Text
                    Р. Стенли
Перечислительная
комбинаторика
Деревья, производящие функции
и симметрические функции
Издательство «Мир»


Перечислительная комбинаторика Деревья, производящие функции и симметрические функции
ENUMERATIVE COMBINATORICS Volume 2 RICHARD P. STANLEY Massachusetts Institute of Technology CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
Р. Стенли Перечислительная комбинаторика Деревья, производящие функции и симметрические функции Перевод с английского М.А. ВСЕМИРНОВА, Д.М. ЛЕБЕДИНСКОГО и Н.В. ЦИЛЕВИЧ под редакцией А. М. ВЕРШИКА Москва «Мир» 2009
УДК 519.2 ВБК 22.19 С79 Стенли Р. 279 Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции: Пер. с англ. — М.: Мир, 2009. - 767 с, ил. ISBN 978-5-03-003476-8 Книга ведущего специалиста по комбинаторике Р. Стенли является продолжением книги того же автора «Перечислительная комбинаторика», перевод которой на русский язык был осуществлен в 1990 г. в издательстве «Мир». Она включает такие темы, как композиция производящих функций, деревья, алгебраические производящие функции, D-конечные производящие функции, некоммутативные производящие функции и симметрические функции. Глава о симметрических функциях — это единственное изложение данного предмета, которое может служить вводным курсом для студентов и концентрирует внимание на комбинаторных аспектах, особенно на алгоритме Робинсона-Шенстеда-Кнута. Рассматриваются также связи между симметрическими функциями и теорией представлений. Приложение (написанное С. Фоминым) содержит изложение некоторых более глубоких аспектов теории симметрических функций. Как и в первом томе, упражнения играют ключевую роль в разработке материала. В книге имеется более 250 упражнений, все с решениями или ссылками на решения, многие из которых касаются ранее не опубликованных результатов. Для студентов и исследователей-математиков, желающих найти приложения комбинаторики в своей работе; эта книга будет также служить авторитетным справочным пособием. УДК 519.2 ББК 22.19 рсЬЬи Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту К» 01-01-14104 Редакция литературы по математическим наукам © Cambridge University Press 1999, 2001 ISBN 978-5-03-003476-8 (русск.) © перевод на русский язык, ISBN 0-521-56069-1 (англ.) издательство «Мир», 2009
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Название этой книги подчеркнуто традиционно, но было бы ошибкой считать ее еще одной монографией по перечислительной комбинаторике в узком понимании этого термина, т. е. лишь новым руководством по методам подсчета числа объектов в том или ином комбинаторно определяемом множестве. Безусловно, следует согласиться с Джан-Карло Рота —учителем Р. Стенли и автором вдохновенных предисловий к обоим томам «Перечислительной комбинаторики», что за последние десятилетия комбинаторика из математической золушки превратилась в предмет всеобщего интереса и внимания. Здесь уместно отметить вклад в комбинаторику и самого Дж.-К. Рота (1932-2000) —замечательного комбинаторика, философа, который последовательно и систематически, начиная с 60-х годов, вносил в комбинаторику идеи из различных математических областей и, наоборот, пропагандировал комбинаторные принципы в алгебре, анализе и др. Его последователь и ученик Р. Стенли, являющийся в настоящее время лидером большой научной школы, демонстрирует в этой книге истинный научный универсализм. Широта охвата математических областей в ней поразительна, и это делает ее уникальной. Вот один из внешне броских примеров — упражнение 6.19 и соседние с ним, в которых дается более 70(!) интерпретаций чисел Ка- талана (к русскому переводу автор добавил еще несколько новых), что можно рассматривать как пример многосторонности фундаментальных комбинаторных определений и соответствующих чисел, о чем и свидетельствует их появление в алгебре, геометрии, физике и т. п. Но более глубокая иллюстрация новизны современного развития комбинаторики — это вовлечение в ее сферу новых объектов, некоторые из которых, впрочем, были открыты более ста лет назад, но по-настоящему заняли нужное место в науке сравнительно недавно. Я имею в виду в первую очередь «двумерную» комбинаторику — комбинаторику диаграмм Юнга, со всей ее глубиной и богатством связей, о чем идет речь, в основном, в 7-й главе книги. Роль диаграмм Юнга в теории представлений, в теории симметрических функций понимали еще классики — Г. Фробениус, И. Шур, А. Юнг и др., виртуозно использовавшие свойства диаграмм. Но все же лишь в последние тридцать лет стала понятной истинная глубина теории и роль комбинаторики диаграмм в разнообразных приложениях — от теории случайных матриц до Бете-анзаца, от теории
6 Предисловие редактора перевода представлений до мер Пуассона-Дирихле. Если попытаться выделить центральный фрагмент этой огромной области, то это, вне сомнения, алгоритм Робинсона-Шенстеда-Кнута (мы используем далее общепринятую латинскую аббревиатуру RSK), совершенно нетривиальным образом связывающий симметрическую группу с диаграммами и таблицами Юнга. Этот алгоритм зародился еще в довоенных работах последователя Юнга Д. Е. Литтлвуда, но окончательно оформился лишь после замечательных работ К. Шенсте- да и Д. Кнута 70-х годов. К сожалению, до появления перевода настоящей книги на русском языке не существовало монографического изложения этого важного алгоритма, хотя его исследования проводились и у нас (см. ниже). Именно комбинаторные аспекты RSK и его обобщений стоят в центре различных связей современной комбинаторики с различными разделами математики. Например, отображение RSK естественным образом переводит равномерное распределение на симметрической группе (меру Хаара) в меру Планшереля на пространстве неприводимых представлений симметрической группы. Замечательные примеры взаимодействия современной физики (вычисление статсумм и корреляционных функций) и комбинаторики известны давно, но в последние годы эти контакты получили совершенно новый импульс, причем физические соображения подчас стали превалировать над чисто комбинаторными. (Хороший пример — задача о матрицах со знакочередующимися элементами, связанная с теорией схем Гельфанда-Цетлина, теорией интегрируемых моделей и др. — см. упр. 7.103(c) и его решение. Характерно, что решение этой задачи было сначала получено трудным комбинаторным способом Д. Зейльбергером, а позже Г. Куперберг применил открывшуюся связь с методами, разработанными А. Изер- гиным и В. Корепиным для вычисления статсумм в двумерных моделях статфизики, и дал простое доказательство.) Комбинаторные методы в теории инвариантов узлов и многообразий, матричные задачи как способ решения комбинаторно-геометрических перечислительных проблем, теория трехмерных диаграмм (плоских разбиений) и далее — многомерных диаграмм и т. д. — это всего лишь несколько областей, в которых в последние годы происходят серьезные продвижения. Все эти примеры делают понятным несколько неожиданное высказывание И. М. Гельфанда, что комбинаторика — это математика 21-го века. Говоря о содержании книги, заметим сразу, что для читателя не будет проблемой то обстоятельство, что это второй том двухтомного издания. Во-первых, потому, что настоящий том относительно независим от более элементарного содержания первого тома, и, во- вторых, потому, что переводчики включили в сноски те сведения и
Предисловие редактора перевода 7 определения из первого тома, которые время от времени использует автор*). Для читателей же, знакомых с первым томом, отмечу, что переводчики старались сохранить терминологию, использовавшуюся в нем. Исключение составляет теория графов, в которой они следовали терминологии книги Ф. Харари «Теория графов». Роль производящих функций в комбинаторике и в математике вообще хорошо известна. Продолжая их изучение, начатое в четвертой главе первого тома («Рациональные производящие функции»), в пятой главе автор развивает принадлежащую в основном ему идею композиции производящих функций, которая позволяет исследовать весьма замысловатые перечислительные задачи. Шестая глава интересна и в целом, и, в частности, как попытка создать теорию некоммутативных производящих функций, где автору также принадлежат пионерские работы. Но не будет преувеличением сказать, что центральной частью второго тома является самая большая седьмая глава. В ней, как уже упоминалось, систематически излагаются начала теории симметрических функций под углом зрения теории разбиений и диаграмм Юнга. Содержание этой главы минимально пересекается с фундаментальным трудом И. Макдональда «Симметрические функции и многочлены Холла» (русский перевод первого издания вышел в 1985 г. в издательстве «Мир»), равно как и с книгой Дж. Эндрюса «Теория разбиений» (ее перевод вышел в 1982 г. в издательстве «Наука»), а также с выходящей вскоре в русском переводе небольшой книгой У. Фулто- на «Таблицы Юнга». Но здесь читатель найдет много материала, не излагавшегося на русском языке и ставшего уже почти классическим. Упомяну комбинаторную версию правила Литтлвуда- Ричардсона, теорию плоских разбиений, комбинаторику Шютцен- берже («jeu de taquin»—игра «15», см. приложение 1 к гл. 7, написанное по просьбе автора С. Фоминым) и т.д. Относительная сложность этих комбинаторных рассмотрений в точности соответствует сложности исходных алгебраических версий этих правил и понятий, но все же комбинаторика упрощает их и, во всяком случае, делает более наглядными. Поэтому для тех, кто интересуется приложениями комбинаторики к теории представлений и теории симметрических функций, эта глава будет особенно полезна. Среди тем, упоминаемых автором вскользь и в основном в упражнениях, я хочу остановиться на асимптотическом аспекте комбинаторной теории. Асимптотические и вероятностные комбинаторные задачи всегда тесно соседствовали с традиционной х) Напомним, что первый том опубликован в русском переводе в 1990 г. в издательстве «Мир». Для удобства читателя мы приводим в конце книги оглавление первого тома.
8 Предисловие редактора перевода комбинаторикой, но лишь в последнее время стало ясно их обратное влияние на нее. Этому способствовало также развивавшееся в основном у нас направление, которое можно назвать «асимптотической теорией представлений», ставившее асимптотические задачи перед теорией диаграмм Юнга. Поскольку диаграммы Юнга, как известно, параметризуют неприводимые комплексные представления симметрических групп, то задача об асимптотике представлений этих групп, когда степень группы стремится к бесконечности, сводится к вопросу об асимптотическом поведении диаграмм Юнга относительно меры Планшереля, которая была введена А. Верши- ком и С. Керовым. Эта асимптотика была найдена ими и независимо Л. Шеппом и Б. Логаном, что позволило с помощью алгоритма RSK решить некоторые старые комбинаторные проблемы, например, задачу Улама о максимальной монотонной подпоследовательности в типичной подстановке. Недавно было открыто, что та же структура асимптотического поведения характерна для спектров случайных матриц. Более того, имеет место своеобразная универсальность такого поведения в широком классе комбинаторных моделей статистической физики. Об этом немного сказано в серии упражнений 7.91, 7.109. Вообще же асимптотические задачи позволяют по-новому взглянуть и на конечную ситуацию. Удачный пример — применение базисов Гельфанда-Цетлина и образующих Юнга-Юциса-Мерфи для кардинальной перестройки классической теории представлений симметрических групп — см. в примечании редактора перевода в конце разд. 7.18. Книга Р. Стенли построена очень современно: основной текст занимает в ней менее 50%, остальное — это упражнения, комментарии и решения. Это позволило автору запрятать в книгу колоссальный материал, переработанный и приспособленный к нуждам изложения. Этот материал охватывает работы самых последних лет вплоть до препринтов 2000 года, что делает книгу полезной не только впервые изучающим предмет, но и исследователям. С другой стороны, комбинаторика дает повод обращаться, наоборот, к результатам математиков 18-19 веков и даже древних авторов, что автор книги, явно имеющий вкус к истории науки, делает с большим искусством. Над переводом книги работали Д. М. Лебединский (гл. 5), Н. В. Цилевич (гл. 6) и М. А. Всемирнов (гл. 7). Известные трудности издания научной литературы в России в последние годы сильно усложнили и затянули работу над переводом книги. Не останавливаясь на деталях, хочу особо отметить скрупулезный труд Н. В. Цилевич над корректурой книги. На протяжении длительной работы по подготовке русского издания книги мы сохраняли постоянный контакт с автором, который
Предисловие редактора перевода 9 с пониманием относился к подчас непростым проблемам, связанным с переводом. Мы хотим выразить ему за это особую благодарность. Я рискну порекомендовать книгу Р. Стенли почти любому математику, уверен, что в ней каждый сможет найти что-то полезное для себя. Книга уже получила признание — она выиграла престижный конкурс научных книг в США 2000 года. Теперь оба тома «Перечислительной комбинаторики» Ричарда Стенли, несомненно, станут популярными в наших математических библиотеках. А. Вершик
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Я очень рад, что второй том моей книги «Перечислительная комбинаторика» переведен на русский язык. Я благодарен переводчикам М. А. Всемирнову, Д. М. Лебединскому, Н. В. Цилевич и научному редактору перевода А. М. Вершику за проделанную ими трудоемкую работу. Перечислительная комбинаторика, будучи чрезвычайно увлекательной сама по себе, играет все более важную роль во многих областях математики. Я надеюсь, что моя книга предоставит российским математикам более легкий доступ к перечислительной комбинаторике и ее многочисленным радостям.
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЖ.-К. РОТЫ Большинство учебников, написанных в наше время, имеют короткую жизнь. Опубликованные для удовлетворения запросов приносящего прибыль, но изменчивого рынка, составленные с помощью оглавления какого-нибудь давно не выходившего классического издания, украшенные цветными таблицами, наполненные малосодержательными сводками результатов, снабженные упражнениями сомнительной практической применимости, они ежегодно украшают полки университетских книжных магазинов в сентябре. Неразошедшиеся в начале учебного года, они будут уничтожены к Рождеству, не найдя спроса даже на распродаже. Эта история повторяется каждый год с появляющимися на тех же полках учебниками новых авторов (или с новыми изданиями книг прежних авторов), настолько похожими на предыдущие, насколько это возможно без нарушения авторских прав. Изредка появляется учебник, который заслуживает того, чтобы именоваться лишь по имени автора; это неизменно свидетельствует о его долговечности: Вебер, Бертини, ван дер Варден, Феллер, Данфорд и Шварц, Альфорс, Стенли. Математическое сообщество открыто демонстрирует снобистскую неприязнь к учебной литературе, но факты расходятся со словами. В действительности авторы небольшого количества удачных руководств, написанных в XX столетии, входят в список наиболее почитаемых математиков нашего времени. Только автор другого учебника может оценить те страдания и бесконечные усилия, которые сопровождают создание учебника. Читатель всегда недооценивает время, необходимое для составления плана удовлетворительного изложения. Время, требуемое для завершения одной единственной главы, превосходит время, необходимое для подготовки статьи. Но много позже автор удачного учебника будет сполна вознагражден отнюдь не мимолетной славой. Более вероятно, что в истории останется имя автора окончательного изложения, чем имена многих математиков- исследователей. Я считаю невозможным предсказать, когда будет превзойден двухтомник Ричарда Стенли по комбинаторике. Никто не отважится, да и просто не сможет состязаться с ним в полноте охвата, заботе о деталях, завершенности доказательств, элегантности изложения. Книга Стенли обладает редчайшим качеством среди
12 Предисловие Дж.-К. Роты учебников: вы можете открыть ее на любой странице и начать читать с интересом, не испытывая необходимости вернуться к первой странице за разъяснениями. Комбинаторика, которая всего лишь тридцать лет назад была карликом среди гигантов, превращается в быть может еще большего гиганта во многом благодаря работе, проделанной Ричардом Стенли. Все, кто имеют дело с дискретной математикой, от занимающихся теорией категорий до специалистов по молекулярной биологии, должны выразить ему огромную признательность. Джан-Карло Рота 21 марта 1998 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга представляет собой второй (и последний) том введения в перечислительную комбинаторику, доступного по уровню студентам старших курсов. Тем, кто ожидал его появления в течение двенадцати лет, прошедших после опубликования первого тома, могу сказать только, что никто не испытывает большей радости от того, что второй том, наконец, завершен, чем я сам. Я постарался охватить темы, которые, по моему мнению, являются фундаментальными для перечислительной комбинаторики, а также те, которые наиболее полезны для приложений вне комбинаторики. Хотя эта книга задумана прежде всего как учебник для студентов старших курсов и справочник для профессиональных математиков, я надеюсь, что студенты младших курсов и даже способные ученики старших классов школы найдут в ней что-нибудь интересное. Например, многие из шестидесяти шести комбинаторных интерпретаций чисел Каталана, приведенных в упр. 6.19, должны быть доступны студентам младших курсов, обладающих минимальными познаниями в комбинаторике. Большая часть материала этой книги никогда ранее не была опубликована в виде учебника. Это особенно относится к изложению теории симметрических функций в гл. 7. Хотя теория симметрических функций и ее связи с комбинаторикой являются, по моему мнению, одной из самых красивых областей всей математики, она представляет собой трудный предмет для начинающих. Великолепная книга Макдональда о симметрических функциях является сугубо алгебраической и оставляет в стороне такой фундаментальный комбинаторный инструмент, как алгоритм Робинсона- Шенстеда-Кнута. Я надеюсь, что гл. 7 адекватно заполнит этот пробел в математической литературе. Главу 7 следует рассматривать только как введение в теорию симметрических функций, а не как ее исчерпывающее изложение. Как и в первом томе, упражнения играют жизненно важную роль в развитии сюжета. Если при чтении основного текста у читателя остается чувство «а зачем это нужно?» и он не удовлетворен представленными в тексте приложениями, ему следует обратиться к упражнениям. Благодаря чудесным возможностям электронной обработки текстов собрать большое количество разнообразных упражнений и решений оказалось значительно проще, чем это было с первым томом.
14 Предисловие Я благодарен многим людям, которые тем или иным образом способствовали улучшению этой книги. Отдельная благодарность Сергею Фомину за многочисленные предложения, касающиеся гл. 7, и, в особенности, за его мастерское изложение трудного материала приложения 1. Я признателен также другим людям, которые внимательно читали отдельные части ранних версий этой книги и внесли ценные предложения: Кристине Бессенродт, Фран- ческо Бренти, Перси Диаконису, Вангкуму Фонгу, Филу Хэнлону и Мишель Вахс. Роберт Беккер набрал большую часть гл. 5, а Том Роби и Бонни Фридман оказали неоценимую помощь при работе с пакетом ТеХ. Во время написания и издания этой книги я имел удовольствие работать с сотрудниками издательств Cambridge University Press и TechBooks: Кэтрин Фелгар, Шэймусом Макджил- ликадди, Эндрю Уилсоном и особенно Лорен Коулс, чье терпение и поддержку я высоко ценю. Хотя бы по одному содержательному предложению, не упомянутому в тексте в явном виде, сделали Христос Атанасиадис, Андерс Бьёрнер, Мирей Буске-Мелу, Брэдли Брок, Дэвид Бухсбаум, Эмерик Дёйч, Киммо Эрикссон, Доминик Фоата, Аира Гессель, Кэртис Грин, Патрисия Херш, Мартин Айзеке, Бенджамин Джозеф, Мартин Клазар, Дональд Кнут, Дарла Кремер, Питер Литтелман, Александр Медных, Томас Мюллер, Эндрю Одлыжко, Александр Постников, Роберт Проктор, Дуглас Роджерс, Лу Шапиро, Родика Саймион, Марк Скандера, Луис Соломон, Деннис Стэнтон, Роберт Суланке, Шейла Сандарам, Жан- Ив Тибон, Валерий Лисковец и Андрей Зелевинский, и я сожалею, если я случайно не упомянул кого-нибудь, кто должен быть в этом списке. Ричард Стенли Кембридж, Массачусетс Март 1998 г.
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ С комплексные числа N неотрицательные целые числа Р положительные целые числа Q рациональные числа R вещественные числа Z целые числа [тг] множество {1,..., п} при п Е N (так что [0] = 0) [г, j] множество {г, г + 1,..., j} для целых чисел г ^ j [х\ наибольшее целое число, не превосходящее х \х] наименьшее целое число, не меньшее х card X, #Х, \Х\ число элементов конечного множества X {ai,..., ak}< множество {ai,..., a,k} С R, где а\ < • • • < a,k Sij символ Кронекера, равный 1 при г = j и 0 в противном случае := равенство по определению im А образ функции А ker А ядро гомоморфизма или линейного преобразования А tr А след линейного преобразования А GF(q), Wq конечное поле из q элементов (единственное с точностью до изоморфизма) |Ji Vi прямая сумма векторных пространств (или модулей, колец и т. д.) Vi [xn]F{x) коэффициент при хп степенного ряда F(x); это обозначение очевидным образом распространяется на ситуации вида [jYIE^V = а» Ех ai7T Для различных колец и полей производящих функций используются следующие обозначения, в которых К — поле коэффициентов рассматриваемых рядов. Считается, что все ряды Лорана и дробные ряды Лорана имеют лишь конечное число членов с отрицательными степенями. К[х] кольцо многочленов от переменной х К(х) поле рациональных функций от переменной х (т. е. поле частных кольца К[х]) К^х]] кольцо формальных (степенных) рядов от переменной х К((х)) поле рядов Лорана от переменной х (т. е. поле частных кольца .К"[[ж]]) -^aig[[х]] кольцо алгебраических степенных рядов от переменной х над полем К{х)
16 Список принятых обозначений Ка1ё((х)) поле алгебраических рядов Лорана от переменной х над полем К(х) Kfra,[[x\] кольцо дробных степенных рядов от переменной х iffra((x)) поле дробных рядов Лорана от переменной х (т.е. поле частных кольца iffra[[x]]) К(Х) кольцо некоммутативных многочленов в алфавите X (от множества переменных X) KTa.t((X)) кольцо рациональных (= распознаваемых) некоммутативных рядов в алфавите X К((Х)) кольцо формальных (некоммутативных) рядов в алфавите X Ka.ig^X)) кольцо (некоммутативных) алгебраических рядов в алфавите X
Глава 5 ДЕРЕВЬЯ И КОМПОЗИЦИЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ 5.1. Экспоненциальная формула Если F(x) и G(x) — формальные степенные ряды, причем G(0) = 0, то, как мы убедились ранее (см. рассуждения после предложения 1.1.9), композиция F(G(x)) является корректно определенным формальным степенным рядом. В этой главе мы будем изучать комбинаторные свойства композиции степенных рядов. В настоящем разделе мы займемся случаем, когда F(x) и G(x) — экспоненциальные производящие функции, в особенности случаем F(x) =ех. Сначала выясним комбинаторный смысл произведения F(x)G(x) двух экспоненциальных производящих функций G(a:) = $>(n)^. В этой главе К обозначает поле характеристики 0 (например, поле С с несколькими присоединенными переменными). Далее, обозначим через Ef(x) экспоненциальную производящую функцию функции /: N —► К, т. е. £/(*) = £/(»)$• 5.1.1. Предложение. Пусть заданы функции /, #: N —► К. Определим новую функцию h: N —► К при помощи соотношения h(#x) = Y, f(#sM#n (5.1) (S,T) где X — конечное множество, a (S,T) пробегает все слабые упорядоченные разбиения множества X на два блока, т. е. такие, что 5ПГ = 0 и SUT = X. Тогда Eh{x) = Ef(x)Eg(x). (5.2)
18 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Доказательство. Пусть #Х = п. Тогда существует (£) пар (S,T), для которых #5 = к и #Г = п — &, так что Отсюда следует соотношение (5.2). □ Можно также доказать предложение 5.1.1, используя теорему 3.15.4, примененную к биномиальному ч. у. множеству В из примера 3.15.31). Мы сформулировали предложение 5.1.1 в терминах некоторого соотношения (5.1) между функциями /, g и /г, но важно понять его комбинаторный смысл. Предположим, у нас есть два типа структур, например а и /3, которыми можно снабдить конечное множество X. Мы предполагаем, что допустимые структуры зависят только от числа элементов в X. Можно снабдить X новым, «объединенным» типом структуры, обозначаемым через aU/З, снабжая структурами типов а и /3 соответственно подмножества 5 и Г множества X, такие, что S U Т = X, S ПТ = 0. Если f(k) (соответственно д(к)) — число возможных структур типа а (соответственно /?) на ^-множестве, то правая часть соотношения (5.1) равна числу структур типа aU/? на множестве X. Более общим образом, мы можем приписать любой структуре Г типа а или /3 вес w(T). Вес объединенной структуры типа a U /3 определяется как произведение весов ее частей. Если f(k) и д(к) обозначают суммы весов всех структур на fc-множестве типов а и /? соответственно, то правая часть соотношения (5.1) равна сумме весов всех структур типа a U /? на X. 5.1.2. Пример. Пусть дано множество X, состоящее из п элементов. Обозначим через h(n) число способов разбить X на два подмножества 5 и Г, такие, что SflT = 0, SUT = I, а затем линейно упорядочить множество 5 и выбрать некоторое подмножество в Т. Имеется f(k) = k\ способов линейно упорядочить множество из к элементов и д(к) = 2к способов выбрать подмножество *) Теорема 3.15.4. Пусть Р — биномиальное ч. у. множество с факториал ьной функцией В(п) и алгеброй инцидентности 1(Р) (над С). Положим Л(Р) = {/€ 7(Р): /(ж,у) = /(ж',у'), если 1(х,у) = 1(х',у')} (здесь 1(х,у) - длина интервала [ж,у]), и для / Е R(P) будем писать f(n) вместо /(ж,у), если /(ж,у) = гг. Тогда Я(Р) есть подалгебра алгебры 7(Р), и имеется изоморфизм алгебр <£: Я(Р) —► С[[ж]], задаваемый формулой <£(/) = ]Cn>0 f(p)xn/B(n). Ч. у. множество В из примера 3.15.3 есть решетка всех конечных подмножеств множества N, упорядоченных по включению. Это биномиальное ч. у. множество с факториальной функцией В(п) =п\. — Прим. иерее.
5.1. Экспоненциальная формула 19 в А;-элементном множестве. Значит, Многократно использовав предложение 5.1.1, можно получить следующий результат. 5.1.3. Предложение. Фиксируем к Е Р и функции /i, /2,..., Д : N —► К. Определим новую функцию h: N —► К с помощью соотношения ft(#5) = ^/1(#Т1)/2(#Г2) • • • /fc(#rfc), где набор (Ti,... ,Т&) пробегает все слабые упорядоченные разбиения множества S на к блоков, т. е. Ti,..., Т& являются подмножествами множества S, удовлетворяющими следующим условиям: (1) Т{ П Tj = 0, если i^j, и (2) Тг U • • • U Tk = S. Тогда к Eh(x) = f[Efi(x). г=1 Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат этого раздела, который объясняет комбинаторный смысл композиции экспоненциальных производящих функций. 5.1.4. Теорема (композиционная формула). Пусть даны функции /: Р —► К" и g: N ^- К, причем д(0) = 1. Определим новую функцию /г: N —► К с помощью соотношений М#5)= J2 №Вг)...№Вк)д{к), #5>0, *={Blt...,Bk}ell{S) (5.3) /i(0) = 1, где суммирование распространяется на все разбиения (определенные в разд. 1.4) 7г = {jBi, ..., Bk} конечного множества S. Тогда Eh(x) = Eg(Ef(x)). (Здесь Ef(x) = ]Cn>i f(n)xn/n*, поскольку f определена только на множестве положительных целых чисел.) Доказательство. Предположим, что #5 = п. Пусть hk(n) обозначает правую часть равенства (5.3) для фиксированного к. Так как В\,..., Bk непусты, то все они различны, так что имеется к\ способов линейно упорядочить эти множества. Таким образом, в силу предложения 5.1.3 Ehk{x) = ^Ef(x)k. (5-4)
20 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Суммируя равенства (5.4) по всем к > 1, получаем требуемую формулу. □ Теорема 5.1.4 имеет следующий комбинаторный смысл. Многие структуры на множестве, такие, как графы или отношения частичного порядка, можно рассматривать как дизъюнктные объединения их связных компонент. Кроме того, на самих компонентах может быть определена некоторая дополнительная структура, например, они могут быть линейно упорядоченными. Если на множестве из j элементов имеется f(j) связных структур и существует д(к) способов задать дополнительную структуру на к компонентах, то h(n) — число всех структур на множестве из п элементов. Существует очевидное обобщение этого рассуждения на взвешенные структуры, аналогичное тому, которое приводилось после предложения 5.1.1. Следующий пример поможет выявить комбинаторный смысл теоремы 5.1.4; более существенные приложения приводятся в разд. 5.2. 5 [7 Рис. 5.1. Циклическое расположении цепочек. 5.1.5. Пример. Пусть h(n) — число способов расставить п людей в непустые цепочки, а затем расположить эти цепочки в циклическом порядке. На рис. 5.1 показано одно такое расположение девяти человек. Имеется f(j) = j\ способов линейно упорядочить j человек и д(к) = (к — 1)! способов циклически упорядочить к > 1 цепочек. Таким образом, ЕАх) = V п! ^- = —^—. /v ; 4^ п\ 1-х' Ед{х) = 1 + У(п - 1)! ^ = 1 + 1п(1 - а)"1, так что Eh{x) = Eg(Ef(x)) = 1 + In (l - ^) = 1 + ln(l - 2а;)-1 - ln(l - х)'1 = 1 + 5>"-1)(п-!)!■£, П>1
5.1. Экспоненциальная формула 21 откуда следует, что h(n) = (2П — 1)(п — 1)!. Естественно, такой простой ответ требует простого комбинаторного доказательства. А именно, расставим п людей по кругу (п — 1)! способами. В каждом из п промежутков между соседними людьми можно проводить или не проводить черту, но хотя бы одна черта обязательно должна быть проведена. Таким образом, имеется 2П — 1 способов расположить черты. Люди, стоящие между двумя соседними чертами (или между чертой и ей же самой, если черта всего одна), упорядоченные по часовой стрелке, и образуют цепочку. На рис. 5.2 изображена ситуация рис. 5.1 в таком представлении. 7 *• Рис. 5.2. Эквивалентная форма рис. 1. Теорема 5.1.4 наиболее часто используется в случае, когда д(к) = 1 для любого к. В комбинаторных терминах это означает, что некоторая структура составлена из «связных» компонент и на самих этих компонентах нет никакой дополнительной структуры. 5.1.6. Следствие (экспоненциальная формула). Пусть задана функция /: Р —► К. Определим новую функцию h: N —► К равенствами 4#S)= Yl /(#Bi) •••/(#£*), #5>0, n={Blt...tBk}en(S) (5.5) МО) = 1- Тогда Eh(x)=expEf(x). (5.6) Скажем несколько слов о вычислительной стороне равенства (5.6). Если функция f(n) задана, то равенство (5.5) можно использовать для вычисления h(n). Однако имеется существенно более эффективный способ вычислять h(n) по /(п) (и наоборот). 5.1.7. Предложение. Пусть функции f:F^>K и h: N —> К связаны соотношением Eh(x) = expEf(x) (так что, в частности.
22 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций h(0) = 1). Тогда для п ^ О имеются рекуррентные соотношения Цп + 1) = £ Q Л(*)/(п + 1 - Л), (5.7) /(п + 1) = Л(п + 1) - £ (fj h(k)f(n + 1 - k). (5.8) Доказательство. Продифференцировав равенство Eh{x) = expEf(x), получаем E'h(x) = E'f(x)Eh(x). (5.9) Теперь приравняем коэффициенты при хп/п\ в обеих частях соотношения (5.9) и получим (5.7). (Легко также дать комбинаторное доказательство соотношения (5.7).) Равенство (5.8) получается из (5.7) перестановкой его членов. □ Композиционная и экспоненциальная формулы затрагивают структуры на множестве S, полученные путем выбора разбиения множества 5 и последующего наложения некоторой «связной» структуры на каждый блок. Иногда более естественным будет выбор некоторой перестановки множества 5 и затем наложение «связной» структуры на каждый цикл. Ясно, что эти две ситуации эквивалентны, так как перестановка есть не что иное, как разбиение с циклическим упорядочением каждого блока. Однако перестановки возникают достаточно часто, что служит основанием для формулировки отдельного утверждения. Вспомним, что в (5) обозначает множество (или группу) всех перестановок множества 5. 5.1.8. Следствие (композиционная формула, вариант с перестановками). Пусть заданы функции /: Р —► X и g: N —► К, причем д(0) = 1. Определим новую функцию h: Р —► К равенствами М#5)= £ f{#Ci)---f{#Ck)g(k), #S>0, ir€e(S) (5.10) МО) = 1, где С\,..., Ck — циклы в разложении перестановки 7г на непересекающиеся циклы. Тогда Eh(x) = Е{ (§'<<> Доказательство. Так как имеется (j — 1)! способов циклически упорядочить j -множество, равенство (5.10) может быть записано в
5.1. Экспоненциальная формула 23 виде Л(#5) J2 [(#Bi-l)!/(#Bi)]-[(#5fc-l)!/(#Bfc)]fl(*), »={Bi,...,Bfc}€n(S) так что по теореме 5.1.4 мы получаем ад = В,(Нп-1)!/(п)^) =£,(£/(n)^). D 5.1.9. Следствие (экспоненциальная формула, вариант с перестановками). Пусть задана функция /: Р —► К. Определим новую функцию h: N —► К равенствами H#s)= Yl f(#Ci)-№ck), #s>o, ttG©(S) Л(0) = 1, где используются те же обозначения, что и в следствии 5.1.8. Тогда Ехп f(n)— . В разд. 3.15 (см. пример 3.15.3(b)) сложение и умножение экспоненциальных производящих функций мы связывали с алгеброй инцидентности решетки конечных подмножеств множества N. Аналогичная связь существует между композицией экспоненциальных производящих функций и алгеброй инцидентности решетки Пп разбиений множества [п] (или любого n-множества). Более точно, нам необходимо одновременно рассмотреть все Пп для п Е Р. Напомним (см. разд. 3.10), что если а ^ 7Г в Пп, то у нас есть естественное разложение [а,7г]^ПГ х-.-хЩ», (5.11) где \а\ = ^га{ и |7г| = ^а^. Пусть П = (П1,П2,...). Для любого п е Р пусть /n G 7(ПП,К), где 1(Пп,К) — алгебра инцидентности решетки Пп. Предположим, что последовательность / = (/i, /2,...) обладает следующим свойством: найдется функция (также обозначаемая через /) /: Р —► К, такая, что если а ^ 7Г в Пп и [сг, 7г] удовлетворяет формуле (5.11), то /п(^7г) = /(1Г •••/(!»)"». Такая функция / называется мультипликативной функцией на П. Например, если £п — дзета-функция решетки Пп, то £ = (Ci 9 Сг? - - -) есть мультипликативная функция, причем С(п) = 1
24 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций при всех п Е Р. Если /лп — функция Мёбиуса решетки Пп? то из предложения 3.8.2 и формулы (3.30) ^ следует, что функция /л = (/zi?//2?-• •) является мультипликативной, причем fi(n) = (_l)n-l(n_1)L Пусть / = (/i,/2,...) и g = (0i,02,...)> где fn,gn в I(Un,K). Мы можем определить свертку fg = ((fg)i, (/0)2? • • •) с помощью равенства (f9)n = fn9n (свертка в 7(ПП, К)). (5.12) 5.1.10. Лемма. Если fug— мультипликативные функции на П, то тем же свойством обладает и fg. Доказательство. Пусть Р и Q — локально конечные ч. у. множества, и пусть и е I(P,K),v е I(Q,K). Определим и х v е 1(Р х Q,K) с помощью равенства и х v((x, х'), (у, у')) = и(х, y)v(x', у'). Тогда, как в доказательстве предложения 3.8.2, непосредственно получаем (и х v)(uf х г/) = ии' х vv'. Таким образом, в силу формулы (5.11) (f9)n(a, тт) = /151(б, 1Г ■ ■ ■ fn9n(0, i)°- = f9(ir • • • f9(n)a". □ Из леммы 5.1.10 следует, что множество М(П) = М(П, К) мультипликативных функций на П образует полугруппу относительно свертки. Действительно, М(П) даже является моноидом (полугруппой с единицей), поскольку тождественная функция 6 = (51,^2? •••) является мультипликативной, причем 6(п) = 6in. (Предупреждение. М(П) не замкнуто относительно сложения.) 5.1.11. Теорема. Определим отображение ф: М(П) —► :rif[[:r]] (где хК[[х]\ — моноид степенных рядов с нулевым свободным членом относительно композиции) с помощью равенства ^(/) = £,(*) = £/(n) J . Тогда ф является антиизоморфизмом моноидов, т.е. ф — биек- ция и ф(/д) = Eg(Ef(x)). ^Предложение 3.8.2 (теорема о произведении). Если Р и Q — локально конечные ч. у. множества с функциями Мёбиуса up и uq соответственно, то функция Мёбиуса их прямого произведения Р х Q задается формулой V>PxQ((x,y),(x',y')) = uP(x,x')uQ(y,y'), где (х,у) ^ (ж',у') в Р X Q. Формула (3.30): ип = (—1)п_1(тг — 1)!, где ип = и(6, 1), а /х — функция Мёбиуса решетки Пп. — Прим. перев.
5.1. Экспоненциальная формула 25 Доказательство. Очевидно, что ф является биекцией. Так как fg мультипликативна по лемме 5.1.10, достаточно показать, что ^Tfg(n)^=Eg(Ef(x)). По определению fg(n) в 1(Ип,К) выполняется соотношение f9(n) = J2 fn& 7Г)^(7Г' *) 7r={Bi,...,Bfc}€lIn =х;/(#д1)---/(#^ж*)- (5лз) 7Г Так как формула (5.13) согласуется с (5.3), доказательство вытекает из теоремы 5.1.4. □ Следующее утверждение вытекает из теоремы 5.1.11 таким же образом, как предложение 3.15.5 следует из теоремы 3.15.4 (с использованием предложения 5.4.1), так что мы опускаем доказательство. (Можно также дать прямое доказательство без использования теоремы 5.1.11.) Если / = (/ь/г,...)? гДе /п € ^(Пп?^0, и в 1(ИП:К) существуют все функции /~х, то мы пишем /_1 = (ЛЛ/а-1,...)- 5.1.12. Предложение. Пусть f — мультипликативная функция и существует функция f~l. Тогда f~l — тоже мультипликативная функция. 5.1.13. Пример. Пусть С?^?^ € М(П) имеют тот же смысл, что и выше, так что £ц = ^ = S. Тогда ВД = £ S = е* ~1; Es{x) = х; поэтому по теореме 5.1.11 [ехрЕ^х)] -1 = х => Е^х) = ln(l + х) = ^(-l)""1^ - 1)! ^ =* Mn) = (-i)n-1("-i)'- Таким образом, мы другим способом получили функцию Мёбиуса решетки Пп (формулу (3.30)). 5.1.14. Пример. Пусть h(n) — число способов разбиения множества [п] с последующим делением каждого блока на блоки, состоящие из нечетного числа элементов. Мы ищем количество таких
26 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций цепочек 6^7г^сг<1вПп, что все размеры блоков в -к являются нечетными. Определим функцию / Е М(П) следующим образом: <»Ч;: ., ч , ^., гг четное. п нечетное. Тогда очевидно, что h = /£2, так что по теореме 5.1.11 = exp -pEt^tI)!)-1 ,sh x -1 = exp(eshx-l)-l. Мы обсуждали в этом разделе комбинаторный смысл умножения и композиции экспоненциальных производящих функций. Важно понять комбинаторный смысл еще трех операций: сложения, умножения на х (частного, но весьма важного случая произвольного умножения) и дифференцирования. 5.1.15. Предложение. Пусть S — конечное множество, и пусть даны функции /,#: N —► К. Определим новые функции h\, h^, h$ и /14 следующим образом: hi{#S) = №S) + g{#S), (5.14) 4#<S) = (#S)/(#T), где #Г = #5 - 1, (5.15) Лз(#5) = Д#Т), где #Г = #5 + 1, (5.16) M#S) = (#5)/(#5). (5.17) Тогда ^1(х) = Е/(х) + ^(х), (5.18) Eh2(x)=xEf(x), (5.19) ЯЛ, (я) = ££(*), (5.20) EhA(x) = xE'f(x). (5.21) Доказательство очевидно. П Равенство (5.14) соответствует выбору двух типов структур, вводимых на множестве 5, причем структуры одного типа перечисляются функцией /, а другого — функцией д. В соотношении (5.15) мы «назначаем корнем» некоторую вершину v в множестве 5 (т.е. выбираем выделенную вершину v, часто называемую корнем), а потом вводим структуру на множестве оставшихся вершин Т = S — {х}. Равенство (5.16) соответствует добавлению еще одного элемента к множеству 5 с последующим введением структуры,
5.2. Приложения экспоненциальной формулы 27 перечисляемой функцией /. Наконец, в соотношении (5.17) мы просто наделяем множество S некоторой структурой, а после этого выбираем корень. Как будет видно из последующих разделов, многие структуры имеют рекурсивную природу, которая позволяет с помощью результатов этого раздела получить функциональные или дифференциальные уравнения на соответствующую экспоненциальную производящую функцию. Продемонстрируем эти соображения, приведя комбинаторную интерпретацию формулы E'h(x) = Ej(x)Eh(x) (см. равенство (5.9)). Левая часть соответствует следующей конструкции: возьмем некоторое (конечное) множество 5, добавим новый элемент £, а затем зададим на множестве 5 U {t} структуру, перечисляемую функцией h (или h-структуру). Правая часть означает следующее: выберем некоторое подмножество Т в 5, добавим элемент t к Т и на множестве Т U {£} зададим /-структуру, а на множестве S — T зададим /г-структуру. Ясно, что если h и / связаны соотношением (5.5) (так что /г-структуры являются однозначно определенными дизъюнктными объединениями /-структур), то функции E'h(x) и E'n(x)Eh(x) имеют один и тот же комбинаторный смысл. 5.2. Приложения экспоненциальной формулы Самые непосредственные приложения следствия 5.1.6 касаются структур, которые имеют очевидное разложение на «компоненты связности». 5.2.1. Пример. Число графов (без петель и кратных ребер) на тг-элементном множестве вершин S равно, очевидно, 2^). (Каждая из (2) пар вершин может соединяться или не соединяться ребром.) Пусть c(#S) = с(п) обозначает число связных графов на множестве вершин 5. Поскольку граф на 5 получается путем выбора некоторого разбиения 7г множества S и размещения связного графа на каждом блоке этого разбиения, мы видим, что равенство (5.5) выполняется для h(n) = 2b) и f(n) = с(п). Таким образом, по следствию 5.1.6 Eh(x) = ^2(2)^- = ехрЕс{х) = expVc(n) ^-, или, что то же самое, £c(n)^=ln£2(^. (5.22) п>1 п>0
28 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Заметим, что производящие функции Еь(х) и Ес(х) имеют нулевой радиус сходимости; однако они все же имеют комбинаторный смысл. Конечно, предыдущий пример не содержит ничего специфического, относящегося только к графам. Если, например, h(n) есть число ч. у. множеств (или орграфов, топологий, графов без треугольников и т.д.) на n-множестве, а с(п) — число связных ч.у. множеств (орграфов, топологий, графов без треугольников и т.д.) на n-множестве, то основное соотношение Eh{x) = ехрЕс(х) также выполняется. В некоторых случаях (таких, как графы и орграфы) у нас есть явная формула для /i(n), но это случайная «премия». 5.2.2. Пример. Предположим, что мы интересуемся не только числом связных графов на n-элементном множестве вершин, но также числом графов на этом множестве вершин, имеющих в точности к компонент. Пусть Ск(п) обозначает это число. Положим ^м = ЕЕс*(п)^- (5-23) Имеется два способа получить эту производящую функцию — с помощью теоремы 5.1.4 и следствия 5.1.6. Можно положить либо /(п) = с(п) и g(k) = tk в (5.3), либо /(n) = c(n)t в (5.5). В любом случае мы получаем h(n) = J2ck^tk- Таким образом, F(M)=expf£c(n)£ = (£2(S)5Y- И снова одни и те же рассуждения пригодны для ч.у. множеств, орграфов, топологий и т.д. Вообще, если Е^(х) — экспоненциальная производящая функция для полного числа структур на тг-множестве (где, конечно, каждая структура — это однозначно определенное дизъюнктное объединение связных компонент), то Eh(x)1 также отслеживает число компонент, как и функция (5.23). Равносильно, если h(n) — число структур на n-множестве и с^(тг) — число структур с к компонентами, то Y,tkECk{x) = Ен{х)г = ехргДС1(х) = ^ife^^, (5.24) так что ЕСк(х) = ±-ЕС1(х)к = ±-(lnEh(x))k,
5.2. Приложения экспоненциальной формулы 29 где мы полагаем с^(0) = 6ok и /г(0) = 1. В частности, если h(n) = п\ (число перестановок n-множества), то Еь(х) = (1 — х)~г, в то время как Ck(n) = с(п, к) — число перестановок n-множества с к циклами. Другими словами, с(п, к) — это число Стирлинга первого рода без знака (см. разд. 1.3), и мы получаем £c(n,fc)S = ^[ln(1-xrl]fe- (5-25) Приведем еще одно «прямое» приложение ради элегантности окончательного ответа. 5.2.3. Пример. Предположим, что в комнате находится п детей. Дети собираются в хороводы, держась за руки, и в центре каждого хоровода стоит один ребенок. Хоровод может состоять как из нескольких детей, так и из одного ребенка, соединившего руки, но внутри каждого хоровода обязательно должен быть ребенок. Сколькими способами можно это сделать? Обозначим число способов через h(n). Допустимая расстановка детей получается выбором разбиения детей на группы, выбором одного ребенка с в каждой группе Б, который будет стоять в ее центре, и расстановкой остальных детей из группы В по кругу вокруг с. Если фВ = г > 2, то имеется г • (г — 2)! способов это сделать, и нет ни одного способа, если г = 1. Следовательно (полагая /i(0) = 1), мы получаем /тг»* /тг»* Eh(x) = exp^Jz. (г — 2)! — = expx^J — = ехрж1п(1 - х)~г = (1 - х)~х. Аналогично, если Ck(n) обозначает число расстановок п детей по к хороводам, то Далее мы рассмотрим несколько задач, относящихся к последовательному подразбиению блоков разбиения. 5.2.4. Пример. Пусть В(п) = В\(п) обозначает n-е число Белла, т.е. В(п) = #ПП (разд. 1.4). Полагая /(г) = 1 для каждого г в (5.5), получаем Ев(х) = У" В(п) ^7 = ехР(е* " !) (см. соотношение (24f) гл. 1). Теперь пусть ^(п) обозначает число способов разбить п-множество 5 и затем разбить каждый блок, или, что эквивалентно, Дг(п) — это количество цепочек вида
30 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 0 ^ 7Г1 ^ 7Г2 ^ 1 в Пп. Полагая /(г) = В(г) для каждого г в (5.5), или, что равносильно, используя теорему 5.1.11 для вычисления ф(С3)) мы приходим к равенству Е п>0 • ехр[ехр(ех - 1) - 1]. Аналогично, если Вь(п) обозначает число цепочек б ^ -к\ ^ 7Г2 ^ * * * ^ TTfc ^ 1 в Пп, то $>fc(n)^ = l + e<fe+1>(*), е ■* 77.! п>0 П где е[х) = еЫ(х) = ех - 1 и е^+1>(ж) = е(е^(х)). 5.2.5. Пример. Предыдущий пример непосредственно следовал из наших рассуждений. Рассмотрим теперь следующую модификацию. Начнем с n-множества S и для п > 2 разобьем S по крайней мере на два блока. Затем разобьем каждый блок, состоящий более чем из одного элемента, по крайней мере на два блока. Продолжая разбивать блоки, содержащие хотя бы два элемента, на не менее чем два блока, добьемся того, чтобы каждый блок состоял из одного элемента. Назовем эту процедуру полным разбиением множества 5. Полное разбиение может быть естественным образом представлено (неупорядоченным) деревом, как показано на рис. 5.3 для S = [9]. Заметим, что помечать надо только концевые точки (листья): другие метки избыточны. Пусть t(n) обозначает число полных разбиений множества 5 (причем t(0) = 0). Таким образом, t(l) = 1, t(2) = 1, t(3) = 4, t(4) = 26. 123456789 Рис. 5.3. Полное разбиение множества [9], представленное в виде дерева. Выясним, что происходит, когда мы выбираем некоторое разбиение 7г множества 5 и затем полное разбиение каждого блока разбиения п. Если |7г| = 1, то это равносильно выбору полного разбиения множества 5. С другой стороны, разбиение множества 5 на по крайней мере два блока с последующим выбором полного
5.2. Приложения экспоненциальной формулы 31 разбиения каждого блока эквивалентно выбору полного разбиения самого 5. Таким образом, при условии, что #5 ^ 2, мы получаем каждое полное разбиение множества S дважды. Если #5 = 1, то мы получаем единственное полное разбиение этого множества только один раз. Если #5 = 0 (т. е. 5 = 0), то наша процедура может быть выполнена единственным способом (т. е. не надо ничего делать), но по нашей договоренности в этом случае полных разбиений множества 5 нет. Отсюда по следствию 5.1.6 мы получаем expEt(x) = 2Et(x) - х + 1. (5.26) Другими словами, обозначая через F^~^(x) функцию, обратную к F(x) = ах + bx2 Н (где а ^ 0) в смысле композиции, т. е. такую, что F{Fl~V{x)) = F<-V{F{x)) = х, мы имеем Et{x) = {l + 2x-ex)(-1K (5.27) Получить более простой результат не представляется возможным. В частности, в разд. 5.4 будут обсуждаться методы вычисления коэффициентов функций, обратных в смысле композиции, но эти методы вряд ли дадут что-либо интересное для F(x) = 1 + 2х — ех. Некоторые задачи перечисления, тесно связанные с полными разбиениями, можно найти в упр. 5.26 и 5.40. Рис. 5.4. Двоичное полное разбиение, представленное в виде дерева. 5.2.6. Пример. Рассмотрим вариант предыдущего примера, когда каждый блок, содержащий больше чем один элемент, разбивается ровно на два блока. Такой способ разбиения называется двоичным полным разбиением множества 5, и количество таких разбиений обозначается через 6(#5). Аналогично случаю полных разбиений полагаем 6(0) = 0. Дерево, представляющее двоичное полное разбиение, является полным (неупорядоченным) двоичным деревом, как показано на рис. 5.4. (Таким образом, Ь(п) есть в точности число (неупорядоченных) полных двоичных деревьев с п помеченными
32 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций листьями.) Из теоремы 5.1.4 (для g(k) = 62k) или непосредственно из формулы (5.4) (при к = 2 и д(2) = 1), применяя способ, аналогичный выводу формулы (5.26), мы получаем равенство ^Еь(х)2 = Еь(х) - х. (5.28) Решение этого квадратного уравнения выглядит так: Еь(х) = 1 - л/1-2ж = 1-E(1f)(-2)nxn = ^1-3-5-(2n-3)S' откуда Ь(п) = 1-3-5---(2п-3). Как обычно, получив такой простой ответ, хочется найти прямое комбинаторное доказательство. Легко видеть, что 1 • 3 • 5 • • • (2п — 3) — число разбиений множества [2п — 2] типа (2n_1), т.е. разбиений, содержащих п — 1 двухэлементных блоков. Если задано двоичное полное разбиение /3 множества [п], мы можем получить разбиение 7г множества [2п — 2] типа (2П-1) следующим образом. В дереве, представляющем разбиение /? (таком, как на рис. 5.4), удалим все метки, кроме тех, которыми помечены листья. Теперь повторяем следующую процедуру до тех пор, пока все вершины, кроме корня, не окажутся помеченными. Если метки 1,2,..., т уже использованы, пометим числом т + 1 вершину г;, такую, что (а) вершина v не помечена, а оба ее сына помечены, и (Ь) среди всех непомеченных вершин, оба сына которых помечены, v является вершиной, имеющей сына с наименьшей меткой. На рис. 5.5 показано, как эта процедура применяется к дереву, изображенному на рис. 5.4. Наконец, пусть блоки разбиения -к состоят из меток пар сыновей одной (неконцевой) вершины. Таким образом, из рис. 5.5 мы получаем тг = {{1,4}, {2,9}, {3,10}, {5,7}, {6,8}, {11,12}}. Рис. 5.5. Помеченное по убыванию дерево, соответствующее двоичному полному разбиению.
5.2. Приложения экспоненциальной формулы 33 Мы предлагаем читателю доказать (это не совсем тривиально), что описанная процедура дает искомую биекцию. Экспоненциальная формула успешно применяется в некоторых задачах, содержащих симметричные матрицы. (Аналогичные результаты для произвольных матриц обсуждаются в разд. 5.5.) Основная идея состоит в том, что симметричную матрицу А = (aw), столбцы и строки которой индексируются некоторым множеством V, можно отождествить с графом G = Ga на множестве вершин V, в котором ребро гш, соединяющее и и г;, помечено элементом auv. (Если auv = 0, мы просто выкидываем ребро гш, а не помечаем его нулем. Вообще, если auv Е Р, то часто удобно провести auv (непомеченных) ребер между и и v.) Иногда связные компоненты графа Ga обладают простой структурой, так что можно использовать экспоненциальную формулу для перечисления всех графов (или матриц). 5.2.7. Пример. Как и в предложении 4.6.21, пусть 5П(2) обозначает число симметричных N-матриц А размера п х п, у которых сумма элементов в каждой строке (а значит, и в каждом столбце) равна двум. Степень каждой вершины графа Ga (если считать петлю лишь единожды) равна двум. Следовательно, связные компоненты графа Ga могут быть только следующих типов: (а) одна вершина с двумя петлями, (Ь) двойное ребро между двумя вершинами, (с) простой цикл длины ^ 3 или (d) простая цепь длины ^ 1 с петлей на каждом конце. Всего имеется ^(п — 1)! (неориентированных) простых циклов нап ^ 3 вершинах и ^п! (неориентированных) простых цепей на n ^ 2 вершинах с петлей на каждом конце. Тогда в силу следствия 5.1.6 ^5n(2)-=exp^+- + -^(n-l)!- + -5:n!-J (Х2 1глЖП lv^ \ = <1-*)-"*е*р(^ + щ^). Используя метод упр. 5.24(c), мы получаем рекуррентное соотношение (где Sm = 5m(2)) Sn+i = (2n + l)Sn - (n)2 Sn-i - (n)2 Sn_2 + £(nb 5n"3' n ^ °*
34 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.2.8. Пример. Предположим, что в предыдущем примере А является (0, 1)-матрицей (т. е. 2 в качестве элемента не допускается). Тогда граф Ga не может иметь компонент указанных выше типов (а) и (Ь). Если мы обозначим через 5* (2) число таких матриц, то получим £ад)5=е"х-х2/25>(2>5 = (1-*)-1/2ехр(-*-^+<^). В качестве еще одного варианта мы предположим, что элементы матрицы снова могут принимать значение 2, но tr А = О (т.е. все элементы главной диагонали равны 0). Теперь компоненты графа Ga не могут иметь петель, а значит, могут быть только типов (Ь) или (с). Отсюда, обозначая через Тп(2) число таких матриц, получаем £^2)-=exp (- + -£(„-!)!-) = (1-*Г1/2ехр(-| + - Аналогично, если Т*(2) обозначает число симметричных (0-1)- матриц размера п х п с нулевым следом и суммой элементов в каждой строке, равной 2, то E02)f=exp(i£(-l>'S) = (1-*)-*/» ехр (-§-£). (5.29) Рекуррентные соотношения для S* (2), Т„(2) и Т*(2), выполняющиеся при п ^ 0, имеют следующий вид (здесь используется метод упр. 5.24(c)): S;+1(2) = 2n5;(2) - (n)2 s:_x(2) - |(n)3S;_3(2), Г„+1(2) = nTn(2) + nTn_x(2) - (£)тп_2(2), Tn*+1(2) = nTn*(2)+QTn*_2(2).
5.2. Приложения экспоненциальной формулы 35 Следующий пример является интересной вариацией двух предыдущих, причем в нем априори неочевидна применимость экспоненциальной формулы. 5.2.9. Пример. Обозначим через Хп = (xij) симметричную пхп- матрицу, элементами которой являются независимые переменные (например, над R), за исключением того, что выполняются соотношения х^ = Xji. Пусть L(n) — число слагаемых (т.е. различных одночленов) в разложении определителя det Хп, в котором используются лишь переменные хц при г ^ j. Например, detX3 = ЖЦЖ22Ж33 + 2X12^23^13 - ^13^22 - ^11^23 ~ х12х33- Следовательно, L(3) = 5, так как приведенная выше сумма состоит из пяти слагаемых. Может возникнуть вопрос, надо ли учитывать одночлен, который входит в разложение определителя detXn, но коэффициент при котором обращается в нуль при сокращении. Но, как мы вскоре увидим, сокращение невозможно; все вхождения данного одночлена имеют один и тот же знак. Пусть п Е 6П и М„ = Ж1)7Г(1)Х2,7Г(2) * * * Яп,тг(п)? где мы полагаем Xji = X{j, если j > г. Таким образом, Мп — это одночлен, соответствующий 7г в разложении определителя det Хп. Введем граф Gn, множеством вершин которого служит [п] и в котором между вершинами г и -к(г) проведено (неориентированное) ребро при 1 ^ г ^ п. Таким образом, компонентами графа Gtt являются простые циклы длины ^ 1. (Простой цикл длины 1 — это петля, а простой цикл длины 2 — двойное ребро.) Решающее замечание состоит в том, что Мп = Ма тогда и только тогда, когда Gn = Ga (несложное доказательство этого факта мы опускаем). Так как перестановка п является четной (соответственно нечетной) тогда и только тогда, когда Gn имеет четное (соответственно нечетное) число простых циклов четной длины, то, если Мж = Ма, одночлены Мп и Ма входят в разложение определителя det Хп с одинаковыми знаками. Другими словами, сокращения в разложении определителя det Хп не происходит. Заметим также, что всякий граф G на множестве [п], каждая компонента которого является простым циклом, совпадает с Gn для некоторой перестановки 7г Е 6п- (В действительности число таких -к равно 2d^n\ где d(ir) — количество циклов длины ^ 3 перестановки 7г.) Следовательно, L(n) — это просто число графов на множестве [п], у
36 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций которых каждая компонента является простым циклом (включая петли и двойные ребра). Отсюда L(n)-=expfx+- + -$:(n-l)!-J = (1-*)-'/» ехр(| + £). Заметим также, что если Р^ обозначает матрицу перестановки -к G 6П, то Gn = Ga тогда и только тогда, когда Рп + Р~1 = Ра + Р"1. Следовательно, Ь(п) является числом различных матриц вида Р^Ч- Р"1, где 7г G 6П- Назовем перестановки 7г, a G 6П эквивалентными, если каждый цикл перестановки 7г является циклом или обратным к некоторому циклу перестановки а. Тогда Х(п) является числом соответствующих классов эквивалентности. В заключение этого раздела мы рассмотрим несколько примеров, в которых более естественным оказывается использовать вариант экспоненциальной формулы с перестановками (следствие 5.1.9). 5.2.10. Пример. Пусть -к G 6П — некоторая перестановка. Предположим, что 7г имеет с* = Сг(тг) циклов длины г, так что ]Г ici —п. Рассмотрим одночлен от переменных * = (*i,*2?---)- Мы назовем Z(it) цикловым индексом (или цикловым индикатором, или цикловым одночленом) перестановки п. Определим цикловый индекс, или многочлен циклового индекса (или цикловый индикатор и т.д.) Z(&n) (обозначаемый также через Z©n(*), Р©п(*), Сус(6п,*) и т.д.) группы &п равенством z(en) = z(&n,t) = - Т ад. 7TG©n (В разд. 7.24 мы будем рассматривать цикловый индекс других групп перестановок.) Иногда удобнее работать с дополненным цикловым индексом z(en) = n\z(&n)= y, ад- Например, тге©п z(e1) = tu z(&2) = tl + t2, £(63)=t? +3*i*2+ 2*з, Z(64) = t\ + 6*1*2 + 8*1*3 + 3*2 + 6*4.
5.2. Приложения экспоненциальной формулы 37 Ясно, что если мы определим функцию /: Р —► Я" равенством /Н = £п,то z(&n)= Yl /(#Ci)---/(#Cfc). 7TG©n где Ci,..., Ck являются циклами перестановки тт. Значит, по следствию 5.1.9 Существует много интересных следствий соотношения (5.30), связанных с перечислительными свойствами группы &п. Например, фиксируем гбРи обозначим через ег(п) число перестановок -к Е 6П, удовлетворяющих условию ттг = id, где id — единица группы 6П. Перестановка -к удовлетворяет условию ттг = id тогда и только тогда, когда с^(7г) = 0, если d\r. Отсюда вытекает, что er(n) = Z(Sn) _fifd|rf td-\o, d\r. Следовательно, Е^)^ = ехр(2'-т)[ г!..|г.=ехр(Ет)- (5-31) В частности, число в2(п) инволюций в группе &п удовлетворяет соотношению J2 e2(n) J = ехр ( * + у) • (5.32) Это та же производящая функция, которая входит в равенство (10) гл. 1. Теперь ее комбинаторный смысл становится яснее. Имеется удивительная связь между (а) следствием 5.1.9, (Ь) соотношением между линейными и циклическими словами, полученным в предложении 4.7.11, и (с) биекцией -к н-> 7г, которая обсуждалась в разд. 1.3, между перестановками, записанными как произведения циклов и как слова. По существу, подобная связь возникает из формулы типа так как п\ — это число линейных слов (перестановок) на множестве [п], тогда как (72 — 1)! — число циклических слов (циклов). Следующий пример наиболее ярко иллюстрирует рассуждения такого рода.
38 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.2.11. Пример. Пусть F(x) = Y[(l-tkx)-\ (5.33) к где к пробегает некоторое множество индексов, например к Е Р. Таким образом, inF(*) = 5>а-ьх)-1 = EE^f = Ер»(*)^' (5-34) где Pn(t) = Sfc^fc* ^ ДРУГ0Й стороны, согласно формуле (5.33), F(x) = Y,K(t)xn, (5.35) где /in(£) — сумма всех одночленов степени п от t = (£i, £2,...), т. е. М*) = Е *?'*! ai+a2 + ---=n aiGN (В гл. 7 мы глубже проанализируем симметрические функции pn(t) и hn(t), а также многие другие.) Из соотношений (5.34) и (5.35) мы заключаем, что Е»!М*) J=expEPn(*)^- (5-36) Дадим прямое комбинаторное доказательство этого равенства. По следствию 5.1.9 правая часть является экспоненциальной производящей функцией для следующей структуры: выбираем перестановку 7г Е &п и придаем каждому циклу С этой перестановки вес, равный одночлену Щ для некоторого к. Определим полный вес перестановки как произведение весов всех ее циклов. Таким образом, список структур веса u2v (где, например, и = t\ и v = £2) выглядит следующим образом: (1) (2) (3) (12) (3) и и V UU V (1) (2) (3) (13) (2) (5 37) и V и UU V (1) (2) (3) (1) (23) V и и V ии Кроме того, ясно, что левая часть формулы (5.36) является экспоненциальной производящей функцией для пар (7г, ta), где 7г Е 6П?
5.2. Приложения экспоненциальной формулы 39 a ta — одночлен степени п от t. Таким образом, структуры веса u2v задаются списком 123, u2v 231, u2v 132, u2v 312, u2v (5.38) 213, u2v 321, u2v В обоих списках (5.37) и (5.38) содержится по шесть структур. В общем случае, для того чтобы доказать соотношение (5.36) при помощи биекции, нужно сделать следующее. Пусть дан одночлен ta степени п. Найдем биекцию ф: Са —► 6п? где Са является множеством всех перестановок 7г из группы ©п, каждому циклу С которых придан вес Щ для некоторого j = j(C), таких, что полный вес UctJ(c) равен ta. Чтобы описать ф, сначала линейно упорядочим tj, например, положим t\ < t2 < •••• Для фиксированного j возьмем все циклы С перестановки -к веса if и найдем их стандартное представление (в смысле предложения 1.3.1), т.е. представление, в котором наибольший элемент каждого цикла стоит первым в цикле и циклы записываются слева направо по возрастанию их наибольших элементов. Уберем скобки из этого стандартного представления и получим слово Wj. Наконец, положим ф(тг) = (w,ta), где w = w\W2"- (приписывание слов). Например, предположим, что п является взвешенной перестановкой (19) (82) (3) (547) (6) к = , VV UU V иии и где и < v. Циклы, веса которых выражаются только через и или только через v соответственно, имеют стандартную форму (6) (754) (82) (веси6), (3)(91) (вес г;3). Отсюда следует, что wi = 675482, w2 = 391, ф(тг) = (675482391, uV). Легко проверить, что ф — биекция. Если дана пара (ii;,£a), то одночлен ta определяет слова Wj с их весами tj. Затем каждому слову Wj сопоставляется некоторый набор циклов С (веса V- ') с помощью обратной биекции к биекции п н-> 7г из разд. 1.31). :) Чтобы получить перестановку 7г, надо записать перестановку 7г в стандартной форме, а затем удалить скобки. Обратная биекция получается расстановкой левых скобок перед каждым рекордом слова 7г = а\.. .ап (т. е. элементом <2i, таким, что <2i > aj при всех i > j) и последующей расстановкой правых
40 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Аналогичные рассуждения приводят к прямому комбинаторному доказательству равенства (39) гл. 4; см. упр. 5.21. 5.3. Перечисление деревьев Деревья имеют рекурсивную структуру; по этой причине к ним весьма успешно применяются методы этой главы. В данном разделе мы исследуем основные свойства деревьев, необходимые для получения формулы обращения Лагранжа, приведенной в следующем разделе. Поскольку деревья являются также интересными объектами исследования сами по себе, мы рассмотрим некоторые вопросы, не относящиеся, строго говоря, к композиции производящих функций. Основные определения и термины, касающиеся деревьев, содержатся в приложении к т. 1 ^ . Определим корневой лес, или лес корневых деревьев как граф, каждая связная компонента которого является (корневым) деревом. Начнем с исследования полного числа Pk (п) корневых лесов с к компонентами на множестве вершин [п]. Заметим, что р\(п) является числом г(п) корневых деревьев на [п]. Если 5 С [п] и #5 = &, то определим ps(n) как число корневых лесов на множестве [п] с к компонентами, множество корней которых совпадает с 5. Таким образом, рк(п) = (k)ps(n), так как очевидно, что ps (п) = рт(п) при #5 = #Г. 5.3.1. Предложение. Пусть где г(п), как и выше, — число корневых деревьев на множестве вершин [п] (причем г(0) = 0). Тогда у = хеу, или, что то же самое (так как х = уе~у), у = (хе~х){-1). (5.39) Кроме того, для к Е Р имеем ^* = E»(»)S- (5-40) скобок на подходящие места, т. е. перед каждой внутренней левой скобкой и в конце. — Прим. перев. ^Вт. 1 в соответствии с авторской терминологией дерево с корнем, или корневое дерево (rooted tree), называлось деревом (tree), а дерево без корня — свободным деревом (free tree). В т. 2 автор, а вслед за ним и переводчики перешли к более стандартной терминологии. См. также предисловие редактора перевода по поводу терминологии тт. 1 и 2. — Прим. перев.
5.3. Перечисление деревьев 41 Доказательство. По следствию 5.1.6 функция еу представляет собой экспоненциальную производящую функцию для корневых лесов на множестве вершин [п]. В соответствии с соотношением (5.19) хеу является экспоненциальной производящей функцией для следующей структуры на [п]: выберем корень i и разместим корневой лес F на остальных вершинах [п] — {г}. Но эта структура эквивалентна дереву с корнем г, главными поддеревьями1) которого будут компоненты леса F (см. рис. 5.6). Таким образом, хеу в точности является экспоненциальной производящей функцией для деревьев, так что у = хеу. Тогда соотношение (5.40) вытекает из предложения 5.1.3. □ •з 9 6 2* (а) (Ь) Рис. 5.6. Плоское дерево, построенное из главных поддеревьев. В функциональном уравнении у = хеу из предложения 5.3.1 подставим хеу вместо вхождения у в правой части. Мы получим хе У у = хе Повторная аналогичная подстановка дает У „*хе хе у = хе Производя такую подстановку снова и снова, получаем «формулу» хе' у = хе хе (5.41) Точный смысл соотношения (5.41) состоит в следующем. Положим у0 = х и ?/fc+i = хеУк для к ^ 0. Тогда lim^oo у к = У, причем предел существует в смысле сходимости формальных степенных рядов ^Главными поддеревьями дерева с корнем v называются связные компоненты леса, который получается из этого дерева после удаления корня v. — Прим. перев.
42 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций (см. разд. 1.1)1). Кроме того, согласно следствию 5.1.6 и второму случаю предложения 5.1.15, имеем где rk(n) — число корневых деревьев длины ^ к на [п]. Например, х V- хП У1=хе =2^п—- поэтому ri (п) = п (что очевидно из определения ri(n)). Следующие величины тесно связаны с числом г(п) корневых деревьев на множестве вершин [п]: t(n) = число свободных деревьев на [п]; /(п) = число свободных лесов (т. е. дизъюнктных объединений свободных деревьев) на [п]; р(п) = число корневых лесов на [п]. Положим £(0) = 0, /(0) = 1, р(0) = 1. Положим, кроме того, Т(х) = Et(x), F(x) = Ef(x) и Р(х) = Ер(х). Легко проверить следующие соотношения: г(п) = пр(п — 1) = nt(n), р(п) = t(n + 1), F{x) = ет^, Р{х) = eRW, (5.42) Р{х) = Т\х), R(x) = хР(х). 5.3.2. Предложение. Соотношение ps(n) = кпп~к~1 выполнено для любого S Е (^) 2^. Таким образом, r(n) = пп-\ t(n) = nn"2, р(п) = (n+ I)71'1. Первое доказательство. Случай п = k тривиален; поэтому предположим, что п ^ АН-1. Число последовательностей s = (si,..., sn-fc)5 где S{ е [п] для 1 ^ г ^ п— к — 1 и sn-k Е 5, равно кпп~к~1. Будем искать биекцию 7: ^п,5 —► [n]n-/c-1 х 5, где Tn,s — множество *) Последовательность F\(q), F2(q), • • • формальных степенных рядов сходится к формальному степенному ряду F(q) = ]Cn>oan<7n, если для всех п ^ 0 существует такое число 5(п), что коэффициент при qn в Fi(g) есть an, как только г ^ S(n). — Прим. перев. 2) (£) обозначает множество всех fc-элементных подмножеств множества А. — Прим. перев.
5.3. Перечисление деревьев 43 корневых лесов на [п] с множеством корней 5. Пусть задан некоторый лес a G %i,s- Определим последовательность cri, 02,..., crn-k+i подлесов (для каждого из них 5 является множеством корней) леса а следующим образом. Положим а\ = а. Если i < п — к + 1 и o~i уже определен, то определим сгг+i как лес, полученный из o~i путем удаления его наибольшего некорневого листа V{ (и ребра с концом в У{). Затем определим Si как единственную вершину леса сг^, смежную с ^,и положим 7(c) = ($ь $2> • • • > Sn-k)- Последовательность 7(c) называется последовательностью Прюфера или кодом Прюфера корневого леса сг. На рис. 5.7 эта конструкция показана для леса а = о\ Е ?п,{2,7} и подлесов сг^, у которых вершины г^ обведены кружками. В этом примере ^у(а) = (5,11,5,2,9,2, 7,5,7). I 1 10 4 8 8 <7i <72 СГз <74 14 1 11 <75 <7б <77 СТ& СГд Рис. 5.7. Построение последовательности Прюфера для помеченного леса. Мы утверждаем, что отображение j: Tn,s —► [n]n-/c-1 х 5 является биекцией. Ключевой факт состоит в том, что наибольшим элементом в множестве [п] — 5, отсутствующим в последовательности (si,... ,sn_fc), должен быть v\ [почему?]. Поскольку v\ и si являются смежными, наша задача свелась к вычислению 02. Но 7(^2) = (^2,5з,..., sn-k) (мы учитываем, что множеством вершин леса (72 является [п] - {^i}, ане [п-1]). Следовательно, используя индукцию по п (случай п = к + 1 является простым), мы можем однозначно восстановить а по любой последовательности (si,..., sn-k), что завершает доказательство. □ 5.3.3. Пример. Пусть S = {2,7} и (sb... ,59) = (5,11,5,2,9,2,7, 5,7), так что п — к = 9ип=11. Наибольший элемент множества [11], отсутствующий в последовательности (si,...,S9), равен 10. Поэтому 10 является листом леса сг, смежным с вершиной si = 5. Наибольший элемент в множестве [11] — {10}, отсутствующий в 5 f9 11 1 4 5 1 4
44 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций последовательности (s2,..., sg) = (11,5,2,9,2,7,5,7), равен 8. Следовательно, 8 — лист леса сгг, смежный с вершиной 52 = 11. Наибольший элемент в множестве [11] — {8,10}, отсутствующий в последовательности (S3,. • •, 59) = (5,2,9,2, 7,5, 7), — это 11. Значит, 11 — лист леса сгз, смежный с 5з = 5. Продолжая таким же образом, получаем последовательность листьев 10,8,11,6,4,9,3,1,5. Начиная с корней 2 и 7 и последовательно добавляя эти листья в обратном порядке к вершинам (59, • • •, si) = (7,5,7,2,9,2,5,11,5), мы получаем лес а = а\, изображенный на рис. 5.7. Второе доказательство предложения 5.3.2. С помощью подходящей биекции докажем, что прк(п) = к(Лпп-к. (5.43) \к/ Идея, на которой основано построение биекции, состоит в том, что любая перестановка может быть представлена и как слово, и как объединение непересекающихся циклов. Биекция несколько упрощается в случае корневых деревьев (к = 1), так что сначала мы рассмотрим этот частный случай. Пусть задано корневое дерево т на множестве вершин [п]. Обведем кружком некоторую вершину 5 Е [п]. Пусть w = w\ W2 • • • Wk — последовательность (или слово из) вершин в единственной цепи Р в дереве т от корня г до 5. Рассмотрим слово w как перестановку его элементов, записанных в порядке возрастания. Например, если w = 57283, то w представляет перестановку, заданную соотношениями w(2) = 5, г^(3) = 7, w(5) = 2, w(7) = 8, w(S) = 3, которая в цикловой записи имеет вид (2,5)(3,7,8). Пусть Dw — ориентированный граф с множеством вершин А = {itfi,... ,Wk} и с ребрами, идущими из j в w(j) для всех j € А. Таким образом, Dw — дизъюнктное объединение (ориентированных) циклов. Когда мы удаляем из дерева т ребра цепи из г в 5, мы получаем дизъюнктное объединение деревьев. Приклеим эти деревья к Dw, отождествляя вершины с одинаковыми метками, и ориентируем все ребра этих деревьев по направлению к Dw. Мы получаем орграф D(t,s), у которого каждая вершина имеет полустепень исхода 1. Более того, корневое дерево т вместе с выделенной вершиной 5 может быть однозначно восстановлено по D(t,s), если выполнить описанные выше шаги в обратном порядке. Так как вершину 5 можно выбрать п способами, то пт(п) равно числу орграфов на множестве вершин [п], каждая вершина которых имеет полустепень исхода 1. Но такой орграф есть в точности орграф Df функции /: [п] —> [п] (т. е. для каждого j G [п] из j в f(j) идет ребро). Так как всего имеется пп таких функций, то пг(п) = пп, так что г(п) = пп-1, а это и требовалось доказать.
5.3. Перечисление деревьев 45 Если мы попробуем применить эту же идею к произвольным корневым лесам сг, то придем к необходимости сосчитать функции /, определенные на некотором подмножестве В множества [п], со значениями в [п] и такие, что орграф Df с множеством вершин [п] и ребрами j —► f(j) не является ациклическим (т.е. имеет хотя бы один ориентированный цикл). Так как нет очевидного способа сосчитать такие функции, необходимо несколько видоизменить биекцию, описанную выше. Заметим, что условие неацикличности несущественно при к = 1, так как если В = [п], то орграф Df никогда не является ациклическим. Рис. 5.8. Иллюстрация ко второму доказательству предложения 5.3.2. Перейдем теперь к построению подходящей биекции в общем случае. Пусть а — корневой лес на [п], имеющий к компонент. Обведем кружком вершину г леса а. На рис. 5.8 изображен случай п= 16, & = 2, г = 14. Вершина г принадлежит некоторой компоненте т леса а. Уберем из т все поддерево Т{ с корнем г (вершина г по-прежнему обведена кружком). Если г — не корень в т, то пусть г' — единственный отец вершины г в т. (Если г — корень, то ниже опустим все шаги, включающие г'.) Пусть w = w\W2- •-Wk — последовательность (или слово из) вершин в единственной цепи Р в т — Ti от корня г до г'. Пусть А = {wi,...,г^} — множество вершин цепи Р. В примере, изображенном на рис. 5.8, ги = 8,5,10,4. Рассмотрим слово ги как перестановку его элементов, записанных в порядке возрастания. В нашем примере перестановка задается соотношениями г^(4) = 8, г^(5) = 5, г^(8) = 10, г^(10) = 4, что в цикловой записи дает (4,8,10) (5). Пусть Dw — ориентированный граф с множеством вершин Лис ребрами, ведущими из j в w(j) для всех j € А (см. рис. 5.9).
46 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5 Ю 4 р <—> Рис. 5.9. Два графических представления перестановки. Когда мы удаляем из г — Т{ ребра цепи Р, получается некоторый набор (корневых) деревьев, корни которых — вершины из Р. Приклеим эти деревья к Dw, отождествляя вершины с одинаковыми метками. Ориентируем все ребра этих деревьев по направлению к Dw. Ориентируем ребра всех компонент леса сг, отличных от т, и ребра дерева т^ по направлению к корню. Мы получим некоторый орграф D(a,i) на множестве [п], у которого к вершин имеют нулевую полустепень исхода, а полустепень исхода каждой из оставшихся п — к вершин равна единице. Кроме того, одна из вершин полустепени исхода нуль обведена кружком (см. рис. 5.10). Если i является корнем дерева т, то D(a,i) совпадает с лесом сг, у которого все ребра ориентированы к корням. и а 12 А. 13 Рис. 5.10. Орграф D(a,i). Пусть В — множество вершин орграфа 1)(сг,г), имеющих полустепень исхода единица. Мы можем отождествить D(a,i) с функцией /: В —► [п], определенной формулой f(a) = 6, если а —► Ь — ребро орграфа Z)(cr, г). При этом обведенная вершина г принадлежит [п] — В. Нетрудно выполнить эти шаги в обратном порядке и получить пару (сг,г) по (/,г). Всего имеется прк(п) пар (сг,г). В качестве В можно выбрать любое (п — А:)-подмножество множества [тг], причем для этого имеется (£) способов, затем можно к способами выбрать г Е [тг] — В и, наконец, пп~к способами выбрать функцию /: В —► [тг]. Это доказывает формулу (5.43). □ Удивительная формула R(xe-X) = J2nn-^Xe~pn = х, (5.44) тг>1
5.3. Перечисление деревьев 47 получающаяся из равенства (5.39) и формулы г(п) = пп~1 предложения 5.3.2, может быть доказана непосредственно следующим образом: V^ w-i Оке~хГ _ у> пп~1хп у^ (-пх)к ^П ~ri "V тг! f~< к\ n^l тг^1 к^О = J2 =1Т(АГО0ТО-1 - (-1)ГО0ГО-1); (5.45) здесь формула (27) гл. I1) применяется к функции f(j) = jm_1. В этой формуле мы должны положить 0° = 1. Тогда в силу предложения 1.4.2(a)2) сумма в (5.45) сводится к одному слагаемому х. Два доказательства предложения 5.3.2 приводят к элегантному уточнению формулы r(n) = тгп_1. Пусть дана вершина v корневого леса а. Определим степень degz; вершины v как число ее сыновей. Таким образом, v является листом леса а тогда и только тогда, когда degz; = 0. Если множество вершин леса а совпадает с [тг], то введем упорядоченную последовательность степеней А(ст) = (Si,...,Sn), где Si = degz. Легко видеть, что последовательность (£i,...,£n) £ Nn является упорядоченной последовательностью степеней некоторого корневого леса а на множестве [тг], имеющего к компонент, тогда и только тогда, когда п J2Si = n-k. (5.46) ;=i 5.3.4. Теорема. Пусть 6 = (#i,... ,£n) е Nn, причем ]Г)#г = тг —&. Число N(6) корневых лесов а на множестве вершин [п] с упорядоченной последовательностью степеней А(сг) = 6 {и, следовательно, с к компонентами) задается формулой ^Разностный оператор первого порядка А для функции /: Z —► С определяется формулой А/(п) = f(n + 1) — f(n), а разностный оператор k-го порядка Ак — формулой Akf = A(Afc-1/)- Нетрудно показать, что Д*/(0) = Eto(-l)fc~'(i)/(i)- - ПР™»- ™Рев- 2)Предложение 1.4.2(a). Функция /: Z —► С — многочлен степени не выше d тогда и только тогда, когда Ad+1/(n) = 0. — Прим. перев.
48 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций или, что эквивалентно, J24eSl ■■■<**"= (lZ J)(*i+ -+*»)-*, (5.47) где а пробегает все корневые леса на множестве [тг], имеющие к компонент. Первое доказательство. Рассмотрим первое доказательство предложения 5.3.2. Число раз, когда элемент j Е [тг] появляется в последовательности 7(СГ)? очевидно, равно deg j, так как j является отцом в точности deg j вершин ы. Значит, для фиксированного множества корней 5 Е XfS 1 • • • Х%*п = (а* + • • • + Xn)"-fc-1 £ Xi. Теперь просуммируем по всем 5 Е (^) и получим (5.47). □ Второе доказательство. Рассмотрим теперь второе доказательство предложения 5.3.2. Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что для каждого j Е [тг] степень вершины j в корневом лесу а равна полустепени захода вершины j в орграфе Z}(cr,г), или, что то же самое, deg j = #/_10). Следовательно, nE-iegl---^gn = fc Е Е хГГ1(1)---*Г~1(п), (5-48) а ВС[п] /: В-+[п] фВ=п-к где а пробегает все /^-компонентные корневые леса на [тг]. Внутренняя сумма в правой части равенства (5.48) не зависит от В и равна (xi -{ + хп)п~к. Отсюда nj24e&1---<esn = k(nXx1+.-.+xnr-k, а ^ ' что равносильно соотношению (5.47). □ Существует другая, иногда более удобная формулировка теоремы 5.3.4. Пусть дан корневой лес а. Определим тип леса а как последовательность type а = (г0,гь...), где Г{ вершин леса а имеют степень г. Мы также пишем type а = (пь^ь- • • ,Гт), если tj = О при j > т. Из равенства (5.46) легко вытекает, что последовательность г = (ro,r*i,...) неотрицательных целых чисел является типом некоторого корневого леса с тг вершинами и к компонентами тогда и только тогда, когда
5.3. Перечисление деревьев 49 5.3.5. Следствие. Пусть г = (ro,ri,...) — последовательность неотрицательных целых чисел, удовлетворяющая соотношениям (5.49). Тогда число М(г) корневых лесов а на множестве вершин [п] типа г (и, следовательно, имеющих к компонент) определяется формулой **( » (n-l\ (п-к)\ ( п \ к (п\ {п - к)\ ( п \ ~ п \к) 0!г° 1!г*... \г0,ri,.../" До сих пор мы рассматривали случай помеченных деревьев, т. е. деревьев, вершины которых можно отличить друг от друга. Далее мы будем иметь дело с непомеченными плоскими лесами сг, так что вершины леса а являются неразличимыми, но поддеревья в любой вершине (так же, как и сами компоненты леса сг) линейно упорядочены. Это автоматически делает вершины леса а различимыми (другими словами, непомеченный плоский лес имеет лишь тривиальный автоморфизм), так что на самом деле нет никакой разницы, помечены вершины леса а или нет. (Имеется п\ способов пометить вершины плоского леса с п вершинами.) Таким образом, все плоские леса в дальнейшем будут предполагаться непомеченными. Здесь мы опять называем степенью вершины v число ее сыновей, а типом леса а последовательность г = (ro,ri,...), если Ti вершин имеют степень г. Равенства (5.49) по-прежнему являются необходимым и достаточным условием на неотрицательные числа Пъ^ъ • • • Для существования плоского леса с п вершинами, к компонентами и типом г = (го,Г1,...). Таким образом, например, на рис. 5.11 показаны десять плоских деревьев типа (3,1,2), тогда как рис. 5.12 демонстрирует плоский лес с 12 вершинами, 3 компонентами и типом (7,2,2,1). Рис. 5.11. Десять плоских деревьев типа (3,1,2).
50 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Рис. 5.12. Плоский лес типа (7,2, 2,1). Теперь наша цель состоит в том, чтобы перечислить непомеченные плоские леса заданного типа. Этот результат будет использован в следующем разделе для доказательства формулы обращения Лагранжа. В соответствии с обсуждением из разд. 4.7 нам будет удобно работать в контексте слов в свободных моноидах. Пусть алфавит Л состоит из букв жо,Ж1,Ж2?.... (Для плоских лесов максимальной степени га достаточно взять Л = {хо,... ,хт}.) Пустое слово обозначается символом 1. Определим вес ф(х{) буквы Х{ равенством ф(х{) = г — 1 и продолжим ф на Л* с помощью формулы ф('Ш1 • • • Wj) = ф{у){) + • • • + 4>{Wj), где каждое слово wi принадлежит Л. (Положим ф(1) = 0.) Определим подмножество В С Л* равенством В = {w G Л* : ф{\о) = -1, причем если w = uv при v Ф 1, то ф(и) > 0}. (5.50) Элементы множества В называются словами Лукашевича; см. пример 6.6.7 для получения дополнительной информации. 5.3.6. Лемма. Моноид В*, порожденный множеством В, является очень чистым {и, следовательно, свободным) моноидом с базисом В {см. соответствующие определения в разд. 4.7) ХК Доказательство. Пусть w = w\ -••wm G В*, где wi G Л. Пусть j — целое число, для которого ф(и)\ • • -Wj) < 0, так что на самом *) Свободным моноидом на конечном множестве (алфавите) Л называется множество Л* всех слов в алфавите Л с произведением, которое состоит в приписывании слов друг к другу. Пусть В — подмножество в Л* и В* — подмоноид в Л*, порожденный В. Тогда говорят, что В* свободно порожден множеством В, если каждое слово и £ В* может быть представлено в виде u\U2. ..ип, щ G В, единственным образом. Если В* свободно порожден множеством В, то говорят, что подмоноид В* очень чистый, если выполняется следующее условие единственности циклического разложения (ЕЦР): Пусть и = ui"-un G В*, где щ G Л. Тогда для однозначно определяемых целых чисел 0 = по < п\ < • • • < п*. ^ п имеем uno+iitno+2 ■ • •иП1 G В, uni+iu-n1+2 ••• Un2 G В,..., unfc+iunfc+2 • • • ип £ В. Если для некоторого г G [п] циклическая перестановка щщ+\ • • -ипи\ • • -Щ-\ слова и принадлежит множеству В*, то г = nj + 1 для некоторого числа j, 0 ^ j ^.к. — Прим. иерее.
5.3. Перечисление деревьев 51 деле <t>{w\ • • • Wj) = — 1 и и = w\ • • • Wj еВ. Ясно, что если w = vv' для v G £, то и = v. Таким образом, используя индукцию по длине слова it;, получаем единственное разложение слова w по элементам множества $, так что В* — свободный моноид с базисом В. Для того чтобы показать, что В* является очень чистым, достаточно показать [почему?], что не может быть таких u.v^w G Л+ := Л* — {1}, что uv G В и vw G В. Но если uv G £, то ф(и) ^ 0 и 0(и) + ф(у) = — 1, так что <^(г;) < 0. Это противоречит условию vw G $, а значит, $* очень чистый. □ Напомним (см. разд. 4.7), что если w = wiw2 • - • wm G Л*, где г^ G -4, то циклический сдвиг it^Wi+i • • • wmwi • • • W{-\ слова w называется сопряженным (или А-сопряженным во избежание возможной путаницы) словом к слову w. (Использование данной терминологии объясняется тем, что в группе G элементы w\W2- •• wm и WiWi+i• • • Wi-i сопряжены в обычном теоретико-групповом смысле.) 5.3.7. Лемма. Слово w G Л* сопряжено с некоторым словом в В* тогда и только тогда, когда ф(,ш) < 0. Первое доказательство. Так как сопряжение не меняет ф(,ш), то очевидно, что ф(/ш) < 0 для любого слова, сопряженного с некоторым словом из В*. Методом индукции по длине £(w) (в Л*) слова w покажем, что верно и обратное утверждение. Это очевидно при £(w) = 0 (т.е. г^ = 1), так что предположим, что утверждение верно для слов длины < т, и пусть w = w\ •••tum, где W{ G Л и ф(,ш) < 0. Так как ф(п)\) -\ ЬФ{у0т) < 0 и поскольку неравенство ф{гШ{) < 0 выполняется, только если ф{'Ш1) — — 1, легко видеть, что некоторое слово w', сопряженное слову w, имеет вид w' = xs^.iXqV для подходящего s ^ 0. Так как ф(у) = Ф{уо') < 0, то с помощью индукции можно показать, что некоторое слово г/, сопряженное к слову v, лежит в В*. Более конкретно, пусть v = yz, где zy G В* и у у£ 1 (так что, если v само лежит в $*, мы полагаем у = v и z = 1). Но тогда легко видеть, что zxs+iXQy G В*. Так как zxs+iXQy сопряжено с it;, утверждение доказывается по индукции. □ (0,0) в Рис. 5.13. Путь LP(w2) на решетке.
52 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Второе доказательство (набросок). Предыдущее доказательство было непосредственным, однако оно недостаточно хорошо прояснило суть происходящего. Мы приведем набросок другого, более интуитивного доказательства, основанного на геометрических идеях. Пусть дано произвольное слово и = щ • • • ит ЕЛ*, где щ Е Л. Свяжем с и некоторый путь LP(u), состоящий из т шагов, на решетке, лежащей в множестве М2, следующим образом. Начнем с точки (0,0), и пусть г-м шагом для 1 ^ г ^ га будет (1,ф(щ)). Предположим, что w G Л* и ф(/ш) < 0, и рассмотрим путь LP(w2), На рис. 5.13 изображен путь LP(w2) при w = жож^оЖгЖоЖгЖоЖз. Предположим, что ф(/ш) = — к. Пусть В — самая левая из самых нижних точек на LP(w2), и пусть А — самая левая точка, лежащая ровно на к уровней выше точки В (см. рис. 5.13). Расстояние по горизонтали от А до В равно в точности га. Если мы сдвинем часть пути LP(w2) между А и В так, чтобы точка А попала в начало координат, то полученный путь совпадет с LP(v), где v — сопряженное с w слово, принадлежащее В*. □ 5.3.8. Пример. Пусть, как и выше во втором доказательстве, w = Ж0Ж1Ж0Ж2Ж0Ж2Ж0Ж3. Из рис. 5.13 видно, что если А сдвинуть в (0,0), то путь между А и В будет путем LP(v), где v = Ж2Ж0Ж3Ж0Ж1Х0Ж2Ж0. Единственным разложением слова v по элементам множества В будет v = (x2x0X3XoXixl)(x2xl). Так как ф(/ш) = — 2 и моноид В* очень чистый, имеется в точности два сопряженных с w слова, лежащих вВ*,а именно v и и = (x2X2))(x2XoXsXoXiX2)). Вообще, если ф(ги) = — /с, то ровно к сопряженных с w слов принадлежат В*. Однако эти слова не обязательно будут различными элементами в Л*. Например, если w = Xq , то все к сопряженных с w слов равны it;. Теперь мы хотим сопоставить непомеченному плоскому лесу а на п вершинах некоторое слово w(o~) в Л* длины п (и веса ф(/ш(а)) = —Л, где к — число компонент леса сг). Для того чтобы это сделать, сначала необходимо определить некоторое каноническое линейное упорядочение на вершинах леса сг, называемое упорядочением в глубину или df-порядком (depth-first order) и обозначаемое ord(cr). Это упорядочение задается при помощи следующего рекурсивного определения: (а) если а имеет к ^ 2 компонент т\,..., т& (перечисленных в порядке, существующем в а как в плоском лесу), то полагаем ord(cr) = ord(ri),..., ord(rfc) (приписывание слов);
5.3. Перечисление деревьев 53 (b) если а состоит из одной компоненты, пусть т\,..., Tj — главные поддеревья корня v (перечисленные в порядке, существующем в а как в плоском дереве). Полагаем ord(cr) = г;, ord(ri),..., ord(rj) (приписывание слов). df-порядок на плоском дереве можно неформально описать следующим образом. Представим себе, что ребра дерева — это деревянные палочки и что червь ползет от корня влево, а затем перемещается по внешней стороне палочек до тех пор, пока не возвратится в исходную точку, из которой он начал ползти. Тогда порядок, в котором он увидит вершины в первый раз, и будет df-порядком. На рис. 5.14 показан путь червя на плоском дереве т, вершины которого помечены числами от 1 до 11 в соответствии с df-порядком. Рис. 5.14. Плоское дерево, пройденное в соответствии с df-порядком. Пусть а — плоский лес, ord(cr) = (v\,... ,vn), и положим 5{ = degvi (число сыновей вершины V{). Определим слово w(o~) Е Л* равенством w(a) =Х8гХ82 --'Xsn. Для леса а на рис. 5.12 w(a) = х2хзх1х1х2х1, тогда как для дерева т на рис. 5.14 W(t) = X3XiX2XqX2XoX2xI. Следующая основная лемма доказывается непосредственно по индукции, и мы опускаем ее доказательство. 5.3.9. Лемма. Отображение а н-> w(a) является биекцией множества плоских лесов а на множество В*. Теперь у нас есть все необходимое для доказательства нашего главного утверждения о плоских лесах.
54 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.3.10. Теорема. Пусть г = (гсп,... , rm) G Nm+1, причем Y^Ti = п и ^2(1 — г)г{ = к > 0. Тогда число Р(г) плоских лесов (с п вершинами и к компонентами) типа г {т.е. в которых Ti вершин имеют по i сыновей) дается формулой Р(г)=*( П ). n\r0,ru...,rrnJ Первое доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует из леммы 4.7.121), но для удобства мы повторим здесь соответствующие рассуждения. По лемме 5.3.9 Р(г) равно числу слов w Е $*, в которых число букв Х{ равно Т{ для всех г. (Полагаем Г{ = 0 для г > т.) Обозначим через В* множество всех Р(г) таких слов и, аналогично, обозначим через А* множество всех слов в Л*, в которых число букв Х{ равно Т{ для всех г. Зададим отображение ф: В* х [п] —»• А* х [к] следующим образом. Пусть w = w\W2 • • • wn = u\u2 •••UfcGBJ, где W{ € А и щ G В. Выберем г G [п] и предположим, что wi — буква слова Uj. Тогда положим ф{у),г) = (wiWi+i---Wi-iJ). По лемме 5.3.6 отображение ф инъективно, тогда как по лемме 5.3.7 (и в силу того, что ф(ги) = — к для w G В*) оно сюръективно. Значит, пР(г) = к{фЛ*т). Из формулы для |6(М)|, приведенной в конце разд. 1.2 2), следует, что #Л;=( П V (5.51) \r0,ri,...,rm/ и это завершает доказательство. □ Второе доказательство. Пусть w G А* (множество А* определено в первом доказательстве), и пусть C(w) — множество всех различных слов, сопряженных со словом w. Если фС{ги) = га, то т делит п и каждый элемент множества C(w) встречается в точности п/т раз среди п слов, сопряженных с w. Из леммы 5.3.6 вытекает, что ровно к слов, сопряженных с w, принадлежат В*. Следовательно, имеется ровно (к/п)т различных слов, сопряженных с w и принадлежащих В*, так что полное число различных слов, сопряженных с ^Лемма 4.7.12. Пусть В* — очень чистый подмоноид моноида Л*, w: Л —► R — весовая функция (R — произвольное коммутативное кольцо) и fk(n) = Sutt,(n)' где и пробегает множество всех слов в В*, которые являются произведениями к слов из В. Положим ^fc(n) = ]T)V w(v), где v пробегает множество всех различных слов, Л* -сопряженных к описанным выше словам и. Тогда nfk(n) = кдь(п). — Прим. перев. 2) Пусть (5(М) — множество всех перестановок мультимножества М = {2/?1 ---г/т"1}, причем \М\ = п. Тогда |6(М)| = (а п а ). — Прим. перев.
5.3. Перечисление деревьев 55 элементами из А* и принадлежащих $*, равно (к/п)(#А*). Теперь утверждение теоремы следует из леммы 5.3.9 и формулы (5.51). □ Предыдущее доказательство существенно упрощается, если к = 1. В этом случае все п слов wiwi+i • • -i^-i, сопряженных со словом w = w\W2"-wn Е w4*, будут различными и в точности одно из них лежит в В*. Таким образом, Р(г) = (1/п)(#*4*). Утверждение о том, что все слова, сопряженные с w, различны, следует непосредственно из формулы ]Г)(г — l)ri = —&, так как если w = vp, то р\г{ при всех г, откуда вытекает, что р \ к. 5.3.11. Пример. Сколько плоских деревьев имеют три листа, одн}' вершину степени единица и две вершины степени два? Это случай г = (3,1,2). Так как £(г - 1)п = -1 • 3 + 0 • 1 + 1 • 2 = -1, такие деревья существуют; в этом случае что согласуется с рис. 5.11. 5.3.12. Пример. Сколько плоских двоичных деревьев т имеют п + 1 листьев? («Двоичное» здесь означает, что каждая вершина дерева, не являющаяся листом, имеет двух сыновей. Понятие «двоичное дерево» без прилагательного «плоское» имеет иной смысл, см. приложение к т. 1.) Легко видеть, что т имеет ровно п вершин степени два. Следовательно, г = (п + 1,0, п) и ^-М2Г)-Ш(2:} последнее число является числом Каталана. Эти числа уже несколько раз встречались в т. 1 и более подробно будут обсуждаться в следующей главе (см., в частности, упр. 6.19). Заметим, что во втором доказательстве теоремы 5.3.10 мы получили выражение 1 /2п + 1\ 2п+1 V п у так как существует (2пп1"1) последовательностей, состоящих из п единиц и п +1 минус единиц, каждая из которых имеет 2п +1 различных сопряженных, причем ровно у одной из этих сопряженных все частичные суммы (за исключением последней) неотрицательны. С другой стороны, имеется (2^) последовательностей из п единиц и п + 1 минус единиц, которые кончаются на — 1. У каждой из них имеется п +1 различных сопряженных, кончающихся на 1, причем ровно у одной из этих сопряженных все частичные суммы, кроме последней, неотрицательны. Отсюда непосредственно вытекает
56 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций выражение ^у (2™) для числа плоских двоичных деревьев сп + 1 листьями. 5.4. Формула обращения Лагранжа Множество xif [[х]] всех формальных степенных рядов а\х + а2х2 + • • • над полем К с нулевым свободным членом образует моноид относительно операции композиции функций. Единичный элемент этого моноида — степенной ряд х. Напомним (см. пример 5.2.5), что если f(x) = а\х + а2х2 + • • • Е If [[я]], то степенной ряд д(х) называется обратным к f (в смысле композиции), если f(g(x)) = g(f(x)) = х; в этом случае мы пишем д(х) = /^_1^(ж). В следующем простом предложении выясняется, когда у f(x) имеется обратный. 5.4.1. Предложение. Степенной ряд f(x) = а\х + а2х2 + • • • Е if [[ж]] имеет обратный ряд /^_1^(ж) тогда и только тогда, когда а\ ф 0; в этом случае f^~l\x) единствен. Кроме того, еслид(х) = Ь\х + Ь2х2 + * * * удовлетворяет либо условию f(g(x)) = х, либо условию g(f(x)) = х, то g(x) = f(~l^(x). Доказательство. Предположим, что ряд д(х) = Ъ\х + Ь2х2 + • • • удовлетворяет условию f(g(x)) = х. Тогда ai(bix+b2x2+b3x3+- • • )+a2{bix+b2x2+- • • )2+a3(biaH- • • )3+- • • = х. приравнивая коэффициенты в обеих частях этого равенства, получаем бесконечную систему уравнений aibi = 1, a\b2 + a2b\ = 0, aib3 + 2a2bib2 + a3b\ + • • • = 0, Из первого уравнения можно найти Ь\ (единственным образом) тогда и только тогда, когда а\ ф 0. Затем можно единственным образом отыскать Ь2 из второго уравнения, &з — из третьего и т. д. Следовательно, д(х) существует тогда и только тогда, когда а\ ^ 0; в этом случае он единствен. Остальные утверждения являются частными случаями того факта, что в группе каждый левый или правый обратный является двусторонним обратным. В нашей ситуации предположим, например, что f(g(x)) = х и h(f(x)) = х. Подставляя д(х) вместо х во второе равенство, получаем h(x) = д(х) и т. д. □
5.4. Формула обращения Лагранжа 57 В некоторых случаях уравнение у = f(x) может быть решено явно относительно ж, что дает х = f^"^(y)- Например, таким способом можно проверить, что (сж-1)<-1>=1п(1 + я;)> если ad ф be. a-ffrrV ' —a-hex с + dxj b — dx В большинстве случаев, однако, простой явной формулы для f(~^(x) не существует, но мы можем поинтересоваться, нет ли какой-нибудь замечательной формулы или комбинаторной интерпретации для коэффициентов ряда f(~l)(x). Например, из (5.44) видно, что (M-a5)<-1>=5^nn-1^T. (5.52) п>1 Напомним, что мы всегда предполагаем, что char К = 0. При этом предположении формула обращения Лагранжа выражает коэффициенты ряда f(~l^(x) через коэффициенты некоторых других степенных рядов. Это позволяет получать результаты типа формулы (5.52) стандартным, систематическим способом. Более общим образом, мы получаем выражение для коэффициентов ряда {f(~^(x))k для любого k Е Р. Фактически это определяет ряд g{f(~^(x)) для любого степенного ряда д(х), так как если д(х) = Zhxk, то g(f<-l>(x)) = Zbk(f(-l\x))k. Мы приведем три доказательства формулы обращения Лагранжа. Первое использует непосредственные алгебраические рассуждения. Второе рассматривает степенные ряды как обычные производящие функции и основано на перечислении плоских лесов (теорема 5.3.10). Третье, заключительное доказательство рассматривает степенные ряды как экспоненциальные производящие функции и основано на перечислении корневых лесов (теорема 5.3.4). Таким образом, мы приводим два комбинаторных доказательства формулы обращения Лагранжа: одно из них использует (непомеченные) плоские леса, а другое — (помеченные) корневые леса. 5.4.2. Теорема (формула обращения Лагранжа). Пусть F(x) = а\х + а2Х2 + ••• Е хК[[х]], где а\ ф 0 (и char К = 0), и пусть k,neZ. Тогда n[xn]Fl-l> {x)k = k[xn-k] (j£t) = k[x-k]F(x)-n (5.53)
58 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций [второе равенство тривиально). Эквивалентным образом, предположим, что G(x) е К[[х\], причем G(0) ф 0, и пусть f(x) определяется равенством f(x) = xG(f(x)). (5.54) Тогда n[xn]f(x)k = k[xn-k]G(x)n. (5.55) Замечание 1. Если к < О, то F^~l\x)k и f(x)k — ряды Лорана вида Yli>kPixl- Заметим также, что если п < к, то обе части равенств (5.53) и (5.55) равны 0. Замечание 2. Равенства (5.53) и (5.55) равносильны, поскольку легко видеть, что равенство f(x) = F^~l^(x) означает то же самое, что и равенство f(x) = xG(f(x)), где G(x) = x/F(x). Первое доказательство теоремы 5.4.2. Первое доказательство основано на следующем простом наблюдении: если у = ]Cnez cn#n — ряд Лорана, то [я" V = 0, (5.56) т. е. производная ряда Лорана не имеет слагаемого степени —1. Положим теперь так что xk = $>F(x)\ г^к Дифференцируя обе части этого равенства, получаем, что kxk~l =J2ipiF(x)i-1F'(x) г^к =* Щ^ = Е iPiF{xr^F\x). (5.57) Далее мы представляем обе части равенства (5.57) как элементы из К((х)), т. е. в виде рядов Лорана с конечным числом отрицательных показателей. Например, |^_ = к* = kxk-n-\ai + а2х + • • • )"п. F(x)n {ахх + а2х2 + •••)" Определим коэффициенты при х~1 в обеих частях равенства (5.57). Так как F(xy-n-lF'(x) = — -f F(xy-n, г ф п, г — п ах
5.4. Формула обращения Лагранжа 59 то из формулы (5.56) следует, что коэффициент при х 1 в правой части равенства (5.57) — это [x-l]npnF(x)-lF'{x) = [x-^npnf CL\ + 2d2X + • a\x + a,2X2 + ■ = [x l\nPn[- + •*• ) =npn. Следовательно, что равносильно соотношению (5.53). □ Второе доказательство (только для к ^ 1). Пусть £o,£i?... — (коммутирующие) переменные. Положим G(x) = t0 + tix + • • • . Если сг — плоский лес, то пусть t" = JJ £<<">, (5.58) где n(cr) — число вершин леса сг, имеющих степень г. Предположим, что г где сумма берется по всем плоским деревьям с п вершинами. Например, 2 2 Пусть f(x) = Y,SnXn. (5.59) Если т — плоское дерево с j главными поддеревьями, то его можно получить, выбрав j (непустых) плоских деревьев, линейно упорядочив их и добавив корень степени j, соединенный с корнями этих j деревьев. Таким образом, где т пробегает все плоские деревья с п вершинами, корень которых имеет степень j. Просуммировав по всем j ^ 1, получаем xG(f(x)) = f(x). (5.61)
60 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Пусть теперь k Е Р. В силу определения (5.59) ряда f(x) /(*)* = £(£<аУ' (5-62) где а пробегает все плоские леса с п вершинами и к компонентами. С другой стороны, по теореме 5.3.10 ПЪП, где сумма берется по всем последовательностям го,Г],... натуральных чисел, удовлетворяющим соотношениям YlTi = п и ^2(i — l)ri = —к, или, что то же самое, Ylri = п и Yl^ri — п ~ к. Но G(xr = (t0 + tlX + ...r= £ С г )W- Го+Г1 + ...=п \r0?n,.../ xEir\ Таким образом, [z"]/(x)fc = - [xn-k]G(x)n, n что равносильно равенству (5.55). Так как G(x) имеет коэффициенты «общего вида» (т. е. они являются независимыми переменными), теорема доказана. □ Отметим, что данное доказательство дает явную комбинаторную формулу (5.62) для коэффициентов ряда F^~^(x)k = f(x)k через коэффициенты ряда x/F(x) = G(x). Третье доказательство теоремы 5.4.2 (снова только для k ^ 1). Это доказательство аналогично предыдущему, только вместо плоских лесов мы используем корневые леса на множестве [п]. Поскольку вершины леса помечены (элементами множества [п]), необходимо использовать не обычные, а экспоненциальные производящие функции. Таким образом, мы полагаем ОД = £Ч^- п>0 Если а — корневой лес на [п], то через Г{(а) обозначим число вершин степени г и, как в формуле (5.58), положим ta = ГО[^а'. Теперь пусть
5.4. Формула обращения Лагранжа 61 где сумма берется по всем корневым деревьям на множестве [п], и пусть хп х2 хз f(x) = ^2 sn— = t0x + 2*o*i 2f + (6*°*i + 3t°t2>> зГ + ' " * Если r '— корневое дерево на [n], корень которого имеет степень &, то его можно получить, выбрав корень г Е [п], а затем разместив А: корневых деревьев на оставшихся вершинах [п] — {г}. По предложению 5.1.3 имеем п>1 Х С 7 где С пробегает все упорядоченные наборы из к корневых деревьев с полным множеством вершин [п]. Таким образом (поскольку корневые деревья непусты, имеется к\ способов упорядочить к корневых деревьев на множестве [п]), >)' = £(£<')§, (ms) где а пробегает все корневые леса на [п] с к компонентами. Отсюда по предложению 5.1.15 (равенства (5.15) и (5.19)) получаем где С теперь пробегает все корневые деревья на [п], корни которых имеют степень к. Суммируя по всем к ^ 1, получаем, что, как и в равенстве (5.61), f(x) = xG(f(x)). Пусть теперь к Е Р. Из формулы (5.63) и следствия 5.3.5 вытекает, что *!М ; пЫ ^ 0!rol!ri--- U,,rb..J' Х ' Гп.Г-1 \ I I / r0,ri,... где сумма берется по всем последовательностям го, г\,... натуральных чисел, удовлетворяющим соотношениям ^п = п и ^ггг = п — к. Эквивалентная формула: £74 =п Siri=n—fc
62 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Но (2 \п = Х- ( п \Jo tri •xSir\ Г0+Г1 + —=П v -' -• Таким образом, [xn]f(x)k = ± [xn-k]G(x)n, что и требовалось доказать. П 5.4.3. Следствие. Сохраним обозначения теоремы 5.4.2. Тогда для любого степенного ряда Н(х) Е #[[#]] {или ряда Лорана Н(х) Е К((х))) имеем n{xn)H(F^\x)) = [х«-1]Я'(х)^У (5.64) или, что эквивалентно, n[xn]H(f(x)) = [xn-1]Hf(x)G(x)n, (5.65) где f(x) = xG(f{x)). Доказательство. По линейности (для бесконечных линейных комбинаций) достаточно доказать равенство (5.64) или (5.65) для Н(х) = хк. Но это равносильно равенству (5.53) или (5.55). □ Рассмотрим некоторые простые примеры использования формулы обращения Лагранжа. Дополнительные приложения появятся в упражнениях. 5.4.4. Пример. Несомненно, мы должны уметь выводить формулу (хе-><-1>=5:»-^ П^1 (равносильную формуле (5.44)) непосредственно из теоремы 5.4.2. Действительно, полагая F(x) = хе~х и к = 1 в (5.53), получаем х\{-1) _ ± г п-liрпх 1 П п [хп]{хе-ху-1} = -[хп~1] е п п (п— 1)! п! Вообще, для любого к Е Z [xn]((*e-x)<-V)k = £ [xn-fc]e~ = £ ^гу . (5.66) п п [п — к)\
5.4. Формула обращения Лагранжа 63 Таким образом, число /^-компонентных корневых лесов на множестве [п] равно п\ к пп-к г(:::и к\ п (п — к)\ что согласуется с предложением 5.3.2. Заметим также, что, положив к = — 1 в формуле (5.66), мы получим соотношение 1 L J (хе-)(~1) Следовательно, (п+1)!' п ^ -1 (где 0° = 1). \^ п\ ) ^ (п+1) Небольшая перекомпоновка дает интересное тождество ('-E(»-ir'S)" = ^ <t t >> 1 ' ^(n+ir-1^-. n>0 П! (5.67) Сравните это с упр. 5.42. 5.4.5. Пример. Пусть А — подмножество множества {2,3,...}. Пусть t^(n) обозначает число способов произвести следующую операцию: разбить n-элементное множество 5 на А: блоков, где к Е Л, затем разбить каждый блок, состоящий из более чем одного элемента, на к блоков, где к Е Л, и т. д. до тех пор, пока не останется никаких блоков, кроме одноэлементных. (В частности, мы никогда не получим блока, число элементов которого находится строго между 1 и minA.) Положим t^(0) = 0 и у = EtA(x). Тогда как обобщение равенств (5.26) и (5.28) имеем ЕУ — = у - X. „ п\ пеА Следовательно, У ha А ' ,fc\(-l> так что по теореме 5.4.2 \хпЛ Ып) = \ — \у п\ кеА г.П-1 (п-1)! 4 кеА '
64 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Если А состоит из единственного элемента к, то Л _ x^V" _ ^ fn + j - 1\ х^-1) V fc! / ~^V i ) Ш _ v^ (п + j - 1\ (j(fc - 1))! х^"1) M J У №' 0(^-1))!' Таким образом (записывая £& вместо £{&}), получим tk(n) = О, кроме случая, когда п = j(k — 1) + 1 для некоторого j G N, и 'j*Y(jf(*-l))!_0'*)! M^-i) + i)=,..;-^^ = ^- Комбинаторное доказательство можно получить, руководствуясь примером 5.2.6. 5.5. Экспоненциальные структуры Существует много возможных обобщений композиционной и экспоненциальной формул (теорема 5.1.4 и следствие 5.1.6). Здесь мы рассмотрим одно обобщение, связанное с ч. у. множествами и близкое по духу к теории биномиальных ч. у. множеств (разд. 3.15). 5.5.1. Определение. Экспоненциальная структура — это последовательность Q = (Qi, Q2,...) ч. у. множеств, удовлетворяющая следующим трем аксиомам: (Е1) Для каждого п G Р множество Qn конечно и содержит единственный максимальный элемент 1п (обозначаемый просто I) и каждая максимальная цепь в Qn состоит из п элементов (или имеет длину п — 1). (Е2) Если 7г G Qn ? то интервал [7г, 1] изоморфен Щ (решетке разбиений множества [к]) для некоторого к. В этом случае мы будем писать |7г| = к. Таким образом, если |7г| = &, то каждая насыщенная цепь от 7г до 1 состоит из к элементов. (ЕЗ) Предположим, что 7г G Qn и р — минимальный элемент множества (Jn, удовлетворяющий условию р ^ п. Таким образом, согласно (Е1) и (Е2), [р, I] = Пп. Из примера 3.10.4 следует, что [р, 7г] = П"1 х • • • х П£п для однозначно определенных ai,...,an G N, удовлетворяющих условию ^iai = п (и ]Г cii = |7г|). Требуется, чтобы ч. у. подмножество Ап = {a G Qn : сг ^ 7г} множества Qn было изоморфно Q"1 х • • • х Q^n. В частности, если р' — другой минимальный элемент ч. у. множества (Jn, удовлетворяющий условию р' ^ 7г, то [р, 7г] = [р', 7г]. Мы называем (а\, ^2,..., ап) типом элемента п.
5.5. Экспоненциальные структуры 65 Интуитивно Qn следует представлять как множество «разложений» некоторой структуры Sn «размера» п на «кусочки», которые являются структурами Si меньшего размера. Тогда в (Е2) утверждается, что если дано некоторое разложение структуры Sn, то для того, чтобы получить более грубое разложение, можно взять любое разбиение множества кусков этого разложения и объединить вместе куски в каждом блоке единственным способом. Кроме того, в (ЕЗ) утверждается, что можно получить более мелкое разложение, разбив независимо каждый кусок. Если Q = (Qi, Q2,...) — экспоненциальная структура, то пусть М(п) обозначает число минимальных элементов множества Qn. Как мы увидим ниже, все основные комбинаторные свойства структуры Q могут быть получены из чисел М(п). Мы называем последовательность М = (М(1),М(2),...) последовательностью знаменателей экспоненциальной структуры Q. Оказывается, что для экспоненциальных структур функция М(п) играет роль, аналогичную той, которую факториальная функция играет для биномиального ч. у. множества (см. определение 3.15.2(c)). Теперь мы переходим к примерам экспоненциальных структур. 5.5.2. Пример, (а) Структура, задаваемая множествами Qn = Пп, — это пример, являющийся прототипом экспоненциальных структур. В этом случае М(п) = 1. (b) Пусть Vn = Vn(q) есть n-мерное векторное пространство над конечным полем ¥q. Пусть Qn состоит из всех таких наборов {И7!,..., Wk} подпространств пространства Уп, что dim W{ > 0 при всех г и Vn = W\ 0- • -0 Wfc (прямая сумма). Элемент множества Qn называется разложением пространства Vn в прямую сумму. Упорядочим множества Qn очевидным образом по измельчению, т. е. положим {И7!,..., Wk} ^ {Wi,..., Wj}, если каждое Wr содержится в некотором W's. Легко видеть, что (Qi, Q2,...) является экспоненциальной структурой, у которой M(n) = g(2)(n)!/n!, где (n)! = (l + tf)(l + tf + tf2)---(1 + 4+'-- + 4n~1)? какивразд. 1.3. (c) Пусть Q = (Qi, Q2, • ■ •) — экспоненциальная структура с последовательностью знаменателей М = (М(1), М(2),...). Фикси- руем г Е Р и определим Qn' как ч. у. подмножество множества Qm, состоящее из всех таких 7г Е Qrn типа (а 1,^2,... ,агп), что ai = 0, если г делит г. Тогда Q^ = (Q^ ,Q2 •> • • •) — экспоненциальная структура с последовательностью знаменателей М(г) = (Мг(1), Мг(2),...), заданных равенством , , , ч М(гп)(гп)\ Mr(n) = w/\ Л, . 5.68)
66 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций (Равенство (5.68) может быть доказано непосредственно, а также является частным случаем леммы 5.5.3.) Например, если Q = П = (III, П2,...), то Нп состоит из всех разбиений множества [гп], размеры блоков которых делятся на г. (d) Пусть г G Р, и пусть S есть тг-множество. Под г-разбиением множества S понимается множество Я" = {{Вц, . . . , В\г), (В21, - ч В2г), - • • ,(Bkl,-">Bkr)}, удовлетворяющее следующим условиям: (i) для каждого j G [г] множество ttj = {jBij, ..., B^j} образует разбиение множества S (на к блоков) и (и) #Вц = • • • = #Bir для фиксированного г. Множество Qn = Qn(S) всех г-разбиений множества S имеет очевидное частичное упорядочение по измельчению, что превращает (<Эь $2, • • •) в экспоненциальную структуру с М(п) = тг!г_1. (Минимальный элемент р структуры Qn{S) может быть отождествлен с набором (it;i,..., wr-i) из г — 1 перестановок w\ G &(S) (&(S) — группа всех перестановок на множестве 5) с помощью равенства р = {(ж, wi(ж),..., wr_i(a:)), (у, wi{у),..., iur_i(y)),... }, где 5 = {ж,2/,...}и где мы сокращенно записываем одноэлементное множество {z} как z.) Тип (ai,...,an) г-разбиения -к G Qn равен типу любого из разбиений 7Tj, т.е. ttj имеет а\ блоков размера г. (Согласно (ii), все 7Tj имеют один и тот же тип.) Основные комбинаторные свойства экспоненциальных структур будут получены из следующей леммы. 5.5.3. Лемма. Пусть Q = (Qi, Q25 • • •) — экспоненциальная структура с последовательностью знаменателей (М(1), М(2),...). Тогда число элементов 7г G Qn типа (а\,..., ап) равно п\ М(п) !?<*! ... njanaij... ani M(l)ai • • • М(п)а* ' Доказательство. Пусть N = iV(ai,... ,an) — число таких пар (р,7г), где р — минимальный элемент множества (Jn, что р ^ п и тип элемента 7г равен (ai,...,an). С одной стороны, элемент р можно выбрать М(п) способами, а затем выбрать 7Г ^ р. Число способов выбрать п равно числу элементов в Пп типа (&i,... ,an), которое, как легко видеть (для этого, например, достаточно произвести незначительные изменения в предложении 1.3.2), равно n!/(l!ai •••n!anai!-- -an!). Следовательно, N = it "'"("> , (5.69) l|ai ...n!a-ai!---an! v '
5.5. Экспоненциальные структуры 67 С другой стороны, если К — искомое число элементов -к Е Qn типа (ai,..., ап), то мы можем К способами выбрать 7г, а затем выбрать р < 7г. Так как Qn содержит М(п) минимальных элементов, то ч. у. множество Ап = Q"1 х • • • х Q£n содержит M(l)ai • • • М(п)ап минимальных элементов. Отсюда следует, что имеется M(l)ai • • • М(п)ап возможностей для выбора р, так что N = К • M(l)ai • • • М(п)ап. (5.70) Утверждение леммы следует из формул (5.69) и (5.70). □ Теперь мы сформулируем главный результат этого раздела. 5.5.4. Теорема (композиционная формула для экспоненциальных структур). Пусть (Qi, Q25 • • •) — экспоненциальная структура с последовательностью знаменателей (М(1), М(2),...). Пусть заданы функции f:F—+K и д: N —> К, причем д(0) = 1; определим новую функцию h: N —> К с помощью равенств Чп) = ]Г Д1Г/(2Г • • • /(п)в"<КМ), п>1, Но) = 1, где тип элемента -к равен (ai,... ,an) (ma?c что |7г| = а\Л \-ап). Определим формальные степенные ряды F, G, Я Е ^[[^]] ^Р^ гао- мощи формул с(х) = ад = ^(п)^, Я(д) = Vfe(n) *" , • v ' ^ v у n!M(n) ro2*iff(a;) = G(F(a;)). Доказательство. По теореме 5.1.4 получаем (5.71) где тип элемента 7г равен (ai,... ,an). Обозначим через t(Qn\a\, й2, ...) число элементов 7г Е Qn типа (ai, &2,...). По лемме 5.5.3 *(Qn;ai,fl2,---) = М(п) t(nn;aba2,...) " М(1)^ • • -М{п)ап ' хп п\ М(п)
68 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций п \М{п)\ Следовательно, формула (5.71) может быть переписана в виде G(F(x))= £ /(l)ei-»/(n)-«,(M), neQn что и требовалось доказать. □ Полагая д(п) = 1 при всех п ^ О, получаем такое следствие: 5.5.5. Следствие (экспоненциальная формула для экспоненциальных структур). Пусть (Qi, Q2, • • •) — экспоненциальная структура с последовательностью знаменателей (М(1), М(2),...). Пусть задана функция /: Р —> К. Определим новую функцию h: N —> К равенствами цп)= Y, /иг•••/("Г1, n>i,. TreQn Л(0) = 1, где тип элемента п равен (ai,... , an). Определим F(x) и Н(х), как в теореме 5.5.4. Тогда Я(ж) =expF(x). Обратимся к примерам, в которых используется следствие 5.5.5. 5.5.6. Пример. Пусть (Qi, (?2? •••)"" экспоненциальная структура с последовательностью знаменателей (М(1),М(2),...), и пусть q(n) = #Qn. Полагая /(г) = 1 при всех г в следствии 5.5.5, получим h(n) = q(n), так что ^q{7l)n\M(n) = expz2n\M(n) ' Например, если п\ М(п) = #Ь)(п)!, то, согласно примеру 5.5.2(b), q(n) — число способов разложить Vn(q) в прямую сумму (без учета порядка) нетривиальных подпространств. В более общей постановке, пусть 5q(ti, к) обозначает число элементов 7г G Qn, удовлетворяющих условию |7г| = к (так что при Q = П оно становится числом Стерлинга 5(тг, к) второго рода). Положим п Wn(t) = Y^ *М = 5>д(",*)** (5'72) neQn k=i и Wo(t) = 1. Теорема 5.5.4 при /(г) = 1 и g(k) = tk (или следствие 5.5.5 при f(i) = t) дает соотношение У Wn(t) ,w/ ч = exp ft У" *" Л, (5.73) ^ wn!M(n) ^^^п!М(п)У аналогичное равенству из примера 5.2.2.
5.5. Экспоненциальные структуры 69 5.5.7. Пример. Рассмотрим обобщение предыдущего примера. Пусть г G Р. Положим Pn{r,t)= J2 *М' п>^ РоМ) = 1, где сумма берется по всем r-элементным мультицепям в Qn. В частности, Pn(l,t) = Wn(t) и P„(r,l) = Z{Qn,r + 1), где Z(Qn, •) - дзета-многочлен ч. у. множества (Jn (см. разд. 3.11). Пусть Qn обозначает Qn с присоединенным 0, и пусть £ — дзета-функция множества Qn (см. определение в разд. 3.6). Тогда при п ^ 1 Pn(r,t) = £ [СМ - С-ЧМ]*1*1- (5.74) neQn Правая часть равенства (5.74) имеет смысл для любого г Е Z и, таким образом, дает интерпретацию многочленов Pn(r, t) при г ^ 0. В частности, так как £°(б, 7г) = 0 для всех -к Е Qn? равенство (5.74) при г = 0 дает соотношение Р„(0, *) = - £ Мб, 7Г)^к1 = *П+1 " *x(Qn, *), (5.75) где ^/n — функция Мёбиуса, ах- характеристический многочлен (см. определение в разд. 3.10) ч. у. множества Qn. Заметим, что fin :=А*п(бД) = -[t]Pn(0,t) = --Рп(0,£) (5.76) Положим /(г) = Р{(г—1,1) и #(&) =tk в теореме 5.5.4. Получаем S"*"aS55-«'(«g'«'-1-I>as5o) Заметим, что в силу соотношения (5.75) Р„(0, 1) = " J] ^п(6? 7Г) = J£n(6, б) = 1, TTGQn согласно рекуррентному соотношению (3.14) для функций Мёбиуса. (Это также следует из равенства (5.77), если положить в нем г = 1 и
70 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций сравнить с (5.73).) Следовательно, полагая г = 0 в (5.77), получаем v_^ хп / ^_^ хп s n^O v у чп>0 Применяя ^ к обеим частям и подставляя t = 0, мы получим из формулы (5.77) равенство -§"та=м(5ж>- (5,78) Например, положим Qn — Щ (где Щ — ч. у. множество разбиений множества [2п] на блоки четного размера (пример 5.5.2(c)). Согласно соотношению (5.68), получим М2(п) = (2тг)!/2птг!. Следовательно, Е2пхп , /v-^2nxnN Ч2п)! V ^(2тг)! Полагая 2х = у2, приходим к равенству у2" -S^(2^)T=ln(ch^' или, что то же самое (применяем ■£-), где Е^п-х обозначает число Эйлера (или число тангенса; см. конец разд. 3.16) 1К Таким образом, для Qn = Щ получаем j^n = (—l)n^2n-i- Первоначальная причина, побудившая нас обсуждать экспоненциальные структуры, заключается в том, чтобы обеспечить общую основу для распространения наших результатов о симметричных матрицах с одинаковыми суммами по строкам и столбцам (примеры 5.2.7, 5.2.8) на произвольные квадратные матрицы. (По поводу прямоугольных матриц см. упр. 5.65.) Таким образом, пусть А4(п,г) обозначает множество всех п х тг-матриц А = (A{j) с натуральными элементами, у которых сумма по любой строке *) Число Эйлера Еп можно определить, например (комбинаторным образом), как число чередующихся перестановок (т.е. таких перестановок П = а\ а,2 - • • , что ai > а2 < аз > • • •) в ®п. Производящая функция для чисел Эйлера имеет вид ]Г)п>о ЕпХп/п\ = tgx + secx; поэтому Е2 т иногда называют числом секанса, а #2m-i — числом тангенса. — Прим. перев.
5.5. Экспоненциальные структуры 71 или столбцу равна г. Например, М(п,0) состоит из нулевой пхп- матрицы, тогда как М(п, 1) состоит из тг! перестановочных матриц размера п х тг. Мы предполагаем, что строки и столбцы матрицы А перенумерованы элементами множества [тг]. Под к-компонентой матрицы A Е М(п,г) понимается пара (5,Т) непустых подмножеств множества [тг], удовлетворяющая следующим двум условиям: (i) #<? = #T = fc, (И) пусть A(S, Т) есть k х /с-подматрица матрицы А, строки которой перенумерованы элементами множества 5, а столбцы — элементами множества Т, т.е. A(S,T) = (Aij), где (i,j)eSxT; тогда сумма элементов в каждом столбце и в каждой строке матрицы A(S,T) должна быть равна г, т.е. A(S,T) Е М(к,г). Пара (S,T) называется компонентой матрицы А, если она является /с-компонентой для некоторого к. Компонента (S, Т) непри- водима, если любая компонента (S',T'), удовлетворяющая условиям S' С S и X" С Т, совпадает с (5,Т). В этом случае матрица A(S,T) также называется неприводимой. Например, ({г},{^}) является 1-компонентой (в этом случае она неприводима) тогда и только тогда, когда Aij = г. Легко видеть, что множество неприводимых компонент матрицы А образует некоторое 2-разбиение 7г = 7гд множества [тг] (в смысле определения из примера 5.5.2(d)). Обратно, выбирая некоторое 2-разбиение 7Г множества [тг], а затем «прикрепляя» неприводимую матрицу к каждому блоку (5, Т) Е 7Г, мы получаем (единственным образом) матрицу А Е М(п, г). В случае Qi = Щ ' из следствия 5.5.5 вытекает такой результат: 5.5.8. Предложение. Пусть /ir(ai,... ,ап) обозначает число матриц А Е Л1(тг, г), имеющих а\ неприводимых г -компонент (или, что то лее самое, таких, что тип разбиения -ка равен (&i,... ,ап)). Пусть fr(n) — число неприводимых п х п-матриц А еМ(п,г). Тогда J2 J2 hr(ai,...,an)t°1---t°"—=exp22fr(n)tn-T2- тг. тг. n^Oai,...,an n^l 5.5.9. Следствие, (а) Пусть Н(п,г) = #Л4(тг,г). Тогда Е я(п- г)|й = ехр Е ш^й ■ тг>0 тг^1
72 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций (Ь) Пусть #*(тг,г) обозначает число матриц из М(п,г), не имеющих элементов, равных г. Тогда £Я*(П)Г)^=ехрХ>Н^=е-*£я(п,г)^. (5.79) п>0 п>2 п^О Доказательство, (а) В предложении 5.5.8 положим U = 1 для всех г. (Ь) Так как ({i},{j}) является (неприводимой) 1-компонентой тогда и только тогда, когда Ац = г, доказательство следует из предложения 5.5.8 при t\ = 0, t2 = h = • - = 1 (заметим, что /г(1) = 1). □ Существует простая интерпретация 2-разбиения 7г^, связанного с матрицей А Е Л4(тг, г), в терминах теории графов. Пусть X = {xi,... ,жп} и Y = {?/i,..., уп}. Построим двудольный граф Г(А) с разбиением вершин (X,У), соединив Ац ребрами (или одним ребром с весом Ац) вершины Х{ и yj. Таким образом, граф Г (А) является регулярным графом степени г. Тогда связные компоненты графа Г (А) соответствуют неприводимым компонентам матрицы А. Точнее говоря, если Г' — связная компонента графа Г, то положим S = {j : Xj — вершина Г'}, Г = {j : yj — вершина Г'}. Тогда (5, Т) — неприводимая компонента матрицы А (или блок разбиения 7г^), и, обратно, все неприводимые компоненты матрицы А получаются таким способом. Таким образом, неприводимая матрица А Е М(п,г) соответствует некоторому связному регулярному двудольному графу степени г на 2тг вершинах. В качестве примера рассмотрим матрицу 1 0] 0 0 0 1 0 2 * 0 0 2 oj Двудольный граф Г (А) изображен на рис. 5.15. Формула тг = {(234,146), (16,25), (5,3)} задает 2-разбиение -ка типа (1,1,1). Нетрудно вычислить /2(га)- Действительно, всякая неприводимая матрица А е М(п, 2) имеет вид Р + PQ, где Р — матрица пе- 0 1 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 2 0 1 0 0
5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях 73 4 16 5 2 3 Рис. 5.15. Двудольный граф Г(Л). рестановки, a Q — матрица циклической перестановки. В терминах теории графов Г (А) — связный двудольный граф степени два (и, следовательно, цикл четной длины ^ 2) с разбиением вершин (X, У), где фХ = #У = п. Очевидно, имеется \{п — 1)\п\ таких циклов при п ^ 2 и всего один цикл при п = 1. (Или, что равносильно, существует п\ возможностей для Р и (тг — 1)! для Q. Если п > 1, то Р и PQ можно выбрать в обратном порядке.) Из предложения 5.5.8 следует 5.5.10. Предложение. Имеем Е Е ^(ai,...,an)^---C^2=expUix+i^fn^-Y (5.80) 5.5.11. Следствие. Имеют место равенства п>0 -£н*(п,2)^ = (1-хГ1/2е^ п>0 /2 (5.81) Доказательство. В соотношении (5.80) положим U = 1. Тогда = ехр ^ х + ^ 1п(1 - х)'Л = (1 - х)"1/2ех/2. Аналогично, положим ^1=0и^2=^з = *** = 1 (или используем соотношение (5.79) непосредственно) и получим (5.81). □ 5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях Известная задача, восходящая еще к Эйлеру, состоит в следующем: в каких графах G имеется замкнутый путь, проходящий по каждому ребру в точности однажды. (Существует также вариант этой задачи для незамкнутых путей.) Такой путь называется
74 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций эйлеровым циклом. Граф, в котором есть эйлеров цикл, называется эйлеровым графом. Известная теорема Эйлера (по существу первая теорема теории графов) утверждает, что граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связен (за исключением, возможно, изолированных вершин) и каждая его вершина имеет четную степень. Здесь мы займемся аналогичной теоремой для ориентированных графов D. Нас интересует не только вопрос о существовании эйлерова цикла, но также и число таких циклов. Мы сведем эту задачу к задаче подсчета некоторых поддеревьев графа D, называемых ориентированными деревьями. Мы докажем элегантную детерминантную формулу для этого числа и из нее выведем другую формулу, называемую матричной теоремой о деревьях, определяющую число остовных деревьев любого (неориентированного) графа. В качестве приложения перечисления эйлеровых циклов приводится перечисление последовательностей де Брёйна. Для случая неориентированных графов аналогичной формулы для числа эйлеровых циклов неизвестно; это объясняет, почему мы рассматриваем только случай ориентированных графов. Мы пользуемся терминологией и обозначениями, введенными для ориентированных графов в начале разд. 4.7. Пусть D = (V, Е, ср) — орграф с множеством вершин V = {v\,..., vp} и множеством ребер Е = {ei,...,eq}. Говорят, что орграф D связен, если он связен как неориентированный граф. Циклом в D называется такая последовательность е\,..., ег различных ребер, что конечная вершина ребра е* совпадает с начальной вершиной ребра ei+i при всех 1 ^ i ^ г-1 и конечная вершина ребра ег совпадает с начальной вершиной ребра е\. Цикл называется эйлеровым, если в нем каждое ребро орграфа D встречается хотя бы один раз (а значит, ровно один раз). Орграф без изолированных вершин, содержащий эйлеров цикл, называется эйлеровым орграфом. Очевидно, что эйлеров орграф связен. (Справедливо также более сильное утверждение о том, что между любой парой его вершин существует ориентированный простой путь.) Полустепень исхода вершины v, обозначаемая outdeg(z;), равна числу ребер графа G, начальная вершина которых совпадает с v. Аналогично, полу степень захода вершины v, обозначаемая indeg(z;), равна числу ребер графа D, конечная вершина которых совпадает с v. Петля (ребро вида (г;,г;)) вносит единицу как в полустепень захода, так и в полустепень исхода. Орграф является сбалансированным, если indeg(z;) = outdeg(z;) для всех вершин v. 5.6.1. Теорема. Орграф D без изолированных вершин является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связен и сбалансирован. Доказательство. Предположим, что орграф D эйлеров, и пусть е\,... ,eq — эйлеров цикл. При перемещении вдоль цикла, войдя в
5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях 75 некоторую вершину v, мы должны покинуть ее, за исключением случая, когда в самом конце нашего перемещения мы входим в конечную вершину v ребра eq, не покидая ее. Однако в самом начале движения мы вышли из вершины v, не войдя в нее. Отсюда следует, что в каждую вершину мы входим столько раз, сколько раз из нее выходим; поэтому у каждой вершины полустепень захода и полустепень исхода должны совпадать. Следовательно, орграф D сбалансирован, и, как было отмечено выше, очевидно, что D связен. Теперь предположим, что D сбалансирован и связен. Мы можем предположить, что у него есть хотя бы одно ребро. Сначала мы утверждаем, что для любого ребра е из D орграф D имеет цикл (не обязательно эйлеров), у которого е — е\. Если е\ — петля, то доказательство очевидно. Если е\ — не петля, то мы первый раз вошли в вершину fin(ei), так что, поскольку орграф D сбалансирован, найдется некоторое выходящее ребро в2- Либо fin(e2) = init(ei), и доказательство завершено, либо мы вошли в вершину пп(в2) на один раз больше, чем вышли из нее. Так как D сбалансирован, найдется новое ребро ез, такое, что fin(e2) = init(e3). Продолжая этот процесс, мы либо замыкаем цикл, либо вошли в текущую вершину на один раз больше, чем вышли из нее, и в этом случае имеется возможность покинуть эту вершину вдоль нового ребра. Так как число ребер орграфа D конечно, то в конце концов мы всегда замкнем цикл. Таким образом, D действительно имеет цикл, у которого е = е\. ev е\ 1 ^ е5 V 1 ^~-*--ч \ \*2 I ' X 1 *е Т Рис. 5.15. Немаксимальный цикл в сбалансированном орграфе. Теперь пусть ei,..., ег — цикл С наибольшей длины. Мы должны показать, что г = q, где q — число ребер орграфа D. Предположим противное, т.е. пусть г < q. Поскольку, передвигаясь вдоль С, мы входим в каждую вершину столько раз, сколько выходим из нее (причем мы в самом начале выходим из init(ei), а в конце входим в нее же), то при удалении ребер цикла С из D мы получаем орграф iJ, который по-прежнему является сбалансированным, но
76 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций может не быть связным. Однако, так как D связен, то по крайней мере одна связная компонента Н\ графа Н содержит хотя бы одно ребро и имеет вершину г;, принадлежащую также и С. Так как Н\ сбалансирована, найдется ребро е компоненты Н\ с начальной вершиной v. См. рис. 5.16, на котором ребра цикла С изображены сплошной линией, а остальные ребра — пунктиром. Рассуждения предыдущего абзаца показывают, что Н\ содержит цикл С' положительной длины, начинающийся с ребра е. Но тогда, передвигаясь вдоль С и дойдя до вершины v, можно затем пройти С", прежде чем продолжить движение вдоль С. Это дает цикл большей длины, и мы получаем противоречие. Следовательно, г = q и теорема доказана. □ Наша непосредственная цель состоит в том, чтобы подсчитать число эйлеровых циклов связного сбалансированного орграфа. Здесь ключевым понятием является понятие ориентированного дерева. Ориентированным деревом с корнем v называется (конечный) орграф Т, такой, что v входит в множество его вершин и существует единственный ориентированный путь из любой вершины и в v. Другими словами, для любой вершины и существует единственная последовательность ребер ei,...,er, такая, что (a) init(ei) = ^? (b) fin(er) = v и (с) fin(e;) = init(e;+i) при 1 ^ г ^ г — 1. Как легко видеть, это означает, что соответствующий неориентированный граф (т.е. граф, полученный удалением всех стрелок у ребер орграфа Т) является деревом и что все стрелки в Т направлены к v. Существует неожиданная связь между эйлеровыми циклами и ориентированными деревьями, которая описывается следующей теоремой. 5.6.2. Теорема. Пусть D — связный сбалансированный орграф с множеством вершин V. Фиксируем некоторое ребро е орграфа D, и пусть v = init(e). Пусть t(D,v) обозначает число ориентированных (остовных) поддеревьев орграфа D с корнем v, и пусть e(D,e) обозначает число эйлеровых циклов орграфа D, начинающихся с ребра е. Тогда e{D, е) = t(D, v) Д (outdeg(u) - 1)!. (5.82) uev Доказательство. Пусть е = ei,..., eq — эйлеров цикл Е в D. Для каждой вершины и ф v пусть е(и) — последний выход из и в этом цикле, т.е. пусть е(и) = ej, где init(ej) = и и init(efc) ф и при всех k>j. Утверждение 1. Вершины орграфа D вместе с ребрами е(и) для всех вершин и ф v образуют ориентированное поддерево орграфа D с корнем v.
5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях 11 Доказательство утверждения 1. Это утверждение доказывается непосредственной проверкой. Пусть Т — остовный подграф в D с ребрами е(и), и фу. Таким образом, если #V = р, то у Г имеется р вершин и р — 1 ребер. Отметим следующие свойства графа Т: (a) В Т отсутствуют пары ребер / и /', такие, что init(/) = init(//). Это очевидно, поскольку оба ребра / и /' не могут быть последними выходами из одной и той же вершины. (b) В Т нет ребра /, такого, что init(/) = v. Это ясно, поскольку по определению ребра графа Т — это только последние выходы из вершин, отличных от г;; поэтому ни одно ребро графа Т не может выходить из v. (c) Т не содержит (ориентированного) цикла. Предположим, что Т содержит такой цикл С. Пусть / — ребро цикла С, встречающееся после всех других ребер цикла С в эйлеровом цикле Е. Пусть /' — ребро в С, удовлетворяющее условию fin(/) = init(/') (= и, например). Согласно (b), и фу. Таким образом, после того, как мы вошли в и по /, мы должны выйти из и. Мы не можем выйти из и по /', так как / встречается в цикле Е после /'. (Заметим, что f ф fr, так как иначе / было бы петлей, и следовательно не последним выходом.) Значит, /' — не последний выход из и, что противоречит определению орграфа Т. Из условий (а)-(с) легко следует тот факт, что Т — ориентированное дерево с корнем г;, что и доказывает наше утверждение. Утверждение 2. Мы утверждаем, что справедливо следующее обращение утверждения 1. Пусть заданы связный сбалансированный орграф D и некоторая его вершина г;, и пусть Т — ориентированное (остовное) поддерево орграфа D с корнем v. Тогда мы можем построить эйлеров цикл следующим образом. Выберем ребро в\ так, чтобы init(ei) = v. Затем продолжаем выбирать любое ребро, продолжающее цикл, но не выбираем ребер / из Т до тех пор, пока не будем вынуждены это сделать, т. е. до тех пор, пока некоторое ребро / из Т не окажется единственным оставшимся ребром, выходящим из вершины, в которой мы находимся. Мы сможем действовать указанным способом до тех пор, пока все ребра не будут использованы, в результате чего мы построим некоторый эйлеров цикл А. При этом множество последних выходов цикла А из вершин и ф v орграфа D совпадает с множеством ребер ориентированного дерева Т. Доказательство утверждения 2. Так как граф D сбалансирован, то единственным случаем, в котором мы не сможем продолжить цикл, является ситуация, когда мы придем в вершину г; и не окажется ни одного ребра, по которому мы могли бы из нее выйти, но
78 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций останется неиспользованное ребро. Предположим, что такая ситуация возникла. Тогда по крайней мере одно неиспользованное ребро должно быть последним выходом, т. е. ребром дерева Т. Пусть и — вершина дерева Т, ближайшая к v в Т и такая, что единственное ребро / дерева Т, удовлетворяющее условию init(/) = и, не входит в цикл. Пусть у = fin(/). Предположим, что у ф v. Так как мы входим в у столько же раз, сколько и выходим, то мы не использовали последний выход из у. Таким образом, у = v. Но тогда мы можем покинуть v, т.е. мы приходим к противоречию. Это и доказывает утверждение 2. Мы показали, что с каждым эйлеровым циклом А, начинающимся с ребра е, связано ориентированное поддерево Т = Т(Д) последних выходов с корнем v = init(e). Обратно, мы также показали, что по ориентированному дереву Т с корнем v можно получить все эйлеровы циклы А, начинающиеся сей удовлетворяющие условию Т = Т(А), путем выбора для каждой вершины и ф v порядка, в котором ребра, исходящие из и, кроме ребра из дерева Т, появляются в цикле А. Таким образом, для каждой вершины и у нас имеется (outdeg(u) — 1)! возможностей выбора указанного порядка, так что для каждого Т у нас есть nu(out(les(w) ~~ !)• вариантов такого выбора. Так как дерево Т мы можем выбрать r(D, г;) способами, мы получаем утверждение теоремы. □ 5.6.3. Следствие. Пусть D — связный сбалансированный орграф и v — его вершина. Тогда число t(D,v) ориентированных поддеревьев с корнем v не зависит от v. Доказательство. Пусть е — некоторое ребро с начальной вершиной v. Согласно равенству (5.82), мы должны показать, что число e(G, е) эйлеровых циклов, начинающихся с е, не зависит от е. Но e\e2' — e,q — эйлеров цикл тогда и только тогда, когда егвг+1 • • • eqe\e2 • • • ei-i — также эйлеров цикл, откуда получаем утверждение следствия. □ Для того чтобы пользоваться теоремой 5.6.2, нам необходима формула для t(G,v). Для этого определим матрицу Лапласа L = L(D) произвольного орграфа D с множеством вершин V = {г;ь..., vp} как р х р-матрицу, такую, что если г ф j и имеется тц ребер с начальной вершиной Vi и конечной вершиной Vj, Шгг, еСЛИ % = j. Заметим, что диагональный элемент outdeg(fi) — тпц — это количество ребер орграфа D с начальной вершиной Vi, не являющихся Lij outdeg(z;i)
5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях 79 петлями. Отсюда следует, что матрица Лапласа L(Z}) не зависит от петель орграфа D. Заметим также, что если каждая вершина орграфа D имеет одну и ту же полустепень исхода <2, то матрица смежности А (определенная в разд. 4.7) ^ и матрица Лапласа L орграфа D связаны соотношением L = dl — А, где I обозначает единичную р х р-матрицу. В частности, если Ai,..., Ар — собственные числа матрицы А, то d— Ai,..., d — Ар — собственные числа матрицы L. 5.6.4. Теорема. Пусть D — орграф без петель па мноэюестве вершип V = {vi,..., vp}, и пусть 1 ^ к ^ р. Пусть L — матрица Лапласа орграфа D. Через Lq обозначим матрицу, полученную из L удалением к-й строки и к-го столбца. Тогда detL0 = r(D,vk). (5.83) Доказательство. Воспользуемся индукцией по q — числу ребер орграфа D. Сначала заметим, что теорема справедлива, если D несвязен, так как очевидно, что r(D,Vk) = 0; при этом, если D\ — компонента орграфа D, содержащая ^,hD2- оставшаяся часть орграфа D, то detLo(Z^) = detLo(Di) • detL(Z^2) = 0. Наименьшее число ребер, которое может содержать D, равно р — 1 (так как D связен). Предположим теперь, что D содержит р — 1 ребер, так что как неориентированный граф D является деревом. Если D не является ориентированным деревом с корнем Vk, то некоторая вершина vi ф Vk орграфа D имеет полустепень исхода 0. Тогда Lo содержит нулевую строку, так что detLo = 0 = r(D,Vk)- Если, с другой стороны, D — ориентированное дерево с корнем Vk, то существует упорядочение множества V — {vk}, такое, что Lo является верхнетреугольной матрицей с единицами на главной диагонали. Следовательно, detLo = 1 = r(D,Vk)- Теперь предположим, что D содержит q > р — 1 ребер и что теорема верна для орграфов с не более чем q — 1 ребрами. Мы можем предполагать, что в D нет ребер / с начальной вершиной Vk, так как такие ребра не принадлежат никакому ориентированному дереву с корнем г;&, а также не дают никакого вклада в Lo. Тогда, так как D содержит по меньшей мере р ребер, отсюда следует, что найдется вершина и ф Vk орграфа D, полустепень исхода которой не меньше двух. Пусть е — ребро, удовлетворяющее условию init(e) = и. Обозначим через D\ орграф, полученный из D удалением ребра е. Пусть D<i — орграф, полученный из D удалением *)Матрицей смежности А = (aij) орграфа с р вершинами {vi,...,vp} называется матрица размера р х р, в которой ац = 1, если в G имеется ребро, ведущее из V{ в Vj, и а^ = 0 в противном случае (в т. 1 использовался термин «матрица инцидентности»). — Прим. перев.
