А. Г. ЦЫПКИН, А. И. ПИНСКИЙ
СПРАВОЧНИК
то МЕТОДАМ
РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ
то МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Издаиве второе,
перерабэтаниое в дополвенное
Ш
МОСКВА аНАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МЛТЕМАТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ
Г» 89

ББК 22.1
Ц97
УДК 51(03)
Цыпкин А. Г., Пинский А. И.
Ц97 Справочник по методам решения задач по
математике для средней школы. — 2-е изд., пе-
рераб. II доп. — М.; Наука. Гл. ред. физ.-ыат.
ли^., 1989.—576 с.
ISBN 5-02-013792-8
Содержит основные методы решения задач школь¬
ного курса математики, а также некоторые задачи, не
входящие в существующую программу средней школы.
Приводятся необходимые теоретические сведения. Изло¬
жение метода сопровождается разбором типичных задач.
Приводятся задачи для самостоятельного решения.
Методически связан со справочником; Цыпкин А. Г.
Справочник по математике для средних учебных заведе¬
ний.
Для школьников'старшихГ классов и учащихся техни¬
кумов. Может быть полезен для поступающих в вузы в
техникумы.
Табл. 18. Ил. 73.	'
ББК 22.1
ISBN 8-02-013792-8
© Издзтс.пьство сНау4а».
Главная редакция 'i
фнанко-математачесрой
литературы, )9вЗ: \
с изысиенаямн, IBM \

ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов	  7
Глава I. Преобразовавие алгебраических выражений . .	9
§ 1.	Упрощение нррапнональвых алгебраических	выраже¬
ний 	10
$ 2.	Преобразование алгебраических выражений,	содержа¬
щих знак абсолютной величины	13
§ 3.	Доказательство тождеств	19
$ 4.	Условные тождества	23
$ 5.	Преобразование логарифмических	выражений	...	25
Глава 2. Уравнения 		31
§ 1.	Нахождение корней многочленов	32
§ 2.	Рациональные уравнения	38
§ 3.	Уравнения, содержащие неизвестное	под	знаком	аб¬
солютной величины	42
^	§ 4.	Иррациональные уравнейня	43
$ 5.	Показательные уравнения	48
§ 6.	Логарифмические уравнения	54
§ 7.	Разные задача	59
Глава 3. Системы уравнений 		61
§ 1. Системы линейных уравнений	61
I	2. Системы нелинейных алгебраических уравнений . , 66
§*. ''Системы показательных н логарифмических уравне¬
ний 	74
§ 4.	Разные задачи	77
Глава 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с пара¬
метрами 	 ........ 79
$ 1. Рациональные н иррациональные неравенства ... 79
§ 2. Показательные неравенства 		86
' $ 3. Логарифмические иеравевства	88
$ 4. Решение неравенств, содержащих сложные функции 93
3-.
1*

4	ОГЛАВЛЕНИВ
§ 5. Уравнения п неравенства с параметрами	95
§ 6. Доказательство неравенств	102
Глава 5. Тригонометрия 		107
§ 1. Тождественные преобразования тригонометрическнх
выражений	108
§ 2. Вычисленне значений тригонометрических функций 111
§ 3. Тригонометрические уравнения	117
§ 4. Системы тригонометрических уравнений	131
§ 5. Уравнения, содержащие обратные тригонометриче¬
ские функции	134
§ 6. Тригонометрические неравенства	137
§ 7, Неравенства, содержащие обратные тригонометриче¬
ские функции	139
§ 8. Доказательство тригонометрическнх неравенств . • 141
Глава 6.	Комплексные числа	148
§ 1. Действия с комплексными числами	145
§ 2. Геометрическое изображение множества комплексных
чисел	148
§ 3. Решение уравнений в множестве комплексных чисел 160
§ 4. Применение комплексных чисел для решения некото¬
рых задач	163
Глава 7.	Последовательности 		157
§ 1. Определение и свойства последовательности .... 157
§ 2. Предел последовательности	160
§ 3. Вычисление пределов последовательностей . . . .162
§ 4. Арифметическая прогрессия	167
§ 5. Геометрическая прогрессия	171
§ 6. Смешанные задачи на прогрессии	175
§ 7. Разные задачи	178
Глава 8. Предел функции, непрерывность функции . . . 183
§ 1. Предел функции	183
§ 2. Вычисление пределов функций	185
§ 3. Непрерывность функции в точке	  190
§ 4. Разные задачи	194
Глава 9.	Производная и се применения	197
§ 1, Вычисление производных	197
§ 2. Промежутки моиотонноств и вкстремумы функций 202

\
ОГЛАВЛЕНИВ	5
§ 3. Наибольшее н нанмеиьише значения функций . ... 206
§ 4. Задачи, сводящиеся к нахождению наибольшего и
наименьшего значений н экстремумов функций . . . 209
§ 5. Текстовые задачи на нахождение наибольших в наи¬
меньших значений функций		 . . . . 213
§ 6. Задачи на геометрический смысл производной . . . 223
§ 7. Приложения производной в задачах механики . . 229
Глава 10. Первообразная и интеграл	232
§ 1. Неопределенный интеграл	232
§ 2. Задачи на свойства первообразных	236
§ 3. Определенный интеграл	  238
§ 4. Интегралы с переменным верхним пределом .... 242
§ 5. Задачи на свойства интегралов	244
§ 6. Вычисленне площадей фигур	246
§ 7. Задачи на нахождение наибольши.х (наименьших)
площадей фигур	250
§ 8. Вычисление объемов тел	253
§ 9. Приложения определенного интеграла в задачах фи¬
зики и механики	254
Глава 11. Задачи на составление уравнений ...... 257
§ 1. Задачи на движение	257
§ 2. Задачи на работу и производительность труда . . . 278
§ 3. Задачи на процентный прирост и вычисление сслож-
^	ных процектов>	287
§ 4. Задачи с целочисленными неизвестными	291
§ 5. Задачи на концентрацию н процентное содержание 299
§ 6. Разные задачи 		. 304
ь
Глава 12. Планиметрия 		308
§ 1. Треугольники	3Qg
§ 2. Четырехугольники	318
§ 3. Окружность н круг	326
§ 4. Треугольники и окружности	332
§ 5. Многоугольники и окружности	345
Глава 13. Стереометрия . • . • 		353
§ 1. Многогранники	354
§ 2. Сечения многогранников	361
' '' § 3. Фигуры вращения .	374
.Vfc ^-4; Кек|бннаиин многогранников в фигур вращения . . 380

в	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 14. Метод, координат и элементы векторной алгебры 397
§ 1. Векторы в координатах	397
§ 2, Задачи на аналитическую запись линий на плоскости
и поверхностей в пространстве	405
§ 3. Решение геометрических задач с помощью метода
координат	412
§ 4. Простейшие задачи векторной алгебры	420
§ 5. Геометрическне задачи, решаемые методами вектор¬
ной алгебры	426
§ 6. Скалярное произведение векторов 	 436
Глава 15. Комбинаторика. Элементы теории	вероятностей	441
§ 1. Размещения. Сочетания. Перестановки	441
§ 2, Перестановки и сочетания с заданным числом по¬
вторений 	444
§ 3. Бином Ньютона	446
§ 4, Вычисление вероятностей событий с помощью фор¬
мул комбинаторики	  451
§ 5. Задачи на вычисления вероятностей, решаемые гео¬
метрическими методами	455
§ 6. Вычисление вероятностей сложных событий	....	459
Глава 16. Элементы логики. Системы счисления	.	.	.	,	468
§ I. Высказывания	468
§ 2. Предложения, зависящие от переменной	....	476
§ 3. Метод математической индукции	482
§ 4. Системы счисления ,	486
Ответы	 .491
Варианты экзаменационных работ письменного экзамена по
математике в МГУ	665

от АВТОРОВ
В справочнике изложены методы решения задач из курса ма¬
тематики средней школы. Цель книги —помочь учащимся систе¬
матизировать свои знания по решению задач курса средней
школы, в также ознакомиться с некоторыми методами решения
задач, которым в школе по тем или иным причинам яе уделяется
достаточно внимания. Попыткой достигнуть этой цели и опреде¬
ляется структура настоящего справочника: в начале каждого
параграфа кратко изложен теоретический материал (определе¬
ния, основные теоремы и формулы), знание которого необхо¬
димо для решения задач данного раздела. Это позволяет исполь¬
зовать справочник, не прибегая к учебникам. Далее указывается
метод решения задач какого-либо вида и разбирается конкрет¬
ный пример на использование метода. После этого даны условия
задач для самостоятельного решения.
Такая форма изложения, по мнению авторов, наиболее удоб¬
на для активного усвоения методов решения задач. В ряде слу¬
чаев при разборе конкретных примеров приводится, возможно,
не самое короткое н изящное решение задачи. Это объясняется
прежде всего тем, что при разборе примера авторы в первую
очередь стремились дать наглядное применение предложенного
метода, а вовсе не продемонстрировать примеры нестандартных
подходов к решению различных задач. Задачи для самостоя¬
тельного решения в основном взяты из вариантов, предлагав¬
шихся в последние годы на вступительных экзаменах по матема¬
тике в вузы с повышенными требованиями к математической
подготовке абитуриентов.
Авторы попытались расположить задачи для самостоятель¬
ного решения по возрастанию их сложности, сознавая при этом,
что каждый читатель, в зависимости от своих знаний и наклон¬
ностей, возможно, изменил бы порядок следования задач. Такие
традиционные разделы школьного курса математики, как плани¬
метрия и стереометрия, в основном представлены задачами на
вычисление, так как именно эти задачи преобладают среди задач
этих разделов в вариантах письменных экзаменационных работ,

8
ОТ АВТОРОВ
При изложении ыатериала, посвященного стереометрии, ав<
торы несколько отошли от изложенной выше структуры пара*
графов, так как в отличие от задач планиметрии, методы реше*
иня которых допускают достаточно четкую классификацию, ре*
шение любой нетривиальной задачи по стереометрии содержит
набор различных методов. В связи с этим примеры, рассмотрен*
ные в главе 13, имеют довольно подробные решения, в которых)
выделены основные приемы, сводящие исходную задачу к более
простым. Приведенные решения также могут-служить иллюстра*
цией правильного оформления решения стереометрических задач
о письменной экзаменационной работе.
В главах 7—10 собраны и классифицированы задачи по на*
чалам математического анализа. Заметную долю в этих главая
представляют задачи, при решении которых следует нсполъзо*
вать также сведения из традиционных разделов курса школьной
математики. Среди задач, собранных в главе 14, наряду с обыч*
ными упражнениями присутствуют довольно трудные геометриче*
скне задачи, решение которых значительно упрощается благодаря
применению векторов и метода координат. Следует сказать, что,
включая задачи в эти главы, авторы старались следить за тем,
чтобы решение опиралось только на сведения, входящие в
школьную программу.
Задачи, собранные а главе 6 (комплексные числа) и главе 15
комбинаторика и элементы теории вероятностей), основаны на
материале, который сейчас не входит в программу.
Включение в справочник комбинаторики и элементов теории
вероятностей объясняется тем значительным вниманием, которое
уделяется в последнее время теории вероятностей и связанным о
ней разделам математики. Авторы учли, что для большинства
читателей этот материал — совершенно новый, я поэтому в этой
главе позволили себе несколько отойти от принятой в книге
очень сжатой формы перечисления основных сведений, необхо*
днмых для решения задач.
В справочнике принята двойная нумерация задач и приме*
ров в каждой главе. Первое число указывает номер параграфа,
а второе — порядковый номер задачи (или примера) в этом па*
раграфе. Звездочка при номере задачи указывает на более труд*
ную задачу, а две звездочки — на наличие полного решения (они
приводятся в разделе «Ответы»).
Справочник в основном предназначен для учащихся старших
классов средних школ н учащихся средних специальных учебных
заведений.

г л А в А I
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИИ
При прсобразоваияях алгебр|нческнх выражений нспольэукжя
ыулы сокращенного умножения:
(0 + 6) (о—6)—о>—
(о* + о» + 6’) (о —6)а.о’—6>,
(а> —об + 6>) (О + 6)=.о' +6*,
(о 0: 6)»=о* ± 2о6 + Ь\
(о ± Ь)>а>о* ± ЗоЧ + Зоб* ± 6»,
и правила действий со степенями.
Если о > 0. то
фор*
(1)
(2)
(3)
М)
(б)
(ат)п„дто.п
(8)
(Л
о»=|.
(8)
o'": о»=о'"-«,
п
(9)
Voin'-a'n/rt, „^0,
(10)
(4)”-
(^1)
Если 0 > О. 4 > 0. я 6 м, то
"	 я я
VaF—Vo" Vb“,
(12)
" — "
^ /7 V5~
V Ь п •
(13)
VF
Еслвв*<0.4<в.п-.а*. то
о я я
V5F-vFi Vi Tf.
(14)
(IS)
vm

10
ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Если п—г*+1, AaN, то
Если п, m а N, то
п	 п п
•Jab —Vo" Vb”.
Vs"
in n
Va2™—V|a|"».
08)
07)
(18)
§ 1. Упрощение иррациональных алгебраических
выражений
Под упрощением иррационального алгебраического выраже-
пня понимается приведение его к виду, содержащему меньшее
число алгебраических операций пад входящими в исходное вы¬
ражение переменными.
Упрощение иррационального алгебраического выражения ча¬
сто достигается разложением исходного выражения на множн-
9елн с последующим вынесением общего множителя за скобки.
ал/а + Ь л/Ь
2 У&
^аЬ
(Vo+V^)(e~^) V^ + V^ a — b
(♦)
Решение. Выделим общий множитель в числителе я зна¬
менателе первой дроби данного выражения. Для этого предста¬
вим числитель дроби в виде
а Va + 6 VF -	+ 6="* - (а'/*)® +
Используя (3), получаем
(а'/*)® + (6'/*)* - (а'/» + (а -	+ Ь).
Множитель 0*^*+= V<* +V^ является общим для числи¬
теля и знаменателя. Проведя сокращение, представим (*) о виде
а — Уоб + Ь ^	2 У<)	VаЬ
а — Ь
+ л/Ь а —Ь
(*•)
После приведения (•*) к общему знаменателю имеем
а — л/аЬ + А + 2	~2Ь — •^аЬ а —Ь
а-Ь	а — Ь ^ '
Ответ. 1.

§ I. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 11
Упростить следующие алгебраические выражеиня:
х~.
X — I
IT — Vv Vjc + Уу 2лГху
Ух —У^ , Ух +Уу * У — Х
х-у
х-у
.... ((W-Vrr+ (V7/VFrH^^)’
I.e.
(д1/т _ fll/")* ^ 4д(т+пЯт-п
(V?sr^.v?TT)
+ Уа— 1
1.7.
1.8.
1.9.
(а — 1
. \/
(а — 1
- *	^ . ■ '(а-1)Ув+ 1 — (а+ 1)Уа-1’
Уа + I Уа — 1
(Уа + yF)^ — 4ft		 g + 96 + 6 Уоб ^
=	Vi) yV yj
^У»+т(Ут-у^У
У‘+т(Ут-^0'-т(Ут“^0
в выражениях, содержащих произведение радикалов с раз¬
личными показателями степени, в ряде случаев удается добиться
(упрощения, приведя все радикалы к одному показателю.
Пример 1.2. Упростить выражение
У*(7 + 4УЗ) . Vsy* -У3.т.

12	ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решение. Представляя выражение V2V* — V3.* в виде
V 2	= V(2 V* —	— 4	* + 3x =»
— л/7х-4л/з'д
ii подставляя его в исходное выражение, получаем
V*(7 + 4V3) V2 л! к - л/з7 =V**(7 + 4V3)(7-4V3^ =
= V** (49 - 48) =• Vj^ —
j[npH переходе к последнему выражению знак абсолютной велн>
чины может быть опущен, так как исходное выражение опреде¬
лено только при X ^ 0).
Ответ. V*-
При преобразовании радикалов необходимо учитывать, что
по определению корень четной степени есть величина неотрица¬
тельная, в то время как корень нечетной степени может быть
как неотрицательной, так и отрицательной величиной.
Пример 1.3. Упростить выражение
в	3
V*(7-Ь 4 V3^• VV3* -2 л/^".
Решение. Так как л!Ъх — 2 л[х <0 (в чем можно убе¬
диться, сравнив квадраты уменьшаемого и вычитаемого), то пе¬
ред приведением радикалов к общему показателю представим
второй сомножитель в виде
3 	 3 	 е
V— 2 Vjr •=■ — V2 V* —	= — V(2 V* — V3jc)*.
Дальнейшее упрощение проводится по схеме предыдущего при¬
мера:
в 	 3
Vje(7-h4V3)-л/-\^^-2л^ “
б 	в
— - V* (7-f 4 V3 ) V(V^ — 2 Vi”)*—
б 	 3 _
= - V** (49 - 48) = — Vjc.
Ответ. —
Упростить следующие выражения:
4
1.10. л/бх(б-ь2л/б)* VaV^ —2V^‘

* 2- ВЫРА5КЕНИЯ. содержащие МОДУЛЬ
:з
1.11.	V-»* (и + 4 Ve) . V2 л/Зх — 4 V^.
1.12.	У(^Р+	+У(Уо- и* V
л/4р + 2 V4p» — I
® ,	-	в
Ух + У2 - л» . Vl - .с У2^^
1.13.
У1 -X*
V26-15V3 (2-л/з^ V/
■ ■	7-4V3
3
1.15. (^ Уго + 14 У2 . Уб —4 yf + v
+ i4'(. + 3)Vo-3a-l):(-2(yj| ,) + ')■
u..	„
УЬ*-4 - (6 + 2)
§ 2. Преобразование алгебраических выраженнй|
содержащих знак абсолютной величины
Преобразование алгебраических выражений, в которых на^
ряду с арифметическими операциями присутствует знак абсолют¬
ной величины (модуля) от некоторой функции, обычно произво¬
дится отдельно на каждом промежутке знакопостоянства этой
функции.
П р и м е р 2.1. Упростить выражение	^
1^^'ч-х1х-1] + 2--|
V^“2 + y
(•)
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в знамена¬
теле
|х-1
и подставим его в исходную дробь. Получим выражение
-J-X (X - 1)-I-2 -1.) VJ
1л—1|	'

u
ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Разделим действительную ось на два промежутка (—оо; ]]я
(1; оо) знакопостоянства функции f(x)=x—l и проведем
упрощение исходного выражения на каждом из указанных про*
межутков отдельно.
Так как выражение (*•) определено только при л > О,
то вместо промежутка (—<»; 1] будем рассматривать
промежуток XS (0; 1). На этом промежутке по определению мо*
дуля имеем |л — 11 = 1 — л и исходное выражение приобретает
вид
(1-л)
■=■	. (1 ч- л* - 2) ^ — -.zj-
X	-у/х
При лг (1; оо) по определению модуля имеем |л—1|
л— 1 в
■yjx
f I л - 11	г Х-\\] -у/х
«I
ix-l)^x[i + x + ^]
л —1
Ответ,
л>- 1
л* + 3
VS' '
При л е (0. -Ь1) исходное выражение равно
л* + 3
—j=—, а при ле(1; оо) равно —т=—>
л/х	Ых
Упростить следующие выражения в найти область допусти*
мых значений параметров, если они не указаны:
91 у* + у* ^	V
99	** Х^ л + I I 	л
л»-5л* + 7л-3
2.3,
2.4.
2Л,
л|л-3|
(**_дс_6)1л| •
л|л-3| + л* — 9
2л* - Зл* - 9л •
ОС
2|у + 5|-у+ —
Зу» + 10у - 25	'
2.e.^±HIzL.
Vx 12л* — л — 11
2.7.
г* — Z + I — 1XI

2.8.
} 2. ВЫРАЖЕНИЯ СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
Уа* — 2аЬ + ft* , 2д
15
Уо» + 2аЬ + 6*
1 + УГГ7
а+6
1_л/Г+7
при О < а < У.
л*-1
+ 1.
■Л + У1-Л l + x-yi+x/ 2
2.10. У2 (2а + Уа* — 6*) Vo — У<>* — при а > О, Ь >0,
а> Ь,
Упрощение иррациональных выражений,
содержащих полный квадрат под знаком ра¬
дикала. Для того чтобы убедиться, что под радикалом стоит
полный квадрат некоторого выражения, иногда удобно сделать
замену, рационализирующую это выражение.
Пример 2.2. Упростить выражение
Vx + 2 У2л — 4 — УX — 2У2л — 4.	{♦)
Решение. Сделаем замену
t^=^/2x-4.
/* + 4
Тог;(а л = —^—, и выражение (*) приобретает вид
У
4- 4< + 4
-У
Г<*-4М-4
У2
-у
«-2)*
2
1< + 2|
2
Дальнейшее упрощение проводится по схеме, рассмотренной
в примере 2.1. Разбиваем все множество допустимых значений t
последнего выражения на три области! (—<»i —2]; (—2) 2]i
(2; оо), В каждой из них получаем
-1-2+/-2
/+2+/-2
2
/+2-/+2
--2.
‘2,
• (—оо; —2},
S (-2; 2],
М2: “)•
Для того чтобы вернуться к исходной переменной х, необходимо
решить неравенства
У2х - 4 < -2,	-2<У2х-4<2, У2х — 4 > 2.
Их решепиямн будут, соответственно, следующие множества знз'*
чений!
0,	2<х<4,	л>4,

IB	ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Таким образом, окончательно имеем
Vjt + 2V2x-4-Vjf-2V2jc-4=i|
Ответ. При хе[2; 4] данное выражение равно <^2х — 4,
а ори X е (4; оо) равно 2.
Упростить следующие выражения:
2.11. ^^^+у^^-2.(2х + л/^^.^
212 (	.хО-^ + зу-» ^0.8 у/
■ Vx + 3x*®+9 ■ х‘®-27/
V'+(V-)‘ ,
(х*+1)4
2.14.	Vjt + 6V^«^ + 7 +Vx —6V^:-t-2 + r.
2.15.	-^х + 2 л/Т^\ — X—2 Vx^ .
2.16.	V** - 12х + 36 - Vjc*.
2.17.	(х + 2 V2* - 4)"'^ + (jc - 2 V2x-4r’'®.'^
Вычисление значений алгебраического вы.
ражеиия с нредваритель}1ым упрощением дан«
иого выражения. В некоторых случаях для того, чтобы
вычислить алгебраическое выражение при конкретных значениях
входящих в него переменных, целесообразно его предварительно
irnpoCTHTb.
Пример 2.3. Вычислить значение выражения
V* + 2V2	„ ,
	 		при х = 3.
л/х-2л/2
Vjt*-4xV2+8 Vjt’ + 4xV2+8
Решение. Упрощая исходное выражение, имеем
Ух —2 V2	Ух + 2 V2
У(х —2л/^Р У(х + 2УЮ*
(х-2л/2)*^ (х + 2У21‘^
I X — 2 V2 1 I X + 2 л/2 1 *
Значение х = 3 принадлежит промежутку (2 V^I °°) зиакопо-
стоянства функций, стоящих под знаком абсолютной величины.
На этом промежутке имеем
1х-2 V2l-*-2 V2 н I X + 2V2 l-r.^2-V2'. '

» а. ВЫРАЖЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
17
(*)
следовательно,
1	1
{х-2	U + 2 V2 )'^
(х + 2У21‘^^-(х-2У2-)'^
“	(л* - 8)'/2
Подставив X = 3 в выражение (•), получим
(З + 2	- (3 - 2	=.
Умножим числитель и знаменатель дроби	н«
3	+ 2 V2 *
3 + 2 V2. Имеем
3-2 УГ 3 + 2л^
9-8
'З + 2 V2 (3 + 2 V2)	( 3 + 2 V2 )*	(3 + 2
Теперь, с учетом равенства (1 + V2)^ = 3 + 2V2. получим
(3 + 2У2)'^0+У2)	„(1+У2)(|+УП
“ ’	3 + 2У2	“ (T+yfP '"2*
Ответ. 2.
Вычислить значения следующих алгебраических выражений
при указанных значениях неизвестного:
2.18.
2.19.
г + Уз
: —Уз
yx+Vj^ + УЗ -^х —‘^х — 'у/З
1 + г
1 + УI +2
>2.
1 — г
г~^^. ^
■г 1 — yi — 2 ’
2
Г 3 ./х _ 1
в* + 1 ✓
■ + У1+Х V •
^ °= ~а
в> — i ■
■{х''" + х^% х=(
а + Ь уРйПя~р1 V
а — б /
2^*+B
А^-В
лУлпУг.
V л-"гуо	**~а1 + УВ

18
ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2^3.
'4	4
л/у —'sfx
-3
1 + ■yjxy
4
л^ху
х(1 + 2д/| + ^)
х = 9. у—0,04
..Гд!±5!'|'”
V.	2тя У *
где а > о, /п > О, я > О, т> п.
Уврои/ение численных яррацнональвых вы<
ражеяий. В примере 2.3 после подстановки значения х
решение свелось к упрощению иррационального числового выра¬
жения. Приведем некоторые приемы, упрощающие решение задач
подобного типа.
Числовое иррациональное выражение удается упростить, если
под знаком квадратного радикала стоит полный квадрат неко¬
торого выражения. Так в случае радикала второй степени вида
Ve* ± 26, упрощение достигается представлением
Va* * 2| б 1“ V(V-«	I*
0)
(2)
где X a у находятся как решение системы уравнений
X + р — а*
ху — Ь*.
Так, в примере 2.3 упрощение
V^-t-aVa-(И- Va)*
проводилось согласно (I). а система (2) при этом имела вид
X -f р — 3,
ху*=2.
Пример 2.4. Вычислить
УЗО-!?^ -(5 + 2V6).
(2V3T + 3V?)
Решение. Система (2) для выражения, стоящего в чис¬
лителе дроби, записывается в виде
х + ушшЗО,
хр —216
и имеет решения (12; 181,	121,

• S. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ
Следовательно, согласно (1), получаем
Узо-12 Уб = лДз —Vi2=3 V^-2 Уз.
3\^-2УЗ
2 Уз + 3 У2
19
=г на
Домножая числитель н знаменатель дроби
8 Уг — 2 Уз, имеем
(Зл/^-2Уз)*	30-12У6	„,/г
18-12	“	6	о .e-v»»
Перемножив 5 —2Уб и 5 + 2Уб, окончательно получаем
(б - 2 Уб) (б + 2Уб) — 25 — 24 — 1.
Ответ. 1.
Вычислить значения следующих иррациональных выраженийз
У8 + 2УТ2 —У2
2.25.
2.26.
У8-2УТ2 + У2
3	Уа + гУб у
2.28,
4	+ Уб Ув —2Уб
2.27. Уб +2УГ - Уб-2УГ.
У2д + 2Уа*— Уа — б
Уга — 2Уа’ — 6* + Уа — 6
2.29. Убщ + 2 У9т® — я’ — Убщ — 2 УЭт* —
§ 3. Доказательство тождеств
а.
Доказательство тождеств непосредствен-
нойпроверкой.
Пример 3.1. Доказать, что
(а + 6 + с) (бс + са + аб) — обе = (б + с) (с + а) (а + б). (♦)
Решение. Раскроем скобки в левой части выражения и
приведем подобные члены. Имеем
обе + б*с + бс* + о*с + обе + с*о + а*б + об* + обе — обе =•
= 2обе + б*е + бе* +	+ с*о + о*б + б*о.
раскрытие скобок в правой части выражения приводит к та¬
кому же выражению. Действительно,
обе е*о -J- 0*6 -|- о*е -J- б*с -Ь бе* -f обе =■
■=»2обе -1- с*о -f- 0*6 -1- о*е -Ь б*е бс*.

20
fJI. I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Исходное тождество доказано, так как если каждое из двух
выражений равно третьему, то эти выражения равны между
собой.
Доказать следующие тождества:
3.1. (а» + 6*) (X» + у*) = (ах - by)* + (Ьх + ау)\
ЗД. (а» + 6’ + с* 4- d*) (х* + у^ + г* + i*) =»
= (ах — by — сг — dt)* + (Ьх + ау — dz + с/)* Ч-
+ (сх -{■ dy + az — bt)* + (dx — су + bz + at)*.
3.3.	,(a> - b*)* + (2a6)» = (a» + b*)*.
3.4.	(a+,b + c + d)* + (a + b — c — d)*+ (a+c — (> — <()* +
4- (a + rf - 6 - c)* = 4 (a* + 6» + С» + d*).
I .	1	1
ЗЛ.
3 6.
8.7.
3.8.
3.9.
«4-
1
* + -
a* — 5
I b (abc 4- a + c)
1.
a4-3
2a — 1	4a* — 4a 4" 1
2a»-a(I -5a)-l
8a» — I2a* 4- Da — 1
a*(c-b) , b*(a-c) . c*(b-a)
be
- +
ac
ab
aje — b) . b (a — c)
be
Л/-Ш--Л/4
+ X
' X®'® 4-1
\
X 4- X®-® 4- 1
• х'-®-1
c{b — a)
ab
a
2a 4- 1
(2a-l)»'
I a b c.
X — I.
3.10. '\/л/а + aJ ~+	” V“
— 4
V2a 4- 4
Л _
Va
Доказательство тождеств с помощью уело-
ВИЯ равенства двух многочленов. Если в левой и
в правой частях тождества стоят некоторые алгебраические вы¬
ражения, которые можно рассматривать как два многочлена
одной и той же степени, то доказательство таких тождеств мо¬
жет быть основано на следующем свойстве многочленов. Два

§ 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ
21
многочлена п-й степени одной переменной х равны (тождествен¬
но равны), если значения этих многочленов совпадают при
X = Хи X = Xj, ..., X = Хя, х=Хл+|, где все Х|, Хг, .... Хя, Хя+i—
произвольные, не равные между собой числа.
Пример 3.2. Доказать тождество
а» (х — 6) (х — с) Ь* (х — с)(х — а)
(а — б) (а — с) (Ь — с)(Ь — а) '
+
с*(х —а)(х —б) .
(с -а){с — Ь)
Решение. Сравнивая значения левой н правой частей при
X = а, X = Ь, X «а с, можно убедиться, что при этих значениях
переменной многочлены совпадают. Так как левая и правая ча¬
сти представляют собой многочлены второй степени относитель¬
но X, которые совпадают более чем при двух значениях пере¬
менной, то эти многочлены тождественно равны.
Доказать следующие тождества:
а	,	Ь	,
3.11.
3.12.
3.13.
(х — а) (а — Ь) (а — с)
,	с
+
(X -Ь){Ь- а) (Ь - с)
X
^ (х — с) (с — а) (с — Ь) (х — 6) (х — а) (х — с)
(х — Ь)(х — с)	(X — с) (х — о)
(а — Ь) (а — с)	{Ь — с) (Ь — а)
, (х-а)(х —6)
+
b + c + d
(с — а) (с — Ь)
1.
(Ь — а) (с — а) (d — о) (х — а)
с + d+ а
+
+
(с -b){d- Ь) (а — Ь) (х—Ь)
	d + a+b
**' (d — c)(a— с) (Ь — с) (х — с)
, 	а+Ь + с
*’■ (а -d)(б -d) (с -d)(x - d) “
X — а — b — с — d
8.14*.
а — b
b—c
(х — а) (х — Ь) (х — с) (X — d) ■
с — а
а + Ь б + с с + а
+
(g-б) (б-с)(с-а)
3.15.
б,—с
(a-f6) (бЧ-с)(с-(-а)
-а . а — б
Kii Ce - W (в - е)
(б - с) (б - а)
2
(с — а) (с — б)
2 - . 2
а — б ■ .6 —о
+
с —а

22
ГЛ. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Я1в* о^ — Ьс	Ь^ —ас
{а+Ь){а + с)^ (Ь + с)(Ь+а)^
+
с* — аЬ
(с + а) {с + Ь)
К доказательству алгебраических тождеств близко прнмы-i
кают и задачи, связанные с проверкой некоторых числовых ра¬
венств. Обычно эта проверка осуществляется темн же методами,
что и доказательство тождеств (сюда же включаются методы
упрощения алгебраических выражений, см. § 1).
Одвако существуют и специальные методы проверки число¬
вых равенств.
Пример 3.3. Доказать, что
+ Vm = 3.
Решение. Обозначим
X — ■^9 +V80 +	(*)
Тогда, уединяя один из радикалов и возводя в куб обе части
иолучнвшегося уравнения, имеем
{х - -^9 +л/80)’ -= 9 - VM.
X» - Зх» ^9 +VSO + Зх (-^9 +Veo)* - 9 - V80 = 9 — V^.
X» - Зх» -^9 ++ Зх '^(9 + Л^)*= 18,
X» - Зх-^9+ V80 (х - '^9 +Veo) => 18.
Выражение х —	в силу (*) равно — V80, и, следо¬
вательно, уравнение приводится к виду
х»-3х ^81 - 80 = 18-<=«-х> - Зх - 18 = 0,	(*♦)
Очевидно, что х = '^9 + л/80 + '^9--\/85 является корнем
уравнения (**). Кроме того, непосредственной подстановкой лег¬
ко убедиться в том, что х = 3 также является корнем уравне¬
ния (**). Других действительных корней уравнение («*) не
имеет, так как кубичный многочлен (•*) может быть записан
в виде
X» - Зх - 18 — (X - 3) (X» + Зх -1- 6),
а дискриминант квадратного трехчлена х* Зх в отрицателен.
Таким образом, исходное равенство следует из существова¬
ния единственного действительного корня урдвненвя (•},

$ 4. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
'§ 4. Условные тождества
23
Тождества, справедливость которых требуется установить
лишь при выполнении некоторых условий относительно входящих
в исходное тождество переменных, называют условными тожде¬
ствами.
Пример 4.1. Доказать, что если
п *4“ б с — О,
то
о* + 6* + с* = ЗаЬс.
Решение. Из условия
о	+ б -4“ с — О
получаем
с» — - (а + Ь)\
Используя тождество (5), имеем
— с» =* — а* — б» — Заб (а + б)
или, заменяя а-\- Ь на —с,
а’ + б» + с» — Зобе,
что н требовалось доказать.
4.1.	Доказать, что если
а -f б + с = О,
то
о* + 6* + с» а» + б» + с» a* + б» -1- с*
5	“	3	*	2
4.2.	Показать, что из равенства
а» б» + с» — аб -j- бс + ас	,
следует равенство а = Ь = с.
4.3.	Доказать, что если а'^® +б'^^ += то
(о И- б + с)* = 27абс.
4.4.	Доказать, что если
а , Ь , с
то
T + f + T = ' T + J +
a* ^ б* ^ с» *•
4.5. Доказать, что если
Va* + '^х*у* +	о.

24	ГЛ. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ТО
х2/3 + у2/3_д2/3,
4.6.	Доказать, что если а + 6 + с = О, то
а)	(а* + Ь* + с’)’ = 2{а* + Ь* + с*).
б)	2 (а* + Ь‘ + с») = ЬаЬс (а“ +	+ с’).
в)	5(а’ + ft" + с")• (а* +	+ с") =6(а» + ft' + с*).
4.7*. Доказать, что если —’Ф—, то из системы урав-
*s Уз
нений
'	адг| + рд:2=0,
■	ау| + Руа = 0
следует, что а* 4- Р* =" 0.
4.8. AoK«aaTbi что если х ф у, у Ф г, г Ф х \\
X
1 ^ 1 .0
у-г
Z —X ' X —у
ТО
X
\ у \ z
(у — Z)*
1 (2-x)* ' (x-y)*
4.9*. Доказать, что
если
flj + «2 +
,.. 4-a„ = P.
ft? + fta +
... 4- ft^ ■= </’*. p =3^ 0,
0|ft| -f" Oibt 4* ..
. 4" O/i^n “ P4>
TO d\ ““ fla = A.6a» •
.., a„ =■ Xftn. где Л = —,
Q
0.
4.10. Доказать, что если
то
о» + ft*
ft* + c*
4,11, Доказать, что если
ау — Ьх сх — аг
Ьг — с1/
то
X
а
4.12. Доказать, что если
а — ft
а + ft ’
У
■4--*
С
Ь ^ с
6Н-С '
с — А
с + а ’
то
. >4	{
(l+Jf)(l + y)U + 2) = (l-X)(I-yMl-Z).

§ 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ	25
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
Пусть а — положительное число, отличное от единицы, а
Л4 — любое положительное число. Логарифмом числа М по осно¬
ванию а называется такое число, обозначаемое ioga Л1, что
==Л1.
Основные свойства логарифмов. Пусть а > О,
а ^ 1, ft > О, О О, тогда
logo (Ьс) =» logo Ь + logo с.
logo — = logo b — logo с,
log p6« = —log ft,
0	p a ■
logo ft -
logy o’
ft ч'* !•
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Тождественные преобразования логарифмических выражений
проводятся с помощью формул (1)—(5) и определения лога*
рифма.
Пример 5.1. Упростить выражение
logo V— 1 log?,а Vo^ - 1
logo, (о* — 1) log^ Vo* — I
Решение. Согласно свойству (3) имеем
(log,/„ Vo’ - 1)* =■ (- Ioga Vo* — l)^ = (loga Vo* — l)^	* (•)
log^ Vo* — 1 = log^^j, (Vo* — 1)® = Ioga Vo* — 1,	(♦•)
logai (O* - 1) =. logj^^iya (a* - 1)*^ = Ioga Vo* - i. (*♦*)
Подставляя правые части выражений (•) — (*»») в исходную
дробь, получаем
logo Vo* — 1 log* Vo* — I
logo Vo* - I logo Vo* - 1
Ответ., Ioga Vo* — 1.
Пример 6.2. Вычислить
31 l/log, 8 ^ ^log» 36 3Vlo«» Й
logo V»*— 1,

ae	ГЛ. Т. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решение. Согласно свойству (5) инеем
8jl/log,3^g|Iog,B_
Используя свойства степеней, получим далее
Согласно определению логарифма 3'®*‘5«б. Таким образом,
8i'/'»«• 8-б*-625.
Аналогично,
34Лов,9 _ з< 10*. 7 _ (з2)2 tog. 7 ^	^ ^
271о«» Зв ^ 27'®»'в о. зЗ tog,6 ^ (3log,6)3 =.216.
Складывая полученные значения, получаем искомое число.
Ответ. 890.
Упростить следующие выражения:
я,>/'вв*9 ,	,
,1. 1!	+3	((Vf)2/log..7 _ j23,og„6). V
6.2.	+	У
/ log 4 а	ч
5.9.42	—2aJ:(7<'®»«“ —в—0.
5.4*. log, 2 log. 3 logs 4 log, 5 log, 6 log, 7.
6.6.	logj 2x*+log2 ax'®** ^'“**	log*	*•
66	+	Jog^aMog^ft
l0g„ 6 - log„^ 6	^2 logjlog^ b _ J •
6.7.	5*®*«/8<‘® + log.^ -7=Л~ + log,,
V^ + V3	10 + 2V21
Связь между логарифмами составных чисел обычно удается
установить, используя логарифмы их простых сомножителей.
Пример 5.3. Найти log,, 8, если известно, что Ig 5 =» о,
lg3 = 6.
Решение. Представим log,e 8 в виде
б.
logso 8 =
lg8
lg30"

J 8. логарифмические выражения
ча
Разлагая числа 30 и 8 па простые множители и используя свой*
ства логарифмов, получаем
logso 8 ■
31g2
Ig 5 + Ig 3 + Ig 2 ■
Учитывая, что
10
Ig2 = lg-^=l-lg5,
в используя условия задачи, получаем
3(1-а)
logso 8.
Ответ.
3(1-в)
6+1 ’
6+1 '
5.8.	Вычислить без помощи таблиц
logs 135 _ logs 5
logio3 log.os 3
5.9.	Зная, что lg2s>a, logs7ca>6, найти IgSO,
5.10.	Зная, что lg3 = a, Ig2xa6, найти logs 6.
5.11.	Известно, что logs 7 = а, log, б 6, logo 4 =■ г. Найте
logs 12.
5.12.	Зная, что 6 =	и с »=	выразить
logs а через logs с.
5.13*. Известно, что
logo * =	* = Р. logfi * = Y. log,, X = б; хФ\.
Найти log„j,.,,x.
Для доказательства тождественности двух логарифмических
выражений при выполнении некоторых условий иногда удобно
сначала преобразовать данные условия, а затем их прологариф¬
мировать.
Пример 5.4. Доказать, что
lg-^^=-^(lgn + lg6),
если а* + 6* = Tab, а > 0, 6 > 0.	''
Решение. Преобразуем условие а* + 6* -= 7а6, выделяя
в левой части полный квадрат:
т. е.
в» + 6» + 2а6=»9о6,
(а + 6)* —9а6.

28	ГЛ. 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Логарифмируя последнее равенство по основанию 10 н приводя
подобные члены, получаем
2	Ig (а + ft) — 2 Ig 3 = log а + Ig b.
Разделив обе части равенства на 2 и используя свойство логариф*
нов (2), получаем искомое равенство.
5.14.	Показать, что при условии х >■ 0, у >■ 0 из равенства
л* + iy* = 12jtp следует равенство
. lg(JC + 2p)-21g2 = l(lgA:+Igy).
I
6.15.	Доказать, что
т + log^_j m - 2 log^^j m log„_j m,
если известно, что = a} — ft*.
5.te. Доказать, что если a, b, c —последовательные ‘(положи»
тельные) члены геометрической прогрессии, то
1о2д1У —log^V logg^
logj N — log^ N ~ log^ N '
6.17.	Доказать, что если
то для любого положительного числа N числа logeAT, log» AT,
JogcA^ являются тремя последовательными членами арнфметиче*
ской прогрессии.
При докааательстве тождеств обычно используются те жо
приемы, что и при упрощении логарифмических и показатель»
иых выражений.
Пример 5.5. Доказать, что
logp logp
Vv3fc—»
при р > 1.
Решение. Записывая иррациональное выражение, стоящее
под знаком второго логарифма, в виде
,|/р

S 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
29
И логарифмируя два раза это равенство по основанию р, полу¬
чаем
t	1/р"	1	I	1
logpp
Таким образом, исходное тождество доказано.
6.18*. Доказать, что для любых допустимых положительных
чисел а и имеет место равенство
1	, 1 , 1 . 1 _
log^yv + log„.yV log„.A: ^ log^,N
6.19*. Доказать, что
2	(V iog„ +logj	- д/loge д/4+л/f) ^
V, /1	1	/2,	1< a < ft,
XVlogaft«| 2|og„fr, K6<a
6.20*. Доказать, что
log^ N logj N -f logj N logg N + log^ N log^ N =
log^ ЛГ logj N log^ Ы
6.21*. Доказать тождество
,	log X logj X
logj, X - log„ X '
При сравнении двух логарифмических выражений удобно
пользоваться эквивалентностью следующих неравенств. Если
основания логарифмов одинаковы, то
при а > 1;
0<ft<c-«=>logaft< logo о.	- (6)
при о < а < 1:
о < Ь < с <=> logo ft > logo с.	(7)
Если одинаковы числа, от которых вычисляются логарифмы,
иа>1, ft>l или0<о<1 и0<6<1, то
при с > I:
log^ с < logj с<=^а> Ь,	(8)
при о < с < I:
log^c < logjC-<>>ft > а.	(9)
Пример 6.6. Не пользуясь таблицамн, определить, что
больше:
logs 9 или logs 87

«о	гл. t. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решение. Представии исследуемые логарифмы в виде
log» 9 = log, (8 + 1) = I + log, (I + у),
logr 8 «log, (7 + 1) « 1+logr (l + у).
В силу (8) и (6) справедливы неравенства
log, ^1 + ■§')< *‘*8» т) ^	т) ’
Таким образом,
log, 9 < log, 8.
Не пользуясь табляцами, доказать неравенства]
БЛ2*. log, 75 < log, 22.
В.23*. log, 70 < log, 20.
6.24.	log,„g,j(l)>l.
6.2S*. Доказать, что для любого натурального ЛГ > 3 спра»
ведлнво неравенство
log^, (ЛГ + 1)< logjy_, N.

г л А в А 2
УРАВНЕНИЯ
в алгебре рассматриваются два вида равенств — тождества н урам
вення. Тождество — ухо равенство, которое выполняется при всех (до«
пустныых) значениях входящих в него букв. Для записи тождества ве«
ряду со знаком - также используется знак в.
Уравнение— это равенство, которое выполняется лишь при некого»
рык вначениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравневве,
по условию аадачи могут быть керавиолравпыин; один могут принимать
все свои допустимые эиачеиня н называются коэффициентами (реже гш*
раметрами) уравнения; другие, значения которых требуется отыскать,
называются неизвестными (их обычно обозначают последними букваия
латинского алфавита: х, у, г, нлн теми же буквами, снабженными ни»
дексанн:х,
*а «'!• У
В общем виде ураваение с п неизвестными x^, х^,
быть аапнсано в виде
можея
Е(х
*2-
<•)
где F (Х|. «2	х„) — функция указанных переменных. В эависиыостм
от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя
н более неизвестными.
Знач< 'ня неизвестных, обращающие уравнение в тождество, вазы»
ввют решениями уравнения. Уравнение считается решенным, если наС»
дены все его решения или показано, что уравнение решений не имеет.
Если все решения уравнения F — О являются решениями уравнения
0-0, то говорят, что уравнение 0-0 есть следствие уравнения F — 0,
М пишут
Два уравнения
F—OeO-OaO,
FoO в 0—0
азывают зквиаалентными, если каждое из них является следствием дру»
ого, н пишут
F —О •<=»■ 0—0.
Таким образом, два уравнения считаются эканвалептныни, если мвоже»
ства решений этих уравнений совпадают.
Уравнение F—О считают эквивалентным двум (или неско.чькнм) уравие»
ниям Fi—О, F]—О, если множество корней уравнения F—О совпадает
с объединением множеств корней уравнений F|—О, Fi—0.
Некоторые эквивалентные уравиення;
1.	Уравнение F + О — о эквивалентно урввнеяню F - 0. рассматри»
ваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.
р
2,	УравнениеО эквивалентно уравнению F — О, расснатрввас»
иону на множестве допустимых значевяй исходного уравнения.
*) Если специально пе оговорено, то считается, что ведавестпые
орннниают действительные эвачення.

82
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
3.	Уравнение F ■ О эквивалентно двум уравневняи / • О в 0-0,
яаждое нэ которых рвссматрнвается на нножестве допустимых эпанений
■сходного уравнения.
4.	Уравнение F'*—О эквивалентно уравнению F^O.
5.	Уравнение р"вО" при нечетном л эквивалентно уравневню У — О,
■ ври четном л эквивалентно двум уравнениям; F — О н Е — —О.
Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется урав*
■еане, сводян^ееся к уравнению вида
aj*“ + a,x'*~* + ajx"~*+ ... +о„_,х + о„=0.
где л —неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена
Од. 0|. 0}	‘’л—I* иааыеаются козффиииентами (млн параметрами)
уравнения и считаются ааданными; х называется неизвестным н является
кскомым. Число л называется степенью уравнения.
Эначення неизвестного х, обран^аюнтне алгебраическое уравнение в
еождество, называются корнями (или решениями) алгебраического урав>
■еиня.	'
§ 1. Нахождение корней многочленов
Многочленом {полиномом) л-й степени относительно переменной ве^
анчнны X называется выражение вида
Р<х)»адХ'* + а,х'*~* + а2х'>~2ф	+о„_,х + в„,
где л—неотрицательное целое число; а^, Л|, а^, .... й„_|. л„—коэффя*
■менты многочлена, причем коэффициент оо, называемый старшим коэф<
фнцнентом, считается не равным нулю.
Многочлен первой степени называют также линейным многочленом,
многочлен второй степени—квпдратным, а многочлен третьей степени —
кубичным многочленом.
Число с называется корнем многочлена, если Р{с) - 0.
Уравнение вида
(1)
<ис4- А>-0,
а 3^ о.
называется линейным уравнеикем. Линейное уравнение имеет единствен*
■ый корень X — —Ыа.
Уравнение вида
ах' + бх + с—О,	а У* О,	(2)
называется квадратным уравненнем. Выражение 6* — 4ас - О называется
дискриминантом квадратного уравнения. Если О > 0. уравнение (2) имеет
два действительных корня:
— 6+Vo	—Ь—Vd
53	•	53
Если 0-0, то уравнение (2) имеет один действительный корень крат*
ности 2: х=——Если О < О, то уравнение (2) действительных корней
не имеет.
Решение уравнений методом замены пеиэ*
вестного. Решение многих уравнений заключается в сведении
их к уравнениям вида (I) или (2). Одним из таких способов
' является введение вспомогательного неизвестного.
Пример 1.1. Решить уравнение
(х* —2х)» —(X — !)»+ 1 =0.
Решение. Обозначая у — (х — 1 )*, запишем исходное
уравнение в виде
(у-1)*-» + 1=-0.	(•)

( I. НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЯ МНОГОЧЛЕНОВ
S3
Несложные преобразования приводят уравнение (•) к виду
у»-Зу + 2 = 0.	(•♦)
Решая (**), получаеы, что исходное уравнение эквивалентно
двум квадратным уравнениям
(х-1)»—I и (х-1)»=.2,
>0 и 4«=1±V2 являются кор*
1 ± V2.
корни которых Х| «>2, Xi^
няын исходного уравнения.
Ответ, Х| = 2, X» »= о, Хз, 4 ■
Решить уравнения:
U. (х‘ + 2х)*-(х+»)*=• 55,
1.2. (х»+х-Ы)(х» + х + 2)-12=-0,
1.3*. (X* - бх + 7)> - (х - 2) (х - 3) — 0.
1.4*. (X - 2) (X + 1) (X + 4) (X + 7) =. 19.
1.5*. (2х* + Зх - 2) (5 - 6х - 4х») = -б(2х* + Зх + 2).
1.6. X* —13х» + 36=.0.
• 1.7. 2х* + х« - 15 = 0.
1.8. (2х-1)« + 3(2х-1)>=10.
1.9*. (1 + X)* + (1 + х*)‘ = 2х\ УУ
1.10.	(х - 2)» - 19 (X - 2)» = 216.
Решение уравнений методом разложения
иа множители. Один из способов решения уравнения п-й
степени (л ^ 2)
Рп W-0
состоит в разложении многочлена Рл(х) ва множители, что по*
вволяет свести решение исходного уравнения к решению ие*
скольких уравнений более низких степеней. Этот способ основан
на следующем свойстве корней многочлена п-й степени. Если х=с
является корнем многочлена
Я„(х)-=Оох" + а,х"~‘+ *** +a„_iX + a„,
то этот многочлен можно записать в виде
P„{x)^(x-c)Qn-t{x),	(3)
где Qn-<(x)—многочлен степени л—I, т.е. ыногочлеи Ря(х)
делится на многочлен х — с.
Разложение многочлена на множители равносильно нахожде*
ВИЮ корней многочлена. Нахождение корней многочлена являет*
ся трудной задачей, н в общем случае для многочлена л*й сте*
пеня с действительными коэффициентами нельзя указать универ*
сального способа нахождения корней. Однако длв многочленов
2	А. г. Цыпкав, А, И, ПянскаВ

34
ГЛ. г УРАВНЕНИЯ
с цешыи коэффицвентаын существует теорема, позволяющая
отыскивать их рациональиые корни.
Рациональными корнями многочлена
вц*" +	+
+ в„_,дг + а,
IV
где во. О),	Па-«, а. —целые числа, могут быть лишь числа
вида mip (ш —целое, р — натуральное), при этом число |т|
является делителем числа |оп|, а число р—делителем числа
|во|.
Пример 1.2. НаАти корни уравнеиия
Зх» —4х» + бх-18 = 0.
Решение. Делителями числа 18 будут числа 1, 2, 3, 6, 9,
а делителями числа 3 — числа 1, 3. Множеством зяаченнА т бу>
дет множество {—9, —6, —3, —2, —1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множе>
ствои значений р —мяожество (1, 3). Множеством всевозмож->
ных различных значений чисел вида т/р будет следующее мно¬
жество рациональных чисел: |± 1. ± 2, ± 3, ±б, ± 9. ±-j,
Подставляя эти числа в уравнение, получаем корень уравнеиия —
число 2. Следовательно, многочлен, стоящий а левой части урав-
иекия, делится на (х —2).
Произведя деление углом, находим частное — многочлеи
Зх* -f- 2х -f 9, который действительных корней не имеет. Следова¬
тельно, X = 2 —единственный действительный корень исходного
уравнения.
Ответ. X = 2.
Решить уравнеиия методом разложения на множители:
1.11.	8х«-Ь6х’—13х» —x-f3 = 0.
1.12.	X»-Ь 6х-Ь 4х* + 3 = 0.
1.13.	2х<-х»-9х»+13x-6 = 0.V'
I.I4*. (X-1)®-Ь(2х + 3)з = 27х»-|-8.\^
1.16.	X» - (2о -Ь 1) ** + (о’ -f а) X - (а* - а) =0.У'
1.16.	х<-4х>-19x»-f 106х-120 = 0. V/
Некоторые уравнения специального вида.
Уравнение четвертой степени вида
(X + а) (х -f Ь) (X -Ь с) (х -Ь rf) =
‘Ш
при условии
a-f6 = c-l-d = /
приводится к квадратному уравнению относительно вензвестноА

S I, НАХОЖДЕНИЕ корней МНОГОЧЛЕНОВ
85
Пример 1.3. Решить уравнение
х(х+1)(хЧ-2)(х + 3).
■0,5625.
(•)
Решение. Перемножив попарно х(х + 3) н (х + I) (х + 2),
имеем
(Д + Зх) (х* + Зх + 2) = 0,5625.
Вводя вспомогательное неизвестное у = д* после очевид¬
ных преобразований получаем квадратное уравнение
у»+ 2у-0,5625 = 0.
корнями которого будут числа у\ = 0,25 и у| = —2,25.
Возвращаясь к исходному неизвестному, заключаем, что (•)
эквивалентно двум уравнениям:
X* + Зх — 0,25 = 0, X* -I- Зх -J- 2,25 = 0.
_	_3 J. vio
Первое уравнение имеет два различных корня: Х\ =	—
—3 — Vlo	3
и X» 		2	> второе — один корень xj, 4 = — у кратности
два.	_
—3-f-Vio _	—3 —VTo	3
2	» .*s, 4 =	2 *
Ответ. Х| =•
Хз =
'	Т
Найти корни уравнений;
1.17.	(х-t-а) (х + 2а) (х — За) (х — 4а) 1
1.18,
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
(X - 4) (X - 5) (X - 6) (X - 7) = 1680.
(6х ^ б)’ (Зх + 2) (X + 1) = 35. V
х«-2х’ + х- 132 = 0.
(X - 1) (х Ч-1) (X 4-2) X = 24.
(X - 4) (X + 2) (х + 8) (х + 14) =354. ^
1.23*. (X* -Ь X + 1) (2х* 4- 2х -f 3) = 3 (1 — X - X»).	ч
Алгебраическое уравнение четвертой степени вида
ах* + &х’ + сх* -f rfx Ч- в •= о, е Ф о,
называется возвратным, если коэффициенты уравнения связаны
равенством d = ХЬ, с = Х*а (X — некоторое отличное от нуля
число).
Решение возвратного уравнения может быть сведено к реше¬
нию квадратного уравнения заменой
У
■ хЧ	.
' X
Пример 1.4. Решить уравнение
18х< — Зх» - 25х* + 2х Ч- 8 = 0.
2*

36
ГЛ. г. УРАВНЕНИЯ
Решение. Так как х О не является корнем уравнения,
то, разделив обе части уравнения на х^, перейдем к эквивалент¬
ному уравнению
18х» - Зх - 25 -Ь -1- Д- = 0.
X X*
Сгруппируем слагаемые в правой части этого уравнения следую¬
щим образом:
Теперь очевидно, что если в качестве новой неизвестной выбрать
2/3	1,4/9	1.4
то, так как х* -1- -рр = у* -f- исходное урав¬
нение приобретает вид
18i/»-3j/- 1=0.
„	I	1
Корни этого уравнения равны -т- и — -г- соответственно.
О	6
Таким образом исходное уравнение оказывается эквивалентным
следующим двум уравнениям:
2/3
I
= и X —
2/3
X 3	X
Первое уравнение имеет корни Х|=
-1 ± л/^
рое - X,. 4 —		.
1 и Xi = —-g-, а ВТО-
2	—1 ± л/Э7
Ответ. х, = 1, xi= —-5-, х,,« =	P5-I—.
т/
3’	12
Решить уравнения:
1Л4. х< -f 6х> 4- 2х» -Н бх -Ц — 0.	.
1.25.	2х« + Зх> — 4х* — Зх + 2 = 0. V
1.26.	ISx» -Ь 34х‘ + 1бх» - 1бх» - 34х - 15 = О.у/
1.27.	6х* - X» - 20х -f 12 = 0. V
1.28.	х« -f 1 — 2 (1 -f х)<. \/
Некоторые алгебраические уравнения п-й степени (п > 2)
допускают понижение порядка, если использовать формулу би¬
нома Ньютона (см. гл. 14, § 3).
Пример 1.5. Решить уравнение
8х’ -Ь Збх* 4- 54х = 98.
Решение. Воспользовавшись тем, что
(2х4-3)* — 8х»4-36х*4-б4х4-27,	^ v

§ 1. НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЯ МНОГОЧЛЕНОВ
37
запишем исходное уравнение в виде
(2* + 3)* = 125,
или
2* + 3 = 5.
Таким образом, единственным корнем исходного уравнения будет
X = 1.
Ответ. X = I.
Решить уравнения:
1.29.	8х* - Збх» + 54х =» 28.
1.30.	16х‘ + 32х» + 12х» + 8х — 80 = 0. /
Ul. X* — 8х* + 24х* — 8х — 65.
Уравнение вида
fliB" +	+ eje“~V + ... 4-OrtO'* = 0
называется однородным уравнением л-й степени относительно не¬
известных U и о. Деление обеих частей однородного уравнения
на о" сводят его к уравнению п-й степени относительно неизвест-
и
ного и=»—.
" о
Если Пл = о, то следует отдельно рассмотреть случай, когда
0 = 0.
Сводя уравнения к однородным и производя указанную
выше замену, иногда удается понизить степень исходного урав¬
нения.
Пример 1.6. Решить уравнение
(X* -f 27)* - 5 (X* -1- 27) (х* + 3) -Ь 6 (х* -f 3)* = 0.	(*)
Решение. Обозначим х*-4-27 = н, x*-f3 = t>. Тогда ис-
кодное уравнение приобретает вид однородного уравнения вто¬
рой степени относительно неизвестных и н о;
и* — 5ио + 6о* -• 0.
Производя замену
> у, получаем уравнение
5р + 6 = 0,
корни которого р = 2 н р = 3.
Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем, что урав->
пение ][•) эквивалентно двум уравнениям
x*-t-27 —3(x*-t-3), x*.f 27 = 2 (х*-1-3),
корнями которых являются числа ± 3 и ±^/Ti соответственна.
Ответ. Xi,t = 4:3, x,;, = ±V^.	• • '

эв
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения;
1.32.	(х»-1)» + б(х<- 1)_6(х»+ 1)*=.0,
1.33.	(х^ -Zy~7 (;с< - 9) + 6	+ 3)» = 0.
1.34.	(X - 2)» (х + 1)» - (X - 2) (X* - I) - 2 (X - I)* =. 0,^
Если уравнение может быть записано в виде	то
среди корней этого уравнения содержится корень уравнения
/(X) = X.
Пример 1.7. Решить уравнение
(х> _ 4х + 6)» - 4 (х* - 4х + 6) + 6=-х;
Реше11ие. Найдем корни квадратного уравнения
‘	X* — 4х + 6 = X.	(*)
Его корни X — 2 и X = 3. Следовательно, ивогочлеа, стоящий
в левой части исходного ураднеиия, делится на произведение
(х-2)(х-3).
Производя деление углом, находим многочлен частного:
X* —Зх + 3.
Таким образом, исходное уравнение можно представить в
виде
(X* - 5х + 6) (X* - Зх + 3) =. о.
и, следовательно, оно эквивалентно двум уравнениям
х*-5х + 6 = (>,	х»-3х + 3 = 0.
(**)
Второе из уравнений (**) действительных корней не имеет, н
действительными корнями исходного уравнения являются корни
уравнения (*).
Ответ. XI = 2, X* = 3.
Решить уравневиж
1.36.	(х*-+ 2х - 5)* + 2 (х»+ 2х - 5) - 5= X, V'
1.36.	(х»-х-3)»—(X» —X —3)-3 = х. V
§ 2. Рациональные уравнения
Рациональным алгебраическим уравнением называется урав-
венне вида
Р(*)
QU>
■ о.
<1)
где Р(х) и Q(x) —многочлены. Далее для определеявостн будем
полагать, что Р(х) — многочлен г»-й степени, а Q(x) — много»
член л-й степени.
Множество доаустиыыв знаиеянй раамогальвоп» алгебрамче'
ского уравнения (1) определяется услошеМи Q (к) Д откуда

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
39
следует, что хфсу, хф Ct, i,,, х ф с», где п, с», ..., Ся —
корни многочлена Q(x),
Метод решения уравнения (1) заключается в следующем.
Решаем уравнение
Р(х)=0,
корни которого обозначим через xi. Хг, Xj, .,., х„. Сравниваем
множества корней многочленов Р(х) и Q(x). Те корни много¬
члена Р(х), которые не являются корнями многочлена Q(x),
являются корнями (решениями) рационального уравнения (1).
Пример 2.1. Решить уравнение
9-х
X — 4 X — 4
-3.
Решение. Исходное уравнение эквивалентно уравнению
9-х-б + 3(х-4)=0
при условии X — 4 чрь 0. Решая полученное уравнение, находим:
X = 4. Так как х = 4 не входит в область допустимых значений
неизвестного, то данное уравнение решений не имеет.
Пример 2.2. Решить уравнение
1
1
I
X (X + 2) (X + 1)»	12 •
Решение. Обозначая г = х* + 2х, запишем исходное урав¬
нение в виде
111
г+\	12*
(•)
Несложные преобразования сводят уравнение (*) к уравнению
г* -f Z — 12
12z(z-f 1)
-О,
которое эквивалентно уравнению z* + z—12 = 0. Эквивалент¬
ность этих уравнений следует из того, что корни последнего
уравнения г = —4, z = 3 принадлежат множеству допустимых
вначений уравнения (**). Таким образом, исходное уравнение
эквивалентно двум квадратным уравнениям; х* + 2х — 3 = 0 и
х* + 2х + 4 = 0. Корни первого уравнения; Х4=1, ха = —3.
Второе уравнение действительных кс^ней не имеет.
О	т в е т. Xi = 1, Х| = г-3.

40	ГЛ. 2 УРАВНЕНИЯ
Найти корни следующих уравнений:
2.1.
2.2.
2Л
2.4.
2Л.
2.6.
2.7*.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
12х + 1
9х —5 108х —35х»-9
6х —2
1
Зх + 1 4 (9х’ - 1) •
1 , '
2х + 3
х^ - 16 ' 2x2 ^ 11х + 12
X —
2x2 ^ з_^а _
X» + X + 1
7 х+1
X» - X + 1
9 X — 1 '
.х+ 1
® I ’
2 (X - 1)
2(х + 4) ' X —Г "
X»
—^-1-
х+1 1 1
"0.
4х» + 29х + 45 - (X + 1) (2дс + 15) (х + D + 5)
(2(х-1))»-2(х+l)(JC-2) Г (х-1)(х-2)
(а — х)* + (х — Ь)* ^ а* + Ь* ^
(а Ч- t — 2х)*
' +
(в + Ь)^
X» - 2х + 2
21
х1—Ах+ 10
4	5
х»-2х + 3
- X* + 4х = 6.
г*_
2х + 4 ■
X* + 4 ^ х> + 5
- 6х)>	„
(x-3f
24
81
(Х-3)“
15
«2.
X» + 2х — 8 х^ + 2х - 3
2.13. 7(х + у)-2(х= + ^)=9.
х1+ 2х -Ц . X» + 2х + 2	7
• X»+ 2x4-2	х> + 2х + 3	6*
(ВтГ-
Уравнение вида
X — 4
™ X—2
6х
сх’ 4- Лх + d
сводится к уравнению
сх* + гх + d
y + h"^ y + r

s 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
введе)шсм вспомогательного неизвестного
41
П р в м е р 2.3. Решить уравнение
X	.	2ж
X» — X + 1 ^ X» + X + 1
Р е ш е п и е. Подстановкой проверяем, что х = О не является
корнем исходного уравнения. Поделив числитель и знаменатель
каждой дроби на х, получаем эквивалентное уравнение
I
х + —- 1
X
Х + -+ 1
X
1.
Обозначая х = у, получаем уравнение
_J	 .	2
Р — 1 ^ Р + I
сводящееся к квадратному уравнению, корнями которого будут
Pi «= о, Р2 = 3.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно двум урав*.
венням
х+—=>0. х + 1=3,
X	X
первое из которых не имеет действительных корней, а корни
второго суть Xi,a «- (З ± V^/2-
3 д: л/5
Ответ. X|.j=»	—.
Решить уравнения:
2.18.
2.19.
2.20.
2х
1
13х
1 п
2х» — 6х + 3 ^
2х» + X + 3
Зх
2х
8
X* + 1 - 4х
X* + 1 + X
3*
Зх»-1
Бх
119
X * Зх»
— X — 1
18 •

42
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
§ 3. Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком абсолютной величины
Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неиз¬
вестное, стоят под знаком абсолютной величины, то решение
исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежут¬
ков энакопостоянства этих выражений.
Пример 3.1. Решить уравнение
12х — 51 =- X — 1.
РешеЯне. Выражение 2х — Ь, стоящее под знаком абсо¬
лютной величины! неотрицательно при х ^ 5/2 и отрицательно
при X < 5/2. Рассмотрим исходное уравнение отдельно на каж¬
дом из этих промежутков.
Пусть X ^ 5/2. Тогда по определению абсолютной величины
|2х —5| =2х — 5, и данное уравнение преобразуется к виду
2х — 5 — X - 1.
Решая это уравнение, находим х = 4. Так как число 4 принад¬
лежит рассматриваемому промежутку, то х => 4 является реше¬
нием исходного уравнения.
Пусть теперь х < 5/2. Тогда по определению абсолютной
величины |2х —5|=—(2х — б), я данное уравнение преобра¬
зуется к виду
- (2х - 6) =- X - 1.
Так как число 2 прннад-
то X 2 является реше-
Решая это уравнение, находим х с=> 2.
лежит рассматриваемому промежутку,
ннем исходного уравнения.
О	т в е т. Xi = 2, X* =» 4.
Пример 3.2. Решить уравнение
|x-l|-21x-2|-f31x-31 = 4.
Решение. Данное уравнение эквивалентно следующим
уравнениям:
1)	1 — хЧ-2(х —2) —3(х —3)=»4 для х<1;
2)	X—1+2(х —2) —зй —3)*=4 для l<x<2i
3)	X —1-2(х-2)-3(х-3) — 4 для 2<х<3;
4)	X — I — 2 (х — 2) -1- 3 (х — 3) =■ 4 для х > 3.
Первое уравнение имеет решение х = 1; второе уравнение
обращается в тождество для всех значений х, удовлетворяющих
неравенству 1 < х < 2; третье не имеет решений; четвертое
имеет решение х = 5.
Ответ: х е [1; 2], х <= 5,

9 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
43
Решить уравнения:
3.1.	х| = х + 2.
3.2.	-х + 2| = 2х+1.
3.3.	х-1| + |х-21 = 1.
3.4.	х-1| + |х + 2|-|х-31 =
З.Б. 2-|1-|xl|| = l,v-
х+ II
З.в.
3.7.
3.8.
3.9.
-4.VT
1.
X- 1
5х - X* - 6
I = X» - 5х + 6.
X»- 1|=»-|х
+ 1.
^х»-Зх + 4
§ 4. Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называют уравнение, в кото¬
ром неизвестная величина содержится под знаком радикала. Об¬
ласть допустимы.х значений неизвестных иррационального урав¬
нения состоит из тех значений неизвестного, при которых неот¬
рицательны все выражения, стоящие под знаками радикалов
четной степени.
Решение иррационального уравнения воз¬
ведением в степень. Одни из способов решения иррацио¬
нального уравнения заключается в последовательном возведении
обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим об¬
щим кратным показателей всех радика.тов, входящих в данное
уравнение. Если степень, в которую возводится уравнение, четная,
то полученное уравнение может иметь корни, не являющиеся кор¬
нями исходного уравнения. Поэтому необходима проверка корней.
Пример 4.1. Решить уравнение
V3x -f 4 + Vx — 4 =i 2 л/Т.	'• {•)
Решение. Возводим обе части данного уравнения в квад¬
рат:
Зх -I- 4 -f 2 V(3x + 4) (X - 4) -I- X - 4 =. 4х.	(*•)
Приводя подобные члены, получаем уравнение
2V(3x-f 4)(х-4)=.0,
корни которого X = —4/3 и X = 4. Один из полученных корней,
а именно х = —4/3, не удовлетворяет исходному уравнению, так
как не входит в область его допустимых значений. Проверкой
убеждаемся, что при х = 4 исходное уравнение обращается в
тождество.
Ответ. X —■ 4.

44
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения:
4.1.	V* + I = 8 ~ V3x + 1.
4.2.	V* +Va+ И + V^ —Vjf + 11=4.
4.3.	л/|7 + х~ Vl'7“**=2.
4.4.	V3.t + 7 — yr+l 2.
4.5.	V25 - X = 2 - V9T^-
4.0,	V*»TT + V** “ 2x + 3 — 3.
4.7.	+ X - 5 + Vx* + 8x - 4 = 5.
4.8.	Vx* + X + 1 = Vx* - X + 1 + 1.
4.9.	(*» - 4) VxTT = 0.
4.10.	V4X-3 + VSx+ 1 =« V15x + 4.
4.11.	VxTs + л/хТзe V2x + 7.
4.12.	V4 — X + Vs + X =■ 3.
4.13.	V4X + 2 +V4x —2=«4.
4.14.	Vx-V*^ + Vx + Vx^ — 2.
4.15.	-VT+7 - x + 3 = 0.
4.10.	VxTM - Vx^ •=!.''
4.17.	V2x + 5 — V3x-5 — 2.
4.18.	^	Vx"^.
4.19.	VxTl + Vx+'6 = V2x+ 11.
4.20.	Vjnn + V3x+ I ■= VjT=l. i
.	4.21. Vjnn + VjT4^ +VxT3=.0. V
4.22.	Vv+Vx +''У 1 — Vx = 2.V
4.23.	VSx + 7 — VSx -12—1.
4.24.	V9-Vx+1 +V7 + V7+1 =4.'^
4.25.	'^24 + Vx —''yS + Vx=l.
Некоторые специальные приемы решения
яррациональных уравнений. В некоторых случаях
можно освободиться от иррациональности в уравнении умноже¬
нием обеих частей уравнений на некоторое не обращающееся
в нуль выражение.	. /
Пример 4.2. Решить уравнение	»
V3x* -р 5х -Р 8 — V3x» -р 5* -Р 1 = 1.	(•)
Решение. Умножим обе части уравнения яа выражение
V3x* -р 5х -р 8 -р V3x* -р 5х -р 1, являющееся сопряженным ле-.

5 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
43
вой части уравнения (•). После приведения подобных членов по¬
лучаем уравненне
7	== VaF+lF+l 4- V3x* + б* + 1.	(♦*)
которое эквивалентно исходному, так как уравнение
V3x* + бх + 8 + УЗх^ + 5х + 1 = О
действительных корней не имеет.
Складывая уравнения (*) и (**), получаем
л/Зх’ + 5х + 8 = 4,
Возводя последнее уравнение в квадрат, получаем квадратное
Зх» + бх - 8 = О,
уравнение
корни которого xj = —8/3, х» = 1. Делая проверку, убеждаем-
ся, что оба корня являются корнями исходного уравнения.
Ответ. Xi = 1, Хг = —8/3.
Решить уравнения;
4Ж V3x»-2x+ 15 + V3x> - 2х + 8 = 7.
4.27.	Vx* + 9 — Vx* —7 = 2. ''
4.28.	Vl5-x +	— 6.
4.29.	V^x* + БХ + С + V^x*-f Bx + C, = p.^
4.30*.
V2I + X + V2I - X
'•T^, хч^О. ✓
X
V2I -I-X —V2I —X
Введение вспомогательных неизвестных в ряде случаев по¬
зволяет перейти от иррационального уравнения к системе рацио¬
нальных уравнений.
Пример 4.3. Решить уравнение
j(a_4;e_e-=.V2x*-8x-f 12.	^
Решение. Обозначая V2x* — 8х -р 12
дующую систему уравнений:
J/» — 2х* - 8х + 12,
U = X* — 4х — 6.
> у, получаем еле-
(♦)
Исключая из системы (•) неизвестное х, получаем уравнение
у»-2у-24 = 0.
Корнями этого уравнения являются yi *= 6, у» = —4. Так как
через у обозначен арифметический корень, то из двух найден¬
ных корней уравнения выбираем положительный. Подставляя
его во второе уравиенне системы (•), получаем уравнение
х» -^ 4х-f2 —(\

46
ГЛ. г. УРАВНЕНИЯ
корни которого Xt = —2, Xt = 6. Делая протерку, убеждаемся,
что оба корня являются корнями исходного уравненяя.
Ответ. Xi = 6, Хг — —2.
Пример 4.4. Решить уравнение
‘^х + I = V'* — 3.	^
Решение. Обозначим-1Удг+I =»«, ^/x—3 = v. Исклю¬
чая X из уравнений «• <= я-Ь 1, о* = х —3, приходим к системе
u = v, и’ — о* «=> 4.
Ее решение сводится к решению уравнения
о’ — о* — 4 = О,
единственный действительный корень которого о = 2. Возвра¬
щаясь к исходному неизвестному, получаем линейное уравнение
4 => X—3, корень которого является единственным корнем ис¬
ходного ураане)гая.
Ответ. X = 7.
Решить уравнения!
8	а
4.31.	V(7jc--3)3 4.8V(3-7xr^ =7.	'	/
4Л2*. Vx^ + V4^ =- X* - 6х + 11.
*,	4
4.83. V47 — 2х Ч- л/35 + 2х = 4.
4.34.	(х -Ь 4) (X -f 1) - 3 Vx* -1- бх -Ь 2 = 6.
4.36.	Vxf+32_ 2 Vx* + 32 = 3.	'. ;
4.37».	«	\!
4.38*.
X -f Vx» - 16 - 6.
«>.	_Vwr-5s.
4.40.	Vs - X-Их - 3)
Vs —x-p Vx —3
4.41. X	4 ^ 4-4=0.
■‘^^Зх -18 4-4 Ух» -ь Зх - 6 = 0.
У^4-6у4- 16 4-У1/»4-2у=°2Уу^4-2у4-4.
4.«., д/у.-ГмР + . _ у;	- 5.

4.45.
$ 4. иррациональные уравнени;.
3 fx - 2) + 4 V‘2x« - Зх -f. 1
47
2(х»- 1)
4.4в. Vx —2 +V2x —5 + Vx + 2 + 3V2x—3 = 7 V2 .
4.47*. (X - 3)» + 3x - 22 = У7» - 3x + 7.
Решение иррациональных уравнений мето¬
дой выделения полного квадрата в подкорен¬
ных выражениях.
Пример 4.4. Решить уравнение
Vx — 1-Р2л/х —2 —л/х — I—2л/х —2 = I.
Решение. Обозначим ^/x — 2 = t\ тогда исходное уравне-
ине приобретает вид
+ 2< + I - V<~* - 2< + 1 = 1.	(Ф)!;
Так как под радикалами в левой части уравнения («) стоят пол- ^
Hue квадраты, то уравнение сводится к следующему уравнению]
Единственным корнем этого уравнения является t = 0,5. Возвра¬
щаясь к исходному иенэвестному, получаем уравнение
Ух —2 =» 0,5,
корнем которого является х = 2,25.
Ответ. X = 2^5.	,
Решить уравнения:
4.49. Vx-f 2 + 2Ух+ 1 + Ух-f 2 - 2Ух +1 = 2.
4.60. Vx-f 5-4 yjT^ + Ух + 2-2 Ух-4-1 = 1.
4.51.	л/х4-8 + 2Ух + 7 + Ух-Ц -Ух-Ь7 = 4.
4.52.	Vx’ + 2 Ух» — I — Ух» — 2 Ух» — 1 = I.
4.53.	Vx + 2yjT^ — УX-2Ух— 1= 3.
4.54.	Ух+ТУх^ + Ух - 2Ух - 1 = X - I.
I
/
4.65. Угх — 2У2х — 1 — 2 У2х +3-4У2Х— 1 +
+ зУ2х + 8- 6 У2х- 1
4.50. Ух + 3 —4Ух^ +У* + 8-бУх-1>=1.
■4.
4.57.
X — Ух^ — X х+ Ух» —X
■ Уз.

48
ГЛ. 2 УРАВНЕНИЯ
4.58.	+ лJx‘^ - ^ = дг*.
4.59.
I.	2Л/бл/^НМ + 4— V 2Vjf + 1 — 1 =
= V20 л/х~^\ + б
4.50.	V2JC* — 9х + 4 + 3 л/2*— I = V2x* + 2U — И.
4.51.	V4** + 9дс + 5 — л/2лг* + * — ! — V** - 1.
4.52*. -^4 - 4х + ** + '<'49+ 14ДС + Ж» =
— 3+ ■<'14-5л-ж»,
4.53*. V2Jt* + 8х + 6 + •v/jt* — 1 =2л + 2.
4.54.	Vj^“2+'v/1—ж=»2.
4.55.	Ж = (->/1 + Л - I) (Vl + 1).
4.65.	*	1	'
V* + 2-V*-l	V*-2'V'*-I
4.57.	■<'(0 + X)» + 4 ■<'(а - л)* = 5 л^в» - х\
п	я	я
4.58.	■V(x + I)i + •V(Jt - I)* = 4 -Vx»- 1.
4.69.	+ V^T+^ =	.
-V* +1	•Vx +1
(34 - x) -jfxTl.-(X + I)
4.70.
= 30.
■v'SA - X -	+ 1
4.71. -^'(г - X)» + -v'(7 + x)> - <'(2-x)(7 + x) = 3.
§ 5. Показательные уравнения
Показательными называются уравнения, в которых неизвест*
вое входит только в показатели степеней при постоянных осно¬
ваниях. Простейшн.м показательным уравнением является урав¬
нение вида
а* - 6.	(1)
Его решением при в>0п Ь>0, а=^Ь1, является
X = logo*.
Белп вместо х в показателе степени стоит некоторая фунК"
пня /(х), т.е. уравнение имеет вид
=» 6, а > О,	1,	6 > О,
(2)

§S ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
49
ТО, логарифмируя обе части этого уравнения, приходим к экввва-
леитному уравнению
f (х) -= logo *•
Решение простейших показательных урав<
пений. Некоторые показательные уравнения приводятся к авду
^1) или (2) с помощью равенств
д* + а е=а а* • дУ,
(а*)У = о*»,
а*
(а • 6)*.
. а*. Ь\
1.6 j " fc* •
Пример 5.1. Решить уравнение
6”-н 3^* • 2*+*.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
3»*+«. 2’*+* сэ 3**. 2*+*.
Используя свойство членов пропорции, имеем
или после упрощения 3‘~* = 2*~*. Преобразуя даввое уравнение
Е виду
• (1Г-.
1.
получаем 4 — х “ О, откуда следует, что х = 4,
Ответ. 4.
Решить уравнения:
5.1.	V5**V5*«226.
ел. 2»*.Б*-=*1600,
5.3.
-g.. Б»х, з»х^
■6.4*+' —.1. 9*+'.
5.4.	8**-'.5»*+*
5.5.	3.4* + 4-*9*+*.
О
а»»-5х-9
5Л 7	*	«(V2)3'og.r
4.3*+* + Б.З*-7.3*+'«40.

БО
ГЛ, г. УРАВНЕНИЯ
(1 \$1п*х	»	-5-eta2»
+4.5'<»»2*=з25* V
5.9. 16
X+S
х-1
де+ 17
■512.64	.
6.10.	5p*-‘l = 25”-^ V
«	2 +Ух+х
6.11.	л/з
«-3 .у /
6.12.	-8^-’^ . V V 0,25	=1. V •
..а o..:(f
6.14.	(2,4)‘-»'"*.(0.41(6)1»^*+''*
6.16. Набти решение уравнения
3*’+^ =
_1_
25'
удовлетворяющее условию х > —3.
Решения показательных уравнений, сводя»
шихся заменой переменных к алгебравнееко»
му уравнению.
Если показательное уравнение имеет вид
«(ofW)„o,	(3)
то заменой у = о^<*> оно сводится к уравнениям вида
где у/ —корни уравнения g(y) = 0.
Пример 5.2. Решить уравнение
4Vx>-2+x_5.2*-l+Vjt'-2
Решение. Обозначая 2''^^^'*’* = у и производя замену
переменных, получаем квадратное уравнение
■ 0.
корнями которого будут У| == 4 и уг = —3/2. Таким образом, ре»
шение данного уравнения свелось к решению уравнений
2*+V?^^4^	2* + ''''^—-8/2.

§ в. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Б1
Второе уравнение решений не имеет, так как 2*+V**-ij,o
при всех допустимых значениях х. Из первого уравнения полу*
чаем
х +Vx“-2 —2.
Уединяя радикал а возводя обе части уравнеиня в квадрат,
имеем
X* - 2 «= 4 - 4х + X»,
Приводя подобные члены, получаем единственный корень х а
3/2. Проверкой убеждаемся, что этот корень удовлетворяет
исходному уравнению.
Ответ. X =5 3/2.
Решить уравнения;
Б.1в. 9*’“‘ - 36.3*’"® + 3 = 0,
X 	 X
6.17.	3 V81 — 10V9 +3=0.
6.18.	З'”* - 3‘+* + 9* + Э"* = 6.
6.19.	64— 2*+^* +12 = 0.
6.20.	4'°*»* — 6.2‘“*‘* + 2'°*’ ” = 0.
6.21.	4V3*'-2* +1^2 = 9*
'' Показательные уравнения, основания степеней которых явля*
ются последовательными членами геометрической прогрессия, а
показатели степеней одинаковы, приводятся к уравнениям вида
^3) делением на любой из крайних членов.
Пример 5.3. Решить уравнение
6.4*— 13-6* + 6.9* = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на 9*. Инеем
Обозначая ИГ = у и производя замену переменных, получаем
уравнение
6у’ — 13у + 6 = 0.
корнями которого будут у1 = 3/2 н у* = 2/3. Таким образом,
решение уравнения сводится к решению двух простейших пока¬
зательных уравнений
/з^к*	3	2
l2j“2'	V2j““3’
О т в е т. xi =. 1, X* = »*-1.

62
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения:
6.22.	7.4*’ - 9 • 14*' + 2 • 49*’ «= 0.
Б.23. 3 - 16*+ 36* = 2-81*.
Б.24. 8* + 18* = 2 • 27*.
^ — * —
Б.26. 6 V9 — 13 л/б + 6 V4 =0.
Б.2в. 16* —5-8*+ 6-4* = 0.
6.27.	2^*-» — 5 + 6 • 2»-»* — 0.
6.28.	27* + 12* — 2 • 8*.
6.29.	(4 +	+ (4 - лДб)* — 62.
БЖ (V5 + 2 V6 )"' + {л/ъ-2-yJW У =• 10.V
6.31.	9'/*+ 12'/*= 1б'/*
6.82. 5'+*' -5‘"*’ =24.
6.33.	б*-' + 5-0,2*-> = 26.
6.34.	lO'^* + 25'/* = 4,25 • 50'/*.
Уравнения вида
[а (х)1^^*> = [о WI'W
эквивалентны уравнению
а (х) = 1
6	(ж) = с (х),
а (X) > 0.
Пример 5.4. Решить уравнение
в системе
|х-2|
10*>-1 ,
•\Х
-2р*.
Решён не, Исходное уравнение эквивалентно уравнению
|х-2|=1
и системе
Юх»- 1 — Зх.
lx-21=sA0.
Первые два уравнения имеют корни Xi = 3, Xj = 1, а си¬
стема —xj = 1/2, X, = —1/5.
Ответ. Х| = 3, Xj = 1, Хз = 1/2, х< = — 1/5
Решить уравнения;
4
6.86. Vl X - 31*+'= Vl X - 3 1*"^ \у
6Ж 1х-31»*’-‘“*+3«1.	*

§ 5. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
53
<0Иа*
Б.37. X
Б.38.
6.39.
5.
10(1* X+D-4
Некоторые специальные методы решения
показательных у р а в н е и и й. Некоторые уравнения сво¬
дятся к рассмотренным выше, если преобразовать отдельные нх
э.тементы, используя основное логарифмическое тождество.
Пример 5.5. Решить уравнение
+ х
log.x
162.
Решение. Согласно сделанному замечанию преобразуем
второе слагаемое в левой части уравнения:
loK.X
■3'
(*)
Подставляя полученное выражение в исходное уравнение,
получаем
2.3
>162.
(*•)
Уравнение (••) эквивалентно уравнению Iogfx.= 4, которое
в свою очередь эквивалентно двум уравнениям
logs X = 2, logj X = —2.
Решая последние уравнения, получаем Х|:
■ 9, Хз = g .
Ответ: Х| ■
'9, Хз-1.
Решить уравнения:
6.40.	5'“* = 50-х'**. ^
6.41.	10'“'*+х'«* = 20. *f
6.42.	X-- б ■ 2'* * + 6 = 0.\/
Некоторые уравнения, содержащие неизвестное в показателе
степени, удается решить с помощью исследования функций, вхо>
дящих а левую и правую части уравнений.
Пример 5.6. Решить уравнение
7«-* = х + 2.
Решение. Корень х = 5 может быть найден подбором.
Других решений уравнение не имеет, тдк как функция /(х) =>
1= 7*~* монотонно убывает, а g(x)=x + 2 монотонно воэра-.

54
ГЛ, 2. УРАВНЕНИЯ
стает, я, следовательно, графики этих функций могут пересечься
не более одного раза.
Ответ, дс = 5.
Решить уравнения]
Б.43*. (V2 + V3)* + (Vz-л/зГ = 2*.
Б.44*	—34.
6.45*	=
X
б.4в*. 4* + (X - 1) 2* = 6 - 2х.
6.47* (X + I) 9*-» + 4х ■ 3*-» - 16 а
6.48*. X* X + 1 = 2 • 2*-* — 4*-'.
6.4».	= la'^.
6.60. 3*'+4*’ = б^’.
6.61.	—-2х» + бх - а
§ 6. Логарифмические уравнения
Логарифмическим называется уравнение, содержащее невз«
вестную величину под знаком логарифма. Простейшее логариф¬
мическое уравнение
logeX = 6,	fl>0, аф1,	(1)
с множеством допустимых значений х > 0 имеет решение х=а*.
Логарифмическое уравнение, в котором под знаком логариф¬
ма стоит некоторая функция f(x),
logo/(х) —6,	й>0, аф1,	(2)
имеет множесто допустимых значений х, задаваемых неравен¬
ством f(x) > о, и эквивалентно уравнению
f(x)=^aK
Решение логарифмических уравнений све¬
дением к вростейшим логарифмическим урав¬
нениям. Некоторые логарифмические уравнения решаются с ис¬
пользованием основных свойств логартфмов (I)—(5) (гл. 1, § 5).
сводящих решение уравнения к решению простейшего логариф¬
мического уравнения.
Пример 6.1. Решить уравнепие
2-x-t-31ogs2 = logs (3* -
Решение. Перенесем логарифм, стоящий в левой часта
уравнения, в правую часть и^ воспользовавшись свойствами ло-

s в. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
гарнфнов, запишем ураввеине в виде
З'-Б»-*
55
i-x-Iog»(^	g	J.
Последвее уравнение зквнвалеитно уравнению
зх_5»-х
8
которое можно записать в виде
3* = 9.5*“-*, или 3-*~* = б*"*, или 15*“* = 1.
Полученное показательное уравнение аквнвалентно уравненкю
X — 2 = 0, решение которого х = 2.
Множество допустимых значений х данного уравненпя опре¬
деляется как решение неравенства
3* - Б*“* > 0.
При X = 2 данное неравенство справедливо, и, следовательно,
X = 2 является решением исходного логарифмического урав¬
нения.
Ответ. X = 2.
Решить уравнения!
6.1.	logs [2 + log, (3 + X)] = 0. Vf
6.2.	Ig (6 - X) - Ig (35 - X») =. 0.
ел. leg,(3* - 8) = 2 - X. \/
6.4.	log^ (4* - 6) - log^ (2* - 2) = 2.
6.5.	Ig (3x* Ч- 12x + 19) - Ig (3x -f 4) = 1.
Логарифмическое уравнение вида
loga(x)H*) = bga(^,g(x)	•'	^
эквивалентно уравнению
/(*)■=■ g (x),
рассматриваемому на множестве допустимых значений х. зада¬
ваемом системой неравенств
f (х) >0. g (х) >0. а (х) >0. а (х)^1.
Если в данное уравнение входят логарифмы по разным осно¬
ваниям, то предварительно необходимо врнвести все логарифмы
К одному основанию.
Пример 6.2. Решить уравнение
lgVJ^-i--J-lg(2x-H5) = i,	(*)

66
ГЛ. 2 УРАВНЕНИЯ
Решеяпе. Множество допустимых значений ясизвеетиогох
в данной уравненни находится как решение системы
ДЕ — I > 0. 2х + 15 > О
в представляет собой промежуток (I; оо). Используя свойства
логарифмов, преобразуем данное логарифмическое уравнение в
следующему виду;
Ig (V(je - 1) л/2х+ 15) = I.
Из последнего уравнения по определению логарифма получаем
нррацно11альное уравнение
»
.	Vu- 1)(2дг+ 15) = 10,
решение которого xi = 5, Xi—23/2. Множеству допустимых
значений х исходного уравнения принадлежит лишь корень xi
5, который н является решением исходного уравнения.
Ответ. X •= 5.
Решить уравнения:
в.в 2 log, (х - 2) 4- log, (х — 4)» = 0.
в.7. log.(l^)=.|og,(^).
в.8- Y '8	“ ‘OJ* + 25) + Ig (** - 6х + 3) ‘
■21g(x-5) + ^|g25.
в.в. Ig -^х» — 4х + 4 — 4- Ig * — Ig
>0.
6.10.
lg(^U + 9)) + Ig^^l^-=
■0.
6.11.
Iog, (2x* — 2) = log, (5х —
4).
6.12.
Ig (35 — X*)
lg(5-x)
6.13.
logx+i (x — 0.5) = logx_o,s
(*+ i).v^
6.14.
*°gx42x'-3x+5 + 3x* +
2x— I) = l0g2,x
6.15.
Iogi+x (2x* + 2x» — 3x + 1) — 3.
6.16.
logx+i (x* — 9x + 8) log,..]
,(x+I) = 3.\/
6.17.
Iogx+.(x»+x-6)* = 4.
s/
6.18.
>®8(3-чх.,(9-16х«) = 2 +
• V
log,(3-4x=') '
6.10.
6Ж
log,: ie+log2^64 —3. ^

$ в. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАПИЕЧИЯ
вД1 201og,,Vx+7log,e,x»-3 1og,^*» = 0. V
57
в.22. logx 2 - log, * +	0.
в.23. 2 - log*, (1 + X) — 3 logj л/х-\ — logj. (х» - 1)». V
в.24. 3 log^ 4 + 2 log,* 4 + 3 logi** 4 = 0.
Решеаие логарвфыическвх ураввеввА, сво<
дящихся аамевов переиеввых к алгебравче*
скому ураввевию. Еслв логарифмическое уравнение имеет
вид
f (logox) —0.
где f—некоторая функция, го заменой y = logaX ouo сводится
к уравнениям вида (I):
logaX = pr,
где у( —корни уравнения f(y) = 0.
Пример 6.3. Решить уравнение
(log, х)’ — 5 (log, х) + 6 = 0.
Решение. Обозначая logs х = у, получаем уравнение
гг’ — 5р + 6 = о,
корни которого у, = 2, g, = 3. Таким образом, исходное урав*
иенне эквивалентно двум уравнениям вида (I);
log, X = 2,	log, X = 3,
решения которых; Х| = 4 н х, = 8.
Ответ. Xi = 4, X, = 8.
Решить уравнения;
в.25. lg»x — lg»x —61gx = 0.
*•26. 2^2 log’jx — /^logj X -6 = 0.
6.27. log^ x-30^1og|x + 36 = 0.
*•2*-	(-^) logira [x tg» = 2 cos*
6.29.	Vl + log* V27 log, X + 1 = 0,
6.30.	4-lg* = 3Yl^.
6.31.	3 Vig7 + 2 Ig VT/x = 2.
6.32*. -VTg(-x) =lg.^.
6.33.	log, (3* — l) log, (3*-H _ 3)	6.
6.34.	2 logj logjx + log^j logjj (2 V2 x) - 1.

68
ГЛ. ». УРАВНЕНИЯ
Решение логарифмических ■уравнений ме<
тодои логарифмирования. Если неизвестное входит з
уравнение как под знаком логарифма, так и в оспвванни сте¬
пени, то в некоторых случаях уравнения указанного типа могут
решаться логарифмированием обеих частей уравнения с после¬
дующим использованием приведенных выше методов решения ло¬
гарифмических уравнений.
Пример 6.4. Решить уравнение
,2+Iogi * о8
Решение. Прологарифмируем обе части уравнения
!og,(xr»+‘°«*') = log,3«;
используя свойства логарифмов, получаем уравнение
(2 + logj х) loga X = 8.
Обозначая logs х = ^ и производя замену переменных, на¬
ходим корни квадратного уравнения
р» + 2у-8 = 0,
у, — —4. ffi =■ 2.
Решая простейшие логарифмические уравнения, получаем зна-
чепия
logs X = —4 «:*■ X = 3~\
logs X —> 2 X — 3*.
Ответ. Xi ■=• 3*, xj •= 3~^
Решить уравнения:
6.35. х<® *■ '•* '* =. Vio.
6.36.	х'в'*+'***+®	;			;	. V,
■у/7+1
6.37.	х*'«’*= 10х®.
6.38.	=- 1.
6.39.	9х'**-1-9х“ '**=.60.
log* (x*)-Iog (2х)-2
I V* + I + •
6.40. X
6.41. х"““' *''*
6.42. 7«х
(ю*а**)
- (х +2)^ = 3.
- log, х+ 		Ц=-
(УТ)	log,Vx ^
Г+'®в*	*
log _(х+7)
-б-Их-Ь7)

$ 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
59
Решение логарифмических уравнений о по¬
мощью свойств логарифмической функции. Не¬
которые логарифмические ураввения удается решить с помощью
исследования поведения функций, входящих в левую и правую
части уравнения.
Пример 6.5. Решить уравнение
Iog7(x-P2> —6 —X.
Решение. Подстановкой проверяем, что х = 5 является
решением уравнения. Других решений уравнение не имеет, так
как функция, стоящая в левой части, возрастает, а в правой-,
убывает, и, следовательво, графики этих функций не могут иметь
более одного пересечения.
Ответ. X = 5.
Решить уравнения!
6.43.	(X + 1) log^x + 4х logj X - 16 = 0.	'
6.44.	Зх* — 2х® = logs (х* + 1) — logs х,
6.45.	3* = 10 — logs X,
6.46.	log^c (х — I) logj X и» 6 — 2х.
§ 7. Разные задачи
Решить уравнения!
7.1.	12^"'‘^=i3^-4*'*'®.
7Л. 2* 4- 4<*+ Ч/* г= 8 • 3*/®.
7.3.	2* - 3*/* = 1.
7.4.	(sin l)*4-(cos 1)*=>1. V'
7.5.	lOx* 2.100*.
7.6.	x-v^=(Vx)*.
*+l
7.7** 6x -v/8^ =» 100.^
7.8.	11**-*+ 13®*“*= 13®*~‘ - 11®*“‘.
7.9*. 10^*+Ч(3*+<)_2- I0'*’*’4(x+2),^ |qI-x-x>^
7.10.	x'^=.(VJ)^
7.11.	9*-5- l2* + 6-16*=.0.
7.12.	logj l(x + 2) (X - 3)1 = 4 log, (2x + 1) - log^ Л
7.18.	Ig’x» - 20 Ig V* + » =* 0-
7.14.	I 1 —logiyjX 1 + 2 = 13 — logyjX I.
X15. log^x + |x-2|) = log,(6x-6 + 5|x-2l).

со
ГЛ, 5. УРАВНЕНИЯ
7.18. Iogx+,(A:» + JC-6)*=.4.
7.J7.
1 + loga (х — 4)
+ ^ “ л/jc — 3)
7.18.	logg [(2 + Vs )* - (Vs - 2)']	^ _ 3 Iog,/5 2.
7.19.	Б. (-^)*'" * + 4 • 5“* ^ = 25"^
7ГГ*--2
7.20. (V7 + 4V3)'°** + (V7-4V3)“**--T-
* / J_\logg(*’+2*+4)	„'о«,и(*+2>
V 3

г л А в А 3
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Несколько ураквеявй
I (*г *i	*п)“®‘	(*Г *8	^л)”®'	**	*п)"®*
расснатрвваемых совместно, яааыаают системой уравнений, Решеввен
зтой системы называется упорядочеввыЯ набор значение вевэвествых.
0бр8а;аю1цнй все уравнения системы в тождества.
Если система уравнений имеет решения, то говорят, что она сов>
местная. Если система уравнений не имеет решений, то говорят, что
она несовместная.
Линейным уравнением с п неизвестными называют уравнение вида
a^x^ + a^2^*‘ ••• +‘’л*п“®'
где а.
а„, Ь—некоторые числа.
Система уравнений называется линейной, если все уравнения си*
стены линейные. Совместная система называется определенной, если она
имеет единственное решение (т. е. существует единственный набор чисел
й,	йд, обращающий все уравнения системы в тождества).
Совместная система уравнений называется неопределенной, если она
ныеет более одного решения. Две совместные системы уравнений вквива-
лентны, если множества их решений совладают.
При решении систем уравнений часто используются следующие пре*
образования системы, приводящие к системе уравнений, эквивалентной
неходкой,
1.	Если обе части какого-либо уравнения системы донножнть на одно
н то же (не равное нулю) число, то полученная система будет эквива¬
лентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, или .же обе
совместны и мвожестаа их решений совпадают).
2.	Если обе части какого-либо уравнения системы, умноженные' на
некоторое (отличное от нуля) число, вычесть из соответствующих частей
другого уравнения н составить систему, в которой вместо одного из упо¬
мянутых уравнений стоит уравнение, полученное в результате вычитания,
а остальные уравнения оставлены без нзмененмй, то полученная система
будет эквивалентна исходной.
§ 1. Системы линейных уравнений
Решение систем линейных уравнений мето*
дом Гаусса. При нахождении решений системы т линейных
уравнений с п неизвестными удобно использовать метод Гаусса,
состоящий в том, что систему приводят к треугольному или
трапецнедальному виду. Проиллюстрируем метод Гаусса на при¬
мере.

62	ГЛ. 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
Пример 1.1. Решить систему
* + 2у + 3z = 8,
+ у + г = 6,
2z + у + 2г = 6.
Решение. Умножая обе части первого уравнения на —3 и
складывая со вторым уравнением, получаем уравнение
—5у — 8г ■*» —18, или
бу + 8г = 18.
Умножая обе’части первого уравнения на 1—2) в складывая с
третьим уравнением системы, получаем уравнение —Зу — 4г =i
-= —10, или
Зу + 4z = 10.
Следовательно, данную систему можно записать в виде эквива>
лентной системы, в которой второе и третье уравнения не содер'
жат неизвестного х:
л: + 2у+ 3z = 8,
бу + 8г=18,
3y + 4z=10.
(•)
Умножая обе части второго уравнения на 3, а третьего —на
(—5) и складывая эти уравнения, получаем уравнение 4z — 4;
таким образом, система (•) записывается в виде эквивалентной
системы
JC + 2у + 3z = 8.
5у+ 8z=18.
z=> 1.
Итак, исходная система приведена к треугольному виду. Под«
ставляя г 1 во второе уравнение системы, находим у 2.
Подставляя значения z»l и у = 2 в первое уравнение, яахо->
дни X = 1.
Ответ. х = 1,у = 2, z = 1.
Решить системы линейных уравнений методом Гаусса;
1.1. 2x+y + z = 7,
IJ2. 3x-4y + 5z=18,-
+ 2у + Z = 8.
2х + 4у — 3z = 26,
д: + У + 2z = 9.
X — 6у 4- 8z = 0.
U. 10х —9z= 19,
1.4. х + 2у4"24*7>=0.
8х — у «я 10.
2х + у — Z — 1 -= 0,
у - 12Z - 10.
Зх — у + 2z — 2 ^ 0,

§ 1. СИСТЕМЫ линейных уравнении
63
1.В. -Г--
а’
+Т-
л	ILJ.-L-
^ ь '
X у ,г_
с» с
I. V
1.6. X + о*у + 1>*г = 0,
X + ау + 6z = о,
*+У + 2=1.
V
Решение и исследование систем двух ли*
иейных уравнений с двумя неизвестными. Рас¬
смотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвест
нымн
оцхЧ- ai*y= б||
в2|Х -J* 0цу “
(•)
при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от
нуля. Пусть А, Ад и А, — определители системы (*) :
А =
Дх=*
&у =
Оц ви
Oji 022
bl 0|2
bi 022
Oil >1
021 Ьз
I a||022 — 0|2в21,
’ Ь\азз — Ьза1з,
‘ ОцЙ2 — 02|ЙГ
При Д#0 система имеет единственное решение х = —,
А
Д|/
У = ~ЕГ-
При Д = 0:
1)	если хотя бы один из определителей A< или Дц не равен
нулю, то система (♦) несовместная (т. е. не имеет решений);
2)	если Дд = Д, = О, то система (*) совместная и Неопре¬
деленная (т. е. имеет бесконечно много решений).
Каждое из уравнений системы (*) задает линейное соответ<
ствие между переменными х и у. Всякое линейное соответствия
между переменными х и у определяет в прямоугольной системе
координат некоторую прямую. Если система имеет единственное
решение, то прямые, задаваемые первым и вторым уравнениями,
пересекаются. Если система имеет бесчислеиное множество реше¬
ний, прямые совпадают; если система несовместна, прямые па¬
раллельны.
Пример 1.2. Решить и исследовать систему
ох -Р у = 2,
X оу =• 2в.

64	ГЛ 3. СИСТЕМЫ УРАВНБППЛ
Решение. Вычислим определители системы:
Д.
Дх*
Д„.
а I
1	а
2	I
2а а
а 2
I 2а
= а*-1,
= 2а — 2а = О,
= 2а’ — 2.
1J Пусть Д = о*—t О, т. е. а "И* ±1. В этом случае си¬
стема имеет единственное решеине:
ДУ
Д
1
0—¥
2а* —2
о*-1
•2.
2)	Пусть Два*— 1 =» О, т.е. а = ±1. В этом случае А ==
Дл в в О, т. е. система совместная и неопределенная.
При а в 1 система принимает вид
х+ у => 2, х+р — 2.
в ее решениями будут все пары чисел (х, у), связанные равен¬
ством X -f р «= 2.
При а в —I имеем
—Д + Р = 2,	X - р в —2,
X — р в —2. X — р в —2,
а ее решениями будут все пары чисел (х, у), связанные равеи-
стеом X — р в —2.
Ответ. При а <$& ±1 система имеет единственное решение
X в о, р в 2;
при а в 1 система имеет своими решениями все пары чисел
(х.р), связанные равенством х + р в 2;
при а в —1 система имеет своими решениями все пары чи¬
сел (х, у), связанные равенством х —р = —2.
Решить и исследовать системы уравнений:
1.7.	X + ор — 1 — О,	IА Зх + ар в ба*,
ох — Зор — (2а + 3) в 0.	Зх — ар в а*.
!.«. (a + 5)x-f (2а + 3)р —{3a-f2) = 0,
(За+ 10)х+(5а + 6)р-(2а + 4) =
1.10.	а (а — 1) X -(-(а + 1) ар =
(о*—I)x4-(a*+l)tf =
1.12.	(а* + Ь*)х + (а* - 6») р:
{a+b)x + {a — b)y-
-а» + 2.
' а‘ — 1.
■ а*
>0.
*0.
1.11. ах — у^Ь,
Ьх + у а.

i I. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
65
1.13.	Найти такие значения параметров тир, при которых
система
(Зт — бр + 6) X + (8/п — Зр — а) р в 1,
(2т — Зр + 6) X + (4т — р) р в 2
была бы неопределенной.
1.14.	Совместны ли уравнения
X + ер = б + с.
X + by — с + а,
X + су => а + Ь,
•где а* -f б* -f- с* = 1, о, б, с — действительные числа?
1.15.	Числа а и б таковы, что система
о*х — ор в I — а,
бх + (3-2б)р = 34-о
имеет единственное решение х = 1, р = 1. Найти числа о и С»
1.16.	При каких значениях о и б система
о*х — бр в а* — 5,
6х-б*р = 2 + 46
имеет бесконечно много решений?
1.17.	При каких значениях а система
а’х + (2 — а)'у в 4 + а’,
ах + (2а — I) р в а® — 2
пе имеет решений?
1.18.	Числа а, б и с таковы, что система
ах — by =>2а — Ь,
(с + 1) * + ср в 10 — а + 36
имеет бесконечно много решений, причем хв], у = 3 — одни
из этих решений. Найти а, Ь и с.
1.19.	При каких значениях параметра а система уравнений
ах — 4р ва + 1,
2х + (о + 6) р в а + 3
яе имеет решений?
1.20.	При каких значениях параметра а система
2х + ор в а + 2,
(а + 1) X -4- 2ар = 2о + 4
имеет бесконечно много решений?
3 А. г, Цыакяя, А, И, ПявскяВ

66
ГЛ. 8. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
§ 2. Системы нелинейных уравнений
Решение систем, содержащих линейное
уравнение. Если одно из уравнений системы двух уравнений
с двумя неизвестными линейное, а второе — нелинейное, то эта
система решается следующим способом. Из линейного уравнения
выражают одно неизвестное через другое и подставляют во вто>
рое уравнение, которое после этого превращается в алгебраиче¬
ское уравнение с одним неизвестным.
Решить системы уравнений:
2.1. (ж
2.3.iL + JL
у дс
у) (•<* - у*) •
* Х + У>
13
6 ’
х + у
2.5, X* + у*
. 46,	2.2. (ж + 0,2)» + (у + 0,3)».
■5.	х + у
2.4. (х+у)*+Л(х+у)*-Ш
х-у
. 2 (жу + 2),	2.6. ж»+</»-И0ж-10{/
■ 6.	х + у
■1.
>0.9.
-о,
"25.
2ху—2\,
б.
*+У
Решевне систем, содержащих однородное
уравнение. В тех случаях, когда одно из двух уравнений не¬
линейной системы однородное, можно с помощью этого уравне-
вия линейно выразить одно неизвестное системы через другое.
Пример 2.1. Решить систему
ж* — Ъху + 6у* «=» о.
X* + у» — 10.
(•)
Решение. Разделив первое уравнение на у», получаем от¬
носительно вевзвестного / = х1у квадратное уравнение
/*-514-6 —0.
корнями которого являются /| = 2, /г ^ 3. Возвращаясь к исход¬
ным неизвестным, получаем следующие линейные зависимости
между неизвестными, входящими в исходную систему (*):
ж = 2у, ж = 3у.	{••)
Подставляя последовательно ж я х = 2у во второе
уравнение данной снстемы, получаем относительно неизвестного у
квадратные уравнения у* = 1 и i/» »»> 2, корни которых
уI,» = ± 1, Уз. 4 ■= ± V2. Соответствующие значения Ж1, Жз, Жз, жз
находятся из равенств (•*).
Ответ. Пары чисел (3, 1), (—3, —1), (2V2^i V^t (—2л/^.
-•V^.
Система вида
в|Ж* + 6,у* + cixy — di.
вах* -f bty* -Ь с^у 4ь
di’^Q, rfiTib0,

i 2. СИСТЕМЫ нелинейных УРАВНЕНИИ
67
сводится к снстеме. содержащей однородное уравнение, следую¬
щим обравом: умножаем обе части первого уравнения на dt, обе
части второго — на {—di) и складываем первое уравнение со
вторым. В результате сложения получается однородное уравне¬
ние. Далее исходную систему заменяем эквивалентной системой,
состоящей из полученного однородного уравнения и одного из
уравнений исходной системы.
Пример 2.2. Решить систему уравнений
ж» —у»= 1,
х* + хуг=* 2.
Решение. Умножив обе части первого уравнения на 2,
обе части второго —на (—1) и складывая полученные уравне¬
ния, получаем однородное уравнение
ж» —2у* —жу=»0.
Поделив обе части однородного уравнения на у*, получим отно-
ж
сительно ^ квадратное уравнение
2»-2-2 = 0,
корни которого Zi = —1, 2| "= 2.
Исходная система, таким образом, эквивалентна двум сн-'
стемам
I.
ж*-у»=1,
ж*-у*
^ — 1 “
У ~
ж
у
первая из которых несовместная, а решения второй имеют вид
/'2V3	л/з^/'	2 л/г л/з')
V 3 ■	3 Г V 3	’ г )•
о„„. (1#, Щ (-1^
л/г
)•
Решить системы уравнений;
2.7, ж*г/* + ж*у* = 12,
ж»//»
2.9.
Л/
' + у» = 65,\ /
i. r„S = 90 V
2.8.	ж» ■
е’у* — ж»у» = 4. ''	ж*у + жу» •= 20.
л<_у«=15, \
ж*у —жу’ = 6. V
' Решение симметрических с и с т е м. Система урав¬
нений с п неизвестными Ж|, Жз, Жл называется симметрич»>
ской, если она не меняется при перестановке неизвестных. Если
неизвестных два (ж я у), то часто решение таких систем может
быть найдено с помощью введения новых неизвестных ис=ж + у.
3*

66
ГЛ. S. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ
V <s> xjf. При этом удобно использовать следующие равенства:
л* + у* = (■» + »)* —	= и* — 2о,
+ у* = (дс .f у)^ — Зху (х + </) = и* — Зао,
х^ + у* = (х* + у^)^ - 2x*j/» =-
•= ((л + уУ — 2хуУ — 2х’)/* = (а* — 2о)* — 2о*,
позволяющие выразить комбниаиин неизвестных х* + !/*. л* 4- У*,
л‘ + у* через неизвестные а и а.
Пример 2.3. Решить систему уравнений
л* + у’ =» 2 (ху + 2)
х+у = 6.
Р е ш е н н'В. Обозначим а = ху, а « х + у. Тогда, исполь¬
зуя равенство
X* + у’ = (х + у)’ — 2ху,
получаем относительно новых неизвестных систему
а* — 2а = 2а 4,
а =» 6,
единственным решением которой является а — в, о8. Воз¬
вращаясь к исходным неизвестным, получаем, что решение ис¬
ходной системы сводится к решению более простой системы
л + у => б, ху = 8.
корни которой можно найти, используя, например, теорему Виета,
Ответ. (2, 4); (4, 2).
Решить системы уравнений:
2.10. х»у + у»х - 20, * ,
л ‘ у 4
2.12. х*у + ху» = 6,
*у + л + У =• 5.
2.14. х’-Ь у* = 9,
ху = 2.
2.16. (X» Ч-У*) лу = 78,
X* + у* = 97.
2.18. х< + у* = 97,	^
2.11. х» + у* = о, V
•о. * ь
X» у*
2.13. х’ + у<—82.
л-Ьу=*4.
2.15. х*-Ьу* = 2,
лу (л 4- у) =» 2.
2.17.	5 (X* + у*) =■ 41 (л*4-у’)-
х»4-у’+ лу=-13.
лу = 6.
Решить следующие системы уравнений с
комбинации изложенных выше методов:
2.19*. (л»-х4- 1)(У*-У4- 1)=3,
(х4- 1)(У4- 1) = 6.
использованием
2.20*.
л4-у I л —у
10
л —У
л4-У
Л*4-У’-
3
■5.
, 2.21*. 2х’у» - у*л* — 36,
2л*у — у*Л=-в.

I i. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯ
6Э
2.22.
ЛУ-Л4-У-.1,
2ЛЗ. ху 4- л — у — 3.
x'y — у*л — 30.
х*у — ху' =■ 2.
2.24.
Л* 4- лу 4- X - 10.
2.25. л* 4- лу 4- 2у* =
37.
У* 4- лу 4- у “ 20.
2х* 4- 2ху 4- у’ —
26,
2.26*.
, л* — ху 4- у* —
19,
2.27*. (х‘ 4-1) (у’ 4-1)
- 10.
л* 4- л»у> 4-у’ —
931.
(л 4- у) (лу — 1)
— 3.
2.28*
. X* — у“ — 3093,
X — у — 3.
Сниметрнческке системы трех уравнений с тремя неизвест¬
ными X, у, г обычно решаю.ся с помощью введеиня новых не¬
известных
U — * 4- у -1- 2, о = ху 4- У* + лг, ш = хуг.
При этом удобно использовать следующие равенства:
л* 4- у* 4- 2* — (х 4- у 4- г)* — 2 (ху 4- yz 4- zx) = u* — 2о.
л’4-у*4-г’ = (л4-у4-г)^ —
— 3 (х 4- у 4- г) (ху 4- уг 4- гх) 4- Зхуг =» и’ — Зко 4- За».
Пример 2.4. Решить систему уравнений
л4-у4-2—1,
лу 4* ул 4- лл — —4.
л* 4- у’ 4- л* — 1.
Решение. Система симметрическая. Вводя вспоыогатель-
вые неизвествые
л4-у4-л<
■ и.
лу 4- ул 4- Л2 — о. хуг ■
. W
в пользуясь равенством
л* 4* У* 4* л* = и’ — Зио 4- Зщ,
получаем систему
и —»I, о — —4, в* — Зво 4* За» =» 1,
или, возвращаясь к старым неизвестным, систему
л4-у 4-л=- I,
лу 4- ул 4- л2 =» —4,
хуг = —4.
{•)
Решение системы (*) может быть найдено о помощью тео¬
ремы Виета для кубичного многочлена: корни ft, ft кубичного
ыиогочлена а/’ -j- &< -(- с связаны равенствами
<1 -Ь <14-	—Hf
fih 4* hft 4" f»ft *=• *•
fif$ft^—o.

70
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ
Нетрудно заметить, что при а = —1, 6 •=
бичного уравнения
—/»-4< + 4 —о
с -= 4 корив ку*
связаны теми же равенствами, что и неизвестные х, у, г систе<
мы (*), и, следовательно, тройка значений неизвестных
x=*ti, у = 1г, г = 1з
будет решением системы (•). Кроме этой тройки значений неиз*
вестных, в силу симметричности системы решениями также будут
тройки эвачений неизвестных:
X = ti,
г —/а.
x«=/s.
y = h.
г=»/|.
У —<a.
Z^ti,
X —/»,
У —и.
У=“<|.
Z***tz^
Таким образом, решение данной системы свелось к на¬
хождению корней кубичного уравнения
<»_/*_4/ + 4=i0.
Ими являются числа
/|-2,	<а“-2,	/j=I.
Следовательно, решениями исходной системы будут следую¬
щие упорядоченные тройки чисел:
(2, -2, 1); (-2. 2, I): (I, 2, -2); (-2, 1. 2);
(I, -2, 2); (2, I. -2).
Решить системы уравнений:
2.29. х + у + гшшО,
2Ж x + y + z=‘l.
x»-f у> + 2>,
xyz = 2.
x’ -н + Z* — 1.
Иногда системы трех уравнений с тремя неизвестными ре«
шаются с помощью введения вспомогательных неизвестных.
Пример 2.5. Решить систему уравнений
■3.
уг
У + х
■4.
Решение. Данная система равносильна системе
х + у J_ f + z 2 у + г J_
~1су 6 ’ XZ Т’ уг “ 4 *

$ г. СИСТЕМЫ нелинейных уравнении
71
Произведя почленное деление в левых частях уравнеинй. приве¬
дем ее к виду
J_ 1 ^ ±4._L 1. JLj.— -L
у + х — б' х***г“з’	у''’х“4’
Обозначая	4” ~	линейную
систему относительно введенных неизвестных:
3	2
« + p = -g-. а + и»=-^.
^	,	,	/ 61 II 19 \	_
Ее решением будет тройка чисел I)• Следо-
вательно, решением исходной системы будет тройка чисел
f 120	120	120 \
I	61 '	11 ' 19 )•
В отличие от систем линейных уравнений системы нелиней¬
ных уравнений могут быть определенными даже в тех случаях,
когда число уравнений меньше чисел неизвестных. Простейшим
примером такой системы является система, состоящая из одного
уравнения
(X - 1)*-Иу - 2)* + (2 - 3)* - 0.
единственным решением которого является х 1, у— 2, 2 = 3.
Пример 2.6. Решить систему уравнений
x-f у-1-2=4,
2ху — z’ = 16.
Решение. Возводя обе части первого уравиепня в квад¬
рат, имеем
X* + У* + Z* +	+ 2уг -Ь 2x2 = 16.	(♦)
Вычитая из уравнения I*) второе уравнение системы, пору¬
чаем уравнение
х’ + у’ + 2z’ Ч- 2yz -f- 2zx = о,
которое можно записать в виде
(х + гУ -f (у -Ь 2)* = 0.
Последнее уравнение выполняется только при х = —г, у = —г.
Возвращаясь к исходной системе, получаем из первого урав¬
нения 2 =а —4 и, следовательно, х = 4, у = 4.
Полученное решение ^4, 4, —4) и будет решением исходной
системы.
Ответ. J4, 4, —41,

72	гл. S. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
Решить системы уравнеинй:
2.32. ж* —2уг ——1,
' 1.
2.31.	у^ + ху — г^ --
x + Syr
•4,
■ 8.
2.33*. Зху ■
■ -=-5,
хг
8
ху + - = 5.
уг- —-1.
ух
2.35. х* — (у — г)* ■=■ а.
y* — (j! — x)*=‘ Ь,
г* — {х — уУ = с.
2.38.
х + У
2.37. х + у + г
JC* + У* + г’
=» 13,
-91.
= хг.
2.38.	х + у + г^^О,
X* + у* 4- 2* = 2 (у — j: — г) — 2,
х’ + у’ + 2’ = 3 (х* — у* + 2*).
2.39.	X + у + 2 = 1,
4х* + у* + 2* — бх »= х’ + у* + 2* — 2,
Ху2 =
2 4-уг.
2.40. ху 4- У2 4- 2Х = П,
2.41. 2(х4-у) = ху.
X» 4-У* 4-2* =14.
ху 4- уг 4- 2х == 108,
хуг — 8.
хуг = 180.
2.42. X (х 4- у 4- 2) «= 0,
2.43. X» 4- У* = ахуг.
у (X 4- У 4- 2) — 6,
у» 4- 2» = Ьхуг,
2 (X 4- У 4- 2) = с.
2» 4' X» «= схуг.
2.44.	х*у = X + у — 2,
2*Х = X — у + 2,
У*х *= у — X + г.
2.48. 2 (X» + у>) =» хуг,
10 (у* + 2*) =* 29хуг,
б (г‘+ X») =. 13ху2.
2.45. 4ху 4- X* + у* = I,
8x2 4- X» 4- 42» = -2,
Ъуг 4- |/»4- 42»= 1.
2.47. ху2» = — у — 2х,
2.48. ху 4- X 4- у = 7,
2х»у2 = — - 2,
уг 4- у 4- 2 = —3,
Зху»2 = 2х — 2.
х2 4- X 4- 2 = —5.
Если среди уравнений системы есть иррациональные, то при
ее решении обычно освобождаются от иррацноиальностн. При

« г. СИСТЕМЫ нелинейных уравнении
73
этом применяются методы, используемые при решения ирра«
циональных уравнений.
Пример 2.7, Решить систему уравнений
4	4
Vl + бх + уЪ — у ’^3,
Бх-у-И.
Решение. Обозначая Vl+6x=>« и Vs —у
чаем симметрическую систему нелинейных уравнений
U + Р 3, U* + о* = 17,
■ о, полу-
(*)
решения которой и<=1, о = 2 и и = 2, о=1. Возвращаясь к
исходным неизвестным, получаем следующие системы линейных
уравнений:
1	+ 5х = 16,	1 + 5х «= I.
б — у =» I, 5 — у «= 16.
Решение первой системы х'
стемы X = О, у = —11.
Ответ. (3, 4); (О, —11).
Решить системы уравнений:
3, у — А. Решение второй сн»
2.49.	V2x + у + • — -^х+ у — 1,
Зх + 2у = 4.
2.50.	-^х + 2у + ■^х — у 4- 2 = 3,
2x4-У = 7.
2.51.	Vx’ — ху + ху — i/ = Ъ (S ~ у),
2»-у» = 41.
2Л2. Vx’ 4- У* 4- л/^ = 8 V^,
Vx 4- Vy =• 4.
2,63. Vx*4-6 4- Vy*-5 = 5.	2.54. V* + Vy => 2.
x»4-y’—l3.	x-2y4-l=*0.
2.65.	Vx 4- Vy — 8.
x4-y — Vx4-Vy—2 л/7у = 2.
2.56.	xy 4- Vx»y» — y^ — 8 (Vx 4- У 4- Vx — у A
(X 4- y)®^ - (X — y)®'® = 26.
Используя изложенные выше методы, решить системы:
2.57.	Зх* 4-2ху 4-У* — П.
х*4-2ху4-3у*= 17.
2.68*. X* 4- ху 4- у* — 19 (X - у)\
X* — ху 4-у» = 7 (х — у).

74
ГЛ.
Э. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
2.6t.
(ж-1>*+(у+1)*-г*-0^
ж - Z - 1 — 0.
2.60.
'^ix + y ,
>^2х + р 81
'у
2ж 182 ’
-^22 — у
<^2х — у 1
2.61.
У
Ж + Р —2
2ж 182 ■
: = 2, 2.62. 2* + жр + у'
X* +	+ 2* >
*’ + 1/* — 2’ >
•6.
>8.
2 + 2* — 3,
2’ + 22 + 2’ — 7,
§ 3. Системы показательных и логарифмических
уравнений
Системы, содержащие показательные вли логарифмические
уравнения, обычно решаются сведением показательного (или ло<
гарифмического) уравнения к алгебраическому уравнению с по<
следующим рещевием полученной алгебраической системы.
Пример 3.1. Решить систему уравнений
^-у
■ 0.5‘'
-3
logs (2 — 2у) + logs (З2 +	3.
Решение. Множество допустимых значений неизвестных х
в у определяется системой неравенств
X — 2у > О, 32 + 2у > 0.	(•)
Из показательного уравнения исходной системы, ваписанвого
в виде
получаем уравнение
ж — »Ч-6 = 6 — 2у;
пз логарифмического уравнения, записанного в виде
logs [(2 — 2у) (Зж + 2у)\ = 3.
получаем уравнение
(2-2у)(Зж4-2у) = 27.
Таким образом, решение исходной системы свелось к реше*
вню системы уравнений
2-у + 6 = 6-2у,
(ж-2//) (32 + 2у) = 27,
(**)
рассматриваемой на множестве допустимых значений нензвест»
йых, задаваемом системой (*). Выражая у вз первого уравнения

$ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 75
системы («•) в подставляя у “ —х во второе уравпелне, волу'
чаем уравнение
Зж» =- 27.
решения которого Х\ = 3, Жа = —3. Из первого уравнения си«
стемы находим yi = —3, ра 3. Из двух найденных пар чисел
[(3, —3), (—3, 3) решений системы (*•) лишь пара (3, —3) удо"
плетворяет системе неравенств (*).
Ответ. (3, —3).	^
Решить системы уравнений:	~
8.1. logy ж + logx р •>» 2.	8.2. logsX —k)g»p«-0,
х»-р=з20.	х*-2р»-8 = 0.
8.3.	4*+*'=-2»'-*,
3.4.
> Р^ — 5.
и*
— + —=12.
Р ж
2~IoEj ж ц. slog, (l/i/) _ _L^
3
8.5.	х + у —12,
2	(2 logy, ж - log,У;, Р) “ 5.
8.6*. 4* - 7.— 23“",
Ig {Зж — р) + Ig (ж + р) — 4 Ig 2 == 0.
8А 4*'"+"/*=i32.
•oga (ж — р) =. I — log* (ж + у).
4
3.9.	9^-2Г-3^ =г0.
4->8* + у *8 “’в — Vx).
8.10.	3“*.2" —1152,	3.11. 2*.3' —в,
log^(x + p)-2.	3*.4"=12.
8.12.	(0.48*’+3)’^~'' = I,
Ig (ж + р) — 1 =» lg'6 — Ig (ж + 2р).
8.18^ж*’-"’-‘®=.|,
ж —р —2.
Если основание степени в показательном уравяеяли снстснт(
является фунноией вензвестных, то систему можно свести к ся|
стене радвональных уравнений, принимая в качестве одного i4i
неизвестных логарифм этой фунпщя по некоторому основаяша|

7в	гл. 8. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ
Пример 3^. Решить систему уравнений
>5.
. 125,
Решение. Логарифмируя оба уравнения системы по осно¬
ванию 5, получаем систему уравнений, эквивалентную исходной
системе
(2р* — 1) logs ж =» 1,
(p* + 2)log»x = 3.
Обозначая log«iX = г, получаем систему рациональных уравне¬
ний
(2p’-l)z=l,
(j,2 + 2)z = 3.
Выражая г из первого уравнения системы в подставляя во вто¬
рое, получаем уравнение
У» + 2
2р»- I
■3.
решение которого pi = I, рг = —1. Из первого уравнения си¬
стемы находим (как при р = 1, так и при у = —1), что г •= I.
Из уравнения
log, X — 1
находим X = 5. Таким образом, решениями исходной системы
будут две пары чисел: (5, 1) н (5,-1).
Ответ. (5, 1): (5, —1).
Решить системы уравнений:
8.14. р = 1 -Ь log, X,
л-У = 4».
8.16.	(хЧ-р)3»-* = -|-.
31oge(x-fp)=.x —р.
3.18.	(х-Ьр)-2‘'-2*=.6.25.
(х-Ьр)‘«2*-у) = 5,
3.18.	р — log, X = 1,
х» = 3'».
3.17.	х*-*"-36.
4	(х — 2р) -Ь log* X — 9.
< Некоторые системы логарифмических или показательных
^гравнений сводятся к системам рациональных уравнений непо-
«рредственной заменой входящих в них логарифмов (или, соответ»
ствевво, степеней^ новыми неизвестными.

* 4. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ	77
Пример 3.3. Решить систему уравнений
5^.2V7 „ 200,
„689.
Решение. Обозначая г = и и 2'^, получаем си¬
стему рациональных уравнений
ги = 200,	2» + u* = 689,
которая эквивалентна с учетом условий z > 0 и и > 0 системе
ZU = 200,
Z + и =- 33.
Решениями этой системы являются следующие пары чисел:
(25. 8); (8. 25).
Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем следующие
системы уравнений:
5-^ = 25,	6^ = 8,
2''^ = 8.	2*^ = 25.
которые имеют решения х = 8. р = 9их = (log,8)*, р = (log,25)*.
Ответ. (8. 9); (27 log* 2. 4 log| б).
Решить системы уравнений:
3.19*.	2'^-* +4'^-'=5,
■8.
3(х + р) 5(х — у)
х — у	X -1- р
3.20*. (х*+р).2‘'-*’=1.
9(х*-Ьр) = б^-».
3.21.
11**-2.5‘' = 71,
11*+ 2. б*'/* = 21,
n(x-l)2^5P/2_j6^
§ 4. Разные задачи
Решить системы уравнений:
4.1*.
ух
-х*-»
Jog, р logj, (р — 2х) = 1.
4.2.	log, X + log, р + log4 z = 2,
logs P + log, z + log, X = 2,
log, z + log, X + log,, p = 2.
Ie4-(x'+v»)+t.s
4.3.	10 *	=100VTo,
Vx* + lOp	6
3	2Vx* + lOp - 9*

78
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
4.4*.
yVr+V7 =
4.5*. logj, I logj, X I = \ogx I logx IJ [.
Ig’ x + Ig* i/ = 8.
4.6.	log,jX^^^^-j+logs j/j = log, r.
= 3 logs X.
log^2
log, X [fog, (x 4- i/)l =
4.7. 2* •» X, 2* ■= y, y*
' X.
4.8. logo X logo (хуг) =
logo у logo (хуг) ■
logo г logo (хуг) =
■48.
■	12, a > 0, a Ф I,
■	84.

ГЛАВА 4
НЕРАВЕНСТВА. УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
Пусть /(X) —числовая функцав одаого влв десхолькнх оерекснвых
(аргумевтов). Решать неравенство
tW<0 (f(X)>0>
(I)
— ВТО авачвт вайтя все аначеияя аргувевта (аргументов) фувкцвв /,
при которых неравенство (I) справедливо. Множество всех эначевнй аргу*
мента (аргументов) функции /, при которых неравенство (l) справедливо,
ваэывается множеством решений неравенства или просто решением не¬
равенства.
Множество решений нестрогого яеранеяства
f(x)<0
(f(x)>0)
<2)
представляет собой объедввевяе мвожества решеввй веравевства (I) в
Ыножества решений уравнения )(х) — 0.
Два веравевства считаются вквивалентныма, если множества яя ре>
шеннй совпадают.
Под множеством допустимых вначвяий ненаяестяых, входящих в ае-
равенство, ооннмаюг область определения функция fix).
Неравенства вида (I) или (2), составленные для раалячяых функций
/|<х), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему нера¬
венств — это аначвт найти множество всех значений аргументов фувгщвй
(х), при которых справедливы асе неравенства системы одновременно.
Говорят, что свстемы веревеяств вквивалеюны, еслв множества их
решений совпадают.
§ 1. Рациональные и иррациональные неравенства
А а ге бра ач ес к в е веравевства. Лимейныжи (строгянв я
вестрогямн) называются веравевства вида
ох + й>0. ох-)-й<0. ах+й>0, ох + КО. в ув о,	(I)
решениями которых будут)
ври в > о
-т)	"т!
вря е<0
дв(_оо;	о»),	-j-]. * “
Кл^^ратными (строгиыи и нестрогими) иаэымются верааенства внд|
ах'-|-йхЧ-«>о. ох» + *х + с<®>
азР + Ьх + е-^р,	ах*Ч-йхЧ-0<О>
где о. Ь, в—некоторые деОспвтеАвые часаа в а ^

80
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
KuAptraoe неравенство ох' + Дх + с > о в вавнснноств от ввавеанв
своих ковффнцнентов а, 6 и с имеет решевия:
при а > о и D—Ь’ —4ос>о
при а > о п D <0	*—любое деПствнтельног число;
при а < О и Di>0
.(-Ь + л/о -ft-Vp ^
Л 2а * ia J'
при а < О и Р < О
•	X—0 (т. е. решений нет).
Решение неравенства ах* +бх + с < Осводнтся к решению рассмотрев*
ного неравенства, если обе части иеравеиства умножить на (—1).
Метод интервалов. Пусть Р,(х) — многочлен я-й сте¬
пени с действительными коэффициентами, а Ci, сг, Ct — все
действительные корни многочлена с кратностями kt, ki, ki
соответственно, причем с, > с, > ... > Ci. Многочлен Рп(х}^
можно представить в виде
Рп {X) - (X - с,)*' (X - с,)*» ... (X - с,)*' Q„ (X),	(3)
где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет н либо
положителен, либо отрицателен при всех х е R. Положим для
определенности, что Qm(js) > 0. Тогда при х > Ci все сомножи¬
тели в разложении (3) положительны и Рп(х) > 0. Если C| —
корень нечетной кратности (^t — нечетное), то при хг(са; Ci)
все сомножители в разложении (3), за исключением первого,
положительны и Ял(х) < 0. В этом случае говорят, что много¬
член Рп{х) меняет знак при переходе через корень С]. Если же
С| — корень четной кратности (A| — четное), то все сомножители
(в том числе и первый) при х г (сг; Ct) положительны и, сле¬
довательно, Ра(х) > о при ХЕ (ci; Cs). В этом случае говорят,
что многочлен P«(x) не меняет знака при переходе через ко¬
рень Cl.
Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно
убедиться, что при переходе через корень сг многочлен Ря{х)
меняет знак, если кг — нечетное, и не меняет знака, если кг —
четное. Рассмотренное свойство многочленов используется для
решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы иайтн
все решения неравенства
Рп {X) > 0.	(4)
достаточно знать все действительные корни многочлена Ря{х) их
кратности и знак многочлена Рл(х) в произвольно выбранной
точке, не совпадающей с корнем многочлена.

s I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 81
Пример 1.1. Решить неравенство
X* + Зх* — 4х > 0.
(*)
Решение. Разложим на множители многочлен Р*{х), стоя¬
щий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за
скобку, получаем
Р« (JC) =■ X (х» + Зх» - 4).
Второй сомножитель, представляющий собой кубический много¬
член, имеет корень х °= 1. Следовательно, он может быть пред¬
ставлен в виде
х’ + Зх‘ - 4 = (х - 1) (х* + 4х + 4) = (х - 1)(х -f 2)».
Таким образом, Pi(x) = х(х—1) (х-f-2)» и неравенство (•)
может быть записано в виде
X (X - 1) (X Ч- 2)» > 0.
Решим неравенство (*♦) методом интервалов. При х > 1
все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положи¬
тельны.
Будем двигаться по оси Ох справа налево. При переходе
через точку х = 1 многочлен Р\(х) меняет знак и принимает
отрицательные значения, так как х = 1 — простой корень (ко¬
рень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен
также меняет знак и при¬
нимает положительные зна-
-г
Рис. 4.1
чения, так как х = О — так¬
же простой корень; при
переходе через точку х =
1= —2 многочлен знака не	ч
меняет, так как х = —2 — корень кратности 2. Промежутки зна-
копостоянства многочлена Р*(х) схематически представлены на
рис. 4.1. Используя этот рисунок, легко выписать множество
решений исходного неравенства.
Ответ. Xе(—оо; —2)U(—2; 0)U(1; <»).
Рациональные неравенства.
Решение рационального неравенства
Рп (X)
Qm (X)
>0.
(5)
где Ря(х) и Qm(х) — многочлены, сводится к решению эквива¬
лентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе ча¬
сти неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]», который положите¬
лен при всех допустимых значениях неизвестного х ^т.е. при

82
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
тех X, прв которых Qm(x) 0), получии веравевство
Pn{x)'Qm(x)>0,
вквввалентвое веравевству (5).
Дробно-линейными вазываются веравевства вида
вд! + *
М + Л
> k.
где а, а. е, d, А—некоторые деАстввтельныс числа п е ф 0, —	4- (еслв
С а
а Ь
с—о, то дробво-лниевное нерааевство вревращается в лнвейвое, если —
то неравенство (6) не содержит аргуыента). К дробно-лнвейныи HepaBCH*
CTB8U отвосятся н неравенства вида (6), гае вместо знака > стоят
аиаки <, ^ <1 Решеаве дробно-лнневного неравенства сводится к ре<
шенню квадратвого неравенства. Для этого необходимо умножить оба
части неравенства (6) на выражение {сх ч- d)^, положительное пра всех
хе R н X чь—d/e.
Прв мер 1.2. Решить рациоыальпое неравенство
х*-х-2^
Решение, Прибавляя к обеим частям неравенстиа 1, полу<
чаем веравенство вида (5)
которое эквивалентно неравенству
х*(х* —X —2)<0.
Множество решениЁ последнего неравенства находится методом
интервалов: хе (—1; 0) U (0; 2).
Ответ. XS {—1; 0) U (0; 2J.
Решить неравенства:
‘ ■ ±
1.1.
+
< 1.
1Л.
1
3
2 —X ^ 2+ X
1Л (х+1)(3-х)(х-2)*>0.
X* — X* + X — 1
1Л
1.7.
1.9.
1.11.
*4-8
3
<0.
X* - X + 1
>и
1.в.
1Л.
x-f2 X —3*
2х - б ^	1
да_6х —7 X—3*
X* — 2х* — бх + в
	7^
>0*
1 —X
X* — 2х + 3
>-з.
Jt« _ 4х + 3
Иррацнональвые веравевства. Под ирраинональ»
выи неравенством повямается неравенство, в котором нензвест*
вые величины (или некоторые функцан неизвестных велнчии][ яжя

i	Т. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 83
ходятся под знаком радикала. Для того чтобы найти множество
решений иррационального неравенства, приходится, как правило,
возводить обе части неравенства в натуральиую степень. При
этом (в силу принципиальной невозможности проверки получен¬
ных решений подстановкой) необходвмо следить эа тем, чтобы
при преобразовании неравенств каждый раз получалось нера¬
венство, эквивалентное исходному.
При решении иррациональных неравенств следует помнить,
что при возведении обеих частей неравенства в нечетную сте¬
пень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному
неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную
степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исход¬
ному и имеющее тот же знак лишь в случае, если обе часта
исходного неравенства неотрицательны.
Пример 1.3. Решить веравенство
Vx + 3 < Vx— 1 +	(*)
Решение. Множество допустимых значений неравенства
(♦) представляет собой промежуток [2; оо).
Обе части неравенства (*) на промежутке [2; оо) неотрица¬
тельны, поэтому, возведя обе части исходного неравенства в
квадрат в приведя подобные члены, получим эквивалентное не¬
равенство
6 — X < 2 Vx* —Зх + 2.	(*♦)
Рассмотрим теперь два возможных случая:
1)	если 6 —х<0 (т. е. х > 6), то левая часть (**) отрп-
пательна, а правая — неотрицательна и, следовательно, неравен¬
ство (**) справедливо при всех х s (6; оо).
2)	если 6 — X ^ О, то для всех х е [2; 6] обе части неравен-
ства (*•) неотрицательны. Возведя обе части неравенства (•*)
в квадрат, получаем неравенство
Зх* — 28 > 0.	{•♦♦)
решениями которого с учетом сделанного предположения будут
значения из промежутка (V?' 4
Объединяя множества решений, соответствующие двум рас¬
смотренным случаям, окончательно получаем решение исходного
неравенства — промежуток
(л/х= ~)-
Ответ. (/^/?! “)•

М V
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Решить перавенства:
1.12.	Vl -3< — л/5 +JC > 1.
1.13.	л/4-Vl - л/2-Дс >0.
1.14.	д/л’ + 4л - 5 — 2дс + 3 > 0.
1.16. * + 4 < V* + 46- ив. V2 — л/3~+ X < VjT+l.
,Л7. У24-2л^ ^ ,	, ,3 Л^+Т ^ ,
1.20.	д/З^^ - V25-JS* >
1.19. i—У	<;з.
• 1 - д/х + 3
1.21
1
д/l+x 2 —х'
US3. д/х» + Зх + 4 > —2.
1.24. -Ур~д/х^ >
д/х — 3
1.22. д/х» —X —2 > 2х + 3.
V* — 3
1.26. д/Зх» + бх + 7 — д/Зх» + бх + 2 > 1.
Неравенства, содержащие неизвестное под
внаком абсолютной величины. При решении нера*
венета, содержащих неизвестное под знаком абсолютной веля*
чины, используется тот же прием, что и при решении уравнений,
содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины, а
именно: решение исходного неравенства сводится к решению не*
скольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знако*
постоянства выражений, стоящих под знаком абсолютной ве*
личины.
Пример 1.4. Решить неравенство
IX* - 21 -Ь X < 0.	(ф)
Решение. Рассмотрим промежутки знакопостоянства вы*
ражения х» — 2, стоящего под знаком абсолютной величины.
1)	Предположим, что
X» —2 ^ о,
тогда неравенство (ф) принимает вид
X» + л — 2 < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства
X» — 2 ^ о представляет собой первое множество решений ис*
ходного неравенства (см. рис. 4.2); х е (—2; — V^l-
2)	Предположим, что х» — 2 < 0, тогда согласно определе*
нию абсолютной величины имеем |л»г>2| в>2>~х», в неравен^

$ 1. РАЦИОНАЛЬНЫВ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 88
ство (*) приобретает вид
2 — X* -Ь X < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и перавенства
x^ — 2<0 дает второе множество решений исходного неравен*
ства (см. рис. 4.3): хе(—д/2; —1).
Объединяя найденные множества решений, окончательно по*
лучаем хе (—2; —1).
Ответ. X S (—2; — 1).
Л.
о {Л
Рис. 4.2
X
Рнс. 44
В отличие от уравнений неравенства не допускают непо*
средственной проверки. Однако в большинстве случаев можно
убедиться в правильности
полученных результатов гра¬
фическим способом. Дей¬
ствительно, запишем нера¬
венство примера 1.4 в
виде
IX» — 2 К — X.
Построим функции у\ =
= |х» —2| и У} = —X. вхо¬
дящие в левую и правую
часть рассматриваемого не¬
равенства, и найдем те значения аргумента, при которых у\ < уг.
На рнс. 4.4 заштрихованная область оси абсцисс содержит
искомые значения х.
Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величины,
иногда можно значительно сократить, используя равенство
|х|* = X*.
Пример 1.5. Решить неравенство
Рнс. 4.4
X— 1
X -f 2
> 1.
(♦)
Решение. Исходное неравенство при всех х ^ —2 экви*
ралентно неравенству
1х-11>1х-1-21.	(•*)

8в
ГЛ. 4. HEPABCTCrtA
Возведя обе части неравенства (•*) в квадрат, после прнеедеиия
подобных членов получаеи неравенство
бдс < —3,
t. е. х< —1/2.
Учитывая множество допустимых значений исходного Hepa*
венства, определяемое условием х Ф —2, окончательно получаем,
что неравенство ^*) выполняется при всех х е (—<»; —2) U
у .(-2;-1/2).
Ответ. (—оо; —2)У(—2; —1/2),
На рис. 4.5 представлена графическая иллюстрация решеияя
приведенного неравеяства.
Решить неравенства:
1.2в. |х-3|>-1.
1.28. x» + 2jjc + 3| - Ю<а
1.30. х» + х —10<2|х-2|.
1.27. |4-Зх|<1/2.
|jt»-l|-2x<0.
1.31.	х“—|Зх + 2И-х>0.
1.32.	|х»-3| + 2х+ 1>0.
’	>\х-2
1.33.
1.85.
х-51-3
*-21<|х + 41.
1.30. IX* + X + 1К 2х» — 4х + 7.
1.34.
2х — 1
х-1
>2.
§ 2. Показательные неравенства
Простейшими показательными неравенствами являются ве«
равенства вида
о* >6, о* < Ь,
(1)
где а н 5 — некоторые действнтельные числа (о > 0, а 1).
В зависимости от значений параметров а и Ь множество
решений неравенства а*> Ь представляется в виде:
при о>1, 6>0 хе (logo Ь\ со);
при а < 1, 6 > о X е (— оо; loga 6);
при ( < о X S R.

s 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
87
Множество решений неравенства а*,< Ь в эависямостя от
значений а и 6 представляется в виде:
при а > 1, 6 > О X S (— оо; loga^)>
при а<1, <1>0 XS (loga °о):
при fr < О х=0.
Множество решений нестрогих яеравеяств а* ^ Ь в в* ^ Ь
паходнтся как объединение множеств решений соответствующих
строгих неравенств и уравнения а' = 6.
Неравенства вида (1) могут быть обобщены на случай, ког»
да в показателе степени стоит некоторая функция от х. Так,
множестио решений неравевства
> 3	(2)
находится как множество решений неравенства
f (х) > logs 3,
эквивалентного неравенству (2).
Методы сведения более сложных показательных неравенств
к неравенствам вида (1), (2) аналогичны методам, используемым
при решении показательных уравнений. Так, например, решение
показательного неравенства вида
Р(а*>>0.
где Р(а*) — многочлен указанного аргумента, ааменой а‘ у
сводится к последовательному решению неравенства Р{у) >• О
и решению простейших показательных неравенств вида (I) или
систем простейших показательных неравенств.
Пример 2.1. Решить неравенство
4х_2.б»*-10*>0.	(*)
Решение. Так как числа 4, 10, 25 являются восдедова*
тельными членами геометрической прогрессии, то неравенство (*)
можно свести к квадратному относягельно неизвестной y-(|)^
Для этого разделим обе части исходного неравенства на 25' =з
5*';
Ш'—(¥)*>“•
Обозначая
(т)
у* — у—2>0.
(**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой
обльедшеине промежутков (—ео, —оо|. Исходное иера*

83
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
венство, таким образом, эквивалентно двум простейшим показа"
тельным неравенствам
(I)
Решением первого неравенства является пустое множесто, а вто*
рого — промежуток (—оо; Iog2/52).
Ответ. (—оо; logj^2).
Решить неравенства:
2.1.	4* + 2*+' - С < 0.	2А 4-*+'« - 7.2-* - 4 < 0.
2.3.	25-* + б~*+' > 50.	2.4. 4*” - 3 • 2*’ + I > 0.
2.6.	2.3'^‘ + 4<3*'+*.
(т)'^ >
2.7.	98 — 7*’+®*-“ ^ 49*’+®*“^.
2.8.	б-4* + 2.25*<7-10*.
2.9.	Vl3*-5 <V2-(13*+ 12) - Vl3* + 5
2.10.	+ 3 <	. 28.
2.11.	_ 4. б*-5 < 5«+3 VI=2^
2.12.	< 2®~* + 25'^'°®* ®.
2.13.	25*-22'ов<6-1 < 10.б*”‘.
2.14.	5®*+Чб*-И> 30 + б*.30*.
2.16.	л/в + 2"'^^* +‘ — 4V3-* ц. 2V3^+I >. 5_
2.16.	V4*+' + 17~ - 5 > 2*.	2.17. 3*+' <
V27
2.18.	4* < 3.2''^ +* + 4'+''^.
2.19.	32*+'_з>=+2 + 6>0.
32х+2 _ 2. з*+2 _ 27 < О.
2.20.	13'* "* — 3*-‘в я* I ^ 2.
§ 3. Логарифмические неравенства
Простейшими логарифмическими неравенствами являются не¬
равенства вида
logaX>b,	(1)
logo x<b,	(2)
где а и b — некоторые действительные числа Jo > 0, а ^ 1),

5	3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
89
• В зависимости от значений а множества решений неравев-
ства (1) будут следующими;
при а > 1 X е (а®: оо);
при а < I д: е (0; о*).
В зависимости от значений а множества решений неравен¬
ства (2) будут следующими:
при а > 1 X е (0; а*);
при а < I X е (а*; оо).
Множества решений нестрогих неравенств logs х ^ Ь и
loge X < 6 находятся как объединение множества решений соот¬
ветствующего строгого неравенства и уравнения
logo X = Ь.
Неравенство вида
logo f{x)>b
(3)
эквивалентно следующим системам неравенств*):
при а > I f (х) > о, / (х) > а*;
при а < t f (х) > 0. f (х) < а*;
а неравенство вида
logo f(x)<b
(4)
эквивалентно следующим системам неравенств:
при а > I	f (х) >0.	/ (х) < а*;
при а < 1	f (х) > о,	f (х) > а®.
Более сложные логарифмические неравенства сводятся к не¬
равенствам вида (1) —(4) методами, аналогичными используе¬
мым при решении логарифмических уравнений. Так, например,
множество решений неравенства вида
/’(loge«)>0,	(б)
а также неравенств Р < 0, Р ^ 0, Р ^ 0, где Р — многочлен
указанного аргумента, находится следующим образом. Вводится
новое неизвестное у = loga х, и неравенство (б) решается как
алгебраическое относительно неизвестного у. После этого реше¬
ние исходного неравенства сводится к решению соответствующих
простейших неравенств (I), (2) нли систем этих неравенств.
Пример 3.1. Решить неравенство
(logiyax)* — Iog,^x* > (log„23)* — 1.	(•)
В сдучабэ селя веравевство (Э) вестрогоа^ вторые веравенства тж
састеа также eccrponie.

