решений, соответствующие двум рас-
смотренным случаям, окончательно получаем решение исходного
неравенства — промежуток
Ответ.
М
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Решить неравенства:
1.12. Vl - Зх - V5 + x > I.
1.13. лЛ-Vl -* - л/2-х >0.
1.14. Vx2 + 4х - 5 — 2х + 3 > 0.
1.15. х + 4 < V* 4- 46. 1.15. V2 - ^3+^ < Vx"+4.
1.17. Ы8. ?£±L < !.
1.19. 4 ~ Vх + 1 з. ио. Ve77*1 - V25-xJ > х.
• 1 - Vx + 3
1.21. . > —!—. 1.22. Vx2 —х —2 > 2x + 3.
V1 + x 2 —x
1.23. Vx2 4- 3x 4- 4 > -2.
1.25. V3x2 4- 5x 4- 7 — V3x2 4- 6x 4- 2 > I.
Неравенства, содержащие неизвестное под
в н а ком абсолютной величины. При решении нера-
венств, содержащих неизвестное под знаком абсолютной вели-
чины, используется тот же прием, что и при решении уравнений,
содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины, а
именно: решение исходного неравенства сводится к решению не-
скольких неравенств, рассматриваемых на промежутках энако-
постоянства выражений, стоящих под знаком абсолютной ве-
личины.
Пример 1.4. Решить неравенство
|х2 —2|4-х<0. (•)
Решение. Рассмотрим промежутки знакопостоянства вы-
ражения х1 — 2, стоящего под знаком абсолютной величины.
1) Предположим, что
х2 — 2 > 0,
тогда неравенство (•) принимает вид
х* 4- х — 2 < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства
х* — 2 > 0 представляет собой первое множество решений ис-
ходного неравенства (см. рис. 4.2): х е (—2; — V^L
2) Предположим, что х2 — 2 < 0, тогда согласно определе-
нию абсолютной величины имеем |х* — 2| —2—х*. и неравен-
f 1. РАЦИОНАЛЬНЫЙ и ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 8S
ство (*) приобретает вид
Пересечение множества решений этого неравенства в неравенства
х1 — 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравен-
ства (см. рис. 4.3): хе(- V2! —О-
Объединяя найденные множества решений, окончательно по-
лучаем хе(-2; —1).
Ответ, хе (—2; —1).
Рас. АЛ
Рас. АЛ
В отличие от уравнений неравенства не допускают непо-
средственной проверки. Однако в большинстве случаев можно
убедиться в правильности
полученных результатов гра-
фическим способом. Дей-
ствительно, запишем нера-
венство примера 1.4 в
виде
х* — 21 < — х.
Построим функции t/i =
-= |х’— 2| и уг = — х, вхо-
дящие в левую и правую
часть рассматриваемого не-
равенства, н найдем те значения аргумента, при которых yi < Уг.
На рис. 4.4 заштрихованная область оси абсцисс содержит
искомые значения х.
Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величины,
иногда можно значительно сократить, используя равенство
|х|« = х».
Пример 1.5. Решить неравенства
(•)
Решение. Исходное неравенство при всех х —2 экви-
валентно неравенству
(••)
lx - 11 > |х + 2к
м
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Возведя обе части неравенства (••) в квадрат, после приведет»
подобных членов получаем неравенство
бх < —3,
Т. е. х < —1/2.
Учитывая множество допустимых значений исходного нера>
венства, определяемое условием х —2, окончательно получаем,
что неравенство (•) выполняется при всех х е (—оо; —2) U
У.(-2; -1/2).
Ответ, (-оо; -2)У(-2; -1/2).
На рис. 4.5 представлена графическая иллюстрация решала
приведенного неравенства.
Решить неравенства:
1Л6. |х-3|>-1. 1.27. 14 —Зх |< 1/2.
1.28. ха+ 2]х + 3| — Ю<0. 1.2». |х»-1|-2х<0.
1.30. х* + х— 10< 2|х —2|.
1.31. х» —|Зх + 2| + х>0.
1.32. |х* — 3|4-2х+ 1 >0.
1.35. 1х-21<|х + 4).
1Л5. | х* + х + 1J < 2х» - 4х +7.
§ 2. Показательные неравенства
Простейшими показательными неравенствами являются не*
равенства вида
а* > b, а* < b, (1)
где а и b — некоторые действительные числа (а > 0, а 1).
В зависимости от значений параметров а и Ь множество
решений неравенства аж > Ь представляется в виде:
при а > 1, b>0 xs (loga b; оо);
при а < 1, b > 0 х в (— оо; logo 6);
при Ь < 0 х в R.
I 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
87
Множество решена! веравектва а* .< 8 в эависимоеп ос
значений а и Ь представляется в виде:
при а > 1, Ь > 0 loge b);
при я < 1, 6 > 0 je (loga tr, со);
при ! <0 х—0.
Множество решений нестрогих веравенств я* > 8 •* < Ь
находится как объединение множеств решений соответствующих
строгих неравенств н уравнения а* = Ь.
Неравенства вида (1) могут быть обобщены на случай, кот»
да в показателе степени стоит некоторая функция от ж. Так,
множество решений неравенства
2Н*>>з (2)
находится как множество решений неравенства
f (*) > logi 3,
еквивалентного неравенству (2).
Методы сведения более сложных показательных неравенств
к неравенствам вида (1), (2) аналогичны методам, используемым
при решении показательных уравнений. Так, например, решение
показательного неравенства ввда
Р (ая) > Q,
где Р(аг) — многочлен указанного аргумента, заменой а* = у
сводится к последовательному решению неравенства Р{у) > О
и решению простейших показательных неравенств вида (1) нлн
систем простейших показательных неравенств.
Пример 2.1, Решить неравенство
4х-26”- 10* > 0. (•)
Решение. Так как числа 4, 10, 25 являются вослелова-
тельными членами геометрической прогрессии, то неравенство (•)
можно свести к квадратному относительно неизвестной I •
Для этого разделим обе части исходного неравенства на 25х »'
— 5,х;
(Я—(¥)>’•
Обозначая
= у, получим
у* — у — 2 > 0.
(*•)
Множество решений неравенства (**) представляет собой
объединение промежуткам (—— 1)Щ2, со|. Исходное иера»
88
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
венство, таким образом, эквивалентно двум простейшим показа-
тельным неравенствам
Решением первого нерапенства является пустое множеств, а вто-
рого — промежуток (— °о; log^j.
Ответ. (—оо; 1оЙ2/52).
Решить неравенства:
2.1. 4* + 2*+,-C<0.
2Х 4-х+1/2 — 7 • 2~х — 4 < 0.
2.3. 25 'х + Б-х+1 > 50. 2.4. 4*1 — 3 • 2х* + 1 > 0.
2.Б. 2-З2*'+ 4 <3Х'+2.
“ (4)^ > (1)^-
2.7. 98 — 7*’+5х-« 4дХ’+5х-49
2Л Б-4х4-2-2Бх^7-10х.
2.9. Vl3x-6 < V2 • (13х + 12) - д/13х + Б
2.10. + 3 < aVF=3-l. 28.
2.11. б^-10-з _4,бх~5 < 5>+3 Vx3?
2.12. < г3"* + 251/1ог‘ •.
2.13. 25х — г21ов*6-1 < 10-Б’"1.
2.14. Б2**1 + 6Х+1 > 30 + 6х - 30х.
2.15. ^8 4-—4V3z7 + 2V£T+i б
2.18. 4х С 3 - 2‘^Г+Х + 41+'^х’.
2.19. 32х+1 — Зх+2 4- 6 > 0,
32x+2_2.3x+2_27 <0.
2Л). |3,впх-3‘-‘«ях|>2.
§ 3. Логарифмические неравенства
Простейшими логарифмическими неравенствами являются не-
равенства вида
loga х> b,
loga * <b,
(1)
(2)
где а н Ь — некоторые действительные числа (a>0,
5 3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 89.
В зависимости от значений а множества решений неравен-
ства (1) будут следующими:
при а > 1 1 е (оА; «);
при а < I х е (0; а*).
В зависимости от значений а множества решений неравен-
ства (2) будут следующими:
при а > I х е (0; о*);
при а < 1 хе (а*; оо).
Множества решений нестрогих неравенств logo х > b н
logg х Ь находятся как объединение множества решений соот-
ветствующего строгого неравенства и уравнения
logo х “ b.
Неравенство вида
logo f (х) > b (3)
вквивалентно следующим системам неравенств*):
при а > I f (х) > 0, f (х) > а°;
при а < 1 f (х) > 0. f (х) < а*;
в неравенство вида
•oge/(x)<4 (4)
вквивалентно следующим системам неравенств:
при а > I f (х) >0. f (х) < а*;
при а < 1 f (х) > 0, f (х) > аь.
Более сложные логарифмические неравенства сводятся к не-
равенствам вида (1) —(4) методами, аналогичными используе-
мым при решении логарифмических уравнений. Так, например,
множество решений неравенства вида
P(logax)>0, (5)
а также неравенств Р < 0, Р > 0, Р < 0, где Р — многочлен
указанного аргумента, находится следующим образом. Вводится
новое неизвестное у = loga х, н неравенство (5) решается как
алгебраическое относительно неизвестного у. После этого реше-
ние исходного неравенства сводится к решению соответствующих
простейших неравенств (1), (2) или систем этих неравенств.
Пример 3.1. Решить неравенство
(log1/2x)*-log1/2x’> (log1/23)’-l. (•)
•) В случае, есав веравеяство (3) вестрогое, вторые веравеяства атжж
свети также вестроне.
ГЛ, 4, НВРАВВНСТВД
Решение. Учитывая, что множеством допустимых знача*
вий неравенства .(•) является промежуток (0; оо), преобразуем
неравенство (•) к виду
(log1/2x)2 - 2 logl/2x > (1og1/23)«- 1.
Обозначая ^"logjyjX, получаем относительно у неравенство
у* _ 2у _ (1 og 1/2 3)2 + 1 > 0.
Множество решений последнего неравенства представляет со-
бой объединение промежутков(—оо; 1 + log1/23)U(1 — logV23; о°),
а, следовательно, решения исходного неравенства определяются
(условиями
. ’ 3
Iogl/2x < 1 + log1/23<=»-x > у,
log1/2x> 1 — log1/23 0 < х
Ответ. (4; <»)и(о; -g-)-
Решить неравенства:
8.1. 1оК1/2 (2х + 3) > 0. 3.2. log2 у=у < 0.
•А >08в/а (2х* — х “ у) > *•
о л । 2х — 1 2л
8А log‘/<T+T<cos т-
ЗЛ. log2 х + log2 х - 2 < 0.
8.8. 2 loge (2х« + 3) < log, (х» + 6).
8.7. log, Vx — 2 log2/4 x + 1 > 0.
8Л. log1/4 (2x4-3) >108, 27.
8.9. Ig (x — 4) 4-Igx < Ig 21.
8.10. logrX— logx
8.11. Iog2 [(x — 3) (x 4- 2)] 4- log1/2 (x — 3) < — log^ 3.
8.12. log1(X) (x2) 4- log2, x < 2.
8.13. 1<^(7-х)<А|^44.1ов7.Л
3.14. log3x-log2xc4,°ei/(2^)4-
3.15. logI/2 (4 — x) > logl/2 2 — log1/2 (x — 1).
3«
S,nT 1
UK logs(3 — x) - log, -б_х > у + log, (x 4-7).
4 3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
91
8.17. 2 log1/4 (z + в) > | log1/(3/VJ) 9 + log^ 2.
8.18. Iog4 (3х - 1) logl/4 (^1)
8.19. log1/sx<log1/4x.
3.20. log, (3<x - 3JI+' + 3) < 2 log, 7.
8.21. logl012x + 3 Is + 2 log(2x+3), 10 < 3.
8J2. Iogx/28+logx/48<-f^t_.
8J3. 8,01IjX —2л’> x —2.
8.24. 2log, x-1 log,(x*-3x + 2)<cos4^-.
4 о
8.25. log^j cos X > log^-j прв x e (—2; 3).
8.20.
8.27.
8^8.
8.20.
log1/2|x-3| >-1.
loga (Vх + 3 — x — l) < 0.
д/logf^x — 81 4- 2
lOgi/jX -1
8.30.
8Л1.
V. Г 2x» - 3x + 3 \ , ,
log, --------2 + 1 >
. ( 2x’ - 3x + 3 \
log,(------J------)•
8ЛЗ.
3.84.
1 — <^1 —8 log^x
2 log, x < L
logsx loga^l +2x
loga(l+2x)** logax
Логарифмическое неравенство ввда
l°geU)Hx)>c
(вквивалентно двум, системам неравенств:
/(х)>0, Нх)>0.
g(x)>l, 0<g(x)<l,
/(*)>1«(*)П /(x)<U(x)le.
Пример 32. Решить неравенство
1082, («•-5* + 6) < 1.
16)
(?)
W
92
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Р е ш е в в е. Логарифмическое неравенство эквивалентно
двум системам неравенств
О < х* — 5х + 6 < 2х, х* — бх + 6 > 2х.
2х > 1; 0 < 2х < I.
в множество решений исходного неравенства получается кап
объединение множеств решений этих двух систем.
Ответ. 16(0; 1/2)U(1; 2)U(3; 6).
Решить неравенства:
8Л5. Кх (** - 4-) > <• «-зв- 1о82х-х- (х - уУ > О-
«.37. >ogx+4 (бх + 20) < >»₽x+4 U* +
8.40. log^j-(х« - Зх + 1) > 0.
8.41. (log, х+в| 2) log2 (х‘ — х — 2) > 1.
8.42. logu+e)/3(1og2 ((х — 1)/(2 + x))j > 0.
8.43. log9x> (6 + 2х — х’Хр
8.44. х'вх< 1О.х~1в14-3.
8.45. log, х । (V9 — ж1 — ж — 1) > 1.
8.48. log, <Vlog, (2x*).
«•<7. 10в1ои. ГО.и> (** “ 10x + 22) > 0.
Выражения, стоящие в левой и правой частях неравенств
В.48—З.Б2, положительны, поэтому для решения достаточно про-
Логарифмировать обе части исходного неравенства!
3.48. ж1н'х-31ях+1 > юоо.
13 1оВ2 л/5 1оВ лП 3
8.49. х’> 2 v .3 v .
ало. (х‘ - х - 1)х’_ 1 < 1. зл1. । х Iх’-2 < 1.
8Л2. х|/1в х • 1g х < 1.
Неравенства 3.53—3.58 эквивалентны системам тригономет*
ряческих неравенств или системам алгебраических в трнгономет»
ряческих неравенств:
а
ЗЛ3.1ое,>ах,(х«-8х + 23)> 10g,|:,n х|.
1<*«а W (4 “ 2*) < 1овсоа vrj (2х - I).
f 4 НЕРАВЕНСТВА. СОДЕРЖАЩИЕ СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ 93
зле. (1ОВ.1П х 2)3 < 1о8,|п х <4 ,1п* *)•
ЗЛЗ. Vlg х - 1 [logtg ж (2 + 4 cos* х) - 2] > 0.
3.57. log) sin x > logit» (3 sin x — 2).
_ , I x* Бх , .
3.53. log t- I —sr — —Jr- -f- 3 I 0.
eeln *+V3 cos x \ 2 1)
Найти все целые числа, удовлетворнюшне неравенствам:
4- loHi (12-3X1
3.59 *. 3 2 — 3 °в,л>83.
ЗЛО. х -1 < 2 log» (х + 2).
8.81 . log/ и \f-—
^2cos —-x+aj \ ^ю —х )
§ 4. Решение неравенств, содержащих
сложные функции
Рассмотрим неравенства, в которых функции, подлежащая
сравнению, представляет собой сложную функцию, состоящую нэ
некоторой композиции трансцендентных и алгебраических функ*
ций. Решение подобных неравенств сводится я последовательно-
му решению простейших неравенств, возникающих при замене
аргументов сложных функций новыми переменными.
Пример 4.1. Решить неравенство
(0.5)1ог> < 1
Решение. Если обозначить г = log» logi/s(xJ — 4/5), то
исходное неравенство сводится относительно z к простейшему
показательному неравенству
(0.5)2 < (0,5)° ч» z > 0.
Обозначая далее у = log1/5 (х* — 4/5), имеем
log» У > 0 -о* у > 1.
Положив v — х1 —g-, получаем
1 og|/5 О I <=>0 < с <|.
О
Таким образом, мы получили неравенство, эквивалентное исход*
ному:
0 < X1 - 4 < т-
о о
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Г При решении неравенств,
лезно проводить графическую
рассмотренный в примере 4.1, по*
иллюстрацию каждого отдельного
атапа решения.
На рис. 4.6 представлена графическая иллюстрация решения
примера 4.1.
На- каждом рисунке представлены графики функций, по-
ахапно возникающих в процессе решения. При этом на каждом
графике на вертикальной оси откладывается интересующее нао
множество значений очередной простейшей функции, а на гори-
вонтальной оси ищется соответствующее ему множество значений
аргументов. Найденное множество, обозначенное на рисунках
штриховкой на горизонтальной оси, па следующем рисунке от-
кладывается на вертикальной осн.
Решить неравенства:
(4)'»'1--" > 1.
и.
<Л. (0,6)*°в* ’“'••“-°-” < 1.
и. (ед10*1” > 1.
4 8. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
<в. (1)1*«’(””ТЛ,)чи
Найти область определения функций:
4.7. д/юВ1/2-А=^..
43. у — '^log|/2 ха _ । .
, Л , sin х — СОЗ х 4- 3 V2
4.9. у — log,------~^=-------—.
4.19. у — Viogwloga | х - 3 |.
Решить неравенства, используя комбинацию рассмотренных
методов:
4.11. log1/Vs (6Х+'- 36*) >-2.
4.12. log8logg/ie(х* — 4х + 3)<0.
<13. log. Peg, (4х — 6)1 <1.
4.14. (|) 31/8 <1.
<Ж 12х + + 4х» - 4х« • log, х« >
> 3 V» + 4х —4х* + 4х* k)g« X4 •
§ 5. Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами являются наиболее
трудными задачами курса алементарной математики. Это обы
ясняется тем, что их решения следует получать при всех допу«
стимыж амачешмх входящих в них параметров.
Пример 5.1. Для всех значений а решить неравенство
ох> 1/х.
Решение. Запишем неравенство в виде
ямпш «скоошов мержвемсмю аквивалаитно двум системам вера*
венств:
<«(•—1>Ю, чзх1 —1<0,
JT^>OS *<0.
8в ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем
в виде
ах* > 1.
При а > 0 оно эквивалентно неравенству х* > 1/а, множество
решений которого х < — \/^а и х > \/^а . В этом случае ре-
шения первой системы; х е (l/V“: °°)- При а < 0 левая
часть неравенства ах* — 1 > 0 отрицательна при любом х и не-
равенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений
в вся первая система неравенств.
Рассмотриц вторую систему. При а > 0 решениями нера-
венства ах*— 1 < 0 будут значения хе(—1/Ve"; l/Vo).a реше-
ниями системы—значения х е (— 1/V7; 0). При a sg 0 левая
часть неравенства ах* — 1 <0 отрицательна при любых значе-
ниях х, т.е. это неравенство выполняется при всех хе R и, сле-
довательно, решениями системы будут значения х е (—оо; 0),
Ответ. Если а 0, то хе (—оо; 0); если а > 0, то
хе (— l/Va; 0) I) (1/Ve; оо).
Приведем графическую иллюстрацию решения примера 8.1.
Для этого рассмотрим отдельно два случая а>0 (см. рис. 4.7,а)
а о С 0 (см. рис. 4.7, б) и для каждого из них построим гра-
фики функций, стоящих в левой и правой частях исходного не-
равенства. Заштрихованные промежутки осн Ох представляют со-
бой решение неравенства в рассматриваемых случаях.
Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и
неравенств с параметрами. Приведем пример графического рата-
ния уравнения с параметрами.
Пример 5.2. Для каждого эначеиня а решить уравнение
2|х| + |a|-х+ 1. (о)
f 5. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ 97
Решение. Отложим на осн абсцисс значения х, а на осн
ординат — значения а.^Тогда в координатной плоскости (х, а)
геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению, образуют фигуру, изображенную на рис. 4Л1 Из
рисунка видно, что при |а| > 1 уравнение (*) решений не
имеет. При |а| < 1 каждому значению а соответствуют два
корня уравнения, а при |п| = 1—один .
корень х = 0.
При 0 а < 1 корни находятся из 1 /
следующих уравнений: / 'Ч
х + а = 1 и —Зх + а - I. /
__ а — I / х
Они равны х — I — в и х = —— со- ,^4------------------—*
ответственно. При —1 < а < 0 корни \ /
находятся из уравнений \ /
к — о = 1 и —Зх —a=l; 1<
. о+ '
они равны х = 1 -ь а и х =--------— рне м
соответственно.
Ответ: |а| > 1 «> исходное уравнение не имеет решений;
| а 1 =. 1 => х =- 0; 0 < а < 1 =>- х -= 1 — а н х = а ~ 1 ; —1 < о <
а + I
< 0 => х = 1 4- а и х -----.
О
5. 1. Для каждого значения а решить уравнение
| х — а + 11 + |х — 2о | = х.
62. Для каждого значения а решить неравенство
| Зх — а | + 12х + а | < Б.
Б.З. Для каждого действительного значения а решить урав-
нение
х* + I * I + а = 0.
5.4. Для каждого значения а определить число решений
уравнений
а) V2 I х | — х’ = а; б) | х1 — 2х — 31 = а.
5.5. Для каждого значения параметра а решить неравенство
21 х — о | < 2ах — х1 — 2.
5.5. Для каждого значения параметра а решить неравенство
+ х + — х > а.
4 JU Г. Цмдкжв, А, И. ПмискаВ
08 ГЛ. «. НЕРАВЕНСТВА
8.7*. Найти все значения а, при каждом аз которык нера*
венство „ , . .
3 — | х — а | > з»
имеет хотя бы одно отрицательное решение.
6.8. Для каждого значения параметра а решить уравнение
-у/а (2х - 2) + 1 — 1 — 2х.
8.9. Для каждого значения параметра а решить уравнение
144,х| —2.|2|х|+о — 0.
8.10. Найти, при каких значениях а уравнение
logs (9х 4- 9<?) = х
имеет два решения.
8.11. Найти все значения параметра с, при которых нера»
венство
1 + log» (йх1 + 2х + у) > log» (сх* + с)
имеет хотя бы одно решение.
8.12. Найти все значения а, при которых неравенство
*°Ка (a+l) ( I х I + 4) > *
выполняется при любом значении х.
8.13. Найти все значения а, при которых неравенство
loga/(a+i)(*’ + 2) > *
выполняется при любом значении х.
8.14. Найти все такие значения х, по абсолютной величине
меньшие 3, которые при всех а > 5 удовлетворяют неравенству
,0&2а-х» — 2ах) > *
8.18. Найти все значения х > 1, которые при всех Ь, удо-
влетворяющих условию 0 < b 2, являются решениями нера»
венства
1о₽(х»+ж)/Ь + 2* ~ 1) < и
8.18. Найти множество всех пар чисел (а, 8), для каждой
из которых при всех х справедливо равенство
а-ех+Ь-еах+ь.
Многие задачи на решение уравнений и неравенств с пара-
метрами связаны с определением расположения корней квадрат-
ного трехчлена у = ах1 + Ьх + с на действительной оси. При
решении этих задач следует учитывать, что если квадратный
трехчлен у “ ах* + Ьх + с имеет два действительных корня xt и
s 8. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ 99
Xi (х, < х»), то при а>0 у(х) принимает отрицательные зна-
чения на промежутке (xt; Ха) и положительные значения аве
промежутка [х»; х>]; при а<0— положительные значения в
промежутке (хг, х>) и отрицательные значения вне промежутка
[х(; Xi], Поэтому, для того чтобы выяснять (не находя корней
уравнения ах*-|-Ьх-|-с “ 0), принадлежит ли произвольное чис-
ло а промежутку (xi; х>), достаточно знать знак выражения
аа? + Ьа + с и знак коэффициента а. Так, например, если а > 0
и аа1 + Ьа + с > 0, то а находится вне промежутка (xf, х>)«
Если известно, что число а не находится между корнями xi,
Ха, то для того, чтобы выяснить, по какую сторону от проме-
жутка (справа или слева) лежит число а, достаточно сравнить
его с некоторым числом, заведомо принадлежащим промежутку
(xt; ха), например с выражением —gy, являющимся абсциссой
вершины параболы у = ах* + Ьх + с.
Пример 5.3. При каких значениях параметра а оба корня
уравнения х’ + ах — 1 =0 меньше чем 3?
Ответ на вопрос задачи следует дать не проводя вычисле-
ния корней уравнения-
Решение. Рассмотрим квадратичную функцию у=х*-)-ах—1,'
стоящую в левой части уравнения. Так как коэффициент при х*
равен 1, то ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы
корни уравнения х( и ха (xt < ха) были меньше чем 3, необхо-
димо и достаточно, чтобы число 3 лежало правев промежутка
(xt; Ха). Условия, при которых будет выполняться это требова-
ние, можно определить следующей системой неравенств:
о* + 4>0,
9 + За - 1 > 0, (•)
-т<3-
Первое неравенство (которое выполняется при всех значениях а)
гарантирует существование действительных корней, второе и
третье обеспечивают расположение точки х = 3 вне промежутка
[(xi; Ха) справа от него.
Решая систему неравенств (*), получаем у; ocQ,
Ответ: ае(—оо^.
5.17. Найти все значения параметра а, при которых оба кор
ня квадратного трехчлена
х» - бах + (2 - Ва + 9а»)
действительны и больше чем 3.
Г
100
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
5.1В. Найти все значения параметра а, при которых оба
корня квадратного уравнения
ха — ах 4-2 = 0
действительны и принадлежат промежутку (0; 3).
Одно неравенство является следствием другого, если мно-
жество решений первого неравенства целиком содержит мно-
жество решений второго. Например, если х удовлетворяет нера-
венству |х| < 2, то х1 < 5 (т. е. неравенство ха < 5 является
следствием- неравенства |х| <2. Действительно, множество ре-
шений второго неравенства (— Vs*: V&*) целиком содержит мно-
жество решений (—2; 2) первого неравенства.
5.19. При каких действительных значениях т неравенство
х* 4- т* 4- m* 4- 6m < О
выполняется для любых хе (I; 2)?
5.20. Найти все значения т, для которых неравенство
тх* — 4х 4- 3m 4-1 > 0
выполнено при всех х > 0.
5.21. При каких действительных т из неравенства
х* — (3m 4- 1) х 4- m > 0
следует неравенство х > 1 ?
6.22. Найти все значения параметра а, при которых из не-
равенства ex* — х 4-1 —в < 0 следует неравенство 0 < х < 1.
5.23. Найти все значения параметра а, при которых из нера-
венства 0 < х < 1 следует неравенство
(а1 4- а - 2) х’ - (а 4- б) х — 2 <0.
5.24. Найти все значения а, для которых справедливо нера-
венство
2х’ — 4агх — д’ 4- 1 > О
при любых |х| < 1.
5.25. Найти все значения параметра а, при которых корни
уравнения
х»4-х4-а = 0
действительны и больше а.
5.26. Найти все значения о, при которых неравенство
выполняется для таких х, что 1 < х < 2.
i В. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ Ю1
Следующие логарифмические в показательные неравенства
с параметром сводятся к квадратным с помощью замены пере-
менной.
6.27. Найти все решения неравенства
— 8-Зх-а>0.
628. Найти все значения параметра а, при которых нера-
венство
4* _ в. 2х - а + 3 <0
имеет хотя бы одно решение.
6.29. Найти все значения параметра а, при которых нера-
венство
а-9х + 4(а- 1)-Зх+а> 1
справедливо при всех х.
При сведении тригонометрических уравнений и неравенств
к рациональным следует учесть, что замена у — sin х или у
— cos х предполагает |у| 1.
Решить следующие задачи.
5.30. Для каждого действительного числа а решить урав-
нение
aln х + cos (в + х) 4- соз (в — х) — 2.
6.31. Для каждого значения параметра а решить уравнение
(Ig sin х)* — 2а Ig aln х — а’ + 2 = 0.
5.32. Найти все значения Ь, при каждом из которых нера-
венство
cos* х + 2b sin х — 2b < b* — 4
выполняется для любого числа х.
5.33. Определить все значения а, при каждом из которых
уравнение
cos' х — (а + 2) cos’ х — (а + 3) = 0
имеет решения, н найти эти решения.
5.34. При каких значениях параметра а уравнение
sin* 4х + (а* — 3) sin 4х + а* — 4 = 0
имеет четыре корня, расположенных на отрезке [Зл/2; 2л]?
5.35. При каких значениях b уравнение
6 созх ___________6 + sin х_____
2 соз 2х — 1 — (cos* х — 3 sin* х) tg х
имеет решения? Найти эти решения.
102 ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
5.М. Для каждого значения параметра а решить уравнении
loK|sin*| 2 • loosin’*3 —а.
6.87. Для каждого значения параметра а > 0 решить вера*
венство
xstoJt_“> 1
при условии, что хе (0; я/2).
5.38. Найти множество всех пар чисел (а, 6), для каждой
из которых при всех х справедливо равенство
а (соз х — 1) + b* = cos (ах + b*) — 1.
6.39. Определить, при каких целых значениях k система
(arctg х)а + (агссоз у)а = я’/fe,
arclg х + агссоз у = я/2
имеет решения, и найти все эти решения.
5.40. Найти все значения а, при которых уравнения
а соз 2х + | а | соз 4х + соз бх — 1
и
sin х cos 2х = sin 2х соз Зх — — sin 5х
эквивалентны.
6.41. Определить, при каких значениях а уравнение
х-у — 4|4|х|-а*1
имеет три корня. Найти эти корни.
5.42. Найти все значения а, при которых уравнение
| 1 — ах | • I + (I — 2а) х + ах*
имеет одно решение.
5.43. Решить уравнение
|х + 3|-а|х- 1 | = 4
В найти, при каких значениях а око имеет два решения.
§ 6. Доказательство неравенств
Сведение к очевидному неравенству.
Пример 6.1. Доказать, что при а 0, b 0, с 0 спра-
ведливо неравенство
аЬ + ас + Ьс < аа + Ь1 + са.
Решение. Умножим обе части неравенства на 2. Получим
tab + 2ас + 2Ьс <2а« + 26* -f- 2с*.
{ в. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
103
Сгруппируем теперь члены неравенства следующим образом:
а» - 2аЬ + 6* + b* — 2Ьс + с* 4- а1 - 2вс + с* > 0,
или
(а-Ь)» + (Ь-с)» + (с-п)»>0.
Мы пришли к очевидному неравенству.
Доказать, что если о, Ъ, с — положительные числа, то:
6.1. в’ + Ь* 4- с* > Звбс. 6.2. )*•
6Л a* + ft' + c» + 3>2(a+6 + c).
6.4. Доказать, что
+4^ + 32*+ 14 — 2х — 12у — 6х>0.
6Л. Доказать, что
** + У* + & + в* + в1 + в (х + V + г + “) >0.
6.6. Доказать, что
х» + 2ху + Зу’ + 2х + бу + 3 > 0.
Средним арифметическим чисел at, а„ называется число
в< 4* вз + • • 4*«я а
——-----------'---, средним геометрическим неотрицательных
п_________
чисел Я1, аг, .... а„ называется число Уа(ая ... ап.
Решение ниже приведенных задач опирается на следующее
неравенство Коши, справедливое для любого набора неотрнца-
(тельных чисел fli, .... а„:
в( 4- в» 4- • • • 4- ап . -— ...
------- --------> Vai • • • “п. (1)
Пример 6.2. Доказать, что если а 4- b 4- с = 1 ив, Ь, с —
положительные числа, то
^ + т + у>9-
Решение. Так как а 4- Ъ 4- с “ 1, то, используя (1), мож<
во утверждать, что
в 4- Ь + с tfabc или — ,.j ^3. (•)
3 Vabc
n V 111
Воспользовавшись неравенством Кошн для чисел —, —, по-
лучаем
104 ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Учитывая неравенство (•), окончательно убеждаемся в справед-
лнвостн исходного неравенства.
6.7. Доказать, что
(а + Ь) (6 + с) (с + а) > Babe,
где а, Ь, с — неотрицательные числа.
6.8. Доказать, что при р > 0 и q > О
(р + «) (Р + 2) (q + 2) > \Bpq.
6.9. Доказать, что при х > О
• ]
х+т>2-
6.10. Доказать, что
(,+т)(,+7)(1 + 7)>м'
где а, Ь, с — положительные числа н а + b + с — 1.
6.11. Доказать, что
(1 + в1) • (I + о») • • (1 4" оп) > 2”,
где в), ..., а„— положительные числа, произведение которых
равно 1.
6.12. Доказать, что
01 + о» 4* • • • + «я я,
где о« а„ — положительные числа, произведение которых
равно 1.
6.13. Доказать, что если а, Ь, с — положительные числа, то
(в+6 + с)(1 + 1 + 1)>9.
6.14. Доказать, что если а, Ь, с — положительные числа, то
(Ьс 4- са 4- аЬ)г > ЗаЬ (а 4- b 4- с).
6.15. Доказать, что если Oi, а>, ..., а„ — положительные чис-
ла, то
(oi 4- oj 4- • • 4“ оп) Г——|- —— + • • • 4* ~r~ 1 о*.
\ Oi аа ап )
6.16. Доказать, что если oi.а„ — положительные числа,
то
J“L+ «1+,..+212.>п.
о» 1 a, of
f в. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
10В
0.17. Доказать, что
где л — натуральное число, л > 2.
6.18. Доказать, что
п+1 , .
Vo** < ° V*. . n е N,
л +• I
где а, Ь— положительные числа, а =# Ъ.
Если требуется установить справедливость некоторого вера*
венства сразу для всех членов двух последовательностей ая в
то удобво использовать метод математической индукции.
Пример 6.3. Доказать, что
л1>2п-*, если л >2.
Решение. Используя метод математической индукции, убе>
димся в том, что для л = 3 утверждение справедливо. Действа*
тельно, 31 > 2*. так как
31—6. 2*— 4.
Далее удобно воспользоваться следующим утверждением: если
для всех k, больших некоторого N, выполняется неравенство
ak+i bk+t
еде а» и Ь» — k-e члены сравниваемых последовательностей, то
ak
По индуктивному предположению у- > 1. Следовательно, мож«
во утверждать, что а* > Ья для всех k > N. Используем этот
подход в рассматриваемом случае. Имеем
йдИ2*-'. Ь*+1-2*^-^±1- = 2,
k + 1 > 2, если k > 2.
л4 1
Таким образом, доказано, что . > 1 для всех k > 2, т. е.
*а+1
требуемое неравенство установлено.
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
ни
В некоторых случаях метод математической индукции удоб>
ее применять в следующем виде: если для некоторого N
аи> bN и для всех Л > N ai+i — at> b*+i — Ь», то для всех
Л > N а* > Ьц.
Доказать следующие неравенства:
6.19. 2" > п* + 2 (л > б).
6.20. п11 > (л + l)"-1 (л > 2).
6Д| 3я > л® (л 3).
6.22. (|)">л! (л >6).
Ыа-7ТТ+7Т2+- + ^>Т-
6.25. 2(7^+Т-1)<1 + -4т + -5г
V2 уЗ
...+-^=-<2Тп.
уп
(1+т)" <з- ®-27-,в 0+й <
6.26. ЬЗ.Б.....(2л+1)
2.4.6-... .(2л) У2л+1
6^.(Л1)»<[(Я+1)<2Я + 1>]П.
6.80. л! > (—У. 6Л1. \abn < -а П.Ь .
\в J ' л +1
6.32. Доказать, что последовательность х„ = (1 +
монотонно возрастает.
Г Л А В A 6
ТРИГОНОМЕТРИЯ
1,
. cos a
ctga———,
sin a
1
cosec a — —;,
sin a
, 1
ctg a — ,
tga *
1 + ctg1 a — cosec1
Основные формулы тригонометрии
sin* a + cos1 a
. sin a
tg a ,
cos a
1
eeca^-----------------,
cos a
. I
tg a — —;-,
ctga
1 + tg1 a = sec1 a,
sin (a ± 0) — sin a cos p ± cos a sin p,
cos (a ± P) — cos a cos p 7 sin a sin p,
tg(a ± p) - **а±**Р , ctg(a ± p) - T 1
81 p' l^tgatgp’ p' ctg p± ctg a
sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos1 a — sin1 a,
2tg|
sin a =-----
1 4- cos a» 2 cos1 у,
, . a 1 — cos a ,
В 2 — 1 + cos a ’ B
sin a + sin p = 2 sin
sin a — sin 0 = 2 sin
1-tg’y
1 — cos a = 2 sin1 у,
sin a I — cos a
1 + cos a sin a
a + p a — p
r cos ———.
2 2
Д —P
2
cosa =
cos a + cos p — 2 cos
— cos
cos a — cos p = 2 sin
yK-Sin
2
Р-Д
2
2
a
2
100 ГЛ. 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ
tga±tgB- ?ln (« ± Р) ctga±ctgp_ sln
* *₽ cos a cos p ’ “ K p sin a sin 0 *
sin a sin p = у [cos (a — P) — cos (a + ₽)],
cos a cos p — [ cos (a — P) + cos (a + P) ],
it
sin a cos p — 4- [sin (a — P) 4- sin (a + P)J.
Формулы приведения
Наиме- нование функции Значение аргумента
-a л T+a л—a n + a 2
sin a -sin a cos a cot a sin a —sin a -cos a —cos a
соз a cob a sin a -sin a —cos e —cos a —sin a sin a
tg a -ta a ctg a —ctg a —ta a ta a ctg a -ctg a
ctg a -ctg a tg a -tg a —ctg a ctg a tg a -tg a
§ 1. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
При доказательстве тригонометрических тождеств исполь*
Вуются формулы сокращенного умножения и формулы, связи*
вающне между собой основные тригонометрические функции.
Пример 1.1. Доказать тождество
2 (sin • a + cos* a) — 3 (sin4 a + cos4 a) + 1 — 0. (*)
Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умно*
ення j
х» 4- (х + у) (х* — ху 4- у*),
полагая в ней x = sin*a, p = cos* а. Тогда получим
sin4 a 4- cos4 a = (sin* a 4- cos* a) (sin4 a — sin* a cos* a 4- cos4 a).
С помощью тождества
sin* a 4-соз* a — 1 (•«)
левая часть равенства (•) преобразуется к виду
2 sin4 a — 2 sin* a cos* a 4- 2 cos4 a — 3 sin4 a — 3 cos4 a + 1 = 0.
После приведения подобных членов получаем равенство
1 — 2 sin’ a cos’ a — sin4 a — cos4 a = 0,
которое можно записать в виде
1 — (sin* х 4- cos* ж)».
4 I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ t09
С учетом тождества (**) получаем
I “ I.
т. е. исходное тождество доказано.
Доказать тождества:
з
1.1. eln’ а + cos’ а = 1—у sin’ 2а.
4
, „ 1 4- sin 2а 4- соз 2а .
,А Т+Яп 2а - соз 2а ° Сtg а
1.3. (sin а + sin Р)1 + (соз а 4- соз Р)1 — 4 соз1 Р .
1.4. tg а 4- tg 2а — tg За — — tg а tg 2а tg За.
, _ 2 sin а — sin 2а . . а
,А "2sin а 4-sin 2а “‘в Т'
। sin а + 2 sin За + sin 5а sin За
sin За + 2 sin 5а + sin 7а sin 5а *
1.7. sin* За — sin1 2а = sin 5а sin а.
, „ sin а — sin За — sin 5а 4- sin 7а , „
cos а — cos За + соз Ба — cos 7а “
1.8. Т 1 ,---------—=— ;--------- ctg 2а.
tg За — tg а ctg За — ctg а
1.10. sin а + sin р 4- sin у — sin (а 4- Р 4- у)"
_<й1»+1й11±х.1л «+х.
1.11, sin а 4- sin За 4- sin 5а 4- sin 7а = 4 соз с соз 2а sin 4а.
, le sin За соз1 а 4-соз За sin3 а sin 4а
3 = 4 ’
. sin 2а — sin За 4- sin 4а .
соз 2а-соз За 4-соз 4а “‘к3а-
1.14. sin 2а (I 4- tg 2а ig а) 4- ° —
1 — sin а
-4S.+V(t+t).
« «е • в ® я а sina а — 4
1.16. sin® — cos" — --------соз а.
1. 16. сов (-у 4- 4а) 4- sin (Зя - 8а) - sin (4я - 12а) —
— 4 сов 2а соз 4а sin 6а.
1.17.
cig1 а — ctg1 Р -=
1.18.
sin1*
ain х — соз х
сов1 а — сов1 р
ain1 а sin1 Р
sin х 4- сов х
tg’x — 1 "
tin х + соз х.
110
ГЛ. 8. ТРИГОНОМЕТРИЯ
1. 19. Доказать, что если а + р + у - я, то
соз а + cos р + соз у « 1 + 4 sin sin -fe- sin -Х-.
« А
1. 20. Доказать, что если а, р, у —углы треугольная*, то
tg у tg -у + ‘в Т *« 4" +*в Т * Т ” L
121. Доказать, что если cos(a-f* Р) а 0, то
sin (а + 2Р) — з1и а.
122. Доказать, что если aln* Р = sin a cos а, то
cos 2р = 2 соз* (я/4 + а).
1.23 . Доказать, что если tga и tgp — корни уравнения
** + Рх + Я =* 0. то справедливо равенство
sin* (a 4- Р) + р sin (a + Р) соз (a + Р) + 4 cos’ (<* + ₽)" Я-
124. Показать, что если углы а я р связаны соотношением
sin р п
ala (2a 4- Р) ” т '
| л | < | л |,
то справедливо равенство
1 + tg P/tg a _ 1 — tg a tg fi
m 4- n m — n
126. Известно, что a, p, у составляют арифметическую про-
грессию. Доказать, что
sin a — sin у , _
' ' м ftp fl.
сов у — соз a r
126. Доказать, что если a 4* Р 4-У" я, то
ctg a ctg р 4- ctg Р ctg у 4- ctg у ctg a = 1.
127. Доказать тождество
sin (-5- - a) cos (у- 4- a) 4- cos (-y - a) sin (y 4- a) - I.
128. Доказать, что если sin* P — sin c cos a, to
cos 2p “2 sin* — a).
1.29 . Доказать тождество
_______1 4~ stn 2a_______
соз (2a — 2л) tg (a — -y-)
-48hl2a[cl«-|- + c,e ('T'+ t)] ” ~ S,n*a'
f 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 1Н
1.80. Доказать тождество
Bin -g
1.31. Доказать тождество
I + sin 2а
ein а + соз а
l-tg«-|
*+‘в*Т
1.39. Доказать, что если а + Р + у= я,то
sin* а — cos* 0 — соз* у “ 2 соз а соз 0 соз у.
1.33. Упростить выражение для а е [0; 2л]:
у I + соз~а~ -+ V t — cos а
vr+ cos а — V1 — cos а
1.34. Упростить выражение
2 sin а + sin 2а I — соз а
2 соз а + sin 2а 1 — shi а *
§ 2. Вычисление значений тригонометрических
функций
Задачи, связанные с вычислением значений тригонометриче-
ских выражений без использования таблиц, обычно решаются о
помощью тождественных преобразований, приводящих искомое
выражение к виду, содержащему только табличные значения
тригонометрических функций.
Пример 2.1. Вычислить без таблиц
tg 20° tg 40е lg 80е.
Решение.
sin 20е sin 40е sin 80е sin 20“ • 2 sin 20е cos 20° • 2 sin 40е соз 40°^
cos 20° cos 40° cos 80“ = cos 20° cos 40° cos 80°
2 sin 20° (cos 20° — cos 60°) sin 40° — sin 20°
= cos 80° = cos 80° ”
2 cos 30° sin 10° 2 cos 30° cos (90° — 10°) _ ry
e cos 80°- ™ cos 80° " ’ ’
Ответ. ^3.
Вычислить без использования таблиц:
_ , sip 24е cos 6е — sin 6е sin 66°
’ lln Ь’CM Э&° — ttidl*зМ09° ’
112
ГЛ. 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ
2.2. sin* 70е sin» 50° sin» 10°. 2.3. sin 1Б°.
, Зя , я „ _ „ 4я 2я я
2.4. sin sin 2.5. 8 cos — cos — cos
гл —!------------
t n Л
Sln 18 CM 78
2.7. sin«-^-+ cos4-^-+ sln4-^-+ cos4-^-.
О О О О
2Л*. sin 18°. 2.9*. sin 42е.
Вычйслевне значений одной тригонометри*
ческой фун*кцин по известному значению дру>
гой функции.
Пример 2.2. Вычислить
2 sin 2а — 3 соз 2а
4 sin 2а + 5 cos 2а'
«ели tia-3.
Решение. Выражая sin2a и соз2a через tga, получаем
2 sin 2a — 3 соз 2a 4 tg a — 3 + 3 tg* a
4 sin 2a + 5 cos 2a “ 8 tg a + 5 — 5 tg» a ’
Подставляя в правую часть этого выражения tga = 3, имеем
4.3- 3 + 3.9 9
8-3 + 5 —5’9 ” Т‘
Ответ. —9/4.
a a
2.10. Вычислить sin а, если sin-^-+cos——1,4.
2.11. Вычислить 1 + 5 sin 2a — 3 cos-1 2a, если tg a — —2.
2.12, Найти значение tg4a+ctg4a, если tga + ctga»a.
2.13. Вычислить значение sin3 a — cos3 a, если sin a — cos a=n.
o l-2sin»-|-
2.14. Зная, что tg — = m, найти —r-:—:---.
^2 1 + sin a
2.15. Вычислить cos (0 — q>), если cos 0 + cos <p — a, sin 0 —
— sin Ф “ b, a* + b* 0-
2.10. Сумма трех положительных чисел a, 0, у равна л/2.
Вычислить произведение ctg a ctg у, если известно, что ctg а,
ctg 0, ctg у являются последовательными членами арнфметиче~
ской прогрессии.
Q В
2.17. Вычислить tg -J- + tg -j-, если
sin a + sin 0 “ a, cos a + cos 0 — b.
f г ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ ИЗ
2.18* . Найти tg(a + 20), если
sin (a + 0) — 1, sin (a — 0) — 1/2,
где a, 0 e [О; я/2].
2.19. Найти отношение ctg0/ctga, если известно, что
sin (a + 0) r р
sin (a — 0) д'
2.20. Найти tg •—, если известно, что sin a + cos a =
, a sin 3a II
2.21. Вычислить tg-тг-, если —;-—
2 sin a 25
a
2Л2. Составить уравнение для нахождения cos—, если
cos a — m.
2.23. Найти tg-^-, если известно, что
cos a 1 — m
1 + sin a 1 + m ‘
2.24. Вычислить sin2a, если tga удовлетворяет соотноше-
иию
tg1 a — a tg a + 1—0
и известно, что а>0н0<а< я/4.
Вычисление значений тригонометрических
функций от значений обратных тригономет-
рических функций.
Пример 2.3. Вычислить значение tg (у arcctgd).
Решение. Обозначим a —arcctg3. Тогда ctga —3,
О < a < я/2. Вычислим теперь значения sin а и cos а. Имеем
1 । >
sin a — . .=• — , . = —7=-,
Vl+ctg’a V1 + 3* V10
ctg a 3
cos a = , = = —=-.
V1 + dg1 и Vto
.. . , a sin a
Используя формулу tg = t + cos a . получаем
*g(t)” Vio/(? + Vio) = Vio + 3’
Ответ. —=?-----.
Vio + 3
>14
ГЛ Ь ТРИГОНОМЕТРИЯ
Вычислить:
sin ^2 arccosу). 243. cos £arcsfn (— у )j.
у + arcsln -yy). 248. tg (2 arcsln у)»
arcsln у + arccos у J.
. i 2\
arcsln у — arccos I.
245.
247. sin (arcsln
249*. arcsln (sin 2). 240. tg (
2.31. sin (arctg2-f- arctg3). 2.82. cos (i
243. sin (2ardgy) 4-cos (arctg2V3).
Проверка справедливости равенств, содep<
жащих обратные тригонометрические функ-
дни. При решении этих задач следует иметь в виду, что сумма
двух обратных тригонометрических функций, вычисленных от по-
ложительных величин, заключена в промежутке [0; л! а раз»
иость — в промежутке [—я/2; я/2].
Пример 2.4. Проверить справедливость равенства
4 2 2
arcsln arccos—т=- “ arcctg—.
б 75 И
Решение. Вычислим котангенс от левой и от правой ча-
стей равенства:
ctg ^arcsln — + arccos —
ctg (arcsln у) ctg (arccos ) — 1
ctg (arcsln y) + ctg (arccoa 1'
ctg (arcctg-^-) -jp
Итак, получаем
ctg (arcsln у + arccos -?=-) = ctg(arcctg
Так как угол arcsln — 4* arccos принадлежит промежутку
(0; л) — промежутку монотонности функции котангенс — то из
равенства значений функции котангенс следует равенство зна-
чений аргументов, что и требовалось доказать.
Проверить справедливость равенств)
а/5" 75" я
2.84. arcsln -4г— -] arccos — -т-.
К л А
S 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ ЦБ
2Л5. arctg I + arctg 2 — я — arctg 3.
Г* Ve + 1 я
2Л1. агссоз А/--агссоз-1—=— — —
V 3 2VT в
2.37. Доказать, что если
arctg а + arctg ₽ + arctg у — г
2.38. Доказать, что
, V2 + I . V2 я
arctg --------------------arctg —— ™ —
V2 -1 2 4
2.3в. Доказать, что
*VO Я
arctg 3 — arcsln —g— ” у
2.40. Доказать, что
, Б , , 12 я
вгс8,п-1з+агс8,п1з “Т'
2.41. Доказать, что
я , ,77 , 8 , f 3\
+ arcsln -gg- = arcsln -jy 4- агссоз 1 — -g-1.
2.42* *. Проверить, справедливо ли равенство
arccosx + arccos + у-у/3 — З*2^ =-у для 1е[|: >]•
2.43* *. Проверить, справедливо лн равенство
, (№ , V2 —2х’\ я.
arcsln I у— х + ——------I — arcsm х — у.
Суммирование конечного ряда тригонометрических функций
Sn = “| + “а+ “)+•••+“л (1)
часто удается осуществить с помощью подбора так называемой
производящей функции, т. с. функции, обладающей свойством
f(*4-i)-f(*) = «fc.
Если функция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде
Sn-f (п+!)-/(!). (2)
Пример 2.5. Просуммировать
6Л — sin а 4- sin (а + h) + sin (а + 2й) + ... + sin (а + лЛ).
lie
ГЛ в. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Решение. Воспользуемся тем, что
( . 2*4- 1 , 2* -1
cos — A J - cos ^а 4-------— A J —
= —2 sin (а + АЛ) sin -5-.
в
Тогда в качестве производящей функции можно взять
Согласно (2) получаем
s— г)]-
Преобразуя выражение в квадратных скобках в произведение,
имеем
sin (а + у- Л) sin * - л)
S"“ ~~h '
sin т
Найтв следующие суммы:
2.44. sin a sin 2а 4- sin 2а sin За 4- sin За sin 4а + ...
... + sin па sin (п + I) а,
2.45. cos За + соз ба + cos 7а + * • • + cos (2л + 1) а.
_ . I , а , 1 , а , , 1 . а
2.4в. tga + ytg-^ + y tg — 4- ... + —tg^..
„ я , Зя , бя . 7л .
2.47. соз — + cos — + cos -jy + cos +
. 9л . 11л
4-СО, —+ co, -jy.
2.48. cos* a + cos’ (a + + cos* (a 4- —) + • • •
... + соз»(а +
„.. я , Зя , бя . , 17я
2.49. cos — + соз — 4-соз— 4- ... + cos -jj-.
. (2п — I) ли
... + соз ----------'------
п
У К| sin а 4- «1п 2а + ... + sin ла
' cos а + cos 2а 4- ... + соз па ’
$ Э. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 117
§ 3. Тригонометрические уравнения
Решения простейших тригонометрических
уравнений.
sinx — а, х = (—1)*arcsin а + яй, |а|<1,
cos х — а, х -= ± вгссоз а + 2лЛ, | а | < 1,
tg х — а, х - arctg а + яЛ,
ctg х — а, х = arcctg а + nk.
Уравнения вида
Р (slnx) — 0, Р(созх) —0, P(tgx) — 0, P(ctgx)—0,
где Р — многочлен указанных аргументов, решаются как алге-
браические уравнения относительно указанных аргументов с по-
следующим решением простейших тригонометрических уравнений.
Решить уравнения, сводя их к алгебраическим уравнениям
относительно одной тригонометрической функции:
3.1. 2 sin* х + sin х — 1 = 0.
3.2. tg’n +2tg’x 4-3 tgx=O.
8.3. 4 sin4 x + cos 4x •— 1 + 12 cos4 x.
8.4. 6 cos’ x + cos 3x •= cos x.
зл*. А/ it +c0’4 x ~~ "S’cos*x
у 10 z
VI" , з ~ i
-16 +соз4х-т C0S*X-y.
Решение однородных уравнений. Уравнения
вида
Оо sln"x + а( sin"'1 х cosх 4-а2 sln"-2x cos2x 4- ...
... +а„соз"иг — О,
где ао, at...Пл — действительные числа и сумма показателей
степеней при sinx и созх в каждом слагаемом равна л, назы-
ваются однородными относительно sin х, соз х. Такие уравнения
при соз х У" 0 эквивалентны уравнениям
До tg" х 4- a! tg"~* х + ... 4-а„=0.
Пример 3.1. Решить уравнение
3 sin1 х — б sin х cos х 4- в cos* х «2.
Решение. Для того чтобы свести данное уравнение к од-
нородному, воспользуемся основным тригонометрическим тожде-
ством
Bin* д + cos’ х — 1,
118 гл. S. ТРИГОНОМЕТРИЯ
записывая уравнение в виде
3 sin1 х — 5 sin х cos х + 8 cos1 х == 2 (sin1 х + cos1 я).
После приведения подобных членов получаем
sin1 х — 5 sin х cos х + 6 cos* x = 0.
Разделив обе части уравнения на cos* х, приходим к квадратно*
му уравнению относительно неизвестной у — Igx
у* — Ъу + в — 0.
Кориями' полученного квадратного уравнения будут числа
У1 “ 2 и у» “ 3.
Следовательно, решение исходного тригонометрического урав-
нения сведено к решению двух простейших тригонометрический
уравнений
tgx —2 и tgx — 3,
решения которых
х = arctg 2 + яЛ,
х = arctg 3 + яп, k, neZ.
Решить следующие уравнения сведением к однородным:
8.6. 2 sin х cos х + 5 cos2 х = 4.
8.7. 8 sin 2х — 3 cos1 х = 4.
8.8. 4cos1-j- + у slnx + 3sln*-y—3.
8.8. sin4 x — cos4 x — 1/2.
3.10. 2 sin’ x + 2 cos x sin* x — sin x cos2 x — cos2 x = 0.
3.11. 3 — 7 cos* x sin x — 3 sin2 x — 0.
8.12. 2 sin’ x — sin2 x cos x + 2 sin x cos2 x — cos’ x = 0.
3.13. sin4 x + cos4 x « sin 2x — 0,6,
3
8.14. sin’ 2x + cos’ 2x = j (sin4 2x cos4 2x) +
+ у (sin x + cosx).
8.18. cos’ x + sin’ x — cos2 2x — 1/18.
3.18. sin’ x + cos’ x = cos2 2x.
3.17**. Найти решение уравнения
sin’ x + cos’ x = a (sin4 x + cos4 x)
при всех действительных значениях а.
Метод дополнительного угла. Уравнения вида
a cos х + b sin я— в
5 Э. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЕ 119
эквивалентны тригонометрическому уравнению
"n<'+’)- vSTp-
где <р находится из системы
ft а
tin ф “ . соз ф— — - —.
Vo1 + b* Ve* + b*
Пример 3.2. Решить уравнение
3 sin х + 4 соз * — 5.
Решение. Так как 7з’+ 4’—5, то данное уравнение
Вквивалентно уравнению
sin (х + ф) = 1,
где ф определяется из системы уравнений
sin ф = 4/5, соз ф = 3/5.
Так как sin ф н cos ф больше нуля, то в качестве ф можно взять
, 4
Ф “ arcsin -g-, н решение данного уравнения имеет вид
4 я „
х = — arcsin + -к- + 2ял.
О «
Ответ. х = — arcsin 4" + тг + 2ял (л е Z).
D Z
Заметим, что уравнение примера 3.2 может быть сведено к
однородному, если представить
sin х “ 2 sin соз а соз х — соз* — sin1 -у.
Решить уравнения методом введения дополнительного угла»
3.18. sin 8х — cos 6х = -у/З (sin 6х + cos 8х).
3.19. sin 1 lx + sin 7х + у cos 7х = 0.
3.20. sin Юх + cos 10х = -^2 sin 15х.
3.21. Найти асе решения уравнения
Vl + sin 2х — V2 соз Зх “ 0,
заключенные между я в Зл/2.
3.22. 4соз‘х-2 +4-cos2xf--'VX-+ 1 Y
2 \ cos 2х * sin 2х /
ЗДЗ. 4 sin Зх 4* 3 cos Зх “ 5,2.
120
ГЛ. 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Решение уравнений методой универсаль*
вой тригонометрической подстановки. Тригоно-
метрическое уравнение вида
R (sin kx, cos пх, tg тх, ctg lx} = 0, (3)
где R — рациональная функция указанных аргументов (й, л, т
и / — натуральные числа), с помощью формул для тригономет-
рических функций суммы углов (в частности, формул двойного
и тройного углов) можно свести к рациональному уравнению от-
носительно аргументов sinх, cosх, igx н ctgх, после чего урав-
нение (3) может быть сведено к рациональному уравнению отно-
снтельно неизвестного t = tg с помощью формул универсаль-
ной тригонометрической подстановки:
2,«т
sin х =--------; соз х —----------;
H-tK’-f- l + tg»-*-
tg х -------—; ctg x —-------—.
2tg-f
Пример 3.3. Решить уравнение
(cosх — sin x) (2tKx + -^7) 4-2 — 0.
Решение. Обозначая t — lg с помощью формул уни-
версальной тригонометрической подстановки запишем уравнение
в виде
З/4 + 6/э + 8/2 - 2Г - 3
(/’+1)(1-Р) = *
корнями его будут />=—1/V3. Таким образом, ре-
шение уравнения сводится к решению двух простейших уравне-
ний
х 1 , х 1 ...
tg— — —7=r, tg— —-------=-. (4)
2 V3 2 V3
Делая проверку, убеждаемся, что числа лл — корни уравне-
х п
иыясоз—— О— ие являются корнями данного уравнения, а,
следовательно, все решения исходного уравнения находятся как
решения уравнений (4).
| Э. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 12Г
Ответ, х-± 4 + 2я* (Ле Z).
Решить уравнения методом универсальное подстановки!
3.24. sin * + cig-у ™ 2.
3.26. cig (-2- - х) — б tg 2х + 7
3.26. 3 sin 4х — (cos 2х — 1) tg х.
3.27. (1 + cos х) /ytg-^- — 2 + sin х = 2 cos х.
Уравнение вида
R (sin х + cos х, sin х cos x) — 0, (5)
где R— рациональная функция указанных в скобках аргументов,
может быть сведено к уравнению относительно неизвестного
t = sin х + cos х, если воспользоваться тригонометрическим тож«
деством
(sin х + cos х)* — sin1 х + cos* х + 2 sin x cos x = 1 4- 2 sin x cos g,
из которого следует равенство
sin X COS X —----.
Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести к виду
Аналогичным образом уравнение вида
R (sin х — cos х, sin х соз х) — О
ааменой sin х — cos х = t сводится к уравнению
ф^)-а
Пример 3.4. Решить уравнение
sin х 4- cos х — 2 V2 sin x cos x = 0.
Решение. Обозначив sin x 4- cos x = t и воспользовавшись
равенством sinxcosx=(P—l)/2, сведем исходное уравнение
к уравнению относительно /:
V2 P-/-V2 —0.
Корнями этого квадратного уравнения будут числа Л “ V5",
6--1/V2.
гл. в. тригонометрия
132
Таким образом, решение исходного уравнении сводится к ре»
тению двух тригонометрических уравнений:
sin х + соз х = 7^> sin х + cos х « —1/72*.
Умножая обе части этих уравнений на число 1/72, сводим ня
к двум более простым уравнениям:
•—=- sin х 4—U=- соз х D I cos — aln х 4- sin — соз х “
7^ 72 4 4
— 1 -W- Bin (* + “ 1»
—7=- Sin X ч-7=- СОЗ Х«=---L sin (х + —.
72 72 2 \ а) 2
Решениями уравнений sin ^х + ---) “ 1 и sin (х 4* “j-)
Т--у будут
х —-^- + 2лЛ, ieZ,
х —(—1)п+1-£-----у 4-ял, neZ.
Решить уравнения:
8.28. 5 (sin х + cos х) + sin Зх — cos Зх « 2 7^ (2 + sin 2х).
3.29. sin х + cos х + sin х cos х ™ I.
3.80. sin х + cos х — 2 sin х cos х “ 1.
3.31*. Найти решение уравнения
1.1. 1
соз х sin х 1 sin х соз х
при всех действительных значениях а.
Упрощение некоторых тригонометрических уравнений может
быть достигнуто с помощью понижения их степени. Если пока-
затели степеней синусов и косинусов, входящих в уравнение, чет»
ные, то понижение степени производится по формулам половин-
ного аргумента.
Пример 3.5. Решить уравнение
Bln10 х + соз10 х — соз* 2х.
10
Решение. Используя формулы половинных углов, данное
уравнение можно представить в виде
/ 1 — соз 2х . / 1 + соз 2х \8 29 . „
(-------5---) +(------2------)
4 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 123
Обозначив соз 2х -= t, представим это уравнение в виде
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, приходим к бп«
квадратному уравнению
24Т* — 10/» — 1 — 0,
единственный действительный корень которого /’ «= 1/2. Возврат
щаясь к исходному неизвестному, получаем
cos*2x — -ф> I + соз 4х “ 1 соз 4х — 0 -**• х •
Ответ. + (teZ).
В 4
Решить уравнения:
8Л2. sin1 бх + 8 sin1 Зх — 0.
8.33. sin1 х + a sin12х — sin 7. Исследовать решение.
О
17
8Л4. sin1 х + cos1 х —
3.36. соз 2х 4- 4 sin4 х = 8 cos1 х.
ЗЛ6. соз 4х — 2 соз1 х — 22 sin1 х + I «« 0.
з
3.37. соз1 Зх + соз14х + соз1 бх = -%.
3.38. sin1 Зх + sin14х ” sin1 бх + sin18х.
х 3
ЗЛО. соз1 у + соз1 у х — sin12х — sin14х ™ 0.
8.40. sin4 х + cos4 х = cos12х + 0,28.
3.41. 2 + cos 4х = б соз 2х + 8 sin* х.
8.42. sin4 х + cos4 х = у.
3.43. 8 sin1 х + 6 cos1 х = 13 sin 2х.
8. 44. sin3 х (1 + ctg х) + cos3 х (1 + tg х) = 2 Vgin х Л
Решить уравнения, применяя изложенные выше методы!
3. 46. 2 соз 2х = -\/б (cos х — sin х).
8.48. sin’ х + cos1 х = 1 —sin 2х.
3. 47. sin Зх + sin х + 2 cos x =- sin 2x + 2 cos1 A
8. 48. sin бх sin 4x = w- cos 6x cos 3x.
134
ГЛ. S. ТРИГОНОМЕТРИЯ
8. 49. tg х 4- sin 2* ----.
cos X
830. 2 tg x + tg 2x = tg 4x.
331. cos Эх + sin 5x » 0.
332. sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.
833. I + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
834. 1 + sin x + cos 3x — cos x + cos 2x 4- sin 2x.
838. sin* x (tg x + 1) — 3 sin x (cos x — sin x) + 8.
836. sin 2x sin 6x — cos x cos 3x.
837, cos (x 4- 1) sin 2 (x + 1) — cos 3 (x 4- 1) sin 4 (x + !).
838. sin x sin 7x = sin 3x sin 5x.
839. cos x sin 7x — cos 3x sin 5x.
8.60. sin x 4- sin 2x 4- sin 3x 4- sin 4x = 0.
8.61. cos 2x — cos 8x 4- cos 6x = 1.
832. sin x sin 2x sin 3x — sin 4x.
833. sin* x cos 3x 4- cos 3x COS1 X — -g-.
3.64. tgx4-tg2x —tg3x.
8.65. (1 - tg x) (I 4- sin 2x) = 1 4- tg x.
8.66. (1 4- sin 2x) (cosx — sin x) — 1 — 2sln’x.
8.67, tg (x 4- a) 4- tg(x - a) = 2 ctg x.
838. sin* 2z 4- sin’ 3z 4- sin’ 4z 4- sin’ 6x “ 2.
8.69. sin x cos x cos 2x cos flx — 4- sin 12x.
4
8.70. sin 2x sin 6x — cos 2x cos 6x — V2 sin 3x cos 8x.
8.71. tg x 4- ctg 2x « 2 ctg 4x.
8.72. cos 3x — cos 2x — sin 3x.
8.73. 2 sin Эх--p— ™ 2 cos 3x 4-----------— •
sin x cos x
8.74. ctg’ x - tg’ x = 32 cos’ 2x.
3.75. tg 2x 4- ctg x = 8 cos’ x.
a
8.76. sin’ 2x — tg’ x «»-y cos 2x.
8.77. sin 2x — tg x =» 2 sin 4x.
8.79. cos 3x tg 5x =• sin 7x.
. on cos’ 2x я
8.80. ------;---. = cos x — cos —.
cos x 4* cos (n/4) 4
831. sin x ctg 3x “ cos 5x.
... соаx cos5x _ . . .
832. =— —----------- 8 sin x sin 3x,
cos 3x cos x
I 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
- СОЗ X соз Зх „ _
8.83. =-----------— —2соз2х.
cos Зх соз х
3.84. ---------1--------!---— 4----------------— 0.
соз х соз 2х соз 2х соз Зх соз Эх соз 4х
sin Зх соз Зх _ 2
cos 2х ' sin 2х ” sin Зх ’
8.88* . соз (х — у) + соз (х + -у = соз 2х.
8.87. 4 sin Зх + sin 5х — 2 sin х соз 2х = 0.
8Л9. 3 соз х + 2 соз 5х + 4 соз Зх соз 4х — 0.
8.90. 3 sin бх — соз 2х — соз 8х — sin 15х.
8.91. cos 2х — sin Зх — соз 8х = sin 10х — соз бх.
8.92. sin 2х — соз 2х — tg х.
8.93. соз Зх — sin бх — соз 7х — sin 4х — соз 2х.
8.94. sin 2х + соз 2х «= 2 lg х + 1.
3.96. 4 sin* х + 3 tg* х = 1.
3.96. 4 sin х sin 2x sin 3x = sin 4x.
„ M sin 4x + sin 2x — 4 sin 3x + 2 cos x — 4
3.98.
V i — cos 2x
sin x
T(cosx-l).
8.99. cos 2x = (cos x + sin x).
3.100. ctg x — tg x
соз x — sin x
-j- sin 2x
3.101. sin 7x + sin 3x + 2 sin1 x — 1.
3.102. cos x — cos 17x “ 1 + 2 sin 8x sin x — cos 18г.
3.103. sin x — cos x = 4 sin x cos* x.
3.104. 2 cos 2x (ctg x — 1) = 1 + ctg x.
8.106. tg x + 2 ctg 2x — sin x + tg xtgy).
3.106. 2 ctg 2x — ctg x = sin 2x + 3 sin x.
3.107. sin’x — cos’x = cos i~2-------xl.
3.108. sin 2x + sin4 “ cos4
3.109. cos x — V3* sin x + 2 cos 3x.
8.П0. -it]** -(«ШX + cosx)*.
8.111. sin 8x + sin x “ 4 sin* x.
Щ гл. В. ТРИГОНОМЕТРИЯ
9.112. tg (у COS X) — ctg (у sin «у
Решение некоторых тригонометрических уравнений предпола-
гает последующую проверку условий, которым должны удовле-
творять найденные корни. Если эти условия заключаются в том,
что корни уравнения должны принадлежать заданному проме-
жутку, то решение задачи выделения этих корней сводится к
решению некоторого неравенства в целых числах.
Пример 3.6. Найти все решения уравнения
(tg‘x- I)-1 —1 4-соз2х, («)
удовлетворяющие неравенству 2'+1 —8>0.
Решение. Приведем исходное тригонометрическое уравне-
ние к виду
ч+'^’О+т^)-0-
Решениями этого уравнения будут следующие значения х:
х + ял, х — ±77 + яА, л, leZ.
Z v
По условию задачи среди этих значений х необходимо отобрать
те значения, которые удовлетворяют неравенствам
2х+1-8>0, созх#0.
Такими значениями будут
х = ±-5- + ял, neN.
О
Ответ, х = ±т- + яя, лgN.
и
3.119. Найти все решения уравнения
Vsin (1 — х) = Vcos х ,
удовлетворяющие условию х е [0; 2л].
3.114. Найти все решения уравнения
cos4 х — 3 cos Зх — 3 cos х — cos1 х cos Зх,
лежащие в промежутке [—л; я/2].
3.115, Найти все решения уравнения
, х х
sin -=— cos — — 1 — sin х,
Z A
удовлетворяющие условию
$ 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
8.116 . Найти все решения уравнения
•у (cos бх + соз 7х) — соз* 2х + з!я* Зх — О,
удовлетворяющие условию |х| <2.
Решить уравнения:
8.117 *. tgx*— ctgSx.
8.118 *. sin у — cos Зх.
8.119 *. sin х — соз V* •
3.120 **. Доказать, что уравнение
sin (cos х) — cos (sin г,
ня имеет действительных корней.
8.121 *. sin cos х) = cos sin х).
8.122 *. sin (n ctg х) “ cos (я tg х).
3.123 . Найти корни уравнения sin(x —2) = з!п(3х— 4).при-
надлежащие промежутку (—л; л).
В случаях, когда дополнительные условия представлены не-
равенством, содержащим тригонометрические функции, выделе-
ние нужных корней производится на промежутке, равном наи-
меньшему общему кратному периодов тригонометрических функ-
ций, входящих в уравнения и неравенства.
Пример 3.7. Найти все решения уравнения
1 4- (sin X — cos х) sin — 2 СОЗ* у X, (•)
удовлетворяющие условию
sin бх < 0. (•*)
Решение. Упростим исходное уравнение:
1 + (sin х — cos х) sin -v = 2 cos2 -s=> 1 + (sin x — cos x) a
4 2 2
= 1 + cos 5x <=> cos 5x + cos ^x’4- -y) = 0 -<=>
<=► 2 cos (зх + у) cos ^2x — -2-} — 0.
Таким образом, исходное уравнение (•) эквивалентно урав-
нениям
соз (зх + у) — 0, соз ^2х —
138
ГЛ. 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Корни которых равны соответственно
Наименьшее общее кратное периодов тригонометрический
функций, входящих в уравнения (•) и неравенства (••), равно
Зя. Из найденных решений уравнения, принадлежащих проме-
жутку [0; 2л), неравенству (•*) удовлетворяют числа 5л/16 и
Бя/16 + я. Bcte решения задачи получаются прибавлением к каж-
дому полученному корню чисел, кратных 2л.
Ответ. х=^ + л4 (k е Z).
10
3.124 . Найти все решения уравнения
б — 8 соз (х — -|-я) “ 2 sln ~ »
удовлетворяющие неравенству соз х > 0.
3.125 . Найти все решения уравнения
sin х ' + Vtg х — sin х = tg x
а) на промежутке [0; л]; б) на всей действительной оси.
3.126 . Решить уравнение
V2 + tgx — cos’x — aJ+ tgx" — aJ— cos*x .
3.127 **. Найти все решения уравнения
sln (х ~ т) ~ cos(x+v) “
2 cos 7х пС0. о»
удовлетворяющие неравенству см 3 5in 3 > 2 •
3.128 *. Найти все решения уравнения
, Г , я\ I
sin I х Н-1 -----=.----,
к 4 / 2 V2 соз х
удовлетворяющие неравенству logsln> 3 (1 + cos (2х + 4)) < сов 4х.
3.129 *. Найти все решения уравнении
sln ^4х + у) + cos ^4х + -у-) = V2".
cos2x „-itau
удовлетворяющие неравенству С(ы 2 — sln 2 > 2
| а. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
129
3.130 *. Найти все решения уравнения
sin ^2х — •2-) — <у/2 sin* х,
удовлетворяющие неравенству logcog. 3 (1 + sin (7х + 5)) < sin 8х.
Некоторые тригонометрические уравнения удается решить,
используя оценку левой и правой частей уравнения.
Пример 3.8. Решить уравнение
‘в (т+х)+‘в (т-х)”2- W
Решение. Используя формулу приведения, получаем
tg(i+*)-ctg(|-i-x)-ctg(i-x).
Так как
lg (т “ х) “ ctg (я/4 — х) ’
то левая часть данного уравнения представляет собой сумму
двух взаимно обратных величин. Известно, что при а > 0
а + 1/а > 2.
Таким образом, равенство (•) достигается только при
‘К (|+ *)-> М
Множество решений уравнения {»•) имеет вид
х — ял, л е Z.
От»ет, х-лп (л е Z).
Пример 3.9. Решить уравнение
sin х + sin Зх “ 2.
Решение. Так как |sinx| С 1, |sinЗх| 1, то исходное
уравнение эквивалентно системе уравнений
sin х = 1, sin Зх =• I.
Множестве решений каждого из этих уравнений имеют вид
х-у4-2яЛ, AeZ, (♦)
0 А. Г. Цыпин, А, И, ПвнскжА
130
ГЛ. в. ТРИГОНОМЕТРИЯ
соответственно. Решением системы, а следовательно в неводного
уравнении, являются те значения х, которые принадлежат как
первому, так и второму множеству. Для того чтобы найти эти
значения, приравняем выражения, стоящие в правых частях ра-
венств (•) н (•»). Если найдутся целые значения п и Л, при
которых эти выражения совпадают, то полученные значения х
удовлетворят обоим уравнениям системы.
Приравнивая правые части (*) н (*•), получаем уравнение
которое после'тождественных преобразований приводится к виду
2п — 6Л = 1. (•♦♦)
Очевидно, что уравнение (***) не имеет решений в целых числах,
так как при любых л и k слева стоит четное число, а справа —
нечетное. Таким образом, множества (•) я (**) не имеют общих
точек и исходное уравнение решения не имеет.
Решить уравнения:
8.L3L. sin х + sto 5х » 2. 3.132. sin х sin у “ 1.
3.133. З1» te * + з'« cte х = 2.
з
3.134**. cos х + cos у — cos (х + у) = —.
8.135. sin х + sin у “ 2. 3.138. sin х + sin у + sin z = —3.
3.137. logcos я sin x + log-n x cos x — 2.
3.138. cos* x + cos x cos у + cos’ у •- 0.
8.139*. Доказать, что уравнение
(sin х + V3 cos x) sin 4x = 2
не имеет решений.
3.140. V2 — | у | (5 sin* x — 6 sin x cos x — 9 cos*x + 3 ^33
, , . 5n*
= arcsln* x + arccos* x — —.
8.141. tgx-4(|x-i|-|x-|«|).
8.142. Найти все x, удовлетворяющие уравнению
^49 — 4x (sin ях + 3 cos -y-) “ 0.
3.143. Найти все значения х, при которых выражение
V4x« - 3 - х* {I - cos 12ц (2х + 21х’)]}
не обращается в нуль.
I 4. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 181
§ 4. Системы тригонометрических уравнений
Системы уравнений, в которых неизвестные являются аргу-
ментами тригонометрических функций, называются системами
тригонометрических уравнений. При решении систем тригономет-
рических уравнений используются методы решения систем урав-
нений и методы решения тригонометрических уравнений.
Пример 4.1. Решить систему уравнений
sin х sin у = V3"/4,
cos х cos у — V3/4.
Решение. Складывая уравнения системы, приходим к
{уравнению
, . . V3 , . д/з"
sin х sin у + cos х сон у — <=► сов (х — у) — —.
Л Лг
Вычитая из второго уравнения системы первое, приходим к урав-
нению
cos х cos у — sin х sin у = 0 <=> cos (х + у) = 0.
Таким образом, исходная система равносильна системе
cos (х — у) — —х — 2ял,
2 <=> 6 л, k е= Z,
cos (х + у} = 0, X 4- у — у + nk,
откуда
**=•£ + £ <2я + *)- *-4 + £(2л + Л),
О А ох
Р“у4-у(*-2л), У--|+-|(Л-2л).
Ответ. (^.4-|(2л4-й), £ + |(Л_2л));
(4 + £(2л + Л).-5- + -£(А-2л)1 где A, neZ.
\ О X ох /
Решить следующие системы уравнений:
4.1. sin х cos у = —1/2. 4.2. sin х cos у — 0,36,
соз х sin у — 1/2. соз х sin у— 0,175.
4.3. sin х sin у — 3/4, 4.4. сов х cos у — - 4- V2 ,
tg х tg у — 3. ctg х ctg у — 3 + 2 д/2
4Л. sln x — sln у — 1/2,
cos x + сов у — Vs*/X
6е
132
ГЛ. В. ТРИГОНОМЕТРИЯ
4.6. sin 2х + sin 2j -3 (sin х 4- sin у),
cos 2х + cos 2у =» cos x 4- cos y.
4.7. sin x ctg у = V^/2, 4.8. igx = slntr,
tgxcosy = VT/2. slnx = 2ctgy.
4.9. siny = 5sinx,
3 cos x + cos у = 2.
4.10. 3tg у + 6 sin x — 2 sin ly — x),
tg у — 2 sin x — 6 sin (y + x).
4.11. sln*x 4- cos r sin у — cos 2y,
cos 2x 4- sin 2y = sin’ у 4- 3 cos у sin x.
4.12, 2 sin ’ у 4- sin 2y cos (x 4- </).
cos* x 4- 2 sin 2y 4- sin1 у " cos (x — y).
4.13. sin» (—2x) - (3 - V2) tg бу - 3^~' .
tg*бу 4- (3 — д/Т) sin (—2x) — 3 1 .
4.14. sin» 3x 4- (4 — д/З ) ctg (— 7y) — 2 д/З — 3/4.
cig» (— 7y) 4- (4 — д/з) sin 3x = 2 д/З — 3/4.
4.15. 4s:n у — бу/2 cos x = 5 4- 4 cos* y,
cos 2x — X
4.16. 14-2cos2x —0,
д/б cos у — 4 sin x — 2 y/3 (I 4- sln’y).
4.17. 2 д/з" cos x 4- 6 sin у — 3 4- 12 sin* x,
4 y/3 cos x 4- 2 sin у — 7.
4.18. д/2" v 4-д/Тг-ctg x — 4,
2 д/2 у — д/27 ctg х — I.
4.19. 3 tg Зу 4- 2 cos x — 2 tg 60°,
2 tg 3y — 3 cos x “ —I" cos 30®.
4.20. sin (y — 3x) — 2 sin* x,
cos (y — 3x) — 2 cos* x.
4.21. sin (x — y) — 3 sin x cos у — 1,
sin (x 4- y) •“ —2 cos x sin y.
4.22. Найти решения системы
I sin x | sin у — —1/4,
cos (x 4- y) 4- cos (x — y) — 3/2,
удовлетворяющие условиям x e (0; 2я), у e (л; 2n).
x + y-y.
tgx 3
tg у “ 4
tg x/tg у — 2,
tg У/tg z — 3.
X 4- I/ 4- Z — Я.
t 4. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 133
4.23. tg* х 4* ctg* х — 2 sin* у, 4.24.
sin* у 4* cos* 2—1.
4.25. 4*|пя4-3.9ео’" = 3,
Г,|п x + 8.8lcos t+ifl _ ! 1/2.
4.26* . х + у + г — л, 4Л7*.
tg x tg у — 2,
tg x + tg у 4- tg z — 6.
Если одно из уравнение системы рационально относительно
аргументов тригонометрических функций, то решение системы
обычно сводится к решению тригонометрического уравнения для
одного из неизвестных.
Пример 4.2. Решить систему уравнений
х 4- у — 2я/3,
sin х 2
sin у
Решение. Преобразуем второе уравнение системы к виду
sin х — 2 sin у. (*)
Используя первое уравнение системы, исключим из уравнения
(•) неизвестное у:
sin х = 2 sin — х) sin х — Уз" cosx 4- sin х.
Полученное .уравнение эквивалентно тригонометрическому урав-
нению
cos х — 0. («♦)
Подставляя корня уравнения (•») в первое уравнение систе-
мы, получим значения для неизвестного у.
Ответ, х = 4- лЛ| и — — яй, где k s Z.
2 О
Решить системы:
4.28. х — у — я/18.
sin(x4--^) sin (l/ + |)=y.
4.29. = tg у,
1 + tg x ”
X — у — я/6.
4.80. tgx 4-ctg у — 3,
I x — УI — я/3.
4Л1. sin x 4- sin у — sin (x 4- y)>
|x| + |y|-l.
184
ГЛ. в. ТРИГОНОМЕТРИЯ
4.32. Выяснить, при каких значениях а решения системы
8 соз х соз у соз (х — у) + 1 = О,
* + в
существуют, и наЛтн эти решения.
§ 5. Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
Решения простейших уравнений
Уравнение Решевие
arcsin Х“а (|а 1 <Л72) (0 < а < я) х—в1п а
arccos Jt-a х—cos а
arctg х™а (1 а | <я/2) х—tg а
arcctg (0<а<я) x—ctg а
Уравнения вида
Р(у(*У) -О,
где Р— некоторая рациональная функция, а у(х) — одна из
аркфункций, сводятся к простейшим уравнениям
У (*) — Уе
где yi — корни уравнения Р(у) = 0.
Пример 6.1. Решить уравнение
2 arcsln’ х — arcsln х — 6 = 0.
Решение. Вводя новое неизвестное у - arcsln х, получаем
уравнение
2у’-у-6 = 0,
решение которого yi = 2, уг = —1,5. Следовательно, решение
исходного уравнения сводится к решению двух простейших уравд
пений
arcsln х — 2, arcsln х -• —1,6.
Так как 2 > я/2, а |—1,5| < я/2, то единственным реше-
нием будет х = —sln 1,5.
Ответ, х = —sln 1,6.
Решить уравнения:
6.1. arctg1 — 4 arctg j - б —0.
6.2. arctg1 (Зх + 2) + 2 arctg (Зх + 2) — 0.
I в. УРАВНЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ 135
_ _ „ . Я . Я*/9
5.3. 2 arcsln х — -=- +--:---.
3 * arcsln х
5.4. 3 arctg* х — 4л arctg х + я* — 0.
5.5* . Найти решения уравнения 2 агссоз х = а + 'дГС^3 х~ ПРИ
действительных значениях а.
Если в уравнение входят выражения, содержащие разные
аркфункцнн, или эти аркфункции зависят от разных аргументов,
то сведение уравнения к его алгебраическому следствию осуще-
ствляется обычно вычислением некоторой тригонометрической
функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при этом
посторонние корни отделяются проверкой. Если в качестве пря-
мой функции выбираются тангенс илн котангенс, то решения, не
входящие в область определения этих функций, могут быть поте-
ряны. Поэтому перед вычислением значений тангенса или котан-
генса от обеих частей уравнений следует убедиться в том, что
средн точек, не входящих в область определения этих функций,
нет корней исходного уравнения.
Пример 5.2. Решить уравнение
arcsln 6х+ arcsln б-^Гх —— я/2. (•)
Решение. Перенесем arcsln бх в правую часть уравнения
и вычислим от обеих частей получившегося уравнения значения
синуса:
sin (arcsln бх) ” sin (— arcsln 6 V? х — я/2).
Преобразуя правую часть этого уравнения по формулам приве-
дения, получаем следствие исходного уравнения:
бх — — V1 — 108х*.
Возведем обе части уравнения в квадрат. После приведения по-
добных членов получаем уравнение
144х* — 1,
корнями которого являются числа 1/12 в —1/12.
Сделаем проверку. Подставляя в уравнение (•) значение
х о —1/12, имеем
arcsln(-у) + arcsln(- -^)-----------------------f.
Таким образом, х = —1/12 является корнем исходного урав-
нения.
Подставляя в уравнение (•) значение х 1/12, аамечаем,
рто левая часть получившегося соотношения положительна, а
188
ГЛ. В. ТРИГОНОМЕТРИЯ
правая — отрицательна. Таким образом, значение х“ 1/12 — по-
сторонний корень уравнения (•).
Ответ, х =? —1/12.
Пример 5.3. Решить уравнение
2 arctg (2* + 1) = агссоз х. (*)
Решение. Вычисляя от обеих частей уравнения значение
Косинуса, получаем
соз [2 arctg (2х + 1)) —г.
Левую часть этого уравнения можно преобразовать к виду
соз [2 arctg (2х 4- 1)]
1 — (2x4- 1)*
1 + (2x4- О1
2х’4- 2х
I 4- 2х + 2х» ’
Таким образом, следствием уравнения («) будет уравнение
2х» 4- 2х
1 4- 2х 4- 2х*
х <=► 2jc3 — х •« О,
корни которого равны О, д/2/2, -д/2/2. Для того чтобы вы-
яснить, какие из этих чисел удовлетворяют исходному уравне-
нию, произведем проверку. При х = 0 обе части уравнения
равны л/2. При х = д/Т/2 правая и левая части уравнения
равны соответственно л/4 н 2 arctg (д/? 4- 0- Но -^2 4- 1 > I
и, следовательно, arctg (д/iT + 1) > л/4. Значит, х — д/2/2 не яв-
ляется корнем исходного уравнения. При х~ —д/2/2 левая
часть уравнения отрицательна, а правам — положительна. Сле-
довательно, х— — ^2)2 также не является корнем уравне-
ния (*).
Ответ, х — 0.
Решить уравнения:
х
6.6. агссоз 2 arctg (х — 1),
_ _ 4х
6.7. агссоз х — л — arcsin -5—.
О
6.8. arctg (х 4--1)+ arctg (х - у) — j.
6.8. arctg 2х 4- arctg Зх —
4
6.10. arcsin х 4- агссоз (х — I) = т
6.11. 2 агссоз х 4- arcsin х — .
О
6.12. 2 агссоз ™ агссоз (х 4- 3).
s в. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
137
6.13. 2 arcsln х — arcsln x.
6.14. arctg + arctg -yr — arctg x.
6.16. arccos x — arcsln x — 4r.
О
5.16. arcsln x + arcsln —“—.
V3 2
6.17. arcsln 2x — 3 arcsin x.
6.18. arccos x — arcsin x •— arccos x.
6.19. arcsln x — arccos x •« arcsln (3x — 2).
6.20. arcsln x = arccos Vi — x*.
6.21. arccos x — я — arcsln VI — **•
Vl — X3
6.22. arccos x — arctg —— -----.
6.23. arcsin (2x Vi — x*) == arccos (2x* — t).
5.24. 2 arccos x = arccos (2xa — 1).
5.26. 2 arctg x ™ arcsln ’
_ M , ( 1 — x1 \
6.26. 2 arctg x arccos J •
5.27. arccos x -» arcctg —j_ц .
Vl — x5
2x* — 1
6.28 . 2 arccos x = arcctg-,___.
2x VI -x2
6.29 *. Решить уравнение arcsin x = 2 arcsin а при всех лей
стввтельных значениях а.
5.30 *. Решить уравнение arccos х — arcsin 2а при всех дей
стввтельных значениях а.
§ в. Тригонометрические неравенства
Решения простейших
тригонометрических неравенств
Вид неравенства
In ж>а
•In х<«
cos *>а
сов х<а
4g х>а
tg х<а
ctg *>о
cig х<а
Множество решения неравенства
х в (arcsln а+ 2ял; л—arcsln а+2лл)
х «(-л—arcsln а + 2ял; arcsln а + 2лл)
х « (—arccos а -I- 2Ял; arccoa а + 2ял)
х s (arccos а +2ял; 2я—arccos а + 2ял)
х а (arctg а + пл; ЯП + пл)
х«(—п/1+лл; arctg а + лл)
х а (ял| arcctg а + ял)
х я (arcctg а + ял; я4-пл)
1за
ГЛ. в. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Решить неравенства:
0.1. sin х > —1/2.
6.8. ctg х > —3.
6.6. sin х1 < 1/2.
6.7*. cos (sin x) < 0.
6.2. tg x > 2.
6.4. sin(x- l)<-V3/2.
6.6. sin x + cos x > — У2 •
6.8. sin (cos x) 23 0.
Неравенства вида Я(у)>0, Щу) < 0, где R — некоторая
рациональная функция, а у — одна из тригонометрических функ-
ций (синус, косинус, тангенс или котангенс), решаются в дна
этапа — сначала решается рациональное неравенство относитель-
но неизвестного у, а потом — простейшее тригонометрическое не-
равенство.
Пример 6.1. Решить неравенство
2 sin’ х — 7 sin х + 3 > 0.
Решение. Обозначая sin х = у, получаем неравенство
2у,-7р + 3>0.
множество решений которого у < 1/2, у > 3. Возвращаясь к ис-
ходному неизвестному, получаем, что данное неравенство экви-
валентно двум неравенствам
sin х < 1/2, sin х > 3.
Второе неравенство не имеет решений, а решение первого
(7я , „ я , „ \
----6~+2яя> -£- + 2ял|.
(7я , _ я , _ \
----5“ + 2ял, -£- + 2ял1.
naZ.
где п е Z.
Решить неравенства:
ctg’ х + ctg* х — ctg х — 1 < 0.
2 cos 2x + sin 2x > tg x.
tg x + ctg x < —3. 6.12. sin 2x > cos x.
6.9.
6.10.
6.11.
6.18.
6.14.
cos х + Уз cos х < 0.
V3 —4соз1 х >2sinx + L
6.15. Уз sin х + 1 > 4 sin х + 1.
гз^х+вШх-!
sin X — 1
6.17. 6 + 2cos2x<3|2sInx —1|.
Решение неравенств разложением на мио
Пример 6.2. Решить неравенство
$ 1. НЕРАВЕНСТВА. СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ 139
Решение. Преобразуя сумму крайних влагаемых в иронз-*
седенне, получаем неравенство
соз 2х + 2 cos 2х cos х > 0.
Вынося cos2x та скобки, имеем
соз 2х (2 cos х + 1) > 0,
Последнее неравенство эквивалентно двум системам вроатайших
неравенств)
cos 2х < 0, cos 2х > О,
cos х < —1/2; cos х > —1/2.
Объединяя решение этих систем, получаем решение исходного
неравенства.
Ответ. + 2ящ + 2лл; +
+ 2ял)и(—^-+ 2лл; -^-4-2лп), где naZ.
Решить неравенства:
6.18, sin х sin 2х — cos х cos 2х > sin 6л.
6.19. 2 sin х sin 2x aln 3x < aln 4x.
6J0. sin x sin 3x > sin 5x sin 7x.
6.21, cos’ x sin 3x + cos 3x sin’Jt < 3/8.
6.22. slnx^cos2x.
6.23. 2 tg 2x < 3 tg x. 6.24. sin x < | cos x |.
§ 7. Неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции
Решение простейших неравенств
Вид неравенств
Решения неравенству
агс*)п х>а
arcsin х<Д
агссоз ж>а
агссоз х<а
arctg х>а
arclg х<а
a recta х>а
arcctg х<а
(0<а<я)
0<а < л)
(I а 1<л/2)
( I а|<Я/2)
(0<а<л)
(0<а<Л)
х ч (sin а; 11
х е |—1; sin а)
х а 1-1; с<ш а)
х е (соз а; I)
хе (tg о; + оо)
X Е (- <»; tg а)
х е (— оо; ctg а)
х a (ctg а; + оо)
Решить неравенства:
7.1. arcsin х <5.
7Л. агссоз х < агссоз
73. arctg х > — я/8.
7.2. arcsin х>—2.
7.4. агссоз х > п/6.
7Л. arcctg х > 2.
140
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Неравенства вида R(y) > 0, Я(у) < 0, где R — некоторая
рациональная функция, а у — одна из обратных тригонометри-
ческих функций (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотан-
генс), решаются в два этапа — сначала решается неравенство от-
носительно неизвестного у, а потом — простейшее неравенство,
содержащее обратную тригонометрическую функцию.
Пример 7.1. Решить неравенство
arcctg1 х — 5 arcctg х + 6 > 0.
Решение. Обозначая arcctg х “ у, исходное неравенство
перепишей в виде неравенства
у* — 5у + 6 > 0,
решения которого у < 2 и у > 3. Возвращаясь к исходному не-
известному, получаем, что исходное неравенство сводится к двум
простейшим неравенствам
arcctg х < 2 и arcctg х > 3,
решения которых соответственно равны x s (ctg 2; оо) и хе
е (—оо; ctg3). Объединяя эти решения, получаем решение ис-
ходного неравенства.
Ответ, (ctg2; <®)U(—ctg 3).
Решить неравенства:
7.7. arctg2 х — 4 arctg х + 3 > 0.
7.8. log> (arctg х) > 1.
7.9. 2arc,“ * + 2~,rcl“ x > 2. 7.10. 4 (агссоз x)1 — 1 > 0.
Для того чтобы решить неравенства, связывающие значения
различных обратных тригонометрических функций или значения
одной тригонометрической функции, вычисленные от разных ар-
гументов, удобно вычислить значение некоторой тригонометриче-
ской функции от обеих частей неравенства. Следует помнить, что
получающееся при этом неравенство будет эквивалентно исход-
ному лишь в том случае, когда множество значений правой н
левой частей исходного неравенства принадлежит одному и тому
же промежутку монотонности этой тригонометрической функции.
Пример 7.2. Решить неравенство
arcsln х > агссоз х. (•)
Решение. Множество допустимых значений х, входящих в
неравенство, имеет вид хе[—1; 1]. При х < 0 arcsin х < 0, а
агссоз х > 0. Следовательно, значения х < 0 не являются реше-
ниями неравенства. При х 0 как правая, так и левая части
неравенства имеют значения, принадлежащие промежутку
[0; я/2]. Так как на промежутке [0; я/2] функция синус моно-
S 8 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ Hl
тон но возрастает, то ори х е [0; 1] неравенство (*) эквивалентно
неравенству
sin (arcsln х) > sin (arccos х) <=> х > V1 —
Последнее неравенство при рассматриваемых значениях неиз-
вестного эквивалентно неравенству
2х» > I. (••)
Таким образом, решениями исходного неравенства будут те ре-
шения неравенства (•*), которые попадут в промежуток [0; 1].
Ответ: xe(V^/2; 1].
Решить неравенства:
7.11, arcsln х < arccos х.
7.12. arccos х > arccos х1.
7.13. arctg х > arcctg x.
7.14. arcsin x < arcsin (I — x).
7.15. tg1 (arcsln x) > 1.
§ 8. Доказательство тригонометрических
неравенств
Доказательство неравенств, связывающих значения тригоно-
метрических функций на всей числовой осн или на некотором ее
промежутке, обычно основано на исследовании свойств функций:
монотонности, ограниченности и т. д.
Пример 8.1. Доказать, что если а, р е (—л/2; л/2), то
а + р cos а 4- cos Р
соз~2~ >--------2-----’
Решение. Для доказательства данного неравенства до-
статочно представить правую часть неравенства в виде
соз а+созВ а + В а — В
-------------------2----- “ СИ ~2 ~2~^
и учесть, что при а, Р е
<х ~~ В
в следовательно, 0 < cos —=-*— < 1.
а — р ( п я \
’ 2 : 2 )’
Доказать, что для *е[0; л/2] выполняются следующие не-
равенства:
8.1. sin xcosx< 1/2.
8.3. tg х 4- ctg х > 2.
8Л.е1п 2х < 2 sin х.
8.2. sln х 4- cos x < V?.
8.4. tg x > sin x.
8.8. Vcos x < V5" cos
142
ГЛ Б. ТРИГОНОМЕТРИЯ
ЛТ. Доказать, что если а, 0 е [0; nJ, то
sin
а + Р sin а + sin 0
2 2
Доказать, что при любом действительном х справедливы со*
отношения:
8.8*. | a cos х + b sin х |< Ь*.
Д + с — Уд* + f>* + с* — 2дс
2
< a sin* х + b sin х cos х + с cos* х <
а + с + У а* + Ь’ 4- — 2дс
2
Часто при доказательстве справедливости тригопометриче*
ских неравенств используются неравенства, устанавливающие
связь между средним геометрическим и средним арифметическим
двух или нескольких положительных чисел.
Пример 8.2. Доказать, что если а + 0 + у = я в а, 0,
sin у
—4“ + —(•)
sin у sin у
а 0 V
sin-у, sin-у, sin у неотрицательны,
то, используя неравенство, связывающее среднее арифметическое
трех чисел и их среднее меметическое, имеем
—— + —!—+—!— 3 (♦♦)
а н а D V
Sin— Sin-у Sin -у sin у sin -у sin -у
Решение. Так как
Преобразуем теперь подкоренное выражение:
. а 0 у 1 , о Г 0 — У 0 + У1
а1п _ sin -Е. sin X = _ sin — [cos—---cos ——J.
Так как < + 0 + у = л, то
0 + у /я «\ , а 0 —У ,
cos 2х - cos [у - -у ] - sin у, соз-=-у£*<1,
и, следовательно,
Sin -у Ski-2-Sin -£<у Sin -у (1 - Sin у).
Наибольшее значение функции, стоящей а правой часта не*
равенствауsinу^, аа лромежут [0|
$ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ 143
1] равно 1/4. Следовательно,
, а , 0 , у _ I
sin у sin-у sin Су.
Из последнего неравенства получаем неравенство
—--------3 а ~ ~ >6, (•♦♦)
•/ Q\ ftу
z^/slny siny siny
Из неравенств (•♦) н (***) следует справедливость негодного не-
равенства.
8.10*. Доказать, что если а + 0 + у = я и а, 0, у > 0, то
(1 — соза) (1 — соз 0) (1 — cosy) < 1/8.
8.11*. Доказать, что если а + 0 + у — я и а, 0, уе (0; я/2),
то
—— + —-------------— >6.
COS 'I cos р cos у
8.12*. Доказать, что если а + 0 + у = л н а, 0, у е (0; л/2^
то
<8*0+ 1g1 0 +1»1 У > 9.
8.13. Доказать, что еслт а -}- 0 + у — я, то
а 0 у 3 /г-
COS -у соз СОЗ < -g- V3 .
8.14* *. Доказать, что если а + 0 + у =• л, то
Sinа -у + sin’ -у + sin’ -у >
8.18. Доказать, что если а + 0 + у — я, то
соз а + ей 0 + соз у < 3/2.
В примере 8.2 требовалось найти наибольшее значение
функции у sin у (1 —sin-у). После замены переменной иско-
мое значение совпадало с наибольшим значением функции
Ну)иуу(1— у) на промежутке (0; 1]. Аналогичный прием
часто используется в тех случаях, когда требуется найти
множества значений некоторых сложных тригонометрических
выражений.
8,16, Доказать, что
—4 < соз 2х + 3 sin х < 2 у.
144
ГЛ Б. ТРИГОНОМЕТРИЯ
8.17. Доказать, что
cos’ * + cos’ х < 1/4.
8.18. Доказать, что если |р| < 2, то
sin* х + р sin х 4- q ——
8.19. Доказать, что sin* х соз* х < 1/4.
Доказательство неравенств, связывающих тригонометриче-
ские функции н некоторые многочлены, рассмотренные на интер-
валах изменения аргументов, проводится с использованием ком-
бинации рассмотренных выше приемов. При этом часто нсполь-
вуется неравенство
slnx<x<tgx, (1)
справедливое для всех х е [0; я/2].
Пример 8.3. Доказать, что на промежутке (0; я) имеет
место неравенство
х’
X----т < sin X.
4
Решение. Представим функцию sin х в виде
sln х — 2tgy cos*-|- — 2tg-|-(l - sln*-|-).
Используя неравенство (1), имеем
'в 4 >4- 1-«1п*4>1-4‘
Подставляя полученные оценки в правую часть исходного нера-
венства, убеждаемся в его справедливости.
8.20* . Доказать, что на промежутке (0; я) справедливо не-
равенство
созх<1-т-+—.
8.21* . Доказать, что на промежутке (0; я/2) справедливо
неравенство
ж»
* - -у < X-
8.22*. Доказать, что
х*
1 — cos х С -у.
ГЛАВА 6
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Запас» «вела * а виде а + bi, где а в b — действительные числа,
называется алгебраической фарной комплексного числа. Число а навы-
веется действительной частью комплексного числа и обозначается Re г.
число b — мнимой частью комплексного числа в обозначается Im а. Сви-
вал I называется aimuaod единицей.
^Хва комплексных числа Zi~ai + 6i<, Ti“ai + 4i( равнее, если ai«a, а
Комплексное число —о — Ы называется противоположным комплекс*
пому числу а + 41 _
Правила действий с комплексными числаии Пуст»
Zi—ai + M и z>—aj + bJ — два комплексных числа. Сумма г, + г„ разность
Bi—z>, произведение zi-zi и частное —- (z> ч* 0) комплексных чисел zt и Hi
2]
вычисляются оо формулам
Zi + *je(fl| 4-e»)+ (& + &1) /
«I—Оа) + (Л| —Ьа) i. (О
Z|(А|в1— ft|bj) + (fllfti + O>bl) G
Z2= a22+»22 O2+62
Сложение и умножение комплексных чисел коммутативно в ассоцяа*
гавно, умножение дистрибутивно относительно сложения.
Комплексное число a — bi называется комплексно сопряженным с
числом z " а + Ы и обозначается г Свойство комплексно сопряженный
чисел: z-1—a’+t'.
Пусть z - а + bi — отличное от нуля (т. е. о* + Ь‘ 0) комплексное
число. Модулем комплексного числа (обозначается |z| илн г) называется
величина Va* + b1 Аргументом комплексного числи г называетси угол ф,
определяемый аз условий
b а
в<п ф — — —- сов ф— ________
ч/а1 + М л/а1 + Ь1
(обоэвачаетса Arg г влн ф). Главным зна>
пением аргумента комплексного числа г (обо-
еначается arg г) называется значение Ф,
принадлежащее промежутку (—я; л).
Запись комплексного числа z - а + bi
в ваде
z—г (соз q>+ I ain ф).
где ф—аргумент называется тригонометрической формой комплексного числа.
Геометрически модуль комплексного числа может быть изображен
как отрезок (радиус-вектор) длины г, имеющий своими концами точки
(D; 0) и (а; Ь); аргумент комплексного числа — как угол, который обра-
зует радиус-вектор с положительным направлением оси Ох (рнс. 6.1).
Два комплексный числи, записанные в тригонометрической форме,
равны тогда и только тогда, когда равны нх модули, а аргументы
отличаются на 2яА (Л Z).
146
ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА'
Пвояэвадеяяем я частным двух отличных от яуля комплексных чисел
«"И (совФ1+1 eln ф|) н г>~Г1 (cos ф)+ i aln фа), записанных в тригономет-
рической форме, являются числа
Xi • z,=л • г, [cos (фа + ф1) +1 sin (ф1 + фЛ.
— “-7- [cos (Фа — Фа) + I sin (ф, — ф,)1.
Zi г>
п-л стелен» комплексного числа г-г (cos ф +1 sin ф) вычисляется по
формул» Муавра
zn—rn (сов лф + I sin лф). (2)
Корнем пй степени из комплексного числа х называется комплекс'*
вое число V, удовлетворяющее уравнению
ее* в я,
л
Все решения этого уравнения обозначаются V7* и для чнсла г, аапи«
санного в тригонометрической форме z=r (cos ф +• ( sin ф). вычисляются по
формуле
ПГ~ П!~( Ф + 2Я* . , , ф + 2п*\
VT—<г (cos-2-jj-----+ (sln-2-jj-), (3)
где 1“0. 1, 2,.... л—I.
§ 1. Действия с комплексными числами
Действия с комплексными числами проводятся по форму-
лам (I). При вычислении произведения и частного комплексных
чисел удобно использовать представления комплексных чисел в
тригонометрической форме.
Пример 1.1. Представить в тригонометрической форме
комплексное число г «= —3 + 1.
Решение. По определению модуля комплексного числа
имеем
|2|-V(-3)» + i -VT6.
Обозначая аргумент комплексного числа через ф, получаем
. । 3
sin ф «= ____, COS ф —-----
Vio Vio
откуда следует, что угол ф принадлежит второй четверти и ра-
вен агссоз (—з/VlO)' Следовательно, комплексное число t *)
™ —3 +1 имеет тригонометрическую форму:
г ” V10 (соз (агссоз (—+1 sin (агссоз (—
Предствить в тригонометрической форме комплексные числа!
1.1. I. 1.2. -X 1Л. I.
1.4. f +1. 1Л. -I + I. 1.6. 1 -Н VS’.
I I. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
147
1.7. 3 — 41. 1Л. —3 — 41.
1.9. — cos -77- + / sin 4j-. 1.10. sin а — I cos а.
3 3
I "- (тМ •
Вычисление корней й-й степени из комплексного числе обыч-
но производятся с помощью представления комплексных чисел о
тригонометрической форме.
Пример 1.2. Вычислить i.
Решение. Запишем комплексное число I ™ 0-|- 1-1 в три-
гонометрической форме. Так как |<| ™ 1, arg I = я/2, то число I
имеет тригонометрическую форму
i — cos -2- +1 sin -у. «taX
Отсюда согласно (3) получаем °
чт 1 я , 2лй S
'“VI =1. Ф-^ + “з“ т
Рис. а.»
при k = 0, k = 1, к = 2, и, следовательно, искомые корни
имеют вид
я , , , я 7з" , . 1
cos-^+lsln-g------r + /--2-
бя , бя VT . . 1
см— / s,n —---------2- + /-у,
Зя ... Эя .
cos —-Н sin—= -Z.
Геометрические образы полученных корней представляют собой
точки, лежащие на единичной окружности (так как г = 1), ра-
диусы-векторы которых составляют углы я/6, Бл/6 и Зл/2 с по-
ложительным направлением осп Ох (рис. 6.2).
Вычислять, используя тригонометрическую
ных чисел:
1.12. VF.
4
lib. V^i.
7
1.18. Тз+Т.
1.13. V--W.
4 ______________
1.18. V2-21V3 .
э
1.19. VT.
форму комплекс-
1.14. 5/З-41.
4
1.17. 7/.
148
ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 2. Геометрическое изображение множества
комплексных чисел
Для геометрического изображения комплексных чисел в си*
стеме координат Оху, удовлетворяющих некоторым соотноше*
нням, обычно используется алгебраическая форма комплексного
числа.
Пример 2.1. Найти множество точек координатной нло*
скости Оху, изображающих комплексные числа г, для которых
|2-Н-2| <2.
Решение. Запишем комплексное число г в алгебраической
форме г = х + 1у. Тогда
г 4-« — 2 = (х — 2) + / (у + 1).
По определению модуля комплексного числа
| г + I - 21 - V(x-2)’ + (y+l)*.
вследствие чего равенство |г-Н —2|<2 принимает вид
V(x-2)* + (y+l)« < 2 <=> (х - 2)» + (у + 1)» < 2».
Множество точек координатной плоскости Оху, удовлетворяю*
ших последнему неравенству, представляет собой множество всех
точек, лежащих внутри окружности и на окружности радиуса 2
с центром в точке (2; —1).
Пример 2.2. Найтв множество точек координатной плоско*
сти Оху, для которых действительная часть комплексного числа
(1 +1)г* положительна.
Решение. Представим число г в алгебраической форме!
ж — х + 1у. Тогда
z3 — х* — у1 + i (2ху),
(1 + 0г’=(1 + 01*’-!/’ + /(2ху)] =
= (х1 — 2ху — уг) + 1 (х> + 2ху — у*).
По условию задачи действительная часть комплексного числа
(1 +021 положительна:
х* — 2ху — у* > 0. (•)
Предполагая, что у ф 0, и разделив обе части неравенства на y*t
получаем неравенство
ф'-Чт)-**
Решая это квадратное неравенство, получаем
х/у> 1 + ^2. x!y<\-JT. (н),
} 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ
149
При у > 0 неравенства (••) можно записать в виде
У < —*> У < —Ц=- *•
1 + V2 1-V2
Множество точек плоскости Оху, удовлетворяющих этим усло-
виям, отмечено штриховкой на рис. 6.3.
При у < 0 неравенства (**) записываются в виде
Р >----Цг=- х, у >-----Ц=- х,
1 + V2 1 - V2
и множество точек координатной плоскости Оху, удовлетворяю-
щих этим неравенствам, отмечено штриховкой на рис. 6.4.
При у “ 0 нельзя делить обе части неравенства (*) на у*,
но при у ™ 0 само неравенство (*) превращается в неравенство
ж* > 0, решением которого является
любое действительное число х, от-
личное от нуля, т. е. решением не-
равенства (•) является любая точка
оси Ох, за исключением нуля.
Объединяя все три случая, окон-
чательно получаем: искомым множе-
ством являются углы, содержащие
ось Ох, без своих границ, стороны
I
которых — прямые у <= ли у =» -—х (рис. б.а).
Найти множество точек координатной плоскости Оху, изо-
бражающих комплексные числа z = х + iy, для которых:
i.1. |ж|-1.
М. argz —я/3,
2Л. |2z — 11 > 2.
2J. z=|z|.
2.4. 1 < | z | < 4.
2.6. ||z| + Z|< 10.
(50 <*Л. в. КОМПЛЕКСНЫ! ЧИСЛА
2.7. | z + 11 -1 z -11. 2.8. |z + /|-|z + 2|.
2.8. |z + /|>|z|. 2.10. l<|z + i|<4.
2.11. (1 - 02— (1 +0«.
2.12. На координатной плоскости Opq изобразить множество
точек (р, 4) таких, что корни уравнения
х2 + px + q — 0
(возможно, комплексные) по модулю не превосходят единицы.
2.13. Указать все точки комплексной плоскости, такие, что:
1) га, 2) z + а — действительные числа (a«a + lil — эа>
данное комплексное число).
2.14. Найтя множество точек координатной плоскости Оху,
удовлетворяющих неравенству
2.15. Найти на плоскости Оху множество всех точек, ноорди*
ваты которых удовлетворяют следующему условию: число z*-h'
+ z + 1 — действительное положительное число.
2.16. Изобразить на плоскости все комплексные числа z, для
которых (1 + i) г действительно.
2.17. Точки Zi, га, г» — вершины треугольника. Какое ком*
плексное число соответствует центру тяжести втого треуголь*
ника?
2.18. Точки Zi, z2, г» — три вершины параллелограмма. Найти
четвертую вершину.
2.18* . Доказать, что три различные точки zi, zj, z( лежат
на одной прямой тогда и только тогда, когда ———— действа*
г» — Л|
тельное числа
2.20. При каких zt и гг справедливо равенство
|zi + га1 = |г: -г»| ?
2.21. Доказать, что четырехугольник, сумма квадратов длин
сторон которого равна сумме квадратов длин его диагоналей,-*
параллелограмм.
§ 3. Решение уравнений в множестве
комплексных чисел
Решение уравнений в множестве комплексных чисел сводится
к решению систем уравнений в множестве действительных чисел,
полученных в результате сравнения действительных и мнимых
частей выражений, стоящих в левой и правой частях исходного
уравнения.
s 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
151
Промер 3.1. Решить в комплексных числах уравнение
2г — |г| + «.
Решение. Запишем комплексное число г в алгебраической
форме: г = х + ly, где х, у — действительные числа. Тогда
| z | — V** + У* и данное уравнение принимает вид
2х + 2iy — Ух’4* у* + 2Z.
Из определения равенства двух комплексных чисел получаем
систему уравнений для нахождения хну:
2х,-Vx» + y‘ —0.
2у — 2 — 0.
Из второго уравнения находим у — 1. Подставляя у = 1 в пер*
вое уравнение системы, получаем уравнение 2х — Ух’ 4* I > реше-
ние которогох — —Итак, решением данного уравнения явля-
о
1 . ,
ется комплексное число г — —=- 4-1.
Уз
Ответ, г — —+ /.
Уз
Пример 3.2. Для каждого действительного числа а > О
найти все комплексные числа г, удовлетворяющие равенству
г | г | + аг + i = 0.
Решение. Запишем комплексное число г в алгебраиче-
ской форме: г — x + iy. Тогда |г| —Ух’4- у’ и уравнение при-
мет вид
(х + 1у) Ух1 + у* + а (х + /у) + 1 -О**»
(х Vx* + у* 4- ах) 4-1 (у ^х* 4- у* 4- ау 4- 1) — 0 + 0 • I.
Из определения равенства двух комплексных чисел следует, что
последнее уравнение эквивалентно системе двух уравнений
х Ух* 4- у* 4- ах — 0, . .
У Ух’ 4- yi 4- ау 4- I — 0,
решения которой отыскиваются уже в множестве действитель-
ных чисел.
Нетрудно заметить, что множество решений первого уравне-
ния системы («) может быть найдено как объединение множеств
решений двух уравнений:
х—0, Ух* 4-у* 4- а—0.
1В2 ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Второе иэ втих уравнений решений не имеет в силу условия
а > 0. Подставляя х = 0 во второе уравнение системы (•), по-
лучаем уравнение для действительного числа у
У I У I + чу + * — 0.
множество решений которого получается как объединение мно-
жеств решений двух систем:
у>0, у<0,
у* + ay + I — 0; — у* + ay + 1 = 0.
Нетрудно* убедиться в том, что с учетом условия а > 0 первая
система решений не имеет, а вторая имеет единственное решение!
а — л/а1 + 4 _
р =------2-------. Таким образом, решением данного уравне-
вия является чисто мнимое число
, а — 4- 4
1 2
Решить уравнения:
3.1. (2 4- I) г1 - (5 - Г) г 4- 2 - 21 = 0.
3.2. z* 4- 2 = 0. 3.3. | z | - iz = 1 - 21. 3.4. z’ — (z)J.
3.6. (х4-</)24-6 4-/х = 5(х4-(/)4-Ну4-1)(х. у- действи-
тельные числа).
3.6. При каких действительных значениях х н у справедливо
равенство
x-2-Ky-3)l_t_
1 4-1
3.7. Доказать, что уравнение z'4-lz—1 — 0 не имеет дей-
ствительных решений.
3.8. Вычислить z“ 4- l/z11, если z есть корень уравнения
2 4- l/z=I.
3.10. Решить в комплексных числах системы:
z* — г* 4- х — 1=0.
3.10. Решить в комплексных числах системы:
а)г5и17=1, 6)zl3t»ie=l,
2»—ф3 = 0; х’и>7 = 1,
z»4- и»»=-2.
3.11. Какому условию должно удовлетворять комплексное
число а 4- Ы для того, чтобы его можно было представить в.
> 4. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
153
виде
где х — действительное число?
3.12. Среди комплексных чисел г найти все те, для которых
10gк(13 + 12»-4Z |) + log,M <I3 + |J + 4<|)* -0.
3.13. Для каждого действительного числа а 1 найти все
комплексные числа zt удовлетворяющие уравнению
е + а\г 4- 11 + I-0.
3.14* . При каких действительных значениях параметра а
хотя бы одно комплексное число г = х 4- iy, удовлетворяющее
равенству
| г 4- V2 I — а* — За 4- 2,
удовлетворяет одновременно н неравенству
I г 4-1 V2 |<а’?
3.15. При каких действительных значениях параметра а хотя
бы одно комплексное число г = х 4- iy, удовлетворяющее равен-
ству
| г — al | “ а 4- 4,
удовлетворяет одновременно н неравенству
|z —2| < I?
3.15. Найти минимальное по модулю комплексное число г,
удовлетворяющее условию
1х-24-И1 — 1.
§ 4. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
Использование тригонометрической формы комплексного
числа и представление этого числа точкой комплексной плоско-
сти допускает простое решение некоторых систем тригонометри-
ческих уравнений.
Пример 4.1, Решить систему
. , . л/2
ain х 4- sln у “ ,
V2
со» х 4-соз р “2~'
164
гл. в. комплексны® числа
Решение. Умножим первое уравнение системы на I вело*
жим со вторым. Получаем уравнение
л/й" а/2
соэ х + I sin х + cos у + i sin у — —Ь I -у—.
Обозначим cos х + i sin х — г, cos у + / sin у — w, -75- + i -Jg- ™
i it
— и. Тогда получаем уравнение для комплексных чисел
х+ to —и,
где |г| — |ш| = |u| — 1, т.е. все три точки лежат на окруж»
кости единичного радиуса и. следовательно, четырехугольник о
вершинами г, и, w. О—ромб с диагональю Ou, длина которой
равна единице (см. рис. 6.6). Таким
образом, треугольники Охи нОиа —
равносторонние н углы иОи> и хОи
равны-т-'. Так как Arg и “-7- +
О 4
+ 2лй, то из рис. 6.6 видно, что
если х — Arg х н у “ Arg 0, то
Л Л । а (_ л л »
* “ -д- + -3- + 2лй. у = -4 у +
7
4- 2лл, т. е. х — я 4- 2лЛ, у —
Ответ. (-^-я4-2пА, — -]у + 2лл); (—-|у4-2лл,
£+*»»)•
Решить системы уравнений:
4.1. sin х 4- sin у — sin а,
cos х + cos у = cos а.
4Л. sin х 4- sin у “-V—,
a
. 1
COS X + СОЗ у —-5-.
z
4.2. 2 sin x cos у — sin а,
2 cos x cos у “ cos a.
4.4. sin x — sin у — sin a,
cosx — cosy — cos a.
Для пары любых комплексных чисел « — о +W я в = сЦ-Л
справедлива формула
|ш-г| —|»|-|г|. (I)
которая имеет следующий вид:
(а* 4- Ьг) (с* 4- d1) — (ас — id)’ 4- (ad 4- be*. (2)
9 4. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 165
Используя формулу (1), можно находить целочисленные реше-
ния уравнений вида
где п — натуральное число.
Пример 42. Найти хотя бы одно целочисленное решение
уравнения
х’4-р» = 21 125. (*)
Решение. Разложим 21 125 на простые множители. Имеем
21 125 = 5’ • 13».
Числа 5 н 13 являются суммой двух полных квадратов целых
чисел 5 — 4 4-1, 13 = 9-|-4. Используя формулу (1), можно
записать, например,
| (2 4- /) (2 4- 0 (2 4- 0 • (3 4- 2/) (3 4- 21) |« = 21 125.
Перемножая комплексные числа, стоящие под знаком моду-
ля, получаем
|791 — 122 |я =» 21 125.
Таким образом, одним из решений исходного уравнения являют-
ся числа х = 122, у = 79.
Очевидно, изменяя комплексные числа, квадраты модулей ко-
торых равны 5 и 13, можно получать другие целочисленные ре-
шения уравнения (*).
Найти хотя бы одно решение в натуральных числах следую-
щих уравнений:
4.5. х* 4- tf» = 32 045.
4.6. х* 4- р* = 84 500.
4.7. На окружности радиуса 5 ^3 найти хотя бы одну точку,
с целыми положительными координатами.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа и свя-
занная с ней формула Муавра в некоторых случаях используют-
ся для вывода различных тригонометрических формул.
Пример 4.3. Выразить sin 4х п cos 4х в виде некоторой
функции от sin х и cos х.
Решение. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем
(соз х 4- i sin х)4 = cos 4х 4- • sln 4х. (*)
Расписывая левую часть уравнения (•) по формуле бинома Ньют
тона, имеем
(соз х 4-1 sln х)4 =
= cos 4х 4- 41 соз’ х sln х — 6 cos* х sln1 х — 41 cos х sln’ х 4- sln4 х.
158 ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, полу-
чаем
соз 4х » соз* х — 6 соз* * sin* х 4- sin* х,
sin 4х ~ 4 cos’ х sin х — 4 cos x sin’ x.
Ответ, cos 4x — cos* x — 6 cos’x sln’x + sin* x, sin 4x =
« 4 cos’ x sin x — 4 cos x sin’ x.
4.8. Представить sln3x в виде функции от sin x и соз x.
4.9* . Вычислить суммы
Si =» cos <р + cos 2q> + ... 4- соз лф,
S> — sin ф + sin 2ф + ... + sin пф, ле N.
4.10. Доказать, что соз ла может быть представлен как мно-
гочлен с целыми коэффициентами от соз а.
4.11* . Доказать, что созЗГ — число иррациональное.
4.12. Вычислить сумму
sin х + a sin 2х + ... 4- o’*-1 sin лх.
41 Л*. Вычислить сумму
С„ sin х + С* sin 2х 4- ... 4- О’ sin лх,
где —число сочетаний из л по I
4.14. Выразить tg 5а через tga.
ГЛАВА 7
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Определение и свойства последовательности
Множество чисел, занумеровзниыж либо конечным отрезком вату*
рального ряда, либо всеми еатуральными числами, называют числовой
последовательностью.
В верном случае последовательность называется конечной, во вто*
ром — бесконечной.
Элементы этого числового множества называются членами последо*
вательности н обычно обозначаются так; первый член второй а>. ...»