80 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций всех таких ребер е', что init(e) = init(e') и е' / е. (Заметим, что Дг строго меньше орграфа D, так как outdeg(u) ^2.) По предположению индукции detL0(Z^i) = T(D\,Vk) и detL0(D2) = t(A2?^A;)- Ясно, что t(D, Vk) = r(Di,Vk) + t(Z^2, Vk), так как в ориентированном дереве Т с корнем Vk существует в точности одно ребро, начальная вершина которого совпадает с начальной вершиной ребра е. С другой стороны, из полилинейности определителя непосредственно следует, что detL0(£>) =detLo(Z^i) + detLo(D2). Отсюда по индукции получаем утверждение теоремы. □ Операция удаления строки и столбца из L(D) может показаться несколько искусственной. В случае, когда D сбалансирован (так что t(D,v) не зависит от г;), предпочтительнее описывать r(D,v) непосредственно в терминах матрицы L(Z}). Мы получим такое описание с помощью следующей леммы. 5.6.5. Лемма. Пусть М есть р х р-матрица (с элементами из некоторого поля), такая, что сумма элементов в любой строке и любом столбце равна 0. Пусть Мо — матрица, полученная из М удалением i-й строки и j-го столбца. Тогда коэффициент при х в характеристическом многочлене det(M — xl) матрицы М равен (—l)l+jf+1p-det(Mo). [Кроме того, свободный член многочлена det(M — xl) равен 0.) Доказательство. Свободный член многочлена det(M — xl) равен det(M); последний определитель равен 0, так как сумма элементов в каждой строке матрицы М равна 0. Оставшуюся часть леммы для определенности мы докажем только для случая, когда удаляются последние строка и столбец, хотя доказательство проходит также в случае удаления любой строки и любого столбца. Прибавим все строки матрицы М — xl, за исключением последней, к последней строке. При этом определитель матрицы не изменится, а в последней строке все элементы станут равными —х (так как суммы элементов по столбцам матрицы М равны 0). Вынесем —ж из последней строки за знак определителя и получим матрицу N(x), удовлетворяющую условию det(M — xl) = — xdet(N(x)). Отсюда следует, что коэффициент при х в det(M — xl) равен — det(N(0)). Теперь прибавим все столбцы матрицы N(0), за исключением последнего, к последнему столбцу. Это не изменит det(N(0)). Так как суммы элементов в строках матрицы М равны 0, последний столбец матрицы N(0) будет равен вектор-столбцу [0,0,..., 0,р]*. Разлагая определитель по последнему столбцу, получаем соотношение det(N(0)) = р • det(Mo), откуда и следует утверждение леммы. □
5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях 81 Предположим, что собственные числа матрицы М из леммы 5.6.5 равны /xi,... ,/хр, причем /хр = 0. Так как det(M — xl) = —#rij=i(w ~ х)-> получаем равенство (_l)*+i+ip. det(Mo) = -in - • • vP-i. (5.84) Это соотношение позволяет переформулировать теорему 5.6.4 для случая сбалансированных орграфов следующим образом. 5.6.6. Следствие. Пусть D — сбалансированный орграф с р вершинами и с матрицей Лапласа L. Пусть /xi,..., /хр — собственные числа матрицы L, и предположим, что \хр = 0. Тогда для любой вершины v орграфа D выполнено равенство t(D,v) = -fJLi'-'fJLp^i. Комбинируя теоремы 5.6.2 и 5.6.4, получаем формулу для числа эйлеровых циклов в сбалансированном орграфе. 5.6.7. Следствие. Пусть D — связный сбалансированный орграф с р вершинами. Пусть е — его ребро. Тогда число e(D,e) эйлеровых циклов в D с первым ребром е определяется формулой б(Де) = (detL0(£>)) Д (outdeg(u) - 1)!. uev Равносильное утверждение (использующее следствие 5.6.6): если /xi,...,/хр — собственные числа матрицы L(Z)); причем /хр = 0, то e(D, е) = - /xi • • • /xp_i Д (outdeg(u) - 1)!. р uev Рассмотрим один важный частный случай следствия 5.6.7. Матрицей Лапласа L = L(G) неориентированного графа G с множеством вершин V = {г>1,..., vp} называется р х р-матрица, такая, что {—rriij, если г ф j и между вершинами Vi и Vj имеется ra;j ребер, deg(vi) - тц, если г = j, где deg(^i) обозначает степень вершины Vi (число ребер, инцидентных вершине г;;). Пусть G — орграф, полученный из G заменой каждого ребра е = uv графа G парой ориентированных ребер и —► v и v —> и. Очевидно, что G сбалансирован, а также что G связен, если связен G. Возьмем вершину v графа G. Имеется очевидное взаимно однозначное соответствие между остовными деревьями Г графа G и ориентированными остовными деревьями Т
82 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций с корнем v графа G, а именно, мы можем ориентировать все ребра дерева Г по направлению к v. Кроме того, L(G) = L(G). Пусть c(G) обозначает число остовных деревьев (или сложность) графа G. Тогда непосредственным следствием теоремы 5.6.4 является следующая формула, определяющая c(G). Эту формулу называют матричной теоремой о деревьях. 5.6.8. Теорема (матричная теорема о деревьях). Пусть G — конечный связный р-вершинный граф без петель с матрицей Лапласа L = L(G). Пусть 1 ^ г ^ р, и пусть Lo — матрица, полученная из L вычеркиванием i-й строки и г-го столбца. Тогда c{G) = det(Lo). Равносильное утверждение: если \i\,... ,\iv — собственные числа матрицы L, причем /лр = 0, то c(G) = -/zi--./Zp_i. Рассмотрим несколько примеров применения только что доказанных результатов. 5.6.9. Пример. Пусть G = Кр — полный граф на р вершинах. Имеем Jj(Kp) = pi — J, где J есть р х р-матрица, состоящая только из единиц, и I — единичная р х р-матрица. Так как ранг матрицы J равен 1, то р — 1 ее собственных чисел равны 0. Так как tr(J) = р, оставшееся собственное число равно р. (Иначе говоря, вектор-столбец, составленный только из единиц, — это собственный вектор, соответствующий собственному числу р.) Следовательно, собственные числа матрицы pi — J — это р (с кратностью р — 1) и 0 (с кратностью 1). По матричной теореме о деревьях получаем с(Кр) = -рР-1=рР'2, что согласуется с формулой для t(n) в предложении 5.3.2. 5.6.10. Пример. Пусть Г — группа (Z/2Z)n наборов длины п из нулей и единиц, операцией в которой является покомпонентное сложение по модулю 2. Определим «скалярное произведение» а • /? в Г с помощью соотношения (ai,..., ап) • (6i,..., Ьп) = J2 mbi е Z/2Z. Заметим, что так как (—1)т зависит только от значения целого числа т по модулю 2, то выражения вида (—\)а'Р+т6 корректно определены для а, /?, 7? 5 £ Г независимо от того, рассматриваем ли мы сложение в показателе как сложение в Z/2Z или в Z. В частности, остается в силе правило возведения в степень
5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях 83 (—1)а+^ = (—1)а(—1)^. Пусть Сп — граф, вершинами которого являются элементы группы Г, причем вершины а и /3 соединены ребром, если а + (3 имеет ровно одну компоненту, равную 1. Таким образом, Сп можно рассматривать как граф, образованный вершинами и ребрами n-мерного куба. Иными словами, Сп — диаграмма Хассе булевой алгебры Вп, рассматриваемая как граф. Пусть V — векторное пространство всех функций /: Г —► Q. Определим линейное преобразование Ф: V —> V с помощью равенства (Ф/)(а) = п/(а)-£ /(/?), где Р пробегает все элементы группы Г, смежные с а в Сп. Заметим, что матрица преобразования Ф, соответствующая некоторому упорядочению базиса Г пространства V, является в точности матрицей Лапласа L(Cn) (относительно того же упорядочения вершин графа Сп)- Теперь для каждого j ЕТ определим функцию х7 Е V равенством х» = (-ir\ Тогда (ФХ7)И = п(-1)^-^(-1)^, Р где Р меняется так же, как и выше. Если в 7 содержится ровно к единиц, то для п — к значений /? будет выполняться равенство Р • 7 = & ' 7? тогда как для остальных к значений /3 мы имеем /3 • 7 = ol - 7 + 1 • Отсюда следует, что (ФХ7)(а) = (п - ((п - *) - к)) (-1)°"* = 2кХу(а). Таким образом, х-у ~ собственный вектор преобразования Ф, принадлежащий собственному числу 2к. Легко видеть, что функции Х7 линейно независимы, так что мы нашли все 2П собственных чисел матрицы L, а именно, 2к — собственное число кратности (^), О ^ к ^ п. Следовательно, из матричной теоремы о деревьях вытекает следующий замечательный результат: <Сп) = ± f[(2kp = 22"—> f[ *С). (5.85) к=1 к=1 Прямого комбинаторного доказательства этой формулы неизвестно. 5.6.11. Пример (эффективный почтальон). Почтальон имеет план кварталов города, в которые он должен доставить почту. Он хочет сделать это, проходя вдоль каждого квартала дважды, по одному разу в каждом направлении, посещая таким образом дома на
84 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций обеих сторонах улицы. Кварталы образуют ребра графа G, вершинами которого служат перекрестки. Почтальон просто хочет пройти вдоль эйлерова цикла орграфа G, введенного нами сразу после следствия 5.6.7. Принимая вероятное предположение о связности графа, мы не только можем утверждать, что эйлеров цикл всегда существует, но даже можем указать количество таких циклов. Таким образом, почтальон будет знать, сколькими разными маршрутами он может пользоваться, чтобы избежать однообразия. Например, пусть G — такая 3 х 3-решетка: В этом графе имеется 192 остовных дерева. Следовательно, число маршрутов почтальона, начинающихся с фиксированного ребра (в заданном направлении), равно 192-1!42!43! = 18432. Полное число маршрутов, таким образом, составит 18432, умноженное на удвоенное число ребер, т.е. 18432 х 24 = 442368. Если предположить, что почтальон разносит почту 250 дней в году, то должно пройти 1769 лет, пока он будет вынужден повторить маршрут. 5.6.12. Пример (двоичные последовательности де Брёйна). Двоичная последовательность — это последовательность из нулей и единиц. (Двоичная) последовательность де Брёйна степени п — это такая двоичная последовательность А = а\а2'" а2п? что всякая двоичная последовательность Ь\ • • -Ьп длины п встречается ровно один раз в качестве ее «циклического множителя», т. е. как последовательность a;a;+i • • • a;+n-i? гДе индексы приводятся по модулю п, если это необходимо. Заметим, что имеется ровно 2П двоичных последовательностей длины п, так что единственно возможная длина последовательности де Брёйна степени п равна 2П. Ясно, что любая сопряженная последовательность (циклический сдвиг) diai+i - • -а2^а\а2 • • *a;_i к последовательности де Брёйна а\а2 • • • ^2п также является последовательностью де Брёйна, и мы называем такие последовательности эквивалентными. Это отношение, очевидно, является отношением эквивалентности, и каждый класс эквивалентности содержит ровно одну последовательность, начинающуюся с п нулей. С точностью до эквивалентности существует одна последовательность де Брёйна степени 2, а именно ООП. Легко проверить, что имеются две неэквивалентные последовательности де Брёйна степени 3: 00010111 и 00011101. Однако, вообще говоря, неясно, существуют ли последовательности де Брёйна для любого п. Используя теоремы 5.6.2 и 5.6.4 подходящим
5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях 85 образом, мы не только установим существование таких последовательностей для всех положительных целых чисел п, но также сосчитаем их. Оказывается, их будет много. Например, число неэквивалентных последовательностей де Брёйна степени восемь равно 1329227995784915872903807060280344576. Наш метод перечисления последовательностей де Брёйна установит соответствие между этими последовательностями и эйлеровыми циклами в некотором ориентированном графе Dn, графе де Брёйна степени п. Граф Dn имеет 2п~1 вершин, которые мы пронумеруем 2п~1 двоичными последовательностями длины п— 1. Пара {а\а2 • • • ап-ь Ъ\Ъ2 • • • bn-i) вершин образует ребро графа Dn тогда и только тогда, когда а2аз • • • an_i = Ъ\Ъ2 • • • &п_2? т-е- е является ребром, если последние п — 2 позиции вершины init(e) совпадают с первыми п — 2 позициями вершины fin(e). Таким образом, полустепень захода и полустепень исхода каждой вершины равны 2, так что Dn сбалансирован. Число ребер графа Dn равно 2П. Кроме того, легко видеть, что Dn связен (см. лемму 5.6.13). Графы Ds и L>4 показаны на рис. 5.17. Рис. 5.17. Графы де Брёйна D3 и D4. Предположим, что Е = е\е2 • • • е2п — эйлеров цикл в Dn. Если пп(бг) — двоичная последовательность аца>г2 • • • аг)П_1, то заменим е; в Е последним элементом a^n_i. Легко видеть, что полученная
86 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций последовательность 0(E) = ai,n-i«2,n-i • • • «2n,n-i является последовательностью де Брёйна и, обратно, всякая последовательность де Брёйна получается таким способом. В частности, так как Dn сбалансирован и связен, существует по крайней мере одна последовательность де Брёйна. Для того чтобы сосчитать все такие последовательности, нам нужно вычислить det Lo(Dn) • Один из способов заключается в осуществлении искусной, но неприятной последовательности элементарных преобразований строк и столбцов, которые приводят определитель к треугольному виду. Вместо этого мы продемонстрируем элегантное вычисление собственных чисел матрицы Jj(Dn) (и, следовательно, detLo), основанное на следующей простой лемме. 5.6.13. Лемма. Пусть и и v — любые две вершины орграфа Dn. Тогда существует единственный (ориентированный) путь из и в v длины п — 1. Доказательство. Предположим, что и = aia2---an-i и v = 6162 * * 'On-i- Тогда единственный простой путь длины п — 1 из и в v проходит через вершины «1^2 •••«п-ь ^2^3 • • -ап_1&1, а$а± • • -ап-1&1&2?- • • ? un-ibi • • • Ьп-2? Ь\Ь2 • • • Ьп-1- □ 5.6.14. Лемма. Матрица Jj(Dn) имеет два собственных числа: О (кратности один) и 2 (кратности 2п~1 — 1). Доказательство. Пусть A(Dn) обозначает ориентированную матрицу смежности орграфа Dn, т. е. ее строки и столбцы пронумерованы вершинами и J 1, если (u,v) — ребро, 1 0 в противном случае. Лемма 5.6.13 эквивалентна утверждению о том, что An_1 = J — матрица размера 2n~l х 2n_1, все элементы которой равны 1. Если Ai,..., A2n-i — собственные числа матрицы А, то собственными числами матрицы J = An_1 будут А™ "~1,..., X^u-i • Согласно примеру 5.6.9, матрица J имеет собственные числа 2n_1 (с кратностью 1) и 0 (с кратностью 2n_1 — 1). Следовательно, собственными числами матрицы А будут 2£ (с кратностью 1, где С _ корень (п— 1)-й степени из 1, который надо найти) и 0 (с кратностью 2n_1 — 1). Так как след матрицы А равен 2, то £ = Д? и мы нашли все собственные числа матрицы А. Теперь Jj(Dn) = 21 — A(Dn). Следовательно, собственными числами матрицы L будут 2 — Ai,..., 2 — A2n-i, и ввиду найденных выше значений Ai,..., A2n-i доказательство завершено. □
Замечания 87 5.6.15. Следствие. Число Во(п) последовательностей де Брёйна степени п, начинающихся с п нулей, равно 22 ~п. Полное число В(п) последовательностей де Брёйна степени п равно 22" . Доказательство. Согласно рассуждениям, приведенным выше, Во(п) — число эйлеровых циклов в Z}n, первое ребро которых — петля в вершине 00...О. Кроме того, полустепень исхода любой вершины орграфа Dn равна двум. Отсюда по следствию 5.6.7 и лемме 5.6.14 получаем Во(п) - ^y 2 - 2 Наконец, В(п) получается из Во(п) умножением на число ребер 2П, что и доказывает утверждение следствия. □ Замечания1^ Композиционная формула (теорема 5.1.4) и экспоненциальная формула (следствие 5.1.6) имели много предшественников, прежде чем приняли свой современный вид. Формальное выражение для коэффициентов композиции двух экспоненциальных производящих функций было впервые получено Фаа ди Бруно [23], [24] в 1855 и 1857 гг. и называется формулой Фаа ди Бруно. Дополнительные ссылки, связанные с этой формулой, см. в [2.3, с. 137] 2К Ранний вариант экспоненциальной формулы принадлежит Якоби [38]. Идея комбинаторной интерпретации коэффициентов ряда eF^ была рассмотрена в некоторых частных случаях Тушаром [69], а также Ридцеллом и Уленбеком [56]. Тушар изучал свойства перестановок и получил наше равенство (5.30), из которого вывел много следствий. Равенство (5.30) было получено ранее Пойа [50, разд. 1.3], но его не интересовали общие комбинаторные приложения. Из работ Фробениуса (см. [27, внизу на с. 152 собрания сочинений]) и Гурвица [37, §4] также ясно, что они знали о формуле (5.30), хотя и не формулировали ее в явном виде. Ридделл и Уленбек занимались перечислением графов и получили наш пример 5.2.1 и близкие результаты. х) Ссылка [т. п] обозначает n-ю работу в списке литературы раздела «Замечания» в главе с номером т. Ссылка без префикса относится к списку литературы данной главы (следующему за этими замечаниями). 2) Comtet L. Advanced Combinatorics, Reidel, Boston, 1974 (эта ссылка также часто встречается в решениях упражнений). — Прим. перев.
88 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Только в начале 1970-х годов Фоата и Шютценберже [26], Бен- дер и Голдман [3.3] 1\ а также Дубиле, Рота и Стенли [3.12]2) независимо развили общую комбинаторную интерпретацию функции eF(x). Подход, наиболее близкий к описанному в этой книге, принадлежит Фоата и Шютценберже. Дубиле, Рота и Стенли использовали подход, основанный на алгебре инцидентности, и доказали результат (теорему 5.1), эквивалентный нашей теореме 5.1.11. Наиболее сложной комбинаторной теорией композиции степенных рядов является теория видов, основанная на теории категорий; она была разработана Джойалом [3.23]3) и его сотрудниками после указанных выше трех работ. Дальнейшую информацию о видах см. в [2]. Другой теоретико-категорный подход к экспоненциальной формуле дан в работе Дресса и Мюллера [16]. Экспоненциальная формула часто переоткрывалась в разных видах; интересный пример содержится в [51]. Один из возможных ^-аналогов приведен в работе Гесселя [29]. Обратимся к приложениям экспоненциальной формулы, приведенным в разд. 5.2. Пример 5.2.3 впервые появился в [4.36, пример 6.б]4). Производящие функции (5.27) и (5.28) для полных разбиений и двоичных полных разбиений, так же как и явная формула Ь(п) = 1 • 3 • 5 • • • (2тг — 3), приводятся Шредером [60] в качестве третьей и четвертой задачи его известных «vier combinatorische Probleme». (Мы обсудим первые две задачи в гл. 6.) Несколько измененный вариант комбинаторного доказательства формулы для 6(п), приведенный здесь, появился в [21, следствие 2], хотя, возможно, были и более ранние доказательства подобного типа. Некоторое обобщение и другие ссылки содержатся в упр. 5.43. По поводу дальнейшей информации, связанной с четвертой задачей Шредера, см. решение упр. 5.40. Производящие функции и рекуррентные соотношения для 5П(2) и 5* (2) из примеров 5.2.7 и 5.2.8 были найдены (с доказательством, отличающимся от нашего) Гуптой [35, (6.3), (6.4), (6.7) и (6.8)]. Некоторое обобщение содержится в работе *) Bender Е. A., Goldman J. R. Enumerative uses of generating functions, Indiana Univ. Math. J. 20 (1971), 753-765. — Прим. перев. 2)Doubilet P., Stanley R., Rota G.-C. On the foundation of combinatorial theory (VI). The idea of generating functions, In: Sixth Berkley Symp. on Math. Stat, and Prob., vol. 2: Probability Theory, Univ. of California, 1972, pp. 267-318. [Имеется перевод: Дубиле П., Рота Дж.-К., Стенли Р. Об основах комбинаторной теории (VI): идея производящей функции. В сб.: Перечислительные задачи комбинаторного анализа. — М.: Мир, 1979, с. 160-228.] — Прим. перев. 3)joyal A. Une theory combinatoire des series formelles, Advances in Math. 42 (1981), 1-82. — Прим. перев. 4) Stanley R. Generating functions, In: Studies in Combinatorics (G.-C. Rota, ed.). Math. Assoc, of America, Washington, D. C, 1978, pp. 100-141. — Прим. перев.
Замечания 89 Гримсона [34]. Пример 5.2.9 принадлежит Шуру [61] и обсуждается также в [53, задача VII.45]. Шур рассматривает несколько вариантов, один из которых приводит к производящей функции для Тп(2), указанной в примере 5.2.8. С другой стороны, производящая функция для Т*(2) (равенство (5.29)), по существу, содержится в [19] (снова в другом контексте, обсуждаемом здесь в упр. 5.23). Мы уже упоминали, что равенство (5.30) принадлежит Пойа (или, может быть, Фробениусу или Гурвицу). Из работы Туша- ра [69] ясно, что он знал производящую функцию exp ^d. г ^- из примера 5.2.10. Первая явная формулировка принадлежит Чоуле, Херстейну и Скотту [11]; случаи г = 2 и простого г исследовали Чоула, Херстейн и Мур [10] и Якобсталь [39] соответственно. Конте обсуждает эти вопросы в [2.3, упр. 9, с. 257] и дает некоторые дополнительные ссылки на литературу. Значительное обобщение можно найти в упр. 5.13(a). Пример 5.2.11 был найден в сотрудничестве с А. Гесселем. Аналогичные рассуждения появляются в упр. 5.21 и в работе Метро- полиса и Роты [48]. Понятие дерева как формального математического объекта восходит к Кирхгофу и фон Штаудту. Сначала деревья интенсивно исследовал Кэли; ему мы обязаны термином «дерево». В частности, в [9] Кэли приводит формулу t(n) = пп~2 для числа свободных деревьев на n-элементном множестве вершин и дает некоторую не вполне ясную идею комбинаторного доказательства. Кэли указал, однако, что эквивалентный результат был доказан ранее Борхард- том [4]. Более того, этот результат появился еще раньше в работе Сильвестра [67]. Без сомнения, Кэли и Сильвестр могли бы провести полное строгое доказательство, если бы у них возникло подобное желание. Первое явное комбинаторное доказательство формулы t(n) = пп~2 принадлежит Прюферу [52] и по существу совпадает с нашим первым доказательством предложения 5.3.2 в случае к = 1. Второе доказательство предложения 5.3.2 (или, точнее, варианта для деревьев, приведенного в начале доказательства) принадлежит Джойалу [3.23, пример 12, с. 15-16]. Более общая формула для ps(n), приведенная в предложении 5.3.2, была также сформулирована Кэли и присутствует неявно в работе Борхардта. Рани [55] использовал непосредственное обобщение последовательностей Прюфера, чтобы дать формальное решение функционального уравнения Y,AieBiX=x. г Менее очевидное обобщение последовательностей Прюфера содержится в работе Кнута [40] и обсуждается также в [47, §2.3].
90 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Невиллом [49] была замечена связь между последовательностями Прюфера и последовательностями степеней в деревьях. На эту связь указывали также Мун [45], [46, с. 72] и Риордан [57], которые заметили, что из нее следует случай к = 1 теоремы 5.3.4. Второе доказательство теоремы 5.3.4 основано на работе Лабеля [42]. Перечисление плоских (или упорядоченных) деревьев при помощи последовательностей степеней (случай к = 1 теоремы 5.3.10) принадлежит Эрдейи и Этерингтону [20]; их основным инструментом, по существу, является формула обращения Лагранжа. (Эрдейи и Этерингтон работают с «неассоциативными комбинациями», а не с деревьями, но в [22] Этерингтон указывает на связь, известную Кэли, между неассоциативными комбинациями и плоскими деревьями.) Первое комбинаторное доказательство теоремы 5.3.10, по существу совпадающее с доказательством, приведенным здесь, принадлежит Рани [54, теорема 2.2]. (Рани работает со «словами» или со «списками слов», а не с деревьями; его слова — по сути, слова Лукашевича из равенства (5.50).) Рани использовал свой результат для того, чтобы дать комбинаторное доказательство формулы обращения Лагранжа; мы обсудим это ниже. Важнейшим комбинаторным результатом, на котором основано доказательство теоремы 5.3.10, является лемма 5.3.7. Эта лемма (включая утверждение, следующее за примером 5.3.8, о том, что если ф(и)) = — /с, то ровно к циклических сдвигов слова w принадлежат В*) является частью целого круга результатов, известных как лемма о циклах. Первый такой результат (который включает случай Л = {:ro,:r-i} леммы 5.3.7) принадлежит Дворецкому и Моцкину [17]. Дальнейшая информация и ссылки содержатся в [18]. Дальнейшую информацию по поводу интенсивно изучаемого перечисления деревьев можно найти, например, в [33], [41, §2.3], [46], [47]. Формула обращения Лагранжа (теорема 5.4.2) принадлежит, что вполне естественно, Лагранжу [43]. Его доказательство совпадает с нашим первым доказательством. Это доказательство повторено Бромвичем [5, гл. VIII, §55.1], который приводит много интересных приложений (см. наши упр. 5.53, 5.54 и 5.57). Первое комбинаторное доказательство принадлежит Рани [54]. Доказательство Рани по существу совпадает с нашим вторым доказательством, хотя, как было замечено ранее, он работает только со словами и лишь неявно с плоскими деревьями и лесами. Улучшенные версии доказательства Рани содержатся в работах Шютценберже [62] и Лотэра [4.21, гл. II]1). Наше третье доказательство теоремы 5.4.2 по существу совпадает с доказательством, приведенным у Лабе- 1)Lothaire М. Combinatorics on Words, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1983. — Прим. перев.
Замечания 91 ля [42]. Некоторые дальнейшие литературные ссылки можно найти в [2.3, с. 148-149] и [28]. Существует много обобщений формулы обращения Лагранжа. Прекрасные обзоры формул обращения Лагранжа для случая многих переменных и их взаимосвязей содержатся в работах Гесселя [30] и Энричи [36]. Гессель дает комбинаторное доказательство, обобщающее наше третье доказательство теоремы 5.4.2. Была также проделана значительная работа по исследованию ^-аналогов формулы обращения Лагранжа. Частные случаи были найдены Джексоном и Карлицом; за ними последовали более общие варианты и/или приложения, принадлежащие Эндрюсу, Циглеру, Гарсиа, Гарсиа и Реммелю, Гесселю, Гесселю и Стэнтону, Хофбауэру, Крат- тенталеру, Пауле и др. Обзор этих результатов дан Стэнтоном [66]. Более поздний единый подход к g-обращению Лагранжа был дан Зингером [63]. Наконец, Гессель [28] приводит обобщение формулы обращения Лагранжа (а также ее g-аналога) на некоммутативные степенные ряды. Экспоненциальные структуры (определение 5.5.1) были созданы Стенли [65]. Они обязаны своим возникновением попытке «объяснить» формулу \хп = (—l)nE2n-i из примера 5.5.7, ранее полученную Сильвестром [68] с помощью рассуждений ad hoc. (Эквивалентный результат, хотя и не сформулированный в терминах ч. у. множеств и функций Мёбиуса, был установлен ранее Розеном [59, лемма 3].) Экспоненциальные структуры тесно связаны с экспоненциальными «сборными домами» Бендера и Голдмана [3.3]; дальнейшую информацию можно найти в [65]. Мы уже встречались с функцией Н(п,г) из следствий 5.5.9 и 5.5.11 в разд. 4.6 (где она обозначалась Нп(г)). В упомянутом разделе нас интересовало поведение функции Н(п,г) при фиксированном тг, тогда как здесь мы рассматриваем случай, когда г фиксировано. Следствие 5.5.11 было впервые доказано Анандом, Думиром и Гуптой [4.1, § 8]1) с помощью другой техники (а именно, вначале они получили рекуррентное соотношение). Подход, представленный в этой книге, впервые появился в [4.36, пример 6.11]. Характеризация эйлеровых орграфов, содержащаяся в теореме 5.6.1, принадлежит Гуду [32], тогда как фундаментальная связь между ориентированными поддеревьями и эйлеровыми циклами в сбалансированном орграфе, используемая в доказательстве теоремы 5.6.2, была установлена ван Арденн-Эренфест и де Брёйном [1, теорема 5а]. Этот результат иногда называют теоремой BEST, по первым буквам фамилий de #ruijn, van Aardenne- 1)Anand H., Dumir V. C, Gupta H. A combinatorial distribution problem, Duke Math. J. 33 (1966), 757-770. — Прим. перев.
92 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Ebrenfest, Smith и Tutte. Однако Смит и Татт не участвовали в исходной работе. (В [64] Смит и Татт дали детерминантную формулу для числа эйлеровых циклов в частном случае сбалансированных орграфов. Ван Арденн-Эренфест и де Брёйн ссылаются на статью Смита и Татта в примечании, добавленном в корректуре.) Формула для определения числа ориентированных поддеревьев в орграфе (теорема 5.6.4) принадлежит Татту [70, теорема 3.6]. Матричная теорема о деревьях (теорема 5.6.8) была впервые доказана Бор- хардтом [4] в 1860 г., хотя аналогичный результат был опубликован Сильвестром [67] еще в 1857 г. На самом деле в 1856 г. Кэли [8, с. 279] ссылался на еще не опубликованную работу Сильвестра. По поводу дальнейшей исторической информации, касающейся матричной теоремы о деревьях, см. [47, с. 42]. Для доказательства этой теоремы обычно используется формула Бине-Коши (формула для определителя произведения т х тг- и п х m-матриц); такое доказательство можно найти в [47, §5.3]. Дополнительная информация по поводу собственных чисел матрицы смежности и матрицы Лапласа графов содержится в [12], [23], [14]. Главное соображение, лежащее в основе простой формулы (5.85), представляющей с(Сп) в виде произведения, состоит в том, что граф Сп имеет высокую степень симметрии, а именно, является графом Кэли абелевой группы Г = (Z/2Z)n. Это эквивалентно утверждению о том, что Г действует регулярно на множестве вершин графа Сп, т. е. Г транзитивна и только ее единичный элемент имеет неподвижную точку. По поводу сложности произвольного графа Кэли конечной абелевой группы см. упр. 5.68. Вообще, из теории представлений групп следует, что группа автоморфизмов графа G «индуцирует» разложение характеристического многочлена матрицы смежности графа G на множители; по этому поводу см., например, [13, гл. 5]. Дальнейшее обсуждение графов Кэли групп (Z/2Z)n можно найти в [15]. Последовательности де Брёйна из примера 5.6.12 названы в честь Николаса Говерта де Брёйна, который опубликовал работу [6] на эту тему в 1946 г. Однако в 1975 г. Стенли обнаружил, что проблема перечисления последовательностей де Брёйна была поставлена де Ривьером [58] и решена Фли Сент-Мари [25] в 1894 г. По поводу признания приоритета этого открытия см. [7]. Последовательности де Брёйна имеют ряд интересных приложений к разработке сетей переключения и к некоторым другим близким задачам. Дальнейшая информация представлена в [31]. Ссылки на дополнительную литературу по последовательностям де Брёйна можно найти в [44, с. 92].
Литература 93 Литература 1. van Aardenne-Ehrenfest Т., de Bruijn N. G. Circuits and trees in oriented linear graphs, Simon Stevin (= Bull. Belgian Math. Soc.) 28 (1951), 203-217. 2. Bergeron F., Labelle G., Leroux P. Combinatorial Species and Tree-like Structures, Cambridge University Press, Cambridge, 1997. 3. Biggs N. Algebraic Graph Theory, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1993. 4. Borchardt C. W. Uber eine der Interpolation entsprechende Darstellung der Eliminations-Resultante, J. Reine Angew. Math. 57 (1860), 111-121. 5. Bromwich T. J. ГА. An Introduction to the Theory of Infinite Series, Macmillan, London, 1931; 2nd ed., 1941. 6. de Bruijn N. G. A combinatorial problem, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 49 (1946), 758-764 (= Indag. Math. 8 (1946), 461-467). 7. de Bruijn N. G. Acknowledgment of priority to C. Flye Sainte-Marie on the counting of circular arrangements of 2n zeros and ones that show each n-letter word exactly once, TH-Report 75-WSK-06, Technological University Eindhoven, June 1975. 8. Cayley A. Note sur une formule pour la reversion des series, J. Reine Angew. Math. (= Crelle's Journal) 52 (1856), 276-284. 9. Cayley A. A theorem on trees, Quart. J. Math. 23 (1889), 376-378; Collected Papers, vol. 13, Cambridge University Press, 1897, pp. 26-28. 10. Chowla S., Herstein I. N., Moore W. K. On recursions connected with symmetric groups, Canadian J. Math. 3 (1951), 328-334. 11. Chowla S., Herstein I. N., Scott W. R. The solutions of xd = 1 in symmetric groups, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 25 (1952), 29-31. 12. Chung F. Spectral Graph Theory, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, No. 92, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. 13. Cvetkovic D. M., Doob M., Sachs H. Spectra of Graphs: Theory and Application, Academic Press, New York, 1980; 3rd ed., Johann Ambrosius Barth, Heidelberg- Leipzig, 1995. [Имеется'перевод: Цветкович Д., Дуб М., Захс X. Спектры графов: теория и применения. — Киев: Наукова думка, 1984.] 14. Cvetkovic D. М., Doob М. Recent results in the theory of graph spectra, Annals of Discrete Math. 36, Elsevier, Amsterdam-New York, 1988. 15. Diaconis P., Graham R. L. The Radon transform on Z£, Pacific J. Math. 118 (1985), 323-345. 16. Dress A. W. M., Miiller T. Decomposable functors and the exponential principle, Advances in Math. 129 (1997), 188-221. 17. Dvoretzky A., Motzkin Th. A problem of arrangements, Duke Math. J. 14 (1947), 305-313. 18. Dershowitz N., Zaks S. The cycle lemma and some applications, Europ. J. Combinatorics 11 (1990), 35-40. 19. Editorial note, Amer. Math. Monthly 59 (1952), 296-297. 20. Erdelyi A., Etherington I. M. H. Some problems of non-associative combinations (2), Edinburgh Math. Notes 32 (1940), 7-12. 21. Erdos P. L., Szekely L. A. Applications of antilexicographic order. I. An enumerative theory of trees, Advances in Appl. Math. 10 (1989), 488-496. 22. Etherington I. M. H. Some problems of non-associative combinations (1), Edinburgh Math. Notes 32 (1940), 1-6.
94 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 23. Faa di Bruno F. Sullo sviluppo delle funzioni, Annali di Scienze Matematiche et Fisiche di Tortoloni 6 (1855), 479-480. 24. Faa di Bruno F. Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel, Quart J. Math. 1 (1857), 359-360. 25. Flye Sainte-Marie C. Solution to question 48, Vlntermediare des Mathematiciens 1 (1894), 107-110. 26. Foata D., Schutzenberger M. P. Theorie Geometrique des Polyndmes Euleriens, Lecture Notes in Math., 138, Springer-Verlag, Berlin, 1970. 27. Frobenius F. G. Uber die Charaktere der symmetrischen Gruppe, Sitzungsber. Kon. Preuss. Akad. Wissen. Berlin (1900), 516-534; Gesammelte Abh. HI (J.-P. Serre, ed.), Springer-Verlag, Berlin, 1968, pp. 148-166. 28. Gessel I. M. A noncommutative generalization and q-analog of the Lagrange inversion formula, Trans. Amer. Math. Soc. 257 (1980), 455-482. 29. Gessel I. M. A ^-analog of the exponential formula, Discrete Math. 40 (1982), 69-80. 30. Gessel I. M. A combinatorial proof of the multivariable Lagrange inversion formula, J. Combinatorial Theory (A) 45 (1987), 178-195. 31. Golomb S. W. Shift Register Sequences (with portions co-authored by L. R. Welch, R. M. Goldstein, and A. W. Hales), Holden-Day, Inc., San Francisco- Cambridge-Amsterdam, 1967. 32. Good I. J. Normally recurring decimals, J. London Math. Soc. 21 (1947), 167- 169. 33. Good I. J. The generalization of Lagrange's expansion and the enumeration of trees, Proc. Camb. Phil. Soc. 61 (1965), 499-517. Corrections, same journal, 64 (1968), 489. 34. Grimson R. C. Some results on the enumeration of symmetric arrays, Duke Math. J. 38 (1971), 711-715. 35. Gupta H. Enumeration of symmetric matrices, Duke Math. J. 35 (1968), 653- 659. 36. Henrici P. Die Lagrange-Btirmannsche Formal bein formalen Potentzreihen, Jahresber. Deutsch. Math. Verein. 86 (1984), 115-134. 37. Hurwitz A. Uber die Anzahl der Riemann'schen Flachen mit gegebenen Verweigungspunkten, Math. Ann. 55 (1902), 53-66. 38. Jacobi K. G. J. Zur combinatorischen Analysis, J. Reine Angew. Math. (=Crelle's Journal) 22 (1841), 372-374. 39. Jacobstahl E. Sur le nombre d'elements de Sn dont l'ordre est un nombre premier, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 21 (1949), 49-51. 40. Knuth D. E. Oriented subtrees of an arc digraph, J. Combinatorial Theory 3 (1967), 309-314. 41. Knuth D. E. The Art of Computer Programming, vol. 1, Fundamental Algorithms, Addison-Wesley, Reading, MA, 1968; 2nd ed., 1973. [Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 1. — М., Мир, 1976.] 42. Labelle G. Une nouvelle demonstration combinatoire des formules d'inversion de Lagrange, Advances in Math. 42 (1981), 217-247. 43. de Lagrange L. Nouvelle methode pour resoudre des equations litterales par le moyen des series, Mem. Acad. Roy. Sci. Belles-Lettres de Berlin 24 (1770).
Литература 95 44. van Lint J. H. Combinatorial Theory Seminar, Eindhoven University of Technology, Lecture Notes in Math., 382, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York, 1974. 45. Moon J. W. The second moment of the complexity of a graph, Mathematika 11 (1964), 95-98. 46. Moon J. W. Various proofs of Cayley's formula for counting trees, In: A Seminar on Graph Theory (F. Harary, ed.), Holt, Rinehart, and Winston, New York, 1967, pp. 70-78. 47. Moon J. W. Counting Labelled Trees, Canadian Math. Monographs, No. 1, Canadian Mathematical Congress, 1970. 48. Metropolis N., Rota G.-C. Witt vectors and the algebra of necklaces, Advances in Math. 50 (1983), 95-125. 49. Neville E. H. The codifying of tree structure, Proc. Camb. Phil. Soc. 49 (1953), 381-385. 50. Polya G. Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen und Chemische Verbindungen, Acta Math. 68 (1937), 145-245; reprinted in Collected Papers, vol. 4, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1984, pp. 308-416. [Имеется перевод: Пойа Г. Комбинаторные вычисления для групп, графов и химических соединений. — В сб.: Перечислительные задачи комбинаторного анализа. — М.: Мир, 1979, с. 36-138.] 51. Polya G. Partitions of a finite set into structured subsets, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 77 (1975), 453-458; reprinted in Collected Papers, vol. 4, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1984, pp. 464-469. 52. Prufer H. Neuer Beweis eines Satzes tiber Permutationen, Arch. Math. Phys. 27 (1918), 142-144. 53. Polya G., Szego G. Problems and Theorems in Analysis I, II, Springer-Verlag. New York-Heidelberg-Berlin, 1972, 1976. [Имеется перевод: Полна Г., Cere Г. Теоремы и задачи из анализа, т. I, П. — М.: Наука, 1978.] 54. Raney G. N. Functional composition patterns and power series reversion, Trans. Amer. Math. Soc. 94 (1960), 441-451. 55. Raney G. N. A formal solution of ]C£i MzBiX = X, Canadian J. Math. 16 (1964), 755-762. 56. Riddell R. J., Uhlenbeck G. E. On the theory of the virial development of the equation of state of monoatomic gases, J. Chemical Physics 21 (1953), 2056- 2064. 57. Riordan J. The enumeration of labelled trees by degrees, Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 110-112. 58. de Riviere A. Question 48, L'lntermediare des Mathematiciens 1 (1894), 19-20. 59. Rosen J. The number of product-weighted lead codes for ballots and its relation to the Ursell functions of the linear Ising model, J. Combinatorial Theory (A) 20 (1976), 377-384. 60. Schroder E. Vier combinatorische Probleme, Z. fur Math. Physik 15 (1870), 361-376. 61. Schur I. Problem, Arch. Math. Phys. Series 3 27 (1918), 162. 62. Schtitzenberger M. P. Le theoreme de Lagrange selon G. N. Raney, Sim. IRIA, Logiques et Automates, 1971, pp. 199-205. 63. Singer D. Q-analogues of Lagrange inversion, Advances in Math. 115 (1995), 99-116.
96 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 64. Smith С. А. В., Tutte W. Т. On unicursal paths in a network of degree 4, Amer. Math. Monthly 48 (1941), 233-237. 65. Stanley R. Exponential structures, Studies in Applied Math. 59 (1978), 73-82. 66. Stanton D. W. Recent results for the g-Lagrange inversion formula, In: Ramanujan Revisited (G. E. Andrews, et al., eds.), Academic Press, San Diego- London, 1988, pp. 525-536. 67. Sylvester J. J. On the change of systems of independent variables, Quart. J. Math. 1 (1857), 42-56. Collected Mathematical Papers, vol. 2, Cambridge, 1908. pp. 65-85. 68. Sylvester G. S. Continuous-Spin Ising Ferromagnets, Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1976. 69. Touchard J. Sur les cycles des substitutions, Acta Math. 70 (1939), 243-297. 70. Tutte W. T. The dissection of equilateral triangles into equilateral triangles, Proc. Camb. Phil. Soc. 44 (1948), 463-482. Упражнения Каждому упражнению следующим образом дается оценка сложности: 1) рутинное, решается непосредственно, 2) имеется некоторая трудность или хитрость, 3) трудное, 4) очень трудное, 5) нерешенная проблема. Дальнейшие градации отмечаются знаками + или —. Таким образом, [1-] обозначает крайне тривиальную задачу, а [5-] — нерешенную проблему, которой уделялось мало внимания и которая, возможно, не очень сложна. Оценка [2+] обозначает практически самую сложную из задач, которые могут быть приемлемы для старшекурсников. Некоторые студенты, вероятно, смогут решить задачу [3-], но почти никто из них не сможет решить [3] за разумный период времени. Конечно, все эти оценки субъективны, и всегда есть вероятность, что осталось незамеченным какое-либо простое доказательство, которое понизило бы оценку сложности. Некоторые задачи, по-видимому, требуют использования результатов из других областей математики, которые обычно не ассоциируются с комбинаторикой. Здесь оценки менее значимы — они основываются на соображениях, насколько легко читатель обнаружит применимость этих внешних по отношению к комбинаторике методов и результатов. 5.1. а. [2-] Пусть каждый из п (различных) телефонных столбов окрашен в один из следующих цветов: красный, белый, синий или желтый, причем число синих столбов нечетно, а число желтых четно. Сколькими способами можно это сделать?
Упражнения 97 b. [2] Предположим, что используются также оранжевый и пурпурный цвета. Число оранжевых плюс число пурпурных столбов четно. Сколько теперь существует способов окрасить столбы? 5.2. а. [3-] Запишем 1 + У2 f^n = exp Y] hn —, где hn принадлежит Q (или любому полю характеристики 0). Покажите, что для фиксированного N G Р следующие четыре условия эквивалентны: (i) /nGZ при всех п e[N]] (ii) /гп € Z и ^2dinhdfi(n/d) = 0 (mod n) при всех n G [N], где ^ обозначает обычную функцию Мёбиуса из теории чисел; (Hi) hn G Z при всех n G [iV], и hn = hn/p (mod pr), если n G [iV] и p — простое число, такое, что pr | n, pr+1 \n, (iv) найдется многочлен P(t) = П1 (^ — a*) ^ Z[t] (где »i G С), такой, что hn = ^2i=x o;n при всех n G [N]. b. [2+] (Здесь требуется знание основ теории конечных полей.) Пусть S — множество алгебраических уравнений с неизвестными x\,...,Xk над полем ¥q. Пусть Nq обозначает число решений (ai,... ,а&) этих уравнений, таких, что каждое щ лежит в ¥qn. Покажите, что производящая функция Ехп Nn — имеет целые коэффициенты. c. [3-] Покажите, что если ai,...,a^ G С и Yli=ia? ^ ^ при всех п G Р, то Y[^=1(t - a») G Z[t]. 5.3. а. [2-] Пусть '/(п) = 1 • 3 • 5 • • • (2п - 1) и д(п) = 2пп\. Покажите, что Ед(х) = Ef(x)2. b. [3-] Дайте комбинаторное доказательство, основываясь на предложении 5.1.1. 5.4. а. [2] Пороговый граф — это простой (т. е. без петель и кратных ребер) граф, который может быть определен рекурсивно следующим образом: (i) пустой граф является пороговым; (ii) если G — пороговый граф, то дизъюнктное объединение графа G и одновершинного графа — тоже пороговый граф;
98 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций (ш) если G — пороговый граф, то (реберное) дополнение к G — также пороговый граф. Пусть t(n) обозначает число пороговых графов с множеством вершин [п] (причем t(0) = 1), и пусть s(n) — число таких графов без изолированных вершин (так что 5(0) = 1, 5(1) =0). Положим х2 Л х3 л„х* Г(*) = ВД = 1 + * + 2—+ 8 —+46 —+ •••, S(x)=Es(x) = 1 + ^+4^ + 23^ + --. Покажите, что Т(х) = exS(x) и Т(х) = 2S(x) + х — 1, и выведите из этого, что Г(х) = ех(1-х)/(2-ех), S(x) = (l-x)/(2-e*). (5"86) b. [2] Пусть с(п) обозначает число упорядоченных разбиений (или размещений с предпочтением) множества [п]; тогда, согласно примеру 3.15.10, Ес(х) = 1/(2 — ех). Из равенства (5.86) следует, что s(n) = с(п) —пс(п— 1). Дайте прямое комбинаторное доказательство. c. [3-] Пусть Тп обозначает множество всех гиперплоскостей Х{ +Xj = 0, 1 ^ г < j ^ п, в Ш.п. Размещение гиперплоскостей Тп называется пороговым размещением. Докажите, что число областей размещения Тп (т.е. число связных компонент пространства Ш71 — U#eT Н) равно t(n). d. [3-] Пусть Ln — ч. у. множество пересечений ^ размещения 7^, определенное в упр. 3.56. Покажите, что характеристический многочлен множества Ln задается формулой Ec-trw..-^-*1-*)^)4"- Этот результат обобщает п. (с), так как, согласно упр. 3.56(a), число областей размещения Тп равно |x(Ln,—1)|. 5.5. [2+] Пусть bk(n) — число двудольных графов (без кратных ребер) с к ребрами на множестве вершин [п]. Например, Ьо(3) = 1, bi(3) = 3, Ь2(3) = 3 и Ьз(3) = 0. Покажите, что ,n-|i/2 п^О х г=0 \ / / 1'Ч.у. множество пересечений Ln есть множество всех различных пересечений конечного числа гиперплоскостей из Тп, упорядоченных по обратному включению. — Прим. перев.
Упражнения 99 5.6. [2] Пусть x(Kmn,q) обозначает хроматический многочлен^ (определенный в упр. 3.44) полного двудольного графа iifmn. Покажите, что £ x(Kmn,q)^ = (e*+ey-l)<. 771,П^О 5.7. В этом упражнении мы излагаем основы теории «комбинаторной тригонометрии». Как в конце разд. 3.16, пусть Еп — число чередующихся перестановок 7г множества [п]. Таким образом, 7г = aitt2 • • • ап, где а\ > a<i < &з > • • • ап. а. [2] Используя формулу Ел хп Еп— = tgx + secx 77 I 7l! (равенство (3.58)), дайте комбинаторное доказательство соотношения 1 + tg2 х = sec2 х. Ь. [2+] Проделайте то же самое для тождества 5.8. а. [2] Центральные факториальные числа Т(п, к) определяются для тг, к G N равенствами2) Г(п>0)=Г(0,Л)=0> Г(1,1) = 1, Г(п, А:) = к2Т(п - 1, А:) + Т(п - 1, к - 1) при(п,А:)еР2-{(1,1)}. Покажите, что3) ^ o*2n/_-j\fc— j T{n,k) = 2Y ,, \.,{ гтт и *) Пусть G — граф. Значение xCG1*™) = Xg{v) определяется как число n-раскрасок графа G, т.е. число таких отображений >с: G —► [п], что x(n) ^ x(v), если {u,v} — ребро графа G. Можно показать, что х действительно является многочленом от п. — Прим. перев. 2) Указанная формула для Т(п,к) неверна при п = 0. Кроме того, имеет смысл положить по определению Т(0,0) = 1. — Прим. автора при переводе. 3) Решение было найдено Кембриджским комбинаторно-кофейным клубом (Cambridge Combinatorics and Coffee Club) в феврале 2000 г. — Прим. автора при переводе.
100 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций b. [2] Покажите, что к gT(n,*)*" = (1_l2x)(1_22x)...(1_fc2x) • c. [2] Покажите, что Т(п, к) равно числу разбиений множества {1,1', 2,2',..., п, п'} на к блоков, таких, что для каждого блока В разбиения справедливо следующее: если г — наименьшее целое число, для которого г Е В или if Е J5, то как г Е J5, так и i' Е В. d. [2+] Числа Дженоччи Gn определяются равенством ZiX 'v "> _^ X XX оХ 17ж8 155ж10 2073ж12 + 8! 10! + 12! Покажите, что G2n+i = 0 ПРИ п ^ 1 и что (~l)nGf2n — нечетное положительное целое число. (Иногда (—l)nG2n называют числом Дженоччи.) Заметим также, что e. [3] Покажите, что г=1 f. [3] Покажите, что (—l)nG2n перечисляет следующие множества: (i) перестановки 7Г Е ©2п-2? такие, что 1 < 7г(2г — 1) ^ 2п - 2г и 2п - 2г ^ тт(2г) ^ 2п - 2; (ii) перестановки 7Г Е &2п-1 со спусками после четных чисел и подъемами после нечетных, например, 2143657 и 3564217 (такие перестановки должны кончаться числом 2п — 1); (iii) пары (ai,a2,... ,an-i) и (61,62, ••• >&n-i), такие, что Gi?&i Е [г] и каждое j Е [п — 1] появляется хотя бы один раз среди чисел а; и 6;; (iv) чередующиеся наоборот перестановки^ ai < аг > аз < «4 > * * * > «2n-i множества [2п — 1], таблица 1) Перестановка 7Г = a\ai • • • ап Е (5П называется чередующейся наоборот, если ai < аг > аз < • • • . Ее таблицей инверсий называется последовательность 1(тг) = (ci,... ,сп), где Ci есть число элементов j перестановки 7г, стоящих слева от г и удовлетворяющих условию j > г. — Прим. перев.
Упражнения 101 инверсий которых (см. разд. 1.3) имеет только четные элементы; например, при п = 3 существует три таких перестановки 45231,34251,24153 с таблицами инверсий 42200,42000,20200. 5.9. Пусть S — «структура», которой можно снабдить конечное множество, выбрав его разбиение S и введя «связную» структуру на каждом блоке так, чтобы экспоненциальная формула (следствие 5.1.6) оказалась применимой. Пусть f(n) — число структур, которыми можно снабдить n-множество, и пусть F(x) = Е/(х) — экспоненциальная производящая функция последовательности /. a. [2-] Пусть д(п) — число структур на n-множестве, все связные компоненты которых содержат четное число элементов. Покажите, что Ед{х) = VF(x)F(-x). b. [2] Пусть е(п) — число структур на n-множестве, у которых число связных компонент четно. Покажите, что 5.10. а. [2-] Пусть к > 2. Используя производящие функции, докажите, что число Д(п) перестановок 7г Е 6П, все длины циклов которых делятся на /с, равно 12-2-3---(/с-1)(/с + 1)2(/с + 2).--(2/с-1)(2/с + 1)2(2А: + 2)---(п-1), если к | п, и 0 в противном случае. b. [2] Дайте комбинаторное доказательство п. (а). c. [2] Пусть к G Р. Используя производящие функции, докажите, что число дк{п) перестановок 7г Е 6П, у которых ни одна из длин циклов не делится на /с, равно 1 • 2 • • • (к - 1)2(к + 1) • • • (2к - 2)(2к - 1)2(2к + 1) • • • (п - 1)п, если к]п, 1 • 2 • • • (к - 1)2(к + 1) • • • (2к - 2)(2к - 1)2(2к + 1) • • • (п - 2)(п - I)2, если к | п. d. [3-] Дайте комбинаторное доказательство п. (с).
102 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.11. а. [2] Пусть а(п) — число перестановок w в бп, имеющих квадратный корень, т.е. таких, что существует перестановка и G 6П, удовлетворяющая условию и2 = w. Покажите, что 1/2 х>>И^) п«>. Ь. [2-] Выведите из п. (а), что а(2п+ 1) = (2п-Ы)а(2п). Существует ли простое комбинаторное доказательство этого равенства? 5.12. [2+] Пусть /(п) — число пар (и, v) перестановок в группе 6П, удовлетворяющих условию и2 = v2. Найдите экспоненциальную производящую функцию F(x) = Х1п>о/(п)д;П/п-- 5.13. а. [2+] Пусть G — конечно порожденная группа, и пусть Hom(G, 6П) обозначает множество гомоморфизмов G —> &п. Пусть jd(G) — число подгрупп индекса d в группе G. Покажите, что X)#Hom(G,6n)^ =exp(^>(G)^N п>0 xd>l Заметим, что равенство (5.31) соответствует случаю G — Z/rZ. [1+] Пусть Fs обозначает свободную группу с s образующими. Выведите из п. (а) соотношение 5>-V = exp (^>(FS)^Y (5-89) [3-] Пусть G имеет указанный выше смысл. Пусть Ud(G) — число классов сопряженности подгрупп индекса d в группе G. В частности, если каждая подгруппа индекса d в G нормальна (например, если G абелева), то Ud(G) = jd(G). Покажите, что J2 #Hom(G х Z, 6„)^ = П (1 - *T"d(G) • (5-90) [1+] Пусть Ст(п) — число коммутирующих наборов (г/1,...,г/т) Е б™, т.е. таких наборов, что щи^ = щщ при всех г и j. Выведите из п. (с), что Е^(»)5 = П(1-^)-л(Г'"1)- п>0 ' d^l
Упражнения 103 е. [3-] Пусть hk{n) — число графов (в которых допускаются кратные ребра) на множестве вершин [п] с ребрами, раскрашенными в цвета 1,2,...,/с — 1, которые удовлетворяют следующим условиям: (i) при любом г ребра цвета г не имеют общих вершин; (ii) для каждого г < к — 1 любая связная компонента (остовного) подграфа, состоящего из ребер цветов г и г +1, является либо одной вершиной, либо простой цепью длины 2, либо 2-циклом (т.е. объединением ребра цвета г и ребра цвета г + 1 с общими вершинами), либо 6-циклом; (iii) для всех г и j, таких, что j — г ^ 2, всякая связная компонента подграфа, состоящего из ребер цветов г и j, является либо одной вершиной, либо одним ребром (цвета i либо j), либо 2-циклом, либо 4-циклом. Покажите, что X>*M^j- = ехр ( $^id(6fc)y ). 5.14. а. [2-] Пусть An(t) обозначает многочлен Эйлера1), определенный в разд. 1.3, и положим у = 5Zn>i ^n(^)^n/n'- Покажите, что у — единственный степенной ряд, для которого существует степенной ряд г, удовлетворяющий соотношениям 1 + у = exp(tx -f z), 1 -f t~xy = ехр(ж -f z). b. [2+] Покажите, что степенной ряд гизп. (а) определяется формулой c. [2+] Положим (1 + y)q = ^2п>0 Bn(q,t)xn/n\. Покажите, что Bn(q,t)= £ qm^h1+d^w\ ween где m(w) обозначает число минимумов в перестановке w при чтении слева направо, a d(w) — число спусков в этой перестановке. l) An(t) = ]Стгеб tl+d(n>, где d(n) — число спусков перестановки 7г, т.е. d(n) = \{г : di > aj+i}| для 7г = a\ai • • • an. — Прим. перев.
104 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций d. [2-] Покажите, что коэффициенты при хп/п\ в (1 + y)q^ являются многочленами от q и t с целыми коэффициентами. 5.15. [2] Пусть для каждой из следующих совокупностей графов /(п) обозначает число таких графов G на множестве вершин [п], что каждая связная компонента графа G изоморфна некоторому графу из этой совокупности. Для каждой такой совокупности найдите Е/(х) = 53п>о/(п)жП/п-- (Положим /(o) = i.) a. Простые циклы d длины г ^ к (при некотором фиксированном к ^ 3). b. Звезды Кц,г ^ 1 (где Krs обозначает полный двудольный граф). c. Колеса W{ с г ^ 4 вершинами (Wi получается из С{-\ добавлением новой вершины, соединенной со всеми вершинами цикла Ci-i). d. Простые цепи Pi с г ^ 1 вершинами (так что Pi — одна вершина, a P<i — одно ребро). 5.16. Пусть G — простой граф (т.е. граф без петель и кратных ребер) на множестве вершин [п]. (Упорядоченная) последовательность степеней графа G определяется как d(G) = (di,..., dn), где di — степень (число инцидентных ребер) вершины г. Пусть /(п) — число различных степенных последовательностей простых графов на множестве вершин [п]. Например, все восемь графов на множестве [3] имеют разные степенные последовательности, так что /(3) = 8. С другой стороны, существует три графа на множестве [4] со степенной последовательностью (1,1,1,1), так что /(4) < 2^ = 64. (На самом деле /(4) =54.) а. [3+] Покажите, что /(n) = ^max{l,2cW-1}) (5.91) X где X пробегает все такие графы на множестве [п], что всякая их связная компонента — либо дерево, либо имеет единственный цикл и все циклы из X имеют нечетную длину; с(Х) здесь обозначает число (нечетных) циклов изХ. Ь. + 6944^- + . 6! [3-] Пусть Л х2 „х3 х4 хъ + 54¥ + 533-
Упражнения 105 Предполагая, что п. (а) доказан, покажите, что Fix) = \ ИЕ-^гП'-Ес-ч-^И х е ^П^ПП-2ХП/П\ где во второй сумме справа в слагаемом с п = 1 мы считаем 0° = 1. 5.17. а. [2] Фиксируем к, п Е Р. Сколькими способами п человек могут образовать в точности к рядов? (Другими словами, сколькими способами можно разбить множество [п] на к блоков, а затем линейно упорядочить каждый блок?) Дайте простое комбинаторное доказательство. b. [2-] Покажите, что v^ v^ ti\ (п — 1\ и ип хи i + EEwU-ir ^!=ехрт^- c. [2+] Пусть a Е Р. Обобщив доказательство п. (а), покажите, что " п! /п + (д _ i)k - 1\ ц" _ та 1 + Z^Z^il n_fc У п! ~ Р(1-и)а n>lfe=l ч ' ч у (5.92) И Замечание. Так как эти тождества выполняются при всех a Е Р, они также выполняются, если а — переменная. d. [2] Фиксируем /c,n, a Е N. Пусть А — множество из а элементов, не пересекающееся с множеством [п]. Сколькими способами можно выбрать подмножество S множества [п], потом выбрать разбиение 7Г множества S на ровно к блоков, а затем линейно упорядочить каждыйблок и, наконец, выбрать инъекцию /: S —> S U А, где S = [п] — S? Дайте простое комбинаторное доказательство. e. [2-] Покажите, что 1 + ЕЕ п>0к r(2)(« + »)«-tx^.(l-„)--exPl=-. =0 х 7 (Заметим, что п. (Ь) получается отсюда подстановкой а = -1.)
106 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.18. [2] Две перестановки я*, a Е &п называются эквивалентными, если каждый цикл С перестановки 7Г является степенью Di (где j зависит от С) некоторого цикла D перестановки а. Ясно, что это отношение эквивалентности; пусть е(п) — число соответствующих классов эквивалентности (причем е(0) = 1). Покажите, что v ' п\ ^ пф(п) где ф есть «^-функция Эйлера. 5.19. [3-] Определим многочлены Кп(а) равенством Y2Kn(a)— = exp(au+yj. Таким образом, из примера 5.2.10 следует, что ДГ„(а) = 5>С1« (5.94) 7Г где 7Г пробегает все инволюции (т.е. 7Г2 = 1) в группе ©п, а с\{п) — число 1-циклов (неподвижных точек) перестановки 7Г. Используя формулу (5.94), дайте комбинаторное доказательство тождества J]Kn(a)Kn(b)^ = (1 - *2)-1/2<*Р ^—' 77.! п>0 abx+ \(а2 + Ъ2)х2 (5.95) 5.20. а. [2+] Блоком называется конечный связный граф В (в котором допускаются кратные ребра, но не петли), у которого имеются по крайней мере две вершины, такой, что, удаляя любую вершину v со всеми инцидентными ей ребрами, мы получаем связный граф. Пусть В — набор неизоморфных блоков. Пусть Ь(п) — число блоков на множестве вершин [п], которые изоморфны некоторому блоку из В. Другими словами, если Aut В обозначает группу автоморфизмов блока В, то п! *<П> = ?#(ЙЩ где суммирование проводится по всем n-вершинным блокам В из В. Граф G называется В-графом, если он связен
Упражнения 107 и все его максимальные блоки (т.е. максимальные индуцированные подграфы, являющиеся блоками) изоморфны блокам из В. При п ^ 2 пусть /(п) — число корневых В-графов на n-элементном множестве вершин V (т. е. В-графов, одна из вершин которых выбрана в качестве корня). Положим /(0) = 0и/(1) = 1,и пусть В(х) = Eb(x) = £ Ъ(п)£ F(x) = Ef(x) = £ f(n)^ Покажите, что ты п>2 п>1 F{x) = xeB'Wx» (5.96) и, следовательно, i>+i>S=hG*%))' (5-97) Например, если В содержит только один блок, состоящий из одного ребра, то В-граф является (свободным) деревом. Следовательно, /(п) — число корневых деревьев на п вершинах, В(х) = х2/2\ и F(x) = xeF^ (что согласуется с предложением 5.3.1). Ь. [2] Пусть д(п) — полное число блоков без кратных ребер на п-элементном множестве вершин. Покажите, что где , . 2^1 ZV У(п-1)! 5.21. [3-] Найдите комбинаторное доказательство равенства (4.39) гК Более конкретно,' в обозначениях разд. 4.7 пусть задана пара (7Г,и), где я* G ©п и и G В*. Постройте взаимно однозначное отображение, сопоставляющее такой паре перестановку a G ©п, каждому /с-циклу С которой приписан циклический сдвиг vc некоторого элемента из В£. х) Пусть В* — очень чистый моноид (см. примечание переводчика к лемме 5.3.6) и w: Л —*■ R — весовая функция (R — некоторое коммутативное кольцо). Рассмотрим производящую функцию В*(Х) = Y1U£B* w(u)A*(u), где 1(и) — длина слова и. Пусть д(п) = Yl w(u), где сумма берется по всем различным словам и, Л*-сопряженным с некоторым словом из В* длины п (см. определение в лемме 5.3.6). Тогда В*(Х) = ехр]Г]п>1 ^Jj—. — Прим. перев.
108 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Мультимножество букв в слове и должно совпадать с мультимножеством букв во всех словах vc, так что эта биекция сохраняет вес. 5.22. [2] Пусть L(n) — функция из примера 5.2.9; следовательно, в частности, L{n) — число графов на множестве вершин [п], у которых всякая компонента является циклом (и может содержать петли и двойные ребра). Дайте прямое комбинаторное доказательство следующей формулы: L(n + 1) = (п + l)L(n) - (П J L(n - 2), п ^ 2. 5.23. [2] Пусть А — множество {5i,...,5n}, состоящее из п прямых на плоскости в общем положении (т.е. никакие две прямые не являются параллельными и никакие три прямые не проходят через одну точку). Пусть Р — множество точек пересечения Si П Sj этих прямых, так что #Р = Q). Облаком называется n-подмножество множества Р, не содержащее трех точек, лежащих на одной прямой. Укажите биекцию между облаками и регулярными графами на множестве [п] (без петель и кратных ребер) степени 2. Отсюда следует, согласно равенству (5.29), что если с(п) — число облаков при #А = п, то £<(< = (*-*r1/2-p(-f-f 5.24. а. [2+] Пусть £п — выпуклый многогранник всех симметричных бистохастических п х n-матриц. Покажите, что крайние точки (вершины) многогранника Еп состоят из всех матриц ^(Р-{-Рь), где Р — перестановочная матрица, соответствующая перестановке без циклов четной длины b. [2+] Пусть М(п) — число вершин многогранника Еп. Покажите, что ix-'fH^r^tM)' (5-98) c. [2+] Найдите такие многочлены ро(п),... ,Рз(^)? что М(п + 1) =po(n)M(n)+pi(n)M(n- 1) + р2(п)М(п - 2) + р3(п)М(п - 3) при всех п ^ 3.
Упражнения 109 d. [5-] Существует ли непосредственное комбинаторное доказательство п. (с), аналогичное упр. 5.22?^ 5.25. а. [2+] Пусть Е* — выпуклый многогранник всех симметричных субстохастических п х n-матриц (т.е. все элементы этих матриц больше или равны 0 и все суммы в строках не превосходят 1). Покажите, что вершины многогранника Е* получаются из вершин многогранника Еп (определенного в предыдущем примере) заменой некоторых единиц на главной диагонали нулями. b. [2] Пусть М*(п) — число вершин в Е*. Покажите, что E^wS = eXE^)f. где М(п) определено в упр. 5.24. c. [2] Найдите такие многочлены Ро(п),... ,Рз(п)? что М*{п+ 1) =р*0(п)М*(п) +pl(n)M*(n - 1) + р*2(п)М*{п - 2) +р*3{п)М*{п - 3). 5.26. [2+] Пусть /(п) — число таких множеств S непустых подмножеств из [п] (включая 5 = 0), что любые два элемента из 5 либо не пересекаются, либо сравнимы (по включению). Пусть д(п) — число таких множеств 5, содержащих [п], причем д(0) = 0. Положим F(x) = Ef{x) = l + 2x + 8^ + 64^ + 832^- + 15104 ^ + • • • , G(x) = Bp(x)=x + 4^ + 32^+416^ + 7552^ + --.. Покажите, что F(x) = 1 + 2G(x) и F(x) = ex+G(x\ Отсюда следует [почему?], что G{x) = (1п(1 + 2х) - х)<_1), (5.99) F{x) - 1 = (1п(1 + х) - х/2)<-^. 5.27. [2] Найдите число е(п) деревьев с п + 1 непомеченными вершинами и п помеченными ребрами. Дайте простое комбинаторное доказательство. 5.28. [2+] Пусть k Е Р. к-реберно раскрашенное дерево — это дерево, ребра которого раскрашены в к цветов таким образом, что любые два ребра с общей вершиной оказываются разных *' Решение было найдено Кембриджским комбинаторно-кофейным клубом в феврале 2000 г. — Прим. автора при переводе.
110 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций цветов. Покажите, что число Ть(п) /с-реберно раскрашенных деревьев на множестве вершин [п] равно Тк(п) = к(пк-п)(пк-п-1) • • • (пк-2п+3) = к(п-2)\ 5.29. а. [2] Пусть Рп — множество всех корневых лесов на [п]. Пусть uv — такое ребро леса F G Рп, что вершина и ближе к корню своей компоненты, чем вершина v. Скажем, что F покрывает корневой лес F', если Ff получается из F удалением ребра uv и выбором v в качестве корня нового дерева, содержащего v. Это отношение покрытия определяет отношение частичного порядка на Рп. Относительно этого частичного порядка Рп является градуированным множеством ранга п — 1. Ранг леса F в Рп равен числу его ребер. Покажите, что элемент F множества Рп ранга г покрывает г элементов и сам покрывается (п — г — 1)п элементами. b. [2] Вычисляя двумя способами число максимальных цепей в Рп, проверьте, что число г(п) корневых деревьев на множестве [п] равно nn_1. c. [2-f ] Пусть Рп — ч. у. множество Рп с добавленным элементом 1. Покажите, что /х(6Д) = (-1)>-1Г-\ где /х обозначает функцию Мёбиуса множества Рп. 5.30. [2+] Пусть R = {1,2,..., г} и S = {1',2',... ,s'} - непересекающиеся множества из г и s элементов соответственно. Свободное двудольное дерево с разбиением вершин (Д, S) — это такое свободное дерево Т на множестве вершин RUS, что всякое его ребро соединяет вершину из R и вершину из S. Модифицируя оба доказательства теоремы 5.3.4, приведите два комбинаторных доказательства того, что е(п*Н(п^') Т Xi€R ' Xj'€S ' = (xi • • • xr)(y1 • • • ys)(x1 + • • • + xr)s~1{yi + • • • + 2/s)r_1, (5.100) где суммирование производится по всем двудольным деревьям Т с разбиением вершин (Я, S). В частности, полное число таких деревьев (т. е. сложность c(Krs) полного двудольного графа Krs) равно rs-1sr-1, что согласуется с вычислением в конце решения упр. 2.11(b). (пк — п\ п-2 У
Упражнения 111 5.31. а. [1+] Пусть S и Т — конечные множества, и для каждого t Е Т пусть xt — переменная. Покажите, что ( \*S Y. HxHs) = (J2x4 ' f-.s^Tses ^ter / где первая сумма берется по всем функциям /: S —> Т. b. [3-] Рассматривая случай S = [п] и Т = [п+2], покажите, что (Хг + • • • + Хп+2)П = ^ Ж"+1 ( Хп+1 + ^2 Xi ) АС[п] х i£A / \п-#Л X ( Жп+2 + ^ хЛ где А' = [п] — А. Заметим, что при А = 0 #Л-1 = 1. с. [2-] Выведите из п. (Ь), что Xn+l[xn+l + У^^г ) (х + у)п = J2 (£)Ф - kz)k~\y + kz)n~k, где х, у, z — переменные. Заметим, что в случае z = О получается бином Ньютона. d. [2-] Выведите из п. (с) тождество В»+ч-£-(5>-£)(5>+ч--5> где мы полагаем 0° = 1. 5.32. а. [2+] Пусть /: [п] —> [п], и пусть Df обозначает орграф функции /, т. е. ориентированный граф на множестве вершин [п] с ребром из вершины г в вершину j при /(г) = j. Таким образом, каждая связная компонента орграфа Df содержит единственный цикл и каждая вершина г этого цикла является корнем корневого дерева (возможно, состоящего из единственной вершины г), ориентированного по направлению к г. Пусть w/(i) = tjk (переменная), если вершина г находится на расстоянии к от j-цикла орграфа D/. Пусть п t=i
112 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций <—4 Рис. 5.18. Орграф Df функции /: [10] -► [10]. Например, если орграф Df такой, как на рис. 5.18, то wf(l) = «зъ w/(2) = *зо, tw/(3) = «зо, ^/(4) = tn, wf($) = *зь tu/(6) = tio, wf(7) = «32, гу/(8) = «и, tu/(9) = «32, ги/(Ю) = «30, так что w(f) = *30*31*32*Ю*11- (Дополненный) цикловый индекс, или цикловый индикатор Zn(tjk), симметрической полугруппы Ап = [п]'п1 всех функций /: [п] —> [п] — это многочлен, определяемый соотношением Zn(tjk) = J2 *>(/)• /€ЛП Например, ^2 = «ю + ^20 + 2«ю«ц. Заметим, что Zn{tjk)\tjk =0 при к > 0 = Z(&n, «ю, «20, ^30? • • • )? где Z(6n) определен в примере 5.2.10. Покажите, что ^^n(tjk)^r=esxp^21 п>0 j>l tjoxe 1пхеЬ*хе' (5.101) b. [1+] Положим каждое tjk равным 1. Выведите (считая, что 0° = 1), что V^ пх п>0 хе хе хе = и п>1 '
Упражнения 113 с. [2] Фиксируем а, Ь Е Р. Пусть д(п) обозначает число функций /: [п] —> [п], удовлетворяющих условию /а = /а+6 (степени понимаются в смысле композиции функций). Покажите, что п^О Л* .ж .хе хе а вхождений е В частности, если а = 1, то (5.102) (5.103) п>0 Л* d. [2] Выведите из п. (а) или (с), что число h(n) функций /: [п] —> [п], удовлетворяющих условию / = /1+6 при некотором Ь G Р, равно h(n) = J2bn-k(n)k, (5.104) k=i тогда как число д(п) идемпотентных функций /: [п] —► [п] (т.е. таких, что /2 = /) равно s(n) = X>"-*Q. (5.105) e. [2-] Сколько функций /: [п] —> [п] удовлетворяют условию /а = /а+1 при некотором а е Р? f. [1+] Сколько функций /: [п] —> [п] не имеют неподвижных точек? 5.33. [2] Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Пусть с(п) — полное число цепей 0 = хо < х\ < • • • < Xk = 1 в Пп. Таким образом, согласно разд. 3.6, с(п) = (2-СГ1(бД), где С — дзета-функция решетки Пп. Так как (2-С)(*,у) = х = i/, то ^ -1, х<у, Я2_с(*) = *-£^ = 1 + 2*-е*. п>2
114 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Таким образом, по теореме 5.1.11 производящая функция п! у:=Ес(х) = J2c(n) удовлетворяет соотношению ! п>1 1 + 2у - еу = ж, или, что то же самое, у = (1 + 2х-ех){~1\ что совпадает с (5.27). 5.34. а. [2] Фиксируем к е Р и при п е N определим Фп как ч.у. подмножество решетки Щп+ъ состоящее из всех разбиений, размеры блоков которых сравнимы с 1 по модулю к. Таким образом, Фп — градуированное подмножество ранга п с ранговой функцией, определяемой равенством />(7г) =п—^(|7г| — 1). Заметим, что если к = 1, то Фп = Пп_|_1. Легко видеть, что если а ^ 7Г в Фп, то [<т, тг] ^ Ф^0 х Ф?1 х • • • х Ф£» для чисел а;, удовлетворяющих соотношениям ^гаг = р(а,7г) (=длина интервала [а,7г]) и Ylai = \п\- Как и в разд. 5.1, мы можем определить мультипликативную функцию /: Р —> if на Ф = (Фо,Фъ...) и произведение (свертку) /д двух мультипликативных функций. Лемма 5.1.10 остается справедливой; поэтому мультипликативные функции /: Р —> К на Ф образуют моноид М(Ф) = М(Ф,#). Как в теореме 5.1.11, определим отображение </?: М(Ф) —► #/£*[[#]] равенством n>0 V ' Покажите, что ф — антиизоморфизм моноидов, так что <£(/<?) = ^(^)(^(/)) (композиция степенных рядов). Ь. [1+] Пусть qn = #ФП и /хп = /хфп(0, 1). Покажите, что ^^ xkn+l ^_^ жы+1 £9"0bTi)! = efe(efc(a;))' E^(^Ti)! = efc" (х)) п>0 v ' п>0 где е^(ж) = J2n>0 xkn+1/(kn+l)\. В частности, если к = 2, то е^(ж) = shx.
Упражнения 115 с. [2] Пусть Xn(t) — характеристический многочлен множества Фп (см. определение в разд. 3.10). Покажите, что Проверьте, что при к = 2 Xn(t) = (t - l2)(t - З2) • • • (t - (2n - l)2). (5.107) В частности, /xn = (-l)n(l • 3 • 5 • • • (2n - l))2. 5.35. В этом упражнении излагается непересекающийся аналог экспоненциальной формулы (следствие 5.1.6) и ее интерпретации в терминах алгебры инцидентности (теорема 5.1.11). a. [2+] Покажите, что число непересекающихся разбиений ^ множества [п] (определенных в упр. 3.68) типа si,..., sn (т.е. с Si блоками размера г) равно (n)k-i/si\ • • -sn!, где & = Х>г. b. [2+] Пусть NCn обозначает ч. у. множество (на самом деле решетку) непересекающихся разбиений множества [п], определенную в упр. 3.68 (где было использовано обозначение Pi,n? а не NCn). Пусть К — поле. Пусть задана функция /: Р —> К; определим новую функцию h: Р —> К равенством Нп)= Y, /(#Bi)/(#B2) •••/(#£*). 7r={Bb...,Bfc}eNCn Пусть F(x) = 1 + En>i /(»)*" и Я(*) = 1 + En>i Кп)хп. Покажите, что (-1) хН{х)=ш) • (5Л08) [3-] Пусть NC = (NC2,NC3,...)- Дл* каждого п ^ 2 пусть /п принадлежит 7(NCn,iiT), алгебре инцидентности ч.у. множества NCn. Легко видеть, что каждый интервал [а,7г] ч.у. множества NCn допускает каноническое разложение [<т, тг] 2 NC£2 х NC£3 х ••• х NC*", (5.109) где | о" | — |7г| = ^2 (г — 1)а,{. Предположим, что последовательность / = (/2, /з, • • •) удовлетворяет следующему условию: найдется функция (обозначаемая также через /) 1^См. определение в упр. 6.19(рр). — Прим. перев.
116 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций /: Р —► if, такая, что если а ^ 7Г в NCn и [а, 7г] удовлетворяет соотношению (5.109), то /п(<7,7г)=/(2Г/(3)аз---/(п)а". Тогда / называется мультипликативной функцией на NC. (Это определение является точным аналогом определения мультипликативной функции на П, приведенного после следствия 5.1.9.) Пусть M(NC) обозначает множество всех мультипликативных функций на NC. Определим свертку fg функций /, # G M(NC) формулой, аналогичной формуле (5.12). Нетрудно видеть, что fg Е M(NC). Пусть задана функция / G M(NC); положим /(1) = 1, и пусть 1 / \<_1) Покажите, что Tfg = Т/Т9 при всех /,# G M(NC). (В частности, M(NC) — коммутативный моноид. Это следует также из рассуждений, аналогичных проведенным в упр. 3.65, и того факта, что всякий интервал в NCn является самодвойственным.) 5.36. а. [2+] Найдите коэффициенты степенного ряда у = (|(1 + 2х - ex))(~V - (1П(1 + 2х) - х)(-гК b. [1+] Пусть t(n) — число полных разбиений числа п (определение см. в примере 5.2.5). Пусть д(п) означает то же, что и в упр. 5.26. Выведите из п. (а), что д(п) = 2nt(ri) при п ^ 1. c. [2+] Приведите простое комбинаторное доказательство п. (Ъ). 5.37. а. [2+] Пусть 1 = po{x),pi(x),... — последовательность многочленов (с коэффициентами в некотором поле К характеристики 0), причем degpn = п при всех п Е N. Покажите, что следующие четыре условия эквивалентны: (i) Рп(х + у) = Efc^o iDPki^Pn-kiy) при всех п е N; (ii) существует степенной ряд f(u) = а\и -f a2U2 -f • • • G if [[г/]], такой, что Eun Pn(x)—r = expxf(u). (5.110) n\ Замечание. Из предположения, что degpn = п, следует, что а\ Ф 0.
Упражнения 117 (iii) 5>n(*)^-= E^W^T n>0 ' Ln^0 (iv) Найдется линейный оператор Q на векторном пространстве К[х] всех многочленов от х со следующими свойствами: • Qx — ненулевая константа; • Q — оператор, инвариантный относительно сдвига, т. е. при всех a G К оператор Q перестановочен с оператором сдвига Еа, определяемым соотношением Еар(х) = р(х + а); • имеет место равенство Qpn(x) = nVn-i(x) при всех п G Р. (5.111) Замечание. Говорят, что последовательность многочленов ро?Ръ • • • ? удовлетворяющая приведенным выше условиям, — это последовательность биномиального типа. Оператор Q называется дельта-оператором, и (единственная) последовательность 1 = ро{х), Pi(x),..., удовлетворяющая соотношению (5.111), называется основной последовательностью для оператора Q. b. [3-] Покажите, что следующие последовательности являются последовательностями биномиального типа (где Ро(х) = 1 и п ^ 1): рп(х) = хп, рп(х) = (х)п = х(х - 1) • • • (х - п + 1), рп(х) = ж(п) = х(х + 1) • • • (х + п - 1), рп(ж) = х(х — an)71-1 при фиксированном а е К (многочлены Абеля), рп(х) = 2^S(n,k)xk (экспоненциальные многочлены), k=i Vn аеК (многочлены Лагерра в точке —х при а = 1), Рп ( \ \-^п\ fn-{-(a-l)k-l\ k Оп(х) = У 77 , )х при фиксированном ^—' /с! V п — к ) «=1 х ' Оп(х) = ±(^к^ХК В каждом случае найдите степенной ряд f(u) из п. (a)(ii). Что такое оператор Q из п. (a)(iv)?
118 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций c. [2-f ] Пусть Т — оператор, инвариантный относительно сдвига, и пусть Q — дельта-оператор с основной последовательностью рп(х)- Покажите, что т ^„ Qn где ап = [Трп(х)]х=0. d. [2+] Пусть Q — дельта-оператор с основными многочленами рп(х). Покажите, что существует единственный степенной ряд q(u) = Ъ\и + • • • (Ъ\ ф 0), удовлетворяющий условию q(D) = Q, где D — оператор ^, инвариантный относительно сдвига. Покажите также, что степенной ряд f(u) из формулы (5.110) задается формулой /(«)=в<-1>(«). e. [2+] Предположим, что 1 = ро?Ръ--- — последовательность многочленов биномиального типа. Пусть qn(x) = —■ pn(x + an), n ^ 0, х + an где a — параметр. Покажите, что последовательность Яо, Я.1-) Ч2-> • • • также является последовательностью многочленов биномиального типа. 5.38. а. [2-] Пусть Р — биномиальное ч. у. множество с фактори- альной функцией В(п), и пусть Zn(x) — дзета-многочлен некоторого n-интервала множества Р. (См. определения в разд. 3.11 и 3.15.) Покажите, что n\Zn(x)/B(ri), п ^ 0, —последовательность многочленов биномиального типа, определенная в предыдущем примере. Ь. [2-] Пусть Q = (Qi, Q2,...) есть экспоненциальная структура и (М(1), М(2),...) — ее последовательность знаменателей, и пусть Pn(r,t) — многочлен (от t) из равенства (5.74). Положим М(0) = 1. Покажите, что при фиксированном г G Z (или даже если г — переменная) последовательность многочленов Pn(r,x)/M(n), п ^ 0, — это последовательность многочленов биномиального типа. Отметим частные случаи г = 1 (равенство (5.72)) и г = 0 (равенство (5.75)). 5.39. [2-Ь] Пусть /(п) — число частичных упорядочений множества [п], изоморфных ч. у. множествам Р, которые можно получить из одноэлементного ч. у. множества последовательным применением операций + (дизъюнктное объединение) и 0 (порядковая сумма). Такие ч. у. множества называются
Упражнения 119 последовательно-параллельными. Например, все 19 частичных упорядочений множества [3] обладают этим свойством, так что /(3) = 19. Пусть вд = Е/(»>5 = х + 3— + 19—- + 195— + 2791 — + 51303 — + 2! 3! Покажите, что 1 + F(x) = ехр Отсюда F{x) = (ln(l + x) 4! х + 5! 6! F(x) 2 1 1+Х 1 + F(x)\ <-i> (5.112) ■(- Зо 4о 5 4 бс (-1) 5.40. а. [2+] Предположим, что в предыдущем упражнении мы считаем ч.у. множества Pi0^2 и Р2ФР1 эквивалентными. Это индуцирует отношение эквивалентности на множестве последовательно-параллельных ч. у. множеств на [п]. Классы эквивалентности соответствуют так называемым последовательно-параллельным сетям. (Элементы ч.у. множества Р соответствуют ребрам последовательно- параллельных сетей.) На рис 5.19 изображено восемь не- 12 3 13 1 2 1 1 1 2 Рис. 5.19. Восемь неэквивалентных последовательно-параллельных ч.у. множеств на [3]. эквивалентных последовательно-параллельных ч.у. множеств на [3]. Пусть s(n) — число классов эквивалентности последовательно-параллельных ч. у. множеств на [п] (или число последовательно-параллельных сетей на п помеченных ребрах), и положим
120 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций S(*) = 5>(»)£ = ^ + 2|l+8|!+524!+4725!+5504|!+-- Покажите, что 1 + S(x) = expfyx + S(x))\ (5.113) Следовательно, 5(х) = (21п(1 + х)-х)(-1} b. [3-] Говорят, что два графа Gi и G2 (без петель и кратных ребер) на множестве вершин [п] переключательно- эквивалентны, если граф G2 можно получить из графа Gi, выбрав подмножество X множества [п], заменив смежность между вершинами из X и его дополнения [п] — X на несмежность и наоборот, но оставив все ребра внутри или вне множества X без изменения. Пусть t(n) — число классов Е переключательной эквивалентности графов на множестве [п], таких, что никакой граф из Е не содержит индуцированного пятиугольника (5-цикла). Покажите, что t(n) = s(n — 1). c. [3-] (Вещественная) векторная решетка — это вещественное векторное пространство V с дополнительной структурой решетки, такой, что х ^ у => х + z ^ у + z для всех x,y,z Е V, х ^ 0 => ах ^ 0 для всех х G V, a Е М+. Имеется очевидное понятие изоморфизма векторных решеток. Покажите, что число неизоморфных п-мерных векторных решеток равно числу неизоморфных непомеченных классов эквивалентности (определенных в п. (а)) n-элементных последовательно-параллельных ч. у. множеств. 5.41. а. [2+] Дерево на линейно упорядоченном множестве вершин называется чередующимся (или нетранзитивным), если для всякой вершины г смежные с ней вершины либо все меньше, чем г, либо все больше, чем г. Пусть f(ri)
Упражнения 121 обозначает число чередующихся деревьев на множестве {0,1,..., п}, и положим + 2104^-+21652^- + ... . 6! 7! Покажите, что F(x) удовлетворяет функциональному уравнению F(z)=exp(|(F(*) + l)). (Ср. с похожим, но, по-видимому, никак с ним не связанным соотношением (5.113).) Ь. [2] Докажите, что /M^gO + D n-l с. [2] Пусть fk (п) обозначает число чередующихся деревьев на множестве {0,1,...,п}, у которых вершина 0 имеет степень к. Положим Pn(q)=J2fk(n)qk. к=1 Например, Р0(<7) = 1, Pi(q)=q, P2(q)=q4q, P3(q) = q3+3q2+Sq. Покажите, что £P„(«)£=F(s)«. d. [2+] Покажите, что '■<«>-^ЁО+ч"-'- e. [3] Покажите, что если z — комплексное число, удовлетворяющее условию Pn{z) = О, то либо z = 0, либо Rez = — п/2, где Re означает вещественную часть. f. [2] Выведите из п. (е), что если Qn(q) = Pn{q)/q, то Qn(q) = (-l)n-1Qn(-q-n).
122 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций g. [3-] Дерево локального двоичного поиска — это двоичное дерево, например, на множестве вершин [п], такое, что всякий левый сын любой вершины меньше своего отца, а всякий правый — больше. Пример такого дерева изображен на рис. 5.20. Покажите, что f(n) равно числу деревьев локального двоичного поиска на множестве вершин [п]. Рис. 5.20. Дерево локального двоичного поиска. h. [3] Пусть Сп обозначает множество всех гиперплоскостей Xi — Xj = 1, 1 ^ i < j ^ п, в Rn. Покажите, что число областей размещения Сп (т.е. число связных компонент пространства Rn — U#e£ Н) равно /(п). i. [3] Пусть Ln — ч. у. множество пересечений множества Сп (см. упр. 3.56) *). Покажите, что характеристический многочлен множества Ln задается формулой X(Ln,q) = (-l)nPn(-q). Этот результат обобщает п. (h), так как, согласно упр. 3.56(a), число областей размещения Сп равно |х(^п? ~~1)|- j. [3-] Чередующийся граф на [п] — это такой граф (без петель и кратных ребер) на множестве вершин [п], что каждая его вершина либо больше всех своих соседей, либо меньше всех своих соседей. Пусть <7&(п) обозначает число чередующихся графов на [п] с к ребрами. Покажите, что EE»(-^-«-S(tC) )£■ п^Ок^О П' п>0 4=0 V*/ 9+1/ П' где (£) , обозначает д-биномиальный коэффициент (£), в котором переменная q заменена на q + 1. к. [2+] Под чередующимся деревом с помеченными ребрами понимается дерево, скажем, сп + 1 вершинами, ребра которого помечены числами 1,2,..., п таким образом, что 1^См. примечание переводчика к упр. 5.4(d). — Прим. перев.
Упражнения 123 не существует простой цепи, содержащей три последовательных ребра с увеличивающимися метками. Сколько существует чередующихся деревьев с помеченными ребрами, имеющих п + 1 вершин? 5.42. а. [2] Пусть y = R(x) = J2n«-^. Выведите из у = хеу, что Ь. [2+] Дайте комбинаторное доказательство, основанное на том, что пп-1 — число корневых деревьев и пп — число двукорневых деревьев на [п]. 5.43. [2] Обобщите биекцию из примера 5.2.6 для того, чтобы доказать следующее утверждение. Фиксируем последовательность (г1,Г2,...), где Гг G N и J2^ri — п < °°. Пусть к = п + 1 — ^2и. Тогда число (неупорядоченных) корневых деревьев сп + 1 вершинами и к листьями (концевыми вершинами), помеченными целыми числами 1,..., /с, и с и неконцевыми вершинами степени (степень равна числу сыновей) г равно числу разбиений множества [п] на п + 1 — к блоков, содержащих Г{ блоков по г элементов. 5.44. [3-] Пусть ai,...,afc — положительные целые числа, сумма которых равна п. Пусть /(ai,... ,а&) — число таких перестановок w\ • • • wn мультимножества {lai,..., как}, что если встречается подпоследовательность вида хуух, то между двумя элементами у должен быть х. Более точно, ес- ли г < s < t < и, wr = wu и ws = wt ф гуг, то найдется v, s < v < £, такое, что wr — wv. Покажите, что /(аь ..., ак) = п\/(п - к + 1)!. 5.45. [2+] Рекурсивно помеченное дерево — это дерево на множестве вершин [п], рассматриваемое как ч. у. множество с корнем 1, такое, что вершины каждого главного порядкового идеала состоят из последовательных целых чисел. См. пример на рис. 5.21. Аналогично определим рекурсивно помеченный лес. Пусть tn (соответственно /п) обозначает число рекурсивно помеченных деревьев (соответственно лесов) на множестве вершин [п]. Покажите, что _ 1/Зп-2\ 1 (Зп\ tn~ nU-i/' /n"~2n+iU;
124 Гл. 5- Деревья и композиция производящих функций 110 Рис. 5.21. Рекурсивно помеченное дерево. Заметим, что по теореме 5.3.10 или предложению 6.2.2 /п — число плоских троичных деревьев с Зп + 1 вершинами (или, если удалить листья, число троичных деревьев с п вершинами). Аналогично, нетрудно видеть, что tn — число деревьев на п вершинах, которые являются троичными за исключением того, что корень имеет всего два (линейно упорядоченных) поддерева, или, что эквивалентно, tn — число упорядоченных пар троичных деревьев, имеющих п — 1 вершин. 5.46. [2-f] Дерево на линейно упорядоченном множестве вершин называется непересекающимся, если ik и jl не могут оба быть ребрами при г < j < к < I. Покажите, что число /(п) непересекающихся деревьев на множестве [п] равно 2n1_1 ( ^ ~i ), а это число троичных деревьев с п — 1 вершинами по теореме 5.3.10 или предложению 6.2.2. 5.47. a. [2-f] Покажите, что наименьшее возможное число способов записать цикл (1,..., п) Е Оп как произведение п — 1 транспозиций равно пп~2. Например (умножая справа налево), (1,2,3) = (1,2)(2,3) = (2,3)(1,3) = (1,3)(1,2). b. [3-] Назовем два разложения цикла (1,...,п) в произведение п — 1 транспозиций эквивалентными, если одно разложение можно получить из другого перестановкой транспозиций без общих элементов. Таким образом, все три разложения цикла (1,2,3) неэквивалентны, тогда как разложение (1,5)(2,4)(2,3)(1,4) цикла (1,2,3,4,5) эквивалентно самому себе и разложениям (2,4)(1,5)(2,3)(1,4), (1,5)(2,4)(1,4)(2,3), (2,4)(1,5)(1,4)(2,3), (2,4)(2,3)(1,5)(1,4). Покажите, что число д(п) классов эквивалентности равно числу непересекающихся деревьев на множестве вершин [п] (см. определение в упр. 5.46) и, следовательно, равно 1 (3(п-1)\ 2п-1 V п-1 /*
Упражнения 125 с. [3+] Пусть Л = (Ai, А2,...) — разбиение числа п, и пусть w — перестановка чисел 1,..., п циклового типа А. Пусть /(А) — число способов записать w в виде w = t\ • • • £&, где ti — транспозиции, порождающие всю группу ©п, причем к минимально при таком условии на U. (Нетрудно видеть, что к = п-{-£(Х) — 2, где ^(А) обозначает число частей разбиения А.) Покажите, что (мы пишем £ вместо ^(А)) /(А) = (п + ^-2)!п'-3П^р. г=1 г* 5.48. а. [3-] Пусть г — корневое дерево на множестве вершин [п] с корнем 1. Инверсия дерева г — это такая пара (г, j), что 1 < г < j и единственная цепь в т из 1 в г проходит через Рис. 5.22. Дерево с четырьмя инверсиями. вершину j. Например, дерево г на рис. 5.22 имеет инверсии (3,4), (2,4), (2,6) и (5,6). Пусть inv(r) обозначает число инверсий дерева т. Положим /n(*)=E*lnV(T)' (5Л14) г где суммирование проводится по всем пп~2 деревьям на [п] с корнем 1. Например, im = 1, Ht) = 1, I3(t) = 2 + t, h(t) = 6 + 6t + St2 +13, I5(t) = 24 + 36t + ZOt2 + 20t3 + 10t4 + 4t5 +16, I6(t) = 120 + 240* + 270*2 + 240*3 + 180t4 + 120t5 + 70t6 + Z5t7 + Ш8 + 5t9 +110. Покажите, что tn-1In(l + t) = ^t<G\ G
126 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Е где сумма берется по всем связным графам G (без петель и кратных ребер) на множестве вершин [п], a e(G) — число ребер графа G. Простым применением экспоненциальной формулы (следствие 5.1.6) получаем, что £(1+ t)G) ^ =ехр£*"-1/„(1 + *)^, (5.115) t—*' Til ^^ TV. так что £^$ = (t-i)in£A*-ir^. [2] Выведите из (5.115), что n^O П! En^0^(2)f 5.49. a. [2] На улице с односторонним движением имеется п мест 1,...,п (именно в таком порядке) для парковки автомобилей. Автомобили Ci,...,Cn въезжают на улицу в указанном порядке и пытаются припарковаться. Каждый автомобиль d имеет предпочтительное место а*. Автомобиль направляется к своему предпочтительному месту и пытается припарковаться. Если это место уже занято, то автомобиль паркуется на следующем свободном месте. Если, так и не осуществив парковку, автомобиль вынужден покинуть улицу, то считается, что процесс завершился неудачей. Если а = (ai,...,an) — последовательность предпочтений, которая позволяет всем машинам припарковаться, то а называется функцией парковки. Покажите, что последовательность (ai,..., ап) G [п]п является функцией парковки тогда и только тогда, когда переупорядочение Ь\ ^ • • • ^ Ьп по возрастанию последовательности ^ь • • • ? ап удовлетворяет условию Ь» ^ г. Другими словами, а = (ai,..., ап) — функция парковки тогда и только тогда, когда последовательность [а\ — 1,..., ап — 1) является перестановкой таблицы инверсий1) перестановки 7Г G 6П, определенной в разд. 1.3. Ь. [2+] Будем рассматривать элементы группы G=Z/(n+l)Z как целые числа 0,1,...,п. Пусть Н — (циклическая) подгруппа порядка п + 1 группы Gn, порожденная элементом (!,...,!). Покажите, что каждый смежный класс 1^См. примечание переводчика к упр. 5.8(f)(iv). — Прим. перев.
Упражнения 127 по подгруппе Н содержит ровно одну функцию парковки. Отсюда следует, что число Р(п) функций парковки длины п равно Р(п) = (п + 1)п-\ (5.116) c. [3-] Пусть Vn обозначает множество всех функций парковки а = (ai,...,an) длины п, и положим |а| = <ц + Ь ап. Покажите, что £t|e| = *Cr>/n+i(i/t), где In(t) определено равенством (5.114). Попытайтесь дать биективное доказательство. (Заметим также, что, полагая t = 1, получим (5.116).) d. [2] Пусть а = (ai,...,an) ~ функция парковки. Предположим, что если автомобили С\,..., Сп припаркованы в соответствии с функцией а, то автомобиль С% занимает место w(i). Следовательно, w — перестановка чисел 1,...,п, которую мы обозначим w(a). Например, гу(3,1,3,5,1,3) = 314526. Пусть задана перестановка и = и\ • • -ип Е ©п? и пусть v(u) — число функций парковки а, таких, что w(a) = и. Положим r(u,j) = 1+тах{/с: j—1, j—2,..., j—к предшествуют j в и} при 1 ^ j ^ п и т(и) = (т(и, 1),... ,т(г*,п)). Например, т(314526) = (1,2,1,2,3,6). Покажите, что v(u) = т(и, 1) • • • т(и, п). e. [3-] Пусть задан вектор а е Рп, и пусть Т<7 = {иевп:т(и)=а}. Например, Г(1?2,1,2,1) = {53412,35412,53142,35142,31542, 51342,15342,13542}. Предположим, что а = (s1?..., sn) = т(и) при некотором и Е ©п. (Характеризацию и перечисление последовательностей т(и), и Е ©п, см. в упр. 6.19(z).) Положим U = max{j : si+r ^ г при 1 ^ г ^ j}. (Если Si+i > 1, то положим U = 0.) Покажите, что п! *Та " (si+t1)(s2 + t2)---(sn + tn) '
128 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций f. [3-] Говорят, что функция парковки а = (ai,..., ап) является простой, если при всех j, 1 ^ j ^ п — 1, по крайней мере i + 1 автомобилей пытаются припарковаться на первых j местах. (Это условие равносильно свойству, что если удалить некоторый член последовательности а, равный 1, то все равно получится функция парковки). Покажите, что число Q(n) простых функций парковки длины п равно (п — l)n_1. 5.50. а. [3-] Пусть <Sn обозначает множество всех гиперплоскостей Х{ — Xj = О,1 (Цк^^п)вКп. (Следовательно, #Sn = п(п — 1).) При помощи биекции покажите, что число областей размещения <Sn (т. е. число связных компонент пространства Rn — U#esn Н) Равн0 (n + l)n_1. b. [2+] Пусть Л — конечное размещение гиперплоскостей в Rn с ч. у. множеством пересечений^ L, как в упр. 3.56. Предположим, что Л определено над Z, т.е. уравнения гиперплоскостей из Л могут быть записаны с целыми коэффициентами. Если р — простое число, то определим Ар как размещение Л, «приведенное по модулю р», т. е. будем считать уравнения гиперплоскостей из Л определенными над полем Fp. Таким образом, Лр будет размещением гиперплоскостей в F™. Пусть x(L,q) обозначает характеристический многочлен множества L. Покажите, что для достаточно больших р справедливо равенство x(l,p) = #(f;- (J я). ^ нелр ' c. [3-] Пусть Lsn обозначает ч. у. множество пересечений множества Sn. Используя п. (Ь), покажите, что x(Lsn,q)=q(q-n)n-\ Этот результат обобщает п. (а), поскольку, согласно упр. 3.56(a), число областей размещения <Sn равно |x(AsnJ ~1)1- d. [3] Пусть До ~ область размещения <Sn, определенная неравенствами Xi — 1 < Xj < Х{ при всех г < j. Для любой области R размещения гиперплоскостей <Sn пусть d(R) — число гиперплоскостей Н G <Sn? отделяющих R от Ro, т. е. таких, что R и Rq лежат по разные стороны гиперплоскости Н. Введем многочлен Jn(q) = J2q«R), R 1^См. примечание переводчика к упр. 5.4(d). — Прим. перев.
Упражнения 129 где суммирование проводится по всем областям размещения <Sn. Покажите, что Jn{q) = <?(*) Wl/g), где In(t) определяется равенством (5.114). e. [2+] Покажите, что п. (d) равносилен следующему результату. Пусть задана перестановка 7Г G 6П, и пусть Рж = {(г, j) : 1 ^ г < j ^ п, 7г(г) < tt(j)}. Определим частичное упорядочение на Р^, считая, что (i,j) ^ (А:,/), если к ^ г < j ^ /. Пусть F(J(P7r), q) обозначает рангово- производящую функцию на решетке порядковых идеалов ч. у. множества Рп. (Например, если 7Г = п, п — 1,..., 1, то Р* = 0 и F(J(Pv),q) = 1.) Тогда J2 F(J(Pn),q) = In+1(q). 7Г€вп f. [3-] Покажите, что число элементов ранга к в ч. у. множестве пересечений Lsn равно числу способов разбить множество [п] на п — к блоков, а затем линейно упорядочить каждый блок. (Легко видеть, что это число равно ^(V); см. упр. 5.17.) 5.51. [2+] Пусть А(х) = ах + • • • , В(х) = Ьх + • • • , С(х) = с + • • • е К[[х]], причем аЬс ф 0. Покажите, что следующие две формулы равносильны1): (i) А(х){-г) =С(х)В(х){-1\ С с(1Й) = |1С(В<х))|1"4- 5.52. а. [2] Пусть F(x) = х + £п^2 /п^ € К[[х\] и задано А; € Р. Пусть F<k\x) = x + Tvn(kK. (5.117) ^2 п! ^ Утверждение о том, что (ii) влечет за собой (i), неверно, например, при С(х) = с. Необходимо добавить предположение, что [х]С(ж) ф 0, так что (С(х) — с)(-1) существует. Подстановка хС(В(х)) вместо х в (ii) дает хС(В(х))/С(А(хС(В(х)))) = х, так что С(В(х)) = С(А(хС{В(х)))). Подстановка В(х)^~1^ вместо х дает С(х) = С(А(В(х)(~1)С(х))). Вычитая с из обеих частей этого равенства и применяя (С — с)(-1>, получаем х = А(В(х)(~1^С(х)). Применяя к обеим частям А^-1), получаем (i). Это доказательство принадлежит Даниелю Джаимо и Амиту Хетану, а также (независимо) Юми Одама. — Прим. автора при переводе.
130 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Покажите, что при фиксированном п функция (fn(k) — многочлен от к (коэффициенты которого являются многочленами от /2,..., /п)- Например, <Р2(к) = М, \ J щ(к) = hk + (10/2/3 + 3/|) (f) + 18/| (к\, \ / \ / <Рь(к) = Л* + (15/2/4 + 10/| + 25/|/з) Q), + (Ш/1/з + 75/24) Q) + 180/24Q). b. [2] Так как (рп(к) — многочлен от /с, то он может быть определен для любого к £ К (или для переменной к). Таким образом, формула (5.117) позволяет определить F^(ж) для любого к. Покажите, что при всех j,k £ К Fti+k)(x) = F<^(F<fc)(x)), F№(x) = (FW)W(x). В частности, оба способа определить F^~^(x) (а именно, полагая к = —1 в (5.117) или рассматривая обратный к F(x) (в смысле композиции)) согласуются. c. [5-] Исследуйте комбинаторный смысл «дробной композиции». Например, если положить _ 1ж^ 1^ 1?L__1_?L_ 1 х? " Х + 2 2!" + 23 3!* + ¥ 5!* ~ У 6!~ + ¥ 7!~ 159ж8 _ Шх^ _ Ш1ж™ 2359233жп + ~¥~~8\ ~~¥"9\'"¥^Ш+ 214 ТП _ 13303471 ж12 _ 271566005 ж13 214 12! 215 13! 10142361989 хы 126956968965 ж15 + 216 14! + 218 15! 10502027401553 ж16 218 16! +'"' будут ли коэффициенты ап иметь простую комбинаторную интерпретацию? (К сожалению, они не являются целыми, и их знаки не кажутся предсказуемыми.)
Упражнения 131 5.53. [2+] Найдите сумму первых п членов в биномиальном разложении ('-5) =1 + 5"+l( 2)+-' Например, если п = 3, мы получаем 1 + | + | =4. (Воспользуйтесь формулой обращения Лагранжа.) 5.54. [2+] Для каждого из следующих четырех степенных рядов F(x) при всех п G Р найдите коэффициент при 1/х в разложении Лорана в точке 0 функции F(x)"n: sin ж, tgx, ln(l + ж), 1 + ж - vTTx*. 5.55. а. [2] Найдите единственный степенной ряд Fi(a;) е Q[[#]]? такой, что [a;n]Fi(x)n+1 = 1 при всех п е N. b. [2+] Найдите единственный степенной ряд ^(ж) G Q[[#]], такой, что [xn]F2(x)2n+1 = 1 при всех п е N. c. [2+] Пусть к Е Р, /с ^ 3. Какая трудность возникает при попытке найти явное выражение для единственного степенного ряда Fk(x) е Q[[#]], такого, что [xn]Fk(x)kn+1 = 1 при всех п G N? 5.56. а. [2+] Пусть F(x) = a\x+(i2X2-\ G if [И], причем а\ ф О, и пусть п G Р. Покажите, что »И1»^ = И(^)". (5.П8) (Эту формулу можно рассматривать как «правильный» случай к = 0 соотношения (5.53).) Ь. [2] Найдите единственный степенной ряд G(x) = 1 -f ж — \х2 + •••, удовлетворяющий условиям G(0) = 1, MG(a;) = 1 и [xn]G(x)n = О при п > 1. 5.57. [2] Покажите, что коэффициент при хп~х в разложении рациональной функции (1 + х)2п~1(2 + ж)_п в степенной ряд равен 1/2. Равносильное утверждение: единственный степенной ряд J(4gQ[[i]], удовлетворяющий условию г n-li_W_ = всех n G р L J1+s 2 равен J(x) = (1 + ж)2/(2 + ж). 5.58. [3-] Пусть /(ж) и д(х) — степенные ряды, причем д(0) = 1. Предположим, что справедливо соотношение f(x)=g(xf(x)«), (5.119) где а — параметр (переменная). Покажите, что справедливо соотношение (t + an)[xn]/(z)«=t[xn]fl(x)i+om,
132 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций рассматриваемое как полиномиальное тождество от двух переменных t и а. 5.59. [2+] Пусть f(x) е К[[х\], причем /(0) = 0. Пусть F(x,y) в К[[х,у]],и предположим, что / удовлетворяет функциональному уравнению f = F(x,f). Покажите, что при любом k G Р /(*)* = Е^п"*№'»)п- ^—' п 5.60. а. [2] Пусть А(х) = 1 + J2n^ianxU е К[[х]\- Для фиксированного к е N при п е Z положим qk(n) = [хк)А{х)п. Покажите, что <&(п) — многочлен от п степени ^ к. b. [2] Пусть F(x) = x + J2n>2 /п^г е КЫ (гДе charK = °)- Определим функции pk (п) равенством Покажите, что Pk(n) — многочлен от п (степени ^ 2/с). c. [2+] Пусть F(x) и pfc(n) определены так же, как в п. (Ь). Так как р&(п) — многочлен от п, то он определен при всех п Е Z. Покажите, что d. [2] Какими будут pfc(n) и pk(—n — к) в частном случае F(x) = ех - 1? e. [2] Найдите р&(п), если F(x) = ж/(1 — х). Что п. (с) говорит о рк(п)1 f. [2] Найдите р&(п), если F(x) = хе~х. Выведите формулу для expt{xe~x){-V =exptJ2nn~1^J- 5.61. а. [2] Пусть Р и Q — конечные ч. у. множества с 1. Для любого ч. у. множества Т пусть Т = Т U {0}, и для любого конечного ч. у. множества Т с б и I пусть /х(Т) = /хт(0,1). Покажите, что -/х(Р х Q) = /х(Р х Q) = /x(P)/x(Q).
Упражнения 133 b. [2] Воспользовавшись п. (а) и следствием 5.5.5, дайте непосредственное доказательство равенства (5.78). 5.62. а. [2+] Пусть fr(n) — число N-матриц А размера п х п, у которых сумма элементов каждой строки и каждого столбца равна г и в каждой строке (а следовательно, и в каждом столбце [почему?]) имеется не более двух ненулевых элементов. Найдите 5>(»>-й2- п>0 Ь. [1] Используя п. (а), найдите /з(^) в явном виде. 5.63. [2+] Пусть Nk(n) обозначает число таких последовательностей (Рг,Р2,---чР2к) перестановочных матриц Pi размера п х п, что каждый элемент суммы Pi -f Р^ -\ Ь Р2к равен О, к или 2к. Покажите, что EJM.)£-(i-.rrc'>4.(i-(V 5.64. а. [2+] Пусть Vn — множество всех п х п-матриц, состоящих из единиц и минус единиц. При к G Р пусть Л(п) = 2-"2 J2 (detM)fc, дк(п) = 2~п* £ (perM)fc, Mevn мет>п где per обозначает функцию перманента, определенную равенством рег(га^) = ^2 rnl^l)m2^{2)''' mn^n). тг€вп Найдите Д(п) и дк(п) явно, если к нечетно или к = 2. b. [3-] Покажите, что /4(п) = д^) и что J2Mn)^ = (l-x)-3e->*. (5120) Указание. Имеем ^(det М)4 = J2 ( J2 ±mi^(i) * * * тп,тг(п) Измените порядок суммирования и воспользуйтесь упр. 5.63. c. [2+] Покажите, что /2fc(n) < д2к{п) при ^Зип^З.
134 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций d. [3-] Пусть Vn — множество всех (0,1)-матриц размера п х п. Пусть ffk(n) и g'k(n) определены аналогично функциям /fc(n) и gk(n). Покажите, что f'k(n) = 2~knfk(n -f1). Покажите также, что д[(п) = 2-пп\, ^(»)=4-»!»(l + i + i+... + i). 5.65. а. [3-] Пусть /(га,п) — число N-матриц размера т х п, у которых сумма элементов каждой строки и каждого столбца не более двух. Например, /(1,п) = 1 + 2n + (™). Покажите, что хтуп т\п\ F(x,y) '•= ^ /(m>n) (1 — ху) 2 ехр \ху(Ъ -ху) + ±(х + у)(2 - ху) 1-ху (5.121) Ь. [2] Выведите из п. (а), что Е^п ,, ч 1 t(3-t; „ ** /1-1* 2п Последнюю сумму можно переписать в виде Jo( /ггу) ? где Jo — функция Бесселя нулевого порядка. 5.66. [2+] Пусть L = lL(Krs) — матрица Лапласа полного двудольного графа Krs. a. Найдите простую оценку сверху для rank(L — rl). Выведите оценку снизу для количества собственных чисел матрицы L, равных г. b. Предположим, что г ф s; проделайте то же самое, что и в п. (а), для s вместо г. c. Найдите остальные собственные числа матрицы L. d. Используя п. (а)-(с), вычислите c{Krs) — число остовных деревьев графа Krs. 6.67. [3] Пусть q — степень простого числа, и пусть ¥q — конечное поле из q элементов. Пусть задана функция /: (^) —► ¥q и свободное дерево Т на множестве вершин [п]. Положим /(Т) = Пе/(е)> где е пробегает все ребра (рассматриваемые как двухэлементные подмножества множества [п]) дерева Г.
Упражнения 135 Пусть Pn(q) обозначает число функций /, таких, что £/(Г)^0 (bF9), Г где Т пробегает все пп~2 свободных деревьев на множестве вершин [п]. Покажите, что P2m(q) = qm^-X){q - 1)(<?3 - 1) • • • О?2"1"1 - 1), P2m+i(q) = qm^m+1)(q - l)(g3 - 1) • • • (g2"1"1 - 1). 5.68. [3-] В этом упражнении предполагается, что читатель знаком с основами теории характеров конечных абелевых групп. Пусть Г — конечная абелева группа, записываемая аддитивно. Пусть Г обозначает множество (неприводимых) характеров х: Г —► С группы Г, причем тривиальный характер обозначается через хо • Пусть а: Г —► К — весовая функция (где К — поле характеристики 0). Определим D = Da как орграф на множестве вершин Г с ребром и —> и + v веса cr(v) для всех и, v Е Г. Заметим, что орграф D сбалансирован как взвешенный орграф (полустепени захода и исхода каждой вершины равны ]Сиег а(и))- Если Т — любой остовный подграф орграфа D, то пусть <т(Т) = Пе°"(е)> гл-е е пробегает все ребра подграфа Г. Положим с(£>) = 5>(:г)> Т где Т пробегает все ориентированные (остовные) поддеревья орграфа D с фиксированным корнем. Покажите, что *W = m П |£^)(1-хМ) хег хФхо у£Г 5.69. Выберем положительные целые числа ai,...,ap_i. Пусть D = D(ai,... ,ap_i) — орграф, определенный следующим образом. Его вершинами являются v\,..., vp. Для всякого 1 ^ г ^ р — 1 имеется а; ребер из Х{ в Xi+i и а; ребер из Х{+\ в xi. Например, £>(1,3,2) выглядит так:
136 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций a. [2-] Непосредственным рассуждением (без определителей) найдите число r(D, v) ориентированных поддеревьев с заданным корнем v. b. [2-] Найдите число e(D, е) эйлеровых циклов орграфа D с первым ребром е. 5.70. [2] Пусть d > 1. d-арная последовательность де Брёйна степени п — это последовательность А = а\а2 • • -а^ с элементами а^, принадлежащими множеству {0,l,...,d—1}, такая, что каждая d-арная последовательность Ь\Ь2 • • • Ьп длины п появляется ровно один раз в качестве циклического множителя последовательности А. Найдите число d-арных последовательностей де Брёйна степени п, начинающихся с п нулей. 5.71. [2+] Пусть G — регулярный граф степени1) d без петель или кратных ребер. Пусть Ai ^ • • • ^ Лт — такие ненулевые вещественные числа, что при всех t ^ 1 число W(£) замкнутых цепей в G длины £ равно т J=l В терминах данных величин найдите число c(G) остовных деревьев графа G. 5.72. [3-] Пусть V — подмножество в Z х Z, лежащее на или внутри некоторой простой замкнутой ломаной, вершины которой принадлежат Z х Z, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Проведем ребра между всеми парами точек из V, лежащих на или внутри граничной кривой на расстоянии единица друг от друга. В результате получится пла- нарный граф G, пример которого изображен на следующем рисунке: 4 4 4 4 • • Пусть G1 — двойственный граф G* с удаленной «внешней» вершиной. (Вершинами графа G* являются области графа G. Для любого ребра е графа G имеется ребро е* графа G*, х) Лучше не фиксировать степень d графа G, поскольку (как установлено в решении) d = Ai. — Прим. автора при переводе.
Упражнения 137 соединяющее две области, граничащие друг с другом по ребру е.) Для примера, приведенного выше, граф С изображен на следующем рисунке: т—т т * т ё ё т т * * • I Пусть Ai,...,Ap — собственные числа графа G' (т.е. собственные числа матрицы смежности A(G')). Покажите, что с(С) = П(4-А0. г=1 5.73. [5-] Пусть В(п) — множество (двоичных) последовательностей де Брёйна степени п, и пусть <Sn — множество всех двоичных последовательностей длины 2П. По следствию 5.6.15 имеем {#В{п)у = #<S(n). Найдите явную биекцию В(п) х B(n)-*S(n). 5.74. Пусть D — орграф с р вершинами, и пусть £ — целое фиксированное положительное число. Предположим, что для всякой пары и, v вершин орграфа D существует единственный (ориентированный) путь длины £ из вершины и в вершину v. a. [2+] Каковы собственные числа (ориентированной) матрицы смежности А = А(£>)? b. [2] Сколько петель (v, v) имеется у D? c. [3-] Покажите, что D связен и сбалансирован. d. [1] Покажите, что все вершины имеют одну и ту же полустепень исхода d. (Согласно п. (с), тогда полустепень захода всех вершин также равна d.) Найдите простую формулу, связывающую р, d и £. e. [2] Сколько у орграфа D эйлеровых циклов, начинающихся с заданного ребра е? f. [5-] Что еще можно сказать о D? Обязан ли орграф D быть графом де Брёйна (это графы, использованные в решении упр. 5.70)?
138 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Решения упражнений 5.1. а. Пусть h(ri) — число, которое надо найти. По предложению 5.1.3 *И£5Н£<£Ь)(£<ёО 2* е* ~ е~Х е* + е~Х _ 1/4* _ хч _ V^ 4й-1 — 2 2 "41 ;"^- п! п>1 откуда следует, что h(ri) = 4n_1. b. Выберем множество S из 2/с столбов, которые будут окрашены либо в оранжевый цвет, либо в пурпурный, и 22к способами выберем в S подмножество тех столбов, которые будут оранжевыми. Таким образом, мы получим дополнительный множитель ~2п 1 Е22п_ = -(е2х + е~2х) 1 (2п)! 2[6 +6 ]' Следовательно, Eh(x) = ±(е4* - 1) • \(е2* + е-2*) = ^ - е~2% так что h(n) = ±(6П - (-2)п). 5.2. а. Согласно упр. 1.40, существует единственный набор чисел а;, такой, что 1 + ^ихп = Ц{1-х')-^. п^1 г^1 Легко видеть, что /nGZ при всех п G [N] тогда и только тогда, когда a; G Z при всех г G [ЛГ]. Теперь, согласно решению упр. 1.40, hn = У ^ddd, d\n так что в силу классической формулы обращения Мёбиуса ап = -^2,hdii{n/d), d | n откуда и следует эквивалентность условий (i) и (ii). Теперь пусть р | п, и пусть S — множество различных простых чисел, не равных р, которые делят п. Если Т С
Решения упражнений 139 5, то положим П(Г) = YiqeT Я- Тогда Ап := ^2hdfi(n/d) d\n = Е (-l)#T(*n/n(D " ftn/p.n(D)- (5Л23) res Следовательно, если условие (iii) выполнено при всех п из [N], то по (5.123) имеем рг \Ап. Таким образом, Ап = О (modn). Обратно, если условие (ii) выполнено при всех п G [N], то (iii) получается из формулы (5.123) простой индукцией по п. Наконец, заметим, что N «рЕЕ«?7 п>1 чг=1 ' п (1 - aia:) • • • (1 - алтж) ' Отсюда непосредственно следует, что (iv) =Ф> (i). Обратно, если условие (i) выполнено, то пусть (l+ £/„*") = l + £ena:n. Ясно, что en G Z при n G [ЛГ]. Положим N N l + $3e„tn = II(l-atf). n=l 1 Тогда /in = Х^г=1 а? ПРИ всех п ^ 1^1' чт0 и требовалось доказать. Доказательство равносильности условий (ii) и (iv) впервые появилось в работе Janischen W. Sitz. Berliner Math. Gesellschaft 20 (1921), 23-29. Условие (iii) принадлежит Шуру (Schur I. Сотр. Math. 4 (1937), 432-444), который получил несколько близких результатов. Эквивалентность условий (i) и (ii) в случае N —► оо установлена в работе Carlitz L. Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 32-33. В качестве дополнительной литературы можно указать работы Frame J. S. Canadian J. Math. 1 (1949), 303-304; Almkvist G. The integrity of ghosts, preprint; Dold A. Inv. Math. 74 (1983), 419-435. b. Будем говорить, что решение а = (ai,...,c*fc) имеет степень п, если п — наименьшее целое число, такое,
140 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций что a G Fgn. Простым рассуждением с помощью обращения Мёбиуса получаем, что число Мп решений степени п равно Мп = Y^v\nNdH{n/d). Положим а? = (а{,... ,ог^). Если а — решение степени п, то /с-наборы а, а4, а4 ,..., а4 — это различные решения степени п. Следовательно, Мп делится на п. Теперь используем эквивалентность условий (i) и (ii) из п. (а). См., например, Ireland К., Rosen М. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer-Verlag, New York-Berlin- Heidelberg, 1990 (§11.1). Значительно более глубокий результат, впервые доказанный в работе Dwork В. Amer. J. Math. 82 (1959), 631-648, состоит в том, что производящая функция Z(x) (называемая дзета-функцией алгебраического многообразия, определенного уравнениями) рациональна. Замечательное изложение этого результата можно найти в книге Koblitz N. p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta- Functions, 2nd ed., Springer-Verlag, New York-Heidelberg- Berlin, 1984 (гл. V)1). Дальнейшую информацию о дзета- функциях см., например, в книге Hartshorne R. Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1977 (приложение C)2). с. Cm. Jagers A. A., Gessel I. (независимо), Solution to E2993, Amer. Math. Monthly 93 (1986), 483-484. 5.3. а. Так как 1 • 3 • 5 • • • (2n - 1) = (2n)!/2nn!, то ^(x) = ^2-(2;)^ = (l 2x) -1/2 в силу упр. 1.4(a). Следовательно, Ef(x)2 = (1 - 2*)-1 = J2 2"n!^ = Eg{x). n^O b. Первое доказательство. Число f(n) — это количество 1-факторов (т. е. графов, все компоненты которых являются одиночными ребрами) на 2п вершинах, тогда как д(п) — число перестановок 7Г множества [п], каждый элемент которого помечен знаком + или —. Следовательно, по заданной помеченной перестановке я* мы хотим по- х) Имеется перевод первого издания: Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — М.: Мир, 1982. — Прим. перев. 2) Имеется перевод: Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — Прим. перев.
Решения упражнений 141 строить пару (G, Я), где G есть 1-фактор на множестве из 2к вершин, помеченных гиг', где г пробегает некоторое подмножество S множества [п], тогда как Н — это 1-фактор на 2(п — к) дополнительных вершинах j и j', где j Е Т = [п] — S. Определим S (соответственно Т) как множество всех таких г, что наименьший элемент цикла перестановки 7Г, содержащего г, помечен знаком + (соответственно —). Если 7г(а) = 6, то проведем ребро из а либо а' в 6 либо 6' следующим образом: если а — наименьший элемент в своем цикле и а / 6, то проведем ребро из а в Ъ (соответственно в&'), если Ь помечена знаком + (соответственно —). Если ни а, ни Ь не являются наименьшими элементами в своих циклах, то по индукции предположим, что некоторое ребро уже проведено либо из а, либо из о!. Проведем новое ребро из вершины а или а', не имеющей ребра, в вершину Ь (соответственно У), если Ь помечена знаком + (соответственно —). Наконец, если Ь — наименьший элемент в своем цикле, то осталось всего две вершины для последнего ребра — оно соединяет вершину а или а' (ту из них, которая не имеет ребра) с У. Эта процедура рекурсивно определяет G и Н. Пример. Пусть п= (1 6 9 2) (3 5 7) (4) (8) -- + - + + - - + Тогда G и Н изображены на рис. 5.23. Рис. 5.23. Пара 1-факторов. Эта биекция основывается на работе Dumont D. Univ. Beograd. РиЫ Elektrotechn. Fak. Ser. Mat. Fiz., nos. 634-677 (1979), 116-125 (предложение 3). Второе доказательство (А. Гессель). Легко видеть, что число перестановок а\а2 • • • «2п мультимножества {I2,22, ..., п2}, не содержащих подпоследовательностей вида ЬаЬ с а < Ь, равно /(п). (Запишем две рядом стоящие единицы единственным способом, затем две рядом стоящие двойки тремя способами по отношению к единицам, потом две рядом стоящие тройки пятью способами по отношению к единицам и двойкам и т. д.) Отсюда в силу пред-
142 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций ложения 5.1.1 следует, что функция Е/(х)2 является экспоненциальной производящей функцией для пар (7Г,а), где 7Г — перестановка некоторого мультимножества М = {г2,...,г|} С {12,22,... ,n2}, а а — перестановка мультимножества {I2,22,..., п2} — М; здесь обе перестановки 7Г и а удовлетворяют приведенному выше условию относительно подпоследовательностей вида boh. Но для того чтобы получить перестановки 7г и а, мы можем поместить две единицы двумя способами (т.е. либо в 7г, либо в а), затем две двойки четырьмя способами и т.д.; всего оказывается 2 • 4 • • • (2n) = 2пп! способов. 5.4. а. Чтобы получить пороговый граф G на множестве [п], выберем некоторое подмножество / в [п] в качестве множества его изолированных вершин и выберем пороговый граф без изолированных вершин на множестве [п] — I. Из предложения 5.1.1 следует, что Т(х) = exS(x). Пороговый граф G с п ^ 2 вершинами не имеет изолированных вершин тогда и только тогда, когда дополнение G имеет изолированную вершину. Отсюда следует, что t(n) = 2s(n) при п ^ 2. Так как t(0) = 5(0) = 1, t(l) = 1, 5(1) = 0, то Т(х) = 2S(x) + х - 1. Эти результаты, так же как и некоторые другие результаты, связанные с перечислением помеченных пороговых графов, по существу содержатся в работе Beissin- ger J. S., Peled U. N. Graphs and Combinatorics 3 (1987), 213-219. По поводу дальнейшей информации, касающейся пороговых графов, см. Mahadev N. V. R., Peled U. N. Threshold Graphs and Related Topics, Ann. of Discrete Math. 56, North-Holland, Amsterdam, 1995. b. Пусть G — пороговый граф на множестве [п] без изолированных вершин. Определим упорядоченное разбиение (2?i,...,.Bfc) множества [п] следующим образом. Пусть Bi — множество изолированных вершин графа б, так что G = В\ +G\, где G\ — пороговый граф без изолированных вершин. Пусть J?2 — множество изолированных вершин графа G\. Эту процедуру будем повторять до тех пор, пока не получим Gk-i = Bk- Таким образом мы можем получить любое упорядоченное разбиение (J?i,..., Bk) множества [п], такое, что #Bk > 1 • Поскольку очевидно, что имеется всего пс(п — 1) упорядоченных разбиений (Bi,...,Bk) множества [п], удовлетворяющих условию #Вк = 1, отсюда следует, что s(n) = с(п) — пс(п — 1).
Решения упражнений 143 c. Многогранник V из упр. 4.31 ^ называется зопотопом с образующими vi,...,Vk- Пусть Zn — зонотоп, порожденный всеми векторами ei -f ej, 1 ^ г < j ^ п, где е^ есть г-й единичный координатный вектор в Еп. Зонотоп Zn называется многогранником степенных последовательностей. По хорошо известной двойственности между размещениями гиперплоскостей и зонотопами (см., например, Bjorner A., Las Vergnas М., Sturmfels В., White N., Ziegler G. M. Oriented Matroids, Cambridge University Press, Cambridge, 1993 (предложение 2.2.2)) число областей размещения Тп равно числу вершин зоно- топа Zn. Число вершин в Zn было подсчитано в работе Beissinger J. S., Peled U. N. Graphs and Combinatorics 3 (1987), 213-219. Дальнейшие свойства зонотопа Zn можно найти в работе Stanley R. In: Applied Geometry and Discrete Mathematics: The Victor Klee Festschrift, DIM ACS Series in Discrete Math, and Theor. Comput. Sci. 4, American Mathematical Society, 1991, pp. 555-570. d. Этот результат можно вывести из упр. 5.50(b). Он также является следствием теории знаковых раскрасок графов, разработанной Заславским в работах Zaslavsky Т. Discrete Math. 39 (1982), 215-228, и 42 (1982), 287-312 (в особенности §5). Существует ли более прямое доказательство? 5.5. Пусть Ck(n) — число способов выбрать связный двудольный граф на множестве [п] с к ребрами. Пусть Д(п) (соответственно дк(п)) — число способов выбрать слабое упорядоченное разбиение (А, В) множества [п] на две части, а затем выбрать двудольный граф (соответственно связный двудольный граф) с к ребрами на множестве [п], такой, что каждое ребро идет из А в В. Пусть и аналогично определяются С (ж), F(x) и G(x). (Суммы для С(х) и G(x) начинаются с п = 1.) Легко видеть, что F(x) = exp G(x), В(х) = ехр ОД, G{x) = 2С(ж), откуда и следует утверждение упражнения. ^Это многогранник вида {a\V\ + V dkvk '• 0 ^ Q>i ^ 1}> где од,..., од Е Zm. — Прим. перев.
144 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.6. Достаточно предположить, что q Е Р. Пусть (А, В) — двудольное разбиение вершин графа Ктп. Согласно очевидному обобщению предложения 5.1.3, коэффициентом при хтуп/т\п\ в (ех + еу — l)q будет число g-наборов 7г = (5i,...,5g), где каждое Si — (возможно, пустое) подмножество множества А или множества J5, подмножества Si попарно не пересекаются и \JSi = A U В. Окрасим вершины в Si цветом г. Это дает биекцию с g-наборами 7г и g-раскрасками графа Ктп, откуда и следует утверждение упражнения. Заметим, что существует прямое обобщение этого результата на полный многодольный граф ХПь...)П),, приводящее к формуле Tni пк £ x(Kni,...,nk,q)-±-r---^ = (e^+-.- + e**-k + l)4. ,. _ ill- ilk- П1,...,Пк^К) 5.7. а. Пусть Ап (соответственно Вп) — множество всех пар (7Г,сг), таких, что 7Г и а — чередующиеся перестановки некоторых дополнительных подмножеств S и [2n] — S множества [2п], состоящих из нечетного (соответственно четного) числа элементов. Предложение 5.1.1 показывает, что тождество 1 + tg2 х = sec2 х следует из задания биекции из Ап в Вп при п ^ 1. Предположим, что 7Г = a\CL2 •• -CLk и а = Ь\Ь2'"&2n-fc- В точности одна из пар (aia2---afc&2n-b&i&2---&2n-fc-i) и [а\а2---ак-и Ь\Ь2 - • -&2n«fc) принадлежит Вп, а это и устанавливает искомую биекцию. Ь. Тождество (5.87) равносильно следующему: Тт ? п £ Вп+п^Ь = Т,№кх№к+1у)+(Чк+1х)№у)}- т,п^0 ' ' к^О т+п неч. Пусть га, п > 0, причем га + п нечетно, и пусть 7г — чередующаяся перестановка множества [га + п]. Тогда или п = О, или 7Г может быть однозначно представлена (как слово a\d2 • - • am+n) в виде 7Г = е\0\0\0202 • ' ' OfcOfcOfc+ie2, где (i) е\ — чередующаяся перестановка (возможно, пустая) некоторого подмножества множества [га], состоящего из четного числа элементов, (ii) е2 — чередующаяся наоборот перестановка (возможно, пустая) некоторого подмножества множества [га], состоящего из четного числа
Решения упражнений 145 элементов, (in) каждая oi — чередующаяся наоборот перестановка некоторого подмножества множества [га], состоящего из нечетного числа элементов, и (iv) каждая Oi — чередующаяся перестановка некоторого подмножества множества [га + 1, га + п], состоящего из нечетного числа элементов. Используя биекцию из п. (а) (после обращения е2), мы можем преобразовать пару (ei,e2) в пару (e^e^), где е\ — чередующиеся перестановки множеств, состоящих из нечетного числа элементов, кроме случая, когда обе ei ие2 пусты. Отсюда следует, что £ Ет+п— У- =tgx + ^(l+tg2x)(tgfcx)(tgfe+12/) ^—' га! п\ *•—' т+п неч. = D(*sfe х)№+1 у) + o«fc+1 *)(** у)\- 5.8. Дальнейшую информацию о центральных факториальных числах см. в книге Riordan J. Combinatorial Identities, John Wiley & Sons, New York, 1968 (§6.5) (где наше T(n, к) обозначается через Т(2п, 2к)). Пункт (е) равносилен гипотезе Ганди (Gandhi J. М. Amer. Math. Monthly 77 (1970), 505-506). Эта гипотеза была доказана в работах Car lit z L. Norske Vidensk. Selsk. Skr. 9 (1972), 1-4, и Riordan J., Stein P. R. Discrete Math. 5 (1973), 381-388. Комбинаторное доказательство гипотезы Ганди дано в статье Frangon J., Viennot G. Discrete Math. 28 (1979), 21-35. Основное комбинаторное свойство (f)(i) чисел Дженоччи принадлежит Дюмону (Dumont D. Discrete Math. 1 (1972), 321-327; Duke Math. J. 41 (1974), 305-318). Многие другие свойства чисел Дженоччи можно найти в обзоре Viennot G. Seminaire de Theorie des Nombres, 1981/82, Exp. 11, Univ. Bordeaux I, Talence, 1982. Более поздняя работа — Dumont D., Randrianarivony A. Discrete Math. 132 (1994), 37-49. 5.9. а. Если C(x) — экспоненциальная производящая функция для числа связных структур на n-множестве, то следствие 5.1.6 утверждает, что F(x) = ехрС(ж). Значит, Ед(х) = ехр 1(С(ж) + С(-х)) = y/F(x)F(-x). b. Пусть Ск(п) — число к -компонентных структур, которыми можно снабдить n-множество, и пусть я*,*) = ££*(»>**£■
146 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Согласно примеру 5.2.2, F(x,t) = F(x)£, так что Ее(х) = \(F(x, 1) + F{x, -1)) = \ (f(x) + -J^). Эта формула была впервые отмечена Уилфом (частное сообщение, 1997 г.). 5.10. а. Положим в (5.30) {1, если к | г, 0, если к\г, и получим Ели Отсюда следует, что fk(kn) = (кп)\(~^к)(-1)п, и это после упрощения дает предложенный ответ. b. Предположим, что к \п. Мы имеем п — 1 вариантов выбора для 7г(1), затем п — 2 вариантов для 7г2(1) и т. д. до п—к+1 вариантов для 7rfc_1(l). Для 7rfc(l) имеется п—к+\ вариантов, так как возможно равенство 7rfc(l) = 1. Если 7rfc(l) ф 1, имеется п — к — 1 вариантов для 7rfc+1(l), тогда как если 7rfc(l) = 1, мы опять-таки имеем п — к — 1 вариантов для 7г(г), где г — наименьший элемент множества [п], не принадлежащий циклу (1,7г(1),... ,7rfc_1(l)). Продолжая рассуждать аналогичным образом, для j-ro выбора мы всегда имеем п — j возможностей, если к\ j, и п — j + 1 возможностей, если к \ j, что дает приведенный в упражнении ответ. c. Положим в (5.30) J 0, если к | г, 1 1, если k\i; ~к\-1 ж 1 = exp22ji =exp-ln(l-xfc) =(i-xk)-vx=Y:(~i/k)(-irx n>0 тогда
Решения упражнений 147 = ехр = (1-хк)1/к(1-х)-1 \п(1 - х)-1 - Un(l - х1*)-1 к = {1 + х + --- + хк-1)(1-хку 1-fc ' и т.д. (Ср. упр. 1.44(a).) Заметим, что :а<»£)(2><»>£)-1>£-тЪ' Е- так как длина каждого цикла перестановки либо делится, либо не делится на к. d. См. Bolker Е. D., Gleason А. М. J. Combinatorial Theory (А) 29 (1980), 236-242, и Bertram Е. A., Gordon В. Еигор. J. Combinatorics 10 (1989), 221-226. Комбинаторное доказательство обобщения случая к = 2, отличного от п. (с), см. в статье Lewis R. P., Norton S. P. Discrete Math. 138 (1995), 315-318. 5.11. а. Перестановка w G &п имеет квадратный корень тогда и только тогда, когда число циклов каждой четной длины 2г четно. Простой вариант примера 5.2.10 приводит к равенству Еа(п)|т = еХ(сЬт)е*з3(сЬтУ55 п^О * \ / \ / Этот результат появился в работах Blum J. J. Combinatorial Theory (A) 17 (1974), 156-161 (равенство (5)) и [1.3, §9.2] (но в последней работе были ошибочно указаны множители ch(x2k/2k) вместо множителей ch(x2k/k)). Их авторы изучали асимптотические свойства коэффициентов а(п). Ь. Пусть F(x) = ^2па{п)хп/п\. Тогда, согласно п. (а), функция F(x)/(1 -f х) четна, откуда и следует доказываемый результат. См. Blum J., цит. выше (теорема 1).
148 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.12. Пусть а = и и Ь = иу~г. Тогда и = а и v — 6_1а, так что а и Ь пробегают группу &п, когда и и v пробегают &п. Заметим, что u2v~2 = (аЬа~г)Ь. Так как каждый элемент из 6П сопряжен со своим обратным, мультимножество элементов aba~1b (а, Ь Е бп) совпадает с мультимножеством элементов aba~1b~1. Таким образом, f(n) равно числу пар (a, b) Е &п х бп, таких, что ab = Ьа. (См. упр. 7.69(h).) Так как число к (а) элементов, сопряженных с а, равно индексу [&п 'С(а)] централизатора элемента а, то /(»)= J2#C(a)= ^^-=п1р(п), где р(п) — число разбиений числа п (число классов сопряженных элементов группы &п). Следовательно, F(x) = Y[(l-xi)-1. Можно дать менее концептуальное доказательство, рассматривая возможные цикловые типы перестановок и и v. Заметим, что приведенные выше рассуждения доказывают следующие общие результаты. Во-первых, для любой конечной группы G #{(м, v)eGxG:uv = vu} = k{G) • |G|, где k(G) обозначает число классов сопряженных элементов в G. (Этот результат был известен авторам работы Erdos Р., Turan P. Acta Math. Hung. 19 (1968), 413-435 (теорема IV, доказанная на с. 431).) Во-вторых (если использовать тот факт, что если аЬа~гЬ = 1, то Ь сопряжен с Ь-1), имеем #{(м, v) в G х G : и2 = v2} = \G\ • l(G), (5.124) где l(G) — число классов сопряженных элементов в группе G, обратных самим себе, т.е. таких классов сопряженности К, что w G К 4=> гу-1 G К. Этот результат также может быть доказан с помощью теории характеров, как это сделано в упр. 7.69(h) в ситуации, обобщающей нашу, для случая G = &п. Задача вычисления левой части равенства (5.124) была поставлена Стенли (Stanley R. Problem 10654, Amer. Math. Monthly 105 (1998), 272). 5.13. а. Гомоморфизм /: G —> &n определяет действие группы G на множестве [п]. Орбиты этого действия образуют
Решения упражнений 149 разбиение 7Г Е Пп. По экспоненциальной формуле (следствие 5.1.6) £#Hom(G,6n)^=exp(5>^Y где <^ — число транзитивных действий группы G на [d]. Такое действие получается выбором подгруппы Н индекса d в качестве стабилизатора некоторого элемента (например, 1) с последующим выбором (d — 1)! способами элементов 1 ф г G [d], соответствующих собственным смежным классам по подгруппе Н. Следовательно, 9d = {d— l)!jd? откуда и вытекает утверждение упражнения. Этот результат впервые появился (хотя и не в терминах производящих функций) в статье Dey I. Proc. Glasgow Math. Soc. 7 (1965), 61-79. Доказательство, приведенное здесь, появилось в работе Wohlfahrt К. Arch. Math. 29 (1977), 455-457. Некоторые обобщения см. в работах Muller Т. 3. London Math. Soc. (2) 44 (1991), 75-94; Inv. Math. 126 (1996), 111-131; Enumerating representations in finite wreath products, MSRI Preprint 1997-048 ^; см. также [16, §3.1]. Общий обзор, касающийся функции jd(G), представлен в статье Lubotzky A. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zurich, 1994), vol. 1, Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1995, pp. 309-317. b. Если xi,...,x8 — образующие группы Fs, то гомоморфизм tp: Fs —► &n определяется любым выбором элементов <p(xi). Отсюда вытекает, что #Hom(Fs,(5n) = n!s, и доказываемое утверждение следует из п. (а). Рекуррентное соотношение, эквивалентное формуле (5.89), было обнаружено в работе Hall М., Jr. Canad. J. Math. 1 (1949), 187-190, а также содержится в виде теоремы 7.2.9 в книге Hall М., Jr. The Theory of Groups, Macmillan, New York, 1959. Само соотношение (5.89) впервые появилось в [4.36, соотношение (21)]. Из формулы (5.89) Е. Бендер в своей работе Bender Е. SIAM Rev. 16 (1974), 485-515 (§5), вывел асимптотическое разложение для jd(Fs) при фиксированном s. По поводу дальнейших комбинаторных свойств функции jdffi) см. Dress A. W. М., Franz R. Bayreuth Math. Schr., No. 20 (1985), 1-8, и Sillke Т. In: Sera. Lotharingien de Combinatoire (Oberfranken, 1990), Publ. 1^См. также Advances in Math. 153 (2000), 118-154. — Прим. перев.
150 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Inst. Rech. Math. Av. 413, Univ. Louis Pasteur, Strasbourg, 1990, pp. 111-119. с. Пусть m | d. Выберем подгруппу H индекса т в группе G, и пусть N(H) обозначает ее нормализатор. Выберем некоторый элемент z е N(H)/H. Определим подгруппу К группы G х Z равенством К = {(w, da/m) eGxZiwe N(H), w = za в N(H)/H}. Тогда [GxZ:K] = d, и любая подгруппа К группы G х Z индекса d однозначно получается таким способом. (Этот факт — частный случай описания подгрупп прямого произведения двух произвольных групп. См., например, книгу Suzuki М. Group Theory I, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1982, с 141, переведенную с японского издания Gunron, Iwanami Shoten, Tokyo, 1977 и 1978.) Когда m и H выбраны, существует [N(H): Н] возможностей для z. Так как число подгрупп, сопряженных с Н, равно индексу [G:N(H)], легко убедиться, что т р z--' [G:H]=m Имеем jd(G xZ)=J2 txm(C?), (5.125) m | d и утверждение упражнения следует из п. (а) и упр. 1.40 ^. Замечание. Числа Ud(Fs) (где Fs — свободная группа с s образующими) были вычислены в работе В. Лисков- ца в ДАН БССР, 15 (1971), 6-9, по существу, с помощью равенства (5.90). Менее удачная формула для Ud(Fs) появилась в работе Kwak J. Н., Lee J. J. Graph Theory 23 (1996), 105-109. Заметим, что #Hom(Z x Fs,6n) = J2 (#CH)5> weGn где C(w) обозначает централизатор элемента w в &n (число элементов централизатора явно вычислено в равенстве 1>В упр. 1.40 показано, что для произвольной последовательности /ь /2) • • • £ С существует единственная последовательность а\, а,2, • • • € С, такая, что 1 + En^i irtxn = Fli^iC1 - х1)-<ч ; при этом ап = £ £dj п dgdfi(n/d), где In F(x) = Х)п>1 9пХп. — Прим. перев.
Решения упражнений 151 (7.17)). Используя (5.90), нетрудно получить формулу П ta^'r1^') = Ш1 -*drUd(F'\ которая эквивалентна формуле Лисковца для Ud(Fs). Заметим, что cm(n) = #Hom(Zm,6n). Теперь используем п. (с). Эквивалентный результат (сформулированный ниже) был впервые доказан в работе Брайана и Фулмана Bryan J., Fulman J. Annals of Combinatorics 2 (1998), 1-6. Замечание. Хорошо известно (и легко следует из упр. 3.49.5(c) или из равенства (5.125)), что J2 Jd(Zm-^d-* = C00C(* - 1) • • • С(* - m + 2), (5.126) где £ — дзета-функция Римана. По поводу истории этого результата см. работу Solomon L. In: Relations between Combinatorics and Other Parts of Mathematics, Proc. Symp. Pure Math. 34, American Mathematical Society, 1979, с 309- 330. Повторно применяя (5.90) или непосредственно используя (5.126), получаем формулу Брайана и Фулмана, а именно, -2- с2 n^O ii,...,im_i^l е. Согласно п. (а), мы хотим показать, что hk(n) = #Hom(6fc,6n). Пусть sm = (га, га + 1) е 6*, 1 ^ га ^ к — 1. Пусть задан гомоморфизм f:&k —► ©п; определим граф Vf на множестве вершин [п] таким образом, что между вершинами а фЬ имеется ребро цвета га, если f(sm)(a) = b. Можно доказать, что условия (i)-(iii) эквивалентны хорошо известным соотношениям Коксте- ра (см., например, Humphreys J. Е. Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1990, §1.9), которым удовлетворяют образующие sm группы 6fc. 5.14. а. Возьмем логарифм от обеих формул, вычтем одну формулу из другой и разрешим относительно у, получим 1+rly = ^nrt- <5-127>
152 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Сравнение с упр. 3.81(c) ^ (после исправления опечатки) показывает, что единственно возможное значение у — то, которое и было предъявлено. Поскольку эти шаги обратимы, получаем доказательство утверждения упражнения. Ь. Несмотря на то, что этот результат можно легко доказать, используя явную формулу (5.127) и тот факт, что ^Х>-(<)§ = */> мы предпочтем, как всегда, комбинаторное доказательство. Определим связную А-структуру на конечном подмножестве S множества Р как перестановку w = a\a2- — CLj множества 5, наименьший элемент которой, minai, — это а\. Определим вес f(w) перестановки w равенством f(w) = tl+d(w). Если #S = п, то легко видеть, что сп(0:=£/н4': m п=;? v [An-i(t), п>1, где w пробегает все связные А-структуры на S. По экспоненциальной формуле (следствие 5.1.6) имеем (хп \ _ хп tx + ^An-^t)— J = £ А. (*)-}-, где Mt)= £ <W*)---<W*)- 7r={5i,...,Bfc}€nn Пусть задана А-структура wi на каждом блоке В{ разбиения 7г, где порядок индексов выбран так, что minw;i > min W2 > • • • > min Wk; тогда конкатенация w = w\ • • • Wk — такая перестановка множества [n], что /W •••/(«;*) = *1+"(и,). Обратно, по заданной перестановке w Е &п можно однозначно восстановить w\,..., Wk, так как элементы min W{ 1^В упр. 3.81(c) было доказано, в частности, что 1+Х)п>1 * lAn(t)xn/n\ = (1 —t)/(ex^l~^ — 1), где An(t) — многочлен Эйлера. — Прим. перев.
Решения упражнений 153 являются минимумами перестановки w при чтении слева направо. (Ср. с биекцией &п —> &п из предложения 1.3.11), тесно связанной с нашей биекцией.) Следовательно, An(t) = y, tl+d(w) = Mt), weGn что и завершает доказательство. c. Из приведенных рассуждений следует, что число минимумов при чтении слева направо в перестановке w равно /с, числу блоков разбиения 7г. Доказываемая формула следует теперь непосредственно из рассуждений в примере 5.2.2. Этот результат принадлежит Карлицу и Сковил- лу (Carlitz L., Scoville R. A. J. Combinatorial Theory 22 (1977), 129-145 (соотношение (1.13)), причем их доказательство является более вычислительным, чем наше. Карлиц и Сковилль сформулировали свой результат в терминах числа циклов и превышений (которые они назвали «ups») перестановки ги, но биекция &п —► &п из предложения 1.3.1 показывает, что эти два результата эквивалентны. d. Если ai — минимум при чтении слева направо в перестановке w = а\ • • • ап, то либо г = 1, либо г G D(w). Следовательно, 1 + d(w) — m(w) ^ 0. Согласно п. (с), (1 + у)Ф = Х^ ( у^ qm(w)tl+d(w)-m(w)\ ^ откуда и следует утверждение упражнения 5.15. а. £;/(х)=ехр^-(г-1)!^- /2 к- И Т* Т* /Y»r*/ = (1-х)-1/2ехр/ 2 4 2(А - 1) b. Ef(x) = exp (|j- + 53<7ГJ = exp ( -x - у + xex). = (l-x)-/2exp(-ix2-ix3-ix4). 1^См. примечание переводчика в конце разд. 5.2. — Прим. перев.
154 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций d. Ef(x) = ехр (х + £ ~) = exp (f + —^) • г>2 5.16 а. См. Stanley R. In: Applied Geometry and Discrete Mathematics: The Victor Klee Festschrift, DIM ACS Series in Discrete Math, and Theor. Comput. Sci. 4, American Mathematical Society, 1991, pp. 555-570 (следствие 3.4). Было бы интересно найти прямое комбинаторное доказательство соотношения (5.91). Некоторое продвижение в этом направлении содержится в работе Chan С. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1992 (§3). b. Согласно предложению 5.3.2, число корневых деревьев на п вершинах равно nn_1, так что соответствующая экспоненциальная производящая функция равна ад=Е"п-15- п>1 Следовательно, по предложению 5.1.3 экспоненциальная производящая функция для наборов из к корневых деревьев равна R(x)k, а для неориентированных /с-циклов из корневых деревьев (т. е. графов с одним циклом, длина к которого больше или равна 3) равна R(x)k/2k. Пусть h(j, п) — число графов G на множестве вершин [п], таких, что каждая компонента содержит в точности один цикл, причем его длина нечетна и больше или равна 3, и G имеет всего j циклов. (Такие графы содержат ровно п ребер.) Тогда по экспоненциальной формуле (следствие 5.1.6) «рЕ^ОД»» t ехр- i(ln(l - Щх))-1 - 1п(1 + Я(х))-1) - R(x) = (l + R(x)\ \l-R(x)J t/4 e -tR(x)/2
Решения упражнений 155 Таким образом, jjn^l 1 + R(x)\1/2 „(х [\1-Л(а;) -Я(х) _ 1 ~ 2 Из формулы Д(ж) = хел^х^ 1 1 - Д(х) -1 + 1 - R(x) 1/2 ,-Я(х) + 1 легко вывести, что V- пХ" п>0 П\ !' 0"ВД = 1-5>-!) п-1 Ж" (5.128) п>1 П\ (первую из этих формул см. в упр. 5.42, вторая следует из соотношения (5.67)), так что получаем п\ 1 4 П>1 ' Х П>1 + 1 Тогда, согласно предложениям 5.1.1 и 5.1.6, экспоненциальная производящая функция для правой части равенства (5.91) имеет вид п—2 х где Т(х) = ^2п>1пП ^^Г — экспоненциальная производящая функция для свободных деревьев на множестве вершин [п], откуда и следует утверждение упражнения. Этот результат появился в работе Stanley R., цитп. выше (следствие 3.6). 5.17. а. Расставим в ряд всех п людей п\ способами. Разобьем этот ряд в к — 1 местах (]JZi) способами, где п— 1 — число мест между соседними людьми. Такое разбиение дает к рядов, но эти же самые к рядов могут быть получены в любом порядке, так что надо разделить число способов на к\ возможностей упорядочивания к рядов. Таким образом, всего будет fr(fcZi) способов. (Упр. 1.11(b) по существу совпадает с данным утверждением.)