90
ГЛ. 4, НЕРАВЕНСТВА
Решение. Учитывая, что множеством допустимых значе-
вий иеравенства .(•) является промежуток (0; оо). преобразуем
перавенство (•) к виду
0og„2*f - 2	> ('oei/23)’ -1.
Обозначая i/ = log,/2*. получаем относительно р неравенство
у»-2у- (logi/гЗ)* + I > 0-
Множество решений последнего
бой объединение промежутков (-<»; • + •n»i/2*)U(	,
а. следоват^ьно. решения исходного иеравенства определяются
УСЛОВИЯМИ	»
»	о
logi^X < 1 + l0gl/23-«=*"J' > Т'
log,/2* > I -	о о < X < -g.
Ответ. oo)u(ft т)*
Решить неравенства:	jr — 3
8.1.	log,/2 (2х + 3) > 0.	3'2‘ х + 2 ^
8^- logs/a (2х*-х-!)>••
л. , 2х — I	2Л
8Л. Iog^x + log2*-2<0.
8.8. 2 log4 (2х* + 3) < log»
8.7.	Iog2Vr-21ogf/4^+J>0-
8.8.	loe,^^ (2х + 3) > loge 27-
8.9.	lg{x-4) + igx<lg2l.
8.10.	log.X—-Ion (
KT^^-logx^y^-^	/x-3)<-log,,/5З.
A ПА •	Q 2	—
8.13.	logj (7 ~ X)<	*°®2 V? 4
8.14.	logjx iog|x< \
bg,^j (4 - X) > logl/2 * ~
3rt
4	.5. i-+log»(* + 7).
8.18.	log, (3 _x) - log* T-jT ^ *

i 3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
91
3.17.	2 log,/, (X + 5) >	log,/(3/^j 9 + log^3 2.
8.18.	log,(3*-I)Iog,/,(i^^)<|-.
3.19.	10g,/2X<log,/,X.
3.20.	log3 (3<* - 3»*+' + 3)< 2 log, 7.
8Л1. log,j 12x + 31® + 2 log,2,+3). 10 < 3.
3.22.	log,,3 8+log,/,8<-jJ^i|^.
8.23.	8'°*>* - 2x* > X - 2.
3.24.	2 log, X--J loga (x* — 3x + 2) < cos
3.25.	log,^ cos X > log4/9-| при X e (—2; 3).
3.20.	log,/2|x —3| > —1.
3.27. loga (Vx + 3 — X — 0 < 0.
log,/jX - 1
logl/2V* + 4
log„2(x + 2)
3.30.	logs Vs —2x • logx 3 < 1.
3.29
3.31. logs X
8Л2,
<1.
'\jl0g4 (
2x* — 3x + 3
^ + 1 > logs ^
2x* - 3x + 3
)•
1 — д/1 — 8 log? X
8.33. 	Цг-.	— < 1.
3.34
2 logs X
logex
logs Vl + 2x
logax
logs (I + 2x)
Логарифмическое неравенство ввда
Iogg,^,/(x)>c
вквивалентно двум, слстемам неравенств;
/ (»;) > о,	/ (х) > 0.
g(jc)>l.	0<g(x)<l,
/U)>tgWn	/(х)<1в(х)]в.
Пример 3.2. Решить неравенство
log2, (**—бх + 6)<1.
1б)
(7)
(•)

62
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Решен не. Логарифмическое неравенство эквивалентно
двум системам неравенств
О < JT* — 5д: + 6 < 2лг, ж* — 5х + 6 > 2дг,
2де> I;	О < 2х < 1,
я множество решений исходного неравенства получается кан
объединение множеств решений этих двух систем.
Ответ. ле(0; 1/2)U(l; 2)U(3; 6).
Решить неравенства:
8Л5. lot* (jt* - -^) > 4.	3.36. log2*_*i (* — |-) >
8.37.	log,+4 (5jt + 20) < log,^.< ((ж + 4)»}.
8.38.	log,,,
3.3». Iog„+„„(** +	— 4^ > 1.
8.40.	log^_^_U*-8T+ 1)>0.
8.41.	(log, ,+e 12) logj (ж* - X — 2) > 1.
8.42.	log„+e)/3(l°fi:2	+ *))) > 0.
8.43.	logj;^ (6 + 2x - X») <
8.44.	x'“'< Ю.х-'г’^ + З.
8.45.	log,, I (V® — -T* —— l) > 1.
8.46.	log, < Vlogx (2x»)_
8.47.	logioj, ,0.5,) (ДС* — lOx + 22) > 0.
Выражения, стоящие в левой и правой частях неравенств
В.48—3.52, положительны, поэтому для решения достаточно про¬
логарифмировать обе части исходного неравенства!
3.48.	х'*'*~®'«*+‘ > 1000.
1510B-.^V3 log.^3
3.49,	х»> 2	^	.3	^ .
3.51.
|х|*’-*-2<1.
8.50. (X* - X - !)*'■* < 1.
3.52. x‘^'**-lgx< 1.
Неравенства 3.53—3.58 эквивалентны системам трвговомет*
рнческих неравенств нли системам алгебраических в тригономет»
ряческих неравенств:

% 4. НЕРАВЕНСТВА. СОДЕРЖАЩИЕ СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ 93
8.55. (logsin X 2)* < logelnX «In* *).
3.5в. Vtg *- 1 [lotTig X (2 + 4	Jt) - 2] > 0.
3.57.	logs sin X > logijs (3 sin X — 2).
3.58. log	_	(	^ 0.
®aln X+V5 cos* V 2	2 ~
Найти все целые числа, удовлетворяющие неравенствам:
S
-:г logj (12-3*)	,
3.59* 3^	— 3'°*’'*>83.
3.60. X _ 1 < 2 logs (X + 2).
8.ei.log/	2П	sf —. —	*
(2cos.^-x+8) V VlO —X /
§ 4. Решение неравенств, содержащих
сложные функции
Рассмотрим неравенства, в которых функция, подлежащая
сравнению, представляет собой сложную функцию, состоящую из
некоторой композиции трансцендентных н алгебраических функ*
ций. Решение подобных неравенств сводится к последовательно¬
му решению простейших неравенств, возникающих при замене
аргументов сложных функций новыми переменными.
Пример 4.1. Решить неравенство
(0 5)'°g, log,/5(*'-№<,
Решение. Если обозначить г = logs logi/e(x’—4/5), то
исходное иеравенство сводится относительно г к простейшему
показательному неравенству
(0,б)*<(0,б)''-«.г>0.
Обозначая далее у => log,ys (х* — 4/5), имеем
logs Л > о -е=». g > 1.
Положив о — х*—=-, получаем
bgl/5‘'> 1 -*=►<)< В<-^.
Таким образом, мы получили неравенство, эквивалентное исход¬
ному:
0„.„ .).

w,
ГЛ. 4. HEPA-BCnCTBA
Г При решении неравенств, рассмотреняын в примере 4.1, по*
лезно проводить графическую иллюстрацию каждого отдельного
этапа решения.
Рис. 4.0
На рис. 4.6 представлена графическая иллюстрация решения
примера 4.1.
На каждом рисунке представлены графики функций, по-
эхапиО’ воэникаюии1х в процессе решения. При этом на каждом
графике На вертикальной оси откладывается интересующее нао
множество значений очередной простейшей функции, а на гори*
вонтальной оси ищется соответствующее ему множество эначепий
аргументов. Найденное множество, обозначенное на рисунках
штриховкой на горизонтальной оси, на следующем рисунке от*
кладывается на вертикальной оси.
Решить неравенства:
4.1.	(i)'”"-" > I.
4.2.	I.
4.3.
4.4.	(0.5)'““» ‘““о-»	< 1.
16. (0.5)'°“*®	1.

§ 5. УРАВНЕНИЯ « «ЕРАВСТ1СТВА С ПАРАМЕТРАМИ М
Иайтв область определеивя функций:
4.S.	у = log
4.9.	у =. log,
4.10.	у.
1/2 - 1 •
sin X — cos X -4- 3 V2
^2
кз1*-3|-
Решить неравенства, используя ножбинацию рассисггренных
методов:
4.11.	log,/.^ (6*+' — 36*) > -2.
4.12.	logj (^2 _ 4х + 3) < 0.
4.13.	log, noga (4* - 6)1 < 1.
4.
4J6. 12л + ^/Ъх* + 4л® — 4л* • log, л* >
> 3 V8 + 4л —4л» + 4л* к®4 л®,
§ 5. Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения в неравенства с параметрами являются наиболее
трудными задачами курса элементарной математики. Это o6v
ясняется тем, что их решения следует получать при всех допу»
стимш аиачеивях входящих в них параметров.
Пример 5.1. Для всех значений а решить неравенство
ах > 1/л.
Решение. Запишем неравенство в виде
ел* — 1 ^ л
	=	>0.
«гегда ‘всходиое неравеяство эквивалентно двум системам нера'<
аенств:
«л* — 1 >0, йж* — 1 < о,
л> 0:	л < 0.

96
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем
в виде
ах* > 1.
При о > О оно эквивалентно неравенству х* > 1/а, множество
решений которого х <— 1/V^ и ж > l/V^* В этом случае ре¬
шения первой системы:	х е (l/Ve; «>)• При а ^ О левая
часть неравенства ах* — 1 >■ О отрицательна при любом х и не¬
равенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений
и вся первая система неравенств.
Рассмотрнц вторую систему. При а > О решениями нера¬
венства ах*—1 <0 будут значения хе(—l/V^; l/Ve).a реше¬
ниями системы—значения хг(—l/Vo'.O). При а^О левая
часть неравенства ах* — 1 <0 отрицательна при любых значе¬
ниях X, т. е. это неравенство выполняется при всех х г R и, сле¬
довательно, решениями системы будут значения х г (—оо; 0).
Ответ. Если а < 0, то хе(—оо;0); если а > 0, то
хе (— l/Vo; 0) и (I/Ve; оо).
Приведем графическую иллюстрацию решения примера 5.1.
Для этого рассмотрим отдельно два случая о>0 (см. рис. 4.7,о).,
и а < о (см. рис. 4.7, б) и для каждого из них построим гра<
фикн функций, стоящих в левой и правой частях исходного не¬
равенства. Заштрихованные промежутки оси Ох представляют со¬
бой решение неравенства в рассматриваемых случаях.
Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и
веравенств с параметрами. Приведем пример графического реше¬
ния уравнения с параметрами.
Пример 5.2. Для каждого значения а решить уравнение
21x1-Но!-x-t-1.	(•)

« S. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
97
Решение. Отложим на оси абсцисс значения х, а на оси
ординат —значения а.^Тогда в координатной плоскости (х, о)
геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению, образуют фигуру, изображенную на рис. 4^8.| Из
рисунка видно, что при |а| >■ 1 уравнение (*) решении не
имеет. При |а| < 1 каждому значению а соответствуют два
корня уравнения, а при |а| — 1—один
корень X = 0.
При о ^ а < 1 корни находятся из
следующих уравнений:
X + а = I н —Зх + 0=1.
Они равны X = 1 — о и х = д- со-
ответственно. При —I < о < О корни
находятся из уравнений
X — о = 1 и —Зх — 0=1;
они равны х=1+о и х =	^
О
соответственно.
Ответ: |о| >!>:»■ исходное уравнение не имеет решений;
|fl| = I=>x = 0;0<o<I=»-x=l—о н х=	— 1 < о <
<0=>х=1 + о и х = —
5.1.	Для каждого значения о решить уравнение
|х-о+ 1 | + |х-2о| = х.
5.2.	Для каждого значения о решить неравенство
|3х-а| +|2х + оКб.
5.3.	Для каждого действительного значения о решить урав¬
нение
х» + |х| + о = 0.
5.4.	Для каждого значения о определить число решений
уравнений
а) V21 ж I - X* = а; б) 1 х» - 2х - 31 = о.
5.5.	Для каждого значения параметра о решить неравенство
21X — о I < 2ох — X* — 2.
5.6.	Для каждого значения параметра о решить неравенство
Va + x + Va —X > а.
Рис. 4.8
4	А.- Г. Цмтшв, А, И. ПанскаВ

88
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
В.7*. Найти все значения а, при каждоы из которых нера»
венство	з-]х-а\>х»
имеет хотя бы одно отрицательное решение.
6.8.	Для каждого значения параметра а решить уравнение
Va (2* — 2) + I =• I — 2*
8.0. Для каждого значения параметра а решить уравнение
1441*1-2.12'*' + а = 0.
8.10.	Найти, при каких значениях а уравнение
logs (9* + 9о’) = X
имеет два решения.
8.11.	Найти все значения параметра с, при которых нера*
веиство
1 + logs ^2х* + 2х + y) > log* («* + «)
имеет хотя бы одно решение.
8.12.	Найти все значения а, при которых неравенство
logfl(a+D<>*l + '‘) > ‘
выполняется при любом значении х.
6.13.	Найти все значения а, при которых неравенство
10Ка/(а+1)(** + 2)> 1
выполняется при любом значении х.
6.14.	Найти все такие значения х, по абсолютной величине
меньшие 3, которые при всех а ^ 5 удовлетворяют неравенству
log2a-*' 1* “ 2“*) > 1-
6.15.	Найти все значения х > 1, которые при всех Ь, удо-
влетворяюшнх условию 0 < 6 ^ 2, являются решениями нера>
венства
log(*>+*)/b(* + 2*->Xl-
6.16.	Найти множество всех пар чисел (а, Ь), для каждой
из которых при всех х справедливо равенства
а • в* + 6 =
Многие задачи на решение уравнений и неравенств с пара*
метрами связаны с определением расположения корней квадрат*
ного трехчлена у = ах* + 6х + с на действительной оси. При
решении этих задач следует учитывать, что если квадратный
трехчлен у » ах* 6х + с имеет два действительных корня Х| и

§ 6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
9»
Хм (xt < xt), то при а > о у{х) принимает отрицательные зва>
чення на промежутке (xi: xi) и положительные значения вне
промежутка [xi; xi]; при а < О — положительные значения в
промежутке (xi; хз) и отрицательные значения вне промежутка
[xi; хг]. Поэтому, для того чтобы выяснить (не находя корней
уравнения ах*-|-6х + с 0), принадлежит ли произвольное чис¬
ло а промежутку (xi; xi), достаточно знать знак выражения
оа* -f- 6а + с в знак коэффициента а. Так, например, если а > 0
и оа* + 6« + с > о, то а находится вне промежутка (xi; xi).
Если известно, что число а не находится между корнями Xi,
Х|, то для того, чтобы выяснить, по какую сторону от проме¬
жутка (справа или слева) лежит число а, достаточно сравнить
его с некоторым числом, заведомо принадлежащим промежутку
(xi; Ха), например с выражеинем —являющимся абсциссой
вершины параболы ^ = ах* -f- 6х с.
Пример 5.3. При каких значениях параметра а оба корня
(уравнения х* + ах — 1 =0 меньше чем 3?
Ответ на вопрос задачи следует дать не проводя вычисле¬
ния корней уравнения.
Решение. Рассмотрим квадратичную функцию v=x*-fox—1,'
стоящую в левой части уравнения. Так как коэффициент при х*
равен I, то ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы
корни уравнения Xt и хг (xi ^ Хг) были меньше чем 3, необхо¬
димо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее промежутка
(xi; Xi). Условия, при которых будет выполняться это требова¬
ние, можно определить следующей системой неравенств:
а* + 4>0,
9	+ За - 1 > о,	(•)
-|<з-	' Ч
Первое неравенство (которое выполняется при всех значениях а)
гарантирует существование действительных корней, второе в
третье обеспечивают расположение точки х = 3 вне промежутка
i(Xi; Хг) справа от него.
Решая систему неравенств («), получаем as {-h »)■
Ответ: as^—-!•; оо^.
6.17.	Найти все значения параметра а, при которых оба кор
ИЯ квадратного трехчлена
X* — бах -t- (2 — 2а -f 9а*)
действительиы и больше чем 3,

100
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
5.18.	Найти все значения параметра а. при которых оба
корня квадратного уравнения
X* — от + 2 = о
действительны и принадлежат промежутку (0; 3).
Одно неравенство является следствием другого, если мно"
жество решений первого неравенства целиком содержит мно->
жество решений второго. Например, если х удовлетворяет нера*
венству |х| < 2, то х* < 5 (т. е. неравенство х* < 5 является
следствием- неравенства |х| <2. Действительно, множество ре¬
шений второго неравенства (— л/Ь\ л/ъ) целиком содержит мно¬
жество решений (—2; 2) первого неравенства.
5.19.	Прн каких действительных значениях т неравенство
X* -h mx + ш* + 6m < О
выполняется для любых xs (I; 2)?
5.20.	Найти все значения т, для которых неравенство
тх* — 4х + Зт + I > о
выполнено при всех х > 0.
5.21.	Прн каких действительных m нэ неравенства
X» —(Зт-|- 1)х + т>0
следует неравенство х > 1 ?
5.22.	Найти все значения параметра а, при которых из не¬
равенства вх* —х + 1 — а < о следует неравенство 0 < х < 1.
5.23.	Найти все значения параметра а, прн которых из нера¬
венства о X ^ 1 следует неравенство
(о» + о - 2) X» - (а -Ь б) X — 2 <0.
5.24.	Найти все значения о, для которых справедливо нера¬
венство
2х* — 4а*х — а’ 1 > о
при любых |х| < I.
5.25.	Найти все значения параметра а, при которых корни
уравнения
х»+ж + а = 0
действительны и больше а.
5.26.	Найти все значения а, прн которых неравенство
JC — а
выполняется для таких х, что 1 ^ х < 2.

i S. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ Ю1
Следующие логарифмические в показательные веравенства
с параметром сводятся к квадратным с помощью замены пере¬
менной.
6.27.	Найти все решения неравенства
о2_9*+1_8.з*.д>о.
6.28.	Найти все значения параметра а, при которых нера¬
венство
4*-а*2* —а-ЬЗ<0
имеет хотя бы одно решение.
6.29.	Найтн все значения параметра а, при которых нера¬
венство
a.9*-b4(a-	о> 1
справедливо при всех х.
Прн сведении тригонометрических уравнений и неравенств
к рациональным следует учесть, что замена у ^ sin х или у »
асозх предполагает |у| < 1.
Решить следующие задачи,
5.30.	Для каждого действительного числа а решить урав¬
нение
sin X -}- cos (а -f- х) -1- cos (о — х) = 2.
5.31.	Для каждого значения параметра а решить уравнение
(Ig sin х)* — 2а Ig sin X — а* -I- 2 =» 0.
5.32.	Найти все значения Ь, при каждом нэ которых нера¬
венство
cos* X 26 sin X — 26 < 5* — 4
выполняется для любого числа х.
5.33.	Определить все значения а, прн каждом из кото'ры.т
уравнение
cos' X — (а -1- 2) cos* х — (а -Ь 3) = 0
имеет решения, и найтн эти решения.
5.34.	Прн каких значениях параметра а уравнение
sin* 4х -f (а* — 3) sin 4х а* — 4 =я о
имеет четыре корня, расположенных на отрезке [3n/2i 2л]?
5.35.	При неких значениях 6 уравнение
6 cos X	6 -Ь sin X
2	cos 2х — I “ (cos* X — 3 sin* х) tg х
имеет решения? Найтн эта решения.

102	ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
5.38.	Для каждого значения параметра о решить уравненив
l«8|sinx|2'bg„„ax3=.a.
6.37.	Для каждого значения параметра а > 0 решить нера<
веиство
**•"*-“> 1
ври условии, что хе (0; я/2),
5.38.	Найти множество всех пар чисел (а, Ь), для каждоВ
вз которых при всех х справедливо равенство
а (соз X — 1) + 6* = cos (вх + 6*) — 1.
6.39.	Определить, при каких целых значениях к система
(arctg х)® + (агссоз у)^ = я^/к,
arctg X + агссоз у = я/2
имеет решения, и найти все эти решения.
5.40.	Найти все значения а, при которых уравнения
а cos 2х + I о I cos 4х + cos 6х =■ 1
и
sin X cos 2х = sin 2х cos Зх — sin 5х
эквивалентны.
6.41.	Определить, при каких значениях а уравнение
х-| = 4141х1-а»1
имеет три корня. Найти эти корни.
6.42.	Найти все значения а, при которых уравнение
I 1 — ах 1» 1 + (i — 2в) X + ах*
имеет одно решение.
5.43.	Решить уравненне
\х + 3\-а\х-\\^А
в найти, при каких значениях а око имеет два решения.
§ 6. Доказательство неравенств
Сведение к очевидному неравенству.
Пример 6.1. Доказать, что при а^О, Ь ^ О, с>0 спра-
ведлнво неравенство
а6 + ас + 6с ^ а* + &* + с*.
Решение. Умножим обе части неравенства на 2. Получим
2а6 + 2ос + 26с < 2а* + 26* + 2с*.

s в. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
103
Сгруппвруеы теперь члены неравенства следующим образом:
о* — 2а6 + б* + б* “ 26с + с* + о* — 2ас + с* ^ 0,
влв
(а-6)* + (6-с)*+(с-о)*>0.	"
Мы пришли X очевидному неравенству.
Доказать, что если а, 6, с — положительные числа, то:
а* + 6* ^ f 0 + Ь \*
6.1. а’ + 6* + с* > Забс.
6.2.
>{^у.
6.3.	а» + 6« + с* + 3>2(а+6 + с).
6.4.	Доказать, что
X» + 4р> + За* + 14 - 2х - Пу - 6а > 0.
6.5.	Доказать, что
** + У* + *’ + и* + «* + о (Jt + У + Z + и) >0.
6.6.	Доказать, что
ж* + 2ху + 3//» + 2х + 6у + 3 > 0.
Средним арифметическим чисел ot, ..., Ол называется число
Д| + о» + • • • Ч* Яд
п
•, средним геометрическим неотрицательных
чисел 01, Ог, .... Оя называется число ^а,а^ ... О/,-
Решение ниже приведенных задач опирается на следующее
неравенство Коши, справедливое для любого набора неотрица*
тельиых чисел Oi	а„:
Oi + Oj + ... + On ”/z
■' '		^	... On .
(1)
Пример 6.2. Доказать, что если о + 6 + с=1 и а, 6, с —
положительные числа, то
о б с
Решение. Так как а + Ь + с — 1, то, используя (1), мож*
по утверждать, что
« + 6 + с^^^	1
или
>3.
(•)
3	' ■	'^аЬс
Воспользовавшись неравенством Коши для чисел -j,	по¬
лучаем
1 1
Т + Т + Т
1
^аЬо
(•*)

104
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
Учитывая неравенство (*), окончательно убеждаемся в справеД'
ливости исходного неравенства.
6.7.	Доказать, что
(а + Ь)(Ь + с) (с + а)> Sabc,
где а, Ь, с — неотрицательные числа.
6.8.	Доказать, что при р > О и <? > О
(р + fl) (р + 2) (р + 2) > 16р<7.
6.9.	Доказать, что при ж > О
6.10.	Доказать, что
где о, 6, с — положительные числа ио + Ь + с= 1.
6.11.	Доказать, что
(1 + Oi)• (I + Oj)• ... •{1 + ви)^2'*,
где О), .... On — положительные числа, произведение которых
равно 1.
6.12.	Доказать, что
П| +	+ ... + On ^ я,
где 0|	On — положительные числа, произведение которых
равно 1.
6.13.	Доказать, что если о, Ь, с — положительные числа, то
(я+б + с)(1 + 1 + -1-)>9.
6.14.	Доказать, что если о, Ь, с—положительные числа, то
(Ьс + со + аЬ)^ > Зоб (а + Ь + «).
6.15.	Доказать, что если oi, оа, Ол — положительные чис<
ла, то
(oi + oj + .. • + On) (——h —^-... + ——^ о*.
V Oi Oj	On /
6.16.	Доказать, что если oi, Ол — положительные числа,
то
— + — +■••+ -тт ^ «•
^9 ' (1| 1

6	в. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
6.17,	Доказать, что
, ^ + 1
I0S
:N.
где п — натуральное число, я ^ 2.
6.18.	Доказать, что
где а, Ь — положительные числа, аф Ь.	<
Если требуется установить справедливость некоторого нера*
венства сразу для всех членов двух последовательностей Ол в Ьщ
то удобно использовать метод математической индукции.
Пример 6.3. Доказать, что
я1>2"“', если я >2.
Решение. Используя метод математической индукции, убе»
димся в том, что для я = 3 утверждение справедливо. Действи»
тельно, 31 > 2“ так как
3I — 6,	2» —4.
Далее удобно воспользоваться следующим утверждением: если
для всех к, больших некоторого N, выполняется неравенство
“А	‘'А
еде а» и 6* — к-е члены сравниваемых последовательностей, то
“а+1 ^ “а
'А+1 "к
к
По индуктивному предположению -т— > I. Следовательно. мож<
"а
но утверждать, что а» > 6* для всех к>- N. Используем это»
подход в рассматриваемом случае. Имеем
«А = Н
“А + 1
.(* + 1)1.
'А+1
■Й+1.
ч*-1.
‘'A+t'
.2* =4.-^
■2,
Л + I > 2, если к >2.
Таким образом, доказано, что
“A4-I
^А+1
> 1 для всех * > 2, т. е.
требуемое неравенство установлено.

106
ГЛ. 4. НЕРАВЕНСТВА
В некоторых случаях метод математическое выдукиян удоб*
нее применять в следующем виде; если для некоторого N
Ом> Ьм и для всех N a»+t — а^> 6»+i — 6», то для всех
А > V а* > 6*.
Доказать следующие неравенства;
в.19. г" > п» + 2 (л > б).
б.	20. л" >(я + !)"-* (л >2).
в. 2| З" > л® (л	3).
6.22. (i)" > л1 (Л >6).
I	1
6.23,
6.24.
л+ 1 ^ л + 2
‘ ^ 2л ^ 5 •
*. J ! L J. _L_ <1 L
+ ча + ••• + „а < 1	„
2» ^ 3»
(л >2).
6.25. 2 (V«n - l) < 1 +
1
л/2 ^ л/З
V»
< 2 V"*
6.26.	+	<3.	в.27.
6.28,
1.3.S- ...-(2Л+ 1)
2«4*6*... «(2л) V^a+l’
в.20.(л1)»<[1^1±11^2+Д]".
6.30. л1 > (j)".	6.31.	•
6.32.	Доказать, что последовательность Хп’=
мюнотоино возрастает.

г л А в А 5
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Основные формулы трягонометрнв!
sin* а + cos* а =» 1,
tga >
seca =
Iga'
sin g
COSO ’
I
cos a
1
ctga«
cosec о:
ciga<
sin a'
1
sin a '
i
tg(«±P)
sin 2a
ctga'	tga*
1 + tg’ a = sec* o, I + ctg* a = cosec* a,
sin (a ± P) «=> sin a cos p ± cos a sin p,
cos (a ± P) = cos a cos P 7 sin a sin p,
*e Д d: tg p	ctgactgpTi
i q; tgatgp '
= 2 sin a cos a,
sin a <
tg 2a =
2tg|
ctg (a ± p) •
cos 2a:
2tgo
ctg p ± ctg a
. cos* a — sin* a.
1 -tg»a ’
1-tg*-
l + tg*|-
cosa =
l + tg*f
(g*
1 + cos a = 2 cos*
1 _ i — cos g
Г 1 + cos a ’
sin a + sin p =
2 ’
1 — cos a <= 2 sin*
1
tg-s- =
2 '
1 — cos a
i + cos a
a + P a
■ 2 sin —cos —
sin a
P
(Z 6
sin a — sin p = 2 sin —5-^ cos
cos a + cos p =
cos « — cos p!
о Cl Ч” P
! 2 cos —^-1- cos
»2 sin —^ sin
2 '
«+ P
2 '
a-P
2 '
P —a

108
ГЛ. $. ТРИГОНОМЕТРИЯ
.	. _ sin (а ± В)	. „ sin (В d: а)
tg<x±tgp->—ctg а ± ctg В ™ -I- - .|Д ь
“ cos о cos В ®	sin о sin В
sin а sin В = Y 1'°® (о — В) —	(®	+	Р)1.
cos а cos В = Y (® — В) + cos (а + В)1.
sin а cos В “ Y [sin (о — В) + sin (а + В)1.
Формулы приведения
Значение аргумента
Найме*
иоаанне
функфж
-а
л
т-“
у + а
Л—а
я + а
f--»
^+а
2 ^
sin а
со$ а
tg а
ctg а
-sin а
соэ а
-tg а
-ctg а
cos а
sin а
ctg а
tg а
cos а
-sin а
-ctg а
-tg о
sin а
—cos а
—tg а
-cTg 0
-sin а
—cos о
tg а
ctg о
-cos а
-sin а
ctg а
tg а
—cos а
sin а
-ctg а
—tgo
§ 1. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
При доказательстве тригонометрических тождеств исполь»
•уются формулы сокращенного умножения н формулы, связы<
вающие между собой основные тригонометрические функции.
Пример 1.1. Доказать тождество
2	(sin* а + cos* а) — 3 (sin* а + cos* о) + 1 = 0.	(•)
Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умно*
Кения	j
X» + у» = (х + у) (х* — ху + у*),
полегая в ней x = sin®o, y>=cos*a. Тогда получим
sin* о + cos® а = (sin* а + cos* о) (sin* а — sin* а cos* а + cos* а).
С помощью тождества
sin* о + cos* а — 1	(♦•)
левая часть равенства (•) преобразуется к виду
2 sin* а — 2 sin* а cos* а + 2 cos* о — 3 sin* о — 3 cos* а + 1 = 0.
После приведения подобных членов получаем равенство
1 — 2 sin* а cos* а — sin* о — cos* 0 = 0,
которое можно записать в виде
1	в (sin* X + cos* JP)*.

* I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	109
С учетом тождества {*•) получаем
1-1,
т. е. исходное тождество доказано.
Доказать тождества;
U.
1 + sin 2а + cos 2а
sin’ а + cos* а = 1 —- sin* 2а.
4
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1 + sin 2а — cos 2а
(sin а + sin Р)* + (cos а + cos Р)* ■
«4 cos*
tg а + tg 2а — tg Зо = — tg а tg 2а tg За.
2 sin g — sin 2g
2 sin a + sin 2a “ ^
sin a + 2 sin 3a + sin 5a
sin 3a
sin 3a + 2 sin 5a + sin 7a sin 5a *
sin* 3o — sin* 2o — sin 5a sin a.
sin g — sin 3g — sin 5g 4- sin 7a
cos a — cos 3a + cos 5o — cos 7o
I	I
— tg2oj
ctg 2a.
tg 3a — tg a ctg 3a — ctg a
1.10. sin a + sin p + sin Y — sin (a + P + Y)
a +
■ 4 sin
sin - sin
a +V
1.11.
1.12.
1.13.
2 2 2
sin о + sin 3a + sin 5a + sin 7a = 4 cos a cos 2a sin 4a.
sin 3a cos* a + cos 3a sin* a sin 4a
sin 2g — sin За + sin 4g
cos 2o — cos 3a + cos 4o
tg 30.
1.14. sin 2a (1 + tg 2a tg a) + -} ^	”
I — sin a
lie ■ « ®	® sin*a — 4
I.I5. sin'-^	cos’ —				cos a.
■3n
■tg2a + tg* (x + t)‘
l.ie. cos + 4a^ + sin (Зя — 8a) — sin (4я — 12a) =•
— 4 cos 2a cos 4a sin 6a
cos* g — cos* P
1.17. ctg* a — ctg* P
1.18.
sin*x
aln Л — cos ДР
sin* a sin* p
sin X + cos ДС
tg*x-l
■ sin X + cos X.

по
ГЛ. в, Т!*ИГОНОМЕГРИЯ
1.19,	Доказать, что если а + Р + Y •= л. то
cos о + cos р + cos Y = 1 + 4 sin sin sin
1.20.	Доказать, что если а, р, у — углы треугольняк*, то
1.
‘8т‘кт + '*'Т‘»Т + ‘®1‘«Т
1.21.	Доказать, что если cos(a+ Р) => 0, то
sin (а + 2Р) =■ з1п о.
1.22.	Доказать, что если sin^ р = sin а cos а, то
cos 2р = 2 cos* (я/4 -J- а).
1.23.	Доказать, что если tga и tgP —корни уравнения
х* + рх + д = о, то справедливо равенство
sin* (о + Р) + р sin (а + Р) cos (а + Р) Ч- </ cos* (о + Р) = 0.
1.24.	Показать, что если углы аир связаны соотяошениеи
»т(2а + Р) “~т’ Ul<l«l.
то справедливо равенство
1 + <g P/tg g I — tggtgp
m + rt	m — n
1.25.	Известно, что a, p, у составляют арифметическую про<
грессию. Доказать, что
sin а — sin Y , о
	— =» cig р.
соз у — cos а
1.28. Доказать, что если a + P + Y^**. то
ctg а ctg Р + cig Р cig V + clg Y ctg а = 1,
1.27.	Доказать тождество
s,„	cos (|- + а) f cos - а) sin (-f- + а) =- t.
1.28.	Доказать, что если sin* Р = sin о cos о, то
cos2p=«2 sin* —а^.
1.29.	Доказать тождество
1 + shi 2а
cos (2о — 2я) tg
— shi 2а j^cig + ctg	j <= _: sin* а.

$ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1.80. Доказать тождество
Ш
1.31. Доказать тождество
1 + sin 2а
sin
За
. о
*‘"Т
sin а + cos а
1+*В*4
sin а.
1.Эа. Доказать, что если о + р + у = я, то
sin * а — cos* р — cos* Y = 2 cos а cos р cos у.
1.33.	Упростить выражение для аг[0; 2л]:
V1 + cos а + V t — c°s а
V1 + cos а
•Vl -
cos а
1.34.	Упростить выражение
2	sin а + sin 2а t — cos а
2 cos а + sin 2а I — sin о *
§ 2. Вычисление значений тригонометрических
функций
Задачи, связанные с вычислением значений тригонометричс'
ских выражений без использования таблиц, обычно решаются о
помощью тождественных преобразований, приводящих нскомое
выражение к виду, содержащему только табличные значения
тригонометрических функций.
Пример 2.1. Вычислить без таблиц
tg 20'tg 40*10 80“.
Решение.
sin 20' sin 40' sin 80' sin 20' • 2 sin 20' cos 20' • 2 sin 40* cos 40'
cos 20* cos 40“ cos 80" ”	cos 20' cos 40' cos 80°
2 sin 20' (cos 20' — cos 60°) _ sin 40' — sin 20'
cos 80'	cos 80'	”
^ 2 cos 30' sin 10'	_ 2 cos 30' cos (90° — 10')
cos 80'-	cos 80“
Ответ. V^.
Вычислить без нспользованяя таблиц:
= V3”.
„ , sip 24' cos 6' — sin 6' sii) $p*

112	ГЛ. в. ТРИГОНОМЕТРИЯ
2.2. sin* 70“ sin* 50“ sin* 10“.	2.3. sin 15“.
„,	, Зя . я
2.4. sin-^sm^.
1 Уз
- 4я 2я Я
2.5. 8 cos cos cos
2.6.
, я	я
sin -rs- cos
, . я ,	4 Зя , , 4 5я ,	. 7я
sin‘	+ cos“ -g- + sin“ -5:- + cos“ ■
18
2.7. sin‘-s^ , ™ о , -... g , — g
2.8*. sin 18“.	2.9*. sin 42“.
Вычисление значений одной тригонометрн»
ческой фуН'кции по известному значению дру<
гой функции.
Пример 2.2. Вычислить
2 sin 2а — 3 cos 2а
4 sin 2а + 5 cos 2а '
если tg а = 3.
Решение. Выражая sin 2а и cos 2а через tg а, получаем
2 sin 2а — 3 cos 2а _ 4 tg а — 3 + 3 tg* а
4 sin 2а + б cos 2а ~ 8 tg а + 5 — 5 tg* а ’
Подставляя в правую часть этого выражения tga = 3, имеем
4-3-3 + 3.9
8.3 + 5-5.9
9
'T-
ОТ в е т. —9/4.
а	(Z
2.10.	Вычислить sin о, если sin cos ~^= 1,4.
2.11.	Вычислить !+ 5 sin 2а — 3 cos~' 2а, если tg а •= —2.
2.12.	Найти значение tg^a + ctg^a, если tga + ctga=*o.
2.13.	Вычислить значение sin* а — cos* а, если sin а — cos а=п.
а
1 — 2 sin* •
2.14. Зная, что tg.-;
' m, найти
' ^2	’	1 + sin а
2.15.	Вычислить cos (0 — ф), если cos 0 + cos ф =■ а, sin 0 —
— sin Ф •= Ь, о* + 6* ^ 0.
2.16.	Сумма трех положительных чисел а, р, у равна я/2.
Вычислить произведение clgadgy, если известно, что ctga,
ctg р, ctgY являются последовательными членами арифметиче¬
ской прогрессии.
2.17.	Вычислить tg -^ + tg если
sin а + sin р — о, cos а + cos р •
■6.

$ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 113
1/2,
2.18*. Найти tg(a + 2p), если
sin (а + Р) •= 1, sin (а — Р)
где а, ре [(Ня/2).
2.19.	Найти отношение ctgP/ctga, если известно, что
sin (а + Р)	р
sin (а — Р)	4^ *
а	I
2.20.	Найти tcf—, если известно, что sm а + cos а =-=-•
2	о
II
о т.	.о	sin За
2.21. Вычислить fg-TT. если —:
^ 2 ’	sm о
25 •
2,22. Составить уравнение для нахождения cos если
cos о = m.
2ЛЗ. Найти tg-^, если известно, что
cos а
1 -ш
нню
1 + sin а 1 + m "
2.24. Вычислить Sin 2а, если (g а удовлетворяет соотноше*
lg*a — а lga+ 1 =»0
и известно, что а>0н0<а< я/4.
Вычисление значений тригонометрических
функций от значений обратных тригономет¬
рических функций.
Пример 2.3. Вычислить значение tg arcctg 3^.
Решение. Обозначим а <= arcctg 3. Тогда ctga=°3,
О < а < я/2. Вычислим теперь значения sin а и cos а. Имеем
J	]	1_
Vio’
sin а>
соза>
V1 + ctg* о	VI + 3*
ctg а	3
Используя формулу tg
V1 + ctg* а УТо ’
а	sin а
1 + cos а ’
получаем
"(f)-vW/('+w)"W
+ 3
Ответ.
УТо + з*

114
ГЛ. i. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Вычислить:
2ЛБ. sin ^2 arccos .	2.2в. cos J^arcsfn )]•
2.27. sin ^arcsin y + arcsin-^^. 2.28. tg ^2 arcsin
2.29*. arcsin (sin 2).	2.30. tg ^arcsin у + arccos .
2:31. sin (arctg 2 + arclg 3). 2.32. cos ^arcsin у — arccos ^ ^.
2.33.' sin ^2 arctg y^ + cos (arctg 2
Проверка справедливости равенств, содер*
жащих обратные трнгоноиетрнческие функ<
аии. При решении этих задач следует иметь в виду, что сумма
двух обратных тригонометрических функций, вычисленных от по>
ложительных величин, заключена в промежутке [0; л1 а раз»
вость — в промежутке (—я/2; я/2].
Пример 2.4. Проверить справедливость равенства
4	2	2
arcsin —I- arccos —=г =■ arcctg —.
Б	Vs	11
Решение. Вычислим котангенс от левой и от правой ча<
стей равенства:
/4	2 \
ctg| arcsin—|- arccos—=-J —
Ч & Vs/
ctg ^arcsin	ctg ^arccos	— 1	^
ctg ^arcsin + ctg ^arccos ^	'
ctg (arcctg-^)
Итак, получаем
ctg ^arcsin Y + arccos ^ ^ = ctg ^arcctg
4	2
Так как угол arcsin ~ + arccosпринадлежит промежутку
(0; я) — промежутку мовотоиности функции котангенс — то из
равенства значений функции котангенс следует равенство зна«
ченнй аргументов, что н требовалось доказать.
Проверить справедливость равенств:
я
«..	. л/З	V5"
2.34. arcsin	arccos

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 115
2.35. arctg I + arctg 2 — я — arctg 3.
2.3}. arccos
VI'
' arccos
Уб 4-» _JL
3	2V^	® *
2.37.	Доказать, что если
arctg a + arclg P + arctg у =•
TO o + p + Y=*e*P*y.
2.38.	Доказать, что
. л/2 +1	, V2
arctg-^7=—;	arclg- —
я
V2 — 1
2.39. Доказать, что
Vs
arctg 3 — arcsin —g—
4 •
2.40. Доказать, что
• S .	,12 я
arcsin -у + arcsin -у = -у.
2.41. Доказать, что
Л	77	8	^	3 Ч
•у + arcsin -gg- = arcsin -у -f arccos ( — у j.
2.42**. Проверить, справедливо ли равенство
arccos X arccos *1- у Vs —	= у для х е
2.43**. Проверить, справедливо ли равенство
. /'V2	, V2 — 2х»
ш I 4— X -I- ——т
arcsin
)-
я.
arcsin X =■ -7-.
4
Сум.чнрование конечного ряда тригонометрических функций
5я= И|-Ь и*-Ь «э+ ••• + «*я	(1)
часто удается осуществить с помощью подбора так называемой
производящей функции, т. е. функции, обладающей свойством
Если функция f{k) найдеиа, то сумма (1) представляется в виде
S„ = f(n+1)-И0.	(2)
Пример 2.5. Просуммировать
Sn = sin о -J- sin (а А) -f sin (о -f 2А) -f- ... -f sin (a ■+• nA).

lie
ГЛ. Б. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Решение. Воспользуемся тем, что
GOS
(“
+
2<:+ I
— соз ■
2k — 1
' —2 sin (а + kh) sin
[Тогда в качестве производящей функции можно взять
1	/	, 2fe - 1
/(*)--
2 sin А
COS
/	, 2/fe—I
Согласно (2) получаем
1
S„ = -
F Н (“ + О ~	(“ ■ т)]-
2*'"Т
Преобразуя выражение в квадратных скобках в произведение,
имеем
sin (а+ -^ л) sin	а)
. А
sin
Найти следующие суммы;
2.44.	sin а sin 2а + sin 2а sin За + sin За sin 4а + ...
... + sin па sin (п + i) а.
2.45.	cos За + соз 5а + cos 7а + ... + cos (2п + i) а.
2. в. tg а + Y tg -^ + tg 4- ... + ^ tg
_	я , Зя , бл , 7я ,
2.47.	cos _ + cos — + cos + cos — +
, 9я , lin
+ cos -j3- + cos
2.48.	cos’ a + cos’ ^a +	+ cos’ ^a +	+ ...
... +cos’(a+in^lliL).
2.49.	cos + cos -^ + cos-^ + ... + cos
2.50.	cos JISL cos	+ cos -^52. .j. ...
.. + cos
(2n — 1) nm
2.51.
sin g + sin 2a + ... + sin na
cos a + cos 2a •-{- ... + cos na '

5	3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	117
§ 3. Тригонометрические уравнения
Решения простейших три гоноыетрнчес кнх
уравнений.
slnx = o, X = (—1)*arcsin а + яй,	|а|^1,
cos X «» а, х = ± arccos а + 2лк, | а | ^ 1,
tg X = о, X = arctg а + як.
ctg X => о, X = arcctg а + як.
Уравнения вида
P(slnx)-=0,	P(cosx)—О,	P(tgx)=>iO, P(ctgx)=aO,
где Р — многочлен указанных аргументов, решаются как алге¬
браические уравнения относительно указанных аргументов с по¬
следующим решением простейших тригонометрических уравнений.
Решить уравнения, сводя их к алгебраическим уравнениям
относительно одной тригонометрической функции:
3.1.	2 sin* X + sin X — 1=0.
3.2.	tg’n-f 2lg»x-b3lgx = 0.
3.3.	4 sin* X cos 4x = 1 + 12 cos* x.
3.4.	6 cos* X -f- cos 3x = cos x.
3.6*. /\J-f cos* x — cos* X -f-
+v
9,1	3	,	1
_+cos*x—5-cos*x = ^.
Решение однородных уравнений. Уравнения
вида
во sin'*x-f-0| sin"“‘XcosX-f в2 sin^'^x cos^X-Ь ...	.
... +On cos'* JC = 0,
где во, Ot, .... a„ — действительные числа н сумма показателей
степеней при sin х и cos х в каждом слагаемом равна л, назы¬
ваются однородными относительно sinx, cosx. Такие уравнения
при созхфО эквивалентны уравнениям
aotg"* + aiig"“‘-*+ ••• -|-вл=0.
Пример 3.1. Решить уравнение
3	sin* X — 5 sin X cos X -1- 8 cos* x = 2.
Решение. Для того чтобы свести данное уравнение к од¬
нородному, воспользуемся основным трнгонометрнческии тожде¬
ством	'
sin* X -{- cos’ X = 1,

118
ГЛ. 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ
записывая уравнение в виде
3	sin* л: — 5 sin X cos JC + 8 cos* х = 2 (sin* х + cos* х).
После приведения подобных членов получаем
sin* X — 5 sin X cos X + 6 cos* x = 0.
Разделив обе части уравнения на cos*x, приходим к квадратно"
му уравнению относительно неизвестной y = igx
у* — 5у + 6 = 0.
Корнями ^ полученного квадратного уравнения будут числа
= 2	и	у» = 3.
Следовательно, решение исходного тригонометрического урав<
нения сведено к решению двух простейших тригонометрических
уравнений
tgx = 2 и tgx«=»3,
решения которых
X = arclg 2 + nk,
X = arctg 3 + яп, k, пе Z.
Решить следующие уравнения сведением к однородным:
8.в. 2 sin X cos X + 5 cos* х = 4.
8.7.	8 sin 2х — 3 cos* х = 4.
8.8.	4 cos*-j- + i- sin X + 3 sin*3.
3.9.	sin« X — cos* X = 1/2.
3.10.	2 sin* X 4- 2 cos X sin* x — sin x cos* x — cos* x = 0.
3.11.3 — 7 cos* X sin X — 3 sin* x = 0.
3.12.	2 sin* X — sin* X cos x + 2 sin x cos* x — cos* x e 0.
3.13.	sin* X + cos* X = sin 2x — 0,6.
3.14.	sin* 2x + cos* 2x = (sin* 2x + cos* 2x) -(•
+ — (sin X + cos x).
3.18.	cos* X + sin* X — cos* 2x «= 1/16.
3.18.	sin* X + cos* X = cos* 2x.
3.17**. Найти решение уравнения
sin* X + cos* X = a (sin* x + cos* x)
при всех действительных значениях а.
Метод дополнительного угла. Уравнения вида
а cos X 4- Ь sin X б

s 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
вквнвалентны тригонометрическому уравнению
с
119
sin (X + ф) •
Vo*+ ft* ’
где ф находится из системы
sin ф «=•	.. ■	cos ф == —.
Ve*+ft*	Vo*+ **
Пример 3.2. Решить уравнение
■	3 sin X + 4 cos X = 5.
Решение. Так как V3* + 4*=5, то данное уравнение
бквнвалентно уравнению
sin (х + ф) = 1,
где ф определяется из системы уравнений
sin ф = 4/5, cos ф = 3/5.
Так как sin ф и cos ф больше нуля, то в качестве ф можно взять
Ф =я arcsin в решение данного уравнения имеет вид
X =» — arcsin
4	л
Ответ. X = — arcsin -g- + -у + 2ял (л е Z).
Заметим, что уравнение примера 3.2 может быть сведено к
однородному, если представить
_ . X X
sin X = 2 sm cos
cos X '
j X	,	, X
. cos*sin*
Решить уравнения методом введения дополнительного угла)
3.18.	sin 8х — cos 6х = V3 (sin 6х + cos 8х).
3.19.	sin 11х + sin 7х + у cos 7х = 0.
3.20.	sin 10х Ч- cos 10х == V2 sin i5x.
3.21.	Найти все решения уравнения
Vr + sin 2х — V2 cos Зх => 0,
ваключенные между п в Зл/2.
3.22.	4cos*X = 2 + 4"cos2хf■ + 4а
^2	vcos2x ^ sin2x/
3.23.	4 sin Зх 4- 3 cos Зх •» 5,2.

120
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Решение уравнений методой универсаль^
ной тригонометрической подстановка. Тригоно<
метрическое уравнение вида
R (sin kx, cos пх, Ig тх, ctg lx) » 0,	(3)
где R — рациональная функция указанных аргументов {k, п, т
и I — натуральные числа), с помощью формул для трнгономет<
рическнх функций суммы углов (в частности, формул двойного
и тройного углов) можно свести к рациональному уравнению от«
носнтельно аргументов sin х, cos х, tg х и ctg х, после чего урав<
нение (3) может быть сведено к рациональному уравнению отно¬
сительно неизвестного < = tg -у с помощью формул универсаль¬
ной тригонометрической подстановки:
sin X <
tgx.
2tg-^
ь 2
I-tg*f
ctgX!
1-fg*^
V *
2‘ет
Пример 3.3. Решить уравнение
(cos X — sin х) f 2 tg X -t	5—^ 4-2 = 0.
\	cos X /
Решение. Обозначая / ■= Ig c помощью формул уни¬
версальной тригонометрической подстановки запишем уравнение
в виде
31* + ОР + 8/* - 2f - 3
(<2+1)(1-/2)
корнями его будут /, = l/V^, /» = —1/V3. Таким образом, ре¬
шение уравнения сводится к решению двух простейших уравне¬
ний
X 1	X	1
•g
,g_.
(4)
2 л/З ’	2 V3 ‘
Делая проверку, убеждаемся, что числа ял — корни уравне-
11иясоз-^*0— не являются корнями данного уравнения, н,
следовательно, все решения исходного уравнения находятся как
решения уравнений (4][.

5 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	12t'
Ответ. х=-±-^ + 2яА {к е Z).
Решить уравнения методом универсальной подстановки}
3.24. sin X + ctg -у “ 2.
8.26. ctg _ х) — 5 tg 2х + 7
3.2в. 3 sin 4х «= (cos 2х — 1) tg X.
ЗЛ7. (1 + cos х) -^^tg -у — 2 + sin X =» 2 cos X.
Уравнение вида
R (sin X + C08 X, sin X cos x) «■ 0,	(5)
где R — рациональная функция указанных в скобках аргументов,
может быть сведено к уравнению относительно неизвестного
/ = sin X + cos X, если воспользоваться тригонометрическим тож«
деством
(sin X + cos х)* = sin* X + cos* X + 2 sin X cos X = 1 + 2 sin X cos x.
E3 которого следует равенство
sm X cos X <
/*-1
Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести к виду
Аналогичным образом уравнение вида
R (sin X — cos X, sin X cos х) = О
ваменой sinx — cosx=t сводится к уравнению
Пример 3.4. Решить уравнение
sin X + cos X — 2 V2 sin х cos х = 0.
Решение. Обозначив sin х -|- cos х = / и воспользовавшись
равенством sinxcosx=(/^—1)/2, сведем исходное уравнение
к уравнению относительно t:
Л(^	- V2 «= 0.
Корнями этого квадратного уравнения будут числа
<s--l/V2.

1Э2
ГЛ. 8. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Такны образом, решение исходного уравнения сводится к pc'*
шению двух тригонометрических уравнениб:
sin X + cos X = V^. sin X + cos X =» — t/V^-
Умножая обе части этих уравнений на число l/V^i сводим ия
к двум более простым уравнениям:
•—=- sin X Н	7=- cos X =• 1
Va
■ cos — sin X + sin — cos X <
4	4
Mi I sin
(* + t)-
(‘+7)—?•
Решениями уравнений sin ^x +	=» 1 и sin ^x +	'
'	. ' I 1
-7=- sin X H	r=
Va л/2
cos X =
		-«=>■ sin
2
r- - у буду»
■	+ аяй,
ksz,
neZ.
Решить уравнения:
3^8. 5 (sin X + cos x) + sin 3x — cos 3x = 2	(2 + sin 2x).
ЗЛ9. sin X + cos X + sin x cos x e 1.
3.30.	sin X + cos X — 2 sin X cos x >=> I.
ЗЛ1*. Найти решение уравнения
1	. I .	»
cosx
sin X
sin X cos X
при всех действительных значениях а.
Упрощение некоторых тригонометрических уравнений может
быть достигнуто с помощью понижения их степени. Если пока*
аателн степеней синусов и косинусов, входящих в уравнение, чет*
вые, то понижение степени производится по формулам половин*
вого аргумента.
Пример 3.5. Решить уравнение
29
sin'® X + cos'® X ■
16
cos^ 2х.
Решение. Используя формулы половинных углов, данное
уравнение можно представить в виде
/” 1 — cos 2х ^5 ^ 1 + cos 2х 29
(	2	) +(.	2	)

s Э. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
123
Обозначив cos 2к «= /, представим это уравнение в виде
I - /	1 + < Ч® 29
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, приходим к бя«
квадратному уравнению
24<« —101*—1 =0.
единственный действительный корень которого 1* = 1/2. Возврат
Шаясь к исходному неизвестному, получаем
cos*2x = Y -«=> I + cos 4х = 1 cos 4х = о о х ■=•
п nk
‘Т+'Т'
AsZ.
Ответ. х =(Л е Z).
Решить уравнения;
8.32.	sin* 6х + 8 sin* Зх = 0.
3.33.	sin* X + о sin*2xM3 sin Исследовать решение.
О
8.34.	sin* X + cos* X =
3.35.	cos 2х + 4 sin* X = 8 cos* х.
3.36.	cos 4х — 2 cos* X — 22 sin* x + 1 = 0.
3.37.	cos* 3x + cos* 4x + cos* 5x =
3.38.	sin* 3x + sin* 4x sin* 6x + sin* 6x.
ЗЛ9. cos* + cos* 4- X — sin* 2x — sin* 4x = 0-
Z	Z	'
3.40.	sin* X + cos* X = cos* 2x + 0,28.
3.41.	2 + cos 4x «= 5 cos 2x + 8 sin* x.
3.42.	sin* X + cos* X =
О
3.43.	8 sin* X + 6 cos* X == i3 sin 2x.
3.44.	sin* X (1 + ctg x) + cos’ X (1 + tg Д) = 2 V*ln x c6i
Решить уравнения, применяя изложенные выше методы!
3.45.	2 соз 2х = (cos х — sin х).
8.46.	sin* X + cos® X = 1 — sin 2х.
3.47.	sin Зх + sin X + 2 cos x s sin 2x + 2 cos* A
8.48.	sin 6x sin 4x <r- cos 6x cos 3x.

124
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
8.49. Ig X + sin 2х •
1
cos X
2 (g X + fg 2х =. tg 4x.
cos 3x + sin 5x = 0.
sin X cos 5x => sin 9x cos 3x.
1 + sin X + cos X + sin 2x + cos 2x = 0.
1 + sin X + cos 3x — cos X + cos 2x + sin 2x.
sin* X (tg X + I) — 3 sin X (cos X — sin x) + 3.
sin 2x sin 6x — cos X cos 3x.
cos (x + 1) sin 2 (x + 1) •= cos 3 (x + 1) sin 4 (x + I),
sin X sin 7x sin 3x sin 5x.
t
cos X sin 7x =< cos 3x sin 5x.
sin X + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.
cos 2x — cos 8x + cos 6x = 1.
sin X sin 2x sin 3x 4* sin 4x.
4
3
sin* X cos 3x + cos 3x cos’ X = -5-.
о
tg X 4- tg 2x — tg 3x.
(1 — tg x) (1 + sin 2x) = 1 + tg X.
(1 + sin 2x) (cos X — sin X) = 1 — 2sin* x.
tg (x + a) + tg (x — a) = 2 cig x.
sin* 2z + sin* 3z + sin* 42 + sin* 62 = 2.
sin X cos X cos 2x cos 8x = 4- sin 12x.
8.50.
3.51.
3.52.
8.53.
3.54.
3.55.
3.55.
Ш,
3.58.
3.59.
3.50.
3.51.
3.52.
3.53.
3.54.
8.55.
8.55.
3.57.
8.58.
3.59.
3.70.
3.71.
3.72.
3.73.	2 sin 3x —
8.74.
3.75.
3.75.
3.77.
3.78.
3.79.
8.80.
3.81.
3.82.
sin 2x sin 6x — cos 2x cos 6x =
tg X + ctg 2x =« 2 clg 4x.
cos 3x — cos 2x — sin 3x.
—4— = 2 cos 3x +
sin X	‘
ctg* X — tg* X = 32 cos* 2x.
tg 2x + ctg X = 8 cos* X.
9
cos 2x.
V2 sin 3x cos 8x.
cos X
2
2 sin 4x.
sin* 2x — tg* X
sin 2x — tg X =
sin 4x
sin (x — Я/4)
cos 3x tg 5x =» sin 7x.
cos* 2x
cos X + cos (n/4)
sin X ctg 3x = cos 5x
cos X cos 5x
cos3x cos X
V2 (sin X + cos x).
cos X — cos —.
4
8 sin X sin 3x,

8.83.
3.84.
3.85.
5 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
>3 X cos Зх
125
cos Зх
I
cos X
+
-2 cos 2х.
I
1
cos X cos 2x ^ cos 2x cos 3x
sin 3x , cos 3x 2
cos 3x cos 4x
>0.
+
cos 2x sin 2x sin 3x ’
8.86*. cos	+ cos ^x +	= у cos 2x.
3.87.	4 sin 3x + sin 5x — 2 sin x cos 2x = 0.
3.88.	sin ^x + sin ^x —	= sin x.
3.89.	3 cos X + 2 cos 5x + 4 cos 3x cos 4x «=» 0.
3.90.	3 sin 5x = cos 2x — cos 8x — sin 15x.
3.91.	cos 2x — sin 3x — cos 8x = sin lOx — cos 6x.
8.92.	sin 2x — cos 2xtg x.
3.93.	cos 3x — sin 6x — cos 7x = sin 4x — cos 2x.
3.94.	sin 2x + cos 2x = 2 tg X + 1.
3.95.	4sin*x+ 3tg*x = 1.
3.96.	4 sin X sin 2x sin 3x = sin 4x.
sin 4x + sin 2x — 4 sin 3x + 2 cos x — 4	,
3.97.
sin X — 1
3.98.
VI — cos 2x
.д/^^cosx-^).
3.99. cos 2x'
I +V3
(cos X 4- sin x).
3.100. ctg X — tg X:
cos X — sin X
1	■ о
sin 2x
3.101.	sin 7x 4- stn 3x 4- 2 sin* x «= 1.
3.102.	cos X — cos I7x = I 4- 2 sin 8x sin x — cos 16x.
3.103.	sin X — cos X = 4 sin X cos* x.
3.104.	2 cos 2x (ctg X — 1) = 1 4- ctg X.
3.105.	tg X 4- 2ctg2x =» sin X ^1 4- tg xtg y)-
3.106.	2 ctg 2x — ctg X = sin 2x 4- 3 sin x.
3.107.	sin’X — cos* X = cos — x^.
3.108.	sin 2x 4- sin’ -j ■
3.109.	cos X »= V3* sin X + 2 cos 3x.
'COS’Y-
14-tgx
I (sin X 4- cos x)*.
3.110.	,	,
1 — tgx
3.111.	sin 3x 4- sin X — 4 sin* X.

ш
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
3.112.	tg cos = ctg	•
Решение некоторых тригонометрических уравнений предпола¬
гает последующую проверку условий, которым должны удовле¬
творять найденные корни. Если эти условия заключаются в том,
что корни уравнения должны принадлежать заданному проме¬
жутку, то решение задачи выделения этих корней сводится к
решению некоторого неравенства в целых числах.
Пример 3.6. Найти все решения уравнения
(tg’ X - 1)
-1.
1 -Ь cos 2х,
(*)
удовлетворяющие неравенству 2^+* —8>0.
Решение. Приведем исходное тригонометрическое уравне¬
ние к виду
1
(1 Н- cos
2дс)(
1 +
-0.
2 cos 2х,
Решениями этого уравнения будут следующие значения х:
х =	л, fteZ.
я .
■-у + ял.
■ ± у -ь яЛ,
По условию задачи среди этих значений х необходимо отобрать
те значения, которые удовлетворяют неравенствам
2*+t_8>0, созхФО,
Такими значениями будут
ял,
;N.
Ответ. х = ±у + ял, лeN.
3.113.	Найти все решения уравнения
Vsin (I — х) = i/cosx,
удовлетворяющие условию х е [0; 2.ч].
3.114.	Найти все решения уравнения
cos* X — 3 cos Зх — 3 cos X — cos* X cos Зх,
лежащие в промежутке I—л; я/2].
3.116. Найти все решения уравнения
sin — cos у = 1 — sin X,
удовлетворяющие условию
X я I ^ Зя

5 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Iff
3.116. Найти все решения уравнения
— (cos 5х + cos 7х) — cos* 2х + sin* Зх ™ О,
удовлетворяющие условию |х| <2.
Решить уравнения;
8.117* tgx* = ctgSx.
5
3.118*. sin — = cos Зх.
X
3.119*. sin X = cos V*.
3.120**. Доказать, что уравнение
sin (cos х) cos (sin у I
не имеет действительных корней.
8.121*. sin cos х^ = cos sin х^.
8.122*. sin (я ctg х) = cos (я tg х).
3.123. Найти корни уравнения sin(x — 2) = в1п(3х — 4), пря-
надлежащие промежутку (—я; я).
В случаях, когда дополнительные условия представлены не¬
равенством, содержащим тригонометрические функции, выделе¬
ние нужных корней производится па промежутке, равном' иан-
иеньшему общему кратному периодов тригонометрических функ¬
ций, входящих в уравнения и неравенства.
Пример 3.7. Найти все решения уравнения
1	-|- (sin X — cos х) sin у =» 2 cos* у X,
(•)
удовлетворяющие условию
sin 6х < 0.
Решение. Упростим исходное уравнение:
1	+ (sin X — cos х) sin у = 2 cos* -«=!>-1 + (sin х — cos х) -у
= 1 + cos 5х -«=>- cos 5х + cos ^■*’.+ у ^ =» 0
(••)
V2
2 cos ^Зх + у^ cos ^2х — а. о
Таким образом, исходное уравнение (•) эквивалентно урав.
пениям
cos ^Зх -Ь у ^ ■> о,	С08 ^2х — у^ ■« о.

128	гл. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
корни которых равны соответственно
л , я«
^=8+—■
я е Z,
бя , ля
^=16+—'
neZ.
Наименьшее общее кратное периодов тригонометрическия
функций, входящих в уравнения (•) и неравенства (**), равно
Из найденных решений уравнения, принадлежащих проме*
хутку (0; 2л), неравенству (**) удовлетворяют числа 5л/1б н
бл/16 + л. В(% решения задачи получаются прибавлением к каж«
дому полученному корню чисел, кратных 2л.
5л
Ответ. х = -^ + яЛ
{k € Z).
3.124. Найти все решения уравнения
б — 8 cos —-|-я^ = 2 sin ^2jc —	,
удовлетворяющие неравенству cos х > 0.
3.I2S, Найти все решения уравнения
Vtg X + sin X + Vtg X — sin X
■ V3 tg X
a)	na промежутке [0; я]; б) на всей действительной оси.
3.126. Решить уравнение
V2 + tgX — cos» X — yyj~ + tgT = yyj^ — cos*x .
3.127**. Найти все решения уравнения
“ т) “	+х) “
2 cos 7х nCOS 2х
удовлетворяющие неравенству
cos О "Т* sin О
3.128*. Найти все решения уравнения
1
2 V2 cos X '
удовлетворяющие неравенству logj|n>3(l + cos (2х + 4)) < cos 4х.
3.129*. Найти все решения уравнения
sin ^4x + -j^ + cos ^4х+	=3 ^/2,
cos2x
удовлетворяющие неравенству	5—rTrs" > ^
G09 « *** оШ «
>-sln 4х

$ 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	129
3.130*. Найти все решения уравнения
sin |^2х —	sin* X,
удовлетворяющие неравенству logj<,,.3 (I + sin (7х + б)) < sin 8х,
Некоторые тригонометрические уравнения удается решить,
используя оценку левой и правой частей уравнения,
Пример 3.8. Решить уравнение
‘g(7 + ^)+‘g(7“Jf)=2.	(•)
Решение. Используя формулу приведения, получаем
tg (i+x)=.ctg(i-i-x)-ctg(i-x).
Так как
( 4	*) “* ctg (п/4 — х)'
то левая часть данного уравнения представляет собой сумму
двух взаимно обратных величии. Известно, что при а > О
а + 1/а ^ 2,
Таким образом, равенство (•) достигается только при
tg (т + ^)'
1.
Множество решений уравнения {**) имеет вид
X =- ял, neZ.
О	т в е т, X ял (п г Z).
Пример 3.9. Решить уравнение
sin X + sin Зх = 2.
Решение. Так как |slnx| 1, |sin3x) < 1, то исходное
уравнение эквивалентно системе уравнений
sin X = 1, sin Зх = 1.
Множества решений каждого из этих уравнений имеют вид
X = - J + 2яА,
А е Z,
(*)
л 1
, 2ял
лг Z,
(*•)
б	А. Г. Цыпквв, А, И, ПвискиВ

130
ГЛ. в. ТРИГОНОИЕТРИЯ
соответственно. Решением системы, а сдедователыю я исходного
уравнения, являются те значения х, которые принадлежат как
первому, так н второму множеству. Для того чтобы найти эти
значения, приравняем выражения, стоящие в правых частях ра*
веяств (*) и («»). Если найдутся целые значения пак, при
которых эти выражения совпадают, то полученные значения х
удовлетворят обоим уравнениям системы.
Приравнивая правые части (•) и (••), получаем уравнение
, 2пп
6
которое после'тождествеяяы.ч преобразованпй приводится к виду
2ft — 6/г = 1.	(♦♦♦)
Очевидно, что уравнение (**•) не имеет решений в целых числах,
так как при любых пик слева стоит четное число, а справа —
нечетное. Таким образом, множества (*) и («*) не имеют общих
точек и исходное уравнеиие решения не имеет.
Решить уравнения:
3.131> ski X + зЬ 5х 2.	3.132. sin х sin у => 1.
3.133.	+	=
3
3.134**. cos X + cos 1/ — cos (х + у) = -J.
8.135. sin X + sin 2.	3.136. sin x + sin у + sin г = —3.
3.137.	logjo, , sin X + logjin , cos X = 2,
3.138.	cos* X + cos X cos у + cos* у •=» 0.
3.130*. Доказать, что уравнение
(sin X + V3 cos x) sin 4x = 2
lie имеет решений.
•	3.140. Vs — ly I (5 sin*X — 6 sin XcosX — 9cos*x + 3 ''5^) =>
.91	9	бя*
= arcsin* X + arccos* x — —7—.
8.141.	Igx—|(|x--5-|-|x--|
8.142.	Найти все x, удовлетворяющие уравнению
V49 — 4x ^sin ЯХ + 3 cos = 0.
3.143.	Найти все значения x, прв которых выражение
V4x« — 3 — X® {I — cos (2n (2x + 2lx*)]}
не обращается в нуль.

s 4. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 181
§ 4. Системы трнгонометряческнх уравнений
Системы уравнений, в которых неизвестные являются аргу*
ментами трнгоиоиетрическнх функций, называются системами
тригонометрических уравнений. При решении систем трвгоиомет-
рическнх уравнений используются методы решения систем урав*
пений и методы решения тригонометрических уравнений.
Пример 4.1. Решить систему уравнений
■V3/4.
sm д: sin ^ •
cos д: cos ^ <
Решен пе. Складывая уравнения системы, приходим к
(уравнению
л/з ,	\	V3"
-и. OOS (X - у) =-
sin X sin у + cos X cos у
Вычитая из второго уравнения системы первое, приходим к урав¬
нению
cos X cos у — sin X sin у = О <=> cos (х + у) = 0.
|Такнм образом, исходная система равносильна системе
cos (х — у)
cos (х + у) = о.
2
X —у = ± -g-4 2яп,
п, к ^Z,
х+ у
+ пк.
откуда
х = ~ + ^{2п + к),
■T + f(2'* + *)-
Ответ. (y+y(2n + fe), |-+|.(fe-2ft)):
+j{2ft + A).+	2л)^, гдеЛ, neZ
Решить следующие системы уравнений:
4.1.
sin дг COS ^ =3
-1/2.
4.2. sin X cos
у = 0,36.
cos X sin у =
1/2.
cos X sin
у = 0,175.
4.3.
sin X sin у =
3/4,
4.4. cos X cos у
-
1 + V2
4 '
tgxlgy —
3.
ctg X ctg у
=
3+2-v^.
4.5.
sin X — sin у
-lA
cos X + cos у ■» V3/SL
Б*

132	гл 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
4.6.	stn 2х + sin 2у ■— 3 (sin д: + sin у),
cos 2д: + cos 2у = cos д: 4- cos у.
4.7. sin At ctg у = V^/2.	4.8. tgjt = sln(/,
tg д; cos у = V3/2. sinA: = 2clgy.
4.9.	51пу = 5 51пд;,
3	cos д: + cos у = 2.
4.10.	3 tg у + 6 sin X •= 2 sin (у — At),
tg — 2 sin X = 6 sin (y + x).
4.11.
sln*A; + cos X sin у = cos 2y,
cos 2x + sin 2y = sin* у + 3
COS 7 sin Jf.
4.12.
2 sin* у + sin 2y = cos
(x + y).
cos* X + 2 sin 2y 4 sin* у =• cos
(X - y).
4.13.
sin* (-2x) - (3 - V2) tg 6y =
3 V2 - 1
2
tg*6y + (3 - л/2) sin (-2x) =.
4.14.	sin» 3x + (4 - л/З ) cfg (~7y) = 2 V3 - 3/4.
cig» i-7y) + (4 - V3 ) sin 3x = 2 л/з" - 3/4,
4.15.	4s:n у — 6-y/2 cos x = 5 + 4 cos* y,
cos 2x =» 0.
4.16.	l + 2cos2x—"0,
Ve" cos у — 4 sin X •=» 2 -у/з (I + sin* y).
4.17. 2 у/З cos X + 6 sin у = 3 4 12 sin* x,
4	у/з cos X + 2 sin у =“ 7.
4.18.	V? У + VT^ ctg X = 4,
2	V2 у — уЩ clgx=l.
4.19.	3 tg 3y + 2 cos X >= 2 tg 60°,
2	tg 3y — 3 cos X •= — у cos 30°.
4.20.	sin (y — 3x) «= 2 sin* x,
cos (y — 3x) — 2 cos* X.
4.21.	sin (x — y) =• 3 sin X cos у — 1,
sin (x + y) = —2 cos X sin y.
4.22.	Найти решения системы
I	sin X I sin у «= —1/4,
cos (x + y) + cos (x — y) =» 3/2,
удовлетворяющие условиям x e (0; 2n), у s (n; 2n).

« 4. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Л
133
sin’y + cos* 2= 1.
4.23.	tg* X + ctg* X = 2 sin* у, 4.24. x + у •— у,
tgx 3
<g » “ 4 ■
4.25.	4»‘"* + 3.9'^°»» = 3.
4-elnx^5.g,cos»+l/2 _
4.26*.	X + у + 2 = я,	4Л7*. tg x/tg у = 2,
tg X У = 2.	tg y/tg 2 =■ 3.
tgx + tgy + tg2 = 6.	Х + У + 2 — Я.
Если одно из уравнений системы рационально относительно
аргументов тригонометрических функций, то решение системы
обычно сводится к решению тригонометрического уравнения для
одного из неизвестных.
Пример 4.2. Решить систему уравнений
X + у — 2л/3,
sin X
sin у
>2.
Решение. Преобразуем второе уравнение системы к виду
sin X •» 2 sin у.	(*)
Используя первое уравнение системы, исключим из уравнения
(*) неизвестное у:
2л
sin X ’
' 2 sin
^ ^ — Х^ sin X =» л/З COSX + sin X.
Полученное уравнение эквивалентно тригонометрическому урав¬
нению
cos X =■ 0.	(»*1
Подставляя корни уравнения (*•) в первое уравнение систе¬
мы, получим значения для неизвестного у.	*-
Ответ. X = Y пЛ, у — яй, где fei
i Z.
Решить системы;
4.28. х-у = я/18,
s!n(x-fi|-) sin (y-bf)=l.
4.29. i_J£i. = tgy,
1	+ tgx
X — у =» я/6.
4.30.	tg X -Ь cfg у = 3,
IX - у 1 = я/3.
4.31.	sin X -Ь sin у =■ sin (х -|- у),
1х1-Ну1-1.
■у
.S
J

ш
ГЛ. 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ .
4.32.	Выяснить, при каких значениях а решения системы
8 cos X cos If can {х — у) + 1 = О,
х + у~=а
существуют, н наЛти эти решения.
§ 5. Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
Решения простевших уравнение
* Уравнение
Решение
arcsin Х=а
(I а 1 <Л2)
х=а1п а
агссоэ х^а
(0<о<п)
x»>cos а
arctg хо>а
(1 а 1 <т
x»tg а
arccTg х^а
(0<О<Я)
X—ctg а
Уравнения вида
где Р —некоторая рацноналыгая функция, а р(х)—одна из
аркфункциЛ, сводятся к простейшим уравнениям
У (*) »= У с
где У! — корни уравнения Р(у) = 0.
Пример 5.1. Решить уравнение
2 arcsin^ X — arcsin х — 6 = 0.
Решение. Вводя новое неизвестное у = arcsin х, получаем
уравнение
2р*-у-6 = 0,
решение которого у\ = 2, уг = —1.5. Следовательно, решение
исходного уравнения сводится к решению двух простейших урав^
нений
arcsin X = 2, arcsin х = —1,6.
Так как 2 > п/2, а |—1,5| < я/2, то единственным реше¬
нием будет X = —sin 1,5.
Ответ. X — —sin i,5.
Решить уравнения:
5.1.	arctg* -у — 4 arclg у — 5 — 0.
5А arcfg* (Зх + 2) + 2 arctg (Зх + 2) — О.

i в. УРАВНЕНИЯ, содержащие обратные функции 135
6.3.	2 arcsin	+
6.4.	3 arctg* X — 4я arclg х + я* «= 0.
п*
6.6*. Найти решения уравнения 2 arccos х = о +при
действительных значениях а.
Если в уравнение в.чодят выражения, содержащие разные
аркфункпии, или эти аркфункцин зависят от разных аргументов,
то сведение уравнения к его алгебраическому следствию осуще¬
ствляется обычно вычислением некоторой тригонометрической
функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при этом
посторонние корни отделяются проверкой. Если в качестве пря¬
ной функции выбираются тангенс или котангенс, то решения, не
входящие в область определения втих функций, могут быть поте¬
ряны. Поэтому перед вычислением значений тангенса или котан¬
генса от обеих частей уравнений следует убедиться в том, что
среди точек, не входящих в область определения этих функций,
вет корней исходного уравнения.
Пример 5.2. Решить уравнение
arcsin 6х-4-arcsin 6-\/З^Д = — я/2.	(*)
Решение. Перенесем arcsin 6х в правую часть уравнения
в вычислим от обеих частей получившегося уравнения значения
синуса;
sin (arcsin 6х) = sin (— arcsin 6 x — я/2).
Преобразуя правую часть этого уравнения по формулам приве¬
дения, получаем следствие исходного уравнения:
6х — Vt — 108х*.
Возведем обе части уравнения в квадрат. После приведения по¬
добных членов получаем уравнение
144х*=.1,
корнями которого являются числа 1/12 в —1/12.
Сделаем проверку. Подставляя в уравнение (*) значение
X => —1/12, имеем
arcsin (- -j) + arcsin (-	=		у.
Таким образом, х —1/12 является корнем исходного урав¬
нения.
Подставляя в уравнение (*) значение х «=> 1/12, замечаем.
jiTO левая часть получившегося соотношения положительна, а

ш
ГЛ. 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ
правая — отрицательна. Таким образом, значение 1/12 — по¬
сторонний корень уравнения (•).
Ответ. X =? —1/12.
Пример 5.3. Решить уравнение
2 arclg (2л:-f 1) = агссоз дс.	(•)
Решение. Вычисляя от обеих частей уравнения значение
косинуса, получаем
cos 12 arctg (2л: + 1)] — лс.
Левую часть зтого уравнения можно преобразовать к виду
l-(2x-fl)»	2х» + 2х
1+2Х + 2Х*’
cos [2 arctg (2л: + 1)1 =
1 + (2лг+ 1)*
Таким образом, следствием уравнения (*) будет уравнение
2x* + 2дг	„ ,	„
1+2х + 2Р-°^^^*
корни которого равны О, V2/2, — V2/2. Для того чтобы вы¬
яснить, какие из этих чисел удовлетворяют исходному уравне¬
нию, произведем проверку. При х О обе части уравнения
равны я/2. При x = V^/2 правая и левая части уравнения
равны соответственно я/4 и 2 arctg (л/2-f l). Но V2 + I > I
и, следовательно, arctg (V2 + О > я/4. Значит, х=» V2/2 не яв¬
ляется корнем исходного уравнения. Прих«= —V2/2 левая
часть уравнения отрицательна, а правая — положительна. Сле¬
довательно, X—• —V2/2 также не является корнем уравне¬
ния (*).
О т в е т. X = 0.
Решить уравнения;
5.6.	агссоз ■§■ •= 2 arctg (х — 1).
Б.7. агссоз х — я =■ arcsin
4х
Б.8 arctg (х-f y)-f arctg
Б.9. arctg 2x -f arctg 3x »=
Б.10. arcsin X -f arccos (x — 1) = л
Б.11. 2 arccos X-+-arcsin x = -^4^.
6
Б.12. 2 arccos ^arccos (x -f- 3).

§ в. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА’
6.13.	2 arcsin X —• arcsin V2 х.
5.14.	arctg -у + arctg ■— arctg х.
6.16.	агссоз X — arcsin х «■ —
в ■
6.16.	arcsin X + arcsin —^ _ JL
^ 2*
8.17.	arcsin 2х = 3 arcsin х.
6.18.	агссоз X — arcsin х = arccos л/Ъ х.
6.19.	arcsin X — arccos х ». arcsin (Зх — 2).
6.20.	arcsin X = arccos Vl	x*.
6.21.	arccos X = я — arcsin -\/i ~x\
6.22. arccos X	arctg —^~ ** .
6.23.	arcsin (2x"Vl — **) = arccos (2x» — 1).
5.24.	2 arccos x = arccos (2x* — 1).
6.26.	2 arctg x=» arcsin ^^.
5.26.	2 arctg X-■ arccos
137
6.27.	arccos x -=• arcctg
Ov.2	 1
6.28.	2 arccos x = arcctg		- ■
2xVl
6.29*. Решить уравнение arcsin x = 2 arcsin a при всех лей*
ствнтельных значениях а.
5.30*. Решить уравнение агссоз х » arcsin 2а при всех дей¬
ствительных значениях а.
§ 6. Тригонометрические неравенства
Решения простейших
тригонометрических неравенств
Вид веравенства
Множество решений неравенства
Bln х>а (
о1<1>
хб<агсв|па + 2яп; я—arcsin а Ч-2лл)
Bln X<4 1
0 <1)
хв(-я—вгвв1по + 2яп; arcsin а + 2яп)
совх>а (
о <1)
X а (—arccos а 4- 2яп; arccos а + 2яп)
сов х<а (
а1<1)
X а (arccos а + 2пп: 2я—arccos а -и 2пп)
-ig х>а
X а (atcU а + Яп; Ж2-1-ЯП)
lg х<а
X S (-я/24-яп; arctg а + лп)
ctg х>а
X а (яп; arcctg а + яп)
clgx<a
xa(aractg я + яп; я4-яп)

138
гл. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Решить неравенства:
ел. sin X > —1/2.
в.З. ctg X > —3.
в.6. sin х^ < 1/2.
в.7*. cos (sin х) < 0.
6.2.	tg JC > 2.
6.4.	sin (х — IX — V3 /2.
6.6.	sin X + cos X > — V2 •
6.8.	sin (cos x) 0.
Неравенства вида R(y)>0, R(y) <0, где Л —некоторая
рациональная функция, а у —одна из тригонометрических функ*
цнй (синус, косинус, тангенс или котангенс), решаются в дна
этапа — сначала решается рациональное неравенство отиоситель>
во ненэвестного у, а потом — простейшее тригонометрическое не<
равенство. *
Пример 6.1. Решить неравенство
2	sin* X — 7 sin X + 3 > 0.
Решение. Обозначая sin x= у, получаем неравенство
2у» - 7р + 3 > 0,
множество решений которого у < 112, у > 3. Возвращаясь к нС"
ходному неизвестному, получаем, что данное неравенство эквн*
валентно двум неравенствам
sin X < 1/2, sin X > 3,
Второе неравенство не имеет решений, а решение первого
хе^—-^+2яп, -^ + 2ял^, nsZ.
Ответ: хе^—■^ + 2п«, -^ + 2яп^, где nsZ.
Решить неравенства:
6.9.	ctg’ X + ctg* X — ctg X — 1 <0,
6.10.	2 cos 2x + sin 2x > tg x.
6.11.	tg X + ctg X < —3.	6,12. sin 2x > cos x,
6.13.	cos X + V3 cos X < 0.
6.14.	V3 — 4 cos* X > 2 sin X + 1*
6.15.	V3 sin X 4-1 > 4 sin X + 1.
6.10.	<0.
sin X — 1
6.17.	5 + 2 cos 2x < 312 sin X — 11.
Решение неравенств разложением на мно«
жители.
Пример 6.2. Решить неравенство
со$ X + cos 2х + cos Зх > 0.

§ 7. НЕРАВЕНСТВА. СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫВ ФУНКЦИИ 139
Решение. Преобразуя сумму крайних слагаемых в вроиЗ'*
селение, получаем неравенство
cos 2х + 2 cos 2х cos ж > 0.
Вынося cos2x за скобки, имеем
cos 2х (2 cos X + 1) > О,
Последнее неравенство эквивалентно двум сяотМ1ам простейших
неравенств!
cos 2х < О, cos 2х > О,
cosx<—1/2;	cosx>—1/2.
Объединяя решение этих систем, получаем решение исходного
неравенства.
Ответ. ^-^ + 2яд; +	+	+
+ 2я/»^и^—^ + 2яя; -^ + 2я«^, где neZ.
Решить неравенства:
в.18. sin X sin 2х — cos х cos 2х > sin 6х.
6.19.	2 sin X sin 2х sin Зх < sin 4х.
6.20.	sin X sin Зх > sin 5x sin 7x.
6.21.	cos’ X sin 3x + cos 3x sin’ i < 3/8,
6.22.	sin X > cos 2x.
6.23.	2 tg 2x < 3 tg X.	6.24, sin x < | cos x |.
§ 7. Неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции
Решение простейших неравенств
Вид неравенства
Решения неравенстад
arcfin х>а
(1а|<я/г)
X 6 (sin а; I)
агезШ Х<А
(|в|<я/г)
X# (-1; аШа)
arccos х>о
(0<О<Я)
хв (-1: сб^а)
arccos х<а
(0<а < я)
X г (cos а; 1|
arctg х>а
(|0|<Г^2)
(tg о; +<»)
arete х<а
( 1 а|<я72)
X S (- во; tg а)
arcctg х>а
(0<в<я)
X е (- оо; ctg а)
arcctg х<д
(0<а<л)
X е (ctg а; + оо)
Решить неравенства:
7.1. arcsln X < 5.
7А arccos х < arccos
7.5.	arctg X > — я/3.
IX arcsinx>—2.
7.4. arccos х > я/6.
7.6. arcctg X > 2.

140
ГЛ. 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Неравенства вида R(y)>0, Л(у) < О, где /? —некоторая
рациональная функция, а у — одна из обратных тригоноиетри*
ческих функций (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотан¬
генс), решаются в два этапа — сначала решается неравенство от¬
носительно неизвестного у, а потом — простейшее неравенство,
содержащее обратную тригонометрическую функцию.
Пример 7.1. Решить неравенство
arcctg* х — 5 arcctg jt -f 6 > 0.
Решение. Обозначая arcctg х=> у, исходное неравенство
перепишей в виде неравенства
(/* — 5р + 6 > О,
решения которого у <2 и р > 3. Возвращаясь к исходному не¬
известному, получаем, что исходное неравенство сводится к двум
простейшим неравенствам
arcctgX <2 и arcctgд: > 3,
решения которых соответственно равны х е (ctg 2; оо) и х е
г (—оо; ctg3). Объединяя эти решения, получаем решение ис¬
ходного неравенства.
Ответ, (ctg2; oo)U(—оо; ctg3).
Решить неравенства:
7.7.	arctg* X — 4 arctg х + 3 > 0.
7.8.	logi (arctg х) > 1.
7.9.	2"'*“ * +	> 2.	7.10. 4 (агссоз х)* — 1 > 0.
Для того чтобы решить неравенства, связывающие значения
различных обратных тригонометрических функций или значения
одной тригонометрической функции, вычисленные от разных ар¬
гументов, удобно вычислить значение некоторой тригонометриче¬
ской функции от обеих частей неравенства. Следует помнить, что
получающееся при этом неравенство будет эквивалентно исход-
иому лншь в том случае, когда множество значений правой в
левой частей исходного неравенства принадлежит одному и тому
же промежутку монотонноств этой тригонометрической функции.
Пример 7.2. Решить неравенство
arcsin X > агссоз х.	(*)
Решение. Множество допустимых значений х, входящих в
неравенство, имеет вид хг[—1; 1]. При х<0 arcsin х < 0, а
агссоз X >■ 0. Следовательно, значения х -с 0 не являются реше¬
ниями неравенства. При х ^ 0 как правая, так и левая части
неравенства имеют значения, принадлежащие промежутку
[0; п/2]. Так как на промежутке [0; п/2] функция синус моно-

5 8 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
HI
тонно возрастает, то при хг[0; I] неравенство (*) эквивалентно
неравенству
sin (arcsin х) > sin (агссоз х) <=► х > -^1 —х^.
Последнее неравенство при рассматриваемых значениях неиз¬
вестного эквивалентно неравенству
2х» > 1.	(*•)
Таким образом, решениями исходного неравенства будут те ре¬
шения неравенства (*•), которые попадут в промежуток [0; 1].
Ответ: х е (V^/2; l]«
Решить неравенства:
7.11.	arcsin X < агссоз х.
7.12.	агссоз X > агссоз х*.
7.13.	arctg X > arcctg х.
7.14.	arcsin X < arcsin (I — x).
7.15.	tg* (arcsin x) > 1.
§ 8. Доказательство тригонометрических
неравенств
Доказательство неравенств, связывающих значения тригоно¬
метрических функций на всей числовой оси или на некотором ее
промежутке, обычно основано на исследовании свойств функций:
монотонности, ограниченности н т. д.
Пример 8.1. Доказать, что если и, ре (—я/2; я/2), то
а -Ь В cos а -(- cos В
соз-у^>	2
Решение. Для доказательства данного неравенства до¬
статочно представить правую часть неравенства в виде \
cos с -Ь cos Р
о	+ р а — Р
cos	S-1— cos
а / я яЧа — р / я я\
и учесть, что при о, ре	—J —yj,
ct в
и следовательно. О < cos —< 1.
Доказать, что для хе[0; я/2] выполняются следующие ие-
равенства:
8.1. sin X cos X < 1/2.	8Л. sin х -f cos х < V^-
8.3. tg X + ctg X > 2.	8.4. tg X ^ sin X.
8.5. sin 2x <2 sin X,
8.6. Vco* Jf < V2 cos у.

ш
ГЛ Б. ТРИГОНОМЕТРИЯ
8.7.	Доказать, что если а, ^ € [О; п], то
... а + р sin а + sin р
sm 2	^	2
Доказать, что при любом действительном х справедливы со*
отношения:
8.8*. I а cos X 6 sin XI ^	**.
а + с — Ус* + б* + с* — 2ас ^
8,9**
< а sin* X + 6 sin X cos X + с cos* х <
•	^ a + c + V<**+b* + <^*~ 2ас
^ 2 •
Часто при доказательстве справедливости тригонометриче¬
ских неравенств используются неравенства, устанавливающие
связь между средним геометрическим и средним арифметическим
двух или нескольких положительных чисел.
Пример 8.2. Доказать, что если а-ЬРН-у = л и а, Р,
Y > О, то
1.1.1
а ^	• Р ^ , Y
sm Y S'" -J	2
>6.
{*)
Решение. Так как sin-^, sinsln-^ неотрицательны,
то, используя неравенство, связывающее среднее арифметическое
трех чисел и их среднее геометрическое, имеем
'	'	'	3	, .
(♦*)
а	В	"V ^ V о Р . V
sin-у sin у sin-J	sin у sinsin
Преобразуем теперь подкоренное выражение:
P-Y
2
— С05
Sin у sin -у Т “ Т Т ['°® ■
Так как о -Ь Р + Y = я, то
P+Y	. о	Р—V
COS-^^-COS (^y-yj-siny,	cos—у-<1,
н, следовательно,
sinsin i-sin ^<js\n -^(l-sin-2-).
Наибольшее значение функции, стоящей в правой части не¬
равенствау	sin у), на иромежугке [Oj

§ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
1]	равно 1/4. Следовательно,
, о . В , V . 1
2	2
Из последнего неравенства получаем неравенство
3
t43
*/sin-|-sin-|-sin-|-
■>6.
Из неравенств (**) и (***) следует справедливость исходного не¬
равенства.
8.10*. Доказать, что если а + р + у = я и о, р, у>0, то
(1 — С08 о) (1 — cos Р) (1 — cos y) ^ 1/8.
8.11*. Доказать, что если а + Р + У = л и о, р, Y^(0; я/2).
то
то
I
1
->6.
cos а cos р cos V
8.12*. Доказать, что если а + р + у = я и а, р, у ^ (0; я/2)^
«g*aH-lg*PH-tg»V>9.
8.13. Доказать, что если о + р + у=*я, то
« Р У ^ ^ /т
cos у cos cos у<ул/3.
8.14**, Доказать, что если о+р + у^я, то
sin* у + sin* у + sin* у > у •
8.15.	Доказать, что если а+р + у = я, то
соэ а + «09 Р + cos у ^ 3/2.
В примере 8.2 требовалось найти наибольшее значение
функции у sin у ^1 — sin у^- После замены переменной иске-
Sloe значение совпадало с наибольшим значением функции
f	у (\ — у) на промежутке [0; 1). Аналогичный прием
часто используется в тех случаях, когда требуется найтя
множества значений некоторых сложных триговонетрнческнх
выражений.
8,18,	Доказать, что
—4 ^ С05 2х + 3 sin X < 2

144
ГЛ Б. ТРИГОНОМЕТРИЯ
8.17.	Доказать, что
cos’ ДС + cos* JC < 1/4.
8.18.	Доказать, что если 1/>| < 2, то
5Ш*ДГ + р sin JC + 9
— р^~Ад
8.19.	Доказать, что sin* дг cos’х < 1/4.
Доказательство неравенств, связывающих трнгонометричо*
скне функции и некоторые многочлены, рассмотренные на интер¬
валах изменения аргументов, проводится с использованием ком¬
бинации рассмотренных выше приемов. При этом часто исполь¬
зуется неравенство
sinx<x<tgx,	(1)
справедливое для всех х г [0; л/2].
Пример 8.3. Доказать, что на промежутке (0; п) имеет
ыесто неравенство
X*
X	1- < sin X.
4
Решение. Представим функцию sin х в виде
sin X = 2 tg i cos*-i-= 2 tg(1 - sin*.
Используя неравенство (1), имеем
Подставляя полученные оценки в правую часть исходного нера-
еевства, убеждаемся в его справедливости.
8.20*. Доказать, что на промежутке (0; л) справедливо ве-<
равенство
. , X* , X*
со®х<1- —+ 76-
8.21*. Доказать, что на промежутке (0; л/2) справедливо
неравенство
JS - -9- < tg X.
8.22*. Доказать, что
1 — cos X <

ГЛАВА 6
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Заонсь ЧНСЛ1 ж в внде в + bt, где в в fr — действительные числе,
яазывается алгебраической формой комплексного числа. Число а назы¬
вается дгйстаитгльной частью комплексного числа и обозначается Re г,
число Ь — мнимой частью комплексного числа и обозначается Imz. Сим¬
вол I называется мнимой единицей.
Два комплексных числа zi>-ai-I-zt^mai + bzi равны, если a,a«ai и
bi^Oz.
Комплексное число —а — Ы вазыаается противоположным комплекс*
ному числу а + bL
Правила действий с комплексными числами. Пуста
Sinai-l-fril и Z]—02-1-6,1—два комплексных числа. Сумма zi-fz» раэноств
Zi—Д]. произведение Zi-Zi и частное -^<Z: ф 0) комплексных чисел Zi и Zi
ВЫЧИСЛЯЮТСЯ по формулам
Z, + Zj“(ei +йг) + Ibi + bz) I,
Zi—Zj«(0i—а,) + {*1—6j) 1,
Zi-Zi»(eiOi—6ibi) -»■ (flifti-bOi6i) /,
Z|
*0
(0
Oi63 "b p ^	^
4+»l
“i+bi
Сложеине н умноженне комплексных чисел коммутативно и ассоаяа*
тявно. умножение дистрибутивно относительно слижеиня.
Комплексное число а — Ы называется комплексно сопряженным е
числом Z - а 61 и обозначается г Свойство комплексно сопряженных
чисел: г-2—а’-f 6'.
Пусть Z - а -f 61 — отличное от нуля (т. е. а’ -ь 6' |/= 0) комплексное
■ 'одулем К1
Va’-ИН
определяемый нз условий
чясло. Модулем комплексного числе (обозначается |г| нлн г) называется
величина vo'-f 6* Аргументом комплексного числа г называется угол <р.
а1п ф —
л/а‘ + Ы‘
СОЗ ф°
(обозначается Arg г или ф). Главным зна»
пением аргумента комплексного числа г (обо*
вначается erg г) иаэыввется значение ф,
привадлежатее промежутку (—л; я|.
Запись комплексного числа z — а -f 61
z»r (cos ф ■(■ 1 si л ф).
где ф—аргумент иазывается тригонометрической формой комплексного числа.
Геометрически модуль комплексного числа может быть изображен
как отрезок (радаус-вектор) длины г, имеющий своими концами точки
ф;0) я (а; 6); аргумент комплексного числа —как угол, который обра-
аует радяус-вектор с положятельвым ваиравленнем оси Ох (рис. 6.1).
Два комплексных числа, ааписаниые в трягонометрнческой форме,
равны тогда в только тогда, когда равны вх модули, а аргументы
бтдичаются на 2як (д в Z).

14в
ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА’
Пронаведеняеи н частным двух отличных от нуля комплексных чисел
2, ~Г| (сов ф| + < Bln ф|) и zi*=rj (сов <Pj -I- / Bln ф]), ваписанных в тригономеТ'*
рической форме, являются числа
Л| • г,=Г1 • Гг (сов (ф| + ф1> + / Bln (ф1 + фЛ,
—	1ф1 —ф))+ / sin (Ф1 —ф;)1.
2»
п-я сппень комплексного числа гг (сов ф-М в1я ф) вычисляется по
формул* Муавра
2"“г"{С0В лф+(Bin Лф).	(2)
Корнем п-й степени из комплексного числа г называется комплекс*
вое число ш, удовлетворяющее ураввевню
л
Все решения этого уравнения обозначаются a/F н для числа г. эапи*
савяого в тригонометрической форме г=>г(соз ф Ч-(в1пф), вычисляются по
формуле
VT—Vt
где кш‘0, I, 2..... л—1.
Ф + 2ЛЙ . . ...
сов —	+ (Bln
fl
ФЧ-гяй\
л J’
(3)
§ 1. Действия с комплексными числами
Действия с комплексными числами проводятся по форму»
лам (1). При вычислении произведения и частного комп.чексиых
чисел удобно использовать представления комплексных чисел в
тригонометрической форме.
Пример 1.1. Представить в тригонометрической форме
комплексное число г = —3 +1.
Решение. По определению модуля комплексного числа
имеем
|zi = V(-3)» + i -VTo.
Обозначая аргумент комплексного числа через q>, получаем
sin ш ■= —=г,	cos ф =
Vio
VTo’
откуда следует, что угол ф принадлежит второй четверти в ра»
вен arccos (—З/Vio)' Следовательно, комплексное число г в)
и —3 4-1 имеет тригонометрическую форму:
в = Vio [cos (arccos (-	+ / sin (arccos (-
Предствнть в тригонометрической форме комплексные числа!
1.1.	I.	и. -3.	1.3, л
1.4.	I + I,	1.6. -1 + 1.	1.6. 1 + 1 л/з".

S I. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКаШМИ ЧИСЛАМИ
1.7.3-41.	1А—3—41.
1.9,	— cos +1 sin	1.10. sin о — 1 cos о.
147
/	1 NlOO
‘•"•(-ггт) •
Вычисление корней й-й степени из комплексного числа обыч¬
но производится с помощью представления комплексных чисел о
тригонометрической форме.
Пример 1.2. Вычислить V* •
Решение. Запишем комплексное число 1 «= 0 + I -1 в три¬
гонометрической форме. Так как |1) = 1, argl = я/2, то число 1
имеет тригонометрическую форму
!■
Л I , у л
• cos-5- + lsIn
Отсюда согласно (3) получаем
г = Vr «= 1. ф
п 2nk
6	3
гря k = 0, k=l, к —2, и, следовательно, искомые корни
имеют вид
л It* л
cos — + / sin -7“
6	о
л/з
'4.
бя , , , 5я	I , 1
'OS—+ <sin-^ = --5- + l.-5-,
Зя , , , Зя ,
cos -^ + 1 sin -у = — 1.
Геометрнческне образы полученных корней представляют собой
точки, лежащие на единичной окружиости (так как г= 1), ра¬
диусы-векторы которых составляют углы я/6, бл/6 и Зя/2 с по¬
ложительным направлением осп Ох (рис. 6.2).
Вычислять, используя тригонометрическую форму комплекс¬
ных чисел;
1.12. ^/W.
4
1Л5. V^-
7
1.18. л/3+^.
1,13. V^.
4
1.18.	V2-21V3 .
3 _
1.19.	Vl.
1.14. л/3-4< -
4
1.17. Vi.

148	ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 2. Геометрическое изображение множества
комплексных чисел
Для геометрического изображения комплексных чисел в св>
стеме координат Оху, удовлетворяющих некоторым соотноше*
нмям, обычно используется алгебраическая форма комплексного
числа.
Пример 2.1. Найти множество точек координатной пло¬
скости Оху, изображающих комплексные числа г, для которых
12 + 1 — 21 :^2.
Решение. Запишем комплексное число г в алгебраической
форме 2 = X + 1у. Тогда
г + |-2 = (х-2) + /(«/+1).
По определению модуля комплексного числа
|2 + /-2I = V{x-2)» + (jf+l)>.
вследствие чего равенство |г + 1—2| ^ 2 принимает вид
V(x-2)* + (y+l)»<2-b>(x-2)» + (^+l)»<2*.
Множество точек координатной плоскости Оху, удовлетворяю*
ших последнему неравенству, представляет собой множество всех
точек, лежащих внутри окружности и на окружности радиуса 2
с центром в точке (2; —1).
Пример 2.2. Найти множество точек координатной плоско*
сти Оху, для которых действительная часть комплексного числа
(I +1)г* положительна.
Решение. Представим число г в алгебраической форме)
г = х + 1у. Тогда
2* = ж’ — «/* + 1 (2ху),
(1 + О 2» = (1 + О [ж» - у» + / (2жу)1 =
= (ж* — 2ху — </*) + ! (ж* + 2ху — у*).
По условию задачи действительная часть комплексного числа
(1 +1)г* положительна:
ж* — 2жу — у* > 0.	(♦)
Предполагая, что у # О, я разделив обе части неравенства на y*i
получаем неравенство
,2
(т)
у / V у
Решая это квадратное неравенство, получаем
х/у > 1 + л/2,	х1у<1 —

5 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ
149
При у > О неравенства (*•) можно записать в виде
1 .1
У<
1 +V2
= А, У <
1 - V2
=-х.
Множество точек плоскости Оху, удовлетворяющих этим усло¬
виям, отмечено штриховкой на рис. 6.3.
При у < О неравенства (•*) записываются в виде
У > V X. у >■	*
1 +л/2
1 - л/2
X,
л множество точек координатной плоскости Оху, удовлетворяю*
н'их этим неравенствам, отмечено штриховкой на рис. 6.4.
При у ■= О нельзя делить обе части неравенства (*) на у*,
но при у <=° О само неравенство (•) превращается в неравенство
х’ > О, решением которого является
личное от нуля, т. е. решением не¬
равенства (•) является любая точка
оси Ох, за исключением нуля.
Объединяя все три случая, окон¬
чательно получаем: искомым множе¬
ством являются углы, содержащие
ось Ох, без своих границ, стороны
1
которых — прямые у —	а и у
1 + V2
Найти множество точек координатной плоскости Оху, нзо*
бражаюших комплексные числа х + 1у, для которых:
2.1.	121 — 1.	2.2.	2—1г|.
2.3.	arg 2 — я/3,	2.4.	1 < | 2) < 4.
2А	122—11>2.	2.6.	Ц2| + /1<10.

160
ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫВ ЧИСЛА
2.8. |г + <1-|г + 21.
2.10. 1<|гг + <|<4.
2.7.	|2+1|-(г-1|.
8.9.	|г + «|>|21.
2.11.	(1 -1)г = (1 +1)г.
2.12.	На координатной плоскости Opq изобразить множество
точек (р, р) таких, что корни уравнения
х»+рх + (/ = 0
(возможно, комплексные) по модулю не превосходят единицы.
2.13.	Указать все точки комплексной плоскости, такие, что:
1)	га, 2) Z + а — действительные числа (а »= о+ 61 —за¬
данное комплексное число).
2.14.	Найтн множество точек координатной плоскости Оху,
удовлетворяющих неравенству
2.15.	Найти на плоскости Оху множество всех точек, коорди¬
наты которых удовлетворяют следующему условию: число г*+’
+ Z + 1 — действительное положительное число.
2.16.	Изобразить на плоскости все комплексные числа г, для
которых (1 +0* действительно.
2.17.	Точки 2|, г», г% — вершины треугольника. Какое ком¬
плексное число соответствует центру тяжести зтого треуголь¬
ника?
2.18.	Точки zi, Zz, zs —три вершины параллелограмма. Найти
четвертую вершину.
2.19*. Доказать, что три различные точки Z|. zz, z« лежат
на одной прямой тогда и только тогда, когда———действа-
Zj — Zi
тельное число.
2.20.	При каких Zi и zz справедливо равенство
|Zi + Zzl = |zi — ZjI ?
2.21.	Доказать, что четырехугольник, сумма квадратов длин
сторон которого равна сумме квадратов длин его диагоналей,—
параллелограмм.
§ 3. Решение уравнений в множестве
комплексных чисел
Решение уравнений в множестве комплексных чисел сводится
к решению систем уравнений в множестве действительных чисел,
полученных в результате сравнения действительных и мнимых
частей выражений, стоящих в левой и правой частях исходного
уравнения.

$ 3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
151
Пример 3.1. Решить а иомолексных числах уравнение
2г-|г| + 21.
Решение. Запишем комплексное число г в алгебраической
форме: г = х + 1у, где х, ^ — действительные числа. Тогда
1 г I => •у/х* + у* и данное уравнение принимает вид
2х + Щ = Vjt’ + У* +
Из определения равенства двух комплексных чисел получаем
систему уравнений для нахождения х и у.
2х — у/х* + у* =■ 0.
2у-2~0.
Из второго уравнения находим у ^1. Подставляя р = 1 в пер¬
вое уравнение системы, получаем уравненне2х-= Vx* + I, реше¬
ние которогох = —j=-. Итак, решением данного уравнения явля-
О
ется комплексное число г <
1
V3
+ 1.
Ответ. 2 >
~7Г + '-
уз
Пример 3.2. Для каждого действительного числа а > О
найти все комплексные числа г, удовлетворяющие равенству
2 I Z I + 02 + 1 = 0.
Решение. Запишем комплексное число г в алгебраиче¬
ской форме: z = x + iy. Тогда 1г1 = л/х* + у* и уравнение при¬
мет вид
(х + iy) Ух* + у» +0 (х + 1у) + 1 *=0^_
-с=»-(х л/х* + у* + ох) + 1 (у V** + у^ + ау+ l) = 0-{^0*l.
Из определения равенства двух комплексных чисел следует, что
последнее уравнение эквивалентно системе двух уравнений
xVx“ + y* + ax = 0,
у	+ оу + 1 = О,
(•)
решения которой отыскиваются уже в миожестве действитель¬
ных чисел.
Нетрудно заметить, что множество решений первого уравне¬
ния системы (*) может быть найдено как объединение множеств
решений двух уравнений:
Vx* + y* + а=»0.

152
ГЛ. б. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Второе из этих уравнениА решениА не имеет в силу условия
а > 0. Подставляя дс = 0 во второе уравнение системы (*), по¬
лучаем уравнение для действительного числа у
у\у\-\-ау-\-\=0,
множество решений которого получается как объединение мно¬
жеств решений двух систем:
У > о,	у <0,
у’ +	+ 1 — 0;	— р’ + ау -f 1 — 0.
Нетрудно' убедиться в том, что с учетом условия а > 0 первая
система решений не имеет, а вторая имеет единственное решение]
а — Vo® + 4
Таким образом, решением данното уравнв"
иия является чисто мнимое число
о — Уа* + 4
Ответ: z <
, а — Ув* + 4
■' 2 •
Решить уравнения:
3.1. (2 + о г!" - (5 - /) Z -f 2 - 2/ = 0.
3.2. г» -+- г = 0.	3.3. | z 1 - /г = 1 - 2Л	3.4. z* =• (г)*.
3.5.	(х -f у)* + 6 -f /X = 5 (х + р) + / (tf •+ 1) (•*. У~- действи¬
тельные числа).
З.в. При каких действительных значениях х ч у справедливо
равенство
x-2 + (y-3)f
1 + <
1—31?
3.7.	Доказать, что уравнение z>-f Iz—1 =« 0 не имеет дей¬
ствительных решений.
3.8.	Вычислить г“-I- 1/г'‘, если г есть корень уравнения
z-M/z=I.
3.10.	Решить в комплексных числах системы:
Z* — Z* -f z — 1=0.
3.10.	Решить в комплексных числах системы:
а)
2* —	I
1.
>0;
б)	=
z^w
1.
1.
г*+	2.
3.11.	Какому условию должно удовлетворять комплексное
число а 51 для того, чтобы его можно было представить а.

виде
s 4. РЬШЕНИВ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
1 -1х
153
а + Ы‘
1-Их’
где X — действительное число?
3.12.	Среди комплексных чисел г найти все те, для которых
1
logм( 13 + 1 г»-411)-Hog,ев-
ТГ=“0-
(13+Tz^+411)»
3.13.	Для каждого действительного числа а > 1 найти все
комплексные числа г, удовлетворяющие уравнению
я + о|г+ 11 + 1 = 0.
3.14*. При каких действительных значениях параметра а
хотя бы одно комплексное число z = х + iy, удовлетворяющее
равенству
I г + I = а* - За + 2,
удовлетворяет одновременно и неравенству
I г + 1V2 I < а*?
3.15.	При каких действительных значениях параметра а хотя
бы одно комплексное число z = х + iy, удовлетворяющее равен¬
ству
IZ — о11 = а + 4.
удовлетворяет одновременно и неравенству
|z-2| < 1?
3.15.	Найти минимальное по модулю комплексное число г,
удовлетворяющее условию
Iz —2 + 211 = 1.
§ 4. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
Использование тригонометрической формы комплексного
числа и представление этого числа точкой комплексной п.тоско-
сти допускает простое решение некоторых систем тригонометри¬
ческих уравнений.
Пример 4.1. Решить систему
sin X + sin у •
cos X + cos ^
2 '
л/2

154
ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫВ ЧИСЛА
Решен не. Умножим первое уравнение системы на I в сло¬
жим со вторым. Получаем уравнение
л/г" л/2
СОЗХ + I sin X + cos у + i sin у	—I- I ~—.
л/2	^2
Обозначим cos л + / sin х = 2, cos у + / sin у = ш, + I =•
= и. Тогда получаем уравнение для комплексных чисел
2	+ Ю в,
где \г\ = |о|| = |в| = 1, т.е. все три точки лежат на окруж¬
ности единичного радиуса и, следовательно, четырехугольник о
вершинами г, в, w. О —ромб с диагональю Ои, длина которой
равна единице (см. рис. 6.6). Таким
образом, треугольники Ozu я Оит —
равносторонние и углы uOw и гОи
равныТак как ArgB = -^4-
+ 2лк, то из рис, 6.6 видно, что
если X =* Arg 2 н у = Arg ю, то
Jf=—+ -3- + 2”*-
■\-2яп, т. е. х =
12
яЧ-2яЛ, у
Ответ. (-^я + 2лА, —-|^Ч-2яд);	(~+
Решить системы уравнений:
4.1, sin X + sin у »=• sin о,
cos X + cos у = cos о.
4.3.	sin X + sin у ■
VT
,	I
cosx + cosy-«-g-.
4.2.	2 sin X cos у = sin ot,
2 cos X cos у =: cos O.
4.4.	sin X — sin у sin a,
cos X — cos у в cos (X.
Для пары любых комплексных чисел г а + Ы я w = с
справедлива формула
I ю-г|=»I ю |-|х1,	(О
которая имеет следующий вид;
(о‘ + б») (с» + rf*) - (ас - bdy + (ad + be,».	(2)

§ 4. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
1Б5
J.
Используя формулу (1), можно находить целочисленные реше¬
ния уравнений вида
X* + У* “ я.
где « — натуральное число.
Пример 4.2. Найти хотя бы одно целочисленное решение
уравнения
X»-Ну» = 21 125.	(*)
Решение. Разложим 21 125 на простые множители. Имеем
21 125 = 5’-13»,
Числа 5 и 13 являются суммой двух полных квадратов целых
чисел 5 = 4-Ь1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно
записать, например,
I (2 + О (2 + О (2 + /) • (3 + 21) (3 + 21) I* = 21 125.
Перемножая комплексные числа, стоящие под знаком моду¬
ля, получаем
1791- 1221» = 21 125.
Таким образом, одним из решений исходного уравнения являют¬
ся числа X = 122, у = 79.
Очевидно, изменяя комплексные числа, квадраты модулей ко¬
торых равны 5 и 13, можно получать другие целочисленные ре¬
шения уравнения (*).
Найти хотя бы одно решение в натуральных числах следую¬
щих уравнений;
4.5.	х» + у» = 32 045.
4.6.	х» + у» = 84 500.
4.7.	На окружности радиуса 5 найти хотя бы одну точку_
с целыми положительными координатами.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа и свя¬
занная с ней формула Муавра в некоторых случаях используют¬
ся для вывода различных тригонометрических формул.
Пример 4.3. Выразить sin 4х н cos 4х в виде некоторой
функции от sinx и cosx.
Решение. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем
(cos X + 1 sin х)* = cos 4х + i sin 4х.	(*)
Расписывая левую часть уравнения (•) по формуле бинома Нью¬
тона, имеем
(cos X + / sin х)^ =
= cos 4х + 41 cos» X sin X — 6 cos* x sin* X — 41 cos x sin* x + sin* X.

156
ГЛ. в. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, полу*
чаем
cos ix ■= cos^ д: — 6 cos* х sin* х + sin* х,
sin 4х = 4 cos* X sin X — 4 cos x sin* X.
Ответ, cos 4x = cos* X — 6 cos* X sin*x + sin* X, sin 4x =
■= 4 cos* X sin X — 4 cos x sin’ x.
4.8.	Предс1авить sin3x в виде функции от slnx и cos х.
4.9*. Вычислить суммы
5, = cos ф + cos 2ф + ... + cos лф,
= sin ф + sin 2ф + .,. + sin пф, л е N.
4.10. Доказать, что созла может быть представлен как мно¬
гочлен с целыми коэффициентами от cos а.
4.11*. Доказать, что cos 31* — число иррациональное.
4.12.	Вычислить сумму
sin X -Ь а sin 2х	o'*"* sin лх.
41.3*. Вычислить сумму
sin X + sin 2х + ... -Н sin лх,
где Cj, — число сочетаний из л по <.
4.14.	Выразить tgSa через tgo.

г л А в А 7
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Определение и свойства последовательности
Множество чнсел, занунероваяных либо конечным отрезком вату-
рального рада, либо всеми натуральными чнсламн, называют числовоЛ
последовательностью.
В первом случае последовательность ааэывается конечной, во вто¬
ром — бесконечной.
Элементы этого числового множества натываются членами последо¬
вательности н обычно обозначаются так: первый член а,, второй Oi, ...,
п-й—а^ II т. д. Вся числовая последовательность обозначается
в,. Oj. Oj
нлн (а„) •).
Понятие последовательностя может быть введено в с пои01КЬ!0
понятия функции: бесконечной числовой последовательностью (х„) ааэы¬
вается янсловая функция Нп), определенная на множестве всех натураль¬
ных чисел. Формула, позволяющая вычислить любой член последова-
тельпости по его номеру л, называется формулой общего члена последо¬
вательности.
Последовательность (х^) называется ограниченной, если существуют
такие два янсла т н М, что для всех пе N выполняется двойное**) ае-
равенство
/п<х„<М.	(I)
Последовательность (д„) называется ограниченной сверху {снизу},
если существует такое число М, что для всех nsN выполняется нера¬
венство
(*/»>*<)• •-
Последовательность	(х,) называется	монотонно	возрас'гаю-
щеЛ, если для любого натурального п выполнено неравенство
•*П+| > Хц,	(3)
я монотонно убывающей, если для любого натурального п вы¬
полнено неравенство
Хп+\ < Хп.	(4)
Последовательность	(хя) называется	неубывающей	\невоз-
растающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестро¬
гое.
*) Чнсловыа воследовательносгв буден также обозначать (Рд)-
(»»)• »■'«•
**) Слово едвойноел для краткоста далее онускаен.

158
ГЛ. Г, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Возрастающие, убывающие, невозрастаюшне, неубывающие
последовательности называются монотонными последовательно*
стяин. Можно обобщить определение монотонности и на те по¬
следовательности, которые обладают этим свойством, лишь на¬
чиная с некоторого члена. В этом случае соответствующее нера¬
венство должно выполняться для всех л > ло, где ло — номер
члена, начиная с которого последовательность становится моно¬
тонной.
Пример 1.1. Доказать, что последовательность, задавае¬
мая формулой общего члена
Зп - 1
“ 57+2 *
возрастающая.
Решение. Рассмотрим разность
3(л+1)-1 Зл-1
*'‘“5(л+1) + 2 5я + 2
и проверим выполнение неравенства Xn+i—Xn> О для всех
л е N:
3	(л + 1) - 1 Зл - 1	„	11
б(л+1) + 2 5л + 2	(5л+ 7) (5л+ 2)
>0.
Так как последнее неравенство справедливо при всех лsN. то
согласно (3) данная последовательность — возрастающая.
1.1.	Доказать, что последовательность
6-я
“ бл - 1
является убывающей.
1.2.	Является ли монотонной последовательность
2п-3 ^
Уп-		?
1.3*. Является ли монотонной последовательность
2" .
л1
1.4.	Найти, при каких соотношениях мбжду а, Ь, с, d после¬
довательность
ял + б
“ ел + d
будет возрастающей.
Пример 1.2. Найти наибольший член последовательности
ifn “ — я* + б/^ — 6.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ П СВОПСТВА
168
Решение. Рассмотрим функцию
(х) за — X* + 5х — 6.
Наибольшее значение она принимает в точке х = 2,5, причем
на промежутке (—оо; 2,5) функция у{х) возрастает, а на проме¬
жутке (2,5; 00) — убывает. Следовательно, возвращаясь к после¬
довательности, можно записать
Ух < уг и Уз > Уа.
Таким образом, наибольшим будет либо уг, либо у», но уг =>
= у» = 0.
Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены по¬
следовательности.
Найти наибольшие и наименьшие члены последовательности:
1.5.	у„ = п*— 1.
1.6.	{Гп =”	— п* — 5.
1.7*. х„ =» 2л +
п
1.8.	Последовательность (Хл) задана формулой общего
2rt-3	_
члена Хп=“	• При каких натуральных значениях п вы-
п
полняются условия:
а)|х„-21<0,1; б) | х„ - 2 К 0,01?
1.9*. Сколько членов последовательности
Ул = I я* — 5rt + 61
удовлетворяет неравенству 2 < j/n < 6?
1.10*. Начиная с какого номера члены последовательности
Ул = я’ — 5я + 6
удовлетворяют неравенству x„+i > х,?
1.11*. Начиная с какого номера я последовательность, за¬
даваемая формулой общего члена уя = пд’’, будет монотонна,
если О < д < 1?
Если последовательность задана формулой общего члена
х„ = /(я), то ограниченность последовательности сверху и снизу
может быть выведена из ограниченности функции f(x) для ха
е[1; оо).
Пример 1.3. Будет лн ограничена последовательность
Зя + 8 *
2я
Решение. Рассмотрим функцию
Зх + 8
/(Д^) =
2х

160
ГЛ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
которая при X >= п определяет члены данное последовательностл.
Найдем множество значений функции на промежутке [1; оо).
Записывая функцию f(x) в виде
/ (X) = 3/2 + 4/д.	{.)
убеждаемся, что при х ^ 1 эта функция монотонно убывает.
Следовательно, наибольшее значение функция имеет при х = I,
н оно равно 11/2. Из записи (*) видно, что при всех хг[1; оо)
/W>3/2.
Следовательно, /(п) г ][3/2; 11/2].
Ответ. Лоследовательность ограничена: все ее члены за¬
ключены в промежутке (3/2; 11/2].
Выяснить, будут ли следующие последовательности ограни¬
чены;
U2. х„=.2'-‘Л'
1.13.	х„=	1.14*. х„ = „»_2д + з •
1.15*. " ( (п+ 1)1	(« + 2)! )
§ 2. Предел последовательности
Говорят, что число а является пределом бесконечной число¬
вой последовательности (х«), н пишут Urn Хп<=а, если для
п ^ оо
любого е> о существует такой номер яо(в), что при всех п>,
> по(е) выполняется неравенство |х„ —а| < е. Если последова¬
тельность (Хл) имеет предел, то она называется сходящейся.
Необходимое условие сходимости числовой последовательно¬
сти: для того чтобы последовательность сходилась, необходимо,
чтобы она была ограниченной.
Пример 2.1. Доказать, что
я+ 1
Пт
П-Ь0в
1.
Решение. Для того чтобы доказать, что предел последо-
я ■4" 1
вательности Хп = —-— равен единице, достаточно указать спо¬
соб построения для любого е > 0 числа яо(е), входящего в опре¬
деление предела. Зададим е > 0 и составим неравенство
я+1
i <в,
(•)

§ S. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
161
которое эквивалеатио веравенству 1/п < в. Следовательно, если
в качестве числа яо(е) выбрать число [1/е] + 1*), то для всех
я>По(е) будет выполняться неравенство (*). Таким образом,
доказано утверждение о том, что единица является пределом
я+1
последовательности Хп = —-—.
Доказать, что:
2.1. Пт
П-ео»
2Л. Пт
П-+-00
2.5. Ит
П-*оо
, 2я
= 1,5.
5я-3
5
, 6я + 2
“ 6 ■
я + 1
2.2. Пт I , . «а
л^оо " I ‘
... 6rt —I
1/2-«
я*
2.6. lim	=‘ 1.
П-*оо П> + Я
Для решения некоторых задач на доказательство сходимости
последовательности удобно пользоваться следующей геометрн-
ческой интерпретацией понятия предела последовательности.
Число а является пределом последовательности (х„), если
для любого положительного числа в существует такой номер
пш.ло(в), что все члены последовательности, начиная
принадлежат в-окрестностн числа а, т. е. промежутку (а — в}
о + е).
Используя приведенную выше геометрическую интерпрета¬
цию, убедиться в справедливости следующих утверждений:
2.7*. Если последовательность сходится к некоторому числу,
то она ограничена. (Необходимое условие сходимости.)
2.8*. Известно, что Птхп = а, а < ?. Доказать, что почти
П-*оо
все члены последовательности (хп) (за исключением, быть может,
конечного числа членов) меньше д.
2.9*. Известно,	что	Пт	=	Пт	РФЯ-	Сущест-
П-*оа	П-.00
вует ЛИ предел последовательности П|, bi, Ог, Ьг, ..., Oi., Ья, ...?
2.10.	Используя результат предыдущей задачи, доказать, что
последовательность
А^П=1 + (-1)'‘
предела не имеет.
2.11*. Выяснить, имеет ли предел последовательность
'	,	я
х„—з1пя-^.
*) Сныволом |z] обоэнвч1ется целая часть а.
в А. Г, Цьшкнн, Л, И, Пинсквй

162	ГЛ. Г. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2.12*. Выясаять, имеет ли предел последовательность
1	я
jr„ = —ыпл
2 *
2.13.	Выяснить, имеют ли предел лоследовательноств:
а) 1 + -—■; С) хп== (| +в1пя-у,
§ 3. Вычисление пределов последовательпостсй
СвоАствд сходящихся п осле до в а те л ьи осте й.
Если две последовательности (х„) и (уп) сходятся к llm дг» “
П-^оо
Ит у„, то:
п-»<»
1) последовательность (хп ± уп) сходится п
lim (Хл ± у а) = 1ш1 Хо ± Urn у*;	(1)
Л-^оо	П-^ОО	П->оо
2)	ооследовательяость [ХяУп) сходятся я
Пт ХаУа = ( Пт х„) (lim у„);
п-*оо	п-^оо
(2)
3)	последовательность	(если дополнительно УяфО fi
lim у» ф 0) сходится и
п-*оо
Пт
П-»яо Уп
Пт Хл
■ -><0
lira вп *
П->ов
(3)
Обычно при вычяслеяии пределов вепосредственяоиу приме¬
нению формул (1) —(3) предшествуют некоторые тождественные
преобразования. При вычислении пределов вида
lim —.
П-*ЧЛ “л
где Хп и уя — неограниченно возрастающие последовательности,
таким преобразованием является деление числителя и знамена¬
теля дроби на одно и то же выражение.
Пример 3.1. Вычислить предел
5л + 1
lim
7	- 9л *
Решение. Так как числитель и знаменатель представляют
собой неограниченные последовательности, то непосреяствеяно
воспользоваться формулой ^3^ нельзя» Разаешм .числитель

t э. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
163
аваменатель на п, К полученной дроби уже можно применить
формулу (3)з
К4-1/П	lim(5+l/rt)
lim ° + ‘i”	О-*”
п-У»7/п-9	Пга(7/л-9)‘
Применяя далее формулу (1), получаем
lim (5+1/л) lim 5+ lim (1/л)
л-^оо	п->ао	со
lim (7/л — 9)
п-»ов
lim (7/л) — Ига 9 '
Л“>оо
Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а
1
lim — ■
Л->оо ^
окончательно получим
lim
5л + 1
•9л
я-»»
Ответ. —5/9,
С помощью деления числителя и знаменателя дроби на стар¬
шую степень л вычислить следующие пределы;
Зл» - 7я + I
2 - 5л — 6л*
(л+
3.2. lim
а-ьоо
Vn® + 2л — I
л-f 2
4	 3
-ь 2 - д/л* + I
3.3. lim /„ .'lU	3-4. Ilm —
n-»ooV'*+n + V* W	n-+=o гТ'Тё, 1 г
\hr + 2 H- V«
+1
Вычисление пределов выражений, содержащих показатель¬
ные функидв с натуральным аргументом, ншкет быть^основанс
на следующем равенстве:
lim 9" = О, если 1<71<1.	(4)
П-><»
0^+1 _|_ 3^+1
Пример 3.2. Вычислить предел	д—.
я->«	2+3
Р е ш е IIII е. Разделим числитель н знаменатель дроби на
3"+’. Применяя формулу (4), получаем
lim
П-»оо
(1Г+
f 2 Nrt+l
lim (-3-J	+1
0+1 _
* / 2	, 1 I	2 \n , I 1	1
Ответ. 3.
3.
6*

164	ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Вычислить пределы:
3.5.	lim
2" + 3“
— З"* ■
3.6*. Пт
3.2'»+1-7-з'*+ 1
п'-^ж 2""^'—б^З^+'Ч-6
При аычнслеини пределов иногда удобно пользоваться еле.-
дующим свойством последовательностей-, если члены двух после¬
довательностей {а„) и (Ьп) связаны соотношением
1 I ^ 1I.
то из равенства нулю предела последовательности (6„) следует
равенство нулю предела последовательности (Ол).
Пример 3.3. Вычислить предел
Пт
Решение. Убедимся сначала в том, что для всех п е N
справедливо неравенство
2п + 1 ^ 2 •
Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части
неравенства, на п, получим очевидное неравенство
»	<-L
I ^ 2 *
2	+ —
п
Используя далее свойство степеней, заключаем, что для всех
л г N справедливо неравенство
(т^У<(тГ-
Так как, согласно (4), Пт (4*^ -=0, то из приведенного
/1-^вв > ^ ^
выше свойства последовательностей следует
Ответ. 0.
Вычислить пределы:
,	_	Г Sn+ I

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
165
. Г л* —1	1»
*'®*'Л"1и2л+1)(л + 2)] •
_	. л в1п Л|
З.Й*, Пт и* I •
При вычислении пределов, содержащих иррациональности,
часто используют перевод иррациональности из знаменателя в
числитель или наоборот.
Пример 3.4. Вычислить предел
Пт (Ул* + 2л — я).
Я-*ов
Р е ш е В И е. Умножим и разделим выражение, стоящее под
знаком предела, на сопряженное выражение. Тогда имеем
Пт
П-^оо
(Ул^ + 2я — л) (Ул* -Ь 2я + л)
Ул’ + 2л Ч- я
л* Ч- 2л — л*
lim
Ул*Ч“2л л л-^оо Ул^ Ч" 2л Ч“ л
2л
Разделив числитель и знаменатель на л, получим
2л	2
Пт —/ : .—= IIIII Т. .
п->оо Vл* Ч" 2л Ч" л п-ьоо VI Ч" 2/л + I
Ответ, 1,
Вычислить пределы:
3,10,	Пт {(Ул Ч- 2 — Уя^).	3.11. Пт (Уя* —5я Ч-6 — я).
я-»оо	Я-+00
8.12.	lim я(Ул*Ч-1 — я).	8.13*. Пт (я Ч- У1 — л*).
п-»во	п-ьво
Для того чтобы установить сходимость монотонной пЬслело-
вательности, можно использовать следующую теорему. Если
Последовательность монотонно возрастает (убывает), то для ее
сходимости достаточно, чтобы она была ограничена сверху
'(снизу).
Если доказано, что предел последовательности существует,
то для его вычисления в ряде случаев удобно использовать
формулу
Пт Хя== Пш Хп+и	(5)
fl“koo	я-^оо
Убедиться в существовании предела, а иногда и найти его
можно, используя следующее утверждение. Если для трех после¬
довательностей начиная с некоторого справедливо неравенство
Лд ^ бд ^ Сд
Пт

166
в llm On ■
n->oo
ГЛ. 7. ПОСЛеДОВАТВЛЬМОСТИ
lim Cit, TO lim bn существует к
n->oo
lim bn =
lim (In-
rt->00
(6)
Пример 3.5. Найти предел иоследовательности
если известно, что |<7| < 1.
Решение. Представим последовательность в рекурреитпои
виде:
•*Л+1 ™
Так как |9| <1, то 1хя+|| < Ixnj для любого яе N. и после¬
довательность (|.Сл|) моиотошю убывает. Так как |хл| ^0 для
любого л е N, то (1дг,.|) ограинчеиа снизу. Следовательно, после-
д(;вательность (1х„1) сходится. Обозначим lim |	1 у. Тогда
П-^00
для вычисления у„ согласно формуле (5) получаем уравнение
у = \я\у-	(•)
Так как |^| < I, то уравяепке (•) имеет еднмствениый корень
» = 0.
Аналогично доказывается, что lim (—|хп|)=0. Так как
неравенство
“ I ^/1 I ^	^ I I
справедливо для всех л е N, то
lim Хп = 0,
л-ео»
З.М**. Последовательность (Хл). первый член которой
X, = V2 .определяется рекуррентно по формуле
Хп + 1 = V2 + Хп.
Найти предел (х„).
3.15*. Последовательность (.<„), первый член которой xi = I,
определяется рекуррентным соотношением
*я+1"=4 + 0-2")^я + в'"-
Найти предел (хл)-
3.10.	Последовательность задана рекуррентным соотношением
^"+‘“т(х„ +^»)'
где xi > о, о > 0. Найтп предел (х„).
3.17.	Доказать, что последовательность, первый член которой
xi = а каждый последующий удбрутетроряет рекурревтиому,

5 4. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
167
соотношению
Хп'
а .
О	О
возрастает и ограничена сверху. Найти ее предел.
3.18*. Найти предел последовательности, у которой
г*
а	а	*п-1
Хп 2	2 “
3.19.	Последовательность определяется рекуррентным соот-
вошеннсм
Хп-1’= g ^2хп +
где а > О в х > 0. Доказать, что lim х« =■
П-^ОО
3.20.	Последовательность определяется рекуррентным соот¬
ношением
Уп(^я+2д)
Хп+1 '
2д; + а
где а>0 и х>0. Доказать, что lim Хп = '^а.
П->со
§ 4. Арифметическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член Ои а
каждый следующий член, начиная со второго, равен предыду¬
щему, сложенному с одним и тем же числом d. называется
арифметической прогрессией',	'
вв-и = а» + <1. neN;	(1)
где Оп — п-й член прогрессии, d — разность прогрессии. Формула
общего члена арифметической прогрессии:
«/1 = П1 + й(л—I).	(2)
Сумма л членов прогрессии 5л вычисляется по формуле
с _ П| -Ь в/» _ _ 20| -f d (л — I) _
	2	" 	2	"•
(3)
Свойство членов арифметической прогрес¬
сии. Любой член арифметической прогрессии (кроме первого)

168
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
равен полусумме равноотстоящих от него членов:
=	k<n-.
при k = 1 получаем
ап'
ад—1 + Дя-Н
(4)
(б)
Арифметическая прогрессия полностью определена, если из*
вестны П| и d.
Пример 4.1. При делении девятого члена арифметической
прогрессии на ее второй член в частном получается 5, а при
делении 13-го члена этой прогрессии на ее шестой член в част¬
ном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член в разность
прогрессии.
Решение. Условие задачи можно записать в виде следую¬
щей системы уравнений:
а» = ej • б,
013 ■= 2а» + б.
Используя формулу общего члена арифметической прогрессии,
получаем систему
ai -Ь bd ^ 5 (oj -4“ d)t
а, -1- 12rf = 2(a, -l-5rf)-i-5.
о которой присутствуют только два неизвестных О) и d. Приводя
в уравнениях системы подобные члены, получаем систему
4а I = id,
0| -2d-f б=»0,
решением которой являются at = 3, d = 4.
Отв ет. 0| = 3, rf = 4.
4.1.	Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес¬
сии равна 5/3, а произведение третьего и четвертого ее членов
равно 65/72. Найти сумму 17-ти первых членов прогрессии.
4.2*. Найти арифметическую прогрессию, если известно, что
О) "Ь в» -1- а» = —12, aiOsa» = 80.
4.3*. Сумма трех чисел, являющихся последовательными чле¬
нами арифметической прогрессин, равна 2, а сумма квадратов
этих чисел равна 14/9. Найти эти числа.
4.4. В арифметической прогрессин дано: Ср ^ q н а« >= р;
найти формулу общего члена прогрессии ал {рфд).
4.5*. Показать, что если для положительных чисел а, Ь, о
числа а’, Ь\ являются последовательными членами арнфиетн-

■% 4. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
169
> I >
ческоА прогрессии, то числа -т—:—> —;—• —г~г тоже явля-
о + с а + с а + о
ются последовательными членами арифметической прогрессии.
4.6.	Сумма и разность членов арифметической прогрессин
положительна. Если увеличить разность на 2, не меняя первого
члена, то сумма прогрессии увеличится в 3 раза. Если же раз¬
ность исходной прогрессии увеличить в 4 раза, то сумма увели¬
чится в S раз. Определить разность исходной прогрессии.
4.7.	Найти число членов арифметической прогрессии, у кото¬
рой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13
1
равноа отношение суммы всех членов без первых трех к
„	4
сумме всех членов без последних трех равно
При решении задач, в которых используется понятие суммы
членов арифметической прогрессии, удобно применять следую¬
щую формулу, связывающую п-й член с суммой п членов!
<1л+1 = -^п+1 — 5/t.	(6)
Пример 4.2. Известно, что при любом л сумма Sn членов
некоторой прогрессин выражается формулой
S„ = 4л* - Зл.
Найти общий член прогрессии.
Решение. Используя (6), имеем
Лл+1 =• S„+, - S„ = 4 (« + 1)* - 3 (я Ч- 1) - (4л* - Зл) ^
Лп = 8 (л — I) -f I = 8л — 7.
< 8л 1,
Ответ. а„ =8п — 7.
4.8.	Известно, что при любом л сумма 5л членов некоторой
последовательности S« — 2л* 4- Зл. Найти десятый член этЬй по¬
следовательности и доказать, что эта последовательность явля¬
ется арифметической прогрессией.
4.9.	Последовательность чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем
свойством, что разности соседних членов (последующего и пре¬
дыдущего) образуют арифметическую прогрессию 3, 6, 9, ...
Найти номер ч.псна пос.тедователыюсти, равного 15 454.
Пример 4.3. Найти сумму всех четных двузначных чисел.
Решение. Первое четное двузначное число равно 10, а
последнее — 98. Используя формулу общего члена прогрессии
для d = 2. Л1 = 10, Оп = 98, получаем
1 +
98-10
.45.