л-й—ап и т. д. Вся числовая последовательность обозначается
«I- »«• °3..°я- - ил“ (ал)
Понятие последовательности может быть введено в с помощью
понятия функции: бесконечной числовой последовательностью (яп) ааэы*
веется числовая функция ((л). определенная на множестве всея натураль-
ных чисел. Формула, позволяющая вычислить любой член последова-
тельности по его номеру л, называется формулой общего члена последо-
вательности.
Последовательность (хп) называется ограниченной, если существуют
тайне два числа ш и М, что для всех ле N выполняется двойное**) не-
равенство
т<хп<Л1. (I)
Последовательность («„) называется ограниченной сверлу (снизу),
если существует такое число М, что для всех naN выполняется нера-
венство
*п<м (»»>«)• <2>
Последовательность (х,) называется монотонно возрастаю-
щей, если для любого натурального п выполнено неравенство
(3)
я монотонно убывающей, если для любого натурального п вы-
полнено неравенство
Хл+1 < хп. Н)
Последовательность (хя) называется неубывающей '(невоз-
растающей), еслв неравенство (3) (соответственно (4)) нестро-
гое.
*) Числовые последовательности будем также обоевачать (Рп) <
(»»)•
*•) Оаово «двойное» дм аратноств даме овусваеш
158
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Возрастающие, убывающие, вевозрастаюшне, неубывающие
последовательности называются монотонными последовательно-
стями. Можно обобщить определение монотонности и на те по-
следовательности, которые обладают этим свойством, лишь на-
чиная с некоторого члена. В этом случае соответствующее нера-
венство должно выполняться для всех л > л», где л0 — номер
члена, начиная с которого последовательность становится моно-
тонной.
Пример 1.1. Доказать, что последовательность, задавае-
мая формулой общего члена
Зл - 1
Хп " 5л + 2 ’
возрастающая.
Решение. Рассмотрим разность
_ з(п + 1) — 1 _ Зл-1
"+1 ** 5 (п +1)4-2 Бл + 2
и проверим выполнение неравенства x,+i—хя>0 для всех
л е N:
3(п+1)-1 Зл-1 Н 0
Б(л+ 1) + 2 5л+ 2 ’ или (5л + 7) (5л + 2)
Так как последнее неравенство справедливо при всех л е N, то
согласно (3) данная последовательность — возрастающая.
1.1. Доказать, что последовательность
в-л
Уп ” Бл - I
является убывающей.
1.2. Является ли монотонной последовательность
1.3* . Является ли монотонной последовательность
у*—пГ
1.4. Найти, при каких соотношениях мёжду a, b, с, d после-
довательность
ап + b
Уп=° cn + d
будет возрастающей.
Пример 1J. Найти наибольший член последовательности
рл —— д’ + б^ —6.
$ I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ II СВОЙСТВА
15S
Решение. Рассмотрим функцию
у (х) — — х* + 6х — в.
Наибольшее значение она принимает в точке х = 2,5, причем
на промежутке (—со; 2,5) функция у(х) возрастает, а на проме-
жутке (2,5; оо) — убывает. Следовательно, возвращаясь к после"
довательностн, можно записать
Pi < уа и уз> у,.
Таким образом, наибольшим будет либо уз, либо уз, но Уз «а
“ уз = 0.
Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены по-
следовательности.
Найти наибольшие и наименьшие члены последовательности:
1Л. (/„ — л’ — 1.
1.6. уп “ 6л — п1 — 5.
„ , 612
1.7* . х„ — 2л 4-
1.8. Последовательность (х„) задана формулой общего
2л-3 _
члена хя —---------. При каких натуральных значениях л вы-
полняются условия:
а) | хп — 21 < 0,1; б) | х„ - 21 < 0,01?
1.9* . Сколько членов последовательности
Уп — I л* — 5л + в |
удовлетворяет неравенству 2 < у„ < 6?
1.10* . Начиная с какого номера члены последовательности
Уп — ла — 5л + 6
удовлетворяют неравенству хл+| > х„?
1.11* . Начиная с какого номера л последовательность, за-
даваемая формулой общего члена у, = nq", будет монотонна,
если 0 < q < 1?
Если последовательность задана формулой общего члена
Хп = f(n), то ограниченность последовательности сверху и снизу
может быть выведена из ограниченности функции /(х) для хе
в[1; оо).
Пример 1.3. Будет ли ограничена последовательность
Р е ш е в и е. Рассмотрим функцию
160
ГЛ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
которая при х = л определяет члены данной последовательности.
Найдем множество значений функции на промежутке [1; оо).
Записывая функцию /(х) в виде
f (х) - 3/2 + 4/х, (•)
убеждаемся, что при х > 1 эта функция монотонно убывает.
Следовательно, наибольшее значение функция имеет при х » I,
и оно равно 11/2. Из записи (*) видно, что при всех х е [1; со)
fix) >3/2.
Следовательно, /(л) в (3/2; 11/2].
Ответ. Последовательность ограничена: все ее члены за-
ключены в промежутке (3/2; 11/2].
Выяснить, будут ли следующие последовательности ограни-
чены:
1.12. х„ —2<-1)".'
МЗ. х„- 2 + д1- 1.14*. ха — яа_2п + 3 •
l.’8* *" “ ( (л+ 1)1 (л + 2)! ) (rt + 2)1
§ 2. Предел последовательности
Говорят, что число а является пределом бесконечной число-
вой последовательности (хя), в пишут 11m хп»а, если для
л -> оо
любого а> 0 существует такой номер ло(а), что при всех п>,
> п«(е) выполняется неравенство |хя — а| < е. Если последова-
тельность (хя) имеет предел, то она называется сходящейся.
Необходимое условие сходимости числовой последовательно-
сти: для того чтобы последовательность сходилась, необходимо,
Чтобы она была ограниченной.
Пример 2.1. Доказать, что
11m п + 1 -1.
П->оо 71
Решение. Для того чтобы доказать, что предел последо-
л 4-1
вательностн хп •»------ равен единице, достаточно указать спо-
п
соб построения для любого е > 0 числа л«(е), входящего в опре-
деление предела. Зададим а > 0 и составим неравенство
f J. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
161
которое эквивалентно неравенству 1/л < в. Следовательно, если
в качестве числа л«(е) выбрать число [l/e]+ 1 *), то для веек
л>л«(е) будет выполняться неравенство (•). Такны образом,
доказано утверждение о том, что единица является пределом
п+1
последовательности хп“-------•
п
Доказать, что:
f3n — 2 1
2.1 . lim —5--= 1,6. 2.2. lim -,~± —°-
n-ь® 2л п-х»л+‘
6л — 3 6 ... 6л — I
2А 6л + 2 “ Т- 2 t X™ 1/2 — л “ -6'
“А", йт "°- “.'liwr-1-
Для решения некоторых задач на доказательство сходимости
последовательности удобно пользоваться следующей геометрн-
ческой интерпретацией понятия предела последовательности.
Число а является пределом последовательности (х„), если
для любого положительного числа а существует такой номер
л = ла(е), что все члены последовательности, начиная сх. ., •
принадлежат е-окрестности числа а, т. е. промежутку (а — в)
в + е).
Используя приведенную выше геометрическую интерпрета-
цию, убедиться в справедливости следующих утверждений:
2.7 *. Если последовательность сходится к некоторому числу,
го она ограничена. (Необходимое условие сходимости.)
2Л*. Известно, что lim хп = а, а < q. Доказать, что почти
п->ов
все члены последовательности (хя) (за исключением, быть может,
конечного числа членов) меньше q.
2.9 *. Известно, что lim an = p, lim bn~q, pi^q. Сущест-
Л->«о п-ьоо
вует ли предел последовательности а(, bt, at, bt, ..., а„, Ья, ... ?
2.10. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что
последовательность
Хп=1 + (-!)'’
предела не имеет.
2.11 *. Выяснить, имеет ли предел последовательность
я
хп—sinn-y.
•) Символом (а| обозвачается целая часть а.
б А. Г. Цыпкам, А, И, Пмнскяа
162
ГЛ. Г. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2.12 *. Выяснить, имеет ли предел ооследоватешюсгь
* . я
2.13 . Выяснить, имеют ли предел последовательности:
а) хд — 1 + д ; 0) хд —+ п ) а!пл-^-.
§ 3. Вычисление пределов последовательностей
Свойствд сходящихся последовательностей.
Если две последовательности (х„) и (у„) сходятся к 11m хя и
Я-»оо
lim tfn, то:
п-»«
1) последовательность (х„±уп) сходится и
lim (хд ± уя) = 11л хя ± Um yai (1)
Л-Ь® П-»оо п->ш
2) последовательность (х«уя) сходится н
Um хяуя =(lim хд) (lim уп); (2)
л-»оо П->оо я-»оо
3) последовательность (если дополнительно у„ 0 и
lim у, & 0) сходится и
п-»«о
Пт х„
Пт-^ — . (3)
д->« ул в^,*п
Обычно при вычислении пределов велосредстаеявону приме-
нению формул (1) —(3) предшествуют некоторые тождественные
преобразования. При вычислении пределов вида
где хя и уп — неограниченно возрастающие последовательности,
таким преобразованием является деление числителя и знамена-
теля дроби на одно и то же выражение.
Пример 3.1. Вычислить предел
Решение. Так как числитель и знаменатель представляют
собой неограниченные последовательности, то непосредственно
воспользоваться формулой £3^ нельзя, Разделим .числитель и
I 1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
1(0
внаменатель на л, К полученной дроби уже можно применить
формулу (3)1
Пт(Б+1/л)
п-l» 7/л - 9 Пт (7/л —9) *
л->оо
Применяя далее формулу (I), получаем
Пт (5 4-1/л) Вт БЦ- Пт (1/л)
л->оо я-» а»___п-^оо____
Нт (7/л — 9) ” lim (7/л) — 1кт 9 ‘
П->« п->со 0->оо
Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а
Нп 4--“.
л-»оо п
окончательно получим
5л + 1 5
J’™ 7-9л =“ 9 ’
Л “т оо
Ответ. —5/9.
С помощью деления числителя и знаменателя дроби на стар-
шую степень л вычислить следующие пределы:
Зл* - 7л + 1 -^л’ + 2л - I
ЗЛ. Пт 2 - 5л - 6л» ’ п + 2
4 3
(ZI + I)1 — (л - IV
л112’«(«+1Г + (п- I)4' ЗЛ ,'i?;
Вычисление пределов выражений, содержащих показатель-
ные функшш с натуральным аргументом, может быть, основано
па следующем равенстве:
llm qn = 0, если | q | < 1. (4)
л->оо
Пример 3.2. Вычислить предел
Пт
л->«
2Л + 3"
Р е щ е и и е. Разделим числитель н знаменатель дроби на
3"+‘. Применяя формулу (4), получаем
Ответ. 3.
164
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Вычислить пределы:
3.5. 11m qji уГ-
3.6*. Ilm
П-»оо
3.2"+l — 7<Зп + I
2п+1— 5-Зп+14-6
При вычислении пределов иногда удобно пользоваться еле*
дующим свойством последовательностей: если члены двух после-
довательностей (ал) и (Ь„) связаны соотношением
1Ф.К1М.
то из равенства нулю предела последовательности (6„J следует
равенство нулю предела последовательности (ая).
Пример 3.3. Вычислить предел
Решение. Убедимся сначала в том, что для всех nsN
справедливо неравенство
_1— <±.
2л + 1 2 ’
Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части
неравенства, на л, получим очевидное неравенство
Используя далее свойство степеней, заключаем, что для всех
л е N справедливо неравенство
Так как, согласно (4), 11m “0. то из приведенного
выше свойства последовательностей следует
Ответ. 0.
Вычислить пределы:
t 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
IBS
[д* — 1 ]"
(2л+ l)(rt + 2)J
_ . д «In nl
8.Й*. Um
При вычисления пределов, содержащих иррациональности,
часто используют перевод иррациональности из знаменателя в
числитель или наоборот.
Пример 3.4. Вычислить предел
Um (Ул1 + 2л — л).
Решение. Умножим и разделим выражение, стоящее под
анаком предела, на сопряженное выражение. Тогда имеем
11п1 (Ул1 + 2л — л) (Уд1 + 2л + л)
л-*» Ул* + 2л + л
п_ л* + 2д — л* (1_ _____________________________2л______
л-Йо Ул4 + 2л + л Ул* + 2л + л
Разделив числитель и знаменатель на л, получим
2л 2
Um / . , „ =~:---” Um —7====—— “ I.
п->оо Уд1 + 2л + л л-к» У1 + 2/л + 1
Ответ. !.
Вычислить пределы:
3.10. Um {(Ул + 2 — Ул). 8.11. lim (Ул3 — 5л 4-6 — л).
Л->» п->оо
3.12. Um д(Ул1+ 1 - л). 3.13». Um (л +У1 — л1).
Л-*оо Л->00
Для того чтобы установить сходимость монотонной пбследо-
вательностя, можно использовать следующую теорему. Если
последовательность монотонно возрастает (убывает), то для ее
сходимости достаточно, чтобы она была ограничена сверху
'(снизу).
Если доказано, что предел последовательности существует,
то для его вычисления в ряде случаев удобно использовать
формулу
11m хл Q Um Хл+1. (5)
П->оо П->во
Убедиться в существовании предела, а иногда и найти его
можно, используя следующее утверждение. Если для трех после-
довательностей начиная с некоторого N справедливо неравенство
ая^Ьл<ся
166 ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
и Нт ап = lim сп, то lint bn существует и
Л->0» Л->ОО n->OQ
lim bn e Hm ап, (6)
П->оо П->оо
Пример 3.5. Найти предел последовательности хя= 4я,
если известно, что |р| < 1.
Р е ш е л я е. Представим последовательность в рекуррентном
виде:
Ап+1 —
Так как |?| < 1, то |xn+i| < |хл] для любого л s N, и после-
довательность (|хп|) монотонно убывает. Так как |х„| >0 для
любого neN, то (|х„|) ограничена снизу. Следовательно, после-
довательность (|х„|) сходится. Обозначим lim | хя I “у. Тогда
п-»оо
для вычисления у„ согласно формуле (5) получаем уравнение
У = IЯ I У- <♦)
Так как |?| < 1, то уравнение (•) имеет единственный корень
0 = 0.
Аналогично доказывается, что lim (— |хя|)™0. Так как
ft-» 90
неравенство
— I Хп К *ri < | Хп |
справедливо для всех л е N, то
lim хя = 0.
Л->оо
3.14**. Последовательность (хя), первый член которой
Х| = V2". определяется рекуррентно по формуле
*n + i = V2 + x„.
Найти предел (х„).
3.16*. Последовательность (.<„), первый член которой xt = 1,
определяется рекуррентным соотношением
*n+l“xn + (l-2")*n + e4-
Найти предел (хя).
3.10. Последовательность задана рекуррентным соотношением
Xn + i = -2-(— +хя),
где xi > 0, а > 0. Найти предел (х„).
3.17. Доказать, что последовательность, первый член которой
х1 = -у, а каждый последующий удовлетворяет рекуррентному,
$ 4. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
167
соотношению
возрастает и ограничена сверну. Найти ее предел.
3.18*. Найти предел последовательности, у которой
3119. Последовательность определяется рекуррентным соот-
вонгеняем
где а > 0 и х > 0. Доказать, что lim хп — ^[а.
л->оо
3.20. Последовательность определяется рекуррентным соот-
ношением
где а > 0 п х > 0. Доказать, что lim хп
П + ео
§ 4. Арифметическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член а(, а
каждый следующий член, начиная со второго, равен предыду-
щему, сложенному с одним и тем же числом d, называется
арифметической прогрессией:
aa+i = a* + 4 neN; (1)
где а, — п-й член прогрессии, d — разность прогрессии. Формула
общего члена арифметической прогрессии:
ап = П1 + d (п — 1). (2)
Сумма п членов прогрессии S„ вычисляется по формуле
_ а, 4- ап „ 2в| + d (п — 1)
— п --------—5^-------п. (3)
Свойство членов арифметической прогрес*
сип. Любой член арифметической прогрессии (кроме первого)
168
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
равен полусумме равноотстоящих от него членов:
ал =------2----- • к < W
при k = 1 получаем
вл-1 + Лд+| • .—
п---------j-----* (5)
Арифметическая прогрессия полностью определена, если из-
вестны в| и d.
Пример 4.1. При делении девятого члена арифметической
прогрессии на ее второй член в частном получается 5, а при
делении 13-го члена этой прогрессии на ее шестой член в част-
ном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член н разность
прогрессии.
Решение. Условие задачи можно записать в виде следую-
щей системы уравнений:
Я, “ flj • б,
ац = 2п( + б.
Используя формулу общего члена арифметической прогрессии,
получаем систему
ai + 3d == 5 (Д| + d},
di -j- I2d = 2 (Д| -Ь 3d) «4- б,
в которой присутствуют только два неизвестных а( н d Приводя
в уравнениях системы подобные члены, получаем систему
40!— 3d,
а,— 2d+ 5 — О,
решением которой являются а( = 3, d — 4.
О т в е т. о, = 3, d = 4.
4.1. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
сии равна 5/3, а произведение третьего и четвертого ее членов
равно 65/72. Найти сумму 17-ти первых членов прогрессии.
4.2* . Найти арифметическую прогрессию, если известно, что
а, + п3 + — —12, а(а*а( — 80.
4.3* . Сумма трех чисел, являющихся последовательными чле-
нами арифметической прогрессии, равна 2, а сумма квадратов
этих чисел равна 14/9. Найти эти числа.
4.4. В арифметической прогрессии дано: ар = q н я, =
найти формулу общего члена прогрессии ая (pybqj.
4.5* . Показать, что если для положительных чисел а, Ь, о
числа а9, Ь\ с1 являются последовательными членами арнфметн»
s 4. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
169
ческой прогрессии, то числа т-;—, —:—. —гт тоже явля-
г о+с а + с о + о
ются последовательными членами арифметической прогрессии.
4.6. Сумма и разность членов арифметической прогрессии
положительна. Если увеличить разность на 2, не меняя первого
члена, то сумма прогрессии увеличится в 3 раза. Если же раз-
ность исходной прогрессии увеличить в 4 раза, то сумма увели-
чится в б раз. Определить разность исходной прогрессии.
4.7. Найти число членов арифметической прогрессии, у кото-
рой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13
I
равно -J-, а отношение суммы всех членов без первых трех к
, 4
сумме всех членов без последних трех равно
При решении задач, в которых используется понятие суммы
членов арифметической прогрессии, удобно применять следую-
щую формулу, связывающую л-й член с суммой л членов!
C/t+ ! = I “ (6)
Пример 4.2. Известно, что при любом л сумма £л членов
некоторой прогрессии выражается формулой
5п « 4л2 — Зл.
Найти общий член прогрессии.
Решение. Используя (6), имеем
в„+1 -S„+l - S„ = 4 (л + I)2 - 3 (л + 1) - (4п2 - Зл) =8л + 1,
ап = 8 (л — I) + I = 8л — 7.
Ответ, о. = 8л — 7.
4.8. Известно, что при любом л сумма 5„ членов некоторой
последовательности S„ — 2л1 4- Зл. Найти десятый член этбй по-
следовательности и доказать, что эта последовательность явля-
ется арифметической прогрессией.
4.9. Последовательность чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем
свойством, что разносгн соседних членов (последующего н пре-
дыдущего) образуют арифметическую прогрессию 3, 6, 9, ...
Найти номер члена последовательности, равного 15 454.
Пример 4.3. Найти сумму всех четных двузначных чисел.
Решение. Первое четное двузначное число равно 10, а
последнее — 98. Используя формулу общего члена прогрессии
для d = 2. а( = 10, а, = 98, получаем
. . 96 - 10
И-1+-------j—“45.
170
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Подставляя найденное значение п в формулу Sn » — *j-g" «,
находим
S„ — "+ 10 45 = 54 45 — 2430.
Ответ. 2430.
4.1В. Решить уравнение 24-S + 8+ 11 + “ 155.
4.11. За нэготовлеине в установку первого железобетонного
кольца было уплачено 10 руб., а аа каждое следующее колыю
платили на 2 руб. больше, чем аа предыдущее. Кроме того, оо
окончании рабЪты было уплачено еще 40 руб. Средняя стоимость
изготовления и установки одного кольца оказалась раввой
4
РУ*5. Сколько колец было установлено?
. х— I , х —2 , , 1 „
4.12. Решить уравнение — ---1--------1-... + — “1
4.13* . В арифметической прогрессии сумма т первых ее чле»
нов равна сумме л ее первых членов (т^п). Доказать, что
в атом случае сумма ее первых т + л членов равна нулю.
4.14* . Найти сумму всех четных трехзначных чисел, деля»
шихся на 3.
4.15. Определить такую арифметическую прогрессию, в кото»
рой отношение между суммой л первых членов и суммой л чле-
нов, следующих за ними, не зависит от л.
4.1 в*. Найти сумму 60s - 49» + 48’ - 47» + ... + 2* — 1.
4.17* . Найти сумму первых 19-ти членов арифметической
прогрессии П|, аг...если известно, что
л« + + “it + ®1в = 224.
4.18. Найти ai + а, 4-а1( + в|в, если известно, что а1(
Оз, ... — арифметическая прогрессия и
• oj 4-о, + <зт + ... + а|в—147.
4.19* . Найти последовательность, в которой сумма любого
числа членов, начиная с первого, в четыре раза больше квадрата
числа членов.
4.20* . Доказать, что если S„, Sin, St„ — суммы л, 2л, Зл
членов арифметической прогрессия, то
^зп = 3 (Sjn — $л),
4.21* . Известно, что для некоторой арифметической про-
грессив и для некоторой пары натуральных чисел тип имеет
§ б. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
171
место равенство Доказать, что
•о Л л
ап 2 т — I
аЛ = 2л — 1 ‘
4.22* . При каких значениях параметра а найдутся такие зна-
чения х, что числа
Б1 +* + Б1-*, 26* + 2Б-*
будут тремя последовательными членами арифметической про-
грессии?
4.23. При каких значениях х три числа 1g 2, 1g (2*—1),
lg(2* + 3) являются тремя последовательными членами арифме-
тической прогрессии?
4.24. Доказать, что если ui, и», и2 (щ ч* и2) — члены (не-
обязательно последовательные) арифметической прогрессии, то
существует такое рациональное число X, что
и» Т Uj .
йа — «I
4ЛБ*. Доказать, что числа V?, не могут быть
членами (необязательно соседними) арифметической прогрессии.
4.26* . Могут лн числа 2; -у/b; 4,5 быть членами арифмети-
ческой прогрессии?
4.27* . Длины сторон четырехугольника образуют арифмети-
ческую прогрессию. Можно ли вписать в пего окружность?
4.28. Пусть 5Я — сумма п членов некоторой последователь-
ности н известно, что S„IS„ = п21т2. Доказать, что для членов
этой последовательности справедливо отношение
an/om - (2л-1)/(2л»-1).
§ 5. Геометрическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член bt О,
а каждый следующий, начиная со второго, получается умноже-
нием предыдущего па одно и то же число q & 0, называется
геометрической прогрессией:
bn=bn_iq-, (1)
где Ь„ — л-d член прогрессии, q — знаменатель прогрессии. Фор-
мула общего члена геометрической прогрессии:
Ьп-Ь^~1. (2)
172
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Сумма л членов геометрической прогрессии вычисляется па
формуле
= (3)
Если |<?| < 1, то прогрессию называют бесконечно убываю-
щей. Предел суммы ее членов S — lim 8п называют суммой бес-
П-ЮО
конечно убывающей геометрической прогрессии. Он вычисляется
по формуле
(4)
•
Свойство членов геометрической прогрес-
с я и. Квадрат любого (кроме первого) члена геометрической
прогрессии равен произведению равноотстоящих от него членов)
*<« *sN' (б)
Геометрическая прогрессия полностью определена, если из-
вестны 61 в q.
Пример 6.1. Найти четыре последовательных члена гео-
метрической прогрессии, из которых второй член меньше первого
на 35, а третий больше четвертого на 560.
Решение. Пусть 6,, 6>, 6», 6« — четыре последовательных
члена геометрической прогрессии. Условие задачи можно запи-
сать в виде следующей системы уравнений:
6, — 35 — bt.
б. — ббО — б,.
Используя формулу общего члена, эту систему перепишем в виде
6| — 6ig — 35,
6,?а- 6193 = 560.
Подставляя значение 6i(l — q) во второе уравнение системы,
получаем для q уравнение q* — 16, корни которого равны 4 н
(-4).
Теперь из первого уравнения системы по значениям q = 4
и q = —4 получаем соответственно значения 6, = —35/3, 6,-7.
- / 35 35-4 35-16 35-64 4 „
°твет. --J-); (7, -28,
—448, —1008).
5.1. Доказать, что для любого четного числа членов геомет-
рической прогрессии Sim — сумма членов, стоящих на нечетных
9 в. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
173
местах, в SW1 — сумма членов, стоящих на четных местах, свя-
заны равенством — Sqm.
5.2. Найтн первый н пятый члены геометрической прогрессии,
если известно, что знаменатель ее равен 3, а сумма шести ее
первых членов равна 1820.
6.3. Найтн четыре последовательных члена геометрической
прогрессии, если известно, что сумма крайних членов равна
{—49), а сумма средних членов равна 14.
5.4. В геометрической прогрессии с положительными членами
S, = 4, Si = 13. Найти S».
5.5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 13, а их произведение равно 27. Найти эти числа.
5.5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессия
равна 13, а сумма квадратов тех же чисел равна 91. Найтн эти
числа.
5.7. Определить три числа, являющихся тремя последова-
тельными членами геометрической прогресснн, если сумма их
равна 21, а сумма обратных величии равна 7/12.
5.8. Сумма первых четырех членов геометрической прогрес-
сии равна 30, а сумма их квадратов равна 340. Найти данные
числа.
5.9. Произведение первых трех членов геометрической про-
грессин равно 64, а сумма кубов этих членов равна 58-1. Найти
прогрессию.
5.10. Сумма первых трех'членов геометрической прогрессии
равна 31, а сумма первого и третьего равна 26. Найти про-
грессию.
5.11. Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма
всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на не-
четных местах. Определить знаменатель прогрессии.
5.12. Дана геометрическая прогрессия с положительными
членами. Выразить произведение первых ее л членов через их
сумму S„ и через Sn — сумму обратных величин этих членов.
5.13. Сумма любых пяти последовательных членов возрас-
тающей геометрической прогрессии в 19 раз больше третьего
из них. Найти эту прогрессию, если известно, что ее m-й член
равен единице.
5.14. Вычислить сумму квадратов л членов геометрической
прогрессии, у которой первый член равен ui и знаменатель
Ч ¥ 1.
6.15. Доказать, что отношение суммы квадратов нечетного
числа членов геометрической прогрессии к сумме первых степе-
ней тех же членов является некоторым многочленом относи-
тельно 4 (4 — знаменатель прогрессии).
174
ГЛ, 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
5.19. Доказать, что если 5», Дм, Да. —суммы л, 2л, Зя пер-
вых членов геометрической прогрессив, то
Sn (Sjn — Sjn) “ (3»л —
5.17 *. Найти сумму
(,+л)Ч(,.+-)’+... + (.-+^)1.
5.18 *. На А тя сумму
•ч _ 1 _i.JL.i_ 3 л. 4_l . п
,?Г+ 2* +2Г+'?'+ “*+ 2"-‘ ’
5.19 *. Найти сумму
$п и * + 2** + Зх* + ... + пхп, х^1.
6.20. Найти число членов геометрической прогрессив, у кото-
рой отношение суммы последних 14-ти членов к сумме первых
14-ти равно 9, а отношение суммы всех членов без первых семи
к сумме всех членов без последних 7-ми равно 3.
Пример 5.2. Найти отличный от нуля знаменатель беско-
нечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый
член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов. (Счи-
тается, что б, #= 0).
Решение. Составим уравнение, связывающее по условию
задачи л-й член прогрессии с суммой членов, начиная с (л-f- 1)-го
члена. Имеем
а _ а _Ll+L
6л = 4Т=7’
Выражая b„, bn+i через bt н q, получаем уравнение
которое после деления правой п левой его частей на
4<7
приобретает вид I ° | — у ’ ^го К0Рнем является q = 1/5,
Ответ, q = 1/5.
5.21. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
3
сив равна 16, а сумма квадратов ее членов равна 153 Найт
четвертый член и знаменатель этой прогрессии.
5.22*. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессия, у которой отношение каждого члена к сумме
2
всех последующих членов равно у
| в. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОГРЕССИИ
175
БЛЗ. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии о
положительными членами сумма первМх трех членов равна 10,5,
а сумма прогрессии равна 12. Найти прогрессию.
6.24. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сив равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый
член и знаменатель прогрессии.
6J5. Первый член некоторой бесконечво убывающей геомет-
рической прогрессии равен единице, а ее сумма равна S. Найти
сумму квадратов членов этой прогрессии.
6.26*. При каком значении к прогрессия
а + х а — х /д — х\3
——, : , ( :— ] , .... где а > О,
а—х а+* \д+*/
будет бесконечно убывающей? Найти сумму членов этой про-
грессии.
6.27. Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого
квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат,
С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д.
Найти предел Р суммы периметров в предел S суммы площадей
этвх квадратов.
5.28. Найти условие, при котором три числа а, b и с были
бы соответственно ft-м, р-м и m-м членами геометрической про-
грессии.
6.29. Могут лп числа II, 12, 13 быть членами (не обяза-
тельно соседними) одной геометрической прогрессии?
5.30. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сум-
. 16 * о
ма которой равна содержит член -х-. Отношение суммы
о о
всех членов, стоящих до него, к сумме всех членов, стоящих
после него, равно 30. Определить порядковый номер этого члена.
5.31. Найти отношение первого члена бесконечно убывающей
геометрической прогрессии к сумме всех ее членов, если отно-
шение всех членов этой прогрессии, имеющих четные номера, к
сумме всех членов, иомера которых кратны трем, равно 3.
§ 6. Смешанные задачи на прогрессии
Смешанными задачами на прогрессию принято называть та-
кие задачи, при решении которых используются свойства как
арифметических, так и геометрических прогрессий.
Пример 6.1. Трк числа являются последовательными чле-
на ми геометрической прогрессии. Если от третьего отнять 4, то
эти числа будут последовательными членами арифметической
прогрессии. Если же от второго в третьего членов полученной
17в ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
арифметической прогрессии отнять по единице, то полученные
числа снова будут последовательными членами геометрической
прогреснн. Найти эти числа.
Решение. Обозначим искомые числа а, Ь, е. Для состав*
ления первого уравнения, связывающего а, b в с, используем
свойство членов геометрической прогрессии:
b*~ac.
Из условия задачи и свойства членов арифметической прогрессии
получим второе уравнение
26 — а + с - 4.
И, наконец,, последнее условие задачи можно записать в виде
уравнения
(Ъ— 1)’ —а(с —5).
Для решения системы
Ь* яш ас,
26 — а + с — 4,
(6- 1)*-а(с-5)
вычтем из первого уравнения третье. При этом получается линей*
вое уравнение 26 — 1 — 5а, связывающее 6 и а. Выражая те*
верь из системы линейных уравнений
26 — 1 — 5а;
26 “* а + с — 4
неизвестные а в с через 6, имеем
26- 1 86 + 21
а-----g , с- g .
Исключим из системы неизвестные а и с, подставив их выраже*
ння через 6 в первое уравнение системы. Тогда получим относи*
цельно 6 квадратное уравнение
96»- 346 + 21— О,
корни которого равны 3 и 7/9. Подставляя эти значения 6 в
выражения для а и с, получаем искомые числа.
Ответ. (1, 3, 9); (1/9, 7/9, 49/9).
8.1. Найти три числа, являющихся последовательными чле*
нами геометрической прогрессии, если известно, что увеличение
второго числа на 2 делает эти три числа членами арифметиче-
ской прогрессии, а если после этого увеличить последнее число
на 9, то вновь полученные числа снова будут членами герметрн*
ческой мрогрессив
$ 1 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОГРЕССИИ
177
6.2. Трн числа, из которых третьим является 12, являются
«гремя последовательными членами геометрической прогрессии»
Если вместо 12 взять 9, то эти три числа будут тремя последо-
вательными членами арифметической прогрессии. Найти эти числа.
6.3* . Дано трехзначное число, цифры которого являются
дремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Если из этого числа вычесть 792, то получается число, записан-
ное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если из цифры
исходного числа, обозначающей число сотен, вычесть 4, а осталь-
ные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры
которого являются последовательными членами арифметической
прогрессии. Найти это число.
6.4. Даны четыре числа, из которых первые три являются
«гремя последовательными членами геометрической, а последние
три —членами арифметической прогрессии; сумма крайних чисел
равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найти эти числа.
6.5. Первые члены арифметической и геометрической прогрес-
сий одинаковы и равны 2, третьи члены тоже одинаковы, а вто-
рые отличаются на 4, Найти эти прогрессии, если все их члены
положительны.
6.6. Первый член арифметической прогрессии равен 1, а сум-
ма первых девяти членов равна 369. Первый и девятый члены
геометрической прогрессии совпадают с первым и девятым чле-
нами арифметической прогрессии. Найти седьмой член этой гео-
метрической прогрессии.
6.7. Среди 11 членов арифметической прогрессии первый, пя-
тый и одиннадцатый являются тремя последовательными чле-
нами некоторой геометрической прогрессии. Найти формулу об-
щего члена этой арифметической прогрессии, если первый ее
член равен 24.
6.8. В некоторой арифметической прогрессии второй член яв-
ляется средним пропорциональным между первым и четвертым.
Показать, что четвертый, шестой и девятый члены этой прогрес-
сии являются последовательными членами геометрической про-
грессии. Найти знаменатель этой прогрессии.
6.9. Доказать, что если а, Ь я с одновременно являются 5-м,
17-м и 37-м членами как арифметической, так и геометрической
прогрессия, то аь~сЬс~“са~ь = 1.
6.10. Доказать, что если а, Ь, с —три последовательных чле-
на геометрической прогрессии, то
1___ 1 1
iogeAT’ logfcV logetf
— последовательные члены арифметической прогрессии. (Счи-
тается, что числа а, Ь, с положительны и не равны единице.)
178
ГЛ, 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
&II. Даны две прогрессии: геометрическая с4»>0 в знач
менателем q а возрастающая арифметическая 4. с разностью d<
Найта х нз условии
logx ьп — а„ = logx 6t — а„
§ 7. Разные задачи
Проверять, будут лн ограничены следующие последователь*
вести:
7.1. *а - 1 + (-1)" -у.
7.2. хл = л (1-(-!)”).
7« , - 3"+5
хп - 2я _ з .
7.4* . Общий член последовательности представлен в виде
1 . 1 . . 1
х"“ 2 + 4 "*••• ' 2Л’‘
Сколько членов последовательности будет меньше ?
7.5. Доказать, что последовательность
2 +и’
«1“3. оп-ц—
является убывающей.
7Л Домазать, что последомтг поста
является возрастающей.
7.7* . Пусть а„— сторона правильного ^+иугольника, впи-
санного в окружность радиуса 1. Доказать, что последователь-
ность (л„) является убывающей, а последовательность перимет*
ров (Р.| — возрастающей.
7.8. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника
разделен на л равных частей, и па полученных отрезках по-
строены внясавные прямоугольники. Найта предел последователь-
ности (5„) площадей, образованных из ступенчатых фигур.
7.9. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у*=х*,
отрезком [0; 1] осн абсцисс и прямой х= I, как предел после-
довательности площадей ступенчатых фигур, состоящих из пря-
моугольников, построенных так же, как в предыдущей задаче.
7.16. Найта Нт (-^n’ +1 — и).
I T. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
179
7.11 *. Найти трехэначное число, которое делится на 45 н
цифры которого являются членами арифметической прогрессии.
7.12 **. Доказать, что если в арифметической прогрессии
S» — л*р, S« •“ Л*р, k ЦЬ я, то Sp — р*.
7.13 *. Доказать, что если ai, а>, ,,,, оя — члены арифмети-
ческой прогрессии с разностью d, то
_____!_____+ _ + ... +___________________1 _
л/“7 + V®» Vea + Vai + V®n+i
__V^n+i — V*r
d
7.14 . Четыре ввела а, Ь, c, d являются членами геометриче-
ской прогрессам. Доказать, что
(а - с)’ + (Ь - с)’ + (6 - d)1 - (а - d)«.
7.15 *. Решить систему уравнений
х _________________ у z a s
у г и s t '
x = 8u,
х + р4-г + « + « + /—15-|-.
7.15*. Доказать равенство
(66 ... 6)» 4-88 ... 8 = 44 ... 4.
----- ' „—' м-'
л цифр------------------------ шзфр 2л ЯИфр
7.17*. Пусть г, п х»—корпи уравнения х’ — 3x4- А = 0, а
х» и х4—корни уравнения х1 — 12x + fl = 0. Известно, что по-
следовательность Xi, х2, Xj, х4 является возрастающей геометри-
ческой прогрессией. Найти А и В.
Сумма л членов нроиэвольной последовательности в некото-
рых случаях может быть найдена с помощью построения вспомо-
гательной последовательности (SJ, удовлетворяющей условию
S*+i — 5* = u*.
Нетрудно убедиться, что
Ui 4- из 4* • • • 4- ип = (^2 — Si) 4- ($э — Sj) 4- ...
• ..+(^n + i—Sn) = Sn+i — S4. (2)
Пример 7.1. Найти сумму
<liOl О1Оэ ОлОл+1
если известно, что в4..да+« — последовательные члены ариф-
метической прогрессив с разностью d ч* 0, ни один из которых
не равен нуле.
180
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Решение. Записывая дробь ----- в виде
0)01
_J____(_L__LY—!____________
a(aj \ ai at / — at \ ai at J d
где d = at — at, и взяв S» равным
с _ 1 1
* “ de*’
меем
—1—
a*+io*
Далее, используя (1) и (2), получаем
®|в» аза» + "I* On^n+i я+1 1
___— ______L)_2__.
d \ в/i+i «I / an+iai
л л
Ответ. --------.
arl + |Л|
7.18. Доказать тождество
1 , 1 , 1 , , 1 , _ 1
1-2 + 2-3 + 3-4 ”• я(л+ 1) “ п+1’
7.10* . Доказать тождество
___! □______!__I__!—|-... ч------------------
М-З Т 2>3.4Т 3-4-5 т 'т n(/i+l)(O2)
“Т(т “ (п+ 1)(п + 2))’
7.20* . Доказать тождество
__J_ + _2_+ +__________________2___________
ЬЗ-В т 3.5.7 т •" т (2л- 1)(2п+ 1)(2п + 3)
л (л + 1)
“ 2 (2п + I) (2п + 3)'
7.21. Пусть ai.а„ — арифметическая прогрессия. Дока,
зать тождество
—— Ч----!—+...+—!— =
atan апа,
____2_f_L + _L+ +±>|
fli-an \а, аа вп7’
7.22. НаВтв сумму л чисел вида 1, 11, 111, 1111, ...
t 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
181
7.23. Определить следующие суммы:
а) ! _ 2 + 3 - 4 + ... + (-1);
б) I» _ 2» + 3» - 4* + ... + (-!)"+* • п-,
в) 2.1« + 3-2’+... + (л+ 1) л’.
При вычислении пределов последовательностей, члены кото-
рых являются результатами суммирования, используются слвя
дующие формулы:
l + 2+...+л- п(л2+ П, (3)
1«4-2*+... + л» — — <я+1><2я+ 0 0)
и
1* + 2» + ... 4- л* « -*(п + 1)>-. (б)
4
Используя (3), (5) я формулы для сумм л членов арифме-
тической я геометрической прогрессий, вычислить пределы;
14-2 +
+ 2"
Тб”-'
7Л6-Дт0О(^+^ + -+£^1)’
7Л18. Д. (Уз + ^ + ^ + ... + ^ ).
,|т Г1+3 + 5+...+(2п+.)^л-1 ч
___ /7, 29, , бп + 2" \
7Л л'Д ( Ю + 10’ + •'• + ш3-)•
7Л0*. п11т>( , ,2 + 2.3 + ... + я(л + () )•
7-3** Дт» ++• • •+ *
где (аа) — арифметическая прогрессия с разностью d, члены ко-
торой отличны от нуля.
/ 1 8
7Л2. lim ( -г + "тг +
л-е«\л п
1Я2 ГЛ. Т. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Найти пределы последовательностей:
2 2
7.88**. ап~ —= • ...
V2 -V2 + V2
2
•.. —.. - - = (в последнем сомножителе п
••• +V2+V2
радикалов),
7.34. а„ = Vo+ V«+ ••• + V« (я радикалов).
7.35*. ~ + • • • + (« радикалов).
<2-V2 + ... + V3
ГЛАВА 8
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ
$ I. Предел функции
Пусть (а; 6) — некоторый промежуток числовой оси и хо е
е (а; Ь), Будем считать, что функция у = f(x) определена во
всех точках промежутка (л; Ь) за исключением, может быть,
точки Хо. Говорят, что число А—предел функции у = /(х) в
точке х#. в пишут Um i (х) “ А если для любого е > 0 суще-
Х**Ха
ствует такое число 6(e) > 0, что для всех я е (а; Ь), удовле-
творяющих неравенству 0 < )х — Хо| < 6(e), выполняется не-
равенство |/(х) — Л| < е.
Говорят, что число А — предел функции g = /(г) при я,
стремящемся к бесконечности, и пишут lim f (х) — А, если для
Х-»ос
любого е > 0 существует такое число л0(е), что для всех х>
> Ло(е) выполняется неравенство |/(х) — /1| < е.
Функция f(x) называется ограниченной на промежутке [а; 6],
если существуют такие числа m в At, что для всех хе=|<г, Ь]
выполняется неравенство m / (х) С Al-
Функция /(х) называется бесконечно малой при х-*х*, есла
для любого е>0 существует такое 6(e), что для всех хе(о;Ь),
удовлетворяющих неравенству О< (х— хо| < 6(e), справедливо
неравенство |/(х)| < е. В этом случае пишут lim/(x) = 0.
Функция /(х) называется бесконечно большой ври х-*-х9,
если для любого числа Е > 0 существует такое 6(E), что для
всех хе (а; 6), удовлетворяющих неравенству 0< )х — x0| <
< 6(E), справедливо неравенство |/(х) | > Е. В этом случае
пишут 11m ((*}“<».
Для того чтобы доказать, что число А является пределом
функции f(x) при х-^х», достаточно для любого в вайтв числа
6(e), фигурирующее в определении предела.
IM гл. 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ' ФУНКЦИИ ’
Пример 1.1. Доказать, что
Решение. Для того чтобы для данного в найти нужное
число 6(e), составим неравенство
о<|-£=А-.|<.. (.)
При х ч** 2 оно эквивалентно неравенству
О < | х - 2 | < в. (•*)
вэ которого видно, что в качестве 6(e) можно взять 6(e) = в,
и в силу эквивалентности неравенств (♦) и (**) при всех аиа-
ченнях х, удовлетворяющих неравенству (*•), будет выполняться
веравенство (•).
Пример 1.2. Доказать, что
lim 2‘^-оо.
х->0
Решение. Для того чтобы для данного Е найти требуе-
мое число 6(e), составим неравенство
2|/х' > Е. (»)
Логарифмируя обе его части по основанию 2, получаем эквива-
лентное неравенство
рг > logs Е. (»»)
решая которое относительно х получаем
1 ул?
logsEj •
Таким образом, в качестве 6(c) можно взять
Доказать, что>
1.1. lim (х + б) —8.
х->3
1.3. lim V* = Vе.
х->а
1Л. lim — = 0.
х-»оо *
1.7. 11m -Л- — со.
х-»0 •
U. 11m (х’-4)“0.
Х->2
>0. 1.4. 11m (6 —2х) = 4.
х->1
1
1.в. lim 2|x-flt =со.
х->а
| 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ 18В
При решении некоторых задач удобно использовать следую-
щее определение предела функции. Пусть функция /(х) опреде-
лена во всех точках промежутка (а; Ь), за исключением, может
быть, точки хо е (а; Ь). Говорят, что число А — предел функции
f(x) при х, стремящемся к хо, если для любой последовательно-
сти значений аргумента (х„), стремящейся к х0 (х„ в*1 хо), для
соответствующей последовательности значений функции /(х,1
lim f(xn) = A
H-*OD
Пример 1.3. Доказать, что функция f (х) — при х-*0
предела не имеет.
Решение. Возьмем две последовательности значений аргу-
мента, сходящиеся к нулю: 1/л, x„J — — 1/л. Тогда
lim f (х<,‘») - lim -jg- - lim 1 - 1,
iim /(x(2)) — lim _] w/ = lim (—!)=-—!,
П-Юо Чг* Л->оо
lim /(xj,»)^ lim f(x<2»).
П“^оо Л^оо
Таким образом, построены две последовательности значений ар-
гумента, отличные от нуля, пределом которых является нуль,
такие, что соответствующие последовательности значений функ-
ции сходятся к разным числам (одна к 1, другая к —1). Но
так как в определении предела требуется, чтобы для каждой из
рассмотренных последовательностей значений аргумента предел
последовательности значений функции был одним н тем же чис-
лом, то мы тем самым доказали, что данная функция при х->0
предела не имеет.
Доказать, что следующие функции не имеют предел^
1.8* . /(х) = sin (1/х) при х-*0.
1.8. /(х)-«~^* при х->0.
1.10. /(х)=-{ при х-»0.
1.11. f(x) = (xb х 4, где {х} — дробная часть числа х,
§ 2. Вычисление пределов функций
Если существуют lim ft (х) и 11m /з (х), то существуют
х-*в х-еа
пределы
Пт с/i (х) — с lim fi (х), (1)
х-»а х-»а
Нт [/.(х) ± ft (х)1 — Пт А (х) ± Пт ft (х), (2)
1М гл. 8. ПРЕДЕЛ функции. НЕПРЕРЫВНОСТЬ' ФУНКЦИИ
lim (f, (х) /, (х)J — lim ft (х) lim ft (x), (3)
x->fl *->• x+a
Um [A (x)/f, (x)] = lim f, (x)/ lim /1 (x) (11m /»(х)ч*0). (4)
x-»a x->a x->a x-»a
При отыскании предела отношения двух многочленов, аавн«
сящнх от х, при х -* оо, оба члена отношения необходимо пред»
варительво разделить на Xя, где л —наивысшая степень атжх
многочленов.
Пример 2.1. Найти 11m *
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби ва X*.
Тогда
„ ,, (^)(^)
Нт 2х»-Бх + 3 “Л", 2 - б/х + 3/х* *
• х^роо * •
Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а также (2) н (1)
(при с = —1), получим
Нт (l-3/х) Нт (1 -2/х)
lim 2 — Нт — + lim —у
Х->® Х->ж * Х->» *
а
Используя равенство Пт ~ — 0, получим
Б 3 “ 2 *
2 — Пт — + Нт "ТГ
Х->00 л Х-Ь» *
Ответ. 1/2.
Вычислить пределы:
(х+ I)2 — х’+Бх— 6
Л- (*-3)(х + 2)- 2А Щх-2)(х-3)'
Vx 2х + 5
М. Пт — 2.4. Пт —7=^-
«— Vx+Vx + Vx «»” * + Vx
Если Р(х) и Q(x) — многочлены и Q(a) фЬ 0. то предел от«
ношения
Р(х)
,'Та Q (х)
находится непосредственно с помощью формул (I) — (4). Если
же Р[а) = 0 и Q(a) = 0, то, записывая многочлены Р[х) н
4 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ
187
Q(x) в виде
Р (х) - (х - а)‘ Pt (х). Q (х) - (х - а)п Qi (х)
(А и л—кратности корня х = а многочленов Р(х) н Q(x)), не*
обходимо до перехода к пределу произвести сокращение числи*
теля и знаменателя дроби P(x)/Q(x) на общий множитель.
Пример 2.2. Вычислить предел
х» - 5х + 6
lim
х->3 * — »
Решение. Записываем выражение, стоящее под знаком
предела, в виде
_ 5х + 6 (х - 3) (х - 2) х - 2
х’ - 9 “ (х - 3) (х + 3) “ х + 3'
Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1)-*
(О:
х —2 I
Ответ. 1/6.
Вычислить пределы:
хэ+1 (*+!)•
2.8. lim , । • 2.6. 11m —, ,—•
х->-1 x + 1 x->-l * -r >
8x3 - 1 (x + A)’ - X»
2.7. Km • 2.8. Ilm ------т------.
x-»l/26x 5x+* h-»0 л
°- (2-x ~ 8 —xs )•
2.10. Ilm Г (? ~ 2ax* + *»*> <x ~ ««Г1 +
x-»aL X* — a*x
2a 2 1
"r xs — ax x — a J’
2.11. a) lim*/(x), 6) lim’/W.
где f(x) =
2.12. a)
2.13*.
V* — 2 + l/x
hm /(x), 6) Jlm^Hx). где / (x)д x Z flj
X< - X> -• X + 1
x3 - 5x» + 7x - 3 •
Вычисление пределов от выражений, содержащих нррацио,
нальности, иногда упрощается введением новых переменных.
188 ГЛ. 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Пример 2.3. Вычислить предел
Ух» - 2 <7 4-1
(х- 1)
Решение. Обозначим л/х •= t. Тогда для переменного t вы-
ражение, стоящее под знаком предела, можно записать в виде
t* - 2? + I
(t’-D’ '
Число, к которому стремится новое переменное t при х->1, на-
ходится как предел значения функции? (х) при х->1, Т. е.
11m ? (х) = lim у/ х = 1.
х-»1 х->1
Таким образом,
/« - 2/ +1 (?-!)»
iTi (?» - 1)» (?-!)» (<» + <+!)*
и 1 1
“l™ +
Ответ. 1/9.
Вычислить пределы:
2.14. 11m ~ . 2.1S. 11m У? +х ~ *•-
*-*>V7_i «-»0Vl + x-l
Вычисление предела от иррационального выражения иногда
можно осуществить переводом иррациональности яэ числителя в
знаменатель или наоборот.
Пример 2.4. Вычислить предел
х-ео
Решение. Умножая числитель н знаменатель дроби, стоя-
щей под знаком предела, на выражение, сопряженное числи-
телю, получим
.. Vx» + I - I .. х» + I - 1 х
Нт —---------------- lim —t . ------ »
ж->0 * х->о х(-уха + 1 + 1)
х->0 ж (Ух» 4- I + О
Ответ. 0.
I 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЯ
189
Вычислить пределы]
2.17. Ilm (V*’ + ' — Д
2.18. 11m
2.20. Ilm 2_____I -—
х-»9 -ух — б — 2
2.19. Нт • * ------------.
ж-»з V* + 1 — 2
2.21.
2.23 *. lim x(V4*’ + 7 + 2х).
— оо
9х — л/х* —- 4
2,25 . lim —--—------—.
Х^оо X
2.24. Ilm —5==____
Vx1 — I —
2.26
При вычислении пределов выражений, содержащих тригоно-
метрические функции, часто используется предел
sin х ,
hm------= I.
х-»и *
Пример 2.5. Найти предел
Решение. Преобразуем числитель дроби по формуле
1 — cos 2х = 2 sinа х.
Тогда получаем
„ 1— cos 2х „ 2sin’x „ „ sin х ..
Ilm-------------- lim -------= 2 lim------ lim sinx = 0.
x-»o * i-»o * x-»o * x->o
О т в ет. 0.
Пример 2.6. Найти предел
,, Уагсв1п х
11m ----------------------------.
Решение. Обозначим у = arcsin х; тогда х = е?п у. Так
как при л -f 0 arcsin л стремится к нулю, то
lim
х->Э
arcsin х
х
e-»o sin у
Ответ. 1.
Вычислить пределы*
2.27 . Ilm 'а‘П ПХ:
X+Q 8Ш ШХ
2.28*. 11m
х-»а
sin х — sin л
х — а
1М ГЛ. 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
2.29 *. lim (л sin— 1
Л->оо \ П /
2.30*. Пт
2.32*. lim tg<* ,3tE*
х->я/з cos(x + «/6)
2.34. Ilm - ~-ln (T/2).
Х->Л я — X
sin ж — cos x
1 - tg ж
sln (ж — я/3)
1 — 2 cos x
2.31. lim
2.33 *. lim
2.83 *. Ilm У1— Vl.^sinx,
§ 3. Непрерывность функции в точке
Функция f(x), определенная на промежутке (а; 6), назы-
вается непрерывной в точке х» е (а; Ь), если:
1) существует предел Ilm f (х);
х-*х«
2) этот предел равен значению функции в точке хо. т. е.
Нт /(х) = /(х0).
Х-»Хо
Доказательство непрерывности функции }(х) в точке х« со-
стоит в проверке справедливости равенства
Пт /(х)=/(х0). (1)
Х->Хо
Пример 3.1. Доказать, что функция
f(x)-3x* + 5
непрерывна в точке х = 2.
Решение. Используя теоремы о пределах, имеем
11m (Зх’ + 5) — 3 11m х1 + 5 = 17.
х->2 х-»2
С другой стороны, значение функции в точке 2 тоже равно 17.
Следовательно, равенство (1) выполняется н данная функция не-
прерывна в точке ж = 2.
Доказать непрерывность следующих функций в указанных
точках:
3.1. f (х) =» х* — 2х + 1 в точке 1.
„ „ ,. . 1 + cos 2х я
3.2. f (х) “ ' cos~x— в ТОЧ1<а х “ Z*
„„ ,, . f xJ. х> I, .
3.3. f (х) -> •> х < ( в точке х = I.
f sin х , _
8.4. f (ж) — < х в точке х = 0.
11. * — О
t 3, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Щ
ж^О л
о, ’ х — 0 “ Т0ЧКе
3.6. f (х) = ( >Я' * * 0" в точке х = 0.
I е, х — 0
( УТ+Т-^1_+х_ х¥.о
8.7. /(х)«»< х в точке Х“0.
(, 1/6, х = 0
При доказательстве непрерывности функции f(x), опреде*
ленной на промежутке (а; Ь), в точке хо е (а; Ь) в ряде слу*
чаев вместо равенства (!) удобнее проверять справедливость
равенства
lim U (х0 + Дх) - / (х0)1 - 0, (2)
Дх->0
при выполнении которого функция непрерывна в точке хо.
Пример 3.2. Доказать, что функция
f (х) = sin х
непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение. Для данной функции составим разность
Л(х + Дх)-/(*):
Bin (X + Дх) — sin х — 2 sin COS
Воспользовавшись тем, что
sin (Дх/2) I ( Дх \ I .
11ГП T—775 = •• с09 ( * И n- I < 1»
Дх-»о Дх/2 ’| к 2 Д’*
с помощью формул (2), (5) из § 2 получаем
lim [sin (х + Дх) — sin х] = 0.
Лх-»0
Доказать непрерывность следующих функций на всей Обл^*
сти нх определения:
ЗА f (х) = х1. 3.9*. f (ж)«- cos х.
3.10*. / (х) = In х. 3.! 1*. f (х) •= вх.
При доказательстве непрерывности часто используется слог
дующая теорема.
Если функции /(х) и g(x) непрерывны в точке Хо, то их
сумма, разность, произведение и частное (если g(х«) 0) не*
прерывны в точке хо.
Пример 3.3. Доказать непрерывность функции
,, . 2х’-2
/(*)- Х2+,
на всей числовой оси.
192 ГЛ. В. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ' ФУНКЦИИ
Решение. Так как /(к) представляет собой отношение
двух многочленов, причем знаменатель всюду положителен, то
непрерывность f (х) в любой точке х е R следует нз непрерыв-
ности в этой точке числителя и знаменателя.
3.12. Доказать, что дробно-рациональная функция
непрерывна в своей области опре-
деления.
3.13. Будет ли функция у — tgx непрерывна на всей число-
вой осц,?
Если Ilm f(x) существует, но функция не определена в
Х-»*о
точке хо, то говорят, что хо — точка устранимого разрыва,
В этом случае можно доопределить функцию f(x) по непрерыв-
ности. положив
F (х0) — Ilm f (х).
х-ьх.
(3)
Пример 3.4. Доопределить функцию
it \ х* — 4
в точке х = 2 по непрерывности.
Решение. Точка х = 2 не принадлежит области опреде-
ления данной функции, но
Пт - 11т (х + 2)-4.
3+2 Я — 3 х->2
Доопределяя функцию f (х) в точке х —> 2 значением, равным 4,
получаем функцию
Г х* —- 4
т . . I -----5- при X 2,
/ (х) = < х — 2 г
I 4 при х —2,
которая на всей области определения исходной функции совпа-
дает с исходной функцией и будет непрерывной на всей число-
вой оси.
Ответ. 7(2) —4.
Доопределить по непрерывности следующие функции в ука-
занных точках:
8.14. / (х) — Х в точке х-0,
8.15. f (х) — ~ *— в точке х — 0.
I 8. НЕПРЕРЫВНОСТЬ' ФУНКЦИЙ В ТОЧКВ 193
8.16. f (х)——1 —— в точке х = 0.
4 _
8.17. f(x)~-—в точке х —81.
9— Vx
Подобрать параметры так, чтобы /(х) стала непрерывной в ука«
ванной точке (если точка не указана, то на всей числовой
прямой):
( *8-5х + 6
8.18. f (х) — { х - 3 •
(.А х — 3.
3.1»./(х) —х*0,
I А, х — 0.
( sln Зх
8.20. f (х) “ < sin 2х ’ * ’в точке х “ 0.
( А. х = 0
( 1 — соз х
3.21. f (х) = < sin’x ’ х 1 в точке х = 0.
I А х =0
С **
8.22. f (х) = < I — cos mx ’ Х ’ в точке х •" 0.
La х—0
3.23*. f (х) = | (1 “ ж) tg х * в точке х — 1.
IА х = 1
Пусть функция /(х) определена на промежутке (а; х»)«
Число А называют левым пределом функции f (х) в точке х<> а
пишут
Ilm f (х) = А,
X-»Xt-0
если для любого в > 0 существует такое 8(e) > 0, что для лю-
бого х е (а; хо), удовлетворяющего неравенству х0 — б (е) < х,
выполняется неравенство
|/(х) - А | < е.
Функция Цх) называется непрерывной в точке к» слева,
если точка х« принадлежит области определения функция и
lim f (х) — /(хо).
Х->Х,-0
Аналогично определяются правый предел функции и непре*
рывность функции справа.
7 А. Г. Цыпкин, А, И. Папский.
194 гл. 8. ПРЕПЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
Н*)-{
Для непрерывностп функции f(x) в точке х« необходимо и
достаточно, чтобы она была непрерывное слева и справа в
точке хо.
Пример 3.5. Каким условиям должны удовлетворять па-
раметры а н Ь, чтобы функция
х — I при х < 1,
ах* + ftx ври х > I
была непрерывной?
Решение. Вычислим левый и правый пределы данной
функции.в точке х = 1:
11m (х—1)—0, Пт (ах* + Ьх) “ а + ft.
х->1-о х-и+о
Так как данная функция в точке х = 1 непрерывна слева и
f(l) “0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно вы-
полнения равенства а + b = 0.
Ответ, а + ft — 0.
Подобрать параметры, входящие в определение функции,
так, чтобы функция f(x) стала непрерывной:
3.24./(x) 3.25. f (x) = <j i ax+ I. х<я/2; [ sin x + ft, x > я/2. । x*. x < 1; Lax, x > I.
3.26. 7(x) = -] f | x* — 5x + 61, x > 2; [ ax — ft, x < 2. f|x»-8x + 6|, x<3; [ax — ft, x > 3.
3.27. /(x)--|
&28. J(x)—| 2^*’. X<1. 1 ax* + ftx + 1, x>t.
( 3 ii r о
3.20. 1 (x) — < ЗЛО. /(x) = < x*+ 1 ' U 4 ( - ха + ft. x < 0. fx’ + x+l, x>- [ sin (л (x + a)), x < 1.
841. / (x) — • (x + 3, x<3: [a-2x, x > 3.
§ 4. Разные задачи
Вычислить пределы:
4.1. 11m
х-»о
соа х sin х — tg х
х* sin х
х-»л/4 2—ctgx —ctg*x
195
f 4. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Проверить справедливость неравенств!
elnl **
., 2х + 3 2х» - Бх - 3 , .. s,n 2
4.3. lim -------=-> Mm----------------------------F lira ---------
x-*<*>x + -yx x-> —1/2 4x* — 18x — 10 x-»o x*
i.i lta V+H--I
X-»0 X
Va — 2 cos x
х^я/4 Bln (x — л/4)
> lg 0,005.
Вычислить пределы:
i. Ilro 4Л lim
x->ix’4-5x —6 х-ьО cos3(x + л/2)
4.7. lim 8hl**
Х~>Я I + cos’ X
V27+T - 1
lim ,
x->0 V3* + 4 — 2
4.8. |,m 4.9. lim x-»o x— a
x-»0 S ;ln* x
_ .. sin x — sin a л .. . sin x — sin a
4.IU. lim - 4.11. lim .
x+a cos x — cos a x->a ij-v-iga
4.12. Ilm sin X — COS X л . sin x — cos x
4.13. lim —; j— х-*яц lg X — 1
x-»n/4 tgx —Cig X
4.14. Ilm .«К*-8»"*. 4.16. Ilm ™№+xl. X-W 1 - tg X
X->0 X
4.10. lim cos 2x . sin 2x 4.17e 1ГП T—:—; .
cos x — /2 х->з.тга 1 + Sin X
4.18. Ilm COS X 4.19. lim H "—. x-»o 1 — COS X
Х-.Л/2 n — 2x
4.20. lim sin (л/3 — x) . x sin x 4.21. hm т .
x->n/3 2 cos x — 1 x+o 1 — cos X
4.22. lim ' sec 2x + 1 . „ 1 — cos 2* 4.23. Ilm ——5 .
Х-.Я/2 COS X x-»n tg*x
4.24. Ilm 1 + cos 2x . .. sin* x — sin* a
4.25. lim :
Х-»Л/2 clg’x x_>, sin (x—a)
4.26. lim 1 — sin X . __ .. sin (л/4 — x) 4.27. lim 5 Г7?г
Х-.Л/2 COS* X х->пц cos3 * — 1/2
4J28. Dm - gx — sin X , tg*x —tg*a 4.20. Hm -a—; Ц—.
x->o sin* X x-^a tg(x-a)
. nft и cos*x — cos*a „ tg3x —tg’x
4.30. lim ----------------. 4.31. Ilm ;--------=—.
x-»a x — a x->o tg*
19в ГЛ. 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
4.32.
Ilm
x-in/4 Sin X — cos*
4.33. Ilm [(sin x — cos x) tg (-2- +x
х->л/4 L \ 4
4.34. lim |(l — sln x) tg’x]. 4.36. lim [(a — x) sec-5—1.
x-»n/2 x-»a L 2a J
.Л0. Jlin (.In
4.38. Iim(—tg^-Y 4-39. lim (zx sin
X-»0\X 2/ x-»<x> X 2
. 1 — COS3 X
4.40. Ilm -:---------.
x->o * 8*n x 003 *
Доопределить функции по непрерывности:
4.42. f (х) = —---У* 4 в точке х = 0,
sin 2х
. ... cos’ х — sin’x — I л
4.43. f(x) =-------- - ---------в точке х = 0.
Vx’ + 1 - 1
Выяснить, при каком выборе параметров функция f (х) бу
дет непрерывной:
( УИТТ-4
4.44. f (х) “ < х’ — бх + 6 ’ ’в точке х = 3.
I А, х — 3
( 2х+2- 16
4.45. / (х) =J 4х — 2* ’ Х '
( А, х = 2.
Г Л А В A 9
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Вычисление производных
Пусть функция f(x) определена на промежутке (а; Ь). Возь<
мем предел отношения приращения функции
М (*0) = / (Х0 + Л») — f (Xg)
(1)
к приращению независимого переменного Дх (Дх = х — х0) прц
Дх, стремящемся к нулю;
lim
Дх-»о
Af(xo)
Дх
(2)
Если этот предел существует, то говорят, что фупкцпя f(x)’
имеет производную в точке х0, или что f(x) дифференцируема
в точке хо. Производная функции f(x) в точке х0 обозначается
Г(Х,). Если предел не существует, то говорят, что функция f(::\
не дифференцируема в точке Хд.
Задача, связанная с вычислением производной, исходя из ее
определения, заключается в непосредственном вычислении пре-
дела (2).
Пример 1.1. Вычислить производную функции
/ (х)« sin х.
Решение. Составим приращение функции Д/(х.):
Д/ (Хд) = sin (.Xg + Дх) — sin ха.
.Чтобы найти предел
„ sin (х0 + Дх) — sin х0
пт ------------------------------------------
Дх
воспользуемся формулой
в!п (х0 + Дх) — sin Хо — 2 sin
Дх
2
19В ГЛ. в. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
С учетом непрерывности функции cosx имеем
_ , Дх ( , Дх \
2 sin —— cos ( Хо Ч—— I
Пт
Дх
= cos х0.
А"
sin —-
= lim —т—г:— I'm cos
Дх->о Дх/х д.,-»и
Так как точка хо выбрана произвольно, то можно ааидючить,
что
(sin х}' = СО?Х.
О Т С С Т. (iid х) ' -- CuS X.
Исходя из определи ин производной, вычислить производные
следующих функций:
1.1. f(x)=l/x.
1.3» . f(x) = ee.
1.5* . / (х) = х".
Односторонние пределы
.. Af (хо)
игл *—Г-----
Дх-»-0 Дх
Um
1Д. f (х)=>созх.
1.4*. f(x)=hix,
1.6. f(x)tac.
(3)
(4)
называются соответственно левой и правой производными функ*
цнн f (х) в точке х» в обозначаются f_ (xg) в 1+ (х0). Для суще*
ствования производной f'(xg) необходимо и достаточно, чтобы
обе производные (левая в правая) существовали в точке хо и
были равны;
f'+ (х0) = f'_ (х0). (Б)
Пример 1.2. Доказыь, ч;о фупкг.ил
пе дифференцируема в точке х» 1.
Решение. Приращение функции в точке х = 1 равно
А/(•)=/(! -г Дх) — /(В = {^ + дх)»_ it дх <о,
пли, после преобразований,
АПП / Дх’ Дх>0,
0,14 \2ax + (Ax)». Ах<&
I I. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
199
Следовательно, по определению (3), (4) имеем
Так как?+ (I) f'_ (1), то производная f'(x) в точке № 1 не
существует.
Доказать недифференцируемость следующих функций в ука-
занных точках:
1.7. f(x) = | х | при х = 0.
1.8. f(х) ™ |ха — 5х + 6| при х = 2 и х = 3,
1.9. Нх) = (Ж’ *<1,
12- х, х> 1,
при х = I.
1.10*. Показать, что функция
( х sln —, х =£ 0,
f W - < «
(о, х-=0
не имеет в точке х = 0 ни правой, ни левой производных.
1.11. Доказать, что функция f(x) = х|х| дифференцируема
в точке х = 0.
Производные основных элементарных
функций:
(6)
(а*)' — a* In а, а > 0, (е*)' “ ех, (7)
(1og0 х)' — х /п д . «>0, а#1, (1пх)' = -р (8)
(sin х)' — соз х, (9)
(cos х)' = — sin х, (10)
ВРУ <•»
(arcsln х)'»- . 1 (13)
VI — х*
(arctg х)' — (Н>
200
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Правила дифференцирования. Пусть с — посто-
янная, f(x) и g(x)—дифференцируемые функции; тогда
с'-0, (15)
И (*) +g (*))' = /'(*) +Я'(х), (16)
I/ (х) g (х)]' = f (х) g (х) + g' (х) f (х), (17)
Г f (х) 1' f (х) g (х) — g'(х) f (х) П8.
LtutJ-------------5Ф)---------• (l8)
Теорема о дифференцировании сложной
функции. Пусть ук/(х) имеет производную в точке х«, а
функция "g (у) имеет производную в точке y« = f(x»); тогда
сложная функция F(x) = g[/(x)] имеет производную в точкех»,
равную
F’ (х0) = g' (у0) Г (х0). (19)
Пример 1.3. Вычислить производную функции
Л(х)-(х3 + х+1)">°.
Решение. Полагая у = f(x) = х14-х 4- 1, g(y) ™ У|М,
имеем
g7 (у) = 100у", Г (х)-2x4-1.
Тогда, согласно (19), получаем
F' (х) = 100 (х1 4- х 4- 1)” (2х 4- 1).
Ответ. F'(х) — 100(х*4-х4-1)”(2х-}-1).
Вычислить производные следующих сложных функций!
1.12.
1.14.
У
У
2 4-Ух
” 2 — V* '
= Vsln V* •
1.16, у = arctg *.
1.18. у в cos1 х (3 cos’ х — 5).
10
1 <П .. (tg*x - l)(tg‘x4-10tg’x4-1)
1.19. у----------------------------------
1.20. у — In cos —---.
Предварительно упростив выражения, вычислить произвол-
яые следующих функций:
4 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
201
1.22. Цх)
х1
1
(1 -ха)~1/2 - 1 J
UX / (х)
Ч— х’-2дЛ -х‘
U4. Г (х) - -3 .-1
«/<* + 2М + 4/’
(xl/m । Зх*/")2 __ [2x(mt',У('n',,
U5. /(х)-(7Г^Хг +
2 —
на некотором промежутке
V(X_+ 1)Э -V(X-
г (V(i + - V(i -*)’)
ив. f(x)
1.27. Их)
UX f(x)
U8. И*)
1.30. f (х)
U1
Если функция f(x) определена
[в; Ь], то в качестве значений ее производных на концах этого
промежутка принимаются значения левой производной на правом
конце в правой — па левом конце соответственно.
Пример 1.4. Вычислить на промежутке [0; 2] производную
функции
202
ГЛ. а. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ применения
Решение. Так как выражение под радикалом представ-
ляет собой полный квадрат, то, согласно определению модуля,
представим данную функцию в следующем виде:
zw-ix-1
х <= [1; 2),
х е 10; 1).
(♦)
Дифференцируя f(x) отдельно на промежутках [0; 1) п (I; 2],
получаем
г«-{ [;
xs[0; 1),
ted; 2J.
Так как левая я правая производные f(x) в точке х=1 не
совпадают, то в точке х = 1 производной не существует; в ка-
честве значения Г(х) на концах промежутка [0; 2) принимаем
значения левой производной функции (♦) в точке 2 и правой
производной функции (•) в точке 0.
л > f->. *si°; О.
Ответ, / (х)-| ь жв;1;21>
Вычислить производные следующих функций:
1.35*. f(x) = Ух + 2^2х —4 4-V* — 2 V2x — 4 .
§ 2. Промежутки монотонности и экстремумы
функций
Говорят, что функция у = f (х) возрастает на промежутке
(а; Ь), если для любых xi *i, принадлежащих (а; Ь), нз
неравенства xt < х> следует неравенство Цх() < f(x>). Говорят,
что функция у <= f(x) убывает на промежутке (а; Ь) если для
любых Xi в xt, принадлежащих (а; Ь), вз неравенства xi < х>
следует неравенство f(xt) > f(xi) Функции, возрастающие (убы-
вающие) ва промежутке (а; Ь), называются монотонными на
этом промежутке.
$ 2. ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМЫ 203
Достаточные условия монотонности функ-
пик. Пусть функция у = /(х) определена и дифференцируема
на промежутке (а; 6). Для того чтобы фуккдил была возра-
стающей на промежутке (а; Ь), достаточно, чтобы выполнялось
условие
f' (х) > 0 при любом х s (а; Ь).
Для того чтобы функция была убывающей на промежутке (в; Ь),
достаточно, чтобы выполнялось условие
f' (х) < 0 при любом х е (а; Ь).
Точки, принадлежащие промежутку (а) Ь), в которых про-
изводная равна нулю или ве существует, называются критиче-
скими точками функции y~=f(x). Из определения критической
точки следует, что если производная функции меняет знак, то
это может произойти только при переходе через критическую
точку. Таким образом, промежутки убывания, возрастания (про-
межутки монотонности) функции f(x) ограничены критическими
точками. Поэтому, для того чтобы определить промежутки мо-
нотонности функции, необходимо:
1) найтн критические точки /(х);
2) оо ре де лить знак производной /'(х) внутри промежутков»
ограниченных критическими точками.
Пример 2.1. Исследовать на возрастание и убывание
функцию
)(х) = хе-3*.
Решение. Находим производную
f (х)-е"3* - 3xe-to =e“3* (1 - Зх).
Производная f'(x) существует всюду я обращается в нуль о
точке 1/3. Точка х = 1/3 делит числовую ось на два промежут-
ка: (—оо; 1/3) и (1/3; оо). Так как функция всегда поло-
жительна, то знак производной определяется вторым сомножи-
телем. Следовательно, на промежутке (—оэ; 1/3) а на
промежутке (1/3; оо) /'(х) < 0.
Ответ. Функция /(х) возрастает пл промежутке (—ос; 1/3)
и убывает на промежутке (1/3; оо).
Исследовать на возрастание и убывание функции:
*2 О y
^'^“-гТ+з- 2-2^W = K7-
2.3. / (х) = | х - sin4 х.
2.4. /(х) —21п(х —2) —х»+4х+1,
’204
ГЛ. 8 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
_ ,, . 2х — 1 „ а ., . 3 — X*
--------
2.7*. Найти множество всех значений параметра а, при ко*
торых функция
f (х) = sin 2х — 8 (а + 1) sin х + (4а* + 8а — 14) х
является возрастающей для всех х е R и при этом не имеет кри*
тических точек.
2.8*. Найти все значения параметра а, при которых функция
у (х) = вах — a sin 6х — 7х — sin 5х
возрастает и не имеет критических точек для всех х eR.
Говорят, что функция у = f(x) имеет в точке хо максимум
(или минимум), если найдется такая 6-окрестность точки *«,
принадлежащая области определения функции, что для всех
х Ха, принадлежащих промежутку (х« — 6; Ха + 6), выпол-
няется неравейство
f (х) < f (х0) (соответственно f (х) > f (х0)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума,
в значения функции в этих точках называются экстремальными
значениями.
Необходимое условие существования экс*
трем ума функции. Пусть функция f(x) дифференцируема
на промежутке (а; Ь). Если в некоторой точке хое (а; Ь) функ-
ция f(x) достигает своего экстремума, то f'(xa) — 0.
Достаточное условие существования экс-
тремума функции. Пусть функция определена и непре-
рывна на промежутке (а; Ь) и на всем промежутке (за исклю-
чением, быть может, конечного числа точек) дифференцируема-
Если при переходе через критическую точку производная функ-
ции меняет знак, то такая критическая точка является точкой
экстремума функции: точкой максимума, если знак меняется с
плюса на минус, и точкой минимума, если знак меняется с ми-
нуса на плюс.
Пример 2.2. Найти экстремум функции
f (х) = <2х»-х4-2.
Решение. Находим производную
.,, . 1 4х — I , .
* ” 2 ^/2хл — х + 2 ’
$ 2. ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМЫ 205
Приравниваем производную /'(х) нулю:
1 <JX~1 -А.
2 V2xa —* + 2
Отсюда находим критическую точку х> = 1/4. Из выражения (*)
видно, что при х > 1/4 /'(х) > 0, а при х < 1/4 f'(x) < 0, т. е.
при переходе через Хо = 1/4 производная меняет знак с минуса
на плюс. Следовательно, х» = 1/4— точка минимума, причем
/Uo) = V16/8. Знаменатель выражения (*) положителен для
всех х е R. Следовательно, других критических точек, кроме
х = 1/4, функция /(х) не имеет.
Ответ, min/(х)—/(1/4) = 715/8.
х«Ц
Найти экстремумы следующих функций:
2.9. f (х) — <х~2)*(х + 4) 2.10. / (х) = х + sin 2х.
2.11. / (х) = хех~х\ 2.12. / (х) =
л п“ v
2.13. I (х) = 2х» + Зх» - 12х 4- 5. 2.14. / (х) =
2.15. / (х) = 2х» — бх» - 18х + 7.
2.15. /(х) = —
Методы исследования функнпй на экстремум позволяют
устанавливать справедливость некоторых трансцендентных вера-
венств.
Пример 2.3. Доказать справедливость неравенства
ех — х > 1 при х у- 0. (♦)
Решение. Рассмотрим функцию
/(х) = е'-1-х
и найдем ее экстремум. Решая уравнение /'(х) = 0, т. е. уравне-
ние в* — 1 = 0, получаем х = 0.
При х = 0 функция / (х) достигает своего едипстЕекиого ми-
нимума, так как /'(х) при переходе через точку х = 0 меняет
знак С минуса на плюс. Так как /(0) =0, то для всех х ¥= О
справедливо /(х) >0, т. е. е* — 1— х > 0, ила е?— х> 1, что
и требовалось доказать.
Доказать неравенства:
2.17. х — х»/6 < sin х < X при х > 0.
2.18. соз х > 1 — х»/2 при х =/= 0.
2.19. In (I 4- х) < х при х > 0,
206 гл. а. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕВ применения
§ 3. Наибольшее и наименьшее значения функций
Пусть функция f (х) определена и непрерывна на конечном
промежутке [a; fe]. Для нахождения наибольшего (наименьшего)
значения функции необходимо найти все максимумы (минимумы)'
функции на промежутке (а; Ь), выбрать из них наибольший
(наименьший) и сравнить его со значениями функции в точках
а и Ь. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел н будет наиболь-
шим (наименьшим) значением функции f(x) на промежутке
[а; 6]; оно обозначается max f (х) ( mln (х)). При надо*
хе]а;Ь] ха (а; Ч
жденнн наибольшего или наименьшего значения функции может
оказаться, что внутри промежутка [а; Ь] производная суще*
ствует во всех точках промежутка н ни в одной точке промежут*
ка в нуль не обращается (т. е. критические точки функции от*
сутствуют). Это говорит о том, что в рассматриваемом проме*
жутке функция возрастает или убывает н, следовательно, достн*
гает своего наибольшего н наименьшего значения на концах
промежутка.
Пример 3.1. Найти наименьшее п наибольшее значения
х 2
функции f(x) — -g- + y на промежутке [1; 6].
Решение. Так как
. I 2
/ (х) = 0 х, ,
то единственной критической точкой, попадающей в заданный
промежуток, будет точка х = 4. Сравнивая значения функции в
точке х ™ 4 со значениями функции на концах промежутка, по*
лучаем
f (4) = 1, f(l) = 21 f(6)-l-l.,
о 1Z
т. е. наименьшее значение f(x) достигается в точке х = 4, а наи*
большее —на левом конце промежутка (при х “ 1).
Ответ, max /(х) = /(!) —2min /(х)—f(4)=l,
* а [1; 6| 8 ха[1;6|
Найти наибольшие и наименьшие значения функций на ука*
ванных промежутках:
3.1. f (х) = х’ — хэ + х + 2, хе|-1; 1].
3.2. I (х) — Зх’ + 4х’ + 1, хе (-2; 1 ].
3.3. / (х) ™ соз* 4 sin х, л е [Q; я]«
9 Э. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 207
3.4. /(х)~1СМ2х+sinx, хе[0; £].
3.6. f (х) = 4- —т- sin 2х + cos’ х — cos х,
‘Н= Я-
При отыскании наибольших (наименьших) значений некото-
рых функций пногда удобно использовать следующее свойство.
Если непрерывная функция F(x) на промежутке [а; 6] мо-
жет быть представлена в виде F(x) = Дг(х)], где g(x) и f(y) —
непрерывные функции на промежутках х е [а; 6] и у е [с; d]
соответственно, с™ min g (х), d = max g (x), то
x s (а; 6) x s [c; d|
max F(x)= max f(y) и mln F(x)~ min f(y).
xs(a;b] ps[c;dl xe[a;6] i/s(c;d]
Пример 3.2. Найти наибольшее и панменьшее значения
, -, , sin 2х Г Я1
функции г (х) = —т—;—;—— на промежутке С; .
sin (х + л/ч) r J L 2 J
Решение. Используя формулы
ain (у + х) — (sin х + соз х),
sin 2х — (sin х + cos х)* — 1,
представляем данную функцию в виде сложной функция
F (x)=l[S (х)],
где
/ (у) — У ~ 1 л/2. 8 (*) = sin х 4- cos х.
V
Найдем наибольшее и наименьшее значения g(x). Критическими
точками g (х) будут корня уравнения
соз х — sin х = 0,
пз которых в промежуток [0; я/2] попадает только х = я/4«
Сравнивая g(0), я(л/4) н я(л/2), заключаем, что областью из-
менения g(x) являегсл промежуток [1; V2L Нетрудно заметить,
что
Г(</)“л/2(1 + -^-)>а
на всей области определения f(y), в том числе и для
ре[1; V21- Следовательно, функция Цу) возрастает на проме-
жутке [l; V2 ] и достигает своего наибольшего и наименьшего
208 ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕВ ПРИМЕНЕНИЯ
значений сответственно на правом в левом концах промежутка!
max f (у) = f (V?) = t,
jsll; Vi)
min Z(y) = /(1)=O.
ge[l; Vi]
Эти же значения являются наибольшими и наименьшими и для
исходной функции F(x).
Ответ. max F(x)=l, min f(x)-0.
х s (О; я/2] х а (О; я/2)
Найти- наибольшее и наименьшие значения функций:
_ а .. . sin 2х Г
3.6. f X = —- —г, хе л;
sm (л/4 4-х) L
3.7* . f (х) = — --------!—
sin х 4- 4 cos х — 4
ЗА f (х) — tg х 4- ctg *, xe |л/6; Я/3].
3.9* . Найти наименьшее значение функции
' ' ' \ sm х J
х е R.
на промежутке [0; л].
Нахождение наибольших и наименьших
значений функций, содержащих знак абсолют*
ной величины.
Пример 3.3. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
f(x)-|x*-5x4-6] (•)
па промежутке [0; 2,4].
Решение. Для того чтобы раскрыть модуль в выражении
(*), найдем корни уравнения ](х)=0. Решая уравнение
х’ — 5х 4- 6 = 0, получаем х = 2, х = 3. Таким образом,
Г ха — 5х — 6 при х е (—<ю; 2) U (3; оо);
'' ’ I - (х’ - 5х 4- 6) при х s (2; 3]. ' ’
Из (**) видно, что на исследуемом промежутке [0; 2,4] функ-
ция /(х) допускает два представления в зависимости от значе-
ния аргумента:
-(Xs-5x4-6), хе (2; 2.4],
' w । х2 _ 5х + 6( х е [0. 2]
Вычислим производную функции f(x):
Г(Х)-
г _ (2х - 5),
I 2х — 5,
х е (2; 2.4];
х Е [0; 2).
$ 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 209
При х е (2; 2,4] Г(х) > 0, следовательно, Цх) возрастает, а
при х е [0; 2) /'(х) < О, следовательно, /(х) убывает; точка
х = 2 — критическая т&ка, так как производной /'(х) в этой
точке не существует. Сравнивая значения функции на концах
промежутка [0; 2,4] с ее значением в критической точке, заклю-
чаем, что
max f(x) = /(0)=6, mln f(*)—/(2)=0.
xg 10; 2,4) хеЮ;2.4)
Ответ. max f(x) = f(0) = 6, min f (x) = f (2) =0.
xe=|0;2,41 x e [0; 2,4]
Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функ-
ций на указанных промежутках^
3.10. /(х)-|1±£|, хб[-2;0].
3.11. f (х) —71 - 2х +х* + 71 + 2х + х’,
а) хе [0; 2]; б) хе (—2; 0].
3.12. I (х) = 71 — 2х + х2 — 7l + 2х + х2, х с= (— оо; оо).
3.13. f (х) = | х2 + 2х — 3 | +-|-In х. хе[|; 4].
3.14. Найти точки минимума функции
/ (х) = 4х’ — х | х — 21, х е [0; 3],
я ее наибольшее значение на этом промежутке.
3.15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f И = 7* (Ю -*).
3.16* . Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x)-=(x- I)2 7х2-2х + 3, х <= (0; 3].
3.17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у-|х24-х| + |х2+бх + 6|
на отрезке [-А; у].
§ 4. Задачи, сводящиеся к нахождению
наибольшего и наименьшего значений
и эстреиумов функций
В условиях многих задач явно не формулируется, что тре-
буется найти наибольшее и наименьшее значения и экстремумы.
К таким задачам относятся, например, задачи, связанные с нахо-
ждением множества значений функций.
210 ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Пример 4.1. Найти образ промежутка [—1; 3] при отобра-
жении, заданном функцией
/ (х) = 4х3 — 12х.
Решение. Чтобы найти образ данного промежутка, нужно
найти множество значений функции /(х) дли хе[-1; 3], кото-
рое в силу непрерывности исходной функции представляет собой
промежуток Г min / (х); max / (х)1. Таким образом, нс-
Lx a l-i; 3| xs[—1;3| J
ходная задача сводится к задаче на отыскание наибольшего п
наименьшего значений функции f(x) на промежутке [—1; 3].
Критические точки f(jc) находятся нз уравнения
12х» — 12 = 0,
корнями которого являются xt = 1, Xi = —1. Сравнивая значе-
ния функции /(х) в критических точках и на концах промежут-
ка, получаем
max f (х) = / (3) = 72,
ia|-l; 31
mln f (x) = f (I) = -8.
xeI-1; 3]
Следовательно, образом промежутка [—1; 3] при отображения,
заданном исходной функцией, будет промежуток [—8; 72].
Ответ. [—8; 72].
4.1 . Найтн множество, на которое отображает луч [I; оо)
производная функции f(x) = x(lnx — 1).
Найти образ промежутка [0; ОД] при отображении, за-
данном производной функции f(x) = tg3x.
4.3 . Найтн пересечение множеств, на которые отображается
х + 3
промежуток [0; 1] производными функций yi = * _ 5'» V»e
= i/бх + 5.
4.4 *. В какой промежуток переводит всю действительную
прямую функция у = ~ э ?
4.6 . Найти множество значений функций:
в)у=т4т: б>*-7ГГГ
4.6 *. Доказать, что справедливо неравенство
_5____<______
ах1 + Ъ 2 -yjab
$ 4 ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 211
4.7 *, Доказать, что для функции /(х) = созхв!п2х спра-
ведливо неравенство
mln f (х) > —7/9.
ж q [-я; л|
4.8 *. Доказать, что для функции f(x) = sin xsln 2х выпол*
нечо неравенство
max f (х) < 0,77.
не [-л; л]
4.9* . Доказать, что для х е [0; л/2] справедливо неравенство
cos х х ^21Z2-3-3/4.
4.10 . Доказать, что при ж е [3/4; 2] справедливо неравенство
4.11 *, Показать, что прп любых действительных значения* л
функция
у Х»+1
не может иметь эиаченнй, больших 3/2, в значений, меньших 1/2,
4.12*. Найти все а, при которых имеется хотя бы одна пара
чисел (х, у), удовлетворяющих условиям
ж2 + (у + 3) * < 4, V — 2OX1.
4.13 *. Сумма третьего и девятого членов арифметической
прогрессии равна наименьшему значению квадратного трехчлена
2х*— 4х + 10. Найти сумму одиннадцати первых членов этой
Прогрессии.
4.14 *. Прн каком аначении параметра а значения фуикцнн
у - х’ — бх* 4- 9х + а
в точке х " 2 в в точках экстремума, взятые в некотором по-
рядке, являются членами геометрической прогрессии?
4.15 . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна наибольшему значению функции
f (х) = Ж3 + Зх - 9
на промежутке [—2; 3]; разность между первым и вторым чле<
нами прогрессии равна f'(0). Найти знаменатель прогрессии.
4.16 . Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресс
сии равна наименьшему значению функции
/(х)-Зх»-х + -§,
212
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕД ПРИМЕНЕНИЯ
а первый член прогрессии равен квадрату ее знаменателя.. Найти
знаменатель прогрессии.
4.17 *. Найти наименьшее значение а, при котором уравнение
4 . •
—:----h 1:-------= а
Sin X 1 — sin X
имеет на промежутке (0; я/2) хотя бы одно решение.
4,18 *. Доказать, что функция
2-(х+ 1/х)« + (р+ 1/р)«
не меньше 12,5, если х > 0, у > 0, х 4- у “ 1.
4.19 *. Показать, что функция
г = 2ха + 2ху + р’ — 2х + 2у + 2
не меньше чем (—3).
4.20 *. При каком значении а сумма квадратов корней уран»
нения
х1 — (а — 2) х — а — 1=0
принимает наименьшее значение?
4.21 *. Доказать, что при всех значениях х е R имеет место
неравенство
___L < х <
2 1 + х’ 2 •
4.22 . Доказать, что на промежутке
[ч -л /|оя*в bg«7 I
-у; 10-8V V25+ ]
справедливо неравенство 0 < 2х + 3 л[х? < 1.
4.23 . Доказать, что при а е [0; л/3] справедливо неравен'
ство
______!___+__________!_____
sin (я/3 + а) ~ sin (л/3 — а) 3
4.24 . Доказать, что для всех х и у справедливо неравенство
2
*‘ + ^ + ^Г>4-
* 9
4.25 *. Доказать справедливость неравенства
9 - УкГ —2х 4-3 9 4- V85"
2 < х1 4- 6х 4- 10 < 2
4.26 *. Доказать, что 1/4 < sin’ х 4- cos* х < 1.
$ б. текстовые задачи £13
4.27 . Доказать, что при хе[0; 2/3] справедливо неравенство
бе1^ < (Зх2 - 7х + 7) а’ < -V- -'Уё5'.
4.28 . Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение
8х (2х* - 1) (4х« - 8х‘ + 1) — 1?
4.29 . При каких значениях р н q график кубической пара*
болы у = Xs + рх + q касается осн Ох?
4.30 . При каком условии уравнение х3 + рх + q = 0 имеет:
1) один действительный корень;
2) три действительных корня?
§ 5. Текстовые задачи на нахождение наибольших
и наименьших значений функций
Для решения текстовой задачи на наибольшее (наименьшее)
значение следует сначала, используя условия аадачи, составить
функцию /(х) н определить промежуток изменения ее аргумента,
а затем отыскать наибольшее (наименьшее) значение этой функ-
ции на найденном промежутке.
Пример 5.1. Число 26 представить в виде суммы трех по-
ложительных слагаемых, сумма квадратов которых наименьшая,
если известно, что второе слагаемое втрое больше первого.
Решение. Обозначим неизвестные слагаемые х, у, г. По
условию задачи введенные неизвестные удовлетворяют следую-
щей системе уравнений:
х + у + г = 26. . .
у = Зх. '
Используя (•), выразим неизвестные у к г через xi
0 = 3х, z = 26 —4х. (♦*)
Составим теперь функцию, минимум которой требуется
найтн:
S (х) = х* + 9ха + (26 - 4х)».
Промежуток изменения аргумента в данном случае определяется
из условия положительности всех слагаемых. Решая систему
неравенств
х > 0,
26 — 4х > 0,
получаем, что искомый промежуток имеет вид (о; "у")- Таким
образом, задача свелась к отысканию минимума функции S(x)
ал промежутке ^0; Единственной критической точкой
214
ГЛ. в. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕВ ПРИМЕНЕНИЯ
функции 3(х) на промежутке ^0; — J является тонка х = 4.
При переходе через эту точку производная функции S(x) меняет
знак с
минуса на плюс, следовательно, S (х) убывает па проме-
(13 \
4; — J. Таким об-
при х = 4 функция 3(х) достигает своего минимума.
ж утке
разом,
Подставляя х = 4 в уравнения (••), получаем значения осталь-
ных неизвестных.
Ответ. 26 —4-f-12 4- 10.
5.1. Число 18 представить в виде суммы двух положитель-
ных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
5.2. Число 36 представить в виде произведения двух сомно-
жителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
5.3. Число 180 представить в виде суммы трех положитель-
ных слагаемых так, чтобы два из них относились, как 1:2, а
произведение всех трех слагаемых было наибольшим.
5.4. Данное положительное число а представить в виде сум-
мы двух положительных слагаемых так, чтобы их произведение
было наибольшим.
545*. Парабола у = хг+рх+д пересекает прямую у=2х — 3
в точке с абсциссой 1. При каких р и q расстояние от вершины
параболы до осн Ох минимально? Найти это расстояние.
5.6. Найти наименьшее нз расстояний от точки М с коорди-
натами (0, —2) до таких точек (х, у), что
1А
У-----х>0-
уЗх3
5.7. В сегмент параболы у* = 2рх, отсекаемый прямой х —
= 2а, вписать прямоугольник наибольшей площади.
Пример 5.2. Найти высоту конической воронки наиболь-
шего объема, если ее образующая равна I.
Решение. Объем конуса, площадь основания которого
равна S, а высота — Н, вычисляется по формуле
У--£-$Я,
О
где S = л/?1, R — радиус окружности, лежащей в основании
конуса. По теореме Пифагора R и Н связаны равенством
R* 4- Я2 = /».
Воспользовавшись этим равенством, выразпм V как функцию
только одного переменного Я:
v--!-«(/> -я») н.
О
$ 5 ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Ив
Решая уравнение
V' (Я)-=^(1»-ЗЯ’) = 0,
О
находим две критические точки функции V (Я): Hi “ Z/Vs"»
Я2 — —Z/V3", пз которых только точка Hi принадлежит про-
межутку (0; Z). При переходе через точку Н\ функция V (Н) ”
(Z* — ЗЯ1) меняет знак с плюса па минус, н, следовательно,
па промежутке (О, Z/V^) функция V (Я) возрастает, а на про-
межутке (//д/з", /) убывает. Таким образом, Я ™ l/л/ъ — высота
конуса максимального объема при веданной длине образующей Z.
Пример 6.3. В трапецию ABCD, боковая сторона АВ кото-
рой (длины 8 см) перпендикулярна основанию, вписать приято-
угольник наибольшей плошали так, чтобы одна из его сторон
лежала на большем основании тралении. Основания трапеции
рваны 6 и 10 см соответственно. Вычислить плошадь этого прямо-
угольника.
Решение. Рассмотри м от-
дельно два случая. Первый —
вершина прямоугольника Р лежит
па боковой стороне трапеции
CD (см. рис. 0.1). Второй —вер-
шина Р лежит на основании
трапеции ВС.
В первом случае обозначим
стороны прямоугольника АО = х
в АК у. Составим уравнение, связывающее неизвестные х в у.
Для этого проведем вспомогательный отрезок BL, параллельный
стороне CD (см. рис. 9.1), в рассмотрим два прямоугольных
треугольника ABL и QPD. Катеты этвх треугольников равны
соответственно
мое уравнение
ABL в QPD)
АВ — 8. AL — 4. QD — 10 - к, PQ — у. Иско-
получается из условия подобия треугольников
—— = 2, или у •= 20 — 2х.
10 — х ”
Плошадь прямоугольника AK.PQ равна
S (ж) — х (20 - 2х).
Интервал намеиепв х в первом случае находится из условия,
что точка fl —проекция точки Р, лежащей аа стороне CD, сле-
довательно, х &
21S
ГЛ. в. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Таким образом, залача свелась к отысканию наименьшего
вначеиня функции S(x) на промежутке [6; 10]. Единственная
критическая точка функции S(x): х => 5 не принадлежит най-
денному промежутку. Следовательно, производная функция S(x)
не меняет на эгом промежутке знак. Вычисляя производную
S(x) в произвольной точке промежутка [6; 10], убеждаемся, что
опа отрицательна. Таким образом, наибольшее значение S(x^
достигается в левом конце промежутка, т. е.
max S (х) — S (6) — 48 см*.
Ха[ЩКН
Площадь прямоугольников, относящихся ко второму случаю,
Не превосходит 48 см2, гак как при одинаковой боковой сто-
роне, равной 8 см, длины их оснований не могут быть больше
6 см.
Ответ. 48 см2.
5.8. Из всех конусов, вписанных в шар радиуса R, найти
тот, у которого площадь боковой поверхности наибольшая.
5.9. Определить размеры цилиндра, имеющего наибольший
объем, если площадь его полной поверхности ранпа 2л.
5.10* . Среди всех прямоугольных треугольников площади S
найти тот, для которого площадь описанного круга будет наи-
меньшей.
5.11* . В полукруг радиуса I вписана трапеция ABCD так,
что се основание AD является диаметром, а вершины В и С
лежат на окружности. Какова величина угла ср при основании
трапеции ABCD, имеющей наибольший периметр?
8.12* . Из всех треугольников с одинаковым основанием и
одним и тем же углом при вершине а найтн треугольник с наи-
большим периметром.
5.13. В равнобедренный треугольник ЛВС вписан прямо-
угольник, две вершины которого лея..;г на основании АС, два
другие —на сторонах АВ и ВС. Наийтн наибольшее значение
площади прямоугольника, если |<4В| = 12, |BD| = 10, BD —
высота треугольника АВС.
5.14. Рассматриваются всевозможные тралении, обе боковые
стороны н меньшее основание которых равны а. Найтн величину
большего основания трапеции, имеющей наибольшую площадь,
5.15. Длина стороны квадрата ABCD— 10 см. На его сторо-
нах отложены отрезки <4/1 ь BBlt СС(, DO, длины x каждый,
причем <41 е Л В, Bi е ВС, Ct е CD, D, е DA. Доказать, что
четырехугольник AtBtCiDi — квадрат, и найтн значение х, прп
котором площадь этого квадрата — наименьшая.
5 6. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
217
6.16. В окружность радиуса Я вписан равнобедренный тре-
угольник. При каком значении угла а при вершине треугольника
высота Н, проведенная к боковой стороне, имеет наибольшую
длину? Найти эту длину.
5.17* . Каков должен быть угол а при вершине равнобедрен-
ного треугольника заданной площади S, чтобы радиус г вписан-
ного в этот треугольник круга был наибольшим?
При участии тела в двух независимых движениях его путь
(или проекция пути на некоторое направление) является функ-
цией от двух или более переменных, связь между которыми мо-
жет быть установлена нз физических соображений.
5.18. Путнику требуется попасть на противоположный берег
рекн. Под каким углом а ему следует направить лодку, чтобы
добиться наименьшего сноса, если скорость лодки равна а
скорость реки — У»?
5.19. Тело бросают под углом а к горизонту со скоростью
Vo. При каком значении угла а тело улетит дальше всего?
5.20* . Определить наименьшую высоту h = | ОВ | двери вер-
тикальной башни ABCD, чтобы через эту дверь в башню можно
было внести жесткий стержень длины /; конец стержня скользит
вдоль горизонтальной прямой, на которой находится основание
башни АВ. Ширина башни | АВ | = d < /.
5.21. На странице текст должен занимать 384 см1. Верхние
и нижние поля должны быть по 3 см, а правые и левые — по
2 см. Если принять во внимание только экономию бумаги, то
каковы быть должны оптимальные размеры страницы?
5.22. Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать
балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина х
и высота у этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее
сопротивление: а) на сжатие; б) на изгиб?
Примечание. Сопротивление балки на сжатие пропор-
ционально площади ее поперечного сечения, а на изгиб — произ-
ведению ширины этого сечения на квадрат его высоты.
5.23. Лампа висит над центром круглого стола радиуса г.
Прп какой высоте h лампы над столом освещенность предмета,
лежащего на краю стола, будет паилучшей? (Освещенность пря-
мо пропорциональна косинусу угла падения луча света и обратно
пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)
5.24. Требуется устроить прямоугольную площадку так, что-
бы с трех сторон она была огорожена сеткой, а четвертой сторо-
ной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгодней-
шая (в смысле площади) форма площадки, если имеется / по-
гонных метров сетки?
218 гл. в. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
В.2В. На прямолинейном отрезке АВ длины в, соединяющем
два источника света А (силы р) и В (силы q), найти точку М,
освещаемую слабее всего. (Освещенность обратно пропорцио-
нальна квадрату расстояния от источника света.)
Б.26*. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей
точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть точки В,
находящейся на берегу на расстоянии 5 км от Л. Лодка дви-
жется со скоростью 4 км/час, а пассажир, выйдя из лодки, мо-
жет в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна при-
быть лодка, чтобы пассажир достиг точки В в кратчайшее
время?
Б.27*. Дождевая капля, начальная масса которой то, падает
под действием силы тяжести, равномерно испаряется так, что
убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорцио-
нальности равен k). Через сколько секунд после начала падения
кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она?
(Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
6.28* . Расходы на топку парохода пропорциональны кубу
его скорости. Известно, что при скорости 10 км/ч расходы на
топливо составляют 30 руб. в час; остальные расходы (не зави-
сящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой ско-
рости парохода общая стоимость 1 км пути будет наименьшей?
Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
5.29. Для доставки продукции завода из пункта N в город А
строится шоссе NP, соединяющее завод с железной дорогой АВ,
проходящей через город А. Стоимость перевозок по шоссе вдвое
больше, чем по железной дороге. К какому пункту Р нужно про-
вести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции заво-
да из пункта N в город А по шоссе н по железной дороге была
наименьшей? Расстояние от N до железной дороги равно 100 км,
а расстояние от города А до станции железной дороги, находя-
щейся на одной окружности с А и N, которые находятся в кон-
цах диаметра этой окружности, равно а км.
При решении задач о времени достижения наименьшего рас-
стояния между двумя объектами, двигающимися под углом друг
к другу, следует воспользоваться тем, что расстояние между
объектами, достигнутое к моменту времени t, представляет со-
бой одну из сторон треугольника, двумя другими сторонами
которого являются некоторые функции расстояний, пройденных
объектами к этому моменту.
5.30. По двум улицам движутся к перекрестку две машины
с постоянными скоростями 40 н 50 км/ч. Считая, что улицы
пересекаются под прямым углом, и эная, что в некоторый мо<
$ S. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
219
мент времени машины находится от перекрестка на расстояниях
2 и 3 км (соответственно), определите, через какое время рас-
стояние между ними станет наименьшим.
5.31* . Три пункта 4, В, С расположены так, что Z.ABC =
= 60°. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из
точки В — поезд. Автомобиль движется по направлению к В со
скоростью 80 км/ч, а поезд — к пункту С со скоростью 50 км/ч.
В какой момемт времени (от начала движения) расстояние ме-
жду поездом н автомобилем будет наименьшим, если |АВ| =
--= 200 км?
5.32* . Два самолета летят горизонтально на одной высоте
под углом 120° друг к другу с одинаковой скоростью о. В не-
который момент один из самолетов прилетел в точку пересечения
путей, а второй в этот момент находился в а км от нее (не до-
летев до точки пересечения). Через сколько времени после этого
момента расстояние между самолетами будет наименьшим?
5.33. Определить, при каком диаметре круглого отверстия в
плотине секундный расход воды Q будет иметь наибольшее зна-
чение, если Q^cy'jh — у, где Л —глубина низшей точки от-
верстия (считать h и коэффициент с постоянными).
5.34. Стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его
массы. При обработке бриллиант был расколот на две части.
Каковы размеры частей, если известно, что при этом произошла
максимальная потеря стоимости?
5.35. Составляется электрическая цепь из двух параллельно
соединенных сопротивлений. При каком соотношении между эти-
ми сопротивлениями сопротивление цепи минимально, если при
последовательном соединении сопротивлений оно равно /??
5.36* . Гонцу нужно добраться из пункта А, находящегося на
одном берегу реки, в пункт В, находящийся на другом берегу.
Зная, что скорость движения по берегу в А раз больше скоро-
сти движения по воде, определить, под каким углом а гонец
должен пересечь реку, для того чтобы достичь пункта В в крат-
чайшее время. Ширина реки равна Л, расстояние между пунк-
тами А и В (вдоль берега) — d.
5.37* . Точки А и В расположены в различных оптических
средах, отделенных одна от другой прямой линией. Скорость
распространения света в первой среде равна и», а во второй —
Оа. Пользуясь принципом Ферма, согласно которому световой
луч распространяется вдоль той кривой АМВ, для прохождения
которой требуется минимум времени, вывести закон преломления
светового луча.
5Л8*. Пользуясь принципом Ферма, вывести закон отраже-
ния светового луча от плоскости в однородной среде.
220
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕВ ПРИМЕНЕНИЯ
5.30. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление R,
течет ток I, то количество тепла, выделяющегося в единицу вре-
мени, пропорционально 12R. Определить, как следует разветвить
ток / на токи / и 11 при помощи двух проводов с сопротивле-
ниями Ri и Rt, чтобы выделение тепла было наименьшим.
6.40. Прямоугольный участок площадью 9000 мг необходимо
огородить забором, две противоположные стороны которого ка-
менные, а другие — деревянные. Одни метр деревянного забора
стоит 10 р., а каменного —25 р. Какое наименьшее количество
денег может быть выделено по смете на строительство этого
аабора? *
6.41* . Требуется построить некоторое количество одинаковых
жилых домов с общей площадью 40 000 м2. Затраты на построй-
ку одного дома складываются из стоимости фундамента, про-
порциональной корню квадратному нз величины жилой площади
дома, и стоимости наземной части, пропорциональной кубу корня
квадратного нз величины жилой площади. Строительство дома
на 1000 ма обходится в 184,8 тыс. р., причем в этом случае
стоимость наземной части составляет 32 % стоимости фундамен-
та. Определить, какое количество домов нужно построить, чтобы
стоимость затрат была наименьшей, и найти эту стоимость.
При решении некоторых задач вместо нахождения наиболь-
шего (наименьшего) значения величины, указанной в формули-
ровке задачи, удобнее искать наибольшее (наименьшее) значение
другой величины, представляющей монотонную функцию от
первой.
5.42* . Статуя высотой 4 и стоит на колонне, высота которой
5,6 м. На каком расстоянии от колонны должен стоять человек
ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наи-
большим углом?
5.43* . По прямолинейному шоссе едет экскурсионный авто-
бус. В стороне от шоссе расположен дворец, от парадного входа
которого идет дорога перпендикулярно шоссе. На каком расстоя-
нии от точки пересечения этих дорог должен остановиться авто-
бус, чтобы экскурсанты могли лучше рассмотреть из автобуса
фасад дворца, если длина, дворца — 2а, фасад расположен под
углом 60° относительно шоссе и расстояние от парадного входа
.(который является центром симметрии дворца) до шоссе рав-
но 6?
5.44* . Груз весом Р, лежащий на горизонтальной площадке,
должен быть сдвинут с места приложенной силой. Сила трения
пропорциональна силе, прижимающей тело к плоскости, н на-
правлена против двигающей силы; коэффициент пропорциональ-
ности (коэффициент трения) равен k, Под каким углом а к го-
s в. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
221
ризопту надо приложить силу, чтобы величина ее оказалась
наименьшей? Определить наименьшую величину сдвигающей
силы.
5.46* . На наклонной плоскости лежит груз весом Р. На вер*
шине наклонной плоскости расположен блок, через который пе-
рекинута веревка, привязанная одним концом к грузу, а дру-
гим—к гире весом р (р < Р). При каком угле а груз будет
удержан на наклонной плоскости гирей наименьшего веса, если
коэффициент трения равен к и а е [arctg k\ п/2]?
6.46. Рычаг второго рода имеет точку опоры в Л, а в точ-
ке В (АВ « а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага
равен р. Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р урав-
новешивался наименьшей силой? (Момент уравновешивающей
силы должен быть равен сумме моментов груза Р и рычага)
Иногда задачи, сформулированные как задачи на наибольшее
н наименьшее значения, допускают более простые решения, осно-
ванные на геометрических соображениях.
Пример 5.4. Русла двух рек (в пределах некоторой обла-
сти) представляют параболу у = х1 и прямую х — у — 2 = 0.
Требуется соединить эти реки прямолинейным каналом наимень-
шей длины. Через какие точки его провести?
Решение. Геометрическое место точек, находящихся на
расстоянии d от прямой линия, представляет собой две прямые,
параллельные данной, проведенные на этом расстоянии по обе
стороны от нее. Точки, лежащие внутри образованной таким об-
разом полосы, находятся от данной прямой на расстоянии, мень-
шем d, а вне полосы — на расстоянии, большем d. Если прямая
не пересекает параболу, то, увеличивая ширину полосы, мы в
конце концов коснемся параболы. Полученная точка касания бу-
дет точкой параболы, находящейся ближе всего к прямой. Следо-
вательно, для нахождения этой точки достаточно найти коорди-
наты точки касания той касательной, которая параллельна данной
прямой. Из условия параллельности (см. § 6) имеем
2х = 1х = 1/2 н у = 1/4.
Для того чтобы найти точку на прямой (второй конец канала),
запишем уравнение прямой, перпендикулярной прямой
х — у — 2 = 0 и переходящей через точку (1/2, 1/4):
У- 1/4 = - (х- 1/2), или у = —х + 3/4»
Решая систему уравнений *
у = -* + 3/4,
У =* х — 2,
получаем х = 11/8, у = —5/8.
222
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Ответ. Координаты концов канала: (1/2, 1/4) н (11/8,
—5/8).
6,47. Прямая / проходит через точки (3, 0) и (0, 4). Точка А
лежит на параболе у = 2* — хг. Найти расстояние р от точки А
до прямой в случае, когда А совпадает с началом координат, и
указать координаты точки Л(х0, Уч) на параболе, при которых
расстояние от нее до прямой будет наименьшим.
6.48* . Четыре точки Л, В, С, D в указанном порядке лежат
на параболе у = ах* + Ьх + с. Координаты А, В и D известны»
А (—2, 3), В (—1, 1), D (2, 7). Определить координаты С в
случае, когда площадь четырехугольника ABCD наибольшая.
5.49. На координатной плоскости даны точки А (—2, 0) я
В (0, 4) и прямая I; у = х. Найти периметр треугольника АМВ,
где М — точка с абсциссой 3, лежащая на прямой I. При каком
положении точки А! на прямой I периметр треугольника АМВ
наименьший?
5.60* , Дан угол ZAOB я внутри него точка М. Как следует
провести через точку М прямую, чтобы она отсекла от угла тре-
угольник наименьшей площади?
6.61, Дан угол ZAOB и внутри него точка М. Как построить
треугольник наименьшего периметра, чтобы одна его вершина
была в точке А1, вторая — на стороне АО и третья — на стороне
ВО данного угла?
5.52. Рассматриваются такие всевозможные трапеции, впи-
санные в окружность радиуса R, что центр окружности лежит
внутри трапеции, а одно из оснований равно R V3 Найти боко-
вую сторону той из трапеций, которая имеет наибольшую пло-
щадь.
5.53. Дана правильная треугольная пирамида DABC (D —
вершина, АВС — основание). Известно, что |4В| “ а, |ЛД| — Ь.
Пирамиду пересекает плоскость а, параллельная ребрам AD и
ВС. На каком расстоянии от ребра AD должна быть прове-
дена плоскость а, чтобы площадь сечения была наибольшей?
5.54. Рассматриваются всевозможные прямоугольные парал-
лелепипеды, у которых основаниями являются квадраты, а каж-
дая из боковых граней имеет периметр 6 см. Найти средн них
параллелепипед с наибольшим объемов и вычислить величину
этого объема.
6.55. В круговой сектор радиуса R с прямым центральным
углом вписан прямоугольник так, что одна его вершина совпа-
дает с центром круга, а противоположная вершина лежит на
окружности. Найти длины сторон прямоугольника, имеющего
наибольшую площадь.
$ в. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 223
в.56. Хорда АВ равна радиусу окружности. Хорда CD, па*
раллельная АВ, проведена так, что площадь четырехугольника
A BCD максимальна. Найти угловую величину меньшей из дуг,
стягиваемых хордой CD.
6.57*. В данный круговой сектор радиуса R вписать прямо-
угольник наибольшей площади (угол сектора равен а), Вычис-
лить значение этой площади.
§ 6. Задачи на геометрический смысл производной
Пусть функция у«f (jr) дифференцируема в точке х» в
у» = /(х0). Прямая, определяемая уравнением
У — Уо + 1' (х0)(х —х0), (1)
называется касательной к графику функции g“/(x) в точке
Af (хо. уо). Записывая уравнение (1) в виде
У — Уо — f (Хо) (х — хо), (2)
можно заключить, что из всех прямых, проходящих через точку
Уч), касательной к графику функции Цх) будет та пря-
мая, угловой коэффициент которой равен /'(<•) (угловой коэф-
фициент есть тангенс угла наклона прямой к положительному
направлению оси Ох).
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, на-
зывается нормалью к графику функции у “ f (х) в этой точке.
Уравнение нормали имеет вид
(У — !/о) Г (хо) + (х — х0) = 0. (3)
Под углом между графиками функций
f-М*) и у-/«(х)
в их общей точке М(хв, у<>] понимается угол а между касателы
нымн к этим графикам в точке М(хо, у»). Тангенс угла вычис-
ляется по формуле
h (хо) ~ I1 (*о)
I +/1 (хо)1г(хо)
(4)
Если выражение 1 + (х0) (х0) обращается в нуль, то кри-
вые пересекаются под прямым углом.
Для того чтобы получить уравнение касательной (нормали)
к графику функции у “ f (х) в точке, абсцисса которой известна
в равна хо, достаточно найти значения /'(хе| в К гКЧ в под-
ам ГЛ. 0. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕВ ПРИМЕНЕНИЯ
ставить их в уравнение (1) (соответственно в (3)). Координаты
точки на графике функции, в которой требуется провести каса*
тельную, определяются из условий задачи.
Условия параллельности и перпендикуляр*
иостн двух прямых. Пусть прямые заданы уравнениями
у = kix + 6| и у «= Ajx + bt. Для того чтобы эти прямые были
параллельны, необходимо в достаточно, чтобы kt = kt. Для того
чтобы эти прямые были перпендикулярны, необходимо и доста-
точно, чтобы ktkt — — 1.
Пример 6.1. На кривой у = х* — 7x4*3 найти точку, в
которой касательная параллельна прямой р — 6x4-3.
Решение. Из условия параллельности двух прямых сле-
дует, что угловой коэффициент касательной в искомой точке дол-
жен быть равен (—5) Тогда абсциссу точки касания найдем, ис-
пользуя равенство
у' (х) = 2х — 7 = — Б =► х — 1,
а ординату — подстановкой х=1 в уравнение кривой р(1) =’
Ответ. Искомая точка имеет координаты (I, —3).
6.1. На кривой у = хэ — Зх 4- 2 найти точки, в которых ка-
сательная параллельна прямой у = Зх.
6.2. Записать уравнение горизонтальной касательной к гра-
фику функции у = е1 4- е~*.
6.3. Записать уравнение касательной к графику функции
у •= соз(2х — л/3) 4* 2 в точке с абсциссой х« “= я/2.
6.4. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к па-
раболе р = х3 4-4х—17, проведенная в точке М (5/2, —3/4)?
Записать уравнение этой касательной.
3 3
6.5* . Известно, что прямая у = —— х—является каса-
4 и2
Тельной к графику функции f (х) = у х* — х. Найти координаты
точки касания.
6.6. Показать, что координаты точки пересечения касатель-
ных к кривой у « 1 — хЧа\ проведенных через точки с коорди-
натами у = 0, не вавнсят от параметра а. Найти координаты
точки пересечения. *
6.7. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями
координат и касательной к графику функции р = х/(2х — 1) в
точке с абсциссой х0 = 1.
6.8. Найтн уравнение общей касательной к кривым
у —х*4-4x4-8, У—4-8x4-4,
$ в. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл производной j 225
в.9. При каком значении хо е [0, л/2] касательные к графи*
ку функции f (х) — ain х + sln 2х в точках с абсциссами х« н
Хо + л/2 параллельны?
в. 10. Найтн все значении х«, при которых касательные к гра-
фикам функций
у (х) — 3 соз 5х, у (х) - б соз Зх 4- 2
в точках с абсциссой х« параллельны.
6.11. Найти координаты точек пересечения с осью Ох тех
касательных к графику функции
. . х+1
которые образуют с осью Ох угол Зя/4.
6.12* . На графике функции у(х) = х* —Зх* — 7x-f-6 найтн
все точки, в каждой из которых касательные к этому графику
отсекают от положительной полуоси Ох вдвое меньший отрезок,
чем от отрицательной полуоси Оу. Определить длины отсекаемых
отрезков.
6.13* . Хорда параболы у = — о*х* 4- So* — 4 касается кри-
вой у — 1/(1 —х) в точке х — 2 и делится этой точкой пополам.
Найти а.
6.14. Записать 'уравнение касательной к графику функции
f(x) — |х*— |х| | в точке с абсциссой х = —2.
6.15. Две касательные к графику функции у — V17 (х*4- 1)
пересекаются под прямым утлом в некоторой точке оси Оу. За-
писать уравнения касательных.
Пример 1.2. Определить, под каким углом синусоида
у “ ' sln Зх
л/з
пересекает ось абсцисс в начале координат.
Решение. Искомый угол по определению равен углу на-
клона касательной к оси абсцисс, проведенной к синусоиде и
начале координат. Таким образом, тангенс искомого угла сов-
падает с угловым коэффициентом этой касательной и равен зна-
чению производной функции у = —т=- sln Зх, вычисленному при
•уЗ
х — 0. Так как
3
и' ™ —=• соз Зх,
7з
, 3 я
то tg а ™ —=• я, следовательно, а — -з-
•уЗ
Ответ, а “ л/3.
8 А. Г. Цышав, А, И, Павел!
226 ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
6 .16. Показать, что касательные, преаедеииыа к графику
функции
в точках пересечения его с осями координат, параллельны.
в. 17. В каких точках касательная к графику функции
/(х)-4--¥-+7х-4
образует с' осью Ох угол 45е?
6.18 . Под каким углом к осн Ох наклонена касательная,
проведенная к кривой у = 2х3 — х в точке пересечения этой кри*
вой с осью Оу?
6.19 **. Показать, что кривые, задаваемые уравнениямн
ху = о*, х* — у* = 6*,
пересекаются под прямым углом.
6.20 *. Показать, что семейства линий, задаваемых уравне-
ниями
у = ex, уг + х’ = с8,
при любых а и с пересекаются под прямым углом.
В случае, когда требуется найти уравнение касательной к
графику функции у = /(х), проходящей через заданную точку
M(xi, pi), не принадлежащую графику этой функции, абсциссу
хо и ординату у» точки касания можно определить из системы
уравнений
Pi — Ро — Г (х0) (Х| — хо),
/(хо)»Ро. ()
Пример 6.3. В какой точке кривой
у = X» - 5х + 6 (»)
следует провести касательную для того, чтобы последняя про-
ходила через точку Af((1, 1)?
Решение. Составим систему (5):
I — Ро = (2хо — 5) (1 — хо),
Ро ™ Хо — бх0 + 6.
Подставляя уо из второго уравнения в первое, получаем квад-
ратное уравнение
*0 — 2х0 = °-
Отсюда искомые точки имеют координаты (2, 0) и (0, 6).
Ответ, (2, 0), (0, 6).
§ в. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 227
6.21. В каков точке кривой
у = ах* + Ьх 4- с
нужно провести касательную для того, чтобы касательная прохо-
дила через начало координат? Исследовать, при каких значениях
а, Ь и с задача имеет решение.
6.22, В какой точке кривой
у = хг — 5х + 6
нужно провести касательную, чтобы она проходила через точку
А1(а, 6)? Исследовать, при каких значениях а и Ъ задача имеет
решение.
6.23. Записать уравнение касательной к кривой
у = (х+1)/х,
если известно, что касательная проходит через течку М(а, Ь),
Сколько существует решений в зависимости от выбора точки?
Найти эти решения.
6.24* . Записать уравнение прямой, проходящей через точку
с координатами (1/2, 2), касающейся графика
yW— 4 + 2
п пересекающей в двух точках график функции
у (х) = V4-x’.
6.25. В какой точке Л1» кривой у = л/'l х3" касательная
перпендикулярна прямой 4х 4- Зу 4- 2 = О?
Известно, что равенство нулю дискриминанта квадратного
уравнения означает, что соответствующая парабола касается оси
абсцисс (прямой у = 0). Аналогичные соображения могут быть
использованы при нахождении уравнений касательных.
Пример 6.4. Найти те касательные к окружности
х* 4- у* = 25,
которые параллельны прямой
2х-у4- 1=0.
Решение. Все прямые, параллельные прямой 2х — у 4*
4-1 = 0, описываются уравнением вида у = 2х 4- с. Условие пе-
ресечения данной прямой и окружности состоит в совместности
следующей системы:
2х 4- с — у,
х*4-у’ = 25.
8»
228
гл. s. Производная и ее применения
Подставив у из второго уравнения в первое, имеем
х3 + (2х + с)’ = 25.
Условие существования единственного решения заключается в
том, что дискриминант последнего уравнения равен нулю. Ив
этого условия получаем для с следующие возможные значения:
Ci — SVS" и Ca = —5Vs"-
Ответ, р — 2х 4- 5 V6, у = 2х — 5
6.26* . Под каким углом видна окружность
х3 + у3 = 16
из точки (8, 0)?
6.27. Точка М двигалась по окружности
(х-4)’+(г/-8)’»2О,
потом сорвалась с нее я, двигаясь по касательной к окружно-
сти, пересекла ось Ох в точке (—2, 0) Определить точку окруж-
ности, с которой сорвалась движущаяся точка.
6.28. Найти условие, при котором прямая у = kx 4- 6 ка-
сается параболы у3 = 2рх.
6.20* . Найтн геометрическое место точек, из которыж вара-
бола у « х1 видна под прямым углом.
6.30. Найтн угол между касательными к графику функции
у = х*, проходящими через точку с координатами (0, —1).