156 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Положим /(п) = п\ и g(k) = xk в теореме 5.1.4 (или /(п) = хп\ в следствии 5.1.6). Имеем " ^-<-г1- г! J (1 это число способов линейно упорядочить г-элементное множество, скажем, zi,...,zr, а затем поместить а — 1 черточек в промежутках между элементами Zi или перед z\ (но не после zr), причем допускается любое число черточек в каждом промежутке. С другой стороны, ^п + (а — 1)к п — к 'Н":-+Л — это число способов поместить ак — 1 черточек В\,..., Bak-i (слева направо) в промежутках ряда из п — к точек или в начале и конце ряда, причем допускается любое число черточек в каждом промежутке. Поместим новую черточку Во в начало и новую черточку Bka в конец. Поставим новую точку прямо перед черточкой Bja при 1 ^ J ^ к. Теперь у нас имеется всего п точек. Заменим их перестановкой множества [п] п\ способами. Рассматривая конфигурацию между Вц-\)а и Bja при 1 ^ j ^ /с, мы убеждаемся, что наша структура эквивалентна такому упорядоченному разбиению множества [п] на к блоков, что каждый блок имеет линейное упорядочение zi,..., zr с а — 1 черточками в промежутках между элементами zi, причем допускаются черточки перед zi, но не после zr. Так как существует к\ способов «разупорядочить» к блоков, соотношение (5.92) вытекает из следствия 5.1.6 (экспоненциальная формула). Равенство (5.93) доказывается аналогично. По существу те же соображения были найдены X. А. Атанасиадисом, Г. Коном и Л. Шапиро (независимо). Эти тождества также легко доказать алгебраически. Например, хи _ ^ ик хк ^ / ^ /У ак \\ п\ хк и т.д. Выберем (£) способами некоторое (п — к) -подмножество Т множества [п]. Инъекцию g: Т —► [n]ui выберем (а + n)n-k способами. Таким образом, всего имеется (fc)(a + п)п-к возможностей выбора. Если г е [п] — Т
Решения упражнений 157 и г не является образом при отображении д, то будем считать {г} блоком разбиения 7Г (который, конечно, имеет единственное линейное упорядочение). Если г G [п] — Т и г = g(j) при некотором j, то существует единственное т е Т, удовлетворяющее условию дг(т) = г при некотором г > 1 и не являющееся образом при отображении д. Тогда будем считать т > д(т) > д2(т) > • • • > дг(т) = г линейно упорядоченным блоком разбиения 7Г. Оставшиеся элементы множества [п] (которые еще не попали в некоторый блок разбиения 7г) образуют множество 5, а сужение функции д на S дает /. е. Заметим, что и (а + j)j — число инъекций /: S —► S U А, где #*§ = j. Теперь используем предложение 5.1.1 и п. (Ь). Существует также простое алгебраическое доказательство, аналогичное приведенному в конце п. (с). Многочлены * к=0 ^ ' являются многочленами Лагерра. Использованный здесь комбинаторный подход принадлежит Фоата и Штрелю (Foata D., Strehl V. In: Enumeration and Design (D. M. Jackson and S. A. Vanstone, eds.), Academic Press, Toronto-Orlando, 1984, pp. 123-140). Они выводят много дополнительных свойств многочленов Лагерра, используя аналогичные комбинаторные рассуждения. Комбинаторные подходы в отношении других классических последовательностей многочленов рассматривались рядом исследователей; см., например, Viennot G. X. Une Theorie Combinatoire des Polynomes Orthogonaux, Lecture notes, Universite de Quebec a Montreal, Dept. de Maths., 1984; некоторые работы в книге Lecture Notes in Math. 1171, Springer-Verlag, Berlin, 1985 (в особенности с. 111-157); Labelle J., Yeh Y. N. Studies in Applied Math. 80 (1989), 25-36. См. также упр. 5.19 в качестве еще одного примера рассуждений такого типа. Дополнительную литературу см. в [2, с. xiv].
158 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.18. Если С — цикл длины п, то число различных циклов, которые являются степенями цикла С, равно ф(п) (так как различными будут циклы С-7 при 1 ^ j ^ п и (j,n) = 1). Следовательно, если С\,..., Cfc — циклы перестановки 7Г, то число перестановок, эквивалентных 7Г, равно Пг=1^(#^)- Отсюда следует, что е(п)= Y, (iIW7*)"1)' тгевп ^ г ' где С{ являются циклами перестановки я*. Далее воспользуемся следствием 5.1.9. Этот результат был сформулирован как проблема в работе Stanley R. Amer. Math. Monthly 80 (1973), 949, а решение было дано в статье Nijenhius А., там же, 82 (1975), 86-87. 5.19. Имеем Kn(a)Kn(b) = J2"ClMbCl((T\ 7Г,<7 где суммирование проводится по всем парам (7Г, а) инволюций в &п. Представим пару (7Г, а) графом G(7r, о) на множестве вершин [п], проводя красное (соответственно синее) ребро между вершинами i и j, если (г, j) — цикл перестановки 7Г (соответственно а). Если 7г(г) = г (соответственно а(г) = г), то мы рисуем красную (соответственно синюю) петлю в вершине г. (Таким образом, если 7г(г) = г и а(г) = г, то в вершине г будут две петли — красная и синяя.) Существует три типа компонент графа С(7Г, а): (i) Простая цепь с петлей на каждом конце и с 2к +1 ^ 1 вершинами, с чередующимися красными и синими ребрами. Имеется (2/c-f-l)! таких простых цепей, и все они имеют одну красную и одну синюю петлю. Таким образом, каждая такая цепь вносит множитель аЪ в слагаемое aCl^bCl^. (ii) Простая цепь, как и в (i), с 2к ^ 2 вершинами. Существует \{2к)\ простых цепей до того, как мы раскрасим ребра. Одна раскраска дает две красных петли, а другая — две синих, и, следовательно, в aCl^bCl^ вносятся множители а2 и Ь2 соответственно, (in) Цикл длины 2 к ^ 2 с чередующимися красными и синими ребрами. Имеется (2к — 1)! таких циклов, и все они не имеют петель. Таким образом, цикл вносит множитель 1 в aClWbClW.
Решения упражнений 159 Из следствия 5.1.6 (экспоненциальная формула) вытекает, что ^„п„ (1Л*п Г ,v- (2fc + l)b2fc+1 ^Кп{а)Кп{Ь)- = ехр \аЬ^ „.^ п! п>0 ». (2* + 1)! 1/2 ,2NV^(2fc)!a;2fc v^ (2fc-l)!x2fcl (l-x2)-V2exp^6X + "(a2 + b2)x2 1-х2 Многочлены Эрмита Hn{a) можно определить равенством 1 + V tf„(a)^- = exp(2ax - х2). (5.129) (Иногда используется другая нормировка, так что правая 2 часть равенства (5.129) превращается в ехр(аж — ^-).) В терминах многочленов Эрмита тождество (5.95) можно записать в виде £ Нп(а)Нп(Ь)^ = (1 - 4*2)-1/2 — Г*** - 4(а2 + *)*" п^О П ехр 1-4ж2 Это тождество называют формулой Мелера. М. Шютценбер- же предложил найти комбинаторное доказательство, и по существу приведенное выше доказательство было дано в работе Foata D. J. Combinatorial Theory (A) 24 (1978), 367-376. Дальнейшие результаты на эту тему см. в работах Foata D. Advances in Applied Math. 2 (1981), 250-259, и Foata D., Garsia A. M. In: Proc. Symp. Pure Math. (D. K. Ray-Chaudhuri, ed.), vol. 34, American Mathematical Society, Providence, RI, 1979, pp. 163-179. 5.20. а. Мы хотим интерпретировать xeB (F(x)) как экспоненциальную производящую функцию (э.п.ф.) для корневых В-графов на п вершинах. Согласно (5.20), В'(х) — э.п.ф. для блоков на (п + 1)-элементном множестве вершин, которые изоморфны некоторому блоку из В. Таким образом, по теореме 5.1.4 B'(F(x)) — э.п.ф. для следующей структуры на n-элементном множестве вершин V. Возьмем некоторое разбиение множества V, а затем разместим корневой В-граф на каждом блоке. Добавим новую вершину г>о и разместим блок из В на множестве корневых вершин и на вершине vo • Это эквивалентно рассмотрению В-графа бнап + 1 вершинах, корень которого находится
160 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций в вершине г>о? причем только один блок графа G содержит г>о- Из следствия 5.1.6 вытекает, что ев (F(x)) — э.п.ф. для следующей структуры на п-множестве V. Выберем разбиение 7Г множества V. Добавим корневую вершину va к каждому блоку А разбиения тт. На каждом множестве ^4U {va} разместим некоторый В-граф Ga, такой, что va содержится в одном блоке. Если отождествить все вершины va в одну вершину г;*, то мы просто получим В-граф G на множестве V U {v*}. Более того, если задан граф G, мы можем однозначно восстановить разбиение 7Г и графы Ga-> удалив v* из G, взяв связные компоненты оставшегося графа (их множества вершин будут блоками А) и добавив va к каждой компоненте, причем va соединяется с этой компонентой таким же образом, как вершина v* была соединена с этой компонентой. Значит, ев (F(*)) — э.п.ф. связных В-графов на множестве V U {г>*}, где #V = п. Наконец, из соотношения (5.19) следует, что хев (F(x^ — э.п.ф. для следующей структуры на n-множестве W. Выберем элемент w G W, затем добавим элемент ги* к W — {w} и разместим связный В-граф на множестве (W — {w}) U {ги*}. Это равносильно выбору w в качестве корня в W и размещению связного В-графа на множестве W. Другими словами, хев (F(x^ — э.п.ф. корневых связных В-графов на п вершинах, а значит, совпадает с F(x). Для того чтобы получить соотношение (5.97), подставим F^~^(x) вместо х в равенство (5.96) и разрешим относительно В\х) = En^i Ъ(п + 1)£г- Рис. 5.24. Разложение на блоки-деревья. На рис. 5.24 приведен пример разложения корневых связных В-графов, описываемого функцией хев (FW). Равенство (5.96) называется блочной теоремой о деревьях
Решения упражнений 161 и содержится в статье Форда и Уленбека (Ford G. W., Uhlenbeck G. Е. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 42 (1956), 122-128 (случай yo = 1 соотношения (5.7)). В действительности Форд и Уленбек доказывали более общий результат о том, сколько раз каждый блок может встречаться в В-графе G. Затем они использовали обращение Лагран- жа для получения того факта, что число В-графов на n-элементном множестве вершин с кв блоками, изоморфными J5, равно п! .п^вкв-1 кв кв\ п(^У где блок В содержит рв вершин. Пусть В — множество всех блоков без кратных ребер. В-граф — это просто связный граф без кратных ребер. Если F(x) и В{х) такие же, как в п. (а), из (5.37) и (5.21) получаем d 4 > fa /—• п\ dx 4ri n! Теперь воспользуемся соотношением (5.97). 5.21. Пусть и = и\---ип, где щ Е Л. Представим и как ряд из п точек и соединим две соседние точки, если они принадлежат одному слову из В в разложении слова и в произведение слов из В. Если 7Г = а\ • • • ап, то поместим а; под г-й точкой. Например, если и = и\ • • • щ, где и\ • U2U3U4 • щ • щи? • щщ — разложение слова и на слова из В, и если 7Г = 529367148, то мы получим диаграмму U\ U2 щ щ щ Uq щ us щ 529367148 Рассмотрим подпоследовательность р перестановки 7Г, состоящую из меток первых элементов каждой связной цепочки. Для приведенного выше примера мы получаем р = 52674. Проведем черточку перед каждым максимумом (кроме первого) при чтении слева направо последовательности р. Для р = 52674 максимумами при чтении слева направо будут 5, 6, 7. Таким образом, получится U\ U2 щ и± 5 2 9 3 иъ и6 и7 и8 щ 7 14 8
162 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Для каждой последовательности v букв щ, ограниченной соседними черточками, выпишем циклическую перестановку последовательности v, первый элемент которой соответствует наибольшему возможному элементу перестановки я*. Расположим элементы из 7Г, лежащие под v, в виде цикла. Для нашего примера получим uzu±u\U2 (5293) иъ (6) щщщщ (7148) Мы предоставляем читателю убедиться в том, что эта процедура дает искомую биекцию. Эта биекция принадлежит Гесселю. 5.22. Для того чтобы построить граф, каждая компонента которого является циклом, на множестве вершин [п + 1], сначала выберем такой граф G на множестве вершин [п] (L(n) способами). Затем добавим в него вершину п + 1 либо как изолированную (1 способ), либо путем ее вставки в середину выбранного ребра е графа G (п способов). Каждый допустимый граф на множестве [п + 1] появится ровно один раз, за исключением того случая, когда два способа вставки вершины п + 1 в 2-цикл (двойное ребро) приводят к одному и тому же графу. Существует Q) возможных ребер, и каждое из них содержится в L(n — 2) графах. Следовательно, L(n -f 1) = (n -f l)L(n) — {£)L(n — 2), что и требовалось. Этот результат был впервые доказан в работе Schur I. Arch. Math. Phys. Series 3 27 (1918), 162, при помощи менее комбинаторных рассуждений. См. также [53, задача VII.45]. 5.23. Пусть iV — облако. Отождествим прямую 5{ с вершиной г, а пересечение Si П Sj е N с ребром {г, j}. Это упражнение заимствовано из [2.3, с. 273-277]. Связь между облаками и графами восходит к Уитворту (Whitworth W. A. Choice and Chance, Bell, 1901 (переиздано в Hafner, 1965), упр. 160, с. 269). Уитворт ошибочно утверждал, что с(п) = |(п — 1)!. Его ошибка была исправлена в работе Robinson R. Amer. Math. Monthly 58 (1951), 462-469, автор которой получил рекуррентное соотношение для с(п), приведенное в примере 5.2.8 (где вместо с(п) использовано обозначение Т*(2)), и доказал его простым комбинаторным рассуждением. Производящая функция (5.29) была получена из этого рекуррентного соотношения в редакционной заметке [19] и использовалась для завершения вывода асимптотической формулы для с(п), частично найден-
Решения упражнений 163 ной Робинсоном. Некоторые свойства конгруэнтности чисел с(п) позднее были приведены Карлицем в работах Carlitz L. Amer. Math. Monthly 61 (1954), 407-411, и 67 (I960), 961- 966. 5.24. а. Согласно примеру 4.6.33(b), множество вершин V(En) многогранника Еп удовлетворяет условию V(En) С < -(Р + Рг) : Р — перестановочная матрица размера п х п >. И нетрудно проверить непосредственно, какие из матриц \{Р + Рг) действительно являются вершинами. См. Katz М. J. Combinatorial Theory 8 (1970), 417-423 (теорема 1). b. Пусть \{Р + Рг) е V(En). Предположим, что Р соответствует перестановке я* множества [п]. Определим граф G = G(P) на множестве вершин [п], соединив г и j ребром, если 7г(г) = j или 7r(j) = г. В силу п. (а) компоненты графа G — одиночные вершины с одной петлей, одиночные ребра или циклы нечетной длины, большей или равной 3. Кроме того, каждый такой граф G соответствует единственной вершине многогранника Еп (хотя не обязательно единственной матрице Р). Существует один способ разместить петлю в одной вершине или ребро на двух вершинах и | (2г)! способов разместить цикл на 2г + 1 ^ 3 вершинах. Следовательно, £ М(п)- = ехр (х + - + J2 -(*)! —$J (х X2 1 v-^ X2i+1 \ = eXPU + T+2g2?TTj = 6ХР (I + f + i(ln(1 _ Х)~Х ~ Ы(1 + Х)_1)) /1+х\1/4 /* ж2\ = (т^; ехри+т> Эквивалентный результат (но не сформулированный в терминах производящих функций) содержится в работе Katz М., цит. выше (теорема 2).
164 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций с. Прологарифмируем соотношение (5.98), а затем продифференцируем; тогда $><» + !>£ П>0 п>0 ' iln(l + x)-jln(l-x) + | + y £"<»£) (*rbr И" Умножив на 2(1 — х2) и взяв коэффициент при хп/п\ в обеих частях, получим М(п + 1) = М(п) + п2М(п - 1) IМ(п - 2) - п(п - 1)(п - 2)М(п - 3). 0- Это рекуррентное соотношение впервые появилось (с опечаткой) в [6.70, пример 2.8]. 5.25. а. Этот результат был сформулирован без доказательства (в более сложном, но эквивалентном виде) Кацем в работе Katz М. J. Combinatorial Theory 8 (1970), 417-423, и доказан им же в 3. Math. Anal. Appl. 37 (1972), 576-579. b. Проводя те же рассуждения, что и при решении упр. 5.24(b), будем считать, что граф G, соответствующий некоторой матрице, в качестве компоненты может иметь одиночную вершину без петли. (Удаление единицы с главной диагонали превращает петлю в вершину без петли.) Таким образом, если применить экспоненциальную формулу аналогично тому, как это делалось в упр. 5.24(b), мы получим дополнительный множитель ех. (Неверная производящая функция приведена в [6.70, пример 2.8].) c. Как и в упр. 5.24(c), получим e«-<»+i>S=(e«»S)(^+H- откуда вытекает равенство М*(п + 1) = 2М*(п) + п2М*(п - 1) - 3 (ЛМ*(п - 2) - п(п - 1)(п - 2)М*(п - 3). Существует ли комбинаторное доказательство, аналогичное приведенному в упр. 5.22?
Решения упражнений 165 5.26. Пусть задано множество X, и пусть Т>(Х) обозначает множество всех таких подмножеств S множества 2х — {0}, что любые два элемента из S либо не пересекаются, либо сравнимы. Будем писать Т>(п) вместо Р([п]). Так как при п ^ 1 условия S Е V(ri) и [п] £ S выполняются тогда и только тогда, когда [n] £ S и S U {[п]} Е Т>(п), то, следовательно, F(x) = l-\-2G(x). Далее, пусть S Е £>(п), и рассмотрим S как ч. у. множество, упорядоченное по включению. Нетрудно видеть, что S — дизъюнктное объединение корневых деревьев, в котором сыновья каждой вершины — попарно не пересекающиеся подмножества множества [п]. Значит, множество S может быть однозначно получено следующим образом. Выберем разбиение п = {j?i,..., В к} множества [п]. Для каждого блока Вi разбиения 7Г выберем такое множество Si Е T>(Bi), что Bi G Si (g(#Bi) способами). Если #В{ = 1, то можно выбрать Si и так, чтобы Bi & Si. Наконец, положим S = \JSi. Так как существует g(#Bi) возможностей выбора для каждого Si и один дополнительный вариант, когда #Bi = 1, то из следствия 5.1.6 вытекает, что F(x) = ex+G(x). Это упражнение принадлежит А. Гесселю. 5.27. Пусть задано дерево Теп помеченными ребрами. Выберем п+1 способами некоторую вершину дерева Т и пометим ее 0. Затем «вытолкнем» метку каждого ребра в вершину этого ребра, более удаленную от 0. Мы получим биекцию между (a) (п+ 1)е(п) способами выбрать дерево Т и вершину 0 и (b) (п + l)n_1 способами выбрать помеченное дерево на п+1 вершинах. Следовательно, е(п) = (п 4- 1)п_2. Эта биекция (хотя и не явная формула е(п) = (п + 1)п_2), по существу, содержится в статье Riordan J. Acta Math. 97 (1957), 211-225 (см. равенство (17)), хотя возможны и гораздо более ранние ссылки. 5.28. Предположим, что дерево Т на множестве вершин [п] имеет упорядоченную последовательность степеней (di,..., dn) (т.е. у вершины г имеется di смежных вершин), где, следовательно, ^2 di = 2п — 2. Выберем вершину степени один (лист) и к уже построенному графу по одной присоединим вершины, не нарушая связности графа. Раскрасим каждое ребро в момент присоединения его к графу. Для первого ребра у нас имеется к возможностей выбора цвета. Если у вершины степени d одно ребро уже раскрашено, то имеется (d — l)!(dIi) способов раскрасить остальные. Из теоремы 5.3.4 легко еле-
166 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций дует, что число свободных деревьев с упорядоченной последовательностью степеней (d1?..., dn) равно мультиномиальному коэффициенту ( п~2 )■ \di - l,d2 - l,...,dn - 1/ Значит, полное число к -реберных раскрашенных деревьев равно Tfc(n) = *(»-2)! £ fi(kd~-\) di+-+d„=2n-2 i=l ^ г ' = к(п- 2)![xn"2]((l + x)k~l)n = к(п- 2)l((fc "l1^). Этот результат принадлежит Гесселю (частное сообщение). Существует ли простое биективное доказательство?1^ 5.29. а. Если F G Рп имеет ранг г, то удаление любого из г ребер леса F дает элемент, покрываемый F. Значит, F покрывает г элементов. Чтобы получить элемент, покрывающий F, выберем п способами вершину v графа F, а затем выберем связную компоненту Т графа F, не содержащую v, (п — i — l) способами. Прикрепим корень компоненты Г под v. Таким образом, F покрывается (п — г — 1)п элементами. Ь. Пусть М(п) обозначает число максимальных цепей в ч. у. множестве Рп. Максимальная цепь получается выбором г(п) способами максимального элемента ч. у. множества Рп, затем п — 1 способами элемента, покрываемого им, и т.д. Значит, М(п) = г(п)(п — 1)!. С другой стороны, мы можем выбрать максимальную цепь, начиная с 0, выбирая элемент и, покрывающий 0, (п— 1)п способами, затем элемент, покрывающий и, (п — 2)п способами и т.д. Значит, М(п) = пп~1{п — 1)!, так что r(n) = пп~1. Это элегантное доказательство содержится в работе Pitman J. J. Combinatorial Theory (A), 85 (1999), 165-193. Аналогичные рассуждения можно использовать для вычисления числа Pfc(n) корневых лесов на множестве [п] с к компонентами (т.е. числа элементов в Рп ранга п — к), что мы уже сделали в основном тексте с помощью других методов (предложение 5.3.2 и пример 5.4.4). Заметим 1> Биективное доказательство, основанное на кодах Прюфера, принадлежит Кембриджскому комбинаторно-кофейному клубу (Cambridge Combinatorics and Coffee Club), декабрь 1999 г. — Прим. автора при переводе.
Решения упражнений 167 также, что Рп с добавленным элементом 1 является треугольным ч. у. множеством в смысле упр. 3.79 ^ (за исключением того, что не все его максимальные цепи имеют бесконечную длину)2). с. Ч. у. множество Рп является симплициалъным, т. е. каждый интервал [0, t] изоморфен булевой алгебре. (Фактически Рп — ч. у. множество граней некоторого симпли- циального комплекса.) Из примера 3.8.3 и рекуррентного соотношения (3.14), определяющего функцию Мёбиуса, следует, что /х„ :=/х(бД) = -Рп(п) + Pn-i{n) ±pi(n), где рк{п) обозначает число корневых лесов на множестве [п] с к компонентами. Если Щх) обозначает экспоненциальную производящую функцию для корневых деревьев (определенных в разд. 5.3), то по экспоненциальной формуле (следствие 5.1.6) получаем £- = 1 - е-д(-*>. п! Теперь воспользуемся второй формулой из (5.128). 5.30. Первое решение. Линейно упорядочим множество Я U 5, считая, что 1^-^r^l'^-^s'. Для заданного дерева Т определим последовательность Ti,T2,... ,Tr+s_2 следующим образом. Положим Т\ = Т. Если г ^ г -f s — 2 и Ti уже определено, то определим Т$+1 как дерево, полученное из Ti удалением его наибольшего листа vi (вместе с ребром, инцидентным вершине vi). Для каждого г определим также пару (щ,и[) последовательностей (или слов) щ Е Д* и и\ Е S* следующим образом. Положим (ио,и'0) = (0,0), где 0 обозначает пустое слово. Пусть U — единственная вершина дерева Т;, смежная с V{. Если U Е Я, то положим (щ,и[) = (ui-iti-i^u'^i). Если t{ G 5, то положим (щ,и[) = (i/i-ijiz^ti). Таким образом, для дерева Т мы получаем пару слов (и,и') = (ur+s-2,ufr+s_2), где £ х) Локально конечное ч. у. множество Р с элементом б, в котором любая максимальная цепь бесконечна и любой интервал [х, у] градуирован (а следовательно, имеющее ранговую функцию р) называется треугольным, если существует функция В: {(i,j) G №, г < j} —► Р, такая, что любой интервал [х, у] ч. у. множества Р, где р(х) = тп и р{у) = п, имеет В(тп,п) максимальных цепей. — Прим. перев. 2) Дальнейшие результаты, касающиеся Рп и связанных с ним ч. у. множеств, содержатся в работе Kozlov D. N. J. Combinatorial Theory (A) 88 (1999), 112-122. — Прим. автора при переводе
168 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций fir+s_2 € #*_1? ^r+s-2 € S*-i- Как и в пФвом доказательстве предложения 5.3.2, соответствие Т i—► (г/, г/') является биекцией между свободными двудольными деревьями на (Д, S) и множеством Д£_1 х S*_x. Кроме того, вершина t встречается в и и и' на один раз меньше, чем ее степень, откуда следует (5.100). 14 3 2 4' 2' 3' 5' 1' Рис. 5.25. Помеченное двудольное дерево. Пример. Для дерева Г на рис. 5.25 имеем (и,и') = (3113, З'1'З'), и Т? состоит из одного ребра, соединяющего 1иЗ'. Второе решение. Существует rssr функций /: RUS —> RUS, удовлетворяющих условиям /(Д) С S и /(S) С Д. Пусть Df обозначает орграф такой функции /. «Циклическая часть» орграфа Df соответствует перестановке 7г некоторого подмножества Ri U S\ множества Rl)S, где tt(Ri) = S\ и tt(Si) = R\. Линейно упорядочим Ri U Si, считая, что a[ < a\ < a'2 < 0,2 < • • • < o!j < a^ где a[ < a'2 < • • • < o!^ и a\ < CL2 < • • - < dj как целые числа. Это линейное упорядочение позволяет записать перестановку 7г как слово w = bib[b2b'2 • • • bjbj, где тт{а[) = 6^, тг(аг) = Ь[. Рассмотрим слово w как простую цепь Р в (двудольном) графе. Замкнем цикл, соединив концевые точки Ь\ и &'• ребром. Прикрепим к каждой вершине t простой цепи Р дерево, которое прикреплено к t в орграфе Df (удалив стрелки с ребер). В результате получим двудольное дерево Т на (Д, S) с одним корнем в Д и другим корнем в S. Как и во втором доказательстве предложения 5.3.2, отображение / ь-> Г является биекцией между функциями /: Д U S —► Д U S, удовлетворяющими условиям /(Д) С S и /(S) С Д, и «двукорневыми» деревьями на (Д, S) с корнем в Д и корнем в S. Кроме того, если t — не корень, то degTt = 1 + #/-1(£)> тогда как если t — корень, то degTt = #/_1(t). Отсюда следует, что Е(«.»ь)(«г1-«г-1)(»г1-»71)Е (lKgi) (П к? b'£S = (xi + • • • + xr)s(yi + • • • + i/s)r, (5.130)
Решения упражнений 169 где Т пробегает все свободные двудольные деревья на (Я, S). Тогда (5.100) непосредственно следует из соотношения (5.130) Пример. Пусть Т такое, как на рис. 5.25. Предположим, что в качестве корней мы выбрали 4 и 1'. Соответствующей простой цепью Р будет 43'31', так что циклическая часть функции /, записанная в виде двух строк, совпадает (V 3 3' 4 \ с . ~, ~ -, ] и в цикловой записи равна (1',4)(3',3). Орграф Df показан на рис. 5.26. Рис. 5.26. Орграф Df функции f:RUS->RuS. Число c(Krs) остовных деревьев графа Krs было впервые получено (отличными от приведенных здесь методами) в работах Fiedler М., Sedlacek J. Casopis pro Pestovdni Matematiky 83 (1958), 214-225; Austin T. L. Canadian J. Math. 12 (I960), 535-545 (частный случай теоремы II); Scoins H. I. Proc. Camb. Phil. Soc. 58 (1962), 12-16. 5.31. а. Очевидно. b. Пусть дана функция /: S —> T, и пусть Df — орграф с множеством вершин SUT и ребрами 5 —► f(s) при s G S. Теперь фиксируем А С [п] и рассмотрим сумму ^ = £Пж*(ф (5-131) д г£А где д пробегает все ациклические (т. е. такие, что Dg не содержит циклов) функции д: А ^ AU {п + 1}. Тогда Dg — ориентированное дерево с корнем п + 1, а степень переменной Xj в произведении, входящем в соотношение (5.131), равна (degj) — 1, если j ф п + 1, и deg(n + 1), если j = п + 1, где deg/c обозначает полное число вершин, смежных с к (направления ребер не учитываются). Так как корень и ориентацию орграфа D9 можно определить по исходному свободному дереву на Аи{п+1}, из теоремы 5.3.4 следует, что FA = хп+11хп+1 +^Хг \ ^ г£А '
170 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Далее рассмотрим h г£А' где h пробегает все функции h: Af —► Af U [n -f 2]. В силу п. (а) имеем (\п-фА Хп+2 +YlXi) г£А' ' Если теперь /: [п] —► [п + 2], то компонента орграфа D/, содержащая п+1, будет равна £>р для единственного множества А С [п] и ациклической функции д: А —► AU {п+1}. Оставшаяся часть орграфа Df равна Dh для единственной функции h : А' —► A' U {п + 2}. Таким образом, п (а* + • • • + жп+2)п = 53 П ЖЛ0 = 53 FaGa' /: [n] —[п+2]г=1 AC[n] откуда и следует утверждение упражнения. Этот результат равносилен результату, приведенному в работе Hurwitz A. Acta Math. 26 (1902), 199-203. См. также [2.3, упр. 20, с. 163] и [41, упр. 2.3.44-30]. Доказательство, приведенное здесь, — сокращенный вариант доказательства Франсона из работы Prangon J. Discrete Math. 8 (1974), 331-343 (повторенного в [2.3, с. 129-130]). Франсон использует элегантное «кодирование» функций [п] —► [п], введенное в работе Foata D., Fuchs A. J. Combinatorial Theory 8 (1970), 361-375, и систематически выводит много сопутствующих результатов. Некоторое обобщение см. в статье Stam A. J. J. Math. Anal. Appl. 122 (1987), 439- 443. С. В П. (Ь) ПОЛОЖИМ £n+l = X, Жп+2 = У + TIZ, Х\ — Х2 = •" = хп = —z и соберем вместе все А, такие, что #А = к. Это известное тождество, одно из нескольких эквивалентных, называется «тождеством Абеля» (см. четвертую формулу упр. 5.37(b)) и получено в работе Abel N. J. Reine Angew. Math. (=Crelle's J.) 1 (1826), 159-160, см. также Abel N. Oeuvres Completes, vol. 1, p. 102. Некоторые другие доказательства см. в [2.3, с. 128-129] и [41, упр. 1.2.6-51]. Дополнительную литературу см. в работе Gould Н. W. Атег. Math. Monthly 69 (1962), 572. Комбинаторное исследование многих тождеств, связанных с тождеством Абеля, см. в статье Strehl V. Discrete Math. 99 (1992), 321-340.
Решения упражнений 171 d. Это эквивалентно случаю х = 1, у = n, z — — 1 п. (с). (Можно также получить непосредственное доказательство, рассматривая функции [п] —► [п+ 1].) 5.32. а. Фиксируем j Е Р. Пусть задано корневое дерево т, и пусть w(r) = n^jjfc? гле дерев0 г имеет а& вершин на расстоянии к от корня. Простым уточнением соотношения (5.41) получаем У v ^ги(т) — = tjo^e ^ = bj, например, n^l где г пробегает все корневые деревья на [п]. Далее, пусть С — набор из j таких деревьев т\,..., Tj, размещенных в виде j-цикла, и положим w(C) = Ylw(rt)- Тогда £[£«Н^ = £Н п>1 L С т3 где С пробегает все «циклы из корневых деревьев» на множестве вершин [п], так как по предложению 5.1.3 Ед- перечисляет наборы (ri,..., tj) из j корневых деревьев и каждый j-цикл соответствует j различным наборам. Наконец, по следствию 5.1.6 экспоненциальная производящая функция объединений непересекающихся циклов корневых деревьев на множестве [п] (или орграфов функций /: [п] —> [п]) дается формулой Т.-Л ехр mJ что и требовалось. Zn(tjk = 1) есть в точности число пп функций /: [п] —> [п], откуда следует первое равенство. Второе равенство является следствием соотношения (5.41) и предложения 5.3.2. Необходимое и достаточное условие выполнения равенства /а = fa+b состоит в том, что (i) длина каждого цикла орграфа Df делит Ь и (ii) каждая вершина орграфа Df находится на расстоянии, не превосходящем а, от цикла. Отсюда следует п. (с), если подставить в п. (а) j 1, если j | Ь и к ^ а, I 0 в противном случае.
172 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций d. Так как / = /1+ь при некотором Ь Е Р тогда и только тогда, когда каждая вершина орграфа D/ находится на расстоянии, не превосходящем единицы, от цикла, то из п. (а), подставляя tjo — tj\ = 1, tjk = 0 при к > 1 (или из п. (с), полагая b = т\ и т —>оо), получаем, что У^ h(n)— = ехр^ -(хеху = expln(l - хех)~1 = (1-хех)~1 = ^xmemx откуда и следует соотношение (5.104). Полагая Ь = 1 в соотношении (5.103), получаем ^п ~.тртх E^(n)Ь.=expxeX = ^Чг> (5-132) откуда (5.105) вытекает таким же образом, как равенство (5.104). e. Заметим, что / удовлетворяет соотношению fa = /a+1 при некотором a Е Р тогда и только тогда, когда длина каждого цикла орграфа Df равна единице. Значит, нас интересует число корневых лесов на множестве [п], которое по предложению 5.3.2 равно (п + 1)п-1. f. Хотя этот факт, безусловно, можно доказать с помощью производящих функций, существует очень простое прямое доказательство. А именно, для каждого г Е [п] существует п — 1 возможностей выбора /(г). Значит, существует (п — 1)п таких функций. Заметим, что доля Р(п) функций /: [п] —> [п], не имеющих неподвижных точек, равна (п — 1)п/пп, так что limn_ocP(n) = 1/е. Из равенства (2.12)^ следует, что это значение также является пределом для доли перестановок /: [п] —> [п] без неподвижных точек. Равенство (5.101) можно получить из общей «композиционной теоремы», полученной в работе Harris В., Schoenfeld L. In: Graph Theory and Its Applications (B. Harris, ed.), Academic Press, New York-London, 1970, pp. 215- 252. В этой работе равенство (5.102) по существу выведе- 1) Согласно формуле (2.12), число D(n) перестановок из ©п без неподвижных точек равно D(n) = п!(1 — -fr + ^г — ^т + • • • + п/ )• — Прим. перев.
Решения упражнений 173 но, хотя и не выписано явно. Частные случаи равенства (5.102) появлялись в более ранних работах; в частности, равенства (5.105) и (5.132) получены в статье Harris В., Schoenfeld L. J. Combinatorial Theory 3 (1967), 122-135, вместе с достаточно обширной дополнительной информацией, касающейся числа д(п) идемпотентов в симметрической подгруппе Лп. По-видимому, первая явная формулировка равенства (5.102) приведена в [3.16, §3.3.15, упр. 3.3.31], а некоторое уточнение появилось в [16, §3.2]. Асимптотические свойства полугруппы Лп см. в работах Harris В. 3. Combinatorial Theory (А) 15 (1973), 66-74, и Harris В. In: Studies in Pure Mathematics, Birkhauser, Basel-Boston-Stuttgart, 1983, pp. 285-290. 5.33. Функции с и 2 - ( ке являются мультипликативными, так что теорему 5.1.11 применить нельзя. Так как (2-o-1 = J2(<:-i)k, то правильной производящей функцией будет не вызывающая интереса функция ад = £/<*>(*), где f(x) = f^(x) = ех — х — 1 (полагаем f^(x) = х). 5.34. а. Непосредственное обобщение теоремы 5.1.11. b. Пусть £: Р —> К определяется формулой £(п) = 1 при всех п. Таким образом, С2(п) = Qn и С-1(п) = Мп- Так как </?(£) = efc(x), утверждение этого упражнения следует из п. (а). c. Определим £*: Р —> К равенством C*(n) = tn'• Тогда Xn(t) = Kt(n). Имеем *«.> = X>"<^=(~1/4<t,/'x)' тогда как <p(/j,) = е^~ (х). Таким образом, соотношение (5.106) следует из п. (а). При к = 2 соотношение (5.106) превращается в равенство ж2п+1 <E^(t2)(^Tl)T = sh(*sh-1x).
174 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Для того чтобы получить равенство (5.107), используем упр. 1.44(c)1). Дальнейшие результаты, касающиеся Фп и связанных с ним ч.у. множеств, см. в статьях Calderbank A. R., Hanlon P. J., Robinson R. W. Proc. London Math. Soc. (3) 53 (1986), 288-320; Sundaram S. Contemp. Math. 178 (1994), 277-309, и в работах, приведенных в последней статье. 5.35. а. Пусть Т — плоское дерево сп+1 вершинами, у которого Si внутренних вершин имеют по г сыновей. Пометим вершины дерева Т числами 0,1,..., п в соответствии с df-порядком. Пусть 7г(Г) — разбиение множества [п], блоки которого — это множества вершин с общим отцом. Это устанавливает биекцию с непересекающимися разбиениями множества [п] типа Si,...,sn, и доказательство вытекает из теоремы 5.3.10. Этот результат был впервые доказан (с использованием других средств) в работе Kreweras G., Discrete Math. 1 (1972), 333-350 (теорема 4). Биективное доказательство, набросок которого приведен выше, было впервые получено П. Эдельманом (не опубликовано). Позднее, независимо, Дершовиц и Закс (Dershowitz N., Zaks S. Discrete Math. 62 (1986), 215-218) построили ту же биекцию между плоскими деревьями и непересекающимися разбиениями, хотя они не упоминали явно перечисление непересекающихся разбиений по типу. Ь. Предположим, что char if = 0. В силу п. (а) при п > 0 имеем h(n)= J2 /(!)S1/(2)S S1+2S2H—=n (n) fc-1 Si!s2!--- = x>)*-ii*nr % ' = [xn\ / a+trdt jfe k- J° ~[ J n+l ~[ J n+1 ■ Отсюда по формуле обращения Лагранжа (теорема 5.4.2, в которой к = 1 и п заменено на п + 1) получаем *' Согласно упр. 1.44(c), формула для коэффициентов степенного ряда sin^sin"1 х) имеет вид ап = £п^0 ^ ~ l2)(*2 " З2) • • • (*2 - (2п - I)2)^^. — Прим. перев.
Решения упражнений 175 и утверждение следует отсюда при char if = 0. Результат в ситуации char К = р — простое следствие случая характеристики нуль. Этот результат принадлежит Шпайхеру (Speicher R. Math. Ann. 298 (1994), 611-628 (с. 616)). В своем доказательстве Шпайхер обходится без использования п. (а), так что в действительности он выводит п. (а) из соотношения (5.108) (см. следствие 1 в упомянутой статье). с. Это может быть доказано рассуждением, аналогичным п. (а), хотя подробности оказываются сложнее. Этот результат содержится в работе Nica A., Speicher R. J. Alg. Combinatorics 6 (1997), 141-160 (теорема 1.6), и связан со «свободной теорией вероятностей», разработанной Д. Войкулеску. (См. также работу Speicher R. Мет. Атег. Math. Soc. 132, No. 627 (1998), и статью Speicher R. Sera. Lotharingien de Combinatoire (электронный журнал) 39 (1997), B39c, доступную по адресу http: //www.mat. univie ac.at/~slc.) Замечание. Если положить £(n) = 1 при всех п, то функция h = /С будет той же, что и в п. (Ь). Так как Гс = 1/(1 + ж),то / \<_1) 1 / \(_1) (х>>-) —(§'«*") • Из случая С(х) = 1/(1 + х) упр. 5.51 следует, что эта формула эквивалентна соотношению (5.108). 5.36. а. Пусть и = (|(1 + 2х - ех))<"1> и v = (1п(1 + 2х) - x)<~V. Таким образом, 1-\-2и — 2х = еи. Если заменить и на, x-\-w, получится соотношение 1 + 2w = ех+™, откуда г</-1^ = 1п(1-Ь2ж)—х. Следовательно, w = г;, так что у = u — v = х. b. Из равенств (5.27), (5.99) и п. (а) этого упражнения следует, что Et(2x) — Ед(х) = ж, откуда непосредственно получается утверждение упражнения. c. Степенным деревом назовем подмножество булевой алгебры Вп типа, перечисляемого функцией д{п). Полное разбиение 7Г множества [п] (где п > 1) представим в виде дерева Т, как показано на рис. 5.3. Удалим любое подмножество листьев дерева Т; всего существует 2П способов это сделать. Метки оставшихся вершин образуют степенное дерево. Это соответствие сопоставляет каждому полному разбиению множества [п] 2п степенных деревьев так, что каждое степенное дерево появляется ров-
176 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций но один раз, что дает п. (Ь). Это элегантное рассуждение принадлежит К. Ян. 5.37. а. Сначала заметим, что (ii) и (ш) очевидным образом эквивалентны, так как f(u) = m]Tn>0pn(l)^r. Пусть верно (ii); тогда (i) получается разложением по степеням и обеих частей тождества (expxf(u))(expyf(u)) = ехр(х + y)f(u). Обратно, пусть верно (i). Запишем L(x,u) =\п^2рп(х)— . Из (i) следует, что L(x,u) -f L(y,u) = L(x -f у, и), откуда легко получить, что L(x, и) = xf(u) при некотором f(u) = а\и -f CL2U2 Н (причем а\ ф 0). Равносильность (i) и (iv) см. в работах Rota G.-C, Mullin R. С. In: Graph Theory and Its Applications (B. Harris, ed.), Academic Press, New York, 1970, pp. 167-213 (теорема 1), или Rota G.-C, Kahaner D., Odlyzko A. M. J. Math. Anal. Appl. 42 (1973), 684-760 (теорема 1). В этих двух статьях разрабатывается красивая теория «исчисления конечных операторов», имеющая много приложений в анализе и комбинаторике. Дополнительную информацию и ссылки см. в книге Roman S. The Umbral Calculus, Academic Press, Orlando, 1984. Асимптотические свойства многочленов биномиального типа см. в статье Canfield Е. R. 3. Combinatorial Theory (А) 23 (1977), 275- 290. b. V- пиП > х —г = ехржг*, ^—' п! п EU71 {х)п— = (1 + и)х = ехр[ж 1п(1 + и)], п\ п ^х(тг)^ = (1 - и)~х = exp[xln(l - и)"1], П ^2%{х -an)71-1— = ехр х ^(-ап)71"1 —, ££S(n,*)zfc^=exps(ett-l), п к
Решения упражнений 177 V^V4 п}-{П+ (а ~ 1)^ ~" 1\ киП _ XU 1^2^у\ п_к )х ы ~exp(i-^' п к v ' v ' n fc ^ ' Еще один интересный пример, для которого явная формула неизвестна, — это многочлены n\Qn(x) из упр. 4.37. Другие два примера см. в упр. 5.38. c. Работы Rota, Mullin, цит. выше (теорема 2), и Rota, Kahaner, Odlyzko, цит. выше (теорема 3.2). d. Работы Rota, Mullin, цит. выше (следствие 2), и Rota, Kahaner, Odlyzko, цит. выше (следствие 3.3). e. Пусть д(и) = En^oPn(l)^, так чт0 по п- (а)(ш) име~ ем ^2п^оРп(х)^ = 9(и)х- Согласно упр. 5.58, существует степенной ряд f(u), удовлетворяющий соотношению f(u)x = У -^-[и"]д(иГ+ап = У Х ^{х + ап) JK } Vx + a^ ^х + an п! и утверждение упражнения следует из п. (a)(iii). Этот результат как часть предложения 7.4 (с. 711) появился в работе Rota, Kahaner, Odlyzko, цит. выше. Версия доказательства, приведенная здесь, была предложена Рейнсом. 5.38. а. Это следует из примера 3.15.8^ и условия (iii) упр. 5.37(a). Ь. Вместо примера 3.15.8 надо воспользоваться соотношением (5.77). 5.39. Пусть д(п) (соответственно h(n)) — число последовательно- параллельных ч.у. множеств на множестве [п], которые не могут быть представлены как нетривиальное дизъюнктное объединение (соответственно порядковая сумма). Пусть ОД = En^i9(n)xn/nl и Н(х) = Y,n>iHn)xn/n\. Легко видеть, что каждое последовательно-параллельное ч. у. множество, содержащее более одного элемента, является либо дизъюнктным объединением, либо порядковой суммой, но не тем и другим одновременно. Значит, F(x) = G(x) + Н(х) - х. (5.133) Каждое последовательно-параллельное ч. у. множество Р является однозначно определенным дизъюнктным объединением Р\ Н Ь Рк ? где каждое Pi представимо в виде дизъюнктного объединения лишь тривиальным образом (т.е. связно). 1)Пусть Zn(\) — дзета-многочлен n-интервала [ж,у] биномиального ч.у. множества Р с факториальной функцией В. Тогда Х)п>о ^п(У)хп/В(п) = (Т>п^охП/в(п))Х- — Прим. иерее.
178 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Тогда по следствию 5.1.6 l + F(x) = eG^. (5.134) Аналогично, Р — однозначно определенная порядковая сумма Pi 0 • • • 0 Р&, где каждое Р{ не является нетривиальной порядковой суммой. Если имеется ровно к слагаемых, то по предложению 5.1.3 экспоненциальная производящая функция совпадает с Н(х)к. Значит, Исключая G(x) и Н(х) из (5.133), (5.134) и (5.135), получаем (5.112). Этот результат впервые появился в работе Stanley R. Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1974), 295-299. 5.40. а. «Непомеченная» версия этой задачи впервые появилась в работе MacMahon P. A. The Electrician 28 (1892), 601- 602, и получила дальнейшее развитие в статье Riordan J., Shannon С. Е. J. Math, and Physics 21 (1942), 83-93. Помеченная версия, приведенная здесь, оказалась эквивалентной четвертой задаче Шредера [60], обсуждавшейся в разделе «Замечания». Числа s(ri) удовлетворяют соотношению s(n) = 2t(n) при п ^ 2, где t(n) — число полных разбиений п-множества (оно было определено в примере 5.2.5). Заметим также, что если f(n) определена, как в упр. 5.26, то /(n) = 2пз(п), п ^ 1. (Близкие результаты см. в упр. 5.36.) Формула (5.113) была впервые опубликована в работе Carlitz L., Riordan J. Duke Math. J. 23 (1955), 435-445 (равенство (2.13)). Как следует из этой работы, более ранние (по существу эквивалентные) результаты были получены Фостером (не опубликовано) и Кнёделем (Knodel W. Monatshefte Math. 55 (1951), 20-27). Дополнительные аспекты рассмотрены в статье Riordan J. Acta Math. 137 (1976), 1-16. См. также [2.17, §6.10]. b. По поводу этого пункта и некоторых связанных с ним результатов см. работу Cameron P. J. Electronic J. Combinatorics 2, R4 (1995), доступную по адресу http: //www.combinatorics.org/Volume_2/cover.html. c. См. [3.5, теорема 4 и следствие 1 на с. 351]. В этой работе таблица значений, приведенная в упр. 5, с. 353, является неправильной. 5.41. а. Пусть F — такой лес на множестве вершин [п], что каждая компонента леса F — чередующееся дерево с корнем в
Решения упражнений 179 некоторой вершине г, у которой все соседи меньше г. Мы можем получить чередующееся дерево Т на множестве {0,1,..., п}, добавляя вершину 0 и соединяя ее с корнями компонент леса F. Значит, если д(п) обозначает число чередующихся деревьев на множестве вершин [п] с корнем в некоторой вершине г, у которой все соседи меньше г, то экспоненциальная формула (следствие 5.1.6) дает F(x)=exp5>(n)^. (5.136) Легко также видеть, что д(п) = nf(n— 1)/2 при п > 1 (рассмотрим инволюцию на чередующихся деревьях с множеством вершин [п], которая переводит вершину г в п + 1 — г), откуда немедленно следует требуемое функциональное уравнение. Чередующиеся деревья впервые появились в теории общих гипергеометрических систем, разработанной И. М. Гельфандом и его сотрудниками. В статье Gel- fand I. М., Graev М. I., Postnikov A. In: The Arnold- Gelfand Mathematical Seminars, Birkhauser, Boston, pp. 205-221 (§6), показано, что f(n) — число «допустимых базисов» пространства решений некоторой системы линейных уравнений в частных производных, решения которой называются гипергеометрическими функциями на группе унипотентных матриц. Основные комбинаторные свойства чередующихся деревьев были впоследствии указаны в работе Postnikov A. J. Combinatorial Theory (А) 79 (1997), 360-366. См. также Postnikov A. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1997 (гл. 1.4). В частности, Постников установил пп. (а), (Ь) и (g) данного упражнения. Дальнейшее обсуждение чередующихся деревьев см. в работах Stanley R. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 93 (1996), 2620-2625, и Postnikov A., Stanley R. J. Combinatorial Theory (A) 91 (2000), 544-597. См. также упр. 6.19(p),(q). b. Пусть H(x) = x(F(x) + 1). Тогда H = x(l + ея/2), так что H(x) = (х/(1 + ех/2))(-1^. Утверждение упражнения следует из применения формулы обращения Лагранжа. (Подробности см. в работах Postnikov A. J. Combinatorial Theory (А) 79 (1997), 360-366, и Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1997 (теорема 1.4.1).) Открытым остается вопрос о получении биективного доказательства. c. Это получается из равенства (5.136) при помощи рассуждений, аналогичных приведенным в примере 5.2.2.
180 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций d. Пусть Т(х) = \nF(x)q = q\nF(x). Из п. (а) следует, что r(*) = f(l + er/«). Теперь применим равенство (5.64) к случаю F(x) = 2x/q(l -f ex/q) и Н(х) = ех. (Здесь мы используем F(x) и Н(х) в общем смысле соотношения (5.64), а не в специальном смысле данного упражнения.) Эти рассуждения принадлежат А. Постникову. e. Пусть Е — оператор на многочленах Р(д), определенный формулой EP(q) = P(q -f 1). Тогда п. (d) может быть переформулирован в следующем виде: Pn{q) = ±(E+l)nqn-\ Далее доказательство получается многократным применением случая а = 1 следующей леммы. Лемма. Пусть P(q) G C[q], причем вещественная часть каждого корня многочлена P(q) равна т. Пусть a G С, \а\ = 1. Тогда вещественная часть каждого корня многочлена P(q -f 1) -f aP(q) равна т — 1/2. По поводу истории и элементарного доказательства этой леммы см. работу Postnikov A., Stanley R., цат. выше (§9.3). f. Пусть Rn(q) = Qn (q — f) • Тогда коэффициенты многочлена Rji(q) являются вещественными, его старший коэффициент равен 1, его степень равна п — 1 и в силу п. (е) все корни этого многочлена — чисто мнимые числа (0 допускается в качестве чисто мнимого числа). Значит, Rn(q) имеет вид qi ]Jk (q2 + а&), а& G Е. Таким образом, P>n(—q) = (~l)n-1^n(g), что равносильно соотношению Qn(9) = (-l)n-10n(-9-n). g. См. Postnikov A. J. Combinatorial Theory (A) 79 (1997), 360-366 (§4.1), и Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1997 (§1.4.2). h, i. Вопрос о подсчете числа областей размещения Сп был поставлен Н. Лайнайалом (частное сообщение, 27 марта 1995 г.), так что Сп теперь называют размещением Лайнайала. Стенли выдвинул гипотезу, что x{Ln,q) = (—l)nPn(—q). Эта гипотеза была доказана Постниковым (Postnikov A. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1997 (частный случай теоремы 1.5.7)), и позднее (с помощью упр. 5.50(b)) в работе Athanasiadis С. А. Advances in Math. 122 (1996), 193-233 (теорема 4.2). См. также Stanley R. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 93 (1996),
Решения упражнений 181 2620-2625 (следствие 4.2), и Postnikov A., Stanley R., цит. выше (§9.2). j. Чередующийся граф G не может содержать цикла нечетной длины и, следовательно, является двудольным. Можно разбить его вершины на два (возможно, пустых) множества А и В (причем единственным образом, если не считать изолированных вершин графа G), таких, что (а) каждое ребро соединяет вершину из А с вершиной из В и (/?) если г G A, j G В и имеется ребро между г и j, то г < j. Пару (z,j) назовем допустимой (относительно А и J5), если г Е A, j Е В и i < j. Пусть /ifc(n) — число способов, с помощью которых можно выбрать два непересекающихся множества А и В, объединение которых совпадает с {1,2, ...,п}, а затем выбрать к -элементное множество допустимых пар (i,j). Предположим, что а\ < а^ < • • • < сц — элементы множества В. Тогда число допустимых пар равно v(ai,..., сц) = (cli - 1) + (аг - 2) + h (сц - /). Значит, производящая функция для подмножеств из таких пар совпадает с функцией (q -f i)Hai,-~,a>i) ^ так чт0 J2hk(n)qk= Y, (« + 1Г<в1'-'в'> £ (« + i)*+-+b«. Согласно предложению 1.3. 191) при фиксированном к имеем Отсюда следует равенство EM»)9fc = E(fc) • к к=0 V#C/ 9+1 Теперь чередующийся граф с г изолированными вершинами и к ребрами будет посчитан функцией дк{п) ровно 2Г раз (так как каждая изолированная вершина может принадлежать либо А, либо J5, но у всех других вершин возможность выбора отсутствует). Значит, если Uk (п) обо- *) Согласно предложению 1.3.19, при фиксированных j,k Е N имеем (JT ) = X)n>0PUi к,n)qn, где p(j, к,п) — число разбиений числа п на не более чем к частей, каждая из которых не превосходит j. — Прим. перев.
182 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций значает число чередующихся графов с вершинами 1,..., п без изолированных вершин, имеющих к ребер, то r=0 ^ ' к к r=0 ^ ' к к Вывод отсюда утверждения упражнения носит рутинный характер. Случай q = 1 появился в статье Stanley R. Problem 10572, Amer. Math. Monthly 104 (1997), 1681). k. Пусть wi"-wn G &n. Определим дерево Г^, ребра которого помечены числами 1,...,п, следующим образом: если г < j, то ребра с метками W{ и Wj имеют общую вершину тогда и только тогда, когда последовательность WiWi+i - — Wj либо возрастает, либо убывает. Дерево Tw является чередующимся деревом с помеченными ребрами, и каждое такое дерево получается данным способом ровно два раза (при п > 1), а именно из w\W2 • • 'Wn и из этой же последовательности, записанной в обратном порядке, т. е. wn • • • W2W1. Значит, при п > 1 существует п!/2 чередующихся деревьев с помеченными ребрами на п + 1 вершинах. Это упражнение принадлежит А. Постникову (частное сообщение, декабрь 1997 г.). 5.42. а. Из у = хеу получаем равенство у1 = еу + ху'еу, так что ху' = хеУ/(1 - хеу) = у/(1 - у) = -1 + (1 - у)"1. Таким образом, (1 — у)-1 = 1 + ху' = 1 + J2n>i nnxn/n- Ь. Так как (1 — Д(ж))-1 = 1 + R(x) -f R(x)2 -\ , то, согласно предложению 5.1.3, мы отыскиваем биекцию (р: 1Z\ U V?n U • • • —> Т*, где 7££ при п ^ 1 является множеством наборов (п,... ,Tj) из j (непустых) корневых деревьев, у которых совокупное множество вершин образует множество [п], и где Т* — множество двукорневых деревьев на множестве [п]. Пусть задан некоторый набор (ti, ..., Tj) G 1Vn, и пусть vi — корень дерева т^. Пусть Р — простая цепь, последовательными вершинами которой являются ^ъ v2, • • •, Vj • Пометим вершину v\ меткой s, а вершину Vj — меткой е и присоединим к каждой вершине Vi оставшуюся часть дерева т;. Это дает требуемое двукорневое дерево на множестве [п]. Эта биекция изображена на рис. 5.27. 1) Решение, отличное от приведенного выше, содержится в работе S. С. Locke, Amer. Math. Monthly 106 (1999), 168. — Прим. автора при переводе.
Решения упражнений 183 ®5 <§>2 <8>8 £— • • у \ л—z/ \ л 4 6 4 6 П 7^2 ТЗ Рис. 5.27. Биекция из j-наборов корневых деревьев в двукорневые деревья. 5.43. Пусть Т — дерево с помеченными листьями, как в условии. Указанную ниже процедуру проделаем несколько раз до тех пор, пока все вершины, кроме корня, не будут помечены. Вначале листья помечены числами 1,...,/с. Предположим теперь, что метки 1,..., га уже использованы. Пометим числом га + 1 вершину г>, удовлетворяющую следующим условиям: (a) v не помечена, а все ее сыновья помечены и (Ь) среди всех непомеченных вершин, все сыновья которых помечены, v является вершиной, имеющей сына с наименьшей меткой. Пусть блоки разбиения 7Г состоят из меток сыновей каждой вершины г>, не являющейся листом. Можно проверить, что эта процедура дает искомую биекцию. Аналогичные биекции появляются в работах Эрдёша и Секели [21] и Chen W. Y. С. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 87 (1990), 9635-9639. См. также Chen W. Y. С. Europ. J. Combinatorics 15 (1994), 337-343. (Еще одна биекция была независимо найдена М. Хайманом.) Биекция Эрдёша-Секели имеет небольшой недостаток, заключающийся в том, что метки листьев при разметке некорневых вершин не сохраняются. Используя эту биекцию, Эрдёш и Секели получили много стандартных результатов о перечислении деревьев, в том числе нашу теорему 5.3.4 (или следствие 5.3.5) и теорему 5.3.10. 5.44. Пусть rj = #{i : di = j}. Пусть задана перестановка w = w\ • • • wn] определим слово tp(w) = хТП1 • • • xmn£o следующим образом. Если wi — первое вхождение буквы /с, то га; = а&. В противном случае га; = 0. Можно проверить, что ip является отображением между множеством S перестановок, которые мы хотим сосчитать, и множеством Т элементов моноида В*, определенного равенством (5.50), содержащих rj экземпляров буквы Xj и 1 + 5^(аг — 1) экземпляров буквы жо, и что каждый элемент множества Т является образом Пг:г элементов множества S. Утверждение упражнения следует из теоремы 5.3.10. Существует ли более простое доказательство?
184 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Легко найти биекцию, которая показывает, что результат этого упражнения равносилен утверждению о том, что число невложенных разбиений множества [п] (определение см. в упр. 6.19(uu)) с rj блоками размера j определяется формулой п\/((п — к + 1)! 7*1! Ы • • •). Отметим любопытный факт, что, согласно упр. 5.35(a), это число совпадает с числом непересекающихся разбиений множества [п] с rj блоками размера j. Это нетрудно доказать с помощью подходящей биекции. 5.45. Пусть у = ^2п>1*пхП я z = ]Сп^о/"жП- Легко видеть, что кхук — производящая функция для рекурсивно помеченных деревьев, у которых корень имеет в точности к поддеревьев. Значит, у = х + 2ху2 + Зху3 + • • • = Х (1 - У Г Сформулированная в упражнении формула для tn получается тогда обычным применением формулы обращения Лагран- жа. Аналогично, z = 1/(1 — у), так что у — х/(1 — у)2 = xz2 и z = 1/(1 — xz2). Снова стандартным образом используем обращение Лагранжа, чтобы найти /п, или замечаем, что равенство z = 1/(1 — xz2) дает z = 1 -f xz3, т.е. производящую функцию для троичных деревьев. Незначительная дополнительная работа позволяет «биективизировать» эти доказательства и тем самым предъявить биекцию из рекурсивно помеченных лесов в троичные деревья (и аналогичную биекцию из рекурсивно помеченных деревьев в пары троичных деревьев). Рекурсивно помеченные леса были впервые определены в работе Bjorner A., Wachs М. L. 3. Combinatorial Theory (А) 52 (1989), 165-187. 5.46. Определим троичное дерево *у(Т), вершинами которого являются ребра дерева Г, следующим образом. Пусть j — наименьшая вершина дерева Т (в этом случае j = 1), и пусть к — наибольшая вершина, такая, что jk является ребром; обозначим его через е. Определим три поддерева дерева Т следующим образом. Дерево Т\ — связная компонента графа Т — е, содержащая вершину 1. Дерево Т^ — связная компонента, содержащая вершину к графа, полученного из Т удалением ребра е и вершин к + 1, к + 2,..., п. Дерево Гз — граф, полученный из Т удалением вершин 1,2,..., к — 1. По определению полагаем, что е — корень дерева ч(Т), и рекурсивно определяем 7№) как г-е главное поддерево. Легко видеть, что 7 — биекция из множества непересекающихся деревьев на множестве [п] в множество троичных деревьев с п — 1 вершинами. Пример см. на рис. 5.28. На этом рисунке вершины графа ^у(Т) изображены светлыми кружками, а
Решения упражнений 185 ребра — пунктирными линиями. Три направления ребер с пустыми поддеревьями изображены для того, чтобы подчеркнуть наличие троичной структуры. По существу описанная биекция была предложена независимо Саймион и Постниковым. Непересекающиеся деревья были впервые перечислены в работе Dulucq S., Penaud J.-G. Discrete Math. 117 (1993), 89-105 (лемма 3.11). Дальнейшую информацию и ссылки см. в статье Noy М. Discrete Math. 180 (1998), 301-313. В работе Dulucq, Penaud, цит. выше (предложение 2.1), также приведена биекция между плоскими троичными деревьями с п — 1 вершинами и способами нарисовать п хорд без общих концов между 2п точками на окружности так, чтобы граф пересечений G этого множества хорд был деревом. (Хорды — вершины графа G, а вершины и и v соединены ребром тогда и только тогда, когда и и v пересекаются (как хорды).) Рис. 5.28. Троичное дерево, построенное по непересекающемуся дереву. 5.47. а. Пусть w G 6П? и пусть (г, j) — транспозиция в группе 6П. Легко видеть, что если г и j находятся в разных циклах перестановки ги, то эти два цикла объединяются в один цикл в произведении (i,j)w. Отсюда следует, что произведение п— 1 транспозиций т\ • • • rn_i является п-циклом тогда и только тогда, когда граф на множестве вершин [п], ребрами которого являются все пары, переставляемые транспозициями т^, — дерево. Существует пп~2 деревьев на множестве [п] (по предложению 5.3.2) и (п — 1)! способов линейно упорядочить их ребра. Значит, существует (п — 1)!пп_2 способов записать некоторый n-цикл как произведение п — 1 транспозиций. По «симметрии» все (п — 1)! п-циклов могут быть представлены как произведение п — 1 транспозиций тем же числом способов. Следовательно, любой конкретный n-цикл, такой, как (1,..., п), имеет пп~2 таких представлений. Обычно считают, что этот результат принадлежит Денешу (Denes J. РиЫ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. (—Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl.) 4 (1959), 63-71); он породил обширную литературу. Однако значительно более общая теорема была анонсирована (с наброском доказательства) в работе
186 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Hurwitz A. Math. Ann. 39 (1891), 1-66 (см. п. (с) данного упражнения). Биективные доказательства утверждений этого упражнения были даны в работах Moszkowski Р. Europ. 3. Combinatorics 10 (1989), 13-16; Goulden I. P., Pepper S. Discrete Math. 113 (1993), 263-268; Springer С. M. In: Eighth International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, University of Minnesota, June 25-29, 1996, pp. 427-438. b. Формула g(n) = 2n1_1 ( ™-i ) была впервые доказана в работах Eidswick J. A. Discrete Math. 73 (1989), 239-243, и Longyear J. Q. Discrete Math. 78 (1989), 115-118. Несколько доказательств были даны позже, в том числе в работах Goulden I. P., Jackson D. М. J. Algebra 16 (1994), 364-378, и Springer, цит. выше. (В этих двух работах доказываются значительно более общие результаты.) Мы дадим набросок биективного доказательства, основанного на идеях, предложенных Постниковым. Пусть задано непересекающееся дерево Т на множестве [п]; пометим его ребра числами 1,..., п — 1 так, чтобы выполнялось следующее условие. Для каждой вершины г, если j\ < • • • < jr < k\ < • • • < ks — вершины, смежные с г, причем jr < г < fci, и если Лт обозначает метку ребра гга, то A(jr) < KJr-i) < < A(ji) < X(ks) < A(/cs_i) < < A(/ci). Пусть Ti — транспозиция (а, Ь), где ab — ребро дерева Г с меткой i. Тогда нетрудно показать, что т\Т2 — -тп-\ = (1,2,...,п— 1) и что каждый класс эквивалентности получается таким способом ровно один раз, что и дает искомую биекцию. c. В 1891 г. этот результат с наброском доказательства привел Гурвиц (работа указана в п. (а)). Первое полное доказательство было дано в работе Goulden I. Р., Jackson D. М. Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 51- 60; оно основано на теории симметрических функций. Реконструкция доказательства Гурвица вместе с большим объемом другой интересной информации была дана в работе Strehl V. Sem. Lotharingien de Combinatoire (электронный журнал) 37 (1996), B37c, доступной по адресу http://www.mat.univie.ас.at/~slc. Крайне желательно получить прямое комбинаторное доказательство. Некоторые другие аспекты «транзитивного разложения на множители» обсуждаются в работе Goulden I. Р., Jackson D. М. Transitive factorisations in the symmetric
Решения упражнений 187 group, and combinatorial aspects of singularity theory, Research Report 97-13, Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo, July 1997. 5.48. а. Пусть G — связный граф на множестве [п]. Определим некоторое остовное дерево tq графа G следующим образом. Начнем с вершины 1 и будем перемещаться всегда в наибольшую смежную вершину, в которой мы еще не побывали, если такая имеется; в противном случае будем отходить назад. Остановимся только тогда, когда посетим все вершины, и пусть tq состоит из всех вершин и ребер, которые мы посетили. Мы предоставляем читателю доказать следующую ключевую лемму. Лемма. Пусть г — дерево па множестве [п]. Связный граф G удовлетворяет условию tq = г тогда и только тогда, когда г — остовное дерево графа G и любое ребро графа G, не принадлежащее дереву г, имеет вид {г,к}, где (г, j) — инверсия дерева тик— единственный отец вершины j в корневом дереве г (с корнем 1). Таким образом, п — 1 ребер дерева г должны быть ребрами графа G, тогда как любое подмножество множества, состоящего из inv(r) «ребер-инверсий», определенных в последней лемме, может составлять множество остальных ребер графа G. Значит, G где G пробегает все связные графы на множестве [п], удовлетворяющие условию тс = т. Суммирование равенств (5.137) по всем г завершает доказательство. Равенство (5.115) впервые было доказано с использованием неявного метода производящих функций в работе Mallows С. L., Riordan J. Bull Amer. Math. Soc. 74 (1968), 92-94. (См. также [47, §4.5].) Элегантное доказательство, приведенное здесь, принадлежит Гесселю и Вану (Gessel I. М., WangD.-L. J. Combinatorial Theory (A) 26 (1979), 308- 313). Гессель и Ван также приводят аналогичный результат, относящийся к перечислению ациклических орграфов и турниров. По поводу дальнейших результатов, связанных с инверсиями в деревьях, см. Kreweras G. Period. Math. Hungar. 11(4) (1980), 309-320, и Beissinger J. S. J. Combinatorial Theory (B) 33 (1982), 87-92, а также упр. 5.49(c) и 5.50(d). Замечательную гипотезу о связи между инверсиями в деревьях и теорией инвариантов
188 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций можно найти в работе Haiman М. 3. Alg. Combinatorics 3 (1994), 17-76 (§2.3). b. Подставим t — 1 вместо t в равенство (5.115), прологарифмируем обе части и продифференцируем по х, Явная формулировка этого соотношения содержится в [28, (14.7)]. Некоторое обобщение см. в работе Stanley R. Mathematical Essays in Honor of Gian- Carlo Rota (B. Sagan and R. Stanley, eds.), Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1998, pp. 359-375 (теорема 3.3). 5.49. а. Если некоторое hi больше г, то по крайней мере п — г + 1 машин предпочитают п — г мест г + 1,г + 2,...,п, а значит, не могут припарковаться. Таким образом, сформулированное условие является необходимым. Достаточность можно доказать индукцией по п. А именно, предположим, что а\ = к. Для 1 ^ г ^ п — 1 положим ' _ J а*+ь если.аг+1 ^ /с, 1 aj+i — 1, если a*+i > к. Тогда последовательность (а'1?... ,a^_i) удовлетворяет нашему условию; поэтому по предположению индукции она является функцией парковки. Но это означает, что для исходной последовательности а = (ai,...,an) машины С2,...,СП могут припарковаться после того, как машина С\ займет место к. Значит, а является функцией парковки, и утверждение доказано по индукции (случай п = 1 тривиален). Ь. Добавим дополнительное место для парковки 0 после места п, и пусть 0 также может являться предпочтительным местом для парковки. Рассмотрим ситуацию, когда машины С\,..., Сп въезжают на улицу, как и раньше (начиная с места 1), но если машина не может припарковаться, она может начать парковку еще раз с места 1 и занять первое свободное место. Теперь, конечно, каждая машина может припарковаться, и в точности одно место останется незанятым. Если предпочтения (ai,..., ап) приводят к пустому месту г, то предпочтения [а\ + /с,..., ап + к) приведут к пустому месту i + к (сложение в группе G). Более того, а — функция парковки тогда и только тогда, когда свободным остается место 0. Отсюда следует утверждение упражнения.
Решения упражнений 189 Функции парковки были впервые рассмотрены в работе Konheim A. G., Weiss В. SIAM 3. Applied Math. 14 (1966), 1266-1274, в связи с задачей хэширования. Ее авторы, используя рекуррентные соотношения, доказали формулу Р(п) = (п + 1)п-1. (Характеризация (а) функций парковки, по-видимому, относится к фольклору.) Элегантное доказательство, приведенное здесь, принадлежит Поллаку и описано в работах Riordan J. J. Combinatorial Theory 6 (1969), 408-411, и Foata D., Riordan J. Aequationes Math. 10 (1974), 10-22 (c. 13). Некоторые биекции между функциями парковки и деревьями на множестве вершин [п + 1] описаны в предыдущей статье, а также в работах Prangon J. J. Combinatorial Theory (A) 18 (1975), 27-35; Moszkowski P. Period. Math. Hungar. 20 (1989), 147-154 (§3); Beissinger J. S., Peled U. N. Electronic J. Combinatorics 4(2) (1997), R4, доступной по адресу http://www.combinatorics.org/ Volume_4/wilf toe. html. c. Этот результат принадлежит Креверасу (Kreweras G. Period. Math. Hungar. 11(4) (1980), 309-320). Креверас имеет дело с suites majeures (мажорирующими последовательностями), которые получаются из функций парковки (ai,..., ап) заменой а; на п + 1 — а;. d. Предположим, что машины Ci,...,Ci-i уже припарковались на местах щ,...,щ-\. В этом случае машина d паркуется на месте щ тогда и только тогда, когда места ai,ai + 1,... ,щ — 1 уже заняты. Таким образом, ai может быть любым из чисел щ, щ — 1,..., щ — т(и, щ) + 1. Следовательно, для а; существует т(и,щ) возможностей выбора; поэтому и{и) = т(и, и\) • • • т(и, ип) = т(и, 1) • • • т(и, п). Этот результат неявно присутствует в работе Konheim, Weiss, цит. выше. а e. Пусть дано сг; определим ч.у. множество (Ра, <) на мно- жестве [п], считая, что j < г, если либо 0 < г — j ^ $;, либо 0 < j — г ^ U. Легко видеть, что Ра — дерево и что Та состоит из линейных расширений ч.у. множества Ра (где мы рассматриваем линейное расширение ч. у. множества Ра как перестановку его элементов). По определению ч.у. множества Ра имеем #Л; = $» + £», где
190 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Л; = {3 Е Ра • 3^ i}> и утверждение упражнения следует из задачи 3.1(b)1) из списка дополнительных задач к т. I2). Замечание. Деревья Та по определению обладают тем свойством, что элементы множества Л$ — последовательные целые числа. Значит, Та — рекурсивно помеченное дерево в смысле упр. 5.45. Из теоремы 2.2 работы Бьёрнера и Вахс, упомянутой в этом упражнении, следует такой любопытный результат: \^ ginv(u) _ V^ maj(u)^ и£Та и£Та Заметим, что эта формула является уточнением утверждения о том, что maj и inv одинаково распределены на группе &п (следствия 1.3.10 и 4.5.9). Первое решение. Предположим, что ai,...,c*fc — последовательность простых функций парковки, причем длина функции оц равна di. Пусть /% обозначает ai, к каждому элементу которой добавлено d\ + efe Н К ^г-i • Тогда любая перестановка всех элементов всех Д является функцией парковки, и наоборот, если задана произвольная функция парковки, то по ней можно однозначно восстановить е*1,... ,£*£. Отсюда (если использовать равенство (5.116)) получается, что 53(П+1)-1^= _J— nto ^ l-£Q(n)^ Далее доказательство следует из равенства (5.67). Определение простых функций парковки и приведенное выше доказательство формулы для их числа принадлежит А. Гес- селю (частное сообщение, 1997). Второе решение. Пусть г; — число элементов функции парковки а, равных г. Можно проверить, что функция парковки а является простой тогда и только тогда, когда каждая частичная сумма последовательности х) Пусть Р есть n-элементное ч. у. множество. Для х £ Р положим Ах = Ф{у £ Р : у ^ х}. Тогда е(Р) ^ п\/Т\Х£Р^х (где е(^) — число линейных расширений ч. у. множества Р), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда каждая компонента ч. у. множества Р является корневым деревом (с корнем 1). — Прим. перев. 2) Полный список дополнительных задач к т. 1 доступен по адресу http://www-math.mit.edu/~rstan/ec. — Прим. перев.
Решения упражнений 191 г\ — 1, г2 — 1,..., rn_i — 1 положительна (в этом случае гп = О и X^i(r*"~ 1) = !)• Из варианта леммы 5.3.7 следует, что любая последовательность целых чисел с единичной суммой обладает ровно одной циклической перестановкой, у которой все частичные суммы положительны. Отсюда следует, что если мы рассмотрим элементы группы L = Z/(n — 1)Z как целые числа 1,2,..., п — 1, то каждый смежный класс по подгруппе М группы Ln, порожденной элементом (1,1,...,1), содержит в точности одну простую функцию парковки. Значит, Q(n) = [Ln :М] = (п — l)n_1. Это рассуждение принадлежит Л. Каликову. 5.50. а. Число областей было впервые подсчитано в работах Shi J.-Y. Lecture Notes in Math. 1179, Springer, Berlin- Heidelberg-New York, 1986 (гл. 7), и J. London Math. Soc. 35 (1987), 56-74. По этой причине размещение гиперплоскостей <Sn называется размещением Ши. Более простое (хотя и не биективное) доказательство было дано впоследствии Хедли (Headley P. Ph.D. thesis, University of Michigan, Ann Arbor, 1994 (гл. VI), и Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, FPSAC94, May 23-27, 1994, DIMACS preprint, pp. 225-232 (§5). Простое небиективное доказательство содержится в решении п. (с). Биекция между областями размещения <Sn и функциями парковки длины п (определенными в упр. 5.49) принадлежит Паку и Стенли, сформулирована в статье Stanley R. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 93 (1996), 2620-2625 (теорема 5.1), и доказана в работе Stanley R. In: Mathematical Essays in Honor of Gian-Carlo Rota (В. E. Sagan and R. P. Stanley, eds.), Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1998, pp. 359-375 (теорема 2.1). Эта биекция позволяет получить простое доказательство п. (с). Более простые биек- ции, не обладающие этим свойством, были приведены в работах Lewis J. Parking functions and regions of the Shi arrangement (препринт, датированный 1 августа 1996 г.), и Athanasiadis С. A., Linusson S. Discrete Math. 204 (1999), 27-39. b. Пусть Lp обозначает ч. у. множество пересечений размещения Ар. Ч.у. множество Lp можно найти, используя тот факт, что некоторые миноры матрицы коэффициентов гиперплоскостей из Л обращаются в нуль. Значит, Lp = L при р ^> 0. Пусть Lp обозначает Lp с добавленным элементом 1. При V G Lp пусть f(V)— число точек v G ¥р , таких, что V — наибольший элемент (т.е. наименьший элемент по включению, так как Lp упорядочено
192 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций при помощи обратного включения) в Lp, удовлетворяющий условию v Е V. В частности, /(1) = 0. Ясно, что w=PdimV= £ f(w). W^V в Lp Обращение Мёбиуса (предложение 3.7.2) дает f(v)= Е »(v,w)pdimW, где /х обозначает функцию Мёбиуса для L. Полагая V = 0, завершаем доказательство. Этот результат неявно содержится в книгах Сгаро Н., Rota G.-C. On the Foundations of Combinatorial Theory: Combinatorial Geometries, preliminary edition, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1970 (объяснение см. на с. 193- 194 работы Athanasiadis С. A. Advances in Math. 122 (1996), 193-233), и Orlik Р., Тегао H. Arrangements of Hyperplanes, Springer-Verlag, Berlin, 1992 (теорема 2.3.22). Он впервые был явно сформулирован в диссертации Ата- насиадиса (Athanasiadis С. A. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1996 (теорема 5.2.1)). Атанасиадис был первым, кто использовал этот результат систематически для вычисления характеристических многочленов. См. его работы Athanasiadis С. A. Advances in Math. 122 (1996), 193-233, и MSRI Preprint 1997-0591). с. Мы хотим вычислить число n-элементных наборов (xi,...,xn) G F™, таких, что если г < j, то Xi ф Xj и xi ф Xj + 1. Существует (р — n)n_1 способов выбрать слабое упорядоченное разбиение 7г = (Bi,..., Вр-п) множества [п] на р — п блоков так, чтобы 1 G В\. Выберем х\ р способами. Будем считать, что элементы 0,1,... ,р — 1 поля ¥р расставлены по кругу по часовой стрелке. Разместим числа 1,2, ...,п на некоторых из р мест этой круговой расстановки элементов поля Fp. Элементы блока J?i поместим последовательно в порядке возрастания по часовой стрелке, причем 1 помещается в х\. Затем пропустим одно место (по часовой стрелке) и поместим элементы блока J?2 последовательно в порядке возрастания. Затем пропустим одно место и поместим элементы блока 2?з последовательно в порядке возрастания и т.д. Пусть Xi — место, куда мы поместили г. Легко видеть, что ■>См. также J. Alg. Combinatorics 10 (1999), 207-225. — Прим. перев.
Решения упражнений 193 эта процедура дает биекцию между р(р — n)n_1 возможностями выбора пары (7Г, х\) и допустимыми значениями наборов (#1,...,#п); поэтому утверждение упражнения следует из п. (Ь). Это рассуждение принадлежит Атана- сиадису (Athanasiadis С. A. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1996 (теорема 6.2.1), и Advances in Math. 122 (1996), 193-233 (теорема 3.3)). Характеристический многочлен размещения Ши был впервые вычислен Хедли (Headley P. Ph.D. thesis, University of Michigan, Ann Arbor, 1994 (гл. VI); Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, FPSAC '94, May 23-27, 1994, DIMACS preprint, pp. 225-232 (§5); J. Alg. Combinatorics 6 (1997), 331-338 (теорема 2.4 в случае Ф = Ап)) другим методом. Еще одно доказательство содержится в работах Postnikov A. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1997 (пример 1, с. 39), и Postnikov A., Stanley R. J. Combinational Theory (A) 91 (2000), 544- 597 (следствие 9.3). d. Этот результат равносилен теореме Пака и Стенли, сформулированной в статье Stanley R. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 93 (1996), 2620-2625 (теорема 5.1), и доказанной в работе Stanley R. In: Mathematical Essays in Honor of Gian-Carlo Rota (B. Sagan and R. Stanley, eds.), Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1998, pp. 359-375 (случай к = 1 следствия 2.20). e. Пусть х = (#i,..., хп) принадлежит некоторой области R размещения <Sn. Определим 7ГХ Е &п условием Ятгя(1) >Ятгх(2) > ••• >ж7Гх(п). Пусть Ix = {(ij) : 1 ^ i < j ^ п, Xj + 1 > xi > Xj}. Нетрудно показать, что отображение R ь-> (7ГХ,/Х) является биекцией между областями размещения <Sn и парами (7ГХ,/Х), где 7ГХ G &п и Ix G J(P-kx)- Более того, d(R) = Q) — |/а;|, откуда и получаем доказательство. Этот результат был сформулирован без доказательства в работе Stanley, цит. выше (после теоремы 5.1). f. Пусть 7Г = {J?i,...,J3n_fc} — разбиение множества [п]. и пусть Wi — перестановка множества В{. Пусть X состоит из всех таких точек (xi,...,xn) из Rn, что ха — хь = ш, если а и b принадлежат одному и тому же блоку Bi разбиения 7Г, а находится слева от b в Wi и между а и b в Wi встречается ровно т подъемов. Например, если
194 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций w\ = 495361 и W2 = 728, то X определяется условиями х± = х9 + 1 = хъ + 1 = х3 + 1 = х6 + 2 = xi + 2, х7 = х2 = х8 + 1. Это определяет биекцию между разбиениями множества [п] на п — к линейно упорядоченных блоков и элементами X ч. у. множества пересечений Lsn ранга к. 5.51. Предположим, что выполнено (i). Подставив А(х) вместо ж, получаем Подставляя В{х) вместо х в (i), получим А<-1>(В(ж))=жС(В(ж)). Но (A(-V(B(x)))(-V = B<-V(A(x)), откуда следует (ii). Эти рассуждения обратимы, так что (i) и (ii) равносильны. 5.52. а. См. [2.3, гл. 3.7], где также приведены многочлены <рп(к) при п ^ 7. Ь. Сначала проверяется, что при фиксированном п величины [xn]F^+k)(x) и [xn]F^ (F^ (х)) являются многочленами от j и к. Так как значения этих многочленов совпадают при всех У, к Е Р, то эти многочлены должны быть равны. Аналогичные рассуждения применимы и для второго тождества. См. [2.3, теорема В, с. 148]. 5.53. Нам необходимо вычислить /(п)-^"-1]^-^ (1-х)-1 [почему?]. Пусть x/F{x) = (1 — \х)~1 и Н'(х) = (1 — ж)-1 в равенстве (5.64). Тогда F<_1) (х) = 1 - ч/Г3^, Н(х) = - 1п(1 - ж); поэтому /(п) = п[хп)(-\пу/1=Ъс) = -|[жп]1п(1 - 2ж) = 2П"\ что равно в точности половине суммы всего ряда. Этот результат равносилен тождеству r-'-sW"^-1), i=o \ ./ /
Решения упражнений 195 или, что то же самое (подставляем п + 1 вместо п)1^, z^ у j Существует ли простое комбинаторное доказательство? Бромвич [5, пример 20, с. 199] полагает, что результат этого упражнения впервые появился в Math. Trip. 1903. 5.54. Согласно равенству (5.53), [ж_1]^(ж)-п = n[xn]F<-V(x). Обратные в смысле композиции этих четырех функций задаются формулами х2гп+1 sin " "~ -п-х-Е'-с:) •*-■*=Х>1) 2т+1, 2т+1' ж2т+1 X2 + 2(1-*) +2^2 что дает четыре ответа: {0, п = 2га, JO, п = 2га, 4_т(2Г)> и = 2т+1, [(-1)™ п = 2т+1, 1 (l, п = 1, (п-1)!' |п/2, п^2. Бромвич [5, пример 19, с. 199] полагает, что эти формулы принадлежат Вольстенхольму. х) Тождество немедленно следует из «задачи Банаха о спичечных коробках», изложение которой имеется, например, в книге Feller W. An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. 1, 2nd ed., Wiley, New York, 1957 (гл. V, §8) [имеется перевод: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. — М.: Мир, 1967. — Дерев.]. Это дает простое биективное доказательство приведенного выше тождества. — Прим. автора при переводе.
196 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.55. а. Пусть t/ G Q[[a;]] удовлетворяет равенству у = xF\(y). Согласно (5.55), при к = 1 имеем n[xn)y=[xn-1)F1(y)n = l, так что у = ]Сп>1 1Г = ~ 1П(1—ж). Значит, у^~^ = 1 —е-х; поэтому F\(x) = x/y(~1S) = х/(1 — е~х). Замечание. Числа Бернулли Вп определяются равенством х -STp El е*_1-2^п! * Следовательно, F1{x) = Yj{-lTBnX-. Бромвич [5, пример 18, с. 199] приписывает по существу тот же результат Вольстенхольму и Math. Trip. 1904. Удивительно, но этот результат имеет приложения в алгебраической геометрии. См. лемму 1.7.1 в книге Хирцебру- ха Hirzebruch F. Topological Methods in Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York, 1966. Более общий результат: пусть задана функция f(x) = Y2n>ian-ixTl/n € С[[#]]; из равенства (5.57) следует, что единственный степенной ряд F(x). удовлетворяющий соотношению [xn]F(x)n+1 = ап при всех п G N, дается формулой F(x) =x/f(~V(x). b, с. Заметим, что Fk(0) = 1 (случай п = 0). Пусть Gk(x) = x/Fk(xk). Тогда условие на Fk(x) будет иметь вид п+1 г*Ш" - • если п = 0 (mod/с), в противном случае. По формуле обращения Лагранжа (теорема 5.4.2) п+1 [ХП](Щ^У =^ + l)[xn+1]GJT1)(x). Значит, ^.fcm+l 4^ кт + 1 При к = 2 имеем G<2~ = \ In у^, откуда следует, что G2(x) = (е2х - 1)/(е2ж + 1) и F2(x) = v^/th^ Этот
Решения упражнений 197 результат сформулирован в лемме 1.5.1 упомянутой выше книги Хирцебруха. Однако при к > 2 не существует такого простого способа обращения ряда G^~ '(х) = ]Cm>o xkrn+1/'(km -f 1). 5.56. а. Первое решение. Более общим образом, пусть G(x) = Sn>o ^п£п ~~ произвольный степенной ряд, причем bo = 1. Положим Н(х) = х ехр V^ Ьп —, ^ п так что Н'{х) _ G(x) Н{х) " х ' Положим у = F(x) = а\х-\-а2Х2 -\ , а\ ^ 0. Рассмотрим формальный степенной ряд In := }ViX . i>\ Тогда , Н(х) v^ 4 у *i =* Ш~:у~ = &гр1У у- (5Л38) \ х у) ^ Рассмотрим коэффициент при 1/х в обеих частях. Как и в первом доказательстве теоремы 5.4.2, получим [х_1]^ = пр- (5Л39) Теперь положим G(x) = 1 в равенстве (5.139), так что Н(х) = х. Тогда п[хп]ЫУ =npn = [x-i] _- = [*»](£) , ж хуп \у) что и требовалось.
198 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Второе решение. Положим Н(х) = \n(x/F(x)). Тогда формула (5.64) превращается в соотношение -И F'W X F(x) J L J F{x)n x \n 1 r _Xl d +i + r^f (*ГП = x- F(x) J n dx x что и требовалось. Третье решение. Равенство (5.53) можно представить в виде •*,"К£!тй)'-и(щ)" (5-ш) Первое доказательство теоремы 5.4.2 фактически справедливо для любого k G К; поэтому мы можем положить к —> 0 в (5.140), что (после некоторых рассуждений) приведет к равенству (5.118). Результат этого упражнения был впервые получен в работе Lagrange J. L. Mem. Acad. Roy. Sci. Belles-Lettres Berlin 24 (1770); Oeuvres, vol. 3, Gauthier-Villars, Paris, 1869, pp. 3-73. Позднее этот результат заново открыл Шур (Schur I. Amer. J. Math. 69 (1947), 14-26). Пусть G(x) = x/F(x). Согласно п. (а), Son = [xn]G(x)n = п[хп] In ^ . Таким образом, х = \n(F^~^(x)/x), так что F^~^(x) = хех. Значит, х G(x) = (жех)<-1) = l + ^(_l)n-i(n_ir-i^ (ГДе0° = 1), П! п>1 что получается простым применением равенства (5.53) (или подстановкой —х вместо х в (5.67)). 5.57. В следствии 5.4.3 положим Н(х) = 1п(1 + х) и x/F(x) = (1+ж)2/(2+ж). Тогда F(x) = 1-(1+ж)-2; поэтому F<_1)(a;) =
Решения упражнений 199 (1 - х)~1/2 - 1. Равенство (5.64) превращается в п[хп)^ 1п(1 - х)-1 = [хп-г](1 + х)2п~\2 + х)"п. Но [жп]1п(1 — х)~г = 1/п, откуда и следует доказываемый результат. Разложив функции (1 + ж)2п_1 и (2 + х)~п в ряд и рассмотрев коэффициент при хп~г в их произведении, мы видим, что эквивалентным результатом является (после замены п на п + 1) тождество 4-=|>1г-'<Т)(2п;0- Бромвич [5, пример 18, с. 199] полагает, что этот результат впервые появился в Math. Trip. 1906. 5.58. Пусть F(x) = xf(x)a и G(x) = д(х)а. Тогда функциональное уравнение (5.119) превратится в уравнение F(x) = xG(F(x)), так что по обычной формуле обращения Лагранжа (теорема 5.4.2) получим m[xm)F(x)k = k[xm-k]G(x)m для любых неотрицательных целых чисел т и к. В терминах / и д это соотношение запишется в виде m[xm-k]f(x)ak = к[хт-к]д(х)ат. Теперь положим к = t/a и т = t/a -f п, так что t = ак и п = т — к. Мы получим требуемую формулу с тем ограничением, что t/a должно быть неотрицательным целым числом. Однако, так как обе части являются многочленами от £, формула должна быть справедливой для всех t. Этот результат принадлежит Рейнсу (частное сообщение), а приведенное выше доказательство было предложено Гесселем. См. упр. 5.37(e) по поводу одного из приложений. 5.59. Определим д(х,у) Е if [[ж, у]] как (единственный) степенной ряд, удовлетворяющий функциональному уравнению д = yF(x,g). Таким образом, д(х, 1) = f{x). По формуле обращения Лагранжа (теорема 5.4.2) получаем п[уп]д(х, у)к = k[yn-k]F(x, у)п. Значит, g(x,t)k = £([«*,2/)fc)*n = £ fan-k]F(x,u)n)tn. Полагая t = 1, получаем требуемый результат. Это рассуждение принадлежит Гесселю.
200 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.60. а. Один из методов доказательства состоит в том, что мы полагаем В (х) = А(х) — 1 и записываем А{х)п = (1 + В{х))п = ^(Лв{хУ. Таким образом (так как deg-B(a;)J' ^ j), Ил(*г = £(")№(*)'•, j=0 \J' что является многочленом от п степени ^ к. Этот результат можно доказать другим способом. Пусть А — разностный оператор по переменной п. Тогда в силу равенства (1.26) ^ имеем Ак+1[хк]А(х)п = [хк}^2(-1)к+1-Ч ^ )A(x)n+i i=o \ г J = [хк)А(х)п(А(х)-1)к+1=0. Теперь осталось воспользоваться предложением 1.4.2(a)2). Ь. Так как etF^ = En^o^WV^^ то Pk{n) = (n + k)\ ;tF(x) = (Ц+А)! [xn+k]F{x)n (5.141) TV. Теперь воспользуемся п. (a). с. Как и в п. (Ь), имеем п+к 1etF<-»(«) = (п + к)к[а;»+*]р-(-1>(ж)« (п + Л)! (п + fc)j п + & F(s) -п—к {п + к-1)к (-п)кРк(-п - к) (-1)кРк(-п-к), (согласно (5.53)) (согласно (5.141)) что и требовалось. *' Определение разностного оператора см. в примечании переводчика в разд. 5.3. Нетрудно показать, что Ahf(n) = ?}!?=0(—1)к~г(!?)/(п + г). — Прим. перев. 2) См. примечание переводчика в разд. 5.3. — Прим. перев.
Решения упражнений 201 d. Ответ: pk(n) = S(n+k,n) и (-1)крк(-п-к) = s(n+k,n). Закон взаимности чисел Стирлинга S(—п, — п — к) = (—l)ks(n+k,n) обсуждается в работах Gessel I., Stanley R. J. Combinatorial Theory (A) 24 (1978), 24-33, и Knuth D. E. Amer. Math. Monthly 99 (1992), 403-422. e. Из упр. 5.17(b) следует, что , ч (п + к)\ (п Рк(п) = - ' + fc-l\ п-1 ) (n + A;)(n + A:-l)2(n + A:-2)2...(n + l)2n ,_ = (кП)! {к>1)' Так как F<_1>(:r) = х/(1 + х) = -F(-x), из п. (с) вытекает, что Рк(-п - к) = Рк(п). Дальнейшую информацию о степенных рядах F(x), удовлетворяющих условию F<_1>(:r) = -F(-x), см. в упр. 1.41. f. Ответ: Рк(п) = (-1)к(П+кку. Таким образом, (-1)крк(-п - к) = (п+£-1)(п + к)к, так что Эта формула также непосредственно следует из предложений 5.3.1 и 5.3.2._ 5.61. а. Ясно, что /х(Р х Q) = /x(P)/x(Q) в силу предложения 3.8.2х). Теперь у нас есть дизъюнктное объединение Р х Q = (Р х Q) U {(x,6Q) : х G Р} U{(6p,y):yeQ}u{(6p,6g)}. Через [и, v]r обозначим интервал [u,v] ч. у. множества R. Если t Е Р х Q, то интервалы [£, l]pXQ и [£, l]pxg изоморфны. Если х G Р, то интервал [(ж,Og), 1pxq] изоморфен [ж, 1]р х Q. Аналогично, если у е Q, то [(бр,у), 1]pxq = Рх [у, 1]q. Значит, )См. примечание переводчика в разд. 5.1. — Прим. перев.
202 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 0= 5Z W*xq(M) tePxQ tePxQ ^xeP ' = -m(FTq) - /x(P)/x(0) - KPMQ) + КРЫ0), откуда и получаем доказательство. Заметим, что п. (d) упр. 3.69 — частный случай этого упражнения. Ь. Положим /(г) = —/Xi = —fi(Qi) в следствии 5.5.5. Если type7r = (ai,...,an), то по свойству (ЕЗ) экспоненциальных структур и п. (а) имеем /(l)ai • • • f(n)an = -//(Q?1 х ••• xQ%n) = -/х(б,тг). Значит, Нп) = - J2 Мб,тг) = /х(б,б) = 1, TreQn откуда и получаем доказательство. Это доказательство было предложено Д. Гризером. 5.62. а. Случай г = 0 тривиален; поэтому предположим, что г > 0. Пусть Гд — соответствующий двудольный граф (определение см. в разд. 5.5). Предположим, что (Ta)i — связная компонента графа Гд с двудольным разбиением вершин (Xi,li), где #Xi = #Yi = j. Предположим, что j ^ 2. Ребра графа (Гл)г могут быть выбраны следующим образом. На вершинах (Xi,Yi) разместим двудольный цикл 7}(j — l)!j! способами (как в доказательстве предложения 5.5.10). Заменим некоторое ребро е этого цикла га ребрами, где 1 ^ т ^ г - 1. Заменим каждое ребро, находящееся на четном расстоянии от е, также т ребрами, тогда как каждое ребро, расположенное на нечетном расстоянии, заменим на г — т ребер. Таким образом, если задана пара множеств (Xi.Yi), для (Ta)i при j ^ 2 существует |(г — l)(j — 1)! j! возможностей выбора. В случае j = 1 существует лишь одна возможность. Отсюда по экспоненциальной формуле для 2-разбиений £ ш^=ехр Iх+\(г -1) £0' -!)! зЩ = ехр \х + -(г - 1)(-ж + 1п(1 - х)~г)
Решения упражнений 203 b. При г = 3 получаем1) £«»>£- гЬ-£л поэтому /з(^) = ™!2. Существует ли непосредственное комбинаторное доказательство? 5.63. Пусть А = Pi + Р2 + *•• + Р2к, и пусть Га — двудольный граф, соответствующий А (см. разд. 5.5). Положим Гт = Грт, так что Га — реберное объединение графов Гь Гг,..., I^fc- Предположим, что (Гл)г — связная компонента графа Га с двудольным разбиением вершин (JQ, У*), где #Xi = #Уг = jf ^ 1. Если j ^ 2, то (Г^)» получается размещением двудольного цикла на (Xi,Yi) с последующей заменой каждого ребра на к ребер. Это можно сделать |(j — 1)! j\ способами. Через Е(Г) обозначим мультимножество ребер графа Г. Тогда Е(Гт) П Е((Га)1) состоит из j вершинно- непересекающихся ребер компоненты (Гл)г- Существует в точности два различных способа выбрать множество, состоящее из j вершинно-непересекающихся ребер компоненты (Гд);, и каждое из этих множеств должно встречаться к раз среди множеств Е(Гт) П E((TA)i) при фиксированном г и при 1 ^ га ^ 2к. Следовательно, существует (2fcfc) способов выбрать множества Е(Гт) П Е((Га)1), 1 ^ га ^ 2/с. Таким образом, при j ^ 2 существует возможностей выбора для каждого двудольного разбиения вершин (Xi,Yi) с #Xi = #Yi = j. Ясно, что при j = 1 имеется лишь одна возможность. Значит, по экспоненциальной формуле для 2-разбиений Е вд$=ехр \х + (2kkг) 5>' - адЙ1 x+f^'^i-x + Hl-x)-1) (i-xre^exp^i-^;1))' x) Дэвид Кэллан заметил (частное сообщение), что имеется очень простое комбинаторное доказательство этой формулы. Любая матрица перечисляемого типа может быть единственным образом представлена в виде P + 2Q, где Р и Q — перестановочные матрицы. И наоборот, Р + 2Q всегда является матрицей перечисляемого типа, откуда /з(п) = п!2. — Прим. автора при переводе.
204 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций 5.64. а. Пусть М' — матрица М, первая строка которой домно- экена на — 1. Если к нечетно, то (detM)fc + (detM')k = (perM)fc + (perM')fc = 0, откуда следует, что Д(п) = дк(п) = 0. Теперь 2п2/2(п) = ^2 ( ^2 ±т1,т(1) * * * тпМп) ) = J2 (sgn7r)(sSncr) Л Ц miMi)-'mnMn) 7Г, СТе&п i,j TTlij=±l X ^l,tr(l)'--^n,tr(n)- Если 7г =£ ст, например j = 7г(г) =£ ст(г), то две внутренние суммы имеют множитель X)m =±i rriiJ = ®- Значит, 2n2/2(n)= ]T(sgn7r)2^ ^2 (^1,7г(1)",Шп,7г(п))2 тгЕбп *,J mij=±l поэтому /2(п) = п!. То же рассуждение дает <72(™) = тг!, так как множители (sgn 7г) (sgn а), указанные выше, оказались несущественными. Найквист, Райе и Риордан (см. указанную ниже работу) полагают, что этот результат (в несколько более общем виде) появился в статье Fortet R. J. Research Nat. Bur. Standards 47 (1951), 465-470, хотя возможно, что он был известен ранее. Связь с матрицами Адамара см. в работах Johnson С. R., Newman М. J. Research Nat. Bur. Standards 78В (1974), 167-169, и Кае М. Probability and Related Topics in Physical Sciences, vol. I, Interscience, London-New York, 1959 (c. 23). b. Теперь мы получаем 2n /4 (n) = ^2 (s&n P) (sSn ж) (s&n a) (s&n r) p,7T,(T,r€6n n X^ ^2 ПШкАк)ШкМк)ШкМк)Шк,т{к)- (5.142) ij rriij=±lk=l Вклад оказывается ненулевым только в том случае, когда произведение Р в (5.142) (рассматриваемое как одночлен от переменных mrs) будет точным квадратом.
Решения упражнений 205 Эквивалентным образом, если отождествить перестановку с соответствующей ей матрицей, то элементами матрицы р + 7Г + а + т будут 0, 2 или 4. Мы утверждаем, что в этом случае произведение ртха является четной перестановкой. Один из способов удостовериться в этом состоит в проверке того факта, что фиксированный цикл С встречается четное число раз (0, 2 или 4, причем значение 4 возможно только для неподвижных точек) в четырех перестановках рр-1, 7гр-1, сгр-1, тр-1. Значит, перестановка рр~17гр~1ар~1тр~1 четна и перестановка рпат также четна. Отсюда следует, что множитель (sgnp)(sgn7r)(sgncr)(sgnr) в формуле (5.142) равен 1 во всех ненулевых слагаемых. Значит, правая часть формулы (5.142) равна 2n N2(n), где N2(n) — число 4-наборов (р, 7Г, сг, т) Е 6*, таких, что каждый элемент матрицы р + 7г + а + т равен 0, 2 или 4. Следовательно, формула (5.120) вытекает из упр. 5.63. Аналогичным образом вычисляется ^(^), так как множитель (sgnp)(sgn7r)(sgncr)(sgnr) оказывается несущественным. Равенство (5.120) впервые было получено в работе Найквиста, Раиса и Риордана (Nyquist Н., Rice S. О., Riordan J. Quart J. Appl. Math. 12 (1954), 97-104), где использовался другой метод. В указанной работе доказан более общий результат, в котором элементами матрицы являются одинаково распределенные независимые случайные величины, симметричные относительно 0. Метод, использованный здесь, может быть применен и для получения этого более общего результата. c. С помощью приведенного выше метода доказательства легко получить, что /2fc(n) < д2к{п), если найдутся перестановки 7Ti,... ,7T2fc G6n, такие, что элементы матрицы 7Ti + • • • + 7T2fc — четные числа и щ • • • тт2к ~~ нечетная перестановка. При п = 3 и к = 3 можно взять {я"1,7Г2,...,7Гб} = вз- Для больших значений пик мы можем легко построить примеры, исходя из примера для п = 3 и /с = 3. d. Пусть М G Vn+i. Умножим каждый столбец матрицы М на ±1 так, чтобы первая строка состояла из единиц. Умножим все строки, за исключением первой, на ±1 так, чтобы первый столбец состоял из —1, кроме первого элемента. Теперь добавим первую строку ко всем остальным строкам. Подматрица, полученная удалением первой строки и первого столбца, будет п х n-матрицей 2М', где М' —
206 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций матрица из 0 и 1. Разложение по первому столбцу дает detM = ±2n(detM'). При этом отображении М \-> М' каждая (0,1)-матрица размера п х п получается одинаковое число (а именно, 22n+1) раз. Отсюда легко следует, что /£(п) = 2~knfk(n+ 1) при четном к. При нечетном к легко видеть, что f'k(n) = 0. Простой случай g[(n) мы оставляем читателю, здесь же рассмотрим случай д'2{п). Как в пп. (а) или (Ь), п 2П52(П)= Е Е Е ПткМк)ткМк)- п,<г€&п iJ rriij =0,1 к=1 Предположим, что матрица 7г + а содержит г двоек, а значит, 2п — г единиц. Это эквивалентно тому, что 7гсг-1 имеет г неподвижных точек. Тогда Е Е йтьмк)гпкМк) = 2п2-2п+г- ij rriij =0,1 к=1 Так как мы можем выбрать любую перестановку 7г Е &п, а затем выбрать а так, чтобы перестановка 7гсг-1 имела г неподвижных точек, то получим, например, 2п2д'2(п)=п\2п2-2п ]Г 2ClW = n\2n2-2nh(n), где 7г имеет с\{тт) неподвижных точек. Полагая t\ = 2 и ^2 = £з = • • • = 1 в формуле (5.30), получим = > n! 1 + - + - + --- + — —, ^ V 1! 2! п\)п\ так что h(n) = n!(l + jf Н Ь ^) и д2(п) имеет требуемый вид. (Можно также привести доказательство, использующее вместо соотношения (5.30) предложение 5.5.8.) 5.65. а. Пусть задана функция д: NxN-{(0,0)} —> К. Определим новую функцию h: N xN -+ К равенством h(m,n) = Ез(#Аь #Bi) • • -д(#Ак, #Вк), где суммирование проводится по всем множествам {(j4i,2?i),...,(i4fc,£]fc)}, А, С [га] и В, С [п], и эти множества удовлетворяют условиям
Решения упражнений 207 (i) ни при каком j не выполняется соотношение Aj = Bj = 0, (ii) непустые множества Aj образуют разбиение множества [т], (ш) непустые множества Bj образуют разбиение множества [п]. (Положим /г(0,0) = 1.) Способом, аналогичным доказательству следствия 5.1.6, получаем равенство m,n>0 iJ>0 J (i,j)*(0,0) Пусть А = (a,ij) есть т х п-матрица подсчитываемого типа. Пусть Га — двудольный граф с разбиением вершин ({zi,..., хт}, {уъ ..., уп}) и dij ребрами между ж» и yj. Связные компоненты Гх,..., Г& графа Гд определяют множество {(Ai,Bi),...,(Ak,Bk)}, удовлетворяющее приведенным выше условиям (i)-(iii), а именно, г Е Aj, если Х{ является вершиной графа Г^, и г Е Bj, если yi является вершиной графа Г?. Каждая связная компонента графа Yа должна быть простой цепью (длины ^ 0) или простым циклом (четной длины ^2). Существует следующее число возможностей для компоненты с г вершинами, принадлежащими {х\,... ,жт}, и j вершинами, принадлежащими '{yi,...,yn}: (t,j) = (0,1) или (1,0) : (1,1): (г, г + 1) или (г + 1,г) : 1, 2, ^г!(г+1)!, (t,t): г!2+^(г-1)!г!, i > 2, все остальные пары : 0. Значит, 1 F(:r, у) = ехр х + у + 2ху + ^ ]Г>У+1 + *i+V) г>1 г>2 Х ' что легко приводится к правой части равенства (5.121).
208 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Ь. Для произвольного степенного ряда G(:r, у) = Y1 стпХгпуп пусть VG(x,y) = ^2cnntn. Оператор V сохраняет бесконечные линейные комбинации, и если G(:r, у) = Н(х, у, ху) для некоторой функции Я, то VG(x, у) = VH(x, у, t). Значит, Е п>0 f(n,n)^ = VF(x,y) (l-t)"2e2?T=«TDexp (х + у)(1-Ы) l-t Но Vexp (x + y)(l-±ty l-t *>E- n>0 (x + yY(l-\t\n \-t) v/2n\ f (l-\t\*n 2LAn.)(2n)\\l-t) ' откуда и следует доказательство. 5.66. а. Если г ^ s, то матрица L — rl содержит s равных строк и, следовательно, ее ранг не превосходит г + 1. Таким образом, по меньшей мере 5 — 1 собственных чисел матрицы L равны г. Если г = s, то другие г строк матрицы L — rl равны; поэтому по меньшей мере г + s — 1 собственных чисел матрицы L равны г. b. Из соображений симметрии по крайней мере г — 1 собственных чисел матрицы L равны s. c. Так как сумма строк матрицы L равна 0, по крайней мере одно собственное число равно 0. След матрицы L равен 2г5. Так как след — это сумма собственных чисел, оставшееся собственное число должно быть равно 2rs—(s—l)r— (г — l)s = Г + 5. d. В силу матричной теоремы о деревьях (теорема 5.6.8) c(Krs) = —— (r + s)r- Г + S -lar-l s-l0r-l что согласуется с упр. 5.30. 5.67. С каждым ребром е = {i,j} свяжем переменную X{j = Xji. Пусть L = (L{j) есть п х n-матрица, у которой Lij — -Xij, если г ^ j, J2i^k^n Xik, если г = j. кфг
Решения упражнений 209 Пусть L0 обозначает матрицу L, у которой удалены последние строка и столбец. Согласно матричной теореме о деревьях (теорема 5.6.8), £/(T) = detL0(/), Г где Lo(/) получается из Lo подстановкой /(e) вместо хе. Так как элемент (г, г) матрицы Lo имеет вид Х{п+ (остальные слагаемые) и так как Х{п в Lo нигде больше не встречается, отсюда следует, что мы можем заменить элемент матрицы Lo, расположенный на месте (г,г), на новую переменную у{, и это не повлияет на распределение значений определителя detLo- Значит, Pn(q) в точности совпадает с числом обратимых симметричных (п — 1) х (п — 1)-матриц над ¥q. Для нечетного q это число было подсчитано в работе Carlitz L. Duke Math. J. 21 (1954), 123-128 (теорема 3), как часть более общего результата. Более элементарное доказательство, справедливое для любого д, было дано впоследствии в работе MacWilliams J. Amer. Math. Monthly 76 (1969), 152-164 (теорема 2). Это упражнение связано с неопубликованным вопросом, поставленным М. Концевичем. Дальнейшую информацию см. в работе Stanley R. Annals of Combinatorics 2 (1998), 351-363. 5.68. Эти рассуждения аналогичны рассуждениям, применявшимся в примере 5.6.10. Пусть V — векторное пространство всех функций /: Г —> С. Определим линейное преобразование Ф: V —> V равенством (Ф/)(и) = 5>0;)/(и + т;). ver Легко проверить, что характеры х £ Г являются собственными векторами преобразования Ф, принадлежащими собственному числу J2ver&(v)x(v)- Более того, матрица Ф в базисе Г пространства V имеет вид № = (Z<W)-i-W. Значит, собственные числа матрицы L(D) задаются формулой ^2ver&(v)(l — x(v)) ПРИ X £ Г, и результат вытекает из следствия 5.6.6. Заметим, что пример 5.6.10 соответствует случаю Г = (Z/2Z)n и а задается равенствами a(v) = 1, если v — единичный вектор, и a(v) = 0 в противном случае. 5.69. а. Легко видеть, что r(D, v) = а\а^ • • • clp-i-
210 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций Ь. Орграф D связен и сбалансирован, и исходящая степень вершины vi равна af_i + ai (где ao = ар = 0). Следовательно, по теореме 5.6.2 р-1 б(Д е) = аха2 • • • ap_i JJ(ai_i +а{- 1)!. г=1 5.70. Рассуждение аналогично тому, которое использовалось для доказательства следствия 5.6.15. Орграф Dn становится графом с множеством вершин [0, d — 1]п-1 и ребрами (aia2 • • • an-i, ^2^3 * * * an), что дает ответ d\dn d~n. По- видимому, этот результат был впервые получен в [1]. 5.71. Сначала заметим, что число q ребер орграфа G задается равенством W(2) = 2q (так как G не имеет петель и кратных ребер). Тогда 2q = dp, где р — число вершин графа G, так что р также можно определить. Легко видеть, что числа Aj, удовлетворяющие соотношению (5.122) при всех £ ^ 1, единственны (рассмотрим, например, производящую функцию Eoi^W^)' а значит, по доказательству следствия 4.7.3 являются ненулевыми собственными числами матрицы смежности А графа G. Так как матрица А имеет всего р собственных чисел, отсюда следует, что р — т из них равны 0. Имеется несколько способов показать, что наибольшее собственное число Ai равно d. Так как граф G регулярен, собственными числами матрицы Лапласа L графа G будут числа d — Xj вместе с собственным числом d кратности р — т. Значит, по матричной теореме о деревьях (теорема 5.6.8) rfp-m ™ c(G) = —-П(<*-АД Р i=2 5.72. Существует стандартная биекция Т \-* Т* между остовны- ми деревьями Т графа G и остовными деревьями Т* графа G*, а именно, если множество ребер дерева Т обозначить через {ei,..., ег}, то множеством ребер дерева Т* будет Е* - {ej,...,e*}, где Е* обозначает множество ребер графа G*. Значит, c(G) = c(G*). Пусть Lo(G*) обозначает матрицу L(G*), у которой удалены строка и столбец, индексированные внешней вершиной. Легко видеть, что Lo(G*) = 41 — A(G'), и доказательство получается применением теоремы 5.6.8. Этот результат принадлежит Цветковичу и Гутману (CvetkovicD., Gutman I. РиЫ Inst. Math. (Beograd) 29 (1981), 49-52). Они приводят очевидное обобщение на планарные
Решения упражнений 211 графы, все ограниченные области которых имеют одно и то же число граничных ребер. См. также Cvetkovic D., Doob М., Gutman I., Torgasev A. Recent Results in the Theory of Graph Spectra, Annals of Discrete Math. 36, North-Holland, Amsterdam, 1988 (теорема 3.34). Укажем связанные с этой тематикой работы: Chow Т. Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 3155-3161; Ciucu М. J. Combinatorial Theory (A) 81 (1998), 34-68; Knuth D. E. J. Alg. Combinatorics 6 (1997), 253-257; Stanley R. Discrete Math. 157 (1996), 375-388 (задача 251). 5.74. а. Пусть J есть p x р-матрица, состоящая только из единиц. Как и в доказательстве леммы 5.6.14, мы видим, что Ае = J и что собственными числами матрицы А будут рг/е (один раз) и 0 (р — 1 раз). (Заметим, что так как tr А — целое число, то р = ге при некотором г Е Р. Пункт (d) данного упражнения дает более точный результат.) b. Число петель равно tr А = г, где р = ге, как и выше. c. Так как по предположению существует путь между любыми двумя вершинами орграфа D, то D связен. Так как А имеет единственное собственное число, равное г, то существует единственный (с точностью до умножения на ненулевое число) соответствующий собственный вектор Е. Так как Е является также собственным вектором матрицы Ае = J с собственным числом ге = р, то Е — вектор (-столбец), состоящий из одних единиц. Равенство АЕ = гЕ показывает, что полустепень исхода каждой вершины орграфа D равна г. Если транспонировать обе части равенства Ае = J, то получится равенство (А*) = J. Таким образом, те же рассуждения показывают, что А1Е = гЕ, так что полустепень захода каждой вершины орграфа D равна г. d. Приведенные выше рассуждения показывают, что г = d (или р = de). e. Так как полустепень исхода каждой вершины орграфа D равна г, то L = rl — А. Значит, по п. (а) собственными числами матрицы L являются г (р—1 раз) и 0 (один раз). Следствие 5.6.7 дает равенство б(Де) = -гр-\г - 1)\р = r-(m>r!r€. р Полное число эйлеровых циклов равно в точности e(D) = rp'e(D,e) = r\ri.
212 Гл. 5. Деревья и композиция производящих функций f. Мы хотим найти все р х р-матрицы А, составленные из неотрицательных целых чисел, такие, что Ае = J. Если отказаться от условия, что элементы матрицы А — целые неотрицательные числа, то простое рассуждение из линейной алгебры показывает, что А = r~e+1J + N, где Nf = 0 и NJ = JN = 0. Эквивалентное утверждение: если ei обозначает г-й единичный координатный вектор, то Ne = 0, N(ei + • • • + ер) = 0, и пространство всех векторов а\е± + • • • + арер при Ylai = 0 является N-инвариантным. Обратно, для любой такой матрицы N матрица А = г~е+13 + N удовлетворяет условию Ае = J. Если выбрать в качестве N матрицу с целыми элементами, а в качестве с достаточно большое число так, чтобы элементы матрицы В = с J + N были неотрицательными, то В будет матрицей смежности некоторого орграфа с одним и тем же числом простых путей (не обязательно ровно с одним путем) длины £ между любыми двумя вершинами. Например, пусть р = 3. Определим N равенствами N[1,1,1] = [0,0,0], N[1,-1,0] = [2,-1,-1] и N[2, -1,-1] = [0,0,0] (для простоты записывая векторы- столбцы в строки). Тогда "222 2J + N и (2J + N)2 — 12J. Значит, 2J + N — матрица смежности орграфа с 12 простыми путями длины два между любыми двумя вершинами. Сложнее построить орграф, не являющийся графом де Брёйна, с единственным простым путем длины £ между двумя вершинами, но такие примеры были даны Капалбо и Фредериксоном (независимо). Матрица смежности примера Капалбо (с единственным простым путем длины 2 между любыми двумя вершинами) имеет вид 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Глава 6 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ, £>-КОНЕЧНЫЕ И НЕКОММУТАТИВНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 6.1. Алгебраические производящие функции В этой главе мы изучим два класса производящих функций, а именно алгебраические и D-конечные производящие функции. Мы также кратко обсудим теорию некоммутативных производящих функций, в частности, их связь с рациональными и алгебраическими производящими функциями. Алгебраические функции являются естественным обобщением рациональных функций, в то время как D-конечные функции являются естественным обобщением алгебраических функций. Таким образом, имеется иерархия D-конечные функции i алгебраические функции (6.1) I рациональные функции К этой иерархии можно добавить и другие классы, однако три класса (6.1), по-видимому, наиболее полезны для перечислительной комбинаторики. 6.1.1. Определение. Пусть К — поле. Формальный степенной ряд 7] G -^[[#]] называется алгебраическим, если существуют многочлены Ро(х),... ,Pd(x) G К[х], не все тождественно равные нулю, такие, что Ро(х) + Pi (х)г) + • • • + Pd(x)r]d = 0. (6.2) Наименьшее натуральное число d, для которого выполняется соотношение (6.2), называется степенью алгебраического ряда rj. Заметим, что степень алгебраического ряда п равна единице тогда и только тогда, когда это рациональный ряд. Множество всех алгебраических степенных рядов над полем К обозначается через ад*]]. 6.1.2. Пример. Пусть г) = Х^о Сп)хП' В СИЛУ УПР- 1-4(а)1} мы имеем (1 — 4х)т72 — 1 = 0. Следовательно, rj есть алгебраический 1^Речь идет о формуле (1 — 4#)_1/2 = $2n>0 (2п)#п- ~~ Прим. перев.
214 Гл. 6. Алгебраические производящие функции ряд степени один или два. Если поле К имеет характеристику два, то 7] = 1 и его степень равна единице. В противном случае легко видеть, что степень ряда г\ равна двум. Действительно, если deg(Ty) = 1, то r\ = P(x)/Q(x) для некоторых многочленов P(x),Q(x) G К[х]. Таким образом, (l-4x)P(x)2 = Q(x)2. Мы получаем противоречие, поскольку степень левой части (как многочлена) нечетна, в то время как степень правой части четна. Имея дело с алгебраическими рядами, гораздо удобнее работать не над кольцами К[х] и if[[x]], а над полями. Поэтому мы приведем основные сведения о полях частных колец К[х] и if [[х]]. Поле частных кольца К[х] есть в точности поле if (х) рациональных функций над К (поскольку каждая рациональная функция по определению является отношением многочленов). Кольцо if [[х]] является почти полем; чтобы получить поле, нам нужно просто обратить элемент х. (Иными словами, if [[х]] есть локальное кольцо и область целостности, и х порождает в нем максимальный идеал.) Таким образом, поле частных кольца if [[х]] есть Щх)) = К[[х])[1/х). Каждый элемент поля if ((х)) можно рассматривать как ряд Лорана т] = Yln>n0 апхП Для некоторого no G Z (зависящего от rf). Единственную трудность для проверки того, что такие ряды Лорана действительно образуют поле, представляет аксиома существования мультипликативного обратного. Но если 7] = Yln>nQ апХп и аПо ф О, то 7] = хПор, где р — обычный степенной ряд с ненулевым свободным членом. Следовательно, р-1 G if [[#]], так что г}~1 = х~п°р~1 G К((#)), как и требовалось. Напомним определение из элементарного курса алгебры. Если D — область целостности, содержащая поле if (х), то элемент 7] G D называется алгебраическим над if (ж), если существуют элементы Fo(x),..., Fd(x) G if (x), не все тождественно равные нулю, такие, что F0(x) + Fi(x)i7 + • • • + Fd(x)r)d = 0. (6.3) Наименьшее такое d называется степенью элемента 7] над полем К(х) и обозначается &egK(x) (ту). Это число является также размерностью поля if (х, 7j) (получаемого присоединением элемента 7] к полю if (х)) как векторного пространства над if (х). Эквивалентным образом, элемент 7] является алгебраическим над полем if (х) тогда и только тогда, когда векторное пространство над if (х), натянутое на множество {1, ту, ту2,... }, конечномерно (в этом случае его размерность равна degK(x)(v))- Кроме того (еще один факт из курса
6.1. Алгебраические производящие функции 215 алгебры), множество элементов r\ G D, алгебраических над полем К(х), образует подкольцо кольца D, содержащее К(х) (а следовательно, и К (х)-подалгебру в D, т.е. подкольцо кольца D, являющееся одновременно векторным пространством над полем К(х)). Предположим, что имеет место соотношение (6.3), и пусть Р(у) = F0(x) + ••• + Fd(x)yd G К(х)[у]. Таким образом, Р(у) есть многочлен от переменной у с коэффициентами из поля К(х). В этом случае мы получаем, что d = degK^(r]) тогда и только тогда, когда многочлен Р(у) неприводим. Если нормировать соотношение (6.3) делением на Fd(x), так чтобы старший коэффициент многочлена Р(у) стал равным единице, и потребовать, чтобы d = degK(x) (77), то при соблюдении этих условий соотношение (6.3) единственно, ибо в противном случае мы могли бы взять разность двух таких соотношений и получить соотношение меньшей степени. Заметим, что соотношение (6.3) можно умножить на общий знаменатель всех элементов F{, и, следовательно, мы можем считать, что все Fi — многочлены. Таким образом, мы видим, что элемент 7] G if [[я]] является алгебраическим (в смысле определения 6.1.1) тогда и только тогда, когда он алгебраичен над полем К(х). То же верно для 7] G К([х)). Множество всех алгебраических рядов Лорана над полем К(х) обозначается через ifaig ((#)). Следовательно, ^И = ^(МпВД (6.4) Стандартные алгебраические рассуждения показывают, что ifaig[[#]] есть подкольцо кольца If [[ж]], содержащее К (х)Г\К [[#]], т. е. кольцо рациональных функций P/Q, где Р, Q G К[х] и Q(0) Ф 0. 6.1.3. Пример. Рассмотрим пример 6.1.2 с несколько более алгебраической точки зрения. Степень ряда к] = ^2п>0 (*п)хП равна двум тогда и только тогда, когда многочлен (1 — Ах)у2 — 1 неприводим как многочлен от переменной у над полем К(х). Квадратичный многочлен р = ay2 + by + с неприводим над полем F характеристики, не равной двум, тогда и только тогда, когда его дискриминант disc(p) = b2 — Аас не является квадратом в F. В нашем случае дискриминант disc((l — 4х)у2 — 1) = 4(1 — 4х) не является квадратом, поскольку его степень (как многочлена от переменной х) нечетна. Следовательно, degK^(rj) = 2, если char if ф 2. Для большинства целей перечислительной комбинаторики при использовании алгебраических рядов достаточно работать с рядами Лорана у G if ((#))• Заметим, однако, что существуют элементы 7] в некотором расширении поля К(х), которые являются алгебраическими над if (я), но не могут быть представлены как
216 Гл. 6. Алгебраические производящие функции элементы из К([х)). Простейшие примеры таких элементов т] задаются уравнением rjN = х при N ^ 2. Это наводит на мысль рассматривать формальные ряды вида r\ = J2n>no anxn/N, где N — натуральное число, зависящее от rj. Такие ряды называются дробными рядами (Лорана) (или рядами Пюизё). Если по = 0, то такой ряд называется дробным степенным рядом. Обозначим через Kha,((x)) (соответственно iffra[[:r]]) кольцо всех дробных рядов Лорана (соответственно дробных степенных рядов) над полем К. Таким образом, Kha-((x)) = КЦх^х1/2,xltz,х1/*,...}, т.е. всякий элемент 7] Е Kha,((x)) можно записать как многочлен от переменных ж1/2, ж1/3,... (в который, следовательно, входит лишь конечное число из них) с коэффициентами из поля К([х)); и наоборот, всякий такой многочлен является дробным рядом. Таким образом, например, ряд X3tv>i ^1^7V не является дробным рядом в смысле нашего определения. Легко видеть, что if fra[[:r]] является кольцом и что Kira,((x)) есть поле частных кольца Kfra[[:r]]. Например, произведение рядов Em^mo amXm/M и J2n>no bnxn/N есть ряд вида V- rn/MN В оставшейся части этого раздела мы исследуем некоторые основные свойства дробных рядов и алгебраических рядов. Понимание этих свойств дает интересный взгляд на формальные аспекты алгебраических рядов, однако оно в действительности не является необходимым для решения перечислительных задач. Читатель может пропустить оставшуюся часть этого раздела без значительного ущерба для связности изложения. (Единственное исключение составляет доказательство теоремы 6.3.3.) 6.1.4. Предложение. Поле Kha,([x)) является алгебраическим расширением поля К((х)), т.е. каждый дробный ряд Лорана 7] Е Kira,((x)) удовлетворяет уравнению Р0(х) + Рх(ж)|7 + • • • + Pd{x)7]d = О, где Р{(х) Е К([х)) и не все Pi(x) равны 0. Доказательство. Пусть 7] = Yln>n0 0"nXn^N£Kira,((x)). Тогда существует (единственный) набор рядов т/о, r/i, • • •, Vn-i € К([х)), такой, ЧТО 7] = 770 +X1/N7]i+X2/N7]2-i \-X^N~X^NTJjst-1 • РЯДЫ (каЖДЫЙ ИЗ которых состоит из единственного члена) xlfN, x2/N,..., x^N_1^N, очевидно, являются алгебраическими над полем К([х)). Поскольку для произвольного расширения Е произвольного поля F элементы поля Е, являющиеся алгебраическими над F, образуют подполе поля Е, содержащее F, ряд rj является алгебраическим над полем К([х)), что и требовалось доказать. □
6.1. Алгебраические производящие функции 217 Значительно более глубокий результат содержит следующая 6.1.5. Теорема. Пусть К — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль (например, К = С). Тогда поле Kh&([x)) алгебраически замкнуто (и, следовательно, в силу предложения 6.1.4 является алгебраическим замыканием поля К([х))). Теорему 6.1.5 называют теоремой Пюизё. Мы опускаем ее довольно длинное доказательство, поскольку используем теорему 6.1.5 только для доказательства второстепенной теоремы 6.3.3. Некоторые ссылки на опубликованные доказательства приведены в разделе «Замечания» к этой главе. Удивительно, что теорема 6.1.5 неверна для алгебраически замкнутых полей К характеристики р > 0; см. упр. 6.4. • В оставшейся части этого раздела мы предполагаем, если явно не оговорено противное, что К — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. * Поскольку К(х) есть подполе поля К((х)), из теоремы 6.1.5 следует, что iffra((:r)) содержит алгебраическое замыкание К(х) поля К(х). Таким образом, всякий алгебраический в смысле определения 6.1.1 степенной ряд может быть представлен в виде дробного степенного ряда (и всякий алгебраический ряд Лорана может быть представлен в виде дробного ряда Лорана). Предположим, что Р(у) Е К([х))[у] — неприводимый многочлен от переменной у степени d над полем К([х)). Тогда d дробных рядов т/1,... ,щ Е Kha,([x)), удовлетворяющих уравнению P(r]j) = 0, называются сопряженными друг к другу. Следующий результат описывает соотношения между сопряженными рядами. 6.1.6. Предложение. Пусть Р(у) —описанный выше многочлен, и пусть дробный ряд 7] = ^п>По anxn/N удовлетворяет уравнению P(rj) = 0. Тогда наименьшее возможное значение N равно d, и d рядов, сопряженных с 7], задаются формулой т = Y, anCjnxn/d, о ^ j < d, где С — первообразный корень степени d из единицы. (Заметим, что £ существует в К, поскольку К —алгебраически замкнутое поле характеристики нуль.) Замечание. Интуитивный смысл предложения 6.1.6 состоит в следующем. Пусть tj = (?xl/d. Тогда tf = х. Следовательно, каждый элемент tj — корень из х степени d, который является «таким же хорошим» корнем из ж, как и гг1/6*, и его можно подставить вместо х1 ld в выражение для ту, не нарушая истинности уравнения
218 Гл. 6. Алгебраические производящие функции P(rj) = 0. Используя теорию полей, можно формализовать это рассуждение, однако мы приведем непосредственное доказательство этого результата. Набросок доказательства. Пусть 7] = 7](х) = J2n^no anxn/N, где N — минимальное возможное (для данного ту) число, и пусть £ — первообразный корень степени N из единицы. Пусть Р(у) = F0(x) + F!(x)y + • • - + Fd(x)yd, так что Р(г)) = F0(x) + Fi(x)iy + ••• + Fd(x)r)d = 0. (6.5) Подставим (?xllN в уравнение (6.5) вместо xl(N. Положим rf- = ^2п>п0 a>n&nxn/N- Каждый ряд F{(x) остается без изменения, откуда вытекает, что P(rfj) = 0, т.е. каждый ряд rf- (0 ^ j < N) сопряжен с 7]. Следовательно, N $J d. С другой стороны, пусть вк = е&(т75,..., Vn-i) есть к-я элементарная симметрическая функция от переменных 77$,. • • ,Vn-i Для 1 ^ к ^ N. Каждая функция е&, рассматриваемая как ряд Лорана от гг1/^, инвариантна относительно подстановки £х1/м вместо xl/N. Поэтому е& G К((х)), а значит, П> "»?;) = £>!) W"fc е К((х))[у]. 3=0 к=0 Поскольку многочлен Р(у) неприводим, N ^ d. Следовательно, N = d, что завершает доказательство. □ Приведенное ниже следствие из предложения 6.1.6 иногда рассматривается как часть теоремы Пюизё (теоремы 6.1.5). 6.1.7. Следствие. Предположим, что 7] Е Kira([x)) — алгебраический ряд степени d над полем К(х). Тогда существуют натуральные числа с\,..., сг, удовлетворяющие условию с\-\ Ь cr = d, и дробные ряды Лорана Ъ = Y2 aJ,nXn/Cj, 1 ^ i ^ г, такие, что d рядов, сопряженных с 7] (над полем К(х)), задаются формулой где l^j^r,0^:k<Cj и £Cj обозначает первообразный корень степени сэ- из единицы.
6.1. Алгебраические производящие функции 219 Доказательство непосредственно следует из предложения 6.1.6, поскольку ряд, сопряженный с 7] над полем К((х)), остается сопряженным с ним также и над подполем К(х). □ Теперь предположим, что имеется полиномиальное уравнение Р(у) = F0{x) + Fi(x)j/ + • • • + Fd(x)yd = О, {6.6) где Fj(x) G К((х)). Какую информацию относительно d корней Vi > • • • > Vd многочлена Р(у) можно извлечь непосредственно из этого уравнения? Например, сколько корней являются обычными степенными рядами (элементами кольца If [[ж]])? Вообще говоря, не существует простого способа получить такую информацию, однако имеются некоторые полезные достаточные условия для различных свойств корней rjj. 6.1.8. Предложение. Пусть Р(у) = F0(x) + Fi(x)s/ + • • • + Fd(x)yd, где Fi(x) G K[[x]] (или даже ^Гга[[я]]) и Fj(0) ф О хотя бы для одного индекса j. Пусть т — число решений у = щ уравнения Р(у) = О, являющихся дробными степенными рядами (т. е. не содержащих отрицательных степеней). Тогда m = max{j : Fj(0) фО}. Доказательство. Для произвольного дробного ряда 7] положим 1/(77) = niin{a : [xa]rj ф 0} и назовем число v(r\) х-степенью ряда г? (чтобы отличать ее от степени ряда 7] как алгебраического элемента над полем К([х))). Пусть Р(у) = Fd(x)(y - 771) •••(</ - щ), где и(щ) = а{ < 0 при l^i^d — тли ь>(гц) ^ 0 при d — га + 1 < г ^ d. Рассмотрим элементарную симметрическую функцию ed-m = ed-mim* •••,Vd)= 22 ^*i " " Wd-m- i\<--<id-m Тогда [ym]P{y) = (-l)d~mFd(x)ed-m. Но функция ed-m содержит Ed—771 a i=i ai := А, причем все остальные члены имеют бблыдую rr-степень. Следовательно, v(ed-rn) = А. Таким образом, для выполнения условия [ym]P(y) G iffra[[:r]] необходимо, чтобы v(Fd(x)) ^ -А. Но rr-степень каждого члена гцх • • -гцк каждой элементарной симметрической функции е& (щ,..., щ) не меньше А. Поскольку Fj(0) ф 0 для некоторого индекса j, мы
220 Гл. 6. Алгебраические производящие функции получаем, что u(Fd(x)) ^ —А, а значит, v(Fd(x)) = —А. Поэтому Fm(0) 7^ 0. Кроме того, если k < d — m, то rr-степень каждого члена функции ек(гц, • • • ,щ) строго больше А, так что rr-степень ряда Fd(x)ek (равного (—l)k[yd~k]P(y)) строго положительна, т.е. Fd~k(0) = 0. Значит, т = max{j : Fj(0) ^ 0}, что и требовалось доказать. □ Пусть Р(у) = со + с\у + • * * + Cdyd — многочлен степени d над полем F, имеющий корни c*i,..., ad в некотором расширении этого поля. Определим дискриминант многочлена Р формулой disc(P)=cld-2H(ai-aj)2. Известно, что дискриминант disc(P) можно представить в виде многочлена от коэффициентов с; многочлена Р(у). Если положить degCi = 1, то disc(P) —однородный многочлен степени 2d — 2, а если положить degc* = d — г, то disc(P) является однородным многочленом степени d(d — 1). Например, disc(ay2 + by + с) = b2 — 4ас, disc(ay3 + by2 + су + d) = -21а2d2 + ISabcd - 4ас3 - 463d + 62с2, disc(ay4 + by3 + су2 + dy + e) = 256a3e3 - 128a2c2e2 + lUa2cd2e - 192a2bde2 - 27a2d* (6.7) + 16ac2e - 4ac3d2 - S0abc2de + lUab2ce2 + ISabcd3 - 6ab2d2e - 4b2c3e + b2c2d2 + 18b3cde - 2764e2 - 463d3, disc(ayd + by + c) = (-ljGV-^ac*"1 + (-l)d_1(d " l)d~lbd). Доказательство формул (6.8) приведено в упр. 6.8(a). 6.1.9. Предложение. Пусть Р(у) = F0{x) + Fi(:r)</ + • • • + Fd(x)yd, где Fj(x) G ^[[я]] и Fd(0) ^ 0 (так что, согласно предложению 6.1.8, все корни многочлена Р(у) являются дробными степенными рядами). Предположим, что disc(P(y))U=o^0. (6.8) Тогда каждый корень щ G iffra[[:r]] многочлена Р(у) является обычным степенным рядом, т. е. гц G if [[#]]• Доказательство. Предположим, что многочлен Р(у) имеет корень гц = ^2n>oCLnxn/N для некоторого N > 1, который не является степенным рядом. Если £ — первообразный корень TV-й степени из
6.1. Алгебраические производящие функции 221 единицы, то, применяя предложение 6.1.6 (предварительно разложив многочлен Р(у) на неприводимые сомножители), мы видим, что ?72 = J2n>oапСПхП^М —также корень многочлена Р(у), причем Щ фщ- Поскольку 77i(0) = 772(0) = ао, разность щ-щ, г, следовательно, и дискриминант disc(P(y)) обращаются в нуль при х = 0, что противоречит условию (6.8). □ 6.1.10. Пример, (а) Пусть Р(у) = у2-(х+1). Тогда F2(x) = 1^0, disc(P(y)) = 4(х + 1) и disc(P(y))\x=o = 4 ф 0. Поэтому в силу предложений 6.1.8 и 6.1.9 уравнение Р(у) = 0 имеет два решения в степенных рядах. Действительно, эти решения задаются формулой п>0 V П / (b) Пусть Р(у) = у2 — х. Тогда ^(0) Ф 0, так что оба корня являются дробными степенными рядами согласно предложению 6.1.8. Поскольку disc(P(y))\x=o = 0, то, зная только disc(P(t/)), мы не можем выяснить, являются ли эти корни обычными степенными рядами. Конечно, нетрудно установить, что эти корни равны и не являются обычными степенными рядами. (c) Пусть Р(у) = у2-х2(х+1). Опять F2(0) ф 0 и disc(P(y))|x=0 = 0. Однако на этот раз корни являются обычными степенными рядами. (d) Пусть Р(у) = ху2 — у — 1. Согласно предложению 6.1.8, ровно один из корней является дробным степенным рядом. Мы не можем непосредственно применить предложение 6.1.9, поскольку ^2(0) = 0. Однако имеется несколько способов увидеть, что оба корня являются обычными рядами Лорана. • Предположим, что один из корней не является рядом Лорана. Поскольку d = 2, то корни 771 и 772 имеют вид ^апхп12 и ^2(—1)папхп/2. Поэтому либо они оба являются дробными степенными рядами, либо ни один из них таковым не является. Поскольку мы выяснили, что ровно один корень является дробным степенным рядом, отсюда следует, что оба корня — обычные ряды Лорана. Вообще, если в условиях следствия 6.1.7 г = 1 (так что с\ = d), то либо все ряды 7]j являются дробными степенными рядами, либо ни один из них таковым не является. • Положим z = ух. Тогда хР(у) = z2 — z — х. Теперь можно применить предложение 6.1.9, и мы видим, что оба корня р\, р2 многочлена z2 — z—x являются обычными степенными рядами. Значит, корни 77* = x~lpi многочлена Р(у) — обычные ряды Лорана.
222 Гл. 6. Алгебраические производящие функции • Поскольку Р(у) — квадратичный многочлен, то с помощью формулы для корней квадратного уравнения можно найти его корни 1±^±5, (6.9) где vT+lx = £п^>о (1/2)4пжп = 1 + 2х + • • •. Знак плюс в формуле (6.9) дает ряд Лорана 771 с и(гц) = — 1, а знак минус дает обычный степенной ряд 772 • Ранее мы упоминали стандартный результат о том, что множество ifaig[[:r]] алгебраических степенных рядов образует подалгебру кольца if [[я]]. Таким образом, если гд, v G ifaig[[#]] и a,/? G if, то аи + f3v, uv G ifaig [[#]]• Следующая операция над степенными рядами и и v, представляющая интерес с точки зрения комбинаторики, есть произведение Адамара u*v, определенное в разд. 4.2. Напомним, что если и = ^2f(n)xn и v = ^2g(n)xn, то и * v := S Кп)9(п)хП- Какое действие оказывает эта операция на алгебра- ичность? Можно показать, что произведение Адамара u*v алгебраических рядов и и v не обязательно будет алгебраическим рядом. Пример (проверка которого требует некоторых усилий; см. упр. 6.3) дают ряды и = v = (1 - 4ж)-1/2 = ^ ^)хп. Однако следующее предложение показывает, что имеет место более слабый результат. 6.1.11. Предложение. Пусть К —поле характеристики 0. Если ряд и G if [[я]] алгебраический, а ряд v G if [[я]] рациональный, то их произведение Адамара и * v — алгебраический ряд. Доказательство. Пусть и = ^2f(n)xn, v = ^2g(n)xn. По теореме 4.1.11^ существуют константы 7ъ---,7г € К (поскольку мы предполагаем, что поле К алгебраически замкнуто, хотя в качестве К мы могли бы взять любое поле характеристики 0 и работать над его алгебраическим замыканием) и многочлены Pi,..., Pr G К[х], такие, что g(n) = J2pi(nh?, п»0. (6.10) *)Теорема 4.1.1. Пусть фиксирована последовательность ai,...,a<f комплексных чисел, причем d ^ 1 и а^ ф 0. Для функции /: N —► С следующие условия равносильны: (0 Еп^о /(")*" = P(x)/Q(x), где Q(x) = 1 + aix + a2x2 + • • • + adxd, а P(x) —многочлен от х, степень которого меньше d. (ii) Для всех п ^ 0 выполняется соотношение /(n -f d) + a\f(n + d — 1) -f a2f{n + d - 2) + • • • + adf(n) = 0. (iii) Для всех n ^ 0 выполняется соотношение f(n) = Si=i ^(n)7?> гДе 1 + a\x + a2X2 + • • • + а^х^ = I~[i_1 (1 — 7ix)d*, числа 7i различны, а степень многочлена Pi(n) от переменной п меньше di. — Прим. перев.
6.1. Алгебраические производящие функции 223 Но изменение конечного числа коэффициентов ряда v не влияет на алгебраичность ряда u*v [почему?]; поэтому можно считать, что соотношение (6.10) выполнено для всех п ^ 0. Поскольку линейные комбинации алгебраических функций являются алгебраическими функциями (так как ^aig[[#]] —подалгебра кольца if [[я]]), то достаточно показать, что при 0 ф 7 Е К оба ряда щ = ^7п/(п):гП и U2 = J2nf(n)xTl алгебраические. Пусть Р(х,и) = 0, где 0 Ф Р(х,у) е К[х,у]. Тогда Р(^х,у) ф 0 и Р(^х,и\) = 0; поэтому ряд и\ алгебраический. Заметим теперь, что ,дР(х,у)\ „-^.„.«feU dx дх + tidy (6.11) \y=u Если предположить, что мы выбрали многочлен Р(х,у) минимальной степени по у (так что он неприводим над полем К(х)), то —^^- — ненулевой (поскольку char К = 0) многочлен от ?/, степень которого меньше, чем степень многочлена Р, откуда получаем, что £'у' | ф 0. Поэтому из уравнения (6.11) следует, что дР(х,у) I ^ = -ы£,,)| €*(*.")• (6Л2) ду \у=и Иными словами, и' —рациональная функция от переменных х и щ значит, функция и' алгебраическая. Поэтому функция и2 = хи' алгебраическая, и предложение доказано. □ В завершение этого раздела мы приведем простой результат об алгебраических функциях, который потребуется нам в дальнейшем (см. доказательство теоремы 6.7.1). Будем рассматривать ряды Лорана вида у = /(т,..., хк) е К(х)((хи ..., хк% (6.13) т.е. ряды Лорана у от переменных xi,...,xk, коэффициенты которых—рациональные функции (рассматриваемые как ряды Лорана) от переменной я над полем К. Мы будем предполагать, что /(1,..., 1) —корректно определенный элемент поля К((х)). Точнее, если у = Y1olccx{x)xV '"х<кк-> то РЯД ^2ас^(х) сходится к некоторому элементу поля К((х)) в топологии, описанной в разд. 1.1. Например, если f(xux2) = ^2 x%Jr3x\^ то /(1,1) —корректно определенный ряд Х^п>о(п"*~ 1)хП- С другой стороны, если f(xUX2) = ^ x%~3x\x2-> ij>0
224 Гл. 6. Алгебраические производящие функции то ряд /(1,1) не определен (например, коэффициент при х° есть лишенное смысла выражение ^2i>0 1). 6.1.12. Предложение. Пусть у = f(x\,... ,xk) —ряд вида (6.13). Предположим, что ряд /(1,..., 1) корректно определен, а ряд у является алгебраическим над полем K(x)(xi,... ,xk). Тогда ряд /(1,..., 1) является алгебраическим над полем К(х). Доказательство. Предположим, что Pd(xu ..., xk)yd + • • • + Р0(хи ..., xk) = О, (6.14) где Р{ G K(x)[xi,...,Xk], многочлены Pi взаимно просты (как многочлены от переменных х\,..., хк) и Pd ф 0. Избавляясь от знаменателей, мы можем считать, что Pi Е if[:r][:ri,... ,гг&] = К[х, х\, ...,хк]' Просто подставить х\ = • • • = хк = 1 в уравнение (6.14) нельзя, поскольку может случиться, что Р;(1,..., 1) = 0 при всех г. Поэтому положим сначала хк = 1. Если Pi(x\,..., Xk-\, 1) = 0, то многочлен Pi(x\,..., хк) делится на хк — 1. Поскольку многочлены Pi взаимно просты, существует г, такое, что Pi(x\,..., хк-\, 1) ф 0. Поэтому ряд /(ж 1,. ..,££_ 1,1) является алгебраическим над полем К(х)(х\,... ,хк-\). Доказательство завершается индукцией по к (поскольку случай к = 0 тривиален). □ 6.2. Примеры алгебраических рядов В этом разделе мы рассмотрим некоторые примеры алгебраических рядов, возникающих в перечислительных задачах. Некоторые дальнейшие примеры приведены в разд. 6.3 и 6.7. Сначала обратимся к (непомеченным) плоским деревьям и плоским лесам, рассмотренным в разд. 5.3. Пусть S — произвольное подмножество множества Р. Определим плоское S-дерево как плоское дерево, у которого степень (число сыновей) каждой неконцевой вершины принадлежит множеству S. Например, плоское 2-дерево (сокращенное обозначение для {2}-дерева) — это плоское двоичное дерево. Многие интересные комбинаторные структуры «эквивалентны» плоским деревьям (т.е. для них существует простое взаимно однозначное соответствие с плоскими деревьями). Некоторые наиболее важные примеры таких структур описаны в следующем предложении. Мы приводим пример каждой структуры для S = {2,3}, п = 6, т = 4. 6.2.1. Предложение. Пусть S С Р, п G Р, т G Р. Имеются «хорошие» биекции между следующими множествами: (i) плоские S-деревья с п вершинами и т концевыми вершинами:
6.2. Примеры алгебраических рядов 225 (ii) последовательности 1\%2 • • • in-i} где ij + 1 G S или ij = — 1, такие, что ij = — 1 ровно для га — 1 значений j, i\ + i^ Л Ь ij ^ 0 при всех j и %\ + %2 Л V гп-\ = О: 1,-1,2,-1,-1; (ш) расстановки скобок в слове длины т, соответствующие п—т к-арным операциям, где к G S: (х(ххх)) {одна Ъ-арная и одна 2-арная операция); (iv) пути Р на плоскости (х,у) из точки (0,0) в точку (п— 1,0) с шагами вида (1, к), где к+1 G S или к = —1, имеющие т— 1 шагов вида (1,-1) и не опускающиеся ниже оси х: (0,0) (5,0) (v) пути Р на плоскости (х,у) из точки (0,0) в точку (т — 1,ш — 1) с шагами вида (/с,0) или (0,1), где к + 1 G S, состоящие из п — 1 шагов и не поднимающиеся выше прямой х = у: (0,0) (vi) рассечения выпуклого (т + 1)-угольника С на п — т областей, каждая из которых является выпуклым к-угольником, где k—leS, при помощи диагоналей (их количество, таким образом, равно п—т—1), внутренности которых не пересекаются (при к = 2 мы должны нарисовать две «искривленные»
226 Гл. 6. Алгебраические производящие функции диагонали между одной и той же парой вершин многоугольника С)1): О Доказательство. Биекция между множествами (i) и (ii) описана в разд. 5.3 (см. лемму 5.3.9 и предшествующее ей обсуждение). Напомним, что эта биекция строится следующим образом. Будем осуществлять поиск в глубину на плоском дереве г и записывать число (deg v) — 1, когда нам впервые встречается вершина v. В данном случае следует проигнорировать последнюю вершину (которая будет концевой вершиной), хотя в разд. 5.3 мы ее учитывали. Например, дерево, изображенное на рис. 5.14, порождает последовательность 2,0,1,-1,-1,-1,1,-1,1,-1. Пусть теперь т — плоское дерево. Если т состоит из единственной вершины, определим соответствующую расстановку скобок Тт = х (единственная буква и ни одной операции). В противном случае рассмотрим главные поддеревья т\,..., Tj дерева т (в данном порядке) и определим по индукции расстановку скобок WT = (WTl • • • WTj). Ясно, что эта конструкция устанавливает биекцию между множествами (i) и (ш). Пусть теперь имеется последовательность ziZ2 • • • in-i вида (ii). Пусть Р — путь из точки (0,0) в точку (п— 1,0), последовательные шаги которого равны (1, ii), (1,22),..., (1, zn_i). Это дает биекцию между множествами (ii) и (iv). Пути вида (v) есть просто линейные преобразования путей вида (iv). Точнее, последовательность iiZ2...zn_i вида (ii) соответствует пути из точки (0,0) в точку (га — 1, га — 1), j-й шаг которого равен (/с,0) при ij = к > 0 и (0,1) при ij = —1. Наконец, рассмотрим выпуклый (ш+ 1)-угольник С. Зафиксируем ребро ео многоугольника С и назовем его корневым ребром. (Описываемая биекция зависит от выбора ребра ео.) Пусть имеется рассечение D многоугольника С вида (vi). Определим плоское дерево т = r(D,eo) следующим образом. Вершины ve дерева 1^Если рассечение содержит область, ограниченную всего двумя ребрами, то соседние с ней области не будут выпуклыми (как показано на рис. 6.1). Поэтому в случае, когда имеется область, ограниченная двумя ребрами, фразу «каждая из которых является выпуклым к -угольником» следует заменить на фразу «каждая из которых является к -угольником». — Прим. автора при переводе.
6.2. Примеры алгебраических рядов 227 т соответствуют ребрам е рассечения D. Корневая вершина дерева т есть veo. Если удалить из рассечения D ребро ео, получится последовательность не пересекающихся по ребрам рассечений D\,..., Dk многоугольников С\,..., Ск (где к + 1 — число ребер области Ro рассечения £), содержащей ео, и последовательность перечислена против часовой стрелки). Пусть е* —ребро рассечения Di (или многоугольника Cf), являющееся также ребром области Ro • Определим главные поддеревья т\,..., т& (корня veo) дерева т как Т{ = r(Di,ei). Это дает индуктивное определение дерева т и устанавливает биекцию между множествами (vi) и (i). □ Рис. 6.1. Плоское дерево, полученное из рассеченного многоугольника. Для понимания последней биекции между множествами (i) и (vi) «одна картина ценнее тысячи слов»1). Рис. 6.1 должен прояснить суть этой биекции. Ребра рассечения D изображены сплошными линиями, а ребра дерева т — пунктирными. Точки соответствуют вершинам рассечения £), а звездочки — вершинам дерева т. Для большей ясности дерево т = r(D, ео) изображено отдельно на рис. 6.2. Иногда полезнее считать, что ребра дерева т пересекают некорневые ребра рассечения D. Рис. б.З представляет собой переделанный соответствующим образом рис. 6.2 (для еще большей ясности ребро ео удалено). Особый интерес представляет частный случай предложения 6.2.1, когда множество S состоит из единственного элемента к ^ 2. В этом случае объекты, рассматриваемые в предложении 6.2.1, ^В оригинале «One picture is worth a thousand words». Это знаменитая английская пословица, автором которой является Фред Барнард (1927 г.). Барнард называл ее китайской пословицей, чтобы ее воспринимали серьезно, однако на самом деле она не имеет никакого отношения к китайским пословицам. — Прим. перев.