170
ГЛ, 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Подставляя найденное значение я в формулу	п.
ваходим
чя Д- 1П
S„ =	. 45 = 54 • 45 = 2430.
Ответ. 2430.
4.10.	Решить уравнение 2 + б + 8 + 1!■= J53.
4.11.	За изготовление н установку первого железобетонного
кольца было уплачено 10 руб., а за каждое следующее кольцо
платили на 2 руб. больше, чей за предыдущее. Кроме того, но
окончании рабЬты было уплачено еще 40 руб. Средняя стоимость
изготовления и установки одного кольца оказалась равной
4
22-^ руб. Сколько колец было установлено?
X I X
4.12. Решить уравнение	1—
_Д+... + ±.3,
4.13*. В арифметической прогрессии сумма т первых ее чле<
нов равна сумме я ее первых членов {тФ я). Доказать, что
в этом случае сумма ее первых m 4- л членов равна нулю,
4.14*. Найти сумму всех четных трехзначных чисел, деля*
шнхся иа 3.
4.15.	Определить такую арифметическую прогрессию, в кото*
рой отношение между суммой я первых членов и суммой я чле*
нов, следующих за ними, не зависит от л.
4.1в*. Найти сумму 50» - 49» + 48» - 47’ + ... + 2* — 1.
4.17*. Найти сумму первых 19-тн членов арнфметическрД
прогрессии П|, пг	если известно, что
4"	4* Ч" Я|* ■= 224.
4.18.	Найти at + Ов 4-Он 4-Ди. если известно, что at,
at, ... — арифметическая прогрессия и
•	+ «4 4- в7 4-. •. + aie = 147.
4.19*. Найти последовательность, в которой сумма любого
числа членов, начиная с первого, в четыре раза больше квадрата
числа членов.
4.20*. Доказать, что если Sn, Sjb, Sjn —суммы я, 2л, Зя
членов арифметической прогрессии, то
Sjn = 3 (Sj/t — Sn),
4.21*. Известно, что для некоторой арифметической про¬
грессии в для некоторой пары натуральных чисел тип имеет

§ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
171
/В*
место равенство	Доказать, что
От 2т. —\
«л
йп—1'
4.22*. Пря каких значениях параметра о найдутся такие зна¬
чения X, что числа
5>+* + б1-*	25*-Ь2Б-*
будут тремя последовательными членами арифметической про-
грейсин?
4.23.	При каких значениях х три числа Ig2, Ig (2*—1),
lg(2*-l-3) являются тремя последовательными членами арифме¬
тической прогрессии?
4.24.	Доказать, что если щ, и*, «з («i Ф «г) — члены (не¬
обязательно последовательные) арифметической прогрессии, то
существует такое рациональное число X, что
из т иг
«а —И|
==Х.
4.26*. Доказать, что числа V^» не могут быть
членами (необязательно соседними) арифметической прогрессии.
4.26*. Могут ли числа 2;	4,5 быть членами арифмети¬
ческой прогрессии?
4.27*. Длины сторон четырехугольника образуют арифмети¬
ческую прогрессию. Можно лн вписать в него окружность?
4Д8. Пусть 5я — сумма п членов некоторой последователь¬
ности и известно, что S„/Sm = п.ут\ Доказать, что для членов
этой последовательности справедливо отношение
un/um — (2rt — 1)/(2#и — 1).
§ 5. Геометрическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член l>i ф О,
а каждый следующий, начиная со второго, получается умноже¬
нием предыдущего на одно и то же число q Ф О, называется
геометрической прогрессией:
— (1)
где Ья — п-й член прогрессии, q — знаменатель прогрессии. Фор¬
мула общего члена геометрической прогрессии:
»Я-1-
(2)

172
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Сумма п членов геометрической прогрессии вычисляется по
формуле
5л'
(3)
Если 1^1 < 1, то прогрессию называют бесконечно убываю¬
щей. Предел суммы ее членов S Ищ Sn называют суммой бес-
П-»оо
конечно убывающей геометрической прогрессии. Он вычисляется
по формуле
S	=	'	(4)
•
Свойство членов геометрической прогрес*
сив. Квадрат любого (кроме первого) члена геометрической
прогресснн равен произведению равноотстоящих от него членов}
к<п, ft е N.
(б)
Геометрическая прогрессия полностью определена, если из<
вестны bi и q.
Пример 5.1. Найтн четыре последовательных члена гео>
метрической прогресснн, из которых второй член меньше первого
на 35, а третий больше четвертого на 560.
Решение. Пусть bt, bt, Ь», bi — четыре последовательных
члена геометрической прогрессии. Условие задачи можно запн'
сать в виде следующей системы уравнений:
6, — 35 — bt,
б,_б60 —
Используя формулу общего члена, эту систему перепишем в видо
bi — btq = 35,
biq^ — fti9* = 560.
Подставляя значение 5i(I—<;) во второе уравнение системы,
получаем для q уравнение q* = 16, корни которого равны 4 и
(-4).
Теперь из первого уравнения системы по значениям <7 = 4
и q — —4 получаем соответственно значения bi = —35/3, bi = 7.
^	/”	35	35-4	35-16
Ответ. (^--3-. -3-.	3—.
—448, —1008).
6.1.	Доказать, что для любого четного числа членов геомет¬
рической прогресснн —сумма членов, стоящих на нечетных

§ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
173
местах, п 5ч«гя — сумма членов, стоящих на четных местах, свя¬
заны равенством qS,n •= S^rn-
6.2.	Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии,
если известно, что знаменатель ее равен 3, а сумма шести ее
первых членов равна 1820.
6.3.	Найти четыре последовательных члена геометрической
прогрессии, если известно, что сумма крайних членов равна
J—49), а сумма средних членов равна 14.
6.4.	В геометрической прогрессии с положительными членами
Si = 4, Si = 13. Найти Si.
6.5.	Сумма первых трех членов геометрической прогрессив
равна 13, а их произведение равно 27. Найтн эти числа.
6.в. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 13, а сумма квадратов тех же чисел равна 91. Найтн эти
числа.
5.7.	Определить три числа, являющихся тремя последова¬
тельными членами геометрической прогрессии, если сумма их
равна 21, а сумма обратных величин равна 7/12.
6.8.	Сумма первых четырех членов геометрической прогрес¬
сии равна 30, а сумма их квадратов равна 340. Найти данные
числа.
5.9.	Произведение первых трех членов геометрической ппо-
грессии равно 64, а сумма кубов этих членов равна 584. Найтн
прогрессию.
6.10.	Сумма первых трех членов геометрической прогресснн
равна 31, а сумма первого и третьего равна 26. Найтн про¬
грессию.
6.11.	Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма
всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на не¬
четных местах. Определить знаменатель прогрессии.
5.12.	Дана геометрическая прогрессия с положитедьнымп
членами. Выразить произведение первых ее л членов через их
сумму S„ и через S^ — сумму обратных величин этих членов.
5.13.	Сумма любых пяти последовательных членов возрас¬
тающей геометрической прогрессии в 19 раз больше третьего
из них. Найтн эту прогрессию, если известно, что ее т-й член
равен единице.
5.14.	Вычислить сумму квадратов п членов геометрической
прогрессии, у которой первый член равен U| и знаменатель
1-
6.15.	Доказать, что отношение суммы квадратов нечетного
числа членов геометрической прогрессии к сумме первых степе¬
ней тех же членов является некоторым многочленом относи¬
тельно q {q — знаменатель прогрессии).

174
ГЛ, 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Б.1в. Доказать, что если S», 5|я, S§a — суммы л, 2л, Зп пер¬
вых членов геометрической прогрессив, то
Sn (5зп — 5jn) = (Sin — Sn)*.
5.17*. Найти сумму
+ т)* + (**-+	х¥‘±1.
Б.18*. Найти сумму
6.19*. Найти сумму
S„ =. X + 2л:» -Н Здг* -Ь ..
+ пх".
+ _1_
^ 2"-‘
л:^ 1.
6.20.	Найти число членов гссметрической прогрессив, у кото¬
рой отношение суммы последних 14-ти членов к сумме первых
14-ти равно 9, а отношеине суммы всех членов без первых семи
к сумме всех членов без последних 7-ми равно 3.
Пример 5.2. Найти отличный от иу.чя знаменатель беско¬
нечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый
член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов. (Счи¬
тается, что 6| #0).
Решение. Составим уравнение, связывающее по условию
задачи л-й член прогрессии с суммой членов, начиная с (n-f 1)-го
члена. Имеем
..	. - Ьп+\
Выражая Ь„, бл+i через 6| и q, получаем уравнение
b^q’'
\-q'
которое после деления правой п левой его частей на
4о
приобретает вид 1 = i — ^	является ^ = 1/5.
Ответ. 4 3= 1/5.
6.21.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
3
сив равна 16, а сумма квадратов ее членов равна 153-^. Найт
четвертый член п знаменатель этой прогрессии.
5.22*. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометриче¬
ской прогрессия, у которой отношение каждого члена к сумме
2
всех последующих членов равно

s в. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОГРЕССИИ
175
6.23.	В бесконечно убывающей геометрической прогрессвн с
положительными членами сумма иервЫх трех членов равна 10,5,
а сумма прогрессии равна 12. Найти прогрессию.
6.24.	Сумма бесконечно убывающей геометрической арогрес-
сии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый
член и знаменатель прогрессвн.
5.26.	Первый член некоторой бесконечно убывающей геомет¬
рической прогрессии равен единице, а ее сумма равна S. Найти
сумму квадратов членов этой прогрессии.
5.26*, При каком значении х прогрессия
о + х а — х /а — х\3
——, —;—, ( —i— ] , .... где а > о,
а — х'а + х'\а + х^'
будет бесконечно убывающей? Найты сумму членов этой про¬
грессии.
5.27.	Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого
квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат-
С этим квадратом поступили так же, как и с нсходным, и т. д.
Найти предел Р суммы периметров и предел S суммы площадей
втнх квадратов.
6.28.	Найти условие, при котором три числа а, Ь и с были
бы соответственно й-м, р-и и т-м членами геометрической про¬
грессии.
5.29.	Могут ли числа II, 12, 13 быть членами (не обяза¬
тельно соседними) одной геометрической прогрессии?
5.30.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сум¬
ма которой равна	содержит член Отношение суммы
всех членов, стоящих до него, к сумме всех членов, стоящих
после него, равно 30. Определить порядковый номер этого члена.
6Л1. Найти отношение первого члена бесконечно убывающей
геометрической прогрессии к сумме всех ее членов, если отно¬
шение всех членов этой прогрессии, имеющих четные номера, к
сумме всех членов, номера которых кратны трем, равно 3.
§ 6. Смешанные задачи на прогрессии
Смешанными задачами на прогрессию принято называть та¬
кие задачи, при решении которых используются свойства как
арифметических, так и геометрических прогрессий.
Пример 6.1. Три числа являются последовательными чле¬
нами геометрической прогрессии. Если от третьего отнять 4, то
эти числа будут последовательными членами арифметической
прогрессии. Если же от второго п третьего членов полученной

176
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
арнфиетшеской прогрессия отнять по единице, то полученные
числа снова будут последовательными членами геометрнчесной
прогресин. Найти эти числа.
Решение. Обозначим искомые числа а, Ь, е. Для состав»
лення первого уравнения, связывающего а, Ь а С, используем
свойство членов геометрической прогрессии:	'
6» >=> ас.
Из условия задачи и свойства членов арифметической прогреосна
получим второе уравнение
26=в + с —4.
И, наконец,, последнее условие задачи можно записать в виде
уравнения
(ft-l)* = a(c-5).
Для решения системы
6* —ос,
26 а + с — 4,
(6-1)» = а(с-5)
оычтем из первого уравнения третье. При этом получается линей*
вое уравнение 26 — 1 = 5а, связывающее 6 и а. Выражая те*
перь из системы линейных уравнений
26 — 1 = 5а;
26 =■ а + с — 4
вензвествые а и с через 6, имеем
26-1
86 + 21
5
Исключим из системы неизвестные а и с, подставив нх выраже*
ння через 6 в первое уравнение системы. Тогда получим относи*
дельно 6 квадратное уравнение
96* —346+ 21=. О,
корни которого равны 3 в 7/9. Подставляя эти значения 6 в
выражения для а и с, получаем искомые числа.
Ответ. (1, 3, 9); (1/9, 7/9, 49/9).
6.1.	Найти три числа, являющихся последовательными чле¬
нами геометрической прогрессии, если известно, что увеличение
второго числа на 2 делает эти три числа членами арифметиче¬
ской прогрессии, а если после этого увеличить последнее число
на 9, то вновь полученные числа снова будут членами геометри¬
ческой 1фогрессви	,	. .

$ в. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОГРЕССИИ
177
в.2. Трв числа, из которых третьим является 12, являются
(гремя последовательвымн членами геометрической прогрессии»
Если вместо 12 взять 9, то зтн три числа будут тремя последо¬
вательными членами арисрметической прогрессии. Найти эти числа.
в.З*. Дано трехзначное число, цифры которого являются
дремя последовательными членами геометрической прогрессия.
Если из этого числа вычесть 792, то получается число, записан-
вое теми же цифрами, но в обратном порядке. Если из цифры
«сходного числа, обозначающей число сотен, вычесть 4, а осталь¬
ные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры
которого являются последовательными членами арифметической
прогрессии. Найти это число.
в.4. Даны четыре числа, из которых первые три являются
премя последовательными членами геометрической, а последние
при — членами арифметической прогрессии; сумма крайних чисел
равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найти эти числа.
6.5.	Первые члены арифметической и геометрической прогрес¬
сий одинаковы н равны 2, третьи члены тоже одинаковы, а вто¬
рые отличаются на 4. Найти эти прогрессии, если все их члены
положительны.
6.6.	Первый член арифметической прогрессии равен 1, а сум¬
ма первых девяти членов равна 369. Первый и девятый члены
геометрической прогрессии совпадают с первым и девятым чле¬
нами арифметической прогрессии. Найтв седьмой член этой гео¬
метрической прогрессии.
6.7.	Среди 11 членов арифметической прогрессии первый, пя¬
тый и одиннадцатый являются тремя последовательными чле¬
нами некоторой геометрической прогрессии. Найти формулу об¬
щего члена этой ари(^метнческой прогрессии, если первый ее
член равен 24.
6.8.	В некоторой арифметической прогрессии второй член яв¬
ляется средним пропорцнональиым между первым и четвертым.
Показать, что четвертый, шестой в девятый члены этой прогрес¬
сив являются последовательными членами геометрической про¬
грессии. Найти знаменатель этой прогрессии.
6.9.	Доказать, что если а, Ь а с одновременно являются 5-м,
'!7-м н 37-м членами как арифметической, так и геометрической
прогрессии, то	= 1.
6.10.	Доказать, что если а, Ь, с — три последовательных чле¬
на геометрической прогрессии, то
_1	 1 1
toga N’ log ь Af' logc N
— последовательные члены арифметической прогрессии. (Счи¬
тается, что числа а, Ь, с положительны н не равны единице.)

178
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
4.11.	Даны две прогрессни: геометрическая с Дя > О и зна^
менатедем р ■ возрастающая арнфметичесмя «а е разяостью dt
Найти X нз условия
logx Ьп — ап = logjt Ъ\ — Я(.
§ 7. Разные задачи
Проверять, будут ли ограяотевы следующие поеледователь-
иости:
7.1.	jfa
7.2.	Xfi
7.3*. jr„ =
1 + (-1)"4--
«(I-(-»)").
Зп + 5
2/t-3 •
7.4*. Общий член последовательвостн представлен в виде
1,1.	.1
2 ^ "1" • * • *< 2^ •
10*3
Сколько членов последовательности будет меньше ^
7.6. Доказать, что последовательность
«1==3, un+r
2 + <
2иш
является убывающей.
7Л, Доказать, что лослеловательшзсть
л*'=1 + -^ + -2Г + **' +
является возрастающей.
7.7*. Пусть Ля —сторона правильного 2"+‘-угольняка, впи*
санного в окружность радиуса 1. Доказать, что последователь¬
ность (а„) является убывающей, а последовательность перимет¬
ров (Ря) — возрастающей.
7.8.	Катет равнобедреншя-о прямоугольного треугольника
разделен на л раавьа частей, я на полученных отрезках по¬
строены вявсавные ярямоугольвакя. Найтя предел последователь¬
ности (S„) площадей, образованных нз ступенчатых фигур.
7.9.	Найтя площадь фигуры, ограяичениой параболой
отрезком [0; IJ оси абсцисс и прямой I, как предел после¬
довательности площадей ступенчатых фигур, состоящих из пря¬
моугольников, построенных так же, как в предыдущей задаче.
7.10.	Найти Нт (-^л* -f 1 — я).

i 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
179
7.11*. НаПти трехзначное число, которое делится на 45 и
цифры которого являются членами арифметической прогрессии.
7.12**, Доказать, что если в арифметической прогрессии
Sn в п V, Si —	п, то Sp — р*.
7.13*. Доказать, что если П|, аг, ,,,, Пл — члены арифмети¬
ческой прогрессии с разностью d. то
’	+-7=4-7=+	■	’
V“2 + V<^3
+ Von+i
л/on+i —
d
7.14.	Четыре числа о, b, с, d являются членами геометриче¬
ской орогрессни. Доказать, что
(а - с)» + (5 - с)> + (6 - d)* = (а - d)\
7.15*. Решить систему уравнений
X 	 р 	 г	и	S
у	г	и	S	i	'
л=»8«.
л + р-Ь 2 + и + S + / =
•б-Г*
7.16*. Доказать равенство
(66 ... 6)» -f 88 ... 8 = 44 ... 4,
п инфр	я оифр 2я анфр
7.17*. Пусть х\ II хг —корни уравнения х’— Зл-f-Л = 0. а
Хг и xt—корни уравнения х*—12x-fB = 0. Известно, что по¬
следовательность Xi, Хг, Хг, Xi является возрастающей геометри¬
ческой прогрессией. Найти А и В.
Сумма л членов произвольной последовательности в некото¬
рых случаях может быть найдена с помощью построения вспомо¬
гательной последовательности {5л}, удовлетворяющей условию
5*+| — 5* = пд.
Нетрудно убедиться, что
И| -}• «2 -р ... + Ня = (5г — 5|) + (5з — 8г) + . • -
•.. + (^л+1 — ^я) = Sn+i — Si. (2)
Пример 7.1. Найти сумму
1.1.	.1
+
+ ...+
0|П2 ОгЛг '	' вяОл+|
если известно, что ei	ae+i — последовательные члены ариф¬
метической прогрессии с разностью d ф 0, ни один из которых
ие равен ыулю.

180
ГЛ. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Решение. Записывая дробь 	 в виде
«10»
	LV—^	(-^
«,«2 ч «I «2/ di—ai ч «I аз J d '
где d = «г —Ot, и взяв 5* равным
d Oft’
имеем
е е _	* Г ' ±Л 1 fak+i-ak\ ,
1
at+iOft
■Uk.
Далее, используя (1) и (2), получаем
1
—5— + —!—+ ...4
в|«2	«208
впвп+1
■Sn+I — Si
V. Ял+I
О	It
твет. 	.
7.18. Доказать тождество
1.2^2.3^3-4^
7.19*. Доказать тождество
1
п
n(rt+ 1)
я+ 1*
1.2-3	2-3.4	3-4-5 ' '
7Д0*. Доказать тождество
1
1
+
«(/«+ 1){я + 2)
2^2	(п+ 1)(п + 2)Г
1
1 -З-б ^ 3-5-7
7.21. Пусть Oi,
зать тождество
+
(2rt- l)(2rt+ l)(2rt + 3)
я(я+ i)
1
1
OlOn OiOn—l
+ ...+
2(20+ l)(2o + 3)‘
a„ — арифметическая прогрессия. Дока-
I
0„0i
= —-—(— + — +••• +-^)*
Ol • Ял Ч Я1 о»	On /
7.22.	НаОтв сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111,

I 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ	181
7.23.	Определить следующие суммы:
а)	1-2+3-4+ ... + (-1):
б)	1*-2* + 3»-4»+...+(-1)“+'-я;
в)	2.1* + 3-2*+.,. + (я+1)п».
При вычислении пределов последовательностей, члены кото¬
рых являются результатами суммирования, используются слвч
дующие формулы:
1 + 2 + ... + я I
я (я + I)
(3)
1* + 2> + ... + я*
я»(я+ 1)»
(5)
Используя (3), (5) в формулы для сумм я членов арифме¬
тической в геометрической прогрессий, вычислить пределы:
1 + 2 + ... + г"
JiToo l+6+...+б'» •
7.25.	Ит
Я->оо
Уз л
л-1 )•
7.26.	Пш I 'V“П пг ~л'
я->во V	3*^3	3
... ..	/ l+3 + 5+...-f (2я+1)	2п-1
“’•Л".'.	I+T	—
/	. 2»	. (я — 1)», 1 ч
7.28.	Пш (+	^	Гз	1'Т')'
n■*co\^^ я*	я’	я/
7	. 29 .	. 5" + 2'*Л
V 10	10»	10" )'
)•
7.30*.	,.2 + 2-3 + ••• + я(я+ 1) )•
Л"1	"i*	'
где (Ол) — арифметическая прогрессия с разностью d, члены ко¬
торой отличны от нуля.
Л™»

Jf^2	гл. 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Найти пределы последовательностей:
2 2
7.33**. а„ =
л/2 V2 + V2
2
д/г + л/з+.-. + л/з + л/^
; (в последнем сомножителе я
рвдякалов).
7.34. On = V а+-у/а+... + V« (я радикалов).
7.35*. п,,	У^+•••(/, радикалов).
V2 —V2 + ... + л/з

ГЛАВА 8
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ
§ I. Предел функции
Пусть (в; Ь) — некоторый промежуток числовой оси и лго е
е (а; Ь). Будем считать, что функция у = f(x) определена во
всех точках промежутка {в; 6) за исключением, может быть,
точки *0, Говорят, что число А —предел функции у = }(х) в
тонка Хй, в пишут Um f (х)» Д есаи дли любого е > О суще<
Х-^Хо
ствует такое число 6(e) >0, что для всех хе(а;Ь), удовле¬
творяющих неравенству О < (х — хо| < 6(e), выполняется не-
равенство |f(x) —А\ < е.
Говорят, что число А — предел функции g=>f(x) при х,
стремящемся к бесконечности, и пишут lim f (х) = А, если для
Х-> ОС
любого е>0 существует такое число по(в), что для всех х>
> Пв(е) выполняется неравенство \j(x) — Л] < е.
Функция Дх) называется ограниченной на промежутке [о; 6],
если существуют такие числа т я М, что для всех хе^^а; 6]
выполняется неравенство m^f(x) ^ Л1.
Функция f(x) называется бесконечно малой прв х-*-Хо, сслп
для любого е>0 существует такое 6(e), что для всех хе(а;6),
удовлетворяющих неравенству 0< fx —хо| < 6(e), справедливо
неравенство |/{х)| < е. В этом случае пишут lim/(x) = 0.
X-3Xt
Функция Цх) называется бесконечно большой ври х-*-Хв,
если для любого числа £ > 0 существует такое б(£), что для
всех хе (о; Ь}, удовлетворяющих веравенству 0< |х —Хо| <
< 6(£), справедливо неравенство |Дх)1>£. В этом случае
пишут llm f(x)«=«».
х-»ль
Для того чтобы доказать, что число А является пределом
функции f(x) при х-»-Хо, достаточно для любого е найти числе
6(e), фигурирующее в определении предела.

184 ГЛ. в. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ' ФУНКЦИИ ’
Пример 1.1. Доказать, что
х»-4
lim
.4.
Решение. Для того чтобы для данного е найти нужное
число 6(e), составим неравенство
дс* —4
0<
JC —2
4 <е.
При х^2 оно эквивалентно неравенству
,	О < IX - 2 К е.
(*)
(•*)
из которого видно, что в качестве 6(e) можно взять 6(e) = е,
и в силу эквивалентности неравенств (♦) и (**) при всех ана-
ченнях X, удовлетворяющих неравенству (♦*), будет выполняться
неравенство (*).
Пример 1.2. Доказать, что
llm 2'/*’=оо.
*-»0
Решение. Для того чтобы для данного Е найти требув'.
мое число 6(8), составим неравенство
2'/*' > Е.	(.)
Логарифмируя обе его части по основанию 2, получаем эквива¬
лентное неравенство
> logs Е,	(*•)
решая которое относительно х получаем
И<(т4т)".
Таким образом, в качестве 6(E) можно взять
Доказать, что1
1.1. llm (х + б)=8,
х-»3
1.3. lim л/х = V®. а > 0.
х->а
1.6. lim
= 0.
\Л. lim (х>-4) = 0.
Х-*2
1.4. lim (6-2х) = 4.
I
1.6. lim 2'*-“* =00.
х-*а
1.7, lim "ГГ 00,
*-♦0 *

s 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ
185
при решении некоторых задач удобно использовать следую¬
щее определение предела функции. Пусть функция f{x) опреде¬
лена во всех точках промежутка (а; Ь), за исключением, может
быть, точки Хае (а; 6). Говорят, что число А— предел функции
f{x) при X, стремящемся к х», если для любой последовательно¬
сти значений аргумента (Хп), стремящейся к хо (Хл Хо). для
соответствующей последовательности значений функции f{Xn\
lim /(х„) = А
/1-^вО
\х\
Пример 1.3. Доказать, что функция f (х) =» при х-*-0
предела не имеет.
Решение. Возьмем две последовательности значений аргу¬
мента, сходящиеся
к нулю; х{,‘^1
1/л, X
(2J.
lim	Пш
П^оо	П->ов
1/а
1/л '
\/п
• lim 1
п-»»
1/л. Тогда
= 1.
lim /(х{?>)= 11... -	=
lim /(х*,")=И" lim /(x<f*).
» lim (—l)=s—I,
00
n-^OO	Я-
Таким образом, построены две последовательности значений ар¬
гумента, отличные от нуля, пределом которых является нуль,
такие, что соответствующие последовательности значений функ¬
ции сходятся к разным числам (одна к 1, другая к —1). Но
так как в определе1ши предела требуется, чтобы для каждой из
рассмотренных последовательностей значений аргумента предел
последовательности значений функции был одним и тем же чис¬
лом, то мы тем самым доказали, что данная функция при х-т-0
предела не имеет.
Доказать, что следующие функции ве имеют предел^»
1.8*. f (х) = sin (1/х) при х-*-0.
1.9. /(х) = в~*^* при х->0.
1.10.	/(х) = | _j*	при х->0.
1.11.	/(х) = {х), х->4, где (х) — дробная часть числа х,
§ 2. Вычисление пределов функций
Если существуют lim f\ (х) и lim /j (х), то существуют
х-ьв	х-ьа
дели
Ига с/| (х)-а с lim f I (х),	(1)
Х->о	х->а
llm (/Г(х) ± f J (х)] = Ига /| (х) ± llm ft (х),	(2)

18в гл. 8. ПРЕДЕЛ функиии, НЕПРЕРЫВНОСТЬ' ФУНКЦИИ
Ига \и (ж) /* (X)J = Ига и {X) Ига /,	(3)
х-^а	х-*а х-^а
Нго [/, (x)/fx (jic)J =- Jim /, (X)/ lim /, (x) (lira /, (x)^0).	(4)
*-»o	x-*a x-*a	x-*a
При отыскании предела отношения двух ывогочлеиов, аавя«
сящих от X, при х-«-оо, оба члена отношения необходимо пред*
варительво разделить на х*. где л —ваввысшая степень этих
многочленов,
(х - 3) (X - 2)
Пример 2.1. Найти Ига 2х^—ЪХ!\-^ *
Решеаде. Разделим числитель и знаменатель дроби на X*.
Тогда
.. „ ,(^)(^)
lira 2jt* _ 5х 4- 3 “
Х-*оа	ох -f- о *-*оо
2 —б/х + З/х*
Воспользовавшись теперь формулами {4), (3), а также |(2) и (1)
(при с = — 1), получим
Иш (1 — 3/х) lim (1 — 2/х)
Л->оо	Х“>оо
5 . .	3
lim 2— lim — + lira
х-*са	Х-*оо * х->оо *
(•)
Используя равенство lim “*=0, получим
Х-*оа *
5	3	~ 2
2— lim “+ lim
Х-*ао
Ответ. 1/2.
Вычислить пределы;
(X+D*
Х-*<х>
Л« (х-3) (х + 2)
2.2. lim
-л* + 5х - 6
2Л. Пт
Vx
,1;«(х-1>(х-2)(х-3)‘
2х + 5
*-»“'Yjt4--Vx + Vx
2.4. lim
х-*во X
+ Vi
Если Р{х) и Q (х) — многочлены и Q (а) sjjb о, то предел от*
ношения
. Р{х)
Q (*)
находится непосредственно с помощью формул (I) —(4). Если
_же Р(а/ = О и Q,(o) = О, то, записывая многочлены Р^х\ и

$ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ
187
Q(x) в виде
Р (ж) =- (X — о)* Р, (х).	Q (х) = (X — о)" Q| (х)
(ft и я—кратности корня х = а многочленов Р[х) и Q(x)), не*
обходимо до 11ерехода к пределу произвести сокращение числи*
теля и знаменателя дроби P(x)/Q(x) иа общий множитель.
Пример 2.2. Вычислить предел
lim
х-*з
X» - 5х + 6
х»-9
Решение. Записываем выражение, стоящее под знаком
предела, в виде
X» —5х + 6 (X - 3) (х — 2)	х-2
х»-9
(х — 3) (х + 3) X + 3 ■
Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1)-*
(4):
X —2	1
Ответ. 1/6.
6 ■
Вычислить пределы:
х»+ I
2,6,	Иш ..9 I *7^ •
Х4-1 *	‘
8х’- I
х% 6х*-5х + I •
2*»- jij"
2.10.	lira
л->а
2.8. lim
h-*0
(х 4- А)^ — X*
(х* — 2ох^ ^ а’^х + 2а*) (х — 2а)~*
2а
JC* —АЛ
-^1-
: —а J
2.11.	а) lim*f(x), б) Ит7(х),
X4I/2	Х43/2
+х|х-1И-2--|
где / (х) 		/	,	=. =	•
V* — 2 + 1/х
2.12.	а) lim / (х), б) lim f (х), где / (х) = . Z ^ v|i -т •
Х-Ы	Х-^-1	(Х-* —X —ОДХ1
«	.. х^ — X* — X + 1
х’ - 5х» + 7х -3 •
Вычисление пределов от выражений, содержащих нррацнот
нальности, иногда упрощается введением оовых переменных.

188 ГЛ. 8. ПРЕДЕЛ ФУНКиИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНШИИ
Пример 2.3. Вычислить предел
-2-^ + 1
lim
(х-1)»
Решение. Обозначим = t. Тогда для переменного t вы>
рзжение, стоящее под знаком предела, можно записать в виде
/* _ 2< + 1
(<’-!)* •
Число, к которому стремится новое переменное t при х-*-1, на¬
ходится как предел значения функции/(х) =,/^х при ж->1, Т. е.
lim t (х) => lim =■ 1.
*-»1 *-»1
Таким образом,
/• - 2/ -М
lim
I'Z (/»-!)»	(/-D* (<* + <+I)*
U - D*
1
{/*+<+!)*
1
9‘
Ответ. 1/9.
Вычислить пределы:
•^7 — I
2.14. llm 	-.
2.15. lim
*->0 <vl + x — 1
2.16. llm
Vx + Vjt — 1 — I
Vx* - 1
Вычисление предела от иррационального выражения иногда
можно осуществить переводом иррациональности из числителя в
знаменатель нлн наоборот.
Пример 2.4. Вычислить предел
п„ У?ТТ-|
Х^О	*
Решение. Умножая числитель и знаменатель дроби, стоя¬
щей под знаком предела, на выражение, сопряженное числи¬
телю, получим
Ух» 4-1-1	X» -1- 1 -1
llm
х->о
lira , ,	 ,
х-ьо х(Ух»+ 1 + 1)
= Пт
х-ео х(УхМ-Т -f-1)
= 0.
Ответ. 0.

s 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЯ
Вычислить пределы]
189
2.17. lim (V*’ + 1 — Jf).
Х-*со
2.18. llm
2.19. lim
х-3
2.21. lim
lllll	mm	»
x-n + 1 “2
Vx —2
*•^4 Vx -b 5 —3
Vx» + 4 —2
x-»o V^:* + 9 — 3 "
2.20. llm	V* .
x-»9 V* — 6 — 2
и/ X + 2 — 2
2.22. Hm y.ZJLf.	1.
*->2 -y/x + 7 — 3
2.23*. lim x(V4x» + 7 +2x).	2.24. lim
X-* —eo
X —3
2.25. lim
X->oo
9x — ^/x^ — 4
x->3 Vx» — 1 —2
Vx»4-7 —4
2-26 lim	.
При вычислении пределов выражений, содержащих тригоно¬
метрические функции, часто используется предел
sin X
lim	= 1.
X-+U
Пример 2.5, Найти предел
1 — cos 2х
lim
х->о X
Решение. Преобразуем числитель дроби по формуле
I — cos 2х 5= 2 sin* X.
Тогда получаем
lim
х-»0
I — COS 2х
> lim
X	х-»0 X
о т в ет. 0.	V
Пример 2.6. Найти предел
/arcsin X
х->0 X
Решение. Обозначим ^ = arcsin х; тогда х = sin (/. Так
дак нрн x-fO arcsinx стремится к нулю, то
2 sin» X
л ,. sin X	„
2 lim	 lim sin X = 0.
x-*0 X x-»0
x->0 X
Ответ. 1.
Вычислить пределы*
,sin nx
.. arcsinx
lim	::		 hm
2.27. llm
x-*o sinmx
^•>0 Sin у
2.28*. llm
x-ea
1.
sin X — sin n
x — a '

190 ГЛ. 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
2.30*. Пш
х->-гх + 2
2.32*. lim
Х^ЩЗ С08(х + я/6)
2.29*. lim (nsin—V
V. «/
2.31. lim
»->Я/4
sin ж — cos X
1 - tg X •
2.33*. lim
х-»я/3	1 - 2 COS X
2.34. lim
Х-+Я
1 — sin (x/2)
я — X
2.85*. lim
x-»0
VI + sin X — V1 — sin X
§ 3. Непрерывность функции в точке
Функция /(х), определенная на промежутке (а; Ь), назы¬
вается непрерывной в точке хве (а; Ь), если:
1)	существует предел Пт /(х);
X-*Xt
2)	этот предел равен значению функции в точке хо, т. е.
Пт /(х)=/(хо).
Х-»Хо
Доказательство вепреривностн функции f(x) в точке хо со¬
стоит в проверке справедливости равенства
lim /(.v)=/(xa).	(1)
x-exj
Пример 3.1, Доказать, что функция
/(х) = Зх‘-Ь5
непрерывна в точке х = 2.
Решение. Используя теоремы о пределах, имеем
lim (Зх* -Ь 5) =» 3 lim X* -f 5	17.
Х->2	х->2
С другой стороны, значение функции в точке 2 тоже равно 17.
Следовательно, равенство (1) выпо.тняется н .данная функция не¬
прерывна в точке X = 2.
Доказать непрерывность следующих функций в указанных
точках:
3.1,	/ (х) = X* — 2х -Ь 1 в точке I.
3.2. fix).
I -р C08 2х
COSX
*	х^1.
в точка х = —.
4
3.3.	/(*) = {{ ’
f sin X
8.4.	/(х)-1 X '
X < 1
X о,
X «>• о
в точке X = I.
в точке х = 0.

t 3, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
191
3.6. / (х) = j
[в ^ д точке
[0. х = 0
х = 0.
3.0. / (X) = 1
[(1 + Дг)'^ х=^0,
1. е, X ■= и
8.7. /(х)«-
I" VI + ^ + ■*
*
х^0.в
1 1/6.
х = 0
При доказательстве непрерывности функции f(x), опреде»
ленной на промежутке (а; Ь), в точке xos(o; Ь) в ряде сду<1
чаев вместо равенства (I) удобнее проверить справедливость
равенства
lim l/(xo + Ax)-f(xo)]=.0,	(2)
Лх-ео
при выполнении которого функция непрерывна в точке хо.
Пример 3.2. Доказать, что функция
f (х) = sin X
непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение. Для данной функинн составим разность
/,(х + Дх)-/(х):
sin (х + Дх) — sin X = 2 sin cos ^	^
Воспользовавшись тем, что
sin (Дх/2)
lim
I, |cos^x + -^^|<l,
Дх-»0 Дх/2
с помощью формул (2), (5) яэ § 2 получаем
lim [sin (х + Дх) — sin х] = 0.
Дх->0
Доказать непрерывность следующих функций на всей обл^»
ств нх определения;
3.8.	/ (х) = X*.	3.9*. / (х) =■ cos X.
3.10*. f (х) = In X. 3.11*. / (х) = в*.
При доказательстве непрерывности часто используется еле
дующая теоре.ма.
Если функции /(х) и g(x) непрерывны в точке Хо, то нх
сумма, разность, произведение и часгное (если g(x«) Ф 0) не^
прерывны в точке хо.
Пример 3.3. Доказать непрерывность функции
на всей числовой оси.

193 ГЛ. 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ' ФУНКЦИИ
Решение. Так как f{x) представляет собоВ отыошеняе
двух многочленов, причем знаменатель всюду положнтелев, то
непрерывность f(x) в любой точке xeR следует вз непрерыв¬
ности в этой точке числителя и знаменателя.
3.12.	Доказать, что дробно-рациональная функция
V <в	{ad — be ФО) непрерывна в своей области опре¬
деления.
3.13.	Будет ли функция y = tgx непрерывна на всей число¬
вой осд?
Если Urn f(x) существует, во функция не определена а
точке хо. то говорят, что Хо — точка устранимого разрыва,
В этом случае можно доопределить функцию /(х) по непрерыв¬
ности. ПО.ЧОЖИВ
f(xo)— llm f(x).	(3)
Х-^Хо
Пример 3.4. Доопределить функцию
х*-4
х-2
в точке X = 2 по непрерывности.
Решение. Точка х = 2 не принадлежит области опреде¬
ления данной функции, но
X* —4
lim „
Х-*2
. llm (X -f 2) =
Х-Э’З
Доопределяя функцию f(x) в точке х » 2 значением, равным 4,
получаем функцию
X* — 4	, „
при хф2.
f(x).
при
которая на всей области определения исходной функции совпа¬
дает с исходной функцией и будет непрерывной на всей число¬
вой оси.
Ответ, (2) = 4.
Доопределить по непрерывности следующие функции в ука¬
занных точках:
sin X
X
3.14.	/(X).
3.15.	f{x)>
в точке X:
в точке X:

5	8. НЕПРЕРЫВНОСТЬ' ФУНКЦИЙ В ТОЧКЕ
193
зле, /(x)=-^5/i±Z__3^]	£. в точке х = 0.
4 _
8Л7. f{x)=^——в точке х«*81.
9— V*
Подобрать параметры так, чтобы f(x) стала непрерывной в ука¬
занной точке (если точка не указана, то на всей числовой
прямой):
X» - 5х + 6
3.18. f(x)-
* = 3,
хфВ,
в точке х>
( xS_5x + 6
j х-3	'
’•■'•'«-{Г'’’
1л.	х = 0
f I — cos ■
< sin* X
I Л.
I. f (x) =■ I i - cos mx •
1л,	x = 0
(л,	X =■ 1
8.20.	/ (x)
3.21.	fix)
X ФО,
в точке x = 0.
в точке X 0.
в точке X = 1.
Пусть функция /(х) определена на промежутке (а; Хо),
Число Л называют левым пределом функции /(х) в точке Хо н
пишут
lim f (х) = Л,
х-»х«-о
если для любого в> 0 существует такое в(е) > 0, что для лю¬
бого хг(а;хо), удовлетворяющего неравенству хо —б(е)<х,
выполняется неравенство
|f(x)-Л|<e.
Функция fix) называется непрерывной в точке хо слева,
если точка х» принадлежит области определения функции и
lim /(х) = Дхо).
Х-».Х|,-0
Аналогично определяются правый предел функции я непре¬
рывность функции справа.
7	А. г. Цыпкво, А, и, ПнвскнП. 1.1

194 ГЛ. I. ПРОПЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСге ФУНКЦИИ
Пх).
Для ыепрерывностп фуинцив f{x) в точке х$ необходимо и
достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа в
точке хо.
Пример 3.5. Каким условиям должны удовлетворять па¬
раметры а U 6, чтобы функция
( X — I при X < I,
' \ ах* -f Ьх ври X > 1
была непрерывной?
Решение. Вычислим левый в правый пределы данной
функции.в точке х = 1:
lim (х—1) = 0, Пт {ах^ + Ьх) = а + Ь.
х->1-о	х-^1+0
Так как данная функция в точке х = I непрерывна слева и
f(l) =0, то для ее непрерывиостн необходимо и достаточно вы¬
полнения равенства а + Ь ^ 0.
Ответ, а + 6 = 0.
Подобрать параметры, входящие в определение функции,
так, чтобы функция f{x) стала вепрерыввоб;
f ах -1- 1, X < я/2;
’ t sin X -Ь 6, X > я/2,
J X*. X < 1;
' \ ах, X > I.
f |х»-5хЧ-6|. х>2;
' I ах — 6,	X < 2.
|x»-6x-f61. х<3;
х>3,
1ах*Н-бх+1, x>t.
®	+ 1. х>0;
3.24.	/(X).
3.25.	/ (х) =
3.20. /(х) =
ЯЛ7.
I ах — о.
3.29.	/ (х) -
8.30.	Цx)^
3.31.	/(X).
{г
+1
х*+ ft.
(x*-f-x+ I.
' \ sin (я (X +
jx + 3.
lo.2^
х<0.
х>-1;
а)). X < 1.
х<3;
х>3.
§ 4. Разные задачи
Вычислить пределы:
4.
Пт
х-ьо
cos X sin X — fg X
г ,
X* sin X
«. lim ...
Х-ФЯ/4 2—ctgx —ctg'x

9 4. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Проверить справедливость неравенств]
2х + 3
4.3. Iim 	Цт=- >
Пт
2х* - 5х - 3
—;—87="	—::	г Чш 	.
-хих-Ь-ух X-+-I/2 4х*—18х—10 х-»о X*
л л |._ VI + X + X* — 1 ,	V2—2cosx^ , „„„„
х-»0	X	х-уя/4 *1п (х — л/4)	^
195
*'"’т
Вычислить пределы;
X* — 1
4.5. lim
х* + 5х-6-
4.6.	.
cos 3 (х + п/2)
4.7. Пт
sin 2х	V2x 4- I — 1
Iim
iim 		—: iim —,		.
х-^я 1 4- cos* X x-^o V3x 4-4—2
4.8. Iim
1 — cos X
x-io sin* X
4.10. lim
X .>a COS X — cos a
4.12. lim
Х-*Л/4 IgX —clgx
4.14. lim
x->0
4.18,	lim
х^л
4.18.	lim
cos 2x
4.20. lim
х->я/з 2 cos X — 1
4.22. lim
sec 2x 4- 1
х-»я/2 cos X
ЛОЛ 1- I + cos 2x
4.24. Iim ——=
х-».л/2 ctg*x
4.20. lim	^ .
Х-»Л/2 cos X
4.28. lim
x-»0
4.30. lim
x-»a
tg X — sin X
sin*x
cos* X — cos* a
sin
X — a
4.9. lim
x->a
4.11. lim
Igx —Iga
X —a
sin X — sin a
x->a Igx —Iga
sin X — cos X
4.13. lim
Х-4-Л/4
4.15. lim
Х->Я/4
x->jt/i cosx —V2/2"
cos X
Х-+Л/2 ^ — 2x
4.17. lim
x->;
4.19, lim
x-»c
4.21. lim
tgx-1
cos (я/4 4- x)
1 — tg X
sin 2x
lilll • I	•
Х->ЗЯД 1 + Sin X
(7 X
x-^o 1 — cos X ’
X sin X
*.>0 I — cosx ■
4.23. lim
х->л
I — cos 2x
tg*x '
sin*x — sin*rt
4.23. lim
x->a sin (X — a)
4.27. lim
sin (я/4 — x)
х-»л/4 cos* X — 1/2
4.29. lim
tg* X — fg* a
4.31. lim
x-*o
x^a tg(x-o)
tg 3x — tg* X
tgx

196 ГЛ. 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
4.32.	Um
х4п/4 Sin д:-cos X
4.33,	llm [(sin X — cos x)tg Гi+x И,
х-»д/4 L	\ 4 /j
4.34.	Um 1(1 — sin x) Ig’x],	4.35. lim [(a — .x) sec-^1.
х-»я/2	x-*a L	xa j
4.ST. . llm	■
x->arcts3 *6 ■*	4 tg X + 3
Й- Л"1	^)'
4.40. llm
1 — COS^ X
X.>0 X sin X cos X
Доопределить функции по непрерывности:
х-3
4.41. / (X) I
-^х»-1 -2
в точке X = 3.
4.42.	f (х) = —	У	в точке х = 0,
' '	sin 2х
. г, . eos’x — sin*x — I	-
4.43.	/(х) =	;		 в точке х = 0.
Vx’ + 1 — 1
Выяснить, при каком выборе параметров функция Цх) бу¬
дет непрерывной:
-4	^ .о
4.44.	f (х) е= < X* — 5х 6 ’	’в точке х = 3.
X == 3
2*+- — 16
4.'
4.44.	f (х) с= ^ X» -
4.45.	/(х) = ^	4-‘-2*	’	’
I. Д.	X = 2.

ГЛАВА 9
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Вычисление производных
Пусть функция f(x) определена на промежутке (а; Ь). Возь"
ыем предел отношения приращения функции
д/ Ш =f{xo + Дт) — f {Хо)
(1)
к приращению независимого переменного Дх (Д.х = х — Хо) пра
Лх, стремящемся к нулю:
Д^Ы
4 -
дх-*о Д^^
(2)
Если этот предел существует, то говорят, что функция f{x)
имеет производную в точке Хд, или что f(x) дифференцируема
в точке Хд. Производная функции /(х) в точке Хд обозначается
f'(xg). Если предел не существует, то говорят, что функция f(::\
не дифференцируема в точке хд.
Задача, связанная с вычислением производной, исходя из ее
определения, заключается в непосредственном вычислбиии пре¬
дела (2).
Пример 1.1. Вычислить производную фупкшш
/ (х) = sin X.
' Р е ш е п II е. Составим приращеииг функции Д/ (х..):
д/ (jfo) = sin (Xg -I- Дх) — sin Xg.
Чтобы найти предел
„ sin (Xg Ч- Дх) — sin Xg
lim
ЛХ.+0	Д*
воспользуемся формулой
sin (Xg -f Дх) — sin Xg =■ 2 Sin COS ^Xg	.

198	ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
С учетом непрсрывносги фунхтш совд: имеем
„ , Дх	, Л т \
2	sin —— cos I А'о -1—j
llm '
Д.1С
.	Л.'-'
sm
lini —■■ lim cos
! cos Xo,
Да->0 Да/2 Лл-»0
Так как точка ха выбрана пропаооаыю, то можно заключить.
НТО
(sin х)' = CVS X.
Ответ, (sill .v)' г- c'js X.
Иехедя из омрсделегни проиэводион, вычислить производные
следующих функций:
I.J. f (Х) = 1/Х.	1Л. f (х) = COSX.
1.3*. f (х) = е'.	1.4*. f (х) = In X,
1.5*. / (х) = х".	1.6. f (х) OJ с.
Односторонние пределы
А/(хо)
lim
Дх-»-о Дх
Ит
Д/ (хр)
(3)
(4)
Дх-» +0 Дх
называются соответственно левой н правой нрошводиини функ<
пип f(x) в точке xt к обозиачшотся f'_ (Xq) и f + (xj). Для суще¬
ствования производной f'(xo) необходимо и достаточно, чтобы
обе производные (левая в правая) существовали в точке хо и
были равны;
/;{х,)=-/1(Хо).	(5)
Пример 1.2. Доказать, что фу11к:;пя
Т(и_ j •*> х^ 1,
\х*. х<1.
пе дифференцируема в точке х 1.
Решение. Приращение функции в точке х = 1 равно
т/и)-;(и-л«)-/о)-{
пли, после преобразований,
ДГ (1)	^
^	' \2Дх -Ь (Дх)», Дх < 0;

« I. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
199
Следовательно, по определению (3), (4) имеем
lim 2Д£+(^_2.
Дх-Ь-0 “X
/+(1)=» lim -rf-l.
^ дх-ь+0 Дх
Так как(1) 4^=/1 (1), то производная f'(x) в точке х=1 не
существует.
Доказать недифференцируемость следующих функций в ука¬
занных точках:
1.7.	f(x) = I X I при X = 0.
1.8.	f (x) е= |х* — 5х -f 6| при X = 2 и X = 3.
.	f X, X ^ 1,
=	х>1.
при X = I.
1.10*. Показать, что функция
f(x).
(о.
sin X ^ о,
х = 0
не имеет в точке х = 0 ни правой, ни левой производных.
I.I I. Доказать, что функция f(x) = х|х1 дифференцируема
В точке X = 0.
Производные основных элементарных
функций:
(х“)' = пх‘»-‘.
(о*)' = а* In в, л > о, (е*)' = е*.
(6)
(7)
(logo х)'=, л>0, о#1, (1пх)' = -1,
(sin х)' = cos X,
(cos х)' = — sin X,
(tg х)' “ —1—I
'' cos»x
(clg x)' ■
(arcsin x)' ■
(arctg X)' ”
(8)
(9)
(10)
(И)
(12)
(13)
(14)

200
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Правила дифференцирования. Пусть с — поста
янная, 1(х) и g(x)—дифференцируемые функции; тогда
с' = 0,
[nx) + g{x)Y = f'(x) + g'(x),
и (*) g (*)!' = /' (X) g U) + g' (Jt) / (л).
Г / (x) Г ^ f' (x) g (X) — g’ (X) f {X)
Lg(Jt)J “ g’(JC)
(15)
(16)
(17)
(18)
Теорема о двффеpa в пиpовaнв в сложной
функции. Пусть y^^f^x) имеет проиэводвую в точке хо. а
функция *g(p) имеет производную в тачке у» = /(хо); тогда
сложная функция F(x) =g[/(jr)] имеет производную в точке х«,
равную
F'{xo) = g'{yo)f'M.	(19)
Пример 1.3. Вычислить производную функции
F (х) = (х» + X + 1)'*«.
Решение. Полагая yz^f(x) =
имеем
g'(у) =100^09. Г{х)
х» + х+1, g(g)=g"'*,
2х+ I.
Тогда, согласно (19), получаем
F' (х) == 100 (х» + X + 1)99 (2х + 1).
Ответ, f'(х) = 100 (X* + X + 1)9» (2х + 1).
Вычислить производные следующих сложных функций]
2 + ^/7
1.12. у :
1.14. у г
1.16. у >
1.18.	у <
1.19.	у <
1.20.	у
2-VJ
i Vsln Vj* •
. 1 + *
.arclg-г^.
1.13. у
-X»
1.15. у =
1.17. у =
-Vin (ох'+Ьх+с)
в	•
(о + Ьх")”*
(а — bx"f‘ *
■ COS* X (3 cos* X — 5).
16
(tR»x — l)(tg*x+ 10tg*x+ I)
, X— 1
= In cos	.
Предварительно упростив выражения, вычислить производ*
аые следующих функций:
(Ух + о (х* — V*)
хУх" 4- X + Ух
1.21. / (х).

§ I. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
201
-2
из. f (x) ■
2'-x»-2 Vl -•
(жУ'"-9х^'')(Ух‘-"« -зУх‘~")
1.24.	7(Х)=»	^^i/m ^	'
1.25.	f (X) = (УI -	+ t) ••	+ VT^J.
Ue. / (x) ■
1.27.	f(x) =
1.28.	f (X).
1.29.	f (X)«
1.30.	f (x).
1.31.	/(X).
(У(1Г-'*+У^^^’
‘	1 I 1
У2 -y< yrч-Уг’
(2 — у X + 2):
y^2x + 2Vx*— 1
(
Ух
yi^
Ух + 1 Ух — I
Wf^+yUr-^fe+v^.
У(х+ D* -У(х- i>*
Vi + yrrpr (y(i4,jt)» _V(1_^)»)
2 + yi -**
f У ax* — Уа*х 1 + ySF \
-2
^ yj_y.
у ox /
хлА+ГуГ^!.
Если функция /(x) определена на некотором промежутке
[о; Ь], то в качестве значений ее производных на концах этого
промежутка принимаются значения левой производной на правом
конце н правой — на левом конце соответственно.
Пример 1.4, Вычислить на промежутке [0; 2] производную
функции	~
/(х)-Ух*-2х + 1.

202
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Пх)
1^-1!
[х-\.
11-х.
на
Решение. Так как выражение под радикалом представ*
ляет собой полный квадрат, то, согласно определению модуля,
представим данную функцию в следующем впде;
-I. xsll: 2],	. .
xs[0; 1).
Дифференцируя !(х) отдельно на промежутках [0; 1) п (1; 2],
получаем
XS [0; 1),
xs(l; 21.
Так как левая п правая производные f(x) в точке х ■= 1 не
совпадают, то в точке х = 1 производной не существует; в ка*
честве значения /'(х) на концах промежутка [0; 2] принимаем
значения левой производной функции (♦) в точке 2 и правой
производной функции (•) в точке 0.
Вычислить производные следующих функций:
д/х — 2 Vx — 1
1.32* /(х)=х-
Vx- 1 - 1
1.33. /(X).
='Vt(w1Y3'""
1.34. fix).
^	к Vi-''')
1.35*. / (х) =• д/х -f 2-yJ'Zx — 4 + д/х — 2 V2x — 4 ,
§ 2. Промежутки монотонности и экстремумы
функций
Говорят, что функция у = f(x) возрастает на промежутке
'(а; Ь), есла для любых xi н xi, принадлежащих (а; Ь), на
неравенства xj < Xj следует неравенство f(x,) < f(xj). Говорят,
что функция у f(x) убывает на промежутке (а; Ь) если для
любых Х| в хг, принадлежащих (а; 6), из неравенства xi < х*
следует неравенство f(xi)> f(x2) Функции, возрастающие (убы¬
вающие) на промежутке {а; Ь), называются монотонными на
этом промежутке.

§ 2. ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ II ЭКСТРаМУМЫ 203
Достаточные условия монотон иостн функ-
UIIII. Пусть функция y = f{x) определена и дифференцируема
на промежутке (а; Ь). Для того чтобы функция была возра¬
стающей на промежутке (а; Ь), достаточно, чтобы выполнялось
условие
f' {х) > о при любой X Е (а; Ь).
Для того чтобы функция была убывающей на промежутке (а;Ь),
достаточно, чтобы выполнялось условие
/' (х) < о при любом X е (о; 6).
Точки, принадлежащие промежутку (at 6), в которых про¬
изводная равна нулю или не существует, называются критиче¬
скими точками функции у *= f{x). Из определения критической
точки следует, что если производная функции меняет знак, то
это может произойти только при переходе через критическую
точку. Таким образом, промежутки убывании, возрастания (про¬
межутки монотонности) функции f{x) ограничепи критическими
точками. Поэтому, для того чтобы определить промежутки мо¬
нотонности функции, необходимо;
1)	найти критические точки ^(x)i
2)	определять знак производной f'(x) внутри промежутков,
ограниченных ирнтическими точками.
Пример 2.1. Исследовать на возрастание н убывание
функцию
f{x) = xe~^.
Решение. Находим производную
/' (х) = е-®* - Зхв"®* =	(1 - Зх).
Производная /'(х) существует всюду я обращается в тгуль о
точке 1/3. Точка х = 1/3 делят числовую ось на два промежутч
ка: (—оо; 1/3) я (1/3; оо). Так как функция всегда поло¬
жительна, то знак производной определяется вторым сомнож1р
телем. Следовательно, на промежутке (—<»; 1/3)	0, а на
промежутке (1/3; оо) /'(х) < 0.
Ответ. Функция /(х) возрастает иг. промежутке (—оо; 1/3)
и убывает на промежутке (1/3; оо).
Исследовать на возрастание н убывание функции;
2.1. f(x) :
х»-2
2х + 3 •
2.2. /(х) =
1п X ■
2.3.	/ (х) = X — sin* X.
2.4.	/ (х) = 21п (X - 2) - X» -f 4х + 1,

’20*	ГЛ. 9 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
в.5, /(■«) =2.6. f(x) =
2.7*. Найти множество всех значений параметра а, при ко*
торых функция
/ (jc) = sin 2лс — 8 (о + 1) sin X + (4в* + 8а — 14) х
является возрастающей для всех х е R и при этом не имеет кри*
тических точек.
2.8*. Найти все значения параметра а, Tipn которых функция
у (х) = 8ах — а sin 6х — 7х — sin 5х
возрастает и не имеет критических точек д.чя всех х г R.
Говорят, что функция у = f(x) имеет в точке хо максимум
'(или минимум), если найдется такая б-окрестность точки Хо,
принадлежащая области определения функции, что для всех
X Хо, принадлежащих промежутку (хо — б; хо + б), выпол¬
няется неравенство
f(x)<f (Хо) (соответственно f(x)>f (Хо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума,
а значения функции в этих точках называются экстремальными
значениями.
Необходимое условие существования экс¬
тремума функции. Пусть функция Цх) дифференцируема
на промежутке (а; Ь). Если в некоторой точке xos (а; 6) функ¬
ция f{x) достигает своего экстремума, то /'(хо) =0.
Достаточное условие существования экс¬
тремума функции. Пусть функция определена в непре¬
рывна на промежутке (а; Ь) н на всем промежутке (за исклю¬
чением, быть может, конечного числа точек) дифференцируема.
Если при переходе через критическую точку производная функ¬
ции меняет знак, то такая критическая точка является точкой
экстремума функции; точкой максимума, если знак меняется с
плюса на минус, и точкой минимума, если знак меняется с ми¬
нуса на плюс.
Пример 2.2. Найти экстремум функции
f (х) = V2x*-x-b2.
Решение. Находим производную
1	4х- 1
Г (х) =
2 V2x*-X-)-2
(*)

$ 2. ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ и ЭКСТРЕМУМЫ 205
Приравниваем производную f'{x) нулю:
1	4х-1
.0.
2 V2x*-x + 2
Отсюда находим критическую точку Хо = 1/4. Из выражения (*)
видно, что при X > 1/4 /'(х) > 0. а при X < 1/4 /'(х) < О, т.е.
при переходе через хо = 1/4 производная меняет знак с минуса
на плюс. Следовательно, хо = 1/4—точка минимума, причем
/(xo)'=Vl5/8. Знаменатель выражения (*) положителен для
всех X е R, Следовательно, других критических точек, кроме
X = 1/4, функция f(x) не имеет.
/ (1/4) = VT5/8.
Найти экстремумы следующих функций:
Ответ, min / (х)
xeR
2.9. /(X).
2.11. /(X).
(х-2)Чх + 4)
2.13, / (X) » 2х* + Зх» - 12х + 5.
2.10. /(х) =
2.12. /(х) =
2.14. / (X).
' X + slh 2х.
2х
х= + 9 •
X
1пх •
2.15. /(X).
2.10. / (X).
. 2х* — 6х* - 18х + 7.
х' — 2х + 2
X— 1
Методы исследования функций на экстремум позволяют
устанавливать справедливость некоторых трансцендентных вера-
венета.
Пример 2.3. Доказать справедливость неразеиства
а* — X > 1 при хФО.
Решение. Рассмотрим функцию
/(х) = е*-1 -X
(•)
и найдем ее экстремум. Решая уравнение /'(х) = 0, т.е. ураиис-
нне в* — 1 =0, получаем х = 0.
При х = о функция /(х) достигает своего сдиистЕениого ми¬
нимума, так как /'(х) при переходе через точку х = 0 меняет
знак с минуса на плюс. Так как /(0) =0, то для всех хф^
справедливо f(x) >0, т.е. е*—1—х>0, или —х> 1, что
и требовалось доказать.
Доказать неравенства;
2.17.	X — х’/6 < sin X < X при X > 0.
2.18.	COSX > 1 — х*/2 при хфО,
2.19.	In (1 + х) < X	при X > о.

206	ГЛ. 9. ЛРОИЗВОДНАЯ И ЕВ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 3. Наибольшее и наименьшее значении функций
Пусть функция f(x) определена п непрерывна на конечном
промежутке [а; 6]. Для нахождения наибольшего (наименьшего)
значения функции необходимо найти все максимумы (минимумы)",
функции на промежутке (а; б), выбрать из них наибольший
(нанменьншА) н сравнить его со значениями функции в точках
а и Ь. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел н будет наиболь¬
шим (наименьшим) значением функции f(x) на промежутке
[а; 61; оно обозначается max f (х) ( min (х)). При нахо"
xeloib] ха(а;Ь]
жденнн наибольшего или наименьшего значения функции может
оказаться, что внутри промежутка (а; 6] производная суще-
ствует во всех точках промежутка и ни в одной точке промежут*
ка в нуль не обращается (т. е. критические точки функции от*
сутствуют). Это говорит о том, что в рассматриваемом проме¬
жутке функция возрастает или убывает и, следовательно, дости¬
гает своего наибольшего и наименьшего значения на концах
промежутка.
Пример 3.1. Найти наименьшее и паибольшее значения
X 2
функции f(x) = -g-+— на промежутке П; 6).
Решение. Так как
то едннствеиной критической точкой, попадающей в заданный
промежуток, будет точка х = 4. Сравнивая значения функции в
точке X CS 4 со значениями функции на концах промежутка, по¬
лучаем
f(4) = l, ni) = 2-g-,	/(6)=l-jL,
т. е. наименьшее значение / (х) достигается в точке х = 4, а наи¬
большее—на левом конце промежутка (при х = I).
Ответ, max /(х) = /(1) = 2у; min / (х)/(4) = I,
хе|1:в|
xs|u б|
Найти наибольшие н наименьшие значения функций на ука¬
занных промежутках:
3.1. /(х) = х»-х» +х + 2,	xs(-l; I).
3.2. / (X) = Зх< + 4х* + 1,	X S 1-2; 1).
8.3.	/ (х) = cos* — sin X,
X s [О, я).

§ 3. НАМБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦИЯ 207
1
ЗЛ f(x) =
3.5. Дх):
cos 2х + sin X,
■bil
■ 4- sin 2х + 4- cos* X — cos X,
4	^
f]-
При отыскании наибольших (напмеггьших) значений некото¬
рых функций пногда удобно использовать следующее свойство.
Если непрерывная функция f(x) на промежутке [а; 6] мо¬
жет быть представлена в виде f (х) = Я^М]. где g(x) и f(y) —
непрерывные функции на промежутках х € [а; Ь] и у е [с; d]
соответственно, с =» min g (х), d = max g (x), то
xe |ai 61
max F (x) = max f (y)
xs|a;6|
XElc; d\
min F (x) ■
X e- |a; 6)
■ min f{y).
у s (c; di
Пример 3.2. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции F (X) ^	(Т+л/Т)' ““	[о; y\
Решение. Используя формулы
V2
sin
+ х^ =1 (sin X + cos х),
sin 2х = (sin X -f cos x)* — 1,
представляем дапиую функцию в виде сложной функции
F{x)=f[g{x)].
где
f(y)
//^ «м I
—	V2, g (х) = sin X -f cosX.
Найдем наибольшее и наименьшее значения g(x). Критическими
точками g(x) будут корня уравнения
cos X — sin X =» о,
из которых в промежуток [0; я/2] попадает только х = л/4.
Сравнивая g(0), g{л|4) и g(n/2), заключаем, что областью из-
меневня g(x) является промежуток [l: V2I. Нетрудно заметить,
что
Пу) = л/2(1+^)>0^
на всей области определения f(y), в том числе п для
pe[l; V2]. Следовательно, функция Цу) возрастает на проме¬
жутке [1; V2I н достигает своего наибольшего и наименьшего

208
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
значений сответственно на правом и левом концах промежутка!
max _ f {у) = f {у/2) = I,
ре[|;
min _ /(у)=/(|) = 0.
ge [|; V?)
Этн же значения являются наибольшими и наименьшими и для
исходной функции F{x).
Ответ, max f(x)=I, min f(x) = 0.
X 510; л/21	X г [О; л/2|
Найти- наибольшие и наименьшие значения функций;
sin 2х	_ Г_. Зп'
З.в. /(X),
3.7*. / (х) =
sin (я/4 + х) ’
1
:[. f].
1
sin X + 4 cos X — 4 ’
3.8.	/ (х) ■= Ig X + ctg X, X e ln/6; я/3].
3.9*. Найти наименьшее значение функции
2	+ cos X
,	Z' 2 -f cos X ^2
sinx-J
на промежутке [0; я].
Нахождение наибольших и наименьших
значений функций, содержащих знак абсолют*
ной величины.
Пример 3.3. Найти наибольи1ее и наименьшее значения
функцнн
/(х)г=|х»-5х + 61	(♦)
па промежутке [0; 2,4].
Решение. Для того чтобы раскрыть модуль в выражении
(•), найдем корни уравнения f(x)=0. Решая уравнение
х’ — 5х + б = о, получае.м х = 2, х = 3. Таким образом,
,,._f X* — 5х — б	при X е (— оо; 2) U (3; оо);
'	” I - (х» - 5х + б) при X е (2; 3].
Из (••) видно, что на исследуемом промежутке [0; 2,4] функ*
ция /(х) допускает два представления в зависимости от значе¬
ния аргумента:
- (X® - 5х 4- 6), X е (2; 2.4],
X® — 5х + б, X е [0; 2].
Вычислим производную функции /(х);
rw={
— (2х-5), х«
2х — 5, X«
(2; 2,4]:
i [0; 2).

§ 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ
209
При хе(2;2,4] f'(x) > О, следовательно, 1(х) возрастает, а
при хе[0;2) /'(*)< О, следовательно, f{x) убывает; точка
X = 2 — критическая т(Яка, так как производной /'(х) в этой
точке не существует. Сравнивая значения функции на концах
промежутка [0; 2,4] с ее значением в критической точке, заклю¬
чаем, что
max /(х) = /(0) = 6, min f(x) = /(2) = 0.
хе|0;2,4]	хеЮ;2.41
Ответ. max /(х)=^(0)=6. min /(x) = f(2)=0.
xe|0;2,1|	хе|0;2.4)
Найти наибольшее н наименьшее значения следующих функ¬
ций на указанных промежутках*.
3.10./(х) = |-|^|, хе]-2;0].
3.11.	/(x) = Vl-2х-Ьх» H-V1 + 2X-I-X®,
а) X е (0; 2]; б) х е (—2; 0].
3.12.	/ (х) = Vl — 2х -1- X® — Vi + 2х -f X®, xs(—ео;оо),
3.13.	f(x) = |x»-|-2x-3|-l--|lnx,	4j.
3.14.	Найти точки минимума функции
/ (х) = 4х* — XIX — 21, X г [0; 3],
я ее наибольшее значение на этом промежутке.
3.15.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
/ (х) = Vx(10 -х).
3.16*. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = (x- 1)» V*’-2x-f 3, xslO; 3).
3.17.	Найти наибольшее и наименьшее значения фун1(ции
= IX» -1- XI + 1X» -f бх 61
на отрезке
г_1. 11
L 2‘ 2j-
§ 4. Задачи, сводящиеся к нахождению
наибольшего и наименьшего значений
и эстремумов функций
В условиях многих задач явно не формулируется, что тре¬
буется найти наибольшее и наименьшее значения и экстремумы.
К таким задачам относятся, например, задачи, связанные с нахо¬
ждением множества значений функций.

210	гл. в. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Пример 4.1. Найти образ пронежутна [—1; 3] при отобра-
женян, заданном фуякиней
/ {х) =	- \2х.
Решение, Чтобы найтл образ данного промежутка, нужно
найти множество значений функции 1(х) для хе[—1; 3], кото¬
рое в силу непрерывности исходной функции представляет собой
промежуток Г	Таким образом, нс-
1дсв(-1;Э| xsl-l; 31 J
ходная задача сводится к задаче на отыскание наибольшего а
наименьшего значений функции f(x) на промежутке [—1; 3].
Критические точки f(x) находятся из уравнения
12.Т*— 12==0,
корнями которого являются Х| =3 1, Ха’s —1. Сравнивая значе¬
ния функции f(x) в критических точках и на концах промежут¬
ка, получаем
шах f(x)=/{3)=72,
*в (-IJ 31
min /(X) =/(!) =-8.
хе[-1; 31
Следовательно, образом промежутка [—1: 3] при отображении,
заданном исходной функцией, будет промежуток [—8; 72].
Ответ. [—8; 72].
4.1.	Найти множество, на которое отображает луч [1; ео)
производная функция f(x) «=» х (1пх— I).
4.2.	Найти образ промежутка [0; 0,5] при отображении, за¬
данном производной функции f(x) = tgSx.
4.3.	Найти пересечение множеств, на которые отображается
X + 3
промежуток [0; 1] производными функций r/i =	1/а=“
=1 ^6х -1- 5.
4.4*. В какой промежуток переводит всю действительную
прямую функция IJ =	^
4.5.	Найти множество звачеиий функций:
а) У ■■
б) У
х‘ -Ь I ■	’ ^ X* +1 •
4.6*. Доказать, что справедливо неравенство
вх* + б 2 ^/ab

s 4 ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ
211
4.7*. Доказать, что для функции /(х) = cosxsin2x спра¬
ведливо неравенство
min f (х) > —7/9.
X в 1-я; я)
4.8*. Доказать, что для функции f(x) =sinxsln2x выпол-
нечо неравенство
max f (х) < 0,77,
xel-я; я)
4.9*. Доказать, что для х s (0; л/2] справедливо неравенство
cos xVsin X
4.10.	Доказать, что при хе[3/4; 2] справедливо неравенство
4.1 i*. Показать, что при любых действительных значениях X
функция
X* + X Ч- I
!/ = ■
х»Ч-1
не может иметь значений, больших 3/2, и значений, меньших 1/2,
4.12*. Найти все а, при которых имеется хотя бы одна пара
чисел (х, у), удовлетворяющих условиям
х’ Ч- (у + 3) ’ < 4, р = 2ах*.
4.13*. Сумма третьего и девятого членов арифметической
прогрессии равна наименьшему значению квадратного трехчлена
2х* — 4x4*10. Найти сумму одшшадиати первых членов это:й
дрогрссенн.
4.14*. При каком значении параметра а значения фуикцни
у == X* — 6х* Ч- Ох Ч* а
в точке X =: 2 я В точках экстремума, взятые в некотором по¬
рядке, являются членами геометрической прогрессии?
4.15,	Сумма членов бесконечно убивающей геометрической
прогрессии равна наибольшему значению функции
/ (X) =. X» Ч- Зх - 9
па промежутке [—2; 3]; разность между первым и вторым чле¬
нами прогрессии равна f'(0). Найти знаменатель прогрессии.
4.16.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресс
CUH равна наниеньшему значению функции
25
/(х) = Зх»-хЧ-
12 '

212
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
а первый член прогрессии равен квадрату ее знаменателя.-Найти
знаменатель прогрессии.
4.17*. Найти наименьшее значение а, при котором уравнение
4	,	1
sin X
1	— sin ДС
имеет на промежутке (0; л/2) хотя бы одно решение.
4,18*. Доказать, что функция
2=(дс+1/х)» + (у+1/у)*
не меньше 12,5, если д: > 0, у > 0, д: + р = 1,
4.19* Показать, что функция
г = 2х’ + 2ху + р» — 2х + 2// + 2
не меньше чем (—3).
4.20*. При каком значении а сумма квадратов корней урав>
нения
1=0
принимает наименьшее значение?
4.21*. Доказать, что при всех значениях xsR имеет место
неравенство
* <1
1 + X» ^ 2 ■
4.22.	Доказать, что иа промежутке
[о	. /log*6	logiT 1
-I; 10-8V	^49 J
справедливо неравенство 0^2х + 3'|Удс^^1.
4.23.	Доказать, что при а е [0; л/3] справедливо неравен-
ство
1
■ +
1
4-VT
sin (я/3 + а) ‘ sin (я/3 — а) 3
4.24.	Доказать, что для всех х и у справедливо неравенство
+ +
4.23*. Доказать справедливость неравенства
, -2х + з ^ g + VsT
2	х2 + бх -f 10 ^	2
4.26*. Доказать, что 1/4 < sin* х + cos* х < 1.

§ 5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
ПЗ
4.27.	Доказать, что при х е [0; 2/3] справедливо неравенство
Be*'’ < (Зх* - 7х + 7) в* < *У- 4^^
4.28.	Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение
8х (2х» - 1) (4х* - 8х» + 1) = I?
4.29.	При каких значениях ряд график кубической пара¬
болы р = X* -f рх + <7 касается оси Ох?
4.30.	При каком условии уравнение х^ рх q — 0 имеет;
1)	один действительный корень;
2)	три действительных корня?
§ 5. Текстовые задачи на нахождение наибольших
и наименьших значений функций
Для решения текстовой задачи на наибольшее (наименьшее)
значение следует сначала, используя условия задачи, составить
функцию /(х) и определить промежуток изменения ее аргумента,
а затем отыскать наибольшее (наименьшее) значение этой функ¬
ции на найденном промежутке.
Пример 5.1. Число 26 представить в виде суммы трех по¬
ложительных слагаемых, сумма квадратов которых наименьшая,
если известно, что второе слагаемое втрое больше первого.
Решение. Обозначим неизвестные слагаемые х, р, г. По
условию задачи введенные неизвестные удовлетворяют следую¬
щей системе ypaBiiennii:
X I/ X = 2&,
у — Зх.
Используя (*), выразим неизвестные риг через xi
р = Зх, 2 = 26 — 4х.
(•)
(♦♦)
Составим теперь функцию, минимум которой требуется
В8 ЙТН!
S	(х) = X* + 9х» -I- (26 - 4х)».
Промежуток изменения аргумента в данном случае определяется
113 условия положительности всех слагаемых. Решая систему
неравенств
х>0,
26 - 4х > о,
получаем, что искомый промежуток имеет вид ^0;	Таким
образом, задача свелась к отысканию минимума функции S(x)
^0;	Единственной критической точкой
на промежутке

214
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
функции S{x) на промежутке	является тотеа дг = 4.
При переходе через эту точку производная функции S{x) меняет
знак с минуса на плюс, следовательно, S(x) убывает на проме¬
жутке (0; 4) II возрастает на промежутке ^4;	Таким об¬
разом, при X = 4 функция S(.T) достигает своего минимума.
Подставляя х = 4 в уравнения (»•), получаем значения осталь¬
ных неизвестных.
О	т в е т. 26 = 412-f 10.
5.1.	Число 18 представить в виде суммы двух положитель¬
ных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
5.2.	Чнс.чо 36 представить в виде произведения двух сомно¬
жителей так, чтобы сумма их квадратов бы.ча наименьшей.
5.3.	Число 180 представить в виде суммы трех положитель¬
ных слагаемых так, чтобы два из них относились, как 1:2, а
произведение всех трех слагаемых было наибольшим.
5.4.	Данное положительное число а предсташггь в виде сум¬
мы двух положительных слагаемых так, чтобы их произведение
было наибольшим.
5.5*. Парабо.та i/=x^+px+t/ пересекает прямую у=2х—3
в точке с абсциссой 1. При каких р и q расстояние от вершины
параболы до оси Ох минимально? Найти это расстояние.
5.6.	Найти наименьшее из расстояний от точки Л4 с коорди¬
натами (0, —2) до таких точек (х, у), что
5.7.	В сегмент параболы = 2рх, отсекаемый прямой х =
<= 2а, вписать прямоугольник наибольшей площади.
Пример 5.2. Найти высоту конической воронки наиболь¬
шего объема, если ее образующая равна I.
Решение. Объем конуса, площадь основания которого
равна S, а высота — Я, вычисляется по формуле
где S = лД*, R — радиус окружности, лежащей в основании
конуса. По теореме Пифагора Д и Я связаны равенством
Д2 + Я» = 1К
Воспользовавшись этим равенством, выразим V как функцию
только одного переменного Я;
К=.-^л(1»-Я*)Я,

Решая уравнение
§ 5 ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
V’ (Я)-= J(^»-ЗЯ‘) = 0.
2iS
находим две критические точки функции V (Я); Я] ■■ l/V3”i
1и которых только точка Я| пряиадлежит про¬
межутку (0; /). При переходе через точку Я| функция V' (Я) =
*=‘з’— ЗЯ*) меняет знак с плюса на минус, в, следовательно,
на промежутке (О, //V3) функция W (Я) возрастает, а на про¬
межутке	l) убывает. Таким образом, Я	— высота
конуса максимального объема при заданной длине образующей /.
Пример 5.3. В трапецию ABCD, боковая сторона АВ кото¬
рой (длины 6 см) перпендикулярна основаиию, вянсать прямо¬
угольник нанбольшей плошали так, чтобы одна из его стс^н
лежала на большем основании трапеции. Основаиня трапеции
равны 6 и 10 см соответственно. Вычислить площадь этого прямо¬
угольника.
Решение. Рассмотрим от¬
дельно два иучая. Первый —
вершина прямоугольника Р лежит
на' боковой стороне трапеции
CD (см. рис. 9.1). Второй —вер-
пшиа Р лежит на основании
трапеции ВС,
В первом случче обо.чна и1М
стороны прямоугольника АО •= х
в ДА у. Составим уравнение, связывающее неизвестные х в д.
Для этого проведем вспомогательный отрезов BL, параллельный
стороне CD (см. рис. 9.1), в рассмотрим два прямоугольных
треугольника ABL я QPD. Катеты этих треугольников равны
соответствеяно АВ «» 8. Д1 4. QD — 10 — х, PQ -• у. Иско¬
мое уравпекне получается на условия подобия треугольников
ABL в QPD}
	У
10 —X
> 2, или у «= 20 — 2х
Площадь прямоугольника AKPQ равна
S(x) —х(20-2х).
Интервал изменения х в первом случае вахоянтся из условия,
что точка О —проекция точки Р, лежащей на стороне CD, сле¬
довательно, X ^ 5.

21в
ГЛ. 9. ПРОПЗВОЛИЛИ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Таким образом, задача свелась к отысканию ваяменьшсго
аначсинй функции S{x) на промежутке [6; 10]. Единственная
критическая точка фун.чцнн S{x)\ х = 5 не принадлежит uail*
денному промежутку. Следонателыю. производная функция 5(дг)
не меняет на агом пром'.кутке знак. Вычисляя производную
5(х) в произвольной точке промежутка [6; 10], убеждаемся, что
она отрнцатсльна. Таким образом, наибольшее значение S[x\
достигается в левом конце промежутка, т. е.
max S (х) = S (6) = 48 см*.
хе[6; 10]	,
Площадь прямоугольников, относящихся ко второму случаю,
не препос.чоднт 48 см*, так как нрн одинаковой боковой сто¬
роне, равной 8 см, длины нх оснований не могут быть больше
6 см.
Ответ. 48 см*.
5.8.	Из всех конусов, впвеанных в шар радиуса R, найти
тот, у которого площадь боковой поверхности наибольшая.
5.9.	Определить размеры цилиндра, имеющего наибольший
объем, если площадь его полной носерхпосгн ранна 2л.
5.10*. Среди всех прямоугольных треугольников площади S
найти тот, для которого площадь описанного круга будет наи¬
меньшей.
5.11*. В полукруг радиуса t вписана трапеция ABCD так,
что £е основание AD является диаметром, а вершины В н С
лежат на окружности. Какова величина угла ф при основании
трапеции ABCD, имеющей наибольший периметр?
5.12*. Из всех треугольников с одинаковым основанием п
одним и тем же углом при вершнае се пайти треугольник с наи¬
большим периметром.
5.13.	В рав1!о6елрсшшй грсуголышк ЛВС вписан прямо¬
угольник, две вершины которого леж^1т на основаннн АС, две
другие — на сторонах АВ н ВС. Нанйти наибольшее значение
площади прямоугольника, если |/Ш| = 12, |BD| = 10, BD —
высота треугольника АВС.
5.14.	Рассматриваются всевозможные трапешш, обе боковые
стороны и меньшее основание которых равны а. Найти величину
большего основания трапеции, имеющей наибольи1ую площадь.
5.15.	Длина стороны кв.здрата ABCD—\0 см. На его сторо¬
нах отложены отрезки Л/Ь, BBi, СС\, DD\ ллины х каждый,
причем А\^АВ, BisBC, Ci е CD, D| е ОЛ. Доказать, что
четырехугольник Л|B|C|D| — квадрат, и найти значеиие х, при
котором площадь этого квадрата—наименьшая.

s 6. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
217
5.16.	В окружность радиуса R вписан равнобедренный тре¬
угольник. При каком значении угла а при вершине треугольника
высота Н, проведенная к боковой стороне, имеет наибольшую
длину? Найти эту длину.
6.17*. Каков должен быть угол а при вершине равнобедрен¬
ного треугольника заданной площади S, чтобы радиус г вписан¬
ного в этот треугольник круга был наибольшим?
При участии тела в двух независимых движениях его путь
(или проекция пути на некоторое направление) является функ¬
цией от двух или более переменных, связь между которыми мо¬
жет быть установлена из физических соображений.
6.18.	Путнику требуется попасть на противоположный берег
реки. Под каким углом а ему следует направить лодку, чтобы
добиться наименьшего сноса, если скорость лодки равна а
скорость реки — Кр?
6.19.	Тело бросают под углом о к горизонту со скоростью
V». При каком значении угла а тело улетит дальше всего?
6.20*. Определить наименьшую высоту h = |ОВ| двери вер¬
тикальной башни ABCD, чтобы через эту дверь в башню можно
было внести жесткий стержень длины /; конец стержня скользит
вдоль горизонтальной прямой, на которой находится основание
башни АВ, Ширина башни \АВ\ = d < I.
5.21.	На странице текст должен занимать 384 см*. Верхние
и нижние поля должны быть по 3 см, а правые и левые — по
2 см. Если принять во вннмаине только экономию бумаги, то
каковы быть должны оптимальные размеры страницы?
5.22.	Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать
балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина х
и высота у этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее
сопротивление: а) на сжатие; б) на изгиб?
Примечание. Сопротивление балки на сжатие пропор¬
ционально площади ее поперечного сечения, а на нзгнб — произ¬
ведению ширины этого сечения на квадрат его высоты.
5.23.	Лампа висит над центром круглого стола радиуса л
При какой высоте h лампы над столом освещенность предмета,
лежащего на краю стола, будет паплучшен? (Освещенность пря¬
мо пропорциональна косинусу угла падения луча света и обратно
пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)
524. Требуется устроить прямоугольную площадку так, что¬
бы с трех сторон она была огорожена сеткой, а четвертой сторо¬
ной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгодней¬
шая (в смысле площади) форма площадки, если имеется I по¬
гонных метров сетки?

218
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Б.25. На прямолинеЛном отрезке АВ длины о, соединяющем
два источника света А (силы р) и В (силы д), найти точку М,
освещаемую слабее всего. (Освещенность обратно пропорцио*
нальна квадрату расстояния от источника света.)
Б.26*. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей
точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть точки В,
находящейся на берегу на расстоянии 5 км от А. Лодка дви¬
жется со скоростью 4 км/час, а пассажир, выйдя из лодки, мо¬
жет в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна при¬
быть лодка, чтобы пассажир достиг точки В в кратчайшее
время?
Б.27*. Дождевая капля, начальная масса которой то, падает
под действием силы тяжести, равномерно испаряется так, что
убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорцио¬
нальности равен k). Через сколько секунд после начала падения
кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она?
(Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
Б.28*. Расходы на топку парохода пропорциональны кубу
его скорости. Известно, что при скорости 10 км/ч расходы на
топливо составляют 30 руб. в час; остальные расходы (не зави¬
сящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой ско¬
рости парохода общая стоимость 1 км пути будет наименьшей?
Какова будет прн этом общая сумма рас.чодов в час?
5.29.	Для доставки продукции завода из пункта N в город А
строится шоссе NP, соединяющее завод с железной дорогой АВ,
проходящей через город А. Стоимость перевозок по шоссе вдвое
больше, чем по железной дороге. К какому пункту Р нужно про¬
вести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции заво¬
да из пункта N в город А по шоссе и по железной дороге была
наименьшей? Расстояние от N до железной дороги равно 100 км,
а расстояние от города А до станции железной дороги, находя¬
щейся на одной окружности с А и N, которые находятся в кон¬
цах диаметра этой окружности, равно а км.
При решении задач о времени достижения наименьшего рас¬
стояния между двумя объектами, двигающимися под углом друг
к другу, следует воспользоваться тем, что расстояние между
объектами, достигнутое к моменту времени t, представляет со¬
бой одну из сторон треугольника, двумя другими сторонами
которого являются некоторые функции расстояний, пройденных
объектами к этому моменту.
6.30.	По двум улицам движутся к перекрестку две машины
с постоянными скоростями 40 и 50 км/ч. Считая, что улицы
пересекаются под прямым углом, и зная, что в некоторый мо-

§ 5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
219
мент времени машины находятся от перекрестка на расстояниях
2 и 3 км (соответственно), определите, через какое время рас¬
стояние между ВНИИ станет наименьшим.
5.31*. Три пункта А, В, С расположены так, что ZABC =>
= 60°. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из
точки В — поезд. Автомобиль движется по направлению к в со
скоростью 80 км/ч, а поезд — к пункту С со скоростью 50 км/ч.
1)	какой момент времени (от начала движения) расстояние ме¬
жду поездом и автомобилем будет наи.мсиьшим, если |ЛВ| =>
= 200 км?
5.32*. Два самолета летят горизонтально на одной высоте
под углом 120° друг к другу с одинаковой скоростью v. В не¬
который момент один из самолетов прилетел в точку нересечення
путей, а второй в этот момент находился в а км от нее (не до¬
летев до точки пересечения). Через сколько времени после этого
момента расстояние между самолетами будет наименьшим?
5.33.	Определить, при каком диаметре круглого отверстия в
плотине секундный расход воды Q будет иметь наибольшее зна¬
чение, если Q = су h — у , где h — глубина низшей точки от¬
верстия (считать h и коэффициент с постоянными).
5.34.	Стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его
массы. При обработке бриллиант был расколот на две части.
Каковы размеры частей, если известно, что при этом произошла
максимальная потеря стоимости?
5.35.	Составляется электрическая цепь из двух параллельно
соединенных сопротивлеиий. При како.м соотношении между эти¬
ми сопротивлениями сопротивление цепи минимально, если при
последовательном соединении сопротивлений оно равно /??
6.36*. Гонцу нужно добраться из пункта А, находящегося на
одном берегу реки, в пункт В, находящийся на другом берегу.
Зная, что скорость движения по берегу в к раз больше скоро¬
сти движения по воде, определить, под каким углом а гоиец
должен пересечь реку, для того чтобы достичь пункта G в крат¬
чайшее время. Ширина реки равна h, расстояние между пунк¬
тами А и В (вдоль берега) — d.
5.37*. Точки Л и В расположены в различных оптических
средах, отделенных одна от другой прямой линией. Скорость
распространения света в первой среде равна Ui, а во второй —
Vi. Пользуясь принципом Ферма, согласно которому световой
луч распространяется вдоль той кривой АМВ, для прохождения
которой требуется минимум времени, вывести закон преломления
светового луча.
5.38*. Пользуясь принципом Ферма, вывести закон отраже¬
ния светового луча от плоскости в однородной среде.

220
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕВ ПРИМЕНЕНИЯ
5.39.	Если в электрической цени, имеющей сопротивление R,
течет ток I, то количество тепла, выделяющегося в единицу вре¬
мени, пропорционально l^R, Определить, как следует разветвить
ток / на токи /) и /а при помощи двух проводов с сопротивле¬
ниями Ri и Ri, чтобы выделение тепла было наименьшим.
5.40.	Прямоугольный участок площадью 9000 необходимо
огородить забором, две противоположные стороны которого ка¬
менные, а другие — деревянные. Один метр деревянного забора
стоит 10 р., а каменного —25 р. Какое наименьшее количество
денег может быть выделено по смете на строительство этого
забора? *
5.41*. Требуется построить некоторое количество одинаковых
жилых домов с общей площадью 40 000 м^. Затраты на построй¬
ку одного дома складываются из стоимости фундамента, про¬
порциональной корню квадратному нз величины жилой площади
дома, и стоимости наземной части, пропорциональной кубу корня
квадратного нз величины жилой площади. Строительство дома
на 1000 м^ обходится в 184,8 тыс. р., причем в этом случае
стоимость наземной части составляет 32 % стоимости фундамен¬
та. Определить, какое количество домов нужно построить, чтобы
стоимость затрат была наименьшей, и найти эту стоимость.
При решении некоторых задач вместо нахождения наиболь¬
шего (наименьшего) значения величины, указанной в формули¬
ровке задачи, удобнее искать наибольшее (наименьшее) значение
другой величины, представляющей монотонную функцию от
первой.
6.42*. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой
5,6	м. На каком расстоянии от колонны должен стоять человек
ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наи¬
большим углом?
5.43*. По прямолинейному шоссе едет экскурсионный авто¬
бус. В стороне от шоссе расположен дворец, от парадного входа
которого идет дорога перпендикулярно шоссе. На каком расстоя-
вин от точки пересечения этих дорог должен остановиться авто¬
бус, чтобы экскурсанты могли лучше рассмотреть из автобуса
фасад дворца, если длина» дворца—2а, фасад расположен под
углом 6(У относительно шоссе и расстояние от парадного входа
(который является центром симметрии дворца) до шоссе рав¬
но Ь7
5.44*. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной площадке,
должен быть сдвинут с места приложенной силой. Сила трения
пропорциональна силе, прижимающей тело к плоскости, и на¬
правлена против двигающей силы; коэффициент пропорциоиаль-
достн (коэффициент трения) равен к. Под каким углом а к го-

5 5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
221
ризопту надо приложить силу, чтобы величина ее оказалась
наименьшей? Определить наименьшую величину сдвигающей
силы.
6.45*. На наклонной плоскости лежит груз весом Р. На вер¬
шине наклонной плоскости расположен блок, через который пе¬
рекинута веревка, привязанная одним концом к грузу, а дру¬
гим—к гире весом р{р<Р). При каком угле а груз будет
удержан на наклонной плоскости гирей наименьшего веса, если
коэффициент трения равен Л и а е [arctg k; я/2]?
5.46.	Рычаг второго рода имеет точку опоры в Л, а в точ¬
ке В {АВ = а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага
равен р. Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р урав¬
новешивался наименьшей силой? (Момент уравновешивающей
силы должен быть равен сумме моментов груза Р и рычага)
Иногда задачи, сформулированные как задачи на наибольшее
и наименьшее значения, допускают более простые решения, осно¬
ванные на геометрических соображениях.
Пример 5.4. Русла двух рек (в пределах некоторой обла¬
сти) представляют параболу у = х* и прямую х — у — 2 = 0,
Требуется соединить эти реки прямолинейным каналом наимень¬
шей длины. Через какие точки его провести?
Решение. Геометрическое место точек, паходящихся на
расстоянии d от прямой линии, представляет собой две прямые,
параллельные данной, проведенные на этом расстоянии по обе
стороны от нес. Точки, лежащие внутри образованной таким об¬
разом полосы, находятся от данной прямой на расстоянии, мень¬
шем d, а вне полосы — на расстоянии, большем d. Если прямая
не пересекает параболу, то, увеличивая ширину полосы, мы в
конце концов коснемся параболы. Полученная точка касания бу¬
дет точкой параболы, находящейся ближе всего к прямой. Следо¬
вательно, для нахождения этой точки достаточно найти коорди¬
наты точки касания той касательной, которая параллельна данной
прямой. Из условия параллельности (см. § 6) имеем
2х=1«>х==1/2 и у = 1/4.
Для того чтобы найти точку на прямой (второй конец канала),
запишем уравнение прямой, перпендикулярной прямой
X —у —2 = 0 и переходящей через точку (1/2, 1/4):
р — 1/4 = — (х — 1/2), или у = —х-ЬЗ/4-
Решая систему уравнений	*
у = — X Ч- 3/4,
у = X — 2, '
получаем х = 11/8, у = —5/8.

222
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Ответ, Координаты концов канала: (1/2, 1/4) и (11/8,
-Б/8).
5,47,	Прямая I проходит через точки (3, 0) и (О, 4), Точка Д
лежит на параболе у = 2х — х*. Найти расстояние р от точки А
до прямой в случае, когда А совпадает с началом координат, и
указать координаты точки Д(дго, уо) на параболе, при которых
расстояние от нее до прямой будет наименьшим.
5.48*. Четыре точки Д, S, С, D в указанном порядке лежат
на параболе р = ах* +	+ с. Координаты А, В я D известны:
А (—2, 3), В (—1, 1), D (2, 7). Определить координаты С в
случае, коша площадь четырехугольника ABCD наибольшая.
5.49.	На координатной плоскости даны точки Д (—2, 0) и
В (О, 4) и прямая /: у = х. Найти периметр треугольника ДЛ1в,
где М — точка с абсциссой 3, лежащая на прямой I. При каком
положении точки Л1 на прямой I пери.метр треугольника АМВ
наименьший?
5.60*. Дан угол ^АОВ и внутри него точка М. Как следует
провести через точку М прямую, чтобы она отсекла от угла тре*
угольник наименьшей площади?
5.51.	Дан угол ZAOB и внутри него точка М. Как построить
треугольник наименьшего периметра, чтобы о.диа его вершина
была в точке М, вторая —на стороне АО и третья — на стороне
ВО данного угла?
5.52.	Рассматриваются такие всевозможные трапеции, впи¬
санные в окружность радиуса /?, что центр окружности лежит
внутри трапеции, а одно из осиоваиий равно R V3. Найти боко¬
вую сторону той нэ трапеций, которая имеет наибольшую пло¬
щадь.
5.53.	Дана правильная треугольная пирамида DABC (О—*
вершина, ДВС —основание). Известно, что |ДВ| = а, |ДО| ^ Ь.
Пирамиду пересекает плоскость а, параллельная ребрам AD и
ВС.	На каком расстоянии от ребра AD должна быть прове¬
дена плоскость а, чтобы площадь сечения была наибольшей?
5.54.	Рассматриваются всевозможные прямоугольные парал¬
лелепипеды, у которых основанняин являются квадраты, а каж¬
дая нэ боковых граней имеет периметр 6 си. Найти среди них
параллелепипед е наибольшим объемов и вычислить величину
втого объема.
5.55.	В круговой сектор радиуса R с прямым центральным
углом вписан прямоугольник так, что одна его вершина совпа¬
дает с центром круга, а противоположная вершина лежит на
окружности. Найти длины сторон прямоугольника, имеющего
наибольшую площадь.

s в. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
223
6.бв. Хорда АВ равна радиусу окружности. Хорда CD, па¬
раллельная АВ, проведена так, что площадь четырехугольника
ABCD максимальна. Найти угловую величину ыеньшей из дуг,
стягиваемых хордой CD.
6.67*. В данный круговой сектор радиуса R вписать прямо¬
угольник наибольшей площади (угол сектора равен а). Вычис¬
лить значение этой площади.
§ 6. Задачи на геометрический смысл производной
Пусть функция y>»f(x) дифференцируема в точке х« о
^0 = /.(хо). Прямая, определяемая уравнением
tf =“ tfo + /' (Же) (ж — Жо),
О)
называется касательной к графику функцив у = f(x) в точке
Л1(лго, Уо). Записывая уравнение (1) в виде
у — Уа = Г (Жо) (ж — Жо),	(2)
можно заключить, что из всех прямых. про.ходящих через точку
М(ж«, Уо), касательной к графику функции f(x) будет та пря¬
мая, угловой коэффициент которой равен f'(Xo) (угловой коэф¬
фициент есть тангенс угла наклона прямой к положительному
направлению осп Ох).
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, на-
аывается нормалью к графику функции у f(x) в этой точке.
Уравнение нормали имеет вид
(у — Уо) Г (жо) + (ж — хо) ==» о,	(3)
Под углом между графиками функций
y^^f^(x) и y^ft(x)
в вх общей точке Л1(хо, у о) понимается угол а между касателы<
иымн к этим графикам в точке М{хо, уо). Тангенс угла вычис¬
ляется по формуле
tgo =
~~f\ i^o)
1+/, (Жо))2(*о)
(4)
Если выражение I -f (Xq) (ж©) обращается в нуль, то кри¬
вые пересекаются под прямым углом.
Для того чтобы получить уравнение касательной (нормали)
к графику функции р » /(х) в точке, абсцисса которой известна
в равна Жо, достаточно найти значения /'(жо) в y.s[(xo)^ в под-
Л
л

224
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ВВ ПРИМЕНЕНИЯ
ставить их в уравнение (1) (соответственно в (3)). Координаты
точки на графике функции, в которой требуется провести каса¬
тельную, определяются из условий задачи.
Условия параллельности и перпендикуляр*
иостн двух прямых. Пусть прямые заданы уравнениями
у =1 kiX-\-bi и у ~ ktx-\- bt. Для того чтобы эти прямые были
параллельны, необходимо и достаточно, чтобы ki = kt. Для того
чтобы эти прямые были перпендикулярны, необходимо и доста¬
точно, чтобы kikt = —1.
Пример 6.1. На кривой у =	—7х + 3 найти точку, в
которой'касательная параллельна прямой jr=—ix-|-3.
Решение. Из условия параллельности двух прямых сле¬
дует, что угловой коэффициент касательной в искомой точке дол¬
жен быть равен (—5) Тогда абсциссу точки касания найдем, ис¬
пользуя равенство
у' (*) = 2х - 7 = -6 =»■ X = 1.
а ординату — подстановкой х=1 в уравнение кривой у(1) s'
Ответ. Искомая точка имеет координаты (1, —3).
6.1.	На кривой у = х’ — Зх-|-2 найти точки, в которых ка¬
сательная параллельна прямой у = Зх.
6.2.	Записать уравнение горизонтальной касательной к гра¬
фику функции у 6* + е~*.
6.3.	Записать уравнение касательной к графику функции
у = соз(2х —я/3) -1-2 в точке с абсциссой хо = я/2.
6.4.	Какой угол образует с осью абсцисс касательная к па¬
раболе у = х*-Ь4х—17, проведенная в точке М (5/2, —3/4)?
Записать уравнение этой касательной.
3	3
6.6*. Известно, что прямая у = —является каса¬
тельной к графику функции / (х) = у х^ — х. Найти координаты
точки касания.
6.6.	Показать, что координаты точки пересечения касатель¬
ных к кривой у = \ — хЧа*, проведенных через точки с коорди¬
натами у = 0. не зависят от параметра а. Найти координаты
точки пересечения.	*
6.7.	Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями
координат и касательной к графику функции у = х/(2х—1) в
точке с абсциссой Хо = 1.
6.8.	Найти уравнение общей касательной к кривым
у = X*-Ь 4х-1-8, y=x*-i-8x-l-4.

§ в. геометрический смысл производной
22S
6.9.	При каком значении хо ^ [О, л/2] касательные к графи¬
ку функции f (х) sin X -I- sin 2х D точках с абсциссами хо н
Хо -1- п/2 параллельны?
6.10.	Найти все значения хо, при которых касательные к гра¬
фикам функций
у (х) S 3 cos бх, у (х) = 5 cos Зх -j- 2
в точках с абсциссой хо параллельны.
6.11.	Найти координаты точек пересечения с осью Ох тех
касательных к графику функции
x-f 1
х-3 ’
которые образуют с осью Ох угол Зл/4.
6.12*. На графике функции у(х) = х’ —Зх* —7х-Ь6 найти
все точки, в каждой из которых касательные к этому графику
отсекают от положительной полуоси Ох вдвое меньший отрезок,
чем от отрицательной полуоси Оу. Определить длины отсекаемых
отрезков.
6.13*. Хорда параболы у = —а*х*-f-5ох — 4 касается кри¬
вой у = 1/(1 — х) в точке X =• 2 и делится этой точкой пополам.
Найти а.
6.14.	Записать 'уравнение касательной к графику функщт
f(x)s 1х»-|хЦ в точке с абсциссой х = —2.
6.15. Две касательные к графику функции у =• л/\7 (х*1)
пересекаются под прямым углом в некоторой точке оси Оу, За¬
писать уравнения касательных.
Пример 1.2. Определить, под каким углом синусоида
1
У
л/з
sin Зх
пересекает ось абсцисс в начале координат.
Решение. Искомый угол по определению равен углу на¬
клона касательной к оси абсцисс, проведенной к синусоиде в
начале координат. Таким образом, тангенс искомого угла сов¬
падает с угловым коэффициентом этой касательной и равен зна¬
чению производной функции у => —^ sin Зх, вычисленному при
0.	Так как
л/з
—— cos Зх,
уз
то 1уа
3
V3
Ответ, а
и, следовательно, а=>-^.
= л/3.
8	А. г. Цыпкан, А, И, ПннскнВ

226
ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕВ ПРИМЕНЕНИЯ
6.16.	Показать, что касате.чьные, провсденвыо к графику
функции
х — 4
а точках пересечения его с осями координат, параллельны,
6.17.	В каких точках касательная к графику функции
X» 5х*
/ W'
+ 7*-4
3	2
образует с осью Ох угол 45*?
6.18.	Под каким углом к оси Ох иаклонсиа касательная,
проведенная к кривой у = 2x’ — х в точке пересечения этой кри^
вой с осью Оу}
6.19**. Показать, что кривые, задаваемые уравнениями
ху — а», x^ — y^=‘ 6*,
пересекаются под прямым углом.
6.20*. Показать, что семейства линий, задаваемых уравне¬
ниями
у = ах, у^ -t- X» = с»,
при любых а и с пересекаются под прямым углом.
В случае, когда требуется найти уравнение касательной к
графику функции у = f{x), проходящей через заданную точку
^(А|, Pi), не принадлежащую графику этой функции, абсциссу
Xt и ординату у» точки касания можно определить нэ системы
уравнений
Pi — Ро = Г (Jfo) (Ж| — Д^о).
/ (Jto) = Ро.
Пример 6.3. В какой точке кривой
Р = X» — 5х + 6	(•)
следует провести касательную для того, чтобы последняя про¬
ходила через точку Mi(l, 1)?
Решение. Составим систему (5):
1 — Ро =• (2-*о — 5)(1 — Хо),
Po = Jfo—бХо + 6.
Подставляя ро из второго уравнения в первое, получаем квад¬
ратное уравнение
*0 — 2xq = 0.
Отсюда искомые точки имеют координаты (2, 0) и (0, 6).
Ответ, (2, 0), (0, 6).
(5)

§ в. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОЙЗЙОДНОЙ 227
G.2I. В какой точке кривой
р = ох* + Лх + с
нужно провести касательную для того, чтобы касательная прохо¬
дила через начало координат? Исследовать, при каких значениях
а, Ь и с задача имеет решение.
6.22,	В какой точке кривой
у = X* — 5х + 6
нужно провести касательную, чтобы она проходила через точку
М(о, 6)? Исследовать, при каких значениях а и Ь задача имеет
решение.
6.23.	Записать уравнение касательной к кривой
У = (х+ 1)/х,
если известно, что касательная проходит через точку М(а, Ь).
Сколько существует решений в завпскмостн от В1я5ора точки?
Найти эти решения.
6.24*. Записать уравнение прямой, про.тодяшей через точку
с координатами (1/2, 2), касающейся графика
п пересекающей в двух точках график функции
y(x) = ^JT^.
6.25.	В какой точке Ма кривой у — д/2 х^'~ касательная
перпендикулярна прямой 4х -f- 3t/	2 = О?
Известно, что равенство нулю дискриминанта квадратного
уравнения означает, что соответствующая парабола касается оси
абсцисс (прямой у = 0). Аналогичные соображения могут быть
использованы при нахождении уравнений касательных.
Пример 6.4. Найти те касательные к окружности
х^ + у^ = 25,
которые параллельны прямой
2х-у + 1 =0.
Решение. Все прямые, параллельные прямой 2<е — у-\-
•Ь 1 = О, описываются уравнением вида у = 2х + с. Условие пе¬
ресечения данной прямой и окружности состоит в совместпоста
следующей спстеыы:
2х + с =- у,
6»

■ 228	ГЛ. 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Подставив у из второго уравнения в первое, иыееи *
л» + (2а: + с)® = 25.
Условие существования единственного решения заключается в
том, что дискриминант последнего уравнения равен нулю. Из
этого условия получаем для с следующие возможные значения!
С| •= 5 Vs и cj = —5 ^/Ь.
Ответ. р=>2жН-бVs. у = 2х — 5V^.
6.26*. Под каким углом видна окружность
X»+!/»== 16
из точки (8, 0)?
6.27.	Точка М двигалась по окружности
(*-4)»+(г^-8)* = 20.
потом сорвалась с нее и, двигаясь по касательной к окружно¬
сти, пересекла ось Ох в точке (—2, 0) Определить точку окруж¬
ности, с которой сорвалась движущаяся точка.
6.28.	Найти условие, при котором прямая у е= 6х + 6 ка¬
сается параболы (/* = 2рх.
6.29*. Найти геометрическое место точек, из которыж пара¬
бола (/ а X* видна под прямым углом.
6.30.	Найти угол между касательными к графику функция
у =2 X*. проходящими через точку с координатами (0, —1).
6.31*. Прямой угол перемешается так, что стороны его все
X® у*
время касаются кривой	•= 1. Найти геометрическое ме¬
сто вершин угла.
6.32.	Докажите, что две касательные к параболе у «= х*, про-
1
веденные из произвольной точки прямой у = —взаимно пер¬
пендикулярны.
6.33.	Через произвольную точку оси абсцисс проведены две
прямые, одна из которых касается параболы у » х* (и не сов¬
падает с осью абсцисс), а другая проходит через точку ^0,
Докажите, что прямые перпендикулярны.
6.34.	Докажите, что любая касательная к гиперболе
образует равные по величине углы с двумя прямыми., одна из
которых проходит через точку касания и точку (V^i V^)> а
другая —через точку касания и точку (—V^» — V2)-

5 7. ПРИЛОЖЕНИЯ производной в механике
229
в.35. Докажите, что отрезок любой касательной к гиперболе
у =	заключенной	между	осями	координат,	делится	точкой
касания пополам.
6.38.	Докажите, что площадь треугольника, ограниченного
осями	координат	н	произвольной	касательной	к	гиперболе
=	равна 2.
6.37.	При каком значешш параметра а парабола у = ах®
касается кривой у = 1пх.
6.38.	Найти координаты точки, лежащей на графике функ1щи
9 = 1+созх при О^х^п н наименее удаленной от прямой
X Vs 4" 2у 4* 4 — О,
§ 7. Приложения производной в задачах механики
Если путь, пройденный телом к моменту времени /, опреде¬
ляется функцией
г/ = /(0.	0)
то скорость движения V в момент времени t равна производной
функции /(/):
V = /'(0.	(2)
а ускорение — производной скорости:
в = 1Г (ОГ.
(i)
Пример 7.1. Человек приближается со скоростью Ь к под¬
ножию башни высотой h. Какова скорость его приближения к
вершине башни, когда он находнтся на расстоянии I от осно¬
вания?.	^
Решение. Обозначим х(<) — расстояние от человека до
подножия башнв в момент времени 1. Тогда расстояние y(t) от
человека до вершины башни в момент времени / вычисляется по
формуле^ (О = Va* -f- ** (О • Днф(!>еренц||руя у[!) по f, получаем
хЩх'Ц)
у' (•) ■
VA*-f х®(0
я, учитывая, что х'{1) — Ь, о расстояние от человека до подно¬
жия башни —7, имеем
Ы
Va* + i®' ’
Ответ. V‘
Ы
Va* /* ’

гзо
ГЛ. в. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
НаАдп закон движеиня, вычислить скорость движения в сле¬
дующих задачах.
7.1*. Нижний конец лестницы длиной 5 и скользит по полу
в направленш1 от степы, у которой она стоит. Какова скорость
верхнего конца лестницы в тот момент, ког.та нижний конец на¬
ходится на расстоянии 3 м от стены, если скорость нижнего
конца постоянна и равна 2 м/с?
7.2.	Человек, приближающийся к вертикальной стене, осве¬
щен сзади фонарем, находящимся на расстоянии I от стены.
Скорость .человека равна о. С какой скоростью увеличивается
его тень, если рост человека Л?
7.3.	Точка движется по гиперболе у = 10,'дг так, что се абс¬
цисса растет равномерно со скоростью с.тиннцз в секунду. С ка¬
кой скоростью изменяется се ордината, когда точка проходит
положение (5, 2)?
7.4*. По оси Ох движутся две точки, имеющие законы дви¬
жения
ж,= 100 4-5/,	=	/>0.
Какова относительная скорость этих точек в момент встречи {х
дается в сантиметрах, t — в секундах)?
7.5**. Колесо радиуса R катится без скольжения по прямой.
Центр круга движется со скоростью и. В обод колеса вбит
гвоздь. Найти скорость перемещения гвоздя в момент времени /.
7.6*. Точка движется с угловой скоростью w по окружности
радиуса R с центром в начале координат. Какую скорость имеет
изменение абсциссы точки при прохождении сю оси Оде?
7.7*. Тело брошено под углом а к горизонту со скоростью о.
Какова максимальная высота подъема тела?
7.3.	Угол а (в радианах), на который повернется колесо за
/ секунд, равен а = 31* — 12/+ 33, Найти угловую скорость ко¬
леса в момент < = 4 с и момент, когда колесо остановится.
7.9*. Два тела движутся под углом 60° друг к другу; урав-
пспие движения первого тела
S,	(/) = /* - 2/,
а уравнение движения второго тела
Sj (/) = 2/.
В момент времени / = 0 тела находились п о.тиой точке. С ка¬
кой скоростью увеличивается расстояние между телами?
7.10.	Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 км/ч.
В центре окружности стоит фонарь, по касательной к окружно-

§ 7. ПРИЛОЖЕНИЯ производной В МЕХАНИКЕ
231
стн в точке, откуда лошадь начинает свой бег, расположен за¬
бор. С какой скоростью будет перемешаться тень лошади вдоль
забора в момент, когда лошадь пробежит 1/8 окружности?
7.11**. Ракета движется прямолинейно по закону S(t) =
= Р«/ + а/*/2. Через время /> после начала движения от нее
отделяется некоторый предмет, который продолжает двигаться
по инерции. В какой момент времени t и какую новую скорость
V надо прядать предмету, чтобы, двигаясь дальше равномерно,
он догнал ракету в момент 1г, имея при этом одинаковую с ней
скорость? Приведите геометрическую интерпретацию задачи. Ка¬
ков закон движения этого предмета?
7.12*. Ракета запускается по прямой из некоторой точки.
Закон движения ракеты 5 = /*/2 (/ ^ 0). В какой момент вре¬
мени /о, считая от начала движения, следует отключить двига¬
тели, чтобы ракета, двигаясь дальше по инерции с набранной
скоростью, оказалась в момент /i на расстоянии 5| от перво¬
начальной точки?

ГЛАВА 10
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 1. Неопределенный интеграл
Дифференцируемая функция F{x) называется первообразной
для функции f(x) яа данном промежутке, если для всех значе¬
ний X из этого промежутка справедливо равенство
f'(x) = f(x).	(I)
Если на некотором промежутке F(x) — первообразная для f(x),
то выражение
^f(x)dx=F(x) + C,	(2)
где С — произвольная постоянная (константа интегрирования),
называется неопределенным интегралом функции f(x) на этом
промежутке.
Основные правила
ннтегрвроваввя:
^af{x)dx=‘a^f (х) dx,
(3)
где а — постоянная величина;
5 (/| (JC) ± и (Jt)l dx =
^ ft {x) dx ±^ft (x) dx;
(4)
\f{ax+b) dx =
‘ —F (ax+b) + C
a
(5)
(а о и Ь — постоянные).
Таблица неопределенных интегралов:
,л + 1
х" dx =
dx
п Ч- 1
-t*
п Ф —I;
In |х l-f С;
(6)
(7)
(8)

§ 1. НЕОПРВДВЛВННЫП ИНТЕГРАЛ
^ в* </дс “• е* + С;
^ sin X dx =■ — cos X + С;
^ cos X dx ■— sin X + С;
s
dx
cos* X
dx
sin* X
> — ctg X + C;
5^Т-'"К| + <^'
St^-'”I4t+t)|+«=
dx
cos X
dx
X» + a’
5	=■ -r -T + ^«	<» ¥• 0;
[--JL.
J _
i arcsin — + C, a 0.
233
(9)
(10)
(Ч)
(12)
(13)
(14)
(13)
(16)
Вычисление неопределенного интеграла (нахождение перво¬
образной) данной функции осуществляется сведбнием с помощью
правил интегрирования неопределенного интеграла от данной
функции к табличному интегралу.
Пример 1.1. Найти все первообразные функции
^х'" -- х")*
/(А)=-
л/j
где тип — целые числа.
Решение. Преобразуем /(х) к виду	..
f (X) - х^^-- 2х'"+"-‘/* +
Используя правила интегрирования (3), (4) и формулу (6),
получим
J (x^-t/2 _ 2х'"+«-'е + х2'*-'«) dx =	^
	?	„пг+л+1/2 1	* jJn+l/2 . Q ,
m + а + 1/2	^ 2« + 1/2	^
2х^ Ух
Ответ.
4х”И'"Ух 2х'^" Ух
4т + 1 2т 2rt + 1	4« + I
2х^^ УТ 4х'”'*'" Ух~ 2х^"Ух
+ С.
4т 1
2т Ч- 2п Ч-1 4я Ч-1

234
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
Применяя основные правила интегрирования я таблицу нс'
определенных интегралов, наАти первообразные следующих фуик*
онй:
1.3*. f (x) — x V*
1.2. fix).
1.4*. Пх)ш-
X
Vl — x/2’
1Л*. /(x)«yVi + JC-
Упростив подынтегральное выражевяе, найти следующие не¬
определенные интегралы;
,.7. С (V7+
г W4-7(V7-^)'_
W''+i(Vi-''0-T(Vbvo
к	X>« - x-'« )
1.11.	U:^—« V(a^_
JV.2 2Vj^/VVjf + l л/x-lj
1.12.	C V'-^^-lY	1-^	^
J X vVl — x*+x—1
. ViT
Vi +•
-л/Т^)
dx.
1.1S.5
,14 Cf x-«-64	X»	4x42x4-1Л
• J U + 2x-‘ + X-* 4 - 4/x + I/x* “ I - 2x j
(2-x»-2Vl-x’>
1.15.5
1.15.5
•4/x+I/x*
(x^"* — 9x^") (х*!"'")/'" _ 3xI*“"I^")
(2~x-b4x«+^J^*^+^)
dx.
2x + 1 -b 2x/(x - 1)
dx.

5 1. неопределенный интеграл
Vi -X* +1
23S
dx.
U8.
.) Vl - ж + i/vn-x
(2-Vr=2):(Yi + l-^)
x< + 5x«+ I5x —9 , 9
,9 f	fl+3x^
] -(15—4
dx.
■4x + 3x»— 12)/x5
• dx.
I so A^x + V^—уТ^хУг —X»'
Vl -.
1.21*
cos X sin — X dx.
1.22. \ — 4 sin sin X sin -У* x dx.
1.23.	^ 2 V2 cos a sin -j- 2a^ da.
1.24.	^ 2 sin* (Зя — 2x) cos* (Зя + 2x) dx.
1.26.	^ cfg 5* — 2ж^ cos 4x dx.
S h‘(t+t) - (t+t)]
1.27.	^ (cos* (45* - x) cos* (60° + x) — cos 75° sin (75°-2x)] dx.
Ssin 2x + sin 6x — sin 3x
cos
‘•S
1.28.
1.29.
1.30.
cos X + 1 — 2 sin* 2x
2x — 1
2 ctg 2x
cos 4x + 1
8x ctg 4xJ dx.
ctg X — tg X
1.31. ^ j^sin a sin (x — a) -|- sin*	dx,
. f г	5 ' +	5«.
J 1 COS (2a — 2я) ctg la —if ** J	J
. ^ Ig* X dx.
U4. ^cfg*xdx.
1.32.
1.33.

838	ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 2. Задачи на свойства первообразных
Для функции f{x) первообразной, график которой проходит
через точку М(дто. уо), будет функция
0(x) = f(x) + C,	(1)
где F(x) — произвольная первообразная f{x), а постоянная С
удовлетворяет уравнению
(.*о) + С ™ Уо-	(2)
Пример 2.1. Для функции f{x) =cos^x найти ту перво*
образную, график которой проходит через точку М(пЦ, я/4),
Решение. Вычислим неопределенный интеграл от функции
= cos* х\
^ cos* дс rfx = ^ —
Для того чтобы из всех найденных первообразных выбрать иско*
ыую, составим, согласно (2), уравнение
1	л
2	’ 2
sin я , ^ я
__ + с-—,
корнем которого является С = 0.
л	г / \	1	, sin 2х
Ответ. F {х) = -^ х-\		—.
2.1.	Найти	уравнение	кривой,	проходящей	через	точку	А
(1, 2), у которой тангенс угла наклона касательной в каждой
точке в три раза больше квадрата абсциссы этой точки.
2.2.	Найти	уравнение	кривой,	проходящей	через	точку	А
(1, 1), тангенс угла наклона которой в каждой точке равен
удвоенном абсциссе этой точки.
2.3.	Найти	уравнение	кривой,	проходящей	через	точку	А
(0, —1), если	все ее касательные параллельны прямой у
«= 5х - 3.
Если графики дифференцируемых функций у = ft^x) н
■=/«(•*) касаются друг друга в точке М(хо, уо), то выполня¬
ются соотношения
fi(*c) = /»(*fo).	(3)
fU^o)=’fU*o)^	(4)
Пример 2.2. Найти все первообразные функции у = х 2,
касающиеся кривой у = х*.
Решение. Так как функция у=>х + 2 является произ¬
водной любой своей первообразной, то, согласно (4), уравнение

§ 2. ЗАДАЧИ НА СВОПСТВА ПЕРВООБРАЗНЫХ
23Г
ДЛЯ отыскания дбсциссы точки касания имеет вид
2х = X + 2.
Корень этого уравнения будет х = 2. Значение функции у = х*
в точке X = 2 равно 4. Следовательно, из всех первообразных
функций у = X + 2, т. е. функций f (х) х*-\-2х + С, требу¬
ется найти ту, график которой проходит через точку А1(2, 4),
Постоянную С найдем из условия /(2) = -^-4 + 2- 2-(-С== 4=>
^С=-2.
Ответ, f (х) = X* + 2х — 2.
2.4.	Найти ту первообразную функции /(х) = х, график ко¬
торой касается прямой у = х — 1.
2.5.	Найти все первообразные функции /|(х) = х*, графики
которых касаются параболы /*(х) = х* 1.
2.6.	Найти все первообразные функции /(х) =: 3/х, графики
которых касаются кривой у = х*.
Если тело движется со скоростью, изменяющейся по закону
о = /(0.	(5)
то зависимость пути, пройденного телом, от времени t представ¬
ляется в виде
S(0=F«) + C,	(6)
где F(t) —некоторая первообразная функции /(/), а константа С
находится из дополнительных условий.
Пример 2.3. Тело движется прямолинейно со скоростью,
изменяющейся по закону
0	— 2/ м/с.	,	*■	,
Найти закон движения тела, если известно, что за первые 2 с
оно прошло 15 м. '
Решение. Множество всех первообразных функции о(/} <-в
— 2/ будет S(/)=/*-t-C. Согласно дополнительному условию
имеем
•	S(2)=2*-f С—15,
откуда получаем С — 11. Таким образом, закон движения тела
будет
5(/) = /*-f 11.
2.7.	Материальная точка движется прямолинейно со ско¬
ростью v(/) — sln/coB'/ м/с. Найти уравнение движения точки,
если при / — л/3 пройденный путь составляет 17/8 м.

233
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
2.8.	Первый лешеход вышел вз пункта А со скоростью, взие>
пяющейся 00 закону v (I) = 2/, а второй в тот же иоиент вышел
из пункта В, отстоящего от Л на 4 км, вслед за первым с по¬
стоянной скоростью 2р км/ч. При каких значениях р второй пе¬
шеход догонит первого? Найти значение р, при котором пеше¬
ходы поравняются только один раз.
§ 3. Определенный интеграл
Определенным интегралом на промежутке [а; Ь] от непре¬
рывной функции f(x) называется приращение F(b)—F{a) лю¬
бой первообразной F этой функции па промежутке [а; Ь] и обо¬
значается
/ (х) dxi= f .{б) — F (а) (формула Ньютона — Лейбница), (I)
Здесь о, Ь —нижний и верхний пределы интегрирования соответ¬
ственно; /(х)—подынтегральная функция. Разность F(b)—-F(a),
стоящая в правой части формулы (1), иногда обозначается
F (X) 1^.
Для того чтобы вычислить определенный интеграл от функ¬
ции f(x) на промежутке .[а; 6], необходимо найти любую перво¬
образную функции и вычислить разность ее значений в правом
и левом концах промежутка. [а; 2)]. Вычисление определенного
интеграла функции /(х) на промежутке [а; 6J называется ин¬
тегрированием данной функции.
Основные правила интегрирования:
ь	ь	ь
^ [/ (а) + g (*)1	= ^ / (х) dx -Ь ^ £Г (X) dxi
а	а	а
ь	ь
(x)dx’=k^f (х) dx;
b	kb+p
^f(kx + p)dx^-L ^
k Ф 0;
(2)
(3)
(4)
ka+p
V	V	u
^/(x)dx =^/(x)dx + (x)dx, ce^a-.b],	<5)

5 3. определенный интеграл
Пример 3.1. Вычислить определенный интеграл
!»в
ftl2
COS* X dXt
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде
С05* X =>	~ Т -Ь 2 cos 2.г + cos® 2.г) =
= +2cos2x+ > +	^ cos 2х -Ь j соз 4х.
Первообразной функции cos*x будет функция
f (х) ■= -g- X + -^ sin 2х + ^ sin 4х,
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона — Лейб¬
ница:
т
|Я/2.	3
^ соз* X dx =3 X -Ь sin 2х -Ь ^ sin 4х
16
л.
Ответ. Зл/16.
Вычлслнть интегралы;
3.1.
п/2
3.2.	^ соз X sin X dx.
3.3.5
cos X sin Зх dx.
Пример 3.2. Вычислить интеграл
-13
5
• dx.
Р е ш с и в е. Перепишем интеграл в виде
-1S
Воснользовавтись формулой (4) при к = --1/3, р=2, пахо-
ДИМ нижний и верхннй пределы иптегрирования в правой частя

240	ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
формулы (4):
+ p =	3 + 2=1
kb
+ р = (-18) (-|)+2 = 8
соответствевно. Обозначая 2 —s- = ^ в согласии с формулой (4)^
получаем
-18
5
Ответ. —33,75.
Вычислить интегралы:
« 5
dx
-8
5/3
V5 + х/2 '
. -36 + ^ = -33,75,
хах
-4
2
V2 - х/2 ‘
dx
.6*. \ (л - 2) л/'Зл - I dx. 3.7*. \ —;==			 .
J	J	л/1Г^1 + л/1 + *
1/3	,	Y 1 » I
9	7/3
2	о
я/4	I
3.10. \ (sin 2/— COS 2/)*Л.	3.11. ^
о	о
П/2	я/4
8.12. ^ sin X cos Зл </л.	3.13. ^ (tg л + cfg х)~^ dx.
о	я/8
3.14. 5 [cos» (I я - А) .-. cos» (4 « + т)]
Я/З
“■ И'-т
я/6
1
sin-* (2л + Зя/2)
dx.
Если подынтегральная функция представляет собой выражс>
' вие, содержащее переиеиную под знаком абсолютной величины.

§ 3. определенный интеграл
241
то вычисление определенного интеграла с данными пределами
интегрирования можно свести к вычнслеиню суммы определенных
интегралов с подынтегральными функциями, уже не содержа*
щими переменную под знаком абсолютной величины.
Пример 3.3. Вычислить
б
J(U-3[ + |l-xI)tfx.
Решение. Подынтегральную функцию можно представить,
в виде
( 4-2л, л<1.
= ^ 2,	1<л<3,
I	2л — 4, л ^ 3.
Воспользовавшись свойством (5) определенного интеграла, полу*
чаем
3	5
J(| л-31 + 11-л1)</л + ^(1л-3|+|1-л|)йл =
1	з"*
3	б
= ^2dx+ J (2л-4)</л=2л|?+(л»-4л)|5*=4 + 8 = 12.
1 8
Ответ. 12.	. ^
Вычислить интегралы:
1	2
8.16.	^	- 2л + 1 dx. 3.17. ^ л/х* - 2л + 1 dx.
-J	и
.	я/2	я
3.18.	^ Vr — cos* л с1л. 8.19. ^ Vl ~ sin 2л dx.
-я/4
6
3.20.	^	+ 2 УЗл - 4 + Vjt - 2 V2t - 4 ) dx.
3
3
3.21.	\ (—	* - =- -]-л/х‘ — I.T + 4^ dx,
J Wjt* + 4л + 4	J
-1/2
ЗЯ/2	8Я/2
8ЛЗ. J V1 ~ «03 2л dx. 3.24. ^ V* + «оз 2Jc dx', '
tin •	«Л	*

242	ГЛ. Ю. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 4. Интегралы с переменным верхним пределом
Интеграл с переменным верхним пределом
л,
(О
dt
(1)
— STO та оервообразиая фуикцня J{x) ][F'(;c) =Цх)), зна<>енно
которой в- точке а равно нулю.
Пример 4.1. Найти наибольшее п наименьшее значения
функции
*
U) = 5 + 1) dt
О
на промежутке [2; 3].
Решение. Найдем критические точки функции F(x). Так
как F(x) — первообразная для функции к +1, то F'(x) =»*+!;
функция F'(xj не обращается в пуль на промежутке [2; 3] и
является положительной. Следовательно, наибольшего значения
фуикцня достигает на правом конце отрезка, а наименьшего —
на левом:
3
max F(x) = f (3)-\(/+ 1)Л = (4+ ЛГ“7.5:
xet2;3|	J	\	/ 10
2
min f(je)-.F(2)=\c/+=	+ Л|*=»4.
xe|2;3)	J	V2	^lo
Найтя наибольшие в наименьшие аяаиения функций на ука-
ванных лроиежуткахз
X
4.1.	F (х) = ^ rin / Л, X е j^Ot у].
О
X
4.2.	f (Jf) =• 5 (2/ - 5) dt. X е I-1; 31.
О
X
4.3.	F (х) — 5 (/» - 5< + 6) d/, X е [0; 4).

§ 4. ИНТЕГРАЛЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 243
4.4.	Найти нанбольшие и ва1гаеньшне значения футс^Ан
(х)=
I
на промежутке
4.S.	Записать уравнения касатольпых к граф)псу функипв
Л
F (х)	^ (2/ - 5) dt
а dt.
в точках, где он пересекает ось абсцисс.
4.6.	Найти абсциссы точек пересечения графиков функц»
X	X
F, (X) = J (2/ - 5) dt.	f, (X) = 5 (2/ - 5) dt.
■f	3
4.7.	Найти точки пересечеипя графиков функций
X	X
f, (X) = 5 (2^ - 5) d/,	f,(x)=-5
2	О
4.8.	Найти ту первообразную от функцпн
X
/• (X) = J (21 - 5) dt.
3
график которой проходит через начало коорди!!ат.
4.9.	Для графика функции
X
f(x) = j2|/|df
о*
найти касательные, параллельные биссектрисе первого коорди¬
натного угла.
Пусть материальная точка движется прямолинейко со ско¬
ростью t)(0l /4 —некоторая точка на траектории дпнхчеиия ма¬
териальной точки. Если в момент врсметж t = ta расстояние
между движущейся точкой п точкой А равно Se, то в любой
момент временп t > to расстояние от движущейся точка до т\:т-
ки А вычисляется по формуле
t
5(0= Jo(x)dx-f So.
(2)

244
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
Пример 4.2. Скорость движущейся прямолинейно точки
меняется по закону =	+2< (км/ч). В момент времени
1	=» 1 ч точка находилась в 5 км от пункта А, расположенного
на траектории движении точки, На каком расстоянии от пунк<
та А окажется точка в момент < = 3 ч?
Решение. Координату точки как функцию времени пред>
ставим, согласно (I) и (2), в виде
t
^	S (/) = ^ (V* + 2х) dx
• 1
Вычислим значение S{t) при / = 3:
3
S(3) = J(Vr+20л + 5 = (^ + /*)|^ + 5=.
.2V3+9-J-1 +6 =
12i- + 2V3,
Ответ. На расстоянии ^12-^-|-2V3^
км от пункта А.
4.10.	Скорость движения тела пропорциональна квадрату
времени. Найти зависимость между пройденным расстоянием и
временем, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см,
а движение началось в момент времени t = 0.
4.11*. Сила, действующая на материальную точку, равномерно
меняется относительно пройденного пути. В начале пути она
равнялась 100 Н, а когда'точка переместилась на 10 м, сила
возросла до 600 Н. Найти функцию, определяющую зависимость
работы от пути.
4.12.	Тело движется равноускоренно, причем известно, что
скорость его к моменту 1	2 с достигла величины 4 м/с, а прой'
денный путь стал равен 3 м. Найти закон движения тела.
4.13.	При постоянном ускорении тело за первую секунду пре-*
одолело расстояние 4 м от пункта А, а за первые 3 с расстоя<
няб между ними возросло до 16 м. Найти зависимость расстоя¬
ния, пройденного телом, от времени, если известно, что при
/.KS о тело находилось в пункте А.
§ 5. Задачи на свойства интегралов
6.1.	Решить неравенство
■
dx
>0.

§ 5. ЗАДАЧИ НА СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
6.2,	Решить неравенство
X	я
VSx — 6 — X* "I"	^ ^	^
246
5.3.	Решить неравенство
Л/2
— Л — 12 — ^ da < X ^ cos 2х da.
5.4.	Найти такие числа А и В, чтобы функция вида
f(x) = A sin ЯХ+ В
удовлетворяла условиям
Г(1) = 2,
da = 4.
6.5.	Найти все числа а {а > 0), для которых
а
{ (2-4a + 3a»)da<a.
5.5.	Найти все решения уравнения
cos (а + а*) da = sin а,
принадлежащие промежутку [2; 3].
5.7.	Две точки начинают двигаться по прямой в один и тот
же момент из одного и того же места в одном направлении.
Скорости точек равны 0|(/) = ЗР м/с, Vi{() = 2/ м/с соответ¬
ственно. Через сколько секунд расстояние между ними соста¬
вит 216 м?
5.8.	Доказать, что любая первообразная нечетной непрерыв¬
ной функции, определенной на промежутке [—о; о], есть функ¬
ция четная.
5.9.	Доказать, что четная непрерывная функция, определен¬
ная на промежутке [—а; о], имеет на этом промежутке по край¬
ней мере одну нечетную первообразную.
5.10.	Справедливо ли следующее утверждение: для того что¬
бы любая первообразная непрерывной функции f(x) была четной
на промежутке [—а; а], необходимо в достаточно, чтобы фуик-
/(х) была нечетной на этом промежутке?

24в	ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
6.11.	Найти значения Л, В, С, при которых функция видз
f(x) = Ax^ + Bx + C
удовлетворяет условиям
1
Г(1) = 8,	/(2) + Г(2) = 33. ^f(x)dx=j.
о
5.12.	,Найти все значения а из промежутка [0; 2п], удовле¬
творяющие уравнению
ft
^ sin .г dx = sin 2а.
т
5.13.	Найти положительные значения а, которые удовлетво¬
ряют уравнению
а
^(Зх» + 4х —5) </д = о» —2.
5.14.	Найти все зпаченпя а из промежутка [—я; 0], удовле¬
творяющие уравнепшо
2а
sin ®	^ cos 2х dx = 0.
§ в. Вычисление площадей фигур
Фигура, ограниченная графиком непрерывной фуикции /(л)
(f(x) 5г 0), прямыми х — а, х = Ь и осью ОХ, называется кри~
волинейной трапецией. Ее площадь вычисляется по формуле
и
5	f (■*) dx.
(1)
Если для всех х из промежутка [а; 5] выполняется условие
h(x) ^ fi(x)'(fi(x) —fi'(x) ^0), то площадь фигуры, ограничеи-
ной графиками непрерывных функций y = fx{x), у = fz(x) и
прямыми X = а, X = Ь, вычисляется по формуле
S‘=’^Ut(x)-f,(x)]dx.
(2)

§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
247
Если для всех у из промежутка [е; d] выполняется условие
^г\у) ^	— ф«(р) >0), то площадь фигуры, заклю¬
ченной между прямыми у — с, у ~ d п графиками непрерывных
функций х>='ф|(р), X в	вычисляется по формуле
d
S — J [фа {у) — ф| (у)1 dy.	(3)
С
пример 6.1, Найти площадь фигуры, ограниченной ли¬
лиями
X — о, X — я/2,	/| (х) =- sin X, ft (х) — cos х.
Решение. Поскольку знак разности ft{x)—ft{x) на про¬
межутке [0; я/2] не остается постоянным, то разобьем этот про¬
межуток на области, где вта разность со^фаяяет знак. Для
втого составим уравнение
/а(х)-/,(х)-0.
единственным корнем которого, принадлежащим промежутку
(0; л/2], является точка х — я/4. Так как
sin X > cos X	при X S [я/4; я/2],
sin X < cos X пря X г (0: я/4).
то, согласно (2), получаем
п/4	я/2
5=^ (cos X — sin х) dx-Ь ^ (sin X — cos х) dx =я
о	я/4
в (sin X + cos х) 1”^^ -Н— cos X — sin х) =»
= (V^ - I)-f (-1-i-- 2 (V^ - 1).
Ответ. S = 2(V2”—l)..
Заметим, что, используя симметрию фигуры относительно
оси X = я/4, можно было бы вычислить площадь по формуле
я/4
S =3 2 ^ (cos X — sin х) dx.'
Вычислять площади фигур, ограниченных указанными ли¬
внями;
у = х* + х, ушаХ+\.
у — —2х® -f- Зх -Ь 6. р = X 2,
у шт о, р 20 — 2х* — 6х.
6.1.
6.2.
6.4.
6.4.
6.5.
I — X*.
1/х, у— о, X12,
р-(1/2)*, х-2у-[-2«0. х-2.

248
ГЛ 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
в.в.
в.7.
в.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
У
У
«/=■
у =
г/ =
</ =
6.14.	у =
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23*
4х — х^, у — дг =» 0.
5/х, у = 6 — X.
х\ у = 1/х, X = 2.
X» + 1, у	+ 3.
1/cos^x. (/ = 0, х = 0, х = я/4.
X ==
у =
У =
г/ =
2ух
У =
У—
Зу =
, у =
2*. у = 2, х = -1.
=■7, у =0, х = 4, х= 12.
(х-1)’, у=*х+ I.
— x’^ + Y^+l, У=» 2“* X = 2 (х < 2).
1, х = 2, у = 0, logjx + logay—0.
2х“+ 1. у = х + 2, у= 1,5.
2'', у = 4-'. X =3 1.
X», у = 2 л/2х.
==16-Ьх», у =
б.
-1 +8х»-х\
у-з
1/(1 + х^), у =
х*/2.
15. х = 1 (х>1).
:_XS.
Vx, у =• V4 —Зх. у.
.4ДХ-3).
• 0.
6.24*. Найти площадь фигуры, множество точек которой
удовлетворяет системе неравенств
■** + .У*	г > о,
•	X —у<0.	у>0.
6.25*. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной чз>
стями линий тах(х, у) = I н х*+у* » 1, лежащими в первом
квадрантез
шах (х, у) = I
если X ^ у,
если X < у.
6.26.	Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функ¬
ций у =. X», у «= 2х — Х-.
Если функция y=f{x) на промежутке [а; 6] строго моно¬
тонна, то вычисление площади, ограниченной графиком функции
на этом промежутке я осью Ох, иногда удобно свести к вычис¬
лению площади, ограничешюй графиком обратной функции х <=>.
у (у) на промежутке [с; <1] и осью Оу, где
. min [f (а);/(6)1,
' max (/ (а): / (6)].
Пример 6.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у In х, прямой х = 2 и осью ОХ.

§ в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
249
Решение. Функцией, обратной х у — 1пх, является
X ’=> ео, Из рис. 10.1 видно, что площадь заштрихованной фигу¬
ры St равна разности площадей S — прямоугольника со сторо¬
нами 2 и In 2 и 5з —криво¬
линейной трапеции ОАВС. Со¬
гласно (3)
In 2
e^^ dy I
! в»
■ In 2
1.
Рис. 10.1
= e'"2_e0 = 2-l
S=^2ln2.
Таким образом, искомая пло¬
щадь есть
S, = S-Sj=321n2- 1.
Найти площади фигур, ограниченных графиками функций;
в.27. у = arcsin X, X = 1, у = 0.
в.28. у = агссозх, х = 0, у = 0.
Площади некоторых фигур легко вычисляются, если исполь¬
зовать известные значения площадей частей круга радиуса R.
Пример 6.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
у = Vi -**. у — 0-
Решение. Возводя обе части уравнения у =» Vl — в
квадрат, получаем уравнение окружности единичного радиуса;
у“4-х*=»1. Таким образом, график функции у = Y1 — х*
представляет собой верхнюю полуокружность радиуса 1. Следо¬
вательно, искомая площадь равна половине площади круга еди¬
ничного радиуса.
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
6.29*
■ + ^=1.
6.30*. у»4-^* + 2х = 0.
6.31**. В декартовой системе координат Оху фигура Г огра¬
ничена осью Ох, кривой у = 2х’ и касательной к этой кривой;
абсцисса точки касания равна 2. Найти площадь фигуры F.
6.32.	Вычислить илошадь фигуры, ограннчен1Юй параболой
у = X® — 2х + 2. касательной к ней в точке М (3, 5) и осью ор¬
динат. Сделать рисунок.
6.33.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной лшшями
у в 1/х + 1, X-=> I и касательной, проведенной в точке (2|3/2)
к кривой у = 1/х + Ь ,

250
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
0.34*. Найти площадь фигуры, ограниченной линией у =>
с= д* — 4х + 5 и прямыми, касающимися ее в точках с абсцис¬
сами хг= 1 и xt = 4.
в.3б. Из точки (3/2, 0) к параболе у = 2ifi — 6х -J- 9 прове¬
дена касательная, образующая острый угол с положительным
направлением осп Ох. Определить площадь фигуры, заключенной
между параболой, осью Ох, осью Оу и этой касательной.
6.36**. Какую часть площади квадрата отсекает парабола,
проходящая через две соседние вершины квадрата и касающаяся
середины одной из его сторон?
6.37*. Какую часть площади полукруга отсекает парабола,
проходящая через концы диаметра полукруга и касающаяся
окружности в точке, равноудаленной от концов диаметра?
6.38*. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у =
= —8х —46 и параболой </= 4х*-f-ох-Ь 2, если известно, что
касательная к параболе в точке х = —5 составляет с осью Ох
угол п — arctg 20.
6.39*. При каком значении а площадь фигуры, ограниченной
линиями у >
1/х, у = 1/(2х— 1), X = 2, X = а, равна 1п
6.40.	При каком значении а прямая у = а делит площадь
фигуры, ограниченной линиями у = О, у = 2 + х — х\ пополам?
6.41*. При каком значении параметра а > 0 площадь фигу¬
ры, ограниченной кривыми у = а V*. y = V2 —х и осью Оу, бу¬
дет равна числу 6? При каких значениях Ь задача имеет решение?
6.42*. Найти, при каком значении а площадь фигуры, огра¬
ниченной кривой у = sin 2х, прямыми х = л/6, х = а и осью
абсцисс, равна 1/2.
6.43*. Найти все значения параметра 6 (6>0), при которых
площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 1 — х* и у — 6х*.
будет равна а. При каких значениях а задача имеет решение’
6.44*. Через точку (.v«, у«) графика функции у = Vl + cos 2х
провести нормаль к этому графику, если известно, что прямая
X = х« делит площадь, ограниченную данной кривой, осью Ох и
„	3
прямыми х = 0их = -^я, на равные части.
§ 7. Задачи на нахождение наибольших
(наименьших) площадей фигур
Если в задаче требуется найти положение кривых, завися¬
щих от одного или нескольких параметров, при котором площадь
фигуры, ограниченной этими кривыми, максимальна (минималь¬
на), то следует сначала составить функцию, выражающую зави-

$ 7. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ ПЛОЩАДЕЙ 251
симость этой площади от параиетров, а затем решать задачу
на отыскание наибольшего (наименьшего) значения этой фурк-
иии на области возможного изменения параметров.
Пример 7.1. Найти все значения параметра а (а ^ 1),
при которых площадь фигуры, ограниченной прямыми у = I.
2	и кривыми у = ах*, у =ах*,
будет наибольшей.
Решение. Вычислим значение площади при фиксирован¬
ном значении а. В данном случае удобно вычислять площадь,
считая у независимым переменным. В силу симметрии парабол
у ах* и у =
' а
у ах»
относительно оси Оу площадь фигуры.
лежащей в полуплоскости х > О, равна площади фигуры, лежа¬
щей в полуплоскости х < О, н поэтому искомая площадь будет
равна удвоенной площади фигуры, ограниченной линиями
X = ■yj'yja, X = л/Зу/о", у = 1, у = 2:
SW-25(V?-Vt)''»'
_2
V'
-^|(V2-|)(2V2-i).
Л/а 3
где а г [I; оо).
Очевидно, что функция S(a) монотонно убывает на промежутке
[I; оо) и наибольшее значение принимает иа левом конце про¬
межутка [I; оо), т.е. при a = 1.
О т в е т. а = I.
7.1.	При каком значении а площадь, ограяиченная кривой
у = о*х* -(- ах 1 и прямыми у = О, х = 1, будет наименьшей?
7.2.	Найти все значения параметра а (а > 0), при которых
(а* — ах)
площадь фигуры, ограниченной прямой у>
1	+ а*
и пара-
^	(X* + 2ах -Ь За») .
белой у = -	^	будет наибольшей.
7.3.	При каком положительном а площадь S криволинейной
трапеции, ограниченной линиями
,	1	л
■ 6 + X*'
•а,
<2а,
принимает ианменьшее значение?