6.31* . Прямой угол перемешается так, что стороны его все
х* у3
время касаются кривой -jjj-4- •• Найти геометрическое ме-
сто вершин угла.
6.32. Докажите, что две касательные к параболе у = х*, про-
веденные из произвольной точки прямой у = — -у, взаимно пер-
пендикулярны.
6.33. Через произвольную точку оси абсцисс проведены две
прямые, одна из которых касается параболы у « х* (и не сов-
падает с осью абсцисс), а другая проходит через точку ^0,
Докажите, что прямые перпендикулярны.
6.34. Докажите, что любая касательная к гиперболе
образует равные по величине углы с двумя прямым*. одна из
которых проходит через точку касания и точку (V2, V^)> а
другая — через точку касания и точку (— -у/2, — V2),
s 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ в МЕХАНИКЕ 229
6.35. Докажите, что отрезок любой касательной к гиперболе
= заключенной между осями координат, делится точкой
касания пополам.
6.36. Докажите, что площадь треугольника, ограниченного
осями координат и произвольной касательной к гиперболе
1
у = —, равна 2.
6.37. При каком значении параметра а парабола у = ах2
касается кривой у = In х.
6.38. Найти координаты точки, лежащей на графике функции
у = 1 + cos х при 0 х л и наименее удаленной от прямой
х V® + 2у + 4 = 0.
§ 7. Приложения производной в задачах механика
Если путь, пройденный телом к моменту времени t, опреде-
ляется функцией
р-m (о
го скорость движения V в момент времени t равна производной
функции /(0:
V-/' (О,
(2)
а ускорение — производной скорости:
п = (/)]'.
О)
Пример 7.1. Человек приближается со скоростью b к под-
ножию башни высотой h. Какова скорость его приближения к
вершине башни, когда он находится на расстоянии I от осно-
вания?.
Решение. Обозначим х(<) — расстояние от человека до
подножия башни в момент времени I. Тогда расстояние y(t) от
человека до вершины башни в момент времени t вычисляется по
формуле(/) = Vft14- ** (0 • Дифференцируя у(!) но t, получаем
я, учитывая, что х'(/) — b, а расстояние от человека до подно-
жия башвн — I, имеем
V= "
Va* + /*
_ bl
Ответ, V—
Va* +1*
S30 гл. в. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Найдя закон движения, вычислить скорость движения в еле*
дующих задачах.
7.1 *. Нижний конец лестницы длиной 5 и скользят по полу
п направлении от степы, у которой она стоит. Какова скорость
верхнего конца лестницы в тот момент, когда нижний конец па*
ходится на расстоянии 3 м от стены, если скорость нижнего
конца постоянна и равна 2 м/с?
7.2 . Человек, приближающийся к вертикальной стене, осве-
щен сзади фонарем, находящимся на расстоянии I от стены.
Скорость .человека равна v. С какой скоростью увеличивается
его тень, если рост человека h?
7.3 . Точка движется по гиперболе у = 10/х так, что ее абс-
цисса растет равномерно со споростью единица в секунду. С ка-
кой скоростью изменяется се ордината, когда точка проходит
положение (5, 2)?
7.4 *. По осн Ох движутся две точки, имеющие законы дви-
жения
jt!= 100 + 5/, х, — />0.
Какова относительная скорость этих точек о момент встречи (л
дается в сантиметрах, t — в секундах)?
7.5 **. Колесо радиуса R катится без скольжения по прямой.
Центр круга движется со скоростью о. В обод колеса вбит
гвоздь. Найти скорость перемещения гвоздя в момент временя Л
7.0 *. Точка движется с угловой скоростью ю по окружности
радиуса R с центром в начале координат. Какую скорость имеет
изменение абсциссы точки при прохождении ею осн Ох?
7.7 *. Тело брошено под углом а к горизонту со скоростью о.
Какова максимальная высота подъема тела?
7.3 . Угол а (в радианах), на который повернется колесо за
t секунд, равен а = З/2— 12/+ 35. Найти угловую скорость ко-
леса в момент / = 4 с и момент, когда колесо остановится.
7.В *. Два тела движутся под углом 60° друг к другу; урав-
пение движения первого тела
S, (/) -=. /« _ 2/,
а уравнение движения второго тела
$а (/) = 2/.
D момент времени / = 0 тела находились в одной точке. С ка-
кой скоростью увеличивается расстояние между телами?
7.10 . Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 км/ч.
В центре окружности стоит фонарь, оо касательной к окружно-
t 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ в МЕХАНИКЕ 231
сти в точке, откуда лошадь начинает свой бег, расположен за-
бор. С какой скоростью будет перемещаться тень лошади вдоль
забора в момент, когда лошадь пробежит 1/8 окружности?
7.11 **. Ракета движется прямолинейно по закону 5(/) в
*= V»t 4- аР/2. Через время 6 после начала движения от нее
отделяется некоторый предмет, который продолжает двигаться
по инерции. В какой момент времени I и какую новую скорость
V надо придать предмету, чтобы, двигаясь дальше равномерно,
он догнал ракету в момент tz, имея при этом одинаковую с ней
скорость? Приведите геометрическую интерпретацию задачи. Ка>
ков закон движения этого предмета?
7.12 *. Ракета запускается по прямой из некоторой точки.
Закон движения ракеты 3 = <2/2 (1^0). В какой момент вре*
меня /о, считая от начала движения, следует отключить двига-
теля, чтобы ракета, двигаясь дальше по инерции с набранной
скоростью, оказалась в момент G на расстоянии Si от перво-
начальной точки?
ГЛАВА 10
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 1. Неопределенный интеграл
Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной
для функции Цх} на данном промежутке, если для всех значе-
ние х из этого промежутка справедливо равенство
F'(*)-/(*)• (1)
Если на некотором промежутке F(x) — первообразная для f(x),
то выражение
J/(x) dx=F(x) + C, (2)
где С —произвольная постоянная (константа интегрирования),
называется неопределенным интегралом функции f(x) на этом
промежутке.
Основные правила интегрирования]
( аЦх) dx — а ( f (х) dx, (3)
где а — постоянная величина;
[fi (*) ± h (*)1 dx = fi (*) dx ± f2 (х) dx; (4)
J I (ax + b) dx = 1F (ax + b) + C (5)
(a 0 и b — постоянные).
Таблица неопределенных интегралов:
Jx"dx = -^1+C, л ч* — Г, (6)
J-y- = ln|x| + C; (7)
Sa*dx-'ET + C’ а>9 W
$ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
233
е* dx “ еж + С,
sin х dx — — cos х + С; (9)
cos х dx — sin х 4-С; (10)
'"+C! <“>
---',гл + С: (12)
S-STF-'-H l+O <”>
i”|,'(-f+t)|+o <l4>
$ ,l + .i ~7*rdgT + Cl •*« <l5>
- . dX - = arcsin — 4-C, a =/= 0. (16)
•ye8 — xa a
Вычисление неопределенного интеграла (нахождение перво-
образной) данной функции осуществляется сведением с помощью
правил интегрирования неопределенного интеграла от данной
функции к табличному интегралу.
Пример 1.1. Найти все первообразные функции
1хт — х"Р
/(*) = - * > ,
где тип — целые числа.
Решение. Преобразуем f (х) к виду
I (х) — _ 2ж"’+"-1/2 _|_ х2л-1/2
Используя правила интегрирования (3), (4) и формулу (6),
получим
$ _ 2х'п+'-1« + X*-W) dx = 2,„|Т/2- *2n'+1/2 -
________?_______nt+n+1/2 J____1 _2л+1/2 1 Q e
m + n + 1/2 1 т 2д + 1/2
2зсгт •Jx 4хт+плГх 2xJfl Vx
™ 4m + I 2m + 2n + 1 4л + I
Ответ.
гж2"* Vx~ 4xw+" Vx~ 2X2" Vx
4m -f-1 2m 4° 2л 4е 1 Ч* 1
234
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
Применяя основные правила интегрирования и таблицу не-
определенных интегралов, найти первообразные следующих функ-
ций:
1.1 •. 1 (Х) “ —• »•* f <*> “ Х~^ ‘
1.3*. f (х) - х . 1.4*. / (ж) - у==.
,л* г(х) - (2х~=!)« - ,л*' <ж) -1
Упростив подынтегральное выражение, найти следующие не-
определенные интегралы;
1.13.
1.14.
-2
~Г"Г (l-х»)-1/2-J
Х-в-64 х* 4х»(2х+1)
-гх-1-}-*-* 4 - 4/х + 1/х‘ 1 - 2х
— 1/2
1.15.
1.16.
Г <Х^ _ 9х2/п) (х(1-туп| _ 3х(1-пУп)
J (х^ + Зх1'")2-12х'я,+п*"я *'
- ГО __ « _L J wS l ~ бх 4- 3
dx.
2* + 1 + 2х{(х - 1)
+
1
f l. неопределенный интеграл
238
1.17.
1.18.
1.19.
IM
Г УГГ7Г + 1
J V1 — х + 1/VT+T
. (V7 + 2)f-^-i)-(V7-2>f-+ А
Г к л/х 7 к Ух 7
х* + 5х* + 15х - 9 , 9
С х» + 3х« + X*
J (х3 — 4х + 3х2 — I2)/xs ах'
__________ «
Ух +V2-x2 Vl—хл/2^7а~ .
I х 21
1.21*. \ 4 соз у cos х sin — х dx.
S. , X .11 .
— 4 sin у sin x sin -у x dx.
1.23. 2 V2 cos a sin (y + 2a) da.
1.24. J 2 sin2 (Зя — 2x) cos2 (5л + 2x) dx.
1,23. ctg (у я — 2x) cos 4x dx.
S [’'“’(¥-+t) - Gr+t)]
1.27. [cos2 (45* — x) cos2 (60° + x) — cos 75’ sin (75’-2x)l d».
Ssin 2x + sin 6x — sin 3x .
---------r-;--о , »o---rfx.
cos x 4- 1 — 2 sin2 2x.
, M- $ [-с%Жг~ -cos 8x ctg 4ж] dx-
Seos 4x + 1 ,
---------г---- dx.
ctg X — tg X
1.31. J £sin a sin (x — a) sin2 -a)J dx.
838
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 2. Задачи на свойства первообразных
Для функции /(х) первообразной, график которой проходит
через точку М(х0, уч), будет функция
G (х) = Г (х) + С. (1)
где F(x) — произвольная первообразная /(х), а постоянная С
удовлетворяет уравнению
F(xe)+C-yo. (2)
П рим-ер 2.1. Для функции f(x) = соз*х найти ту перво-
образную, график которой проходит через точку М(л/2, л/4).
Решение. Вычислим неопределенный интеграл от функции
1 (х) = cos1 х:
С , . С 1 + cos 2х . 1 . sin 2х . _
\ cos’xdx — \ —---------dx — -gx +— |-С.
Для того чтобы из всех найденных первообразных выбрать иско-
мую, составим, согласно (2), уравнение
1 я । iln я , я
2 ‘ 2 + 4 + С “ 4 ’
корнем которого является С = 0.
. 1 . sin 2х
Ответ. F (х) = у х 4-----.
2.1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А
(1, 2), у которой тангенс угла наклона касательной в каждой
точке в три раза больше квадрата абсциссы этой точки.
2.2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А
(1, 1), тангенс угла наклона которой в каждой точке равен
удвоенной абсциссе этой точки.
2.3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А
(0, —1), если все ее касательные параллельны прямой у
«= 5х - 3.
Если графики дифференцируемых функций р — ft fx) и
у = /»(х) касаются друг друга в точке М(хч, р«), то выполня-
ются соотношения
fi (*о) — I» (х0), (3)
(О
Пример 2.2. Найти все первообразные функции у = х 2,
касающиеся кривой у = х1.
Решение. Так как функция у — х + 2 является произ-
водной любой своей первообразной, то, согласно (4), уравнение
s 2. ЗАДАЧИ НА СВОЙСТВА ПЕРВООБРАЗНЫХ 237,
для отыскания абсциссы точки касания имеет вид
2х =• х + 2.
Корень этого уравнения будет х — 2. Значение функции у = х*
в точке х = 2 равно 4. Следовательно, из всех первообразных
функций у — х + 2, т. е. функций f (х) — у х* + 2х + С, требу*
ется найтн ту, график которой проходит через точку М(2, 4).
Постоянную С найдем из условия f (2) = y*4 + 2- 2-f-C== 4=>
—2,
Ответ. F (х) — у ха + 2х — 2.
2.4. Найтн ту первообразную функции /(х) = х, график ко*
торой касается прямой у = х — 1,
2.5. Найтн все первообразные функции fi(x) = х1, графики
которых касаются параболы fi(x) = х1 + 1.
2.0. Найти все первообразные функции /(х) — 3/х, графики
которых касаются кривой у = х’.
Если тело движется со скоростью, изменяющейся по закону
о = /(/). (5)
то зависимость пути, пройденного телом, от времени t представ-
ляется в виде
S (/) = £(/) + С, (6)
где F(t) — некоторая первообразная функции /(/), а константа С
находится из дополнительных условий.
Пример 2.3. Тело движется прямолинейно со скоростью,
изменяющейся по закону
о — 2/ м/с.
Найтн закон движения тела, если известно, что за первые 2 с
оно прошло 15 м.
Решение. Множество всех первообразных функции о(/) <-»
— 2/ будет $(/) = /2 + С. Согласно дополнительному условию
имеем
S(2) = 2’4-C= 15,
откуда получаем С — 11. Таким образом, закон движения тела
будет
5 (/) = /»+ 11.
2.7. Материальная точка движется прямолинейно ео ско*
ростыо о(/) —-ain / соз7 м/с. Найти уравнение движения Точки,
есш при / — л/3 пройденный путь составляет 17/8 м,
238
ГЛ. 10. ПЕРВООВРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
2.8. Первый пешеход вышел as пункта Л оо скоростью, «вме-
няющейся по закону и(1) = 21, а второй в тот же момент вышел
из пункта В, отстоящего от Л на 4 км, вслед аа первым с по-
стоянной скоростью 2р км/ч. При каких значениях р второй пе-
шеход догонит первого? Найти значение р, при котором пеше-
ходы поравняются только один .раз.
§ 3. Определенный интеграл
Определенным интегралом на промежутке [а; 6] от непре-
рывной функции f(x) называется приращение F(6)—Г(а) лю-
бой перпообраэной F этой функции на промежутке [а; 8] и обо-
значается
ь
J (х) dx-==F (Ь) — Р (а) (формула Ньютона — Лейбница). (1)
а
Здесь а, Ь — нижний и верхний пределы интегрирования соответ-
ственно; /(х)—подынтегральная функция. Разность F(b)—F(a),
стоящая п правой части формулы (1), иногда обозначается
F М la-
Для того чтобы вычислить определенный интеграл от функ-
ции f(x) на промежутке .[а; 6], необходимо найти любую перво-
образную функции н вычислить разность ее значений в правом
и левом концах промежутка. [а; Ь]. Вычисление определенного
интеграла функции f(x) па промежутке [а; 6] называется ин-
тегрированием данной функции.
Основные правила интегрирования:
ь ь ь
j U (х) + g (*)] dx = J f (x) dx + J g (x) dx; (2)
a a a
» b
kf (x) dx =* k f (x) dx; (3)
a a
b kb+p
(kx + p) dx = -J- f(t)dt, (4)
a ka+p
b c b
(x) dx — J f(x)dx + ^1(x)dx. ae=|a;6J. (5)
a « a
9 3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
830
Пример 3.1. Вычислить определенный интеграл
cos4 х dx»
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде
cos4 х = = у U -I- 2 cos 2х Ч- cos2 2с) =
I (, . „ л , 1 + cos 4*\ 3,1 „ , 1
"7 v + 2см2х + —2------------’) "т + 7соз2х + ТТсоэ4л
Первообразной функции cos4* будет функция
f U) “ т * + -Т sin 2* + sln 4*.
О * Ол
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона — Лейб-
иицаз
я/2
\ соз4хЛ*«-| * + у sin2* + -^sta4*|j'2 = -^rn.
Ответ. Зл/16.
Вычислить интегралы:
4 _ л/2
„ . Г 4* — 2 V* . ч С j
3.1. \ -----1— ах. о.£. \ соз * sin * dx,
J * J
1 о
л
3.3. J cos x sln 3* dx.
0
Пример 3.2. Вычислить интеграл
з
Решение. Перепишем интеграл в виде
-13
Is-т) **
Воспользовавшись формулой (4) прн Л в —1/3, р = 2, пало-
мы» нижний а вергаий пределы интегрирования в право# части
240 ГЛ. 10 ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
формулы (4):
fta + p=*. 3 + 2=1
О
в
ль + р = (-18) (~у) + 2”8
соответственно. Обозначая 2-------=- = / в согласии с формулой (4),
«э
получаем
-а 8
J (2-т)1/3ах = -3$/’/3<//='?Т“(_Э)|'в
8 * 9
= -36 + у- —33,75.
Ответ. —33,75.
8.4. J
-8
З.Б.*
x дх
V2 - x/2 ’
Вычислить интегралы:
а
dx
V5 + х/2 ’
5/3
3.6*. (х —2)V3x— 1 dx.
1/3
9
3.8. J ^х — 1 dx.
2
я/4
3.10. J (sin 2/— cos 2/)’d/.
о
n/2
8.12. sin x cos 3x dx.
о
dx.
n/4
3.13. (tg x + ctgx)-tdx.
Я/8
3.14. J [cos* (| я - -*-) - cos’ (4 « + f)] dx.
0
fi/3
3.15. [l
nfi
1 - sin-1 (2x + Зл/2)
Если подынтегральная функция представляет собой Выраже-
ние, содержащее переменную под знаком абсолютной величины,
$ 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ £41
то вычисление определенного интеграла с данными пределамп
интегрирования можно свести к вычислению суммы определенных
интегралов с подынтегральными функциями, уже не содержа-
щими переменную под знаком абсолютной величины.
Пример 3.3. Вычислить
б
J(|x-3| + |l-x|)rfx.
1
Решение. Подынтегральную функцию можно представить
в виде
( 4 - 2х, х < 1,
Г(х)-{ 2, 1 < х < 3,
( 2х - 4, х > 3.
Воспользовавшись свойством (5) определенного интеграла, полу-
чаем
з б
J(|x-3| + |l-x|)dx + J(|x-3|+|l-x|)dx-
1 3
Э б
= J 2dx+ J (2х — 4) dx — 2х |, + (х’— 4х) |j —4 + 8—12.
1 3
Ответ. 12.
Вычислить интегралы:
8.16.
3.18.
3J0.
3.21.
8Л2.
Ш.
242
ГЛ. Ю ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
$ 4. Интегралы с переменным верхним пределом
Интеграл с переменным верхним пределом
X
F(x)-$/(/)Л (I)
а
—вто та пер вообрази а я функция /(х) }Г'(х) = Цх)), значение
которой в- точке а равно нулю.
Пример 4.1. Найти наибольшее п наименьшее значения
функции
х
F(x)^yt^^di
на промежутке [2; 3].
Решение. Найдем критические точки функции F(x). Так
как F(x) — первообразная для функции *4-1, то F'(x) — * + lj
функция F'(x) не обращается в нуль на промежутке [2; 3] и
является положительной. Следовательно, наибольшего значения
функция достигает па правом конце отрезка, а наименьшего —
на левом:
з
max F(x)=F(3)-((/+
*s[3;3t J х £ J 10
О
2
, f <-> - " е> - J о+•> " - (т+') с - ‘
О
Найти наибольшие н наименьшие значения функций на ука-
ванных промежутках]
х
4.L F (ж) - J Ып / dt, х 6 [(к
о
4Д F (х) = $ (2/ - 5) dt, хе [-1; 3J.
о
4Л F(x)—J «»-5Т4-в)<Н, хе'[0*, 4].
о
$ 4. ИНТЕГРАЛЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 243
4.4. Найти наибольшие и наименьшие значения футйЛгн
*
F(x)-$ |/|Л
1
на промежутке [—4]’
4,5, Записать уравнения касательных к графику функцпи
F (х) — (2/ - 5) dt
2
в точках, где он пересекает ось абсцисс.
4.6, Найти абсциссы точек пересеченна графиков функц»
X X
Fi (х) — J (2/ - 5) dt, Ft (х) — J (2/ - 5) dt.
•/ з
4.7. Найти точки пересечения графиков функций
х х
F, (ж) — (21 - 5) dt, F, (ж) — $ 21 dt,
2 О
4.8. Найти ту первообразную от функция
X
F (х) - J (2/ - 5) dt.
з
график которой проходпт через начало координат.
4.0. Для графика функции
х
F(x)~$2|/|df
о
найти касательные, параллельные биссектрисе первого коорди-
натного угла.
Пусть материальная точка движется прямолинейно со ско-
ростью о(0; А— некоторая точка па траектории движения ма-
териальной точки. Если в момент времени t = t» расстояние
между движущейся точкой и точкой А равно So, то в любой
момент времени / > to расстояние от движущейся точки до tvi-
кн А вычисляется по формуле
t
3(0— ^o(x)rfx + S0. (2)
U
244 ГЛ, 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ '
Пример 4.2. Скорость движущейся прямолинейно точки
меняется по закону + 2/ (км/ч). В момент времени
t = 1 ч точка находилась в 5 км от пункта А, расположенного
на траектории движения точки. На каком расстоянии от пунк-
та А окажется точка в момент 1 = 3 ч?
Решение. Координату точки как функцию временя пред-
ставим, согласно (1) и (2), в виде
t
. S(l)- J(77 + 2x)dA
1
Вычислим значение S(/) при t = 3:
з
S- / \ I3
(V/ + 2/)d/4-5 = (-r--HaJ 1+5=1
1
_ О 1 —
-.2V3+9-4-1+6-12 4- + 2V3.
О о
Ответ. На расстоянии ^12^- + 2V3) км от пункта А.
4.10. Скорость движения тела пропорциональна квадрату
временя. Найти зависимость между пройденным расстоянием и
временем, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см,
а движение началось п момент времени t = 0.
4.11* . Сила, действующая на материальную точку, равномерно
меняется относительно пройденного пути. В начале пути она
равнялась 100 Н, а когда'точка переместилась на 10 м, сила
возросла до 600 Н. Найти функцию, определяющую зависимость
работы от пути.
4.12. Тело движется равноускоренно, причем известно, что
скорость его к моменту t = 2 с достигла величины 4 м/с, а прой-
денный путь стал равен 3 м. Найтн закон движения тела.
4.13. При постоянном ускорении тело за первую секунду пре-
одолело расстояние 4 м от пункта А, а за первые 3 с расстоя-
ний между ними возросло до 16 м. Найти зависимость расстоя-
ния, пройденного телом, от времени, если известно, что при
/.«—0 тело находилось в пункте А.
§ 5. Задачи на свойства интегралов
6.1. Решить неравенство
л
6 ( , . х .
— \ sln’ -т- dx
я J 2
[1п (3-х)»] ” ' х + 2
>0.
$ 5. ЗАДАЧИ НА СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ 246
6.2. Решить неравенство
х л
Vs* — 6 — ж* + -у dz > х J sin* х dx.
о о
6.3. Решить неравенство
X л/2
V** — х — 12 — dz < х соз 2х dx.
о о
6.4. Найти такие числа А в В, чтобы функция вида
f (х) = Л sin ях + В
удовлетворяла условиям
Jf(x)rfx-4.
о
Б.б. Найти все числа а (а > 0), для которых
а
J (2 - 4х + Зх») dx <л
о
6.6. Найти все решения уравнения
а
cos (х + а») dx = sin а,
о
принадлежащие промежутку [2; 3].
6.7. Две точки начинают двигаться по прямой в один я тот
же момент из одного и того же места в одном направлении.
Скорости точек равны 0|(/)=3/» м/с, Pj(0 — 21 м/с соответ*
ственно. Через сколько секунд расстояние между ними соста-
внт 216 м?
6.8. Доказать, что любая первообразная нечетной непрерыв-
ной функции, определенной па промежутке [—о; а], есть функ-
ция четная.
6.9. Доказать, что четная непрерывная функция, определен-
ная на промежутке [—а; а], имеет на этом промежутке по край-
ней мере одну нечетную первообразную.
6.10. Справедливо ли следующее утверждение; для того что-
бы любая первообразная непрерывной функции /(х) была четной
на промежутке [—о; а], необходимо и достаточно, чтобы функ-
ция Цх) была нечетной на этом промежутке?
246 ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
5.11. Найти значения А, В, С, при которых функция вида
f (х) = Ах» + Вх + С
удовлетворяет условиям
1
Г 7
Г(1)-8, /(2) + Г (2)“33, \f(x)dx=4.
о
Б.12. Найти все значения а из промежутка [0; 2л], удовле-
творяющие уравнению
а
sin х dx — sin 2а.
л/2
5.13. Найти положительные значения а, которые удовлетво-
ряют уравнению
а
J (Зх’4-4х-5) dx-a‘ -2.
о
5.14. Найти все значения а из промежутка [—л; 0], удовле-
творяющие уравнению
2а
sin а + J cos 2х dx = 0.
а
§ 6. Вычисление площадей фигур
Фигура, ограниченная графиком непрерывно* функции f(x\
(f(x) 0), прямыми х а, х = Ь и осью ОХ, называется кри-
волинейной трапецией. Ее площадь вычисляется по формуле
b
S-\l(x)dx. (I)
Если для всех х из промежутка [а; 6] выполняется условие
fa(x) •> Мх) (fa(x) — ft(x) & 0), то площадь фигуры, ограничен-
ной графиками непрерывных функций y = h(x), у = fi(x) и
прямыми х = а, х = Ь, вычисляется по формуле
6
S-^lf,W-h(xHdx. (2>
s в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ фигур
247
Если для всех у вэ промежутка [с; d] выполняется условие
фДр) > >0). то плошадь фигуры, заклю-
ченной между прямыми у — с, у — d графиками непрерывных
функций х*"ф|(р), х “ Ф1(р). вычисляется по формуле
d
S — J [фа (1/) — Ф| (»)] dV- (3)
с
Пример 6,1. Найти площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями
х — 0, х — л/2, fi (х) — sin х, ft (х) — соз х.
Решение. Поскольку знак разности fi(x)—fjx) на про-
межутке [0; л/2] не остается постоянным, то разобьем этот про-
межуток на области, где вта разность сохраняет знак. Для
итого составим уравнение
h М — fi (х) — 0,
единственным корнем которого, принадлежащим промежутку
[0; л/2], является точка х — л/4. Так как
sin х > соз х при х а {л/4; л/2],
sin х < соз х при х а (0; л/4),
то, согласно (2), получаем
П/4 Л/2
S—J (соз х — sin х) dx + (sin х — соз х) dx =
0 Я/4
— (sin х + cos х) 4- (— cos X — sin х) =
-(V2 - 1) + (-1 + V2)-2(V?- 1).
Ответ. 3-2(72"—1).
Заметим, что, используя симметрию фигуры относительно
оси х = л/4, можно было бы вычислить площадь по формуле
я/4
S — 2 J (соз х — sin х) dx.
о
Вычислить площади фигур, ограниченны! указанным! ли-
ниями:
6.1. У-х’ + х, »-х+1.
р--2х’ + 3х + 6, р —х + 2.
6.4. р —0, р — 20 — 2х* — 6х.
6.4. р — х*, р - 1/х, у — 0, х — 2.
6.Б. р — (1/2)’, х - 2р + 2 — 0, х - X
248 ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И И НТ 6 ГР А Л
6.6. у — 4х — х\ у — х = 0.
0.7. у = 5/х, у = 6 — х.
0.8. у = х1, у = 1/х, х = 2.
6.9. у = х2 + 1. У =• — к1 + 3.
6.10. y=l/cosax. и = 0, х = 0, х = л/4.
6,11. у = 2х. у = 2, х = —1.
6.12. ху**7, у «О, х — 4, х*»12.
6.13. у = (х-1)2, у-х+ I.
0.14. у=-х2 + ух+1. у-2'2, х=2(х<2).
0.15. х = 1, х = 2, у = 0, logj * + loga У в °-
6.16. у = 2ха + I. у = х + 2, у = 1,5.
6.17. у = 2Х, у = 4х, х =• 1.
6.18. у = ха, у «= 2 V'2x.
0.19. 2ух~ 16 + х2, у — 5.
0.20. у — -1 + 8х2 - х\ у « 15. t- I (х > I).
6.21. у- 1/(1 + х2). у = ха/2.
6.22. Зу = - х2 + 8х - 7. у + 1 — 4/(х - 3).
0.23*. у “ V*. У “ V* — Зх. у — 0.
6.24* . Найти площадь фигуры, множество точек которой
удовлетворяет системе неравенств
х2 + у’ г2, г>0,
х — у < 0. у > 0.
6.25* . Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной ча-
стями линий тах(х, у) = 1 и х24-у2» 1, лежащими в первом
квадранте)
. ( х, если х>у,
max (х, у) •” < ’
я' (у, если х < у.
6.26. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций у — х2, у = 2х — Х-.
Если функция у = Их) на промежутке [а; 6] строго моно-
тонна, то вычисление площади, ограниченной графиком функции
на атом промежутке и осью Ох, иногда удобно свести к вычис-
лению площади, ограниченной графиком обратной функции х «=.
к У {У) на промежутке [с; d] и осью Оу, где
c = mln [/ (а); / (6)1,
d = max I/ (а); / (!»)].
Пример 6.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у “ 1п в, прямой х = 2 и осью ОХ,
$ в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
249
Решение. Функцией, обратной к у = Inх, является
х “ е». Из рис. 10.1 видно, что площадь заштрихованной фигу-
ры Si равна разности площадей
нами 2 и In 2 и Sa— криво-
линейной трапеции ОАВС. Со-
гласно (3)
1п2
Sa=J
о
= e,n2 —е° = 2— 1 = I,
S«=»2ln2.
Таким образом, искомая пло-
щадь есть
$( = S - Sa = 2 In 2 - I.
S — прямоугольника co сторо-
Найти площади фигур, ограниченных графиками функций!
6.27. у = arcsln х, х = I, у = 0.
6.28. у = агссоз х, Х = 0, у = 0.
Площади некоторых фигур легко вычисляются, если исполь-
зовать известные значения площадей частей круга радиуса R.
Пример 6.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
у = V* — **. У = °- ______
Решен не. Возводя обе части уравнения у = V1 — *4 в
квадрат, получаем уравнение окружности единичного радиуса:
у* + ? "1. Таким образом, график функции у = V' — х*
представляет собой верхнюю полуокружность радиуса 1. Следо-
вательно, искомая площадь равна половине площади круга еди-
ничного радиуса.
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
6Л0*. у’ 4- х« + 2х = 0.
6.31* *. В декартовой системе координат Оху фигура Г огра-
ничена осью Ох, кривой у := 2х2 и касательной к этой кривой;
абсцисса точки касания равна 2. Найти площадь фигуры F.
6.32. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
у = х2 — 2х + 2, касательной к ней в точке М (3, 5) и осью ор-
динат. Сделать рисунок.
6.33. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у — 1/х + 1, х « 1 и касательной, проведенной в точке (2,3/2)
к кривой у = 1/х + 1,
250
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
634*. Найти площадь фигуры, ограниченной линией у =*
= х* — 4*4-5 и прямыми, касающимися ее в точках с абсцис-
сами xf« 1 и х2 = 4.
63Б. Из точки (3/2, 0) к параболе у — 2х* — 6х 4- 9 прове-
дена касательная, образующая острый угол с положительным
направлением оси Ох. Определить площадь фигуры, заключенной
между параболой, осью Ох, осью Оу и этой касательной.
0Л6**. Какую часть площади квадрата отсекает парабола,
проходящая через две соседние вершины квадрата и касающаяся
середины одной нз его сторон?
6.37* . Какую часть площади полукруга отсекает парабола,
проходящая через концы диаметра полукруга и касающаяся
окружности в точке, равноудаленной от концов диаметра?
6.38* . Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у =
= —8х — 46 и параболой у = 4хг 4- ох 4- 2, если известно, что
касательная к параболе в точке х = —5 составляет с осью Ох
угол я — arctg 20.
8.39 *. При каком значении а площадь фигуры, ограниченной
4
линиями у = 1/х, у = 1/(2х— I), х = 2, х = а, равна 1п —т=-?
V5
8.40 . При каком значении а прямая у = а делит площадь
фигуры, ограниченной линиями у = 0, у = 2 4-х — ж2, пополам?
8.41 *. При каком значении параметра а > 0 площадь фигу-
ры, ограниченной кривыми у = а 'Jx, у = — х и осью Оу, бу-
дет равна числу bf При каких значениях Ь задача имеет решение?
6.42 *. Найти, при каком значении а площадь фигуры, огра-
ниченной кривой у = sin 2х, прямыми х = л/6, х = а и осью
абсцисс, равна 1/2.
6.43 *. Найти все значения параметра b (Ь>0), при которых
площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 1 — х* н у = Ьх*,
будет равна а. При каких значениях а задача имеет решение?
6.44 *. Через точку ( г», у0) графика функции у = V1 4- cos 2х
провести нормаль к этому графику, если известно, что прямая
х = х» делит площадь, ограниченную данной кривой, осью Ох и
3
прямыми 1 = О и х = — п, на равные части.
§ 7. Задачи на нахождение наибольших
(наименьших) площадей фигур
Если в задаче требуется найти положение кривых, завися-
щих от одного или нескольких параметров, при котором площадь
фигуры, ограниченной этими кривыми, максимальна (минималь-
на), то следует сначала составить функцию, выражающую завн-
t 7. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ ПЛОЩАДЕЙ 2S1
сиыость этой площади от параметров, а затем решать задачу
на отыскание наибольшего (наименьшего) значения этой фурк-
ним на области возможного изменения параметров.
Пример 7.1. Найти все значения параметра а (а > 1),
при которых площадь фигуры, ограниченной прямыми у = 1,
у •= 2 и кривыми у = ах*, ах*> будет наибольшей.
Решение. Вычислим значение площади при фиксирован-
ном значении а. В данном случае удобно вычислять площадь,
считая у независимым переменным. В силу симметрии парабол
у " ах* и у = ах* относительно осн Оу площадь фигуры,
лежащей в полуплоскости х > 0, равна площади фигуры, лежа-
щей в полуплоскости х < 0, и поэтому искомая площадь будет
равна удвоенной площади фигуры, ограниченной линиями
х» Vy/a, х — yj^yta, у = I, р = 2:
2
•VO J V® \ 3 3 / ,
---7=-—(V2” — |) (2 V2 — 0> где ое[1;оо).
у а 3
Очевидно, что функция 3(a) монотонно убывает на промежутке
[I; оо) и наибольшее значение принимает на левом конце про-
межутка [1; оо), т.е. прн а = 1.
О т в е т. a «« 1.
7.1. При каком значении а площадь, ограниченная кривой
у = а*х* + ax + 1 н прямыми у — 0, х 1, будет наименьшей?
7.2. Найтн все значения параметра a (а > 0), прн которых
. . . (а2 — ах)
площадь фигуры, ограниченной прямой //=————и пара-
, . (х2 + 2ах + За2)
болой у--------------------
будет наибольшей.
7.3. Прн каком положительном а площадь 3 криволинейной
трапеции, ограниченной линиями
0 = + У — 0, х = а, х —2а,
принимает наименьшее значение?
262 ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
7.4* , Обозначим через S(k) площадь, заключенную между
параболой yi = х* + 2х —3 и прямой у»=Ах + 1, Найти S(— 1)
вычислить наименьшее значение S(k).
Пример 7.2. Касательная к параболе у = х1 проведена
так, что абсцисса хо точки касания принадлежит промежутку
[1; 2]. Определить х«, при котором треугольник, ограниченный
касательной, осью ординат, и прямой У“Хд, имеет наибольшую
площадь.
Решение. Уравнение касательной в точке х» для функции
У = х’ имеет вид у — Xq — 2х0 (х — х0). Ордината точки пересе-
чения касательной и осн Оу равна
У; = *о ~ ~ *о-
в площадь искомого прямоугольного треугольника вычисляется
по формуле
е,.х_Х°(Хо + *о) я
* (*о) g
Требуется найтн наибольшее значение S(x() на промежутке
[1; 2]. Очевидно, что функция S(x9) возрастает на этом проме-
жутке, н, следовательно,
max S (х0) — S (2) = 8.
*> е II; 2)
Ответ, хо = 2.
7Л. Касательная к графику функции y^^fx* такова, что
абсцисса х« точки касания принадлежит промежутку (1/2; 1].
При каком значении х« площадь S(x«) треугольника, ограничен-
ного этой касательной, осью Ох и прямой х = 2, будет наи-
меньшей н чему равна эта наименьшая площадь?
7.6 *. Криволинейная трапеция ограничена кривой у — х* + 1
и прямыми х «= 1, х = 2. В какой точке данной кривой с абс-
циссой хе[1; 2] следует провести касательную, чтобы она от-
секала от криволинейной трапеции обычную трапецию наиболь-
шей площади?
7.7 *. При каком значении параметра а площадь фигуры,
ограниченной осью абсцисс, графиком функции у х* + Зх* +
+ х + а и прямыми, параллельными оси ординат и пересекаю-
щими ось абсцисс в точках экстремума этой функции, будет наи-
меньшей?
7.8 *. Для каких значений а из промежутка [0; 1] площадь
фигуры, ограниченной графиком функции р » /(х) и прямыми
х = 0, х= 1, у = f(я), имеет наибольшее в для каках ваимень-
$ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ 283
шее значение, если f (х) = х“ + Зх^ (a, Je R, причем а > 1, 0 >
> D?
7.9 *. Для каких значений а площадь фигуры, ограниченной
графиком кривой -----х’ + а, прямыми х = 0, х ™ 2 и осью
Ох, достигает своего минимума?
7.10 *. Для каких значений а яэ промежутка [0; 1] площадь
фигуры, ограниченной графиком функции /(х) н прямыми х “ 0,
х=1, y-=f(a), имеет наименьшее и для каких наибольшее
значение, если f (х) = Vl — х*?
7.11 *. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной
прямыми х—Х1, x=Xi, графиком функции | sin х + соз х — о|
н осью абсцисс, где х< и х»— два последовательных экстремума
функции f (х) “ sin (х + л/4), будет наименьшей?
§ 8. Вычисление объемов тел
Объем V тела, полученного а результате вращения криво-
линейной трапеция, ограниченной линиями у = /(х) (/(х) > 0),
х = а, х «= b (Ь > а), вокруг осн Ох, вычисляется по формуле
»
V — a^P(x)dx. (1)
а
Объем V тела, образованного вращением криволинейной тра-
пеции, ограниченной графиком функции х.= <р(р), (<р(у) 0),
прямыми у = с, у = d (d > с) н осью Оу, вокруг оси Оу, вы-
числяется по формуле
d
V — я <₽’ (у) dy, ' (2)
Пример 8.1, Вычислить объем тела, образованного враще-
нием одной арки синусоиды (график функции у = sin х на про-
межутке [0; я]) вокруг оси Ох.
Решение. По формуле (1) находим
л я
V = я J sin’ х dx =• я
о о
1 — cos 2х ,
-----2-----
Ответ, я* /2.
В54 ГЛ- П. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕ1ТДЛ
8.4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг
оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой
Ху ™ 2, прямыми х = 1, х = 2 и осью абсцисс.
8.2*. Вычислить объем тела, образованного вращением во-
круг оси абсцисс фигуры, ограниченной параболами у* = х,
у = хг.
83. Цепная линии у = {е* 4- е~х)/2 вращается вокруг оси
абсцисс. При этом получается поверхность, называемая катено-
идом. Вычислить объем тела, образованного катеноидом я двумя
плоскостями, перпендикулярными оси абсцисс и отстоящими от
начала координат соответственно на расстояния а и Ь,
8.4*. Вычислить объем тела, полученного от вращения фи-
гуры, ограниченной параболой у = 2х — х1 и осью абсцисс, во-
круг осн ординат.
8.5*. Найти объем тела, полученного от вращения криволи-
нейной трапеции, ограниченной линиями у = arcsin х, у = я/2 и
л = '0, вокруг осн Оу.
8.8*. Найтн объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной линиями р=1п2, у = In х, t/ = 0 и х = 0, во-
круг оси Оу.
§ 9. Приложения определенного интеграла
в задачах физики и механики
Вычисление пути. Путь S тела, движущегося со ско-
ростью И{<), за время, прошедшее от момента Ц до момента G,
Вычисляется по формуле
t,
(1)
ti
Пример 9.1. Тело движется прямолинейно со скоростью
о (/) = 2/2 - t + 1 (м/с).
Цабтя путь, пройденный эа первые 5 с.
Решение. Согласно (1) имеем
б
S(/) = J (2/»-/+1)Л = -^---у + Мо =
л б
Ответ. 75 — м.
о
9.1 . Тело движется прямолинейно со скоростью п(/)»
= 21 +а (м/с). Найти значение а, если известно, что «а дроме?
4 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Жб
жуток времени от h = 0 до /» — 2 с тело прошло путь длиной
40 м.
9.2 *. Тело движется прямолинейно со скоростью о —
= 12/— I1 (м/с). Найти длину пути, пройденного телом от на-
чала движения до его остановки.
ЛХ Два тела начали двигаться по прямой в один я тот ж.
момент из одной точки в одном направлении. Одно тело двига-
лось со скоростью ot(i) = ЗР + 2/ (м/с), другое —со скоростью
оа(0 — 2/ (м/с). Какое расстояние будет между телами через
6 с?
9.4 . Точка движется прямолинейно под действием постоя»
пой силы с ускорением 2 м/с1 и с нулевой начальной скоростью.
Через 3 с после начала движения сила прекращает действовать
и точка начинает двигаться равномерно с набранной к этому
моменту скоростью. Найти закон движения точки £(/).
Если материальная точка движется вдоль осн Ох под дей-
ствием силы F(x), зависящей от координаты х, то работа силы
по перемещению материальной точки из а в Ь (Ь > о) вычис-
ляется по формуле
ь
A~^F(x)dx. (2)
а
' Пример 9.2. На материальную точку действует сила, ко-
торая линейно зависит от пройденного пути. В начале движения
она составляет 100 Н, а когда точка переместилась на 10 м,
сила возросла до 600 Н. Найти работу, произведенную этой си-
лой на пройденном пути.
Решение. Из условия следует, что сила F(x), действую-
щая на точку, меняется по закону F(x) — ах + Ь, где dapa-
метры а и b находятся из условий
F (0) — 100, 6 — 100, Ь = 100,
или или
F (10) — 600, 100а + 100 = 600, а = 50.
Таким образом, F(x) = 50х + 100 и работа силы на npofU
денном пути, согласно (2), равна
ю
Д = (50х+ 100) dx-25xa+ 100x^ — 25-100+100-10 —3500,
о
О т в е Те 3500 Дж.
8S* ГЛ. Ш. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
9.6 *. На материальную точку действует сила, которая ме-
няется обратно пропорционально квадрату расстояния до некого*
рого объекта. Известно, что она составляла 1 Н в момент, когда
.расстояние до объекта было 2 м. Вычислить работу атой силы
по переносу материальной точки из пункта, находящегося на
расстоянии 10 м от объекта, до пункта, находящегося на рас*
стоянии 3 м.
9.6 *. Вычислить работу, совершаемую прн сжатии пружины
ва 15 см, если известно, что действующая сила пропорциональна
сжатию .пружины и что для сжатия на 1 см необходима сила
£0 Н.
ГЛАВА И
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Задачи на движение
Система уравнений, которую необходимо составить на осно»
вании условия задачи на движение, обычно содержит следующие
величины: расстояние, которое будем обозначать буквой S; ско-
рости движущихся тел, которые будем обозначать буквами и, о,
w, ... (или буквами, снабженными индексами: и(, v2, ...); вре-
мя, которое будем обозначать буквами i, Т. В случае, если дви-
жение равноускоренное (или равнозамедленное), ускорение бу-
дем обозначать буквой а.
Равномерное движение по прямой. Примем
следующие допущения:
1. Движение на отдельных участках считается равномерным!
прн этом пройденный путь определяется по формуле 5 = ot.
2. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е.
происходят без затрат времени; скорость при этом также ме-
няется мгновенно.
3. Если тело движется по течению реки, то его скорость ш
(относительно берега) слагается из скорости тела в стоячей воде
и (собственной скорости тела) и скорости течений реки и:
w ™ и + о. Если тело движется против течения реки, то его ско-
рость (относительно берега) w “= и — о. Если в условии задачи
речь идет о движении плотов, то полагают, что плот движется
со скоростью течения реки.
В задачах на равномерное движение иногда встречается
условие, состоящее в том, что либо два тела движутся навстречу
друг другу, либо одно тело догоняет другое. Если при этом рас-
стояние между телами равно S, а скорости тел равны сц и Wi, то:
1) при движении
тел навстречу друг другу время, через ко-
S
равно-----:---;
К П| + п»
тел в одну сторону (и< > t>i) время, че-
S
рез которое первое тело догонит второе, равно __ р*-.
сорое они встретятся,
2) прн движении
9 А. г. Цыпин, А. и. Пенсий
258 ГЛ. II. задачи на составление уравнения
Пример 1.1. Из города А в город В выезжает велосипе-
дист, а через три часа после его выезда нз города В выезжает
навстречу ему мотоциклист, скорость которого в три 'раза
больше скорости велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист
встречаются посередине между А и В. Если бы мотоциклист
выехал не через три, а через два часа после велосипедиста, то
встреча произошла бы на 15 км ближе к А. Найти расстояние
между А и В.
Решение. Обозначим искомое расстояние между пунктами
Л н fl через S км, скорости велосипедиста и мотоциклиста — че-
рез ов км/ч и о,, км/ч соответственно. Запишем условия задачи и
уравнения, соответствующие этим условиям, в виде следующей
таблицы:
Условие задачи
Скорость мотоциклиста в три раза
больше скорости велосипедиста
Велосипедист и мотоциклист встре-
чаются посередине между Лив. при-
чем мотоциклист выехал из 0 на 3 ч
аозже, чем велосипедист из города А
Если бы мотоциклист выехал через
2 ч после велосипедиста, то встреча
произошла бы на IS км ближе к А
Уравнение
Используя первое уравнение, второе н третье уравнения мож-
но записать в виде
JL_JL+3,
2и„ 6ов *
$-30 s-ьзо
2иа “ 6и„
Из первого уравнения этой системы получаем в. = S/9. Под-
ставляя во второе уравнение системы = S/9, получаем урав-
нение для нахождения величины S:
2Ц^-2^$-18о.
Ответ. Расстояние между городами А н В равно 180 км.
Пример 1.2. От пристани отправился по течению реки
плот. Через 5 ч 20 мнн вслед за плотом от той же пристани от-
правилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км.
Какова скорость плота, если известно, что собственней скорость
моторной лодки больше скорости плота на 9 км/ч?,
$ I. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
259
Решение. Обозначим собственную скорость лодки (т. е.
скорость в стоячей воде) через о, км/ч, а скорость течения ре-
ки — через Up км/ч. По условию задачи собственная скорость мо-
торной лодки больше скорости плота на 9 км/ч;
Ол-’р — Э.
Моторная лодка, двигаясь по течению реки, прошла 20 км за
время 20/(Од 4-vp); плот прошел те же 20 км за время 20/tip.
Так как время, за которое плот проплыл 20 км, на 5 ч 20 мин
(т. е. на 16/3 ч) больше времени, за которое то же расстояние
проплыла моторная лодка, то
20 20 д 16
»л + »р “ 3 ’
Таким образом, решение задачи сводится к решению системы
"л — Рр “ 9.
20 20 16
fp «л + Ир = 3 •
Из первого уравнения получаем ц, = ор + 9. Подставляя во вто-
рое уравнение ц, = ор + 9, получаем уравнение для нахожде-
ния о„:
Решая последнее уравнение, находим tip «= 3. (Второй корень
уравнения ор = —45/8 не подходит по смыслу задачи.)
Ответ. Скорость течения реки (а также и скорость плота)
равна 3 км/ч.
1.1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а артем про-
шел еще 33 км по течению, затратив на это одни час. Найти
скорость парохода в стоячей воде, если скорость реки равна
6,5 км/ч.
1.2. Катер вышел одновременно с плотом, плывшим по тече-
нию реки, и прошел по течению реки 13 -= им, а затем, не оста-
О
л 1
навливаясь, 9— км а обратном направлении, где и встретился
О
с плотом. Найти, во сколько раз собственная скорость катера
больше скорости течения.
1.3. Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта
в одном направлении. Первый автомобиль едет со скоростью
40 км/ч, скорость второго составляет 125 % от скорости первого.
Через 30 мп из того же пункта в том же направлении выехал
9*
260
ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
третий автомобиль, который сначала обогнал первый через
1,5 ч после этого обогнал второй. Какова скорость третьего ав-
томобиля?
1.4. В соревнованиях по бегу на дистанции 120 м участвуют
три бегуна. Скорость первого из них больше скорости второго на
1 м/с, а скорость второго равна полусумме скоростей первого н
третьего. Определить скорость третьего бегуна, если известно,
что первый бегун пробежал дистанцию на 3 с быстрее третьего.
1Л. Искусственный водоем имеет форму прямоугольника .о
разностью сторон в 1 км. Два рыбака, находящихся в одной вер-
шине этого прямоугольника, одновременно отправились в пункт,
расположенный в противоположной вершине. При этом один ры-
бак поплыл напрямик на лодке, а второй пошел пешком вдоль
берега. Определить размеры водоема, если каждый рыбак пере-
двигался со скоростью 4 км/ч и один из них прибыл к месту на-
значения на 30 мин раньше второго.
1.6. Два велосипедиста выехали одновременно из двух мест,
отстоящих одно от другого на 270 км, и едут навстречу друг
другу. Второй проезжает в час на 1,5 км меньше, чем первый, и
встречается с ним через столько часов, сколько километров в чао
делает первый. Определить скорость каждого велосипедиста.
1.7. Турист проплыл по реке на лодке 90 км, а затем прошел
пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч
меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столь-
ко времени, сколько он плыл по реке, а плыл по реке столько
времени, сколько шел пешком, то эти расстояния были бы равны.
Сколько времени он шел пешком н сколько плыл по реке?
1А Расстояние между двумя городами равно S км. Два
автомобилиста, выехав из этих городов навстречу друг другу,
встретятся на полпутн, если первый выедет на t ч раньше вто-
рого. Если же они выедут одновременно навстречу друг другу о
теми же скоростями, то встреча произойдет через 21 ч. Опреде-
лить скорость каждого автомобиля, если считать, что скорости
постоянны на всем пути.
1.9. Из города А в город В, расстояние между которыми
120 км, на мопеде отправился курьер. Через час после этого из А
на мотоцикле выехал второй курьер, кбторый, нагнав первого и
передав ему поручение, немедленно с той же скоростью двинулся
обратно и возвратился в Л в тот момент, в который первый до-
стиг В. Какова скорость первого курьера, если скорость второго
равна 50 км/ч?
1.10. Из порта А в порт С отправился пароход, который дол-
жен по пути пройти мимо маяка В, причем расстояние от А до В
равно 140 км, а расстояние от В до С равно 100 км. Через 3 ч
$ 1. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
261
после выхода парохода за ним вышел из порта А быстроходный
катер, который, догнав пароход, передал приказание увеличить
скорость на 5 км/ч. Приказание было немедленно выполнено, и
в результате пароход прошел мимо маяка В на полчаса раньше
и прибыл в порт С на полтора часа раньше. Найти первоначаль-
ную скорость парохода и скорость катера.
1.11. Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со ско-
ростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает
путь с первоначальной скоростью. Спустя 4 ч после отправки
в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле
второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они про-
едут, прежде чем второй турист догонит первого?
1.12. От пристани А одновременно отходят вниз по течению
реки к пристани В две лодки. Первая лодка подходит к при-
стани В на 2 ч раньше второй. Если бы лодки отошли от этих
пристаней одновременно, двигаясь навстречу друг другу (первая
от А, а вторая от В), то они встретились бы через 3 ч. Расстоя-
ние между пристанями равно 24 км. Скорость второй лодки в
стоячей воде в три раза больше скорости течения реки. Найти
скорость течения реки.
1.13. Сначала катер шел S км по течению реки, а затем
вдвое большее расстояние — по озеру, в которое река впадает,
Весь рейс продолжался 1 ч. Найти собственную скорость катера,
если скорость течения реки v км/ч.
1.14. В 9 ч самоходная баржа вышла из пункта А вверх по
реке и прибыла в пункт в; 2 ч спустя после прибытия в пункт В
баржа отправилась в обратный путь и прибыла в пункт А в
#9 ч 20 мин того же дня. Предполагая, что скорость течения
реки 3 км/ч и собственная скорость баржи постоянна, опреде-
лить, когда баржа прибыла в В, если расстояние АВ рарновОкм.
1.15. Автомобиль выехал из города А в город В и через 2 ч
остановился на 45 мин. После втого он продолжал движение
к городу В, увеличив первоначальную скорость на 20 км/ч, и
прибыл в город В. Если бы автомобиль ехал без остановки с пер-
воначальной скоростью, то на путь из А в В он затратил бы
столько же времени. Найти первоначальную скорость автомобиля,
если расстояние между городами А и В равно 300 км.
1.16. Мотоциклист отправился из пункта А в пункт В, рас-
стояние между которыми 120 км. Обратно он выехал с той же
скоростью, ио через час после выезда должен был остановиться
на 10 мни. После этой остановки он продолжал путь до А, уве-
личив скорость на 6 км/ч. Какова была первоначальная скорость
.мотоциклиста, если известно, что на обратный путь он затратил
столько же времени, сколько на путь рт Л до В?
262
ГЛ. It. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
1.17* . Мотоциклист проезжает I км на 4 мни быстрее, чем
велосипедист. Сколько километров проезжает каждый нз них за
5 ч, если известно, что мотоциклист проезжает аа это врем и на
100 км больше велосипедиста?
1.18. По графику поезд всегда проходит перегон в 120 км
с одной и той же скоростью. Вчера поезд прошел половину пере-
гона с этой скоростью н вынужден был остановиться на 5 мин.
Чтобы вовремя прибыть в конечный пункт перегона, машинисту
на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поез-
да на 10 км/ч. Сегодня повторилась остановка поезда на сере-
дине того же перегона, только задержка продолжалась 9 мин.
С какой скоростью машинист вел поезд сегодня на второй поло-
вине перегона, если опять в конечный пункт этого перегона поезд
прибыл по расписанию?
1.19. Одновременно качали гонки с одного старта в одном
направлении два мотоциклиста: один со скоростью 80 км/ч, дру-
гой со скоростью 60 км/ч. Через полчаса с того же старта и в
том же направлении отправился третий гонщик. Найти скорость
третьего гонщика, если известно, что он догнал первого гонщика
на 1ч 15 мин позже, чем второго.
1.20. Два велосипедиста выехали нз пункта Л одновременно
н в одном направлении. Первый велосипедист ехал со скоростью
7 км/ч, а второй — со скоростью 10 км/ч. Через 30 мнн из пунк-
та А в том же направлении выехал третий велосипедист, кото-
рый догнал первого велосипедиста, а через 1,5 ч после этого
догнал н второго велосипедиста. Определить скорость третьего
велосипедиста.
1.21. От пристани А вниз по течению реки одновременно
отплыли пароход и плот. Пароход, доплыв до пристани В, рас-
положенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 ч н от-
правился назад в Л. В момент, когда он находился в 180 км
от А, второй пароход, отплывший нз А на 40 ч позднее первого,
нагнал плот, успевший к этому времени проплыть 144 км. Счи-
тая, что скорость течения реки постоянна, а скорости пароходов
в стоячей воде постоянны и равны между собой, определить ско-
рости пароходов и течения реки.
1.22. Пункт А находится по реке выше пункта В. В одно и
то же время нз пункта А отплыли вниз по реке плот и первая
моторная лодка, а из пункта В вверх — вторая моторная лодка.
Через некоторое время лодки встретились в пункте С, а плот за
это время проплыл третью часть пути от Л до С. Если бы первая
лодка без остановки доплыла до пункта В, то плот за это время
прибыл бы в пункт С. Если бы нз пункта А в пункт В отплыла
вторая лодка, а из пункта В в пункт Л — первая лодка, то овв
t 1. ЗАДАЧИ НЛ ДВИЖЕНИЕ
263
встретились бы в 40 км от пункта А. Какова скорость обеих
лодок в стоячей вода, а также расстояние между пунктами А
и В, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
1.23. Из города А в город В одновременно выехали автомо-
биль и мотоцикл, а в тот момент, когда мотоцикл преодолел
шестую часть пути, из А в том же направлении выехал велоси-
педист. К моменту прибытия автомобиля в город В велосипедист
проехал четвертую часть пути. Скорость мотоцикла на 21 км/ч
меньше скорости автомобиля и на столько же больше скорости
велосипедиста. Найти скорость автомобиля.
1.24. Из пункта А в пункт В, находящийся в 100 км от
Пункта А, в одно и то же время отправились велосипедист и пе-
шеход. Одновременно им навстречу из пункта В выехал автомо-
билист. Через чао после выезда автомобилист встретил велоси-
педиста, а проехав еще 240/17 км, — пешехода, посадил его в
машину, после чего они поехали вдогонку за велосипедистом и
настигли его. Вычислить скорости велосипедиста и автомобили-
ста, если известно, что скорость пешехода равна 5 км/ч.
1.25. В полдень из пункта А в пункт В вышел пешеход и
выехал велосипедист, и в полдень же из В в А выехал верховой.
Через 2 ч встретились велосипедист и верховой на расстоянии
3 км от середины АВ, а еще через 48 мин встретились пешеход
и верховой. Определить скорость каждого и расстояние АВ, если
известно, что пешеход движется вдвое медленнее велосипедиста.
1.26. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу
выехали два велосипедиста, которые встретились в 12 км от
пункта В. Продолжая свое движение и доехав до пунктов В и
А, они сразу же повернули обратно н снова встретились в 6 км
от пункта А. Определить скорости велосипедистов и расстояние
АВ, если известно, что второй велосипедист вернулся в пункт В
через час после того, как первый велосипедист вернулся в
пункт А.
1.27. Расстояние между двумя городами А и В пассажир-
ский поезд проходит на 4 ч быстрее товарного. Если бы каждый
из поездов шел то время, которое тратит на путь от А до В
другой поезд, то пассажирский прошел бы на 280 км больше,
чем товарный. Если бы скорость каждого из поездов была уве-
личена на 10 км/ч, то пассажирский поезд проходил бы расстоя-
ние между А и В на 2 ч 24 мни быстрее товарного. Найтн рас-
стояние между городами А я В.
1.28. На лыжных соревнованиях на дистанции 10 000 и сна-
чала стартовал первый лыжник, а через некоторое время после
него — второй, причем скорость второго лыжника была на 1 м/с
больше скорости первого, В момент, когда второй лыжник до-
264
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
гнал первого, первый увеличил свою скорость на 2 м/с, а ско-
рость второго лыжника осталась без изменении. В результате
второй лыжник финишировал через 7 мин 8 с после первого.
Если бы длина дистанции была на 500 м больше, то. второй
лыжник финишировал бы на 7 мин 33 с позже первого. Найти,
сколько времени прошло между выходом со старта первого и
второго лыжников.
1.29. Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А
в пункт В. Первый остановился через 42 мин, ие доехав 1 км,
а второй — через 52 мин, не доехав 2 км до В. Если бы первый
велосипедист проехал столько, сколько второй, а второй столько,
сколько первый, то первому потребовалось бы на 17 мин меньше
второго. Сколько километров между пунктами А н В?
1.30. Расстояние между станцией и поселком 4 км. Мальчик
и автомобиль одновременно отправились со станции в поселок.
Через 10 мни мальчик встретил автомобиль, возвращающийся из
поселка; пройдя еще 1/14 км он снова встретил автомобиль, ко-
торый, дойдя до станции, снова поехал в поселок. Найти скоро-
сти мальчика и автомобиля, если известно, что они двигались
равномерно и без остановок.
1.31. От станции железной дороги до пляжа 4,5 км. Мальчик
и рейсовый автобус одновременно отправились от станций к
пляжу. Через 15 мин мальчик встретил автобус, возвращающий-
ся с пляжа, и успел пройти еще 9/28 км от места первой встречи
с автобусом, прежде чем его догнал тот же автобус, который
доехал до станции и опять отправился к пляжу. Найти скорости
мальчика н автобуса, считая, что эти скорости постоянны н ин
мальчик, ни автобус в пути ие останавливались, но у пляжа и
на станции автобус делал остановки продолжительностью в
4 мин каждая.
1.32. Велосипедист проезжает половину расстояния от пунк-
та А до пункта В на 2 ч быстрее, чем пешеход проходит треть
расстояния от А до В. За время, требуемое велосипедисту на
весь путь от А до В, пешеход проходит 24 км. Если бы скорость
велосипедиста увеличилась на 7 км/ч, то за то время, за которое
пешеход пройдет 18 км, велосипедист проехал бы весь путь от А
до В н еще 3 км. Найти скорость пешехода.
1.33. Буксиру нужно отогнать за минимальное время два
понтона вниз по реке на расстояние 1 км. Было решено, что
один понтон будет отправлен по течению реки самостоятельно,
а другой будет некоторое время транспортировать буксир, после
чего он оставит его, вернется за первым и отбуксирует его до
конечного пункта. Сколько километров должен транспортировать-
ся второй понтов, чтобы оба пришли к конечному пункту одноч
9 I. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИИ 269
временно, п сколько потребуется времени на всю перевозку, если
собственная скорость буксира и км/ч, а скорость течения реки
и км/ч?
1.34* . Пассажир поезда знает, что на данном участке путв
скорость этого поезда равна 40 км/ч. Как только мимо окна
начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер
н заметил, что встречный поезд прошел мимо окна за 3 с. Опре*
делить скорость встречного поезда, если известно, что его длина
75 м.
1.35. По прямым параллельным путям, расстояние между
которыми равно 60 м, равномерно в противоположных напрев*
леииях движутся два поезда. Длина каждого поезда равна 100 м.
Стрелочник находится на расстоянии 40 м от ближайшего к нему
пути. Первый поезд загораживает от стрелочника часть второго
поезда в течение 5 с. Скорость первого поезда равна 16 м/с.
Определить скорость второго поезда. (Шириной поездов прене*
бречь.)
1.36. Два одинаковых парохода отходят одновременно от
двух пристаней: первый пароход от пристани А вниз по течению,
второй от пристани В вверх по течению. К моменту встречи
первый пароход проходит втрое больший путь, чем второй. Каж*
дый из пароходов, дойдя до конечного пункта, стоит там неко-
торое время, а затем возвращается обратно. Если стоянка первого
парохода в В на 40 мнн больше стоянки второго парохода в А,
то на обратном пути пароходы встречаются в 12 км от Д. Если
же стоянка первого парохода в В на 40 мнн меньше стоянки
второго парохода в Д, то па обратном пути пароходы встречают*
ся в 26 км от В. Найти расстояние между А и В и скорость па*
роходов в стоячей воде.
1.37. Пристани А и В находятся на противоположных бере-
гах озера. Пароход плывет из Д в в и после десятнмнвутной
стоянки в В возвращается в Д, двигаясь в обоих направлениях
с постоянной скоростью 18 км/ч. В момент выхода парохода нз Д
навстречу ему из В в Д отправляется движущаяся с постоянной
скоростью лодка, которая встречается с пароходом в 11 ч 10 мин.
В 11 ч 25 мнн лодка находится на расстоянии 3 км от А. На-
правляясь нз В в А после стоянки, пароход догоняет лодку в
11 ч 40 мни. Определить время прибытия лодки в Д.
1.38. Колонна мотоциклистов с интервалом между соседними
машинами в 50 м движется со скоростью 15 км/ч. В противопо-
ложном направлении вдоль колонны (от первой машины) едет
велосипедист. Поравнявшись с 45-м мотоциклистом, он увеличи-
вает свою скорость на 10 км/ч, доезжает до последнего мотоцик-
листа, поворачивает и с той же (увеличенной) скоростью донн
066 гл. 11, ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
няет первую машину. Если бы велосипедист о самого начала дан*
гался с этой увеличенной скоростью, то он вернулся бы к голове
колонны на 15/8 мин раньше. Найтн первоначальную скорость
велосипедиста (длинами велосипеда, мотоцикла и временем пово*
рота велосипедиста пренебречь).
При решении текстовых задач прежде всего необходимо ре-
шить вопрос о том, для каких неизвестных составлять систему
(уравнений. В основу выбора неизвестных может быть положен
следующий принцип: неизвестные следует вводить так, чтобы'
с помощью уравнений наиболее просто записать имеющиеся в
задаче условия. При этом вовсе не обязательно, чтобы величина,
Которую требуется найти, содержалась среди выбранных неязвест*
Иых. Как правило, при таком выборе неизвестных искомая вели-
чина будет представлять собой некую комбинацию введенных не*
известных, для нахождения которой нет необходимости опреде-
лять по отдельности все входящие в нее неизвестные.
В задачах на движение в качестве неизвестных обычно бы-
вает удобно выбирать расстояние (если оно не задано) и скоро-
сти движущихся объектов, фигурирующих в условии задачи.
Пример 1.3. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль,
в одновременно из пункта В в пункт Л выехал велосипедист.
После встречи они продолжали свой путь. Автомобиль, доехав
до пункта В, повернул назад н догнал велосипедиста через 2 ч
после момента первой встречи. Сколько времени после первой
встречи ехал велосипедист до пункта А, если известно, что к мо-
менту второй встречи он проехал 2/5 всего пути от В до А?
Решение. Введем следующие неизвестные: расстояние S
между пунктами А и В, скорости велосипедиста и автомобилиста
К и V, соответственно, t — время от начала движения до пер-
вой встречи. Выпишем условие задачи в таблицу:
Условие задачи Уравнение
X моменту первой встречи t автомобиль
В велосипедист вместе проезжают все рас-
стояние между пунктами А и В
Черев два часа после момента первой
встречи автомобиль, доехав до пункта В
в повернув, догнал велосипедиста, т. е.
путь, пройденный автомобилем, склады-
вается из удвоенного расстояния, прой-
денного велосипедистом до первой встре-
чи, н расстояния, которое велосипедист
успел проехать за 2 ч.
-К моменту второй встречи велосипедист
проехал 2/В всего расстояния между пунк-
тами А к В
(У.+ И.)1-$
2Уа-2<Ив + 2Ув
Ув« + 2)-4з
I I. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИИ
267
Неизвестное х, которое требуется найти по условию задачи,
представляет собой время, необходимое велосипедисту, чтобы до-
ехать до пункта А, после первой встречи. Оно может быть выра-
жено как следующая комбинация введенных неизвестных t,
V., V.:
Из системы уравнений
(Иа+VB)/-S,
2V.-2ZV. + 27.,
о
Ув(' + 2)--р
определим i и выразим отношение скоростей V./V, через t.
Из второго уравнения системы имеем
Va/Ve = /+1. (•)
Исключая 5 нэ первого и третьего уравнения системы и учиты-
вая равенство (•), получаем для неизвестной 1 уравнение
/« + 2)-(/ + 2).4,
А
корни которого 6 = —2 п fi = 5/2.
Так как по физическому смыслу задачи I > 0, то искомое
неизвестное имеет вид
.. , ... Б 7 35 а 3
х “ К + *) < = 2* 2 = 4 "8 4'
ч
О т в е т. в ч 45 мин.
1.39. Из города А в город В вышел пассажирский поезд.
В то же время из В в А вышел товарный поезд. Скорость каж-
дого из поездов иа всем участке движения постоянна. Через 2 ч
после того, как поезда встретились, расстояние между ними со-
ставило 280 км. Пассажирский поезд прибыл к месту назначения
через 9 ч, а товарный — через 10 ч после встречи. Определить,
какое время находился в пути каждый поезд.
1.40. Два поезда отправляются навстречу друг другу с по-
стоянными скоростями, один из Москвы, другой из Ленинграда.
Они могут встретиться на середине пути, если поезд из Москвы
отправится на 1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одно-
временно, то через 6 ч расстояние между ними составляло бы
268
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
десятую часть первоначального. Сколько часов каждый поезд
гратнт на прохождение пути между Москвой и Ленинградом?
1.41. Два велосипедиста выезжают одновременно нэ пунк-
тов А и В навстречу друг другу и. двигаясь каждый с постоян-
2
ной скоростью, встречаются через 2 ч. Если бы первый велоси-
педист увеличил свою скорость на 50 %, а второй — на 20%, то
на преодоление расстояния между пунктами А и В первому ве-
лосипедисту понадобилось бы времени на 2/3 ч больше, чем вто-
рому. За какое время преодолевает расстояние между пунктами
А и В каждый велосипедист, двигаясь с первоначальной ско-
ростью?
1.42. Из пункта А по шоссе выехали одновременно два ав-
томобиля, а через час вслед за ними выехал третий. Еще через
час расстояние между третьим и первым автомобилями умень-
шилось в полтора раза, а между третьим и вторым — в два
раза. Скорость какого автомобиля, первого или второго, больше
и во сколько раз? (Известно, что третий автомобиль не обогнал
первые два.)
1.43. Пассажирский поезд вышел из пункта А в пункт В.
Через 3 ч вслед за ним из А вышел скорый поезд. Скорый поезд
догнал пассажирский па середине пути между пунктами А и В.
В момент прибытия скорого поезда в пункт В пассажирский
поезд прошел 13/16 расстояния от А до В. Сколько времени по-
тратил пассажирский поезд на весь путь от А до В, если
скорости движения пассажирского и скорого поездов постоян-
ны?
1.44, Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот
момент, Когда он проехал 1/4 часть пути между А н В, из В вА
выехал мотоциклист, который, прибыв в А, не задерживаясь,
повернул обратно и одновременно с велосипедистом прибыл в В.
Время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипеди-
стом равно времени движения мотоциклиста из А в В. Считая
скорости мотоциклиста при движении изАвВнизВвА раз-
личными, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при дви-
жении нэ А в В больше скорости велосипедиста.
1.46. Из пункта А в пункт В выезжает автобус. Достигнув
пункта В, он продолжает движение в том же направлении. В тот
момент, когда автобус достиг пункта В, из пункта А выезжает
автомобиль и движется в том же направлении, что и автобус.
Время, необходимое автомобилю на путь нз А в В, на 3 ч 20 мин
меньше времени, необходимого автобусу на тот же путь. Найти
втв времена, если сумма их в 1,5 раза больше времени, за кото-
рое автомобиль догонит автобус.
§ 1. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
269
1.46. Два велосипедиста и пешеход одновременно отправи-
лись из пункта А в пункт В. Более чем через 1 ч после выезда
у первого велосипедиста сломался велосипед, и он продолжал
путь пешком, двигаясь в 4,5 раза медленнее, чем на велосипеде.
Его обгоняют! второй велосипедист — через 5/8 ч после поломки,
а пешеход — через 10,8 ч после поломки. К моменту поломки
второй велосипедист проехал в два раза большее расстояние, чем
то, которое прошел пешеход к моменту, на 5/36 ч более поздне-
му, чем момент поломки. Через сколько часов после начала дви-
жения сломался велосипед?
1.47. Два пешехода вышли одновременно: первый из А в В,
второй из В в А. Когда расстояние между ними сократилось в
шесть раз, нз В в А выехал велосипедист. Первый пешеход
встретился с ним в тот момент, когда второй прошел 4/9 расстоя-
ния между В я А. Велосипедист в пункт А и первый пешеход в
пункт В прибыли одновременно. Определить отношение скоростей
пешеходов к скорости велосипедиста.
1.48. Города Л и В расположены на берегу реки, причем
город В расположен ниже по течению. В 9 ч утра нз города А
в город В отправляется плот. В это же время из города В в
город А отправляется лодка, которая встречается с плотом че-
рез 5 ч. Доплыв до города А, лодка поворачивает обратно и
приплывает в город В одновременно с плотом. Успеют ли лодка
н плот прибыть в город В к 21 ч (того же дня)?
1.49. Из пункта А в пункт В едет трактор. Радиус переднего
колеса трактора меньше радиуса заднего колеса. На пути нз 4
в В переднее колесо сделало на 200 оборотов больше, чем заднее.
Если бы длина окружности переднего колеса была в 5/4 раза
больше, то на пути из А в В оно сделало бы на 80 оборотов
больше, чем заднее колесо. Найти длины окружностей переднего
и заднего колес трактора, если длина окружности заднего ко-
леса на 1 м больше длины окружности переднего колеса.
1.60. В авторалли одновременно стартовали 3 спортивных
автомобиля разных марок. Экипаж первого автомобиля во время
пути 3 ч устранял поломку и в результате финишировал на 1 ч
позже второго экипажа. Определить скорости автомобилей, если
известно, что скорость второго автомобиля относится к скорости
третьего как 5:4, скорость третьего на 30 км/ч меньше скорости
первого и что между моментами финиша второго и третьего ав-
томобилей прошло 3 ч.
1.51. Пароход делает рейсы между двумя городами; он идет
с одной скоростью при хорошей погоде и с другой — при плохой.
В понедельник хорошая погода во время рейса стояла на 1 ч
дольше, чем плохая. Во вторник пароход шел при хорошей по-
270 ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
годе столько, сколько накануне при плохой, а при плохой пого-
де — на 1 ч 4 мин дольше. В среду пароход шел при хорошей
погоде на 2 ч 30 мин дольше, чем накануне, а плохая погода
застигла его в 9 км от места назначения. В четверг хорошая по-
года длилась на 0,5 ч дольш», чем во вторник, а затем произо-
шла авария, и пароход снизил скорость на 5 км/ч. Найдите рас-
стояние, которое проходил пароход за день, и скорость парохода
в хорошую и в плохую погоду, если известно, что пароход шел
после аварии иа полчаса дольше, чем до нее.
1.52. Три пешехода одновременно вышли в путь, каждый по
своему маршруту. Через t ч второму пешеходу осталось идти в
полтора раза больше того, что прошел первый, а первому оста-
лось идти втрое больше того, что прошел третий. Через 2? Ч
после выхода первому осталось идти вдвое меньше того, что
прошел второй, а третий пешеход прошел столько, сколько оста-
лось идти первому и второму вместе. За какое время первый и
второй пешеходы прошли своя маршруты?
Некоторые задачи содержат условия, математическая запись
которых представляет собой неравенство.
Пример 1.4. Из города А в город В, находящийся на
расстоянии 105 км от А, с постоянной скоростью о км/ч выходит
автобус. Через 30 мин вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч
выезжает автомобиль, который, догнав в пути автобус, повора-
чивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить все
те значения о, при которых автомобиль возвращается в город А
позже, чем автобус приходит в город В.
Решение. Наряду с неизвестной скоростью автобуса о
введем также неизвестное t—время, прошедшее от момента от-
правления автобуса до встречи его с автомобилем.
Первое уравнение представляет собой математическую за-
пись условия того, что автомобиль, вышедший на 0,5 ч позже,
догнал автобус, который к моменту его выхода отъехал от го-
ррда А на 0,5о км:
Второе условие, которое выражено в виде требования, за-
ключается в том, что автобус должен дойти до города В быст-
рее, чем автомобиль вернется в город А. Очевидно, что для воз-
вращения автомобилю понадобится столько же времени, т. е. t,
а автобусу, чтобы доехать до города В, понадобится время
105 - 40?
---------( Тогда требование можно записать как вера-
$ Т ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ £71
ВС1ГСТВ0
<t. (~)
и
Подставляя в неравенство (*•) t из уравнения (»), получаем
относительно о следующее неравенство:
о2 + 250у — 210 • 40 > 0. (*♦♦)
Так как автомобиль должен был догнать автобус в пути, то рас*
стояние до встречи не должно превышать 150 км. Следовательно,
второе неравенство имеет вид
40/ < 105
или
40t-2(fe)-<10K’ <**••>
Решение системы неравенств (***), (****) представляет со>
бой интервал 30 < и < 33,6.
Ответ. Скорость автобуса должна находиться в интервале
вначений 30 < и < 33,6.
1.53. Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км,
а затем поднимается против течения на 6 км. Скорость течения
равна 1 км/ч. В каких пределах должна лежать собственная ско-
рость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 ч?
1.54. Лодка плывет по реке против течения, скорость кото-1
рого о км/ч. Через 1 км пути она попадает в озеро со стоячей
водой. С какой собственной скоростью должна двигаться лодка,
чтобы общее расстояние S км она прошла не более чем за t ч?
1.55. Из пунктов Л и В, расстояние между которыми .120 км,
одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста
в встречаются позже чем через Б ч. На следующий день они
выезжают одновременно в одну сторону нз пунктов С и D, рас-
стояние между которыми 36 км, причем велосипедист, едущий
впереди, движется со скоростью, на 6 км/ч большей, чем нака-
нуне, а велосипедист, едущий сзади, движется с той же ско-
ростью, что и накануне. Хватит ли второму велосипедисту 2 ч,
чтобы догнать первого?
1.56. От пристани А к пристани В, находящейся от А на
расстоянии 12 км, вниз по течению реки отходит моторная лод-
ка, скорость которой в стоячей воде равна 6 км/ч. Одновременно
с ней из В в Л выходит катер, скорость которого в стоячей воде
равна 10 км/ч. После встречи они разворачиваются и возврата-
ГЛ. (I. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
аотся к своим пристаням. Определить все возможные значения
скорости течения реки и, прн которых лодка приходит в Л не
раньше чем через час после возвращения катера в В.
1.57. От пристани А вниз по реке, скорость течения котороП
равна v км/ч, отходит плот. Через час вслед за ним выходит
катер, скорость которого в стоячей воде равна 10 км/ч. Догнав
плот, катер возвращается обратно. Определить все те значениям,
прн которых к моменту возвращения катера в А плот проходит
более 15 км.
1.58. Деревня расположена на берегу реки, а школа — на
шоссе, пересекающем реку под прямым углом. Зимой школьник
ходит из деревин в школу напрямик на лыжах и тратит на до-
рогу 40 мни. Весной, в распутицу, он идет берегом реки до
шоссе, а дальше — по шоссе до школы и тратит на дорогу
1 ч 10 мни. Наконец, осенью он проходит вдоль реки половину
(расстояния, отделяющего деревню от шоссе, а дальше идет на-
прямик. При этом он доходит до школы быстрее чем за 57 мин.
Установить, что дальше: деревня от шоссе или школа от реки,
селя известно, что пешком школьник ходит всегда с одной н
.той же скоростью, а на лыжах — со скоростью, на 25 % большей
(реку и шоссе считать прямыми линиями).
Движение по окружности. Если два тела движутся
по окружности радиуса R с постоянными скоростями О| и о» в
разных направлениях, то время между их встречами вычисляется
по формуле 2nRI(vt + oi).
Если два тела движутся по окружности радиуса R с по-
стоянными скоростями ot и Di (»1 > 01) в одном направлении,
то время между их встречами вычисляется по формуле
2л₽/(О1 — о»).
Пример 1.5. Два тела, движущихся в разные стороны по
окружности длиной 1 м с постоянными скоростями, встречаются
каждые 6 с. При движении в одну сторону первое тело догоняет
второе каждые 48 с. Найти линейные скорости этих тел.
Решение. Обозначим скорости первого и второго тел че-
рез о( м/с и Vi м/с соответственно. Тогда в согласии с условием
задачи получаем следующие системы уравнений:
V(°i + oi) —6, О| 4-01—1/6,
1/(0| — о3) = 48, 01-01— 1/48.
Решая последнюю систему, получаем ot — 3/32, oi — 7/96.
Ответ. Скорость первого тела равна 3/32 м/с, скорость вто
рого равна 7/96 м/с.
$ I. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЯ
273
1.59. Два тела движутся по окружности разномерно в одну
сторону. Первое тело проходит окружность на 2 с быстрее вто-
рого н догоняет второе тело каждые 12 с. За какое время каж-
дое тело проходит окружность?
1.50. Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке на
стадионе. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей до-
рожки первый тратит иа 10 с меньше, чем второй. Если они
начнут бег с общего старта в одном направлении, то еще раз
встретятся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробе-
гает в секунду каждый?
1.51. По двум концентрическим окружностям равномерно
вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на
Б с быстрее, чем другая, н поэтому успевает сделать в 1 мин
на два оборота больше. Сколько оборотов в минуту совершает
каждая точка?
1.52. По окружности радиуса R равномерно в одном направ-'
ленки движутся две точки. Одна из них делает полный круг на
t с быстрее второй, а время между последовательными встреча-
ми равно Т. Определить скорости точек.
1.53. На беговой дорожке состязались два конькобежца на
дистанции S км. Когда победитель подошел к финишу, другому
оставалось бежать еще целый круг. Определить длину беговой
дорожки, если победитель, проходя каждый круг на а с быстрее
побежденного, закончил дистанцию за t мин.
1.54* . Часовая и минутная стрелки совмещаются в полночь.
В какое время нового дня впервые вновь совпадут часовая и ми-
нутная стрелки, если допустить, что стрелки часов движутся без
скачков?
1.55. Часы показывают в некоторый момент на 2 мин мень-
ше, чем следует, хотя они спешат. Если бы они показывали на
3 мин меньше, но уходили бы вперед в сутки на 1/2 мин больше,
чем уходят сейчас, то верное время они показали бы на сутки
раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки спешат эти
часы?
1.55. По сигналу дрессировщика два пони одновременно по-
бежали равномерно вдоль внешней окружности арены цирка в
противоположных направлениях. Первый пони бежал быстрее
второго и к моменту встречи пробежал на Б м больше, чем вто-
рой. Продолжая бег, первый пони подбежал к дрессировщику
через 9 с после встречи со вторым пони, а второй — через 16 с
после встречи. Каков диаметр арены?
1.67. На дороге, представляющей собой окружность длиной
в 36 км, пункты А и В являются диаметрально противополож-
ными точками этой окружности, Велосипедист выехал из пунк-
274
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
та Л а сделал два круга. Первый круг он прошел с некоторой
постоянной скоростью, после чего уменьшил скорость на 3 км/ч.
Известно, что время между двумя его прохождениями через
пункт В равно 5 ч. Определить скорость, с которой велосипедист
прошел первый круг.
1.68. Три гонщика — сначала А, потом В н затем С — стар-
туют с интервалом в 1 мин из одной точки кольцевого шоссе н
двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каж-
дый гонщик затрачивает на круг более 2 мнн. Сделав три круга,
гонщик А в первый раз догоняет В у точки старта, а еще через
3 мин он вторично обгоняет С. Гонщик В впервые догнал С
также у точки старта, закончив 4 круга. За сколько минут про-
ходит круг гонщик А?
1.69. Три гонщика Я, В и С, стартовав одновременно, дви-
жутся с постоянными скоростями в одном направлении по коль-
цевому шоссе. В момент старта гонщик В находился' перед гон-
щиком А на расстоянии 1/3 длины шоссе, а гонщик С —перед
гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал
В в тот момент, когда В закончил свой круг, а еще через
10 мин впервые догнал гонщика С. Гонщик В тратит на круг на
2,5 мнн меньше, чем С. За сколько минут проходит круг гон-
щик Л?
1.70. Из пункта А кольцевого шоссе одновременно в одном
направлении выехали автомобиль и мотоцикл, каждый с постоян-
ной скоростью. Автомобиль без остановок дважды проехал по
шоссе в одном направлении. В момент, когда автомобиль догнал
мотоциклиста, мотоциклист повернул обратно, увеличил скорость
на 16 км/ч и через 22,5 мнн после разворота одновременно с
автомобилем прибыл в пункт Л. Найти длину всего пути мото-
цикла, если этот путь на 5,25 км короче длины шоссе.
Задачи па равноускоренное движение. Прн
решении этих задач используются две следующие формулы, свя-
зывающие время t, пройденное расстояние 5, начальную скорость
ц», ускорение а и скорость о:
S — о0/+ о/’/2,
а — (о — о0)/1.
где а > 0, если движение равноускоренное, и а < 0, если дви-
жение равнозамедленное.
Пример 1.7. Автомобиль едет от пункта Л до пункта В
с постоянной скоростью 42 км/ч. В пункте В он переходит на
равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость
уменьшается на а км/ч, в едет так до полной остановки. Затем
он сразу же начинает двигаться равноускоренно с ускорением
9 I. ЗАДАЧИ НА движение
275
а км/ч1 * * *. Каково должно быть значение а, чтобы через 3 ч после
возобновления движения автомобиль находился ближе всего к
пункту В?
Решение. Обозначим расстояние от пункта В до места
остановки автомобили через S( км, а время движения автомобиля
от момента выезда нз пункта В до момента остановки — через
h ч. Через Si км обозначим расстояние, которое проехал авто-
мобиль за 3 ч после возобновления движения. Условия задачи с
помощью введенных неизвестных можно записать в виде системы
уравнений, полученных из таблицы:
Услоане аацачя
Уравнение
В пункте В автомобиль, движущийся со
скоростью 41 км/ч, переходит аа равно-
аамедлеиное движение, причем аа каждый
час его скорость уменьшается на а км/ч,
и едет так до полной остановки
Автомобиль движется равноускоренно с
ускорением а км/ч* в течение 3 ч
Таким образом, получена система трех уравнений
а-42//ь
31-4211-п/’/2,
32 = 9а/2
для нахождения четырех неизвестных a, tt, Si и Sj. Однозначно
найти искомое ускорение а из данной системы нельзя. Однако
в условии задачи содержится еще одно условие, позволяющее
найти величину а, а именно требуется найти такое значение а,
чтобы расстояние Si + Sa было минимальным. Запишем расстоя-
ние Si + Sa в виде функции ускорении а. Из первого уравнения
системы получаем tt = 42/а. Подставляя вместо 6 во второе
уравнение системы величину 42/а и складывая полученное урав-
нение с третьим уравнением системы, получаем
s 4. «г = 422 4- 9а
S> + S* = -2T + -2-.
Функция /(a) =Si +Sa на промежутке (0; оо) достигает наи-
меньшего значения при а = 14.
Ответ, а 14 км/ч*.
1.71. Известно, что свободно падающее тело проходит в пер-
вую секунду 4,9 м, а в каждую следующую — на 9,8 м больше,
276
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
чем в предыдущую. Пусть два тела начали падать с одной вы-
соты одно за другим с интервалом 5 с. Через какое время они
будут друг от друга на расстоянии 220,5 м?
1.72. Два тела начали двигаться одновременно в одном и
том же направлении из двух точек, расстояние между которыми
80 м. Одно из них, находящееся позади, движется равноускорен-
но н проходит в первую секунду 25 м, а в каждую следую-:
щую — на 1/3 м больше, чем в предыдущую; другое тело, дви-
гаясь равнозамедленно, проходит в первую секунду 30 м, а в
каждую следующую —на 1/2 м меньше, чем в предыдущую.
Через сколько секунд они встретятся?
1.73. Две материальные частицы, находящиеся на расстояния
295 м одна от другой, одновременно начали двигаться навстречу
друг другу. Первая частица движется равномерно со скоростью
15 м/с, а вторая в первую секунду продвинулась на 1 м, а в
каждую следующую секунду продвигается на 3 м больше, чем
в предыдущую. На какой угол переместится секундная стрелка
часов за время, прошедшее от начала движения частиц до их
встречи?
1.74. Два тела движутся навстречу друг другу из двух то-
чек, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в
первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 и
больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно
со скоростью 12 м/с н начало движение спустя 5 с после пер-
вого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться пер-
вое тело, они встретятся?
1.75. Два парохода движутся навстречу друг другу в тумане
с одинаковыми скоростями Vo. На расстоянии 4 км между ними
капитаны включают на некоторое время обратный ход с ускоре-
нием 0,1 м/с1. Какова наибольшая скорость пароходов Vo, при
которой они не столкнутся?
1.76. Мяч катится по футбольному полю перпендикулярно
его боковой линии. Предположим, что, двигаясь равнозамедлен-
но, мяч катился в первую секунду 4 м, а в каждую следующую
секунду —на 0,75 м меньше, чем в предыдущую. Футболист, на-
ходящийся первоначально в 10 м от мяча, побежал в направле-
нии движения мяча, чтобы догнать его. Двигаясь равноускорен-
но, футболист пробежал в первую секунду 3,5 м, а в каждую
следующую секунду пробегал на 0,5 м больше, чем в предыду-
щую. За какое время футболист догонит мяч н успеет ли он
догнать мяч до выхода того за боковую линию, если до линии
поля футболисту надо пробежать 23 м?
1.77. Автомобиль ехал в гору. В первую секунду после до-
стижения пункта А он проехал 30 м, а в каждую следующую
$ I. задачи на движение
277
секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через
9 с после того, как автомобиль достиг пункта Л, навстречу ему
выехал автобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 ы
от пункта Л. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в каж-
дую следующую секунду он проезжал на 1 м больше, чем в
предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи в
автомобилем?
1.78. Мотоциклист выезжает из пункта Л н движется с по-
стоянным ускорением 12 км/ч2 (начальная скорость равна нулю).
Достигнув скорости v км/ч, он едет с этой скоростью 25 км, а
затем переходит на равнозамедленное движение, причем за каж-
дый час его скорость уменьшается на 24 км/ч, н движется так
до полной остановки. Затем он сразу же поворачивает обратно
я едет до пункта Л с постоянной скоростью о км/ч. Прн какой
скорости v мотоциклист быстрее всего проделает обратный путь
от остановки до пункта Л?
1.79. Два автомобиля едут по шоссе друг за другом на рас-
стоянии 20 м со скоростью 24 м/с. Шофери, заметна впереди
препятствие, начинают тормозить. В результате автомобили пе-
реходят на равнозамедленное движение с ускорениями а; и аа
(ai < 0 и в1 < 0) н движутся так до полной остановки. Шофер
переднего автомобиля начал торможение на 2 с раньше шофера
заднего автомобиля. Ускорение переднего автомобиля есть
в| •= —4 м/с2. Наименьшее расстояние, на которое сближа-
лись автомобили, равнялось 4 м. Определить, какой автомо-
биль остановился раньше, н найти ускорение аг заднего авто-
мобиля.
1.80. Грузовой лифт опускается в башне высотой 320 м. Сна-
чала он движется со скоростью 20 м/с, а потом его скорость
мгновенно переключается я становится равной 50 м/с. Спустя
некоторое время после начала движения лифта с вершины башни
сбрасывают камень, который совершает свободное падение и до-
стигает земли одновременно с лифтом. Известно, что во время
падения камень был все время выше лифта, причем максималь-
ная разность высот между ними составляла 60 м. В момент
переключения скорости лифта скорость камня превышала 25 м/с,
но была меньше 45 м/с. Определить, спустя какое время после
начала движения лифта сбросили камень. При решении задачи
ускорение свободного падения камня считать равным 10 м/с2.
1.81* . Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли одно-
временно два поезда. Каждый из них двигался сначала равно-
ускоренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения
различны), а затем, достигнув некоторой скорости, равномерно.
Отношение скоростей ори равномерном движении поездов равно
278
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
4/3. В момент встречи поезда имели равные скорости, а в пункты
В н А прибыли одновременно. Найти отношение ускорений по-
ездов.
1.82* . Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно
вышли два поезда. Каждый из них двигался сначала равноуско-
ренно, а затем, достигнув некоторой скорости, равномерно. Отно-
шение скоростей равномерного движения поездов равно 5/4.
В некоторый момент времени скорости поездов оказались рав-
ными; один из них прошел к атому моменту расстояние, в
1 раза большее, чем другой. В пункты В в А поезда прибыли
одновременно. Какую часть пути прошел каждый нэ поездов к
тому времени, когда их скорости оказались равными?
1.83. С поезда сошли два пассажира н направились в один
н тот же пункт. Первый шел половину времени со скоростью
а км/ч, а вторую половину — со скоростью Ъ км/ч, а второй пер-
вую половину пути — со скоростью b км/ч, а вторую половину —
со скоростью а км/ч. Который нз ни пришел быстрее к месту
назначения?
§ 2. Задачи на работу и производительность труда
Система уравнений, которую можно составить ва основании
условий, в задачах на работу обычно содержит следующие вели-
чины: время 1, в течение которого производится работа, произво-
дительность N — работу, произведенную в единицу времени, и
собственно работу А, произведенную за время t.
Уравнение, связывающее эти три величины, имеет вид А и.
«= Nt.
К задачам на работу можно с очевидными изменениями от-
нести часто встречающиеся задачи на перекачивание жидкости
Насосами. В качестве произведенной работы в этом случае удоб-
но рассматривать объем перекачанной воды.
Пример 2.1. В бассейн проведены две трубы — подающая
и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется
па 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполнен-
ном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн
оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов одна первая труба
может наполнить бассейн и за сколько часов одна вторая труба
может опорожнить полный бассейн?
Решение. Пусть Ум9 — объем бассейна, производитель-
ность падающей трубы — к м’/ч, отводящей — у м’/ч. Время, не-
обходимое подающей трубе для заполнения бассейна, — У/х ч,
время, необходимое отводящей трубе на опорожнение бассей-
9 2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ 279
на, — Vly ч. По условию задачи
V/x-V/y-2.
Так как производительность отводящей трубы больше произво-
дительности наполняющей (х < р), то прн обеих включенных
трубах будет происходить опорожнение бассейна и одна треть
VI3
бассейна опорожнится за время , которое по условию
задачи равно 8 ч.
Итак, условие задачи может быть записано в виде системы
двух уравнений для трех неизвестных
Vlx-Vly — 2,
VKy-x) = 24.
Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей во вто-
ром уравнении системы, на V. Тогда относительно непрерывных
V V
и = — и о = — получим следующую систему уравнении:
и — о — 2.
—--------24,
и — V
которая эквивалентна системе
и — о = 2,
и • о = 48,
т. е. и = 8, t> = 6.
Ответ. 8чн6ч.
Пример 2.2. Для прокладки траншеи выделены два экска-
ватора разных тнпов. Время, необходимое первому экскаватору
для самостоятельной прокладки траншеи, на 3 ч меньше времени,
необходимо второму экскаватору. Сумма этих времен* в
. 4
4"35* Раза ®°льше времени, необходимого для прокладки тран-
шеи при совместной работе двух экскаваторов. Определить,
сколько времени необходимо каждому экскаватору для самостоя-
тельной прокладки траншеи.
Решение. В качестве неизвестных введем следующие ве-
личины: А м* — объем вынутого грунта, Nt м’/ч и Nt не-
производительности первого и второго экскаваторов. Время, не-
обходимое первому экскаватору для самостоятельной прокладки
траншеи, — A/Nlt а второму — А/Nt- По условию задачи эти две
величины связаны равенством
Л^. + З-Л/Л'ь
280
ГЛ. П. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
их сумма A/Ni + А/Nt в 4 — раза больше времени, необхо-
Ои
димого для прокладки траншеи прн совместное работе двух экс-
каваторов, т. е.
4 А А А 4 1 А , А
35 Nt + Nt ” N, + **4 35 N, , Nt “ Nt + Nt’
A + A
_ A A _
Введем неизвестные х — ту- и Тогда исходная систе-’
Aft N»
ма может быть записана в виде
4 4 *У
35 х + у
х + 3 = у.
-< + у
Подставляя у из второго уравнения в первое, получаем относи»
тельно х следующее уравнение:
4х»+ 12х-31Б —0.
Положительный корень этого уравнения х — 7,5 представляет
собой время самостоятельной прокладки траншеи первым экска-
ватором. Из второго уравнения системы получаем, что у = 10,5,
О т в е т. 7,5 ч и 10,5 ч.
2.1. Бригада лесорубов должна была по плану за несколько
дней заготовить 216 м3 дров. Первые три дня она работала по
плану, а затем каждый день заготовляла на 8 м* дров больше,
чем предусмотрено планом; поэтому уже за день до назначен-
ного срока было заготовлено 232 м3 дров. Сколько кубометров
дров должна была заготавливать бригада в день по плану?
22. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание
по обработке деталей на 15 ч быстрее, чем бригада учеников.
Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание,
а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в те-
чение 6 ч, то и тогда будет выполнено только 3/5 всего зада-
ния. Сколько времени требуется бригаде учеников для само-
стоятельного выполнения данного задания?
2.3. Бак наполняется двумя кранами Л и В. Наполнение
бака только через кран А длится на 22 мин дольше, чем напол-
нение через кран В. Если же открыть оба крана, то бак напол-
нится за 1 ч. За какое время каждый кран в отдельности может
наполнить бак?
2.4. В кинозале имеются две (разные) двери. Через обе две-
3
рн зрители после сеанса могут покинуть зал в течение 3— мин.
$ 2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ' 281
Если их выпускать через одну бдльшую дверь, то выход из аала
займет времени на 4 мин меньше, чем в том случае, если их
выпускать через менЬшую дверь. Сколько времени требуется,
чтобы выпустить зрителей из аала кино через каждую дверь
в отдельности?
2.6. Три вычислительные машины разных систем выполняют
некоторую работу. Одна вторая машина затрачивает на выпол-
нение всей работы на 2 мин больше, чем одна первая. Одна
третья машина может выполнить всю работу вдвое медленнее,
чем одна первая. Так как части работы однотипны, то всю ра-
боту можно поделить между тремя машинами. Тогда, работая
вместе, они закончат работу через 2 мин 40 с. За какое время
может выполнить эту работу каждая машина, работая, самостоя-
тельно?
2.в. А выполняет некоторую работу на t дней дольше, чем В,
и на Т дней дольше, чем С; Л и В, работая вместе, выполняют
эту работу за столько же дней, что н С. Определить время, за
которое каждый выполняет эту работу самостоятельно. При ка-
ком соотношении между t и Т задача имеет решение?
2.7. Каждому из трех рабочих для выполнения некоторой
работы требуется определенное время, причем третий рабочий
выполняет ее на час быстрее первого. Работая все вместе, они
выполнят работу за 1 ч. Если же первый рабочий проработает
1 ч, а затем второй рабочий проработает 4 ч, то вместе они
выполнят всю работу. За сколько времени может выполнить всю
работу каждый рабочий?
2.8. Двое рабочих получили одинаковые задания изготовить
определенное число деталей за определенный срок. Первый вы-
полнил задание в срок, а второй выполнил в срок только 90 %'
задания, не додав столько деталей, сколько первый делал за
40 мнн. Если бы второй рабочий делал в час на три детали
больше, он выполнил бы задание на 95 %. Сколько деталей дол-
жен был изготовить каждый рабочий?
2.9. Два рабочих выполнили всю работу за 10 дней, причем
последние 2 дня первый из них не работал. За сколько дней
первый рабочий выполнил бы всю работу, если известно, что за
первые 7 дней они вместе выполнили 80 % всей работы?
2.10. Две бригады штукатуров, работая совместно, оштука-
турили жилой дом за 6 дней. В другой раз они штукатурили
клуб н выполнили втрое больший объем работы, чем на штука-
турке жилого дома. В клубе они работали по очереди: сначала
работала первая бригада, а затем ее сменила н довела до конца
штукатурку клуба вторая бригада, причем первая бригада вы-
полнила вдвое больший объем работы, чем вторая. Клуб был
282
ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
оштукатурен за 35 дней. За сколько дней первая бригада смогла
бы оштукатурить жилой дом, если известно, что вторая бригада
потратила бы на это более 14 дней?
2.11. Бригада нз трех тракторов (два трактора ыаркн А и
один трактор марки В) вспахивает поле площадью 400 га аа
10 суток при одновременной работе всех трех тракторов. Трак-
тор марки В вспахивает все это поле на 8 -у суток быстрее, чем
то же поле вспахивает один трактор марки А. Сколько гектаров
в сутки вспахивают трактор марки А и трактор марки В каж-
дый в отдельности?
2.12* . Каждому из двух рабочих поручили обработать оди-
наковое число деталей. Первый начал работу сразу н выполнил
ее за 8 ч. Второй же потратил сначала больше 2 ч па наладку
приспособления, а затем с его помощью закончил работу на 3 ч
раньше первого. Известно, что второй рабочий через час после
начала своей работы обработал столько же деталей, сколько
к этому моменту обработал первый. Во сколько раз приспособ-
ление увеличивает производительность станка (т. е. количество
обрабатываемых деталей за час работы)?
2.13. Два трактора вспахивают поле, разделенное на две
равные части. Оба трактора начали работу одновременно, и каж-
дый вспахивает свою половину. Через 5 ч после того момента,
когда они совместно вспахали половину всего поля, выяснилось,
что первому трактору осталось вспахать 1/10 часть своего участ-
ка, а второму—4/10 своего участка. Сколько времени понадо-
бится второму трактору, чтобы одному вспахать все поле?
2.14. Бригада рабочих должна была изготовить 360 деталей.
Изготовляя ежедневно на 4 детали больше, чем предполагалось
по плану, бригада выполнила задание на день раньше срока.
Сколько дней затратила бригада на выполнение задания?
2.15. Двум машинисткам было поручено выполнить некото-
рую работу. Вторая приступила к работе на 1 ч позднее первой.
Через 8 ч после того, как первая начала работу, нм осталось
выполнить 9/20 всей работы. По окончании работы оказалось,
что каждая машинистка выполнила половину всей работы. За
сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить
всю работу?
2.18. Три бригады работают с постоянной производитель-
ностью, прокладывая рельсовые пути. Первая и третья бригады,
работая совместно, прокладывают 15 км путей в месяц. Три
бригады вместе укладывают в месяц в два раза больше путей,
чем первая и вторая бригады при их совместной работе. Найти,
. сколько километров путей укладывает в месяц третья бригада,
$ 2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ 283
если известно, что вторая бригада совместно с третьей уложили
некоторый участок пути в четыре раза быстрее, чем его уложила
бы одна вторая бригада.
2.17. Для разгрузки парохода выделены две бригады грузчи-
ков. Сумма времени, необходимого первой бригаде для самостоя-
тельной разгрузки парохода, и времени, необходимого второй
бригаде для самостоятельной разгрузки парохода, равна 12 ч.
Найти эти времена, если их разность составляет 45 % от вре-
мени, необходимого бригадам дли совместной разгрузки паро-
хода.
2.18. К резервуару объемом 24 м’ подведены две трубы. Че-
рез первую трубу вода может только выливаться со скоростью
2 м’/ч, а вторая труба может только наполнять резервуар. Вна-
чале, когда резервуар был пуст, одновременно открыли две тру-
бы. После того как резервуар оказался заполненный наполовину,
первую трубу закрыли, а вторая продолжала наполнять резер-
вуар. В результате резервуар был наполнен за 28 ч 48 мин.
Какое количество воды за 1 ч подает вторая труба?
2.19. Два насоса перекачали 64 м3 воды. Они начали рабо-
тать одновременно н с одинаковой производительностью. После
того как первый из них перекачал 9 м* воды, его остановили на
1 ч 20 мнн. После перерыва производительность первого насоса
увеличили на 1 м*/ч. Определить начальную производительность
насосов, если первый насос перекачал 33 и’ воды и оба насоса
окончили работу одновременно.
2.20. На угольной шахте сначала работали два участка, а
через некоторое время вступил в строй третий участок, в резуль-
тате чего производительность шахты увеличилась в полтора раза.
Сколько процентов составляет производительность второго участ-
ка от производительности первого, если известно, что-за четыре
месяца первый я третий участки выдают угля столько же,'сколь-
ко второй за весь год?
2.21. Два рабочих, из которых второй начал работать на
1,5 дня позже первого, работая независимо один от другого,
оклеили обоями несколько комнат за 7 дней, считая с момента
выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа была
поручена каждому отдельно, то первому для ее выполнения по-
надобилось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней
каждый нз нях отдельно выполнил бы эту же работу?
2.22. Если две трубы открыть одновременно, то бассейн на-
полнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала была
открыта только первая труба на 1/4 временя, необходимого вто-
рой трубе для наполнения бассейна. Затем первую трубу закры-
ли и открыла вторую трубу на 1/4 времени, необходимого пер-
284 ГЛ. If. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
вой, чтобы одной наполнить бассейн. После этого оказалось, что
остается наполнить еще 11/24 часть объема бассейна. Сколько
времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в
отдельности?
2.23. Два студента одновременно начали готовиться к экза*
мену, назначенному для обоих на одни и тот же день. Первый
студент должен прочитать 240 страниц, а второй — 420. Каждый
читает ежедневно одно и то же целое число страниц, причем
Первый прочитывает на 12 страниц меньше второго. После того
как каждый прочел свой материал по одному разу, у них оста-
Лось время на повторение: у первого — 7 дней, у второго—5 дней.
Определить, какое целое число страниц в день надо было бы
читать каждому студенту, чтобы на повторение им осталось по
8 дня.
2.24. В одном из отсеков судна возникла течь, и отсек ока-
млея целиком заполнен водой. Для откачки воды включены два
насоса разной производительности. Через 18 ч после этого течь
была устранена, второй насос выключен, и еще через 12 ч воды
* отсеке не осталось. Если бы течь устранить не удалось, то два
насоса осушили бы отсек наполовину черев 10 ч совместной
работы. За какое время второй насос осушил бы отсек наполо-
вину, если бы не удалось устранить течь?
2.25. Три экскаватора участвовали в рытье котлована объ-
емом 340 м*. За час первый экскаватор вынимает 40 м’ грунта,
второй — на с м’ меньше первого, а третий — на 2с м* больше
Верного. Сначала работали одновременно первый и второй экска-
ваторы и выкопали 140 м1 грунта. Затем оставшуюся часть кот-
вювана выкопали, работая одновременно, первый н третий экска-
ваторы- Определить значение с (0 < с< 15), прн котором кот-
вован был выкопан за 4 ч, если работа велась без перерыва.
2.28. Три экскаватора получили задание вырыть по котлова-
ну: первый и второй — емкостью по 800 м3, а третий—емкостью
,600 м*. Первый и второй экскаваторы вместе вынимают за чао
Грунта в 3 раза больше, чем третий; первый и третий экскава-
торы начали работу одновременно, а второй — в тот момент,
когда первый вынул уже 300 м* грунта. Когда третий экскаватор
Выполнил 2/3 своей работы, второй вынул 100 м* грунта. Пер-
вым выполнил свое задание третий экскаватор. Сколько кубо-
метров грунта вынул первый экскаватор к моменту, когда тре-
тий закончил рыть свой котлован?
2.27* . Имеется три насоса. Второй насос перекачивает за чао
-Вдвое больше воды, чем первый, а третий насос перекачивает за
вас на 8 м* больше, чем второй. Два бассейна вместимостью
too м’ и 1680 м1 начале заполнять одновременно, Бассейн вме-
} 2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ 285
стимостью 600 м’ заполнял первый насос. В другой бассейн сна-
чала вторым насосом накачали 240 м3, а затем его без потери
времени заменяли третьим насосом, который н заполнил пол-
ностью этот бассейн. Больший бассейн был заполнен на 6 ч
позднее, чем меньшкй бассейн. Если бы в больший бассейн о
самого начала качал воду только третий насос, то он был бы
заполнен на 5 ч позднее, чем первый бассейн. Сколько кубомет-
ров воды перекачивает за час первый насос?
В некоторых задачах искомая величина является комбина* -
пней неизвестных, относительно которых удается составить урав-
нения, используя условия задачи.
Пример 2.3. Бассейн был наполнен водой несколькими на-
сосами одинаковой производительности, которые включались в
работу один за другим через равные промежутки времени. Пер-
вый насос перекачал на V, больше последнего. Если промежутки
времени между включениями насосов уменьшить втрое, то время
наполнения уменьшится па 10%. Какой объем воды перекачает
каждый насос при наполнении бассейна, если одновременно
включить все насосы?
Решение. Введем неизвестные, неявно фигурирующие в
условии задачи: л —число насосов, х— производительность, ti —
время работы одного насоса в первом случае, d — интервал ме-
жду включениями насосов, fa—время работы одного насоса при
одновременном включении.
Так как времена работы насосов образуют арифметическую
прогрессию и последний при этом перекачивает воды на V*
меньше первого, можно составить уравнение
xh — х[<| — (л — 1)<Л — Ил. (*)
В первом случае объем перекачанной воды V можно .выразить
через введенные неизвестные, используя формулу суммы ариф-
метической прогрессии:
„ _ 2х/| — х (л — 1) d
2
Во втором случае промежутки между включениями сократились
в три раза и время наполнения — на 10%, т. е. тот же объем
будет равен
2х 0,9/1 — х (л — 1)
« о
Приравнивая эти выражения, получаем второе уравнение
(»*)
О
(*♦♦)
= -^-Va. Под-
«з
286 ГЛ. IT. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
Если сразу будут включены все насосы, то к моменту наполне-
ния бассейна каждый из них проработает время G, а перекачает
х-G литров. Так как насосов всего л, а вместе они перекачают
весь объем, то можно составить следующее уравнение:
2х/| — х (л — 1) d .
-------------------!---------— -n^xtj-n,
млн
2x/,-x(rt-f)d
Х/’----------2--------1
Из уравнения (•) х (л — 1) d«— Уд, в из (••) xt,
ставляя эти значения в (•**), получаем
х/а = 4кл.
Ответ, -у- Кл.
о
2.28. Для уборки урожая было выделено несколько одина-
ковых комбайнов, которые могли бы убрать поле за 24 ч, если
бы приступили к работе одновременно. Но случилось так, что
они приступали к работе один за другим через равные проме-
жутки времени, и затем каждый работал до окончания уборки.
За какое время была проведена уборка урожая, если первый
комбайн работал в 5 раз дольше, чем последний?
2.2В* . Бассейн заполняется с помощью нескольких насосов
одинаковой производительности, которые включились один за
другим через равные промежутки времени. Последний насос пе-
рекачал У л воды. Сколько воды перекачал первый насос, если
известно, что при уменьшении производительности каждого на-
соса на 10 % (при таких же промежутках между включениями)
время наполнения бассейна увеличится на 10 %?
2.30. Три насоса одновременно начали выкачивать воду, каж-
дый из своего резервуара. Когда третий насос опорожнил а-ю
часть объема своего резервуара (а < 1/2), второму оставалось
качать столько, сколько выкачал первый; когда третьему остава-
лось опорожнить (1 — а)-ю часть объема, первому оставалось
выкачать столько, сколько выкачал второй. Первый насос опо-
рожняет второй резервуар за то же время, за какое второй на-
сос опорожняет первый резервуар. Какой из насосов работал
дольше других н во сколько раз? (Производительность каждого
насоса постоянна.) Исследовать зависимость решения от вели-
чины ,а.
2Л1*. Бассейн был заполнен с помощью нескольких насосов,
Которые включались один за другим через некоторые промежут-
$ 3. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТНЫЙ ПРИРОСТ
287
ки времени. Большую часть времени насосы работали вместе и
вторую половину бассейна наполнили за t ч быстрее первой.
Насколько быстрее будет заполнен бассейн, если промежутки
между включениями насосов уменьшить в л раз прн той же по-
следовательности включения? (Производительность каждого на-
соса постоянна.)
2.32. Бассейн наполнялся несколькими насосами одинаковой
производительности, которые включались один за другим через
равные промежутки времени. К моменту включения последнего
насоса была заполнена 1/6 часть бассейна. В другой раз при на-
полнении этого бассейна производительность каждого насоса
была уменьшена на 10 %, а промежутки между включениями
остались прежними. Какую часть бассейна наполнят насосы в
этот раз за первую половину всего времени работы?
§ 3. Задачи на процентный прирост
и вычисление «сложных процентов»
Решение задач на процентный прирост н вычисление «слож-
ных процентов» основано на использовании следующих понятий
и формул. Пусть некоторая переменная величина А, зависящая
от времени t, в начальный момент t = 0 имеет значение Ло, а
в некоторый момент времени It имеет значение Ль Абсолютным
приростом величины А за время 6 называется разность Ло— Ло,
относительным приростом величины Л за время Л — отношение
Л| — Ло . ,
---7---- и процентным приростом величины Л за время G —•
Яо
величина
-• 100 %-
Обозначая процентный прирост величины Л через р %, полу-
чаем следующую формулу, связывающую значения Л о, Л| и
процентный прирост pt
Ai — Лр
Аа
100 % = р %.
Запись последней формулы в виде
Л| — Ло0+ 1до)“=А> + Л0
позволяет по известному значению Ло я заданному значению р
вычислить значение Ло, т. е. значение Л в момент времени Л,
288
ГЛ. П. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
Пусть теперь известно, что и далее при t > /| величина Д
имеет процентный прирост р %. Тогда в момент времени G-=2Ti
значение величины А2 = А (/а) будет равно
Л’ = Л| (,+Тоб')=Ло(1+1оо)2'
В момент времени значение величины Да = Л (G) есть
л»“л* (* + ч5о)-л’(1 + Т?о)
в момент времени л/(:
= +"Пю) •
Если за время (на «первом этапе») величина А измени*
лась на pt %, на <втором этапе» (т.е. за время — h */)—*
на р2 %, на «третьем этапе» (т. е. за время h — h “ G)—на
Ра % и т. д., то значение величины А в момент 1Я л/| вычис-
ляется по формуле
л«-л»(,+-^-)(1+тй’) ••• (l + w)-
Пример 3.1. Предприятие работало три года. Выработка
продукции за второй год работы предприятия возросла на р%,
а на следующий год она возросла на 10 % больше, нем в преды-
дущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработ-
ка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась
в общей сложности на 48,59 %.
Решение. Обозначим количество продукции, произведен-
ной за первый, второй н третий годы работы предприятия, через
At, At н Д1 соответственно. По условию задачи за второй год
процентный прирост составил р %, а за третий год— (р + 10) %.
В соответствии с определением процентного прироста эти условий
дают два уравнения
Л,ГЛ| -100%- р %, ~ Л« 100 % - (р + 10) %.
Л| А2
По условию задачи также известно, что за два года производ-
ство выросло на 48,59 %, т. е. в третий год предприятие произво-
дило на 48,59 % продукции больше, чем в первый год. Это усло-
вие можно записать в виде уравнения
Л|ГЛ| 100 %-=48,59 %.
$ 3. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТНЫЙ ПРИРОСТ
289
Запишем полученные уравнения в виде следующей системы;
ц1+^).
Умножая первое уравнение на второе, получаем
'(l+w)(l+£rar)-
Из полученного уравнения н третьего уравнения системы
получаем уравнение для отыскания- неизвестной величины р:
Корни последнего квадратного уравнения: р( = 17, р» = 227.
По смыслу задачи подходит первый корень р< = 17,
Ответ. 17 %.
8.1. Сберкасса начисляет ежегодно 3 % от суммы вклада.
Через сколько лет внесенная сумма удвоится?
3.2. Население города ежегодно увеличивается на 1/50 на-
личного числа жителей. Через сколько лет население утроится?
3.3. За килограмм одного продукта и десять килограммов
другого заплачено 2 р. Если при сезонном изменении цен первый
продукт подорожает на 15 %, а второй подешевеет на 25 %, то
аа такое же количество этих продуктов будет заплачено 1 р. 82 к.
Сколько стоит килограмм каждого продукта?
3.4. В начале года в сберкассу на книжку было Внесено
1640 р., а в конце года было взята обратно 882 р. Еще через
год на книжке снова оказалось 882 р. Сколько процентов начис-
ляет сберкасса в год?
3.5. В букинистическом магазине антикварное собрание сочи-
нений стоимостью 350 р. уценивали дважды на одно и то же
пиело процентов. Найти это число, если известно, что после двой-
ного снижения цен собрание сочинений стоит 283 р. 50 к.
8.6. В течение года завод дважды увеличивал выпуск про-
дукции иа одно и то же число процентов. Найти это число, если
известно, что в начале года завод выпускал ежемесячно 600 из-
делий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий,
8.5. Вклалиику. на его сберкнижку за год сберкасса начис-
лила 6 р. процентных денег. Добавив 44 р., вкладчик оставил
Ю А. Г. Цышв, А, И, Пжаскя*
Е90 ГЛ. М. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
деньги еще на год. По истечении года вновь было произведено
начисление процентов, н теперь вклад вместе с процентами со-
ставил 257 р. 50 к. Какая сумма первоначально была положена
на сберкнижку н был ли этот вклад обыкновенным (2 %-ным)
или срочным (3%-ным)?
3.8. Магазин радиотоваров продал в первый рабочий день
месяца 105 телевизоров. В каждый следующий рабочий день
дневная продажа возросла на 10 телевизоров, и месячный
план — 4000 телевизоров — был выполнен досрочно, причем в це-
лое число .рабочих дней. После этого ежедневно продавалось на
13 телевизоров меньше, чем в последний день выполнения плана.
На сколько процентов был перевыполнен месячный план прода-
жи телевизоров, если в месяце 26 рабочих дней?
3.9. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала
года, возрастает к концу года на определенный процент (свой
дня каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества
денег положили в первый банк, а оставшуюся часть —во второй
байк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 де-
нежным единицам, к концу следующего года — 749 денежным
единицам. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6 ис-
ходного количества денег положили во второй банк, а оставшую-
ся часть — в первый банк, то по истечении одного года сумма
вкладов в эти банки стала ба равной 710 денежным единицам.
В предположении, что исходное количество денег первоначально
целиком положено в первый банк, определить величину вклада
не истечении двух лет.
3.10. Производительность завода А составляет 40,96 % про-
изводительности завода В. Годовой процент прироста продук-
ция на заводе А на 30 % больше годового прироста продукции
на заводе В. Каков годовой процент прироста продукции ва за-
воде А, если па четвертый год работы завод А даст то же ко-
личество продукции, что и завод В?
3.11. Вклад в N рублей положен в сберегательную кассу с
р %-ным годовым приростом. В конце каждого года вкладчик бе-
рет М рублей. Через сколько лет после взятия соответствующей
суммы остаток будет втрое больше первоначального вклада?
3.13. В колбе в начальный момент имеется N бактерий.
К концу каждого часа количество бактерий увеличивается на
р % оо сравнению с их количеством в начале этого часа; кроме
того, в конце каждого часа нз колбы берется порция, содержа-
щая л (п< N) бактерий. Через сколько часов количество бакте-
рий в колбе будет превышать (после изъятия соответствующей
порции) начальное их количество в два раза?.
f 4. ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 391
§ 4. Задачи с целочисленными неизвестными
Целочисленность искомого неизвестного обычно является до-
полнительным условием, позволяющим выбрать его однозначно
из некоторого множества значений, удовлетворяющих остальным
условиям задачи.
Пример 4.1. Группа студентов, состоящая из 30 человек,
получила на экзамене оценки 2, 3, 4. 5. Сумма полученных оце-
нок равна 93, причем «троек» было больше, чем «пятерок», и
меньше, чем «четверок». Кроме того, число «четверок» делилось
на 10, а число «пятерок» было четным. Определить, сколько ка-
ких оценок получила группа.
Решение. Обозначим количество «двоек» — х, «троек» — у,
«четверок» — г, «пятерок» — и. Тогда условия задачи можно за-
писать в виде следующей системы уравнений и неравенств:
х + у + г + и — 30,
2х -f- Зу + 4z + 5и = 93,
у > и,
У< г.
z — А-10,
и — 21, I, к— целые числа.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем
х + 2у 4-3z + 4a—63. (•)
Так как г кратно 10, то единственное возможное значение для
к— это к = 1, Действительно, при k > 1 уравнение (•) не имеет
решения в целых положительных числах. Используя то, что
z = 10, перейдем от уравнении (•) к уравнению
х + 2у + 4и-33. (•.)
Возможные значения для и (оно должно быть положительным,
четным н меньшим у < 10) м — 2, 4, 6, 8. Однако при и “ в
и и = 8 получаем, что 8 и > у при любом х. Следователи»,
проверке подлежат лишь значения 4 и 2.
При и = 4 неизвестные хну можно найти из следующей
системы уравнений;
х + 2у-17,
2я-ЬЗу — S3,
решением которой является пара у “ 1. х — 15, ее удовлетво-
ряющая условию у > и. При и “ 2 система уравнений для х, у
имеет вид
* + 2р-26,
2х + 3у — 43.
292 ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
Решение этой системы х = 11, у = 7 удовлетворяет условиям
задачи.
Ответ. «Пятерок» — 2, «четверок» — 10, «троек» — 7,
«двоек» — 11.
4.1. Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом.
Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит
альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один
лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же аль*
бом, на каждом листке которого наклеено по 21 марке, то всего
у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?
4.2. В классе писали контрольную работу. Среди выставлен*
пых за нее опенок встречаются только оценки 2, 3, 4, 5. Оценки
2, 3, 5 получило одинаковое число учеников, а оценок 4 постав-
лено больше, чем всех остальных вместе взятых. Оценки выше 3
получили менее 10 учеников. Сколько троек и сколько четверок
было поставлено, если писали контрольную не менее 12 учени-
ков?
4.3. Квартал застроен пятиэтажными и девятвэтажными до-
мами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных.
Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то обшее
число домов станет больше 24, а если увеличить вдвое число
пятиэтажных домов, то обшее число домов станет менее 27,
Сколько построено пятиэтажных домов в сколько девятиэтаж-
ных?
4.4. На стоянке находятся машины марок «Москвич» и «Вол-
га». Общее число их менее 30. Если увеличить вдвое число
«Волг», а число «Москвичей» увеличить на 27, то «Волг» станет
больше; а если увеличить вдвое число «Москвичей», не изменяя
числа «Волг», то «Москвичей» станет больше. Сколько «Москви-
чей» и сколько «Волг» находится на стоянке?