228 Гл. 6. Алгебраические производящие функции существуют, только если п = kj + 1, т ■ (к - l)j + 1 для некоторого j ^ О или, эквивалентным образом, если (к— 1)(п—1) = к(т — 1). Обозначим через Ts(m,n) число плоских 5-деревьев с п вершинами и т концевыми вершинами и через Ts(n) — общее число плоских S-деревьев с п вершинами. Мы будем сокращенно писать Tit вместо Т^у. Следующий результат представляет собой частный случай теоремы 5.3.10. Рис. 6.2. Дерево, изображенное на рис. 6.1. Рис. 6.3. Переделанный рис. 6.1. 6.2.2. Предложение. Имеет место следующая формула: если п = kj + 1 и т = (к — l)j + 1, rfc(m,n) = j»®' в противном случае.
6.2. Примеры алгебраических рядов 229 При к = 2 мы заново получаем результат (пример 5.3.12) о том, что число Т2(п +1,2п + 1) = Т2(2п +1) плоских двоичных деревьев с п + 1 концевыми вершинами (или, что эквивалентно, с 2п + 1 вершинами) есть число Капитана с ■= l (2п + 1\ = 1 (2п\ п' 2п+Д п J п+1\п)' Числа Каталана образуют одну из самых вездесущих и удивительных последовательностей, встречающихся в перечислительной комбинаторике. Предложение 6.2.1 дает ряд комбинаторных интерпретаций чисел Каталана, тесно связанных между собой (поскольку между указанными шестью классами имеются простые биекции). Переформулируем предложение 6.2.1 в случае S = {2} непосредственно в терминах чисел Каталана. 6.2.3. Следствие. Число Каталана Сп перечисляет следующие множества: (i) Плоские двоичные деревья сп + 1 концевыми вершинами (или с 2п + 1 вершинами). (И) Последовательности i\i2"'^2n из единиц и минус единиц, такие, что n+z2H Vij ^ 0 при всех j и ii+^H \-i2n = 0. Такие последовательности (а также некоторые их обобщения) называются баллотировочными последовательностями по следующей причине. Предположим, что проводятся выборы с двумя кандидатами А и В, и единица (соответственно минус единица) обозначает голос, поданный за кандидата А (соответственно за кандидата В). Тогда баллотировочная последовательность соответствует последовательности из 2п голосов, такой, что кандидат А ни в какой момент времени не уступает кандидату В, и выборы заканчиваются вничью. (Обобщение баллотировочных последовательностей на произвольное число кандидатов рассмотрено в предложении 7.10.3.) (iii) Способы расставить скобки, соответствующие неассоциативной бинарной операции, в строке длины п + 1. (iv) Пути Р на плоскости (х,у) из точки (0,0) в точку (2п, 0) с шагами вида (1,1) и (1,-1), не опускающиеся ниже оси х. Такие пути называются путями Дика. (v) Пути Р на плоскости (х, у) из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами вида (1,0) и (0,1), не поднимающиеся выше прямой у = х. (vi) Способы рассечь выпуклый (п + 2) -угольник на п треугольников с помощью п — 1 диагоналей, никакие две из которых не
230 Гл. 6. Алгебраические производящие функции пересекаются по внутренности. Такие рассечения можно назвать триангуляциями (п + 2)-угольника (без новых вершин). Множество других примеров появления чисел Каталана в перечислительной комбинаторике и других областях математики рассмотрено в упр. 6.19-6.36. Некоторые из перечислительных свойств чисел Каталана удивительны и тонки, и их нельзя установить с помощью столь «прозрачных» биекций, как те. которые были использованы для доказательства следствия 6.2.3. Теперь мы готовы обсудить связь между плоскими 5-деревьями и алгебраическими функциями. 6.2.4. Предложение. Пусть S С Р. Положим и = u(t, х) = ^2 Yl Ts(m> ™)*mzn- Тогда u = tx + xY^uj- (6.15) jes Доказательство. Заметим, что и^ есть производящая функция для упорядоченных j-наборов плоских S-деревьев, т. е. где Tsj(m, п) — число упорядоченных j-наборов (ti, ..., ту) плоских 5-деревьев с т концевыми вершинами (концевая вершина набора (ti, ..., Tj) есть по определению концевая вершина одного из деревьев т*) и п вершинами. Из набора (ть ...,ту), где j е 5, мы получаем плоское 5-дерево т, полагая, что Ti,...,Ty — его главные поддеревья. Число р(т) вершин дерева т удовлетворяет соотношению р(т) = 1 + J2р(т{), а число q(r) концевых вершин удовлетворяет соотношению q(r) = ^2q(T{). Каждое плоское 5-дерево т, имеющее более одной вершины, соответствует единственному такому ^'-набору (т1,...,ту), откуда следует (6.15). □ С помощью различных спецификаций формулы (6.15) можно получать алгебраические производящие функции. В частности, если функция v перечисляет плоские 5-деревья по количеству концевых вершин (здесь мы должны предположить, что 1^5), то v = u(t, 1), откуда получаем v = * + ]£V. (6.16) jes
6.2. Примеры алгебраических рядов 231 Аналогичным образом, если функция w перечисляет плоские S-деревья по количеству вершин, то w =-и(1,х), откуда получаем гу = ж + ж^иА (б-17) jes Ясно, что функции v и w будут алгебраическими при подходящем выборе множества S. Можно показать, что следующие пять условий на множество S равносильны при char if = 0: (i) функция v алгебраическая (в предположении, что 1^5, так что функция v определена); (ii) функция w алгебраическая; (Ш) ряд Yljes х^ Рациональный; (iv) множество S отличается на конечное множество от некоторого конечного объединения (бесконечных) арифметических прогрессий в Р; (v) функция xs'- Р —» {0,1}, задаваемая формулой xs(j) = 1 ПРИ j G S и xs(j) = 0 при j £ 5, является периодической, начиная с некоторого места. Легко видеть, что (i) <=> (И) <= (Ш) <= (iv) <=> (v). Импликации (ii) => (iii) и (iii) => (iv) требуют значительно больших усилий. (Они могут быть выведены из упр. 4.19(b), (с).) Заметим, что, поскольку уравнения (6.16) и (6.17) могут быть разрешены явным образом относительно переменных t и х соответственно, мы получаем явные выражения для обратных в смысле композиции рядов г/-1) и w^~^: г(Г 1 + Ei65^ 6.2.5. Пример. Пусть S = 4PU(5N+1)U{9,11}-{1,12,16}. Тогда ряд х4 х -16 Е ^ = Y^~A + ^~~^ ~ ^~^ + ж- + ж" - ж - ж" - ж1 , ,9 j. .И _ . _ .12 _ „16 - ■ Ж4 1 - Ж5 1 - Ж20 ,9 .„Д1 „, „Д2 „,16 рационален. Таким образом, V4 V V16 ч .. V = ж + j + - — + V* + v11 - v - vlz - V что очевидным образом приводит к полиномиальному уравнению (степени 36), которому удовлетворяет ряд v.
232 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.2.6. Пример. Пусть S = {/с}, k ^ 2. Комбинируя предложение 6.2.2 и формулу (6.16), мы получаем следующий результат. Пусть ^ы+iv « j = J2 77-4 7^nV(fe_1)n+1- (6.18) Тогда v = х + vfc, откуда v = (ж — хк)^~^. Конечно, этот результат можно получить непосредственно из формулы обращения Лагран- жа (теорема 5.4.1). На самом деле предложение 6.2.2 есть частный случай базы индукции одного из наших комбинаторных доказательств формулы обращения Лагранжа. Предположим (продолжая считать, что char if = 0), что к — произвольный элемент множества К — {1} (или переменная над полем К), и положим Если к Е Р и ряд v задается формулой (6.18), то v = ху(хк~г). Следовательно, ху(хк~х) = х + хку(хк~1)к, откуда получаем, что у = 1 + хук. (6.19) На самом деле соотношение (6.19) остается верным при любом к € К. Есть два способа убедиться в этом: (а) воспользоваться формулой обращения Лагранжа и (Ь) приравнять коэффициенты при хп в обеих частях равенства (6.19), что даст некоторое полиномиальное тождество, содержащее к. Поскольку мы знаем, что оно выполняется при всех к Е Р — {1}, отсюда следует, что оно истинно как полиномиальное тождество. 6.2.7. Пример. Следующая формула задает интересный ряд, связанный с рядом (6.19): * = E(tV- (6-2°) Можно считать, что к Е Р или даже к € К, как в предыдущем примере. Пусть ряд v задается формулой (6.18). Тогда z(xk~l) = г/ (где v1 — dv/dx). Дифференцирование формулы v = х + vk приводит к соотношению v' = 1 + kv'vk~l. Умножая его на v, получаем
6.2. Примеры алгебраических рядов 233 v'v = v + kv'(v — x). Разрешая это равенство относительно v, имеем kv'x V= 1 + (k - l)v' ' Таким образом, из соотношения v = х + vk мы получаем kv'x ( kv' = х + откуда 1 + (к - \)v' ~ ~ ' \1 + (к- l)v'J kv' X Следовательно, —У -l)v>) \l + (k-l)z) l + (*-l)z --■- -' • (6"21) Таким образом, если к E Q, то ряд z алгебраический. Дальнейшие сведения о ряде z в случае к Е Р содержатся в упр. 6.13. Некоторые ряды, на первый взгляд тесно связанные с рядом (6.20), например ]Г {п3пп)хП и 2 Сп) хП 1 оказываются неалгебраическими. См. упр. 6.3. 6.2.8. Пример. Некоторые интересные перечислительные задачи соответствуют случаям S = Р и S = Р- {1}. Например, если S = Р - {1}, то v = u(t, 1) — производящая функция для общего числа рассечений (п + 1)-угольника С диагоналями, не пересекающимися во внутренности С (при этом допускаются только прямые диагонали, так что рассечения не содержат двуугольников). Аналогично, если S = Р, то w = и(1,х) —производящая функция для общего числа Тр(п) плоских деревьев с п вершинами. Из формул (6.15), (6.16) и (6.17) получаем 1 + tx 1 + t- 1+х- -VI VT- 4 -VT -2tx- Atx2 2(1 +я) -6t + t2 ? -2х- Ъх2 + t2x2 Ч,._ 5 = р_{1} =>. и = tyi. -г х; ■\ -i- + - л/1 _ М Л- & (6.22) - -%-ш 2(1 +ж) _ 1 - х + tx - VI - 2х - 2tх + х2 - 2tx2 + t2x2 2 v не определена, 1 - х/1 - Ах w = .
234 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Используя простую формулу для ряда w при 5 = Р, получаем, что 7р(п) = Cn_i, — еще одно проявление чисел Каталана! Задача перечисления плоских деревьев, не имеющих вершин степени один, по количеству концевых вершин эквивалентна «второй задаче Шредера», и ответ на нее дает производящая функция (6.22). В разделе «Замечания» к этой главе приведена удивительная ссылка на эту задачу, восходящую ко второму веку до н. э. Самое время теперь привести общий обзор знаменитых «vier combinatorische Probleme» (четырех комбинаторных задач) Шредера, поскольку решения всех четырех задач уже приведены в гл. 5 и настоящей главе. Шредер занимался перечислением расстановок скобок. Он рассматривал два класса расстановок скобок, а именно расстановки скобок в словах (или строках) и в множествах, а также два правила комбинирования (бинарное и произвольное), что дает в общей сложности четыре задачи. Расстановка скобок в слове w = w\ • • • wn получается следующим образом. Если слово w не состоит из одной буквы, представим его в виде произведения нескольких (по крайней мере двух) непустых слов, скажем, w = U\---Uk, и по индукции расставим скобки в каждом слове щ, продолжая процесс, пока не останутся только одноэлементные слова (буквы). Расстановка скобок в n-множестве S получается аналогично следующим образом. Если #5 ^ 1, разобьем S на несколько (по крайней мере два) непустых попарно непересекающихся подмножеств, S = 7\ U • • • U Т&, и по индукции расставим скобки в каждом подмножестве Z*, продолжая процесс, пока не останутся только одноэлементные множества. (Порядок подмножеств Ti не существен.) Расстановка скобок называется бинарной, если на каждом шаге неодноэлементное слово или множество делится в точности на две части, и произвольной, если допускается произвольное число частей (не меньшее двух). Итак, четыре задачи Шредера формулируются следующим образом. Первая задача. Бинарные расстановки скобок в слове. Ясно, что эта задача совпадает с задачей о бинарных расстановках скобок в строке длины п, и ее решение приведено в следствии 6.2.3(ш). Производящая функция задается формулой si(n)xn = п>1 = х + х2 + 2х3 + 5x4 + Ux5 + 42х6 + №х7 + 429xs+ - - , и s\(n) равно (п — 1)-му числу Каталана, 1 /2(п - 1)\ ei(n)=c»-i=nU-i У См. обобщение этого результата в упр. 5.43.
6.2. Примеры алгебраических рядов 235 Вторая задача. Произвольные расстановки скобок в слове. Эта задача эквивалентна перечислению плоских деревьев с п концевыми вершинами, не имеющих вершин степени один, и соответствующая производящая функция (6.22) задается формулой Е, ч п 1 + х - л/1 - 6ж + X2 32(П)ХП = = х + х2+3х3+11х4+ 45х5+197х6+Шх7+ 4279xs+ Числа гп = 2s2{n + 1), п ^ 1 (где г0 = 1), и sn = s2(n + 1), n ^ 0, называются числами Шредера. Иногда число sn называют малым числом Шредера, чтобы отличать его от гп. Заметим, что предложение 6.2.1 дает несколько дополнительных интерпретаций чисел Шредера, например, sn есть число способов рассечь выпуклый (п+2)-угольник произвольным количеством диагоналей, внутренности которых не пересекаются. Дополнительные сведения о числах Шредера содержатся в упр. 6.39. Третья задача. Бинарные расстановки скобок в множестве. Эта задача рассмотрена в примере 5.2.6; экспоненциальная производящая функция для нее равна ^—' 77. П^1 гг>" гр& гр^ грО /у»Ь „, I = Ж+2Г+33!+15¥ + 1055!+9456!+103957Г + ---' и s3(n) = 1-3-5---(2п-3). Четвертая задача. Произвольные расстановки скобок в множестве. Эта задача рассмотрена в примере 5.2.5, и экспоненциальная производящая функция для нее равна -1) ^54(п)^ = (1 + 2х-е^)<-1 п>1 ' гЛ „3 ~4 „5 = Х+2!+43!+26¥ + 2365! + 2752 2L + 39 208 ^- + 660032^ + •• См. также упр. 5.26 и 5.40.
236 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.3. Диагонали Имеется полезный общий метод получения алгебраических производящих функций, который включает в себя пример 6.2.7 и близкие результаты. 6.3.1. Определение. Пусть F(xu • • •, xk) = ]Р /(пь • • •, гьк)х^ • • • xlk е K[[xi,..., хк}}. Диагональю ряда F называется степенной ряд от одной переменной х, обозначаемый diagF и задаваемый формулой diagF = (diagF)(x) = £ f(n,...,n)xn. п 6.3.2. Пример. Будем писать s и t вместо х\ и х^ и положим г,3 Тогда Пример 6.3.2 является прототипом следующего общего результата. Это наш основной пример применения теоремы Пюизё. 6.3.3. Теорема. Предположим, что F(s,t) Е K[[s,t]]C\K(s,t), т. е. F — степенной ряд от переменных s ut, который представляет собой рациональную функцию. Тогда ряд diag F алгебраический. Доказательство. Можно считать, что поле К алгебраически замкнуто (поскольку ряд F является алгебраическим над полем К тогда и только тогда, когда он алгебраический над любым алгебраическим расширением этого поля). Мы предполагаем также, что chari(T = 0, хотя на самом деле теорема верна для любого поля К. (См. более общий результат для char К = р > О в упр. 6.11(b).) Пусть G = G(x, s) = F(s, x/s) e K[[s, x/s}}. (6.23) Тогда G — формальный ряд Лорана от переменных s и ж, такой, что если одночлен x%s^ входит в ряд G, то i ^ 0 и j ^ - г. Заметим, что диагональ ряда F равна [s°]G, свободному члену ряда G, рассматриваемого как ряд Лорана от s, коэффициенты которого являются степенными рядами от х. Из того, что ряд F рациональный, следует, что G = P/Q, где Р, Q Е if[s,:r]. Рассматривая G как рациональную функцию от s,
6.3. Диагонали 237 коэффициенты которой лежат в кольце К[х] (или в поле К(х)), получаем разложение на элементарные дроби с = £ 3fW- (6.24) где (i) ej G P, (ii) £i,..., £/ — различные нули многочлена Q(s) и (iii) Nj(s) G if (£i, •. • ,fz)[s]. Поскольку коэффициенты многочлена Q(s) представляют собой многочлены от ж, то нули £i,... , £/ являются алгебраическими функциями от ж; поэтому в силу теоремы Пюизё (теоремы 6.1.5) можно считать, что ^ G К^х1^)) для некоторого г G Р. Значит, Nj(s) G K((x^r))[s]. Введем новые обозначения а\,..., аш, /?i,..., /Зп для £i,..., £j так, чтобы ^ G ж1/^^]], /3,- £ х1/г#[[ж1/г]]. Иными словами, разложение Пюизё элементов щ содержит только положительные степени, а разложение элементов /3j содержит неположительные степени. Эквивалентным образом, (3J1 G Я"[[ж1/г]]. Тогда т / ч п / ч Z.(l-e-iat.)c А.(1_в/?-1)4 = X» £ (*У fea< + Е* w £ (t)e V (6-25) для некоторых Cj,d,- G Р и pj(s),<7j(s) € ■K"((z1/r))[s,s-1]. Разложение (6.25) для ряда G удовлетворяет условию G еК[[8^г,(Ф)1/г]][з-1/г] Э К[[8,х/8]]. (Это ключевой момент доказательства—мы должны разложить каждый член формулы (6.24) так, чтобы каждое разложение лежало в некотором кольце R (не зависящем от члена), содержащем кольцо if[[s,:r/s]], в котором лежит разложение (6.23) ряда G. Таким образом, все наши операции происходят внутри одного кольца и, следовательно, корректно определены.) Поскольку G G K[[s,:r/s]], разложение (6.25) согласовано с рядом G = F(s,x/s). Рассмотрим теперь коэффициент при s° в обеих частях формулы (6.25). Левая часть даст diagF. Правая часть даст конечную сумму членов вида ^уаа и 5/36, где а, Ь G Z и функции а, /3, 7> 8 алгебраические. Поэтому ряд diag F алгебраический, что и требовалось доказать. □
238 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.3.4. Пример. Рассмотрим рациональную функцию F(s,t) = (1 — s — t)~x из примера 6.3.2. Следуя предыдущему доказательству, получаем с_ 1 1 — s — x/s s2 — S + X Но s2 — s + х = (s - a)(s - /?), где 1 - у/1 - Ах п 1 + >/1 - 4ж «= ~2 = * + ■■■ , Р= = 1 + . Функция G разлагается на элементарные дроби: G ' 0-а а 0 s — a s — 0\ Нам нужно записать это выражение в такой форме, чтобы соответствующее разложение в дробный ряд Лорана (в данном случае в обычный ряд Лорана) было согласовано с разложением М-!)-есж?)ЧС:'К'- Трудность заключается в том, что рациональная функция типа a/ (s — а) имеет два разложения по степеням s: als = V ans~n - = - V a~nsn 1 - als ^ ' 1 - si a ^ «Правильным» разложением будет то, которое лежит в кольце K[[s1/r,(x/s)1lr]][s~1lr] (в данном случае г = 1), т.е. первое из двух возможных разложений, приведенных выше (поскольку а = х + члены более высоких степеней). Аналогично, следует рассматривать 0/(s — 0) как —1/(1 — 5/3-1), откуда (с учетом того, что 0 - а = у/1 — 4х) получаем Г 1 ( a/s 1 \ y/T^te \ 1 - з^а ^ 1 - s/3-1 J Отсюда сразу видно, что diagF=[s°]G 1 у/1-Ах
6.3. Диагонали 239 Возникает естественный вопрос, существует ли доказательство теоремы 6.3.3, не использующее дробных рядов. Имеется изящное доказательство этой теоремы, основанное на контурном интегрировании (на самом деле оно является вариацией изложенного выше доказательства). Мы приведем его набросок для читателей, знакомых с комплексным анализом. (См. еще одно доказательство в конце разд. 6.7.) Преимуществом подхода, использующего контурное интегрирование, является, как показывает пример 6.3.5 ниже, возможность применения широкого арсенала средств теории вычетов (в частности, методов нахождения вычетов) при проведении необходимых вычислений. Можно было бы построить эквивалентную теорию для работы с элементарными дробями и дробными рядами, возникающими в нашем первом доказательстве теоремы 6.3.3, однако для тех, кто знаком с теорией вычетов, такое построение излишне. Мы предполагаем, что К = С. Ряд F(s,t) = J2f(min)sTntn сходится при достаточно малых \s\ и \t\ (поскольку функция F(s,t) рациональна и мы предполагаем, что она разлагается в степенной ряд в точке s = t = 0). Поэтому ряд diagF будет сходиться при малых \х\. Зафиксируем такое малое х. Тогда ряд F(s,x/s) = J^f(m,n)sm-nxn, рассматриваемый как функция от s, будет сходиться в круговом кольце с центром в точке s = О и, следовательно, на некоторой окружности \s\ = р > 0. По интегральной теореме Коши По теореме о вычетах diagF= £ Resits, ^U, s=s(x) V ' где суммирование ведется по всем особенностям функции \F(s, j), лежащим внутри круга \s\ = р. (Это в точности те особенности, которые удовлетворяют условию \imx^o s(x) = 0.) Поскольку функция F(s,x/s) рациональна, все такие особенности s(х) являются полюсами и s(x) —алгебраическая функция от х. Вычет в полюсе s принадлежит кольцу C(s,:r); следовательно, все эти вычеты алгебраические. Поэтому ряд diag F алгебраический. 6.3.5. Пример. Применим приведенное выше доказательство к нашему каноническому примеру F(s,t) = (1 — s — t)~x. Имеем dia F=— f ds l f ds 2m J s(l - s - x/s) 2m J —x + s — s2'
240 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Полюсы расположены в точках s — \{1 ± у/1 — Ах). Единственный полюс, приближающийся к 0 при х —> 0, есть so = \{\ — \/1 — 4х). Если функция A(s)/B(s) имеет простой полюс в точке 5о и A(so) ^ 0, то ее вычет в точке sq равен A{sq)/В'{sq). Поэтому л- <п ъ 1 1 1 diag F = Res г- = -—-— = . . so -х + s - s2 1 - 250 V1 - 4ж 6.3.6. Пример. Рассмотрим несколько более сложный пример, в котором не представляется возможным найти полюсы явно. Рассмотрим ряд z = Х]п>о {кп)хП из пРимеРа 6.2.7, где к G Р. Изложенный выше метод вычисления диагоналей с помощью контурного интегрирования легко дает 1 Г ds 1 Г ds ( Z ~ 2тгг Ув=|р| 5(1 - u/s - sk~l) 2ттг Js=lpl -u + s-sk при подходящем р > 0, где и = к~\Ух. Поскольку при х = 0 многочлен —u+s — sk имеет простой нуль в точке 5 = 0, подынтегральное выражение в формуле (6.26) имеет единственный (простой) полюс 50 = 5о(я), удовлетворяющий условию limx^o so(x) = 0. Таким образом, 1 1 z — Res г = г—г • s=s0 — и + 5 — 5* 1 - /c5q Поэтому \jz — 1 — ksQ~x, откуда получаем 5o/z = sq — ks§ = so — k(so — и). Разрешая это равенство относительно переменной 5о, получаем kuz So = l + (k-l)z' так что из соотношения 5§ — 5о + и = 0 следует, что к ( kuz \ 1 + (к - \)z Деление на и дает kz \ kz kuz + и = 0. + 1 = 0. l + (k-l)zj l + (k-l)z Это уравнение равносильно уравнению (6.21) и упрощается до полиномиального уравнения, которому удовлетворяет ряд z. Ввиду теоремы б.3.3 возникает естественный вопрос, будет ли ряд diag F алгебраическим, если F — рациональный ряд от более чем двух переменных. К сожалению, ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный. Мы упоминали ранее, что ряд и — Е (п3пп)хП не алгебраический, хотя и = diag(l — х\ — Х2 — яз)"1-
6.3. Диагонали 241 Однако диагонали рациональных рядов от произвольного числа переменных обладают так называемым свойством D-конечности, которое будет обсуждаться в следующем разделе; связь между диагоналями и D-конечностью рассмотрена в упр. 6.61. Мы завершаем этот раздел описанием класса перечислительных задач, которые естественно приводят к рациональным функциям двух переменных. Речь идет о рассмотрении решеточных путей на плоскости. Для простоты мы будем работать с путями, шаги которых являются элементами множества N х N, хотя возможны различные вариации этого условия. Пусть S С NxN. S-путем длины I из точки (0,0) в точку (га, п) называется последовательность а = (vi,..., vi) G Sl, такая, что v\ Н \-vi = (га, n). Таким образом, можно рассматривать а как слабое (поскольку допускается случай (0,0) Е S) разложение (или упорядоченное разбиение) пары (га, п) на / частей — точный двумерный аналог одномерной ситуации, обсуждавшейся в разд. 1.2. Множество S называется множеством допустимых шагов. Пусть N5(771, n;Z) —число 5-путей длины I из точки (0,0) в точку (га, п). При (0,0) $. S положим Ns(m, п) = ^2 Ns(m'п' 0» i т.е. Ns(m,n) есть общее число 5-путей из точки (0,0) в точку (га, п). Определим производящую функцию Fs(s,t;z)= Yl Ns{m^l)smtnzl m,n,l И ПОЛОЖИМ Gs(s,t) = Fs(s,t; 1) = ^Ns(m,n)smtn, если (0,0) (£S. 6.3.7. Предложение. Пусть S С N x N. Тогда ^^) = ^ ^7- 1 z2^(ij)esstJ Если, кроме того, (0,0) ^ S, то Gs(s,t)= 1 1 2^(ij)es s v Доказательство. Ясно, что при фиксированном I ^2Ns(m,n;l)smtn = ( £ slA . "».*> ^ (i,j)es '
242 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Осталось умножить это равенство на zl и просуммировать по /^0. □ При некоторых обстоятельствах функции Fs и Gs будут рациональными функциями от переменных s и t и их диагонали (или диагонали родственных им рядов) будут алгебраическими. Приведем несколько примеров. 6.3.8. Пример. В упр. 1.5(b) требовалось найти производящую функцию у = ^2f(n)xn, где /(п) — число решеточных путей из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами вида (1,0), (0,1) и (1,1). Решение у = l/\Jl — бх + х2 было получено при помощи рассуждения ad hoc, и окончательный ответ кажется несколько таинственным. Используя предложение 6.3.7 и наши методы вычисления диагоналей, получаем у = diag - = [s°] l-s-t-st L Jl-s-f-sf s s = \s0] Z£ = \SQ] г (Л tJ\ [ ls2 + (x-l)s + x [ lp-a\s-a s-fij' где a = ^(1—x — y/l — 6x + x2) и /? = ^(1 — x + y/l - 6x + x2). Таким образом, У [ Wl-6x + x2\l-sa-i ^1-s-ip) 1 л/l — 6x + X2 = 1 + 3x + 13:r2 + 63:r3 + 321ж4 + 1683ж5 + 8989z6 + • • • . (6.27) Коэффициент при smtn в производящей функции 1/(1—s—t—st) называют числом Деланноя D(m,n), a D(n,n) называется центральным числом Деланноя. Таким образом, в частности, У^ D(n,n)xn = , п>о - 6х + х2 Можно было учитывать также и число шагов, т. е. положить y = YJNs{n,n;l)xnzl, П,1 где S = {(1,0), (0,1), (1,1)}. Нетрудно сосчитать, что в этом случае y = d^1-z{s1+t + st) = v/l-x(2z+14^) + ^' (6-28) где диагональ вычисляется только относительно переменных s и t (но не z). В частности, если /(/) —число путей, заканчивающихся
6.3. Диагонали 243 на прямой у = х и состоящих из I шагов, то, полагая х = 1 в формуле (6.28), получаем = 1 + z + 3z2 + 7z3 + 19z4 + 51z5 + Ulz6 + 393z7 + 1107z8 + 3139z9 + 8953z10 + • • • . (6.29) Некоторые дополнительные сведения об этой производящей функции приведены в упр. 6.42. Можно было бы пойти еще дальше и проследить за числом шагов каждого вида (т.е. (1,0), (0,1), (1,1)). Пусть zij отвечает за количество шагов вида (г, j). Ясно, что искомая функция равна y = diag ! - * s'* 1 - z10s - z0it - znst y/l - x(2zn + Aziozoi) + x2z\x' где diags>t обозначает диагональ только относительно переменных s и t. В этом случае мы не получаем никакой дополнительной информации по сравнению с формулой (6.28), поскольку знание конечной точки пути (п,п) и общего числа шагов определяет число шагов каждого вида, однако при менее «однородном» выборе множества S это уже не так. 6.3.9. Пример. Положим 5 = N х N - {(0,0)}. Тогда Ns(n,n) есть общее число путей из точки (0,0) в точку (п,п), таких, что на каждом шаге путь приближается к точке (п, п) (но никогда не переходит за точку (п,п) с последующим возвращением). Имеем у:=^2 Ns(n, п)хП = diag 1 г 1 ТТ n^O i l(l-e)(l-t) li = diag V-M-t) . 6 1 - 25 - 2t + 2st К настоящему моменту получение формулы '-K'+vi-iL^) (мо) = 1 + Зх + 2бж2 + 252ж3 + 25б8ж4 + 26 928ж5 + 287 648ж6 + • • • . должно представлять собой рутинную задачу. (Для читателя может оказаться поучительным провести эти вычисления, чтобы проследить за тем, как возникает член \ в формуле (6.30), если за,ии-
244 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.4. D-конечные производящие функции Важное свойство рациональных производящих функций J2f(n)xn состоит в том, что коэффициенты /(п) удовлетворяют простому рекуррентному соотношению (теорема 4.1.1(ii)1)). Аналогичный результат имеет место для алгебраических производящих функций. Однако тот тип рекуррентной зависимости, которому удовлетворяют коэффициенты алгебраической производящей функции, имеет место также для коэффициентов более общих рядов, основные свойства которых мы сейчас обсудим. 6.4.1. Предложение. Пусть и Е if [[я]]- Следующие три условия эквивалентны: (i) Векторное пространство над полем К(х), натянутое на ряд и и все его производные и', и",..., конечномерно. В символьной записи: &\тК(х)(К(х)и + К[х)и' + К(х)и" + •••)< ос. (ii) Существуют многочлены р$(х),... ,Pd{x) € К[х], причем Pd(x) 7^ 0, такие, что pd(x)uW +Pd-i(«)tx(d"1) + • • • +pi(x)u' +Ро(х)и = О, (6.31) где и^ = d?ujdxi. (iii) Существуют многочлены qo(x),... ,qm(x).q(x) G К[х], причем qm(x) т^ 0, такие, что qm(x)u№ + qm-i(x)ulm-V + • • • + qi(x)u' + q0(x)u = q(x). (6.32) Если ряд и удовлетворяет какому-либо (а следовательно, и всем) из перечисленных трех условий, то будем говорить, что и есть D-конечный (полное название — дифференциально конечный) степенной ряд. Доказательство, (i) => (ii). Пусть dimK(x)(K(х)и + К(х)и' Н ) = d. Тогда ряды и, и',..., и^ линейно зависимы над полем К(х). Записав соотношение зависимости и избавившись от знаменателей таким образом, чтобы все коэффициенты были многочленами, получим равенство вида (6.31). (ii) => (iii). Тривиально. (iii) ==> (i). Предположим, что выполнено равенство (6.32) и что обычная степень q(x) как многочлена от х равна t. Продифференцировав равенство (6.32) t+ 1 раз, получим равенство (6.31), 1^См. примечание переводчика к доказательству предложения 6.1.11.— Прим. перев.
6.4. D-конечные производящие функции 245 в котором d = т +1 + 1 и Pd(x) = qm(x) ^ 0. Разрешая его относительно u(d\ видим, что и™ е К(х)и + К(х)и' + • • • + К{х)и^~1\ (6.33) Продифференцировав (по х) соотношение, выражающее v№ как К(х)-линейную комбинацию рядов гд, и',..., vSd~l\ получим u{d+l) е Щф + Д^у + . . . + R(x)u{d) = tf(a;)ix + /ОДи' + • • • + Я»^-1) (в силу (6.33)). Продолжая аналогичным образом, установим включение u{d+k) е к(х)и + ^у + ... + K(x)u{d~l) при всех /с ^ 0, откуда следует (i). П 6.4.2. Пример, (а) Ряд и = ех D-конечен, поскольку и' = и. Аналогично любая линейная комбинация рядов вида хтеах (т Е N, a Е К) D-конечна, так как такие ряды удовлетворяют линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. (Ь) Ряд и = J2n>o n*'хП ^-конечен, поскольку (хи)' = Х^п>о(п+ 1)! хп, откуда следует, что 1+х(хи)' = и. Это уравнение упрощается до вида х2и' + (х - \)и = —1. Мы хотим охарактеризовать коэффициенты D-конечных степенных рядов и. Для этого введем следующее определение. Функция f:N—*K называется Р-рекурсивной (полное название — полиномиально рекурсивной), если существуют многочлены Pq> • • •»Ре € К[п], где Ре ф 0, такие, что Pe(n)f(n + е) + Pe_i(п)/(п + е - 1) + • • • + Р0(п)/(п) = 0 (6.34) при всех п Е N. Иными словами, функция / удовлетворяет однородному линейному рекуррентному соотношению конечной степени с полиномиальными коэффициентами. 6.4.3. Предложение. Пусть и = ^2n>0f(n)xn Е К[[х\]. Ряд и является D-конечным тогда и только тогда, когда функция f Р-рекурсивна. Доказательство. Предположим, что ряд и D-конечен, так что выполнено соотношение (6.31) (причем Pd(x) ф 0). Поскольку xju^ = 5^(п + г - j)if(n + г - j)xn, то, приравнивая коэффициенты при xnJrk в соотношении (6.31) для фиксированного достаточно большого /с, мы получим рекуррентное
246 Гл. 6. Алгебраические производящие функции соотношение вида (6.34) для функции /. Оно не вырождается в тождество 0 = 0, поскольку [nd]Pd-j+fc(n) ф 0, если [xj]pd(x) ф 0. Обратно, предположим, что функция / удовлетворяет соотношению (6.34) (причем Ре(п) ф 0). При фиксированном г G N многочлены (п + г)^, j ^ 0, образуют if-базис пространства К [п] (поскольку deg(n + i)j = j). Поэтому Р{(п) есть К -линейная комбинация многочленов (n + г)^, откуда следует, что J2n>o Pi(n)f(n + i)xn есть if-линейная комбинация рядов вида X)n>o(n + i)jf(n + О^*1- Имеем 5^(п + г),/(п + г)хп = Я* (ж) + я^-*1х«), где Лг(ж) G rr_1if [:r_1] (т.е. R{(x) —многочлен Лорана, содержащий только отрицательные степени). В частности, и' = ^2п>0 nf(n)xn~1. откуда получаем, что x-w = ^ (п+2)f(n+2)х" = Я1)*-1 + Юп+2)/(п+2)хП- Умножая соотношение (6.34) на хп и суммируя по п ^ 0, приходим к равенству 0 = Y, Ыз^-1и{Я + Д(ж), (6.35) где сумма конечна, а%$ G К и Л (ж) Grr_1if[:r_1]. Легко видеть, что не все dij равны 0. Теперь умножим равенство (6.35) на хч для достаточно большого q и получим соотношение вида (6.32). □ 6.4.4. Пример, (а) Очевидно, что функция /(п) = п! является Р-рекурсивной, поскольку /(п + 1) — (п+ 1)/(п) = 0. Поэтому ряд и = Х)п>о п'хП ^-конечен. Чтобы увидеть это, не нужно использовать специальный прием, как в примере 6.4.2(b). (Ь) Функция /(п) = (2™) Р-рекурсивна, поскольку (п + 1)/(п + 1) - 2(2п + 1)/(п) = 0. Поэтому ряд г* = $Тп>о СтГ)3^ = W1 _ 4ж является D-конечным. Вскоре мы приведем множество примеров D-конечных рядов и Р-рекурсивных функций (теоремы 6.4.6, 6.4.9, 6.4.10, 6.4.12 и упр. 6.53-6.61). Но сначала докажем один простой, но полезный результат. 6.4.5. Предложение. Предположим, что функция /: N —> К Р-рекурсивна и значения функции д: N —► if совпадают со значениями функции f при всех достаточно больших п. Тогда функция д Р-рекурсивна.
6.4. D-конечные производящие функции 247 Доказательство. Пусть /(п) = д(п) при п ^ по и функция / удовлетворяет соотношению (6.34). Тогда ( П (п - 3) ) * [Ре(п)д(п + е) + • • • + Р0(п)д(п)] = О, ^ i=o ' откуда следует, что функция д Р-рекурсивна. В качестве альтернативы можно было использовать соотношение Ре(п + п0)д(п + е + п0) + Pe-i(n + п0)д(п + е + п0 - 1) + • • • + Р0(п + п0)д(п + п0) = 0. □ Наш первый основной результат о D-конечных степенных рядах состоит в том, что алгебраические ряды D-конечны. 6.4.6. Теорема. Пусть и Е -^[М] —алгебраический ряд степени d. Тогда ряд и является D-конечным. Более точно, он удовлетворяет уравнению (6.31) порядка d или уравнению (6.32) порядка т = d—1. (Вопрос о дифференциальном уравнении наименьшего порядка, которому удовлетворяет ряд и, рассмотрен в упр. 6.62). Доказательство. Согласно формуле (6.12), и' Е К(х,и). Последовательным дифференцированием по х из соотношения (6.12) по индукции получаем, что и^ Е К(х,и) при всех k ^ 0. Но dim^(x) К(х, и) = d; поэтому ряды и,и',..., и^ линейно зависимы над полем К(х), что приводит к уравнению вида (6.31). Аналогично, ряды 1, гд, и',... ,.г^-1) линейно зависимы над полем К(х), что приводит к уравнению (6.32), в котором га ^ d — 1. □ Из предложения 6.4.3 и теоремы 6.4.6 следует, что коэффициенты алгебраического степенного ряда и удовлетворяют простому рекуррентному соотношению (6.34). В частности, как только мы нашли это рекуррентное соотношение (что требует лишь конечного количества вычислений), мы получаем способ быстрого вычисления коэффициентов ряда и. Заметим, что не все D-кокечные ряды алгебраические, например, ряд ех не алгебраический (упр. 6.1). 6.4.7. Пример. Пусть F(x) е К(х), где charX = 0, и F(0) = 1 (так что ряд F(x)1^d формально определен как степенной ряд для любого d Е Р). Пусть и = F(x)l/d (причем и(0) = 1), так что ud = F(x). Тогда dud~xu' = F'(x), и умножение на и дает dF(x)u' = F'(x)u. (6.36) Если мы хотим, чтобы коэффициенты уравнения (6.36) были полиномиальными, предположим, что F(x) = А(х)/В(х), где А, В € К[х]. Тогда уравнение (6.36) примет вид dABu' = (А'В - АВ')и. (6.37)
248 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Например, если В(х) = 1, то F(x) = А(х) = ао + сцх Н Ь arxr', а если гд = ^ f(n)xn, то, приравнивая коэффициенты при хп+г~1 в уравнении (6.37), получаем г Y; ar-j(dn + dj-r + j)f(n + j) = 0. (6.38) j=0 Аналогично, если А(х) = 1, В(х) = Ьо + bi# + ••• + brxr и и = £ f(n)xn, то г 5^ 6г_,(йп + dj + г - j)/(n + j) = 0. (6.39) i=o 6.4.8. Пример, (а) В упр. 1.5(b) и примере 6.3.8 мы показали, что число f(n) решеточных путей из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами вида (1,0), (0,1) и (1,1) удовлетворяет соотношению и := V f(n)xn = 1 Полагая В(х) = 1 — 6х + х2 и d = 2 в соотношении (6.39), получаем равенство (п + 2)/(п + 2) - 3(2п + 3)/(п + 1) + (п + 1)/(п) = 0 (6.40) при п^Ос начальными условиями /(0) = 1, /(1) = 3. Хотя равенство (6.40) представляет собой простое рекуррентное соотношение, трудно дать его комбинаторное доказательство. (Ь) Ниже приводятся рекуррентные соотношения, которым удовлетворяют коэффициенты f(n) некоторых алгебраических функций и = ^2 Кп)хП-> рассматривавшихся ранее в этой главе: 1 + х — \J\ — 6х + х 2 (i) и = (формула (6.22)): (п + 2)/(п + 2) - 3(2п + 1)/(п + 1) + (п - 1)/(п) = 0, n ^ 1. (") " = л _ 2х _ 3^ (формула (6.29)): (п + 2)/(п + 2) - (2п + 3)/(п + 1) - 3(п + 1)/(п) = 0, n ^ 0. (Ш) "=K1+Vl-12* + 4*2) (Ф°РМУЛа (6-3°)): (п + 2)/(п + 2) - 6(2п + 3)/(п + 1) + 4(п + 1)/(п) = 0, п > 1. Теорема 6.4.6 описывает широкий класс интересных .D-конеч- ных рядов. Однако имеется много простых рядов, для которых
6.4. D-конечные производящие функции 249 неясно, являются ли они £)-конечными, на основании изложенного до сих пор материала. Например, и\ = sec х, U2 = \/cos:r, u3 = e*/^3^, u$ Uq = ex + У^п\хп, з "^5K")+(")+"+ 2 X Поэтому необходимы другие методы доказательства того, что степенной ряд D-конечен (или что его коэффициенты Р-рекурсив- ны). Из теоремы 6.4.10 будет следовать, что ряд и% D-конечен, из теоремы 6.4.9 — что ряды и$ и uq D-конечны, а из теоремы 6.4.12 — что ряд u-j D-конечен. С другой стороны, ряды щ, и^ и и± не являются £)-конечными. Мы не будем развивать систематические методы доказательства того, что степенные ряды не являются D-ko- нечными, но в упр. 6.59-6.60 рассмотрены некоторые приемы и результаты в этом направлении. 6.4.9. Теорема. Множество V D -конечных степенных рядов и G К[[х]] образует подалгебру кольца К[[х]\. Иными словами, если u,v eV и а,(3 е К, то аи + (3v eV и uv еТ>. Доказательство. Пусть w G -^[[я]] С К((х)). Обозначим через Vw векторное пространство над полем К(х), натянутое на w,w', w",.,. . Тогда Vw —подпространство поля К((х)). Пусть u,v eV и а, /3 G К. Положим у = au + 0v. Тогда у, у', у", • • • G Vu + Vv. Таким образом, рассматривая размерности над полем К(х), получаем dim Vy ^ dim(Vn + Vv) ^ dim Vu + dim Vv < oo. Следовательно, ряд у D-конечен. Остается показать, что если u,v G Р, то uv G V. Мы предполагаем, что читатель знаком с элементарными свойствами тензорного (или кронекерова) произведения двух векторных пространств. Пусть V = К((х)) как векторное пространство над К(х). Существует единственное линейное преобразование Ф- К <»*(*) К-> V,
250 Гл. 6. Алгебраические производящие функции удовлетворяющее условию ф(и^ 0 v^) = u^v^ для всех г, j ^ 0 (или ф(у 0 г) = yz для всех t/G^, z G К)- Из правила Лейбница дифференцирования произведения видно, что образ преобразования ф содержит Vuv. Следовательно, dim VMV ^ dim(Vu 0 Vv) = (dim Vu)(dim Vv) < oo. Таким образом, uv G P, что и требовалось доказать. □ В нашем следующем результате речь идет о композиции D-ko- нечных рядов. Вообще говоря, если и, v G V и и(0) = 0, то ряд u(v(x)) не обязательно D-конечен, даже если и — алгебраический ряд. Например (упр. 6.59), если и = у/1 + х G ifaig[M] С V и v = 1п(1 + х2) — 1 G Р, то гд(г;(:г)) ^ Р. Поэтому следующий результат может показаться удивительным. 6.4.10. Теорема. Если и еТ> и v G ifaig[[:r]], причем v(0) = 0, mo u(v(x)) G V. Доказательство. Пусть у = u(v(x)) и г ^ 0. Итерируя правило цепочки и правило Лейбница, мы видим, что, ряд у^ есть линейная комбинация рядов u(v(x)), uf(v(x)), u"(v(x)),... с коэффициентами из кольца if [г/, v", v"f,...]. Поскольку ряд v алгебраический, из доказательства теоремы 6.4.6 следует, что vM е K(x.v). Поэтому K[v',v"y",...]cK(x,v). Пусть V есть K(x,v)-векторное пространство, натянутое на u(v(x)), u'(v(x)),.... Поскольку и G V, dimK(x) spanK(x){u(:r), и'(х),... } < оо. Поэтому dimK(v) spanK(v){u(v(:r)), tz'(v(a;)),... } < оо, так что a fortiori dimK(x,v)spa,nK(v){u(v(x)),u'(v(x)),...} < оо. Из приведенного выше рассуждения следует, что dim^(x^) V < оо и [If (ж, v) : if (х)] < оо, где [L : М] обозначает степень поля L над подполем М (т. е. [L : М] = diniM L). Следовательно, dimK(x) V = (dimK(XiV) V) • [if (я, v) : if (ж)] < оо. Поскольку каждый ряд уМ принадлежит У, отсюда следует, что у eV. П
6.4. D-конечные производящие функции 251 6.4.11. Пример. Поскольку ^п>0п!жп ^ ^ (ПРИМ^Р 6.4.2(b)), ех eV (пример 6.4.2 (а)) и ряд х/у/1 — 4х алгебраический, из теорем 6.4.9 и 6.4.10 заключаем, что .:=(5>*"Y Однако было бы совсем непросто найти дифференциальное уравнение (6.31) или (6.32), которому удовлетворяет ряд и, или линейное рекуррентное соотношение (6.34), которому удовлетворяют его коэффициенты. В нашем последнем основном результате о £)-конечных рядах мы рассмотрим произведение Адамара. Мы покажем, что если u,v GP, то u*v Е V. Эквивалентным образом, если функции /(п) и д(п) Р-рекурсивны, то функция f(n)g(n) также Р-рекурсивна. Доказательство этого факта очень похоже на доказательство того, что произведения D-конечных рядов D-конечны (см. теорему 6.4.9). Нам бы хотелось работать с множеством V всех Р-рекурсивных функций /: N —> К, рассматривая его как векторное пространство над полем К(п) рациональных функций от переменной п. Для того чтобы множество V было К(п)-векторным пространством, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: если f,g Е V и R(n) = А(п)/В(п) Е К(п) (где А, В Е К[п\), то / + д Е V и Rf Е V. Из теоремы 6.4.9 немедленно следует, что f + д Е V. С другой стороны, если функция / удовлетворяет соотношению (6.34), то функция h := Rf удовлетворяет соотношению Pe(n)B(n + e)h(n + e) Pe_i(n)ff(n + е - l)h[n + е - 1) А(п + е) А(п + е-1) ( ( P0(n)B(n)h(n) = Q А(п) Умножая на А(п)А(п+1) • • • А(п + е), получаем ненулевое линейное рекуррентное соотношение с полиномиальными коэффициентами, которому удовлетворяет функция /г, откуда следует, что h Е V. Однако в этом рассуждении имеется один технический изъян. (Сможет ли читатель обнаружить его самостоятельно, не читая текст дальше?) Проблема заключается в том, что функция В(п) может обращаться в нуль при некотором no Е N, так что функция h(n) не будет определена при п = uq. Но поскольку В(п) может иметь лишь конечное число нулей, функция h(n) определена для всех достаточно больших п. Таким образом, мы должны работать не с самой функцией /i(n), а только с ее поведением «в окрестности оо». (Альтернативный подход заключается в том, чтобы рассматривать
252 Гл. 6. Алгебраические производящие функции множество V как К[п]-модуль, а не как К(п)-модуль. Однако мы пытались свести к минимуму требования к алгебраическим познаниям читателя, по возможности работая с векторными полями.) Чтобы придать изложенным выше соображениям точную формулировку, определим отношение ~ на функциях h\, h2: N —> К согласно следующему правилу: h\ ~ h2, если h\(n) = h2(n) при всех достаточно больших п. Ясно, что ~ есть отношение эквивалентности. Соответствующие классы эквивалентности будем называть ростками (точнее, ростками в оо функций h: N —► К). Обозначим класс, содержащий функцию /г, через [h]. Определим линейные комбинации (над полем К) и умножение ростков формулами a\[hi] + a2[h2] = [aih\ + a2h2], [hi][h2] = [hih2]. Ясно, что эти операции корректно определены. Если R(n) Е К{п) и h: N —► К, мы можем определить также росток [Rh], требуя, чтобы [Rh] = [hi], где hi: N —> К — любая функция, значения которой совпадают со значениями функции Rh для тех п, для которых определено значение R(n). Таким образом, пространство Q ростков наделяется структурой векторного пространства над полем К(п). Наконец, заметим, что, согласно предложению 6.4.5, если hi ~ h2, то hi Е V тогда и только тогда, когда h2 Е V. Поэтому можно говорить о Р-рекурсивных ростках. Таким образом, росток [h] Р-рекурсивен тогда и только тогда, когда К(п) -векторное подпространство gh = spanK(n){[/i(n)], [h(n + 1)], [h(n + 2)],... } пространства Q конечномерно. Теперь мы готовы сформулировать и доказать искомый результат. 6.4.12. Теорема. Если функции f,g: N —> К Р-рекурсивны, то их произведение fg также Р-рекурсивно. Эквивалентным, образом, если и, v Е V, то u*v£D. Доказательство. Приведенное выше обсуждение показывает, что достаточно доказать Р-рекурсивность ростка [fg], если ростки [/] и [я] Р-рекурсивны. Существует единственное линейное преобразование Ф- Gf®K(n)Gg ->G, удовлетворяющее условию Ф([/(п + г)] 0 [g(n + j)]) = [f(n + г)][д(п + j)] = [f(n + i)g(n + j)]. Очевидно, что образ преобразования ф содержит подпространство gfg = spanK{[/(n)<7(n)], [/(n + 1)д(п + 1)],... }. Рассматривая размерности над полем К(п), получаем, что dimgfg ^ dim(£/ 0 Qg) = (dim ^/)(dim ^) < оо, откуда следует, что функция fg Р-рекурсивна. П
6.5. Некоммутативные производящие функции 253 6,5. Некоммутативные производящие функции Мощным инструментом для доказательства рациональности или алгебраичности степенного ряда TyEif [[#]] или rj€K[[xi,..., хт]} является теория некоммутативных формальных рядов (от нескольких переменных). В случае рациональных степенных рядов применение этой теории более или менее эквивалентно использованию метода трансфер-матрицы (разд. 4.7) и поэтому не дает никаких действительно новых (коммутативных) рациональных производящих функций. Аналогичным образом возможно построить аналог метода трансфер-матрицы для (коммутативных) алгебраических производящих функций, так что в действительности нет необходимости рассматривать некоммутативные ряды. Однако некоммутативный подход как к рациональным, так и к алгебраическим производящим функциям предоставляет элегантную и естественную концептуальную основу, которая может сильно упростить сложные вычисления. Мы приведем обзор как рациональных, так и алгебраических некоммутативных рядов. В одном замечательном приложении (теорема 6.7.1) мы используем одновременно теорию и рациональных, и алгебраических рядов. Мы будем придерживаться терминологии и обозначений, стандартных для этой области, хотя они и будут слегка отличаться от наших предыдущих терминов и обозначений для коммутативных рядов. Пусть К обозначает фиксированное поле. (Большая часть теории может быть развита над произвольным «полукольцом» (т.е. над кольцом, не имеющим аддитивных обратных, таким, как N), и это обобщение обладает некоторыми интересными свойствами, однако для наших целей достаточно рассматривать только поле.) Пусть X — множество, называемое алфавитом, и пусть X* —свободный моноид, порожденный множеством X, определенный в разд. 4.7. Множество X* состоит из всех конечных строк (включая пустую строку 1) w\ • • • wn, состоящих из букв Wi Е X^. Мы будем писать |гу| = п, если w = w\- --Wn € X*, где W{ G X. Определим также множество Х+ = Х*\1 (= X* - {1}). 6.5.1. Определение. Формальным (степенным) рядом в алфавите X (над полем К) называется функция S: X* —> К. Будем писать (5, w) вместо S(w) и записывать S в виде S= £ (5,«;)«). w€X- Множество всех формальных рядов в алфавите X обозначается через К((Х)). *) А умножение слов и = а\... ап и v = b\... bm состоит в приписывании их друг к другу: uv = а\ ... апЬ\... Ьт. — Прим. перев.
254 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Множество К((Х)) обладает очевидной структурой кольца (и даже if-алгебры) с единицей 1. (Мы отождествляем пустую строку 1 G X* с элементом 1 Е К и сокращенно записываем член а Л ряда 5 как а.) Сложение определяется покомпонентно, т.е. S + T = Yji{SM + {T,w))w, W а умножение задается обычным произведением степенных рядов с учетом некоммутативности переменных. Таким образом, ($>,«>«) (£<Т, <;><;) =£(S,U>(2>>m; = £(£<sw<t»V ги uv=w Читатели с алгебраическим складом ума могут думать об алгебре К((Х)) как о пополнении моноидной алгебры свободного моноида X* относительно идеала, порожденного множеством X. Имеется естественное понятие сходимости последовательности 5i, 5г,... формальных рядов (и, следовательно, суммы ]Сп>о-^)» аналогичное коммутативному случаю (разд. 1.1). А именно, мы говорим, что последовательность 5i, 5г,... сходится к ряду S, если при всех w G X* последовательность (Si, w), (S2, w),... содержит лишь конечное число членов, не равных (S, w). Предположим теперь, что (S, 1) = а ^ 0. Пусть ~" а ^ V а/ ' Эта сумма формально сходится, и нетрудно проверить, что ST = TS = 1. Поэтому Т = S"1 в К((Х)). Например, 4 хех ' wex* В этом разделе мы будем работать с двумя подалгебрами алгеб- ры К((Х)). 6.5.2. Определение, (а) (Некоммутативным) многочленом называется ряд S Е К((Х)), который представляет собой конечную сумму 53(S, w)w. Множество многочленов S Е К((Х)) образует подалгебру алгебры К((Х)), обозначаемую через К(Х) (или иногда через ад*»).
6.5. Некоммутативные производящие функции 255 (Ь) (Некоммутативным) рациональным рядом называется элемент наименьшей подалгебры Kra,t((X)) алгебры К((Х)), содержащей К(Х) (или, что эквивалентно, содержащей X), такой, что если S G Kr8it((X)) и существует 5"1, то 5"1 G Kr8it((X)). Примером многочлена (при К = Q, X = {х,у,z}) является x2z — xz2 — 3x5yxz2 + ^zyzy2z2, а примером рационального ряда — 5 = ((l + x)-1+J/)-1 х (х2 — у2ху(\ — xyz)~1z(l + xyxzx2 + 2y2z3xyx)~1zy5z) + X. Заметим, что запись вида yz~ двусмысленна: она может обозначать либо х(1 — з/)-1, либо (1 — у)~хх. Заметим также, что для некоммутативных рядов не существует понятия общего знаменателя. Например, не существует многочлена 5, удовлетворяющего условию S((l - ж)"1+ (1-у)"1) €#<*,»), и даже многочленов 5 и Г, удовлетворяющих условию 5((1 - х)-1 + (1 - у)"1 + (1 - z)-l)T € К(х, у, г). В частности, не любой рациональный ряд является отношением двух многочленов. Пусть ф: К((Х)) —> К[[Х]] — непрерывный гомоморфизм алгебр, задаваемый формулой ф(х) = х при всех х G X. Таким образом, 0(5) есть «абелизация» ряда 5, и ядро гомоморфизма ф есть двусторонний идеал алгебры К((Х)), порожденный множеством {ху — ух : х,у € X}. Заметим, что если 5 G К(Х), то 0(5) G -К^-Х"]. Очевидно, что обратное неверно; например, если S = Еп>о(хПУп ~ УПхП)-< то <KS) = О G К[х,у], но 5 i К(Х). Аналогично, если 5 G Kra,t((X)), то ясно, что 0(5) G i^rat[[^]] = i^[[X]] П К(Х). Обратное опять неверно, но соответствующий пример не столь очевиден, поскольку на настоящий момент мы не имеем простого способа распознать, когда ряд 5 не является рациональным (кроме условия, что ряд 0(5) не рациональный). Упражнение 6.65 даст нам метод доказательства того, что многие ряды не рациональны. Например, 5 = ^2п>оХпуп fi KrSLt((x,y)), хотя <KS) = l/(l-xy)eKr*t[[x,y]]. Далее мы определяем класс рядов, имеющий ключевое значение для понимания рациональных рядов. Обозначим через Кпхп моноид всех матриц размера пхп над полем К относительно обычного умножения матриц. 6.5.3. Определение. Ряд 5 G К((Х)) называется распознаваемым, если существуют натуральное число п и гомоморфизм моноидов fx:X*->Knxn,
256 Гл. 6. Алгебраические производящие функции а также две матрицы \ € К1хп и *у € Кпх1 (так что Л есть вектор- строка, а 7 — вектор-столбец), такие, что для всех w Е Х+ выполняется соотношение (S,w) = A-/zH-7. (6.41) Замечание. Требуется, чтобы соотношение (6.41) выполнялось только для w G Х+, а не для w Е X*. Иными словами, свойство распознаваемости ряда S не зависит от свободного члена (5,1) ряда 5. Замечание. Если Л ^ [0,0,...,0] и <у ^ [0,0,...,0]* (где ь обозначает транспонирование), то легко видеть, что можно найти обратимую матрицу А е Кпхп, такую, что Л = [1,0,...,0]А и 7 = А-1 [0,0,..., 1]*. Если определить новый гомоморфизм //: X* -* Кпхп формулой //(w) = Afj,(w)A~1, то значение (S,w) равно элементу матрицы //(гу) с номером (1,п): (S,w) = fi'(w)in. (6.42) Поэтому условие (6.41) можно заменить более сильным условием (6.42). 6.5.4. Пример. Предположим, что X = {х,у} и функция /х: X* —+ К2х2 задана формулой ц(х) 1 0 2 1 Ку) = 1 1 0 1 6. Ряд В, определяемый соотношением (B,w) = /z(w)i2, распознаваем согласно определению 6.5.3 Посмотрим, можно ли получить формулу для ряда В. При w G Х+ положим fi(w) Bu (6.43) и определим ряды А = ^2 Aww и т. д. Положим также значение /х(1) равным единичной матрице / размера 2x2. Тогда Aw есть краткая запись для (A,w) и т.д., и задание ряда В при помощи формулы (6.43) совпадает с определением ряда В, предшествующим формуле (6.43). Заметим, что fj,(wx) = fi(w)a = ti(wy) = n(w)b = + 2BW Bw * * + BU * * (6.44) (6.45)
6.5. Некоммутативные производящие функции 257 где звездочками обозначены элементы матрицы, значения которых для нас несущественны. Из формул (6.44) и (6.45) следует, что Поэтому A = 1 + ^ Awxwx + ^ Awywy w w = 1 + Y^(A^ + ^Bw)wx + ]T AwwV = l + A(x + y) + 2Bx. w w Аналогично, В = Ay + B(x + у). Таким образом, мы получаем два линейных уравнения от двух неизвестных А и В: А(1-х-у)- 2Вх = 1, -Ау + В(1-х-у) = 0. Мы решим эти уравнения при помощи «некоммутативного» метода исключения Гаусса. Поскольку неизвестные А и В умножаются на что-либо только справа, а диагональные коэффициенты 1 — х — у и 1 — х — у обратимы, то при реализации метода исключения не возникнет сложностей. Умножая первое уравнение справа на (1 — х — у)~ху и складывая его с вторым уравнением, получаем следующую формулу для ряда В: В = (1-х- у)-гу[1 -х-у- 2х(\ -х- у)-1у}-\ (6.46) Заметим, что У У ф(В) (l-X-y)(l-X-y-T^L-) (1-Х-у)2-2хУ Можно также вычислить ф(В) непосредственно по а и 6, используя теорему 4.7.21). Имеем ф(В) = £(а* + Ьу)п\12 = (1-ах- Ьу)-1\12 п^О г -,-1 \\-x-y -у -2х 1 — х — у 12 х) Пусть А — некоторая матрица с элементами из произвольного коммутативного кольца, и пусть Aij(n) есть элемент матрицы Ап, стоящий на (г,^")-м месте. Рассмотрим производящую функцию Fij(D,\) = Yln>o ^ij(n)^n• Тогда Fy(D,A) det(/-AA) ' где символом (В : jt i) обозначается матрица, полученная из матрицы В удалением j-ft строки и г-го столбца. — Прим. перев.
258 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Записывая с = 1-х-у -у —2х 1 — х - У. получаем (в обозначениях теоремы 4.7.2), что = -det[c:2,l] у П ] detc (1-х-у)2-2ху' как и ранее. Имеется другой способ рассматривать распознаваемые ряды — можно подходить к ним с точки зрения теории графов. Пусть /х: X* —> Кпхп —функция из определения 6.5.3, причем мы предполагаем, что матрицы Л и 7 таковы, что Л • /x(w) • 7 = M^)in> как в формуле (6.42). Определим ориентированный граф Г^ и весовую функцию на нем следующим образом. Пусть X = {xi,...,xr}, и пусть множество вершин орграфа Гм есть V = У(Т^) = [п]. Для каждой тройки (i,j,k) Е [г]3 проведем ребро е из вершины г в вершину j и придадим ему вес и(е) = fi(xk)ijXk, где n(xk)ij обозначает элемент матрицы /х(гг&), стоящий на (г,.7)-м месте. Таким образом, имеется г ребер, ведущих из вершины г в вершину j (хотя ребра с весом 0 можно не учитывать). Для случая, рассмотренного в примере 6.5.4, орграф Гм изображен на рис. 6.4. У Рис. 6.4. Ориентированный граф Гм. Пусть Р — путь на орграфе Гм длины га из вершины г в вершину j, скажем, г = z0,ei,zi,e2,... ,гт_1,ет,гт = j. Определим вес пути Р формулой ш(Р) = ш(ег) • • • и;(ет) = к(Р)х^ • • • xim. Это некоммутативный одночлен в алфавите X, умноженный на некоторый скаляр к(Р) Е К. Согласно определению матричного умножения, скаляр к(Р) есть не что иное, как (i,j)-Vi элемент матрицы //(гг^) • • • fJ>(xim). Поэтому ряд 5, определяемый формулой (S,w) = /x(w)in, задается также формулой 5>(П (6-47)
6.5. Некоммутативные производящие функции 259 где суммирование ведется по всем путям из вершины 1 в вершину п. 6.5.5. Пример. Ниже перечислены все пути длины не более двух из вершины 1 в вершину 2 на графе, изображенном на рис. 6.4: Поэтому формальный ряд В из примера 6.5.4 имеет такое начало: В = у + ху + ух + 2у2 Н . Немного попрактиковавшись, можно увидеть, что ряд В из формулы (6.46) также задается формулой (6.47). Первый множитель (1 — х — у)~х в формуле (6.46) соответствует начальной части пути Р до того момента, как он покинет вершину 1. Мы можем пройти по петлям в вершине 1, имеющим веса х и у, в произвольном порядке. Множитель у в формуле (6.46) соответствует первому шагу из вершины 1 в вершину 2. Теперь мы можем пройти в произвольном порядке по петлям в вершине 2 (что отвечает членам —х — у в третьем множителе формулы (6.46)), затем вернуться обратно в вершину 1 (множитель 2х члена 2х(1 — х — у)~ху третьего множителя формулы (6.46)), затем пройти петли в вершине 1 (множитель (1— х — у)~х члена 2ж(1 — х — у)~1у), затем вернуться обратно в вершину 2 (множитель у члена 2х(1 — х — у)~1у) и затем итерировать процедуру, которая начинается в вершине 2. Приведенное выше обсуждение показывает, что использование теории распознаваемых рядов по сути совпадает с применением метода трансфер-матрицы из разд. 4.7, за исключением того, что мы должны следить за реальными путями (т. е. за порядком прохождения ребер), а не только за их неупорядоченными (коммутативными) весами. Можно сказать, что распознаваемый ряд есть не что иное, как производящая функция для (взвешенных) путей на орграфе. Можно также рассматривать орграф, изображенный на рис. 6.4, как некоторую машину (автомат) с конечным числом состояний, которая порождает ряд 5. Мы не будем здесь останавливаться на этой точке зрения, хотя подобный взгляд на распознаваемые ряды может оказаться плодотворным.
260 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Прежде чем сформулировать основную теорему о рациональных рядах, приведем необходимую нам простую лемму, гарантирующую рациональность некоторых рядов. 6.5.6. Лемма. Предположим, что В\,..., Вп — формальные ряды, удовлетворяющие п линейным уравнениям вида Вг(1 + сц) + B2ci2 +--- + Bncin =di, В\с2\ +£2(1 + с22) + b£nc2n =^2' B\cni + В2сп2 Н + Вп(1 + спп) = dn, где каждый коэффициент Cij —рациональный ряд с нулевым свободным членом, а каждый коэффициент dj —рациональный ряд. Тогда ВЛ Вп — рациональные ряды [и это единственные ряды, удовлетворяющие выписанной системе линейных уравнений). Доказательство проводится индукцией по п. При п = 1 имеем В\ = d\(l + сц)-1, что и требуется. Теперь предположим, что результат верен для п — 1. Умножим первое уравнение справа на — (I + cn)~1Cji и сложим его с j-u уравнением при 2 ^ j ^ п. Мы получим систему из п — 1 уравнений относительно Б2,..., Бп, удовлетворяющую условиям леммы; значит, ряды Б2,...,БП рациональны (и единственны). Из соображений симметрии (или разрешая первое уравнение относительно В\) получаем, что ряд В\ также рационален (и единствен). □ Теперь мы готовы сформулировать основную теорему о рациональных рядах. 6.5.7. Теорема (основная теорема о рациональных формальных рядах). Формальный ряд S Е К((Х)) рационален тогда и только тогда, когда он распознаваем. Доказательство (набросок). Предположим, что ряд S распознаваем. Доказательство его рациональности повторяет вычисления примера 6.5.4. Пусть /х: Х+ —> Кпхп —гомоморфизм моноидов, удовлетворяющий условию (5, w) = n(w)in при всех w Е Х+. Положим значение /х(1) равным единичной матрице / размера пхп. Определим ряды Aij = Л ^W)i3W wex+ при (i,j) G [п] х [п]. При Xk Е X положим ак = /x(a;fc), и пусть aij = V>(xk)ij —элемент матрицы afc, стоящий на (z,j)-m месте. Тогда fi(wxk) = fi(w)ak, откуда получаем, что ^{wxk)ij = 5^(w)ita*i- t
6.6. Алгебраические формальные ряды 261 Умножая на wxk и суммируя по w и /с, получаем при г = 1 уравнения t fc или, эквивалентным образом, J2 Mt [6tj - J2 aVx*) = ^ l^j^n. (6.48) Это система n линейных уравнений относительно п неизвестных An, А\2, • • •, ^4in» которая удовлетворяет условиям леммы 6.5.6. Поэтому ряд А\п (а также ряды Ац^А^-, • • • ,-4i,n-i) рациональны, что и требовалось доказать. Чтобы доказать обратное, т. е. показать, что рациональные ряды распознаваемы, необходимо проверить следующие четыре факта: (i) если Xi G X, то ряд Х{ распознаваем; (ii) если ряды 5 и Г распознаваемы и а,/3 е К, то ряд aS + /ЗТ распознаваем; (ш) если ряды S и Т распознаваемы, то ряд ST распознаваем; (iv) если ряд S распознаваем и (5,1) ^ 0, то ряд S-1 распознаваем. Факт (i) тривиален, а остальные три доказываются построением подходящих гомоморфизмов X* —> Кпхп. Мы не будем приводить здесь стандартные детали этого доказательства. □ 6.6. Алгебраические формальные ряды В этом разделе мы рассмотрим важное обобщение класса рациональных рядов. Как и ранее, мы фиксируем (конечный) алфавит X. 6.6.1. Определение. Пусть Z = {zi,..., zn} — алфавит, не пересекающийся с X. Собственной алгебраической системой называется множество уравнений Z{ = pi, 1 ^ г ^ п, где (a) pi Е К(Х, Z) (т. е. pi — многочлен в алфавите X U Z); (b) (pi, 1) =0 и (pi,Zj) = 0 (т. е. многочлен pi не имеет свободного члена и членов вида CjZj, 0 ^ сj е К). Иногда собственной алгебраической системой мы будем называть также и n-набор (pi,... ,рп)- Решением (иногда его называют сильным решением) собственной алгебраической системы (pi,...,pn) называется п-набор (#1,... ,Rn) Е К((Х))п формальных рядов в алфавите X с нулевыми свободными членами, удовлетворяющий уравнениям Ri=pi(X,Z)Zi=Ri. (6.49)
262 Гл. 6. Алгебраические производящие функции (Ряд Pi(X, Z)z.=r. будет формально корректно определен, поскольку (Ri, 1) = 0 по предположению.) Каждый ряд Щ называется компонентой системы (pi,... ,рп)- 6.6.2. Пример. Если X = {х,у} и Z = {z}, то z = ху + xzy — собственная алгебраическая система, имеющая решение R=Y^xnyn. (6.50) Сравните с системой z = ху + zxy, решение R = J2n>i(xy)n = (1 — ху)~1 — 1 которой представляет собой рациональный ряд. Можно показать, что ряд (6.50) не является рациональным (см. упр. 6.65). 6.6.3. Предложение. Собственная алгебраическая система (pi, ... ,рп) имеет единственное решение R = (Ri,..., Rn) G К{(Х))п. Идея доказательства. Метод доказательства состоит в «последовательном приближении». Определим первое приближение S^ = (S{1},..., SP) к решению как 5<1} = Pi(X, Z) е К(Х, Z). Предполагая, что уже определено k-е приближение S^ = (S[ ,..., Sn ) Е K(X, Z)n, положим (т.е. подставим SJ в уравнение pi(X,Z) вместо Zj). Можно проверить непосредственно по определению собственной алгебраической системы, что Нт^-юо S^ формально сходится к решению R Е К((Х))п и что это решение единственно. В качестве простого примера с всего одним уравнением рассмотрим собственную алгебраическую систему z = х + xzy + yz. Первое приближение равно 5^) = х + xzy + yz. Второе приближение равно S^ = х + х(х + xzy + yz)y + у(х + xzy + yz) = х + X2?/ + x2zy2 + X2/z?/ + 2/х + 2/xz?/ + 2/2z. Третье приближение равно 5(3) = ж + х5(2)2/ + 2/5(2) = х + х2у + х3?/2 + хуху + ух + ух2у + ?/2х + члены, содержащие z.
6.6. Алгебраические формальные ряды 263 Последнее приближение совпадает с решением R во всех членах не более чем третьей степени (и в некоторых ненулевых членах высших степеней). Замечание (для логиков). Пусть (pi,... ,рт) и (р[,... ,р'п) —собственные алгебраические системы с решениями (#1,... ,Rm) и (R[,... ,R'n) соответственно. Вопрос о равенстве рядов R\ и Д1? в частности, вопрос о справедливости равенства R\ = О, алгоритмически неразрешим. (Одна из трудностей заключается в том, что подстановка z\ = О в систему z\ — р\,..., zm = рт может привести к системе, не являющейся собственной.) С другой стороны, вопрос 0 равенстве абелизаций (j)(R\) и </>(#!) алгоритмически разрешим. 6.6.4. Определение, (а) Ряд S G К((Х)) называется алгебраическим, если ряд S — (5,1) является компонентой некоторой собственной алгебраической системы. Множество всех алгебраических рядов S € К((Х)) обозначается через K&ig^X)). (b) Носителем ряда S = J2(3tw)w € К((Х)) называется множество supp(S) = {weX* : (S,w) Ф 0}. Языком называется подмножество множества X*. Язык L называется рациональным (соответственно алгебраическим), если он является носителем рационального (соответственно алгебраического) ряда. Рациональный язык называется также регулярным, а алгебраический — контекстно-свободным. Наш предыдущий пример (пример 6.6.2) собственной алгебраической системы цриводит к алгебраическим рядам ^2хпуп и ^2(ху)п. Рассмотрим некоторые более интересные примеры. 6.6.5. Пример. Рациональные ряды являются алгебраическими. Система (6.48) линейных уравнений равносильна собственной алгебраической системе относительно неизвестных Ац — 1, i4i2,... , А\п. 6.6.6. Пример. Язык Дика D—это подмножество множества {х,у}*, такое, что если заменить символ х на левую скобку, а символ у — на правую скобку, то получится последовательность правильно вложенных скобок. Эквивалентным образом, слово W\ • • • wm (где W{ = х или у) принадлежит языку D, если для любого 1 ^ j ^ m число букв х в слове w\ • • -Wj не меньше, чем число букв у в слове w\- • -Wj, и общее число букв х равно общему числу букв у (в частности, m четно). Элемент w языка D называется словом Дика. Ниже перечислены слова Дика, длина которых не превосходит шести: 1, ху, х2у2, хуху, х3у3, х2уху2, х2у2ху, хух2у2, хухуху.
264 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Согласно следствию 6.2.3(H) или (iii), количество слов длины 2п в языке D равно числу Каталана Сп. Отметим следующее ключевое рекурсивное свойство слов Дика w. Если слово w непусто, то оно начинается с буквы х, затем идет слово Дика, затем буква у (правая скобка, соответствующая начальной букве х) и, наконец, еще одно слово Дика. Таким образом, язык D есть решение системы z = 1 + xzyz; поэтому D+ = D — 1 есть решение собственной алгебраической системы z = x(z + l)y(z' + 1) = ху + xyz + xz'y + xzyz. (6.51) Из уравнения (6.51) следует, что язык Дика D алгебраический. Возможно, это самый важный для перечислительной комбинаторики алгебраический язык. Многие перечислительные задачи (например, многие пункты упр. 6.19) могут быть выражены в терминах языка Дика. 6.6.7. Пример. Пусть X = {xo,xi,...,xm}. Определим весовую функцию и: X —► Z по формуле u(xi) = i — 1. Определим язык L С X* следующим образом: L = {xh '"Xik : u{xix) Н h ш(х^) ^ 0 при j <k и Ufa) + - • - + w(xik) = -1}. Тогда L состоит из всех слов, кодирующих плоские деревья максимальной степени ш, как установлено в разд. 5.3 (см. лемму 5.3.9). Язык L называется языком Лукашевича, а его элементы называются словами Лукашевича. Заметим, что слово Лукашевича в буквах хо и Х2 есть в точности слово Дика, в котором буква х заменена на X2, буква у — на Хо, а также добавлена буква хо в конце. Легко убедиться (это по сути следует из определения плоского дерева), что L+ — решение (или компонента) собственной алгебраической системы z = х0 + xiz + x2z2 Н Ь xmzm. Поэтому язык Лукашевича алгебраический. Следующий пример понадобится нам позже (в теореме 6.7.1) при рассмотрении некоммутативных диагоналей. Это хороший пример, который демонстрирует, что для того, чтобы найти собственную алгебраическую систему, компонентой которой является данный ряд 5, может понадобиться неочевидным образом ввести вспомогательный ряд. 6.6.8. Пример. Пусть Х={х\,... ,Xk,yi,... ,^},ипусть АсХ* — множество тех элементов множества X*, которые приводятся к
6.6. Алгебраические формальные ряды 265 тождеству при помощи соотношений Иными словами, если в слове w G X* заменить yi на гг^-1, то мы получим единичный элемент свободной группы, порожденной элементами х\,..., Xk- Например, при к = 3 х\ у\ х2 х3 2/з х2 у\ х2 У2 У\ G А. Мы утверждаем, что язык А алгебраический. При t G X положим Gt = {w G А : w = tv, w ^ uu' при гд,и' G A4"}. Пусть f^i, если t = yi, |?/i, если t = xi. Любое слово w G Gt должно оканчиваться на i [почему?]; поэтому можно определить ряд (или язык) Bt формулой Gt = tBti. Нетрудно проверить, что А = 1 + А ]Г Gu Gt = tBtt, Bt = l + BtJ2 Gq. tex qex Чф1 Из этих формул видно, что д+ = (Д+ + 1)£>(в+ + 1)г, tex Bt = (Bt + 1) 53 №t + 1)5, t G X. qex Яф1 Следовательно, (A+, (Bt)tex) есть решение собственной алгебраической системы и язык А алгебраический. Теперь мы хотим связать алгебраические формальные ряды с коммутативными алгебраическими производящими функциями; см. обсуждения в разд. 6.1-6.3. Нам понадобится стандартный результат из теории расширений полей, который мы сформулируем без доказательства. 6.6.9. Лемма. Предположим, что элементы ai,..., ап принадлежат некоторому расширению поля К. Предположим также, что существуют многочлены /i,..., fn € -К^-Х"], г^е X = (xi,...,хп), удовлетворяющие следующим условиям: (i) /i(ai,...,a„) =0, 1 ^ г ^ п; (ii) &%\,(ди/дч)фЪ.
266 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Тогда элементы щ алгебраические (в действительности даже се- парабельно алгебраические, хотя сепарабельность для нас не существенна) над полем К. Приведем несколько примеров, демонстрирующих значение условий (i) и (ii) леммы. Если Д = х\ - Хч и /2 = {х\ — х2)2, то условие (i) выполняется для любых элементов а\ = с*2, но det(dfi/daj) = 0. На самом деле якобиан det(dfi/dxj) тождественно равен нулю, поскольку многочлены Д и /г алгебраически зависимы. Пусть теперь /i = xi, /2 = #i#2, так что многочлены /i и /2 алгебраически независимы и det(d fi/dxj) = х\ ^ 0. Решением (ai,a2) системы /х = /2 = 0 является пара (0,с*2) при любом а2, так что элемент а2 не обязан быть алгебраическим над полем К. Это не противоречит лемме 6.6.9, поскольку det(dfi/daj) = 0. 6.6.10. Теорема. Пусть S Е K&ig^X)), где X — конечный алфавит. Тогда ряд ф(Б) алгебраический над полем К(Х) рациональных функций от (коммутирующих) переменных из X. Доказательство. Можно считать, что (5,1) = 0. Пусть (pi,... ,рп) — собственная алгебраическая система с решением (5i = 5, S2, . ..,Sn). Положим rji = 0(5f) и г] = (77i,...,77n). Пусть Z = Рассматривая pi как коммутативные многочлены, получаем, что ряды 7]{ удовлетворяют уравнениям fi(v) = Vi-Pi(X,v) = о. Матрица Якоби в точке Z = 7] равна " \dm) " \9vjJ' По определению собственной алгебраической системы (и поскольку (Si, 1) = 0) все матричные элементы dpi/drjj принадлежат максимальному идеалу ХХ[[Х]] = Х1^[[Х]] + ••• + гг&1*Г[[Х]] кольца i^[[X]]. Следовательно, det J = 1 + га, где га G Xi^[[X]]. Поэтому det J 7^ 0, откуда по лемме 6.6.9 следует, что ряды гц алгебраические над К(Х). □ 6.6.11. Пример. Пусть D —язык Дика из примера 6.6.6. В этом примере мы видели, что язык D алгебраический. Если Сп — число слов Дика длины 2п (которое, как мы знаем, равно числу Ката- лана), то (j)(D) = ^2п>оСпхпуп. Поэтому из теоремы 6.6.10 (подставляя х вместо ху) мы получаем, что ряд J2n>oCnxn является алгебраическим, исходя непосредственно из комбинаторной структуры языка Дика.
6.6. Алгебраические формальные ряды 267 Последний вопрос, который мы рассмотрим в этом разделе, касается произведения Адамара. Если S = J2(Siw)w и ^ = 53 (Т, w)w— два формальных ряда (в одном и том же алфавите X), то определим, в точности как в коммутативном случае, их произведение Адамара S*T = ^2(S,w)(T,w)w. (Используется также обозначение SОТ.) В разд. 6.7 нам понадобится следующий результат, который является некоммутативным аналогом предложения 6.1.11. (См. также упр. 6.66.) 6.6.12. Предложение. Если S G КтаЛ,((Х)) и Т е Ka\g((X))} mo S*TeK*lg((X)). Доказательство (набросок). Пусть Z{ = pi, l^z^n, — собственная алгебраическая система с решением z\ — Т. Поскольку ряд S рациональный, то по теореме 6.5.7 он распознаваем. Следовательно, при некотором т > 1 существует гомоморфизм моноидов /х: X* -+ Ктхт, такой, что (5, w) = fj>(w)im для всех w G Х+. Введем пт2 новых переменных zjk, (i,j,k) G [п] х [т] х [га]. Пусть Z' = {z{ : (г, j, k) G [n] x [га] x [га]}, и пусть Mi —матрица размера m x га, (j, к)-й элемент которой равен (M{)jk = z\ . Для каждой тройки (г,.;, к) G [п] х [га] х [га] построим многочлен р? G K(XUZ') следующим образом. Заменим в pi каждую букву zt на матрицу М* и каждую букву х € X на, матрицу fx(x)x (скалярное произведение ц(х) на х). После выполнения всех матричных сложений и умножений многочлен pi превратится в матрицу размера га х га. Пусть pi есть (j, к)-й элемент этой матрицы. Определим теперь систему S по формуле *f =pf, (i,j,k)e[n]x[m]x[m]. Ясно, что система S собственная. Более того, нетрудно проверить, что если исходная система Zi = pi имела решение (zi,...,zn) = (£i = Г, t2,..., tn), то при всех v е X* решение (z{k) = (s{k) системы S удовлетворяет уравнению (sJik,w) = v(w)jk(U,w). В частности, (s\m,w) = fi(w)lm(tuw) = (S,w)(T,w). Следовательно, S * Г G K&ig^X)). □
268 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.6.13. Пример. Пусть X = {rri,^}, и пусть фг) = 1 1 О 1 :=а, ф2) = -1 О 2 1 :=Ь. Легко проверить, что (ar6r)i2 = г при всех г ^ 1; поэтому ряд 5 из предыдущего предложения удовлетворяет условию (5, a^rr^) = г. Определим ряд Т как решение собственной алгебраической системы Z = X\ZX2 — Х\Х2- Тогда Г = ~Ylr>ixix2 и 5*Г = -Y^r>irxix2- Система S из предыдущего доказательства задается формулой V1 _z21 z22 = Xi 0 Ж1 Гг11 z21 ^1 Х\ 0 Г1 z12] z22 -х2 2X2 ~-Х2 0 ' 2X2 х2 0] Х2\ Иными словами, г11 = -xlZnx2 - Xlz21x2 + 2xlZ12x2 + 2Xlz22x2 - xlX2, и аналогичные формулы имеют место для z21,z12,z22. В предыдущем доказательстве утверждается, что z формулой 512 = - 2г>1 тх\х2- 12 компонента задается 6.7. Некоммутативные диагонали В этом разделе мы применим теорию некоммутативных формальных рядов для того, чтобы показать, что некоторые (обычные) ряды Лорана 7] Е K((t)) являются алгебраическими. Мы будем иметь дело с рядами вида S(xi,...,Xk,yi,...,yk) € K(t)ra.t((X,Y)), (6.52) где X = (х1,...,Хк), У = (yi,- -,Ук)- Иными словами, 5—рациональный ряд от переменных X и Y с коэффициентами из поля K(t) рациональных функций от одной переменной t (коммутирующей с X и Y). Поскольку K(t) С K((t)), можно рассматривать коэффициенты ряда S как ряды Лорана от переменной t. Мы будем предполагать, что ряд S таков, что ряд 5(Х, Х-1) := S(x\,..., Хк, ж]"1,..., х^1) корректно определен, т. е. коэффициент при одночлене Лорана гг?1 • • • ха{3 (ai,..., dj G Z) является формальным рядом Лорана 7] G K((t)) от переменной t.
6.7. Некоммутативные диагонали 269 Например (будем писать х вместо х\ и у вместо у\), если S{x,y) = Y,tn{xy)n = (l-txy)-\ ТО S(x,x~1) = ^2tn. Очевидно, что этот ряд корректно определен; коэффициент при хг равен 0 при г ф О, а коэффициент при х° есть ряд Лорана (в действительности степенной ряд) J2n>0tn. В качестве более сложного примера рассмотрим 5(Х,У) = ^Г(х1 + ... + ^ + 2/1 + ... + 2/Оп = (1 - t(xi + • • • + xk + 2/i + • • • + 2/fc))"1. Зафиксируем некоммутативный одночлен Лорана и в алфавите X, например и = х\2 х^х^1 х\х\. Тогда [u]S(X, X'1) = Y^ tn[u](x! + • • • + xk + rrf1 + • • • + Xfc 1)n. Поскольку [u](xi + • • • + Xk + x^1 + • • • + Xfr 1)n есть просто целое число, мы видим, что [m]S(X, Х-1) —корректно определенный ряд Лорана при любом и; поэтому ряд S(X, Х-1) корректно определен. В качестве примера ряда S(X, У), для которого ряд 5(Х, Х-1) не определен, возьмем 5(x,j,) = ^(xyr = (l-xj/)-1. Заметим, что если /(ж, ?/) — коммутативный степенной ряд, то [х°]/(х, to"1 ) = (diag/)(*). Возвращаясь теперь к некоммутативному случаю, мы видим, что [m]S(X, Х-1) (где и — одночлен Лорана от переменных х\,..., Xk) есть нечто вроде «обобщенной некоммутативной диагонали». Основной результат этого раздела составляет следующая теорема. 6.7.1. Теорема. Пусть ряд S = 5(Х, Y) задается формулой (6.52). Предположим, что ряд 5(Х, Х-1) формально корректно определен, так что для любого одночлена Лорана и от переменных X выполнено условие [u]S(X, Х-1) G K((t)). Тогда [u]S(X, Х-1) G ^aig((£))> т.е. ряд Лорана [гх]5(Х,Х-1) является алгебраическим над K(t).
270 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Доказательство. Поскольку М5(Х,Х-1) = [1]Г(Х,Х-1), где Т = г*_15, и поскольку очевидно, что ряд Т рационален, если рационален ряд 5, то можно считать, что и = 1. Пусть Д = Д(Х,Y) —множество из примера 6.6.8. Тогда искомый коэффициент равен сумме (которая по нашему предположению формально существует) всех коэффициентов произведения Адамара S * Д, а следовательно, и его абелизации ф(Б * Д). Поскольку S е K(t)rbt((X,Y)) и Д е К^((Х,У)) С K(tUg((X,Y)), из предложения 6.6.12 следует, что S * Д G K{t)s\g((X, Y)). Таким образом, по теореме 6.6.10 ф(Б * Д) — алгебраический ряд над K(t)((X, Y)). Из предложения 6.1.12 следует, что ф(Б * A)Xi=yi=i является алгебраическим над K(t), что и требовалось доказать. □ 6.7.2. Следствие. Пусть Р — некоммутативный многочлен Лорана над полем К от переменных X = (х\,... , гг&). (Эквивалентным образом, Р принадлежит групповой алгебре [Fk] свободной группы Fk, порожденной множеством X.) Пусть и —некоммутативный одночлен Лорана в алфавите X (т.е. и Е Fk). Тогда степенной ряд y = y£([u]Pn)tn€K[[t}} является алгебраическим рядом (над K(t)). Доказательство. Поскольку y=[u](l-Pt)-\ доказательство следует из теоремы 6.7.1. □ Заметим, что коммутативный аналог следствия 6.7.2 неверен. Например, если Р = х + x~l +у + y~l G С[х,х~г,у,у~1], то и этот ряд не является алгебраическим согласно упр. 6.3. Таким образом, при рассмотрении диагоналей мы видим, что некоммутативные ряды ведут себя лучше, чем коммутативные. 6.7.3. Пример. Интересный частный случай следствия 6.7.2 получается при Р = х\ + Х2 Н Ь Xk + х^1 + #2 г Н Ь х^1 и и = 1. В этом случае 5}l](si + • • • + хк + xj"1 + • • • + 4l)ntn 1 + 2kt2 + (8k2 - 2k)t4 + (40fc3 - 24fc2 + 4fc)t6 + • • • .
Замечания 271 Явное вычисление у методом, использованным при доказательстве теоремы 6.7.1, было бы чрезвычайно трудоемким, однако можно показать, что 2/с-1 У " к - 1 + *yi-4(2fc-l)t2' при помощи прямого комбинаторного рассуждения. См. упр. 6.74. В качестве приложения теоремы 6.7.1 приведем другое доказательство того, что диагональ (некоммутативного) рационального ряда от двух переменных есть алгебраический ряд (теорема 6.3.3). Второе доказательство теоремы 6.3.3. Согласно упр. 4.1(b) х\ имеем F(s,t) = P(s,t)/Q(s,t), где P,Q е K[s,t] и (3(0,0) ф 0. Определим некоммутативный ряд F(s, i) по формуле F(s,i) = P&x^Q&xt)-1 е K(x)rSit((s,i)). Коэффициент при ё° ряда F(s,s_1) равен сумме коэффициентов ряда F(s,i) при одночленах w Е {s, £}*, имеющих равные полные степени по ё и i. Вклад одночленов с deg 5 = deg i = п есть в точности /(n, п)хп, где F(s,t) = ^2f(i,j)slP. Поэтому коэффициент при 5° ряда F(s,s~1) равен в точности diag F. Более того, любой коэффициент [5l]F(5,5-1) корректно определен; поэтому доказательство следует из теоремы 6.7.1. □ Замечания Теория алгебраических функций представляет собой обширную область, но пока только малая ее часть оказалась непосредственно связана с перечислительной комбинаторикой. Было бы интересно узнать, имеют ли приложения к перечислительной комбинаторике некоторые более глубокие аспекты теории алгебраических функций, такие, как теорема Римана-Роха или теория абелевых интегралов. Первый результат в нашей книге, не являющийся простым следствием элементарного курса алгебры, — это теорема Пю- изё (теорема 6.1.5). Она была впервые доказана Пюизё [54] в 1850 г. Изложения ее доказательства имеются в работах [12, гл. 4.6], [14, с. 373-396], [21, гл. Ш.6], [47, гл. V, теорема 3.1], [74, гл. IV, теорема 3.1]. «Современное» доказательство было дано П. М. Коном [17], [18]. Вычислительные аспекты теоремы см. в работе [37]. Некоторые интересные результаты относительно алгебраических функций, имеющие отношение к перечислению, содержатся 1' Пусть f(x\,..., хп) — формальный степенной ряд, который представляет рациональную функцию P(xi,.. .,xn)/Q(xi,... ,хп), где Р и Q — взаимно простые многочлены. Тогда <Э(0,..., 0) ^0. — Прим. перев.
272 Гл. 6. Алгебраические производящие функции в статье Юнгена [40]. В частности, там приведено доказательство предложения 6.1.11 и рассмотрено асимптотическое поведение коэффициентов алгебраического степенного ряда. Последний результат является полезным инструментом для доказательства того, что некоторые ряды не являются алгебраическими (см. упр. б.З). Изобилие дальнейших сведений об интереснейшей теме дискриминантов содержится в книге [28]. Дальнейшее обсуждение уравнения (6.7) приведено в упр. 6.8(a). Перечисление деревьев, расстановок скобок, баллотировочных последовательностей, решеточных путей и рассечений многоугольников, а также осознание тесных связей между этими задачами, подытоженных в предложении 6.2.1, восходит к Сегнеру и Эйлеру (1760)1). Сегнер [67] получил рекуррентное соотношение для числа триангуляции многоугольника (задача, обсуждавшаяся в нашем следствии 6.2.3(vi)), а Эйлер [23] по существу разрешил это рекуррентное соотношение, хотя и не привел подробности доказательства. (Эйлер опубликовал свой результат как неподписанный реферат работы Сегнера, но очевидно, что автором действительно является Эйлер.) Более общая задача вычисления числа рассечений n-угольника фиксированным числом т диагоналей была поставлена Пфаффом фон Фуссу, который обобщил рекуррентное соотношение Сегнера [26]. (См. дальнейшие сведения об этой задаче Пфаффа-Фусса в упр. 6.33(c).) В 1838-1839 гг. четыре автора рассматривали задачу Эйлера-Сегнера. Первым из них был Ламе [44]. Доказательство Ламе результата Эйлера-Сегнера получило дальнейшее развитие у бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (1814-1894) [10], который написал еще несколько статей на эту тему. Другие два автора — Родригес [56], [57] и Бине [7], [8]. Термин «число Каталана» появился благодаря цитате из Нетто [1.14, §122, §124]2> , который приписывал задачи о бинарных расстановках скобок и триангуляциях многоугольника Каталану. Хорошее обсуждение истории вопроса имеется в статье [9]. Обширная библиография (вплоть до 1976 г.) чисел Каталана приведена в книге [30]. Диссертация [42] описывает 31 комбинаторную структуру, перечисляемую числами Каталана, и 158 биекций между ними. Очень легкое для чтения популярное изложение чисел Каталана содержится в статье [27], а недавний обзор, рассчитанный на более математически подготовленную аудиторию, приведен в работе [38]. Имеется более ранний обзор [2]. Дополнительные сведения о числах Каталана см. в упр. 6.19-6.36. Некоторые интересные резуль- 1^См. замечательную раннюю ссылку на частный случай задачи о расстановке скобок в приведенном ниже обсуждении второй задачи Шредера. 2) Netto Е. Lehrbuch der Kombinatorik, Teubner, Leipzig, 1900. — Прим. ne- рев.
Замечания 273 таты последних исследований по триангуляциям многоугольников изложены в работах [1], [20], [46], [69]. Малоизвестным историческим аспектом чисел Каталана является тот факт, что они были независимо открыты в Китае в работах Мин Ан-ту (16927-1763?). Этот монгольский математик, живший в Китае, получил несколько рекуррентных соотношений для чисел Каталана в 1730-е годы, хотя его работа была опубликована только в 1839 г. Однако Мин и его последователи не получили комбинаторных интерпретаций чисел Каталана. Дальнейшую информацию можно найти в работе [50]. Недавно были предприняты попытки ввести числа Каталана в программу обучения студентов и даже учеников старших классов средних школ; см., например, статьи [15], [41], [39], [73]гК Связь между расстановками скобок и плоскими деревьями (предложение 6.2.1(1) и (ii)) была известна Кэли [11]. Биекция с рассечениями многоугольника (предложение 6.2.1(vi)) приведена в работе [5.22] (и развита далее Эрдейи и Этерингтоном [5.20]). Баллотировочные последовательности впервые были рассмотрены Бертраном [6] в 1887 г. Он привел набросок доказательства по индукции теоремы о баллотировках, которая включает в себя следствие 6.2.3(ii). Знаменитое доказательство, основанное на «принципе отражения», было вскоре дано Андре. См. дальнейшие подробности в упр. 6.20. Дополнительная информация относительно задач о баллотировках имеется в гл. 7 (см. предложение 7.10.3(c) и следствие 7.21.6). Формула (6.18) для числа плоских деревьев с (к — 1)п + 1 концевыми вершинами, каждая внутренняя вершина которых имеет степень /с, является частным случаем теоремы 5.3.10. Ссылки см. в разделе «Замечания» к гл. 5. Решение уравнения у5+у = х (эквивалентного уравнению (6.19) в случае к = 5) в степенных рядах было получено Эйзенштейном [22] в работе по уравнениям пятой степени. Интересное историческое обсуждение имеется в статье [51]. Производящие функции из примера 6.2.7, а также некоторые близкие к ним производящие функции были рассмотрены Пойа в работе [53]. Пойа упоминает о том, что Гурвиц поставил вопрос о доказательстве алгебраичности ряда £}п (^)хп при /? Е Q. «Четыре комбинаторные задачи» (vier combinatorische Probleme) Шредера появились в [5.60]. Было проведено много дополнительных исследований, связанных с задачами Шредера. Первая задача (эквивалентная триангуляциям многоугольника) уже обсуждалась. Вторая задача (эквивалентная произвольным рассечениям многоугольника) обсуж- *) Дальнейшие подробности об истории чисел Каталана имеются в работах Larcombe P. J., Wilson P. D. С. Mathematics Today 34 (1998), 114-117; Larcombe P. J. Mathematics Today 35 (1998), 25, 89; Larcombe P. J. Math. Spectrum 32 (1999/2000), 5-7. — Прим. автора при переводе.
274 Гл. 6. Алгебраические производящие функции дается далее в упр. 6.39. Термин «число Шредера», по-видимому, впервые был использован Роджерсом [58]. Третья и четвертая задачи обсуждаются в разделе «Замечания» к гл. 5. В 1994 г. Д. Хау (D. How), будучи студентом университета Джорджа Вашингтона, сделал замечательное историческое открытие, связанное со второй задачей Шредера. Он заметил, что таинственное число 103049 из упр. 1.45^ есть не что иное как десятое число Шредера 52(10)! Иными словами, Гиппарх имел представление о числах Шредера во втором веке до нашей эры! (Не следует ли теперь называть их числами Гиппарха?) Это открытие дает ответ на, возможно, самый старый открытый вопрос, связанный с комбинаторикой, и показывает, что древние греки (или по крайней мере Гиппарх) были гораздо более искушены в комбинаторике, чем считалось ранее. Число 310952 из упр. 1.45 остается загадкой, хотя возможная интерпретация близкого числа 310954 была предложена Хабзигером, Казаря- ном и Ландо [32]. Дальнейшая информация, связанная с открытием Хау, имеется в работе [71]. Основной результат разд. 6.3 о том, что диагональ рациональной функции от двух переменных есть алгебраический ряд (теорема 6.3.3), принадлежит Фюрстенбергу [25]. Его доказательство основано на контурном интегрировании, как и доказательство, набросок которого приведен перед примером 6.3.5. (Дальнейшие аспекты статьи Фюрстенберга рассмотрены в упр. 6.11. Строгое обсуждение метода контурного интегрирования для вычисления диагоналей степенных рядов от двух переменных содержится в статье [36].) Наше первое доказательство теоремы 6.3.3 следует Гесселю [29, теорема 6.1]. Доказательство, использующее некоммутативные формальные ряды, аналогичное приведенному в конце разд. 6.7, было дано Флиссом [24, предложение 5]. Дальнейшая информация о числах Деланноя из примера 6.3.8 имеется в книге [2.3, упр. 1.21]2). D-конечные степенные ряды и Р-рекурсивные функции впервые систематически изучались в работе [70], хотя многое было известно о них и до появления этой работы. D-конечные ряды также называются голономными и активно используются во многих недавних работах по алгоритмам для обнаружения и проверки комбинаторных тождеств [52], [75]. Намек на основополагающую связь между D-конечными рядами и Р-рекурсивными функциями (предложение 6.4.1) имеется в работе [40, с. 299]. Самая ранняя известная 1)Речь идет о следующей цитате из «Нравоучений» Плутарха: «Хризипп говорит, что число сложных предложений, которые можно составить всего из десяти простых предложений, превосходит миллион (Гиппарх, однако, опроверг это, показав, что утвердительных сложных предложений 103049, а отрицательных — 310 952).» — Прим. перев. 2)Comtet L. Advanced Combinatorics, Reidel, Boston, 1974. — Прим. перев.
Замечания 275 нам явная формулировка того факта, что алгебраические функции D-конечны (теорема 6.4.6), принадлежит Конте [19]. Распространение теории D-конечных рядов на ряды от нескольких переменных обсуждается в работах [33], [34], [48], [49], а также в цитируемой в них литературе. Дополнительные ссылки на работы по D-конечности имеются в упр. 6.53-6.62. Иерархия «рациональные функции ==> алгебраические функции ==> D-конечные функции» может быть расширена, хотя эти расширения пока не оказались столь полезными для комбинаторики, как исходные три класса. Два класса, которые могут оправдать дальнейшие исследования, — это дифференциально конечные алгебраические ряды и конструируемые дифференциально конечные алгебраические ряды. Дальнейшие сведения имеются в работах [3], [4], [59], [60]. Теория рациональных формальных некоммутативных степенных рядов началась с основополагающих работ Шютценберже [64], [65], [66]. В частности, основная теорема о рациональных формальных рядах (теорема 6.5.7) появилась в статье [66]. Аналогичная теория алгебраических формальных степенных рядов принадлежит Хомскому и Шютценберже [13]. Исчерпывающее изложение теории рациональных рядов имеется в книге [5]. Приведем несколько хороших ссылок по некоммутативным рядам вообще и их связям с языками и автоматами: [16], [43], [55], [61], [62], [63], [68]. Последние семь работ содержат много дополнительных исторических замечаний и ссылок. Дальнейшую информацию о некоммутативных рядах, связанную с алгоритмической разрешимостью, можно найти, например, в книгах [43, §8, §16], [61, гл. VIII], [63, гл. 11.12, IV.5]. Интересный обзор связей между алгебраическими рядами и комбинаторикой содержится в работе [72]. Язык Дика из примера 6.6.6 играет фундаментальную роль в теореме Хомского и Шютценберже о структуре произвольного алгебраического ряда. См. изложение этой теоремы в книге [63, теорема IV.4.5]. Пример 6.6.8 принадлежит Хомскому и Шютценберже [13], а также обсуждается в [35, предложение 3.2]. Доказательство леммы 6.6.9 имеется в книге [45, гл. X, предложение 8]. Результат о том, что произведение Адамара рационального и алгебраического рядов есть алгебраический ряд (предложение 6.6.12), принадлежит Шютценберже [65]. Дальнейшая информация о «свойствах замкнутости» формальных рядов содержится в упр. 6.71. Наш основной результат о некоммутативных диагоналях (теорема 6.7.1) является частным случаем теоремы Жакоба [31, теорема 4]. Развивая теорию из разд. 6.7, мы близко следовали Хай- ману [35]. Дальнейшая информация о примере 6.7.3 имеется в упр. 6.74.
276 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Литература 1. Aldous D. Triangulating the circle at random, Amer. Math. Monthly 101 (1994), 223-233. 2. Alter R. Some remarks and results on Catalan numbers, In: Proc. Second Louisiana Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (1971) (R. C. Mullin et al., eds.), Congressum Numeratium III, Utilitas Mathematica Publishing Co., Winnipeg, 1971, pp. 109-132. 3. Bergeron F., Reutenauer C. Combinatorial resolution of systems of differential equations. III. A special class of differentially algebraic series, Europ. J. Combinatorics 11 (1990), 501-512. 4. Bergeron F., Sattler U. Constructible differentially finite algebraic series in several variables, Theoret. Comput. Sci. 144 (1995), 59-65. 5. Berstel J., Reutenauer C. Rational Series and Their Languages, Springer- Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1988. 6. Bertrand J. Calcul des probabilites. Solution d'un probleme, С R. Acad. Sci. Paris 105 (1887), 369. 7. Binet J. P. M. Sur un probleme traite autrefois par Euler et par Segner, ayant pour objet la determination du nombre des manieres dont un polygone plan et rectiligne peut etre partage en triangles par ses diagonales, In: Extraits des Proces- Verbaux des Sciences de la Societe Philomatique de Paris, 1838, pp. 127- 129. 8. Binet J. P. M. Reflexions sur le probleme de determiner le nombre de manieres dont une figure rectiligne peut etre partagee en triangles au moyen de ses diagonales, J. Math. Pures Appl. 4 (1839), 79-91. 9. Brown W. G. Historical note on a recurrent combinatorial problem, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 973-977. 10. Catalan E. C. Note sur une equation aux differences finies, J. Math. Pures Appl. (1) 3 1838, 508-515; 4 (1839), 95-99. 11. Cayley A. On the analytical form called trees, Part II, Philos. Mag. (4) 18 (1859), 374-378. 12. Chevalley C. Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1951. [Имеется перевод: Шевалле К. Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной. — М.: Физ- матгиз, 1959.] 13. Chomsky N., Schiitzenberger М. P. The algebraic theory of context-free languages, In: Computer Programming and Formal Systems (P. Braffort and D. Hirschberg, eds.), North-Holland, Amsterdam, 1963, pp. 118-161. 14. Chrystal G. Textbook of Algebra, Part 2, Dover, New York, 1961. 15. Cofman J. Catalan numbers for the classroom?, Elemente der Mathematik 52 (1997), 108-117. 16. Cohn P. M. Algebra and language theory, Bull. London Math. Soc. 7 (1975), 1-29. 17. Cohn P. M. Puiseux's theorem revisited, J. Pure Appl. Algebra 31 (1984), 1-4. 18. Cohn P. M. Correction to "Puiseux's theorem revisited," J. Pure Appl. Algebra 52 (1988), 197-198. 19. Comtet L. Calcul pratique des coefficients de Taylor d'une fonction algebrique, Enseignement Math. 10 (1964), 267-270. 20. Conway J. H., Coxeter H. S. M. Triangulated polygons and frieze patterns, Math. Gaz. 57 (1973), 87-94, 175-183.
Литература 277 21. Eichler М. Introduction to the Theory of Algebraic Numbers and Functions, Academic Press, New York-London, 1966. 22. Eisenstein G. Allgemeine Auflosung der Gleichungen von den ersten vier Graden, J. Reine Angew. Math. 27 (1844), 81-83; reprinted in Eisenstein G. Mathematische Werke, vol. 1, Chelsea, New York, 1975, pp. 7-9. 23. Euler L. Summarium, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropoli- tanae 7 (1758/59), 13-15; reprinted in Opera Omnia (1) 26 (1953), xvi-xviii. 24. Fliess M. Sur divers produits de series formelles, Bull. Soc. Math. France 102 (1974), 181-191. 25. Furstenberg H. Algebraic functions over finite fields, J. Algebra 7 (1967), 271- 277. 26. von Fuss N. Solutio quaestionis, quot modis polygonum n laterum in polygone m laterum per diagonales resolvi quest, Novi Acta Petropolitanae 9 (1795). 27. Gardner M. Catalan numbers, mathematical games, Scientific American 234 (June 1976), pp. 120-125, and bibliography on p. 132. Reprinted (with an Addendum) in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, W. H. Freeman, New York, 1988, ch. 20. [Имеется перевод последней книги: Гарднер М. Путешествие во времени. — М.: Мир, 1990.] 28. Gelfand I. М., Kapranov М. М., Zelevinsky А. V. Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants, Birkhauser Boston, Cambridge, Massachusetts, 1994. 29. Gessel I. M. A factorization for formal Laurent series and lattice path enumeration, J. Combinatorial Theory (A) 28 (1980), 321-337. 30. Gould H. W. Bell & Catalan Numbers, revised ed., Combinatorial Research Institute, Morgantown, West Virginia, 1977. 31. Jacob G. Sur un theoreme de Shamir, Information and Control 27 (1975), 218-261. 32. Habsieger L., Kazarian M., Lando S. On the second number of Plutarch, Amer. Math. Monthly 105 (1998), 446. 33. Haible B. D-finite Potenzreihen in mehreren Variablen, Diplomarbeit, Univer- sitat Karlsruhe, June, 1989. 34. Haible В., Stoll M. D-finite power series and the diagonal theorem, preprint dated 13 October 1993. 35. Haiman M. Non-commutative rational power series and algebraic generating functions, Europ. J. Combinatorics 14 (1993), 335-339. 36. Hautus M. L. J., Klarner D. A. The diagonal of a double power series, Duke Math. J. 38 (1971), 229-235. 37. Hilliker D. L. An algorithm for computing the values of the ramification index in the Puiseux series expansion of an algebraic function, Pacific J. Math. 118 (1985), 427-435. 38. Hilton P. J., Pedersen J. Catalan numbers, their generalization, and their uses, Math. Intelligencer 13 (Spring 1991), 64-75. 39. Hilton P. J., Pedersen J. Catalan-Zahlen und Wege in einem ganzzahligen Gitter, Elemente der Math. 48 (1993), 45-60. 40. Jungen R. Sur la series de Taylor n'ayant que des singularites algebrico- logarithmiques sur leur cercle de convergence, Comment. Math. Helv. 3 (1931), 266-306.
278 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 41. Кокег J., Kuenzi N. J., Oktac. A., Leibowitz R., Carmony L. An investigation of the sequence of Catalan numbers with activities for prospective teachers, School Science and Mathematics 98 (1998), 4-11. 42. Kuchinski M. Catalan structures and correspondences, M. Sc. thesis, Department of Mathematics, West Virginia University, 1977. 43. Kuich W., Salomaa A. Semirings, Automata, Languages, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1986. 44. Lame G. Extrait d'une lettre de M. Lame a M. Liouville sur cette question: Un polygone convexe etant donne, de combien de manieres peut-on le partager en triangles au moyen de diagonales?, J. Math. Pures Appl. (1) 3 (1838), 505-507. 45. Lang S. Algebra, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1965. [Имеется перевод: Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.] 46. Lee С. W. The associahedron and triangulations of the n-gon, Europ. J. Combinatorics 10 (1989), 551-560. 47. Lefschetz S. Algebraic Geometry, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1953. 48. Lipshitz L. D-finite power series, J. Algebra 122 (1989), 353-373. 49. Lipshitz L., van der Poorten A. J. Rational functions, diagonals, automata, and arithmetic, In: Number Theory (R. A. Mollin, ed.), Gruyter, Berlin-New York, 1990, pp. 339-358. 50. Luo Jian-Jin, Catalan numbers in the history of mathematics in China, In: Combinatorics and Graph Theory, Proc. Spring School and International Conference on Combinatorics, Hefei, 6-27 April 1992 (H. P. Yap, Т. H. Ku, E. K. Lloyd, and Z. M. Wang, eds.), World Scientific, 1992, pp. 68-70. 51. Patterson S. J. Eisenstein and the quintic equation, Historia Mathematica 17 (1990), 132-140. 52. Petkovsek M., Wilf H., Zeilberger D. A = В, А К Peters Ltd., Wellesley, 1996. 53. P6lya G. Sur les series entieres dont la somme est une fonction algebrique, Ens. Math. 22 (1921-1922), 38-47; Collected Papers, vol. I, MIT Press, Cambridge, 1974, pp. 165-174. 54. Puiseux V. Recherches sur les fonctions algebriques, J. Math. Pures Appl. (1) 15 (1850), 365-480. 55. Reutenauer C. A survey of noncommutative rational series, In: Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (New Brunswick, NJ, 1994), DIMACS Series Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. 24, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1996, pp. 159-169. 56. Rodrigues O. Sur le nombre de manieres de decomposer un polygone en triangles au moyen de diagonales, J. Math. Pures Appl. 3 (1838), 547-548. 57. Rodriques O. Sur le nombre de manieres d'effectuer un produit de n facteurs, J. Math. Pures Appl. 3 (1838), 549. 58. Rogers D. G. A Schroder triangle: three combinatorial problems, In: Combinatorial Mathematics V: Proceedings of the Fifth Australian Conference, Lecture Notes in Math., vol. 622, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1977, pp. 175-196. 59. Rubel L. A. Some research problems about algebraic differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 280 (1983), 43-52. 60. Rubel L. A. Some research problems about algebraic differential equations. II, Illinois J. Math. 36 (1992), 659-680. 61. Salomaa A. Formal Languages, Academic Press, New York-London, 1973.
Упражнения 279 62. Salomaa A. Computation and Automata, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 25 (G.-C. Rota, ed.), Cambridge University Press, Cambridge, 1985. 63. Salomaa A., Soittola M. Automata-Theoretic Aspects of Formal Power Series, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1978. 64. Schutzenberger M. P. Un probleme de la theorie des automates, Seminaire Dubriel-Pisot, 13e annee (1959-1960), no. 3, Inst. H. Poincare, Paris (1960). 65. Schutzenberger M. P. On a theorem of R. Jungen, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), 885-890. 66. Schutzenberger M. P. On the definition of a family of automata, Information and Control 4 (1961), 245-270. 67. de Segner A. Enumeratio modorum, quibus figurae planae rectilineae per diagonales dividuntur in triangula, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7 (1758/59), 203-209. 68. Shamir E. Algebraic, rational, and context-free power series in noncommuting variables, In: Algebraic Theory of Machines, Languages, and Semigroups (M. Arbib, ed.), Academic Press, New York, 1968, pp. 329-341. 69. Sleator D. D., Tarjan R. E., Thurston W. P. Rotation distance, triangulations and hyperbolic geometry, J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 647-681. 70. Stanley R. DifFerentiably finite power series, Europ. J. Combinatorics 1 (1980), 175-188. 71. Stanley R. Hipparchus, Plutarch, Schroder and Hough, Amer. Math. Monthly 104 (1997), 344-350. 72. Viennot G. Enumerative combinatorics and algebraic languages, In: Fundamentals of Computation Theory (Cottbus, 1985), Lecture Notes in Computer Science, vol. 199, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1985, pp. 450-464. 73. Vun L, Belcher P. Catalan numbers, Math. Spectrum 30 (1997/98), 3-5. 74. Walker R. J. Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1950. Reprinted by Dover, New York, 1962. [Имеется перевод: Уокер P. Алгебраические кривые. — М.: ИЛ, 1952.] 75. Zeilberger D. A holonomic systems approach to special function identities, J. Comput. Appl. Math. 32 (1990), 321-368. Упражнения 6.1. [2+] Дайте формальное доказательство (не использующее комплексного анализа и т. п.) того, что ряд ех не алгебраический, т.е. n^0 6.2. а. [3-] Предположим, что ряд F(:r)eQ[[:r]] алгебраический1). Покажите, что существует целое число т ^ 1, такое, что F(mx) eZ[[x]]. х) Необходимо предположить, что F(0) = 0. В противном случае тривиальным контрпримером является, например, ряд F(x) = 1/2. — Прим. автора при переводе.
280 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Ь. [1] Выведите отсюда, что ряд ех не алгебраический. 6.3. [3+] Покажите, что ряды не алгебраические (над полем характеристики нуль). Что можно сказать о ряде ^2п>0 (2™) хп? 6.4. [3-] Покажите, что теорема Пюизё (теорема 6.1.5) неверна для поля характеристики р > 0. 6.5. [2] Пусть char К = 0 и Р(у) = Fd(x)yd + • • • + F0(x) е К[[х]][у], где Fd(0) ф 0. Предположим, что многочлен Р(у) неприводим, и пусть ci,..., сг — числа из следствия 6.1.7. Покажите, что disc Р(у) делится на xd~r. 6.6. [2+] Покажите, что ряд ХуП>о f(ji)xn £ ^f[M] является алгебраическим степени d тогда и только тогда, когда ряд ][]п>о(Дп/(0)):гп алгебраический степени d. (См. определение разностного оператора Ап/(0) в разд. 1.41).) 6.7. [2-] Пусть ряд и G If [[ж]] алгебраический, причем и(0) = 0 и и'(0) ф 0. Верно ли, что обратный к нему относительно композиции ряд w'-1) алгебраический? 6.8. а. [3-] Проверьте формулу (6.7), т.е. покажите, что dtec(ayd+by+c) = (-l)®ad-2(ddacd-^(-l)d-\d-l)d-lbd). b. [3-] Найдите disc(^ + 0^ + • • • + х + 1). 6.9. а. [2+] Пусть F(x,y) = £m,n^0/К ™)*ШгЛ GM = Em.n^o^K^A" € if [[ж, у]], где К — произвольное поле. Произведение Адамара этих рядов определяется аналогично случаю одной переменной, а именно F*G= J2 f(rn,n)g(m,n)xmyn. Покажите, что если ряды F и G рациональные, то ряд F * G алгебраический (над К(х,у)). b. [3-] При k ^ 2 определим степенной ряд Fk формулой Fk(x\,... ,Xk) ni,...,nfc ^0 1^См. примечание переводчика в разд. 5.3. — Прим. перев.
Упражнения 281 Покажите, что это алгебраический ряд (над полем К(х\, ...,rrfc)). с. [2] Вычислите явно ряды F2(x,y) = £m,n^0 (m+n)2*mVn и F3(x,y,z). 6.10. [2] Пусть P(q) G K[q, q~x] — многочлен Лорана над полем К. Фиксируем целое число т и положим f(n) = [qm]P(q)n для всех п ^ 0. Покажите, что ряд у = ^2n>of(n)xn алгебраический. 6.11. а. [3] Пусть К — поле характеристики р > 0. Пусть F, G G -Kaig[[si»• • •»xk]]i т.е. F и G — алгебраические степенные ряды над полем К(х\,..., Xk)- Покажите, что произведение Адамара F * G (определенное при к = 2 в упр. 6.9(a) и очевидным образом распространенное на случай произвольного к) также алгебраический ряд. Ь. [2+] Выведите отсюда, что если F G ЙГа^[[яь • • • ,ж&]] (где char К = р > 0), то ряд diagF алгебраический. 6.12. [2+] Рассмотрим степенные ряды F(x) = F(xi,...,xm) G K[[xi,...,xm]] и G{y) = G(yi,...,yn) G K[[yu...,yn]] и обозначим через Fk (соответственно Gk) часть ряда F (соответственно G), являющуюся однородным многочленом степени к. Таким образом, F = J2Fk и G = ]TGfc. Определим Ф-произведение («heartamard product») рядов F и G формулой (FVG)(x,y) = J2Fk(x)Gk(y) е К[[х,у}}. Покажите, что если F и G — рациональные ряды, то ряд FVG также рациональный. Более того, если ряд F рациональный, а ряд G алгебраический, то ряд FVG алгебраический. 6.13. а. [3-] Пусть k е F и 7] = £п>0 (^)жп. Из примера 6.2.7 следует, что ряд 7] — корень многочлена Р(у) = ккхук - (у - 1)((* - I)*, + I)*"1. Найдите (в виде дробных рядов) остальные к — 1 корней многочлена Р(у): Выведите отсюда, что Р(у) неприводим (как многочлен над С(х)). b. [3-] Найдите дискриминант многочлена Р(у). 6.14. [3-] Пусть функция /: Z х Z —► Q определяется при помощи соотношения /(г - 1, j) - 2/(г, j) + /(г + l,j-l) = 0, (6.53) выполненного для всех (г, j) G N х N — {(0,0)}, и начальных условий /(0,0) = 1 и /(г, j) = 0 при г < 0 или j < 0. Тогда
282 Гл. 6. Алгебраические производящие функции /(г,0) = 2"', /(0,1) = 1/4, /(1,1) = 1/4 и т. д. Найдите производящую функцию F(x,y) = Y,ij>of{h3)xly3' 6.15. [2+] Пусть /,^,/iG ^[МЬ причем /г(0) = 0. Найдите многочлен Р(/, #, /г, х), такой, что 6 1 - sf(st) - tg(st) - h(st) yfp' где диагональ берется по переменной х. 6.16. [5-] Пусть /(п) — число путей из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами вида (1,0), (0,1)и(1,1),и пусть д(п) — число путей из точки (0,0) в точку (п, п), шаги которых — произвольные элементы множества N2 - {(0,0)}. Из (6.27) и (6.30) непосредственно следует, что д(п) = 2n_1/(n), п > 0. Имеется ли комбинаторное доказательство этого факта? 6.17. а. [2+] Пусть S — подмножество множества N х N — {(0,0)}, такое, что (i) всякий элемент из S имеет вид (п,п), (п -Ь 1,п) или (п,п + 1) и (ii) (п, п + 1) Е S тогда и только тогда, когда (n + l,n) G S. Пусть д(п) — число путей из точки (0,0) в точку (п,п), шаги которых принадлежат множеству 5. Пусть h(n) — число таких путей, которые никогда не поднимаются выше прямой у = х. (Положим #(0) = h(0) = 1.) Пусть G(x) = ^2п>0д(п)хп, н(х) = Еп^оМ™)^ и к(х) = T,(n,n)esxn- Покажите, что к } 1 - К(х) + G(rr)-1' b. [2-] Вычислите явно функцию Н(х) для S = {(0,1), (1,0), (1,1)} и выведите из полученной формулы, что в этом случае h(n) есть число Шредера гп, передоказав таким образом результат упр. 6.39Q). c. [3-] Дайте комбинаторное доказательство следующего факта. Если S = {(0,1), (1,0), (1,1)} и n ^ 2, то h(n) равно удвоенному числу способов рассечь выпуклый (п + 2)-угольник произвольным числом диагоналей, внутренности которых не пересекаются. 6.18. [3] Пусть S — подмножество множества N х N — {(0,0)}, такое, что Yl(mn)esxTnyn ~ Рациональный ряд, например, S конечно или коконечно1). Пусть /(п) — число решеточных путей из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами из множества 5, не поднимающихся выше прямой у = х. Покажите, что ряд Еп>о 1{п)хП алгебраический. 1^То есть его дополнение конечно. — Прим. перев.
Упражнения 283 6.19. [1]-[3+] Покажите, что числа Каталана Сп = ^fi(2™) перечисляют элементы 66 множеств Si, (а) ^ г ^ (nnn), описанных ниже. Мы приводим примеры множеств Si при п = 3 и надеемся, что эти иллюстрации прояснят все неопределяемые термины. (Термины, используемые в пп. (vv)-(yy), определены в гл. 7.) Лучше всего, разумеется, было бы показать, что мощности множеств Si и Sj равны, предъявив простую элегантную биекцию <\>ij: Si —► Sj (всего 4290 биекций). В некоторых случаях множества Si и Sj на самом деле совпадают, но их описания различны. a. Триангуляции выпуклого (п+2)-угольника на п треугольников с помощью п—\ диагоналей, внутренности которых не пересекаются: b. Бинарные расстановки скобок в строке, состоящей из п+1 букв: {хх • х)х х(хх • х) (х • хх)х х(х • хх) XX • XX c. Двоичные деревья с п вершинами: \ < > / ^ d. Плоские двоичные деревья с 2п+1 вершинами (или с п+1 концевыми вершинами): e. Плоские деревья с п + 1 вершинами: |АЛЛА f. Тривалентные плоские деревья с корнем степени один и с 2п + 2 вершинами:
284 Гл. 6. Алгебраические производящие функции g. Плоские деревья с п + 2 вершинами, такие, что крайняя правая цепь каждого главного поддерева имеет четную длину: ЛК /\ /\ А h. Решеточные пути из точки (0,0) в точку (п,п) с шагами вида (0,1) или (1,0), не поднимающиеся выше прямой у = х: Г Л" J i. Пути Дика из точки (0,0) в точку (2п, 0), т. е. решеточные пути с шагами вида (1,1) и (1,-1), не опускающиеся ниже оси х: /W\ j. Пути Дика (определенные в п. (i)) из точки (0,0) в точку (2п+2,0), такие, что любая максимальная последовательность соседних шагов вида (1,-1), заканчивающаяся на оси х, имеет нечетную длину: к. Пути Дика (определенные в п. (i)) из точки (0,0) в точку (2п + 2,0), не имеющие пиков на высоте два:
Упражнения 285 1. (Неупорядоченные) пары решеточных путей, состоящих из п+ 1 шагов, которые начинаются в точке (0,0), имеют шаги вида (1,0) или (0,1), заканчиваются в одной и той же точке и пересекаются только в начальной и конечной точке: DPDda m. (Неупорядоченные) пары решеточных путей, состоящих из п — 1 шагов, которые начинаются в точке (0,0), имеют шаги вида (1,0) или (0,1), заканчиваются в одной и той же точке, причем один путь никогда не поднимается выше другого: I Г J _ □ п. п непересекающихся хорд, соединяющих 2п точек на окружности: ^ О \\ч О -7/ о. Способы соединить 2п точек на плоскости, лежащих на одной горизонтальной прямой, при помощи п непересекающихся дуг, каждая из которых соединяет ровно две точки и находится выше этих двух точек: г\ гъ гъ г\ fT1^ Гг^ г\ Гс\ с\\ (Гг^\\ р. Способы нарисовать на плоскости п + 1 точек, лежащих на горизонтальной прямой L, и п дуг, соединяющих эти точки, так, чтобы: (а) дуги не опускались ниже прямой L, (/3) полученный таким образом граф был деревом, (7) никакие две дуги не пересекались по внутренним точкам
286 Гл. 6. Алгебраические производящие функции (т. е. дуги были непересекающимися) и (S) из каждой вершины все дуги выходили в одном и том же направлении (налево или направо): {^Л /^ £Г^\ Г^\ Г7^ q. Способы нарисовать на плоскости п + 1 точек, лежащих на горизонтальной прямой L, и п дуг, соединяющих эти точки, так, чтобы: (а) дуги не опускались ниже прямой L, (/?) полученный таким образом граф был деревом, (7) никакая дуга (включающая свои концевые точки) не лежала строго ниже другой дуги и (6) из каждой вершины все дуги выходили в одном и том же направлении (налево или направо): {~лЛ ^гтЧ £Г^\ ГТ^Л г. Последовательности из п единиц и п минус единиц, все частичные суммы которых неотрицательны (на рисунке ниже минус единица обозначена просто знаком -): 111 11-1— 11—1- 1-11— 1—1—1— s. Последовательности 1 ^ а\ ^ • • • ^ ап целых чисел, такие, что di ^ г: 111 112 113 122 123 t. Последовательности а\ < • • • < ап-\ целых чисел, удовлетворяющие условию 1 ^ ai ^ 2г: 12 13 14 23 24 и. Последовательности ai,...,an целых чисел, такие, что а\ = 0 и 0 ^ di+i ^ ai + 1: 000 001 010 011 012 v. Последовательности ai,..., an-i целых чисел, такие, что ai ^ 1 и все частичные суммы неотрицательны: 0,0 0,1 1,-1 1,0 1,1 w. Последовательности ai,...,an целых чисел, такие, что ai ^ —1, все частичные суммы неотрицательны и а\ + ..- + а„ =0: 0,0,0 0,1,-1 1,0,-1 1,-1,0 2,-1,-1
Упражнения 287 х. Последовательности ai,...,an целых чисел, такие, что 0 ^ di ^ п — i, удовлетворяющие следующему условию: если г < j, di > 0, a,j > 0 и af+i = ai+2 = • • • = a^-i = О, то j — г > а\ — dj: 000 010 100 200 ПО у. Последовательности а\,..., ап целых чисел, такие, что г ^ di ^ п, удовлетворяющие следующему условию: если i ^ 3 ^ аг» то а j ^ а^: 123 133 223 323 333 z. Последовательности ai,...,an целых чисел, такие, что 1 ^ a* ^ i, удовлетворяющие следующему условию: если at = j, то аг_г < j - г при 1 < г < j - 1: 111 112 113 121 123 аа. Классы эквивалентности В слов в алфавите [п — 1], такие, что любые три последовательные буквы любого слова из класса В различны, относительно следующего отношения эквивалентности: uijv ~ ujiv для любых слов w, v и любых г, j Е [п — 1], удовлетворяющих условию |г — j\ ^ 2: {0} {1} {2} {12} {21} (При п = 4 список представителей различных классов выглядит следующим образом: 0,1,2, 3, 12, 21, 13, 23, 32, 123, 132, 213, 321, 2132.) bb. Разбиения А = (Ai,..., An_i), где Ai ^ п— 1 (т. е. диаграмма разбиения А лежит в квадрате размера (п — 1)х(п — 1)), такие, что если А' = (А'х, А^,...) обозначает разбиение, сопряженное с А, то \\^ \i при А{ ^ г: (0,0) (1,0) (1,1) (2,1) (2,2) сс. Перестановки а\ • • • а^п мультимножества {I2,..., п2}, такие, что: (i) первые вхождения элементов 1,..., п упорядочены по возрастанию и (ii) не существует подпоследовательности вида a/3a/3: 112233 112332 122331 123321 122133 dd. Перестановки а\а2- — а>2п множества [2п], такие, что: (i) элементы 1,3,..., 2п — 1 упорядочены по возрастанию, (ii) элементы 2,4,..., 2п упорядочены по возрастанию и (ш) элемент 2г — 1 предшествует элементу 2г, 1 ^ г ^ п: 123456 123546 132456 132546 135246
288 Гл. 6. Алгебраические производящие функции ее. Перестановки а\а2 • • • ап множества [п], такие, что длина максимальной убывающей подпоследовательности не превосходит двух (т. е. такие, что не существует тройки индексов г < j < /с, удовлетворяющей условию а* > aj > а&; такие перестановки называются 321 -избегающими): 123 213 132 312 231 ff. Перестановки а\---ап множества [п], такие, что не существует тройки индексов г < j < к, удовлетворяющей условию aj < ak < сц (такие перестановки называются 312-избегающими): 123 132 213 231 321 gg. Перестановки w множества [2п], состоящие из п циклов длины два, такие, что произведение (1,2,..., 2п) • w имеет п + 1 циклов: (1,2,3,4,5, б)(1,2)(3,4)(5,6) = (1)(2,4,6)(3)(5) (1,2,3,4,5,6)(1,2)(3,6)(4,5) = (1)(2,6)(3,5)(4) (1,2,3,4,5,6)(1,4)(2,3)(5,6) = (1,3)(2)(4,6)(5) (1,2,3,4,5, б)(1,6)(2,3)(4,5) = (1,3,5)(2)(4)(6) (1,2,3,4,5,6)(1,6)(2,5)(3,4) - (1,5)(2,4)(3)(6) hh. Пары (w, v) перестановок множества [п], такие, что суммарное число циклов перестановок и и v равно п + 1 и uv = (1,... ,п): (1)(2)(3). (1,2,3) (1,2,3) -(1)(2)(3) (1,2)(3)-(1,3)(2) (1,3)(2)-(1)(2,3) (1)(2,3).(1,2)(3) ii. Перестановки а\а2'"Сьп множества [п], которые можно упорядочить по возрастанию при помощи единственного стека. Эти перестановки определяются рекурсивно следующим образом. Пусть 0—пустая последовательность. Положим 5(0) = 0. Если w = unv — последовательность различных целых чисел, наибольший член которой равен п, то положим S(w) = S(u)S(v)n. Перестановка w называется стек-сортируемой, если S(w) = w:
Упражнения 289 Например, a\CL2' ' 'CLn 4123 1 2 4 3 12 4 3 123 4 1234 123 132 213 312 321 jj. Перестановки aia2--an множества [n], которые можно упорядочить по возрастанию при помощи двух параллельных очередей. Теперь картинка выглядит так: -aia2 - -ап 123 132 213 231 312 kk. Инволюции w множества [2п], не имеющие неподвижных точек и удовлетворяющие следующему условию: если г < j < к < I и w(i) = /с, то w(j) т^ / (иными словами, 3412-избегающие инволюции без неподвижных точек): (12)(34)(5б) (14)(23)(5б) (12)(3б)(45) (1б)(23)(45) (1б)(25)(34) 11. Циклы длины 2п+1 в группе ©2п+ь имеющие множество спуска {п}: 2371456 2571346 3471256 3671245 5671234 mm. Перестановки Бакстера (определенные в упр. 6.55) множества [2п] или [2п + 1], которые являются чередующимися наоборот (см. определение в конце разд. 3.1 б1)) и обратные к которым также являются чередующимися наоборот: 132546 153426 354612 561324 563412 1325476 1327564 1534276 1735462 1756342 1^См. примечание переводчика к упр. 5.8(f)(iv). — Прим. перев.
290 Гл. 6. Алгебраические производящие функции пп. Перестановки w множества [п], такие, что если w имеет £ инверсий, то для всех пар последовательностей (а\,..., ае), (bi,..., be) G [п — 1]^, удовлетворяющих условию где Sj —элементарная транспозиция (j, j + 1), ^-элементные мультимножества {а\,..., ае} и {6i,..., be} равны (например, перестановка w = 321 не учитывается, так как w = S1S2S1 = 525i52, а мультимножества {1,2,1} и {2,1,2} не совпадают): 123 132 213 231 312 оо. Перестановки w множества [п], обладающие следующим свойством. Предположим, что w имеет £ инверсий, и пусть R(w) = {(аь ..., ае) е [п - 1]е : w = sai • • • sae}, где Sj —элементарная транспозиция, как в п. (пп). Тогда ^2 а1---ае = £\, (ai,...,ae)eR(w) Д(123) = {0}, Д(213) = {(1)}, Д(231) = {(1,2)}, Л(312) = {(2,1)}, Я(321) = {(1,2,1), (2,1,2)}. pp. Непересекающиеся разбиения множества [п], т.е. разбиения 7г = {Bi,..., Bk} G Пп, такие, что если а < b < с < d и а, с G Bi и 6, d е Bj, то г = j: 123 12-3 13-2 23-1 1-2-3 qq. Разбиения {В\,... ,Вь} множества [п], такие, что если числа 1,..., п расположить последовательно на окружности, то выпуклые оболочки блоков В\,..., Bk попарно не пересекаются: .'. _ /. Л А гг. Непересекающиеся диаграммы Мурасаки с п вертикальными прямыми: mi пi in m m ss. Непересекающиеся разбиения множества [fe], состоящие из п + 1 блоков, таких, что любые два элемента одного блока отличаются по крайней мере на три: 1-2-3-4 14-2-3-5 15-2-3-4 25-1-3-4 16-25-3-4
Упражнения 291 tt. Непересекающиеся разбиения множества [2п + 1], состоящие из п +1 блоков, таких, что никакой блок не содержит двух последовательных целых чисел: 137-46-2-5 1357-2-4-6 157-24-3-6 17-246-3-5 17-26-35-4 uu. Невложенные разбиения множества [п], т.е. разбиения множества [п], удовлетворяющие следующему условию: если элементы а, е лежат в блоке В, а элементы 6, d лежат в другом блоке В', причем а < b < d < е, то существует элемент с £ В, такой, что b < с < d: 123 12-3 13-2 23-1 1-2-3 (Единственное невложенное разбиение множества [4] есть 14-23.) vv. Диаграммы Юнга, являющиеся подмножествами диаграммы (п — 1, п — 2,..., 1): 0DQ ВЕР ww. Стандартные таблицы Юнга формы (п, п) (или, что эквивалентно, формы (п,п— 1)): или 123 456 123 45 124 356 124 35 125 346 125 34 134 256 134 25 135 246 135 24 хх. Пары (Р, Q) стандартных таблиц Юнга одинаковой формы, каждая из которых состоит из п клеток и имеет не более двух строк: ™(г, г) G2,") G3, з2) G3 J3 уу. Строгие по столбцам плоские разбиения формы (п — 1, п — 2,..., 1), такие, что каждый элемент г-й строки равен п — г или п — г + 1: 33 33 32 32 22 2 12 11 zz. Выпуклые подмножества S ч. у. множества ZxZ, рассматриваемые с точностью до сдвига на диагональный вектор (т, т), такие, что если (г,^) G 5, то 0 < г — j < п: 0 {(1,0)} {(2,0)} {(1,0), (2,0)} {(2,0), (2,1)}
292 Гл. 6. Алгебраические производящие функции ааа. Линейные расширения ч. у. множества 2 х п: 123456 123546 132456 132546 135246 bbb. Порядковые идеалы ч. у. множества Int(n — 1) интервалов цепи п — 1: 0, а, 6, ab, abc а' ^ b Int(2) ссс. Порядковые идеалы ч. у. множества Ап, полученного из ч. у. множества (п — 1) х (п — 1) добавлением отношений Рис. 6.5. Ч.у. множество, имеющее С* = 14 порядковых идеалов. (г, j) < (j,i) при г > j (см. диаграмму Хассе ч.у. множества А* на рис. 6.5): 0 {11} {11,21} {11,21,12} {11,21,12,22} ddd. Неизоморфные n-элементные ч.у. множества, не имеющие индуцированных ч. у. подмножеств, изоморфных 2+2 или 3 + 1: • • • I • \У /\ I
Упражнения 293 еее. Неизоморфные (п+1)-элементные ч. у. множества, являющиеся объединением двух цепей и не являющиеся (нетривиальной) порядковой суммой, для которых минимальный элемент является корнем: il Г @ N N fff. Отношения R на множестве [п], которые являются рефлексивными (iRi) и симметричными (iRj => jRi) и удовлетворяют следующему условию: если l^i<j<k^n и гД/с, то iRj и jRk (в примере ниже мы пишем ij вместо пары (г, j) и опускаем пары вида гг): 0 {12,21} {23,32} {12,21,23,32} {12,21,13,31,23,32} ggg. Способы соединить некоторые вершины выпуклого (п—1)- угольника при помощи непересекающихся отрезков и обвести кружочками некоторое подмножество оставшихся вершин: т • © • © 1 • • 0 0 hhh. Способы расположить монеты на плоскости так, чтобы самый нижний ряд состоял из п монет: ооо &о обЬ 68) Ш. n-наборы (a.i, а2, • • •, ап) целых чисел а; ^ 2, такие, что в последовательности 1а\й2 • • • ап1 каждый элемент ai есть делитель суммы двух его соседей: 14321 13521 13231 12531 12341 jjj. n-элементные мультимножества на Ъ/(n+1)Z, сумма элементов которых равна 0: 000 013 022 112 233 kkk. n-элементные подмножества S множества N х N, такие, что если (г, j) Е 5, то г ^ j и существует решеточный путь из точки (0,0) в точку (г, j) с шагами вида (0,1), (1,0) и (1,1), полностью лежащий внутри S: {(0,0), (1,0), (2,0)} {(0,0), (1,0), (1,1)} {(0,0), (1,0), (2,1)} {(0,0), (1,1), (2,1)} {(0,0), (1,1), (2,2)} 111. Области, на которые конус х\ ^ • • • ^ хп в Rn делится гиперплоскостями Х{ — Xj = 1 при 1 ^ г < j ^ п (на
294 Гл. 6. Алгебраические производящие функции диаграмме ниже изображена картинка при п = 3 в пересечении с гиперплоскостью х\ + я 2 + хз = 0): 11111111111111 1321512313215 251441522514 32333233323 15 2 2 5 14 4 15 2 3 13 2 15 12 11111111 mmm. Последовательности а\, а2, • •., ап+2 положительных целых чисел, для которых существует массив целых чисел (такой массив обязательно имеет п + 1 строк) 1 1 1 ••• 1 1 1 ••• 1 1 ai й2 аз ••• ап+2 ^1 «2 ••* Gn-1 Ъ\ Ъ2 63 ••• Ьп+2 h ••• 6П_2 111 1 (6.54) такой, что любые четыре соседних элемента, образующие г конфигурацию s £, удовлетворяют условию st = ги + 1 Рис. 6.6. Фриз-схема, соответствующая последовательности (1,3,2,1,5,1,2,3). (пример (единственного) такого массива для последовательности (ai,...,ag) = (1,3,2,1,5,1,2,3) приведен на рис. 6.6): 12213 22131 21312 13122 31221
Упражнения 295 nnn. n-наборы (ai,... an) положительных целых чисел, такие, что трехдиагональная матрица «1 1 0 0 0 1 <*2 1 0 0 0 1 аз 0 0 0 .. 0 .. 1 .. 0 .. 0 .. 0 0 0 • an_i 1 0 0 0 1 а„ положительно определена и имеет единичный определитель: 131 122 221 213 312 6.20. a. [2+] Пусть га, п — целые числа и 1 ^ п < га. Покажите при помощи простой биекции, что число решеточных путей из точки (1,0) в точку (га, п) с шагами вида (0,1) и (1,0), которые пересекают прямую у = х по крайней мере в одной точке, равно числу решеточных путей из точки (0,1) в точку (га, п) с шагами вида (0,1) и (1,0). b. [2-] Выведите отсюда, что число решеточных путей из точки (0,0) в точку (га, п) с шагами вида (1,0) и (0,1), которые пересекают прямую у = х только в точке (0,0), Равно ^С:п). c. [1+] Покажите, используя п. (Ь), что число решеточных путей из точки (0,0) в точку (п,п) с шагами вида (1,0) и (0,1), которые не поднимаются выше прямой у = х, равно числу Каталана Сп = ^х(2^)- (Это дает прямое комбинаторное доказательство интерпретации (h) числа Сп из упр. 6.19.) 6.21. а. [2+] Пусть Хп — множество всех ( ™) решеточных путей из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами вида (0,1) и (1,0). Определим число превышения пути Р Е Хп как число таких г, что по крайней мере одна точка (г, г') пути Р лежит выше прямой у = х (т.е. г' > г). Покажите, что число путей в Хп с числом превышения j не зависит от j. b. [1] Выведите отсюда, что число путей Р Е Хп, которые не поднимаются выше прямой у = х, равно числу Каталана Сп = ^j- (2^) (прямое доказательство интерпретации (h) числа Сп из упр. 6.19). Сравните этот результат с примером 5.3.11, который также дает прямую комбинаторную интерпретацию числа Сп, записанного в виде ^W (2^) (а также в виде 2^Ti(2nn+1)).
296 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.22. [2+] Покажите (желательно при помощи биекции), что число решеточных путей из точки (0,0) в точку (2п, 2п) с шагами вида (1,0) и (0,1), которые не проходят через точки (2г — 1,2г — 1), 1 ^ г ^ п, равно числу Каталана Cin- 6.23. [3-] Рассмотрим следующую шахматную позицию: Черные должны сделать 19 последовательных ходов, после чего Белые ставят Черным мат в один ход. Черные не могут подставляться под шах и не могут ставить шах Белым (за исключением, возможно, последнего хода). Черные и Белые кооперируются в достижении мата. (На языке шахматных задач такая задача называется серийным кооперативным матом в 19 ходов.) Сколько различных решений имеет эта задача? 6.24. [?] Объясните значение следующей последовательности: un, dos, tres, quatre, cine, sis, set, vuit, nou, deu,... 6.25. [2]-[5] Покажите, что число Каталана Сп = ^xi(^) имеет следующие алгебраические интерпретации: a. Число двусторонних идеалов в алгебре всех верхнетреугольных матриц размера (п — 1)х(п—1) над полем. b. Размерность пространства инвариантов группы SL(2,C), действующей на 2п-й тензорной степени T2n(V) своего «определяющего» двумерного представления V. c. Размерность неприводимого представления симплектиче- ской группы Sp(2(n-1), С) (или алгебры Ли 5р(2(п-1), С)) со старшим весом An_i, где An_i есть (п — 1)-й фундаментальный вес.
Упражнения 297 d. Размерность пространства примитивных ГМ-гомологий1) (скажем, с вещественными коэффициентами) торического многообразия, ассоциированного с (рационально вложенным) n-мерным кубом. e. Число классов эквивалентности общего положения относительно PGL(2, С) рациональных отображений степени п с фиксированным множеством ветвления. f. Число классов трансляционной сопряженности относительно многочленов степени п + 1 от одной комплексной переменной со старшим коэффициентом 1, все критические точки которых фиксированы. g. Размерность алгебры (над полем К) с образующими €i,..., €n_i и соотношениями <Ч =€i peiCjCi = ei при \i-j\ = 1, eiCj = CjCi при \i- j\ ^ 2, где (3 — ненулевой элемент поля К. h. Число ф-знаковых типов, параметризованных множеством положительных корней А^_г системы корней Ап-\. i. Пусть симметрическая группа &п действует на кольце многочленов А = С[х\,..., жп, j/i,..., уп] следующим образом: w • /(хь ... ,ггп,уь ... ,уп) = /(^(1),... ,^(п), Уь,(1),---1Уь,(п)) Для всех w е <5п. Пусть / — идеал, порожденный всеми инвариантами положительной степени, т.е. I=(feA:wf = f для всех w е &п и /(0) = 0). Тогда (предположительно) Сп есть размерность подпространства А/1, допускающего знаковое представление, т.е. Сп = dim{/ G A/I: w • f = (sgnw)f для всех / G 6n}- 6.26. a. [3-] Пусть D— диаграмма Юнга разбиения Л (см. определение в разд. 1.32)). Если s —клетка диаграммы £), то обозначим через t самую нижнюю клетку в том же столбце, что и 5, а через и — самую правую клетку в той же строке, что и s. Пусть /(s)—число путей из клетки t в 1' ГМ-гомологии — русский перевод термина "intersection homology" (ГМ — по именам авторов, Горески и Макферсон, предложивших его). См. Фултон У., Макферсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — М.: Мир, 1983. — Прим. ред. ^Диаграммой Юнга разбиения (Ai,...,Afc) числа п называется массив из п клеток (квадратов), имеющий А^ клеток в г-й строке. — Прим. перев.
298 Гл. 6. Алгебраические производящие функции клетку и, лежащих внутри диаграммы D, таких, что каждый шаг пути есть либо шаг на одну клетку в северном направлении, либо шаг на одну клетку в восточном направлении. Запишем число f(s) в клетку s, получив таким образом массив А. Например, при Л = (5,4,3,3) массив А имеет вид 16 6 3 1 7 3 2 1 2 1 1 1 1 1 1 Пусть М — максимальный квадратный подмассив (состоящий из последовательных строк и столбцов) массива А, содержащий верхний левый угол. Будем рассматривать М как матрицу. В примере выше М ■ 16 7 2 б 3 1 3 2 1 Покажите, что det М = 1. Ь. [2] Найдите единственную последовательность ao,ai,... вещественных чисел, такую, что для всех п ^ О выполнено соотношение det a0 ai an an_j-i Gn+l &2n det ai d2 an a2 ^3 Я-n+l Gn+1 U2n-1 (При n = О вторая матрица пустая и ее определитель считается равным единице.) 6.27. а. [3-] Пусть Vn — вещественное векторное пространство с базисом xo,xi,...,xn и скалярным произведением, задаваемым формулой (xi.Xj) = Ci+j, где d+j есть (г + j)-e число Каталана. Из упр. 6.26(b) следует, что это скалярное произведение положительно определено и, следовательно, в пространстве Vn имеется ортонормирован- ный базис. Существует ли ортонормированный базис пространства Vn, элементы которого являются целочисленными линейными комбинациями векторов Х{ ? b. [3-] Вопрос тот же, что и в п. (а), только теперь (xi,Xj) =
Упражнения 299 с. [5-] Исследуйте тот же вопрос для матриц М из упр. 6.26(a) (т.е. для (xi,Xj) = М^) в случае самосопряженной диаграммы Л (тогда матрица М симметрична) ^ . 6.28. а. [3-] Предположим, что вещественные числа х\,Х2,- • • ,Xd выбираются независимо и с равномерным распределением из отрезка [0,1]. Покажите, что вероятность того, что последовательность х\, Х2, • •., х& выпуклая (т. е. xi ^ \(xi-i + Xi+i) при 2 < г < d - 1), равна Cd-i/(d - I)!2, где Cd-i —число Каталана. b. [3-] Обозначим через Cd множество всех точек (xi,...,Xd) Е Kd, таких, что 0 ^ xi ^ 1 и последовательность x\,...,Xd выпукла. Легко видеть, что Cd есть d-мерный выпуклый многогранник, называемый выпуклогранником. Покажите, что вершинами многогранника Cd являются точки (l,if,if,...,h,0,0,...,0,H,...,l) (6.55) (имеющие по крайней мере одну нулевую координату), а также точка (1,1,...,1) (итого в общей сложности ( J1) + 1 вершин). Например, вершинами выпуклогран- никаСз являются точки (0,0,0), (0,0,1), (0, |,1), (1,0,0), (1,±,0), (1,0,1), (1,1,1). c. [3] Покажите, что квазимногочлен Эрхарта г(С^,п) выпуклого многогранника Cd (см. определение в разд. 4.62^) задается формулой Vd : = Y^KCd,n)xn п>0 1-А^[1][г-1]! [1Р- £[l][r-l]!*[l][d-l-r]!j' (6.56) *) Робин Чепмен нашел элегантное доказательство того, что всегда существует целый ортонормированный базис. — Прим. автора при переводе. 2' Квазимногочленом Эрхарта рационального (т. е. с вершинами, имеющими рациональные координаты) выпуклого многогранника V С Кт называется функция i(V, п) = card(nP П Zm), где п € Р. — Прим. перев.