е&2
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
7.4*. Обозначим через S{k) площадь, заключенную между
параболой yi = x^ + 2x — 3 и прямой yt==kx+ 1. Найти S(—1)
и вычислить наименьшее аначение S{k).
Пример 7.2. Касательная к параболе у = проведена
так, что абсцисса х» точки касания принадлежит промежутку
[I; 2]. Определить хо, при котором треугольник, ограниченный
касательной, осью ординат, в прямой у^х^, имеет наибольшую
площадь.
Решение. Уравнение касательной в точке х« для функции
у = x^ имеет вид у — х1 = 2xq (ж — Xq). Ордината точки пересе¬
чения касательной и оси Оу равна
У1'
’х1—2х1 = — х%
в площадь искомого прямоугольного треугольника вычисляется
по формуле
Требуется найти наибольшее значение 5(х«)' на промежутке
[I; 2]. Очевидно, что функция S(xo) возрастает на этом проме¬
жутке, и, следовательно,
max S (хо) = S (2) = 8,
21
Ответ. Хо = 2.
7.5.	Касательная к графику функции у => такова, что
абсцисса х« точки касания принадлежит промежутку [1/2; I].
При каком значении х» площадь 5(хо) треугольника, ограничен¬
ного этой касательной, осью Ох и прямой х = 2, будет наи<
меньшей и чему равна эта наименьшая площадь?
7.6*. Криволинейная трапеция ограничена кривой ^ = х* 1
и прямыми X = 1, X = 2. В какой точке данной кривой с абс¬
циссой хе[1; 2] следует провести касательную, чтобы она от¬
секала от криволинейной трапеции обычную трапецию наиболь¬
шей площади?
7.7*. При каком значении параметра а площадь фигуры,
ограниченной осью абсцисс, графиком функции ^ = x> -Ь Зх^
Ч-х-Ьа и прямыми, параллельными оси ординат я пересекаю¬
щими ось абсцисс в точках экстремума этой функции, будет наи¬
меньшей?
7.8*. Для каких значений а из промежутка [0; 1] площадь
фигуры, ограниченной графиком функции у f{x) и прямыми
X •=* о, X *= I. у = f[a), имеет наибольшее в для каких вавмевь-

s 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
263
шее значение, если / (х) = х“ + Зх^ (о, р е R, причем а > 1, р >
> 1)?
7.9*. Для каких значений а площадь фигуры, ограниченной
Ж®
графиком кривой 	х* + о. прямыми х = О, х =i 2 и осью
Ох, достигает своего минимума?
7.10*. Для каких значений а из промежутка [0; I] площадь
фигуры, ограниченной графиком функции /(х) н прямыми х =» 0,
X = I, у f{a), имеет наименьшее в для каких наибольшее
значение, если / (х) = V1 —
7.11*. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной
прямыми x=Xi, х=Х}, графиком функции |sin х 4-cos х — о|
и осью абсцисс, где xi и xi — два последовательных экстремума
функции / (х) ■=■ sin (х + п/4), будет наименьшей?
§ 8. Вычисление объемов тел
Объем V тела, полученного в результате вращения криво¬
линейной трапеции, ограниченной линиями у =/(х) (/(х) ^ 0),
х = а, х = Ь (6 > а), вокруг оси Ох, вычисляется по формуле
ь
7 = nJ/»(x)rfx.	(1)
а
Объем V тела, образованного вращением криволинейной тра¬
пеции, ограниченной графиком функции х = ф(г/), (ф(у) ^ 0),
прямыми у = с, у >== d id > с), и осью Оу, вокруг оси Оу, вы¬
числяется по формуле
d
К = я ^ Ф* (у) dy.	' (2)
Пример 8.1, Вычислить объем тела, образованного враще¬
нием одной арки синусоиды (график функции ^ = sin х на про¬
межутке [0; я]) вокруг оси Ох.
Решение. По формуле (1) находим
Л	71
И = Я ^ sin’ X rfx = я ^
о
Ответ.' я*/2.
1 — cos 2х
2
dx ‘
(\	, sin 2х \ I" 1	1	»

SS4
ГЛ. 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ Н ИНТЕГРАЛ
8.<. Бычнслоть объем тела, образоваяного вращенасм вокруг
оси абсцисс криволннейноГ| трапеции, ограниченной гиперболой
ху = 2, прямыми X — I, X = 2 и осью абсцисс.
8.2*. Вычислить объем тела, образованного вращением во¬
круг оси абсцисс фигуры, ограниченной параболами у* = х,
у = х^.
8.3.	Цепная линия у = ^e^ + е~‘)12 вращается вокруг оси
абсцисс. При этом получается поверхность, называемая катеко-
udoj*. Вычислить объем тела, образованного катеноидом н двумя
плоскостями, перпендикулярными оси абсцисс и отстоящими от
начала координат соответственно на расстояния а и б.
8.4*. Вычислить объем тела, полученного от вращения фи-
17ры, ограниченной параболой // = 2х — х* и осью абсцисс, во¬
круг оси ординат.
8.5*. Найти объем тела, полученного от вращения криволи-
псйной трапеции, ограниченной линиями у = arcsin х, у = п/2 и
X = о, вокруг оси Оу.
8.6*. Найти объем тела, полученного вращением фигуры,
огратченной линиями р=!п2, у = \пх, р = 0 и х = О, во¬
круг оси Оу.
§ 9. Приложения определенного интеграла
в задачах физики и механики
Вычисление пути. Путь S тела, движущегося со ско¬
ростью УЦ), за время, прошедшее от момента it до момента 1г.
вычисляется по формуле
<•
(1)
Пример 9.1. Тело движется прямолинейно со скоростью
о (/) = 21* - / -Ь 1 (м/с).
^а*тм путь, пройденный за первые 5 с.
Решеяяе. Сопмено Ц) имеем
б
о
250
3
Ответ. 75 -g- м.
в.I. Тело движется прямолянейно со скоростью о(/)™.
<= 21-Ьа (м/с). Найти зиачеине а, если известно, что ва проые->
23 , -	_ 5
__ + 5 = 75-g-.

4	9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2S
жуток времени от /i = О до 1» =» 2 с тело прошло путь длиной
40 м.
9.2*. Тело движется прямолинейно со скоростью v =‘
= 121—1^ (м/с). Найти длину пути, пройденного телом от иа«
чала движения до его остановки.
ЙД. Два тела начали двигаться по прямой в одни и тот же
момент из одной точки в одном направлении. Одно тело двига¬
лось со скоростью ni(0 =31* +21 (м/с), другое —со скоростью
Pa/l) = 21 (м/с). Какое расстояние будет между телами через
6 с?
9.4.	Точка движется прямолинейно под действием постов»
ной силы с ускорением 2 м/с* н с нулевой начальной скоростью.
Через 3 с после начала движения сила прекращает действовать
и точка начинает двигаться равномерно с набранной к этому
моменту скоростью. Найти закон движения точки 5(1).
Если материальная точка движется вдоль оси 0.x под дей¬
ствием силы F(x), зависящей от координаты х, то работа силы
по перемещению материальной точки из а в 6 (Ь > а) вычис¬
ляется по формуле
ь
^=Jf(x)dx.	(2)
а
Пример 9.2. На материальную точку действует сила, ко¬
торая линейно зависит от пройденного пути. В начале движения
она составляет 100 Н, а когда точка переместилась на 10 и,
сила возросла до 600 Н. Найти работу, произведенную этой си¬
лой на пройденном пути.
Решение. Из условия следует, что сила F{x), действую¬
щая на точку, меняется по закону F{x) = ex + б, где riapa-
метры а и Ь находятся из условий
F (0) = 100,	6 = 100,	6 = 100,
или	или
f (10) = 600, lOOo + 100 = 600, а = 50.
Таким образом, F{x) = 50х + 100 и работа силы на прой-<
денном пути, согласно (2), равна
10
А= ^ (50x+ 100)dx = 26x*+ 100xlj® = 25.100+i00-10 = 3600.
Ответ. 3500 Дж,

SSI
ГЛ. to. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИН1ЕГРАЛ
9.5*. На материальную точку действует сила, которая ме¬
няется обратно пропорционально квадрату расстояния до некото¬
рого объекта. Известно, что она составляла I Н в момент, когда
4>асстояяие до объекта было 2 и. Вычислить работу этой силы
по переносу материальной точки из пункта, находящегося' на
расстоянии 10 м от объекта, до пункта, находящегося па рас¬
стоянии 3 и.
9.6*. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины
на 15 си, если известно, что действующая сила пропорциональна
сжатию .пружины и что для сжатия на 1 см необходима сила
#0 Н.

ГЛАВА II
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
§ 1. Задачи на движение
Система уравнений, которую необходимо составить на осно¬
вании условия задачи на движение, обычно содержит следующие
величины: расстояние, которое будем обозначать буквой 5; ско¬
рости движущихся тел, которые будем обозначать буквами и, о,
to, ... (или буквами, снабженными индексами: oi, vz, ...); вре¬
мя, которое будем обозначать буквами t, Т. В случае, если дви¬
жение равноускоренное (или равнозамедленное), ускорение бу¬
дем обозначать буквой а.
Равномерное движение по прямой. Примем
следующие допущения:
1.	Движение на отдельных участках считается равномерным!
при этом пройденный путь определяется по формуле 5 = vt.
2.	Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е,
рронсходят без затрат времени; скорость при этом также ме¬
няется мгновенно.
3.	Если тело движется по течению реки, то его скорость w
(относительно берега) слагается из скорости тела в стоячей воде
и (собственной скорости тела) н скорости течений' реки и:
W => U п. Если тело движется против течения реки, то его ско¬
рость (относительно берега) w и —v. Если в условии задачи
речь идет о движении плотов, то полагают, что плот движется
со скоростью течения реки.
В задачах на равномерное движение иногда встречается
условие, состоящее в том, что либо два тела движутся навстречу
друг другу, либо одно тело догоняет другое. Если при этом рас¬
стояние между телами равно 5, а скорости тел равны i*i и v%, то:
1)	при движении тел навстречу друг другу время, через ко-
S
горое они встретятся, равно ^	^
2)	при движении тел в одну сторону (ot > оО время, че-
S
рез которое первое тело догонит второе, равно ^
9	А. г. Цыпквя, А. и. ПивскнВ

258
ГЛ. !I. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЁЙИВ УРАВНЕНИЙ
Пример 1.1. Из города А в город В выезжает велосипс*
диет, а через три часа после его выезда из города В выезжает
навстречу ему мотоциклист, скорость которого в три раза
больше скорости велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист
встречаются посередине между А л В, Если бы мотоциклист
выехал не через три, а через два часа после велосипедиста, то
встреча произошла бы на 15 км ближе к А. Найти расстояние
между Л и S.
Решение. Обозначим искомое расстояние между пунктами
А к В через S км, скорости велосипедиста и мотоциклиста — че¬
рез Vt км/ч н Си км/ч соответственно. Запишем условия задачи и
уравнения, соответствующие этим условиям, в виде следующей
таблицы;
Условие задачи
Уравнение
Скорость мотоциклиста в три раза
больше скорости велосипедиста
Велосипедист и мотоциклист ветре-
чаются посередине между А и В. при¬
чем мотоциклист выехал из О на 3 ч
позже, чем велосипедист из города А
Если бы мотоциклист выехал через
2 ч после велосипедиста, то встреча
произошла бы на IS км ближе к А
»Зо,
2 2
^->5	-f+15
+ 2
Используя первое уравнение, второе и третье уравнения мож¬
но записать в виде
2ов
S-30
“ 6sr+®-
S-f 30
2ов
бОв
+ 2.
Из первого уравнения этой системы получаем в, = S/9. Под¬
ставляя во второе уравнение системы в« = 5/9, получаем урав¬
нение для нахождения величины 5:
180.
Ответ. Расстояние между городами А п В равно 180 км.
Пример 1.2. От пристани отправился по течению реки
плот. Через 5 ч 20 мни вслед за плотом от той же пристани от¬
правилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км.
Какова скорость плота, если известно, что собственная скорость
ыоториой лодки больше скорости плота на 9 км/ч?.

$ t. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
259
Решение. Обозначим собственную скорость лодки (т. е.
скорость в стоячей воде) через Вд км/ч, а скорость течения ре¬
ки — через Вр км/ч. По условию задачи собственная скорость мо¬
торной лодки больше скорости плота на 9 км/ч:
Ол - ор = 9.
Моторная лодка, двигаясь по течению реки, прошла 20 км за
время 20/(Вд-J-Вр): плот прошел те же 20 км за время 20/вр.
Так как время, за которое плот проплыл 20 км, па 5 ч 20 мин
(т. е. на 16/3 ч) больше времени, за которое то же расстояние
проплыла моторная лодка, то
20 20 16
fp	«л + Рр “ 3 *
Таким образом, решение задачи сводится к решению системы
20
0л-0р = 9,
20 16
Вр
Вд + Вр 3 ‘
Из первого уравнения получаем Vi, = Vp + 9. Подставляя во вто¬
рое уравнение Вд = Ор -f 9, получаем уравнение для нахожде¬
ния Вр!
20	20
мм	^	^	_
2., + S—Т-^Ч + 2К-1М.
■0.
Решая последнее уравнение, находим Вр = 3. (Второй корень
уравнения Вр = —45/8 не подходит по смыслу задачи.)
Ответ. Скорость течения реки (а также и скорость плота)
равна 3 км/ч.
1.1.	Пароход прошел 4 км против течения реки, а зэтем про¬
шел еще 33 км по течению, затратив на это одни час. Найти
скорость парохода в стоячей воде, если скорость реки равна
6,6	км/ч.
1.2.	Катер вышел одновременно с плотом, плывшим по тече-
I
нию реки, и прошел по течению реки 13 нМ, а затем, не оста¬
навливаясь, 9 км в обратном направлении, где и встретился
с плотом. Найти, во сколько раз собственная скорость катера
больше скорости течения.
1.3.	Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта
в одном направлении. Первый автомобиль едет со скоростью
40 км/ч, скорость второго составляет 125 % от скорости первого.
Через 30 мни из того же пункта в том же направлении выехал
G*

260
ГЛ. n.ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
третиЛ автомобиль, который сначала обогнал первый п через
1,5 ч после этого обогнал второй. Какова скорость третьего ав¬
томобиля?
1.4.	В соревнованиях по бегу на дистанции 120 м участвуют
три бегуна. Скорость первого из них больше скорости второго на
1 м/с, а скорость второго равна полусумме скоростей первого и
третьего. Определить скорость третьего бегуна, если известно,
что первый бегун пробежал дистанцию на 3 с быстрее третьего.
1.5.	Искусственный водоем имеет форму прямоугольника о
разностью сторон а 1 км. Два рыбака, находящихся в одной вер¬
шине этого прямоугольника, одновременно отправились в пункт,
расположенный в противоположной вершине. При этом один ры¬
бак поплыл напрямик на лодке, а второй пошел пешком вдоль
берега. Определить размеры водоема, если каждый рыбак пере¬
двигался со скоростью 4 км/ч и один из них прибыл к месту на¬
значения на 30 мин раньше второго.
1.6.	Два велосипедиста выехали одновременно нз двух мест,
отстоящих одно от другого на 270 км, и едут навстречу друг
другу. Второй проезжает в час на 1,5 км меньше, чем первый, н
встречается с ним через столько часов, сколько километров в чао
делает первый. Определить скорость каждого велосипедиста.
1.7.	Турист проплыл по реке на лодке 90 км, а затем прошел
пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч
меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столь¬
ко времени, сколько он плыл по реке, а плыл по реке столько
временн, сколько шел пешком, то эти расстояния были бы равны.
Сколько времени он шел пешком и сколько плыл по реке?
1.8.	Расстояние между двумя городами равно S км. Два
автомобилиста, выехав из этих городов навстречу друг другу,
встретятся на полпути, если первый выедет на t ч раньше вто¬
рого. Если же они выедут одновременно навстречу друг другу о
теми же скоростями, то встреча произойдет через 2/ ч. Опреде¬
лить скорость каждого автомобиля, если считать, что скорости
постоянны на всем пути.
1.9.	Из города А в город В, расстояние между которыми
120 км, на мопеде отправился курьер. Через час после этого нз4
на мотоцикле выехал второй курьер, кЬторый, нагнав первого и
передав ему поручение, немедленно с той же скоростью двинулся
обратно и возвратился в .4 в тот момент, в который первый до¬
стиг В. Какова скорость первого курьера, если скорость второго
равна 50 км/ч?
1.10.	Из порта А в порт С отправился пароход, который дол¬
жен по пути пройти мимо маяка В, причем расстояние от А до В
равно 140 км, а расстояние от В до С равно 100 км. Через 3 ч

5	1. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
261
после выхода парохода за ним вышел нз порта А быстроходный
катер, который, догнав пароход, передал приказание увеличить
скорость на 5 км/ч. Приказание было немедленно выполнено, и
в результате пароход прошел мимо маяка В на полчаса раньше
и прибыл в порт С на полтора часа раньше. Найти первоначаль¬
ную скорость парохода и скорость катера.
1.11.	Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со ско¬
ростью 16 км/ч, делает остановку на 1.5 ч, а затем продолжает
путь с первоначальной скоростью. Спустя 4 ч после отправки
в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле
второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они про¬
едут, прежде чем второй турист догонит первого?
1.12.	От пристани А одновременно отходят вниз по течению
реки к пристани В две лодки. Первая лодка подходит к при¬
стани в на 2 ч раньше второй. Если бы лодки отошли от этих
пристаней одновременно, двигаясь навстречу друг другу (первая
от А, а вторая от В), то они встретились бы через 3 ч. Расстоя¬
ние между пристанями равно 24 км. Скорость второй лодки в
стоячей воде в три раза больше скорости течения реки. Найти
скорость течения реки.
1.13.	Сначала катер шел 5 км по течению реки, а затем
вдвое большее расстояние — по озеру, в которое река впадает,
Весь рейс продолжался 1 ч. Найти собственную скорость катера,
если скорость течения реки v км/ч.
1.14.	В 9 ч самоходная баржа вышла нз пункта А вверх по
реке и прибыла в пункт В; 2 ч спустя после прибытия в пункт В
баржа отправилась в обратный путь и прибыла в пункт А в
(|0 ч 20 мин того же дня. Предполагая, что скорость течения
реки 3 км/ч и собственная скорость баржи постоянна, опреде¬
лить, когда баржа прибыла в В, если расстояние АВ рацио 60 км.
1.15.	Автомобиль выехал из города А в город В и через 2 ч
остановился на 45 мни. После этого он продолжал движение
к городу В, увеличив первоначальную скорость на 20 км/ч, и
прибыл в город В. Если бы автомобиль ехал без остановки с пер¬
воначальной скоростью, то на путь из А в в он затратил бы
столько же времени. Найти первоначальную скорость автомобиля,
если расстояние между городами А и В равно 300 км.
1.16.	Мотоциклист отправился из пункта А в пункт В, рас¬
стояние между которыми 120 км. Обратно он выехал с той же
скоростью, ио через час после выезда должен был остановиться
■на 10 мин. После этой остановки он продолжал путь до А, уве¬
личив скорость на 6 км/ч. Какова была первоначальная скорость
: мотоциклиста, если известно, что на обратный путь он затратил
столько же времени, сколько на путь от А До в?

262
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
1.17*. Мотоциклист проезжает 1 км па 4 мин быстрее, чем
велосипедист. Сколько километров проезжает каждый из них за
5 ч. если известно, что мотоциклист проезжает за это время на
100 км больше велосипедиста?
1.18.	По графику поезд всегда проходит перегон в 120 км
с одной и той же скоростью. Вчера поезд прошел половину пере¬
гона с этой скоростью и вынужден был остановиться на 5 мин.
Чтобы вовремя прибыть в конечный пункт перегона, машинисту
на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поез¬
да на 10 км/ч. Сегодня повторилась остановка поезда на сере¬
дине того же перегона, только задержка продолжалась 9 мин.
С какой скоростью машинист вел поезд сегодня на второй поло¬
вине перегона, если опять в конечный пункт этого перегона поезд
прибыл по расписанию?
1.19.	Одновременно начали гонки с одного старта в одном
направлении два мотоциклиста: один со скоростью 80 км/ч, дру¬
гой со скоростью 60 км/ч. Через полчаса с того же старта н в
том же направлении отправился третий гонщик. Найти скорость
третьего гонщика, если известно, что он догнал первого гонщика
на 1 ч 15 мин позже, чем второго.
1.20.	Два велосипедиста выехали из пункта А одновременно
и в одном направлении. Первый велосипедист ехал со скоростью
7 км/ч, а второй — со скоростью 10 км/ч. Через 30 мин из пунк¬
та /4 в том же направлении выехал третий велосипедист, кото¬
рый догнал первого велосипедиста, а через 1,5 ч после этого
догнал и второго велосипедиста. Определить скорость третьего
велосипедиста.
1.21.	От пристани А вниз по течению реки одновременно
отплыли пароход н плот. Пароход, доплыв до пристани В, рас¬
положенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 ч и от¬
правился назад в Л. В момент, когда он находился в 180 км
от А, второй пароход, отплывший из Л на 40 ч позднее первого,
нагнал плот, успевший к этому времени проплыть 144 км. Счи¬
тая, что скорость течения реки постоянна, а скорости пароходов
в стоячей воде постоянны и равны между собой, определить ско¬
рости пароходов и течения реки.
1.22.	Пункт Л находится по реке выше пункта В. В одно и
то же время из пункта Л отплыли вниз по реке плот и первая
моторная лодка, а из пункта В вверх — вторая моторная лодка.
Через некоторое время лодки встретились в пункте С, а плот за
это время проплыл третью часть пути от Л до С. Если бы первая
лодка без остановки доплыла до пункта В, то плот за это время
прибыл бы в пункт С. Если бы из пункта Л в пункт В отплыла
вторая лодка, а из пункта В в пункт А — первая лодка, то они

S 1. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
S63
встретились бы в 40 км от пункта А. Какова скорость обеих
лодок в стоячей воде, а также расстояние между пунктами А
и В, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
1.23.	Из города А в город В одновременно выехали автомо¬
биль и мотоцикл, а в тот момент, когда мотоцикл преодолел
шестую часть пути, из Л в том же направлении выехал велоси¬
педист. К моменту прибытия автомобиля в город В велосипедист
проехал четвертую часть пути. Скорость мотоцикла яа 21 км/ч
меньше скорости авто.мобнля и на столько же больше скорости
велосипедиста. Найти скорость автомобиля.
1.24.	Из пункта А в пункт В, находящийся в 100 км от
Пункта Л, в одно и то же время отправились велосипедист н пе¬
шеход. Одновреиенцр им навстречу из пункта В выехал автомо¬
билист. Через чао после выезда автомобилист встретил велоси¬
педиста, а проехав еще 240/17 км, — пешехода, посадил его в
машину, после чего они поехали вдогонку за велосипедистом и
настигли его. Вычислить скорости велосипедиста и автомобили¬
ста. если известно, что скорость пешехода равна 3 км/ч.
1.25.	В полдень из пункта А в пункт В вышел пешеход и
выехал велоснпеднст, и в полдень же из В в Л выехал верховой.
Через 2 ч встретились велосипедист и верховой на расстоянии
3 км от середины АВ, а еще через 48 мин встретились пешеход
н верховой. Определить скорость каждого н расстояние АВ, если
известно, что пешеход движется вдвое медленнее велосипедиста.
1.28.	Из пунктов А в В одновременно навстречу друг другу
выехали два велосипедиста, которые встретились в 12 км от
пункта В. Продолжая свое движение и доехав до пунктов В и
Л, они сразу же повернули обратно и снова встретились в в км
от пункта Л. Определить скорости велосипедистов и расстояние
А В, если известно, что второй велоснпеднст вернулся в пункт В
через час после того, как первый велосипедист вернулся в
пункт Л.
1.27.	Расстояние между двумя городами А я В пассажир¬
ский поезд проходит па 4 ч быстрее товарного. Если бы каждый
из поездов шел то время, которое тратит на путь от Л до В
другой поезд, то пассажирский прошел бы на 280 км больше,
чем товарный. Если бы скорость каждого из поездов была уве¬
личена на 10 км/ч, то пассажирский поезд проходил бы расстоя¬
ние между Л и В на 2 ч 24 мин быстрее товарного. Найти рас¬
стояние между городами Л и В.
1.28.	На лыжных соревнованиях на дистанции 10 000 м сна¬
чала стартовал первый лыжник, а через некоторое время после
него — второй, причем скорость второго лыжника была на 1 м/с
больпш скорости первого, В момент, когда второй лыжник до-

264
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕННП
гнал первого, первый увеличил свою скорость на 2 ы/с, а ско¬
рость второго лыжника осталась без изменения. В результате
второй лыжник финишировал через 7 мин 8 с после первого.
Если бы длина дистанции была на 500 м больше, то. второй
лыжник финишировал бы на 7 мин 33 с позже первого. Найти,
сколько времени прошло между выходом со старта первого в
второго лыжников.
1.29.	Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А
в пункт В. Первый остановился через 42 мин, не доехав 1 км,
а второй — через 52 мин, не доехав 2 км до В. Если бы первый
велосипедист проехал столько, сколько второй, а второй столько,
сколько первый, то первому потребовалось бы па 17 мин меньше
второго. Сколько километров между пунктами Л и В?
1.30.	Расстояние между станцией и поселком 4 км. Мальчик
и автомобиль одновременно отправились со станции в поселок.
Через 10 мин мальчик встретил автомобиль, возвращающийся из
поселка; пройдя еще 1/14 км он снова встретил автомобиль, ко¬
торый, дойдя до станции, снова поехал в поселок. Найти скоро¬
сти мальчика и автомобиля, если известно, что они двигались
равномерно и без остановок.
1.31.	От станции железной дороги до пляжа 4,5 км. Мальчик
II рейсовый автобус одновременно отправились от станций к
пляжу. Через 15 мин мальчик встретил автобус, возвращающий¬
ся с пляжа, и успел пройти еще 9/28 км от места первой встречи
с автобусом, прежде чем его догнал тот же автобус, который
доехал до станции и опять отправился к пляжу. Найти скорости
мальчика и автобуса, считая, что эти скорости постоянны и пн
мальчик, ни автобус в пути не останавливались, но у пляжа и
на станции автобус делал остановки продолжительностью в
4 мин каждая.
1.32.	Велосипедист проезжает половину расстояния от пунк¬
та А до пункта В на 2 ч быстрее, чем пешеход проходит треть
расстояния от А до В. За время, требуемое велосипедисту на
весь путь от А до В, пешеход проходит 24 км. Если бы скорость
велосипедиста увеличилась на 7 км/ч, то за то время, за которое
пешеход пройдет 18 км, велосипедист проехал бы весь путь от А
до В и еще 3 км. Найти скорость пешехода.
1.33.	Буксиру нужно отогнать за минимальное время два
понтона вниз по реке на расстояние 1 км. Было решено, что
один понтон будет отправлен по течению реки самостоятельно,
а другой будет некоторое время транспортировать буксир, после
чего он оставит его, вернется за первым и отбуксирует его до
конечного пункта. Сколько километров должен транспортировать¬
ся второй понтон, чтобы оба пришли к конечному пункту одиоч

5 1. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
265
временно, н сколько потребуется времени на всю перевозку, если
собственная скорость буксира о км/ч, а скорость течения реки
и км/ч?
1.34*. Пассажир поезда знает, что на данном участке пути
скорость этого поезда равна 40 км/ч. Как только мимо окна
начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер
и заметил, что встречный поезд прошел мимо окна за 3 с. Опре¬
делить скорость встречного поезда, если известно, что его длина
75 м.
1.35.	По прямым параллельным путям, расстояние между
которыми равно 60 м, равномерно в противоположных направ¬
лениях движутся два поезда. Длина каждого поезда равна 100 м.
Стрелочник находится на расстоянии 40 м от ближайшего к нему
пути. Первый поезд загораживает от стрелочника часть второго
поезда в течение 5 с. Скорость первого поезда равна 16 м/с.
Определить скорость второго поезда. (Шириной поездов прене¬
бречь.)
1.36.	Два одинаковых парохода отходят одновременно от
двух пристаней; первый пароход от пристани А вниз по теченикз,
второй от пристани В вверх по течению. К моменту встречи
первый пароход проходит втрое больший путь, чем второй. Каж¬
дый из пароходов, дойдя до конечного пункта, стоит там неко¬
торое время, а затем возвращается обратно. Если стоянка первого
парохода в д на 40 мин больше стоянки второго парохода в А,
то на обратном пути пароходы встречаются в 12 км от А, Если
же стоянка первого парохода в В на 40 мин меньше стоянки
второго парохода в /1, то на обратном пути пароходы встречают¬
ся в 26 км от В. Найти расстояние между Л и S и скорость па¬
роходов в стоячей воде.
1.37.	Пристани Л и В находятся на противополож^шх бере¬
гах озера. Пароход плывет из Л в В н после десятимицутной
стоянки в В возвращается в Л, двигаясь в обоих направлениях
с постоянной скоростью 18 км/ч. В момент выхода парохода из Л
навстречу ему из В в Л отправляется движущаяся с постоянной
скоростью лодка, которая встречается с пароходом в 11 ч 10 мин.
В 11 ч 25 мин лодка на,ходнтся на расстоянии 3 км от Л. На¬
правляясь из В в Л после стоянки, пароход догоняет лодку в
11 ч 40 мин. Определить время прибытия лодки в Л.
1.38.	Колонна мотоциклистов с интервалом между соседними
машинами в 50 м движется со скоростью 15 км/ч. В противопо¬
ложном направлении вдоль колонны (от первой машины) едет
велосипедист. Поравнявшись с 45-м мотоциклистом, он увеличи¬
вает свою скорость на 10 км/ч, доезжает до последнего мотоцик¬
листа, поворачивает и с той же (увеличенной) скоростью догол

266
ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
няет первую машину. Если бы велосипедист о самого начала дви*
гался с этой увеличенной скоростью, то он вернулся бы к голове
колонны на 15/8 мин раньше. Найтн первоначальную скорость
велосипедиста (длинами велосипеда, мотоцикла и временем пово«
рота велосипедиста пренебречь).
При решении текстовых задач прежде всего необходимо ре¬
шить вопрос о тон, для каких неизвестных составлять систему
(уравнений. В основу выбора неизвестных может быть положен
следующий принцип: неизвестные следует вводить так, чтобы'
с помощью уравнений наиболее просто записать имеющиеся в
задаче условия. При этом вовсе не обязательно, чтобы величина,
Которую требуется найти, содержалась среди выбранных неизвест*
Иых. Как правило, при таком выборе неизвестных искомая вели¬
чина будет представлять собой некую комбинацию введенных не¬
известных, для нахождения которой нет необходимости опреде¬
лять по отдельности все входящие в нее неизвестные.
В задачах на движение в качестве неизвестных обычно бы¬
вает удобно выбирать расстояние (если оно не задано) и скоро¬
сти движущихся объектов, фигурирующих в условии задачи.
Пример 1.3. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль,
И одновременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист.
После встречи они продолжали свой путь. Автомобиль, доехав
до пункта В, повернул назад и догнал велосипедиста через 2 ч
после момента первой встречи. Сколько времени после первой
встречи ехал велосипедист до пункта А, если известно, что к мо¬
менту второй встречи он проехал 2/5 всего пути от В до At
Решение. Введем следующие неизвестные: расстояние S
между пунктами А и В, скорости велосипедиста и автомобилиста
Уш и соответственно, t — время от начала движения до пер¬
вой встречи. Выпишем условие задачи в таблицу:
Условие задачи
Уравнение
X ноиевту первой встречи i автомобиль
й >елосяпедкст вместе проезжают все рас-
стотве между пунктами А и В.
(У,-ЬУв)-<-5
.Через Двр часа после момента первой
встречи автомобиль, доехав до пункта В
в повернув, догнал ведосвпедиста, т. е.
путь, пройденный автомобилем, склады¬
вается из удвоенного расстояния, прой¬
денного велосипедистом до первой встре¬
чи, и расстоявня, котороа велосипедист
успел проехать за 2 ч.
К моменту второй встречи велосипедист
проехал 3/5 всего расстояния между пунк-
'«ами Две

§ I. ЗАДАЧИ ИА ДВИЖЕНИВ
267
Неизвестное х, которое требуется найти по условию задачи,
представляет собой время, необходимое велосипедисту, чтобы до¬
ехать до пункта А, после первой встречи. Оно может быть выра¬
жено как следующая комбинация введенных нензвестиих t,
,V„ V.:
:	V,
Из системы уравнений
2Ka = 2/Ve + 27|u
V'.(/ + 2) = -|-S
определим t и выразим отношение скоростей V,fV, через t.
Из второго уравнения системы имеем
VJV^^t+\.	(*)
Исключая 5 из первого и третьего уравнения системы л учиты¬
вая равенство (*), получаем для неизвестной t уравнение
<(/ + 2) =
■(< + 2)--^,
корни которого ti = —2 п и = 5/2.
Так как по физическому смыслу задачи < > О, то искомое
неизвестное имеет вид
5	7	35	-3
Т = -4—®Т*
Ответ. 8 ч 45 мин.	>
1.39.	Из города А в город В вышел пассажирский поезд,
В то же время из б в /4 вышел товарный поезд. Скорость каж¬
дого из поездов на всем участке движения постоянна. Через 2 ч
после того, как поезда встретились, расстояние между ними со¬
ставило 280 км. Пассажирский поезд прибыл к месту назначения
через 9 ч, а товарный — через 16 ч после встречи. Определить,
какое время находился в пути каждый поезд.
1.40.	Два поезда отправляются навстречу друг другу с по¬
стоянными скоростями, одни из Москвы, другой из Ленинграда,
Они могут встретиться на середине пути, если поезд из Москвы
отправится на 1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одно¬
временно, то через 6 ч расстояние между ними составляло бы

268
ГЛ. И. ЗАДАЧИ ИЛ СОСТАВЛЕНИЕ УРАВПЕНИП
девятую часть первоначального. Сколько часов каждый поезд
гратнт на прохождение пути между Москвой и Ленинградом?
1.41.	Два велосипедиста выезжают одновременно нз пунк¬
тов i4 и В навстречу друг другу н, двигаясь каждый с постоян-
2
ной скоростью, встречаются через 2 -g- ч. Если бы первый велоси¬
педист увеличил свою скорость на 50%, а второй — на 20%, то
на преодоление расстояния между пунктами А и В первому ве¬
лосипедисту понадобилось бы времени на 2/3 ч больше, чем вто¬
рому. За какое время преодолевает расстояние между пунктами
Л и В каждый велосипедист, двигаясь с первоначальной ско¬
ростью?
1.42.	Из пункта А по шоссе выехали одновременно два ав¬
томобиля, а через час вслед за ними выехал третий. Еще через
час расстояние между третьим и первым автомобилями умень¬
шилось в полтора раза, а между третьим и вторым — в два
раза. Скорость какого автомобиля, первого или второго, больше
н во сколько раз? (Известно, что третий автомобиль не обогнал
первые два.)
1.43.	Пассажирский поезд вышел из пункта А в пункт В.
Через 3 ч вслед за ним из А вышел скорый поезд. Скорый поезд
догнал пассажирский на середине пути между пунктами А я В.
В момент прибытия скорого поезда в пункт В пассажирский
поезд прошел 13/16 расстояния от А до В. Сколько времени по¬
тратил пассажирский поезд на весь путь от А до В, если
скорости движения пассажирского и скорого поездов постоян¬
ны?
1.44.	Из пункта А в пу^нкт В выехал велосипедист. В тот
момент, когда он проехал l/4 часть пути между А я В, яз В в А
выехал мотоциклист, который, прибыв в А, не задерживаясь,
повернул Обратно и одновременно с велосипедистом прибыл в В.
Время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипеди¬
стом равно времени движения мотоциклиста из /1 в В. Считая
скорости мотоциклиста при движении изЛвВнизВвЛ раз¬
личными, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при дви¬
жении из Л в В больше скорости велосипедиста.
1.45.	Из пункта А в пункт В выезжает автобус. Достигнув
пункта В, он продолжает движение в том же направлении. В тот
момент, когда автобус достиг пункта В, из пункта А выезжает
автомобиль и движется в том же направлении, что и автобус.
Время, необходимое автомобилю на путь из Л в В, па 3 ч 20 мин
меньше времени, необходимого автобусу на тот же путь. Найти
STH времена, если сумма их в 1,5 раза больше времени, за кото¬
рое автомобиль догонит автобус.

$ I. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕМ! IB
269
1.46.	Два велосипедиста и пешеход одновременно отправи¬
лись из пункта А в пункт В. Более чем через I ч после выезда
у первого велоснпеднста сломался велосипед, и он продолжал
путь пешком, двигаясь в 4,5 раза медленнее, чем на велосипеде.
Его обгоняют! второй велосипедист — через 5/8 ч после поломки,
а пешеход — через 10,8 ч после поломки. К моменту поломки
второй велосипедист проехал в два раза большее расстояние, чем
то, которое прошел пешеход к моменту, на 5/36 ч более поздне¬
му, чем момент поломки. Через сколько часов после начала дви¬
жения сломался велосипед?
1.47.	Два пешехода вышли одновременно; первый из А в В,
второй из S в /4. Когда расстояние между ними сократилось в
шесть раз, нз Д в Л выехал велосипедист. Первый пешеход
встретился с ним в тот момент, когда второй прошел 4/9 расстоя¬
ния между В и А. Велосипедист в пункт А и первый пешеход в
пункт В прибыли одновременно. Определить отношение скоростей
пешеходов к скорости велосипедиста.
1.48.	Города А и В расположены на берегу реки, причем
город В расположен ниже по течению. В 9 ч утра нз города А
в город В отправляется плот. В это же время из города В в
город А отправляется лодка, которая встречается с плотом че¬
рез 5 ч. Доплыв до города А, лодка поворачивает обратно и
приплывает в город В одновременно с плотом. Успеют ли лодка
и плот прибыть в город Д к 21 ч (того же дня)?
1.49.	Из пункта А в пункт Д едет трактор. Радиус переднего
колеса трактора меньше радиуса заднего колеса. На пути из А
в В переднее колесо сделало на 200 оборотов больше, чем заднее.
Если бы длина окружности переднего колеса была в 5/4 раза
больше, то на пути из Л в Д оно сделало бы на 80 оборотов
больше, чем заднее колесо. Найти длины окружностей переднего
и заднего колес трактора, если длина окружности заднего ко¬
леса на 1 м больше длины окружности переднего колеса. '
1.50.	В авторалли одновременно стартовали 3 спортивных
автомобиля разных марок. Экипаж первого автомобиля во время
пути 3 ч устранял поломку и в результате финишировал на 1 ч
позже второго экипажа. Определить скорости автомобилей, если
известно, что скорость второго автомобиля относится к скорости
третьего как 5:4, скорость третьего на 30 км/ч меньше скорости
первого и что между моментами финиша второго и третьего ав¬
томобилей прошло 3 ч.
1.51.	Пароход делает рейсы между двумя городами; он идет
с одной скоростью при хорошей погоде и с другой — при плохой.
В понедельник хорошая погода во время рейса стояла на 1 ч
дольше, чем плохая. Во вторник пароход шел при хорошей по-

270
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
годе столько, сколько накануне при плохой, а при плохой пого<
де — на 1 ч 4 мин дольше. В среду пароход шел при хорошей
логоде на 2 ч 30 мин дольше, чем накануне, а плохая погода
застигла его в 9 км от места назначения. В четверг хорошая по<
года длилась на 0,5 ч дольше, чем во вторник, а затем произо<
шла авария, и пароход снизил скорость на 5 км/ч. Найдите рзс*
стояние, которое проходил пароход за день, и скорость парохода
в хорошую и в плохую погоду, если известно, что пароход шел
после аварии на полчаса дольше, чем до нее,
1.52.	Три пешехода одновременно вышлв в путь, каждый по
своему маршруту. Через t ч второму пешеходу осталось идти в
полтора раза больше того, что прошел первый, а первому оста»
лось идти втрое больше того, что прошел третий. Через 2< ч
после выхода первому осталось идти вдвое меньше того, что
прошел второй, а третий пешеход прошел столько, сколько оста»
лось идти первому и второму вместе. За какое время первый я
второй пешеходы прошли своя маршруты?
Некоторые задачи содержат условия, математическая запись
которых представляет собой неравенство.
Пример 1.4. Из города А в город В, находящийся на
расстоянии 105 км от А, с постоянной скоростью о км/ч выходит
звтобус. Через 30 мин вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч
выезжает автомобиль, который, догнав в пути автобус, повора¬
чивает обратно н движется с прежней скоростью. Определить все
те значения о, при которых автомобиль возвращается в город А
позже, чем автобус приходит в город В.
Решение. Наряду с неизвестной скоростью автобуса о
введем также неизвестное t — время, прошедшее от момента от¬
правления автобуса до встречи его с автомобилем.
Первое уравнение представляет собой математическую за¬
пись условия того, что автомобиль, вышедший на 0,5 ч позже,
догнал автобус, который к моменту его выхода отъехал от го-
ррда А па 0,5п км:
0.5п
40^”^-	<•>
Второе условие, которое выражено в виде требования, за¬
ключается в том, что автобус должен дойти до города В быст¬
рее, чем автомобиль вернется в город А. Очевидно, что для воз¬
вращения автомобилю понадобится столько же времени, т. е. t,
г автобусу, чтобы доехать до города В, понадобится время
105 -401	-	.
	, Тогда требование можно записать как нера-

S 1 ЗАДАЧИ НА ДПИЖЕНИЕ
вснство
105 — 40Г
<t.
(*•)
Подставляя в неравенство (**) t из уравнения (*), получаем
относительно о следующее неравенство:
о»+ 250о-210.40>0.
Так как автомобиль должен был догнать автобус в пути, то рас-
сгоянне до встречи не должно превышать 150 км. Следовательно,
второе неравенство имеет вид
40/ < 105
или
40-
0.5о
2 (40 — V)
< 105.
Решение системы неравенств (♦**). (*♦»*) представляет со¬
бой интервал 30 < о ^ 33,6.
Ответ. Скорость автобуса должна находиться в янтервале
еначений 30 < о ^ 33,6.
1.53.	Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км,
а затем поднимается против течения на 6 км. Скорость течения
равна I к.м/ч. В каких пределах должна лежать собственная ско¬
рость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 ч?
1.64.	Лодка плывет по реке против течения, скорость кото-’
рого V км/ч. Через 1 км пути она попадает в озеро со стоячей
водой. С какой собственной скоростью должна двигаться лодка,
чтобы общее расстояние S км она прошла не более чем за / ч?
1.55.	Из пунктов А к В, расстояние между которыми.120 км,
одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста
и встречаются позже чем через 5 ч. На следующий день они
выезжают одновременно в одну сторону из пунктов С и D, рас¬
стояние между которыми 36 км, причем велосипедист, едущий
впереди, движется со скоростью, на 6 км/ч большей, чем нака¬
нуне, а велосипедист, едущий сзади, движется с той же ско¬
ростью, что н накануне. Хватит ли второму велосипедисту 2 ч,
чтобы догнать первого?
1.56.	От прнстаин А к пристани В, находящейся от А на
расстоянии 12 км, вниз по течению реки отходит моторная лод¬
ка, скорость которой в стоячей воде равна 6 км/ч. Одновременно
С ней т В в А выходит катер, скорость которого в стоячей воде
равна 10 км/ч. После встречи они разворачиваются и возвраща-

272
ГЛ. П. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
ются к своим пристаням. Определить все возможные значения
скорости течения реки v, при которых лодка приходит в <4 не
раньше чем через час после возвращения катера в В.
1.57.	От пристани А вниз по реке, скорость течения которой
равна V км/ч, отходит плот. Через час вслед за ним выходит
катер, скорость которого в стоячей воде равна 10 км/ч. Догнав
глот, катер возвращается обратно. Определить все те значения v,
грн которых к моменту возвращения катера в А плот проходит
более 15 км.
1.58.	Деревня расположена на берегу реки, а школа —на
uiocce, пересекающем реку под прямым углом. Зимой школьник
ходит из деревни в школу напрямик на лыжах и тратит на до¬
рогу 40 мин. Весной, в распутицу, он идет берегом реки до
шоссе, а дальше — по шоссе до школы и тратит на дорогу
1 ч 10 мин. Наконец, осенью он проходит вдоль реки половину
(расстояния, отделяющего деревню от щоссе, а дальше идет на¬
прямик. При этом он доходит до школы быстрее чем за 57 мин.
Установить, что дальше; деревня от шоссе или школа от реки,
если известно, что пешком школьник ходит всегда с одной и
.той же скоростью, а на лыжах — со скоростью, на 25 % большей
(реку и шоссе считать прямыми линиями).
Движение по окружности. Если два тела движутся
по окружности радиуса R с постоянными скоростями Oi и Ог в
разных направлениях, то время между их встречами вычисляется
по формуле 2nRI{Vi -|- vt).
Если два тела движутся по окружности радиуса R с по¬
стоянными скоростями Vi и Vi (Ц| >- Ох) в одном направлении,
то время между их встречами вычисляется по формуле
2nRI{Vi — Vi).
Пример 1.5. Два тела, движущихся в разные стороны по
окружности длиной 1 м с постоянными скоростями, встречаются
каждые 6 с. При движении в одну сторону первое тело догоняет
второе каждые 48 с. Найти линейные скорости этих тел.
Решение. Обозначим скорости первого и второго тел че¬
рез П| м/с и Ох м/с соответственно. Тогда в согласии с условием
задачи получаем следующие системы уравнений:
1/(0| + vt) =6, о, ч- Ох = 1/6,
!/(»! — Ох) = 48, Pi—Ох =1/48,
Решая последнюю систему, получаем Oi = 3/32, оа = 7/96,
Ответ. Скорость первого тела равна 3/32 м/с, скорость вто*
рого равна 7/96 м/с.

s 1. ЗАДАЧИ НА ДБИЖЕПНН
273
1.59.	Два тела движутся по окружности равпомерао в одну
сторону. Первое тело проходит окружность на 2 с быстрее вто¬
рого и догоняет второе тело каждые 12 с. За какое время каж¬
дое тело проходит окружность?
1.60.	Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке на
стадионе. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей до¬
рожки первый тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они
начнут бег с общего старта в одном направлении, то еще раз
встретятся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробе¬
гает в секунду каждый?
1.61.	По двум концентрическим окружностям равномерно
вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на
5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать в 1 мин
на два оборота больше. Сколько оборотов в минуту совершает
каждая точка?
1.62.	По окружности радиуса R равномерно в одном направ-'
лении движутся две точки. Одна нз них делает полный круг на
t с быстрее второй, а время между последовательными встреча¬
ми равно Т. Определить скорости точек.
1.63.	На беговой дорожке состязались два конькобежца на
дистанции S км. Когда победитель подошел к финишу, другому
оставалось бежать еще целый круг. Определить длину беговой
дорожки, если победитель, проходя каждый круг па а с быстрее
побежденного, закончил дистанцию за i мин.
1.64*. Часовая и минутная стрелки совмещаются в полночь.
В какое время нового дня впервые вновь совпадут часовая и ми¬
нутная стрелки, если допустить, что стрелки часов движутся без
скачков?
1.65.	Часы показывают в некоторый момент на 2 мин мень¬
ше, чем следует, хотя они спешат. Если бы они показывали на
3 мин меньше, но уходили бы вперед в сутки на 1/2 мин больше,
чем уходят сейчас, то верное время они показали бы на сутки
раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки спешат эти
часы?
1.66.	По сигналу дрессировщика два пони одповремешю по¬
бежали равномерно вдоль внешней окружности арены цирка в
противоположных направлениях. Первый пони бежал быстрее
второго и к моменту встречи пробежал на 5 ы больше, чем вто¬
рой. Продолжая бег, первый пони подбежал к дрессировщику
через 9 с после встречи со вторым пони, а второй — через 16 с
после встречи. Каков диаметр арены?
1.67.	На дороге, представляющей собой окружность длиной
в 36 км, пункты А и В являются диаметрально противополож¬
ными точками этой окружности, Велос/шедист выехал из пунк-

274
ГЛ. II. ЗАДАЧИ ПА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
та Л а сделал два круга. Первый круг он прошел с некоторой
постоянной скоростью, после чего уменьшил скорость на 3 км/ч.
Известно, что время между двумя его прохождениями через
пункт В равно 5 ч. Определить скорость, с которой велосипедист
прошел первый круг.
1.68.	Три гонщика — сначала А, потом В и затем С — стар¬
туют с интервалом в 1 мин из одной точки кольцевого шоссе в
двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каж¬
дый гонщик затрачивает на круг более 2 мин. Сделав три круга,
гонщик Л в первый раз догоняет В у точки старта, а еще через
3 мнн он вторично обгоняет С. Гонщик В впервые догнал С
также у точки старта, закончив 4 круга. За сколько минут про¬
ходит круг гонщик А?
1.69.	Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно, дви¬
жутся с постоянными скоростями в одном направлении по коль¬
цевому шоссе. В момент старта гонщик В находился' перед гон¬
щиком А на расстоянии 1/3 длины шоссе, а гонщик С — перед
гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал
В в тот момент, когда В закончил свой круг, а еще через
10 мин впервые догнал гонщика С. Гонщик В тратит на круг на
2.5 мнн меньше, чем С. За сколько минут проходит круг гон¬
щик Л?
1.70.	Из пункта А кольцевого шоссе одновременно в одном
паправленни выехали автомобиль и мотоцикл, каждый с постоян¬
ной скоростью. Автомобиль без остановок дважды проехал по
шоссе в одном направлении. В момент, когда автомобиль догнал
мотоциклиста, мотоциклист повернул обратно, увеличил скорость
на 16 км/ч и через 22,5 мнн после разворота одновременно с
автомобилем прибыл в пункт Л. Найти длину всего пути мото¬
цикла, если этот путь на 5,25 км короче длины шоссе.
Задачи на равноускоренное движение. При
решении этих задач используются две следующие формулы, свя¬
зывающие время /, пройденное расстояние S, начальную скорость
о», ускорение а и скорость о:
S = оо/ -Ь а/*/2.
а «= (п _ ро)/1,
где а > О, если движение равноускоренное, и а < 0, если дви¬
жение равнозамедленное.
Пример 1.7. Автомобиль едет от пункта Л до пункта В
с постоянной скоростью 42 км/ч. В пункте В он переходит на
равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость
уменьшается на а км/ч, в едет так до полной остановки. Затем
он сразу же начинает двигаться равноускоренно с ускорением

$ I. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИВ
275
а км/ч’. Каково должно быть значение а, чтобы через 3 ч после
возобновления движения автомобиль находился ближе всего к
пункту в?
Решение. Обозначим расстояние от пункта В до места
остановки автомобиля через S| км, а время движения автомобиля
от момента выезда из пункта В до момента остановки — через
/| ч. Через В] км обозначим расстояние, которое проехал авто¬
мобиль за 3 ч после возобновления движения. Условия задачи с
помощью введенных неизвестных можно записать в виде системы
уравнений, полученных из таблицы:
Условие зацачн
Уравнение
В пункте В автомобиль, движущийся со
скоростью 42 км/ч, переходит на равно-
аамедлезное движение, причем аа каждый
час его скорость уменьшается на а км/ч,
я едет так до полной остановки
Автомобиль движется равноускоренно с
ускорсннем а км/ч’ в течение 3 ч
42
<1 '
.42/,
а У
2
Таким образом, получена система трех уравнений
«-42/1,.
S,-42/,-a/J/2.
Si =9а/2
для нахождения четырех неизвестных о, Si п 5з- Однозначно
найти искомое ускорение а из дайной системы нельзя. Однако
в условии задачи содержится еще одно условие, позволяющее
найти величину о, а именно требуется найти такое зИачение а,
чтобы расстояние Si St было минимальным. Запишем расстоя¬
ние 5| -4- St в виде функции ускорения а. Из первого уравнения
системы получаем /| = 42/а. Подставляя вместо во второе
уравнение системы величину 42/а и складывая полученное урав¬
нение с третьим уравнением системы, получаем
с , о 42’ 9а
Функция /(а) = S» -f Sa на промежутке (0; оо) достигает нан-
меиьшего значения при а = 14.
Ответ, а =» 14 км/ч’.
1.71.	Известно, что свободно падающее тело проходит в пер¬
вую секунду 4,9 м, а в каждую следующую — на 9,8 м больше,

276
ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
чем в предыдущую. Пусть два тела начали падать с одной вы*
соты одно за другим с интервалом 5 с. Через какое время они
будут друг от друга на расстоянии 220,5 м?
1.72.	Два тела начали двигаться одновременно в одном н
том же направлении из двух точек, расстояние между которыми
20 м. Одно из них, находящееся позади, движется равноускорен¬
но и проходит в первую секунду 25 м, а в каждую следую¬
щую — на 1/3 м больше, чем в предыдущую; другое тело, дви¬
гаясь равнозамедленно, проходит в первую секунду 30 м, а в
каждую следующую —на 1/2 и меньше, чем в предыдущую.
Через сколько секунд они встретятся?
1.73.	Две материальные частицы, находящиеся на расстоянии
295 м одна от другой, одновременно начали двигаться навстречу
друг другу. Первая частица движется равномерно со скоростью
15 м/с, а вторая в первую секунду продвинулась на 1 м, а в
каждую следующую секунду продвигается на 3 м больше, чем
в предыдущую. На какой угол переместится секундная стрелка
часов за время, прошедшее от начала движения частиц до нх
встречи?
1.74.	Два тела движутся навстречу друг другу из двух то¬
чек, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в
первую секунду 6 м, а в каждую с.чедующую про.ходпло на 6 м
больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно
со скоростью 12 м/с н начало движение спустя 5 с после пер¬
вого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться пер¬
вое тело, они встретятся?
1.76.	Два парохода движутся навстречу друг другу в тумане
с одинаковыми скоростями Vo- На расстоянии 4 км между ними
капитаны включают на некоторое время обратный ход с ускоре¬
нием 0,1 м/с^ Какова наибольшая скорость пароходов Vo, при
которой они не столкнутся?
1.76.	Мяч катится по футбольному полю перпендикулярно
его боковой линии. Предположим, что, двигаясь равнозамедлен¬
но, мяч катился в первую секунду 4 м, а в каждую следующую
секунду — на 0,75 м меньше, чем в предыдущую. Футболист, на¬
ходящийся первоначально в 10 м от мяча, побежал в направле¬
нии движения мяча, чтобы догнать его. Двигаясь равноускорен¬
но, футболист пробежал в первую секунду 3,5 м, а в каждую
следующую секунду пробегал на 0,5 м больше, чем в предыду¬
щую. За какое время футболист догонит мяч и успеет ли он
догнать мяч до выхода того за боковую линию, если до линии
поля футболисту надо пробежать 23 м?
1.77.	Автомобиль ехал в гору. В первую секунду после до¬
стижения пункта А ов проехал 30 м, а в каждую следующую

§ I. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИВ
277
секунду он проезжал на 2 м меньше, чем о предыдущую. Через
9 с после того, как автомобиль достиг пункта Л. навстречу ему
выехал автобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 м
от пункта А. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в каж¬
дую следующую секунду он проезжал на 1 м больше, чем в
предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи в
автомобилем?
1.78.	Мотоциклист выезжает нз пункта А и движется с по¬
стоянным ускорением 12 км/ч^ (начальная скорость равна нулю).
Достигнув скорости п км/ч, он едет с этой скоростью 25 км, а
затем переходит на равнозамедленное движение, причем за каж¬
дый час его скорость уменьшается на 24 км/ч, н движется так
до полной остановки. Затем он сразу же поворачивает обратно
н едет до пункта А с постоянной скоростью о км/ч. При какой
скорости V мотоциклист быстрее всего проделает обратный путь
от остановки до пункта Л?
1.79.	Два автомобиля едут по шоссе друг за друго.ч на рас¬
стоянии 20 м со скоростью 24 м/с. Шоферы, заметив впереди
препятствие, начинают тормозить. В результате автомобили пе¬
реходят на равнозамедленное движение с ускорениями а. и at
(oi < о и oi < 0) н движутся так до полной остановки. Шофер
переднего автомобиля начал торможение на 2 с раньше шофера
заднего автомобиля. Ускорение переднего автомобиля есть
Oi = —4 м/с^. Наименьшее расстояние, на которое сближа¬
лись автомобили, равнялось 4 м, Определить, какой автомо¬
биль остановился раньше, и найти ускорение at заднего апто-
мобиля.
1.80.	Грузовой лифт опускается в башне высотой 320 м. Ска¬
чала он движется со скоростью 20 м/с, а потом его скорость
мгновенно переключается и становится равной 50 м/с. Спустя
некоторое время после начала движения лифта с вершины башин
сбрасывают камень, который совершает свободное падение и до¬
стигает земли одновременно с лифтом. Известно, что во время
падения камень был все время выше лифта, причем максималь¬
ная разность высот между ними составляла 60 м. В момент
переключения скорости лифта скорость камня превышала 25 м/с,
но была меньше 45 м/с. Определить, спустя какое время после
начала движения лифта сбросили камень. При решении задачи
ускорение свободного падения камня считать равным 10 м/с*.
1.81*. Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли одно¬
временно два поезда. Каждый из них двигался сначала равно¬
ускоренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения
различны), а затем, достигнув некоторой скорости, равномерно.
Отношение скоростей при равномерном движении поездов равно

278
ГЛ. И.ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
4/3. В момент встречи поезда имели равные скорости, а в пункты
В и А прибыли одновременно. Найти отношение ускорений по¬
ездов.
1.82*. Из пунктов А н В навстречу друг другу одновременно
вышли два поезда. Каждый из ни.ч двигался сначала равноуско¬
ренно, а затем, достигнув некоторой скорости, равномерно. Отно¬
шение скоростей равномерного движения поездов равно 5/4.
В некоторый момент времени скорости поездов оказались рав¬
ными; один из них прошел к этому моменту расстояние, в
1 раза большее, чем другой. В пункты В п А поезда прибыли
одновременно. Какую часть пути прошел каждый из поездов к
тому времени, когда их скорости оказались равными?
1.83. С поезда сошли два пассажира и направились в один
п тот же пункт. Первый шел половину времени со скоростью
а км/ч, а вторую половину — со скоростью Ь км/ч, а второй пер¬
вую половину пути — со скоростью Ь км/ч, а вторую половину —
со скоростью а км/ч. Который из них пришел быстрее к месту
назначения?
§ 2. Задачи на работу и производительность труда
Система уравнений, которую можно составить на основания
условий, в задачах на работу обычно содержит следующие вели¬
чины: время t, в течение которого производится работа, произво¬
дительность N — работу, произведенную в единицу времени, и
собственно работу А, произведенную за время t.
Уравнение, связывающее эти три величины, имеет вид А
N-t.
К задачам на работу можно с очевидными изменениями от¬
нести часто встречающиеся задачи на перекачивание жидкости
насосами. В качестве произведенной работы в этом случае удоб¬
но рассматривать объем перекачанной воды.
Пример 2.1. В бассейн проведены две трубы — подающая
я отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется
на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполнен¬
ном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн
оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов одна первая труба
может наполнить бассейн и за сколько часов одна вторая труба
может опорожнить полный бассейн?
Решение. Пусть V м* —объем бассейна, производитель¬
ность падающей трубы — х м’/ч, отводящей — у м*/ч. Время, не¬
обходимое подающей трубе для заполнения бассейна, — VIx ч,
время, необходимое отводящей трубе на опорожнение бассей-

§ 2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗБОДИТЕЛЬНОСТЬ 279
на, — Vjy ч. По условию задачи
V/jt-V/y-2.
Так как производительность отводящей трубы больше произво¬
дительности наполняющей (х < у), то при обеих включенных
трубах будет происходить опорожнение бассейна и одна треть
X «	V'/З
бассейна опорожнится за время -—которое по условию
задачи равно 8 ч.
Итак, условие задачи может быть записано в виде системы
двух уравнений для трех неизвестных
Vlx-Vly = 2.
VKy-x) = 2A.
Разделим числитель я знаменатель дробя, стоящей во вто¬
ром уравнении системы, на V. Тогда относительно непрерывных
V	V
“ —— ч — ~ получим следующую систему уравнений;
*	У
= 24,
которая эквивалентна системе
« — 0 = 2,
й • о = 48,
т. е. и = 8, 0 = 6.
Ответ. 8ч ибч.
Пример 2.2. Для прокладки траншеи выделены два экска¬
ватора разных типов. Время, необходимое первому экс|саватору
для самостоятельной прокладки траншеи, на 3 ч меньше времени,
необходимо второму экскаватору. Сумма этих времен в
. 4
раза больше времени, необходимого для прокладки тран¬
шеи при совместной работе двух экскаваторов. Определить,
сколько времени необходимо каждому экскаватору для самостоя¬
тельной прокладки траншеи.
Решение. В качестве неизвестных введем следующие ве¬
личины; А м^ —объем вынутого грунта, м*/ч и N% м*/ч—
производительности первого и второго экскаваторов. Время, не¬
обходимое первому экскаватору для самостоятельной прокладки
траншеи, — Л/Л/|, а второму — Л/JVi. По условию задачи эти две
величины связаны равенством
Л/ЛГ, + 3 = Л/Л/»,

«80
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
а их сумма AjNx + А!N2 в 4 — раза больше времени, необхо¬
димого для прокладки траншеи при совместной работе двух экс¬
каваторов, т. е.
35 Ni + Ni
А А
' Ni^ N,'
1
35 Nx Nt
А А
Nx
N2'
Введем неизвестные х>
N
и у.
. Тогда исходная систе-
N%
ма может быть записана в виде
- 4 ху
Подставляя у из второго уравнения в первое, получаем относи¬
тельно X следующее уравнение;
4х»Ч- 12х —315 = 0.
Положительный корень этого уравнения х = 7,5 представляет
собой время самостоятельной прокладки траншеи первым экска¬
ватором. Из второго уравнения системы получаем, что у = 10,5,
Ответ. 7,5 ч н 10,5 ч.
2.1.	Бригада лесорубов должна была по плану за несколько
дней заготовить 216 и’ дров. Первые три дня она работала по
плану, а затем каждый день заготовляла на 8 м’ дров больше,
чем предусмотрено планом; поэтому уже за день до назначен¬
ного срока было заготовлено 232 и’ дров. Сколько кубометров
дров должна была заготавливать бригада в день по плану?
2.2.	Бригада слесарей может выполнить некоторое задание
по обработке деталей на 15 ч быстрее, чем бригада учеников.
Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание,
а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в те¬
чение 6 ч, то и тогда будет выполнено только 3/5 всего зада¬
ния. Сколько времени требуется бригаде учеников для само¬
стоятельного выполнения данного задания?
2.3.	Бак наполняется двумя кранами А н В. Наполнение
бака только через кран А длится на 22 мни дольше, чем напол¬
нение через кран В. Если же открыть оба крана, то бак напол¬
нится за 1 ч. За какое время каждый кран в отдельности может
наполнить бак?
2.4.	В кинозале имеются две (разные) двери. Через обе две-
Q 3
рн зрители после сеанса могут покинуть зал в течение 3 — мни.

$ 2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ'
281
Если их выпускать через одну ббльшую дверь, то выход из зала
займет времени на 4 мин меньше^ чем в том случае, если их
выпускать через меньшую дверь. Сколько времени требуется,
чтобы выпустить зрителей из зала кино через каждую дверь
в отдельности?
2.5.	Три вычислительные машины разных систем выполняют
некоторую работу. Одна вторая машина затрачивает на выпол¬
нение всей работы на 2 мин больше, чем одна первая. Одна
третья машина может выполнить всю работу вдвое медленнее,
чем одна первая. Так как части работы однотипны, то всю ра¬
боту можно поделить между тремя машинами. Тогда, работая
вместе, они закончат работу через 2 мин 40 с. За какое время
может выполнить эту работу каждая машина, работая самостоя¬
тельно?
2.6.	А выполняет некоторую работу на t дней дольше, чем В,
и на Г дней дольше, чем С; А и В, работая вместе, выполняют
эту работу за столько же дней, что и С. Определить время, за
которое каждый выполняет эту работу самостоятельно. При ка¬
ком соотношении между / и Г задача имеет решение?
2.7.	Каждому из трех рабочих для выполнения некоторой
работы требуется определенное время, причем третий рабочий
выполняет ее на час быстрее первого. Работая все вместе, они
выполнят работу за 1 ч. Если же первый рабочий проработает
1 ч, а затем второй рабочий проработает 4 ч, то вместе они
выполнят всю работу. За сколько времени может выполнить всю
работу каждый рабочий?
2.8.	Двое рабочих получили одинаковые задания изготовить
определенное число деталей за определенный срок. Первый вы¬
полнил задание в срок, а второй выполнил в срок только 90 %'
задания, не додав столько деталей, сколько первый делал за
40 мин. Если бы второй рабочий делал в час на три детали
больше, он выполнил бы задание на 95%. Сколько деталей дол¬
жен был изготовить каждый рабочий?
2.9.	Два рабочих выполнили всю работу за 10 дней, причем
последние 2 дня первый нз них не работал. За сколько дней
первый рабочий выполнил бы всю работу, если известно, что за
первые 7 дней они вместе выполнили 80 % всей работы?
2.10.	Две бригады штукатуров, работая совместно, оштука¬
турили жилой дом за 6 дней. В другой раз они штукатурили
клуб и выполнили втрое больший объем работы, чем на штука¬
турке жнлого дома. В клубе они работали по очереди: сначала
работала первая бригада, а затем ее сменила и довела до конца
штукатурку клуба вторая бригада, причем первая бригада вы¬
полнила вдвое больший объем работы, чем вторая. Клуб был

282
ГЛ. П. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
оштукатурен за 35 дней. За сколько дней первая брягада смогла
бы оштукатурить жилой дом, если известно, что вторая бригада
потратила бы на это более 14 дней?
2.11.	Бригада из трех тракторов (два трактора марки А я
один трактор марки В) вспахивает поле площадью 400 га аа
10 суток при одновременной работе всех трех тракторов. Трак¬
тор марки В вспахивает все это поле на 8 суток быстрее, чем
то же поле вспахивает один трактор марки А. Сколько гектаров
в сутки вспахивают трактор марки А и трактор марки В каж¬
дый в отдельности?
2.12*. Каждому из двух рабочих поручили обработать оди¬
наковое число деталей. Первый начал работу сразу и выполнил
ее за 8 ч. Второй же потратил сначала больше 2 ч па наладку
приспособления, а затеи с его помощью закончил работу на 3 ч
раньше первого. Известно, что второй рабочий через час после
начала своей работы обработал столько же деталей, сколько
к этому моменту обработал первый. Во сколько раз приспособ¬
ление увеличивает производительность станка (т.е. количество
обрабатываемых деталей за час работы)?
2.13.	Два трактора вспахивают поле, разделенное на две
равные части. Оба трактора начали работу одновременно, и каж¬
дый вспахивает свою половину. Через 5 ч после того момента,
когда они совместно вспахали половину всего поля, выяснилось,
что первому трактору осталось вспахать 1/10 часть своего участ¬
ка, а второму—4/10 своего участка. Сколько времени понадо¬
бится второму трактору, чтобы одному вспахать все поле?
2.14.	Бригада рабочих должна была изготовить 360 деталей.
Изготовляя ежедневно на 4 детали больше, чем предполагалось
по плану, бригада выполнила задание на день раньше срока.
Сколько дней затратила бригада на выполнение задания?
2.15.	Двум машинисткам было поручено выполнить некото¬
рую работу. Вторая приступила к работе на 1 ч позднее первой.
Через 8 ч после того, как первая начала работу, нм осталось
выполнить 9/20 всей работы. По окончаннн работы оказалось,
что каждая машинистка выполнила половину всей работы. За
сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить
всю работу?
2.16.	Три бригады работают с постоянной производитель¬
ностью, прокладывая рельсовые пути. Первая и третья бригады,
работая совместно, прокладывают 15 км путей в месяц. Три
бригады вместе укладывают в месяц в два раза больше путей,
чем первая в вторая бригады пря их совместной работе. Найти,
. сколько километров путей укладывает в месяц третья бригада.

§ 2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ
283
если известно, что вторая бригада совместно с третьей уложили
некоторый участок пути в четыре раза быстрее, чем его уложила
бы одна вторая бригада.
2.17.	Для разгрузки парохода выделены две бригады грузчи¬
ков. Сумма времени, необходимого первой бригаде для самостоя¬
тельной разгрузки парохода, и времени, необходимого второй
бригаде для самостоятельной разгрузки парохода, равна 12 ч.
Найти эти времена, если их разность составляет 45 % от вре¬
мени, необходимого брнгада.ч для совместной разгрузки паро¬
хода.
2.18.	К резервуару объемом 24 м^ подведены две трубы. Че¬
рез первую трубу вода может только выливаться со скоростью
2 ы’/ч, а вторая труба может только наполнять резервуар. Вна¬
чале, когда резервуар был пуст, одновременно открыли две тру¬
бы. После того как резервуар оказался заполненным наполовину,
первую трубу закрыли, а вторая продолжала наполнять резер¬
вуар. В результате резервуар был наполнен за 28 ч 48 мин.
Какое количество воды за 1 ч подает вторая труба?
2.19.	Два насоса перекачали 64 м^ воды. Они начали рабо¬
тать одновременно н с одинаковой производительностью. После
того как первый из них перекачал 9 м^ воды, его остановили на
1 ч 20 ИНН. После перерыва производительность первого насоса
увеличили на 1 м’/ч. Определить начальную производительность
насосов, если первый насос перекачал 33 м’ воды и оба насоса
окончили работу одновременно.
2.20.	На угольной шахте сначала работали два участка, а
через некоторое время вступил в строй третий участок, в резуль¬
тате чего производительность шахты увеличилась в полтора раза.
Сколько процентов составляет производительность второго участ¬
ка от производительности первого, если известно, что > за четыре
месяца первый и третий участки выдают угля столько же.'рсоль-
ко второй за весь год?
2.21.	Два рабочих, из которых второй начал работать на
1,5 дня позже первого, работая независимо один от другого,
оклеили обоями несколько комнат за 7 дней, считая с мо.мента
выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа была
поручена каждому отдельно, то первому для ее выполнения по¬
надобилось бы па 3 дня больше, чем второму. За сколько дней
каждый R3 них отдельно выполнил бы эту же работу?
2.22.	Если две трубы открыть одновременно, то бассейн на¬
полнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала была
открыта только первая труба на 1/4 временя, необходимого вто¬
рой трубе для наполнения бассейна. Затем первую трубу закры¬
ли (1 открыла вторую трубу ва 1/4 времени, необходимого пер-

284
ГЛ. If. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
ВОЙ, чтобы ОДНОЙ наполнить бассейн. После этого оказалось, что
остается наполнить еще 11/24 часть объема бассейна. Сколько
времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в
отдельности?
2.23.	Два студента одновременно начали готовиться к экза¬
мену, назначенному для обоих на один и тот же день. Первый
студент должен прочитать 240 страниц, а второй — 420. Каждый
читает ежедневно одно и то же целое число страниц, причем
Верный прочитывает на 12 страниц меньше второго. После того
как каждый прочел свой материал по одному разу, у них оста¬
лось время на повторение: у первого — 7 дней, у второго—5 дней.
Определить, какое целое число страниц в день надо было бы
читать каждому студенту, чтобы на повторение им осталось по
8 дня.
2.24.	В одном из отсеков судна возникла течь, и отсек ока-
вался целиком заполнен водой. Для откачки воды включены два
насоса разной производительности. Через 18 ч после этого течь
была устранена, второй насос выключен, и еще через 12 ч воды
В отсеке не осталось. Если бы течь устранить не удалось, то два
иасоса осушили бы отсек наполовину черев 10 ч совместной
работы. За какое время второй насос осушил бы отсек наполо¬
вину, если бы не удалось устранить течь?
2.25.	Три экскаватора участвовали в рытье котлована объ¬
емом 340 м*. За час первый экскаватор вынимает 40 м’ грунта,
второй — на с м’ меньше первого, а третий — на 2с м* больше
первого. Сначала работали одновременно первый и второй экска¬
ваторы и выкопали 140 м* грунта. Затем оставшуюся часть кот¬
лована выкопали, работая одновременно, первый н третий экска¬
ваторы. Определить значение с (0< с< 15), при котором кот¬
лован был выкопан за 4 ч, если работа велась без перерыва.
2.26.	Три экскаватора получили задание вырыть по котлова¬
ну; первый и второй—е.угкостью по 800 м®, а третий — емкостью
,'400 м’. Первый н второй экскаваторы вместе вынимают за чао
Грунта в 3 раза больше, чем третий; первый и третий экскава¬
торы начали работу одновременно, а второй — в тот момент,
когда первый вынул уже 300 м* грунта. Когда третий экскаватор
|^ыполнил 2/3 своей работы, второй вынул 100 и* грунта. Пер-
^ым выполнил свое задание третий экскаватор. Сколько кубо¬
метров грунта вынул первый экскаватор к моменту, когда тре¬
тий закончил рыть свой котлован?
2.27*. Имеется три насоса. Второй насос перекачивает за чао
^двое больше воды, чем первый, а третий насос перекачивает за
|^ас на 8 м* больше, чем второй. Два бассейна вместимостью
^ и* и 1680 и* начали заполнять одцовременно. Бассейн вие^

$ 2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ
285
стимостью 600 м’ заполнял первый насос. В другой бассейн сна¬
чала вторым насосом накачали 240 м^, а зате.м его без потери
времени заменили третьим насосом, который и заполнил пол¬
ностью этот бассейн. Больший бассейн был заполнен на 6 ч
позднее, чем меньший бассейн. Если бы в больший бассейн о
самого начала качал воду только третий насос, то он был бы
заполнен на 5 ч позднее, чем первый бассейн. Сколько кубомет¬
ров воды перекачивает за час первый насос?
В некоторых задачах искомая величина является комбняа- ■
иней неизвестных, относительно которых удается составить урав¬
нения, используя условия задачи.
Пример 2.3. Бассейн был наполнен водой несколькимн на¬
сосами одинаковой производительности, которые включались в
работу один за другим через равные промежутки времени. Пер¬
вый насос перекачал на больше последнего. Если промежутки
времени между включениями насосов уменьшить втрое, то время
наполнения умепыиится на 10%. Какой объем воды перекачает
каждый насос при наполнении бассейна, если одновременно
включить все насосы?
Р е ш е и п е. Введем неизвестные, неявно фигурирующие в
условии задачи; п —число насосов, х — производительность, ti —
время работы одного насоса в первом случае, d — интервал ме¬
жду включениями насосов, /j—время работы одного насоса при
одновременном включении.
Так как времена работы насосов образуют арифметическую
прогрессию н последиин при этом перекачивает воды на Kj
меньше первого, можно составить уравнение
х/,-х[/,-(я-1)41 = Ил.	(•)
В первом случае объем перекачанной воды V можно выразить
через введенные неизвестные, используя формулу суммы ариф¬
метической прогрессии;
„ 2xtx—x{n—\)d
V 		5	п.
Во втором случае промежутки между включениями сократились
в три раза и время наполнения — на 10%, т. е. тот же объем
будет равен
2x0,91,— лс(п — 1) -
•п.
Приравнивая эти выражения, получаем второе уравнение
1|Х —-^х(я — 1, d.
(*♦)

28в
ГЛ. II, ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
Если сразу будут включены все насосы, то к моменту наполне¬
ния бассейна каждый из них проработает время t%, а перекачает
x-ti литров. Так как насосов всего л, а вместе они перекачают
весь объем, то можно составить следующее уравнение:
2xt^—x(n — \)d
2	* ^	^-2 * п,
или
2х/| —х(п — t)d
Xt2-
10
Из уравнения (•) x{n — l)d = V„, а из (•»)	Под¬
ставляя эти значения в (***), получаем
xti = -g- Уя.
Ответ.
2.28.	Для уборки урожая было выделено несколько одина¬
ковых комбайнов, которые могли бы убрать поле за 24 ч, если
бы приступили к работе одновременно. Но случилось так, что
они приступали к работе один за другим через равные проме¬
жутки времени, и затем каждый работал до окончания уборки.
За какое время была проведена уборка урожая, если первый
комбайн работал в 5 раз дольше, чем последний?
2.29*. Бассейн заполняется с помощью нескольких насосов
одинаковой производительности, которые включились один за
другим через равные промежутки времени. Последний насос пе¬
рекачал V л воды. Сколько воды перекачал первый насос, если
известно, что при уменьшении производительности каждого на¬
соса на 10% (при таких же промежутках между включениями)
время наполнения бассейна увеличится на 10 %?
2.30.	Три насоса одновременно начали выкачивать воду, каж¬
дый из своего резервуара. Когда третий насос опорожнил ct-ю
часть объема своего резервуара (а < 1/2), второму оставалось
качать столько, сколько выкачал первый; когда третьему остава¬
лось опорожнить (1—а)-ю часть объема, первому оставалось
выкачать столько, сколько выкачал второй. Первый насос опо¬
рожняет второй резервуар за то же время, за какое второй на¬
сос опорожняет первый резервуар. Какой из насосов работал
дольше других п во сколько раз? (Производительность каждого
насоса постоянна.) Исследовать зависимость решения от вели¬
чины а.
2.31*. Бассейн был заполнен с помощью нескольких насосов,
Которые включались один за другим через некоторые промежут-

s 3. ЗАДАЧИ НА процентный ПРИРОСТ
287
ки времени. Большую часть времени насосы работали вместе и
вторую половину бассейна наполнили за t ч быстрее первой.
Насколько быстрее будет заполнен бассейн, если промежутки
между включениями насосов уменьшить в п раз при той же по¬
следовательности включения? (Производительность каждого на¬
соса постоянна.)
2.32.	Бассейн наполнялся несколькими насосами одинаковой
производительности, которые включались одни за другим через
равные промежутки времени. К моменту включения последнего
насоса была заполнена 1/6 часть бассейна. В другой раз при на¬
полнении этого бассейна производительность каждого насоса
была уменьшена на 10 %, а промежутки между включениями
остались прежними. Какую часть бассейна наполнят насосы в
этот раз за первую половину всего времени работы?
§ 3. Задачи на процентный прирост
и вычисление «сложных процентов»
Решение задач на процентный прирост и вычисление «слож¬
ных процентов» основано на использовании следующих понятий
и формул. Пусть некоторая переменная величина А, зависящая
от времени t, в начальный момент < = 0 имеет значение Ао, а
в некоторый момент времени li имеет значение Ai. Абсолютным
приростом величины А за время называется разность <4|—Ао,
относительным приростом величины А за время ti — отношение
АI'— Ап	.	.
——7—— и процентным приростом величины А за время —
ло
величина
Af — j4o
100%'.
Обозначая процентный прирост величины А через р %, полу¬
чаем следующую формулу, связывающую значения Ио, At а
процентный прирост р:
At — /4о
Ю0%=р%.
Запись последней формулы в виде
At = Ло ^1 -f	= Ао + Ао
100
позволяет по известному значению Ао н заданному значению р
вычислить значение At, т. е. значение А в момент времени It,

288
ГЛ. И. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Пусть теперь известно, что и далее при t> ti величина А
имеет процентный прирост р%. Тогда в момент времени
значение величины Аг = Л {1%) будет равно
В момент времени (» =< 3^ значение величины Аз = А ((г) есть
А»ш=Аг (*	+f^)
в момент времени nt%:
(^+■iooУ
Если за время /| (на спервом этапе») величина А нзмени>
лась на pi%, на «втором этапе» (т.е. за время ti — <i * Л)—
на Pi %, на «третьем этапе» (т.е. за время U — <i = <i)—на
р>% ИТ. д., то значение величины А в момент /л => nti вычис->
ляется по формуле
... (l+-^)-
Пример 3.1. Предприятие работало три года., Выработка
продукции за второй год работы предприятия возросла на р%,
а на следующий год она возросла на 10 % больше, чем в преды¬
дущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработ¬
ка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась
в общей сложности на 48,59 %.
Решение. Обозначим количество продукции, произведен¬
ной за первый, второй и третий годы работы предприятия, через
At, Ai и Aj соответственно. По условию задачи за второй год
процентный прирост составил р %, а за третий год — (р + 10) %.
В соответствии с определением процентного прироста эти условия
дают два уравнения
Aj — А|
100 % = р % ,
Аз — Ад
Аа
100 % » (р + 10) %.
По условию задачи также известно, что за два года производ¬
ство выросло на 48,59 %, т. е. в третий год предприятие произво¬
дило на 48,59 % продукции больше, чем в первый год. Это усло¬
вие можно записать в виде уравнения
Aj — At
100% =48,59%.

s 3. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТНЫЙ ПРИРОСТ
289
Запишем полученные уравнения в виде следующей системы:
100
Умножая первое уравнение на второе, получаем
(' + w)(' + ^)-
Из полученного уравнения и третьего уравнения системы
получаем уравнение для отыскания неизвестной величины р;
('+-4) ('+-«•
Корни последнего квадратного уравнения: pi = 17, рг=> 227,
По смыслу задачи подходит первый корень pt = 17,
Ответ. 17 %.
8.1.	Сберкасса начисляет ежегодно 3 % от суммы вклада.
Через сколько лет внесенная сумма удвоится?
3.2.	Население города ежегодно увеличивается на 1/50 на¬
личного числа жителей. Через сколько лет население утроится?
3.3.	За килограмм одного продукта и десять килограммов
другого заплачено 2 р. Если при сезонном изменении цен первый
продукт подорожает на 15 %, а второй подешевеет на 25 %, то
за такое же количество этих продуктов будет заплачено 1 р. 82 к.
Сколько стоит килограмм каждого продукта?	^
3.4.	В начале года в сберкассу на книжку было Внесено
1640 р., а в конце года было взято обратно 882 р. Еще через
год на книжке снова оказалось 882 р. Сколько процентов начис¬
ляет сберкасса в год?
3.5.	В букинистическом магазине антикварное собрание сочи¬
нений стоимостью 350 р. уценивали дважды на одно и то же
пиело процентов. Найти это число, если известно, что после двой¬
ного снижения цен собрание сочинений стоит 283 р. 50 к.
8.6.	В течение года завод дважды увеличивал выпуск про¬
дукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если
известно, что в начале года завод выпускал ежемесячно 600 из¬
делий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.
8.5.	Вкладонку на его сберкнижку за год сберкасса начис¬
лила 6 р. процентных денег, Добавив 44 р., вкладчик оставил
10	А, г, Цыоквв, А, И, ПваскнК

С90
ГЛ. и. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
деньги еще на год. По истечении года вновь было пронэведено
начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами со¬
ставил 257 р. 50 к. Какая сумма первоначально была положена
на сберкнижку и был ли этот вклад обыкновенным (2 %-ным)
или срочным (3%-ным)?
3.8.	Магазин радиотоваров продал в первый рабочий день
месяца 105 телевизоров. В каждый следующий рабочий день
дневная продажа возросла на 10 телевизоров, и месячный
план — 4000 телевизоров — был выполнен досрочно, причем в це¬
лое число .рабочих дней. После этого ежедневно продавалось на
13 телевизоров меньше, чем в последний день выполнения плана.
На сколько процентов был перевыполнен .месячный план прода¬
жи телевизоров, если в месяце 26 рабочих дней?
3.9.	Известно, что вклад, находящийся в банке с начала
года, возрастает к концу года иа определенный процент (свой
для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества
денег положили в первый банк, а оставшуюся часть —во второй
банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 де¬
нежным единицам, к концу следующего года —749 денежным
единицам. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6 ис¬
ходного количества денег положили во второй банк, а оставшую¬
ся часть — в первый банк, то по нстеченин одного года сумма
вкладов в эти банки стала ба равной 710 денежным едиинцам.
В предположении, что исходное количество денег первоначально
целиком положено в первый банк, определить величину вклада
по истечении двух лет.
8.10.	Производительность завода А составляет 40,96 % про¬
изводительности завода В. Годовой процент прироста продук¬
ции на заводе >4 на 30 % больше годового прироста продукцнв
на заводе В. Каков годовой процент прироста продукции на за¬
воде А, если на четвертый год работы завод А даст то же ко¬
личество продукции, что и завод В?
3.11.	Вклад в V рублей положен в сберегательную кассу с
р %-ным годовым приростом. В конце каждого года вкладчик бе¬
рет М рублей. Через сколько лет после взятия соответствующей
суммы остаток будет втрое больше первоначального вклада?
3.18.	В колбе в начальный момент кыеется N бактерий.
К концу каждого часа количество бактерий увеличивается на
р % по сравнению с вх колячествон в начале этого часа; кроме
того, в конце каждого часа из колбы берется порция, содержа¬
щая п {п ■< N) бактерий. Через сколько часов количество бакте¬
рий в колбе будет превышать (после взъятия соответствующей
порции) начальное вх количество в два раза?.

$ 4. ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 291
§ 4. Задачи с целочисленными неизвестными
Целочислснность искомого неизвестного обычно является до¬
полнительным условием, позволяющим выбрать его однозначно
из некоторого множества значений, удовлетворяющих остальным
условиям задачи.
Пример 4.1. Группа студентов, состоящая аз 30 человек,
получила на экзамене оценки 2, 3, 4, 5. Сумма полученных оце¬
нок равна 93, причем «троек» было бо.пьше, чем «пятерок», и
меньше, чем «четверок». Кроме того, число «четверок» делилось
на 10, а число «пятерок» было четным. Определить, сколько ка¬
ких оценок получила группа.
Решение. Обозначим количество «двоек» — х, «троек» — у,
«четверок» — г, «пятерок» — и. Тогда условия задачи можно за¬
писать в виде следующей системы уравнений и неравенств:
x + y + z + u^=ЭO,
2* -1- Зу + 4г 5и = 93,
у> и,
У<г,
Z -» Л • 10,
и = 21, I, k — целые числа.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем
x + 2y + Зг-f 4«=-63.
(•)
Так как г кратно 10, то единственное возможное значение для
к — это А = 1. Действительно, при k >■ I уравнение (•) не имеет
решения в целых положительных числах. Используя то, что
Z = 10, перейдем от уравнения (•) к уравнешю
* + 2у-Ь 4и =« 33.	*■	(•*)
Возможные значения для и (оно должно быть положительным,
четным и меньшим у < 10) и = 2, 4, 6, 8. Однако при и = 6
и и = 8 получаем, что 8 и > у при любом х. Следоаательао,
проверке подлежат лишь значения 4 н 2.
При и = 4 неизвестные х и у можно найти из следующей
системы уравнений:
х + 2у = 17.
2х + ЗушЗЗ.
решением которой является пара у=1, дг а 15, ве удовдетво-
ряющая условию у > и. При и = 2 система уравнений для х, у
имеет вид
х-)-2у-2б.
2х + 8у = 43.
10*

292
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
Решение этой системы х	11. у = ^ удовлетворяет условиям
задачи.
Ответ. «Пятерок> —2, «четверо» —10, «троек»—7,
«двоек» —11.
4.1.	Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом.
Если он наклеит по 20 марок па один лист, то ему не хватит
альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере одни
лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же аль¬
бом, на каждом листке которого наклеено по 21 марке, то всего
у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?
4.2.	В классе писали контрольную работу. Среди выставлен¬
ных за нее оценок встречаются только оценки 2. 3, 4, 5. Оценки
2, 3, 5 получило одинаковое число учеников, а оценок 4 постав¬
лено больше, чем всех остальных вместе взятых. Оценки выше 3
получили менее 10 учеников. Сколько троек и сколько четверок
было поставлено, если писали контрольную не менее 12 учени¬
ков?
4.3.	Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными до¬
мами, причем девятнэтажных домов меньше, чем пятиэтажных.
Если число девятнэтажных домов увеличить вдвое, то общее
число домов станет больше 24, а если увеличить вдвое число
пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27,
Сколько построено пятиэтажных домов и сколько девятиэтаж¬
ных?
4.4.	На стоянке находятся машины марок «Москвич» и «Вол¬
га», Общее число их менее 30. Если увеличить вдвое число
«Волг», а число «Москвичей» увеличить на 27, то «Волг» станет
больше; а если увеличить вдвое число «Москвичей», не изменяя
числа «Волг», то «Москвичей» станет больше. Сколько «Москви¬
чей» и сколько «Волг» находится на стоянке?
4.5.	В школьной газете сообщается, что процент учеников
некоторого класса, повысивших во втором полугодии успевае¬
мость, заключен в пределах от 2,9 до 3,1 %. Определить мини¬
мально возможное число учеников в таком классе.
4.6*. Завод должен переслать заказчику 1100 деталей. Де¬
тали для пересылки упаковываются в ящики. Имеются ящики
трех типов. Ящик первогр типа вмешает 70 деталей, ящик вто¬
рого типа — 40 деталей, ящик третьего типа — 25 деталей. Стои¬
мость пересылки ящика первого типа составляет 20 р., стоимость
пересылки ящика второго типа —10 р., стоимость пересылки
ящика третьего типа —7 р. Какие ящики должен использовать
завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей? (Недогруз¬
ка ящиков не допускается.)

5 i. ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 203
4.7*. Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого
экскаватора стоит 60 р. в день, производительность его в мягком
грунте —250 м’ в день, в твердом грунте—150 м’ в день.
Аренда второго экскаватора стоит 50 руб. в день, его производи¬
тельность в мягком грунте —180 м* в день, а в твердом —
100 м* в день. Первый экскаватор проработал несколько полных
дней и вынул 720 м’. Второй за несколько полных дней вынул
330 м^. Сколько дней работал каждый экскаватор, если колхоз
заплатил за аренду не более 300 р.?
4.8.	В вазе лежат конфеты двух сортов, причем число кон¬
фет первого сорта более чем на 20 штук превышает число кон¬
фет второго сорта. Одна конфета первого сорта весит 2 г, а кон¬
фета второго сорта — 3 г. Из вазы взяли 15 конфет одного сор¬
та, вес которых составил пятую часть от веса всех конфет, ле¬
жавших в вазе. Затем было взято еще 20 конфет другого сорта;
их вес оказался равным весу оставшихся в вазе конфет. Сколько
конфет каждого сорта лежало первоначально в вазе?
При решении некоторых задач с целочисленными неизвест¬
ными область изменения искомого неизвестного удается получить
лишь вследствие определения области изменения вспомогатель¬
ного неизвестного, некоторой функцией от которого является
искомое неизвестное. Условие целочисленности при этом исполь¬
зуется лишь для получения однозначного ответа.
Пример 4.2. Из пункта А в пункт В сплавляют по реке
плоты, отправляя нх через равные промежутки времени. Скоро¬
сти всех плотов относительно берега реки постоянны и равны
между собой. Пешеход, идущий из А в в по берегу реки, про¬
шел треть пути от А до S к моменту отплытия первого плота.
Дойдя до В, пешеход сразу отправился в А и встретил первый
плот, пройдя более 3/13 пути от д до А, а последний плот он
встретил, пройдя более 9/10 пути от В до А. Пешеход в пункт А
и седьмой плот в пункт В прибыли одновременно. Из пункта А
пешеход сразу вышел в В и прибыл туда одновременно с по¬
следним Гглотом. Скорость пешехода постоянна, участок реки
от А до д прямолинейный. Сколько плотов отправлено из
А в В?
Решение. Составим систему уравнений я неравенств ис¬
ходя из условий задачи. Для этого обозначим: расстояние от
А до В через S, скорости пешехода н реки через Оа и ор соответ¬
ственно, число плотов через л, расстояние от пункта В до встречи
пешехода о первым плотом через х, расстояние от пункта А до
встречи пешехода с последним плотом через у, Л —интервал
времени между пусками отдельных плотов.

294
ГЛ. 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
Все уравнения составляются нз условия равенства интер¬
валов времени, прошедших для каждого из движущихся объек¬
тов от момента начала движения до встречи:
Условие задачи
Уравнение
Время, прошедшее до встречи пеше¬
хода н первого плота
Время, прошедшее до встречи пеше¬
хода и последнего плота
Пешеход пришел в пункт А. когда
седьмой плот пришел в пункт В
Пешеход пришел в пункт В одновре¬
менно е последним плотом
■ S + X
S-X
0„
-•Ия-1) Д=
4-.
4-
--ЬбД
К этой системе уравнений исходя из условий задачи следует
добавить еще два неравенства:
*>-!*• ><то^-
(•)
Выразим X и у из первого я второго уравнений системы, за¬
менив (п—])Л па разность
«3	3
0„	Ор
н подставим эти выражения в неравенства (•). Имеем систему
неравенств
On
2_J_
3 о„
' +4-
^>p
Он
Чп
Эн
+—
1 <Т0*-
(-)
в этой системе удобно ввести неизвестное z=—, тогда отно-
®п
сительно этого неизвестного система (••) приобретает вид
39 — 26z > 9 -f 92,
3-2z ^ 3
3(Ц-2) ^ 13’
1=:±<±
1 -I- 3 ^ 10
_9_	^
10 - 102 < I -Ь 2. И	Г *

§ *■ ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
293
Из двух оставшихся уравнений выразим искомое неизвестное
л через неизвестное г. Так как
л — 1 >
л- 1
л-1
fn
r.lA-A'ie
V 3 On Op j °
6 \ оц Op/’
Функция f (z) =
±_S_
3 On
482- 18
62-3 •
482- 18
или
убывает на всей области определения.
5z-3
таким образом, наибольшее значение этой функции на отрезке
9	6 ^ 	 9	234
(^■т)
достигается в точке -|у и равно
12
а нан*
6	162
меньшее —в точке -j- в равно ~д~> т. е. справедливо иерааеа*
ство
162 ^	^ 234
■9“<'*“* <ТГ*
Единственным целым числом, удовлетворяющим указанному не¬
равенству, является число 19.
Ответ, л = 20.
4.9.	Несколько самосвалов загружаются поочередно в пунк¬
те А (время загрузки одно н то же для всех машин) й отвозят
груз в пункт В; тан они мгновенно разгружаются и возвраШают-
ся в А. Скорости машин одинаковы, скорость груженой машины
составляет 6/7 скорости порожней. Первым выехал из А води¬
тель Петров. На обратном пути он встретил водителя Иванова,
выехавшего из А последним, и прибыл в А через 6 мин после
встречи. Здесь Петров сразу же приступил к загрузке, а по окон¬
чании ее выехал в В н встретил Иванова во второй раз через
40 мин после первой встречи. От места второй встречи до А
Ивавов ехал яе менее 16 мин, но ве более 19 ыип. Определить
время загрузки.
4.10.	Из пункта А в пункт В сплавляют по реке плоты, от¬
правляя qx через равные промежутки времени. Скорости плотов
постоянны и равны между собой. Пешеход, идущий из А в В,
орошед четверть пути от <4 до В к моменту отплытия первого

296
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
плота. Этот плот поравнялся с пешеходом, проплыв более 6/11
пути от /4 до В. Пешеход, прибыв в В одновременно с четвертым
плотом, сразу отправился в А. Пройдя более 9/14 пути от В
до А, он встретил последний плот и прибыл в А одновременно
с прибытием этого плота в В. Сколько отправлено плотов?
Еще одним типом задач на составление уравнений с цело*
численными неизвестными являются задачи на запись чисел в
десятичной позиционной системе счисления.
Пример 4.3. Искомое трехзначное число оканчивается
цифрой 1.'Если эту цифру перенести с последнего места на пер*
вое, сохранив порядок остальных двух цифр, то вновь получен*
ное число будет меньше искомого на 90. Найти это число.
Решение. Обозначим число сотен искомого трехзначного
числа через т, а число десятков — через п. Искомое трехзначное
число тп1 (знак умножения между т, л и 1 отсутствует, т,
п — цифры десятичной системы счисления, и m 0) есть сокра->
шейная запись числа m-I№-f п-10-f 1. Трехзначное число, обра*
зованное в результате переноса 1 с последнего места на первое,
будет Ы0* + т-90 +я. По условию задачи последнее число на
90 меньше искомого;
ш • 10* -f я • 10 + 1 = 1 • 10* Ч- 10 Ч- я + 90.
Таким образом, получено одно уравнение с двумя неизвестными
m в л, причем мы знаем, что т и л — цифры десятичной пози*
ционной системы счисления и m 0. Число единиц в числе, стоя*
шеи слева, должно совпадать с числом единиц в числе, стоящем
справа, н поэтому я = 1. Теперь уравнение приобретает вид
Я1 • 10» Ч-10 -= 1 • 10* Ч- m. 10 Ч- 90,
откуда находим, что т — 2.
Ответ. Искомое число — 211.
Пример 4.4. Если двузначное число разделить на сумму
его цифр, то получится в частном 4, а в остатке 3, Если же это
число разделить на произведение его цифр, то получится в част*
ном 3, а в остатке 5. Найти это число.
Решение. Прежде чем перейти к решению задачи, на*
помним, что если число N делится на число р и в частном полу*
чается число к, а в остатке число г (г < р), то число N пред¬
ставимо в виде
N = kp + r>
,lia использовании этого равенства в основано решение эадачв^

§ 4. ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
297
Запишем двузначное число в виде 10-/пУсловие задачи
приводит к системе двух уравнений:
10/п + л в 4 (л! Ч* л) Ч* 3,	6/л =* Зл Ч“ 3,
10л1 Ч-лчвЗтя Ч" 5	Юл» Ч" rt =» Зтл Ч-5,
л = 2я| — 1,
Юл» Ч" л = Зл»л Ч" 6,
Подставляя п — 2т — I во второе уравнение системы, полу*
чаем уравнение
2л»* — 5л» Ч- 1 ■= О,
решения которого л»| = 2, л!» == 1/2. Условию задачи (я» я л —
цифры) удовлетворяет только корень л» = 2. Из первого урав¬
нения системы находим л 3.
Ответ. Искомое число — 23.
4.11.	Какое двузначное число меньше суммы квадратов его
цифр на 11 н больше нх удвоенного произведения на 5?
4.12.	Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к иско¬
мому числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
4.13.	Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13.
Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми
же цифрами в обратном порядке. Найти это число.
4.14*. Задумано целое положительное число меньше 10. К его
записи присоединили справа цифру 5 и из получившегося нового
числа вычли квадрат задуманного числа. Разность разделили на
задуманное .число, а затем вычли задуманное число. Осталась
единица. Какое число задумано?
4.15.	Ученику надо было умножить 72 на двузначное число,
в котором десятков втрое больше единиц; по ошибке он пере¬
ставил цифры во втором сомножителе, отчего получил произве¬
дение на 2592 меньше истинного. Чему равно истинное произве¬
дение?
4.16*. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2.
Если цифру перенести с первого .места на последнее, сохранив
порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет
втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
4.17. Определить целое положительное число по следующим
данным: если к его цифровой записи присоединить справа циф¬
ру 4. то получим число, делящееся без остатка на число, боль¬
шее искомого на 4, а в частном получится число, меньшее дели¬
теля на 27.
4.18*. Сумму всех четных двузначных чисел разд^нля на
одно из них без остатка, Получившееся частное только поряД-

S98
ГЛ. II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
КОИ цифр отличается от делителя, а сумма его цифр равна 9.
Какое двузначное число являлось делителем?
4.19.	К цифровой записи некоторого задуманного положи¬
тельного числа приписали справа еще какое-то положительное
однозначное число. Из получившегося таким образом нового чис¬
ла вычли квадрат задуманного числа. Эта разность оказалась
больше задуманного числа во столько раз, сколько составляет
дополнение приписанного числа до И. Требуется доказать, что
ВТО возможно тогда и только тогда, когда приписанное число
равно задуманному.
4.20.	Найти два двузначных числа, обладающих следующим
свойством: если к большему искомому числу приписать справа 0
и затем меньшее число, а к меньшему приписать справа большее
число и затем 0, то из образовавшихся таким образом двух
пятизначных чисел первое, будучи разделенным на второе, дает
в частном 2 я в остатке 590. Кроме того, известно, что сумма
(удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего
равна 72.
4.21.	При перемножении чисел, из которых одно на 10 боль¬
ше другого, была допущена ошибка; цифру десятков в произве¬
дении уменьшили на 4. При делении (для проверки ответа) по¬
лученного произведения на меньший множитель получили в част¬
ном 39, а в остатке 22. Найти сомножители.
4.22*. Найти два двузначных числа ^4 и S по следующему
условию: если цифровую запись числа А записать впереди В и
полученное число разделить на В, то в частном получится 121.
1Если же цифровую запись числа В записать впереди числа А и
полученное число разделить на i4, то в частном будет 84, а в
остатке 14. Найти А я В.
4.23*. Квадрат целого положительного простого числа ff
делится (с остатком) на 3, полученное неполное частное де¬
лится (без остатка) на 3, частное вновь (с остатком) делится
на 3, и. наконец, полученное неполное частное опять е остатком
делится на 3 и дает в результате 16. Найти N.
,	4.24*. Знаменатель дроби больше квадрата ее числителя на
cjMiHiuiy. Если к числителю и знаменателю прибавить 2, то дробь
будет больше 1/4; а если отнять от числителя и знаменателя 3.
то дробь будет меньше 1/10. Найти дробь.
4.25*. Два брата продали стадо овец, выручив за каждую
овцу столько рублей, сколько было овец в стаде, ^елая разде¬
лить выручку поровну, они поступили следующим образом: каж¬
дый брат, начиная со старшего, брал из общей суммы по десять
рублей. После того как в очередной раз старший брат вэал де-

$ 5. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ
299
сять рублей, остаток от выручки оказался меньше десяти рубле!.
Желая его компенсировать, старший брат отдал младшему свой
нож. Во сколько рублей был оценен этот нож?
§ 5. Задачи на концентрацию н процентное
содержание
Решение задач па концентрацию н процентное содержание
основано на использовании следующих понятий н формул.
Пусть даны три различных вещества А, В и С с массами
Мл, Мв и Мс. Масса снеси, составленной из этих веществ, равна
Мл + Me + Мс.
Массовой концентрацией вещества А в снеси называется
величина сл, вычисляемая по формуле
М^
М^ + Мд + Мд'
Соответственно массовые концеитрацнн веществ В и С в этой
смеси вычисляются по формулам
М„
М,
® М^ + Мд + Мд' ‘С М^ + Мд + Мд
Массовые концентрации сл, са и Сс связаны равенством
Процентными содержаниями вещества Л, В, С в данной
смеси называются величины рл %. Ре % и рс % соответственно^
вычисляемые по формулам
Рд%
■Сд-100%.
/»в%=Сд.100%.
По аналогичным формулам вычисляются концентрации веществ
в смеси и для случая, когда число различных смешиваемых ве¬
ществ (компонент) равно двум, четырем, пяти и т. д.
Объемные концентрации веществ в смеси определяются та¬
кими же формулами, как и массовые концентрации, только вме¬
сто масс компонент Мл, Мв и Мс в этих формулах будут стоять
объемы компонент Ул, Vb и Vc. В тех случаях, когда речь идет
об объемных концентрациях, обычно предполагается, что при
смешивании веществ объем смеси будет равен сумме объемов
компонент. Это предположение не является физическим законом,-
в представляет собой соглашение, принимаемое ори решении за¬
дач ва объемяую капцентраш1ю.
Пример 5.1. В сосуд емкостью в л налито 4 л 70 %-иого
раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же еихостя и-

800
ГЛ. tl. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
ЛИТО 3 Л 90 %-ного раствора серной кислоты. Сколько литров
раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы
в нем получился г %-ный раствор серной кислоты? Найти все
значения г, при которых задача имеет решение.
Решение. Обозначим через х л объем 90 %-ного раствора
серной кислоты, который переливается из второго сосуда в пер-
вый. в этом объеме содержитсял чистой (100 %-ной) сер*
вой кислоты. Первоначально в первом сосуде объем чистой сер*
7
ной кисАоты был равен ■ 4 (л). После того как в первый
сосуд долили jc л 90 %-ного раствора серной кислоты, в нем
7	9
будет содержаться• 4 +л; л чистой серной кислоты. Ис¬
пользуя определение объемного процентного содержания, в со¬
ответствии с условием задачи получаем уравнение
1о-'‘ + 1о*
* + 4
100%-г %,
Решая это уравнение, находим величину перелитого объема:
4	(г - 70)
X =» -
90-г
Остается выяснить, при каких значениях г задача имеет ре¬
шение. Из условия задачи очевидно, что количество доливае-
' мого раствора не может превысить 2 л, так как объем первого
сосуда равен 6 л, т.е. 0 ^ х 2. Используя найденное значение
для X, получим ограничения на г:
Решая данное неравенство (с учетом того, что 70 ^ г ^ 90),
получим 70 < г < 76
4	(г — 70) , .	„л ^ ^
Ответ. —— (л); задача имеет решение при 70 < г <
:7б
3 •
6.1. Имеется кусок сплава медн с оловом общей массой 12 кг,
содержащий 45 % меди. Сколько чистого олова надо добавить
к этому куску сплава, чтобы получившийся новыД сплав содер¬
жал 40 % меди?.	.	.

s 6. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ
301
5.2.	Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый ве¬
сит 3 кг и содержит 40 % медн, второй весит 7 кг и содержит
30 % меди. Какого веса нужно взять куски этих слитков, чтобы
после их совместной переплавки получить 8 кг сплава, содер¬
жащего г % меди? Найти все значения г, при которых задача
имеет решение.
5.3.	Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие —20%,
Сколько сухих фруктов получается из 20 кг свежих?
5.4.	Морская вода содержит (по весу) 5 % соли. Сколько
килограммов пресной воды нужно прибавить к 40 кг морской
воды, чтобы содержание соли в растворе составило 2 %?
5.5.	В двух сосудах находился раствор вещества различной
концентрации, причем в первом сосуде на т литров меньше, чем
во втором. Из каждого сосуда взяли одновременно по п литров
и взятое из первого сосуда перелили во второй, а взятое из
второго — в первый. После этого концентрации растворов в обо¬
их сосудах стали одинаковыми. Найти, сколько литров раствора
было в каждом сосуде.
5.6*. Из двух кусков с различным процентным содержанием
меди, весящих m кг и п кг, отрезано по одинаковому куску.
Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого ку¬
ска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах
стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных ку¬
сков?
5.7.	Сплавили два сорта чугуна с разным процентным содер¬
жанием хрома. Если одного сорта взять в 5 раз больше дру¬
гого, то процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит
процентное содержание хрома в меньшей из сплавляемых частей.
Если же взять одинаковое количество обоих сортов, то сплав бу¬
дет содержать 8 % хрома. Определить процентное содержание
хрома в каждом сорте чугуна.
5.8*. Даны три различных соединения железа. В каждом ку¬
бическом сантиметре первого соединения содержится на 3/20 г
железа меньше, чем в каждом кубическом сантиметре второго
соединения, а в каждом кубическом сантиметре третьего соеди¬
нения— о 10/9 раза больше, чем в каждом кубическом санти¬
метре первого соединения. Кусок третьего соединения, содержа¬
щий 1 г железа, имеет объем на 4/3 см^ больший, чем кусок
второго соединения, также содержащий 1 г железа. В каком
объеме третьего соединения содержится 1 г железа?
Укааание.' Воспользоваться формулой m => рК, связы¬
вающей массу, плотность и объем вещества.
5.9.	Величины процентного содержания спирта в трех рас¬
творах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать пер>

302
ГЛ. П. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
вый, второй И третий растворы в весовом отношении 2:3:4, то
получится раствор, содержащиГ) 32 % спирта. Если же смешать
их в отношении 3:2: 1, то получится раствор, содержащий 22%'
спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?
5.10*. В лаборатории имеются растворы поваренной соли
четырех различных концентраций. Если смешать первый, второй
и третий растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится
15 %-ный раствор. Второй, третий и четвертый растворы, взятые
в равной пропорции, дают при смешивании 24 %-ный раствор,
н, наконец, раствор, составленный из равных весовых частей
первого и третьего растворов, имеет концентрацию 10 %. Какая
концентрация получится при смешении второго и четвертого рас¬
творов в пропорции 2:1?
5.11.	Три одинаковые пробирки наполнены до половины рас¬
творами спирта. После того как содержимое третьей пробирки
разлили поровну в первые две, объемная концентрация спирта
в первой уменьшилась на 20 % своей величины, а во второй —
увеличилась на 10% своей величины. Во сколько раз первона¬
чальное количество спирта в первой пробирке превышало перво¬
начальное количество спирта во второй пробирке? (Измененнем
объема при смешивании растворов пренебречь.)
5.12.	Имеются два раствора со.чи в воде. Для получения
смеси, содержащей 10 г соли и 90 г воды, берут первого рас¬
твора вдвое больше по массе, чем второго. Через неделю из
каждого килограмма первого и второго растворов испарилось
"лб 200 г воды и для получения той же смеси, что и раньше,
требуется первого раствора уже вчетверо больше по массе, чем
'второго. Сколько граммов солн содержалось первоначально в
100 г каждого раствора?
5.13.	Имеются два водных раствора вещества А и В, разли¬
чающихся весовыми соотношениями веществ А, В и воды. В пер¬
вом растворе вещества А столько же, сколько воды, а веще¬
ства В в полтора раза больше, чем вещества А. Во втором рас¬
творе вещества В в два раза меньше, чем вещества i4, я в два
раза больше, чем воды. Сколько нужно взять каждого раствора
и сколько добавить воды, чтобы получить 37 кг вегого раствора,
в котором вещества А столько же, сколько вещества В, а воды
в два раза больше, чем вещества At
5.14.	В пустой резервуар по двум трубам одновременно на¬
чинают поступать чистая вода и раствор кислоты постоянвоД
концентрации. После наполнения резервуара в нем получился
5 %-ный раствор кислоты. Если бы в тот момент, когда резер¬
вуар был наполнен наполовину, подачу воды прекратили, то
После яаполневня резервуара получили бы 10 %-ныД раствор

§ 6. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ
303
КИСЛОТЫ. Определить, какая труба подает жидкость быстрее ■
во сколько раз.
5.16.	Две трубы, работая вместе, подают в бак 100 л жидко¬
сти в минуту. Имеются два раствора кислоты — сильный н сла¬
бый. Если смешать по 10 л каждого раствора и 20 л воды, то
получится 40 л 20 %-ного раствора. Известно также, что если
в течение часа подавать в первоначально пустой бак по первой
трубе слабый раствор, а по второй — сильный, то получится
30 %-ный раствор кислоты. Какой концентраинн (в процентах)
получится раствор кислоты, если в течение часа подавать в пер¬
воначально пустой бак по первой трубе сильный раствор, а по
второй — слабый? (Считается, что при смешивании воды и кис¬
лоты объем не меняется.)
5.16.	Имеются 3 слитка различных сплавов золота с сереб¬
ром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего
слитка то же, что во взятых вместе 1 г из первого и I г из
второго слитков. Вес третьего слитка равен суммарному весу
части первого слитка, содержащей 10 г золота, и части второго
слитка, содержащей 80 г золота. Третий слиток в 4 раза тяже¬
лее первого н содержит 75 г золота. Сколько граммов золота
содержится в первом слитке?
5.17.	Имеются два сплава, состоящих из цинка, меди н оло¬
ва. Известно, что первый сплав содержит 40 % олова, а вто¬
рой — 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и вто¬
ром сплавах одинаково. Сплавив 150 г первого сплава и 250 К
второго, получим новый сплав, в которо.м будет 30 % цинка. Оп¬
ределить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве,
5.18.	Имеются три сплава. Первый сплав содержит 30 % ни¬
келя и 70 % меди, второй — 10 % меди и 90 % марганца, тре-
' тнй — 15 % никеля, 25 % меди и 60 % марганца. Из них необ¬
ходимо приготовить новый сплав, содержащий 40 % марганца.
Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержант
меди может быть в этом новом сплаве?
5.19.	Из бутыли, наполненной 12 %-ным (по массе) раство¬
ром соли, отлили I л и налили I л воды, затем отлили еще 1 л
н опять долили водой. В бутыле оказался 3 %-ный (по массе)
раствор соли. Какова вместимость бутыли?
5.20.	Имеются два бака: первый бак наполнен чистым глнце-
рнвои, второй — водой. Взяли два трехлитровых ковша, зачерп¬
нули первым полный ковш глицерина из первого бака, а вто¬
рым — полный ковш воды из второго бака, после чего первый
ковш влили во второй бак, а второй ковш влили в первый бак.
Затем, после перемешивания, снова зачерпнули первым полный
ковш смеси из первого бака, вторым — полный ковш смеси вз

304
ГЛ. П. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
второго бака и влили первый ковш во второй бак, а второй
ковш — в первый бак. В результате половину объема первого
бака занял чистый глицерин. Найти объемы баков, если известно,
что их суммарный объем в 10 раз больше объема первого бака.
5.21.	Из сосуда, наполненного 96 %-ным раствором кислоты,
отлили 2,5 л и долили 2,5 л 80 %-ного раствора той же кислоты,
затем еще раз отлили 2,5 л и снова долили 2,5 л 80 %-ного
раствора кислоты. После этого в сосуде получился 89 %-ный
раствор кислоты. Определить вместимость сосуда.
5.22.	В каждом из двух сосудов находится по V' л чистой
кислоты.' Из первого сосуда отлили а л кислоты и долили а л
воды. Потом эту процедуру повторили еще раз. Из второго со¬
суда от.чили 2а л кислоты и долили 2а л воды. Потом эту про¬
цедуру повторили еще раз. Известно, что в результате концен¬
трация кислоты в первом сосуде оказалась в 25/16 раза больше,
чем концентрация кислоты во втором сосуде. Какую часть объ¬
ема сосуда составляют а л?
5.23.	Непромытый золотой песок содержит к % чистого зо¬
лота. После каждой промывки вымывается р % содержащихся
в нем примесей и теряется д % имеющегося в песке золота.
Сколько следует произвести промывок, чтобы процент содержа¬
ния чистого золота в золотом песке был не меньше г?
§ 6. Разные задачи
В задачах этого параграфа требуется определить значение
некоторой комбинации неизрестных, представив ее в виде функ¬
ции от других комбинаций неизвестных, числовые значения кото¬
рых определены условиями задачи.
Пример 6.1. Три экскаватора разной производительности
рыли котлован. Если бы производительность первого была в
2 раза, а третьего—в 3 раза больше, чем в действительности, то
котлован был бы вырыт за 5 дней. Если бы производительность
первого была в 3 раза, второго — в 2 раза, а третьего — в 4 раза
больше, чем в действительности, то котлован был бы вырыт за
3
дня. За сколько дней котлован был вырыт в действитель¬
ности?
Решения. Обозначая объем котлована о, а действитель¬
ные производительности первого, второго и третьего экскаваторов
X, у, г соответственно, составим следующие два уравнения;
5	(2х -Ь р -f 32) = о,
3	(Зх +	-|- 4г) —• V.

9 в. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
305
Если искомую величину — число дней, за которое в действитель¬
ности был вырыт котлован, — обозначить t, то можно составить
третье уравнение
/ (Jf + р + 2) “ о.
Полученную систему из 3-х уравнений обозначим (*). Комбнна-
V
цию неизвестных /
х + уЛ-г
требуется представить в виде
некоторой функции от комбинаций неизвестных	зу “
Зх + 2у + 4г ‘	значения которых 5 и 3-^ соответ¬
ственно определены условиями задачи.
Перепишем систему уравнений (*) в следующем виде;
2х + у + 3г=*~.
3x + 2y + iz^-^,
1 1
Х + у + Z = -J-'
Очевидно, что если найдутся такие действительные числа аир,
при которых выполняется соотношение
а (2*-+-р ■+■ Зг)-Ь р (Зх-f 2j/-(■ 4z) = X 4-У + 2.	(•*)
TO справедливым будет и уравнение
“(т)+Ч-|)-г-
(...)
Из уравнения (•**) t можно выразить в виде
15-5	15
/ = ■
Зо-Ь-
15О-+-20Р
Числа а и Р находятся из сравнения коэффициентов при неиз¬
вестных в левой и правой части уравнения (**)>
2а -Ь Зр =. 1,
а -|- 2р =» I,
За-|-4Р=1.
Из первых двух уравнений получаем р = 1, а 1, Третье
уравнение является следствием первых двух. Подставляя най¬
денные а и Р в (***), получаем
<х= 15.
Ответ, 15 дней.

306
ГЛ. и, ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
6.1.	Гвоздь, 3 винта и 2 шурупа весят 24 г, а 2 гвоздя,
5 винтов и 4 шурупа весят 44 г. Сколько весят вместе гвоздь,
4 винта и 2 шурупа.
6.2.	Трое рабочих должны сделать некоторое количество де¬
талей за определенное время. Если бы первый работал половину
отведенного времени, второй —^ этого времени, а третий	^
часть, то они сделали бы 30 деталей. Если бы первый рабо<
тал часть отведенного времени, второй —а третий —
то они сделали бы 10 деталей. Какое количество деталей
сделали бы трое рабочих вместе, если бы работали все отведен¬
ное время?
6.3.	Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку
портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз
дешевле, авторучка — в 2 раза дешевле, а книга — в 2,5 раза
дешевле, то та же покупка стоила бы 8 руб. Если бы по сравне¬
нию с первоначальной стоимостью портфель стоил в 2 раза де¬
шевле, авторучка — в 4 раза дешевле, а книга — в 3 раза дешев¬
ле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 12 руб. Сколько
стоит покупка и за что уплачено больше; за портфель или за
авторучку?
6.4.	Имеется три типа станков разной пронзводятельностя.
При этом 3 станка первого типа, 4 второго н 2 третьего справ¬
ляются со всей работой за 2 ч, 2 станка первого типа, 5 второго
н 4 третьего — за 3 ч. Объем работы увеличили в 3,5 раза, но
взяли 21 станок первого типа, 42 второго и 24 третьего. Спра¬
шивается, за какое время они выполнят этот объем работы?
Иногда искомая комбинация неизвестных представляется в
виде функции от другой комбинации, числовое значение которой
в условии задачи не дано, но сравнительно легко подлежит опре¬
делению.
Пример 6.2. С двух участков поля собрано 330 г пшени¬
цы. Если бы с каждого гектара первого участка поля было
собрано столько пшеницы, сколько ее собирали с каждого гек¬
тара второго участка, то с обоих участков было бы собрано
405 т, а если бы с каждого гектара второго участка было со¬
брано столько пшеницы, сколько было собрано с каждого гек¬
тара первого участка, то было бы собрано с обоих участков
270 т. Сколько зерна было собрано с каждого участка в отдель¬
ности?
Решение. Обозначая размеры участков m я п, а количе¬
ство зерна, собираемого с одного гектара каждого участка, »

§ 6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
307
Я у соответственно, можно составить, следуя условиям задачи,
систему трех уравнений с четырьмя неизвестными;
тле + яу =“ 330,
ту-\-пу^^ 405,	(•)
их + лх <= 270.
Определению подлежат величины тх и пу. Если рассмотреть в
качестве неизвестных тх, ту, пх, пу, то числа уравнений все
равно не хватает для их определения.
Однако из двух последних уравнений определяется следую¬
щая комбинация: —. Действительно, разделив третье уравнение
270	2	.2
на второе, имеем — <
405
g-t т. е. х — -^у. Подставив вы¬
раженное таким образом х в первое уравнение, получаем для
определения неизвестных ту, пу систему
-^ту + пу = 330,
ту + яу “=• 405,
1
откуда ~^ту*я 75, или ту <=• 225. Следовательно, пу » 180, в
тх = 150.
Ответ. С участков было собрано 180 т н 150 т соответ¬
ственно.
в.б. На складе имеется некоторое число бочек двух образцов
общей емкостью 7000 л. Если бы все бочки были первого об¬
разца, то емкость всех бочек увеличилась бы на 1000 л. Если
бы все бочки были второго образца, то емкость уменьшилась 6ii
на 4000 л. Вычислить емкость всех бочек каждого Образца в
отдельности.
6.6.	В двух кусках сплавов золота с серебром содержится
2 кг золота. Если бы в первом куске концентрация золота сов¬
падала с концентрацией во втором, то в обоих кусках было бы
2,5 кг золота. Если бы концентрация золота во втором куске
совпадала с концентрацией золота в первом, то в обоих кусках
было бы 1,5 кг золота. Определить, сколько золота было а каж¬
дом куске.

ГЛАВА 12
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ I. Треугольники
Признаки равенства треугольников. Два треугольника
равяы. если выполняется одно из следующих условий:
1)	две стороны и угол, заключенный между ними, одного треуголь*
ника равны аяуы сторонам н углу между ними другого треугольника;
2)	два угла н прилежащая к ним сторона одного треугольника равны
двум углам н прилежащей к ним стороне другого треугольника;
3)	три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого
треугольника.
Каждое из условий I)—3) задает треугольник, т. е. по любому из
условий I)—3) с помощью теорем синусов н косинусов можно вычислить
все остальные параметры треугольника.
Формулы вычисления площади треугольника;
S=Vp(P—о)(р—*)(Р—с)	формула Герона:
S—jobsIny;
5-
аЬс
4« ’
Stmpr,
Стороны и углы треугольннка связаны формулами:
с
а ^ ft
Bln а “ aln р ” sin у
o>B>ft> + c'—2bc cos о
6»—а* + «*—2ac cos p
e*«ft* + a*—2oft cosy
•2Д теорема синусов-.
теорема косинуеовх
где а, ft, е—стороны треугольника; А^, А^, А^—высоты треугольника, опущен¬
ные на стороны а. ft, с соответственно; а, р, у—вяутреяяие углы треугольника,
лежащие против сторон а. ft. е, соответственно, р=*—(о +А + е)—полупери*
метр; /{—радиус окружности, описанной около треугольннка; г—радиус окруж¬
ности. вписанной в треугольник.
Линии в треугольнике. Медианой треугольника называется
отрезок, соединиющнй вершину треугольннка с серединой протиаопо-
ложной стороны.
Основные свойства медиан.
I.	Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являкь
Г1ХСЯ серединами отрезков прямых,, заключенный внутри ■ треутодьинка
аараллельныд той его стороне, к которой провидена меднава.

5 I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
809
2.	Медианы треугольннка пересекаются в одной точке н делятся втой
точкой в отношении 2: 1, считая от вершины треугольника.
3.	Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
4.	Пусть AM. BN. С£—медианы треугольннка ЛВС (рис. 12.1), О—точка
пересечения медиан. Площади треугольников ЛВО, ВСО и ЛСО равны между
собой и равны одной трети площади треугольника АВС.
Высотой треугольннка называется отрезок перпендикуляра, опущен¬
ного из вершины треугольннка на противоположную сторону или ее
продолжение.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы внутрен¬
него угла треугольннка, заключенный между вершиной треугольннка и
точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла с противоположной
стороной.
Основные свойства биссектрисы,
1.	Три биссектрисы треугольннка пересекаются в одной точке, лежа¬
щей внутри треугольннка и являющейся центром окружности, впнсаииой
в треугольник.
2.	Биссектриса треугольника есть геометрическое место точек, равно¬
удаленных от сторон угла.
3.	Биссектриса угла треугольннка делит сторону треугольника па
части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.
В
Некоторые свойства медиа и, биссектрис и высот
в треугольниках специальяого вида.
1.	Высота, проведенная из вершины равнобедрениого треугольника,
является также биссектрисой и медианой.
2.	В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса,
проведенные из одной вершины треугольннка, совпадают; центр окруж¬
ности, вписанной в равносторонний треугольник, совпадает с центром
окружности, описанной около треугольника, и эта точка называется
центром треугольника.
3.	В прямоугольном треугольнике катеты а. ft и гипотенуза с свя-
ааны равенством
а* 4-теорема Пифагора.	''
4.	Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорчн-зпаль-
вое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу (р.'с 12.2):
bg'.buuitc.
а-.а^а'.е.
6. Высота прямоугольного треугольннка. проведенная из вер1инны
прямого угла, есть среднее пропорцнональное между проекциями катетов
на гипотенузу:
в. Центр окружности, описанной около прямоугольного треуюльника,
лежит на середине гипотенузы; радиус описаЪной окружности равен по¬
ловине гипотенузы (а также равен меднаве, проведенной вз вершины
прямого угла).
При решения некоторых задач достаточно использовать лишь
приведенные выше основные метрические соотношения между от¬
дельными злементамв треугольника.

310
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
Пример 1.1. В треугольнике АВС вриведеиы медианы AD
в СЕ. Известно, что AD = 5, lf^=nl8,	Опреде-
лить площадь треугольника АВС.
Решение. Пусть О — точка пересечения медиан треуголь¬
ника АВС (рис. 12.3). Для решения этой задачи используем сле¬
дующие свойства медиан:
1)	медианы точкой их пересечения
делятся в отношении 2:1 (считая от
вершины);
2)	площадь треугольника, сторона¬
ми которого являются сторона данного
треугольника и отрезки медиан (т. е.
ДЛОС), равна 1/3 площади данного
треугольника (т. е. АДДС).
Таким образом, для того чтобы най¬
ти площадь треугольника АВС, доста¬
точно найти площадь треугольника АОС. По условию задачи
в треугольнике АОС известны два угла, а в силу свойства 1) —•
в длина стороны АО, равная 10/3. По теореме синусов для тре¬
угольника АОС имеем
СО	АО	СО	10/3
sin ШС “ sin /5С£
10	sin (я/8)
3	* sin (я/4) •
Так как сумма углов треугольника равна п, то АОС = 6я/8.
Используя формулу вычисления площади треугольника S <=>j
1 А •
— -^аЬ sin Yt получаем
1
ЛОС —	* ДО • СО • sin АОС •
1	10
“2*3
10 sin <я/8) . бя
3 sin (я/4) ®‘" 8
60 sin (я/8) cos (я/8)
9 sin (я/4)
50 sin (я/8)	, / я , я Л
1т + т) =
25 2 sin (я/8) соз (я/8)	25
9 sin (я/4)	9 •
Согласно свойству 2) медиан
АВС ” ДОС =»
Ответ. 25/3.
1.1. В треугольнике основание равно 12 см, один из углов
при основании равен 120”, сторона, лежащая против этого угла,
равна 28 см. Определять третью сторону;,	<

5 I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
311
1.2.	Найти биссектрису угла ВАС треугольника АВС, если
АВ = с, АС = Ь, ВАС = а.
1.3.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ >= ВС) высо¬
та Д£ = 12, основание АС =• 15. Найти площадь треугольника.
1.4.	В остроугольном треугольнике АВС дано: АВ »= с; про¬
веденная на вершины В медиана BD = т. Угол BDA острый и
равен р. Вычислить площадь треугольника АВС.
1.5.	Есть ли в треугольнике со сторонами 4, 5, б см угол,
меньший 22,5°?
1.6.	В прямоугольном треугольнике АВС имеем: Д =: а,
АВ = а. Из вершины прямого угла В опущена высота BE,
В треугольнике ВЕА проведена медиана ED. Найти площадь
треугольника AED.
1.7.	В прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой, Л
•= а, АВ с. На продолжении гипотенузы АС (в сторону точ¬
ки С) взята точка D так, что AD <= г. Найти площадь треуголь¬
ника BCD.	■ •
1.8.	В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямо¬
го угла В опушена высота BE. Из точки С восставлен перпен¬
дикуляр к АС, на котором отложен отрезок CD, равный г. Най¬
ти площадь треугольника CED, если Д ■■ а, ДВ «= с.	,
1.9.	Угол а при основании равнобедренного треугольника
больше, чем 45°, а площадь равна 5. Найти площадь треуголь¬
ника, вершинами которого служат основания высот данного тре¬
угольника.
1.10.	Основание треугольника равно 20 см. медианы боковых
сторон равны 24 и 18 см. Найти площадь треугольника.
1.11.	Заданы два равносторонних треугольника со сторонами
2
—, причем второй получается из первого поворотом на угол
V3
ЗСГ вокруг его центра. Вычислить площадь общей части этих
треугольников.
1.12.	В треугольнике АВС Д = § = а, АВ = а, АН — высота,
BE — биссектриса (точка Н лежит на стороне ВС, точка Е — на
АС). Найти площадь треугольника СНЕ.
1.13.	В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD угла
ВДС и CF угла ДСВ (точка D лежит на стороне ВС, а точка
£ —на стороне АВ). Найти отношение площадей треугольников
ЛВС и AFD, если известно, что АВ = 21, АС ав 28 и СВ = 20.
1.14.	Основание равнобедренного треугольника равно Ь, угол
при основании равен а. Прямая пересекает продолжение освова-
«шя в точке М под углом р и делит пополам ближайшую и М,

ЗГ2
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
боковую сторону треугольника. Найти площадь четырехугольни-'
ка, отсекаемого прямой от данного треугольника.
1.15.	В треугольнике АВС из вершины В проведены высота
треугольника BD и биссектриса треугольника BE. Известно, что
длина стороны АС = I, а величины углов ВЕС, ABD, АВЕ, ВАС
образуют арифметическую прогрессию. Найти длину стороны ВС,
1.15.	Угол при вершине равнобедренного треугольника равен
2а. Прямая, пересекающая высоту на расстоянии с от вершины,
образует с продолжением основания угол р. Найти площадь
треугольника, отсекаемого этой прямой от даЬного треугольника.
1.17*. Найти площадь треугольника, если длины двух его
сторон соответственно равны 1 и ■^j\b см, а длина медианы
третьей стороны—2 см.
1.18.	В треугольнике АВС биссектриса угла при вершине А
пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла при вер¬
шине В пересекает сторону АС в точке Р, причем AM = ВР.
Биссектрисы пересекаются в точке О. Известно, что треугольник
ВОМ подобен треугольнику АОР, ВО = (l -|- V3) ОР, ВС = 1.
Найтп площадь треугольника АВС.
В условиях задач 1.19—1.21 отсутствуют данные, имеющие
размерность длины. В этих задачах удобно ввести вспомогатель¬
ную величину а, имеющую размерность длины (например, сторо¬
ну треугольника), и решить задачу с доопределенным условием.
В выражениях для искомых величин а сократится н полученное
выражение будет зависеть только от величин, данных в условии
задачи.
1.19.	Угол при основании равнобедренного треугольника ра¬
вен а. В каком отношении разделяет площадь этого треуголь¬
ника прямая, делящая его основание в отношении 2: 1 и состав¬
ляющая острый угол р с меньшей частью основания?
1.20.	В треугольнике АВС дано: ЛСВ = 60®, ЛВС = 45®. На
лродолженни АС за веришиу С берется точка К, так что АС =;
= СК. На продолжении ВС за вершину С берется точка М так,
что треугольник с вершинами С, М н К подобен исходному.
Найти ВС: МК, если известно, что СМ: МК < I.
1.21.	В треугольнике АВС угол В равен я/4, угол С равен
я/3. На медианах ВМ и CN как на диаметрах построены окруж¬
ности, пересекающиеся в точках Р и Q. Хорда PQ пересекает
среднюю линию MN в точке F. Найти отношение длины отрезка
NF к длине отрезка FM.
Некоторые задачи решаются методом введения вспомога¬
тельного неизвестного, для которого по условию задачи веобхо-

§ I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
313
димо составить и решить уравнение. В качестве вспомогатель¬
ного неизвестного можно брать линейный размер или угол. Это
вспомогательное неизвестное следует выбирать таким образом,
чтобы величины, данные в условии задачи, и вспомогательное не¬
известное однозначно определяли треугольник.
Для составления уравнения обычно следует один и тот жо
элемент выразить двумя способами. Так, для получения уравне¬
ния в треугольнике надо использовать четыре элемента (линей-,
пых нлн угловых).
Пример 1.2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ =
= ВС) медиана AD и биссектриса СЕ перпендикулярны. Опреде¬
лить величину угла ADB.
Решение. Обозначим неизвестный угол ADB буквой ф.
Составим уравнение, где в качестве неизвестного будет фигури¬
ровать некоторая тригонометрическая функция ф. Для этого вы¬
разим какой-нибудь элемент треугольника АВС двумя способа¬
ми. Удобнее всего для этой цели использовать медиану АО тре¬
угольника АВС. Для составления уравнения нам понадобятся
следующие элементы: длина боковой стороны АВ и угол при
основании треугольника АВС. Обозначим неизвестную длину
стороны АВ буквой а. Неизвестный угол ВСА удается выразить
через уже введенный угод ф. Действительно, так как СЕ и АО
перпендикулярны, то угол ООС прямой (О —точка пересечения
АО и СЕ). Угол ф —внешний угол АООС. Следовательно, спра¬
ведливо равенство
^ОСО-)-^ = Ф.
т. е. ^ДСО = ф—э как С£ — биссектриса, то угол
ВСА равен 2Z.OCO, т. е. 2ф — л. Аналогичные соображения, при¬
мененные к ААОС, приводят к равенству ZOAC = n — (f, Из
теоремы косинусов, примененной к ^АОВ, имеем
Q® = а’ -f- AD* — а • АО • cos ф.
т. е.
АО:
а cos ф ± Vo’ cos* ф -f За*
2
(•)
Из теоремы синусов для A4DC имеем
АО
Bin (2ф — п) 2 sin (я — ф)

3U
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
вли, используя формулы приведения,
AD	а
откуда,
sin 2<р	2 sin ф ’
AD =■ —а cos ф.
Приравнивая левые части уравнений (•) в (**), получаем
«ребуеыое уравнение:
—2а cos ф а cos ф ± Vo* соз*ф Тз?".	( «*•)
Приводя подобные члены н возводя в квадрат обе части уравне<
иия, имеем для созф два возможных значения
cos ф :
Vt'
Однако положительное значение созф не удовлетворяет условию
задачи, так как в прямоугольном треугольнике DOC угол ^ODC,
дополняющий ф до п, должен быть острым.
Таким образом.
.arccos
Ответ, ф — arccos
В задачах 1.22—1.27 удобно в качестве вспомогательного
неизвестного брать линейный размер, в задачах 1.28—1.32 —
(угол, а в задачах 1.33—1.35—вводить две вспомогательные не¬
известные величины.
1.22.	В треугольнике АВС высоты — CD = 7 и «= в. Точ¬
ка Е делит сторону ВС так, что BE: ЕС = Z: 4. Найти длину
стороны АВ.
1.23.	Найти площадь равнобедренного треугольника, если
высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная
на боковую сторону, равна 12.
1.24.	В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиа¬
ны, проведенные к катетам, равны /. Найти площадь треуголь¬
ника.
1.25.	В правильном треугольнике j4 ВС со стороной а точки £
и D являются серединами сторон ВС и АС соответственно. Точ¬
ка F лежит на отрезке DC, отрезки BF и DE пересекаются в
точке М. Найти длину отрезка MF, если известно, что площадь
четырехугольника ABMD составляет 5/8 площади треугольника
АВС.

S I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
31В
1.26.	в треугольнике с углом 120° длины сторон образуют
арифметическую прогрессию. Найти длины всех сторон треуголь¬
ника, если наибольшая из них равна 7 си.
1.27.	Длины двух сторон равнобедренного треугольника н
длина высоты, опущенной на основание, образуют геометриче¬
скую прогрессию. Найти тангенс угла при основании треуголь¬
ника, если известно, что он больше двух,
1.28.	В прямоугольном треугольнике отношение произведения
длин биссектрис внутренних острых углов к квадрату длины ги¬
потенузы равно 1/2. Найти острые углы треугольника.
1.29.	В треугольнике АВС длина стороны АС равна Ь, длина
стороны ВА равна с, а биссектриса внутреннего угла А пересе¬
кается со стороной ВС в такой точке D, что DA — DB. Найти
длину стороны ВС.
1.30.	Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точ¬
ка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом
AD = 2, BD = 1, ОС = V2. Найти площадь треугольника АВС.
1.31.	Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена ме¬
диана AM, а из вершины В — медиана ВР, Известно, что угол
АРВ равен углу ВМА, косинус угла АСВ равен 0,8 и ВР =
«= 1 см. Найти площадь треугольника АВС.
1.32.	Два одинаковых правильных треугольника АВС я CDE
со стороной 1 расположены на плоскости так, что имеют только
одну общую точку С и BCD < я/3. Точка К — середина стороны
АС, точка L — середина отрезка СЕ, точка М — середина отрез¬
ка BD. Площадь треугольника KLM равна ■y/Z/5. Найти длину
отрезка BD,
1.33.	В прямоугольный равнобедренный треугольник АВС с
углом S = 90° вписан прямоугольный треугольник MNC так,
что: MNC = 90°, точка N лежит на гипотенузе АС, а точк^.А! —
на стороне АВ. В каком отношении точка N должна делить ги¬
потенузу АС, чтобы площадь треугольника MNC составляла 3/8
от площади треугольника ЛВС?
1.34.	В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с
прямым углом при вершине В вписан прямоугольник MNKB так,
что две его стороны МВ в КВ лежат на катетах, а вершина N —
на гипотенузе АС. В каком отношении точка N должна делить
гипотенузу, чтобы площадь прямоугольника составляла 18 %
площади треугольника?
1.35.	Углы при вершинах А я С треугольвика АВС соответ-
Найти угол между высотой BD и ме¬
дианой BE этого треугольника.
ствеино равны в

Bie
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
При решении приведенных ниже задач используются различ¬
ные формулы для вычисления площади треугольника. При этом
иногда полезным оказывается следующее свойство площадей:
если отрезки АВ и CD лежат на одной прямой, не проходящей
через точку Л1. н S| и Sj —площади треугольников МАВ и MCD
соответственно, то
Si АВ
Si “7JF'
Пример 1.3. На стороне АВ треугольника АВС между
чочкамн А и В взята точка D так, что AD: АВ ^ а (а < 1);
на стороне ВС между точками В и С
взята точка Е так, что BE: ВС = Р
(Р < 1). Через точку Е проведена пря¬
мая, параллельная стороне АС и пере¬
секающая сторону АВ в точке F. Най¬
ти отношение площадей треугольников
BDE и ВЕР.
Решение. Пусть площадь тре¬
угольника АВС равна S. Треугольник
ВЕР подобен треугольнику АВС, так
как РЕ II АС (рис, 12.4), Так как площади подобных треуголь¬
ников относятся как квадраты сходственных сторон, то
Рас. 12.4
ВЕР
BE*
ВС*
А ВЕР'
sp>.
Площади треугольников BDE и АВО выражаются через стороны
и углы этих треугольников по формулам
S	=• АВ' ВС • sin В,
из которых следует
S
ABDB
BD BE BD .
АВ ' ВС	АВ Р'
По условию задачи AD о АВа, и так как
ВО=~АВ-АОшшАВ-АВа = АВ{1-'а).
то
BD/AB = 1-0.
Таким образом,
- (1 _ о) рвол “ S О - в) Р*

5 I. ТРЕУГОЛЬНИКИ
317
в задаче требуется найти отношение S^^db-^aBEF' Под¬
ставляя в это отношение 5д ggp = Sp* и 5д до£ = S (I — а) р,
получаем
*д BDE 1
Ответ.
1 —а
Р ■
*авер
р
‘-^BL
1.3в. В треугольнике АВС из вершины А проведена прямая,
пересекающая сторону ВС в точке D, находящейся между точ¬
ками В и С, причем CD:BC = a. (а < 1/2). На стороне ВС
между точками В н D взята точка Е, и через нее проведена
прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ
в точке F. Найти отношение площадей трапеции ACEF н тре¬
угольника ADC, если известно, что CD = DE.
1.37.	Точки Е, F, М расположены соответственно на сторо¬
нах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Отрезок АЕ составляет 1/3
стороны АВ, отрезок BF составляет 1/6 стороны ВС, отрезокЛМ
составляет 2/5 стороны АС. Найти отношение площади треуголь¬
ника EFM к площади треугольника АВС.
1.38.	На продолжениях медиан АК, BL и СМ треугольника
АВС взяты точки Р, Q н R так, что КР = АК. LO-.
в MR СМ. Найти площадь треугольника PQR, если пло¬
щадь треугольника АВС равна единице.
1.39.	Дан треугольник АВС, площадь которого равна еди¬
нице. На медианах АК. BL и CN треугольника АВС взяты соот¬
ветственно точки Р, Q к R так, что
АР , JQ. J_
РК^ ' QL^ 2‘	~RN’^ А' '	.
Найти площадь треугольника PQR.
1.40.	Треугольник АВС не имеет тупых углов. На стороне
3
АС этого треугольника взята точка D так, что AD = — АС,
Найти угол ВАС, если известно, что прямая BD разбивает тре¬
угольник АВС на два подобных треугольника.
1.41.	Точки Р н Q делят стороны ВС и СА треугольника
АВС в отношенни
ВР
PC
Я
Q/4 “Р'
Пусть О — точка пересечения прямых АР н BQ. Найти отноше¬
ние площади четырехугольника OPCQ к площади данного тре¬
угольника.