4.S. В школьной газете сообщается, что процент учеников
некоторого класса, повысивших во втором полугодии успевае-
мость, заключен в пределах от 2,9 до 3,1 %. Определить мини-
мально возможное число учеников в таком классе.
4.6* . Завод должен переслать заказчику 1100 деталей. Де-
тали для пересылки упаковываются в ящики. Имеются ящики
трех типов. Ящик первогр типа вмещает 70 деталей, ящик вто-
рого типа — 40 деталей, ящик третьего типа — 25 деталей. Стои-
мость пересылки ящика первого типа составляет 20 р., стоимость
пересылки ящика второго типа —10 р., стоимость пересылки
ящика третьего типа —7 р. Какие ящики должен использовать
завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей? (Недогруз-
ка ящиков не допускается.)
5 4. ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 233
4.7* . Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого
экскаватора стоит 60 р. в день, производительность его в мягком
грунте — 250 и’ в день, в твердом грунте—150 м3 в день.
Аренда второго экскаватора стоит 50 руб. в день, его производи-
тельность в мягком грунте — 180 м’ в день, а в твердом —
100 м* в день. Первый экскаватор проработал несколько полных
дней и вынул 720 м3. Второй за несколько полных дней вынул
330 м3. Сколько дней работал каждый экскаватор, если колхоз
заплатил за аренду не более 300 р.?
4.8. В вазе лежат конфеты двух сортов, причем число кон-
фет первого сорта более чем на 20 штук превышает число кон-
фет второго сорта. Одна конфета первого сорта весит 2 г, а кон-
фета второго сорта — 3 г. Из вазы взяли 15 конфет одного сор-
та, вес которых составил пятую часть от веса всех конфет, ле-
жавших в вазе. Затем было взято еще 20 конфет другого сорта;
их вес оказался равным весу оставшихся в вазе конфет. Сколько
конфет каждого сорта лежало первоначально в вазе?
При решении некоторых задач с целочисленными неизвест-
ными область изменения искомого неизвестного удается получить
лишь вследствие определения области изменения вспомогатель-
ного неизвестного, некоторой функцией от которого является
искомое неизвестное. Условие целочисленности при этом исполь-
зуется лишь для получения однозначного ответа.
Пример 4.2. Из пункта А в пункт В сплавляют по реке
плоты, отправляя нх через равные промежутки времени. Скоро-
сти всех плотов относительно берега реки постоянны и равны
между собой. Пешеход, идущий из А в В по берегу реки, про-
шел треть пути от А до В к моменту отплытия первого плота.
Дойдя до В, пешеход сразу отправился в А и встретил первый
плот, пройдя более 3/13 пути от В до А, а последний плот он
встретил, пройдя более 9/10 пути от В до А. Пешеход в пунктА
и седьмой плот в пункт В прибыли одновременно. Из пункта А
пешеход сразу вышел в В и прибыл туда одновременно с по-
следним Плотом. Скорость пешехода постоянна, участок реки
от А до В прямолинейный. Сколько плотов отправлено из
А в В?
Решение. Составим систему уравнений н неравенств ис-
ходя из условий задачи. Для этого обозначим: расстояние от
А до В через S, скорости пешехода и реки через о. и о» соответ-
ственно, число плотов через л, расстояние от пункта В до встречи
пешехода о первым плотом через х, расстояние от пункта А до
встречи пешехода с последним плотом через у, Ь — интервал
времени между пусками отдельных плотов.
В94 ГЛ. П. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
Все уравнения составляются из условия равенства интер-
валов времени, прошедших для каждого из движущихся объек-
тов от момента начала движения до встречи:
Условие задача
Уравнение
Время, прошедшее до встреча пеше*
хода а первого плота
Время, прошедшее до встречи пеше-
хода н последнего плота
Пешеход пришел в пункт А, когда
седьмой плот пришел в пункт В
Пешеход пркшел в пункт В одновре*
манно с последним плотом
К этой системе уравнений исходя из условий задачи следует
добавить еще два неравенства:
з I
х > "Тз”S’ у < То I*)
Выразим х и у из первого и второго уравнений системы, за-
менив (л—1)Д на разность
0п Ор •
и подставим эти выражения в неравенства (•). Имеем систему
неравенств
S 2 S S S
оР 3 оп 3 Ор Оп 1
1 1 > 13 S’ I 1 < 10 s’
On + op ’ on + Op
°p
В этой системе удобно ввести неизвестное z ——, тогда отио*
On
сительно этого неизвестного система (••) приобретает вид
3 —2z 3
3(1 + х) > 13’ 39 - 26z > 0 4-9z, 9 6
1 —z >.-1 ** 10 — 10е< 1 4-в, ** 11 7 ‘
1 + в < 10 • - • •
§ 4. ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 295
Из двух оставшихся уравнение выразим искомое неизвестное
л через неизвестное г. Так как
\ 3 оп Ср )
5 jL_JL
Т Оп «р
л — 1 «=
48z — 18
6г —3 •
. ,. . 48г — 18 , . л
Функция f (г) — —=----=— убывает на всей области определения.
□Z —" о
таким образом, наибольшее значение этой функции на отрезке
/ 9 6 \ 9 234
г е I-уу> -yl достигается в точке -jy и равно -ур наи-
6 162
меньшее — в точке -=- и равно —5—, т. е. справедливо неравен*
< V
ст во
Единственным целым числом, удовлетворяющим указанному не-
равенству, является число 19.
Ответ, л = 20.
4.9. Несколько самосвалов загружаются поочередно в пунк-
те Л (время загрузки одно и то же для всех машин) й обвозят
груз в пункт В\ там они мгновенно разгружаются и возвращают-
ся в А. Скорости машин одинаковы, скорость груженой машины
составляет 6/7 скорости порожней. Первым выехал из А води-
тель Петров. На обратном пути он встретил водителя Иванова,
выехавшего из А последним, и прибыл в А через 6 мни после
встречи. Здесь Петров сразу же приступил к загрузке, а по окон-
чании ее выехал в В н встретил Иванова во второй раз через
40 мни после первой встречи. От места второй встречи до А
Иванов ахал не менее 16 мни, но не более 19 мин. Определить
время загрузки.
4.10. Из пункта А в пункт В сплавляют по реке плоты, от-
правляя qx через равные промежутки времени. Скорости плотов
постоянны и равны между собой. Пешеход, идущий нз А в В,
арошеи четверть пуп от Л до в ж моменту отплытия первого
29в ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
плота. Этот плот поравнялся с пешеходом, проплыв более 6/1 f
пути от А до В. Пешеход, прибыв в В одновременно с четвертым
плотом, сразу отправился в А. Пройдя более 9/14 пути от В
до А, он встретил последний плот и прибыл в А одновременно
с прибытием этого плота в В. Сколько отправлено плотов?
Еше одним типом задач на составление уравнений с цело-
численными неизвестными являются аадачн на запись чисел в
десятичной позиционной системе счисления.
Пример 4.3. Искомое трехзначное число оканчивается
цифрой 1.'Еслн эту цифру перенести с последнего места на пер-
вое, сохранив порядок остальных двух цифр, то вновь получен-
ное число будет меньше искомого на 90. Найти это число.
Решение. Обозначим число сотен искомого трехзначного
числа через т, а число десятков — через л. Искомое трехзначное
число тл1 (знак умножения между т, л и 1 отсутствует, т,
п — цифры десятичной системы счисления, и m^feO) есть сокра-
щенная запись числа т-10Ч-л-10-|-1. Трехзначное число, обра-
зованное в результате переноса I с последнего места на первое,
будет 1-10* + т-90 + л. По условию задачи последнее число на
90 меньше искомого:
т • 102 + л • 10 + 1 = 1 • 102 + т • 10 4- л + 90.
Таким образом, получено одно уравнение с двумя неизвестными
тип, причем мы знаем, что т в л — цифры десятичной пози-
ционной системы счисления и т 0. Число единиц в числе, стоя-
щем слева, должно совпадать с числом единиц в числе, стоящем
справа, и поэтому л = 1. Теперь уравнение приобретает вид
т • 102 + 10 — 1 • 102 + т • 10 + 90,
откуда находим, что т = 2.
Ответ. Искомое число — 211.
Пример 4.4. Если двузначное число разделить на сумму
его цифр, то получится в частном 4, а в остатке 3. Если же это
число разделить на произведение его цифр, то получится в част-
ном 3, а в остатке Б. Найти это число.
Решение. Прежде чем перейти к решению задачи, на-
помним, что если число N делится на число р и в частном полу-
чается число k, а в остатке число г (г<р), то число N пред-
ставимо в виде
N = kp + г.
,На использовании этого равенства в основано решение задачи*
$ 4. ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 297
Запишем двузначное число в виде 10 m 4-л. Условие задачи
приводит к системе двух уравнений:
10m -|- п = 4 (т 4" л) 4- 3, 6mЗп 4" 3,
Ют 4-n = 3mn 4* 5 * Ют 4-я = Эти 4- 5,
п “ 2т — 1,
** Ют 4- л«= Зтп 4- \
Подставляя л = 2т — 1 во второе уравнение системы, полу»
чаем уравнение
2m2 — 5m 4- 1=0,
решения которого mi = 2, mi = 1/2. Условию задачи (т и л —
цифры) удовлетворяет только корень m = 2. Из первого урав-
нения системы находим л = 3.
Ответ. Искомое число — 23.
4.11. Какое двузначное число меньше суммы квадратов его
цифр на 11 и больше их удвоенного произведения на 5?
4.12. Сумма цнфр двузначного числа равна 12. Если к иско-
мому числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
4.13. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13.
Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми
же цифрами в обратном порядке. Найти это число.
4.14* . Задумано целое положительное число меньше 10. К его
записи присоединили справа цифру 5 и нз получившегося нового
числа вычли квадрат задуманного числа. Разность разделили на
задуманное число, а затем вычли задуманное число. Осталась
единица. Какое число задумано?
4.15. Ученику надо было умножить 72 на двузначное число,
в котором десятков втрое больше единиц; по ошибке он пере-
ставил цифры во втором сомножителе, отчего получил произве-
дение на 2592 меньше истинного. Чему равно истинное произве-
дение?
4.16* . Запись шестизначного числа начинается цифрой 2.
Если цифру перенести с первого места па последнее, сохранив
порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет
втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
4.17. Определить целое положительное число по следующим
данным: если к его цифровой записи присоединить справа циф-
ру 4, то получим число, делящееся без остатка на число, боль-
шее искомого на 4, а в частном получится число, меньшее дели-
теля на 27.
4.18* . Сумму всех четных двузначных чисел разделили на
одно из них без остатка. Получившееся частное только поряд-
(98 ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
ком цифр отличается от делателя, а сумма его цифр равна 9,
Какое двузначное число являлось делителем?
4.19. К цифровой записи некоторого задуманного положи-
тельного числа приписали справа еше какое-то положительное
однозначное число. Из получившегося таким образом нового чис-
ла вычли квадрат задуманного числа. Эта разность оказалась
больше задуманного числа во столько раз, сколько составляет
дополнение приписанного числа до 11. Требуется доказать, что
•то возможно тогда и только тогда, когда приписанное число
равно задуманному.
420. Найтн два двузначных числа, обладающих следующим
свойством: если к большему искомому числу приписать справа 0
я затем меньшее число, а к меньшему приписать справа большее
число и затем 0, то из образовавшихся таким образом двух
пятизначных чисел первое, будучи разделенным на второе, дает
в частном 2 я в остатке 690. Кроме того, известно, что сумма
{удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего
равна 72.
421. При перемножении чисел, из которых одно на 10 боль-
ше другого, была допущена ошибка: цифру десятков в произве-
дении уменьшили на 4. Прн делении (для проверки ответа) по-
лученного произведения на меньший множитель получили в част-
ном 39, а в остатке 22. Найти сомножители.
422*. Найти два двузначных числа А и В по следующему
условию: если цифровую запись числа А записать впереди В н
полученное число разделить на 0, то в частном получится 121.
'Если же цифровую запись числа В записать впереди числа А и
полученное число разделить на А, то в частном будет 84. а в
остатке 14. Найти А и 0.
423*. Квадрат целого положительного простого числа V
делится (с остатком) на 3, полученное неполное частное де-
лится (без остатка) на 3, частное вновь (с остатком) делится
па 3, и, наконец, полученное неполное частное опять я остатком
делится на 8 и дает в результате 16. Найтн N.
424*. Знаменатель дроби больше квадрата ее числителя на
единицу. Если к числителю и знаменателю прибавить 2, то дробь
будет больше 1/4; а если отнять от числителя и знаменателя 3,
то дробь будет меньше 1/10. Найти дробь.
425*. Два брата продали стадо овец, выручив аа каждую
овцу столько рублей, сколько было овец в стаде. Желай разде-
лить выручку поровну, они поступили следующим образом; каж-
дый брат, начиная со старшего, брал из общей суммы ио десять
рублей, Поем того как а очередей раз старший брат взял де-
$ 5. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ 299
сять рублей, остаток от выручки оказался меньше десяти рубле*.
Желая его компенсировать, старший брат отдал младшему свой
нож. Во сколько рублей был оценен этот нож?
§ 5. Задачи на концентрацию н процентное
содержание
Решение задач па концентрацию и процентное содержание
основано на использовании следующих понятий и формул.
Пусть даны три различных вещества А, В и С с массами
Мл, Мв в Me. Масса смеси, составленной нэ этих веществ, равна
Мд + Л*а + Afc.
Массовой концентрацией вещества А в смеси называется
величина сл, вычисляемая по формуле
с
л мА + мв + мс-
Соответственно массовые концентрации веществ В и С в этой
смеси вычисляются по формулам
Мд Мс
ев " MA + MB + Mcf °C~ Мл + Мв + Мс‘
Массовые концентрации сд, св Сс связаны равенством
Сл + Св + Сс“ *•
Процентными содержаниями вещества А, В, С в данной
смеси называются величины рл %, pa°k и рсЧв соответственно,
вычисляемые по формулам
рЛ%=сЛ-100%. рв%~св.100Ъ, рс %-ес. 100 %.
По аналогичным формулам вычисляются концентрации веШеста
в смеси н для случая, когда число различных смешиваемых ве-
ществ (компонент) равно двум, четырем, пяти и т. д.
Объемные концентрации веществ в смеси определяются та-
кими же формулами, как и массовые концентрации, только вме-
сто масс компонент Мл, Ma и Мс в этих формулах будут стоять
объемы компонент Уд, Ув и Ус- В тех случаях, когда речь идет
об объемных концентрациях, обычно предполагается, что при
смешивании веществ объем смеси будет равен сумме объемов
компонент. Это предположение не является физическим законом,-
а представляет собой соглашение, принимаемое при решении за-
дач на объемную концентрацию.
Пример 5.1. В сосуд емкостью в л налито 4 л 70%-иого
раствора серной кислоты, Во второй сосуд той же емкости ва-
800
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
лито 3 л 90 %-ного раствора серной кислоты. Сколько литров
раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы
в нем получился г %-ный раствор серной кислоты? Найти все
значения г, прн которых задача имеет решение.
Решение. Обозначим через х л объем 90 %-ного раствора
серной кислоты, который переливается нз второго сосуда в пер-
Эх
вый. В этом объеме содержится -уд- л чистой (100%-ной) сер-
ной кислоты. Первоначально в первом сосуде объем чистой сер-
ной кисЛоты был равен • 4 (л). После того как в первый
сосуд долили х л 90 %-ного раствора серной кислоты, в нем
7 9
будет содержаться -уд- 4 + -уд- х л чистой серной кислоты. Ис-
пользуя определение объемного процентного содержания, в со-
ответствии с условием задачи получаем уравнение
-г %.
Решая вто уравнение, находим величину перелитого объема:
4 (г - 70)
90 —г
Остается выяснять, при каких значениях г задача имеет ре-
шение. Из условия задачи очевидно, что количество доливае-
мого раствора не может превысить 2 л, так как объем первого
сосуда равен 6 л, т.е 0<х<2. Используя найденное значение
для х, получим ограничения на г:
0<
4 (г-70)
90 —г
<2.
Решая данное неравенство (с учетом того, что 70 < г С 90),
2
получим 70 < г < 76
О
л 4 (г — 70) . .
Ответ. —до — (л); вадача имеет решение прн 70 <г <
<7вт-
8.1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг,
содержащий 45 % меди. Сколько чистого олова надо добавить
* этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содер-
жал 40%медж?
$ S. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ
301
5.2. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый ве-
сит 3 кг и содержит 40 % меди, второй весит 7 кг и содержит
30 % меди. Какого веса нужно взять куски этих слитков, чтобы
после их совместной переплавки получить 8 кг сплава, содер-
жащего г % меди? Найтн все значения г, прн которых задача
имеет решение.
6.3. Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %.
Сколько сухих фруктов получается из 20 кг свежих?
5.4. Морская вода содержит (по весу) 5 % соли. Сколько
килограммов пресной воды нужно прибавить к 40 кг морской
воды, чтобы содержание соли в растворе составило 2 %?
6.5. В двух сосудах находился раствор вещества различной
концентрации, причем в первом сосуде на т литров меньше, чем
во втором. Из каждого сосуда взяли одновременно по л литров
и взятое из первого сосуда перелили во второй, а взятое из
второго — в первый. После этого концентрации растворов в обо-
их сосудах стали одинаковыми. Найти, сколько литров раствора
было в каждом сосуде.
6.6* . Из двух кусков с различным процентным содержанием
меди, весящих m кг и л кг, отрезано по одинаковому куску.
Каждый нз отрезанных кусков сплавлен с остатком другого ку-
ска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах
стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных ку-
сков?
5.7. Сплавили два сорта чугуна с разным процентным содер-
жанием хрома. Если одного сорта взять в 5 раз больше дру-
гого, то процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит
процентное содержание хрома в меньшей из сплавляемых частей.
Если же взять одинаковое количество обоих сортов, то сплав бу-
дет содержать 8 % хрома. Определить процентное содержание
хрома в каждом сорте чугуна.
5.8* . Даны три различных соединения железа. В каждом ку-
бическом сантиметре первого соединения содержится на 3/20 г
железа меньше, чем в каждом кубическом сантиметре второго
соединения, а в каждом кубическом сантиметре третьего соеди-
нения— в 10/9 раза больше, чем в каждом кубическом санти-
метре первого соединения. Кусок третьего соединения, содержа-
щий I г железа, имеет объем на 4/3 см3 больший, чем кусок
второго соединения, также содержащий 1 г железа. В каком
объеме третьего соединения содержится I г железа?
Укааание. Воспользоваться формулой m = рУ, связы-
вающей массу, плотность н объем вещества.
5.0. Величины процентного содержания спирта в трех рас-
творах образуют геометрическую прогрессию, Если смешать перч
302
ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
вый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4, то
получится раствор, содержащий 32 % спирта. Если же смешать
их в отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 22 %!
спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?
5.10* . В лаборатории имеются растворы поваренной соли
четырех различных концентраций. Если смешать первый, второй
и третий растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится
15 %-ный раствор. Второй, третий и четвертый растворы, взятые
в равной пропорции, дают при смешивании 24 %-ный раствор,
и, наконец, раствор, составленный из равных весовых частей
первого и третьего растворов, имеет концентрацию 10%. Какая
концентрация получится при смешении второго н четвертого рас*
творов в пропорции 2:1?
5.11. Три одинаковые пробирки наполнены до половины рас-
творами спирта. После того как содержимое третьей пробирки
разлили поровну в первые две, объемная концентрация спирта
в первой уменьшилась на 20 % своей величины, а во второй —
увеличилась на 10% своей величины. Во сколько раз первона-
чальное количество спирта в первой пробирке превышало перво-
начальное количество спирта во второй пробирке? (Изменением
объема при смешивании растворов пренебречь.)
5.12. Имеются два раствора соли в воде. Для получения
смеси, содержащей 10 г соли и 90 г воды, берут первого рас-
твора вдвое больше по массе, чем второго. Через неделю из
каждого килограмма первого и второго растворов испарилось
по 200 г воды и для получения той же смеси, что и раньше,
требуется первого раствора уже вчетверо больше по массе, чем
второго. Сколько граммов соли содержалось первоначально в
100 г каждого раствора?
5.1S. Имеются два водных раствора вещества А я В, разли-
чающихся весовыми соотношениями веществ А, В и воды. В пер-
вом растворе вещества Л столько же, сколько воды, а веще-
ства В в полтора раза больше, чем вещества А. Во втором рас-
творе вещества В в два раза меньше, чем вещества А, в в два
раза больше, чем воды. Сколько нужно взять каждого раствора
и сколько добавить воды, чтобы получить 37 кг петого раствора,
в котором вещества А столько же, сколько вещества В, а воды
в два раза больше, чем вещества Л?
5.14. В пустой резервуар по двум трубам одновременно на-
чинают поступать чистая вода и раствор кислоты постоянной
концентрации. После наполнения резервуара в нем получился
6 %-ныЙ раствор кислоты. Если бы в тот момент, когда резер-
вуар был наполнен наполовину, подачу воды прекратили, то
после наполнепя резервуара подуши бы 10%-вый распор
s Б. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ 303
кислоты. Определить, какая труба подает жидкость быстрее
во сколько раз.
5.15. Две трубы, работая вместе, подают в бак 100 л жидко-
сти в минуту. Имеются два раствора кислоты — сильный и сла-
бый. Если смешать по 10 л каждого раствора и 20 л воды, то
получится 40 л 20%-ного раствора. Известно также, что если
в течение часа подавать в первоначально пустой бак по первой
трубе слабый раствор, а по второй — сильный, то получится
30 %-ный раствор кислоты. Какой концентрации (в процентах)
получится раствор кислоты, если в течение часа подавать в пер-
воначально пустой бак по первой трубе сильный раствор, а по
второй — слабый? (Считается, что при смешивании воды и кис-
лоты объем не меняется.)
5.16. Имеются 3 слитка различных сплавов золота с сереб-
ром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего
слитка то же, что во взятых вместе 1 г нз первого и 1 г та
второго слитков. Вес третьего слитка равен суммарному весу
части первого слитка, содержащей 10 г золота, и части второго
слитка, содержащей 80 г золота. Третий слиток в 4 раза тяже-
лее первого и содержит 75 г золота. Сколько граммов золота
содержится в первом слитке?
5.17. Имеются два сплава, состоящих из цинка, меди и оло-
ва. Известно, что первый сплав содержит 40 % олова, а вто-
рой — 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и вто-
ром сплавах одинаково. Сплавив 150 г первого сплава и 250 R
второго, получим новый сплав, в котором будет 30 % цинка. Оп-
ределить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве,
5.18. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 30 % ни-
келя и 70 % меди, второй — 10 % меди и 90 % марганца, тре-
тий—15% никеля, 25 % меди и 60 % марганца. Из них необ-
ходимо приготовить новый сплав, содержащий 40 % марганца.
Какое наименьшее н какое наибольшее процентное содержанм
меди может быть в этом новом сплаве?
5.10. Из бутыли, наполненной 12 %-ным (по массе) раство-
ром соли, отлили 1 л и налили 1 л воды, затем отлили еще 1 л
и опять долили водой. В бутыле оказался 3 %-ный (по массе)
раствор солн. Какова вместимость бутыли?
5.20. Имеются два бака: первый бак наполнен чистым глице-
рином, второй — водой. Взяли два трехлнтровых ковша, зачерп-
нули первым полный ковш глицерина из первого бака, а вто-
рым — полный ковш воды нз второго бака, после чего первый
ковш влили во второй бак, а второй ковш влили в первый баи.
Затем, после перемешивания, снова зачерпнули первым полный
ковш смеси нз первого бака, вторым — полный ковш смеси вэ
304
ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
второго бака и влили первый ковш во второй бак, а второй
ковш — в первый бак. В результате половину объема первого
бака занял чистый глицерин. Найти объемы баков, если известно,
что нх суммарный объем в 10 раз больше объема первого бака.
6.21. Из сосуда, наполненного 96%-ным раствором кислоты,
отлили 2,5 л и долили 2,5 л 80 %-ного раствора той же кислоты,
затем еще раз отлили 2,5 л и снова долили 2,5 л 80 %-ного
раствора кислоты. После этого в сосуде получился 89 %-ный
раствор кислоты. Определить вместимость сосуда.
6.22. В каждом нэ двух сосудов находится по V л чистой
кислоты.' Из первого сосуда отлили а л кислоты и долили а л
воды. Потом эту процедуру повторили еще раз. Из второго со-
суда отлили 2а л кислоты и долили 2а л воды. Потом эту про-
цедуру повторили еще раз. Известно, что в результате концен-
трация кислоты в первом сосуде оказалась в 25/16 раза больше,
чем концентрация кислоты во втором сосуде. Какую часть объ-
ема сосуда составляют а л?
623. Непромытый золотой песок содержит k % чистого зо-
лота. После каждой промывки вымывается р % содержащихся
в нем примесей и теряется q % имеющегося в песке золота.
Сколько следует произвести промывок, чтобы процент содержа-
ния чистого золота в золотом песке был не меньше г?
§ 6. Разные задачи
В задачах этого параграфа требуется определить значение
некоторой комбинации неизвестных, представив ее в виде функ-
ция от других комбинаций неизвестных, числовые значения кото-
рых определены условиями задачи.
Пример 6.1. Три экскаватора разной производительности
рыли котлован. Если бы производительность первого была в
2 раза, а третьего—в 3 раза больше, чем в действительности, то
котлован был бы вырыт за 5 дней. Если бы производительность
первого была в 3 раза, второго — в 2 раза, а третьего — в 4 раза
больше, чем в действительности, то котлован был бы иырыт за
3
а — дня. За сколько дней котлован был вырыт в действитель-
ности?
Решения. Обозначая объем котлована о, а действитель-
ные производительности первого, второго и третьего экскаваторов
'X, у, г соответственно, составим следующие два уравнения:
5 (2* + у + Зг) = о,
а
3-^-(Зж + 2у-|-4и)-Р.
s в. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
зоб
Если искомую величину — число дней, за которое в действитель-
ности был вырыт котлован, — обозначить t, то можно составить
третье уравнение
< (* + У + «) — о.
Полученную систему из 3-х уравнений обозначим (*). Комбипа-
цию неизвестных t = ————— требуется представить в вндо
о
и
некоторой функции от комбинаций неизвестных дх + у + 3z Я
3
j , п—, . , числовые значения которых 5 и 3— соответ-
Зх + 2у -f- 4z г 4
ственно определены условиями задачи.
Перепишем систему уравнений (♦) в следующем виде:
2х + у + Зг-4-«
О
4о
Зх + 2у + 4z =
I о
. I и
х + у + г°-.
Очевидно, что если найдутся такие действительные числа аир,
при которых выполняется соотношение
а(2х + у + Зг) + Р(Зх + 2у+ 4x)-x + y+z, (.»)
то справедливым будет и уравнение
•(т)+»(тг)-г- <->
Из уравнения (•••) t можно выразить в виде
. 15-Б 15
15а + 20р “ За + 4р •
Числа аир находятся из сравнения коэффициентов при неиз-
вестных в левой в правой части уравнения (•*) 1
2а + 3р» I,
а + 2р — I,
За + 4р = 1.
Из первых двух уравнений получаем р в I, а «—1. Третье
уравнение является следствием первых двух. Подставляя най-
денные аира (••*), получаем
/«= 15.
Ответ, 15 дней.
306 гл. 11, ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
6.1. Гвоздь, 3 винта и 2 шурупа весят 24 г, а 2 гвоздя,
5 винтов я 4 шурупа весят 44 г. Сколько весят вместе гвоздь,
4 винта н 2 шурупа.
6.2. Трое рабочих должны сделать некоторое количество де-
талей за определенное время. Если бы первый работал половину
* 1 я 1
отведенного времени, второй —х- этого времени, а третий----т-
О 4
часть, то они сделали бы 30 деталей. Если бы первый рабо-
тал -=- часть отведенного временв, второй —пг, а третий —•
О IU
то они сделали бы 10 детален. Какое количество деталей
1о
сделали бы трое рабочих вместе, если бы работали все отведен*
ное время?
6Л. Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку
портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз
дешевле, авторучка — в 2 раза дешевле, а книга — в 2,5 раза
дешевле, то та же покупка стоила бы 8 руб. Если бы по сравне-
нию с первоначальной стоимостью портфель стоил в 2 раза де-
шевле, авторучка — в 4 раза дешевле, а книга — в 3 раза дешев-
ле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 12 руб. Сколько
стоит покупка и за что уплачено больше: за портфель нлн аа
авторучку?
6.4. Имеется три типа станков развой производительности.
При этом 3 станка первого типа, 4 второго н 2 третьего справ-
ляются со всей работой за 2 ч, 2 станка первого типа, 5 второго
и 4 третьего —за 3 ч. Объем работы увеличили в 3,5 раза, во
взяли 21 станок первого типа, 42 второго и 24 третьего. Спра-
шивается, за какое время они выполнят этот объем работы?
Иногда искомая комбинация неизвестных представляется в
виде функции от другой комбинации, числовое значение которой
в условии задачи не дано, но сравнительно легко подлежит опре-
делению.
Пример 6.2. С двух участков поля собрано 330 т пшени-
цы. Если бы с каждого гектара первого участка поля было
собрано столько пшеницы, сколько ее собирали с каждого гек-
тара второго участка, то с обои участков было бы собрано
405 т, а если бы с каждого гектара второго участка было со-
брано столько пшеницы, сколько было собрано с каждого гек-
тара первого участка, то было бы собрано с обоих участков
270 т. Сколько зерна было собрано с каждого участка в отдель-
ности?
Решение. Обозначая размеры участков т и я, а количе-
ство зерна, собираемого с одного гектара каждого участка, я
S а. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
307
п у соответственно, можно составить, следуя условиям задача,
систему трех уравнений с четырьмя неизвестными;
тх + пу — 330,
ту + пу — 405, (•)
тх + пх — 270.
Определению подлежат величины тх и пу. Если рассмотреть в
качестве неизвестных тх, ту, пх, пу, то числа уравнений все
равно не хватает для их определения.
Однако из двух последних уравнений определяется следую-
щая комбинация: —. Действительно, разделив третье уравнение
х 270 2 2
на второе, имеем — т. е. х—-^-у. Подставив вы*
У 4U0 О □
раженное таким образом х в первое уравнение, получаем для
определения неизвестных ту, пу систему
— ту + пу “ 330,
ту + пу — 405,
откуда -1- ту “ 75, или ту “ 225. Следовательно, пу — 180, в
О
тх = 150.
Ответ. С участков было собрано 180 т и 150 т соответ-
ственно.
6.5. На складе имеется некоторое число бочек двух образной
общей емкостью 7000 л. Если бы все бочки были первого об-
разца, то емкость всех бочек увеличилась бы на 1000 л. Если
бы все бочки были второго образца, то емкость уменьшилась бы
на 4000 л. Вычислить емкость всех бочек каждого Образца в
отдельности.
6.6. В двух кусках сплавов золота с серебром содержится
2 кг золота. Если бы в первом куске концентрация золота сов-
падала с концентрацией во втором, то в обоих кусках было бы
2,5 кг золота. Если бы концентрация золота во втором куске
совпадала с концентрацией золота в первом, то в обоих кусках
было бы 1,5 кг золота, Определить, сколько золота было в каж-
дом куске.
ГЛАВА 12
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Треугольники
Признаки равенства треугольников. Два треугольника
равны, если выполняется одно из следующих условий:
I) две стороны я угол, заключенный между ними, одного треуголь-
ника равны двум сторонам н углу между ними другого треугольника!
2) два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника равны
двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника;
3) три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого
треугольника.
Каждое из условий 1)—3) задает треугольник, т. е. по любому из
условий 1)—3) с помощью теорем синусов и косинусов можно вычислить
все остальные параметры треугольника.
Формулы вычисления площади треугольника:
•S“V₽(p—а)(р—3)<р —с! формцла Герока:
—obalny,
« вЬв.
S—pr.
Стороны в углы треугольника сназаны формулами:
—2—— ,-= ———2К теорема синусов.
Bin a ain б sln у
о’—6» + с1—2Ьс соз а
!Р—аг + с*—2аесозб теорема косинусов!
Р—М 4- сР—ЯаЬ соку
где а. Ь, с—стороны треугольника; ha, й*. йс—высоты треугольника, опущен-
ные на стороны а, Ь. с соответственно; а, ₽. у—внутренние углы треугольника,
лежащие против сторон а. Ь, е, соответственно, р—(о + Ь + с)—полуперн-
метр; R—радиус окружности, описанной около треугольника: г—радиус окруж-
ности, вписанной в треугольник.
Линии в треугольнике. Медианой треугольника называетси
отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противопо-
ложной стороны.
Основные свойства медиан.
1. Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являю-
щихся серединами отрезков прямых, заключенный внутри - треугольник*
а паралладькыд той его сторона, к которой проводка медиана.
§ I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
309
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой о отношении 2: I. считая от вершины треугольника.
3. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
4. Пусть AM, BN. CL—медианы треугольника АВС (рис. 12.1). О—точка
пересечения медиан. Площади треугольников ABO, ВСО и АС О равны между
собой н равны одной трети площади треугольника АВС.
Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущен-
ного из вершнны треугольника на противоположную сторону или ее
продолжение.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы внутрен-
него угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и
точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла с противоположной
стороной.
Основные свойства биссектрисы
1. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежа-
щей внутри треугольника н являющейся центром окружности, вписанной
в треугольник.
3. Биссектриса треугольника есть геометрическое место точек, равно-
удаленных от сторон угла.
3. Биссектриса угла треугольника делит сторону треугольника на
части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.
Некоторые свойства медная, биссектрис я высот
в треугольниках специального вида.
I. Высота, проведенная нэ вершины равнобедренного треугольника,
является также биссектрисой и медианой.
2. В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса,
проведенные из одной вершины треугольника, совпадают; центр окруж-
ности. вписанной в равносторонний треугольник, совпадает с центром
окружности, описанной около треугольника, и эта точка называется
центром треуеолышка.
3. В прямоугольном треугольнике катеты а, б и гипотенуза с свя-
еааы равенством
a'-t-fr’—е1 теорема Пифагора.
4. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорции;:аль-
ноа между гипотенузой н проекцией этого катета яа гипотенузу (рю I ?.2):
fte:3—4tc, ае:а—а:е.
Б. Высота прямоугольного треугольника, проведенная нз вершины
прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов
на гипотенузу:
be'.h^h'.ae.
б. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника,
лежат на середине гипотенузы; раднус описанной окружности равен по-
ловине пшотевузы (а также равен медиане, проведенной на вершины
прямого угла).
При решении некоторых задач достаточно использовать лишь
приведенные выше,основные метрические соотношения между от-
дельными элементами треугольника.
310
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
Пример 1.1. В треугольнике АВС врнведены медианы AD
в СЕ. Известно, что AD = 5, бАС = п/8, АСЕ -=я/4. Опреде-
лить площадь треугольника АВС.
Решение. Пусть О — точка пересечения медиан треуголь-
ника АВС (рис. 12.3). Для решения этой задачи используем сле-
дующие свойства медиан:
& 1) медианы точкой их пересечения
делятся в отношении 2:1 (считая от
вершины);
• П 2) площадь треугольника, сторона-
ми которого являются сторона данного
треугольника и отрезки медная (т. е.
ДДОС), равна 1/3 площади данного
треугольника (т. е. ДЛВС).
Рмс‘ ,2Л Таким образом, для того чтобы най-
ти площадь треугольника АВС, доста-
точно найти площадь треугольника ЛОС. По условию задачи
в треугольнике АОС известны два угла, а в силу свойства 1) —•
в длина стороны АО, равная 10/3. По теореме синусов для тре-
угольника АОС имеем
СО АО СО 10/3 СОш>
sin DAC sin АСЕ * sin “ sin (л/4)
10 sin (я/8)
” 3 ' sin (я/4) *
Так как сумма углов треугольника равна я, то АОС = бя/8.
Используя формулу вычисления площади треугольника S —J
= -%-аЬ sin у, получаем
&
дос = ~2~" ’ СО * sin АОС =э
1 10 10 sin (я/8) бя 60 sin (я/8) . / я , я \
" 2 ‘ 3 ‘ 3 sin (я/4) S n 8 “ 9 sin (л/4) S ” I 2 + 8 ) “
60 sin (я/8) cos (я/8) __ 26 2 sin (я/8) cos (я/8) 25
" 9 sin (я/4) ™ 9 sin (я/4) — 9 '
Согласно свойству 2) медиан
S -3S - —
АВС ДАОС- 3 •
Ответ. 25/3.
1.1. В треугольнике основание равно 12 см, один из углов
ври основания равен 120°, сторона, лежащая против этого угла,
равна 28 см. Определять третью сторону*
f I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
311
1.2. Найти биссектрису угла ВАС треугольника АВС, если
АВ = с, ДС= Ь, ВЛС = а.
1.3. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) высо-
та АЕ = 12, основание ЛС — 15. Найти площадь треугольника.
1.4. В остроугольном треугольнике АВС дано: АВ — с; про-
веденная из вершины В медиана BD = т. Угол BDA острый и
равен 0. Вычислить площадь треугольника АВС.
1.5. Есть ли в треугольнике со сторонами 4, 5, 6 см угол,
меньший 22,5°?
1.6. В прямоугольном треугольнике АВС имеем: А = а,
АВ = а. Из вершины прямого угла В опущена высота BE,
В треугольнике ВЕА проведена медиана ED. Найти площадь
треугольника AED.
1.7. В прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой, А =
— а, АВ = с. На продолжении гипотенузы АС (в сторону точ-
ки С) взята точка D так, что AD = г. Найти площадь треуголь-
ника BCD.
1.8. В прямоугольном треугольнике АВС нз вершины прямо-
го угла В опущена высота BE. Из точки С восставлен перпен-
дикуляр к АС, на котором отложен отрезок CD, равный г. Най-
тн площадь треугольника CED, если А ™ а, АВ *= с.
1.9. Угол а при основании равнобедренного треугольника
больше, чем 45°, а площадь равна S. Найти площадь треуголь-
ника, вершинами которого служат основания высот данного тре-
угольника.
1.10. Основание треугольника равно 20 см. медианы боковых
сторон равны 24 и 18 см. Найти площадь треугольника.
1.11. Заданы два равносторонних треугольника со сторонами
2
—, прячем второй получается из первого поворотом на угол
V3-
30“ вокруг его центра. Вычислить площадь общей часта этих
треугольников.
1.12. В треугольнике ABC Л=6 = а, АВ=*а, АН — высота,
BE — биссектриса (точка Н лежит на стороне ВС, точка £ — на
ЛС). Найти площадь треугольника СНЕ.
1.13. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD угла
ВАС и CF угла АСВ (точка D лежит на стороне ВС, а точка
F — иа стороне АВ). Найта отношение площадей треугольников
ЛВС и AFD, если известно, что АВ 21, АС — 28 и СВ = 20.
1.14. Основание равнобедренного треугольника равно Ь, угол
прн основании равен а. Прямая пересекает продолжение освоен-
ии в точке М под углом ₽ и делит пополам ближайшую и М
Зга ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
боковую сторону треугольника. Найти площадь четырехугольни-
ка, отсекаемого прямой от данного треугольника.
1.1Б. В треугольнике АВС из вершины В проведены высота
треугольника BD и биссектриса треугольника BE. Известно, что
длина стороны АС- = 1, а величины углов ВЕС, ABD, АВЕ, ВАС
образуют арифметическую прогрессию. Найти длину стороны ВС.
1.16. Угол прн вершине равнобедренного треугольника равен
2а. Прямая, пересекающая высоту на расстоянии с от вершины,
образует с продолжением основания угол 0. Найти площадь
треугольника, отсекаемого этой прямой от дайного треугольника.
1.17* . Найти площадь треугольника, если длины двух его
сторон соответственно равны 1 и V'5 см, а длина медианы
третьей стороны—2 см.
1.18. В треугольнике АВС биссектриса угла при вершине А
пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла при вер»
шине В пересекает сторону АС в точке Р, причем AM = ВР.
Биссектрисы пересекаются в точке О. Известно, что треугольник
ВОМ подобен треугольнику АОР, ВО = (1 + V3) ОР, ВС — 1.
Найти площадь треугольника АВС.
В условиях задач 1.19—1.21 отсутствуют данные, имеющие
размерность длины. В этих задачах удобно ввести вспомогатель-
ную величину а, имеющую размерность длины (например, сторо-
ну треугольника), и решить задачу с доопределенным условием.
В выражениях для искомых величин а сократится и полученное
выражение будет зависеть только от величин, данных в условии
задачи.
1.19. Угол прн основании равнобедренного треугольника ра-
вен а. В каком отношении разделяет площадь этого треуголь-
ника прямая, делящая его основание в отношении 2: 1 и состав-
ляющая острый угол 0 с меньшей частью основания?
1.20. В треугольнике АВС дано: АСВ = 60е, ЛВС = 45°. На
продолжении АС за веришну С берется точка К, так что АС =;
= СК. На продолжении ВС за вершину С берется точка М так,
что треугольник с вершинами С, М и К подобен исходному.
Найти ВС : МК, если известно, что СМ : МК < 1.
1.21. В треугольнике АВС угол В равен я/4, угол С равен
л/3. На медианах ВМ и CN как на диаметрах построены окруж-
ности, пересекающиеся в точках Р и Q. Хорда PQ пересекает
среднюю линию MN в точке F. Найти отношение длины отрезка
NF к длине отрезка FM.
Некоторые задачи решаются методом введения вспомога-
тельного неизвестного, для которого по условию задачи необхо-
$ 1. ТРЕУГОЛЬНИКИ
31Э
димо составить и решить уравнение. В качестве вспомогатель-
ного неизвестного можно брать линейный размер или угол. Это
вспомогательное неизвестное следует выбирать таким образом,
чтобы величины, данные в условии задачи, и вспомогательное не-
известное однозначно определяли треугольник.
Для составления уравнения обычно следует один и тот же
элемент выразить двумя способами. Так, для получения уравне-
ния в треугольнике надо использовать четыре элемента (линей-,
пых нлн угловых).
Пример 1.2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ =
= ВС} медиана AD и биссектриса СЕ перпендикулярны. Опреде-
лить величину угла ADB.
Решение. Обозначим неизвестный угол ADB буквой <р.
Составим уравнение, где в качестве неизвестного будет фигури-
ровать некоторая тригонометрическая функция <р. Для этого вы-
разим какой-нибудь элемент треугольника АВС двумя способа-
ми. Удобнее всего для этой цели использовать медиану AD тре-
угольника АВС. Для составления уравнения нам понадобятся
следующие элементы: длина боковой стороны АВ и угол прн
основании треугольника АВС. Обозначим неизвестную длину
стороны АВ буквой а. Неизвестный угол ВСА удается выразить
через уже введенный угол ф. Действительно, так как СЕ в AD
перпендикулярны, то угол DOC прямой (О — точка пересечения
AD и СЕ]. Угол ф—внешний угол &DOC. Следовательно, спра-
ведливо равенство
ZDCO + -y-?,
т. е. ZDCO — ф—а так как СЕ — биссектриса, то угол
ВСА равен 2ZDC0, т. е. 2ф —л. Аналогичные соображении, при-
мененные к АЛ DC, приводят к равенству ^DAC = я—ф. Из
теоремы косинусов, примененной к АЛОВ, имеем
аг = -j- а1 + АОг — а • AD • cos ф,
т. е.
лп a cos ф ± Уаа соз2 ф + За* , .
Из теоремы синусов для AADC имеем
АР . а
Bin (2ф — я) “ 2 tin (я — ф)
314 ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
или, используя формулы приведения,
АР а
sin 2ф 2 sin <р '
откуда,
АР =« — а соз ф. (••)
Приравнивая левые части уравнений (•) и (*•), получаем
требуемое уравнение:
—2а соз ф — а соз ф ± Va’ соз^ф + За’. (*»♦)
Приводя подобные члены и возводя в квадрат обе части уравне-
ння, имеем для созф два возможных значения
Однако положительное значение созф не удовлетворяет условию
задачи, так как в прямоугольном треугольнике DOC угол ZODC,
дополняющий ф до я, должен быть острым.
Таким образом,
Ответ, ф —агссоз^—
В задачах 1.22—1.27 удобно в качестве вспомогательного
неизвестного брать линейный размер, в задачах 1.28—1.32 —
угол, а в задачах 1.33—1.35 — вводить две вспомогательные не-
известные величины.
1.22. В треугольнике АВС высоты — CD = 7 и АЕ — 6. Точ-
ка Е делит сторону ВС так, что BE; ЕС *= 3:4. Найти длину
стороны АВ.
1.23. Найти площадь равнобедренного треугольника, если
высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная
на боковую сторону, равна 12.
1.24. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиа-
ны, проведенные к катетам, равны L Найти площадь треуголь-
ника.
1.25. В правильном треугольнике АВС со стороной а точки Е
в D являются серединами сторон ВС и АС соответственно. Точ-
ка F лежит на отрезке DC, отрезки BF и РЕ пересекаются в
точке М. Найти длину отрезка MF, если известно, что площадь
четырехугольника ABMD составляет 5/8 площади треугольника
АВС.
$ I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
318
1.26. В треугольнике с углом 120° длины сторон образуют
арифметическую прогрессию. Найти длины всех сторон треуголь-
ника, если наибольшая из них равна 7 см.
1.27. Длины двух сторон равнобедренного треугольника И
длина высоты, опущенной на основание, образуют геометриче-
скую прогрессию. Найти тангенс угла при основании треуголь-
ника, если известно, что он больше двух.
1.28. В прямоугольном треугольнике отношение произведения
длин биссектрис внутренних острых углов к квадрату длины ги-
потенузы равно 1/2. Найти острые углы треугольника.
1.29. В треугольнике АВС длина стороны АС равна Ь, длина
стороны ВА равна е, а биссектриса внутреннего угла А пересе-
кается со стороной ВС в такой точке D, что DA = DB. Найтн
длину стороны ВС.
1.30. Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точ-
ка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде Л В. При этом
AD = 2, BD = 1, DC = ->/2. Найти площадь треугольника АВС.
1.31. Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена ме-
диана ЛМ, а из вершины В — медиана ВР. Известно, что угол
АРВ равен углу ВМА, косинус угла АСВ равеи 0,8 и ВР =
= I см. Найти площадь треугольника АВС.
1.32. Два одинаковых правильных треугольника АВС и CDE
со стороной 1 расположены на плоскости так, что имеют только
одну общую точку С и BCD < л/3. Точка К — середина стороны
АС, точка L — середина отрезка СЕ, точка М — середина отрез-
ка BD. Площадь треугольника KLM равна у/з/й. Найти длину
отрезка BD.
1.33. В прямоугольный равнобедренный треугольник АВС с
углом 5=90° вписан прямоугольный треугольник MNC так,
что: МЫС = 90°, точка N лежит на гипотенузе АС, а точка,М —
на стороне АВ. В каком отношении точка N должна делить ги-
потенузу АС, чтобы площадь треугольника МЫС составляла 3/8
от площади треугольника АВО
1.34. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с
прямым углом при вершине В вписан прямоугольник МЫ КВ так,
что две его стороны МВ н КВ лежат на катетах, а вершина Ы —
на гипотенузе АС. В каком отношении точка Ы должна делить
гипотенузу, чтобы площадь прямоугольника составляла 18 %
площади треугольника?
1.35. Углы при вершинах Л и С треугольника АВС соответ-
ственно равны и —. Найти угол между высотой BD и ме-
дианой BE ото треугольника.
В10
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
При решении приведенных ниже задач используются различ-
ные формулы для вычисления площади треугольника. При этом
иногда полезным оказывается следующее свойство площадей:
если отрезки АВ и CD лежат на одной прямой, не проходящей
через точку М, и Si и Sj — площади треугольников МАВ и MCD
Соответственно, то
St АВ
S, “То''
Пример 1.3. На стороне АВ треугольника АВС между
«очками А и В взята точка D так, что AD:AB<=a (а < 1);
на стороне ВС между точками В и С
В взята точка Е так, что BE: ВС = 0
(0 < 1). Через точку Е проведена пря-
\ мая, параллельная стороне АС и перв-
ую секающая сторону АВ в точке F. Heft-
ys тн отношение площадей треугольников
/ , ' \ BDE и BEF.
А ° Решение. Пусть площадь тре*
Р*. ИЛ угольника АВС равна S. Треугольник
ВЕЕ подобен треугольнику АВС, так
как FE Ц АС (рис, 12.4), Так как площади подобных треуголь-
ников относятся как квадраты сходственных сторон, то
Зд ввр
S
Площади треугольников BDE н АВС выражаются через стороны
И углы этих треугольников по формулам
Зд bob “ "J" 3D • • eta S,
S — ВС-sin Я
ив которых следует
Здвдв BD BE BD а
3 АВ Р‘
По условию задачи AD — АВа, н так как
BD — AB-AD — АВ —АВа —АВ (\ - а),
то
ВО/ЛВ=1 -а.
Таким образом,
£
- (i _ а) 0 S д в Da - S (1 - а) 0.
$ I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
317
В задаче требуется яайтя отношение Зд ввв: Зд ввв. Под-
ставляя в это отношение 5ДВ£Р«-Зр* и Зд в/>£ = •$ (1 — а) р,
получаем
SA BDB _ 1 — а
SA ВЕР ₽
_ 1 —а
Ответ. -^=—.
Р
1.36. В треугольнике АВС из вершины А проведена прямая,
пересекающая сторону ВС в точке D, находящейся между точ-
ками В в С, причем CD: ВС— а (а < 1/2). На стороне ВС
между точками В и D взята точка Е, и через нее проведена
прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ
в точке F. Найти отношение площадей трапеции ACEF и тре-
угольника ADC, если известно, что CD = DE.
1.37. Точки £, F, М расположены соответственно на сторо-
нах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Отрезок АЕ составляет 1/3
стороны АВ, отрезок BF составляет 1/6 стороны ВС, отрезок AM
составляет 2/5 стороны АС. Найти отношение площади треуголь-
ника EFM к площади треугольника АВС.
1.38. На продолжениях медиан АК, BL н СМ треугольника
АВС взяты точки Р, Q в R так, что КР АК, LO^ — BL
• А
и MR = -у СМ. Найти площадь треугольника PQR, если пло-
щадь треугольника АВС равна единице.
1.39. Дан треугольник АВС, площадь которого равна еди-
нице. На медианах АК, BL и CN треугольника АВС взяты соот-
ветственно точки Р, Q и R так, что
АР BQ 1 CR 5
РК " ’ QL * 2 ' RN *“ 4 *
Найти площадь треугольника PQR.
1.40. Треугольник АВС не имеет тупых углов. На стороне
3
АС этого треугольника взята точка D так, что AD<*= — АС.
Найти угол ВАС, если известно, что прямая BD разбивает тре-
угольник АВС на два подобных треугольника.
1.41. Точки Р и Q делят стороны ВС и СА треугольника
АВС в отношении
ВР
PC
CQ__ Й
QA
Пусть О — точка пересечения прямых АР и BQ. Найти отноше-
ние площади четырехугольника OPCQ к площади данного тре-
угольника.
318 ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
1.4В. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М, а
на стороне ВС — точка У. Отрезки ВМ и AN пересекаются в
точке О. Найтн площадь треугольника СМИ, если площади тре-
угольников АОМ, АОВ и BON равны соответственно Si, Si, Si.
1.43. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D
так, что BD : CD =1:2. В каком отношении медиана СЕ делит
отрезок AD?
1.44. В треугольнике АВС через основание D высоты BD па-
раллельно стороне АВ проведена прямая, пересекающая ВС в
точке К, Найти ВК: КС, если DBK : S&ABC = 3:16.
1.45. Все стороны треугольника меньше 1 см. Доказать, что
площадь треугольника меньше V3*/4 см*.
1.46. На стороне А С треугольника АВС взята точка N, а
иа стороне ВС — точка М так, что CN: NA = 5. Площади мно-
гоугольников NMC я ANBM относятся как 5:6. Найти СМ: МВ.
1.47. В треугольнике АВС проведены медиана AM, биссек-
триса А£ и высота AD. Площадь треугольника АЕМ равна 1/4
площади треугольника Л ВО, а площадь треугольника ADM рав-
на 7/50 площади треугольника ЛВС. Найти углы треугольника
ЛВС.
§ 2. Четырехугольники
Параллелограмм. Четырехугольник, у которого противополож-
ные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Парал-
лелограмм обладает следующими основными свойствами:
I) протлвоноложлыа стороны параллелограмма равны;
- » протмопоаожяые углы параллелограмма равны;
9 диатомами параллелограмма делятся точкой перестсеиия пополам;
4) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квад-
ратов всея его сторон.
Площадь параллелограмма вычисляется по формулам
S— айд. 3—аЬ ain а,
где а, 3 —стороны параллелограмма. ha — высота параллелограмма, опу-
щенная на сторону а, а — угол параллелограмма.
Ромб. Параллелограмм, все стороны которого равны, называется
ромбом. Ромб, как параллелограмм специального вида, имеет все свой-
ства параллелограмма. Хрома того, ромб обладает слддукяднмя саедиаль-
нымн свойствами:
1) диагонали ромба вааимло перпендикулярны;
1) Дяегомл ромба явяпотея биссектрисами его внутренний углов.
Площадь ромба вычисляется во тем же формулам, что я нлвщадЬ
параллелограмма. Кроме того, площадь ромба может быть вычислена
ко формуле
s-y а,л.
где d, и d, — диагонали ромба.
Прямоугольник к квадрат. Параллелограмм, у которого
нов углы Кромме. называется лрллораолымвтл. Площадь нряыоуГАВьалма
вМяеяяется по формуле
S—л*.
где я я к — смежные стороны прямоугольника.
$ S. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 319
Прямоугольная, у которого асе стороны равны, называется квадра-
том. Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба н пря-
моугольника. Площадь квадрата вычисляется по формуле
S—а*,
где а — сторона квадрата.
Трапеция. Четырехугольник, две стороны которого параллельны,
а две другие непараллельны, называется трапецией. Площадь трапеции
с основаниями анон высотой h вычисляется по формуле
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапецип, вазы*
веется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции обладает сле-
дующими свойствами:
I) средняя линия трапеции параллельна основаниях и равна ни
полусумме: ___
2) средняя линяя делит высоту трапеция на два равных стдезяа.
Пример 2.1. Дана трапеция PQRN с основаниями PN и
QR, причем PN = в, QR — 4, PQ — V28, — 60°. Через точ-
ку R проходит прямая, делшцая трапецию на две равновеликие
фигуры. Найти длину отрезка этой прямой, находящегося внутри
трапеции.
Решение. Для решения задачи нам потребуется найтн ве-
личину площади трапеции PQRN. Так как длины сторон PN и
QR известны, то для определения этой величины необходимо
найти длину высоты трапеции h. Сделаем следующее дополни-
тельное построение: проведем через точку R прямую, парад*
дельную боковой стороне трапеции QP, и рассмотрим треуголь-
ник RPiN. Так как РР, = QR — 4. то PtN = 4, RPt — PQ —
в V28\ Обозначим длин у стороны RN через * н, используя тео-
рему косинусов для треугольника RPtN, составим следующее
уравнение!
28 =• 16 + х» - 4х. (♦)
Единственным положительным корнем уравнения (•) будет я=6,
Высота А находится из треугольника RPtN по формуле
Л “ в - tin Gff — 6-= 3 V3.
Площадь трапеции PQRN вычисляется тогда следующий обра-
зом;
^qrv = 4(4 + 8)-3V3=18V3-
Предположнм теперь, что арямая RM пересекает основание
траледмп. (Свраведшаость этого предположения будет установ-
лена ниже.) Тогда площадь треугольника RNM равна во усло-
вию -j- т. е. 9 Уз. Высота треугольника RNM сопи-
820
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
дает с высотой трапеции PQRN, и, следовательно, длина осно-
вания МЫ вычисляется по формуле
МЫ
= ’2 = 6
л = зТз =
Так как РЫ = 8, МЫ = 6, то справедливость утверждения
О том, что RN пересекает основание трапеции, установлена. Если
бы МЫ оказалось больше РЫ, то это означало бы, что прямая,
проходящая через точку R, пересекает PQ — боковую сторону
трапеции. Вычислим теперь искомую длину отрезка MR, а так
как A.MRN равнобедренный, МЫ =
= RN и угол RNM = 60°, то &MRN
равносторонний, т. е. RM » 6.
Заметим, что если бы прямая
пересекала боковую сторону трапе-
ции PQ в точке М' (рис. 12.5), то
длину отрезка M'R можно было бы
найти из треугольника M'QR. Для
вычисления этого отрезка необходимо
было бы предварительно вычислить
угол трапеции PQR (который является также и углом рассма-
триваемого треугольника M'QR), а затем по известному углу
PQR, площади треугольника Зд — -у 3Я<}ЯДГ в основанию
QR последовательно вайтя длину M'Q' и по теореме косинусов —
длину M'R.
Ответ. Длина отрезка равна в.
2.1. Найти диагональ и площадь равнобочной трапеции, если
основания равны 3 и 5 см, а боковая сторона равна 7 см.
2.2. Найти площадь равнобочной трапеции, у которой осно-
вания равны 12 и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
2Л. В трапеции ABCD длина основания AD равна 2 м, а
длина основания ВС равна 1 м. Длины боковых сторон АВ и
CD равны 1 м. Найти длину диагонали трапеции.
2.4. Один из углов трапеции равен 30°, а боковые стороны
при продолжении пересекаются под прямым углом. Найти мень-
шую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна
10 см, а меньшее основание —8 см.
24S. В трапеции ABCD длина меньшего основания равна 3 м,
длины боковых сторон АВ и CD равны по 3 м. Диагонали тра-
пеции образуют между собой угол в 60°, Найти длину основа-
нии AD,
S 2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
821
2.6. В трапеции большее основание равно В см, одна из бо-
ковых сторон равна 3 см. Известно, что одна из диагоналей
перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол
между заданными боковой стороной и основанием пополам. Най<
ти площадь трапеции.
2.7. В равнобочной трапеции ABCD заданы АС = a, CAD
«= а. Найти площадь трапеции.
2.8. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого ле-
жат на сторонах первого, а углы между сторонами квадратов
равны 60*. Какую часть площади данного квадрата составляет
площадь вписанного квадрата?
2.9. Дана равнобочная трапеция ABCD. Известно, что AD =
= 10, ВС = 2, АВ = CD = 5. Биссектриса угла BAD пересекает
продолжение основания ВС в точке К. Найти длину биссектрисы
угла В в треугольнике АВК.
2.10. В равнобедренной трапеции основания равны а и Ь,
а угол диагонали с основанием равен а. Найтн длину отрезка,
соединяющего точку пересечения диагоналей с серединой боко-
вой стороны трапеции.
2.11. В трапеции ABCD, где ДО —основание трапеции, про-
ведены диагонали АС и BD, которые пересекаются в точке О.
Известно, что длина диагонали АС равна I, а величины углов
ЛОВ, АСВ, ACD, BDC, ADB образуют арифметическую прогрес-
сию (в том порядке, в котором они написаны). Найтн длину
основания AD.
2.12. В равнобочной трапеции ABCD дано: АВ = CD = 3,
AD •= 7, 6AD = 60*. На диагонали BD расположена точка М
так, что ВМ : MD = 3:5. Какую из сторон трапеции — ВС или
CD — пересечет продолжение отрезка ЛМ?
2.13. Вычислить площадь общей части двух ромбов, из кото-
рых у первого диагонали равны 2 и 3, а второй получен пово-
ротом первого на 90° около его центра.
2.14. В квадрате ABCD площадью I сторона AD продолже-
на за точку D, и на продолжении взята точка О на расстоянии 3
от точки D. Из точки О проведены два луча. Первый луч пере-
секает отрезок CD в точке М и отрезок АВ в точке N, причем
длина отрезка ON равна а. Второй луч пересекает отрезок CD
в точке L и отрезок ВС в точке К, причем &KL = а. Найтн пло-
лцадЬ многоугольника BKLMN.
2.16. В параллелограмме со сторонами а и Ь и углом а про-
ведены биссектрисы четырех углов. Найтн площадь четырехуголь-
ника, ограниченного биссектрисами.
|| А. Г, Цышша, А, И, ПявскжД
822
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
2.1 в. ДлнЯа боковой стороны АВ в параллвлограмме ABCD
равна а; длина перпендикуляра, опущенного нэ точа пересече-
ния диагоналей на основание, равна Л; угол между большей диа-
гональю BD и основанием AD равен а. Найти площадь парал-
лелограмма.
2.17. В трапеции ABCD даны основания: AD = 16 и ВС “
<= 9. На продолжении ВС выбрана такая точка М, что СМ ™
3,2. В каком отношении прямая AM делит площадь трапе-
ции ABCD?
Задачи 2.18—2.29 решаются методом введения вспомогатель-
ного неизвестного (или нескольких неизвестных), для которого по
условию задачи составляется уравнение (соответственно система
уравнений). В качестве неизвестных
6______Р можно брать угол или неизвестный
линейный размер.
Пример 2.2. В выпуклом че-
I ' тырехугольнике ABCD углы при вер-
I * Х'\\Я шинах А я В прямые, величина угла
I при вершине D равна я/4, ВС = 1,
п длина диагонали BD равна 5. Найти
л с, д площадь этого четырехугольника.
Рис |2 ( Решение. Обозначим угол
BDC через а (рис. 12.6). Так как
сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 2я,
а три угла четырехугольника ABCD известны по условию задачи*
то С -= Зя/4. Рассмотрим треугольник BDC. Введем обозначение
CD “ х, тогда, используя теорему косинусов для треугольника
BDC, получим уравнение
25 — 1 + х’ - 2 • 1 • х - соз 135®.
Это ураспение преобразуется к виду
х* 4- V2 х - 24 = 0. (•)
Единственным положительным корнем уравнения (•) является
ж — 3 V2.
Сделаем теперь следующее дополнительное построение. Опу-
стим из вершины С перпендикуляр CCt на AD. Из прямоуголь-
ного треугольника CC\D находим, что СС\ = C\D. Так как дли-
на гипотенузы треугольника CC\D равна 3^2, то из теоремы
Пифагора следует, что CCt = C1D ™ 3. Из прямоугольного тре-
угольника BAD и очевидного равенства BA -= CCi следует, что
AD' — BD’-BA1
и
АВ-4.
I1. четырехугольники
823
Так как по условию эадачи углы А и В прямые, то AD | ВС и
четырехугольник ABCD — трапеция (4D и ВС — основания,
АВ — высота), откуда
_ ВС + AD . 15
«тр-----j’
Ответ. 15/2.
2.18. Даны квадрат с вершинами А, В, О, D и точка О, ле-
жащая вне квадрата. Известно, что ОА = ОВ = 5 н DO =
Найти площадь квадрата.
2.19. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектриса угла
АВС пересекает сторону AD в точке М, а перпендикуляр, опу-
щенные из вершины А на сторону ВС, пересекает ВС в точке N
так, что BN = NC я AM —• 2MD. Найти стороны н площадь че-
тырехугольника ABCD, если его периметр равен 5 + -^3, ЁлЬ =
— 90" и АВС = 60".
2.20. В трапеции ABCD углы А и D прн основании AD со-
ответственно равны 60° и 90". Точка W лежит на основании ВС,
причем BN:NC=* 3:2. Точка М лежит на основании AD, пря-
мая MN параллельна боковой стороне АВ и делит площадь тра-
пеции пополам. Найти отношение АВ : ВС.
2.21. Длина средней линии трапеции равна 5 см, а длина от-
резка, соединяющего середины оснований, равна 3 см. Углы прн
большем основании трапеции равны 30° н 60°. Найти площадь
трапеции.
2.22. Сумма острых углов трапеции равна 90", высота рав-
на 2 см, а основания —12 н 16 см. Найтн боковые стороны
трапеции.
2.23. В ромбе ABCD со стороной а угол при вершине А ра-
вен л/3. Точки £ и F являются серединами сторон АВ и. CD
соответственно. Точка К лежит иа стороне ВС, отрезки АК и EF
пересекаются в точке М. Найтн длину отрезка МК, если извест-
но, что площадь четырехугольника MKCF составляет 3/8 площа-
ди ромба ABCD.
2.24. В прямоугольной трапеции ABCD углы А и D прямые,
сторона АВ параллельна стороне CD, АВ = 1, CD = 4, AD = 5.
На стороне AD взята точка М так, что угол CMD вдвое больше
угла ВМА. В каком отношении точка М делит сторону AD?
2.25. Длина диагонали BD трапеции ABCD равна т, а дли-
на боковой стороны AD равна л. Найти длину основания CD,
если известно, что длины основания, диагонали и боковой сто-
роны трапеции, выходящих на вершины С, равны между
собой.
11»
324 ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
2М. В трапеции ABCD диагонали АС и DB взаимно пер-
пендикулярны, влд— сов. Продолжения боковых сторон АВ я
DC пересекаются в точке К, образуя угол AKD, равный 30*<
Найти площадь треугольника AKD, если площадь трапеции рав-
на S.
2.27. В равнобочной трапеции с основаниями а и b (а > Ь)
диагонали являются биссектрисами углов при большем основа-
нии. Найти площадь трапеции.
2.28. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна бо-
ковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой
стороне АВ. На продолжениях боковых сторон АВ и CD за
меньшее основание ВС отложены отрезки ВМ и CN так, что
получается новая трапеция BMNC, подобная трапеции ABCDt
Найти площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции AMND
равна S и сумма углов CAD и BDA равна 60°.
2.29. Дан параллелограмм ABCD со сторонами
АВ •= 2 и ВС - 3.
Найти площадь этого параллелограмма, если известно, что
диагональ АС перпендикулярна отрезку BE, соединяющему вер-
шину В с серединой Е стороны AD.
При решении задач 2.30—2.36 используются специальные
свойства многоугольников и треугольников, вытекающие из усло-
вий задач.
Пример 2.3. В трапеции с основаниями а н Ь через точ-
проведена прямая, параллельная
основанию. Найти длину отрезка
этой прямой, заключенной между,
боковыми сторонами трапеции.
Решение. Пусть в трапеции
ABCD основание ВС равно а,
а основание AD равно b
(рис. 12.7), АС и BD — диагона-
ли, О—точка их пересечения, BN—>
высота трапеции, М — точка пере-
сечения высоты BN и искомого
задачи KL || ВС, и, следовательно,
треугольнику КВО, а треугольник
АВС подобен треугольнику АКО. Так как в подобных треуголь-
никах высоты пропорциональны сторонам, на которые они опу-
щены, то
КО __ ВМ КО МЫ
"AD" BN ' ВС “ BN ’
Рас. 12.7
отрезка KL. По условию
треугольник ABD подобен
) 2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 325
Крк следствие этих равенств и условия задачи получаем
КО , КО ВМ MN BC + ADX
'ad+~bc~'bn+-Bn"^K0V АЬЁС
0лг во в -j- 0 ,
Аналогично, из подобия *) двух пар треугольников A DOL оо
со Д DBC, A OCL со д ACD, находим OL = а,^ ., и, следова-
а + о
тельно, KL — KO + OL — -^т-.
2.30. Через середину М стороны ВС параллелограмма ABCD,
площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пере-
секающая диагональ BD в точке О. Найти площадь четырех-
угольника OMCD.
2.31. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, пло-
щадь которого равна 1, взяты точки: К — на АВ, L — на ВС,
М — на CD, N — на AD. При этом
АК „ BL 1 CM DN 1
КВ““А LC ~ 3 ' MD=I’ NA “ 5 ’
Найтн площадь шестиугольника AKLCMN.
2.32. А, В, С, D — последовательные вершины параллело-
грамма. Точки Е, F, Р, Н лежат соответственно на сторонах АВ,
ВС, CD и AD. Отрезок АЕ равен 1/3 стороны Л В, отрезок BF—
1/3 стороны ВС, а точки Р и Н делят пополам стороны, на ко-
торых они лежат. Найтн отношение площади четырехугольника
EFPH к площади параллелограмма ABCD.
2.33. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка,
соединяющего середины сторон АВ и CD, равна 1. Прямые ВС
и AD перпендикулярны. Найти длину отрезка, соединяющего
середины диагоналей АС и BD.
2.34. Длины диагоналей ромба и длина его стороны обра-
вуют геометрическую прогрессию. Найти синус угла между сто-
роной ромба и его большей диагональю, если известно, что он
больше 1/2.
2.33. В выпуклом четырехугольнике KLMN точки Е, F, G, Н
являются соответственно серединами сторон KL, LM, MN, NK.
Площадь четырехугольника EFGH равна
= я/2. Найтн длины диагоналей четырехугольника KLMN.
') Зии ш оввачмт водобве.
326
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 3. Окружность и круг
Окружностью называется множество всех точен плоскости, находя-
щихся на данном положительном расстоянии от некоторой данной точки
(Плоскости, называемой центром окружности. Крае *) состоит нэ окруж-
ности и внутренних точек.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорды обладают следующими свойствами:
1) диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде;
2) равные хорды окружности равноудалены от ее центра; равно-
удаленные от центра окружности хорды равны;
3) если черев точку М. лежащую внутри окружности, проведены две
корды АВ и CD (рис, 12.В), то произведении отрезков хорд равны:
АММВ—CM-MD.
Теорема о касательной н секущей. Если аз точки М
(рис. 12.9). лежащей вне окружности, проведены касательная МС и
Секущая МЛ. то произведение секущей на се внешнюю часть равно
квадрату касательной:
МС’—МА-МВ.
Длины н площади.
Длина окружности радиуса R-.L—Wt.
Плошадь круп радиуса Я;3»лЯ*.
Длина дуга окружности радиуса Я с центральным углом а (изме-
ренным в радианах): I • Яа.
Площадь сектора окружности радиуса Я с центральным углом а
(измеренным в радианах): a*—j-JFo.
Измерения углов в окружностях.
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
Угол, образованный двумя пересекающимися хордамн, намеряется
полусуммой дуг, на которые он опирается.
Угол, вершина которого находится на окружности, намеряется поло*
виной дуги, на которую он опирается.
Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, ко*
торую стягивает хорда.
Угол, образованный двуця пересекающимися секущими, измеряется
оолуразиосгью дуг, на которое он опирается.
Свойства линий в касающихся и пересеи ающихс и
окружностях.
I. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через
точку касания.
2. Общая внутренняя касательная двух внешним образом насаю*
щвхся окружностей перпендикулярна их линии центров.
3. Общая касательная двух внутренним образом касающихся окруж*
костей перпендикулярна их линии центров.
4. Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна
их ливни центров н делятся Точкой их пересечения пополем.
•) Иногда (если ие возникает путаницы) будет употребляться хан
синоним окружности. .
$ 3. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
827
Задачи 3.1—3.9 решаются непосредственными вычислениями,
основанными на свойства! линий в окружностях.
Пример 3.1. Общая хорда двух пересекающихся окруж-
ностей видна из их центров под углами 90* я 60°. Найти радиу-
сы окружностей, если рассто
Уз +1.
Решение. Пусть Ot и
общая хорда, К —точка пере
щей хорды АВ (рис. 12.10);
угол 40^ равен 60°, а
угол AOiB равен 90*. Рас-
смотрим треугольник AOJ3.
Этот треугольник равнобед-
ренный (4О(=ВО| н ОД-L
А. АВ, т. е. OtK — высота,
медиана и биссектриса тре-
угольника AOiB. По усло-
вию задачи угол AOtB ра-
вен 60°, и, следовательно,
угол АО|К равен 30*. Аналогично для треугольника АОСВ по-
лучаем, что угол АОгК равен 45*. Рассмотрим треугольник О|4О,.
В атом треугольнике известны два угла (АО|А и 4О,А), рав-
ные 30* и 45* соответственно, и отрезок О|О,, равный УТ +1.
Стороны треугольника OtA и AOt являются искомыми радиусами.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол
OtAOt равен 105°, н по теореме синусов для треугольника OiAO,
между их центрами
01 — центры окружностей,
ечения линии центров О)О|
равно
АВ —
и об-
имеем
O|A Уз + 1 0,4 Уз + I
sin 45’ “ sin 106* ’ sin 30* " sin 105* '
Ho sin 105’—sin (90*+15’) = cos 15*. По формуле 1+с0»а =
= 2cos*-^-, полагая a = 30*, можно вычислить cos 16°:
2 cos’ 15° = 1 + cos 30° =»- 2 cos* 15* = 2 => cos 15° =
V2 + V3 .
“ 2
из равенств (♦) находим
0 A _ У? (УТ + I)- 2 _ У2(Уз~ + J) _ У2 (Уз + l)„
2 У2+УЗ <2 +Уз У (Уз + 1)2/2
о,д - (У£+0-2 _ Уз+ 1 _ j/3+ 1 и
гУг + Уз 5/2 +Уз У(Уз+1)2/2
Ответ. 2 и У2.
328
ГЛ. 12. планиметрия
3.1. Три окружности расположены на плоскости так, что
каждая из них касается двух других внешним образом. Две ю
них имеют радиус 3, а третья — радиус 1. Найти площадь тре-
угольника АВС, где А, В и С —точки касания окружностей,
3.2. Даны две внешним образом касающиеся окружности ра*
диусов R и г. Найти длину отрезка внешней касательной, закляв
ченного между точками касания.
8.3. Две окружности, радиусы которых равны 4 и 8, Пересе*
каются под прямым углом. Определить длину их общей иней*
тельной.
3.4. Центры четырех кругов расположены в вершинах квад*
рата со стороной а. Радиусы всех кругов также равны о. Вы»
числить площадь части плоскости, общей для всех кругов. "
3.5. Вне прямого угла с вершиной С на продолжении его
биссектрисы взята точка О так, что ОС — V?. Построена ок-
ружность радиуса 2 с центром в точке О. Найти площадь фигуры,
ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной
между ними.
3.5. На прямой, проходящей через центр О окружности ра-
диуса 12 см, взяты точки А и В так, что ОА = 15 см и АВ в
= 5 см. Из точек А и В проведены касательные к окружности,
точки касания которых лежат по одну сторону от прямой ОАВ,
Найти площадь треугольника АВС, если С — точка пересечения
этих касательных.
3.7. Даны две непересекающнеся окружности радиусов R и
2R. К ним проведены общие касательные, которые пересекаются
в точке А отрезка, соединяющего центры окружностей. Расстоя-
ние между центрами окружностей равно 2ft V3. Найти пло-
щадь фигуры, ограниченной отрезками касательных, заключен-
ными между точками касания и большими дугами окружностей,
соединяющими точки касания.
3.8. Из точки А, лежащей на продолжении диаметра КС ок-
ружности в сторону точки L, проведена к этой окружности ка-
сательная АВ (в —точка касания), образующая с диаметром КС
угол а. Найти площадь фигуры, образованной сторонами угла и
дугой СВ, если радиус окружности равен ft.
3.9. Две окружности радиусов 5 и 3 см касаются внутрен-
ним образом. Хорда большей окружности касается меньшей ок-
ружности н делится точкой касания в отношении 3: 1. Найти
длину этой хорды.
Задачи 3.10—3.24 решаются методом введения вспомогатель-
ного неизвестного, для которого по условию Задачи составляется
уравнение.
J 3. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
829
Пример 3.2. Две окружности радиусов Лиг касаются
внешним образом. Определить радиус окружности, касающейся
этих окружностей и их общей внешней касательной.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда искомая ок*
ружность заключена между данными окружностями и касатель-
ной. Тогда обозначим Oi, Ot и О» соответственно центры окруж«
ностей радиусов Л, г и искомой окружности; — общая
внешняя касательная данных окружностей (ряс. 12.11), Обозна-
чим через L точку касания *
искомой окружности и при- t •
мой MtM* Через центр Ot 'Х
искомой окружности прове- /я \
дем прямую, параллельную Д A / \
прямой Л<|Л(8 (Р и К — точ- 1 Л I
кя пересечения этой пря- \ * А /
мой и отрезков OtMt и \ /
OjAfj). Прямая РК будет 'Ч У
перпендикулярна прямым ---------
ОцМ,. OiAfi и OjL. Обозяэ- рис. 12,ц
чин радиус искомой окруж-
ности через х. В прямоугольном треугольнике O|POS длина гипо-
тенузы О|О1 = Л4-х; длина катета OtP = Л — х. По теореме
Пифагора РО, = 2 V#* • Аналогично из прямоугольного тре-
угольника О3КО2 находим ОзК = 2 */гх.
Через центр меньшей нз двух окружностей радиусов Лиг
проведем прямую, параллельную обшей внешней касательной (на
ряс. 11.11 окружность с центром О> имеет мепыпнй радиус, чем
окружность с центром Оь н OjS — проведенная прямая). Из пря-
моугольного треугольника OiSO>, у которого О|О> == Л + г,
015 = Л — г, находим OtS = 2^Rr. Отрезки SOi, PK.^MtMt
между собой параллельны, так как каждый перпендикулярен
параллельным прямым O|Af( и ОзМ» в 50» = РК =
Равенство 50а = РК = POS + ОзК дает уравнение для на-
хождения неизвестного х:
2 Ул7 + 2 л[гх = 2 7Л7 => Лх + 2х Rr + гх = Rr =>
еьх (Л + 2-/Лг + г) = Лг=>х =
Лг д Лг
Л + 2 УЛг + г (VS" + VH2
Случай, когда искомая окружность находится со стороны
меньшей окружности, рассматривается аналогично предыдущему.
При этом может быть использован тот же чертеж, только дан-
ными следует считать окружности с центрами, например, Оз и
взо
ГЛ. В. ПЛАНИМЕТРИЯ
В искомо* — с центром Ot mi 0t, О», а искомо* — с цен*
Грэм О».
Тогда если радиус больше* из данных окружностей равен R,
* меньше* г, то, проводя аналогичные рассуждении, получим,
«то радиус искомой окружности будет равен
л Rr &
т ’ет’ Wt+W' Wr -
Rr
(Vb-VT)2'
Пример 3.3. ЛОВ —сектор круга радиуса г. Величина
угла ЛОВ равна а(а < я). Найти радиус окружности, лежащей
0 внутри этого сектора и касающийся
л хорды АВ, дуги АВ и биссектрисы
Z \ угла АОВ.
/ । \ Решение. Пусть ОМ — биссек-
/ I \ триса угла АОВ, Oi — центр искомой
/ I \ окружности, S —точка касания иско-
/ I \ мой окружности и биссектрисы ОМ,
/ I \ К — точка касания искомой окруж*
чД________н г1У ___ностн и хорды АВ (рис. 12.12), От-
резок ОМ является биссектрисой
рие угла АОВ, и так как АЛОВ равно*
бедренный, то ОМ является также
и высотой этого треугольника. Четырехугольник SMKOt — квад*
рат, так как SOt = KOt, а углы OtSM, SMK и MKOi прямые.
По теореме о прямой, проходящей через центры двух касающих-
ся окружностей, центры окружностей О. О( и точка касания L
этих окружностей лежат на одной прямой OL.
Обозначим радиус искомой окружности OiK^x. Диагональ
MOt квадрата MSOtK равна л?2х. Из треугольника ОМВ нахо-
дим в согласии с условием задачи ОМ -» г соз у. В треугольнике
OMOt имеем Л4О| = V2x. ОМ «я гсоз |ОО| | = г — х, OMOi=>
— 136е. Теорема косинусов для треугольника OMOt дает уравне-
ние для неизвестного х:
(г — х)* “ 2х* + г* cos’ у — 2х -у/2 г соз у соз 135’,
(г — х)’ = 2х* 4- г’ соз* 4- 2гх соз у «ф-
»-х’ 4- 2г (соз-3-4-1) * 4- г’(cos’у — 1) = 0«*
я — — 2гсо8*у±2гсоз-у.«»-Х|,»«"2гсоэу (—соэ-у± Q.
5 3. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ set
Так как величина ж должна быть положительной, а на двух
найденных корней положителен только первый,
Л а/, а \ . а , . а
Xi — 2г cos — II — еов у 1 «4г cos sln’-g-,
то он и дает величину радиуса искомой окружности.
Ответ. 4rcos-v aln’-?-.
4 о
3.10. Две окружности радиуса 32 с центрами О1 и О2, пере-
секаясь, делят отрезок О|Оа на три равные частя. Найти раднуо
окружности, которая касается изнутри обеих данных окружно-
стей и отрезка О(Оа.
3.11. Даны два пересекающихся круга одного и того же ра-
диуса R. Расстояние между центрами атнх кругов OiOa = I.
Найти площадь круга, касающегося внутренним образом обеих
окружностей и прямой OtOj.
3.12. Две окружности, радиусы которых равны Rt и Ri, пере-
секаются. Расстояние между их центрами равно d. Найти ра-
диус окружности, касающейся данных окружностей и их общей
касательной.
8.13. Круг радиуса 6 см лежит внутри полукруга радиуса
24 см и касается середины диаметра полукруга. Найти радиус
меньшей окружности, касающейся заданных круга, полукруга и
диаметра полукруга.
3.14. Дана окружность радиуса г с центром в точке О. Из
точки А отрезка ОА, пересекающегося с окружностью в точке М,
проведена секущая к окружности, пересекающая окружность в
точках К и Р; прн этом точка К лежит между точками А и Р.
Величина угла МАК равна л/3. Длина отрезка ОА равна а.
Найти радиус окружности, касающейся отрезков AM, АК и
дуги МК.
3.18. К окружности радиуса 3 см с центром в точке О из
точки М проведены секущая ОМ и касательная МС, касающаяся
окружности в точке С. Найти радиус окружности, касающейся
заданной окружности, прямых МС и ОМ н лежащей внутри тре-
угольника ОМС, если ОМ = 5 см.
3.18. В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямо-
угольник, у которого основание в 4 раза больше высоты. Опре-
делить стороны прямоугольника.
3.17. В круговом секторе ОАВ, величина центрального угла
которого равна я/4, расположен прямоугольник КМРТ. Сторона
КМ прямоугольника лежит на радиусе ОА, вершина Р — на дуге
АВ, вершина Г —па радиусе ОВ, Длина стороны КГ на 3 см
332
ГЛ. 11. ПЛАНИМЕТРИЯ
больше длины стороны КМ. Площадь прямоугольника КМРТ
равна 18 см1. Найти длину радиуса.
3.18. Из точки А, находящейся на расстояния Б см от цен-
тра окружности радиуса 3 см, проведены две секущие АКС и
ALB, угол между которыми равен 30° (К, С, L и В — точки пе-
ресечения секущих с окружностью). Найти площадь треугольни-
ка AKL, если площадь треугольника АВС равна 10 см1.
3.10. Даны две одинаковые пересекающиеся окружности.'От-
ношение расстояния между их Центрами к радиусу равно
Третьи окужность касается внешним образом обеих окруж-
ностей и их общей касательной. Определить отношение пло-
щади общей части первых двух кругов к площади третьего
круга.
3.20. В круговой сектор, ограниченный радиусами ОА и ОВ,
е центральным углом а (а < я/2) вписан квадрат так, что две
его соседние вершины лежат на радиусе ОЛ, третья вершина —
на радиусе ОВ, а четвертая вершина — на дуге АВ. Найти отно-
шение площадей квадрата и сектора.
3.21. В круге проведены две взаимно перпендикулярные пе-
ресекающиеся хорды АВ и CD. Известно, что
АВ = ВС — CD.
Установить, что больше: площадь круга или площадь квадрата
со стороной АВ.
3.22. Две окружности радиусов V& и V? см пересекаются.
Расстояние между центрами окружностей равно 3 см. Через точ-
ку А (одну из точек пересечения) проведена прямая, пересекаю-
щая окружности в точках В и С (В С) так, что АВ = АС.
Найти длину отрезка АВ.
§ 4. Треугольники и окружности
Треугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется
вписанным в окружность, а окружность называется описанной около
треугольника. Центр окружности. оОкса'нвой около треугольника, лежит
Да пересечении перпендикуляров к Серединам сторон треугольника.
Радиус окружности, описание* около треугольника, вычисляется по
формуле
1 а 1 Ь _ I с
“Т з1лЪ " 2 .in р “ 2 aln у
ли по формуле
Я-аЬсЛ«),
где а, Ь, с—стороны треугольника; а, 0. у—углы треугольника, лежащие
прогДа Ьтордв a, о, t соответственно, S — площадь треугольника.
Окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется епм-
санной в треугольник. Центр окружности, вписанной в треугольндя, ле-
йит на пересечении бяссКктрна заутренних углов треугольника.
$ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
833
12.13.
По теореме косину-
Рамус омружаоста. аоасавао* в треугольник, вычисляется по фор-
муле
r-S/p.
где р—А-(а +6 + с)—поаупернметр треугольном.
Задачи 4.1—4.36 решаются непосредственными вычислениями
с использованием свойств треугольников, вписанных в окруж-
ность, и окружностей, вписанных в треугольник.
Пример 4.1, На стороне АС остроугольного треугольника
АВС взята точка D так, что AD - 1, DC = 2 и BD является
высотой треугольника АВС. Окружность радиуса 2,
через точки А н D, касается в точке D
окружности, описанной около треуголь-
ника BDC. Найти площадь треугольни-
ка АВС.
Решение. Пусть О( — центр ок-
ружности радиуса 2, проходящей через
точки А н D, а О2 — центр окружности,
описанной около треугольника BDC
(рис. 12.13). Так как BD — высота тре-
угольника АВС, то треугольник BDC
прямоугольный, и, следовательно, центр
описанной около треугольника BDC
окружности лежит на середине его ги-
потенузы ВС.
Рассмотрим треугольник 4O|D.
Этот треугольник равнобедренный, н по
условию задачи AD = I, ДО] = OtD = 2.
сов найдем угол ADOt этого треугольника:
ADOi arccos-^-.
проходящая'
Так как по условию задачи окружности с центрами Ot и О» ка-
саются в точке D, то линия центров О(О> проходит через точку
касания и О|О2 = OtD + DOt. Углы XdOi, CDO2 вертикальные
н. следовательно, равные, т. е. СОО2 = arccos 4-. Треугольник
4
СОгС равнобедренный, так как ОО2 и О2С — радиусы окружно-
сти, и, следовательно, O2CD = arccos 4-.
4
В прямоугольном треугольнике BCD известны катет DC«
= 2 и O&D — агссоз По этим данным находим гипотенузу ВС:
DC ( \\ DC \ а
~ВГ “ 'о» («гссоз - т ВС - 8.
ГЛ. U. ПЛАНИМЕТРИЯ
Таким образом, в треугольнике AM найдены трм параметр
ра, позволяющие вычислить площадь втого треугольника!
Вддвс “7^1 •8,п —у- 3-8 sin (агссов-|-) “
—12-^-—зУПГ.
Ответ. зУПГ.
Пример 4.2. В прямоугольном треугольнике АВС с острым
углом 30“ проведена высота CD из вершины прямого угла С.
Найти расстояние между центрами окруж-
ностей, вписанных в треугольники ACD к
BCD, если меньший катет треугольника
АВС равен 1.
Решение. Пусть О| и Ог — центры
окружностей, вписанных в прямоугольные
треугольники ACD и BCD соответственно;
угол САВ равен 30°, ВС *= 1 (рис. 12.14).
Из прямоугольного треугольника АВС на-
ходим
— tg 30’ АС = V3". АВС — 60е.
Из прямоугольного треугольника
ДС — Уз и 4 — 30’ находим
CD — УТ/2,
Из прямоугольного треугольника
ВС — 1 и В = 60° находим
ACD по известным данным
AD — 3/2.
CDB по известным данным
ВО—1/2, ОС —3/2.
Вычислим площади и полупериметры треугольников ACD н
CDB:
с 1 лп nr 3V3 „ 3(1 + V3)
*Д АСР = у AD • DC — —g—, рд ACD =•>-------,
х _ 1 rn ял» „ з + Уз’
'sABCD“‘2’ct,,eo“,—§~’ Р^ВСР 4 •
Далее по формуле S — рг вычисляем радиусы окружностей,
вписанных в треугольники ACD и CDB;
г $LACP __
Т' Р^АСР 2(1 +УЗ)’
= $Д СРВ _ 1
Pl. СРВ 2(1 + ySJ
§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
335
Так как центр вписанной в треугольник окружности лежит на
пересечении биссектрис внутренних углов треугольника, то углы
CDO\ и CDOt равны между собой и составляют по 45°. Отсюда
можно сделать два вывода. Во-иервых,
>— л/з г— 1
0,0 = г, у2 ™ —_ —. , OtD “у2 = ~ ,
72(1 + 73) (i + л/з^)
Во-вторых, угол O,DO, треугольника O,DO, прямой. Тогда по
теореме Пифагора находим О(О,:
<О,О2)2“[ТП?+7Г] +[у2(1 + 7з')] “(1 + 7з)2‘
Таким образом, искомое расстояние между центрами окружно-
стей
0,0,----^-^1.
1 -f- Уз У2
4.1. Найти длину окружности, вписанной в равнобедренный
прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с.
4.2. В равнобедренном треугольнике даны длина боковой
стороны b и угол а при основании. Найти расстояние от центра
описанной окружности до центра вписанной окружности.
4.3. Дан круговой сектор радиуса R с центральным углом а.
Найти радиус вписанного в сектор круга.
4.4. Из одной точки окружности проведены две хорды дли-
ной а и Ь. Найти радиус окружности, если расстояние между
серединами данных хорд равно с/2.
4.6. На основании равностороннего треугольника как на диа-
метре построена полуокружность, рассекающая треугольник на
две части. Длина стороны треугольника равна а. Найти площадь
той части треугольника, которая лежит вне полукруга.
4.6. На одной из сторон угла, равного а. даны две точки,
расстояния от которых до другой стороны равны 4 нс. Найти
радиус окружности, проходящей через эти две точки и касаю-
щейся другой стороны угла.
4.7. Правильный треугольник АВС со стороной, равной 3,
вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причем
длина хорды AD равна yjf. Найти длины хорд BD и CD.
4.8. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами 3 н 4
вершина С прямого угла соединена с серединой D гипотенузы
ВЗв
ГЛ. 12. планиметрия!
АВ. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных
в треугольники ACD и BCD.
4.9. Окружность радиуса R проходит через вершины А и В
треугольника АВС и касается прямой АС в точке А. Найти пло-
щадь треугольника АВС, зная, что АВС — 0, АС В** а.
4.10. В прямоугольном треугольнике АВС угол А прямой,
величина угла В равна 30°, а радиус вписанной окружности ра-
вен -\/з\ Найти расстояние от вершины С до точки касания впи-
санной окружности и катета АВ.
4.11; Окружность касается стороны ВС и продолжений двух
других сторои треугольника АВС. Найтн радиус окружности,
если АВ «= с, ВДё = a, ABC ™ (J.
4.12. В треугольник АВС вписана окружность радиуса R,
касающаяся стороны АС в точке D, стороны АВ — в точке Е и
стороны ВС — в точке F. Длина отрезка AD равна R, а длина
отрезка DC равна а. Найти площадь треугольника BEF.
4.13. В правильный треугольник, сторона которого равна а,
вписан круг. Из вершины радиусом, равным половине его сто-
роны, проведена другая окружность. Найтн площадь общей ча-
сти этих кругов.
4.14. В равнобедренный треугольник с основанием а и углом
при основании а вписана окружность. Кроме того, построеьа
вторая окружность, касающаяся основания, одной из боковых
сторон треугольника и вписанной в него первой окружности.
Определить радиус второй окружности.
4.1В. В треугольнике АВС со сторонами ВС = а, АС — 2а
и углом С «= 120° вписана окружность. Через точки касания этой
окружности со сторонами АС и ВС через вершину В проведена
вторая окружность. Найти ее радиус.
4.16. В треугольнике АВС длина стороны АВ равна 4, угол
САВ равен л/6, а радиус описанной окружности равен 3. Дока-
зать, что длина высоты, опущенной из вершины С на сторону
АВ, меньше 3.
4.17. В треугольнике АВС боковые стороны АВ и ВС рав-
ны а, а АВё 120°. В треугольник АВС вписана окружность,
касающаяся стороны АВ в точке D. Вторая окружность имеет
центром точку В и проходит через точку D. Найти площадь той
части вписанного круга, которая находится внутри второго
круга.
4.18. В остроугольный треугольник АВС вписан полукрув
так, что его диаметр лежит на стороне АВ, а дуга касается сто-
рон АС и ВС. Найти радиус окружности, касающейся дуги этого
$ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ 837
полукруга и сторон АС н ВС треугольника, если АС = Ъ, ВС m
= а, АСВ = а.
4.19. Окружность радиуса 1 + описана около равнобед-
ренного прямоугольного треугольника. Найти радиус окружно-
сти, которая касается катетов этого треугольника и внутренним
образом касается описанной вокруг него окружности.
4.20. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ =
м3 и ВС = 4 через середины сторон АВ и АС проведена ок-
ружность, касающаяся стороны ВС. Найти длину отрезка гипоте-
нузы АС, который лежит внутри этой окружности.
4.21. В треугольнике АВС даны длины сторон АВ = 21,
ВС = 15 и проведена биссектриса BD угла АВС. Найти радиус
окружности, вписанной в треугольник ABD зная, что cos(BAC)=i
-5/7.
4.22. В окружность радиуса R вписан равносторонний тре-
угольник АВС. Сторона ВС разделена на три равные части я
через точку деления, ближайшую к С, проведена прямая, прохо-
дящая через вершину А и пересекающая окружность в точке D.
Найти периметр треугольника ABD.
4.23. В треугольнике АВС АВ = , ВС = 2. Окружность
проходит через точку В, через середину D отрезка ВС, через
точку Е на отрезке АВ я касается стороны АС. Найтж отноше-
ние, в котором эта окружность делит отрезок АВ, если DE —
диаметр окружности.
4,24. Вокруг треугольника АВС с длинами сторон АВ =
elOV^" АС = 20 и В = 45“описана окружность. Через точку С
проведена касательная к окружности, пересекающая продолже-
ние стороны АВ в точке D. Найти площадь треугольника BCD.
4.25. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 6,
ВС = 4, АС = 8. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в
точке D. Через точки A, D, С проведена окружность, пересекаю-
щая сторону ВС в точке Е. Найти площадь треугольника ADE.
4.26. В треугольнике АВС ВАС=а, ВС А = 0, АС = Ь. На
стороне ВС взята точка D так, что BD = 3DC. Через точки В
и D проведена окружность, касающаяся стороны АС или ее про-
должения за точку А. Найти радиус этой окружности.
4.27. В треугольнике АВС А =120°, АС=1, ВС =^-^7. На
продолжении стороны СА взята точка М так, что ВМ является
высотой треугольника АВС. Найти радиус окружности, проходя-
щей через точки А и М и касающейся в точке М окружности,
проходящей через точки М, В и С.
888
Г». 11 ПЛАНИМЕТРИЯ
<28l Вокруг треугольника АВС со сторонами АВ — б(14-
+ УЗ), ВС-=5 Уб”, АС = 10 описана окружность. Через точ-
ку .С проведена касательная к окружности, а через точку В —
прямая, параллельная стороне АС. Касательная н прямая пере-
секаются в точке D. Определить площадь четырехугольника
ABDC.
4J29. В треугольник АВС со сторонами АВ 10, ВС = 20
в углом С, равным 30°, вписана окружность. Через точку М сто-
роны АС, отстоящую на расстоянии 10 от вершины А, проведена
касательная к окружности. Пусть К — точка пересечения каса-
тельной с прямой, проходящей через вершину В параллельно
стороне АС. Найтн площадь четырехугольника АВКМ.
4.30. В треугольнике BCD известно ВС = 4, CD = 8,
сол(бсЬ) = 3/4. Точка Л выбрана на стороне CD так, что СА
™ 2. Найтн отношение площади круга, описанного около тре-
угольника BCD, к площади круга, вписанного в треугольник
ABD.
4.31. В треугольнике, один нз углов которого равен разно-
сти двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма пло-
щадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два
раза больше площади описанного около треугольника круга.
Найти длину большей стороны треугольника.
4.32. В треугольнике АВС длина стороны ВС равна 2 см,
длина высоты, опущенной из вершины С иа сторону АВ, равна
V2 см, а радиус окружности, описанной около треугольника
АВС, равен VS" см. Найти длины сторон АВ и АС треугольника,
если известно, что угол АВС острый.
433. Треугольник АВС, угол В которого равен 2а < л/3,
вписан в окружность радиуса R. Диаметр окружности делит
угол В пополам; касательная к окружности в точке А пересекает
продолжение стороны ВС в точке М. Найтн площадь треуголь-
ника АВМ.
4.34. Дан правильный треугольник АВС со стороной а. Ок-
ружность проходит через центр треугольника и касается стороны
АВ в ее середине М. Прямая, проведенная из вершины А, ка-
сается окружности в точке Е. Найти площадь треугольника
АЕМ.
4.36. Около треугольника АВС (А > я/2) описана окруж-
ность с центром О. Точка F является серединой большей нз дуг,
стягиваемых хордой ВС. Обозначим точку пересечения стороны
ВС с продолжением радиуса АО через £, а с хордой AF— че-
рез Р. Пусть АН — высота треугольника АВС. Найти отношение
площади четырехугольника OEPF к площади треугольника АРИ,
5 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
890
если известно, что радиус описанной окружности Л-! V*,
АЕ — <3 и ЕН — 3/9.
4.96. Дан равнобедренный треугольник MNP, в котором
MN — NP l( MNP — р. Окружность с центром на стороне МР
касается сторон MN и NP. Касательная к этой окружности пере-
секает сторону MN в точке Q, а сторону NP—a точке А. Из-
вестно, что MQ = п. Найти площадь треугольника QNR.
В условиях задач 4.37—4.44 отсутствуют данные, имеющие
размерность длины. Для решения этих задач необходимо ввести
вспомогательную величину а, имеющую размерность длины (на-
пример, сторону треугольника), а решить задачу с доопределен-
ным условием. Выражения для искомых величин не будут со-
держать а.
Пример 4.3. В прямоугольном треугольнике АВС катеты
АС и ВС равны. Найти отношение площадей вписанного и опи-
санного кругов.
Решение. Обозначим катет АС треугольника АВС через а.
Так как по условию задачи катеты равны, то ВС = АС ™ а и
А = В = 45s. По теореме Пифагора находим гипотенузу:
АВ “ Va* + о* = я V2 •
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треуголь-
ника равен половине гипотенузы:
R = a V2/2.
Радиус окружности, вписанной в треугольник, вычислим по фор-
муле
S _______ с 1 _» а + а 4- а(2 + д/2")
г-—, где S = р-----------------------j----------—--------,
а
и, следовательно, г ----т=-.
2 +¥2
Вычислим отношение площадей вписанного н описанного
кругов:
яг* (2 + V2 ) 1
nR> = V2 у 0 + V2 )2 ’
Ответ. 1/(1 + V2 )2.
4Л7. Около прямоугольного треугольника описана окруж-
ность. Другая окружность того же радиуса касается катетов
этого треугольника так, что одной из точек касания является
840
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
вершина треугольника. Навти отношение площади треугольника
к площади общей части двух данных кругов.
. 4.38. В треугольнике АВС даны углы В, С. Через середину О
стороны АВ и вершину А проведена окружность, касающаяся
стороны ВС. Найти отношение радиуса этой окружности к длине
стороны ВО.
4.39. Найти отношение радиусов вписанного в описанного
кругов для равнобедренного треугольника с углом а при осно-
вании.
4.40. Дан прямоугольный треугольник с острым углом а.
Найти отношение радиусов описанной н вписанной окружностей
и определить, при каком значении а это отношение наименьшее.
4.41. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС,
в котором АВ = ВС н ВАС = а. Из вершины С проведена пря-
мая, составляющая с АС угол, равный а/4, и проходящая внутри
треугольника, которая пересекает окружность в точке £. Эта
прямая пересекается с биссектрисой угла ВАС в точке F. Вер-
шина А треугольника соединена отрезком прямой с точкой Е,
Найти отношение площадей треугольников AFC и ЛЕС.
4.42. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом
при вершине С. Угол САВ равен а. Биссектриса угла АВС пере-
секает катет АС в точке К. На стороне ВС как на диаметре по-
строена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке М.
Найти угол АМК.
4.43. В треугольнике АВС даны углы В к С. Биссектриса
угла ВАС пересекает сторону ВС в точке D, а окружность, опи-
санную около треугольника АВС, — в точке Е. Найти отношение
АЕ: DE.
4.44. Вписанная в треугольник АВС окружность касается его
сторон АС н ВС соответственно в точках М и N и пересекает
биссектрису BD в точках Р и Q. Найти отношение площадей
треугольников PQM и PQN, если Д = л/4, В = п/3.
Задачи 4.45—4.66 решаются методом введения вспомогатель-
ного неизвестного (или нескольких вспомогательных неизвест-
ных), для которого по условию аадачн составляется уравнение
(или соответственно система уравнений). Часто в качестве вспо-
могательных неизвестных удобно выбирать величины, которые
вместе с данными из условия задачи дают набор элементов, од-
нозначно задающих треугольники.
Пример 4.4. Радиус окружности, вписанной в равнобед-
ренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, опи-
санной около этого треугольника. Найти углы треугольника.
$ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ 34|
Решение. Пусть а — длина основания АС треугольник*
АВС, а — острый угол при основании (рис. 12.15). Используя
введенные параметры, вычислим радиусы вписанной и описанной
окружностей. Так как треугольник АВС равнобедренный, то бис»
сектрнса угла АВС (АВ ВС) является одновременно медианой
и высотой треугольника АВС и угол ODA прямой, AD » о/2,
ОЛЬ = а/2 (О —центр вписанной окружности, a OD — ее ра-
диус). Из треугольника AOD находим
r-OD-ytgi
л Л
Радиус описанной окружности най-
дем по теореме синусов
АС
2Я
где XflC = 180“ —2а, АС = а, и,
следовательно,
д- °
* 2 sin 2а •
По условию задачи радиус описанной
больше радиуса вписанной окружности)
окружности в 4 раза
а
R 2 sin 2а .
— “--------------= 4.
г а , а
2 tg 2
Последнее равенство представляет собой тригонометрическое
уравнение для нахождения угла а:
, , sin — 2 sln а соз а
• .. а . а , _ 1 2
тт;— “ 4 tg => tg -yr- sln 2а — --
sin 2а ь 2 Б 2 4 а
cos-2
. , , а а
, 4 sln* — cos — cos а ,
1 2 2 1 n .• а
—4**------------а---------T*cosa2sin»y-
COSy
™ 4- cos а (1 — cos а) — 4- 8 cos1 а — 8 cos а + 1=0.
в о
Обозначая соз а *= у, получаем квадратное уравнение для
842
ГЛ. It ПЛАНИМЕТРИЯ
fl
О| — агссоз I j
(1-4)-
неизвестного yi
8у’ — 8у 4-1—0,
I V2
v,-1 = -2 ±—’
i V?
cos ° = 2 ± 4 •
Таким образом, составленное тригонометрическое уравнение
имеет два решения:
. V2 А
f—д— >, а, “ агссоа
Каждому значению а соответствует свой угол при вершине рав-
нобедренного треугольника:
п — 2 агссоз (у + ), я —2 агссоз
Ответ, я — 2агссоз(у + л — 2агссоз(у —
Пример 4.5. В равнобедрениом треугольнике АВС угол В
прямой, АВ = ВС — 2. Окружность касается обоих катетов в
их серединах и высекает на гипотенузе хорду DE. Найти пло-
щадь треугольника BDE.
Решение. Пусть точки М и N — точки касания окружно-
сти с катетами треугольника АВС. По условию AN — NB и
ВМ — МС. Восставим перпендикуляры из точек М и N. Так как
эти точки — середины катетов треугольника, то точка К —пере-
сечение перпендикуляров — представляет собой центр описанной
вокруг треугольника окружности и, следовательно, находится на
середине гипотенузы АС. С другой стороны, К — центр исходной
окружности по построению. Таким образом, KN и КМ — радиусы
этой окружности. Заметим теперь, что четырехугольник BNKM —
квадрат (прямоугольник с равными смежными сторонами). Так
как NB — KN, то KN — 1. Рассмотрим треугольник EBD. Его
основание ED — диаметр исходной окружности (хорда, проходя-
щая через центр К). Следовательно, ED — 2. Высота треугольни-
ка EBD (ВК) — радиус описанной вокруг ДАВС окружности,
следовательно, ВК — Таким образом, искомая площадь
ЛЕВО равна
„ ВК • ED /у
_ = 2 “V2-
Ответ. V2.
4.48. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см,
площадь — 24 см1, Найти площадь описанного круга.
s 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ и ок(ФЖП6сти МК
4.46. Один из катетов прямоугольного треугольмка panes
15 см, а проекция второго па гипотенузу —16 см. Найти радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.
4.47. Определить углы прямоугольного треугольника, зная,
что радиус описанной около него окружности относится к радиу-
су вписанной окружности, как 5:2.
4.48. Длина основания равнобедренного треугольника равна
4 см. Длина боковой стороны делится точкой касания вписанной
в этот треугольник окружности в отношении 3:2, считая от
вершины. Определить периметр треугольника.
4.49. Площадь прямоугольного треугольника равна 6 см*, а
радиус вневписанной окружности, касающейся одного из кате-
тов, равен 3 см. Найти стороны треугольника.
4.50. Каждая из двух окружностей с центрами на ыедианах
равнобедренного треугольника, проведенных к боковым сторонам,
касается боковой стороны н основания. Вычислить расстояние
между центрами окружностей, если длина основания треуголь-
ника равна 2 дм, а длины этих медиан равны дм.
4.51. Площадь треугольника АВС равна 15 л/3 см9. Величи-
на угла ВАС равна 120°. Величина угла АВС больше величины
угла АСВ. Расстояние от вершины А до центра окружности, впи-
санной в треугольник АВС, равно 2 см. Найти длину медианы
треугольника АВС, проведенной из вершины В.
4.52* . На катете ВС прямоугольного треугольника АВС как
на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в
точке D так, что AD : DB =1:4. Найти длину высоты, опущен-
ной из вершины С прямого угла па гипотенузу, если известно,
что длина катета ВС равна 10.
4.53. В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка касания с окружностью делит один из катетов треуголь-
ника на отрезки длиной би 10 см, считая от вершины прямого
угла. Найти площадь треугольника.
4.54. В треугольнике АВС биссектриса АР угла А делится
центром О вписанной окружности в отношении АО: ОР =
= V3 :2 sinНайти углы В и С, если известно, что угол А
1о
равен 5л/9.
4.55. В треугольнике АВС биссектриса АЕ относится к ра-
диусу вписанной окружности, как :(V2 — 0- Найти углы В
и С, если известно, что угол А равен я/3.
4.56. Из вершины В равнобедренного треугольника АВС на
его основание ДО опущена высота BD. Длина каждой из боко-
вых сторон АВ и ВС треугольника АВС равна 8 см. В треуголь-
344
' ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
вике BCD проведена медиана DE. В треугольник BDE вписана
окружность, касающаяся стороны BE в точке К в стороны DE
в точке М. Длина отрезка КМ равна 2 см. Найти величину угла
ВАС.
4.57. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника
лежит на окружности, вписанной в этот треугольник. Hafirq
острые углы треугольника.
4.58. Найти косинус угла при основании равнобедренного
треугольника, если известно, что точка пересечения его высот
лежит на вписанной в треугольник окружности.
4.59. В треугольнике АВС биссектриса АК перпендикулярна
медиане ВМ, а АВС = 120°. Найтн отношение площади тре-
угольника АВС к площади описанного около этого треугольник^
круга.
4.50. Вокруг равнобедренного треугольника АВС описана
окружность. Через вершину А проведена хорда длиной т, пере-
секающая основание ВС в точке D. Даны отношение BD: DC =
= 4 и угол А (Л < я/2). Найти радиус окружности.
4.51. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС
вписана окружность, которая касается боковой стороны АВ в
точке М. Через точку М проведен перпендикуляр ML к стороне
АС треугольника АВС (точка L —основание перпендикуляра).
Найтн величину угла ВСА, если известно, что площадь тре-
угольника АВС равна 1, а площадь четырехугольника LMBC
равна S.
4.52. Внутри острого угла а взята точка М, отстоящая от
сторон угла на расстояния а и 2а. Найтн радиус окружности,
проходящей через точку. М и касающейся сторон угла.
4.53. На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром,
расположенным внутри этого угла, касается одной стороны угла,
пересекает другую в точках А и В и пересекает биссектрису угла
в точках С н D. Длина хорды CD равна V7 > длина хорды АВ
равна V& Найти радиус окружности.
4.54* . В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D
так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD,
касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найти ра-
диусы окружностей.
4.65. Точка D лежит на стороне АС треугольника АВС. Ок-
ружность радиуса 2/V3*, вписанная в треугольник ABD, касается
стороны АВ в точке М, а окружность радиуса -у/Ъ , вписанная в
треугольник BCD, касается стороны ВС в точке N. Известно, что
ВМ = 6, BN = 5, Найти длины сторон треугольника АВС.
9 5. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
«48
4.66. Точка D лежит на стороне АС треугольника АВС.
Окружность lt, вписанная в треугольник ABD, касается отрезка
BD в точке Af; окружность («, вписанная в треугольник BCD,—
в точке N. Отношение радиусов окружностей /( и /а равно 7/4.
Известно, что ВМ ~ 3, MN “ ND — 1. Найти длины сторон
треугольника АВС. - *
• ।
§ В. Многоугольники и окружности
Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности, В*зц-
ваетск вписанным о окружность, а окружность — описанной около мно-
гоугольника. Окружность, касапщака всех сгорев многоугольника^ за-
вивается вписанной а многоугольник.
Площадь правильного многоугольные с л углами (гьуголмнхаД
Зя, сторона л-угольнны ап, периметр fi-угольнвка Р„ к радиусы опи-
санной и вписанной окружностей Я а г снизаны формулами
^п“~2 ?пг>
вп_2Д.1п-1^._
«„-Ад’лаШ-^.
Теоремы о четырехугольниках и окружностях.
I. Дли того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было
вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противо-
положных сторон четырехугольника были равны.
2. Для того чтобы около выпуклого четырехугольнику можно быдр
описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противо-
лежащих внутренних углов четырехугольника была равна 180°.
Искомые величины в задачах 5.1—5.13 находятся непосред-
ственными вычислениями с использованием свойств многоуголь-
ника и окружностей, вписанных в
втот многоугольник или описанных
около него.
Пример 5.1. Дана трапеция
ABCD, боковая сторона АВ которой
перпендикулярна основаниям. В тра-
пецию вписана окружность с цен-
тром в точке О. Через точки А, В, С
проведена окружность с центром в
точке Он Найти диагональ АС, если
ОО| — 1 см, а меньшее основание трапеции ВС равно
10 см.
Решение. Пусть MN — средняя линия данной трапеция
(рис. 12.16). Окружность, проходящая через точки А, В, С,—
вто окружность, описанная около прямоугольного треугольника
АВС (угол В прямой), и ее центр О, лежит на середине гипоте-
нузы АС. С другой стороны, средняя линия трапеции MN пере-
секает диагональ трапеции АС в ее середине. Следовательно,
346
' ГЛ. II. ПЛАНИМЕТРИЯ
точи Ot— это точи пересеченна диагонали трапеции АС и
среднее линии трапеции МЫ.
Выясним, где находится точка О — центр окружности, впи-
санное в трапецию ABCD. Так как рассматриваемая окружность
касается двух параллельных прямых ВС н AD, то ее центр —
точка, равноудаленная от этих двух прямых. Множество точек,
равноудаленных от двух оснований трапеции,— ее средняя ли-
ния, и, следовательно, центр окружности, вписанной в трапецию,
также лежит на средней линии МЫ. В треугольнике АВС сто-
рона ЛВ больше стороны ВС, так как АВ равна диаметру впи-
санной окружности, а сторона ВС меньше диаметра. Так как в
треугольнике против большей стороны лежит ббльший угол
(ВСЛ > САВ), а сумма углов ВСА н САВ равна 90°, то угол
САВ меньше 45°. Окружность с центром в точке О касается сто-
рон прямого угла BAD, точка О лежит на биссектрисе этого
угла, н, следовательно, ВСО — 45°.
Таким образом, дм угла (ВЛд и ВЛО) имеют общую сто-
рону и ^ЛС < ВАО. Отсюда можно сделать вывод, что луч АО,
лежит между сторонами угла ВАО, т. е. точка О( лежит между
точками М и О.
Теперь можно найти радиус окружности, вписанной в трапе-
цию ABCD. Отрезок МО,— средняя линия треугольника ЛВС,
в, следовательно,
МО, —4-ВС —5 см.
Л
Длина отрезка МО (радиуса вписанной в трапецию окружности)!
МО — МО, + 0,0 — 6 см.
Так как длина боковой стороны трапеции АВ равна диаметру
окружности (ЛВ = 2, МО =12), то нз прямоугольного тре-
угольника ЛВС по теореме Пифагора получаем
АС “ УЛВ* + ВС’ — <12’+ 10* — 7244 — 2 УёГ.
Ответ. 2 УбГ см.
6.1. Вычислить площадь равнобедренной трапеции, если ее
высота равна Л, а боковая сторона видна из центра описанной
окружности под углом 60°.
6.2. В окружность вписан прямоугольник ABCD, сторона АВ
соторого равна а. Из конца К диаметра КР, параллельного сто-
роне АВ, сторона ВС видна под углом 0. Найти радиус окруж-
ная.
$ S. МНОГОУГОЛЬНИКИ и ОКРУЖНОСТИ
847
5.3. Около окружности радиуса г описана равнобочная тра-
пеция ABCD, Е и К — точки касания этой окружности с боко-
выми сторонами трапеции. Угол между основанием АВ и боко-
вой стороной AD трапеции равен 60°. Доказать, что ЕК парал-
лельна АВ, и найти площадь трапеции АВЕК.
5.4. В параллелограмме ABCD с углом А, равным 60°, про-
ведена биссектриса угла В, пересекающая сторону CD в точке Е.
В треугольник ЕСВ вписана окружность радиуса г. Другая ок-
ружность вписана в трапецию ABED. Найти расстояние между
центрами этих окружностей.
5.5. В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них,
радиуса 3, вписана в параллелограмм, а вторая касается двух
сторон параллелограмма и первой окружности. Расстояние ме-
жду точками касания, лежащими на одной стороне параллело-
грамма, равно 3. Найти площадь параллелограмма.
5.5. В ромбе ABCD со стороной I + Vs" и острым углом 60°
расположена окружность, вписанная в треугольник ABD. Из
точки С к окружности проведена касательная, пересекающая
сторону АВ в точке £. Найти длину отрезка АЕ.
5.7. Каждая из двух окружностей с центрами на диагоналях
равнобочной трапеции касается боковой стороны я большего
основания. Вычислить расстояние между центрами окружностей,
если длины боковых сторон трапеции равны 4 см, а длины осно-
ваний равны 6 и 3 см.
5.8. В трапеции ABCD известны основания AD = 39 см и
ВС = 26 см и боковые стороны АВ = 5 см и CD = 12 см. Най-
ти радиус окружности, которая проходит через точки Л и В и
касается стороны CD или ее продолжения.
5.9. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС длина боко-
вой стороны АВ равна 2 см. Биссектриса угла BAD Пересекает
прямую ВС в точке Е. В треугольник АВЕ вписана окружность,
касающаяся стороны АВ в точке М и сторойы BE в точке
N. Длина отрезка MN равна 1 см. Найти величину угла
BAD.
5.10. Сторона ВС четырехугольника ABCD является диамет-
ром окружности, описанной около этого четырехугольника.
Вычислить длину стороны АВ, если ВС = 8, BD = 4-^2"»
DCA.ACB = 2:1.
5.11. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина стороны АВ
3
равна 10-j^-, Длина стороны AD равна 14, длина стороны CD
равна 10. Известно, что угол DAB острый, причем сннус угла
DAB равен 3/5, косинус угла ADC равен —3/5. Окружность а
348
ГЛ 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
центром в точке О касается сторон AD, АВ, ВС. Найти длину
отрезка ВО.
5.12. Пятиугольник ABCDE (вершины обозначены последова-
тельно) вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что
АВ — V2. АВЕ = 45°, EBD — 30° и ВС = CD. Чему равна пло-
щадь пятиугольника?
6.13. В ромб CDEF, у которого бс? ««.у, вписана окруж-'
пость радиуса г. Касательная к этой окружности пересекает
сторону CD в точке А, а сторону CF—в точке В. „Известно, что
AD — т. Найти площадь треугольника АВС.
В задачах 5.14—5.16 необходимо ввести вспомогательную ве-
личину, имеющую размерность длины, и решить задачу с доопре-
деленным условием. В искомых величинах вспомогательный пара-
метр сократится, и искомые величины будут зависеть только от
веданных в условии задачи величин.
5.14. В круг вписана равнобедренная трапеция так, что диа-
метр круга служит основанием трапеции. Найти отношение пло-
щадей круга и трапеции, если тупой угол трапеции равен а.
5.15. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана ок-
ружность и около которой описана окружность. Отношение вы-
а /2”
соты трапеции к радиусу описанной окружности равно а / -3-.
Найти углы трапеции.
5.15. Около круга описана трапеция с углами прн основании
а а р. Найти отношение площади трапеции к площади круга.
Задачи 5.17—5.32 решаются методом введения вспомогатель-
ного неизвестного (или Нескольких вспомогательных неизвестных),
для которого составляется уравнение (соответственно система
уравнений), отвечающее условию задачи.
Пример 5.2. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и яв-
ляется хордой некоторой окружности, причем все остальные
стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касатель-
ной СК, проведенной нз вершины С к той же окружности, рав-
ва 2. Найти радиус окружности.
Решение. Пусть О — центр окружности, радиус которой
нужно найти (рис. 12.17). Введем обозначения: R — радиус иско-
мой окружности, х — длина отрезка, OL — расстояние от центра
окружности до хорды АВ.
Составим теперь следующие уравнения!
нэ прямоугольного.дреугольника СОМ получим
ос* -(* +1)»+4; Ю
} Б. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ 84В
из прямоугольного треугольника OBL получим
4
из прямоугольного треугольника ОСК получим
ОС* — R* + 4. (♦♦♦)
Приравнивая правые части уравнений («) и (•••) а учетом (••),
получаем уравнение
ж» + 2х+1+-1 — ха + -1-+4-«*-2х—3.
g
Следовательно, х — —; искомое значение R получается из урав-
нения (••):
„ VTo’
Ответ. —g—.
Пример 5.3. Окружность касается сторон АВ я AD пря-
моугольника ABCD и пересекает сторону DC в единственной
точке F, а сторону ВС —в единственной точке Е. Найти пло-
щадь трапеции AFCB, если АВ 32, AD = 40 и BE — 1.
Решение. Пусть О — центр окружности М и W — точки
касания окружности со сторонами АВ и AD (рис. 12.18); OL —
высота равнобедренного треугольника МЕО. В качестве неиз-
вестных введем R — радиус окружности а а - ВМЕ.
В прямоугольном треугольнике МВЕ по условию задачи
BE — 1. Выражаем стороны треугольника МВЕ через угол а и
BE — 1;
МВ = ctg а, ME —т——.
aln а
850
ГЛ. IS. ПЛАНИМЯТРИЯ
Четырехугольник AMON, образованны! радиусами NO, МО,
проведенными в точки касания, и частями сторон прямоуголь-
ника AM и AN, будет квадратом, так как
NO — MO — R, NAM — nli, £mO—:iI2, &Ь — п12,
и, следовательно, AM — AN — R. Равенство 4Af 4- MB — AB
дает первое уравнение, связывающее Я и at
R + ctg a “ 32.
Рассмотрим треугольник ОМЕ. В атом треугольнике
МЕ-—1— — 2ML, MO — OE — R, ОМЕ — ^-а,
sin a 2
углы LOM и ВМЕ равны как углы с соответственно перпендику-
ML
лярнымн сторонами. Следовательно, р — sln а и, подставляя
А
сюда найденное уже значение ML — g , получим уравнение
1
оь .---------------------------- sin a.
2R sin a
Последнее равенство представляет собой второе уравнение для R
н а. Итак, окончательно система уравнений для R и а имеет вид
* + с‘ва = 32, R —
Исключая R из системы, получаем тригонометрическое урав-
нение угла at
х 7 , + ctg a — 32,
2 sln* a •
которое с помощью равенства 1 + ctg* a — S[n\a преобразуется
к виду
ctg* a + 2 ctg a + I — 64 ctg a — 7
(a — остры! угол). Из первого уравнения системы получаем
R -25.
Опустим из точки О перпендикуляр на сторону DO и рас-
смотрим прямоугольный треугольник ОРР. В этом треугольнике
OP - R = 25,
OP = MP - МО = AD - R = 40 - 25 — 15.
По теореме Пифагора находим
FP — VOf* - OP1 — 725» - 15’ — 20.
$ 5. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
8Я
Так как ctg а = 7, то, следовательно, в треугольнике MBF сто»
рона МВ -= 7. Так как PC — МВ — 7 и FC — FР + PC, то
FC = 20 + 7 — 27.
Теперь в искомой трапеции AFBC найдено основание FC =
= 27, а второе основание АВ и высота AD известны по условию
задачи, и, следовательно, площадь трапеции AFBC равна
SAFBC-^±££- АВ^Ц0=11в0.
Ответ. 1180.