300 Гл. 6. Алгебраические производящие функции где [г] = 1 — хг, [г]! = [1][2] • • • [г] и * обозначает произведение Адамара. Например, 1 (I-*)2' 1 + ж (1-х)3' 1 + 2х + Зх2 (1-х)3(1-а:2)' 1 + Зх + 9д;2 + 12д;3 + На;4 + Зд;5 + д:6 (1-х)2(1-а:2)2(1-а:3) 1 + 4д;4-14д;2+34д;3+63д;4+80д:5+87д;6+68д;7+42д;8 + 20д:9+7д;10 (1-х)(1-х2)2(1-х3)2(1-а:4) Имеется ли более простая формула для г(С^,тг) или у^, чем (6.56)? 6.29. [3] Предположим, что тг+ 1 точек выбираются независимо и с равномерным распределением из квадрата. Покажите, что вероятность того, что эти точки находятся в выпуклом положении (т.е. каждая точка является вершиной выпуклой оболочки всех точек), равна (Сп/п\)2. 6.30. [3-] Пусть /п — число частичных упорядочений множества [тг], не содержащих индуцированных ч. у. подмножеств, изоморфных 3 + 1 или 2 + 2. (Это упражнение является помеченным аналогом упр. 6.19(ddd). Как упомянуто в решении этого упражнения, такие ч. у. множества называются полупорядками.) Пусть С(х) = 1+х+2х2+5х3-| —производящая функция чисел Каталана. Покажите, что экспоненциальная производящая функция последовательности /п равна £/„^ = С(1-е-*), (6.57) т. е. композиции функции С(х) и ряда 1 — е~х = х — \х2 + I ~з 6х 6.31. а. [3-] Пусть V — выпуклая оболочка в Rd+1 начала координат и всех векторов вида е* — ej, где е* есть г-й единичный координатный вектор и г < j. Тогда V есть d-мерный выпуклый многогранник. Покажите, что его относитель- у\ = У2 = УЗ = У А = УЪ =
Упражнения 301 ный объем (см. определение в разд. 4.61)) равен Cd/d\, где Cd — число Каталана. Ь. [3] Пусть i(V,n) — многочлен Эрхарта многогранника V. Найдите комбинаторную интерпретацию коэффициентов г-эйлерова многочлена (в терминологии разд. 4.32)) (l-x)d+1^2i(V,n)xn. 6.32. а. [3-] Определим частичный порядок Тп на множестве всех бинарных расстановок скобок в строке длины п +1 следующим образом. Будем говорить, что расстановка v покрывает расстановку и, если и содержит подвыражение вида (xy)z (где ж, у: z— строки с расставленными скобками) и v получается из и заменой (xy)z на x(yz). Например, расстановка ((а2 • а)а2)(а2 • а2) покрывается расстановками ((а.а2)а2)(а2.а2), {а2{а-а2)){а2-а2), ((а2.а)а2){а{а.а2)) и (а2-а)(а2(а2-а2)). На рис. 6.7 и 6.8 изображены диаграммы Хассе ч. у. множеств Тз и Т4. (На рис. 6.8 мы закодировали бинарную расстановку скобок строкой из четырех знаков + и четырех знаков —, где знак + соответствует левой скобке, а знак — соответствует букве а, причем последняя f(a2 • а)а Рис. 6.7. Решетка Тамари Тз. х)Пусть V С Rm — целочисленный (т.е. с вершинами, имеющими целочисленные координаты) d-мерный многогранник. Тогда целые точки аффинного пространства Л, натянутого на V, образуют абелеву группу ранга d, т. е. H.nZm = Zd. Следовательно, существует такое обратимое аффинное преобразование ф: Л —* M.d, что ф{Л(ЛЪгп) = Zd. Образ ф(Т>) многогранника является целочисленным выпуклым d-мерным многогранником в пространстве Ed. Следовательно, ф(Т>) имеет положительный объем (или меру Лебега) v(V), который называют относительным объемом многогранника V. Легко видеть, что v(P) не зависит от выбора ф и поэтому зависит только от многогранника V. — Прим. перев. 2) Пусть /: N —*■ С — многочлен степени не выше d. Можно показать, что в этом случае производящую функцию Х)п>0 1(п)хП можно записать в виде En>0 f(n)xTl = (w0 + w\x + • • • + WdXd)/{\ — x)d+1. Числа wo, ...,Wd называются f-эйлеровыми числами, а многочлен P(x) = wq + w\x + • • • + w^xd — f -эйлеровым многочленом. — Прим. перев.
302 Гл. 6. Алгебраические производящие функции буква а опущена.) Пусть Un — ч. у. множество всех целочисленных векторов (ai,..., an), таких, что г ^ сц ^ п и aj ^ ai при г'^ j ^ а{, с покоординатным упорядочением. Покажите, что ч. у. множества Тп и £/п изоморфны. +++-+— +++-+-- +++—+- Рис. 6.8. Решетка Тамари Та. Ь. [2] Выведите из п. (а), что ч. у. множество Тп является решеткой (она называется решеткой Тамари). 6.33. Пусть С — выпуклый тг-угольник. Обозначим через S множество всех множеств диагоналей многоугольника С, не пересекающихся в его внутренности. Частично упорядочим множество S по включению и добавим элемент 1. Полученное ч. у. множество обозначим через Ап. a. [3-] Покажите, что Ап есть симплициальная эйлерова решетка ранга п — 2, определенная в разд. 3.141). b. [3] Покажите, что в действительности Ап есть решетка граней (тг — 3)-мерного выпуклого многогранника Qn. c. [3-] Найдите число Wi = Wi(n) элементов решетки Ап ранга г. Эквивалентным образом, Wi есть число способов провести г диагоналей тг-угольника С, внутренности *' Конечное градуированное ч. у. множество Р с элементами 0 и 1 называется эйлеровым, если цр{х,у) = (—1)*(х'^) для всех пар х ^ у в Р. (Здесь up—функция Мёбиуса ч. у. множества Р, а 1(х,у)—длина интервала [х,у] = {х € Р : х ^ z ^ у} в Р.) Конечное ч. у. множество Р с элементом 0 называется симплициалъным, если каждый его интервал [0, х] изоморфен булевой алгебре. — Прим. перев.
Упражнения 303 которых не пересекаются. Заметим, что, согласно предложению 6.2.1, Wi(n) равно также числу плоских деревьев с п + г вершинами и п — 1 концевыми вершинами, таких, что ни одна вершина не имеет ровно одного сына. d. [3-] Положим п-З п-З J2 Wi(x - I)"-'-3 = J2 Кхп-3-\ (6.58) г=0 г=0 как в формуле (3.44). Вектор (/го,... ,/гп-з) называется h-вектором решетки Ап (или многогранника Qn). Найдите явную формулу для числа hi. 6.34. Существует много различных g-аналогов чисел Каталана. В п. (а) мы приводим, по-видимому, самый естественный «комбинаторный» ^-аналог, а в п. (Ь) — g-аналог, задаваемый наиболее естественной «явной формулой». В п. (с) описано интересное обобщение п. (Ь), а в пп. (d) и (е) речь идет о другом частном случае п. (с)1). а. [2+] Пусть Cn{q) = ХУ(Р>, Р где сумма берется по всем решеточным путям Р из точки (0,0) в точку (тг, тг) с шагами вида (1,0) и (0,1), таким, что путь Р никогда не поднимается выше прямой у = х} и А(Р) — площадь области, расположенной ниже пути Р (и выше оси х). Заметим, что Сп(1) = Сп согласно упр. 6.19(h). (Интересно посмотреть, какая статистика соответствует А(Р) для многих других комбинаторных интерпретаций чисел Сп, приведенных в упр. 6.19.) Например, С0(q) = Ci(q) = 1, C2(q) = 1 + q, Cs(q) = 1 + q + 2q2 + q3, C4 (q) = 1 + q + 2q2 + 3q3 + 3q4 + 3q5 + q6. Покажите, что Cn+i(q) = Е^(9)Сп-,(9)<г(<+1)(п-(). г=0 x)Заметим, что многочлен g(Ln,q) из упр. 3.71(f) является еще одним ^-аналогом чисел Каталана. Дополнительная ссылка, касающаяся этого многочлена: Stanley R. J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), 805-851 (предложение 8.6). — Прим. автора при переводе.
304 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Выведите отсюда, что если Cn(q) = (p2'Cn(l/g), то производящая функция F(x) = ££„(«)*» удовлетворяет уравнению xF(x)F(qx) - F(x) + 1 = 0. Отсюда мы получаем разложение функции F в непрерывную дробь: F(x) = . (6.59) х 1 qx q2x 1- 1 b. [2+] Положим с"^(^ТТ)(2пП)- Например, c0(q) = cx(q) = 1, c2(q) = 1 + q2, c3(q) = 1 + q2 + q3 + q4 + q6, c4(q) = 1 +q2 + q3+ 2q4 + q5 + 2q6 + q7 + 2q8 + q9 + q10 + q12. Покажите, что c„(g) = X>maj(u,), где w пробегает все последовательности а\а2 • • • а2П из n единиц и п минус единиц с неположительными частичными суммами и maj(iy) = 2_] i {i:a,i>ai+i} есть главный индекс последовательности w. с. [3-] Пусть t — параметр. Положим Покажите, что Cn(t;q) = Y^qmaKw)+(t~1)des(-w), W где w пробегает то же множество, что и в п. (Ь), и des(w) = #{г: а* > ai+1}
Упражнения 305 — число спусков последовательности w. (Таким образом, Cn(l;q) = cn(q).) d. [3-] Покажите, что cn№Q) = YTq"Cn^' Например, с0(0;<?) = ci(0;g) = 1, с2(0;<?) = 1 + g, с3(0;<?) = l + q + q2 + q3 + q4, с4(0; q) = 1 + q + q2 + 2q3 + 2q4 + 2q5 + 2q6 + q7 + qs + q9. e. [3+] Покажите, что последовательность коэффициентов многочлена cn(0;q) унимодальна, т.е. удовлетворяет следующему условию: если cn(0;q) = Yl^iq1, то существует такое j, что bo ^ &i ^ • • • < bj ^ frj+i ^ frj+2 ^ * • • • (На самом деле можно взять 3 — Y\ deg cn(0; q)\ = [|(n—1)2J.) 6.35. Пусть Qn — ч. у. множество разложений в прямую сумму n-мерного векторного пространства Vn над полем ¥q, определенное в примере 5.5.2(b). Обозначим через Qn ч. у. множество Qn с добавленным элементом 0, и пусть fin(q) — /xgn(0,1). Тогда из формулы (5.74) получаем a. [3-] Покажите, что Hn{q) = -(-1)"(в - 1)(<?2 - 1) • • • (Я"'1 ~ 1)Р„(в), п где Pn(<z) —многочленот q степени (£) с неотрицательными целыми коэффициентами, удовлетворяющий условию Р„(1) = (2"-1). Например, Pi(q) = 1, Р2(д) = 2 + д, РзЫ-З + Зд + Зс^ + д3, Pi(9) = (2 + 2д2 + q3)(2 + 2q + 2q2 + q3). b. Покажите, что exp£>G)p„(l/g)^ = 52q®Cn(l/q)*n, где Cn(g) есть ^-многочлен Каталана, определенный в упр. 6.34.
306 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.36. а. [2+] Числа Нараяны N(n, к) определяются формулой N(n,k) = n{k)ik-i)' Пусть Xnk — множество всех последовательностей w = w\W2'"W2n из п единиц и п минус единиц с неотрицательными частичными суммами, таких, что к = #{j : Wj = 1, wj+1 = -1}. Дайте комбинаторное доказательство того, что N(n, к) = #Xnk. Согласно упр. 6.19(г), отсюда следует, что п Y,N{n,k) = Cn. k=i (Интересно найти для каждой из комбинаторных интерпретаций чисел Сп, приведенных в упр. 6.19, соответствующее разложение на подмножества, перечисляемые числами Нараяны.) Ь. [2+] Пусть F(x,t) = En^iEfc^i N(n,k)xntk. Используя комбинаторную интерпретацию чисел N(n, к), приведенную в п. (а), покажите, что xF2 + (xt + x- 1)F + xt = 0, (6.60) откуда 1-x-xt- у/(1 -х- xt)2 - АхЧ *(М)- Yx 6.37. [2+] Числа Моцкипа Мп определяются формулой Е„. „ 1 — х — \/1 — 2х — Зх2 МпХ = 2^ = 1+ х + 2х2 + 4х3 + 9х4 + 21х5 + 51х6 + 127х7 + 323х8 + 835х9 + 2188х10 + • • • . Покажите, что Мп = AnCi и Сп = А2пМ0, где Сп —число Каталана. 6.38. [3-] Покажите, что число Моцкина Мп имеет следующие комбинаторные интерпретации. (См. дополнительную интерпретацию в упр. 6.46(b).) a. Число способов провести произвольное число непересекающихся хорд, соединяющих п точек на окружности. b. Число путей длины п на множестве N с шагами вида —1, 0 или 1, начинающихся и заканчивающихся в точке 0.
Упражнения 307 c. Число решеточных путей из точки (0,0) в точку (тг, тг) с шагами вида (0,2), (2,0) и (1,1), не поднимающихся выше прямой у = х. d. Число путей из точки (0,0) в точку (п, 0) с шагами вида (1,0), (1,1) и (1, —1), не опускающихся ниже оси х. Такие пути называются путями Моцкипа. e. Число пар l^ai<---<ak^nnl^bi<---<bk^n целочисленных последовательностей, таких, что a» ^ bi и любое целое число из множества [тг] встречается хотя бы один раз среди элементов а* и среди элементов bi. f. Число баллотировочных последовательностей (см. определение в следствии 6.2.3(И)) (а\,..., а2П+2), не содержащих подпоследовательности вида (ai_i,ai,ai+i) = (i,-i,i). g. Число плоских деревьев с п/2 ребрами, в которых допускаются «полуребра», т.е. ребра, которые не ведут ни в какую вершину и дают вклад 1/2 в общее количество ребер. h. Число плоских деревьев сп+1 ребрами, у которых никакая вершина, за исключением корня, не имеет в точности одного сына. i. Число плоских деревьев с п ребрами, у которых каждая вершина имеет не более двух сыновей. j. Число двоичных деревьев с п — 1 ребрами, у которых никакие два последовательных ребра не наклонены вправо. к. Число плоских деревьев сп + 1 вершинами, у которых каждая вершина нечетной высоты (мы считаем, что корень имеет высоту 0) имеет не более одного сына. 1. Число непересекающихся разбиений 7Г = {В\,.. .,#&} множества [п] (см. определение в упр. 3.681)), удовлетворяющих следующему условию: если В{ = {Ь} и а < b < с, то элементы а и с принадлежат различным блокам разбиения 7Г. т. Число непересекающихся разбиений 7г множества [п + 1], таких, что никакой блок разбиения 7г не содержит двух последовательных целых чисел. 6.39. [3-] Числа Шредера тп и sn были определены в разд. 6.2. Покажите, что они имеют следующие комбинаторные интерпретации: a. sn-i есть число расстановок скобок в строке из п букв. b. 5n_i есть число плоских деревьев с п концевыми вершинами, не имеющих вершин степени один. х) А также в упр. 6.19(рр). — Прим. перев.
308 Гл. 6. Алгебраические производящие функции c. rn_i есть число плоских деревьев с п вершинами, каждая концевая вершина которых покрашена в красный или синий цвет. d. sn есть число двоичных деревьев с п вершинами, каждое правое ребро которых покрашено в красный или синий цвет. e. sn есть число решеточных путей на плоскости (х, у) из точки (0,0) до оси х с шагами вида (1, &), где k G Р или к = — 1, не опускающихся ниже оси х и имеющих п шагов вида (1,-1). f. sn есть число решеточных путей на плоскости (х,у) из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами вида (к, 0) или (0,1), где к G Р, не поднимающихся выше прямой у = х. g. rn_i есть число параллелограммных полимино (определенных в решении упр. 6.19(1)) периметра 2п, каждый столбец которых покрашен в черный или белый цвет. h. sn есть число способов провести произвольное число диагоналей выпуклого (п +2)-угольника, внутренности которых не пересекаются. i. sn есть число последовательностей г^'-'Ч-, где ij G Р или ij = —I (и к может быть произвольным), таких, что п = #{j : ij = —1}, i\ + i<i + • • • + ij ^ 0 при всех j и h+i2-\ Hfc = 0. j. rn есть число решеточных путей из точки (0,0) в точку (п,п) с шагами вида (1,0), (0,1) и (1,1), не поднимающихся выше прямой у — х. k. rn_i есть число перестановочных матриц Р размера пхп, из которых можно получить матрицу, состоящую из одних единиц, при помощи следующей процедуры. Начнем с матрицы Р и будем последовательно заменять нуль на единицу, если этот нуль имеет по крайней мере две смежные единицы. При этом элемент ац по определению считается смежным с элементами ai±ij и a,ij±i. 1. Пусть и = U\ - - - Uk G 6^. Будем говорить, что перестановка w = w\ — - wn G &п является и-избегающей, если никакая подпоследовательность wai, •.., wak (где а\< • • • < а&) не имеет того же относительного порядка, что и и. (Относительные порядки перестановок и и w совпадают, если щ < Uj тогда и только тогда, когда wai < waj.) Обозначим через 6n(w, v) множество перестановок w G &п, избегающих обе перестановки и, v G ©4- Существует группа G порядка 16, которая действует на множестве пар (u,v) неравных элементов из ©4 таким образом, что если пары (u,v) и (u',v') принадлежат одной G-орбите (в этом
Упражнения 309 случае мы говорим, что они эквивалентны), то существует простая биекция между &п(и, v) и <Е5п(и',г>') (при всех п). А именно, при отождествлении перестановки с соответствующей перестановочной матрицей орбита пары (и, v) описывается следующим образом. Надо осуществить одновременно диэдральную симметрию квадратных матриц и и v, возможно, предварительно поменяв и и v местами. Тогда имеется десять неэквивалентных пар (и,г;) Е64Х64, для которых #бп(и,г>) = rn_i, а именно (1234,1243), (1243,1324), (1243,1342), (1243,2143), (1324, 1342), (1342,1423), (1342,1432), (1342,2341), (1342,3142) и (2413,3142). m. rn_i есть число перестановок w — W1W2 • * • wn множества [n], обладающих следующим свойством. Числа wi,...,wn можно вставить в строку в данном порядке и удалить их из строки в порядке 1,2,..., п согласно следующим правилам. Каждая вставка осуществляется либо в начало, либо в конец строки. В каждый момент времени можно удалить первый (самый левый) элемент строки. (Пример: w — 2413. Вставим 2, вставим 4 справа, вставим 1 слева, удалим 1, удалим 2, вставим 3 слева, удалим 3, удалим 4.) п. гп есть число последовательностей длины 2п в алфавите А, В, С, таких, что: (i) при любом 1 ^ г < 2п число букв А и В среди первых г членов не меньше, чем число букв С, (ii) суммарное число букв А и В равно п (следовательно, общее число букв С также равно п) и (iii) никакие два соседних члена не имеют вид СВ. о. rn_i есть число непересекающихся разбиений (см. определение в упр. 3.68*)) некоторого множества [к] на п блоков, таких, что ни один блок не содержит двух последовательных целых чисел. p. sn есть число графов G (без петель и кратных ребер) на множестве вершин [п + 2], обладающих следующими двумя свойствами: (а) все ребра вида {1,п + 2} и {г, г + 1} являются ребрами графа G и (/?) граф G непересекающийся, т.е. не существует пары ребер {а,с} и {b,d}, такой, что а < Ь < с < d. Заметим, что произвольный непересекающийся граф на множестве вершин [п + 2] может быть получен из графа, удовлетворяющего условиям (&)- (/?), удалением некоторого подмножества ребер, наличие которых требуется в условии (а). Поэтому общее число непересекающихся графов на множестве вершин [п + 2] равно 2П+25П. *) А также в упр. 6.19(рр). — Прим. перев.
310 Гл. 6. Алгебраические производящие функции q. rn_i есть число рефлексивных и симметричных отношений R на множестве [п], удовлетворяющих следующему условию: если iRj и г < j, то не существует элементов и, v, таких, что uRv ni^u<j<v. г. rn_i есть число рефлексивных и симметричных отношений R на множестве [п], удовлетворяющих следующему условию: если iRj и i < j, то не существует элементов u, v, таких, что uRv ni<u^j<v. s. rn_i есть число способов замостить с помощью непересекающихся костей домино множество клеток, имеющее 2г клеток в г-й строке при 1 ^ г ^ п — 1 и 2(п — 1) клеток в n-й строке, такое, что центры строк лежат на одной вертикальной прямой. На рис. 6.9 изображен случай п = 4. Рис. 6.9. Доска с гз = 22 замощениями домино. 6.40. [3-] Пусть ап —число перестановок w — w\ • • -wn G ©n, таких, что ни при каком г не выполняется соотношение г^г+i = wi ± 1. Например, а± = 2, что соответствует перестановкам 2413 и 3142. Эквивалентным образом, ап есть число способов разместить п не атакующих друг друга королей на шахматной доске размера п х п так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце стоял ровно один король. Пусть A(x) = J^anxn = 1 + х + 2х4 + 14х5 + 90я6 + 646я7 + 5242я8 + • • • . Покажите, что A(xR(x)) = ^п>оп'а;П :== Е{х), где R{x) = У"гпхп = J-(l - ж - д/1 - 6ж + ж2) z-—' 2х есть производящая функция чисел Шредера. Выведите отсюда, что
Упражнения 311 6.41. [3] Перестановка w G &п называется 2-стек-сортиру емой, если S2(w) = w, где 5—оператор из упр. 6.19(H). Покажите, что число 52 (п) 2-стек-сортируемых перестановок в &п равно 2(3п)! S2(n) = (п + 1)!(2п+1)Г 6.42. [2] Король передвигается по вершинам бесконечной шахматной доски Z х Z, переходя из вершины (i,j) в любую из восьми окружающих ее вершин. Обозначим через /(п) число способов, которыми король может дойти из вершины (0,0) в вершину (п, 0) за п шагов. Найдите производящую функцию F(x) — Zln>o f(n)xTl и линейное рекуррентное соотношение с полиномиальными коэффициентами, которому удовлетворяет функция /(п). 6.43. а. [2+] Вторичной структурой называется граф (без петель и кратных ребер) на множестве вершин [п], такой, что (а) {г, г -Ь 1} является ребром при всех 1 ^ г ^ п — 1, (Ь) при всех г существует не более одного j, такого, что {г, j} является ребром и \j — i\ ф 1, и (с) если {г, j} и {/с,/}—ребра, причем г < к < j, то г ^ / < j. (Эквивалентным образом, можно рассматривать вторичную структуру как 3412-избегающую инволюцию (см. упр. 6.19(kk)), такую, что никакая орбита не состоит из двух последовательных целых чисел.) Пусть s(n) —число вторичных структур с п вершинами. Например, s(5) = 8, и соответствующие вторичные структуры изображены ниже: ГТ^ , . , ГТЛ ■ ■ . ГТЛ Пусть S(x) = Т,п>о ^(п)хп = 1 + х + х2 + 2х3 + 4х4 + 8х5 + 17я6 + 37я7 + 82:/+ 185z9 + 423я10 + • • • . Покажите, что „, ч х2 - х + 1 - у/1 - 2х - х2 - 2хг + х4 S(*) = — 2~2 ' b. [3-] Покажите, что s(n) есть число путей, состоящих из п шагов, из точки (0,0) до оси х с шагами вида (1,0), (0,1) и (0,-1), не опускающихся ниже оси х, в которых за шагом вида (0,1) никогда не следует шаг вида (0,-1). 6.44. Определим каталанову триангуляцию ленты Мёбиуса как абстрактный симплициальный комплекс, осуществляющий
312 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 12 3 4 Рис. 6.10. Каталанова триангуляция ленты Мёбиуса. триангуляцию ленты Мёбиуса, который не имеет внутренних вершин и вершины которого в порядке обхода границы помечены числами 1,...,п. (Если заменить ленту Мёбиуса на диск, то мы получим триангуляции из следствия 6.2.3(vi) или упр. 6.19(a).) На рис. 6.10 изображена наименьшая такая триангуляция с пятью вершинами (мы здесь отождествляем вертикальные ребра прямоугольника, проходимые в противоположных направлениях). Пусть МВ(п) —число каталано- вых триангуляции ленты Мёбиуса с п вершинами. Покажите, что V МВ(п)хп = *2«2 ~ 5* ~ 4*2) + (~2 + * + 2*2)vT^4i) ^ l ; (l-4z)(l-4:r + 2;r2 + (l-2:r)vT^4S) = хъ + 14я6 + 113ж7 + 720z8 + 4033ж9 + 20864ж10 + --- . 6.45. [3-] Пусть /(п) — число неизоморфных n-элементных ч. у. множеств, не имеющих 3-элементных антицепей. Например, /(4) = 10, что соответствует ч. у. множествам М N М N • II Пусть F(x) = Еп^о/(п)жП = 1 + х + 2х2 +4х3 + 10х4 + 26х5 + 75х6 + 225я7 + 71 Lr8 + 2311х9 + 7725я10 + • • • . Покажите, что F(x) = 2 - 2х + >/1 - 4ж + VI - 4ж2' 6.46. а. [3+] Обозначим через /(п) число подмножеств 5 множества N х N мощности п, обладающих следующим свойством. Если р Е 5, то существует решеточный путь из точки (0,0) в точку р с шагами вида (0,1) и (1,0), все
Упражнения 313 вершины которого лежат в S. Покажите, что = х + 2х2 + Бх3 + 13я4 + 35х5 + 96х6 + 267я7 + 750я8 + 2123а:9 + 6046я10 + • • • . Ь. [3+] Покажите, что число таких подмножеств, содержащихся в первом октанте 0 ^ х ^ у, равно числу Моцкина Mn_i (см. определение в упр. 6.37). 6.47. а. [3] Пусть Рп —порядок Брюа на симметрической группе 6П, определенный в упр. 3.75(a) *). Покажите, что следующие два условия на перестановку w Е &п равносильны, (i) Интервал [0, w] ч. у. множества Рп рангово симметричен, т. е. если р — ранговая функция порядка Рп (так что p(w) есть число инверсий перестановки w), то #{u G [б, и;] : р(и) = i} = #{u G [б, w) : p(w) - p(u) = i} для всех 0 ^ г < p(w). (ii) Перестановка w = w\- — wn является 4231- и 3412- избегающей, т.е. не существует четверки индексов а < Ь < с < d, такой, что Wd < ть < wc < wa или Wc < Wd < wa < Wb- b. [3-] Назовем перестановку w G &n гладкой, если она удовлетворяет условию (i) (или (ii)) из п. (а). Пусть /(п) — число гладких перестановок w G &п. Покажите, что У f(n)xn = 2 , 1 9 - п^О L Х 1-х\1+х-(1-х)С(х) -V = 1 + х + 2х2 + 6х3 + 22х4 + 88я5 + 366я6 + 1552я7 + 6652х8 + 28 696я9 + • • • , где С(х) = (1 — у/1 — 4х)/2х — производящая функция чисел Каталана. 6.48. [3] Пусть /(п) — число 1342-избегающих перестановок w = w\ - - - wn в ©п, т. е. перестановок, для которых не существует *) Порядок Брюа Рп на симметрической группе <5П определяется следующим образом. Редукцией перестановки 7г = а\ ... ап назовем перестановку, полученную из 7г переменой мест чисел ai и а^, если г < j и а\ > a,j. Тогда сг ^ 7Г в смысле порядка Рп, если перестановку сг можно получить из 7Г последовательностью редукций. — Прим. перев.
314 Гл. 6. Алгебраические производящие функции четверки индексов а < Ь < с < d, такой, что wa < Wd < Wb < wc. Покажите, что /[п)х - i 2Qx _ 8х2 _ _ 2 = 1 + х + 2х2 + 6х3 + 23х4 + 103ж5 + 512я6 + 2740я7 + 15 485а;8 + • • • . .49. а. [3-] Пусть Вп —доска, имеющая следующее число клеток в последовательных строках (читая сверху вниз): 2, 4, 6, ..., 2(п — 1), 2п (три раза), 2(п — 1), ..., 6, 4, 2, причем центры всех строк лежат на одной вертикальной прямой. На рис. 6.11 изображена доска В%. Пусть f(n) — число способов замостить доску Вп непересекающимися костями домино. (Кость домино состоит из двух клеток, имеющих общее ребро.) Покажите, что f(n) равно центральному числу Деланноя D(n,n) (см. определение в разд. 6.3). Рис. 6.11. Доска, имеющая £)(3,3) = 63 замощений костями домино. b. [3-] Что произойдет, если доска будет иметь только две строки длины 2п? 6.50. [3] Обозначим через В «шахматную доску» N х N. Позицией называется конечное подмножество 5 доски В, элементы которого рассматриваются как «фишки». Ход состоит в замене некоторой фишки, скажем, находящейся в клетке (г, j), двумя фишками, помещаемыми в клетки (z + l,jf) и (г, j-f-1), при условии, что эти клетки еще не заняты. Позиция 5 достижима, если существует некоторая последовательность ходов, которая начинается с единственной фишки в клетке (0,0) и заканчивается в позиции 5. Подмножество Т доски В называется неизбежным, если любое достижимое множество пересекается с Т. Подмножество Т доски В называет-
Упражнения 315 ся минимально неизбежным, если Т неизбежно, но никакое его собственное подмножество не является неизбежным. Пусть и(п) — число n-элементных минимально неизбежных подмножеств доски В. Покажите, что Е, ч „ о (1 - Зж + х2)у/1 - Ах - 1 + Ъх - х2 - 6х3 и(п)хп = х6- -1—- -—г — к ' 1 - 7х + 1Ах2 - 9х3 = Ах5 + 22я6 + 98я7 + 412я8 + 1700z9 + 6974я10 + 28 Б76хи + • • • . 6.51. [3+] Пусть Еп — математическое ожидание числа вещественных собственных значений случайной вещественной матрицы размера п х п, элементы которой являются независимыми случайными величинами, имеющими стандартное (нулевое среднее, единичная дисперсия) нормальное распределение. Покажите, что х(1-х + хуД^2х) Х>п*п = п>0 (1-х)2(1 + х) 6.52. [2] Пусть Ьп —число способов расставить скобки в строке из п букв в соответствии с коммутативной (но неассоциативной) бинарной операцией. Например, Ъ$ = 3, что соответствует расстановкам скобок х2 - х3 х- (х- х3) х(х2 • х2). (Заметим, что запись х3 не является двусмысленной, поскольку х • х2 = х2 • х.) Пусть В(х) = J2 ЬпХп = х + х2 + х3 + 2х4 + Зх5 + 6х6 п>1 + 11х7 + 23х8 + Абх9 + 98я10 + • • • . Покажите, что функция В(х) удовлетворяет функциональному уравнению В(х) = х + \в{х)2 + \в{х2). (6.61) 6.53. [2-] Пусть п е Р и /(п) = 1! + 2! + ... + п!. Найдите многочлены Р(х) и Q(x), такие, что /(п + 2) = P(n)f(n + 1) + Q(n)/(n) при всех п^1.
316 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.54. а. [2] Зафиксируем число г Е Р и положим п / \ г к=0 Покажите, что функция Sn Р-рекурсивна (как функция от п). Вообще, если число d Е Р также фиксировано, положим #Л= Е ( п У aiGN Тогда функция 5n ' Р-рекурсивна. b. [3-] Покажите, что SW - 2SW - О (п + 1)5™1-(4п + 2)5«=0> (" + 1)2^Л - (7п2 + 7п + 2)5») - 8n*Sn% = О, (п + 1)35^! - 2(6п3 + 9п2 + 5п + 1)S£4) - (An + l)(4n)(4n - 1)5^4Л = 0. c. [3] Покажите, что на самом деле функция Sn удовлетворяет однородному линейному рекуррентному соотношению порядка L1^] с полиномиальными коэффициентами. 6.55. а. [3] Перестановкой Бакстера (первоначально использовался термин ^^редуцированная перестановка Бакстера») называется перестановка w Е (5П, удовлетворяющая следующему услоййог. Если w(r) = г и w(s) = г + 1, то существует число hi, лежащее между г и 5 (т. е. г ^ k{ ^ 5 или 5 < ki; ^ г), такое, что w(t) ^ г, если £ лежит между г и &;, и w(t) ^ г + 1, если к{ + 1 ^ £ < 5 или 5 < t < fo — 1. Например, все перестановки w Е ©4, за исключением перестановок 2413 и 3142, являются перестановками Бакстера. Пусть В(п) —число перестановок Бакстера в &п. Покажите, что «-»-(-rl)",("J1)"t(;:;)("r)(;:o- (6.62)
Упражнения 317 b. [2+] Выведите отсюда, что функция В(п) Р-рекурсивна. c. [3-] Найдите (ненулевое) однородное линейное рекуррентное соотношение с полиномиальными коэффициентами, которому удовлетворяет функция В(п). 6.56. а. [3] Возрастающей подпоследовательностью длины j перестановки w = wi • • • wn G 0n называется подпоследовательность w^ • • • Wij, такая, что i\ < • • • < ij и w^ < ••• < Wir Зафиксируем к G P. Пусть Ak{n) — число перестановок w G вп, не имеющих возрастающих подпоследовательностей длины к. Покажите, что функция Ak Р-рекурсивна. b. [5] Покажите, что числа Ak+\{n) удовлетворяют рекуррентному соотношению вида Lfc/2J Y,Pi(n)Ak+i(n-i)=0, (6.63) г=0 где Pi(n) —многочлен степени не выше к, обладающий следующими дополнительными свойствами: [к/2\ (i) Ро(п)= П^ + ^-^))2- г=1 (ii) При 2 < г ^ [к/2\ + 1 выполнено соотношение г-1 Pi(n) = qi(n)l[(n-j)2, (6.64) 3=1 где qi(n) —многочлен степени не выше к — 2г. (iii) Многочлены qi(n) из соотношения (6.64) таковы, что рекуррентное соотношение (6.63) выполнено при единственном начальном условии Afc+i(0) = 1. (iv) Если к = 2т +1, то старший коэффициент многочлена qi(n) равен коэффициенту при гг многочлена 771 n(l"(2j + l)2*). з=о c. [5] Зафиксируем перестановку uG6b Пусть Аи(п) — число u-избегающих перестановок w G ©п, определенных в упр. 6.39(1). Является ли функция Аи Р-рекурсивной? 6.57. [3-] Пусть функция /(п) при п G N удовлетворяет однородному линейному рекуррентному соотношению порядка d с
318 Гл. 6. Алгебраические производящие функции постоянными коэффициентами над полем С, т.е. f(n + d) + ai/(n + d - 1) + • • • + OLdf{n) = 0, (6.65) и предположим, что / не удовлетворяет никакому такому соотношению меньшего порядка. Каков наименьший порядок (ненулевого) однородного линейного рекуррентного соотношения с полиномиальными коэффициентами, которому удовлетворяет функция /? (Ответ будет зависеть от рекуррентного соотношения (6.65), а не только от порядка d.) {Пример. Если /(п) = п, то / удовлетворяет соотношению f(n + 2) — 2/(п + 1) + /(п) = 0 (с постоянными коэффициентами) и соотношению nf(n + 1) — (п + 1)/(™) = 0 (с полиномиальными коэффициентами).) 6.58. [2+] Рассмотрим однородное линейное уравнение (6.34), где Ре(п) т^Ои основное поле К имеет характеристику 0. Пусть V есть iif-векторное пространство всех решений f:N-+K уравнения (6.34). Покажите, что е < dimV ^ е +га, (6.66) где га — число различных нулей многочлена Ре(п), которые являются неотрицательными целыми числами. Покажите, что при фиксированных е и Ре (п) размерность dim V может принимать любое значение в интервале (6.66). 6.59. [3-] Покажите при помощи прямого формального рассуждения, что ряды sec а; и уТп(1 + х2) не являются jD-конечными. Следовательно, обратный к jD-конечному ряду и квадратный корень из D-конечного ряда могут не быть D-конечными. 6.60. [3+] Пусть у Е С[[х\] есть D-конечный ряд, причем у(0) ф 0. Покажите, что ряд \/у является D-конечным тогда и только тогда, когда ряд у'/у алгебраический. 6.61. [3+] Пусть F(xi,...,xm) = Ylaen™ f(a)xC* —рациональный степенной ряд над полем К. Покажите, что ряд diag(F):=^/(n,...,n)r jD-конечен. 6.62. [3] Пусть у е Caig[[a;]]. Тогда по теореме 6.4.6 ряд у удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению с полиномиальными коэффициентами. Покажите, что наименьший порядок такого уравнения равен размерности комплексного векторного пространства V, натянутого на у
Упражнения 319 и все его сопряженные. (Пример. Предположим, что yd = R(x) G С(х), где многочлен yd — R(x) неприводим над С(х). Сопряженные к у ряды задаются формулой £у, где £d = 1. Следовательно, у и все его сопряженные порождают одномерное векторное пространство, и уравнение (6.37) дает дифференциальное уравнение первого порядка, которому удовлетворяет у.) 6.63. а. [5] Предположим, что ряд у = ^2п>0 апхп Е С[[х]\ jD-ko- нечный. Определим функцию х: С —* Z формулой [О, а = 0. Будет ли ряд ^2п>0х(ап)хп рациональным? Этот вопрос является открытым даже в предположении, что ряд у алгебраический; случай, когда ряд у рациональный, рассмотрен в упр. 4.31). b. [3] Покажите, что ответ на вопрос п. (а) отрицателен, если предположить только, что ряд у удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению (АДУ), т. е. существует ненулевой многочлен f(x\,X2, • • •, Xd+2) £ С[ж1,Ж2,...,^+2], такой, что f(x,y,y',y",...,y(d>>) = 0. c. [5] Предположим, что ряд у удовлетворяет АДУ пуф С[х]. Может ли у быть более чем квадратично лакунар- ным? Иными словами, если у = J2 bixni, может ли предел lim^oo 12/щ равняться 0? 6.64. а. [2] Пусть х и у — некоммутирующие переменные. Покажите, что следующее тождество справедливо в том смысле, что формальные ряды, представленные обеими частями, совпадают: (1 + х)(1 - ух)-\\ + у) = (1 + у)(1 - ху)-\\ + х). (6.67) b. [3-] Справедливо ли равенство (6.67) в произвольной ассоциативной алгебре с единицей, для которой определены обе его части? c. [3] Еще более общим образом, пусть R — кольцо, полученное из кольца некоммутативных многочленов К(х\,..., хп) последовательным присоединением обратных всех элементов, разложение которых в ряд имеет свободный член 1. Пусть ш — гомоморфизм из R в кольцо K((xi,...,xn)), ^В этом случае ряд Еп>0 х(ап)хп будет рациональным. — Прим. перев.
320 Гл. 6. Алгебраические производящие функции который заменяет рациональную «функцию» ее разложением в ряд. Является ли гомоморфизм ш взаимно однозначным? 6.65. а. [2+] Проверьте сформулированное перед определением 6.5.3 и в примере 6.6.2 утверждение, что ряд ^2п>1хпуп не является рациональным. b. [3-] Вообще, предположим, что S G Krait((X}}. Определим носитель supp(5), как в определении 6.6.4. Покажите, что существует число р G Р, такое, что любой элемент z G supp(5) длины по крайней мере р имеет разложение вида z = uvw, где v ф 1 и множество {uvnw : п ^ 0} П supp(S') бесконечно. c. [3] Пусть L С X* —язык. Покажите, что язык L рациональный (согласно определению 6.6.4) тогда и только тогда, когда существует число р G Р, удовлетворяющее следующему условию. Любое слово х £ X* длины р имеет разложение вида х = uvw, где v Ф 1 и при всех у G X* и всех п G N условие ху G L выполнено тогда и только тогда, когда uvnwy G L. 6.66. [2+] Пусть 5,Т G К((Х}} —рациональные ряды. Покажите, что их произведение Адамара 5 * Т (см. определение в разд. 6.6) также рационально. 6.67. [2] Пусть Ь^ 2 ип = ikbk-\ Mib-Ио —разложение числа п по основанию Ь (причем г& > 0). Сопоставим числу п слово w(n) = X{k • • • X{1Xi0 в алфавите X = {хо,... ,хь-г}. Пусть 5 = X^nX) nw(n) ~~ производящая функция для разложений натуральных чисел по основанию Ь. Например, при Ь = 2 S = х\ + 2х\Хъ + Ъх\ -f- 4xix% + Ьх\ХъХ\ + 6х\х$ + 7х\ Н . Покажите, что ряд S рациональный. 6.68. [3+] Пусть (W, S) —группа Кокстера, т.е. группа W порождается множеством образующих S = {si,..., sn}, подчиняющихся соотношениям s- =1и (siSj)mij = 1 при всех i < j, где rriij > 2 (допускается случай т^ = оо, означающий отсутствие соотношения (siSj)mij = 1). Слово х^ • • • Xip в алфавите X = {xi,..., хп} называется приведенным, если в группе W не существует соотношения вида s^ • • • Sip = s^ • • • Sj при q < p. Покажите, что множество приведенных слов является рациональным языком в смысле определения 6.6.4. 6.69. [3-] Пусть А — конечный алфавит. При u,v G А* положим и ^ v, если и является подсловом слова v. Будем обозначать
Упражнения 321 через и ® v элементы прямого произведения А* х А*. Покажите, что ряд J2U<V и ® v, а следовательно, и язык {и ® г; G Л* х Л* : г* ^ v} рациональны. 6.70. [1] Найдите явно решение (Д^Яг) собственной алгебраической системы *i = 2/2^i - ^2> Z2 = Z2XZi + ^1^2. 6.71. [2] Пусть X —конечный алфавит. Покажите, что множество Ka\g((X)) всех алгебраических рядов в X образует подалгебру алгебры К((Х)). Более того, если и G Ka\g((X}) и существует и~1, то и"1 G Ka\g((X)). 6.72. а. [3-] Пусть L G Ka\g((X)) —алгебраический язык в смысле определения 6.6.4. Покажите, что существует число р G Р, такое, что любое слово z G L длины по крайней мере р имеет разложение вида z = uvwxy, где vx ф 1 и множество {uvnwxny : п ^ 0} П L бесконечно. Ь. [1+] Выведите из п. (а), что ряд ^xnynzn не алгебраический. 6.73. а. [2+] Пусть 5 = Ylw> гДе суммирование ведется по всем словам w G {ж,у}*, имеющим равное количество букв х и у. Таким образом, где ф — оператор «абелизации». Покажите, что язык 5 алгебраический. Ь. [5-] Каково наименьшее число уравнений собственной алгебраической системы, для которой ряд 5—1 является компонентой? 6.74. [3-] Пусть xi,..., Xk — некоммутирующие переменные. Пусть /(п) —свободный член некоммутативного многочлена Лорана {х\ + х^1 Н \- Xk + х~^ 1)п. Покажите, что Yfinw = — ko fc-i + vi-^-i)*8' как утверждается в примере 6.7.3.
322 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Catalan addendum^ Предложенные ниже задачи являются продолжением цикла задач, приведенного в этой главе. Комбинаторные интерпретации чисел Каталана пронумерованы как продолжение упр. 6.19, а алгебраические интерпретации — как продолжение упр. 6.25. Комбинаторные интерпретации чисел Моцкина пронумерованы как продолжение упр. 6.38. Остальные задачи имеют номера 6.С1, 6.С2 и т. д. Я благодарен Эмерику Дёйчу за предложенные им пп. (ооо), (qqq), (rrr), (www), (ууу), (а4), (с4), (h4), (j4) и (к4) упр. 6.19 и Ролану Баше за п. (d4). Замечание. На протяжении всего этого добавления Сп обозначает число Каталана ^у (^), а С(х) — производящую функцию чисел Каталана, ОД = £спх" п>0 1 - у/1 - Ах 2х .19. ооо. Плоские деревья с п — 1 внутренними вершинами, каждая из которых имеет степень 1 или 2, причем вершины степени 1 встречаются только на крайнем правом пути: ррр. Плоские деревья с п вершинами, такие, что главные поддеревья, перечисляемые слева направо, имеют сначала четное число вершин, а затем — нечетное число вершин, причем поддеревья с нечетным числом вершин окрашены в красный или синий цвет: кккссксс qqq. Левые факторы путей Дика, состоящие из п — 1 шагов, направленных вверх: /V ЛУ\ *) Упражнения, добавленные автором к русскому переводу. — Прим. перев.
Упражнения 323 ггг. Пути Дика, имеющие п — 1 пиков и не содержащие трех последовательных шагов, направленных вверх, или трех последовательных шагов, направленных вниз: sss. Точки вида (т, 0) на всевозможных путях Дика из точки (0,0) в точку (2п-2,0): ttt. Пики единичной высоты на всевозможных путях Дика из точки (0,0) в точку (2п, 0): /dhJthjth, ЖУ\ / ЧАч / \ uuu. Вершины высоты п — 1 в дереве Т, определенном следующим образом: корень дерева Т имеет степень 2, и если степень вершины х равна к, то сыновья вершины х имеют степени 2,3,..., к + 1: vvv. Пути Моцкина (определенные в упр. 6.38(d)) из точки (0,0) в точку (п — 1,0), у которых шаги вида (1,0) окрашены в красный или синий цвет: /\ КК КС ск ее www. Решеточные пути из точки (0,0) в точку (п — 1,п — 1) с шагами вида (0,1), (1,0) и (1,1), не опускающиеся ниже прямой у = х, такие, что шаги вида (1,1) встречаются только на прямой у = х:
324 Гл. 6. Алгебраические производящие функции ххх. Решеточные пути длины п — 1 из точки (0,0) до оси х с шагами вида (±1,0) и (0, ±1), не опускающиеся ниже оси х: (-1,0) + (-1,0) (-1,0) + (1,0) (0,1) + (0, -1) (1,0) + (-1,0) (1,0)+ (1,0) ууу. Способы соединить произвольное количество точек плоскости, лежащих на одной горизонтальной прямой, непересекающимися дугами, лежащими выше точек, так, чтобы общее число дуг и изолированных точек равнялось п — 1 и ни одна изолированная точка не лежала под дугой: zzz. Решеточные пути из точки (0,0) в точку (п, -п), удовлетворяющие следующим условиям: (а) из точки (х,у) при х <2у начинаются шаги вида (1,0) и (0,1), (/?) из точки (х, у) при х > 2у начинаются шаги вида (0, —1) и (1, -1), (7) из точки (2у,у) начинаются шаги вида (0,1), (0,-1) и (1,-1) и (5) путь не заходит в точку (2г/ + 1,г/): а4. Все горизонтальные хорды в непересекающихся хордовых диаграммах из п. (п) (с вершинами, нарисованными таким образом, что одна из диаграмм имеет п горизонтальных хорд): ~ Г/ Л4 О V/ Ь4. Последовательности а±,..., а^п неотрицательных целых чисел, такие, что а\ — 1, а,2п = 0 и ai — ai-i = ±1: 123210 121210 121010 101210 101010 с4. Последовательности, состоящие из п — 1 единиц и произвольного числа минус единиц, все частичные суммы которых неотрицательны: 1,1 1,1,-1 1,-1,1 1,1,-1,-1 1,-1,1,-1
Упражнения 325 d4. Последовательности а\---ап целых чисел, такие, что а\ = 1, ап = ±1, а{ ф 0 и a^+i £ {сц,сц + 1,«г — 1, — сц} при 2 ^ г ^ п: 1,1,1 1,1,-1 1,-1,1 1,-1,-1 1,2,1 е4. Последовательности а\---ап неотрицательных целых чисел, такие, что a,j = #{г : г < j, ai < a,j} при 1 ^ j ^ п: 000 002 010 011 012 f4. Последовательности а\а2 • • • «2n+i натуральных чисел, такие, что a2n+i = 1, существует г, при котором а^ = тг + 1, первое вхождение числа г + 1 следует за первым вхождением числа г, никакие два соседних члена последовательности не равны, никакая пара ij натуральных чисел не встречается в качестве фактора (т. е. в виде двух соседних членов) более одного раза и, если ij является фактором, ji тоже является фактором: 1213141 1213431 1232141 1232421 1234321 g4. Пары (а,/3) разложений числа п с одинаковым количеством частей, такие, что а ^ /3 (в смысле упорядочения по доминированию, т. е. а\ + • • • + a» ^ Pi + • • • + fa при всех г): (111,111) (12,12) (21,21) (21,12) (3,3) h4. 321-избегающие инволюции на множестве [2п] без неподвижных точек: 214365 215634 341265 351624 456123 i4. 321-избегающие инволюции на множестве [2п — 1] с одной неподвижной точкой: 13254 14523 21354 21435 34125 j4. 213-избегающие инволюции на множестве [2п] без неподвижных точек: 456123 465132 564312 645231 654321 к4. 213-избегающие инволюции на множестве [2п — 1] с одной неподвижной точкой: 14523 15432 45312 52431 54321 I4. Способы записать вектор (1,1,..., 1, — п) Е Zn+1 в виде (неупорядоченной) суммы векторов вида е* — ei+\ и
326 Гл. 6. Алгебраические производящие функции т" ej — еп+1, где е& есть А;-й единичный координатный вектор в Zn+1: (1, -1,0,0) + 2(0,1, -1,0) + 3(0,0,1, -1), (1,0,0, -1) + (0,1, -1,0) + 2(0,0,1, -1), (1, -1,0,0) + (0,1, -1,0) + (0,1,0, -1) + 2(0,0,1, -1), (1,-1,0,0)4-2(0,1,0, -1) + (0,0,1,-1), (1,0,0,-1) + (0,1,0,-1) + (0,0,1,-1). Горизонтально выпуклые полимино (определенные в примере 4.7.181)) ширины п + 1, такие, что каждый горизонтальный ряд клеток начинается строго правее начала предыдущего ряда и заканчивается строго правее конца предыдущего ряда: пггп п: : : : п п" Матрицы М = (rriij) размера п х п с неотрицательными целыми элементами, у которых ненулевые элементы встречаются только при г = п, или г = j, или г = j — 1, такие, что, суммы элементов по строкам и по столбцам образуют вектор (1,..., п): Г1 0 0" 0 2 0 0 0 3 "0 1 0" 0 1 1 1 0 2 "1 0 0" 0 1 1 0 1 2 "1 0 0" 0 0 2 0 2 1 "0 1 0" 0 0 2 1 1 1 6.25. j. Степень грассманиана G(2, п + 2) (как проективного многообразия при обычном вложении Плюккера) двумерных плоскостей в Сп+2. к. Размерность кольца Q[x\,... ,xn]/Qn (как Q-векторного пространства), где Qn— идеал кольца Q[xi,...,xn], порожденный всеми квазисимметрическими функциями от переменных xi,...,xn с нулевым свободным членом. 6.38. п. 2143-избегающие инволюции (или флаговые (vexillary) инволюции) в 6п. 6.С1. а. [3] Обозначим через aij(n) (соответственно a,ij(n)) число путей длины п из точки (0,0) в точку (г, j) с шагами вида ^Полимино — это конечное связное объединение единичных клеток с целочисленными вершинами на плоскости, связность которого не нарушается при удалении конечного числа точек, рассматриваемое с точностью до сдвига. Полимино называется горизонтально выпуклым, если его пересечение с любой прямой, параллельной оси х, является отрезком. — Прим. перев.
Упражнения 327 (±1,0) и (0, ±1), не касающихся точек вида (—к, 0) при к ^ 0 (соответственно к > 0) после выхода из начальной точки. Покажите, что a0,i(2n+l) = 4nCn, ai>0(2n + l) = C2n+i, a_ifi(2n) = |C2n, (6.68) a1,1(2n) = 4n-1Cn + iC2n, ao,o(2n) = 2 • 4nCn - CWi+i- b. [5-] Покажите, что при г ^ 1 и п ^ г „ ЛиЛ - г Уг)( 2г )\2п) a-ttt(zn) - 2п ^^ . c. [3] Обозначим через bi j (п) (соответственно bij (n)) число путей длины п из точки (0,0) в точку (i,j) с шагами вида (±1,±1), не касающихся точек вида (—к, 0) при к ^ 0 (соответственно к > 0) после выхода из начальной точки. Покажите, что bi,i(2n+l) = C2n+i, b_M(2n + l) = 2.4nCn-C2n+1, &o,2(2n) = C2n, Ьй,о(2п) = - (2l) ( 2П ) 4п~\ г > 1, (6.69) 6о,о(2п) = 4"С„. (6.70) d. [3-] Пусть f{n) = Y,{-i)w{p\ р где (i) Р пробегает все решеточные пути длины 2п на плоскости из точки (0,0) в точку (0,0) с шагами вида (±1,0) и (0, ±1) и (ii) w(P) обозначает число вращения пути Р относительно точки (|, |). Покажите, что /(п) = 4ПСП. 6.С2. Пусть to, t\,... — переменные. Если 5 — конечное подмножество множества N, положим ts = YlieS U. При X = N или Р обозначим через Un(X) множество всех n-подмножеств множества X, не содержащих двух последовательных целых чисел.
328 Гл. 6. Алгебраические производящие функции a. [2+] Покажите, что следующие три степенных ряда равны: (i) непрерывная дробь 1 1 t0x 1 _ tlX i_ t<lX 1 E(-Dn( Е *SV (u) ,—, 2>i)-( e *SV (Hi) 2_] TT *htfv) х^у(т^~г, где T пробегает множество Т v€V(T) всех (непустых) плоских деревьев, V(T) — множество вершин дерева Т, ht(v) — высота вершины v (мы считаем, что корень имеет высоту 0), a deg(v) —степень (количество сыновей) вершины v. Все три степенных ряда начинаются следующим образом: l+t0x+(tl+tot1)x2 + (tl+2tlt1+tot21+tot1t2)x3 + - - . (6.71) b. [2] Выведите отсюда, что Шп ^ОоС-^ЧТУ = у с k (6 72) c. [5] В формуле (6.71) положим ti = (2г+ I)2, что дает степенной ряд J2 DnXn = 1 + х + 10z2 + 325z3 + 22150z4 + • • • . Покажите, что V2{Dn) = V2{Cn), где i/2 (га) — показатель наибольшей степени двойки, на которую делится га. 6.СЗ. а. [2+] Начнем с одночлена Я12Я23Я34 • • -^n^+i? в котором переменные ж»? коммутируют. Будем последовательно применять «правило редукции» XijXjk —► xik(xij + Xjk) (6.73) в произвольном порядке до тех пор, пока это возможно. Пусть результатом является многочлен Pn{xij). Покажите, что Pn(xij = 1) = Сп. (Замечание. Сам многочлен
Упражнения 329 Рп (xij) зависит от порядка, в котором применялись редукции.) Например, при п = 3 одна из возможных цепочек редукций выглядит следующим образом (пара преобразуемых переменных выделена жирным шрифтом): «12^23^34 —► Ж13Ж12Ж34 + Ж13Ж23Ж34 —> Ж14Х13Ж12 + Я14Я34Я12 ~^~ ж 14^13^23 + ^14^34^23 —> XuXi^Xi2 + ^14^34^12 + ^14^13^23 + ^14^24^23 + ^14^24^34 = Рз(жу). b. [3-] Более сильное утверждение. Заменим правило (6.73) правилом и пусть на этот раз процесс завершится многочленом Qnfeij)- Покажите, что / _ 1 ^ _ АГ(п, 1) + N(n, 2)д? + • • • + N(n, п)^"1 gn^"i-x;" (1-х)- где N(n,к) —число Нараяны (определенное в упр. 6.36). c. [3-] Еще более общим образом, покажите, что Qn\xij — Н) = / \~~*-) ^i\'"*ikt где сумма берется по всем парам ((ец,..., а&), (zi,..., Zfc))G р/с х р/с ^ удовлетворяющим условиям 1 = ai < • • • < а& < п, 1 ^ Н ^ • * * ^ in и z'j ^ dj. Например, ФзО&у = ^г) = Ьг + ^^2 + ^2^3 + ^1^2 "+" ^1^2^3 ~~ 2tj_ — 2ti^2 — ^З + ^1- d. [3+] Начнем теперь с одночлена Пкккп+i х*з и будем применять правило редукции (6.73), пока не получим многочлен Rn(xij). Покажите, что Rn(xij = 1) = С\ • • • Сп. e. [5-] Обобщите п. (d) аналогично пп. (Ь) и (с). 6.С4. а. [3+] Обозначим через д(п) число матриц М — (шц) размера п х п с неотрицательными целыми элементами, у которых rriij = 0 при г > j+1 и суммы элементов по строкам и по столбцам образуют вектор (l, 3,6,..., (nJ*)) • Например, при п = 2 имеются две таких матрицы: [1 0' [о 3 5 "0 11 1 2_ Покажите, что д(п) = С\ • • • Сп.
330 Гл. 6. Алгебраические производящие функции b. [2+] Обозначим через /(п) число способов записать вектор (l>2>3,...,»>-(n + 1))€Z»+1 в виде (неупорядоченной) суммы векторов вида е^ — е^, 1 ^ i < 3 ^ п+1, где ek есть k-й единичный координатный вектор в Zn+1. Например, при п = 2 имеется два таких способа: (1,2,-3) = (1,0,-1)4-2(0,1,-1) = (1,-1,0) + 3(0,1,-1). Считая установленным п. (а), покажите, что f(n) = Ci---Cn. c. [3-] Пусть CRn — выпуклый многогранник всех бистоха- стических матриц А = (а^) размера п х п, удовлетворяющих условию dij = 0 при г > j + 1. Легко видеть, что CRn является целочисленным многогранником размерности (2). Считая установленным п. (а) или п. (Ь), покажите, что относительный объем многогранника CRn (определенный в разделе 4.б1)) равен KCRn) = ^JT1. 6.С5. [3-] Соединим 4га + 2 точек, лежащих на окружности, при помощи 2га + 1 непересекающихся хорд, как в упр. 6.19(п). Назовем такое множество хорд сетью. Окружность вместе с хордами образует карту, имеющую 2т+2 (внутренних) областей. Раскрасим области в красный и синий цвета так, чтобы соседние области имели различные цвета. Назовем сеть четной, если четное число областей окрашено в красный цвет и четное число областей в синий, и нечетной в противном случае. На рисунке ниже изображена нечетная сеть при т = 2. )См. примечание переводчика к упр. 6.31(a). — Прим. перев.
Решения упражнений 331 Пусть /е(тп) (соответственно /0 (га))—число четных (соответственно нечетных) сетей на 4га + 2 точках. Покажите, что /еЦ - fo(m) = (-lr^G». 6.Сб. а. [2+] Покажите, что Ь. [2+] Покажите, что С(х)<* 6.С7. а. [2+] Найдите все степенные ряды F(t) Е С[£], такие, что если 1 — ж + аг£ ^ п>0 то fn(x)eC[x). b. [2+] Найдите коэффициенты многочленов/п(ж). 6.С8. [3-] Найдите единственную непрерывную функцию f(x) на R, удовлетворяющую при всех n Е N условию Гх"/(^=(оС- -лип = 2. У-оо 10, если п = 2к + 1. Решения упражнений 6.1. Один из возможных способов рассуждения состоит в следующем. Предположим, что ех — алгебраический ряд степени d, и пусть Pd(x)edx + Pd.x{x)e{d-1)x + • • • + Р0(х) = 0, (6.74) где Рг(х) еС[х] и степень deg Pd(x) минимальна. Продифференцируем уравнение (6.74) по £ и вычтем из него уравнение (6.74), умноженное на d. Мы получим уравнение {P^-dP0)+(P[-{d-l)Pl)ex+- ■ MP'd-i-Pd-i)e{d-l)x+P'dedx, которое либо имеет степень меньше d, либо в противном случае противоречит минимальности degP^. Менее прямое, но также и менее ad hoc доказательство приведено в упр. 6.2.
332 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.2. а. Этот результат известен как теорема Эйзенштейна. Ее доказательство и дополнительные ссылки можно найти в книге Polya G., Szego G. Problems and Theorems in Analysis, vol. II, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg, 1976 ^ (часть 8, гл. 3, §§2-3). b. Легко следует из п. (а). 6.3. Из теоремы Юнгена [40] следует, что если ряд у = J]anxn G С[[х\] алгебраический и ап ~ спгап для некоторых констант O^cGC, 0>гЕМи0^аЕС, Tor = s+| для некоторого s Е Z. Поскольку по формуле Стирлинга (n3™n) ~ сп~1ап и Сп) ~ dn~1(3n, мы получаем требуемое утверждение. Для другого доказательства неалгебраичности рядов у\ и г/2 мы используем гипергеометрический ряд Гаусса п^О г=0 Легко видеть, что у\ = F(|, §, 1; 27х) и у2 = F(|, |, 1; 16х). В работе Schwarz Н. A. J. Reine Angew. Math. 75 (1873), 292-335; Ges. Math. Abh. Bd. II, Chelsea, New York, 1972, pp. 211-259, было установлено, для каких значений параметров а, Ь, с ряд F(a,b,c;x) является алгебраическим. Из этого результата следует, что ряды у\ и г/2 не алгебраические. Можно было также использовать результат из книги Schneider Т. Einfuhrung in die Tranzendenten Zahlen, Springer- Verlag, Berlin, 1957, из которого следует, что ряды уг(х) и у2(х) принимают неалгебраические значения (над Q), если элемент х ф 0 алгебраический. Поскольку, как легко видеть, алгебраический степенной ряд с рациональными коэффициентами удовлетворяет полиномиальному уравнению с рациональными коэффициентами, отсюда следует, что ряды у\ и г/2 не алгебраические. Еще одно доказательство того, что ряд у\ не является алгебраическим (принадлежащее Рикар- ду), приведено в статье Almkvist G., Dicks W., Formanek E. J. Algebra 93 (1985), 189-214 (c. 209). Наконец, Вудкок и Шариф в работе Woodcock С. F., Sharif Н. J. Algebra 121 (1989), 364-369, приводят изобретательное доказательство того, что ряд z := J2n>o Сп) хП не алгебраический при любом t G N, t > 1. (Асимптотический метод нашего первого доказательства работает только при четном t.) Вудкок и Шариф используют тот факт, что ряд 1) Имеется перевод: Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. — М.: Наука, 1978. — Прим. перев.
Решения упражнений 333 z является алгебраическим над полем характеристики р > О (они приводят прямое доказательство этого факта, однако можно воспользоваться также результатом упр. 6.11), и показывают, что степень ряда z над полем ¥р(х) не ограничена при р —> оо. Отсюда легко следует, что ряд z не алгебраический. При помощи того же метода Вудкок и Шариф доказывают также неалгебраичность некоторых похожих рядов. В общем случае, по-видимому, сложно определить, является ли некоторый «естественно возникающий» степенной ряд у алгебраическим. Если у есть D-конечный ряд и известно линейное дифференциальное уравнение V наименьшей степени с полиномиальными коэффициентами, которому удовлетворяет у, то процедура для определения, является ли ряд у алгебраическим (в этом случае все решения уравнения V алгебраические), приведена Зингером в работе Singer М. F. In: Proceedings of the 1979 Queens University Conference on Number Theory, Queens Papers in Pure and Applied Mathematics 54, pp. 378-420. (Как сообщается в цитируемой работе, эта задача была почти полностью решена Буланже и Пенлеве в девятнадцатом веке.) Зингер улучшил и обобщил свой результат в нескольких работах; краткое обсуждение и ссылки имеются в его статье в сборнике Computer Algebra and Differential Equations (E. Tournier, ed.), Academic Press, New York, 1990, pp. 3-57. 6.4. Пусть К — алгебраическое замыкание конечного поля ¥р порядка р. Тогда уравнение у9 — у — х~х = 0 не имеет решений, принадлежащих Kfra((x)), как видно из рассмотрения наименьшего целого числа N > 0, для которого у Е К((х))[хг/М]. Этот результат принадлежит Шевалле [12, §IV.6]. Впоследствии в работе Abhyankar S. Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 903-905, было приведено разложение у*> - у - х-1 = J] (у - г - J2*~1/р3') ■ В диссертации Huang Men-Fon, Ph.D. thesis, Purdue University, 1968, с использованием этого примера было построено «обобщенное поле Пюизё» А(р), содержащее алгебраическое замыкание поля К((х)). Дальнейшие свойства поля А(р) были исследованы в работе Vaidya S. Illinois J. Math. 41 (1997), 129-141. Другой пример уравнения, не имеющего решений
334 Гл. 6. Алгебраические производящие функции в Kira((x)), упоминается Коном [17, с. 198] и приписывается М. Оянгурену1). 6.5. Пусть т/1,...,щ — корни многочлена Р. В силу предложения 6.1.8 имеем rji,...,rjd Е iffra[[x]]. Предположим, что rjj = En^o anxn/N, где degK{{x)) rjj = N (так что N = cs при некотором s). Пусть £ — первообразный корень степени ./V из единицы. Положим 7]^к) = Y,n>oanCknxn/N при 0 ^ к ^ N. Тогда disc Р(у) делится на По^а<клг-1(^а) ~ Vjb))2- Каждый множитель та) — т имеет нулевой свободный член; поэтому он делится на x1//iV, откуда получаем, что произведение делится на = xN *. Отсюда легко следует сформулированный результат. 6.6. Легко следует из упр. 1.37(a)2). 6.7. Да. Если и удовлетворяет полиномиальному уравнению Р(х, и) = 0, то г^-1) удовлетворяет уравнению Р(и^~г\х) = 0. 6.8. а. Дискриминант многочлена F(y) равен нулю тогда и только тогда, когда F(y) и F'(y) имеют общий непостоянный множитель. Если F(y) = ayd + by + с, то dF(y)-yF'(y) = b(d-l)y + cd. Предположим, что с ф 0. (В противном случае задача не представляет трудности.) Тогда disc F(y) = 0в том и только том случае, когда F'{y) делится на b(d — 1)у + cd, т. е. F'( — fr(d-i)) = 0- Это приводит к условию ddacd-x + (-ly-^d - lf-ty = 0, и простая нормализация дает уравнение (6.7). Несколько иной подход состоит в следующем. Легко видеть, что для любого многочлена G(y) — ayd + • • • = а(у — Уг) " ' (у — Vd) выполнено соотношение discG = (-l)('V-2G'(*/i) • "Gf(yd). (6.75) Полагая G(y) = F(y), мы видим, что F'(yi) = adyf~x + b и yiF'(yi) = adyf + byi = d(-byi - с) + byi = b(l - d)yi - cd. *) Полное описание поля обобщенных степенных рядов, которое образует алгебраическое замыкание кольца Fp[x], приведено в работе Kedlaya К. S. Ргос. Amer. Math. Soc. 29 (2001), 3461-3470. — Прим. автора при переводе. 2) Имеется в виду следующий результат: если F(x) = ^2n>of(n)xn, то ibF(lfe) = Еп>о[Дп/(0)]*". - Прим. перев.
Решения упражнений 335 Следовательно, discF = (-l)©a2d-2 П fr(1"rf)yi~cd -*- -*■ 111 г=1 u(i)n2d_2bd(d - l)da-lF(cd/b(l - d)) = (_1)Ыа (-l)-a-ic ' что с помощью рутинных преобразований приводится к виду (6.7). Этот результат содержится в книгах Salmon G. Lectures Introductory to the Modern Higher Algebra, Dublin, 1885 (переиздана в Chelsea, New York, 1969), и Netto E. Vorlesungen ilber Algebra, Teubner-Verlag, Leipzig, 1896, хотя, возможно, он восходит и к более раннему времени. См. также [28, гл. 12, (1.38)]. Ь. Пусть „ хп хп-г п\ (п-1)! = —(x-xi)---(x-xn). п\ Тогда Р = £g+P', откуда в силу формулы (6.75) получаем discP = (-l)(S)n!-^-2) f[ (p(Xi) - £\ i=i ^ " ' = (-l)(S)n!-(n-2)(-l)nnrnm хЛ = (-l)(n2_1)n!-2n+2((-l)nn!)n = (-l)(5)n!-(n-2>. Этот результат следует из более общего результата Гильберта (Hubert D. J. Reine und Angew. Math. 103 (1888), 337-345), хотя, как и результат п. (а), он мог быть известен и ранее. См. также [28, гл. 12, (1.42)]. 6.9. а. Обозначим через *ж произведение Адамара относительно только переменной х, и пусть diag обозначает диагональ (по переменной у) относительно переменных у\ и у2. Ясно, что F * G = diag(F(z, У1) *ж F(x, у2)). (6.76)
336 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Оба ряда F(x, у\) и F(x, у2) являются рациональными рядами от х над полем K(yi,y2), откуда в силу предложения 4.2.5*) получаем, что F(x,yx) *ж F(x,y2) в К(уъу2)(х) = К{х){уъу2). Тогда по теореме 6.3.3 ряд diag(F(x, у{) *ж F(x, у2)) является алгебраическим над полем К(х)(у) = К(х,у), что и требовалось доказать. Явная формулировка результата этого упражнения впервые появилась в работе Woodcock С. F., Sharif Н. J. Algebra 128 (1990), 517-527 (теорема 5.1), с более сложным, чем наше, доказательством. Случай char К > 0 рассмотрен в упр. 6.11. Ь. Обозначим через *г произведение Адамара относительно переменной Х{ и через *ij — произведение Адамара относительно переменных Х{ и Xj. Поскольку (1 — х — у)~1 = J2 {ттП)хГПУП1 легко видеть, что Fk 1 1 *2 " *3 1 — Х\ — Х2 1 — Х2 — Хз 1 — Хз — Х4 1 *4 * ' * *fc-l 1 - Xk-l - Xk *ik- • (6.77) 1 - Xi - xk Применяя несколько раз предложение 4.2.52), получаем, что выражение в квадратных скобках рационально, откуда в силу п. (а) следует, что ряд Fk алгебраический. с. Ввиду формулы (6.76) нам необходимо вычислить diag ( *ж ). \1-х-уг 1-х-г/2/ Но 1 1-X-yi 1-Уг 1- Y^T 1 ~ 2/i i^D'-rt-v n^O х)Имеется в виду следующий результат. Если F(x) и G(x) —рациональные степенные ряды, то к этому классу относится и их произведение Адамара (F * G)(x). — Прим. перев. 2)См. примечание переводчика к п. (а). — Прим. перев.
Решения упражнений 337 Поэтому 1 1 1-x-yi 1-х- г/2 п^О 1_х ^ _ У1+У2-У1У2 1-х Теперь применим результат упр. 6.15 и получим у/(1-х + у)2 -Ау у/(1 - х - у)2 - Аху Рассуждая аналогичным образом, получаем а- у/(1 -x-y-z)2- Axyz Результаты пп. (Ь) и (с) принадлежат Карлицу (Саг- litz L. SIAM Review 6 (1964), 20-30), который действовал практически тем же методом, что и мы. Для доказательства п. (Ь) Карлиц не использовал прямо результат п. (а), а находил явную (хотя и основанную на рекуррентном соотношении) формулу для F&. В частности, Fk — Рь , где Pk —многочлен от х±,...,х^. (Этот результат может быть получен также тщательным анализом уравнения (6.77).) Дальнейшие сведения и ссылки, связанные с «циклическими биномиальными суммами» рассмотренного здесь вида, имеются в работе Strehl V. In: Series Formelles et Combinatoire Algebrique (P. Leroux and C. Reutenauer, eds.), Publ. du LACIM, vol. 11, Univ. du Quebec a Montreal, 1992, pp. 363-377. 6.10. Ряд у есть не что иное, как диагональ ряда q-m ir^-E^-w*'"; поэтому доказательство следует из теоремы 6.3.3. (Строго говоря, теорема 6.3.3 неприменима, поскольку мы имеем дело с рядом Лорана, а не со степенным рядом, однако доказательство проходит в точности таким же образом.) Несколько более общий результат был доказан Пойа [53]. 6.11. а. Этот результат содержится в работе Шарифа и Вудкока (Sharif Н., Woodcock С. F. J. London Math. Soc. (2) 37 (1988), 395-403 (с. 401)).
338 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Ь. Пусть G = 1/(1 — x\---Xk). Согласно п. (а), ряд F * G алгебраический над К{х\,.. .,#&). Но F * G = (diag F)(xi • •-Xfc) (диагональ ряда F по переменным #1 * * * хк)- Отсюда нетрудно вывести, что ряд (diag F)(x) алгебраический над К(х). Подробности см. там же, теорема 7.1. Этот результат был впервые доказан в работе Deligne Р. Invent. Math. 76 (1983), 129-143, при помощи очень изощренных методов. Другое элементарное доказательство (в дополнение к намеченному выше доказательству Шари- фа и Вудкока) содержится в статье Denef J., Lipshitz L. J. Number Theory 26 (1987), 46-67 (предложение 5.1). Ранее Фюрстенбергом [25] было показано, что диагональ рационального степенного ряда от нескольких переменных над полем характеристики р > 0 является алгебраическим рядом. Интересный обзор некоторых аспектов степенных рядов над полем характеристики р (а также некоторых результатов, верных для полей характеристики нуль), включая связи с конечными автоматами, имеется в работе Lipshitz L., van der Poorten A. J. In: Number Theory (R. A. Mollin, ed.), de Gruyter, Berlin-New York, 1990, pp. 340-358. Заметим, что п. (а) следует из п. (b), поскольку (F*G)(xu...,xk) = diaS</izi *e * tib&vkZk F(Vii • • • > Vk)G(zu ..., zk), где diag обозначает диагональ относительно переменных yi и Zi от переменной Х{. Следовательно, пп. (а) и (Ь) по существу эквивалентны (как отмечено в работе Allouche J.-P. Sem. Theor. Nombres Bordeaux (2) 1 (1989), 163-187). 6.12. Пусть t — новая переменная. Будем использовать обозначение xt для набора переменных xit,..., xmt (аналогично для yt). Обозначим через * обычное произведение Адамара относительно переменной t. Можно рассматривать F(xt) и G(yt) как рациональные степенные ряды от переменной t над полем К(х, у). Более того, F(x)VG(y) = F(xt) *G(yt)\t=1. Рассмотрим теперь предложение 4.2.5 г\ доказанное для поля К = С. На самом деле из его доказательства следует, что х)См. примечание переводчика к решению упр. 6.9(a). — Прим. перев.
Решения упражнений 339 над произвольным полем К произведение Адамара А * В рациональных степенных рядов А и В от одной переменной является рациональным рядом над алгебраическим замыканием поля К. Но поскольку произведение А * В определено над К, то легко видеть, что на самом деле ряд А * В рационален над К. Отсюда следует, что F(xt) * G(yt)eK(x,y)(t), и это завершает доказательство. Аналогичное рассуждение с использованием предложения 6.1.11 применимо к случаю, когда ряд F рациональный, а ряд G алгебраический. Произведение ^ было впервые определено (с другим обозначением) в работе Bochner S., Martin W. Т. Ann. Math. 38 (1938), 293-302. Результат этого упражнения был сформулирован без доказательства Шютценберже [65, с. 885]. 6.13. а. Остальные корни задаются формулой ^-^ЕС"^"1')^""'-"- (6.78) где £fc_1 = 1. В силу следствия 6.1.7 достаточно доказать требуемое утверждение для £ = 1. Пусть Нужно показать, что ккхк~гтк = (т- l)((jfe - 1)т + 1)к. (6.79) Применяя результат примера 6.2.7 к ряду —(к — 1)т = (1 — к)т (где к заменено на к/(к — 1)), получаем, что (1-А)т-1 / T$lO--k)T к fc-1 l + te-lXl-*)'- V + bei-W-Q-r) Простые алгебраические преобразования показывают, что это уравнение равносильно (6.79). Поскольку все к — 1 рядов (6.78) сопряжены над С (я), то, согласно следствию 6.1.7 (или предложению 6.1.6), либо многочлен Р(у) неприводим, либо ряд у = ^2{^)хп рационален. Легко видеть [почему?], что у не может быть рациональным, откуда следует неприводимость Р. Ь. Ответ: (-l)(^kki<k-^(kkx -(к- l)*-1)^"2.
340 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.14. Из рекуррентного соотношения (6.53) и формулы /(г,0) = 2~г следует, что (х2 -2х + y)F(x, у) = -2х + Н(у) при некотором Н(у) Е Q[[y]]. Левая часть формально обращается в нуль при х = 1 — л/1 — У\ следовательно, правая часть тоже. Значит, Н(у) = 2(1 — у/Т— у), откуда получаем, что Р{х,у)^1-^~У)-2Х х2 — 2х + у 1 — х + у/1 —у Это упражнение принадлежит Р. Пемантлу. Несколько иной результат, также принадлежащий Пемантлу, цитируется в работе Larsen М., Lyons R. J. Theor. Probab. 12 (1999), 201- 205. 6.15. Пусть Тогда F(s, *) = (!- sf(st) - tg(st) - h(st)) diagF = [m°] 77^ j-y-т— 1 - uf(x) - lg{x) - , -l и h[x) oi zl u2f — (h— l)u + xg' Вычисления, аналогичные вычислениям примеров 6.3.4, 6.3.8 и 6.3.9 (обобщением которых является данное упражнение), дают diag F = . у/(1 - hY - Axfg Можно привести также «наивное» доказательство, обобщающее решение упр. 1.5(b). 6.17. а. В силу условий на множество 5 никакой 5-путь не может перейти с одной стороны прямой у = х на другую, не останавливаясь на прямой у = х. Пусть Vrn —множество всех 5-путей из точки (0,0) в точку (га, га), не состоящих из единственного шага (га, га) и лежащих строго ниже прямой у = х за исключением точек (0,0) и (га, га). Каждый 5-путь из точки (0,0) в точку (п, п) единственным образом представляется в виде произведения (соединения) й'-путей следующих типов: (i) единственный шаг вида (j,j) из множества 5, (И) элементы множества Vm при некотором га и (iii) отражения относительно прямой
Решения упражнений 341 у = х элементов множества Vm при некотором га. Каждый 5-путь из точки (0,0) в точку (п,п), не поднимающийся выше прямой у = х, единственным образом представляется в виде произведения 5-путей типов (i) и (и). Поэтому если Р(х) = Em^i(#^)xm' то r=z 1 Н = —1— 1-К-2Р' 1-К-Р' Исключение Р из этих двух уравнений дает Н = 2/(1 — К -f- G-1), что и требовалось. b. Имеем К(х) = х, а из упр. 1.5(b) или примера 6.3.8 получаем, что G(x) = 1/\/1 — 6х + х2. Следовательно, ТТ/ , 2 1 - х - у/1 - 6х + х2 Н(х) = = = ; 1 - х + VI - 6я + х2 2х поэтому из обсуждения второй проблемы Шредера в разд. 6.2 следует, что h(n) = гп. c. При обсуждении второй проблемы Шредера было замечено, что число rn/2 (= sn) на самом деле перечисляет рассечения подходящего вида. Однако это наблюдение приводит к доказательству формулы h(n) = гп с помощью производящих функций, но не дает ее комбинаторного доказательства. Комбинаторное доказательство было приведено в работе Shapiro L. W., Sulanke R. A. Math. Mag. 73 (2000), 369-375. 6.18. См. Gessel I. M. J. Combinatorial Theory (A) 28 (1980), 321- 337 (следствие 5.4). 6.19. Потребовался бы отдельный трактат для того, чтобы подробно обсудить все известные взаимосвязи между этими задачами. Мы ограничимся некоторыми краткими намеками и ссылками, которые могут служить средством для дальнейшего развития «каталановой болезни» или «каталании» (= ка- таланомании). Интересным примером, опущенным в списке ввиду своего сложного описания, является число флексаго- нов порядка п +1; дальнейшая информация имеется в статье Oakley С. О., Wisner R. J. Arner. Math. Monthly 64 (1957), 143-154 (особенно с. 152). Пункты (a), (b), (с), (h), (i), (г) охватываются следствием 6.2.3. d. Этот факт содержится в примере 5.3.12. Другой способ: будем осуществлять поиск в глубину, игнорируя корневое ребро и записывая 1 при первом проходе левого ребра и — 1 при первом проходе правого ребра. Это дает биекцию с п. (г). Заметим также, что при удалении всех концевых
342 Гл. 6. Алгебраические производящие функции вершин (вместе с инцидентными ребрами) мы получаем деревья из п. (с). e. Этот факт содержится в примере 6.2.8. Чтобы построить биекцию с п. (г), будем осуществлять на дереве поиск в глубину. Проходя по ребру «вниз» (от корня), будем записывать 1, а проходя по ребру вверх, будем записывать — 1. Дальнейшая информация и ссылки имеются в статье Klarner D. A. J. Combinatorial Theory 9 (1970), 401-411. f. При удалении корня получим деревья из п. (d). См. также работу Klarner D. А., цит. выше. g. Биекция между пп. (i) и (iv) предложения 6.2.1 дает биекцию между данной задачей и п. (j). Изящная биекция с п. (е) была предложена Ф. Бернхартом (частное сообщение, 1996). j. Пусть А(х) = х + х3 + 2х4 + 6х5 + • • • (соответственно В(х) = х2 + х3 + За:4 + 8х5 Н ) — производящая функция для путей Дика из точки (0,0) в точку (2п, 0) (п > 0), таких, что каждый путь касается оси х только в начальной и конечной точках и число шагов вида (1,-1) в конце пути нечетно (соответственно четно). Пусть С(х) = 1 + х + 2х2 + Бх3 + • • • — производящая функция для всех путей Дика из точки (0,0) в точку (2п, 0), коэффициенты которой есть числа Каталана согласно п. (i). Легко видеть, что А = х(1 + С В) и В = хСА. (А также С = 1/(1 — А — В), хотя этот факт нам не понадобится.) Разрешая эти уравнения относительно А, получаем, что А = х/(1 — х2С2). Искомая производящая функция равна 1/(1 — А). Это выражение упрощается (с использованием соотношения 1 + хС2 = С) до вида 1 + хС, что завершает доказательство. Этот результат принадлежит Э. Дёйчу (частное сообщение, 1996). к. Этот результат заимствован из работы Peart P., Woan W. Dyck paths with no peaks at height 2, preprint, в которой приводится доказательство, использующее производящие функции, а также простая биекция с п. (i). 1. Область, ограниченная двумя такими путями, называется параллелограммным полимино. Она представляет собой массив, состоящий из единичных клеток, имеющий, скажем, к столбцов Ci,..., С&. Пусть ai — число клеток в столбце d при 1 < г < к, и пусть bi— число строк, общих для столбцов d и C»+i, при 1 < г < к — 1. Определим последовательность а, состоящую из единиц и минус
Решения упражнений 343 единиц, следующим образом: . . . \ак—bfc-i + lf_]\afc (возведение в степень обозначает повторение). Это дает биекцию с п. (г). Для параллелограммного полимино, изо- Рис. 6.12. Параллелограммное полимино. браженного на рис. 6.12, имеем (ai,...,a7) = (3,3,4,4,2, 1,2) и (&i,..., be) = (3,2,3,2,1,1). Поэтому (записывая — вместо —1) имеем а = 111 - 1 - -111 - -11 1 - -1 - 11 - -. Перечисление параллелограммных полимино рассмотрено в работах Levine J. Scripta Math. 24 (1959), 335-338, и позже Polya G. J. Combinatorial Theory 6 (1969), 102- 105. См. также работы Shapiro L. W. Discrete Math. 14 (1976), 83-90; Woan W.-J., Shapiro L. W., Rogers D. G. Arner. Math. Monthly 104 (1997), 926-931, и Sulanke R. A. J. Diff. Equ. Appl. 5 (1999), 155-176. Дальнейшая информация об удивительной теме перечисления полимино может быть найдена в работах Delest М.-Р., Viennot G. Theor. Comput. Sci 34 (1984), 169-206, и Viennot X. G. In: Series formelles et combinatoire algebrique (P. Leroux and C. Reutenauer, eds.), Publ. du LACIM, vol. 11, Univ. du Quebec к Montreal, 1992, pp. 399-420. m. Будем рассматривать путь как последовательность шагов и удалим первый и последний шаги из каждого из двух путей из п. (1). Эта вариация п. (1) была предложена Л. Шапиро (частное сообщение, 1998). п. Зафиксируем вершину v. Будем обходить окружность по часовой стрелке, начиная с вершины v, и записывать в каждой вершине 1, если некоторая хорда встретилась впервые, и —1 в противном случае. Это дает биекцию с
344 Гл. 6. Алгебраические производящие функции п. (г). Этот результат, по-видимому, принадлежит А. Эр- рера (Errera А. Mem. Acad. Roy. Belgique Coll. 8° (2) 11 (1931)). См. также Riordan J. Math. Сотр. 29 (1975), 215- 222, и Dulucq S., Penaud J.-G. Discrete Math. 17 (1993), 89-105. о. Разрежем окружность из п. (п) между двумя фиксированными вершинами и «выпрямим» ее. р, q. Эти результаты взяты из работы Gelfand I. М., Graev М. L, Postnikov A. In: The Arnold-Gelfand Mathematical Seminars, Birkhauser, Boston, 1997, pp. 205-221 (§6). Относительно п. (p) заметим, что всегда имеется дуга, соединяющая самую левую и самую правую вершины. Если удалить эту дугу, мы получим два меньших дерева, удовлетворяющих условиям задачи. Это приводит к простой биекции с п. (с). Деревья из п. (р) называются непересекающимися чередующимися деревьями. Эквивалентный способ установить эту биекцию заключается в следующем. Пусть Т — непересекающееся чередующееся дерево на множестве вершин 1,2,..., п + 1 (в данном порядке слева направо). Предположим, что вершина г имеет г* соседей, больших чем г. Пусть щ —слово в алфавите {1,-1}, состоящее из ri единиц, за которыми следует минус единица. Пусть и(Т) = U\U2 • • -^п+ь Тогда и есть биекция между объектами, перечисляемыми в пп. (р) и (г). М. Шлоссер показал, что в точности то же определение отображения и дает биекцию между пп. (q) и (г)! Однако доказательство этого факта значительно труднее, чем в случае п. (р). (Более сложная биекция была предложена ранее К. Краттенталером.) Дальнейшая информация о деревьях, удовлетворяющих условиям (а), (/3) и (S) (которые называются чередующимися деревьями), содержится в упр. 5.41. s. Рассмотрим решеточный путь Р вида (h). Пусть ai — 1 — площадь области, лежащей выше оси х между прямыми х = i — 1 и х = г ниже пути Р. Это дает требуемую биекцию. t. Вычитая г — 1 из а* и добавляя единицу в начало, получим последовательность из п. (s). Этот результат тесно связан с упр. 25(c). Если заменить алфавит 1,2,..., 2(п — 1) на п — 1, п — 1, п — 2, п — 2,..., 1,1 (в данном порядке) и записать новую последовательность b\, &2, • • •, frn-i в столбец в обратном порядке, то мы получим массивы из работы King R. Lecture Notes in Physics 50, Springer-Verlag,
Решения упражнений 345 Berlin-Heidelberg-New York, 1975, pp. 490-499 (см. также Sundaram S. J. Combinatorial Theory (A) 53 (1990), 209-238 (определение 1.1)), которые параметризуют веса (n — 1)-го фундаментального представления группы Sp(2(n-l),C). u. Пусть bi = ai — ai+i + 1. Заменив ai на последовательность, состоящую из одной единицы, за которой следует Ь{ минус единиц, при 1 ^ г ^ п (где an+i =0), получим последовательность из п. (г). v. Возьмите первые разности последовательностей из п. (и). w. Будем осуществлять поиск в глубину на плоском дереве с п + 1 вершинами, как в п. (е). При первом прохождении вершины запишем число, на единицу меньшее, чем число ее сыновей, а последнюю вершину проигнорируем. Это дает биекцию с п. (е). х. Эти последовательности есть не что иное, как таблицы инверсий (определенные в разд. 1.3 ^) 321-избегающих перестановок из п. (ее). Доказательство см. в статье ВШез' S. С, Jockusch W., Stanley R. J. Alg. Combinatorics 2 (1993), 345-374 (теорема 2.1). (В цитированной работе речь идет о коде c{w) перестановки w, а не о таблице инверсий I(w). Они связаны соотношением c(w) = I(w~1). Поскольку перестановка w является 321-избегающей тогда и только тогда, когда перестановка w~l является 321-избегающей, не имеет значения, работаем мы с кодом или с таблицей инверсий.) у. Если заменить ai на п — а;, то полученные последовательности будут в точности таблицами инверсий 213- избегающих перестановок w (т.е. перестановок w, для которых не существует тройки индексов i < j < к, такой, что Wj < wi < Wk). Такие перестановки находятся в очевидной биекции с 312-избегающими перестановками из п. (ff). Дальнейшие аспекты этого упражнения рассмотрены в упр. 6.32. z. Для данной последовательности ai,...,an перечисляемого вида определим рекурсивно двоичное дерево T(ai,... ,an) следующим образом. Положим Т(0) = 0. При п > 0 положим левое главное поддерево дерева T(ai,..., ап) равным T(ai, а^ ..., an_an), а правое главное поддерево равным T(an_an+i, an_an+2,..., an_i). Это дает биекцию с п. (с). Другой способ: последовательности ап — 1, ап-\ — 1,..., а\ — 1 суть в точности таблицы инверсий 312-избегающих перестановок из п. (ff). Заметим )См. примечание переводчика к упр. 5.8(f)(iv). — Прим. перев.
346 Гл. 6. Алгебраические производящие функции также, что последовательности а\,..., ап суть в точности последовательности т(и), и Е 6П, из упр. 5.49(d). аа. Если а = а\ • • • а& — слово в алфавите [п — 1], положим w(a) = sai - - - sak £ ©п, где S{ обозначает элементарную транспозицию (г, г + 1). Тогда w{a) — w(b) при а ~ Ъ. Перестановки w(a), где а пробегает множество представителей перечисляемых классов В, суть в точности перестановки, перечисляемые в п. (ее). Это утверждение следует из работы Billey S. С, Jockusch W., Stanley R. J. Alg. Combinatorics 2 (1993), 345-374 (теорема 2.1). bb. Рассмотрим разбиение, диаграмма которого содержится в квадрате размера (тг — 1) х (п— 1), как порядковый идеал ч.у. множества (п — 1) х (п — 1). Тогда перечисляемые разбиения соответствуют порядковым идеалам из п. (ссс). Биекции с другими каталановыми семействами были предложены Д. Э. Кнутом и А. Постниковым. Би- екция Постникова состоит в следующем. Пусть Л — разбиение, диаграмма которого содержится в квадрате 5 размера (тг— 1)х(п— 1). Пусть х — нижний правый угол квадрата Дюрфи1) разбиения Л. Пусть L\ —решеточный путь из верхнего правого угла квадрата S в точку ж, который следует по границе диаграммы разбиения Л. Аналогично пусть Z/2 — решеточный путь из нижнего левого угла квадрата S в точку ж, который следует по границе диаграммы разбиения Л. Отразим путь L^ относительно главной диагонали квадрата S. Путь L\ и отражение пути Z/2 образуют пару путей из п. (т). Рис. 6.13 иллюстрирует эту биекцию при п = 8 и Л = (5, 5,3,3,3,1). Путь L\ изображен жирными линиями, а путь L,2 и его отражение — пунктирными линиями. Рис. 6.13. Биекция между пп. (ссс) и (bb). ) См. примечание переводчика в конце разд. 7.2. — Прим. перев.
Решения упражнений 347 ее. Удалим первое вхождение каждого числа. То, что останется, есть перестановка w множества [п], которая однозначно определяет исходную последовательность. Полученные перестановки суть в точности перестановки из п. (ff). Существует также очевидная биекция между перечисляемыми последовательностями и непересекающимися дугами из п. (о). dd. Заменив каждое нечетное число на единицу и каждое четное число на минус единицу, получим биекцию с п. (г). ее. Следствие 7.23.11 показывает, что алгоритм Робинсона- Шенстеда-Кнута (разд. 7.11) устанавливает биекцию с п. (хх). См. также книгу Knuth D. Е. The Art of Computer Programming, vol. 3, Sorting and Searching, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1973 (c. 64)^. Самое раннее явное перечисление 321-избегающих перестановок, по-видимому, содержится в работе Hammers- ley J. М. In: Proc. Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, vol. 1, University of California Press, Berkeley-Los Angeles, 1972, pp. 345-394. В уравнении (15.9) Хаммерсли формулирует этот результат с комментарием «и это можно доказать в общем случае». Первым опубликованным доказательством является комбинаторное доказательство из работы Rogers D. G. Discrete Math. 22 (1978), 35-402). Другое прямое комбинаторное доказательство, основанное на идее Гудмана, де ля Харпа и Джонса, имеется в работе Билли, Джо- куша и Стенли (Billey S. С, Jockusch W., Stanley R. J. Alg. Combinatorics 2 (1993), 345-374 (после доказательства теоремы 2.1)). Набросок этого доказательства состоит в следующем. Для данной 321-избегающей перестановки w = а\а2"-ап положим с» = #{j : j > г, Wj < Wi}. Пусть {ji,...,j*}< = {j : Cj > 0}. Определим решеточный путь из точки (0,0) в точку (п, п) следующим образом. Пойдем по горизонтали из точки (0,0) в точку (сл + ii—1> 0)5 затем по вертикали в точку (с^ +j\ — 1, j\), затем по горизонтали в точку (cj2 +J2 — 1, j\), затем по вертикали в точку (cj2+J2 — 1, J2) и т. д. Последняя часть пути х) Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 3. Сортировка и поиск. — М.: Мир, 1978. — Прим. перев. 2) Утверждение о том, что первое опубликованное доказательство формулы для перечисления 321-избегающих перестановок принадлежит Роджерсу, неточно. Кнут привел такое доказательство в 1973 г. в работе, ссылка на которую приведена выше в решении этого пункта. Кроме того, биективное доказательство было найдено в работе Rotem D. Inf. Proc. Letters 4 (1975), 58-61. — Прим. автора при переводе.
348 Гл. 6. Алгебраические производящие функции есть вертикальный отрезок из точки (cJ£ + je — l,je-i) в точку (n,je), затем (при необходимости) горизонтальный отрезок в точку (cje + je — l,n) и, наконец, вертикальный отрезок в точку (п, п). Это дает биекцию с п. (h). Изящная биекция с п. (ff) имеется в статье Simion R., Schmidt F. W. Europ. J. Combinatorics 6 (1985), 383-406 (предложение 19). Две другие биекции с п. (ff) приведены в работах Richards D. Ars Combinatoria 25 (1988), 83-86, и West J. Discrete Math. 146 (1995), 247-262 (теорема 2.8). ff. Имеется очевидная биекция между 312-избегающими и 231-избегающими перестановками, а именно а\а2 ... ап »-> п + 1 — ап, ...,п+ 1 — а2,п+ 1 — (ц. Легко видеть, что 231-избегающие перестановки суть в точности перестановки из п. (и), что было впервые замечено Кнутом [5.41, упр. 2.2.1.5]. Перечисление, использующее числа Ката- лана, имеется там же, упр. 2.2.1.4. Ссылки на биекции с п. (ее) приведены в решении п. (ее). Задача перечисления перестановок в &п в соответствии с числом подпоследовательностей вида 132 (или, что эквивалентно, вида 213, 231 или 312), рассмотрена в статье Bona М. In: Conference Proceedings, vol. 1, Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, July 14 - July 18, 1997, Universitat Wien, pp. 107-118. gg. Этот результат приведен на с. 796 работы Jackson D. М. Trans. Amer. Math. Soc. 299 (1987), 785-801, но, по- видимому, он восходит к гораздо более раннему времени. В качестве прямого биективного доказательства нетрудно показать, что перечисляемые здесь инволюции —те же, что и в п. (kk). hh. Кодирование планарных отображений, приведенное в работе Cori R. Asterisque 27 (1975), при ограничении на плоские деревья дает биекцию с п. (е). и. Будем записывать 1, когда элемент ai помещается в стек, и —1, когда он вынимается из стека. Это дает биекцию с п. (г). Этот результат принадлежит Кнуту [5.41, упр. 2.2.1.4]. Перечисляемые перестановки суть в точности 231-избегающие перестановки, которые находятся в очевидной биекции с 312-избегающими перестановками из п. (ff) (см. Кнут, цит. выше, упр. 2.2.1.5). jj. Это то же множество, что и в п. (ее), как было впервые замечено в работе Tarjan R. J. Assoc. Comput. Mach. 19 (1972), 341-346 (случай m = 2 леммы 2). Понятие очередь- сортировки принадлежит Кнуту [5.41, гл. 2.2.1]. kk. Очевидна биекция с п. (о).
Решения упражнений 349 И. См. Gessel I. М., Reutenauer С. J. Combinatorial Theory (А) 64 (1993), 189-215 (теорема 9.4 и последующее обсуждение). mm. Этот результат содержится в работе Guibert О., Linusson S. In: Conference Proceedings, vol. 2, Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, July 14-July 18, 1997, Universitat Wien, pp. 243-252. Существует ли хорошая формула для числа чередующихся перестановок Бакстера множества [га]? пп. Это то же множество, что и в п. (ее). См. теорему 2.1 работы Билли и др., цитированной в п. (ее). Обобщение на другие группы Кокстера имеется в статье Stembridge J. R. J. Alg. Combinatorics 5 (1996), 353-385. oo. Это в точности 132-избегающие перестановки wi- • -wn множества [n] (т.е. перестановки w, для которых не существует тройки индексов г < j < к, такой, что Wi < Wk < Wj), находящиеся в очевидной биекции с 312- избегающими перестановками из п. (ff). Этот факт немедленно вытекает из следующих результатов: (i) Macdo- nald I. G. Notes on Schubert Polynomials, Publications du LACIM, vol. 6, Univ. du Quebec a Montreal, 1991, (4.7) и обратное к нему утверждение, сформулированное на с. 46 (принадлежащее А. Ласку и М. П. Шютценберже), (и) там же, формула (6.11) (принадлежащая Макдональ- ду), (iii) п. (ff) данного упражнения и (iv) простая харак- теризация доминантных перестановок (определенных в цитированной работе Макдональда) как 132-избегающих перестановок. Более простое доказательство ключевого утверждения (6.11) работы Макдональда имеется в статье Fomin S., Stanley R. Advances in Math. 103 (1994), 196-207 (лемма 2.3). pp. См. упр. 3.68 (b). Непересекающиеся разбиения впервые появились в работе Becker Н. W. Math. Mag. 22 (1948-49), 23-26, в виде планарных схем рифмовки, т. е. схем рифмовки, не имеющих пересечений на диаграмме Путтенхе- ма, введенной в работе Puttenham G. The Arte of English Poesie, London, 1589 (c. 86-88). Дальнейшие результаты о непересекающихся разбиениях имеются в работах Prodinger Н. Discrete Math. 46 (1983), 205-206; Dershowitz N., Zaks S. Discrete Math. 62 (1986), 215-218; Simion R.5 Ullman D. Discrete Math. 98 (1991), 193-206; Edelman P. H.5 Simion R. Discrete Math. 126 (1994), 107-119; Simion R. J. Combinatorial Theory (A) 65 (1994); Speicher R. Math. Ann. 298 (1994), 611-628; Nica A., Speicher R. J. Alg.
350 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Combinatorics 6 (1997), 141-160; Stanley R. Electron. J. Combinatorics 4, R20 (1997). См. также упр. 5.351). qq. Ясно, что эти разбиения — те же, что и непересекающиеся разбиения из п. (рр). Это описание непересекающихся разбиений принадлежит Р. Стейнбергу (частное сообщение). гг. Очевидна биекция с п. (рр). (Вертикальные линии содержатся в одном блоке, если они соединены горизонтальной линией.) Как было упомянуто в разделе «Замечания» к гл. 1, диаграммы Мурасаки использовались в «Повести о Гэндзи» для представления 52 разбиений пятиэлемент- ного множества. Непересекающиеся диаграммы Мурасаки в точности соответствуют непересекающимся разбиениям. То, что непересекающиеся диаграммы Мурасаки перечисляются числами Каталана, по-видимому, было впервые замечено Гульдом, который указал на этот факт М. Гарднеру, что привело к его упоминанию в [27]. В действительности сама леди Мурасаки не использовала диаграммы Мурасаки. Только начиная с васанского периода старой японской математики (конец 1600-х годов — значительная часть 1700-х) васанисты стали снабжать диаграммами Мурасаки (которые на самом деле были виртуальными диаграммами) иллюстрированные издания «Повести о Гэндзи». ss. Этот результат был доказан в работе Klazar М. Europ. J. Combinatorics 17 (1996), 53-68 (с. 56) при помощи метода производящих функций. tt. См. работу Mullin R. С, Stanton R. G. Pacific J. Math. 40 (1972), 167-172 (с. 168), в которой установлена биекция с п. (е). Показано также, что 2п + 1 есть наибольшее возможное значение к, для которого существует непересекающееся разбиение множества [к], состоящее из п + 1 блоков, такое, что ни один блок не содержит двух последовательных целых чисел. Простая биекция с п. (а) приведена в работе Roselle D. P. Utilitas Math. 6 (1974), 91-93. Следующая биекция с п. (f) принадлежит А. Ветта (1997 г.). Пометим вершины дерева из п. (а) числами 1, 2,..., 2п— 1 в порядке их обхода при поиске в глубину на этом дереве. Элементы г и j лежат в одном блоке разбиения 7г Е li-2n-i, если j является правым сыном г. 1^По поводу непересекающихся разбиений см. также прекрасную обзорную статью Simion R. Discrete Math. 217 (2000), 367-409. — Прим. автора при переводе.
Решения упражнений 351 uu. Пусть Рп — ч. у. множество интервалов цепи п, имеющих по крайней мере два элемента, упорядоченное по включению. Пусть Ап — множество антицепей ч. у. множества Рп. Как указано в последнем абзаце разд. 3.1, #ДП равно числу порядковых идеалов ч.у. множества1) Рп. Но Рп изоморфно ч.у. множеству Int(n — 1) всех (непустых) интервалов ч.у. множества п — 1, откуда в силу п. (bbb) получаем #Ап = Сп. Для данной антицепи A Е Ап определим разбиение 7г множества [п] при помощи следующего условия: элементы г и j (где г < j) принадлежат одному блоку разбиения 7г, если [г,^] Е А (не налагая никаких других условий, не вытекающих из этого). Это дает биекцию между Ап и невложенными разбиениями множества [п]. Дальнейший результат о невложенных разбиениях содержится в решении упр. 5.44. Данное упражнение было получено в сотрудничестве с А. Постниковым. Понятие невложенных разбиений для произвольной группы отражений (рассматриваемый случай соответствует симметрической группе &п) принадлежит Постникову и развито далее в работе Athanasiadis С. А. Electron. J. Combinatorics 5 (1998), R42; печатная версия J. Combinatorics 5 (1998), 617-632. w. Если Л = (Ai,..., An_i) С (n — 1, n — 2,..., 1), то последовательности (l,An_i + l,...,Ai + 1) находятся в биек- ции с последовательностями из п. (s). Заметим также, что множество диаграмм Юнга, содержащихся в диаграмме (п — 1, п — 2,..., 1), упорядоченное по включению (т. е. интервал [0, (п—1, п—2,..., 0)] решетки Юнга, определенной в упр. 3.632)), изоморфно J(Int(n — 1))*, что дает биекцию с п. (bbb). ww. Для стандартной таблицы Юнга Т формы (п, п) определим последовательность а\а^ • • • й2п следующим образом: ai = 1, если число г содержится в строке 1 таблицы Т, и ai = — 1, если число г содержится в строке 2. Это дает биекцию с п. (г). См. также [7.72, с. 63] и наше предложение 7.10.3. х) Имеется взаимно однозначное соответствие между антицепями А и порядковыми идеалами / ч.у. множества Р: антицепь А есть множество максимальных элементов идеала 1,а,1 = {хЕР:х^у для некоторого у £ А}. — Прим. перев. 2) Решеткой Юнга называется множество всех разбиений всех целых чисел п с покомпонентным упорядочением, т. е. (и\, U2, • • •) ^ (Ai, Лг,. • •)» если Hi ^ Aj при всех г. — Прим. перев.
352 Гл. 6. Алгебраические производящие функции хх. См. биекцию с 321-избегающими перестановками в решении п. (ее) (первый абзац). Элегантная биекция с п. (ww) приведена в книге [2.15, т. 1, 131] ^ (и воспроизведена в [7.72, с. 63]). А именно, для данной стандартной таблицы Юнга Т формы (п, п) пусть таблица Р состоит из части таблицы Т, содержащей элементы 1,..., п, а таблица Q — из дополнения к Р в Т, повернутого на 180°, причем элемент г заменен на 2п + 1 — г. См. также следствие 7.23.12. уу. Пусть Ъ{ —число элементов в строке г, равных п — г + 1 (так что Ъп = 0). Полученные таким образом последовательности Ьп + 1, Ьп-\ + 1,..., Ь\ + 1 находятся в биекции с последовательностями из п. (s). zz. Этот результат эквивалентен предложению 2.1 работы Billey S. С, Jockusch W., Stanley R. J. Alg. Combinatorics 2 (1993), 345-374. См. также последний абзац на с. 363 цитированной работы. ааа. Очевидна биекция с п. (ww). Эта интерпретация чисел Ка- талана содержится в работе [3.34, с. 222] 2К Заметим также, что если пометить элементы множества 2 х п способом, аналогичным тому, который был проиллюстрирован в случае п = 3, то линейные расширения совпадают с перестановками из п. (dd). bbb. Имеется очевидная биекция с порядковыми идеалами / ч. у. множества Int(n), которые содержат каждый одноэлементный интервал ч. у. множества п. Но «верхняя граница» диаграммы Хассе ч. у. множества / «выглядит как» путь Дика из п. (i). См. [3.34, внизу с. 222]. ссс. Этот факт эквивалентен случаю q = 1 результата из работы Andrews G. Е. J. Stat Plan. Inf. 34 (1993), 19-22 (следствие 1). Более явная формулировка и некоторые обобщения имеются в работах Donnelly R. G. Ph. D. thesis, University of North Carolina, 1997, и Symplectic and odd orthogonal analogues of L(m, n), preprint3). Биективное доказательство см. в решении п. (bb). Последовательность ч. у. множеств, осуществляющая интерполяцию между ч. у. множеством Int(n — 1) из п. (bbb) и ч. у. множеством Лп_х, все множества которой имеют Сп порядковых идеалов, была предложена Д. Э. Кнутом (частное сообщение, 9 декабря 1997 г.). 1)MacMahon P. A. Combinatory Analysis, vol. 1, Cambridge University Press, 1915. — Прим. перев. 2) Stanley R. Fib. Quart. 13 (1975), 215-232. — Прим. перев. 3) Имеется печатная версия: Symplectic analogs of the distributive lattices L(m,n). J. Combinatorial Theory (A) 88 (1999), 217-234. — Прим. перев.
Решения упражнений 353 ddd. Для данной последовательности 1 ^ а\ ^ • • • ^ ап целых чисел, удовлетворяющей условию а* ^ г, определим ч.у. множество Р на множестве {xi,...,xn} следующим образом: Х{ < Xj тогда и только тогда, когда j -f- an+i_i ^ п + 1. (Эквивалентная формулировка: пусть Z — матрица дзета-функции ч. у. множества Р; тогда единицы в матрице Z — I образуют диаграмму Юнга некоторого разбиения, повернутую на 90° по часовой стрелке и сдвинутую в правый верхний угол.) Это дает биекцию с п. (s). Этот результат содержится в работе Wine R. L., Preund J. Е. Ann. Math. Stat 28 (1957), 256-259. См. также работу Dean R. A., Keller G. Canadian J. Math. 20 (1968), 535-554. Такие ч. у. множества теперь называются полупорядками. Дальнейшая информация может быть найдена в книгах Fishburn Р. С. Interval Orders and Interval Graphs, Wiley- Interscience, New York, 1985, и Trotter W. T. Combinatorics and Partially Ordered Sets, The Johns Hopkins University Press, Baltimore-London, 1992 (гл. 8). Помеченный вариант этого упражнения рассмотрен в упр. 6.30. еее. Решетка J(P) порядковых идеалов ч. у. множества Р имеет естественную планарную диаграмму Хассе. Она содержит два элемента, накрывающие 0, которые соответствуют двум минимальным элементам ч. у. множества Р. Нарисуем диаграмму Хассе решетки J(P) так, чтобы минимальный элемент ч. у. множества Р, соответствующий корню, находился слева от 0 (тогда другой минимальный элемент будет находиться справа). Тогда «внешняя граница» диаграммы Хассе будет «выглядеть как» пара путей из п. (1) (повернутая на 45° против часовой стрелки). fff. Эти отношения называются отношениями подобия. См. Shapiro L. W. Discrete Math. 14 (1976), 83-90; Strehl V. Discrete Math. 19 (1977), 99-101; Rogers D. G. J. Combinatorial Theory (A) 23 (1977), 88-98; Moon J. W. Discrete Math. 26 (1979), 251-260. Мун приводит биекцию с п. (г). Э. Дёйч (частное сообщение) указал элегантную биекцию с п. (h), а именно, множество, ограниченное путем и его отражением относительно диагонали, является отношением подобия (как подмножество множества [п] х [п]). Связность столбцов гарантирует, что выполнено последнее требование из определения отношения подобия. ggg. Простое комбинаторное доказательство дано в работе Shapiro L. W. J. Combinatorial Theory 20 (1976), 375-376. Шапиро отмечает, что этот результат есть комбинаторное
354 Гл. 6. Алгебраические производящие функции проявление тождества г-2к/ Ск — Cn-fl, к^О х 7 доказанного в работе Touchard J. In: Proc. Int. Math. Congress, Toronto (1924), vol. 1, 1928 (c. 465). hhh. Очевидна биекция с п. (bbb). Эта интерпретация в терминах составляемых монет принадлежит Дж. Проппу. См. Odlyzko А. М., Wilf Н. S. Amer. Math. Monthly 95 (1988), 840-843 (замечание 1). Hi. См. van Lint J. H. Combinatorial Theory Seminar, Eindhoven University of Technology, Lecture Notes in Math. 382, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1974 (c. 22 и 26- 27)1). jjj. Общее число n-элементных мультимножеств на Z/(n+l)Z равно (^) (см. разд. 1.2). Назовем два таких мультимножества М и N эквивалентными, если при некотором k Е Z/(n -f- 1)Z выполнены условия М = {ai,..., ап} и N — \а\ + &,..., an + к}. Это определяет отношение эквивалентности, в котором каждый класс эквивалентности содержит п + 1 элементов, причем в точности для одного из них сумма элементов равна 0. Поэтому число мультимножеств, сумма элементов которых равна 0 (или любому другому фиксированному элементу из Z/(n -f- 1)Z), равно 7Г+Т Сп) * Этот результат содержится в работе Guy R. К. Amer. Math. Monthly 100 (1993), 287-289 (с несколько более сложным доказательством, принадлежащим А. Гессе- лю). kkk. Этот результат неявным образом содержится в работе Viennot G. X. Asterisque 121-122 (1985), 225-246. Более точно, биекция, использованная для доказательства формулы (12), при ограничении на слова Дика дает искомую биекцию. Более простая биекция следует из работы Penaud J.-G. Seminaire Lotharingien de Combinatoire, 22е Session, Universite Louis Pasteur, Strasbourg, 1990, pp. 93-130 (следствие IV-2-8). Еще одно доказательство следует из более общих результатов работы Betrema J., Penaud J.-G. Theoret. Comput. Sci. 117 (1993), 67-88. Некоторые задачи, связанные с этим результатом, приведены в упр. 6.46. х) Следует отметить, что диагонали фриз-схем из упр. 6.19(mmm) в точности являются последовательностями \a\a2 ... ап1 из данного упражнения. — Прим. автора при переводе.
Решения упражнений 355 111. Пусть / — порядковый идеал ч. у. множества Int(n — 1), определенного в п. (bbb). Сопоставим порядковому идеалу / множество Ri всех точек (xi,...,xn) Е Rn, удовлетворяющих УСЛОВИЯМ Х\ > • • • > Хп И Х{ — Xj < 1 при [i,j - 1] 6 /. Это дает биекцию между п. (bbb) и перечисляемыми областями Я/. Этот результат неявным образом содержится в статье Stanley R. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 93 (1996), 2620-2625 (§2), а также (как часть более общих результатов) в работах Athanasiadis С. А. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1996 (следствие 7.1.3), и Postnikov A., Stanley R. J. Combinatorial Theory (A) 91 (2000), 544-597 (предложение 7.2). mmm. Пусть P — выпуклый (n-f-2)-угольник с вершинами V\,V2, ..., vn+2, перечисленными по часовой стрелке. Пусть Т — триангуляция многоугольника Р из п. (а), и пусть ai — число треугольников, инцидентных вершине V{. Тогда отображение Т »—> (а\,..., ап+2) устанавливает биекцию с п. (а). Этот замечательный результат принадлежит Кон- вею и Кокстеру [20, задачи (28) и (29)]. Массивы (6.54) называются фриз-схемами1"*. nnn. См. Leighton F. Т., Newman М. Proc. Amer. Math. Soc. 79 (1980), 177-180, и Shapiro L. W. Proc. Amer. Math. Soc. 90 (1984), 488-496. 6.20. а. Пусть P — путь первого типа, и пусть (г, г) — первая точка пути Р, лежащая на прямой у = х. Заменим часть пути Р от точки (1,0) до точки (г, г) ее отражением относительно прямой у = х. Это дает искомую биекцию. Это рассуждение представляет собой знаменитый «принцип отражения» Андре (Andre D. С. R. Acad. Sci. Paris 105 (1887), 436-437). Приложение (b) также принадлежит Андре. Важность принципа отражения для комбинаторики и теории вероятностей была осознана У. Фел- лером (См. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Rs Applications, vol. 1, John Wiley & Sons, New York, 1950 (3rd ed., 1968)2)). Большое число обобщений и вариаций этого принципа содержится в книгах Takacs L. Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes, x) Несколько дополнительных ссылок, касающихся фриз-схем: Coxeter Н. S. М. Acta Arith. 18 (1971), 297-310; Coxeter Н. S. М., Rigby J. F. In: The Lighter Side of Mathematics (R. K. Guy and R. E. Woodrow, eds.), Math. Assoc, of America, Washington, DC, 1994, pp. 15-27. — Прим. автора при переводе. 2) Имеется перевод: Феллер У. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. — М.: Мир, 1984. — Прим. перев.
356 Гл. 6. Алгебраические производящие функции John Wiley & Sons, New York, 19671); Narayana T. V. Lattice Path Combinatorics with Statistical Applications, Mathematical Expositions, no. 23, University of Toronto Press, Toronto, 1979; Mohanty S. G. Lattice Path Counting and Applications, Academic Press, New York, 1979. Глубокое обобщение принципа отражения, основанное на теории групп Кокстера, а также некоторые дополнительные ссылки имеются в работе Gessel I., Zeilberger D. Proc. Amer. Math. Soc. 115 (1992), 27-31. b. Первый шаг такого решеточного пути должен вести из точки (0,0) в точку (1,0). Поэтому нужно вычесть из общего числа путей, ведущих из точки (1,0) в точку (га, п), число путей, пересекающих прямую у = х, откуда в силу п. (а) получаем, что (т^) - С^Г) = ^Гп+П)- c. Сдвинув путь на единицу вправо, получим случай га = п + 1 п. (Ь). 6.21. а. Для данного пути Р Е Хп положим с(Р) = (со, с\,..., сп), где С{ — число горизонтальных шагов пути Р на высоте у = г. Нетрудно убедиться в том, что все циклические перестановки Cj = (cj,cj+i, .. .,cn,ci,... ,Cj_i) последовательности c(P) различны и для каждой такой перестановки существует единственный путь Pj Е Хп, такой, что c(Pj) — Cj. Более того, числа превышения путей Р = Pq, Pi ,..., Рп суть в точности числа 0,1,..., п в некотором порядке. Из этих наблюдений немедленно следует доказательство. Этот результат известен как теорема Чжупа-Феллера и доказан в работе Chung К. L., Feller W. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 35 (1949), 605-608. Уточнение этой теоремы приведено в работе Narayana Т. V. Skand. Aktuarietidskr. (1967), 23-30. Дальнейшая информация может быть найдена в книгах Нараяны (§1.2) и Моханти (§3.3), упомянутых в решении упр. 6.20(a). Ь. Немедленно следует из п. (а). 6.22. Этот результат был предложен в виде задачи Л. Шапиро (Shapiro L. W. Problem Е2903, Amer. Math. Monthly 88 (1981), 619). Неверное решение этой задачи появилось в том же журнале, 90 (1983), 483-484. Верное, но небиективное решение было предложено в работе Bloom D. М., 92 (1985), 430. Редакторы поставили вопрос о биективном доказательстве в зада- х) Имеется перевод: Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. — М.: Мир, 1971. — Прим. перев.
Решения упражнений 357 че Е3096, 92 (1985), 428, и такое решение было дано в работе Николса Nichols W., 94 (1987), 465-466. Биекция Николса состоит в следующем. Рассмотрим путь на решетке как последовательность букв Е (соответствующих шагам вида (1,0)) и N (соответствующих шагам вида (0,1)). Для данного пути Р перечисляемого типа определим рекурсивно новый путь гр(Р) следующим образом: ф{0) = 0, tP(DX) = Dip{X), ip{DfX) = Eip(X)ND*, где (a) D — путь положительной длины, концевые точки которого лежат на диагонали х = у, а все остальные точки лежат ниже диагонали, (b) D' обозначает путь, полученный из D заменой букв Е и N друг на друга, и (с) D = ED*N. Тогда яр устанавливает биекцию между перечисляемыми путями и путями из упр. 6.19(h), где п заменено на 2п. Явное описание отображения ip~l и доказательство того, что гр на самом деле является биекцией, см. в решении Николса, цитированном выше. 6.23. Черная пешка аб должна превратиться в коня и затем за пять дополнительных ходов дойти до h7 (что можно сделать единственным образом). Черная пешка а7 также должна превратиться в коня и затем за четыре дополнительных хода дойти до f8 (что также можно сделать единственным образом). Затем Белые играют f6-f7 мат. Первым ходом обязательно должен быть ход а6-а5, и после этого число решений задачи равно числу решений в случае, если бы пешка а7 стояла на аб. Таким образом, каждая пешка делает девять ходов (включая ходы после превращения). После первого хода аб- а5 будем обозначать ход пешкой а5 через +1, а ход пешкой а7 — через — 1. Поскольку пешка а7 не может обогнать пешку а5 (даже после превращения), число решений в точности равно числу последовательностей из девяти единиц и девяти минус единиц с неотрицательными частичными суммами. Поэтому в силу упр. 6.19(г) число решений задачи равно числу Каталана Сд = 4862. Эта задача принадлежит Койко Вайсанену и содержится в брошюре Puusa A. Queue Problems, Finnish Chess Problem Society, Helsinki, 1992 (задача 2). Эта брошюра содержит пятнадцать задач подобного рода. См. также упр. 7.18. Дальнейшую информацию о задачах на серийный кооперативный мат можно найти в книгах Dickins A. A Guide to Fairy Chess,
358 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Dover, New York, 1971 (с. 10), и Rice J. М., Dickins A. The Serieshelpmate, 2nd ed., Q Press, Kew Gardens, 19781). 6.24. Это не что иное, как числа Каталана! См., например, Gili J. Catalan Grammar, Dolphin, Oxford, 1993 (c. 39). Связанный с этим вопрос обсуждается в Amer. Math. Monthly 103 (1996), 538, 577. 6.25. а. Следует из упр. 3.29(b)2) и 6.19(bbb). См. Shapiro L. W. Amer. Math. Monthly 82 (1975), 634-637. b. Мы предполагаем, что читатель знаком с материалом гл. 7. Из результатов дополнения 2 к гл. 7 следует, что искомое число равно коэффициенту при тривиальной функции Шура 50 в разложении многочлена (х\ + Х2)271 по функциям Шура в кольце S2 = ЛгДа^жг ~~ !)• Поскольку ^0 = S(n,n) в Е2, искомое число равно (s?n,S(n,n)) = f^n,n^ (мы используем следствие 7.12.5), и требуемый результат следует из упр. 6.19(ww). c. См. Stanley R. In: Ann. New York Acad. Sci. 576, 1989, pp. 500-535 (пример 4 на с. 523). d. См. Stanley R. In: Advanced Studies in Pure Math., vol. 11, Kinokuniya, Tokyo, and North-Holland, Amsterdam-New York, 1987, pp. 187-213 (c. 194, внизу). Более простое доказательство следует из работы Stanley R. J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), 805-851 (предложение 8.6). Близкий результат имеется в работе Chan С. SIAM J. Discrete Math. 4 (1991), 568-574. e. См. Goldberg L. R. Advances in Math. 85 (1991), 129-144 (теорема 1.7). f. См. Tischler D. J. Complexity 5 (1989), 438-456. g. Эта алгебра называется алгеброй Темперли-Либа А$^п (над полем К) и имеет много интересных комбинаторных свойств. Основная структура этой алгебры описана в книге Goodman F. М., de la Harpe P., Jones V. F. R. Coxeter Graphs and Towers of Algebras, Springer-Verlag, New York, 1989 (c. 33 и §2.8). Непосредственная связь с 321-избега- ющими перестановками (определенными в упр. 6.19(ее)) ^Брайан Ротбах указал, что в этой задаче можно поставить другое условие: серийный кооперативный мат в 20 ходов. Из соображений четности (Черные не могут сделать нечетное число ходов конем) решение будет таким же, как и раньше, за исключением того, что Черные играют а7-аб вместо а7-а5. Таким образом, число решений равно Сю = 16 796. — Прим. автора при переводе. 2) Имеется в виду следующий результат. Пусть Р— локально конечное множество и 1(Р) — его алгебра инцидентности над полем К. Тогда решетка двусторонних идеалов в 1(Р) изоморфна множеству всех порядковых идеалов из Int(P), упорядоченных в обратном к включению порядке. — Прим. перев.
Решения упражнений 359 рассмотрена в статье Billey S. С, Jockusch W., Stanley R. J. Algebraic Combinatorics 2 (1993), 345-374 (c. 360-361). h. Cm. Shi J.-Y. Quart. J. Math. 48 (1997), 93-105 (теорема 3.2(a)). i. Эта замечательная гипотеза есть лишь малая часть обширной гипотетической теории, построенной в работе Haiman М. J. Alg. Combinatorics 3 (1994), 17-76. См. также Garsia А. М., Haiman М. J. Alg. Combinatorics 5 (1996), 191-244; Garsia А. М., Haiman М. Electron. J. Combinatorics 3 (1996), no. 2, R24; Haiman M. Discrete Math. 193 (1988), 201-2241). 6.26. а. Этот любопытный результат можно доказать по индукции, используя подходящие строковые и столбцовые операции. Он возник из задачи, поставленной Э. Берле- кэмпом, и был доказан в работе Carlitz L., Roselle D. P., Scoville R. A. J. Combinatorial Theory 11 (1971), 258-271. Несколько иной способ сформулировать этот результат описан в работе [3.34, с. 223]2). Ь. Ответ: ап равно тг-му числу Каталана Сп. Один из (многих) способов доказать этот результат состоит в том, чтобы применить п. (а) к случаям Л = (2тг + 1, 2тг,..., 2,1) и Л = (2п, 2тг — 1,..., 2,1) и использовать интерпретацию чисел Каталана, приведеную в следствии 6.2.3(v). Связанные с этим результатом вопросы обсуждаются в статьях Kellogg A. Problem 10585, Amer. Math. Monthly 104 (1997), 361, и Radoux С. Bull. Belgian Math. Soc. (Simon Stevin) 4 (1997), 289-292. 6.27. а. Единственный с точностью до знака и порядка такой базис г/о 5 2/ъ • • • 5 Уп задается формулой г=0 Ь. В этом случае 3 «-в-'>~е;'>- г=0 ч ' х)Эта гипотеза была доказана (под сокращенным названием п!-гипотеза) в работе Haiman М. A geometric proof of the n! and Macdonald positivity conjectures, препринт, доступный по адресу http://math.ucsd.edu/~mhaiman. (См. также Haiman М. In: Symmetric Functions 2001: Surveys of Developments and Perspectives, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002.) — Прим. автора при переводе. 2)См. примечание переводчика к решению задачи 6.19(ааа). — Прим. перев.
360 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.28. а. Задача о вычислении вероятности выпуклости последовательности была поставлена Я. ван де Луне и решена в работе Eggleton R. В., Guy R. К. Math. Mag. 61 (1988), 211-219, при помощи нетривиального рассуждения, использующего интегрирование. Можно «комбинаторизиро- вать» это доказательство, исключив из него интегрирование. Разложение множества Cd, приведенное ниже в решении п. (с), также дает нужное доказательство. Более общий результат имеется в работе Valtr P. In: Intuitive Geometry (Budapest, 1995), Bolyai Soc. Math. Stud. 6, Janos Bolyai Math. Soc, Budapest, 1997, pp. 441-443. b. Предположим, что x = (xi,X2,---,Xd) £ Cd- Будем говорить, что индекс i слабый, если 2 ^ i ^ d — 1 и Х{-\ + £i+i > 2х{. Если ни один индекс не является слабым, то либо х — (0,0,...,0), либо х = (1,1,..., 1), либо х = А(1,1,..., 1) + (1 — Х)у при у Е Cd и достаточно малом А > 0. Следовательно, в последнем случае х не является вершиной. Поэтому предположим, что у точки х есть слабый индекс. Если Х{ = 0 для всех слабых индексов г, то х имеет требуемый вид (6.55). В противном случае пусть г —слабый индекс, такой, что Х{ > 0. Пусть j — г — р — наибольший индекс, такой, что j < г и индекс j не слабый. Аналогично, пусть к = г + q — наименьший индекс, такой, что к > г и к — не слабый индекс. Пусть л/ \ ( е 2б ЛКе) = [xi,...,xj,xj+i + -,яя-2 + ->•••> V р р 2с с \ Xi + б, . . . , Хк-2 Н , Хк-1 + ~, Хк, • • • , Хп ) • q q ) При малом б > 0 обе точки А(е) и А(—с) лежат в множестве Cd. Поскольку х —\ (А(е) + \А(—б)), отсюда следует, что х не вершина. Основная идея этого доказательства принадлежит А. Постникову. c. При 1 < г ^ s ^ d положим Frs = {(яь • • • 5 xd) £ Cd'. xr = xr+i — - - • = xs = 0}, F~ = {(zi,..., Xd) e Cd : xr = av+i = • • • = Xd = 0}, F* = {(xi,...,xd) ECd : я?1 = z2 = ••• = zs =0}. Тогда F~ — симплекс, вершинами которого являются точки (1,^р, ^р,..., £,0,0, ...,0) при 1 < к < г-1, атакже точка (0,0,..., 0). Знаменатели этих вершин (знаменатель
Решения упражнений 361 вершины есть наименьшее натуральное число, при умножении на которое все координаты вершины становятся целыми числами) равны 1,2,3,..., г — 1,1 соответственно. Поэтому Аналогично, ?5*сй' Так как Frs 9* F~ х F+, то i(Fra,n) = i(F~,n)i(F+ ,п) и ^:{Frs'n)xn=m*m^.- Пусть Р —ч. у. множество всех множеств Frs, упорядоченное по включению, и пусть /х-функция Мёбиуса ч. у. множества Р U {!}. Пусть G — |Jr=1 Frr — полиэдральный комплекс в Rd. По формуле обращения Мёбиуса t(G,n) = - J2 v{Fst,i)i{Fst,n). FsteP Но Ftu С Frs тогда и только тогда, когда t ^ г < s ^ и, откуда немедленно следует, что -fi(Fst,l)=l-l, s = t-l, [О в противном случае. Поэтому d-1 f[l][r-l]! [l][d-r]! jfe[l][r-l]!*[l][d-l-r]!- Но весь многогранник Са есть конус над G с вершиной (1,1,...,1). Отсюда нетрудно вывести, что J2 i(Cd, п)хп = ^i- J2 KG, п)хп, и доказательство закончено.
362 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 6.29. См. работу Вальтра Valtr P. Discrete Comput. Geom. 13 (1995), 637-643. Вальтр показал также (Combinatorica 16 (1996), 567-573), что если выбрать независимо п точек с равномерным распределением в треугольнике, то вероятность того, что точки окажутся в выпуклом положении, равна 2П / Зп-3 \ (2n)! \n-l,n-l,n-l) * 6.30. Формула (6.57) равносильна соотношению Х)/п^(1п(1-а:)-1)»х»=С(а:). Поэтому в силу формулы (5.25) нужно показать, что п k=i где с(тг, к) — число перестановок w Е ©п, имеющих к циклов. Выберем перестановку w Е ©п, имеющую к циклов, с(п,к) способами. Имеется Д способов превратить циклы перестановки w в элементы полупорядка Р. Для каждого цикла (ai,...,ai) перестановки w заменим соответствующий элемент полупорядка Р антицепью, элементы которой помечены элементами ai,..., а». Если а = (ai,..., а») и Ъ — (bi,... ,bj) —два цикла перестановки w, положим ar < bs в том и только том случае, когда а < b в Р. Таким образом мы получим ч.у. множество p(P,w) с вершинами 1,...,тг. Нетрудно видеть, что p(P,w) есть полупорядок и любой класс изоморфных тг-элементных полупорядков встречается ровно п\ раз среди ч. у. множеств p(P,w). Поскольку в силу упр. 6.19(ddd) имеется Сп неизоморфных тг-элементных полу порядков, утверждение доказано. Этот результат был впервые доказан в работе Chandon J.-L., Lemaire J., Pouget J. Math. Set. Hum. 62 (1978), 61- 80, 83. Более общая ситуация, в которой число Ап непомеченных объектов связано с числом Вп помеченных объектов формулой Х^птгг ~ ХМп(1 "~ е~ж)п, рассмотрена в работах Stanley R. Proc. Nat. Acad. Set. U.S.A. 93 (1996), 2620- 2625 (теорема 2.3), и Postnikov A., Stanley R. J. Combinatorial Theory (A) 91 (2000), 544-597. 6.31. а. (Набросок.) Будем строить триангуляцию многогранника V на с?-мерные симплексы сг, содержащие 0. Тогда каждый симплекс а будет иметь d вершин вида ег- — е^, где i < j. Пусть G — граф с d ребрами на множестве вершин [d+1]. Обозначим через ас выпуклую оболочку всех векторов а — ej, таких, что ij является ребром графа
Решения упражнений 363 G и г < j, и пусть ас — выпуклая оболочка множества ас и начала координат. Легко видеть, что ас есть d- мерный симплекс тогда и только тогда, когда G — дерево. Более того, можно показать, что ас лежит на границе многогранника V (а значит, может быть частью триангуляции того типа, который мы рассматриваем) тогда и только тогда, когда G — чередующееся дерево, определенное в упр. 5.41. Таким образом, мы хотим выбрать множество Т чередующихся деревьев Т на [cZ-f-1] так, чтобы множества ат являлись гранями триангуляции многогранника V. Один из способов сделать это заключается в том, чтобы взять Т состоящим из непересекающихся чередующихся деревьев на [d + 1], т. е. чередующихся деревьев, обладающих следующим свойством: если г < j < к < I, то гк и jl не являются ребрами одновременно. Согласно упр. 6.19(р), число таких деревьев равно Cd- (Можно также взять Т состоящим из чередующихся деревьев на множестве [d + 1], таких, что если г < j < к < I, то И и jk не являются ребрами одновременно. Согласно упр. 6.19(q), число таких деревьев также равно Cd-) Кроме того, легко видеть, что для любого дерева Т на множестве [d-Ы] выполнено условие V(&t) — 1/d!, где V обозначает относительный объем. Поэтому V(V) = Cd/dl. Этот результат содержится в работе Gelfand I. М., Graev М. I., Postnikov A. In: Arnold-Gelfand Mathematical Seminars, Birkhauser, Boston, 1997, pp. 205-221 (теорема 2.3(2)). b. Упорядочим (d2*) Pe6ep ij, 1 < i < j < d + 1, лексикографически, например, положим 12 < 13 < 14<23<24<34. Упорядочим Cd непересекающихся чередующихся деревьев Т\,..., Tcd лексикографически относительно множества ребер, т. е. положим Т{ < Tj, если при некотором к первые (в лексикографическом порядке) к ребер деревьев Ti и Tj совпадают, а (АН-1)-е ребро дерева Т» предшествует (&-Ы)-му ребру дерева Tj. Например, при d = 3 мы имеем следующее упорядочение на множестве непересекающихся чередующихся деревьев (которые представлены своими множествами ребер): {12,13,14}, {12,14,34}, {13,14,23}, {14,23,24}, {14,23,34}. Можно проверить, что &тг пересекает а^ U • • • U ari_1 по объединению j — 1 (d — 1)-мерных граней многогранника сгг., где j — число вершин дерева Т\, которые меньше всех своих соседей. Нетрудно видеть, что число непересекающихся чередующихся деревьев на множестве [d + 1], для
364 Гл. 6. Алгебраические производящие функции которых в точности j вершин меньше всех своих соседей, равно числу Нараяны N(d,j) из упр. 6.36. Из техники, развитой в работе Stanley R. Ann. Discrete Math. 6 (1980), 333-342 (особенно теорема 1.6), следует, что d (1 - z)d+1 ^z(P,n)zn = ^N(dJ)x>-1. 6.32. Решетка Тамари была впервые рассмотрена в работе Та- mari D. Nieuw Arch. Wisk. 10 (1962), 131-146, где доказано, что она является решеткой. Более простое доказательство этого результата приведено в статье Huang S., Tamari D. J. Combinatorial Theory (A) 13 (1972), 7-13. Намеченное здесь доказательство следует работе Pallo J. М. Computer J. 29 (1986), 171-175. Дальнейшие свойства решеток Тамари и их обобщений можно найти в работах Edelman P. Н., Reiner V. Mathematika 43 (1996), 127-154; Bjorner A., Wachs М. L. Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997), 3945-3975 (§9), а также в цитированной в них литературе. 6.33. а. Поскольку S — симплициальный комплекс, Ап является симплициальной полу решеткой. Легко видеть, что это градуированная полурешетка ранга п — 2, причем ранг элемента равен его мощности (числу диагоналей). Чтобы проверить, что эта полурешетка эйлерова, остается показать, что /х(ж, I) = (—l)^'1) для всех х Е Ап. Если х Е Ап и i / 1, то множество диагоналей х делит многоугольник С на области С\,..., Cj, каждая из которых есть выпуклый щ -угольник при некотором щ. Пусть Ап = Ап — {!}. Тогда интервал [ж, I] изоморфен произведению АП1 х • • • х Anj с присоединенным элементом 1. Из результата, двойственного к упр. 5.61, следует, что достаточно доказать равенство //(0,1) = (—1)п_2. Это утверждение эквивалентно (поскольку мы показали, что любой собственный интервал эйлеров) тому, что Ап имеет равное количество элементов четного и нечетного ранга. Один из способов доказать это состоит в следующем. Пусть В — произвольное подмножество множества Ап. Обозначим через г](В) число элементов множества В четного ранга минус число элементов нечетного ранга. Пометим вершины многоугольника С числами 1,...,тг в циклическом порядке. При 3 < г < п — 1 пусть «S* — множество всех элементов из <S, которые либо содержат диагональ, соединяющую вершину 1 с некоторой другой вершиной, либо же такую диагональ можно присоединить
Решения упражнений 365 без образования внутренних пересечений. Пусть 5 Е <S*, и пусть г — наименьшая вершина, такая, что либо она связана с 1 диагональю, либо ее можно связать с 1 диагональю без образования внутренних пересечений. Сопоставим множеству S множество S', полученное удалением или присоединением диагонали, соединяющей вершину 1 и вершину г. Это спаривание (или инволюция) показывает, что 77(5*) = 0. Но Ап — «S* есть в точности интервал [Т, 1], где Т содержит единственную диагональ, соединяющую вершины 2 и тг. По индукции (как упомянуто выше) получаем, что rj([T, 1]) = 0, откуда следует, что т}(Ап) = 0. См. Lee С. W. Europ. J. Combinatorics 10 (1989), 551-560. Независимое доказательство было дано М. Хайманом (не опубликовано). Этот многогранник называется ассоциаэд- ром. Далеко идущее обобщение этого результата имеется в книге [28, гл. 7] и обзорной статье Lee С. W. In: DIM ACS Series in Discrete Math, and Theor. Comput. Sci. 4, 1991, pp. 443-456. Положим n-l n^2 г=1 = x + x2y + x3(y + 2y2) + x4(y + by1 + Ъуъ) + • • • . Удаляя фиксированное внешнее ребро из рассеченного многоугольника и рассматривая полученное таким образом объединение многоугольников, не пересекающихся по ребрам, получаем функциональное уравнение F = х + у . (Ср. с уравнением (6.15).) Поэтому в силу упр. 5.59 *2 m^l п=0 Отсюда легко получить, что —ее^СГХПЬ' п>2 г=1
366 Гл. 6. Алгебраические производящие функции следовательно, Эта формула восходит к работам Kirkman Т. P. Phil. Trans. Royal Soc. London 147 (1857), 217-272; Prouhet E. Nouvelles Annales Math. 5 (1866), 384; Cayley A. Proc. London Math. Soc. (1) 22 (1890-1891), 237-262. Последняя работа содержит первое полное доказательство. Доказательство Кэли приведено также в книге [28, §7.3]. Совершенно иное доказательство содержится в упр. 7.17. Еще одно доказательство имеется в статье Beckwith D. Атег. Math. Monthly 105 (1998), 256-2571). d. Имеем Этот результат содержится в работе Lee С. W., Europ. J. Combinatorics, 10 (1989), 551-560 (теорема 3). 6.34. a.—d. См. Fiirlinger J., Hofbauer J. J. Combinatorial Theory (A) 40 (1985), 248-264, и ссылки, приведенные там. Относительно п. (Ь) см. также работу Andrews G. Е. J. Stat. Plan. Inf. 34 (1993), 19-22 (следствие 1). Разложение (6.59) представляет собой непрерывную дробь рассматривавшегося Рамануджаном типа. Легко показать (см., например, книгу Andrews G. Е. The Theory of Partitions, Addison- Wesley, Reading, Massachusetts, 1976, §7.12)), что V(_i)v2 - 2^ и (i_e)...(i_en) F(x) = ^^ я . V(-l)V»(n"1) e. Cm. Stanley R. Ann. New York Acad. Sci. 574 (1989), 500- 535 (пример 4 на с. 523). Этот результат тесно связан с упр. 6.25(c). 6.35. Эти результаты содержатся в работе Welker V. J. Combinatorial Theory (В), 63 (1995), 222-244 (§4). 1^Еще одно доказательство появилось в статье Przytycki J. Н., Sikora A. S. J. Combinatorial Theory (A) 92 (2000), 68-76. — Прим. автора при переводе. 2) Имеется перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982.— Прим. перев.
Решения упражнений 367 6.36. а. Имеется (fc"1) (£li) пар ^-разложений А: а\ + • • • + ак = п + 1 и Б: 6i + • • • + bfc = п чисел п + 1 и п. Построим из этих разложений циклическую последовательность w = w(A,B), состоящую из а\ единиц, затем Ь\ минус единиц, затем а,2 единиц, затем Ъч минус единиц и т.д. Так как числа п и п + 1 взаимно просты, эта циклическая последовательность w может возникнуть ровно из к пар (Ai,Bi) ^-разложений чисел п -Ь 1 и п, а именно Af. at + a»+i + • • • + a* + ai + • • • + a»_i = n + 1 и S»: bi + bi+i H Ь h + bi H h bi—l = n, 1 < г < *;. Как следует из второго доказательства теоремы 5.3.10 (точнее, из следующего за ним абзаца), имеется ровно один способ разорвать w так, чтобы получилась линейная последовательность w, обладающая следующим свойством: w начинается с 1 и, если удалить эту начальную единицу, любая частичная сумма оставшейся последовательности неотрицательна. Ясно, что последовательность w (с удаленной или не удаленной начальной единицей) содержит ровно к единиц, за которыми следует минус единица. Это дает биекцию с множеством всех «циклических классов эквивалентности» {(-Ai, Bi),..., (Ak, Вк)} и множеством Хпк. Следовательно, "<-*>-K*-i)C;:iH(*-i)G> b. Положим Xk = X\k U X<ik U • • • при к ^ 1. Каждую последовательность w G Хк можно представить единственным образом в одной из следующих форм: (i) 1 и — 1 v, где и G Xj и v G Xk-j при некотором 1 ^ j ^ к — 1, (ii) 1 -1 и, где и G Xk-i, (iii) 1 u -1, где u G Х*, и (iv) 1—1 (при к = 1). Рассматривая множество Х& как язык, как в примере 6.6.6, и заменяя для удобства 1 на а и —1 на /3, получаем, что условия (i)—(iv) равносильны соотношению к-1 Xk = J2 <*ХфХкч + арХк_г + аХкр + <Jliba/J. 3=1 Пусть у* = J]n^i N(n, к)хп. Тогда 2/fc = х ^2 УзУк-j + xyk-i + аэдь + tfifcx i=o (где г/о = 0). Поскольку F(x, £) = J^fc>i Vktk, мы получаем соотношение (6.60).
368 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Числа Нараяны были введены Нараяной в работе Narayana Т. V. С. R. Acad. Sci. Paris 240 (1955), 1188- 1189, и далее рассмотрены им в работах Sankhya 21 (1959), 91-98, и Lattice Path Combinatorics with Statistical Applications, Mathematical Expositions no. 23, University of Toronto Press, Toronto, 1979 (§V.2). Дальнейшие ссылки включают статьи Kreweras G., Moszkowski P. J. Stat. Plan. Inf. 14 (1986), 63-67; Kreweras G., Poupard Y. Europ. J. Combinatorics 7 (1986), 141-149; Sulanke R. A. Bull. Inst. Combin. Anal. 7 (1993), 60-66; Sulanke R. A. J. Stat. Plan. Inf. 34 (1993), 291-303. 6.37. Эквивалентно упр. 1.37(c). См. также замечательный обзор Донахи и Шапиро (Donaghey R., Shapiro L. W. J. Combinatorial Theory (A) 23 (1977), 291-301). 6.38. Все эти результаты за исключением пп. (f), (k), (1) и (m) содержатся в работе Донахи и Шапиро, цитированной выше. Донахи и Шапиро приводят несколько дополнительных интерпретаций чисел Моцкина и утверждают, что всего они нашли около сорока таких интерпретаций. По поводу п. (f) см. Jiang М. S. In: Combinatorics and Graph Theory (Hefei, 1992), World Scientific Publishing, River Edge, New Jersey, 1993, pp. 31-39. По поводу п. (k) см. Kuznetsov A., Pak I., Postnikov A. J. Combinatorial Theory (A) 76 (1996), 145-147. По поводу п. (1) см. Aigner М. Europ. J. Combinatorics 19 (1998), 663-675. Последний автор называет разбиения из п. (1) строго непересекающимися. Наконец, п. (т) содержится в работе Klazar М. Europ. J. Combinatorics 17 (1996), 53-68 (с. 55-56) (и ср. с упр. 1.291)). Эта статья содержит ряд других перечислительных задач, связанных с данной и приводящих к алгебраическим производящим функциям; три из них рассмотрены в упр. 6.19(ss), (tt) и упр. 6.39(о). Термин «число Моцкина» обязан своим появлением работе Motzkin Т. Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 352-360. 6.39. а. Это есть определение чисел Шредера, данное при обсуждении второй задачи Шредера в разд. 6.2. b, е, f, h, i. Следуют из п. (а) с помощью биекции из предложения 6.2.1. c. См. Gouyou-Beauxchamps D., Vanquelin D. RAIRO Inform. Theor. Appl. 22 (1988), 361-388. В этой работе рассмотрены некоторые другие представления чисел Шредера, свя- *) Имеется в виду следующий результат. Число разбиений множества [п], в которых ни одна пара последовательных целых чисел не оказывается в одном блоке, есть число Белла В(п — 1). — Прим. перев.
Решения упражнений 369 занные с деревьями, и связи чисел Шредера с числами Моцкина, а также приведены многочисленные ссылки. d. Простое следствие статьи Шапиро и Стефенса, цитированной ниже. g. Упражнение взято из работы Sulanke R. A. J. Diff. Equ. Appl. 5 (1999), 155-176. Объекты, перечисляемые в этом упражнении, называются зебрами. См. также работу Pergola Е., Sulanke R. A. J. Integer Sequences (electronic) 1 (1998), Article 98.1.7, доступную по адресу http://www. research.att.com/~nj as/sequences/JIS. j, k. См. работу Шапиро и Стефенса Shapiro L. W., Stephens A. B. SIAM J. Discrete Math. 4 (1991), 275-280. Относительно п. (j) см. также упр. 6.17(b). 1. Л. Шапиро и С. Гету (не опубликовано) выдвинули гипотезу, что множество (5П(2413,3142) и множество, перечисляемое в п. (к), совпадают (при отождествлении перестановочной матрицы с соответствующей перестановкой). В работе Уэста (West J. Discrete Math. 146 (1995), 247- 262) доказано, что #6n(2413,3142) = rn_i. Поскольку, как легко видеть, перестановки, перечисляемые в п. (к), являются 2413-избегающими и 3142-избегающими, гипотеза Шапиро-Гету следует из того, что оба множества имеют мощность гп-\. По-видимому, должно иметься прямое доказательство того, что множество, перечисляемое в п. (к), совпадает с бп(2413,3142). Уэст также показал в теореме 5.2 упоминавшейся выше статьи, что множества 6П(1342,1324) и (т) совпадают. Перечисление множества ©п(1342,1432) было осуществлено в диссертации Gire S. Ph.D. thesis, Universite Bordeaux, 1991. Оставшиеся семь случаев перечислены в работе Кремер (Kremer D. Discrete Math. 218 (2000), 121- 130). Кремер приводит также доказательства трех ранее известных случаев. Она доказывает все десять случаев с помощью метода «производящих деревьев», введенного в работе Chung F. R. К., Graham R. L., Hoggatt V. Е., Jr., Kleiman М. J. Combinatorial Theory (A) 24 (1978), 382-394, и развитого в работах West J. Discrete Math. 146 (1995), 247-262; 157 (1996), 363-374. С помощью компьютера было проверено, что не существует других пар (u,v) £ &4 X ©4, ДЛЯ КОТОРЫХ #&n(u,v) = Гп_1 При всех п. т. Этот результат принадлежит Кнуту [5.41, упр. 2.2.1.10- 2.2.1.11, с. 239, 533-534]. Эти перестановки называют-
370 Гл. 6. Алгебраические производящие функции ся теперь дек-сортируемыми (deque-sortable). Комбинаторное доказательство имеется в работе Rogers D. G., Shapiro L. W. In: Lecture Notes in Math. 884, Springer- Verlag, Berlin, 1981, pp. 293-303. Некоторые дополнительные комбинаторные интерпретации чисел Шредера и многие дополнительные ссылки имеются в предыдущей цитированной работе, q-аналоги чисел Шредера рассмотрены в статье Bonin J., Shapiro L. W., Simion R. J. Stat. Plan. Inf. 34 (1993), 35-55. п. Простые биекции с п. (а) и другими «шрёдеровыми структурами» содержатся в работе Rogers D. G., Shapiro L. W. Lecture Notes in Math. 686, Springer-Verlag, Berlin, 1978, pp. 267-276 (§5). о. Этот результат доказан в работе Mullin R. С, Stanton R. G. Pacific J. Math. 40 (1972), 167-172 (§3), с использованием языка «последовательностей Давенпорта- Шинцеля». Он приведен также в статье Klazar М. Еигор. J. Combinatorics 17 (1996), 53-68 (с. 55). р. Удалив «корневое ребро» из многоугольника из п. (h) и «выпрямив» этот многоугольник, получим непересекающийся граф перечисляемого типа. q, г. Эти результаты (несмотря на сходство, они не являются тривиально эквивалентными) содержатся в работе Rogers D. G. In: Lecture Notes in Math. 622, Springer- Verlag, Berlin, 1977, pp. 175-196 (формулы (38), (39)), и развиты в работе Rogers D. G. Quart. J. Math. (Oxford) (2) 31 (1980), 491-506. В частности, биективное доказательство того, что множества из пп. (q) и (г) имеют равное число элементов, содержится в §3 последней работы. Также легко видеть, что пп. (р) и (г) представляют собой виртуально совпадающие задачи. См. также работу Rogers D. G., Shapiro L. W. In: Lecture Notes in Math. 686, Springer-Verlag, Berlin, 1978, pp. 267-276. s. Cm. Ciucu M. J. Alg. Combinatorics 5 (1996), 87-103, теорема 4.1. 6.40. Заметим, что это упражнение «противоположно» упр. 6.39(к) т.е. мы перечисляем перестановочные матрицы Р, к которым нельзя добавить ни одной новой единицы (используя правила упр. 6.39(к)). Это упражнение было решено Шапиро и Стефенсом в §3 статьи, цитированной в решении упр. 6.39(к). Менее элегантная форма ответа и дальнейшие ссылки имеются в работе Abramson М., Moser М. О. J. Ann. Math. Stat. 38 (1967), 1245-1254.