318
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
1.42.	В треуголышке АВС на стороне АС взята точка М, а
на стороне ВС —точка N. Отрезки ВМ а AN пересекаются в
точке О. Найти площадь треугольника CMN, если площади тре>
угольников АОМ, АОВ н BON равны соответственно St, St, St.
1.43.	В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D
так, что BD: CD •=1:2. В каком отношении медиана СЕ делит
отрезок ADt
1.44.	В треугольнике АВС через основание D высоты BD па¬
раллельно стороне АВ проведена прямая, пересекающая ВС в
точке А, Найти ВК: КС. если S^ : 5д = 3:16.
1.45.	Все стороны треугольника меньше 1 см. Доказать, что
площадь треугольника меньше л/з/4 см*.
1.46.	На стороне АС треугольника АВС взята точка N, а
на стороне ВС — точка М так, что CN: NA = 5. Площади мно¬
гоугольников NMC и ANBM относятся как 5:6. Найти СМ: МВ.
1.47.	В треугольнике АВС проведены медиана AM, биссек¬
триса АЕ и высота AD. Площадь треугольника АЕМ равна 1/4
площади треугольника АВС, а площадь треугольника ADM рав¬
на 7/50 площади треугольника АВС. Найти углы треугольника
АВС.
§ 2. Четырехугольники
Параллелограин. Четырехугольалк. у которого лротивополож-
пыа стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Парал-
лелограмы обладает следующят1 осяовяынн caotcraaini:
I)	протяаоволож1Шв стороны вараллелограаша равны:
' 2) протяноположйые утлы параллелограниа равны;
9 дяагоаалн HapBaHeaerpaMHa делятся точкой пересечения попояем:
4)	суына квадратов двагоналей оараллелограыма равна сумме квад¬
ратов всех его сторон.
Площадь параллелограмма вычисляется по формулам
S=ah^ 5—afralna,
где а. б —стороны параллелограмма. высота параллелограмма. ойу<
щснвая на сторону а. а — угол параллелограмма.
Ромб. Параллелограмм, все стороны которого равны, называется
ромбом. Ромб, как параллелограмм специального вида, имеет асе свой*
сгаа варалленограима. Кроме того, ромб обладает следующммя саециель-
ныин свойствами;
1)	диаговаля ромба ваанмао перпеядвкулярны;
5)	яваговаан ромба яаяяазтся бвссевтрасамн его ваутреянвх углоо.
Площадь ромба вычвсляется во тем же формулам, что я влощадЬ
параллелограмма. Кроме того, влощадь ромба может быть вычислена
но формуле
5—J d,d,.
где di я ;f: — диагонали ромба.
Прямоугольник и квадрат. Параллелограмм, у которого
все углы врамые, вваываатея нрямоуголышкоя. Площадь аряиоуголы1яка
вычвсляется во формуле
S=ak.
гда а п btsсмежные стороны пряноугольввха.

§ S. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
319
Пряноугольяяя, у которого асе стороны равны, называется квадро»
тон. Квадрат обладает всеми свойствамн параллелограмма, ромба и прЯ'а
ноугольника. Площадь квадрата выянсляется по формуле
S—о*.
где а —сторона квадрата.
Трапеция. Четырсхугольанк, две стороны яоторого параллельны,
а две другие непараллельны, аазывается трапецией. Площадь трапецнм
с основаниями о н Ь н высотой h вычисляется по формуле
Отрезок, соединяющий середины боковых ст^фОв трапецнп, вазы*
вается средней линией трапеции. Средняя линия трапеции обладает сле< -
дующими свойствами:
1) средняя ляння трапеция параллельна освовавмям в равна на
оояусумме;
21 средняя лнння делит высоту трапепяя на два равяых отреэящ
Пример 2.1. Дана трапеция PQRN с основаниями PN и
QR, причем PN =• 8, QR<= 4, PQ =» V^.	“*60®. Через точ>
ку R проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие
фигуры. Найти длину отрезка этой прямой, находящегося внутри
трапеции.
Решевне. Для решения задачи нам потребуется найти ве*
лиивну площади трапеции PQRN. Так как длины сторон PN и
QR известны, то для определения этой величины необходимо
найти длину высоты трапеции k. Сделаем следующее дополни*
тельное построение: проведем через точку R прямуик парал*
дельную боковой стороне трапеции QP, в рассмотрим треуголь*
ник RPiN. Так как РР% = QR = А, то PiN = 4, RPi = PQ =
«= Обозначимдлину стороны PAI через х и, используя тео¬
рему косинусов для треугольника RPtN, составим следующее
уравнение)
28 = 16 -f X» - 4х,	(*)
Единственным положительным корнем уравнения (•) будет л=6.
Высота k находится из треугольника RPiN по формуле
' 6 • sin 60*
.6.^ = 3д/3.
Площадь трапеции PQRN вычисляется тогда следующим обра¬
зом;
Предположим теперь, что нрямая RM пересекает оаювашге
трапеции. (СвравеАишость этого предположения будет установ¬
лена иияе.) Тогда площадь треугодылка RNIA равна по усло¬
вию
^ ^PQRS' ^	треугольника RNM совпа-

820
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
дает с высотой трапеции PQRN, и, следовательно, длина осно¬
вания MN вычисляется по формуле
MN--
Л 3V3
= 6.
Так как PN»8, MN = б, то справедливость утверждения
р том, что RN пересекает основание трапеции, установлена. Если
бы MN оказалось больше PN, то это означало бы, что прямая,
проходящая через точку R, пересекает PQ —боковую сторону
трапеции. Вычислим теперь искомую длину отрезка MR, а так
как AMRN равнобедренный, MN =■■
— RN и угол RNM == 60®, то AMRhf
равносторонний, т. е. RM ■=> 6.
Заметим, что если бы прямая
пересекала боковую сторону трапе¬
ции PQ в точке М' (рис. 12.5), то
длину отрезка M'R можно было бы
найти из треугольника M'QR^ Для
вычисления этого отрезка необходимо
было бы предварительно вычислить
угол трапеции PQR (который является также и углом рассма¬
триваемого треугольника M'QR), а затем по известному углу
PQR, площади треугольника 5д j^,qh = ~ ^pqrs ” основанию
QR последовательно найти длину M'Q' и по теореме косинусов —
длину M'R.	'
Ответ. Длина отрезка равна б.
2.1.	Найти диагональ и площадь равнобочной трапеции, еслп
основания равны 3 и 5 см, а боковая сторона равна 7 см.
2.2.	Найти площадь равнобочной трапеции, у которой осно¬
вания равны 12 н 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
2.3.	В трапеции ABCD длина основания AD равна 2 м, а
' длина основания ВС равна 1 м. Длины боковых сторон АВ н
CD равны I м. Найти длину диагонали трапеции.
2.4.	Один из углов трапеции равен 30®, а боковые стороны
при продолжении пересекаются под прямым углом. Найти мень¬
шую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна
10 см, а меньшее основание — 8 см.
2.5.	В трапеции ABCD длина меньшего основания равна 3 и,
длины боковых сторон АВ н CD равны по 3 м. Диагонали тра¬
пеции образуют между собой угол в 60°, Найти длину основа¬
ния AD,

§ 2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
321
2.6.	В трапеции большее основание равно 5 см, одна из бо¬
ковых сторон равна 3 см. Известно, что одна из диагоналей
лерпеидикулирна заданной боковой стороне, а другая делит угол
между заданными боковой стороной и основанием пополам. Най<
ти площадь трапеции.
2.7.	В равнобочной трапеции ABCD заданы АС = а, CAD •«'
е= а. Найти площадь трапеции.
2.8.	В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого ле¬
жат на сторонах первого, а углы между сторонами квадратов
равны 60°. Какую часть площади данного квадрата составляет
площадь вписанного квадрата?
2.9.	Дана равнобочная трапеция ABCD. Известно, что AD •=
= 10. ВС = 2, АВ =* CD = 5. Биссектриса угла BAD пересекает
продолжение основания ВС в точке К. Найти длину биссектрисы
угла В в треугольнике АВК.
2.10.	В равнобедренной трапеции основания равны а и 6,
а угол диагонали с основанием равен а. Найти длину отрезка,
соединяющего точку пересечения диагоналей с серединой боко¬
вой стороны трапеции.
2.11.	В трапеции ABCD, где AD — основание трапеции, про¬
ведены диагонали АС и BD, которые пересекаются в точке О.
Известно, что длина диагонали АС равна /, а величины углов
АОВ, АСВ, ACD, BDC, ADB образуют арифметическую прогрес¬
сию (в том порядке, в котором они написаны). Найти длину
основания AD.
2.12.	В равнобочной трапеции ABCD дано: АВ = CD = 3,
ЛО = 7.	= 60°. На диагонали BD расположена точка М
так, что ВМ : MD = 3:5. Какую из сторон трапеции — ВС или
CD — пересечет продолжение отрезка AM?
2.13.	Вычислить площадь общей части двух ромбов, из кото¬
рых у первого диагонали равны 2 и 3. а второй получен пово¬
ротом первого на 90° около его центра.
2.14.	В квадрате ABCD площадью 1 сторона AD продолже¬
на за точку D, и на продолжении взята точка О на расстоянии 3
от точки D. Из точки О проведены два луча. Первый луч пере¬
секает отрезок CD в точке М и отрезок АВ в точке N, причем
длина отрезка ON равна а. Второй луч пересекает отрезок CD
В точке L и отрезок ВС в точке К, причем = а. Найти пло-
'щадь многоугольника BKLMN.
2.15.	В параллелограмме со сторонами а н Ь и углом а про¬
ведены биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехуголь-
Ьика, ограниченного биссектрисами.
II	А. г, Цыпкин, А, и, Пааскна

822
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
2.1в. ДлнЯа боковой стороны АВ в параллвлограмме ABCD
равна о; длина перпендикуляра, опущенного из точки пересече¬
ния диагоналей на основание, равна А; угол между большей диа¬
гональю BD и основанием AD равен а. Найти площадь парал¬
лелограмма.
2.17. В трапеции ABCD даны основания; AD = 16 н ВС а
ва 9. На продолжении ВС выбрана такая точка М, что СМ =>
ЗД. В каком отношении прямая AM делит площадь трапе¬
ции ABCD}	' '■
Задачи 2.18—2.29 решаются методом введения вспомогатель¬
ного неизвестного (или нескольких неизвестных), для которого по
условию задачи составляется уравнение (соответственно система
уравнений), В качестве неизвестных
можно брать угол или неизвестный
линейный размер.
Пример 2.2. В выпуклом че¬
тырехугольнике ABCD углы при вер¬
шинах А к В прямые, величина угла
при вершине D равна п/4, ВС == I,
длина диагонали BD равна 5. Найта
площадь этого четырехугольника.
Решение. Обозначим угол
BDC через а (рис. 12.6), Так как
сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 2я,
а три угла четырехугольника ABCD известны по условию задачи,
то С -3 Зя/4. Рассмотрим треугольник BDC. Введем обозначение
CD on X, тогда, используя теорему косинусов для треугольника
BDC, получим уравнение
25—1 -fx»-2-l-x.cosl35“.
Это урапнение преобразуется к виду
Ч-V2 X —24 = 0.
(•)
Единственным положительным корнем уравнения («) является
кваЪл/2.
Сделаем теперь следующее дополнительное построение. Опу¬
стим яз вершины С перпендикуляр CCi на AD. Из прямоуголь¬
ного треугольника CCJ) находим, что CCi = C\D. Так как дли¬
на гипотенузы треугольника CC\D равна 3V2. то из теоремы
Пифагора следует, что СС\ = CiD = 3. Из прямоугольного тре¬
угольника BAD и очевидного равенства ВА = СС| следует, что
AD*^BDl-BA*
п
АО —4.

« t. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
323
Так как по условию задачи углы А я В прямые, то AD || ВС и
четырехугольник ABCD — трапеция {AD и ВС —основания,
АВ — высота), откуда
, BC + AD 15
*тр —	5	ЯД--у.
Ответ, 15/2.
2.18.	Даны квадрат с вершинами А, В, О, D я точка О, ле¬
жащая вне квадрата. Известно, что ОЛ = ОВ = 5 и DO — Vl3-
Найти площадь квадрата.
2.19.	В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектриса угла
АВС пересекает сторону AD в точке М, а перпендикуляр, опу¬
щенный из вершины А на сторону ВС, пересекает ВС в точке N
так, что ВЫ = NC и AM — 2MD. Найти стороны и площадь че¬
тырехугольника ABCD, если его периметр равен 5 -J- V3*, блб =
— 90° и ЛВС —60°.
2.20.	В трапеции ABCD углы Л и D при основании AD со¬
ответственно равны 60* и 90°. Точка N лежит на основании ВС,
причем ВЫ: NC 3 :2. Точка М лежит на основании AD, пря¬
мая МЫ параллельна боковой стороне АВ и делит площадь тра¬
пеции пополам. Найти отношение АВ: ВС.
2.21.	Длина средней линии трапеции равна 5 см, а длина от¬
резка, соединяющего середины оснований, равна 3 си. Углы при
большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найти площадь
трапеции.
2.22.	Сумма острых углов трапеции равна 90°, высота рав¬
на 2 см, а основания —12 и 16 см. Найти боковые стороны
трапеции.
2.23.	В ромбе ABCD со стороной а угол при вершине Л ра¬
вен л/3. Точки Е и F являются серединами сторон Л В я CD
соответственно. Точка К лежит на стороне ВС, отрезки АК и EF
пересекаются в точке М. Найти длину отрезка МК, если извест¬
но, что площадь четырехугольника MKCF составляет 3/8 площа¬
ди ромба ABCD.
2.24.	В прямоугольной трапеции ABCD углы А я D прямые,
сторона АВ параллельна стороне CD, АВ — 1, CD — 4, AD = S.
На стороне AD взята точка М так, что угол CMD вдвое больше
угла ВМА. В каком отношении точка М делит сторону AD?
2.25.	Длина диагонали BD трапеции ABCD равна т, а длн-
па боковой стороны AD равна о. Найти длину основания CD,
если известно, что длины основания, диагонали и боковой сто¬
роны трапеции, выходящих из вершины С, равны между
собой.
И*

324	ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
2.26.	В трапеции ABCD диагонали АС и DB взаимно пер¬
пендикулярны, В^ •^CDB, Продолжения боковых сторон АВ я
DC пересекаются в точке К, образуя угол AKD, равный 30°«
Найти площадь треугольника AKD, если площадь трапеции рав¬
на S.
2.27.	В равнобочной трапеции с основаниями а и Ь {а>
диагонали являются биссектрисами углов при большем основа¬
нии. Найти площадь трапеции.
2.28.	В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна бо¬
ковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой
стороне АВ. На продолжениях боковых сторон АВ и СО эк
меньшее основание ВС отложены отрезки ВМ и CN так, что
получается новая трапеция BMNC, подобная трапеции ABCDd
Найти площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции AMND
равна S и сумма углов CAD и BDA равна 60°.
2.29.	Дан параллелограмм ABCD со сторонами
Дв 1= 2 и ВС 3.
Найти площадь этого параллелограмма, если известно, что
диагональ >4С перпендикулярна отрезку BE, соединяющему вер¬
шину В с серединой £ стороны AD.
При решении задач 2.30—2.36 используются специальные
свойства многоугольников и треугольников, вытекающие из усло¬
вий задач.
Пример 2.3. В трапеции с основаниями а п Ь через точ¬
ку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная
основанию. Найти длину отрезка
этой прямой, заключенной между,
боковыми сторонами трапеции.
Решение. Пусть в трапеции
ABCD основание ВС равно а,
а основание AD равно Ь
(рис. 12.7), АС и BD —диагона¬
ли, О—точка их пересечения, BN—
высота трапеции, М — точка пере¬
сечения высоты BN и искомого
отрезка KL. По условию задачи KL || ВС, и, следовательно,
треугольник ABD подобен треугольнику КВО, а треугольнии
АВС подобен треугольнику АКО. Так как в подобных треуголь¬
никах высоты пропорциональны сторонам, на которые они опу¬
щены, то
КО ВМ	КО	МЫ
AD^ ВЫ ‘	ВС	ВЫ'

$ 2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
325
.Как следствие этих равенств в условия задачи получаем
КО , КО ВМ , MN	ВС + AD
AD
ВС BN
ВМЛ-MN
BN
КО
ADBC
а + Ь
аЬ
. 1 =► /СО.
аЬ
а + Ь\
Аналогично, из подобия *) двух пар треугольников Л DOL со
*	*	'*	dlf	*•
со Д DBC, А OCL оо Д ACD, находим OL =	и, следова¬
тельно, K L ■■
Ответ.
KO + OL-
2аЬ
2аЬ
а + У
а+Ь’
а + Ь'
2.30.	Через серодину М стороны ВС параллелограмма ABCD,
площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пере¬
секающая диагональ BD в точке О. Найти площадь четырех¬
угольника OMCD.
2.31.	На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, пло¬
щадь которого равна I, взяты точки; К —на АВ, L — на ВС,
М — на CD, Ы — иа AD. При этом
АК
КВ
BL
LC
1
3 ’
СМ
MD
= 1.
DN
I
NA
5 *
Найти площадь шестиугольника AKLCMN,
2.32.	А, В, С, D — последовательные вершины параллело¬
грамма. Точки Е, F, Р, Н лежат соответственно на сторонах АВ,
ВС, CD и AD. Отрезок Л£ равен 1/3 стороны А В, отрезок BF —
1/3 стороны ВС, а точки Р и Н делят пополам стороны, на ко¬
торых они лежат. Найти отношение площади четырехугольника
EFPH к площади параллелограмма ABCD.
2.33.	В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка,
соединяющего середины сторон АВ и CD, равна 1. Прямые ВС
и AD перпендикулярны. Найти длину отрезка, соединяющего
середины диагоналей АС и BD.
2.34.	Длины диагоналей ромба и длина его стороны обра-
вуют геометрическую прогрессию. Найти синус угла между сто¬
роной ромба и его большей диагональю, если известно, что он
больше 1/2.
2.35.	В выпуклом четырехугольнике KLMN точки £, F, G, Н
являются соответственно серединами сторон KL, LM, MN, NK.
Площадь четырехугольника EFGH равна Q, ^tEP"^ л/6, ^pTi а
= я/2. Найти длины диагоналей четырехугольника KLMN.
*) Зввк 00 оэвачает оодобве.

эзв
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 3. Окружность и круг
Окружностью называется множество всех точен плоскости, находя*
щйхся на данном положительном расстоянии от некоторой данной точки
(гдоскостм, называемой центром окружности. Круг *) состоит нэ окруж*
Bocbi и внутренних точек.
. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорды обладают следующими свойствами:
U диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде;
2)	равные хорды окружности равноудалены от ее i^cHTpa; равно*
удаленные от центра окружности хорды равны;
3)	если через точку М. лежащую внутри окружности, проведены две
хорды АВ и CD (рис. 12.8), то произведения отрезков хорд равны:
Теорема о касательпой и секущей. Если из точки М
(рис. 12.9), лежащей вне окружности, проведены касательная МС и
(екущая МА, то произведение секущей на се внешнюю часть равно
квадрату касательной:
МС’’=МА>ЛВ.
Длины и площади.
Длина окружности радиуса Л:£.>-2п^.
Площадь круга радиуса
Длина дуги окружиости радиуса R с
ренныи в радианах): I — Ra.
Площадь сектора окружности радиуса
центральным углом а (наме*
R с центральным углом а
(измеренным в радианах):
Измерения углов в окружностях.
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
Угол, образованный двумя пересекающимися хордами, измеряется
полусуммой дуг, на которые он опирается.
Угол, вершина которого находится на окружности, нэмеряется поло*
виной дуги, на которую он опирается.
Угол между касательной н хордой измеряется половиной дуги, ко*
торую стягивает хорда.
Угол, образованный двуця пересекаюшнмнся секущими, измеряется
полуразноетью дуг, на которь)а он опирается.
Свойства лнннй в касающихся я пересекающихся
окружностях.
1.	Линия центров двух касающихся окружностей проходит через
точку касания.
2.	Общая внутренняя касательная двух внешннм образом касаю*
сцихся окружностей перпендикулярна их линии центров.
3.	Общая касательная двух внутренним образом касающихся окруж*
ностей перпендикулярна их линии центров.
4.	Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна
их ЛИВИИ центров и делятся точкой их пересечения пополам.
*) Иногда (если не возникает путаницы) будет употребляться каи
скновнн окружвоств. ,

§ 3. ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ
327
Задачи 3.1—3.9 решаются непосредственныын вычислениями,
основанными на свойствах линий в окружностях.
Пример 3.1. Общая хорда двух пересекающихся окруж¬
ностей видна из их центров под углами 90° и 60°. Найти радиу¬
сы окружностей, если расстояние между нх центрами равно
V3 + 1.
Решение. Пусть Oi и О* —центры окружностей. АВ—
общая хорда, К — точка пересечения линии центров OiOj и об¬
щей хорды АВ (рис. 12.10);
угол AOiB равен 60°, а
угол AOiB равен 90°. Рас¬
смотрим треугольник AOiB.
Этот треугольник равнобед¬
ренный (/40|«=ВО| и OiKJL
ХАВ, т.е. OtK — высота,
медиана и биссектриса тре¬
угольника АО\В. По усло¬
вию задачи угол AOiB ра¬
вен 60°, и, следовательно,
угол AOiK равен 30*. Аналогично для треугольника АОгВ по¬
дучаем, что угол AOjK равен 45°. Рассмотрим треугольник 0\АОг-
В этом треугольнике известны два угла {АО\К н АОгК), рав¬
ные 30° и 45* соответственно, и отрезок 0|0», равный V3 -Ь1.
Стороны треугольника 0|А и АОг являются искомыми радиусами.
Так как сумма углов треугольника равна I8(f, то угол
OtAOi равен 105°, и по теореме синусов для треугольника О,АОг
имеем
О,А V3 + I ОгА V3 4- 1
sin 105*'-	.
1 -Ь сбз а =>
Рис. 12.10
Но
sin 105‘
а
! 2 cos
2’
sin 45° sin 106° ' sin 30°
= sin (90° -|- 15°) =» cos 15°. По формуле
полагая а»30°, можно вычислить cos 15°:
2 + yt
2 cos» 15° « 1 + cos 30° =р- 2 cos* 15°
вз равенств (♦) находим
• cos 15°
V2-f-Уз
О,А
V2 (л/З -f 1)-2 V2 (Уз -f 1) V2 (Уз -f О
ОгА
2 V2-fV3 Уг-ьУз V(V3-fi)72
(Уз-f 0-2 Уз-ц Уз-f 1
=2.
2V2 + ys У2-ЬУЗ V(y3+l)V2
Ответ. 2 и У?.
У2.

328
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
3.1.	Три окружности расположены па плоскости так, что
каждая из них касается двух других внешним образом. -Две из
них имеют радиус 3, а третья — радиус 1. Найти площадь тре*
угольника АВС, где А, В н С —точки касания окружностей,-
3.2.	Даны две внешним образом касающиеся окружности ра-'
диусов Виг. Найти длину отрезка внешней касательной, заклк><<
ченного между точками касания.
»' 3.8. Две окружности, радиусы которых равны 4 и 8, пересев
каются под прямым углом. Определить длину их общей каса<
тельной.	*
3.4.	Центры четырех кругов расположены в вершинах квад«
рата со стороной а. Радиусы всех кругов также равны о. Вы*
числить площадь части плоскости, общей для всех кругов. "
3.5.	Вне прямого угла с вершиной С на продолжении его
биссектрисы взята точка О так, что ОСПостроена ок¬
ружность радиуса 2 с центром в точке О. Найти площадь фигуры,
ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной
между ними.
3.6.	На прямой, проходящей через центр О окружности ра¬
диуса 12 си, взяты точки А и В так, что ОА => 15 см и АВ =
= 5 см. Из точек А и В проведены касательные к окружности,
точки касания которых лежат по одну сторону от прямой 0,40.
]-1айти площадь треугольника АВС, если С — точка пересечения
этих касательных.
3.7.	Даны две непересекающнеся окружности радиусов R и
2R. К ним проведены общие касательные, которые пересекаются
в точке А отрезка, соединяющего центры окружностей. Расстоя¬
ние между центрами окружностей равно 20 V3. Найти пло¬
щадь фигуры, ограниченной отрезками касательных, заключен¬
ными между точками касания н ббльшими дугами окружностей,
соединяющими точки касания.
3.8.	Из точки А, лежащей на продолжении диаметра KL ок¬
ружности в сторону точки L, проведена к этой окружности ка¬
сательная АВ {В — точка касания), образующая с диаметром KL!
угол а. Найти площадь фигуры, образованной сторонами угла и
дугой LB, если радиус окружности равен R.
3.9.	Две окружности радиусов 5 и 3 см касаются внутрен¬
ним образом. Хорда большей окружности касается меньшей ок¬
ружности и делится точкой касания в отношении 3:1. Найти
длину этой хорды.
Задачи 3.10—3.24 решаются методом введения вспомогатель¬
ного неизвестного, для которого по условию задачи составляется
уравнение.

$ 3. ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ
329
Пример 3.2. Две окружности радиусов 0 и г касаются
внешним образом. Определить радиус окружности, касающейся
втнх окружностей и их общей внешней касательной.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда искомая ок¬
ружность заключена между данными окружностями и касатель¬
ной. Тогда обозначим Ot, Ог и Oi соответственно центры oкpyж>^
ностей радиусов R, г и искомой окружности; MiMt — общая
внешняя касательная данных окружностей (рис. 12.11), Обозна¬
чим через L точку касания
искомой окружности и пря¬
мой MiMi. Через центр О»
искомой окружности прове¬
дем прямую, параллельную
прямой MiM2 (Р и /( — точ¬
ки пересечения этой пря¬
мой и отрезков 0|М| и
ОгМг). Прямая РК будет
перпендикулярна прямым
0\Ми ОгМг и O3L. Обозна¬
чим раднус искомой окруж¬
ности через X. В прямоугольном треугольнике 0|P0* длина гипо¬
тенузы О|О» = 0-)-х; длина катета 0,Р = R — х. По теореме
Пифагора РОз=2^/Рх. Аналогично из прямоугольного тре¬
угольника ОзКОг находим О3К = 2 ■^rjc.
Через центр меньшей из двух окружностей радиусов R и г
проведем прямую, параллельную общей внешней касательной (на
рис. 11.11 окружность с центром Оз имеет меньшнй радиус, чем
окружность с центром 0|, и OtS — проведенная прямая). Из пря¬
моугольного треугольника OiSOi, у которого OiOj = 0 г,
OiS = R — r, находим 0г5 = 2-^0г. Отрезки SO2, РК,,М%Мг
между собой параллельны, так как каждый перпендикулярен
параллельным прямым OiAf| и ОгМг в 80% = РК = AfiAfj.
Равенство 80г = РК = РО3 + ОзК дает уравнение для на¬
хождения неизвестного х:
Рнс. 12.11
2	+ 2	= 2	>=> 0х -|- 2х -|- гх = 0г >
=> X (0 -)- 2V^+ г) = Rrj=>x ■■
Rr
Rr
0-f2V«r-ы (V0-)-Vn*‘
Случай, когда искомая окружность находится со стороны
меньшей окружности, рассматривается аналогично предыдущему.
При этом может быть использован тот же чертеж, только дан-
вымн следует считать окружности с центрами, например, О* и

830
ГЛ. М. ПЛАНИМЕТРИЯ
я искомой с центром Oi яла Oi, О», а искомой — с цен*
tpoM Oi.
Тогда если радиус большей из данных окрухиостей равен ft,
й меньшей г, то, проводя аналогичные рассуждения, получим,
ftr
ято радиус искомой окружности будет равен
От вет.
(Vft-л/Г)*'
ftr	ftr
(Vr+V?T' W-VT)*-
Пример 3.3. AOB — сектор круга радиуса г. Величина
угла АОВ равна а(а < я). Найти радиус окружности, лежащей
внутри этого сектора и касающийся
хорды АВ, дуги АВ и биссектрисы
угла АОВ.
Решение. Пусть ОМ — биссек«
триса угла АОВ, О, — центр искомой
окружности, S — точка касания нско*
мой окружности и биссектрисы OAf,
/(— точка касания искомой окруж»
ности и хорды i4fl (рис. 12.12), От¬
резок ОМ является биссектрисой
угла АОВ, и так как ААОВ равно¬
бедренный, то ОМ является также
и высотой этого треугольника. Четырехугольник SMKOi — квад¬
рат, так как SOi = ftO,, а углы OiSM, SMK и MKOi прямые.
По теореме о прямой, проходящей через центры двух касающих¬
ся окружностей, центры окружностей О, Ot и точка касания L
атих окружностей лежат на одной прямой OL.
Обозначим радиус искомой окружности OiK=‘X. Диагональ
AfOi квадрата MSOtK равна V2JC. Из треугольника ОМВ нахо¬
дим в согласии с условием задачи ОМ = г cos у. В треугольнике
OAfO| имеем AlOi => VSx, OM‘=rcos lOOil = r — x, OMOi^
™ 135°. Теорема косинусов для треугольника 0Л10| дает уравне¬
ние для неизвестного х:
(г - X)* = 2х» + г* cos* Y V2 г cos cos 135°,
(г — x)* = 2x* Ч- r* cos* Y + 2rx cos -y
• Xi, » = — 2r cos* 2r cos X|,s
cos* — 1
)=0=>
=» 2r cos 1
[-cos|
±1
)•

§ 3. ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ
88t
Так как велячива х должна быть воложительной, а на двух
найденных корней положителен только первый,
„ а (, а\ ,	а.,а
Х|—2гсо»-^11—еоа 1=4гcos -у
то оп и дает величину радиуса искомой окружности.
Ответ. 4гсоз-^ sin*-^.
4	о
3.10.	Две окружности радиуса 32 с центрами Oi и Ог, пере¬
секаясь, делят отрезок 0|0i на три равные части. Найти радиус
окружности, которая касается изнутри обеих данньи окружно¬
стей в отрезка 0|0ь
3.11.	Даны два пересекающихся круга одного и того же ра¬
диуса R. Расстоянке между центрами втнх кругов OiOj = /.
Найти площадь круга, касающегося внутренним образом обеих
окружностей и прямой 0|0i.
3.12.	Две окружности, радиусы которых равны R\ н Rt, пере¬
секаются. Расстояние между их центрами равно d. Найти ра¬
диус окружности, касающейся данных окружностей и их обшей
касательной.
3.13.	Круг радиуса 6 см лежит внутри полукруга радиуса
24 см н касается середины диаметра полукруга. Найти радиус
меньшей окружности, касающейся заданных круга, полукруга я
диаметра полукруга.
3.14.	Дана окружность радиуса г а центром в точке О. Из
точки А отрезка ОА, пересекающегося с окружностью в точке Af,
проведена секущая к окружности, пересекающая окружность в
точках К и Р; при этом точка К лежит между точками А и Р.
Величина угла МАК равна л/3. Длина отрезка ОА равна ей
Найти радиус окружности, касающейся отрезков AM, -АК и
дуги МК.
3.16.	К окружности радиуса 3 см с центром в точке О из
точки М проведены секущая ОМ и касательная МС, касающаяся
окружности в точке С. Найти радиус окружности, касающейся
заданной окружности, прямых МС и ОМ и лежащей внутри тре¬
угольника ОМС, если ОМ = 5 см.
3.16.	В сегмент с дугой в 120° и высотой А вписан прямо¬
угольник, у которого основание в 4 раза больше высоты. Опре¬
делить стороны прямоугольника.
3.17.	В круговом секторе ОАВ, величина центрального угла
которого равна я/4, расположен прямоугольник КМРТ. Сторона
КМ прямоугольника лежит на радиусе ОА, вершина Я —на дуга
АВ, вершина Г —на радиусе ОВ, Длина стороны КТ на 3 сн

933
ГЛ. 13. ПЛАНЙМЁТРИЯ
больше длины стороны КМ. Площадь прямоугольника КМРТ
равна 18 си*. Найти длину радиуса.
3.18.	Из точки А, находящейся на расстоянии 5 си от цен¬
тра окружности радиуса 3 см, проведены две секущие АКС н
ALB, угол между которыми равен 30* (К, С, L ш В — точки пе*
ресечения секущих с окружностью).. Найти площадь треугольви*
ка AKL, если площадь треугольника АВС равна 10 см*.	и
• 3.19. Даны две одинаковые пересекающиеся окружности.'От*
ношение расстояния между их центрами к радиусу равно 2/№
Третья окужность касается внешним образом обеих окруж*:
ностей и их общей касательной. Определить отношение пло*
щади общей части первых двух кругов к площади третьего
круга.	; *•
3.20.	В круговой сектор, ограниченный радиусами ОА и ОВ,
9 центральным углом а (а < п/2) вписан квадрат так, что две
его соседние вершины лежат на радиусе ОА, третья вершина —
на радиусе ОВ, а четЬертая вершина — на дуге АВ. Найти отно¬
шение площадей квадрата и сектора.
3.21.	В круге проведены две взаимно перпендикулярные пе¬
ресекающиеся хорды АВ и CD. Известно, что
АВ = ВС’=^СО.
Установить, что больше; площадь круга или площадь квадрата
со стороной АВ.
3.22.	Две окружности радиусов ^5 и см пересекаются,
расстояние между центрами окружностей равно 3 см. Через точ¬
ку А (одну из точек пересечения) проведена прямая, пересекаю¬
щая окружности в точках В и С {В >/• С) так, что АВ = АС.
Найти длину отрезка АВ.
§ 4. Треугольники и окружности
Треугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется
фписанным в окружность, а окружность называется описанной около
Треугольника. Центр охружвостн, оансаквой около треугольника, лежат
ра пересечевин первендиКуляров к Середннан сторон треугольника.
РаДнус охружвостн, опнсанвой около треугольника, вычисляется по
формуле
„1а	16 1с
вли по формуле
Т а1пЪ 2 а1п а 2 sin у
R=abcHiS),
где а, 6, с—стороны треугольника; о, а, у—углы треугольника, лежащие
орётйв Ьторбя а, с, с соответственно, S — площадь треугольника.
Окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется а/ш-
санной в треугольник. Центр окружности, вписанной в треутольввк, ле-
Всит на перес'ечавив OBCceKiiiBC вйутренвнх углов треугольника.

§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
ззэ
муле
где
Радиус окружяости, впвсанвоЯ в треугольник, вычисляется по фор-
r-S/p,
— (о + 6 + с)— полупериметр треугольника.
Задачи 4,1—4.36 решаются непосредственными вычислениями
с использованием свойств треугольников, вписанных в окруж¬
ность, и окружностей, вписанных в треугольник.
Пример 4.1. На стороне АС остроугольного треугольника
АВС взята точка D так, что AD = DC = 2 и BD является
высотой треугольника АВС. Окружность радиуса 2, проходящая'
через точки i4 н О, касается в точке D
окружности, описанной около треуголь¬
ника BDC, Найти площадь треугольни¬
ка АВС,
Решение. Пусть Oi — центр ок¬
ружности радиуса 2, проходящей через
точки Л и D, а О] — центр окружности,
описанной около треугольника BDC
(рис. 12.13). Так как BD — высота тре¬
угольника АВС, то треугольник BDC
прямоугольный, и, следовательно, центр
описанной около треугольника BDC
окружности лежит на середине его ги¬
потенузы ВС.
Рассмотрим треугольник Л0,О.
Этот треугольник равнобедренный, и по
условию задачи ЛО = I, ЛО; =• 0|D = 2. По теореме косину¬
сов найдем угол ADO^ этого треугольника!
Рис. 12.13.
ADOf
1
■ arccos.
Так как по условию задачи окружности с центрами 0< и Оз ка¬
саются в точке D, то линия центров ОхОг проходит через точку
касания и ОхОг <=• OxD + ООг. Углы ADOi, CDO3 вертикальные
и. следовательно, равные, т. е. CDO2 ■
‘ arccos —. Треугольник
4
ООгС равнобедренный, так как ООг и OjC—радиусы окружное
сти, и, следовательно, OeCD = arccos-^.
4
в прямоугольном треугольнике BCD известны катет DC п
<= 2 и OtCD » arccos 4*- По этим данным находим гипотенузу ВС:
4
DC 1 рг я
- cos (^arccos ^ j сь^ ВС = 8.

834^
ГЛ. (2. ПЛАНИМЕТРИЯ
Таким образом, в треугольнике АВО па1девы три варамет'
ра, аозволяющие вычислить площадь втого треугольника:
I
Л АВС
■АС‘ВС> sin DC В —	• 3 • 8 sin ^ агссов-^^ '
12
Vis’
3Vj7.
Ответ. 3 Vi^.
Пример 4.2. В прямоугольном треугольнике i4BC с острым
углом 30° проведена высота CD из вершины прямого угла С.
Найти расстояние между центрами окруж'
ностей, вписанных в треугольники ACD и
BCD, если меньший катет треугольника
АВС равен 1.
Решение. Пусть Ot н О* — центры
окружностей, вписанных в прямоугольные
треугольники ACD и BCD соответственно;
угол САВ равен 30°, ВС = 1 (рис. 12.14),
Из прямоугольного треугольника АВС на¬
ходим
tg 30° ЛС = л/з", АВС = 60“.
Из прямоугольного треугольника
ACD по известным данным
i4C = V3 нЛ = 30° находим
CD — уЗ’/г,
AD — 3/2.
Из прямоугольного треугольника
CDB по известным данным
ВС =1 и В => 60° находим
BD — 1/2,
DC — 3/2.
Вычислим площади и полупериметры треугольников ACD и
CDB-.
> Рд ACD =
3(1 +V3)
4
Рд BCD =
3 + V^
4 •
Далее по формуле S = рг вычисляем радиусы окружностей,
вписанных в треугольники ACD и
CDB:
^АЛСО
Vs
Г| ■ ■ ^
P^ACD
2(1+ V3)’
^ACDB
1
1 1 Ш
Рд СОВ
2(H-VJ)’

§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНООТИ
335
Так как центр вписанной в треугольник окружности лежит на
пересечении биссектрис внутренних углов треугольника, то углы
CDOi и CDO% равны между собой и составляют по 45°. Отсюда
можно сделать два вывода. Во-нервых,
0,0 =
I
V3
л/2 (1+V3)’
0,0.
I
V2 (1 + V3)'
Во-вторых, угол 0|00, треугольника 0,00, прямой. Тогда по
теореме Пифагора находим 0,0,:
(? + V3) ] "^ [ V2 (I + V3) ]
(I + V3 )■
Таким образом, искомое расстояние между центрами окружно¬
стей
0,0, =
V2
1 V3
Уз -1
У2
Ответ.
Уз - I
У2
4.1.	Найти длину окружности, вписанной в равнобедренный
прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с.
4.2.	В равнобедренном треугольнике даны длина боковой
стороны Ь и угол а при основании. Найти расстояние от центра
описанной окружности до центра вписанной окружности.
4.3.	Дан круговой сектор радиуса R с центральным углом а.
Найти радиус вписанного в сектор круга.
4.4.	Из одной точки окружности проведены две хорды дли¬
ной а и 6. Найти радиус окружности, если расстояние между
серединами данных хорд равно с/2.
4.5.	На основании равностороннего треугольника как на диа¬
метре построена полуокружность, рассекающая треугольник на
две частя. Длина стороны треугольника равна а. Найти площадь
той части треугольника, которая лежит вне полукруга.
4.6.	На одной из сторон угла, равного а, даны две точки,
расстояния от которых до другой стороны равны 6 нс. Найти
радиус окружности, проходящей через эти две точки и касаю¬
щейся другой стороны угла.
4.7.	Правильный треугольник АВС со стороной, равной 3,
вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причем
длина хорды AD равна yj. Найти длины хорд BD и CD.
4.8.	В прямоугольном треугольнике АВС с катетами 3 и 4
вершина С прямого угла соединена с серединой D гипотенузы

836
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ)
АВ. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных
в треугольники ACD и BCD.
4.9.	Окружность радиуса R проходит через вершины А я В
треугольника АВС и касается прямой АС в точке А. Найти пло¬
щадь треугольника АВС, зная, что ЛВС —р, ЛСВ — о.
4.10.	В прямоугольном треугольнике АВС угол А прямой,
величина угла В равна 30°, а радиус вписанной окружности ра¬
вен Найти расстояние от вершины С до точки касания впи¬
санной окружности и катета АВ.
4.11.	Окружность касается стороны ВС и продолжений двух
других сторои треугольника АВС. Найти радиус окружности,
если АВ — с, В^ = а, АВС = р.
4.12.	В треугольник АВС вписана окружность радиуса R,
касающаяся стороны АС в точке D, стороны АВ — в точке Е и
стороны ВС — в точке F. Длина отрезка AD равна R, а длина
отрезка DC равна а. Найти площадь треугольника ВЕР.
4.13.	В правильный треугольник, сторона которого равна а,
вписан круг. Из вершины радиусом, равным половине его сто¬
роны, проведена другая окружность. Найти площадь общей ча¬
сти этих кругов.
4.14.	В равнобедренный треугольник с основанием а и углом
при основании а вписана окружность. Кроме того, построена
вторая окружность, касающаяся основания, одной из боковых
сторон треугольника и вписанной в него первой окружности.
Определить радиус второй окружности.
4.15.	В треугольнике АВС со сторонами ВС = а, АС = 2а
и углом С — 12(Г вписана окружность. Через точки касания этой
окружности со сторонами АС н ВС через вершину В проведена
вторая окружность. Найти ее радиус.
4.16.	В треугольнике АВС длина стороны АВ равна 4, угол
САВ равен л/6, а радиус описанной окружности равен 3. Дока¬
зать, что длина высоты, опущенной из вершины С на сторону
АВ, меньше 3.
4.17.	В треугольнике АВС боковые стороны АВ н ВС рав¬
ны а, а — 120°. В треугольник АВС вписана окружность,
касающаяся стороны АВ в точке D. Вторая окружность имеет
центром точку В и проходит через точку D. Найти площадь той
■части вписанного круга, которая находится внутри второго
круга.
4.18.	В остроугольный треугольник АВС вписан полукруо
так, что его диаметр лежит на стороне А В, л дуга касается сто¬
рон АС и ВС. Найти радиус окружности, касающейся дуги этого

s *. ТРЕУГОЛЬНИКИ и ОКРУЖНОСТИ
837
полукруга и сторон АС и ВС треугольника, если АС ^ Ь, ВС ш
= о, АСВ = о.
4.19.	Окружность радиуса 1 + описана около равнобед¬
ренного прямоугольного треугольника. Найти радиус окружно¬
сти, которая касается катетов этого треугольника и внутренним
образом касается описанной вокруг него окружности.
4.20.	В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ —
—	3 и ВС = 4 через середины сторон АВ н АС проведена ок¬
ружность, касающаяся стороны ВС. Найти длину отрезка гипоте¬
нузы АС, который лежит внутри этой окружности.
4.21.	В треугольнике АВС даны длины сторон АВ — 21,
ВС = 15 и проведена биссектриса BD угла АВС. Найти радиус
окружности, вписанной в треугольник ABD зная, что соз(ВЛС)—;
-	5/7.
4.22.	В окружность радиуса R вписан равносторонний тре¬
угольник АВС. Сторона ВС разделена на три равные части и
через точку деления, ближайшую к С, проведена прямая, прохо¬
дящая через вершину А и пересекающая окружность в точке D.
Найти периметр треугольника ABD.
4.23.	В треугольнике АВС АВ == л/ТТ, ВС = 2. Окружность
проходит через точку В, через середину D отрезка ВС, через
точку Е на отрезке АВ и касается стороны АС. Найт| стноше-
иие, в котором эта окружность делит отрезок АВ, если DE —
диаметр окружности.
4.24.	Вокруг треугольника АВС с длинами сторон АВ —
•= 10 V2. ЛС = 20 и В = 45°опнсана окружность. Через точку С
проведена касательная к окружности, пересекающая продолже¬
ние стороны АВ в точке D. Найти площадь треугольника BCD.
4.25.	В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 6,
ВС = 4, АС — 8. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в
точке D. Через точки А, D, С проведена окружность, пересекаю¬
щая сторону ВС в точке Е. Найти площадь треугольника ADE.
4.28. В треугольнике .4ВС ВАС = а, ВС А = р, АС = Ь. На
стороне ВС взята точка D так, что BD = 3DC. Через точки В
и D проведена окружность, касающаяся стороны АС или ее про¬
должения за точку А. Найти радиус этой окружности.
4.27.	В треугольнике АВС Л =120”, ЛС=1, BC=»V7. На
продолжении стороны СА взята точка М так, что ВМ является
высотой треугольника АВС. Найти радиус окружности, проходя¬
щей через точки Л и М и касающейся в точке М окружности,
проходящей через точки М, В я С,

838
ГЛ. 13. ПЛАНИМЕТРИЯ
• 4.2& Вокруг треугольника АВС со сторонами i4B>—
+ V3). ВС»=Б Ve. ЛС = 10 описана окружность. Через точ¬
ку С проведена касательная к окружности, а через точку В —
прямая, параллельная стороне АС. Касательная н прямая пере¬
секаются в точке D. Определить площадь четырехугольника
ABDC.
4.29.	В треугольник АВС со сторонами АВ = 10, ВС = 20
II углом С, равным 30°, вписана окружность. Через точку М сто¬
роны АС, отстоящую на расстоянии 10 от вершины А, проведена
касательная к окружности. Пусть К—точка пересечения каса¬
тельной с прямой, проходящей через вершину В параллельно
стороне АС. Найти площадь четырехугольника АВКМ.
4.30.	В треугольнике BCD известно ВС = 4, CD = 8,
cos(SCZ))= 3/4. Точка А выбрана на стороне CD так, что СА =
■=■ 2. Найти отношение площади круга, описанного около тре¬
угольника BCD, к площади круга, вписанного в треугольник
ABD.
4.31.	В треугольнике, один из углов которого равен разно¬
сти двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма пло¬
щадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два
раза больше площади описанного около треугольника круга.
Найти длину большей стороны треугольника.
4.32.	В треугольнике АВС длина стороны ВС равна 2 см,
длина высоты, опущенной из вершины С на сторону i4B, равна
V2 см, а радиус окружности, описанной около треугольника
АВС, равен V8 см. Найти длины сторон АВ и ^4С треугольника,
если язвестно, что угол АВС острый.
4ЛЗ. Треугольник ЛВС, угол В которого равен 2а < я/3,
вписан в окружность радиуса R. Диаметр окружности делит
угол В пополам; касательная к окружности в точке А пересекает
продолжение стороны ВС в точке М. Найти площадь треуголь¬
ника АВМ.
4.34.	Дан правильный треугольник ЛВС со стороной в. Ок¬
ружность проходит через центр треугольника и касается стороны
АВ в ее середине М. Прямая, проведенная из вершины Л, ка¬
сается окружности в точке Б. Найти площадь треугольника
АБМ.
4.35.	Около треугольника ЛВС (Л > л/2) описана окруж¬
ность с центром О. Точка F является серединой большей нз дуг,
стягиваемых хордой ВС, Обозначим точку пересечения стороны
ВС с продолжением радиуса АО через £, а с хордой AF — че¬
рез Л Пусть АН — высота треугольника ЛВС. Найти отношение
площади четырехугольника OEPF к площади треугольника АРМ,

§ t. ТРЕУГОЛЬНИКИ и ОКРУЖНОСТИ
ЭЭ9
если нзвестно, что радиус описанной окружности	,
АЕ~л/3 и ЕН~~Щ.
4.36.	Дан равнобедренный треугольник MNP, в котором
MN вя NP I, ЛШР -= р. Окружность с центром на стороне МР
касается сторон MN н NP. Касательная к этой окружности пере¬
секает сторону MN в точке Q, а сторону NP — в точке R. Из¬
вестно, что MQ = п. Найти площадь треугольника QNR,
В условиях задач 4.37—4.44 отсутствуют данные, имеющие
размерность длины. Для решения этих задач необходимо ввести
вспомогательную величину а, имеющую размерность длины (на¬
пример, сторону треугольника), и решить задачу с доопределен¬
ным условием. Выражения для искомых величин не будут со¬
держать а.
Пример 4.3. В прямоугольном треугольнике АВС катеты
АС и ВС равны. Найти отношение площадей вписанного и опи¬
санного кругов.
Решение. Обозначим катет АС треугольника АВС через а.
Так как по условию задачи катеты равны, то ВС = АСа и
А=ж В = 45°. По теореме Пифагора находим гипотенузу:
АВ = V“*+ о* “ <* V^-
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треуголь¬
ника равен половине гипотенузы:
/? = о V2/2.
Радиус окружности, впнсанной в треугольник, вычислим по фор¬
муле
г = —,	где
1
a-+-a-l-eV2 e(2-fV2l
2 “г
и, следовательно, г>
2-f V2
Вычислим отношение площадей вписанного и описанного
кругов:
JV*
т
(|+л/2)*
Ответ. 1/0-bV2)®.
4.37.	Около прямоугольного треугольника описана окруж¬
ность. Другая окружность того же радиуса касается катетов
втого треугольника так, что одной из точек касания является

340
ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
вершина треугольника. Найти отношение площади треугольника
К площади общей части двух данных кругов.
. 4.38. В треугольнике АВС даны углы В, С. Через середину О
стороны АВ и вершину А проведена окружность, касающаяся
стороны ВС. Найти отношение радиуса этой окружности к длине
стороны ВО.
4.39.	Найти отношение радиусов вписанного и описанного
кругов для равнобедренного треугольника с углом а при осно>
ванин.
4.40.	Дан прямоугольный треугольник с острым углом ос.
Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей
и определить, При каком значении а это отношение наименьшее.
4.41.	В окружность вписан равнобедренный треугольник i4BC,
в котором АВ = ВС и ВАС •= а. Из вершины С проведена пря*
мая, составляющая с АС угол, равный а/4, и проходящая внутри
треугольника, которая пересекает окружность в точке Е. Эта
прямая пересекается с биссектрисой угла ВАС в точке F. Вер¬
шина А треугольника соединена отрезком прямой с точкой £.
Найти отношение площадей треугольников AFC н .4£С.
4.42.	Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом
при вершине С. Угол САВ равен а. Биссектриса угла АВС пере¬
секает катет АС в точке К. На стороне ВО как на диаметре по-
cipoeiia окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке
Найти угол АМК.
4.43.	В треугольнике АВС даны углы В и С. Биссектриса
угла ВАС пересекает сторону ВС в точке D, а окружность, опи¬
санную около треугольника АВС, — в точке £. Найти отношение
АЕ: DE.
4.44.	Вписанная в треугольник АВС окружность касается его
сторон АС и ВС соответственно в точках М н N я пересекает
биссектрису BD в точках Р я Q. Найти отношение площадей
треугольников PQM и PQN, если А = я/4. В = я/3.
Задачи 4.45—4.66 решаются методом введения вспомогатель¬
ного неизвестного (или нескольких вспомогательных неизвест¬
ных), для которого по условию задачи составляется уравнение
(или соответственно система уравнений). Часто в качестве вспо¬
могательных неизвестных удобно выбирать величины, которые
вместе с данными из условия задачи дают набор элементов, од¬
нозначно задающих треугольники.
Пример 4.4. Радиус окружности, вписанной в равнобед¬
ренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, опи¬
санной около этого треугольника. Найти углы треугольника.

§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
341
Решение. Пусть а — длина основания АС треугольника
АВС, а — острый угол при основании (рис. 12.15). Используя
введенные параметры, вычислим радиусы вписанной и опнсаиной
окружностей. Так как треугольник АВС равнобедренный, то бис¬
сектриса угла АВС {АВ ВС) является одновременно медианой
и высотой треугольника АВС и угол ODA прямой, AD = о/2,
ОАО 0.12 (О —центр вписанной окружности, а OD — ее''ра-
днус). Из треугольника j40D находим	'	'	'	^
Радиус описанной окружности най¬
дем по теореме синусов
АС
sin АВС
2R,
где ДАС=180° —2а, АС = а. и,
следовательно,
^	2 sin 2а •
По условию задачи радиус описанной окружности в 4 раза
больше радиуса вписанной окружности]
а
R
2	sin 2а
а , а
2 2
Последнее равенство представляет собой тригонойетрическое
уравнение для нахождения угла а:
1
sin
2^“4tg.|-=».tgy sin2a —-j"*-
sin — 2 sin a cos a
a
COS-J
J 4 Sin* Y у ®
* "7*®^ '	—
4	a
cosy
cos a 2 sin* — ’
“y"»-cosa(l — cosa) = y«*-8cos*o —8cosa-l-1 =0.
Обозначая cos a .*= y, получаем квадратное уравнение для

849
‘	1 гл. I». ПЛАНИМЕТРИ^Г
неизвестного у\
8</*-8у + «-=0,
I л/2
I	V?
cos о ■= - J ±
Таким образом, составленное тригонометрическое уравнение
имеет два решения:
*(т + ^)' a, = arccoe(l-:sf.).
а,.
I arccos I
я — 2 arccos
а
■ 2 arccos
а-#)-
Каждому значению а соответствует свой угол при вершине рав¬
нобедренного треугольника:
+-af),
Ответ, я — 2 arccos -1-	я — 2 arccos
Пример 4.5. В равнобедренном треугольнике АВС угол В
прямой, АВ а=< вс 2. Окружность касается обоих катетов в
их серединах и высекает на гипотенузе хорду DE. Найти пло¬
щадь треугольника ВОЕ.
Решение. Пусть точки М и N — точки касания окружно¬
сти с катетами треугольника АВС. По условию AN = NB и
ВМ = МС. Восставим перпендикуляры из точек М и N. Так как
атн точки — середины катетов треугольника, то точка К — пере¬
сечение перпендикуляров — представляет собой центр описанной
вокруг треугольника окружности и, следовательно, находится на
середине гипотенузы АС. С другой стороны. К — центр исходной
окружности по поетроению. Таким образом, KN и КМ — радиусы
этой окружности. Заметим теперь, что четырехугольник BNKM —
квадрат (прямоугольник с равными смежными сторонами). Так
как NB -» KN, то KN «= 1. Рассмотрим треугольник EBD. Его
основание ED — диаметр исходной окружности (хорда, проходя¬
щая через центр К). Следовательно, ED •= 2. Высота треугольни¬
ка EBD {ВК) — радиус описанной вокруг ААВС окружности,
следовательно, ВК = V^- Таким образом, искомая площадь
AEBD равна
Ответ. V2.
4.45.	Периметр прямоугольного треугольника равен 24 сщ
площадь — й см*. Найти площадь описанного круга.

§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖПбСТИ
848
4.46.	Один из катетов прямоугольного треугольник* равен
15 CM, а проекция второго иа гипотенузу —16 см. Найти радвуо
окружности, вписанной в этот треугольник.
4.47.	Определить углы прямоугольного треугольника, зная,
что радиус описанной около него окружности относится к радиу¬
су вписанной окружности, как 5:2.
4.48.	Длина основания равнобедренного треугольника равна
4 см. Длина боковой стороны делится точкой касания вписанной
в этот треугольник окружности в отношении 3:2, считая от
вершины. Определить периметр треугольника.
4.49.	Площадь прямоугольного треугольника равна 6 см*, а
радиус вневписанной окружности, касающейся одного из кате¬
тов, равен 3 си. Найти стороны треугольника.
4.50.	Каждая из двух окружностей с центрами на медианах
равнобедренного треугольника, проведенных к боковым сторонам,
касается боковой стороны и основания. Вычислить расстояние
между центрами окружностей, если длина основания треуголь¬
ника равна 2 дм, а длины этих медиан равны Дм.
4.51.	Площадь треугольника АВС равна 15 см^ Величи¬
на угла ВАС равна 120°. Величина угла АВС больше велнчщ1Ы
угла АСВ. Расстояние от вершины А до центра окружности, впи¬
санной в треугольник АВС, равно 2 си. Найти длину медианы
треугольника АВС, проведенной из вершины В.
4.52*. На катете ВС прямоугольного треугольника АВС как
на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу а
точке D так, что AD : DB = I : А. Найти длину высоты, опушен¬
ной из вершины С прямого угла на гипотенузу, если известно,
что длина катета ВС равна 10.
4.53.	В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка касания с окружностью делит один из катетов треуголь¬
ника на отрезки длиной 6 и 10 см, считая от вершины пртмого
угла. Найти площадь треугольника.
4.54.	В треугольнике АВС биссектриса АР угла А делится
центром О вписанной окружности в отношении АО: ОЯ =>
“ 5д
= V3 :2 sin-jg-. Найти углы в и С, если известно, что угол Л
равен 5л/9.
4.55.	В треугольнике АВС биссектриса АЕ относится к ра¬
диусу вписанной окружности, как • (V2 — l). Найти углы В
в С, если известно, что угол А равен я/3.
4.56.	Из вершины В равнобедренного треугольника АВС на
его основание АО опущена высота BD. Длина каждой из боко¬
вых сторон АВ н ВС треугольника АВС равна 8 см, В треуголь-

344
I ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
инке BCD проведена медиана DE. В треугольник BDE вписана
окружность, касающаяся стороны BE в точке К и стороны DE
в точке М. Длина отрезка КМ равна 2 см. Найти величину угла
ВАС.
4.67. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника
лежит на окружности, вписанной в этот треугольник. Найти
острые углы треугольника.
4.58.	Найти косинус угла при основании равнобедренного
треугольника, если известно, что точка ‘ пересечения его высот
лежит на вписанной в треугольник окружности.	'
4.59.	В треугольнике АВС биссектриса АК перпендикулярна
медиане ВМ, а “А^ = 120°. Найти отношение площади тре>
угольника АВС к площади описанного около этого треугольника
круга.
4.60.	Вокруг равнобедренного треугольника ЛВС описана
окружность. Через вершину А проведена хорда длиной т, пере¬
секающая основание ВС в точке D. Даны отношение BD: DC =
А и угол i4 (>4 < п/2). Найти радиус окружности.
4.61.	В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС
вписана окружность, которая касается боковой стороны АВ в
точке М. Через точку М проведен перпендикуляр ML к стороне
АС треугольника АВС (точка L—основание перпендикуляра).
Найти величину угла ВСА, если известно, что площадь тре¬
угольника АВС равна 1, а площадь четырехугольника LMBC
равна 5.
4.62.	Внутри острого угла а взята точка М, отстоящая от
сторон угла на расстояния а и 2а. Найти радиус окружности,
проходящей через точку-Л1 и касающейся сторон угла.
4.63.	На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром,
расположенным внутри этого угла, касается одной стороны угла,
пересекает другую в точках ^4 и В н пересекает биссектрису угла
в точках С и D. Длина хорды CD равна V^, длина хорды АВ
равна Найти радиус окружности.
4.64*. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D
так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD,
касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найти ра¬
диусы окружностей.
4.65.	Точка D лежит на стороне АС треугольника АВС. Ок¬
ружность радиуса 2/л/З^, вписанная в треугольник ABD, касается
стороны АВ в точке М, а окружность радиуса V^. вписанная в
треугольник BCD, касается стороны ВС в точке N. Известно, что
ВМ = 6, BN — 5. Найти длины сторон треугольника АВС.

§ в. МНОГОУГОЛЬНИКИ и ОКРУЖНОСТИ '
84S
4.66.	Точка D лежит на стороне АС треугольника АВС.
Окружность вписанная в треугольник ABD, касается отрезка
BD в точке Al; окружность /*, вписанная в треугольник BCD,—
в точке N. Отношение радиусов окружностей U а 1% равно 7/4.
Известно, что ВМ 3, MN »> ND 1. Найти длины сторон
треугольника АВС.	•	•	• i* -
... . .,1
§ 5. Многоугольники и окружности
Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности, вааы,-
вается вписанным в окружности, а окружность — описанной около мно-'
гоуголвника. Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника; на-
аывается вписанной в многоугольник.
Площадь правильного многоугольннна с п углами (л-угольника)
5д, сторона л-угольннка в„, периметр р-угольника и радиусы опв-
санной и вписанной окружностей R и г связаны формулами
I
®п“ а ^‘n''^
1800
Теоремы о четырехугольниках и окружностях,
1.	Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было
вписать окружность, нео<^однмо н достаточно, чтобы суммы противо¬
положных сторон четырехугольника были равны.
2.	Для того чтобы около выпуклого четырехугольника можно было
описать окружность, необходимо н достаточно, чтобы сумма протнво-
лежащих внутренних углов четырехугольника была равна 180*.
Искомые величины в задачах 5.1—5.13 находятся непосред¬
ственными вычисления.ми с использованием свойств многоуголь¬
ника н окружностей, вписанных в
этот многоугольник или описанных
около него.
Пример 5.1. Дана трапеция
ABCD, боковая сторона АВ которой
перпендикулярна основаниям. В тра¬
пецию вписана окружность с цен¬
тром в точке О. Через точки А, В, С
проведена окружность с центром в
точке О). Найти диагональ АС, если
OOi = 1 см, а меньшее основание
10 см.
Решение. Пусть MN — средняя линия данной трапеции
'(рис. 12.16). Окружность, проходящая через точки А, В, С, —
это окружность, описанная около прямоугольного треугольника
АВС (угол В прямой), и ее центр 0| лежит на середине гипоте¬
нузы АС. С другой стороны, средняя линия трапеции MN пере¬
секает диагональ трапеции АС в ее середине. Следовательно,
трапеции ВС равно

346
' ГЛ. 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
точка Oi—это точка пересечения диагонали трапеции ЛС а
средней ЛИНИН трапеции МЫ.
Выясним, где находится точка О — центр окружности, впя>
санной в трапецию ABCD. Так как рассматриваемая окружность
касается двух параллельных прямых ВС и АО, то ее центр —
точка, равноудаленная от этих двух прямых. Множество точек,
равноудаленных от двух оснований трапеции,— ее средняя ли¬
ния, и. следовательно, центр окружности, вписанной в трапецию,
также лежит на средней линии МЫ. В треугольнике АВС сто¬
рона i4B больше стороны ВС, так как АВ равна диаметру впи¬
санной окружности, а сторона ВС меньше диаметра. Так как в
треугольнике против большей стороны лежит ббльшнй 'угол
(ВСА > САВ), а сумма углов ВСА и САВ равна 9СГ, то угол
САВ меньше 45’. Окружность с центром в точке О касается сто¬
рон прямого угла BAD, точка О лежит на биссектрисе этого
угла, и, следовательно, ВСО » 45’.
Таким образом, два угла	и В АО) имеют общую сто¬
рону и ВАС < ВАО. Отсюда можно сделать вывод, что луч AOi
лежит между сторонами угла ВАО, т. е. точка 0| лежит между
точками М и О.
Теперь можно найти радиус окружности, вписанной в трапе¬
цию ABCD. Отрезок A40t —средняя линия треугольника АВС,
и, следовательно,
А10,-.-^ВС.
■ 5 см.
Длина отрезка МО (радиуса вписанной в трапецию окружности)!
МО = МО,-1-0,0 = 6 см.
Так как длина боковой стороны трапеции АВ равна диаметру
окружности (АВ ^ 2, МО =12), то из прямоугольного тре¬
угольника АВС по теореме Пифагора получаем
ЛС =	= VTF+W o»V244 =.2УбГ.
Ответ. 2л/б1 си.
5.1.	Вычислить площадь равнобедренной трапеции, если ее
высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной
окружности под углом 60°.
5.2.	В окружность вписан прямоугольник ABCD, сторона АВ
соеорого равна а. Из конца /С диаметра КР, параллельного сто¬
роне АВ, сторона ВС видна под углом Найти радиус окруж-
дюстн.

§ 5, МНОГОУГОЛЬШГКИ и ОКРУЖНОСТИ
847
5.3.	Около окружности радиуса г описана равнобочная тра¬
пеция ABCD, £ и К — точки касания этой окружности с боко¬
выми сторонами трапеции. Угол между основанием АВ и боко¬
вой стороной AD трапеция равен 60°. Доказать, что ЕК парал¬
лельна АВ, н найти площадь трапеции АВЕК.
6.4.	В параллелограмме ABCD с углом А, равным 60°, про¬
ведена биссектриса угла В, пересекающая сторону CD в точке £.
В треугольник ЕС В вписана окружность радиуса г. Другая ок¬
ружность вписана в трапецию ABED. Найти расстояние между
центрами этих окружностей.
6.5.	В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них,
радиуса 3, вписана в параллелограмм, а вторая касается двух
сторон параллелограмма и первой окружности. Расстояние ме¬
жду точками касания, лежащими на одной стороне параллело¬
грамма, равно 3. Найти площадь параллелограмма.
5.6.	В ромбе ABCD со стороной 1 + и острым углом 60*
расположена окружность, вписанная в треугольник ABD. Из
точки С к окружности проведена касательная, пересекающая
сторону АВ в точке Е. Найти длину отрезка АЕ.
6.7.	Каждая из двух окружностей с центрами на диагоналях
равнобочной трапеции касается боковой стороны и большего
основания. Вычислить расстояние между центрами окружностей,
если длины боковых сторон трапеции равны 4 см, а длины осно¬
ваний равны 6 и 3 см.
5.8.	В трапеции ABCD известны основания AD = 39 см и
ВС = 26 см и боковые стороны АВ <= 5 см и CD = 12 см. Най¬
ти радиус окружности, которая проходит через точки А и В я
касается стороны CD или ее продолжения.
6.9.	В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС длина боко¬
вой стороны АВ равна 2 см. Биссектриса угла BAD пересекает
прямую ВС в точке Е. В треугольник АВЕ вписана окружность,
касающаяся стороны АВ в точке М и сторойы BE в точке
N. Длина отрезка MN равна 1 см. Найти величину угла
BAD.
5.10.	Сторона ВС четырехугольника ABCD является диамет¬
ром окружности, описанной около этого четырехугольника.
Вычислить длину стороны АВ, если ВС = 8, BD = 4 V^»
£^:АСВ = 2:1.
5.11.	В выпуклом четырехугольнике ABCD длина стороны .40
3
равна	длина стороны AD равна 14, длина стороны CD
равна 10. Известно, что угол DAB острый, причем синус угла
DAB равен 3/5, косинус угла ADC равен —3/5. Окружность а

348
ГЛ 12. ПЛАНИМЕТРИЯ
центром в точке О касается сторон AD, АВ, ВС. НаАти длину
отрезка ВО.
6.12.	Пятиугольник ABCDE (вершины обозначены последова>
тельно) вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что
i4B —V2. i^^=45^ ЕВЬ^^Ж и BC = CD. Чему равна пло¬
щадь пятиугольника?
6.13.	В ромб CDEF, у которого 5с? =»,у, вписана окруж-‘
кость радиуса л Касательная к этой окружности пересекает
сторону CD в точке Л,;а сторону Of—в точке В.,Известно, что
AD ж т. 'Найти площадь треугольника АВС.
В задачах 5.14—5.16 необходимо ввести вспомогательную ве¬
личину, имеющую размерность длины, и решить задачу с доопре¬
деленным условием. В искомых величинах вспомогательный na'pia-
метр сократится, и искомые величины будут зависеть только от
заданных в условии задачи величин.
5.14.	В круг вписана равнобедренная трапеция так, что диа¬
метр круга служит основанием трапеции. Найти отношение пло¬
щадей круга и трапеции, если тупой угол трапеции равен а.
- 6.16. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана ок¬
ружность и около которой описана окружность. Отношение вы-
V‘2~
"s’ *
Найти углы трапеции.
6.16. Около круга описана трапеция с углами при основании
аир. Найти отношение площади трапеции к площади круга.
Задачи 5.17—5.32 решаются методом введения вспомогатель¬
ного неизвестного (или Нескольких вспомогательных неизвестных),
для которого составляется уравнение (соответственно система
уравнений), отвечающее условию задачи.
Пример 5.2. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и яв¬
ляется хордой некоторой окружности, причем все остальные
стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касатель¬
ной СК, проведенной из вершины С к той же окружности, рав¬
на 2. Найти радиус окружности.
Решение. Пусть О — центр окружности, радиус которой
нужно найти (рис. 12.17). Введем обозначения: /? —радиус иско¬
мой окружности, х —длина отрезка, OL — расстояние от центра
окружности до хорды АВ.
Составим теперь следующие уравнения!
нз прямоугольного.д-реугольника СОМ получим
ОС* = (х+1)*-)-^;
(•)

5	8. МНОГОУГОЛЬНИКИ и ОКРУЖНОСТИ
84»
из прямоугольного треугольника OBL получим
(**)
из прямоугольного треугольника ОСК получим
ОС* — Л* + 4.	(**♦)
Приравнивая правые части уравнений (•) и (••*) с учетом (**),
получаем уравнение
х» + 2х+ I +4- = х» + 4-+4-«=*-2х-=3.
4	4
3
Следовательно,	искомое значение R получается из урав¬
нения (*•):
Vt+t“ л/х-
Ответ.
л/ю
Пример 5.3. Окружность касается сторон АВ и AD пря¬
моугольника ABCD и пересекает сторону DC в единственной
точке F, а сторону ВС — в единственной точке Е. Найти пло¬
щадь трапеции AFCB, если АВ =• 32, AD = 40 и В£ = I.
Решение. Пусть О — центр окружности М и N — точки
касания окружности со сторонами АВ и AD (рис. 12.18); OL —
высота равнобедренного треугольника МЕО. В качестве неиз¬
вестных введем R — радиус окружности и о — ВМЕ.
В прямоугольном треугольнике МВЕ по условию задачи
BE ■= I. Выражаем стороны треугольника МВЕ через угол а и
1:
МВ^аиа. А1£-^.

850
ГЛ. 12. ПЛАНИМВТРИЯ
Четырехугольник AMON, образованный раднусамн N0, МО,
проведенными в точки касания, и частями сторон прямоуголь¬
ника AM и AN, будет квадратом, так как
NO^MO = R,	AMO-r-nl^ Хы0^п12,
я, следовательно, AM ■- AN — R. Равенство AM -f MB =• AD
дает первое уравнение, связывающее R н at
/? -f- ctg а 32.	^
Рассмотрим треугольник ОМЕ. В атом треугольнике
’	1					 я
sin а
ME:
■■ 2ML, МО:=ОЕ=: R, ОМЕ =■ -j- ~
углы LOM и ВМЕ равны как углы с соответственно перпендику¬
лярными сторонами. Следовательно,	sin а и, подставляя
1
сюда найденное уже значение ML
2	sin а '
получим уравнение
Последнее равенство представляет собой второе уравнение для R
и а. Итак, окончательно система уравнений для /{на имеет вид
к-тш7-
Исключая R из системы, получаем тригонометрическое урав¬
нение угла а)
'*Г
-Л-, 	J- etc а •= 32.
2	sin’ о *
которое с помощью равенства I -|-clg*a=	преобразуется
к виду
ctg* а -Ь 2 ctg а -f 1 = 64 clg о 7
(а —острый угол). Из первого уравнения системы получаем
/{-25.
Опустим из точки О перпендикуляр на сторону DO я рас¬
смотрим прямоугольный треугольник OPF. В этом треугольнике
OP^R = 25,
OP = МР — AfO = >Ш - /{ = 40 - 25 — 15.
По теореме Пифагора находим
FP — -у/6е» - ОР^ — V25* - 15’ —20.

§ 8. МНОГОУГОЛЬНИКИ и ОКРУЖНОСТИ
851
Так как ctg а = 7, то, следовательно, в треугольнике MBF сто*
рона МВ = 7. Так как PC — МВ — 7 и FC — FP + PC, то
PC — 20 + 7 — 27.
Теперь в искомой трапеции AFBC найдено основание PC —
•= 27, а второе основание АВ н высота i40 известны по условию
задачи, и, следовательно, площадь трапеции AFBC равна
^AFBC ’
AB + FC
AD>
32 + 27
2
•40— 1180.
Ответ. 1180.
5.17.	Около круга радиуса г описана прямоугольная трапе*
3
ция, меньшее основание которой равно г. Определить площадь
трапеции.
5.18.	В полукруге расположен прямоугольник ABCD так, что
его сторона АВ лежит на диаметре, ограничивающем полукруг,
а вершины С и D — на ограничивающей полукруг дуге. Длина
радиуса полукруга равна 5 см. Найти длины сторон прямоуголь¬
ника ABCD, если его площадь равна 24 см’, а длина диагонали
больше 8 см.
6.19.	Около окружности радиуса R описан параллелограмм.
Площадь четырехугольника с вершинами в точках касания ок¬
ружности и параллелограмма равна S. Найти длины сторон па¬
раллелограмма.
5.20.	Длина средней линии равнобочной трапеции равна 10.
Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя
линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей ко¬
торых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции.
5.21.	В кружность радиуса 6 см с центром в точке О вписан
четырехугольник ABCD. Его диагонали АС и BD взаимно, пер¬
пендикулярны и пересекаются в точке К. Точки В и F являются
соответственно серединами АС и BD. Длина отрезка ОК равна
5 см, а площадь четырехугольника OEKF равна 12 см’. Найти
площадь четырехугольника ABCD.
5.22.	В трапецию ABCD с основанием ВС и AD и с боко¬
выми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О.
Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, а ОС — 2,
ОД —4.
5.23.	Биссектриса АЕ угла А рассекает четырехугольник
ABCD на равнобедренный треугольник АВЕ (АВ — BE) и ромб
AECD. Радиус круга, описанного около треугольника ECD, в
1,6	раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник АВЕ,
Найти отношение периметров этих треугольников.

352
ГЛ li. ПЛАНИМЕТРИЯ
5.24.	В трапецию ABCD с основанием AD 40, углами при
вершинах А и D, равными 60°, и боковыми сторонами =
« 10 вписана окружность так, что она касается обоих оснований
AD и ВС и стороны АВ. Через точку М основания AD, отстоя¬
щую на расстояние 10 см от вершины D, проведена касательная
к окружности. Эта касательная пересекает основание ВС в точ¬
ке К. Найти отношение площади трапеции АВКМ к площади
трапеции MDCK.
6.25.	Окружность, построенная на основании AD трапеции
А BCD как на диаметре, проходит через середины боковых сто¬
рон АВ 'и CD трапеции и касается основания ВС. Найти углы
трапеции.
5.26.	,4, В, С, D — последовательные вершины прямоугольни¬
ка. Окружность проходит через <4 и S и касается стороны CD
в ее середине. Через D проведена прямая, которая касается той
же окружности в точке £, а затем пересекает продолжение сто¬
роны АВ в точке К. Найти площадь трапеции BCDK, если из¬
вестно, что (45 = 10 и КЕ -.КА ■=3:2.
5.27.	В четырехугольнике ABCD сторона А В равна стороне
ВС, диагональ i4C равна стороне CD, а угол АВС равен углу
ACD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольник АВС н
ACD, относятся, как 3 :4. Найти отношение площадей втих тре¬
угольников.
5.28.	В ромб ABCD, у которого АВ = / и ВлЬ »= о, впи¬
сана окружность. Касательная к этой окружности пересекает
сторону АВ в точке М, а сторону AD — в точке N. Известно, что
MN S 2<1. Найти длины отрезков МВ н ND.
5.29.	В прямоугольнике ABCD сторона ВС вдвое короче сто¬
роны CD. Внутри прямоугольника расположена точка Е, причем
<= л/з", СЕ = Ъ, DE ■= \. Вычислить косинус угла CDE и
площадь прямоугольника ABCD.
5.30.	В параллелограмме ABCD известны длины стороны
АВ >= V2 и диагонали BD = 2. Окружность радиуса л/2^ с
центром в точке В. лежащая в плоскости параллелограмма, пере¬
секается со второй окружностью радиуса 1, проходящей через
точки А и С. Известно, что касательные, проходящие через одну
из точек пересечения окружностей, взаимно перпендикулярны.
Найти длину диагонали АС.
5.31.	В равнобочную трапецию вписана окружность. Расстоя¬
ние от центра окружности до точки пересечения диагоналей тра¬
пеции относится к радиусу, как 3:5. Найти отношение пернмет-
рц трапеции к длине вписанной окружности.

ГЛАВА 13
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Общи» евобства пряных н плоскостей. Плоскость а
в пряная а, ве принадлежащая плоскости а, называются параллельными,
если они не инеют ни одной общей точки.
Признак параллельности прямой и плоскости. Если пряная парал¬
лельна какой-либо пряной, лежащей в плоскости, то данные пряная н
•лоскость либо параллельны, либо пряная принадлежит плоскости.
Теоремы о плоскости и прямой, параллельной
плоскости.
1.	Если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости,
в пересекает эту плоскость, то лнння пересечения плоскостей параллель-
йа данной прямой.
2.	Если через каждую иа двух параллельных пряных проведена
произвольная плоскость и эти плоскости пересекаются, то лнння их
варесечення параллельна каждой из данных пряных.
3.	Еслв две пересекающиеся плоскости параллельны данной пряной,
то лнння их пересечения также параллельна данной пряной.
Две плоскости а и 6 называются параллельными, если овв ве
имеют общей точки.
Признак параллельности двух плоскостей. Есля две пересекающиеся
пряные одной плоскости соответственяо параллельны двум прямым дру¬
гой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Теорема о параллельных плоскостях.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью,
то линии их пересечения параллельны.
Прямая н плоскость называются взаимно перпендикулярными, если
пряная перпендикулярна каждой прямой, принадлежащей плоскости.
Пряную, перпендикулярную плоскости, называют перпендикуляром к этой
плоскости.
Признак перпендикулярности прямой а плоскости. Если прямая пер¬
пендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых. лежаЩ|Х в пло¬
скости. то эти пряные я плоскость взаимпо перпендикулярны. -
Теоремы о перпендикулярности пряной н Нло<
с кости.
1.	Два различных перпендикуляра к плоскости параллельны.
2.	Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна пло¬
скости. то в другая перпендикулярна этой плоскости.
3.	Пряная, перпендикулярная одной из двух параллельных плоско¬
стей. перпендикулярна я другой плоскости.
4.	Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, парал¬
лельны.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость содержит
перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой пло¬
скости.
Теоремы о взаимно перпендикулярных плоско¬
стях..
1.	Если две плоскости взаимпо перпендикулярны, то пряная, при¬
надлежащая одной плоскости и перпендикулярная линии пересечения
плоскостей, перпендикулярна н другой плоскости.
2.	Есля две ItHOCKOCTH взаимно перпендикулярны н к одной нз
плоскостей проведен перпендикуляр, проходящий через линию пересече¬
ния этих плоскостей, ‘со этот перпендикуляр целиком принадлежит дру¬
гой плоскости., ;	.	.
Прячую. пересекающую плоскость, во ве перпевдикулярвую ей, ва-
•ывают наклонной к плоскости. ‘‘
12	А. Г. Цыпквн, А, И. Панский

354
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
и. лежащая в плоскости, была перпвндмкуляряа наклояной. необхси
ио в достаточно, чтобы эта прямая была перпевдикулй(>яа проекции.
Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы пря*
мая.	'
днмо
наклонной на эту плоскость.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между на*
клонной и ее ортогональной проекцией на плоскость. Два несовпадающие
полуплоскости, ниеющие а качестве обшей границы прямую и ограннчн*
вающне полуплоскости, называются двугранным углом. Прямая, являют
щаяся общей границей двух полуплоскостей, называется ребром двуграят
110ГО угла. ПолуплоскосН. граница которой совпадает о ромбом дву*
граняого угла в делящая двугранный угол на два парных двугранным
угла, называется биссекторной плоскостью. Угол, получайвый в результ
тате пересечения двуграявого угла плоскостью, перпепднкулярной его
ребру, иазываетсй линейным углом двуграявого угла.
§ 1. Многогранники
Многогранником называется тело, ограниченное плосквия миогоуголь*
пиками. Общие стороны смежных многоугольников называются ребрами
мяогогранкнка. Многоугольники, которые ограничивают многогранник, на«
аываются его гранями.
Призма. Многогранник, две граня которого — равные л-угольникм.
лежащие в параллельных плоскостях, а ребра всех остальных граней
параллельны, называется п-уеольной призмой. Пару равных л-угольнн.<
ков называют основаниями призмы. Остальные грани призмы пааывают
ее боковыми гранями, а их о^едявеяяе — боковой поверхностью призмы.
Ребре, не лежащие в основаниях призмы, яазываются боковыми ребрами.
Все боковые ребра призмы равны как отрезки параллельных прямых,
ваключенных между параллельными плоскостями.
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям осно¬
ваний. называют прямой призмой. Отрезок перпендикуляра к плоскостям
осиоаяяий призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, ая*
аывают высотой призмы. Прямая призма, осповаянеи которой является
правильный многоугольник, называется правильной призмой.
Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле
®бак”^п'^1‘^а*
где Р^—периметр перпендикулярного сечення призмы,длина бо¬
кового ребра.
Объем наклояной призмы вычисляется по формуле
где 5д—площадь перпеядвкулярвого сечения прнзиы,	длнна бо¬
кового ребре, нлк по формуле
где	площадь основания призмы. Н — высота призмы.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служа*
параллелограммы. Все шесть граней параллелепипеда — параллелограммы.
Свойства параллелепипеда:
1)	середина днагопалн параллелепипеда является его центром снм-
метрин;
2)	противолежащие грани параллелепипеда поперво равны я ввряя-
дельны;
3)	все четыре днагонелн параллелепипеда пересекаются в одаой
точке н делятся ею пополам.
Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоско-
стн основания параллелепипеда, называется пряным. Прямой лараллеле-
пяпед, основанием которого служит прямоугольник, называется прямое
угольным. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольвнни.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычнсляетея по формула
V=abc.
где а, Ь, е —длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выхо¬
дящие из одной вершины.
Прямоугольный параллелепипед с равнымя ребрамн называется кр-
№м. ^е граня куба — равные квадраты. Объем куба вьпкйляетск по
форчуяа
К«в'.

t 1. МНОГОГРАННИКИ
855
Пример 1.1. Найти площадь боковой поверхности пра¬
вильной треугольной призмы высотой к, если прямая, соединяю¬
щая центр верхнего основания с серединой стороны нижнего
основания, наклонена к плоскости основания под углом а.
Решение. Пусть ЛвС)1|в|С1 — правильней треугольная
призма, в основании которой лежат правильные треугольники
АВС и /4ifiiC|, OOi — высота (OOi = Л),	—середина отрезка
б|С|, О и О] — центры треугольников верхнего
и нижнего оснований (рис. 13.1). Рассмотрим
треугольник OiOM. По условию задачи
OMOi = а, угол OOiM прямой, 00| -« А.
Из прямоугольного треугольника 0|0М
находим 0|M вь h ctg ос. Так как 0% — центр
треугольника AtB,Cu то Л|Л1 * 30»М =ю
к» ЗА ctg а. По условию задачи треугольник
Л|в|С| равносторонний и Л|М— высота, мо-
дпаиа и биссектриса. По высоте треугольника
Рис. 13.1
А,М находим
сторону AiBt —	° ^ Actga. Площадь боковой
поверхности правильной треугольной призмы ABCAiBiCi равна
произведению периметра основания на высоту призмы:
S	= 3 • -4,i3i • А имб V5" А* ctg а.
Ответ, б V^" А* ctg а.
1.1.	Дай куб ABCDAiBiCiDi с ребром а. Найти угол между
диагональю -4iC и ребром AtDi.
1.2.	Расстояние между непересекаюшнмися диагоналями
двух смежных боковых граней куба равно d. Найти его объем.
1.3.	Определить объем параллелепипеда, если все - его гра¬
ни — ромбы, длины сторон которых равны а н острые углы, рав¬
ны а.
1.4.	Определить объем правильной четырехугольной призмы,
если диагональ образует в боковой гранью угол а, а сторона
основания равна А.
1.5.	Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых гра¬
ней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его
основания под углами аир. Найти угол между этими диагона¬
лями.
1.6.	В наклонной треугольной призме длины боковых ребер
равны 8 CMI стороны перпендикулярного сечения относятся, как
9; 10:17, а его площадь равна 144 см*. Найти боковую поверх¬
ность этой призмы.
1.7.	В прямоугольном параллелепипеде угол между диаго¬
налью основания и его стороной равен а. Диагональ параллеле-
12*

356
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
пипеда равна d н образует с плоскостью основания угол ф. Най»
ти боковую поверхность параллелепипеда.
1.8.	В основании четырехугольной призмы лежит ромб со
стороной а и острым углом а, а боковые ребра призмы равны
и наклонены к плоскости основания призмы под углом Найти
объем призмы.
1.9.	Углы, образуемые диагональю прямоугольного паралле<
лепипеда с его гранями, пересекающимися в одной из его вер<
шин, равны а, р, у. Доказать, что
sin* о + sin* р + sin* V *= 1.
Пирамида. Многогранипк, одна иэ граней которого — проиЗволы
ный многоуго.тьник. а остальные грани — треугольники, имеющие одн/
общую вершину, называется пирамидой. Многоугольник называется осно<
ванием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называются боко*
выми гранями пирамиды.
Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребре,
принадлежащие основанию пирамиды, называют ребрами основания,
а все остальные ребра — боковыми ребрами. Общая вершина всех трс'<
угольников (боковых граней) называется вершиной пирамиды.
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведеп<
вого на вершины пирамиды к плоскости основания (концами >того
отреака являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Правильная пирамида. Пирамида называется правиленой,
если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а орк
тогональная проекция вершины пирамиды совпадает с центром многое
угольника, лежащего в основании пирамиды. Все боковые ребра пра>
внльной пирамиды равны между собой; все боковые грани — равные
равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пит
рамнды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пн<
рамиды.
Треугольная пирамида, в основании которой лежит треугольник,
называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его
ребра равны.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется
по формуле
где Р — перяметр пирамиды, А — апофема.
Объем пирамиды вычисляется по формуле
V-lsH,
где S — площадь основания пирамиды, Н — высота пирамиды.
Усеченная пирамида. Многогранник, вершинами которого
служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения 'пло¬
скостью, параллельной основанию пирамиды, называется усеченной пира¬
мидой. Основания усеченной пирамиды — гомотетичные многоугольники,
иентр гомотетии — вершина пирамиды. Перпендикуляр к плоскости
оснований, с концами на плоскостях оснований пирамиды, называется
высотой усеченной пирамиды. Боковые грани усеченной пирамиды —
трапеции.
Усеченная пирамида называется правильной, если она является
частью правильной пирамиды. Боковые грани правильной усеченной
пирамиды — равные равнобедренные трапеции. Высота каждой из этих
трапеций называется апофемой правильной усеченной пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вы¬
числяется по формуле
5—j(P + P)h.
где Р, р — периметры освовавкй пирамиды, А >- апофема.

а
§ I. МНОГОГРАННИКИ	337
Объем усеченное пирамиды вычисляется по формуле
У—J«(s.+V5I2T+S,).
где Н — высота усеченной пирамиды, S, и >- плошали ее осяовапнЛ.
Пример 1,2. в осиовании пирамиды лежит равнобедрси*
пый треугольник, равные стороны которого равны Ь, а угол ме¬
жду ними равен сс. Найти объем пирамиды, если каждое из бо¬
ковых ребер пирамиды образует с высотой пирамиды угол ср.
Решение. Пусть SABC — данная пирамида, SO — высота
пирамиды, АВ = АС, Л—-о, /(sb => BSO = dSO = ф (рис. 13.2).
Рассмотрим треугольники ASO, BSO,
CSO. Все эти треугольники прямоуголь¬
ные (SO —высота пирамиды, перпенди¬
кулярная плоскости треугольника АВС,
и, следовательно, SO перпендикулярна
прямым АО, ВО, СО, принадлежащим
плоскости треугольника АВС), SO—об¬
щая сторона этих треугольников, а
(углы при вершине S равны ф по уело-
вню. Следовательно, все эти треуголь¬
ники равны между собой и против
равных углов этих треугольников ле¬
жат равные стороны: АО = ВО = СО. Таким образом, оказыва¬
ется, что точка О — точка, равноудаленная от всех вершин тре-
(угольника АВС, — является центром окружности, описанной
около треугольника АВС.
В равнобедренном треугольнике АВС известны боковая сто¬
рона АВ = Ь н угол а при вершине А. Радиус окружности, опи¬
санной около треугольника АВС, равен &/^2 соз-^^. В прямо-
(угольном треугольнике ASO теперь известны катет |/40|
.а/^2соз^^ и острый угол при вершине S, равный ф. Находим
второй катет SO, который является высотой пирамиды:
SO = AOclg<p=n.—^— с1дф.
Теперь найдем объем пирамиды Si4BC;
> с	Ь
3
^SABC “ Т АВС^^
о " п ^ sin Q
3 2	2 cos (а/2)
с1дф.
■ ft* sin Y ctg ф.
Ответ, -g-ft*sinctgф.

658
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
1.10.	Определить объем правильной треугольной пирамиды,
боковое ребро которой равно I и наклонено к плоскости основа¬
ния под углом а.
1.11.	Определить полную поверхность правильной треуголь¬
ной пирамиды, у которой плоский угол при основании боковой
грани равен а, а радиус вписанной в основание окружности
равен г.
1.12.	Боковые грани треугольной пирамиды — прямоугольные
треугольники, а боковые ребра равны а. Найти угол между бо¬
ковым ребром и высотой. Вычислить объем пирамиды.
1.13.	В осиоваипи пирамиды лежит равнобедренный тре¬
угольник с основанием а и боковой стороной Ь. Боковые грани
образуют с основанием двугранные углы, равные а. Найти вы¬
соту пирамиды.
1.14.	В правильной треугольной пирамиде высота равна Н, а
двугранный угол при боковом ребре равен а. Найти объем пира¬
миды.
1.16.	Найти объем правильной треугольной пирамиды, зная
плоский угол а при вершине и расстояние а от боковой грани
до противоположной вершины.
1.16.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды рав¬
но а, угол между боковыми гранями равен 2ф. Найти длину
стороны основания.
1.17.	В основании пирамиды лежит прямоугольный треуголь¬
ник с гипотенузой с и острым углом о. Каждая из боковых гра¬
ней пирамиды наклонена к основанию под углом р. Найти боко¬
вую поверхность пирамиды.
1.18.	Стороны основания треугольной пирамиды равны а, Ь
и с. Все плоские углы при ее вершине прямые. Вычислить объем
пирамиды.
1.19.	Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинако¬
вую длину /. Из трех плоских углов, образованных при вершине
пирамиды этими ребрами, два равны а, а третий равен р.
Найти объем пирамиды.
1.20.	Двугранный угол при основании правильной треуголь¬
ной пирамиды равен а. Найти двугранный угол между боковыми
гранями.
Указание. В этой и следующей задачах ввести вспомога¬
тельный параметр а —длину ребра пирамиды.
1.21.	В правильной треугольной пирамиде двугранный угол
при боковом ребре равен а. Найти плоский угол при вершине
пирамиды.
1.22.	Ребра оснований правильной усеченной треугольной пи¬
рамиды равны соответственно а и Ь. Найти высоту пирамиды,

5	I. МНОГОГРАННИКИ
359
если все боковые грани наклонены к плоскости основания под
углом а.
1.23.	В треугольной пирамиде SABC ребро 5^4 перпендику¬
лярно плоскости грани АВС, двугранный угол с ребром SC равен
я/4, S/4 = ВС = а н Z/4BC = я/2. Найти длину ребра АВ.
1.24.	Все грани треугольной пирамиды — равные равнобед¬
ренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой
одной из ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если рас¬
стояние между наибольшими противоположными ребрами равно
единице.
1.25.	Найти объем тетраэдра, у которого каждая грань —
треугольник со сторонами о, Ь, с, где а, Ь, с —различные числа.
Пример 1.3. В основании пирамиды лежит прямоугольник,
площадь которого равна Q. Две боковые грани пирамиды пер¬
пендикулярны плоскости основания,
а две дрз^гие образуют с плоскостью
основания углы аир. Найти объем
пирамиды.
Решение. Пусть SABCD—дан¬
ная пирамида, в основании которой
лежит прямоугольник ABCD площа¬
дью Q (рис. 13.3). Так как все боко¬
вые грани пирамиды имеют одну об¬
щую точку S (вершина пирамиды),
то перпендикулярными основанию пи¬
рамиды могут быть лишь смежные
боковые граня (на рис. 13.3 — гра¬
ни BSC и DSC). Далее, так как грани BSC и DSG перпен¬
дикулярны плоскости основания и имеют общую точку S, тъ они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку и перпен¬
дикулярной плоскости основания, откуда следует, что высота
пирамиды совпадает с боковым ребром SC.
Так как основание пирамиды — прямоугольник, то прямая
AD перпендикулярна прямой DC, прямая АВ перпендикулярна
прямой ВС и обе эти прямые (AD и ВС) перпендикулярны вы¬
соте пирамиды SC. Отрезки DC и ВС являются ортогональными
проекциями отрезков DS и BS па* плоскость основания пирами¬
ды, и по теореме о трех перпендикулярах АВЛ.ВЗ и ADJ.DS.
Таким образом, оказывается, что ^SBC является линейным уг¬
лом двугранного угла, образованного плоскостями ABCD и ASB,
а ZSDC —линейным углом двугранного угла, образованного
плоскостями ABCD и ASD. П<Г условию задачи один из тх
(П'лов (например, d^SBC) равен о, а другой (Z.SDC)' равен р.
Рнс. 13.3

360
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Пусть ВС = X, а DC — у. Из прямоугольного треугольника
BSC находим SC = xtga, а из прямоугольного треугольника
DSC находим SC = </ tg р. Отсюда следует, что
X Ig а = tg р,
а в силу условия задачи ху = Q.
Из полученных уравнений находим = VQ tgactgP, и, еле*
довательно,
SC = у fg р = VQ tgotgp.
Нетрудно проверить, что если положить SBC = Р, SDC=o,
то по-прежнему высота пирамиды SC будет определяться тем же
самым выражением. Найдем объем пирамиды Vsabcd:
SABCD■
■	— S
■	3 '^ABCD'
,SC--i.QVQlgo‘gP.
Ответ, -уQVQtgatgP.
1.26.	Определить объем правильной четырехугольной пирами»
ды, у которой сторона основания равна а, а двугранный угол
между смежными боковыми гранями равен а.
1.27.	Определить объем правильной четырехугольной пирами¬
ды, боковое ребро которой равно /, а двугранный угол между
двумя смежными боковыми гранями равен
1.28.	В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб,
большая диагональ которого равна d, а острый угол равен а.
Все боковые грани наклонены к плоскости основания под уг¬
лом Найти боковую поверхность пирамиды.
1.29.	Плоский угол при вершине правильной четырехуголь¬
ной пирамиды равен а, а высота — /I. Определить объем пира¬
миды.
1.30.	В правильной четырехугольной пирамиде высота равна
Н, объем равен V. Найти боковую поверхность Q.
1.31.	В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен а. Найти угол между противоположными
боковыми ребрами.
1.32.	В правильной четырехугольной пирамиде двугранный
угол при боковом ребре равен 2а. Найти двугранный угол при
основании.
1.33.	Основанием пирамиды служит прямоугольник, две бо¬
ковые грани ее перпендикулярны плоскости основания, две дру¬
гие боковые грани образуют с основанием углы а в ^ соответ-

§ г. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
361
ственно. Определить объем пирамиды, если длина наибольшего
из боковых ребер равна /.
1.34.	В четырехугольной пирамиде SABCD плоскости боко¬
вых граней SAB, SBC, SCD, SAD образуют с плоскостью осно¬
вания углы, равные соответственно 60°, 9(f, 45°, 90°. Основание
ABCD — равнобочная трапеция; АВ « 2, площадь основания
равна 2. Найти площадь поверхности пирамиды.	'
1.35.	Найти объем и боковую поверхность правильной шести¬
угольной пирамиды, если даны боковое ребро / и диаметр d
круга, вписанного в основание пирамиды.
1.36.	Плоский угол при вершине правильной шестиугольной
пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью ос¬
нования. Найти этот угол.
1.37.	Двугранный угол при боковом ребре правильной шести¬
угольной пирамиды равен ф. Определить плоский угол при вер¬
шине пирамиды.
1.38.	Найти объем правильной пирамиды, в основании кото¬
рой лежит правильный пятиугольник, а боковыми гранями яв¬
ляются правильные треугольники со стороной а.
1.39.	В правильной п-угольной пирамиде боковые грани на¬
клонены к плоскости основания под углом а. Под каким углом
наклонены к плоскости основания боковые ребра пирамиды?
1.40.	Плоский угол при вершине правильной п-угольной пи¬
рамиды равен а. Найти двугранный угол 0 между двумя смеж¬
ными боковыми гранями.
1.41.	Найти объем правильной усеченной четырехугольной
пирамиды, у которой сторона меньшего основания равна Ь, боль¬
шего основания равна а, а угол наклона боковой грани к пло¬
скости большего основания равен 60°.
§ 2. Сечения многогранников
Построить сечение многогранника плоскостью — это значит
указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами много¬
гранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими
граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с
ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадле¬
жащие граням, — сторонами многоугольника, получающегося в
сечении многогранинка плоскостью.
Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в
плоскости каждой пересекаемой грани миогограиннка указать
две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти
точки пересечения этой прямой с ребрами многограииика. Пло¬
скость сечения ниогогравивка может задаваться разными уело-

862
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
ВИЯМИ. Рассмотрим несколько простейших типичных способов за¬
дания сечений куба.
Пример 2.1. Построить сечение куба ABCDAiBiCiDi с
ребром а плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, ВС
и СС|.
Решение. Две точки М п N (середины ребер АВ и ВС
соответственно) (рис. 13.4), принадлежащие сечению, лежат иа
Рис. 13.4
одной грани. Проведем прямую через точки М и N ло пересечв1>
ния с продолжениями ребер AD и DC соответственно в точках
Р и L. Из треугольников MBN и NLC нетрудно найти, что
LC’=NC~^a/2.
Точки L в К (середина ребра CC|) лежат в плоскости грапн
DDtCiC. Проводим прямую через точки L и К. Учитывая, что
СК = п/2, из треугольников LCK и KCiS находим 5С|	а/2,
т. е. точка S лежит на середине ребра DiCj. Прямая LK пересе¬
чет продолжение ребра DDi в точке R. Аналогично предыдущему
можно показать, что DtR = а/2. Так как точки R и R лежат
в плоскости грани AiADDi, то прямая PR пересечет стороны
квадрата AtADDi в точках Т и Q, причем точка Г — середина
ребра AAi, а точка Q — середина ребра AtDt.
Итак, получены шесть точек (М, N. К, S, Q и Т), принадле¬
жащих плоскости сечения и лежащих на гранях куба. Соединяя
пары точек М и Т, N и К, S в Q, получаем искомый шести¬
угольник сечения.
Пример 2.2. Построить сечение куба ABCDAiBtCtDi пло¬
скостью, проходящей через середины ребер АВ в ВС в центр
квадрата AtBiCiDi.
Решение. В данной задаче две точки М в Ы (рис. 13.5)
принадлежат верхней грани, а третья точка О понаадлежнт па-

S г. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
863
раллельной ей грани нижнего основания. Нетрудно убедиться,
что в данной задаче построение сечения методом, описанным в
предыдущей задаче, не приводит к цели. Так же обстоит дело
в задачах, в которых прямая, соединяющая две данные точки
сечения, оказывается параллельной ребру многогранника или все
три точки искомого сечения принадлежат скрещивающимся реб¬
рам многогранника. В этих случаях при построении сечения ис-
польэуюкя следующие теоремы.
1.	Если две плоскости параллельны н пересекаются третьей
плоскостью, то линии пересечения параллельных плоскостей
третьей плоскостью параллельны между собой.
2.	Если две пересекающиеся плоскости параллельны одной и
той же прямой, то лвния их пересечения параллельна этой
прямой.
3.	Если плоскость и прямая параллельны и через прямую
проведена плоскость, пересекающая данную, то линия пересече¬
ния этих плоскостей параллельна данной прямой.
Искомая плоскость сечения проходит через точку О и пря¬
мую MN, параллельную плоскости AtBiCtDi. По теореме 3 пло¬
скость сечения пересечет плоскость грани AiBiCtDi по прямой,
параллельной прямой MN, Так как прямая MN параллельна пря¬
мой АС (как средняя линия треугольника АВС), а АС|| AgCt, то
линией пересечения плоскости сечения и плоскости граня
AiBiCiDi будет диагональ квадрата <4|C|. Точки Ai к М принад¬
лежат грани AiABBi, а точки А/ и С| принадлежат граня
BCCiBt, и, следовательно, в сечении куба плоскостью будет по¬
лучаться четыре-хугольник AtMNCt.
В двух рассмотренных выше примерах точки, задающие
сечение, принадлежали поверхности куба. Однако существуют
задачи, в которых точки, задающие сечения, принадлежат раз¬
ным граням или же одна из точек лежнт внутри многогранника.
В этих случаях для решения задач необходимо сделать допол¬
нительные построения, позволяющие свести решение задачи к опи¬
санной выше схеме построения сечения. Часто для этого строят
вспомогательную плоскость, содержащую какую-либо прямую,
принадлежащую плоскости сечения, и какую-либо прямую, при¬
надлежащую плоскости грани. В построенной вспомогательной
плоскости отыскивается точка пересечения этих прямых и тем са¬
мым находится еще одна точка, лежащая уже в плоскости бо¬
ковой грани.
Пример 2.3. Дан куб ABCDAiBtCtDi с боковыми ребрами
AAt, BBi, CCt, DDt. Найти площадь сечения куба плоскостью Я,
проходящей через центр куба и середины ребер АВ и ВС, если
ребро куба равно единице.

864
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Решение. Пусть М и N — середины ребер АЯ и ВС со¬
ответственно (рис. 13.6). Плоскость Р проходит через точки М
ы N и, следовательно, пересекает грань ABCD по прямой MN.
Для того чтобы построить сечение куба плоскостью Р, построим
вспомогательное сечение куба диагональной плоскостью Q, про¬
ходящей через вершины куба В,
D, D|, В|, Диагональное сечение
куба представляет собой прямо¬
угольник со сторонами BBi
= 1 и BD = -}/2. Плоскости Р и
Q пересекутся по прямой, прохо¬
дящей через точку L и точку О
(центр куба), которая также
принадлежит плоскости Q, причем
Используя равен-
BL^\-BD.
4
ство треугольников LRO и ЦР,0,
1
аетрудно доказать, что LtDi’^BiDi. Таким образом, до¬
казано, что плоскость Р проходит через точку Ц, принадлежа-
1
BiDi.
тую верхнему основанию куба, и
Так как плоскости ABCD и AiBiCtDi параллельны и пло¬
скость Р пересекает обе эти плоскости, то линии пересечения этих
плоскостей плоскостью Р параллельны между собой. Проводя
прямую MtNi через точку Lt параллельно диагонали AiCt, полу¬
чаем две точки (Ml и A^i), принадлежа1^ие плоскости сечения Р
И ребрам куба, причем MiW| — средняя линия треугольника
И,с,0„ M,Af,.
'АГА.
Продолжим ребро DC за точку С. Так как прямые МАГ и
DC принадлежат плоскости нижнего основания куба и непарал¬
лельны, то они пересекутся в некоторой точке S. Из равенства
треугольников MBN и NSC следует, что SC «=■ МВ. С другой
Стороны, точка S, принадлежащая плоскости Р, принадлежит
также грани куба DCCiDi. Таким образом, получены две точки
(S и V|), принадлежащие как плоскости Р, так и плоскости
грани DCCiDt. Прямая, проходящая через точки S и ATi, пересе¬
чет ребро куба СС| в точке К. Из равенства равнобедренных
треугольников CSK и KN%Ci следует, что SC = СК = KCi =
» AT|Ci. Соединяя точки N я К, принадлежащие плоскости Р и
плоскости граня BCC|B|, получаем еще одну сторону много¬
угольника сечения,	■	:

§ 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
3es
Аналогично, продолжая ребро куба AD за точку А, полу¬
чаем точку 5i —точку пересечения прямых MN н AD. Далее,
соединяя точки Si и Afi, получаем точку /Ci—точку пересечения
плоскости Р о ребром AAi, причем AiRi = AtMt = AAi.
Итак, в сечении куба плоскостью Р получен шестиугольник
MNKNiMiKt. Из равенства треугольников MBN, NCK, KCiNi,
NiDiMi, MiAiKi, KiAM следует, что стороны этого шестиуголь¬
ника равны н длина его стороны равна л/2/2. Так как треуголь¬
ники NCS, SCK, NCK равны (все они прямоугольные и NC <=
\шг CS = CN, то треугольник NSK равносторонний, S^AC™60®,
и, следовательно, MNK => 120’. Аналогично можно доказать, что
все остальные углы шестиугольника MNKNiMiKt равны 120’, и,
следовательно, этот шестиугольник правильный. Площадь пра¬
вильного шестиугольника со стороной V2/2 равна sV^A.
Ответ. 3V3/4.
Для нахождения площади сечения многогранника в ряде
случаев также удобно использовать свойство ортого¬
нальной проекции плоского многоугольника)
а S cos о,
где S — площадь многоугольника, а — площадь его ортогональ¬
ной проекции на некоторую плоскость Р, а — угол между пло¬
скостью многоугольника и плоскостью Р.
2.1.	Через середину диагонали куба перпендикулярно ей
проведена плоскость. Определить площадь фигуры, получившейся
в сечении куба этой плоскостью, если ребро куба равно а.
2.2.	В кубе ABCDAiBiCiDi (AAtH BBtiCCtti DDt) через
середины ребер DDi и DiC\ и вершину А проведена плоскость.
Найти угол между этой плоскостью и гранью ABCD^
2.3.	В кубе ABCDAiBiCiDi {AAi П ВВ\ II CCj || DDi) плоскость
Р проходит через диагональ AiCi и середину ребра DDi. Найти
расстояние от середины ребра CD до плоскости Р, если ребро
куба равно 4.
2.4.	Дан куб ABCDA,B,C,D, (АЛ, Ц ВВ, Ц CCi II DD,). Найти
расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через вер¬
шины Л|, В, D, если ребро куба равно а.
2.5.	Дан куб ABCDAxBiCiDi (ЛЛ, В II СС, И DO,). На
продолжениях ребер ЛВ и ВВ, взяты точки М и N соответ¬
ственно так, что ЛМ =» В,ЛГ ЛВ ^ВМ = ВА^ = -|-ЛВ^. Гдо
на ребре СС, должна находиться точка Р для того,; что$ы,.в, сц;

366
ГЛ, 13. СТЕРВОМВТРИЯ
чення куба плоскостью, проведенной через точки М, N п Р, по¬
лучился пятиугольник?
2.6.	Пусть М и — середины ребер AAi и CCt куба
ABCDAiBiCiDi, а на продолжении ребра D\D за точку D взята
такая точка Р, что DP = 1/2 м. Через М, N » Р проведена пло¬
скость. Найти площадь сечения, если ребро куба равно 1 м.
2.7.	Длина ребра куба KLMNKiLiMiN, (/C/(,||Z.L,||AfAf,||WAf,)
равна 1. На ребре MMi взята точка А так, что длина отрезка
AM равна 3/5. На ребре KtNt взята точка В так, что длина от¬
резка KtB равна 1/3. Через центр куба и точки А а В проведена
плоскость а. Точка Р — проекция вершины N на плоскость а.
Найти длину отрезка ВР.
2.8.	На ребре ВД| куба ABCDAiBiCiDi взята точка F так.
что ВуР ■
> у ВВи на ребре C|D| — точка Е так, что Di£ =
^,о„
Какое наибольшее значение может принимать отношение
АР
PQ '
где точка Р лежит на луче DE, а точка Q — на прямой AiF?
■ Пример 2.4. Высота прямой призмы равна 1. В основа¬
нии лежит ромб со стороной, равной 2, и острым углом 30°. Че-
^	^ рез сторону основания проведена
секущая плоскость с углом на¬
клона к плоскости основания 60°.
Найти площадь сечения.
Решение. Пусть призма
ABCDAiBiCiDi — данная призма
(см. рис. 13.7) и секущая плоскость
проходит через ребро основания
AiBi, AiBi = 2, B]MiDi = 30°, AAi = l. В зависимости от линей¬
ных размеров призмы плоскость сечения, проходящая через реб¬
ро AiBi, пересекает либо боковую грань призмы DCCtDi, либо
грань верхнего основания ABCD. Предположим (а потом и дока¬
жем), что плоскость сечения пересекает грань основания ABCD
по прямой MN. Прямая MN будет параллельна ребру AiBi (пло¬
скости ABCD и j4|B|C|Z>i параллельны, и, следовательно, линии
пересечения этих двух плоскостей третьей — секущей пло¬
скостью — будут параллельны между собой), и MN = АВ =
= -4iBi. Из точки В| проведем перпендикуляр BiK к прямой
AiBi, принадлежащий плоскости AiMNBi, и перпендикуляр BiL
к прямой AiBi, принадлежащий плоскости ^iSiCiBi. По построе¬
нию угол /(BiZ. — линейный угол двугранного угла, образован¬
ного секущей плоскостью и плоскостью основания. По условию
задачи KBiL = 60°.

§ 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
867
Опустим из точки к перпендикуляр КР на плоскость
^iB|C|D|. По теореме о трех перпендикулярах точка Я будет
принадлежать прямой В«£. Рассмотрим треугольник BiKP. Этот
треугольник прямоугольный (угол Я прямой), а КР 1 {КР —
высота прямой призмы), и К'^ ■* 6(Г, Из треугольника BtKP
находки
B./C-.2/V3. BiP=‘\WJ.
Рассмотрим четырехугольник AiMNBi. Как было показано
выше, AiBi II MN и /liBi MN •= 2. Четырехугольник, у кото¬
рого противоположные стороны равны и параллельны, — парал¬
лелограмм. Отрезок BiK —высота параллелограмма AiMNBi,
так как по построению BiK J-AiBi. Площадь параллелограмма!
Теперь осталось доказать, что плоскость сечения действи¬
тельно пересекает верхнее основание призмы, а не ее боковую
грань. По условию задачи в основании призмы лежит - ромб со
стороной, равной 2, и острым углом 30°. Из прямоугольного тре¬
угольника BiC\L, у которого BiC| 2 и	— 30°, находим
высоту ромба: BiL = 1.
Допустим, что секущая плоскость пересекает боковую грань
DCCiDi по прямой MN. Построив линейный угол двугранного
угла с ребром AiBt, полу'чаем треугольник BiKL, причем точка К
лежит иа боковой грани и отрезок KL — часть высоты призмы,
т. е. KL < Однако из треугольника BiKL находим, что
KL = V3 > 1. Установленное противоречие доказывает, что се¬
кущая плоскость не может пересекаться с боковой гранью
DCCiDi.
В заключение следует заметить, что величина острого-угла
ромба понадобилась нам лишь при доказательстве, что пло¬
скость сечения пересекает верхнее основание призмы, а не ее
боковую грань, и никак не была использована при нахождении
площади сечения. Можно рассмотреть более общую задачу, по¬
лагая, что острый угол ромба равен а. В этом случае площадь
сечения будет равна 4/^/3 для всех углов а, удовлетворяющих
неравенству sin а ^ 1/(2 л/З).
Ответ. 4/V3.
2.9.	Через вершины А, С и Z)| прямоугольного параллелепи¬
педа ABCDAiB,CiDi проведена плоскость, образующая с пло¬
скостью основания угол 60°, Стороны основания параллелепипеда
равны 4 и 8. Найти объем параллелепипеда.

368
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
2.10.	Высота правильной треугольной призмы равна Н. Пло^
скость, проведенная через среднюю линию нижнего основания и
параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плО'
скостью основания угол а. Найти площадь сечения.
2.11.	Основанием прямой призмы служит равнобочная тра¬
пеция с основаниями а н Ь (а > Ь) и острым углом а. Пло¬
скость, проходящая через большее основание верхней трапеции
и меньшее основание нижней трапеции, образует с плоскостью
нижнего основания угол р. Найти объем призмы.
2.12.	.В правильной четырехугольной призме через сторону
основания проведено сечение под углом а к плоскости ос¬
нования. Найти угол между диагональю и стороной осно¬
вания.
2.13.	В правильной треугольной призме через сторону инж-
него основания н противоположную вершину верхнего основания
проведена плоскость, образующая с плоскостью основания дву¬
гранный угол 45°. Площадь сечения равна S. Найти объем
призмы.
2.14.	Через вершину правильной четырехугольной призмы
проведена плоскость так, что в сечении образовался ромб с
острым углом а. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости
основания призмы.
2.15.	В правильной четырехугольной призме сторона осно¬
вания равна а. Через диагональ нижнего основания и вершину
верхнего основания проведена плоскость, пересекающая две
смежные боковые грани призмы по прямым, угол между кото¬
рыми равен а. Определить объем призмы.
2.16.	Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник с гипотенузой с и острым углом 30°. Через гипоте¬
нузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего осно¬
вания проведена плоскость, образующая с плоскостью основа¬
ния угол в 45°. Найти объем треугольной пирамиды, отсеченной
от призмы плоскостью.
2.17.	Высота прямой призмы I м, ее основанием служит
ромб со стороной 2 м и острым углом 30°. Через сторону осно¬
вания проведена секущая плоскость, наклоненная к плоскости
основания под углом 60°. Найти площадь сечения.
2.18.	В основании прямой треугольной призмы лежит равно¬
бедренный треугольник с боковой стороной а и углом при ос¬
новании а. Через основание этого треугольника внутри призмы
под углом ф проведена плоскость. Определить площадь сечения,
< зная, что в сечении получается треугольник.
2.19.	В оснований прямой призмы лежит равносторонний
' треугольник. Через одну из сторон основания . и противо-

§ 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
36»
положную вершину проведена плоскость под углом ф к пло¬
скости основания. Плонгадь сечения равна 5. Найти объем
призмы.
2.20.	В треугольной призме ABCAiBiCi боковое ребро рав¬
но /. В основании призмы лежит правильный треугольник со сто¬
роной Ь, а прямая, проходящая через вершину Bt и центр осно¬
вания АВС, перпендикулярна основаниям. Найти площадь сече¬
ния, проходящего через ребро ВС и середину ребра АА{.
2.21.	Каждое ребро правильной шестиугольной призмы рав¬
но 1. Найтн площадь сечения, проходящего через сторону осно¬
вания н ббльшую диагональ призмы.
2.22.	Боковое ребро прямой призмы равно а. В основании ее
лежит прямоугольный треугольник, меньший из углов которого
равен а. Через меньший катет основания и середину противо¬
лежащего бокового ребра проведено сечение, составляющее с
плоскостью основания угол р. Найти площадь сечения.
2.23.	Сечение, проведенное через сторону а основания пра¬
вильной треугольной призмы под углом а к нему, делит боковое
ребро на части в отношении т: п, считая от верхнего основания.
Определить объемы образовавшихся частей и площадь се¬
чения.
2.24.	Основанием прямой призмы ABCAiBiCi служит равно¬
бедренный прямоугольный треугольник АВС с. катетами АВ =
в ВС => 1. Через середины ребер АВ и ВС и точку Р, лежащую
на продолжении ребра BBf за точку В, проведена плоскость.
Найти площадь полученного сечения, если ВР = 1/2 и BSi=l,
2.25.	Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAtBtCiDt с
площадью основания 5 н высотой /). Через вершину А{ верхнего
основания Л|В|С|0| проведена секущая плоскость, пересекаю¬
щая боковое ребро BBi в точке Вг, боковое ребро CCt в точке
С| н боковое ребро 0£>| в точке Dj. Найти объем той чк:ти па¬
раллелепипеда, которая расположена под секущей плоскостью,
если известно, что ССг = с.
2.26.	Дана прямая треугольная призма ABCAiBiC, {AAi,
BBi, CCi — боковые ребра), у которой АС = 6, АА\ = 8. Через
вершину А проведена плоскость, пересекающая ребра BBt и CC|
соответственно в точках М н N. Найти, в каком отношении делит
эта плоскость объем призмы, если известно, что ВМ MBi, а
AN является биссектрисой угла CACi.
221. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi
{ABCD и j4|B|C|D| — основания, Л/4| Ц В5| || CC| ||	даны
длины ребер; АВ = а, AD = 6, AAi с. Пусть О — центр осно¬
вания ABCD, Oi — центр основания AtBiCtDi, а S —точка, де¬
лящая отрезок 00| в отноше>ши 1:3, т, е. OiSv-SO1 :3.

В70
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
О
Найти площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точку S параллельно диагонали параллелепи¬
педа ЛС| и диагонали его основания BD.
2.28.	Основанием прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiBiCiDi является квадрат ABCD. Найти наибольшую воз¬
можную величину угла между прямой BDx и плоскостью ВОСц
Пример 2.6. В правильной четырехугольной пирамиде через
сторону основания а проведена секущая плоскость, делящая по¬
полам двугранный угол а при осно¬
вании пирамиды. Найти площадь се¬
чения.
Решение. Пусть SABCD —
правильная четырехугольная пирами¬
да с вершиной S (рис. 13.8), а пло¬
скость сечення проходит через ребро
основания АВ. По условию задачи
данная пирамида правильная, и в
основании ее лежит квадрат
{АВ П DC); следовательно, сторона
основания АВ параллельна плоскости
DSC. Плоскость сечения ЛВМЛ^, про¬
ходящая через прямую АВ, пересекает плоскость боковой грани
DSC по прямой, параллельной прямой АВ {MN fl АВ). Следова¬
тельно, четырехугольник AN МВ — трапеция.
Построим вспомогательную секущую плоскость, проходящую
через середину ребра АВ (точку К), середину ребра DC (точ¬
ку L) и вершину пирамиды S. Плоскость KSL пересечет боковые
грани пирамиды по апофемам, причем SKJ-AB, KLJ.AB, и,
следовательно, угол SKL — линейный угол двугранного угла о
ребром АВ, равный а. По условию задачи = и эти
углы равны а/2.
Рассмотрим треугольник KSL, в котором SKL=^SLK
KL ■= о, KR — биссектриса угла SKL По теореме синусов най¬
дем боковую сторону равнобедренного треугольника KSL:
KS ^ KL ■
sin о ™ sin (180° — 2а)
2 cos а'
Найдем отрезки, на которАе точка R разбивает сторону SL.
Обоаначнм SR х. Тогда
RL
2 cos а
— X.

§ 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
S71
По свойству биссектрисы
SR
KS
RL
KL
2 cos а
а
2 cos а
^SR>
2	cos а (2 cos а + I) ‘
Из треугольника KSR по теореме синусов найдем длину биссек¬
трисы KRi
KR =
а sin а
. За
Так как KRJ-AB, то KR является высотой трапеции ABNM,
у которой по условию известно основание АВ, равное а. Для
нахождения второго основания (MN) рассмотрим треугольник
DSC н подобный ему треугольник MSN (MW || DC). Так как пи¬
рамида SABCD правильная, то апофема боковой грани SL яв¬
ляется высотой треугольника DSC, а отрезок апофемы SR — вы¬
сотой треугольника MSN. В подобных треугольниках стороны
пропорциональны опущенным на них высотам:
MN DC	MN	а
SL 	а	” а
2 cos о (2 cos а + I) 2 cos а
=»• MN (2 cos а 4-1) = а => MN >
Площадь трапеции ABNM равна
2 cos о И- 1 ^
AB + MN
'ABNM
KR
2 cos tt + 1 g sin g
2	, 3a
2a* (cos g + 1) sin g
4a* cos’
2 (2 cos g 4- I) sin
3a (14-2 cos a)*'
T
От вeT.
4a*
(14-2 cos a)* ’
2.29. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды рав¬
но а и наклонено к плоскости основания под углом а. Найти
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вер¬
шину основания н через среднюю линию противоположной бо¬
ковой грани,	..

372
ГЛ. 13. СТВРВОМЕТРИЯ
2.30.	Дана правильная треугольная пирамида SABO, АВ ш*
= а, а двугранный угол, образованный смежными боковыми
гранями, равен а. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через вершину А и биссектрису угла SBA.
2.31.	Дана правильная треугольная пирамида с длиной боко¬
вого ребра а и плоским углом а при вершине. Найти площадь
сечения, проходящего через сторону основания АВ и перпенди¬
кулярного боковому ребру SC.
2.32.	Сторона основания правильной треугольной пирамиды'
равна а, боковое ребро равно Ь. Найти площадь сечения пирами¬
ды плоскостью, проходящей через центр основания н параллель¬
ной двум непересекающнмся ребрам пирамиды.
2.33.	Дана правильная треугольная пирамида с боковым реб¬
ром /. Через сторону основания и середину противолежащего бо¬
кового ребра проведена плоскость, составляющая угол а с пло¬
скостью основания. Найти площадь сечения.
2.34.	В правильной треугольной пирамиде, сторона основания
которой равна а, а боковое ребро — 2о, через середину бокового
ребра перпендикулярно ему проведена плоскость. Определить
площадь сечения.
2.36.	Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной
пирамиды равно стороне меньшего основания и равно а. Угол
между боковым ребром и стороной большего основания ра¬
вен а. Найти площадь диагонального сечения усеченной пира¬
миды.
2.8в. Площадь сечения правильного тетраэдра имеет форму
квадрата и равна т*. Найти поверхность тетраэдра.
2.37.	Правильная треугольная пирамида рассечена пло¬
скостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны
основания пополам. Определить объем отсеченной пирамиды,
если сторона основания исходной пирамиды равна а, а двугран¬
ный угол при основании равен 45°.
2.38.	В правильной треугольной пирамиде SABC плоскость,
проходящая через сторону АС и перпендикулярная ребру SB,
отсекает пирамиду SiABC, объем которой в полтора раза мень¬
ше объема пирамиды SABC. Найти площадь боковой поверхно¬
сти пирамиды SABC, если АС => а.
2.39.	Прямая призма имеет основанием равносторонний тре¬
угольник. Плоскость, проведенная через одну из его сторон под
углом а к основанию, отсекает от призмы треугольную пирамиду
Объемом и. Найти площадь сечения.
2.40.	В треугольной пирамиде SABC на стороне АС взята
точка D так, что АС =» ЗВС; на стороне ВС взята точка £' так,
что ВС ЗС£, Найти плбщадь сечения пирамиды плоскостьЮ|

5 2. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
373
проходящей через точки D я Б параллельно ребру SC, если из¬
вестно, что SA =s SB, SC = а, АС = ВС = 6, АСВ = а,
2.41.	В треугольной усеченной пирамиде через сторону верх¬
него основания проведена плоскость, параллельная противопо-
^южному боковому ребру. В каком отношении эта плоскость де¬
лит объем пирамиды, если соответственные стороны оснований
относятся, как 1:2?
2.42.	В треугольной пирамиде SABC все ребра равны. На
ребре SA взята такая точка М, что SM = МА; на ребре SB —
такая точка N, что SN SB. Через точки М я N проведена
плоскость, параллельная медиане AD основания АВС. Найти от¬
ношение объема пирамиды, отсекаемой от исходной проведенной
плоскостью, к объему пирамиды SABC.
2.43.	В правильную треугольную пирамиду с плоским уг¬
лом а при вершине вписана правильная треугольная призма так,
что нижнее основание призмы лежит на основании пирамиды,
а верхнее основание совпадает с сечением пирамиды плоскостью,
проходящей через верхнее основание призмы. Длина бокового
ребра прнзмы равна длине стороны основания призмы. Найти от¬
ношение объемов призмы и пирамиды.
2.44.	Угол между боковым ребром и плоскостью основания
правильной треугольной пирамиды SABC равен 60°. Через точ¬
ку А проведена плоскость, перпендикулярная биссектрисе угла S
треугольника BSC. В каком отношении линия пересечения этой
плоскости с плоскостью BSC делит площадь грани BSC*
2.45.	Дана правильная треугольная пирамида SABC. На про¬
должении ребра АВ взята точка М так, что
ЛМ — у4В(МА —2<4Д).
На ребре SB взята точка N так, что SN = NB. Где на апофеме
SD грани SBC должна находиться точка Р для того, чтобы в
сечении пирамиды плоскостью, проведенной через точки М, N я
Р, получался треугольник?
2.46.	Плоскость пересекает боковые ребра 5Л, SB н SC
треугольной пирамиды SABC в точках К, L я М соответственно.
В каком отношении делит эта плоскость обг>ем пирамиды, если
известно, что
SK:KA=^SLtLB^=2.
а медиана SN треугольника SBC делится этой плоскостью по¬
полам?
2.47.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через
середины сторон основания АВ я AD проведена плоскость, па-

874
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
раллельная боковому ребру S/4. Найти площадь сечения, зная
сторону основания а н боковое ребро Ь.
2.48.	Дана правильная четырехугольная пирамида с боковым
ребром I. Плоскость сечения проходит через диагональ основа>
НИН и середину бокового ребра и составляет с плоскостью осно*
вання угол а. Найти площадь сечения.
2.49.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторо*
на основания равна 4. Через сторону CD основания проведено
сечение, которое пересекает грань SAB по средней линии тре¬
угольника. SAB. Площадь сечения равна 18. Найти объем пира¬
миды SABCD.
2.50.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD пло¬
скость, проведенная через сторону AD перпендикулярно грани
SBC, делит эту грань на две равновеликие части. Найти площадь
полной поверхности пирамиды, если AD = а.
2.61.	Высота правильной четырехугольной пирамиды состав¬
ляет о боковой гранью угол 3(f. Через сторону основания пира¬
миды проведена плоскость, перпендикулярная противолежащей
грани. Найти отношение объемов многогранников, полученных
при пересечении пирамиды этой плоскостью.
2.62.	Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD о
вершиной S. Через середины ребер АВ, AD и CS проведена
плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пира¬
миды?
2.63.	Площадь боковой грани правильной шестиугольной пи¬
рамиды равна S. Вычислить площадь сечения, проходящего через
середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
§ 3. Фигуры вращения
Ц н л и а Д р. Прямым круговым цилиндром (нлп просто цилинд¬
ром) называется фигура, полученная при вращении прямоугольника
вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. При вращеннн
вокруг той же оси ломаной, состав.зениой из сторон прямоугольника,
не лежащих на оси вращения, получается фигура, которая назы¬
вается поверхностью цилиндра. Круги, полученные в результате вра¬
щения сторон, смежных со стороной, принадлежащей оси вращения, .
называются основаниями цилиндра. Радиус этих двух равных кругов
нааывается радиусом основания цилиндра.
Фигура, полученная в результате вращения сторовьГ прямоуголь¬
ника. не снежной со стороной, принадлежащей оси вращения, назы¬
вается боковой поверхностью цилиндра. Перпендикуляр к плоскостям
осноаавнй цилиндра, концы которого совладают с центрана оснований
цилиндра, называется высотой цилиндра.
Объем цилиндра вычисляется по формуле
V=nR’H.
Площадь боковой и полной поверхности цилиндра вычисляется по
формулам
5бок=2’««Н.
где R — радиус основания, Н — высота цилиндра.

s 3. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
37S
Конус. Прямым круговым конусом (или просто конусом) назы¬
вается фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника
вокруг оси, содержащей его катет. Фигура, полученная при вращеиин
вокруг той же оси ломаной, составленной яэ гипотенузы и катета, на
принадлежащего оси вращения, называется поверхностью конуса. Фи¬
гура. полученная при вращеннн гипотенузы, называется боковой по»
вврхностью конуса, а круг, полученный от вращения катета, — основа»
наем конуса. Радиус этого круга называется радиусом основаниш
конуса.
Катет треугольника, принадлежащий ося вращения, называется вы¬
сотой конуса, гипотенуза прямоугольного треугольника — образующей
конуса.
Объем конуса вычисляется по формуле
»'кон“Т««*«-
Площадь боковой поверхности ковуса вычисляется по формуле
'’бок'
•nRL.
где R —радиус основания, /? —высота, t —образующая яонуса. '
Усеченный конус. Часть конуса, ограниченная его основа¬
нием и сечением, параллельным плоскоств основания, называется усе¬
ченным конусом. Основания усеченного ковуса — гомотетичные круги с
центром гомотетии в вершине конуса.
Усеченный конус можно получить в результате вращения равно¬
бедренной трапеции вокруг ее оси симметрии.
Боковая сторона трапеции называется образующей усеченного ко¬
нуса; круги, полученные при вращеннн оснований трапеции. — основа¬
ниями усеченного конуса.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле
V-i-яН (r, + «|«2 + 82).
где Н — высота, Ri и /?> — радиусы верхнего в нижнего оснований усе¬
ченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по
формуле
где L —образующая усеченного конуса.
Шар. Множество всех точек пространства, находящихся на дан¬
ном положительном расстоянии R от данной точки пространства О,
называется сферой. Данная точка О.. называется' центром оферьи
Сферу также можно определить как фигуру, полученную в ре¬
зультате вращения полуокружности вокруг оси, содержащей Ацаметр
полуокружности. Отрезок ОМ (М — произвольная точка сферы) назы¬
вается радиусом сферы. Отрезок, соединяющий любые две точки сферы
в проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Диаметр
сферы равен ее удвоенному радиусу.
Множество всех точек пространства, находящихся от данной точ¬
ки О на расстоянии, не большем данного расстояния R, называется
шаром. Шар также можно определить как фигуру, полученную в ре¬
зультате вращения полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полу¬
круга.
Объем шара радиуса R вычисляется по формуле
K-inR*.
Площадь сферы радпуса R вычисляется по формуле
S—*iR*.
Сеченне шара плоскостью, проходящей через центр шара, вазы-
вае-гся большим кругом. Касательной плоскостью к сфере (шару) на¬
зывается плосяость. имеющая со сферой еднпстаепную общую точку.
Эту точку вазыва|рт тонкой касания сферы и плоскоста. Для того
чтобы плоскость была касательной к сфере, необходимо а достаточно.

876
ГЛ. 13. СТЕРЕОМРТРНЯ
чтобы ата плоскость была перпеяднкулярна радиусу сферы и прохо»
днла через его конец.
Прямая, принадлежащая касательной плоскости к сфере и прохо<
дящая через точку касания, называется прямой, касательной к сфере
(шару*)).
Пример 3.1. В цилиндре точка М, лежащая на окружно¬
сти нижнего основания, и точка N, лежащая на окружности
верхнего основания, соединены отрезком, проходящим через се¬
редину высоты цилиндра. Найти объем цилиндра, если длина
отрезка MN равна а, а угол наклона прямой MN к плоскости-
основания цилиндра равен а.
Решение. Пусть 00| —высота цилиндра (рис. 13.9), К—"
точка пересечения высоты цилиндра и отрезка MN, причем по
условию задачи ОК = KOi. Рассмотрим треугольники KON и
KOiM. Эти треугольники прямоугольные {КО J. ON и KOi _L
углы OKN и OiKM вертикальные, и ОК = KOi\ следо¬
вательно, эти треугольники равны (по стороне и двум углам).
Из равенства треугольников следует, что КО\ = ОК\ КМ
Радиус ЛЮ| основания цилиндра является проекцией отрез¬
ка МК, а угол /CAfOi —угол между прямой MN и плоскостью
основания цилиндра — по условию задачи равен а. Из прямо¬
угольного треугольника MKOi находим
00|
2	*
А10|=-^соза, /COi sin а<
Вычислим объем цилиндра;
jr дЗ
*'цял “ Soch77 (AlOi)’ ■ 00| = —^ cos* а sin а.
Ответ.
- sin а cos* а.
Пример 3.2. Угол при вершине осевого сечения прямого
кругового конуса равен а. Через его вершину под углом р
(Р < а/2) к оси конуса проведена плоскость. Найти угол между
двумя образующими конуса, по которым проведенйая плоскость
пересекает его поверхность.
Решение. Пусть SO — высота конуса, MSN — секущая
плоскость, образующая с высотой SO угол р, MN — хорда ок¬
ружности основания (рис. 13.10). Так как по условию задачи
угол при вершине осевого сечения конуса равен а, то угол ме¬
жду любой образующей конуса (в частности, образующими SM
*) Ивогда (когда ве возникает путаницы) будет употребляться кая
сваошш яферы.

s 3. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
377
R SN) и высотой конуса равен а/2. Рассмотрим прямоугольный
треугольник MSO (угол MOS прямой). Обозначая радиус осно¬
вания конуса через г, получаем
SM>
о
so = г Ctg-g-.
Построим угол между плоскостью SMN и высотой SO. Для
этого в плоскости основания конуса из точки О на хорду MN
опустим перпендикуляр ОК. По свойству хорды МК <= NK.
Прямая MN перпендикулярна высоте конуса SO и прямой ОК
и, следовательно, перпендикулярна плоскости треугольника KSO.
Рнс. I3.IU
Плоскость MSN проходит через перпендикуляр MN к плоскости
KSO. Следовательно, плоскости треугольников KSN и KSO вза¬
имно перпендикулярны, а луч SK является ортогональной проек¬
цией луча SO на плоскость MSN. Так как по определению углом
между наклонной (SO) и плоскостью (MSN) называется угол
между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость,
то угол KSO и есть угол, величина которого равна р. Из прямо¬
угольного треугольника KSO получаем
SK’
SO
, а
'•cig-j
cos Р cos Р
Как было указано выше, KOJ.MN и SOJ..MN, в, следо¬
вательно, по теореме о трех перпендикулярах SKA-MN. Тре¬
угольник MSN равнобедренный (MS = NS), н SK — высота, ме¬
диана н биссектриса этого треугольника. Из лрякоугольпого

878	ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
треугольника MSK находим угол AIS/C:
1 о
cos (MSK) ^
а
cosy
SM
cos Р
1 «
sin у
cos р
arccos
MSN = 2MSK = 2 arccos
\ cos 8 / ■
Ч cos P /’
Ответ. 2 arccos
('cos|\
\ cos P /•
3.1.	Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута,
представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна d
и составляет угол а, с основанием. Определить объем цилиндра.
3.2.	Площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикуляр¬
ной образующей, равна St, а площадь осевого сечения равна Sj.
Найти площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
3.3.	Радиус основания конуса равен г, а угол при вершине
в развертке его боковой поверхности равен 90°. Найти объем
конуса.
3.4.	Боковой поверхностью конуса служит свернутая чет¬
верть круга. Определить полную поверхность конуса, если пло¬
щадь его осевого сечения равна 5.
3.5.	Площадь боковой поверхности прямого кругового ко¬
нуса равна S; расстояние от центра основания до образующей
равно г. Найти объем конуса.
З.в. Площадь боковой поверхности конуса относится к пло¬
щади основания, как 2:1. Площадь его осевого сечения равна S.
Найти объем конуса.
3.7.	Радиус основания конуса равен г, а площадь боковой
поверхности равна сумме площадей основания и осевого сече¬
ния. Найти объем конуса.
3.8.	Высота конуса равна диаметру его основания. Найти от¬
ношение площади его основания к площади боковой поверхности.
3.9.	Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересе¬
кает основание по хорде, длина которой равна радиусу основа*
ВИЯ. Найти отношение объемов образовавшихся частей конуса;
8.10.	Две перпендикулярные образующие прямого кругового

% 3. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
879
конуса делят окружность основания в отношении 1 :2. Найти
объем конуса, если его высота равна к
3.11.	Через две образующие конуса, угол между которыми
равен а, проведена плоскость. Найти отношение площади сече¬
ния к полной поверхности конуса, если угол между образующей
конуса н плоскостью основания равен р.
3.12.	Образующая конуса равна I и составляет угол р с вы¬
сотой конуса. Найти площадь сечения этого конуса плоскостью,
проходящей через его вершину и составляющей угол а с его
высотой.
3.13.	Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна
нз них наклонена к плоскости основания конуса под углом а и
пересекает основание по хорде длиной а, а другая наклонена
к плоскости основания под углом р и пересекает основание по
хорде длиной Ь. Найти объем конуса.
3.14.	Площади параллельных сечений шара, расположенных
по одну сторону от центра, равны S| и Sa, а расстояние между
этими сечениями равно d. Найти площадь сечения шара, парал¬
лельного сечениям S| и Sj и делящего пополам расстояние
между ними.
3.15.	В двугранный угол 60° вписан шар радиуса R. Найти
радиус шара, вписанного в тот же угол и касающегося данного
шара, если известно, что прямая, соединяющая центры обоих ша¬
ров. образует с ребром двугранного угла угол 45°.
3.16.	Две равные сферы радиуса г касаются друг друга и
граней двугранного угла, величина которого равна а. Найти
радиус сферы, которая касается граней двугранного угла и обеих
данных сфер.
3.17.	Четыре равных шара радиуса г внешним образом ка¬
саются друг друга так, что каждый касается трех остальных.
Найти радиус сферы, касающейся всех четырех шаров н содер¬
жащей нх внутри себя.
3.18.	Два шара касаются плоскости Р в точках А и В я
расположены по разные стороны от этой плоскости. Расстояние
между центрами этих шаров равно 10. Третий шар касается
двух данных шаров, а его центр О лежит в плоскости Р. Из-
DCCTHO, что
АО = ОВ = 2лДО, АВ = 8.
Найти радиус третьего шара.
3.19.	Три шара касаются плоскости треугольника АВС в его
вершинах, и каждый шар касается двух других. Найти радиусы
шаров, если длина стороны АВ равна с и прилежащие к вей
углы равны а н

aeO	ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
3.20.	На плоскости лежат, не пересекаясь, два шара радиу¬
сов г и R. Расстояние между центрами шаров равно р. Найти
минимально возможный радиус шара, который лежал бы на этой
плоскости и касался заданных шаров.
§ 4. Комбинации многогранников
и фигур вращения
Призма и шар. Шар, касающийся всех граней призмы,
называется вписанным в призму. Призма называется вписанной
в шар, если рее вершины призмы лежат на поверхности шара.
В задачах на комбинацию призмы (в частности, параллеле¬
пипеда и куба) и шара решение, как правило, необходимо начать
с геометрического построения, показывающего, где находится
центр шара. При нахождении центра шара, вписанного в призму,
используется теорема о том, что центр шара, вписанного в
призму, является точкой пересечения биссекторных плоскостей
всех двугранных углов призмы, а центр шара, описанного около
призмы, является точкой пересе¬
чения всех плоскостей, проходя¬
щих через середину ребер призмы
и перпендикулярных им.
Пример 4.1. Три шара ра¬
диуса г касаются нижнего осно¬
вания правильной треугольной
Призмы, причем каждый шар ка¬
сается двух других шаров и двух
боковых граней призмы. Четвер¬
тый шар касается каждого из
этих трех шаров, всех боковых
граней и верхнего основания приз¬
мы. Найти высоту призмы.
Решение. Пусть Ои Ог.
Oi — центры шаров радиуса г,
АВС и AtBiCt — равносторонние треугольники, являющиеся со¬
ответственно верхним и нижним основаниями призмы (рис. 13.11).
Так как призма ABCAiBtCi правильная, то ее боковые ребра
AAt, BBi, СС| перпендикулярны плоскостям оснований и плоско¬
сти боковых граней также перпендикулярны плоскостям, осно¬
ваний.
Через центр шара Oi проведем плоскость, параллельную
плоскости основания призмы. В сечении призмы этой плоскостью
Получится равносторонний треугольник MiNiPi со стороной,
равной стороне основания призмы, Построениад рлос|(рсть будет

t 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 881
перпендикулярна плоскостям боковых граней призмы, а точки
Ог н Oi будут принадлежать этой плоскости.
Докажем, что точки касания шарами плоскостей боковых
граней будут также принадлежать плоскости треугольника
MiNiPi. Из точки 0| опустим перпендикуляр на плоскость
AiACCi. Так как шар касается этой плоскости, то этот перпенди¬
куляр попадает в точку касания, и его длина равна г. С другой
стороны, так как плоскости MiNtPi и AtACCi взаимно перпен¬
дикулярны, а точка Oi принадлежит плоскости MiNtPu то пер¬
пендикуляр, опущенный из точки 0| на плоскость AiACCi, будет
целиком принадлежать плоскости MtNxPt, и, следовательно, ос¬
нование перпендикуляра (на рис. 13.12 точка К) будет принад¬
лежать линии пересечения этих взаимно перпендикулярных
плоскостей (см. теорему о взаимно перпендикулярных пло¬
скостях).
Аналогично доказывается, что точка касания шара с цен¬
тром Oi II плоскости AiABBi также принадлежат плоскости
MiNiPi и точки касания шаров с центрами Оа и Os н плоско¬
стей боковых граней принадлежат плоскости MtNiPi. Так как
плоскость M\N\Pi проходит через центры
всех трех попарно касающихся шаров,
то линии центров этих шаров (отрез¬
ки OiOj, О2О3, OiOj) будет принадле¬
жать плоскости M[NiP[. Таким образом,
в сечении призмы плоскостью M\NiP\
получится равносторонний треугольник
'MiNiPt, в который вложены три окруж¬
ности радиуса г, каждая из которых
касается двух других окружностей п
двух сторон треугольника (рис. 13.12).
Рассмотрим треугольник AliA^iPi. Проведем радиусы д,К н
OsL в точки касания окружностей со стороной MiPi. Так как
0|К J. MiPi, OsL X MiPi и OtK = OsL = г, то четырехугольник
OtOsKL — прямоугольник н KL = OiOj = 2г. Так как окруж¬
ность с центром Oi касается сторон треугольника MiNt и MiPi,
то точка Oi лежит на биссектрисе угла N\M\Pi и	= 30“.
В прямоугольном треугольнике AliOiA известны угол= 30“
и катет ОхК = г. Находим второй катет:
Рис. 13.12
М,К^^гл/3.
Аналогично из А LOsPt находим LP\=^r-y/3. Таким образом,
сторона треугольника M|iViP| равна 2r(l + V3). -	’	,

882
ГЛ. IS. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Через центр О четвертого шара проведем плоскость, парал¬
лельную плоскости основания призмы. В сечении призмы этой
плоскостью получится равносторонний треугольник М//Р
(рис. 13.13), а в сечении шара с центром О получится окруж¬
ность большого диаметра, вписанная в треугольник	(точки
касания шара с центром О с плоскостями боковых граней при¬
надлежат плоскости MNP, что доказывается так же, как и в
^	случае построения сечения A<iAl|Pi). Так
как плоскости треугольников MiNiP\ и
MNP параллельны, то треугольники
MiNiPi и MNP равны, и, следователь¬
но. сторона треугольника MNP равна
2r(l-f-V3). Радиус окружности, впи¬
санной в треугольник MNP, а следова¬
тельно, и радиус шара с центром О
равны	‘
Искомая высота призмы складывается из расстояния от
верхнего основания до плоскости MNP, расстояния между пло¬
скостями MNP и M\N\Pi и расстояния от плоскости MiNiPi до
нижнего основания призмы. По условию задачи шар с центром О
касается верхнего основания призмы, и расстояние /| между
верхним основанием и плоскостью MNP, содержащей точку О,
равно радиусу шара с центром в точке О:
(■+#)•
/|
Также по условию задйчи три шара (с центрами Oi, 0>, OJ
лежат на нижнем основании призмы, и расстояние h между
нижним основанием и плоскостью M\NiPi, содержащей точки
Oi, Ог, Oi, равно радиусам этих шаров:
/а —г.
Осталось найти расстояние между плоскостями MNP и
MtNtPi. Рассмотрим многогранник с вершинами О, Oi, 0>, Oj.
Этот многогранник —пирамида, в основании которой лежит рав¬
носторонний треугольник OtOaOa со стороной 2г. Боковые ребра
00|, ООа, OOi равны между собой (так как все шары попарно
касаются) и равны г	. проведем высоту ОК правиль¬
ной треугольной пирамиды OOiOjOs (рис. 13.11). Отрезок ОК
церпендикулярен плоскости MiNiPt и параллельной ей плоскости
MNP, й, следовательно, длина этого отрезка есть расстояние
между плоскостями. Так как в правильной треугольной пирамиде

§ 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 883
основание высоты совпадает с центром основания, то OiK •я
-2r/V5‘. Из прямоугольного треугольника OiOK по теореме
Пифагора находим
о/(=. V(0o,)»-(o,/()» -уг V27+12V3 .
Высота призмы;
Я - /, + /j + ОА: = у г (б + V3 + V27+
Ответ. г (б + V3 + V27+12V5’).
4.1.	В основании правильной призмы лежит квадрат со сто¬
роной а, а ее высота равна Н. Найти радиус описанного шара.
4.2.	Около шара описана правильная треугольная призма и
около нее описан шар. Найти отношение поверхностей этих
шаров.
4.3.	Около шара радиуса R описана правильная шестиуголь¬
ная призма. Найти площадь ее поверхности.
4.4.	Сфера касается боковых ребер правильной прямой ше¬
стиугольной призмы, основание которой лежит вне сферы. Найти
отношение площади боковой поверхности призмы, заключенной
внутри сферы, к площади поверхности сферы, находящейся вне
призмы.
4.6.	В куб с ребром а вписан шар. Определить радиус дру¬
гого шара, касающегося трех граней куба и первого шара.
4.6.	В полусферу радиуса R вписан куб так, что четыре его
вершины лежат на основании полусферы, а остальные четыре
принадлежат сферической поверхности полушара. Вычислить
объем куба.
4.7.	Дан куб с основаниями ABCD и y4id|C|D|,'. где
AAi II BBi R DDi. В угол А куба вписан шар радиуса R = 1/2.
Найти радиус шара, вписанного в угол С и касающегося дан¬
ного шара, при условии, что ребро куба равно 3/2.
4.8.	Дан куб с основаниями ABCD и AtBtCiDu Точка Е —
середина ребра C|D|, точка F — середина ребра BtC,. Найти ра¬
диус сферы, проходящей через точки £, F, А, С, если ребро
куба равно а.
Пирамида и шар. Шар называется вписанным в пира¬
миду, если он касается всех граней пирамиды. Центр шара, впи¬
санного в пирамиду, является точкой пересечения бнссекторных
плоскостей всех двугранных углов пирамиды.
Шар называется описанным около пирамиды, если все вер¬
шины пирамиды лежат на его поверхности. Если около пирами-!