6.17. Около круга радиуса г описана прямоугольная трапе-
3
цня, меньшее основание которой равно у г. Определить площадь
трапеции.
6.18. В полукруге расположен прямоугольник ABCD так, что
его сторона АВ лежит на диаметре, ограничивающем полукруг,
а вершины С н D — на ограничивающей полукруг дуге. Длина
радиуса полукруга равна 6 см. Найти длины сторон прямоуголь-
ника ABCD, если его площадь равна 24 см1, а длина диагонали
больше 8 см.
6.19. Около окружности радиуса R описан параллелограмм.
Площадь четырехугольника с вершинами в точках касания ок-
ружности и параллелограмма равна S. Найти длины сторон па-
раллелограмма.
6.20. Длина средней линии равнобочной трапеции равна 10.
Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя
линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей ко-
торых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции.
5.21. В кружность радиуса 6 см с центром в точке О вписан
четырехугольник ABCD. Его диагонали АС и BD взаимна, пер-
пендикулярны и пересекаются в точке К. Точки В и F являются
соответственно серединами АС и BD. Длина отрезка ОК равна
5 см, а площадь четырехугольника OEKF равна 12 см1. Найти
площадь четырехугольника ABCD.
5.22. В трапецию ABCD с основанием ВС и AD и с боко-
выми сторонами АВ н CD вписана окружность с центром О.
Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, а ОС = 2,
OD = 4.
5.23. Биссектриса АЕ угла А рассекает четырехугольник
ABCD на равнобедренный треугольник АВЕ (АВ •= BE) н ромб
AECD. Радиус круга, описанного около треугольника ECD, в
1,6 раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник АВЕ,
Найти отношение периметров этих треугольников.
352
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
5.24. В трапецию ABCD с основанием AD — 40, углами при
вершинах А и D, равными 60°, и боковыми сторонами AB = CD=
10 вписана окружность так, что она касается обоих оснований
AD н ВС и стороны А В. Через точку М основания AD, отстоя-
щую на расстояние 10 см от вершины D, проведена касательная
к окружности. Эта касательная пересекает основание ВС в точ-
ке К. Найти отношение площади трапеции АВКМ к площади
трапеции MDCK.
5.25. Окружность, построенная на основании AD трапеции
ABCD как на диаметре, проходит через середины боковых сто-
рон ДВ и CD трапеции и касается основания ВС. Найти углы
трапеции.
5.26. А, В, С, D — последовательные вершины прямоугольни-
ка. Окружность проходит через А и В и касается стороны CD
в ее середине. Через D проведена прямая, которая касается той
же окружности в точке Е, а затем пересекает продолжение сто-
роны АВ в точке К. Найти площадь трапеции BCDK, если из-
вестно, что АВ = 10 и КЕ : КА =3:2.
5.27. В четырехугольнике ABCD сторона АВ равна стороне
ВС, диагональ АС равна стороне CD, а угол АВС равен углу
ACD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольник АВС н
ACD, относятся, как 3 :4. Найти отношение площадей втнх тре-
угольников.
5.28. В ромб ABCD, у которого АВ = I и ВЛЬ = а, впи-
сана окружность. Касательная к этой окружности пересекает
сторону АВ в точке М, а сторону AD—в точке N. Известно, что
MN = 2а. Найти длины отрезков МВ и ND.
5.29. В прямоугольнике ABCD сторона ВС вдвое короче сто-
роны CD. Внутри прямоугольника расположена точка Е, причем
Д£ = д/2*. СЕ = 3, DE = 1. Вычислить косинус угла CDE и
площадь прямоугольника ABCD.
5.30. В параллелограмме ABCD известны длины стороны
АВ = V2" и диагонали BD = 2. Окружность радиуса с
центром в точке В, лежащая в плоскости параллелограмма, пере-
секается со второй окружностью радиуса 1, проходящей через
точки А и С. Известно, что касательные, проходящие через одну
из точек пересечения окружностей, взаимно перпендикулярны.
Найти длину диагонали АС.
5.31. В равнобочную трапецию вписана окружность. Расстоя-
ние от центра окружности до точки пересечения диагоналей тра-
пеции относится к радиусу, как 3:5. Найти отношение перимет-
ра трапеции к длине вписанной окружности.
ГЛАВА 13
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Общие свойства п р и м ы к плоскостей. Плоскость а
прамаа о, не принадлежащая плоскости а, называются параллельными,
если они не имеют ни одной общей точки.
Признак параллельности пряной и плоскости. Если прямая парал-
лельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то данные прямая и
плоскость либо параллельны, лнбо прямая прянадлежнт плоскости.
Теоремы о плоскости н прямой, параллельной
плоскости.
I. Если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости,
н пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллель-
йа данной прямой.
2. Если через каждую на двух параллельных прямых проведена
прояэвольвая плоскость и эти плоскости пересекаются, то линяя ик
пресечения параллельна каждой из данных прямых.
3. Если дм пересекающиеся плоскости параллельны данной примой,
то линия их пересечения также параллельна данной примой.
Две плоскости а к 0 называются параллельными. ееп он не
имеют общей точки.
Признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым дру-
гой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Теорема о параллельных плоскостях.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью.
ТО линии их пересечения параллельны.
Прямая н плоскость называются взаимно перпендикулярными, если
прямая перпендикулярна каждой прямой, принадлежащей плоскости.
Прямую, перпендикулярную плоскости, называют перпендикуляром к этой
плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая пер-
пендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в пло-
скости, то эти прямые н плоскость взаямио перпендикулярны.
Теоремы о перпендикулярности прямой и Пло-
скости.
I. Два различных перпендикуляра к плоскости параллельны.
2. Если одна нз двух пзраллельных прямых перпендикулярна пло-
скости. то и другая перпендикулярна этой плоскости.
3. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоско-
стей. перпендикулярна и другой плоскости.
4. Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, парал-
лельны.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость содержит
перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой пло-
скости.
Теоремы о взаимно перпендикулярных плоско*
стих..
I. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямой, при-
надлежащая одной плоскости в перпендикулярная клини пересечении
плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.
2. Ecu Ue Плоскости взаимно перпендикулярны и к одной из
плоскостей проведен перпендикуляр, проходящий через линию пересече-
ния этих шламы ей, То этот перпендикуляр целиком принадлежит дру-
гой плоскости. .
Рря зую, пересеязюпкую плоскость, но не перпендикулярную ей, из-
нывают наклонной к плоскости. •
12 А. Г, Цыпки, А, И, Писай*
354
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Теорема о трех перпендниулярах. Для того чтобы при*
Маа, лежащее в плоскости, была перпендикулярна навлоааоЯ, необхеи
Дамо в достаточно, чтобы эта примах была перпевдикулараа проекции,
наклонной на эту плоскость.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между на«
алойной и ее ортогональной проекцией на плоскость. Два несовпадающие
полуплоскости, имеющие в качестве общей границы прямую и ограничат
вающне полуплоскости, называются двугранным углом. Прямая, являют
щаяся общей границей двух полуплоскостей, называется ребром двуграи*
кого угла. Полуплоскость, граница которой совпадает о ромбом дву»
граниого угла и делящая двугранный угол па два парных двугранный
угла, называется биссекторной плоскостью. Угол, полученный в реэулъ*
тате пересечения двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его
ребру, называется линейным углом двугранного угла.
§ 1. Многогранники
Многогранником называется тело, ограниченное плоскими миогоуголь*
пиками. Общие стороны смежных многоугольников называются ребрами
многогранника. Многоугольники, которые ограничивают многогранник, на*
вываются его гранями.
Призма. Многогранник, две грани которого — равные п-угольиихи.
лежащие в параллельных плоскостях, а ребра всех остальных граней
параллельны, яавываетса п-угольной призмой. Пару равных л-угольин*
ков называют основаниями призмы. Остальные граяв призмы называют
еа боковыми гранями, а их объединение — боковой поверхностью призмы.
Ребра, не лежащие в основаниях призмы, называются боковыми ребрами.
Все боковые ребре призмы равны как отрезки параллельных прямых,
ваыючаяных между переллельнымн плоскостями.
Призме, боковые ребре которой перпендикулярны плоскостям осно*
влияй, называют прямой призмой. Отрезок перпендикуляра к плоскостям
оснований призмы, концы которого прняздлежат этим плоскостям, ни*
вывеют высотой призмы. Прямая призма, основанием которой налается
правильный многоугольник, называется правильной призмой.
Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле
5бок”₽п^|^Т'
где ₽п —периметр перпендикулярного сечения призмы, длина бо*
полого ребра.
Объем наклонной призмы вычисляется по формуле
v-s„Vr
где площадь перпендикулярного сечения призмы, длина бо*
нового рабра, или по формуле
осн
где SOCH—площадь основания призмы. И — высота призмы.
Параллелепипедом называется призма, основаниями иоторой служи
параллелограммы. Все шесть граней параллелепипеда — параллелограммы.
Свойства параллелепипеда:
1> середина днагопалн параллелепипеда является его центром сим-
метрии;
1) противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и пара»
лельиы;
3) все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам.
Параллелепипед, боновые ребра которого перпендикулярны плоско*
сти основания параллелепипеда, называется прямым. Прямой параллеле*
пипед, основанием которого служит прямоугольник, называется прямо*
угольным. Все грани прямоугольного пяраллелепнпеда — прямоугольники.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле
V=obc.
где а, Ь, с — длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выхо*
дащие из одной вершины.
Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами называется ку
бом. Все греки куба —равные квадраты. Объем куба вычисляется оо
формуле
t 1. МНОГОГРАННИКИ
858
Пример 1.1. Найти площадь боковой поверхности пра>
вильной треугольной призмы высотой А, если прямая, соединяю-
щая центр верхнего основания с серединой троны нижнего
основания, наклонена к плоскости основания под углом а.
Решение. Пусть ABCAiBiCi— правильна* треугольная
призма, в основании которой лежат правильные треугольники
АВС и Л|в|С(, OOj — высота (00| = Л), М — середина отрезка
8|С|, О и 0| — центры треугольников верхнего р
и нижнего оснований (рис. 13.1). Рассмотрим .хЬ.
треугольник OtOM. По условию задачи д \ ,
ОМО, = а, угол OO|Af прямой, 00| — Л.
Из прямоугольного треугольника 0|0М
находим 0|Л< = A ctg а. Так как Ot — центр
треугольника A|B|C|, то AtM — 30tM
ЗА ctg а. По условию задачи треугольник
Л|В1С] равносторонний н Л1М — высота, ме-
диана и биссектриса. По высоте треугольника Л,Л4 находим
трону Л|Д| — — 2 A ctg а. Площадь боковой
поверхности правильной треугольной призмы 4ВСЛ|В|С| равна
произведению периметра основания на высоту призмы!
5 = 3- Л,Д| • А -«в V5" A*ctgа.
Ответ. 6 V3" A* ctg а.
1.1. Дан куб ABCDAtBtCdh с ребром а. Найти угол между
диагональю AiC и ребром 4iD(.
1.2. Расстояние между непересекающнмися диагоналями
двух смежных боковых граней куба равно d. Найти его объем.
1.3. Определить объем параллелепипеда, если все его гра-
ни — ромбы, длины трон которых равны а и острые углы, рав-
ны а.
1.4. Определить объем правильной четырехугольной призмы,
если диагональ образует а боковой гранью угол а, а сторона
основания равна Ь.
1.5. Непересекающнеся диагонали двух смежных боковых гра-
ней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его
основания под углами аир. Найти угол между этими диагона-
лями.
1.6. В наклонной треугольной призме длины боковых ребер
равны 8 cmj стороны перпендикулярного сечения относятся, кал
9:10: 17, а его площадь равна 144 см*. Найти боковую поверх-
ность этой призмы.
1.7. В прямоугольном параллелепипеде угол между диаго-
налью основания и его троной равен а. Диагональ параллеле-
12*
856
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
пнпеда равна d н образует с плоскостью основания угол <р. Най-
ти боковую поверхность параллелепипеда.
1.8. В основании четырехугольной призмы лежит ромб со
стороной а и острым углом а, а боковые ребра призмы равны fr
и наклонены к плоскости основания призмы под углом 0. Найте
объем призмы.
1.0. Углы, образуемые диагональю прямоугольного паралле-
лепипеда с его гранями, пересекающимися в одной из его вер-
шин, равны а, 0, у- Доказать, что
sin’ а + ain’ 0 + ain* у = 1.
Пирамида. Многогранник, одна на граней которого — произволь-
ный многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие одну,
общую вершину, называется пирамидой. Многоугольник называется осно-
ванием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называются боко-
выми гранями пирамиды.
Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребре,
принадлежащие основанию пирамиды, называют ребрами основания,
а все остальные ребра — боковыми ребрами. Общая вершина всей тре-
угольников (боковых граней) называется вершиной пирамиды.
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведен-
ного из вершины пирамиды к плоскости основания (концами итога
отраака являются вершина пирамиды я основание перпендикуляра).
Правильная пирамида. Пирамида называется правильной,
если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ори
тогоеальиая проекция вершины пирамиды совпадает с центром много*
угольника, лежащего в основании пирамиды. Все боковые ребра пра-
вильной пирамиды равны между собой: все боновые грани — равные
равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пи-
рамиды, проведенная из ее вершниы, называется апофемой этой пи-
рамиды.
Треугольная пирамида, в основании которой лежит треугольник,
называется тетраедром. Тетраэдр называется правильным, если все его
ребра равны.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется
по формуле
•S-уМ-
где Р — периметр пирамиды, h — апофема.
Объем пирамиды вычисляется по формуле
v-l SH,
где S — площадь основания пирамиды. Н — высота пирамиды.
Усеченная пирамида. Многогранник, вершииамн которого
служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения 'пло-
скостью, параллельной основанию пирамиды, называется усеченной пира-
мидой. Основания усеченной пирамиды — гомотетичные многоугольники.
Центр гомотетии — вершина пирамиды. Перпендикуляр к плоскости
оснований, с концами на плоскостях оснований пирамиды, называется
высотой усеченной пирамиды. Боковые грани усеченной пирамиды —
трапеция.
Усеченная пирамида называется правильной, если она является
частью правильной пирамиды. Боковые грани правильной усеченной
пирамиды — равные равнобедренные трапеции. Высота каждой нз втия
трапеций называется апофемой правильной усеченной пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вы-
числяется по формуле
S—yU* + p)h-
где Р, р — периметре оснований пирамиды, Л — апофема.
$ 1. МНОГОГРАННИКИ
337
Объем усеченное пирамиды вычисляется по формуле
«(«1 + 7337 + ^).
а
где И — высота усеченной пирамиды, Si и S, — площади ее оснований.
Пример 1.2. В основании пирамиды лежит равнобедрен-
ный треугольник, равные стороны которого равны Ь, а угол ме-
жду ними равен о. Найти объем пирамиды, если каждое из бо-
ковых ребер пирамиды образует с высотой пирамиды угол ф.
Решение. Пусть SABC — данная пирамида, SO —высота
пирамиды, АВ “ АС, А “ a, XSO ~ BSO “ <fSO ™ ф (рис. 13.2),
Рассмотрим треугольники ASO, BSO,
CSO. Все эти треугольника прямоуголь-
ные (SO —высота пирамиды, перпенди-
кулярная плоскости треугольника АВС,
я, следовательно, SO перпендикулярна
прямым АО, ВО, СО, принадлежащим
плоскости треугольника ABC), SO—об-
щая
углы
вию.
вики
равных углов этих
жат равные стороны: АО = ВО = СО. Таким
ется, что точка О — точка, равноудаленная от всех вершин тре-
угольника АВС, — является центром окружности, описанной
около треугольника АВС.
В равнобедренном треугольнике АВС известны боковая сто-
рона АВ = Ь и угол а при вершине А. Радиус окружности, опи-
санной около треугольника АВС, равен б/^2созу). В прямо-
угольном треугольнике ASO теперь известны катет |АО| =
—ft/^2cos^ " острый угол при вершине S, равный ф. Находим
второй катет SO, который является высотой пирамиды:
5О = АОс(8ф = 77^^75Гс1еф.
Теперь найдем объем пирамиды SABC:
VSABC “ у S A ABCS0 в У * У b* s,n “ 2 си(а/2) С‘в ф “
— у b* sin у ctg ф.
сторона этих
при вершине S
Следовательно,
равны между
треугольников, а
равны ф по усло-
все эти треуголь-
собой н против
треугольников ле-
образом, оказыва-
От вет. у b* sin у ctg ф.
858
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
1.10. Определить объем правильной треугольной пирамиды,
боковое ребро которой равно / н наклонено к плоскости основа-
ния под углом а.
1.11. Определить полную поверхность правильной треуголь-
ной пирамиды, у которой плоский угол при основании боковой
грани равен а, а радиус вписанной в основание окружности
равен г.
1.12. Боковые грани треугольной пирамиды — прямоугольные
треугольники, а боковые ребра равны а. Найти угол между бо-
ковым рЪбром и высотой. Вычислить объем пирамиды.
1.13. В основании пирамиды лежит равнобедренный тре-
угольник с основанием а и боковой стороной Ь. Боковые грани
образуют с основанием двугранные углы, равные а. Найти вы-
соту пирамиды.
1.14. В правильной треугольной пирамиде высота равна Н, а
двугранный угол прн боковом ребре равен а. Найти объем пира-
миды.
1.1В. Найти объем правильной треугольной пирамиды, зная
плоский угол а при вершине и расстояние а от боковой грани
до противоположной вершины.
1.16. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды рав-
но а, угол между боковыми гранями равен 2<р. Найти длину
стороны основания.
1.17. В основании пирамиды лежит прямоугольный треуголь-
ник с гипотенузой с и острым углом а. Каждая из боковых гра-
ней пирамиды наклонена к основанию под углом 0. Найти боко-
вую поверхность пирамиды.
1.18. Стороны основания треугольной пирамиды равны а, b
и с. Все плоские углы при ее вершине прямые. Вычислить объем
пирамиды.
1.19. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинако-
вую длину I. Из трех плоских углов, образованных прн вершине
пирамиды этими ребрами, два равны а, а третий равен 0.
Найти объем пирамиды.
1.20. Двугранный угол прн основании правильной треуголь-
ной пирамиды равен а. Найти двугранный угол между боковыми
гранями.
Указание. В этой и следующей задачах ввести вспомога-
тельный параметр а — длину ребра пирамиды.
1.21. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол
при боковом ребре равен а. Найти плоский угол прн вершине
пирамиды.
1.22. Ребра оснований правильной усеченной треугольной пи-
рамиды равны соответственно а в Ь. Найти высоту пнраынды.
I I. МНОГОГРАННИКИ
359
если все боковые грани наклонены к плоскости основания под
углом а.
1J3. В треугольной пирамиде SABC ребро ВЛ перпендику-
лярно плоскости грани АВС, двугранный угол с ребром SC равен
я/4, ВЛ — ВС = а н Л АВС “ л/2. Найти длину ребра АВ.
1.24. Все грани треугольной пирамиды — равные равнобед-
ренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой
одной нз ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если рас-
стояние между наибольшими противоположными ребрами равно
единице.
1.29. Найти объем тетраэдра, у которого каждая грань —
треугольник со сторонами а, Ь, с, где а, Ь, с —различные числа.
Пример 1.3. В основании пирамиды лежит прямоугольник,
площадь которого равна Q. Две боковые грани пирамиды пер-
пендикулярны плоскости основания,
а две другие образуют с плоскостью
основания углы а н 0. Найти объем
пирамиды.
Решение. Пусть SABCD—дан-
ная пирамида, в основании которой
лежит прямоугольник ABCD площа-
дью Q (рис. 13.3). Так как все боко-
вые грани пирамиды имеют одну об-
щую точку В (вершина пирамиды),
то перпендикулярными основанию пи-
рамиды могут быть лишь смежные
боковые грани (на рис. 13.3 — гра-
ни BSC в DSC). Далее, так как грани BSC и DSC перпен
дикулярны плоскости основания и имеют общую точку В, они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку н перпен-
дикулярной плоскости основания, откуда следует, что высота
пирамиды совпадает с боковым ребром SC.
Так как основание пирамиды — прямоугольник, то прямая
AD перпендикулярна прямой DC, прямая АВ перпендикулярна
прямой ВС и обе этн прямые (ЛД н ВС) перпендикулярны вы-
соте пирамиды SC. Отрезки DC и ВС являются ортогональными
проекциями отрезков DS и BS на* плоскость основания пирами-
ды, и по теореме о трех перпендикулярах АВ A.BS и AD _L DS.
Такны образом, оказывается, что /.SBC является линейным уг-
лом двугранного угла, образованного плоскостями ABCD и ASB,
a /SDC— линейным углом двугранного угла, образованного
плоскостями ABCD н ASD. По условию задачи один нз этих
углов (например, ZBBC) равен а, а другой (/SDC) равен 0.
360
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Пусть ВС = х, a DC = у. Из прямоугольного треугольника
BSC находим SC = х tg а, а нз прямоугольного треугольника
DSC находим SC = у tg 0. Отсюда следует, что
х tg а = у tg 0,
а в силу условия задачи ху = Q.
Из полученных уравнений находим у » VQ tg a ctg 0, и, еле*
довательно,
SC — у tg 0 = VQ tgatg0.
Нетрудно проверить, что если положить SBC = 0, &DC~a,
то по-прежнему высота пирамиды SC будет определяться тем же
самым выражением. Найдем объем пирамиды Узлзсо:
VSABCD = У Sabcd$C “ У Q a ₽ •
Ответ. Q -^Q tg a tg 0.
«5
1.26. Определить объем правильной четырехугольной пирами-
ды, у которой сторона основания равна а, а двугранный угол
между смежными боковыми гранями равен а.
1.27. Определить объем правильной четырехугольной пирами-
ды, боковое ребро которой равно I, а двугранный угол между
двумя смежными боковыми гранями равен 0.
1.28. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб,
большая диагональ которого равна d, а острый угол равен а.
Все боковые грани наклонены к плоскости основания под уг-
лом 0. Найти боковую поверхность пирамиды.
1.29. Плоский угол при вершине правильной четырехуголь-
ной пирамиды равен а, а высота — И. Определить объем пира-
миды.
1Л0. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна
Н, объем равен V. Найти боковую поверхность Q.
1.31. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол
прн вершине равен <х. Найти угол между противоположными
боковыми ребрами.
1.32. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный
угол при боковом ребре равен 2a. Найти двугранный угол прн
основании.
1.33. Основанием пирамиды служит прямоугольник, две бо-
ковые грани ее перпендикулярны плоскости основания, две дру-
гие боковые грани образуют с основанием углы а и 0 соответ.
$ 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ 351
ственно. Определить объем пирамиды, если длина наибольшего
из боковых ребер равна I.
1.34. В четырехугольной пирамиде SABCD плоскости боко*
вых граней SAB, SBC, SCD, SAD образуют с плоскостью осно-
вания углы, равные соответственно 60°, 90°, 45”, 90°. Основание
ABCD — равнобочная трапеция; АВ = 2, площадь основания
равна 2. Найти площадь поверхности пирамиды.
1.36. Найти объем я боковую поверхность правильной шести-
угольной пирамиды, если даны боковое ребро I и диаметр d
круга, вписанного в основание пирамиды.
1.36. Плоский угол прн вершине правильной шестиугольной
пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью ос-
нования. Найти этот угол.
1.37. Двугранный угол при боковом ребре правильной шести-
угольной пирамиды равен <р. Определить плоский угол при вер-
шине пирамиды.
1.38. Найти объем правильной пирамиды, в основании кото-
рой лежит правильный пятиугольник, а боковыми гранями яв-
ляются правильные треугольники со стороной а.
1.39. В правильной л-угольной пирамиде боковые грани на-
клонены к плоскости основания под углом а. Под каким углом
наклонены к плоскости основания боковые ребра пирамиды?
1.40. Плоский угол при вершине правильной л-угольной пи-
рамиды равен а. Найти двугранный угол 0 между двумя смеж-
ными боковыми гранями.
1.41. Найтн объем правильной усеченной четырехугольной
пирамиды, у которой сторона меньшего основания равна Ь, боль-
шего основания равна а, а угол наклона боковой грани к пло-
скости большего основания равен 60°.
§ 2. Сечения многогранников
Построить сечение многогранника плоскостью — это значит
указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами много-
гранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими
граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с
ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадле-
жащие граням, — сторонами многоугольника, получающегося в
сечении многогранника плоскостью.
Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в
плоскости каждой пересекаемой грани многогранника указать
две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найтн
точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника. Пло-
скость сечения многогранника может задаваться разными уело-
862
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
виями. Рассмотрим несколько простейших типичных способов за-
дания сечений куба.
Пример 2.1. Построить сечение куба ABCDAiBiCtDi с
ребром а плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, ВС
и CCt.
Решение. Две точки М и N (середины ребер АВ и ВС
соответственно) (рис. 13.4), принадлежащие сечению, лежат на
одной грани. Проведем прямую через точки М и N до пересечет
ния с продолжениями ребер AD и DC соответственно в точках
Р н L. Из треугольников MBN и NLC нетрудно найти, что
LC — NC — a/2.
Точки L н К (середина ребра CCJ лежат в плоскости граня
DDiCiC. Проводим прямую через точки L в К. Учитывая, что
СК = п/2, из треугольников LCK н KCiS находим SC| “ а/2,
т. е. точка S лежит на середине ребра D|Ct. Прямая LK пересе-
чет продолжение ребра DDt в точке R. Аналогично предыдущему
можно показать, что DtR = а/2. Так как точки Р и R лежат
в плоскости грани AtADDt, то прямая PR пересечет стороны
квадрата AtADDt в точках Т и Q, причем точка Т — середина
ребра AAi, а точка Q — середина ребра А(О«.
Итак, получены шесть точек (Af, N, К. S, Q и Г), принадле-
жащих плоскости сечения и лежащих на гранях куба. Соединяя
пары точек М и Т, N н К, S и Q, получаем искомый шести-
угольник сечения.
Пример 22. Построить сечение куба ABCDAtBiCtDl пло-
скостью, проходящей через середины ребер АВ я ВС к центр
квадрата AtBtCiDt.
Решение. Д данной задаче две точки М и N (рис. 13:5)
принадлежат верхней грани, а третья точка О доима ялежт па-
S 2. СЕЧЕНИЯ МНОЮГРАННИКОВ
868
раллельной ей грани нижнего основания. Нетрудно убедиться,
что в данной задаче построение сечения методом, описанным в
предыдущей задаче, не приводит к цели. Так же обстоит дело
в задачах, в которых прямая, соединяющая две данные точки
сечения, оказывается параллельной ребру многогранника или все
три точки искомого сечения принадлежат скрещивающимся реб-
рам многогранника. В этих случаях прн построении сечения ис-
пользуются следующие теоремы.
1. Если две плоскости параллельны и пересекаются третьей
плоскостью, то линии пересечения параллельных плоскостей
третьей плоскостью параллельны между собой.
2. Если две пересекающиеся плоскости параллельны одной а
той же прямой, то линия их пересечения параллельна этой
прямой.
3. Если плоскость н прямая параллельны и через прямую
проведена плоскость, пересекающая данную, то линия пересече-
ния этих плоскостей параллельна данной прямой.
Искомая плоскость сечения проходит через точку О и пря-
мую MN, параллельную плоскости AtB,CtDi. По теореме 3 пло-
скость сечения пересечет плоскость грани AtB,CtD, по прямой,
параллельной прямой МЫ. Так как прямая МЫ параллельна пря-
мой АС (как средняя линия треугольника АВС), а ЛС|4|С«, то
линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани
d|0iCtDi будет диагональ квадрата Точки А, н М принад-
лежат грани Д|АВВ|, а точки Ы я С| принадлежат грани
BCCtBi, и, следовательно, в сечении куба плоскостью будет по-
лучаться четырехугольник А,МЫС,.
В двух рассмотренных выше примерах точки, задающие
сечение, принадлежали поверхности куба. Однако существуют
задачи, в которых точки, задающие сечения, принадлежат раз-
ным граням или же одна из точек лежит внутри многогранника.
В этих случаях для решения задач необходимо сделать допол-
нительные построения, позволяющие свести решение задачи к опи-
санной выше схеме построения сечения. Часто для этого строят
вспомогательную плоскость, содержащую какую-либо прямую,
принадлежащую плоскости сечения, и какую-либо прямую, при-
надлежащую плоскости грани. В построенной вспомогательной
плоскости отыскивается точка пересечения этих прямых и тем са-
мым находится еще одна точка, лежащая уже в плоскости бо-
ковой грани.
Пример 2.3. Дан куб ABCDA,B,C,D, а боковыми ребрами
АА,, BBi, СС,, DD,. Найти площадь сечения куба плоскостью Р,
проходящей через центр иуба и середины ребер АВ и ВС, если
ребро куба равно единице.
864
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Решение. Пусть М и N — середины ребер АВ- н ВС со-
ответственно (рис. 13.6). Плоскость Р проходит через точки М
N н, следовательно, пересекает грань ABCD по прямой MN.
Для того чтобы построить сечение куба плоскостью Р, построим
вспомогательное сечение куба диагональной плоскостью Q, про-
ходящей через вершины куба В,
D, Di, Bt. Диагональное сечение
куба представляет собой прямо-
угольник со сторонами ВВ, =*
= 1 и ВО — л/2. Плоскости Р к
Q пересекутся по прямой, прохо-
дящей через точку L н точку О
(центр куба), которая также
принадлежит плоскости Q, причем
BL — j BD. Используя равен-
ство треугольников LRO и
LiDt = Таким образом, до-
проходнт через точку Llt принадлежа-
нетрудно доказать, что
казано, что плоскость Р
щую верхнему основанию куба, и £|D( =* — BtDt.
Так как плоскости ABCD и AiBiCtD, параллельны н пло-
скость Р пересекает обе эти плоскости, то линии пересечения этих
рлоскостей плоскостью Р параллельны между собой. Проводя
Прямую MiNt через точку Lt параллельно диагонали 4iC(, полу-
чаем две точки (Mi и W|), принадлежащие плоскости сечения Р
й ребрам куба, причем M,Ni — средняя линия треугольника
A,C,D„ MiNi-^AiC, и D^-AGC,.
Продолжим ребро DC за точку С. Так как прямые MN в
DC принадлежат плоскости нижнего основания куба и непарал-
лельны, то они пересекутся в некоторой точке S. Из равенства
треугольников MBN и NSC следует, что SC = МВ. С другой
стороны, точка S, принадлежащая плоскости Р, принадлежит
также грани куба DCCtD,. Таким образом, получены две точки
(S и Wt), принадлежащие как плоскости Р, так и плоскости
грани DCCtDi. Прямая, проходящая через точки S и N,. пересе-
чет ребро куба CCi в точке К. Из равенства равнобедренных
треугольников CSK и KNiCt следует, что SC = СК =* КС, =
- N,Ci. Соединяя точки N и К, принадлежащие плоскости Р и
плоскости граня BCC\Bi, получаем еще одну сторону много-
угольника сечения,
$ 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
38S
Аналогично, продолжая ребро куба AD за точку А, полу-
чаем точку St—точку пересечения прямых MN и AD. Далее,
соединяя точки Si и Aft, получаем точку Kt—точку пересечения
плоскости Р о ребром AAt, причем At/G = AtAfi = AKt-
Итак, в сечении куба плоскостью Р получен шестиугольник
MNKNiMiKt. Из равенства треугольников MBN, NCK, KCtNt,
NtDtMt, MiAtKt, KtAM следует, что стороны этого шестиуголь-
ника равны я длина его стороны равна V2"/2. Так как треуголь-
ники NCS, SCK, NCK равны (все они примоугольные и NC =
I— CS = CN, то треугольник NSK равносторонний, SNK “ 60е,
и, следовательно, MNK 120°. Аналогично можно доказать, что
все остальные углы шестиугольника MNKNtMtKt равны 120°, и,
следовательно, этот шестиугольник правильный. Площадь пра-
вильного шестиугольника со стороной V2/2 равна 3-^3/4.
Ответ. 3^3/4.
Для нахождения площади сечения многогранника в ряде
случаев также удобно использовать свойство ортого-
нальной проекции плоского многоугольника)
в “ S соа а,
где S — площадь многоугольника, а — площадь его ортогональ-
ной проекции на некоторую плоскость Р, а — угол между пло-
скостью многоугольника и плоскостью Р.
2.1. Через середину диагонали куба перпендикулярно ей
проведена плоскость. Определить площадь фигуры, получившейся
в сечении куба этой плоскостью, если ребро куба равно а.
2.2. В кубе ABCDAtBtCiDi (АА( II BBt Ц CCt I DDt) через
середины ребер DDt и DtCt и вершину А проведена плоскость.
Найтн угол между этой плоскостью и гранью ABCD.
2.3. В кубе ABCDAtBiCiDt (АА| И ВВ, II CCt II DDt) плоскость
Р проходит через диагональ AiC( и середину ребра DDt. Найти
расстояние от середины ребра CD до плоскости Р, если ребро
куба равно 4.
2.4. Дан куб ABCDAtBiCiDt (АА, || BBt II CCt 0 DDt). Найти
расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через вер-
шины А„ В, D, если ребро куба равно а.
2.5. Дан куб ABCDAtBtCtDi (AAt II BBt II CCt П DDt). На
продолжениях ребер АВ и BBt взяты точки М и N соответ-
ственно так, чтоАМ=» BtW = -i-AB [вМ = BN = у Ав). Гдо
на ребре CCt должна находиться точка Р для того, что0н. в. саг
866
ГЛ, 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
чения куба плоскостью, проведенной через точки М, N я Р, по-
лучился пятиугольник?
2.6. Пусть М и У —середины ребер AAt и CCt куба
ABCDAlBiCiDl, а на продолжении ребра DtD за точку D взята
такая точка Р. что DP = 1/2 м. Через М, N и Р проведена пло-
скость. Найти площадь сечения, если ребро куба равно 1 м.
2.7. Длина ребра куба KLAfA/KiLtAij/Vi (KKi IILLi ПММ11|NN>j
равна 1. На ребре MMt взята точка А так, что длина отрезка
AM равна 3/5. На ребре KtNt взята точка В так, что длина от-
резка KtB равна 1/3. Через центр куба и точки А и В проведена
плоскость а. Точка Р — проекция вершины N на плоскость а.
Найти длину отрезка ВР.
2.8. На ребре ВВ\ куба ABCDA^iCiDi взята точка Р так,
что BiF = 4- BBt, на ребре — точка Е так, что DtE = -^CiDb
О V
АР
Какое наибольшее значение может принимать отношение ~pQ>
где точка Р лежит на луче DE, а точка Q — на прямой 4(F?
Пример 2.4. Высота прямой призмы равна 1. В основа-
нии лежит ромб со стороной, равной 2, и острым углом 30°. Че-
Ряс. 13.7
рез сторону основания проведена
секущая плоскость с углом на-
клона к плоскости основания 60°.
Найти площадь сечения.
Решение. Пусть призма
ABCDAiB[CtDi — данная призма
(см. рис. 13.7) и секущая плоскость
проходит через ребро основания
AtBt, Л|В|=2, B.XiD,—30°, ЛЛ| « I. В зависимости от линей-
ных размеров призмы плоскость сечения, проходящая через реб-
ро Л(В|, пересекает либо боковую грань призмы DCCtDt, либо
грань верхнего основания ABCD. Предположим (а потом и дока-
жем), что плоскость сечения пересекает грань основания ABCD
по прямой MN. Прямая MN будет параллельна ребру AiBi (пло-
скости ABCD и 4iB|C|Di параллельны, н, следовательно, линии
пересечения этих двух плоскостей третьей — секущей пло-
скостью — будут параллельны между собой), и MN — АВ =
Из точки Bi проведем перпендикуляр BtK к прямой
Л|В|, принадлежащий плоскости AtMNBi, и перпендикуляр BtL
к прямой Л1В|, принадлежащий плоскости AtBtCiDi. По построе-
нию угол KBiL — линейный угол двугранного угла, образован-
ного секущей плоскостью и плоскостью основания. По условию
задачи KBiL — 60°.
$ 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ 807
Опустим из точки К перпендикуляр КР на плоскость
Л(в|С|О|. По теореме о трех перпендикулярах точка Р будет
принадлежать прямой B,L. Рассмотрим треугольник В,КР. Этот
треугольник прямоугольный (угол Р прямой), а КР — 1 (КР —
высота прямой призмы), и XBJ* = 60°. Из треугольника В,КР
находим
В,К — 2/л/З, BIP = 1/V3'.
Рассмотрим четырехугольник AiMNB,. Как было показано
выше, Л1В11| MN и — MN «= 2. Четырехугольник, у кото-
рого противоположные стороны равны я параллельны, — парал-
лелограмм. Отрезок BtK — высота параллелограмма AiMNB%,
так как по построению BiKXXiBi. Площадь параллелограмма!
SA,MNBt " AiBi' “ 4/V^,
Теперь осталось доказать, что плоскость сечения действи-
тельно пересекает верхнее основание призмы, а не ее боковую
грань. По условию задачи в основании призмы лежит - ромб со
стороной, равной 2, и острым углом 30°. Из прямоугольного тре-
угольника BiCiL, у которого В|С( “2 и — 30°, находим
высоту ромба: B,L = 1.
Допустим, что секущая плоскость пересекает боковую грань
DCCtD, по прямой MN. Построив линейный угол двугранного
угла с ребром Д|В|, получаем треугольник B,KL, причем точка К
лежит на боковой грани н отрезок KL — часть высоты призмы,
т. е. KL<1. Однако из треугольника B,KL находим, что
— > 1. Установленное противоречие доказывает, что се-
кущая плоскость не может пересекаться с боковой гранью
DCC,Dt.
В заключение следует заметить, что величина острого • угла
ромба понадобилась нам лишь при доказательстве, что пло-
скость сечения пересекает верхнее основание призмы, а не ее
боковую грань, и никак не была использована при нахождении
площади сечения. Можно рассмотреть более общую задачу, по-
лагая, что острый угол ромба равен а. В этом случае площадь
сечения будет равна 4/-у/з” для всех углов а, удовлетворяющих
неравенству sin а 1/(2 -у/З ).
Ответ. 4/V3 •
2.Й. Через вершины А, С и D, прямоугольного параллелепи-
педа ABCDA,B,C,Di проведена плоскость, образующая с пло-
скостью основания угол 60°, Стороны основания параллелепипеда
равны 4 и 3, Найти объем параллелепипеда,
368
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
2.10. Высота правильной треугольной призмы равна Н. Пло-
скость, проведенная через среднюю линию нижнего основания и
параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с пло-
скостью основания угол а. Найти площадь сечения.
2.11. Основанием прямой призмы служит равнобочная тра-
пеция с основаниями а и Ь (а > Ь) и острым углом а. Пло-
скость, проходящая через большее основание верхней трапеции
и меньшее основание нижней трапеции, образует с плоскостью
нижнего основания угол (1. Найтн объем призмы.
2.12. .В правильной четырехугольной призме через сторону
основания проведено сечение под углом а к плоскости ос-
нования. Найти угол между диагональю и стороной осно-
вания.
2.13. В правильной треугольной призме через сторону ниж-
него основания н'противоположную вершину верхнего основания
проведена плоскость, образующая с плоскостью основания дву-
гранный угол 45°. Площадь сечения равна S. Найтн объем
призмы.
2.14. Через вершину правильной четырехугольной призмы
проведена плоскость так, что в сечении образовался ромб с
острым углом а. Найтн угол наклона этой плоскости к плоскости
основания призмы.
2.15. В правильной четырехугольной призме сторона осно-
вания равна а. Через диагональ нижнего основания н вершину
верхнего основания проведена плоскость, пересекающая две
смежные боковые грани призмы по прямым, угол между кото-
рыми равен а. Определить объем призмы.
2.16. Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник с гипотенузой с н острым углом 30*. Через гипоте-
нузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего осно-
вания проведена плоскость, образующая с плоскостью основа-
ния угол в 45°. Найтн объем треугольной пирамиды, отсеченной
от призмы плоскостью.
2.17. Высота прямой призмы 1 м, ее основанием служит
ромб со стороной 2 м и острым углом 30*. Через сторону осно-
вания проведена секущая плоскость, наклоненная к плоскости
основания под углом 60*. Найтн площадь сечения.
2.18. В основании прямой треугольной призмы лежит равно-
бедренный треугольник с боковой стороной а и углом при ос-
новании а. Через основание этого треугольника внутри призмы
под углом ф проведена плоскость. Определить площадь сечения,
зная, что в сечении получается треугольник.
' 2.16. В основании прямой призмы лежит равносторонний
треугольник. Через одну из сторон основания . и противо-
$ 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
369
наложную вершину проведена плоскость под углом <р к пло-
скости основания. Площадь сечения равна 5. Найти объем
призмы.
2.20. В треугольной призме ЛВСЛ|В<С| боковое ребро рав-
но /. В основании призмы лежит правильный треугольник со сто-
роной Ь, а прямая, проходящая через вершину Bi и центр осно-
вания АВС, перпендикулярна основаниям. Найти площадь сече-
ния, проходящего через ребро ВС и середину ребра ЛЛ,.
2.21. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы рав-
но 1. Найти площадь сечения, проходящего через сторону осно-
вания и большую диагональ призмы.
222. Боковое ребро прямой призмы равно а. В основании ее
лежит прямоугольный треугольник, меньший из углов которого
равен а. Через меньший катет основания и середину противо-
лежащего бокового ребра проведено сечение, составляющее с
плоскостью основания угол 0. Найти площадь сечения.
2.23. Сечение, проведенное через сторону а основания пра-
вильной треугольной призмы под углом а к нему, делит боковое
ребро на части в отношении т: л, считая от верхнего основания.
Определить объемы образовавшихся частей и площадь се-
чения.
224. Основанием прямой призмы ABCAtBiCt служит равно-
бедренный прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ =
ВС •= 1. Через середины ребер АВ и ВС н точку Р, лежащую
на продолжении ребра BBt за точку В, проведена плоскость.
Найти площадь полученного сечения, если ВР = 1/2 и ВВ| = |.
2.25. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAlBiCtDi с
площадью основания S и высотой h. Через вершину At верхнего
основания Л|в|С|О| проведена секущая плоскость, пересекаю-
щая боковое ребро BBt в точке Bt, боковое ребро CCt в точке
Ci и боковое ребро DDt в точке Dt. Найти объем той части па-
раллелепипеда, которая расположена под секущей плоскостью,
если известно, что CCi = с.
226. Дана прямая треугольная призма ЛВСЛ1В|С( (ЛЛ|,
BBi, CCi — боковые ребра), у которой АС = 6, ЛЛ( = 8. Через
вершину А проведена плоскость, пересекающая ребра BBt и CCi
соответственно в точках М и N. Найти, в каком отношении делит
эта плоскость объем призмы, если известно, что ВМ MBt, а
AN является биссектрисой угла СЛС^
227. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCtDi
(ABCD и Л|В|С|О| — основания, AAt || BBi И CCt В DDt) даны
длины ребер: АВ = a, AD = Ь, ЛЛ« •=“ с. Пусть О — центр осно-
вания ABCD, Oi —центр основания Л(В1С|О|, a S — точка, де-
лящая отрезок ОО| в отношении 1:3, т, е. OiS-^SO«l:3.
870
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Найти площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точку S параллельно диагонали параллелепи-
педа ЛС| и диагонали его основания BD.
S.28. Основанием прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiBtCiDi является квадрат ABCD. Найти наибольшую воз-
можную величину угла между прямой BDt и плоскостью BDCu
Пример 2.В. В правильной чатырахугольной пирамиде через
сторону основания а проведена секущая плоскость, делящая по-
полам двугранный угол а при осно-
вании пирамиды. Найти площадь се-
чения.
Решение. Пусть SABCD —
правильная четырехугольная пирами-
да с вершиной S (рис. 13.8), а пло-
скость сечения проходит через ребро
основания АВ. По условию задачи
данная пирамида правильная, и в
основании ее лежит квадрат
(ЛВ||ЛС); следовательно, сторона
основания АВ параллельна плоскости
DSC. Плоскость сечения ABMN, про-
ходящая через прямую АВ, пересекает плоскость боковой грани
DSC по прямой, параллельной прямой АВ (МАТЦЯД). Следова-
тельно, четырехугольник ANMB — трапеция.
Построим вспомогательную секущую плоскость, проходящую
через середину ребра АВ (точку К), середину ребра DC (точ-
ку L) и вершину пирамиды 5. Плоскость KSL пересечет боковые
грани пирамиды по апофемам, причем SKJ-ЛВ, KLJ.AB, и,
следовательно, угол SKL— линейный угол двугранного угла о
ребром АВ, равный а. По условию задачи
углы равны а/2.
н эти
Рассмотрим треугольник KSL, в котором tSKL — &LK—O,
KL — a, KR — биссектриса угла SKL. По теореме синусов най-
дем боковую сторону равнобедренного треугольника KSL:
KS _ KL а
sin а ” Bin (180е — 2а) ” 2 соз а *
Найдем отрезки, на которое точка R разбивает сторону SC.
Обоеначим SR =* х. Тогда
$ а. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
371
По свойству биссектрисы
а _
S/J RL х 2 соз а К сп
КЗ KL а а
2 соз а
________а________
2 соз а (2 соз а + О *
Из треугольника KSR по теореме синусов найдем длину биссек-
трисы KR:
KR = ^^-.
sm-j-
Так как KRJ-AB, то KR является высотой трапеции ABNM,
у которой по условию известно основание АВ, равное а. Для
нахождения второго основания (МЫ) рассмотрим треугольник
DSC и подобный ему треугольник MSN (MN || DC). Так как пи-
рамида SABCD правильная, то апофема боковой грани SL яв-
ляется высотой треугольника DSC, а отрезок апофемы S/? —• вы-
сотой треугольника MSN. В подобных треугольниках стороны
пропорциональны опущенным на них высотам:
MN DC МЫ а
~SR~“ SL ______________а________“ а °*
2 соз а (2 соз а + 1) 2 соз а
о МЫ (2 cosa+ 1) = а => Л4У = —---a ,
2 cos а + )
Площадь трапеции ABNM равна
с АВ + МЫ „п ° 2 cos а + 1 а sln а
2 — 2 За “ •
sln -J-
2а* (соз а + 1) sin а 2
” . За " (1 + 2 cos а)* ‘
(__ 2 (2 cos а + 1) sin -у ' '
4а* cos’-у
Ответ.
(1 4- 2 cos а)1
2.2Й . Боковое ребро правильной треугольной пирамиды рав-
но а в наклонено к плоскости основания под углом а. Найти
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вер-
шину основания н через среднюю линию противоположной бо-
ковой грани.
372
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
2.80. Дана правильная треугольная пирамида &4ВС; АВ
“ а, а двугранный угол, образованный смежными боковыми
гранями, равен а. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через вершину А и биссектрису угла SBA.
2.31. Дана правильная треугольная пирамида с длиной боко-
вого ребра а и плоским углом а при вершине. Найти площадь
сечения, проходящего через сторону основания АВ и перпенди-
кулярного боковому ребру SC.
2.32. Сторона основания правильной треугольной пирамиды'
равна а, боковое ребро равно Ь. Найти площадь сечения пирами-
ды плоскостью, проходящей через центр основания и параллель-
ной двум непересекающнмся ребрам пирамиды.
2.33. Дана правильная треугольная пирамида с боковым реб-
ром I. Через сторону основания и середину противолежащего бо-
кового ребра проведена плоскость, составляющая угол а с пло-
скостью основания. Найти площадь сечения.
2Л4. В правильной треугольной пирамиде, сторона основания
которой равна а, а боковое ребро —2а, через середину бокового
ребра перпендикулярно ему проведена плоскость. Определить
площадь сечения.
2.38. Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной
пирамиды равно стороне меньшего основания и равно а. Угол
между боковым ребром и стороной большего основания ра-
вен а. Найти площадь диагонального сечения усеченной пира-
миды.
2.86. Площадь сечения правильного тетраэдра имеет форму
квадрата и равна т*. Найти поверхность тетраэдра.
2.37. Правильная треугольная пирамида рассечена пло-
скостью, перпендикулярной основанию н делящей две стороны
основания пополам. Определить объем отсеченной пирамиды,
если сторона основания исходной пирамиды равна а, а двугран-
ный угол при основании равен 45°.
2.38. В правильной треугольной пирамиде SABC плоскость,
проходящая через сторону АС и перпендикулярная ребру SB,
отсекает пирамиду StABC, объем которой в полтора раза мень-
ше объема пирамиды SABC. Найти площадь боковой поверхно-
сти пирамиды SABC, если АС = а.
2.39. Прямая призма имеет основанием равносторонний тре-
угольник. Плоскость, проведенная через одну из его сторон под
углом а к основанию, отсекает от призмы треугольную пирамиду
объемом и. Найти площадь сечения.
2.40. В треугольной пирамиде SABC на стороне АС взята
точка D так, что АС = 3DC-, на стороне ВС взята точка £'так,
что ВС “ ЗС£. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью,
4 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ 373
преходящей через точки D и В параллельно ребру SC, если из-
вестно, что S4 = SB, SC =“ а, АС “ ВС = Ь, АСВ = а.
2.41. В треугольной усеченной пирамиде через сторону верх-
него основания проведена плоскость, параллельная противопо-
ложному боковому ребру. В каком отношении эта плоскость де-
лит объем пирамиды, если соответственные стороны оснований
относятся, как 1:2?
2.42. В треугольной пирамиде SABC все ребра равны. На
ребре £4 взята такая точка М, что SM = Л1Л; на ребре SB —
такая точка Л/, что SB. Через точки М и N проведена
О
плоскость, параллельная медиане AD основания АВС. Найти от-
ношение объема пирамиды, отсекаемой от исходной проведенной
плоскостью, к объему пирамиды SABC.
2.43. В правильную треугольную пирамиду с плоским уг-
лом а при вершине вписана правильная треугольная призма так,
что нижнее основание призмы лежит на основании пирамиды,
а верхнее основание совпадает с сечением пирамиды плоскостью,
проходящей через верхнее основание призмы. Длина бокового
ребра призмы равна длине стороны основания призмы. Найти от-
ношение объемов призмы и пирамиды.
2.44. Угол между боковым ребром и плоскостью основания
правильной треугольной пирамиды SABC равен 60°. Через точ-
ку А проведена плоскость, перпендикулярная биссектрисе угла S
треугольника BSC. В каком отношении линия пересечения этой
плоскости с плоскостью BSC делит площадь грани BSC?
2.46. Дана правильная треугольная пирамида SABC. На про-
должении ребра АВ взята точка М так, что
AM — АВ (МВ — 24В).
На ребре SB взята точка N так, что SN = NB. Где на апофеме
SD грани SBC должна находиться точка Р для того, чтобы в
сечении пирамиды плоскостью, проведенной через точки М, N и
Р, получался треугольник?
2.46. Плоскость пересекает боковые ребра £4, SB н SC
треугольной пирамиды SABC в точках К, L и М соответственно.
В каком отношении делит эта плоскость объем пирамиды, если
известно, что
SK: KA — SL: LB — 2,
а медиана SN треугольника SBC делится этой плоскостью по-
полам?
2.47. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через
середины сторон основания АВ и AD проведена плоскость, па-
874
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
раллельная боковому ребру 5Д. Найти площадь сечения, зная
сторону основания а н боковое ребро Ь.
2.48. Дана правильная четырехугольная пирамида с боковым
ребром I. Плоскость сечения проходит через диагональ основа-
ния н середину бокового ребра и составляет с плоскостью осно-
вания угол а. Найти площадь сечения.
2.49. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторо-
на основания равна 4. Через сторону CD основания проведено
сечение, которое пересекает грань SAB по средней линии тре-
угольника. SAB. Площадь сечения равна 18. Найти объем пира-
миды SABCD.
2.50. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD пло-
скость, проведенная через сторону AD перпендикулярно грани
SBC, делит эту грань на две равновеликие части. Найти площадь
полной поверхности пирамиды, если AD = а.
2.51. Высота правильной четырехугольной пирамиды состав-
ляет о боковой гранью угол 3(Г. Через сторону основания пира-
миды проведена плоскость, перпендикулярная противолежащей
грани. Найти отношение объемов многогранников, полученных
при пересечении пирамиды этой плоскостью.
2.52. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD о
вершиной S. Через середины ребер АВ, AD н CS проведена
плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пира-
миды?
2.53. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пи-
рамиды равна S. Вычислить площадь сечения, проходящего через
середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
§ 8. Фигуры вращения
Цилиндр. Прямым круговым цилиндром (или просто цилинд-
ром) называется фигура, полученная при вращении прямоугольника
вокруг осн, проходящей через одну из его сторон. При вращении
вокруг той же оси ломаной, составленной из сторон прямоугольника,
ив лежащих на осн вращения, получается фигура, которая назы-
вается поверхностью цилиндра. Круги, полученные в результате вра-
щения сторон, смежных со стороной, принадлежащей осн вращения,
называются основаниями цилиндра. Радиус зтнх двух равных кругов
вааывиется радиусом основания цилиндра.
Фигура, полученная в результате вращения сторопГ прямоуголь-
ника, не смежной со стороной, принадлежащей осн вращения, назы-
вается боковой поверхностью цилиндра. Перпендикуляр к плоскостям
оснований цилиндра, концы которого совпадают с центрами оснований
Цилиндра, называется высотой цилиндра.
Объем цилиндра вычисляется по формуле
V=nR’H.
Площадь боковой н полной поверхности цилиндра вычисляется по
формулам
Збок=2я'гн-
Зцил"2"*" + !й,«’-
где А — радиус осковавия, Н — высота цилиндра.
$ S. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
375
Конус. Прямым круговым конусом (или просто конусом) назы»
веется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника
вокруг оси, содержаще* его катет, фигура, полученная при вращения
вокруг той же оси ломано*, составленной на гипотенузы и катета, по
принадлежащего оси вращения, называется поверхностью конуса. Фи»
гура, полученная при вращения гипотенузы, называется боковой по*
верхностью конуса, а яруг, полученный от вращения катета, — основа-
нием конуса. Радиус итого круга называется радиусом основание
конуса.
Катет треугольника, принадлежащий оса вращения, называется вы»
сотой конуса, гипотенуза прямоугольного треугольника — образующей
конуса.
Овьем конуса вычисляется по формуле
VKOH-i»/P«-
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле
5бок-"«-
где Я — радиус основания, Н — высота, L — образующая конуса. '
Усеченный коауе. Часть конуса, ограниченная его основа»
вием и сечением, параллельным плоскости основания, называется усе*
венным конусом. Основания усеченного конуса — гомотетичные круги с
центром гомотетии в вершине конуса.
усеченный конус можно получить в результате вращения равно»
бедренной трапеции вокруг ее оси симметрии.
Боковая сторона трапеции называется образующей усеченного ко»
нуса; круги, полученные прн вращении оснований трапеции. — основа-
ниями усеченного конуса.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле
V-уЯН (Ri + S1«2 + ^),
где Н — высота, Л| и Яг — радиусы верхнего и нижнего оснований усе-
ченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по
формуле
5бок“л(л| + яз) L‘
где L — образующая усеченного конуса.
Шер. Множество всех точек пространства, находящихся на дан»
ном положительном расстоянии Я от данной точки пространства О,
называется сферой. Данная точка О называется' центром сферы;
Сферу также можно определить как фигуру, полученную в ре»
вультате вращевия полуокружности вокруг осн, содержаще* Диаметр
полуокружности. Отрезок ОМ (М — произвольная точка сферы) назы-
вается радиусом сферы. Отрезок, соединяющий любые две точки сферы
в проходящий через ее цевтр, называется диаметром сферы. Диаметр
сферы ревев ее удвоенному радиусу.
Множество всех точек пространства, находящихся от данной точ»
кн О на расстоянии, не большем данного расстояния Я, называется
шаром. Шар также можно определить как фигуру, полученную в ре-
зультате вращения полукруга вокруг осн. содержащей диаметр полу»
круга.
Объем шара радиуса Я вычисляется по формуле
V—ijlR*.
ч>
Площадь сферы радиуса Я вычисляется по формуле
S—4яЯ?.
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, назы-
вается большим кругом. Касательной плоскостью к сфере (шару) на»
вывается плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку.
Эту точку называет точкой касания сферы н плоскости. Для того
чтобы плоскость была касательной к сфере, необходимо в достаточно.
876 ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
чтобы »та плоскость была оерпевдикуларва радиусу сферы и прохо-
дала через его конец.
Прямая, принадлежащая касательное плоскости к сфере и прохо-
дящая через точку касания, называется прямой, касательной я сфера
(шару*)).
Пример 3.1. В цилиндре точка М, лежащая на окружно-
сти нижнего основания, и точка А/, лежащая на окружности
верхнего основания, соединены отрезком, проходящим через се-
редину высоты цилиндра. Найти объем цилиндра, если длина
отрезка MN равна а, а угол наклона прямой MN к плоскости
основания цилиндра равен а.
Решение. Пусть OOi — высота цилиндра (рис. 13.9), К —
точка пересечения высоты цилиндра и отрезка MN, причем по
условию задачи ОК = КО1. Рассмотрим треугольники KON и
КО,М. Эти треугольники прямоугольные (КО J. ON и XOi _L
J_OiAf), углы OKN и О,КМ вертикальные, и ОК = КОг, следо-
вательно, эти треугольники равны (по стороне и двум углам).
Из равенства треугольников следует, что КО, — ОК\ КМ 5?)
Радиус МО, основания цилиндра является проекцией отрез-
ка МК, а угол КМО,— угол между прямой MN и плоскостью
основания цилиндра — по условию задачи равен а. Из прямо-
угольного треугольника МКО, находим
МО, —-2-соз а, КО,—-£-з1па — -^~.
А «А
Вычислим объем цилиндра:
— SoatH —fl (AJOj)’ - 00, = -^ cos* a sin а.
n na* I I
Ответ, —j—sin a cos’а.
Пример 3.2. Угол при вершине осевого сечения прямого
кругового конуса равен а. Через его вершину под углом 0
(0 < а/2) к осн конуса проведена плоскость. Найти угол между
двумя образующими конуса, по которым проведенная плоскость
пересекает его поверхность.
Решение. Пусть SO — высота конуса, MSN—секущая
плоскость, образующая с высотой SO угол 0, MN — хорда ок-
ружности основания (рис. 13.10). Так как по условию задачи
угол при вершине осевого сечения конуса равен а, то угол ме-
жду любой образующей конуса (в частности, образующими SA1
*) Иногда (когда аа возникает путавацы) будет употребляться кам
салонам рферы.
$ 3. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
377
и SN) и высотой конуса равен а/2. Рассмотрим прямоугольный
треугольник MSO (угол MOS прямой). Обозначая радиус осно-
вания конуса через г, получаем
SM-= —-—, SO— г ctg
. а *
sin у
Построим угол между плоскостью SMN и высотой SO. Для
этого в плоскости основания конуса нз точки О на хорду MN
опустим перпендикуляр ОК. По свойству хорды МК — NK.
Прямая MN перпендикулярна высоте конуса SO и прямой ОК
и, следовательно, перпендикулярна плоскости треугольника KSO.
Рис. I3.lv
Плоскость MSN проходит через перпендикуляр МЫ к плоскости
KSO. Следовательно, плоскости треугольников KSN и KSO вза-
имно перпендикулярны, а луч SK является ортогональной проек-
цией луча SO на плоскость MSN. Так как по определению углом
между наклонной (SO) и плоскостью (MSN) называется угол
между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость,
то угол KSO и есть угол, величина которого равна р. Из прямо-
угольного треугольника KSO получаем
SO rclBy
cos Р “ соз р ’
Как было указано выше, КО _L MN и SO J_ MN, и, следо-
вательно, по теореме о трех перпендикулярах SKA.MN. Тре-
угольник MSN равнобедренный (AIS = NS), и SK — высота, ме-
диана и биссектриса этого треугольника, Из прямоугольного
«78 ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
треугольника MSK находим угол MS К:
а а
чк ГС|8Т С0*Т
cos (MSK) = -------------------й-
' ' SM _ г COS0
cos 8-----
sin у
= arccos
/ о
( СМТ
MSN = 2MSK = 2 arccos I----=-
X cos0
( СМ^
Ответ. 2 arccos I-----=- I.
\ cos p /
3.1. Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута,
представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна d
В составляет угол а с основанием. Определить объем цилиндре.
3.2. Площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикуляр-
ной образующей, равна Si, а площадь осевого сечення равна st
Найтн площадь боковой поверхности н объем цилиндра.
3.3. Радиус основания конуса равен г, а угол прн вершине
в развертке его боковой поверхности равен 90°. Найти объем
вонуса.
3.4. Боковой поверхностью конуса служит свернутая чет-
верть круга. Определить полную поверхность конуса, еслв пло-
щадь его осевого сечения равна S.
Э.б. Площадь боковой поверхности прямого кругового ко-
пуса равна S; расстояние от центра основания до образующей
равно г. Найти объем конуса.
З.Й. Площадь боковой поверхности конуса относится к пло-
щади основания, как 2:1. Площадь его осевого сечения равна S.
Найти объем конуса.
3.7. Радиус основания конуса равен г, а площадь боковой
поверхности равна сумме площадей основания и осевого сече-
ния. Найти объем конуса.
3.8. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти от-
ношение площади его основания к площади боковой поверхности.
3.9. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересе-
кает основание по хорде, длина которой равна радиусу основа-
ния. Найти отношение объемов образовавшихся частей конуса;
8.10. Две перпендикулярные образующие прямого кругового
$ 9. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ 879
конуса делят окружность основания в отношении 1 :2. Найта
объем конуса, если его высота равна Л.
3.11. Через две образующие конуса, угол между которыми
равен а, проведена плоскость. Найти отношение площади сече-
ния к полной поверхности конуса, если угол между образующей
конуса н плоскостью основания равен 0.
3.12. Образующая конуса равна I и составляет угол 0 с вы-
сотой конуса. Найти площадь сечения этого конуса плоскостью,
проходящей через его вершину и составляющей угол а с его
высотой.
3.13. Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна
нз них наклонена к плоскости основания конуса под углом а и
пересекает основание по хорде длиной а, а другая наклонена
к плоскости основания под углом 0 и пересекает основание по
хорде длиной Ь. Найти объем конуса.
3.14. Площади параллельных сечений шара, расположенных
по одну сторону от центра, равны Si и S2, а расстояние между
этими сечениями равно d. Найти площадь сечения шара, парал-
лельного сечениям St и и делящего пополам расстояние
между ними.
3.15. В двугранный угол 60е вписан шар радиуса R. Найти
радиус шара, вписанного в тот же угол я касающегося данного
шара, если известно, что прямая, соединяющая центры обоих ша-
ров, образует с ребром двугранного угла угол 45е.
3.13. Две равные сферы радиуса г касаются друг друга и
граней двугранного угла, величина которого равна а. Найти
радиус сферы, которая касается граней двугранного угла и обеих
данных сфер.
3.17. Четыре равных шара радиуса г внешним образом ка-
саются друг друга так, что каждый касается трех остальных.
Найти радиус сферы, касающейся всех четырех шаров н содер-
жащей их внутри себя.
3.18. Два шара касаются плоскости Р в точках А и В и
расположены по разные стороны от этой плоскости. Расстояние
между центрами этих шаров равно 10. Третий шар касается
двух данных шаров, а его центр О лежит в плоскости Р. Из-
вестно, что
ЛО = ОВ = 2д/Т0’. ЛВ — 8.
Найти радиус третьего шара.
3.1*. Три шара касаются плоскости треугольника АВС в его
вершинах, и каждый шар касается двух других. Найти радиусы
аров, если длина стороны АВ равна с и прилежащие к ней
углы равны а в 0,
880
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
3.20. На плоскости лежат, не пересекаясь, два шара радну-
сов г и R. Расстояние между центрами шаров равно р. Найти
минимально возможный радиус шара, который лежал бы на этой
плоскости и касался заданных шаров.
§ 4. Комбинации многогранников
и фигур вращения
Призма н шар. Шар, касающийся всех граней призмы,
Называется вписанным в призму. Призма называется вписанной
в шар, если рее вершины призмы лежат на поверхности шара.
В задачах на комбинацию призмы (в частности, параллеле-
пипеда и куба) и шара решение, как правило, необходимо начать
с геометрического построения, показывающего, где находится
центр шара. При нахождении центра шара, вписанного в призму,
используется теорема о том, что центр шара, вписанного в
призму, является точкой пересечения бнссекторных плоскостей
всех двугранных углов призмы, а центр шара, описанного около
Рас. I3.ii
призмы, является точкой пересе-
чения всех плоскостей, проходя-
щих через середину ребер призмы
и перпендикулярных им.
Пример 4.1. Три шара ра-
диуса г касаются нижнего осно-
вания правильной треугольной
призмы, причем каждый шар ка-
сается двух других шаров и двух
боковых граней призмы. Четвер-
тый шар касается каждого из
этих трех шаров, всех боковых
граней и верхнего основания приз-
мы. Найти высоту призмы.
Решение. Пусть О(, Ог,
Ot — центры шаров радиуса г,
АВС и — равносторонние треугольники, являющиеся со-
ответственно верхним и нижним основаниями призмы (рис. 13.11).
Так как призма ABCAtBtCi правильная, то ее боковые ребра
ЛА(, BBt, CCt перпендикулярны плоскостям оснований и плоско-
сти боковых граней также перпендикулярны плоскостям осно-
ваний.
Через центр шара проведем плоскость, параллельную
плоскости основания призмы. В сечении призмы этой плоскостью
получится равносторонний треугольник MtNiPt со стороной,
равной стороне основания призмы, Построенвая цлредрсть будет
I 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 881
перпендикулярна плоскостям боковых граней призмы, а точки
Ог и О» будут принадлежать этой плоскости.
Докажем, что точки касания шарами плоскостей боковых
граней будут также принадлежать плоскости треугольника
MiNiPi. Из точки О| опустим перпендикуляр на плоскость
AiACCi. Так как шар касается этой плоскости, то этот перпенди-
куляр попадает в точку касания, я его длина равна г. С другой
стороны, так как плоскости MiNtPl и AtACCt взаимно перпен-
дикулярны, а точка Oi принадлежит плоскости AftAf»/*», то пер-
пендикуляр, опущенный из точки Ot иа плоскость AiACCi, будет
целиком принадлежать плоскости MtNtPi, и, следовательно, ос-
нование перпендикуляра (на рис. 13.12 точка К) будет принад-
лежать линии пересечения этих взаимно перпендикулярных
плоскостей (см. теорему о взаимно перпендикулярных пло-
скостях).
Аналогично доказывается, что точка касания шара с цен-
тром Ot и плоскости Л1ЛвВ| также принадлежат плоскости
MiNiPi н точки касания шаров с центрами О> и О» н плоско-
стей боковых граней принадлежат плоскости MtNiPt. Так как
плоскость Af|V|P| проходит через центры
всех трех попарно касающихся шаров,
то линии центров этих шаров (отрез- Z—X
ки OjOj, О1О3, 010») будет принадле- /'С \
жать плоскости MiNtPi. Таким образом, /Х^ / /\
в сечении призмы плоскостью MtNiPt \
получится равносторонний треугольник л 0 \
'AfiAT|Pi, в который вложены три окруж- гУ \
постя радиуса г, каждая из которых Ц
касается двух других окружностей п Рис. 13.12
двух сторон треугольника (рис. 13.12).
Рассмотрим треугольник MlNlPi. Проведем радиусы и
0»L в точки касания окружностей со стороной MiPi. Так как
OtK J_ MtPt, OiL _L MtPi н OtK = OSL = г, то четырехугольник
OtOsKL — прямоугольник и KL = 0(0j = 2r. Так как окруж-
ность с центром Oi касается сторон треугольника MtNt н MtPt,
то точка О, лежит на биссектрисе угла W|Af|Pt н = 30е.
В прямоугольном треугольнике М^О^К известны угол(fiMK = 30°
и катет OtK = г. Находим второй катет:
MtK—ri/3.
Аналогично на Д LOtPt находим LP\=r*j3. Таким обратом,
сторона треугольника MilfiPt рама 2г(1 +Уз).
М2
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Через центр О четвертого шара проведен плоскость, парал-
лельную плоскости основания призмы. В сечении призмы этой
плоскостью получится равносторонний треугольник MNP
(рис. 13.13), а в сечении шара с центром О получится окруж-
ность большого диаметра, вписанная в треугольник MNP (точки
касания шара с центром О с плоскостями боковых граней при-
надлежат плоскости MNP, что доказывается так же, как и в
случае построения сечения Af|AZ|Pi). Так
как плоскости треугольников MiNtPt и
MNP параллельны, то треугольники
и MNP равны, и, следователь-
но, сторона треугольника MNP равна
2г(I + V3 ). Радиус окружности, впи-
санной в треугольник MNP, а следова-
тельно, и радиус шара с центром О
Рас. 13.13
равны г ^1 4- -у
Искомая высота призмы складывается из расстояния от
верхнего основания до плоскости MNP, расстояния между пло-
скостями MNP и MiNtPt и расстояния от плоскости MiNiPt до
нижнего основания призмы. По условию задачи шар с центром О
касается верхнего основания призмы, и расстояние между
верхним основанием и плоскостью MNP, содержащей точку О,
равно радиусу шара с центром в точке О:
Также по условию эадйчн три шара (с центрами О(, О,. OaJ‘
лежат на нижнем основании призмы, и расстояние /> между
нижним основанием и плоскостью MiNiPt, содержащей точки
Oi, Oj, Оз, равно радиусам этих шаров:
It —г.
Осталось найтн расстояние между плоскостями MNP й
MiNiPt. Рассмотрим многогранник с вершинами О, Ot, 0>, О».
Этот многогранник—пирамида, в основании которой лежит рав-
носторонний треугольник OiOtOt со стороной 2г. Боковые ребра
00i, 001, ООэ равны между собой (так как все шары попарно
касаются) и равны г ^2 + Проведем высоту ОК правиль-
ной треугольной пирамиды OO1O2O3 (рис. 13.11). Отрезок ОК
перпендикулярен плоскости MtNtPt я параллельной ей плоскости
MNP, й, следовательно, длина этого отрезка есть расстояние
между плоскостями. Так как в правильной треугольной пирамиде
J 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 883
основание высоты совпадает с центром основания, то OiK »
— 2r/VT. Из прямоугольного треугольника OtOK по теорем*
Пифагора находим
ОК - VtOO^-tOiK)’ — 1 г <27 + 12 <3.
□
Высота призмы:
н -/i +1» + ок = (« + <з + <27+ 12<fr).
Ответ. 1,(б +<3+<27+ 12<1).
V
4.1. В основании правильной призмы лежит квадрат со сто-
роной а, а ее высота равна И. Найти радиус описанного шара,
4.2. Около шара описана правильней треугольная призма и
около нее описан шар. Найти отношение поверхностей этих
шаров.
4.3. Около шара радиуса R описана правильная шестиуголь-
ная призма. Найти площадь ее поверхности.
4.4. Сфера касается боковых ребер правильной прямой ше-
стиугольной призмы, основание которой лежит вне сферы. Найти
отношение площади боковой поверхности призмы, заключенной
внутри сферы, к площади поверхности сферы, находящейся вне
призмы.
4.6. В куб с ребром а вписан шар. Определить радиус дру-
гого шара, касающегося трех граней куба и первого шара.
4.8. В полусферу радиуса R вписан куб так, что четыре его
вершины лежат на основании полусферы, а остальные четыре
принадлежат сферической поверхности полушара. Вычислить
объем куба.
4.7. Дан куб с основаниями ABCD н Л|В|С1О|,'. где
AAt I BBi | DDt. В угол А куба вписан шар радиуса Л = 1/2.
Найти радиус шара, вписанного в угол С и касающегося дан-
ного шара, при условии, что ребро куба равно 3/2.
4.8. Дан куб с основаниями ABCD и Л1в|С1Д(. Точка Е —
середина ребра CtDt, точка F— середина ребра BiCt. Найти ра-
диус сферы, проходящей через точки Е, F, А, С, если ребро
куба равно а.
Пирамида н шар. Шар называется вписанным в пира-
миду, если он касается всех граней пирамиды. Центр шара, впи-
санного в пирамиду, является точкой пересечения биссекторных
плоскостей всех двугранных углов пирамиды.
Шар называется описанным около пирамиды, если все вер-
шины пирамиды лежат на его поверхности. Если около пирами^
884
ГЛ. 1Э. СТЕРЕОМЕТРИЯ
ды описан шар, то его центр является точкой пересечения всех
плоскостей, проведенных через середины ребер пирамиды пер-
пендикулярно этим ребрам.
В задачах на комбинацию пирамиды и шара решение, как
правило, необходимо начинать с геометрического построения, в
результате которого находится точка, являющаяся центром шара.
Кроме того, часто бывает удобно построить вспомогательное се-
чение пирамиды и шара, разбивающее комбинацию пирамиды и
шара на две симметричные части, в результате чего решение
стереометрической задачи иногда может быть сведено к решению
планиметрической задачи (такой метод использован в приме-
ре 4.3).
Пример 4.2. В основании пирамиды лежит равносторонний
треугольник со стороной а. Высота пирамиды проходит через се-
редину одного из ребер основания
и равна За/2. Найти радиус шара,
описанного около пирамиды.
Решение. Пусть S — вершина
пирамиды, АВС — равносторонний
треугольник, лежащий в основании
пирамиды (рис. 13.14), SK — высота
пирамиды (а также высота тре-
угольника ASB) и по условию зада-
чи АК = КВ. Треугольники ASK и
BSK равны (оба прямоугольные,
SK — общая сторона, и АК = КВ),
и, следовательно, треугольник ASB
равнобедренный. По определению
пирамида вписана в шар, если
все вершины пирамиды принадлежат поверхности шара и центр
шара — точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды. Най-
дем геометрическое место точек, равноудаленных от всех вершин
пирамиды.
Геометрическое место точек, равноудаленных от трех вершин
Л, fl и С, - перпендикуляр O(A4 к плоскости р одностороннего
треугольника АВС, восставленный из его центра О( (рис. 13.14).
Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин A, S,
В, — перпендикуляр OtN к плоскости равнобедренного треуголь-
ника 4SB, восставленный из точки О», являющейся центром
окружности, описанной около треугольника ASB.
Докажем, что два перпендикуляра OtM и OiN пересекаются,
По условию задачи отрезок SK перпендикулярен плоскости тре-
угольника ABC, SK.LAB, К —середина отрезка АВ, и, следова-
тельно, КС — высота, медиана и биссектриса равностороннего
f 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 885
треугольника АВС (КС-LAB). Таким образом, отрезок АВ пер-
пендикулярен двум различным прямым ВК и КС и, следова-
тельно, перпендикулярен плоскости, проходящее через точки В, К
в С (см. теорему о взаимно перпендикулярных прямых и плоско-
стях). Плоскости ЛВВ в АВС перпендикулярны плоскости SKC,
так как каждая нз них содержит прямую АВ, перпендикулярную
плоскости ВКС.
Точка О| принадлежит линии пересечения плоскостей АВС в
ВКС, а точка О» — линии пересечения плоскостей АВВ и ВКС.
Перпендикуляр OtM к плоскости АВС будет целиком принадле*
жать плоскости ВКС, а перпендикуляр O»N к плоскости АВВ
также будет принадлежать плоскости ВКС (по теореме о двух
взаимно перпендикулярных плоскостях и перпендикуляре к одной
из плоскостей, проходящем через линии их пересечения).
Таким образом, доказано, что прямые OiM и OtN принадле-
жат одной плоскости, пересекаются в точке О и четырехугольник
KOtOOi, все вершины которого принадлежат плоскости SKC, —
прямоугольник. Точка О — точка, равноудаленная от точек А,
В, С, В, — является центром шара, описанного около пирамиды*
Радиус окружности, описанной около треугольника АВВ, равев
Ва/6, и О»К — ВК-ВОа--^--^--^-. В равностороннем
2 о о
треугольнике АВС расстояние от центра Of до вершины С равно
OfC = у КС = а . Так как ОгК = OtO (KOiOOt — прямо-
угольник), то нз прямоугольного треугольника OOtC по теореме
Пифагора находим длину отрезка ОС, которая равна искомому
радиусу шара:
R = I ос |- V(OfO)4 (OfC)’ - д/(•у-)2+(£у^У"пг-
Ответ. * .
0
4.9. В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр. Найти
объем тетраэдра.
4.10. Основание пирамиды — правильный треугольник со сто-
роной 6 см. Одно нэ боковых ребер перпендикулярно плоскости
реновация и равно 4 см. Найти радиус шара, описанного вокруг
рирамиды.
4.11. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна п, плоский угол при вершине пирамиды равен а. Найти
радиус вписанного в пирамиду шара.
4.12. Боковые ребра в две стороны основания треуголь-
ной пирамиды равны а, а угол между равными сторонами
13 А. Г, Цыпжян, А, И, ПвяскаА
386
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
основания равен а. Найти радиус шара, описанного около пира-
миды.
4.13. Ребро правильного тетраэдра равно а. Определить
радиус шара, касающегося боковых ребер тетраэдра в вершинах
основания.
4.14. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найти радиус
шара, касающегося боковых граней тетраэдра в точках, лежащих
иа сторонах основания.
4.16. Найти радиус шара, касающегося основания н боко^
вых ребер правильной треугольной пирамиды, у которой сторона
основания равна а, а двугранный угол при основании равен а.
4.16. Грани прапильной усеченной треугольной пирамиды ка-
саются шара. Найти отношение поверхности шара к полной по-
верхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены
к плоскости основания под углом а.
4.17. В данную правильную усеченную треугольную пирами-
ду можно поместить сферу, касающуюся всех граней, и сферу,
касающуюся всех ребер. Найтн стороны основания пирамиды,
если боковые ребра равны Ь.
4.18. Ребро правильного тетраэдра равно а. Определить ра-
диус шара, поверхность которого касается всех ребер тетраэдра.
4.19. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, боковое ребро равно Ь. Найти радиус сферы, касаю-
щейся всех ребер пирамиды.
4.20. В правильную треугольную пирамиду с плоским уг-
лом р прн вершине вписан шар. Найти отношение объемов шара
и пирамиды.
4.21. Ребро правильного тетраэдра SABC равно а. Найтн
радиус сферы, вписанной в трехгранный угол, образованный гра-
нями тетраэдра с вершиной в точке S, и касающейся плоскости,
проведенной через середины ребер 5Д, SC и АВ.
4.22. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Опре-
делить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости осно-
вания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара
равно 27 ^3/{4я).
4.23. В правильной треугольной пирамиде угол между боко-
выми ребрами и высотой, опущенной на основание, равен а.
Найтн отношение объема пирамиды к объему описанного
шара.
4.24. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол
между плоскостью основания и боковой гранью равен а. Найти
отношение объема вписанного в пирамиду шара к объему пира-
миды.
s 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 387
4.25. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пи»
рамнда SABC, у которой двугранный угол при основании ра-
вен а. Найти сторону основания пирамиды.
4.20. Внутри правильного тетраэдра с ребром а расположены
четыре равные сферы так, что каждая касается трек других сфер
и трех граней тетраэдра. Найти радиус этих сфер.
4.27. В тетраэдре SABC двугранные углы при ребрах АВ,
АС н SB прямые, а величины двугранных углов при ребрах 54
и ВС равны 15°, Найти радиус шара, вписанного в тетраэдр,
если ВС “ 2.
4.28. Через сторону основания правильной треугольной пира-
миды и центр вписанного в нее шара проведена плоскость.
В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды, если
ее боковое ребро в 3,5 раза больше стороны основания?
4.29. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона ос-
нования АВС равна Ь, а высота пирамиды равна b л/2. Сфера,
вписанная в пирамиду, касается SBC в точке К. Найти площадь
сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку К н реб-
ро 5Д.
4.30. В основании пирамиды лежит равносторонний треуголь-
ник со стороной а. Одно из боковых ребер пирамиды также
равпо а, а два других равны Ь. Найти радиус сферы, описанной
около пирамиды.
4.31. Основанием пирамиды служит равнобедренный тре-
угольник, равные стороны которого имеют длину 5; соответ-
ствующие им боковые грани перпендикулярны плоскости осно-
вания, и угол между ними равен а. Угол между третьей боковой
гранью и плоскостью основания также равен а. Найти радиус
шара, вписанного в пирамиду.
4.32. На основании правильной треугольной пирамиды с вы-
сотой Н и радиусом круга, вписанного в основание, равном г,
лежит шар, касающийся основания в его центре. Найти радиус
шара, если плоскость, проведенная через вершину пирамиды и
середины двух сторон основания, касается этого шара.
4.33. В треугольной пирамиде SABC грань 5ДС перпендику-
лярна грани АВС, 5Д = SC = 1, а угол при вершине В тре-
угольника АВС прямой. Шар касается плоскости основания пира-
миды в точке В, а грани ХДС— в точке 5. Найти радиус
шара.
4.34. В правильную треугольную пирамиду с длиной ребра
основания а н двугранным углом при основании, равным 60°,
вложены три одинаковых шара так, что каждый шар касается
двух других, плоскости основания и двух боковых граней. Найти
радиусы этих шаров.
13*
368
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
4Л6. В правильную треугольную пирамиду помещен шар ра-
диуса 1. В точке, делящей пополам высоту пирамиды, он касает-
ся внешним образом полушара. Полушар опирается на круг,
вписанный в основание пирамиды; шар касается боковых граней
пирамиды. Найтн площадь боковой поверхности пирамиды и
величину двугранного угла, образованного боковыми гранями
пирамиды.
4.36. Правильный треугольник со стороной а лежит в пло-
скости Р. Средними линиями он разделен на 4 треугольника, и
на трех из них, примыкающих к вершинам, построены как на
основаниях три правильные треугольные пирамиды е высотой а
(все три — по* одну сторону плоскости Р). Найти радиус шара,
лежащего между пирамидами н касающегося как плоскости Р,
так и всех трех пирамид.
Пример 4.3. В правильную четырехугольную пирамиду впи-
сан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды рав-
но а, а угол наклона боковой грани к
д. плоскости основания равен а. Найтн
объем пирамиды.
//|\\ Решение. Пусть SABCD (рис,
/ / |\ \ 13.15)—правильная четырехугольная пи-
\ \ рамида (ABCD — квадрат, SK— высота
/ 1 \ пирамиды, К— центр квадрата, боко-
///в V С вые грани—равные равнобедренные
I// / треугольники). Найдем точку О —центр
к.-'" I/ вписанного в пирамиду шара.
А О Из вершины А треугольника ASB
Рнс. i3.is -проведем высоту к основанию SB. Из
вершины С треугольника BSC проведем
высоту к основанию SB. Так как треугольники AS В и BSC рав-
ны, то основаниями высот будет одна и та же точка М и
ДА! = МС. Угол АМС по построению будет линейным углом
двугранного угла, образованного плоскостями боковых граней
ASB и BSC. В треугольнике АМС биссектриса угла АМС будет
медианой н высотой и пересечет основание АС в точке К.
В нашем случае точка S принадлежит ребру двугранного
угла, а точка К — биссектрисе линейного угла и, следовательно,
высота пирамиды SK принадлежит биссекторной плоскости дву-
гранного угла с ребром SB. Построив бнссекторную плоскость
двугранного угла с ребром SC, аналогичным образом можно
доказать, что высота SK будет принадлежать и этой биссектор-
ной плоскости. Так как две различные плоскости пересекаются
по одной прямой, а прямая SK принадлежит и той и другой
« < КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 389
плоскости, то линия пересечения двух различных биссекторных
плоскостей будет содержать высоту пирамиды SK. Центр шара,
Ипнсанного в пирамиду, лежит на пересечении биссекторных пло-
скостей всех двугранных углов пирамиды и, следовательно, в на-
шем случае (когда пирамида правильная) — на высоте пира-
миды.
Проведем плоскость через высоту пирамиды SK и середины
противоположных сторон квадрата L, Р
треугольник DSC равнобед енный,
Тб SP- медИвна и высота треуголь-
ника DSC и SPJ.DC. Отрезок LP
также перпендикулярен DC, я, сле-
довательно, угол LPS — линейный
угол двугранного угла, образованного
боковой гранью DSC и плоскостью
основания ABCD, который по усло-
вию равен а. Аналогично можно
доказать, что SL? = а. Центр шара,
вписанного в пирамиду, лежит в
диссекторной плоскости двугранного
(рис. 13.16). Так как
плоскости с высо-
угла с ребром DC. Точка пересечения этой
той SK н есть центр вписанного в пирамиду шара (точка О
на рнс. 13.16).
Плоскости DSC и ABCD перпендикулярны плоскости LSP,
Так как они содержат прямую DC, перпендикулярную плоскости
LSP. Из точки О, принадлежащей плоскости LSP, опустим пер-
пендикуляр на плоскость DSC. Основание этого перпендикуляра
(точка N) совпадает с точкой касания шара и плоскости DSC,
С другой стороны, по теореме о двух взаимно перпендикуляр-
ных плоскостях (DSC и LSP) и перпендикуляре к одной из пло-
скостей прямая ON будет целиком принадлежать плоскости
LSP. Таким образом, доказано, что точка касания шара с пло-
скостью боковой грани DSC принадлежит плоскости LSP.
Аналогичным способом можно доказать, что точки касания
шара с плоскостями ABCD и ЛВВ будут также принадлежать
плоскости LSP.
Рассмотрим треугольники OSN и PSK. Эти треугольники
подобны (они прямоугольные и имеют один общий угол). Из
Подобия треугольников следует, что SON = а, а по условию за-
дачи SO = а. Из треугольника OSN находим ON = а cos а. Вы-
сота треугольника будет равна SK = SO = а(1 + cos а). Из тре-
угольника SKP находим
КР ™ SK ctg а = д (1 + соз а) ctg а.
390
ГЛ. 13 СТЕРЕОМЕТРИЯ
В треугольнике LSP имеем LP=2KP—2a(\ + cosa)clga=
= АВ. Таким образом, найдены величины, необходимые для вы-
числения объема пирамиды:
VSABCD “ Т SI<SABCD = V (I + cos a) 40’ (1 + соз a)’ ctg’a -
= 4- a1 (I cos a)’ ctg* a.
О
Ответ. ± о’ (I + cos a)« ctg* a.
4.37. -Найти поверхность шара, описанного около правильной
четырехугольной пирамиды, если сторона основания пирамиды
равна а, а боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости осно-
вания под углом а.
4.38. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида.
Радиус шара равен R, плоский угол прн вершине равен а. Опре-
делять боковую поверхность пирамиды.
4.39. В шар радиуса R вписана пирамида, в основании кото-
рой лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны основа-
нию. Большее боковое ребро составляет с пересекающей его сто-
роной основания угол а. Найти боковую поверхность пирамиды.
4.40. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а.
Высота пирамиды проходит через середину одного из ребер ос-
нования н равна aV3/2. Найти радиус шара, описанного около
пирамиды.
4.41. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная
пирамида. Найти объем пирамиды, если радиус окружности, опи-
санной около ее основания, равен г.
4.42. Шар радиуса W'вписан в пирамиду, в основании кото-
рой лежит ромб с острым углом а. Боковые грани пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом <р. Найти объем
пирамиды.
4.43. В шар радиуса R вписана пирамида, в основании кото-
рой лежит квадрат. Одно из боковых ребер пирамиды перпенди-
кулярно плоскости основания, а большее боковое ребро образует
с основанием угол а. Определить боковую поверхность пирамиды.
4.44. Площадь основания правильной четырехугольной пира-
миды равна Q, а двугранный угол при основании — а. Эта пира-
мида пересечена плоскостью, проходящей через центр вписанного
шара параллельно основанию. Определить площадь сечения пи-
рамиды.
4.45. Дана пирамида SABCD, основанием которой служит
ромб ABCD. Сторона основания равна а, ЛЛ = SC «= a, SB
.— SD, бсЬ = 2а. Определить радиус вписанного шара.
I 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 391
4.46. Центр сферы, описанной около правильной четырех»
угольной пирамиды, находится на расстоянии а от боковой гра-
ни и на расстоянии b от бокового ребра. Найти радиус сферы.
4.47. В правильную четырехугольную пирамиду SABCD о
вершцной S и стороной основания а вписан шар, радиус кото-
рого равен а/(2^3). Плоскость Р, составляющая угол в 30° с
плоскостью основания, касается шара и пересекается с пло-
скостью основания, не пересекаясь с самим основанием, по ли-
нии, параллельной стороне основания. Найти площадь сечения
пирамиды плоскостью Р.
4.48. В шар вписана пирамида, боковые ребра которой рав-
ны с. Основание ее — прямоугольник, стороны которого стяги-
вают дуги аир радиан в сечениях шара плоскостями боковых
граней. Определить радиус описанного шара.
4.49. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды
SABCD (S — вершина) равны а, а стороны ее основания равны
а/^Т. Найти расстояние от центра шара, вписанного в пира-
миду SABCD, до плоскости, проходящей через диагональ BD
основания ABCD и середину Е ребра SA.
4.50. В правильной четырехугольной пирамиде расположен
шар радиуса 2. Этот шар касается боковых граней пирамиды и
внешним образом касается полусферы, опирающейся на круг,
описанный в основание пирамиды. Точка касания шара и полу-
сферы отстоит от основания пирамиды на расстояние, равное
одной трети высоты пирамиды. Найти объем пирамиды и вели-
чину двугранного угла при боковом ребре пирамиды.
4.51. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD со
стороной основания а и боковым ребром Ъ (Ь > 0). Сфера с
центром в точке О лежит над плоскостью основания ABCD, ка-
сается этой плоскости в точке А и, кроме того, касается -боко-
вого ребра SB. Найти объем пирамиды OABCD.
4.52. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная
усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания про-
ходит через центр шара, а боковое ребро составляет с пло-
скостью основания угол 60°. Найти объем пирамиды.
4.53. Около шара радиуса R описана правильная шестиуголь-
ная пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью
основания угол а. Найти боковую поверхность и объем пира-
миды.
4.54. В шар вписана прямоугольная призма, в основании ко-
торой лежит правильный треугольник, а высота призмы равна
стороне основания. Найти отношение объема этой призмы к
объему вписанной в тот же шар правильной шестиугольной пи-
392
ГЛ. 13 СТЕРЕОМЕТРИЯ
рамиды, боковое ребро которой равно удвоенной стороне осно-
вания.
4J56. Найтн отношение объема правильной л-угольной пира-
миды к объему вписанного в нее шара, зная, что окружности,
описанные около основания и боковых граней пирамиды, равны.
Комбинации фигур вращения. Шар называется
вписанным в прямой круговой конус, если ои касается основания
кояуса в его центре в соприкасается с боковой поверхностью
конуса по окружности. Прямой круговой конус называется впа-
санным я шар, если его вершина в окружность его основания
лежат на поверхности шара.
Шар называется вписанным в прямой круговой цилиндр,
если шар касается оснований цилиндра в их центрах и сопри-
касается с боковой поверхностью цилиндра по окружности боль-
шого круга шара, параллельной основаниям. Прямой круговой
цилиндр называется вписанным в шар, если окружности осно-
ваний цилиндра лежат на поверхности шара.
Конус называется вписанным в цилиндр, если основание ко-
нуса совпадает с одним из оснований цилиндра, в вершина ко-
нуса совпадает с центром другого основания.
Задачи на комбинации фигур вращения часто бывает удоб-
но решать построением вспомогательного сечения, разбивающего
комбинацию фигур вращения па две симметричные части. Вспо-
могательное сечение, как правило, удобно строить таким обра-
зом, чтобы оно проходило (в зависимости от вида задачи) через
ось цилиндра (или ось конуса) и центр шара. При этом в сече-
нии цилиндра будет получаться прямоугольник, в сечении кону-
са — равнобедренный треугольник, а в сечении шара — круг о
радиусом, равным радиусу шара. Так, например, если по усло-
вию задачи шар вписан в конус, то в осевом сечении конуса
будут получаться равнобедренный треугольник и вписанный в
него круг; если шар описан около цилиндра, то в сечении полу-
чается прямоугольник, описанный около окружности.
Пример 4.4. Образующая конуса равна I н образует о
высотой конуса угол а. Через две образующие (конуса, угол
между которыми равен 0, проведена плоскость. Найтн расстоя-
ние от этой плоскости до центра шара, вписанного в конус.
Решение. Пусть S — вершина конуса, О — основание вы-
соты конуса, S4 и SB — образующие конуса, угол между кото-
рыми равен 0 (рнс. 13.17). Из прямоугольного треугольника SOB
(угол SOB прямой, SB = I, BSO = а) находим радиус окруж-
ности, лежащей в основании конуса, и высоту конуса;
ВО — I sin a, SO = / соз а.
$ 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 393
Из равнобедренного треугольника ASB (ASB = fi, AS — SB — 1)
находим длину хорды АВ, высекаемой плоскостью ASB на осно-
вании конуса:
АВ — 21 sin-у.
Расстояние от центра основания конуса до середины хорды АВ
(точки IV) найдем из треугольника NOB по теореме Пифагора:
| NO | — V(BO)1 - (JVB)’ — I sin* a - sin’ .
Через середину хорды AB (точку N) я высоту конуса 50
проведем плоскость. В сечении конуса плоскостью получится рав-
нобедренный треугольник Л15М( с боковой стороной I и углом
при вершине 2a; в сечении шара, вписанного в конус, получится
круг с радиусом, равным радиусу шара, вписанного в равнобед-
ренный треугольник Л15Л4|, а плоскости MSMt и ASB пересе-
кутся по прямой NS (рис. 13.18).
Докажем, что расстояние от центра окружности 0| до пря-
мой SN (т. е. длина отрезка OtK) будет искомым расстоянием
от центра шара до плоскости Л5В.
Обратимся к рнс. 13.17. Хорда АВ окружности основания
конуса перпендикулярна высоте конуса и перпендикулярна ра-
диусу ОМ, проходящему через середину хорды АВ (точку Л/).
Следовательно, хорда АВ перпендикулярна плоскости M5M|,
так как она перпендикулярна двум непараллельным прямым (50
и принадлежащим плоскости. Итак, имеем плоскость
MSA4| и перпендикулярную ей прямую АВ. Так как плоскость
ASB проходит через прямую АВ, перпендикулярную плоскости
Л15Л4(, то и сама плоскость ASB будет перпендикулярна плоско-
сти MSMt, т.е. эти две плоскости взаимно перпендикулярны.
394
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Центр шара, вписанного в конус, принадлежит плоскости
MSMi. Если нз центра шара опустить перпендикуляр на пло-
скость ЛХВ, то по теореме о двух взаимно перпендикулярных
плоскостях этот перпендикуляр будет целиком принадлежать
плоскости AfSAfi, т. е. основание перпендикуляра (точка К) бу-
дет лежать на линии пересечения плоскостей SV, что н изобра-
жено на рис. 13.17.
Таким образом, нахождение расстояния от центра шара до
плоскости ASB сводится к нахождению длины отрезка KOt нз
рис. 13.18.планиметрической задачи. Найдем радиус окружности,
вписанной в треугольник MSMc.
OO,-MO.tg(£-£)-BO.tg
-Zalnatg(i-|).
Рассмотрим треугольники KSOt и NSO. Эти треугольники
подобны (они прямоугольные в имеют общий угол NSO). Вы-
числим гипотенузу SOi треугольника KSOi:
SOi^SO — O|O -= I (соз a — sin a tg (y —
Гипотенузу SN треугольника SON вычислим по теореме Пифа-
гора:
SN — V(jVO)* + (SO)» — I д/sin* a - sin* 4 + cos* a -1 cos -L
Л &
Из подобия треугольников KSOt и NSO следуют равенства
/ (cos a — sin atg (•£• — у)) д/aln* a — sin* -|-
cos
sin* a
cos a
Ответ.
0
cos-K-
4.58. В конус вписан шар. Найти объем шера, если образую-
щая конуса равна I и наклонена к плоскости основания под
углом а.
4.57. Около шара радиуса R описан усеченный конус, обра-
зующая которого составляет с плоскостью большего основания
угол а. Найта объем и площадь боковой поверхности усеченного
конуса.
$ 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 395
4.58. В конус вписан шар, поверхность которого равна пло-
щади основания конуса. Найти угол при вершине в осевом сече»
нии конуса.
4.59. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой
касаются конус и шар, равен г. Найти объем конуса, если угол
между высотой и образующей конуса равен а.
4.60. В шар, площадь поверхности которого S, вписан конус.
Угол между образующей конуса и плоскостью основания ра-
вен а. Определить площадь полной поверхности конуса.
4.61. В конус вписан шар. Доказать, что отношение полной
поверхности конуса к поверхности шара равно отношению ня
объемов.
4.62. В конус, образующие которого наклонены к плоскости
основания под углом а, вписан шар. Найтн отношение объема
шара к объему конуса.
4.63. В прямой круговой конус вписан шар. Отношение объ-
емов конуса и шара равно двум. Найти отношение полной по-
верхности конуса к поверхности шара.
4.64. Высота цилиндра равна высоте конуса. Боковая по-
верхность цилиндра относится к боковой поверхности конуса,
как 3:2. Кроме того, известно, что угол наклона образующей
конуса к плоскости основания равен а. Найти отношение объема
цилиндра к объему конуса.
4.65. В усеченный конус с площадью боковой поверхности S
вписана сфера площадью s. Найтн угол между образующей и
плоскостью основания конуса.
4.66. Угол прн вершине осевого сечения прямого кругового
конуса равен а, а радиус основания конуса равен R. Найти
объем такой сферы с центром в вершине конуса, которая делит
объем конуса пополам.
4.67. В прямой круговой коиус с углом 60° при вершйне в
осевом сечении конуса вложены три одинаковых шара радиуса г
так, что каждый шар касается двух остальных, боковой поверх-
ности конуса и плоскости основания. Найти радиус основания
конуса.
4.68. На основании прямого кругового конуса лежат три
шара радиуса г. На них лежит четвертый шар того же радиуса.
Каждый из этих четырех шаров касается боковой поверхности
конуса и трех других шаров. Найти высоту конуса.
4.69. Определить угол прн вершине в осевом сечении конуса,
описанного около четырех равных шаров, расположенных так,
что каждый касается трех других.
4.70. В конус вписан шар радиуса г. Найтн объем конуса,
если известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикуляр»
396
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
ная одной нэ образующих конуса, отстоит от вершины конуса
на расстояние d.
4.71. В усеченный конус, у которого радиусы нижнего в
верхнего оснований равны R и г, апнсан шар. Найти радиус вто-
рого шара, который касается первого шара, боковой поверхности
усеченного конуса н верхнего основания.
4.72. Два конуса имеют высоты ht в а общее основание
радиуса R, а их вершины лежат по разные стороны от плоскости
основания. В поверхность, составленную из боковых поверхно-
стей этих -конусов, вписан шар. Найти раднус другого шара,
который касается как боковой поверхности первого конуса (при-
чем по целой окружности), так и первого шара.
4.73. Шар касается основания конуса в его центре. Поверх-
ность шара пересекает боковую поверхность конуса по двум
окружностям, одна из которых имеет радиус, равный радиусу
шара, и лежит в плоскости, параллельной основанию конуса. Из-
вестно, что радиус основания конуса в 4/3 раза больше радиуса
шара. Найти отношение объема шара к объему конуса.
4.74. Прямой круговой цилиндр описан около шара радиу-
са R. Точка С расположена внутри цилиндра на его оси в уда-
з
лена на R от нижнего основания. Через эту точку проведена
плоскость Р, имеющая с окружностью нижнего основания только
рдну общую точку. В шар вписан прямой круговой конус, осно-
вание которого лежит в плоскости Р, а вершина расположена
выше этой плоскости. Найти объем этого конуса.
4.75. Прямой круговой конус имеет радиус основания г в
угол а в осевом сечениц^ Два одинаковых шара радиуса R ка-
саются друг друга боковой поверхности конуса (извне) и пло-
скости основания конуса. Найти плошадь треугольника, верши-
нами которого служат центры шаров и центр основания конуса.
4.76. В прямой круговой цилиндр с радиусом основания
г — 1 и высотой Н =• 12/(3 + 2 V3 ) вписаны три одинаковых
шара так, что шары касаются верхнего основания цилиндра, его
боковой поверхности и попарно — друг друга. Найтж объем пря-
мого кругового конуса, основание которого совпадает с нижним
основанием цилиндра и который касается всех трех шаров.
4.77. Даны три одинаковых прямых круговых конуса с уг-
лом а (а < 2л/3) в осевом сечении и радиусом основания г.
Основания этих конусов расположены в одной плоскости и по-
парно касаются друг друга внешним образом. Найти радиус сфе-
ры, касающейся всех трех конусов и плоскости, проходящей че-
рез их вершины.
ГЛАВА 14
МЕТОД КООРДИНАТ И ЭЛЕМЕНТЫ
векторной алгебры
§ 1. Векторы в координатах
Координатами точки Мо относительно прямоугольной системы кооп*
Линет OXYZ называют упорядоченную тройку чисел (х«, ро, zj. Число Ге
называют абсциссой точки М«, рд — ординатой, г0 — аппликатой.
Пусть Див — две различные точки пространства. Отрезок АВ,
у которого точку А считают началом, а точку В — концом, называют
вектором АВ и обозначают АВ. Направление луча АВ определяет на»
правление вектора АВ, а длина отрезка АВ называется длиной или
—►
модулем вектора АВ в обозначается Вектор, начинающийся и
кончающийся в точке А, называется нулевым вектором и обозна-
чается АА. Понятие направления для него не вводится.
Если координаты начала н конца вектора АВ представлены в виде
Д (хд, |/д. гд) и В (хд. уд, гд), то координатами вектора ДВ является
упорядоченная тройка чисел
(ХВ“ХЛ- VB-UA- гВ~гл)-
Два вектора считаются рваными, если одноименные иоординаты
совпадают. В дальнейшем наряду с обозначениями АВ для вектора
будем использовать и обозначения, ве связанные с началом л концом
вектора в пространстве: а, б, о, ...
Над множеством векторов, заданных своими координатами. ' можно
определить операции сложения, вычитания и умножения на число
по следующим правилам:
!) сумма (разности} векторов равна вектору, координаты которого
равны сумме (разности) соответствующих координат слагаемых;
2) произведение вектора на число равно вектору, каждая координата
которого равна координате исходного вектора умноженной на это число.
Для удобства ссылок представим правила действий с векторами
a~(Oi, аг, a,). ft., ftj формулами
а ± Ь=*\а, ±Ь,, аг ± b„ a, ± b.). (I)
Xa=(Xoi, Аа;, Xoi). (2)
Векторы
/—(I. О, 0), /—(0, 1. 0). *—(0, 0, 1) (3)
называются ортами. Любой вектор а (Qi, at, at) представляется, и при
атом единственным образом, в виде
a—aiJ + OtZ + aUk. >4)
898
ГЛ. 14 МЕТОД КООРДИНАТ
Пример 1.1. Заданы векторы
а —21 + 3/. 6 — —3/— 26, с = 1|/-».
Найти координаты вектора а — у Ь + с.
Решение. По условию задачи
а —(2, 3, 0), 6 —(0. -3, -2), с = (1, 1, -1).
Используя правила (1), (2), имеем
а-у » + (2-0+1. З + у+1, 0+1-1).
Ответ, а — у 6 — с = (з, -У*. о).
1.1. Даны векторы а — (—3, —1, 2), b — (4, 0, 6), с = (5,
—2, 7). Найти координаты векторов: а) 2а; 6) —а + Зс.
1.2. Даны три вектора а — (2, 4), b — (—3. 1), с = (5, —2).
Найти координаты векторов:
а) 2а + 36 — бг, б) а + 246 + 14с в) 2а —6; г) 5с.
Пример 1.2, Даны четыре вектора р{3, —2, I), q{— 1, 1,
—2}, г(2, 1, —3} и с(11, —6, 5), Найти числа х, у, г, если
о —хр+р<+ хг.
Решение, Из условия равенства двух векторов имеем
11-Зх- у + 2х,
——2х + у + х,
5 — х — 2у — Зх.
Решая эту систему уравнений, получим
х — 2, у = —3, х — 1.
Ответ, о — 2р — З^ + г.
ДЛ. Заданы векторы
а - (1, Б, 8). 6 — (6. —4, —2),
с — (0, —б, 7) и d — (—20, 27, -35).
Найти такие числа а, р и у, что
аа + рб + ус + d — 0.
1.4. Даны три вектора р{3, —2, 1), q = {—1, 1. — 2), г —
i— {2, 1, —3}, Найти координаты вектора с, если справедливо
$ Т. ВЕКТОРЫ В КООРДИНАТАХ
399
представление
с — 2р — Зд + г.
1.6. Даны четыре вектора р(0, 1, 2), q(l, 2, 3), r(—1, 1, —2),
с (О, 4, 3). Найти х, у, г в представлении
в — *Р + УЧ + хг.
1.6. Выразить вектор с через векторы а и Ь в каждом из
следующих случаев:
а) а —(4, -2). Ь —(3, 6), с —(I. -7);
б) а — (5, 4), * —(-3, 0), с— (19, 8);
в) а-(-6, 2), 6-(4, 7), в-(9, -3).
1.7. Найти координаты вектора PQ по координатам точек Р.
в Q:
а) Р (2, —3, 0), Q(—1, 2, —3);
6)р(4,-4, 4). Q(_|,о.4).
1.8. Даны четыре точки Л(0, 2), В(3, 1), С(—5, 3), 0(2, 4),
Найти координаты такой точки Q, что
ол+о£+о?+оо—0.
1.9. От точки А отложен вектор АВ = а. Найти координаты
точки В в каждом из следующих случаев:
а) Л (0, 0), а —(-2. 1);
б) Л(-1, б), а—(1, -3);
в) А (2, 7), в-(-2, -5).
1.10. На оси абсцисс найти точку М, расстояние От которой
до точки Л(3, —3) равно Б.
1.11. На осн ординат найти точку М, равноудаленную от то-
чек Л (1. -4, 7) и fl(5, 6, -5).
1.12. Найти координаты точки М, лежащей на оси Ох и
одинаково удаленной от точек А (1, 2, 3) и В(—3, 3, 2).
1.13* . Найти координаты центра тяжести треугольника АВС,
егли точки А, В и С имеют следующие координаты:
а) Л (0, 0), В (0, 3), С (5, 0);
б) Л(0, 0), В (2. 5). С(-1, 7);
в) Л (I. 3), В (3, 6). С (-2, б).
Два вектора а — (аь at, а>) и b — (b|, bt, bt) (b # 0) кол*
линеарны, если существует такое число X, что
в| — Xbi, о» — Xbj, а* — Aba-
400
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
1.14. В каждом из следующих случаев определить, при ка-
ком значении k вектор а + kb будет коллинеарен вектору с:
а) а “(2, 3), 6 —(3, 5). с = (-1, 3);
б) д = (1, 0), 6 = (2, 2), с = (3. -5);
в) а = (3. -2). b = (1, 1), с = (0. 5).
1.15. Воспользовавшись условием коллинеарности двух век*
торов, выяснить, коллинеарны ли векторы
_(_4. е, 4) и,_(4.
1.16. Прн каких значениях X н У векторы а = (X, —2, 5)
в Ь“ (1, У, —3) коллинеарны?
1.17. Даны четыре точки А(—2, —3, 8), В(2, 1, 7), С(1,4,5)
и D(—7, —4, 7). Доказать, что векторы ав и CD коллинеарны,
1.18. Отрезок с концами в точках А (3, —2) и В (6, 4) раз*
делен на три равные части. Найти координаты точек деления.
1.19. Найти координаты концов отрезка, который точквын
С(2, 0, 2) н 0(5, —2, 0) разделен на три равные части.
1.20. Даны вершины треугольника 4(1, 0, 2), В(1, 2, 2) и
С(5, 4, 6). Точка L делит отрезок АС в отношении 1:3; СЕ—
медиана, проведенная нз вершины С. Найти координаты точки
пересечения прямых BL и СЕ.
1.21. Прн каких значениях а и 0 векторы а ° —21 + 3/ 4* а*
в b “ 01 — 6/ + 26 коллинеарны?
Три вектора а “ (л* Да, л»), b = (bh bt, 6S), с ™ (tt, Ot, ct)]
компланарны, если ""
“а Да
bt b3
d c,
— 0.
1.22. Проверить, что векторы a = (1, 0, 2), b = (0, 1, 3)',
c — (1, 1, 5) компланарны.
1.23. Доказать, что если вектор с представляется в виде
е —» а + ХЬ, то три вектора а, Ъ, с будут компланарны.
1.24. Доказать, что если три вектора а, Ь, с компланарны,
то существуют константы а и 0 такие, что справедливо пред*
ставление
с — ал + 06.
1.25. Даны три вектора а — (1, —1, 0), 6 =» (0, 1, —1),
= (1, 0, —1) н вектор 4 — ад + 06. Доказать, что прн любых
а 0 векторы d, а, в компланарны.
I 1. ВЕКТОРЫ В КООРДИНАТАХ
401
Если векторы а=(а,. аь а,). Ь,. 6>) мдаиы своими координатами
в прямоугольной системе координат, то их скалярным произведением
называется число, которое находится по формулв
ой*Л|й| + + a^bf (S)
Косинусом угла между ненулевыми векторами а в а называется число,
которое находится по формуле
соз(Г»)-----«.hH-gb + ftt. (в)
Vei+a2+e3 лЛ1 + 62+ьа
Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов а к Ь имеет вид
flifri + aJh + Пчй|> (7)
Длина вектора а вычисляется но формуле
1а|— ^а^+а|+а|. W
Пример 1.3. Даны два вектора а = (5, 2), 6 » (7, —3).
Найти вектор с, удовлетворяющий условиям ас = 38, 6с = 30.
Решение. Пусть с = (X, У), тогда на основании (5)
имеем
5Х + 2У = 38,
7Х — ЗУ = 30.
Решив эту систему относительно X и У, получаем X = 6, У •= 4.
Ответ, с " (6, 4).
1.28. Даны векторы а = (4, —2, —4) и 6 = (6, —3, 2). Вы-
числить:
а) аЬ, б) (2а - 36) (а + 26); в) (а - 6)’; г) 12а - 61.
1.27. Дан вектор а = (—6, 8). Найти координаты единич-
ного вектора, коллинеарного вектору а, и;
а) сонаправленного вектору а;
б) противоположно направленного вектору а.
1.28* . Из одной точки проведены векторы а = (—12, 16),
Ь= (12, 5). Найти координаты вектора, который, будучи отло-
женным от той же точки, делит пополам угол между векторами.
1.29. Зная, что | а | = 3, | 61 — 1, |с| = 4 я а + 6 + с — О,
вычислить аб + 6с + са.
1.30. Вычислить длины векторов:
в) а = i - j + 6; б) 6 = 21 4- / - 36.
1.31. Длина вектора равна 3. Вычислить координаты векто-
ра, если известно, что все они равны.
1.32. Вычислить длину вектора 2а + 36, если
а = (1, 1, —1); 6 = (2, 0, 0).
1.33. Даны векторы а = (1, 1, —1), 6 = (5, —3, —3) и с
" (3, —1, 2). Найти векторы, коллинеарные вектору с, длины
которых равны длине вектора а + 6,
402
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
1.34* . Векторы АВ— —3i + 46 и В? — (—1, 0, —2) являются
сторонами треугольника АВО. Найти длину медианы AM.
Пример 1.4. Вычислить угол между векторами а =>
— (-1, 2, -2) и b =(6, 3. -6).
Решение. По формуле (6) получаем
,м (-1).6 + 2.3+(-2).(-6)______________12_____4_
( “ V14-4 + 4 V36 + 9 + 36 3-9 9'
Ответ. (аГб) —агссоз-g-.
1.35. Вычислить угол между векторами;
а) а = (6, -2, -3); Ь = (5, 0, 0);
б) а — (2, -4, 5); Ь —(0, 2, 0);
в) а = (-2, 6, -3); » — (0. 0, -3);
г) а — (-4, -6, 2); b — (4, 0, 0);
д) а - (3. —2, 6); b - (0. -5. 0);
е) а— (4, -6, -2); б —(0, 0. 2).
1.36. Какой угол образуют с вектором I следующие векторы!
в — (2, 3). 5 = (—2, 5). с= (-5. 1). (-1, -1)?
1.37. Вычислить косинус угла между векторами а — b Ц
а + *, если а = (1, 2, 1) и 6= (2, -1. 0).
1.38* . Вычислить косинусы углов, которые образуют с векч
торами 1, /, А вектор:
a) а-1+J+fc б) b-------3/-*;
в) с — —51; г) <1 — 3/ + 4*.
1.39. Вычислить координаты вектора р, коллинеарного век«
тору q = (3, —4), если известно, что вектор р образует тупой
угол с вектором 1 и |р| — 10.
1.40. Вектор Ь коллинеарен вектору а = (6, 8, —15/2) и об-
разует с ортом k острый угол. Зная, что |6| =50, найти его
координаты.
1.41. Вычислить угол между векторами а — 21+ / и 6^1
— 1 — 2/ и определить длины диагоналей параллелограмма, по-
строенного на этих векторах как на сторонах.
1.42* . Векторы а, Ь и с имеют равные углы. Найти коорди-
наты вектора с, если a — 1 + / и 6 — / + А.
1.43. Прямая составляет равные углы с ребрами прямого
трехгранного угла. Найти эти углы.
1.44. Векторы АВ = (3, —2, 2) и ВС —(—1, 0, —2) являются
смежными сторонами параллелограмма. Определить величину,
угла между его диагоналями.
s T. ВЕКТОРЫ В КООРДИНАТАХ
403
Пример 1.5. Вычислить координаты единичного вектора а,
если известно, что он иерпенднкулнрен векторам b = (1, 1, 0)
и с - (0, 1, 1),
Решение Пусть вектор а имеет координаты X, У, Z.
Тогда по условию задачи
Х»+У’ + 2’—1. (»)
Из условия перпенднкулирности вектора а с векторами Ь и
с получаем уравнения
Х + У —0 Я r + z-o.
Подставляя X в Z, выраженные через У, в равенство (•), полу*
чаем У = ± 1/V3. Следовательно, существуют два вектора,
{удовлетворяющих условию задачи:
в|”( 7з ' 7з ’ V3> ва=-(тз- V3 ’ 7з )’
„ ( 1 1 1 \
Ответ. в|«-|------т=г, —==-,----?= |,
V V3 Уз V3J
в’“(уГ -vF* уз )’
1.45. При каком значении Z векторы а « (в, 0, 12) и 6 ='
!= (—8, 13, Z) перпендикулярны?
1.4в. При каких X н У вектор а = XI + У/ + 2k перпендику-
лярен вектору Ь = I — / + А и скалярное произведение векторов
а в с — 1 + 2/ равно 4?
1.47. Вектор с перпендикулярен векторам а = (2, 3, — 1) и
Ь = (1, — 2, 3) я удовлетворяет условию с(21 — / + А) = — в,
Найтн координаты с.
1.48. Вычислить координаты вектора с, перпендикулярного
векторам а « 2/ - А и А — — 1 + 2/ — ЗА и образующего тупой
угол с ортом J, если | е | — У? •
1.49* . Найти координаты вектора а = (X, У, Z), образую-
щего равные углы с векторами Ь=(У,—2Z, ЗХ), с= (2Z, ЗХ,—У),
если а перпендикулярен вектору d=> (I, —1, 2), |в| = 2Уз н
угол между вектором а и ортом / тупой.
1.50. В параллелограмме ABCD известны координаты трех
вершин: 4(3, 1, 2), В(0, —1, —1), С(—1, 1, 0). Найти длину
диагонали BD.
1.51. Доказать, что точки А (1, —1, 1), В(1, 3, 1), С(4, 3, I),
D(4, —1, 1) являются вершинами примоугольника. Вычислить
длины его диагоналей и координаты их точки пересечения,
404
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
1.Б2. Доказать, что точки Л(2, 4, —4), В(1, 1, —3),
С (—2, 0, Б), D(—1, 3, 4) являются вершинами параллелограмма,
вычислить величину угла между его диагоналями,
1ЛЗ. Найти косинус угла <р между диагоналями параллело-
грамма АС и BD, если заданы три его вершины: А (2, 1, 3),
fi(5, 2, -1) и С(-3, 3, -3).
1.54. Треугольник задан координатами своих вершин:
Л(3, —2, 1), В(3, 1, Б). С(4, 0, 3). Вычислить длины медиан
AAi и BBt, расстояние от начала координат до центра тяжести
треугольника ЛВС, величины углов этого треугольника.
14МГ. Вычислить координаты вершины С равностороннего тре-
угольника ЛВС, если даны координаты Л(1, 3), В(3, 1).
1.56. Вычислить координаты вершин С н D квадрата ABCD
если даны координаты Л (2, 1), В (0, 4).
1.57. Даны точки В(1, —3), D(0, 4), являющиеся вершинами
ромба ABCD. Вычислить координаты вершин Л и С, если
блд - 60°.
1.58. Дапы вершины треугольника Л(1,— 1,— 3), В(2,1,—2)
и С(—Б, 2, — 6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего
угла при вершине Л.
1.59. Даны координаты трех точек Л(3, 3, 2), В(1, 1, 1) и
С(4, 5, 1). Определить координаты точки D, принадлежащей
биссектрисе угла ЛВС и удаленной от вершины В на расстояние
V870.
1.60. Вычислить работу силы F « I + 2/ + * при перемеще-
нии материальной точки из положения Л(— 1, 2, 0) в положение
В(2, I, 3).
1Л1. Даны три снлр М (3, —4, 2), N = (2, 3, 5) и Р =
*(—3, —2, 4), приложенные к одной точке. Вычислить работу,
производимую равнодействующей этих сил, когда их точка при-
ложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из Л (5, 3, —7)
в В(4, 1, -4).
1.62. Найти длины сторон н величины углов треугольника о
вершинами Л(—1, —2, 4), В(—4, —2, 0) н С(3, —2, 1).
1.63. Известны координаты вершин треугольника: Л(1, 1, 1),
В(2, 4, 2), С (8, 3, 3). Определить, является ли этот треугольник
прямоугольным или тупоугольным.
1.64. Вершины треугольника находятся в точках Л(2, — 3,0),
В(2, —1, 1) и С(0, 1, 4). Найти величину угла <р, образованного
медианой DB и основанием АС.
1.65* . В треугольнике ЛВС точка Н — точка пересечения вы-
сот. Известно, что ЛВ™ (6, —2), АС =• (3, 4), Найти координаты
вектора А&.
f 2. ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ'
405
1.66. Доказать, что треугольник АВС, вершины которого рас-
положены в точках 4(1, 0, 1), В(1, 1, 0), С(1, 1, 1), пряно-
угольный. Найти расстояние от начала координат до центра
окружности, описанной около этого треугольника.
1.67. Треугольная пирамида задана вершинанн 4(3, 0, 1),
В(—I, 4, 1), С(5, 2, 3), D(0, —5, 4). Вычислить длину вектора
АО, если О — точка пересечения медиан грани BCD.
1.68* . Объем прямой треугольной призмы ABCAiBtCi ра-
вен 3. Определить координаты вершины 4|, если координаты
вершин одного из оснований призмы известны: 4(1, 0, 1),
В(2, 0, 0), 0(0, 1, 0).
1.69. В декартовой прямоугольной системе координат Оху
па кривой у — х1 заданы такие точки Л и В, что ОА* I - 1 и
oS • I — —2. Найти длину вектора 12ОЛ — Зо5.
1.70. В декартовой прямоугольной системе координат Оху
на кривой у = х* — 2х + 3, лежащей в первой четверти, заданы
точка 4(xi, yt) с абсциссой х» = 1 н точка В(х», у») с орднна-
гой у» “ 11. Найти скалярное произведение векторов ОА, ОВ-
§ 2. Задачи на аналитическую запись линий
на плоскости и поверхностей в пространстве
Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной система аоор-
двват Оху может быть задана одним из уравнений (1)—(7).
Общее уравнение прямой:
Ах + Вр + С=0. (1)
Уравнение прямой, проходящей через точку Мо (Хо, перпендикулярно
вектору л—(А. В):
4 (к—х.) + В(р—р0)=0. (2)
Уравнение прямой, проходящей через точку М« (Хо, р.) параллелмо век-
тору а—(т, л):
*-*• _ У—У» (3)
т л
Уравнение прямой в отрезках:
где а и Ь — координаты точек, отсекаемых прямой на координатных осях Ох
И Оу соответственно.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом А:
У^кх + Ь. (5)
Уравнение прямой, проходящей через данную точку Ма (Хо. До) с данным
угловым коэффициентом А:
У—ро—*(л-Хо). (в»
Уравнение, прямой, проходящей через две точки М, (хь у,) и Mi(xb Pi):
(п
Уз—Bi
406
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
Уалом маждр прямыми I, к I, вызывается взвивавши* из двух смеж-
ных углов, образованных этими прямыми. Угол между прямыми h в lt с уг*
левыми коэффициентами ki и А, вычисляется по формула
tg<O.)°| *+**', |. *t**>y*-i.
Если то Jfe,-Aa=~ —1.