Решения упражнений 371 6.41. Этот результат был выдвинут в качестве гипотезы в диссертации Уэста (West J., Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1990 (гипотеза 4.2.19)) и впервые доказан в работе Zeilberger D. Discrete Math. 102 (1992), 85-93. Другие доказательства и близкие результаты имеются в работах Bona М. 2-stack sortable permutations with a given number of runs, MSRI Preprint 1997-055; Bousquet-Melou M. Electron. J. Combinatorics 5 (1998), R21; Dulucq S., Gire S., West J. Discrete Math. 153 (1996), 85-103; Goulden I. P., West J. J. Combinatorial Theory (A) 75 (1996), 220-242; West J. Theoret. Comput. Sci. 117 (1993), 303-313. 6.42. Легко видеть, что f(n) равно числу решеточных путей, состоящих из п шагов вида (1,0), (0,1) и (1,1), которые начинаются в точке (0,0) и заканчиваются на прямой у = х. Поэтому в силу равенства (6.29) имеем F(x) — l/\/l — 2х — Зх2. Отсюда следует, что искомое линейное рекуррентное соотношение есть соотношение из примера 6.4.8(b) (ii). Легко видеть также, что /(п) = [£°](£-1 + 1+£)п. Поэтому число /(п) называется серединным триномиальным коэффициентом. Серединные триномиальные коэффициенты впервые рассматривались Эйлером (Euler L. Opuscula analytica, vol. 1, Petropolis, 1783, pp. 48-62). Эйлер получил для них производящую функцию 1/\/1 — 2х — Зх2. См. также задачу III.217 из [5.53, т. 1, с. 147 и 349]. Интерпретацию числа /(п) в шахматных терминах см. в работе Фабеля Fabel К. Problem #1413, Feenschach 13 (October 1974), Heft 25, 382; решение: 13 (May-June-July 1975), Heft 28, 91. Фабель приводит решение в виде Ln/2J п| ^(П) = Е i\2(n-2i)V но не рассматривает производящую функцию F(x). 6.43. а. Будем говорить, что вторичная структура неприводима, если п = 1 либо имеется ребро из вершины 1 в вершину п. Пусть t(n) — число неприводимых вторичных структур с п вершинами. Положим Т(х) = ^2 Чп)*п =х + х3 + х4 + 2х5 + 4х6 + --- . Легко видеть, что S = 1/(1 - Г) и Г = x2S + х - х2. Исключая из этих уравнений Т и разрешая их относительно 5, получаем искомую формулу. Этот результат содержится в работе Stein P. R., Waterman М. S. Discrete Math. 26 (1978), 261-272 (случай m = 1
372 Гл. 6. Алгебраические производящие функции формулы (10)). Дальнейшая информация и ссылки, включая связи с биологическими молекулами типа РНК, имеются в работе Schmitt W. R., Waterman М. S. Discrete Applied Math. 51 (1994), 317-323. b. См. Nkwanta A. In: DIM ACS Series in Discrete Math, and Theor. Comput. Sci. 34, 1997, pp. 137-147. 6.44. Этот результат содержится в работе Edelman P. Н., Reiner V. Graphs and Combinatorics, 13 (1997), 231-243 (теорема 1). 6.45. См. Stanley R. Solution to 6342, American Math. Monthly, 90 (1983), 61-62. Помеченная версия этого результата приведена в работе Goodall S. The number of labelled posets of width two, London School of Economics, Mathematics Preprint Series LSE- MPS-46, March 1993. 6.46. Эти замечательные результаты принадлежат Вьенно и Гуйу- Бошаму (Viennot G., Gouyou-Beauchamps D. Advances in Appl. Math. 9 (1988), 334-357). Перечисляемые подмножества называются ориентированными зверями (directed animals) *). Обзор близких результатов см. в работе Viennot G. Asterisque 121-122 (1985), 225-246. См. также две другие статьи, цитированные в решении упр. 6.19(kkk), а также работу Bousquet- Melou М. Discrete Math. 180 (1998), 73-106. Упомянем также, что Вьенно и Гуйу-Бошам показывают, что f(n) равно числу последовательностей длины п — 1 в алфавите {—1,0,1} с неотрицательными частичными суммами. Более того, в работе Klazar М. Europ. J. Combinatorics 17 (1996), 53-68 (с. 64), показано, что /(п) равно числу разбиений множества [п + 1], обладающих следующими свойствами: никакой блок не содержит двух последовательных целых чисел, и если а < b < с < d: and принадлежат одному блоку В\ и b и с принадлежат одному блоку В^, то В\ — #2 • 6.47. а. Имеется третье условие, равносильное условиям (i) и (и) п. (а), которое послужило мотивацией для этой работы. Каждая перестановка w Е 6П параметризует замкнутую клетку Шуберта Q,w в полном флаговом многообразии GL(n, С)/В. При этом перестановка w гладкая тогда и только тогда, когда многообразие £lw гладкое. Равносильность этого результата условиям (i) и (ii) неявно содержится в статье Ryan К. М. Math. Ann. 276 (1987), 205-244, х) Такие множества на решетке начали интенсивно изучаться в 70-х годах физиками и химиками в связи с задачами роста полимеров. Имеется огромная физическая литература и ряд гипотез об асимптотике размеров таких множеств, их числе и т.д. не только для двумерной, но и для многомерных решеток. Приводимый результат — одно из немногих строго доказанных утверждений об ориентированных зверях. — Прим. ред.
Решения упражнений 373 и основана на более ранней работе Лакшмибаи, Сешадри и Деодхара. Явное утверждение о том, что гладкость многообразия Ctw равносильна условию (ii), имеется в работе Lakshmibai V., Sandhya В. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 100 (1990), 45-52. b. Эта производящая функция принадлежит М. Хайману (не опубликовано). Замечание. В работе Bona М. Electron. J. Combinatorics 5, R31 (1998), показано, что имеются четыре другие неэквивалентные (в смысле упр. 6.39(1)) пары (u, v) Е ©4 х ^4? такие, что число избегающих их перестановок в 6П равно /(п), а именно (1324,2413), (1342,2314), (1342,2431), и (1342,3241). (Случай (1342,2431) неявно содержится в статье Stankova Z. Discrete Math. 132 (1994), 291-316.) 6.48. Этот результат принадлежит Бона (Bona М. J. Combinatorial Theory (А) 80 (1997), 257-272). 6.49. а. Пусть имеется замощение доски Вп костями домино. Определим путь Р из центра левого ребра среднего ряда до центра правого ребра среднего ряда. А именно, каждый шаг пути ведет из центра некоторого ребра кости домино (мы считаем, что кость домино имеет шесть ребер единичной длины) до центра другого ребра той же кости D, причем он симметричен относительно центра кости D. Можно проверить, что для каждого замощения существует единственный такой путь Р. Заменив горизонтальный шаг пути Р на (1,1), шаг в северо-восточном направлении — на (1,0) и шаг в юго-восточном направлении—на (0,1) (никакие другие шаги путь Р содержать не может), мы получим решеточный путь из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами вида (1,0), (0,1) и (1,1). И наоборот, каждый такой решеточный путь соответствует единственному замощению доски Вп костями домино. Это дает требуемую биекцию. Например, на рис. 6.14 изображено замощение доски В$ и соответствующий путь Р Рис. 6.14. Путь на увеличенном ацтекском бриллианте Вз.
374 Гл. 6. Алгебраические производящие функции (пунктирная линия). Решеточный путь из точки (0,0) в точку (3,3) имеет шаги (1,0), (1,1), (1,0), (0,1), (0,1). Доска Вп называется увеличенным ацтекским бриллиантом, и число звмощгниёГ^ге-щстяии домино вычислено в работе Sams Н., Zernitz Н. Discrete Appl. Math. 51 (1994), 171-179. Намеченное выше доказательство основано на объяснении доказательства Сакса и Церница, принадлежащем Дане Рэндалл (не опубликовано)., Ь. Эта доска называется ацтекским бриллиантом^ и число замощений равно в этом случае . (Обратите внимание, насколько это число больше, чем ответ /(п) в п. (а).) Четыре доказательства этого результата содержатся в работе Elkies N., Kuperberg G., Larsen M., Propp J. J. Alg. Combinatorics 1 (1992), 111-132, 219-234. Некоторые связанные с ним результаты имеются в работах Ciucu М. J. Alg. Combinatorics 5 (1996), 87-103, и Cohn Н., Elkies N., Propp J. Duke Math. J. 85 (1996), 117-166. На самом деле замощения ацтекского бриллианта и увеличенного ацтекского бриллианта костями домино рассматривались ранее физиками, начиная с работы Carlsen I., Grensing D., Zapp H.-Chr. Philos. Mag. A 41 (1980), 777-781. 6.50. Этот результат содержится в статье Chung F. R. К., Graham R. L., Morrison J., Odlyzko A. M. Amer. Math. Monthly 102 (1995), 113-123 (формула (11)). Эта статья содержит ряд других интересных результатов, связанных с игрой в фишки. 6.51. Этот удивительный результат принадлежит Эдельману, Ко- стлану и Шубу (Edelman A., Kostlan Е., Shub М. J. Атег. Math. Soc. 7 (1994), 247-267 (теорема 5.1)). 6.52. Полагая Ь^ = 0 при к ф Р, легко получить рекуррентное соотношение Ьп= £ bibj + ((MY п^2, i<j из которого легко следует (6.61). Эта задача рассмотрена в работах Wedderburn J. Н. М. Ann. Math. 24 (1922), 121- 140, и Etherington I. М. Н. Math. Gaz. 21 (1937), 36-39, и известна как задача Веддербёрна-Этерингтона о коммутативной расстановке скобок. Дальнейшую информацию и ссылки можно найти в книге [2.3, с. 54-55] ^ и статье Becker Н. W. Amer. Math. Monthly 56 (1949), 697-699. ^Comtet L. Advanced Combinatorics, Reidel, Boston, 1974. — Прим. перев.
Решения упражнений 375 6.53. Имеем /(п + 2) - /(п + 1) = (п + 2)! = (п + 2)(п + 1)! = (n + 2)[/(n+l)-/(n)]. Отсюда следует, что можно взять Р(х) = х + 3 и (Э(ж) = —х — 2. Эта задача появилась как Problem В-1 в Forty- Fifth (1984) William Lowell Putnam Competition. Конечно, существование некоторого линейного рекуррентного соотношения с полиномиальными коэффициентами, которому удовлетворяет /(п), следует из теоремы 6.4.9, поскольку очевидно, что функция п! Р-рекурсивна и ^2п>1 f(n)xn — (i-*)_1E„>i »"«"•_ 6.54. а. Пусть у = ^2п>0 fp. Ясно, что функция 1/п!г Р-рекурсивна; поэтому ряд у D-конечен. Следовательно, по теореме 6.4.9 ряд yd также jD-конечен. Но yd = ^2n>0Sn fp; поэтому функция Sn /п\г Р-рекурсивна. Теперь из теоремы 6.4.12 (или из простого прямого рассуждения) следует, что функция Sn Р-рекурсивна. Это рассуждение приведено в работе [70, пример 2.4] для случая d = 2. b. Случаи г = 1 и г = 2 немедленно следуют из формул Sn1] = 2П и Sn2) = (2^). Случаи г = 3 и г = 4 рассмотрены в работах Franel J. L'Intermediaire des Mathematiciens 1 (1894), 45-47, 2 (1895), 33-35. Случаи г = 5 и г = 6 см. в статье Perlstadt М. A. J. Number Theory 27 (1987), 304-309. c. Этот результат был выдвинут в качестве гипотезы Фра- нелем в цитированной выше работе 1895 г. Неполное его доказательство было дано Кузиком в статье Cusick Т. W. J. Combinatorial Theory (А) 52 (1989), 77-83. Кузик приводит также метод для вычисления рекуррентных соотношений, который проще, чем метод Перлштадт, и который, возможно, позволяет провести вычисления для некоторых / значений г > 7. М. Столл указал на пробел в доказательстве Кузика и дал собственное элегантное доказательство в работе Stall М. Europ. J. Combinatorics 18 (1997), 707- 712. Франель выдвинул дополнительную гипотезу о форме рекуррентных соотношений, но она была опровергнута вычислением Перлштадт. Аналогичные результаты о чередующихся суммах степеней биномиальных коэффициентов имеются в статье Mcintosh R. J. J. Combinatorial Theory (A) 63 (1993), 223-233. 6.55. a. Cm. Chung F. R. K., Graham R. L., Hoggatt V. E., Jr., Klei- man M. J. Combinatorial Theory (A) 24 (1978), 382-394. Дальнейшая информация об этом захватывающем сюжете
376 Гл. 6. Алгебраические производящие функции имеется в работах Mallows С. L. J. Combinatorial Theory (А) 27 (1979), 394-396; Cori R., Dulucq S., Viennot G. J. Combinatorial Theory (A) 43 (1986), 1-22; Dulucq S., Guibert O. Discrete Math. 157 (1996), 91-106. Последняя статья содержит некоторые дополнительные ссылки. См. также упр. 6.19(mm). b. Пусть f(k) = l/(k - 1)! k\ (k + 1)!. Тогда B(n) = (П + iyj"г (П + 'У\п + I)!3 ±/(*)/(п+1-*). Ясно, что функция f(k) Р-рекурсивна; поэтому в силу предложения 6.4.3 и теоремы 6.4.9 функция X^=i /(^)/(п + 1 — &) Р-рекурсивна. Отсюда легко получить (например, из теоремы 6.4.12, хотя можно привести и простое прямое доказательство), что функция В(п) Р-рекурсивна. Можно также вывести этот результат из общей теории, изложенной в [75]. c. Следуя работе Chung et al. (см. точную ссылку в п. (а)), П. С. Бракман вывел из формулы (6.62), что при п ^ 4 (п + 1)(п + 2)(п + 3)(3п - 2)В(п) = 2(п + 1)(9п3 + Зп2 - 4п + А)В[п - 1) + (Зп - 1)(п - 2)(15п2 - 5п - 14)В(п - 2) + 8(3п + 1)(п - 2)2(п - 3)В(п - 3). 6.56. а. Используя обозначения и методы гл. 7 (см. следствие 7.23.12), получаем, что Мп) = £ (/Л)2, АЬп е(\)<к где /л —число стандартных таблиц Юнга формы Л. Используя формулу крюков для /Л (следствие 7.21.6), получаем явную формулу для А^ (п), из которой при помощи методов, развитых в [75] (особенно §3.3), можно вывести, что функция Ак Р-рекурсивна. Другой подход предложен в статье Gessel I. М. J. Combinatorial Theory (А) 53 (1990), 257-285 (§7). b. Эти гипотезы выдвинуты в статье Bergeron F., Favreau L., Krob D. Discrete Math. 139 (1995), 463-468. Они были получены с использованием пакета gfun системы Maple и некоторых похожих средств, разработанных С. Плуффе. c. Очень мало известно о функции Av при произвольном v G &к- Например, есть гипотеза, что существует (и конечен) предел Нгпп-юо Au(n)1//n, но не известно даже, верно
Решения упражнений 377 ли, что Av(n) < сп для некоторой константы с > О, зависящей от v. Дальнейшие свойства функции Av рассмотрены в упр. б.19(ее), (ff), 6.39(1), 6.47 и 6.48.1) 6.57. Пусть Q(x) = 1 + агх + • • • + adxd = n*=i(l - Hx)di > ГДе И ~ различные ненулевые комплексные числа и d{ > 0. Мы утверждаем, что ответ равен /с, т.е. числу различных нулей многочлена Q(x). По теореме 4.1.12) имеем /(n) = ^2i=1 Pi{n)^f для некоторых многочленов 0 ^ Pi{n) Е С[п]. Пусть Е — оператор единичного сдвига, задаваемый формулой (Ед)(п) = д{п+ 1). Пусть g(n) = (Pk(n)E-7kPk(n + l))f. Легко видеть, что д(п) = X}i=i Qi(n)"f? Для некоторых многочленов Qi(n) ЕС[п]. Индукцией по к (случай к =1 тривиален) получаем отсюда, что существует оператор fi = Hfc~i(n)Ek~1 Н Ь Н\{п)Е + Но(п), где Hj(n) Е С[п], удовлетворяющий условию Q# = 0. Поэтому Q • {Рк(п)Е — 7кРк(п + 1))/ = 0, т.е. мы получили (ненулевое) однородное линейное рекуррентное соотношения порядка не выше к с полиномиальными коэффициентами, которому удовлетворяет функция /. Остается показать, что / не может удовлетворять рекуррентному соотношению порядка меньше к. Пусть это не так, т.е. Тк-1 (n)f(n + fc - 1) + Tfc_2/(n + к - 2) + • • • + T0(n)/(n) = 0 эй всех п ^ 0, где Ti(n) Е С[п] и не все Т» равны 0. Тогда 0 = ^М)Т.Рг(п + з)ъ+5 = Х>Г Е2}(п)Р«(п +j)7?'. j=0 ^е1 i=1 i=° Поскольку функции 7г^ линейно независимы над С(п) (например, по теореме 4.1.1), мы получаем, что k-i ^Т,(п)Рг(п + j)7/ =0, l^i^k. 3=0 Так как матрица Вандермонда [т$ ] имеет ненулевой определитель, то Tj{n)Pi{n+j) = 0 для всех 0 ^ j ^ к— 1, 1 ^ г < /с ип^О. Поскольку каждый многочлен Pi и хотя бы один из ^В работе Alon N., Friedgut Е. J. Combinatorial Theory (A) 89 (2000), 133-140, показано, что Av(n) < cn7*(n), где 7*(n) — крайне медленно растущая функция, связанная с иерархией Акермана. — Прим. автора при переводе. 2'См. примечание переводчика к доказательству предложения 6.1.11.— Прим. перев.
378 Гл. 6. Алгебраические производящие функции многочленов Tj имеет только конечное число нулей, получаем противоречие. 6.58. Пусть 7— максимальный неотрицательный целый нуль многочлена Ре(п) (положим г = — 1, если Ре(п) не имеет таких нулей). Если нам известны значения /(0),..., /(г + е), то все остальные значения функции /(п) однозначно определяются формулой (6.34). Поэтому пространство V имеет ту же размерность, что и пространство всех (г + е + 1)- наборов (/(0),/(1),... ,/(г + е)), где / G V. Если подставить п = 0,1,...,г в формулу (6.34), мы получим г + 1 однородных линейных уравнений Eq,Ei,. ..,ЕГ от г + е + 1 неизвестных /(0), /(1),..., f(r + е). Если п не является нулем многочлена Ре(п), то уравнение Еп содержит неизвестное f(n + е) с ненулевым коэффициентом, а уравнения Ео,Е\,.. .,En-i не содержат f(n + е). Таким образом, ранг системы (Eq, Е\,..., Еп) на единицу больше ранга системы (JE7o, 25i,..., En-i). Следовательно, ранг системы (25о,Ei,...,Ег) равен по крайней мере г + 1 — га. С другой стороны, ранг этой системы не превосходит числа ее уравнений, т. е. г + 1. Поскольку размерность пространства решений равна числу г + е +1 неизвестных минус ранг системы, мы получаем, что е ^ dim V < e-f-m, а это и требовалось доказать. При фиксированных значениях е и Ре(п) нетрудно сделать так, чтобы размерность dimV принимала произвольное значение из этого промежутка. (Действительно, поскольку конечное число значений многочлена можно задать произвольным образом, система (Ео,Ei,...,Er) также может быть задана произвольно с единственным условием: многочлен Ре(п) должен иметь га нулей в N и наибольший из них должен быть равен г.) 6.59. Пусть и = secx. Предположим, что и удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.31). Тогда и' = иу/и2 — 1, и" = it3 + и2 — и, и вообще по индукции легко показать, что u(2i+1) = Li(u)Vu2 - 1 и u(2i) = Mi{u), где Li и Mi — многочлены (с комплексными коэффициентами), причем оба многочлена имеют степень 2г + 1. Подставляя эти формулы в уравнение (6.31), мы получаем ненулевое полиномиальное уравнение от х, и и у/и2 — 1, которому удовлетворяет функция и. Поэтому и есть алгебраическая функция, что, как легко видеть, невозможно (например, в силу упр. 6.1). Это рассуждение приведено в работе [70, пример 2.5]. Более раннее доказательство имеется в статье Carlitz L. J. Reine Angew. Math. 214/215 (1964), 184-191 (теорема 4). Еще одно
Решения упражнений 379 доказательство следует из результата теории дифференциальных уравнений о том, что аналитический D-конечный ряд не может иметь бесконечно много полюсов. См. более сильный результат в [70, §4(а)]. Еще один способ увидеть, что функция sec а: не является D-конечной, состоит в обращении к трудному упр. 6.60. Рассуждение, аналогичное приведенному выше, применимо к функции \/1п(1 + х2). См. дальнейшие подробности в [70, пример 2.6]. 6.60. Предположим, что функция и := у'/у алгебраическая. Последовательно дифференцируя несколько раз уравнение у' = ш/, по индукции получаем, что у№ = Pk(u,u',.. .)у, где Р& — многочлен (над С) от и, и',.... Поскольку функция и алгебраическая, все ряды Рк(и, и',...) лежат в поле С (ж, и) (в силу формулы (6.12)) и, следовательно, удовлетворяют некоторому линейному соотношению ^™=о fk(x)Pk — 0, где Д(х) G С(х). Таким образом, ЕЛ(^2/(/с) = 0, откуда следует, что ряд у D-конечен. Обратное утверждение является гораздо более трудным. Оно было впервые доказано в явном виде Харрисом и Сибуя в статье Harris W. A., Jr., Sibuya Y. Advances in Math. 58 (1985), 119-132, хотя на самом деле следует из более раннего результата С. Моррисона, приведенного в работе Blum Р. Arner. J. Math. 94 (1972), 676-684 (теорема 3). Результат Харриса и Сибуя был обобщен последовательно в работах Harris W. A., Jr., Sibuya Y. Proc. Amer. Math. Soc. 97 (1986), 207-211; Sperber S. Pacific J. Math. 124 (1986), 249-256; кульминацией этой деятельности явилась статья Singer М. F. Trans. Amer. Math. Soc. 295 (1986), 753-763. 6.61. Этот результат принадлежит Л. Липшицу (Lipshitz L. J. Algebra 113 (1988), 373-378). Более ранние доказательства из работ Gessel I. Utilitas Math. 19 (1981), 247-254, и Zeilberger D. J. Math. Anal. Appl. 85 (1982), 114-145 (теорема 11), были неполными, хотя позже Зейльбергер исправил свое доказательство. Более общий результат был позднее доказан в работе Lipshitz L. J. Algebra 122 (1989), 353-373 (теорема 2.7), с использованием принадлежащего самому Липшицу обобщения понятия D-конечности на случай функций нескольких переменных. 6.62. Предположим, что ряд у удовлетворяет подходящему дифференциальному уравнению £ порядка е. Применяя к £ элемент группы Галуа G неприводимого многочлена Р, корнем которого является у, мы видим, что каждый сопряженный к у ряд также удовлетворяет уравнению £. Легко видеть, что комплексная размерность пространства решений уравнения
380 Гл. 6. Алгебраические производящие функции £ в дробных степенных рядах (или даже в дробных рядах Лорана) не превосходит е. Следовательно, е ^ dim У. Остается показать, что у удовлетворяет некоторому уравнению £, степень которого равна dim V. Пусть L — поле разложения многочлена Р. Дифференцирование d/dx единственным образом продолжается на поле L. Пространство V инвариантно относительно действия группы G; поэтому мы имеем представление G —> GL(y). Для произвольного С-базиса zi,...,zm пространства V положим = Wr(F,zb...,zm) 1 ] Wr(zb...,zm) ' где Y — переменная, a Wr обозначает вронскиан. Применим произвольный элемент a Е G к коэффициентам многочлена T(Y) и обозначим полученный дифференциальный многочлен через Ta{Y). Тогда Wi(Y,azi,...,azm) Ta{Y) Wr(azi,...,azm) ■ det([a]) • Wr(y, det([<7])-Wr(*b--.,*m) l h где [a] — матрица элемента а в базисе zi,...,zm. Следовательно, коэффициенты многочлена T(Y) левоинвариант- ны относительно группы G, а значит, лежат в поле С(х). Ясно, что многочлен T(Y) ненулевой (поскольку элементы zi,--.,zm линейно независимы), обращается в нуль в корнях многочлена Р и его порядок равен dim У, что и требовалось. Это рассуждение принадлежит Б. Дворку и было независимо воспроизведено М. Ф. Зингером (частные сообщения). 6.63. Ь. В работе Jacobi К. G. J. J. Reine Angew. Math. (—Crelle's J.) 36 (1847), 97-112, показано, что ряд у = 1 + 2 ^2п>1хП* удовлетворяет АДУ (y2z3-15yz1z2 + 30zf)2 + 32(yz2-3zf)3-y10(yz2-3z2)2^0, где z\ = xyf, z2 = ху' + х2у", z3 = ху' + Ъх2у" + х3у'". с. Самый сильный известный на настоящий момент результат на эту тему доказан в статье Lipshitz L., Rubel L. А. Arner. J. Math. 108 (1986), 1193-1214 (теорема 4.1). Этот результат показывает, в частности, что у не может иметь адамаровы лакуны. Иными словами, если у удовлетворяет некоторому АДУ, то не существует такого г > 1, что щ+х/щ > г при всех г. Вопрос о том, может ли ряд вида J2n ЬпХп 5 где все Ьп не равны 0, удовлетворять АДУ,
Решения упражнений 381 остается открытым. На самом деле, по-видимому, неизвестно, удовлетворяет ли ряд ]Г]П хп какому-либо АДУ. (Кажется вероятным, что ряд ^п Ьпхп не удовлетворяет никакому АДУ, поскольку в противном случае был бы получен совершенно неожиданный результат о представлении целых чисел в виде сумм кубов.) 6.64. а. Ряд, представленный обеими частями, есть не что иное, как сумма всех слов w Е {х,?/}*, буквы которых чередуются (т. е. слов, не содержащих двух последовательных букв х или у). b. Пусть и — (1 — ху)~г и v = (1 — ух)~г. Заметим, что (1 — ух)у — у(1 — ху)\ поэтому уи — vy. Таким образом, (1 -Ь x)v(l -Ь у) — v -h xv + уи + хуи — v -h xv + уи + и — (1 — ху)и — и + v -f xv -Ь уи — 1. Последнее выражение симметрично относительно перестановки (записанной в виде произведения непересекающихся циклов) (ж, у)(и, v). откуда следует положительный ответ. Это рассуждение принадлежит С. Фомину (частное сообщение), а сама задача была мотивирована работой Fomin S. J. Combinatorial Theory (A) 72 (1995), 277-292 (доказательство теоремы 1.2). c. Положительный ответ дан в работе Krob D. In: Topics in Invariant theory (M.-P. Malliavin, ed.), Lecture Notes in Math. 1478, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1991, pp. 215-243. Краткое обсуждение этого вопроса имеется также в работе [55, §8]. 6.65. а. Первое решение. Предположим, что ряд S — ^2n>iXnyn рациональный. По теореме 6.5.7 существуют такие матрицы А и В размера N х N (при некотором АГ), что (A1B3)in — 5ij для всех г, j ^ 1. Образуем коммутативную производящую функцию F(s,t) = J2 {AB^insH* = [Asil-As^Btil-Bt)-1}^. Рассуждая, как при решении упр. 4.8(a), мы видим, что F(s,t) —рациональная функция от переменных s и t со знаменателем det(/ — As) • det(/ — At). С другой стороны,
382 Гл. 6. Алгебраические производящие функции поэтому знаменатель функции F(s,t) содержит множитель 1 — st. Мы получили противоречие (например, поскольку X[s,£] —область, обладающая свойством единственности разложения на множители.) Второе решение. Пусть А, В и N — матрицы и число, описанные выше. По теореме Кэли-Гамильтона AN — a^-\AN~x + • • • + а\А + clqI для некоторых констант а^. Поэтому м_г 1 = (ANBN)1N = £>;(^Я")Ш = О, г=0 и мы получили противоречие. Это элегантное доказательство принадлежит П. Херш. b. Этот результат есть пример «леммы об итерациях» или «леммы о разрастании» для рациональных рядов. Он доказан в работе Jacob G. J. Algebra 63 (1980), 389-412. Более сильные результаты и дополнительные ссылки имеются в работе Reutenauer С. Acta Inf. 13 (1980), 189-197. См. также [5, гл. III, теорема 4.1], [43, теорема 8.23]. c. Эта лемма о разрастании принадлежит Джаффе (Jane J. SIGACT News (1978), 48-49). См. также [62, теорема 3.14]. В статье Джаффе упоминаются некоторые другие харак- теризации рациональных языков, самая ранняя из которых принадлежит А. Нероде. 6.66. По теореме 6.5.7 существуют гомоморфизмы fi: Х+ —> Kmxm и v\ Х+ -+Кпхп, такие, что (5, w) = fi(w)im и (Г, w) = v(w)in для всех w G 1+. Определим отображение ц 0 v. Х+ —> j^mnxmn ф0рМуЛОй (д 0 v)(w) — fi(w) 0 v(w), где последний знак 0 обозначает тензорное (кронекерово) произведение матриц. Тогда fi 0 v есть гомоморфизм моноидов, удовлетворяющий условию (ц 0 v)(w)i^rnn — (S,w) - (T,w) для всех w Е Х+, и доказательство следует из теоремы 6.5.7. Этот результат принадлежит М. П. Шютценберже [65, свойство 2.2]. См. также, например, [63, теорема П.4.4]. (Шютценберже предполагает только, что К является полукольцом, и в этом случае доказательство значительно более сложное.) 6.67. Пусть х = xq + x\-\ \-хь-г и у = Ж1 + 2Ж2Н \-(Ь-1)хь-г. Легко видеть, что S = bSx + (x- ж0)(1 - х)~гу + у; поэтому S = [(x- *0)(1 - *)_12/ + у](1 - Ьх)-1. Это упражнение есть несколько видоизмененный результат из книги [5, упр. 4.4, с. 19].
Решения упражнений 383 6.68. Доказательство этого результата приведено в работе Дэви- са и Шапиро Davis М. W., Shapiro М. D. Coxeter groups are automatic, preprint, Ohio State University, 1991. Однако доказательство результата, называемого «свойством параллельной стены», является неполным. Впоследствии Бринк и Хау- летт (Brink В., Howlett R. В. Math. Ann. 296 (1993), 179- 190) утверждали, что из их теоремы 2.8 следует свойство параллельной стены, что завершает доказательство Дэвиса и Шапиро. Другие доказательства были даны в диссертациях Eriksson Н. Ph.D. thesis, Kungl. Tekniska Hogskolan, 1994 (теорема 73), и Headley P. Ph.D. thesis, University of Michigan, 1994 (теорема VII. 12). 6.69. Этот и многие близкие результаты содержатся в работе Bjorner A., Reutenauer С. Theoret. Comput. Sci. 98 (1992), 53-63. 6.70. Это провокационный вопрос —ясно, что пара (0,0) является решением! 6.71. Пусть а,/3 G К. Пусть s\ — и —компонента собственной алгебраической системы S от переменных s\,...,Sj, и пусть t\ — v —компонента собственной алгебраической системы Т от переменных t\,..., t^. Тогда z — au+(3v — компонента собственной алгебраической системы, состоящей из систем <S, Т и уравнения z = as\ +/3ti. Следовательно, ряд au+(3v алгебраический. Аналогичное рассуждение работает для ряда uv. Остается показать, что если ряд и алгебраический и существует и-1 (т.е. (и, 1) ф 0), то ряд и-1 алгебраический. Предположим, что (и, 1) = а ф 0. Пусть v — и-1, и' — и — а и v' = v — а-1, так что (и', 1) = (г?', 1) = 0. Тогда vf — —а~2и' — а~гу'и', откуда немедленно следует, что ряд vf (а значит, иг?) алгебраический, если только ряд и' (или и) алгебраический. Другие «свойства замкнутости» алгебраических рядов приведены в работах [63, гл. IV.3] и [24]. 6.72. а. Эта лемма о разрастании для алгебраических языков принадлежит Бар-Хиллелу (Bar-Hillel Y. Zeitschrift fur Phonetik, Sprachwissenschaften und Kommunicationsfor- schung 14 (1961), 143-172 (теорема 4.1); перепечатано в Bar-Hillel Y. Language and Information, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1964, с 130). См. также [62, теорема 3.13]. Другие методы доказательства неалгебраичности языков приведены в книге [63, упр. IV.2.4 и IV.5.8]. Ь. Легко. 6.73. а. Пусть jD—язык Дика из примера 6.6.6. Пусть D — множество всех слов, полученных из слов языка D заменой
384 Гл. 6. Алгебраические производящие функции букв х и у друг на друга. Простое комбинаторное рассуждение показывает, что 5 = (1 — jD+ — jD+)-1. Поскольку языки D и D алгебраические, отсюда немедленно следует, что язык 5 алгебраический. Более явным образом: если 5' = 5 — 1, то (используя формулу (6.51)) мы получаем, что 5' = (5' + 1)L>+ + (S' + 1)2?+, £>+ - x(D+ + l)y(D+ + 1), Л+ - г/(Л+ + 1)я(Д+ + 1). Ь. Определим ряд Q по формуле Q =. 1 + xQyQ + yQxQ. Тогда Q — алгебраический ряд и, как замечено в книге Berstel J. Transductions and Context-Free Languages, Teubner, 1979 (теорема II.3.7, с. 41), носителем ряда Q является язык 5. Однако это рассуждение оставляет открытым вопрос о том, может ли сам ряд 5—1 быть определен с помощью одного уравнения (или даже двух уравнений). 6.74. Каждое слово w — w\ • • -wn в алфавите {xi,^1,... , а^,^1}, которое сводится к 1, может быть единственным образом записано в виде произведения неприводимых слов, обладающих тем же свойством. Если д{п) — число таких неприводимых слов длины п и G(t) — Y2n>i 9(n)tni то F — 1/(1 - G). Если неприводимое слово и начинается с буквы у — Xi или х~ , то оно должно оканчиваться на букву у~г [почему?]. Если и — yvy~l, то v может быть любым словом, сводящимся к 1, неприводимые компоненты которого не начинаются с г/-1. Производящая функция для неприводимых слов, не начинающихся с г/-1, равна ^j^G(t), значит, производящая функция для последовательностей таких слов равна Поскольку слово и имеет на две буквы больше, чем слово v, и имеется 2/с способов выбрать букву у, отсюда следует, что G{t)-l-^G(t)- Это уравнение легко разрешить относительно G{t) и затем получить формулу для F{t). Приведенное выше рассуждение принадлежит Д. Граби- неру. Другое элегантное решение А. Швенка опубликовано в Amer. Math. Monthly 92 (1985), 670-671. Эта задача была ис-
Решения упражнений 385 ходно сформулирована М. Хайманом и Д. Ричманом для случая к = 2 в Amer. Math. Monthly 91 (1984), 259, хотя Швенк отмечает, что его решение переносится на случай произвольного к. Задача Хаймана и Ричмана послужила мотивировкой для работы [35], из которой мы заимствовали теорему 6.7.1 и следствие 6.7.2. Эта задача была независимо решена физиками в контексте случайных блужданий на решетке Бете. См. Giacometti А. J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995), L13-L17, и приведенные там ссылки. Решения упражнений из Catalan addendum 6.19. ооо. Будем обходить дерево в глубину. Проходя по ребру вниз (т.е. от корня), будем записывать 1, если это ребро ведет налево или прямо вниз, и —1, если оно ведет направо. Это дает биекцию с п. (с4). ррр. Доказательство следует из тождества производящих функ ций С{х) - 1 X С(х)-С(-х)\\„ /од + сн\н Этот результат принадлежит Л. Шапиро (частное сообщение, 26 декабря 2001 г.). qqq. Добавим один шаг вверх, а затем — несколько шагов вниз, пока не достигнем точки (2п,0). Это дает биекцию с путями Дика из п. (i). rrr. В двуцветных путях Моцкина из п. (vvv) заменим шаг (1,1) последовательностью шагов (1,1) + (1,1) + (1, —1), шаг (1, —1) последовательностью (1,1) + (1, —1) + (1, —1), красный шаг (1,0) последовательностью (1,1) + (1,-1) и синий шаг (1,0) последовательностью (1,1) + (1,1) + (i,-i)+ (i,-i). sss. Чтобы получить биекцию с путями Дика из п. (i), добавим шаг вида (1,1) сразу после точки (га, 0) и шаг вида (1,-1) в конце пути (Р. Суланке, частное сообщение Э. Дёйча, 4 февраля 2002 г.). ttt. Чтобы получить биекцию с п. (sss), стянем область под пиком единичной высоты в точку (Э. Дёйч и Р. Суланке, частное сообщение Дёйча, 4 февраля 2002 г.). -1УЕ(
386 Гл. 6. Алгебраические производящие функции uuu. Первое решение. Зафиксируем перестановку иЕбзи обозначим через Т(и) множество всех it-избегающих перестановок (определенных в упр. 6.39(1)) во всех <5п при п ^ 1. Частично упорядочим множество Т(и), полагая v ^ w, если v является подпоследовательностью перестановки w (если перестановки v и w записаны как слова). Можно проверить, что ч. у. множество Т(и) изоморфно дереву Т. Более того, вершины высоты п в Т(и) состоят из it-избегающих перестановок в бп+ь Теперь доказательство следует из упр 6.19(ее), (ff). Второе решение. Пометим каждую вершину ее степенью. Насыщенная цепь от корня до вершины уровня п — 1 окажется при этом помеченной последовательностью (bi,..., bn). Положим di = i + 2 — bi. Это устанавливает биекцию между множеством вершин уровня п — 1 и последовательностями (ai,..., ап) из п. (s). Третье решение. Пусть fn{x) — ^wideg^, где суммирование ведется по всем вершинам дерева Т высоты п — 1. Таким образом, fi(x) = х2, /2(2;) = х2 + х3, h(x) — х4 + 2х3 + 2х2 и т.д. Положим /о(х) — х. Из определения дерева Т следует, что /n+i(:r) получается из fn(x) подстановкой х2 + х3 + • • • -f- xfc+1 = х2(1 — хк)/{1 — х) вместо хк. Поэтому , ,* _ хЧШ-Ш) Jn+l(X) = , п £ U. 1 — д; Полагая F{x,t) — Y^n>o Fn(x)tn, получаем x-F(x,0= 3^(F(M)_F(:M)) С 1 — ж Отсюда _ x-x2+x2tF(l,t) n^t)~ I_x + X2t • Теперь применим упр. 6.С7. Деревья Т{и) называются производящими деревьями. Они были впервые определены в работе Уэста West J. Discrete Math. 146 (1995), 247-262 (см. также Discrete Math. 157 (1996), 363-374), как в первом из приведенных нами решений. Затем Уэст предложил доказательство, использующее метки, из нашего второго решения, получив тем самым новые доказательства пп. (ее) и (ff). Дальнейшие сведения о производящих деревьях можно найти в работе Banderier С, Bousquet-Melou М., Denise А.,
Решения упражнений 387 Flajolet P., Gardy D., Gouyou-Beauchamps D. Discrete Math. 240 (2002), 29-55. vvv. Заменим шаг вида (1,1) на 1,1, шаг вида (1,-1) на — 1,-1, красное звено вида (1,0) на 1,-1, синий шаг вида (1,0) на —1,1 и добавим дополнительную единицу в начало и минус единицу в конец. Это дает биекцию с п. (г) (предложенную Р. Чепменом). Перечисляемые пути называются двуцветными путями Моцкина. См., например, работу Barcucci Е., Del Lungo A., Pergola Е., Pinzani R. In: Lecture Notes in Comput. Sci. 959, Springer-Verlag, Berlin, 1995, pp. 254-263. www. Заменим каждый шаг вида (1,1) или (0,1)на(1,1)и каждый шаг вида (1,0) на (1,-1). Мы получим биекцию с путями из п. (qqq). ххх. См. работы Guy R. К. J. Integer Sequences 3 (2000), article 00.1.6, http: //www. research. att. com/~nj as/sequences/ JIS/V0L3/GUY/catwalks.html, и Guy R. K., Krattentha- ler C., Sagan B. Ars Combinatorica 34 (1992), 3-15. yyy. Рассматривая точки в порядке слева направо, заменим каждую изолированную точку и каждую точку, являющуюся левым концом дуги, на единицу, а каждую точку, являющуюся правым концом дуги, — на минус единицу. Мы получим биекцию с п. (с4). zzz. Три доказательства содержатся в работе Niederhausen Н. Electron. J. Combinatorics 9 (2002), no. 1, R33. а4. Если мы рассмотрим число хордовых диаграмм из п. (п), содержащих фиксированную горизонтальную хорду, то получим стандартное квадратичное рекуррентное соотношение для чисел Каталана. Изящная «биективизация» этого доказательства состоит в следующем. Зафиксируем вершину v. Для данной непересекающейся хордовой диаграммы с выделенной горизонтальной хордой К повернем хорды таким образом, чтобы левый конец хорды К совпал с вершиной v. Это дает биекцию с п. (п). Другой способ сформулировать это утверждение (предложенный Р. Чепменом) состоит в том, что имеется п различных наклонов хорд, каждый из которых встречается одно и то же число раз, а значит, Сп раз. Ь4. Частичные суммы последовательностей из п. (г). Последовательности из этого упражнения встречаются в явном виде в работе Wigner Е. P. Ann. Math. 62 (1955), 548-564. с4. В п. (qqq) заменим каждый шаг, идущий вверх, на единицу, а каждый шаг, идущий вниз, на минус единицу.
388 Гл. 6. Алгебраические производящие функции d4. Рассмотрим пары решеточных путей из п. (1) и прямые Li, задаваемые уравнениями х + у = i, 1 ^ г < п. Обозначим через 5 множество всех клеток решетки, лежащих между двумя путями. Прямая Li пройдет через внутренность некоторого числа Ь{ элементов множества S. Положим cii — ±bi, согласно следующему правилу: (i) а\ = Ь\ — 1, (ii) didi > О, если bi ф б»—1, и (in) если bi = &г-ъ то cii — di-i, в случае, когда самая верхняя клетка из множества 5, через которую проходит прямая Li, расположена выше самой верхней клетки из множества 5, через которую проходит прямая Lf_i, и ai — —ai-i в противном случае. Это устанавливает биекцию с п. (1). е4. В дереве Т из п. (шш) пометим корень нулем, а двух сыновей корня — нулем и единицей. Затем рекурсивно пометим оставшиеся вершины следующим образом. Предположим, что вершина v имеет уровень п и помечена числом j. Предположим также, что братья вершины v, имеющие метки меньше j, помечены числами ti,...,U. Отсюда следует, что v имеет г + 2 сыновей, которые мы пометим числами ti,...,ti,j,n. На рис. 6.15 изображены метки до высоты 3. Как во втором решении упр. 6.19(шш), насыщенная цепь от корня до вершины уровня п — 1 оказывается, таким образом, помеченой последовательностью (а\,..., ап). Можно увидеть, что это устанавливает биекцию между вершинами уровня п—1 и последовательностями, которые мы пытаемся сосчитать. Теперь доказательство следует из п. (uuu). Это упражнение заимствовано из работы Суника (Sunik Z. Self-describing sequences and the Catalan family tree, preprint). Суник указывает также, что число элементов на уровне п, помеченных числом j, равно CjCn-j. 0 3023030130123 Рис. 6.15. Дерево из упр. 6.19(е4). f4. Пусть Т — плоское дерево с п +1 вершинами, которые помечены числами 1, 2,..., п +1 в порядке обхода в глубину.
Решения упражнений 389 Будем осуществлять на дереве Т поиск в глубину и записывать метки вершин в том порядке, в котором мы их посещаем (включая повторы). Это устанавливает биекцию с п. (е). Последовательности из этого упражнения неявным образом встречаются в цитированной выше работе Виг- нера, а именно как вклад Ха1а2Ха2аз • • • Xa2n_ia2nXa2nai в (1,1)-элемент матрицы Х2п. g4. Пусть а = (аг,...,ак), (3 = (Pi,... ,0k)- Положим Л = (n-ai,n-ai-a2,...,n-ai <*k-i) и \х = (Дн f- /3^-1,..., /3i +/З2, /3i). Тогда X и /л являются разбиениями, состоящими из к — 1 частей, все из которых различны. Нетрудно видеть, что имеется единственное разбиение г/, различные части которого являются частями разбиения Л, такое, что различные части сопряженного разбиения v1 являются частями разбиения ц. Соответствие (а, /3) ь-> v есть биекция между парами разложений перечисляемого вида и разбиениями из п. (vv). Эта необычная биекция содержится в работе Reifegerste A. The Catalan number Сп counts the polyominos of width n -f-1, preprint. Другое биективное доказательство следует из решения упр. (т4). h4. Согласно следствию 7.13.6 (примененному к перестановочным матрицам), теореме 7.23.17 (в случае г = 1) и упр 7.28(a) (в случае, когда А является симметричной перестановочной матрицей с нулевым следом), RSK- алгоритм устанавливает биекцию между 321-избегающи- ми инволюциями без неподвижных точек в 6гп и стандартными таблицами Юнга формы (п, п). Теперь применим п. (ww). Имеется также много способов построить более прямую биекцию. i4. Как и в п. (h4), RSK-алгоритм устанавливает биекцию между 321-избегающими перестановками в &2п-г с одной неподвижной точкой и стандартными таблицами Юнга формы (п,п — 1); теперь снова применим п. (ww). j4. В решении п. (и) было упомянуто, что перестановка является стек-сортируемой тогда и только тогда, когда она 231-избегающая. Следовательно, перестановку из 62П можно привести с помощью стека к виду 2п, 2п — 1,..., 1 тогда и только тогда, когда она 213-избегающая. Пусть имеется 213-избегающая инволюция в &2п без неподвижных точек. Отсортируем ее с помощью стека в обратном порядке. В тот момент, когда элемент помещается в стек, будем записывать 1, а в тот момент, когда элемент извлекается из стека, будем записывать —1 (как в
390 Гл. 6. Алгебраические производящие функции решении п. (ii)). Мы получим в точности последовательности аьа2,... ,ап,— ап,..., — а^,— а\, где ах,. ..,ап —как в п. (г), откуда следует доказательство. Кроме того, Дёйч (частное сообщение, май 2001 г.) построил биекцию с путями Дика из п. (i). к4. Аналогично п. (j4). I4. Обозначим через ai кратность вхождения в сумму вектора ei — ei+i. Вся сумма однозначно определяется последовательностью ai, a2,..., an-i. Более того, возникающие при этом последовательности 0, ai, a<i,..., an-i совпадают с последовательностями из п. (и). См. работу Postnikov А., Stanley R. Flow poly topes and Kostant's partition function, in preparation. m4. Пусть H — полимино перечисляемого типа, скажем, с £ строками. Обозначим через ai + 1 ширину (число столбцов) первых г строк полимино Н и положим ai = ai — ai-i при 1 < г < £ (и ао = 0). Аналогичным образом, обозначим через bi + 1 ширину последних г строк полимино Н и положим Pi = be-i+i — be-i при 1 ^ г < £ (и fro = 1)- Это устанавливает биекцию с парами (а,/?) разложений, перечисляемых в п. (g4). Это доказательство принадлежит А. Райфегерсте, см. цитированную выше работу. Уточняя это доказательство, она показывает также, что количество полимино перечисляемого типа с £ строками есть число Нараяны N(nJ) = £(£)(Д) из упр. 6.36. Другая биекция была предложена Дейчем (частное сообщение, 15 июня 2001 г.). А именно, для данного полимино Н обозначим через а\ + 1,..., ае + 1 длины строк, а через bi+1,..., be-i + 1 — длины перекрытий между соседними строками. Пусть D — путь Дика длины 2п, последовательные пики которого находятся на высотах а±,..., а^, а последовательные впадины — на высотах &ь..., be-i. Это устанавливает биекцию с путями Дика длины 2п, описанными в п. (i). (Ср. с решением п. (1).) п4. Пусть (1,1,...,1,-п) п-1 = ^>2(ai(ei - ei+i) + bi(ei - en+i)) + an(en - en+i), i=i как в п. (I4). Положим тпц — ai и min = bi. Это однозначно определяет матрицу М и устанавливает биекцию с п. (I4). См. работу A. Postnikov, R. Stanley, цит. выше.
Решения упражнений 391 6.25. j. Степень грассманиана G(fc, п + к) равна числу f(n ) стандартных таблиц Юнга прямоугольной формы (пк) (см., например, Stanley R. In: Lecture Notes in Math. 579, Springer-Verlag, Berlin, 1977, pp. 217-251 (теорема 4.1)), и доказательство следует из упр. 6.19(ww). к. Этот результат был сформулирован в виде гипотезы в работе Аваля и Бержерона (Aval J.-C, Bergeron N. Catalan paths, quasi-symmetric functions and super-harmonic spaces, preprint, http: //www. arXiv. org/abs/math. CO/0109147), где доказано утверждение, которое можно рассматривать как «устойчивый случай» п —► оо. Гипотеза Аваля- Бержерона была доказана в работе Aval J.-C, Bergeron F., Bergeron N. Ideals of quasi-symmetric functions and super- covariant polynomials for 5n, preprint, http://www.arXiv. org/abs/math.CO/0202071. 6.38. п. См. работу Guibert O., Pergola E., Pinzani R. Ann. Combinatorics 5 (2001), 153-174. 6.CI. а. Эти результаты содержатся в работах Bousquet-Melou М., Schaeffer G. Probab. Theory Related Fields 124 (2002), 305- 344 (теорема 7), и Bousquet-Melou M. Advances in Applied Math. 27 (2001), 243-288 (теорема 19). Доказательства получаются из формулы _ (1 - 2t(l + х) + ^fT^Щ1/2 (1 + 2*(1 -х) + УТ+Щ1/2 ~ 2(l-t(x + x + y + y)) ' где х = 1/х иу = 1/у. Во второй из цитированных работ имеется также биективное доказательство формул (6.68) (предложение 2). b. См. работу Bousquet-Melou, Schaeffer, цигп. выше, с. 11. c. Ситуация аналогична п. (а). Эти результаты содержатся в двух работах, цитированных в п. (а), и основаны на формуле kiV V2(l-«(x + x)(!, + S)) Для случая г = 1 формулы (6.69) биективное доказательство приведено в работе Bousquet-Melou, Schaeffer, цитп. выше, предложение 7. d. Этот результат был сформулирован Р. Стенли (Stanley R. Problem 10905, Problems and Solutions, Amer. Math.
392 Гл. 6. Алгебраические производящие функции Monthly 108 (2001), 871). Мы не приводим решения, пока оно не будет опубликовано в журнале. 6.С2. а. Самый прямой способ доказательства состоит в том, чтобы заметить, что все три степенных ряда F(to,ti,... \х) удовлетворяют уравнению 1 F(t0, *i,...; х) = -—-——— г 1 -t0xF(ti,t2,...;x) с начальным условием F(to,*i,...;0) = l. Общая комбинаторная теория непрерывных дробей изложена в работе Flajolet P. Discrete Math. 32 (1980), 125-161. Эквивалентность пп. (i) и (iii) равносильна частному случаю следствия 2 упомянутой работы. Ь. Положим to = ti = • • • = tn = 1 и ti = 0 при г > п. Согласно случаю j = 2 упр. 1.3, производящая функция (и) п. (а) превращается в левую часть формулы (6.72). С другой стороны, согласно упр. 6.19(e), для г < п + 1 коэффициент при хг в производящей функции (iii) превращается в коэффициент при хг в правой части соотношения (6.72) (поскольку высота дерева с г ^ п + 1 вершинами не превосходит п). Теперь устремим п к бесконечности. Нетрудно привести прямое доказательство соотношения (6.72). Производящая функция Fn(*)=5>i)«(n:i)*' удовлетворяет соотношению Fn+2(x) = Fn+i(aO - xFn(x). (6.81) Из теоремы 4.1.11^ (или непосредственно из упр. 6.С7(Ь)) следует, что C(x)-»-l-{xC{x))"+i Fn{x) = 7г=Ш • Значит, дробь в левой части соотношения (6.72) равна Е^о(-1)ЧП+г1_0^ г ~ Х^С{хУ^2) > откуда следует (6.72). х)См. примечание переводчика к доказательству предложения 6.1.11.— Прим. перев.
Решения упражнений 393 Соотношение (6.72) (в котором числитель и знаменатель левой части задаются формулой (6.81) приведено в работе Hoggatt V. Е., Jr. Problem Н-297, Fibonacci Quart. 17 (1979), 94; решение: BruckmanP. S., там же, 18 (1980), 378. с. Эта гипотеза принадлежит А. Постникову. Она была проверена для п < 500. Гипотеза верна также при v^iC^) < 2, что легко следует из п. (а) при to = t\ = • • • = 1 и того, что (2г-1)2 = 1 (mod 8). 6.СЗ. См. работу, приведенную в решении упр. 6.19(14). 6.С4. а, с. Обозначим через М' часть матрицы М, лежащую ниже главной диагонали. Легко видеть, что М1 однозначно определяет матрицу М. В работе Chan С. S., Robbins D. P., Yuen D. S. Experiment Math. 9 (2000), 91- 99, показано, что многогранник CRn+1 (называемый многогранником Чаня-Роббинса или многогранником Чаня- Роббинса-Юэня) можно подразбить на симплексы равного относительного объема 1/С1^1)!, которые естественным образом параметризуются матрицами М'. Отсюда следует, что ("J1)! ^(CRn+i) = д(п). Ранее Чань и Роббинс предположили, что ("J1)! */(CRn+1) = С\ • • • Сп. (В действительности Чань и Роббинс использовали другую нормировку относительного объема, так что i/(CRn+1) = С\ • • - Сп.) Эта гипотеза была доказана в работе Zeilber- ger D. Electron. Trans. Numer. Anal. 9 (1999), 147-148, и позже в работе Baldoni-Silva W., Vergne M. http://www. arXiv.org/abs/math.C0/0103097 (теорема 33). b. Для данной матрицы M = (rriij) существует единственный набор неотрицательных целых чисел а±,..., ап, удовлетворяющий условию п , У^ ™>ji(ei-ej)+^2 ai(ei-en+i) = f 1,..., n, - Это устанавливает биекцию между пп. (а) и (Ь). Этот результат содержится в работе A. Postnikov, R. Stanley, цит. выше, а также обсуждается в статье W. Baldoni- Silva, М. Vergne, цит. выше (§8). 6.С5. Занумеруем вершины числами 1,2, ...,4га + 2 по часовой стрелке. Предположим, что имеется хорда между вершиной 1 и вершиной 2г. Случай 1. Пусть г нечетно. Многоугольник разделен на два многоугольника, один из которых (скажем, Pi) имеет вершины 2,..., 2г — 1, а другой (скажем, Р2) имеет вершины т •
394 Гл. 6. Алгебраические производящие функции 2г + 1,..., 4га + 2. Выберем г — 1 непересекающихся хорд на вершинах 2,3,..., 2г — 1. Мы получим сеть N\ на Pi. Выберем раскраску граней сети N\. Из соображений «симметрии» половина сетей на P<i будет иметь четное число синих граней, а половина — нечетное (относительно раскраски граней сети Л/i); поэтому число сетей с хордой (1,2г) и четным числом синих граней минус число сетей с хордой (1,2г) и нечетным числом синих граней равно нулю. (Нетрудно сделать это рассуждение абсолютно точным.) Случай 2. Пусть г четно, скажем, г — 2j. Число сетей N± на Pi с четным числом синих граней равно fe(j — 1). Число сетей с нечетным числом синих граней равно f0(j — l). Аналогичным образом, число сетей N2 на Р2 с четным числом синих граней равно /е(га — j), а число сетей с нечетным числом синих граней равно f0(m — j). Следовательно, число сетей на исходных 4га + 2 точках с хордой (l,4j) и четным числом синих граней равно fe(j - l)/e(m - j) + f0(j - l)/0(m - j). Таким образом, m ЛИ = J2(feU - 1)Л(т - J) + fo(j ~ l)fo(m-j)). 3 = 1 Аналогично, m Urn) = J^ifeU ~ l)fo(m-j) + f0(j - l)/e(m - j)). i=i Значит, m /e(m)-/0(m) = J2(fe(j-l)-fo(j-l))(fe(m-j)-f0(m-j)), 3=1 что есть в точности рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют числа Каталана Ст (с начальным условием Со = 1), а значит, и числа Dm = (—l)m+1Cm (с начальным условием Do = —1). Поскольку /е(0) — /о(0) =0 — 1 = —1, доказательство завершено. Этот результат был впервые доказан с использованием методов алгебраической геометрии в работе Eremenko А., Gabrielov A. The Wronski map and real Schubert calculus, preprint, www. math. purdue. edu/~agabriel/preprint. html и www. math. purdue. edu/~er emenko/newpr ep. html. 6.C6. Из соображений полиномиальной интерполяции достаточно доказать оба тождества для случая, когда q является положительным целым числом.
Решения упражнений 395 a. Пусть G{x) = хС(х). Тогда G(x) = (х — х2)(~г\ и доказательство легко следует из формулы обращения Лагранжа (теорема 5.4.2). С другой стороны, C(x)q (при q G Р) есть производящая функция для плоских двоичных лесов с q компонентами. Теперь применим теорему 5.3.10 в случае п = 2к -f- q, го = к -f- д, гч = к (и остальные п = 0). b. Это утверждение может быть получено из п. (а) дифференцированием (xC(x))q по х или, другим способом, из тождества хС(ху = W - (l-^CQ*)'-1 V ; 2 2vT^lS 6.С7. а. Легко видеть, что если ряд F(t) существует, то он единствен. Из тождества xC(t)2 — C(t) + 1 = 0 следует, что 1 - х + xC(t) _ 1 1 - х + хЧ ~ 1 - xtC(t) ' Значит, F(t) =C(t). b. Имеем Следовательно, согласно п. (а) и упр. 6.С6(а), [xk]fn(x) = [tn}tkC(t)k = [tn-k}C(t)k _ к (In - к - 1\ _ к /2п - к - 1\ п\ п—к ) п\ п — 1 J 6.С8. Ответ: f(x) = л/4 - я2/27г при -2 < х < 2 и f(x) = 0 при |х| ^ 2. Этот результат является основой знаменитого «полукругового закона» Вигнера для распределения собственных значений некоторых классов случайных вещественных симметрических матриц (Wigher Е. Ann. Math. 62 (1955), 548- 569, и 67 (1958), 325-327). Вигнер не приводит строгого доказательства единственности функции /(ж), но на самом деле эта единственность является следствием более ранней работы Hausdorff F. Math. Z. 16 (1923), 220-248.
Глава 7 СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 7.1. Симметрические функции в целом Теория симметрических функций имеет много приложений в перечислительной комбинаторике, а также в других областях математики, таких, как теория групп, теория алгебр Ли и алгебраическая геометрия. Цель этой главы состоит в развитии основных комбинаторных свойств симметрических функций; связь с алгеброй будет лишь намечена в разд. 7.18, 7.24, в приложении 2 и в некоторых упражнениях. Пусть х = (xi, Х2,...) —множество переменных и п Е N. Однородной симметрической функцией степени п над коммутативным кольцом R (с единицей) называется формальный степенной ряд f(x) = ^2^ха, а где (а) а пробегает все слабые разложения*) а = (а±, с*2,...) числа п (бесконечной длины), (b) са Е R, (с) ха обозначает одночлен х^х^2"- и (d) f(xw(i),xw(2),---) = f(xi,X2,..-) Для всех перестановок w множества положительных целых чисел Р. (Симметрическая функция степени 0 —это элемент кольца R.) Отметим, что термин «симметрическая функция» не совсем удачен: f(x) рассматривается не как функция, а как формальный степенной ряд. Однако по причинам исторического характера мы придерживаемся введенной выше терминологии. Множество всех однородных симметрических функций степени п над R обозначается через Лд. Очевидно, что если f,g Е Лд и а, Ь Е R, то а/ -f- bg Е Л^; иначе говоря, Лд является R-модулем. Для наших целей достаточно взять R = Q (или иногда Q с несколькими присоединенными переменными); таким образом, Л^—векторное пространство над Q. Поскольку некоторым читателям, несомненно, удобнее иметь дело с векторными пространствами, чем с модулями, мы будем работать над полем Q, хотя это не самый общий подход. *' Слабым разлооюением («weak composition») числа п называется решение в неотрицательных целых числах уравнения п = ai + аг Н . Решение соответствующего уравнения в положительных целых числах называется разложением числа п. Иногда эти термины переводятся на русский язык как «слабые композиции» и «композиции» соответственно; см., например, перевод книги [92] или книгу Г. Эндрюса «Теория разбиений» (М.: Наука, 1982). — Прим. перев.
7.2. Разбиения и их упорядочения 397 Очевидно, что если / G Л^ и g е Л§, то fg G Aq+u (где fg рассматривается как произведение формальных степенных рядов). Следовательно, положив Aq = Aq0Aq0- • • (прямая сумма векторных пространств) (7.1) (т. е. элементы из Aq — это степенные ряды / = /о + /i + • • •, где fn Е Aq и лишь конечное число рядов /п отлично от 0), мы зададим на Aq структуру Q-алгебры (т. е. кольца, операции в котором согласованы со структурой векторного пространства), называемой алгеброй (над Q) симметрических функций. Отметим, что Aq — коммутативная алгебра с единицей 1 Е Aq. Разложение (7.1) на самом деле задает на Aq структуру градуированной алгебры, это означает, что если / Е Aq и g Е Aq, то fg Е А^+п. В дальнейшем мы будем опускать индекс Q и писать Ап и А вместо Aq и Aq. Отметим, однако, что обычно в литературе, посвященной другим областям математики, через А обозначают Az. Центральной темой теории симметрических функций является описание различных базисов векторного пространства Ап и матриц перехода от одного базиса к другому. Мы начнем с четырех «простых» базисов. В разд. 7.10-7.19 мы рассмотрим менее очевидные базисы, которые оказываются ключевыми для более глубоких областей этой теории. 7.2. Разбиения и их упорядочения Напомним (см. разд. 1.3), что разбиением А неотрицательного целого числа п называется последовательность (Ai,..., А&) Е Nfc, удовлетворяющая условиям Ai ^ ••• ^ А& и ^А* = п. Нам не важны Аг, равные 0, и мы отождествляем А с бесконечной последовательностью (Ai,..., Afc, 0,0,...). Обозначим через Раг(тг) множество всех разбиений числа п, считая, что Раг(0) состоит из пустого разбиения 0 (или последовательности (0,0,...)), и положим Par := |J Раг(п). Например (для краткости мы пишем 4211 вместо (4,2,1,1,0,...)), Раг(1) = {1}, Раг(2) = {2,11}, Раг(3) = {3,21,111}, Раг(4) = {4,31,22,211,1111}, Раг(5) = {5,41,32,311,221,2111,11111}.
398 Гл. 7. Симметрические функции Если Л Е Раг(п), мы будем также писать А Ь п или |Л| = п. Число частей разбиения Л (т. е. число ненулевых А*) называется дли- пой разбиения А и обозначается ^(А). Обозначим через mi = rrii(X) число ненулевых частей этого разбиения, равных г; в обозначениях разд. 1.3 Л = (lmi2m2 •••); иногда мы будем использовать для Л краткую форму imi2m2 • • •. Напомним также (см. обсуждение десятого элемента Двенадцатеричного пути в разд. 1.4), что сопряженное к А разбиение А' = (Л^Л^,...) определяется условием, что диаграмма Юнга (или диаграмма Ферре) для Л' есть транспонированная диаграмма Юнга для Л; это равносильно тому, что rai(A') = Лг — Af+i • Заметим, что Х[ = ^(Л) и Ai = ^(А'). В теории симметрических функций важную роль играют три частичных упорядочения на разбиениях. Для /х, A Е Par положим по определению fi С Л, если fii ^ А; для всех г. Если мы отождествим разбиения с их диаграммами Юнга, то частичное упорядочение С задается просто тем, что одна диаграмма содержится в другой. Множество Par вместе с упорядочением С называется решеткой Юнга У; она, как отмечено в упр. 3.63, изоморфна1^ J/(N2). Ранг разбиения Л в решетке Юнга равен сумме |А| его частей; таким образом, согласно соотношению (1.30), рангово-производящая функция задается формулой На рис. 7.1 изображены первые шесть уровней решетки Юнга. Рис. 7.1. Решетка Юнга. *) Jf(P) обозначает решетку конечных порядковых идеалов частично упорядоченного множества Р. — Прим. перев.
7.2. Разбиения и их упорядочения 399 Второе частичное упорядочение определено только на Раг(п) для каждого п Е N; оно называется упорядочением по доминированию (а также упорядочением по мажорированию или естественным упорядочением) и обозначается через ^. А именно, если \/л\ = |Л|, то положим [i ^ Л, если fii Н Ь \Х{ < Ai Н h Лг для любого г ^ 1. Для удобства читателя мы приведем основные факты, касающиеся упорядочения по доминированию, хотя здесь в них нет необходимости. • (Раг(п), <) является решеткой. • Отображение Л ь-> Л' есть антиизоморфизм решетки (Раг(п), <) (таким образом, Раг(п) — самодвойственное множество относительно упорядочения по доминированию). • (Раг(п), <) является цепью тогда и только тогда, когда п ^ 5. • (Раг(п), <) является градуированной решеткой тогда и только тогда, когда п ^6. • Для Л = (Ai,..., Лп) h п обозначим через V\ выпуклую оболочку в Rn всех перестановок координат разбиения Л. Тогда (Раг(п), ^) изоморфно множеству всех V\, упорядоченных по включению. Функция Мёбиуса (Раг(п), ^) обсуждается в упр. 3.55; некоторые другие свойства этой решетки см. в упр. 7.2. В качестве последнего частичного упорядочения (также на Раг(п)) достаточно взять любое линейное упорядочение, совместимое с упорядочением по доминированию, т.е. являющееся его линейным расширением. Наиболее удобным является обратное лек- R сикографическое упорядочение, обозначаемое ^. Для разбиений А R и д, где |Л| = |д|, положим /л ^ Л, если либо /л = А, либо для некоторого г Mi = Ai, ..., jii = Ai, /ii+i < Ai+i. R Например, упорядочение > на Раг(6) задается следующим образом: 6 > 51 > 42 > 411 > 33 > 321 > 3111 > 222 > 2211 > 21111 > 111111. С другой стороны, относительно упорядочения по доминированию разбиения 33 и 411, а также 3111 и 222 несравнимы. Дадим еще одно определение, связанное с разбиениями. Определим ранг разбиения А = (Ai, А2,...), обозначаемый rank(A), как наибольшее целое число г, для которого А; ^ г. Эквивалентным образом, можно определить rank(A) как длину главной диагонали
400 Гл. 7. Симметрические функции диаграммы разбиения Л или длину стороны квадрата Дюрфи1) этого разбиения (определение дано в решении упр. 1.23(b)). Заметим, что rank(A) = rank(A'). 7.3. Мономиальные симметрические функции Для данного А = (Ai,A2,...) Ь п определим симметрическую функцию т\(х) е Ап формулой т\ £*"- где сумма берется по всем различным перестановкам a=(ai, с*2,...) элементов разбиения А = (Ai, А2,...). Например, 77i0 = l, mi =^2xi, m2 = ^a;?, тц = y^jXj. i i i<j Будем называть m\ мопомиальпой симметрической функцией. Очевидно, что если / = ^а caxQ Е Лп, то / = ^2м-пс\т\. Следовательно, множество {тл : А Ь п} образует базис векторного пространства Лп и, значит, dimAn =р(п), где р(п) —количество разбиений числа п. Кроме того, множество {т\ : A Е Par} является базисом пространства Л. 7.4. Элементарные симметрические функции Теперь для разбиения A Е Par зададим элементарные симметрические функции е\ формулами еп = min = \_] хп " ' %in-> п^\ (полагая ео = т0 = 1), ti<—<tn ел = еЛ1ел2..., если А = (АЬА2,...)- (7-2) Если А = (dij)ij^i —целочисленная матрица с конечным числом ненулевых элементов, а г» и Cj — суммы ее элементов по строкам и столбцам, Ti = у dij, Cj = / j aij, 3 i то зададим вектор сумм no строкам row(A) и вектор сумм по столбцам со\(А) формулами row(A) = (гьг2,...), со1(А) = (ci,c2,...)- х) Квадратом Дюрфи разбиения Л называется наибольшая квадратная поддиаграмма этого разбиения. — Прим. перев.
7.4. Элементарные симметрические функции 401 Определим также (О, I)-матрицу как матрицу, все элементы которой равны 0 или 1. 7.4.1. Предложение. Пусть А Ь п, а а = (ai,c*2,...) —слабое разложение числа п. Обозначим через М\а коэффициент при ха в е\, т. е. ех = J2 Мх^т^. (7.3) /zhn Тогда М\а равен числу (0,1)-матриц А = (dij)ij'^iy удовлетворяющих условиям row(A) = А и со\(А) = а. Доказательство. Рассмотрим матрицу X Х\ Х2 Хз Xi Х2 Хз Чтобы получить слагаемое, входящее в ед, выберем Ai элементов из первой строки, Л2 элементов из второй и т. д. Пусть произведение выбранных элементов равно ха. Если мы заменим выбранные элементы на 1, а все остальные на 0, мы получим матрицу А, у которой row(A) = А и со\(А) = а. И наоборот, каждой такой матрице соответствует слагаемое в ряде е\, что завершает доказательство. □ 7.4.2. Следствие. Пусть коэффициент М\^ определен формулой (7.3). Тогда М\^ = М^\, т. е. матрица перехода от базиса {т\ : Л Ь п} к базису1^ {е\ : Л Ь п} является симметричной матрицей. Доказательство. Некоторая (0,1)-матрица А удовлетворяет условиям row(A) = А и со\{А) = [х тогда и только тогда, когда транспонированная матрица А1 удовлетворяет условиям vow(At) = /х и col(A*) = А. □ Нетрудно видеть, что коэффициент М\^ в формуле (7.3) допускает следующую альтернативную комбинаторную интерпретацию. Всего имеется п шаров, и А; шаров помечены числом г. Также имеются коробки, помеченные числами 1,2,... . Тогда М\^ равно числу способов разместить шары в коробки так, чтобы: (а) ни одна коробка не содержала более одного шара с одной и той же меткой; (Ь) коробка с номером г содержала в точности щ шаров. Элегантная комбинаторная интерпретация коэффициента М\^, которую мы дали, служит первым намеком на комбинаторную силу теории симметрических функций. *) Из доказанной ниже теоремы 7.4.4 следует, что множество {е\ : А Ь п} действительно является базисом.
402 Гл. 7. Симметрические функции В общем случае пусть {и\} — базис пространства Л и / Е Л. Если коэффициенты разложения / = J2X а\и\ функции / по базису {и\} удовлетворяют неравенству а\ ^ 0 для всех Л, то мы говорим, что / является и-положительной. Если / является гг-по- ложительной, то коэффициенты а\ часто допускают простую комбинаторную или алгебраическую интерпретацию. (Примером алгебраической интерпретации служит размерность векторного пространства.) Например, из соответствующих определений следует, что функция е\ является m-положительной, а предложение 7.4.1 дает более сильный результат (а именно, комбинаторную интерпретацию коэффициентов). Аналогично тому, как мы определили и -положительность, мы также введем понятие гг-целости: будем говорить, что / является и-целой, если указанные выше коэффициенты а\ — целые числа. Предложение 7.4.1 допускает эквивалентную переформулировку в терминах производящих функций. На протяжении этой главы мы будем рассматривать производящие функции вида z = ]Са са^а, где Л пробегает множество Par, {и\} является Q-базисом пространства Л (и обычно и\ Е Лп, где Л Ь п) и коэффициенты с\ принадлежат некоторому кольцу R (которое у нас всегда будет Q-алгеброй). Мы можем считать, что z принадлежит кольцуй Ля = Л 0 Л, где Ля означает пополнение кольца Ля по идеалу Лд ф Л\ ф • • •. Читателям, не знакомым с понятием пополнения, не следует беспокоиться: производящие функции ]Г с\и\ всегда будут вести себя разумным образом, согласующимся с интуицией. Для часто встречающегося класса производящих функций кольцо R равно Л(у), т.е. кольцу симметрических функций от нового множества переменных у = (yi, г/2, • • •) - Например, в следующем предложении производящая функция z = Y2\m\(x)e\(y) имеет вид £ЛсЛггЛ, где их = т\(х) Е А(х) и сл = ех(у) Е Л(у) = R. В общем случае, если в перечислительной задаче возникает функция сл, индексируемая разбиениями Л Е Par, то естественно рассматривать производящую функцию вида J2 с\и\ для подходящего базиса и\ пространства Л. Сложность, конечно, состоит в том, чтобы решить, какой базис является «подходящим». В этой главе мы увидим различные варианты выбора и\; наиболее общим выбором будут функции Шура s\, обсуждаемые в разд. 7.10-7.19. Дадим теперь обещанную переформулировку предложения 7.4.1. Рассматриваемая нами производящая функция и другая, тесно связанная с ней и обсуждаемая далее (см. предложение 7.5.3), играют важную роль в теории симметрических функций. ^В общем случае неверно, что Ля = Л®R; имеется только сюръективный гомоморфизм из первого кольца во второе. Для нётеровых колец R имеет место равенство. — Прим. автора при переводе.
7.4. Элементарные симметрические функции 403 7.4.3. Предложение. Имеем Д(1 + хщ) = ^2 Мх^тх(х)т^(у) (7.4) i,j Л,/х = ^шл(а:)елЫ. (7.5) л Здесь X и II пробегают множество Par. (Достаточно взять |Л| = \/л\, так как в противном случае М\^ = 0.) Доказательство. Одночлен х^х^2 • -У1У2 '" = хауР, появляющийся в разложении Y\(l + xiyj), получается при выборе (0,1)-матрицы А = (aij) с конечным числом единиц, удовлетворяющей условию n(*<w)ey=*v. Но Y[(xiyj)a* -=я™(А)усо1(А). г,3 поэтому коэффициент при хау@ в произведении Y\(l -\-xiyj) равен числу (0,1)-матриц А, удовлетворяющих условиям vow(A) = а и со\(А) = р. Отсюда следует формула (7.4). Равенство (7.5) является следствием формулы (7.3). □ Отметим, что следствие 7.4.2 немедленно вытекает из (7.4), так как произведение П(1 +х%Уз) инвариантно относительно перемены местами Х{ и yi при всех г. Теперь мы подошли к фундаментальному результату, известному как «основная теорема о симметрических функциях», хотя для нас она лишь едва затронет поверхность этого предмета. 7.4.4. Теорема. Пусть А, /х Ь п. Тогда М\^ = 0 за исключением случая, когда /х ^ Л'; кроме того, Mw = 1. Следовательно, множество {е\ : Л Ь п} образует базис пространства Лп (таким образом, {ел : A G Par} — базис пространства Л). Эквивалентным образом, ei, ег,... алгебраически независимы и порождают Л как Q-алгебру; мы записываем это так: A = Q[ebe2,...]. Доказательство. Предположим, что М\^ ф 0; тогда по предложению 7.4.1 найдется (0,1)-матрица А, для которой row(A) = А и со\(А) = /I. Пусть А! — матрица, у которой row(A') = А и все единицы сдвинуты влево, т. е. А!ц = 1 в точности при 1 ^ j ^ А*. Ясно, что для всякого г число единиц в первых г столбцах матрицы А! не меньше, чем число единиц в первых г столбцах матрицы А; поэтому по определению упорядочения по доминированию
404 Гл. 7. Симметрические функции имеем со\(А') ^ со\(А) = /х. Но со\(А') = А'; значит, А' ^ /х, что и требовалось. Кроме того, легко видеть, что А' — единственная (0,1)-матрица, для которой row(A') = А и col(A') = Л'; поэтому МЛА' = 1. Предыдущее рассуждение показывает следующее: пусть Л1, Л2, ..., Ар(п) — некоторое упорядочение множества Раг(п), согласованное с упорядочением по доминированию и такое, что «обратное сопряженное упорядочение» (Ар(п))',..., (А2)', (Л1)' также согласовано с упорядочением по доминированию. (Легко видеть, что такие упорядочения существуют.) Тогда матрица (Мд^) со строками, расположенными в порядке А1, А2,..., и столбцами, расположенными в порядке (А1)', (А2)',..., является верхнетреугольной с единицами на главной диагонали. Следовательно, она обратима, и множество {ед : А Ь п} образует базис пространства Лп. (На самом деле это базис модуля Л£, так как диагональные элементы в действительности равны 1, а не просто отличны от 0.) Множество {ел : А £ Par} состоит из всех одночленов e^ej2 • • • (где di £ N, Ylai < °о). Следовательно, линейная независимость множества {ед : А £ Par} равносильна алгебраической независимости функций ei, е2, • • •, что и требовалось установить. □ На рис. 7.2 представлена небольшая таблица коэффициентов МХ„. е\ —т\ en = т24-2гац е2 = шц em = газ 4- 3ra2i 4- 6ram e2i = m2i 4- 3ram e3 = 7пт eini =m44-4ra3i4- 6ra22 4- 12га2ц 4- 24ram б2и = wi3i 4- 2ra22 4- 5m2n 4- 12ram e22 = ra22 4- 2га2ц 4- 6ram e3i = га2ц 4- 4ram e4 = тик emu = ra5 4- 5ra4i 4- 10ra32 4- 20га3ц 4- 30ra22i 4- 60ra2m 4- 120гац e2iii = wi4i 4- 3ra32 4- 7ra3n 4- 12ra22i 4- 27ra2m 4- бОгац e22i = ra32 4- 2ra3n 4- 5ra22i 4- 12ra2m 4- ЗОгац е3ц = m3n 4- 2ra22i 4- 7ra2m 4- 20гац e32 = ra22i 4- 3ra2m 4- 10гац 64i = m2in 4- 5гац e5 = mn Рис. 7.2. Коэффициенты Mam.
7.5. Полные однородные симметрические функции 405 7.5. Полные однородные симметрические функции Для всех Л Е Par зададим полные однородные симметрические функции (или просто полные симметрические функции) h\ формулами hn = ^Р т\ = ^ а;^ • • • xin, п ^ 1 (полагая /го = га0 = 1), Лл = ЛЛ1 /гЛз..., если Л = (Ai, Л2,...). (7.6) Таким образом, hn есть сумма всех одночленов степени п. Симметрические функции h\ во многом «двойственны» элементарным симметрическим функциям е^. Причина, лежащая в основе этой двойственности, будет выявлена в теореме 7.6.1 и различных ее следствиях. А сейчас мы рассмотрим «полный аналог» предложения 7.4.1. 7.5.1. Предложение. Пусть А Ь п и а = (ai,c*2,---) —слабое разложение числа п. Пусть N\a — коэффициент при одночлене ха в разложении h\, т. е. h\ = Y^N^m»' (7-7) /zhn Тогда N\a равен числу N-матриц (т.е. матриц с неотрицательными целыми элементами) А = (fltjKj^i ? удовлетворяющих условиям vow(A) = X и со\(А) = а. Доказательство аналогично доказательству предложения 7.4.1. Член ха в h\ = h\1h\2--- получается в результате выбора из каждого h\{ члена Xillx%i2 • • • таким образом, что i Но это в точности то же самое, что и выбор N-матрицы А = (а^), удовлетворяющей условиям vow(A) = А и со\(А) = а; это завершает доказательство. □ 7.5.2. Следствие. Пусть коэффициенты Nx^ определены формулой (7.7). Тогда Nx^ = N^x, т.е. матрица перехода от базиса {тх : А Ь п} к базису1^ {hx : A Ь п} является симметричной матрицей. Доказательство в точности аналогично доказательству следствия 7.4.2. □ *) Тот факт, что множество {h\ : Л h п} действительно является базисом, доказывается в следствии 7.6.2.
406 Гл. 7. Симметрические функции Коэффициенты Nx^ соотношения (7.7) допускают другую комбинаторную интерпретацию в терминах размещения шаров в коробках, подобную интерпретации коэффициентов М\^. Всего имеется п шаров, и А* из них помечены числом г. Также имеются коробки, помеченные числами 1,2,... . Тогда ЛГ\/х равно числу способов разместить шары в коробках так, чтобы коробка с номером г содержала в точности т шаров. На комбинаторном уровне двойственность между е\ и К у, проявляется через двойственность между (0,1)-матрицами и N-матри- цами или, эквивалентным образом, между размещениями шаров в коробках (при определенных дополнительных условиях) без повторений или с повторениями. Эта ситуация напоминает соотношение между (£) и ((£)) = (—l)fc(~^n) или более общие теоремы взаимности из разд. 4.5 и 4.6. Действительно, для данной симметрической функции f(x) и п Е N запишем /(1П) = f{xi =Х2 = -"=Хп = 1, Яп+1 = яп+2 = • • • = 0). (7.8) Тогда l<ti< —<tfc<n Ч 7 мн- Е !-(;)■ Теперь мы дадим интерпретацию предложения 7.5.1 при помощи производящих функций. Доказательство аналогично доказательству предложения 7.4.3, и потому мы его опускаем. 7.5.3. Предложение. Имеем Ц(1 - х^)-1 = J2 Кх»тх(х)т^у) (7.9) i,j Л,/х = J2rnx(x)hx(y), (7.10) л где А и /х пробегают множество Par (и где достаточно брать Щ = И). Доказательство того, что множество {h\ : Л Ь п} является базисом пространства Лп (а значит, h\,h2,--- алгебраически независимы), не столь просто, как доказательство теоремы 7.4.4, поскольку матрица (АГ\/х) не обладает хорошими свойствами триангулируемости1) . Но линейная независимость функций h\ будет тривиальным *) Имеется в виду, что матрицу (ЛГЛ/Х) не удается привести к верхнетреугольному виду, перенумеровав подходящим образом элементы базисов. — Прим. перев.
7.6. Инволюция 407 следствием теоремы 7.6.1; поэтому мы отложим «официальную» формулировку этого факта до подходящего момента. На рис. 7.3 представлена небольшая таблица коэффициентов hi /in h2 hin h2i hs hnn ^211 h22 h3i /14 ^11111 ^2111 h22l h3ii hw h4i hs = = = = = = = = = = = = = = = = = ГП] 2rai mi] 6Шц] Зтц] Шц] 24mm] 12miu] бгпш 4mni] тпш] 120raim бОтпп] ЗОшпп 20miiii] lOmiui] 5raim ^1111] L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + га$ га- 3m2] 2m2] ГП21 12m2i] 7m2u 4Ш21] Зт2ц ™>2U L + 60Ш2Ц] L 4-ЗЗга2ш L + 18Ш2Ц] L 4" 13Ш2Ц] L + L + L + 7m2ii] 4Ш211] m2iu Рис. 7.3. > > + + 4- l4- 4- 4- 4- 4- m3 m3 m3 6ra22 4- 4m3i 4- 4m22 4- 3m3i 4- 3m22 4- 2m3i 4- 2m22 4- 2m3i 4- m22 4- m3i 4- ГД4 Ш4 ГП4 ГП4 ГП4 L 4- 30m22i 4- 20m3n + 10m32 4- 5m4i 4- ra5 4- 18m22i 4- 13m3n 4- L 4- llm22i 4- 8m3n 4- l4- 4- 4- 4- 8m22i 4- 7m3n 4- 5m22i 4- 4m3n 4- 3m22i 4- 3m3n 4- m22i + 771311 4- Коэффициенты АГЛ/Х. 7m32 4- 4m4i 4- ra5 5m32 4- 3m4i 4- m*. 4m32 4- 3m4i 4- ra5 3m32 4- 2m4i 4- ra5 2m32 4- 2m4i 4- m*. m32 4- m4i 4- ra5 7.6. Инволюция Так как Л = Q[ei,e2,...], то эндоморфизм /: Л —► Л алгебры Л полностью определяется своими значениями /(еп), п ^ 1, и наоборот, любой выбор значений /(en) Е Л задает некоторый эндоморфизм /. Определим эндоморфизм ш: Л —► Л формулой uj(en) = /in, п ^ 1. Таким образом (так как w сохраняет произведение), и>(е\) = h\ для всех разбиений Л. 7.6.1. Теорема. Эндоморфизм и является инволюцией, т.е. и2 равен тождественному автоморфизму, или, эквивалентным образом, Lj(hn) = еп. (Таким образом, uj(h\) = е\ для всех разбиений А.) Доказательство. Рассмотрим формальные степенные ряды H{t) := Y, Мп € Л[М], E{t) := £ entn е A[[t]]. п>0 п>0
408 Гл. 7. Симметрические функции Мы оставляем читателю несложную проверку тождеств H(t)=Y[(l-xnt)-\ (7.11) п E{t) = Д(1 + xnt). (7.12) П Следовательно, H(t)E(—t) = 1. Вычисление коэффициентов при tn в обеих частях равенства дает п 0 = ^(-1)*е^п_*, га ^ 1. (7.13) г=0 И наоборот, если для некоторых щ Е Л, где tzo = 1, при всех га ^ 1 имеет место равенство ]СГ=о(—^)гЩ^п-1 — 0, то щ — ei. Применим теперь и; к равенству (7.13), чтобы получить п п о = £(-1)%"(л„-0 = (-1)" S(-i)'w(fti)/i„-i = о, г=0 г=0 откуда uj(hi) = ei, что и требовалось. □ Инволюция lj есть алгебраическое выражение соответствия между множествами и мультимножествами, выраженного тождеством ((£)) = (-1)/с(~А.п) и обсуждавшегося в разд. 7.5. 7.6.2. Следствие. Множество {h\ : А Ь п} является базисом пространства Ап (таким образом, {h\ : A £ Par} — б<азггс пространства Л). Эквивалентным образом, /ii, Лг5 - • - алгебраически независимы и порождают Л ?са?с Q-алгебру; мы записываем это так: A = Q[huh2,...]. Доказательство. Теорема 7.6.1 показывает, что эндоморфизм о;: Л —» Л, определенный формулой о;(еп) = /гп, обратим, так как и = uj~1 . Следовательно, и является автоморфизмом алгебры Л. Доказательство следствия вытекает теперь из теоремы 7.4.4. □ 7.7. Симметрические степенные суммы Определим четвертое множество симметрических функций рл, индексируемых разбиениями Л Е Par и называемых симметрическими степенными суммами, следующим образом: Рп = Шп = z2x?i га ^ 1 (считая, что ро = т0 = 1), Рх = P\iP\2' • • > если А = (Ai, А2,...).
7.7. Симметрические степенные суммы 409 7.7.1. Предложение. Пусть А = (Ai,...,A^) Ь п, где £ — £(\). Положим /zhn Пусть k = £(fi). Тогда коэффициент R\^ равен числу упорядоченных разбиений 7г = (В\,..., Bk) множества [£], таких, что W =ЛХ^ 1 < j < *• (7.15) ieBj Доказательство. R\^ равен коэффициенту при х*1 = х^х^2 • • • в произведении Рх = (^2 х1г) (£ xi2)'" • Чтобы получить одночлен х^ в разложении этого произведения, выберем в каждом сомножителе Y2 х%3 слагаемое xi э так, чтобы П х% ° — х^ - Положим ВТ — {j : ij = г}. Тогда (Bi,...,Bk) есть упорядоченное разбиение множества [£], удовлетворяющее условию (7.15), и наоборот, выбор любого такого упорядоченного разбиения приводит к слагаемому аА □ 7.7.2. Следствие. Пусть коэффициенты R\^ определены формулой (7.14). Тогда Rx^ — 0, кроме случая, когда А ^ /х. Кроме того, ДАА = Цт*(А)!' (7-16) i где А = (1Ш1(Л)2Ш2(Л) • • •). Следовательно, {р\ : А Ь п} является базисом пространства Ап (таким образом, {р\ : A £ Par} — базис пространства Л). Эквивалентным образом, р\,р2, • • • алгебраически независимы и порождают Л как Q-алгебру, т. е. A = Qbi,P2,-..]- Доказательство. Если R\^ ф 0, то по предложению 7.7.1 найдется упорядоченное разбиение 7г = (В\,..., Bk) множества [£] = [^(А)], удовлетворяющее условию (7.15). Для данного г, 1 ^ г ^ £, возьмем в качестве В^',... ,Bi3 различные блоки разбиения 7г, содержащие по крайней мере одно из чисел 1,2,... ,г. Согласно (7.15), имеем /л^-] \-fii3 ^ АН ЬАГ. Но /хН \-/лг ^ /х^ Н b/iis, так как r^SH/ii^/i2^---. Следовательно, /i ^ А, что и требовалось. Если /I = А, то каждый блок В{ является одноэлементным множеством {j}, которое мы обозначаем просто через j. Блоки £?i,,..,i?mi могут задавать любое упорядочение множества 1,...,mi. Тогда #mi+i,..., Вт1+ГП2 могут задавать любое упорядочение множества mi + 1,... ,mi 4- Ш2 и т.д., что в итоге дает R\\ = mil ТП21'" возможностей для выбора 7г.
410 Гл. 7. Симметрические функции Тот факт, что {р\ : А Ь п} является базисом пространства Л (и Л = Q[pi,P2, •••])' следует из рассуждений, аналогичных проведенным при доказательстве теоремы 7.4.4. □ Замечание. Так как диагональные элементы R\\ не все равны ±1, то {р\ : А Ь п} не является Z-базисом модуля Ag. Точнее, абелева подгруппа Рп аддитивной группы модуля Ag, порожденная функциями р\, имеет индекс [Ag : Pn] = det(Rx»)x,^n = П Пт^Л)! • Х\-п г Из упр. 1.26 следует, что этот индекс также задается формулой [Ag:Pn] = Д lmi(A)2m2^... , АЬп т. е. равен произведению всех частей всевозможных разбиений числа п. Рассмотрим теперь результат действия инволюции и на рх- Наиболее эффективным оказывается подход при помощи производящих функций. Для всякого разбиения Л = (l7Tll2rri2 • • •) положим zx = lmim1\2rn2m2l'" . (7.17) Например, 2442111 = 133!211!422! = 384. Если w £ 6П, то ее цикловым типом p(w) называется разбиение p(w) = (pi,p2,...) Ь п, такое, что длины циклов перестановки w (в ее разложении в произведение непересекающихся циклов) равны pi, Р2, Напомним, что, согласно предложению 1.3.2, число перестановок w £ 6П данного циклового типа р = {1ггг127Тг2 • • •) задается формулой #{W е 6П : рН = Р] = lmimi,2lm2,.., = »!г?. (7.18) Множество {г; £ 6n : p(v) = р} есть в точности класс сопряженности группы 6П, содержащий w. Для любой конечной группы G мощность #KW класса сопряженности Kw, содержащего w, равна индексу [G : C{w)\ централизатора перестановки w. В качестве следствия получаем такое предложение: 7.7.3. Предложение. Пусть А Ь п. Тогда коэффициент zx равен числу перестановок v £ 6п, которые коммутируют с фиксированной перестановкой wx циклового типа А. См. упр. 7.6, где дано биективное доказательство предложения 7.7.3. Для разбиения Л = (1гуг1277г2 • • •) числа п положим £х = (_l)"»a+m4+... = (_1)п-^(Л) (? 19)
7.7. Симметрические степенные суммы 411 Таким образом, для w £ &п число £p(w) равно +1, если w — четная перестановка, и — 1 в противном случае; поэтому отображение 6П —► {±1}, переводящее w в £p(w), является обычным «гомоморфизмом знака». 7.7.4. Предложение. Имеют место равенства JJ(1 - Xiyj)-1 = exp Y2 ~Рп(х)Рп(у) = Ylz* ^аОФаЫ, (7-2°) i,j n^l Л ]\(1 + aw}) = expE -(-l)n~1pn(x)pn(y) i,j rv^\ = £^W(*)PaQ/). (7.21) л Доказательство. Имеем 1пЦ(1 - хгузг1 = Е 1п(! - wi)'1 = Е Е \ *?»" i,j i,j i,j n^l Таким образом, установлено первое равенство формулы (7.20). Второе равенство в (7.20) является следствием варианта с перестановками (и на самом деле эквивалентно ему) экспоненциальной формулы (следствие 5.1.9). Более точно, положим /(п) = рп(х)Рп(у) и i = 1b следствии 5.1.9. Тогда Кп) = ^2 PP(w)(x)Pp(w)(y) = Ч^2схр\(х)рх(у), где с\ = #{w е &п : p(w) — А}. Согласно формуле (7.18), имеем с\ =■ п\ z^*, и следствие 5.1.9 влечет за собой равенство (7.20). Формула (7.21) доказывается совершенно аналогично. □ Из предыдущего предложения легко вывести описание действия инволюции и на функцию р\. 7.7.5. Предложение. Пусть А Ь п. Тогда ир\ =е\р\. Иными словами, р\ является собственным вектором инволюции ш, соответствующим собственному числу е\. Доказательство. Рассмотрим и как оператор, действующий на симметрические функции от переменных у = (yi, у2, • • •); функции
412 Гл. 7. Симметрические функции от переменных х рассматриваются как скаляры. Применим и к (7.20). Мы получим Ш £ ZX ^аОФаЫ = Ш Д (1 - XiVj)'1 = ^Гт^Оф/г^) (по (7.10)) = 22(гпЛх)еЛу) (по теореме 7.6.1) = Ц(!+ *«%•) (п°(7-5)) *,i = ^^аРаОФаЫ (по (7.21)). л Так как функции р\(х) линейно независимы, то их коэффициенты в первой и последней суммах приведенной выше цепочки равенств должны совпадать. Иными словами, шр\(у) = £\Р\(у), что и требовалось. □ Заметим, в частности, что шрп = (—1)п-1рп, или шрп(х) = —Рп(—х). Так как и; — автоморфизм, то для определения ир\ для всех разбиений Л на самом деле достаточно знать только значения и;рп. Рассмотрим ограничение инволюции и на векторное пространство Лп размерности р(п). Так как для разбиений \\- п функции р\ линейно независимы, то из предложения 7.7.5 следует, что характеристический многочлен (нормализованный так, чтобы его старший коэффициент был равен 1) линейного преобразования и: Ап —> Лп задается формулой (х — 1)е(п\х + 1)°(п\ где е(п) (соответственно о{п)) есть количество разбиений числа п с четным (соответственно с нечетным) числом четных компонент. Иными словами, е(п) равно числу четных классов сопряженности группы &п, т. е. классов сопряженности, содержащихся в знакопеременной группе. Согласно упр. 1.9(b), (х - \)<п\х + 1)0<п> = (х2 - 1)°(п\х - l)fc(n), где к(п) равно числу самосопряженных^ разбиений числа п. В конце разд. 7.14 мы увидим простой довод, объясняющий в терминах симметрических функций появление множителя (х — 1)к(п). Теперь мы можем задать вопрос, как симметрические функции т\, h\ и е\ выражаются через р^. Хотя можно дать комбинатор- х) Разбиение называется самосопряженным, если его диаграмма Юнга совпадает с транспонированной диаграммой. См. также разд. 7.2. — Прим. перев.
7.8. Специализации 413 ную интерпретацию коэффициентов этих разложений, она оказывается запутанной и не очень полезной. Однако один частный случай обладает исключительной важностью. 7.7.6. Предложение. Имеем М-п en = J2SxZb1Px' (7*23) М-п Доказательство. Подстановка у = (£,0,0,...) в формулу (7.20) немедленно дает (7.22). Равенство (7.23) выводится аналогичным образом из формулы (7.21) или получается применением инволюции ш к (7.22). □ Комбинаторное доказательство формулы (7.22) см. в примере 5.2.11. Можно дать аналогичное доказательство формулы (7.23). 7.8. Специализации Во многих комбинаторных задачах, связанных с симметрическими функциями, нам требуется только частичная информация о функции /, такая, как конкретный коэффициент или значение. В этом разделе мы дадим краткий обзор наиболее общих специализаций, которые возникают на практике. (См. два других примера в упр. 7.43 и 7.44.) Доказательства большей частью очевидны, и мы их опускаем. Прежде всего, дадим формальное определение понятия специализации. 7.8.1. Определение. Пусть R — коммутативная Q-алгебра с единицей. Специализацией кольца Л называется гомоморфизм </?: Л —> R. (Мы всегда предполагаем, что гомоморфизм униталь- ный, т.е. (р(1) = 1.) Наиболее очевидные примеры специализаций возникают при подстановке элементов а* кольца R вместо переменных Х{ (конечно, при условии, что эта подстановка формально корректно определена; например, бессмысленно было бы положить в h\{x) = Х1+Х2 + ••• все Х{ равными 1). Тогда можно записать ¥>(/) = /(аьа2,...); мы называем <р подстановкой сц вместо Х{. Наш первый пример является весьма общим, и его можно назвать «уменьшением числа переменных». Пусть Лп означает множество всех многочленов /6Q[ii,..., хп] от переменных х\,..., хп с рациональными коэффициентами, инвариантных относительно любой перестановки переменных. Таким образом, / есть не
414 Гл. 7. Симметрические функции что иное, как симметрическая функция от переменных xi,...,xn. Определим гп: Л —► Лп формулой rn(f) = f(xi,...,xn,0,0,...) (мы будем писать f(xi,...,xn)). Следующее предложение исследует поведение четырех базисов гад, Рл, ^л, ед, а также инволюции и под действием специализации гп. 7.8.2. Предложение. Пусть Рагп означает множество всех разбиений A G Par длины не более п, т.е. Parn = {\е Par : £(А) ^ п}. (a) Множества {гп(т\) : A G Рагп}, {гп(р\) : A' G Рагп}; {rn(h\) : A' G Рагп}, {гп(е\) : A' G Рагп} являются Q-ба- зисами пространства Ап. Более того, если А ф Рагп, то Гп(т\) =гп{ех>) = 0. (b) Для удобства отождествим элемент f G Л с его образом rn(f) б кольце Ап. Зададим линейное преобразование ujn: Ап —> Лп формулой шп(е\) = h\, где X' G Parn. Тогда а;п является инволютивным автоморфизмом алгебры Ап и ип{р\) = £\р\ для A' G Parn. Доказательство. Это непосредственное следствие аналогичных свойств кольца Л и обсуждавшихся выше свойств триангулируемости базисов т\,р\,е\. П Если мы имеем дело с р\ или h\ в кольце Лп, где А' ^ Рагп, то требуется некоторая осторожность. Например, функция р\ не обязана быть ни нулевой, ни собственной функцией оператора ип. Так, при п = 2 мы имеем р3 = |(3p2i — Рш) и ^(рз) = |(~3p2i -pin). Важная подстановка psn: Л —► Q[q] определена формулой psn(/) = /(l,g,g2,...,g"-1); она называется главной специализацией порядка п функции /. Если мы устремим п к оо, то получим предельное значение ps(f) = f(l,q,q2,...)eQ[{q}}, (7.24) называемое стабильной главной специализацией функции /. (Легко видеть, что предел limn_>ooPsn(/) существует в смысле разд. 1.11).) Специализация ps^: Л —» Q главной специализации получается при подстановке q = 1, т. е. в обозначениях формулы (7.8) р4(/)=/(1,1,...,1) = /(1"). п раз *■' См. примечание переводчика в разд. 5.3. — Прим. перев.
7.8. Специализации 415 7.8.3. Предложение. В следующей таблице представлено поведение базисов т\, р\, h\, е\ под действием специализаций psn, ps ups^. базис b\ I PSn{bx) ps{b\) Psln(bx) m\ Px e\ hx nt сложно oft) Wl <(A) mi(A),m2(A) ..) Ц" 2L) n(i-0)(i-02)...(i_0At) п(ге+ЛЛ<-1) П г ^ * ' г (1-0)(1-02)...(1_0Л,) п(0) Доказательство. Все доказательство может быть проведено при помощи непосредственных комбинаторных или алгебраических рассуждений. В качестве примера мы покажем, как получить PSnCu). Поскольку h\ = /iAi h\2 - • •, a psn — гомоморфизм алгебр, достаточно вычислить psn(/ifc). Так как hk Е Хл Хп то PSn(hk) = £ да2+2аз+-+(п-1)а„ aiH \-an=k где суммирование ведется по всем слабым разложениям числа к на п частей. Если мы отождествим последовательность (ai,... ,an) с разбиением Л = (la2,2аз,..., (п - 1)ап), то увидим, что по предложению 1.3.191) ps„(m= Е *|А| = /n+fe"r £(А')<п-1 это завершает доказательство. П Рассмотрим теперь важную специализацию ех: Л —» Q[£] или ех: Л —» Q[[t]], которая не получается простой подстановкой значений вместо переменных Х{. Мы называем ее экспоненциальной специализацией. Она определяется формулой ex(pn) = tSin. ^ Предложение 1.3.19. Зафиксируем j, k Е N. Здесь En>oP(i>^>n)9n = (J"£ ). Здесь p(j,k,n) — количество разбиений числа п на не более чем к частей, наибольшая из которых не превосходит j. — Прим. перев.
416 Гл. 7. Симметрические функции Отметим, что так как функции рп алгебраически независимы и порождают Л как Q-алгебру, то любой гомоморфизм (р: А —> R определяется своими значениями tp(pn). В нашем случае мы полагаем (p(pi) = t и tp(pn) = 0 при п > 1. Если в качестве области определения гомоморфизма ех взята алгебра Л, то мы определяем его так, чтобы он сохранял бесконечные линейные комбинации, или, эквивалентным образом, чтобы он был непрерывным в подходящей топологии. 7.8.4. Предложение, (а) Для любой функции f Е Л ех(/) = У>1".яп]/^,. (7.25) где [xi'"Xn]f означает коэффициент при xi- — xn в f. Эквивалентным образом, если f = ^Л с\т\, то J.TI ех(/) = £>п-. п^О (Ь) Имеем , ч [tn/n\, если А = (1п), ех(шл) = < 10 в противном случае, , ч IV, если А = (1п), ех(рл) = < 10 в противном случае, ex(hx) = ех(ел) = т-р-: . (7.26) (7.27) Доказательство, (а) Так как правая часть равенства (7.25) линейна по /, то достаточно проверить его только для f = р\. Эта проверка состоит в стандартном вычислении. (Ь) Это простое следствие п. (а). □ 7.8.5. Пример. Пусть F(x)=Y[(l-xi)-1-J[(l-xixj)-1. i i<j (Значение этого произведения проясняется в следствии 7.13.8.) В этом примере мы вычислим ex(F(x)). Можно немного сократить вычисления, заметив, что ехД(1-а;г)~1 = ех]Г hn = ]Г — = е*;
7.8. Специализации 417 поэтому (так как ех является гомоморфизмом) ex(F(x)) = еь • ех Д(1 - xiXj)'1. Тогда ]~[(1 -xiXj)~l = exp^ln(l - XiXj)'1 i<j i<j = ехрЕ Е -^— = ехр Е ^р2п - я*)- (Не перепутайте ex с обычной экспоненциальной функцией ехр!) Следовательно, по формуле (7.26) ^П^1 ~ х*>хз)~1 = ехр ^ — ех(р2п - р2п) = е*2/2; поэтому ex(F(x)) = е'+'2/2. Из соотношения (5.32) следует, что et+t /2 является экспоненциальной производящей функцией для числа е2(п) инволюций в группе 6П. Действительно, непосредственно из определения функции F(x) видно, что [xi---xn]F(x) = е2(п). Учитывая предложение 7.8.4, естественно спросить, имеет ли специализация ех «естественный» g-аналог ехд. Определение, которое работает лучше всего, задается формулой «,(*») = ^. На основании предложения 7.8.3 мы видим, что ех,(/) = /((1 - q)t, (1 - q)qt, (1 - q)q2t,...). (7.28) Это является небольшим видоизменением стабильной главной специализации ps. В самом деле, если / Е Лп, то ex,(/) = (l-g)"*" ps(/). (7.29) Таким образом, экспоненциальная специализация ех является по существу предельным случаем специализации ps, хотя мы не можем просто положить q = 1 в формуле (7.29) и «заключить», что ех(/) = 0 для всех /! Подстановка q = 1 не является допустимой операцией над формальными степенными рядами, так как значение подстановки q = 1 в ps(/) не определено (или, если кто-то предпочитает, равно оо).
418 Гл. 7. Симметрические функции 7.9. Скалярное произведение До настоящего времени мы имели дело с градуированной алгеброй Л с несколькими различными базисами. Теперь мы хотим задать на пространстве Л дополнительную структуру скалярного произведения, т. е. билинейную форму Л х Л —> Q, которую мы будем обозначать через ( , ). Если {i^} и {г^} — два базиса векторного пространства V, то скалярное произведение на V однозначно определяется заданием значений (ui,Vj). В частности, мы говорим, что {щ} и {vj} — взаимные базисы, если (ui,Vj) = Sij (символ Кронекера1)) для всех г и j. Определим теперь скалярное произведение на Л, потребовав, чтобы {т\} и {h^} были взаимными базисами, т. е. (тх,Н1Л)=6х1Л (7.30) для всех Л, ji Е Par. Мотивировка этого определения станет ясной, как только мы получим много желательных и полезных свойств. Отметим сначала, что скалярное произведение ( , ) согласуется с градуировкой на Л в том смысле, что если / и д однородны и deg/^deg#, то (/,#) = 0. Приведем теперь ряд результатов, которые разъясняют природу скалярного произведения ( , ). 7.9.1. Предложение. Скалярное произведение ( , ) является симметрическим, т. е. (f,g) = (g,f) для всех f,g Е Л. Доказательство. Этот результат равносилен следствию 7.5.2. Более точно, по линейности достаточно доказать равенство (/,#) = (<7,/) для некоторых базисов {/} и {д} пространства Л. Возьмем {/} = Ы = {hx}. Тогда (h\, К) = / J2 Nx„m„, /Л = JVA„. (7.31) Так как Nx^ = N^x по следствию 7.5.2, то (hx^h^) = (/im,/ia), что и требовалось доказать. □ Следующая лемма является основным средством для проверки ортогональности некоторых классов симметрических функций. Ее доказательство является простым упражнением по линейной алгебре и может быть опущено без существенного ущерба для понимания. 7.9.2. Лемма. Пусть {их} и {vx} —базисы пространства А, такие, что их, vx £ Ап для всех А Ь п. Базисы {их} и {vx} являются *) 5ц = 1 и S{j = 0 при г ф j. — Прим. перев.
7.9. Скалярное произведение 419 взаимными тогда и только тогда, когда J2ux(x)vx{y) = Y[{1 - XiVj)'1. Доказательство. Запишем т\ = YlPC\pup и h^ = YLu7!^^- Таким образом, p,v Для каждого фиксированного п ^ О будем рассматривать С И V как матрицы, строки и столбцы которых занумерованы элементами из Раг(п); пусть матрица А определена формулой Apv = (up,v^). Тогда уравнение (7.32) равносильно равенству / = QArf, где ь означает транспонирование, а / — единичную матрицу. Следовательно, {и\} и {г;^} — взаимные базисы 4=> А = I 4=> / = Qrf <=^ I = C*f? <=> 5ри = ^^ХрГ1Хи. (7.33) л Тогда в силу предложения 7.5.3 Д(1 - XiVj)-1 = ^Tmx(x)h\(y) г,3 = E(£<w*))(E r]\uVu{y) = ^2 (Х^7^ )ир(х)уЛу)' P,v ^ А ' Так как степенные ряды up(x)vv(y) линейно независимы над Q, то доказательство следует из эквивалентностей (7.33). □ 7.9.3. Предложение. Имеет место равенство <Р\,Р») = z\5x». (7.34) Следовательно, функции р\ образуют ортогональный базис пространства А. (Они не образуют ортонормированный базис, так как (рл,рл> т* 1.) Доказательство. Мы видим, что, согласно предложению 7.7.4 и лемме 7.9.2, базисы {р\} и {p^/z^} являются взаимными, а это равносильно формуле (7.34). □ В общем случае длина ||рл|| = (рл^Рл)1^2 = zx не является рациональным числом. Поэтому элементы Рл/|Ьл|| образуют ортонормированный базис пространства Ar, но не пространства Л
420 Гл. 7. Симметрические функции (так как они не принадлежат Л). Естественно спросить, существует ли «естественный» ортонормированный базис в пространстве Л, или, еще лучше, имеется ли в Л целый ортонормированный базис, т.е. существует ли ортонормированный базис {Ь\} этого пространства, такой, что каждая функция Ь\ есть целочисленная линейная комбинация функций т^ и, обратно, каждая функция т^ есть целочисленная линейная комбинация функций 6д? Таким образом, этот базис будет базисом абелевой группы Az- В разд. 7.10-7.17 мы построим такой базис (см. следствие 7.12.2) и выведем много замечательных комбинаторных свойств, которыми он обладает. 7.9.4. Следствие. Скалярное произведение ( , ) является положительно определенным, т. е. (/, /) ^ 0 для всех f Е А и равенство имеет место тогда и только тогда, когда f = 0. Доказательство. Запишем (единственным образом) / = ]ГЛ с\р\. Тогда </,/> = £ФА. Это завершает доказательство, так как все z\ положительны. □ 7.9.5. Предложение. Инволюция и; является изометрией, т. е. (wf,wg) = (f,g) для всех /,рЕЛ. Доказательство. Так как скалярное произведение билинейно, то достаточно взять f = р\ и g = pfl. Теперь утверждение следует из предложений 7.7.5 и 7.9.3. □ 7.10. Комбинаторное определение функций Шура Четыре базиса шд, ед, h\ и р\ пространства Л, обсуждавшиеся в предыдущих разделах, имеют достаточно прозрачные определения. В этом разделе мы рассмотрим пятый базис, элементы которого обозначаются через s\ и называются функциями Шура. Его определение значительно тоньше. На самом деле имеется много различных эквивалентных способов задания функций s\, а именно, в терминах любого из четырех предыдущих базисов, или «классическое» определение, включающее отношения определителей, или определение через абстрактные свойства, связанные с ортогональностью и треугольностью, или, наконец, при помощи изощренных алгебраических средств. Все эти возможные определения покажутся новичку немотивированными. Мы выбираем определение s\ в терминах га^, поскольку этот подход является наиболее комбинаторным, хотя и другие способы имеют свои преимущества. В конце концов, все подходы приводят, конечно, к одной и той же теории.
7.10. Комбинаторное определение функций Шура 421 Основное значение функций Шура вытекает из их связей с такими областями математики, как теория представлений и алгебраическая геометрия. В разд. 7.18 мы обсудим связи с теорией представлений симметрической группы 6П, а в приложении 2 — с теорией представлений полной линейной группы GL(n, С) и связанных с ней групп. Другое важное приложение функций Шура, которое не развивается здесь, появляется в исчислении Шуберта; кольцо когомологий грассманова многообразия Gfc(Cn) может быть естественным образом описано в терминах функций Шура. Основными комбинаторными объектами, связанными с функциями Шура, являются полустандартные таблицы. Пусть дано разбиение Л. Полустандартной таблицей Юнга формы А называется массив Т = (Tij) формы Л (т.е. 1 ^ г ^ £(Л), 1 ^ j ^ А;), состоящий из положительных целых чисел, которые нестрого возрастают в каждой строке и строго возрастают в каждом столбце. Размером полустандартной таблицы Юнга называется число элементов массива Т. Приведем пример полустандартной таблицы Юнга формы (6,5,3,3): 111 3 4 4 2 4 4 5 5 5 5 7 6 9 9. Если Т — полустандартная таблица Юнга формы Л, то мы пишем Л = sh(T). Следовательно, размер таблицы Т есть не что иное, как |sh(T)|. Можно также представлять себе полустандартную таблицу Юнга формы Л как диаграмму Юнга (определенную в разд. 1.3) разбиения^ Л, клетки которой заполнены положительными целыми числами, удовлетворяющими определенным условиям. Например, упомянутая выше таблица может быть записана как 1 2 5 6 1 4 5 9 1 4 7 9 3 5 4 5 4 Мы говорим, что Т имеет тип а = (а\, с*2,...), и вводим обозначение а = type(T), если в Т имеется а; = ai(T) чисел, равных г. Так, приведенная выше таблица имеет тип (3,1,1,4,4,1,1,0,2). Для любой полустандартной таблицы Юнга Т типа а (или даже для лю- ^ Напомним, что разбиения обычно отождествляются с их диаграммами Юнга; поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, писать просто «диаграмма Л» вместо «диаграмма разбиения Л». — Прим. перев.
422 Гл. 7. Симметрические функции бою мультимножества на Р, возможно, с дополнительной структурой) положим JT _ ах (Г) а2(Т) Для нашего текущего примера имеем Т 3 4 4 2 а; = x\X2Xzx\xIxqX7X$. Имеется обобщение полустандартных таблиц Юнга формы Л, которое естественно вкладывается в теорию симметрических функций. Если Л и /I — разбиения, такие, что /х С Л (т. е. jjli ^ А* для всех г), то определим (косую) полустандартную таблицу Юнга (косой) формы A//I как массив Т = (Tij) положительных целых чисел формы X/jjl (т.е. 1 ^ г ^ ^(А), /i* < j ^ А^), который нестрого возрастает в каждой строке и строго возрастает в каждом столбце. Вот пример косой полустандартной таблицы формы (б,5,3,3)/(3,1): 3 4 4 14 7 7 2 2 6 3 8 8. Аналогично, можно распространить на этот случай определение диаграммы Юнга А и получить (косую) диаграмму А//х. Так, косая диаграмма Юнга (6,5,3,3)/(3,1) задается следующим образом: Таким образом, косые полустандартные таблицы формы X/fi можно рассматривать как диаграммы Юнга А//х, которые заполнены положительными целыми числами, удовлетворяющими определенным условиям, точно так же, как и в случае «обычной формы» А. Например, приведенная выше косая полустандартная таблица формы (6,5,3,3)/(3,1) может быть записана как 2 3 1 2 8 4 6 8 3 7 4 7 4 Определения типа type(T) и одночлена хт непосредственно переносятся с полустандартных таблиц Юнга Т обычной формы на косые таблицы.
7.10. Комбинаторное определение функций Шура 423 Теперь мы подошли к ключевому определению всей главы. Как было сказано выше, это определение возникает без всякой мотивировки; она появится позже. 7.10.1. Определение. Пусть А//х — косая диаграмма. Косой функцией Шура sx/^ = в\/^(х) формы А//х от переменных х = (#1, Х2,.. •) называется формальный степенной ряд 5А/,х(я) = Х^Т' Т где суммирование ведется по всем косым полустандартным таблицам Юнга Т формы X/II. Если /х = 0, то А//х = Л; в этом случае мы называем s\(x) функцией Шура формы X. Например, ниже перечислены косые полустандартные таблицы Юнга формы (2,1), наибольший элемент которых не превосходит трех: 11 12 11 13 22 23 12 13 22333332* Следовательно, S2l{xi,X2,X3) = X2YX2 + Х\х\ + Ж1Ж3 + Х\х\ + х\х$ + Х2х\ + 2X1^2^3 = m2i(xi, ж2, х3) + 2miii(zi, х2, х3). Таким образом, поскольку в каждом слагаемом функции 521 может появляться не более трех различных переменных, $21 = ТП21 +2тш (имеется в виду равенство как элементов кольца Л, т. е. как симметрических функций от бесконечного числа переменных). Пока еще не очевидно, что sx/^ на самом деле являются симметрическими функциями. 7.10.2. Теорема. Для любой косой диаграммы А//х косая функция Шура S\j^ является симметрической функцией. Доказательство. Достаточно показать, что функция Sx/^ инвариантна относительно перемены местами переменных xi и Xi+\ (почему?). Предположим, что |А//х| = п и а = (ai, #2,...) — слабое разложение числа п. Положим 5 = (c*i, а2,..., а»-1, а»+1, ач, ai+2, • • • )• Пусть Тх/^а обозначает множество всех косых полустандартных таблиц Юнга формы А//х и типа а; мы ищем биекцию ср: Т\/^а —» Пусть Т е Tx/^ol- Рассмотрим элементы таблицы Т, равные г или г + 1. Некоторые столбцы таблицы Т не содержат ни одного такого элемента, тогда как некоторые другие содержат два элемента, а именно одно число г и одно число г +1. Мы не рассматриваем
424 Гл. 7. Симметрические функции такие столбцы. Оставшиеся элементы, равные г или г + 1, появляются по одному разу в каждом из оставшихся столбцов и образуют части строк, состоящие из некоторого количества (скажем, г) элементов г, за которыми следует некоторое количество (скажем, s) элементов г + 1. (Конечно, г и s зависят от рассматриваемой строки.) Например, часть таблицы Т могла бы выглядеть следующим образом: г г г г г г + 1 г + 1 г + 1 г + 1 г + 1 г + 1 г + 1 г=2 5=4 В каждой такой строке заменим г чисел г и s чисел г +1 на s чисел гиг чисел г + 1: г г г г г г г г + 1 г + 1 г + 1 V v / N ^ , г + 1 г + 1 s=4 г=2 Легко видеть, что получившаяся в результате таблица <р(Т) принадлежит множеству Т\/ц£, и ср устанавливает требуемую биек- цию. □ Если Ah пи а —слабое разложение числа п, то обозначим через К\а число полустандартных таблиц Юнга формы А и типа а. Числа К\а называются числами Костики и играют заметную роль в теории симметрических функций. Согласно определению 7.10.1, s\ = ^2,КХаха, а. где суммирование ведется по всем слабым разложениям а числа п; поэтому по теореме 7.10.2 /zhn Более общим образом, мы можем определить косое число Костики К\/и,<х как число косых полустандартных таблиц Юнга формы \jv и типа а; так, если \\jv\ = п, то /zhn В общем случае не известно никакой простой формулы для K\/v^ и даже для K\fl и маловероятно, что такая формула существует.
7.10. Комбинаторное определение функций Шура 425 Для некоторых Л, v и /х можно дать требуемую формулу; наиболее важным является случай v = 0 n /i = (1п). Хотя мы приведем далее эту формулу (см. следствие 7.21.6), сейчас более подробно рассмотрим комбинаторное значение чисел К\^п, обозначаемых также через /Л. По определению коэффициент /Л равен числу способов расставить числа 1,...,п в диаграмме А Ь п так, чтобы каждое число появлялось один раз и числа в строках и столбцах возрастали. Такой массив называется стандартной таблицей Юнга (или просто стандартной таблицей) формы Л. Например, стандартными таблицами формы (3,2) являются 123 124 125 134 135 45 35 34 25 24 ' поэтому /(3'2) = 5. Число /Л имеет несколько альтернативных комбинаторных интерпретаций, приведенных в следующем предложении. 7.10.3. Предложение. Пусть А £ Par. Тогда число /Л равно числу объектов, описанных в следующих далее пп. (а)-(е). Мы проиллюстрируем эти объекты в случае А = (3,2). (a) Цепи разбиений. Насыщенные цепи в интервале [0, Л] решетки Юнга Y', или, эквивалентным образом, последовательности 0 = Л°, Л1,..., Лп = Л разбиений (отождествляемых с их диаграммами), таких, что Хг получается из Аг-1 добавлением одной клетки. 0С1С2СЗС31С32 0 С 1 С 2 С 21 С 31 С 32 0 С 1 С 2 С 21 С 22 С 32 0 С 1 С 11 С 21 С 31 С 32 0 С 1 С 11 С 21 С 22 С 32 (b) Линейные расширения. Пусть Р\ — частично упорядоченное множество (ч. у. множество), элементами которого являются клетки диаграммы X, причем t покрывает1"* s, если t лежит непосредственно справа или непосредственно под s (между ними нет ни одной клетки). Такие ч. у. множества суть в точности конечные порядковые идеалы множества N х N. Тогда /л равно числу е(Р\) линейных расширений ч. у. множества Р\. *) Элемент t ч. у. множества Р покрывает элемент s Е Р, если s < t и ни один элемент z Е Р не удовлетворяет условию s < z < t. — Прим. перев.
426 Гл. 7. Симметрические функции у» с abode / abdce b abdec adbce adbec (c) Баллотировочные последовательности. Способы, которыми п выборщиков могут последовательно голосовать на выборах за кандидатов Ai,A2,... так, чтобы Ai для всех г получил А* голосов и чтобы А{ никогда не уступал Ai+i в ходе голосования. (Мы обозначаем такую последовательность голосов через а\- • -ап, где к-и выборщик голосует за Аак.) 11122 11212 11221 12112 12121 (d) Решеточные перестановки. Последовательность а\---ап, в которой число i встречается А* раз, такая, что в каждом левом подслове а\ • • • aj количество чисел г не меньше количества чисел г + 1 (для всех г). Такая последовательность называется решеточной перестановкой (или словом Яманочи, или баллотировочной последовательностью) типа А. 11122 11212 11221 12112 12121 (e) Решеточные пути. Решеточные пути О = vo,vi,... , г;п в Ш.е (где £ = £(Х)) из начала координат vq в точку vn = (Ai,..., А*), где каждый шаг есть единичный координатный вектор, остающиеся внутри области (или конуса) х\ ^ • • • ^ xi ^ 0. _J ^ _г .н У Доказательство, (а) Для того чтобы получить стандартную таблицу Юнга формы А, разместим г в клетке, которая была добавлена к Аг~г при получении Аг. (b) Интервал [0, А] в решетке Y есть в точности решетка J(P\) порядковых идеалов множества Р\; поэтому эквивалентность наших интерпретаций (а) и (Ь) числа /Л — это просто частный случай обсуждения, следующего за предложением 3.5.2^. (c) Если /с-й выборщик голосует за А{, то поместим к в г-ю строку таблицы формы А. (d) Ясно, что баллотировочная последовательность из п. (с) идентична решеточной перестановке из п. (d). (e) Если ai • • • ап — решеточная перестановка из п. (d), то, чтобы получить решеточный путь, возьмем в качестве vi—vi-i единичный *) Число линейных расширений произвольного конечного ч. у. множества Р равно числу максимальных цепей в решетке J(P). — Прим. перев.
7.10. Комбинаторное определение функций Шура 427 координатный вектор с номером а* (т. е. вектор, в котором на месте с номером сц стоит единица, а на остальных местах — нули). Другой вариант: эквивалентность пп. (Ь) и (е) является частным случаем обсуждения, предшествовавшего примеру 3.5.3. □ Все пять перечисленных выше интерпретаций могут быть непосредственно обобщены на случай косых чисел Костки /Л/д. Мы оставляем детали этой задачи заинтересованному читателю. Имеется заслуживающий упоминания комбинаторный объект, эквивалентный полустандартным таблицам Юнга. Схема Гельфап- да-Цетлипа (иногда называемая просто схемой Гелъфанда), или полное разветвление, — это треугольный массив G неотрицательных целых чисел, скажем, ац ai2 ai3 • • • а\п «22 «23 * * * «2п азз ••• а3п (7.37) Q"nni такой, что aij ^ Oi+ij+i ^ °>i,j+i, когда все три числа определены. Другими словами, строки массива G нестрого возрастают, а ai+i,j+i лежит (нестрого) между двумя своими соседями сверху. Примером схемы Гельфанда-Цетлина служит 0 2 2 3 6 0 2 2 4 1 2 4 1 3 3. Для данной схемы Гельфанда-Цетлина G вида (7.37) обозначим через Аг строку г схемы G, записанную в обратном порядке. Зададим таблицу Т = T(G), размещая число п — i + 1 в клетках косой диаграммы Аг/Аг+1. Для приведенного выше примера T(G) задается таблицей 1113 5 5 2 3 5 3 4 5 5. Мы получим полустандартную таблицу Юнга формы А1 (где А1 — первая строка схемы G, записанная в обратном порядке) с наибольшим числом, не превосходящим п. Легко видеть, что данное соответствие между схемами Гельфанда-Цетлина с фиксированной первой строкой а длины п и полустандартными таблицами Юнга формы аг (где г обозначает, что элементы строки а записаны в
428 Гл. 7. Симметрические функции обратном порядке) с наибольшим числом, не превосходящим п, является биекцией. Иногда, имея дело с функциями Шура, числами Костки и т. п., более удобно работать с массивами, которые убывают по строкам и столбцам, чем с полустандартными таблицами Юнга. Определим обратную полустандартную таблицу Юнга, или строгое по столбцам плоское разбиение («column-strict plane partition»; иногда в англоязычной литературе используется сокращение «costripp»), (косой) формы X/fi как массив положительных целых чисел формы A//I, который нестрого убывает по строкам и строго убывает по столбцам. Определим тип а обратной полустандартной таблицы Юнга точно так же, как это делается для обычной таблицы. Например, массив 6 5 5 8 5 2 2 7 7 3 б 1 1 является обратной полустандартной таблицей Юнга формы (6,5,3,3)/(3,1) и типа (2,2,1,0,3,2,2,1). Определим К\1^а как число обратных полустандартных таблиц Юнга формы X/jjl и типа а. Следующее предложение показывает, что для многих целей нет существенного различия между обычными и обратными полустандартными таблицами Юнга. 7.10.4. Предложение. Пусть Х//л —косое разбиение числа п, и пусть а — слабое разложение числа п. Тогда К\/ц,а — К\/ц,а- Доказательство. Предположим, что Т — полустандартная таблица Юнга формы Л и типа а = (oi,02,...)- Пусть к обозначает наибольшее число в таблице Т. Преобразование Тц-, \—> к + 1 — Т^ показывает, что К\а = К\&, где а = (а^, cxk-i, • • •, «1,0,0,...). Но, согласно теореме 7.10.2, К\а = К\а, что завершает доказательство. □ Теперь мы хотим показать, что функции Шура s\ образуют в Л базис над Q. Следующее предложение влечет за собой даже более сильный результат. 7.10.5. Предложение. Предположим, что /х и X—разбиения, для которых |/х| = |А| и К\^ ф 0. Тогда /i ^ А (относительно порядка по доминированию). Кроме того, К\\ = 1. Доказательство. Предположим, что К\^ ф 0. По определению существует полустандартная таблица Юнга Т формы Л и типа /х. Предположим, что элемент Тц = к появляется ниже строки с номером к (т. е. г > к). Тогда 1 < T\k < • • • < Tik = к для г > /с, что
7.10. Комбинаторное определение функций Шура 429 невозможно. Следовательно, все элементы 1,2,..., к появляются в первых к строках; поэтому /iiH Ь/ifc ^ AiH Ь А&, что и требовалось. Кроме того, если /х = Л, то Т^- = г для всех (г,^); значит, КХх = 1. □ 7.10.6. Следствие. Функции Шура s\ при A Е Раг(п) образуют базис пространства Лп; поэтому {s\ : Л Е Par} — базис пространства Л. На самом деле матрица перехода (К\^), выражающая функции s\ через т^, является (по отношению к любому линейному упорядочению, являющемуся расширением упорядочения множества Раг(п) по доминированию) нижнетреуголъной матрицей с единицами на главной диагонали. Доказательство. Предложение 7.10.5 эквивалентно утверждению о матрице {К\^). Так как нижнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали обратима, то {s\ • A Е Раг(п)} есть Q-базис пространства Лп. □ Отметим, что на самом деле {s\ • A Е Раг(п)} является Z-бази- сом пространства Л^, так как каждый коэффициент К\\ равен 1, а не просто отличен от 0. 51 т\ 511 S2 Sill 521 $3 «Sllll «5211 •522 •531 •54 «11111 •52111 •5221 •5311 •532 •541 •55 = 777ц — 777ц = TTT-iii = 2min = 777111 = 777Ц1 = Зшщ = 2тш = Зшщ = Trim = гпш = 4min = 5min = 6тц1 = 5min = 4min = TTliii + Ш2 + ТО21 + 77721 + 7773 + т211 + 777211 + 77722 + 2777211 + 77722 + 77731 + 777211 + 77722 + 77731 + 7774 1 1+ 7772111 1 + 27772111+ Г77221 1 + 37772111+ 777221+ 7773Ц 1 + 37772111+ 2ш221+ ГП3Ц + 77732 1 + 37772111 + 2777221 + 2т77311 + 77732 + 77741 1+ 7772111+ 777221+ 7773Ц + 77732 + 77741 + 7775 Рис. 7.4. Числа Костки К\^. В последующих разделах мы разовьем основную теорию функций Шура, т. е. изучим матрицы перехода между базисом s\ и ба-
430 Гл. 7. Симметрические функции зисами тл, h\, ел, Р\, а также исследуем связи со скалярным произведением ( , ) и автоморфизмом и. (Мы уже рассматривали матрицу (i^A/z), которая, в сущности, по определению является матрицей перехода от базиса т\ к базису s\, но мы еще не знаем, как выглядит обратная матрица.) Мы также приведем несколько перечислительных приложений теории симметрических функций: перечисление плоских разбиений, ряд результатов о статистиках перестановок и теорию Пойа перечисления относительно действия группы. На рис. 7.4 представлена небольшая таблица чисел Костки К\^. 7.11. Алгоритм RSK Имеется замечательное комбинаторное соответствие, связанное с теорией симметрических функций и носящее название алгоритма RSK. (Значение заглавных букв RSK, а также другие наименования этого алгоритма приведены в разделе «Замечания» в конце этой главы.) Мы рассмотрим здесь только наиболее существенные свойства алгоритма RSK, которые позволят дать комбинаторные доказательства некоторых фундаментальных свойств функций Шура. Можно дать и чисто алгебраические доказательства этих результатов, однако в книге по перечислительной комбинаторике мы предпочитаем комбинаторные рассуждения. Основная операция алгоритма RSK состоит в строчной вставке Р *— k положительного целого числа к в обычную (не косую) полустандартную таблицу Юнга Р = (Pij). Операция Р <— к определена следующим образом. Пусть г — наибольшее число, такое, что Pi,r-i ^ к. (Если Рц > к. то положим г = 1.) Если не существует Pir (т.е. Р имеет г — 1 столбцов), то просто разместим к в конце первой строки. Процедура вставки в этом случае заканчивается, и получившаяся таблица и есть Р <— к. С другой стороны, если в Р имеется по крайней мере г столбцов, так что Р\г существует, то заменим Р\г на к. При этом к «выбивает» Р\г := к* в следующую строку, т. е. следует вставить к' во вторую строку таблицы Р по только что описанному правилу. Продолжим процесс до тех пор, пока некоторый элемент не будет вставлен в конец строки (возможно, в качестве первого элемента новой строки). Получившийся в результате массив и есть Р <— к. 7.11.1. Пример. Пусть 1124556 233668 Р= 4468 67 8 9.
7.11. Алгоритм RSK 431 Ниже показана операция Р <— 4; элементы, вставленные в каждую строку (либо посредством выбивания, либо посредством заключительной вставки в четвертой строке), выделены жирным шрифтом. Таким образом, 4 выбивает 5, 5 выбивает б, б выбивает 8, а 8 вставляется в конец строки. Множество позиций, на которых стоят элементы, выделенные жирным шрифтом, называется путем вставки 1(Р <— 4) числа 4 (числа, вставленного в Р). Так, для этого примера имеем 1(Р <- 4) = {(1,5), (2,4), (3,4), (4,3)}. 1124456 233568 4466 678 8 9. Имеются два технических свойства путей вставки, которые широко используются в доказательстве свойств алгоритма RSK. 7.11.2. Лемма, (а) Если мы вставляем число к в полустандартную таблицу Р, то путь вставки сдвигается влево. Точнее, если (г, s), (г + 1, £) € I(P <r-k),mot^s. (b) Пусть Р — полустандартная таблица Юнга, и пусть j ^ к. Тогда путь 1{Р <— j) лежит строго левее, чем 1((Р <— j) <— к). Точнее, если (r,s) Е 1(Р <— j) и (r,t) Е 1((Р <— j) <— к), то s < t. Кроме того, путь I((P <— j) <— к) не продолжается ниже последнего элемента пути 1{Р <— j). Эквивалентным образом, #J((P-j)-*K#J(P<-j). Доказательство, (а) Предположим, что (г, s) G 1(Р <— к). Тогда либо Pr+i,s > Prs (так как Р строго возрастает по столбцам), либо в Р нет элемента в позиции (г + 1, s). В первом случае элемент Prs не может быть «выбит» вправо от столбца s без нарушения условия, что строки таблицы Р <— к нестрого возрастают, поскольку элемент Prs оказался бы справа от Pr+i,s в той же самой строке. Очевидно, что второй случай невозможен, так как в противном случае в строке г + 1 был бы пропуск. Следовательно, п. (а) доказан. (Ь) Так как число может «выбивать» лишь строго большее число, то отсюда следует, что к вставляется в первую строку таблицы Р <— j строго справа от j. Так как первая строка таблицы Р нестрого возрастает, j «выбивает» элемент, не больший, чем элемент, выбиваемый к. Следовательно, по индукции 1(Р <— j) лежит строго левее, чем I((P <— j) <— к). Нижний элемент Ь пути I(P <— j) был вставлен в конец своей строки. По только что доказанному, если в 1((Р <— j) <— к) в этой строке имеется элемент с, то он лежит справа от Ь. Следовательно, с был вставлен в конец
432 Гл. 7. Симметрические функции строки, поэтому процедура вставки заканчивается. Отсюда следует, что I((P <— j) <— к) никогда не продолжается ниже последнего элемента, пути 1(Р <— j). □ 7.11.3. Следствие. Если Р —полустандартная таблица Юнга и к ^ 1, то Р <— к таксисе является полустандартной таблицей. Доказательство. Ясно, что строки таблицы Р <— к нестрого возрастают. Число а может «выбивать» лишь большее число Ь. По лемме 7.11.2(a), будучи выбитым, b не сдвигается вправо. Следовательно, b вставляется ниже числа, строго меньшего 6; поэтому Р <— к остается полустандартной таблицей. □ Пусть теперь А = (dij)ij^i есть N-матрица с конечным числом ненулевых элементов. Будем говорить, что Л есть N-матрица с конечным носителем. Мы можем рассматривать А либо как бесконечную матрицу, либо как матрицу размера т х п, когда ац = О для г > га и j > п. Свяжем с А обобщенную перестановку, или двустрочный массив wa , определенный формулой wA (к *? h '" *г), (7.38) У1 32 J3 • • • JrnJ где (a) 2i < • • • ^ гш, (Ь) если гг = is и г < s, то jr < j8, и (с) для каждой пары (i,j) имеется в точности ац значений г, для которых (}r,jr) — (^ j)- Легко видеть, что А определяет единственный двустрочный массив wa, удовлетворяющий условиям (а)-(с), и наоборот, каждый такой массив соответствует единственной матрице А. Например, если [1 0 2] (7.39) Г1 ° 0 2 [1 1 2" 0 0 то соответствующим двустрочным массивом будет /1 1 1 2 2 3 3\ ,_„.. ^=(l 3 3 2 2 1 2)- (7"40) Теперь свяжем с А (или с wa ) пару (Р, Q) полустандартных таблиц Юнга одной формы следующим образом. Пусть массив wa задан согласно (7.38). Начнем с (P(0),Q(0)) = (0,0) (где 0 означает пустую таблицу). Если t < т и пара (P(t),Q(t)) определена, то пусть (a) P(t + l) = P(t)*-jt+1, (b) Q(t + 1) есть таблица, которая получается из Q(t) вставкой числа it+i (оставляющей все части таблицы Q(t) неизменными) так, чтобы P(t + 1) и Q(t + 1) имели одну и ту же форму.
7.11. Алгоритм RSK 433 Процесс завершается на (P(ra),Q(ra)); положим (Р, Q) = (Р(га), RSK- Q(m)). Обозначим это соответствие через А —► (Р, Q) и будем называть его алгоритмом RSK. Мы называем Р записывающей таблицей, a Q нумерующей таблицей матрицы А или массива wa • 7.11.4. Пример. Пусть А и wa заданы формулами (7.39) и (7.40). Тогда таблицы (P(l), Q(l)),..., (Р(7), Q(7)) = (Р, Q) строятся следующим образом: Pii) Q(j) 1 1 3 1 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 112 2 2 3 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 2 Основным результатом об алгоритме RSK является следующая теорема. 7.11.5. Теорема. Алгоритм RSK осуществляет биекцию между N-матрицами А = (ciij)i,j^i с конечным носителем и упорядоченными парами (Р, Q) полустандартных таблиц Юнга одной формы. При этом соответствии j появляется в Р в точности \_\aij Va3i (7.41) i i появляется в Q в точности у_\°>ij Раз- (7.42) з (Два последних условия равносильны следующим: type(P) = со\(А), type(Q) = row(A).) Доказательство. По следствию 7.11.3 Р является полустандартной таблицей. Из определения алгоритма RSK ясно, что Р и Q имеют одну форму и что выполнены условия (7.41) и (7.42). Таким образом, мы должны показать следующее: (a) Q является полустандартной таблицей и (Ь) алгоритм RSK является биекцией, т. е. по заданной паре (Р, Q) можно единственным образом восстановить А.
434 Гл. 7. Симметрические функции Чтобы доказать (а), заметим сначала, что так как элементы таблицы Q вставляются в нестрого возрастающем порядке, то ее строки и столбцы нестрого возрастают. Таким образом, мы должны показать, что столбцы таблицы Q строго возрастают, т. е. никакие два равных элемента из верхней строки массива wa не могут оказаться в одном столбце таблицы Q. Но если в верхней строке ik = ik+i, то мы имеем jk ^ jk+i • Следовательно, по лемме 7.11.2(b) путь вставки элемента jk+\ всегда будет лежать строго правее пути вставки элемента jk и никогда не будет продолжаться ниже последнего элемента пути для jk. Отсюда следует, что нижние элементы этих двух путей вставки лежат в разных столбцах; поэтому столбцы таблицы Q строго возрастают, что и требовалось доказать. Приведенное выше рассуждение устанавливает важное свойство алгоритма RSK: равные элементы таблицы Q вставляются строго слева направо. Остается показать, что алгоритм RSK является биекцией. Итак, для данных (Р, Q) = (Р(га), Q{m)) пусть Qrs — самое правое вхождение наибольшего элемента таблицы Q (где Qrs обозначает элемент этой таблицы в строке г и столбце s). Так как равные элементы таблицы Q вставляются слева направо, то отсюда следует, что Qrs = im, Q(m - 1) = Q(m) \ Qrs (т.е. это Q(m) с удаленным элементом Qrs) и что Prs был последним элементом в Р, «выбитым» на свое место после вставки jm в Р(га — 1). Но тогда процедуру вставки Р(га — 1) <— jm легко обратить. Элемент Prs должен был быть «выбит» самым правым элементом Pr-\,t строки г — 1 таблицы Р, меньшим Prs. Следовательно, удалим Prs из Р, заменим Pr-i,t на Prs и продолжим, заменяя самый правый элемент строки г — 2 таблицы Р, меньший Pr-i,t, на Pr-i,t и т.д. Наконец, некоторый элемент jm удаляется из первой строки таблицы Р. Таким образом, мы однозначно восстановили (im,jm) и (Р(га — 1), Q(m — 1)). Повторяя эту процедуру, мы восстановим весь двустрочный массив wa- Следовательно, алгоритм RSK инъ- ективен. Чтобы доказать сюръективность, надо проверить, что применение процедуры из предыдущего абзаца к произвольной паре (Р, Q) полустандартных таблиц одной формы всегда приводит к допустимому двустрочному массиву WA = (\} ■■■ ;А У1 • • • JmJ Ясно, что z"i ^ ••• ^ im- Поэтому необходимо показать, что если ik = tjb+i, то jk ^ jjb+i. Пусть ik = Qrs и ijfc+i = Quv, так что г ^ и и s < v. Когда мы начинаем применять «обратное выбивание» к Рии, этот элемент занимает конец своей строки
7.11. Алгоритм RSK 435 (строки и). Следовательно, когда мы применяем «обратное выбивание» к Prs, его «обратный путь вставки» пересекает строку и строго левее столбца v. Таким образом, на строке и обратный путь вставки элемента Prs лежит строго левее обратного пути для Puv. Согласно простому индуктивному рассуждению (по сути, «обратному» к рассуждению в лемме 7.11.2(b)) полный обратный путь вставки для Prs лежит строго левее такого же пути для Puv. В частности, перед удалением г&+1 два элемента jk и jk+i появляются в первой строке так, что jk находится слева от jk+i- Следовательно, jk ^ jk+i, что и требовалось. Доказательство завершено. □ В разд. 7.13 мы дадим другое, «геометрическое» описание алгоритма RSK, полезное при доказательстве некоторых его замечательных свойств. Это геометрическое описание определено только тогда, когда матрица А является перестановочной, т.е. (0,1)-матрицей размера п х п, у которой имеется в точности по одной единице в каждой строке и в каждом столбце. В этом случае верхняя строка в двустрочном массиве есть 1 • • -п, тогда как нижняя строка является перестановкой w чисел 1,..., п, которую мы можем отождествить с А. Когда алгоритм RSK применяется к перестановочной матрице А (или к перестановке w £ <5П), в результате получаются стандартные таблицы Юнга Р и Q (одной формы). И обратно, если Р и Q являются стандартными таблицами одной формы, то матрица А, удовлетворяющая условию А —► (Р, Q), является перестановочной матрицей. Следовательно, алгоритм RSK устанавливает биекцию между симметрической группой 6П и парами стандартных таблиц Юнга (Р, Q) одной формы Л Ь п. В частности, если /Л означает число стандартных таблиц Юнга формы Л, то мы имеем фундаментальное тождество £(/А)2 = п!. (7.43) АЬп Хотя перестановочные матрицы являются очень специальным случаем N-матриц с конечным носителем, в действительности алгоритм RSK для произвольных N-матриц А может быть сведен к случаю перестановочных матриц. А именно, для данного двустрочного массива wa, скажем длины п, заменим первую строку на 1,...,п. Предположим, что вторая строка массива wa содержит С{ элементов г. Тогда во второй строке заменим слева направо единицы на 1,..., ci, затем заменим слева направо двойки на с\ + 1, с\ + 2,..., с\ + С2 и т. д. до тех пор, пока вторая строка не станет перестановкой чисел 1,..., п. Обозначим получившийся в
436 Гл. 7. Симметрические функции результате двустрочный массив через wa • Например, если А = \2 0 1 0 1" 1 1 з oj то WA и wa заменяется на wA (1 1 1 \1 1 3 2 2 3 3 3 3 3 2 3 12 2 2 12345678 9 128493567 7.11.6. Лемма. Пусть задан двустрочный массив и пусть wA wA \л h • • • Зп) ' /1 2 ... п\ \ji h • • • и) ' Предположим, что wa —► (P,Q)- Пусть таблицы Р и Q получаются из Р и Q заменой к в Q на ik и jk в Р на jk- Тогда wa —► {P,Q)- Другими словами, операция wa ^ wa «коммутирует» с алгоритмом RSK. Доказательство. Предположим, что если число j вставляется в строку на некотором этапе алгоритма RSK, то оно занимает в этой строке позицию с номером к. Если бы это число j было заменено на большее число j' + б, которое меньше всякого элемента в этой строке, большего j, то число j + e вставлялось бы также в позицию с номером к. Отсюда видно, что процедура вставки для элементов Л • • • Зп в точности повторяет процедуру для л • • • jn, что завершает доказательство. □ Процесс замены wa на wa, Р на Р и т.д. называется стандартизацией. Сравните это со вторым доказательством предложения 1.3.17. 7.12. Некоторые следствия алгоритма RSK Наиболее известным результатом, касающимся симметрических функций и непосредственно вытекающим из алгоритма RSK, является следующее тождество, называемое тождеством Коши.
7.12. Некоторые следствия алгоритма RSK 437 7.12.1. Теорема. Имеем Ц(1 - ход)"1 = Y. 5а(*Ыу). (7.44) г,3 А Доказательство. Запишем Д(1 - ХгУзУ1 = П [ Е C*W)ey] • (7-45) В этом разложении слагаемое хау@ получается в результате выбора N-матрицы Аь = (а*?)* (т.е. транспонированной матрицы А) с конечным носителем, удовлетворяющей условиям vow(A) = а и со1(Л) = (3. Следовательно, коэффициент при хау(3 в равенстве (7.45) равен числу Nap таких N-матриц А, что vow(A) = а и со1(Л) = (3. (Это утверждение также равносильно формуле (7.9).) С другой стороны, коэффициент при хау@ в сумме J2\sx(x)sx(y) равен числу таких пар (Р, Q) полустандартных таблиц Юнга одной формы Л, что type(P) = а и type(Q) = (3. Алгоритм RSK устанавливает биекцию между матрицами А и парами таблиц (Р, Q), что завершает доказательство. □ Тождество Коши (7.44) имеет ряд непосредственных следствий. 7.12.2. Следствие. Функции Шура образуют ортонормирован- пый базис пространства К, т.е. (sx^s^) = 5\^. Доказательство. Надо объединить следствие 7.10.6 и лемму 7.9.2. □ Замечание на тему линейной алгебры. Мы говорим, что функции Шура образуют целый ортонормированный базис пространства Л, так как, согласно предложению 7.10.5, они в действительности порождают Az как абелеву группу. В общем случае вопрос о том, будет ли векторное пространство с выделенным базисом (в нашем случае это мономиальные симметрические функции) и с положительно определенным симметрическим скалярным произведением обладать целым ортонормированным базисом, является тонким. В этом случае существование такого базиса эквивалентно существованию целочисленной матрицы А, такой, что А1 А = N, где N — матрица перехода от т\ к h\. Тогда мы говорим, что N целочисленно эквивалентна единичной матрице. Следующий результат (который есть не что иное, как применение стандартной техники линейной алгебры) отождествляет А с матрицей Кост- ки К. Отметим, что в общем случае, если целый ортонормированный базис существует, то он единствен с точностью до знака и порядка элементов в нем. Это так, потому что матрица перехода между двумя такими базисами должна быть целочисленной и ор-
438 Гл. 7. Симметрические функции тогоналыюй. Легко видеть, что единственными целочисленными ортогональными матрицами являются перестановочные матрицы, элементы которых могут быть снабжены знаком. 7.12.3. Следствие. Зафиксируем разбиения /i, v Ь п. Тогда У^ Kx^Kxv = Npy = (hp, h„), Xhn где К\ц и K\v обозначают числа Костки, a N^u равно числу N-матриц А с row (А) = /л и col (А) = v. Доказательство. Рассмотрим коэффициент при x^yv в обеих частях равенства (7.44). □ 7.12.4. Следствие. Имеем hIA = YfKXtAsx. (7.46) л Другими словами, если M(u,v) обозначает матрицу перехода от базиса {v\} к базису {и\} пространства Л (т.е. и\ = 52llM(u,v)xpVll), то M(h,s)=M(s,m)K Мы дадим три доказательства этого следствия; все они, по сути, эквивалентны. Первое доказательство. Пусть h^ = ]Сла<^5л- Согласно следствию 7.12.2, ал/z = (fr/z5 s\). Так как по определению (7.30) скалярного произведения (•, •) мы имеем (/г^, ти) = 5^, то из равенства (7.35) следует, что (h^sx) = KXil. □ Второе доказательство. Зафиксируем /х. Тогда h^ = ]TVol(A) = Yl xQ (по ^горитмУ RSK) л (P,Q) = £*** y,xQ = Hk^ A Q А где (i) А пробегает все N-матрицы с iow(A) = /i, (ii) (Р, Q) пробегает все пары полустандартных таблиц Юнга одной формы, причем type(P) = /i, и (iii) Q пробегает все полустандартные таблицы Юнга формы Л. □ Третье доказательство. Рассмотрим коэффициент при т^(х) в обеих частях тождества Y^rnx(x)h\(y) = Y^s\(x)s\(y)' л л (Обе части равны, согласно тождествам (7.10) и (7.44).) □
7.13. Симметрия алгоритма RSK 439 Следующее утверждение можно рассматривать как формулу для производящей функции (по отношению к функциям Шура s\) для числа /Л стандартных таблиц Юнга формы Л. 7.12.5. Следствие. Имеем ^ = £/Л*а. (7.47) АЬп Доказательство. Возьмем коэффициент при х\ • • • хп в обеих частях равенства (7.44). Чтобы получить биективное доказательство, RSK рассмотрим алгоритм RSK А —► (Р, Q) в случае со\(А) = (1п). □ Наконец, мы подошли к тождеству, уже приведенному в формуле (7.43), но которое стоит здесь повторить. 7.12.6. Следствие. Имеем £(/А)2 = "!- АЬп Доказательство. Рассмотрим формулу (7.47) как тождество от переменных х = (a;i, #2, • • •) и возьмем коэффициент при х\- • -хп в обеих частях. Чтобы получить биективное доказательство (упомянутое перед равенством (7.43)), рассмотрим алгоритм RSK, примененный к перестановочным матрицам размера п х п. □ 7.13. Симметрия алгоритма RSK Алгоритм RSK обладает рядом замечательных свойств симметрии. В этом разделе мы обсудим только наиболее важное из них. 7.13.1. Теорема. Пусть А есть N-матрица с конечным носителем. Предположим, что А —► (P,Q). Тогда Аь —► (Q,P), где ь обозначает, транспонирование. Для того чтобы подготовиться к доказательству этой теоремы, возьмем в качестве wa = (^) двустрочный массив, ассоциированный с А. Тогда и)д± = (^) , т.е. столбцы массива (^) отсортированы так, чтобы они нестрого возрастали в лексикографическом порядке. Из леммы 7.11.6 следует, что мы можем предполагать, что ни и, ни v не имеют повторяющихся элементов (почему?). Для данного массива — ft ::: £)-©■ где все щ и все Vj различны, зададим инверсионное ч. у. множество I = 1(A) = /(") следующим образом. Элементами множества / являются столбцы массива ("). Для удобства обозначений мы часто обозначаем столбец аь через аЬ. Положим ab < cd в /, если а < с и b < d.