884
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
ды описан шар, то его центр является точкой пересечения всех
плоскостей, проведенных через середины ребер пирамиды пер¬
пендикулярно этим ребрам.
В задачах на комбинацию пирамиды и шара решение, как
правило, необходимо начинать с геометрического построения, в
результате которого находится точка, являющаяся центром шара.
Кроме того, часто бывает удобно построить вспомогательное се¬
чение пирамиды и шара, разбивающее комбинацию пирамиды и
шара на две симметричные части, в результате чего решение
стереометрической задачи иногда может быть сведено к решению
планиметрической задачи (такой метод использован в приме¬
ре 4.3).
Пример 4.2. В основании пирамиды лежит равносторонний
треугольник со стороной а. Высота пирамиды проходит через се-
^	редину одного из ребер основания
и равна Зц/2. Найти радиус шара,
описанного около пирамиды.
Решение. Пусть S — вершина
пирамиды, АВС — равносторонний
треугольник, лежащий в основании
пирамиды (рис. 13.14), SK — высота
пирамиды (а также высота тре¬
угольника ASB) и по условию зада¬
чи АК = КВ. Треугольники ASK и
BSK равны (оба прямоугольные,
SK — общая сторона, и АК = КВ),
и, следовательно, треугольник ASB
равнобедренный. По определению
пирамида вписана в шар, если
все вершины пирамиды принадлежат поверхности шара и центр
шара — точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды. Най¬
дем геометрическое место точек, равноудаленных от всех вершин
пирамиды.
Геометрическое место точек, равноудаленных от трех вершин
i4, в и С, — перпендикуляр OiM к плоскости рддиостороннего
треугольника АВС, восставленный из его центра 0| (рис. 13.14).
Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин А, S,
В, — перпендикуляр OzN к плоскости равнобедренного треуголь¬
ника ASB, восставленный из точки Oi, являющейся центром
окружности, описанной около треугольника ASB.
Докажем, что два перпендикуляра ОхМ и ОгЫ пересекаются.
По условию задачи отрезок SK перпендикулярен плоскости тре¬
угольника АВС, SKJL AB, /С —середина отрезка АВ, и, следова¬
тельно, /СС —высота, медиана и биссектриса равностороннёгЬ

t 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 385
треугольника АВС {КС J.AB). Таким образом, отрезок АВ пер¬
пендикулярен двум различным прямым SK и КС и, следова¬
тельно, перпендикулярен плоскости, проходящей через точки S, К
в С (см. теорему о взаимно перпендикулярных прямых н плоско¬
стях). Плоскости ASB и АВС перпендикулярны плоскости SKC,
так как каждая из них содержит прямую АВ, перпендикулярную
плоскости SKC.
Точка 0| принадлежит линии пересечения плоскостей АВО я
SKC, а точка Oi — линии пересечения плоскостей ASB в SKC,
Перпендикуляр ОхМ к плоскости АВС будет целиком принадле¬
жать плоскости SKC, а перпендикуляр 0»К к плоскости ASB
также будет принадлежать плоскости SKC (по теореме о двух
взаимно перпендикулярных плоскостях и перпендикуляре к одной
из плоскостей, проходящем через линии их пересечения).
Таким образом, доказано, что прямые ОхМ и ОгК принадле¬
жат одной плоскости, пересекаются в точке О и четырехугольник
КОгООх, все вершины которого принадлежат плоскости SKC,—
прямоугольник. Точка О — точка, равноудаленная от точек А,
В, С, S, —является центром шара, описанного около пирамиды,
Радиус окружности, описанной около треугольника ASB, равен
бо/б, я 0iK^SK-S02=шЦ.-^^^
, В
равностороннем
6	3
треугольнике АВС расстояние от центра Ох до вершины С равно
ОхС = -^КС:
а Уз
Так как ОгК = 0x0 {КОгООх — прямо¬
угольник), то из прямоугольного треугольника ООхС по теореме
Пифагора находим длину отрезка ОС, которая равна искомому
радиусу шара:
'оУЗ V аУ?
ал/Т
3
/г=I ОС I = У(о,о)» + (о,с)=> = д/
Ответ.
4.9.	В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр. Найти
объем тетраэдра.
4.10.	Основание пирамиды — правильный треугольник со сто¬
роной 6 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости
Ьснования и равно 4 см. Найти радиус шара, описанного вокруг
рирамиды.
4.11.	Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, плоский угол при вершине пирамиды равен ос. Найти
радиус вписанного в пирамиду шара.
4.12.	Боковые ребра в две стороны основания треуголь¬
ной пирамиды равны а, а угол между равными сторонами
13 А. г. Цыпкав, А, И, ПввскяВ

386
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
основания равен а. Найти радиус шара, описанного около пира<
МИДЫ.
4.13.	Ребро правильного тетраэдра равно а. Определить
радиус шара, касающегося боковых ребер тетраэдра в вершинах
основания.
4.14.	Ребро правильного тетраэдра равно а. Найти радиус
шара, касающегося боковых граней тетраэдра в точках, лежащих
на сторонах основания.
4.15.	Найти радиус шара, касающегося осковатгя н боко^
вых ребер правильной треугольной пирамиды, у которой сторона
основания равна а, а двугранный угол при основании равен а.
4.16.	Грани правильной усеченной треугольной пирамиды ка¬
саются шара. Найти отношение поверхности шара к полной по¬
верхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены
к плоскости основания под углом а.
4.17.	В данную правильную усеченную треугольную пирами¬
ду можно поместить сферу, касающуюся всех граней, и сферу,
касающуюся всех ребер. Найти стороны основания пирамиды,
если боковые ребра равны Ь.
4.18.	Ребро правильного тетраэдра равно а. Определить ра¬
диус шара, поверхность которого касается всех ребер тетраэдра.
4.19.	Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, боковое ребро равно Ь. Найти радиус сферы, касаю¬
щейся всех ребер пирамиды.
4.20.	В правильную треугольную пирамиду с плоским уг¬
лом Р при вершине вписан шар. Найти отношение объемов шара
и пирамиды.
4.21.	Ребро правильного тетраэдра SABC равно а. Найти
радиус сферы, вписанной в трехгранный угол, образованный гра¬
нями тетраэдра с вершиной в точке 5, и касающейся плоскости,
проведенной через середины ребер SA, SC и АВ.
4.22.	В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Опре¬
делить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости осно¬
вания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара
равно 27 л/з1{4п).	’*
4.23.	В правильной треугольной пирамиде угол между боко¬
выми ребрами и высотой, опущенной на основание, равен а.
Найти отношение объема пирамиды к объему описанного
шара.
4.24.	В правильной треугольной пирамиде двугранный угол
между плоскостью основания и боковой гранью равен ос. Найти
отношение объема вписанного в пирамиду шара к объему пира¬
миды.

s i. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 387
4.25.	В шар радиуса R вписана правильная треугольная пи¬
рамида SABC, у которой двугранный угол при основании ра¬
вен а. Найти сторону основания пирамиды.
4.26.	Внутри правильного тетраэдра с ребром а расположены
четыре равные сферы так, что каждая касается трех других сфер
и трех граней тетраэдра. Найти радиус этих сфер.
4.27.	В тетраэдре SABC двугранные углы при ребрах АВ,
’АС н SB прямые, а величины двугранных углов при ребрах 5i4
н ВС равны 15°, Найти радиус шара, вписанного в тетраэдр,
если ВС ■= 2.
4.28.	Через сторону основания правильной треугольной пира¬
миды и центр вписанного в нее шара проведена плоскость.
В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды, если
ее боковое ребро в 3,5 раза больше стороны основания?
4.29.	В правильной треугольной пирамиде SABC сторона ос¬
нования АВС равна Ь, а высота пирамиды равна Ь‘у/2, Сфера,
вписанная в пирамиду, касается SBC в точке К. Найти площ,адь
сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и реб¬
ро S/4.
4.30.	В основании пирамиды лежит равносторонний треуголь¬
ник со стороной а. Одно из боковых ребер пирамиды также
равно а, а два других равны Ь. Найти радиус сферы, описанной
около пирамиды.
4.31.	Основанием пирамиды служит равнобедренный тре¬
угольник, равные стороны которого имеют длину й; соответ¬
ствующие им боковые грани перпендикулярны плоскости осно¬
вания, и угол между ними равен а. Угол между третьей боковой
гранью и плоскостью основания также равен а. Найти радиус
шара, вписанного в пирамиду.
4.32.	На основании правильной треугольной пирамиды с вы¬
сотой Н и радиусом круга, вписанного в основание, равным г,
лежит шар, касающийся основания в его центре. Найти радиус
шара, если плоскость, проведенная через вершину пирамиды и
середины двух сторон основания, касается этого шара.
4.33.	В треугольной пирамиде Si4flC грань SAC перпендику¬
лярна граня АВС, SA = SC = \, а угол при вершине В тре¬
угольника АВС прямой. Шар касается плоскости основания пира¬
миды в точке В, а грани ,S<4C — в точке 5. Найти радиус
шара.
4.34.	В правильную треугольную пирамиду с длиной ребра
основания а и двугранным углом при основании, равным 60°,
вложены три одинаковых шара так, что каждый шар касается
двух других, плоскости основания и двух боковых граней. Найти
радиусы этих шаров.
13*

888
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
4.38.	В правильную треугольную пирамиду помещен шар ра¬
диуса 1. В точке, делящей пополам высоту пирамиды, он касает¬
ся внешним образом полушара. Полушар опирается на круг,
вписанный в основание пирамиды; шар касается боковых граней
пирамиды. Найти площадь боковой поверхности пирамиды и
величину двугранного угла, образованного боковыми гранями
пирамиды.
4.38.	Правильный треугольник со стороной а лежит в пло¬
скости Р. Средними линиями он разделен на 4 треугольника,а
на трех из них, примыкающих к вершинам, построены как на
осиовани'ях три правильные треугольные пирамиды с высотой а
(все три —по* одну сторону плоскости Р). Найтв радиус шара,
лежащего между пирамидами и касающегося как плоскости Р,
так и всех трех пирамид.
Рнс. I3.IB
Пример 4.3. В правильную четырехугольную пирамиду впи¬
сан шар. Расстояние от цейтра шара до вершины пирамиды рав¬
но а, а угол наклона боковой грани к
плоскости основания равен а. Найти
объем пирамиды.
Решение. Пусть SABCD (рис,
13.15) — правильная четырехугольная пи¬
рамида (ABCD — квадрат, SK — высота
пирамиды, К — центр квадрата, боко¬
вые грани — равные равнобедренные
треугольники). Найдем точку О — центр
вписанного в пирамиду шара.
Из вершины А треугольника ASB
-проведем высоту к основанию SB. Из
вершины С треугольника BSC проведем
высоту к основанию SB. Так как треугольники ASB н BSC рав¬
ны, то основаниями высот будет одна и та же точка М и
AM = МС. Угол АМС по построению будет линейным углом
двугранного угла, образованного плоскостями боковых граней
ASB и BSC. В треугольнике АМС биссектриса угла АМС будет
медианой в высотой и пересечет основание АС в точке К.
В нашем случае точка S принадлежит ребру двугранного
угла, а точка К — биссектрисе линейного угла и, следовательно,
высота пирамиды SK принадлежит биссекторной плоскости дву¬
гранного угла с ребром SB. Построив бнссекторную плоскость
двугранного угла с ребром SC, аналогичным образом можно
доказать, что высота SK будет принадлежать и этой биссектор¬
ной плоскости. Так как две различные плоскости пересекаются
по одной прямой, а прямая SK принадлежит и той и другой

§ * КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 389
Рнс. 13.16
ПЛОСКОСТИ, то линия пересечения двух различных биссекторных
плоскостей будет содержать высоту пирамиды SK. Центр шара,
Вписанного в пирамиду, лежит на пересечении биссекторных пло¬
скостей всех двугранных углов пирамиды и, следовательно, в на¬
шем случае (когда пирамида правильная)—на высоте пира¬
миды.
Проведем плоскость через высоту пирамиды SK и середины
противоположных сторон квадрата L, Р (рис. 13.16). Так как
треугольник DSC равнобед енный,
fol SP —медиана "И высота треуголь¬
ника DSC и SPJLDC. Отрезок LP
также перпендикулярен DC, и, сле¬
довательно, угол LPS — линейный
угол двугранного угла, образованного
боковой гранью DSC и плоскостью
основания ABCD, который по усло¬
вию равен а. Аналогично можно
доказать, что = а. Центр шара,
вписанного в пирамиду, лежит в
биссекторной плоскости двугранного
угла с ребром DC. Точка пересечения этой плоскости с высо¬
той SK и есть центр вписанного в пирамиду шара (точка О
на рнс. 13.16).
Плоскости DSC и ABCD перпендикулярны плоскости LSP,
так как они содержат прямую DC, перпендикулярную плоскости
I.SP. Из точки О, принадлежащей плоскости LSP, опустим пер¬
пендикуляр на плоскость DSC. Основание этого перпендикуляра
(точка N) совпадает с точкой касания шара и плоскости DSC.
С другой стороны, по теореме о двух взаимно перпендикуляр¬
ных плоскостях {DSC и LSP) и перпендикуляре к одной из пло¬
скостей прямая ON будет целиком принадлежать плоскости
LSP. Таким образом, доказано, что точка касания шара с пло¬
скостью боковой грани DSC принадлежит плоскости LSP.
Аналогичным способом можно доказать, что точки касания
шара с плоскостями ABCD и ASB будут также принадлежать
плоскости LSP.
Рассмотрим треугольники OSN и PSK. Эти треугольники
подобны (они прямоугольные и имеют одни общий угол). Из
Подобия треугольников следует, что SON = а, а по условию за¬
дачи SO = о. Из треугольника OSN находим ON = а cos а. Вы¬
сота треугольника будет равна S/C = SO = о(1 cos о). Из тре¬
угольника SKP находим
КР = S/C ctg а = а (1 -f cos а) ctg а.

390
ГЛ. 13 СТЕРЕОМЕТРИЯ
В треугольнике LSP имеем Z,P=2/(P=2a(l+cosa)clga=
= АВ. Таким образом, найдены величины, необходимые для вы¬
числения объема пирамиды;
''SABCD = J	= -^ О (‘ + ws “) 4^’ (1 + cos а)» ctg» а =
= fl^l -1- cos а)’ ctg* а.
4
Ответ. Y П + cos о)® ctg* а.
4.37.	Найти поверхность шара, описанного около правильной
четырехугольной пирамиды, если сторона основания пирамиды
равна а, а боковое ребро пира.мпды наклонено к плоскости осно¬
вания под углом а.
4.38.	В шар вписана правильная четырехугольная пирамида.
Радиус шара равен R, плоский угол при вершине равен а. Опре¬
делить боковую поверхность пирамиды.
4.39.	В шар радиуса R вписана пирамида, в основании кото¬
рой лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны основа¬
нию. Большее боковое ребро составляет с пересекающей его сто¬
роной основания угол а. Найти боковую поверхность пирамиды.
4.40.	В основании пирамиды лежит квадрат со стороной о.
Высота пирамиды проходит через середину одного из ребер ос¬
нования н равна a-yjzli. Найти радиус шара, описанного около
пирамиды.
4.41.	В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная
пирамида. Найти объем пирамиды, если радиус окружности, опи¬
санной около ее основания, равен г.
4.42.	Шар радиуса Л'вписан в пирамиду, в основании кото¬
рой лежит ромб с острым углом а. Боковые грани пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом qp. Найти объем
пирамиды.
4.43.	В шар радиуса R вписана пирамида, в основании кото¬
рой лежит квадрат. Одно из боковых ребер пирамиды перпенди¬
кулярно плоскости основания, а большее боковое ребро образует
с основанием угол а. Определить боковую поверхность пирамиды.
4.44.	Площадь основания правильной четырехугольной пира¬
миды равна Q, а двугранный угол при основании — а. Эта пира¬
мида пересечена плоскостью, проходящей через центр вписанного
шара параллельно основанию. Определить площадь сечения пи¬
рамиды.
4.45.	Дана пирамида SABCD, основанием которой служит
ромб ABCD. Сторона основания равна а, SA = SC = а, SB ==,
SS 2а. Определить радиус вписанного шара.

$ 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 391
4.46.	Центр сферы, описанной около правильной четырех¬
угольной пирамиды, находится на расстоянии а от боковой гра¬
ни и на расстоянии Ь от бокового ребра. Найти радиус сферы.
4.47.	В правильную четырехугольную пирамиду SABCD с
вершщюй 5 и стороной основания а вписан шар, радиус кото¬
рого равен al{2-yJT), Плоскость Р, составляющая угол в 30* с
плоскостью основания, касается шара и пересекается с пло¬
скостью основания, не пересекаясь с самим основанием, по ли¬
нии, параллельной стороне осиования. Найти площадь сечения
пирамиды плоскостью Р.
4.48.	В шар вписана пирамида, боковые ребра которой рав¬
ны с. Основание ее — прямоугольник, стороны которого стяги¬
вают дуги аир радиан в сечениях шара плоскостями боковых
граней. Определить радиус описанного шара.
4.49.	Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды
SABCD {S — вершина) равны а, а стороны ее основания равны
af'^. Найти расстояние от центра шара, вписанного в пира¬
миду SABCD, до плоскости, проходящей через диагональ BD
основания ABCD и середину Е ребра S/1.
4.50.	В правильной четырехугольной пирамиде расположен
шар радиуса 2. Этот шар касается боковых граней пирамиды и
внешним образом касается полусферы, опирающейся на круг,
списанный в основание пирамиды. Точка касания шара и полу¬
сферы отстоит от основания пирамиды на расстояние, равное
одной трети высоты пирамиды. Найти объем пирамиды и вели¬
чину двугранного угла при боковом ребре пирамиды.
4.51.	Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD со
стороной основания а и боковым ребром 5 (5 > 0). Сфера с
центром в точке О лежит над плоскостью основания ABCD, ка¬
сается этой плоскости в точке А и. кроме того, касается -боко¬
вого ребра SB. Найти объем пирамиды OABCD.
4.52.	В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная
усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания про¬
ходит через центр шара, а боковое ребро составляет с пло¬
скостью основания угол 60°. Найти объем пирамиды.
4.53.	Около шара радиуса R описана правильная шестиуголь¬
ная пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью
основания угол а. Найти боковую поверхность и объем пира¬
миды.
4.54.	В шар вписана прямоугольная призма, в основании ко¬
торой лежит правильный треугольник, а высота призмы равна
стороне основания. Найти отношение объема этой призмы к
объему вписанной в тот же шар правильной шестиугольной пн-

392
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
раииды, боковое ребро которой равно удвоенной стороне осно<
вання.
4.65. Найтн отношение объема правильной л-угольной пира¬
миды к объему вписанного в нее шара, зная, что окружности,
описанные около основания н боковых граней пирамиды, равны.
Комбинации фигур вращения. Шар называется
вписанным в прямой круговой конус, если он касается основания
конуса в его центре н соприкасается с боковой поверхностью
конуса по окружности. Прямой круговой конус называется ели-
санным а шар, если его вершина н окружность его основания
лежат на поверхности шара.
Шар называется вписанным в прямой круговой цилиндр,
если шар касается оснований цилиндра в их центрах и сопри¬
касается с боковой поверхностью цилиндра по окружности боль¬
шого круга шара, параллельной основаниям. Прямой круговой
цилиндр называется вписанным в шар, если окружности осно¬
ваний цилиндра лежат на поверхности шара.
Конус называется вписанным в цилиндр, если основание ко¬
нуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина ко¬
нуса совпадает с центром другого основания.
Задачи на комбинации фигур вращения часто бывает удоб¬
но решать построением вспомогательного сечения, разбивающего
комбинацию фигур вращения на две симметричные части. Вспо¬
могательное сечение, как правило, удобно строить таким обра¬
зом, чтобы оно проходило (в зависимости от вида задачи) через
ось цилиндра (или ось конуса) и центр шара. При этом в сече¬
нии цилиндра будет получаться прямоугольник, в сечении кону¬
са — равнобедренный треугольник, а в сечении шара — круг о
радиусом, равным радиусу шара. Так, например, если по усло¬
вию задачи шар вписан в конус, то в осевом сечения конуса
будут получаться равнобедренный треугольник и вписанный в
него круг; если шар опнсан около цилиндра, то в сечении полу¬
чается прямоугольник, описанный около окружности.
Пример 4.4. Образующая конуса равна I и образует о
высотой конуса угол а. Через две образующие ^конуса, угол
между которыми равен р, проведена плоскость. Найти расстоя¬
ние от этой плоскости до центра шара, вписанного в конус.
Решение. Пусть S —вершина конуса, О — основание вы¬
соты конуса, SA и SB — образующие конуса, угол между кото¬
рыми равен ^ (рис. 13.17), Из прямоугольного треугольника SOB
(угол SOB прямой, SB /, BSO = а) находим радиус окруж¬
ности, лежащей в основании конуса, и высоту конуса:
£0 i sin о, SO = 1 cos о.

$ А. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ и ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 393
Из равнобедренного треугольника ASB (ASB = р, AS = SB^ I)
находим длину хорды АВ, высекаемой плоскостью ^456 на осно¬
ваний конуса;
АВ-
-21 sin-I-.
Расстояние от центра основания конуса до середины хорды АВ
(точки N) найдем из треугольника NOB по теореме Пифагора:
' 7 ’	1ЛГ01 —V(flO)»-(A/B)> =/sin*a — sin’-|-.
Через середину хорды АВ (точку N) и высоту конуса SO
проведем плоскость. В сечении конуса плоскостью получится рав-
вобедренный треугольник AiSAfi с боковой стороной I н углом
Рис. 13. IS
при вершине 2а; в сечении шара, вписанного в конус, получится
круг с радиусом, равным радиусу шара, вписанного в равнобед¬
ренный треугольник AlSAfi, а плоскости AlSAf, и ASB пересе¬
кутся по прямой NS (рис. 13.(8).
Докажем, что расстояние от центра окружности Oi до пря¬
мой SN (т. е. длина отрезка OtK) будет искомым расстоянием
от центра шара до плоскости ASB.
Обратимся к рис. 13.(7. Хорда А В окружности основания
конуса перпендикулярна высоте конуса и перпендикулярна ра¬
диусу ОМ, проходящему через середину хорды АВ (точку N).
Следовательно, хорда АВ перпендикулярна плоскости MSMt,
так как она перпендикулярна двум непараллельным прямым (SO
и MMi), принадлежащим плоскости. Итак, имеем плоскость
A4SA(| н перпендикулярную ей прямую АВ. Так как плоскость
ASB проходит через прямую АВ, перпендикулярную плоскости
MSMi, то и сама плоскость ASB будет перпендикулярна плоско¬
сти MSMi, т, е. эти две плоскости взаимно перпендикулярны.

394
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Центр шара, вписанного а конус, принадлежит ллоскоств
MSMi. Если из центра шара опустить перпендикуляр на пло¬
скость ASB, то по теореме о двух взаимно перпендикулярных
плоскостях этот перпендикуляр будет целиком принадлежать
плоскости MSMt, т. е. основание перпендикуляра (точка К) бу¬
дет лежать на линии пересечения плоскостей что и изобра¬
жено на рис. 13.17.
Таким образом, нахождение расстояния от центра шара до
плоскости ASB сводится к нахождению длины отрезка KOi из
рис. 13.18.планиметрической задачи. Найдем радиус окружности,
вписанной в треугольник MSAfii
OO. = M0-tg(i-|-) = B0.lg (^-|)
alnatg
Рассмотрим треугольники KSOt я ffSO, Эти треугольники
подобны (они прямоугольные в имеют общий угол NSO). Вы¬
числим гипотенузу 80% треугольника ACSOi:
SOi •= SO — 0|0 =• / ^cos a — sin о fg
Гипотенузу SN треугольника SON вычислим no теореме Пифа¬
гора;
SAT = V(A^0)* + (S0)»	/^sln»a-sln*-|--f co5»o=lcos-|-.
Из подобия треугольников KSOi и NSO следуют равенства
KOi
'Ш'
SO,
SN
=>/fO,i
Ответ.
I ^cos a — sin a tg (т“т))
P
cos-t
I sin*a — sin* Y ^cos a — sin о tg	)
P
cos “
cos 2
4.56.	В конус вписан шар. Найти объем шара, если образую¬
щая конуса равна I и наклонена к плоскости основания под
углом о.
4.67.	Около шара радиуса R описан усеченный конус, обра¬
зующая которого составляет с плоскостью большего основания
угол а. Найти объем и площадь боковой поверхности усеченного
конуса.

§ 4. КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 395
4.58.	В конус вписан шар, поверхность которого равна пло¬
щади основания конуса. Найти угол при вершине в осевом сече¬
нии конуса.
4.59.	В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой
касаются конус я шар, равен г. Найти объем конуса, если угол
между высотой н образующей конуса равен а.
4.60.	В шар, площадь поверхности которого S, вписан конус.
Угол между образующей конуса и плоскостью основания ра¬
вен а. Определить площадь полной поверхности конуса.
4.61.	В конус вписан шар. Доказать, что отношение полной
поверхности конуса к поверхности шара равно отношению их
объемов.
4.62.	В конус, образующие которого наклонены к плоскости
основания под углом а, вписан шар. Найти отношение объема
шара к объему конуса.
4.63.	В прямой круговой конус вписан шар. Отношение объ¬
емов конуса и шара равно двум. Найти отношение полной по¬
верхности конуса к поверхности шара.
4.64.	Высота цилиндра равна высоте конуса. Боковая по¬
верхность цилиндра относится к боковой поверхности конуса,
как 3:2. Кроме того, известно, что угол наклона образующей
конуса к плоскости основания равен а. Найти отношение объема
цилиндра к объему конуса.
4.65.	В усеченный конус с площадью боковой поверхности S
вписана сфера площадью s. Найти угол между образующей и
плоскостью основания конуса.
4.66.	Угол при вершине осевого сечения прямого кругового
конуса равен а, а радиус основания конуса равен R. Найти
объем такой сферы с центром в вершине конуса, которая делит
объем конуса пополам.
4.67.	В прямой круговой конус с углом 60° при вершйне в
осевом сечении конуса вложены три одинаковых шара радиуса г
так, что каждый шар касается двух остальных, боковой поверх¬
ности конуса и плоскости основания. Найти радиус основания
конуса.
4.68.	На осиоваини прямого кругового конуса лежат три
шара радиуса г. На них лежит четвертый шар того же радиуса.
Каждый из этих четырех шаров касается боковой поверхности
конуса и трех других шаров. Найти высоту конуса.
4.69.	Определить угол при вершине в осевом сечении конуса,
описанного около четырех равных шаров, расположенных так,
что каждый касается трех других.
4.70.	В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса,
если известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикуляр*

396
ГЛ. 13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
ная одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса
на расстояние d.
4.71.	В усеченный конус, у которого радиусы нижнего о
верхнего оснований равны R л г, вписан шар. Найти радиус вто¬
рого шара, который касается первого шара, боковой поверхности
усеченного конуса и верхнего основания.
4.72.	Два конуса имеют высоты hi и fit и общее основание
радиуса R, а их вершины лежат по разные стороны от плоскости
основания. В поверхность, составленную из боковых поверхно¬
стей этих 'Конусов, вписан шар. Найти радиус другого шара,
который касается как боковой поверхности первого конуса (при¬
чем по целой окружности), так и первого шара.
4.73.	Шар касается основания конуса в его центре. Поверх¬
ность шара пересекает боковую поверхность конуса по двум
окружностям, одна из которых имеет радиус, равный радиусу
шара, я лежит в плоскости, параллельной основанию конуса. Из¬
вестно, что радиус основания конуса в 4/3 раза больше радиуса
шара. Найти отношение объема шара к объему конуса.
4.74.	Прямой круговой цилиндр описан около шара радиу¬
са Я Точка С расположена внутри цилиндра на его оси в уда-
лена на — R от ннжнего основания. Через эту точку проведена
плоскость Р, имеющая с окружностью нижнего основания только
рдну общую точку. В шар вписан прямой круговой конус, осно¬
вание которого лежит в плоскости Р, а вершина расположена
выше этой плоскости. Найти объем этого конуса.
4.75.	Прямой круговой конус имеет радиус основания г а
угол а в осевом сечении^ Два одинаковых шара радиуса R ка¬
саются друг друга боковой поверхности конуса (извне) и пло¬
скости основания конуса. Найти площадь треугольника, верши¬
нами которого служат центры шаров и центр основания конуса.
4.76.	В прямой круговой цилиндр с радиусом основания
г—1 и высотой Я= 12/(3-(-2 V3) вписаны три одинаковых
шара так, что шары касаются верхнего основания цилиндра, его
боковой поверхности и попарно — друг друга. Найтя объем пря¬
мого кругового конуса, основание которого совпадает с нижним
основанием цилиндра и который касается всех трех шаров.
4.77.	Даны три одинаковых прямых круговых конуса с уг¬
лом а (а < 2л/3) в осевом сечении и радиусом основания г.
Основания этих конусов расположены в одной плоскости и по¬
парно касаются друг друга внешним образом. Найти радиус сфе¬
ры, касающейся всех трех конусов и плоскости, проходящей че¬
рез их вершины.

ГЛАВА 14
МЕТОД КООРДИНАТ И ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ I. Векторы в координатах
Координатами точки Afo отиоснттльио лряноугольноЯ системы коор*
яннат OXyz называют упорядоченную тройку чисел (л«. уч, 2с). Число А
называют абсциссой точки Мо. Уч — ординатой, 2о — аппликатой.
Пусть А н В — две различные точки пространства. Отрезок АВ,
у которого точку А считают началом, а точку В — конпом. называют
вектором АВ н обозначают АВ. Направление луча АВ определяет но-
правление вектора АВ, а длина отрезка АВ называется длиной иля
модулем вектора .4В н обозначается И6|. Вектор, начинающийся н
ковчаюшийся в точке А, называется нулевым вектором н обозна¬
чается АА. Понятие направления для него не вводится.
Если координаты начала н конца вектора АВ представлены в виде
^ (*Д- VA' *Д) “ ® {*В' У В’ *в)' ■'■о координатами вектора АВ является
упорядоченная тройка чисс.ч
(*B'zJ‘A- УВ-УА- ^а-^л)-
Два вектора считаются равными, если одноименные координаты
совпадают. В дальнейшем наряду с обозначениями АВ для вектора
будем использовать и обозначения, не связанные с началом и концом
вектора в пространстве; а, Ь, е, ...
Нвд множеством векторов, эадаявык своими коордняатаин,‘можно
определить операции сложения, вычитания н умножения на число
по следующим правилам;
1)	сумма (разности) векторов равна вектору, координаты которого
равны сумма (разности) соответствующих координат слагаемых:
2)	произведение вектора на число равно вектору, каждая координата
которого равна координате исходного вектора умноженной на это число.
Для удобства ссылок представим пр,пвнла действий с векторами
a^(Oi, аг. а,). 0^(Ьи Ь;, Ь,) формулами
(1)
(2)
Векторы
а ± ft=(ai ± *1, ог ± Ьи а, ± bj.
Xa^iXoi. \а:. Ко,).
/—(I. 0. 0),	/—(0. I. 0),	0. I)
(3)
называются ортами. Любой вектор а (ai, о>, о.) представляется, и при
атом единстаенвыи образом, в виде
а~П|( + в1/ + а)Л,
ti)

898	гл. 14 МЕТОД КООРДИНАТ
Прниер 1.1. Заданы векторы
а - 2J + ЗА 6 =. -3/ - 2fe, с = I + / -	'
Иайтя координаты вектора в — у 6 + с.
Решение, По условию задачи
а-(2, 3. 0),	6-(0, -3. -2). с = (1, 1, -»)•
Используя правила (1), (2), имеем
в-1 6 +	(2-0+I. 3 + 1+1, 0+1-l).
Ответ, а—Y& —с==(з, -1, 0^.
1.1.	Даны векторы а = (—3, —1, 2), Ь => (4, О, 6), с *= (5,
—2, 7). Найти координаты векторов: а) 2а; б) —в + Зс.
1.2.	Даны три вектора а => (2, 4), 6 =• (—3, 1), с =■ (5, —2).
Найти координаты векторов:
а)	2а + 36 - б<г. б) о + 246 + 14с; в) 2а - у 6; г) 5а,
Пример 1.2, Даны четыре вектора р{3, —2, 1}, ?{—1. ti
—2), г{2, 1, —3} и с(11, —6. 5). Найти числа х, у, г, если
о	— хр + р? + гг.
Решение, Из условия равенства двух векторов имеем
11—3X-P + 2Z,
—О——2X + P + Z,
Б — X — 2р — Зх.
Решая эту систему уравнений, получим
X «= 2, р = —3, X — 1.
Ответ, в — 2р — Зд + г.
ЦЛ. Заданы векторы
а -(1, б, 8), 6-(6,—4, -2),
а =1 (О, —5. 7) и <1 - (—20, 27. -35).
Найти такие числа а, р и у. '<то
оа + р6 + ус +	= 0.
1.4,	Даны три вектора р{3, —2, I), д = (—1, 1. —2}, г —
^(2, 1, —3}, Найта координаты вектора с, если справедливо

§ I. ВЕКТОРЫ В КООРДИНАТАХ
399
представление
с — 2р — 3f + л
1.5.	Даны четыре вектора р(0, I, 2), fl(l, 2, 3), г(—1, 1, —2),
с(0, 4, 3), Найти X, у, г в представлении
с — хр +	+ гг.
1.в. Выразить вектор с через векторы а я 6 в каждой из
следующих случаев:
а)	а-(4, -2). 6=.(3, 5). с = (1, -7);
б)	а-(5. 4). 6-(-3, 0), с = (19. 8);
в)	а = (-6. 2). 6 =.(4. 7). с=(9. -3).
1.7.	Найти координаты вектора PQ по координатам точек Р.
в Q:
а)	Р (2. -3. 0). Q (-1. 2. -3):
1.8.	Даны четыре точки Д(0. 2). fl(3, 1), С (—5, 3), 0(2, 4),
Найти координаты такой точки Q, что
^+^ + ^+ ^=0.
1.9.	От точки А отложен вектор	Найти коордияаты
точки В в каждом из следующих случаев:
а)	Л(0. 0). а = (-2, 1);
б)	Л(-1. б). а = (1, -3):
в)	А (2. 7). а = (-2. -5).
1.10.	На оси абсцисс найти точку М, расстояние йт которой
до точки <4(3, —3) равно 5.
1.11.	На оси ординат найти точку М, равноудаленную от то¬
чек <4(1, -4. 7) и 6(5. 6, -5).
1.12.	Найти координаты точки М, лежащей па оси Ох и
одинаково удалеш1оГ| от точек <4(1, 2, 3) и 6(—3, 3, 2).
1.13*. Найти координаты центра тяжести треугольника АВС,
если точки -4, В и С имеют следующие координаты:
а)	А (0. 0), В (0. 3), С (5. 0);
б)	И(0, 0). В (2. 5). С(-1, 7);
в)	<4(1, 3), В(3, 6). С (-2, 5).
Два вектора а*= (ai, аг, as) я 6 = (6i. 62, 63) (6 # 0) код->
'Аинеарны, если существует такое число X, что
ai = X6i, аз = Х6}. о* = Х63.

400
ГЛ. М. МЕТОД КООРДИНАТ
1.14. В каждом из следующих случаев определить, при ка¬
ком значении k вектор а + kb будет коллннеарен вектору с;
а) а = (2, 3). 6 = (3, 5). с = (-1, 3);
б) в = (1, 0), 6 = (2. 2), с = (3, -5);
в)	в*=(3, -2). Ь = (1, 1), с=(0. 5).
1.16.	Воспользовавшись условием коллинеарности двух век¬
торов, выяснить, коллинеарны ли векторы
2
1
1
7 ’
3 ’
2
(®
9
Л
V. 8
» "
2’
'/)•
1.16.	При каких значениях X к Y векторы а = {X, —2, б)_
в 6 = (1, У, —3) коллинеарны?
1.17.	Даны четыре точки А{—2, —3, 8), В(2, 1, 7), С(1,4,5)
и D(—7, —4, 7). Доказать, что векторы АВ и CD коллинеарны.
1.18.	Отрезок с концами в точках Л(3, —2) и В(6, 4) раз¬
делен на три равные части. Найти коорднйаты точек деления.
1.19.	Найти координаты концов отрезка, который точками
С(2, о, 2) и D(5, —2, 0) разделен на три равные части,
1.20.	Даны вершины треугольника /4(1, 0, 2), В(1, 2, 2) в
С (5, 4, 6). Точка L делит отрезок АС в отношении 1 :3; СБ —
медиана, проведенная из вершины С. Найти координаты точки
пересечения прямых BL и СЕ.
1.21.	При каких значениях о и р векторы о «= —21 + 3/ + оЛ
и 6 S р< — 6/ 2й коллинеарны?
Три вектора а ■=, {оь аг, в»), Ь =• (6|, 6», 6»), с =* (ci, в*. C|)]
компланарны, если'
d| ^2^3
Ь% Ь% ^3
С\ С2 С9
1.22.	Проверить, что векторы а => (1, 0, 2), Ь => (0, 1, 3)|
с — (1, 1, 5) компланарны.	.
1.23.	Доказать, что если вектор с представляется в виде
с = а + ХЬ, то три вектора а, Ь, с будут компланарны.
1.24.	Доказать, что если три вектора а, Ь, с компланарны,
то существуют константы аир такие, что справедливо пред¬
ставление
с = аа -Ь Р6.
1.26.	Даны три вектора а :=>(!, —1, 0), 6 = (0, 1, —1),
са (1, О, —1) я вектор ааР&. Доказать, что при любых
и р векторы d, а, о компланарны.

f 1. ВЕКТОРЫ в КООРДИНАТАХ
401
Бели векторы aa(ai. № о,). Ь—(Ь,. Ьи Ь,) эвданы своими коордниатаин
в прямоугольной системе координат, то и* скалярным произведениям
называется число, которое находится по формуле
ab^Oibi+aibi + aibt.	(5)
Косинусом угла между ненулевыми векторами а в В называется число,
которое находится во формуле
oiBi+ OjB,+a»Bi
cos(a. В)—
/^о|То|+^ -у/Щ
+ в|+в*
(в)
Условие перпендикулярности двух веяулевых векторов о в В имеет вид
BtBi + atbi + fliBi*	(7)
Длина вектора а вычисляется по формуле
+ ej + »r
№
Пример 1.3. Даны два вектора о= (5, 2), 6= (7. —3).
Найти вектор с, удовлетворяющий условиям ос = 38, Ьс = 30.
Решение. Пусть с = (X, У), тогда на основании (5)
имеем
5Х + 2У = 38,
7Х - ЗУ = 30.
Решив эту систему относительно X и У, получаем X = 6, У = 4.
Ответ, с им (6, 4).
1.20.	Даны векторы а = (4, —2, —4) и 6 =я (S, —3, 2). Вы¬
числить:
а)	об; б) (2а - 36) (а + 26); в) (а - 6)»; г) 12о - 61.
1.27.	Дан вектор а = (—6, 8). Найти координаты единич¬
ного векгора, коллимеариого вектору а, и:
а)	сонаправлеиного вектору а;
б)	противоположно направленного вектору а.
1.28*. Из одной точки проведены векторы а =(—12, 16),
6 = (12, 5), Найти координаты вектора, который, будучи отло*
кенным от той же точки, делит пополам угол между векторами.
1.29.	Зная, что 1а| = 3, 16|=1, |с1 = 4 и а-(-6-|-с = в.
вычислить а6 -f 6с + са.
1.30.	Вычислить длины векторов:
а)	a=ui-J+k; б) 6 = 21-Ь/-36.
1.31.	Длина вектора равна 3. Вычислить координаты векто¬
ра, если известно, что все они равны.
1.32.	Вычислить длину вектора 2а -|- 36, если
а = (1, 1,-1):	6 = (2,0,0).
I.3S.	Даны векторы а = (I, I, —1), 6 = (5. —3, —3) и с =
(3, —I, 2). Найти векторы, коллинеарные вектору с, длины
которых равны длине вектора а 6,

402
ГЛ. М. МЕТОД КООРДИНАТ
1Л4*. Векторы Лб=«—3J + 4A н 5?=(—1, 0, —2) являются
сторонами треугольника АВС. Найти длину медианы AM,
Пример 1.4, Вычислить угол между векторами а =ч
Р=(-1, 2, -2) II 6 =(6, 3. -6).
Решение. По формуле (6) получаем
cos (а, Ь) =
(-1).6 + 2.3+(-2)-(-6)
12
Vl+4 + 4 V36 + 9 + 36	3-9	9
Ответ, (а, 6) I
> агссоз
1.35.	Вычислить угол между векторами;
а)	а = (6, -2. -3): 6 = (5, 0, 0);
б)	а = (2. -4, б); б-(0, 2, 0);
в) а = (-2. 6. -3): 6 = (0. о, -3);
г) а =. (-4. -6. 2): Ь = (4. 0. 0):
д)	а-(3, -2, 6): 6=.(0. -5. 0);
е)	а-(4. -5. -2); fr = (0. 0, 2).
1.3в. Какой угол образуют с вектором I следующие векторы!
в= (2. 3). 6«= (-2, 5). с= (-5. 1).	(-1, -1)?
1.37.	Вычислить косинус угла между векторами а — Ь ц
а + Ь, если а = (I, 2, 1) и 6 = (2, —1, 0).
1.38*. Вычислить косинусы углов, которые образуют с векч
торами i, /, к вектор:
а)	б) ft=.-3/-ft;
в)	с = -51; г) d’==Zi + 4k.
1.39.	Вычислить ко^динаты вектора р, коллинеарпого век*
тору q = (3, —4), если известно, что вектор р образует тупой
угол с вектором i н |/»| = 10.
1.40.	Вектор Ь коллннеарен вектору а = (6, 8, —15/2) и об*
разует с ортом к острый угол. Зная, что |6| = 50, найти его
координаты.
1.41.	Вычислить угол между векторами а = 21 + 1 и Ь =]
= 1 — 2/ и определить длины диагоналей ааралледограмма, пО'
строенного на этих векторах как на сторонах.
1.42*. Векторы а. Ь и с имеют равные углы. Найти коорди¬
наты вектора с. если а = i + f и Ь =* j + к.
1.43.	Прямая составляет равные углы с ребрами прямого
трехгранного угла. Найти эти углы.
1.44.	Векторы ЛВ = (3, —2, 2) и ВС«=(—1, 0, —2) являются
смежными сторонами параллелограмма. Опредедить величину;
угла между его диагоналями.

i !. ВЕКТОРЫ В КООРДИНАТАХ
403
Пример 1.5. Вычислить координаты единичного вектора а,
если известно, что он перпендикулярен векторам 6 = (1, 1, 0)
и с =. (0, 1, 1),
Решение Пусть вектор а имеет хоордниаты X, ¥, Z,
Тогда по условию задачи
X*+Y^+Z^=\.	(*)
Из условия перпевдикулярностн вектора а с векторами Ь и
с получаем уравнения
Х + У = 0 и y + z = o.
Подставляя X в Z, выраженные через Y, в равенство (*), полу¬
чаем У = ± l/л^. Следовательно, существуют два вектора,
(удовлетворяющих условию задачи:
У 1	•	1 ^	_ У >	•	* Л
WW V3/	V3 ' V3/
^	/II	1 \
Ответ. Л| *= I	—г=’» ~ *"7=“ Ь
V л/З V3 V3 Л
w)'
1.45.	При каком значении Z векторы а= (в, 0, 12) и 5 ='
!= (—8, 13. Z) перпендикулярны?
1.46.	При какн.т X и У вектор а = XI + YJ + 2к перпендику¬
лярен вектору b = i — i + к и ска.тярное произведение векторов
о и с = I -р 2/ равно 4?	*
1.47.	Вектор е перпендикулярен векторам а = (2, 3, —1) и
6= (1, —2, 3) в удовлетворяет условию с(21 — i + к) = —в.
Найти координаты с.	‘‘
1.48.	Вычислить координаты вектора е, перпендикул^ного
векторам а «= 2/ — й и Ь = —1 + 21 — Zk и образующего тупой
угол с ортом /, если | с 1 =• л/7.
1.49*. Найти координаты вектора а = (X, У, Z), образую¬
щего равные углы с векторами Ь=(У,—2Z,3.Y),Cz=(2Z,ЗХ,—У),
если а перпендикулярен вектору rf=(l. —1. 2), la| = 2V3 и
угол между вектором а и ортом / тупой.
1.50.	В параллелограмме ABCD известны координаты трех
вершин: Л(3, 1, 2), В(0, —1, —1), С(—1, 1, 0). Найти длину
диагонали BD.
1.51.	Доказать, что точки i4(l, —1, 1), В(1, 3, 1), С(4, 3, I),
/>(4, —1, 1) являются вершинами прямоугольника. Вычислить
длины его диагоналей и координаты их точки пересечения.

404
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
1.62.	Доказать, что точки i4(2, 4, —4),	В(1, I, —3),
С(—2, о, 5), D(—l, 3, 4) являются вершинами параллелограмма,
и вычислить величину угла между его диагоналями.
1.63.	Найти косинус угла <р между диагоналями параллело*
грамма АС и BD, если заданы три его вершины: А (2, 1, 3),
В(Б. 2. -1) и С(-3. 3. -3).
1.54.	Треугольник задан координатами своих вершин;
Л(3, —2, 1), В(3, I, 5), С(4, о, 3). Вычислить длины медиан
AAi и ВВ,, расстояние от начала координат до центра тяжести
треугольника АВС, величины углов этого треугольника.
Ьбб! Вычислить координаты вершины С равностороннего тре-
угольника АВС, если даны координаты Л(1, 3), В{3, 1).
1.бв. Вычислить координаты вершин С и D квадрата ABCD
если даны координаты >4(2, 1), В(0, 4).
1.67.	Даны точки Д(1, —3), 0(0, 4), являющиеся вершинами
ромба ABCD. Вычислить координаты вершин >4 и С, если
бЗд - 60".
1.58.	Даны вершины треугольника >4(1,—1,-3), В(2,1,—2)
и С(—5.2, —6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего
угла при вершине >4.
1.59.	Даны координаты трех точек >4(3, 3, 2), В(1, I, 1) и
С(4, 5, 1), Определить координаты точки О, принадлежащей
биссектрисе угла АВС и удаленной от вершины В на расстояние
V870.
1.60.	Вычислить работу силы f = 1 + 2/ + й при персмеше*
НИИ материальной точки нз положения >4(—1, 2, 0) в положение
В(2, I, 3).
1.61.	Даны три снл|>1 М = (3, —4, 2), IV = (2. 3, 5) и Р =
■=(—3, —2, 4), приложенные к одной точке. Вычислить работу,
производимую равнодействующей этих сил, когда их точка прн>
ложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из >4(5, 3, —7)
в В(4, 1, -4).
1.62.	Найти длины сторон и величины углов треугольника о
вершинами >4(—1, —2, 4), В(—4, —2, 0) и С(3, —2, 1).
1.63.	Известны координаты вершин треугольника: >4(1, 1, 1),
В(2, 4, 2), С(8, 3, 3). Определить, является ли этот треугольник
прямоугольным или тупоугольным.
1.64.	Вершины треугольника находятся в точках >4(2,—3,0),
В (2, —1, 1) и С(0, 1, 4). Найти величину угла <р, образованного
медианой DB и основанием >4С.
1.66*. В треугольнике >4 ВС точка W —точка пересечения вы¬
сот. Известно, что>4В=-(6, —2), >4С=»(3, 4). Найти координаты
вектора АН»

5 г. ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧР.СКУЮ ЗАПИСЬ’
405
1.66.	Доказать, что треугольник АВС, вершины которого рас¬
положены в точках >4(1, о, 1), В(1, 1, 0), С(1, 1. 1), прямо¬
угольный. Найти расстояние от начала координат до центра
окружности, описанной около этого треугольника.
1.67.	Треугольная пирамида задана вершинами >4(3, 0, 1),
Д(—1, 4, 1), С(5, 2, 3), D(0, —5, 4). Вычислить длину вектора
>4G, если С —точка пересечения медиан грани BCD.
1.88*. Объем прямой треугольной призмы >4BC>4iBiCi ра¬
вен 3. Определить координаты вершины >4|, если координаты
вершин одного из оснований призмы известны: >4(1, 0, 1),
В(2. о, 0), 0(0, 1. 0).
1.69.	В декартовой прямоугольной системе координат Оху
па кривой уг=х* заданы такие точки >4 и В, что	О А • I» 1 и
0^-1 “—2. Найти длину вектора 12^ — 30^.
1.70.	В декартовой прямоугольной системе координат Охд
на кривой у = X* — 2х + 3. лежащей в первой четверти, заданы
точка >4(х|, Pi) с абсциссой Xi >=> 1 и точка B(xt, Ра) с ордина¬
той pt в п. Найти скалярное произведение векторов О А, ОВ-
§ 2. Задачи на аналитическую запись линий
на плоскости и поверхностей в пространстве
Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе коор-
двват Оху может быть задана одним нз уравнений (I)—(7),
Общее уравиенне прямой:
>1х + Вр + С=»0.
(1)
Ураанеаие прямой, проходящей через точку М, (Xt, ро) перпендикулярно
вектору n»iA, В):
Л(х—х.)Ч-В(р—р,)»0.	(2)
Уравнение пряной, проходящей через точку М« (Хо, р-) пвраллелмо век¬
тору а=»(т, я):
^ У —Уо
(3)
Ш "* П '
Уравнение прямой в отрезках:
f
а О
(4)
где о II 3—координаты точек, отсекаемых прямой на координатных осях Ох
М Ор соответственно.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом А;
yaikx^rb.
(5>
Ураяненяе прямой, проходящей черев данную точку (х«, р«) с данным
угловым коэффициентом А:
р—р«-.А(х—х«).	(в)
Уравиенне.пряной, проходящей через две точки Mi(Xi, pi) н М»{Хь у,):
Х-Х| P-Pi
Хг—xi ра-р.

40в
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
Ушлом между прямыми li II ниыавется ааименъшнй нэ двух смеж*
иых углов, образованных этиня прямыми. Угол между прямыми Л в с уг¬
ловыми коэффишмитамн к, я к, вычисляется по формуле
tg <1|.
Если 1\Х1г, то Ai-Aj= —!•
Если <1 I ТО А|>аА].
к,—к,
I + ftift»
ArfaT**—I.
(9)
(10)
Расстояние от точки Mt(Xt, у») до прямой /, задаваемой урааненнен
Лх + Ву + С«°0, находится по формуле
р(А|^ i)-ldfi±£^±£L.
я^А‘ + В'
(И)
Пример 2.1. Прямая I проходит через точку Мо(дсо, М
перпендикулярно вектору л = (Л, В). Написать уравнение пря¬
мой I, если Л1о(—1, 2), л = (2. 2).
Решение. Согласно формуле (2) имеем 2(x-|-l)-f>'
+ 2(у —2) гч0. Раскрывая скобки и приводя подобные члены,
получаем уравнение х + у— I •= 0.
О	т в е т. X -р у —1 1= 0.
Пример 2.2. Написать уравнение прямой, проходящей че¬
рез точку Afo{—1, 2) я параллельной вектору а = (3, —1),
X I у 2
Реш-ение. Согласно формуле (3) имеем —g—»
или X -f Зу — 5 = 0.
Ответ. х-рЗу — 5 = 0.
Пример 2.3. Заданы прямая I: —2х -f у — 1 = 0 и точка
М(—1, 2). Требуется:
1)	вычислить расстаяние р(М, I) от точки М до прямой
2)	написать уравнение прямой проходящей через точку М
перпендикулярно заданной прямой /;
3)	написать уравнение прямой I", проходящей через точ¬
ку М параллельно заданной прямой I.
Решение. I) Сог.':асно (II) имеем
Р (М, I) =
|(-2)(-1)4-1-2-Ц	а.
V4 -Ы	л/б *
2)	Применяя формулу (9) для ft| = 2, получим ki => —1/2,
Согласно (6) имеем х + 2у — 3 = 0.
3)	Применяя формулы (10) и (6), получаем у — 2 = 2(х + I),
г.е. у •=2х + 4.
Ответ. 1) —7=г; 2) X -f- 2у — 3 = 0; 3) у=>2х + 4.
V5

i	2. ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ'
407
2.1.	Прямая I проходит через точки	yi) и Mt(xt, уг\,
Написать уравнение прямой /, если:
а)	Л4,(1, 2), А1,(-1. 0);
б)	А1,(1, 1), Л1,(1, -2);
в)	Л4, (2, 2), Mi (0, 2).
2.2*. Составить уравнение прямой, которая проходит через
точку /И (8, 6) и отсекает от координатного угла треугольник <
площадью, равной 12.
2.3.	Написать уравнение прямой, параллельной двум задан¬
ным прямым и и равноудаленной от /i и h, если:
а)	/(: Зх — 2у — 1 =• о, /j:
X— 1 у 4-3,
б) Зх- 15у- 1=0, /а:
Гх+1/2 у+1/2
5*1*
2.4.	Треугольник АВС задан координатами своих вершив
Л(1, 2), В(2, -2), С(6, 1). Требуется:
1)	написать уравнение прямой, содержащей сторону АВ-,
2)	написать уравнение прямой, содержащей высоту CD н
вычислить длину h= |CD|;
3)	найти угол ф между высотой CD в медианой ВМ-,
4)	написать уравнение биссектрис /| и /а внутреннего и
внешнего углов при вершине А.
2.5.	Из точки М (5, 4) выходит луч света под углом ф =
= arctg 2 к оси Ох и отражается от нее. Написать уравнения
падающего и отраженного лучей (уравнения прямых, содержа¬
щих эти лучи).
2.5.	Написать уравнение, прямой, проходящей через точку
Л1(2, 1) под углом п/4 к прямой 2х + Зу + 4 = 0.
2.7*. Две вершины треугольника АВС находятся в точках
i4(—1. —I) и В(4, 5), а третья вершина лежит на прямой
у:=5(х —3). Площадь треугольника равна 9,5. Найти коорди¬
наты вершины С.
2.8.	Даны три точки А{2, 1), В(3, 1). С(—4, 0), являющиеся
вершинами равнобочной трапеции ABCD. Вычислить координаты
точки D, если АВ = kCD.
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке
Св(хо, Уо) имеет вид
(дс-*о)* + (у-Уо)* = Л».
Пример 2.4. Составить уравнение окружности, проходя¬
щей через точки <4(2, 0), В (5, 0) и касающейся оси Оу.
Решение. Пусть неизвестный центр окружности С« имеет
координаты (х«, Уо), Тогда из условия касаиня окружаостн оси

408
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
Оу заключаем, что абсцисса центра хо равна радиусу R. Так
как точки /4(2, 0) и Б (5, 0) лежат на окружности, то их коор*
динаты удовлетворяют уравнению окружности. Используя пере¬
численные условия, получим следующую систему уравнений:
(x^-4f + yl~R\
До — /?.
которая имеет два решения: Хо"“7/2,	V^I R=^7/i.
Ответ.	+	и (х—^У +
4- (у + л/То )* = -f-.
2.9.	Составить уравнение окружности, вписанной в треуголь¬
ник, стороны которого лежат на прямых х о, у = 0,
Зх + 4у-12 = 0.
2.10.	Дана окружность х* + у* = 4. Составить уравнение
прямой I, параллельной оси абсцисс и пересекающей окружность
в таких точках Af и iV, что |Af/V| =я 1.
2.11*. В окружность х* + у*=169 вписан квадрат ABCD,
Найти координаты вершин В, С и D, если /4(5, —12).
2.12**. Дана окружность х* + у* = 9. Составить уравнение
окружности, проходящей через начало координат, точку /4(1, 0)
и касающейся данной окружности.
2.13.	Составить уравнение окружности, проходящей через
точку /4(2, 1) в касающейся осей координат.
Плоскость а в прямоуго/1ьноЯ системе координат Охуг может быть за-
дава следуюпи1ми способами.
Общее уравнение плоекости:
Ax + By + Cz+Dt^O.
Уравнение плоскости, проходящей черев точку Мо (х«, Уи г«) перпен¬
дикулярно вектору п={А, В, С):
А ix—xt) + В (y—yt) + С (Z—Z6>—0.
(12)
Углом между двумя плоскостями а, я О) называют яаимевьшнЯ из
двугранных углов, образованных этнмн п.-оскостямн. Косинус втого yr/ia вы¬
деляется по формуле
cos (О), О])**
Яг я,
|я,| |л.|
AiAj + BiBi + С1С3
V'
A^l + В^+ cl^/А^ + в1 + cl
(13)
где п,=(Аи Ви С|) я я,аа(Д,, в,, Ct)—векторы, перпевдикуляряыо плоско¬
стям 0| н а, соответственно.
Пример 2.5. Составить уравнение плоскости, если извест¬
но, что точка Л^(3, 5, 2) является основанием перпендикуляра,
проведенного из начала координат к этой плоскости, и принад¬
лежит плоскости.

% 2 ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ'
409.
Решение. Из условия задачи следует, что вектор ON пер¬
пендикулярен искомой плоскости, где О — начало координат,
N —точка, принадлежащая плоскости, и ON = (3, 5, 2). Соглас¬
но (12) уравнение плоскости, проходящей через точку N перпен¬
дикулярно вектору ON, имеет вид
3(*-3).f 5(y-6)-(-2(z-2)-0,
или
Зх + буЧ-22-38-=0.
Пример 2.6. Найти угол между плоскостью, проходящей
через точки Л1(0, 0, 0), Л^(1, 1, 1), К{3, 2, 1), и плоскостью, про¬
ходящей через точки Л1(0, 0, 0), Л^(1, 1, 1), 0(3, 1, 2).
Р еще вне. Согласно формуле (13) для вычисления коси¬
нуса угла между плоскостями, необходимо найти координаты
векторов, перпендикулярных этим плоскостям. Пусть вектор
П| = (Д|, Б|, С|) перпендикулярен первой плоскости. Тогда
iiiJLAiyV и itiJ.NK, и, с.тедовательно, ni-Af,V = 0, m-/VK=0.
Записывая эти равенства в координатной форме, получаем си¬
стему уравнений
Ч*
3i4| "1“ 2Б| “р С| “— о.
(•)
решениями которой будут неизвестные координаты вектора ni.
Так как система (*) состоит только из двух уравнений, то одно
неизвестное, например С«, можно взять в качестве свободного.
Полагая его равным 1, получим ni = (1, —2, 1). Проводя ана¬
логичные рассуждения, находим: вектор пг, перпендикулярный
второй плоскости, имеет координаты (—1/2, —1/2, 1). Подстав¬
ляя найденные координаты в выражение (13), получим: косинус
искомого угла равен
-1/2Ч-1 + 1	1
cos (р 		■_ 			=■ -7Г.
л/б V3/2	2
и, следовательно, угол между плоскостями равен 60°.
Ответ: 60°.
Пример 2.7. Даны плоскость 2х + 2у — 2-|-4 = 0 и пря¬
мая I, проходящая через точки А{2, 1, 1) и б(—3, 4, 0). Вычис¬
лить координаты точки пересечения прямой I с данной пло¬
скостью.	,
Решение. Вычислим координаты вектора:
АВ=-(-3-2, 4-1, 0-1) = (-5, 3, -1).	>

410
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
Пусть точка М(дсо, у», го) является точкой пересечения дан*
ной плоскости и прямой, проходящей через точки А п В. Это
аиачнт, что, во-первых, координаты точки М удовлетворяют урав¬
нению данной плоскости, т. е. связаны равенством
2xq 2уо — г© Ч“ 4 — о,
в, во-вторых, вектор AM коллинеарен вектору АВ:
АМ-^кЖ
откуда следуют равенства
До — 2 =• —6ft,
Уо — 1 = 3ft,
2о — 1 = —ft.
(•)
Решая систему уравнений (*), находим координаты точке
М: xt =» —13, уо = 10, 2о = —2.
Ответ. (—13, 10, —2).
2.14.	Составить уравнение плоскости, если известно, что она
проходит через начало координат н перпендикулярна вектору
11=(-6, 3, 6).
2.15.	Прямая I проходит через точки А и В. Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикуляр¬
но прямой I, для каждого из следующих случаев:
а)	Л(1, 2. 3), В (4, 6. 9);
б)	>1(-1, 2. 3), В(3, -2, 1):
в)	у4(1, о, -3), В (2. -1, 1).
2.16.	Найта угол между плоскостями:
а) 2д + — 2	2, (Ч Зд — у — 2г 1,
д -Ь 2у — 2 =» 1; 2д -f Зу — 2 — 2;
в) X — у + 3z’= 2,
—X — Зу + г = 2.
2.17*. Дана плоскость д —у + 2г-1=0 и прямая, прохо¬
дящая через точки А(2, 3, 0), В(0, 1, 1). Вычислить синус угла
между прямой АВ и данной плоскостью.	,
2.18.	Прямая задана точками Л(1, —1, 1) \н В(—3, 2, 1).
Найти угол между прямой АВ и плоскостью:
а) 6д -f 2у — Зг — 7 = 0; б) бд — у + 8г = 0.
2.19.	Вычислить расстояние от плоскости 15д—10</-(-
Ц-б2 — 190 = о до начала координат.
2.20.	Вычислить расстояние;
а)	от точки (3, 1, —1) до плоскости 22д-{-4у — 20г — 45=j
^0;

§ 2. ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ'
411
б) ОТ точки (4, 3, —2) до плоскости Зх — у + 5г+1 =0;
в) от точки (2, 0. —1/2) до плоскости 4д—4</+2г-Ы7 = 0.
2.21.	Вычислить высоту (/is) пирамиды с вершинами
S(0, 6, 4), /1(3, 5, 3), В(-2, 11. -5), С(1, -1, 4).
2.22.	Составить уравнение плоскости, отстоящей на расстоя¬
ние 6 единиц от начала координат и отсекающей на осях коор¬
динат отрезки, связанные соотношением о: 6 : с = 1:3:2.
2.23.	Найти координаты точки пересечения плоскости
2х — у + г = о н прямой, проходящей через данные точки
-4(-1, о, 2) и В(3, 1, 2).
2.24.	Найти точку пересечения:
а) прямой, представляющей собой линию пересечения двух
плоскостей Зд — 4у = 0 и у — Зг = 6 н плоскости 2х — 5у —
г-2 —2 = 0;
б) прямой
-f 2г — 5 = о.
д — 7 у — 4	2 — 5
и плоскости Зд — у -Ь
вяа
Уравнение сферы с центром в точке С« (х«. Ус, Хо) н радиусом Л имеет
(ж—До)* + (V—Уо)* + (ж—*о)*“ Я*.
(14)
Если центр с<1)еры совпадает с началом координат, то уравнение приобретает
ВИД
Ж» + У* + 2*-Я*.	(16)
Пример 2.8. Составить уравнение сферы, проходящей че¬
рез данную точку /1(1, —1, 4) и касающейся координатных пло¬
скостей.
Решение. Так как искомая сфера касается координатных
плоскостей и центр сферы находится в той части пространства,
для каждой точки которой д>0, у <0, 2>0 (ибо в этой ча¬
сти расположена точка /4(1, —1. 4)), то координаты центра бу¬
дут (R, —R, R). С другой стороны, так как точка А принадле¬
жит сфере, то ее координаты удовлетворяют уравнению (14):
(1 - /?*) + (-1 + /?)' + (4 - R? = /?“.
откуда следует, что
/?*-6/? + 9 = 0 или (/? -3)“ = о, т. е. /? = 3.
Ответ. (д-3)*-Ь (у + 3)»+(z-3)* = 9.
2.25*. Вычислить расстояние от плоскости 2x-\-2y — z-\r
И- 15 = о до сферы д* + у* + 2* — 4 = 0.
2.2в. Дана сфера д* -f у* + 2* — 25 = 0 и прямая /, прохо¬
дящая через точку /4(2, 1, 1) параллельно вектору а = (2,

412
ГЛ. И. МЕТОД КООРДИНАТ
—1). Вычислить координаты точек пересечения прямой / со
сферой.
2.27.	Найти множество точек пространства, сумма квадратов
расстояний от каждой из которых до данных двух точек
А(2, 3, —1) и 6(1, —1, 3) имеет одно и то же значение т*.
§ 3. Решение геометрических задач
с помощью метода координат
Геометрические задачи этого параграфа решаются введением
декартовой системы координат на плоскости или в простран¬
стве. Приведённые ниже задачи могут быть решены и методами
элементарной геометрии. Однако, как правило, эти решения тре¬
буют использования нетривиаль¬
ных, искусственных приемов.
Пример 3.1. В равнобед¬
ренном треугольникеi46C (|Л6|=>;
«= |ВС| = 8) точка Е делит бо¬
ковую сторону АВ в отношении
3:1 (считая от вершины В).
Вычислить угол между векторами
СЕ и СД если IСЛI S 12.
Решение. Введем систему координат Оху так, как указа¬
но на рис. 14.1 (по свойству высоты равнобедренного треуголь¬
ника |0>4|	|ОС|). Из треугольника ОВС находим
1061 — Vl 6С|*-|0С ^2л/Т.
Поскольку ^ •» -i-JS то	и координаты век¬
торов сХ я ей равны соответственно
сХ - (-12, 0). А& - (в, 2 V7 ),
Подставляя найденные координаты в формулу скалярного про¬
изведения векторов, получаем
(-}2) • (-21/2)	Зл/Т
COS а:
\2VmW+wTW
Ответ. Искомый угол равен агееоз .
О
равнобедренном треугольнике АВС (|Л6| =« |6С| <=-
: 15) точка Е делят сторону ВС в отношении 1; 4 (считая от

) 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 413
вершины В). Вычислить угол между векторами АЙ и АЙ, если
МС1 — 20.
•*:-4Лг'В прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой,
I-4fi| =3, \ВС\ =4. Вычислить угол между медианами AM и
BD.
8.3.	В прямоугольном треугольнике с катетами АВ и ВС
(|i46|=>8, |вС| п 6) проведена прямая AD, делящая ВС в
отношении |66|: |DC| = 4 :5. Вычислить угол между векто¬
рами >46 и AD,
3.4.	В прямоугольном треугольнике о катетами ВС и ВА
(|6С| CIS 4, |6>4|	3) проведена прямая AD, делящая сторону
ВС в отношении |BD|: |DC| >=> 3:5. Вычислить угол между
векторами AD и ВС.
3.5*. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник >46С
с прямым углом при вершине В; BS—его высота, К — середина
высоты BS, а М — точка пересечения
прямой АК со стороной ВС. Вычис¬
лить отношение, в котором точка Л1
делит отрезок ВС.
Пример 3.2. Доказать, что если
основания высот треугольника АВС
соединить прямыми, то получим
треугольник, для которого эти высо¬
ты будут биссектрисами.
Решение. Опустим высоты
треугольника из его вершин; >4i4iJLfiC,
BSi J- >4С и СС| _L АВ, точку пере¬
сечения высот обозначим О. Выбе¬
рем систему координат так, чтобы
ее начало совпадало с точкой С|,
ось Ох прошла через вершину В (рис. 14.2). Тогда ось Оу
пройдет через вершину С. Пусть координаты вершин треуголь¬
ника таковы; >4(—а, 0), 6(6, 0), С(0, с). Докажем, что высота
CiC — биссектриса угла >4|Ci6|.
Уравнение прямой, проходящей через точки >4 и С, имеет
вид
у= — х + с.
Уравнение прямой, проходящей через точки 6 и О перпендику¬
лярной прямой АС, имеет вид
У‘
а , аЬ
		д:
С с
(•«)

414
ГЛ. T1. МЕТОД КООРДИНАТ
(при получепян последнего уравнения использовано соотношение
между угловыия коэффициентами двух взаимно перпендикуляр'
иьи прямых: kfkt —I). Решая систему уравнений (•) и (**),
находим координаты точки пересечения этих прямых (точки Bt):
( а (аЬ — с*) ас {а + Ь) \
В,
д2 ^ gi
Аналогично, записывая уравнения прямых, проходящих через
пары точек В, С ъ А, О, находим координаты точки At:
^ f Ь {с* — аЬ) Ьс (а + 6) ^
Ь^ + с^ • Ь» + с* )'
Записывая уравнения прямых, проходящих через лары точек
А\, Cl и Bi, Cl, находим угловые коэффициенты этих прямых:
*А.С. “■
с(а + Ь)
— аЬ *
’‘В,С,
е(а + Ь)
аЬ — с*
откуда следует, что *b,Ciугловой коэффици¬
ент представляет собой тангенс угла наклона пряной к положи¬
тельному направлению оси Ох, то получаем
ёс^1 = я - В^,,
откуда следует, что	Так как пряная С|С пер¬
пендикулярна прямой АВ, то	•»	т. е. высота C|C
треугольника АВС действительно является биссектрисой треуголь¬
ника AiBiCu
Аналогично можно'доказать, что и другие две высоты тре¬
угольника АВС являются биссектрисами соответствующих углов
треугольника AiB|C|.
З.в. На высоте СС| треугольника АВС дана произвольная
точка Р. Прямые АР и ВР пересекают стороны ВС и СА соот¬
ветственно в точках А| и Ви Доказать, что луч CiP является
биссектрисой угла AiCiBi.
3.7*. Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами а
а Ь, С 90°, Составить уравнение множества точек М, для ко¬
торых
I	МА 1* -Н Л1ВI* = 2 IА1С I®.
3.8.	В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. До¬
казать, что
|AlAl^-f|AfC|* = |AlBf-f 1Л1011

§ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 415
3.9.	Окружность вписана в ромб с углом 60°. Расстояние от
центра окружности до ближайшей вершины равно I. Доказать,
что для любой точки Р окружности имеет место равенство
I РА Р + 1РВI* + I PC 1®+ 1PD1® = 11.
3.10.	Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки М,
взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из
параллельных этому диаметру хорд постоянна.
3.11.	Около окружности описан квадрат ABCD. Из вершин
квадрата к произвольной прямой, касающейся окружности, про¬
ведены перпендикуляры AA|, BBt, CCt и DDi. Доказать, что
MA,|.|CC,|i=lBB,|.|DD,I.
3.12.	Дан равносторонний треугольник АВС и окружность,
проходящая через вершины А и й, центр которой D симметри¬
чен вершине С относительно прямой АВ. Доказать, что если
М — произвольная точка этой окружности, то из отрезков МА,
МВ, МС можно составить прямоугольный треугольник.
3.13.	В окружность вписан прямоугольник ABCD. Из произ¬
вольной точки Р окружности проведены перпендикуляры к пря¬
мым АВ, ВС, CD и DA, пересекающие эти прямые соответ¬
ственно в точках К, L, М и N. Доказать, что точка N — орто¬
центр треугольника KLM.
3.14.	В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от точки окружности до вершин квадрата
не зависит от выбора точки на окружности. Найти эту сумму-
3.15.	Около квадрата описана окружность. Доказать, что
сумма квадратов расстояний от точки окружности до вершин
квадрата не зависит от выбора точки на окружности. Найти, эту
сумму.	‘
Если объектом задачи является куб пли прямоугольный па-
ра.тлелепипед, то наиболее удобной является система координат,
нача.то которой находится в одной из вершин нижнего основания
этих тел, а координатные оси проходят через ребра, выходящие
из этой вершины.
Пример 3.3. Длина ребра куба ABCDAtBiCiDt равна I.
На ребре АА| взята точка £ так. что длина отрезка А£ равна
J/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF
равна 1/4. Через центр куба Oj я точки Е я F проведена пло¬
скость а. Найти расстояние р от вершины Bi до плоскости о.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ее на¬
чало совпало с точкой А, а оси Ох, Оу и Ог проходили через

416	ГЛ. Н. МЕТОД КООРДИНАТ
ребра АВ, AD и АА\ соответственно. В этой системе координат
Составим уравнение секущей плоскости а. Пусть вектор
л =3 (ш, т, п») перпендикулярен искомой плоскости. Так как
векторы
EF<
принадлежат искомой плоскости, то, используя условие перпен*
дикулярностм пар векторов л, EF и л, £0|, получим следую*
щую систему уравнений для гц, пг, п>:
„ я» , я.
■ о.
Я| , Я2,Я»	-
“ 2	4	2
Считая лз свободным неизвестным, получим Я|=-^Л} я Лз»
*= —^ '•з- Полагая Лз = 9 в качестве вектора, перпендикуляр*
вого искомой плоскости, получаем вектор л =» (5, —8, 9). Урав*
нение плоскости, проходящей через точку £(0, О, 1/3) лерпендн*
кулярно вектору л = (5, —8, 9), будем иметь вид
Бк — 8у + 9z — 3 =» 0.
Координатами точ]^н B| в выбранной декартовой системе ко¬
ординат будут (1, о, 1), Вычислим расстояние от точки
0|(1, о, 1) до плоскости:
5х — 8^ + 9г — 3 = 0.
Пусть М(дго, уо, Zo)—точка основания перпендикуляра к дав*
вой плоскости, проходящего через точку B|. Вычислим коорди¬
наты точки М. Так как эта точка принадлежит' плоскости, то
координаты этой точки должны удовлетворять уравнению пло¬
скости;
бхо — 8уо + 9zo — 3 = 0.	(•)
С другой стороны, вектор BiM перпендикулярен данной плоско*
ста, в, следовательно, вектор В|М коллннеарен вектору л:
BiM =» ka.

s 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 417
Последнее равенство в координатной форме дает следующие три
уравнения:
Хо — 1 = 6fe,
ifo =“ —(»*)
eo-l=9ft.
Решая систему уравнений (•), («*), находим координаты точ¬
ки М
Хо =
П5
170*
в длину вектора |В|Мр
Уо=“ —
И
88
170*
го'
71
170
==г, которая и является искомым
л/170
расстоянием от точки £| до плоскости.
Ответ. Il/Vl70.
3.18.	Длина ребра куба ABCDAiBiCiDi равна I. На ребре
ВС взята точка Е так, что длина отрезка BE равна 1/4. На
ребре CiDi взята точка F так, что длина отрезка FDi равна 2/5.
Через центр куба и точки Е н F проведена плоскость а. Найти
расстояние от вершины Ai до плоскости а.
.3>7Г71.лнна ребра куба ABCDA\BiC\Dt равна 1. На ребре
АВ взята точка Е так, что длина отрезка BE равна 2/5. На
ребре СС| взята точка F так, что длина отрезка FC равна 2/3.
Через центр куба и точки Е к F проведена плоскость а. Найти
расстояние от вершины А до плоскости а.
3.18.	Длина ребра куба KLMNKtLiMiNi равна 1. На ребре
MMi взята точка А так, что длина отрезка AM равна 3/5. На
ребре KiNi взята точка В так, что длина отрезка KiB равна 1/3.
Через центр куба и точки А н В проведена плоскость а. Точка
Р — проекция вершины N на плоскость а. Найти длину ^отрез¬
ка ВР.
3.19.	Длина ребра куба KLMNKtLtMtNi равна 1. На ребре
KL взята точка А так, что длина отрезка AL равна 3/4. На реб¬
ре MMi взята точка В так, что длина отрезка МВ равна 3/5.
Через центр куба и точки А и В проведена плоскость а. Найти
длину отрезка ВР, где точка Р —проекция вершины N на пло¬
скость а.
. 3.20. Длина ребра куба KLMNKiLiMiNi равна 1. На ребре
KL взята точка А так, что длина отрезка КА равна 1/4. На
ребре MMi взята точка В так, что длина отрезка равна 2/5,
Через центр куба и точки А и В проведена плоскость о. Точка
Р —проекция вершины Et на плоскость а. Найти длину от¬
резка АР.
14 А. Г. Цыпкин. А. И, Пансков

418
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
ЗЛ1. Дай куб ABCDAiBiCiDii точка /( — середина ребрй
AAi, L — центр грани CCiDiD. Найти угол между плоскостями
BKL и ЛО,С.
3.22*. Найти площадь сечения куба ABCDA\BiCiDx плоско¬
стью, проходящей через вершину А и середины ребер B\Ci и
£>|С|. Ребро куба равно а.
3.23**. В кубе ABCDA\B\CiDi с ребром а точка /(—середина
ребра АВ, точка L —середина ребра DDu Найти стороны тре¬
угольника A^KL и определить, в каком отношении делит объем
куба плоскость, проходящая через вершины этого треугольника.
3.24.	' В кубе ABCDAiBiCiDi с ребром в последовательно со¬
единены середины ребер AAi, А\В\, BiCi, CiC, CD, DA и AAi.
Доказать, что полученная фигура есть правильный шестиуголь¬
ник, и определить его площадь.
3.25.	Длина ребра куба ABCDAtBiCtDi равна а. Точки Е и
F —середины ребер ВС и В\С\ соответственно. Рассматриваются
треугольники, вершинами которых служат точки пересечения
плоскостей, параллельных основаниям куба, с прямыми AtE, DF,
ADi. Найти;
а)	площадь того треугольника, плоскость которого прохо¬
дит через середину ребра AAi;
б)	наименьшее возможное значение площади рассматривае¬
мых треугольников.
3.26.	В куб вписана сфера. Доказать, что сумма квадратов
расстояний от точки сферы до вершин куба не зависит от вы¬
бора точки. Найти эту сумму.
Пр в м е р 3.4. Основанием пирамиды SABC является равно¬
сторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна
4V2. Боковое ребро 9С перпендикулярно плоскости основания
и имеет длину 2. Вычислить ве¬
личину угла треугольника и рас¬
стояние между скрещивающимися
прямыми, одна из которых про¬
ходит через точку S п середину
ребра ВС, а другая проходит через
точку С и середин;^ ребра АВ.
Решение. Введем прямо¬
угольную систему координат,
приняв за начало координат точку
С, за ось ординат — прямую
CD (точка D —середина А В), за ось аппликат — прямую CS, за
ось абсцисс — прямую, принадлежащую плоскости треугольника
АВС я перпендикулярную прямой CD, а за единицу масштаба —
отрезок, длина 'которого равна 1 (рис, 14.3). В этой система
Рис. 14Д

s 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 419
координат векторы CD и SE (точка Е — середина стороны СВ)
имеют следующие координаты:
С^“(о.	о)=-(а 2^/W. 0),
S£=(-i^.	-1CS|)-(V2. л^. -2).
_ V2
Поэтому
cos (CD, SE)
CD'SE
12
1CD1-1S£1	2V6*Vl2	2
B, следовательно, искомый угол равен 45°.
Пусть PQ — общий перпендикуляр к прямым SE и CD
(Р г SE, Q е CD). Тогда существуют такие числа а и р, что
= а • SE,	ЕЯ р. CD. Ясно, что
PQ=>^ + s6+ CQ = -а^ -CS^ pCD,
или, в координатном виде,
^ = (—а л/2, —а Vs + Р • 2 Vs, 2а — 2),
Так как PQ _LCD и PQ J_ SE, то PQ • CD^0.,..^PQ • SE = 0,
Последние два векторных уравнения в кощмиптЯтной форме имеют
вид
(-а Vs + Р • 2 Vs)' 2 Vs-=0,
-aV2-V2 -fC-oVs+p-2Vs)*Vs +(2а-2)(-2)=0.
или
откуда a = 2/3, p
2V2
a=E2p,
-За + ЗР+ 1=0.
1/3. Таким образом.
p3_(_±^,0,-|.)	||.<л>д/± +
3	.	зу. >• ^I-'Y	9	■	9	Y3 ■
Ответ. Величина угла равна л/4, искомое расстояние рав¬
но 2/V3.
3.27.	Основанием пирамиды SABC является равнобедренный
прямоугольный треугольник АВС, длина гипотенузы АВ кото¬
рого равна 4 V2. Боковое ребро пирамиды SC перпендикулярно
плоскости основавия, и его длила равна 2. Найти величину угла
и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из кото-
рык проходит через точку S и середниу ребра АС, а д{>усвя про¬
ходит через точку С и середину ребра АВ,
14*

420
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
3.28.	Основанием пирамиды HPQR является равносторонний
треугольник PQR, длина стороны которого равна 2V2. Боковое
ребро HR перпендикулярно плоскости основания я имеет длину 1.
Найти величину угла и расстояние между скрешиваюшнмнся
прямыми, одна из которых проходит через точку Н и середину
ребра QR, а другая проходит через точку /7 и середину ребра PQ.
3.29.	Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный
прямоугольный треугольник PQR, длина гипотенузы PQ кото¬
рого равна 2 л/2- Боковое ребро пирамиды перпендикулярно
плоскости основания, и его длина равна 1. Найти величину
угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из
которых проходит через точку // и середину ребра PR, а дру¬
гая проходит через точку R н середину ребра PQ.
3.30.	Все ребра правильной призмы ABCAiB\C% имеют дли¬
ну а. Рассматриваются отрезки с концами на диагоналях BCt
и CAi боковых граней, параллельные плоскости ABBtAi.
а)	Один из этих отрезков проведен через такую точку М
диагонали BCi, что |ВМ| ; |ВС<|	1; 3. Найти его длину.
б)	Найти наименьшую длину всех рассматриваемых от¬
резков.
3.31.	Сторона основания ABCD правильной пирамиды SHBCD
имеет длину а, а боковое ребро — длину 2а. Рассматриваются
отрезки с концами на диагонали основания BD н боковом реб¬
ре SC, параллельные плоскости грани SAD, Найти наименьшую
длину всех рассматриваемых отрезков.
§ 4. Простейшие задачи векторной алгебры
Два вектора АВ п СО считаются равными, если:
1)	длина вектора АВ равна длине вектора СО-,
2)	лучи АВ и СО одинаково направлены.
При таком определении равенства векторов множества всех век¬
торов, равных aS, называют свободным вектором. Понятие свободного
вектора АВ ножво связать также с отображеннеи пространства на
себв, при котором все точки пространства перемешаются в одном и
тон же направлевия (вапрявленне АВ) ва одно а то* же расстояяке
(длину АВ). Так определенный свободный вектор называется также
параллельным переносом, который полностью определяется упорядочен¬
ной парой весовпадающих точек А, В.
Любая пара совпадающих точек определяет тождественное отобра¬
жение пространства нли нулевой вектор.
Линейными операциями над векторами называются операции сло¬
жения н вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть а и О —два ненулевых вектора. Отложим вектор а от неко¬
торой точки О н обозначим его конец буквой А (рис. 14.4). Отложим
от точки А вектор Ь и обознвчнм его конец буквой В. Вскто|(. ^
с началом в точке О в концом в точке В (О? оос) называют суммой
векторов а н Э;

'§4. простейшие задачи векторной алгебры
421
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами)
1)	а +	+ а;
2)	с + (а + »)=(« + а) + 6;
3)	а4-0»а.
Приведенное выше правило сложения векторов называется правил
лом треугольника (сумма векторов представляется третьей стороной
треугольника, в то время как слагаемые образуют две другие стороны
треугольника, см. рис. 14.4). Наряду е этим прааялон существует тек
■азываеиое правило параллелограмма, при котором слагаемые векторы
В
Рис. 14.4
откладываются от одной точки, через нх концы проводятся пряные,
Достранваюшие фигуру до П8раллслограм.ча (рнс. 14.5), днагокаль ко¬
торого, проходящая через общее начало векторов, в равна сунне век¬
торов.
Вектором, противоположным вектору а. называют вектор (-а) такой,
что сумма векторов а к —о равна нулевому вектору:
о + (-а)пО.
Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и противопо¬
ложные направления.
Разность двух векторов а —6 есть сумма вектора о н вектора, проги.
Ьоположного вектору Ь, т. с.
с = а + (-6).
Разность векторов может быть получена с помощью правила треугольника.
Отложим от точки А вектор а (рис. 14.6); по.пучим АВеа. От конца вектора
aS ОТЛОЖИМ вектор 5?=-б. Вектор
МО—'Разность векторов а н Ь:
С“а —6.
Вектор разности двух векторов может
быть также выражен второй диаго¬
налью параллелограмма ВА (рнс.
14.5).
Произведением ненулевого вектора
а на число КФО называют вектор,
имеющий иапраяленнс поктора а, если
положительно, и противоположное
нанравление. если А отрнцательно;
длина этого вектора равна пронзвеле-
нню длины вектора а на абсолютное
ла) А.
Свойства операции унаожевия вектора ва число:
1)	(^1^) B=*Ai (А;И);
2)	X (л + Р)нХи + кЬ, (Xi + Хз) аз*Х[в 4- ХаЛ;
3)	0-а.~0:
4)	ХО—0.
Два ненулевых вектора назыв^|ртся коллинеарными. если они па¬
раллельны одной орямоВ. Длн коллнвеаряостн двух векторов а в б
аначенне (модуль чнс-

422
ГЛ. U. МЕТОД КООРДИНАТ
веобходино « достаточао, чтобы суцестаовало чвсао
рдющее равенству
Ь = ка.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору
— >
Пример 4.1. В трапеции ABCD вектор ВС--
зать, что вектор р = Л?+ ^ коллинеарен AD.
удовлетво»
(I)
<kAD, Дока-
Решение. Согласно определе¬
ниям суммы и разности векторов
представим векторы АС и BD в виде
(рис. 14.7)
/1C.
■■ AR + ВС = АВ + XAD,
BD = AD — AB.
Для вектора р тогда справедливо следующее представление.
P = ^+SD = .4B + XAD + AD — AB = (Л.+ \)AD.
Это соотношение доказывает коллинеарность векторов р н AD.
<иГЧерез вершину С параллелограмма ABCD проведена
прямая, параллельная диагонали BD, которая пересекает пря¬
мую AD в точке £; точка Q — точка пересечения диагоналей
параллелограммами. Выразить через векторы DC и CQ сумму
вектору АВ и СЕ.
Пусть ABCD — параллелограмм, причем /С—середина ВС,
С —середина AD. Обозначим .4/С = а. AL = b. Выразить векторы
BD и через а и
В трапеции ABCD отношение длины основания ВС к
длине основания AD равно п. Диагонали трапеции пересекаются
в точк^. Выразить вектор АО через векторы АВ и AD.
Даны три ненулевы.х вектора я, 6, с, каждые два из
которых неколлинеарны. Найти и.х сумму, если а + 6 коллинса-
реи вектору с, а 6 -f с коллинеарен вектору а.
Точки М, N, Р и Q лежат соответствевнр иа сторонах
АВ, ВС, CD, DA параллелограмма Авед, причемj/4Af |i | Мб| =>
= |BiV|:|VCl-.lC/>l:lPDl-.lDQl:|Q/4l. Доказать, что
MNPQ — параллелограмм.
Если векторы я и 6 неколлинеарны, то из равенства
ом 4-	= О следует, что а = О и р = О.
' Пример 4.2. Векторы а и Ь неколлинеарны. Найти значе¬
ния X и |х, если известно, что векторы
о	=Ха-)-р6 и (р + 1) а + (2 — X) ft
равиы^

s 4. ПРОСТЕПШИВ ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 423
Решение. Из равенства векторов е и d следует
Хо + р6 = (р + I) в + (2 — X) 6
или
(р+ l-X)e + (2-X-tt)ft = 0.
Но, так как а и ft неколлинеарны, то справедливы уравнении
ц+ 1 —Х = 0.
2	— X — р = 0.
Решая эту систему, находим X = 3/2; р = 1/2.
Ответ: X = 3/2; р = 1/2.
.АА^екторы а и ft неколлинеарны. Найти X, если векторы
(X — 1)а + 2ft и За -I- Xfr коллинеарны.
.^{ТГ'Векторы а я ft неколлинеарны. Найти значение а. при
котором векторы (X —2)я + 6 и (2Х + 1)о —6 будут колли-
неарны.
«ЛвГЪекторы а и 6 неколлинеарны. Найти значения X и р.
ирн которых справедливо равенство
^	2u — V’^w,
если в =» Ха + 2pft, v = —2ра + 3Xft, w = 4в — 2ft.
Три ненулевых вектора называются компланарными, если они па¬
раллельны одной н той же плоскости. Если среди трех векторов есть хотя
бы один нулевой, то такие векторы также считаются конпланариынн.
Если три вектора а, Ь, е некомпланарны, то нз равенства
аа 4-йа + уе=0
(Я
следует, что а«»0, р=0. v=0.	'
Если векторы а и Ь неколлинеарны. то любо.Т вектор с. компланариыП
с векторанв в н В. можно единственным обраэо.ч представить в виде
cavoa ЭВ.
Веля векуоры а. В. с некомпланарны, то любой вектор d можно едня-
етвенным образом представить в виде
-	d ваа-I-БбV<-
Три ненулевых вектора а, В, с компланарны тогда н только тогда, когда
существуют три числа а, р, у, не все равные нулю, такие, что
aa-l-ftB 4-ус=0.
(Я
Пример 4.3. Даны три искомпланарных вектора а, ft и б.
Доказать, что векторы а -f- 26 — с, Зо — ft -f- е, — а -f 56 — Зс
коиплакврны.
Решение. Согласно критерию компланарности трех век¬
торов, достаточно найти три числа а, р, у. удовлетворяющих
условиям
а (а + 26 - с) + Р{3« - 6 -Ь с) -I-у (-Н 4- 66 -Зс) — 0.	(•)
а* + Р' + \*>0.	(ее)

424
ГЛ. М. МЕТОД КООРДИНАТ
Условие (**) эквивалентно тому, что по крайней мере одно чнсн
ло а, р или у не равно нулю.
Преобразуем (*) к виду
(а + зр - Y) а + (2о - р + 5у) М- (-а + р - Зу) с = 0.
Так как а, Ь, с некомпланарны, то согласно (2) а, р, у
должны удовлетворять следующей системе уравнений;
а + Зр — Y “ 0.
2а — Р + 5у = о,	(♦♦*)
—а + Р — Зу = 0.
I
Одним из ненулевых решений системы (♦♦») будет тройка чисел
о = -2, р= 1, у= 1.
Тем самым доказано, что а + 2Ь — с, За — 6 + с в —а 4?
+ 56 — Зс компланарны.
'<4^$Г^аны три некомпланарных вектора а, 6 и с. Вычислить
значение к, при котором векторы а + Ь-\-кс, Ь-\-с-\-ка,
с + а + кЬ компланарны.
J.MT' Даны три некомпланарных вектора а, 6, с. Доказать,
что вег^оры а + 6, 6 +с, с — а компланарны.
,>ИТ. Даны три некомпланарных вектора а, 6, с. Найти чно
ла р и <7, при которых векторы ра + ^6 + с и а + р6 + кол-
линеарны.
^4>г. Даны четыре ненулевых вектора а, 6, с в d, каждые
три из которых иекомпланарны. Найти их сумму, если а + 6 4i
.+ c"«*pd и b + c + d = qa.
Пример 4.4. Дан параллелепипед j4ecbi4|B|CiDi. Разло*
жить векторы ААи АС и оЙ по векторам БА\, D^i и DB|.
Решение. Введем вспомогательные некоиплаиарные век*
торы а=яАА\, Ь=>АВ, c = AD\ выразим через них векторы DA\>
DCu оёх и искомые векторы AAi, АС, DB.
Согласно правилам сложения и вычитания векторов имеем
DA\ —■ в	с, ОСу = я	DB\ а е, (♦)
А^в 6 “Ь с,	Ь ^ о, A^t в я,	(*♦)
Из равенств (*) выражаем векторы а, 6, с через DA^, DC^, DBi,
Имеем
e —	+ D?i, b==D%t-DA,, o = -D^, + 5?,.
Подставляя значения я, b, с в (**), получаем искомые представ^
1^ения.

S 4. простейшие задачи векторной алгебры 425
Ответ.
-DB,+ й?1.
^« (ОВ, - DAi) + (-DA, + ot,) — -DAf + DCu
^ == (0^1 - Л4,) - (-08, + 5C,) =. -DA, + 208, — DC,.
v4rt3TB тетраэдре 0>I8C точки M н N — середины ребер 08
н ОС. Разложить векторы ЛЛ1, BN и Л4А/ по векторам ОА, ОВ
и Ос.
„ЛД4г^ треугольной призме И8СЛ,8,С| диагонали грани
65,С,С пересекаются в точке М. Разложить векторы AM и А,М
по ветрам вТ. ВВ„ ВС.
Дана треугольная призма АВСА,В,С,. Разложить век*
тор АА, по векторам АС,, ВА,, СВ,.
Уомядочеиная тройка некомпланарных векторов Ci, ei нази<
вается оазисом в множестве всех векторов пространства.
Всякий вектор может быть единственным образом представлен
в виде
aoiXiei + х,в, + дь«1.
(4)
Упорядоченная тройка чисел (х,. х,. х,) называется координатами вектора а
в базисе в„ «2, е„ Запись (4) ваэыаают разложением вектора а по базис/
«1. «а. е>.
Пример 4.5. Дан пара.тлелепипед a4SC^i4iB,C,D,. J^aftTU
координаты вектора С,О в базисе
векторов ЛД аХ„ ЛВ (рис. 14.8).
Решение. Вектор С,Д равен
вектору 8|Л (рис. 14.8), который в
свою очередь равен
В,А =—АВ, = — (AA, + АВ).	Рис. 14.8
Таким образо.ч, координаты вектора C,D имеют внд (О,
-1. -1).
Ответ. (О, —I, —1).
4.1в. Задан тетраэдр О АВС, точки D и Е — середины ребер
Oi4 и ВС соответственно. Найти координаты вектора DE в базисе
0%, дв, ОС.
4.17.	В тетраэдре ОАВС F — точка пересечения медиан осно*
вания АВС, Найти координаты вектора0/^ в базисе ОА, 08, О?.

426
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
4.18.	в тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС делится точ*
кой М в отношении |ЛМ| ; \ML\ =3:7, Найти координаты век*
тора OAf в базисе ОА, ОВ, ОС.
4.19.	В параллелепипеде ABCDA\BiCiDt точка М — середина
грани DDiCtC (точка пересечения диагоналей). Найти коордн*
ваты вектора AM в базисе из векторов AD, АВ, AAi.
4.20.	В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi точка М делит реб*
ро СС| в отношении {СЛ1|: |AfC|| = 1:2, точка N делит реб¬
ро AiDi пополам. Найти координаты вектора NM в базисе из
векторов ADi, АВ, ЛА^.
§ 5. Геометрические задачи, решаемые
методами векторной алгебры
Методы векторной алгебры основаны на единственности раз¬
ложения вектора на плоскости по двум неколлннеарным векто¬
рам и на единственности разложения вектора в пространстве по
трен некоипланарным векторам.
Приведенные ниже задачи можно условно разбить на два
типа: на спрямые» задачи н на «обратные». Прямыми задачами
будем называть задачи, в которых постулируется принадлеж¬
ность трех точек одной прямой или принадлежность четырех
точек одной плоскости. В этих задачах обычно требуется уста¬
новить или проверить некоторые соотношения между длинами
отрезков.
В обратных задачах требуется, как правило, установить, что
при определенных соотношениях между длинами отрезков неко¬
торые три точки А, В, С принадлежат одной прямой или неко¬
торые четыре точки А, В, С, D принадлежат одной плоскости, а
также иногда требуется доказать, что некоторые прямые пере¬
секаются в одной точке.
Решение прямых задач на плоскости основано на проверке
векторной формулы
iS-^kBC,	(I)
выполвенве которой пра некотором действительном k означает,
что три точки А, В, О лежат на одной прямой, или на проверке
формулы
оЗ = оОЛ+ (1—o)Oft
где Л, В, С — точки одной прямой, а О — произвольная точка.
Пример 5.1, Дан параллелограмм ABCD. Прямая I пересе¬
кает прямые АВ, АС и AD соответственно в точках Bt, Ci и Di,

i	S. ГЕОМЕТРИЧЕСХИВ ЗАДАЧИ
Доказать, что если Afli XiAB, ADi = X»AD, Л?1 = ЛзАС, t<J
JL=.J- + _L
Ло
(прямая задача).
Решение. Пусть АВ = а, АО = 6 и А? =» а + 6 (р“с. 14.9).
Тогда АВ, =Xia, AD,— Ягб и А?, = Xj (о + 6). Так как три
точки А,, В,, С, лежат на одной пря¬
мой I, то справедливо следующее равен- ^
ство:
^ = ABiD„	(*)Л
но	^	^	^
J9i(5, = А?, — АВ, = (Я.З ” ^,) о Х36,
В 1^1 = AD, — АВ, = —Л,д 4* Агй.
Подставив разложение векторов В,С, и B,D, по иеколлянеарным
векторам а и 6 в соотношение (*), получим
(Хэ — Х|) в Xj8 = ЙХ36 — ЙХ|<1.
На основании единственности разложения вектора по двум
неколлиисарным векторам а и fr получим систему
Хз — X, = •—^Х,,
Хз ^Хз-
Исключив коэффициент k, найдем соотношение между X,, Хз иХзЗ
Х,Хз "1" Х2Х3 ^ Х,Х^
Разделив последнее равенство почленно на Х,ХзХ«, имеем
J-=-L + -L
Хз X, ^ Хз ’
что и требовалось доказать.
Рассмотрим пример обратной задачи.
Пример 5.2. На стороне ON параллелограмма AMNO в
на его диагонали ОМ взяты такие точки В и С, что
_бв=-^о^, о5—
Доказать, что точки А, В и С лежат на одной прямой.

ГЛ. М. МЕТОД КООРДИНАТ
С ш е IIII е. Выразим векторы АВ и Л? через векторы ОЫ
^ (рис. И.Ю);
йс=.—^бм-ол. лв=4-б^-б!1
/I “Г I	л
Так как ОМ = бЛ + ОЛТ и, следовательно,
7ГТТ<^“7гЬ'(^ + ^)-
ТО
^ = ГТТ(^+^)-^=7Г^^-7ГТТ^
Сравнивая разложения векторов АВ и АС по неколлинеаряым
векторам ОЛТ в ОА, получаем
^	^	^ I I
АВ =яЯ.АС, где Я = —
"*>	—>
Так как векторы АВ и АС коллянеар^
ны и имеют общее начало, то три
точки А, В, С лежат на одной пря<
(	мой.
f 5.1. На прямых ВС, СА, АВ, определяющих треугольник
АВС, взяты соответственно точки L, М и N, лежащие на одной
прямой. Доказать, что если
в1 =3 alc, СМ = рлЙ,
AN — yNB,
то aPv = —1 (теорема Менелая),
6.2.	Дан треугольник MNP. На прямых MN, NP, РМ взяты
точки i4, В н С так, что A^^=aM, NB = fiBP, рб^^уСМ,
Доказать, что если аРу = —1, то точки А, В, С лежат на одной
прямой (обратная теорема Менелая),
Б.З. Прямые а п Ь параллельны. На прямой а взяты произ¬
вольные точки /4|, At, Аз, на пряной Ь — произвольные точки Bt,
Bt, Bt. На отрезках AiB^, AtBt, AtBt взяты такие точки Си С»,
Cj, что
|/4iCi| = а|Л)В||,	•= а|Л|Вг|, |i4jC|| = а\АзВз\,
Доказать, что точки Си Сг, Сз расположены на одной прямой.
5.4.	Точки Си Сг, С» делят отрезок А В на четыре части;
D — произвольная точка плоскости. Выразить векторы DCi, DCu
JD^t через векторы DA=^a, DB ==> Ь.

5	в. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ	429
«^Л^аны три точки М, А, В, а четвертая — точка С — взята
так, Что ЛВ = зЛ?. Выразить вектор через векторы МА и
А1В.
.^ЛГ’На плоскости взяты три точки А, В, М. На отрезке А В
взята такая точка С, что |/4С| : |С61 ■= k. Выразить вектор А1С
через AM и МВ.	м я и
• Пример 5.3. Если точка А
пересечения диагоналей четырехуголь¬
ника MNPQ и середины В, С его
противоположных сторон MN,PQne- ^
Жат на одной прямой, то MAfPQ—тра¬
пеция или параллелограмм(рис. 14.11).
Решение. Положим ЛЛ1 = в, AN =‘Ь. Тогда АР^кац
AQ’=‘lb. Так как В — середина отрезка MN, то
AB=jAM +1й^=-^(в-Ь6).
'73
/га
с
Рис. 14.11
Р'
Аналогично
АС =-i Лр +AQ-=-1 (fea +/6).
По условию точки А, В, С лежат на одной прямой, в по*,
этому существует такое число ш, что АС =гпАВ, т. е.
f-(a + 6)
или
т—к
т — 1
2 " ' 2 ’
откуда следует, что т = к = I. Тогда
Ш	а, PQ =3 lb-ка :
= 0.
■к (а— Ь),
т. е. PQ ^ kMN . Следовательно, PQ||A1W, т. в. AlWPQ — тра¬
пеция или параллелограмм.
5.7,	Точка пересечения средних линий четырехугольников сов¬
падает с точкой пересечения его диагоналей. Доказать, что че¬
тырехугольник — параллелограмм.
6.8.	Доказать, что середины оснований трапеции и точка
пересечения продолжений ее боковых сторон принадлежат одной
прямой.

430
ГЛ. U. МЕТОД КООРДИНАТ
5.9.	Точка Ai —середина отрезка АВ, точка М' —середина
отрезка А'В', Доказать, что середины отрезков АА\ ВВ' и ММ'
расположены па одноб прямой.
5.10.	Доказать, что середины сторон произвольного четырех*
угольника являются вершинами параллелограмма.
5.11.	Доказать, что в произвольном четырехугольнике)
а) средние липни, пересекаясь, делятся пополам; б) отрезок,
соединяющий середины диагоналей, проходит через точку пере*
сечения средних линий в делится в этой точке пополам.
Решение ряда задач основано на использовании формулы
ОМ = J (Й + ОВ + ОС),
(2)
где А, В, С-
Р, V,
V, X. У
ди
произвольные точки, не лежащие на одной пря*
мой; М — центр тяжести тре¬
угольника АВС; О — произ¬
вольная точка.
Пример 5.4. Пусть
J HdCDEF—произвольный шести¬
угольник и и, V', W, X, У, Z-~
середины его сторон. Доказать,
что центры тяжести треуголь¬
ников t/lTl' и VXZ совпадают
(рис. 14.12).
Решение. Так как точки
и Z — середины сторон шестиугольника, то
+ дР^1(дв + 0С).
or ш.^(ОС+00),
0Х^-~(0О + 0Е). OK=^(OB+OF), о1-<= 1 (Of-f ot),
где О — произвольная точка. Обозначая через М и центры тя¬
жести треугольников О ГУ я VXZ, имеем по формуле (2)
дм —-^(0&+о1г -i-O?) —
-^(ОЛ-f-OB + OC-f OD-f ОЯ+ Of),
o/v-.-l(oy-f oJ-f d^<
>j(OA + OB + OC + OD + OB+ OF).

$ А ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
431
Таким образом, ОМ
Падает с точкой N.
‘ON, откуда следует, что точка М сов-
5.12.	Дай треугольник АВС, Доказать, что равенство ОА +
•> ►
+ ОВ Ч- ОС ™ О имеет место в том а только том случае, когда
О — центр тяжести треугольника АВС.
6.13.	а) Пусть М и N — центры тяжести треугольников АВС
и DEF. Доказать, что
АО+В^ + С?=ЗШ.
б)	Пусть А, В, С, D, Е, f—произвольные точки плоскости.
Доказать, что
'^+ВЕ + СР=‘АЁ+ВР+сд.
5.14.	Точка М —центр тяжести треугольника АВС. Доказать,
что СА + СВ =• ЗСМ.
5.15.	Через центр тяжести треугольника АВС проведена пря¬
мая /, пересекающая стороны i4C и ВС соответственно в точках
Р и Q. Доказать, что
\АР\ . IBQI
|РС| 1QC1 '•
5.16.	Вершины А\, В|, C| треугольника АВС принадлежат
соответственно сторонам А\, В\ и С| треугольника АВС, причем
центры тяжести обоих треугольников совладают. Доказать, что
точки i4i, Bi и С| делят стороны треугольника АВС в равных
отяошеннях.
При решении задач, связанных с вычислением отношения
площадей некоторых плоских фигур, вспольэуется следующее
свойство площадей тредгольников. Если площадь треугольника
.4ВС равна S и на сторонах АС и ВС этого треугольника ‘ вы¬
браны соответственно точки М и N так, что
|СМ1:|СЛ| = *„ 1СЛГ|:|СВ1 = <Г2,
то площадь треугольника MCN равна
Пример 5.5. В треугольнике /1ВС на стороне АВ взята
точка К так, что [ЛК| ; |В/(1 = 1 :2, а на стороне ВС взята
точка L так, что 1CL| i |ВС| = 2:1. Точка Q — точка пересе¬
чения прямых AL и СК. Найти площадь треугольавка АВС, если
известно, что площадь треугольника BQC равна 1.
Реже в не. Пусть лЁ^а. ЛС«»5 (рис. 14.13). Так как
|ВС I: |СС 1= 1; 2, то на основания сфориулировавяого выше
свойства плояидей получаем S^q^=l/3, 3^^д = 2/3.

432
ГЛ. 14. МЕТОД КООРДИНАТ
Найдем отношение |QiL| : \AL\, Прямая, проходящая через
точку L параллельно стороне АС, пересечет сторону АВ в то1-
-*• 2
ке М, при этом AM : МВ = 2:1 и AM = y д. Прямая, прохо¬
дящая через точку L параллельно стороне АВ, пересечет сторон;^,
'АС в точке N, при этом AN i NC ■
С
1 :2 и AN -
■ Ь. Отсюда
i4L=.-|e + y6.
Так как векторы AQ и AL коллинеар»
иы (точки А, Q, L лежат на одной
прямой), то
AQ ==	="	(2а -Ь Ь),	(*)
Аналогично для точки К можно показать, что
+ -1сВ=-^(а-36),
CQ
Но AQ = ДС CQ, откуда
А.СХ = (о - 3ft).
(2а ft) = ft + -^ (о — 3ft).
Из условия единственности разложения вектора по двум неколч
линеарным векторам а 'я ft получаем систему уравнений 2р = X,
|i = 3 — ЗХ, из которой находим р = 3/7.
Теперь можно найти отношение |Q/.| \ \AL\. Имеем
IQLI I/1LI-MQI	.	|Д<?|
|Д7.| “ \AL\	\AL\‘
IQLI	4	^
и по равенству (•) -г = 1 — р = -=-. Отсюда
I	I	'	•* ^оас
1	7
= 		= — и так как = 1, то искомая площадь тре-
1 — р 4	QBC
угольника равна 7/4.
Ответ. 7/4.
5.17.	В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на
стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении
|ДК| : |вА| » 2:3, а на стороне ДС —точка L, делящая АС
в отношенрн |AL|: [LC| п 5:3. Точка Q пересечения прямых

5 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
433
•Х!К и BL отстоит от прямой АВ на расстояние 1,5. Найти длину
•тороны А В.	'
5.18.	Дан треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС взяты
точки М н N соответственно; |Дб| = 5|ДЛ1|, |6С|=3|ВЛ1|.
Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О. Найти отношение
площадей треугольников ОАС и АВС.
5.10. Точка К делит медиану AD треугольника АВС в отно¬
шении 3:1, считая от вершины. В каком отношении прямая де¬
лит площадь треугольника АВС?
5.20.	На каждой медиане треугольника взята точка, деля¬
щая медиану в отношении 1 :3, считая от вершины. Найти отно¬
шение площади треугольника с вершинами в этих точках к пло¬
щади исходного треугольника.
Решение некоторых задач предполагает использование век¬
тора с, коллннеарного биссектрисе угла между вектора.чи а и Ь.
Удобным представлением вектора с является следующее:
5.21.	В треугольнике АВС даны стороны а, Ь, с. Найти ДД|,
где AAi — биссектриса внутреннего угла А треугольника.
5.22.	В треугольнике АВС медиана BD пересекается с бис¬
сектрисой AF в точке О. Отношение площади треугольника DOA
к площади треуго.тьника BOF равно 3/8. Найти |ЛС| : |i45|.
5.23.	В треугольнике АВС биссектриса AAi делит сторону ВС
в отношеиин |BZ>| ; |CD| = 2: 1. В каком отношении медиана
СЕ делит эту биссектрису?
5.24.	Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются
в точке О. Найти отношение площади треугольника АВС к пло¬
щади четырехугольника ODCE, зная, что |ВС| = а, \АС\ = Ь,
\АВ\ = с.
Решение некоторых задач основано на использовании сле¬
дующего векторного соотношения. Если Л, В, С, D — четыре
точки, принадлежащие одной плоскости, а О — произвольная
точка пространства, то
ОД = оМ+Р^ + (1-о-Р)ОС.	(4)
где а, р е R.
5.25.	Дай параллелепипед Л6С0Л|В|С|0|. Плоскость перс'
секает прямые АВ, AD, АА\, ACi соответственно в точках Во,
Во. Ао, Со. Доказать, что если ЛСо = Х|ЛС|, ABo = XiABi, ADo=»
XiADt, ЛЛо=»Х«ЛЛ|, то
J	L + ± + ±,
Я|	Л} Я|

434
ГЛ. U. МЕТОД КООРДИНАТ
526. Точкя К, L, М. N взяты соответственно на сторовая
ОЛ|, АхАг, АгАг, ЛзО неп.зоского четырехугольника OAiAtAt,
причем
0^ = а^,	= А^ = вЛ^.
Доказать, что для принадлежности четырех точек К, L, М в tf
одной плоскости необходимо и достаточно выполнение равенства
а|)у6 = i>
5.27.	Даны два треугольника AxAtAt н AiA%At, не лежашде
в одной плоскости. Доказать, что векторы MN, PQ и RS ком*
планарны, если М, V, Р, Q, R и S —середины отрезков AxAt,
AtAi, AiAa, AiAt, A»At соответственно.
5.28.	Даны два треугольника АВС н АхВхСх, не лежащие в
одной плоскости; М и N — середины сторон АС и ВС, л Мх в
Nx — середины сторон АхСх и ВхСх. Доказать,что еслн <48 = i4|8|,
то векторы AfAli, ^х и С?| компланарны.
5.29.	Даны две скрещивающиеся прямые m н л. На пря<
мой m даны точки Р, Q, R, а на прямой л —точки P|, Qx, Rx,
причем PQ = kPR, P|Qi = ЛР|Л|. Доказать, что прямые РРх,
QQi, RRx параллельны одной плоскости.
При решении задач, связанных с отношеняем объемов частей
тетраэдра, образующихся при сечении его некоторой плоскостью,
часто используется следующее утвержде-
нне; если объем тетраэдра ABCD равен
V и на его ребрах DA, DB, DC взяты
соответственно точки М, N, Р так,
>го
|ДЛГ| —*j|D8l.
1DP| = *,|DC1,
то объем тетраэдра MNPD равен
kxkikaV.
Пример 5.6. Плоскость проходит
через вершину А основапЙ1я треуголь-
Рис. Н.14	ной пирамиды Si48C и делит пополам
медиану SK треугольника SAB, а медиа¬
ну SL треугольника SAC пересекает в такой точке D, что
2|SD| с: \DL\, В каком отношении эта плоскость делит объем
пирамиды?
. Решение. Обозначим SA=a, SB6. SC = с (рнс, 14.14).
Очевидно, что'й|>
.	— 1, Пусть SAI.
SN = kaC, где М и

5 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
435
Ы — точки пересечения плоскости сечения с ребрами SB и SC
соответственно. Найдем kt и Для этого воспользуемся ра¬
венствами
SD = yS?=-i(e-f с).
Обозначая SA1 «=> к%Ь, согласно (4) вектор SM можно предста¬
вать в виде
SM-.
' аа Ч- ^ (о -Ь 6) + у (1 — а — Р) (в -Ь с).
Используя единственность разложения вектора по трем некоы-
планарным векторам, получим систему уравнений
1
из которой на.ходнм кг = 1/3.
Аналогично из уравнений
■i-P.
(1 - а - Р),
SN:
кгс, ^ =	+	j(l-a-p)c
вакодни => 1/5,
На основании сформулированного выше утверждения полу¬
чаем
V = 1. -L. J- V
'' SAMN 3	5 SAflC’
п, следовательно, объем оставшейся части пирамиды равен
-|у	"TaKHM образом, искомое отношение объемов равно
1:14.
О	т в е т. 1:14,
6.30.	В трехграннои угле с вершиной S проведены парал¬
лельные сечения АВС н A|BiC|. Обозначая через 1^, Vt, И1, Vt
соответственно объемы тетраэдров SABC, SAiBiCi, SAiBC,
SABiCi, показать, что
V2=‘'^fWir, а Vt>Vt = V-Vt.
5.31.	Дана правильная четырехугольшя пирамида SABCD.
Через середины ребер Л8, AD и CS промдена плоскость. В ка¬
ком отвошеннв эта плоскость делит объем пирамиды?
6.32.	Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер
AD и ВС проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точ¬
ке М, При этом отношение длины отрезка DM к длине отрезка

43в
ГЛ. М. МЕТОД КООРДИНАТ
МС равно 2/3. Вычислить площадь сечения пирамиды указанной
плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1.
6.33.	Плоскость пересекает боковые ребра SB и SC тре»
угольной пирамиды SABC в точках К, L и М соответственно.
В каком отношении делит эта плоскость объем пирамиды, если
известно, что |SK| : |K/t| = |5^| ; |LB| = 2, а медиана SV
треугольника SBC делится этой плоскостью пополам?
5.34.	В треугольной пирамиде SABC все ребра равны. На
ребре SA взята точка М так, что SM = МА, на ребре SB —
точка /V так, что 3SAf = SB. Через точки М и U проведена пло¬
скость, параллельная медиане AD основания АВС. Найти отно¬
шение объема треугольной пирамиды, отсекаемой от исходной
проведенной плоскостью, к объему пирамиды SABC.
§ 6. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов наэывается
проязведение длин втнх векторов на косинус угла между векторами)
а.а»|а|. |а| соз<о, Ь),
(I)
Необходимым я достаточным условием перпендикулярности двух
ненулевых векторов является равенство пулю их скалярного пронзве-
дення:		 . • -
а. 6=0.	(2)
Если ф^(а. 6), то
прн 0<ф<.у	а-6>0; пря.у<ф<п а-6<0.
(3)
Скалярное вроязведевяе вектора на себя равно квадрату его дливы)
- а.а=а’=|а|^	(4)
СвоВства скалярного произведения:
а Ь = Ь-а	(коммутатпвныВ закон);
(Ха)’6=Х (а Ь)	(ассоциативный закон);
0'(6 + с)=о-6 + а-с (дистрибутивный закон).
Пример 6.1. Известно, что векторы Ъа — ЪЬ и 2а+ Ь пер¬
пендикулярны между собой и векторы а 46 и -f Ь также
взаимно перпендикулярны. Найти угол между векторами а н 6.
Решение. По условию задачи
(Зд —56).(2о-1- 6)=»0,
(а + 46). (- д + 6) = 0.
Отсюда следует, что
•	-	6д* — 7д. 6 — 56’ = о,
II	....	’■ —в* — Зд • 646’«я 0^
(*)

§ в. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
437
т. е. получены два уравнения относительно трех неизвестных а’,
6’ и аЬ. Согласно (I) косинус угла между векторами а и 6 вы¬
числяется по формуле
cos (в • 6) “= •
Из уравнений (•) находим
О' Ь
а • 6
19
43
ТГТЙ
1.2 2
6'= -53 а’.
(*»)
Возводя обе части равенства (*•) в квадрат и подставляя зна¬
чения (***), получаем
19’
cos’(о • 6) "
25•43 ’
пли
cos (а • Ь)
Ответ, arccos
19
б V43 ’
19
cos (а • 6):
19
5 л/43 ■
5V43
или arccos
(	5л/4з)
в.1. Дано: |а|»3, |6|=>4. (о, 6)«=2я/3. Вычислить:
а) а»; б) (а+ 6)’; в) (За - 26) (а + 26).
6.2.	Знай, что |а|=3, |6| = 1, |с| = 4^.в а-Ь6 + с=Д
вычислитЬув-6 -f- 6 г + с-а.
6.3.	Какому условию должны удовлетворять векторы а н 6,
чтобы имело место равенство |о + 6| = |а —6|?
6.4.	Доказать, что вектор (а6)с—(ас)6 перпендикулярен
вектору а.
6.5.	Доказать, что если а, 6, с — произвольные векторы, пря¬
чем а не перпендикулярен с, то существует такое число> 6, что
векторы а в 6 6с перпендикулярны друг другу. Найти k.
Если векторы а, 6 и с являются сторонами АВС, то из ра¬
венства а + Ь + с = О следует равенство
с’ = а’ -Ь 6’ — 2а - 6,
представляющее собой векторную запись теоремы косинусов. За¬
дачи 6.6—6.21 решаются с использованием векторной записи тео¬
ремы косинусов.
6.6.	В треугольнике АВС проведена медиана CCt. Доказать,
что если |flC| > |i4C|, то угол CCiB тупой.
6.7.	Доказать, что угол С треугольника АВС будет острым,
пряным или тупым в аависйноств от того, будет ли неднаяа

438
ГЛ. U. МЕТОД КООРДИНАТ
СС|, проведенная из вершины С, больше, равна или меныш
6.8.	а) Найти длину медианы \AD\ треугольника ЛВС, зная
длины сторон 1ЛС1 =6, |ЛВ| = с и величину угла А.
б)	Найти длину биссектрисы 1<4£| треугольника, зная длины
сторон |ЛС1 = Ь, |ЛВ| = с и величину угла А.
6.9.	Известны стороны треугольника АВС. Найти:
а)	длину медианы \AD\ = Ша;
б)	длину биссектрисы |Л£| = U-
6.10.	В треугольнике ЛВС угол В прямой, медианы |ЛО| и
|В£1 взаимно перпендикулярны. Найти величину угла С.
6.11.	В треугольнике АВС на стороиа.х ВС и АС соогвет-
ственно выбраны точки D и £ так, что IBB) = 1ВС|, |Л£| =
= 2|С£1. Найти [ВС] : |ЛВ|, если известно, что ADJ^BE и
у(вс = 60“.
6.12.	В четырехугольнике ABCD угол при вершине А равен
120°, а диагональ АС является биссектрисой этого угла.
Известно, что IЛС I =-^ I ЛВ I = I ЛО |. Найти косинус угла
между векторами ВЛ и CD.
6.13.	Доказать, что если для треугольника ЛВС имеет место
равенство а* + б* = 2с*, то агпа + Ь/п» = 2ст«, где гпа, ть, Шс —
длины медиан треугольника, а, Ь, с — длины его сторон.
6.14.	В треугольнике ЛВС проведен отрезок Л,В|, параллель*
ный стороне ЛВ, где точки Л, и В, лежат соответственно на сто¬
ронах АС и ВС. Показать, что если 1ЛВ11*= [ВЛ,], то треуголь¬
ник ЛВС равнобедренный.
6.15.	В треугольнике ЛВС проведены медианы ЛЛ| и ВВ,.
Доказать, что если & -Ь (ЛЛ,, ВВ,) == 180°, то 1СЛ J* 4-1 СВ |* =
«=21ЛВ1».
6.16.	Доказать, что если G — центр тяжести треугольника
ЛВС, а О — некоторая точка пространства, то
1ОЛ|»-НОВ1*-НОС|»=.31ОС1*-НЛС|* + 1В0 |»+|СС1»
{теормеа Лейбница).
6.17.	Доказать, что если О — центр описанной около тре¬
угольника АВС окружности и Н—его ортоцентр, toi
1)	ОН ^=^A + ОВ -4- ОС;
2)	1ОЯI* =. 9Л* - (в* 4- 6“ 4- с*):
S)\АН\=шйЦ\ем^\.

s 6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
439
6.18.	Доказать», что центр О оиисанной окружности, центр
тяжести треугольника G и ортоцентр Н произвольного треуголь¬
ника принадлежат одной прямой (прямая Эйлера), причем
|ОС|: |0Я1 = 1:2.
6.19.	Доказать, что расстояние от центра О окружности,
описанной около треугольника АВС, до его центра тяжести О
определяется формулой
IOG |» = /?*-l(a*-fb*-|-c*).
6.20.	Доказать, что если Q — произвольная точка, Я — орто¬
центр н О —центр описанной окружности треугольника АВС, то
1
0.21. В окружность вписан четыре.хуголышк ADCD. Дока¬
зать, что если 1ЛВ1*-f |С£>|* = 4/?*, где /? —радиус описанной
окружности, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.
С помощью скалярного произведения можно доказать спра¬
ведливость некоторых неравенств для тригонометрических функ¬
ций углов треугольника.
Пример 6.2. Доказать, что для всякого треугольинка АВС
выполняется неравенство
cos 2Л + cos 2В 4- cos 2G > — 3/2.
Решение. Пусть точка О — центр описанной около тре¬
угольника АВС окружности с радиусом, равным R. Очевидно,
что (ОА 4- ОВ -f- ОС)* ^ 0. Раскрыв скобки, получим
дА* + 20А‘0В 4- ОВ* + 2ОВ-дд + 2ОС-ОА + ОС*^0.
Так как центральный угол, образованный радиусами ОА и ОВ,
вдвое больше угла С, вписанного в окружность, то
04	• ОВ = /?* cos 20.
Аналогично
О? • 04 =/г* cos 2В. ОВ • ОС =/?» cos 2Л
Так как 04* —ОВ*=» 6^* = R*, то последнее неравенство при¬
нимает вид
2R} (cos 24 4- cos 2В 4- cos 20) 4- ZR* > О,
или
cos 24 -f- cos 2В -f cos 20 ^ — 3/2,
что в требовалось доказать.

440
ГЛ. М. МЕТОД КООРДИНАТ
6.22.	Доказать, что для углов всякого треугольника АВС вы¬
полняется неравенство
cos А + cos В + cos С ^ 3/2.
6.23.	Доказать, что для углов всякого треугольника ЛВС
выполняется неравенство
sin* А + sin* В + sin* С < 9/4.
6.24.	Доказать, что для углов всякого треугольника АВО
справедливо неравенство
. cos 2<4 + cos 2S — cos 2С ^ 3/2.
При каком условии неравенство обращается в равенство?
6.25.	Доказать, что для любого трехгранного угла с пло¬
скими углами а, р, у выполняется неравенство
cos а + cos р + cos Y > —3/2.

ГЛАВА 15
КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Размещения. Сочетания. Перестановки
Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов
• • • > Ол}. Выберем из него множество, содержащее г эле¬
ментов, т. е. сделаем выборку объема г. Выборки могут отли¬
чаться друг от друга как составом, так и порядком расположе¬
ния элементов. Если допустить, что среди элементов выборки
есть одинаковые, то объем выборки в отдельных случаях может
превышать объем исходного множества.
Примером таких выборок служат телефонные номера. Пусть
номер состоит из 12 цифр, а телефонный диск содержит 10 цифр;
тогда при наборе номера осуществляется выборка 12 элементов
из множества, содержащего 10 элементов. Так как диск после
набора каждой цифры возвращается в исходное положение, то
цифры телефонного номера могут повторяться. Это означает, что
выборка может содержать одинаковые элементы.
Число различных выборок объема г, элементы которых могут
повторяться, из исходного множества, содержащего л различных
элементов, равно л'. Если элементы выборки не повторяются, то
ее объем не может превысить объем исходного множества. Число
различных выборок объема г с неповторяющимися элементами из
исходного множества объема л равно
и; = «(л-1) ... (л-г+1):	(I)
указывает число различных размещений из л элементов по
г позициям. Если п = г, то различные выборки отличаются
только порядком элементов. Такие выборки называются переста¬
новками из л элементов. Число различных перестановок
Рп = л(л—1) ... 1 = л1	(2)
В некоторых задачах порядок элементов в выборке несуще-
>лствен, Например! при выборе трех человек в президиум собраинЯ|

442 ГЛ. 18. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕП
состоящего из 200 человек, или при покупке в магазине пяти
иаименований продуктов из имеющихся там 100 наименований
продуктов. В этом случае выборки одного состава (т. е. выбор*
ки, элементы которых совпадают) считаются неразличимыми.
Число выборок различного состава объема г из множества объ*
ема п равно;
л;	(„-Г+1)	п1
г1	“г1(«-г)1'	''
С'„ называется числом сочетаний из п элементов по л
Пример 1.1. Буквы азбуки Морзе образуются как после*
довательность точек и тире. Сколько различных букв можно об¬
разовать, если использовать 5 символов?
Решение. Исходное множество в этой задаче состоит из
двух элементов: точки и тире. Так как используется пять симво*
лов, то выборка содержит пять элементов, которые могут повто¬
ряться. Таким образом, число различных выборок, каждая из
которых представляет какую-нибудь букву, равно 2’ = 32.
Ответ, ?2 буквы.
1.1*. Сколько существует различных семизначных телефон¬
ных номеров?
1.2*. Сколько существует различных телефонных номеров,
если считать, что каждый номер содержит не более семи цифр
(телефонный номер может начинаться с нуля)?
1.3.	Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последо¬
вательности точек, тире и пробелов. Сколько различных букв
можно образовать, если использовать 5 символов?
1.4.	В некотором государстве нет двух жителей с одинако¬
вым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность
населения государства (наибольшее число зубов 32)?
1.5.	Пусть pi, ..., Pm — различные простые числа. Сколько
делителей имеет число <? = Р*'Р2* •••	••• «
некоторые натуральные числа (делители I п q включаются)?
1.6.	Сколько существует различных семизначны; телефонных
номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?
1.7*. Сколько существует различных исходов эксперимента,
связанного с п бросаниями монеты? (Исходы двух экспернмеп-
Фов считаются различными, если очередность выпадения гербов в
этих экспериментах не совпадает с очередностью выпадения
Цифр.)
1.8.	Сколько существует таких перестановок семи учеников,
пра которых три определенных ученика находятся рядом друг с
другом?

$ I. РАЗМЕЩЕНИЯ. СОЧЕТАНИЯ. ПЕРЕСТАНОВКИ
443
1.9.	На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах.
Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы:
в)	тома 1 и 2 стояли рядом;
б)	тома 3 н 4 рядом не стояли?
1.10*. Сколько различных аккордов можно взять на десяти
выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от
трех до десяти звуков?
1.11*. Собрание из 40 человек избирает председателя, секре¬
таря и 5 членов некоторой комиссии, Сколько различных комис¬
сий может быть составлено?
Если требуется определить число различных выборок, со¬
ставленных из нескольких разнородных групп элементов, то
удобно считать, что элементы каждой группы выбираются из
своего исходного множества, т. е, что число различных исходных
множеств совпадает с числом различных групп, элементы кото¬
рых представлены в выборке. Так, например, пусть требуется со¬
ставить сборную команду восьми областей, состоящую нз 24
спортсменов, в которую от каждой области войдет 3 спортсмена.
Эта выборка содержит 24 элемента, которые набираются из
восьми исходных множеств, причем из каждого отдельного мно¬
жества выбирается 3 элемента.
Пример 1.2. В урне т белых и п черных шаров. Сколь-
кнми способами можно выбрать из уриы г шаров, из которых
белых будет k штук? (Считается, что шары каждого цвета раз¬
личны, например, пронумерованы.)
Решение, k белых шаров нз m белых шаров можно вы¬
брать числом способов, а оставшиеся г — k черных шаров
из группы в А штук — числом способов	При этрм каж¬
дому способу выбора к белых шаров соответствует	раз¬
личных способов выбора черных. Следовательно, общее число
различных выборок равно произведению
Ответ.С*СГ*.
1.12.	Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содер¬
жащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различ¬
ных букетов?
1.13.	В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами
можно сделать 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?
1.14.	Комплексная бригада состоит из 2-х маляров, 3-х шту¬
катуров н 1-го столяра. Сколько различных бригад можно соз¬
дать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 (итука-
туров н 5 столяров?

444 ГЛ. IS. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕП
1.15.	В лотерее «Спортлото» разыгрываются в из 48 видов
спорта. Главный выигрыш падает на ту карточку, где угаданы
правильно все 6 номеров. (Каждый вид спорта указан под не*
которым номером.) Меньшие призы достаются тем, кто угадал 5,
4 и даже 3 номера из 6. Сколько может быть различных карто¬
чек, где угаданы; а) 5, б) 4, в) 3 из 6 номеров, если на каждой
карточке произвольно зачеркиваются 6 номеров? (Карточки, из
которых вычеркиваются одни и те же номера, считаются одина¬
ковыми.)
1.1 в. Сколько окружностей можно провести через 10 точек,
из которых никакие четыре не лежат на одной окружности в ни¬
какие три не лежат па одной прямой, если каждая окружность
проходит через три точки?
1.17*. Из колоды, содержащей 52 карты (из них 4 туза),
вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт будет хотя
бы один туз?
1.18.	Сколькими способами из колоды в 52 карты (из них
4 туза и 4 короля) можно вынуть б карт, содержащих туза и
короля одной масти?
1.19.	В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и б жен¬
щин. Сколькими способами можно составить 4 смешанные пары?
1.20*. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно
составить из цифр 0, I, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом
числе содержалась одна цифра 1?
1.21.	Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно
составить КЗ цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе
содержалась цифра 1? (Цифры в числе не должны повторяться.)
§ 2. Перестановки и сочетания с заданным числом
повторений
Рассмотрим выборки, отдельные элементы которых повто¬
ряются заданное число раз. Пусть выборка состоит из m эле¬
ментов, среди которых некоторый элемент (будем для опреде¬
ленности считать его первым) повторяется раз, другой (вто¬
рой) — Па раз и т. д., ft-fl элемент повторяется п* раз. Очевидно,
что
П| + яа+ ...	=
Набор натуральных чисел (ni, ,.., п*) будем называть со-
ставом выборки. Состав выборки определяет, из скольких раз¬
личных групп элементов состоит выборка и сколько одинаковых
элементов каждой группы в ней присутствует. Так, например,
выборка состава (1, 2, 4) состоит из трех групп элементов, при-

$ г. СОЧЕТАНИЯ с ЗАДАННЫМ числом ПОВТОРЕНИЙ 4iS
чей из первой группы в выборке присутствует 1 элемент, из вто¬
рой — 2, а из третьей — 4 одинаковых элемента.
Число различных выборок одного состава называется числом
перестановок из т элементов с заданным числом повторений
Я|, .... пь Это число вычисляется по формуле
Рт («г
«а)'
ml
(1)
Пример 2.1. Требуется составить расписание отправлепих
поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы!
3 дня отправлялись по 2 поезда в день, 2 дня — по 1 поезду в
день, 2 дня — по 3 поезда в день. Сколько можно составить раз¬
личных расписаний?
Решение. Количество поездов, отправляемых в день (чис¬
ла 1, 2, 3), —это три группы одинаковых элементов, из которых
должна быть составлена выборка. При этом в расписании на
неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется 3 раза
и число 3 повторяется 2 раза. Число различных расписаний
равно
Число различных составов выборки объема т, образованной
из k групп одинаковых элементов, равно *)
f-m	г-т
(k + т - 1)1
ml (Л - 1)1
(2)
Пример 2.2. R шаров следует разместить по k ящикам.
Сколькими способами это можно сделать? (Считается, что вме¬
стимость ящика достаточна для всех шаров.)
Решение. Для удобства будем считать, что имеется k
ящиков, в каждом из которых число шаров может меняться от О
до R. Тогда, считая, что каждый ящик соответствует группе од¬
нородных элементов, имеем k различных групп, из которых на¬
бирается выборка с повторением объема R. Различные способы
размещения шаров соответствуют различным составам указанной
выше выборки, т. е.
р	(R + k-\)\
*) Формулу (2) можно получить, если подсчитать число перестано¬
вок с повтореннямн нз от + * — I зленентов, где от —число элементов
нсходиой выборки, а А — 1 •> число границ, отделяющих группы одввако-
•ых элементов.