Если h I I,. то А|»
(»)
№
(10)
Расстояние от точки Mt(Xc. у«) до прямо* I. задаваемой уравнением
Ах + Вр + С—0, находится по формуле
р (Ми I)—L4S + ®&±£L. (И)
л/л'+в*
Пример 2.1. Прямая I проходит через точку М»(х», у»\
перпендикулярно вектору п= (Л, В), Написать уравнение пря-
мой I, если Мо(—1, 2), п = (2, 2).
Решение. Согласно формуле (2) имеем 2(х+1)+’
+ 2 (у — 2)= 0. Раскрывая скобки и приводя подобные члены,
получаем уравнение ж + у — 1 ~ 0.
Ответ, х + у — 1 -0.
Пример 2.2. Написать уравнение прямой, проходящей че-
рез точку Afo(—1, 2) и параллельной вектору a = (3, —1),
х -4- 1 у — 2
Решение. Согласно формуле (3) имеем —=—~ —:—,
О “““ 1
нли х + Зу — 5 =0.
Ответ, ж + Зу — 5 — 0.
Пример 2.3. Заданы прямая /; — 2ж + у — 1 = 0 н точка
М(— I, 2). Требуется:
1) вычислить расстояние р(М, I) от точки М до прямой О
2) написать уравнение прямой V, проходящей через точку М
перпендикулярно заданной прямой 1;
3) написать уравнение прямой I", проходящей через точ-
ку М параллельно заданной прямой I.
Решение. 1) Согласно (11) имеем
Р (М, /) -
| (-2) (-1) + Ь2 - I | 3.
V4+T V5
2) Применяя формулу (9) для А| = 2, получим А» »» —1/2.
Согласно (6) имеем ж + 2у — 3 = 0.
3) Применяя формулы (10) и (6), получаем у — 2 = 2(ж+1),
т. е. у •= 2х + 4.
s 2. ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ' 40?
2.1. Прямая I проходит через точки Mi(X|, yt) и Mt(xt, у»),
Написать уравнение прямой I, если:
a) М, (I, 2), М» (-1. 0);
б) Al, (1, 1), Af, (1, -2);
в) Al, (2, 2), М» (0, 2).
2.2* . Составить уравнение прямой, которая проходит через
точку М(8, 6) и отсекает от координатного угла треугольник <
площадью, равной 12.
2.3. Написать уравнение прямой, параллельной двум задан-
ным прямым /1 и /1 и равноудаленной от /| и It, если:
а) /,: Зх —2у —1—0, Za: JLZ±_JL+2;
hi / • Чг I _п » Д*+ 1/2 v + 1/2
о) Зх — — 1 и, g “ e г ।------------•
2.4. Треугольник АВС задан координатами своих вершин
Л (1, 2), В(2, —2), С(6, 1). Требуется:
1) написать уравнение прямой, содержащей сторону ЛВ;
2) написать уравнение прямой, содержащей высоту CD а
вычислить длину ft — | CD |;
3) найти угол ф между высотой CD в медианой ВМ;
4) написать уравнение биссектрис н It внутреннего и
внешнего углов при вершине А.
2.5. Из точки М (5, 4) выходит луч света под углом ф —
= arctg 2 к осн Ох и отражается от нее. Написать уравнения
падающего и отраженного лучей (уравнения прямых, содержа-
щих эти лучи).
2.6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
М(2, 1) под углом п/4 к прямой 2х + Зу 4- 4 — 0.
2.7* . Две вершины треугольника АВС находятся в точках
Л(—1, —J) н В(4, 5), а третья вершина лежит нВ прямой
р = 5(х — 3). Площадь треугольника равна 9,5. Найти коорди-
наты вершины С.
2.8. Даны три точки Л (2, 1), В(3, 1), С (—4, 0), являющиеся
вершинами равнобочной трапеции ABCD. Вычислить координаты
точки D, если АВ = kCD.
Уравнение окружности радиуса R с центром п точке
Со(Хо, у о) имеет вид
(х — хв)’ + (у — ро)1 — Я’-
Пример 2.4. Составить уравнение окружности, проходя-
щей через точки Л (2, 0), В (5, 0) и касающейся осн Оу.
Решение. Пусть неизвестный центр окружности Со имеет
координаты (хо, у»\. Тогда из условия касания окружности осн
408
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
Оу заключаем, что абсцисса центра х« равна радиусу R. Так
как точки А (2, 0) и В(5, 0) лежат на окружности, то их коор-
динаты удовлетворяют уравнению окружности. Используя пере-
численные условия, получим следующую систему уравнений;
(xo-2)2 + ^“*2'
(*е-5/+ 00-Я2.
х0 —/?,
которая имеет два решения: х0“ 7/2, 0О=± R = 7/2.
Ответ. (x--j-)2 + G/- УЮ1--j- и (х—5"У +
+ (y4-Vio)2 = 4.
2.9. Составить уравнение окружности, вписанной в треуголь-
ник, стороны которого лежат на прямых х = 0, 0 = 0,
Зх + 4р - 12 — 0.
2.10. Дана окружность х* + у* = 4. Составить уравнение
прямой /, параллельной осн абсцисс и пересекающей окружность
в таких точках М и N, что |Л4АГ| = 1.
2.11* . В окружность х* 4-0» =169 вписан квадрат ABCD.
Найти координаты вершин В, С и D, если Л (5, —12).
2.12* *. Дана окружность х1 4- уг = 9. Составить уравнение
окружности, проходящей через начало координат, точку Л (1, 0)
и касающейся данной окружности.
2.13. Составить уравнение окружности, проходящей через
точку Л (2, 1) в касающейся осей координат.
Плоскость а в прямоугольной системе координат Охуг может быть за-
дана следующими способами.
Общее уравнение плОвкостн:
Ал + By + Сх + D-0.
Уравнение плоскости, проходящей через точку М« (х«, р«, г.) перпен-
дикулярно вектору В. С):
А(х—х.) + В(у — р,) + С (л—г<,)—0. (12)
Узлом между двумя плоскостями а, к а, называют ианменъшнй из
двугранных углов, образованных зтнмн п.носкостями. Косинус этого угла вы-
числяется по формуле
(13)
где л,—(A,, Bi, С|) я я,—(А,, В,, С,)—векторы, перпендикулярные плоско-
стям а, н а, соответственно.
Пример 2.5. Составить уравнение плоскости, если извест-
но, что точка АГ(3, 5, 2) является основанием перпендикуляра,
проведенного из начала координат к этой плоскости, и принад-
лежит плоскости.
4 2 ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ'
409.
Решение. Из условия вадачи следует, что вектор ON пер*
пендикулярен искомой плоскости, где О — начало координат,
N — точка, принадлежащая плоскости, и ON = (3, 5, 2). Соглас-
но (12) уравнение плоскости, проходящей через точку N перпен-
дикулярно вектору ON, имеет вид
3(ж_3) + Б(у-6) + 2(г-2)-0.
ели
3х + бр + 2д-38 —0.
Пример 2.6. Найти угол между плоскостью, проходящей
через точки М(0, 0, 0), JV(1, 1, 1), К(3, 2, 1), я плоскостью, про-
ходящей через точки А4(0, 0, 0), АГ(1, 1, 1), D(3, 1, 2).
Решение. Согласно формуле (13) для вычисления коси-
нуса угла между плоскостями, необходимо найти координаты
векторов, перпендикулярных этим плоскостям. Пусть вектор
л( = (Л|, В|, С|) перпендикулярен первой плоскости. Тогда
“ ► — > •* ►
niJLAIW н и, следовательно, /!>• МЫ «0, щ —0.
Записывая эти равенства в координатной форме, получаем си-
стему уравнений
А + А + С| —О,
ЗЛ, + 2В| + С! — 0, W
решениями которой будут неизвестные координаты вектора яь
Так как система (*) состоит только из двух уравнений, то одно
неизвестное, например Ct, можно взять в качестве свободного.
Полагая его равным 1, получим п( = (1, —2, 1). Проводя ана-
логичные рассуждения, находим: вектор пг, перпендикулярный
второй плоскости, имеет координаты (—1/2, — 1/2, 1). Подстав-
ляя найденные координаты в выражение (13), получим: kochhvo
искомого угла равен
соз <р —
-1/2 4-1 + 1
76'73/2
1
2 ’
п, следовательно, угол между плоскостями равен 60s.
Ответ: 60°.
Пример 2.7. Даны плоскость 2х + 2у — а + 4 = 0 и пря-
мая /, проходящая через точки Л(2, 1, 1) н В(—3, 4. 0). Вычис-
лить координаты точки пересечения прямой I с данной пло-
скостью.
Решение. Вычислим координаты вектора:
410
ГЛ. 14. метод КООРДИНАТ
Пусть точка М(х0, у», г«) является точкоА пересечения дан-
ной плоскости и прямой, проходящей через точки А и В. Это
вначит, что, во-первых, координаты точки М удовлетворяют урав-
нению данной плоскости, т. е. связаны равенством
2х0 4- 2у0 — *о + 4 = 0.
В, во-вторых, вектор AM коллинеарен вектору АВ:
AM — kAB,
откуда следуют равенства
х0 —2—-5Л,
</0-1=3*-, (•)
20 - 1-----k.
Решая систему уравнений (*), находим координаты точки
М: х« — —13, уа ™ 10, г* = —2.
Ответ. (-13, 10, -2).
2.14. Составить уравнение плоскости, если известно, что она
проходит через начало координат и перпендикулярна вектору
— (-6, 3, 6).
2.15. Прямая I проходит через точки А и В. Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикуляр-
но прямой /, для каждого из следующих случаев:
а) А (1. 2, 3), В (4, 6, 9);
б) А (-1, 2, 3), В(3, —2, 1);
в) А(1, 0, -3), В (2. -1, 1).
2.15. Найти угол между плоскостями:
а) 2х + у — г — 2, tty Зх — у — 2г — 1,
х + 2у — z — 1; 2х + Зу — г — 2;
в) х — у + Зг — 2,
—х — Зу + г = 2.
2.17 *. Дана плоскость х —y + 2z—1 = 0 и прямая, прохо-
аащая через точки А(2, 3, 0), В(0, 1, 1). Вычислить синус угла
между прямой АВ и данной плоскостью.
2.18 . Прямая задана точками А(1, —1, 1) >н В(—3, 2, 1).
Найтн угол между прямой АВ и плоскостью:
а) бх + 2у — Зг — 7 — 0; б) Бх — у + 8г — 0.
2.1В. Вычислить расстояние от плоскости 15х—10у +
Ц-бг — 190 = 0 до начала координат.
2.20. Вычислить расстояние:
а) от точки (3, 1, —1) до плоскости 22х + 4у — 20г — 45—j
>= 0;
$ 2. ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ 411
б) от точки (4, 3, —2) до плоскости 3* — у + 5г + 1 “0;
в) от точки (2, 0, —1/2) до плоскости 4х—4р4-2г4-17 = 0.
2.21. Вычислить высоту (hs) пирамиды с вершинами
$(0, 6, 4), 4(3, Б, 3), В(—2, 11, -5), 0(1, -1, 4).
2.22. Составить уравнение плоскости, отстоящей на расстоя-
ине 6 единиц от начала координат и отсекающей на осях коор-
динат отрезки, связанные соотношением а : b : с — 1:3:2.
2.23. Найти координаты точки пересечения плоскости
2х — у + г — О я прямой, проходящей через данные точки
4(-1, 0, 2) и В(3, 1, 2).
2.24. Найти точку пересечения:
а) прямой, представляющей собой линию пересечения двух
плоскостей Зх — 4у — О и у — Згж 6 и плоскости 2х — 5у —
~z-2 — 0;
л .х — 7 у — 4 г — 5 „ .
б) прямой —=— — -г—.— = —-— и плоскости Зх — у +
5 14
+ 2г-5 — 0.
Уравнение сферы с центром в точке С« (х,. Ро. г«) радиусом Я имеет
ввв
(X—ХоНЧ-(у —»•)’+(*—(14)
Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение приобретает
вид
х’ + Е’ + г’-Я*. (16)
Пример 2.8. Составить уравнение сферы, проходящей че-
рез данную точку 4(1, —1, 4) н касающейся координатных пло-
скостей.
Решение. Так как искомая сфера касается координатных
плоскостей и центр сферы находится в той части пространства,
для каждой точки которой х>0, у < 0, г > 0 (ибо в’ этой ча-
сти расположена точка 4(1, —1, 4)), то координаты центра бу-
дут (R, —R, R). -С другой стороны, так как точка 4 принадле-
жит сфере, то ее координаты удовлетворяют уравнению (14)1
(I - R1) + (-1 + R)1 + (4 - /?)’ = /?’,
откуда следует, что
Я’ - 6R + 9 = 0 или (R - 3)’ — 0, т. е. R — 3.
Ответ. (х-3)!+(У + 3)’+(г —3)» = 9.
2.25* . Вычислить расстояние от плоскости 2х + 2у — г -f-
4-15 — 0 до сферы х* + у* -f- г* — 4 — 0.
2М. Дана сфера х* + у* + г1 — 25 — 0 и прямая /, прохо-
дящая череа точку 4(2, 1, 1) параллельно вектору а — (2, —4,
412
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
—1). Вычислить координаты точек пересечении прямой I со
сферой.
2.27. Найти множество точек пространства, сумма квадратов
расстояний от каждой нз которых до данных двух точек
Л (2, 3, —1) и В(1, —1, 3) имеет одно и то же значение гл1.
§ 3. Решение геометрических задач
с помощью метода координат
Геометрические задачи этого параграфа решаются введением
декартовой системы координат на плоскости или в простран-
стве. Приведённые ниже задачи могут быть решены н методами
влементарной геометрии. Однако, как правило, эти решения тре-
буют использования нетривиаль-
ных, искусственных приемов.
Пример 3.1. В равнобед-
ренном треугольнике ЛВС (|ЛВ| =,
= |ВС| =8) точка Е делит бо-
ковую сторону АВ в отношении
3: 1 (считая от вершины В).
Вычислить угол между векторами
СЕ я СА, если|СЛ|— 12.
Решение. Введем систему координат Оху так, как указа-
но на рис. 14.1 (по свойству высоты равнобедренного треуголь-
ника |ОЛ| “ |ОС|). Из треугольника ОВС находим
|ОВ| — Vl ВС|2-|ОС|2 — 2V7.
Поскольку Л>—то ci — СЛ + -у- Л? и координаты век-
торов сТ и ci равны соответственно
СА — (-12, 0), ЛВ - (в, 2 V7), ci ~ (- -у-,
Подставляя найденные координаты в формулу скалярного про-
изведения векторов, получаем
(—12) • (—21/2) 3<Т
соз а ™-----‘J-*. ' 1 —г— ™ —х—.
12 V(21/2)2+ (77/2)4 8
3 v7
Ответ. Искомый угол равен агссоз —.
О
равнобедренном треугольнике ЛВС (|ЛВ| — |ВС| —
15) точка Е делит сторону ВС в отношении 1:4 (считая от
f 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 413
вершины В). Вычислить угол между векторами ЛЁ в АС, если
| ЛС| —20.
Э.Эг -В прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой,
|ЛВ| “ 3, |ВС| =4. Вычислить угол между медианами ЛМ и
BD.
ЭЛ. В прямоугольном треугольнике с катетами АВ и ВС
(|ЛВ| "8. |ВС| 6) проведена прямая AD, делящая ВС в
отношении |BD|: |DC| " 4:5. Вычислить угол между векто-
рами АВ и AD.
8.4. В прямоугольном треугольнике а катетами ВС и ВА
(|ВС| “ 4, |ВЛ| = 3) проведена прямая AD, делящая сторону
ВС в отношении |BD| : |DC| = 3:5. Вычислить угол между
векторами аЬ и В?.
ЭЛ*. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник АВС
с прямым углом при вершине В; BS — его высота, К — середина
высоты BS, а М — точка пересечения
прямой АК со стороной ВС. Вычис-
лить отношение, в котором точка М
делит отрезок ВС.
Пример 3.2. Доказать, что если
основания высот треугольника ЛВС
соединить прямыми, то получим
треугольник, для которого эти высо-
ты будут биссектрисами.
Решение. Опустим высоты
треугольника из его вершин: ЛЛ|ЛВС,
BBj-кЛС и CCj-кЛВ, точку пере-
сечения высот обозначим О. Выбе-
рем систему координат так, чтобы
ее начало совпадало с точкой С»,
ось Ох прошла через вершину В (рис. 14.2). Тогда ось Ot)
пройдет через вершину С. Пусть координаты вершин треуголь-
ника таковы: Л (—а, 0), В(Ь, 0), С(0, с). Докажем, что высота
С\С — биссектриса угла Л,С|В|.
Уравнение прямой, проходящей через точки Л и С, имеет
вид
с .
х + с.
(-)
Уравнение прямой, проходящей через точки В и О перпендику-
лярной прямой АС, имеет вид
If
(•О
414
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
(при получении последнего уравнения использовано соотношение
между угловыми коэффициентами двух взаимно перпендикуляр-
ных прямых: Affti =—!). Решая систему уравнений (•) и (••),
входим координаты точки пересечения этих прямых (точки Bt):
„ ( a (ab — с3) ас (а + Ь) \
1 \ а1 + с* ’ а3 + с3 )’
Аналогично, записывая уравнения прямых, проходящих через
пары точек В, С и А, О, находим координаты точки At:
. f b (с* — ab) be (a + b) \
Л| k fr’ + c* ’ b3 + c3 )‘
Записывая уравнения прямых, проходящих через пары точек
At, и Bt, Ct, находим угловые коэффициенты этих прямых:
с (a + Ь) . с (а + Ь)
AiCi с? — ab * ab — с3 ’
откуда следует, что kB)Ci = — Ьдс,- Так как угловой коэффици-
ент представляет собой тангенс угла наклона прямой к положи-
тельному направлению оси Ох, то получаем
^С?в"1 л —
откуда следует, что ACtB|«JjCiAp Так как прямая CtC пер-
пендикулярна прямой АВ, то ^|С|^ — Xcj^, т. е. высота CtC
треугольника АВС действительно является биссектрисой треуголь-
ника AtfltCt.
Аналогично можно- доказать, что и другие две высоты тре-
угольника АВС являются биссектрисами соответствующих углов
треугольника А1В(С|.
3.0. На высоте CCt треугольника АВС дана произвольная
точка Р. Прямые АР и ВР пересекают стороны ВС и СА соот-
ветственно в точках At и St. Доказать, что луч CtP является
биссектрисой угла AiCtBt.
3.7* . Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами а
a b, С = 90*. Составить уравнение множества точек М, для ко-
торых
| МА |2 + | МВ |’-2 | МС |2.
3.8. В плоскости прямоугольника ABCD дана точка Af. До-
казать, что
| МАI2 +1 МС |2 — | МВ |2 + | MDI2.
$3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 415
3.9. Окружность вписана в ромб с углом 60°. Расстояние от
центра окружности до ближайшей вершины равно 1. Доказать,
что для любой точки Р окружности имеет место равенство
| РА |2 + | РВ |’+ | PC |2 + | PD |2— II.
3.10 . Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки М,
взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой нз
параллельных этому диаметру хорд постоянна.
3.11. Около окружности описан квадрат ABCD. Из вершин
квадрата к произвольной прямой, касающейся окружности, про-
ведены перпендикуляры AAt, BBt, CCt и DDt. Доказать, что
MAl.ICCJ-IBBd.IDD, |.
3.12. Дан равносторонний треугольник АВС и окружность,
проходящая через вершины А и В, центр которой D симметри-
чен вершине С относительно прямой АВ. Доказать, что еелп
М— произвольная точка этой окружности, то из отрезков МА,
МВ, МС можно составить прямоугольный треугольник.
3.13. В окружность вписан прямоугольник ABCD. Из произ-
вольной точки Р окружности проведены перпендикуляры к пря-
мым АВ, ВС, CD и DA, пересекающие эти прямые соответ-
ственно в точках К, L, М и N. Доказать, что точка V— орто-
центр треугольника KLM.
3.14. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от точки окружности до вершин квадрата
не зависит от выбора точки на окружности. Найтн эту сумму.
3.15. Около квадрата описана окружность. Доказать, что
сумма квадратов расстояний от точки окружности до вершин
квадрата не зависит от выбора точки на окружности. Найти, эту
сумму.
Если объектом задачи является куб пли прямоугольный па-
раллелепипед, то наиболее удобной является система координат,
начало которой находится в одной нз вершин нижнего основания
этих тел, а координатные осн проходят через ребра, выходящие
из этой вершины.
Пример 3.3. Длина ребра куба ABCDAtBtCiDi равна 1.
На ребре AAt взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна
1/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF
равна 1/4. Через центр куба я точки Е и F проведена пло-
скость а. Найти расстояние р от вершины Bt до плоскости а.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ее на-
чало совпало с точкой А, а оси Ох, Оу и Ог проходили черев
416 ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
ребра АВ, AD н AAt соответственно. В этой системе координат
£(о,.,±). <>,(,4.|).
Составим уравнение секущей плоскости а. Пусть вектор
л = (nt, л», Л|) перпендикулярен искомой плоскости. Так как
векторы
-4,4-). гг,_(_4,4„4)
принадлежат искомой плоскости, то, используя условие перпен-
дикулярности пар векторов nt EF и п, Е0|, получим следую*
щую систему уравнений для л i, Ла, лэ:
я» . "1 _п
+-з-“0,
_J«L+ «1. . 2±_0.
2 4 2
Считая Л) свободным неизвестным, получим Л|=-^-л> и л»™
g
s —g" Лэ. Полагая Ла = 9 в качестве вектора, перпендикуляр-
ного искомой плоскости, получаем вектор л — (5, —8, 9). Урав-
нение плоскости, проходящей через точку £(0, 0, 1/3) перпенди-
кулярно вектору л = (5, —8, 9), будем иметь вид
Бх — 8g + 9z — 3 = 0.
Координатами точци Bt в выбранной декартовой системе ко-
ординат будут (1, 0, 1), Вычислим расстояние от точки
0i(l, 0, 1) до плоскости:
Бх — By + 9z — 3 = 0.
Пусть Af(xo, go, хо)— точка основания перпендикуляра к дан-
ной плоскости, проходящего через точку Bt. Вычислим коорди-
наты точки М. Так как эта точка принадлежит' плоскости, то
координаты этой точки должны удовлетворять уравнению пло-
скости:
Бх0 — 8go + 9хо — 3 = 0. (•)
►
С другой стороны, вектор BtM перпендикулярен данной плоско-
сти, и, следовательно, вектор В|А коллинеарен вектору л:
BiM — ka.
$ Э. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 417
Последнее равенство в координатной форме дает следующие три
уравнения;
хв - 1 — 6k,
V^-8k, (.♦)
го-1—9*.
Решая систему уравнений (♦), (**), находим координаты точ-
ки М
П5 „ _ 88 _ 71
Ж#= 170’ Vt" 170’ Z’“ 170
В длину вектора I BtM I =» —}==, которая и является искомым
V170
расстоянием от точки Bi до плоскости.
Ответ. 11/VnO.
8.16. Длина ребра куба ЛВСЛД1в1С|О| равна 1. На ребре
PC взята точка Е так, что длина отрезка BE равна 1/4. На
ребре CiDt взята точка F так, что длина отрезка FDt равна 2/5.
Через центр куба и точки Е и F проведена плоскость а. Найтн
расстояние от вершины At до плоскости а.
.ДДТГ'Длнна ребра куба ABCDAtBiCiDt равна 1. На ребре
Дв взята точка £ так, что длина отрезка BE равна 2/5. На
ребре CCt взята точка F так, что длина отрезка FC равна 2/3.
Через центр куба и точки Е н F проведена плоскость а. Найти
расстояние от вершины А до плоскости а.
3.18. Длина ребра куба KLMNKiLtMiNt равна 1. На ребре
MMt взята точка А так, что длина отрезка AM равна 3/5. На
ребре KiKt взята точка В так, что длина отрезка KiB равна 1/3.
Через центр куба и точки А и В проведена плоскость а. Точка
Р — проекция вершины N на плоскость а. Найти длину ^отрез-
ка ВР.
3.19. Длина ребра куба KLMNKtLiMiNi равна 1. На ребре
KL взята точка А так, что длина отрезка AL равна 3/4. На реб-
ре Л1.М| взята точка В так, что длина отрезка МВ равна 3/5.
Через центр куба и точки А н О проведена плоскость а. Найти
длину отрезка ВР, где точка Р— проекция вершины N на пло-
скость а.
3.20. Длина ребра куба KLMNKtLiMiNi равна 1. На ребре
KL взята точка А так, что длина отрезка КА равна 1/4. На
ребре MMt взята точка В так, что длина отрезка MtB равна 2/5.
Через центр куба и точки А и В проведена плоскость а. Точка
Р — проекция вершины Kt на плоскость а. Найти длину от*
резка АР.
J4 А. Г. Цнакаа. А. И, ПввскаЯ
418
ГЛ. И. МЕТОД КООРДИНАТ
3.21. Дан куб ABCDAlBiCtDt; точка К —середина ребра
AAt, L — центр грани CCtDiD. Найти угол между плоскостями
BKL и AD\C.
3.22* . Найти площадь сечения куба ABCDA\BxCiD\ плоско-
стью, проходящей через вершину А и середины ребер 0|С| и
DtCi. Ребро куба равно а.
3.23* *. В кубе ABCDA^iCtDi с ребром а точка К—середина
ребра АВ, точка L — середина ребра DDt. Найти стороны тре-
угольника AiKL и определить, в каком отношении делит объем
куба плоскость, проходящая через вершины этого треугольника.
3.24. ' В кубе ABCDAiBiCtDi с ребром а последовательно со-
единены середины ребер ЛЛ1, Л(В|, BiCt, CtC, CD, DA и AAt.
Доказать, что полученная фигура есть правильный шестиуголь-
ник, и определить его площадь.
3.25. Длина ребра куба ABCDAtBtCtDt равна а. Точки £ и
F — середины ребер ВС и BtC\ соответственно. Рассматриваются
треугольники, вершинами которых служат точки пересечения
плоскостей, параллельных основаниям куба, с прямыми AtE, DF,
ADt. Найти:
а) площадь того треугольника, плоскость которого прохо-
дит через середину ребра AAt;
б) наименьшее возможное значение площади рассматривае-
мых треугольников.
3.26. В куб вписана сфера. Доказать, что сумма квадратов
расстояний от точки сферы до вершин куба не зависит от вы-
бора точки. Найти эту сумму.
Пример 3.4. Основанием пирамиды SABC является равно-
сторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна
4-^2- Боковое ребро Ж? перпендикулярно плоскости основания
2 и имеет длину 2. Вычислить ве-
s‘'___________________ личину угла треугольника и рас-
К “ -'''7 * стояние между скрещивающимися
/ прямыми, одна из которых про-
Ч / ходит через точку S и середину
. / /В *у ребра ВС, а другая проходит через
Z/ точку С я середин^ ребра АВ.
Решение. Введем прямо-
В угольную систему координат,
Рм 14J приняв за начало координат точку
С, за ось ординат — прямую
CD (точка D — середина Л£), за ось аппликат — прямую CS, за
ось абсцисс — прямую, принадлежащую плоскости треугольника
АВС я перпендикулярную прямой CD, а за единицу масштаба —
отрезок, длина'которого равна 1 (рис, 14.3). В этой системе
1
$ Э. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 419
координат векторы CD и SE (точка Е — середина стороны СВ)
имеют следующие координаты:
CD—(б, -^|СВ|, о) —(а 2Уб, 0),
-|CS|)-(V2, Уб, -2).
Поэтому
cos (CD, SE) —
|CD|.|S£|
12 д У2
гУб-УТг “ 2 ’
и, следовательно, искомый угол равен 45°.
Пусть PQ — общий перпендикуляр к прямым SE и CD
(PeSE, QeCD). Тогда существуют такие числа а и 0, что
SP — а • SE, CQ — 0 • CD. Ясно, что
PQ~=PS + SC + CQ = —aSE - CS 4 (iCD.
или, в координатном виде,
PQ = (-а У?, -аУб + 0 • 2Уб, 2а - 2).
Так как PQJ.CD и PQJLSE, то PQ CD — O^Q 5£ — 0.
Последние два векторных уравнения в кодрдяНЯтной форме имеют
вид
(-аУб 4-0-2 Уб).2Уб — 0.
-а У2 • У2 + (-а Уб + 0 • 2Уб) • Уб + (2а - 2) (-2) = 0,
или
а —20.
-За+ 30+ 1—0,
откуда а — 2/3, 0 — 1/3. Таким образом.
Ответ. Величина угла равна л/4. искомое расстояние рав-
но 2/Уз.
3.27. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный
прямоугольный треугольник АВС, длина гипотенузы АВ кото-
рого равна 4 У?. Боковое ребро пирамиды SC перпендикулярно
плоскости основания, в его длина равна 2. Найти величину угла
расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из кото-
рых проходят через точку S и середину ребра АС, а д0упн про-
ходит через точку С и середину ребра АВ,
14*
420
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
3.28. Основанием пирамиды HPQR является равносторонний
треугольник PQR, длина стороны которого равна 2п/2. Боковое
ребро HR перпендикулярно плоскости основания в имеет длину 1.
Найти величину угла и расстояние между скрещивающимися
прямыми, одна нз которых проходит через точку Н и середину
ребра QR, а другая проходит через точку R и середину ребра PQ.
3.29. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный
прямоугольный треугольник PQR, длина гипотенузы PQ кото-
рого равна 2 * Б°ковое ребро пирамиды перпендикулярно
плоскости основания, и его длина равна 1. Найти величину
угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из
которых проходит через точку Н н середину ребра PR, а дру-
гая проходит через точку R н середину ребра PQ.
3.30. Все ребра правильной призмы АБСАНС) имеют дли-
ну а. Рассматриваются отрезки с концами на диагоналях BCt
и CHt боковых граней, параллельные плоскости 4ВВ|Л1.
а) Один из этих отрезков проведен через такую точку М
диагонали BCt, что ]SM| : | BCt | "1:3. Найти его длину.
б) Найти наименьшую длину всех рассматриваемых от-
резков.
3.31. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
имеет длину а, а боковое ребро — длину 2а. Рассматриваются
отрезки с концами на диагонали основания BD и боковом реб-
ре SC, параллельные плоскости грани SAD, Найти наименьшую
длину всех рассматриваемых отрезков,
§ 4. Простейшие задачи векторной алгебры
Два вектора АВ^я CD считаются равными, если:
1) длина вектора ЛВ равна длине вектора СО;
2) лучи АВ и СО одинаково направлены.
Прн твком определении равенства векторов множества всех век«
торов, равных aS. называют свободным вектором. Понятие свободного
векторе АВ можно связать также с отображением пространства на
себя, прн котором все точки пространства перемещаются в одном в
том же направления (направление АВ) на одно в то* же расстояние
(длину Ав). Так определенный свободный вектор называется также
параллельным переносом, который полностью определяется упорядочен-
ной пврой несовпадающих точек А, В.
Любая пара совпадающих точек определяет тождественное отобра-
жение пространства или нулевой вектор.
Линейными операциями над векторами называются операции сло-
жения н вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть а н Ь— два ненулевых вектора. Отложим вектор а от неко-
торой точки 0 н обозначим его конец буквой А (рис. 14.4). Отложим
от точки А вектор Э и обозначим его конец буквой В. Вектор о
с началом в точке 0 в концом в точке в (О?•с) называют суммой
векторов а и 0:
' t 4. ПРОСТЕЙШИЕ задачи ВЕКТОРНОЙ АЛГЕВРЫ 421
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами!
1) а + Ь—Ь 4- а;
2) с + (а + 0)=(с + □) + 0;
3) а + 0—а.
Приведенное выше правило сложения векторов называется прави-
лом треугольника (сумма векторов представляется третьей стороной
треугольника, в то время кая слагаемые образуют две другие стороны
треугольника, см. рис. 14.4). Наряду с этим правилом существует так
взываемое правило параллелограмма, при котором слагаемые векторы
Рис. 14.4
Рис. 14.5
откладываются от одной точки, через их концы проводятся прямые.
Достраивающие фигуру до параллелограмма (рис. 14.5), диагональ ко-
торого, проходящая через общее начало векторов, и равна сумме век-
торов.
Вектором, противоположным вектору а, называют вектор (-а) такой.
Что сумма векторов а н —а равна нулевому вектору:
а + (-а)-0.
Непулевые противоположные векторы имеют равные длины и противопо-
ложные направления.
Разность двух векторов а — Ь есть сумма вектора а и вектора, проти-
воположного вектору Ь, т. с.
с = а + (-0).
Разность векторов может быть получена с помощью правила треугольника.
Отложим от точки А вектор а (рис. 14.6); получим АВ = а. От конца вектора
А* отложим вектор 5?=-о. Вектор
—►
АС~с—разность векторов а и Ь:
Вектор разности двух векторов может
быть также выражен второй диаго-
налью параллелограмма ВА (рис.
14.5).
Произведением ненулевого вектора
а на число К Ф 0 называют вектор,
имеющий направление вектора а, если
положительно, н противоположное
направление. если А отрицательно;
длина этого вектора равна произведе-
нию длины вектора а на a6coj
аа) А.
Свойства операции умно
1) (А, А,) а» А, (А:а);
Рис. 14.1
аначение (модуль чнс«
евва вектора на число:
2) А(а + Р)—Аа + А0, (Ad-Ат) a*Ata + Аит;
3) 0-4*0;
4) U-1
Два ненулевых вектора пазывдртся коллинеарными. если они па-
раллельны одной пряной. Для коалмвеариоств двух векторов ait
499
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
веобаоднмо достяточво. чтобы суиц с шлю по число АяЧк удовлетво-
ряющее равенству
6 = Ла. (1)
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору
Пример 4.1. В трапеции ABCD вектор BC = KAD. Дока-
зать что вектор р = Л?+ BD коллинеарен AD.
Рис. 14.7
Решение. Согласно определе-
нням суммы и разности векторов
►
представим векторы АС и BD в виде
(рис. 14.7)
АС = АВ + ВС = АВ + XAD,
BD = AD — AB.
Для вектора р тогда справедливо следующее представление.
р = Д?+ВО = АВ + ЛЯО + ЛО-АВ = (Л + 1)ЛО.
Эго соотношение доказывает коллинеарность векторов р н AD.
^ТГЧереэ вершину С параллелограмма ABCD проведена
прямая, параллельная диагонали BD, которая пересекает пря-
мую AD в точке £; точка Q — точка пересечения диагоналей
— ►
параллелограммами. Выразить через векторы DC и CQ сумму
— ♦ —►
векторор АВ и СЕ.
$Л. Пусть ABCD — параллелограмм, причем К—середина ВС,
L — середина AD. Обозначим АК “ a, AL «= 6. Выразить векторы
В?) **3^ че₽€3 в
В трапеции ABCD отношение длины основания ВС к
длине основания AD равно п. Диагонали трапеция пересекаются
- > > —
в точке J0. Выразить вектор ЛО через векторы АВ и AD.
АЛ. Даны трн ненулевых вектора а. Ь, с, каждые два из
которых иеколлннеарны. Найти их сумму, если а + Ь коллинеа-
рен вектору с, а Ь + с коллинеарен вектору л.
Jf.t. Точки М, N, Р и Q лежат соответствеввр на сторонах
АВ, ВС, CD, DA параллелограмма ABCD, причем j AM 111МВ | =
— |вЛГ|:|ЛГС1—£>9|:|9Л|. Доказать, что
MNPQ — параллелограмм.
Если векторы а и ft иеколлннеарны, то из равенства
см 4- рб == 0 следует, что а = 0 н Р = 0.
Пример 4.2. Векторы а и ft иеколлннеарны. Найти значе-
ния Лир, если известно, что векторы
о — Ла+pft н d=(p+1)а+(2-Л)»
равныч
I 4. ПРОСТЕЙШИЕ задачи векторной АЛГЕБРЫ 423
Решение. Из равенства векторов cud следует
Ха + ц6 = (р + 1)а + (2 —Х)6
или
(р + 1 - X) а + (2 - X - и) 6 = 0.
Но, так как а и 6 неколлинеарны, то справедливы уравнения
р+1-Х — О.
2 - X — ц = 0.
Решая эту систему, находим X •= 3/2; р = 1/2.
Ответ: X = 3/2; ц = 1/2.
_4А'Иекторы а и b неколлинеарны. Найти X, если векторы
(X — 1)а + 26 и За + Х6 коллинеарны.
^ТГВекторы а и 6 неколлинеарны. Найти значение а, при
котором векторы (X —2)а-|-6 и (2Х+1)а — 6 будут колли-
неарны.
-ДевГВекторы а и 6 неколлинеарны. Найти значения X я ц,
прн которых справедливо равенство
v 2а — v “ v,
если я “ Ха + 2ц6, v D —2ра + 3X6, w — 4а — 26.
Три ненулевых вектора называются компланарными, если они па-
8аллсльны одной и той же плоскости. Если средн трех векторов есть хотя
ы один нулевой, то такие векторы также считаются компланарными.
Если три вектора а, Ь. t некомпланарны, то нэ равенства
а<э + р» + ус=0 (2)
следует, что а-0, р-0, у—0. '
Если векторы а н Э неколлинеарны, то любо.1 вектор с, компланарный
с векторами а к Э, можно единственным образом представить в виде
е—оа + рб.
Если векуоры а. Э, с некомпланаряы, то любой вектор 4 молено един-
ствеыым образом представать в ваде
d—еш-f-&Р + ус.
Три ненулевых вектора а, 0, с компланарны тогда н только тогда, когда
существуют три числа а, 0, у. * вся равные нулю, такие, что
аа + ₽Р + ус=0. (3)
Пример 4.3. Даны три нскомпланарных вектора а, 6 и С.
Доказать, что векторы а-|-26 — с. За — 6 4- с, — а + 56 — Зе
компланарны.
Решение. Согласно критерию компланарности трех век-
торов, достаточно найти три числа о, р, у, удовлетворяющих
условиям
а(а + 2*-в) + 0(Зи-6 + в)+у(-в + Б6-Зс)-а (•)
а* + Р’ + у* > 0. (•»)
424
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
Условие (•*) эквивалентно тому, что по Крайнев мере одно чясч
ло а, Р или у не равно нулю.
Преобразуем (*) к виду
(а+ Зр - у) а + (2а - р + бу) » + (-а + Р - Зу) с-0.
Так как а, Ь, с некомпланарны, то согласно (2) а, Р, у]
должны удовлетворять следующей системе уравнений}
а + Зр — у — 0.
2а — Р + бу — О,
—а + Р — Зу — 0.
(♦♦♦)
Одним из ненулевых решений системы (***) будет тройка чисел
а = -2, р = 1. у = 1.
Тем самым доказано, что а + 2Ь — с, За — 6 + с и —а 4i
4- 5Ь — Зе компланарны.
,аны три некомпланарных вектора а, Ь и с. Вычислить
аначение к, при котором векторы а 4- b + кс, Ь 4- с 4- ка,
с + а + kb компланарны.
ЗДОГДаны три некомпланарных вектора а, Ь, с. Доказать,
что векторы а 4- 6, 6 + с, с — а компланарны.
Jkfl. Даны три некомпланарных вектора а, Ь, с. Найтн чнс>
ла р и <7, прн которых векторы pa 4- qb 4- с и а + pb 4- qc кол-
линеарны.
^4Д2. Даны четыре ненулевых вектора а, Ь, с в d, каждые
три из которых некомпланарны. Найти их сумму, если а 4- b 4i
.4- с — pd н b 4- с 4- d = qa.
Пример 4.4. Дан параллелепипед ABCbAiBtCiDi. Раэло«
жить векторы ЛЛ(, Л? н по векторам йХ. Д?| и DB\.
Решение. Введем вспомогательные некомпланарные век-
торы а —ЛЛ|, b = AB, c = AD\ выразим через них векторы ОАц
DCi, dSi и искомые векторы AAt, AC, DB.
Согласно правилам сложения и вычитания векторов имеем
DA\ — л — с, DC| — a4"^> — а 4" — с, (•)
А<$ — b 4- с, йё b — о, а.
(•»)
DC,, bSi.
Из равенств (•) выражаем векторы а, Ь, с через DAi, DCt, DBt,
Имеем
а — — DB\ 4- D^lt b = дй| — DAi, с3=3—DB^ 4" Лм.
Подставляя аначення a, b, с в (••), получаем искомые представ-,
меняя.
S 4. простейшие задачи векторной алгебры
425
Ответ.
ЛЛ,DA\ — DBj *4»
Л?— (DBt - DAt) + (—ЙЛ, + DC,) — -DAt + DCt,
dH — (D^, - бл,) - (-D&, + DC,) — -DH, + 2DB, — DC,.
v4rf37 В тетраэдре О ABC точки M и N — середины ребер О В
и ОС. Разложить векторы AM, BN и MN по векторам ОА, ОВ
и ОС.
4J4TB треугольной призме ABCAiBiCt диагонали грани
ь —
BBtCtC пересекаются в точке М. Разложить векторы AM и Л,М
по векторам вХ BBi, ВС.
АлП. Дана треугольная призма ABCAtBiCt. Разложить век-
тор AAt по векторам ЛС,, BAt, CBt.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов «ь tfj, л назьь
Вается базисом в множестве всех векторов пространства.
Всякий вектор может быть единственным образом представлен
В виде
a—Xi<i + Xjej + X4<j. (4)
Упорядоченная тройка чисел (Xi, я?, Х|) называется координатами вектора а
в базисе О], е>. Запись (4) называют разложением вектора а по базис/
в:, е».
Пример 4.5. Дан параллелепипед ЛВСВЛ,В|С|О,. .Найти
координаты вектора С,0 в базисе
векторов AD, АА„ АВ (рис. 14.8).
ь
Решение. Вектор C,D равен
вектору В|Л (рис. 14.8), который в
свою очередь равен
В?Л — -ЛВ, — - (ЛЛ, + АВ).
Рис. 14.8
Таким образом,
-1. -1).
Ответ. (0. — I,
координаты
-1).
вектора C,D имеют вид (0,
4.16. Задан тетраэдр ОАВС, точки D и Е — середины ребер
ОА и ВС соответственно. Найти координаты вектора DE в базисе
ЗЯ, ОВ. б$.
4.17. В тетраэдре ОАВС F — точка пересечения медиан осно-
вания ЛВС. Найти координаты вектора of в базисе ОЛ, оЯ, б?.
428
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
4.18. В тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС делится точ«
вой М в отношении |AM| : |AfZ-| = 3:7. Найти координаты век-
тора ОМ в базисе ОД, ОВ, ОС.
4.19. В параллелепипеде ABCDAtB^CiDt точка М — середина
грани DDiCiC (точка пересечения диагоналей). Найти коорди-
ваты вектора AM в базисе из векторов AD, АВ, AAt.
4.20. В параллелепипеде ABCDAJiiCiDi точка М делит реб-
ро CCi в отношении |СМ| .* |А!С|| = 1:2, точка X делит реб-
►
ро Д|О1 пополам. Найти координаты вектора NM в базисе из
векторов ДОь АВ. Л.4Ь
§ 5. Геометрические задачи, решаемые
методами векторной алгебры
Методы векторной алгебры основаны на единственности раз-
ложения вектора на плоскости по двум неколлинеарным векто-
рам в на единственности разложения вектора в пространстве по
трем некомпланарным векторам.
Приведенные ниже задачи можно условно разбить на два
типа: на «прямые» задачи и на «обратные». Прямыми задачами
будем называть задачи, в которых постулируется принадлеж-
ность трех точек одной прямой или принадлежность четырех
точек одной плоскости. В этих задачах обычно требуется уста-
новить или проверить некоторые соотношения между длинами
отрезков.
В обратных задачах требуется, как правило, установить, что
при определенных соотношениях между длинами отрезков неко-
торые три точки А, В, С принадлежат одной прямой или неко-
торые четыре точки А, В, С, D принадлежат одной плоскости, а
также иногда требуется доказать, что некоторые прямые пере-
секаются в одной точке.
Решение прямых задач на плоскости основано на проверке
векторной формулы
Д? — kB$, (I)
выполнение которой при некотором действительном k означает,
что три точки А, В, О лежит на одной прямой, или на проверке
формулы
ОС — аОА + (1— а)ОВ,
где Л, в, С — точки одной прямой, в О — произвольная точка.
Пример Б.1. Дан параллелограмм ABCD. Прямая I пересе-
кает прямые АВ, АС в AD соответственно в точках 3i, Cj и Dt,
$ S. геометрический задачи
Доказать, что если ABt — XiAB, ADi— k»AD, — Aa AC, to'
(прямая задача),
Решение. Пусть АВ “a, AD =” 6 и Л? —а +1 (рис. I4J9).
Тогда ЛВ|=А|О, ADi — Ajk н Л?|”Аа(в+6). Так как три
точки 4|, Вь Ci лежат иа одной пря-
мой I, то справедливо следующее равен-
ство:
(•)
во
В Д e Л?, — A^i в (Лэ — Л|) а +
« ADi ABi == —Л|Д -|- ЛэЬ,
Подставив разложение векторов В|С| и BtDi по неколлннеарным
векторам а в Ь в соотношение (•), получим
(Лэ — Л,) л + Лэк " fcXjb — kXitt.
На основании единственности разложения вектора по двум
неколлннеарным векторам а и Ь полуяви систему
Лз —• Л( = —
Лэ — 6Лз.
Исключив коэффициент k, найдем соотношение между М, Ла н ЛэЗ
Л>Л> + Л3Л3 Л|Л>.
Разделив последнее равенство почленно на МЛАэ, имеем
1„_L + J_,
Аз АI Ад
что н требовалось доказать.
Рассмотрим пример обратной задачи.
Пример 5.2. На стороне ON параллелограмма AMNO й
на его диагонали ОМ взяты такие точки В и С, что
Доказать, что точки А, Ви С лежат на одной прямой.
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
'Р с ш е и и е. Выразим векторы АВ я АС через векторы ОН
А (рис. 14.10):
—► I ► —► 1 — —• +
АС — -^-гОМ-ОА, AB — — ON-OA.
л т I д
— ►
Так как ОМ = ОА + ON и, следовательно,
^ой-7ТГ(<™ + ™>-
ТО
(04 + ON) - ОА = 0% - -^т °*
Сравнивая разложения векторов АВ и АС по неколлинеарным
._________________м векторам ON в 04, получаем
Д ^"^1 АВ - М?, где Л - iii.
__________Ду Так как векторы АВ и АС коллинеар-
е ны и имеют общее начало, то три
Рис. 14.Ю точки Л, В, С лежат на одной пря-
I мой.
f 5.1. На прямых ВС, СА, АВ, определяющих треугольник
АВС, взяты соответственно точки L, М и N, лежащие на одной
прямой. Доказать, что если
5l->aZ^ СМ = РЛМ, AN — yNB,
то а0у ™ —1 (теорема Менелая).
5.2. Дан треугольник MNP. На прямых MN, NP, РМ взяты
точки Л, В н С так, что Л1Л = аЛ/У, NB = 0SP, Р?— уСМ.
Доказать, что если a0y и — 1, то точки Л, В, С лежат на одной
прямой (обратная теорема Менелая).
5.3. Прямые а и Ь параллельны. На прямой а взяты пронэ*
вольные точки Л|, Л», Л», на прямой Ь — произвольные точки Bt,
Bt, Bi. На отрезках Л1В1, Л1В*, AtBt взяты такие точки С(, Ct,
Ct, что
IЛ.С,| = а|Л|В(|, |4tCt| ™ а|Л1В>|, |Л>С>| ™ а|Л1в||,
Доказать, что точки С*, С>, С> расположены на одной прямой.
5.4. Точки Ci, Ct, Са делят отрезок АВ на четыре части;
D— произвольная точка плоскости. Выразить векторы DC|, DCn
D^i череа векторы DA “ a,
s в. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
429
^ДвГ'Йаны три точки М, А, В, а четвертая — точка С — взята
так, что ЛВ — ЗЛ?. Выразить вектор М<5 через векторы МА я
МВ.
^•fbia плоскости взяты три точки А, В, М. На отрезке АВ
взята такая точка С, что |ЛС| : |СВ| k. Выразить вектор МС
через МА и МВ.
Пример 5.3. Если точка А
пересечения диагоналей четырехуголь-
ника MNPQ и середины В, С его
противоположных сторон MN,PQne~
жат на одной прямой, то MNPQ—тра-
пеция или параллелограмм (рис. 14.11).
Решение. Положим AM —а,
AN »= 6. Тогда ЛР“Аац
Л^«=/6. Так как В — середина отрезка MN, то
ЛВ=уЛМ + ±Л^_-1(в+6).
Аналогично
АС =-1 АР + 1Л$--1 (йа + lb).
По условию точки Л, В, С лежат на одной прямой, и по*
— ► « ►
этому существует такое число т, что АС ^тАВ, т. е.
у-(а + ») =1(йа+16).
шш
m — k . т — / к л
+ —6=0,
откуда следует, что т = k = I. Тогда
MN = b - a, PQ = lb - ka = - k (а - 6),
т. е. PQ » kMN . Следовательно, PQ\\MN, т. е. MNPQ — тра-
пеция или параллелограмм.
8.7. Точка пересечения средних линий четырехугольников сов-
падает с точкой пересечения его диагоналей. Доказать, что че-
тырехугольник — параллелограмм.
6.8. Доказать, что середины оснований трапеции и точка
пересечения продолжений ее боковых сторон принадлежат одной
прямой.
430
ГД. И. МЕТОД КООРДИНАТ
5.9. Точка Л1 — середина отрезка АВ, точка М' — середина
отрезка А'В', Доказать, что середины отрезков АА', В8' в ММ'
расположены на одной прямой.
6.10. Доказать, что середины сторон произвольного четырех-
угольника являются вершинами параллелограмма.
5.11. Доказать, что в произвольном четырехугольнике)
а) средние линии, пересекаясь, делятся пополам; б) отрезок,
соединяющий середины диагоналей, проходит через точку пере-
сечения средних линий в делятся в этой точке пополам.
Решение ряда задач основано на использовании формулы
ОМ = -Ь (04 + ОВ + ОС), (2)
О
где 4, В, С — произвольные точки, не лежащие на одной пря-
с мой; М — центр тяжести тре-
д__X—"”>< .угольника АВС; О — пронз-
вольная точка.
Пример 6.4. Пусть
Вг\ ! К V л ABCDEF—произвольный шестн-
/ Я угольник и U, V, W, X, У, Z —
* середины его сторон, Доказать,
ZX что центры тяжести треуголь-
инков 1/1РУ и VXZ совпадают
рк. ia.it (Р«- 14-12).
Решение. Так как точки
ь1/, V, W, X, У в Z — середины сторон шестиугольника, то
О1/-1(О$ + Й), О?-1(ОВ + бС),
OW-±(ОС+OD),
OX = y(OD + 0£), OY =1(O£+OF), OZ - у (OF + 04),
где О — произвольная точка. Обозначая через М и N центры тя-
жести треугольников UWY и VXZ, имеем по формуле (2)
ОЯ — 4 (О&4-ОГ +о?) —
о
— 4(<Й + бБ + б£ + бо + ОЯ+ о?),
ON-4 (OV + ОХ + OZ) —
—4 (ол + о5+о?+од + оБ + о£),
I L ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
431
Таким образом, ОМ — ON, откуда следует, что точка М сов-
падает с точкой N.
6.12. Дан треугольник АВС. Доказать, что равенство ОЛ +
4- ОД + ОС “ 0 имеет место в том в только том случае, когда
О — центр твжестн треугольника АВС.
6.13. а) Пусть М в N — центры тяжести треугольников АВС
в DEF. Доказать, что
А&+ ВЁ + cF— 3MN.
б) Пусть Л, В, С, D, Е, F — произвольные точки плоскости.
Доказать, что
ad + be + cF-a£+bF + c5.
5.14. Точка М — центр тяжести треугольника АВС. Доказать,
ЧТО сл + са = зсм.
5.15. Через центр тяжести треугольника АВС проведена пря-
мая /, пересекающая стороны АС и ВС соответственно в точках
Р и Q. Доказать, что
|АР| , IBQI .
TpcT^iqci *•
5.15. Вершины At, Bt, О( треугольника АВС принадлежат
соответственно сторонам Л1, В( н С| треугольника АВС, причем
центры тяжести обоих треугольников совпадают. Доказать, что
точки Л|, Bt и С| делят стороны треугольника АВС в равных
опклвеввях.
Прн решении задач, связанных с вычисленяем отношения
площадей некоторых плоских фигур, используется следующее
свойство площадей треугольников. Если площадь треугольника
АВС равна S я на сторонах АС в ВС этого треугольника' вы-
браны соответственно точки М и N так, что
|СМ|:|СЛ| — Л,, 1 CjV |: | СВ 1 = *2,
то площадь треугольника MCN равна ktkzS.
Пример 5.5. В треугольнике АВС па стороне АВ взята
точка К так, что |ЛК| : |В/(| = 1:2, а на стороне ВС взята
точка L так, что |Ct| i |fit| = 2: 1. Точка Q — точка пересе-
чения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника АВС, если
известно, что площадь треугольника BQC равна 1.
Решение. Пусть лЁ—а, АС—Ь (рис. 14.13). Таи мак
|: |££|= 1:2, то на основы» сформулированного выше
свойства площадей получаем 3£<^с = 2/3.
432
ГЛ. U. МЕТОД КООРДИНАТ
Найдем отношение |Q£| : |AZ-|. Прямая, проходящая черев
точку L параллельно стороне АС, пересечет сторону АВ в toV
_► 2
ве М, при этом AM : МВ = 2:1 н AM = 3 а. Прямая, прохо*
дящая через точку L параллельно стороне АВ, пересечет сторон^
'АС в точке N, при этом AN 1 JVC = 1 :2 я AN = -у 4. Отсюда
^“4в+У6-
Так как векторы AQ и AL коллинеар*
пи (точки A, Q, L лежат иа одной
прямой), то
ЛС_и4?_^-(2в + »), (•>
Аналогично для точки К можно показать, что
+ 4-с5-1(в-з»),
ООО
CQ = ХСХ = 4 (“ - 3»).
О
Но AQ = АС + CQ, откуда
у (2а + 4) “ Ь + -у (а ~ 34).
Из условия единственности разложения вектора по двум некол«
линеарным векторам а *в 4 получаем систему уравнений 2g = X,
g = 3 — ЗХ, из которой находим g = 3/7.
Теперь можно найти отношение |QZ.| 1 |А£|. Имеем
|QL| |At|—|AQ| , | AQ |
|AL| |AL| |AL|’
, ч IQLI , 4 Sлвс
ПО равенству (») , °* 1 — g = Отсюда =
IльI ' ’ ловс
17 _ ,
= “ т и так как SrtD- >= 1, то искомая площадь тре-
1 — g 4 QBC г
угольника равна 7/4.
Ответ. 7/4.
6.17. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на
стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении
|у4АС| : |ВХ| = 2:3, а. на стороне АС —точка L, делящая АС
в отношении |AL| : |LC| “ 5; 3. Точка Q пересечения прямых
пло-
век-
и Ъ.
(3)
$ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 433
СК и BL отстоит от прямой АВ на расстояние 1,5. Найти длину
Стороны АВ. '
5.18. Дан треугольник АВС. На сторонах АВ н ВС взяты
точки М и N соответственно; |ЛВ| = 5|ЛЛ1|, | ВС | = 31 В/V |.
Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О. Найти отношение
площадей треугольников ОАС и АВС.
5.19. Точка К делит медиану AD треугольника АВС в отно-
шении 3: 1, считая от вершины. В каком отношении прямая де-
лит площадь треугольника ЛВС?
5.20. На каждой медиане треугольника взята точка, деля-
щая медиану в отношении 1 :3, считая от вершины. Найти отно-
шение площади треугольника с вершинами в этих точках к
Щади исходного треугольника.
Решение некоторых задач предполагает использование
тора с, коллинеарного биссектрисе угла между векторами а
Удобным представлением вектора с является следующее:
а Ь
б~Т^Т + TN ’
5.21. В треугольнике АВС даны стороны о, Ь, с. Найти ЛЛ|,
где ЛЛ| — биссектриса внутреннего угла А треугольника.
5.22. В треугольнике ЛВС медиана BD пересекается с бис-
сектрисой AF в точке О. Отношение площади треугольника DO А
к площади треугольника BOF равно 3/8. Найти |ЛС| : |ЛВ|.
5.23. В треугольнике ЛВС биссектриса A At делит сторону ВС
в отношении |BD| : |CD| = 2 : 1. В каком отношении медиана
СЕ делит эту биссектрису?
5.24. Биссектрисы AD и BE треугольника ЛВС пересекаются
в точке О. Найти отношение площади треугольника ЛВС к пло-
щади четырехугольника ODCE, зная, что |ВС| = а, |ЛС| = Ь,
|ЛВ| = с.
Решение некоторых задач основано на использовании сле-
дующего векторного соотношения. Если Л, В, С, D — четыре
точки, принадлежащие одной плоскости, а О — произвольная
точка пространства, то
OD = аОЛ + рОВ + (1 - а - Р) ОС, (4)
где а, р е R.
5.25. Дан параллелепипед ABCDAtBfiiDf. Плоскость пере'
секает прямые АВ, AD, AAt, АС, соответственно в точках В«,
Do, Ло, Со. Доказать, что если ЛСо“А|ЛС|, ЛВо“Х1ЛВ1( AD^
ЛЛо“ЛчЛЛ|, то
L+_L + _L.
Ai А» А) А<
434
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
отрезков Л|Л1,
не лежащие в
и ВС, a Mi и
6.26. Точки К, L, М, N взяты соответственно на сторонам
ОД|, Л И а, ЛаЛ], Л3О неплоского четырехугольника OAiAiAt,
причем
ОК^аКА, Л^ = ₽£Ла, д7м = умХ3. Л^ = вАГО.
Доказать, что для принадлежности четырех точек К, L, М t Н
одной плоскости необходимо и достаточно выполнение равенства
арув = 1.
6.27. Даны два треугольника ЛМаЛ* и AiA»A«, не лежащие
в одной плоскости. Доказать, что векторы MN, PQ я ком-
планарны, если М, N, Р, Q, R и S — середины
А1Л1, Л2Лэ, ЛаЛ«, ЛзЛ;, ЛлЛ| соответственно.
5.28. Даны два треугольника АВС и Л1В)С(,
одной плоскости; Л1 и N—середины сторон АС
К( —середины сторон Л|С( н B|Ct. Доказать,что еслиЛВ — Л|^,
то векторы MMi, NNi н C&t компланарны.
6.29. Даны две скрещивающиеся прямые т н л. На пря-
мой т даны точки Р, Q, R, а на прямой л — точки Pt, Qt, Rlt
— > # ► ~ ►
причем PQ = kPR, PlQl=kPlRl. Доказать, что прямые PPt,
QQi, RRt параллельны одной плоскости.
При решении задач, связанных с отношением объемов частей
тетраэдра, образующихся при сечении его некоторой плоскостью,
часто используется следующее утвержде-
ние: если объем тетраэдра ABCD равен
V и на его ребрах DA, DB, DC взяты
соответственно точки М, N, Р так,
Рис. 14.14
|DAf| = *, IDA|, |DV| —
[ DP | = | DC 1,
то объем тетраэдра MNPD равен
kMbV.
Пример 5.6. Плоскость проходит
через вершину А основания треуголь-
ной пирамиды SABC и делит пополам
медиану SK треугольника SAB, а медиа-
SAC пересекает в такой точке D, что
фу SL треугольника
2|SD| •= |DL|, В каком отношении эта плоскость делит объем
пирамиды?
Решение. Обозначим ЗА = д, = 6, SC — в (рнс. 14.14).
1. Пусть SM — A16, SN »й9с, где М и
Очевидно, что ki “
« 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
435
— точки пересечения плоскости сечении с ребрами SB и SC
соответственно. Найдем А» и Л». Для втого воспользуемся ра-
венствами
SE—Ls£-l(a + »)(- SD~isl=-U + c).
4 4 О О
м » — ►
Обозначая SM~ktb, согласно (4) вектор SM можно предста-
вить в виде
SM = м+ ^ (а + 6) + "(Г (1 — о — Р) (в + с).
Используя единственность разложении вектора по трем неком-
планарныы векторам, получим систему уравнений
°-т«+-н-’+т- ‘•-Т* о-}"—Л
из которой находим = 1/3.
Диалогично из уравнений
sN^kiC. ^=(4«+4+1)в+т5+
находим А* « 1/5.
На основании сформулированного выше утверждения полу-
чаем
V = 1 . —V
SAMN 3 5 SABC
и, следовательно, объем оставшейся части пирамиды равен
14
— KsabC* Таким образом, искомое отношение объемов равно
1: 14.
О т в е т. 1:14.
5.30. В трехгранном угле с вершиной S проведены парал-
лельные сечения АВС и AiBtCt. Обозначая через V, И(, Их,
соответственно объемы тетраэдров SABC, SAlBtCt, SAiBC,
SABtCi, показать, что
v,=.V7>T7; в v,-vt—v-vt.
5.31. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD.
Через середины ребер АВ, AD и CS проведена плоскость. В ка-
ком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
5.32. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер
AD я ВС проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точ-
ке М. При этом отношение длины отрезка DM к длине отрезка
436
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
МС равно 2/3. Вычислить площадь сечения пирамиды указанной
плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1.
6.33. Плоскость пересекает боковые ребра 5Л, SB и SC тре-
угольной пирамиды SABC в точках К, L н М соответственно.
В каком отношении делит эта плоскость объем пирамиды, если
известно, что |SK| : |К4| = |St| : |Z.B| =2, а медиана SN
треугольника SBC делится этой плоскостью пополам?
5.34. В треугольной пирамиде SABC все ребра равны. На
ребре 54 взята точка М так, что SM = МА, на ребре SB —
точка N так, что 3SN = SB. Через точки Af и # проведена пло-
скость, параллельная медиане AD основания АВС. Найти отно-
шение объема треугольной пирамиды, отсекаемой от исходной
проведенной плоскостью, к объему пирамиды S/1SC.
§ 6. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется
проазведение длин этих векторов ва косинус угла между векторама;
а-б~|а|- |61 сов (а, В).
(I)
Необходимым в достаточным условием перпендикулярности двуя
ненулевых векторов является равенство нулю ня скалярного произвел
Если Ф“(а. В), то
вря 0<ф<-у
а-»>0; ври-у<ф<я «•»<#. (3)
Скалярное произведение вектора ва себя равно квадрату его длины!
Ч «.•-м>_|а|*. (4)
С во fl ста а скалярного произведения!
а- Ь—Ь’а
(ХаЬР—Х (а-6)
a-(ft + c)—«» +
(коммутативный закон);
(ассоциативный закон);
(дистрибутивный закон).
Пример 6.1. Известно, что векторы За —Б6 и 2а+ 6 пер-
пендикулярны между собой и векторы а + 46 н + Ь также
взаимно перпендикулярны. Найти угол между векторами а н Ь.
Решение. По условию задачи
(За — 56) • (2a + 6) = О,
(а + 46) • (-а+6) = 0.
Отсюда следует, что
ва* — 7а • 6 — 56s = О,
-а»-3а-6+46’ — О,
$ в. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 437
г. е. получены два уравнения относительно трех неизвестных а*,
Ь* и аЬ. Согласно (1) косинус угла между векторами а и Ь вы-
числяется по формуле
cos(‘?*)“-пггтбг (**’
Из уравнений (*) находим
Возводя обе части равенства (••) в квадрат и подставляя зна-
чения (***), получаем
пли
, 19 19
cos (а • Ь) = -=-, cus (а Ь) =------т=-.
5 V43 5 V«3
„ 19 Г 19 \
Ответ, агссоз------=- или агссоз I-------=-I.
5 ^43 к 5 V43 )
6.1. Дано: |а|“3, | Ъ | -4. (а, 6)"»2л/3. Вычислить:
а) а’; б) (а-|-6)*; в) (За - 26) (а + 26).
6.2. Знай, что |а| = 3, |6| = 1, |е| — 4-J а + 6-|-с«=Д
вычислить^-6 + Ъс + с-а.
6.3. Какому условию должны удовлетворять векторы а н Ь,
чтобы имело место равенство |а + Ь| = |а — 6|?
6.4. Доказать, что вектор (ab) с — (ас) b перпендикулярен
вектору а.
6.5. Доказать, что если а, Ь, с — произвольные векторы, при-
чем а не перпендикулярен с, то существует такое число к, что
векторы а и b + kc перпендикулярны друг другу. Найти k.
Если векторы а, b н с являются сторонами АВС, то из ра-
венства а + 6 + с = 0 следует равенство
с’ “ а2 + 6’ — 2а • Ь,
представляющее собой векторную запись теоремы косинусов. За-
дачи 6.6—6.21 решаются с использованием векторной записи тео-
ремы косинусов.
6.6. В треугольнике АВС проведена медиана CCt, Доказать,
что если |АС| > |ЛС|, то угол CCtB тупой.
6.7. Доказать, что угол С треугольника АВС будет острым,
прямым или тупым в зависимости от того, будет ли медиана
438 ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
CCi, проведенная из вершины С, больше, равна ш меньше
4В|.
Л
6.8. а) Найтн длину медианы 1ЛО| треугольника АВС, зная
длины сторон |ЛС| = Ь, |ЛВ| = с и величину угла А.
б) Найтн длину биссектрисы |ЛЕ| треугольника, зная длины
сторон |ЛС| = Ь, |ЛВ1 = с и величину угла А.
6.6. Известны стороны треугольника АВС. Найтис
а) длину медианы |AD | = пи;
б) длину биссектрисы |Л£| = /„.
6.10. В треугольнике ЛВС угол В прямой, медианы |AD| и
|В£| взаимно перпендикулярны. Найтн величину угла С.
6.11. В треугольнике ЛВС на сторонах ВС и АС соогвет-
ственно выбраны точки D и Е так, что |BD| = |ОС|, |Л£| =
= 2|С£|. Найтн |ВС| : |ЛВ|, если известно, что AD2.BE и
Авс = 60°.
6.12. В четырехугольнике ABCD угол прн вершине А равен
120°, а диагональ АС является биссектрисой этого угла.
Известно, что | АС | = 4-1 АВ | = 41 AD |. Найти косинус угла
О о
между векторами ВА и CD.
6.13. Доказать, что если для треугольника АВС имеет место
равенство аг + Ьг = 2с2, то amo + Ьт» = 2сте, где та, т», т, —
длины медиан треугольника, а, Ь, с —длины его сторон.
6.14. В треугольнике АВС проведен отрезок Л^,, параллель-
ный стороне АВ, где точки Л| и В, лежат соответственно на сто-
ронах АС и ВС. Показать, что если |ЛВ1|«= |ВЛ||, то треуголь-
ник АВС равнобедренный.
6.15. В треугольнике ЛВС проведены медианы ЛЛ( н ВВ,.
Доказать, что если С + (ЛЛЬ ВВ|) «= 180°, то | СЛ |2 + | СВ |* в
= 2 [АВ |2.
6.16. Доказать, что если О— центр тяжести треугольника
АВС, а О —некоторая точка пространства, то
|ОЛ|»+|ОВ|» + |ОС|’-3|ОО |»+ | ЛО |» + | ВО |» + |СО |’
(теормеа Лейбница).
6.17. Доказать, что если О — центр описанной около тре-
угольника ЛВС окружности и Н—его ортоцентр, toi
1) ОН -=~ОА + 0% + ОС;
2)[OHf —вл» - (о* + Ь» + с1);
3) | АН | - 2R | сое Я |.
$ в. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 439
в. 18. Доказать, что центр О онисанной окружности, центр
тяжести треугольника О и ортоцентр Н произвольного треуголь-
ника принадлежат одноВ прямой (прямая Эйлера), причем
|OG| : |Gtf| = 1 : 2.
8.19. Доказать, что расстояние от центра О окружности,
описанной около треугольника АВС, до его центра тяжести G
определяется формулой
|OG |* » Я* —-g-(в* + б* + с*).
6.20. Доказать, что если Q— произвольная точка, /У — орто-
центр и О —центр описанной окружности треугольника АВС, то
О?)--у (^+ +
0.21. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Дока-
зать, что если |ЛВ|а + |CD|a = 4Яа, где R — радиус описанной
окружности, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.
С помощью скалярного произведения можно доказать спра-
ведливость некоторых неравенств для тригонометрических функ-
ций углов треугольника.
Пример 6.2. Доказать, что для всякого треугольника АВС
выполняется неравенство
cos 2А + cos 2В + cos 2С — 3/2.
Решение. Пусть точка О — центр описанной около тре-
угольника АВС окружности с радиусом, равным R. Очевидно,
что (ОЛ + ОВ + ОС)3 0. Раскрыв скобки, получим
ОДа + 2ОЛ-ОВ + ОВ3 + 2ОВ-ОС + 2ОС-ОА + О?*>0.
Так как центральный угол, образованный радиусами ОА и ОВ,
вдвое больше угла С, вписанного в окружность, то
ОА - 05 = Я* cos 2С.
Аналогично
0t>0A =* R3 cos 2В, ОВ ОС =• R1 соз 2А.
Так как ОЛ’— О^а — О?’— Я*, то последнее неравенство при-
нимает вид
2Я* (cos 2Л + cos 2В + cos 2С) + ЗЯ* > 0,
вли
cos 2Л + сов 2В + cos 2С> — 3/2,
что в требовалось доказать.
440 ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
622. Доказать, что для углов всякого треугольника АВС вы«
полняется неравенство
cos А + cos В + cos С < 3/2.
6.23. Доказать, что для углов всякого треугольника ABG
выполняется неравенство
sin8 А + sin* В + sin* С < 9/4.
624. Доказать, что для углов всякого треугольника АВв
справедливо неравенство
< cos 2А + cos 2В — соз 2С 3/2.
При каком условии неравенство обращается в равенство?
625. Доказать, что для любого трехгранного угла с пло*
скими углами а, 0, у выполняется неравенство
cos а + cos 0 + cos у > —3/2.
ГЛАВА 15
КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Размещения. Сочетания. Перестановки
Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов
{в|...а„). Выберем нз него множество, содержащее г эле-
ментов, т. е. сделаем выборку объема г. Выборки могут отли-
чаться друг от друга как составом, так и порядком расположе-
ния элементов. Если допустить, что среди элементов выборки
есть одинаковые, то объем выборки в отдельных случаях может
превышать объем исходного множества.
Примером таких выборок служат телефонные номера. Пусть
номер состоит нз 12 цифр, а телефонный диск содержит 10 цифр;
тогда при наборе номера осуществляется выборка 12 элементов
из множества, содержащего 10 элементов. Так как диск после
набора каждой цифры возвращается в исходное положение, то
цифры телефонного номера могут повторяться. Это означает, что
выборка может содержать одинаковые элементы.
Число различных выборок объема г, элементы которых могут
повторяться, из исходного множества, содержащего л различных
элементов, равно п'. Если элементы выборки не повторяются, то
ее объем не может превысить объем исходного множества. Число
различных выборок объема г с неповторяющимися элементами нз
исходного множества объема л равно
А„ = л(л—1) ... (л —г+1); (1)
Агп указывает число различных размещений из л элементов по
г позициям. Если л = г, то различные выборки отличаются
только порядком элементов. Такие выборки называются перестав
ковками из л элементов. Число различных перестановок
Р„=л(л-1) ... 1 = л1 (2)
В некоторых задачах порядок элементов в выборке несуще-
'ствеи. Например, при выборе трех человек в президиум собрания!
442 ГЛ. IS. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
состоящего из 200 человек, или при покупке в магазине пяти
наименований продуктов из имеющихся там 100 наименований
продуктов. В этом случае выборки одного состава (т. е. выбор-
ки, элементы которых совпадают) считаются неразличимыми.
Число выборок различного состава объема г нз множества объ-
ема п равно:
л; л (л- 1) ... (л-г+1) л!
Рг~" г! "П(я-г)Г W
С, называется числом сочетаний из л элементов по г.
Пример 1.1. Буквы азбуки Морзе образуются как после-
довательность точек н тире. Сколько различных букв можно об-
разовать, если использовать 5 символов?
Решение. Исходное множество в этой задаче состоит из
двух элементов: точки и тире. Так как используется пять симво-
лов, то выборка содержит пять элементов, которые могут повто-
ряться. Таким образом, число различных выборок, каждая из
которых представляет какую-нибудь букву, равно 2* “ 32.
Ответ. 32 буквы.
1.1* , Сколько существует различных семизначных телефон-
ных номеров?
1.2* . Сколько существует различных телефонных номеров,
если считать, что каждый номер содержит не более семи цифр
(телефонный номер может начинаться с нуля)?
1Л. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последо-
вательности точек, тире и пробелов. Сколько различных букв
можно образовать, если использовать 5 символов?
1.4. В некотором государстве нет двух жителей с одинако-
вым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность
населения государства (наибольшее число зубов 32)?
1.6. Пусть pt..Pm — различные простые числа. Сколько
к k k
делителей имеет число <7 = р(‘р2а ... pmm, где Л(, .... km —
некоторые натуральные числа (делители 1 и q включаются)?
1.6. Сколько существует различных семизначны! телефонных
номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?
1.7* . Сколько существует различных исходов эксперимента,
связанного с п бросаниями монеты? (Исходы двух эксперимен-
тов считаются различными, если очередность выпадения гербов в
Этих экспериментах не совпадает с очередностью выпадения
Цифр.)
1.8. Сколько существует таких перестановок семи учеников,
при которых три определенных ученика находятся рядом друг с
другом?
I 1. РАЗМЕЩЕНИЯ. СОЧЕТАНИЯ. ПЕРЕСТАНОВКИ 443
1.9. На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах.
Сколькими различными способами нх можно переставить, чтобы:
в) тома 1 и 2 стояли рядом;
б) тома 3 и 4 рядом не стояли?
1.10* . Сколько различных аккордов можно взять на десяти
выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от
трех до десяти звуков?
1.11* . Собрание нз 40 человек избирает председателя, секре-
таря и 5 членов некоторой комиссии. Сколько различных комис-
сий может быть составлено?
Если требуется определить число различных выборок, со-
ставленных из нескольких разнородных групп элементов, то
удобно считать, что элементы каждой группы выбираются из
своего исходного множества, т. е. что число различных исходных
множеств совпадает с числом различных групп, элементы кото-
рых представлены в выборке. Так, например, пусть требуется со-
ставить сборную команду восьми областей, состоящую из 24
спортсменов, в которую от каждой области войдет 3 спортсмена.
Эта выборка содержит 24 элемента, которые набираются нз
восьми исходных множеств, причем нз каждого отдельного мно-
жества выбирается 3 элемента.
Пример 1.2. В урне т белых и л черных шаров. Сколь-
кими способами можно выбрать нз урны г шаров, из которых
белых будет k штук? (Считается, что шары каждого цвета раз-
личны, например, пронумерованы.)
Решение, k белых шаров нз т белых шаров можно вы-
брать Cj, числом способов, а оставшиеся г — k черных шаров
из группы в л штук — числом способов С'~т. При этом каж-
дому способу выбора k белых шаров соответствует С'-* раз-
личных способов выбора черных. Следовательно, общее число
различных выборок равно произведению
Ответ.
т п
1.12. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содер-
жащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различ-
ных букетов?
1.13. В колоде 36 карт, нз них 4 туза. Сколькими способами
можно сделать 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?
1.14. Комплексная бригада состоит нз 2-х маляров, 3-х шту-
катуров и 1-го столяра. Сколько различных бригад можно соз-
дать на рабочего коллектива, в котором 16 маляров, 10 Штука-
туров и S столяров?
444 ГЛ. IS. КОМБИНАТОРИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
1.15. В лотерее <Спортлото> разыгрываются 6 из 48 видов
спорта. Главный выигрыш падает на ту карточку, где угаданы
правильно все 6 номеров. (Каждый вид спорта указан под не-
которым номером.) Меньшие призы достаются тем, кто угадал 5,
4 и даже 3 номера из 6. Сколько может быть различных карто-
чек, где угаданы: а) 5, б) 4, в) 3 нз 6 номеров, если на каждой
карточке произвольно зачеркиваются 6 номеров? (Карточки, нз
которых вычеркиваются одни н те же номера, считаются одина-
ковыми.)
1.10. Сколько окружностей можно провести через 10 точек,
из которых никакие четыре не лежат на одной окружности в ни-
какие три не лежат на одной прямой, если каждая окружность
проходит через три точки?
1.17* . Из колоды, содержащей 52 карты (из них 4 туза),
вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт будет хотя
бы одни туз?
1.18. Сколькими способами из колоды в 52 карты (из них
4 туза и 4 короля) можно вынуть б карт, содержащих туза и
короля одной масти?
1.19. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 жен-
щин. Сколькими способами можно составить 4 смешанные пары?
1.20* . Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно
составить нз цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом
числе содержалась одна цифра 1?
1.21. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно
составить нз цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе
содержалась цифра 1? (Цифры в числе не должны повторяться.)
ч
§ 2. Перестановки и сочетания с заданным числом
повторений
Рассмотрим выборки, отдельные элементы которых повто-
ряются заданное число раз. Пусть выборка состоит нз т эле-
ментов, среди которых некоторый элемент (будем для опреде-
ленности считать его первым) повторяется Л1 раз, другой (вто-
рой) — л> раз н т. д., А-й элемент повторяется л» раз. Очевидно,
что
Л| + Л] + ... + лд = т.
Набор натуральных чисел (л», .... л») будем называть со-
ставом выборки. Состав выборки определяет, из скольких раз-
личных групп элементов состоит выборка и сколько одинаковых
элементов каждой группы в ней присутствует. Так, например,
выборка состава (1, 2, 4) состоит нз трех групп элементов, прн-
$ 2. СОЧЕТАНИЯ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ПОВТОРЕНИИ 44S
чем из первой группы в выборке присутствует 1 элемент, из вто-
рой — 2, а из третьей — 4 одинаковых элемента.
Число различных выборок одного состава называется числом
перестановок из m элементов с заданным числом повторений
п,, л*. Это число вычисляется по формуле
.....я*)° n,l.W.'nt|-
Пример 2.1. Требуется составить расписание отправление
поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы!
3 дня отправлялись по 2 поезда в день, 2 дня — по 1 поезду в
день, 2 дня — по 3 поезда в день. Сколько можно составить раз-
личных расписаний?
Решение. Количество поездов, отправляемых в день (чис-
ла 1, 2, 3), —это три группы одинаковых элементов, нз которых
должна быть составлена выборка. При этом в расписании на
неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется 3 раза
и число 3 повторяется 2 раза. Число различных расписаний
равно
* ’-таг-2,°-
Число различных составов выборки объема т, образованной
нз k групп одинаковых элементов, равно *)
pm № ~Ь zm
* Ч+m-l от! (Л-1)1 • W
Пример 2.2. R шаров следует разместить по k ящикам.
Сколькими способами это можно сделать? (Считается, что вме-
стимость ящика достаточна для всех шаров.)
Решение. Для удобства будем считать, что имеется k
ящиков, в каждом из которых число шаров может меняться от О
до R. Тогда, считая, что каждый ящик соответствует группе од-
нородных элементов, имеем k различных групп, нз которых на-
бирается выборка с повторением объема R. Различные способы
размещения шаров соответствуют различным составам указанной
выше выборки, т. е.
» (/? + &-1)1
Ч+*-1= Я1 _ 1)1 •
♦) Формулу (2) можно получить. если подсчитать число перестано-
вок с повторениями пэ m + Л — 1 элементов, где т — число элементов
исходной выборки, a fe — 1 — число границ, отделяющих группы ошаю*
вых элементов.
446 ГЛ. IB. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1 . Сколько различных комбинаций букв можно получить из
букв слова «МИССИСИПИ»?
2.2 *. Сколько различных наборов по 8 пирожных в каждом
можно составить, используя 4 сорта пирожных?
2.3 *. Лифт с семью пассажирами останавливается на 10 эта-
жах. На каждом этаже может выйти определенное число пасса-
жиров (от нуля до семи). Сколько может быть различных спо-
собов освобождения лифта? (Способы различаются только чис-
лом людей, вышедших на данном этаже.)
2.4 .*. При игре в бридж между четырьмя игроками распреде-
ляется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку.
Сколько существует различных способов раздать карты?
2.5 *. Сколькими способами при бросании 12 игральных ко-
стей каждое нз значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает дважды?
2.6 *. Имеются т белых и л черных шаров, причем т > л.
Сколькими способами можно все шары разложить в ряд так,
чтобы никакие два черных шара не лежали рядом?
2.7 *. При бросании монеты будем считать успехом выпаде-
ние герба и неудачей выпадение цифры. Сколько различных ис-
пытаний могло привести к 52 успехам при 100 подбрасываниях
монеты? (Испытанием считается серия опытов из 100 бросаний;
два испытания считаются различными, если не совпадают резуль-
таты хотя бы двух бросаний.)
2.8 *. 12 ученикам выданы 2 варианта контрольной работы.
Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда так,
чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у си-
дящих друг за другом был один и тот же вариант?
2.9 *. На книжной полке стоят книги по математике и по ло-
те—всего 20 книг.'Доказать, что наибольшее количество ва-
риантов комплекта, содержащего 5 книг по математике в 5 книг
по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке
ио каждому предмету равно 10.
9 3. Баном Ньютона
Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по
формуле
(л + Ь)п = С°о" + Clnan~lb + С*о*“V +...
...4-Cjo"-,n6"’ + ... + C^'‘. (1)
Правая часть формулы называется разложением степени бинома.
Коеффпциеяты СТ — —гг~—тг называются биномиальными
ml (л — m)i
коэффициентами, Общий вид слагаемых в правой части формулы
$ 3. БИНОМ НЬЮТОНА
447
[(1) обычно записывается в виде*)
Тй = С*а"-*&*, 1=0, 1, 2, .... п. (2)
.Число всех слагаемых равно я + 1.
Пример 3.1. Найти член разложения + ие со*
держащий х (т. е. содержащий х в нулевой степени).
Решение. Согласно формуле общего члена (2) имеем
По условию число k должно удовлетворять уравнению
10 —А —4Л=0. (•)
Единственным корнем уравнения (♦) является k = 2. Таким об>
разом, искомым будет второй член разложения:
Г 2 = С jqX* = С «= 45.
Ответ. 45.
Пример 3.2. Найти шестой член разложения (g|;* 4*
если биномиальный коэффициент третьего от конца члена ра«
вен 45.
Решение. Найдем сначала степень бинома. Согласно усло-
вию задачи число л удовлетворяет уравнению
/-Л—2 __ z-Я __ 0 __ .с
Сп “Сп~---------2----“Ч5’
корнями которого являются Л| = 10, ns = —9. Так как л» = —9
не является натуральным числом, то степенью бинома будет
л « 10, следовательно, шестой член разложения представляетсй
в внде
т6 -№ (х1*)6 - C<opV- 210Л3.
Ответ. 210«/2х3.
3.1*. Найтн сумму биномиальных коэффициентов, если сте-
пень бинома равна 10.
ЗЛ. Найтн номер члена разложения (х + х~*)*\ не содер-
жащего х.
•J Испольауют также формулу
, _* л-*.* л(л —I)... (л —>4-1) _Л-
Т»-Сда * ------------------------а
448 ГЛ. IS. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
3.3*. Найти член разложения бинома (v* + Vx^) , со-
держащий Xе'5, если девятый член разложения имеет наибольший
коэффициент.
(х , а \8 _
— + "jr 1 • который содер-
жит хг.
3.5 *. Доказать, что сумма всех коэффициентов разложения
(2у —х)‘ прн любом натуральном k равна 1.
3.6 . Биномиальные коэффициенты второго и девятого членов
разложения (5х-9/2 —х,/9)" равны. Найти член разложения, не
содержащий х.
(I 1 \ioo
— + — I
3.8 . Найти номер наибольшего члена разложения
P-l-J-Y00.
k io ю 7
3.9 *. Сумма биномиальных коэффициентов разложения рав-
на 1024. Найти член разложения (х2 + у) , содержащий х в
11-й степени.
ЗЛО*. Доказать, что если степень бинома л — нечетное чис-
ло, то сумма биномиальных коэффициентов членов, стоящих на
четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов чле-
нов, стоящих на нечетных местах.
3.11. В разложении бинома
определить член, содержащий а9, если сумма биномиальных
коэффициентов членов, стоящих па нечетных местах, равна 2048.
3.12. Найти наибольший член разложения (V§ + V^*)20.
3.18. Третье слагаемое разложения ^2х + -^-^ не содер-
жит х. Прн каких х это слагаемое равно второму слагаемом*
разложения (l-f-x9)9*?
3.14* . При каких положительных значениях х наибольшим
слагаемым в разложении (5 + Зх)10 является четвертое?
3.15* . Найти х, при котором пятидесятый член разложения
(х + У)100 имеет наибольшее значение, если известно, что
(х + р) •= 1, х > 0, у > 0.
3.16. Найти х, при котором А-й член разложения (х + у)’
имеет наибольшее значение, если х + у = 1 и х > 0, у > 0.
I 3. БИНОМ НЬЮТОНА
449
Пример 3.3. В разложении бинома
«3+<2)8
найти члены, пе содержащие иррациональности.
Решение. Воспользуемся формулой общего члена разло-
жения
г* ”с* (W* (V2)* -с‘. 3V2^.
„______ л 6-k k
-вмгучеииое выражение будет рациональным, если —=— и
целые числа. Очевидно, что число k следует искать среди четных
чисел, меньших 5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
единственное аначение, которое оно может принимать, равно
двум. Следовательно, в разложении бинома есть только один
член удовлетворяющий сформулированному условию:
« 5 4
Г2 = • 3 2 = 6 • —у—= 60.
Ответ. 60.
8.17. Найти члены, ие содержащие иррациональности в раз-
ложении Сл/3 + v?).
3.18*. Сколько рациональных членов содержится в раэложе-
/ _ 4 чюо
пин W2 + V^) ?
(г- 1 \п
ух Ч--— I первые три
2 Vх '
коэффициента образуют арифметическую прогрессию. Найти все
рациональные члены разложения.
3.20*. Доказать, что
I - С1 + с’ - с® +... + (-1)" С“-0.
3.21. Сравнивая коэффициенты при х в обеих частях равен-
ства
(1 + х)т(1 +х)"-(1+х)т+л,
доказать, что
+ cj-'ci, +... + с°с* -с* +п.
8.22. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи,
найти сумму квадратов биномиальных коэффициентов. Доказать,
Ято сумма квадратов биномиальных коэффициентов равна'
16 А. Г. Цыпии, А, И, ПявекяЯ
450 ГЛ. IB. КОМБИНАТОРИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
8.23*. Доказать, что справедливо равенство
1 - 10С{„ + 102ф - lO’cJ, +- ... - Ю^-'ф + 102" = (81 )я.
Некоторые формулы комбинаторики можно получить, диффе-
ренцируя или интегрируя обе части разложения для (I -f- х)",
которое справедливо прн всех к.
Пример 3,4. Доказать, что справедливо равенство
пС° + (л — 1) + ... + С"-1 — л • 2я-1.
Райей не Даффереижвруя бявомаыьаое раможешк для
(I + х)", имеем
(хл + ф'1"' + ...+С”)/-пх"-1 + («- 1)ф'*-2+...+С^-1.
С другой стороны, справедливо равенство
Подставляя в тождество
п (1 + х)"-1 = пх"-1 + (л - 1) ф"-2 + ... +CJ-1
мтенне я •= I, получаем требуемое равенство:
л-2п-|=лС° +(«- 1)С;+ ... +С£-‘.
3.24. Доказать, что
л (л- 1)С° + (л - 1) (л - 2) + ... +ЭС£-*.
8ЛМ. Доказать, что
3.28*. Доказать, что
пС° — (л — t)C;+(rt-2)C2-(rt-3)C® + ...
• •• +(-1)'*~1С2",-=0.
3.27 *. Доказать, что
с1п с2 (°- п-21’
п ~ п-1+ 2 “| л — 21+L
л+Т
3.28 *. Упростить выражение Р(-|-2Р>+ ... + лРп.
3.29 *. Доказать, что
f*tn | ZTfn I t /”ГЯ , м + l
СМ ТЬв_1 +- ... Т Са_|0 «» Со+1 — сп_ш.
13*. Доказать неравенство Cj,+aCj,_x < (Cj»)*»
}« ВЫЧИСЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КОМБИНАТОРИКИ 461
§ 4. Вычисление вероятностей событий
с помощью формул комбинаторики
Пусть в лотерее, где разыгрывается 10 билетов, принимает
участие несколько человек. На каждом билете пишется имя од-
ного из участников, после чего вес билеты тщательно перемеши-
ваются. Затем наугад выбирают одни билет, и тот, чье имя за-
писано на билете, получает приз. Спрашивается, каковы шансы
получить приз некоторому участнику лотереи? Если имя этого
участника написано только па одном билете, то у пего один
шанс нз десяти. Если на двух, то два нз десяти, в т. д.
Извлечение любого билета с именем этого участника счи-
тается благоприятным исходом. Число таких исходов, очевидно,
совпадает с числом билетов, иа которых написано его имя.
Шансы данного участника на выигрыш будут Определяться до-
лей благоприятных исходов среди всех равновозможных исходов
эксперимента. Для того чтобы найти эту долю, требуется число
благоприятных исходов разделить на число всех исходов экспе-
римента.
Прн многократном проведении эксперимента его результаты
показывают, что отношение чисел исходов, при которых данный
участник выигрывает, к числу всех исходов эксперимента оказы-
вается близким к доле тех билетов, на которых написано имя
участника, среди всех билетов, разыгрываемых в лотерее. По-
этому вероятностью выигрыша естественно считать отношение
числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов
эксперимента.
Подойдем теперь к понятию вероятности более формально.
Для этого введем следующее определение: будем называть эле-
ментарным событием любой из равновозможных исходов экспе-
римента (в приведенном выше примере элементарным исходом
будет извлечение одного нэ билетов). Миожество всех равновоз-
можных исходов назовем пространством элементарных событий,
а каждое элементарное событие — точкой этого пространства (в
приведенном выше примере пространство элементарных событий
состоит из 10 точек).
Совокупность элементарных событии, объединявшая вое те
сходы, пра которых происходят событие А, называют лиимюе-
ством элементарных событий, благоприятны* событию В. Верокг-
илспю события А называют отаошеше числа благаариятных
ему элементарных событий к числу всех возможных элементар-
ных событий. Если чмело исходов, баягояриятиых событию Л.
р*нпо м, а число всех точек, составятнжпх пространство эле-
ментарных событий, равно п, то вероятность Р(А) события А
16*
452 ГЛ. 18. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
выразится дробью
Р(Л)-т/Я. (1)
В задачах, где число всех возможных элементарных событий
конечно, число элементарных событий, благоприятных событию
А, может быть найдено непосредственно.
Пример 4.1, В классе, состоящем нз 20 учеников, 15 че-
ловек занимаются в математическом кружке. Какова вероят-
ность, что наудачу выбранный ученик окажется членом матема-
тического кружка?
Решение. Пусть событие А состоят в том, что наудачу
выбранный ученик является членом математического кружка.
Тогда число элементарных событий, благоприятных событию Л,
равно 15. Число всех элементарных событий в данном случае
равно 20. Следовательно, искомая вероятность равна
Р (Л) — 15/20 — 3/4.
Ответ. 3/4.
Пример 4.2. Бросают две игральные кости. Какое событие
более вероятно: сумма очков на выпавших гранях равна 11 влв
сумма очков на выпавших гранях равна 4?
Решение. Поставим в соответствие исходу эксперимента
упорядоченную пару чисел (х, у), где х означает число очков,
выпавших на первой кости, а у — на второй. Пространство всех
элементарных событий состоит нз множества пар (х, у), где я
н у принимают значения от 1 до б. Число таких пар равно 36.
Событию А, состоящему в том, что сумма очков, выпавших на
двух костях, равна 11, благоприятны два элементарных события,
которым соответствуют, пары (б, 5) в (5, 6). Событию В, со-
стоящему в том, что сумма очков, выпавшая на двух костях,
равна 4, благоприятны три элементарных события, которым соот-
ветствуют пары (1, 3), (3, 1), (2, 2).
Вероятности событий А и В равны соответственно
Р(Л) —2/36—1/18 н Р(В) —3/36—1/12,
и, следовательно, событие В более вероятно.
4.1. Какова вероятность того, что наудачу вырванный листок
нз нового календаря соответствует первому числу месяца? (Год
считается невнсокосным.)
4.2. Какова вероятность того, что наудачу выбранное число
от одного до двенадцати окажется делителем числа двенадцать?
. (Единица считается делителем любого числа.)
4.3* . Какова вероятность того, что наудачу выбранное дву-
значное число делится на 3?.
t 4. ВЫЧИСЛЕНИИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КОМБИНАТОРИКИ 453
4.4. Найти вероятность того, что наудачу выбранный член
последовательности I/, = л’ + 1 (л “ 1, 2, ..., 10) делится на б.
4.5. В урне 10 белых шаров в 3 красных. Какова вероят-
ность вынуть из урны красный шар?
4Л**. Монету бросают три раза. Какое из событий более
вероятно: событие А — все три раза выпала цифра, или событие
В — два раза выпала цифра и одни раз герб? Подсчитать вероят-
4юсти этих событий.
4.7. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того,
что сумма очков на выпавших гранях равна 7?
4 А. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того,
что сумма очков на выпавших гранях четная?
4.9. Прн перевозке 100 деталей, из которых 10 были забра-
кованы, утеряна 1 стандартная, деталь. Найти вероятность того,
что наудачу извлеченная деталь оказалась стандартной.
4.10. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,
что наудачу извлеченная деталь оказалась бракованной.
4.11* . В семье трое детей. Какова вероятность, что все они
мальчики? (Предполагается, что вероятности рождения мальчика
и девочки одинаковы.)
В некоторых случаях для непосредственного подсчета вероят-
ности события А удобно использовать формулы комбинаторики.
Пример 4.3. Найти вероятность того, что все учащиеся
в группе, состоящей из 40 человек, родились в разные дни года.
Решение. Все возможные исходы эксперимента представ-
ляются различными выборками по 40 из исходного множества
рбъема 365. Прн этом выборка может содержать одинаковые эле-
менты (так как любой день может быть днем рождения несколь-
ких человек). Следовательно, пространство элементарных собы-
тий содержит (40),и различных выборок. Благоприятным собы-
тием будут соответствовать выборки, но содержащие одинаковых
влементов. Таких выборок Л^д. Таким образом, искомая вероят-
ность равна Р (Л) “ Язу/40зв®.
Используя формулы числа размещений, сочетаний, переста-
новок, решить следующие задачи:
4.12. В урне л белых и т красных шаров. Какова вероят-
ность того, что наудачу взятые два шара окажутся красными?
4.13. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние
цифры и, помня только, что они различны, набрал их наудачу,
Какова вероятность, что он набрал нужные цифры?
4.14. К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из кото-
рых 50 спелых. Покупатель выбирает два арбуза. Какова вероят-
ность, что оба арбуза спелые?
454 ГЛ. М. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
4.18. В урве я белых, т черных, й красных шаров. Наудачу
вынимаются трв шара. Какова вероятность, что все они будут
разного цвета?
4.16. В экзаменационный билет входят 4 вопроса программы,
насчитывающей 45 вопросов. Абитуриент не знает 15 вопросов
программы. Какова вероятность, что он вытянет билет, где все
вопросы ему известны?
4.17. На карточках написаны целые числа от 1 до 15. На-
удху язшеиаются две карточки. Какова вероятность того, что
сумма цифр, написанных на этих карточках, будет равна 10?
Решить задачи, используя формулу числа перестановок с за-
данным числом повторений.
4.18* . Какова вероятность, что при случайном расположении
в ряд кубиков, на которых написаны буквы а, а, а, я, н, с, полу-
чится слово «ананас»?
4.19. На один ряд, состоящий яз 7 мест, случайным образом
садятся семь учеников. Найти вероятность того, что три опреде-
ленных ученика окажутся рядом.
4.20. На книжной полке случайным образом расставлены
4 книги по алгебре н 3 по геометрии. Какова вероятность того,
что кикги по каждому предмету стоят рядом?
4.21* . Найти вероятность того, что прн игре в бридж (четы-
рем игрокам нз колоды карт в 52 листа раздаются по 13 карт)
каждый игрок получит по одному тузу.
4.22. Известно, что прн 10-кратном бросании монеты В раз
выпяти гербы и 5 раз цифры. Какова вероятность того, что все
гербы выпали при первых пяти бросаниях?
Пример 4.4. Из (5 строительных рабочих 10—штукатуры, а
В — маляры. Наудачу отбирается бригада нз 5 рабочих. Какова
вероятность того, что среди них будет 3 маляра н 2 штукатура?
Решение. Пространство элементарных событий состоит из
всех выборок различного состава объема 5 из множества объ-
ема 15. Число таких выборок равно Cjj. Благоприятным собы-
тиям соответствуют выборки, содержащие трех маляров и двух
штукатуров. Трех маляров из пяти можно выбрать Cj способа-
ми, а двух штукатуров (совершенно независимо от предыдущего
выбора) С[0 способами.
Следовательно, число выборок, соответствующих благоприят-
ным событиям, равно произведению CjC*0. Таким образом, иско-
мая вероятность определяется выражением
^(Л)=С’С?0/С?5.
Ответ.
I в. ЗАДАЧИ. РЕШАЕМЫЕ ГЕОМЕТРИЧВСКНМИ МЕТОДАМИ 455
В общем случае вероятность получить выборку объема
А-|-г, гас k элементов принадлежат одной группе, состоящей из
п элементов, а г — другой, состоящей из т элементов, опреде-
ляется формулой
(2)
4.23. В ящике имеются 15 деталей, 5 из которых окрашены.
Наудачу извлекаются 5 деталей. Найти вероятность того, что 4
из них окрашены, а одна — нет.
4.М. В партии из N деталей п стандартных. Наудачу отби-
раются т деталей. Найти вероятность того, что среди отобран-
ных k стандартных.
4.25. Какова вероятность главного выигрыша в «Спортлото»
(угадать 6 номеров нз 48)? Какова вероятность угадать 5; 4;
3 номера из 48?
4.26. Какова вероятность получения 1 туза, туза и короля
прн сдаче 6 карт нз колоды в 52 листа?
4.27. Имеются 6 билетов в театр, 4 нэ которых на места
первого ряда. Какова вероятность того, что нз трея наудачу вы-
бранных билетов 2 окажутся ва места первого ряда?
4.28. В соревнованиях по футболу участвуют 20 команд.
Случайным образом они делятся на две группы по 10 команд.
Какова вероятность того, что 2 наиболее сильные команды при
этом окажутся в одной группе?
§ 5. Задачи на вычисления вероятностей,
решаемые геоиктрмчеошмя методами
Существуют задачи, в которых непосредственный ' подсчет
элементарных событий, основанный на нх равновозможности и
конечности нх числа, непригоден. Рассмотрим пример. Пусть ли-
ния электропередач, соединяющая пункты А я В, в результате
бури оборвалась. Какова вероятность того, что обрыв произошел
на участке, заключенном между пунктами С я D, принадлежа-
щими отрезку ЛВ? Множество элементарных событий в данном
случае бесконечно, так как обрыв равновозможен в любой точке
отрезка АВ. При этом естественно предполагать, что вероятность
обрыва на любом участке пропорциональна длине этого участка.
(Гак как вероятность обрыва на всем участке равна едяняде
(обрыв уже произошел), то вероятность обрыва на участке CD
выразится соотношением
Р (А)—СО/АВ.
456 ГЛ. IS. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Введем следующее допущение. Пусть исходы испытания,
Число которых бесконечно, распределены равномерно в некоторой
области S. Это значит, что вероятность события Е, состоящего
в том, что исход испытания оказался заключенным в некоторой
части области S, пропорционален величине этой части и не за-
висит от ее расположения и формы.
Таким образом,
Р (Е) - т (s)/m (S), (1>
где Р(Е) — вероятность события, заключающегося в том, что
наудачу выбранная точка из области S окажется в области з,
/п(а) и m(S) — величины соответствующих областей.
Пример 5.1. Абонент ждет телефонного вызова в течение
одного часа. Какова вероятность, что вызов произойдет в по-
следние 20 минут этого часа?
Решение. Пусть событие Е состоит в том, что вызов про-
изошел в последние 20 минут. Изобразим пространство элемен-
тарных событий в виде отрезка длины 60. Тогда элементарные
события, благоприятные Е, заключены в последнюю треть отрез-
ка. Следовательно,
Р (А) = 1/3.
5.1. Минное поле заграждения устроено так, что мины по-
ставлены вдоль некоторой прямой с интервалами между минами
100 м. Какова вероятность того, что корабль шириной 20 м,
проходящий минное поле заграждения под прямым углом, подо-
рвется на мине?
S.2. В круге радиуса R помешен меньший круг радиуса г.
Найти вероятность того,к-что наудачу брошенная в большой круг
точка попадет также и в меньший круг. (Предполагается, что
вероятность попадания в круг пропорциональна площади круга
н не зависит от его расположения.)
Если случайное событие, вероятность которого следует найти,
состоит в попадании точки в некоторую часть плоской фигуры
и при этом границы фигуры н ее части являются графиками из-
вестных функций, то вычисление площадей, входящих в выраже-
ние (1), сводится к вычислению определенных интегралов.
Пример 5.2. Наудачу выбираются два действительных чис-
ла х н у, причем 0 х < 1, < 1. Найти вероятность
того, что уг х.
Решение. Поставим в соответствие паре чисел х и у точ-
ку на плоскости с координатами (х, у). Пространство элемен-
тарных событий будет в этом случае квадратом, двумя сторо-
нами которого являются единичные отрезки осей координат, Фнч
9 В. ЗАДАЧИ. РЕШАЕМЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ 457
гура, множество точек которой соответствует исходам, благопри-
ятным событию у» < х, ограничена графиками функций у •= О,
х — 1, у» — х. Ее площадь вычисляется по формуле
о
Так как площадь единичного квадрата равна единице, то
' Р(Л) = 2/3.
Ответ. 2/3.
5.8. Два действительных числа х и д выбираются наудачу
так, что |х| < 3, |у| < 5. Какова вероятность того, что дробь
х/у окажется положительной?
5.4. Два действительных числа х и у выбираются наудачу
так, что |х| < I, О С У 1. Какова вероятность того, что
х1 < у?
5.5. Два действительных числа хну выбираются наудачу
так, что |х| < 1 и |у| 1. Какова вероятность того, что
1*1 <М?
5.6*. Наудачу взяты два положительных числа хну, каж-
дое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что
ху < 1, а у/х 2.
5.7*. Наудачу взяты два положительных числа х и у, не
превышающие единицы. Какова вероятность того, что сумма их
не превышает единицы, если сумма их квадратов больше 1/4?
5.8*. Парабола касается нижней стороны квадрата и прохо-
дит через верхние его вершины. Какова вероятность того, что
точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в область, заклю-
ченную между верхней стороной квадрата и параболой?
5.9. Парабола касается полукруга н проходит через границы
его диаметра. Какова вероятность того, что точка, наудачу бро-
шенная в полукруг, попадает в область, ограниченную дугой по-
лукруга и параболой?
5.10. Пусть на отрезке [0; 1] задана такая функция /(х), что
/'(х) >0 при х е [0; 1], прячем /(0) — 0, /(1) = 1. Доказать,
что при бросании точки в квадрат, стороны которого — промежу-
ток [0; 1] осн Ох н промежуток [0; 1] оси Оу, наибольшая ве-
роятность попасть в область, ограниченную кривыми у “fix),
у = Ца), у “ 0, у = 1, будет достигаться при а = 1/2.
5.11* . Область ограничена линиями х = 0, х=л/2, у=slnx,
у = ein а Точка бросается в прямоугольник, сторонами кото-
рого являются промежуток [0; л/2] осн Ох и промежуток [0; 1]
458 гл. is комбинаторика, элементы теории вероятностен
оси Оу. При каком значении а вероятность шпаддви точки в
вту область наименьшая?
Для решения ряда задач геометрическим методом удобно
предварительно ввести декартову систему координат.
Пример 5.3. Два товарища договорились о встрече в
определенном месте между 11 и 12 часами дня. Пришедший пер*
вым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти
вероятность того, что встреча состоится, если каждый придет в
произвольный момент между 11 и 12 часами.
Реше, и не. Поскольку момент прихода каждого нз това-
рищей случаен, то выбрав отрезок единичной длины, поставим в
соответствие моменту прихода первого товарища произвольную,
случайно выбранную точку этого отрезка, а моменту прихода
второго товарища — случайно выбранную точку второго отрезка
единичной длины. Отложим эти отрезки на осях координат, пер-
вый — на оси Ох, второй — на осн Оу. Тогда пространство эле-
ментарных событий будет представлять собой квадрат единичной
площади, вписанный в первый квадрант координатной плоскости,
каждая точка с координатами (х, у) которого представляет со-
бой пару моментов времени прихода товарищей.
Элементарные события (х, у), благоприятные событию, со-
стоящему в том, что товарищи встретятся, должны удовлетво-
рять условию
|х-у|<1/4. (•)
Геометрическим образом, соответствующим искомому событию,
будет пересечение полосы (*) и единичного квадрата, состоящего
из точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют неравен-
ствам О С 1 и 0 > С 1. Площадь фигуры, полученной в
результате пересечения множества (•) н квадрата, равна иско-
мой вероятности, так как площадь единичного квадрата равна
единице.
Ответ. 7/16.
6.12. В течение 20 минут ученик А в случайный момент зво-
нят по телефону ученику В и ждет 2 минуты, после чего кладет
трубку. В течение тех же 20 минут в случайный момент времени
ученик В приходит домой, где остается в течение 5 минут, после
чего уходит. Какова вероятность тога, что разговор состоятся?
5.13*. На единичный отрезок оси абсцисс наудачу бросают
две точки В к С. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС
будет меньше, чем расстояние от начала координат до ближай-
шей точки.
6.14. Некто живет в городе В, соединенном железной доро-
гой с городами Л а С, Между городами А и С курсируют по-
5 в. ВЫЧИСЛЕНИЕ вероятностей сложных соаытии 45а
езда, которые все останавливаются в городе В. Распкивие со-
ставлено так, что поезда каждого направленна проходят через
город В с интервалами в 1 час. Некто приходит на вокзал в
случайный момент времени в садится на первый подошедший
поезд. Как должно быть составлено расписание, чтобы вероят-
ность уехать в город А была в 5 раз больше, чем вероятность
уехать в город С?
&.1Б*. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, от-
стоящими друг от друга на расстояние 2а. На плоскость наудачу
бросают иглу длиной 21 (I < а). Найти вероятность того, что
игла пересечет какую-нибудь прямую (задача Бюффона).
§ в. Вычисление вероятвосте* сложных событий
События подразделяются на достоверные, невозможные и
случайные: достоверные в результате опыта происходят всегда;
невозможные не происходят никогда; случайные могут либо про-
изойти, либо пет. Достоверным будет, например, событие, состоя-
щее в том, что из урны, содержащей только белые шары, выни-
мают белый шар, а невозможным будет событие, состоящее в
том, что белый шар вынимают из урны, содержащей только чер-
ные шары. Если в урне есть и белые и черные шары, то из-
влечение шара какого-либо определенного цвета является случай-
ным событием.
Достоверное событие совпадает со всем пространством эле-
ментарных событий Q, а случайное событие А является некото-
рым подмножеством в этом пространстве. Невозможное событие
0 не содержит ни одного элементарного события.
Суммой двух событий Лив назовем событие С, состоящее
в том, что произошло или событие А, или событие В. Сумма
двух событий обозначается
С = Л + В. '• (1)
Поженим понятие суммы двух событий на следующем при-
мере. Пусть мальчик купил билеты двух лотерей: «Спринт» и
«Старт». Рассмотрим случайное событие С, состоящее в том, что
мальчик выигрывает хотя бы в одной лотерее. Наступление этого
события связано с наступлением хотя бы одного из следующих
событий: событие А — среди билетов, купленных мальчиком, есть
выигрышные балеты лотерея «Спринт»; В — есть выигрышные
билеты лотереи «Старт».
Произведением двух событий А п В назовем событие С, со-
стоящее в том, что произошли оба эти события. Произведение
двух событий обозначается
ГО
с = л-а
460 ГЛ. IB. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
События Л в В называются несовместными, если их произве-
дение представляет собой невозможное событие:
4-В = 0.
Поясним понятие произведения двух событий на следующем
примере.
Средн машин, потерпевших аварию, есть <Жигулн» и «Вол-
ги», Часть машин при аварии перевернулась. Событие А, состоя-
щее в том, что наудачу выбранная неперевернувшаяся автома-
шина «Волга», будет произведением двух событий: В — маши-
на не перёвернулась и С — машина является «Волгой», т. е. А =>
— ВС.
Определение вероятности сложного события А, являющегося
комбинацией более простых событий А....... Л», вероятности ко-
торых известны, основаны на формулах сложения и умножения
вероятностей. Поясним смысл этих формул примерами.
Проведем эксперимент, связанный с бросанием двух костей,
вычислим вероятность события С, состоящего в том, что сумма
очков на выпавших гранях не превосходит числа 3. Простран-
ство элементарных событий, возникающих в результате этого экс-
перимента, можно представить упорядоченными парами целых
чисел, изменяющихся от 1 до 6. Таких пар будет 36. Средн этих
событий благоприятными событию С будут следующие: (1, 1),
р, 2), (2, I). Таким образом, согласно определению, введенному
в $ 4, заключаем, что вероятность события О есть
Р (С) — 3/36 — 1/12.
Рассмотрим теперь событие С как комбинацию более про-
стых событий. Для этого заметим, что событие С происходит,
если происходит событие А — сумма очков на выпавших гранях
равна 2, или событие В — сумма очков на выпавших гранях рав-
на 3. Таким образом, событие С есть сумма событий А и В|
С = А + В. Из исходного пространства элементарных событий
событию А благоприятна только пара (1, 1), а событию В —па-
ры (1, 2) и (2, 1). Следовательно, вероятности событий А и В
равны соответственно
Р (А) — 1/36, Р (В) — 1/18.
Таким образом, в данном случае справедливо равенство
Р(С)-Р(Л) + Р(В).
Заметим, что события А и В в этом примере являются н^
совместными (сумма очков на выпавших гранях не может одно-
временно быть равной 2 н 3).
$ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЯ 461
Вычислим вероятность события С, состоящего в том, Что из
колоды карт в 52 листа наудачу взятая карта или является ту*
эои, или имеет червонную часть. Пространство элементарных со-
бытий в этом примере состоит нз 52 элементов. Элементарные
события, благоприятные событию С, заключаются в том, что взя-
тая карта имеет червонную масть (в колоде 13 карт одной
масти) или является тузом (в колоде 4 туза). С учетом того,
что одни нз тузов червонный и, следовательно, благоприятным
оказываются 16 элементарных событий, получаем
Р (С) — 16/52 — 4/13,
Представим теперь С в виде комбинация более простых со-
бытий: события А — взятая наудачу карта оказалась червонной,
в события В — взятая наудачу карта оказалась тузом. Тогда по
определению суммы двух событий С = А + В. Вероятности со-
бытий А н В соответственно равны
Р(А) — 1/4, Р (В) =1/13.
Нам понадобится также вероятность произведения событий Л
и В, т.е. события D = A-В, которое заключается в том, что на-
удачу взятой картой оказывается червонный туз. Очевидно, что
вероятность события D равна
Р (D) = 1/52.
Нетрудно убедиться, что в данном случае справедливо равенство
Р (4 + В) = Р (Д) + Р (В) - Р (D).
Рассмотренные примеры обобщает следующая формула:
Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В)-Р(ДВ), (3)
т. е. вероятность суммы двух событий А и В равна сумме веро-
ятностей зтнх событий минус вероятность их произведения.
В том случае, если события Л и В несовместны, формула (3)
принимает вид
Р(Д + В)-Р(Д)+Р(В). (4)
Рассмотрим эксперимент, связанный с бросанием двух ко-
стей, и вычислим вероятность события С, состоящего в том, что
число очков, выпавших на первой кости, больше 3, а на вто-
рой — больше 4. Элементарные события, благоприятные событию
С, — упорядоченные пары чисел: (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6),
Кб, 5), (6, 6). Таким образом,
Р (С) = 6/36 = 1/6.
Представим теперь событие С в виде комбинации более
простых событий: события Л, состоящего в том, что на первой
462 ГЛ. 11. комбинаторика элементы теории вероятностен
кости выпало больше трех очков, в события В — на второй ко-
сти выпало больше четырех очков. Тогда по определению произ-
ведения событий событие С представляется произведением собы-
тий А и В: С = АВ.
Вычислим вероятности событий Д н В. Прежде всего заме-
тим, что пространства элементарных событий, возникающие про
бросании каждой кости отдельно, состоят из шести равновоз-
можных исходов. Элементарные события, благоприятные собы-
тию А, состоят в выпадении на первой кости 4, 5 или 6 очков,-
Следовательно, Р(В) = 1/2.
Элементарные события, благоприятные событию В, состоят в
выпадении на второй кости Б или 6 очков. Следовательно,
Р(В) = 1/3. Нетрудно проверить, что в данном случае выпол-
няется соотношение
Р(С)-Р(Л)-Р(В). (Б)
События А п В, для которых выполняется (5), будем назы-
вать независимыми. Таким образом, вероятность произведения
двух событий в том случае, если они независимы, можно вычис-
лить по формуле (5). Если для событий А н В условие (5) не
выполняется, то такие события называются зависимыми. В этом
случае можно говорить о так называемой условной вероятности
наступления события А прн условии, что событие В произошло.
Допустим, требуется вычислить вероятность события А, со-
стоящего в том, что сумма очков при бросании двух костей не
превысит четырех, если известно, что на одной кости выпала
единица (событие В). Так как событие В произошло, то, считая
его достоверным, можно рассмотреть новое пространство элемен-
тарных событий, состоящее из 11 событий, благоприятных собы-
тию 0:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1. 5), (I, 6),
(2, 1), (3. 1). (4,1). (5, 1). (6, 1).
В этом новом пространстве элементарных событий событию А
благоприятны Б элементарных событий: (1, 1), (1, 2), (1, 3),
(2, 1), (3, 1). Таким образом, вероятность события* А в этом
пространстве элементарных событий равна 5/11. Полученную ве-
личину будем называть условной вероятностью события А при
условии, что произошло событие В, и обозначать Р(А/В).
Рассмотрим теперь исходное пространство элементарных со-
бытий, возникающее прн бросании двух костей, и вычислим ве-
роятность события С = A-В, состоящего в том, что сумма очков,
выпавших на костях, не превосходит четырех н что на одной из
костей выпала единица. Элементарные события, благоприятные
| в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ 463
событию С, представляются следующими парами чисел: (1, I),
(I, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1). Таким образом, Р(С) = 5/36. Один-
надцать элеменарных событий, благоприятных событию В, были
рассмотрены выше. Следовательно, Р(В) *=• 11/36. Нетрудно убе-
диться в справедливости соотношения
Р(С) — Р (А/В) - Р (В).
Рассмотренные примеры обобщает следующая формула умно-
жения вероятностей:
Р (АВ) = Р (А) Р (В/А) = Р(В)Р (А/В), (6)
т. е. вероятность произведения двух событий А и В равна произ-
ведению вероятности одного из этих событий на условную ве-
роятность другого, вычисленную в предположении, что первое
событие произошло.
Для случая трех событий формула, обобщающая формулу
(6), имеет вид
Р (АВС) = Р (А/ВС) Р (ВС) = Р (А/ВС) Р (В/С) Р (С). (7)
Пример 6.1. Из урны, содержащей л белых и т черных
шаров, вынимаются два шара. Какова вероятность того, что они
разных цветов?
Решение. Представим событие С, состоящее в том, что
вынутые шары разных цветов, в виде С = А 4- В, где собы-
тие А состоит в том, что первый шар белый, а второй черный;
событие В — в том, что первый шаг черный, а второй белый. Так
как события А и В несовместны, то, согласно (4),
Р(С)-Р(А) + Р(В). (*)
Вероятности событий А и В вычислим, используя формулу
(6). Представим событие А в виде А = Б, Ч, где буквы Б н Ч,
записанные в данной последовательности, означают, что первым
был вынут белый шар, а вторым — черный. Тогда
Р(А)-Р(Б)Р(Ч/Б).
Вероятность события Б представляет собой отношение числа бе-
лых шаров к числу всех шаров, находящихся в урне. Условная
вероятность того, что вторым вынут черный шар при условии,
что первым был вынут белый, представляет собой отношение
первоначального числа черных шаров к уменьшившемуся на еди-
ницу числу всех шаров, оставшихся в урне. Таким образом,
Р(А)-
Аналогично
п
л + т
т
п + т — 1 *
Дт т я fft— 1
464 ГЛ. IS. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Подставляя полученные выражения в формулу (•), полу*
чаем
Р (С) ---------.
v ’ (n-f-m) (п + m — 1)
л 2лт
О Т В е Т. ;-----гт--;-----гт-.
(л + т) (л + т — 1)
Используя формулы умножения в сложения вероятностей,
решить следующие задачи.
6.1. В урне находятся л белых и т черных шаров. Выни-
маются два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые;
оба шара черные?
6.2* . Решить задачу 6.1 при условии, что вынутые шары воз-
вращаются обратно, а их цвет записывается.
6.3. Из колоды карт в 62 листа вынимают 4 карты. Какова
вероятность того, что все они разных мастей (имеются 4 масти
по 13 карт в каждой)?
6.4. Несколько раз бросают игральную кость. Какова веро-
ятность того, что одно очко появится впервые при третьем бро-
сании?
6.6. 20 машин были доставлены на станцию технического об-
служивания. Прн этом 5 нз них имели неисправности в ходовой
части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью
исправны. Какова вероятность, что машина с неисправной ходо-
вой частью имеет также неисправный мотор?
6.6. Готовясь к вступительному экзамену по математике,
абитуриент должен подготовить 20 вопросов по элементам мате«
магического анализа и 25 по геометрии. Однако он успел подго-
товить только 16 вопросов по элементам математического ана*
лиза н 20 по геометрии. Билет содержит 3 вопроса, 2 из которых
по элементам -математического анализа и 1 по геометрии. Какова
вероятность, что:
а) студент сдаст экзамен на <отлично» (отвечает на все три
вопроса); б) на <хорошо> (отвечает на любые два вопроса)?
Дополнением случайного события А (или противоположным
событием) • назовем событие С, состоящее в том, что в резуль-
тате эксперимента событие А не произошло. Дополнение к собы-
тию А обозначается Д. Вероятности событий А и Л связаны фор-
мулой
Р (Л) + Р (А) -1. (8)
Если сложное событие А представляется в виде
Л-Л + ...+Л*. (9)
f 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОВЫТИИ 465
где А/ — события, вероятности - которых известны, то вычисление
вероятности Р(4) иногда удобно производить, используя фор*
мулу
Л — 4| -Ла- ... «Л*. (10)
связывающую дополнения рассматриваемых событий. Так, и слу-
чае, если Л| независимы, получаем
/>(Л)-1-р(л)-1-р(л,)...ра*)-
„1 _(1 _р(л,)]... [1 -Р(Ла)). (11)
Если все события Л» равновероятны, то формула (11) приобре*
тает более простой вид:
Р (Л) — 1 — (1 — р)*, (12)
где р — вероятность события Л/.
Пример 6.2. Для разрушения моста достаточно попада-
ния одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения,
если на мост сбрасывают три бомбы с вероятностями попада-
ния 0,3; 0,4; 0,7 соответственно.
Решение. Вычислим вероятность события X, состоящего
В том, что мост не будет разрушен. Обозначим Л;, Л>, Л»
события, состоящие в том, что в мост не попала соответственно
первая, вторая и третья бомбы. Тогда Л—Л1Л>Л1. Так как
из независимости Л/ следует независимость Xi, то
Р (Л) — Р (ЛI) Р (Л,) Р (Л,) — 0,3 • 0,4 • 0,7 = 0,084.
Следовательно, вероятность разрушения моста
Р(Л) = 1— Р (Л)— 0,916.
Ответ. 0,916.
6.7. В урне находятся л белых, т черных и k красных
шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что
котя бы два шара будут одного цвета?
6.8. На стеллаже 15 учебников, 5 из них в переплете. На-
мдачу выбираются 3 учебника. Какова вероятность, что хотя
бы один из них будет в переплете?
8.9. В лотерее разыгрывается л билетов, нз которых I вы-
игрышных. Некто покупает к билетов. Какова вероятность того;
9то хотя бы одни нз купленных билетов выигрывает?
6.10. При одном обзоре радиолокационной станцией объект
Обнаруживается с вероятностью р. Обнаружение объекта в
Каждом цикле происходит независимо от других циклов. Какова
рероятность того, что прн л циклах объект будет обнаружен?.
4бв ГЛ. ». КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
#.11*. По некоторой цели производятся я выстрелов. Каж-
дый выстрел поражает цель с вероятностью р. Сколько вы-
стрелов надо произвести, чтобы вероятность поражения цели
была не меньше Р?
Вероятность события А, которое может наступить лишь
при появлении одного нз нескольких несовместных событий
Bi, Bi, .... В„, равна сумме произведений вероятностей каж-
дого из этих событий на условную вероятность события А
прн условии, что данное событие наступило:
Р (А) - Р (Bi) Р (AJBi) + Р(ВДР (А1Ы + ...