440 Гл. 7. Симметрические функции 7.13.2. Пример. Пусть С) = (з 7 6 i 4 2 D- ТогДа 1 задается следующей диаграммой: 41 13 Отметим, что число несравнимых пар в / в точности равно числу инверсий перестановки v, откуда и появляется термин «инверсионное ч. у. множество». Следующая лемма является непосредственным следствием определения множества 1(A). 7.13.3. Лемма. Отображение <р: 1(A) —> 1(АЬ), определенное формулой <p(ab) = Ьа, является изоморфизмом ч. у. множеств. Теперь для заданного инверсионного ч. у. множества / = 1(A) возьмем в качестве Д множество минимальных элементов из /, в качестве Д — множество минимальных элементов из / — Д, в качестве Д — множество минимальных элементов из I — Д — Д и т.д. Для ч.у. множества из примера 7.13.2 мы имеем Д — {13,41}, Д = {27,36,54,62}, Д = {75}. Заметим, что так как Д является антицепью в множестве Д то его элементы могут быть занумерованы следующим образом: (uti,i7ii), (ui2,vi2), ..., (uini,vini), (7.48) где щ = # Д, причем Щ\ < щ2 < • • • < uini, vn>Vi2>'"> vint. (7.49) 7.13.4. Лемма. Пусть Д,..., Д — (непустые) антицепи, определенные выше и занумерованные согласно условию (7.49). Пусть А —► (Р, Q). Тогда первая строка таблицы Р есть v\niV2n2''' vdnd, а первая строка таблицы Q есть uiiu2i- • -Ud\. Кроме того, если (uk,Vk) Е Д, то в алгоритме RSK число Vk вставляется в столбец с номером г первой строки таблицы Р(к — 1). Доказательство. Индукция по п. Случай п = 1 тривиален. Предположим, что утверждение справедливо для п — 1, и положим (u\ = (Ul U2 '" Un\ (й\ = (Ul U2 '" ип~Л \vj \Vi V2 ... VnJ ' \VJ \Vi V2 ... Vn-lJ' Пусть (P(n — l),Q(n — 1)) —таблицы, полученные после вставки vi,..., vn-\, а антицепи I[ := Д (^), 1 ^ i ^ e (где e = d — 1 или e = d), заданы как (йц,уц),..., (uimi, i>imi), где йц < • • • < uirni и щ\ > • • • > Vimi. По предположению индукции первая строка
7.13. Симметрия алгоритма RSK 441 таблицы Р(п — 1) есть vim1V2m2 * • * veme, а первая строка таблицы Q(n — 1) есть йцй21 • • -ие\. Теперь вставим vn в Р(п — 1). Если Щтщ > vn, то I[ U (un,vn) является антицепью в /("). Следовательно, (ггп,г;п) Е -^г(^), если г есть наименьший индекс, для которого Щгщ > vn. Если такого г нет, то (un,vn) —единственный элемент антицепи Id(™) множества /("). Эти условия означают, что vn вставляется в столбец г таблицы Р(п — 1), как и утверждалось. Мы начинаем новый столбец г в точности тогда, когда vn = Vdi - В этом случае ип = Ud\; поэтому ип вставляется в столбец г первой строки таблицы Q(n — 1), что и требовалось. □ Доказательство теоремы 7.13.1. Если антицепь /*("), заданная в виде (7.48), такова, что выполнено условие (7.49), то по лемме 7.13.3 антицепь Ii (^) есть в точности (VimnUimi), • • • , (v»2j W^), (v»1, U»l), где Virm < • • • < Vi2 < Vn, Щгт > • * • > Щ2 > Un. Следовательно, по лемме 7.13.4, если Аь —► (P', Q'), первая строка таблицы Р' равна u\\U2\ • • • гх<л, а первая строка таблицы Q' равна Vim1V2m2 *" * vdmd • Таким образом, по лемме 7.13.4 первые строки таблиц Р' и Q' совпадают с первыми строками таблиц Q и Р соответственно. Если алгоритм RSK применяется к ("), то элемент Vij (1 ^ j < mi) «выбивается» во вторую строку таблицы Р перед элементом vrs (1 ^ s <тг) тогда и только тогда, когда Ui,j+i < tzr>s+i. Пусть Р и Q обозначают таблицы Р и Q без их первых строк. Тогда Uirm U22 • • • U2rn2 • . . Ud2 • • • V>dmd ••• Vl,mi-1 ^21 ••• ^2,m2-l ••• Vd\ • •• Vd,md-\, copT (Л0). Аналогично, пусть P' и Q' обозначают таблицы Р' и Q' без их первых строк. Применяя то же самое рассуждение к (^) вместо (JJ), получаем <А ._ fvi^rm-l .-. Vn V2,m2-1 *•• ^21 ... ^d?md_i ... Vdl\ У)' \ VLlrm ...U12 ^2m2 ...U22... Wdm<J '"Ud2jcopT ?^(P',Q'). Ho (J) = (a/) ; поэтому, применяя индукцию по п (или по числу строк), получаем (P',Q') = (Q,P), что завершает доказательство. □
442 Гл. 7. Симметрические функции Второе доказательство (набросок). Приведенное выше доказательство было слегка таинственным и реально не «проявляло» симметричный характер алгоритма RSK. Мы дадим альтернативное «геометрическое» описание алгоритма RSK, из которого с очевидностью следует свойство симметрии. По заданной перестановке w = w\ • • • wn £ 6П построим квадратную таблицу размера п х п, поместив X в клетку с номером Wi, если считать снизу, в столбце г. Например, если w = 43512, то получим \х X X X X 4 3 5 12 Это, по существу, обычный способ представления перестановки перестановочной матрицей, с той лишь разницей, что мы помещаем элемент (1,1) в левый нижний угол вместо левого верхнего. Мы хотим пометить разбиениями каждую из (п+ I)2 точек, являющихся углами клеток нашей таблицы размера пхп. Мы будем записывать эти разбиения снизу и слева от соответствующей точки. Сначала пометим все точки в нижней строке и в левом столбце пустым разбиением 0: X X X X X 0 0 0 0 0 0
7.13. Симметрия алгоритма RSK 443 Предположим теперь, что мы пометили все углы клетки s, кроме правого верхнего, скажем, следующим образом: Л Тогда пометим правый верхний угол разбиением р, определенным при помощи следующих «локальных» правил (L1)-(L4): (L1) Предположим, что клетка s не содержит X и что Л = /i = v. Тогда положим р = А. (L2) Предположим, что s не содержит X и что Л С /i = v. Из этого автоматически следует, что |/i/A| = 1; поэтому разбиение /I получено из Л добавлением 1 к некоторой части А*. Тогда возьмем в качестве р разбиение, получающееся из /х при добавлении 1 К /if-fl. (L3) Предположим, что s не содержит X и что /i/i/. Положим р = /jl\Jv, т.е. pi = max(/ij,*/i). (L4) Предположим, что s содержит X. Это автоматически влечет за собой равенства Л = /i = v. Тогда возьмем в качестве р разбиение, получающееся из Л при добавлении 1 к Ai. Используя эти правила, мы можем единственным образом пометить каждый угол клетки, по одному за шаг. Получившаяся в результате таблица называется диаграммой роста Qw перестановки w. Для нашего примера w = 43512 мы получим диаграмму роста 1 1 X 0 0 0 11 11 1 X 0 0 21 X 11 1 0 0 211 111 11 1 1 X 221 211 21 2 X 1 (7.50) Легко видеть, что если точка р помечена разбиением А, то сумма |А| частей разбиения А равна числу символов X в квадранте
444 Гл. 7. Симметрические функции слева и снизу от р. В частности, если через Лг обозначить разбиение в строке г (считая, что нижняя строка имеет номер 0) и столбце п (в самом правом столбце), то |Лг| = г. Кроме того, непосредственным следствием процесса расстановки меток является то, что 0 = Л° С Л1 С • • • С Лп. Аналогично, если через /хг обозначим разбиение в столбце г (считая, что левый столбец имеет номер 0) и строке п (в верхней строке), то |/хг| = г и 0 = /х° с /х1 С • • • С /хп. Цепи 0 = Л° С Л1 С • • • С Лп и 0 = /х° С /i1 С • • • С /in отвечают стандартным таблицам Pw и Qw соответственно (как объяснено в предложении 7.10.3(a)). Основным результатом, связанным с только что описанной геометрической конструкцией, является следующая теорема. 7.13.5. Теорема. Описанные выше таблицы Pw и Qw удовлетворяют условию w —у (Pw,Qw)- Доказательство (набросок). Пусть ^(z,j) — разбиение, появляющееся в строке г и столбце j. Таким образом, для фиксированного j имеем где \v(i,j)/v(i — l,jf)| = 0 или 1. Пусть T(i,j) — таблица формы ^(г,^), полученная при размещении к в клетке v(k,j)/v(k — l,j) в случае, когда 0 ^ к < i и \v(k,j)/v(k — l,j)\ = 1. Для массива (7.50) таблицы T(i,j) задаются следующим образом: 4 4 X 0 0 0 3 4 3 4 3 X 0 0 35 4 X 3 4 3 0 0 15 3 4 1 3 4 1 3 1 1 X 12 35 4 12 3 4 12 3 12 1 0 0 0 0 0 0 Мы утверждаем, что таблица T(i,j) имеет следующее альтернативное описание. Пусть (i\, j\),..., (г&, jk) — позиции символов X
7.13. Симметрия алгоритма RSK U5 слева и снизу от T(i,j) (т.е. ir ^ г и jr ^ j), помеченные так, чтобы ji < ••• < jk- Тогда T(i,j) получается при последовательных строчных вставках ii, 22,..., г^, начинающихся с пустой таблицы. В символьном виде: Г(г, j) = ((0 <- н) <- г2) < <- zfc. Доказательство утверждения проводится индукцией по i + j. Ясно, что оно верно, когда г = О или j = 0, поскольку тогда T(i,j) = 0- Если г > 0 и j > 0, то мы знаем, что по предположению индукции Т(г — 1, j), Т(г, j — 1) и Т(г — 1, j — 1) удовлетворяют требуемым условиям. Используя определение Т(г, j) в терминах локальных правил (L1)-(L4), можно проверить, что T(z,j) также удовлетворяет этим условиям. Всего следует проверить четыре случая; мы опускаем достаточно прямолинейные детали. Если теперь взять г = п, то T(nJ) = ((0 +-w1)+-w2)< <- Wj, (7.51) где w = W1W2 • - wn. Таким образом, таблица T(n, п) (совпадающая с Pw) на самом деле является записывающей таблицей для w, а таблица Qw (определенная последовательностью i/(n, 0) С г/(п, 1) С • ■ • С v(n, п)), согласно (7.51), есть в точности нумерующая таблица. Это завершает доказательство теоремы 7.13.5. □ Теперь второе доказательство теоремы 7.13.1 почти очевидно. Если мы транспонируем диаграмму роста Gw (т. е. отразим ее относительно диагонали из нижнего левого угла в правый верхний), то симметрия локальных правил (L1)-(L4) по отношению к транспонированию показывает, что мы просто получим диаграмму роста Gw-i. Следовательно, Pw = Qw-i и Qw = Pw-i. и доказательство следует из теоремы 7.13.5. Диаграммы роста и их варианты являются мощным средством для понимания алгоритма RSK и связанных с ним алгоритмов. Дальнейшую информацию см. в замечаниях к этой главе, а также в упр. 7.28(a). Рассмотрим теперь некоторые следствия свойства симметрии, приведенного в теореме 7.13.1. 7.13.6. Следствие. Пусть А есть N-матрица с конечным носителем, и пусть А —► (Р, Q). Тогда А является симметричной матрицей (т.е. А = А1) в том и только том случае, когда Р = Q. Доказательство непосредственно вытекает из того, что Аь —> (Q,P). □ 7.13.7. Следствие. Пусть А = Аь и А —> (Р,Р), и пусть а = (ai,a2,...), где ai е N и Y^ai < °°- Тогда отображение А ь-> Р
446 Гл. 7. Симметрические функции устанавливает биекцию между симметричными N-матрицами с row(A) = а и полустандартными таблицами Юнга типа а. Доказательство вытекает из следствия 7.13.6 и теоремы 7.11.5. □ 7.13.8. Следствие. Имеет место равенство 1 5>а(*), (7.52) г i<j где суммирование ведется по всем A Е Par. Доказательство. Коэффициент при ха в левой части равен числу симметричных N-матриц А с vow(A) = а (почему?), тогда как коэффициент при ха в правой части равен числу полустандартных таблиц типа а. Теперь применим следствие 7.13.7. □ 7.13.9. Следствие. Имеем J2fx = #{we&n:w2 = l}, М-п где правая часть есть число инволюций в &п, обсуждавшееся в примере 5.2.10. Доказательство. Пусть w £ 6П и w —► (Р,Q), где Р и Q —стандартные таблицы одной и той же формы А Ь п. Перестановочная матрица, отвечающая w, является симметричной тогда и только тогда, когда w2 = 1. По теореме 7.13.1 это имеет место тогда и только тогда, когда Р = Q, что завершает доказательство. Другой способ: возьмите коэффициент при х\---хп в обеих частях равенства (7.52). □ Следствие 7.13.9 утверждает, что общее число стандартных таблиц Юнга размера п равно числу инволюций в &п. Алгоритм RSK обеспечивает биективное доказательство. Отметим, что если t(n) обозначает коэффициент при х\ • • • хп в левой части тождества (7.52), то из примера 7.8.5 непосредственно вытекает, что , 0 v-^ / ч£п ( х ^t(n)— = explx + - в полном согласии с формулой (5.32). 7.14. Двойственный алгоритм RSK Имеется видоизменение алгоритма RSK, которое связано с произведением Yl(l + Xijjj) таким же образом, как сам алгоритм RSK связан с Yl(l — xiyj)~l. Мы называем его двойственным алгорит- RSK* мом RSK и обозначаем через А —у {P,Q). Матрица А теперь
7.14. Двойственный алгоритм RSK 447 будет (0,1)-матрицей с конечным носителем. Образуем двустрочный массив wa так же, как раньше. Алгоритм RSK* действует в точности так же, как и алгоритм RSK, с той лишь разницей, что элемент г выбивает самый левый элемент, больший либо равный г, а не самый левый элемент, больший г. (В частности, RSK и RSK* действуют одинаково для перестановочных матриц.) Отсюда следует, что в каждой строке таблицы Р элементы строго возрастают. 7.14.1. Пример. Пусть А = Тогда :1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1" 0 1 1 0 WA = При помощи алгоритма RSK* получаются следующие таблицы (F(l),Q(l)),...,(P(7),Q(7)),rAe(P,Q) = (F(7),Q(7)): P(i) Qii) 1 1 3 1 2 3 1 2 1 3 12 3 1 3 12 3 1 3 3 12 3 1 2 3 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 2 3 1 1 3 2 4 3 1 1 3 2 4 3 5 7.14.2. Теорема. Алгоритм RSK* осуществляет биекцию меою- ду (0,1) -матрицами А с конечным носителем и парами таблиц (Р, Q), такими, что таблица Рь {транспонированная к Р) и таблица Q являются полу стандартными таблицами Юнга с sh(P) = sh(Q). Кроме того, со\(А) = type(P) и row(A) = type(Q).
448 Гл. 7. Симметрические функции Доказательство теоремы 7.14.2 аналогично доказательству теоремы 7.11.5, и мы его опускаем. Точно так же, как мы получили тождество Коши (7.44) из обычного алгоритма RSK, мы получаем следующий результат, называемый двойственным тождеством Коши. 7.14.3. Теорема. Имеем Важным следствием теоремы 7.14.3 является вычисление ljs\. Во-первых, мы должны увидеть результат действия оператора о;, действующего на переменные у. на произведение Y\(l + xiyj). 7.14.4. Лемма. Пусть иу обозначает оператор и, действующий только на переменные у (так что мы рассматриваем Х{ как константы, коммутирующие си). Тогда UJy Д(1 - Xiyj)-1 = Д(1 + Xiyj). Доказательство. Имеем uiy Jj[(l - Xiyj)~x = ujy 22 m\(x)h\(y) (по предложению 7.5.3) А = 2_2т\(х)е\(у) (по теореме 7.6.1) А = ТТ(1 4- Xiyj) (по предложению 7.4.3). □ Можно дать иное доказательство, выразив произведения П(1~Xiyj)"1 и П(Нед) через симметрические степенные суммы (соотношения (7.20) и (7.21)) и применив предложение 7.7.5. 7.14.5. Теорема. Для каждого А £ Par UJS\ = S\'. Доказательство. Имеем Y^ s\{x)s\>(y) = Д(1 + Xiyj) (по теореме 7.14.3) А = иу ТТ(1 ~~ хгУз)~1 (по лемме 7.14.4) = шу z2 Sx(x)Sx(y) (по теореме 7.12.1) А = ^2^х(х)шу(8х(у)).
7.15. Классическое определение функций Шура 449 Возьмем коэффициент при s\(x) в обеих частях. Так как функции s\(x) линейно независимы, то мы получим sy(y) = Ljy(s\(y)), или ПРОСТО S\' = u;s\. □ Позднее (теорема 7.15.6) мы распространим теорему 7.14.5 на косые функции Шура. После предложения 7.7.5 мы упомянули, что характеристический многочлен оператора и;: Лп —► Лп равен (х2 — 1)°(п)(а; — l)fc(n), где о(п) — число нечетных классов сопряженных элементов в группе 6n, а к(п) — количество самосопряженных разбиений числа п. В частности, кратность 1 как собственного числа превосходит кратность —1 на к(п). Этот факт также является непосредственным следствием теоремы 7.14.5. Если Л ^ А', то и; переставляет s\ и s\f, что вносит единичный вклад в кратность собственного числа 1 и собственного числа —1. Остается к(п) собственных векторов s\, для которых Л = А', с собственным числом 1. 7.15. Классическое определение функций Шура Пусть а — (c*i,... ,an) £ Nn и w £ 6П. Как обычно, запишем ха = х*1 ■ • • х%п и положим w(xa) — хх К •• -хп К . Далее положим аа=аа(х1,...,хп)= ]Р eww(xa), (7.53) ween где {1, если w — четная перестановка, — 1, если w — нечетная перестановка. (Таким образом, ew — ep(w), где ep^w) определено в (7.19).) Заметим, что правая часть равенства (7.53) — это в точности разложение определителя, а именно aa = det(z"J')i!i=i- Отметим также, что функция аа кососимметрическая, т. е. w(aa) = ewaa; поэтому аа — 0 кроме случая, когда все а.{ различны. Следовательно, можно предполагать, что ai > • • • > ап ^ 0 и, значит, а — А 4- 5, где Л Е Par, £(\) ^ п и 8 — 8п = (п - 1, п — 2,..., 0). Так как aj — Aj + п — j, то аа = ax+s = det(a£' +n~j )&=1. (7.54)
450 Гл. 7. Симметрические функции Например, «421 = «211+210 х2 Заметим, в частности, что а5 = det(x?-j) = Д (xi-Xj), (7.55) т. е. это определитель Вапдермонда. Если для некоторого г ^ j мы положим Xi — Xj в aQ, то получим 0, так как функция аа кососимметрическая (или так как строки г и j определителя (7.54) оказываются равными). Следовательно, аа делится в кольце Z[xi,..., хп] на xi — Xj и, таким образом, на as. Значит, aa/as Е ^[#ъ • • •, хп]. Кроме того, так как аа и as кососимметрические, то их частное будет симметрической функцией, причем однородной степени |а| — |5| = |А|. Другими словами, aa/as GAn . (Частное aa/as называется биальтерпаптом.) Поэтому естественно поинтересоваться связью между aa/as и симметрическими функциями, которые мы уже рассмотрели. Ответ является одним из фундаментальных результатов в теории симметрических функций. 7.15.1. Теорема. Имеем a>\+s/a>6 — s\(xi,. ..,хп). Доказательство. Имеется много доказательств этого результата. Мы дадим доказательство, которое можно обобщить так, чтобы получить важный результат о косых функциях Шура (теорема 7.15.4). Применяя lj к равенству (7.46) и заменяя А на А', получим л Так как матрица (Ку^) обратима, то достаточно показать, что е^(ж1,...,жп) = у]К\*р ал+<5 л as или, эквивалентным образом, всегда работая с п переменными, что а<*ем = zJ к*иа^+&- (7.56) л Так как обе части равенства (7.56) — кососимметрические функции, то достаточно показать, что коэффициент при xx+s в ase^ равен К\'ц. Умножим as на е^, последовательно умножая на
7.15. Классическое определение функций Шура 451 е^, е^2, Каждое частичное произведение ase^ • • • e/Zfc является кососимметрической функцией; поэтому каждое слагаемое х]1 • • • хг™, появляющееся в а^е^ • • • e/Zfc, имеет различные показатели гj. Если мы умножим такое слагаемое х]1 • • • хг£ на слагаемое imi •••xmj из e/Zfc+1 (так что j — /ifc+i), то либо два показателя станут равными, либо показатели сохранят их взаимный порядок. Если два показателя оказались равными, то это слагаемое исчезнет из as^m • • • ^/Zfc+1. Следовательно, чтобы получить слагаемое хх+5, мы должны начать со слагаемого х8 из as и последовательно а1 а2 умножить его на слагаемое ха из е^, затем на ха из е^ и т. д., сохраняя показатели строго убывающими. Число способов сделать это равно коэффициенту при xx+s в ase^. Для заданных слагаемых ха , ха ,..., описанных выше, зададим полустандартную таблицу Юнга Т = Т(а}, а2,...) следующим образом. Столбец j таблицы Т содержит г, если переменная Xj появляется в ха (т.е. координата j вектора аг равна 1). Например, положим п = 4, Л = 5332, А' = 44311, Л 4- 6 = 8542, /х = 3222211, 1 2 3 4 5 Ха = Х\Х2Х$, Х° ~ Х1Х1-> Х<* ~ ж3^4, Xе* — #1#2, Xе* — Х\Х±, X == Х\ , X = х%. Тогда Т задается следующей таблицей: 1113 2235 447 5 6. Легко видеть, что отображение (а1, а2,...) \—> Т(ах, а2,...) задает биекцию между способами построения из х8 слагаемого xx+s (в соответствии с указанными выше правилами) и полустандартными таблицами формы А' и типа /х, откуда следует утверждение теоремы. □ Из комбинаторного определения функций Шура ясно, что s\(xi,...,xn) = 0, если £(Х) > п. Так как, согласно предложению 7.8.2(a), dimAn = #{Л Е Par : £(Х) ^ п}, то отсюда следует, что множество {s\(xi,....,xn) : £(Х) ^ п} является базисом пространства Лп. (Это также следует из простого обобщения доказательства следствия 7.10.6.) Зададим на Лп скалярное произведение ( , )п, потребовав, чтобы множество {s\(xi,..., хп)} было ортонор- мированным базисом. Если /, g Е Л, то будем использовать (f,g)n в качестве краткого обозначения для (f{x\,..., жп), д{х\,..., хп))п. Таким образом, (f>g) = (f,g)n
452 Гл. 7. Симметрические функции при условии, что в каждый одночлен, появляющийся в /, входит не более чем п различных переменных, например, если deg/ ^ п. 7.15.2. Следствие. Если f Е Ап, £(Х) ^ п и 5 — (п — 1,п - 2, ..., 1,0), то (f,sx)n = lxx+5}asf, где правая часть —это коэффициент при xx+s в asf. Доказательство. Будем рассматривать все функции как функции от переменных х\,..., хп. Пусть / = Х^га)<п c\S\. Тогда по теоре- ме 7.15.1 поэтому Например, при asf (/, 5Л)п е(\) ^ п - Е = С\ = имеем c\a\+s', [xX+S]a, □ (af,SA)n = [xA+5]af+1: (7-57) Задача нахождения чисел (7.57) является интересной проблемой (еще не до конца решенной); в случае к — 1 дальнейшую информацию см. в упр. 7.37. Рассмотрим теперь обобщение теоремы 7.15.1 на «косой» случай. Мы продолжаем работать с п переменными xi,...,xn. Для произвольных A, v Е Par, где £(Х) ^ п, 1{у) ^ п, рассмотрим разложение л или (после умножения на as) эквивалентное ему разложение аи+6ец = Yl L5/zaA+<5. (7.58) л Такие же рассуждения, как и в доказательстве теоремы 7.15.1, показывают, что коэффициент 1Л равен числу способов представить Л + S в виде Л + 5 = v + S + а1 + а2 + • • • + а*, где £(fi) — /с, каждое из слагаемых аг — это (0,1)-вектор с fii единицами и координаты каждой частичной суммы и+ 5 +а1 Н \-аг строго убывают. Определим косую полустандартную таблицу Юнга Т — T\ii„i{ol1, ..., ак) формы \'/и' и типа /х условием, что г появляется в столбце j таблицы Т, если координата с номером j вектора аг равна 1. Это устанавливает биекцию, которая показывает, что
7.15. Классическое определение функций Шура 453 L*, равняется косому числу Костки Ку/^^? т-е- числу косых полустандартных таблиц формы А'/г/ и типа /х (см. формулу (7.36)). (Если и' 2 А', то это число равно 0.) 7.15.3. Следствие. Имеем s»e» = Y1 ^А'/1/',/*вл- (7.59) л Доказательство. Разделим равенство (7.58) на as и устремим п К 00. □ Теперь легко установить фундаментальное свойство косых функций Шура. 7.15.4. Теорема. Для всякой функции f Е Л (fs„,s\) = (/,Sa/i/>- Другими словами, два линейных преобразования Ми: А —* А и Dv\ А —> Л, определенные формулами Muf = s„/ гг Д,5д = 5л/^, являются взаимно сопряженными по отношению к скалярному произведению ( , ). В частности, {s^v, sx) = (sp, sx/„). (7.60) Доказательство. Применим и к тождеству (7.59) и заменим v на г/ и А на А'. Получим А Следовательно, (Si/Л^, 5Л) = # A/i/,jx = (Лм, SX/v), (7.61) согласно равенству (7.36) и тому факту, что {hfjL,mp) — 6^р по определению скалярного произведения ( , ). Но соотношение (7.61) линейно по Ир, и, так как {/г^} — базис пространства Л, это завершает доказательство. □ 7.15.5. Пример. Имеем sis^i — 541 + 532 + 5311 и s\s22 = 532 + 5221- Никакое другое произведение sis^ не включает 532 • Отсюда следует, что «32/1 = 522 + 5з1- По поводу обобщения см. следствие 7.15.9. Теперь мы можем обобщить теорему 7.14.5 на косые функции Шура. 7.15.6. Теорема. Для любых A, v Е Par имеем ws\/u — S\i/ui. Доказательство. Из предложения 7.9.5 и равенства (7.60) следует, что
454 Гл. 7. Симметрические функции Значит, в силу теоремы 7.14.5 получаем {sn*sui,s\*) = (v^5a/i/>- (7.62) С другой стороны, подстановка Л', //, и' в формулу (7.60) вместо Л, /I, v соответственно влечет за собой равенство (sp* sv>, s\>) = (sp*, sa'/i/' ) • (7.63) Из равенств (7.62) и (7.63) следует, что ljsx/u = $a'/i/ • П Целое число (sa^s,,) = (^a/i/j^) = (sx/^^s^) обозначается через с^ и называется коэффициентом Литтлвуда-Ричардсона. Таким образом, л /z Заметим, что кажущееся более общим число (s\/„, s^/p) само является коэффициентом Литтлвуда-Ричардсона, так как (s\/„, s^/p) = {s\^sus^iP) и SySy.jp — косая функция Шура, что видно из рис. 7.5 и комбинаторного определения функций Шура. Более общим образом, любое произведение косых функций Шура является косой функцией Шура. V 1 Рис. 7.5. Косая диаграмма. Центральный результат в теории симметрических функций, называемый правилом Литтлвуда-Ричардсона, дает комбинаторную интерпретацию коэффициента Литтлвуда-Ричардсона с£„. Мы отложим его формулировку и доказательство до приложения 1 (разд. А 1.3). Здесь мы рассмотрим намного более простой частный
7.15. Классическое определение функций Шура 455 случай, когда /х равно (п), т. е. разбиению с единственной частью п. Чтобы сформулировать этот результат, известный как правило Пи- ери, определим горизонтальную полосу как косую диаграмму А/г/, у которой никакие две клетки не находятся в одном столбце. Таким образом, полустандартную таблицу Юнга формы fi/p с наибольшим элементом, не превосходящим га, можно рассматривать как последовательность разбиений р — /х° С р} С • • • С рт = /х, таких, что каждая косая диаграмма рг/рг~1 является горизонтальной полосой. (Нужно просто вставить г в каждую клетку диаграммы Ас*//**-1-) 7.15.7. Теорема. Имеем slySn = Y^^\, (7.65) л где суммирование ведется по всем разбиениям X, таким, что \/и — горизонтальная полоса размера п. Доказательство. Имеем (svSn,s\) — {sn,s\jv) — (hn,s\/„) = К\/^п. Из определения числа К\/^п ясно, что К \/и,п 1, если Х/и — горизонтальная полоса размера п, О в противном случае, откуда следует утверждение теоремы. □ 7.15.8. Пример. Пусть г/ = 331ип = 2. Способы добавления горизонтальной полосы размера 2 к диаграмме 331 представлены на рисунке. I | | • • | | | | • | | | | • | | | | | I | I• ГП | I • • | I • Следовательно, «5331«52 = «5531 + «5432 + «54311 + «5333 + «53321- Отметим, что, применяя lj к равенству (7.65), мы получим двойственный вариант правила Пиери. А именно, определив естественным образом вертикальную полосу, мы получим S^Sir, 5^вп — / ^ S\) где суммирование ведется по всем разбиениям Л, для которых \jv — вертикальная полоса размера п. В качестве непосредственного следствия формулы (7.60) и правила Пиери (теорема 7.15.7) мы получаем следующую «косую» версию правила Пиери.
456 Гл. 7. Симметрические функции 7.15.9. Следствие. Имеем v где v пробегает все разбиения v С А, для которых X/i/ является горизонтальной полосой размера п. Доказательство правила Пиери, которое мы дали, довольно косвенное. В действительности правило Пиери — простое комбинаторное утверждение, которое заслуживает прямого биективного доказательства. Пусть Т*п — множество всех пар (Т, X") полустандартных таблиц Юнга, таких, что sh(T) = г/, sh(X") = (п) и type(T) + type(T') = а. Аналогично, пусть 7д* — множество всех полустандартных таблиц Т, таких, что sh(T) = Л и type(T) = а. Правило Пиери утверждает, что где Л пробегает все такие разбиения, что Х/и является горизонтальной полосой размера п. Таким образом, мы ищем биекцию А Пусть X" = а\а2 • • • ап. Используя лемму 7.11.2, нетрудно показать, что такая биекция у? получается в результате последовательных строчных вставок tp(T, Г) = ((Г <- oi) <- 02) < <- On. □ Дальнейшее применение теоремы 7.15.4 состоит в следующем. Пусть Л(х) и Л(у) — кольца симметрических функций от переменных х — (х\, Х2,...) и у — (yi, 2/2? • • •) соответственно. Обозначим через Л(ж)®Л(у) кольцо формальных степенных рядов над Q ограниченной степени от переменных а; и у, симметрических по переменным х и симметрических по переменным у. Другими словами, если f(xi,X2,...; yi, 2/2, • • •) £ Л(ж) 0 Л(у), а и и v — перестановки множества Р, то f(xi,X2, • • • ; У1, У2, • • • ) = /(Z„(i), Ж„(2), • • • 5 Уу(1), У«(2)> • • • )• Ясно, что если {Ь^(х)} —базис пространства Л(ж), а {с^(у)}—базис пространства Л(у), то {bfl(x)cl/(y)} будет базисом для А(х) 0 Л(у). Кольцо Л(ж,у) формальных степенных рядов ограниченной степени, симметрических по переменным хну вместе, является подалгеброй в А(х) 0 Л(у). Конечно, эта подалгебра собственная; например, если f(x) £ А(х) и deg/ > 0, то f(x) £ А(х) 0 Л(у), но f(x) £ А(х,у). Если {Ь\(х)} —базис пространства Л(ж),
7.16. Тождество Якоби-Труди 457 то базисом пространства Л(ж,у) будет {Ь\(х,у)}, где Ь\(х,у) обозначает симметрическую функцию 6л от переменных xi,X2,--- и уi,?/2, Естественно спросить, как разложить s\(x,у) по базису {sfl(x)sl/(y)} пространства Л(а;)<8>Л(у). Рассмотрим упорядоченный алфавит Л = {1<2<---<1/<2/<•••}. Если Т — полустандартная таблица Юнга (по отношению к этому алфавиту) формы Л, то положим (*»r = xfM(a)-»f(1\#(a,)-, где #(а) обозначает число появлений а в Т. Из комбинаторного определения функций s\ (определение 7.10.1) получаем *л(ж,у) = ^(яу)т, т где Т пробегает все полустандартные таблицы Юнга формы Л в алфавите А. Часть таблицы Т, занятая числами 1,2,..., является полустандартной таблицей некоторой формы /х С Л, тогда как ее часть, занятая числами 1', 2',..., является косой полустандартной таблицей формы А//х. Из этого наблюдения вытекает, что /хСЛ это дает требуемое разложение. Замечание (для алгебраистов). Зададим А: Л —> Л(ж)®Л(у) формулой А/ = /(ж,у). Эта операция превращает пространство Л в коалгебру и вместе со структурой обычной алгебры на Л определяет на этом пространстве структуру биалгебры. Если взять элемент 1 Е Л в качестве единицы, а отображение / ь-> /(0,0,...) в качестве коединицы, то мы получим алгебру Хопфа. Кроме того, скалярное произведение на Л согласовано со структурой биалгебры в том смысле, что (Af,g(x)h(y)) = {f,gh). (7.67) Здесь первое скалярное произведение рассматривается в пространстве А(х) ® Л(у), ортонормированный базис которого образуют элементы sfl(x)siy(y). Второе скалярное произведение — это обычное скалярное произведение на Л. 7.16. Тождество Якоби-Труди В этом разделе мы выразим функции Шура через полные симметрические функции. В результате мы вычислим матрицу, обратную к матрице Костки (К\^). Заметим, что выражение функций
458 Гл. 7. Симметрические функции Шура через функции h\ равносильно выражению их через е\, так как если s\ = Ylut^hvi то> применяя инволюцию о;, получаем Основной результат этого раздела, называемый тождеством Якоби-Труди, выражает s\ (на самом деле sa//z) в виде определителя, элементами которого являются hi. Каждый член разложения этого определителя имеет вид ±h„; поэтому мы получим требуемое представление. Точный коэффициент при hv должен быть получен приведением подобных. 7.16.1. Теорема. Пусть Л = (Ai,... ,ЛП) и /л — (/ii,... ,/in) С Л. Тогда зх/1Л = det(/iAi-^.-^)^=1, (7.68) где мы полагаем ho = 1 и hk — 0 при к < 0. Первое доказательство. Наше первое доказательство будет непосредственным применением теоремы 2.7.11), в котором мы вычислим определитель комбинаторным способом, построив инволюцию, сокращающую ненужные слагаемые. Несомненно, тождество Якоби-Труди является самым типичным приложением теоремы 2.7.1. В теореме 2.7.1 положим ау = Л^ + п — j, fa = /ii 4- п — г, 7г = °о (более точно, положим 7г = N и устремим N к оо) и Sj = 1. Функция h(ctj — pi'^i^Sj), появляющаяся в теореме 2.7.1, есть в точности полная симметрическая функция hxj-^-j+i. Таким образом, определитель, появляющийся в теореме 2.7.1, становится (после перемены ролей г и j) правой частью соотношения (7.68). х) Напомним определения, необходимые для формулировки теоремы 2.7.1. Пусть L = (Li,... ,Ln) есть п-путь, т. е. набор п решеточных путей, шаги которых состоят в переходах на единицу вправо или вниз. Пусть а, 0,1,6 Е Nn. Тогда L есть путь типа (а,(3,7,6), если Li переходит от (ft,7i) к (<*i,5i); n-путь L называется несамопересекающимся, если для всех i ф j пути Li и Lj не имеют общих точек. Положим вес горизонтального шага из (г, j) в (г + 1, j) равным переменной Xj, а вес п-пути L — произведению весов горизонтальных шагов. Рассмотрим путь из точки (/?i,7i) в точку (ai,6i). Пусть га = щ — fa. Для каждого j, удовлетворяющего условию 1 ^ j ^ га, существует в точности один горизонтальный шаг вида (j — 1 + fa,kj) —► (j + (3i,kj). В качестве k\, • • • > km можно выбирать произвольные числа, удовлетворяющими условию Ц ^ к\ ^ ••• ^ km ^ Si. Положим h(m; 7i, fa) = E^i * *' xkm > где сумма берется по всем целочисленным последовательностям, удовлетворяющим указанному выше условию. Пусть В(а, (3,7,8) — множество всех несамопересекаю- щихся n-путей типа (а, (3, *у,5), и положим В(а, (3,7, S) равным сумме их весов. Теорема 2.7.1. Пусть а, /3, 7» 5 € Nn такие, что для 7г Е ©п множество #(7г(а), (3,7, я"(^)) пусто, если только 7г — не тождественная перестановка. Тогда B{oc,(3,1,8) = de\1[h{ocj-^,li,5j)]rl, где мы полагаем h(ccj — (3i; 7i> Sj) = О, если не существует последовательностей указанного выше типа а. — Прим. перев.
7.16. Тождество Якоби-Труди 459 Следовательно, по теореме 2.7.1 остается показать, что £(а,/?,7>S) = s\/fl. Другими словами, мы должны связать (биективным образом) с каждым несамопересекающимся n-путем L в S(a, /?, 7,6) косую полустандартную таблицу Юнга Т формы A//I, такую, что вес пути L равен a;type(T). На самом деле мы укажем обратную полустандартную таблицу Т, что, согласно предложению 7.10.4, безразлично. Если горизонтальные шаги пути из (fii + п — г, оо) в (Л{ + п — г, 1) появляются на уровнях высоты Gi ^ а2 > • • • ^ ал;-/х£, то в качестве строки г таблицы Т возьмем ai, a2,..., aXi-in • Небольшое размышление показывает, что это соответствие устанавливает требуемую биекцию. □ у р • ьц 3 i 9 • • 1 2 1 1 • • • 2 2 (0,1) Рис. 7.6. Несамопересекающиеся решеточные пути, соответствующие полустандартной таблице формы 541/2. Чтобы дать пример приведенной выше биекции, рассмотрим путь L, изображенный на рис. 7.6. Тогда 4 2 2 Т=3 2 11. 1 Второе доказательство. Хотя наше первое доказательство использовало очень элегантные комбинаторные соображения, стоит также дать чисто алгебраическое доказательство. Пусть с£„ = (sx^s^s^), так что sHSv — / j cnv8\i 5V/z У ; CuvSv Тогда \,v Y^su{x)s^{y)su{y) = s^y) Y2 h„{x)m„{y).
460 Гл. 7. Симметрические функции Пусть у = (yi,..., уп). Умножение на as (у) дает Л N v ' = E Е^м^^^- we&n a Теперь возьмем коэффициент при уЛ+<5 в обеих частях (мы смотрим на слагаемые, где \ + 6 = а + w(fi + 6)). Получим (ж) (7.69) гу€вп = det(/iAi-/li-i+i(x))^=1. П Если мы подставим А'/// вместо А//х в тождество (7.68) и применим автоморфизм lj, то мы выразим sx/^ через элементарные симметрические функции, а именно: 7.16.2. Следствие. Пусть /х С А и \\ ^ п. Тогда *а/м = det(eA;-^.-i+i)^i. (7.70) Соотношение (7.70) называется двойственным тождеством Якоби-Труди. Напомним (см. предложение 7.8.4), что экспоненциальная специализация ех удовлетворяет соотношению Пусть exi(/) = ex(/)i==i при условии, что это число определено. В частности, если |A//z| = N, то J\I\L exi(sA//1) = —, где /Л///х —число стандартных таблиц формы А//х. 7.16.3. Следствие. Пусть |А//х| = N и £(Х) < п. Тогда у*/„ = ^j det / L_ ) . (7.71) Доказательство. Применим exi к тождеству Якоби-Труди (формула (7.68)). Так как exi(/im) = 1/m!, согласно формуле (7.27), то отсюда следует доказываемое утверждение. П
7.17. Правило Мурнагана-Накаямы 461 Хотя, конечно, можно доказать следствие 7.16.3 и непосредственно, наше доказательство показывает, что оно является специализацией тождества Якоби-Труди. Когда /х = 0, определитель, появляющийся в формуле (7.71), может быть вычислен явно (например, по индукции с искусным использованием преобразований строк и столбцов), что дает явную формулу для /Л. Мы отложим эту формулу до следствия 7.21.6 и формулы (7.113); там мы приведем два менее вычислительных доказательства. 7.17. Правило Мурнагана-Накаямы Мы уже сумели выразить функции Шура через базисы т\, h\ и ед. В этом разделе мы рассмотрим степенные симметрические суммы р\. Косая диаграмма Л//х называется связной, если внутренность диаграммы А//х, рассматриваемой как объединение целых клеток, является связным открытым множеством. Например, диаграмма 21/1 не является связной. Косой крюк (или граничная полоса, или лента)1) — это связная косая диаграмма, не содержащая квадратов 2x2. Примером косого крюка является косая диаграмма 86554/5443, изображенная на следующем рисунке: Для данных положительных целых чисел сц,..., а& имеется единственный (с точностью до сдвига) косой крюк А//х с а; клетками в строке г (т.е. а* = \ — \ii). Отсюда следует, что число косых крюков размера п (с точностью до сдвига) равно количеству разложений числа п, т. е. 2П~1. Определим высоту Ы(В) косого крюка В как количество его строк, уменьшенное на 1. Следующий результат показывает связь между косыми крюками и симметрическими функциями. 7.17.1. Теорема. Для любых fi Е Par и г Е N Wr = £(-l)ht(A/^A, (7.72) Л где суммирование ведется по всем разбиениям A D /л, для которых X/fi является косым крюком размера г. Х)В оригинале «rim hook», «border strip» или «ribbon» соответственно. В отечественной литературе наиболее употребительным является термин «косой крюк». — Прим. перев.
462 Гл. 7. Симметрические функции Доказательство. Пусть S = (п— 1, п—2,..., 0). Все функции будем рассматривать как функции от переменных xi,...,xn.B равенстве (7.53) положим а = /i + S и умножим на рг. Получим (7.73) где €j — последовательность с единицей в позиции j и с нулями во всех остальных позициях. Расположим элементы последовательности fi+5+rej в убывающем порядке. Если в ней имеется два равных элемента, то она не вносит вклад в сумму (7.73). В противном случае найдутся некоторые р ^ q, для которых /хр_1 + n-p + l>fj,q + n-q + r>fip + n-p. Тогда a^+s+rej = (-1)9"раЛ+<5, где Л = (/ii,..., /Хр_1, fJLq + р - q + г, fip + 1,..., /iq_i + 1, /iq+b ..., /in). Такие разбиения Л — это в точности те, для которых А//х является косым крюком В размера г, a q — р есть ht(B). Следовательно, А Чтобы получить тождество (7.72), разделим на as и устремим п —» оо. □ I I I I • • • I | | • | I • • Рис. 7.7. Косые крюки Л/63321 размера 3. 7.17.2. Пример, (а) Пусть /х = 63321. На рис. 7.7 изображены косые крюки размера 3, которые могут быть добавлены к /х. Следовательно, «563321РЗ = «593321 + «566321 ~ «565421 ~ «563333 ~ «5633222 + «563321111-
7.17. Правило Мурнагана-Накаямы 463 (b) Пусть, как и выше, 6 = (п — 1, п — 2,..., 0). Имеется только два косых крюка размера 2, которые могут быть добавлены к S. Мы получаем SSP2 = «5n+l,n-2,n-3,...,l — Sn-l,n-2,...,2,l,l,l- Пусть а = (c*i, с*2,...) — слабое разложение числа п. Определим таблицу косых крюков (или таблицу граничной полосы) формы А//х (где |A//i| = п) и типа а как размещение положительных целых чисел в клетках диаграммы А//х, удовлетворяющее следующим условиям: (a) элементы в каждой строке и в каждом столбце нестрого возрастают; (b) число г появляется щ раз; (c) множество клеток, занятых числом г, образует косой крюк. Эквивалентным образом, таблицу косых крюков можно представлять себе как последовательность разбиений /i = А0 С А1 С • • • С ЛГ С Л, таких, что каждая косая диаграмма Лг/Аг+1 является косым крюком размера а* (включая пустой косой крюк 0, когда a.i =0). Например, таблица 1 1 3 3 1 1 1 2 2 3 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 является таблицей косых крюков формы 7555 и типа (5,2,3,0,5,7) (для ясности нарисованы контуры косых крюков). Определим высоту ht(T) таблицы косых крюков Т формулой ht(r)=ht(Bi) + -.. + ht(Bfc), где Z?i,...,Bk —непустые косые крюки, появляющиеся в Т. Для приведенного выше примера ht(T) = 1-Ь0-Ь1 + 2-|-3 = 7. Если мы несколько раз применим теорему 7.17.1, последовательно домножая s^ на ра1,Ра2,..., то получим следующий результат. 7.17.3. Теорема. Имеем W^Ex^)^' (7-74) Л где суммирование ведется по всем таблицам косых крюков формы A//I и типа а, а ХА/"(а) = Е(-1)Ы(Т>- (7-75) т Положив /I = 0 в теореме 7.17.3, получим такое следствие:
464 Гл. 7. Симметрические функции 7.17.4. Следствие. Имеем л где функция хХ(а) задана формулой (7.75). Если ограничиться п переменными, где п ^ ^(А), и применить теорему 7.15.1, то тождество (7.76) можно переписать в виде paas = ^хЛ(а)аЛ-н5. л Следовательно, мы получим такую «формулу» для хХ(а): ХХ(а) = [хх+5]рааб. (7.77) Для того чтобы выразить sx/^ через степенные суммы, можно использовать тождество (7.74). Этот результат (по крайней мере в случае /х = 0) называют правилом Мурнагана-Накаямы. 7.17.5. Следствие. Имеем *а/м = Х^У'Ж, (7-78) V где функция хХ^{и) задана формулой (7.75). Доказательство. Из (7.74) получаем ХЛ/МН = (SfiPi^Sx) = (PviSx/v), и доказываемое утверждение следует из предложения 7.9.3. □ Свойства ортогональности базисов {sx} и {рх} переходят в соотношения ортогональности, которым удовлетворяют коэффициенты ХлЫ- 7.17.6. Предложение, (а) Зафиксируем /i, v. Тогда ^xAMxV) = vW л (b) Зафиксируем Л, /л. Тогда V Доказательство, (а) Разложим р^ и pv согласно (7.76) и возьмем (Pn,Pv). (b) Разложим sx и s^ согласно (7.78) и возьмем (sa,^). П Предложение 7.17.6 равносильно утверждению о том, что матрица (xa(a0z/7 )а,дЬп является ортогональной. Оно непосред-
7.17. Правило Мурнагана-Накаямы 465 ственно вытекает из того, что это есть матрица перехода между двумя ортогональными базисами {s\} и {p^z^ ' }. Замечательный результат, вытекающий из следствия 7.17.4, состоит в том, что коэффициенты хХ(а) не зависят от порядка элементов в а (так как от этого порядка не зависит произведение Ра = PaiPa2'")- Этот факт имеет огромное значение при получении информации о числах хХ(а)- В качестве примера его приложения мы упомянем следующий результат. 7.17.7. Предложение. Пусть S — «лестничная диаграмма», S = (т— 1,т — 2,...,1). Тогда ss является многочленом от нечетных степенных сумм РьРз, • • • • Доказательство. Нам надо показать, что х \У) — 0> если v имеет четную часть. Пусть а —упорядочение частей разбиения i/, такое, что последний ненулевой элемент а^ последовательности а четный. Таким образом, таблица косых крюков Т в формуле (7.75) обладает тем свойством, что клетки, помеченные числом к, образуют косой крюк 8/v размера а&. Но всякий косой крюк S/и имеет нечетный размер, поэтому таких Т нет. □ Утверждение, обратное к предложению 7.17.7, см. в упр. 7.54. Замечание (для алгебраистов). Коэффициенты хХ{и) Для А, г/ Ь п имеют фундаментальную алгебраическую интерпретацию: они являются значениями неприводимых (обычных) характеров симметрической группы &п. Более точно, неприводимые характеры хХ группы &п естественным образом индексируются разбиениями А Ь п, и хХ {v) является значением характера хХ на элементе w Е &п циклового типа и. Таким образом, предложение 7.17.6 есть просто стандартное соотношение ортогональности, которому удовлетворяют неприводимые характеры. Теперь можно убедиться (например, непосредственно с помощью формулы (7.75)), что степень (или размерность) характера хХ равна degXA:=XA(ln)=/A- (7.79) Таким образом, следствие 7.12.6 согласуется с хорошо известным результатом о том, что для любой конечной группы G £(dimX)2 = #G, (7.80) хед где G — множество неприводимых характеров группы G. Кроме того, следствие 7.13.9 согласуется с менее известным результатом о том, что J2 dimX = #{ш eG:w2 = 1} хеб
466 Гл. 7. Симметрические функции тогда и только тогда, когда каждое (обычное) представление группы G эквивалентно вещественному представлению. Дальнейшую информацию о связи между симметрическими функциями и характерами группы 6П см. в следующем разделе и в многочисленных упражнениях в конце главы. 7.18. Характеры симметрической группы Этот раздел, за небольшими исключениями, не требуется для понимания остального текста книги; он предполагает знание основ теории представлений конечных групп. Наша цель — доказать, что функции хХ из предыдущего раздела (значение хЛ(аО интерпретируется как xX(w)i гДе w~ элемент группы &п циклового типа /х) являются неприводимыми характерами группы &п. Пусть CFn обозначает множество всех функций классов (т.е. функций, постоянных на классах сопряженности) /: 6П —» Q. Напомним, что CFn обладает естественным скалярным произведением, заданным формулой ' we&n Иногда мы будем допускать нестрогость в обозначениях и писать (ф, 7) вместо (/, д), когда ф и 7 являются представлениями группы &п с характерами / и д. Замечание. Для конечной группы G общего вида можно определить CF(G) как множество всех функций классов /: G —» С и задать скалярное произведение на CF(G) формулой </.*> = ^Е/м*и> ^и weG где g(w) означает число, комплексно-сопряженное с g(w). Так как все (комплексные) характеры группы &п оказываются рациональными, то, имея дело с этими характерами, достаточно работать над полем Q вместо поля С. Напомним теперь некоторые основные факты из теории перестановочных представлений. Если X — конечное множество, a G — конечная группа, то действием группы G на X называется гомоморфизм tp: G —> &х- Если s Е X и w Е G, то мы пишем w• s вместо tp(w)(s). Действие группы G на, X распространяется по линейности до действия на СХ (комплексном векторном пространстве с базисом X). Следовательно, (р можно рассматривать как линейное представление (р: G —> GL(OT). Характер этого представления задается формулой X*(w) = ti<p(w) = #Fix(w),
7.18. Характеры симметрической группы 467 где Fix(w) = {s G X : w-s = s) есть множество точек, неподвижных относительно w. Действие </?: G —» &х называется транзитивным^ если для любых 5, t G X найдется элемент w G G, такой, что w - s = t. Если Я — подгруппа группы G, то G действует на множестве G/H левых классов смежности группы G следующим образом: w • vH = wvH. (Мы не предполагаем, что Я — нормальная подгруппа; поэтому G/H не обязано иметь структуру группы.) Каждое транзитивное действие группы G эквивалентно действию на левых классах смежности по некоторой подгруппе Я. Кроме того, это действие эквивалентно ind# 1я — индуцированию из Я в G тривиального представления 1# группы Я. Мы будем иногда сокращенно обозначать это представление через 1#. Хорошо известная лемма Бернсайда (см. лемму 7.24.5) равносильна утверждению о том, что (1#, 1g) есть число орбит действия группы G на G/H. (7.81) Здесь (1§, 1<з) обозначает кратность тривиального представления 1с группы G в представлении 1§, в более явном виде задаваемую формулой ^ wee В приведенной выше сумме Fix(w) относится к действию группы G на множестве G/Я; поэтому Fix(w) —это просто значение характера этого действия на w. Наша цель состоит в нахождении «достаточного количества» подгрупп Я группы бп для того, чтобы можно было получить все неприводимые характеры группы &п в виде линейных комбинаций характеров представлений 1®п. Если а = (оц,..., ае) G Р^ и |а| := &i + • • • + at = п, то определим для этой цели подгруппу Юнга ©а Я &п формулой \Э(Х = ^«i X \Dot2 X * * " X иа^, где &а1 переставляет 1,2,..., ai, &а2 переставляет c*i + 1, c*i + 2, ..., ai + с*2 и т. д. Если а и /3 отличаются друг от друга только перестановкой координат, то &а и ©/? являются сопряженными подгруппами группы 6П и представления l|£ и 1@п эквивалентны, а значит, имеют один и тот же характер. В частности, имеется единственное разбиение А Ь п, для которого &а и &\ сопряжены. Важно понять комбинаторное значение представлений 1@п. Поэтому мы подробно остановимся на этом вопросе. Если перестановка w записана обычным образом в виде слова w\W2 • • • wn (так что wi—значение w(i) перестановки w на элементе г), то легко видеть, что каждый левый класс смежности v&a содержит един-
468 Гл. 7. Симметрические функции ственную перестановку, которая является а-тасовкой, т.е. в которой 1,2,..., ai появляются в возрастающем порядке, ai +1, ai + 2, ..., ai + а2 появляются в возрастающем порядке и т. д. Например, {1324,1423,2314,2413} является одним из левых классов смежности группы ©(2,2)5 он содержит единственную а-тасовку 1324. Заменяя 1,2, ...,ai на а, c*i + 1, c*i + 2,..., ai + с*2 на Ь и т. д., мы можем отождествить а-тасовку с перестановкой мультимножества Ма = {aai, 6е*2,... }. Группа &п действует тогда на перестановке 7г мультимножества Ма, переставляя позиции. Например, 2431 • baab = abab, так как второй элемент слова baab перемещается на первую позицию, четвертый — на вторую и т. д. Перестановку w £ &п можно записать другим способом, а именно как слово ^-1(1)^-1(2)...^"1(п), где ги~г(1) — позиция числа г в слове w\W2 • • • wn. При таком представлении перестановок каждый левый класс смежности группы &а содержит единственное слово w' = w^w^ • • • wfn, такое, что w[ < ™f2 < •'• < <!><!+! < <+2 < < <i+a2 и Т-Д- Эквивалентным образом, множество спуска^ D(w') содержится в множестве Sa = {#ъ ol\ + с*2,..., ol\ + • • • + OLi-i}. Также можно рассматривать эти выделенные представители классов смежности как а-флаги, т. е. цепи 0 = Nq С N\ С • • • С Ne = [п] подмножеств множества [п], такие, что #(N{ — Ni-i) = a^, а именно, N{ = {wi,w'2,... ,w'ai+a3+...jrai}. Группа &п действует на флаг F, переставляя элементы. Например, если F равен 0 С 24 С 245 С 123456 (при этом а = (2,1,3))и^ = 523614, то флаг w • F равен 0 С 26 С 126 С 123456, так как 2 и 6 находятся во второй и четвертой позициях перестановки w, 1 — в пятой позиции, а 3, 4, 5 — в третьей, шестой и четвертой позициях. Следует отметить некоторые частные случаи действия группы &п на a-флагах. Если a = (А:, п — к), то а-флаг 0 С N С [п] эквивалентен fc-подмножеству N множества [п], и действие элемента w Е &п на F эквивалентно «обычному» действию группы &п на N, которое заменяет г б N на w~l{i). Эту эквивалентность можно записать в следующем виде2): &n/{&k х &n-k) = (Щ. (7.82) 1^Для 7г = а\а2---ап множество спуска D(-k) есть {i : сц > a^+i}.— Прим. перев. 2) Обозначение (^) (множество /с-элементных подмножеств из [п]) объясняется в подстрочном примечании к предложению 5.3.2. — Прим. перев.
7.18. Характеры симметрической группы 469 Аналогично, если а = (1,1, п — 2), то можно отождествить а-флаг 0 С {а} С {а, 6} С [п] с упорядоченной парой (а, 6) различных элементов множества [п]. Поэтому можно записать Sn/(Si х ©1 х 6П_2) = [п] х [п] - {(а, а) : а G [п]}. (7.83) Аналогичную интерпретацию можно дать для многих других значений а. Нашим основным средством будет линейное преобразование ch: CFn —» Лп, называемое характеристическим отображением Фробениуса. Для / € CFn положим где /(/i) обозначает f(w) для всякой перестановки w циклового типа p(w) = /л. Эквивалентным образом, расширяя основное поле Q до кольца Л и полагая ty(w) = pp(w), получаем ch/= (/,*>• (7.84) Заметим, что если /^ — функция классов, определенная формулой /l, если p(w) =/i, 10 в противном случае, тосЬ/^ = z~1pfl. Замечание. Пусть <р: &п ■—► СЬ(У) — представление группы &п с характером х- Допуская иногда нестрогость обозначений, будем писать ch <р или ch V вместо ch х- Мы также будем иногда называть симметрическую функцию chx (она же chy?, она же chF) образом Фробениуса1^ характера х> или представления </?, или пространства V. 7.18.1. Предложение. Линейное преобразование ch является изометрией, т.е. (f,g)cFn = {chf,chg)An. Доказательство. На основании предложения 7.9.3 имеем (ch/,ch#) = i^z^1 f{\)p^Y^z^l9{^)P^j \ /z /z I = ^2z;1f(\)g(\) = (f,g). D *)B дальнейшем автор также использует термин «характеристика».- Прим. перев.
470 Гл. 7. Симметрические функции Теперь мы хотим определить на функциях классов произведение, которое бы соответствовало обычному произведению симметрических функций, получающихся под действием характеристического отображения ch. Пусть / G CFm и д G CFn. Зададим (поточечное) произведение / х д G CF(6m х &п) формулой (/ хд)(щу) = f{u)g{v). Если / и # —характеры представлений <р и *ф, то / х д—-просто характер представления </? (g> ip (тензорного произведения представлений) группы 6Ш х &п. Определим теперь произведение индуцирования fog характеров fug как результат индуцирования / х g в бт+п, гДе5 как и ранее, &т переставляет 1,2,..., ш, а &п переставляет т + 1, га + 2, ..., га + п. Или в символьном виде: /°ff = ind^+x"e„ (/*<?)• Пусть CF = CF0 0 CF1 0 • • •. Распространим скалярное произведение с CFn на все пространство CF, положив (/,#) = 0, если / G CFm, g G CFn и m ф п. Произведение индуцирования характеров распространяется на все CF по билинейности. Нетрудно проверить, что это превращает CF в ассоциативную коммутативную градуированную Q-алгебру с единицей 1 G CF0. Аналогичным образом мы можем расширить характеристическое отображение ch до линейного преобразования ch: CF —» Л. 7.18.2. Предложение. Характеристическое отображение ch: CF —> Л является биективным кольцевым гомоморфизмом, т. е. ch — взаимно однозначное отображение «на» и удовлетворяет тождеству ch(fog) = (chf)(chg). Доказательство. Пусть res# / обозначает ограничение функции классов / на группе G на подгруппу Н. Имеем ch(/o5) = ch(ind^eJ/x5)) = (^:Ге„(/х5),Ф) (по (7.84)) = (/X#>rese^xen^)e е (по взаимности Фробениуса) = ^iE Е f(u)g(vMuv) п. ml п\ *—' z—' = (f,*)ern(9,*)en = (chf)(chg).
7.18. Характеры симметрической группы 471 Кроме того, из определения ch и из того, что степенные суммы Ри образуют Q-базис пространства Л, следует, что отображение ch является биективным. □ Мы хотим применить предложение 7.18.2 для вычисления значения характеристического отображения на характере rja представления 1@п, обсуждавшегося выше. Отметим сначала, что, согласно тождеству (7.22) и определению ch, chlen = XX Va =/in. (7.85) Ahn 7.18.3. Следствие. Имеем chlln = ha. Доказательство. Так как l|n = l|n o---ol|n , то доказательство вытекает из предложения 7.18.2 и равенства (7.85). □ Пусть Rn обозначает множество всех виртуальных характеров группы &п, т. е. функций на &п, которые являются разностью двух характеров. Это множество является решеткой (дискретной подгруппой максимального ранга) векторного пространства CFn. Ранг решетки Rn равен количеству р{п) разбиений числа п, а один из базисов состоит из неприводимых характеров группы &п. (Напомним, что для любой конечной группы G число ее линейно независимых неприводимых характеров равно числу классов сопряженности в G. Для &п число классов сопряженности есть р{п).) Этот базис является единственным ортонормированным базисом решетки Rn с точностью до знака и порядка элементов, поскольку матрица перехода между двумя.такими базисами должна быть целочисленной ортогональной матрицей, а значит, перестановочной матрицей, элементы которой могут быть снабжены знаком. (См. аналогичое рассуждение в замечании после доказательства следствия 7.12.2.) Положим R = R0 0 R1 0 • • •. 7.18.4. Предложение. Образ кольца R под действием характеристического отображения ch равен К%. Следовательно, ch: R —► Kz является кольцевым изоморфизмом. Доказательство. Достаточно найти такие целочисленные линейные комбинации характеров г)а представлений l|n , которые являются неприводимыми характерами группы &п. Тождество Якоби- Труди (теорема 7.16.1) наводит на мысль, что следует определить характеры (возможно, виртуальные) формулой грх = det(77Ai—l+jr), где произведение, используемое при вычислении определителя,— это произведение индуцирования. Тогда из тождества Якоби- Труди и предложения 7.18.2 имеем сЦфх) = sx. (7.86)
472 Гл. 7. Симметрические функции Так как ch является изометрией (предложение 7.18.1), мы получаем, что (/0Л,т/;/х) = 5\ц. Как отмечено выше, это означает, что функции классов грх являются, с точностью до знака, неприводимыми характерами группы &п. Следовательно, характеры грх при А Ь п образуют Z-базис для Rn, и образ решетки Rn является множеством целочисленных линейных комбинаций функций s\, а это в точности Лп, что и требовалось доказать. □ Наконец, мы подошли к основному результату этого раздела. 7.18.5. Теорема. Будем рассматривать функции хХ (где А Ь п) из разд. 7.17 как функции на &п, определенные формулой xX(w) — XA(/i), если w имеет цикловый тип ц. Тогда функции хХ являются неприводимыми характерами группы &п. Доказательство. Согласно правилу Мурнагана-Накаямы (следствие 7.17.5), имеем Следовательно, из тождества (7.86) мы получаем, что хЛ = ФХ- Так как функции фх являются, с точностью до знака, неприводимыми характерами группы (Зп, то остается только проверить, будет характером хЛ или —хЛ- Но хЛ(1п) = /Л > 0> поэтому хл — неприводимый характер. □ Замечание. Мы уже описали естественный способ индексации неприводимых характеров группы &п разбиениями числа п, а цикловый тип перестановки задает естественную индексацию классов сопряженности группы &п разбиениями числа п. Следовательно, мы получили каноническую биекцию между классами сопряженности и неприводимыми характерами группы &п. Однако эта биекция, по сути, «случайна» и не имеет никаких полезных свойств. В общем случае для произвольных конечных групп нет канонической биекции между неприводимыми характерами и классами сопряженности. 7.18.6. Следствие. Пусть /х Ь га, i/hn, Ahm + n. Тогда коэффициент Литтлвуда-Ричардсона сх„ из тождества (7.64) неотрицателен. Доказательство. Согласно предложениям 7.18.1 и 7.18.2, Так как по теореме 7.18.5 функции х^ и х" —характеры групп &т и &п соответственно, то из общей теории индуцированных характеров вытекает, что х^ ° X" является характером группы 6m+n- Следовательно, (хЛ, Xм ° X") ^ 0- ^
7.18. Характеры симметрической группы 473 Комбинаторное описание чисел с*„ приведено в приложении 1, разд. А1.3. Основное применение теоремы 7.18.5 состоит в следующем. Пусть х — произвольный характер (или даже виртуальный характер) группы &п. Теорема 7.18.5 показывает, что задача его разложения в сумму неприводимых характеров эквивалентна разложению chx по функциям Шура. Таким образом, вся разработанная нами техника для симметрических функций может быть перенесена на задачу разложения х- Важным примером являются характеры 7]а представлений 1еп. Результат, выражающий rjQ через неприводимые представления, называется правилом Юнга. 7.18.7. Предложение. Пусть а —разложение числа п и А Ь п. Тогда кратность неприводимого характера хЛ в характере rja равна числу Костки К\а. В символьном виде: (тЛхА> = #Аа. Доказательство. По следствию 7.18.3 ch77a = ha. Для завершения доказательства применим следствие 7.12.4 и теорему 7.18.5. □ 7.18.8. Пример, (а) Пусть х обозначает характер действия группы &п на к -подмножествах в [п] (группа &п действует, переставляя элементы множества [п]). Из эквивалентности (7.82) имеем chx — hkhn-k- Предположим, не умаляя общности, что к ^ п/2 (так как действие на к -элементных подмножествах эквивалентно действию на (п — к)-элементных подмножествах). Кратность характера хХ в X равна числу полустандартных таблиц Юнга формы Л и типа \п~к2к. Если Л = (п — га, га), где 0 ^ га < /с, то имеется только одна такая таблица; в противном случае таких таблиц нет. Значит, х = х(-)+х(п"1'1) + --- + х(п"м). Отметим частный случай к — 1; это соответствует «определяющему представлению» группы &п (действию группы &п на [п]) с характером х^ -fx^-1'1^- (b) Пусть х обозначает характер действия группы 6П на упорядоченных парах (г, j) различных элементов из [п]. Согласно (7.83), chx = h\hn-2. Имеется пять видов полустандартных таблиц Юнга типа (п — 2,1,1), а именно 1 • - • 123 1---12 1-.-13 11-.-I 1-.-1 3 2 23 2 3 Значит, х = х(п) + 2Х("-М) + х(п_2'2) + х(^-2'1'1).
474 Гл. 7. Симметрические функции (с) Регулярное представление группы 6П определяется как действие группы 6П на себе умножением слева. Следовательно, оно задается как 1©пх...хе , и по следствию 7.18.3 его образ Фробени- уса равен h™. Согласно следствию 7.12.5, h™ = J2x\-nfXs^' Следовательно, кратность неприводимого представления группы &п с характером хЛ в регулярном представлении есть в точности /Л = ХЛ(1П). Таким образом, для &п следствие 7.12.5 является выражением на языке симметрических функций того факта, что кратность неприводимого представления конечной группы в ее регулярном представлении равна степени соответствующего представления1). 7.19. Квазисимметрические функции Мы уже сумели выразить функции Шура через элементы четырех базисов тл, /^л, ел и р\. Мы также привели формулу для s\ (от п переменных) в виде отношения определителей. Имеется еще одно выражение для s\, у которого существует много комбинаторных приложений. Мы представим s\ в терминах базиса, но не пространства Л, а большего пространства Q. Для того чтобы получить такое разложение для s\ (и, более общим образом, для sa//z)5 мы обобщим теорию Р-разбиений, обсуждавшуюся в разд. 4.5. Квазисимметрическая функция от переменных х\, Х2, • • •, скажем, с рациональными коэффициентами — это такой формальный степенной ряд / = f(x) Е Q[[£i, £2, • • • ]] ограниченной степени, что для всех а\,..., а£ G Р выполняется равенство К1 •••»?]/= [^-*3*1/. если %\ < ••• < ik и ji < ••• < jk- Ясно, что каждая симметрическая функция является квазисимметрической, но не наоборот. Например, ряд ]Сг<? xixo квазисимметрический, но не симметрический. ^В работе Okounkov A., Vershik A. Selecta Math., New Series 2, No. 4 (1996), 581-605, разработан новый подход к теории представлений симметрических групп (как групп Кокстера), существенно отличающийся от классического. Он основан на индуктивном построении представлений, использующем алгебру Гельфанда-Цетлина и так называемый базис Юнга-Юциса-Мерфи. (Автор книги нашел в работе Юнга определение этого базиса и сообщил об этом редактору. Правда, в оригинальной статье Юнга этот базис почти не используется, однако это дает основание называть его базисом Юнга.) Главное наблюдение состоит в том, что стандартные таблицы Юнга появляются в этой теории естественным образом: векторы содержаний клеток таблицы совпадают со спектром алгебры Гельфанда-Цетлина. В упомянутой работе теория доведена до вывода формулы Мурнагтана-Накаямы. Расширенный русский перевод этой работы можно найти в приложении к выходящей на русском языке книге У. Фултона «Таблицы Юнга» (М.: МЦНМО, 2004). — Прим. ред.
7.19. Квазисимметрические функции 475 Пусть Qn обозначает множество всех однородных квазисимметрических функций степени п. Ясно, что Qn — векторное пространство над Q. Мы будем индексировать некоторые элементы пространства Qn разложениями а = (а1,...,а&) числа п. Часто мы будем использовать естественное взаимно однозначное соответствие между разложениями а числа п и подмножествами S множества [п — 1]. Так, мы связываем с разложением а множество Sa = {o^i, o^i + с*2,..., ai 4- • • • 4- afc_i} и с подмножеством S = {si,S2,...,Sfc_i} разложение со(5) = (si,S2 - «51,53 - «52,..., п — Sfc-i). Очевидно, что со(5а) = а и SCo(S) = S. Мы перенесем определение отображения со на перестановки w G 6П, положив co(w) = co(D(w)), где D(w) обозначает множество спуска перестановки w. Пусть Comp(n) обозначает множество разложений числа щ в частности, #Comp(n) = 2n_1. Для данного разложения a G Comp(n) определим мономиальную квазисимметрическую функцию Ма формулой м«= Е С •••<*• (7-87) ii<---<ik Ясно, что если / G Qn, то /= Е ([х?-х?]ПМа. (7.88) aGComp(n) Из формулы (7.88) следует, что множество {Ма : a G Comp(n)} является базисом для Qn. В частности, dimQn = 2n-1. Несложно увидеть, что если / G Qm и д G Qn, то fg G Qm+n. (См. более точный результат в упр. 7.93.) Следовательно, если Q = Q0 0 Q1 0 • • •, то Q есть Q-алгебра; она называется алгеброй (или кольцом) квазисимметрических функций над Q. Теперь мы рассмотрим другой важный базис пространства Qn. Для данного разложения a G Comp(n) положим La= ^2 х^---Х{п. (7.89) гj < гj4.1 если j £ <S<* Ясно, что La G Qn. Будем называть La основной симметрической функцией.
476 Гл. 7. Симметрические функции 7.19.1. Предложение. Для a Е Comp(n) имеем LQ= Y, Мсо(Т), (7.90) SaCTC[n-l] Ма= £ (-l)*(T-Se)^co(T). (7-91) SaQTC[n-l] Следовательно, множество {La : a Е Comp(n)} является базисом для Qn. Доказательство. После группировки последовательностей i\ ^ • • • ^ in в соответствии с тем, будет ли ij < ij+i или ij = ij+i для каждого j, формула (7.90) становится непосредственным следствием определения (7.89). Формула (7.91) вытекает теперь из равенства (7.90) на основании принципа включения-исключения (теорема 2.1.1)1). □ Естественно спросить, при каких условиях квазисимметрическая функция в действительности является симметрической. 7.19.2. Предложение. Пусть f — функция из Qn, скажем, f = YlaeComp(n) c(*La- Тогда f E Лп в том и только в том случае, когда для любых двух разложений а и /? числа п, у которых мультимножества частей совпадают, имеем са = ср. Доказательство. Пусть W1 — подпространство в Qn, состоящее из всех / = J2caLa, удовлетворяющих условиям предложения. Для данного разбиения А Ь п положим R\ = Y2Q La » гДе суммирование ведется по всем различным перестановкам частей этого разбиения. Ясно, что {R\ : А Ь п} —базис для 7£п; поэтому dim7£n есть число р(п) разбиений числа п. С другой стороны, очевидно также, что R\ G Лп; поэтому VJ1 С Лп. Так как dimAn = р(п), это завершает доказательство. П Рассмотрим теперь связь между квазисимметрическими функциями и теорией Р-разбиений. Если X — произвольное конечное множество и /: X —> Р, то положим ^ = П*/м = П*«#/"1(0- tex t^i *■) Теорема 2.1.1. Пусть N есть n-множество и 2^ обозначает, как обычно, множество всех подмножеств из N. Пусть V есть 2П-мерное векторное пространство (над некоторым полем к) всех функций f:2N —► к. Пусть (р: V —► V — линейное преобразование, определенное формулой (ff(S) = Esctcjv /РО Для всех S С N. Тогда преобразование у?-1 существует и определяется формулой ip~lf(S) = EsctcjvC- l)^T~S^f(T) Для всех S С N.— Прим. перев.
7.19. Квазисимметрические функции 411 В определении 4.5.1 мы ввели понятие 7г-совместимой функции /: [п] —> С, где 7г = 7Г1«--7гп £ 6П, а С является цепью. Здесь нам удобнее работать с «обратным» понятием. Мы говорим, что / — обратно к-совместима, если /Ы) < • • • < /fan) И /(7Гг) < ДтГг+l), вСЛИ ТГ; > 7Г»+1. Очевидным образом на случай, когда слово «совместимая» заменяется на «обратно совместимая», переносится лемма 4.5.11). Таким образом, всякая функция /: [п] —> С является обратно ^-совместимой для единственной перестановки 7г £ &п. 7.19.3. Лемма. Пусть 7г Е &п, и пусть 5£ обозначает множество всех обратно п-совместимых функций /: [п] —> N. Тогда Доказательство вытекает немедленно из сравнения определения (7.89) функции La и определения обратной ^-совместимости. □ Пусть Р — конечное ч.у. множество мощности п. Чтобы согласовать эти рассмотрения с нашими исследованиями полустандартных таблиц Юнга, мы будем работать с функциями а: Р —» Р, а не с а: Р —» N, как в разд. 4.5. Вопрос о такой модификации теории, которая допускала бы o~(t) = О, тривиален. Обратное Р-разбиение— это сохраняющее порядок отображение а: Р —» Р. Таким образом, оно эквивалентно обычному Р* -разбиению, где Р* обозначает двойственное к Р ч. у. множество. Пусть ЛГ(Р) обозначает множество обратных Р-разбиений. Положим КР(х)= y^ х<Т- (7-92) Заметим, что Кр{х) — квазисимметрическая функция, которая для каждого слабого разложения a = (01,02,...) числа п дает нам число обратных Р-разбиений с о* частями, равными г. Как и в разд. 4.5, рассмотрим Р как естественный частичный порядок2) ^Лемма 4.5.1(a). Для всякой функции /: [п] —► С существует единственная перестановка 7Г = тт\ • • • 7гп, такая, что функция / является 7г-совместимой. — Прим. перев. 2) То есть частичное упорядочение множества [п], совместимое с обычным упорядочением на нем. — Прим. перев.
478 Гл. 7. Симметрические функции на [п]. Пусть С(Р) С &п — множество Жордана-Гёльдера1) множества Р. Очевидно, основное разложение Л(Р) = \дпес(Р) &* так" же работает и в обратной ситуации: Л{Р)= (J SJ. (7.93) тгеЦР) Следовательно, если J(P) обозначает, как в гл. 3, решетку порядковых идеалов множества Р, то ]Г P(J(P),S)Lco{s)(x); (7.94) тг££(Р) 5С[п-1] последнее равенство2) выполнено по теореме 3.12.1. Этот результат показывает, что разложение квазисимметрической функции по функциям La может иметь комбинаторное значение и что его коэффициенты могут рассматриваться как аналог чисел (3{J{P), S). Для того чтобы применить рассуждения того же сорта, что в предыдущем абзаце, нам потребуется обобщение теории Р-раз- биений на случай, когда Р — не обязательно естественное частичное упорядочение. Назовем пометкой множества Р биекцию и: Р —> [п]. (Не следует смешивать пометку и; с инволюцией ш: Л —► Л.) С другой стороны, Р можно рассматривать как частичное упорядочение на [п], отождествляя t £ Р с uj{t). Однако удобнее работать с пометками и, таким образом, избегать работы с двумя различными упорядочениями на [п]. Обратное (Р, и)-разбиение — это отображение а: Р —» N, удовлетворяющее следующим двум аксиомам: (R1) если s ^ t в Р, то a(s) ^ o~(t) (другими словами, а сохраняет порядок); (R2) если s <t в Р и uj(s) > uj(t), то a(s) < a(t). Таким образом, обратное (Р, о;)-разбиение - это просто обратное Р-разбиение с дополнительными условиями, определенными при помощи lj и говорящими, когда должно иметь место строгое неравенство o~(s) < o~(t). Если, например, и сохраняет порядок, то обратное (Р, uj)-разбиение есть просто обратное Р-разбиение. С другой стороны, если и; обращает порядок, то (Р, и)-разбиение есть строгое обратное Р-разбиение. *) Отождествим расширение <т: Р —► [га] ч.у. множества Р до линейной упорядоченности с перестановкой <т-1(1),...,<т-1(га) множества [га]. Множество всех перестановок множества [га], полученных таким способом, называется множеством Жордана-Гёльдера ч.у. множества Р. — Прим. перев. 2) Здесь /3(J(P),S) = /?j(p)(5) — рангово-выбранный инвариант Мёбиуса ч.у. множества J{P) (определение рангово-выбранного инварианта Мёбиуса см. в примечании к упр. 7.48). Теорема 3.12.1 утверждает, что /?(J(P), S) равно числу перестановок 7г Е С{Р) с множеством спуска S. — Прим. перев.
7.19. Квазисимметрические функции 479 Пусть £(Р, uj) обозначает множество всех перестановок 7г = 7Ti • • • 7гп £ 6П, таких, что отображение w: Р —> [п], определенное формулой г^(о;_1(7Гг)) = г, является линейным расширением упорядочения Р. Таким образом, £(Р, uj) можно понимать как множество линейных расширений упорядочения Р, рассматриваемых как перестановки его пометок. Например, если (Р, uj) задается диаграммой 3 то £(Р,и;) = {52143,52413,25143,25413,24513,52134,25134}. Следующий результат — это «основная теорема об обратных (Р, uj)-разбиениях». Доказательство точно такое же, как и в частном случае леммы 4.5.3 (в ее «обратной форме»), и мы его опускаем. 7.19.4. Теорема. Пусть Аг(Р,и) обозначает множество всех обратных (Р, uj) -разбиений. Тогда тг££(Р,и>) где |J обозначает дизъюнктное объединение. По аналогии с определением (7.92) функции Кр{х) положим Заметим, что Кр^(х) —квазисимметрическая функция. Так же, как мы выводили формулу (7.94) из (7.93), получим такое следствие: 7.19.5. Следствие. Имеет место разложение функции Кр^ по основным квазисимметрическим функциям, КР,Ш= J2 Lco(*). (7*95) <ке£{р,и) Теперь мы хотим применить следствие 7.19.5 к косым функциям Шура sa/^, гДе IVmI — п- Возьмем ч.у. множество Ра/м> элементами которого являются клетки (i,j) диаграммы А//х, частично упорядоченные покомпонентно. Таким образом, Р\/ц — конечное выпуклое подмножество множества Р х Р и всякое конечное выпуклое подмножество из Р х Р равно Р\/ц для некоторой диаграммы X/fi. (Случай /I = 0 уже обсуждался в предложении 7.10.3(b).) Определим пометку ujxj^ : Р\/^ —> [п], которая называется помет-
480 Гл. 7. Симметрические функции кой Шура множества Рх/р ? следующим образом. Пометим нижнюю клетку первого столбца диаграммы Р\/ц числом 1. Затем продолжаем помечать первый столбец (двигаемся вверх), затем второй и т. д. Например, на рис. 7.8 представлена пометка Шура косой диаграммы 5331/2, изображенная в виде диаграммы Юнга и в виде помеченного ч. у. множества. 3 2 1 5 4 8 7 6 9 10 Рис. 7.8. Диаграмма Юнга и соответствующее помеченное ч. у. множество Шура. Из определения функции Кр^ немедленно следует, что обратное (Рх/цтШх/ц)-разбиение есть просто полустандартная таблица Юнга; поэтому КРх,^х,„ = sA//z- Следовательно, в качестве частного случая следствия 7.19.5 мы получим разложение $д//х п° основным квазисимметрическим функциям. Вместо того, чтобы описывать это разложение непосредственно в терминах С(Рх/^,(^х/^)^ как в следствии 7.19.5, мы хотим дать описание в терминах стандартных таблиц Юнга формы А//х. Линейное расширение w: Рх/^ —► [п] соответствует стандартной таблице Юнга Tw формы А//х. Аналогичным образом, w соответствует перестановке irw Е С{Рх/^,^х/^)- Определим спуск стандартной таблицы Т как такое целое число г, что г + 1 появляется в Т ниже, чем г, а множество спуска D(T) —как множество всех ее спусков. Например, множеством спуска стандартной таблицы 2 8 1 4 5 10 3 6 9 7 является {2,5,6,8}. Через со(Т) будем обозначать разложение co(D(T)) числа п, связанное с множеством спуска D(T). 7.19.6. Лемма. Пусть w: Рх/р —* [п] является линейным расширением. Тогда D(TW) = D(7rw). Доказательство. Пусть 1 ^ г ^ п — 1, a s = (а, Ь) — клетка таблицы Tw, содержащая г. Клетка s' = (а',&'), содержащая г + 1,
7.19. Квазисимметрические функции 481 удовлетворяет либо условию (а) а' ^ а и Ь' > 6, либо условию (Ь) а' > а и Ь' ^ Ъ. В первом случае г ^ D(TW) и и;($') > u;(s), где и = ш\1^. Значит, г $. D(ttw). Во втором случае г Е D(TW) и uj(s') < lj(s). Значит, г Е D(7rw), и доказательство завершено. □ Объединяя следствие 7.19.5 и лемму 7.19.6, мы получим основной результат этого раздела. 7.19.7. Теорема. Имеем Т где Т пробегает все стандартные таблицы Юнга формы А//х. 7.19.8. Пример. Пусть А//х = 32/1. Ниже указаны пять стандартных таблиц Юнга формы А//х вместе с их спусками, выделенными жирным шрифтом: 14 12 24 23 13 23 34 13 14 24* Следовательно, 532/1 = ^13 + 21/22 + Z/31 + bi2l. В качестве иллюстрации применения теоремы 7.19.7 приведем следующий несколько неожиданный комбинаторный результат. Более прямое доказательство см. в упр. 7.90(b). 7.19.9. Предложение. Пусть |А//х| = п. Для любых 1 ^ г ^ п—1 число di(X/fi) стандартных таблиц Юнга Т формы \/[л, для которых г Е D{T), не зависит от г. Доказательство. Зададим линейное преобразование щ: Qn —■> Q формулой /г . ] 1, если г Е Sa, 10 в противном случае. Из теоремы 7.19.7 имеем di(\/fi) = Vi{s\jy). Следовательно, достаточно доказать, что ^pi{bu) не зависит от г для некоторого базиса {Ъи} пространства Лп; тогда <fi(f) не будет зависеть от г для всех / Е Лп, включая / = sxjp. Выберем hv = mv. Из определения функции Ма имеем где а пробегает все различные перестановки частей разбиения v. Если 5 С [п — 1] и #5 ^ п — 3, то для каждого г Е [п — 1] число множеств Т четной мощности, удовлетворяющих условию SCTC [п — 1], равно числу таких множеств нечетной мощности.
482 Гл. 7. Симметрические функции Из равенства (7.91) следует, что (pi(MQ) = О, если £(а) ^ п — 2 (т.е. #5а ^ п — 3); поэтому ^Pi{my) равно 0 и, значит, не зависит от г, кроме случая, когда и = (1п) или и = (21п~2). Если v — (1п), то rain = Li?i?...?i; поэтому (pi(min) равно 1 (т.е. не зависит от г). Если и = (21п~2), то из равенства (7.91) имеем п-1 ra2]n-2 = 2^(Lii-i>2>in-i-i - Li,i,...,i). Отсюда следует, что <£г(^21п-2) равно —1 (т.е. не зависит от г), и это завершает доказательство. □ Если мы запишем 3\/^ в виде s\/^ = ]Г^ Кх/^^т^ и применим <Pi, то приведенное выше доказательство показывает, что 4>г{$\/у) = K\/iA,ln ~ K\/iA,21n~* = f - K\/iA,21n~*- Нетрудно видеть, что если /л = 0, то эта величина равна /Л/п. С другой стороны, ясно, что ipi(s\) = /л/п, так как если Т — стандартная таблица формы А и 1 Е D(T), то 1 находится в клетке (1,1), а 2 —в клетке (2,1) таблицы Т. Зная, что <pi(s\) не зависит от г, мы получаем, как и выше, что tfi(s\) = /Л/п. В качестве другого, более важного приложения теоремы 7.19.7 мы дадим формулу для стабильной главной специализации 5л/А1(1, #, я2,...). 7.19.10. Лемма. Пусть a Е Comp(n). Тогда La(l, q,q ,...)- (1-^)(1-^)...(1-^)' edee(a) = ^2ieSa(n-i). Доказательство. Из равенства (7.89) следует, что La{l,q,q\...)= Y, 9<1+-+<--п. Положим Тогда где ij<ij+i, если jeSa гз = *з ~ 1 ~ #{m € Sa : т < j}. n
7.19. Квазисимметрические функции 483 Как нетрудно видеть, г (а) = е(а), что завершает доказательство. □ Для любой стандартной таблицы Юнга Т определим главный индекс1"* maj(T) формулой maj(T) = Y, L ieD{T) 7.19.11. Предложение. Пусть |A//i| = п. Тогда 2 Ет <7maj(T) 8x/lA(l,q,q ,...)= ^1_q^1_q2y.^1_qny где Т пробегает все стандартные таблицы формы Х//л. Доказательство. Объединяя теорему 7.19.7 и лемму 7.19.10, получаем 8x/lA(l,q,<?,-..) = ^1_q^1_q2y..^1_qny где comaj(T) = e(D(T)) = J2ieD(T)(n ~ 0 ~~ коглавный индекс таблицы Т. Пусть sxjp = ^2acaLa. Из предложения 7.19.2 вытекает, что са = са*, где а* = (а^,..., ai), если а = (ai,..., а&). Следовательно, V^comaj(T) = y^^maj(T)^ Т Т где суммирование ведется по всем стандартным таблицам формы A//I, и доказательство завершено. □ Предположим, что А//х — несвязное объединение клеток; например, 4321/321 является несвязным объединением четырех клеток. Тогда стандартные таблицы Юнга Т формы А//х естественным образом соответствуют таким перестановкам 7г Е 6П, что D(T) = D(tt). Ясно, что sa//z(1,4,42, • • •) = (1 - q)~n\ поэтому предложение 7.19.11 сводится к следствию 4.5.9, а именно, £ gm4W = (1+g)(1 + g + g2)...(l + g+... + gn-lje 7Г€вп В следствии 7.21.3 мы явно вычислим s\(l,q,q2,...), давая тем самым явную формулу (следствие 7.21.5) для ^2Tqma,^T\ где 1^Для аналогичного понятия главного индекса (или большого индекса) перестановки 7г в разд. 4.5 мы использовали обозначение ^(7г), а не maj(7r). (К сожалению, в русском переводе т. 1 вместо обозначения l(7t) в этом разделе было использовано обозначение г (я-). — Ред.)
484 Гл. 7. Симметрические функции суммирование ведется по всем стандартным таблицам Юнга формы Л. Другая формула для 5д//х(1, q,q2,- • •), похожая на предложение 7.19.11, но с другим знаменателем, приведена в упр. 7.102(b). В качестве варианта предложения 7.19.11 вместо суммы спусков таблицы Т мы можем найти число ее спусков. Пусть d(T) = #D(T). Для формального ряда f(x\,X2, • • •) запишем, как в формуле (7.8), /(lm) = f(xi = • • • = Xm = 1, xm+i = хш+2 = • • • = 0). Нетрудно видеть, что для a Е Comp(n) La(n=([m-f") = (m-#Sl + n-1). Тогда из теоремы 7.19.7 непосредственно следует (аналогично теореме 4.5.14), что если |А//х| = п, то у- td(T)+l EWlT=y.t)tl+1 ■ (7.96) Например, если Л —«крюк» kln~k, то все (£lj) стандартных таблиц формы Л имеют по п — к спусков, откуда вытекает, что -■-<'->-СИ) ("Г1)- Аналогичным образом можно одновременно рассматривать d(T) и maj(T). Мы только сформулируем получающуюся формулу, доказательство которой похоже на доказательство упр. 4.24(b). 7.19.12. Предложение. Имеем .v.(i.......^-)-E(m-,^+"-> ^maj(T) V n / т где Т пробегает все стандартные таблицы Юнга формы Л//х. Явная формула для 5л(1, <7, • • •, <7т-1) дана в теореме 7.21.2. 7.20. Плоские разбиения и алгоритм RSK Теперь мы развили теорию симметрических функций в достаточной мере для того, чтобы дать ряд перечислительных приложений. Этот раздел и два последующих будут посвящены замечательному обобщению разбиений целых чисел, которое называют плоским разбиением. Плоское разбиение — это массив 7г = (n%j)i,j^i неотрицательных целых чисел, такой, что его носитель конечен (т.е. 7г имеет конечное число ненулевых элементов) и элементы в строках и столбцах нестрого возрастают. Если 5^7r*i = п-> то мы пишем |7г| = п и говорим, что 7г — плоское разбиение числа п. При изображении плоских разбиений все (или все, кроме конечного
7.20. Плоские разбиения и алгоритм RSK 485 числа) нули опускаются. Таким образом, плоские разбиения чисел 0 ^ п ^ 3 изображаются массивами 0 1 2 11 1 3 21 111 11 2 1 1 111 1. Обычное разбиение А Ь п можно рассматривать как нестрого убывающий одномерный массив (Ai,A2,...) неотрицательных целых чисел с конечным носителем. Теперь кажется естественным определить г-мерные разбиения для любого г ^ 1. Однако для г ^ 3 почти ничего существенного не известно. У плоских разбиений имеется много очевидных аналогий с полустандартными таблицами. Действительно, обратная полустандартная таблица Юнга является просто специальным видом плоского разбиения с удаленными нулями, не имеющими отношения к делу. На самом деле в нашем определении обратной полустандартной таблицы Юнга мы упомянули другой термин — «строгое по столбцам плоское разбиение» ^. Неудивительно, что в силу аналогии между полустандартными таблицами и плоскими разбиениями симметрические функции играют важную роль в перечислении плоских разбиений. Часть плоского разбиения 7г = (щj) — это его положительный элемент 7г^ > 0. Форма плоского разбиения 7г — это обычное разбиение А, для которого 7г имеет А* ненулевых частей в строке г (поэтому 7Ti\i > 0, 7Гг?Лг+1 = 0)- Мы говорим, что 7г имеет г строк, если г = £(Х). Аналогично, 7г имеет s столбцов, если s = £(\') = Ai. Обозначим через iifjr) число строк и через ^(тг) число столбцов плоского разбиения 7г. Наконец, определим след плоского разбиения 7г обычной формулой tr(7r) = 531Тц. Например, плоское разбиение 7 5 5 3 2 111 6 5 5 2 11 6 3 2 2 имеет форму (8,6,4), 18 частей, 3 строки, 8 столбцов и след 14. Пусть V(r,c)—множество всех плоских разбиений, имеющих не более чем г строк и не более чем с столбцов. Например, если 7г G V(l,c), то 7г является обычным разбиением, a tr(7r) —его наибольшая часть. Рассматривая сопряженное разбиение 7г' вместо 7г, нетрудно увидеть, что Etr(TT) |тг| __ 1 /7 Q7\ .^(1,0 (i-gx)(i-^)...(i-^)- I™7' ^В отечественной литературе наряду с ним используется термин «полустандартное плоское разбиение». — Прим. перев.
486 Гл. 7. Симметрические функции Основным результатом этого раздела является следующее обобщение формулы (7.97). 7.20.1. Теорема. Зафиксируем г, с Е Р. Тогда ]Г qtrWxW = П Д(1 - qx***-1)-1. nev(r,c) t=ii=i Доказательство. Мы дадим элегантное биективное доказательство, основанное на алгоритме RSK и простом методе объединения пары обратных полустандартных таблиц одной формы в одно плоское разбиение. Сначала мы опишем, как объединить два разбиения Л и \х на различные части с одним и тем же числом частей в одно разбиение р = р(Л,/х). Изобразим диаграмму Фёрре разбиения Л, сдвинув каждую строку на одну позицию вправо по отношению к началу предыдущей строки. Такая диаграмма называется сдвинутой диаграммой Ферре разбиения Л. Например, если Л = (5,3,2), то мы получим сдвинутую диаграмму Проделаем то же самое для \х и транспонируем диаграмму. Например, если /х = (6,3,1), то мы получим транспонированную сдвинутую диаграмму Объединим теперь эти две диаграммы, отождествив их главные диагонали. Для указанных выше А и /х мы получим
7.20. Плоские разбиения и алгоритм RSK 487 где для ясности выделена главная диагональ. Возьмем в качестве р(А,/х) разбиение, для которого эта объединенная диаграмма является диаграммой Ферре. Приведенный выше пример показывает, что р(532,631) = 544211. Ясно, что отображение (Л,/х) н-> р(Л,/х) является биекцией между парами разбиений (Л, /х) с к различными частями и разбиениями р ранга к (ранг разбиения определен в разд. 7.2). Заметим, что И = |А| + Н-*(А). Распространим теперь построенную биекцию на пары (Р, Q) обратных полустандартных таблиц Юнга одной формы. Если Лг обозначает столбец г таблицы Р, а /хг —столбец г таблицы Q, то возьмем в качестве 7r(P, Q) массив, столбец г которого равен р(Лг,/хг). Например, если 4 4 2 1 5 3 2 2 Р= 3 1 1 и Q= 4 2 1 2 1 то 4 4 2 1 4 2 2 1 tt(P,Q)= 4 2 2 2 Нетрудно видеть, что 7r(P, Q) является плоским разбиением. Заменим каждую строку разбиения 7г(Р, Q) на сопряженную с ней и получим новое плоское разбиение 7г;'(Р, Q). Для приведенного выше 7г(Р, Q) мы получим 4 3 2 2 4 3 11 7T,(P,Q)= 2 2 11. 1 1 1 1 Можно легко проверить, что отображение (Р, Q) ь-> 7г;(Р, Q) является биекцией между парами (Р, Q) обратных полу стандартных таблиц Юнга одной формы и плоскими разбиениями 7г'. Через diag(7r/) обозначим главную диагональ (яп,я"^, • • •) разбиения 7г;, через тах(Р) — наибольший элемент Рц обратной полустандартной таблицы Юнга Р и т. д. Напомним, что sh(P) обозначает форму
488 Гл. 7. Симметрические функции таблицы Р. Поэтому для рассматриваемых таблиц Р и Q имеем sh(P) = sh(<5). Нетрудно видеть, что W\ = \P\ + \Q\-\sh(P)\, (7.98) diag(7r/) = sh(P) = sh(Q), а значит, tr(Tr') = | sh(P)|, £i(tt') = max(Q), t2W) = max(P). Пусть теперь A = (a^) есть N-матрица с конечным носителем. Мы хотим связать с А пару обратных полустандартных таблиц Юнга одной формы. Это можно сделать при помощи очевидного варианта алгоритма RSK, в котором мы меняем ролями ^ и ^ в определении строчной вставки. Эквивалентным образом, если (и\ • • • и7 WA = \Vl--Vn является двустрочным массивом, ассоциированным с А, то применим обычный алгоритм RSK к двустрочному массиву (-ип ••• -иЛ \-Vn '•• -Vi У' элементы которого теперь являются отрицательными целыми числами, а затем сменим знак на + во всех элементах пары полустандартных таблиц Юнга. Мы получим пару (Р, Q) обратных полустандартных таблиц, удовлетворяющих равенствам тах(Р) = max{j : а^- ф 0}, max(Q) = тах{г: ац Ф 0}, |sh(P)| = |8h(Q)| = 5>i- Из групп равенств, начинающихся с формул (7.98) и (7.99), следует, что если Л4ГС —множество всех N-матриц размера г х с, то Е тг€Р(г,с qb(*)x\*\ 0 = £ ^ A=(aij)eMrc =пп(е^ i=l j=l ^ a,ijг^О »ЖЕ(*+^К ;x(i+j-l)a, ■j~12aij ■) п t=li=l Пусть теперь V{r) обозначает множество всех плоских разбиений, имеющих не более г строк. Если в теореме 7.20.1 мы положим
7.20. Плоские разбиения и алгоритм RSK 489 q = 1 и устремим с к бесконечности, то получим следующее элегантное перечисление элементов множества V(r). 7.20.2. Следствие. Зафиксируем г G Р. Тогда J2 х™ = n(l-zTmin(i'r). (7.100) Доказательство. Из теоремы 7.20.1 вытекает, что £ «"^ПШ1-^"1)"1. а это, как легко видеть, совпадает с правой частью равенства (7.100). □ Наконец, пусть V обозначает множество всех плоских разбиений. Устремим г к бесконечности в следствии 7.20.2, чтобы получить типичный для теории плоских разбиений результат: 7.20.3. Следствие. Имеем £>м = П(1-*')-'• Интересный вариант теоремы 7.20.1 возникает, когда мы учитываем результат теоремы 7.13.1 о симметрии алгоритма RSK. Будем говорить, что плоское разбиение а = (сг^) симметрично, если &ij = &ji для всех г, j. Пусть S(r) обозначает множество всех симметричных плоских разбиений, имеющих не более г строк (и, следовательно, не более г столбцов). 7.20.4. Теорема. Зафиксируем г Е Р. Тогда J2 q*MXM ^flil-qa*-1)-1 • П (1 ~ в2*2*'*»'-1))-1. <reS(r) г=1 1<г<^<г Первое доказательство. Пусть 7г'(Р, Q) обозначает плоское разбиение, описанное в доказательстве теоремы 7.20.1. Нетрудно видеть, что -к' симметрично тогда и только тогда, когда Р = Q. Пред- RSK' положим, кроме того, что А —► (Р,Q), где RSK'— это «обратный» алгоритм RSK, также описанный в доказательстве теоремы 7.20.1 (в частности, Р и Q — обратные полустандартные таблицы Юнга). Теорема 7.13.1 имеет место также и для RSK'; поэтому RSTC' А —► (Р, Р) тогда и только тогда, когда А = А1. Пусть М!г — множество всех симметричных N-матриц размера г х г. В точности так
490 Гл. 7. Симметрические функции же, как в доказательстве теоремы 7.20.1, мы получаем, что у^ qtr(a)x\a\ = у" qEbiixZV+i-VbiJ aeS(r) A={aij)eM'r A = П ( J2 qaiix{2i~^aA • П f S q2aijx2^j~^a = f[(l-qx2i-1)-1- Д (l-^x2^-1))"1. П г=1 l<i<ji<r Второе доказательство. Имеется другое интересное доказательство, которое избегает применения теоремы 7.13.1. Предположим, что 7г — обратная полустандартная таблица Юнга, все элементы которой нечетны. Таким образом, каждый столбец таблицы 7г является разбиением на различные нечетные части. Решение упр. 1.22(d) дает биекцию между разбиениями числа п с различными нечетными частями и самосопряженными разбиениями числа^ п. Применим эту биекцию к каждому столбцу таблицы 7г, а затем для каждой строки возьмем ее сопряженную, получая симметричное плоское разбиение а. Приведем пример: 7~КККЛ Л 43333311 7551 III,,1 43322 5531 п= 53311 -> 33211 -> 532 = а. 2 11 Можно легко проверить, что |7г| = |сг|, sh(7r) = diag(<j), |sh(7r)| = tr(cr) и ^i(cr) = |(1 + max(7r)). Тогда в силу следствия 7.13.8 £ete<-)xM= П (1-х,)"1- П а-^-Г1!*^ aeS(r) г=1 l^i<i<2r-l г нечет. ij нечет. = l[(l-qx2i-1)-1. Ц (1-^V^'-1))-1. □ г=1 l^iKj^r *■) Разобьем диаграмму Юнга самосопряженного разбиения числа п на крюки, отвечающие клеткам (г, г) (т. е. на крюки, угловые клетки которых лежат на главной диагонали). Число точек в последовательных крюках определяет разбиение числа п на различные нечетные слагаемые. — Прим. перев.
7.21. Плоские разбиения с ограниченным размером частей 491 Подставив д = 1и устремив г к бесконечности, получим следующее элегантное перечисление всех симметричных плоских разбиений числа п. 7.20.5. Следствие. Пусть S —множество всех симметричных плоских разбиений. Тогда Х^ХН=Т] 1 ^ Al (1 _ X2i-l\n _ x2i\[i/2] ' 7.21. Плоские разбиения с ограниченным размером частей Основным предметом этого раздела будет уточнение теоремы 7.20.1 в случае q = 1, получающееся при ограничении размера наибольшей части плоского разбиения 7г Е V(r,c). Рассмотрим, например, частный случай г = 1, так что 7г — это просто обычное разбиение Л = (Ai,...,Ac), имеющее не более чем с частей. Если мы добавим ограничение Ai ^ £, то, согласно предложению 1.3.19, A=(Ai,...,Ac) \ ° / Ai<t где в правой части стоит g-биномиальный коэффициент. Это именно тот результат, который мы хотим обобщить на плоские разбиения. Мы не можем ожидать хорошего биективного доказательства, подобного доказательству теоремы 7.20.1, потому что даже в случае г = 1 разложение знаменателя (1 — qc+t) • • • (1 — qt+1) g-биномиального коэффициента ( ) содержит отрицательные коэффициенты. Биективное доказательство потребовало бы либо привлечения принципа инволюции (или чего-либо подобного), либо переноса знаменателя коэффициента (с ) в другую часть равенства. Хотя такие доказательства и существуют, им не хватает элегантности доказательства теоремы 7.20.1. Доказательство, которое мы приведем здесь, не биективное, однако является простым следствием теории симметрических функций. Для того чтобы лучше понять значение ограничений на число строк, число столбцов и на наибольшую часть, мы сначала обсудим понятие диаграммы плоского разбиения, обобщающее понятие диаграммы Юнга или Ферре разбиения. Формально диаграмма D(7r) (часто отождествляемая с 7г) плоского разбиения 7г = (fly)— это подмножество в Р3, определенное формулой Я(тг) = {(i,j\fc) в Р3 : 1 $ k $ TTij}.
492 Гл. 7. Симметрические функции Ее можно представлять как результат замены элемента 7г^- на башню из 7Tij кубиков (или точек). Например, диаграмма Ферре плоского разбиения 42 1 3 1 1 приведена на рис. 7.9. Рис. 7.9. Диаграмма плоского разбиения. Любая перестановка w трех координатных осей переводит плоское разбиение 7г числа п (а точнее, его диаграмму) в другое плоское разбиение г^(7г) того же числа. Таким образом, плоское разбиение имеет тесть «ассоциированных» с ним разбиений, называемых аспектами и индексируемых элементами группы бз • Сравните с двумя «ассоциированными» Л и А' обычного разбиения. В терминах самого плоского разбиения 7г = (я-у) шесть аспектов можно получить следующим образом: • оставить 7г неизменным; • каждую строку разбиения 7г заменить на сопряженную; • каждый столбец разбиения 7г заменить на сопряженный; • транспонировать 7г; • каждую строку разбиения 7г заменить на сопряженную, а затем транспонировать; • каждый столбец разбиения 7г заменить на сопряженный, а затем транспонировать. Когда мы рассматриваем аспект г^(7г) плоского разбиения 7г, три статистики ^i(7r), £2(71") и тах(7г) меняются местами. Так, например, количество плоских разбиений числа п, имеющих не более г строк и не более с столбцов, равно количеству плоских разбиений того же числа, имеющих не более с строк, с наибольшей частью, не превосходящей г. Так как мы перечислили плоские разбиения числа п, имеющие не более г строк и не более с столбцов (теорема 7.20.1 при q = 1), теперь кажется весьма естественным рассмотреть дополнительное ограничение на наибольшую часть. Пусть г, с, t G Р. Определим ящик формулой B(r,c,t) = {(», j, к) е Р3 : 1 < г ^ г, 1 ^ j ^ с, 1 ^ k ^ t].
7.21. Плоские разбиения с ограниченным размером частей 493 Таким образом, плоское разбиение 7г удовлетворяет неравенствам £i(7r) ^ г, ^W ^ с и max(7r) ^ t тогда и только тогда, когда его диаграмма содержится в ящике В (г, с, £); мы будем записывать это так: 7г С £(г, с, £). Нашей ближайшей целью является вычисление производящей функции J2„cB(r,c,t) <7|7r|- В качестве предварительного шага мы вычислим главную специализацию 5л(1, q, - • •, <7П-1)- Наиболее элегантная формулировка этого результата включает две важные статистики, связанные с ящиками диаграмм Юнга разбиений. Для заданной диаграммы Юнга Л и заданной клетки и = (i,j) G Л определим длину крюка h(u) диаграммы X в и формулой h(u) = \i + \'j-i-j + l. Эквивалентным образом, h(u) есть число клеток непосредственно справа и непосредственно снизу от г/, причем и учитывается один раз. Например, длины крюков разбиения 4221 представлены в следующей таблице: 7 6 3 1 5 4 1 3 2 2 1 Аналогично, определим содержание с(и) клетки и = (i,j) диаграммы Л формулой Для Л = 4221 содержания представлены в следующей таблице: 0 -1 -2 -3 1 0 -1 2 1 3 2 7.21.1. Лемма. Пусть А = (Ai,..., Ап) £ Par и щ = А; + п — г. Тогда ПК'Я-п "'"t'L-r (7Л01) П[-+сН1 = П]Мт' (™2) где [k} = l-qk и [fc]! = [l][2] •••[*].
494 Гл. 7. Симметрические функции Доказательство. Полагая, что «одна картина ценнее тысячи слов», проиллюстрируем доказательство на примере. Пусть Л = 4421. Добавим п — г клеток к строке г диаграммы Л, получая диаграмму /х. Поместим в клетку (г, j) число /х* - j + 1. Таким образом, мультимножество вставленных чисел — это просто \J{>х {1,2,..., /х*}, т.е. показатели в числителе правой части соотношения (7.101), записанной в виде произведения множителей 1 — qk. Для всех I ^ г < j ^ п выделим жирным шрифтом число fi{ — fij в клетке (г, fij + 1). Мы получим таблицу 7 6 3 1 6 5 2 5 4 1 4 3 3 2 2 1 1 После небольшого размышления видно, что если мы удалим столбцы fij + 1 выделенных жирным шрифтом чисел, то получим в точности диаграмму Л с длиной крюка h(u) в клетке и. Это доказывает равенство (7.101). Аналогичное (еще более простое) рассуждение годится для формулы (7.102). В этом случае соответствующая таблица имеет вид 1|2|3|4|5|6|7 |l|2J3|4|s|e 1 г I 2 I 3 I пп Это завершает доказательство. Для заданного Л Ь п положим □ Ь(А) = ^-1)^ = 2(2)- (7Л03) Заметим, что 6(A) — наименьшая возможная сумма элементов полустандартной таблицы Юнга (в качестве элементов допускаются нули) формы А, полученная единственным образом при размещении г — 1 во все клетки строки г диаграммы А. В частности, для п ^ £(Х) имеем s\(l,q,... ,qn~l) = qb{X)v\{q), где va(g) — многочлен от переменной q, удовлетворяющий условию v\(0) = 1. (Если п<£(А),то5л(1,д,...^п-1)=0.)
7.21. Плоские разбиения с ограниченным размером частей 495 7.21.2. Теорема. Для любых A G Par и п € Р имеем [п + с(и)] »6л [*<«)] ' SX(l,q,...,qn-1) = qb^l[ Доказательство. Если п < £(А), то обе части обращаются в 0; поэтому можно предполагать, что п ^ £(Х). Из теоремы 7.15.1, которая дает формулу, выражающую s\(xi,..., хп) в виде биальтер- нанта, имеем «.(х,^.-^-')- д„-,„.-Я)>:' ■ {««> Знаменатель является просто специализацией определителя Ван- дермонда а$ = det(x™~J) = П1^г<^<п(х* ~" хз) и поэтому равен Пкг<7<п(^г_1 ~~ tf"7-1)- ^° числитель также является специализацией ая, хотя и несколько замаскированной. А именно, пусть a^detOc}-1)^. Так как матрица (xy1)fjz=l получена из матрицы, задающей as, при помощи транспонирования as и обращения порядка строк, то а| = (—l)'2^. Таким образом, числитель правой части равенства (7.104) есть в точности a^q^1, q^2,..., q^n), где fij = Xj + n — j. Поэтому мы получаем sx(l,q,..,^) = (-lP П £^Г- (7-105) Из леммы 7.21.1 на основании равенства П и-») = №-# 1^г<,7^п г=1 следует, что sx(l,q,...,q )= „ ,(,_!) т-; Г. :р= Г77 Заметим, что sx(l,q,...,qn-l) = Y,qW, 7Г где 7г пробегает все строгие по столбцам плоские разбиения (обратные полустандартные таблицы Юнга) формы Л с наибольшей
496 Гл. 7. Симметрические функции частью, не превосходящей п — 1, допускающие нули в качестве частей. Следовательно, теорему 7.21.2 можно рассматривать как задание производящей функции для данного класса разбиений, перечисляемых при помощи сумм их частей. Если нули в качестве частей не допускаются, то из однородности функции s\ следует, что giAlSA(i,g,...,g"-1) = SA(g,g2,...,gn) = E9M' где 7г теперь пробегает все строгие по столбцам плоские разбиения формы Л с наибольшей частью, не превосходящей п (с обычным условием, что части являются положительными целыми числами). Если теперь в теореме 7.21.2 устремить п к оо, то числитель Пи£л(1 ~~ gn+c(u)) стремится к 1. Поэтому мы получим формулу для стабильной главной специализации 5л(1, tf, q2, • • • )• 7.21.3. Следствие. Для любого разбиения A G Par qbW s\(l,q,q ,...) - Аналогично, если в теореме 7.21.2 мы положим q = 1, то, используя тот факт, что 1 — qk = (1 — q)(l 4- q 4- • • • 4- qk~1), и сокращая множители 1 — q в числителе и знаменателе, мы получим следующий результат. О его значении с точки зрения теории представлений см. приложение 2, формула (А2.4) и следующее за ней обсуждение. 7.21.4. Следствие. Для любых A G Par и п G Р имеем 0/VI ..П+Ф) В частности, все нули функции s\(ln), рассматриваемой как многочлен от п, — целые числа. Следствие 7.21.3 обладает рядом интересных приложений. Например, полагая /х = 0 в предложении 7.19.11 и сравнивая со следствием 7.21.3, получим такой результат: 7.21.5. Следствие. Для любого разбиения A G Par £ q IWM»)]' j. LLue> где Т пробегает все стандартные таблицы Юнга формы А.
7.21. Плоские разбиения с ограниченным размером частей 497 Из следствия 7.21.5 мы получим явную формулу для /Л, упомянутую после следствия 7.16.3, и, таким образом, перечислим комбинаторные объекты из предложения 7.10.3. Этот замечательный результат называют формулой крюков. 7.21.6. Следствие. Пусть А Ь п. Тогда 1 П„€аМ«) Доказательство. Положим q = 1 в следствии 7.21.5. На основании формулы (7.29) следствие 7.21.3 для Х\- п можно переформулировать следующим образом: *у(л> ■еХд(вА,"П«€л(1 + « + - + ^М)- Теперь положим q = 1 и используем интерпретацию специализации ех, полученную в предложении 7.8.4(a). □ Оба следствия 7.21.3 и 7.21.5 можно рассматривать как ^-аналоги формулы крюков. Следствие 7.21.3 является ее (/-аналогом для симметрических функций, тогда как следствие 7.21.5 является ее комбинаторным q-аналогом. Теорема 7.21.2 дает вполне удовлетворительную производящую функцию для строгих по столбцам плоских разбиений. Однако как она связана с обычными плоскими разбиениями? Ответ состоит в том, что для прямоугольных диаграмм А = (сг) имеется простая биекция между строгими по столбцам плоскими разбиениями формы (сг) и обычными плоскими разбиениями формы (сг), и легко вычислить результат действия этой биекции на наибольшую часть и сумму частей. Эти утверждения будут объяснены в доказательстве следующей теоремы, которая является основным результатом настоящего раздела. 7.21.7. Теорема. Зафиксируем г, с, t, где г ^ с. Тогда тгСВ(г,с,0 = [т][г+2]2 - - - [*+r]r[*+r+i]r ■ ■ ■ [г+сПг+c+if-1 ■ ■ ■ [t+c+r-1] [1][2]2 • • • [rf [r+l]r • • • [c]r[c+l]r-i • • • [c+r-1] (7.107) где [г] = 1 — ql. Доказательство. Пусть A = (cr) — прямоугольная диаграмма с г строками и с столбцами. Заметим, что предположение г ^ с не умаляет общности, так как всегда можно заменить Л на Л'. Пусть 7г = {'Kij) — строгое по столбцам плоское разбиение фор-
498 Гл. 7. Симметрические функции мы Л, допускающее нули в качестве частей. Положим 7г* = (тг*^), где tt*j = 7T{j — г + г. Мы просто применили к каждому столбцу разбиения 7Г обычный метод превращения строго убывающей последовательности в нестрого убывающую. Например, если то 6 4 2 4 3 2 6 3 2 4 2 2 4 3 1 2 2 1 4 2 1 2 1 1 4 2 0 2 1 0 3 1 , 0 1 0 . 0 Ясно, что 7г* — плоское разбиение, удовлетворяющее условиям *l(0^ £2(7Г*)^С, тах(7г*) = тах(7г) — г + 1, |7г*| «-©■ Кроме того, по заданному плоскому разбиению 7г* такого вида можно восстановить разбиение 7г, положив п^ = я*?- + г — г. Следовательно, из теоремы 7.21.2 получаем, что 7гСБ(г,с,£) = gWO)-G)« ТТ il+1+jM. (7.108) Заметим, что b((cr}) = (£)с. Кроме того, мультимножество длин крюков диаграммы (сг) равно {1,22,33,..., гг, (г + 1)г,..., сг, (с + l)r_1, (с 4- 2)г_2,..., с + г — 1}, а мультимножество содержаний получается из него вычитанием числа г из длин крюков. Подставляя эти значения с(и) и h(u) в тождество (7.108), мы завершаем доказательство. □ Читатель может проверить, что другой способ записи производящей функции (7.107), который более наглядно демонстрирует симметрию между г, с и t, но имеет по ret вместо г с сомножителей в числителе и знаменателе, представляется формулой *rCB(r>Cft) i=lj = lfc=l lt+^+* 4 Теорему 7.21.7 можно интерпретировать в терминах теории Р-разбиений, развитой в разд. 4.5. Плоское разбиение 7г, удовлетво-
7.22. Обратные плоские 'разбиения 499 ряющее неравенствам £i(7r) ^ г, £2(71") ^ с и max(7r) ^ £, можно рассматривать как обращающее порядок отображение 7г: гхс-> [0, £]. Другими словами, если Р есть ч. у. множество г х с, то 7г— это просто Р-разбиение с наибольшей частью, не превосходящей t. Так, в частности, число таких 7г есть в точности fi(P, t + 1), где £7 обозначает порядковый многочлен1). Подстановка q = 1 nt = т—1 в (7.107) дает ft(r х с, га) _ m(ra+l)2 • • ■ (m+r-l)r(m+r)r - • • (тп+с-1)г(тп+с)г~1 - - • (ra+c+r-2) ~ 1 • 22 • • • rr(r+l)r • • • c^c+l)7*-1 • • • (c+r-1) ' В частности, все нули функции Щт х с, га) являются неположительными целыми числами. Кроме того, простое обобщение предложения 3.5.1 (см. упр. 4.24(a)) показывает, что Е «"'= Е *#/' (7-110) тгСВ(г,с,*) /GJ(rxcxt) где правая часть является рангово-производящей функцией2) дистрибутивной решетки J (г х с х t). Таким образом, равенство (7.109) эквивалентно упр. 3.27(b) и 4.25(f) (i). Подстановка q = 1 в (7.110) и (7.109) приводит к элегантной формуле м.*.**)-пппё£Ы- г=1 j==l fc=l 7.22. Обратные плоские разбиения и соответствие Гиллмана—Грассла Доказательство теоремы 7.21.7 включало в себя биекцию между строгими по столбцам плоскими разбиениями формы (сг) и обычными плоскими разбиениями, формы которых содержались в (сг). Естественно спросить, можно ли построить подобную биекцию для любой формы Л и тем самым получить формулу для производящей функции 7М, (7.Ш) Е sh(7r)CA max(7r)^£ *) Г2(Р, 7п) —число сохраняющих порядок отображений а: Р —► [т]. Можно показать, что Г2(Р, га) есть многочлен от га. — Прим. перев. 2)Если Р—градуированное ч. у. множество ранга п, которое для каждого г содержит pi элементов ранга г, то сумма S^=oP*9* называется рангово- производящей функцией ч. у. множества Р. — Прим. перев.
500 Гл. 7. Симметрические функции где 7г пробегает все плоские разбиения, форма которых содержится в Л, а наибольшая часть не превосходит t. К сожалению, биекция, применявшаяся в доказательстве теоремы 7.21.7, не переносится на непрямоугольные диаграммы. Например, если Л = (2,1), то с обычным плоским разбиением (допускающим нули в качестве частей) а Ь 7Г = С можно связать строгое по столбцам плоское разбиение , а + 1 6+1 * = с также допускающее нули в качестве частей. Но тогда нет разбиения 7г, соответствующего 7г' = J °. Аналогично, если мы вместо этого попробуем рассмотреть , а + 1 Ь * = с то не будет 7г, соответствующего 7г' = J г (так как о * не явля_ ется плоским разбиением). На самом деле производящая функция (7.111) в общем случае не разлагается в простое произведение даже в случае t = оо (однако для (7.111) имеется формула в виде определителя). Несмотря на то, что нет такого простого соответствия между строгими по столбцам и обычными плоскими разбиениями заданной формы, как то, которое было использовано при доказательстве теоремы 7.21.7, подобное соответствие существует в обратной ситуации. Это соответствие не оказывает согласованного действия на наибольшую часть, но оно хорошо себя ведет по отношению к сумме частей. Таким образом, мы получим производящую функцию для обратных плоских разбиений числа п формы Л. Проще работать со слабыми обратными плоскими разбиениями формы Л, у которых части могут быть равны 0. Чтобы перейти от слабого обратного плоского разбиения 7г формы Л к (обычному) обратному плоскому разбиению 7г* формы Л, просто добавим 1 к каждой части разбиения 7г. Заметим, что |7г*| = |7г| + |Л|. Аналогично, определим слабую полустандартную таблицу Юнга как полустандартную таблицу, в которой допускаются нули. 7.22.1. Теорема. Пусть Л G Par. Тогда ?'"'=шда рл12)
7.22. Обратные плоские разбиения 501 где 7г пробегает все слабые обратные плоские разбиения формы А. (Если нули в качестве частей не допускаются, то следует просто домножитъ на д'л'.) Доказательство. Пусть Т = (а^) —слабая полустандартная таблица Юнга формы Л. Определим 7г = 7г(Т) формулой -кц = aij — г +1. Тогда 7г — слабое обратное плоское разбиение формы Л, удовлетворяющее равенству М = |Г|-5>-1)А« = |Т|-Ь(А). Нетрудно видеть, что это соответствие является биекцией. Следовательно, если И\ (соответственно И'х) обозначает множество всех слабых обратных плоских разбиений (соответственно слабых полустандартных таблиц Юнга) формы Л, то £,м=,-ь(А) £,m=<rHA)SA(W,...), тг€7гЛ теп'х и следствие 7.21.3 завершает доказательство. □ Теорема 7.22.1 настолько элегантна, что возникает вопрос, имеется ли у нее простое биективное доказательство. Отождествляя разбиение Л с его диаграммой, мы хотим установить биекцию между слабыми обратным плоскими разбиениями 7г формы Л и функциями /: Л —► N, такими, что М = £/(«)/»(«)• Сейчас мы опишем такую биекцию; ее называют соответствием Гиллмана-Грассла. Последовательно определим пары (7Го, /о), (тп, /i),..., (7Г£, Д), где каждое из 7Г; — слабое обратное плоское разбиение формы Л, а fi'. А —► N. Мы начнем с 7Го = 7г и fo(u) = 0 для всех и G А. Зная 7Г;, мы построим 7T;+i, уменьшив для некоторой клетки щ G А (ее выбор будет пояснен далее) Н(щ) частей плоского разбиения 7Гг на 1, и положим г ( \ J /*(v)j еСЛИ V Ф Wt, [fi{ui) + 15 если v = и;. На последнем шаге все части плоского разбиения тгк будут равны 0. Следовательно, М = £Л(«)М«), и мы положим f = fk-
502 Гл. 7. Симметрические функции Осталось описать правило, по которому щ+\ получается из щ, и соответствующий выбор клетки щ £ А. Мы опишем решеточный путь L в Л с шагами N или Е (т. е. на одну клетку вверх или на одну клетку вправо), начинающийся внизу столбца и заканчивающийся в конце строки диаграммы Л. Решеточный путь L начинается в самой левой нижней клетке, содержащей ненулевой элемент плоского разбиения щ. Если путь достигает клетки (а, 6), то мы делаем шаг вверх (N) в случае, когда (тгг)аь = {щ)а-\,ъ > 0; в противном случае, если (щ)аъ > 0, то делаем шаг вправо (Е). Решеточный путь завершается, когда нельзя сделать очередного шага. Возьмем в качестве 7Ti+i таблицу, полученную из 7Г; вычитанием 1 из всех частей, находящихся в клетках пути L. Если L начинается в столбце Ь и заканчивается в строке а, то положим щ = (а, Ь). Нетрудно видеть, что #L = к(щ). Проиллюстрируем это соответствие на примере обратного плоского разбиения 7г формы (3,3,1). Мы изображаем решеточный путь L, выделяя его жирным шрифтом, а функцию fi —помещая значение fi(u) в клетку и £ Л: щ 013 244 3 013 244 2 013 133 1 012 022 0 011 011 0 000 001 0 000 000 0 Si 000 000 0 000 000 1 000 100 1 100 100 1 110 100 1 120 100 1 120 101 1 Мы опускаем доказательство того, что это соответствие действительно является биекцией. Дадим лишь указание, что клетка
7.23. Приложения к перечислению перестановок 503 щ находится в самом правом столбце среди всех клеток и\,..., щ и в самой верхней строке среди клеток ui,...,Ui из ее столбца. Пусть теперь Р есть n-элементное ч. у. множество, и пусть Л(Р) обозначает, как в разд. 4.5, множество всех Р-разбиений. Напомним, что, согласно теореме 4.5.8, V >1 = Wp^ GP(q):= ^ q^ = <reA{P) где1) Wp(l) = e(P) —число линейных расширений множества P. Если положить Р = PJ, где Р{ — двойственное к ч. у. множеству Р\, определенному после следствия 7.19.5, то левая часть равенства (7.112) будет в точности равна Gp(q). Таким образом, /л = е(РА) = е(РА*) = = гт П'и у (7Л13) g=i ГЦа М«) П^л[Л(«)] что дает доказательство формулы крюков (следствие 7.21.6) без использования определителей. 7.23. Приложения к перечислению перестановок Мы уже отмечали ряд связей между симметрическими функциями и перестановками (таких, как алгоритм RSK, применявшийся к перестановочной матрице, или множество Жордана-Гёльдера помеченного ч. у. множества (РаДп^адО)- Поэтому неудивительно, что теория симметрических функций может быть использована для получения некоторых результатов о перечислении перестановок. Наш первый результат основан на алгоритме RSK и требует знания одного дополнительного факта о нем. 7.23.1. Лемма. Пусть w € 6П и w ^5 (Р,<2). Тогда D(P) = D(w~1) и D(Q) = D(w), где D обозначает множество спуска. Доказательство. Пусть (Po,Qo)5- • • > {Pn,Qn) = {P,Q) — последовательные пары таблиц, полученные при применении алгоритма RSK к w. Пусть w = w\ • • • wn. Предположим, что Wi < Wi+\ для некоторого г. Как отмечено в доказательстве теоремы 7.11.5, путь вставки для Wi+i лежит правее пути для W{. Предположим, что форма таблицы Pi получена из формы таблицы P;_i добавлением клетки в позиции (а, 6); поэтому элемент (а, Ь) таблицы Q равен г. Если элемент т «выбивается» в строку а, когда мы вставляем W{+i в Д, то он займет позицию (а, 6+1), не «выбивая» последующего 1) Здесь Wp(q) = Y^neCiP) QL^ > гДе £(Р) — множество Жордана-Гёльдера (определение см. в примечании переводчика в разд. 7.19 на с. 478), а t(7r) —главный индекс перестановки (сумма всех ее спусков). — Прим. перев.
504 Гл. 7. Симметрические функции элемента. Таким образом, г + 1 не появляется в Q в строке, расположенной ниже, чем строка, где появляется г. Поэтому г ф D(Q). Аналогично, если W{ > W{+i, то путь вставки элемента W{+i лежит слева от пути вставки для Wi. Таким образом, элемент должен быть «выбит» в строку а, но не в конец строки и, значит, должен «выбивать» элемент в строку а + 1. Это означает, что г £ D(Q). Поэтому D(w) = D(Q), что и требовалось. Согласно свойству симметрии алгоритма RSK из теоремы 7.13.1, w~Y —► (Q, Р); поэтому из только что доказанного следует равенство D(w~1) = Р, что завершает доказательство. □ Вспомним (см. разд. 7.19) определение разложения со (S) для множества S С [п — 1] и связанные с ним определения co(w) для w £ &п и со(Т) для стандартной таблицы Юнга Т. Аналогично определим со'(it;) = со([п — 1] — D(w)). Отметим, что [п — 1] — D(w) есть просто множество подъема A(w) перестановки w. В качестве следствия леммы 7.23.1 мы получим разложение произведения Коши П(1"~хгУз)~1 п0 квазисимметрическим функциям. (Мы считаем, что п фиксировано; поэтому все квазисимметрические функции имеют степень п.) Этот результат можно рассматривать как задание производящей функции для числа перестановок w £ 6П, таких, что D(w~1) = S и D(w) = Т, поскольку это число есть в точности коэффициент при La(x)Lp(y) в приведенном ниже разложении для а = as и /? = (5т. 7.23.2. Теорема. Пусть п £ N. Тогда (У), (7Л14) АЬп w£&n y}T/sx(x)sx>(y)= ]Г Lco{w-i)(x)Lcof{w)(y). (7.115) АЬп w€<5n Доказательство. В силу разложения функции sx по квазисимметрическим функциям (теорема 7.19.7) имеем ]£*аОФаЫ = ]Гд Y, Lco{T)(x))( Yl Lco{T>)(y)) АЬп АЬп Sh(T)=A ' 4h(T')=A ' = Y1 J2 Lco{T)(x)Lco{Tf)(y), АЬп sh(T)=A sh(T,)=A где sh(T) = Л означает, что суммирование ведется по всем стандартным таблицам Юнга формы Л (и аналогичный смысл имеет RSK запись sh(T') = Л). Если для w £ 6П выполняется w —► (T,Tf), то
7.23. Приложения к перечислению перестановок 505 по лемме 7.23.1 имеем D(w) = X" и D(w~1) = Т. Следовательно, 5Z 5Z Lco(T)(^)LCo(T')(y) = Yl Lco(w-i)(x)Lco(w)(y), х\-п sh(T)=A ween sh(T,)=A и равенство (7.114) доказано. Формула (7.115) доказывается аналогично на основании двойственного алгоритма RSK. Можно действовать другим способом, а именно, применить к (7.114) расширение и) инволюции lj из упр. 7.94(a), действующее только на переменные у. □ Хотя теорему 7.23.2 можно рассматривать как результат, позволяющий «определить» число перестановок w G &п с D(w~1) = S и D(w) = Т, было бы желательно получить более полезное или явное выражение. Такое выражение можно дать в терминах косых функций Шура, форма которых является косым крюком. Если а = (ai,..., a?) G Comp(n), то через Ва обозначим косой крюк с oti клетками в строке £ — г +1. Будем рассматривать Ва как косую диаграмму; поэтому s#a будет косой функцией Шура. 7.23.3. Лемма. Множество Жордана-Гёльдера £(Рва,шва) (определенное в разд. 7.19) состоит из всех перестановок w G &п, удовлетворяющих условию co(w~1) = а. Прежде чем переходить к доказательству, рассмотрим пример. Пусть а = (3,1,2,3) G Сотр(9). Соответствующий помеченный косой крюк Шура — это 1 2 5 4 3 7 6 8 9 Типичным элементом множества £(P,lj) является w = 578124963. Тогда w'1 = 459618237; поэтому D^-1) = {3,4,6} и со^-1) = (3,1,2,3) = а. Доказательство леммы 7.23.3. Перестановка w G (5П принадлежит множеству С(Рваива) в том и только в том случае, когда в перестановке w (рассматриваемой как слово w\ • • • wn) i +1 следует за г, если г и г + 1 находятся в одной строке, и г + 1 предшествует г, если г и г-f 1 находятся в одном столбце. Следовательно, г G D(w~1)
506 Гл. 7. Симметрические функции тогда и только тогда, когда i и г + 1 находятся в одном столбце, что равносильно условию г £ 5а. □ 7.23.4. Следствие. Пусть а £ Comp(n). Тогда «BQ = 2^ Азо(™)- a:=co(u;_1) Доказательство непосредственно следует из теоремы 7.19.7 и леммы 7.23.3. □ 7.23.5. Следствие. Пусть п £ N. Тогда 2>а(ФаЫ= £ La(x)sBJy). (7.116) АЬп а(ЕСотр(п) Доказательство. По следствию 7.23.4 ]Г La(x)sBa(?/) = Yl L^x) Yl Lco{w)(y) a(EComp(n) а€Сотр(п) ги€вп co(u,_1)=q: = X/ Аю(и/-1)(я)Ьсо(11/)(2/)> и доказываемый результат вытекает из теоремы 7.23,2. П Следующее утверждение дает формулу для разложения любой симметрической функции по основным квазисимметрическим функциям. 7.23.6. Следствие. Для всех f £ Лп имеем a€Comp(n) Доказательство. Чтобы получить требуемый результат для / = sa, возьмем скалярное произведение обеих частей равенства (7.116) и s\ (у). Общий случай получается по линейности. □ Теперь мы подошли к иному разложению суммы Yl\\-ns*(x)S)<(y) по квазисимметрическим функциям. 7.23.7. Следствие. Пусть п £ N. Тогда ^2sx(x)sx(y) = ^2 (sBa,sB/3)La(x)Lp(y). АЬп a,/?€Comp(n)
7.23. Приложения к перечислению перестановок 507 Доказательство. По следствию 7.23.6 sBP(y)= Yl isBa,sB0)La. c*€Comp(n) Для завершения доказательства подставим это равенство в правую часть формулы (7.116). □ Через Bs и Вт обозначим косые крюки Bas и Ват, где as и ат — определенные в разд. 7.19 разложения, отвечающие множествам 5 и Т. Сравнение теоремы 7.23.2 со следствием 7.23.7 приводит к такому перечислительному результату: 7.23.8. Следствие. Пусть 5, Т С [п — 1]. Тогда число перестановок w £ &п, удовлетворяющих условиям D(w~1) = S и D(w) = Т, равно скалярному произведению (sbs,sbt). Можно несколькими способами осуществить специализацию теоремы 7.23.2. Например, можно получить производящую функцию совместного распределения статистик maj(it;) и maj(it;-1) для w е 6П. Будем писать [k]q = l-qk, [k]t = l-tk, [k]\q = [l]q • • • [k]q и [k]\t = [l]t •••[&]*• Напомним обозначение b(X) = Х^(г — 1)A; из формулы (7.103). 7.23.9. Следствие. Пусть ween Тогда FnM)ilUA№)Mfc(4' (7 7) и мы имеем «двойную эйлерову» производящую функцию уП Л 1 уП ^ЕпМШЩ = Д r^wi=expgn(i-gn)(i-^)- Доказательство. В формуле (7.114) положим Xi = ql~l uyi = £г-1. По следствию 7.21.3 левая часть равенства (7.114) приобретает вид „6(A) £б(А) ^5A(l,9,92,...)5A(l,t,t2,...) = ^ff . С другой стороны, по лемме 7.19.10 его правая часть становится равной gComaKw-^comaKu;) 2^^со(«;-1)(1,^9 ,---)А»(«/)(1,М ,...)= 2^ yTui '
508 Гл. 7. Симметрические функции где comaj(w) = ^2ieD(w)(n ~ 0- Если w = wi- — wni то положим w* = п + 1 — гуп,..., п + 1 — w\. Отображение w »—> гу* является биекцией (на самом деле инволюцией) группы &п на себя, удовлетворяющей условиям comaj(w) = maj(w*) и (гу-1)* = (гу*)-1. Следовательно, X А comaj(u;_1)^comaj(u;) Ч ^ maj(u;_1)±та.}(ги) откуда вытекает равенство (7.117). Оставшаяся часть доказательства является непосредственным следствием предложения 7.7.4 и теоремы 7.12.1, утверждающим, что Y2 sx(x)sx(y) = Д(1 - XiVj)'1 = exp Y^ -Рп(х)рп(у). □ Л€Раг п>1 Для доказательства следствия 7.23.9 не обязательно использовать теорию симметрических функций; см., например, упр. 4.20 в случае т = 2. Второе рассматриваемое проявление связи между симметрическими функциями (точнее, алгоритмом RSK) и перечислением перестановок касается возрастающих и убывающих подпоследовательностей перестановки. Если w = W\ • • • wn £ &п и 1 ^ %\ < г^ < • • • < U ^ п, то будем называть v = WixWi2 •• • Wik подпоследовательностью перестановки гу. Будем говорить, что v — возрастающая подпоследовательность, если w^ < Wi2 < • • • < Wtk, и что v — убывающая подпоследовательность, если w^ > Wi2 > • • • > Wik. Обозначим через \s(w) длину (число элементов) длиннейшей возрастающей подпоследовательности в гу. Пусть г;(гу) — самое правое число j в гу, такое, что длиннейшая возрастающая последовательность с последним членом, равным j, имеет длину г. Например, если гу = 725481963, то is(w) = 4, ri(iy) = 1, r2(w) = 3, гз(гу) = б и r±(w) = 9, тогда как число ri(w) не определено при г > 4. Отметим, что в общем случае 1 = ri(w) < r2(w) < • • • < rls^(w). 7.23.10. Предложение. Пусть w £ 6п и т = is(w). Предположим, что w —► (P,Q). Тогда первая строка таблицы Р есть Г1(гу),г2(гу),...,гт(гу). Доказательство. Это предложение по сути является переформулировкой леммы 7.13.4. Возрастающая подпоследовательность гу^,..., Wik перестановки w эквивалентна цепи (г^гу^) < ••• < (ik,u)ik) в инверсионном ч.у. множестве I(w). Отсюда следует, что антицепь Ij состоит в точности из тех пар (г,гу;), для которых длиннейшая возрастающая подпоследовательность перестановки гу, заканчивающаяся на гУг, имеет длину j. Наибольшее значение
7.23. Приложения к перечислению перестановок 509 числа г для такой пары по определению есть Ujnj, и соответствующее значение Wi равно Vjnj. Следовательно, Vjnj = rj (w); поэтому утверждение вытекает из леммы 7.13.4. □ В качестве непосредственного следствия мы получаем комбинаторную интерпретацию длины первой строки таблицы Р (или Q) в случае, когда w —► (Р, Q). 7.23.11. Следствие. Предположим, что w G &п и w —► (P,Q)- Пусть sh(P) = sh(Q) = А. Тогда Ai = is(iy). Следствие 7.23.11 может быть применено для получения интересных перечислительных результатов, связанных с распределением длиннейших возрастающих подпоследовательностей. Следующий результат является довольно общим, однако часто из него очень сложно выделить дальнейшую информацию. (См., например, упр. 6.56 и упр. 7.16.) 7.23.12. Следствие. Пусть др(п) обозначает число перестановок w G 6П, для которых is(w) = р. Тогда SP(n)=£(/A)2. \\-п Ai=p Доказательство. Имеется (/Л)2 пар (Р, Q) стандартных таблиц формы Л. Утверждение теперь вытекает из следствия 7.23.11. □ RSK Если w G &п и w —у (Р, Q), то определим форму sh(w) как форму стандартной таблицы Юнга Р или Q. Если Л = sh(it;), то мы нашли простую комбинаторную интерпретацию наибольшей части Ai разбиения Л. Естественно задать вопрос о подобной интерпретации для остальных частей А; этого разбиения. Например, возникает искушение предположить, что А2 равняется длине длиннейшей возрастающей последовательности, которая остается после удаления из w возрастающей подпоследовательности длины Ai. К сожалению, это предположение оказывается ложным. Например, если w = 247951368, то sh(w) = (5,3,1). В w имеется единственная возрастающая подпоследовательность длины 5, а именно 24568. Если мы удалим ее из w, то получим последовательность 7913, в которой нет возрастающих подпоследовательностей длины 3. Следующая фундаментальная теорема дает правильный результат; ее доказательство включено в приложение 1 (теорема А 1.1.1). 7.23.13. Теорема. Пусть w G &п и sh(w) = (Ai,A2,...). Тогда для всех г ^ 1 сумма Ai + • • • + А$ равна длине длиннейшей подпоследовательности из w, которая может быть представлена в виде объединения г возрастающих подпоследовательностей.
510 Гл. 7. Симметрические функции Например, пусть, как и выше, w = 247951368. Подпоследовательность 24791368 есть объединение двух возрастающих подпоследовательностей 2479 и 1368. Следовательно, Ai -f А2 ^ 8. В действительности сама перестановка w не может быть представлена в виде объединения двух возрастающих подпоследовательностей; поэтому на самом деле Ai + Л2 = 8. Вместо рассмотрения возрастающих подпоследовательностей можно задаться вопросом о возрастающих и убывающих подпоследовательностях одновременно. Ключом к этому вопросу является еще одно свойство симметрии алгоритма RSK (наряду с теоремой 7.13.1). Мы выделим здесь один из подходов к этому свойству симметрии; другой метод доказательства дан в приложении 1 (следствие А1.2.11). Через Т <— к мы обозначали операцию строчной вставки целого числа к в полустандартную таблицу Юнга Т. Предположим, что все элементы таблицы Т различны и не равны к. Пусть к —► Т обозначает столбцовую вставку числа к в Т. Эта операция определяется в точности так же, как и строчная вставка, но с переменой ролей строк и столбцов. Эквивалентным образом, если t обозначает транспонирование, то (к-> Г) = (Г* <-*)*. Мы опускаем доказательство следующей фундаментальной леммы, которое состоит в элементарном, но утомительном разборе случаев. Мы всегда предполагаем, что элементы нашей таблицы различны и что это условие сохраняется после вставки последующих элементов. 7.23.14. Лемма. Если i ф j, то 3-+(T<-i) = (j - Т) <- г. Другими словами, операции строчной и столбцовой вставки коммутируют друг с другом. 7.23.15. Лемма. Пусть Р(гь г2,..., г„) = ((гх <- г2) <- г3) < <- г„, Р(гь г2,.. •, in) = h -► ► (гп_2 -»• (гп-1 -»• гп)). Тогда Р(гь г2,..., in) = P(iu г2,..., г„). Доказательство. Индукция по п. Для п = 1 утверждение очевидно, поскольку P(h) = Р(ч) = 4. Также легко непосредственно проверить случай п = 2. Пусть теперь п ^ 2, и предположим, что
7.23. Приложения к перечислению перестановок 511 утверждение справедливо для всех га < п. Имеем P(zi,...,zn+i) = Р(гь ..., in) <— in+i (определение <—) = P(ii,..., in) <— гп+1 (предположение индукции) = [ii —► Р(г2,..., гп)] <— гп+1 (определение Р) = ii -»• [Р(г2, • • •, in) <- in+i] (предыдущая лемма) = ii —► [Р(г2, • • •, гп) <— *n+i] (предположение индукции) = ii —► Р(г2,..., гп, in+i) (определение <—) = ii —>• Р(г2,..., гп, in+i) (предположение индукции) = Р(г*1,..., in+i) (определение —►). П Теперь мы подошли к упомянутому выше новому свойству симметрии алгоритма RSK. RSK 7.23.16. Теорема. Пусть w = wiW2 — -wn Е &п и w —► (Р, Q). Пусть wr = wn • • • W2W1 — записанное в обратном порядке слово w. Предположим, что wr —► (P*,Q*). Тогда Р* = Рг, где Рь обозначает транспонированную таблицу Р. В частности, sh(w) = sh.(wr)f. (Описание таблицы Q* сложнее; оно обсуждается в приложении 1, разд. А1.2. Отображение Q »—► Q* называется инволюцией Шютценберже.) Доказательство. В обозначениях предыдущей леммы имеем P(wi,...,iyn) = Р и P(iyi,...,iyn)* = Р*. Утверждение следует из предыдущей леммы. □ Если рассматривать перестановку w Е &п как перестановочную матрицу размера п х п, то теорема 7.13.1 описывает действие на алгоритм RSK отражения матрицы w относительно главной диагонали, тогда как теорема 7.23.16 описывает аналогичное действие отражения матрицы w относительно горизонтальной прямой. Эти два отражения порождают диэдральную группу D<± (группу самосовмещений квадрата), состоящую из 8 элементов. Таким образом, можно описать действие на поведение алгоритма RSK каждой «ди- эдральной симметрии», примененной к перестановке w. Так как убывающие подпоследовательности перестановки w становятся возрастающими (в обратном порядке) в wr и наоборот, то следующий результат является непосредственным следствием теорем 7.23.13 и 7.23.16. 7.23.17. Теорема. Пусть w Е 6п и sh(w) = А. Тогда для всех г ^ 1 сумма Х[ + • • • + \'{ равна длине длиннейшей подпоследова-
512 Гл. 7. Симметрические функции телъности перестановки w, которая может быть представлена в виде объединения i убывающих подпоследовательностей. В частности, Ai есть длина длиннейшей убывающей подпоследовательности перестановки w. Обозначим через &s{w) длину длиннейшей убывающей подпоследовательности перестановки w. Следующий результат выводится из предложения 7.23.10 и теоремы 7.23.17 таким же образом, как следствие 7.23.12 было получено из предложения 7.23.10. 7.23.18. Следствие. Пусть gp,q(ri) обозначает число перестановок w Е 6п, удовлетворяющих условиям is(w) = р и ds(w) = q. Тогда 9рАп)= £ (/Л)2. \\-п Ai=p, X[=q 7.23.19. Пример, (а) Если w Е 6P9+i, то либо is(w) > р, либо ds(w) > g, поскольку ни одно разбиение Л Ь pq+l не удовлетворяет неравенствам Ai ^ р и Х[ ^ q одновременно. (b) Ровно одно разбиение А Ь pq удовлетворяет условиям \г = р и Х[ = д, а именно А = (pq). Следовательно, предполагая, что р < q (это не приводит к потере общности, так как gp,q(n) = gq,P(n))1 из следствия 7.23.18 и формулы крюков (следствие 7.21.6) получаем, что Q (vQ) = (f{p*))2=\ № " 9p*W) U ) [1122...рР(р + 1)Р...дР(д + 1)р-1...(р + д_1)^ (c) Пусть p,q > п. Имеется в точности р(п) разбиений (где р(п) есть количество разбиений числа n) Abp-fg-fn—1, удовлетворяющих условиям Ai = р и Ai = q, а именно А = (р, 1 + /zi, 1 + /Х2, • • •, 1 + /i9-i), где /i Ь п. Будем писать для краткости А = (р, 1 + /х). Тогда 5Р,?(р + 9 + п-1)=^(/(р'1+^)2. fl\-Tl Можно объединить информацию, касающуюся множеств спуска, с информацией о возрастающих и убывающих подпоследовательностях. Например, следующий результат должен быть очевиден любому читателю, изучившему данный раздел до этого места. 7.23.20. Предложение. Пусть gp,q,s,T(n) обозначает число перестановок w G &п, удовлетворяющих условиям is(w) =р, ds(w) = q, D(w~l) = S, D(w) = Т. Тогда для фиксированных р, q и п ^2gP,q,s,T(n)Las(x)LaT(y) = ^ s\{x)s\(y). S,T Abn X1=P,X[=q
7.24. Перечислительная теория Пойа 513 7.24. Перечислительная теория Пойа Перечислительная теория Пойа, или теория перечисления относительно действия группы, является стандартной темой в рамках перечислительной комбинаторики, и обычно ее излагают, не привлекая симметрических функций. Однако теория симметрических функций приводит к более естественному развитию этой теории, а также более удобна для некоторых ее обобщений. В центре теории Пойа лежит некоторая производящая функция Zq(x) для цикловых типов элементов подгруппы G симметрической группы 6s, т.е. группы всех перестановок конечного множества S. На самом деле сначала не требуется, чтобы G была подгруппой. Поэтому мы дадим определение для произвольного подмножества группы &s- (В действительности имеются интересные результаты для некоторых подмножеств, не являющихся подгруппами; например, см. упр. 7.111.) 7.24.1. Определение. Пусть К — подмножество симметрической группы &s- Определим дополненный цикловый индекс Zk множества К как симметрическую функцию Zk = 22 Рр(™)> weK где p(w) обозначает цикловый тип перестановки w, определенный в разд. 7.7. Цикловый индекс (cycle indicator) Zk множества К задается формулой ZK=w*K = w£Kp™- Таким образом, Zk (или Zk ) — это просто производящая функция для элементов подмножества К в соответствии с их цикловым типом. Заметим, что если п = #5, то Zk и Zk —однородные функции степени п, т.е. Zk,Zk £ Лп. В упомянутом выше традиционном изложении теории Пойа степенные симметрические суммы pi заменяются на переменные U, а затем вместо U подставляется функция pi или специализация функции pi. (Мы делали так в примере 5.2.10.) Этот подход представляет собой лишь изменение точки зрения, поскольку функции pi алгебраически независимы. Цикловый индекс, рассматриваемый как многочлен от переменных ti,t2,---, также называется цикловым многочленом подмножества К. Основной результат теории Пойа выражает Zq через мономиальные симметрические функции (т. е. дает комбинаторную интерпретацию скалярного произведения (Za,h\)) в случае, когда G — подгруппа в &s.