446 ГЛ. 15. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1.	Сколько различных комбинаций букв можно получить вз
букв слова «МИССИСИПИ»?
2.2*. Сколько различных наборов по 8 пирожных В каждом
ножно составить, используя 4 сорта пирожных?
2.3*. Лифт с семью пассажирами останавливается на 10 эта¬
жах. На каждом этаже может выйти определенное число пасса¬
жиров (от нуля до семи). Сколько может быть различных спо¬
собов освобождения лифта? (Способы различаются только чис¬
лом людей, вышедших на данном этаже.)
2.4*. При игре в бридж между четырьмя игроками распреде¬
ляется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку.
Сколько существует различных способов раздать карты?
2.5*. Сколькими способами при бросании 12 игральных ко¬
стей каждое из значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает дважды?
2.6*. Имеются т белых и я черных шаров, причем т> п.
Сколькими способами можно все шары разложить в ряд так,
чтобы никакие два черных шара не лежали рядом?
2.7*. При бросании монеты будем считать успехом выпаде¬
ние герба и неудачей выпадение цифры. Сколько различных ис¬
пытаний могло привести к 52 успехам при 100 подбрасываниях
монеты? (Испытанием считается серия опытов из 100 бросаний;
два испытания считаются различными, если ие совпадают резуль¬
таты хотя бы двух бросаний.)
2.8*. 12 ученикам выданы 2 варианта контрольной работы.
Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда так,
чтобы у сидящих рядом ие было одинаковых вариантов, а у си¬
дящих друг за другом был один и тот же вариант?
2.9*. На книжной полке стоят книги по математике и по ло¬
гике—всего 20 книг. Доказать, что нанбольщее количество ва¬
риантов комплекта, содержащего 5 кннг по математике в 5 книг
по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке
во каждому предмету равно 10.
§ 3. Бином Ньютона
Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по
формуле
(в + bf =	+ Cla'^-^b Ч- С^а""V -Ь...
+ (1)
Правая часть формулы называется разложением степени бинома.
■>т
называются биномиальными
Коэффициенты CJ -
коэффициентами, Общий вид слагаемых в правой части формулы

s 3. БИНОМ НЬЮТОНА	44У
[(I) обычно записывается в виде*)
Г* =	А: = О, 1, 2. .... я.	(*)
.Число всех слагаемых равно л+ 1.
Пример 3.1. Найти член разложения	, ие СО'
держащий х (т. е. содержащий к в нулевой степеяи).
Решение. Согласно формуле общего члена (2) имеем
По условию число k должно удовлетворять уравнению
10 —ft —4А=0.
(*)
Единственным корнем уравнения (♦) является ft = 2. Таким об¬
разом, искомым будет второй член разложения:
^2 “ ^10**	— С ю
'45.
Ответ. 45.
Пример 3.2. Найти шестой член разложения (g‘^* +
если биномиальный коэффяонент третьего от конца члена ра«
вен 45.
Решение. Найдем сначала степень бинома. Согласно усло¬
вию задачи число я удовлетворяет уравнению
г"-* ™	” (я — О
■ 45,
корнями которого являются Я2 = 10, л* = —9. Так как Л2 «= —9
не является натуральным числом, то степенью бинома будет
л =ш 10, следовательно, шестой член разложения представляетей
в виде
Т,=с%	== CtopV=2l0yV.
Ответ. 210у*х^
3.1*. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если сте¬
пень бинома равна 10.
3.2.	Найти номер члена разложения (x-f-x~*)‘\ не содер¬
жащего X.
*) Используют также формулу
-	я(я-1),,.(л-А + п я-А.Л
• ““ " ■	в А ь

448 ГЛ. 15. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЬЕРОЯТНОСТЕЙ
3.3*. НаАти член разложения бинома (V* +	со¬
держащий если девятый член разложения имеет наибольший
коэффициент.
(X о
— + -р-1 , который содер¬
жит X*.
3.6*. Доказать, что сумма всех коэффициентов разложения
(2у —х)* при любом натуральном А равна 1.
З.в. Биномиальные коэффициенты второго и девятого членов
разложения (5х“*/* —х*/*)" равны. Найти член разложения, не
содержащий х.
/ I 1 \и»
3.7**. Найти наибольший член разложения	*
3.8.	Найти номер наибольшего члена разложения
,100
ioj
3.9*. Сумма биномиальных коэффициентов разложения рав¬
на 1024. Найти член разложения ^х’ + —^ , содержащий х в
11-й степени.
3.10*. Доказать, что если степень бинома я —нечетное чис¬
ло, то сумма биномиальных коэффициентов членов, стоящих на
четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов чле¬
нов, стоящих на нечетных местах.
3.11.	В разложении бинома
Ь
7
определить член, содержащий если сумма биномиальных
коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, равна 2048.
3.12.	Найти наибольший член разложения (V& +
/ I Ч"*
3.13.	Третье слагаемое разложения I 2x-f-jj-J не содер¬
жит X. При каких X это слагаемое равно второму слагаемом^!
разложения (l-fx*)>*?
3.14*. При каких положительных значениях х наибольшим
слагаемым в разложении (5-f Зх)'^ является четвертое?
3.15*. Найти X, при котором пятидесятый член разложения
(Jt+ !/)"”’ имеет наибольшее значение, если известно, что
(х + у) = 1, х>0, jf>0.
3.16.	Найти X, при котором А-Л член разложения (х-|-у)*
имеет наибольшее значение, если x-bpesi их>0, р>0.

S S. БИНОМ НЬЮТОНА	449
Пример 3.3. в раэложёнвв бинома
(^ + V2l*
найти члены, не содержащие иррациональности.
Решение. Воспользуемся формулой общего члена разло¬
жения
■Явеяученное выражение будет рациональным, если —g— и-g—
целые числа. Очевидно, что число к следует искать среди четных
чисел, меньших 5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
единственное значение, которое оно может принимать, равно
двум. Следовательно, в разложении бинома есть только один
.член удовлетворяющий сформулированному условию:
Г2'=С|.3.2 = 6.-5^
:60.
Ответ. 60.
В.17. Найти члены, ве содержащие иррациональности в раз¬
ложении fv3+wr.
3.18*. Сколько рациональных членов содержится в разложе-
/ _ < \100
пни \V2 Ч- V^/	<*
3.19**. В разложении бинома (Vx Ч	]—'j первые три
\ 2Vx '
коэффициента образуют арифметическую прогрессию. Найти все
рациональные члены разложения.
8.20*. Доказать, что
1 - ci Ч-С* - С» Ч-... Ч-(-1)" С5 = 0.
3.21.	Сравнивая коэффициенты при х о обеих частях равен¬
ства
доказать, что
(1Ч-х)"*(1 Ч-Д:)"*=(1Ч-^Г+''.
с5с°,ч-сГ‘с;ч-...ч-с«с
-«ft— I /ч 1
*т
O^ft
<т-Ья*
8.22.	Воспользовавшись результатом предыдущей задачи,
найти сумму квадратов биномиальных коэффициентов. Доказать,
.что сумма квадратов биномиальных коэффициентов равна'
15 А. г. Цылкав, А, И, Пявскнй

450 ГЛ. 15. КОМБИНАТОРИКА, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
8.23*. Доказать, что справедливо равенство
1 - 10С^„ + 10®С|, - 10’С|„ + ... -	+ 10^ •= (81Л
Некоторые формулы комбинаторккв можно получить, диффе-
реяинруя нлн интегрируя обе части разложения для (I + х)",
которое справедливо при всех х.
Пример 3.4. Доказать, что справедливо равенство
nc“ + (n-i)ci+... + c;-'-.n.2»->.
Рейенне. Дифферевпиру» 6внош1Влыюе разложение для
(1 + х)", имеем
(х" + С^х"-' + .. .+С"У = п.х"-' + (я - 1) С)^х"-Ч...+С"-‘.
С другой стороны, справедливо равенство
Подставляя в тождество
п (1 + х)'‘“‘ = ях**-* + (я - О С^х"-* +
виачеине х = I, нолучаем требуемое равенство:
п • г"-'= пс° + (я -1) с; + ... +
3.24.	Доказать, что
+сг‘
л(п-1)С® + (п-1)(я-2)С;^+...+2С
а-а
9.26*. Доказать, что
+
r^
'^п
+
с"
п + t ’ п	I
3.26*. Доказать, что
яС®-(«- i)Ci + (a-2)C2-(rt-3)C® + ...
3.27*. Доказать, что
С
с1 .	(-V)"C"	(
2	“I	„^2Х+1.
^ я + I
3.28*. Упростить выражение Pi + 2P*+ •♦• + яРя»
3.29*. Доказать, что
с« + С™_, + ... + CJ_,0 = сг^1> - Cj+i.
SiaOi Домазать неравенство	< (С^)\

s 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ С nOMOU^dO ФОРМУЛ КОМБИНАТОРИКИ 4б(
§ 4. Вычисление вероятностей событий
, ,с помощью формул комбинаторики
Пусть в лотерее, где разыгрывается 10 билетов, принимает
участие несколько человек. На каждом билете пишется имя од¬
ного из участников, после чего все билеты тщательно перемеши¬
ваются. Затем наугад выбирают один билет, и тот, чье имя за¬
писано на билете, получает приз. Спрашивается, каковы шансы
получить приз некоторому участнику лотереи? Если имя этого
участника написано только на одном билете, то у него один
шанс из десяти. Если на двух, то два из десяти, в т. д.
Извлечение любого билета с именем этого участника счи¬
тается благоприятным исходом. Число таких исходов, очевидпо,
совпадает с числом билетов, на которых написано его пмя.
Шансы данного участника на выигрыш будут определяться до¬
лей благоприятных исходов среди всех рав1’.овозможиых исходов
эксперимента. Для того чтобы найти эту долю, требуется число
благоприятных исходов разделить на число всех исходов экспе¬
римента.
При многократном лроведеши! эксперимента его результаты
показывают, что отношение чисел исходов, при которых данный
участник выигрывает, к числу всех исходов эксперимента оказы¬
вается близким к доле тех билетов, на которых написано имя
участника, среди всех билетов, разыгрываемых в лотерее. По¬
этому вероятностью выигрыша естественно считать отношение
числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов
жеперимеита.
Подойдем теперь к понятию вероятности более формально.
Для этого введем сдедуюшее определение! будем называть эле¬
ментарным событием любой из рашовозмовы1ых исходов' экспе¬
римента (в приведенном выше примере элемеитарным исходом
будет извлечеиие одного из билетов), Миожество всех равновоз-
можиых исходов назовем пространством элементарных событий,
а каждое элементариое событие — точкой этого пространства (в
приведенном выше примере пространство э.тементарных событий
состоит из 10 точек),
Совокуааость элемевтаряых ообытим, объединяющая вое те
■схоам, при которых прокходят событие Л, называют множе¬
ством элементарных событий, благоприятных событию В. Вероят-
шостью ообылш Л вазывают отяошение числа благоиряятных
еыу эяенплгарнык событий к числу всех возиожиык эяеиеятар-
ных событий. Если число жхадов, блапшриятяых событию Л,
рвино м, а число всех точек, составаивииих пространство эле¬
ментарных событий, равно л, то всрояпюсть Р(Л) ообытна А
16*

452 ГЛ. )в. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
выразится дробью
Р (у4) =• т/п.
(I)
В задачах, где число всех возможных элементарных событий
конечно, число элементарных событий, благоприятных событию
А, может быть найдено непосредственно.
Пример 4.1. В классе, состояшем из 20 учеников, 15 че<
ловек занимаются в математическом кружке. Какова вероят*
ность, что наудачу выбранный ученик окажется членом мвтема*
твческоп; кружка?
Решение. Пусть событие А состоит в том,' что 'наудачу
выбранный ученик является членом математяческого кружка.
Тогда число элементарных событий, благоприятных событию А,
равно 15. Число всех элементарных событий в данном случае
равно 20. Следовательно, искомая вероятность равна
Р (Л)—15/20 = 3/4.
Ответ. 3/4.
Пример 4.2. Бросают две игральные костн. Какое событие
более вероятно: сумма очков на выпавших гранях равна 11 или
сумма очков на выпавших гранях равна 4?
Решение. Поставим в соответствие исходу эксперимента
упорядоченную пару чисел (х, у), где х означает число очков,
выпавших на первой кости, а р — на второй. Пространство всех
элементарных событий состоит из множества пар (х, у), где а
и у принимают значения от 1 до 6. Число таких пар равно 36.
Событию А, состоящему в том, что сумма очков, выпавших па
двух костях, равна 11, благоприятны два элементарных события,
которым соответствуют, пары (6, 5) в (5, 6). Событию В, со<
стоящему в том, что сумма очков, выпавшая на двух костях,
равна 4, благоприятны три элементарных события, которым соот>
ветствуют пары (1, 3), (3, I), (2, 2).
Вероятности событий А н В равны соответственно
Р (Л) — 2/36 = 1/18 н Р (В) — 3/36 — 1/12,
в, следовательно, событие В более вероятно.
4.1.	Какова вероятность того, что наудачу вырванный листок
из нового календаря соответствует первому числу месяца? (Год
считается невисокосным.)
4.2.	Какова вероятность того, что наудачу выбранное число
от одного до двенадцати окажется делителем числа двенадцать?
^ (Единица считается делителем любого числа.)
4.3*. Какова вероятность того, что наудачу выбранное двуч
аиачное число делится ва 3?.

5 4. ВЫЧИСЛБНИВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КОМБИНАТОРИКИ 453
4.4.	Найти вероятность того, что наудачу выбранный член
последовательности С/, = я* + 1 (л = 1, 2	10) делится на 5.
4.5.	В урне 10 белых шаров н 3 красных. Какова вероят¬
ность вынуть из урны красный шар?
4.6**. Монету бросают три раза. Какое из событий более
вероятно: событие А — все три раза выпала цифра, или событие
В—два раза выпала цифра и один раз герб? Подсчитать вероят¬
ности этих событий.
4.7.	Брошены две игральные кости. Какова вероятность того,
что сумма очков на выпавших гранях равна 7?
4.8.	Брошены две игральные кости. Какова вероятность того,
что сумма очков на выпавших гранях четная?
>	4.9. Прн перевозке 100 деталей, из которых 10 были забра¬
кованы, утеряна 1 стандартная, деталь. Найти вероятность того,
что наудачу извлеченная деталь оказалась стандартной.
4.10.	В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,
что наудачу извлеченная деталь оказалась бракованной.
4.11*. В семье трое детей. Какова вероятность, что все они
мальчики? (Предполагается, что вероятности рождения мальчика
и девочки одинаковы.)
В некоторых случаях для непосредственного подсчета вероят*'
ностн события А удобно использовать формулы комбинаторики.
Пример 4.3. Найти вероятность того, что все учащиеся
в группе, состоящей из 40 человек, родились в разные дни года.
Решение. Все возможные исходы эксперимента представ¬
ляются различными выборками по 40 из исходного множества
объема 365. Прн этом выборка может содержать одинаковые эле¬
менты (так как любой день может быть днем рождения несколь¬
ких человек). Следовательно, пространство элементарных собы¬
тий содержит (40)’*’ различных выборок. Благоприятным собы¬
тием будут соответствовать выборки, не содержащие одинаковых
влементов. Таких выборок i4j^. Таким образом, искомая вероят¬
ность равна Я(/4)»=
Используя формулы числа размещений, сочетаний, переста¬
новок, решить следующие задачи:
4.12.	В урне п белых н т красных шаров. Какова вероят¬
ность того, что наудачу взятые два шара окажутся красными?
4.13.	Набирая номер телефона, абонент забыл три последние
цифры и, помня только, что они различны, набрал их наудачу.
Какова вероятность, что он набрал нужные цифры?
4.14.	К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из кото¬
рых 50 спелых. Покупатель выбирает два арбуза. Какова вероят¬
ность, что оба арбуза спелые?

454 ГЛ. It. КОМВиНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТКОСТЕП
4.15.	В урве п белых, т черных, k красных шаров. Наудачу
вынимаются трв шара. Какова вероятность, что все они будут
разного цвета?
4.16.	В экзамеиацнонныЛ билет входят 4 вопроса программы,
васчитываюшеГ! 43 вопросов. Абитуриент не знает 15 вопросов
программы. Какова вероятность, что он вытянет билет, где все
вопросы ему вэвестны?
4.17.	На карточках написаны целые числа от 1 до 15. На*
удачу вэвдекаются две карточки. Какова вероятность того, что
сумма цифр, написанных па этих карточках, будет равна 10?
Решить задачи, используя формулу числа перестановок с за*
данным числом повторений.
4.18*. Какова вероятность, что при случайном расположении
в ряд кубиков, на которых написаны буквы а, а, а, я, », с, полу*
чвтся слово «ананас»?
4.19.	На один ряд, состоящий из 7 мест, случайным образом
садятся семь учеников. Найти вероятяость того, что тря спреде*
ленных ученика окажутся рядом.
4.20.	На книжной полке случайным образом расставлены
4 книги по алгебре и 3 по геометрии. Какова вероятность того,
что квита по каждому предмету стоят рядом?
4.21*, Найти вероятность того, что при игре в бридж (четы*
рем игрокам из колоды карт в 52 лнстз раздаются по 13 карт)
каждый игрок получит по одному тузу.
4.22.	Известно, что при 10-кратном бросании монеты 5 раз
выпали гербы в 5 раз цифры. Какова вероятность того, что все
гербы выпали ври первых пяти бросаниях?
Пример 4.4. Из (5 строительных рабочих 10—штукатуры.а
Б — маляры. Наудачу отбпрается бригада яз 5 рабочих. Какова
вероятность того, что среди них будет 3 маляра н 2 штукатура?
Решение. Пространство элементарных событий состоит из
всех выборок различного состава объема 5 из множества объ*
ема 15. Число таких выборок равно С);, Благоприятным собы¬
тиям соответствуют выборки, содержащие трех маляров и двух
штукатуров. Трех маляров из пяти можно выбраты С| способа^
ми, а двух штукатуров (совершенно независимо от предыдущего
выбора) способами.
Следовательно, число выборок, соответствующих благоприят¬
ным событиям, равно произведению CgCfo. Таким образом, иско¬
мая вероятность определяется выражением
Р(/1)=С|СУС?5.
Ответ, egeyefj.

s 6. ЗАДАЧИ. РЕШАЕМЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ 455
В обшем случае вероятяость получить выборку объема
А + л, где k элемеятов принадлежат одной группе, состоящей яз
п элементов, а г —другой, состоящей из т элементов, опреде¬
ляется формулой
(2)
4.23.	В ящике имеются 15 деталей, 5 из которых окрашены.
Наудачу извлекаются 5 деталей. Найти вероятность того, что 4
из них окрашены, а одна — нет.
4.24.	В партии из N деталей я сталдартпых. Наудачу отби¬
раются m деталей. Найти вероятность того, что среди отобран¬
ных к стандартных.
4.25.	Какова вероятность главного выигрыша в «Спортлото»
(угадать 6 номеров из 48)? Какова вероятяость угадать 5; 4;
3 номера из 48?
4.26.	Какова вероятность получения 1 туза, туза н короля
при сдаче 6 карт из колоды в 52 листа?
4.27.	Имеются 6 билетов в театр, 4 из которых на места
первого ряда. Какова вероятность того, что из трех наудачу вы¬
бранных билетов 2 окажутся на места первого ряда?
4.28.	В соревнованиях по футболу участвуют 20 команд.
Случайным образом они делятся на две группы по 10 команд.
Какова вероятность того, что 2 наиболее сильные команды при
этом окажутся в одной группе?
§ 5. Задачи на вычисления вероятностей,
решаемые геометрнчесдими методами
Существуют задачи, о которых непосредственный ' подсчет
элементарных событий, основанный на их равновоэиожности и
конечности их числа, непригоден. Рассмотрим пример. Пусть ли¬
няя электропередач, соединяющая пункты Д и В, в результате
бури оборвалась. Какова вероятность того, что обрыв произошел
на участке, заключенном между пунктами С я D, лринад.чежа-
шимя отрезку АВ7 Множество элементарных событий в данном
случае бесконечно, так как обрыв равновозможен в любой точке
отрезка АВ. При этом естественно предполагать, что вероятность
обрыва на любом участке пропорцноиаяънз длине этого участка.
Л'ак как вероятность обрыва на всем yiacTKc равна единице
(обрыв уже произошел), то вероятность обрыва на участке CD
выразится соотношением
P{A)^CD/AB.

456 ГЛ. 16. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Введем следующее допущение. Пусть исходы испытания.
Число которых бесконечно, распределены равномерно в некоторой
области S. Это значит, что вероятность события £, состоящего
в том, что исход испытания оказался заключенным в некоторой
части области S, пропорционален величине этой части и не за¬
висит от ее расположения и формы.
Таким образом,	...
P(E)=^m(s)/m{S).	^	, .. . . .
где Я(£) — вероятность события, заключающегося в том, что
наудачу выбранная точка из области £ окажется в области S,
m(s) и m(S) — величины соответствующих областей.
Пример 5.1. Абонент ждет телефонного вызова в течение
одного часа. Какова вероятность, что вызов произойдет в по¬
следние 20 минут этого часа?
Решение. Пусть событие £ состоит в том, что вызов про¬
изошел в последние 20 минут. Изобразим пространство элемен¬
тарных событий в виде отрезка длины 60. Тогда элементарные
события, благоприятные £, заключены в последнюю треть отрез¬
ка. Следовательно,
Р(А)=1/3.
5.1.	Минное поле заграждения устроено так, что мины по¬
ставлены вдоль некоторой прямой с интервалами между минами
100 м. Какова вероятность того, что корабль шириной 20 м,
проходящий минн<№ поле заграждения под прямым углом, подо¬
рвется на мине?
6.2.	В круге радиуса R помешен меньший круг радиуса г.
Найти вероятность того,'-что наудачу брошенная в большой круг
точка попадет также и в меньший круг. (Предполагается,, что
вероятность попадания в круг пропорциональна площади круга
н не зависит от его расположения.)
Если случайное событие, вероятность которого следует найти,
состоит в попадании точки в некоторую часть плоской фигуры
и при этом границы фигуры и ее части являются графиками из¬
вестных функций, то вычисление площадей, входящих в выраже¬
ние (1), сводится к вычислению определенных интегралов.
Пример 5.2. Наудачу выбираются два действительных чис¬
ла х и р, причем O^x^l, O^p^l. Найти вероятность
того, что р* ^ X.
Решение. Поставим в соответствие паре чисел х и р точ¬
ку на плоскости с координатами (х, р). Пространство элемен¬
тарных событий будет в этом случае квадратом, двумя сторо-
иами которого являются единичные отрезки осей координат. Фич

$ в. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ 457
гура, множество точек которой соответствует исходам, благопри¬
ятным событию ^ X, ограничена графиками функций р => О,
X к 1, р* в X. Ее площадь вычисляется по формуле
_2
3 ’
Так как площадь единичного квадрата равна единице, то
>v. М ;
• ..	Я (А) = 2/3.
Ответ. 2/3.
"	S.3. Два действительных числа х и р выбираются наудачу
Так, что |х|	3, |р| < 6. Какова вероятность того, что Дробь
х/р окажется положительной?	’
5.4.	Два действительных числа х и р выбираются наудачу
так, что 1x1^1, 0<р^1. Какова вероятность того, что
X» < р?
5.5.	Два действительных числа х н р выбираются наудачу
так, что |х| ^ 1 в |р| ^ 1. Какова вероятность того, что
1х| < |р|?
5.6*. Наудачу взяты два положительных числа х и р, каж¬
дое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что
ху < I, а р/х < 2.
5.7*. Наудачу взяты два положительных числа х и р, ив
превышающие единицы. Какова вероятность того, что сумма их
не превышает единицы, если сумма их квадратов больше 1/4?
5.8*. Парабола касается нижней стороны квадрата и прохо¬
дит через верхние его вершины. Какова вероятность того, что
точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в область, заклю¬
ченную между верхней стороной квадрата и параболой? '.
5.9.	Парабола касается полукруга и проходит через границы
его диаметра. Какова вероятность того, что точка, наудачу бро¬
шенная в полукруг, попадает в область, ограниченную дугой по¬
лукруга и параболой?
6.10.	Пусть на отрезке [0; I] задана такая функция /(х), что
f'(x) >0 при хе[0; 1], причем /(0) =0, /(1) = 1. Доказать,
что при бросании точки в квадрат, стороны которого — промежу¬
ток [0; 1] оси Ох и промежуток [0; 1] оси Оу, наибольшая ве¬
роятность попасть в область, ограниченную кривыми у = /(х),
у =/(а), у = 0, у = \, будет достигаться при а = 1/2.
5.11*. Область ограничена линиями х = 0, х=л/2, ^=slnx,
у = sin а. Точка бросается в прямоугольник, сторонами кото¬
рого являются промежуток [0j[ л/2] оси Ох н промежуток [0; 1]

4S8 ГЛ. IS комбинаторика, элементы теории ВЕРОЯТНОСТЕН
оси Оу. Пры какой значении о вероятность оопадания точки в
вгу область ианменьшая?
Для решения ряда задач геометрическим методом удобно
предварительно ввести декартову систему координат.
Пример 5.3. Два товарища договорились о встрече в
определенном месте между 11 и 12 часами дня. Пришедший пер<
вым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти
вероятность того, что встреча состоится, если каждый придет о
произвольный момент между 11 и 12 часами,
Р е ш е;н и е. Поскольку момент прихода каждого из това¬
рищей случаен, то выбрав отрезок единичной длины, поставим в
соответствие моменту прихода первого товарища произвольную,
случайно выбранную точку этого отрезка, а моменту прихода
второго товарища — cflj’Hafoio выбранную точку второго отрезка
единичной длины. Отложим эти отрезки на осях координат, пер¬
вый — на оси Ох, второй — на оси Оу. Тогда пространство эле-
шеитарных событий будет представлять собой квадрат единичной
площади, вписанный в первый квадрант координатной плоскости,
каждая точка с координатами (*, у) которого представляет со¬
бой пару моментов времени прихода товарищей.
Элементарные события (х, у), благоприятные событию, со¬
стоящему в том, что товарищи встретятся, должны удовлетво¬
рять условию
и-у1<»/4.	(*)
Геометрическим образом, соответствующим искомому событшо,
будет пересечение полосы (*) и единичного квадрата, состоящего
из точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют неравен¬
ствам O^x^l и O^yi^l. Площадь фигуры, полученной в
результате пересечения множества (*) и квадрата, равна иско¬
мой вероятности, так как площадь единичного квадрата равна
едниице.
Ответ. 7/16.
5.12.	В течевне 20 минут ученик А в случайный момент эво-
вит по телефону ученику В и ждет 2 минуты, после чего кладет
трубку. В течение тех же 20 минут в случайный момент времени
ученик В приходит домой, где остается в течение 5 минут, после
чего уходит. Какова в^юятвость того, что разговор состоится?
5.13*. На единичный отрезок оси абсцисс наудачу бросают
две точка В и С. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС
будет меньше, чем расстояние от начала координат до ближай¬
шей точки.
5.14.	Некто живет в городе В, соединенном железной доро¬
гой с городамн Л я С, Между городами Л а С курсируют по-

$ в. ВЫЧИСЛЕНИЕ вероятностей СЛОЖНЫХ СОВЫ1ИЯ 45д
езда, которые все остававдвваются в городе В. Распнсавве со¬
ставлено так, что поезда каждого ваправленид проходят через
город В с интервалами в 1 час. Некто приходит на вокзал в
случайный момент времени и садится на первый подошедший
поезд. Как должно быть составлено расписапве. Чтобы вероят¬
ность уехать в город А была в 5 раз больше, чем вероятиость
уехать в город С?
&I5*. Плоскость разграфлена паралдельмымн прямыми, от¬
стоящими друг от друга на расстояние 2а. На плоскость наудачу
бросают иглу длиной 21 {I <. а). Нантв вероятность того, что
игла пересечет какую-нибудь прямую {задача Бюффона).
§ в. Вычисление вероятностей сложных событий
События подразделяются на достоверные, невозможные в
случайные: достоверные в результате опыта происходят всегда;
невозможные не происходят никогла; случайные могут либо про¬
изойти, либо нет. Достоверным будет, напрн.чер, событие, состоя¬
ние в том, что из урны, содержащей только белые шары, выни¬
мают белый шар, а невозможным будет событие, состоящее в
том, что белый шар вынимают из урны, содержащей только чер¬
ные шары. Если в урне есть и белые н черные шары, то из¬
влечение шара какого-либо определенного цвета является случай¬
ным событием.
Достоверное событие совпадает со всем пространством эле¬
ментарных событий £2, а случайное событие А является некото¬
рым подмножеством в этом пространстве. Невозможное событие
0 не содержит ни одного элементарного события.
Суммой двух событий А н В назовем событие С, состоящее
в том, что произошло или событие А, или событие В. Сумма
двух событий обозначается
С^А + В.	'• (I)
Поясним понятие суммы двух событий на следующем при¬
мере. Пусть мальчик купил билеты двух лотерей: «Спринт» и
«Старт». Рассмотрим случайное событие С, состоящее в том, что
мальчик выигрывает хотя бы в одной лотерее. Наступление этого
события связано с наступлением хотя бы одного из следующих
событий: событие А — среди билетов, купленных мальчиком, есть
выигрышные билеты лотереи «Спринт»; В — есть выигрышные
билеты лотереи «Старт».
Произведением двух событий А « В назовем событие С, со¬
стоящее в том, что произошли оба эти события. Произведение
двух событий обозначается
С =-А‘В.	{*)

460 ГЛ. IS. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ БЕРОЯТНОСТБП
События А н В называются несовместными, если их проиэвс»
Денис оредставляет собой невозможное событие:
А-В=>0.
Поясним понятие произведения двух событий на следующем
примере.
Среди машин, потерпевших аварию, есть сЖигулн» и «Вол¬
ги», Часть машин при аварии перевернулась. Событие А, состоя¬
щее в том, что наудачу выбранная неперевернувшаяся автома¬
шина «Волга», будет произведением двух событий: В — маши¬
на не перёвернулась и С — машина является «Волгой», т. е. Л
« В С.
Определение вероятности сложного события А, являющегося
комбинацией более простых событий At, ..., Л», вероятности ко¬
торых известны, основаны на формулах сложения и умножения
вероятностей. Поясним смысл этих формул примерами.
Проведем эксперимент, связанный с бросанием двух костей,
в вычислим вероятность события С, состоящего в том, что сумма
очков на выпавших гранях не превосходит числа 3. Простран¬
ство элементарных событий, возникающих в результате этого экс¬
перимента, можно представить упорядоченными парами целых
чисел, изменяющихся от 1 до 6. Таких пар будет 36. Среди этих
событий благоприятными событию С будут следующие: (1, I),
р, 2), (2, I). Таким образом, согласно определению, введенному
в § 4, заключаем, что вероятность события О есть
Р (С)—3/36=1/12.
, Рассмотрим теперь событие С как комбинацию более про¬
стых событий. Для этого заметим, что событие С происходит,
если происходит событие А — сумма очков на выпавших гранях
равна 2, или событие В — сумма очков на выпавших гранях рав¬
на 3. Таким образом, событие С есть сумма событий Л и В|
С = А + В. Из исходного пространства элементарных событий
событию Л благоприятна только пара (1, I), а событию В —па¬
ры (1, 2) и (2, 1). Следовательно, вероятности событий Л и В
равны соответственно	*
Р (Л) = 1/36, Р (В) = 1/18.
Таким образом, в данном случае справедливо равенство
Р(С)=-Р(А) + Р{В).
Заметим, что события Л я В в этом примере являются и^
совместными (сумма очков на выпавших гранях не может одно¬
временно быть равной 2 и 3).

« в. ВЫЧИСЛЕНИЕ вероятностей сложных событии 4б1’
Вычислим вероятность события С, состоящего в том, что из
колоды карт в 62 листа наудачу взятая карта нли является ту»
зом, или имеет червонную часть. Пространство элементарных со¬
бытий в этом примере состоит из 52 элементов. Элементарные
события, благоприятные событию С, заключаются в том, что взя¬
тая карта имеет червонную масть (в колоде 13 карт одной
масти) или является тузом (в колоде 4 туза), С учетом того,
что один из тузов червонный и, следовательно, благоприятным
оказываются 16 элементарных событий, получаем
,	Я (С) =.16/52 = 4/13,
Представим теперь С в виде комбинация более простых со¬
бытий; события А — взятая наудачу карта оказалась червонной,
и события В — взятая наудачу карта оказалась тузом. Тогда по
определению суммы двух событий С = А + В, Вероятности со¬
бытий Л и В соответственно равны
Р(Л)—1/4, Я (В) =1/13.
Нам понадобится также вероятность произведения событий А
и В, т.е. события D = А-В, которое заключается в том, что на¬
удачу взятой картой оказывается червонный туз. Очевидно, что
вероятность события D равна
Я (D) = 1/52.
Нетрудно убедиться, что в данном случае справедливо равенство
Я (Л -Ь В) = Я (Л) + Я (В) - Я (О).
Рассмотренные примеры обобщает следующая формула}
P(AJrB)~P(A)->rP(B)-Pi.AB).	(3)
т. е. вероятность суммы двух событий Л и В равна сумме веро¬
ятностей этих событий минус вероятность их произведения.
В том случае, если события Л н В несовместны, формула (3)
принимает вид
Я (Л + В) = Я (Л) -Ь Я (В).	(4)
Рассмотрим эксперимент, связанный с бросанием двух ко¬
стей, и вычислим вероятность события С, состоящего в том, что
число очков, выпавших на первой кости, больше 3, а на вто¬
рой — больше 4. Элементарные события, благоприятные событию
С, — упорядоченные пары чисел: (4,5), (4,6), (5,5), (5,6),
Кб, 5), (6, 6). Таким образом,
Я (С) = 6/36 = 1/6.
'' Представим теперь событие С в виде комбинации более
простых событий: события Л, состоящего в том, что на первой

4в2 ГЛ. II. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕП
КОСТИ выпало больше трех очков, и события В — на второй ко¬
сти выпало больше четырех очков. Тогда по определению произ¬
ведения событий событие С представляется ороиэведевнем собы¬
тий А я В: С = А-В.
Вычислим вероятности событий А и В. Прежде всего заме¬
тим, что пространства элементарных событий, воэннкающис при
бросании каждой кости отдельно, состоят из шести равновоз¬
можных исходов. Элементарные события, благоприятные собы¬
тию А, состоят в выпадении на первой кости 4, 5 или 6 очков,-
Следовательно, Р(В) = 1/2.
Элементарные события, благоприятные событию В, состоят в
выпадении на второй кости 5 или 6 очков. Следовательно,
Р(В) = 1/3. Нетрудно проверить, что п данном случае выпо.т-
иястся соотношение
Р(С) = Р(А)-Р(В).
(5)
События А II В, для которых выполняется (5), будем назы¬
вать независимыми. Таким образом, вероятность произведения
двух событий в том случае, если они независимы, можно вычис¬
лить по формуле (5). Если для событий А и В условие (5) не
выполняется, то такие события называются зависимыми. В этом
случае можно говорить о так иазызаемой условной вероятности
наступления события А при условии, что событие В произошло.
Допустим, требуется вычислить вероятность события А, со¬
стоящего в том, что сумма очков при бросании двух костей не
превысит четырех, если известно, что на одной кости выпала
сдиннка (событие В). Так как событие В произошло, то, считая
его достоверным, можно р;асснотреть новое пространство элемен¬
тарных событий, состоящее из 11 событий, благоприятных собы¬
тию В;
(1, 1), (I, 2), (1, 3), (1, 4), (I, 5), (1, 6).
(2, I), (3, 1), (4,1). (5, 1). (6, 1).
В этом новом пространстве влементарных событий событию А
благоприятны 5 элементарных событий: (1, 1), (1, 2), (1, 3),
(2, 1), (3, 1). Таким образом, вероятность события А в этом
пространстве элементарных событий равна 5/11. Полученную ве¬
личину будем называть условной вероятностью события А при
условии, что произошло событие В, и обозначать Р{А1В).
Рассмотрим теперь исходное пространство элементарных со¬
бытий, возникающее при бросании двух костей, и вычислим ве¬
роятность события С = А-В, состоящего в том, что сумма очков,
выпавших на костях, не превосходит четырех н что на одной из
костей выпала единица. Элементарные события, благоприятные

$ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕП СЛОЖНЫХ СОБЫТИП 463
событню с, представляются следуютямя парами чисел: (1, I),
(I, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1). Таким образом, Р(С) = 5/36. Одия-
надцать элеменараых событий, благоприятных событню В, были
рассмотрены выше. Следовательно, Р(В) => 11/36. Нетрудно убе¬
диться в справедливости соотношения
Р(С)-~Р{А/В)^Р(В).
Рассмотренные примеры обобщает следующая формула умно¬
жения вероятностей:
Р (АВ) = Р (А) Р {В/А) = Р(В)Р (А/В).	(6)
т. е. вероятность произведения двух событий А в В равна произ¬
ведению вероятности одного из этих событий на условную ве¬
роятность другого, вьр|исленную в предположении, что первое
событие произошло.
Для случая трех событий формула, обобщающая формулу
(6), имеет вид
Р (АВС) = Р {А/ВС) Р (ВС) => Р (А/ВС) Р (В/С) Р (С).	(7)
Пример 6.1. Из урны, содержащей п белых и т черных
шаров, вынимаются два шара. Какова вероятность того, что они
разных цветов?
Решение. Представим событие С, состоящее в том, что
вынутые шары разных цветов, в виде С = А + В, где собы¬
тие А состоит в том, что первый шар белый, а второй черный;
событие В — в том, что первый шаг черный, а второй белый. Так
как события А и В несовместны, то, согласно (4),
Р (С) = Р (А) -1- Р (В).	(.-»)
Вероятности событий А и В вычислим, используя формулу
(6). Представим событие А в виде А = Б, Ч, где буквы Б и Ч,
записанные в данной последовательности, означают, что первым
был вынут белый шар, а вторым — черный. Тогда
Р (А) = Р (Б) Р (Ч/Б).
Вероятность события Б представляет собой отношение числа бе¬
лых шаров к числу всех шаров, находящихся в урне. Условная
вероятность того, что вторым вынут черный шар при условии,
что первым был вынут белый, представляет собой отношение
первоначального числа черных шаров к уменьшившемуся на еди¬
ницу числу всех шаров, оставшихся в урне. Таким образом.
Аналогично
Р(А).
Р(В)>
п + т* п + т—I *
т
л + т’ п -Ь от— 1

464 ГЛ. 15. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Подставляя полученные выражения в формулу (*), полу>
чаем
Р(С) =
2пт
(п + т) (ft + от — 1)
Ответ.
2пт
(ft + от) (ft + от — 1) ■
Используя формулы умножения в сложения вероятностей,
решить следующие задачи.
в.1. В урне находятся п белых н от черных шаров. Выни¬
маются два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые;
оба шара черные?
6.2*. Решить задачу 6.1 при условии, что вынутые шары воз¬
вращаются обратно, а их цвет записывается.
6.3.	Из колоды карт в 52 листа вынимают 4 карты. Какова
вероятность того, что все они разных мастей (имеются 4 масти
по 13 карт в каждой)?
6.4.	Несколько раз бросают игральную кость. Какова веро¬
ятность того, что одно очко появится впервые при третьем бро¬
сании?
6.5.	20 машин были доставлены на станцию технического об-
служнванця. При этом 5 из них имели неисправности в ходовой
части. 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью
исправны. Какова вероятность, что машина с неисправной ходо¬
вой частью’имеет также неисправный мотор?
6.6.	Готовясь к вступительному экзамену по математике,
абитуриент должен подготовить 20 вопросов по элементам мате«
магического анализа и 25 по геометрии. Однако он успел подго¬
товить только 16 вопросов по элементам математического ана¬
лиза и 20 по геометрии. Билет содержит 3 вопроса, 2 из которых
по элементам .математического анализа н 1 по геометрии. Какова
вероятность, что:
а) студент сдаст экзамен на «отлично» (отвечает на все три
вопроса); б) на «хорошо» (отвечает на любые два вопроса)?
Дополнением случайного события А (или противоположным
событием) ■ назовем событие С, состоящее в том, что в резуль¬
тате эксперимента событие А не произошло. Дополнение к собы¬
тию А обозначается Д, Вероятности событий А п Л связаны фор¬
мулой
Р(А) + Р{А)~>1.	(8)
Если сложное событие А представляется в виде
И — i4i . -J- i4*.
(9).

$ в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕП СЛОЖНЫХ СОВЫТИИ 468
где <4( — события, вероятности-которых известны, то вычисление
вероятности Я(Д) иногда удобно производить, используя фор¬
мулу
А’^А\’Аз‘ ... ♦i4*.	(10)
связывающую дополнения рассматриваемых событий. Так, в слу¬
чае, если At независимы, получаем
Р(Л)-1-Р(1)-1-Р(Я,)...Р(Л*)“
= 1_(1_Р(Л,)1...[1-Р(Лд)]. (11)
Если все события At равновероятны, то формула (11) приобре¬
тает более простой вид:	'•>
Р(Л)-1-(1-р)‘	(12)
где р — вероятность события At-
Пример 6.2. Для разрушения моста достаточно попада¬
ния одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения,
если на мост сбрасывают три бомбы с вероятностями попада¬
ния 0.3; 0,4; 0,7 соответственно.
Решение. Вычислим вероятность события Я, состоящего
В том, что мост не будет разрушен. Обозначим At, At, At
события, состоящие в том, что в мост не попала соответственно
первая, вторая и третья бомбы. Тогда A-m'^tAtAt. Так как
из независнмостн At следует независимость Ли то
Р (Л) = Р (Л,) Р (Л*) Р (At) — 0,3 -0,4 • 0.7 = 0,084.
Следовательно, вероятность разрушения моста
р (/I) = 1 _ р (J) = 0,916.
Ответ. 0,916.
0.7. В урне находятся п белых, т черных и к красных
шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что
котя бы два шара будут одного цвета?
6.8.	На стеллаже 15 учебников, 5 из них в переплете. На-
{дачу выбираются 3 учебника. Какова вероятность, что хотя
ы один из них будет в переплете?
6.0. В лотерее разыгрывается л билетов, из которых I вы-
|1грышных. Некто покупает к билетов. Какова вероятность того^
Йто хотя бы один из купленных билетов выигрывает?
6.10.	При одном обзоре радиолокационной станцией объект
обнаруживается с вероятностью р. Обнаружение объекта в
|шждом цикле происходит независимо от других циклов. Какова
рероятиость того, что при п циклах объект будет обнаружен?.

4«в гл. IS. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
$.11*. По некоторой целя производятся я выстрелов. Каж>
дый выстрел поражает цель с вероятиостью р. Сколько вы¬
стрелов надо произвести, чтобы вероятность поражения цели
была нс меньше Р?
Вероятность события А, которое может наступить лишь
при появлении одного нэ нескольких несовместных событий
Bi, Вг, 1... Вя, равна сумме произведений вероятностей каж¬
дого из этих событий на условную вероятность события А
при условии, что данное событие наступило:
Р (Л) =.Р(В,)Р (Л/В,) + Р (В,) Р (Л/В,) + ...
...+Р{В„)Р{А/Вп}. (13)
Равенство (13) называется формулой полной вероятности.
Пример 6.3. В первой команде 6 мастеров спорта и
‘4 перворазрядника, а во второй — 6 перворазрядников и 4 ма¬
стера спорта. Сборная, составленная из игроков первой и вто¬
рой команд, содержит 10 человек: 6 человек из первой коман¬
ды и 4 — из второй. Из сборной команды наудачу выби¬
рается один спортсмен. Какова вероятность того, что ои ма¬
стер спорта?
Решение. Пусть событие Bt (t = 1, 2) состоит в том,
что наудачу выбранный спортсмен — член (-й команды. Тогда
вероятности событий Bi равны соответственно P(fli)=3/5,
Р {82) = 215. Пусть событие А состоит в том, что наудачу
выбранный спортсмен — мастер спортя Тогда условные вероят¬
ности события А при условии, что выполнено событие Bt
(т. е. известно, из какой команды спортсмен), равны соответ¬
ственно Р(А!В\) = 3/5, Р{А1Вг) = 2/5. Используя формулу пол¬
ной вероятности, получаем
D,л^ 3	3,2 2	13
Р<'^)=Т"5+Т"5=“ 25-
Ответ. 13/25.
6.12.	Экзамен происходит по следующей схеме! если не¬
который билет уже был вытянут, то экзамепатор’откладывает
его, т. е. последующие экзаменугошиеся не могут вытянуть этот
билет. Ученик выучил h билетов {к < п). В каком случае ве¬
роятность того, что ученик вытянет выученный билет, больше—»
когда он идет отвечать первым иля последним?
$.13*. В урне лежат два шара, цвета которых неизвестны
(каждый шар может быть или белым, иля черным). Положим
в урну белый шар. Какова вероятность теперь вынуть из урны
белый шар?.

§ в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОВЫТИИ 467
6.14.	Из пяти винтовок, нз которых 3 снайперские и
2 обычные, наудачу выбирается одна, и из нее производится
выстрел. Найти вероятность попадания, если вероятность по¬
падания из снайперской винтовки — 0,95, а нз обычной — 0,7,
6.15.	Имеются две урны. В первой лежат т белых и п чер¬
ных шаров, а во второй — k белых и / черных шаров соот¬
ветственно. Из первой урны во вторую перекладывают один
шар. Какова вероятность после этого вынуть:
а)	белый шар из первой урны;
б)	белый шар из второй урны?
6.16*. Имеются две партии однородных изделий с разным
составом стандартных и дефектных: в лервой партии всего
N изделий, из них л дефектных, во второй партии М изделий,
из них т дефектных. Из первой партии берется К изделий,
из второй L, и образуется новая партия. Какова вероятность
того, что изделие, выбранное наудачу из повой партии, ока¬
жется дефектным?
6.17*. В условиях предыдущей задачи найти вероятность
того, что хотя бы одно изделие из трех выбранных наудачу
нз вновь образоваинон партии окажется дефектным?

г л А в А 16
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Высказывания
Под высказыванием понимают утверждение, про которое
имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Из заданных высказываний при помощи так называемых
логических связок, которым в обычной речи соответствуют ча¬
стица «не», союзы «и», «или», сложноподчиненный оборот
«если..., то...», выражение «в том и только в том случае», об¬
разуются новые составные высказывания. Если истинному вы¬
сказыванию поставить в соответствие 1, а ложному О, то ло¬
гические связки можно формально определить с помощью так
называемых таблиц истинности.
1.	Отрицание (читают «не р»_и пишут р). Когда р истинно,
тогда р ложно, и наоборот.
2.	Конъюнкция или логическое умноокение двух высказы¬
ваний (читают «р и р» я пишут р Л ?)• Конъюнкция истинна
только в случае, когда оба оысказываиня истинны.
3.	Дизъюнкция или логическое сложение двух высказыва¬
ний (читают «р или р» и пишут р\/q). Дизъюнкция истинна
в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух выска¬
зываний.	,
4.	Импликация (читают «если р, то q* я пишут p-*-q).
Здесь два высказывания в отличие от случаев 2 н 3 не пере¬
становочны; высказывание р называют условием, а высказыва¬
ние q — следствием. Импликация ложна только в том случае,
когда условие истинно, а следствие ложно.
5.	Эквиваленция или двойная импликация (читают «р экви¬
валентно 9» н пишут р q). Эквиваленция истинна в том
случае, когда или оба высказывания истинны, или оба выска¬
зывания ложны.

i I. ВЫСКАЗЫВАНИЯ	469
Таблица истинности элементарных высказываний имеет вид
р
9
1 Р V 9
Р л 9
Р* 9
0
0
0
1 0
0
1
1
0
I
1 1
0
1
1
1
0
У ‘
0
0
0
1
J
1 ‘
1
1
0
Новые высказывания образовываются с помощью логиче¬
ских операций. Операции могут быть использованы многократ¬
но. Порядок, в котором проводятся операции, указывают с по¬
мощью скобок. '	■	,	.
Если из р следует q я яз q следует р,; то высказывания
р я q называют равносильными. Равносильные высказывания
соединяют знаком ■<=*■ либо знаком равенства.
Таблицы истинности для равносильных высказываний сов¬
падают.
Пример 1.1. Доказать равносильность высказываний
р -> 9 н (р Л 9) V р.
Решение. Таблица ястинности для p-*-q представлена
выше. Составим таблицу истинности для высказывания
iP/S4)Vpi
р
9
РЛ 9
р
РЛ 9VP
0
0
0
1
I
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
п
ш
В последней строке таблицы римскими цифрами обозначены
номера шагов, которыми составляется таблица истинности. На
I шаге заполняются столбцы истинности для высказываний р
и 9. На II шаге — для высказываний р Л 4 н р. При этом
используется таблица истинности элементарных высказываний,
приведенная выше. На III шаге, рассматривая р/\q я р как
Ьростейшие высказывания, заполним столбец дизъюнкции этих
высказываний {p/\Q)VP- Полученный столбец истинности соо-
бадает со столбцом истинности высказывания р—9.
> Таким образом, равносильность высказываний p-*q в
/\Я)УР установлена.

470 ГЛ. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Сравянв таблицы истипности, доказать)
1.1. р V д=^р А Q-
■ 1.2. р Aq •^pV q.
U. p q = (p A q) V {p A q).
1.4.	(p V ?) Л =
1.6.	p V (p Л 4)« p.
1.6.	Высказывание p означает, что у вас есть собака, а
высказывание q означает, что у вас есть кошка. Сформуля*
руйте, что означают следующие составные высказывания)
1)	Р V р;
2)	Р Л
3)	(Р л Р) V (р л р)1
4)	р ^ р.
1.7.	Пусть высказывание р|р означает, что р и р не могут
быть оба ксппшыин. Натшнгга таблнцу истинности для р|р.
1.8.	Напишите высказывание р|р (см. задачу 1.7), нсполь*
ауя логические связки конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
1.6. Докажите равносильность высказываний (р|р) | (р|р)
и рЛ Р-
1.10.	Пусть р означает «идет дождь», а р означает «дует
ветер». Зааншнте в символической форме высказывания)
1)	если идет дождь, то дует ветер;
2)	если дует ветер, то идет дождь;
3)	ветер дует в том я только в том случае, когда идет
дождь;
4)	если дует ветер, то нет дождя;
5)	неверно, что ветер дует тогда и только тогда, когда
нет дождя.
1.11.	Запишите в символической форме сложное высказы¬
вание, состоящее из простых высказываний р, р, г, истинное
тогда и только тогда, когда истинна только одна (безразлично
какая!) из компонеит.
1.12.	По мишени произведено три выстрела. Что означает
следующее высказывание, записаниое в символической форме:
1)	Pi V Р2 V Рз1
2)	Pi Apt А Рз;
3)	(pi V pt) А Рз.
где Pi означает вьюказывание: «мишень поражена при 1-и вы-;
стреле?

s t. ВЫСКАЗЫВАНИЯ
47t
0)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
можно решать довольно
Легко проверить равносильность следующих высказываний
(здесь I — истина, L — ложь):
рУ q = qV р.
Р f\q=^q Ар,
рУ (q У г) >=(р\/ q)\/ г.
р Л (р Л г) == (р л р) Л г,
Р Л (р V г)==(р Л Р) V (р Л г),
р А р=*р,
рУ р = р,
р Vp = /,
р А P — L,
Р Л / = р,
Р V / = /.
р А L = L,
р V L = р.
Используя формулы (1)—(13),
сложные логические задачи.
Пример 1.2. Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли па
математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спро¬
сили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1)	Сергей — первый, Роман—второй;
2)	Сергей — второй, Виктор — третий;
3)	Юрий — второй, Виктор — четвертый.
Как распределились места, если в каждом ответе только одно
(утверждение истинно?
Решение. Если в каждом ответе одно из утверждений
истинно, то и дизъюнкция этих утверждений тоже истинна.
Так, скажем, истинно высказывание: «или Сергей первый, пли
Роман — второй». Запишем это высказывание в следующем
символическом виде: Ci V Pii- Аналогично, высказывания осталь¬
ных ответов имеют вид Сц V Вщ и Юн V Biv соответствейно.
Конъюнкция истинных высказываний — истинна. Следовательно,
истинным будет составное высказывание
(С) V Р|) Л (С|1 V Вщ) Л (Юц V B|v).	(*)
Используя свойства (1)—(13), произведем упрощение вы¬
сказывания («). Для этого предетавнм в виде дизъюпкции
простейших конъюнкций первую конъюнкцию;
(С| V Рп) Л (Сц V Biii) = [(Ci V P|i) Л Сц1 V
V ((Cj V Pii) Л Вщ] = ((Ci Л Сц) V (Рц Л Сц)) V
V l(Ci Л Bjii) V (Рц Л Вц|)].
Высказывание, стоящее в первых квадратных скобках, ложно,
так как является дизъюнкцией двух ложных высказываний

47i
ГЛ. 16. ЭЛЕМЕНТЫ логики. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
С| Л Си и Рц л Си — первое состоит в том, что Сергей занял
одновременно I и II места, а второе — в том, что второе место
Одновременно заняли Роман и Сергей. Таким образом, первая
конъюнкция приобретает вид
(Cl V Рц) Л (Сц V Biii) = (Ci Л В|ц) V (Рц Л Вщ).
Рассмотрим теперь оставшуюся конъюнкцию
, . , I(Ci Л Вщ) V (Рц Л Вщ)! л (Юц V Biv).
Испольвуя, по-прежнему, правила (I)—(13), имеем
{[(Ci Л Вщ) V(Pii Л В|1|)1 Л Юц) V
V {((Ci Л В|||) V (Рц Л Вц|)1 Л Biv) =*
= (Ci Л Вц| л Юц) V (Рц Л В|ц л Юц) V (Cl Л Вщ Л B|v)V
V (Рц Л Вщ л Biv) = (C| л Вщ л Юц).
Второе, третье и четвертое высказывания, участвующие в этой
дизъюнкция, ложны, так как являются конъюнкциями или оди>
маковых букв с разными номерами, или разных букв с одн<
маковыми номерами, чего быть не может. Следовательно, истиН"
ной является конъюнкция
Ci л Вщ л Юц.
Ответ. Первое место занял Сергей, второе — Юрий,
третье — Виктор и четвертое — Роман.
1.13.	По обвинению в ограблении перед судом предстали
А, В п С. Установлено следующее:
1) если А не виновен или В виновен, то С виновен)
2)	если А не buhobcIi; то С не виновен.
Виновен ли .,4?
1.14.	Определить, кто из четырех подозреваемых участво<
вал в ограблении, если известно:
1)	если А участвовал, то и В участвовал;
2) если В участвовал, то или С участвовал, или А на
участвовал;
-	3) если D не участвовал, то А участвовал, а С не уча*
ствовал;
4)	если D участвовал, то А участвовал.
1.15.	Экзамен сдавали три студента Д, В и С, Известно,
что:
1)	если А не сдал или В сдал, то С сдал;
2)	если А не сдал, то С не сдал.
Можно ля на основании этих данных установить, кто сдал
экзамен?

« I. ВЫСКАЗЫВАНИЯ
478
в начале параграфа было показано, как строить таблицу
истинности любого составного высказывания. Интерес пред¬
ставляет и обратная задача: по заданной таблице истинности
найти одно или несколько высказываний, которым оно соот¬
ветствует. Оказывается, обратная задача не только имеет ре¬
шение, но его можно получить, используя лишь связки Д,
V. -
Пример 1.3. Найти высказывание, состоящее из двух
простейших р и q, имеющее следующую таблицу истинностш
р
" 1
V
р
9
РЛ9
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
6
0 ;
0
1
0
I
0
0
0
0
1
1
1
'
Решение. Единица в последнем столбце таблицы при¬
сутствует только в последней строке. Следовательно, истинным
будет высказывание р Ая- Проверим это утверждение. Для это¬
го составим таблицу истинности р Л я. Действительно, получен¬
ная таблица совпадает с исходной. Следовательно, найденное
высказывание искомое.
1.16.	Постройте три составных высказывания а, Ь, с, имею¬
щих следующие таблицы истинности:
р
ч
г
а
ь
О
1
1
1
1
0
1
1
I
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
I
0\
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
. • 1
0
0
0
0
0
0
0
0
I
1.17.	Какие высказывания а, Ь, с, d имеют следующие таб¬
лицы ИСТНННОС1И:
р
9
а
ь
с
d
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
I
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0

474
ГЛ. le. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Как это следует из примера 3, а также из решения за*
дач 1.16 я 1.17, алгоритм построения составаого высказывания
заключается в двзъюнкция тех конъюнкций простых высказы¬
ваний, которым соответствует единица в последнем столбце
таблицы пстиниости. Причем в отдельную конъюнкцию входит
либо высказывание, либо его отрицание в зависимости от того,
соответствуют ли ему в таблице единица или нуль.
Попробуем яспользовать этот метод в следующей «жиз¬
ненной» свтуаонв.	•'
Пример 1.4. Имеются два города Л я В. В городе А
живут люди, всегда говорящие правду, а в городе В живут
лжецы, всегда говорящие неправду. Жители обоих городов
свободно ходят в гости друг к другу, поэтому в каждом го¬
роде можно встретить жителей любого из этих городов. Какой
вопрос следует задать путешественнику первому встречному,
чтобы по единственному ответу («да» или «нет») выяснить, в
каком городе он находится?
Решение. Пусть р означает высказываине «вы говорите
нравду», а q — высказывание «это город <4». Мы хотим задать
единственный вопрос, на который ответ «да* означал бы, что q
нстниио, а ответ «нет» — что q ложно, независимо от правлн*
вости первого встречного.
Если человек говорит правду, то он скажет «да», если
наше высказывание истинно, и «нет» — если оно ложно; лжец
поступит наоборот. Таблица истинности вьюказывання (ожи*
даемого ответа) имеет следующий вид:
f
Ожидаемый ответ
1
1
да
1
1
0
нет
0
0
1
да
0
и
0
нет
I
Эта таблица истинности соответствует эквивалентности [т. е.
{р *-»■ q) иля высказыванию
(р Л I?) V (р Л р).
Таким образом, вопрос должен выяснять истинность экви*
валентностп прописки встречного и его правдивостн: «Верно ли,
что это город А и вы его житель, или это город В и вы его
житель?» Так как этот вопрос направлен на выяснение соот¬
ветствия прописки встречного человека и данного города, то

i I. ВЫСКАЗЫВАНИЯ
475
OK может быть сформулирован короче: «Вы житель этого го*
рода?»
1.18.	Один логик оолал к дикарям в был заключен в тем*
ннцу, имеющую два выхода. Вождь дикарей вредложил плен*
нику следующий шавс на соасеине; «Один выход ведет на
верную смерть, другой —на свободу. Ты можешь избрать лю*
бой. Сделать выбор тебе помогут два моих воина. Они оста¬
нутся здесь, чтобы ответить на одни твой вопрос — любой, ка¬
кой ты пожелаешь им задать. Но я предупреждаю тебя, что
один воин всегда говорит правду, а второй всегда лжет».
И вождь ушел. Через некоторое время логик, задав вопрос
одному из воинов, вышел на свободу. Какой вопрос он задал?
Пример 1.5. Староста, комсорг, профорг хотят использо¬
вать электрическую схему, регистрирующую результаты тайного
голосования большинством голосов. Как она должна выглядеть?
Решение. Пусть р — высказывание «староста голосует
за», q—высказывание «комсорг голосует за», г — высказывание
«профорг голосует за». Составим таблицу истншюсти интере¬
сующего нас высказывания:
р
4
г
Искомое высказывание
1
1
1
1
рАяАг
1
1
0
1
рЛ Я Лг
1
0
1
1 1
РЛ9Л''
1
0
0
0
0
1
1
1
йЛч Лг
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Единицы в последнем столбце поставлены в тех . строках,
где число единиц больше числа нулей.
Искомое высказываине имеет внд
(Р Л 9 Л /•) V (р Л </ Л #“) V (Р Л А Л г) V (р Л 9 Л г).
'Для его реализации а виде электрической цепи достаточно до«
говориться, что истинность высказывания соответствует тому,
что цель проводит ток (см. рис. 16.1). Лампочка загорится
в том и только В том случае, если большинство проголосова¬
ло «за».
1.1Й. В условиях примера 1.5 реализовать электрическую
схему, зажигающую лампочку, если хотя бы один участниц
проголосовал «за».
1.20.	Какое высказывание реализует схема иа рис, 16J22

476 ГЛ. W. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
HZHn
L^J
4 } I—ГГ~Ь
-[ГИГЬ
Рис. )в.г
Рнс. 1в.З
1.21.	ПрндумаПте схему более простую, чем в задаче 1.2(Х
ко реализующую то же самое высказывание.
1.22.	Какое высказывание реализует схема на рис. 16.3?
§ 2. Предложения, зависящие от переменной '	'
Пусть предложение зависит от переменноа, принадлежащей
Некоторому множеству. Это предложение, вообще говоря, на
Является высказыванием. Предполагается, однако, что для каЖ"
Дого значения переменной предложение есть высказывание и,
^довательно, оно может быть либо истинным, либо ложным,
/божество А, таким образом, разбивается на два подмноже<
ства. Одно содержит те и только те значения переменной, при
которых предложение истинно, а другое — при которых оно
дожно.
Например, для предложения х*—1<0 (х е R) множе<
ством истин;;ссти является промежуток (—1; I), а множеством,
где оно ложно, — дополнение этого промежутка до всего R,
1г. е. объединение промежутков (—со;—1][1;оо).
Два предложения р(х) и р(х), определенные на одном и
дом же множестве, называются {Швчосильными, если их мноп

$ 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПЕРЕМЕННОЙ 477
жества нстинноств совпадают. Например, два предложения
X*—1 <0 и (х—1)(х+1) <0 равносильны на множестве R.
Для предложений, вависящнх от переменных, так же, как
в для высказываний, можно ввеств логические операции.
Так, например, есля предложения р(х) в ^(х) определены
па одном множестве U, то предложение р(х) \/ q{x), являю*
шееся их дизъюнкцией, определено ва том же множестве н а
качестве множества истинности имеет объединение множеств
истинности р(х) и р(х).
Удобной иллюстрацией логических связок являются так ва*
зываеиые схемы Вэна (см. рис. 16.4). Область определения
всех предложений, участвующих в спязках, — единичный квад*
рат. Множества нстинноств предложений заштрихованы. На
p{x)\/4{s)
Ч.
p{x)hti(x)
д
Рис. 16.1
рис. 16.4,0 представлено множество ястннвостл дизъюнкция
p(x)V?(^); на рис. 16.4,б — множество истинности конъюнк*
ции p{x)/\q[x)i на рис. 16.4, о—множество нстинноств импли*
кацин р(х)-»9(х), ва рис, 16.4,г —множество истинности от*
рицания р(х).
Пример 2.1. Пусть
/|(х)-.{х + 3<0) в В(х)-{х-2>0)
W. два предложения, зависящие от переменной х (х г R),‘Най¬
ти множества нствпности для предложений!
а)	у4 (X) V В (-Г):
б)	/ (X) л В (X):
в)	Л (X) л В (X):
Г) Л(х)-ъВ(х);
д) А(х)-*-В (х).
Решение, а) Для предложения 4(x)VB(x) множеством
пстинноств является множество тех и только тех значений х,
для которых верно хотя бы одно из неравенств
X + 3 < О или X — 2 > О,
I, е, объединение промежутков (—ooj—3)и(2;оо^,

478
ГЯ. le. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
в)	Для предложения Д(л)Дв(ж) мвожествои ястиниоггя
являеп;я множество тех и только тех 1нменн8 к, дли хоторых
сореведаивы оба этих неравенства, Другияя сланааи, эго мно¬
жество является решением системы
X •+- 3 < 0.
х-2>0
X < — 3,
х>2
в)	Для предложения Д(х)Дб(х) множеством истинности
является множество тех и только тех значений х, для которых
справедливы два неравенства х + 3<0 и х—2<0, Т. е. это
Множество решений системы
х + 3<0, х< — 3,
X — 2 < о X < 2
-Ф=>. (— оо: — 3).
г)	Для	предложения	Д(х)-*-В(х)	(«если	х+3<0,	то
X — 2 ^ 0>) множество истинности ие содержит ни одвого эле¬
мента.
д)	Для	предложеиия	Д(х)-«-5<х)	(«если	х4-3<0,	то
X — 2 < о») множеством встииностя является вся числовая ось.
2.1.	Пусть Д(х) = {х — 2 > 0}, А(х) = {х-f 2 5* 0} — два
предложения, зависящие от переменной х (x^R). Указать
множества uctiihhocth предложений;
а) A(x)V В (х):	г) Д (х) Д (к){
А (ж) Л в (X); я) А <х) • &<х>;
в)	А(х)-*• В (хУ, е) В(х)->Л(х).
2.2.	Пусть Л(х)= {х* + х+1 > 0), В(х)= (x-f 2 >0)—
два предложения, зависящие от переменной х (xsR). Указать
Множества истинности предложений:
а)	А.(х) V В(х);
б)	Л(х) Л й(х);
в)	А (х) -> В (х):
г)	А(х)-
д)	^(х)
е)	В{х)
►_л (*):
BJx);
► А (X).
2.3,	Определить множество истинности предложения А =
I ^	^ Т }’	п S N.
2.4.	При каких значениях параметра а множество нстин-
Ьости предложеиия
п о ~ ^ ^ 2 г Ilk
х-2-з-<^(х + 1)
представляет собой яроааежуток: а)	б) {—оо,2р.

s 2. ПтеДЛОЖЕНИЛ 9АВИСЯ1ЦИВ от ПЕгеМЕНВОЯ
4Т§
9.5.	Нвйтиг миожество иепнтности нредложения
V2x + 1 + V2* — б ^ Vs —
2.в. Пусть Л(х,р)= {(ff-f 1)х + бр = 4а},	В(х,д)*»
сз (ах+(a-f 3)jr S За—I}—два предложения, опрсделеяныо
для всех пар действительных чисел {х,у). При каком значении
параметра а предложение А{х,д)^В(х,д) имеет множество
истшшости:
1). состояихее только из одвого элемента (х, уУ,
21	состоящее более чем из одного элемента (х,р);
31 не содержащее ни одного элемента?
2.7.	Пусть Л (х) = {вх — 1 ^0. В (х) = {х — 4* >	— Два
иреалепкения, определеяные ври всея деДстаительных значе«
икях ж. При каких значенвжс » мповкество вствиносхм предло¬
жения' Л(х)Д В{х) ве пусто?
С предложениями, зависящими от переменной, близко свя¬
заны два часто встречающихся утверждения.
t. Предложение Л(х) (х € М) нстшшо для всех элементов
множества М.
2.	Найдется хотя бы один элемент множества М, для ко¬
торого Л (х) (х е М> иепшио.
Эти утверждення вастодько часта встречаются в матема¬
тике, что получили специальную враткую символическую яааисы
знак обошости V н знак сушеетвоваиая Э. Знш V заменяет
слова; «для всех», «всякий», «любой», «каждый». Знак Э упо¬
требляется вместо СЛОИ! «хотя бы один», «иайдлтея», «суще¬
ствует». Утверждення I и 2 с вомошью этих знаков имеют вид
1.	(Vx е Л1) Л (х):
2.	(Э.т е Л1) А (х).
В первом случае утверждение заключается в том. чтб множе¬
ство ИСТИНИОСТ1Г Л(х) совпадает с М. Во втором случае ^вер-
хденяе ааключается в тем, что множество BCTHHiiacTn Л(х) но
пусто. Оба утверждешм орсдставляхл’ собой высказывания к
могут быть истянны или дожиы*).
Например, предложение с переменной
А(х>«={х —3>0}, xeR,
раесматряиаежве гад множеством действнтелыпга чисел, до¬
пускает два высказывания
(VxeR)A(x) Н (3xsR}A(x).
Первое из них ложно, второе истинно.
•) Знак V называют квантором общности, а знак 3 ■
тором существования.
■кван.

.4iS0 ГЛ. te. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Если в качестве М взять интервал (3; оо), то оба выска*
зывания (Vx Е Af) Л (х) и (Зх е М) Л (х) истинны.
Пример 2.1. Выяснить истинность следующих высказы¬
вании:
(Vx^R){3y^R) (х + р = 3).
(Зу S Л) (Vx е/?) (х-Ьу = 3).
Решение. Прочитаем первое высказывание: хдля любого
действительного числа х существует действительное число у
такое, что справедливо равенство х у = 3». Это высказыва¬
ние истинно, так как для каждого х в качестве у достаточно
взять значенна 3 — х.
Прочитаем второе высказывание: «существует такое дей¬
ствительное число у, что для всех действительных чисел х спра¬
ведливо равенство х + у = д». Очевидно, что нет ни одного та¬
кого числа у, которое сразу для всех х обеспечивало бы ра¬
венство X -f у = 3. Следовательно, второе высказывание ложно.
Сформулировать и выяснить истинность следующих выска-
■ываний.
2.8. (Эх е R). (Эу е R)	(х -Ь у = 3).
2.9. (Vx S R). (Vy е R)	(х -|- у = 3).
2.10.	(Vx г R), (VyeR), (х < у) => (Зг е R) (х < z < у)
(X» -f 1 > 0).
((X -Ь 1) (X - 1) > 0=»- (X* - 1) > 0).
(х* — 1 >0=»-х — 1 >0).
(х-1>0«>х* —1>0).
(V^ < х).
(VysR) (lg(JC-y) = lgx-f Igy).
R)
:R)
= R)
iR)
= R)
:R)
iR).
2.11.	(Vx.
2.12.	(Vx<
2.13.	(Vx <
2.14.	(Vx«
2.15.	(3x<
2.18. (3x(
2.17. (Vx«
Для того чтобы убедиться в ложности высказывания
(Vx е М) Л (х), достаточно найти хотя бы один элемент хеМ,
для которого высказывание Л(х) ложно. Таким образом,
(Vx S iW) Л (X) = (Зх е А1) Л (х),	(1)
в наоборот, для того чтобы убедиться в ложности высказывания
(Эх е /И) Л (х), необходимо проверить, что для всех х
справедливо Л(х), т. е.
М
(ЭхеМ) Л(x)=-(VxsЛf)Л(x).	(2)
Равенства (1) н (2) позволяют формально строить отрицания
для утверждений, снабженных кванторами общности н суще¬
ствования.

s 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПЕРЕМЕННОЙ
481
Пример 2.2. Сформулировать с помощью логических сим¬
волов два утверждения. Первое; число а является пределом
числовой последовательности Un. Второе: число а не является
пределом числовой последовательности u„.
Решение. Вспомним словесную формулировку утвержде-
яия
Пт Un’^a.
П-*оа
.Число а является пределом числовой последовательности, если
для любого 8 > О существует такое N, что для всех п> Ы
справедливо неравенство |u„ —а|<в (т. е. если n>N, то
Ци„ —а1<8). С помощью логической символики получаем
(Ve>0), (3WsN), (VneN) (л > V-> 1 u„ - а 1 < е).
Для построения утверждения
lim «п ^ в
П->00
С ПОМОЩЬЮ логической символики воспользуемся свойствами
операции отрицания:
(Ve>0), (3iVeN), (VneN) (л >	- о |< е) =
— (3е>0), (VATeN), (ЗяеМ)	(л > ЛГ-ь1 - а К е) =•
■=(Эе>0). (V/VeN), (3asN) {(л > Л() Л (I«» - а |>е)).
(•)
Замена квантора общности на квантор существования при
построении отрицания следует из правил (I), (2). Из этих же
правил следует знак отрниаиня над послсдпнм высказыванием,
означающим импликацию А-*- В, где высказывания А а В суть
А = [п> N). а В = {I «я — а 1 < 8}.
Но отрицание импликации А-*-В представляет собой конъюнк¬
цию А /\ В. Действительно,
A-*-B=^(AAB)yA=>(AhB)hA^AyB/\A = Af\B.
Словесная формулировка lim Un Ф а, таким образом, имеет
П-+»
зшд; «число а не является пределом последовательности и„,
.если существует 8>0 такое, что для любого WeN найдется
номер л г N такой, что истинны одновременно два высказыва¬
ния я > Л/ и lun —о| ^ 8».	t
' 2.18. Используя логическую символику, записать высказы¬
вания и их отрицания;
а)	«последовательность ограничена»;
б)	«пбсЛеДовательпость мбяотонно возрасттет»*' =	‘ * ’
16 А. г. Цыпкаа, А, И, Пввекий

482
ГЛ. I& ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
2.19.	Используя логическую символику, сформулировать вы»
сквзыяание Иш f {х) Ь.
х-*а
2.20.	Число М пазивается точной верхней гранью функция
f(x) на отрезке [а; 6], если выполняются два условия f(x)^M
для всех х S [о; Ь] и для любого е>0 найдется хг[а;Ь] та*
кой, что f(x) > М — е. Если М — точная верхняя грань /(х) на
отрезке [а, д], то пишут Af = sup / (х).
xeta; 6|
а)	Используя логическую символику, сформулировать вы*
скаэываиие Af» sup /(х).
хе(в; ы
б)	ИсполЁзуя логическую символику, сформулировать об»
ратное утверждение Af sup / (х).
X г |а; 6|
Дать словесную формулировку.
§ 3. Метод математической индукции
В различных разделах математики часто приходится до¬
казывать истинность некоторого предложения а(п), зависящего
от натурального п сразу для всех значений переменной л е N.
Метод основан на следующем принципе. Если а — некоторое
утверждение, имеющее смысл для всех п s N, то для того,
чтобы установить его истинность для всех п е N, поступают
следующим образом} проверяют истинность а(1) и истинность
импликации а(^)->-а(й-f 1), где А; — произвольное натураль¬
ное число.
Покажем, что если выполнены о(1) н a(fe)-»-a(A-f-1), то
«(3) истинно.
Действительно, так как а(1) истинно, то в силу истинно¬
сти импликации а(А)-»-а(й-f 1) для любого fceN, положив
й = 1, получим истинность а(2), а положив в высказывания
(a(ft)1)) ft = 2, получим истинность а(3).
На языке логической символики принцип математической
индукции может быть записан следующим образом:
или
(а (1) Л (а (ft) -♦ а (ft + 1))) -> (Vn е N) (а (я))
(а (1) Л ((Vft е N) (а (ft) а (ft + 1))) -> (Vn е N) (а (п)).
Пример 3.1. Доказать, что при любом п выражение
п (2п> - Зл -f 1)
делится на в.

i 3. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
483
Решение. Высказывание а(п), сформулированное в за¬
даче, определено для любого п е N. Согласно принципу мате¬
матической индукции, проверим а(1). При п <= 1 получаем
1(2-3+1) = 0,
О делится на 6, следовательно, а(1) нстшшо.
Предположим, что истинно высказывание a(ft), т. е..
ft(2ft* — 3ft-|-1) делится на 6. Заметим, что истинность a(ft-}-l)
будет следовать из истинности а (ft) и равенства
(ft Ч- I) (2 (ft -М)=' - 3 (ft + 1) + 1) - ft (2ft* - 3fe -1- 1) = 6/, (*)
где / — некоторое натуральное число.
Раскрывая скобки в (*) и группируя члены, имеем
2I(ft + I)* - ft>l - 3 l(ft + D* _ ftsj + (ft + 1 _ ft)«
= 2[(ft+l)» + ft(ft-M) + ftM-3lft + H-ftl-bl =
= 6ft* + 6ft + 2-6fe-3-b l=6fe*.	(*•)
Таким образом, для любого натурального ft нмпликаиня
a(ft)-K a(ft + 1) истинна. Другими словами, доказана истин¬
ность составного высказывания
о(I) Л (Vft е N)(o(ft)-►о(А + I)),
которое является условием истинности импликации
а (1) Л (Vft S N) (а (ft) а (ft + 1)) -> (Vrt е N) (а (л)),	(-i^)
Так как условие истинно и истинно все составное высказыва|ше
(*♦*), то истинно и следствие. Утверждение доказано.
Доказать, что при любом п г N:	,
3.1.	3"+'-t-S"-' делится на II.
8.2.	11"+‘-Ь 12^"-' делится на 133.
8.3.	я* — я кратно 5.
3.4.	+	кратно 19.
8.6.	я* — я кратно 7.
З.в. 2*" + 1 оканчивается цифрой 7, при я > 1.
3J. Доказать, что если я четно, то 20"-+- 15" —3"— 1 де¬
лится ив 323.
3.8.	Доказать, что число
(Ю" + 10"*‘ -Ь ... -f 1) (Ю"+‘ + 5) + 1
есть точный квадрат.
Пример 3.2. Доказать методом математической индукции
формулу
О
16*

484 ГЛ. le. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Решение. Высказывание а(п) о том, что формула (•])
имеет место, определено при любом натуральном а.
Высказывание а(1) истинно, так как
1.2-3
I»--
6	•
Предположим, что а (А) истинно, т. е, имеет место формула
1« + 2’+... + А* =
+ (А+ !)».
Выясним, будет ли при этом условии истинно а(А+1), т. е.
будет ли верна 'формула
13 + 2»+...+(А + 1)»== <"+»U^tl)il(fe + 0+l.).. (,,)
О
При условии истинности а (А) левую часть {••) можно
представить в виде
А (А + 1) (2А + 1)
6
Преобразуем (»**)>
(А + 1) (А (2А + I) + 6 (А + 1)1 (А + 1) (2А» + 7А + 6)
6	6
Заметим, что произведение (А + 2)(2(А + 1)+I), входящее в
правую часть (»•), равно 2А* + 7А + 6.
Таким образом, из истинности а(А) следует истинность
сс(А+1)| т. е. для любого натурального А доказана нмплвка.
ция a(k)-¥ а(А + 1).
Заключительная часть доказательства проводится так же,
как в примере 3.1.
Доказать, что для любого натурального л справедливы ра-
венства:
3.9.	1 + 3 + б + ... + (2л - 1) = л».
8.10.	1» + 3» + 5»+...+(2л-,
8.11.	1.2 + 2.3+... + (я-1).п-|^"""-*^З^Р+ *V.
ТТ ‘FI’(2л—1)(2л+1)	2л+1*
8.13.	1» + 2» + ... + л»,—
8.14.1»+2м....+л»с-	»). ..
С помощью метода математическое индукции удобно до-
называть спрацрдлнвость некоторыд нерцвевств, ' i ^

S 3. МЕТОД математической индукции
485
Пример 3.3. Доказать, что при а>—I справедливо не*
равенство
(1+а)">1+пдс.
Решение. Проверим, что а(1) истинно.
Действительно,
1 + а — 1 + а.
Предположим, что истинно а(А), т. е.
(1 + в)*>1 +Ах.
(*)
Докажем теперь, что истинность а(А+1) следует из истин¬
ности а(А). Умножив обе части (•) на !-)-«, имеем
(1-Ьа)*+‘>(Ц-Ао)(Ц-а)
ПЛИ
(1+а)‘+'> 1-ь (А-Ц) а-ь Ао».
Так как Аа^ ^ О, то справедливо неравенство
^l+a)^‘+^>l + ^k + ^)a.
Таким образом, доказана импликация а(А)-^а(А-f-I).
Заключительная часть доказательства проводится так же,
как в примере 3.1.
Доказать, что для любого п е N справедливы неравенства]
3.15.	Если X/ > О (1 ^ 1 ss; л), то
д:| 4- ... Н- ^	^
			*П‘
3.1в.	...
2	4 6
п
2п
2п
3-'7.Т<Н-4+.-+2*г^
< /
л/Зл + I
I
< п.
3.18.	Если > О (1 < / < я) и ж, -1- ^2 -f-... -f <1/2, то
(1-ж,)(1-Жг) ... (1-ж„)>1/2.
3.10.	Доказать, что если ж^>0(1^/^я)н Ж|Ж2
... -Ь ж„ = а, то	^
Ж|-Ж2 •••	•
3.20. —J=r
‘=г-Ь-4г-Ь...+
^/T ' V2 V3
П"1
п+»
U->V?r

485 гл. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
3J22. Пользуясь тем, что 1о(1+^)<ДС. доказать нераБеяо
ство
1	4”^ ■ ■ ■	^ In (л + !)■
§ 4. Системы счисления
Здесь будут рассматриваться только так называемые по-
виционные системы счисления. Нааоыинм, что целое число А
называется записанным в (позиционной) системе счисления с
основанием t (или, короче, в <-ичной системе счисления, где
( > 1, / £ N), «слн оно представлено а виде
Л = о„/" +	"Г" •••	+
где О ^ fli < /, f = О, 1, .,,, л.
Числа оо. аь .... а„ называют t-ичными цифрами числа Л,
а число t — основанием (-ичной системы счисления.
При f = 10 получаем десятичную систему счисления.
Ясно, что во = Л — (вя<" + . •. + Oif) является остатком от
деления Л на /. Неполное частное при делении Л на / имеет
вид вя<"~4- ... +в1. Если разделить его на /, то в остатке
получим в1. Поступая далее так же, получим последовательно
все цифры числа А в <-ичной системе. Если число Л =
= о„/-" +	+ ... +	то для получения цифр
числа Л требуется умножить его последовательно на t. При
первом умножении Л•/-= ал/~"+'+ вп-1<~“+* + ... + 0i—
уже целое число. Чтобы найти вг, следует умножить на t
число Л-/ — аг, число в] будет целой частью этого числа. По¬
ступая так далее, мы будем получать последовательно цифры
дробного числа Л в ^ичнoй записи.
Пример 4.1. Записать числа 606 и 0,506 в системе счис¬
ления с основанием 4.
Согласно изложенному выше алгоритму, имеем
506 1 4
2| 1261 4
2 ГзГ[ 4
•	”	3|7|j4
" ЗЦ
Записывая подчеркнутые остатки в обратном порядке, по¬
лучаем запись числа 506 в четверичной системе счисления
(506),о = (13322),,
'Для получения записи дробного числа 0,506 в четверичной си¬
стеме счисления, согласно изложенному выше алгоритму, про-

i 4. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ	487
делаем следующие вычисления:
0,506 * 4-° 2,024, 0,024-4 =>0,096, 0.096 - 4=1^384.
0,384.4=1.436, 0,436.4=2,744, 0,744.4 = 2,976
и т. д. Цифры получающегося числа — это последовательные
целые части результатов умножения, т. е,
(0,506)„« (0,200112
Пример 4.2, В классе 24 девочки и 32 мальчика, всего
100 человек. В какой системе счисления записаны числа?
Решение. Составим уравнение
2. р' + 4. р« + 3. р' + 2. р“ = р».
где р — неизвестное основание системы счисления. Приводя по¬
добные члены, получим уравнение
5р -f 6 = р*.
корни которого Pi = 6, Ра = — I.
Ответ. Числа записаны в шестеричной системе счисления.
Найти следующие числа в указанной системе счисления
: (числа, если это не указано, даны в десятичной системе счис¬
ления).
4.1.	Представить число 10000 в шестеричной системе.
4.2.	Найти, чему равно число (1 14 144), в десятичной си¬
стеме.
4.3.	Найти, чему равно (101)а в десятичной системе.
4.4.	Найти, чему равно (25); в десятичной системе.
4.5. В системе счисления с основанием 5 записано число
22001. Найти его десятичный эквивалент. Какому числу будет
соответствовать эта же запись, если система счисления деся¬
тичная?
Для чисел, записанных в десятичной системе, пользуются
правилами умножения и сложения «столбиком», деления
«углом». Эти же правила полностью применимы в любой по¬
зиционной системе счисления.
Сложение столбиком, как я в десятичной системе, всегда
производится поразрядно, начиная с младшего разряда. При
этом если в предыдущем разряде сумма превышает основание
системы или будет равна ему, то надо сделать перенос в сле¬
дующий разряд.
Пример 4.3. Сложить столбиком (1357)» и (2463)в.
Решение. , (1357)»
'*■ (2463).
(4042),

488 ГЛ. le. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Складывая в разряде единиц 7 и 3, получаем 10«8 + 2.
2 записываем и 1 переносим в следующий разряд. Далее,
5+1+6=12, 12 = 8 + 4, 4 записываем н 1 переносим в
следующий разряд; 4 + 4 = 8, 8= 1-8 + 0, 0 записываем, еди¬
ницу переносим в следующий разряд.	'
Ответ. (1357)8+(2463)в =(4042)в.
Для умножения следует сначала выписать таблицу умно¬
жения чисел, меньших основания системы.
Возьмем в качестве примера таблицу умножения шсстерич-»
вой системы?
I
2
3
4
5
I
1
2
3
4
5
2
2
4
10
12
. 14
а
3
10
18
20
23
4
4
12
20
24
32
5
S
U
23
32
41
Все числа в таблице записаны в шестеричной система
счисления. На пересечении столбца и строки стоят числа, яв¬
ляющиеся произведением номеров строки и столбца. Пользуясь
таблицей, легко перемножать числа столбиком.
Пример 4.4. Умножить (142)в на (212)в.
Решение. (142)в
(212), '
(324)в
(142),
(324),
(34544),
Пример 4.5. Разделить «углом» (120101), на (102),.
Р е ш е н не. (120101), I (102),
(102), 1 (1101),
(201),
(102),
(22),
Таким образом, (120 ipi), ={11 01),(102),+(22)?*
4.6.	Сложить (23651), в (17 043),. .. . •

§ 4. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
489
4.7.	Сложить (423)в, (1341)« и (521),.
4.8.	Умножить (352), на (245),.
4.9.	Составить таблицу умножения двоичной системы.
'	4.10. Перемножить числа (101), и (100),. Результат пред¬
ставить в десятичной системе.
4.11.	Доказать, что число (121), является полным квадра-
* том, если п > 2.
4.12.	Доказать, что число (1331), является полным кубом,
;лсли п>3.
''	4.13. В какой системе счисления справедливо равенство
31 - 13= 13?
4.14.	Найти частное от деления (1111), на (22),.
4.15.	В какой системе счисления справедливо равенство
10Ы1 = 1111?
4.16*. Доказать, что если вес тела выражается целым чис¬
лом н не превосходит 31 кг, то его можно определить о по¬
мощью не более пяти гирь при условии, что гири можно
ставить только на одну чашку весов. Указать веса гирь.
4.17**. Доказать, что если вес тела выражается целый чис¬
лом и не превосходит 40 кг, а взвешивание происходит на ры¬
чажных весах (т. е. гири могут быть установлены на любую
чашку весов), то для определения веса тела понадобится но
более четырех гнрь. Определить веса этих гирь и описать алч
горитм взвешивания.
4.18**. Пусть условия в.звсшивания такие же, как в за¬
даче 4.17** и известно, что Мр — максимальный вес, который
.удается определить с помощью р имеющихся гирь. Доказать,
что если Мр+1—максимальный вес, который удается определить
с помощью р + 1 гирн, то
Мр+,=ЗМр+\.
4.19**. Доказать, что если Мр — максимальный вес груза,
который может быть взвешен Ш|	т, гирями, то
Afp = (ll ... 1)з.
4.20**. Выяснить, какое минимальное число 'гирь и какого
веса потребуется для взвешивания тела весом п (т ^ п) на
рычажных весах. Указать алгоритм взвешивания.
4.21**. Пусть г р-а, где а — основание системы счисле¬
ния, р — число.'рАз)>ядож--Если г = 30, то в какой снетемб
счисления можно представить ыаксинальпое число? '

ГЛ. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
С представлением числа в той или иной системе счисления
связаны признаки делимости числа, которые формулируются
на основе цифровой записи числа.
Пример 4.6. Вывести признак делимости на три в деся>
тачной системе счисления.
Решение. Представим число А — (anan-i . <. Оо) ю в виде
А ~ Лп • 10^ -j- О/)—110™ *	flo^O® »
= в„ (l0™-l + l) + e„_,(l0"-'-l + l)+...+ae.l0»-=i
-a„(l0'‘-l) + an-i(l0'‘-'-l)+...+a(I0-l) +
•	+ вп + Лп-I + .«г +	+ Be*
Рее числа 10*— 1 делятся на 3, следовательно. А делится на 3
в том и только в том случае, если а» + вя-i + •.. +Bi + во —
сумма его цифр—делится на 3.
4.22.	Доказать, что А = (а„а„_| ... ао) ю делится на 9, если
в. + 0,-1 4* ... + Ов делится на 9.
4.23.	Доказать, что А =(а*о„_| ...
в« делится на 6.
4.24.	Доказать, что А =(Ояап-1 ...
(в|0«)|а делится на 8.
4.25.	Доказать, что А = (в„в„-| .
если о,+ а„_|-1- ,,, +во делится на 11.
4.26.	Доказать, что А = (а.вя-i ... во)« делится на р—I
в том и только в том случае, если о,4-a*_i+ ... +Оо делится
на р — 1.
4.27.	Известно, что число А = (3630)» делится на 7. Дока*
вать, что р кратно 7.
4.28.	Известно, что число Л =(1210)» делятся на 11. До*
казать, что р кратно 11.
4.29.	Доказать, что если основание системы счисления р —
простое число, большее 3, то (100)» —1 делится на (100)*—1.
Оо)|* делится на 6, если
оо)|} делится на 8, если
■ • во),} делится па 11,

ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
§ I
\Л. —2у. 1Д1. 1А2в*. t.4.4/(Vjit+Vir)- lJ».2(Ve+V^
1.9.
<+ I
t.6.	1.7. о (a+1).	».». -5Г-
U"’ -a")
1.10. л/б7.	Ul. —'^20x. 1.12, 4p — V4P* — 1. ••>3. xe
el-VS;	xs(-l; V2j=#-V2. M4. 1. MS. 1.
1.10.	'
Vft+2 *
§ 2
2-«. ye (-00.	+^;	oo)=>
^	®	1) U (1; 3) => - (x4x+l): xe(3; 00)=>
“*■ * + X + I. 2.3. ДГ e (- oo; 0) U (3; oo) =► —x s (0; 3) =»■
I	X
u(-|: o) U(0; 3).>
*^2*ТзГ' •* e (3; 00)->-L. 2.5, pe(-oo; -5)=s.—L.
*'®<--5:0)u(o: |)u(|; oo)=^__|^. j.e. д^^<0, i).>
	 ,
^ — x*~' ■*e(l; oo)i^__
2.7. ae(-oo; 0)-»-J^^-;
'«'» ■) 0 ,u „I „	^
2.11. ‘
Vx*— I
2.12.	X € (0; 9) => 3 — 2
) «0- _ 3^ 2.13. X S (— oo; 0) =0- _ 1/2; X e (Or. oo).»..^.

492
ответы
fcl4. xefM; oo).4.2V« —2: *e[2; ll)-».6. 2.16. xe [I; 2)-*-
•» 2 Vj« — 1; JC e (2; oo) => 2, 2.16. X e {— oo; 0) *Ф- 6; x г (0; 6)^
2л/2’,
•» 6 — 2x! X e (6; oo) =*. — 6. 2.17. x e [2; 4)
xe(4; oo) ^
^	2.18. V2. 2.19.-^.	2.20. a e(0; 1)=*.-!—-2.
X — 4	3
Ч+Р
\4-p.
4—X*
Л e (1; oo) о	2.21. ( ° °	2.22. 0.	2.23. 0,64.
Ve	\a — b/
9Л4. пЧт*. 2.25. 1. 2.26. 1. 2.27. 2. 2Л8. 1. 2.29. 2'\/3m — h .
§ 8
8.14*. Указание. Привести выражение, стоящее в левой
части тождества, к общему знаменателю и рассмотреть числи*
тель дроби как многочлен второй степени относительно о*
8.16*. Указание, См. указание к задаче 3.14*.
§ 4
4.7*. Указание. Найти единственное решение систеи|4Ь
4.9*. Указание. Поделить каждое из тождеств условия йа
правую часть.
§6
1
6.1. 1. 6.2. аЬ (а — ft)*. 6.3. в* + в + 1- 8.4*. Указание.
Использовать (4) для записи всех логарифмов по некоторому
общему основанию. 6.5. (loga х + 1)*. 6.6. , _ ^6.7. 6.
6,8. 3. 6.9, e(ft + 3). 6.10.	6.11. а-ft-с+
loga ft — 1
6.12. logins
I
1 — log» c
6.13*.
,-i
+ r‘+v“‘ + e
-1 •
Указание.
Перейти к логарифмам по основанию х.	‘
5.18*. Указание. Перейти в левой части выражения к по-
гарифмам по основанию N. 6.10*. Указание. При упроще¬
нии учесть, что корень четной степени понимается в арифмети¬
ческом смысле. 6.20*. Указание. См. указание к 5.18*.
6.21*. Указание, См, указание к 5.18*, 6.22*. Указание.
Сравнить левую и правую частя неравенства.. с . 4.
6.23*. Указание, См. указание к 5.22, 6,26*. Указание.
См. пример 5,6.	•

ответы к гл. 2
493
ГЛАВА 2
§ I
II 2: —4. \Л. —2; 1. 1-8*- 0- Указание. Обозначить
г»_
5х + 6. 1.4*.
—5 ± yes' . —5 ± Vs
Указание.
Рбозначить 2 = ж*Ч-5х. 1.5*. —О:	:	• Указа-
3 „ -3 ± Уб5
4
•7* ± л/т-
ние. Обозначить г = 2х* + 3х. 1.6. d: 3; ±2. 1.7.
1.8. j. (-^2 -1- l); — (—	,Нет решений. Указа-
2 2 ^
ние. Поделить обе части уравнения на х*. 1.10. 0; 5. 1.11.
.. 1.12. -1. I.I3. 1;	1.14*.
3 -I+VS -1—л/5
Т' 2	’	2
— —; 3. Указание. Использовать формулу бинома Ньютона.
2'
1.15.	1; а + V^I в ~ V®-	4;	3;	2:	—5.
,.,7. г°± V26<**:t^2V25«^ + 4ftl , ,3 _|. ,2 , ,9.
1.20. —3; 4. 1.21. —3; 2. 1.22. —5 ± V89: —5± УЗ. 1.23*. —I; 0.
. «* —5 ±
Указание. Ввести обозначение	1.24.	^
3	,27 -2-	-
1.27.	2.	2 ,	3.
1	5
U5. -2; ±1; у. 1.26. 1; -j!
—4 +	± Vl8 — 8 Ve —4 — Уб ± VlB .гЬ 8 Уб
			;	§ .
1.29. 2. 1.30. 1; —2. 1.31. 5; —I. 1.32. 0. 1.33. 0. 1.34.0; ± УЗ: 3.
1.35.	~-^2~ ' •
1.28.
-1 ± V2T . -3 ± У|7
§2
*	г	I	I
2.1. у. 2.2. -3; 5. 2.3. 2. 2.4. б. 2.5. — у. 2.6. у; 5.
2.7*. о + ft; О; ■	-21ф4^. Указание. Ввести вспомо-
в + оа-1-ft
гательное неизвестное г*=»—g—
2,11. 3± V^. 2.12. 0; —2i
■ X. 2.8. 1. 2.9. I; 3. 2.10. Q.
-2 ±	2.13. 2; у.-2.14. 0:-г

494
ОТВЕТЫ
2.15.	3; у, 2.1в. 4/5; 3. 2.17. б; 0,5. 2.18. 3/4; 2. 2.19,
2.20.	2; -1/6;
§ 8
19 ± V»333
54
8.1.	-I. 3.2. 4-. 8.8. {1; 21. 3.4. -8 2. 3.5. -4; -2; 0; 2; 4.
О
3.8.	' 0. 3.7, (-оо; 21U13; оо). 3.8. 0; ± 1. 3.9, I 2у; Зу.
§ 4
4.1.	8. 4.2. 5. 4.3. 8. 4.4. —1; 3. 4.5. Не имеет решеннА.
4.8.	—4.7. 2. 4.8. Не имеет решений. 4.9. —11 2. 4.18. 3.
1о
4.11.	Не имеет решений. 4.12. —5; 4. 4.13. -|у. 4.14. Не имеет
решений. 4.18. ^	30. 4.17. 2. 4.18. 8; 8± 4V3.
4.19.	-6; -5; — -у. 4.20. -1. 4.21. -2. 4.22. 0. 4.23. 4; 3.
4,24.	0. 4.25. 9. 4.26.	1;	-у.	4.27.	±4. 4.28. -1.
4.29.
— Вр ± Уву + А Ир» + с — Ci)^ — 4р»с]
2Ар
4.30.	±21.
Указание. Освободиться от иррациональности в знаменателе.
2
4.31.	у; 5. 4.32*. 3. Указание. Воспользоваться тем, что
— 2 V4 —	== Ve* — ** — 8. 4.33, —17; 23. 4.34, —7; 2.
4.35.	2. 4.30. ± 7. 4.37*. Указание. Обозначить у =
511
с= ^—1-. 4,38*. 1. Указание. Использовать
2
неравенство у + я>2, справедливое при о > 0. 4.39. 1024,
66
4.40, 3; б. 4.41. ±2\/2. 4.42.	-5; 2. 4.43. —2; 0. 4,44*.
Указание. Заметить, что произведение слагаемых левой части
уравнения равно 66. 4.45.	0; у; ——• ^•4®* 15.
4.47*. —3; 6. Указание. Ввести обозначение ^ я х* — 3* + 7.
4.48.	4.49. (-I-.OI. 4.80. (О; З). 4.51. 2, 4Л2, ± 4ЛЗ. Нет

ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
495
^еннй. 4Л4. 5. 4J16. (I; 2J6\: 13 4.М. (б; Ю]. 4.87. 4. 4.58. ± 2.
0. 4.80. у; б. 4.81. —I. 4.82*. —б; 1. Указание. Ввести
всяЦогательные неизвестные и =т V* — 2, о =» V* + 7.
4.83^. ±1. Указание. Вынести за скобку V*+l. 4.84. Нет
63а
65
r+l
решешй. 4.86. 0. 4.88. 1. 4.87. 0;
К
(2 + V3T+I.
4.08. 		jsi-д	J
(2 + Vl^)'*-l
и- З)"-
4.89. 1. 4.78. 26; 7. 4.71. -6; 1.
5.2. 2. 5.3.
6.4. -3. 6.5. -1.
*•«. - у:
4.
Р 7. 1og,*%6.8. -у(2Л+1); -у + яЛ, ksZ. 5.9. —б; 93/11.
5.U). 7/6. *8ГГЦ 81. 5.12. 5/3. 5.13. —5/2; 3. 5.14. ял. л е Z.
5.1*>.	-^2 +Vi-21ogj6. 5.16.	± л/2;	±1. 5.17. 2; —2.
Vs"-!
2
С,18.	(2 + л/5);
5.21.	5.22. 1; -1; 0. 6.23. у
1084 3?'б.27. 1;	6.28, (
5.81. logy4^-^--j. 6,32, 1. 6.33. li
6.19. 3; logs 8. 5.20. 9; 81.
5.24. 0. 5.25. —I; 1. 5.28. 1;
5,28. 0. 5.29. -2; 2. 5.80, -2; 2.
3. 6.34. - у. 5.35. 2;
4; И. 5.38.	2; 4. 5.37. 1;
О
,1/я
6.38.
_1_
5 ’
25. 5.39. 10; 10
-4
5.40. 100. 5.41. 10; 1/10. 5.42. 10; 10'®8^®. 5.43*. 2. Указание.
Разделить обе части уравнения fHa 2* и воспользоваться свой¬
ством монотонности показательных функций. 5.44*. 3. Ук>аза-
н и е. Си. указание к 5.43. 5.45*. 1. Указание. Сравнить наи¬
большее аначение функции, стоящей в левой части уравнения,
с наименьших в правой. 5.48*. I. Указание. Найти yi и
yt — корпи квадратного ; уравнения относительно переменной
у я 2*, уравнения у, (х) я 2* и yt (х) я 2* решить, используя
свойство монотонности входящих в них функций. 8.47*. 3. Ука¬
зание. См. указание к 5.46. 5.48*. 1. Указание. Сделать
замену ^ я х — 1 и воспользоваться указанием к 5.46*. 5.49. ^
5.50. ±	Нет решений.
§ в
6,1. -8/3. 6.2. 3; 2. 6.3. 2. 6.4. 2. 8.6. -1; 7. 8.8. 3; З-Ь
8.7. 3. 8.8. 7. 6.9, 1, 3. 8.10. -10. 8.11. 2. 8,13, 2; 3. 8.13. }, 8.14,

498	ОТВЕТЫ
б. 15. 3. e./e, 3. в.17. I. еле, ± 1/2, в.19. I:	4; -^/21
в. 21. 1; 4; I	вЛ2. 8; 1/-^, 8.23. ** + *! * > О и 6^1.
8.24.	1/2: 1/8. 8.2Б. 1; 10“®; Ю“®. 8.28. 2“®; 2®^ в-27. 3^; 3*4^;
8.28.	-1; 81. 8.29. у. 8,30. 10. 8.31. 10: 1<>*- *-32* —10; —I,
Указание. Использовать тождество	справедлн»
вое при х<0. 8.33. logs 10; logs 28 — 3. 8.84. 8. 8.33. 10; 0,1,
6.38.	1; 0.1'; 0,01. 8.37. 10“'; 10	2
(l+л^) l-V^
10
. 8.38. 4.;
1 1
Ts*
,oV^,	„лЯи,
8.40. 1; 2;	8.41. 3*^3^. gti/VF e,42.	8.43. 1/81; 3.
8.44, 1. 8.43. 2. 8.48. 1/4 ; 2.
§ 7
7.1. 4. 7.2. 3. 7.3. 2. 7.4. 2. 7.3. 1 + Vf+lpl 1-Vl + Ig2.
7.8.0: 4. 7.7**. 2; —	Решение. Разделив обе части на
_3«__2	/	'
2®-б®, получим 5’'“®*2*+'	*=11 <=► (.5.2 •+* J
I
1
5Х
Х2*+‘	1, нлих —2<=0-е=>-х=—или х=»2. 7.8. у,
7.9*. -1-^/|ig(i+VTT);	-1 + д/|^1 + уТГ).
Указание. Числа 10®^+^'; 10*’+®*; 10“<»+*’» - последователь¬
ные члены геометрической прогрессии. 7.Ю. 1;8.7,11. (log,3 _ 2;-*;
(I - logs 4)-'. 7.12. (5; 0.5). 7.13. 10; 10'« 7.14. [-i; 00). 7.13. %
713. 7.1». 1. 7.17. 5. 7.18. 2. 7.19. (а + „|,
7Л0. ±arccospo8,^./j2 + 8nJ. 7J1. 0.	*
ГЛАВА 8
§ 1 ' ' . '
1.1.	(1. 2. 3). 1.2. (8. 4. 2). 1.3. (1. -2, _i). 1.4,
/1Л {аЬс, аЬ + ас + Ьс, а + Ь+с). i8 (— аЬ ,-
•	3 N- - а	ч " ^	(K:i)(,_n)»
{а-\){Ь -аУ 1Г-'1) (6-^а>V*	При о ^	в4ii' _3
'' ‘-V *• «.* ** С

ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
497
fflCreMa определена, при	3 система не определена, при
а»О система несовместна. 1.8. При а О система определена,
Ьри а» О система не определена. 1.9. При а = 0 система не опре¬
делена, при а~*2 система несовместна, при остальных а —опре¬
делена, 1.10. При а»0, а=9>1 система несовместна, при	1,
а»2 система не определена, при остальных а — определена.
^.11. При а + 8 lyb о система определена, при а + 6 »» 0 не опре¬
делена. 1.12. При а >3 о, Ь 0; а » о, 6 •= 0; а 0, Ь 0 система
не определена, при остальных значениях пары а, Ь система опре-
. .о л-	36+14а
делена. 1.13, Система не определена при р=-
16
т'
66 +2а
Й '
1.14.	Совместны, 1.15. а>
(1, -2); (-1. -1)5 (-1. -2). 1117.
(2, -1, 1). 1.19. а=»-4. 1.20. а=*3.
1, 6=1-1. 1.10. (1. -1):
а-1. 1.18. (о. 0.
2.11,
{ ^ ^ /аЬ ±	— 4о6
1“ V 26
§ *
2.1.	(1, 4): (4, 1). 2.2. (0,6; 0,3); (0,4, 0.5). 2.3. (3. 2)5 (2. 3).
2.4.	(14. -11); (11, -14). 2.6. (4. 2); (2,4). 2.6. (1.4); (-1. 6).
2.7.	(1, 2). 2Л. (4, 1): (1. 4). 2.9. (2. 1); (-2, -1). 2.10. (4, 1); (1, 4^
/-5 + V41	_
^	р 	где знаки —оба верхних или оба
нижних.
^^/а6 Т	—• 4а6
а.12. (1. 2); (2, 1). 2.13. (3, 1); (1. 3). 2.14. (1, 2); (2. 1). 2.16. (1, I).
2.16.	(±3, ±2):	(±2. ±3).	2.17.	(±3. ±1); (±1, ±3).
2.18.	(±3, ±2); (±2. ±3). 2.19*. (2, 1); (1. 2). Указание.
Перейти к неизвестным н = х+1, о«=у+1. 2.20*. (± 2, ± 1);
<±2, ±1). Указание. Первое уравнение представить в виде
квадратного относительно переменной г =• (х + у)!(х — у).
S.21*. (2, 3);	—4^. Указание. Разделить первое урав¬
нение на второе. 2.22. (5, 1); (1. 6); (3. 2); (2. 3). 2.23. (2, 1);
<-1. -2)5 (1±Л(^. 14=V2). 2Л4. (-2. -4);	(у, -у).
2.25.	(1, 4); <-б, 4); (б. -4); (-1. -4). 2.20*. (3.5); (5.3); (-3. -5);
<—5, —3). Указание. Во второе уравнение, представленное
в виде X* +	+ 2х*у*	931 + х*у*. подставить (х* + у*), выра¬
женное нз первого уравнения. 2Л7*. (2, 1); (1, 2); (—3, 0); (0, —3);
(1, —2); (2. -п1). Указание. Представить первое урввненяе
в виде (X + у)» + (ху - |)* « 10. 2.28*. (б. 2); (-2, -б). У к в-
ванне. Разложить х* —у* на ыножителц. 2JNU (2,:-^1,. —1)|

498
ОТВЕТЫ
(—1, —1, 2); (—1, 2, —1). 2.30. Все перестановки из чисел {1,0, Cf.
2.31.	(3. 1.0). 2,32. (I, 1. 1). 2.33*. (2. -1. 4); (-2. -1. -4)1
{-V¥' IV® “ (Vf’ -W¥-
-IV®- Указание. Ввести новые переменные и =>xg,
о=^хг, w^yx. Из первого н второго уравнений получившейся
системы выразить « и ш через v, третье уравнение после под¬
становки' будет квадратным относительно о. 2.34. {0, 0, 0}.
„„	. а{Ь* + с^) _	.	6(а»-Нс»).	с (а»-)■ Ь»)
—Ш—•	Wc •
2.36.	± {2айс (аЬ — Ьс + са)1[{аЬ 6с — са) {—аЬ -Ь 6с + св)))'^,
± (2а6с (об -1- 6с — ас)1[{аЬ — 6с + со) {— об -4- 6с -Ь со)))'^,
± {2о6с (— об -J- 6с	со)/1(а6 — 6с -Ь со) (об -4- 6с — со)]}*^.
2.37. (1, 3. 9): (9, 3. 1). 2.38. (0, I. -1); (-1. 2, -1); (-1. 1. 0).
2.39.	(3. —1, —1); (0, 2, —1); (0, —1. 2). 2,40. Все перестановки
из {1, 2, 3). 2.41. (3, в, 10) н (в. 3, 10).
2.42.
2.43.
f±-p=2
V(—о
	=-, ± —- , =
о + с у а + ^
2
±
V'
- л
о -4- 6 -4- с /*
-4- 6 -1- с) (о -4- 6 — с)
^	2	 ^	2
V(o — 6 -4- с1 (— о -4- 6 -4- с)'	V(<» — 6 + с) (о -4- 6 — с) )
и <0. 0. 0). У одной на координат знак положительный, а у осталь¬
ных — одинаковый. 2.44.<o,o,o):(± 1, ± 1, ± 1):(о, ± V2, ±V2)l
(±V2, 0. ±V^) II {±^/2, ±V2. 0). 2.45. (1. 0. --j);
1. 0,	2.46. (±1, H: 2, ± 5) — у одной из координат знак
положительный, у остальных — одинаковый. 2.47. (0, 0. 0);
2). 2.48. (-6. -3. 0); (3. 1. -2). 2.49. (2, -1).
2.50.	(2. 3);	--I). 2.51.	2.52. (4.4). 2.53. (2, 3);
(-2, -3); (2. -3); (-2, 3). 2.54. (1. 1). 2.55. (25, 9);
2.56.	(В, 4). 2.87.	±	2.58*. (0, 0); (3.2); (-2.-3).
,Укаэанве, Яху шт х* +	^ {х — у)\	2.59. (3, ^1, 2>i

ОТВЕТЫ К ГЛ. 4	499
2.60.	(± 7, ± 13); (± 6,6, ± 14). 2.61. (± 1, Ф I. -2); ( + 1, 2, ± I);
(2, гЫ, ± 1). 2.62.	т ±	[± 1. ч: 1. ± 2).
§ 8
8.1.	(5, 5). 8.2. (4, 2). 3.3. ^1, - -I). 3.4. (6. 6). З.б. (3. 9),
(9, 3). 3.6*. (1, 4), Указание. 4*. 2**“*’*^*, 2*”* — последова¬
тельные члены геометрической прогрессии. 3.7. (2, 2). 3.8. (2, 1).
8.9.	(1, 9); (16. 1). 3.10. (-2, 7). 8.11. (1. 1). 8.12. (2. 4).
8.13.	(1, -1); (5. 3). 8.14. (16, 3):	-г). 3.16. (27. 4);
-3^ 3.16. (4, 1). 3.17. (6. 2). 3.18. (9. 16). 3.19*. (4. 1);
(—4, —1). Указание, Первое уравнение квадратное относи¬
тельно 2 =	а второе — относительно и =
3.20*. (V^t 0. (—Уз. 0. Указание. Ввести обозначения
и = 2^~*’ и использовать 6*’”^ »= 3*’~‘'/2*“*'.
8.21. (2, 2, 1).
§ 4
4.1.	(3, 9). У к а 3 а н и е. Прологарифмировать первое урав-
/ 2	27	32 Ч
иенне по основанию х. 4.2.	-g-, “g“J* 4.3. (4. 2); (—4, 2).
4.4*. (1. 1);	-^^.У к а'з а н и е. Логарифмированием обоих
уравнений по основанию 10 свести систему к рациональной
относительно неизвестных и = '{д"» » = Ч-УгГ'' 4.5. ^100,
<‘00- >00)' (ik- ‘°о): (тк- тк)-
в первом уравнении перейти к десятичным логарифмам. 4.6. (2, 6);
(6, 2). 4.7. (1, 1. 1): (4. 2, V2). 4.8. (а‘, а, а');	а,
ГЛАВА 4
§ 1
1.1. (_оо; -2) и (2: <»)• Ь2.	-г) U (3; -1-00). 1.3. (-1; 3].
м. (-оо; -2)U(-1: 01-	<-8: ‘1-	<-~' -‘)U(3-- 7).
1.7. t-H 2i; 1.8. (-оо; -2)U(1: 2)U (3; оо). 1.9. (1; 2].
1.10. (-OOJ -l)u(|-: 4). 1.11. (-oo;l)u(-|-l2)u(3; 00).

600
ОТВЕТЫ
1.12.	[-5: ■ ^ 8^^)'
U[l; 8±^).	1,15. [-46: 3). 1.16. (-i±^; l].
1.17.	[-6: 0)U(3; 4]. 1.18. [-5; -1)U(1: <»)• 1-19. [-1; oo).
1.20. Нет решений. IJJl.	~ =^). » eo). 1,22. oo>
U3. xeR. 1.24. (5; oo). 1.25. (-2;	ij.
1.20.	xeR. 1.27. [-|]* ‘-28. [l - VT7; Vs - l]. 1.29. Wf-l;
V2+ 1). 1.30. ^_.3 + V65. 3^	, 3,	_2- V2lU[l +'
+ л/З; oo). 1.32. (-oo; -1 - л/з]U[l - VSI +«>)• '-ЗЗ. [-1; 2)U
U(8: 6+VI8]. 1.34. (3/4; 1)U(1; ~), 1.35. [-1; 00). 1.36. (-oo; 2)U
U(3; oo).
§ 2
2.1.	(-oo; loga (-1 + УЛ1- 2.2. (-2; oo). 2.3. (-oo; -1].
2.4.	oo; — д/21oga	U [ ^/sioga-^^^jLL; oo^.
2.5.	[-VioiT4; Vioinl. 2.6. (-4; -2)U(0; oo). 2.7. (-10; 6],
2.8.	(0: 1]. 2.9. [log,, 6; 1]. 2.10. (-Vfj -V^ulV^! V^-
2.11.	(2; 18). 2.12. (- loga9; oo). 2.13. (-oo; log»3). 2.14. (ylog»6;
log*б), 2.15. [-1; 3). 2.Л. (2; oo). 2.17. (-со; -^)u(|-;“>)*
2.18.	(0; 4). 2.19. (—oo; 0)U(logj2; 1).
§ 3
8.1.	(-|;	3.2. (3: 00). 3.3. [-.L, -1)u(t= •];
3.4.	(-oo; -i). 8Л [|: 2]. 3.6, (-.^. Уз) з:7;'(1; 4).'
3.8.	(-1-; - ^). 3.0. (4: 7). 3.10. 0; 00). 3.11. (3: 7). 3.12. (10-*;
10). 3.13. (-2: 6)u[f-: 7). 3.14. (o: |]u (9; 00). 3.16. (U>lU
U13: 4). 8.16. (-7; 1). 3.17.(-6;-4)U(_3._:j. 3 ,3^ (ftUUt»
3.19.	[1; 00).	3.20. (—00; log, 2).	3^1. (-3/2*, —') L)

ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
501
8.22.	(0;2)U(4; во). 3.23. (0; l)U(2; «>). 3.24. (о;	-ij.
В.25. [—j].	8.26, (1; 3) U (3; Б). 3.27. [	l).
8.28.	(2-*': 2-»lUl2»j oo). 3.29. (-2; -1)U10; oo). 3.30. (0; 1) [}
u(V6-i; |-). 8.31. (0: I)ul4; 2'+V3].	3.32.
u[i: y). 8.33. [2-^1д i)u(i: ^2). 3.34. (o; j]u{i: 00).
еж (4-:	О- (т' 'М'’ т)Чт’ “)■
8.87. (-4; -3)U[1; 00). 8.38. (1; 2). 3.39. (о;
и[3^2^—; “) .3.40.	з]. 3.41.	-7)U(-5; -2]\J
U[4; 00). 3.42. (-6; -5)L)(-3: -2). 3.43. (i-V?: -i)U(-i/3; 0)L)
U(0: 1/3) и(2; 1+Vf). 3.45. (-V8: -l)U(l: (л/4Т)/5]. 3.46. (O; 1)L)
U(2: 00). 3.47. (3; б-УЮ U(7; 00). 3.48. (1000; 00). 3.49.	l)u
U (9: 00). 3.50.	e). 3.51. (1; 2). 3.52. (0; 1) uCu ^).
3.53. (3; Ji)u(jt; ^)u(^:5). 3.54. (2я*;	+
U(2nft+-^; (2fe+l)n), ksZ. 3.55. (1; |-). 3.56.
nfe+j], fee Z. 3.57. ^2nfe + arcsin-|;2nfe + Y)u(2«Jlt+Y:
(2fe+l)rt-arcsin|-), feeZ. 3.58.	(■jl2)u(-^4 l]U
U^2«fe, — .j + 2rtfe^, feeZ, feys>0. 3.59*. x—l, jc — 2,
Указание. Найти область определения неизвестного х и для
каждого целого числа из области определения проверить выпол*
нймость (или невыполнимость) данного неравенства. 3.60. х «з
.в —1, X = О, < = 1, X — 2. 3.61. 6. 7, 8.
§ 4
4.1.	(-Va’l -0и(1; v^. 4.2. (-1;0)U(0; 1). 4.3. [-4;-1].
4.4.	(0.7; 1). 4.5. (-1; 2). 4.6. (0; 1/3UJ(3; 10/3]. 4.7. (-00; -5/3)U
и (I; 00). 4.8. [i ■■	o^U	t ooj|. 4 9. {—00; 00).

Б02
ответы
4.10. 10;2)U(4;61. 4.11. (-00; 0]UHog.5; 1); 4.12. (2-л/Т; 1] U
Uf-^: 2 + V2V 4.13. (-J-Iog27; logos'). 4.14. (-1:-2/V5)U
§ 5
Б.1. a < 1	0, a = 1 =>Jt = 2. a > 1 »*-Jf * e + I; дс =» 3a r-1.
6.2.	2<a<3*>-xel2a—5; IJ; —2<n<2=>xs(—1; IJ; —3<
<a<—2=>[—1; 2a + 5]; |aj>3«»-xe0.	6.3. При a<0
X|^j = ±	1 + Vl ~ 4a). при a == 0 x «=0; при о > 0 уравне»
ние решений не имеет, 5.4. а) При а < 0 решений нет; при а =0 —
три решения; при О < а < I — четыре; при а == 1 — два; при
а > I нет решений, б) При а < 0 решений нет, при а » О — два
решения; при0<о<4 — четыре: при о = 4 — три; при а > 4 — два.
6.5.	При 1 а К -у/2 неравенство решений не имеет. При I а | > V?S
а^л/а^ — 1 + l<x<o + Vo*~ 1 — 1. 5.6. При а<0 и а>4
неравенство решений не имеет; при 0<а<2: —а^х^а; при
в = 2: —2 < X < 2; при 2<а<4: —•|-V«(4 — а)<х<-2-Х
X V« (4 — а). 5.7.	^ <а<3. Указание, Записав неравен¬
ство в виде 3 — х^ > IX — а I, построить я исследовать графики
функций, стоящих в левой и правой частях неравенства. 5.8. При
0<а<1 ха logs а. При а<0 и а>1 уравнение решений не
имеет. 5.9. При а ^ 1 х ± logu (I + V1 — <*). При а > 1 реше¬
ний нет. 5.10. о < а < J_ . 5.11. О < с^8. 6,12. —^	3^11. <
■V 36	2
5,3.	а<-2.
6,14. -3<х<—1. 6.15. х>а 6.16. (1;0). 6.17. в>-У-. 5.18. 2л/2<
<а<-^. 6.19.	<fft<-4-f2V3.‘ 6.20. m > 1.
О	Z
6.21.	Ни при каких. 6.22. 4" < 5ЛЗ. —З^а^З. 6.24.	^ <
2	Y2
< а < —5.25. а < —2. бЛв. 4- < а < 1. 6Л7. При а = О реше-
V2	*
ВИЙ нет; при а > О х < —2 + logj а; при а < О х < log» (—а).
6,28,	а>2. БЛ9, 0^1. 6.30. При 2яй — ^ < в	2яА и

ОТВЕТЫ К ГЛ. 5	503
55-+2яА<а<—+2яй x = -arcsin—Д^51^=^+(-1)"Х
6	6	VI +4 cos* а
■ + Я/t (А, п е Z). 5.31. При а < —^2
пли
X arcsin ,	- ,
VI + 4 cos* а
e>V2 ж —{—I)* arcsin I0““яЛ; при —	—1
ха(—1)* arcsin 10"*''^**“’“'* + nk-, при —I <о < уравнение
решений не имеет. 6.32. Ь < —2 — -y/s, ft > 2. 6.33. —3^ а <—2,
X = ± arccos 2а + 5 + Jtft. fteZ. 5.34. ai_2 = ±2. 6.35. При
ft<4'(5^4’' 5^0.	l) х = яй + (—1)*arcsin
При ft ^ i/2 уравнение решений ве имеет. 6.36. При а ^ 0 урав*
_ д /
некие решений нс имеет; при а>0 х = я6 ± arcsin2	"	^ ,
ft е Z. 5.37. При 1 о < X < 1; при а< sin 1 0 < х < arcsin а,
1 < X < л/2; при sin i < a < 1 0 < х < 1, arcsin а < х < я/2.
6.38.	(0; 0); (1; 0). 6.39. ft=l x=»tg.j(l - V7). j,=.cosix
X(1+Vt). 6.40. а<-1, a = 0. 6.41. При a = -l х=={-1;
ТГ' Is’}* "РИ	®’■Щ'}"
5.43.	При 0=1 х>1; при а = —1 —3<х < 1;'при |а 1 > 1
х=1, jc=sZ-i.£. при |а|> 1 уравнение имеет .два решения.
ГЛАВА б
§ 1
1.33.	При а е 1^0; и (у: я]:	+	при os
е[я;2я]: ctg(y+y)- 1-34. При о^-^ + nnj
2 tg* о.
§ 2
2.1. -1. 2.2,-4г. 2Л	2.4. 2А I. 2.Л 4.
64	4	4
2.7,-^. 2.8*.	Указание. Использовать равенство
cos (3.18“) = sin (2.18®). 2.9*. у (V3 •V1O + 2V5-V5+ О,
Указание. Использовать равенство sin 42* = sin (60° — 18“),

504
ОТВЕТЫ
2.10. 0,96. 2.11. 2. 2.12. а* - 4а» + 2. 2.13.
а» ~~ fc®
2.15.	, . " . 2.10. 3. 2.17,
Зя-л>
2.14.
1 — т.
2	• Т+т
а» + 6» •	“• а» + 6* + 2ft •	-л/З. Указа¬
ние. Рассматривая условия как систему тригонометрических
уравнений, найти а и § как корни этой системы, принадлежащие
2|
указанным промежуткам. 2.19.
ctgP Р + д
ctga
Р-Я
2.20, tg •
-2; -у:
V 2-
2.22.
4х» -
Зх — m = 0,
1. 2.25.
а
Vis
8 •
2.20.
V3
2 •
77
*&•
‘5J-7T- ^
2.23. tg-£-=m.
2.28. 4 Vs ■ 2.29*. я — 2. Указание, sin 2 = sin (я — 2) и я— 2а
лу ±±г^.	,.„.Ь5±зЗ'
V 2 2J	2V2-VT6	2	9
3 , VT3
2.33. 5 + J3 ■
2.42**. Имеет. Решение. Обозначая х = cos у, преобразуем
аргумент второго слагаемого по формуле cos у + sin у =»
= соз^-^ —Для переменной у равенство приобретает вид
arccos (cosy) 4-arccos^cos — y^j = .y или, после упроще¬
ния, у+jtf—-у “у* Для у а 1^0; ■^]'’да«ное равенство пре¬
вращается в тождество.
2.43*. Справедливо;- Указание. См. решение задачи 2.42.
' I со:а	245 <^oat("+2)o)si"па
sin а J' ‘ ’	sin а
2.40.	•^ctg.|L_2ctg2a. 2.47.1. 2.48.1. 2.49.1. 2.50.0.
2.44. -^[т
2"
(Д+ 1)а
2.51.	tg
§ 3	•	^
Встречающиеся в ответах буквы л, /, т, к, если не огово¬
рено противное, принимают любые целочисленные значения.
3.1. — 1ч-2ял; (—O^-l + nn. 3,2. ял. 3.3. ±14-яя.
3.4,	у+*я; ± у-Ь 2Ля. 3.5*. 1^1-Ь ял; у + ял j U [-^ + я"!
^	пл|.. Указание. У простить выражение, выделив под;^:

ОТВЕТЫ К гл. в
бОЗ
радикалами полные квадраты.
З.в. arclg *	+ ял;
— arctg-^^^^—L + ял. 3.7. arctgl + Ля; arctgy-l-ftn. 3.8. у-Н
4- 2km я (2k + 1). 3.9. ± у 4-	3.10. — у + я*; ± a»’ctg ^ +
+ nki	-l(2fe + l). З.М. у + 2*я: (-1)«1 + ял.
3.12.	arctg 1 + кя. 3.13. 1 (4ft + 1). 3.14. я (2ft + 1): у (4ft - 1).'
3.15.(6ft ± 1). 3.10.	3.17*. При ое|^у; ljx = ^ifa
±у arcsin^2 2а—^3 )’ остальных значениях а решений
нет. Указание. Значения а, при которых существуют решения
уравнения, определяются из условия sinx|^l. 3.18. у + йя;
я
kn
Л
. як
7л
1
nk
^ 9П -
Л
2ял
12 1
~Г‘
0.1». -
108
+ 9
• 24
2 ■
20
б *
.Зя ^
100 ‘
2лл
25
. 3.21.
21
16
11я
8 '
3.22,-
п
12
+ ял;
—+
36 ^
лп
3 ‘
3.23. Нет
3	1
решений. 3.24. 1 + 2ял. 8.25. arctgy + Rft; яй —arctg у.
3.20.	яй; ± arclg -у/2 + яй; ± у + яй, 3.27. у (4й + О- 3.28. у+
+ 2ЙЯ. 3.29. 2йя; у + ^я. 3.30.ял; (-1)"у — у+ яя.
3.31*. При ае(-оо; -i)u(-«; -2 (д/2 - i))uU0: ~)
JC=ii4.2feя±arccosli^. Указание. Представить в'.виде
4	о V2
уравнения относительно переменной t = sin х + cos х. Значения а,
при которых уравнение имеет решение, найти из условия | ^ 1 ^
_ ь„	-	.	1 VT+lie^-i
< V2. 3.32.	3.33. При а # о X =йя ± у агссоз		,
2* + 1	, я , ял , ад
■я. 3.35. — +	3.30. ял.
при в = о X = йя ± у. 3.34.
8
яй яй
3.87. ^ (2Й + 1); у (Зй ± 1). 8.38. -у; -у. 8.39. у (2ft + 1);
у (2й + 1); у (2ft + 1). 3.40. у (2ft + 1). 8.41. у + у + ял.‘
3.42. ;fa у + ^. М3, arctg 3 + яй; arclgy + яА. 8.44. у (8й+1>,^

БОв
ОТВЕТЫ
_ о сл	о с I	^ I Я/1
■пп. З.Б0. -J-. 3.51. — + яя; —я+
т**
8.45.	^ + кзг, -у|- + 26я: ^ + 2кп. 3.4в. 2Ая; •^2йя.3.47.^ +
+ кя\ - J + kn\ 2ЙЯ. 3.48.	+ Y + йя. 3.49, (-1)"Х
V, . V3 - I
X arcsm -2—^
3^2.	|-(2я+1). 3.53. --J+Ля; ±.|1 + 2Ая. 3.54. У^я;
+ кп\ ± -^ + 2kn. 3.55.	— ■^’ + ктк ± -^ + kn.
8.58.	i(8*+l); Я(2* + 1). 3.57. ^-1; (2fe + I) - I.
3.58.	3.59.	(2я + 1). 3.60. яп; я(2я+1); X
X (2я + 1). 3.61.	(2д + 1);	3.62.	|-(2я + I). 3.63.
+	3.64.	3.65. ^(4я - 1); яя. 3.66. ^ (2л + 1); 2яя;
(4я + I). 3.67. Y(2л + I); яп±^ агссоз (sin*a). ЗЛ8. — (2ft +1);
(-1)*-^ + яЙ:у (2ft+l):-JL(2fe+i). 3.69.^, 3.70. ^(2ft+l);
(-1)
+ 2ял: ^(2л+1). 3.73. -i + ял. 3.74. i+i^:	+
8.75. I + яд; (_1)" iL + i« . 3.78. ^	± i+ял. 3.77. ял;
7- + -^.- ±уагссоз(--|) + ял. 3.78. -^ + nm (-l)»-i4.
+ ^.3.79. ял: ^ + -^. 3.80. ±-^ + 2ял: ±|- + ял.3.81.| +
+	^	3-82. f + ^- 3-83. i +	3.84. ± i +ЯЛ.
^^ + 2яА. Указание.
Ввести переменное / = д: + ~ и составить уравнение относительно
V=slni + cos/. 3.87. ~. 3.88. (—1)"+'яд. 3.39. ^ + яп.
О	О	2
8Л0. .251. _iLц.2яд 391 ( - П" I	^ л.
ojto. g. 2 -t-/ял. d.5M. t i)	4.
J—n*+‘ ~ 4-	3.71.	4- ЯЛ. 3.72. — i 4- ял; 2ял; — ^4-
3.85. ± — 4- ял. 3.86*. ± arccos
О
n
+ ЯЛ. 8.92. .J4--^. 3.93. (-D'>.i4-i^; -^4-^: 1-4-

ОТВЕТЫ К ГЛ. 8
607
2яп
. 8.94. яп; —	8.95. ± у arccos (V3 — l) + яй.
я^
я яЛ
8 4 *
3.97. f 4-
2ял
3 '
пфЫ.
8.08.
1 + як: -
у + 2яй;
Я
6 ■
\-2як.
8.100.
Jtk ш ■ > А
. я , яй
3.102.
пк
2j*fe
8 •
у 4-яЛ. 3.104. ~ j-i-Hft; (-
пл JL
12
nk
+ Т'
4я
3
Зя
+	8.106. -^ + яй; -|я + ^. 3.107. _^ + 2я*; (-1)‘х
Х.^ + яА. S.I08.	+	“Tf + T**
я
п . я
^ + nk. 3.110. ~^ + nk-. nk. 3.111.+ nk. 3.112. .^X
X(-l+ (-!)'») +ял; -^(14-(_!)») +ял. 3.II3. у + Т”-
3*114.	"'2’*	4 • *4~*	3.115. зц 2я; ^ • 3.11в.
.^ft, fe = 0: ±1; ±2; ±3. 8.117*. -5=fcV25 + 2M2ft4- I)
Е=—2, —1, о, I, 2, 3, ... Указание. Возможные аначення к
следует получать из условия существования действительных
корней. 3.118*.
(4/п 4- 1) я ± V(4fft 4- 1)° я^ — 240
12
-(4л4- 1)я± У(4я4- 1)°я=‘4-240
12
, л —любое число, т —любое
число, кроме ±1 и 0. Указание. См. указание к задаче 3.117*.
3.119*.
1 4- (4ft 4- 1) Я4:У1 4-2(4fe4- 1)я
ft — любое', целое
неотрицательное число. Указание. См. указание к задаче 3.117*.
3.120**. Решение. Исходное уравнение можно записать
в виде
cos
я cos X 4- sin X
(т^
2
)cos(i +
cos X — sin X
)==0.
Решая уравнение cos 4*
cosx + slnx N _
)-0
методом дополни¬
тельного угла, инеем У^ sin 4-х^ = у(4й 4-1). Оценивая
левую и правую частя последнего уравнения, зцклюнбем, что для

60S
ОТВЕТЫ
всех keZ оно не имеет решений. Аналогично доказывается, что
пе имеет решений и уравнение cosl-^+	g	1=0.
3.121*. 2kn ± ф: -у (4fe ± 1) Т ср: Ч> = у arcsin знаки оба
верхние или оба нижние. Указание. См. решение 3.120**,
8.122*.-jarcclg^ft+Y^ + nn;	arcsin ^ | + яп, 1ф—1,
1ф0. Указание. См. решение 3.120**. 3.123. —+
Л 2
—п+1;	+	~"^	+	2пя.
8.125. а) 0; я; б) ял; •^ + 2я«. 3.126. arcig+ ял.
Зя
8.127**.	+ 2лл. Решение. Уравнение экввва.-тентно уравне-
Я	Зя
ВИЮ slnx= ^ , корни которого х = -^- + 2ял и х = -^+2ял;
2л — наименьшее общее кратное периодов уравнения и неравен-
Зя
ства, следовательно, проверке подлежат значения ~ и -7-. Под-
4	4
л
ставляя — в неравенство, получаем числовое неравенство
7я
cos-
п
COS'S*
2	-	- > 2 Так как 2	* = 1, cos-^ > 0, созЗ-{-
COS 3 sin 3	4
+ sin 3 =	00s ("Т'~	^ полученное числовое неравен-
Зя
ство несправедливо. Аналогично убеждаемся, что удовлетворяет
Зя
неравенству. 3.128*. ~ -f-я^. У к а з а н и е. См. решение 3.127**.
8.129*. •^-Ьяй. Указание, См. указание к 3.128*. 3.130*. —1.
О	.»	4
+ 2яЛ. Указание, См. указание к 3.128*. 3.131. *^(4ife + 1).
^	i
8.132. (|(4Л-Ы): ”(4л+1));	(|.(4й-1); ”-(4л-1)).'
8.183. •5-(4А-1-1). 3.134**.	(j(6m-I);
fC6*-ri)). Р е ш е н и с. Относительно переменных и =	8

ОТВЕТЫ К ГЛ. 9
8 ™ (в '7 исходное уравнение приобретает вид
2
бОЭ
1 - и* , 1-0* (1 -«*)(! -
-0*) ,
4uo 3
1 + U* • 1+0* (1+и*)(1 + о») ‘
U+K*)(l+o*)' 2
или, после упрощении, и* + о* —
равносильно уравнению (и — о)*
■ 8uo + 9u*o* +1=0; последнее
+ (3uD — 1)' = 0. Возвращаясь
к исходным неизвестным, инеем
t„ * _ V3
‘g 2 3 ’
tg 2 =
V3
3 '
ИЛИ
* 2 3 '
Vs
3 *
3.135. (i(4fe + l); i(4/+l)).
3.130. 1
[Y(4fe-i);f (4/-I);
~ (4m - 1)). 3.137. (8Л + 1). 3.138.
(у + тя; у + /я).
3.139*. Указание. См. решение примера 3.9. 3.140. (—1; 2);
(-1; -2). 3.141.	+ яя; - Y-пп\ п =0,1,2,... 3.142.
7 .	f	«_	*
-3; -1; 1; 3;	3.143. xeR\|-V3; -1; 1; л/З;
Vl +21^ (24<rt<39)|.
— I - Vl +2U
21
(20<n<33):
§ 4
4.1.	1^+яЛ+^). 4.2. (ят±
<P + <i>
2 ’
вкаж*
Ф — ф \	(	1 я
яя d:	2 j*	т“ ^	2 »т 2	2
дом из решений знаки или оба верхние, или оба нижние, ф =*
= arcsin 0,535, ф= arcsin 0,185.4.3. ^яй + яя-1--у, ^	яя+^^;
^яА + яя —у, я6—яя—4.4. ^•^ + яй+яя, -^+я*—яя^;
щ+пк-\-пп, •^ + яА-яя); ^-|^ + яЛ + яя, —^+яЛ-яя);
•^ + яЛ —яя, —-|^ + яА + яя^. 4.6. ^у + 2я1,-^ + 2яр^;
«‘4.2я1. - i + 2яр). 4.0. (2ят, 2яя); (Зт ± I).
^ (3h т 1)^, ^ят+я ± ф, я+ ^ ± ф); (я- -2 ± ф, sf ф)^
(

0tO
<p cs arccos
Ы
ОТВЕТЫ
Уз - Vii
•"•(“+T'T + f)’ (-T+“-
fM-fT-f)-
4
48. (2я* ± Ф, 2л/ ± Ф); (2я* + я ± ф, 2л/ + я Ф), <p = arctg^^^,
4
^ = arcsin —g—, H берутся или оба вераинх, или оба нижних
виака. 4.9. «(гля, 2яй+я). 4.10. (я*, 2яя); ^агссозу + 2я<г.
^^ + 2ля): (-arccosу + 2яй, .|1 + 2ля). 4.11. ((-1)"Х
х(—^+Я^^+ЯЯ. —.^+яЛ^: ((—l)"arctg-j + (—1)"я<!+ял,
arctg-j+nft^. 4.12. (-у+я/г, яя^; (■^+26я + яя, —
(i — atclg2 + 2Ая + пя, —arctg2 + nrt^. 4.IS. ((~0”^*"g
_ » , -1 „eg + f.).	-,,‘i + f. (-1) X
Xarctg-^ + -^).	4.15. (±-^ + 2яя. (-1)**-^ + я/п).
4.16.	((—ir-j+яя, ±^+2я/я^.4.17. (±^+2яя. (—l)*-g+яЛ^.
4.18.	(f + nfe. V2.),	4.19.	(±|-+2Ы	+
4Л0.(-^(2я+1). я(2р+1)). 4.21.	arcsin|-+Ц^Х
Xarcsin 1+ (k+n)j. LJi-arcsinу	—arcsin y+	■
/'Я мя'к. (I^ ZiV rJIi. JJiLY
4.22.	(g. gj; (g. gj' V.6'	6/'1ч6	6/
4.23.	(у (2fe + 1). у + /я, у + тяу 4-*4. (ф + яя. il-ip-nn).
где ф =. arctg^:!^^. 4.25. (i{6/^+(-■ )^) (f (« + 3± u)-
4Л6*. (у+ л^,агс1д2 + л/, arclg3+nm)t (я* + arctg 2, у+я/,
nm + arctgs), где A + Z + m-O. Указание. Выииолнв зна-
чение тангенса от обеих частей первого уравнения^ свести систему

ОТВЕТЫ к ГЛ. 8
5U
к рациональной относительно Igx, Igy, tgz. 4.27*. (arctg2
aictg Vs ± я^ arctg-^^^ ± я/п^, если анакн — верхние, то
А + / + л» = 0, иА + / + т = 2, если знаки — нижние. Указание.
См. указание к 4.26*. 4.28.	+ Ая.
•24--т) '‘-**®Ч"б+	2
.Xarcsin	g-i_+_,y+±-^arcsin	g + 2)*
4Л1. (i. -1): (-1, 1); (1. 0); (-1. Q)i № O'. (0. “‘К
4.32.	в = 2я/: (±y+АЯ + /Я, Ту-Ая+я/); о«=я(2/+1)|
^ Ч + kn, ilLi^LtiL-fenTy): я¥=я/л: peme>
Ш1Й HCTt
§ 5
8.1.	-3tgl. БЛ. --|. 6.3. -y: -^. 6.4. Vs. 6Л*. При
a e (0; я): cos o; при a e (—2я; 0): cos у a; при e e (— oo; 2я)и
у (я; со) нет решений. Указание. При решении квадратного
уравнения относительно переменной г = arccos х учесть, что
о	< а гссов л я. 6.8. V2. 6.7. - у. 6.8. у. 6.9. I. 5.10. 0; 1.
6.М. Нет решений. 6.12. —2. 6.13. 0;
, V2
6.14. 0; -1;
1. 6.16. у. 6.18.	6.17. 0; 1; -у. 6.18. -у; 0; у.
6.19.	у: 1. 6.20. [0; !].5.21. [-1; 0]. 6.22. (0; IJ. 6.23.	l].
6.24.	[0; 1]. 6.25. [-I; I]. 6.26. (0; 00). 6.27. (-1; 1). 6.28. (0; 1).
6.29*. При а е 1^—	х = 2п V* — «*. при остальных
анамениях а нет решений. Указание. Область допустимых зна*
чений а находится из условия 12 arcsin а \ ^	6.30*. При
а S ^0; у^ X =■ Vl ~ 4V, при остальпых значениях а нет ре¬
шений. Указание. См. указание к 8.2S*,

в12
ОТВЕТЫ
§ б
6.1.	^—^ + 2яя; •^+2ля^. в.2. ^arctg2 + nn;^ + nn^.
ел. (я«: arcclg (—3) + ял). 6.4. ^1—.|-я + 2пл; I—^^-2я/lj.
М.[о; Vf]n[V¥+^ti У-^ + ^‘‘]и[-Уг°]и
и[-д/-^ + 2я*:	-/^/^ + 2ял], л = о. 1, 2, ...
•6.6.	"^+2ял^. 6.7*. Нет решений. Указание Ис¬
пользовать неравенство | sin д: К 1. 6.8. [“ ^ + ^ял; ^ + 2ялj.
6.9.	ял; ^ -I- ял^ и + ял; я (л + >)). 6.10.	^ +
— ardg 2 + лл^ и	Y■§ +’*">
яя) и (I ■)- ял; 5 + ^arcsln -|). 6.12.	(12Л+ I); 2(12А + 3))с1
U(y(4fe+2);.J(4*-t-3)).	6.13. (-^-Ь2яй; .|L+2яа).
6.14. (-^4- 2яй; i^+ 2nfe^
6.15. (Я -1- 2яА; Я + ф + 2я61 и
U [2яЛ — qi; 2лк), q> = arcsin
6.16. (f+2я*; |. + 2я*)и
U (y + 2я*: ^ + 2я1(). 6.17.
[_^+2як; ~^+2я*] Я
2+2Ы. 6.18. (б+ 3 ;
7я , 2ял \ ,, f я . inn .
18 ' 3 ■^“3"’
18 + 3 )• ® ‘®- 6+"") (2 -1^+ "'')•
T + f
^ 11 J. ” . . Зя Ч
)^[т+Т‘ т + тУ-
). 6.22. (f+ 2яЛ; ~+2яй)
и — у + 2я*. 6.23. (— + ял; ял^ U (-j + я«: ~ + ял j #■
6-24. ^•^-1- 2лл; -^ + 2ял^и(-
-я-|-2ял; 2ял).
8 7
7.1. t-I; I]. 7.2. (-1; 11. 7.3. [1; l].	7.4. [_,.
■6.	7.6* (—«о; Ctg2). 7.7. (— оо; tg ij jj^ 0.
7.5
.i (*i

ответы к гл. 9
813
7,9.	R. 7.10. 1^-1; “Sj]-	7.11. ^-1;	7.12. [-1; 0).
7.13.	(1: 00).	7.14. [о; у).	7.15.	l)u(-l; -^)-
§8
8.8*. Ввести вспомогательный угол в использовать неравен¬
ство |sinx| ^ 1, 8.9**. Решение. Представим выраженяе,
подлежащее оценке, в виде
(1 — cos 2х) +	81П 2х + у (1 + cos 2х) ■*=>
а + с
1
f "o' It® ~ ®) cos 2х + 8 sin 2х].
Далее следует использовать неравенство, доказанное в 8.8*.
8.10*. Указание. Представить левую часть в виде функций
половинного аргумента. 8.11*. Указание. Использовать при¬
ем, примененный в примере 8.2. 8.12*. Указание. См. ука¬
зание к 8.11*. 8.14**. Решение. Исходное неравенство эквива¬
лентно неравенству
cos а -f- cos Р -|- cos V ^3
Так как cos р -f cos у = 2 cos
P + V	Р —Y
■cos
, то, с учетом усло¬
вия н используя формулы приведения, получаем
cos а -Ь cos Э cos V < cos а -Ь 2 sin
Так как cos а = 1 — 2 sin* то аадача сводится к нахожденяю
, Ванбольшего аначення функция 1—2 sin* 2 sin Выделяя
Полный квадрат, получаем 1 4--у ~ 2 ^sinТа-
'	3
Ким образом, cos а -И cos Р 4- cos у^-^, откуда следует справед¬
ливость исходно/о неравенства. 8.20*. Указание. Оценить раз-
'вооть cos X —	, используя представление 1 — cos х «=■
tв2sin*8.21*. Указание. Использовать результат преды¬
дущей задачи и примера 8.3. 8.22*. Указание. См. указание
-6 задаче 8.20*.
J7 А. ;г^ Цыпквв, А. И. Пйнао*

514
ОТВЕТЫ
ГЛАВА в
§ »
Л
1.1. cosO + /slnO. 1.2. 3 (cosя 4-/ sin я). 1.3. cosy-|-/sln-j.
1.4.
V2 (cos-^ + 1 sin -i).
, _ /Г- / Зя , . , Зя
1.5. Y2 (cos + i sin -j-
)•
1.6.
2 (cos ,-^ + 1 sin .
1.7. 5 (cos (— arccos
+
-М sin ^ — arccos
1.8. 6 (cos (я -|- arccos
+
+ 1 sin^nH*arccos-|-^j. 1.9.cos-^ + l sin ^.l.l0.cos^'^ + a^4-
+ isin(-^ + a). l.ll.	1.12. ±(1+/). U3. ±2(1-0.
. /=-Г	f . I arcsin (—4/5)\ ... / . , arccos (—4/5)'\1
1.14. V6 |cos f яйН	^——j+l sin (^лЛН	i—~)V
1.	1.15. ±
■
±[V3 -1+(V3 +l)i].
5я
arcsin (—4/5)^ ^ ^	, arccos (—4/5)
i.ie. ±1[V3 +1-(V3 -l)l],
1.17,
я ... я	5я ,
cos у + 1 sui -g-, cos -g- +
+ 1 sin ■
8
9я , , , 9я
cos -g- + i sin -g- ,
13я , . .	13я
cos —s—I sin
1.18. Vs [
1.19. cos
§ 2
cos
ink
ink + arccos -g-
' i sin
7
2nfe
3
+ i sin
8
3
ink + arccos .g-
8
].
fe=0. 1, 2.
2.1.	Окружность единичного радиуса с кентром в начале
координат. 2.2. Положительная полуось Ох, включающая точ¬
ку О. 2.3. Луч, выходящиГ| из начала координат (без точки О),
составляюшнА с осью Ох угол л/3. 2.4. Внутренняя часть коль¬
ца, ограниченного концентрическнмн окружностяии радиусов 1
и 4 с центром в начале координат. 25. Множестро всех внешних
точек окружности еяиинчвого радиуса с центром в точке (1/2; О),
2.6.	Множество всех точек, лежащих внутри окружности радиуса
V^ с центром в начале координат. 2.7. Ось Оу. 2.8. Прямая
у = ix + 3/2. 2.9. Полуплоскость, лежащая выше прямой у =■
= —1/2. 2.10. Множество всех точек, лежащих внутри кольца,
ограниченного концентрическими окружностями радиусов 1 н 4
(включая окружности) с центром в точке (0, —1). 2.11. Пря¬
мая уг^ш^х. 2.12. Множество всех точек ярямоугольника

ОТВЕТЫ К ГЛ в
51S
Ifl ^ I, |р| ^ 2. 2.13. I) Прямые, задаваемые уравнением
ау + Ьх = 0. 2) Прямые, задаваемые уравнением у = —Ь.
2.14. Множество всех точек, лежащих вне окружности с цент¬
ром в точке (1, 0) я радиусом 10. 2.15. Ось Ох и точки с коор-
» V3 ^	,
данатами, удовлетворяющими условиям х= ~~2‘	2~	^
. <	2.18. Прямая у •= - X. 2.17. г = ii±_^±iL. 2.18. х-
“ Х| xj — Zs, г = 2| 4- Z2 — z», 2 = 2j 4- г» — zi. 2.1ft*. Ука¬
зание. Использовать коллинеарность векторов г« — Z| и Z2 —
— Zi. 2.20. Угол ZiOzj прямой.
§3
3.1. 1 —
s.a.2-1-.
3.4. 0. cos -^4- « sin (ft =0. 1. 2. 3. 4). 3.5. (2. 1);	1).
3.8. (6. 1). 3.8. -1. 3.9. 2, = 1, zj = /. 2j = - I. 3.10. a) (1. t):
(- i, - 0; 6) (/. 0: (- i. - i). 3.11. I a 4- 6i I = 1. a 4- чЬ -1.
3.12. Все действительные и все чисто мнимые числа. 3.13. При
= -1-1. При Ka<V2 2 = -“"*^''^^^^
1 2<
I.
а* — 1
При о > ^/2 уравнение решений не имеет. 3.14*. о > 2. Ука¬
зание. Исследовать взаимное расположение окружностей
I а* — За 4- 2 н | 2
V2
4-«'V2:
(#-0-
:а>. 3.15.
|z4-V2 1 =
3.16, 2 = 2-
§ 4
4,1. (а —а4-у4-2яа^; (о4-у-f-2яя; а—у4-
4-2яб). 4.2. (аЧ-я(*4-п): у4-я(<!-я)): (у4-я(*!-я):
а 4-я<А 4-я)^.	4,3. (2Ал; -^4-2яп^;	4-2яя; 2Ая^.
4.4.	~ у + 2***^ ~ ® “ у + Зяя^, (« + J + 2йя, у — о 4-
4-2яя).	4.5. (19; 178); (179; 46).	4.6. (168; 244).	4.7. (1; 18).
45. sin’ X 4- 3 cos* X sin х.
17*
4.9*.
, яф я 4-1
sin-у cos —g	ф
sin ф/2	'

51в
OTBErtr
sin sin
JL±1
Ф
, —	 . Указание, Если z = cos ф + / sfn ф, то
sin Ф/2
z" = cos пф + / Bin пф. Воспользоваться формулой для суийь^
членов геометрической прогрессии 2 + ** + г* + • • • + *”•
4.11*. Указание. Использовать утверждение задачи 4.10.
пх , пх
>соз-у sin
t .о а"'*'' sin пх + а" sin (п-+ 1) 2—sin х 413*2"
о* — 2о cos X + 1	■
+
Указание. Рассмотреть бином (1 + z)", где г ■■
Stga — 101g"a + tg’g
1 — I0tg*o + 5tg*o "
> cos jc +1 sin X,
4.14.	tgsa>
ГЛАВА 7
§ 1
1.2.	Последовательность монотонно возрастает. 1.3*. После*
довательность монотонно возрастает, начиная со второго члена.
Указание. Сравнить отношение уя+ilyn с единицей. 1.4. с=0,
d О, a/d > О или с О, d/c>—1, ad > be. 1.5. yi = 0 —
наименьший член; наибольшего члена не существует. 1.5.
= 4 — наибольший член; наименьшего члена не существует,
1.7*. дсв = 24 — наименьший член; наибольшего члена не суще*
ствует. Указание. Найти экстремальные точки для функции
512
f {х) = 2х + -р-. 1.8. а) я > 31; б) я > 301. 1.9*. Ни одного.
Указание. Решить в целых положительных числах неравен*
ство 2< |х* — бх + 6| <6. 1.10*. Начиная с я = 3. Указа*
ние. Рассмотреть промежутки монотонности функции /(х)=*.
= х* —5х + 6.	1.11^^ Для целых чисел из промежутка
[*’ [—invll	монотонно возрастает, для
целых чисел из промежутка	*’ последователь¬
ность монотонно убывает. Если —1/1п<7 — целое число, то после¬
довательность монотонно убывает, начиная с члена, имеющего
номер —1/1п<7. Указание. Рассмотреть промежутки монотон¬
ности функции f(x)’=xy*. 1.12. Будет; Хяе[1/Й; 2]. 1.13, Бу¬
дет; XnS[l; 4/3]. 1.14*. Будет; х„е[0; 1/2]. Указание. Убе¬
диться в том, что /(х)«= X* —2х + 3 возрастает на промежутке
[1, оо). 1.15*. Будет; x,e[0; 1]. Указание. Привести к об¬
щему знаменателю выражение в скобках.	^
§ 2
2.7*. Указание. Окружить а некоторым интервалом и
сравнить по величине члены последовательности, не попавшие

ОТВЕТЫ К ГЛ. Г
517
В этот интервал, и концы интервала. 2.8*. Указание. Окру¬
жить точку а интервалом, не захватывающим q. 2.9*. Нет. Ука-
в а и и е. Окружить точки р л q непересекаюшимнся интервалами.
2.11*. Не имеет. Указание. Рассмотреть четные и нечетные
значения п. 2.12*. lim х„ = 0. Указание. Использовать не-
П-*ао
равенство |sinx|<l. 2.13. а) lim Хл°°1; б) последователь-
П-^в6
ность предела не имеет,
§ 3
3.1.	—1/2. 3.2. I. 3.3. 0. 3.4. 0. 3.5. -1. 3.6*. 7/15. Ука*
ванне. Разделить числитель н знаменате;1Ь на 3"'*'* н восполь¬
зоваться формулой (3.4). 3.7*. 0. Указание. Убедиться в том,
что основание степени для любого п меньше 3/4. 3.8*. 0. Ука¬
за н и е. См. указание к 3.7*. 3.9*. 0. Указание. Воспользо¬
ваться неравенством Isinnll ^ 1. 3.10. 0. 3.11. —5/2. 3.12. 1/2.
3.13*. 0. У к а 3 а н и е. Домножить и разделить на я лУ1—я’-|-
-Ь ''У(1 — я^)*. 3.14**. lim Хп = 2- Решение. Докажем мо-
П->оо
нотонность и ограниченность исходной последовательности. Огра¬
ниченность последовательности докажем по индукции. Так как
x,=V2. то Xi < 2. Предпо.тожим, что х* ^ 2, тогда из урав¬
нения х|^, =Х;^-Ь2 следует, что x«+i ^ 2. Таким образом,
Хл ^ 2. Легко заметить также, что Хя > 1.
Рассмотрим неравенство
у»<2 + р.	(*)
Если члены последовательности удовлетворяют неравенству (•),
то последовательность возрастает. Действительно, подставляя
у — Хп в (*), имеем
4<2 + х„,
но 2 + х„«=х®^, и, следовательно. x*<x*^.,. Множество ре¬
шений неравенства (*) представляет собой промежуток (1; 2].
.Так как из доказанного выше следует, что 1 ^ Хл ^ 2 для
всех ле N, то они удовлетворяют неравенству (*).
Таким образом. пос.тедовательность возрастает и ограничена
н, следовательно, имеет предел. Значение предела, согласно (5),
должно удовлетворять уравнению у* —у —2 = 0, откуда yi=l,
У] = 2. Легко проверить, что число 1 не является пределом по¬
следовательности. Следовательно, пределом является число 2,
3.15*. lim Хп = а. У к а 3 а н и е. Преобразовать рекуррентное
воотношенне к виду Хя-и *=* Хя+(x« —с)* н воспользоваться

518
ОТВЕТЫ
формулой (3.5). 3.1в. Пт Xn = Ve-*-17. 1 + V* —3.!8*.
П-*оо
— 1. Указание. Рассмотреть последовательвоств,состо»
ящие яз четных и нечетных членов исходной последовательности.
§ 4
4.1.	119/3. 4.2*. (о, = 2, d=—3), (а, = —10. d==3).
1). Указание. Воспользоваться формулой (4.4). 4.4. а, =
= Р + Я — п. 4.6*. Указание. Воспользоваться тем, что если
числа и, », W — три последовательных члена арифметической
ярогрессни, то v — и = w — v. 4.6. 2/3. 4.7. 20. 4.8. 167. 4.9. 102.
4.10.	29. 4.11. 9. 4.12. 7. 4.13*. Указание. Рассмотреть сумму
членов, равноотстоящих от концов, среди Oi, .... От+я-
4.14*. 82 350. Указание. Четное число, которое делится на 3,
делится иа 6. 4.15. d = 2а,, а, Ф 0 или d = 0, а, Ф 0. 4.16*. 1275.
Указание. Воспользоваться 'формулой	—1/‘=* (х—у) (л+</)«
4.17*. 1064. Указание. Воспользоваться указанием к 4.13*.
4.18.	98. 4.19*. о, = 8л — 4. Указание. Воспользоваться фор¬
мулой (4.6). 4.20*. Указание. Выразить суммы
Oi Ч- а, -|- а„ через 5эя. S»„. Sn соответственно и воспользо¬
ваться соотношением az„ Ч- а„ = 2atn. 4.21*. Указание. Из
{ус.товия получить зависимость между а, я d и использовать
эту зависимость при доказательстве утверждения. 4.22*. При
0^12. Указание. Рассмотреть множество значений функции
/(х)= 25*Ч-25-*Ч-5‘+*Ч-5'-*. 4.23. x=log25. 4.25*. Пока-
V5 - V3
эать, что 	fev
л/з - VJ
4.26*. Нет. Указание. См. указание к задаче 4.25*. 4.27*. Да.
Указание. Если длины сторон равны соответственно а, Ь,
с, d, то необходимое и достаточное условие возможности впи¬
сать в четырехугольник окружность заключается в том, что
в Ч- с = 6 Ч- Л
§ 6
БА 6, = 5. 6, = 405. 6А (7.-14. 28. -56). БА 54 = 40.
5Л. (1, 3, 9).	5.6. (1. 3. 9).	5.7. (3. 6. 12)г (I (9 + VSs), -6,
-|-(9-5.8. (2, 4. 8. 16); (16. 8, 4. 2).	5.9. (2. 4. 8) или
(8, 4, 2). 5.10, (I, 5, 25): (25, 5, 1). 5.11. ^ = 2. 5.12.
не является рациоиальным числом.