...+Р (Вп) Р (А]Ва), (13)
Равенство (13) называется формулой полной вероятности.
Пример 6.3. В первой команде 6 мастеров спорта И
4 перворазрядника, а во второй — 6 перворазрядников и 4 ма-
стера спорта. Сборная, составленная из игроков первой и вто-
рой команд, содержит 10 человек: 6 человек нз первой коман-
ды н 4 — из второй. Из сборной команды наудачу выби-
рается один спортсмен. Какова вероятность того, что он ма-
стер спорта?
Решение. Пусть событие В, (i = 1, 2) состоит в том,
что наудачу выбранный спортсмен—член i-й команды. Тогда
вероятности событий Bt равны соответственно Р(В|)—3/5,
Р(В2) = 2/5. Пусть событие А состоит в том, что наудачу
выбранный спортсмен — мастер спорта. Тогда условные вероят-
ности события А при условии, что выполнено событие
(т. е. известно, из какой команды спортсмен), равны соответ-
ственно Р(Д/В|) = 3/5, £(А/В1) = 2/5. Используя формулу пол-
ной вероятности, получаем
Р(Л)=-|-
3,2. 2. 13
5 + 5 ’ 5 = 25’
Ответ. 13/25.
6.13. Экзамен происходит по следующей схеве> если не-
который билет уже был вытянут, то экзаменатор’ откладывает
его, т. е. последующие экзаменующиеся ве могут вытянуть этот
билет. Ученик выучил й билетов (А < л). В каком случае ве-
роятность того, что ученик вытянет выученный билет, больше —
когда он идет отвечать первым или последним?
0.13*. В урне лежат два шара, цвета которых неизвестны
(каждый шар может быть или белым, или черным). Положим
в урну белый швр, Какова вероятность теперь вынуть из урны
белый шар?.
$ в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ 467
6.14. Из пяти винтовок, нз которых 3 снайперские и
2 обычные, наудачу выбирается одна, и нз нее производится
выстрел. Найти вероятность попадания, если вероятность по-
падания из снайперской винтовки — 0,95, а нз обычной —0,7,
6.15. Имеются две урны. В первой лежат т белых и л чер-
ных шаров, а во второй—к белых и I черных шаров соот-
ветственно. Из первой урны во вторую перекладывают одни
шар. Какова вероятность после этого вынуть:
а) белый шар из первой урны;
б) белый шар из второй урны?
6.16 *. Имеются две партии однородных изделий с разным
составом стандартных и дефектных: в вервой партии всего
N изделий, из них л дефектных, во второй партии М изделий,
из них т дефектных. Из первой партии берется К изделий,
из второй L, и образуется новая партия. Какова вероятность
того, что изделие, выбранное наудачу из повой партии, ока-
жется дефектным?
6.17 *. В условиях предыдущей задачи найти вероятность
того, что хотя бы одно изделие нз трех выбранных наудачу
нз вновь образованной парты окажется дефектным?.
ГЛАВА 16
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Высказывания
Под высказыванием понимают утверждение, про которое
имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Из заданных высказываний прн помощи так называемых
логических связок, которым в обычной речи соответствуют ча-
стица «не», союзы «и», «или», сложноподчиненный оборот
«если..., то...», выражение «в том н только в том случае», об-
разуются новые составные высказывания. Если истинному вы-
сказыванию поставить в соответствие 1, а ложному 0, то ло-
гические связки можно формально определить с помощью так
называемых таблиц истинности.
1. Отрицание (читают <не р» и пишут р). Когда р истинно,
тогда р ложно, н наоборот.
2. Конъюнкция или логическое умножение двух высказы-
ваний (читают «р и р» н пишут р Д q). Конъюнкции истинна
только в случае, когда оба высказывания истинны.
3. Дизъюнкция или логическое сложение двух высказыва-
ний (читают «р или 9» и пишут pV<?)- Дизъюнкция истинна
в том случае, когда истинно хотя бы одно нэ двух выска-
зываний.
4. Импликация (читают «если р, то q» и пишут p-*-q).
Здесь два высказывания в отличие от случаев 2 и 3 не пере-
становочны: высказывание р называют условием, а высказыва-
ние q — следствием. Импликация ложна только в том случае,
когда условие истинно, а следствие ложно.
Б. Эквиваленция или двойная импликация (читают <р вкви-
валентно 9» н пишут р «->• q). Эквиваленция истинна в том
случае, когда или оба высказывания истинны, или оба выска-
зывания ложны.
t I. ВЫСКАЗЫВАНИЯ 469
Таблица истинности элементарных высказывание имеет вид
р « р V я р Л я Р* я fi
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0
Новые высказывания образовываются с помощью логиче-
ских операций. Операции могут быть использованы многократ-
но. Порядок, в котором проводятся операции, указывают с по-
мощью скобок.
Если из р следует q и из q следует р,- то высказывания
р и q называют равносильными. Равносильные высказывания
соединяют знаком либо знаком равенства.
Таблицы истинности для равносильных высказываний сов-
падают.
Пример 1.1. Доказать равносильность высказываний
Р -> q н (р Л q) V р.
В последней строке таблицы римскими цифрами обозначены
номера шагов, которыми составляется таблица истинности. На
I шаге заполняются столбцы истинности для высказываний р
в q. На II шаге —для высказываний рДр и р. При этом
используется таблица истинности элементарных высказываний,
приведенная выше. На III шаге, рассматривая р Д q и р как
Простейшие высказывания, заполним столбец дизъюнкции этих
высказываний (рД<?)\/Р- Полученный столбец истинности сов-
падает со столбцом истинности высказывания p-*q.
! Таким образом, равносильность высказываний p-*-q в
Jp Д у Р установлена,
470 <*Л. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЙ
Сравнив таблицы истинности, доказать)
1.1. р V q — p Л q.
1.2. р Aq — pVq.
1А р q = (р Л <?) V (р Л д).
1.4. (р V q) Л q-=q.
1.5. р V (р Л q) — р.
1.0. Высказывание р означает, что у вас есть собака, а
высказывание q означает, что у вас есть кошка. Сформули-
руйте, что означают следующие составные высказывания!
1) Р V <Г.
2) р Л <?:
3) (Р Л q) V (р Л <?)!
4) р -► $.
1.7. Пусть высказывание р|? означает, что р н q не могут
быть оба кстнниымк. Напнппгге таблицу истинности для р|ф.
1.8. Напишите высказывание p|<j (см. задачу 1.7), нсполь-
ауя логические связки конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
1Л Докажите равносильность высказываний (p|fl) | (р|й)
ирЛ«-
1.10. Пусть р означает «идет дождь», a q означает «дует
ветер». Запишите в символической форме высказывания!
1) если идет дождь, то дует ветер;
2) если дует ветер, то идет дождь;
3) ветер дует в том в только в том случае, когда идет
Дождь;
4) если дует ветер, то нет дождя;
5) неверно, что ветер дует тогда в только тогда, когда
ист дождя.
1.11. Запишите в символической форме сложное высказы-
вание, состоящее нз простых высказываний р, q, г, истинное
тогда н только тогда, когда истинна только одна (безразлично
какая!) нз компонент.
1.12. По мншенн произведено три выстрела. Что означает
следующее высказывание, записанное в символической форме;
1) Pi V р» V Pal
2) Pi Л Ра Л Ра!
3) (fii V р») Л рэ.
где pi означает высказывание: «мишень поражена прн 1-м вы^
Стреле?
I t. ВЫСКАЗЫВАНИЯ 471
Легко проверить равносншгость следующих высказываний
(здесь 1 — истина, L — ложь):
pV?“<?Vp, (1)
р Л ? ° ? Л р, (2)
pVU Vr)-(p V0 Vr, (3)
р Л (<7 Л Г) — (р л q) Л г, (4)
Р Л (q V г) — (р Л <7) V (р Л г), (5)
р Л Р “ р. (6)
р V р = Р. (7)
р V р = Л (в)
р Л р = L, (9)
рЛ/ = р, (10)
PVZ-Л (II)
PAL = L, (12)
р V L = p. (13)
Используя формулы (1)—(13), можно решать довольно
сложные логические задачи.
Пример 1.2. Виктор, Роман, Юрий н Сергей заняли на
математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спро-
сили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1) Сергей — первый, Роман — второй;
2) Сергей — второй, Виктор— третий;
3) Юрий — второй, Виктор — четвертый.
Как распределились места, если в каждом ответе только одно
утверждение истинно?
Решение. Если в каждом ответе одно из утверждений
истинно, то и дизъюнкция этих утверждений тоже истинна.
Так, скажем, истинно высказывание: «или Сергей первый, или
Роман — второй». Запишем это высказывание в следующем
символическом виде: Ci V Рп- Аналогично, высказывания осталь-
ных ответов имеют вид Си V Вш в Юн V Biv соответственно.
Конъюнкция истинных высказываний — истинна. Следовательно,
истинным будет составное высказывание
(С; V Pi) Л (Сп V В[ц) л (Юц V Biv). (•)
Используя свойства (1)—(13), произведем упрощение вы-
сказывания (•). Для этого представим в виде дизъюнкции
простейших конъюнкций первую конъюнкцию:
(Cj V Рц) Л (Сц V Bni)e[(Ci V Рц) Л Сц1 V
V ((Сг V Рц) Л Bnil— [(Ci Д Сц) V (Рц Л Сц)] V
V I(Cj Д Bjn) V (Рц Л Вт)].
Высказывание, стоящее в первых квадратных скобках, ложно,
так как является дизъюнкцией двух ложных высказываний
472 гл. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
С| А Си в Рц Д Си — первое состоит в том, что Сергей завял
одновременно I н II места, а второе — В том, что второе место
одновременно заняли Роман и Сергей. Таким образом, первая
конъюнкция приобретает вид
(Ci v Рц) Л (Сц V Вш) —(С[ д Вщ) V (Рц Л Вщ).
Рассмотрим теперь оставшуюся конъюнкцию
l(Ci Л Вщ) V (Рц Л Вщ)1 д (Юц V B1V).
Используя, по-прежнему, правила (1)—(13), имеем
{{(Ci Л Вщ) V(Pn Л Вщ){ д Юц) V
V {((С] Д Вщ) V (Рц Л В!„)] Д Blv) “
= (С|Д Вщ Д Юц) V (Рц Л Вщ Л Юц) V (С, Л Вщ Д B|v)V
V (Рц Л Вщ Д Biv) — (Ci Д Вщ д Юц).
Второе, третье и четвертое высказывания, участвующие в этой
дизъюнкции, ложны, так как являются конъюнкциями или оди-
наковых букв с разными номерами, или разных букв с оди-
наковыми номерами, чего быть не может. Следовательно, истин-
ной является конъюнкция
Ci Л Вщ Д Юц.
Ответ. Первое место занял Сергей, второе — Юрий,
третье — Виктор и четвертое — Роман.
1.13. По обвинению в ограблении перед судом предстали
Л, В и С. Установлено следующее:
1) если А не виновен или В виновен, то С виновен,
2) если Л не виновен, то С не виновен.
Виновен ли Л?
1.14. Определить, кто из четырех подозреваемых участво-
вал в ограблении, если известно:
1) если Л участвовал, то и В участвовал;
2) если В участвовал, то или С участвовал, или Л на
участвовал;
3) если D не участвовал, то Л участвовал, а С не уча-
ствовал;
4) если D участвовал, то Л участвовал.
1.15. Экзамен сдавали три студента Л, В и С, Известно,
что:
1) если А не сдал или В сдал, то С сдал;
2) если Л не сдал, то С не сдал.
Можно лн на основании этих данных установить, кто сдал
экзамен?.
f Г. ВЫСКАЗЫВАНИЯ
В начале параграфа было показано, как строить таблицу
истинности любого составного высказывания. Интерес пред-
ставляет и обратная задача: по заданной таблице истинности
найти одно или несколько высказываний, которым оно соот-
ветствует. Оказывается, обратная задача не только имеет ре-
шение, но его можно получить, используя лишь связки Д,
V. -
Пример 1.3. Найти высказывание, состоящее из двух
простейших р и q, имеющее следующую таблицу истинности)
Ш
Решение. Единица в последнем столбце таблицы при-
сутствует только в последней строке. Следовательно, истинным
будет высказывание р /\q. Проверим это утверждение. Для это-
го составим таблицу истинности р /\q. Действительно, получен-
ная таблица совпадает с исходной. Следовательно, найденное
высказывание искомое.
1.16. Постройте три составных высказывания а, Ь, с, имею-
щих следующие таблицы истинности:
р а ь с d
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
474 ГЛ. 18. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Как это следует нз примера 3, а также ез решения за-
дач 1.16 1.17, алгоритм построения составного высказывания
заключается в дизъюнкции тех конъюнкций простых высказы-
вание, которым соответствует единица в последнем столбце
таблицы истинности. Причем в отдельную конъюнкцию входит
либо высказывание, либо его отрицание в зависимости от того,
соответствуют ли ему в таблице единица или нуль.
Попробуем использовать этот метод в следующей «жиз-
ненной» ситуации.
Пример 1.4. Имеются два города А а В. В городе А
живут люди, всегда говорящие правду, а в городе В живут
лжецы, всегда говорящие неправду. Жители обоих городов
свободно ходят в гости друг к другу, поэтому в каждом го-
роде можно встретить жителей любого из этих городов. Какой
вопрос следует задать путешественнику первому встречному,
чтобы по единственному ответу («да» или «нет») выяснить, в
каком городе он находится?
Решение. Пусть р означает высказывание «вы говорите
правду», а 7 — высказывание «это город А». Мы хотим задать
единственный вопрос, на который ответ «да» означал бы, что О
истинно, а ответ «нет» — что q ложно, независимо от правди-
вости первого встречного.
Если человек говорит правду, то он скажет «да», если
наше высказывание истинно, ы «нет» — если оно ложно; лжец
поступит наоборот. Таблица истинности пыекяаыванна (ожи-
даемого ответа) имеет следующий вид:
ОжялммыВ ответ
1
О
О
1
Эта таблица истинности соответствует эквивалентности (т. е.
(р *-« Я) или высказыванию
(Р А <?) V (Р Л q).
Таким образом, вопрос должен выяснять истинность экви-
валентности прописки встречного и его правдивости: «Верно ли,
что это город А и вы его житель, или это город В и вы его
житель?» Так как этот вопрос направлен на выяснение соот-
ветствия прописки встречного человека и данного города, то
$ I. ВЫСКАЗЫВАНИЯ
475
он может быть сформулирован короче) «Вы житель этого го-
рода?»
1.18. Один логик попал к дикарям в был заключен в тем-
ницу, имеющую два выхода. Вождь дикарей предложил плен-
нику следующий шанс на спасение; «Один выход ведет на
верную смерть, другой —на свободу. Ты можешь избрать лю-
бой. Сделать выбор тебе помогут два моих воина. Они оста-
нутся здесь, чтобы ответить на одни твой вопрос — любой, ка-
кой ты пожелаешь нм задать. Но я предупреждаю тебя, что
один воин всегда говорит правду, а второй всегда лжет».
И вождь ушел. Через некоторое время логик, задав вопрос
одному нз воинов, вышел на свободу. Какой вопрос он задал?
Пример 1.6. Староста, комсорг, профорг хотят использо-
вать электрическую схему, регистрирующую результаты тайного
голосования большинством голосов. Как она должна вьвлядеть?
Решение. Пусть р — высказывание «староста голосует
за», q—высказывание «комсорг голосует за», г — высказывание
«профорг голосует за». Составим таблицу истинности интере-
сующего нас высказывания;
р 4 г Искомое высказывание
1 1 1 РЛ«Лг
1 1 0 рЬяЬТ
1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1 Р Кч лг
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
Единицы в последнем столбце поставлены в тех . строках,
где число единиц больше числа нулей.
Искомое высказывание имеет вид
(Р А О А г) V (р А ? А О V (р А $ А г) V (р А <? А г).
'Для его реализации в виде электрической цепи достаточно до*
говориться, что истинность высказывания соответствует тому,
что цель проводит ток (см. рис. 16.1). Лампочки загорится
в том и только в том случае, если большинство проголосова-
ло «за».
l.lt t. В условиях примера 1.5 реализовать электрическую
схему, зажигающую лампочку, если хотя бы один участник
проголосовал «за».
1.20. Какое высказывание реализует схема на рис, 1&2?
476 ГЛ. И, ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
1.21. Придумайте схему более простую, чем в задаче 1.20,
ко реализующую то же самое высказывание.
1.22. Какое высказывание реализует схема на рис. 16.3?
$ 2. Предложения, зависящие от переменной
Пусть предложение зависит от переменной, принадлежащей
Некоторому множеству. Это предложение, вообще говоря, не
является высказыванием. Предполагается, однако, что для каж-
дого значения переменной предложение есть высказывание и,
Следовательно, оно может быть либо истинным, либо ложным.
Множество А, таким образом, разбивается на два подмноже-
ства. Одно содержит те и только те значения переменной, при
которых предложение истинно, а другое — при которых оно
дож но.
Например, для предложения х2 —1<0 (xeR) множе-
ством истнн: :сти является промежуток (—1; 1), а множеством,
где оно ложно, — дополнение этого промежутка до всего R,
¥. е. объединение промежутков (—оо;—1][1; оо).
Два предложения р(х) и <?(х), определенные на одном и
ром же множестве, называются равносильными, если нх мно-i
) 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПЕРЕМЕННОЙ 477
жества истинности совпадают. Например, два предложения
ха — 1 <8 и (х — 1)(*+!)<О равносильны на множестве R.
Для предложений, зависящих от переменных, так же, как
в для высказываний, можно ввести логические операции.
Так, например, если предложения р(х) я fl(x) определены
на одном множестве U, то предложение р(х] V являю-
щееся на дизъюнкцией, определено ва том же множестве и а
качестве множества истинности имеет объединение множеств
истинностЬ р(х) и <у(х).
Удобной иллюстрацией логических связок являются так на-
зываемые схемы Вана (см. рис. 18.4). Область определения
всех предложений, участвующих в связках, —единичный квад-
рат. Множества истинности предложений заштрихованы. На
f(x)Vf(a>) p(x)h<l(x)- p(x) — 'ij(x) р(х)
П 6 в ‘ а
Рис. 16.4
рис. 16.4.П представлено множество истинвостл дизъюнкции
p(x)V <j(x); на рис. 16.4, б — множество истинности конъюнк-
ции р(х)Д$(х); на рис. 16.4, в— множество истинности импли-
кации р(х)-» 9(х), на рис. 16.4, а —множество истинности от-
рицания р{х}.
Пример 2.1. Пусть
А (х) - (х + 3 < 0) и В(х)-(х-2>0)
-—два предложения, зависящие от переменной х (xeR).'Най-
ти множества истинности для предложений!
а) А(х)у В (х);
б) /(х)Ай(х);
в) А (х) Л В (х);
г) А (х) - В (х);
д) /4(х)-ьВ(х).
Решение, а) Для предложения A(x)Vfi(x) множеством
истинности является множество тех и только тех значений х,
для которых верно хотя бы одно из неравенств
х + 3 < 0 или х — 2 > 0.
К. е, объединение промежутков (—ooj—3)U(2;00!•
478 ГЗ. И. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
б) Для предложеяяя Л(х)ДВ(х) мяожеспом ястижностя
является множество тех и только тех аначеян* к, для которых
справедливы оба этих неравенства. Другим славным, это мно-
жество я алеете я решением системы
* + 3<0, х<-3,
х-2>0 х>2
в) Для предложения Л(х)ДВ(х) множеством истинности
является множество тех и только тех значений х, для которых
справедливы два неравенства х + 3 < О н х—2<0, т. е. это
Множество решений системы
г) Для предложения Л(х)-*В(х) (-«если х-|-3<0, то
X — 2 0») множество истинности не содержит ни одного эле-
мента.
д) Для предложения Л(х)-»-Я{х) ^«есля хЧ-З-СО, то
X — 2 < 0») множеством встпиностя является вся числовая ось.
2.1. Пусть Л(х) = {х — 2 > 0), В(х) = {х + 2 > 0) — два
предложения, зависящие от переменной х (.teR). Указать
Множества истинности предложений:
а)Л(х)уВ(х); г) Л(х) + Л(г);
вМ(х)А8(|);
в) А{х)-» В (хУ, е) В(х)->А(х).
2.2. Пусть Л(х)= {д> + х+1 >0}, й(х)= {ж + 2>0)-
у1ва предложения, зависящие от переменной х (хе R). Указать
Множества истинности предложений)
а) И.(х) V В(х); г) В (х) -> А (х);
б) А (х) Д В (х); д) А (х) -В (х);
в) А (х) -> В (х); е) В (х) -> ~А (х).
2.3. Определить множество истинности яредложемия А=
( —гт < 4-1, определенного для всех n s N,
( п + 1 о )
2.4. При каких значениях параметра а множество истин-
ности предложения
_ в — 1 - 2 , , ,,
Х 2 а < За +
Представляет собой ^якжуток: а) р;«); б) (—
и
f 2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ, ЗАВИСШИЕ СП ПЕПМЕНВОН
Р.5. Найти множество испияост* вредложеютя
V2x + 1 + V2* — 5 V6 — 2х.
2.6. Пусть А(х, у) — {(а + I)х + 8у = 4а|, If fx, у) —
«= (ах + (а 4-3)у = За—1} — два предложения, определенные
для всех пар действительных чисел (х, у). Прн каком значения
параметра а предложение А(х,у}^В(х, у) имеет множество
НСТШШОСТН'.
1) состоящее только нз одного элемента (х, у);
2} состоящее более чем из одного элемента (х,у);
3) не содержащее ни одного элемента?
2.7. Пусть А (х) = (ах — 1 С О, В (х) = (ж — 4а > 0> — два
предложения, определенные ирм всея дейстиительявх аначе-
в л. При каких зиаченкях а множество истяпвосхв вредло-
женд* Л (л) Д В(х) не пустой
С предложениями, зависящими от переменной, близко свя-
заны два часто встречающихся утверждения.
1. Предложение А(х) (х е М) истинно для всех элементов
множества Л!.
2. Найдется хотя бы один элемент множества М, для ко-
торого А (х) (х е М} истинно.
Этв утверждена* настолько часто встречаемся в матема-
тике, что получили специальную краткую скмвшмескую завись!
знак общности V и знак существования 3. Эван V заменяет
слова: «для всех», «всякий», «любой», «кажды*». Злак 3 упо-
требляется вместо слов: «хотя бы один», «найдется», «суще-
ствует». Утверждения 1 н 2 с помощью этих знаков имеют вид
1. (Vx <= М) А (х);
2. (Нх е Л1) А (х).
В первом случае утверждение заключается в том, чтб множе-
ство вспптоети А(х) совпадает с М. Во втором случае утвер-
ждение вапкяается в том, что множество истинности А (л) но
пусто. Оба утверждения представляют собой высказывания к
могут быть истинны вли ложны *).
Например, предложение с переменной
А <х}— {х - 3 > 0), хеИ,
рассматриваемое вад множеством действительных чисел,
пускает два высказывания
(VxeR)A(x) в (Hxe=R}A(x).
Первое нз них ложно, второе истинно.
•) Знак у называют квантором общности, а знак 3 — кв ан.
тором существования.
480 ГЛ. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Если в качестве М взять интервал (3;оо), то оба выска-
зывания (Vx е М) А (х) и (Зх е М) А (х) истинны.
Пример 2.1. Выяснить истинность следующих высказы-
вание:
(Vx е R) (Зу <= R) (х + у = 3),
(3ysR)(Vxe=R) (х + у = 3).
Решение. Прочитаем первое высказывание: «для любого
действительного числа х существует действительное число у
такое, что справедливо равенство х 4- у “ 3». Это высказыва-
ние истинно, так как для каждого х в качестве у достаточно
взять значенна 3 — х.
Прочитаем второе высказывание: «существует такое дей-
ствительное число у, что для всех действительных чисел х спра-
ведливо равенство х + у = 3». Очевидно, что нет ин одного та-
кого числа у, которое сразу для всех х обеспечивало бы ра-
венство х + у = 3. Следовательно, второе высказывание ложно.
Сформулировать я выяснить истинность следующих выска-
вываний.
2А (Зх е= R), (Зу е R) (х + у - 3).
2.9. (Vx <= R), (Vу «= R) (х + у = 3).
2.10. (Vx е R), (VyeR), (x<y)=>(3z eR) (x < z < y)
2.11. (Vx <= R) (x’ + 1 > 0).
2.12. (Vx Е R) ((x + 1) (x - 1) > 0-► (x* - 1) > 0).
2.13. (Vx <= R) (xs - 1 > 0->x- 1 > 0).
2.14. (VxsR) (x - 1 > 0-*> x* - 1 > 0).
2.15. (Эх е R) (Vx1 < x).
2.10. (3x<=R) (V*’>x).
2.17. (VxeR), (VyeR) (Ig(x-y) — lgx + 1gp).
Для того чтобы убедиться в ложности высказывания
(VxeAf)H(x), достаточно найти хотя бы один элемент хеЛ,
для которого высказывание Д(х) ложно. Таким образом,
(Vx <= М) Л (х) = (Зх е М) А (х), (I)
и наоборот, для того чтобы убедиться в ложности высказывания
(Эх s Л1) А (х), необходимо проверить, что для всех х s М
справедливо Л(х), т. е.
(Эх <=М)А (х) — (Vx е Af) Л”(х). (2)
Равенства (1) и (2) позволяют формально строить отрицания
для утверждений, снабженных кванторами общности и суще-
ствования.
I 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПЕРЕМЕННОЙ 431
Пример 2.2. Сформулировать с помощью логических сим-
волов два утверждения. Первое: число а является пределом
числовой последовательности ил. Второе: число а не является
пределом числовой последовательности и„.
Решение. Вспомним словесную формулировку утвержде-
вня
11m ип~а.
Число а является пределом числовой последовательности, если
для любого в > 0 существует такое У, что для всех л > N
справедливо неравенство |ия — а|<в (т. е. если п > N, то
Ца« — а|<е). С помощью логической символики получаем
(Ve > 0), (ЗУ е N), (Vn е N) (л > N -+1 ип — а | < е).
Для построения утверждения
lim ип а
п->оо
с помощью логической символики воспользуемся свойствами
операции отрицания:
(Ve>0), (3VsN), (VaeN) (л>У->|и„-а|<е) —
— (Зв>0), (VVeN), (3/ieN) (л > У -► | «„ - а | < а) —
= (Эе>0), (УУеУ), (Зл <= N) ((л > У) Л (| ип - а |> е)).
(•)
Замена квантора общности на квантор существования прн
построении отрицания следует на правил (1), (2). Из этих же
правил следует знак отрицания над последним высказыванием,
означающим импликацию А -* В, где высказывания А и В суть
А = (л > У), а В = (| ил — а | < в}.
Но отрицание импликации А •— В представляет собой конъюнк-
цию А Д В. Действительно,
Л-+А— ЦЛВ) V 4 = (4 Л В) Л 4-4 V В Л 4-4 Л В.
Словесная формулировка lim ип а, таким образом, имеет
п-»оо
вид: «число а не является пределом последовательности и„,
. если существует в > 0 такое, что для любого У 6 N найдется
«омер л е N такой, что истинны одновременно два высказыва-
ния л > У и |и.—а|> е».
2.18. Используя логическую символику, записать высказы-
вания и их отрицания;
а) «последовательность ограничена»;
б) «последовательность монотонно возрастает»* - •>»
16 А. Г. Импкма, А. И. Паисяяй
482 ГЛ. 11 ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
2.19. Используя логическую ашволшсу, сформулировать вы-
связывание lim f (х) “ b.
х-*а
2.20. Число М называется точной верхней гранью функция
f(x) на отрезке [а; 6], если выполняются два условия f(x)CM
для всех х е [о; Ь] и для любого е > 0 найдется х е [а; Ь] та-
кой, что f(x) > М — в. Если М — точная верхняя грань f(x) на
отрезке [а, Ь], то пишут М -= sup f (х).
х s (я; fr|
а) Используя логическую символику, сформулировать вы-
сказыванием— sup /(х).
X е [о; Ь]
б) Используя логическую символику, сформулировать об-
ратное утверждение М sup f (х).
X в |о; Ь|
Дать словесную формулировку.
$ 3. Метод математической индукции
В различных разделах математики часто приходится до-
казывать истинность некоторого предложения а(л), зависящего
от натурального л сразу для всех значений переменной л е N.
Метод основан на следующем принципе. Если а — некоторое
утверждение, имеющее смысл для всех л е N, то для того,
чтобы установить его истинность для всех л е N, поступают
следующим образом; проверяют истинность а(1) и истинность
импликации а(й)-»-а(й +1), где k — произвольное натураль-
ное число.
Покажем, что если выполнены а(1) в а(й)-> а (4 -f-1), то
а(3) истинно. -
Действительна, так как «•(!) истинна, то в силу истинно-
сти импликации а(й)-* а(й + 1) для любого ieN, положив
k = I, получим истинность а (2), а положив в высказывании
(а(й) -*а(й-|- 1)) к = 2, получим истинность а(3).
На языке логической символики принцип математической
индукции может быть записан следующим образом:
(а (1) Л (а (*) -> а (fc + 1))) -> (Ул е (V) (а (л))
или
(а (1) Д ((Vfc е N) (а (Л) -► а (й + 1))) -> (Ул е N) (а (л)).
Пример 3.1. Доказать, что прн любом л выражение
л (2л* - Эл + 1)
делится на 6,
I 3. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 483
Решение. Высказывание а(л), сформулированное в за-
даче, определено для любого л е N. Согласно принципу мате-
матической индукции, проверим а(1). При п 1 получаем
1 (2-3+ 1) = 0,
О делится на 6, следовательно, ос(1) истинно.
Предположим, что истинно высказывание а (А), т. е..
А(2А* — ЗА+1) делится на 6. Заметим, что истинность а(А+1)
будет следовать из истинности а (А) и равенства
(А + 1) (2 (k + 1)» - 3 (A + 1) + 1) - k (2Al - ЗА + 1) = 61, (•)
где I — некоторое натуральное число.
Раскрывая скобки в (•) и группируя члены, имеем
2 [ (А + 1)» - А’] - 3[(A + 1)» - А’1 + (А + 1 - А) -
= 2 ((А + 1)» + А (А + 1) + А1] - 3 [А + 1 + А] + 1 =
= 6А’ + 6А + 2 — 6А - 3 + 1 = 6А’. (*»)
Таким образом, для любого натурального А импликация
а(А)-<-а(А + 1) истинна. Другими словами, доказана истин-
ность составного высказывания
a(l)A(VAeN) (a(A)-*a(A + !)),
которое является условием истинности импликации
а (1) Л (VA s N) (а (А) -► а (А + 1)) -> (Vn е N) (а (л)). (»**)
Так как условие истинно и истинно все составное высказывание
(***), то истинно и следствие. Утверждение доказано.
Доказать, что при любом я е N:
3.1. 62я-2 + Зя+1 +3”_| делится на II.
8.2. ir+' + W2"-1 делится на 133.
8.3. л’ — п кратно 5.
3.4. 6-23я_2 + 33п_| кратно 19.
8Л. л7 — л кратно 7.
3.8. 23" + 1 оканчивается цифрой 7, при п > 1.
8J. Доказать, что если л четно, то 20” + 16я — 3я — 1 де-
лятся на 323.
3.8. Доказать, что число
(10я + 10я-1 + ... + 1) (10п+1 + 5) + 1
есть точный квадрат.
Пример 3.2. Доказать методом математической индукции
формулу
,.+2.+₽+я. + .-_Д11+О1+!>.. Ы
16*
484 ГЛ. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Решение. Высказывание а (л) о том, что формула («У
имеет место, определено при любом натуральном л.
Высказывание а(1) истинно, так как
* 6 •
Предположим, что а (А) истинно, т. е. имеет место формула
р + 2« + ... + А2- *<*+>>(» +П.
Выясним, будет ли прн атом условии истинно а(А+1), т. е.
будет ли верна 'формула
р + 2з+...+(й + 1)з„ ^+»(^ + 2)(2(^ + 1)+1).> (Н
Прн условии истинности а (А) левую часть (••) можно
представить в виде
fe (fe + L> <2feJ~ + (* + ।)», (,»»)
О
Преобразуем (*•«)>
(А+ 1)[А (2А + l) + 6(fe+ 1)1 (А + 1) (2А2 + 7А + 6)
6 = 6
Заметим, что произведение (А 4- 2) (2(А + 1)4-1), входящее в
правую часть (»•), равно 2А2 + 7А + 6.
Таким образом, из истинности а(А) следует истинность
а(А4-1), т. е. для любого натурального А доказана нмплика*
ция а(А)-+ <х(А 4-1).
Заключительная часть доказательства проводится так же,
как в примере 3.1.
Доказать, что для любого натурального л справедливы ра«
венства:
3.9. 1 4- 3 4- 5 + ... 4- (2« - 1) = л’.
8.10. I2 4- З2 4- б2 4- ... 4- (2л - I)2 — "(4-8 ~
3
8.11. 1-24-2.3+ ... + (л- 1)-л— (я- 1)я(р+ 1) .
3
о to 1 1 I д, 1м п -
• • ЬЗТ 3-5Т,,,Т (2n-l)(2rt+l) 2/1 + 1 •
8.13. 1’ + 2’ + ... + л2 — "*11+ *£..
8.14. 1’ + 2' +... + л2 - "‘(я+ВЧ^ + гл- 1).
С помощью метода математической индукции удобно до-
называть спраодмвостъ некоторых неравенств.
| 3. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 485
Пример 3.3. Доказать, что прн а > — 1 справедливо не-
равенство
(1+а)">1 + п*.
Решение. Проверим, что а(1) истинно.
Действительно,
1+а —1+а.
Предположим, что истинно а (Л), т. е.
(1 + а)*>1 + Лх. (♦)
Докажем теперь, что истинность а(&+1) следует нз истин-
ности а (А). Умножив обе части (•) на 1+а, имеем
(1 + а)*+1 >(1 + Аа) (1 + а)
или
(1 +а)Л+1>1 + (А + 1)а + Аа«.
Так как ka1 Js 0, то справедливо неравенство
(1 + a)‘+l > 1 + (А + 1) а.
Таким образом, доказана импликация а(А)-»-а(А + I).
Заключительная часть доказательства проводится так же,
как в примере 3.1.
Доказать, что для любого п е N справедливы неравенства)
3.15. Если х/ > 0 (1 I С п), то
злв. 21211 <«=-.
2 4 6 2л <3л + I
3.17. -у < I + у + ... + < л-
3.18. Если х{ > О (I < I < л) и Xj + х2 + ... + хя <1/2, то
(I -х,)(1 -х2) ... (I -х„)>1/2.
3.19. Доказать, что если х(>0(1<1<л)и х1 + х8+...'
+ хп — а, то
Xl'Xt ... х„<(-£) .
3.20.
1_ + J_+_L_
Т + Уг + Уз-
ел.
486
ГЛ. 14. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
3.22. Пользуясь тем, что 1x1(1 4-х) < х, доказать неравен-*
ство
1 4- 4- 4- -г 4* • • 4* ~ > In (я Ч- I).
£ О •>
§ 4. Системы счисления
Здесь будут рассматриваться только так называемые ло-
виционные системы счисления. Напомним, что целое число Л
называется записанным в (позиционной) системе счисления с
основанием t (или, короче, в f-ичной системе счисления, где
I > I, ( е N), «ели оно представлено в виде
A^‘antn 4- an_1tn-1 4- ... 4- 4- Oq*
где О С Ф < <. < и 0. I......
Числа во, an .... а„ называют t-ичными цифрами числа А,
а число t — основанием f-ичной системы счисления.
При t ™ 10 получаем десятичную систему счисления.
Ясно, что аа = А — (ая(я 4- ... 4- является остатком от
деления А на t. Неполное частное при делении А на t имеет
вид aj"-* 4* * 4- fli- Если разделить его на /, то в остатке
получим П|. Поступая далее так же, получим последовательно
все цифры числа А в Z-ичной системе. Если число А =
= oj-" 4-4-...4-Oi-t-1, то для получения цифр
числа А требуется умножить его последовательно ва t. Прн
первом умножении Л-1" Оп/~"+14-вя_1/_"+,4-... 4-eil Oi —
уже целое число. Чтобы найти aj, следует умножить на t
число A-t — аг. число а* будет целой частью этого числа. По-
ступая так далее, мы будем получать последовательно цифры
дробного числа А в t-нчной записи.
Пример 4.1. Записать числа ВОв и 0,606 в системе счис-
ления с основанием 4.
Согласно изложенному выше алгоритму, имеем
5061 4
2П261 4
2ГзТ~| 4
3|7|4.
ЗЦ
Записывая подчеркнутые остатки в обратном порядке, по-
лучаем запись числа 506 в четверичной системе счисления
(5Ов)1о- (13322)4.
'Для получения записи дробного числа 0,506 в четверичной си-
стеме счисления, согласно изложенному выше алгоритму, про-
f 4. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
487
делаем следующие вычисления:
0,506-4 — 2,024. 0.024-4 — 0,096, 0,096-4 — 0,384,
0,384-4—1,436, 0,436-4—1,744, 0,744-4 — 2,976
я т. д. Цифры получающегося числа — это последовательные
целые части результатов умножения, т. е,
(0,506)ю ж (0,200112 ...)4.
Пример 4.2. В классе 24 девочки и 32 мальчика, всего
100 человек. В какой системе счисления записаны числа?
Решение. Составим уравнение
2 • р* + 4 • р° + 3 • р* + 2-р° —р*.
где р — неизвестное основание системы счисления. Приводя по-
добные члены, получим уравнение
5р + 6 = р’,
корни которого pi = 6, ра = — 1.
Ответ. Числа записаны в шестеричной системе счисления.
Найти следующие числа в указанной системе счисления
(числа, если это не указано, даны в десятичной системе счис-
ления).
4.1. Представить число 10 000 в шестеричной системе.
4.2. Найти, чему равно число (1 14144), в десятичной си-
стеме.
4.3. Найти, чему равно (101)а в десятичной системе.
4.4. Найти, чему равно (25); в десятичной системе.
4.5. В системе счисления с основанием 5 записано число
22 001. Найти его десятичный эквивалент. Какому числу будет
соответствовать эта же запись, если система счисления деся-
тичная?
Для чисел, записанных в десятичной системе, пользуются
правилами умножения и сложения «столбиком», деления
«углом». Эти же правила полностью применимы в любой по-
зиционной системе счисления.
Сложение столбиком, как и в десятичной системе, всегда
производится поразрядно, начиная с младшего разряда. При
этом если в предыдущем разряде сумма превышает основание
системы или будет равна ему, то надо сделать перенос d сле-
дующий разряд.
Пример 4.3. Сложить столбиком (1357), и (2463),.
Решение. , (1357),
(2463),
(4042),
488 ГЛ. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Складывая в разряде единиц 7 и 3, получаем 10 = 8 + 2,
2 записываем и 1 переносим в следующий разряд. Далее,
5+1+6=12, 12 = 8 + 4, 4 записываем и 1 переносим в
следующий разряд; 4 + 4 = 8, 8=18 + 0, 0 записываем, еди-
ницу переносим в следующий разряд.
Ответ. ((357),+(2463), =(4042),.
Для умножения следует сначала выписать таблицу умно-
жения чисел, меньших основания системы.
Возьмем в качестве примера таблицу умножения шестерич-
ной системы*
1 2 3 4 В
1 1 2 3 4 5
2 2 * 10 12 . 14
3 3 10 13 20 23
4 4 12 20 24 32
5 5 14 23 32 41
Все числа в таблице записаны в шестеричной системе
счисления. На пересечении столбца и строки стоят числа, яв-
ляющиеся произведением номеров строки и столбца. Пользуясь
таблицей, легко перемножать числа столбиком.
Пример 4.4. Умножить (142), на (212)*.
Решение. (142),
(212). 4
(324),
(142),
(324),
(34544),
Пример 4.5. Разделить «углом» (120101), на (102),.
Р е ш е н и е. (120101), I (102),
(102), | (1Ю1),
(Ш)э
(102),
(22),
Таким образом, (120 101), = (11 01),(102), +(22)„
4.8. Сложить (23651), и (17043)» .. .
s 4. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
489
4.7. Сложить (423),. (1341), и (521),.
4.8. Умножить (352), на (245),.
4.9. Составить таблицу умножения двоичной системы.
4.10. Перемножить числа (101), и (100),. Результат пред-
ставить в десятичной системе.
4.11. Доказать, что число (121)я является полным квадра-
1 том, если п > 2.
4.12. Доказать, что число (1331)я является полным кубом,
>сли и > 3.
4.13. В какой системе счисления справедливо равенство
31 — 13—13?
4.14. Найти частное от деления (ИИ), на (22),.
4.1Б. В какой системе счисления справедливо равенство
101 -11 = 1111?
4.16* . Доказать, что если вес тела выражается целым чнс-
лом и не превосходит 31 кг, то его можно определить о по-
мощью не более пяти гирь прн условии, что гири можно
ставить только на одну чашку весов. Указать веса гирь.
4.17* *. Доказать, что если вес тела выражается целым чис-
лом н не превосходит 40 кг, а взвешивание происходит на ры-
чажных весах (т. е. гири могут быть установлены на любуй
чашку весов), то для определения веса тела понадобится не
более четырех гирь. Определить веса этих гирь н описать алч
горитм взвешивания.
4.18* *. Пусть условия взвешивания такие же, как в за-
даче 4.17** и известно, что М„ — максимальный вес, который
удается определить с помощью р имеющихся гирь. Доказать,
что если Mo+i—максимальный вес, который удается определить
с помощью р 4-1 гири, то
™ ЗМр -|-1.
4.19* *. Доказать, что если М„ — максимальный вес груза,
который может быть взвешен ........тр гирями, то
Мр = (11 ... 1)э.
'--------’
Р
4.20* *. Выяснить, какое минимальное число гирь и какого
веса потребуется для взвешивания тела весом т (т С п) на
рычажных весах. Указать алгоритм взвешивания.
4.21* *. Пусть г = p-а, где а —основание системы счисле-
ния, р — число.'ра>з]1вдоэ>-Если > = 30, то в какой системе
счисления можно представить максимальное число?
490
ГЛ. 1в. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
С представлением числа в той или инов системе счисления
связаны признаки делимости числа, которые формулируются
ва основе цифровой записи числа.
Пример 4.6. Вывести признак делимости ва три в деся-
тичной системе счисления.
Решение. Представим число 4=(a.a„_1 ...Mio в виде
А = аа • 10" + ал-|Юп"‘ + ... + М0° =
= (10"-1+ !) + □„_, (10"-1 - 1 + 1)+... +«,.10»-
- ап (10" - I) + an_| (10"-' - 1) + ... + а (10 - 1) +
. + «Л + Ял-| + . . . + Я| + в0.
Все числа 10‘—1 делятся на 3, следовательно, А делится на 3
в том и только в том случае, если а„-|-ал-14- 4-Я1+вв —
сумма его цифр—делится на 3.
4.22. Доказать, что А = (a„an-i ... во) ю делится на 9, если
« + а,-| + ... + а* делится на 9.
4.23. Доказать, что А **= (a«an-i >.. Mi» делится на 6, если
делятся ва 6.
4.24. Доказать, что A = (a«an-i ... Ми делится на 8, если
(tiMu делится на 8.
4.2S. Доказать, что А = (a„an-i ... a0)u делится па II,
если а„ + а„_| + ... +ао делится на 11.
4J6. Доказать, что А — (a»a»_| ... М» делится на р — I
в том и только в том случае, если а„ + a.-i + .,. + <4 делится
ва р — 1.
4.27. Известно, что число А =(3630)» делится на 7. Дока-
зать, что р кратно 7.
4.28. Известно, что число А =(1210)» делится ва 11. До-
казать, что р кратно 11.
4.29. Доказать, что если основание системы счисления р —
простое число, большее 3, то (100)» —1 делится на (100)s—1.
ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
9 1
1.1. —2у. 1.2.1. 1Л.Ш. 1.4.4/(V7+Vf). lAi(Ve+V*)«
1Ж (± 2-V ‘-7- а {а + 1)1 ,А ,А
\вт -а")
1.10. л/бх. 1.11. —№0х. 1.12. 4р-- 1. 1.13. хе
el-V? -1)н.- хе (-1; V2]h-V2. 1.14. 1. 1.15.1.
1.18.----
VT+2
§ 2
2.1. у е (— оо, 1]=> — G’+ р +-iJT); уе[1, <»)=>
>—^s=-- 2.2. х е (—оо; 1) (J (I; 3) »> — (х’+х-Н); хе(3; оо)«о-
P-V2
* х* + х + 1. 2А х е (— оо; 0) (J (3; оо) => —-J-—; х е (0; 3) >
—TFT- ,A'S(~“ -|)u(-r °)и» 31 ’
о | I
• >x(2x+-3): ^О;оо)->т. 2.5. у е (- оо;
ye(-5;O)u(o:f)u(|; оо)±J-5)-2.0. х е (°. !)>
"* —Цт-; х е (1; оо) «о- —=-!—. 2.7. г е (— оо; 0) ->-гг~ *-;
х — х’ х1 — х ' z* + 1
хе [0; 1) (J (1; <*>)» -^ t-. 2Л 1. 2.0. л/\ - х1. 2.10. V(a+*P-
- V(e-5)3. 2.11. -р-5--. 2.12. х е (0; 9) -» 3 - 2 V*;
V*1- I
х е (9; оо) «о- — 3. 2.13. х е (— оо; О) *- — 1/2; х е (О; оо)» X.
492
ОТВЕТЫ
t.14. хе[П; оо)«ф-2-\/х —2; хе [2; ll)«*6. 2.15. ха[1; 2)«е>
•»2 V* — 1; х е [2; оо) => 2. 2.16. хе (- м; 0)6; хе [ft в)*
2л/5"
6 — 2х; х е [6; оо) — в. 2.17. х s [2; 4)_ ж! *е(4; со) *
»-2Vx~2 . 2.18. V2. 2.19.-^. 2.20. oe(ft 1)-*--Ц^З-|
х — 4 3 yja
q4*p
а е (1; оо) -> -Ц^-. 2.21. ( a + b Y*3?. 2.22. 0. 2.28. 0.64
•у]а \ а — Ь /
t24. n‘/m*. 2.25. 1. 2.26. 1. 2.27. 2. 2.28. 1. 2.20. 2 л/З/п-А.
§ 8
8.14 *. Указание, Привести выражение, стоящее в левой
части тождества, к общему знаменателю и рассмотреть числи»
тель дроби как многочлен второй степени относительно а,
8.16*. Указание. См. указание к задаче 3.14*.
I 4
4.7* . Указание. Найти единственное решение систему
4.9*. Указание, Поделить каждое из тождеств условия йа
правую часть.
«б
5.1. 1. 5.2. ab (а — Ь)2. 5.3. а2 + а 4- I. 5.4*. -i. Указание.
3
Использовать (4) для записи всех логарифмов по некоторому
общему основанию. 5.5. (loga х 4- !)’. 5.6.
1
loga b — 1 ’
5.7. 6.
5.8. 3. 5.9. с (Ь 4-3). 5.10. ° j ?. 5.11. а • Ь • с 4- 1. 5.12. log, a=
1
I — log, с '
5.13*. —=П------r-=i •
а *4-₽ '+V ‘ + 6 1
Указание.
Перейти к логарифмам по основанию х. •
5.18*. Указание. Перейти в левой части выражения к ло-
гарифмам по основанию N. 5.19*. Указание. Прн упроще-
нии учесть, что корень четной степени понимается в арифмети-
ческом смысле. 5.20*, Указание. См. указание к 5.18\
5.21*, Указание, См, указание к 5.18*. 5.22*. Указание.
Сравнить левую и правую части неравенства * 4.
5.28*. Указание, См, указание к 6,22, 5,25*. Указание,
См, пример 6.6.
ОТВЕТЫ К ГЛ. 2
493
ГЛАВА 2
§ 1
1.1. 2: —4. IX —2; 1. 1 Л*. 0. Указание. Обозначить
9 г I а а лл —5 * Увб —5 ± v
2-х1 -5х + 6. 1.4*. ----g-1--; -----у1—. Указание.
Рбоэначнть г-х’ + 5х, 1Л*. —0; —Указа*
вне. Обозначить г = 2х* + Зх. 1.6. ±3; ±2. 1.7. ± Д/тт-
V •
1Д y(V2 + 1); у(—Уб+1). >.•*• Нет решений. Указа*
вне. Поделить обе части уравнении на х\ 1.10. 0; 5. 1.11. —у!
3 ,.1г. 1;_|.
4 2 2 2 4
— -у 3. Указание. Использовать формулу бинома Ньютона.
1.13. 1; o-l-Va; а-л/а. 1.13. 4; 3; 2; -5.
+ 1г, „ =ц7Я
1.20. —3; 4. 1.21. —3; 2. 1.22. —5 ± Ув9: —5 ± <3. 1.23*. —1; О.
“5 ±
Указание. Ввести обозначение у = х1 -1-х. 1.24. ---у----.
U5. -2; ±1; у. 1.26. I; -у; -у. 1.27. -2: А; А.
—4 + Уб~ ± V18 — 8 Уб —4 - Уб ± д/18 + 8 Уб
1.29. 2. 1.30. 1; —2. 1.31. 5; -1. 1.32. 0. 1.33. 0. 1.34.0 ± У3; 3.
1Л5. ; ~-^л/1-7 . 1.36. -1; 3; ± Уз.
5 2
2.1. i. 2Х —3: 5. 2.3. 2. 2.4. б. 2Л. — 2.6. X; б.
2 4 4
2аЬ
а + Ь;
2.7*. а + Ь; О
Указание. Воести врпомо*
д -I- д
гательное неизвестное г*^—-----х. 2.8. 1. 2.9. 1; 3. 2,10. Д
2.11. 3±У20. 2.12. 0; -Z 2; Л. Х14. 0;-X
494
ОТВЕТЫ
2.15. 3; у. 2.16. 4/5; 3. 2.17. 5; 0,5. 2.18. 3/4; 2. 2.19. —5 ±2^21-,
19±V1333
2.20. 2; —1/6; -----Н----.
04
§ 3
3.1. -1. а.2. 3-3- (1; 2]. 3.4. -8 2. 3.5. -4; -2; 0; 2; 4.
3.6. 0. 3.7. (- оо; 2] и [3; оо). 3.8. 0; ± 1. 3.9. 1 4; 2-^-; З^-.
» 4 л 4
§ 4
4.1. 8. 4.2. 5. 4.3. в. 4.4. —1; 3. 4.5. Не имеет решений.
4.6. 7 * VP?-. 4.7. X 4.8. Не имеет решений. 4Л. -И 2. 4.10. 3.
16
17
4.11. Не имеет решений. 4.12. —5; 4. 4.13. -jg-. 4.14. Не имеет
решений. 4.18. 7 4.16. -61; 30. 4.17. 2. 4.18. 8; 8*477.
4.19. —6; -5; — у-. 4.20. -1. 4.21. -2. 4.22. 0. 4.23. 4; 3.
4.24. 0. 4.25. 9. 4.26. 1; --1. 4.27. ±4. 4.28. -1.
О
+ + с.)--«?.<! . ,м ±2L
2Ар
Указание. Освободиться от иррациональности в знаменателе.
2
4.31. у; 5. 4.3J*. 3, Указание. Воспользоваться тем, что
7JTT2 75^7 ж= 7бх - Xs - 8. 4.33. —17; 23. 4.34. -7; 2.
4.35. -7:2- 4.30. ± 7. 4.37*. Указание. Обозначать у =•
oil
«=• _V^—1_ 43g. J Указание. Использовать
неравенство у + а > 2, справедливое при а > 0. 4.39. 1024.
4.40. 3; 5. 4.41. ±2^2'. 4.42. -5; 2. 4.43. -2; 0. 4.44*.
Указание. Заметить, что произведение слагаемых левой части
3 _ ТТз з з и- 773-
уравнения равно 66. 4.45. --------; 0; у; ----------. 4.46. 15.
4.47* . —3; 6. Указание. Ввести обозначение у х* — Зх 4- 7.
4Л9. у. 4.49. (-ЦО). 4.00. № 81- 4.51. 2. 4.52, ± 4ЛЗ. Нет
ОТВЕТЫ К ГЛ. 3 495
Х>еннй. 4JM. 5. 4Л5. [1; 2Д; 13. 4J56. [б; 10]. 4.87. 4. 4.68. ± 2.
4^к 0. 4.80. у; б. 4.61. —I. 4.62*. —б; 1. Указание. Ввести
вспомогательные неизвестные и ” — 2, о “ 7*4-7.
4.68* . ±1. Указание. Вынести за скобку Vх + 1 • 4.64. Нет
решений. 4.6Б. 0. 4.66. 1. 4.67. 0; —. 4.68. +- t.1
65 (2 4-V3)n-1
i -l t
" Xi'. . 4.60. 1. 4.78. 26; 7. 4.71. -6; I.
।; - >3)" - 1
Б.Х 5.2. 2. 8A 4- M. -3. 8Л. 5.6. 4.
Ж о Z 2
5.1. 1ogj?45.8. у (2*4-1); у-4-л*, *sZ. 5.9. -5? 93/11.
5.1 >. 7/5. " ilk 81. 5.12. 5/3. 5.13. -5/2; 3. 5.14. nn. n e Z.
5.1-. -2 +V4-2log,5. 6.16. ± ^2; ±1. 5.17. 2; -2.
5.18. lop,(24- V5); 10J3 ~ 5.19. 3; log,8. 5.20. 9; 81.
5.21. ^-y. 5‘22‘ >: -1; °' 5'23’ T °' 6*25* *’ 8’20' l;
log,£'5.27. -1; BJ28. 0. 5.29. -2; 2. 5.80. -2; 2.
5.31. logy,^^"-). 5.32. 1. 5.33. 1[ 3. 5.34. - у. 5.35. 2;
4; И. 5Л6. 2.; 2; 4. 5.37. 1; 5.38. 25. 5.39. 10; 10~«.
5.40. 100. 5.41. 10; 1/10. 5.42. 10; 10loB-3. 5.43*. 2. Указание.
Разделить обе части уравнения гна 2х и воспользоваться свой*
ст вон монотонности показательных функций. 5.44*. 3. У к-a за-
йме. См. указание к 5.43. 5.45*. 1. Указание. Сравнить наи-
большее значение функции, стоящей в левой чаети уравнения,
с наименьшим в правой. 5.46*. 1. Указание. Найти yt и
yt — корни квадратного ; уравнения относительно переменной
0 = 2*. уравнения yi(x) — 2x н у, (х) — 2х решить, используя
свойство монотонности входящих В них функций. 8.47*. 3. Ука-
зание. См. указание к 5.46. 8.48*. 1. Указанне. Сделать
замену у = х — 1 и воспользоваться указанием к 5.46*. 5.49. 4^
БЛЮ. ± 72 • 8.51. Нет решений.
• •
6.1. -8/3. 6.2. 3; 2. 6Л. 2. 6.4. 2. 8.5. -1; 7. 6.6. 3; 34-7?»
6.7. 3. 6Л. 7, 6Д 1, 3. 6.10. -10. 6.11, 2. 6.1Z 2; 3. М3. ), 6.14, 1^
496
ОТВЕТЫ
еле. 3. е.!6. 3. 6.17. 1. 6.18. ± 1/9. 6.19. 1; 8. 6J0. 4; ^7/1
6.21. 1; 4; l/Gv?). 6.22. 8; 1/VT. 6.23. b* + 1; Ь > 0 и Ь 1.
6.24. 1/2; 1/8, 6.25. 1; 10“3; 10-2. 6.26. 2-8; 237. 6.27. 3^; З8^.
6.28. !; 81. 6.29. 4*. 6.80. 10. 6.31. 10; 10«. 6.32*. — 10; — 1,
9 У
Указание. Использовать тождество “ — •*. справедлив
вое при х < 0. 6.33. log* 10; log* 28 — 3. 6.84. 8. 6.35. 10; 0,Ц
(i+Уз) 1-Уз
6.36. I; 0,1; 0,01. 6.37. Ю-1; 10 2 ; 10 2 . 6.38. у; -у.
*м ,,-лт 10« ,0-лШ
6.40. 1; 2; 2_ам. 6.41. 3*^; З*1^. 6.42. 2~1/э. 6.43. 1/81; 3.
6.44. 1. 6.45. 2. 6.46. 1/4 ; 2.
«7
7.1. 4. 7.2. 3. 7.3. 2. 7.4. 2. 7.5. 1 + V» + 1g2; 1 - Vl + 1g2.
' 1
7 Л. О; 4. 7.7**. 2; —г-=-. Решение. Разделив обе части ид
lg 5
-^--2 ( _!_V"a
2s-Б2, получим 5Х“2- 2 х+1 — 1-«=> \5 • 2 1+х J = 1обХ
—— 1 2
X 2*+1 “ I, или х — 2 = 0 х ™ —-г—=-, или х — 2. 7Л.
1g о о
7.9*. -1 - д/у ’eO+ViT); -1 + д/у >«0+аДГ).
Указание. Числа 108x’4'7x; 10x’+Sx; Ю~^х+х'1 — последователь-
ные члены геометрической прогрессии. 7.10.1;8.7.11. (log* 3— 2)-1>
; со). 7.15. 2;
7/3. 7.16. 1. 7.17. 5. 7.18. 2. 7.19. (2Л-Ц)у; -(4Л+1)у.
7.20. ± агссоз (log2+^j-2 + Ля). 7.21. 0.
(I - log34)-1. 7.12. (5; 0,5). 7.13. 10; Ю1/9. 7.14. Г-у
ГЛАВА 8
I 1
1.1. (1, 2, 3). 1.2. (8, 4, 2). 1Л. (1, -2, -1). 1.4. (I, -3, -2).
1Л (abc, ab + ас + Ьс, а + Ь + с). 1.6. (-
1Л При
ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
497
растем а определена, при а “ —3 система не определена, при
а™ О система несовместна. 1.8. Прн а О система определена.
Ьрн а— 0 система не определена. 1.9. При а = 0 система не опре-
делена, прн а —2 система несовместна, при остальных а — опре-
делена. 1,10. При а— 0, а—1 система несовместна, при а = — I,
а — 2 система не определена, прн остальных а — определена.
^.11. Прн а + Ь ч^ 0 система определена, прн а + Ь —0 не опре-
делена. 1.12. При а “ О, b ч^ 0; а — О, b — 0; а ч^ О, b — 0 система
Be определена, при остальных значениях пары а, b система опре-
, .. „ 36+14а
делена. 1.13. Система не определена прн , т «
*"й~' , н‘ Совместны- ,ло* а—1’ , ,в- (I. -1);
(1, -2); (-1, -1)1 (-1, -2). 1117. а—1. 1.18. (о, О, -S-);
(2, -1, 1). 1.19. а =-—4. 1.20. а = 3.
9 >
2.1. (1, 4); (4, 1). 2.2. (0,6; 0,3); (0.4. 0,5). 2.3. (3.2); (2,3).
2.4. (14, -11); (И, -14). 2.5. (4. 2); (2,4). 2.8. (1,4); (-1, 8).
2.7. (I, 2). 2.8. (4, 1); (I, 4). 2.9. (2, 1); (-2, -1). 2.10. (4, 1); (1, 4Й
( -5 ± -5 Т V4T Ч
I------g-1---, -----g-1----L где внакн — оба верхних или оба
нижних. ___________________
„ ,, ( _ л /ab ± ~ 4а6 л /об Т — 4а£^\
2,1 *• А± V 26 ' ± V 25
2.12. (1. 2); (2, 1). 2.13. (3. 1); (1, 3). 2.14. (1, 2); (2, 1). 2.15. (1, 1).
2.16. (±3, ±2); (±2, ±3). 2.17. (±3, ±1); (±1, ± 3).
2.18. (±3. ±2); (±2, ±3). 2.19*. (2, 1); (1, 2). Указание.
Перейти к неизвестным u — x+ 1, и — ^+1. 220*. (± 2, ± 1);
(±2, ±1). Указание. Первое уравнение представитьз виде
квадратного относительно переменной г — (х + у)/(х — у).
221*. (2, 3); (—|-, —4^. У к а з а и не. Разделить первое урав-
нение на второе. 2.22. (5, 1); (1, 5); (3, 2); (2, 3). 223. (2, 1);
(-1, —2)1 (liVF, 1Т<2). 224. (—2, -4); (у, -у).
225. (1, 4); (-6, 4); (Б, -4); (-1, -4). 226*. (3, Б); (Б, 3); (-3, -Б);
(—5, —3). Указание. Во второе уравнение, представленное
виде к* + у* + 2х*у* — 931 + к*у*, подставить (х* + р*), выра-
женное из первого уравнения. 227*. (2, 1); (1, 2); (—3, 0); (0, —3);
(1, —2); (2, --1). Указание. Представить первое уравнение
в виде (х + у)’ + (ху - !)• — 10. 228*. (Б, 2); (-2, -в). У к а-
ванне. Разложить х* — у* на миожателц. 229Ц(2, — 1, — 1J|
498
ОТВЕТЫ
(— 1, —1, 2); (—1, 2, — I). 2Л0. Все перестановки нз чисел (1, 0, 0}.
2.81. (3, I. 0). 2Л2. (I. 1, 1). 2ЛЗ*. (2, -у. ч); (-2, у, -ч)|
( . Лб п . 2 . Г^\ ( /«5 п /15
\ Д/ 2 ’ 2 Д/ 2 ‘ 5 Д/ 15) " \Д/ 2 ' 2 Д/ 2 *
-IV®-
Указание. Ввести новые переменные и —ху.
о “ хг, v — yz. Из первого и второго уравнений получившейся
системы выразить и и w через v, третье уравнение после под*
становии' будет квадратным относительно о. 2.34. (О, 0, 0).
2-ЗВ- -------26Z----• у----------2ас----• -------
2.38. ± (2aftc (ab — be + ca)/[(ab + be — са) (— ab + Ьс + са)])*Д
± (2о6с (ab + be — ac)/[(ab — Ьс + са) (— ab + be + ca)))lfl,
± (2abc (— ab + be + ca)/[(ab — Ьс + са) (аЬ + Ьс — са)])1^.
2.37. (1, 3. 9); (9, 3, 1). 2.38. (0. 1, —1); (-1, 2. -1); (—1, 1. 0).
2.39. (3, —1, —1); (0, 2, —1); (0, —1, 2). 240. Все перестановки
яэ {1. Я, 3}. 2.41. (3, 6, 10) и (6, 3, 10).
± Vfa — Ь + 4 (— а+Ь + с)’ ± i/(a — b + c) (а + Ь — с) )
и (О, 0> 0). У одной нв координат внак положительный, а у осталь-
ных — одинаковый. 2.44. (0,0,0); (± I, ± I, ± I);(0, ± VI, ± V2)»
(±V2,0. ± VI) II (± V2". ± V2. о). 2.45. 0, 0, -у);
( — I, 0, у). 2.48. (±1, ±2, ± 6) — у одной из координат знак
положительный, у остальных одинаковый. 2.47. (О, 0, 0);
(-у, -1. 2). 2.48. (—5, -3, 0); (3. 1, -2). 2.49. (2, -I).
2.50. (2, 3); (-у, -у). 2.51. (-у, -у). 2Л2. (4,4). 2.53. (2, 3);
(-2, -3); (2. -3); (-2, 3). 2.54. (1, 1). 2.55. (25, 9); (-у,
2Л8. (В, 4). 2Л7.
Указание. Лху — х* + — (к — у)*, 2Л9. (3, —1, 2),
7Г>±7Г)-2Л8*-(О,О):(3,2);("2,“3)-
ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
499
«ДО. (± 7. ± 13); (± 6,Б, ± 14). 2.01. (± 1. 1. -2); (±1. 2, ± I);
(2, ± 1, ± 1). 2.62. Т ~^=г, ± -у), (± 1, ¥ 1, ± 2).
« 8
8.1. (5. 5). 8.2. (4. 2). 8.3. (у, - -J). 3.4. (в. 6). 3.5. (3, 9),
(9. 3). 8.6*. (1, 4). Указание. 4я, г3-1 — последова-
тельные члены геометрической прогрессии. 3.7. (2, 2). 3.8. (2, 1).
М. (1. 9); (16. 1). 3.10. (-2, 7). 8.11. (1, I). 8.12. (2, 4).
8.13. (1, -1); (5,3). 3.14. (1& 3); -г). 3.15, (27, 4);
-з). 3.16. (4, 1). 3.17. (6, 2). 8.18. (9, 16). 3.19*. (4, 1);
(—4, —I). Указание. Первое уравнение квадратное относи-
тельно г = 2"'^”, а второе — относительно и = Х У
3.20*. (V3 . 0. (— V3, 1). Указание. Ввести обозначения
z«x2 + y, u=>2y~K' н использовать 6х'~у = 3*'_,,/2*~х’.
8Л1. (2, 2, 1).
1 4
4.1. (3, 9). Указание. Прологарифмировать первое урав-
(2 27 32 \
у, -у, —). 4.8. (4, 2)1 (—4. 2).
4.4*. (1, 1); (у-, у).Указание,
уравнений по основанию 10 свести
относительно неизвестных и
Логарифмированием обоих
систему к рациональной
o = V*+V7- 4.5. Г100,
1g*
ЯР ’
Т^-). (100. '00), (т^. (А.. тУ.
В нервом уравнении перейти к десятичным логарифмам. 4.6. (2, 6);
(6, 2). 4.7. (1, I, 1); (4, 2, VU 4.8. (а«, а, п’); (-1-, а. у-).
ГЛАВА 4
1.1. (-оо; -2) и (2: оо). 1Л (—-2) U (35 4-оо). 1.3. [-1; 3].
Ы. (-оо; -2)Ц(— 1; 0], 1Л. (-8; 1]. 1.6. (-оо; -1)0(3; 7).
3.7. [-1; 2]. 1.8. (-оо; -2)U(1; 2)(j (3; оо). 1.9. (1; 2).
1.10. (-оо; - 4). 1.11, (-оо; 1) и (4l а) и (3; «).
500
ОТВЕТЫ
1.12. [-6; 9 8^). 1.13. б; 1]. 1.14. (-оо; -5]и
и[1; 8^). 1.15. [—46; 3). 1.16. (- -; 1].
1.17. [—6; 0)U (3; 4J. 1.18. [-5; -1)U(1; оо). 1.19. [-1; оо).
1.20. Нет решений. 1.21. (— 1; -—^13 (2; оо). 1.22. (— оо)
.V37-J?.y 1Л3. xeRt ।.24.(5; оо). 1.25. (-2; -1)и[—у; у).
1.26. xeR. 127. [у; А]. 1.28. [1 -УТ7; Уб- 1]. 1.29. «2-1)
V2 + 1). 1.30. (- 3 +2Л,/б5 ; з). 1.31. (-оо; —2— V2]U[l +'
+ УЗ; оо). 1.32. (-оо; -1 - 7з]и[1 - Уб; +оо). 1.33. [-1; 2)(J
U (8; б+л/Тв]. 1Л4. (3/4; 1) U (U “). 1.35. [-1; оо). 1.36. (—оо; 2)U
U(3; оо).
I 3
2.1. (-оо: log, (-1+V7)!. 2.2. (—2; во). 2.3. (-оо; -If.
2.4. оо; — д/2 log, — ^2+ 1 ] U °°)«
2.5. [—Viogj4; VtogT4], 2.6. [-4; -2)(J(0; оо). 2.7. (—10; б).
2.8. [0: 1]. 2.9. [log,, б; 1]. 2.10. (-УУ; -УзЦНУЗ; УТ).
2.11. [2; 18). 2.12. (- log, 9; оо). 2.13. (-оо; log,3). 2.14. (у log, 6;
log.б). 2.15. (-1; 3). 2.1 к (2; оо). 2.17. (-оо; -y)u(yl ®).
2.18. [0; 4[. 2.19. (-оо; 0) (J (log, 2; 1).
S 3
(-у; -’)•3-2-<* зл [-Т; -т)и(т: *]•
3.4. (-оо; -1). 8Л. [А; г]. 8.6. (-л/З; Уз). 3.7. (у; 4^.
8.8. (-А; — 3.9. (4: 7). 3.10. (1; оо). 3.11. (3; 7). 3.12. (10“»;
\ 2 10 /
10). 3.13. [—2: 6) и [-у-; 7). 3.14. (о; у]и [9; 00). 3.15. (1; 2[[J
U [8; 4). 8.16. (-7; 1). 8.17. (—6; -4)(J(-3; -1). 3.18. (0; 1 JU(2; <»Х
8.19. (1; оо). 8^0. (— оо; log, 2). 3J21. (-3/% — 1) (J
ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
601
8.22. (0; 2) U (4; »)• 3.23. (0; 1) (J (2; «). 3.24. (о, У1*. Э-].
8.25. [—J; у]. 8.26. (1; 3) U (3; б). 3.27. [ ^~3 ; 1).
8J8. (2—,в; 2“’]U[2’; оо). 3.29. (-2; -l)(J[0; “>)• 3.30. (0; 1) (J
U(V6- 1; у). 8.31. (0; 1)U[4; 21+^з]. а.32. (-1; l]lJ
u[i; 4)- 8-83- 0и(1; 7Л. 3.34. (о; 4] и (1; «)•
№ эМ#1 ) 3je- (г ')<' <)“(£ ’)•
8Л7. (-4; -3) U [1; «О- 8.38. (1; 2). 8Л9. ((У, —~g^5 ] U
и[34^5. зло. з]. 3.41. (-оо; - 7)Щ- 5; —2](J
U(4; оо). 3.42. (-6; -5)|J(-3; -2). 3.43. (1-77; — 1)(J (—1/3; 0)(J
U(0; 1/3) U (2; l+V^- 3.45. (-V8; - 1)U(1; (ViDM 3.46. (0; 1)U
U(2; oo). 3.47. (3; б-7з)и(7; oo). 3.48. (1000; oo). 3.49. l^J
u (9; oo). 3.50. (^2+ 1; г). 8.51. (1; 2). 8.52. (0; I) (jGl 7To).
3.53. (3; л)и(л; 5). 3.54. (2яЛ; у + 2ял)и
и(2яЛ4-^; (2*+1)л), fceZ. 3.55. Ц; у) 3.56. (nfc+y:
nfe+у]. Ass Z. 3.57. (гл* + arcsin -у. 2nfe + y) U (зл* 4-yl
(3* + 1) л — arcsin y), AseZ. 3.58. (y: 2) U (“ 4* l]lJ
и(2лЛ-у; 4 + 2я*). *eZ. fc^O. 8.59*. ж—1, ж - 2.
Указание. Найти область определения неизвестного ж и для
каждого целого числа из области определения проверить выпол-
нимость (или невыполнимость) данного неравенства. 3.60. ж «
—1. ж = 0, ж = 1, ж — 2. 3.61. б, 7, 8.
|4
4.1. (- 72*1 -l)ll(l; V2). 4.2. (-1; 0)U (0; 1). 4.3. (-4; -I].
4.4. (0,7; 1). 4Д5. (-1; 2). 4.6. [0; 1/3] U(3; 10/3). 4.7. (-001 -б/3)Ц
U (И ~). 4.8. [2 ~а^Г; о)и[-^^-1 •»)- 4 9. (-оо; оо).
602
ОТВЕТЫ
4.10. [0;2)U(4;6]. 4.11. (-00; 0|U (log. 5; I): 4.1». (2-л/2; -|](J
ufv1 2 + V2). 4.13. (ylog.7; !og,3). 4.14. (-1;-2/л/б) (J
u(^;.... (. 3).
9 8
Б.1. a < I *0, a — t«>x — 2, a > l«»-x = a 4-1; x*—3a —1.
6.2. 2 <a<3»xe[2n — 5; 1]; -2<n<2=>xe[-l; 1]; — 3<
<a< — 2->(— 1; 2a+ 5]; |а|>3»хг0. 6Л При a<0
± y(-l+Vl“ 4a), ПРИ o = 0 x = 0; при a >0 уравне*
ине решений не имеет. 5.4. а) При a < 0 решений нет; прн а=0 —
три решения; при 0 < а < 1 — четыре; при а “ 1 — два; при
а > 1 нет решений, б) Прн а < 0 решений нет, при а — 0 — два
решения; прн0<а<4 — четыре; прн а — 4 — три; при а > 4 — два.
6.6. При | а |< -у/2 неравенство решений не имеет. При | а | > ^2;
а = л/а* — 1 + 1 < х < a + л/а* — 1 — 1. 6.6. При а <0 и а>4
неравенство решений не имеет; прн 0 < а < 2 —а < х < а; при
а —2: — 2 < х < 2; при 2 < а < 4: — ул/о(4 — а)<х<уХ
| з
X (4 — а). 5.7.-<а<3. Указание, Записав неравен*
ство в виде 3 — х’ > | х — а |, построить н исследовать графики
функций, стоящих в левой и правой частях неравенства. 5Л. При
0<а<1 х = log.а. При а<0 и а>1 уравнение решений не
имеет. 6.0. Прн а< 1 х — ± logit (1 4- -у^ 1 — а). При а > 1 реше-
ний нет. 6.10. О < а < -tJ=-. 6.11. О < с С8. 5.12. ~1 ~ <
узе 2
6.13. а <—2.
6.14. —3<х<—1. 5.16. х>3. 6.16. (|;0>. 5.17. 5.18. 2y/2<
<а<-^-. 5.16. 7 „^<«<-4 + 2737 6.20. т > 1.
<3 л
6.21. Ни при каких. 6.22. -i- < a^l. 5.23. — З^а^З. 6.24.-р <
2 у2
< а < . 6.25. а < —2. 5Л8. -у < а < 1. 6Л7. Прн а = 0 реше-
ний нет; при а > 0 х < —2 + logs а; при а < 0 х < log* (—а).
5.28. а>2. 53». а>1. 6.30. При 2nk - у <а<-2-+ 2лЛ и
ОТВЕТЫ К ГЛ. В
503
55-+2лй<а<-^-+2яй х----------arcsln- 2^3а- +(-1)"Х
6 в • VI + 4 cos* а
X arcsin — 2 -----+ «л (k, ne Z). 5.31. При а < —л/2 или
V1 + 4 cos* а
в> V2* х -(—!)* arcsin 10°~ Уг(“’_,,+ яй; при — —1
х — (—1)* arcsin 10а± V»(a’-0 _|_ л/;; ПрИ — t < д < ^2 уравнение
решений не имеет. 5.32. b < —2 — V8. b > 2. 5.33. —3 < а С —2,
х “ ± у агссоз 2а + 5 + яй, k е Z. 5.34. at .» = ± 2. 5.35. При
* 6^0, 5эЬ-1) х - яй+ (-!)* arcsln-г-Ц-.
При Ь > 1/2 уравнение решений яе имеет. Б.Зв. Прн а<0 урав-
_ ,т /logl 3
некие решений не имеет; при а > 0 х = яй ± arcsin 2 ’ 2в ,
й е Z. 5.37. При а^ 1 0 < х < 1; при а sin 1 0 < х < arcsln а,
I < х < я/2; прн sin 1 < а < 1 0 < х < 1, arcsln а < х < я/2.
5.38. (0; 0); (1; 0). 5.39. й—1 х — tg-5-(1 - л/Т). р —cos^-X
4 4
X(l+V?)- 5.40. а < —1, а = 0. 5.41. При а = —1 х-{-1;
Т7= 4}: пр.» —1 «.<2. (ft
5.43. При а=1 х>1; при а = —1 — 3<х < 1; 'при | а | > 1
Ж—1, х = д ; при |а|> 1 уравнение имеет, два решения.
ГЛАВА б
§ «
1.33. При а ерХ у)U (у; я]: tg (у + -7); при ае
T-)U(¥-; 2л]: с18(т + т)’ ,-84-пРио*у + ш”
2tg’a.
§ 2
2.1. -I. 2A-JL. 2Л. VO--уг.. 2.4. v- 1. 2Л 4.
Ь4 4 4
2.7. -у. 2.8*. 1 . У к a з a и и e. Использовать равенство
cos (3-18’) —sin (2-18е). 2.9*. 2-(V3 • V10 + 2 VT-VS + 1),
О
Указание. Использовать равенство sin 42s — sin (60° — 18°),
604
ОТВЕТЫ
2.10. 0.96. 2.11. 2. 2.12. а4 - 4а» + 2. 2.13. 3" П* . 2.14. -}+£*
4а л-
2М- 3- 2-17- Д>+Ь> + 2Ь-2Л8*- -V3. Указа.
ни а. Рассматривая условия как систему тригонометрических
уравнений, найти а и Р как корни этой системы, принадлежащие
Ctg 3 п 4- а д
указанным промежуткам. 2.19. ctgg — p — q' 2*20' ~2 “ 2|
-2: “Т; т; 2- 2Л2. 4х’- Зх - щ - 0.
2.23. tgi-m. 2.24. 1. 2.25. 2.20. £-. 1X1.
Z и О л 03
2.28. 4 V5.2.29*. я — 2. У к а з а н и е. sin 2 = sin (я — 2) и я—2s
а(-_Д; Д1 2Л>. + а.и.^+У8'
V 2 27 2V2-V16 2 9
... 3 . V13
^•т+лг-
2.42* *. Имеет. Решение. Обозначая х = соз у, преобразуем
ж • , V3 ,
аргумент второго слагаемого по формуле у соз у 4—sln У а
= соз — yj. Для переменной у равенство приобретает вид
arccos (cosy) 4- arccos [cos (у — или> после упроще-
In я
У--3 “У
Для у s |0; —уданное равенство пре-
вращается в тождество.
2.43* . Справедливо.- Указание. См. решение задачи 2.42.
2 44. — Гл cos а - с03 Кв + 2)а) cos яа1 2 45. соаКл+2)а1 slnng
2 L sin а J’ sin а
2.46. ctg — 2 ctg 2а. 2.47.1. 2.48.1. 2.49.1. 2.50. 0.
2Л1. tg (п +|)а .
Встречающиеся в ответах буквы п, I, т, А, если не огово-
рено противное, принимают любые целочисленные значения.
3.1. — 14-2лл; (-I)"-! 4-пл. 8.2. ял. 3.3. ± 1 4-яд.
А О О
8.4, у + *я; ±у4-2Ая. ЗЛ*. [1-4-ял; 1 4-ял}и[-^у 4-«Ч
Указание Упростить выражение, выделив поде
ОТВЕТЫ К ГЛ. в
605
.. । • + Уб .
радикалами полные квадраты. 8.6. arctg-------------г ял;
— arctg 4. Яд, 3.7. arctg-^-4-^я; arctg -|- Ля. 3.8. 4 +
4 it Л л>
+ 2Лл; я (2Л + 1). 3.9. ± + Ля. 8.10. - £ + яЛ; ± arctg +
О 4 i
4-яЛ; -£-(2Л+1). 8.11. у-|-2Ля; (-1)"4 + ял.
О 11 & Q
8.12. arctg 4- + Ля. 3.18. 4 (4Л + 1). 3.14. я (2Л + 1); -£-(4Л - 1).
it 4 i
3.15.-^-(6Л± I). 8.16. 3.17*. При
± у arcsin (2 д/ _ д' прн остальных значениях а решений
иет. Указание. Значения а, при которых существуют решения
уравнения, определяются нз условия sin х | < I. 8.18. у + Ля;
2L+*2_. зле.—5-4.Л1. + зло. __5 222..
12 ' 7 108 9 ’ 24 2 20 5 ’
Зя , 2ял ,,, 21 Ня влп я ,___________5я , ял . _
‘100 + ~25~' ’2,-Лб’,’“8_-ЗИ-Т2 +яп’36 +~ 3’23' Нет
решений. 3.24. -у + 2ял. 3.25. arctg -у + яЛ; яЛ — arctg -у,
ЗЛ6. яЛ; ± arctg У2 + яЛ; ± 4+ л/г- 3-27- + *>• 3-28-4+
«J if *t
+ 2Ля. 3.20. 2Ля; у + 2Ля. 3.30. -у- + ял; (-1 )л - у + ял.
3.31*. При аЕ(-а; -1)и(-1; -2(д/2 - 1)) (J [2 (УГ + 1); оо)
х ™— + 2Ля ± arccos Указание. Представить в'-виде
4 a V2
уравнения относительно переменной t =* sin х + cos х. Значения а,
при которых уравнение имеет решение, найтн из условия 111 <
<У2. 3.32. 3.33. Прн а =/= 0 х «Лл ± arccos ^1+j**1-
3 2 4а
А Л л Л Л Л Л Л ш д АА
при Q = o х»Ля±—. 8.84. —5—л. 3.35. т + “1Г"- яя*
4 о 4 i
8.87. (2Л + 1); (ЗЛ ± 1). 8.88. 8Л0. £ (2Л + 1)|
1Q □ «94
У (2Л + I); у (2Л + 1). 8.40. | (2Л + I). 8.41. у + -^у-; у + яд.
8.42. ± у + J—. MS, arctg 3 + яЛ; arctgу + яЛ. 8,44; у (М+1Х
506 ОТВЕТЫ
8.45. 4 + Ля; -775- + 2Ля; у 4- 2Ля. 3.46. 2Ля; £+2*я. 3.47. £ 4-
4-Ля; -у 4-Ля; 2Ля. 3.43. % + ^-1 у 4-Ля. 8.49. (-1)«Х
X arcsin -^—5—-4-ял. 3.50. 3.51. + ял; -^-я + -52-,
8Л2. -22-; 4 (2л 4- 1). 8.53. -А+Ля; ±^4-2Ля. 8Л4. Ля;
В о 4 4
(-!)*+' 4 + Ля; ±£ + 2Ля. 3.55. -4 + Агс ±£ + *я.
v 4 4 4
ase. 2L(e* + i); y(2* + i). 3.57. y-i; -Jy (2* 4-D - 1.
ЗЛЗ. 3.59. Д2-; 4 (2л+1). 3.60. лл; я (2л + 1); 4*
X (2л + 1). 3.61.4 (2л + 1); у. 3.62. ±1; £(2л + 1). 3.63. у+
О 4 А О ч
+ (-0" 8.64. у 3.65. 4 (4л - IX ял. 3.66. 4 (2л + 1); 2ял;
/4 4 4 4
4 (4л 4- 1). 3.67. 4 (2л + 1); ял ± -1 arccos (sIn*а). 8Л8. 4 (2Л + lX
(- !)*£ + яЛ;-у(2Л + 1); -£-(2*4-1).3.69.у. 3.70. -уу(2*+1);
4 .кА 4-1 я nk ... Я л—л я . л Я ,
(-1) + Т5- + -Ч-. 3.71. ±-=- + ял. 3.72. — — + лл;2лл; —-4-
I / «Э 4 4 4
А Я /А а . а мА Я . аа — а Я ЯЯ Я ЯЯ
+ 2ял;-^-(2д+!). 3.73. — -^- + ял. 3.74. — + -у-; Т^ + у-
645. £ + пл; (-1)" £ + -у. 3.7С + -у ± у-+ял. 3.77. ял;
4 + у>' ± у агссоз Г— у} + ял_ 3.78. — 4 + ял; (— 1)“у+
+ у. 3.79. ял; -^-4-у-. 3.80. ±-J + 2ял; ± £ + ««. 3.81.^ +
Чящ-уу + у 3.82. у+—- 3.83. - + 3.84. ± у +ял.
Ввеста веремеявое t “ х 4- у и составжть уравнение относительно
у — sin t + сое t. ЗЛ7. 4r- 3-88. (-1)"+*4+ял. 3.89. 4 4- ял.
8Л0-у; —4 4" 2ял. 3.91. (-IfA-y^L; « +™; " +
О л 4U 0 10 4 4
ж я ял a am z а к я я ял я а 2ла я
+ ял. 8.92. у + у. 3.93. (-If-jy + y; -^4-—; у4*
ОТВЕТЫ К ГЛ. 8
607
^5.. 8.94. ял; — ? + я«- 8.95. ± Л arccos (i/з — 1) + як.
О 4 Z
8.98. 8 97- £ + ¥• Л*3/- 8-88- -v + tort.
Z О Ф z о о
8.99. -4 + nfe; -4 + 2яй; -£+2яА. 8.100. 4 + Ая.
4 о О 4
л «л« л nfc t ।. ь л . яА» я «лл яЛ 2л& л .Лл Зл .
«.i°i.T + -2-; (-О*зо+—• 3-,0Z Т' ~ 3J0x Т+
Ч--^;-•£ + «*. 3.104. -£+**; (-0"-Е-+-у-.з.1оЦ+
+ -^. 8.108. -£ + яЛ; тгп + ?Г- 8-1®7- -т + 2яЛ: (-0*Х
x£ + «*. 8.108. (-!)*£ + яЛ; -у + я*. 8.109. -JL + iA;
О О л 13 *
£ + л*. 3.110. _i + nfe; яЛ. 3.111. 4 + Я*. 3.112. -£-Х
О 4 4 Z 4
XC-l + t-lD + nn; --J (I+ (-!)")+яя. 3.113. +
8.114 . -Ля;3.115. 2я;^. 3.118. ±Л;
4т*. *—0; ±1; ±2; ±з. 8.117». ~5V25 + 2л (2^ 4-i) =
11 z
= —2, —1, 0, 1, 2,3,... Указание. Возможные аначення *
следует получать нз условия существования действительных
к.р.Л Н», + 1|д±Уу+1Р<-2И.
- (4л + 1) я ± ->/(4n+ 1)2л24-240
——:-------------------------, п — любое число, т — любое
число, кроме ±1 и 0. Указание. См. указание к задаче 3.117*.
п..А. 1 + (4А + 1) я ± V1 + 2 (4* 4- 1) я . \ „
3.119 *. ——1-1!—5-----------’—-—, k — любое , целое
неотрицательное число. Указание. Сы. указание к задаче 3.117*.
3.120 **. Решение. Исходное уравнение можно записать
в виде
(я , соз х + sin х \ / я . соз х — sln х \ .
т +------2----J СМ I 4 +----2------) =°-
(я , созх + sin X \ Л
— +----------2-----I =0 методом дополни-
тельного угла, имеем sln И* + 1). Оценивая
левую и правую части последнего уравнения, здключрем, тро для
608
ОТВЕТЫ
»см k s Z оно не имеет решений. Аналогично доказывается, что
Be имеет решений и уравнение cosI-^- +-----------------1=0.
3.121 *. 2Лл ± <р; -1 (4Л ± 1)Т<р; <р = -£-arcsin-^-; знаки оба
2 2 10
верхние или оба ннжнне. Указание. См. решение 3.120***
8.122*.-i arcctg (й + у) + ял; arcsin t + яп> 1.
/т^О. Указание. См. решение 3.120**. 3.123. —+
4 2
< Зя , 3 я , 3 , я , 3 я , „
-«+>:—j- + y; --4+у; >; т + т ®.1М.-т + 2ял.
8.123 . а) 0; 1; л; б) пл; 1 + 2ял. 3.123. arctg
О о
/7“ .
У 2 + ял*
Зя
8.127 **. + 2лл. Решение. Уравнение эквивалентно уравне-
. V2 я , „ Зя , „
нню slnx = - -, корни которого x = -j- + 2nnH х = —+2лл;
2 4 4
2я — наименьшее общее кратное периодов уравнения и неравен-
ства, следовательно, проверке подлежат значения — и —. Под-
ставляя — в неравенство, получаем числовое неравенство
соз л п —
4 cos—- соз—- 7-
2---5“i—г_г>2 2. Так как 2 2 =1, cos-т-> 0, cos 3+
соз 3 + sin 3 4
+ sin 3 = -у2 cos 3J < 0, то полученное числовое неравен-
. . Зя
ство несправедливо. Аналогично убеждаемся, что удовлетворяет
неравенству. 3.128*. + nk. Указание. См. решение 3.127**.
О
8.128*. |-яй. Указание. См. указание к 3.128*. 3.130*. —-7-+
+ 2лЛ, Указание. См. указание к 3.128*. 3.131. -у(4А + 1).
3.132. (-5.(4* +1); -l(4fi+I)}; (l(4fe-1); 1(4л-1)).
8.183. j(4* 4- I). 3.134**. (l(6m+l);y(6* + l)}; (l(6m-l);
Решение. Относительно переменных u = tg-j- x
ОТВЕТЫ К ГЛ. В
609
v ™ tg у исходное уравнение приобретает вид
1— и* , 1— о1 (1 — u*) (1 — о*) , 4ио 3
14-и* + 14-о* “ (I 4-и’)(1 4-р1) + (I 4-и») (14-0») “ 2
или, после упрощении, i? 4- о* — 8ао 4- 9а*о’ 4-1—0; последнее
ранносильно уравнению (и — о)14- (Зио — 1)’ — 0. Возвращаясь
к исходным неизвестным, имеем
или
8.135. (у (4k 4- 1); % (41 4- 1)). 3.138. (у (4k - 1); £ (41 - l)-r
у (4m- I)). 3.137. -J (8*4-1). 3.138. (у 4-/пл; у 4- /я).
8.139*. Указание. См. решение примера 3.9. 8.140. (—1; 2);
(-1; -2). 8.141. -у-4- лл; -у-лл; л = 0,1.2,... 3.142.L;
4}. «.!«.
(20 < л < 33);
—3; -1; 1; 3;
-1 - V1 4-21Л
21
xeR\|— Уз; —1; 1; Уз;
— I 4- У1 4- 21л /04 I
21 (24^л^39)>.
|4
4.1.(^-я*-|, 2-+яА + «). 4А (ли,±^+±,
. Ф~Ф Y я . Ф-Ф „„ , я, Ф4-ФЧ
яя ± 2 J» I л/п + g ± 2 * ял т 2 “ 2 J’ ® к*®
дом из решений анаки или оба верхние, или оба нижние, ф =»
«= arcsin 0,535, ф = arcsin 0,185.4.8. (л* 4- ял-Ь-?-. —ЯП+ЦЪ
\ О л 3 J
( л*4-лл — —, л*—пл—— ). 4.4. (-4-л*4-лл,—4-я*—лп );
^ + «* + ял. ^4-л* —ял); (—^4-я*4-лл, —^4-я*—ял);
4- я* - ял, - 4- я* 4-ял). 44>. (у 4- 2я/, у 4-2яр);
(-у + 2я/, -у4-2яр). 4.8. (2я/п, 2ял); (3m ± I),
(3h т 1)}; (ят+л ± ф, «+ у ±-ф); (я- -2 ± Ф, «*ф)^
ВГО ОТВЕТЫ
Vi — V1T л •» I я 4я/ , я \ ( л . . .
ф“ агссоз—--------. 4.7. ^2n* + —, -— + -g-J; у4-2яй,
4л/ л \ / Зя . „ . 4я/ л \ / Зя . «. 4л/ я\
Т-2):(-V + 2^ —-б);Ьг + 2п*’— -«)•
4
4Л. (2л* ± ф, 2я/ ± ф); (2л* + я ± ф, 2л/ + я Т ф), Ф = arctg
4
а/500
ф -= arcsln -^-g—, и берутся или оба перина, или оба нижних
внака. 4.9. «(2лп, 2л* + л). 4.10. (я*, 2ял); ^агссоз -у- 4- 2л*.
—-у-4-2лл); (—arccosy+ 2л*, у-4-2лл). 4.11. ((— 1)"Х
>< (—у4-я*) 4-ял, — у 4-я*); ((—l)"aretgy4-(—1)"я*4-ял,
rctgy 4-л*). 4.12. (у4-я*. ял); (-у-4-2*я 4-ля, — у4-ял);
^у — arctg 2 4-2*я 4-ля, —arctg2 +ял). 4.13. ((—1)п+*-у —
1 "'«# + «•<•(<-»• 7 + 4- (“ т) Х
Хвге'В-^г- + -тг)- «6. (±-у- + 2яя. +
4.10. ((—1)л у 4-ял, ± у 4-2ят). 4.17. ( ± 2 4-2ял. (— 1)*у +л*).
4.18. (у 4-Я*, v?), 4.19. (±£ + 2Лл, 2L + 2EL).
4Л0.(у(2л-Ь I). л(2р+1)). 4.21. arcsin у 4-^=^ X
Xarcsin^4-(*4-«)y, arcsin-j- —arcsin-|-4-(*—л>у).
(£ (т- тУ (т. %) т)-
4.23. (у (2Л 4-1). у 4- /я, У 4- тя). 4.24. (ф + ял, уНф-ял),
. —7 ± V193 .— /я...,, „Д/Я,., ,.
где ф = arctg . 4JS.^~(6*4-(— 1)*) ^<6Z4-3± 1)).
4.20*. 4- я*. arctg2 4-я/, arctg34-яm)| (я* -|- arctg 2, у 4-я/,
ЛЛ1 4* axetg з), где k 4-14- т “ 0. V к а а а и и е. Вычислив зна-
чение тангенса от обеих частей первого уравнения^ свести систему
ответы к гл. в
БИ
к рациональной относительно tg*, tgy, tgz. 4.27*. ^arctg2 y5± лй,
arctg VS ± nt, arctg д ± я/п1, если анаки — верхние, то
* + / + т-0, иА + / + т = 2, если анакн — нижние. Указание.
См. указание к 4J26*. 428. + йл, 75г + Im Y (яп — -ЦА,
13л \ „ /Бл 1т я kn\ . „А ( я . (-11*
я"~ЗГ)- <Л (-24 "“Г• 24 "-IF) °° (— + 42-Х
, 2-3V3 , йя я , (-1)* , 2-3V3 . ЛяЧ
Xarcsln----6 + — • 6-+-Ч2-""1" —6 + —)•
441 (т* -4)= (-4* 4): °-0): (“*’0); (°-1)5 <°- -*>•
4.32. в — 2я<: ±-у + *я +/я. Т-у —Ля 4-я/); а = я (2/4-1)|
/ я . я(2/4-1) . я (2/4-1) . я\
(± g- + ~2----L + *n> ~2-------*nT6j: а^пт- ₽«“>«*
ний нет.
I 5
О
5.1. -3tgl. 12. -у. 5.3.
£
2 ’
/3
2
Б.4. уЗ. Б Л*. При
а е (0; л|: cos а; при а е [—2л; 0): соз -у а; прн а е (— оо; 2я)0
(J(я; со) нет решений. Указание. При решении квадратного
уравнения относительно переменной г = arccos х учесть, что
3 1
О<агссоа*<я. 5Л. V2- 6.7. — •=-. 6.8. 4. 5.0. 1. 5.10. 0; 1.
Э J
5.11. Нет решений. 5.12. -2. 6.13. 0; 5.14. 0; -1;
« л
1. 6.15. 1. 5.15. 5.17. 0; 1; -1. 5.18. -±; 0; 1.
5.19. у; 1. 5.20. [0s 1J.5.21. (-1; 0[. 5.22. (0: Ц. 6.23. (J.
624. [0; 1]. 5.25. [-1; 1]. 5.28. [0; 00). 5.27. (-1; 1). 5.28. (0; I).
5.29*. При а е £—х = 2а -^1 — аа, при остальных
значениях а нет решений. Указание. Область допустимых зна«
чений а находится из условия 12 arcsln а | < 5.30*. Прн
Л
fle[0;±P-Vr=4?, прн остальных значениях а нет ре*
шений. Указание. См. указание к 6.2G*,
«12
ответы
I в
6.1. (— у + 2ял; у^ + 2ял). 6.2. (arctg2 + яп;^ + ял).
6Л. (ял; arcctg (—3) + ял). 6.4. £1 — уя + 2лл; 1—у + 2ял).
вЛ.[о. Д/у]и[У£+2"*; У^]U[’У£ Ф
и[~У‘1г+2”*: -У-¥-+2яа]> *=0,1* * •••
<6. (-y-l -у- + 2ял). 6.7*. Нет решений. Указание. Ис-
пользовать неравенство | sin х |< I. 6.8. £ + 2ял; + 2ял^.
6.9. (у+ ял;у+ ял)и(у+ ял; "(п+ *))• 6.10. (—£ + ял;
— arctg 2 + ял)и(—-j+ял; у+ял). 6.11. (— у arcsin £ +ял;
ял) и (5 + ящ | + |arcsln у). 6.12. (f (12* +1); £(12* + 3))(J
U (у (4* 4-2): у (4*+ 3)). 6.13. (-у- + 2я*; у*- + 2я*).
6.14. (-у- + 2л*; -!-у- + 2л*). 6.15. (я + 2я*; я + <р + 2я*] U
U [2я* - ф; 2л*), ф = arcsin у. 6.16. (у + 2яй; у + 2я*) (J
U (у + 2я*; -у- + 2я*). 6.17. [- у- + 2я*; - у + 2я*] н
я , (я , 2л* 7л , 2ял\../я , 2лл
у + 2*я. 6.18. (у-1-—; -18-4-— )и(у4-—;
уу + -у-). 6.10. (ял; у+ял) и (у + лл; -у- + ял).
6.20. (2LL + |; «Л + ?)и(-+«: - + ^)_
6JH. (y 4--g-; ^(«4-0 + ^-). 6.22. (у + 2я*; у + 2я*)
— у + 2я*. 6.23. (—у+ял; ял)и(у + лл; у + ял),
6.24. (-у- + 2ял; -у- + 2ял) U (— я + 2ял; 2лл).
17 Г V"
7.1. 1-1; I]. 7.2. (-1; 1J. 7Л [1; 1]. 7.4. [-1; ^-).
7л. (--^i '*0)- 2>- 7-7- (“ °°! * О- м» 0-
dl
ответы к гл. в
513
7.9. R. 7.10. ^-1; соз-^-j. 7.11. (-1;7.12. [-1; 0).
7.13. (1: оо). 7.14. [О; 1). 7.15. 1)и(-И
«8
8.8*. Ввести вспомогательный угол и использовать неравен-
ство |sin*| < 1. 8.9**. Решение. Представим выражение,
подлежащее оценке, в виде
^£-(1 — «»2х) + -£- ain 2х+ -£-(1 4- соз2х)-*>
5Ь «в
—у~4- -у [(« — в) cos 2* + b sin 2х].
Далее следует использовать неравенство, доказанное в 8.8*.
8.10*. Указание. Представить левую часть в виде функций
половинного аргумента. 8.11*. Указание. Использовать при-
ем, примененный в примере 8.2. 8.12*. Указание. См. ука-
зание к 8.11*. 8.14**. Решение. Исходное неравенство эквива-
лентно неравенству
соз а 4- соз В 4- соз у - 3
-------ПГ--------
. В 4- v В — v
Так как соз р 4- соз у = 2 соз 2 соз --д', то, с учетом уело*
вин н используя формулы приведения, получаем
соз а 4- соз Р 4- cos у < соз а 4- 2 sin -у-.
Так как соз а о 1 — 2 sin*-у-, то аадача сводится к нахождению
. Наибольшего значения функции 1—2 sin1 -у 4" 2 sin -у. Выделяй
Полный квадрат, получаем 1 4--у — 2 ^sin-у—у) ^-у. Та-
. кии образом, соз а 4* соз р 4- соз у , откуда следует справед-
ливость исходного неравенства. 8.20*. Указание. Оценить рез-
вость соз х — (1 —у-), используя представление 1 — соз х "=•
'в2«1п*у, 8.21*. Указание. Использовать результат преды-
дущей задачи и примера 8.3. 8J2*. Указание. См. указание
задаче 8.20*.
J7 А, Г. Цыпкин, А» И, ПВисЗМ
Б14
ОТВЕТЫ
ГЛАВА в
f 1
1.1. cos 0 + i sin 0. 1.2. 3 (cos л + I sln я). 1A cos -5. 4- Z sin g.
V— ( Я ... Я \ , _ rrr ( Зл,., Зл \
2 ( cos + i sin — J. 1.5. у2 Icos« sin-4—I.
1.9. 2 (cos.-^- / sia , 1.7. £ ^cos (— arccos -g-) +
+ I sln ( — arccos -y)]- •8. 6 [cos (я + arccos —) +
(. 3 \1 , A 2я , , . 2л . f Эя , \ .
я+arccos-g-11. 1.9. cos—+ / sin -g-.1.10. cosl-g-+ a 1+
+ I sin (-y- + a). 1.11. 1.12. ±(1+/). 1.13. ±2(l-i).
1.14. V6-[cos (я>+«£??.'? (-</5))+<>to (л* + агсс”<-4/5))]>
4—0, 1. 1.15. ±-Ц^/-. 1.19. ± — [<3'+ 1 -(V3- 1) i],
V2 2
±[V3-1 + (V3 +l)i]. 1.17. cos 5- +fain-5, cos-^S- +
О О О
, , , 5я 9я , , , 9л 13л , . , 13л
+ i sin — , cos -g- + I sin -g- , cos —g— + 1 sin -g— .
[3 3 1
2nA + arccos -=- 2лА + arccos -g- I
cos----?-----I sln----j----J.
2л£ 2лЛ
1.19. cos ———+/sin—ту—, 4 — 0, I, 2.
3 d
« 2
2.1. Окружность единичного радиуса с центром в начале
координат. 2.2. Положительная полуось Ох, включающая точ-
ку О. 2.3. Луч, выходящий из начала координат (без точки Of,
составляющий с осью Ох угол л/3. 2.4. Внутренняя часть коль-
ца, ограниченного концентрическими окружностями радиусов 1
и 4 с центром в начале координат. 2Л. Множество всех внешних
точек окружности единичного радиуса с центром в точке (1/2; 0).
2.9. Множество всех точек, лежащих внутри окружности радиуса
V99 с центром в начале координат. 2.7. Ось Оу. 2.8. Прямая
у = 2х + 3/2. 2.9. Полуплоскость, лежащая выше прямой у —
— —1/2. 2.10. Множество всех точек, лежащих внутри кольца,
ограниченного концентрическими окружностями радиусов 1 и 4
(включая окружности) с центром в точке (0, —1). 2.11. Пря-
мая х. 2.12. Множество всех точек прямоугольника
ответы к гл в
515
|<?1 < 1. |р| 2. 2.13. I) Прямые, задаваемые уравнением
ау + Ьх “ 0. 2) Прямые, задаваемые уравнением у *= —Ь.
2.14. Множество всех точек, лежащих вне окружности с цент-
ром в точке (1, 0) в радиусом 10. 2.15. Ось Ох и точки с коор-
I л/3
динатами, удовлетворяющими условиям х = — у,-----у < у <
. < ^у-. 2.1*. Прямая у — - х. 2.17. г — *! 4- х» 4- х.. ж_
“ г| + г» — z«, z = Z| + zi — z*, z = Zt + Z| — zt. 2.19*. Ука-
зание. Использовать коллинеарность векторов z( — z( и z3 —
— Zi. 2.20. Угол ZiOzt прямой.
S s
3.1.1-/, ±z2£. ЗЛ. 0, -t, y±^y^. 3.3. 2 —-y-.
3.4. 0, cos + i sin (k = 0. 1, 2, 3, 4). 3.5. (2, I); (y, 1).
3.6. (6, 1). 3.8. -1. 3.9. Z| = 1, Zj =/, z3 = —/. 3.10. а) (Л/);
(- I. - /); 6) (a, i): (- i. - >)• 3.11. | a 4- Ы | = 1, a 4- Ы & -1.
3.12. Все действительные и все чисто мнимые числа. 3.13. При
т— — а* -4- л/2 —
а—1 z = — 1— I. Прн l<a<V^ z“-----------~i _ 1-----1.
При а > -у/2 уравнение решений не имеет. 3.14*. a > 2, Ука-
зание. Исследовать взаимное расположение окружностей
|z+V2| — a»-3a + 2 и |z + /V2 |=»а< 3.15. -^<а<-|-.
1U О
3.13. г = 2_^1+/(У1_2).
§ 4
4.1. fa —-^4-2яЛ: а4--5-4-2лл\ fa 4-4 + 2яя‘> а—-5-4-
. 4.2. (а 4- п (fc 4- п);
а4-л(Л4-л)). 4.Х (гЛл; -у^-4-2лл); (-у^-4-2лл; 2йл).
4.4. (a —y-4-2far, —а —у-4-2ял); (а4-5-4-2йя, у — а 4-
4-2лл). 4.5. (19; 178); (179; 46). 4.6. (168; 244). 4.7. (I; 18).
, л<р «4-1
sin-у-СОЗ —---ф
4Л. sin’ *4-3 cos* х sin х. 4.9*. ---;--;
sin ф/2
17*
4- 2nfe)
у-4-Я (Л — n)J; f у 4- я(й—л);
516 ОТВЕТЫ1
, Лф , Л + 1
sin -g- sin t д • Ф
——п—7п--------------. Указание. Если г — cos ф +1 sin ф, то
sin ф/2
2,п •— cos лф +1 sin лф. Воспользоваться формулой для сумйЫ
членов геометрической прогрессии z + z2 + г* + ... + Л
4.11*. Указание. Использовать утверждение задачи 4.10.
4.1 2. <' s'n.y + f.^.^H- Qx-smx 4.13*. 2” cossin %.
а* — 2а cos х + 1 2 2
Указание. Рассмотреть бином (1 + 2)п. где z = cos х + / sin х.
._ б tg а — 10 tg’ а + tg*a
4.14. ttffa — -г“—1 * i :-Г—.
• 1 — 10 tg1 а + 5 tg4 а
ГЛАВА 7
9 1
1.2. Последовательность монотонно возрастает. 1.3*. После*
довательность монотонно возрастает, начиная со второго члена.
Указание. Сравнить отношение уп+\1ул с единицей. 1.4. с—О,
d ч* 0, a/d > 0 или с ч4 0, <f/c>—1, ad > be. 1.5. у( = 0 —
наименьший член; наибольшего члена не существует. 1.8. yt
= 4 — наибольший член; наименьшего члена не существует.
1.7*. Хе = 24 — наименьший член; наибольшего члена не суще*
ствует. Указание. Найти экстремальные точки для функции
512
/ (х) = 2х +-р-. 1.8. а) л >31; б) л > 301. 1.9*. Ни одного.
Указание. Решить в целых положительных числах неравен-
ство 2 < |х2— 5х + в|<6. 1.10*. Начиная с л = 3. Указа*
ине. Рассмотреть промежутки монотонности функции /(х)в.
= х2 — 5х + 6. l.llt, Для целых чисел из промежутка
[l: [—inVH последовательность монотонно возрастает, для
целых чисел из промежутка —in^’] + *’ °°) П0(:лeя0вaтeJ,,,•
ность монотонно убывает. Если —1/1п^ —целое число, то после*
довательность монотонно убывает, начиная с члена, имеющего
номер —1/1п<у. Указание. Рассмотреть промежутки монотон*
ности функции f(x)<=>xq*. 1.12. Будет; хле[1/2; 2]. 1.13. Бу*
дет; х«е [1; 4/3]. 1.14*. Будет; х„е(0; 1/2]. Указание. Убе-
диться в том, что /(х)« х2— 2x4-3 возрастает на промежутке
[I, оо). 1.15*. Будет; х„ е (0; 1]. Указание. Привести к об*
щему знаменателю выражение в скобках.
§ 2
2.7*. Указание. Окружить а некоторым интервалом и
сравнить по величине члены последовательности, не попавшие
ОТВЕТЫ К ГЛ. 7
517
в этот интервал, и концы интервала. 2.8*. Указание. Окру-
жить точку а интервалом, не захватывающим q. 2.0*. Нет. У ка -
ва и и е. Окружить точки р и q непересекаюшимнся интервалами.
2.11*. Не имеет. Указание. Рассмотреть четные и нечетные
значении п. 2.12*. lim х„ — 0. Указание. Использовать не-
л->®
равенство |slnx| 1. 2,13. a) lim б) последователь*
вость предела не имеет.
3.1.—1/2. 3.2. 1. 3.3. 0. 3.4. 0. 3.5. —1. 3.6*. 7/15. Ука*
ванне. Разделить числитель и знаменатель на 3,,+1 и восполь-
зоваться формулой (3.4). 3.7*. 0. Указание. Убедиться в том,
что основание степени для любого л меньше 3/4. 3.8*. 0. У ка-
ва и и е. См. указание к 3.7*. 3.0*. 0. Указание. Воспользо-
ваться неравенством |sin n!| 1. 3.10. 0. 3.11. —5/2. 3.12. 1/2.
3.13*. 0. Указание. Домкожнть н разделить на/Р—л лУ1—л’ +
4- лУ(1 — nJ)a. 3.14**. lim хп = 2- Решение. Докажем мо-
П->оо
нотонность и ограниченность исходной последовательности. Огра-
ниченность последовательности докажем по индукции. Так как
Xi — V2. то Х| < 2. Предположим, что х* < 2, тогда из урав-
нения х^+| = 4-2 следует, что х»+1 2. Таким образом,
Жл < 2. Легко заметить также, что х„ > 1.
Рассмотрим неравенство
у’^2 + у. (*)
Если члены последовательности удовлетворяют неравенству (•),
то последовательность возрастает. Действительно, подставляя
у = х„ в («), имеем
*п < 2 4" хл>
во 2-|-xn—iJ+| и, следовательно. х^Сх„+|. Множество ре-
шений неравенства (*) представляет собой промежуток [1; 2].
,Так как из доказанного выше следует, что 1 х„ 2 для
всех neN, то они удовлетворяют неравенству (*).
Таким образом, последовательность возрастает и ограничена
В, следовательно, имеет предел. Значение предела, согласно (5),
должно удовлетворять уравнению у2 — у — 2 — 0, откуда yi“l,
У»"" 2. Легко проверить, что число 1 не является пределом по-
следовательности. Следовательно, пределом является число 2.
3.15*. Ilm хл=>а. У казание. Преобразовать рекуррентное
Л-> оо
соотношение к виду хя+1 = х, + (х« — а)’ и воспользоваться
Б18
ОТВЕТЫ
формулой (3.5). 3.16. lim хп = *Ja. 8.17. I + Vl — в. 3.18*.
Л->оо
Vl + а — 1, Указание. Рассмотреть последовательности, состо-
ящие из четных и нечетных членов исходной последовательности.
$ 4
4.1. 119/3. 4.2*. (а, = 2, d = — 3), (а( = —10. d = 3).
1). Указание. Воспользоваться формулой (4.4). 4.4. ап =
= р + q — п. 4.6*. Указание. Воспользоваться тем, что если
числа и, ». ш — три последовательных члена арифметической
прогрессии, то и — и — tv — v. 4.6. 2/3. 4.7. 20. 4.8. 167. 4.6. 102.
4.10. 29. 4.11. 9. 4.12. 7. 4.13*. Указание. Рассмотреть сумму
членов, равноотстоящих от концов, средн щ..........4л+>.
4.14*. 82350. Указание. Четное число, которое делится на 3,
делится иа 6. 4.15. d « 2alt а, =#= 0 или d = 0, щ 0. 4.16*. 1275.
Указание. Воспользоваться формулой х2—у2”(х—у)(х+у).
4.17*. 1064. Указание. Воспользоваться указанием к 4.13*.
4.18. 96. 4.16*. «и и 8л — 4. Указание. Воспользоваться Фор-
мулой (4.6). 4J6*. Указание. Выразить суммы щ + «•>
<>1 + Oja, di + а, через $эл. Si„, S„ соответственно п воспользо-
ваться соотношением а3л + а„ = 2аг„. 4.21*. Указание. Из
условия получить зависимость между а, и d н использовать
эту зависимость при доказательстве утверждения. 4.22*. При
а > 12. Указание. Рассмотреть множество значений функции
f(x) = 25м + 25“* + 51+ж + 5,-л. 4.23. x=Iog,5. 4.25*. Пока-
V5 - V3
зать, что -^=—не является рациональным числом.
4.26*. Нет. Указание. См. указание к задаче 4.25*. 427*. Да.
Указание. Если длины сторон равны соответственно а, Ь,
с, d, то необходимое и достаточное условие возможности впи-
сать в четырехугольник окружность заключается в том, что
а + с — b + d.
§ S
БД. Ь!=5, *. = 405. БД. (7. -14, 28. -56). БД. 54 = 40.
5J>. (1, 3. 9). 5.6. (I, 3, 9). 5.7. (3, 6, 12); (-^(9 + Vi®). -в,
у (9- V®)]. 5.8. (2, 4. 8. 16); (16, 8, 4, 2). 5.6. (2, 4, 8) или
(8, 4, 2). 5.16, (1, 5, 25); (25, 5, 1). 5.11. q = 2. 5.12. f Г" ) ,
ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
519
I
1
J_______
zs-»m—3
6.13.
(2 + 7з7
«и
а.14»
(2 + V3)'
5.17*. 5,
+• 2л.
q1 — 1 (1 + ж2) ж2"
Указание. Возвести выражения в скобки в квадрат и сло-
жить возникающие при втом геометрические прогрессии
5.18*. Sn = 4----------/Ц-. Указание. Рассмотреть раз-
2»-» 2
С гв+1 _ г
ность Sn---5.19*. S„ -= _ — - — ,л •• Указание.
Доыножнть обе части равенства на х и из S« вычесть хЗц, ЛМ. 28.
3 1 3
6.21. 6,-.——; 0=>—. 5Л2*. -=-. Указание. Воспользоваться
10 4 и
6.
6, 3,
S’
2S -
5.26*.
5 1“Т-*Г .г
™ —г-,---;---. Указание.
4 (а — ж) ах
прогрессии q разделить bj на Z>|. Относительно х решить нера-
венство вида | q (х) | < 1. 5.27. р
Для нахождения знаменателя
—S=2aa. 5.28. Усло-
2-V2
вме имеет вид ap~mbm~kck~p = 1. 5.29. Числа 11, 12, 13 не мо-
гут быть членами одной геометрической прогрессии. 5.30. 5.
ML 3/2.
i 6
6.1. (4, 8. 16); (-1-, --Ц-, -Ц-). 6.2. (3, 6, 12); (27. 18. 12).
\ хо хо хо Z
6.3*. 931. Указание. Воспользоваться представлением4-числа
в* десятичной записи, т. е. представить искомое число в виде
а-10*4- Ь-10 + с, где а —число сотен, Ь — десятков, с—единиц.
6.4. (32, 16, 8. 0); (2. 6, 18, 30). 6.5. (2. 10. 18, ...): (2, 6. 18, _.).
6.6. 6? =27. 6.7. (24, 27, 30, ..., 54) и (24, 24. 24, ...). 6.8. <? =
-= 3/2, q = 1.
$ 7
7.1. Да; х„<=[о; 1-|-]. 7Х Нет. 7.3*. Да; хпе[-8; 11].
Указание. См. указание к задаче 1.4. 7.4*. Девять членов.
Указание. Воспользоваться формулой суммы геометрической
прогрессии. 7.7*. Указание. Воспользоваться свойством сто-
2
a — а4
а£, получаем —2~2——™р(л —А). Исполь-
нмеем d(n— k)=2p(n — k), и, следова*
ИО ответы
рон треугольника. 7.8. lim S„ — aa/2. 7.9. 1/3. 7.10. 0. 7.11*. 630,
П->оо
135, 765. Указание. Пусть х — число сотен, у — десятков и
г —единиц. Тогда первое условие задачи приводит к уравнению
*•100 +у 10 +г = 45р, где р — целое число. Так как *, у, * —
последовательные члены арифметической прогрессии, то 2у"
= х + г. Используя условия задачи, можно составить систему
двух уравнений с четырьмя неизвестными:
*•100 +у 10 + * — 46р, 2y — x-f-x,
которую .необходимо решить в множестве целых неотрицателн
ных чисел. 7.1g**. Решение. Согласно формуле (4.3), нспольч
зуя условия задачи, получаем
в‘+в»-яп в‘+<,‘ ь»
Исключая из системы
эуя формулу (4.2),
тельно, d 2р, at р. Используя опять формулу (4.3), полу*
чаем искомое выражение:
2р + 2р(р — 1)
Sp =--------2-------Р Р'
7.13*. Указание. Домножить и разделить каждое слагаемое
иа выражение, сопряженное знаменателю. 7.16*. (8, 4, 2, 1, 1/2,
1/4). Указание. Из первых пяти уравнений следует, что числа
*, у, г, в и t образуют геометрическую прогрессию. 7,16*. Ука-
зание. Представить крждое число, входящее в доказываемое
выражение, как сумму членов соответствующей геометрической
прогрессии. 7.17*. А = 2, В —32. Указание. Использовать
теорему Виета. 7.19*. У к а з а н и е. ,) (fe + 2) =“ у ’ Т ~
— - * . 4- — • . г"»* 7.20*. Указание. См. указание
Л — 1 2 к + 2
к 7.19*. 7.22. l(l0- 10"~- - л\ 7.23. а) --2-,’если п чет-
У \ У / 2
П + I -ч п (п + 1)
ное; —-—, если п нечетное; б)-------—если п четное,
n(fi+l) . П(п+ l)(3rt’ + 7n + 2) п
5 —если п нечетное; в) —------------------------• 7,2^‘
2 12
7.26. 0,5. 7.26. З-у/З/2. Указание. Под знаком предела стоит
сумма л членов геометрической прогрессии со знаменателем
q — 1/3. 7.27. 1,5. 7.28. 1/3. 7.29. 1,25. 7.30*. 1. Указание. Из-
ОI ВЕТЫ К ГЛ, 7
521
• 1 * 1
пользовать соотношение 1)'""д—fe"+T‘ 7Л* •
Указание. См. указание к 7.30. 7.32. 1/4. 7.33**. -у. Реше*
_ 2 * п
Ине. Заметим, что —-D-----— • Далее,
л/2 я
соз -г
4
н поделим ап на 2 sin - ” , . Тогда получаем
2n+i
я я „ я я
соз — - соз — ... 2 соз • sin —тт-
4 8 2Л+ 2п+*
2 sin ' 2” sin \
2г*+1 £*+•
ЛЯ я , я я
СОЗ—СОЗ у ...COS -y.sin-^ sin у
Умножим н поделим последнее выражение на у, тогда, исполь*
sin ж , „ я
зуя равенство hm --------«I в обозначая ж — —тг, получим
ж->о х 2п+‘
2п+1
, я
2
Л
л
” 2
Ilm ая« Пт
п-»<х> л->«о
ОТВЕТЫ
ла
7Л4. 1 +_jg_, 7jyj* А. Указание. Воаммьаовапса
, V2 я л/з я . _ „ »
Тем, что = соз—; — -=cos—, и формулами 2созтх =
= 1 + соз 2х, 2 sin2 к = 1 — cos 2х.
ГЛАВА 8
9 1
1.8*. Указание. Рассмотреть последовательности
Л'» _____?______, ж<2) ______?____
я(1+4л) п л (3 + 4л)
§ 2
2.1. 1. 2.2. 0. 2.3. I. 2.4. 2. 2.5. 0. 2.8. 0. 2.7. & 2Л Зл2,
2.9. оо. 2.10. у- при а 0, прн а = 0 предела не существует.
3 г- 21 Г2
2.11. а) -у VF; в) -у- д/у. 2.12. а) -1/3; б> I. 113*. -3/2.
Указание. Выделить в числителе и знаменателе множитель
(л — I)2. 2.14. 4/3. 2.15. 3/2. 2.16. V2?2- 2.17. 0. 2.18. 3/2. 2.1». 4.
2.20. —2/3. 2.21. 1,5. 2.22. 1,5. 2.23*. -1,75. Указание. Перейти
к переменному у = — х, 2.24. 2. 2.25. 8. 2.28. 3/4. 2.27. л/т.
2.28*. cos о. Указание. Использовать формулу sin х — sin а =
= 2 sin Х . 0 соз Ж а . 2.29*. я. Указание. Обозначить
л
п/п “ х. 2.30*. я. Указание. Обозначить х + 2 = у и исполь-
зовать формулу tg я (рЧ- 2) = tg пу. 2.31. — 1/V2- 132*. —24.
Указание. Преобразовать выражение, стоящее в числителе,
tg х sin (х — л/3) sin (х + я/3)
К ВИДУ —2-------3-----------------—— И ВОСПОЛЬЗОВатЬСЯ COOT-
COS'1 х cos2(я/3)
ношением cos (х + у) = sin (у — х). 2.33*. . Указа-
ние. Преобразовать выражение, стоящее в знаменателе, к виду
. , я/3 —х , я/Э-Ьх , ,, ’ г,
4 sin ---5—— sin ——5----. 2.34. 0. 2.35*. 1. У к а з а н н е. В чн-
слнтеле добавить н вычесть единицу.
§ 3
8.9 *. Указание. Использовать формулу cos (х+Дх)—cos х=
«= —2 sin -у- sin (х + -у-) • 3.10*. Указание. Воспользо-
ваться неравенством In (1 + х) х. 3.11*. Указание. Исполь»
отиты к гл, в
623
зовать результат предыдущей задачи. 3.13. Функция у—tgx
терпит разрыв в точках х-п/2 + ял, ле Z. 3.14. f (0) = 1.
3.15. f (0) — 2. 8.18. J (0) — 1. 3.17. J (81) — 1/6. 3.18. А — 1.
3.19 . Л —0. 3.20. Л — 3/2. 3.21. А — 1/2. 3.22. А — 2/т*.
3.23 *. А — 2/я. Указание. При вычислении предела Ilm /(ж)
ж-ы
ввести обозначение 2—1 — ж. 3.24. b/а — я/2. 8.25. а — 1.
3.26 . 2а — b — 0. 3.27. За — b — 0. 3J28. а + b + 1 — 0. 3.29. 6 — 4.
ЗЛО. а —3/2 +2 л. ЗЛ1. а —3/4.
I 4
4.1. -1. 4Л. 3/4. 4.3. Да. (2 > -7/22 + 1/4). 4.4. Да.
(1/2 + V2 > -3 + lgS). 4.5. 3/7. 4.6.2/З.Ч.7. со. 4.8. оо. 4.9. 1/соз*а.
4.10. -ctg а. 4.11. соз3 а. 4.12. V2/4. 4.13. V2/2. 4.14. 1/Х
4.15. 1/2. 4.18. 2 72. 4-17. со. 4.18. 1/2. 4.19. со. 4.20. 7з/1
4.21. 2. 4.22. 0. 4.23. 2. 4.24. 2. 4.25. sin 2а. 4.26. 1/2. 4.27. I.
4.28. 1/2. 4.29. sin 2а/соз< а. 4.30. -2 sin 2а. 4Л1. 3. 4.32. 3 VI
4.33. — V2 • 4.34. 0. 4.35. 2а/я. 4.38. а/я. 4.37. 2. 4.38. 1/2. 4Л9. а.
4.40.3/2. 4.41. f(3) = 2. 4.42. / (0) — -1/8. 4.43. J (0) — -4.
4.44. А — 3/4. 4.45. А — 1/2.
ГЛАВА 9 ''
$ 1
1.1. /' (ж) — - -р-. 1Л. г (ж) — - sin ж. 1Л*. /' (ж) — Л
еЛх — 1
Указание. Использовать равенство 11m ---------;-— I.
Дж-ье А*
1.4*. /'(ж) —Указание. Использовать равенство
Вт !п V ± ЧЪ _ 1. 1Л* Г (ж) —e*'*-1. Указание. Воо*
дж-ьо Аж
пользоваться формулой бинома Ньютона. 1.8. /'(ж) — 0.
2
1.10*. Указание. См. задачу 7.1Л*. 1.12. —=-.----г—'3>
V* (2 — Vх)
1.13. ------. 1.14. --~ ’
Vl~*4(l + x2) 4V*sinV
ж
Vln(<ut’+6x+c> /Лд Г 4- м 1
1.16. --- , _ (2ДЖ+0)------ |<(С ---1---.
2 Vln (яж2 + бх + с) (яж2 + Ъх + с) 1 + ж*
, ._ 2аЬтпхп~1 (а + Ьхп)т 1 . (о . , -
1.17. -----------. 1.18. зтэжсоз2ж.
(а-5хл)л*+‘
624
ответы
1.10. , 4 1 1 . 1.20. - -rtg--5-. 1.21. fW-1.
Bln4 X COS4 X X* e X '
1.22. /' (x) — 0. 1.23. f (x) — —2x. 1.24. f' (x) — 1-^ x<,-Sm*"+
m
+ 31^2. x(<1.25. f (x) — * . 1.28. f' (x) “
n Vl 4- xa
«-L(8-l’)-2/3P. 1.27. f(x)=—. 1.28./'(x)=-(x’-l)~W2x.
V2 x1 6
1Л. f' (x)-——1.30. f' (•) - V2 • 131. I' (x) =
e±x/^- 1.32*. f(x)-(-1, *®ll: 2)1 Указание. Для
2 V x I 1, x e (2; oo).
упрощения вида функции / (x) обозначить Vx — 1=/. 1.33. f' (x)™
-P Xe(°:l)t 1.84. Пх)-4"1/2>Хе(-~:Ч
I 2/3, xe(l; oo). I 1/2, xe(0; oo). •
, ( 0, x s (2; 4),
1Л8*./ (x) —J У к а а а н и e. Обозначить
I 1/VT=2 xs(4; oo).
V2x —4 —/.
f 2
2.1. При xe(—oo; —2)U(—1; oo) f (x) возрастает, при
же (—2; —3/2) U (—3/2; —1) / (х) убывает. 2Л. Прн хе(0; 1) U
(J(l; е) / (х) убывает, при х е (в; оо) /(х) возрастает. 2.3. Прн
F е R f (х) возрастает. 2.4. При х е (2; 3) f (х) возрастает, прн
ж 6(3; оо) /(х) убывает. 2.В. Прн хе(— оо; 0)Щ1; со) /(х)
убывает, прн х е (О, 1) f (х) возрастает. 2.0. Убывает прн
X 6 (—оо; 0)0(0; <ю). 2.7*. ае(-оо;-2-V®3U(V6; оо).
Укааание. Условие задачи эквивалентно условию f' (х) > 0
для xeR. Выяснить, при каких значениях параметра а вспомо*
гательная функция g (/), получающаяся из f (х) заменой t “ созх.
Положительна на промежутке [—1; 1]. 2.8*. а е (6; оо). Указа*
рне. Вычислив значение производной, найти область измене*
Жия а, прн котором она будет положительна. Использовать не*
.равенство | соз ах | < соз 0 для любого а. 2.9. хт.» “ —2, ymu — 8;
•mln “ 2, Ptnin “ 0. 2.10. xmu “ "J" 4" bn, gmu e 4* bn +
•mln™--з”^П' tfmln™-i bsZ. 2.11. Xm|n=——,
Rmln™-"^® Xmax™l> Ут«™1- 2.12. Xmax = 3. ymtK = ;
•mlne_"3, (/щ|а = — у. 2.13.Хцщя —2, Утах™2®» Хт1п™Ь
ОТВЕТЫ К ГЛ. 9
620
IZmln ” *~2. 2.14. Хщ1п — в, Ут1п“в- 2.16. £|пах “ “I. Ут«х”17[
Xmln ” 3, J/mln”-' 47. 2.16. Хпщ"0, Утах”—2; Хт|п —2,
УтГп — 2.
13
3.1. max /W“3; mln f (x)=t. 3.2. max f(x) = 17;
xa[-l;l] xa(l; 1| xsl-2;l]
min f (x) — 0. 8.3. max f (x) — 8 ; mln f(x)—0.
x a 1-2; 1) x a [0; я[ B x a (0; n]
8.4. mln f(x)”0,5; max f (x)=-^. 3.6. max /(x)e
X a IP; П/2[ X a |0; л/2] 4 xa[-n/2; я/2]
“-у-; mln /(*)” — •?•. 8.6. max
4 x'a [—я/2; я/2] 4 ха[л;ЗЛ/2]
mln f(x) = —1. 8.7*. maxf(x) ———mln f(x) ”
ха[я; ЗЯ/2] xeR 8 — -у2 xaR
4
8 +V2
-. Указание. Перейти к переменному у — sln х 4*
a/з"
4-созх. ЗА max f(x) = 4-\-, mln f(x)—2,
ха [я/6; я/3] 3 ха [л/в; я/3]
3.6*. min / (х) — 3. Указание. Перейти к переменному
ха[0;я|
у — созх. 3.10. max f (х)— / (0)—1; min /(x)—/’(—1)”0.
xe[-2;0| ха [-2; 01
3.11. a) max f (x) = f (2) = 4, mln /(x)=2;6) max f(x)—
Xa [0; 2| X e [0; 2] x s |— 2; 0]
—/(—2) =4; mln f (x)=2. 8.12. max f (x)=2; min f (x)=—2.
xa(-2;0) leg leg
8.13. max f(x) —21 +3ln2, mln f (x) —>0. 3.14. xm|0=7i
ха[1/2;4[ ха[1/2; 4] 3
max f (x) = 105. 3.13. max f (x) — f (5) — 5; min f (x) —
x а [0; 3) ха[0; 10] ха [0; 10] .
₽f(0) — /(10) — 0. 8.16*. max f (x) — f (3) = 4 V?
X а [0; 3|
mln f(x) = /(!) — 0. Указание. Перейти к переменному
ха[0;Э|
у = (х — I)8 и воспользоваться тем. что g (u) — ~ монотонно
возрастающая функция. 8.17. max у — 4; min у*=&12,
X s [—3/2; 1/2] х а 5/2; 1/2)
8 4
4.1. [0; со). 4.2. [3; 3/cos21,5]. 4.3. Пустое множество.
4.4*. [—1/3; 1]. Указание. Можно найти максимальное и
минимальное значения исходной функции, но есть и другой
способ, состоящий в том, чтобы рассмотреть значения у, при
которых урйвневне у(хг—Зх+3) — х —1 относительно х имеет
ОТВЕТЫ
ВМ
действительные решения. 4-5. а) уе(0; 1/2]; б) ре [—1/2; 1/2].
44*. Указание. Рассмотреть неравенство, саааыаапщее выра-
жения, обратные к левой н оравой частям исходного неравен-
ства. 4.7*. Указание. Представить f(x) в виде /(х) =
2 sin х — 2 sin* х и заменой t = sin х свести задачу к дока-
зательству справедливости неравенства min g (t) > —7/9,
гДе d(0“ 2t — 2t*. 44*. Указание. См. указание к 4.7*.
44*. Указание. См. указание к 4.7*. 4.11*. Указание. См.
✓ —3 - л/б* \
указание к 4.4*. 4.12*. а е I — оо; -—J. Указание. Ис-
пользуя второе'Уравнение, получить неравенство с «ераметром
относительно одного неизвестного. После этого найти наимень-
шее значение функции прн каждом а и указать множество всех
значений а, при которых это значение меньше 4. 4.13*. 44. Ука-
зание. Воспользоваться тем, что а* + а> = at + ап. 4.14*. а =
— —4/3, а = —в/3. Указание. Использовать свойство гео-
метрической прогрессии: а® =а„_1дп+|. 4-1®- V3 — *•
4.17*. а = 9. Указание. Найти min функции у = г +
+ । _1>1п х иа промежутке (0; л/2); см. также указание
к 4.7*. 4.18*. Указание. Воспользоваться соотношением меж-
ду средним арифметическим и средним геометрическим двух
чисел. 4.19*. Указание. Представить г в виде г= (х + у +
+ I)1 + (х — 2)* — 3. 4.28*. «=1. Указание. Восяользовав-
шясь теоремой Виета, выразить сумму квадратов корней урав-
нения как функцию а. 441*. Указание. Найти наибольшее и
наименьшее значения фу нации при хеЦ; см. также ука-
зание к 4.4*. 4.25*. Указание. См. указание к задаче 4.4*.
4.26*. Указание. Использовать представление sin* х + сое* х =
= 1 - -|-sin32x. 4.28. 3 корня. 4.29. (-03 + (-I)’ = 0. 4.30. 1)
й’+(|у>0.,2)(|)> + (|у<0.
S 5
5.1. 18 — 9 + 9. 5.2. 36 = 6-6. 54. 40 + 80 + 60 = 180.
а а -
6.4. уЬу”0, 5Л*. р = — 2, д = 0, расстояние равно 1. У к а-
ванне. Расстояние от вершины параболы до осн Ох предста-
вляет собой ординату вершины. 5.6. —^=-. 5.7. Координаты
ОТВЕТЫ К ГЛ. 9
623
вершин прямоугольника, лежащих на
параболе: а, ±2
6JL Высота конуса, имеющего наибольшую поверхность, состав-
ляет 4/3 радиуса шара. 6.9. Диаметр основания и высота ци-
линдра равны 2/Уз\ 5-М*. Площадь круга, оммсанного вокруг
равнобедренного прямоугольного треугольника о катетами
^2§. будет наименьшеА. Указание. Воспользоваться тем.
что гипотенуза прямоугольного треугольника является диамет-
ром описанного круга. 6.11*. ф — л/3. Указание. Восполь-
зовавшись тем, что треугольник ABD прямоугольный, выразить
боковую сторону и меньшее основание через диаметр описанной
окружности. 6.12*. Наибольший периметр имеет треугольник,
(У которого один из углов прн основании равен я/2 — а/2.
Указание. Использовать теорему синусов. 6.13. 30 кв. ел
6.14. 2а. 6.16. 5. 6.16. а = 2 arctg Н = 8Я_ . 6.17*.
з зуз
а = л/3. Указание. Использовать формулу г = S/p, где
S — площадь, а р — полупериметр треугольника. 6.18. а ™
У„
-= агссоз 5.19. а = л/4. 5.20*. h = (I2/’ —d3'’)»'2. У к a-
ванне. Связь между аргументами функции, наименьшее значе-
ние которой требуется вайтн, устанавливается нз подобия пря-
моугольных треугольников, гишлеяузаам которых являются
внешняя н внутренняя по отношению к башне части жесткого
стержня. &21. Длина — 30 см, ширина— 20 см. 5.22. а) хм.
-'л/г
6.24. Сторона площадки, примыкающая к стене, должна быть
вдвое больше другой стороны. 6.26. AM— a <fp ('tfp + $q) ,
6.26*. К точке отрезка АВ, удаленной от В на 1 км. Указа-
ние. Время достижения точки В как функцию координаты точ-
ки, к которой должна пристать лодка, необходимо представить
в виде суммы двух слагаемых, одно из которых — время дви-
жения по воде, а второе —по суше. 6.27*. Через время 1#^
2м« 2 m2g* (г-см2\
(с) V (to) — —ji—J- Указание. Кинетине-
ш, . я(1)У2(1)
ская энергия ж в момент t равна ж (О“------------> гяя
<п(0—масса каом к момемту X, а У(Х)—достигнутая к мо-
менту t скорость. 528*. 20 км/ч, 720 р. Указание. Восполь-
зоваться тем, что стоимость единицы пути складывается нз двуи
М8
ОТВЕТЫ
величии, из которых первая пропорциональна кубу скорости,
а вторая обратно пропорциональна первой степени скорости,
станции
. 27
1 43
поездом
5.29. х (р)“ mln el где х(р) — расстояние от
\<3 J
23
железной дороги до пункта А 5.30. ч. 5.31*.
Указание. Расстояние в момент времени t между
и автомобилем представляет собой третью сторону треугольника,
двумя другими сторонами которого являются расстояние, прой-
денное поездом, и расстояние, которое осталось пройти автомо-
билю, соответственно. 5Л2*. Через ч. Указание. См,
2
к задаче 5.31*. 5.33. y=-^-h. 5.34. Бриллиант был
пополам. 5.35. Сопротивления должны быть одннако-
равными —. 5.35*. а “ max < arccos arctg >.
указание
расколот
выми и
Указание. Время движения гонца, как функция координаты
точки причаливания, складывается нз времен движения по воде
, • sln а И, „
и по берегу. 6.37*. -jjjj-jj-и где а — угол падения, а р —
угол преломления луча. У к а з а н и е. Выразить путь луча в
каждой среде через координату точки падения на границе сред;
Найти отношение путей в каждой среде к их проекциям на гра-
ницу сред, прн котором достигается минимум времени прохож-
дения всего пути между точками А и В. 6.38*. а = 0, где а —«
угол падения, 0 — угол отражения. Указание. См. указание
К 5.37*. 5.39. /, — > /|Ш г “• Разветвить
токи следует обратно пропорционально сопротивлениям, через
которые должны быть пропущены эти токи. 5.40. 6000 р.
5.41*. п — 8. Стоимость затрат ж 2,3 л/2 мли.р. Указание.
Если f(x)—функция, выражающая зависимость стоимости от
построенной площади, то следует искать наименьшее значение
(40000 \
—-—I, где л —число построенных домов.
5.42*. 4л/2 м. Указание. Искать расстояние, с которого тан-
генс угла обзора будет наибольшим (тангенс — монотонная
функция своего аргумента). 5.43*., (л/4Ь* — За3 — б) • З-^2 .
Указание. Искать расстояние, при котором тангенс угла, об-
разованного точкой остановки автобуса и двумя противополож-
ными сторонами фасада дворца, будет наибольшим. Выразить
этот угол в виде разности углов, под которыми видны дальний,
и ближний (по отношению к шоссе) концы фасада дворца;
ответы к гл. в
«29
5.44*. <р —• arctgК; , Указание. Воспользо-
VbF^
ваться тем, что сумма сил в плоскости движения должна быть
равна нулю. 5.45*. а = 0. Указание. См. указание к преды-
дущей задаче. Б.48. ^2ар1К. 6.47. р “ 2,4 (хо “ 5/3; go = 5/9).
548*. (1/2; 7/4). Указание. Задача сводится к нахождению
точки С параболы, максимально удаленной от прямой BD.
5.49*. Наименьший периметр треугольника АМВ равен V10 +
+ 2 V5" + V34^ Положение точки М. прн котором достигается
наименьший периметр, —М(0;0). Указание. Рассмотреть точ>
ку, симметричную точке А относительно прямой Р“Х. 5.50*. Точ-
ка М должна делить пополам отрезок прямой, заключенный
между сторонами угла. Указание. Исследовать изменение
плошадп треугольника при изменении наклона прямой, прохо-
дящей через М. 5.51. Две оставшиеся вершины получаются при
пересечении сторон угла прямой, соединяющей точки, которые
являются симметричными образами точки М относительно сто-
рон угла. 5.52. 2/?sin-^-. 5.53. -^35* — а4. 5.54. Длина
стороны основания —2 см, объем —4 см’. 5.55. Стороны прямо-
угольника, имеющего наибольшую площадь, равны /?V2?2.
5.58. 5я/9. 5.57*. Sme — R* tg Указание. Рассмотреть
два случая: первый—две вершины искомого прямоугольника
лежат на одном из радиусов, образующих сектор; второй —
по одной вершине на радиусах и две на дуге сектора. Во вто-
ром случае следует разбить сектор на два одинаковых сектора,
когда задача сведется к первому случаю, рассмотренному для
каждой половины отдельно.
«8
6.1. (VS 2 — и (-V2; 2 + V2). 6Д у — 2.
6Л. у = - УЗх + — 8.4. arctg 9; y-9x-23-L.
«Л*. (1/2; —15/32). Указание. Координаты точки касания
Можно получить из уравнения /' (х) = k, где k — угловой коэф-
фициент касательной. 8.8. (0; 2). 8.7. 2. 6.8. у ” 8х + 4. 6.9. Хо=
— + arcsin —1— + —. 8.10. лл; —+ —; п е= Z. 6.11. (8; 0);
4V2 4 8 4
ИО; 0). 6.12*. (3; —15); 21/2; 21; (-1; 9); 19/2. 19. Указание,
условие задачи дает возможность сразу определить угол, обра-
зуемый искомой касательной с положительным направлением
реи Ох. 8.13*, а = 1. Указание. Условна пересечения прямой
ОТВЕТЫ
БЭО
в параболы .равносильно существованию двух действительных
корней соответствующего квадратного уравнения; полусумма
абсцисс этих корней по условию задачи должна быть равной 2.
6.14. у ——Зх —4. 6.15. у = х + 4, у = — х + 4. 6.17. (2; 8/3);
(3; 7/2). 8.18 Зл/4. 6.1 в**. Решение. Продифференцируем
каждое уравнение, считая, что у— функция от х. Имеем р +
+ у'х = 0 я 2х — 2уу' — 0. Выражая у' в каждом нз уравне-
ний, имеем у' = —у/х, у' х/у соответственно. Следовательно,
в любой точке A4(xo; yt), являющейся точкой пересечения кри-
вых, произведение угловых коэффициентов касательных равно
—1.
6.20*. У к а’з а н и е. Показать, что произведение угловых
коэффициентов в точках пересечения линий разных семейств
равно -1. 6.21. + 2с). (“Д/^ V‘З’)
при ас > 0; (0, 0) при с = 0; нет решения прн ас < 0.
122. (а + Vas — (5а + Ь — бу, 2д2 + Va3 — (5а + 6 — 6) X
X (2л - Б) - 10а - 6), (а - У а3 - (5а + 6 - 6); 2а* —
— Уа^ — (5а + 6—6) (2а — Б)—10а—6), если а3— (5а+6—6)>0
(а, 2а* — 10а — 6), если а3 — (Ба + Ь — 6) = 0; нет решения
. 1 2
если а3 — (5а + 6 — 6) < 0. 6.23. у ----я- х 4---+ 1, где
Ч *о
2 а 1
Хо™ т—г» если а = 0, 6 1; х0 ™ тг при а^ьО, b — 1; х0 “ -т—г
0—1 2 0—1
при а 0, i " 1 + —; х« — ври а > 0k
в 1 о
Ьч^1, Ь < 1 + -у и при а < 0, bчЬ 1, 6 > 1 + -у. В остальных слу-
чаях (а = О, 6=1; а > 0, 6 > 1 + 1/а; а < 0, 6 < 1 + 1/а) реше-
ния не существует. 6.24*. у = — х + 5/2. Указание. Условие
пересечения двух линий у = h (х) и у=1г (х) равносильно сов-
местности системы уравнений у (х), у = /а (х), решения
которой являются координатами точек пересечения. 6.25. (1/8|
1/16). 6Лв*. ф“я/3. Указание. Искомый является угол
между касательными к окружности, проведенными через точку
(8; 9). 6.27. (—0,4; 8,8), если точка М двигалась по окружности
против часовой стрелки: (6; 4), если точка М двигалась в обратном
направлении. 6.28. р = 266. 6J29*. Прямая у = —1/2. Указание.
Геометрическое место точек, из которых парабола видна под
прямым углом, представляет собой множество точек пересечения
касательных к параболе, образующих прямой угол,
6.30, arctg(—4/3). Ml*. Окружность х3+у3=а3 + 63. Указе-
ОТВЕТЫ К ГЛ. О ЫТ
иве. См. указание к 6J29*. 647. 6.38. Точка с жоорди-*
ватами (0, 2).
$ 7
7.1*. —1,5 м/с (знак минус означает, что y(i) уменьша-
ется). Указание. Если у (О—закон изменения пун верхнего
конца, a x(t) — нижнего, то следует учесть, что *’ + у* “ 26.
7.2. V (0 — —знак минус означает, что тень уменьшается.
7А. Убывает со скоростью ОД 74*. 15 см/с. Указание. Мо-
мент встречи определяется из условна
74**. 2о I sfnРешение. Введем систему координат
таким образом, чтобы колесо катилось по оси Ох, а ось Оу
при t — 0 проходила через центр колеса. Тогда на основании
закона независимости движений имеем следующие законы изме-
нения абсциссы и ординаты гвоздя:
х (Г) = v (t)-R sln (-jp), y(n-K-tfcos (|f).
Таким образом,
x' (П-о-^Ясоз(-^<)-о[|-соз(£<)],
(т ,)=°sin а о*
Скорость гвоздя в момент времени t будет равна
7 — V(*')’+ (/)’ “ v д/ 1 — 2 соз (j+1-
-2a|s*n Gk/)|-
7.6*. Скорость равна нулю,
точки по окружности абсцисса
«=₽со5ы/. 7.7*. Л — — .
соты подъема тела происходит по
Указание. При. движении
изменяется по закону х =
Указание. Изменение вы-
в/®
закону Л (/) = V sin at —
вертикальная составляющая скорости в точке максимального
подъема равна нулю. 7.8. 12 рад/с. Колесо остановится через
2/’ — 6Г* 4- 12/
2 с. 7.9*. о (/) = — . Указание. Выразить рас-
_ 4/э + 12Р н
стояние между телами в момент I как третью сторону треуголь-
ника, двумя другими сторонами которого являются Si(Q и
«92
ОТВЕТЫ
Si(/). 7.10. 40 км/ч. 7.11м. В момент времени <*“(<i + G)/2 пред*
мету следует придать скорость V *= V» + ой- Закон движении
предмета имеет вид
S(t)
+ at3/2, t С
Ио/ + attt - atl/2, tt < t <(й +t2)/i,
Vo* 4- at2t - a%/2, t > (G + f2)/2.
Решение. Отделившись от ракеты в момент времени tt,
предмет движется равномерно со скоростью, достигнутой раке*
той. в момент отделения предмета. В некоторый момент t пред*
мет мгновений увеличивает свою скорость до некоторой вели*
чины V н снова движется равномерно до встречи с ракетой
в момент G, причем в момент t2 их скорости одинаковы. Следо-
вательно, ввкон движения предмета вне ракеты представляет
собой ломаную линяю, ввеньями которой являются касательные
к параболе S(/) = W + (el*)/2 в точках й и tt. Абсцисса t
точки пересечения этих касательных — искомый момент времени.
Скорость, которую имеет предмет в момент времени /, совпа*
дает со скоростью в момент времени tt и может быть найдена
как производная функция S(f) в момент времени й. Так как
3'(0=УоЧ-ой то касательные к параболе S(t) в точках й
и й имеют вид
S(i) = S(/|) + (V04-a/l) (1-й).
S(0-S(G) + (l% + eG) (1 —й).
(•)
Рассматривая (•) как систему уравнений относительно пары не-
известных (3, 0, находим, что t = (6 + й)/2, и, следовательно,
закон движения предмета представляется в виде, указанном
в ответе. 7.12*. /o-Z.-Vrf-aS,. Ука э а в и е. Закон двнже*
пня ракеты после отключения двигателей может быть запнсар
в виде уравнения касательной к кривой, являющейся графиком
закона движения.
ГЛАВА 10
I 1
1.1*. arcsln--р-- — In (х + V*a + 2) + с. Указание. Рав-
V2
делить почленно на знаменатель и воспользоваться формулами
(16) и (17). 1.2. -j- *5/3 - + с- >•»*• - V (> ~ х)8/2 +
О / о
+ f(1-х)в'2 + ‘. Указан и е. Преобразовать / (х) к виду
ОТВЕТЫ К ГЛ. 10
633
f (х) •“ —х — (1 — х) V1 — х. Для представления f (х) в таком
виде удобно ввести переменное t — 1 — х; тогда f (х) = g (t (х)),
ГМ = 1-4*. -8 (1-y)1/2 +
+ yll—yl • Указание. См. указание к 1.3*.
1J5*. — —(2х — 1)~* + 4-(2х — 1)~2 + е. Указание. См. ука-
4 О
ванне к 1.3*. 1.6*. —---------------|- с. Указание. Пред-
.. . tz. V(1 + <)* V1 + * . - **
ставить f (х) в виде f (х) — v -g —---—у—. 1.7. — -
— х + с. 1.8. 1 + In 111 + с. 1.8. ^- + е. 1.10. -^-х3'2 +
О «Э
+ 4х~|/2 + с, 1.11. 2х1/2-4*3/2 + с. 1.12. — х + с. 1.13.x-
— 4- + с. 1.14. х + х2 + с. 1.15. тхх,т + Злх|/Л + с. 1.16. х’ —
— х + с. 1.17. —(1 +с. 1.18. 2х — 8 In | х | + с.
1.10. х + 2 In I х - 21 + с. 1.20. ^2х + с. 1.21*. - -jy соз 12х -
— -jy соз 10х — -у соз 9х—^-созПх + с. Указание. Пре-
образовать подынтегральное выражение к виду sin 12х + sin 10х+
+ sin 9х + sin Их и воспользоваться правилом 4) и формулой (4)
таблицы первообразных. 1.22. — -усоз4х + усоз5х+-усо8бх—
—-4соз7х + с. 1.23. sin а — соза + 4- sin За—4 соз За + с.
1.24. 1 х + -±- sin 8х + с. 1.25. — ( х + — соз 4х + с.
4 32 . \ Я /
1.28. — V5" соз -у + с. 1-27. —4 соз 2х + с. 1.28. — 2 соз х + с.
* «
1.29. — 1 соз 8х + с. 1.30. — -4 соз 4х + с. 1.31. -4 * — 8*о* + с.
О о / Z
1.32. -4 sin 2а —4 « + с. 1ЛЗ. tg х — х + с. 1.34. — ctg х — х + с.
4 Z
02
2.1. у •= х’ + 1. 2А у — х». 2.3. у = 5х—1. 2.4. р = —
-1. 2Д р-у + у в^-у + 1. 2.0. Р-31ПХ + 1.
534
ОТВЕТЫ
2.7. S(1) — 2 — 0,25cos2i (м). 2Др>2, одни раз пешеходы
встретятся при р~2.
2
9.1. 8. ЗЛ. 1/2. 3.9. 0. 3.4. 8. 3.5*. - 2 —. Указание.
«J
х 73
Сделать замену 1 — 2 —ЗЛ*. —1 -tjf". Указ ание. См.
л 1о0
зЭ/2 — 23/2— 1
указание к 3.5*. 8.7*. -5------. Указание. Избавиться
О
от рациональности в знаменателе. 3.8. -у-. 3.9,
3.11. In 2 — 1. 3.12. -4-- 3.13. 4-.
Л 2 О
3.15. —*вт)' 3 ,в-ЗЛ7, L
3.19. 2 Vfc ЗЛО. 2 V? + V (3** - ***). 3.21. In 2,5 + 2,5.
О
ЗЛ2. 4 In А. 3.23. 2 3.24. 3 V? - L
О
14
4.1. min F (x) = F (0) = 0, max F (x) — F —U
x s |0; л/2] X a |0; n/2| \ 2 Z
4.2. min F (x) — F (2, 5) — — 6,25, max F (x)=F (—1)=6,
xe[-l;3] xa]-l;3|
16
4Л. min F(x) —F(0) —0, max F (x) — F (4)
x a |fr, 4| x a [0, 4J a
44. max F (x) - F Ш mln F(x)-
ха|-1/2;Ц2| \2J 8 itaj-lft Iffl
= F у) — - у. 4.5. у = 2 - x; у = x - 3. 4.6. Кривы*
совпадают, xeR. 4.7. 4A -4------5- + в*-
\ О / о X
1 1 2/s
4.9. р-х-у; р-х + 4-. 4.Ю. S(/)-4-. fll*. 4 (х) —
= 25х’+ 100х. Указание. Закон изменения силы F как функ-
ции пути х представляется формулой F (х) — ах 4- Ь, где пара-
метры а и b находятся из условий задачи. Работа переменной
силы представляет собой ту ее первообразную, которая обраща-
ется в нуль при х —0. 4.12, •${<)“ “ф-----<• 4.13. 5{1) —
“ 3 + 3
ОТВЕТЫ К ГЛ. 10
Б35
8 б
БЛ. (- оо; -2) U (1/2; 3). Б.2. (2; 3). БЛ. [4; со). 6.4. Л=-2/я;
В = 2. БЛ. а — 1. Б.6. 72л; -»+. 67 Б 10 да
6.11. Л = 7; В = — 6; С-3, Б.12. -Ц5-. Б.13. 1/2;
Л О Л t>
2. Б.14. - л; - 0.
§ 6
ч. 1. ч. ч. м. 1 + шг. м. 3(|
в.в. 4-Ь. 6.7. 12-Б In Б. 6.8. -11 - In 2. 6.9. -1. в.10. 1.
2 4 3
а О 1 о
6.11.4-^. 6.12. 7 In 3. 6.13.-. 6.14.61-^.
6.15. In 2. 6.16. -11. 6.17. -I In 2. 6.18. 1. 6.16. 1Б- 16 In 2.
Z4 « w
6Л0. 3 JL 6.21. 4 - 4-. 6.22. 9 - 8 In 2. 6.23*.8/9. Указание.
13 x J
Для вычисления площади этой фигуры удобнее использовать
j
формулу (6.3). 6Л4*. -=№. Указание. Область ивтегрирова-
Q
ния следует разбить па две области, координаты точки деления
находятся как решение системы
, х* + у* — г*
I х — у=0,
* У>0.
6.25*. 1 — л/4. Указание, max (х, у} = 1 — точки, составляю-
щие две смежные стороны единичного квадрата, вписанного
в угол первой четверти. 6.26.1/3. 6.27. я/2 — 1. 6.28. 1. 6.29*. nab.
Указание. Выразить у через х при у > 0 и х > 0, при вы-
а
числении определенного интеграла 4 J — х2/а3 dx исполь-
о
аовать формулу (9.3.4). 6.30*. я. Указание. Выделить полный
квадрат по переменной х. 6Л1**. 4/3. Решение. Уравнение
касательной к кривой р •—2х* в точке с абсциссой 2 имеет вид
у — 8 = 8 (х — 2), так как у (2) — 8, у' (2) — 8. Точка пересечения
касательной и оси абсцисс находится из уравнения 8х — 8 «=
= О х = I. Область интегрирования развевается на два про-
межутка: [0; 1] и [1; 2], причем на [0; 1] вычисляется площадь
фигуры, заключенной между у = 2х* я у = 0 (осью абсцисс), а
Б36 ОТВЕТЫ
на (1; 2] —между (/ — 2х* и у~8х — 8. Таким образом,
I з
S » J 2х2 dx + J (2xs - 8х + 8) dx =
о 1
6Л2. 9. в.ЬЗ. 1п2 —6Л4*.24*. Указание. Следует раз»
бить фигуру на две криволинейные трапеции; абсцисса точим
, Л" 45
деления — абсцисса точки пересечения касательных. 6.35.
8.38**. Парабола рассекает квадрат на две части, площади ко<4
торых относятся, как 1:2. Решение. Выберем систему коор»
динат таким образом, что вершина параболы совпадала с точ*
кой (0; 0) и ось Оу являлась осью симметрии. Тогда уравнение
параболы приобретает вид у “ ах1. Параметр а выбирается еле»
дующим образом: обозначим длину стороны квадрата, середина
основания которого совпадает с началом координат, буквой I)
тогда точка (1/2; /)—правая верхняя вершина квадрата, ле»
жащая на параболе, т. е. I = a(l/2)a. Из этого уравнения полу<
чаем, что а = 4/1. Площадь квадрата S равна Р, а площадь,
отсекаемая параболой, определяется нз формулы
IP
s„ = 2 <хМх;-44|'/2-4.
J 4 I 3 (о 3
О
Таким образом, парабола рассекает квадрат на две части, пло-
щади которых относятся, как 1 :2.
8.37*. “ —-х——, где S — площадь, отсекаемая парабо-
о оЛ г
лой от полукруга. Указание. Выбрать систему координат так,
чтобы вершина параболы совпадала с началом координат, а ось
Оу была осью симметрии параболы. Тогда уравнение параболы
имеет вид у “ ах1, а уравнение окружности — вид (у — R}* +
+ х2 = R2. Связь между а и R устанавливается из условий
2
задачи (см. решение 6.36**). 6.38*. -т-. Указание. Параметр а
в уравнении параболы находится из условия /' (— Б) «
2 ___
= tg(я—arctg20). 6.39*. а = 8; а•—-= (б — V21). Указанна,
О
ответь* к гл. ю
Б37
Рассмотреть два случая: а > 2 н а < 2. Во втором случае учесть,
. I I
что при переходе через точку х —* 1 знак разности —— _
меняется. 6.40.—(1----^=-Y 6.41*. S~*b при а = ^8/ЗЬ — I;
4 \ у 4 /
задача имеет решение при b е (О, 8/3). Указание. Для того
чтобы выразить а как функцию от Ь, следует разрешить отно-
ентельно а уравнение, правая часть которого равна Ь, а левая
представляет площадь указанной в условии фигуры. Значение Ь,
при котором задача имеет решение, находится из условия а (Ь)>0,
где а (б) — искомая функция. 6.42*.' — я/6; я/3. У к а з а и и е.
Учесть, что искомое значение а может быть как больше я/6,
так н меньше (во втором случае площадь будет вычисляться
я/3
по формуле 3=^ | sin 2х | dx). 8.43*. а е (б; у);
а
Указание. См. указание к 6.37*. 8.44*. у “ £х —
—arcsln (I — -^-^1 *—7=г + V» V2 — 2 . У к а-
\ • 4 >J V2 (4- V2) 4
ванне. Прн решения задачи использовать формулу
V1 + соз 2х = л/2 | соз х |.
9 1
4
7.1. 3/4. 7.2. в = Vx 7.Х а а I. 7.4*. 3 (-1) = 125/6,
mln 3 (ft) — 3 (2) = 32/3. Указание. Пределы интегрирования
ksH
находятся как корни Х| (ft) и xj(ft) уравнения ха + 2х — 3 =
= ftx + 1. Следует учесть, что на промежутке [х( (ft); Цз (ft)]
всегда выполнено неравенство уз (x)^yi (х). 74». mln 3 (>0)=я
х«в (1/2; 1]
= S (у) = 13/4). Указание. Восполь-
зоваться тем, что S = ft где Л=1,д=/Л(1), b=fXi>(2),
(х) — уравнение касательной к у = 1 в точке с абсциссой
х0 е (I; 2]. 7.7*. а = -1. Указание. Между двумя последова-
тельными экстремумами функция f (х) = х’ + Зх1 + х + а моно-
тонна. Дальнейшее решение задачи может быть основано на
следующей лемме.
Лемма. Площадь фигуры, ограниченной прямыми х «= с,
ж = b, b > с, графиком дифференцируемой монотонной функции
838 ответы
/(х) и прямой у >f(a), где aefc.fr], достигает своего ванмеиь*
./ fr + c\
вега значения в том случае, когда у —2—I.
Доказательство. Для простоты докажем этот резуль-
тат в случае, когда с-0, fr-1 к f(fr)—. 1. Прн фиксирован-
ном значении а площадь выражается в виде следующей функции
а 1
s (а) - J [/ (а) - f (х)] dx + J [/ (X) - f (a)] dx -
0 a
• -V(e)*-F(xH|£+F(x)ll^f(e)x|l-
f (a) aF (a) + F (0) + F (I) — F (a) — Ця) + f (a^ a, (*)
где F(x) — некоторая первообразная /(ж). Приводя в (•) по-
добные члены, получаем
S (a) - f (а) (2а - 1) - 2F (а) + F (0) + F (I). (••)
Дифференцируя $(а) по а е учетом того, что F'(a) — f(a),
получаем уравнение для нахождения критических точек:
S' (a) = Г (a) (2a - 1) + 2/ (a) - 2/ (a) - 0. (•*•)
Так как по условию /(а) монотонна, то /'(а) 0 на промежутке
[0; 1], и, следовательно, уравнение (**«) имеет единственный ко-
рень а = 1/2. При о > 1/2 S'(a) > 0 я S(a) возрастает, а прн
a < 1/2 S'(a)<0 и S(a) убывает. Следовательно, при а
™ 1/2 S(a) достигает своего минимального значения.
7.8*. При а — 1 площадь принимает наибольшее, а при
о “ 1/2 — наименьшее значение. Указание. Воспользоваться
леммой в указании к 7.7*. 7.9*. а = 2/3. Указание. Исполь-
зовать лемму в указании к 7.7*. 7.10*. При а = 1/2 площадь
имеет наименьшее, а при a = 0 — наибольшее значение. Ука?
эание. См. лемму в указании к 7.7*. 7.11*. а = 0. Указа-
ние. См. лемму в указании к 7.7*.
|8
3 ••
8.1. 2л. 8Л*. я. Указание. Рассмотреть разность
объемов тел, полученных прн вращении кривых у и у = х*.
_ Г — р2® «-2<* — е~гь 1 Я
8.8. [е 2 - + ----------------+ 2 “ °) J • «•«*•
ванне. Перейти к функциям Х| (у) = 1 + -у/1 — у, *»(у) = 1 -
— V> — If и рассмотреть объем искомого тела как разность
объемов двух тел, полученных вращением фигур, ограниченных
ОТВЕТЫ К ГЛ. II
630
кривыми Х| (р) х» (у) вокруг оси Од. 83*. я*/4. Укааанве.
Искомый объем будет равен объему тела, образованного вра-
Зл
щеннем линий у = sin х, х = я/2 вокруг оси Ох. 8.0*.
Указание. См. указание к 8.5*.
9 9
8.1. а =* 18. 93*. 288. Указание. В моменты начала дви-
жения в остановки скорость тела равна нулю. 93, 216 м.
8.4. 5(0-( £ если0<<<3- 9Л. 14/15 (Дж). Указа-
I 6/ + 9, если t > 3.
вне. F (х) = кх*, где к определяется из условия задачи.
9.8*. 33,75 (Дж). Указание. F(x)=-kx, где к определяется
из условия задачи.
ГЛАВА 11
9 1
1.1. 32,5 км/ч. 13. -Ц-. 13. 60 км/ч. 1.4. 8 м/с 1.5. 3X4 км.
О
13.12км/ч, 10,5км/ч. 1.7.6 ч и 2 ч. 13. (3 — V^"). (V5 ~ • )•
1.9. 30 км/ч. 1.10. 20 км/ч, 60 км/ч. 1.11. 56 км. 1.12. Vp— 1 км/ч.
, 35 — □ + V9S2 + 2So 4- о’ , ... .. , .
1.13. ------------------------- км/ч. 1.14. 14 ч. 1.18. 60 км/ч.
1.16. 48 км/ч. 1.17*. 50 км и 150 км. Указание. Ввести ненэ*
вестные <O| = 1/V\ и Ш1=1/У»; где Vi и У» —скорости мотоци-
клиста и велосипедиста соответственно. 1.18.100 км/ч. 1.19. 100 км/ч.
139. 9 + V11 км/ч. 131. Скорость пароходов — 15 км/ч, скорость
течения —3 км/ч. 132. 6 км/ч, 21 км/ч, 45 км. 133. 63 км/ч.
134. Скорость велосипедиста — 20 км/ч, скорость автомобиля —
80 км/ч. 135. Скорость пешехода, велосипедиста и верхойого —
6 км/ч, 9 км/ч, 12 км/ч соответственно. Расстояние — 42 км.
136. 30 км/ч, 20 км/ч, 30 км. 1.27. 480 км. 138. 2 мин. 139. 15 км.
13Й. 3 км/ч, 45 км/ч. 131. 3 км/ч, 45 км/ч. 1.32. 6 км/ч.
3
133. -=—:—. 134*. 50 км/ч. Указание. Учесть, что скорость
Зи + о ' • г
встречного поезда относительно наблюдателя, находяшегосв
в одном нз них, равна сумме скоростей поездов относительно
неподвяжного наблюдателя. 135. 108 км/ч. 136. 28 км. 20 км/ч.
137. 11 ч 55 мин. 138. 7 км/ч. 139. Пассажирский — 21 ч, то-
варный—28 ч. 1.40. 15 ч и 12 ч. 1.41. 6 ч н 4 ч. 1.42. Скорость
первого автомобиля в 9/8 раза больше, чем скорость второго.
L43, 16 ч. 134. Скорбеть мотоциклиста в 4 раза больше ско-
540
ОТВЕТЫ
роста велосипедиста. 1.45. 20/3 ч и 10/3 ч. 1.45. Через 4 ч.
1.47. 1:2, 1 :3. 1.48. Не успеют. МВ. Длина окружности переднего
колеса—2 и, заднего —3 и. 1.50. 90 км/ч, 75 км/ч, 60 км/ч.
14 11
1Л1. 117 км. 24 км/ч, 22,5 км/ч. 1.52. -^-Г, ЦД1. 1ЛЗ. 4<о<
4 О
Л+7б1 , _ л . S+o/+V(S-o/)*4-41U
—j—. 1.54. Со скоростью, большей чем------—.
1Л5. Хватит. 1.55. 2 < о < 6. 1Л7. 5 < о < 10. 1Л8. Деревня от
шоссе дальше, чем школа от реки. 1.59. 4 с н 6 с. 1.60. 1/80, 1/90.
)м. В..Л2,
1.54*. 1 -рр часа ночи. Указание. Использовать то, что
ши/шч = 12, где <зм, <оч — угловые скорости движения минутной
и часовой стрелок соответственно. 1.55. На полминуты. 1.65. и 11 м.
1.57. 9 км/ч. 1.68. 3 мнн. 1Л9. 1/4 ч. 1.70. 21 км. 1.71. Через Т с
после начала падения первого тела. 1.72. 16 с. 1.73. 60°. 1.74. 10 с.
1.75. Ио “20 м/с. 1.76. Через 5 с за 0,5 и до линии поля.
1.77. 20 м. 1.78. 20 км/ч. 1.79. Второй автомобиль остановился
раньше, Па “ — 8 м/с2. 1.80. 2 с. 1.81*. at: а3 — 7/9. Указание.
Учесть, что времена ускорений обоих поездов различны.
о 1
1.82*. S) “-=• 5, = — S. Указание. См. указание к 1.81*.
□ 2
1.83. Первый быстрее, так как —-7-j- < -5- 2-^—.
9 2
2.1. 24 м’/день. 2.2. 45 ч. 2.3. 132 мин; ПО мин. 2.4. 6 мин
В 10 мин. 2Л. 6 мин» 8 мин, 12 мнн. 2.6. Т + yjT (Т — 1).
?• -1 + Vl (Г -1). УГ (Т — I) (Т>(). 2.7. li-Зч, 1а“6ч,
h “ 2 ч. 2.8. 400 деталей. 2.9. За 14 дней. 2.10. За 10 дней.
2.11. Трактор марки А — 12 га, марки 3—16 га. 2.12*. В 4 раза.
Указание. Условие в виде неравенства используется для
выбора единственного нз двух найденных значений ; искомого
неизвестного. 2.13. 50 ч. 2.14. 9 дней. 2.15. 10 ч и 8 ч. 2.16. 9 км
П । ..
в месяц. 2.17. 6 -у ч н 5 -у ч. 2.18. 5/2 м*. 2.19. 3 м’/ч. 2.20. 60 %.
2.21. За 14 и 11 дней. 2.22. 4 ч и 6 ч. 2.23. Первому — по 20 стр.
в день, второму — по 35. 2.24. 12 ч. 2.25. с = 9-Ц-. 2.26. 600 м*.
10
2.27*. 20 м’. Указание. Проверить полученные решения под*
становкой во все уравнения системы. 2.28*. За 40 ч. Указание.
Использовать формулу суммы арифметической прогрессии.
2.29*. (5/4) V. Указание. См. указание к 2.28*. 2.30. Пусть.
ОТВЕТЫ К ГЛ. II
Б41
Т{(I— 1, 2, 3) — время опорожнения i-м насосом своего резер-
вуара. Тогда Г|>7’в>7'8, прячем 7\:Т»:Tt“(1 + V®)***
:[а(1+7^)), если а < . ri;T,:T, = -Lzi: 1: ®
л ч* 1 ““!•
3 —VB" — 1 „ ..
если ---—<а<~. 2.31*. t----------. Указание. Используя
Л' 2 Л
условие задачи, предварительно показать, что все трубы начали
работать до того, как бассейн был наполнен наполовину.
-2Л2, —«
«8
8.1. Приблизительно через 23 года 32. Приблизительно через
ББ лет. 8.3. 12 к.; 80 к. 3.4. Б %. ЭЛ. 10 %. 8.8. 10 %. 8.7. 200 р.
Срочный. 3.8. 42,3 %. 3.9. 726. 3.10. Б0 %. 3.11. Через количество
лет, большее чем Ig ( )/lg (1 + 8,12. Более
,ем через lg(^-iS-)/18(‘ + Too)’•
4-1. В альбоме 12 листов. 4.2. «Троек» —2, «четверок» — 7.
4.3. Пятиэтажных — 9, девятизтажных — 8. 4.4. «Москвичей» —
10, «Волг»— 19. 4.5. 33. 4.6*. 25 второго типа и 4 —третьего.
Указание. Предварительно оценить стоимость перевозки од-
ной детали в ящике каждого типа. 4.7*. Первый — 3 дня, вто-
рой — 2 дня. Указание. Оценить, какое Количество дней мог
работать каждый экскаватор. 4.8. 45,20. 4.9. 13 мин. 4.10. 19 пло-
тов. 4.11. 15 или 95. 4.12. 48. 4.13. 32. 4.14*. 5. Указание.
Приписывание к числу справа некоторой цифры означает .пере-
ход к новому числу, в котором число единиц равно приписывае-
мой цифре, а число десятков — исходному числу. 4.18. 6464;
4.16*. 285 714. Указание. См. указание к 4.14*. 4.17. 32.
4.18*. 54. Указание. Для получения суммы всех четных дву-
значных чисел использовать формулу суммы членов арифметиче-
ской прогрессии с разностью d = 2 и fli — 10. 420. 21 и 10.
4.21. 31 н 41. 4.22*. А = 42, В = 35. Указание. Использовать
формулу п = m-p + k, где л —делимое, т— делитель, р — част»
ное, ft — остаток. 4.23*. N = 37. Указание. См. указание
3 4 5
к 4.22*. 424*. -уд-, -jy, -££•. Указание. Задача сводится
к решению системы квадратных неравенств в множестве нату-
ральных чисел, 4.25. 4 рубля.
642
ОТВЕТЫ
IS
_ . , е ~ л 4 л. 4 125 .. 135 _ в _ _
5.1. 1,5 кг. 5.2. -=-г — 24; 32 — -=-г, —— <г< —5.3.7 кг.
О 0 4 4
__ _ 2л — ш + л//п* 4“ 4л’ 2л + п + 'Уш* + 4л®
би кг. о.». _ : - .
5.5*. —. Указание. В качестве неизвестных ввести х —
т + л
вес отрезанного куска; с1 и с» — концентрации меди в первом
и втором кусках соответственно. 5.7. 5 % и 11 %. 5.8*. В объеме
4 см’. Указание. Воспользоваться формулой т — рУ,
связывающей массу, плотность и объем. 5.5. 12 %; 24 %; 48 %'.
5.10*. 29%. Указание. В качестве неизвестных ввести кон-
центрации С], сг, с3, Условие задачи дает систему трех урав-
нений для четырех неизвестных С|, с г, с» и с«. Прн исследовании
системы необходимо учесть, что ищется комбинация неизвестных
2d + с« Б )1 в 13/4 раза БЛХ Б г и 2Q г s ig 14 кг. 7 кг.
16 кг. 5.14. Первая труба подает жидкость в два раза быстрее
второй. 5.15. 50%. 5.15. 12,5 г. 5.17. 170 кг. 5.18. 40 %; 43 4* %.
3
5.10. 2 л. 5.20. 10 л н 90 л. 5.21. Юл. 5.22. 1/6. 5.23. Если Р“<7,
то любое число промывок сохраняет процент содержания золота;
задача в этом случае имеет решение, если г<й, причем число
промывок произвольно. Если q < р, то число промывок л опре-
. . г (100-й) /. 100 — q _
деляется неравенством »>lg Если же
_ г(100 —й) /.
p<q, то »<lgMiob—)/lg
too-?
100 — р *
9 5
6.1. 28 г. 6.2. 60 дет. 5.3. 28 р. 5.4. За 1 час. 5.5. 6400 л
и 600 л. 6.5. 1,25 кг и 0,75 кг.
ГЛАВА 12
9 I
1.1. 20 см. 1Л ^с со»(а/2) 1А м m(mCosP±
b 4-с г
± Vc*—m2 sin* р) sin р. 1.5. Нет. 1.5.4"’in 2а. 1.7.4-tga(rcosa—с).
О А
1л. 'er 3lnig.. 1.». —2S cos’a cos 2а. 1.10. 288 см2. 1.11. ч/з- 1.
2 соз а
! 12 o’ sin а | cos 2а | b* sin а (5 sin р+3 сов ptg а)
4 cos а (1 + 2 соз а)........ 16 sin (а+ р)
ОТВЕТЫ К ГЛ. 13
543
. 1 , с* cos* В sin 2а . УТб ,,
1.18.-5-. 1.16. -5---5=-----—r-sr. 1.17*.Указа-
2 2 соз (а — р) соз (а + Р) 2
ине. Убедиться в том, что треугольник прямоугольный.
1.18. 1.19. — tgactgP + —. 1Л0. ( 2-t-УТЛ. 1.21. УЗ?
4 2 2 \ уб J
1.22. 4 VX 1.23. 75. 1.24. £l*. 1.25. MF — . 1.26. 3, Б, 7.
О IX
1.29. ВС = -Jb (b + с). 1.30. 3^2 . 1Л1. — см’. 1.32. -—
4 3 У5
t „ NC 3 , AN 1 „ , „ , УЗ -1
1"88, АС ™4‘ ,'34’ NC = 9 или“9- ,,38‘ ««‘в 2
1Л6. 4(1-а). 1.37. *. 1Л8. 1.39. -L. 1.40.
I _______Р (1 + 2а + aft)__ । 42 ~Ь ~Ь
(1 + а)(1 + р) (1 + а + ар) ’ * * Sj(^-StS3)
1ЛЗ. 3:2. 1.44. 3 или 1/3. 1.46. 6:5. 1.47. Я — у, В — arcsin (4/5).
Сш arcsln (3/5).
9 2
2.1. 1. з = 1бУз? / = 8. 2.2. 256 см’. 2.3. Уз м. 2.4. 2 см.
2.5. 6 и. 2.6. 9,6 см’. 2.7. — sin 2а. 2.8. , . 2.9. -2^®..
____________ 2 (УЗ+1)2 2
2.10. -1 д/aft + , 2.11. /. 2.12. Сторону CD. 2.18. -!Д.
2 V 4 соз* а 5
2.Н. i+lL+atga)» __7_^a3_l6 2JB. * (a_6)3sIn*
X Lg IB О X
2.16. 4Л* ctg a - 2ft Уа* - 4Л». 2.17. 2.18. 2. 2.19. AB — BC — %
О
ЛО = УЗ? DC=I, S — 4-V3? 2.20. -1 2.21. 1S/^ crt
X D X
2.22.2 УГcm. 2.23. MК — a-^ . 2.24. — -f-. 2.25.
D Mu 3 x
2Л8. у S. 2Л7. S — •ii* У(а4-6)(36-а). 2.28. -1S. 2.29. УЗ.
2.80. A. 2.81. -11. 2.82. -g-. 2.38. 1. 2.34. -1 д/
гл. л^м-гУо"Уз?
544
ответы
• з
8.1. ЭЛ 2VS£ Э.З. 8. 3.4. -%- (3 + п - 3 Уз).
8J5. 1-Уз + -1я. 3.8. ^см*. 8.7. 1R* (2Уз + Бя).
3.8. -1R* ctg а—1R' (у ~ а). 8.9.8.3.10.7. 8.11. S = я
8.12. г - ~ . 3.18.8см. 3.14.°^+^^+^У?:.
4(Уя,4-У*1)2 3
8.18. А(3- Уб). 8.18. (4-й, 8.17. ЗУТЗ. 8.18. 1 см*,
v t \ О О / О
3.19. (arccos т — т V* — r№). 8-W- —,. , ° с•
ят* ' т ' а (1 + sin 2а + sin’ а)
0
8.21. Площадь квадрата больше площади круга. 8J2. АВ “ у__-.
14
4.1. яс _ 4.2. Ь *C0S (3а/2) । 4.3. г-- #aln(q/2) .
1 + У2 2 sin a cos (а/2) ’ 1 + sin (а/2)
4.4. 7_ аЬс 4.8.а>(3^^.
V(e + б + с) (а + б — с) (а + с—Ь) (Z»+c—а) 24
4.6. д + с — 2 У frc~cos а Уз; 2УЗ (или 2УС УЗ).
2 sin2 а ’ * ' т ’
4А 4.9. 2/?* ?ln*^±J)>lnl1. «до. V15 + ey&
12 tin а
4.11. sin (а/2) cos (р/2) 1 R4a + R)* R cos(a/2 + p/2) ’ tI2’ 5 2 (a - R) (a* + R«) '
4.13. бя — 8 УЗ , a 1 — sin (a/2) 4_ g — 72 a - 4 -2 ‘ 1 + sin (a/2)
4.15. w. .-vr).
. . 1 — sin — e.
4.18. ,аЬУп а ---------L, 4.19./?-2. 4.2O.4L 4Л1. г,-
“ + ft 1 + sln-y 1в>
_ Уё.(14-У70), г,- У£(21-УЖ 4.22. *Уз(УГ+Й.
6 8 У?
<23. 4:3. 4.24. 160 + ^-. 4.28. 4.28. 5/4 ~Сб91 X
УЗ 2 2 sin Р
Х-8Гп(аП+Р)- 4*28--Т-(3 +V3). 4Л9.^(8-УЗ).
ОТВЕТЫ К ГЛ. 13
643
4.30. 128 (3 + 2 V?): 49. 4.81. д/ 4 4-32- ЛС“ VI? АВ =
„ лг ... 4/?* sin a cos* а . аг-у/3 ..___________________
= 3у 2. 4.33. —----------=--------. 4.34. —. 4.35. 22. 4.36. S=«
соз 3 а 26
i-i (/ - я
2^-slnptgA). 4.37. 3 .
Jчя р _ sin С 3-2 Угсоз В sin С
4'38, *' sin (В + С) 4 sin В Ki sin (В + С) Х
X 3+д—. 4.39. tgsin 2а. 4.40.-:----------------—!--------.
4 sin В 2 sin а + соз а — 1
_ . sin (а/2) sin 2а
Отношение будет наименьшим при а = 45 .4.41. - (Эд/4) si||(7<|/4).
1 — АЕ - cos»((P-V)/2) гпр
DE cos’((₽ + Y)/2) ’ ГАе Y АСВ’
4.42. arctg .
cos а
Р —ЛВС. 4.44. -V.3"-!
Ve
4.43. -^г
4.45. 25л. 4.40. 5 см. 4.47. агссоз—,
б
4
4
ТЯ — агссоз 4- или агссоз 4-. "К—агссоз 4-. 4.48. 14 см. 4.49. 3,
О О Z о
4, 5. 4.50. дм. 4.51. V91 см. 4.52*. 2 V5- Указание. Ввести
в качестве неизвестного острый угол треугольника а и составить
уравнение для нахождения а а помощью теоремы о касательной
«в. TJ-.
Я I
----1- агссоз
4
m V** + 2fc соз Л + 1
32я ------ 2 (Л + 1) соз (4/2) '
441. агссоз V2(l -$). 4.62. 3 %2 а. 4.63. R — V5 см.
’ ' ' 2 со$а (а/2) ¥
н секущей. 4.53. 240 см3. 4.54. -jV-
|О
7—74
/б V2 )
si ,м.
So
4JJ7.------агссоз
2
4.58. —. 4.59.
d
. 4.55.
4.64*.
. Указание. Ввести в качестве неизвест-
ного расстояние от точки D до точки касания окружности с пря-
мой АС. 4.65. Треугольник разносторонний, длина стороны — 8.
4.66. ЛВ—10, ВС — 6, ЛС—12.
I «
5.1. A»V3. 5.2. R — ai 0 - . 5Л 9л^Г> . 5.4. гл/7.
2 | cos РI 4
ВЛ. 2$-. 5.6. 2. 5.7. 0,0, — 4- в-в. 12.8 см. 5А 5.10. 2 (V^-
л О О
18 А. Га Цшк» А, нв Пкнссца
846
ОТВЕТЫ
/;П 103 V»7 ... 4 4-Зл/3 ... / 2г V.
- V2). Ml. —jX-. М2. ----------J—. 5.13. — mJ x
(r3 y\ STP 4 sin* a cos а я
—<eyj- 8.14.-=—------------------------. 5.15. —,
ftl *•/ ^кр Я 4
5.16. 2л(cosec a + cosec 0). 5.17. -£-r*. 5.18. 3 cm, 8 си.
4 Z
4P> _
5.1». 5J0. 8. 6.21. 12^- 6J22. 14,4. 6.23. 3. 5.24. 10:11.
<Ъ
g
6.25. Трапеция равнобедренная; 75° и 105°. 6.28. 210. 5.27.
AfAf "
538. ып > — a 4-1 sin* ± A /a’+2al sln* -s~l* cos* -£ sln* -77.
ND J л, у Z Z Z
7 44 9 5
5.29. -y=, —. 5.30. AC =-==. 5.31. —.
-y85 5 <3 n
ГЛАВА 13
I 1
1.1. arccos—т=г. IX 3d*V^- IA. 2a’sln-5-
V3 2
V. a , 3a
sln у sln y.
1.4. —e|n g-----• Ф earccos (sln a sln 0). 1.6. 576 см*.
1.7. V^9 sln 2ф cos (45°—a). 1.8. a3b sln a sln 0.1.10. ^^1* cos* a sln a.
1Z
u.. «Vb!^±»2£L. ....
<•»« ‘«V* F"
a’ cos* (a/2) ctg (a/2) , ,, _ t-—c* sln a cos a
" 3 (3 — 4 sin* (a/2)) • «-1*- а V3 ~ ^g9 Ф- «-17. 2 CM p .
1.18. д/у(а’ + ьа- с3) (a* + с* - 6*) (ft* + c*-a*).
. .« 1 .> , P I j~0 Г” .«« . 0 Vl+3cos*a
1.19. -5- I* sln -i- A / cos* -E- — cos* a. 1.20. sln -= — — .
о z у z z z
1.21. я - 2 arcsln----!-----. 1.22. d tga. 1.23. a VV?- 1.
2 sin (a/2) 2V3
2 1 _________________
1.24. — • 1J25. V(a* + ft* - c3) (a* + c’ - b3) (6* + c* - a*).
«3 1Z z
1 м Л / ctg* (a/2) _ 2 /3 cos (0/2) cos 0
UW. e a /у J _ ctgi (a/2) . 1.27. 3 gjn3 (p/2) .
138, 1J9. V — — ft* -9l-n*^2^. 130. Q*-^^X
^ 2cos0 ° —3 n cota • 4—j-a.
ОТВЕТЫ К ГЛ. 13
547
+ ЗИ. 1.31.2 arcsin (V2sin у). 142. arcctg *•
1.33. ----I3 ctg a ctg g_ 1Л4 6^2-V6 + 4. 1.3S. V =,
3 [1 /sin1 a + ctg* (J]*2
- d'^l*--d'., s6oK = 4- ,лв-2ercsln ^2"''•
О Z i
U7- 2arcCOS2^W 1-38-а,(?£/*)- 1.3». arctg (tgacos^).
1.40. 0 = 2 arcsin {^ШЛ, 1.41. (д—^VL.
К cos (a/2) ) 6
§ 2
2.1. ^V3. 24. arctg 2.3. «Д. 2.4. 2.5. P con-
4 2 о
. /X .. зуз „„ 1 /Т12Г „а ПГ
падает с точкой С. 2.6. —-—. 2.7. -z- А/ 2.8. а / —.
4 оу 1/U V *
2.,. 1«VL. 2.W. 21) МЛ- »•>(—» ,8..,8>.
О SIH S о
4 _
2.12. arcctg(cosа). 2.13. -Д V?.-V?.. 2.14. агссоз (tg-у)-
а» 72 соз а _4_ a1 sin 2а
2,1В' 2 sin (а/2) • ’ 32- J ' д/з М> ’ ’ 2 cos ф *
2.19. S sin ф Vs V3 cos ф. 2.20. 715Ь’+ 4/г. 2.21. 3.
очи» _«*tga (Зот + 2п) a3 tg а . a3tga _ а*Уз
8 sin ₽ tg 0 ’ а 8п ’ 8 ’ 4соза'
244. 2.26. (с + А) • S. 2.26. 7:17. 2.27. X
о Z 1р
х V(a* + *’)<? + 4а3*’. 2.28. ф = arcsin nU 2.29. S — X
v 10
X cos a V4 + 21 cos’ а.
a* a /3 sin* i 4- 2 sin 4- A / 4 sin* 4— l+l
240.------i----------------- - =-----------------. 2.31. S =
4(sin-|-+ д/4 sln»-|- -
= a* sin*a/3-< sin34- 2.32. 4aft. 2.33. o<8, ----13.
2 V 2 9 2(4tg3a+l)cosa
2.34. 2 YT*- a3. 2.35. 2a3 cos34" V~2 cos 2a. 2.36. S = 4 V3”*n3.
49 a
18’
548
ОТВЕТЫ
2.37. * 2.88. A# ая. 2.39. V? 2.40. ,|п ’
128 4 coso 9 2
2.41. 3 :4. 2.42. 4-. 2.43.
О
6sinT('~Tsln,T) ... 69
( а /---------4--а\3 100
(2 sInT +^/l-|sin’5)
2.45. Ha расстоянии от точки S, не большем чем -% SD. 2.46. 8:37,
«3
2.47. — 2.48. 4- <’ со® <«• 2-49- 32 л/З.
10 2
2.50.
3
2.51. 4-. 2.52.
О
1:1.
2.53.
§3
„ . d3 cos’ а sin а . . st Vns. „ „ яг* VIS’
8.1. ----т~------. 3.2. nst, -3 \ . 8.3.--£--.
Vl 2 d
M. 5^. JJS. * M. Л^. a.7. ’ . 4Л
о о * _ о JI*— 1 О-
з 7з
3.9. зло. 4?-A’. 3.11 J --—------jf.
10л + 3V3 3 4л cos p cos1-|-
Д12. co"//' V«In (P + a) sin (P - a).
3.18 " Vfr* ~ °3 <** c>g* a ~ a* ct9* P) 314 1 12S 4-2S -l-iuPl
3J8‘ JMctfa-ctfp)* T(2Sl + 2Si + x<P).
3.15. 2УЕ~ 1 R; R' 8.16. г Г1 + 2 tg« i. ± tg A X
X ^/3 + 41^1-). 3.17. r (l + ^f). 3.18. 4. 3.19. r. -1*£1;
cslng. c »ln a sin p , pr—(₽ —r)*
Га ТИТ? ’ ‘ ieina(a + pr 4(7^+л/7)2-
§ <
4.1. + 4.2.51I. 4Л. 12Л»л/з. 4.4. -2-^~
2 4
4Л. ‘ (V3 - I)2. 4.6. -I-a/Z. 4.7. ^L. AJlVE.
4 О V d 2 2
4A«Л Л-Я’УЗ’. 4.10. Л-4си. 4.11. Л —
ОТВЕТЫ К ГЛ. 13
549
4.12.
eeosT
.4.13.-^.4.14. «У®.
<2 8
4.45.
4.17.
Ь
. 4.18.
2
д/3 z I------- \ 2я sin’ а
-3- (^4с’« 0+1 “ 2 c,g а)- 4Лв- 3 <3(3 +cos’а)*
а
2 <2 ‘
1
2<3
4.22. Ф1 = 4- Ф« = 2,arctg-У^-. 4.23. 3— 3
О О
4 4я sin* а соз а л ок 4/?<3tga
4.19.
а^Ь-а) 4 20> ±я
2 <35* - а1 9
. 4.21.
а«3 -1)
4<2 '
4.25.
4.25.
4.27,
4Л2.
4.28. 4. 4.29.
а____
2(1 +<6) ’
3S-- <*Т«,Х
«л. .
Hr л/2 а —
< . , .ьГ 4ЛЗ. -^=~. 4.34. -S- 4.35. S-3 <15 X
Г Т 4/7 л О
X(V5+02. а = 2 arcsin д/-|-. 4Л6. ± 4.37.-^-.
4Л8. 4R* sln 2а. 4.39. 4Я’ соз а (sin а + <— соз 2а ). 4.40. а.
О
4.41. 4- rR (R ± т/R2 - г»). 4.42. 4 Л* (Ц-73фУ . 4.43. S -
6 3 соз ф sln’ф sin а
= 2 <2" R1 соз а ^sin а + д/sin*а + -у cos* а). 4.44. sec« у*
4.45. < asln°coia---. 4.45. z - 4.47. У^-Уз)^
V1 + cos1 а + соз а <2а* — Ь*
. .. а <3
4.49.
4.48.
с
4.50. Ио
<2 (сое (а/2) + соз (Р/2)) * 4 (| + <7 ) ‘
4 (<10 + О8, а “ 2.arcsln A/ J. 4Л1. —
V 20 з <2 <25’ - а1
650
ОТВЕТЫ
4.52.
21ЯЭ .„ о 873/?’. v_ 4V3 4—sln2a
-ie"-4-58- s-----JhTS-’ V 3 * “sl^a
4.54.
, я 1 2я\з
3272? JK4 (6s'n 2? + T"Slnv)
147 ’ nrtasIna —
n
4Л6. 4я/’Х
О
sln’acos’a . _ „ 2 4 —sin2 a „
X(l+~cos^- 4J57' V = ~3nR sin2 a ’ S
4л₽2
Ж-4-68-"-
_ 4 arctg-i-- 4.89. wf3^g3W4 a/2), 4_go. S sin a sin 2a cos2-|-.
,b 2 3 cos2 a sin a 2
4.82. 4tg’-yctga. 4.63. 2. 4.84.
27
16 sin2 a "
4.85. arcsin
дж 74 x
Z Z--- /?(Ai + Aa) д/я^+^-Я
X (7Я + r - 7Я) t- 4.72. - - А.»-у - V ‘.
aJu2 + Л, + д/я + ^д/я2 +frf + *
4.73. 4. 4.74. 4-лЯ’. 4.78. R [г + Я ctg (^+ i)]. 4.76. %.
4.77. R
ГЛАВА 14
9 1
1.1. a) (-6. —2, 4); 6) (18, -5, 19). 1.2. a) (-30. 21); 6) (0. 0);
в) (y, y); r) (25, —10). 1.3.a-2,p-3,Y = 5. 1.4. a) (11,-6,5).
1.8. (I, 1, 1). 1.6. a)c = a — b; 6)c = 2a —36; в) c=«—a.
1.7, a) PQ = (-3, 5, -3); 6) PQ-(-4' T’ ~H
1A (о, у). 1.9. а) (—2, 1); б) (0, 2); в) (0, 2). 1.10. М, (7, 0) и
ЛЫ-1, 0). Ml. М (0, 1, 0). 1.12. М (-1, 0, 0). 1.13*. а) 1);
б) (-у, 4); в) -у-)’ Указание. Если вершины треу-
гольника АВС заданы своими ординатами A (xj, yt, Z|), В (х* yt, zs)
и С (xj, yt, Zj), то координаты центра тяжести G этого треуголь-
вика находятся на равенств к = (х( + ха + х8), у = (yt +
ОТВЕТЫ К ГЛ. 14
551
+ у» + У»), г = у (Zi + г» + «»)• Ы4. aU = -y, б) k =
=— -yU в) й = —3. 1.16. а) Да, a = -=-6; б) да. с —— -^-d.
10 АО
1.16. Л--4-. У = 4-. 1.18. (4, 0), (6.2). 1.19. (-1. 2. 4).
(8. -4. -2). 1.20. (-у-, -у-, -у-). 1.21. а = -1, ₽ = 4. 1.28. а) 22;
б)-200; в) 41; г) У105. 1.27. а, = (-1 у).ез-(у. -у)-
•&)• ж = в1+в’“1^Г + -|»Г
1.29. -13. 1.30. а) |в| = УЗ; б) |6| = УП. 1.31. (Уз, Уз. Уз)
или УЗ, - УЗ. — Уз). 1.32. 6 У Г. 1.33. (6, —2. 4) и
(-6, 2, -4). 1.84*.-^Р-. Указание. AM = 4* (АВ 4- 4?) =
А А
, х 2
д) агссоз у;
—► 1 —♦ 6
= АВ + у ВС. 1.35. а) агссоз -у; б) агссоз
в) агссозу; г) агссоз! —
... 2
1.30. агссоз—=-; arccos
УТз
^=Л, агссоз (--=\ 135
/29? \ У26/
ванне. ! = (1, 0), / = (0, 1). 1.37. >-38. a) у=, -7=, -у=
а; ^/3 *v3 -уЗ
к а-
3 1 3 4
б) 0,---=-,------=-; в) —1, 0, 0; г) 0, -z-, Указание.
УТо УТо 66
! — (I, 0. 0), / — (0. 1, 0), *-(0, 0, 1). 1.39. р = (-6, 8).
1.40. Ь = (-24. -32, 30). 1.41. 90°, УГб. 1.42*. е,—(1, О, 1) или
/ 1 4 I X ,,
е> = I—у, у, —уJ. Указание. Обозначив координаты
вектора с = (X, Y, 2), составить систему уравнений са = 1,
cb = 1, с* = аа = Ь3 = 2 и, решив ее. получить ответ. 1.43. соз а =
= созр = созу = -4=г. 1.44. ф—у-. 1.45.2 = 4. 1.48.2 = 0,
V3
У = 2. 1.47. с = (-3, 3, 3). 1.48. с = (-^=-.-U-,----^=-Y
\Уз Уз Уз)
1.49* . а = (2, —2, —2). Указание. Используя длину вектора а
и его перпендикулярность вектору d, составить два уравнения
относительно X, Y, 2: X -Y + 22 = 0, Х* + Уа + 2а=12. Заме-
чая, что |5|=|с|, находим 2XY + Yl — XZ = 0, откуда, решая
три уравнения относительно X, Y, 2, получим ответ. 1.50. | ВД| =
652
ОТВЕТЫ
= 2Ve. 1Л1. |4С| = 5; (4-, 1, 1Y 1.52. arccos —, — .
\ 2 J V6441
1ЛЗ. —^=-. U4.|44,|-a/^, |OG| =
25у13 V 2 2
e= arccos 44- *-55- (2 + Уз. 2 + 7з) или (2 - л/з,
О 10
2-<3). 1Л6. 0,(3. 6), D, (5, 3) или С2(-3, 2), О2(-1, -1).
Ш.л(ЭД, ЭД). с(1ЭД. ЭД.
1Л8. |44,| —4-V16. 1Л9. D(20, 23, в). 1.60. А = 4. 1.61. 4—7.
4
1.62. |4В|—5; |ВС| = 5^2-, |4С| = 5; Я—90°, f=(f—45°.
1.63. Тупоугольный. 1.64. ф = 45°. 1.65*. АЙ =— (2; 1). Указание.
Учесть, что 4Й —(X; У)_1_ВС н ВН — АН-АВ±АС.
1.66. 104, | - 1.67. | АО | - 1.68*. A'i (0, —2, 0) и
Jf Л и
А" (2, 2, 2). Указание. Зная объем призмы, найдем ее высоту
Н — 144i Ie Тб и, обозначив координаты вершины 4t (х, jn, Zi),
- ►
свяжем координаты вектора 44> = (х — 1, у, г — 1) с его дли*
ной. Другое уравнение получим иэ условия АД|_СЛС. 1.69. 18.
1.70. 26.
I 3
2.1. а) х-у+1-О, б) х—1—0; в) у — 2 = 0, 2.2*. Зх —
— 2у — 12 = 0, Зх — 8/4- 24—0. Указание. Воспользоваться
уравнением прямой в отрезках (4). 2.3. а) Зх — 2у — б — 0;
7
б) х —5у —-^- = 0. 2.4. ЛВ: 4х + у-6 = 0; CD: х —4у-2 — 0;
.19 19 , х — 1 у — 2
я — .__; созф— , . ; Z(: —=---—-------=----
V17 Vl7-58 V26 4-5V17 —4и/26 — V17
/2: (V26 + 5VT7) (х- 1)4-(—4 V26- П)(у — 2)=0. 2.5. у =
= 2х — 6, у — —2х 4- 6. 2.6. х — 5у 4- 3 = 0 или Бх 4- У — И — О
2.7*. С| (5, 10) и С2 (3, 0). Указание. Площадь треугольника
АВС найтн по формуле
5-4-1в||61^1-(т7[Тй)2"Т7(|в||Ь|)а“(вьЛ
2А D (9, 0). 2Л. (х - I)’ +(у- I)1- 1. 2.10. у и у-
ОТВЕТЫ К ГЛ. 14
853
= -^1. 2.11*. В (12, 5). С(-5, 12). £>(-12.-5). Указа-
ние. Точка С симметрична точке А относительно начала коор-
динат. 2.12**. (х - -у У + (у - V2 )2 = 2.; +
+ (y + V2)2 = -p Р е ш е н и е. Центр искомой окружности ле-
жит на прямой, проходящей через точку (1/2, 0) и перпендику-
лярной осн Ох (рис. 0.1). Диаметр искомой окружности равен
радиусу данной. Записав уравнение искомой окружности в вида
^х —у J + (у — ро)1 = — и потребовав, чтобы искомая окруж-
ность проходила через точку А (1, 0), найдем уо. 2.18. (х — 1)* +
+ (у-1)3_1; (х-5)» + ({/ —5)а = 25. 2.14. 2х — у — 2z — 0.
2.15. a)3x + 4j/ + 6z-29 — 0;6)2x-2y-z + 9 — 0;B)x-p4-
4-4z+ll=0. 2.16. а) агссозб) агссоз-Д-; в) агссоз-Д-.
о 14 и
2.17*. —7—. Укааанне. Найти косинус угла между вектором
я плоскости л вектором АВ. Используя определения угла между
18
прямой и плоскостью, найти синус этого угла. 2.18. a) arcsin
23’ 3
б) arcsin —2.19. 10. 2.20. а) б) 0; в) 4. 2.21. 8.
15 V10 2
2.22. 6х + 2у + Зг ± 42 — 0. 2.23. (-1, 0. 2). 2224. а) (0, 0k -2)|
б) (2, 3, 1). 2.25*. 3. Указание. Вектор л“(2, 2, —I) парил-
654
ОТВЕТЫ
лелея прямой, проходящей через центр сферы перпендикулярно
данной плоскости. Расстояние от центра сферы до плоскости
равно Б. 2.26. (4, -3, 0) и -|р). 2.27. (х-А)2 +
\ 41 XI XI / \ X J
, . I / iГЛ1 33 1 33 Ж
+ (у — 1)2 + (г— I)2 = ~2------4"> "Р" т > ~2-----сфера; при
33 33
т* = -----точка; при т’ < —-------пустое множество.
S3
3 z 1 \ 3
3.1. агссоа _ЗЛ. я — агссоз I----=- L ЗЛ. arccos—=.
Vl4 \ Бд/Тз/
8.4. arccos —7=-. 3.5*. -5-. Указание. Выбрать систему коор-
-уБ d
дни ат Охр так, чтобы осн Ох н Оу проходили соответственно
через катеты ВС и ВА. 3.7*. 2ах + 2Ъу — а*+ Ь2, где а, Ь —
длины катетов. Указание. Выберем прямоугольную систему
координат так, чтобы ось Ох совпадала с катетом СА, а ось Оу —
с катетом
8L1B. 4а1,
СВ. 3.14. За1, где а — длина стороны квадрата.
0
где а —длина стороны квадрата. Э.1в.
<170,
8.17.
8Л1. агссоз -Jj—. 3.22**. —--. Решение. Вводя систему
координат Охуг так, как показано на рис. 0.2, находим коорди*
ваты точек: А (а. О, 0), Е (о, -у, а), F (-у, а. а). Уравнение
плоскости, проходящей через эти три точки, имеет вид х 4- у +
+ -5-2 +а =0. Косинус угла между плоскостью нижнего осно-
X
3
вання и данной плоскостью: cos ф « —=*. Площадь проекции
V17
ОТВЕТЫ К ГЛ. 1*
553
пятиугольника, полученного в результате сечения куба секущей
плоскостью, на плоскость нижнего основания куба равна s«
, а3 Та3
— а* g- ™ —g—. и, следовательно, площадь самого пятиуголь-
ник' “ 5 = ” 7Л^а-- 8-23**- IЛ Л | -1 Л,£ | - J^a,
|KL| = ^^a, у. Решение. Из условия задачи К (у, 0, о),
L (°-а' т)(рис- °-3)-Тогда 1 AlL 1а=at+V “ I A>L i -
° - уМЛ12 = у+ а», |4|К|™ Рассмотрим два
треугольные пирамиды: ,NAKAt н NDML. У второй пирамиды
неизвестные длины ребер ND и DM обозначим через хну соот-
ветственно. Из подобия треугольников ЛЛ|ЛГ, DLN следует х^а,
а из подобия AAKN н &DMN следует |/JL|a = у +
... а’ За’ . v, . a т « 1 1 a
+ ° + — • l^Ll =—2“• Tor^a -у-уX
„ а’ ,, I 1 а а а.3 _
Ха-2а-у-. =-у Т‘у-у а = — Отсюда нахо-
дим объем одной из частей куба, на которые разбивает его секу-
7а’
щая плоскость: - VNAKA> - VNDML — у. Тогда объем вто-
рой части куба равен — откуда Zl:Vi — 7:4l.
40
8Л4. Зд 3-23. а) у; б) у а*. 8.28. 8а* где а — длина
о от ** , о оо 1 о оа 2L. I
стороны куба. ЗЛ7. 2 3.28. у, 3,2В. 3« .
, aV5 a V5 а-^2
8.30. а) £ б) g ЗЛ1. 2
9 4
—» —♦ —ь 2
4.1. -(4C4-2CQ). 4.2. BD-2(»-j), ЛС—-=-(а + 6)
W
4Л. ЛО-т-1—(ЛВ + лЛО). 4.4. 0. 4.8. 1 — 3) Х--2.
I + а
4.7. Л —4-. 4.8. Л = 10/7, Ц = 4/7. 4.9. А = I, t => - 2. 4.11. р -
3
= <7 — 1. 4.12. 0. 4.18. ЛМ—уОВ-04, —yOG-OB
SS6 ОТВЕТЫ
JWV — 1(OC-OB). 4.14. AM -= - BA + 1 BBi + 1 ВС, A^M =
^-ВА-1-ВВ, +ySC. 4.15. ЛД.-А^+СВ. + ЛС,),
«Ч444)«7(14-4) .^(i.i.2.).
4a..(i. |. 4.-4).
§5
6.4. DC,-|fl4-1 b, PCa = la4-l 6. OC3 = la4-j6.
—-» О —* 1 —* —v I —* ь —►
6Л. MC=-4 /И4 + ^-Л1В. Б.0. Л1С =-т-Ц—г Л14 +-г—7—г AfB.
O 4 « -f- I R + 1
6.17. |AB| = 4. 6.18.-1. 8.19. 1,5. 6.20.-|1. 6Д1. АА,—
11 64 b + c
где AC<=b, AB = o и |AC| — b, |AB|=c. 6.22.1. 6.23. 1.
6.24. (d + ft) (* V?! t-f——• B-31- 1 :8- 5-82- 3- Б-33.-Д-.
ab (a 4- b 4- 2c) 37
6Л4. 1.
О
§ e
6.1. a) 9; 6) 13; в) —61. 6.2. —13. 6.3. Векторы an b должны
яЬ
быть взаимно перпендикулярны. 6.5. Л — —-. 6.8. а) та a
яс
* /и , п,----т~;—» , 26с cos (А/2) . „ .
—-я-V6* 4-26с cos А 4-с*; б) /а —-г-;—6.9. а) та=*
Z о -f- С
= lV-a«4-26*4-2ca; б) 1а - 2 ~ а). 6.10. arctg
Z о т с х
3 4- а/73 2 - - „
6.11. . 6.12. -^=-. 6.24. A = B = 30e, С =120°.
8 V?
ГЛАВА 15
« ।
1.1*. 107. Указание. Из исходного множества (0, 1, 2, ...
9) набираются выборки с повторениями, содержащие по
10(107 —1) ,,
семь элементов. 1 Л*. -------—, Указание. Найти сумму
чисел, представляющих количество различных выборок по од-
ному, двум и далее до семи элементов исходного множества.
1.3. 243. 1.4. 2м. 1.5, Число делителей q равно произведению
ОТВЕТЫ К ГЛ. IS
Б57
(*i + 1) (Ла + 1) ... (k„ + 1). 1.8. 1.7*. 2’. У к а 3 а 11 и е. Ис-
ходное множество состоит из двух элементов (Г.Ц), а выборки
с повторениями—нз л элементов. 1.8. 720. 1-0. а) 2-291; б) 28-291
1.10*. 968. Указание. Следует найти сумму чисел различных
аккордов, содержащих по три, четыре и далее до десяти звуков.
Один аккорд, состоящий из k звуков, представляет собой выбор-
ку k элементов из исходного множества, содержащего 10 элемен-
тов; порядок элементов в выборе несуществен. 1.11*. 40-39-Сщ.
Указание. Председатель и секретарь образуют выборку
без повторений, состоящую нз двух элементов исходного
множества, содержащего 40 элементов. S членов комиссии об-
разуют выборку без повторений некоторого состава из исходного
множества, содержащего 38 членов. 1.12. CJ-Ciq. 1.18.
1.14. 1.18. а) 42«С® различных карточек; б) C^-Cj
различных карточек; в) различных карточек. 1.18. 120.
1.17*. Сщ — Сад. Указание. Искомое число равно разности
общего числа способов вынуть 10 карт из Б2 и числа способов
вынуть 10 карт из 48 таким образом, чтобы средн 10 карт не
было туза. 1.18. 4-Сад. 1.19. Л*0-Лд. 1.20*. 1225. Указание.
Учесть, что цифровая запись числа не может начинаться с нуля.
1.21. 750.
S 2
2.1. 2520. 2.2*. 165. Указание. Выборка с заданным чис-
лом повторений объема 8 набирается из четырех групп однород-
ных элементов. 2.3*. С,6 — С®в. Указание. Выборка с за-
данным числом повторений объема 7 набирается из 10 групп
одинаковых элементов. 2.4*. • Указание- Ищется чис-
121
ло различных выборок состава (13, 13, 13, 13). 2.В*. ’’jr-
Указание. Шесть различных групп однородных элементов
должны составить выборку с заданным числом повторений, ай.
держащую 12 элементов, имеющую состав (2, 2, 2, 2, 2, 12).
2-в*. С»+1. Указание. Следует рассмотреть выборку с задан-
ным числом повторений, имеющую состав (<п-|-1, л), где т-Н—
число промежутков между т белыми шарами, а л —число чер-
ных шаров. Число различных расстановок равно числу всево!-
можных выборок состава (m+ 1, л). 2.7*. Указание.
Находится число различных выборок состава (Л| + л*), где Л1-ш
— 52 — число успехов, а л> + ла — 100. 2.8*. 2- (в!)1. У к а з |\
вне. Число перестановок левых мост рдда следует уыжожМь
558 ответы
на число перестановок правых мест. Учесть возможность смены
левых мест на правые. 2.0*. Указание. Воспользоваться не-
равенством Cjn+ftCjI_|k (С2"„)2, доказательство которого можно
провести непосредственно.
9 з
3.1*. 1024. Указание. Разложить по формуле бинома
выражение (1 4-I)10. ЗЛ. й —4. ЗЛ*. Т2 —C?g-xw — 153xe'8.
Указание. Воспользоваться тем, что наибольший коэффициент
имеет средний член разложения. 3.4. 28х’а~ч. ЗЛ*. Указание.
м ✓ ( \|00
Воспользоваться указанием к 3.1*. 3.6. — 1375. 3.7**. С цд 1-^-1 .
Решение. Рассмотрим отношение Г«+| к Ть, Так как
т ~c*+1(lY00 т=с‘ f±Y"
'*+1 всюо 2 ) * у* с1оо^2/ ’
то
Т*+| 1001Й1 (100-й+ 1)1 100-й+1
Т* “ (й + 1)1 (100- *)Ь 1001 “ й+1
100 —й+1 . т 100-fe+l .
Если ----JT+"i--> 1. то Т*+1 > 7*. а если -----------< 1,
то T*+i < Г*. Получаем, что при k < 50 члены Т k возрастают,
а при к > 50 — убывают. Следовательно, наибольшим членом
м / j \100
является TgQ" С iQQ . ЗЛ. Наибольшим членом разложения
является десятый. 3.9*. Tt “ С^х**. Указание. Степень бинома
можно получить, используя указание к 3.1*. 3.10*. Указание.
Использовать разложение.(1 — 1)" 3.11*. —264а’6т. Указание.
Использовать результат задачи 3.10*. 8.12. 314 925- 10*.
3.13. х = 2.3.14*. 5/8 < х < 20/21. Указание. См. решение 3.7**.
3.15*. 1/2. Указание. Используя условие задачи, представить
50-й член разложения как функцию аргумента х и решить задачу
иа отыскание наибольшего значения полученной функции на про-
межутке [0; 1]. 8.16. х —-5-=-^. 3.17. 3.18. 26.
8.19**. Рациональными будут первое, пятое и девятое слагае-
мые разложения. Решение. Так как коэффициенты 1, -£,
Л
п(п — 1) , .
—i—=----- образуют арифметическую прогрессию, то можно
О
составить уравнение
ОТВЕТЫ К ГЛ. 13
корни которого равны соответственно л = 8 и л = 1; л = 1 —.
посторонний корень. Для л = 8 общий член разложения имеет
вид
* 8-fc 8~* *+8
Т*-С*х2 (1) ’ х'Т"-2‘-вС‘ж 4 .
Этот член будет рациональным, если k + 8 кратно 4, где 0
k < 8. Это условие выполняется прн k = 0, 4 8. Следова-
тельно, рациональными будут члены То, То, То. 8.20*. Указа-
ние. Использовать биномиальное разложение для (1 — 1)’.
3.23*. Указание. Рассмотреть биномиальное разложение для
(10—I)*". 3.25*. Указание. Найти приращений первообраз-
ной функции (1+х)" на промежутке [0; I] непосредственно и
записав выражение для (1+х)" по формуле бинома Ньютона.
3.26*. Указание. Найти производную функции (х—1)" в
точке х = 1. 3.27*. Указание. Сравнить приращения перво-
образной функции (х—1)" на промежутке [0; 1], найденные
непосредственно н с помощью предварительного разложения
(х—I)" по формуле бинома Ньютона. 3.28*. (л+1)1 — 1. Ука-
зание. К искомому выражению прибавить и вычесть Р\ +'
+ Pt + ... + Р„. 3.20*. Указание. Использовать тождество
СЙ + С‘-'-С‘+1.
4.1, 12/365. 4.2. 5/12. 4.3*. 1/3. Указание. Число всех
двузначных чисел равно 90. Число двузначных чисел, делящих-
ся на три, находится нэ уравнения 99= 12-f-3(n—1). 4.4. 0,4.
4.6. 3/13. 4.6**. Р(4)— 1/8; Р(В) =3/8. Решение. Простран-
ство элементарных событий состоит из выборок с повторениями,
составленных из букв Ц, Г. Оно содержит 2* = 8 элементов.
Событию А благоприятна только одна выборка (Ц, Ц, Ц), а со-
бытию В — три: (Ц, Ц, Г), (Ц, Г, Ц), (Г, Ц, Ц). Таким обра-
зом, Р(А)= 1/8; Р(В)-3/8.
4.7. 1/6. 4.8. 1/2. 4.6. 89/99. 4.10. 10/99. 4.11*. 1/8. Указание.
Си. решение 4.6**. 4.12. Сгп/С2п+т. 4.13. 1/720. 4.14. 245/354.
4.15. л-т-Л/С2+т+*. 4.16. С^/С**. 4.17. 4/С?5. 4.18*. 1/50.
Указание. Пространство элементарных событий состоит нз
всех перестановок с заданным числом повторений, имеющих
состав (3, 2, 1). Благоприятной будет только одна такая пере-
становка. 4.10. 5*3141/7! 4.20. 2-4131/71 4.21*. 24 * 48113,/521
Указание. Пространство элементарных событий состоит
из всех выборок, имеющих состав (13, 13, 13, 13). Благоприят-*
660
ОТВЕТЫ
пыхи считаются выборки
из которых присоединяют
50 С*С7Г?
4.23.—г-. 4.24. " N п
с«с1 •
4.26. -ЛА, -
г®
с62
Ст
N
С44С4С'
Сб2
состава (12, 12, 12, 12), к каждой
Б1Б1
тузов. 4.22.----.
101
р4р2 z>3/-3
С6С42 и8ь42
/^6 9 /-»6 *
с48 Ь48
2-С*в
0,6. 4.26. «.
С20
один из
четырех
1
4.25. -г-,
с*с'
4.27. —1-2.=
С?
С6С42
С®
с48
S e ’
Б.1. 0,2. 6.2. Б.З. ±. 6.4. у- 5-5. 6.6*. 1 + д'"2.
t\ а л 0
Указание. Рассмотреть отношение общей площади фигур,
ограниченных линиями У""--) у«=2х, х»2, у=0, к площади
квадрата со стороной 2. 6.7*. -у—^г. Указание. См. ука*
ааняе к 5.6*. Б.8*. у. Указание. Коэффициенты уравнения
параболы у = ах’ + Ьх + с найти из условия прохождения ее
через три указанные точки, выбрав соответствующую систему
координат. Б.9. '^д8 • Б.11*. Указание. Использовать
утверждение задачи 5.10. Б.12. «0,314. 6.13*.-i-. Указание,
Если обозначить расстояние от точки В до начала координат
через х, а от точки С —через у, то пространство элементарных
событий будет представлено единичным квадратом, вписанным
в первый квадрант координатной плоскости. Элементарные со-
бытия, благоприятные событию, вероятность которого требуется
найти, представляются точками, координаты которых удовлет-
воряют неравенству |у — х|< min(x,у), 5.14. Поезда направ-
ления АС должны приходить через 10 мни после отхода поезда
2Z
направления СА. Б.15*. Указание. Ввести ёнстему коор-
динат Оху, где х— угол, который образует игла с параллелями,
а у — расстояние от центра иглы до ближайшей параллели.
В этом случае пространству элементарных событий соответствует
прямоугольник со сторонами а и я/2, а элементарным событиям,
благоприятным условию пересечения иглою параллельных пря-
мых, — точки, координаты которых удовлетворяют неравенству
I aln х < у.
ОТВЕТЫ К ГЛ. 16
661
ее
2пт
л (л — 1) _________2пт____ п*
(п + т) (п + т — I) ’ (л + т) (л + m—1) ’ ’(л + т)’*
с——гг. Указание. Если шары возвращаются обратно, то
(л + т)*
события, связанные с цветом последовательно вынимаемых шаров,
независимы. 6.8. £ •-g-.«0.105*5.6.4.^. 6.5. 6.6. а)
VU> 14 42 81 _____________6лл»А___________
*20* 19 95' ’ 190’ (л+m+fe)(л+m+A-l)(n+m+A-2)‘
„о 67 , (л-/)(л-/-1) ... (л — / — A-f-1) ,
еж е.9.1--------я(п-_,)(„_ 2) + !)-• в-10- > “
— (1 — р)п. 6.11*. л > In (I — P)/ln (1 — р), где л — число выстре-
лов. Указание. Число выстрелов находится нэ условия, что
в серин нз л выстрелов вероятность поражения цели (хотя бы
одного попадания) не меньше Р. 6.12. Вероятность сдачи экза-
мена не зависит от того, идет ученик отвечать первым или
последним. 6.13*. 2/3. Указание. Рассмотреть следующие
гипотезы: А — в урне было два белых шара; В — в урне было
два черных
Вероятности гипотез
6.15. а) ——j----j-r-j-;—r-
(m + л — I) (m + л),
KnM + LmN
шара; С — в урне были разноцветные шары,
считать одинаковыми. 6.14. 0,85.
(т — 1)т + пт „ (А-|-1)т + Ал
' (Л-Н+1)(т + л) •
6.16*. ' Указанив- См. указание к 6.13*.
6.17*. [Я (Я-1) (N—2) (k + L) (k + Д-l) (k + L—2) — k (A— 1)X
X(A - 2) (N - л) (Я - л - 1) (H - л - 2) -k (k - 1) L (N - л)Х
X(N - л - 1) (Af — m) — A (L — 1) (L - 2) (Я - л) (M - m) X
X(M-m-l)-L(Z.-l)(L-2)(Af-m)(M-m-l)(Af-
— m— 2)]/N (N — I) (N— 2) (k + L) (k + L — 1) (A + Z. -2).
Указание. Рассмотреть гипотезы: Яо — все три изделия из
первой партии; Я( — 2 изделия из первой партии и 1 из второй;
Hi — 1 изделие из первой партия и 2 из второй; Hi — все три
изделия из второй партии.
ГЛАВА 16
§ 1
1.6. 1) У меня или нет собаки или есть кошка. 2) У ыеня
нет ни кошки, ни собаки. 3) У меня или есть и кошка, и со-
бака или нет ин кошки, ни собаки. 4) Если у меня нет собаки,
то у меня есть кошка.
ОТВЕТЫ
1А (р Л fl) V (р Л q) V (Р Л fl). I-Ю- 1) р -* р; 2) q -► pt
3) р q', 4) q ->р; 5) р q. 1.11. р Л q Л г. 1.12. 1) Мишень
поражена по крайней мере прн одном из выстрелов. 2) Мишень
поражена прн каждом выстреле. 3) Мишень поражена при
третьем выстреле, а при одном нз первых двух —нет. 1.13. Да.
1.14. Все участвовали. 1.15. А сдал экзамен. 1.16. а) (р Д р Д г) V
V (Р Л fl Л >•) V (£ Л q Л г); б) (р Л fl Л f); с) (р Л fl Д Z) Д
Л (р Л А Л г). * 1.17. а) (р Д q) V (р Л fl) = р tp, б) р Д qt
с) р Д q\ д) р Д fl. 1.18. <Верно ли следующее высказывание:
или ты говоришь правду и этот выход ведет на свободу, или
ты лжешь и этот выход ведет на смерть?» 1.19. Высказывание
имеет вид р /\q fl V г и может быть реализовано
в виде
1.20. (р Л q) V UP Л fl) V q).
1Л1.
1.22. р q.
§ 2
2.1. а) (—2; оо); б) (2; оо); в) R; г) (-оо; — 2) U (2*. оо);
д) 0; е) R. 2Л a) R; б) (-2; оо); в) [-2; оо); г) R;
д) (- оо; -2); е) R. 2.3. (3; 4). 2.4. а) 0 < а < 2/3; б) а > 2/3.
2Л (5/2). 2.6. о е R\{(3)U {!)}. 2.7. (- оо; 1/2). 2.8. Истина.
2.9. Ложь. 2.10. Истина. 2.11. Истина. 2.12. Истина. 2.13. Ложь.
2.14. Истина. 2.15. Ложь. 2.16. Истина. 2.17. Ложь.
2.18. а) (ЭМ > 0) (Ул «= N) (| ип | < М); (VM>0) (3neN)
(|ип| > М); б) (Yn<=N) (urt+1 > un); (Злей) (<»n>«n+i)-
ОТВЕТЫ К ГЛ. И
Б63
2.19. (Ye > 0) (Зв > 0) (VxeR) (0 < | х - а |<в -► | f (x)-ft |<в).
2Л9. а) Al — sup f (x)**-(((Vxe[a; ft])-> (f (*)<Af)) л
а в k>. *1
Д ((Ve>0) (3xe[a; (*)>Af—в)); б) M sup f(x)-*4-
x e (a; A]
<=> ((lx s [<r, 6]) (f (X) > M)) V ((3e > 0) (Vx e [a; ft]) (f (x) <
< M — e); M не является точной верхней гранью функции f (х)
на отрезке [о; в], если верно одно из двух высказываний: или
для некоторого х е [a; ft] f (х) > М, или существует такое в > 0,
что для всех х е (а; ft| f (ж) < М — в.
§4
4.1. (114144)*. 4Х 10000. 4Л 9. 4.4. 19. 4Л. 4380. 4Л. (42 714)*
4.7. (3125)*. 4.8. (145 244)*.
4Л 0 1
0 0 0
1 о 1
4.10. 72. 4.13. Основание системы равно 5. 4.14. (12)*.
4.15. В любой. 4.15*. Указание. Например, еслл тело имеет
вес 19 кг, то, записав число 19 в двоичной системе счисления,
имеем (19)j =• (10011)*, т. е. для его взвешивания следует
взять три гири 24 = 16 кг, 2* = 2 кг и 2° = 1 кг.
4.17**. Решение. Представим любое число <40 в троич-
ной системе с цифрами —1, 0, 1 следующим образом: если оста-
ток от деления очередного неполного частного на 3 равен 2, то
пишется (—1) и получающееся частное увеличивается на еди-
ницу.
Например, вместо 20 13 пишем 20 13. Таким образом,
2 |б -1 |~7
в троичной записи любого числа будут 1, 0, —1. Продолжая де-
ление в рассмотренном выше примере, имеем
Черточка над цифрой 3 означает, что число представлено в си-
стеме с цифрами —1, 0, 1. Так как (40) ю = (1 1 1 1)». то для
любого тела весом <40 хватит четырех гирь с весами 1, 3,
9, 27.
664
ОТВЕТЫ
Алгоритм взвешивания будет представлен в троичной записи
числа. Так чтобы взвесить тело в 20 кг, следует на одну чашку
весов поставить гнрн 27 «= 3’ и 3 — 3* (ати разряды в записи
представлены единицами), а на другую — 9 — 3* и 1 - 3° (ати
разряды представлены —1). 4.18**. Решение. Вес следующей
л>р+1 гири должен быть не больше чем 2МР + 1- Действительно,
если т,+| > 2Л1Р+ 1, то груз весом AfP+ I не удастся взвесить
за счет разности тр — Мр. Если же mP+i < 2Mp+i, то максималъ*
ный вое — mi + ... + тР+| будет меньше возможного*
Следовательно, mP+i можно получить из уравнения
fftp+i — Мр ™ Afp + I.
Учитывая, что M,+i — пи -Ь • • + т₽-и. получаем
Л1р4-| а ЗМр 1.
4.19**. Решение. Сразу же следует из утверждения предыду*
щей аадечи, так как уравнение
Mp+i ЗМр + 1
показывает, что при делении Мр на 3 для любого р остается
остаток, равный 1. 4.20**. Решение. Из результатов 4.19**
и 4.18** следует, что минимальное число гирь находится из не*
равенства
3₽-‘ < л<Зр.
Алгоритм взвешивания совпадает с тем, который представлен
В задаче 4.18** и определяется записью л в троичной системе
счисления. 4.21**. Решение. Если система счисления десятич*
мая, то максимальное ^число, которое можно представить пру
г — 30, равно 999. Действительно, так как р » 3, то 999 — мак»
симальное число, которое может быть аапнсано в десятичной
системе счисления с использованием трех разрядов.
Если а > 10, например 15, то число разрядов р равно двум
и, следовательно, максимальное число равно 16-14 4-15°-14
,= 224. Если основание равно 2, то максимальное число, за*
писываемое по этомм/бснованию, 216— 1; если основание равно 3,
to З*4—1. Очевидно, что З10 — 1 > 215—I > 6’—L, так как
9* > 8* > 6* и, наконец, по основанию 6, 6* — 1, Следовательно,
наибольшим является З1*—1,
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В МГУ
Ниже приведены варианты экзаменационных работ, предло-
женные абитуриентам в различные годы на вступительных экза-
менах в МГУ.
Вариант 1 (Механико-математический факультет),
1) Решить неравенство
88 —7х’ + 6х—48 >49х’ + 5х—49.
2) Найти все пары чисел (х, у), удовлетворяющие условию
ж > 0 и системе уравнений
sin [(х — V™)2 + У4] “ О,
lOEygj V*’ + У* log* V*’ + У* “ 2.
3) Два равных равнобедренных треугольника АВС и DBE
|(ЛВ = ВС = BD = BE) имеют общую вершину В и лежат в
одной плоскости так, что точки А н С находятся по разные сто-
роны от прямой BD, а отрезки АС н DE пересекаются в точке К.
Известно, что ZABC ™ 2-DBE = а, причем а<я/2, ZAXD>»0,
причем 0 < а. В каком отношении прямая ВК делит угол АВС?
4) Сфера радиуса ’/» вписана в четырехугольную пирамиду
SABCD, у которой основанием служит ромб ABCD такой, что
IZBAD = 60”; высота пирамиды, равная 1, проходит через точ-
ку К пересечения диагоналей ромба. Доказать, что существует
единственная плоскость, пересекающая ребра основания АВ н AD
в некоторых точках М, N таких, что MN = ViVs". касающаяся
сферы в точке, удаленной на равные расстояния от точек М и
N, н пересекающая продолжение отрезка SK за точку К в некото-
рой точке Е. Найти длину отрезка SE.
5) Без помощи таблиц найти все значения х в промежутке
•>0,5 < х < 1,5, удовлетворяющие равенству
•ogt ( sin Зх — cos 2х — — logs (sin 7х — cos 6х —
Бвв ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
Вариант 2 (Механико-математический факультет).
1) Произведение четырех целых положительных чисел мень-
ше, чем их сумма, а сумма трех нз этих чисел равна 28. Найтн
все такие числа.
2) Решить систему уравнений:
хг + 2х sln у + 3 соз у — О,
arcsin (у + sln у ) — у - у.
3) В. четырехугольной пирамиде OABCD плоскости боковых
граней ОАВ, ОВС, OCD, OAD образуют с плоскостью основания
углы, равные соответственно 60°, 90°, 45°, 90°. Основание ABCD —
равнобочная трапеция, ребро АВ равно 2, площадь основания
равна 2. Найти поверхность пирамиды.
4) Найтн все значения а, прн которых минимум функции
/(х) = 3|х-а| +|*» + х-2|
меньше двух.
Вариант 3 (Факультет вычислительной математики и ки-
бернетики).
1) Найтн точки экстремума функции
f (х) = х3 + 6ха - Зх + 3
на интервале (—5, 1/5).
2) Решить уравнение
Б1«-в1_253*—
3) В окружность врмсан четырехугольник ABCD, диагонали
которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке £.
Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ,
пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ — медиана
треугольника CED, и найти ее длину, если AD = 8 см, АВ ™
= 4 см и бОВ" = а.
4) Найтн все целые корни уравнения
.в
со8 (у (Зх - V9x3 + 160х + 800)) = 1.
5) Найтн все действительные значения параметра а, при
каждом из которых уравнение
(а — х* — соз —) V8 — ах = 0
имеет на отрезке [—2, 3] нечетное число различных корней.
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ 567
Вариант 4 (Физический факультет).
1) Решить уравнение
2 sin х + sin Зх = 2 cos х — cos Зх.
2) Решить неравенство
*°8 VS+T 4>2 “ l0B(3z+i)i-
3) В треугольнике АВС заданы углы А н В. Биссектриса
угла А пересекает сторону ВС в точке О. Окружность касается
сторон угла А и отсекает на продолжении биссектрисы этого
угла за точкой D отрезок DE, равный AD. Центр окружности
лежит на отрезке АЕ. Определить отношение площади круга к
площади треугольника АЕС.
4) В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямо-
угольный треугольник АВС (угол С прямой). Ребро ВЛ перпен-
дикулярно плоскости основания. В пирамиду вписан шар, радиус
которого равен 'liSA. Через вершину В н точку касания шара
с основанием пирамиды проходит плоскость, параллельная реб-
ру ВС. Эта плоскость делит поверхность шара в отношении
1 :4. Найти угол ВАС.
5) Вода нз цилиндрического бассейна глубины h вытекает
по двум трубам разной пропускной способности, первая из ко-
торых расположена в дне бассейна, а вторая на боковой стен-
ке. Если прн наполненном целиком бассейне открыть только
вторую трубу, то вода будет протекать через нее в течение вре-
мени, которое в */* раза меньше времени, нужного для слива
всей воды из бассейна только через одну первую трубу. При
действии обеих труб продолжительность слива всей воды из бас-
сейна, наполненного целиком, в ’/а раза больше, чем наполнен-
ного на 2/з. Пропускная способность труб не зависит от' уровня
воды над трубой. На какой высоте расположена вторая труба?
Вариант 5 (Физический факультет).
1) Решить неравенство
logj V5 — 2х • logx3 < 1.
2) Решить уравнение
(1 + cos х) tg у — 2 + sin х — 2 cos х.
3) Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, который
сначала двигался равноускоренно с ускорением 4 км/ч3, а после
того, как его скорость возросла от 0 до о, продолжал двигаться
равномерно со скоростью v. Расстояние между пунктами Л и В
668 ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
равно 32 хм. На первую половину пути велосипедист затратил
в полтора раза больше времени, чем на вторую. Определить ско>
рость V.
4) В треугольнике АВС даны угол С и отношение стороны
ВС к стороне АС, равное 3. Из вершины С проведены два луча,
делящие угол С на три равные части. Найти отношение отрез*
ков этих лучей, заключенных внутри треугольника АВС.
5) В трехгранном угле ОАВС (О —вершина) все внутрен*
нне двугранные углы равны а. Найти угол между ребром ОА'9
биссектрисой угла ВОС.
Вариант 6 (Химический факультет).
1) Имеются два слитка сплавов меди и серебра. Первый
весит 3 кг и содержит 10 % серебра, второй весит 2 кг и со*
держит 20 % серебра. Какого веса кусок первого слитка нужно
переплавить вместе со всем вторым слитком, чтобы получить
сплав, содержащий г % серебра? Найти все г, прн которых за*
дача имеет решение.
2) Дан куб ABCDA'B'C’D' с ребром АА' = а. Точка Е'—*
середина ребра В’С. Найти радиус сферы, проходящей через
точки А', Е', С, С.
3) Найти все решения уравнения
Vsin Зх + cos х — sin х — Vcos* ~ sin 2х.
4) Сравнить без помощи таблиц Iog(M 67S и log<s 75.
Вариант 7 (Биологический факультет; отделение почво*
ведения).
1) Два экскаватора, разных марок (один экскаватор марки
А и один экскаватор марки Б), работая одновременно, выка*
пывают котлован емкостью 20000 м* за 10 суток. Если бы ра*
ботал только экскаватор марки Б, то он выкопал бы этот кот*
лован на 8-|- суток скорее, чем тот же котлован выкопал бы
«э
один экскаватор марки 4. Сколько кубических метров в сутки
выкапывает каждый из экскаваторов? ..
2) Решить уравнение
•g- log, (х«) + log, J = 3 log^ (x + 4) - 310g3 *
3) Найти все решения уравнения
(^+2)slnx-sln2 x _
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
569
4) Найтн все значения а, прн которых неравенство
(х + 3 - 2а) (ж + За — 2)<0
выполняется для всех х таких, что 2 х 3.
5) Дан треугольник АВС, у которого стороны АВ = */\7,
ВС = Б, АС — 4. На стороне АС взята точка D так, что BD
является высотой треугольника АВС. Найтн радиус окружности,
проходящей через точки А и D и касающейся в точке D ок*
ружностн, описанной около треугольника BCD.
Вариант 8 (Биолого-почвенный факультет; отделение био-
логии).
1) Решить уравнение
cos х + 3 sin х » 1 + 2 cos • cos
* «
2) Решить неравенство
3.4^i~’ + з < ю .
3) Даны две геометрические прогрессии ah а* а» и bt, b^b^.
Известно, что числа в| + bt, a, + Ьг, аа + Ьа снова образуют
геометрическую прогрессию.
Доказать, что О|-Ьа — at-bi.
4) На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, пло-
щадь которого равна единице, взяты точки: К на АВ, L на
иа ВС, М на CD и N на AD. Прн этом АК: КВ = 2,BL: LC=>
— 1 : 3, CM : MD = 1, DN : NA =’ I : 5.
Найтн площадь шестиугольника AKLCMN,
5) Прн каких значениях а и 6 система
a’x — by ” а’ — Ь
Ьх- Ь»у = 2 + 4&
имеет бесконечно много решений?
Вариант 9 (Географический факультет),
1) Решить уравнение
cos* 2х — 5 sln’ х + 1 = 0.
2) Решить неравенство
log, (Vx’ - 4х + 3) > log^ ( . , i , + l-
7\V** — 4x + V* +14-1/
3) На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на
диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу
670
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАВОТ
ДА в точке К. Найти площадь треугольника СКВ, если длина
катета АС равна Ь и величина угла ЛАС равна 0.
4) Решить систему
21 я’—2я—з |—log! з в 3—V—4
4|й1-1а-1| + (й + 3)«<«.
5) Каждое нз ребер треугольной пирамиды ABCD имеет
длину 1. Точка Р на ребре АВ, точка Q на ребре ВС и точка
R на ребре CD взиты так, что длина отрезка АР равна */«, дли.'
иа отрезка BQ равна Ч» и длина отрезка CR равна '/а- Пло-
скость PQR пересекает примую AD в точке S. Найти величину
угла между прямыми SP и SQ.
Вариант 10 (Геологический факультет; отделение общей
геологии).
1) Найти все действительные решении уравнения
(я + 1)л/х* + х-2^2х + 2.
2) В треугольнике ЛАС угол АЛС прямой, длины сторон
ЛА и АС равны соответственно 1 я 3. Точка К делят сторону
АС в отношении 7:1, считая от точки Л. Что больше: длина
АС или длина В К?
3) Решить неравенство
log, (б*» + 6х + 1) СО.
4) Найти все пары действительных чисел х и у, удовлетво-
ряющие системе уравнений
соз 4х + sin 2у ™ — 2,
х — у — 2л.
5) Автобус проходит путь АЕ, состоящий из участков ЛА,
ВС, CD, DE длиной 10 км, 5 км, 5 км, 6 км соответственно.
При этом, согласно расписанию, выезжая из пункта Л в 9 часов,
1 3
он проходит пункт А в9-=-часа, пункт С—в В—часа, пункт
О о
2
D — в 9— часа. С какой постоянной скоростью v Должен дви-
О
гаться автобус, чтобы сумма абсолютных величин отклонений от
расписания прохождения пунктов В, С, D и времени движения
автобуса от Л до £ прн скорости и не превосходила 51,7 минут?
6) В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный тре-
угольник ЛАС, длины сторон ЛА н АС равны ребро АЛ пер-
пендикулярно плоскости ЛАС, угол АЛС вдвое больше угла
BSC. Средн всех прямых круговых цилиндров с образующей,
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ 671
параллельной SA, находящихся внутри пирамиды, рассматри-
вается цилиндр с наибольшей площадью боковой поверхности.
Известно, что расстояние от центра его нижнего основания до
ребра ВС составляет длины медианы AM треугольника ЛВС.
Найти объем пирамиды SABC.
Вариант II (Факультет психологии),
1) Решить уравнение
2) Решить неравенство
VSI - 2х - х» j
I — х
3) В треугольниках АВС я А'В'С' длина стороны АВ равна
длине стороны А'В’, длина стороны АС равна длине сторо-
ны А'С', величина угла ВАС равна 60° и величина угла В'А1 С
равна 120°. Известно, что отношение длины В'С' к длине ВС
равно (где л— целое число). Найти отношение длины
АВ к длине АС. Прн каких значениях л задача имеет хотя бы
одно решение?
4) В окружность радиуса 7 вписан выпуклый четырехуголь-
ник ABCD. Длины сторон АВ и ВС равны. Площадь треуголь-
ника ABD относится к площади треугольника BCD как 2:1.
Величина угла ADC равна 120°. Найти длины всех сторон че-
тырехугольника ABCD.
5) Найти все значения а, при каждом из которых система
уравнений
2 соз х + a sin у = I,
log; sin у — (logz a) loga (2 — 3 соз х),
logaz+lcg0 = 0
имеет хотя бы одно решение относительно х, у и г. При каждом
таком значении а найти все решения.
Вариант 12 (Экономический факультет),
1) Найти все корни уравнения
21 х» + 2х - б | — х - 1, V
удовлетворяющие неравенству х < ^2.
2) В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС
BD взаимно перпендикулярны н пересекаются в точке О. Из-
872 варианты экзаменационных работ
вестно, что ОВ — ОС — 1, ОА — 8, OD==7, Найти косинус
угла между векторами АВ и DC. V
3) Решить уравнение
4) Имеется три сплава. Первый сплав содержит 60 %' алю-
миния, 15 % меди и 23 % магния, второй —30% меДи и 70 %*
магния, третий — 45 % алюминия и 55 % магния. Из них необ-
ходимо приготовить новый сплав, содержащий 20 % меди. Какое
наименьшее и какое наибольшее процентное содержание алюми-
ния может быть в этом новом сплаве?
5) Найти множество всех чисел а, при каждом из которых
функция
f (х) — 8 (2а + 1) соз х - sin 2х + (16а* + 16а - 18) х
является возрастающей на всей числовой прямой и при этом
не имеет критических точек,
Вариант 13 (Экономический факультет).
1) Найти все действительные решения уравнения
(V3TWn х + (V^vT),ln * - f •
2) Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диаго-
нали АС н BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD —
в точке К. Прямая КО пересекает стороны ВС и AD в точках
М и N соответственно; ZBAD = 30*. Известно, что в трапе-
ции ABMN и NMCD можно вписать окружность. Найти отно-
шение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD.
3) Решить неравенство
4) Зоопарк ежедневно распределяет 111 ка мяса между ли-
сами, леопардами и львами. Каждой лисе полагается 2 ка мяса,
леопарду 14 кг, льву 21 кг. Известно, что у каждого льва бы-
вает ежедневно 230 посетителей, у каждого леопарда 160, у
каждой лясы 20. Сколько должно быть ляс, леопардов и львов
в зоопарке, чтобы ежедневное число посетителей зоопарка было
максимальным?
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ 573
Вариант 14 (Экономический факультет! отделение полит»
экономии).
1) Решить уравнение
2*+4, ух+4 в
2) Найти все х, удовлетворяющие уравнению
ctg Зх — ctg х.
3) Решить неравенство
V(x- 4) (5x4-41) < 2 (2х - 7).
4) Сколько точек с целочисленными координатами находится
внутри криволинейной трапеции, образованной осью абсцисс*
прямыми х — 82, х — 730 и графиком функции у = logs (*— 1)?
Точки, лежащие на границе указанной криволинейной трапеции,
не учитывать.
б) В группе каждый из учащихся знает хотя бы один ним
странный язык (английский, французский или немецкий) и нет
ни одного учащегося, который бы знал все три указанные языка,
13 учащихся знают лишь по одному иностранному языку. Ннкто
из группы не знает одновременно французский н немецкий, но
половина учащихся, владеющих английским, знает еще один ино*
странный язык. Девушек, знающих только английский, в 2 раза
больше, чем учащихси, знающих только немецкий, н в 4 раза
больше, чем учащихси, знающих только французский. Опреде»
лить, сколько учащихся в группе, если юношей, знающих толькб
английский, в п раз больше, чем учащихся, знающих только
французский, причем 3 < п < 15 (л — целое число),
6) Определить, при каких значениях а уравнении
х-у-2|2|х|-а«|
имеет ровно три корня. Найтн эти корни,
Вариант 15 (Филологический факультет! отделение
структурной и прикладной лингвистики),
1) Решить уравнение
logs (х - 1) = logs
2) Решить систему уравнений
У*-4'+ 8,
2*+1 + р + 1-0.
Б74 ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАВОТ
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (х) = 24х — cos 12х — 3 sin 8х
Г л л!
на отрезке l-y; -g-J. •
4) В трапеции ABCD сторона AD является большим осяо«
ванием. Известно, что AD => CD =4 -у, BAD = 90* и BCD “
= 150°. На основании AD построен треугольник AED так, что
точки В и Е лежат по одну сторону от прямой AD, причем
АЕ DE. Длина высоты этого треугольника, проведенной нз
1 2
вершины Е, равна Найти площадь общей части трапеции
ABCD и треугольника AED.
б) Найти все значения а, при которых уравнение
11 - ах | — I + (1 - 2а) х + ах»
имеет ровно одно решение.
Справочное надавив
ЦЫПКИН Александр Геннадиевич,
ПИНСКИИ Александр Иосифович
СПРАВОЧНИК по МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СРЕДНЕЙ школы
Заведующий редакцией В. Ю. ХоВая
Редектор Г. В. Шароватова
Художественный редактор Г. М. Коровина
технический редактор С. Я. Шкляр
Корректоры Т. С. ВаОсбврв, Л. С. Сомова
ИВ М 32293
Сдано а набор 28.06.88. Подписано к печати 24.03.89,
Формат 84X108/32. Бумага тип. М 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 30,24. Усл. кр.-отт. 30.45. Уч.-иад. л. 35,68.
Тираж 200000 экз. (2-й завод 100 001—200 000 эка.).
Заказ № 857. Цена 2 р.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука*
Главная редакция
?>взико-ыатематической литературы
17071, Москва В*71, Ленинский проспект, 18
Ленинградская типография № 2 головное предпрни*
тие ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
градского объединения «Техническая книга* нм.
ЕвГеннтГ Соколовой Союзполнграфпрома при Госу-
дарственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфия и книжной торговли. 198052 г. Ленин-
град Л-52, Измайловский проспект, 29.
SOLUTION MANUAL
FOR MATHEMATICAL PROBLEMS*
FOR COLLEGE STUDENTS
Tsypkin A. G. Pinsky A. I.
In this educational aid, intended for high-school students,
an attemp has been made to classify the problems encountered
In high-school mathematics by their solution methods.
It was rather difficult to attain the aim the authors set for
themselves. On one hand, a detailed classification of problems by.
methods of solution would require the consideration of a large
number of concrete problems and, on the other hand, a schematic
classification* would not yield a useful aid for solving different
kinds of problems. Therefore, alongside a large number of won
ked problems, the book includes many problems (about 2500) for
the reader to solve.
In addition to the traditional problems from the course of
high-school mathematics, the book includes methods for solving
simple differential and integral calculus problems as well as
problems which require the use of coordinates and vector algebra.
These sections only include problems whose solutions require
knowledge that is beyond the scope of high—school mathematics.
Some problems in the book can only be solved by a combined
application of the knowledge from the traditional and new divi-
slons of mathematics. These include, for instance, problems con-
nected with the calculation of limits, derivatives'-mid antiderivati-
ves of functions which must first be simplified by means of iden-
tity transformations.
The authors consider all the most frequent methods of sol-
ving problems from the high-school course of mathematics. The
fact that many problems are not followed by their solutions ma-
kes It possible to use the book for preparing for the entrance
examinations to higher educational establishments.
About the Authors
TSYPKIN Aleksandr Gennadeievich, Candidate of Sciences
(Physics and Mathematics), is a senior research worker at the
Steklov Mathematical Institute of the USSR Academy of Sciences.
He is the author of a Manual of Mathematics for High Schools
&nd a number of scientific papers. His most Important scientific
achievements are in the field of mechanics.
PINSKY Aleksandr Iosifovich, Candidate of Sciences (Phy-
sics end Mathematics), is known as an experienced specialist In
the methods of teaching mathematics at higher schools. He is a
senior lecturer of mathematics at the Moscow Electrotechnical
Institute of Communications. The field of his scientific interests
is mathematical statistics.