5.13.
5.14.
ОТВЕТЫ К ГЛ. 7
1
519
I
(2 + V3)
т—1
5.17*. S„
(2 + V3)“-*’	(2 + л/зТ‘®’
■2а.
Я^-1	Ц+х^х^
Указание. Возвести выражения в скобках а квадрат н сло¬
жить возникающие при атом геометрические прогрессии
6.18*. Sn = 4		Указание. Рассмотреть раз¬
ность Sn —5.19*. Sn ■=• •
пх‘
п+1
к'*+' — J
2		 (X —I) (X —1)* •
Домножить обе части равенства на х а из 5» вычесть xSn. 5.20. 28.
3	1	3
5Л1. 54=1—; q = —, 5.22*. Указание. Воспользоваться
методом, предложенным в примере 5.2. 5.23. ^6, 3,
5.24. ^6, ~y).	5.25.
о (а + х)^
5=
5.26*. X > 0. X дЬ ± а.
2S - 1 •
- — ,,	г . Указание. Для нахождения знаменателя
4 (о — х) ах
прогрессии q разделить bt на Ь,. Относительно х решить нера-
8д
венство вида | ^ (х)) < 1. 5.27. р =	5=»2о*. 6.28. Усло-
2 — V2
вме имеет вид	=> 1. 5.29. Числа 11, 12, 13 не мо¬
гут быть членами одной геоиетрнческой прогрессии. 5.30. 5.
5.3L 3/2.
§ 5
6.1.	(4. 8, 16);	-Я, |ij. вА (3. 6. 12); (27. 18. 12).
6.3*. 931. Указание. Воспользоваться представлением''числа
в' десятичной запнен, т. е. представить искомое число в виде
a-KP-f &-10 +с, где а —число сотен, & —десятков, с —единиц.
6.4. (32. 16, 8, 0); (2. 6, 18. 30). 6.5. (2. 10. 18, ...); (2, 6, 18. „.).
6.6. Ь, =27. 6.7. (24, 27, 30	 54) н (24. 24, 24. ...). 6.8. 9 =
= 3/2, 9=1.
§ 7
7.1.	Да; Xnsj^O; 1-jj.	7.2. Нет. 7.3*. Да; x„s[—8; 11].
Указание. См. указание к задаче 1.4. 7.4*. Девять членов.
Указание. Воспользоваться формулой суммы геометрической
прогрессив. 7.7*. Указание. Воспользоваться свойством сто-

Б20
ОТВЕТЫ
роя треугольника. 7А litn	7.9. 1/3. 7.10. 0. 7.11*. 630,
Л«^ов
ite, 763. Указание. Пусть х — число сотен, у — десятков н
Z —единиц. Тогда первое условие задачи приводит к уравнению
х-100 + у*10 + 2 •= 45р, где р — целое число. Так как х, у, г —
последовательные члены арифметической прогрессии, то 2у а
= х +г. Используя условия задачи, можно составить систему
двух уравнений с четырьмя неизвестными;
jt* 100 +у • 10 + г-*4бр,	2y»=x + z,
которую .необходимо решить в множестве целых неотрицатель<
них чисел. 7.1^**. Решение. Согласно формуле (4.3), нсполь^
зуя условия задачи, получаем
пр.
кр.
Исключая из системы Oi, получаем
о_ — в.
-=р (п — к). Исполь*
зуя формулу (4.2), имеем d{n — k)=2p{n — k), и, следова*
тельно, d <= 2р, а\ «= р. Используя опять формулу (4.3), полу»
чаем искомое выражение:
5	_ 2р + 2р(р-1)
Ор	-г	р — р ,
7.13*. Указание. Домножить я разделить каждое слагаемое
на выражение, сопряженное знаменателю. 7.IS*. (8, 4, 2. 1, 1/2,
1/4). Указание. Из первых пяти уравнений следует, что числа
X, у, г. S и t образуют геометрическую прогрессию. 7.16*. Ука¬
зание. Представить кдждое число, входящее в доказываемое
выражение, как сумму членов соответствующей геометрической
прогрессжь 7,17*. .4 = 2, В = 32. Указание. Использовать
теорему Виета. 7.19*. У к а з а н и е.	= Т * Т -
	: * . + 4-• -г-г^.	7JS0*. Указание. См. указание
к — I 2 к + 2
к 7.19*. 7.22.	^—-^, 'еслн п чет-
я+1	,,	н(н+1)
ное; —2нечетное; б)	^	, если п четное,
rt(rt+l)	, n(rt+l)(3ft* + 7n + 2)	«
—если я нечетное; в) —5—■—-	7.24. (к
7.25.	0,5. 7.20. 3л/Ъ12. Указание. Под знаком предела стоит
сумма я членов геометрической прогрессии со зна.менателем
в =1/3. 7Л7, 1,6. 7Ж 1/3. 7Л9. 1,25. 7.30*. 1. Указание. Из-

пользовать соотношение
OtBETbl к ГЛ. т
t	1
ft (Л +1)
521
ттг ijr-
Указание. См. указание к 7.30. 7.32. 1/4. 7.33**. Реше¬
ние. Заметим, что
V2
Далее,
cos
V2 + V2 /^2^1 + ^)	^/2(1 + 003^)
аналогично'
д/4соз*|-
1
я
COS-
V2 + V2+ ... V2 +V2
Таким образом, Од
п радикалов
I
I
Л	л
cos — cos —
4	8
л
2П+1
и поделим Од па 2 sin	получаем
Домножим
2	sin
ап-
2"+
л ч „ л . л
cos — • cos — ... 2 cos • 8Ш —T-r
4	8	2"+‘
2 sin
2" sin
2»»+1
Л Л	Л . Л
cos jcos — ... cos .s«n
I «
sln-j
Умножим и поделим последнее выражение на тогда, нсполь-
.. sin X ,	,	л
зуя равенство lim 	= 1 в обозначая х = ддч-!'* "олучии
Нт Од= lira •
П-» 00	д><»
дП + 1
.л
’Sin
2П+1
2’

522
ОТВЕТЫ
7.84.
1 + УГ+Та
7.35*. Указание. Воспошзомтьси
V2	я Уз	я	.	л »
тем, что -^^ = соз—; -^ = соз-^, я формулами 2соз»л:
2	4	Z	о
=» 1 + cos 2х, 2 sin* л = I — cos 2л.
ГЛАВА 8
§ I
1.8*. Указание. Рассмотреть последовательности
я(1 + 4л)
г(2) _ .
я (3 + 4л)
„ . х — а л + а
• 2 sin —S— cos
§ 2
2.1.	1. 2.2. 0. 2.3. 1. 2.4. 2. 2.5. 0. 2.6. 0. 2.7. & 2А Зл»
2.9.	00.	2.10. при о	О, при п = О предела не существует.
2.11. а) --|У2; в) д/|-. 2.12. а) -1/3; б) 1. 2.13*. -3/2.
Указание. Выделить в числителе и знаменателе множитель
(л — 1)*. 2.14. 4/3. 2.15. 3/2. 2.16. У2'/2. 2.17. О, 2.18. 3/2. 2.19. 4.
2.20.	—2/3. 2.21. 1,5. 2.22. 1,5. 2.23*. —1,75. Указание. Перейти
к переменному у = —	2.24. 2. 2.25. 8.	2.26. 3/4.	2.27. л/т.
2.28*. cos а. Указание. Использовать формулу sin л — sin а =
^		 -г,	•	2.29*. я. Указание. Обозначить
2	2
п/п ■= л. 2.30*. я. Указание. Обозначить л + 2 = у и исполь¬
зовать формулу tg я (уЧ» 2) = tg яу. 2.31. —1/У2. 2.32*. —24.
Указание. Преобразовать выражение, стоящее в числителе,
tg л sin (л — я/3) sin (л + я/3)
к виду —=	^—5	и воспользоваться соот-
■’	cos* л cos* (я/3)
ношением cos ^л -f = sin — л^. 2.33*.	У к а з а-
н и е. Преобразовать выражение, стоящее в знаменателе, к виду
4 sin	^ sin	• 2.34. 0. 2.35*. 1. Указание. В чи¬
слителе добавить и вычесть единицу.
§ 3
3.9*. Указание. Использовать формулу cos (л-1-Дл)—cos л=а
*= —2 sin sin ^л -f • 3.10*. Указание. Воспользо¬
ваться неравенством In (1 -1-лХл. 3.11*. Указание. Исполь»

ОТВЕТЫ К ГЛ. 9
S23
soBBTb результат предыдущей задачи. 3.13. Функция
терпит разрыв в точках л = я/2 + яп, яе Z. 8.14. f(0) = l.
3.16. F (0) — 2.	3.16. f (0) = I. 3.17. f (81) — 1/6.	3.18. >1 =- I.
3.19. Л =.0.	3.20. Л = 3/2.	3.21. Л =1/2.	3.22. Л = 2/m*.
3.23*. Л = 2/л. Указание. При вычислении предела lim f (л)
х-ы
ввести обозначение z = 1 — л. 3.24. Ь/а = л/2.	3.26. а = 1.
3.26.2а —3 = 0. 3.27.3а-6 = 0. 3.28.а + б+ 1=0. 3.29. 6 = 4.
3.30. а = 3/2 + 2п. ЗЛ1. а = 3/4.
§ 4
4.1. -I.	4.2. 3/4.	4.3. Да. (2 > -7/22 + 1/4).	4.4. Да.
(1/2 + V2 > -3 + lg 5). 4.5. 3/7. 4.6.2/3.'4.7. оо. 4.8. оо. 4.9. 1/соз* а.
4.10. -«tgв. 4.11. cos’а. 4.12. V2/4.	4.13. V^/2.	4.14.1/2.
4.15. 1/2. 4.16. 2 л/2. 4.17. оо. 4.18. 1/2. 4.19. оо. 4.20. л/з /З.
4.21. 2. 4.22. 0. 4.23. 2. 4.24. 2. 4.25. sin 2а. 4.26. 1/2. 4.27. I.
4.28. 1/2. 4J29. sin 2а/соз^ а. 4.30. -2 sin 2о. 4.31. 3. 4.32. 3 л/t
4.33. — л/2.4.34. 0. 4.35. 2а/я. 4.36. а/я. 4.37. 2. 4.38. 1/2. 4.39. а.
4.40.3/2. 4.41. f(3) = 2.	4.42. /{0) = -1/8. 4.43. f (0) =-4.
4.44. Л = 3/4. 4.45. Л = 1/2,
ГЛАВА 9
§ 1
1.1. /' (л) = -	1-2. Г (л) = - sin л.	1 Л*. Г (л) = в*.
— 1
У ка ванне. Использовать равенство lim 			= I,
Д*-ь0	А.*
1.4*.	/'(х) = —. Указание. Использовать равенство
X	к
Цп, 1»(Н-М _ J 1^* /'(х)	Указание. Вое-
Дх-ьо AJf
пользоваться формулой бинома Ньютона. 1.6.	/'(х)=0.
2
1.16*. Указание. См. задачу 7.1.6*.	1.12. —j=-
1.13.
1.15.
1.17.
-2х
1.14.
cos л/л
л/л (2 —л/л)*
1.16.
v> —«‘(l+Jt*)	4VлsinV*
^Vln(ax»+»x+cl ^2ax + 6)	. ...	1
2-^la(ax^ + bx + c) {ax^ + bx+c)
2я6тпл**~‘ (я + 6л")"~*
(0-6x")™+‘
1 + л*
1.18. sin’ л cos* л.

524
ответы
1.I9*	, i ^—г~.	1*20. — -•-у tg — ■
eln^ X cos^ X	JS*	X
*
1.22. Г (х) =.0. 1.23. Г (х) =» -2х. 1.24. f' (х)
1 ~ я ..<1-2
1.21. rw = i.
^	2тУл»ф
т
+ 3-:—^x<'-2»V«
1.26. /' <х)
1.2в. /' (X)
-* (8-/9)-гР<*. ^.2^.r^x)=\ 1.28./'(*)=.! (,2_1)-W2x.
V2
1.29. Г (X)
X*	6
.. 1.30. Г (X) = V2 .	1Л1. /' (х)
2 (X* - l)®'^
“Т Vt-	“{ ГX“““"
упрощения вида функции /(х) обозначить Vx — 1=/. 1.33. f (х)=
f 2. X е (0; 1).	/' /х1 >= I	X е (- оо; 0>_
\2/3.хе(1;оо).	Мх) I
,Д-
	 I 1/лЛГ=^
V2x —4=*<.
•2 X г (4; оо).
1/2, X е (0; оо). '
У к а 3 а н и е. Обозначить
§ 2
2.1. При X S (—оо; —2)U(—I'. °®) f(x) возрастает, при
*s(-2; -3/2) и (-3/2; -1) /(х) убывает. 2.2. При хе(0; 1)U
11(1; е) /(х) убывает, при х е (в; оо) /(х) возрастает. 2.3. При
f S R / (х) возрастает. 2.4. При х е (2; 3) f (ж) возрастает, при
хе(3; оо) /(лр) убывает. 2.5. При xs(—оо; 0)U(1; оо) /(х)
убывает, при х г (0; 1) / (х) возрастает, 2.5. Убывает при
X е (- оо; 0) и (0; оо). 2.7*. а s (- оо; -2 - VH U (V^: “)■
Указание. Условие задачи эквивалентно условию /'(х) >0
для X г R. Выяснить, при каких значениях параыетра а вспоио*
гательная функция g (1), получающаяся из /' (х) заменой t = cosx.
Положительна на промежутке [—1; 1]. 2.8*. в€(6; оо). Указа*
пие. Вычислив значение производной, найти область измене*
Пия а, при котором она будет положительна. Использовать не*
4>авенство ] cos ах |< cos 0 для любого о. 2.9. Хщах	Ушах	■= 8;
Хщ1п “ 2, Ут1п 0. 2.10. Хщах “ "з"	4"
Xmln“		—”2’
I *=■ 1| Утах“1. 2.12. Хтах = 3, Утах ““ "5 S
Rmln'
I — i-
2 ® *
Xmln““3, Ут1п — “"o'*	2.13, Хшах™ “ 2, Ушах =*25; Хш1п™Ь

ОТВЕТЫ К ГЛ. 9
т
Ут1п “—2. 2.14. Хщ|п =3 S,	2.16. Хщах”* Утах“*17{
Xmln" 3, Ут1п**"47,	2.1в. Xmax®“8i Углах* ""2; Xniin*2,
Ут(п “ 2.
§ 3
3.1.	max f(x)=3; min /(х)=1. 3.2. max f(x)=17;
xaal-l-.lj	хаЦ:П	хе1-2;П
3 л/з	^
min /(х)-=0. 8.3. max /(х)*—-5—;	min f(x)=»0.
ха 1-2; I]	xs[0;nl	° xstO;nl
8.4.
min /(x)=0,5; max / (x)=|. 3.S. max /(x) =
310; m	xe 10; Я/21	4 xal-iV2: я/21
9 X a 1-Я/2; Я/21	4
3.8.	max f (x) = 0;
ха[я;3>У2)
4
min /(x) = —1.	3.7*. max/(x)»	mln/(x)e
хе1я;Зя/21	xeR	8 — V2 xa«
. Указание. Перейти к переменному у sin х -|-
■4-^, min f(x) = 2.
3	хо(п/в;>«3]
max f (х) ■
xain/e; пт
3.9*. min f (х) =» 3. Указание. Перейти к переменному
X е [0; п)
у = cosx. 3.10. max f(х)=я/(0)=1; min /(х)=/Х—1)=0.
X S 1-2; 0]	X е 1-2; 01
3.11.	а) max /(х)=/(2) = 4, min f(x)=2;6) max /(х)—
xel0;21	ха|0;2|	xel-2;0)
в/(—2) =4; min / (х)=2. 3.12. max / (х)=2; minf(x)=—2.
X а t-2; 0|	X а R	X s R
8.13.	max /(x)=>2l+31n2, min f (x) «О. 3.14. Xmin=4l
xs|l/2;4|	xe[l/2;41	<>
max f (x) = 105. 3.15. max / (x) = / (5) •= 5;	min f (x) =■
X a (0; 3]	X e 10; 10] .	x s (0; 101
.p=/(0)-f(l0)=.0.	8.13*, max / (x) = f (3) = 4 V5
X a 10; 3|
min f(x) = /(l) = 0. Указание. Перейти к переменному
X е 10; 31	_
у = (х — 1)’ И воспользоваться тем, что g (и) = V« “ монотонно
возрастающая функция. 3.17. max у = 4; min у=3/2,
X е 1-5/2; 1/21	ха 1-5/2; 1/21
§ 4
4.1.	(0; оо). 4.2. [3; 3/cos’ 1,5]. 4.3. Пустое множество.
4.4*. [—1/3; I]. Указание. Можно найти максимальное и
минимальное значения исходной функции, но есть и другой
способ, состоящий в том, чтобы рассмотреть значения у, прн
которых уравнение у(х*^—Зх +3) = х —1 относительно х имеет

SM
ответы
дейстаительные решенма. 4.5. а) уе{0; 1/2); б) уб(—1/2; 1/2].
Указание. Рассмотреть н^мшенство, саааыаающее выра-
^кепня, обратные к левой и правой частям исходного .веравен-
^ва. 4.7*. Указание. Представить f{x) в виде /(ж) =
2sfnx — 2 sin* ж и заменой < = sinx свести задачу к дока¬
зательству (шраведливости неравенства min g <t) > —7/9.
<e|-l; I)
где g(t)=2t — 2/*. 4.8*. Указание. См. указание к 4.7*.
4Л*. Указание. См. указание к 4.7*. 4.11*. Указание. См.
указание к 4.4*. 4.12*. а (
-со:
16
Ук
а 3 а и и е. Ис¬
пользуя второе ^уравнение, получить неравенство с «араиетром
относительно одного неизвестного. После этого найти наимень¬
шее значение функции при каждом а н указать множество всех
значений а, при которых это значение меньше 4. 4.13*. 44. Ука¬
зание. Воспользоваться тем, что о«-f Oj = Oi-Ь Оц. 4.14*. а =
= —4/3, а = —8/3. Указание. Использовать свойство гео¬
метрической прогрессия: о*	4JS. 2/3. 4.J8.	— •-
4.17*. а =.9, Указание. Найти min функция у =
lx.
1
sm X
1 — sin ж промежутке (0; я/2): см. также указание
к 4.7*. 4.18*. Указание. Воспользоваться соотношением меж¬
ду средним арифметическим и средним геометряческам двух
чисел. 4.19*. Указание. Представить г в виде 2= (ж-]-у-1-
-]-1)*-Ь(ж — 2)* — 3. 4.20*. в = I, Указание. Воспользовав¬
шись теоремой Виета, выразить сумму квадратов корней урав¬
нения как футецию а. 4.21*. Указание. Найти наибольшее и
X
наименьшее эначеияя фуниияи
X + X-
J- при X S В; см. также ука¬
зание к 4.4*. 4.25*. Указание. См. указание к задаче 4.4*.
4.26*. Указание. Использовать представление sin* ж cos* х =
= 1 --|sin*2x. 4.28. 3 корня. 4.29.	= 0. 4.30. 1)
§ б
6.1.	18 = 9 + 9.	6.2. 36 = 6 - 6.	5.3. 40 + 80 + 60=180.
а. ■б.б*. р = —2, д = 0, расстояние равно 1. Ука¬
за яке. Расстояние от вершины параболы до оси Ох предста-
4
вляет собой ординату вершины. 6.6. —=-.	5.7. Координаты
’	*	V3
а й
6.4. -5- + ^

ОТВЕТЫ к гл. в
523
,±2
v?>
вершин прямоугольника, дежащих на параболе:	:
5.8. Высота конуса, нмеюшего наибольшую поверхность, состав¬
ляет 4/3 радиуса шара. 5.9. Диаметр основания н высота ци¬
линдра равны 2/V^> 5Лв*. Площадь круга, оиисанного вокруг
равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами
будет ыаинемьшей. Указание. Воспользоваться тем,
что гивотенува врямоугольного треугольника явлоется диамет¬
ром овисаниого круга. 5.1 И. tf = п/3. Указание. Восполь¬
зовавшись тем, что треугольник ABD прямоугольный, выразить
боковую сторону II меньшее основание через диаметр описанной
окружности. 5.12*. Наибольший периметр имеет треугольник,
у которого один из углов при основании равен п/2 — а/2.
Указание. Использовать теорему синусов. 5.13. 30 кв. ед.
3 ’	3V3
а = л/3. Указание. Использовать формулу г ■= S/p, где
5 — площадь, а р — полупериметр треугольника. 5.18. а =
V
5.19. а = я/4. 5.20*. h =(р/* —Укач
гд
5.14.	2а.	5.15.	5, 5.16. а = 2 arclg
5.17*.
: arccos
зание. Связь между аргуневтаин функции, наименьшее значе¬
ние которой требуется найти, устанавливается вз подобия пря¬
моугольных треугольников, nraoTOiysaaiK которых являются
внешняя в внутренняя по отношению к башне части жесткого
стержня. 5Л1. Длина — 30 см, ширина — 20 см. 5.22. а) х =
«-'Vt-
5.24. Сторона площадки, примыкающая к степе, должна быть
вдвое больше другой стороны. 5.25. AM ^ а'^	+-^q) .
5.26*. К точке отрезка А В. удаленной от В па 1 км. Указа¬
ние. Время достижения точки В как функцию ноордипаты точ¬
ки, к которой должна пристать лодка, необходимо представить
в виде суммы двух слагаемых, одно из которых — время дви¬
жения по воде, а второе — по суше. 5.27*. Через время
2 '	*
2/и,
(с)1Г(/о) =
Эй
ская энергия
27 ~W
( г-см*\
в момент i равна W (/)
а 3 а н и е. Кинетичс-
«(О V» (/)
где
m{t)—масса капли к моменту а У(/)—достигнутая к мо¬
менту / скорость. 5.28*. 20 км/ч. 720 р. Указание. Восполь¬
зоваться тем, что стоимость единицы пути складывается из двуа

вгв
ОТВЕТЫ
величин, из которых первая пропорциональна кубу скорости,
а вторая обратно пропорциональна первой степени скорости,
8.29. X (р) — min	, где х(р) — расстояние от станции
железной
ч.
23	27
дороги до пункта Л 8.30, —ч. 6.81*. 1
Указание. Расстояние в момент времени t между поездом
и автомобилем представляет собой третью сторону треугольника,
двумя другими сторонами которого являются расстояние, прой¬
денное поездом, и расстояние, которое осталось пройти автомо-
а
2о
2
билю, соответственно. 6.32*. Через ч. Указание. См.
указание
расколот
II по берегу. 6.37*.
5.33. tj = -^h. 6.34. Бриллиант был
Сопротивления должны быть одннако*
к задаче 5.3 Р
пополам. 5.35.
выин и равными Б.3в*. о max | агссоз arctg — j-.
Указание. Время движения гонца, как функция координаты
точки причаливания, складывается из времен движения по воде
sin а У|
sin р “■ Ks ’
угол преломления луча. Указание. Выразить путь луча в
каждой среде через координату точки падения на границе сред;
Найти отношение путей в каждой среде к их проекциям на гра¬
ницу сред, при котором достигается минимум времени прохож¬
дения всего пути между точками Д и В. 5.38*. о = р, где а —•
угол падения, р — угол отражения. Указание. См. указание
IRt , IRi
где а — угол падения, а р —
к 5.37*. 6.39. /,
Л| + Лз’ Ri + Rt'
токи следует обратно пУопорционально сопротивлениям, через
которые должны быть пропущены эти токи. 5.40. 6000 р.
6.41*. л = 8. Стоимость затрат ж2,8л/2 млн.р. Указание.
Если Цх) — функция, выражающая зависимость стоимости от
построенной площади, то следует искать наименьшее значение
т. 6. разветвить
функции F (л)«
\ п
где п — число построенных домов.
5.42*. А-\/2 м. Указание. Искать расстояние, с которого тан¬
генс угла обзора будет наибольшим (тангенс —монотонная
функция своего аргумента). 8.43*., (л/кь^ — За* — б) • 3~'^ .
Указание. Искать расстояние, при котором тангенс угла, об¬
разованного точкой остановки автобуса и двумя противоположи
иымн сторонами фасада дворца, будет наибольшим. Выразить
этот угол в виде разности углов, под которыми видны дальний,
и ближний (по отношению к шоссе) концы фасада дворца.,'

ответы к гл. о
«29
КР
8.44*. ф = arctg /С; F =	- Указание. Воспользо-
V1 + К*
ваться тем, что сумма сил в плоскости движения должна быть
равна нулю. 5.45*. а>=р. Указаняе. См. указание к преды¬
дущей задаче. 5.48. ^/2ар1К. 8.47. р = 2,4 (хо = 5/3; уо = 5/9).
6.48*. (1/2; 7/4). Указание. Задача сводится к нахождению
точки С параболы, максимально удаленной от прямой BD,
8.49*. Наименьший периметр треугольника АМВ равен VtO +
+ 2	+ V34! Положение точки М, при котором достигается
яаименьшнй периметр, —А4(0;0). Указание. Рассмотреть точ¬
ку, симметричную точке А относительно прямой у>=х. 5.50*. Точ¬
ка М должна делить пополам отрезок прямой, заключенный
между сторонами угла. Указание. Исследовать изменение
площади треугольника при изменении наклона прямой, прохо¬
дящей через М. 5.51. Две оставшиеся вершины получаются при
пересечении сторон угла прямой, соединяющей точки, которые
являются симметричными образами точки М относительно сто¬
рон угла. 5.52. 2/?sin-^. Б.53. ~	— а\ 5.54. Длина
стороны основания —2 см, объем —4 см®. 5.55. Стороны прямо¬
угольника, имеющего наибольшую площадь, равны R‘^2j2.
8.58. 5я/9. 5.57*. 5шах =“ Л* tg Указание. Рассмотреть
два случая: первый — две вершины искомого прямоугольника
лежат на одном из радиусов, образующих сектор; второй —
по одной вершине на радиусах и две на дуге сектора. Во вто¬
ром случае следует разбить сектор на два одинаковых сектора,
Тогда задача сведется к первому случаю, рассмотренному для
каждой половины отдельно.
§ 8 _
8.1.	(V2;	2-^/2) и (-V2; 2 + V^-
8.3. у =■ — л/8х -Ь ^	^	arctg 9; у
8.2. у = 2.
= 9х-2з4-.
4
8.8*. (1/2; —15/32). Указание. Координаты точки касания
можно получить из уравнения f' (х) = А, где к — угловой коэф¬
фициент касательной. 8.8. (0; 2). 8.7. 2. 8.8. у =i8x + А, 8.9. Хо=
1	-Ь arcsin —-1- —.
4V2	4
лил	I Л/t
8.10. ял; —	■;
8	4
ns Z. 8.11. (^ 0);
МО; 0). 8.12*. (3; —15); 21/2; 21; (—1; 9); 19/2. 19. Указание.
(Условие задачи дает возможность сразу определить угол, обра¬
зуемый искомой касательной с положительным направлением
зси Ох. 8.13* а=1. Указание. Условие пересечения прямой

бЭО
ответы
в параболы .равносильно сушествоваыню двух действительных
корней соответствующего квадратного уравнения; полусумма
абсцисс этих корней по условию задачи должна быть равной 2.
в.14. # = —Зх —4. в.1Б. р = х + 4, j, = _x + 4. в.17. (2; 8/3);
(3; 7/2). 6.18 Зл/4. 6.19**. Решение. Продифференцируем
каждое уравнение, считая, что у — функция от х. Имеем р+.
+ у'х = О и 2х — 2уу' ш= 0. Выражая у' в каждом из уравне¬
ний, имеем у' = —у/х, у' = х/у соответственно. Следовательно,
в любой точке Af(xo; уо), являющейся точкой пересечения кри¬
вых, произведение угловых коэффициентов касательных равно
—1.
6.20*. У к а*з а н и е. Показать, что произведение угловых
коэффициентов в точках пересечения линий разных семейств
равно -1. 6.21. (д/.1; Ь^± + 2с).{-^Ъ 2с-Ь
при ос> 0;	<0. 0) при
6Л2. (в	— (5л + Ь-
Х(2а-б)-10о-б).
— Va* — (5о -h 6 — 6) (2в •
(в, 2а* — 10а — Ь), если
с = 0; нет решения при ос < 0.
■в);	2а* + V«* - (5а	6 — 6) X
(а —Va* —(5а-Ьб —6^	2а*-—
Б)—10а—6), если о*—(5а-|-6—6)>0
нет решения
если а* — (5а -f 6 •
а* —(ба +6 —6)=0;
6)<0. 6.23,
>	I	2	,	,
*0 *0
где
Хо=
если а = о, Ь 1; хо -= у при оч^О, 6 I; Хо >
при а чь 0, б -= 1 -f- -L;	= —l±Vl+a(l	Ь) ^	а>0,
а	I “ О
6ч*'1|Ь< 1 + -^и при а о, ЬФ1, 6 > I -f -Ь. В остальных слу-
а	а
чаях (а = о, 6=1; а > 0, б > 1 -f 1/а; а < 0, 6 < I 1/а) реше¬
ния не существует. 6.24*. у=> — х + 5/2, Указание. Условие
пересечения двух линий y^ft(x) и у = /г (х) равносильно сов¬
местности системы уравнений y = fi (х), y=^ft (х), решения
которой являются координатами точек пересечения. 6.26. (1/8;
1/16).	6.26*. ф■=>л/3. Указание. Искомым является угол
между касательными к окружности, проведенными через точку
(8; 0). 6.27. (—0,4; 8,8), если точка М двигалась по окружности
против часовой стрелки: (6; 4), если точка М двигалась в обратном
направлении. 6.28. р == 2bk. 6J29*. Прямая у -= —1/2. Указание.
Геометрическое место точек, нз которых парабола видна под
прямым углом, представляет собой множество точек пересечения
касательных к параболе образующих прямой угод.
6.30.	arclg (—4/3). 6.3!*, Окружвость х* + у* = а* 6*. У к а в а-

ОТВЕТЫ К ГЛ. 9
S3T
няе. См. указание к 6.29*. 637.	1/2е. 6.38. Точка с коорди-
ватами (О, 2).
§ 7
7.1*. —1.5 м/с (знак минус означает, что y{t) уменьша¬
ется). Указание Если y{i)—закон изменения пути верхнего
конца, а х(<) — нижнего, то следует учесть, что х* у* = 25.
hi
73. У (О = —знак минус означает, что тень уменьшается.
73. Убывает со скоростью 0,4. 7.4*. 15 см/е Указание Мо¬
мент встречи оаредедяется нз условия X|(1) =■ xj(0-
7.S**, 2o|sin(^/)|. Р ешепие Введем систему координат
таким образом, чтобы колесо катилось по оси Ох, а ось Оу
при t — о проходила через центр колеса. Тогда на основании
закона независимости движений имеем следующие законы изме¬
нения абсциссы и ординаты гвоздя:
х(/) = о(0 —l?sln(-y у {t) = R — R cos
Таким образом,
X' (0-o--|/?«)»(-|-<)=n[l-co»(^/)],
у' (0 =• -^ о sin	" s>n (•^ ')•
Скорость гвоздя в момент времени t будет равна
У= V(x')» + (yT =п д/1-2соз
> 2п sin
7.6*. Скорость равна нулю. Указанпе. При. движении
точки по окружности абсцисса изменяется по закону х =
_	,	- ь У“ sin* а
= R cos о)Л 7.7*. Л = -
2г
Указание. Изменение вы-
соты подъема тела происходит по закону А (/) = У sin at —
вертикальная составляющая скорости в точке максимального
подъема равна нулю. 7.8. 12 рад/с. Колесо остановится через
„	„V 21* - 6<*-I-12/	,,
2	а 73*. о (1) = —	. . Указание. Выразить рас-
V/«-4/*-M2<^
стояние между телами в момент / как третью сторону треуголь¬
ника, двумя другими сторонами которого являются Si(/) и

932
ОТВЕТЫ
Si(/). 7.10. 40 км/ч. 7.И**. В момент времени <=(/i + /»)/2 пред*
мету следует придать скорость V Vo + oh- Закон движения
предмета имеет вид
V^o< + at^t - а<?/2. h < ^ <(<i + 'г)/2.
VoM-e/2/-a/|/2,	<>(f, + <2)/2.
Решение. Отделившись от ракеты в момент времени U,
предмет движется равномерно со скоростью, достигнутой раке*
той. в момент отделения предмета. В некоторый момент t пред*
мет мгновение) увеличивает свою скорость до некоторой вели*
чины V и снова движется равномерно до встречи с ракетой
в момент /}, причем в момент h их скорости одинаковы. Следо¬
вательно, аакон движения предмета вне ракеты представляет
собой ломаную линяю, звеньями которой являются касательные
к параболе S{1)= Vot+{,at*)/2 в точках /| и to- Абсцисса I
точки пересечения этих касательных — искомый момент временя.
Скорость, которую имеет предмет в момент времени t, совпа¬
дает со скоростью в момент времени h и может быть найдена
как производная функция S(/) в момент времени /г. Так как
S'(t) = Vo + ot, то касательные к параболе S{t) в точках /i
и h имеют вид
S	(О = S(/,) + (V»+	■
S (/) = S (<,) + (К* + ah) (/ - h).
f
Рассматривая (•) как систему уравнений относительно пары не¬
известных (S, t), находим, чтр t = ()i + fj)/2, и, следовательно,
закон движения предмета представляется в виде, указанном
в ответе. 7.12*. I, —— 2S[. Указание, Закон движе¬
ния ракеты после отключения двигателей может быть записан
в виде уравнения касательной к кривой, являющейся графиком
закона движения.
ГЛАВА 10
*•
§ I
1.1*. arcsin■	— In (х + V'*’ + 2) + с. Указание. Раз-
V2
де.тить почленно на знаменатель н воспользоваться формуламя
(16) и (17), 1.2. -| X®/® -	+ с. 1.3*. - j (1 - X)®/® +
-J-(1 — х)®^®с, Указание. Преобразовать /(х) к виду

ОТВЕТЫ К ГЛ. 10
533
f (х) — V* —•* — (I — ж) V* — *• Для представления f (ж) в таком
виде удобно ввести переменное / = i — х; тогда f(x)=g (/ (х)),
где g(0 = (l-0Vr = VT-<V^ М*.	+
8 /	\3/2
+ -д(1—. Указание. См. указание к 1.3*.
1*6*. —^(2х — I) * +	(2х — 1) * +с. Указание. См. ука-
ванне к 1.3*. 1.6*.	М +	+ с. У к а з а н и е. Пред¬
ставить f (х) в виде f (х):
У(1+ж)» Vl+x
1.7.^-
Г-Ж + С. 1.8. < + 1п1<1 + с. 1.9.
12х®/*
4-с. I.I0. -уж®'® +
Ц-4х-'« + с. 1.11. 2х'/®-|-х®^-Ьс. 1.12. -х + с. 1.13.x-
—	+ с. 1.14. ж + X» + с. 1.15. тж*'"* + Зпх'/" + с. 1.16. х* -
^х + с. 1.17.	+с.
1.18.	2х —81п|х| + с.
1.19.	ж + 2 In I ж - 21 + с. 1.20. \/2х + С. 1.21*. - cos 12ж -
•--^cos 10х—-^соз9ж—^созИж + с. Указание. Пре¬
образовать подынтегральное выражение к виду sin 12х + sin 10х-Ь
4- sin 9х + sin Их и воспользоваться правилом 4) и формулой (4)
таблицы первообразных, 1.22. —г	4ж-fcos 5х-1-4-cos 6ж—
4	О	О
•-У cos 7х-4-с. 1.23. sin а — cos а + у sin Зо—^cos3o-f-c.
’m -j-ж-ь -^Sln8x-|-C.	1.25. -^ж + .^cos4x) -f-с.
X	1
1.26.	— V2 cos y-4- c. 1.27. — у cos 2x + c. 1.28. — 2 cos x -J- c.
1.29.	—ycos8x-bc. 1.30. _.ycos4x-4-c. 1.31.-Jx — -f c.
1.32,	sin 2o — о + c. 1.33. tg ж — X -f c. 1.34. — ctg ж — ж -b c.
- § 2
.	2.1. yc=.x»-|-1. 2Л. j/ = x». 2.3. y = 5x-l. 2.4. у = -^-
— y. 2Л y-
X» , 7
—+ T
■ -4-1.	2.6. у =■ 3 In X -4-1.

634
OlSETbl
2.7,	S (О “■ 2 — 0,25 cos 2t (m). 2.8. p ^ 2, одни раз пешеходы
встретятся при р«2.
5	3
3.1.	8. ЗА 1/2. 3.3. 0. 3,4. 8. 3.5* -2^. Указание.
•Э
X	73
Сделать эаиену / = 2 — у. З.в*. —I	Указание. См.
указание к 3.6*. 3.7*.
33/2_ 23/2-1
• Указание. Избавиться
от рациональности в знаменателе. 3.8. —. 3,9.	3.10.'
.	4	15	4
З.М. In 2-у.
3.12. —5-.
3.13.	-.
3.14. VZ
3.16. i(lg-^-tg-^).	3.10.2.	3.17.1.	3.18.2-^.
3.19. 2л/2!	3.20, 2 V2 +-|-(3®'*-2®'2),	3.21. In 2,5 +2,5.
3.22, 4 In 4-.	3.23. 2	3.24. 3 V2 - L
§ 4
4.1. min F(x)=F(0) = 0, max f (x) = f f 4-^ = I.
X s 10; Я/2)	X e Ю; «/2|	Ч 2 У
4.2. min f (X) —f (2, 5) = —6,25, max F ix)=F
xel-l;3|	xs|-l;3|
4Л. mra F(x)^f (0) — 0,	max f (*) = F (4) —
xe|0; 41
*slO; 41
mih F (x) ■
Kel-V2-,W4
4.4. max ^ W “ ^	— T*
xe|-i/2:t/2|	V2/	8
= yj = —y. 4.5. p = 2 — x; у = X — 3,	4.0. Кривые
/ 6	36 \	X® 5x^
совпадают. xeR. 4.7. l-g-, 25 )• 4A 	g-+ 6*.
I	1	2/3
4.9.	у -X - -b у X + -.	4.10. S (0	f 11*. A (X) -
=s25x*+ iOOx. Указание. Закон изменения силы F как функ*
цнн пути X представляется формулой F (х) >» ах + 6. где пара¬
метры а н 5 находятся из условий задачи. Работа переменной
силы представляет собой ту ее первообразную, которая обраща¬
ется в нуль при х=0.	4.12. S{t) -
2,5/»
■<.	4.13. .S</)

ОТВЕТЫ К ГЛ. 10
63S
§ б
6.1. (- оо; -2) и (1/2; 3). 6.2. (2; 3). 6.3. [4; со). 6.4. И=-2/я;
В = 2. 6.6. а—I. 6.6. V^> -l + Vto+l ^ 57 ^ 5,5
6.11. Л = 7; В = —6; С-
2. 6.14. - я; - у; 0.
§ 6
= 3. 5.12. у;
Зя
в”' 2 •
11я
6 '
6.13. 1/2;
•	6.1. 1. 6.2. 9. 6.3.	6.4. 1+ Ш2. 6.5. 3(1 -^).
6.6. 44.	6.7. 12-5 In 5. 6.8. 41 - In 2.
2	4
о. f
6.11. 4
In 2 ■
6.15. In 2. 6.16.
8
6.12. 7 In 3.
g
6.13. |.
6.14. 6
1
6.10. 1.
3
ir- 6.«7.i-ln2. 6.18.|.
3	4 In 2 •
6.10. 15- 16 In 2.
6.20. 3	6.21. 4 - 4-- 6-22. 9 - 8 In 2. 6.23*. 8/9. У к a 3 a я и e.
15	2	5
Для вычислення площади этой фигуры удобнее использовать
3
формулу (6.3). 6.24*. 7пг^. Указание. Область интегрирова-
9
ния следует разбить на две области, координаты точки деления
находятся как решение системы
/ X® + у’ = г*.
I х-у = 0,
к у>0.
6.25*. I — я/4. Указание, max (х, у) = 1 — точки, составляю¬
щие две смежные стороны единичного квадрата, вансавного
в угол первой четверти. 6.26.1/3. 6.27. я/2 — 1. 6.28. 1. 6.29*. паЬ.
Указание. Выразить у через х при у > 0 и х > 0, при вы*
а
числении определенного интеграла 4 ^ 5 V1 ~ х*/а* dx исполь*
о
эовать формулу (9.3.4). 0.30*. я. Указание. Выделить полный
квадрат по переменной х. 6.31**. 4/3. Решение. Уравнение
касательной к кривой у 2х^ в точке с абсциссой 2 имеет вид
у — 8 = 8 (х — 2). так как у (2) «= 8, у' (2) = 8. Точка пересечения
касательной и оси абсцисс находится из уравнения 8х — 8 =
в б -«•»■ X в 1. Область интегрирования разбивается на два про¬
межутка; |0; 1] и [1; 2], причем на [0; 1] вычисляется площадь
фигуры, заключенной между у = 2х^ и у >= 0 (осью абсцисс), а

БЗв	ОТВЕТЫ
на 11; 2] — между у*=2х* и у =• 8дс — 8. Такнм образом,
I	2
S	= ^ 2х» rfx + 5 (2Jt® - 8;е + 8) rfjc =
О	1
2х^ |1 , / 2jt> 8j«*	, - 'I |2	2 ,
“ —1о+(—- —+ «")|,=Т +
32	2	8	\	4
+ 1-3	Г + ‘®	3- + T“®j'*XV
Gw32. 9. 6.^.
1а2-|.
8.34*. 2-^. Указание. Следует раз¬
бить фигуру на две криволинейные трапеции; абсцисса точки
45
деления — абсцисса точки пересечения касательных. в.35.
6.38**. Парабола рассекает квадрат на две части, площади Kov
торых относятся, как 1:2. Решение. Выберем систему коор¬
динат таким образом, что вершина параболы совпадала с точ¬
кой (0; 0) и ось Оу являлась осью симметрии. Тогда уравнение
пара^лы приобретает вид у ах^. Параметр а выбирается сле¬
дующим образом: обозначим длину стороны квадрата, середина
основания которого совпадает с началом координат, буквой /}
тогда точка (//2; /) — правая верхняя вершина квадрата, ле¬
жащая на параболе, т. е. / =- а(1/2)*. Из этого уравнения полу¬
чаем, что а = 4//. Площадь квадрата S равна Р, а площадь,
отсекаемая параболой, определяется нз формулы
Ш
Таким образом, парабола рассекает квадрат на две части, пло¬
щади которых относятся, как 1:2.
5	3^1 ““ 3
6.37*. -^=* —gjj—. где S —площадь, отсекаемая парабо¬
лой от полукруга. Укаэанне. Выбрать систему координат так,
чтобы вершина параболы совпадала с началом координат, а ось
Оу была осью симметрии параболы. Тогда уравнение параболы
имеет вид у — ал*, а уравнение окружности — вид (у — /?)* +
+ X* = R\ Связь между а ч R устанавливается из условий
2
задачи (см. решение 6.36**). 8.38*. -^.Указание. Параметр а
в уравнении параболы находится яэ условия /' (— 6) =>
О	__
=« t (n^arctg 20). в.39*а ае=8;а*»-=-(б — V2l)* Указание.
о

ОТВЕТЫ К ГЛ. 10
Б37
Рассмотреть два случая: а > 2 н а < 2. Во втором случае учесть,
.	I •
что при переходе через точку х =» 1 знак разности ——	— \
меняется. 6.40.
К'-^>
6.41*. S’^b при а =3 -у/В/ЗЬ — I;
задача имеет решение при 6 г (0; 8/3). Указание. Для того
чтобы выразить а как функцию от Ь, следует разрешить отно¬
сительно а уравнение, правая часть которого равна Ь, а левая
представляет площадь указанной в условии фигуры. Значение Ь,
при котором задача имеет решение, находится из условия а (Ь)>0,
где а (6) — искомая функция. 6.42*.‘ — я/6; я/3. Указание.
Учесть, что искомое значение а может быть как больше п/6,
так и меньше (во втором случае площадь будет вычисляться
п/в
по формуле ^	^ I sin 2х 1 dx). 8.43*. а е ^0; -1-^; Ь= — I,
а
Указание. См.
—arcsin
(-4)]
указание
4
6.37*.
6.44* у>
к а-
3 а я и е. При
VI + cos 2х = л/2 I cos X |.
л/2 (4 - V2 )	4
решении задачи использовать формулу
§ 7
4_
7.1.	3/4. 7.2. a=>V3.	7.3. о=1.	7.4*. S(-l) = 125/6,
min S (fe) => S (2) = 32/3. Указание. Пределы интегрирования
Лен
находятся как корни Xi{k) нхз(й) уравнения х*+,2х —3=э
= Лх+1. Следует учесть, что на промежутке [Х| (й);	(ft)]
всегда выполнено неравенство Уз (x)^yi (х). 7.5. min S (ifo)=
_	xosII/2;ll
= S	Восполь¬
зоваться тем, что S = ft
fxa ~ уравнение касательной к у =• x’ -f 1 в точке с абсциссой
jfoS [I; 2). 7.7*. я = —1. Указание. Между двумя последова¬
тельными экстремумами функция f (х) <= х* -Ь Зх* х + я моно¬
тонна. Дальнейшее решение задачи может быть основано на
следующей лемме.
Лемма. Площадь фигуры, ограниченной прямыми х = с,
ж = Ь, Ь> с, графиком дифференцируемой монотонной функции

(с, Н достигает своего нанмень*
Ь + с'
■'т-
вЗв	ОТВЕТЫ
f(x) н ирямоб V /(а), где о
шего значения в том случае, когда у
Доказательство. Для простоты докажем этот резуль*
тат в случае, когда c = 0, Ь-» 1 я	При фиксирован*
ном эваченни а площадь выражается в виде следующей фушоиш:
а	1
S	(а) = J {/ (а) - / (д)] dx + 5 [/ (Д) - f (о)1 dx -
О	а
• ■^lf(a)x-f(x)]l^ + F(x)lj,^f(a)xll^
t=f(a)a-^F(a) + F(0) + F(l) — F(a)-~f(a)+f (о) о, (*)
где F(x)—некоторая первообразная
добные члены, получаем
/(д). Приводя в (*) по*
S (а) = / (о) (2a-i)-2F (а) + F (0) + F (1).
(*•)
т.
Дифференцируя 5(a) по о с учетом того, что F'(a)
получаем уравнение для нахождения критических точек:
S' (а) = Г (в) (2а - 1) + 2/ (а) - 2/ (а) = 0.	(..*)
Так как по условию /(а) монотонна, то /'(а) # 0 па промежутке
[0; 1], и, следовательно, уравнение (***) имеет единственный ко*
рень а = 1/2. При а > 1/2 S'(a) >0 и 5(a) возрастает, а при
а < 1/2 5'(а)<0 и 5(a) убывает. Следовательно, при а
*= 1/2 5(a) достигает своего минимального значения.
7.8*. При а в 1 площадь принимает наибольшее, а при
ошв 1/2 — наименьшее значение. Указание. Воспользоваться
леммой в указании к 7.^*. 7.9*. а = 2/3. Указание. Исполь¬
зовать лемму в указании к 7.7*. 7.10*. При а=: 1/2 площадь
имеет наименьшее, а при а = 0 — наибольшее значе>ше. У к а .*
занне. См. лемму в указании к 7.7*. 7.11*. а = 0. Указа¬
ние. См. лемму в указании к 7.7*.
§8
8.1. 2я. 8.2*.
10
л. Указание. Рассмотреть разность
объемов тел, полученных при вращении кривых у 'у/х и у = х*.
.... д[.
2 ^ 2
3	а и и е. Перейти к функциям Д| {у) <
— Vl ~ У и рассмотреть объем искомого тела как разность
объемов двух тел, полученных вращением фигур, ограннчеииых
-1-2(6- o)j. 8,4*. -|я. Ука*
1 + V* — у. *2 (у) =• I —

ОТВЕТЫ К ГЛ. II
530
кривыми Х| (у) и Хз (р) вокруг ОСЯ Оу. 8.5*. п*1\. Указание.
Искомый объем будет равен объему тела, образованного вра*
л	Зл
шением линий = sin х, х = я/2 вокруг оси Ох. 8.0*.
Указание. Си. указание к 8.5*.
§ 9
9.1.	а =>18. 9.2*. 288. Указание. В моменты начала дви¬
жения и остановки скорость тела равна нулю. 9Л. 216 м.
(	1*	если0<1<3,	,.,1с ,1т ч \г
I	9.6*. 14/16 (Дж). Указа-
\ 6< + 9, если <>3.
ние. У(х) = Лх*, где k определяется из условия задачи.
9.8*. 33.75 (Д ж). Указание. F (х)=‘кх, где k определяется
из условия задачи.
9.4. S (О =
ГЛАВА 11
§ 1
1.1.	32,5 км/ч. 1.2,
JJ
3
1Л. 60 км/ч. 1.4. 8 м/с. 1.5. 3 X 4 км.
1 j8. 12км/ч, 10,5км/ч. 1.7.6ч и2 ч. 1 Л. (З —	~ {л/Ь — 1).
4*	4*
1.12. Vp = 1 км/ч.
1.9.	30 км/ч. 1.10. 20 км/ч, 60 км/ч. 1.11. 56 км.
1.13. ,35 - о -Ь V9S» + 25о + g_	J	^ J ^
1.18.	48 км/ч. 1.17*. 50 км и 150 км. Указание. Ввести неиз¬
вестные <й| = 1/К| II ш»=1/Уз; где Vi и У» —скорости мотоци¬
клиста и велосипедиста соответственно. 1.18.100 км/ч. 1.19.100 км/ч.
1.20.	9-|-Vll км/ч. 1.21. Скорость пароходов — 15 км/ч, скорость
течения — 3 км/ч. 1.22. 6 км/ч, 21 км/ч, 45 км. 1.2^ 63 км/ч.
1.24 Скорость велосипедиста — 20 км/ч, скорость автомобиля —
80 км/ч. 1.25. Скорость пешехода, велосипедиста и верхойого —
6 км/ч, 9 км/ч, 12 км/ч соответстве1ШО. Расстояние — 42 км.
1.28.	30 км/ч, 20 км/ч, 30 км. 1.27. 480 км. 1.28. 2 мин. 1.29. 15 км.
1Л4 3 км/ч. 45 км/ч. I.3I. 3 км/ч, 45 км/ч. 1.32. 6 км/ч.
3
1ЛЗ.	1Л4*. 50 км/ч. Указание. Учесть, что скорость
встречного поезда относнтельво наблюдателя, иаходяшегося
в одном из нях, равна сумме скоростей поездов относительно
неподвижного наблюдателя, 1.35. 108 км/ч. 1.38. 28 км, 20 км/ч.
1Л7. 11 ч 55 мин. 1.38. 7 км/ч. 1Л9. Пассажирский — 21 ч, то¬
варный—28 ч. 1.40. 15 ч я 12 ч. 1.41. 6 ч и 4 ч. 1.42. Скорость
нсрвого автомобиля в 9/8 раза больше, чем скорость второго.
1.43.	16 ч. 1.44 Скорость мотоциклиста а 4 раза больше ско-

Б40
ОТВЕТЫ
рости велосипедиста. 1.45. 20/3 ч и 10/3 ч. 1.46. Через 4 ч.
1.47.	1 :2, 1 :3. 1.48. Не успеют. 1.49. Длина окружности переднего
колеса — 2 и, заднего —3 м. 1.50. 90 ки/ч, 75 км/ч, 60 км/ч.
1.61.	117 км, 24 км/ч, 22,5 км/ч. 1.52. -^1,	1-53. 4<о^
,8+Vy
1.54. Со скоростью, большей чем
S+P/+У(5—оО»+4Ы
3			г	.	—	2/
1.55. Хватит. 1.56. 2^о<в. 1.87. б < о < 10. 1.58, Деревня от
шоссе дальше, чем школа от реки. 1.59. 4 с н 6 с. 1.60. 1/80, 1/90.
i«i.) «в. 1л	+	U3.=2i3^S^i.s.
1.в4.
часа 1ЮЧН. Указание.
1201
Использовать то.
что
Сйц/Шч=12, где ©м. е>ч~ угловые скорости движения минутной
и часовой стрелок соответственно. 1.65. На полминуты. 1.66. » 11 м.
1.67. 9 км/ч. 1.68, 3 мин. 1.69, 1/4 ч. 1.70. 21 хм. 1.71. Через Т с
после начала падения первого тела. 1.72. 16 с. 1.73. 60°. 1.74. 10 с.
1.75. Уд^20 м/с. 1.76. Через 6 с за 0,5 м до линии поля.
1.77. 20 м. 1.78. 20 км/ч. 1.79. Второй автомобиль остановился
раньше. Да = — 8 м/с*. 1.80. 2 с. 1.81*. Д|: Па ~ 7/9. Указание.
Учесть, что времена ускорений обоих поездов различны.
1.82*. 5, = 4s,
о
Указание.
2S
<1
См. указание к 1.81*.
а + Ь
1.83. Первый быстрее, так как	2 аЬ
§ 2
2.1, 24 ы*/день. 2.2. 45 ч, 2.3. 132 мин; ПО мин. 2.4. 6 мин
В 10 мин. 2.6. 6 мнН( 8 мин, 12 мин, 2.6. Т + \'Т (Г — 1).
Т-1 + л/Т(Т-о, уТ’(Г-0 (Г><). 2.7. /,=.3ч. lj=»6 ч.
1)^2 ч. 2.8. 400 деталей. 2.9. За 14 дней. 2.10. За 10 дней.
2.11. Трактор марки А — 12 га, марки В — 16 га. 2.12*. В 4 раза.
Указание. Условие в виде неравенства используется для
выбора единственного из двух найденных значений искомого
неизвестного, 2.13. 50 ч. 2.14. 9 дней. 2.15. 10 ч н 8 ч. 2.18. 9 км
2 1
в месяц. 2.17. 6 у ч и 5 ч. 2.18. 5/2
2.19. 3 м»/ч. 2.20. 60 %.
2.21. За 14 и 11 дней. 2.22. 4 ч и 6 ч. 2.23. Первому — по 20 стр.
в день, второму — по 35. 2.24. 12 ч. 2.25. с >
■ 94^. 2.26. 600 м».
1о
2.27*. 20 м*. Указание. Проверить полученные решения под*
становкой во все уравнения системы. 2.28*. За 40 ч. Указание.
Использовать формулу суммы арифметической прогрессив.
2.29*. (5/4) V. Указание, См. указание к 2.28*. 2.30. Пусть.

ОТВЕТЫ К ГЛ. II
541
(1 = 1, 2, 3) — время опорожнения i-м насосом своего резер*
вувра. Тогда 7’|>7'j>7'*, причем Г|: Г* J Га—»(l + V®)* 11
:[a(l+Va)l. если а < — ^ . г,:Г|:Г, = -1-^: 1;
если	2.31*. t——Указание. Используя
Л	А	Л
условие вадачн, предварительно показать, что все трубы начали
работать до того, как бассейн был наполнен наполовину.
S»
8.1.	Приблизительно через 23 года 3.2. Приблизительно через
55 лет. 3.3. 12 к.; 80 к. 3.4. 5 %. 3.5. 10 %. 3.8. 10 %. 3.7. 200 р.
Срочный. 3.8. 42,3 %. 3.9. 726. 3.10. 60 %. 3.11. Через количество
лет. большее чем »g (-Д'Г^-)/lg (» +lfo )* »‘2- ^олео
'g {^ыр-!ьоп-)/^« (‘ +Tw) ^
S 4
4.1.	В альбоме 12 листов. 4.2. «Троек» — 2, «четверок» — 7.
4.3.	Пятиэтажных — 9, девятнэтажных — 8. 4.4. «Москвичей» —
10, «Волг»— 19. 4.5. 33. 4.6*. 25 второго типа и 4—третьего.
Указание. Предварительно оценить стоимость перевозки од*
ной детали в ящике каждого типа. 4.7*. Первый —3 дня, вто*
рой — 2 дня. Указание. Оценить, какое количество дней мог
работать каждый экскаватор. 4.8. 45,20. 4.9. 13 мин. 4.10. 19 пло*
тов. 4.11. 15 или 95. 4.12. 48. 4.13. 32. 4.14*. 5. Указание.
Приписывание к числу справа некоторой цифры означает дере*
ход к новому числу, в котором число единиц равно приписывае¬
мой цифре, а число десятков — исходному числу. 4.15. 6464;
4.18*. 285 714. Указание. Си. указание к 4.14*. 4.17. 32.
4.18*. 54. Указание. Для получения суммы всех четных дву¬
значных чисел использовать формулу суммы членов арифметиче¬
ской прогрессии с разностью d 2 и 0|	10. 4.20. 21 и 10.
4.21.	31 н 41. 4.22*. Д = 42, S = 35. Указание. Использовать
формулу п = m-p + k, где п —делимое, /п—делитель, р —част*
ное, й —остаток. 4.23*. N — 37, Указание. См. указанна
3	4	5
сводится
4.24*.	, 26 •
к 4.22*.
1U
К решению системы квадратных
ральных чисел. 4.25. 4 рубля.
Указание. Задача
неравенств в множестве нату*

542
ОТВЕТЫ
§ 5
5.1.	1,5 кг. 5.2. ■i'- - 24; 32 - -ir;
О	о
2п — m +	+ 4n*
2
5.4. 60 кг. 5.5.
тп
•25 ^ ^ 135	_
—т— < г < —г—. 5.3. 7 кг.
4	4
2я + m 4- Vw* + 4«*
2
5.6*.
.Указание. В качестае неизвестных ввести х —
m + я
вес отрезанного куска; С| и Cj — концентрации меди в первой
и втором кусках соответственно. 5.7. 5% н И %. 5.8*. В объеме
4 см’. Указание. Воспользоваться формулой т ™ рУ,
связывающей массу, плотность и объем.'б.О. 12 %; 24 %; 48
5,10*. 29%, Указание. В качестве неизвестных ввести кон¬
центрации С], Ci. сз, Ct. Условие задачи дает систему трех урав¬
нений для четырех неизвестных С\, Сз, с$ и С4. Ирн исследовании
системы необходимо учесть, что ищется комбинация неизвестных
5.11.	В 13/4 раза. 5.12. б г и 20 г, 5.13, 14 кг; 7 кг;
О
16 кг. 5.14. Первая труба подает жидкость в два раза быстрее
второй. 5.16. 60%. 5.16. 12.5 г. 5.17. 170 кг. 5.18. 40%; 43-^%.
5.19.	2 л. 5.20. 10 л н 90 л. 5.21. Юл. 5.22. 1/6. 5.23. Если p^q,
то любое число промывок сохраняет процент содержания золота:
задача в этом случае имеет решение, если г^й, причем число
промывок произвольно. Если q < р, to число промывок я опре-
г(100-Л) /,_ 100-4 г- _
деляется неравенством я > Ig (lOO — г) /^ 100 — р ‘
r(lOO-fe) /,_ 100-4
р < 4, то я < Ig ^ (100 — г) 100 — р •
§ в
6.1.	28 г. 6.2. 60 дет. 6.3. 28 р. 6.4. За 1 час. 6.5. 6400 л
ц 600 л. 6,9. 1,25 кг и 0,75 кг.
ГЛАВА 12
§ t
1.1.	20 см. 1.2.
2^с соз (а/2)
Ь + с
1.3. 75. 1.4. m (/я cos Р ±
±Vr*—m*sln*p) sinp. 1.5. Нет. 1.6.^ sin 2а. 1.7.-5-tgа (г cos а—с).
1.9. —2S cos’а cos 2а. 1.10. 288 см’. 1.11. V^— 1.
.„ 1	sin’а
1 Л. СГ
2	cos а
, a’slna|cos2a| ,	. ... 5’ sina(5 sin p-f 3cosP tgg)
■ 4 cos a (1+2 COSO)	 16sin(o-l-p)

ОТВЕТЫ К ГЛ. 13
543
. ... 1 t <в	cos* в sin 2а ,	V..-»-
2 ^a-P)cos(a+P)- T"'
ние. Убедиться в том, что треугольник прямоугольный.
:5^. 1.19.-Itgactgp + I.. 1Л0. ^1±^у 1.21. лД
1Л2. 4л/^ ••23. 75. 1.24.	1». U5. AfF-=	1.2в. 3, 5. 7.
Э
1.18
1.27. 1 +	••28. ^± arccos	”
4	4
1Л9. ВС = V& (5 + с). 1.30. 1^5^. 1Л1. —см*. 1.32,
р -Г prccos
4
1.33.	••34. 4^ = -^ или = 9. 1.35. arctg
I+2V2
4	*
2-V3
л/5	■
V3-1
ЛС 4
1.36. 4(1-а)
1.37.
NC
В.
90
1.38. §.	1.39. -L.	1.40. Д.
J 		р (1 -4- 2а 4- аР)	 j -SiSa (S2 Ч- S|) (Bg + S>)
(1-f a)(l-f p)(l+a + aP)’ ' ‘	S2(S|-SiS3)
ЫЗ. 3:2. 1.44. 3 или 1/3. 1.46.6:5. 1.47. ^ = -j. В = arcsin (4/5),
€ = arcsin (3/5).
§ 2
2.1. 1. S = 16V^ 1 = 8. 2Л. 256 CM*. 2.3. л/З ы. 2.4. 2 см.
	 ,,
(V5-+1)‘	2
12
a*	4
2.6. 6 И. 2.6, 9,6 CM*. 2.7.	sin 2a. 2.8. -r-=
2 '
‘2.10.1 л/
ab + ^4 cos* a''	^	^-^3-
2.14. I + ^' t tii~~ - ~r ~
2.16. 4А» ctg a - 2A V«* — 4A*. 2.17,	2.18. 2. 2.19. ЛВ = BC =-Я
16 VJ
2
=|V3:
2Л0.
5 • 2-2^. ■
0 Vi3
“ 6 •
2 24
-T- 2-25.
•Cll^
^ '	0	z
:У01 224	2 25
6	• AID 3’	2
2Л6. IS. 2Д7. S — -2^ V(a+6) (36-a). 2Л8. 1S. 2.29. VB.
2.80. 4-. 2.31.4. 2.32.4. 2.3^ 2.34.
2Л5./(Al =8 2 VQ4

544
ОТВЕТЫ
§ 3
3.1.	3.2. 2VTr. 3.3. 8. 3.4.-|L(3 + „-3V3).
ЗЛ. 1-V3‘+-|«.	3.6. -^см».	3.7. •|-Л*(21/з + бя).
8.8.1 ^»clga—i/?» (у - а). 8.9.8.8.10.7. S.M. S =
8.12. I- -	~	3.13.8см Я.14	Уз
4(VT, + V/?»f	3
8.16, |-(3-уЮ. 3.16. (I А. ,^а). 8.17. 3VT5. 8.18. |-см».
3.19. 1-. (arccos m — m Vl ~	3.20.	2 sin* a
.	a(l + sin2a+sin»o)*
8.21. Площадь квадрата больше площади круга. АВ «=	^ .
§ 4
4.1.		21^. 4л. -Hcos(3a/2)|	/?з1п (а/2)
1+V2	2slnacos(o/2) ‘ '' “1 + 810(0/2)'
4.4.
4.6.
обе
=. 4.5.
а» (з"Уз—я)
V(o + А + с) А - с) (а +С-6) (А+с-о)' * "
* + с — 2 cos о	^
2ц •	4.7.	2^3 (иля 2V3, V^*
.3.	4.,.
а..	jtaW2)co3(p/2)	1 R4a + R)*
cos(o/2 + p/2) •	'^“Т (a-/?)(a* + /?r*
4.13.
5я —6V3
72	“
4.14. Д -»»n(o/2i_^g g
2	I + 8ln (a/2) ** 2^
4.15. a	4.17. S-I^LiVLo2^.|.„-V3).
'j.o aftsino ’~®*"'2’	II
a + b	<-*e. «-2. 4.20. 4s*	4*21*'■i«*
1 + siny	10*
4ЛЗ. 4:3. 4.24. 150+~. 4.25	426 HzLeBL >4
V3	2	■ ■ ■ 2sinp
lin\r+P)-- '••27-	4.28.(3 + V3). 409. -f (6-Л/^

ОТВЕТЫ К ГЛ. 12
54S
4.30. 128(3 + 2л/Ю*.49. 4.31.	4.32. ас^лЩ
: 3	4.33.
4R* sin а cos* а
. 4.34.
o»V3
4.3S. 22. 4.30. 5 :
созЗо ■	26
sin С 3 —2V2COSB
4.38. /?1- sin (В + С)
3 + 2 У2соз В
4sln В
4 sin В
4.39. tg-5-sin 2а. 4.40.
sin С
sin (В + С)
I
sin о + cos а — 1
Отношеняе будет наименьшим при а=45®. 4.41. ^
sin(3a/4)sin(7a/4)’
I	л гг ../.о}//а
4.42. arctg
cos а
4.43.
Р —/4ВС. 4.44.
л/з- 1
Vo
ЛВ	C0S»((P-V)/21
D£	cos' ((р + y)/2) ’ У = ЛСВ,
. 4.45. 25я. 4.40. 5 см. 4.47. arccos 1,
я	3	4 я	4
.у—arccos у или arccos у, у — arccos у. 4.48. 14 см. 4.49. 3.
4, б. 4.50. уД**. 4.51. Уэ1 см. 4.52*. 2Voi Указание. Ввести
в качестве неизвестного острый угол треугольника а и составить
уравнение для нахождения а о помощью теоремы о касательной
и секущей. 4.53. 240 см’. 4.54. -у, -у. 4.55.	-у. 4.60. у.
4.57. — — arccos (—1-	,	— 4* агееоз (—^	^
4	Wo V2 /	4 ^ VVO V2 .
3V^(Vi3—1) т Vfe* + 2fe cos Л + 1
-. 4.60.
Л)'
4.58. у. 4.59.
So
32я
2(fe+ 1)со8(Л/2)
Ml. .rctoi V2 (1 - S). М2,	«• <■«!. К -
*■«*• Vf Vf-
a 3 a H и e. Ввести в качестве неизвест-
вого расстояние от точки D до точки касания окружности с пря¬
мой АС, 4.65. Треугольник разносторонний, длина стороны — 8.
4.66. Л В—10, ВС = 6, ЛС—12.
§ S
6.1. А* Уз. 5.2. /?.
76
2I cos рI
6.3.
М. r-JT.
М. 8.6.2. 6.7. 0|0, = |.. 66. 12.6 си. 66, 4^-. 8.10,2 (Ve—
18 А, Г, Цыекав в А, Н, ПинсЕКВ

546
-V2l. 6.11.-151^. 6.12.
ОТВЕТЫ
4 + 3 *V3
(/•* v\	Stp	4 sin’a cos a	я
	S	. 6.15.-^,
6.16. 2я“'(cosec о + cosec P). Б.17.-^r*. 5.18.3 cm, 8 cm.
5.19.	5.20.8. 5.21. 12Vl5. 5.22. 14,4. 5ЛЗ. 3. 5.24. 10:11.
О
9
5.26. Трапеция равнобедренная; 75® н 105°. 6.20. 210. 5.27.
БЛ8. „„ I = а +1 sin’ Y * a*+2al sln’-j"^*
ND Г
7	44
5.29. -4=-, —. 6.30. AC :
V85	6
ГЛАВА 13
§ 1
-1=-. 6.31. —.
V3	я
1.1. arccos—lA 3d’V3. 1.3. 2a’ sin ^ /\Jsin ^ sin
	уз
, .	6’ Vcos 2a
~81пГ ■■■
1.7.	sin 2<p cos (45°—a). 1.8. a*b sin a sin p. 1.Ю.	I’cos’aslno.
1.5. Ф =>arccos (sin a sin P).	1.6. 576 cm*,
V3
1.12. sin a'
Ve
V = —
^ 6 •
бУ$'8|п(а + 30°)г*
cos a	’
...7.
1.18. F	(a* + 5* - c*) (a* + c* - 6*) (6* + c*- o»).
l.ie.	/’ sin	cos*^ — cos*a. 1.20. sin «*
U2.	tgo. U3* a VVS'- 1.
1.21. я — 2 arcsin •
2 sin (a/2)	2 л/З
2 1
U4.U5.	V(e* + 6* - c*) (o^ +	- b‘^)	+ С» - a»).
я

ОТВЕТЫ К ГЛ. 13
547
tg’a—I
2
XV4W’ + 3K. 1.31.2 arcsin ^.\^sln-^)- 1.32. arcctg
PclgactgP		6V2-V6 + 4. 1.35. И=.
Tn^n«a + ctg*P]=^^
S6oK = Vi2i5^-f- ‘-Зв. 2 arcsin	.
1.37. З.г,».53^. ..38,ifi^. U...rcle(lg,»>i).
1.40.	0 = 2 arcsin	1.41.
(g* - 5») УЭ~
3g»yr 2 2	л|1 2_3, ./6. 2.4.	2.S. P coa.
C. 2.0.	2.7. 4- Vw- V?-
падает c точкой
2.9.	1ИУ1. 2.10. .”1^5*gSL. 2.11. <f!^Lq<£llRtg*algP.
5	sin a	0
4
sVs л/б
2.12.	arcctg (cos a).	2.13.	5
2.14. arccos
2.15.
2Л2.
2.24.
g’ V2 cos tt
2 sin (a/2)
sin Ф V
g’lgc
8 sin p tg p ’
зУз
A ^	£1* Sin 2a
2.16.	2.17. ^ M .	2.18.	2С05Ф •
2.19. S sin Ф Vs л/З cos Ф. 2.20.	Vl56* + 41^	2.21. 3,'
(3m + 2rt) g’ Ig a . o’ tg a p _ a* Vs
'•	o!!	• о • ^ ™	™
2^3,
8n
8
2.26. -^(c + A)-S.
2.20. 7:17.
4 cos a '
2.27. -j^X
X V(a* + 5*) c’ + 4а’6». 2.28. ф = arcsin -j-- 2.29. S —	X
X cosa V4 + 21 cos* a.
/^3sln*.y+ 2 sin .y Д^4 sin*.^—1 +1
2.30.
. 2.31. S --
= g* sin* у дУ 3 - 4 sm* у. 2.32. - ab. 2.33. 2(4tg’^l)coso '**
2.34.	—g*. 2.35. 2g* cos* у V—2 cos 2o. 2.30. S = 4V3 m*.
18’

Б48
ОТВЕТЫ
2.37.	7^8.	... 3.3,. Vr i^. 3,«.- i2l „„ i
2.41. 3:4. 2.42.	2.43.
о
2 •
•. 2.44. ^
3	100’
2.45.	На расстоянии от точки S, не большем чем SD. 2.4в. 8; 37^
Ъ^/2 аЬ
2.47. —. 2.48. — /» cos а. 2.49. 32 ^/Z.
2.50.	а* ( I + 2 д/Й^) • 2.51. ± 2.52. 1 : 1. 2.53. ^ S.
§3
3.1
3.4.
3.0.
4я
nSVlS «_ Sr
—3—•	X-
2я - 3 Уз
Юя + зУз'
0 „ Sj Уя^
о*2* л$2| 2 *
33
а.з.
3.0. 3.7. 2 3.8. У5
4 3 — 1 R ’
зУз
3.10. А». 3.11J
sin а
4я соз р cos*
3.13.
cos* а	vr / vr
я	(М ctg* а — а* ctg* Р)
_ 24(ctg*a-ctg^pP
=-*="iWT^’*'«тх
X Уз + 415-i). 3.17. г (l + ^ 3.13. 3. 3.1». г, -.Ц^;
С sin Ч .	с sin а sin р опл	— г)‘
“ TiiiiT’ "" 21тч5Тр7*	T(V^+yr)2*
§ 4
4.1.	4 2 6,1. 4А 12«»Уз.	4.4.
4.5. |а(Уз - 1)2 4.0. ^le лД-. 4.7. 1:^;
4.8.	i а yjT. 4.9. i у?» УГ. 4.10. Л = 4 см. 4.11. /? —

ОТВЕТЫ к ГЛ. 13
Б49
X
V
Уз
СОЗ •
I ®
*'"т
уз cos sin2V3
а cos-
л/
sin
sin
4.12.
(боч-i) ■
аУб
г. 4.13.4.14.
У2
2у*‘"(т + т) (т“т)
4.1Б. (y4ctg»a+r -2clg о).	4..о. зуГ(У^Г^^’
2л sin* а
4.17. »(l + У|). б(1 - yf). 4.18.
4.10.
cfg±	U
а (2й - а)^^ 4 20. ± я ^4.21. ^
1)
4У2
я п 1 У® 4 г» зУз sin* о-cos* а
4.22. Ф1=-з-. (Ps = 2arctg-i^. 4.23. —i^	,
4.24.
4.27.
4я sln*acosa
3 Уз (1 + со* о)*
Уз 4-1
2 У2 4- Уз + Г
4.2Б.
4R yr tgg
4 4-tg*a
4.20.
4.28. 4.	4.20.
У^б*
36
2(1-fye)'
4.80. 4 «'X
Х(4*4-Л»(4А4-.'-4*)-'Я. 4.J1.	.
ffr	'
JwAw-	«4.-1-. 4.35.5-ЗУТ5Х
4.32.
X (V^ + I/t a =3 2 arcsin
in д/-|-.
4.30.
6*
4Л7.
4Л8. 4Л* sin 2ct. 4.80. 4Л* cos a (sin о -f У — cos 2o). 4.40. a.
2яа*
sin*2a *
6
- 4.41. ±rR(R± y«*-i-*). 4.42. 4	(t4-cos^p)«	^	^ ^
6	^	3 COS Ф sin* Ф sin a
*=» 2 У2 Л* cos a ^sin a 4- 4^sin*o 4- 4 cos* a^. 4.44. *ec^
Уз (2-Уз) .
4.45.
4.48.
a sin a cos a
•. 4.40.
afr
У1 4" cos* a + cos a
	c
У2 (cos (a/2) 4- cos (P/2)) '
V2a^ - 0*
4.40.
4.47.
a Уз"
4(1+У7)
=r. 4.50. V.
' 4 (УТО 4- 1)®, a <= 2,arcsin д/4.51.
g* (20 - g)
3 У2 У20» - a* *

550
ОТВЕТЫ
4.52.	4.53.
lb
8 Уз/?».
sin* а ’
4 Уз
Л*
4 — sln*g
silt* а
4.55.
147
sin’а cos* а
r6sin*Y~ + 4-«sln—4
	2 	JLA. 4.5в.4«^^Х
ЯП* sin* —
XfTT^-
- 4 arctK-l- 4.59. -—4-вО. S sin а sin 2ocos*-5-
а	97
4.e2.4tg3Yctga. 4.63.2. 4.64.-^^^.
4.66. -4	3 cig ^ cosec* 4-. 4.67. г. 4.68.
4.69. sin.^
2
г. 4.70.
Уз
X (У«+7 - УЛ)*(. 4.72,
4.65. arcsln 4*
г(Э + 2У2 + Уз)
yi '
зи:г7Р	••’■•УтХ
R (А, + Aj)	'sjR^+h^-R
Уз
I	ДЦ-* (>• + У/^’^ + (rf —	4 71
V«*+A?+V^^+/^V^+^+^
4.75. i. 4.74. .^nS'. 4.75. Я [г + «clg (2-+i)} 4.75.
4.77.«.^,g(i-i).
ГЛАВА 14
§ t ,
1.1. а) (-6. -2, 4); б) (18, -5, 19). 1.2. а) (-30. 21); б) (0. 0);
в) (у,	г)(25,-10). 1.3.o = 2.P = 3,y = 5. 1.4.а) (11,-6,5).
1.5. (1, 1, 1). 1.6. а)с = в —6; б) с = 2а —36; в) с = —а.
1.7,	а) ^ = (-3. 5. -3);	б)^=.(--}^. -f* “т)*
1.8.	(о, у). 1.9. а) (-2, 1); б) (О, 2); в) (0. 2). 1.10. Л1, (7. 0) и
А4з(-1, 0). 1.11. Л1 (О, 1, 0). 1.12, ЛГ(-1, О, 0). I.I3*. а) l);
б) 4^; в) ^"^4	Указание. Если вершины треу¬
гольника АВС заданы своими ординатами А (Х|. tji, г,), В (xg, yg, zg)
и С (*j, yg, Zg), то координаты центра тяжести G этого треуголь-
иика находятся из равенств х =-5-(лс,XjДа). tf = 4-(tfi +
О	3

ОТВЕТЫ К
ГЛ. 14
551
+ 1
Щ + «/»). г =*
"з" (2| + г» -Ь 2а).
1.14. а) А = --
9
14’
б) А =
=-
5 .
- 16’
в) А =
-3.
1.15.
а) Да,
в = 6; б) да.
с =
-Т‘*-
1.16. =
У =
6
5’
1.18. (4, 0), (5. 2). 1,19. (-
1. 2. 4).
(8,
-4,-
•2). 1.20.
(т.
10
7 ’
т)-
1.21.а = -1, Р =
4. 1.26. а) 22;
б)
-200;
в) 41; г)
i УШ. 1Л7. е, = |
(Ч.т)'-
(f
-т)-
( 21
77 ^
а
Ь
1.28*. х = ^^^.
65 )
. Ук
а 3 а н 1
« е. X =* «1 + «а =
■R
1.29. -13. 1.30. а) |a| = V3; б) 161 = Vl4. 1.31. (л/З, V». Уз)
или L-УЗ. -Уз". -Уз1.	1.32. 6yf, 1.33. (6, —2. 4) и
(-6, 2, -4). 1.84*..^^. Указание. Дм =(ЙВ + ^) =•
= ЛВ + -^ ВС. 1.35. а) агссоз	б) агссоз^—з"УГ^)'
в)	агссоз у-: '■)	д) агссоз у; е) агссоз
1.36. агссоз — ^: агссоз Г	агссоз Г	1=-'^ 135‘. Ука-
УТз V	У29/	^ У^/
за вне. 1=»(1, 0). / = (0, I). 1.37.
1Г
1 J	L.
’ Уз' Уз ’ Уз'
3	1	3	4
б) о,		=; в) —1, 0. 0; г) 0,	Указание.
Ую	уТо	®	®
1 = (1. 0. 0),	/ = (0, 1, 0).	А=-(0, 0. 1).	1.39. р=.(-6, 8).
1.40.	6 = (-24, -32, 30). I.4I. 90’, УТО. 1.42*. с, = (1. О, 1) или
<?j = ^—-у, —Указание. Обозначив координаты
вектора с = (X, Y, Z), составить систему уравнений са = I,
еЬ = 1, с* <= 6* = 2 и, решив ее. получить ответ. 1.43. cos а =
= cos 8 = cos Y = —!=•. 1.44.	1.45. Z = 4. 1.46. JT = 0,
1
y = 2. 1.47. c = (-3, 3. 3). 1.48. o = (^. -^. -^).
1.49*. a = (2, —2, —2). Указание. Используя длину вектора а
и его перпендикулярность вектору d, составить два уравнения
относительно X, Y, Z. X ~Y + 21 = 0. Л* + У* + 2*=12. .Заме¬
чая, что |6| = |с|, находим 2XY + YZ~XZ = 0, откуда, решая
трн уравнения отисснтельно X, Y, Z, получим ответ, 1.50, |ВВ| =

552
ОТВЕТЫ
:2Ve.	1.61. 1ЛС| = Б;	1, l).	1Л2. arccos
1.53.	-~=r.	1.54. |ЛЛ,| =
25 Vl3
V¥-
IBS, I
VS3
2 ’
V6441
001
=arccos-|^, 1.55. (2 + -^’, 2 + V^ или —
2-Vs). 1.56. Cj^(3, 6). 0,(5. 3) или Cj(-3, 2). Dj(-1. -«).
,д,,.^(1±р£. i+^),	c(l^. jb^).
1.68. 1ЛЛ, I «—I-VTo. 1Л9. 0(20, 23, 6). 1.60. Л = 4. 1.61. Л<=7.
1.62.	|ЛВ|=5; 1BC|=5V^: МС1 = 5; H==90”, B = <f=45".
1.63.	Тупоугольный. 1.64.ф=»45". 1.65*. ЛЯ =»(2; 1). Указание.
Учесть, что Ар = (X; Y) ±15 и ВН<^АН-АВ±М.
1.66. 10Л, I -	1.67. IЛО1 =.	1.68* А{ (О, -2, 0) и
а" (2, 2, 2). У к а 3 а к и е. Зная объем призмы, найдем ее высоту
Н I ЛЛ| I л/Ь я, обозначив координаты вершины Л, (х,. у\, z,),
свяжем координаты вектора ЛЛ, =(х — \, у, г —\) с его дли¬
ной. Другое уравнение получим из условия ЛЛ, X АС. 1.69. 18.
1.70. 26.
§ а
2.1. а) х-у+1=>0; б) х-1—0; в) у-2 = 0. 2.2*. Зх —
— 2у — 12 = О, Зх — 8jT-(- 24 == 0. Указание. Воспользоваться
уравнением прямой в отрезках (4).	2.3. а) Зх — 2j; — б =-0;
б) X ——.|- = 0. 2.4. ЛВ: 4х + у-6 = 0; СО: х —4у —2
0:
19
V17. co®*''’“’Vi7-58.	V26 + 5V17	—
It- {лМ + 5 VT^ (*-!) + (-4 V26 - 17) (у - 2).= 0. 2.5. у =
= 2х — 6, у = —2х 4- 6. 2.6. X — 5у -Ь 3 = О или бх + у — 11 =» О
2.7*. С| (5, 10) и Cj (3, 0). Указание. Площадь треугольника
ЛВС найти по формуле
19
U: -7=
X— 1
У
2А О (9, 0). 2.9, (X - 1)* 4- (л - D* = I. 2.10. у ■
Vis
и у.

ОТВЕТЫ К ГЛ. 14
ббЗ
= --^. 2.П*. В (12, 5), С(-б, 12), 0(-12.-5). Указа¬
ние. Точка С симметрична точке А относительно начала коор¬
динат, 2.12**.	+	V2)’*=(^--7)* +
+ (y + V2)^ = ±. Р е ш е н н е. Центр искомой окружности ле¬
жит на прямой, проходящей через точку (1/2, 0) и перпендику¬
лярной осн Ох (рис. 0.1). Диаметр искомой окружности равен
радиусу данной. Записав уравнение искомой окружности в виде
(1 N2	9
X —^ j + (у — у о)* = -^ я потребовав, чтобы искомая окруж¬
ность проходила через точку Л (I, 0), найдем уц. 2.18. (х — 1)*-|-
+ (у-1)*“1; (х-б)» + (у-б)*=.25. 2.14. 2x-y-2z-0,
2.16. а)3х + 4у-f-6z-29 = 0; б)2х -2у -z + 9 = 0; в) х-у+
5	5
-Ь 4г + 11=0.	2.16. а) агссоз -g-; б) агссоз -pj-; в) агссоз
14'
5
ТГ*
V6
2.17*. —Указание. Найти косинус угла между вектором
п плоскости и вектором ЛВ, Используя определения угла между
18
прямой и плоскостью, найти синус этого угла. 2.18. а) arcsin
б) arcsin •
23»
2.19. 10.	2.20. а)
б) 0; в) 4.	2.21. 3.
1блЛ0		 ' 2’
2.22. 6х-|-2у-1-Зг±42 = 0. 2.23. (-1, 0. 2). 2Л4. а) (0. 0. -2)|
б) (2, 3, 1). 2.26*. 3. Указание. Вектор п = (2, 2, —I) парал-

664
ОТВЕТЫ
лелей прямой, проходящей через центр сферы перпендякулярно
данной плоскости. Расстояние от центра сферы до плоскости
равно 6. 2Ж (4. -3. 0) и	|f. ^). 2,27.	+
+ (»—•)* + («—1)* = -^	при	—сфера; при
,33	, ^ 33
т* = 		точка; при пг < -=	пустое множество.
2	2
33
33
§ 8
•	3	/* I \	3
3.1.	arccos—==•• 3.2. я — агссоз |	;=-|. 3.3. arccos
Vl4	V блЛз.^	Vio
8.4.	агссоз . 3.5*. Jj-. Указание. Выбрать систему коор¬
динат Оху так, чтобы оси Ох и Оу проходили соответственно
через катеты ВС и ВА. 3.7*. 2ах -Ь 2Ьу = о* -4- б*, где а. Ь —
длины катетов. Указание. Выберем прямоугольную систему
координат так, чтобы ось Ох совпадала с катетом СА, а ось Оу —
с катетом СВ. 3.14. За^ где а —длина стороны квадрата.
8.1Б. 4о*, где а — длина стороны квадрата. 3.16, -^===-.
vW- т Vw- V-iff- т л/-^-
8Л1. агссоз. 3.22**.	Решение. Вводя систему
координат Охуг так, как показано на рис. 0.2, находим коорди¬
наты точек: А{а, О, 0), Е ^0,	а^, F а, а^. Уравнение
плоскости, проходящей через эти три точки, имеет вид х + у
3
-4- г -4- а ■= 0. Косинус угла между плоскостью нижнего осно*
3
вания и данной плоскостью: созф = —■==■. Площадь проекции
VI7

ОТВЕТЫ К ГЛ. 14
553
пятиугольника, полученного в результате сечения куба секущей
плоскостью, на плоскость нижнего основания куба равна а
£*	7о*
8
— о*	5- — —н, следовательно, площадь самого пятиуголь¬
ника — S =
cos ф
7 л/vf а*
24
8.23**.
|KL| = ^a. Решение. Из условия задачи/С 0. о),
L ^0, а, (рис. 0.3). Тогда ]	|* = а*-f =	И|^|=“
oVs
2 . MiKp=-^-l-o*. М.КР
aVS
-. Рассмотрим две
треугольные пирамиды: .NAKAi и NDML. У второй пирамиды
неизвестные длины ребер ND и DM обозначим через хну соот¬
ветственно. Из подобия треугольников	DLN следует х = о,
а из подобия AAKN и ЛОМЫ следует у=>-~\	—-Ь
, , , а* За* , „, I а _	,,	11а
+ а» + —= —.	Тогда У
X а • 2а = g ;	■■
\	\	(1 а	^
■Т-Т-Т*Т-“ = 18-
ДИМ объем одной из частей куба, на которые разбивает его секу-
7а»
щая плоскость: У,
' У NAKAi	^ NDML '
41
48
•. Тогда объем вто¬
рой части куба равен	откуда Ki:Vs=7:4I
3.24.
За»л/3
стороны куба.
^	. 3.25. а) .V; б) -^а*.	3.26. 8о», где а-длина
4	4 о2
8.30. .)i^: о, £^.зл,.я^
§ 4
4.1.	-(4C-1-2CQ).	4.2. BD^2(b-a). ЛС =—g-(а Ч-6)
4.3. AOi
1 -t-я
(АВ + пАО). 4.4. 0.	4.6. X. —31 Х-»-2,
4.7.	X, 8=^. 4.8. X = 10/7, ц = 4/7. 4.9. Л =. I, А =■ - 2. 4.11. р -
—1. 4.12. 0. 4.13. з4М—.j5b-04, ^ —-^OC-Ofl

Б5в
ОТВЕТЫ
Шт.1(ОС-ОВ). 4.14. AM-=• - ВА +BBi +1-ВС, Aitf =>
«= - iM -as, +-i ВС. 4.16. Д =-|-(вл, + св, + йс,).
§ 5
44,|). 4.П.
(14. й-
(4
, 1,1).«. (,.
4-I).
3 1
^«=’Т“ + Т*-
ос»=
2 г:*, , 1 ,т^
1
—►
ft +1
MA +
3 A
T^-
AfS.
ft+ 1
cb 4- be
“ b + c •
О	ЛК	—►
6.17.	МВ I = 4. 6.18.-jj. 6.19. 1.5. 6.20.-1^. 6.21. i4^, *
где ЛС = 6.	= c и МС1«6, МВ|=с. 6.22.^. 6.23. j.
6.24.	(Д + 6) (fr	^-±fL. Б.31. 1:8. 6.32. 3. 6.33.—.
ab {a + b + 2c)	37
§ 6
6.1.	a) 9; 6) 13; в) —61. 6.2. —13. 6.3. Векторы a и 6 должны
ffb -
быть взаимно перпендикулярны, в.5. Л в —	♦ в.8. а) гпа *=
MV
= 1у4*4-26ссоа>1 + с»; б) =	6.9. а) /Пв =
= lV-o*+26*+2^='; б)	6.10. arctg^.
6.11.	6.12.	6.24. Л = 5= 30". С= 120".
8	V7
ГЛАВА 16
.•
§ I
1.1*. ЮЛ Указание. Из исходного множества (0, I, 2, ...
t.i. 9) набираются выборки с повторениями, содержащие по
10(10'-1) „
семь элементов. 1.2*. 	^Указание. Найти сумму
чисел, представляющих количество различных выборок по од*
ному, двум н далее до семи элементов исходного множества.
1Л, 243, 1.4, 2^, 1.5, Число делителей q равно произведению

ОТВЕТЫ К ГЛ. 1в
557
(к, + 1) (*2 + 1) ... (кт + 1). 1.6. aJo. 1-7*. 2'. У к а 3 а и и е. Ис¬
ходное множество состоит из двух элементов (Г,Ц), а выборки
с повторениями—нз п элементов. 1.8. 720. 1-9. а) 2-291; б) 28-291
1.10*. 968. Указание. Следует найти сумму чисел различных
аккордов, содержащих по три, четыре и далее до десяти звуков.
Один аккорд, состоящий нз k звуков, представляет собой выбор¬
ку k элементов из исходного множества, содержащего 10 элемен-
тов; порядок элементов в выборе несуществен. 1.11*. 40-39-С^.
Указание. Председатель и секретарь образуют выборку
без повторений, состоящую из двух элементов исходного
множества, содержащего 40 элементов. 5 членов комиссии об¬
разуют выборку без повторений некоторого состава из исходного
множества, содержащего 38 членов. 1.12. C|.Cfo. 1.18.
1.14.	Cj.Cfj.CiQ. I.IS. a) 42.Cg различных карточек; б) Cjg'Cj
различных карточек; в) С^*С| различных карточек. 1.16. 120.
1.17*. Cg2 — Указание. Искомое число равно разно(|ТИ
общего числа способов вынуть 10 карт из 52 и числа способов
вынуть 10 карт из 48 таким образом, чтобы среди 10 карт не
было туза. 1.18. 4>С^. 1.19. Afg-Ag. 1.20*. 1225. Указание.
Учесть, что цифровая запись числа не может начинаться с нуля.
1.21.	750.
§ 2
2.1.	2520. 2.2*. 165. Указание. Выборка с заданным чис¬
лом повторений объема 8 набирается из четырех групп однород¬
ных элементов. 2.3*. C[g=>Cfg. Указание. Выборка с за¬
данным числом повторений объема 7 набирается из 10 групп
одинаковых элементов. 2.4*. .. Указание. Ищется чис-
1*01}
121
ло различных выборок состава (13, 13, 13, 13).	2.5*.
Указание. Шесть различных групп однородных элементов
должны составить выборку с заданным числом повторений, об-
держащую 12 элементов, имеющую состав (2, 2, 2, 2, 2, li),
2.6*. С^ц,|.Указание. Следует рассмотреть выборку с задан¬
ным числом повторений, имеющую состав (т-(-1. п), где т-Ь1—
число промежутков между т белыми шарами, а п —число чер¬
ных шаров. Число различных расстановок равно числу всевоз¬
можных выборок состава (m-f I, л). 2.7*.	Указание.
Находится число различных выборок состава (ni-f-n«), где /tim
62 — число успехов, а щ-f лг »= 100. 2.8*. 2-(61)*. Ука з^'-
нне, .Число перестановок левых мест рддо следует умиожйТь

558
ОТВЕТЫ
на число перестановок правых мест. Учесть возможность смени
левых мест на правые. 2.9*. Указание. Воспользоваться не¬
равенством С2„4.дС^_|^ ^ (^2п)^ доказательство которого можно
провести непосредственно.
§ 3
3.1*. 1024. Указание. Разложить по формуле бинома
выражение (1 + 1)'®. 3.2. fc~4. ЗЛ*. Tj — Cfg • х®* — 153х®-®.
Указание. Воспользоваться тем, что наибольший козффиднеят
имеет средний член разложения. 3.4. 28ж*а~‘. 8.5*. Указание.
« / 1 \100
Воспользоваться указанием к 3.1*. З.в. — 1375. 3.7**. I-g-1	.
Решение. Рассмотрим отношение к Т^. Так как
П'®»
*+г
■t-IOO
ТО
Если
Гк+|
(т)'.
100!fel(100-iSt + 1)1
Тк (fe+1)1 (100-i(f)1.1001
100-Л +
100 - fe + 1
Л+ 1
> 1, ТО Г*+| > Тк, а если
100-Л + 1
< I.
ТО Тк+1 < Тк. Получаем, что при Л < 50 члены Тк возрастают,
а при Л > 50 — убывают. Следовательно, наибольшим членом
является Tgg С(т}	'	членом разложения
ямяется десятый. 3.0*. Г, = ^lO'*^*** Указание. Степень бинома
можно получить, используя указание к 3.1*. 3.10*. Указание.
Использовать разложение. (1 — 1)". 3.11*. —2б4в’6'. Указание.
Использовать результат задачи 3.10*.	3.12.	314 925* 10*.
3.13. X = 2.3.14*. 5/8 < X < 20/21. Указание. См. решение 3.7**.
3.15*. 1/2. Указание. Используя условие задачи, представить
50-й член разложения как функцию аргумента х и решить задачу
на отыскание наибольшего значения полученной функции на про¬
межутке [0; 1). 3.1в. х>
п — Л
3.17.	3.18. 26.
8.19**. Рацнональнымн будут первое, пятое и девятое слагае¬
мые разложения. Решение. Так как коэффициенты 1,
п{п—1)
8
образуют арифметическую прогрессию, то можно
составить уравнение
я(д — 1)
8
+ 1 =>п.

ОТВЕТЫ К ГЛ. 18
559
корни которого равны соответственно « = 8 и л=1; п=1 —
посторонний корень. Для п = 8 общин член разложения имеет
вид
*	. ^ 8-л	*+8
4- X 1 ч8-А
(т)
ijft—в/чЛ
'си
Этот член будет рациональным, если Л + 8 кратно 4, где О
^ Л < 8. Это условие выполняется при Л = О, 4 8. Следова¬
тельно, рациональными будут члены То, Та, Ть. 8.20*. Указа¬
ние. Использовать биномиальное разложение для (1 — 1)*.
3.23*. Указание. Рассмотреть биномиальное разложение для
(10 — I)*'. 3.25*. Указание. Найти прйрашеняЯ первообраз¬
ной функции (1+х)" на промежутке (0; 1] непосредственно и
записав выражение для (l+x)' по формуле бинома Ньютона.
3.26*. Указание. Найти производную функции (х—1)" в
точке X — 1. 3.27*. Указание. Сравнить приращения перво¬
образной функции (х—1)" на промежутке (0; 1], найденные
непосредственно н с помощью предварительного разложения
(х—1)" по формуле бинома Ньютона. 3.28*. (п+ 1)!—1. Ука¬
зание. К искомому выражению прибавить и вычесть P|+'
+ Pj + • •. + Ря- 3.29*. Указание. Использовать тождество
с5 + с
Л-1 ,
л
' л+1*
§ 4
4.1.	12/365. 4.2. 5/12. 4.3*. 1/3. Указание. Число всех
двузначных чисел равно 90. Число двузначных чисел, делящих¬
ся на три, находится из уравнения 99= 12 + 3(л—1). 4.4. 0.4.
4.6.	3/13. 4.6**. P(i4)= 1/8; Р(В)= 3/8. Решение. Простран¬
ство влементарных событий состоит из выборок с повторениями,
составленных из букв Ц, Г. Оно содержит 2* = 8 элементов.
Событию А благоприятна только одна выборка (Ц, Ц, Ц), а со¬
бытию В — три; (Ц, Ц, Г), (Ц, Г, Ц), (Г, Ц, Ц). Таким обра¬
зом. Р(А)= 1/8; P(fl)= 3/8.
4.7.	1/6. 4Л. 1/2. 4.9. 89/99. 4.10. 10/99. 4.11*. 1/8. У к а з а н я е.
См. решение 4.6**. 4.12. С^/С*+„. 4.13. 1/720. 4.14. 245/354.
4.15.	л-т-Л/С®+„+й. 4.16. СуС*^. 4.17. 4/С%. 4.18*	1/80,
Указание. Пространство элементарных событий состоит из
всех перестановок с заданным числом повторений, имеющих
состав (3, 2, I). Благоприятной будет только одна такая пере¬
становка. 4.19. 5-3141/71 4.20. 2-4131/71 4.21*. 24-48I13V521
Указание. Пространство элементарных событий состоит
из всех выборок, имеющих состав (13, 13, 13, 13). Благоприят-

ббО
ОТВЕТЫ
иыии считаются выборки состава (12, 12, 12, 12), к каждой
5151
из которых присоединяют один из четырех тузов, 4,22.
4ЛЗ.
4.26.
50
7^'
4Л4.
/-эШ
''Ы
4.25.
1
г® '
'^6'^ 42
С® '
с® *
*-48
Г® Г^
^ 4^ 4
Л 07 .
с*с'
ПА ^ 9Я
2-С?в
‘-62
’ г®
S •
с?
•
bjo
§5
■W- т- т- i- 5-е*
1
1 + 31п2
8
5.1. 0,2. 6.2.
Указание. Рассмотреть отношение общей площади фигур,
ограниченвых линиями	уш=2х, х«=>2, у=0, к площади
квадрата со стороной 2. 5.7*.	Указание. См, ука¬
зание к 5.6*, 5.8*. —. Указание. Коэффициенты уравнения
параболы у = ах^ + Ьх-^с найти из условия прохождения ее
через три указанные точки, выбрав соответствующую систему
координат. 5.9.
6.11*.-^. Указание. Использовать
л	2
утверждение задачи 5.10. 5.12.	0,314. 6.13*.Указавне.
Если обозначить расстояние от точки В до начала координат
через X, а от точки С через у, то пространство элементарных
событий будет представлено единичным квадратом, вписанным
в первый квадрант координатной плоскости. Элементарные со¬
бытия, благоприятные событию, вероятность которого требуется
найти, представляются точками, координаты которых удовлет¬
воряют неравенству |у — х| ^ min(jc,у), 5.14. Поезда направ¬
ления АС должны приходить через 10 мин после отхода поезда
21
направления СА. 6.15*. Указание. Ввести систему коор¬
динат Оху, где X —угол, который образует игла с параллелями,
а у — расстояние от центра иглы до ближайщей параллели.
В этом случае пространству элементарных событий соответствует
прямоугольник со сторонами а и л/2, а элементарным событиям,
благоприятным условию пересечения иглою параллельных пря¬
мых.—точки, координаты которых удовлетворяют неравенству
/sinx < у.	••• . -

ОТВЕТЫ К ГЛ. 1в
661
§ в
Й1 п(п—1)		2«Щ	 п*
(ft+m)(n+m—1) ’ (n + m) (n + m—1) ■	‘ '(n + m)*’
\п + m')~‘	шары возвращаются обратно, то
события, связанные с цветом последовательно вынимаемых шаров,
О о 39	26
независимы. 6.3. -щ- • ^
.-1| «0,105*5.6.4.^. 6.5. f 6.6. а) |х
15 14_42.	81
^20* 19 95’
Ытк
6.8.
6.10. 1 -
190’	‘ (rt+m+fe)(«+m-|-fe—1){п+т+Л—2)'
67	. „ . (п - о (п - / - 1) .,.	- 1 - fe +1)
91-	л(п-1)(л-2) ... (п-Л+1)	•
— (I — р)". 6.11*. п > In (1 — Р)/1п (1 — р), где п — число выстре¬
лов. Указание. Число выстрелов находится из условия, что
в серин из п выстрелов вероятность поражения цели (хотя бы
одного попадания) не меньше Р. 6.12. Вероятность сдачи экза¬
мена не зависит от того, идет ученик отвечать первым или
последним. 6.13*. 2/3. Указание. Рассмотреть следующие
гипотезы; .4 — в урне было два белых шара; В — в урне было
два черных шара; С — в урне были разноцветные шары.
Вероитности гипотез считать одинаковыми. 6.14.	0,85.
(т—l)m + wm	(к+ 1) от + fen
6.15. а)
6.16*.
(щ + п — 1) (т + n)j ’
КпМ + LmN
б)
Указание.
(k + l + l)(m + n) •
См. указание к 6.13*.
{к + L) MN
6.17*. IN (А/-1) (JV-2) (ft + I) (ft + L-l) (ft + L-2)-k (ft- 1)X
X(ft-2)(Ar-«)(/V-« - l)(Ar-a-2)-ft(ft-l)L(Ar-n)X
X{N -n - l)(Af-m)-ft(L-l)(Z,-2)(Ar-n)(M-m)X
X(M-m-l)-L(L-l)(L-2)(Af-m)(Al-m-l)(M-
-т-2)1/ЛГ(ЛГ- l)(/V-2)(ft + L)(ft-l-Z. - 1)(ft -|r Z. - 2).
Указание. Рассмотреть гипотезы: Я# — все три изделия из
первой партии; Hi —2 изделия из первой партии и 1 из второй;
Я*—1 изделие из первой партии и 2 из второй; Я* —все три
изделия из второй партии.
ГЛАВА 16
§ »
1.6.	1) У меня иля пет собаки или есть кошка. 2) У меня
нет ни кошки, ни собаки. 3) У меня или есть и кошка, и со¬
бака или нет ни кошки, ни собаки. 4) Если у меня нет собаки,
то у меня есть кошка,	. >

662
ОТВЕТЫ-
1.7. р
I
1
О
о
Р|<7
0
1
I
I
1.8. (р Ад) W (р Ад) V (Р А д).
б) р-
1.10.	1)	2) g-*pf
3) р д\ 4) д^ pi 5) р д. 1.11. р А д А г. 1.12. 1) Мишень
поражена по крайней мере при одном из выстрелов. 2) Мишень
поражена при каждом выстреле. 3) Мишень поражена при
третьем выстреле, а при одном из первых двух — нет. 1.13. Да.'
1.14.	Все участвовали. 1.16. А сдал экзамен. 1.16. а) (р А д А г) 'V
W (р Ад Аг) V (р Л 9 Л г); б) {р А д А г)\ с) (р А д А г) А
А {р А д А г). ■ 1.17. а) (р А д) V (р А р) =• Р *-*■ д\ 6) р А <71
с) Р Л д\ д) р А д. 1.18. «Верно ли следующее высказывание;
или ты говоришь правду и этот выход ведет на свободу, или
ты лжешь и этот выход ведет на смерть?» 1.19. Высказывание
имеет вид рЛ9Лг=»ру дЫ г
в виде
и может быть реализовано
1.20.	(р Л <7) V ((р А g)V д).
1.21.
1«22« р ч-
§2
2.1.	а) (—2; оо); gf (2; оо); в) R: г) (— оо; —2) U (2l °°)l
Д) 0: е) R. 2.2. а) R; б) [-2; <»): в) [-2; <»): г) R;
д) (— оо; —2); е) R. 2.3. {3; 4}.	2.4. а) 0 < о < 2/3; б) <» >
2Л. {5/2}. 2.6. ее R\{{3)U{1}>. 2.7. (—<»; 1/2). 2.8. Истина.
2.9.	Ложь. 2.10. Истина. 2.11. Истина. 2.12. Истина. 2.13. Ложь.
2.14.	Истина. 2.16. Ложь. 2.16. Истина. 2.17. Ложь.
&18. а) (3Af>o)(VneN) (|«л1<М); (VM>0) (3«^N)
(|Ин|>Л1); б) (VnsN) (ил+1>и«): (3«eN) (и«^»«+|)-

ОТВЕТЫ К ГЛ. 1в
563
2.19.	(Ve>0) (3ft>0) (VxeR) (0<| jc - а |<8-► If (дг)-* |<е).
2Ж а) М=1 sup f(x)<=>(((Vxslo;81)-»>(/(x)<Af)) л
Х S Id, 6]
л ((Ve>0) (3xs[a: 6] )-►(/(*)>А1—е)); б) Af sup f(x)-t^.
хе|а; 6]
((Зх е [от, 6]) (f (X) > М)) V ((Зе > 0) (Vx s [о; Ь]) (f (х) <
< Л1 — е); М не является точной верхней гранью функции f (х)
на отрезке [а; А|, если верно одно из двух высказываний; или
для некоторого х е [<г, Ь) f (х) > М, или существует такое е > 0,
что для всех хs(о; 6J f(х)<М — е.
§4
4.1.	(114144)*. АЛ. 10000. 4А 9. 4.4. 19. АЛ. 4380. 4Л. (42714)*
4.7.	(3125)*. 4.8. (145244)*.
4.0.
0
1
0
0
0
«
0
1
4.10.	72. 4.13. Основание системы равно 5. 4.14. (12)*,
4.15.	В любой. 4.18*. Указание. Например, если тело имеет
вес 19 кг, то, записав число 19 в двоичной системе счисления,
имеем (19)] =3 (10 011)*, т. е. для его взвешивания следует
взять три гири 2’ = 16 кг, 2' = 2 кг и 2® = 1 кг.
4.17**. Решение. Представим любое число ^40 в троич¬
ной системе с цифрами —1, 0, 1 следующим образом: если оста¬
ток от деления очередного неполного частного на 3 равен 2. то
пишется (—1) и получающееся частное увеличивается на еди¬
ницу.
Например, вместо 20 13 пишем 20 |_3. Таким .образом,
2 Гб
I 3 пишем 20 1_3.
[б -if/
в троичной записи любого числа будут 1, 0, —1. Продолжая де¬
ление в рассмотренном выше примере, имеем
20 1 3
(20)„-(1 -1 1
-Ч7| 3
il 2
3
-1
1
Черточка над цифрой 3 означает, что число представлено в си¬
стеме с цифрами —1, о, 1. Так как (40)ю =■ (1 1 1 1)«, то для
любого тела весом ^40 хватит четырех гирь с весами 1, 3,
9, 27.

S64
ОТВЕТЫ
Алгоритм взвешивания будет представлен а троичной записи
чиола. Так чтобы взвесить тело в 20 кг, следует на одну чашку
весов поставить гири 27	3’ и 3 >» 3' (эти разряды в записи
представлены единицами), а на другую — 9 ■-3* и 1 =—3* (эти
разряды представлены —1). 4.18**. Решение. Вес следующей
гири должен быть не больше чем 2Мр+ I. Действительно,
если т,+1 > 2Мр + I, то груз весом Мр + I не удастся взвесить
за счет разности гпр--Мр. Если же ntp+i < 2Mp+i, то максималь*
ный вее Afp.fl » Ш) + ••• + будет меньше возможного»
Следовательйо, nip+i можно получить из уравнения
Шр^.] Мр Afp 1.
Учитывая, что Alp+i =■ nti -J- ... Шр+i, получаем
Afp+i •= 3Afp + 1.
4.19**. Решение. Сразу же следует из утверждения предыду>
щей аадачи, так как уравнение
Alp+,-=3Afp+ 1
показывает, что при делении Мр на 3 для любого р остается
остаток, равный 1. 4.20**. Решение. Из результатов 4.19**
и 4.18** следует, что минимальное число гирь находится из не*
равенства
3"-‘<я<3'’.
Алгоритм взвешивания совпадает с тем, который представлен
в задаче 4.18** и определяется записью п в троичной системе
счисления. 4.21**. Р е ш,е н и е. Если система счисления десятич*
ная, то максимальное |^число, которое можно представить пр9
г «3 30, равно 999. Действительно, так как р »• 3, то 999 — Maii»
симальное число, которое может быть записано а десятичной
системе счисления с использованием трех разрядов.
Если а > 10, например 15, то число разрядов р равно двум
я, следовательно, максимальное число равно 16-14+15‘*'14 >°*
,вр 224. Если основание равно 2, то максимальное число, за*
писываемое по этому/бснованию, 2'°—1; если основание равно3,
то 3^—1. Очевидно, что 3'“ —1>2‘*—1>6'—I, так как
0’ > 8* > 6* и, наконец, по основанию 6, 6* — 1, Следовательно,
наибольшим является 3'*—I.

ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В МГУ
Ниже приведены варианты экзаменационных работ, предло¬
женные абитуриентам в различные годы на вступительных экза¬
менах в МГУ.
Вариант 1 (Механико-математический факультет),
1)	Решить неравенство
gg „ уХ’ -f- бх—43 ^ 49^* + 5Х— 49
2)	Найти все пары чисел (х,у), удовлетворяющие условию
и > О и системе уравнений
sin [{х — д/п)* + у*1 = О,
log^ +	+ л/2 log2„V«* + y* “S.
3)	Два равных равнобедренных треугольника АВС и DBE
|(ЛВ = ВС в BD =: BE) имеют общую вершину В и лежат в
одной плоскости так, что точки Л и С находятся по разные сто¬
роны от прямой BD, а отрезки АС и DE пересекаются в точке/С.
Известно, что Z.ABC = Z.DBE = а, причем а<я/2, Z.AKD*=fi,
причем р < а. В каком отношении прямая ВК делит угол ЛВС?
4)	Сфера радиуса V» вписана в четырехугольную пирамиду
SABCD, у которой основанием служит ромб ABCD такой, что
Г,^ВЛВ >= 60°; высота пирамиды, равная 1, проходит через точ¬
ку К пересечения диагоналей ромба. Доказать, что существует
единственная плоскость, пересекающая ребра основания ЛВ и AD
в некоторых точках М, Ы таких, что MN =	касающаяся
сферы в точке, удаленной на равные расстояния от точек М и
N, и пересекающая продолжение отрезка SK за точку К в некото¬
рой точке £. Найти длину отрезка SE.
5)	Без помощи таблиц найти все значения х в промежутке
ев-0,5 < X < 1,5, удовлетворяющие равенству
•ogt ( 8ln Зх — cos 2х —	-• logi ( sin 7х — cos 6х —	.

Ббб
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
Вариант 2 (Механико-математический факультет).
1)	Произведение четырех целых положительных чисел мень<
ше, чем их сумма, а сумма трех из этих чисел равна 28. Найти
все такие числа.
2)	Решить систему уравнений;
X* 4- 2х sin у -f 3 cos ff = 0,
arcsin + sin a ^ — I/ — -j.
3)	B, четырехугольной пирамиде OABCD плоскости боковых
граней ОАВ, ОВС, OCD, ОАО образуют с плоскостью основания
углы, равные соответственно 60°,	45°, 90°. Основание ABCD —
равнобочная трапеция, ребро .46 равно 2, площадь основания
равна 2. Найти поверхность пирамиды.
4)	Найти все значения а, при которых минимум функция
/(х) = 3|х-о| -f |х* + х-2|
меньше двух.
Вариант 3 (Факультет вычислительной математики и ки¬
бернетики).
1)	Найти точки экстремума функции
f(x) = x*-i-6x»-3x-l-3
на интервале (—5, 1/5).
2)	Решить уравнение
б1«-в1„253*—*.
3)	В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали
которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е,
Прямая, проходящая через точку Е н перпендикулярная к АВ,
пересекает сторону СО в точке М. Доказать, что £А1 — медиана
треугольника CEO, и найти ее длину, если АО = 8 см, АВ =
= 4 см и dOB = а.
4)	Найти все целые корни уравнения
cos (у (Зх - V9x» + 160х + 800)^ = 1.
5)	Найти все действительные значения параметра а, при
каждом из которых уравнение
— X* — cos ^ -V8 — вх = о
имеет па отрезке (—2, 3] нечетное число различных корней.

ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
5G7
Вариант 4 (Физический факультет).
1)	Решить уравнение
2 sin X + sin Зх = 2 cos X — cos Зх.
2)	Решить неравенство
./TTxr4>2-log„
1
’(Зх+1) 25 ■
3)	В треугольнике АВС заданы углы Лид. Биссектриса
угла А пересекает сторону ВС в точке D. Окружность касается
сторон угла А и отсекает на продолжении биссектрисы этого
угла за точкой D отрезок DE, равный AD. Центр окружности
лежит на отрезке АЕ. Определять отношение площади круга к
площади треугольника АЕС.
4)	В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямо¬
угольный треугольник АВС (угол С прямой). Ребро SA перпен¬
дикулярно плоскости основания. В пирамиду вписан шар, радиус
которого равен '/>£Л. Через вершину 5 и точку касания шара
с основанием пирамиды проходит плоскость, параллельная реб¬
ру ВС. Эта плоскость делит поверхность шара в отношении
1; 4. Найти угол ВАС.
5)	Вода из цилиндрического бассейна глубины h вытекает
по двум трубам разной пропускной способности, первая из ко¬
торых расположена в дне бассейна, а вторая на боковой стен¬
ке. Если при наполненном целиком бассейне открыть только
вторую трубу, то вода будет протекать через нее в течение вре¬
мени, которое в Ч» раза меньше времени, нужного для слива
всей воды из бассейна только через одну первую трубу. При
действии обеих труб продолжительность слива всей воды из бас¬
сейна, наполненного целиком, в Vs раза больше, чем наполнен¬
ного на Vs- Пропускная способность труб не зависит от уровня
воды над трубой. На какой высоте расположена вторая труба?
Вариант 5 (Физический факультет).
1)	Решить неравенство
logs Vs “2х • logx3 < 1.
2)	Решить уравнение
(l-(-cosx) д/tg"^ —
2 -р sin X = 2 cos X.
3)	Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, который
сначала двигался равноускоренно с ускорением 4 км/ч^, а после
того, как его скорость возросла от О до о. продолжал двигаться
равномерно со скоростью v. Расстояние между пунктами Лид

Б68
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
равно 32 км. На первую половину пути велосипедист затратил
в полтора раза больше времени, чем на вторую. Определить ско<
рость V.
4)	В треугольнике АВС даны угол С и отношение стороны
ВС к стороне АС, равное 3. Из вершины С проведены два луча,
делящие угол С на три равные части. Найти отношение отрез«
ков этих лучей, заключенных внутри треугольника АВС.
5)	В трехгранном угле ОАВС (О —вершина) все внутрен¬
ние двугранные углы равны а. Найти угол между ребром ОА 'Н
биссектрисой угла В ОС.
Вариант 6 (Химический факультет).
1)	Имеются два слитка сплавов меди и серебра. Первый
весит 3 КЗ и содержит 10 % серебра, второй весит 2 /са и со¬
держит 20 % серебра. Какого веса кусок первого слитка нужно
переплавить вместе со всем вторым слитком, чтобы получить
сплав, содержащий г % серебра? Найти все г, при которых за¬
дача имеет решение.
2)	Дан куб ABCDA'B'C'D' с ребром АА' = а. Точка Е' —*
середина ребра В'С'. Найти радиус сферы, проходящей через
точки А', £', С', С.
3)	Найти все решения уравнения
Vsin Зх + cos X — sin X = Vcos* — sin2x.
4)	Сравнить без помощи таблиц 10(^135 075 я 75.
Вариант 7 (Биологический факультет; отделение почво¬
ведения).
1)	Два экскаватора, разных марок (один экскаватор марки
А и один экскаватор марки Б), работая одновременно, выка¬
лывают котлован емкостью 20000 м° за 10 суток. Если бы ра¬
ботал только экскаватор марки Б, то он выкопал бы этот кот¬
лован на 8 у суток скорее, чем тот же котлован выкопал бы
один экскаватор марки А. Сколько кубических метров в сутки
выкапывает каждый из экскаваторов?	..
2)	Решить уравнение
logs (*') + log8
3	logj7 (X + 4) - 3 log3 Щ.
3)	Найти все решения уравнения
=- 3 + 2 sin JC.
+ 2) sin X — sin 2х
I — cos X

ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
569'
4)	Найта все значения а, при которых неравенство
(х + 3 - 2а) (X + За - 2)<0
выполняется для всех х таких, что 2 ^ х ^ 3.
5)	Дан треугольник АВС, у которого стороны АВ =Vl7.
ВС = б, ЛС = 4. На стороне i4C взята точка О так, что ВО
является высотой треугольника АВС. Найти радиус окружности,
проходящей через точки А ч О н касающейся в точке О ок¬
ружности, описанной около треугольника BCD.
Вариант 8 (Биолого-почвенный факультет; отделение био¬
логии).
1)	Решить уравнение
Зх
cos X -1- 3sin X •= 1 + 2 cos -
2) Решить неравенство
X
cos-^.
. aVa-x
3-4
-Ь3< 10*2
tyji—x
3)	Даны две геометрические прогрессии а,, Ог, aj и bi. Ьг,Ь».
Известно, что числа 0| + bi, at bj, as 4- bt снова образуют
геометрическую прогрессию.
Доказать, что агЬ} = Ofbi.
4)	На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, пло¬
щадь которого равна единице, взяты точки; К на АВ, L на
на ВС, М на СО и N на АО. При этом АК: КВ = 2, BL: LC=>
=■ 1:3, СМ : AID = 1, DJV:	= 1 :5.
Найти площадь шестиугольника AKLCMN,
5)	При каких значениях а н Ь система
а*х — by = а* — Ь
Ьх — Ь*у == 2	4&
имеет бесконечно иного решений?
Вариант 9 (Географический факультет).
1)	Решить уравнение
cos* 2х — 5 sin* X 1 = 0.
2)	Решить неравенство
1с8.	3) >	+ >.
3)	На катете АС прямоугольного треугольника АВС как на
диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу

670
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНА11ИОННЫХ РАБОТ
АВ в точке к. Найти площадь треугольника СКВ, если длина
катета АС равна Ь в величина угла АВС равна р.
4)	Решить систему
2I *»—2х—3 I—1оаJ 3 ^ 3—Р—4
41у|-|у-1| + (1Г + 3)*<8.
5)	Каждое нэ ребер треугольной пирамиды ABCD имеет
длину 1. Точка Р на ребре АВ, точка Q на ребре ВС и точка
R на ребре CD взяты так, что длина отрезка АР равна V2, дли,-
на отрезка BQ равна Vt н длина отрезка CR равна Ч». Пло¬
скость PQR пересекает прямую AD в точке 5. Найти величину
угла между прямыми SP и SQ.
Вариант 10 (Геологический факультет; отделение общей
геологии).
1)	Найти все действительные решения уравнения
(ж + 1)V** + x~i =>2х + 2.
2)	В треугольнике АВС угол ВАС прямой, длины сторон
АВ и ВС равны соответственно 1 и 3. Точка К делит сторону
АС в отношении 7:1, считая от точки А. Что больше: длина
АС или длина ВК1
3)	Решить неравенство
log, (5ж* + 6ж 4-1X0.
4)	Найти все пары действительных чисел х и у, удовлетво¬
ряющие системе уравнений
cos 4ж 4- sin 2у = — 2,
'' X — у г=2п.
5)	Автобус проходит путь АЕ, состоящий из участков АВ,
ВС, CD, DE длиной 10 км, 5 км, 5 км, 6 км соответственно.
При этом, согласно расписанию, выезжая из пункта Д в 9 часов,
1	3
он проходит пункт В в 9часа, пункт С — в 9-g-часа, пункт
2
D — B 9— часа. С какой постоянной скоростью v Должен дви¬
гаться автобус, чтобы сумма абсолютных величин отклонений от
расписания прохождения пунктов В, С, D а времени движения
автобуса от Д до £ при скорости v не превосходила 51,7 минут?
6)	В основании пирамиды 5ДВС лежит равнобедренный тре¬
угольник АВС, длины сторон АВ и АС равны V^> ребро £Д пер¬
пендикулярно плоскости АВС, угол ВАС вдвое больше угла
BSC. Среди всех прямых круговых цилиндров с образующей.

ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
671
параллельной SA, находящихся внутри пирамиды, рассматри¬
вается цилиндр с наибольшей площадью боковой поверхности.
Известно, что расстояние от центра его нижнего основания до
ребра ВС составляет длины медианы AM треугольника АВС.
Найти объем пирамиды SABC.
Вариант И (Факультет психологии).
1) Решить уравнение
1 2
(!)■
2*-* + 9.
2) Решить неравенство
V51 — 2ж — ж*
I -ж
< 1.
3)	В треугольниках АВС » А'В'С длина стороны АВ равна
длине стороны А'В', длина стороны АС равна длине сторо¬
ны Д'С', величина угла ВАС равна 60° и величина угла В'А'С'
равна 120°. Известно, что отношение длины В'С' к длине ВС
равно	(где п —целое число). Найти отношение длины
АВ к длине АС. При каких значениях л задача имеет хотя бы
одно решение?
4)	В окружность радиуса 7 вписан выпуклый четырехуголь¬
ник ABCD. Длины сторон АВ и ВС равны. Площадь треуголь¬
ника ABD относится к площади треугольника BCD как 2:1.
Величина угла ADC равна 120°. Найти длины всех сторон че¬
тырехугольника ABCD.
5)	Найти все значения а, при каждом из которых система
уравнений
2	cos ж-Ь а sin у = 1,	^
logzsiny = (logzo) loga(2 —Зсозж),	.
logaZ + Icga - 1) = о
имеет хотя бы одно решение относительно х, у и г. При каждом
таком значении а найти все решения.
Вариант 12 (Экономический факультет).
1)	Найти все корни уравнения
21ж*-Ь2ж-5| = ж- I. V
удовлетворяющие неравенству ж < л/2.
2)	В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС ^
BD взаимно перпендикулярны н пересекаются в точке О, Из-

872
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
вестно, что ОВ-• ОС ™ 1, ОЛ =» 8, 0О==. 7, Найти косинус
угла между векторами АВ и DC. V
3)	Решить уравнение
4)	Имеется три сплава. Первый сплав содержит 60 %' алю*
миния, 15% медн и 23 % магния, второй —30% меди и 70%'"
магния, третий — 45 % алюминия и 55 % магния. Из них необ¬
ходимо приготовить новый сплав, содержащий 20 % меди. Какое
наименьшее и к'акое наибольшее процентное содержание алюми¬
ния может быть в этом новом сплаве?
5)	Найти множество всех чисел а, при каждом из которых
функция
f (i() =* 8 (2о -|- 1) cos X — sin 2jc -f (16o* + Юо — 18) x
является возрастающей на всей числовой прямой и при этом
не имеет критических точек.
Вариант 13 (Экономический факультет).
1) Найти все действительные решения уравнения
( Л/З + 2л/2)*'“ * + (V3-2V2)*'" * =
!=\Sln X
ii
3
- 2) Дана трапеция ABCD с основаниями i4D и ВС. Диаго¬
нали i4C и BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD —
в точке К. Прямая КО пересекает стороны ВС и AD в точках
Af и Л1 соответственно; ^BAD <= 30*. Известно, что в трапе¬
ции ABMN и NMCD можно вписать окружно5ть. Найти отно¬
шение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD.
3)	Решить неравенство
4)	Зоопарк ежедневно распределяет 111 кг мяса между ли¬
сами, леопардами и львами. Каждой лисе полагается 2 кг мяса,
леопарду 14 кг, льву 21 кг. Известно, что у каждого льва бы¬
вает ежедневно 230 посетителей, у каждого леопарда 160, у
каждой лясы 20. Сколько должно быть лис, леопардов и львов
в зоопарке, чтобы ежедневное число посетителей зоопарка было
максимальным?

ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
673
Вариант 14 (Экономический факультет; отделение полит-*
экономии).
1) Решить уравнение
-За
2*+4, yJc+4 ^ 2^* . 7*
2)	Найти все х, удовлетворяющие уравнению
clg Здс = ctg X.
3)	Решить неравенство
л/{х-4) (5Х + 41) < 2 (2х -7).
4)	Сколько точек с целочисленными координатами находится
внутри криволинейной трапеции, образованной осью абсцисс»
прямыми дс •= 82, X -■ 730 и графиком функции у •= logs {х— 1)?
Точки, лежащие на границе указанной криволинейной трапеции,
не учитывать.
5)	В группе каждый из учащихся знает хотя бы один ним
странный язык (английский, французский или немецкий) и нет
ни одного учащегося, который бы знал все три указанные языка,
13 учащихся знают лишь по одному иностранному языку. Никтр
из группы не знает одновременно французский и немецкий,
половина учащихся, владеющих английским, знает еще один иио*
странный язык. Девушек, знающих только английский, в 2 раза
больше, чем учащихся, знающих только немецкий, и в 4 раза
больше, чем учащихся, знающих только французский. Опреде¬
лить, сколько учащихся в группе, если юношей, знающих только
английский, в п раз больше, чем учащихся, знающих только
французский, причем 3 ^ п ^ 15 (л — целое число),
6)	Определить, при каких значениях а уравнение
х-|-2|2|х|-ц*|
имеет ровно три корня. Найти эти корни.
Вариант 15 (Филологический факультет; отделение
структурной и прикладной лингвистики),
1) Решить уравнение
logs (х — 1) = logs
2) Решить систему уравнений
1 + х-
У» = 4* + 8.
a'+’ + y + i—o.

Б74
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
3)	Найтн наибольшее н наименьшее значения функции
f (х) =» 24х — cos 12х — 3 sin 8х
па отрезке
Г--- -1
L 6’ 6j'
4)	В трапеции ABCD сторона AD является большим осно^
ванием. Известно, что AD = CD =4-^, Bi4D = 90® и BCD’**
3
Es 150°. На основании AD построен треугольник AED так, что
точки В и £ лежат по одну сторону от прямой AD, причем
АЕ *= DB. Длина высоты этого треугольника, проведенной из
• 2
вершины Е, равна Найтн площадь общей части трапеции
ABCD я треугольника AED.
5)	Найти все значения а, при которых уравиеяне
11 - ох I =. 1 + (1 - 2о) X + ах»
имеет ровно одно решение.

Справочное издание
ЦЫПКИН Александр Геннадиевич,
ПИНСКИЙ Александр Иосифович
СПРАВОЧНИК по МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ааведуютиВ редакцией В. Ю. Ховая
Редактор Г. В. Шароватова
Художественяый редактор Г. М. Коровина
Тахаикеский редактор С. Я. Шкляр
Корректоры Г. С. Вайсберг, Л. С. Сомова
ИВ № 32295
%
Сдано в набор 28.06.88. Подписано к печати 24.03.S9l
Формат 84X108/32. Бумага тип. № 2.
Гарнитура лнтературиаи. Печать высокая.
Уел. печ. л. 30,24. Уел. кр.ч>тт. 30.45. Уч.-вад. л. 35.06,
Тираж 200000 акз. (2-й завод 100001-200000 акз.).
Заказ М 357. Цена 2 р.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство еНаука>
Главная редакция
?1Нзико-математяяеской литературы
IT07I, Москва В*71. Леяинский проспект, 18
Ленинградская типография Л 2 головное предпрня«
тис ордена Трудового Красного Знамени Леннц,
^дскоГо объецниення «Техническая книга» нм.
св^ниИ Соколовой Союзполиграфпроиа при Госу*
дарстрецнои комитете СССР по делам издательств,
полиграфпя и книжной торговли. 198052 г, Ленин*
град Л-52, Измайловский проспект, 29.