514 Гл. 7. Симметрические функции 7.24.2. Пример, (а) Пусть S — множество вершин квадрата, a G — диэдральная группа всех (евклидовых) симметрии квадрата, действующая на множестве вершин S. Цикловый индекс тождественного элемента равен р\. Цикловые индексы поворотов на 90° или 270° равны р4- Цикловый индекс поворота на 180° есть р\. Цикловым индексом горизонтальных и вертикальных отражений также является р\ • Наконец, два диагональных отражения имеют цикловый индекс р\р2. Следовательно, 2с = \(р\ + 1р\р2 + Ър22 + 2рА). Если в качестве G мы возьмем группу поворотных симметрии квадрата, то получим Zg = J(Pi+P2 + 2p4). (b) Пусть V есть р-элементное множество вершин. Положим S = (^). Симметрическая группа &v естественным образом действует на 5, а именно, если w £ &у и {s,t} £ 5, то it;-{s,£} = {ws, w-t}. Таким образом, имеется подгруппа 6p = Gc 6s = в/Р\. Например, для р = 4 имеем Zg = 24 (р? + Ър\р\ + 8р§ + 6р2р4). (c) Пусть G — группа 6$ всех перестановок n-элементного множества 5, т.е. G = 6П. Пусть А Ь п. Напомним (см. формулу (7.18)), что nlz^1 есть число перестановок w £ 6П циклового типа Л. Следовательно, из равенства (7.22) мы получаем Zq = hn. Пусть теперь X = {ci, сг,... } — множество «цветов», а Xs обозначает множество всех функций /: S —> X. Функцию / можно понимать как «раскраску» множества 5, при которой элемент s £ S получает цвет f(s). Определим вес х* функции / £ Xs формулой Таким образом, х* — одночлен степени п = #S от переменных xi, Х2, • • •, который для каждого г говорит нам, сколько элементов из S покрашены в цвет а. Имеется естественное действие группы G на Xs, а именно, если w £ G, / £ Xs и s £ 5, то (ю * /)(*) = Я™ * «). Пусть Xs/G обозначает множество орбит этого действия. Другими словами, зададим на Xs отношение эквивалентности ~, положив / ~ #, если существует элемент w £ G, такой, что д = w • f. Тогда
7.24. Перечислительная теория Пойа 515 элементы множества Xs/G — это классы эквивалентности по отношению ~. Заметим, что если / ~ д, то х* = х9. Следовательно, если О G Xs/G, то можно определить х°, положив х° = х* для произвольного f € О. Классы эквивалентности О называются конфигурациями. Характеристика конфигураций (pattern inventory; в английской литературе она также известна под другими названиями, такими, как store enumerator и configuration counting series) группы G — это производящая функция FG(x)= J2 х°- oexs/G Таким образом, коэффициент при одночлене ха в Fq (х) есть число орбит О G Xs/G веса ха. Так как все элементы множества X «равноправны», то Fq (х) — симметрическая функция. На самом деле Fq G Лп , так как по определению Fq — однородная функция степени п. 7.24.3. Пример, (а) Традиционно элементы множества S имеют некоторую комбинаторную или геометрическую структуру. Например, пусть S — множество вершин квадрата и G — диэдральная группа симметрии из примера 7.24.2(a). Две раскраски вершин эквивалентны, если существует симметрия квадрата, переводящая одну раскраску в другую. Пусть Л Ь 4. Коэффициент при т\ в Fq есть число неэквивалентных вершинных раскрасок (или раскрасок «с точностью до симметрии»), использующих Лг раз цвет г. Ниже перечислены представители (элементы орбит) каждой из этих неэквивалентных раскрасок (мы используем цвета 1,2,...): 11 11 11 21 11 12 12 12 13 11 12 22 12 23 31 34 43 42 * Следовательно, Fq = т4 + ш31 + 2ш22 + 2m2n + Зтцц. Если в качестве G взять группу поворотных симметрии квадрата, то мы получим дополнительные неэквивалентные раскраски 11 13 14 14 32 24 23 32 * Следовательно, в этом случае Fg = Ш4 + m3i + 2ш22 4- 3m2n 4- 6тцц. (Ь) Пусть V, S и G такие же, как в примере 7.24.2(b), в частности, S = (2). Положим X — Р. Функцию / G Xs можно рассматривать как граф на множестве вершин V, возможно с кратными ребрами, но без петель. А именно, если /({s, t}) = j, то вершины s
516 Гл. 7. Симметрические функции и t соединим j — 1 (неразличимыми) ребрами. Два графа /, д £ Xs эквивалентны тогда и только тогда, когда существует перестановка w их вершин, такая, что она сохраняет ребра, т. е. между s и t имеется j ребер в том и только в том случае, если имеется j ребер между w-s vLw-t. Другими словами, / ~ д тогда и только тогда, когда / и д изоморфны как графы. Таким образом, для а £ Сотр ((^)) коэффициент при одночлене ха в Fq равен числу неизоморфных графов без петель с р вершинами и ctj ребрами кратности j — 1. Для р = 4 имеем Fq = те 4- ra5i 4- 2m42 + 3ra33 + 2ra4ii + 4m32i + 6m222 + 5тзш + 9Ш2211 + 1577121111 4" ЗОШццц. Кроме того, число Foil171) равно числу всех неизоморфных графов без петель с р вершинами и ребрами, кратность которых не превосходит га — 1. В частности, i*c?(l, 1) — число неизоморфных простых графов (без петель и кратных ребер) с р вершинами. Отметим, что специализация Fc?(lm) получается из разложения Fq по степенным суммам pi при подстановке pi = т для всех г. Более общим образом, коэффициент при qj в многочлене Fc?(l,g,... ,gm-1) равен числу неизоморфных графов, у которых р вершин, кратность ребер не превосходит т — 1 и суммарное число ребер есть в точности j. Таким образом, например, при р = 4 получим производящую функцию (по числу ребер) для неизоморфных простых графов с четырьмя вершинами: FG(1, q) = 1 4- q 4- 2q2 4- 3g3 4- 2g4 4- q5 4- q6. Замечание. Так как по традиции переменные ^i,^2,--« функций Zq и Fq соответствуют степенным суммам рьРг?---? а не их аргументам xi,X2,..., то функция, которую мы обозначаем Fc?(l, q,..., tfm-1), традиционно записывается в виде FG(l4-g4----4-gm-\l4-g24----4-g2(m-1\l4-g3 + ---4-g3(m-1),...)- (с) Пусть, как и в примере 7.24.2(c), G — группа 6$ всех перестановок n-элементного множества S. Для простоты возьмем S = [п]. Тогда &s = 6П. Две раскраски /,# £ Xs эквивалентны тогда и только тогда, когда их прообразы имеют один тип, т. е. мультимножества {#/-1(с) : с £ X} и {#д~1(с) : с £ X} совпадают. Следовательно, коэффициент при каждом одночлене ха степени п в F@n равен 1; поэтому Fen = Х1Шл = hn' АЬп Мы определили две симметрические функции Zq и F<s, связанные с группой перестановок G. Цикловый индекс Zq определен в
7.24. Перечислительная теория Пойа 517 терминах симметрических степенных сумм р\, тогда как характеристика конфигураций определена в терминах мономиальных симметрических функций 7П\. Основной результат теории Пойа состоит в том, что эти две симметрические функции равны. 7.24.4. Теорема. Пусть S — конечное множество. Для любой подгруппы G группы &s имеем Zq = Fq- Доказательство основано на простом, но фундаментальном результате о группах перестановок, называемом леммой Бернсайда (по поводу правильного установления авторства см. разд. «Замечания»). 7.24.5. Лемма. Пусть Y — конечное множество и G — подгруппа в &у • Для каждого w Е G положим Fix(iy) = {у € У : w(y) = у}] в частности, #Fix(w) есть число циклов длины один в перестановке w. Пусть Y/G — множество орбит действия группы G. Тогда #07G) = ^£#FixH. ^ weG Другими словами, среднее значение числа элементов из Y, которые остаются неподвижными под действием элемента из G, равно числу орбит. Доказательство. Для у £ Y положим Gy равным стабилизатору {w е G : w(y) = у} элемента у. Тогда Ж w€G ^ weG y€Y Ж y€Y w€G ^ y£Y w{y)=y w(y)=y Пусть Gy — {w(y) : w € G} —орбита действия группы G, содержащая у. Мультимножество элементов w(y)1 где w € G, содержит каждый элемент орбиты Gy одинаковое количество раз (почему?), а именно, #G/#Gy раз. Таким образом, у появляется #G/#Gy раз среди элементов w(y)\ поэтому Следовательно, Пусть О G Y/G — фиксированная орбита. Тогда Gy = О в том и только в том случае, когда у € О. Следовательно, слагаемое 1/#0
518 Гл. 7. Симметрические функции появляется в последней сумме #0 раз. Поэтому сумма равна числу орбит. □ Доказательство теоремы 7.24.4. Пусть а = (c*i,a2,...) — слабое разложение числа п, а Са обозначает множество всех «раскрасок» / £ Xs, в которых цвет Cj используется оу раз. Множество Са инвариантно относительно действия группы G на Xs. Пусть wa обозначает действие перестановки w на Са • Чтобы вычислить число орбит, мы хотим применить лемму Бернсайда (лемму 7.24.5). Поэтому нам надо найти #Fix(wa)- Для того чтобы получить / £ Fix(it;a), необходимо так раскрасить S, чтобы (а) в каждом цикле перестановки w все элементы имели один цвет; (Ь) цвет Cj появлялся ctj раз. Отсюда следует, что #Fix(«,a) = [xa]Y[PyM = [ха]ррМ, 3 где rrij(w) —число циклов длины j перестановки w. Следовательно, PP(w)(x) = ^2#Fix(wa)xa. а Теперь просуммируем по всем w £ G и разделим на #G. Левая часть превратится в Zq, тогда как по лемме Бернсайда правая часть равна Fq. П Если в теореме 7.24.4 мы положим х = 1т, то получим следующий результат (который также может быть получен непосредственно из теоремы Бернсайда). 7.24.6. Следствие. Пусть Ncim) —число всех неэквивалентных раскрасок множества S в т цветов. Тогда NG(m) = ^ £ mC(w)' ^и wee где c(w) —число циклов перестановки w. Замечание (для алгебраистов). Как и выше, пусть G — подгруппа в &s- Пусть г = [&s : G] —индекс подгруппы G в &s. Группа &s действует на (правых) классах смежности по G, задавая транзитивное представление группы 65 в группе перестановок &г. Задание перестановки соответствующей перестановочной матрицей дает линейное представление aG: &s —► GL(r,С). Это линейное представление эквивалентно индуцированному представлению 1GS (т.е. индуцированию тривиального представления группы G на &s )• Обозначим через \G'• ©s —> С характер этого представления, т.е. xG(w) = traG(w). Если w £ &s и цикловый тип p(w)
Замечания 519 перестановки w равен Л, то где 6Л обозначает подмножество (класс сопряженности) группы &s, состоящее из всех перестановок циклового типа Л. Из равенства (7.118) следует, что ch(XG) = ZG, (7.119) т.е. характеристическое отображение ch из разд. 7.18 совпадает с цикловым индексом группы G. Следовательно, теория Пойа тесно связана с взаимодействием между теорией представлений симметрической группы и теорией симметрических функций. Разложим характер xG по неприводимым характерам хЛ: АЬп Здесь а\ — кратность представления хЛ в xG и потому а\ G N. Так как отображение ch линейно и ch(xA) = s\, то из равенства (7.119) следует, что Zg = $>a*a. (7.120) Ahn Таким образом, имеется алгебраическая интерпретация разложения функции Zq по функциям Шура, показывающая, в частности, что коэффициенты а\ = (Zg,s\) —неотрицательные целые числа, или, эквивалентным образом, что Zq есть s-целая (что очевидно) и s-положительная функция. Неизвестно ни одного чисто комбинаторного или «формального» доказательства s-положительности функции Zq\ все известные доказательства (по сути, эквивалентные) используют теорию представлений. (Тот факт, что а\ — целое число, немедленно следует из теоремы 7.24.4.) В теории симметрических функций имеется множество других теорем о «положительности», все известные доказательства которых используют теорию представлений. Замечания Хорошим источником информации о ранней истории теории симметрических функций, например, об основной теореме о симметрических функциях (теорема 7.4.4) и симметричности матрицы (Ma,J (следствие 7.4.2), является статья [154] Карла Теодора Валена. В частности, первая опубликованная работа о симметрических функциях, появившаяся в 1629 г., принадлежит Альберу Жирару [49]. Он приводит явную формулу, выражающую рп через
520 Гл. 7. Симметрические функции функции е\ (которую можно получить, вычисляя коэффициенты при tn в формуле En^i п(~1)П"1^^П = lnEfc^oefc^)- Список первых исследователей симметрических функций включает в себя также Габриэля Крамера, Франческо Фаа ди Бруно, Исаака Ньютона и Эдуарда Варинга. Самое раннее упоминание о функциях Шура появилось в 1815 г. в статье Огюстена Луи Коши [18]. (Статья Коши была представлена в редакцию в 1812 г.) Он определяет функции Шура (конечно, не под этим названием) от переменных х±,..., хп как биальтернанты из теоремы 7.15.1 и доказывает, что они на самом деле являются симметрическими многочленами и что (в наших обозначениях) Si(xi,... ,жп) = х\ Н— • + хп и Sin(xi,... ,хп) = х\ • • • хп (это более тривиально). Следующей работой, представляющей для нас интерес, является статья 1841 г. Карла Густава Якоба Якоби [64], в которой он приводит без доказательства тождество Якоби-Труди (теорема 7.16.1) в случае /х = 0, т. е. для обычных функций Шура s\, определенных как биальтернанты. В 1864 г. ученик Якоби Николо Труди [153] дал полное доказательство тождества Якоби-Труди. Двойственное тождество Якоби-Труди (следствие 7.16.2) доказано в 1871 г. Гансом Эдуардом фон Нагельсбахом [108]; более простое доказательство дано в 1875 г. Карлом Францем Альбертом Кост- кой [73]. Наше первое доказательство формулы Якоби-Труди, основанное на теории непересекающихся решеточных путей, следует работам Аиры Мартина Гесселя и Жерара Ксавье Вьенно [47], [2.5] ^. См. изложение в [151, гл. 4.5]. Второе доказательство принадлежит Иану Г. Макдональду [96, гл. I, (5.4)]. Разложение произведения П(1 — хг%)-1 по функциям Шура (теорема 7.12.1) приписывается всеми Коши и поэтому называется тождеством Коши. Мы, однако, не смогли найти ясную формулировку этого тождества в упомянутой работе Коши. С другой стороны, тождество Коши является почти очевидным следствием двух других его результатов. Первый из них — это формула Бине-Коши для определителя произведения матриц размера га х п и п х га. (Интересное обсуждение явного вклада Коши в эту формулу см. в [106, с. 92-131]. Во всяком случае, из последующих работ Коши видно, что он мастерски ее использовал.) Второй результат Коши [19, формула (10)], сформулированный в чуть ином виде, состоит в вычислении определителя detf-J—)" =$Щ, (7-121) \1-Xiyjjij=1 nU-stfj) ^Gessel L, Viennot G. Binomial determinants, paths and hook length formulae, Advances in Math. 58 (1985), 300-321. — Прим. перев.
Замечания 521 где as обозначает определитель Вандермонда (формула (7.55)). Применение формулы Бине-Коши к произведению А(х)А(уУ, где A(z) = 1 у '1 Z! 1 Z2 _1 zn _ У Z2 72 z2 Z2 ^r дает detf— j = Y2 а\+б(х)а\+б(у). Следовательно, из (7.121) мы получаем 1 v^ a*+s(x) a\+s(y) U?j=iO--xiyj) ~ tv£n а№ а^У) и тождество Коши следует из теоремы 7.15.1 (которая служила для Коши определением функций Шура). Костка ([74], [75]) первым рассмотрел разложение функций Шура в сумму одночленов, что объясняет термин «числа Костки» для чисел Кхр в разложении s\ — £V К\^т^ (формула (7.35)). (Фулкс [36, с. 85] предложил называть матрицу (К\^) матрицей Костки.) В [74] Костка привел таблицу чисел Костки К\^ и элементов (К~г)\^ обратной матрицы Костки для разбиений А,/х Ь п < 8. В [75] он расширил эти таблицы до п = 11. Костка утверждал, что числа в его таблицах также задают разложение функций h^ и т^ в терминах sy, это утверждение равносильно ортонормированности функций s\ (следствие 7.12.2). Оскар Говард Митчелл [103] в 1882 г. рассмотрел дальнейшие свойства чисел Костки. Он показал, что они неотрицательны, не приводя их явной комбинаторной интерпретации, и вычислил £а(1п) в форме, получающейся в результате предельного перехода при q —► 1 в равенстве (7.105). Более простое обоснование такого вычисления £а(1п) дал позже Уильям Вулси Джонсон [66, §13]. Затем были приложены некоторые усилия для того, чтобы найти комбинаторную интерпретацию чисел Костки в частных случаях; типичным примером является работа Томаса Мюира [105]. Первое известное нам явное утверждение о том, что числа Костки К\ц перечисляют полустандартные таблицы Юнга формы А и типа /i, высказал Дадли Эрнст Литтлвуд [85, теорема VI] (см. также [88, гл. 10.1, IX]). Определение схем Гельфанда-Цетлина из формулы (7.37) дали Израиль Моисеевич Гельфанд и Михаил Львович Цет- лин [45, (3)] в связи с теорией представлений алгебры Ли s[(n,C).
522 Гл. 7. Симметрические функции Впервые косые функции Шура были исследованы в работах фон Нагельсбаха [108] и Александра Крейга Эйткена ([1], [2]) в форме, заданной равенством (7.68). Эйткен доказал то, что в наших обозначениях принимает вид равенства u>s\/u = sa'/V (теорема 7.15.6), а в последующей статье [3] дал комбинаторную интерпретацию функций sx/f! в терминах косых таблиц Юнга. Связь между косыми функциями Шура и коэффициентами Литтлвуда-Ричардсона (теорема 7.15.4) появилась в [88, формула VIII, с. ПО]. В то время как выполнялась работа, описанная выше, полностью независимое, но в конечном счете эквивалентное направление исследований развивалось группой геометров. Некоторые перечислительные вопросы, включающие в себя вопросы о пересечениях векторных пространств, были сведены формально к тем же алгебраическим вычислениям, что и основные результаты в теории функций Шура. Этот общий подход был впервые разработан Германом Цезарем Ганнибалом Шубертом и называется теперь исчислением Шуберта. Объяснение исчисления Шуберта и его связей с симметрическими функциями не входит в наши намерения, однако мы кратко упомянем основные моменты. Геометрическое утверждение, эквивалентное правилу Пиери (теорема 7.15.7), было дано Ма- рио Пиери [118] в 1893 г. Детерминантная формула, выражающая цикл Шуберта через специальные циклы Шуберта, была опубликована в 1903 г. Джованни Цено Джамбелли [48]. Формально она совпадала с тождеством Якоби-Труди (теорема 7.16.1) и тем самым устанавливала (хотя никто этого еще не осознавал) формальную эквивалентность исчисления Шуберта и алгебры функций Шура. Работам классических геометров (таких, как Шуберт, Пиери и Джамбелли) по исчислению Шуберта придали строгость Шарль Эрес- манн [28], Бартел Лендерт ван дер Варден [158], Уильям Дуглас Ходж ([61], [62]) и другие. Формальную эквивалентность между исчислением Шуберта и алгеброй функций Шура впервые подметил Леоне Лезье [84] в 1947 г. Первыми концептуальное объяснение кажущегося «совпадения» дали Джеффри Хоррокс [63] и Джеймс Каррелл [17]. Подробности этой истории обсуждаются Уильямом Фултоном [41, с. 278-279]. См. также три обзора [68], [69], [148], посвященных исчислению Шуберта; в последнем из них уделено внимание связям с комбинаторикой. Идея унификации большей части теории симметрических функций с использованием линейной алгебры (скалярного произведения, двойственных базисов, инволюции и т. п.) восходит к важной работе Филиппа Холла [54]. Эта статья оставалась незамеченной (несомненно, из-за малой известности издания, в котором она была опубликована) до тех пор, пока Стенли [145] не дал ее изложение, восполнив большинство пропущенных доказательств. Стенли
Замечания 523 узнал о статье Холла от Роберта Джеймса Мак-Элиса, учившегося у Холла в 1964-65 учебном году в Кембридже (Англия). Позднее изложение работы Холла привел Макдональд [94]. Алгоритм RSK (известный под множеством других названий: либо «соответствие», либо «алгоритм» в сочетании с некоторым подмножеством имен Робинсона, Шенстеда и Кнута) впервые описал, в довольно неясном виде, Жильбер де Борегар Робинсон [131, §5] в качестве средства для (попытки) доказательства правила Литтлвуда-Ричардсона (приложение 1, §7.3). (См. замечания к приложению 1, где изложена история правила Литтлвуда- Ричардсона.) Позднее алгоритм RSK переоткрыл Крейг Юджин Шенстед (см. далее), но на самом деле никто не анализировал работу Робинсона до тех пор, пока это не сделал Марк ван Леувен [82, §7]. Интересно отметить, что в подстрочном примечании на с. 754 Робинсон пишет: «Этим соответствием я обязан мистеру Литтлвуду». Анализ ван Леувена ясно показывает, что «соответ- ствие I» дает нумерующую таблицу Q алгоритма w —► (P,Q). Таким образом, было бы правильнее сказать, что если w Е &п и w —+ (Р, Q), то определение таблицы Р принадлежит Робинсону, тогда как определение таблицы Q принадлежит Литтлвуду. Никаких дальнейших исследований, связанных с конструкцией Робинсона, не проводилось до тех пор, пока Шенстед не опубликовал в 1961 г. свою плодотворную статью [136]. (Некоторую информацию о необычной жизни Шенстеда можно найти в [7]1).) Цель Шенстеда заключалась в перечислении перестановок в группе &п в соответствии с длинами их длиннейших возрастающих и убывающих подпоследовательностей. По поводу дальнейшей информации см. обсуждение разд. 7.23 ниже. Согласно Кнуту [71, с. 726], связь между работами Робинсона и Шенстеда первым подметил Марсель Поль Шютценберже, хотя, как отмечено выше, впервые явно описал ее ван Леувен. Робинсон утверждал на с. 755 своей работы [131] об алгоритме т> о ъг 1 R S К RSK, что «нетрудно видеть», что если w —► (P,Q), то w —► (Q,P). Никакого указания на доказательство этого фундаментального результата (нашей теоремы 7.13.1) не было дано. Доказательство было, наконец, получено Шютценберже [140] в 1963 г. Шютценберже первым осознал огромное значение работы Шенстеда для теории симметрических функций и симметрических групп. Наше первое доказательство теоремы 7.13.1 следует доказательству Дональда Эрвина Кнута ([71, §4], [72, гл. 5.1.4]). Следствие 7.13.8, ко- 1)По поводу дальнейшей информации, касающейся Крейга Шенстеда, см. http://ea.ea.home.mindspring.coin. — Прим. автора при переводе.
524 Гл. 7. Симметрические функции торое мы вывели из теоремы 7.13.1, было впервые доказано Исайей Шуром [138] (воспроизведено в [5.53, VII.47]). Теория диаграмм роста, которую мы использовали для второго доказательства теоремы 7.13.1, была развита Сергеем Владимировичем Фоминым ([31], [32], [33], [34]). Ряд последующих результатов получил Томас Роби ([132], [133]). До Фомина другая «геометрическая» теория алгоритма RSK была развита Вьенно ([155], [156]). Распространение алгоритма RSK с перестановок на произвольные последовательности неотрицательных целых чисел (или с перестановочных матриц на N-матрицы с конечным носителем) принадлежит Кнуту [71]. Хотя, как показывает лемма 7.11.6, это обобщение в действительности эквивалентно исходному случаю, использование более общей формы существенно при работе с симметрическими функциями. Таким образом мы получили, например, биективное доказательство тождества Коши (теорема 7.12.1), что впервые было сделано Кнутом [71, с. 726]. В статье Кнута рассматривается еще ряд тем, связанных с алгоритмом RSK, в частности, доказательство свойства симметрии из теоремы 7.13.1 (рассуждения проводятся непосредственно с N-матрицами с конечным носителем без сведения к случаю перестановок), определение и основные свойства двойственного алгоритма RSK из разд. 7.14 и определение и основные свойства эквивалентности по Кнуту, обсуждаемой в приложении 1. Ряд других вариантов алгоритма RSK дал Уильям Бёрдж [13] (см. упр. 7.28(c),(е) и 7.29(a),(Ь)). См. хорошие обзоры недавних работ, связанных с алгоритмом RSK, в [83]. К этому времени описанная выше работа «проникла в кровь» алгебраической и перечислительной комбинаторики, и шлюзы были открыты. Мы не пытаемся дать обзор огромного количества недавних работ, посвященных симметрическим функциям, таблицам Юнга, алгоритму RSK и т. п., однако укажем некоторые работы в связи с результатами, обсуждавшимися в тексте. Что касается дальнейшего развития, см. конец этих замечаний, упражнения к этой главе и замечания к приложению 1. Число стандартных таблиц Юнга впервые подсчитал Перси Александр Мак-Магон [99, с. 175] (см. также [101, §103]). Мак- Магон сформулировал свой результат в терминах баллотировочных последовательностей или решеточных перестановок из предложения 7.10.3(c),(d); он сформулировал утверждение не в терминах произведения длин крюков, как в следствии 7.21.6, а использовал правую часть формулы (7.101) в случае q = 1. Формулировка в терминах длин крюков принадлежит Джеймсу Сазерленду Фрейму и впервые появилась в статье [38, теорема 1] Фрейма, Робинсона
Замечания 525 и Роберта Макдоулла Тролла; поэтому ее иногда называют «формулой крюков Фрейма-Робинсона-Тролла». (Собственно определение стандартных таблиц Юнга принадлежит Альфреду Юнгу [162, с. 258].) Независимо от Мак-Магона Фердинанд Георг Фробениус [5.27, формула (6)] получил ту же формулу для степени неприводимого характера хЛ группы (5П, что и Мак-Магон для числа решеточных перестановок типа Л. Фробениус, очевидно, не подозревал о комбинаторном значении deg хЛ> но Юнг показал в [162, с. 260-261], что degxA есть число стандартных таблиц Юнга формы Л, дав тем самым независимое доказательство результата Мак-Магона. (Юнг также предложил свое собственное доказательство результата Мак-Магона в [162, теорема II].) Впоследствии был найден ряд других доказательств формулы крюков. Кэртис Грин, Альберт Нийенхёйс и Герберт Саул Уилф [51] дали элегантное вероятностное доказательство. Доказательство, приведенное в разд. 7.22 и основанное на соответствии Гиллмана-Грассла, появилось в [60]; оно весьма ясно показывает роль длин крюков, хотя и не вполне биективно. Биективный его вариант позднее привел Кристиан Краттенталер [76]. Полностью биективные доказательства формулы длин крюков впервые дали Дебора Францблау и До- рон Зейльбергер [39] и Джеффри Брайан Реммель [127]. Позднее Жан-Кристоф Новелли, Игорь Пак и Александр Стояновский [113] нашли исключительно элегантное биективное доказательство1). Дальнейшую информацию об упомянутом в конце разд. 7.15 подходе к симметрическим функциям, основанном на алгебрах Хопфа, см. в [163]. Детерминантная формула (7.71) для fx^ принадлежит Эйтке- ну [3, с. 310]; он вывел ее точно таким же способом, как мы получили тождество Якоби-Труди для 5д//х (теорема 7.16.1). Позднее результат Эйткена переоткрыл Уолтер Фейт [30]. Обобщение, принадлежащее Жермену Креверасу, дано в упр. 3.63. Теория представлений конечных групп была развита Фробени- усом; см. интересное обсуждение этого развития в [24], [56], [57], [58], [59]. В частности, Фробениус вычислил неприводимые характеры группы &п (в форме, приведенной в следствии 7.17.4 или в формуле (7.77)) в [5.27]. Правило Мурнагана-Накаямы (рассматриваемое как формула (7.75) для хЛ(м)) в действительности принадлежит Литтлвуду и Арчибальду Риду Ричардсону [89, §11]. Формулировки этого правила, данные Фрэнсисом Домиником Мурна- ганом и Тадаси Накаямой, приведены в [107, (13)] и [109, §9]. х) Молено упомянуть еще два доказательства формулы крюков, использующие интерполяционные формулы А. М. Вершика и А. Н. Кириллова; см. Вершик А. М. Записки научн. семинаров ЛОМИ 172 (1989), 3-20, и Кириллов А. Н. Записки научн. семинаров ЛОМИ 172 (1989), 78-87. — Прим. ред.
526 Гл. 7. Симметрические функции Определение квазисимметрических функций принадлежит Гес- селю, хотя они и появлялись в неявном виде в более ранних работах. Гессель использовал квазисимметрические функции для доказательства таких результатов, как наши следствия 7.23.6 и 7.23.8. Основные результаты о (Р,и;)-разбиениях, использованные здесь (теорема 7.19.4 и следствие 7.19.5), получены Стенли ([165, гл. 2], [166, гл. 1]) без использования языка квазисимметрических функций. Предложение 7.19.11, кажется, принадлежит Джорджу (Георгу) Люстигу (не опубликовано) и Стенли [149, предложение 4.11]. Дальнейшие результаты по квазисимметрическим функциям содержатся, например, в статьях [26], [102] и в упомянутых в них работах. Плоские разбиения открыл Мак-Магон в серии статей, которые были оценены значительно позже. (Изложение результатов Мак- Магона см. в его книге [101, §§1Х, X].) Первой работой Мак-Магона, посвященной плоским разбиениям, была статья [98]. В разд. 43 этой статьи он определяет плоские разбиения (хотя еще не под этим названием), а затем переходит к обсуждению шести точек зрения на них. В разд. 51 он выдвинул гипотезу, что производящая функция для плоских разбиений задается произведением (1 _ x)-i(i _ х2)-2{1 - х3)"3(1 - я4)"4 • • • (наше следствие 7.20.3). Он также предположил (но не назвал это гипотезой), что производящая функция для r-мерных разбиений (диаграммами которых являются конечные порядковые идеалы множества Nr+1) равна П(1-х')-('^Я). (7.122) Мак-Магон, очевидно, никогда не осознавал, что это неверно даже для г = 3; однако он упомянул в [101, т. 2, примечание на с. 175], что более сильный результат неверен. (При г = 3 наименьший показатель п, для которого коэффициент при хп в (7.122) отличен от количества трехмерных разбиений числа п, равен 6.) Ошибочность формулы (7.122) первыми показали Аткин и др. [6] и позднее Райт [160]. Нанда ([ПО], [Ш]) ошибочно предполагал, что формула (7.122) верна для г = 3, утверждая в [ПО, с. 593], что Мак-Магон не дал строгого вывода производящей функции для объемных разбиений. Но простое рассуждение, такое же, как и в случае плоских разбиений, приводит к производящей функции 1 (l)(2)3(3)6...(s)i(s2+s>... для объемных разбиений в случае, когда нет ограничений на величину частей.
Замечания 527 Дальнейшие вычисления, проведенные Кнутом [70], показывают, насколько бесполезно пытаться выписать производящую функцию для трехмерных разбиений в виде1) rL>i(l "~ xl)ai • Возвращаясь к статье [98] Мак-Магона, отметим, что в разд. 52 он выдвинул в качестве гипотез наши теорему 7.20.1, следствие 7.20.2 и, наконец, теорему 7.21.7, которая включает все предыдущие гипотезы в качестве частных случаев. В разд. 56-62 Мак-Магон доказал свою гипотезу в случае плоских разбиений с не более чем двумя строками и с столбцами (случай г = 2 нашей теоремы 7.20.1), упомянув на с. 662, что независимое решение нашел Эндрю Расселл Форсайт. (Хотя на статью Форсайта была приведена библиографическая ссылка, она, кажется, в действительности так и не появилась.) Мы не будем пытаться описать дальнейшие исследования Мак- Магона по плоским разбиениям, скажем только, что их кульминация появилась в [101, разд. 495], где он доказал главную гипотезу из своей первой статьи [98], посвященной плоским разбиениям, а именно, нашу теорему 7.21.7. Доказательство Мак-Магона довольно длинное и не прямое. Плоское разбиение, форма которого содержится в разбиении А Ь р, можно рассматривать как Р\ -разбиение (в смысле разд. 4.5), где Р\ — это ч.у. множество, определенное после следствия 7.19.5. (Как и в разд. 4.5, мы рассматриваем Р\ в качестве естественного частичного упорядочения множества [р].) Как было отмечено в замечаниях к гл. 4, Мак-Магон предвосхитил теорию Р-разбиений, установив результат упр. 4.24(b) для Р = Р\. Он сумел свернуть это выражение в определитель, а затем вычислил его в случае, когда Л = (сг). Недавно интересное исследование о форме диаграммы «типичного» плоского разбиения, укладывающегося в ящик размера г х с х t, выполнили Генри Кон, Майкл Ларсен и Джеймс Пропп [23]2). Теория плоских разбиений оставалась в не слишком активном состоянии до начала 1960-х годов, когда Бэзил Гордон и его студен- х)См., тем не менее, Шлосман С. В. УМН 56 (2001), №4 (390), 97-128. — Прим. ред. 2> Вопрос о «типичном» в смысле различных статистик разбиении обсуждается в последние 20 лет во многих работах. См., например, Vershik A. In: Proc. Intern. Congress of Math. (Zurich, 1994), vol. II, Birkhauser, Basel, 1995, pp. 1384- 1394; Вершик A. M. Функц. анализ и прил. 30 (1996), №2, 19-30. Что касается типичных плоских разбиений относительно равномерного распределения, то помимо упомянутых работ о разбиениях в ящике в последнее время была исследована и решена задача о «типичном» плоском разбиении без ограничений. См. Vershik A. The generating function rifcLi(l ~xk)~k — MacMahon and Erdos, Invited lecture at FPSAC-97 (Vienna, 1997); Cerf R., Kenyon R. Comm. Math. Phys. 222 (2001), No. 1, 147-179; Okounkov A., Reshetikhin N. J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), 581-603. См. также Okounkov A. In: Symmetric Functions 2001: Surveys of Developments and Perspectives (S. Fomin, ed.), Kluwer, Dordrecht- Boston-London, 2002, pp. 223-252. — Прим. ред.
528 Гл. 7. Симметрические функции ты внесли в нее новый вклад (однако без использования симметрических функций). Дальнейшее обсуждение работ Гордона и ссылки на них см. в [146]. Приблизительно в это же время Карлиц [16] дал более простое доказательство основного результата Мак-Магона (нашей теоремы 7.21.7). (Упрощенные доказательства в предельных случаях еще раньше дал Чонди [21].) Затем в 1972 г. Эдвард Антон Бендер и Кнут в важной работе [8] установили связь между теорией симметрических функций и перечислением плоских разбиений. Они дали простые, основанные на алгоритме RSK доказательства многих результатов Гордона и др. (и некоторых их обобщений), а также первое биективное (такое же, как привели мы) доказательство нашей теоремы 7.20.1 в случае q = 1. Введение переменной q в теореме 7.20.1 и близкие результаты, предназначенные для сохранения информации о следе плоского разбиения, восходят к Стенли [146, теорема 19.3], [147]. «Формула содержаний крюков» для 5л(1,д,... ,qn~l) (теорема 7.21.2) была впервые сформулирована в явном виде Стенли ([3.28, теорема V.2.3]1), [3.29, предложение 21.3]2\ [146, теорема 15.3]). Ранее Литтлвуд и Ричардсон ([90; теорема I], {%%, I. на с. 124]) привели менее явное утверждение, использующее правую часть равенства (7.101) вместо его левой части. Биективное доказательство, основанное на применении принципа инволюции, дали Реммель и Роджер Уитни [128]. Затем Краттенталер [77] привел биективное доказательство, не использующее принципа инволюции, и обобщил его в [78]. Наконец, Краттенталер [79] дал биективное доказательство теоремы 7.21.2, аналогичное доказательству Новелли-Пака-Стояновского [113] формулы крюков. Вид производящей функции для симметричных плоских разбиений с не более чем г строками (случай q = 1 теоремы 7.20.4) был выдвинут в качестве гипотезы Мак-Магоном ([100, с. 153], [101, разд. 520]) и был впервые доказан Гордоном [50]. Бендер и Кнут [8, с. 42-43] привели такое же, как и наше, доказательство, основанное на алгоритме RSK. В действительности Мак-Магон выдвинул более сильную гипотезу, а именно, предложил (в качестве гипотезы) явную формулу для производящей функции для симметричных плоских разбиений с не более чем г строками и наибольшей частью, не превосходящей га (симметричный аналог нашей теоремы 7.21.7). Этот результат оказался значительно менее податливым, чем случай без ограничений (т.е. несимметричный); первым его доказал Эндрюс ([4], [5]). Позже доказательство, основанное х) Stanley R. Ordered structures and partitions. Thesis, Harvard Univ., 1971. — Прим. перев. 2) Stanley R. Ordered structures and partitions. Memoirs Amer. Math. Soc. 119 (1972). — Прим. перев.
Замечания 529 на формуле характеров Вейля для типа Вп, дал Макдональд ([92, пример 1.5.17, с. 52]^, [96, пример 1.5.17, с. 84-85]). Несколько иное доказательство, основанное на теории представлений, принадлежит Роберту Алану Проктору [121, предложение 7.2]. Дальнейшую информацию, связанную с перечислением классов симметрии плоских разбиений, см. в решении упр. 7.103(b). Производящая функция (7.112) для обратных плоских разбиений фиксированной формы была впервые получена Стенли ([165, следствие V.2.6, с. 174], [146, предложение 18.3]); доказательство совпадает с нашим первым, основанным на симметрических функциях доказательством теоремы 7.22.1. Элегантное биективное доказательство, приведенное после него, принадлежит Абрахаму Гиллману и Ричарду Грасслу [60]. Позднее другое биективное доказательство дали Реммель и Уитни [129]. Фундаментальный результат, связывающий алгоритм RSK с множествами спуска (лемма 7.23.1), принадлежит Шютценберже [140, замечание 2] и был позднее независимо переоткрыт Гербертом Оуэном Фулксом [37, теорема 8.1]. Фулкс предвосхитил теорему 7.23.2 и ее следствия, однако первая явная формулировка результатов такого вида принадлежит Гесселю [46]. Основная связь между алгоритмом RSK и возрастающими и убывающими подпоследовательностями (а именно, тот факт, что если w —► (Р, Q), где Р и Q имеют форму Л, то is(w) = Ai и ds(w) = Х[) является главным результатом работы Шенстеда [136]. Цель Шенстеда при написании его работы состояла в получении формулы для числа перестановок w £ 6П, удовлетворяющих условиям is (it;) = р и ds(w) = g, которую он привел в теореме 3 (наше следствие 7.23.18). Теоремы 7.23.13 и 7.23.17 принадлежат Грину; дальнейшие детали см. в приложении 1. Пример 7.23.19(a) есть фундаментальный результат Пауля Эрдёша и Джорджа Секереша [29, уравнение (8)]; позднее элегантное простое его доказательство дал Абрахам Зайденберг [141]. Пример 7.23.19(b) был предложен Стенли Рабиновичем [122] в качестве задачи и решен Стенли [144]. Лемма Бернсайда (лемма 7.24.5) была на самом деле впервые сформулирована и доказана Фробениусом [40, конец §4]. В свою очередь, Фробениус отдает дань Коши [20, с. 286], доказавшему лемму в транзитивном случае. В первом издании своей книги [14, §118-119] Бернсайд приписывает лемму Фробениусу, однако во втором издании [15] эта ссылка отсутствует. Подробности об истории леммы Бернсайда см. в [112] и [161]. Многие авторы (см., например, работу [67]) называют теперь этот результат леммой Коши-Фробениуса. Цикловый индекс Zq{x) (где G — подгруппа 1^С. 66 русского перевода [92]. — Прим. перев.
530 Гл. 7. Симметрические функции группы 6П) впервые рассмотрел Дж. Говард Редфилд [124], который называл его функцией групповой редукции1^ и обозначал через Grf(G). Джордж Пойа [119] независимо определил цикло- вый индекс, доказал фундаментальную теорему 7.24.4 и привел многочисленные приложения. Английский перевод статьи Пойа см. в [120]. Редфилд предвосхитил большую часть работы Пойа. Интересную историческую справку о работе Редфилда и ее связи с теорией Пойа можно найти в [53], [55], [91], [125] (все работы в одном и том же выпуске Journal of Graph Theory). За работой Пойа последовали многочисленные изложения, приложения и обобщения его теории. Мы упомянем здесь лишь хороший обзор [12] Николаса Говерта де Брёйна и статью [123] Рональда Рида, первым рассмотревшего связь функций Шура с теорией Пойа. Приложение 1 содержит свои собственные замечания; поэтому теперь мы обсудим приложение 2. Основной результат приложения 2, заключающийся в классификации рациональных представлений группы GL(n, С) и определении их характеров (теорема А2.4), появился в выдающейся докторской диссертации Шура [137]. Позднее он дал упрощенное доказательство [139], которому мы следовали, давая набросок доказательства. Небольшое уточнение указал Герман Вейль [159, теорема 4.4.С]. Современную трактовку работ Шура см., например, в книгах [42, гл. 6], [96, гл. I, приложение А]. Понятие плетизма ввел Литтлвуд [86, с. 329] (см. также [88, с. 289]). Термин «плетизм» (plethysm) предложил Литтл- вуду [87, с. 274] М. Л. Кларк, следуя греческому слову плетисмос (тгХпвуа^дя), означающему «умножение». Связь между плетизмом и сплетениями (wreath products) (теорема А2.8) в неявном виде появлялась у Вильгельма Шпехта [143] при определении характеров сплетения G§&n. Частный случай, когда х = ^с* и 0 = 1#п Для подгрупп G и Н групп 6& и &п соответственно, эквивалентен методу Пойа получения циклового индекса для его так называемого веночного произведения (Kranzgruppe) [119, с. 178-180]. Явные формулировки теоремы А2.8 (однако не на языке симметрических функций) можно найти в [93, замечание 6.9], [65, гл. 5.4], [96, приложение А, (6.2)]. Что следует делать читателю, заинтересованному в дальнейшем изучении симметрических функций? Важными темами, вообще не рассмотренными здесь, являются многочисленные обобщения и вариации функций Шура. Мы приводим небольшой список таких обобщений вместе с некоторыми основными указаниями на работы, которые служат лишь средством для введения в предмет. )В оригинале «group reduction function». — Прим. перев.
Литература 531 • Симметрические функции Холла-Литтлвуда [96, гл. III] гК • Сдвинутые функции Шура (соответствующие сдвинутым диаграммам), называемые также Р- и Q-функциями Шура ([52], [96, гл. Ш.8]). • Суперфункции Шура ([9], [96, пример 1.3.23, с. 58-60]). • Зональные симметрические функции [96, гл. VII]. • Симметрические функции Джека ([96, гл. VI. 10], [150]). • Симметрические функции Макдональда ([43], [96, гл. VI], [115]). • Функции Шура сплетения sX(D <8> • • • <8> s^w ([96, гл. I, приложение В], [114]). • Ортогональные и симплектические функции Шура [152]. • Флаговые функции Шура (или мультифункции Шура) ([157], [95, гл. III]). • Факториальные функции Шура и их вариации ([10], [11], [22], [97, §§4-6,9], [104]). • Сдвинутые функции Шура (соответствующие «сдвинутым» переменным) ([116], [117]). • Некоммутативные функции Шура по Гельфанду, Кробу, Ласку, Леклерку, Ретаху и Тибону ([44], [80], [27], [81]). • Некоммутативные функции Шура по Фомину и Грину [35]. • Модулярные функции Шура (неявно появляются в [25, §3.7]). • СЬ(п,Ед)-инвариантные функции Шура по Макдональду [97,§7]2). Литература 1. Aitken А. С. On determinants of symmetric functions, Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 1 (1929), 55-61. 2. Aitken A. C. Note on dual symmetric functions, Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 2 (1931), 164-167. 3. Aitken A. C. The monomial expansion of determinantal symmetric functions, Proc. Royal Soc. Edinburgh (A) 61 (1943), 300-310. 4. Andrews G. E. MacMahon's conjecture on symmetric plane partitions, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 74 (1977), 426-429. ^См. также [92, гл. III]. — Прим. перев. 2> Рискнем добавить к этому внушительному списку новую работу, где молено найти другие ссылки: Olshanski G., Regev A., Vershik A. In: /. Schur Memorial Conference (Rehovot, Israel, 2000), Progress in Math. 210, Birkhauser, 2002, pp. 351-400, в которой вводится неоднородный базис симметрических (точнее, суперсимметрических) функций, играющих центральную роль в теории представлений симметрических групп. В его построении используются так называемые инварианты Фробениуса. — Прим. ред.
532 Гл. 7. Симметрические функции 5. Andrews G. Е. Plane partitions (I): The MacMahon conjecture, In: Studies in Foundations and Combinatorics, Advances in Math. Suppl. Studies, vol. 1, Academic Press, New York-London, 1978, pp. 131-150. 6. Atkin A. O. L., Bratley P., Macdonald I. G., McKay J. K. S. Some computations for m-dimensional partitions, Proc. Cam. Phil. Soc. 63 (1967), 1097- 1100. 7. Веет E. A. Craige and Irene Schensted don't have a car in the world, Maine Times, March 12, 1982, pp. 20-21. 8. Bender E. A., Knuth D. E. Enumeration of plane partitions, J. Combinatorial Theory 13 (1972), 40-54. 9. Berele A., Remmel J. B. Hook flag characters and their combinatorics, J. Pure Appl. Algebra 35 (1985), 225-245. 10. Biedenharn L. C, Louck J. D. A new class of symmetric polynomials defined in terms of tableaux, Advances in Applied Math. 10 (1989), 396-438. 11. Biedenharn L. C, Louck J. D. Inhomogeneous basis set of symmetric polynomials defined by tableaux, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 87 (1990), 1441- 1445. 12. de Bruijn N. G. Polya's theory of counting, In: Applied Combinatorial Mathematics (E. F. Beckenbach, ed.), Wiley, New York, 1964; reprinted by Krieger, Malabar, Florida, 1981. 13. Burge W. H. Four correspondences between graphs and generalized Young tableaux, J. Combinatorial Theory (A) 17 (1974), 12-30. 14. Burnside W. Theory of Groups of Finite Order, Cambridge University Press, 1897. 15. Burnside W. Theory of Groups of Finite Order, 2nd ed., Cambridge University Press, 1911; reprinted by Dover, New York, 1955. 16. Carlitz L. Rectangular arrays and plane partitions, Acta Arithmetica 13 (1967), 29-47. 17. Carrell J. B. Chern classes of the Grassmanians and the Schubert calculus, Topology 17 (1978), 177-182. 18. Cauchy A. L. Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs egales et de signes contraires par suite des transpositions operes entre les variables qu'elles renferment, J. de I'Ec. Polyt. 10 (1812), 29-112; Oeuvres, ser. 2, vol. 1, pp. 91-169. 19. Cauchy A. L. Memoire sur les fonctions alternees et sur les sommes alternees, Exercises d'Analyse et de Phys. Math. 2 (1841), 151-159; Oeuvres, ser. 2, vol. 12, pp. 173-182. 20. Cauchy A. L. Memoire sur diverses proprietes remarquables des substitutions regulaires ou irregulaires, et des systernes de substitutions conjuguees (suite), С R. Acad. Sci. Paris 21 (1845), 972-987; Oeuvres, ser. 1, vol. 9, pp. 371-387. 21. Chaundy T. W. Partition-generating functions, Quart. J. Math. (Oxford) 2 (1931), 234-240. 22. Chen W. Y. C, Louck J. D. The factorial Schur function, J. Math. Phys. 34 (1993), 4144-4160. 23. Cohn H., Larsen M., Propp J. The shape of a typical boxed plane partition, New York J. Math. 4 (1998), 137-165.
Литература 533 24. Curtis С. W. Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur and Brauer, History of Mathematics 15, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. 25. Doty S., Walker G. Modular symmetric functions and irreducible modular representations of general linear groups, J. Pure Appl. Algebra 82 (1992), 1- 26. 26. Duchamp G., Krob D., Leclerc В., Thibon J.-Y. Fonctions quasi-symetriques, fonctions symetriques non commutatives et algebres de Hecke ag = 0, С R. Acad. Sci. Paris Sir. I Math. 322 (1996), 107-112. 27. Duchamp G., Klyachko A., Krob D., Thibon J.-Y. Noncommutative symmetric functions III: Deformations of Cauchy and convolution algebras, Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 1 (1997), No. 2, 159-216. 28. Ehresmann C. Sur la topologie de certains espaces homogenes, Ann. Math. 35 (1934), 396-443. 29. Erdos P., Szekeres G. A combinatorial problem in geometry, Compositio Math. 2 (1935), 463-470. 30. Feit W. The degree formula for the skew-representations of the symmetric group, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 740-744. 31. Фомин С. В. Двумерный рост в дедекиндовых решетках. Дипломная работа. ЛГУ, 1979. 32. Фомин С. В. Обобщенное соответствие Робинсона-Шенстеда-Кнута, Записки научн. семинаров ЛОМИ 155 (1986), 156-175. 33. Fomin S. Duality of graded graphs, J. Alg. Combinatorics 3 (1994), 357-404. 34. Fomin S. Schensted algorithms for dual graded graphs, J. Alg. Combinatorics 4 (1995), 5-45. 35. Fomin S., Greene C. Noncommutative Schur functions and their applications, Discrete Math. 193 (1998), No. 1-3, 179-200. 36. Foulkes H. O. A survey of some combinatorial aspects of symmetric functions, In: Permutations (Actes Colloq., Univ. Rene-Descartes, Paris, 1972), Gauthiers-Villars, Paris, 1974, pp. 79-92. 37. Foulkes H. O. Enumeration of permutations with prescribed up-down and inversion sequences, Discrete Math. 15 (1976), 235-252. 38. Frame J. S., Robinson G. de В., Thrall R. M. The hook graphs of Sn, Canadian J. Math. 6 (1954), 316-324. 39. Franzblau D. S., Zeilberger D. A bijective proof of the hook-length formula, J. Algorithms 3 (1982), 317-343. 40. Frobenius F. G. Uber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, J. Reine Angew. Math. (= Crelle's J.) 101 (1887), 273-299; reprinted in Gesammelte Abhandlungen, vol. 2, Springer-Verlag, Heidelberg, 1988, pp. 304-330. 41. Fulton W. Intersection Theory, Springer-Verlag, New York, Berlin, 1984. [Имеется перевод: Фултон У. Теория пересечений. —М.: Мир, 1989.] 42. Fulton W., Harris J. Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 129, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1991. 43. Garsia A. M., Haiman M. Some natural bigraded Sn-modules and q, t-Kostka coefficients, Electron. J. Combinatorics 3 (1996), R24; also published in The Foata Festshrift (J. Desarmenien, A. Kerber, and V. Strehl, eds.), Imprimerie Louis-Jean, Gap, France, 1996, pp. 561-620.
534 Гл. 7. Симметрические функции 44. Gelfand I. М., Krob D., Lascoux A., Leclerc В., Retakh V. S., Thibon J.-Y. Noncommutative symmetric functions, Advances in Math. 112 (1995), 218- 348. 45. Гельфанд И. M., Цетлин M. Л. Конечномерные представления группы уни- модулярных матриц, Докл. АН СССР 71 (1950), 825-828. 46. Gessel I. М. Multipartite P-partitions and inner products of skew Schur functions, Contemp. Math. 34 (1984), 289-301. 47. Gessel I. M., Viennot G. X. Determinants, paths, and plane partitions, preprint dated July 28, 1989. 48. Giambelli G. Risoluzione del problema degli spazi secanti, Mem. R. Accad. Sci. Torino (2), 52 (1903), 171-211. 49. Girard A. Invention nouvelle en Valgebre, Amsterdam, 1629. 50. Gordon B. Notes on plane partitions. V, J. Combinatorial Theory (B) 11 (1971), 157-168. 51. Greene C, Nijenhuis A., Wilf H. S. A probabilistic proof of a formula for the number of Young tableaux of a given shape, Advances in Math. 31 (1979), 104-109. 52. Haiman M. On mixed insertion, symmetry, and shifted Young tableaux, J. Combinatorial Theory (A) 50 (1989), 196-225. 53. Hall J. I., Palmer E. M., Robinson R. W. Redfield's lost paper in a modern context, J. Graph Theory 8 (1984), 225-240. 54. Hall P. The algebra of partitions, In: Proc. J^th Canadian Math. Congress (Banff), 1959, pp. 147-159; reprinted in MacMahon P. A. Collected Papers, vol. 1 (G. E. Andrews, ed.), MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978, and in Hall P. The Collected Works of Philip Hall, Oxford University Press, Oxford-New York, 1988, pp. 465-477. 55. Harary F., Robinson R. W. The rediscovery of Redfield's papers, J. Graph Theory 8 (1984), 191-192. 56. Hawkins T. The origins of the theory of group characters, Arch. Hist. Exact Sci. 7 (1970/71), 142-170. 57. Hawkins T. Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory, Arch. Hist. Exact Sc. 8 (1971), 243-287. 58. Hawkins T. New light on Frobenius' creation of the theory of group characters, Arch. Hist. Exact Sci. 12 (1974), 217-243. 59. Hawkins T. The creation of the theory of group characters, Rice Univ. Studies 64 (1978), 57-71. 60. Hillman A. P., Grassl R. M. Reverse plane partitions and tableaux hook numbers, J. Combinatorial Theory (A) 21 (1976), 216-221. 61. Hodge W. V. D. The basis for algebraic varieties of given dimension on grassmanian varieties, J. London Math. Soc. 16 (1941), 245-255. 62. Hodge W. V. D. The intersection formulae for a grassmanian variety, J. London Math. Soc. 17 (1942), 48-64. 63. Horrocks G. On the relation of ^-functions to Schubert varieties, Proc. London Math. Soc. 7 (1957), 265-280. 64. Jacobi K. G. J. De functionibus alternantibus earumque divisione per productum e differentiis elementorum conflatum, J. Reine Angew. Math. \= Crelle's Journal) 22 (1841), 360-371; Werke, vol. 3, pp. 439-452. A German
Литература 535 translation was given by G. Stackel in Uber die Bildung und die Eigenschaften der Determinant en, Leipzig, 1896. 65. James G. D., Kerber A. The Representation Theory of the Symmetric Group, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 16, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1981. 66. Johnson W. W. On the calculation of the co-factor of alternants of the fourth order, Amer. J. Math. 7 (1885), 380-388. 67. Kerber A. Algebraic Combinatorics via Finite Group Actions, Wissenschafts- verlag, Mannheim-Vienna-Zurich, 1991. 68. Kleiman S. L. Problem 15. Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus, In: Mathematical Developments Arising From Hubert's Problems (Proc. Symp. Pure Math. 19), American Mathematical Society, Providence, RI, 1976, pp. 445-482. 69. Kleiman S. L., Laksov D. Schubert calculus, Amer. Math. Monthly 79 (1972), 1061-1082. 70. Knuth D. E. A note on solid partitions, Math. Сотр. 24 (1970), 955-961. 71. Knuth D. E. Permutations, matrices, and generalized Young tableaux, Pacific J. Math. 34 (1970), 709-727. 72. Knuth D. E. The Art of Computer Programming, vol. 3, Sorting and Searching, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1973. [Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 3, Сортировка и поиск. — М.: Мир, 1978.] 73. Kostka С. Uber die Bestimmung von symmetrischen Funktionen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch deren Coefficienten, Crelle's Journal 81 (1875), 281-289. 74. Kostka C. Uber den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Functionen, Crelle's Journal 93 (1882), 89-123. 75. Kostka C. Tafeln fur symmetrische Funktionen bis zur elften Dimension, Wissenschaftliche Beilage zum Programm des konigl. Gymnasiums and Realgymnasiums zu Insterberg, 1908. 76. Krattenthaler C. Bijective proofs of the hook formulas for the number of standard Young tableaux, ordinary and shifted, Electron. J. Combinatorics 2 (1995), R13. 77. Krattenthaler C. An involution principle-free bijective proof of Stanley's hook- content formula, Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 3 (1998), No. 1, 11-32. 78. Krattenthaler C. A bijective proof of the hook-content formula for super Schur functions and a modified jeu de taquin, Electron. J. Combinatorics 3 (1996), R14; also published in The Foata Festshrift (J. Desarmenien, A. Kerber, and V. Strehl, eds.), Imprimerie Louis-Jean, Gap, France, 1996, pp. 373-396. 79. Krattenthaler C. Another involution principle-free proof of Stanley's hook- content formula, J. Combinatorial Theory (A) 88 (1999), No. 1, 66-92. 80. Krob D., Leclerc В., Thibon J.-Y. Noncommutative symmetric functions. II. Transformations of alphabets, Intemat. J. Algebra Comput 7 (1997), 181-264. 81. Krob D., Thibon J.-Y. Noncommutative symmetric functions IV: Quantum linear groups and Hecke algebras at q = 0, J. Alg. Combinatorics 6 (1997), 339-376.
536 Гл. 7. Симметрические функции 82. van Leeuwen М. A. A. The Robinson-Schensted and Schutzenberger algorithms, Part 1: New combinatorial proofs, preprint AM-R9208, Centrum voor Wiskunde en Informatica, 1992. 83. van Leeuwen M. A. A. The Robinson-Schensted and Schutzenberger algorithms, an elementary approach, Electron. J. Combinatorics 3, (1996) R15; reprinted in The Foata Festschrift (J. Desarmenien, A. Kerber, and V. Strehl, eds.), Imprimerie Louis-Jean, Gap, 1996, pp. 397-442. 84. Lesier L. Les problemes d'intersection sur une variete de Grassmann, С R. Acad. Sci. Pans 225 (1947), 916-917. 85. Littlewood D. E. The construction of invariant matrices, Proc. London Math. Soc. (2) 43 (1937), 226-240. 86. Littlewood D. E. Invariant theory, tensors, and group characters, Phil Trans. Royal Soc. London (A) 239 (1944), 305-365. 87. Littlewood D. E. A University Algebra, William Heineman Ltd., Melbourne- London-Toronto, 1950; 2nd ed., 1958. 88. Littlewood D. E. The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, 2nd ed., Oxford University Press, London, 1950; reprinted in 1958. 89. Littlewood D. E., Richardson A. R. Group characters and algebra, Phil. Trans. Royal Soc. London (A) 233 (1934), 99-141. 90. Littlewood D. E., Richardson A. R. Some special S-functions and ^-series, Quart. J. Math. (Oxford) 6 (1935), 184-198. 91. Lloyd E. K. J. Howard Redfield: 1879-1944, J. Graph Theory 8 (1984), 195- 203. 92. Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press, Oxford, 1979. [Имеется перевод: Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985.] 93. Macdonald I. G. Polynomial functors and wreath products, J. Pure Appl. Algebra 18 (1980), 173-204. 94. Macdonald I. G. The algebra of partitions, In: Group Theory, Academic Press, London-New York, 1984, pp. 315-333. 95. Macdonald I. G. Notes on Schubert Polynomials, Publ. LACIM 6, Univ. du Quebec a Montreal, 1991. 96. Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2nd ed., Oxford University Press, Oxford, 1995. 97. Macdonald I. G. Schur functions: themes and variations, In: Seminaire Lotharingien de Combinatoire, Publ. I.R.M.A. Strasbourg, No. 498, 1992, pp. 5-39. 98. MacMahon P. A. Memoir on the theory of the partitions of numbers — Part I, Phil. Trans. Royal Soc. London (A) 187 (1897), 619-673; Collected Works, vol. 1 (G. E. Andrews, ed.), MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978, pp. 1026-1080. 99. MacMahon P. A. Memoir on the theory of the partitions of numbers — Part IV, Phil. Trans. Royal Soc. London (A) 209 (1909), 153-175; Collected Works, vol. 1 (G. E. Andrews, ed.), MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978, pp. 1292-1314. 100. MacMahon P. A. Partitions of numbers whose graphs possess symmetry, Trans. Cam. Phil. Soc. 17 (1899), 149-170; Collected Works, vol. 1 (G. E. Andrews, ed.), MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978, pp. 1384-1405.
Литература 537 101. MacMahon P. A. Combinatory Analysis, vols. 1 and 2, Cambridge University Press, Cambridge, 1915, 1916; reprinted in one volume by Chelsea, New York, I960. 102. Malvenuto C, Reutenauer C. Duality between quasi-symmetric functions and the Solomon descent algebra, J. Algebra 177 (1995), 967-982. 103. Mitchell О. H. Note on determinants of powers, Amer. J. Math. 4 (1882), 341-344. 104. Molev A. Factorial supersymmetric Schur functions and super Capelli identities, In: Kirillov's Seminar on Representation Theory (G. I. Olshanski, ed.), Amer. Math. Soc. Translations (2) 181, American Mathematical Society, Providence, RI, 1998, pp. 109-137. 105. Muir T. On the quotient of a simple alternant by the difference-product of the variable, Proc. Royal Soc. Edinburgh 14 (1887), 433-445. 106. Muir T. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, vol. 1, 2nd ed., MacMillan, London, 1906. 107. Murnaghan F. D. On representations of the symmetric group, Amer. J. Math. 59 (1937), 437-488. 108. Nagelsbach H. Uber eine Classe symmetrischer Functionen, Sch.-Prog., Zwei- briicken, 1871. 109. Nakayama T. On some modular properties of irreducible representations of a symmetric group, I, Japan. J. Math. 17 (1941), 165-184. 110. Nanda V. S. Partition theory and thermodynamics of multi-dimensional harmonic oscillator assemblies, Proc. Cam. Phil. Soc. 47 (1951), 591-601. 111. Nanda V. S. Tables of solid partitions, Proc. Nat. Inst. Sci. India (A) 19 (1953), 313-314. 112. Neumann P. M. A lemma that is not Burnside's, Math. Sci. 4 (1979), 133-141. 113. Novelli J.-C, Рак I., Stoyanovskii A. V. A new proof of the hook-length formula, Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. 1 (1997), 053-067. 114. Okada S. Wreath products by the symmetric groups and product posets of Young's lattices, J. Combinatorial Theory (A) 55 (1990), 14-32. 115. Okounkov A. Binomial formula for Macdonald polynomials and applications, Math. Res. Lett. 4 (1997), 533-553. 116. Окуньков А. Ю., Ольшанский Г. И. Сдвинутые функции Шура, Алгебра и анализ 9 (1997), 73-146. 117. Okounkov A., Olshanski G. Shifted Schur functions II. The binomial formula for characters of classical groups and its applications, In: Kirillov's Seminar on Representation Theory (G. I. Olshanski, ed.), Amer. Math. Soc. Translations (2) 181, American Mathematical Society, Providence, RI, 1998, pp. 245-271. 118. Pieri M. Sul problema degli spazi secanti. Nota la, Rend. 1st. Lombardo (2) 26 (1893), 534-546. 119. P6lya G. Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen, und chemische Verbindungen, Acta Math. 68 (1937), 145-254. [Имеется перевод: Пойа Д. Комбинаторные вычисления для групп, графов и химических соединений. В сб.: Перечислительные задачи комбинаторного анализа. — М.: Мир, 1979, с. 36-138.] 120. P6lya G., Read R. С. Combinatorial Enumeration of Groups, Graphs, and Chemical Compounds, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1987.
538 Гл. 7. Симметрические функции 121. Proctor R. A. Bruhat lattices, plane partition generating functions, and minuscule representations, Europ. J. Combinatorics 5 (1984), 331-350. 122. Rabinowitz S. Advanced Problem 5641, Amer. Math. Monthly 75 (1968), 1125. 123. Read R. C. The use of S'-functions in combinatorial analysis, Canadian J. Math. 20 (1968), 808-841. 124. Redfield J. H. The theory of group reduced distributions, Amer. J. Math. 49 (1927), 433-455. [Имеется перевод: Редфилд Дж. Г. Теория распределений, приведенных по группе. В сб.: Перечислительные задачи комбинаторного анализа. — М.: Мир, с. 9-35.] 125. Redfield J. Н. Enumeration by frame group and range groups, J. Graph Theory 8 (1984), 205-223. 126. Reiner V., Shimozono M. Key polynomials and a flagged Littlewood- Richardson rule, J. Combinatorial Theory (A) 70 (1995), 107-143. 127. Remmel J. B. Bijective proofs of formulae for the number of standard Young tableaux, Linear and Multilinear Algebra 11 (1982), 45-100. 128. Remmel J. В., Whitney R. A bijective proof of the hook formula for the number of column strict tableaux with bounded entries, Europ. J. Combinatorics 4 (1983), 45-63. 129. Remmel J. В., Whitney R. A bijective proof of the generating function for the number of reverse plane partitions via lattice paths, Linear and Multilinear Algebra 16 (1984), 75-91. 130. Reutenauer C. Free Lie Algebras, Oxford University Press, Oxford, 1993. 131. Robinson G. de B. On the representations of Sn, Amer. J. Math. 60 (1938), 745-760. 132. Roby T. Applications and extensions of Fomin's generalization of the Robinson-Schensted correspondence to differential posets, Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1991. 133. Roby T. The connection between the Robinson-Schensted correspondence for skew oscillating tableaux and graded graphs, Discrete Math. 139 (1995), 481- 485. 134. Sagan В. E. The ubiquitous Young tableau, In: Invariant theory and tableaux (Minneapolis, MN, 1988) (D. Stanton, ed.), IMA Vol. Math. Appl. 19, Springer-Verlag, New York, 1990, pp. 262-298. 135. Sagan В. E. The Symmetric Group, Wadsworth&Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1991. 136. Schensted С. E. Longest increasing and decreasing subsequences, Canadian J, Math. 13 (1961), 179-191. 137. Schur I. Uber eine Klasse von Matrizen die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen, Inaugural-Dissertation, Friedrich-Wilhelms-Universitat zu Berlin, 1901; Ges. Abhandlungen, vol. 1, pp. 1-72. 138. Schur I. Aufgabe 569, Arch. Math. Phys. (3) 27 (1918), 163; Ges. Abhandlungen, vol. 3, p. 456. 139. Schur I. Uber die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wissenschaften 10 (1927), 58-75; Ges. Abhandlungen, vol. 3, pp. 68-85. 140. Schutzenberger M. P. Quelques remarques sur une construction de Schensted, Math. Scand. 12 (1963), 117-128.
Литература 539 141. Seidenberg A. A simple proof of a theorem of Erdos and Szekeres, J. London Math. Soc. 34 (1959), 352. 142. Serre J.-P. Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1977. [Имеется перевод: Ж.-П. Cepp, Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1970.] 143. Specht W. Eine Verallgemeinerung der symmetrischen Gruppe, Schriften Math. Seminar Berlin 1 (1932), 1-32. 144. Stanley R. Solution to Advanced Problem 5641, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 1153. 145. Stanley R. Theory and application of plane partitions, Part 1, Studies in Applied Math. 50 (1971), 167-188. 146. Stanley R. Theory and application of plane partitions, Part 2, Studies in Applied Math. 50 (1971), 259-279. 147. Stanley R. The conjugate trace and trace of a plane partition, J. Combinatorial Theory 14 (1973), 53-65. 148. Stanley R. Some combinatorial aspects of the Shubert calculus, In: Combinatoire et Representation du Groupe Symetrique (Strasbourg, 1976), Lecture Notes in Math. 579, Springer-Verlag, Berlin, 1977, pp. 217-251. 149. Stanley R. Invariants of finite groups and their applications to combinatorics, Bull. (New Series) Amer. Math. Soc. 1 (1979), 475-511. 150. Stanley R. Some combinatorial properties of Jack symmetric functions, Advances in Math. 77 (1989), 76-115. 151. Stanton D., White D. Constructive Combinatorics, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1986. 152. Sundaram S. Tableaux in the representation theory of the classical Lie groups, In: Invariant Theory and Tableaux (Minneapolis, MN, 1988), IMA Vol. Math. Appl. 19, Springer-Verlag, New York, 1990, pp. 191-225. 153. Trudi N. Intorno ad un determinante piu generale di quello che suol dirsi determinante delle radici di una equazione, ed alle funzioni simmetriche complete di questi radici, Rendic. dell' Accac. (Napoli) (1864), 121-134; with a slightly different title in Giomale di Mat. 2 (1864), 152-158, 180-186. 154. Vahlen K. Th. Rationale Funktionen der Wurzeln; symmetrische und Affekt- funktionen, In: Encyklopddie der Mathematischen Wissenschaften, Erster Band, Teubner, Leipzig, 1898-1904, pp. 449-479. 155. Viennot G. Une forme geometrique de la correspondance de Robinson- Schensted, In: Combinatoire et representation du groupe symetrique (Strasbourg, 1976), Lecture Notes in Math. 579, Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York, 1977, pp. 29-58. 156. Viennot G. Chain and antichain families, grids and Young tableaux, In: Orders: descriptions and roles (L'Arbresle, 1982), North-Holland Math. Stud. 99, North-Holland, Amsterdam-New York, 1984, pp. 409-463. 157. Wachs M. L. Flagged Schur functions, Schubert polynomials, and symmetrizing operators, J. Combinatorial Theory (A) 40 (1985), 276-289. 158. van der Waerden B. L. Topologische Begrundung des Kalkuls der abzahlenden Geometrie, Math. Ann. 102 (1930), 337-362. 159. Weyl H. The Classical Groups, 2nd ed., Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1946. [Имеется перевод: Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. — М.: ИЛ, 1947.]
540 Гл. 7. Симметрические функции 160. Wright Е. М. Rotatable partitions, J. London Math. Soc. 43 (1968), 501-505. 161. Wright E. M. Burnside's lemma: a historical note, J. Combinatorial Theory (B) 30 (1981), 89-90. 162. Young A. Qualitative substitutional analysis (third paper), Proc. London Math. Soc. (2) 28 (1927), 255-292. 163. Zelevinsky A. V. Representations of Finite Classical Groups, a Hopf Algebra Approach, Lecture Notes in Math., 569, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York, 1981. Упражнения 7.1. [1] Верно или нет следующее утверждение? Диаграмма Фер- ре разбиения (4,4,3) имеет вид 7.2. Пусть Раг(п) обозначает множество всех разбиений числа п, упорядоченных по доминированию. a. [2] Покажите, что Раг(п) является решеткой. b. [2+] Покажите, что Раг(п) — самодвойственная решетка. c. [2+] Найдите наименьшее значение п, для которого Раг(п) не является градуированной решеткой. d. [2+] Покажите, что наибольшее число элементов, покрываемых элементом из Раг(п), равно |_|(\/1 + 8п — 3)J. e. [2+] Покажите, что длина кратчайшей максимальной цепи в Раг(п) равна 2п — 4 при п ^ 3. f. [3-] Покажите, что длина наиболее длинной максимальной цепи в Раг(п) равна ^m(m2 + 3r-l)~i(2n)3/2, где п = (т+1) +г, 0 ^ г ^ га. 7.3. [2+] Выразите степенной ряд Пг>10- + х* + х1) чеРез элементарные симметрические функции. 7.4. [2+] Покажите, что п /lr(xi,...,Xn) = 2_^я£~1+Г \\(Xk -Xi)~l. к=1 i^k 7.5. [2+] Докажите тождество V к ) "i-E^i(»-i)*»f" (7.123)
Упражнения 541 7.6. [2+] Пусть подстановка w £ 6п имеет цикловый тип Л. Дайте прямое биективное доказательство предложения 7.7.3, т. е. докажите, что число элементов v £ 6П, коммутирующих с w, равно z\ = lmimi! 2m2m2! • • •, где га; = га;(А). 7.7. [2+] Пусть £1п обозначает подпространство пространства Лп, состоящее из всех / £ Лп, удовлетворяющих равенству /(xi,-xi,x3,x4,...) = /(ж3,х4,...). Например, rai = х\ + х2 + • • • G О,1. Найдите «простой» базис пространства Q,n. Выразите размерность пространства £1п в терминах количества разбиений числа п с подходящими ограничениями. 7.8. [2+] Пусть / £ Лп. Для произвольной функции д £ Лп определим gk £ А.пк формулой 9k(xi, х2,...) = д(хг, х2,...). Покажите, что 7.9. [2+] Пусть Л—разбиение числа п длины L Определим забытую симметрическую функцию Д формулой Д =£\и(тх), где, как обычно, е\ = (-1)п~£. (Иногда Д определяют просто как ы(гал).) Пусть Д = 2uaA/x"V- Покажите, что коэффициент ал/х равен числу различных перестановок (ai,..., ае) последовательности (Ai,..., Л^), таких, что {ai + • • • + а< : 1 < i < ^} D {/X! + • • • + /xj : 1 < j < £(/х)}. Например, если Л = (3,2,1,1) и /i = (5,2), то ад^ = 5, что отвечает перестановкам (3,2,1,1), (2,3,1,1), (1,1,3,2), (1,3,1,2) и (3,1,1,2). 7.10. [3-] Пусть А £ Par. Определим симметрические степенные ряды Ах(х) = Д(1 -хаГ\ Вх(х) = Д(1 + *°% а а где а пробегает все различные перестановки последовательности (Ai, Л2,...). Найдите формулу, выражающую ljA\(x) и ljB\(x) через функции А^(х) и В^(х). Например, uAi(x) = В1(х)1 шАц(х) = А2(х)Ап(х), и>А2(х) = А2(х)~1.
542 Гл. 7. Симметрические функции В общем случае дайте ответ в терминах коэффициентов a\fl, определенных в упр. 7.9. 7.11. [2+] Пусть q — независимая переменная. Найдите разложение суммы Y2u\-n Я£^~г Шц по функциям Шура. 7.12. [3-] Докажите утверждение, обратное к предложению 7.10.5, т. е. покажите, что если /х,АЬпи/х^А (относительно упорядочения по доминированию), то К\^ ф 0. 7.13. а. [З-]1) Пусть Л Ь п и /х Ь п, причем Л ф (п). Предположим, что Ai ф /xi и Х[ ф /х^. Покажите, что К\^ = 1 тогда и только тогда, когда A=((ra-fl)m) для некоторого га (таким образом, п = т(т + 1)) и /z = (mm+1). (Подчеркнем, что /х — разбиение, а не просто разложение.) Отметим, что этот результат дает полное описание того, когда К\^ = 1, поскольку при Ai = /ii имеем К\у. = ^(А2,А3|...),(м2,мз,...)' тогДа как ПРИ К = Vi = t имеем К\р = if(Ai-l,...,A«-l),(Mi-l,...,M«-l)- b. [5-] Найдите «разумное» описание тех разбиений A, /i, г/, для которых коэффициент Литтлвуда-Ричардсона с^и равен 1. 7.14. а. [2] Покажите, что число полустандартных таблиц Юнга типа (г, г, г) (т. е. с г единицами, г двойками и г тройками и без других элементов) равно -^(4г3 + 18г2 + 28г + 15 + (-1)г). Ь. [3+] Зафиксируем п ^ 1. Покажите, что существуют такие многочлены Рп(г) степени (™) и Qn(^) степени ^2[(n-i)/2j^ _ ^ чт0 число полустандартных таблиц Юнга типа (г,..., г) (п раз) равно Pn(^)+(—l)rQn(0- (Наиболее трудная часть состоит в определении степени многочлена Qn{r).) 7.15. a. [2-f ] Пусть р — простое число. Обозначим через Мр(п) количество разбиений А числа п, таких, что число /л стан- х) Формулировка этого упражнения неверна. Например, Я>77,6654 = 1 является контрпримером к приведенному в упражнении утверждению. Один из способов исправить формулировку состоит в следующем. Пусть Л^ = • • • = ЛП1 > Лп1+1 = * * * = Лп2 > *п2 + 1 > Anfc_1+i = • • • = X'nk > 0 являются частями разбиения А'. Положим \(" = (\nj_1+i,..., А^.), считая, что по = 0. Таким образом, А^ является разбиением прямоугольной формы. Пусть и — разбиение с \и\ = |А|. Положим и^ = (unj_1+i,..., unj)- Тогда К\р = 1в том и только в том случае, когда в упорядочении по доминированию А^/хи (i) |А^')| = |/х^')| и \V) ^и^ для всех j; (ii) для всех 1 ^. j ^ к либо 0 ^ а'п_л+1 ~~ An_i+i ^ *» ли°о 0 ^ А^. — и'п. ^ 1. — Прим. автора при переводе.
Упражнения 543 дартных таблиц Юнга формы Л взаимно просто с р. Пусть р-ичная запись числа п выглядит так: п = а0 + aip + а2р2 Н , 0 ^ а* < р - 1. Положим Р(х) = Пп>1(1 — хП)~г- Покажите, что Мр(п) = Yl (коэффициент при xaj в разложении P(x)pJ). b. [1+] Выведите из п. (а), что если п = pkl + рк2 + • • •, где к\ < &2 < * * *, то Мр(п) = pfci+fca+-e 7.16. а. [3] Пусть jBfc = ^Л яд, где суммирование ведется по всем разбиениям, имеющим не более к частей. Положим оо Покажите, что п=0 В2т ~ det(Ci-j + Ci+J-lJl^ij^mj #2m+l = h • det(C{-j + Ci+j)i^ij^m, где h = J2n}zohn- b1). [3-] Пусть 2/fc(n) —число стандартных таблиц Юнга с п клетками и не более чем к строками, и пусть Сп обозначает число Каталана ^ту (2^) • Выведите из п. (а), что ^>=(Ln/2j)' l»/2j / v *(«)=Е (*)<*. У4(п) = CL(n+i)/2jC|-(n+i)/2-|, c. [2]-[3+] Дайте комбинаторное доказательство приведенных выше формул для 2/2(гс),..., 2/5 (гс). Кроме того, рассматривая произведение s ^n/2j 5 [-n/2], дайте простое дока- ^В работе Gascon F. Fonctions de Bessel et Combinatoire, Publ. LACIM 28, Univ. du Quebec a Montreal, 2002 (c. 75), формулы для yi(n) и щ(п) (см. п. (е) настоящего упражнения) были распространены на г ^ 6. В частности, « е>«\ - «Г9»М V^ (10n-13fc + 8)Cfc+1 y6(2n) - 6(2n)! l,(n_fc + 2)!(n_fc)!(fc + 4)!fc!. где Cfc+i обозначает число Каталана. — Прим. автора при переводе.
544 Гл. 7. Симметрические функции зательство формулы для У2(п), использующее симметрические функции. d. [3] Пусть Rk(x,y) = Yl\sb(x)s><(y)i гДе сумма берется по всем разбиениям на не более чем к частей. Положим оо Ai = ^2Ы+г(х)Ы(у). 1=0 Покажите, что Rk(x,y) = det(Aj-i)^j=1. e. [2+] Пусть Uk(n) — число пар стандартных таблиц Юнга одной формы с п клетками и не более чем к строками. Выведите из п. (с), что U2(n) = Сп и "M-(»+lw»+»gU)U+i)U+l>(7Л24) f. [2], [5-] Дайте комбинаторные доказательства приведенных выше формул для U2(n) и из(п). 7.17. а. [3-] Пусть Wi(n) — число способов нарисовать г диагоналей в выпуклом n-угольнике так, чтобы внутренности диагоналей не пересекались. Дайте биективное доказательство того, что Wi(n) равно числу стандартных таблиц Юнга формы ((г + I)2,1п-г-3) (т.е. два элемента равны г -f 1 и п — г — 3 элементов равны 1; если г = 0, то п — 1 элементов равны 1). Ь. [2-] Выведите из п. (а) и формулы крюков (следствие 7.21.6), что wiin) = J-(n+:)(n:3 Это согласуется с формулой (6.74). 7.18. [3-] Решите следующую шахматную задачу; Серийный кооперативный мат в 25 ходов. Сколько существует решений?
Упражнения 545 Определение серийного кооперативного мата дано в упр. 6.23. 7.19. [3-] Пусть а — косая диаграмма, рассматриваемая как подмножество в РхР. Например, 32/1 = {(1,2), (1,3), (2,1), (2,2)}. Пусть ~P(j(ri) — число пар разбиений (Л, /i), для которых \х С Л, /i Ь п и A//i — сдвиг диаграммы а. Например, если а — 32/1, то Р(т(6) = 3, что соответствует А//х = 532/51, 43111/21111, 541/321. Предположим, что наименьший прямоугольник, содержащий сг, имеет г строк и s столбцов, at — наименьшее целое число, для которого а — р/г/ и v Ь t. Покажите, что \"„ (т, ifb"- [*-1]![г-1]! >Pcr{n + t)q = —, £й [оо]![г + а-1]! где [fc]! = n!Li(i-Л- 7.20. а. [2] Пусть A h п. Покажите, что [Пг(шг(Л)!)-1](Р1^л> равно числу разбиений множества [п] типа Л (т. е. с блоками размера Ai, Л2,...). b. [2+] Пусть Т — стандартная таблица Юнга формы А Ь п. Для каждого элемента г таблицы Т, не лежащего в первом столбце, пусть /(г) обозначает число элементов j в столбце непосредственно слева от г и в строках не выше г, для которых j < г. Положим /(Г) = Пг/(*)> Г^е * пробегает все элементы таблицы Т кроме находящихся в первом столбце. Например, если 1368 Т= 247 , 5 то /(3) = 2, /(4) = 1, /(6) = 2, /(7) = 1, /(8) = 2 и f(T) = 8. Покажите, что <Р1,ЛА>, т L i где Т пробегает все стандартные таблицы Юнга формы А. с. [3-] Обобщите п. (Ь) на полустандартные таблицы Юнга Т заданной формы А и типа /i (таким образом, п. (Ь) будет частным случаем /i = (1п)). 7.21. [3] Пусть А Ь п. Размещение и »-+ аи различных целых чисел 1,... ,п в клетках и £ А называется сбалансированной таблицей формы А, если для всякого и £ А число аи есть к-е по величине (в порядке убывания) число в крюке для и, где
546 Гл. 7. Симметрические функции к —длина ноги крюка (число клеток непосредственно под и, считая саму клетку и) для и. Например, сбалансированными таблицами формы (3,2) являются 421 423 425 435 321 53 51 31 21 54 * Пусть Ьх —число сбалансированных таблиц формы Л. Покажите, что Ьх равно числу /Л стандартных таблиц формы Л. 7.22. Пусть Si обозначает транспозицию (г, г + 1) £ &п соседних чисел, где 1 ^ г ^ п — 1. Пусть w £ бп. Нетрудно видеть, что наименьшее целое число р, для которого w является произведением р транспозиций соседних элементов, равно числу инверсий £(w) перестановки w. (Число инверсий1) было определено в разд. 1.3 и обозначалось там г (it;).) Приведенное разложение перестановки w — это последовательность а = (ai,..., ap), где р = £(w), такая, что w = sai • • • sap • Как обычно, определим множество спуска D(a) = {i : 1 ^ i ^ р — 1 и ai > az+i}; обозначим через со(а) разложение co(D(a)) £ Comp(p), определенное в разд. 7.19. a. [1+] Пусть R(w) обозначает множество приведенных разложений перестановки it;, а r(w) = #R(w). Определим квазисимметрическую функцию Fw формулой a€R{w) Покажите, что r(w) = [х\ - - -xp]Fw. (Функция La определена в формуле (7.89).) b. [3] Покажите, что Fw £ Лр, т.е. Fw — однородная симметрическая функция степени р. Следовательно, если Fv> = Y,\^vcw\s\, то гН=5>„Л/Л. (7.125) АЬр c. [3-] Положим ri(w) = #{j : j <i и aj > aj, 1 ^ i ^ n, Si(w) = #{j : j > i и aj < a*}, 1 ^ г ^ n. Таким образом, Yliri{w) — Ylisi{w) = t{w). Пусть X(w) обозначает разбиение, полученное при расположении чисел ri(it;),... ,гп(гу) в убывающем порядке (нули не рас- х) Пара (bi,bj) называется инверсией перестановки 7Г = Ь\ • • • Ьп, если i < j и bi > bj. — Прим. перев.
Упражнения 547 сматриваются). Пусть n(w) обозначает сопряженное к разбиению //(ги), полученному при расположении чисел si(w),... ,sn(w) в убывающем порядке. Покажите, что если cwv ф О, то /i(w) ^ г/ ^ Л(г^) в упорядочении по доминированию. Кроме того, cWifJL(w) = ^^(гу) = 1. Следовательно, разложение Fw состоит из единственной функции Шура s„ (и тогда r(w) = /") в том и только в том случае, когда jj,(w) = X(w) = v. [3-] Покажите, что X(w) = n(w) тогда и только тогда, когда w = w\ • • • wn — 2143-избегающая перестановка, т.е. нет таких а < Ь < с < d, что и)ъ < wa < w<i < wc. Такие перестановки также называются флаговыми перестановками (vexillary permutations, от латинского слова vexillum, означающего «флаг»), потому что многочлены Шуберта, индексируемые флаговыми перестановками, являются флаговыми функциями Шура. Мы не будем определять здесь многочлены Шуберта и флаговые функции Шура. [3] Пусть v(n) — число флаговых перестановок в &п. Покажите, что v(n) = y, (/А)2- АЬп Более явная формула для v(n) следует затем из формулы (7.124). [2-] Пусть wq = п, п—1,..., 1 — перестановка из &п с максимальным числом инверсий. Выведите из п. (с), что число приведенных представлений перестановки wq равно {Щ>) = Ш '9n-3U \ol 2x + i + j-l Xn-i 3n-2 ... (2n - З)1 V2/ 'л Л}^„ i + 5 - l' g. [3+] Пусть p = (2). Покажите, что E (x+a1)...(x+ap)=(fjl Д . (ai,...,ap)€H(«;o) V 7 l^i<j^n J (7.126) Отметим, что взятие коэффициента при хр в обеих частях дает п. (f). Кроме того, подстановка х = О влечет за собой равенство Е ^■■■ap = (t)] <7-127) (аь...,ар)€Я(г1;о) ^ '
548 Гл. 7. Симметрические функции h. [3] Покажите, что cw\ ^ 0 для всех w £ 6П и Ah £(w). 7.23. [3-] Пусть Р — конечное градуированное ч. у. множество ранга п. Симметрическим цепным разложением множества Р называется такое его разбиение на цепи xi < Xi+i < ••• < xn-i, что Xj имеет ранг j. Пусть М обозначает конечное мультимножество {lai,..., kak}, а Вм — множество всех подмультимножеств из М, упорядоченных по включению. (Таким образом, Вм — просто произведение цепей длины ai,...,afc.) С каждым подмультимножеством N = {lbl,...,lbfc} £ Вм свяжем двустрочный массив w^, первая строка которого состоит из а\ единиц, a<i двоек и т. д., а во второй строке под каждым числом г стоят а; — Ь{ нулей, за которыми следуют Ь{ единиц. Два подмультимножества N и N' будем называть эквивалентными , если в результате применения алгоритма RSK к w^ и wn» получаются одни и те же вторые таблицы. Эта эквивалентность разбивает Вм на классы эквивалентности. Покажите, что они образуют симметрическое цепное разложение множества Вм- 7.24. а. [1] Пусть С/:Л->Ли D:A-> Л—линейные преобразования, определенные формулами U(f) = p\f и где д/dpi применяется к функции /, записанной в виде многочлена от pi. Покажите, что DU — UD есть тождественный оператор /. b. [1] Покажите, что DUk = kUk~l + UkD. c. [2] Выведите из пп. (а) и (Ь), что если I £ N, то (U + D)€= У п f., ,, хгв>. v ; ^ 2гг ? r:={£-i-j)/2€N d. [2-Ь] Осциллирующей таблицей формы Л и длины I называется последовательность разбиений 0 = Л°, Л1,..., Л^ = Л, таких, что для всех 1 ^ г < I — 1 диаграмма разбиения Лг получается из диаграммы для Лг-1 либо добавлением, либо удалением одной клетки. (Если каждый раз мы добавляем клетки, то £ = |А| и мы получаем стандартную таблицу формы Л.) Ясно, что если такая осциллирующая таблица существует, то I = |Л| + 2г для некоторого г £ N. Выведите из п. (с), что число f£ осциллирующих таблиц
Упражнения 549 формы Л и длины I = |Л| + 2г равно ■" (e-2r)\r\2r' е. [3-] Дайте биективное доказательство п. (d). 7.25. а. [3] Пусть/2fc(п) — количество способов выбрать диаграмму разбиения Л числа п, а затем 2к раз добавить или удалить по одной клетке так, чтобы диаграмма всегда оставалась диаграммой некоторого разбиения, а в результате получилась исходная диаграмма Л. Покажите, что 5>о*-^(ё|),да-«'>-. Отметим, что случай п = О, получающийся при подстановке q = О, совпадает со случаем Л = 0 в упр. 7.24(d).) b. [3-] Пусть д2к(п) —количество способов выбрать диаграмму разбиения Л числа п, затем удалить одну из клеток, затем добавить клетку, затем вновь удалить и т.д. (всего к раз удалить и к раз добавить) так, чтобы диаграмма всегда оставалась диаграммой некоторого разбиения, а в результате получилась исходная диаграмма Л. Например, до(п) равно числу р(п) разбиений числа п. Покажите, что п д2к(п) = J2(pU) -pU - Щп-Лк- 3=0 7.26. [3+] Для заданного и = (г, j) € А Ь п определим длину руки а(и) = Лг — j и длину ноги £(и) = Л'— г. Отметим, что длина крюка h(u) удовлетворяет равенству h(u) = а(и) + £(и) +1. Докажите тождество Е ( £ «'-V-1) П (i-t'-v-1) K(i,j)e\ ' (i,j)e\\(l,l) - Д (1 _ t-*(u)gl+a(ii))(1 _ fl+Wg-ad*)) (1 - t)(l - q) ' Ah uex 7.27. [3] Докажите следующие тождества (комбинаторным способом, если возможно). Здесь а и /3 — фиксированные разбиения. Е Е ?"*£—***& W* |А//х|=п vr1.
550 Гл. 7. Симметрические функции ь. Е Е (/^т-г^згПа-в1)-1- п^О дел |Л/М|=п 1-9 г>1 Л ^ г i<j ' fi f. е »х/ЛФ^шм = П к1 - 9") № - а:ад9п-1)| . g. J2 *х/ЛФу/Ау)<1м = Ш1 - 9n)_1 №+хшп~х)- h. £ «А/мСг)?1"1 п>1 /хСА = п к1 - 9п) П(1 - *<^9п-1) № - ^в"-1) п>1 L i<j -1 RSK 7.28. a. [3-] Предположим, что алгоритм RSK А —► {P,Q) применяется к симметричной матрице А (поэтому Р = Q). Покажите, что tr(A) равен количеству столбцов нечетной длины в таблице Р. b. [2-] Проверьте тождество Д(1 - qxi)-1 ■ Ц(1 - х^-)-1 = Е 9C(A)saW, (7-128) i i<j А где с(Л) обозначает число нечетных частей разбиения Л'. c. [1] Выведите отсюда, что Д(1 - XiXj)-1 = ^2 s{2fly (ж), i<j fi где 2/х= (2/xi,2/x2,...)- d. [2-] Зафиксируем k ^ 0. Вычислите сумму а(п,к) = ]Г^Л /л, где Л пробегает все разбиения числа пек нечетными частями. e. [2] Какое тождество получится в результате применения оператора и к (7.128)?
Упражнения 551 7.29. а. [3-] Покажите, что Д(1 - Xi) ■ Ц(1 - XiXj) = 2(-l)i(|A|+r,mk(A))eA, (7.129) i i<j A где Л пробегает все самосопряженные разбиения. b. [3-] Покажите, что Ц(1+^?)-Д(1 + ^^) = 25л' г i<j А где Л пробегает все разбиения, координаты Фробениуса которых имеют вид А = (ai + 1 • • • аг + 1 | ai • • • аг). Определение координат Фробениуса см. в упр. 7.39. с [3-] Покажите, что П(1+«г1 • да+^)-1=ем)1*1^, г i^j А где о(А) — число нечетных частей разбиения А и А пробегает все разбиения, удовлетворяющие условиям Xi — A;+i = 0,1 (mod 4), если А; четное, Xi — Ai+i = 1,2 (mod 4), если А; нечетное. 7.30. а. [2] Пусть А = (Ai,..., Ап) и /i = (/ii,..., /in) — разбиения длины не более п, связанные между собой соотношением А; + п — г = d(/jii + п — г), 1 ^ г ^ п, для некоторого фиксированного d G Р. Покажите, что вл(ж1,...,я:„) = вАХ(^,...,^) Д J . K*<i<n Ж* Xj b. [1-Ь] Предположим, что А = (d(n — 1), d(n — 2),..., d, 0). Выведите из п. (а), что SA(xi,...,zn) = Ц (xt1 + xf2xi+xt^ + - + xf-1). c. [3-] Из п. (Ь) следует, что число полустандартных таблиц формы A=(d(n-l),d(n-2),...,d)
552 Гл. 7. Симметрические функции и типа а = (ai,..., an) (где а\ Н + an = d(™)) равно числу способов так ориентировать ребра графа с множеством вершин {1,..., п} и d — 1 ребрами между любыми двумя различными вершинами, чтобы для 1 ^ i ^ п полустепень исхода вершины г была равна щ (т. е. из вершины i выходило ai ориентированных ребер). Дайте прямое комбинаторное доказательство этого утверждения. 7.31. [3] Пусть р простое число, и пусть /\.р обозначает матрицу [CJ"fe]?"fc=0 5 гДе С = е27гг/р. Покажите, что всякий минор матрицы Ар отличен от нуля. Эквивалентным образом, всякая квадратная подматрица В матрицы Ар обратима. (Указание. Используйте теорему 7.15.1.) 7.32. а. [2+] Пусть Л и /i — разбиения длины не более п. Покажите, что 5а(^1+П-^2+П"2,...,<Л) I лАг—A,+i—* (7.130) b. [2] Выведите из п. (а), что SX(l,q,q2,...,qn-3,qn-2,qn) г.П-1\ ^(l^2^3,...,^"2,^-1,^1) (1 + g + • • • + gn-2)(l + g + • • • + qn) 5Л(1, </,..., g""1). 7.33. a. [2+] Пусть S = (n — 1, n — 2,..., 1). Пусть t(n) обозначает число различных одночленов, появляющихся в ss(xi, ..., жп), т. е. число последовательностей а = (c*i,..., ап), для которых К sot 7^ 0. Например, £(3) = 7. Покажите, что t(n) равно числу помеченных лесов с п вершинами, которое, согласно формуле (5.42) и предложению 5.3.2, определяется с помощью равенства b. [3-] Пусть k G Р. Обобщите п. (а) на Sks(xii • • •, хп).
Упражнения 553 с. [5-] Можно ли сказать что-либо о числе различных одночленов в s\(xi,...,хп) для произвольного Л? 7.34. [3-] Пусть Л и /i — разбиения длины не более п. Покажите, что в кольце Лп (т. е. только для п переменных) имеет место равенство s\Sp = det(ftAi+Axn+1_i-*+i)^=i- 7.35. а. [2] Пусть R — кольцо. Гомоморфизм D: R —* R его аддитивной группы называется дифференцированием, если D(f9) = (Df)9 + f(Dg) для всех f,g € R. Докажите, что линейное преобразование пространства Л, определенное формулой D(s\) = s\/i, является дифференцированием. b. [2] Покажите, что билинейная операция [f,g] на Л, определенная формулой [sa,sm] = sx/is^ — sxSp/i, задает на Л структуру алгебры Ли. (Другими словами, проверьте тождество Якоби [/, [#, h]] + [#, [Л, /]] + [Л, [/, д]] = 0.) c. [3-] Пусть рш = (га, га — 1,..., 1). Покажите, что SPn+11SPn-l\ = SPn- 7.36. [2] Пусть D^: Л —* Л —линейное преобразование, заданное формулой D^sx) = sx/fi- Покажите, что D^D» = D^D^. 7.37. а. [2+] Пусть as = Yli^i<j^n(xi ~xj)i как в формуле (7.55). Найдите формулу, которая выражает а\ через симметрические степенные суммы Pi(xi,..., хп), 1 ^ i ^ 2п — 2. (Не требуется вычислять коэффициенты в разложении а\ по степенным суммам явно; необходимо найти лишь некоторую формулу, включающую только степенные суммы.) b. [3-] Пусть а\ = Еаьп(п-1)са*а(я1,...,Яп), гДе сЛ € Z. Покажите, что если разбиение Л равно ((п — 1)п), то cA = (-l)G)-l-3-5---(2n-l). c. [3] Более общим образом, если Л = ((п + г — 1)п-г, (г — 1)г), 1 ^ г ^ п, то cA = (-l)*(n-1)(n-2i)(l-3-5 • • • (2г-1))• (1-3-5 • • • (2(п-г)-1)). d. [3] Предположим, что Л = \х + ((п — 2)n) = (/ii + п — 2, ..., /in 4- п — 2), где /i Ь п. Покажите, что сА = (-1)(2)/АП(1-2ф)), sex
554 Гл. 7. Симметрические функции где c(s) —содержание клетки s, а /А - число стандартных таблиц Юнга формы Л. е. [3-] Покажите, что если А ^ S = 2(п — 1, п — 2,..., 1), то сЛ = 0 (mod3). 7.38. а. [3] Зафиксируем 0 ^ k ^ Q) • Пусть £(w) обозначает число инверсий перестановки w £ &п. Пусть Л и \х — разбиения длины не более чем п и \х С Л. Определим симметрическую функцию t\/fi,k = (-1) 2^ ^^Л+(5-и;(/2+(5)- Таким образом, t\/^k является «усеченным» разложением Якоби-Труди (7.69) функции sa//x- Докажите, что функция £\//x,fc является s-положительной. Ь. [5-] Имеется ли «хорошая» комбинаторная интерпретация скалярного произведения (£а//х,ь$1/)? 7.39. [3-] Пусть Л —разбиение ранга г. Для 1 ^ г ^ г положим oti = Х{ — г и /3{ = А£ — г. Обозначением Фробениуса (или координатами Фробениуса) для Л называется набор Л=(а!а2 ••• ar \ ft fa ••• Д.). (7.131) Например, (7,7,5,4,4,2,1,1) = (65 20 | 7 4 2 1). Отметим, что если а, Ъ £ N, то (а | 6) является обозначением Фробениуса для крюка формы (а + 1,16). Нетрудно видеть, что любой набор (7.131) целых чисел, удовлетворяющих неравенствам а\ > а2 > • • • > аг ^ 0 и ft > ft > • • • > ft ^ 0 является обозначением Фробениуса для единственного разбиения ранга г. Покажите, что если Л = (c*i • • • ar \ ft • • • ft), то sx =det(s(a.|ft))iii=1. 7.40. [3-] Пусть гл = (г,^) —клетка диаграммы разбиения Л. Для данного (г, j) £ Л обозначим через B(i,j) косой крюк разбиения Л, верхняя клетка которого находится в строке г диаграммы Л, а нижняя клетка —в столбце j диаграммы Л. Пусть г— ранг разбиения Л. Покажите, что s\ =det(sB(ij))lJ=1.
Упражнения 555 7.41. [2-b] Пусть £(Х) ^ га и Ai ^ п. Положим Л = (n- Am,n- Am_i,...,n- Ai). Дайте простые доказательства (алгебраическое и комбинаторное) тождества [Xi ' ' ' Хш) S\\X^ , . . . , Жгп ) = S^(£i, . . . , Хт). 7.42. [2-Ь] Покажите, что т п YlY[(xi+ Уз) = S S*(X)SA' (»)> г=г j=l Л где сумма берется по всем разбиениям Л с £(Х) ^ га и Ai ^ п, а разбиение А определено выше в упр. 7.41. 7.43. [3-] Пусть ф: Л —> Q[£] —специализация (гомоморфизм), определенная формулой ф(рп) = 1 — (—t)n, п > 0. Покажите, что f/ ч lWl + £), если А= (n-A:,lfc), 0^ А: ^ п - 1, 10 в противном случае. 7.44. Определим специализацию £: Л —> Q[t] формулой £Ы = - г > п>0- п! Пусть в пп. (b)-(d) далее А Ь п. а. [2+] Покажите, что An(t) №п) t-n\ ' где .An(i) обозначает многочлен Эйлера1) (см. разд. 1.3). b. [3-] Покажите, что ween p(w)=\ где e(w) = #{г : w(i) > г} —число превышения перестановки w. х)См. примечание переводчика к упр. 5.14(a).
556 Гл. 7. Симметрические функции c. [2+] Покажите, что £(sa) = i £ xxHte(w), c(u;)^rank(A) где c(w) —число циклов перестановки w. d. [2+] Покажите, что ««>-л£С,1..К1>-*<1-«г'«. где К~г —матрица, обратная к матрице Костки (К\^). 7.45. [3-] Предположим, что п = аб, где а, Ь е Р. Пусть / — симметрическая функция степени п. Выразим /' через одночлены, разделим показатели этих одночленов на а, а затем отбросим все слагаемые, показатели которых не являются целыми. Полученную в результате функцию обозначим через Ta(f). Таким образом, Ta(f) —симметрическая функция степени Ъ. (Например, Та(рп) = Рь и T2(pj) = тп2 + бгац.) Покажите, что если Л Ь п, то функция Ta(s\) является s-поло- жительной. 7.46. [3-] Определим последовательно симметрические функции qn с помощью формул АЬп где q\ = q\1q\2 — • • Покажите, что при п ^ 2 симметрическая функция — qn является s-положительной. 7.47. Пусть G — граф без петель и кратных ребер с d-элементным множеством вершин V. Правильной раскраской графа G называется отображение к: G —> Р, такое, что к(и) ф к(г>), если {и, v} — ребро этого графа. Положим хк = fj£ re** ^; хк — одночлен степени а1. Положим Xq = YLK х* -> ГДе суммирование ведется по всем правильным раскраскам графа G. Таким образом, коэффициент при х^х^2 • • • в Xq равен числу таких правильных раскрасок графа G, что для всех i ^ 1 в цвет г покрашены а{ вершин. Ясно, что Xq G Ad. а. [1] Покажите, что Хс(1п) = XG{n), где xg обозначает хроматический многочлен1) графа G, определенный в упр. 3.44. По этой причине Xq называется хроматической симметрической функцией графа G. ^См. примечание переводчика к упр. 5.6.
Упражнения 557 b. [5] Верно ли, что если Т и X" — неизоморфные деревья, то Хт ф Хт* ? c. [2-] Устойчивым разбиением графа G называется такое разбиение 7г его множества вершин V, что каждый блок В разбиения 7г является устойчивым (или независимым), т. е. никакие две вершины из В не соединены ребром. Для заданного разбиения Л = (1Г12Г2---) числа d определим дополненную мономиальную симметрическую функцию rh\ формулой тп\ = г\\ Г2}- • • • т\. Покажите, что Xg = 2^ а\гп\, где а\ — число устойчивых разбиений графа G типа Л (т. е. с блоками мощности Ai, Л2,...). d. [2+] Связным разбиением графа G называется такое разбиение 7г множества вершин V, что ограничение графа G на каждый блок этого разбиения является связным. Пусть Lq обозначает решетку всех связных разбиений графа G упорядоченных по измельчению1), определенную в упр. 3.44. Покажите, что XG= Y1 ММлуреМ, (7.132) 7t€Lg где /i обозначает функцию Мёбиуса решетки Lq • e. [2-] Выведите из формулы (7.132) и предложения 3.10.12), что ujXq является р-положительной функцией. f. [3-] Покажите, что функция Xq является L-положительной, т. е. линейной комбинацией основных квазисимметрических функций La с неотрицательными коэффициентами, где a G Comp(d), а функции La определены равенством (7.89)). g. [3] Пусть Xg = Y^\\-dc*eb- Зафиксируем к £ Р. Покажите, что число У* \\-d с\ равно sink(G,к), числу ацик- £(Х)=к лических ориентации графа G с в точности к стоками. Сток — это вершина и, из которой не выходит ни одного (ориентированного) ребра и —> v. В частности, изолированная вершина графа G является стоком для любой его ациклической ориентации. х) Разбиение 7г называется измельчением разбиения т, если каждый блок из 7г содержится в блоке из т. В этом случае полагаем 7г ^ т. — Прим. перев. 2) Предложение 3.10.1. Функция Мёбиуса конечной полу модулярной решетки является знакочередующейся. (Отметим, что решетка Lq является не просто полу модулярной, а далее геометрической решеткой.) — Прим. перев.
558 Гл. 7. Симметрические функции [3] Пусть Р есть d-элементное ч. у. множество, a inc(F) обозначает его граф несравнимости, т.е. вершинами inc(F) являются элементы множества Р, причем и и v соединены ребром, если и и v яе сравнимы в Р. Р-таблицей формы Х\- d называется отображение т: Р —> Р, удовлетворяющее следующим условиям: (i) если т(и) = т(г>), то и ^ v или v ^ и (другими словами, г —правильная раскраска графа inc(P)), (ii) #т-1(г) = А; для всех г, (ш) если T~1(i) = {^1,м2,...,млЛ, где mi < и2 < ••• < u\i, и г_1(г + 1) = {г>1,г>2,...,г>А;+1}, где уг < v2 < • • • < v\i+1, то для всех г и для всех 1 ^ j» ^ Лг+i выполнено Vj jt Uj. Пусть fp обозначает число Р-таблиц формы А. (Отметим, что если Р — цепь, то fp равно числу /л стандартных таблиц Юнга формы А.) Будем говорить, что Р является (3 + 1)-свободным, если оно не содержит индуцированных ч. у. подмножеств, изоморфных 3 + 1 (несвязному объединению трехэлементной и одноэлементной цепей). Покажите, что если Р является (3 + 1)-свободным, то Xhd [2+] Пусть Р есть (3 + 1)-свободное ч. у. множество, и пусть С{ обозначает число г-элементных цепей в нем (в частности, cq = 1). Выведите из п. (h) и упр. 7.91(e), что все нули многочлена C(t) = ^ cit1 вещественные. [5] Предположим, что Р есть (3 + 1)-свободное ч.у. множество. Верно ли, что Xg является е-положительной функцией? [3-] Пусть Pd — некоторая d-элементная цепь. Покажите, что £**•'" = 4-^7^71- (7-133) d^O i-EoiC-ite*' В частности, Xpd является е-положительной функцией (это частный случай п. (j)). Аналогично, пусть С а есть d-вершинный цикл. Покажите, что V- у fd= Еро *(*-!)*** h Cd' i-s^-D^- 1. [3-] Покажите, что если дополнение к графу G не содержит треугольников (эквивалентным образом, G не содержит 3-элементных независимых множеств вершин), то Xg является е-положительной функцией.
Упражнения 559 m. [5] Предположим, что граф G является К\$-свободным (clawfree), т.е. не содержит индуцированного подграфа, изоморфного полному двудольному подграфу К\£. Верно ли, что Xq есть s-положительная функция? 7.48. Пусть Р — конечное градуированное ч. у. множество ранга п с б и I. Определим формальный степенной ряд Fp от переменных Xi,X2,--- формулой FP= £) х{{ЬоМ)х^Ь2).-.х^к-1М\ (7.134) 6=t0<*i<---<*fc-i<*fc=i где p(s,i) обозначает ранг (длину) интервала [s,t]. (Сумма берется по всем таким мультицепям от 0 до 1 произвольной длины к ^ 1, что 1 появляется с кратностью 1.) a. [2] Отметим, что Fp — однородная квазисимметрическая функция степени п. Покажите, что Fp = Yl Pr(S7)L7, 7€Comp(n) где (i) /Зр(57)—определенный в разд. 3.12 рангово-вы- бранный инвариант Мёбиуса1) (называемый теперь флаговым h-вектором) множества Р, (ii) 57 —подмножество в [п— 1], связанное с 7 так, как это определено в разд. 7.19, (ш) ряд L1 определен формулой (7.89). b. [2+] Положим FP = ]Г /z(*o, *i)/x(ti, t2) - - • /i(*fc-i, tk) 6=to^*i<-<*fc-i<*fc=i MtoJi) piUte) P{tk-Utk) x xl x2 ' ' ' xk ' где /i обозначает функцию Мёбиуса ч. у. множества Р. Покажите, что рр = (-1)" Е м^. 7€Comp(n) х) Пусть Р— конечное градуированное ч. у. множество с ранговой функцией р: Р —► [0, п]. Для S С [0,1] определим ч. у. подмножество Р$ = {х Е Р : р(х) Е S}. Пусть цз обозначает функцию Мёбиуса ч.у. множества Р$, полученного из Ps добавлением наименьшего и наибольшего элементов б и 1. Тогда рангово-выбранный инвариант Мёбиуса /3p(S) можно вычислить по формуле /3p(S) — (— l)^s^~1p,3(0,1). Эквивалентным образом, fip(S) = 2rcs(—1)^5-Г)ар(Т), где число ctp(T) равно числу максимальных цепей множества Ps. — Прим. перев.
560 Гл. 7. Симметрические функции где 57 = [п — 1] — 57. Выведите отсюда, что если Fp £ Лп, то FP = (-l)na;Fp. [2+] Будем говорить, что множество Р локально рангово- симметричное, если каждый его интервал рангово-сим- метричный, т.е. для любого г в этом интервале имеется одинаковое число элементов ранга г и коранга г. Например, если Р локально самодвойственное (т. е. каждый его интервал является самодвойственным), то множество Р локально рангово-симметричное. Покажите, что если Р — локально рангово-симметричное множество, то Fp £ Лп. [2] Пусть Р = (/ii + 1) х • • • х (fjL£ + 1) —произведение цепей мощности /ii + 1,... ,/i^ + 1. Покажите, что Р — локально самодвойственное множество и Fp = hjl. [3+] Пусть Р — решетка подгрупп конечной абелевой р-группы G типа /i. Покажите, что Р— локально самодвойственное множество и что FP = Y^KXfl(p)sx, М-п где К\^{р) — многочлен от р с неотрицательными целыми коэффициентами, удовлетворяющий условию К\^{\) = К\у,, а К\у, — число Костки. Наиболее сложная часть состоит в доказательстве неотрицательности коэффициентов многочлена К\^{р). f. [3-] Пусть Р = NCn+i — решетка непересекающихся разбиений множества [п+1], определенная в упр. 3.68 и 5.35. Покажите, что NCn+i — локально самодвойственное множество и что Fnc„+1 = E(" + 1)'(A)~1£a^Va Xhn -£=Ыпс;') Х\-п = £ Х\-п n(n-l)---(n-l(A) + 2) mi(A)!---mn(A)! ел, Х\-п *- г N ' J шл.
Упражнения 561 Здесь га; (А) обозначает число частей разбиения Л, равных г. Также покажите, что FNCn+1 = ^{tn]E(tr+1, где E(t) = En^o^", Я(*) = £n^oMn, а символ <-х> обозначает обратный ряд (относительно операции композиции по переменной t). g. [3-] Пусть га, n G N. Определим ч. ?/. множество тасо- вок Wmn следующим образом. Пусть А = {ai,...,am} и В = {&i,... ,6П} — два упорядоченных алфавита. Элементами множества Wmn являются всевозможные тасовки подслов из а\ • • • аш и Ъ\ • • • Ьп, т. е. слова, ограничения которых на символы из А являются подсловами в ai---am и аналогичное условие выполняется с В. Например, элементами из Wmn являются пустое слово 0, слова 6264аз^6«4^7^7 и a^a^a^bi. Будем говорить, что слово v покрывает и в Wmm если оно может быть получено из и либо удалением символа из Л, либо добавлением символа из В. Таким образом, в Wmn имеются наименьший элемент a\a<i • • • ат и наибольший элемент &i&2 • • • Ъп. Рис. 7.16. Ч. у. множество тасовок Wbi- На рис. 7.16 изображено ч. у. множество тасовок W21 при А = {a, Ь} и В = {х}. Покажите, что Wmn — локально рангово-симметричное ч. у. множество (однако в общем случае не локально самодвойственное) и что
562 Гл. 7. Симметрические функции 7.49. [3] Для краткости обозначим через Fn симметрическую функцию FNCn+i из УПР- 7.48(f). Пусть гомоморфизм ф: А —► Л определен формулой ip(hn) — Fn. Покажите, что для любой косой диаграммы A//i симметрическая функция (—ly^^ipisx/n), где v(X/fi) —число ненулевых элементов, находящихся ниже главной диагонали в матрице Якоби- Труди для sx/ц, является s-положительной. 7.50. [2] Пусть А Ь N. Вычислите сумму we&N где c(w) обозначает число циклов перестановки w. (Используйте теорему 7.21.2 в случае q = 1.) 7.51. [2+] Покажите, что если А Ь N, то (^)xX(21N-2) = f"(b(X')-b(X)), где число 6(/i) определено формулой (7.103). 7.52. [2+] Пусть А— разбиение ранга г числа N. Для 1 ^ г ^ г положим fa равным длине крюка h(i,i) диаграммы А в (г, г). Положим /i = (/ii, /i2, • • •, Mr); в частности, /i также является разбиением числа N. Покажите, что хА(м) = (-!)*, где t = Yli=i(K ~ *)• Кроме того, покажите, что если хХ{и) Ф 0, то v ^ /i (относительно упорядочения по доминированию). 7.53. [2+] Пусть А —разбиение ранга г числа N. Покажите, что £ ХАН = /А (~l)t(A) П(А< - i)l(K - г)!, w г=1 где w пробегает все перестановки из &х ев точности г циклами, а t(\)=J2(K-i)- г=1 7.54. [3-р Докажите утверждение, обратное предложению 7.17.7, т.е. тот факт, что если А Ь п и хЛ(м) = 0, причем только \х содержит четную часть, топ= (™) и А = (га — 1, га — 2,..., 1) для некоторого га.
Упражнения 563 7.55. а. [2+] Пусть рл: 6П —► GL(ra, С) — неприводимое представление группы 6П с характером хЛ (поэтому т = /л). Покажите, что рх(&п) С SL(ra,C) тогда и только тогда, когда ШХ')-Ь(Х)] Г — /-А = /л (mod 4), (7.135) где число 6(A) задано формулой (7.103). Ь. [5-] Имеется ли более простой критерий? Можно ли найти число тех Л, которые удовлетворяют сравнению (7.135)?1) 7.56. а. [2-] Для данной косой диаграммы в обозначим через вг косую диаграмму, полученную при повороте в на 180°. Например, (432/2)г = 442/21. Покажите, что so = sgr. b. [1+] Пусть а = (c*i,..., afc) — разложение. Положим а = (afc,...,ai). Покажите, что SBa = sbs, где Вр обозначает косой крюк, соответствующий /3 так, как определено в разд. 7.23. 7.57. [2] Пусть XV- п. Сколько косых крюков имеет Л? Иначе говоря, сколько имеется разбиений /i, таких, что \х С Л и A//i — непустой косой крюк? 7.58. [2] Покажите, что число нечетных длин крюков минус число четных длин крюков разбиения Л есть треугольное число2). 7.59. Это упражнение связано с некоторыми основными комбинаторными свойствами крюков и косых крюков. Пусть Л — разбиение, и пусть р е Р. Как отмечено в решении упр. 7.57, имеется простая биекция между р-крюками (т.е. крюками размера р) разбиения Л и его косыми крюками размера р. Пусть D\ обозначает диаграмму разбиения Л, у которой левый и верхний углы продолжены в бесконечность, как изображено на рис. 7.17 для Л = (3,3,1). Поместим 0 рядом с каждым вертикальным ребром «нижней границы» диаграммы D\ (определение нижней границы должно быть ясно из рис. 7.17), а 1 рядом с каждым горизонтальным ребром. Читая эти числа при движении вдоль нижней границы вверх и г)Пусть /(п) —число разбиений Л Ь п, которые удовлетворяют сравнению (7.135). Тогда (/(1), /(2),..., /(30)) = (1,1,1,2, 2, 7,7,10,10,34,40,53,61, 103,112,143,145,369,458,579, 712,938, 1127,1383,1638, 2308, 2754,3334,3925, 5092). — Прим. автора при переводе. 2)То есть имеет вид к(к — 1)/2 для некоторого целого к. — Прим. перев.
564 Гл. 7. Симметрические функции 1 о о { . 1 О 1 1 О О 1 ■■• Рис. 7.17. Код С\ разбиения Л = (3,3,1). вправо, мы получим бесконечную двоичную последовательность С\ = • • • c-2C-\CqC\C2 ••• - Например, Сзз1 =...0010110011.... Сдвиг .. .&_1&о&1 • • • последовательности Сл, где bi — cm+i для некоторого фиксированного т Е Z, будем считать равным С\. Таким образом, выбор элемента последовательности Сл, помеченного со, является произвольным. Очевидно, что отображение Л \-> С\ задает взаимно однозначное соответствие между разбиениями и бесконечными двоичным последовательностями, начинающимися с бесконечной последовательности из нулей и заканчивающимися бесконечной последовательностью из единиц. Размер |Л| разбиения Л равен числу пар г < j, для которых а = 1 и Cj = 0. a. [2-] Покажите, что имеется естественное взаимно однозначное соответствие между р-крюками разбиения Л и такими целыми числами г, что С{ = 1 и q+p = 0. b. [2] Покажите, что удаление из Л косого крюка размера р эквивалентно выбору номера г, для которого С; = 1 и Сг+р = 0, и последующей замене а на 0 и Сг+Р на 1. c. [2] Пусть в — косой крюк размера р разбиения Л, и пусть Х\в обозначает разбиение, полученное при удалении в из Л. Покажите, что в Х\в число крюков длины, делящейся на р, ровно на 1 меньше, чем в Л. d. [2+] Начиная с разбиения Л, будем последовательно удалять косые крюки, размер которых делится на р, до тех пор, пока это возможно сделать. Покажите, что получившееся разбиение \х не зависит от порядка, в котором удалялись косые крюки. Разбиение /i называется
Упражнения 565 р-сердцевиной разбиения Л, а разбиение, у которого нет косых крюков (или крюков) размера р (эквивалентным образом, размера, делящегося на р), называется р-сердцевиной. e. [2+] Пусть /i есть р-сердцевина. Пусть Yv^— множество всех разбиений, р-сердцевина которых есть /i. Положим Л ^ v в YPifl1 если разбиение Л может быть получено из v удалением косых крюков размера р. Покажите, что УрЛ1 ^ ур, где Y обозначает решетку Юнга. Выведите отсюда, что если /^(п) — количество разбиений числа п с р-сердцевиной /i, то J2 МФп = *м № - *РТР- (7лзб) f. [2+] Пусть п £ Р. Покажите, что следующие три числа равны. (i) Число р-сердцевин размера п. (и) Число решений (xi,... ,xp_i) £ Np_1 уравнения D^+p(2))-(Sl + "'2+Sp'1)asn- (iii) Коэффициент при xn в \[(1-хр1У(\-х1)-1- g. [2] В случае р = 2 найдите все разбиения в п. (f) (i) в явном виде. Какое тождество получается в результате равенства чисел в (i) и (iii)? h. [2] Пусть Ср(п) —множество всех разбиений Л Ь рп с пустой р-сердцевиной. Пусть /* — число таких таблиц косых крюков г формы Л, что все косые крюки, появляющиеся в г, имеют размер р. Покажите, что £ Up)2=Pnnl (7.137) А€Ср(п) 7.60. а. [2+] Пусть в — A//i — косой крюк размера rs, где г, s £ Р. Покажите, что существуют разбиения \х = /jP С /i1 С • • • С /ir = Л, такие, что каждая косая диаграмма /лг//лг_1 является косым крюком размера s. В частности, выведите отсюда, что если га — длина крюка разбиения Л и &|га, то к также будет длиной крюка этого разбиения.
566 Гл. 7. Симметрические функции Ь. [2+] Пусть Л,/i Ь п, где £(/i) = £. Покажите, что если хЛ(м) Ф 0? т° в кольце Z[g] произведение Ял(д) := Uuexi1 -qh{u)) делится на П^Л1 ~^)- Здесь h(u) обозначает длину крюка диаграммы Л в и. 7.61. [3-] Пусть Л Ь рп. Покажите, что {hn(x{,х\,...),s\) = 0 или ± 1, и дайте правило, позволяющее решать, какая из возможностей имеет место. В частности, покажите, что это число равно 0, за исключением случая, когда р-сердцевина разбиения Л пуста. 7.62. [2] Покажите, что если Л Ь п и /i Ь k ^ п, то i/hfc Здесь /xln_fc обозначает разбиение /х U (ln_fc). 7.63. а. [2+] Для А Ь п положим dx= Y1 ХАИ, w€T)n где £)п обозначает множество всех беспорядков (перестановок без неподвижных точек) в &п. Покажите, что п £dA*A = £(-1)-*(п)*ЛГ*Л*. \\-п к=0 Ь. [2+] Выведите из п. (а), что для 1 ^ к ^ п где Dj = #S)j. Числа Dj обсуждались в примере 2.2.1. 7.64. а. [2] Для косой диаграммы Л//х, где |А//х| = п, определим косой характер \Х^ группы &п формулой chxA//pt = s\/^\ в частности, degxA//pt = /Л///2- Зафиксируем теперь п и положим т = |_| (га 4- 2)J. Рассмотрим косую диаграмму {(га, т — 1,..., 1)1 {т — 2, га — 3,..., 1), п нечетно, (га, т — 1,..., 2)/(т — 2, т - 3,..., 1), га четно. Таким образом, тп является «ступенчатым косым крюком». Например,
Упражнения 567 75 TQ Пусть Еп = deg xTn • Покажите, что Еп есть число Эйлера, определенное в конце разд. 3.161), т. е. } Еп— = tgx + secx. b. [2+] Покажите, что если п = 2к + 1 и/xhn, то {О, если в /х имеется четная часть, (—l)fc+r^2r+i, если в /х имеется 2г + 1 нечетных частей и ни одной четной. c. [2+] Покажите, что если п = 2к и /х Ь п, то xT"M = (-i)fe+r+es2r, где fi имеет Ъг нечетных и е четных частей. 7.65. а. [2+] Для каждого п £ Р рассмотрим некоторый характер фп группы (5П. Будем называть последовательность V'b'fe--- элементарной, если для всех w £ 6П значение ipniw) равно либо 0, либо ±degi/;m при некотором га ^ п. Например, характеры регулярных представлений элементарны, так как они являются косыми характерами хТп из УПР- 7-64. Теперь определим фп условием, что для А Ь п число {фтпХХ) равно числу стандартных таблиц Юнга формы Л, наибольший спуск которых имеет ту же четность, что и п. При этом принимается соглашение, что каждая стандартная таблица Юнга имеет спуск в нуле. Например, ipi = О, т/>2 = X2? Ф3 = X21? Ф4 = X4 + X31 + X22 + X211- Покажите, что последовательность Ф\? Ф2-, • • • элементарна и deg фп = Dn, где Dn — число беспорядков (перестановок без неподвижных точек) в &п. Найдите явное выражение для V>n(w). b. [5-] Какие еще имеются «интересные» элементарные последовательности? Можно ли полностью классифицировать элементарные последовательности? 7.66. а. [3-] Пусть Л//х —косая диаграмма. Определим разложение на косые крюки диаграммы Л//х как разбиение множе- 1^См. примечание переводчика к примеру 5.5.7. — Прим. перев.
568 Гл. 7. Симметрические функции ства клеток диаграммы Л//х на (непустые) косые крюки. (Нас не интересует расстановка косых крюков в определенном порядке, как это было в случае таблиц косых крюков. Например, на рис. 7.18 изображено разложение на косые крюки диаграммы 8877/211. Покажите, что число d(X/fi) разложений на косые крюки диаграммы Л//х есть произведение чисел Фибоначчи. Например, d(8877/211) = 2 • З2 • 5 • 82 • 13 • 212 • 34. Рис. 7.18. Разложение диаграммы 8877/211 на косые крюки. b. [3-] Более общим образом, пусть к где К пробегает все разложения на косые крюки диаграммы Л//х, а фК — число косых крюков в разложении К. Покажите, что Дх/Дд) есть произведение многочленов формы Ei (TV- 7.67. а. [2-] Пусть 0 ^ s < п — 1 и А Ь п. Покажите, что если перестановка w £ &п является n-циклом, то хА^ = |(-1)в> еслиА = (п-5,15>, 1 0 в противном случае. Ь. [3] Пусть G — конечная группа с классами сопряженности С\,..., Ct • Зафиксируем w в некотором классе Ск и возьмем zi,..., im £ [i\- Пусть х1 > • • • > X* — неприводимые характеры группы G. Положим dr = deg(xr)- Через xl будем обозначать общее значение характера \г на любом элементе v £ С{. Покажите, что число таких m-элементных наборов (щ,..., иш) £ Gm, что щ £ dd и г/i - - - иш = w, равно llj=l l^*il V"^ 1 r г -Г /7ioo\ |GJ ^ ^ТХ*1 * * * **т X*. (7Л38)
Упражнения 569 [2] Зафиксируем га ^ 1. Используя пп. (а) и (Ь), покажите, что число m-элементных наборов (ixi,..., t£m), состоящих из n-циклов щ £ 6П и удовлетворяющих условию г/i • - • иш = 1, равно (п-1) |7П- _1 п—1 • -ч — (га—2) J2(-l)imr~ ) ■ (7.139) г=0 ^ ' d. [2+] Покажите, что для га = 3 приведенная выше сумма равна 0, если п четно, и 2(п — 1)!2/(п 4-1), если п нечетно. 7.68. а. [3-] Пусть G — конечная группа порядка д. Для данного элемента w £ G положим f(w) равным числу пар (u,v) £ G х G, удовлетворяющих условию it; = шш-1?;-1 (т.е. it; есть коммутатор и и v). Таким образом, / является функцией классов группы G и, следовательно, линейной комбинацией Y2cxX неприводимых характеров этой группы. Покажите, что кратность сх характера х в / Рав_ на #/х(1). Так как х(1) I 9ч отсюда следует, что /—характер группы G. b. [5] Найдите в явном виде G-модуль М, для которого / является характером. Это дало бы новое доказательство фундаментального результата о том, что х(1) делит порядок группы G. c. [2] Выведите из п. (а), что ~ z2 РрЫ™-1»-1) = /~^#asa, (7.140) где Н\ обозначает произведение длин крюков разбиения Л. d. [2+] Пусть п — нечетное положительное целое число. Покажите, что число fn способов представить п-цикл (1,...,п) £ &п в форме uvu~lv~1 (u,v £ 6П) равно 2n-n!/(n+l). e. [1+] Пусть k(w) обозначает число циклов перестановки w £ &п. Выведите из п. (с), что 1 ^^ -л»-...-1--1 где c(t) обозначает содержание клетки t. [3-] Покажите, что если и, v выбраны из &п случайным образом (независимо, с равномерным распределением), то математическое ожидание Еп числа циклов перестановки
570 Гл. 7. Симметрические функции uvu v выражается формулой Еп = Нп-\—; •I/ -м / л\п L(^-1)/2J 1<г<п г=0 (7.141) где Нп обозначает (оборванный) гармонический ряд Нп = 1 + 5 Н Ь п • Отметим, что ifn равно математическому ожиданию числа циклов случайной перестановки из 6П; поэтому остальные слагаемые в (7.141) являются «поправочным членом». [3-] Зафиксируем j £ Р. Покажите, что если и, v выбраны из 6П случайным образом (независимо, с равномерным распределением), то математическое ожидание enj числа j-циклов перестановки uvu~lv~l задается формулой 1 ^4>(-i)* n-j + i + i где Yl' означает, что слагаемое г = 2j — п — 1 при 2j > п не входит в сумму. 7.69. а. [2+] Выразите ^Е^6„^И через функции Шура. b. [2] Покажите, что суммы по столбцам таблицы характеров группы &п неотрицательны. Эти суммы определяются как Yl\\-nXX(w)i гДе элемент w £ 6П фиксирован. (По поводу сумм по строкам таблицы характеров конечной группы см. упр. 7.71(b).) c. [3] Пусть к — положительное целое число. Покажите, что Ylwee Pp{wk) является линейной комбинацией функций Шура с неотрицательными целыми коэффициентами. Эквивалентным образом, функция г& = гп^'- 6П —> Z, определенная формулой rk(w) = #{ие&п :ик =w}, является характером группы 6П. d. [3-] Пусть G — конечная группа, a /i,..., fm — функции классов на G. Определим функцию классов F = ^д,...,/т формулой F(U))= ^ ЛЫ-'/тЫ-
Упражнения 571 Пусть х — неприводимый характер группы G. Покажите, что {F,x)=(M)Y (/i,x)-"(/"i'x)- (7-i42) e. [2-] Покажите, что в случае G = 6п и т = 2 равенство (7.142) равносильно следующему результату. Пусть ё\ = H\s\. Функция ё\ называется дополненной функцией Шура. Зададим на Лп билинейное произведение □ формулой Рх 0Pfl = -^ Y2 Pp(uv) (А, /х Ь п), р(и)=Х p(v)=fi где сумма берется по всем таким u,v € &п, что р(и) = А и p(v) = р. Тогда для Л, р Ь п имеем 5лПЗм = <Уам5а, (7.143) т. е. дополненные функции Шура являются по отношению к □ ортогональными идемпотентами. f. [1+] Пусть (сц,..., аш) £ Zm. Определим функцию классов h = /iai,...,am на 6П формулой ад = #{К...,ит)€б^:ш = <1-С}. Покажите, что h является характером группы &п. g. [2] Пусть G — произвольная конечная группа, а w £ G. Найдите число пар (гл, v) £ GxG, удовлетворяющих условию w = uvu2vuv. h. [2-] Зафиксируем w £ 6П. Пусть f(w)— число решений (и,v) £ 6П х &п уравнения w = иуи~гу~г, а #(г(;) —число решений (и, v) £ 6П х &п уравнения w = u2v2. Покажите, что f(w) = g(w). Дайте алгебраическое и биективное доказательства. i. [2+] Пусть 7 = 7(хъ • • • » xr) ~ элемент свободной группы Fr с образующими xi,...,xr. Если G — конечная группа и w £ G, то положим /7,gW = #{(мъ • • •, ur) £ Gr : 7(wi,..., ur) = w}. Будем писать x вместо x\ и у вместо x<i- Возьмем k £ P. Покажите, что функции классов /7,еп ДДя 7 = xykxy~k и 7 = xykx~ly~k являются характерами групп бп (для каждого п £ Р).
572 Гл. 7. Симметрические функции j. [3] Сохраним обозначения из п. (i). Предположим, что все характеры группы G являются целочисленными; в этом случае мы будем говорить, что G является 1С-группой. (Эквивалентным образом, если два элемента из G порождают одну и ту же циклическую подгруппу, то они сопряжены. См., например, [142, гл. 13.1, следствие 2].) Покажите, что для всех 7 £ Fr и для всех конечных /С-групп G функция классов /7?<з является разностью двух характеров группы G. Имеет место даже более сильный результат. Покажите, что если г = 1, то для произвольной конечной группы G функция /7?(3 является разностью двух характеров. Кроме того, для каждого класса сопряженности d в G определим функцию классов gi формулой / ч /|G|/|C;|, если W € Ci, 9г{Щ = <п 10 в противном случае. Если G является /С-группой, то из свойств ортогональности характеров легко следует (см., например, [142, с. 20]), что gi есть разность характеров. Покажите, что если г > 1, то /7?<з есть Z-линейная комбинация функций #;. В частности, симметрическая функция ~\ 2^ Рр{п{ии...,иг)) является р-целой (а значит, и s-целой). к. [5-] Сохраним обозначения из п. (i). При каких 7 функции /7,еп будут характерами группы 6П для всех п ^ 1? При каких 7 функция /7jg является характером группы G для всех конечных групп G1 7.70. [3-] Пусть k G N, а х^\... ,x^fc^—непересекающиеся множества переменных. Обозначим через Н\ произведение длин крюков разбиения Л. Покажите, что 2>ГавЛ(*(1)) •••*(*<*>) М-п = i7F Е РРЫ)(*{1))---РрЫ)(х{к))- (7-144) в еп Отметим, что случай к = 2 есть (согласно предложению 7.7.4) просто тождество Коши. Что утверждается в случае к = 0 и к = 11
Упражнения 573 7.71. а. [2+] Покажите, что следующие два характера конечной группы G совпадают. (i) Характер действия группы G на себе, заданного при помощи сопряжения (иначе говоря, перестановочного представления р: G —> 6<з, заданного формулой р(х)(у) = хух~г, где &g~группа перестановок элементов из G). (ii) J2X АХ> где х пробегает все неприводимые характеры группы G. b. [2+] Обозначим определенный выше характер через фс- Пусть х — неприводимый характер группы G. Покажите, что <ite,x> = £*(*)> К где К пробегает все классы сопряженности группы G, а х(К) обозначает х(^) Для некоторого w £ К. Таким образом, (фв^х) —сумма элементов в строке х таблицы характеров группы G. Априори не очевидно, что эти суммы по строкам неотрицательны. (По поводу сумм по столбцам таблицы характеров группы 6П см. упр. 7.69(b).) c. [2] Положим теперь G = 6П, и пусть фп = фа. Покажите, ЧТО сЪфп = £AhnPA И ПОЭТОМУ Sn^oCn^n = IWi-ft)-1- d. [3] Покажите, что к\ := (фп,ХХ) > 0 за единственным исключением, когда п = 2, А = (1,1). e. [5-] Имеется ли «хорошая» комбинаторная интерпретация чисел к\! 7.72. [3-] Пусть V — векторное пространство над полем К характеристики 0 (например, над Q) с базисом vi,..., vn. Группа &п действует на V, переставляя координаты, т. е. w • vi = vw-1{i)- Следовательно, &п естественным образом действует на к-и внешней степени kkV, а именно, w(vi AvjA---)= vw-i(i) A vw-hj) Л • • • . т-г \к~1 \к Покажите, что характер этого действия равен х + X > где А-7 — (п — j, Р). (Мы считаем, что хЛ = 0.) 7.73. [3-] Аналогично упр. 7.72, &п также естественным образом действует на кольце многочленов K[v\,..., vn] (т. е. на симметрической алгебре 5(У*)), а именно, шКча2---) = С-1(1)С-Ч2)----
574 Гл. 7. Симметрические функции Пусть ф обозначает характер этого действия на пространстве форм (однородных многочленов) степени к; в частности, degi/jk = (n+fc-1)- Покажите, что ^2(сЪфк)дк = ^ *а(1, Я, q2,... )*л, fc^O М-п где значения sa(1, Чч Ч2ч • • •) приведены в явном виде в следствии 7.21.3. 7.74. [3-] Пусть ipx — неприводимое представление группы GL(n,С) с характером s\(xi,... ,хп); объяснение см. в приложении 2. Можно рассматривать 6п как подгруппу в GL(n,С), состоящую из перестановочных матриц размера п х п. Таким образом, ipx допускает ограничение до представления группы 6П. Пусть £Л обозначает его характер. Покажите, что для \х Ь п (cheA,5M) = (5A,^[/i]), (7.145) где s^h] обозначает плетизм функции s^ с симметрической функцией h = h0 + hi + h2 H . Отметим, что упр. 7.72 отвечает случаю Л = (lfc), тогда как упр. 7.73 —случаю Л = (к). 7.75. а. [2+] Зафиксируем положительные целые числа пик. Пусть М обозначает мультимножество {1П,..., кп}. Действие группы &k на [к] индуцирует действие этой группы на множестве ( .), состоящем из j-элементных под- мультимножеств из М. Пусть Vj(X) обозначает кратность неприводимого характера хЛ (гДе А Ь &) в характере, отвечающем этому действию. Покажите, что Х>(А)«* = вА(1,9,...,9п)- b. [3-] Пусть QS обозначает векторное пространство над Q с базисом S. Определим линейное преобразование ^:Q(^f)-Q(i+1) Формулой Uj(X) = £ Г, YDX где X G (**), a Y пробегает все элементы из (.^), содержащие X. Покажите, что Uj коммутирует с действием группы в fc и что если j < fcn/2, то отображение Uj инъ- ективно.
Упражнения 575 c. [2+] Покажите, что если s\(l,q,... ,gn) = YljZoaj^^ то cij = akn-j (это легко сделать непосредственно) и do ^ сц ^ • • • ^ а\кп/2\- Иными словами, многочлен s\(l,q, •. • ,tfn) является симметричным и унимодальным. d. [2-] Покажите, что g-биномиальный коэффициент (™) является симметричным и унимодальным. 7.76. а. [2] Рангом конечной группы G, действующей транзитив- но на множестве Т, называется число орбит естественного действия этой группы на Т х Т (т. е. w-(s,t) = (w • s, w • t)). Таким образом, G является дважды транзитивной в том и только в том случае, когда ранг группы G равен 2. Пусть X—характер действия группы G на Т. Покажите, что (Х,Х> =rank G. b. [2] Найдите ранг естественного действия группы 6П на множестве &п/&а левых классов смежности по подгруппе Юнга &а. c. [2+] Дайте прямое биективное доказательство п. (Ь). 7.77. а. [3-] Если Я и К — подгруппы в G, то двойным классом смежности по паре (Н,К) называется множество HwК = {uwv \uG Я, v G К} для фиксированного w G G. Различные двойные классы смежности по (Я, К) разбивают группу G на попарно непересекающиеся непустые подмножества (не обязательно одной мощности). Покажите, что если G — конечная группа, то число двойных классов смежности по (Я, К) задается формулой (indg 1я, ind£ lK). b. [2+] Покажите, что для произвольной группы G (не обязательно конечной) число двойных классов смежности по (Н,Н) равно определенному в упр. 7.76 рангу группы G, действующей на G/H посредством левого умножения. c. [2+] Пусть G = 6П, а Я и К — подгруппы Юнга в G, скажем, Я = &а и К = 6/?. Найдите простую комбинаторную интерпретацию двойных классов смежности по (Я, К) и дайте комбинаторное доказательство. 7.78. Пусть / и # —функции классов (над Z или над полем характеристики 0) конечной группы G. Определим произведение Кронекера (или тензорное произведение) fg формулой fg(w) = f(w)g(w); в частности, fg вновь является функцией классов. Для данных конечномерных представлений (р: G —>
576 Гл. 7. Симметрические функции СЬ(У) и р: G —> GL(H^) определим их тензорное произведение <р <g> р: G —> GL(V ® 1У) формулой w-(x<g)y) = w-x<g)W-y (диагональное действие). Пусть х^> и Хр обозначают соответственно характеры представлений <р и р. Тогда характер х<р®р представления <р <g> р есть просто произведение Кронекера Хч>Хр- Поэтому х^Хр является линейной комбинацией неприводимых характеров с неотрицательными целыми коэффициентами. В частности, для G = &п и Л, р Ь п имеем xV = J>W (7.146) и\—п для некоторых неотрицательных целых чисел д\^. Определим внутреннее произведение s\ * s^ формулой V и распространим его на все пространство Л по билинейности. Ясно, что операция * является ассоциативной и коммутативной и hn * / = / при / £ Лп. a. [2-] Покажите, что число дхщ, является инвариантным относительно перестановки индексов Л, р, v. b. [2-] Покажите, что s\ * sM = chxAX/" •= — Yl XX(w)xfl(w)Pp(™)- ' ween c. [2] Покажите, что если / £ Лп, то е„ * / = uf. d. [2] Покажите, что р\ *рм = гхр\6\^. e. [2] Определим пространство А(х)<8)А(у), как это было сделано в конце разд. 7.15, и зададим скалярное произведение так, чтобы элементы sfl(x)sl/(y) образовывали ортонорми- рованный базис. Пусть ху обозначает множество переменных xiyj. Покажите, что для всех /, #, h £ Л (f(xy),9(x)h(y)) = (f,9*h), где первое скалярное произведение берется в Л(х) <8> Л(?/), а второе —в Л. Это дает «инвариантное» (не зависящее от базиса) определение внутреннего произведения, аналогичное формуле (7.67) для обычного произведения.
Упражнения 577 f. [2+] Покажите, что Д(1 - XiyjZk)'1 =^sA*sAt(x)sA(2/)sAt(z) i,j,k X,fi = Yl 9x^sx(x)sfl(y)sl/(z). A,/2,i/ g. [2+] Более общим образом, покажите, что если х^г\. с) — непересекающиеся ^ П (i-^-^r1 х(к) _ непересекающиеся множества переменных, то ii,—>ifc \1,...,\к\-п 7.79. а. [3-] Покажите, что если (sa, s^s») ф 0, то £(Х) ^ £(/j)£(i/). b. [3-] Предположим, что £(Х) ^ ab. Покажите, что найдутся разбиения /i, г/, удовлетворяющие условиям £(/i) ^ а, t(v) ^ Ь И (5А, 5^ * S^) ^ 0. c. [3] Докажите следующее усиление пп. (а) и (Ь): для фиксированных /i, v Ь п тах{£(Л) : (sa, 5^ * sv) ф 0} = |/i П i/|, где /iflz/ получается при пересечении диаграмм разбиений /i и i/. Двойственным образом, max{Ai : (sajS/x * sv) ф0} = |/хП1/|. 7.80. а. [3-] Пусть A,/i, v\- п удовлетворяют условию sa*S/x = as„ при некотором а ЕР. Покажите, что одно из разбиений Л или /i равно (п) или (1п) и что а = 1. Ь. [3] Пусть Л, /i, г/, сг Ь п, где v ф о, удовлетворяют условию 5а * вц = as» + &s<j для некоторых a,6GP. Покажите, что одно из разбиений Л или /i имеет нетривиальную (т. е. отличную от (п) и (1п)) прямоугольную форму, а второе равно (п — 1,1) или (2,1п~2) и что а = b = 1. 7.81. [2+] Покажите, что для А Ь п 5А * Sn-1,1 = 5i S\/i - S\. 7.82. а. [2] Покажите, что У2 S\ * «А = х=х JZ г, где * обозначает внутреннее произведение.
578 Гл. 7. Симметрические функции 7.85, b. [3-] Покажите, что £ Е *A**A=(l>)( £ *л). £(Л)^2 ^п^О Ч(А)<3 7.83. а. [2+] Пусть х и Ф ~ неприводимые характеры конечной группы G. Покажите, что хФ содержится в регулярном представлении, т. е. {хФч Ф) ^ 0(1) Для любого неприводимого характера ф группы G. Ь. [1+] Выведите из п. (а), что если A,/i, v Ь п, то (s\ * 5/2,5^) < /", где /"-- число стандартных таблиц Юнга формы V. 7.84. а. [2+] Пусть A, /i Ь п и £(А) = £. Покажите, что ^Л * 5^ = J^ JJ Syi/yi-i, где сумма берется по всем последовательностям разбиений (/i°, /Д..., //), таким, что 0 = /i° С /i1 С • • • С // /хг/мг-1| = ^г при всех г ^ 1. 2+] Пусть A,/i h п. Покажите, что /i и /ia * hn Е П ч,. A i,j=l где Л пробегает все N-матрицы (а^) размера п х п с vow(A) = А и col (Л) = /i. [3] Зафиксируем n ^ 1. Для данного набора а = (c*i,..., а&) G Pfc с ai + • • • + at = п обозначим через -В(а) косой крюк, в котором строка г содержит с^ клеток. Положим S = {ai,ai+a2,...,ai+a2+---+afc_i} С [n-1] hs5 = sB(a), где 5^(a) —косая функция Шура формы В(а). Пусть теперь S,T С [п — 1] и A Ь п, и пусть * обозначает внутреннее произведение. Покажите, что (ss * st> sa) равно числу троек u^v,w G 6П, таких, что iww = 1, D{u) = 5, £>(v) = Т и, если числа из it; расставить в диаграмме А справа налево и снизу вверх, в результате получится стандартная таблица Юнга. Отметим, что крюки формы (п — к, 1к) являются косыми крюками, а значит, мы получаем комбинаторную интерпретацию коэффициентов д\^и в случае, когда /i и v — крюки. Пример. Пусть п = Зи5 = Т = {1}; тогда ss = $т = $21- Имеются четыре тройки u,v,w G 63? такие, что uvw = 1
Упражнения 579 и D(u) = D(v) = {1}. Только в одном случае при указанной расстановке чисел из w получается стандартная таблица Юнга, а именно, при и = 312, v = 213, w = 321. При этом числа из w можно расставить в каждой из диаграмм разбиений Л Ь 3 единственным способом, а именно 123 12 1 3 2 . 3 Следовательно, s2i * 521 = 53 + s2i + 5m- 7.86. а. [3-] Для данных A,/ihn положим G\M) = sA*S/x(l,g,g2,...)- Покажите, что G\^{q) = Px^Hxiq)'1, где PXfl е Z[q], а функция H\(q) определена в упр. 7.60(b). b. [2+] Покажите, что Рд/х(1) = /^ где ffl~ число стандартных таблиц Юнга формы /i. c. [3] Покажите, что если /z = (n — fc, lfc), то P\n(q) —коэффициент при tk в произведении П (<г1+*г1). W)#(i,i) d. [5] Покажите, что коэффициенты многочленов P\^{q) неотрицательны. Это проверено для п < 9. Отметим, что п. (с) показывает, что коэффициенты многочленов Р\^ неотрицательны, если /i является крюком. 7.87. [3-] Пусть X,?/, z — три множества переменных. Покажите, что ПП П (>-ХгУзг*1 '"tar)'1 i,j r^l ai,...,ar П(1_-Р*(*)) Yl SA*5^(^)sA/l/(x)5/,/l/(2/). Здесь ai,..., ar независимо пробегают положительные целые числа, а pk(z) = Ylzi- 7.88. а. [3-] Пусть Сп — циклическая подгруппа порядка п в 6П, порожденная n-циклом w. Пусть \ ~ характер группы Сп, заданный формулой x(w) = е27Гг/п. Для га Е Z через
580 Гл. 7. Симметрические функции фт = Фт,п обозначим характер, полученный индуцированием характера хш на ®п- Покажите, что "**• -;?«&«^<«"' <7Л47) где 0 обозначает функцию Эйлера1), a (га, d) — наибольший общий делитель чисел га и d. b. [3-] Покажите, что (ipmiS\) есть число стандартных таблиц Юнга Т формы Л, удовлетворяющих условию maj(T) = га (mod п). c. [2-] Выведите из пп. (а) и (Ь), что число стандартных таблиц Юнга Т формы Л, удовлетворяющих условию maj(T) = m (mod п), зависит только от Л и gcd(m, п). Имеется ли биективное доказательство? d. [3+] Пусть 2/fc(A) обозначает число стандартных таблиц Юнга Т формы Л, удовлетворяющих условию maj(T) = 1 (mod к). Покажите, что если А Ь п, то 2/n-i(A) ^ 2/п(А).' e. [2+] Положим J = и, ^(-l)"-1 ch(^i,n) = £ ^ W1 + Р"). и Я := 1 + hi + /&2 + • • • • Покажите, что </[Я - 1] = (Я — l)[J] = /ii, где квадратные скобки обозначают пле- тизм. Другими словами, функции J и Я — 1 являются взаимно обратными относительно операции плетизма. 7.89. а. [3-] Пусть а < Ь < с < • • • — упорядоченный алфавит. Словом Линдопа называется слово w\ • • • wn в этом алфавите, которое лексикографически строго меньше, чем любой его нетождественный циклический сдвиг. Таким образом, ааЬсааЪЬс не является словом Линдона, поскольку его циклический сдвиг ааЬЬсааЬс меньше в лексикографическом упорядочении; аЪаЬ также не является словом Линдона, поскольку оно равно своему циклическому сдвигу длины два. Пусть /(а), где а = (c*i, с*2,...), — число слов Линдона с c*i символами а, с*2 символами Ь и т. д. Положим Мх) = £/(сфЛ (7.148) а г) ip(d) есть количество целых чисел от 1 до d, взаимно простых с d.- Прим. перев.
Упражнения 581 где а пробегает все слабые разложения числа п. Например, Z/з = ^21 + 2шц1. Покажите, что Ln = l£M(d)pf, (7.149) d\n где /i обозначает классическую функцию Мёбиуса1) из теории чисел. b. [1+] Пусть Сп —циклическая подгруппа в 6П, порожденная n-циклом w, а х~ ее характер, заданный формулой х(г^) = е2?гг/п. Покажите, что Ln = ch(i/;), где i/> обозначает характер группы &п, полученный индуцированием характера х из Сп на 6П. Выведите отсюда, что (Ln, s\) G N для всех А Ь п. c. [1+] Покажите, что имеет место более сильное утверждение: (Ln, s\) есть число стандартных таблиц Юнга Т формы Л, удовлетворяющих условию maj(T) = 1 (mod n). d. [3-] Покажите, что каждое слово w в алфавите а, 6,... может быть единственным образом разложено в произведение нестрого убывающих (в лексикографическом порядке) слов Линдона. Например, bccbbcbaccaccabaabaa разлагается в произведение следующим образом: Ьсс • bbc • b • асе • асе • ab • aab • а • а. e. [2+] Для заданного слова w определим его тип Линдона r(w) как разбиение, части которого есть длины слов Линдона в разложении слова w в произведение нестрого убывающих слов Линдона. Например, r(dbca) = (2,1,1). Покажите, что Y]Pr{w) =n\hn, w где w пробегает все перестановки п упорядоченных символов. Другими словами, распределение перестановок (упорядоченного) n-элементного множества по типам Линдона совпадает с распределением по длинам циклов. f. [3-] Пусть М — конечное мультимножество на множестве {а, 6,... }. Положим tM = /]pT(w)i w где w пробегает все перестановки мультимножества М. Таким образом, согласно п. (е), функция tM является 1)/х(1) = 1; /x(piP2 •* 'Pi) = (—1)'» если pi,... ,pj —различные простые числа; /х(п) = 0, если п делится на квадрат простого числа. — Прим. перев.
582 Гл. 7. Симметрические функции аналогом циклового индекса группы 6П для мультимножеств. Обозначим через L^m) плетизм hm[Li] (определенный в приложении 2). Если Л = (lmi2m2---), то положим L\ = L(1m1)L(2^2) • • •. Покажите, что если М = {аГ1,&Г2,-..} и /i —разбиение на части ri,r2,..., то tM(y) есть коэффициент при т^(х) в ^Л L\(x)p\(y). g. [3-] Покажите, что л л h. [2+] Докажите, что функция tM является «-положительной и s-целой. i. [5-] Имеется ли «хорошая» комбинаторная интерпретация коэффициентов (£м,$а)? 7.90. а. [2] Пусть а = (c*i,..., а&) — последовательность положительных целых чисел, сумма которых равна п, и |А//х| = п. Положим S = {c*i,ai4-a2, • • • ,#Н f-c*fc-i}. Покажите, что число косых стандартных таблиц Юнга г формы А//х, удовлетворяющих условию D(r) С S (где D(r) обозначает множество спуска таблицы т), равно числу Кост- ки Кх/^а • Дайте простое биективное доказательство. b. [2] Используйте п. (а) для простого прямого доказательства предложения 7.19.9. 7.91. Пусть F(t) = Ylj^ofjV ~ формальный степенной ряд с /о = 1. Разложим произведение F(ti)F(t2) • • • в линейную комбинацию функций Шура s\(ti, £2, • • • )• Коэффициент при sa(*1j*2j-••) называется (в терминологии Литтлвуда [88, c. 99-100 и гл. VII]) функцией Шура (индексируемой разбиением А) ряда F\ будем обозначать ее через s% . Эквивалентным образом, если R — коммутативное кольцо, содержащее /i, /2,..., а ip: А —> R — гомоморфизм, заданный формулой (f(hj) = fj, то sj^ = (p(sX). Распространим определение s^, положив uF = (р(и) для всех и £ Л#. a. [1] Покажите, что если F(t) = Yli>i(l "~ xi^)"1t то 5л = s\(x). Что получится, если F(t) = Yli>i(l + xit)1 b. [1] Покажите, что если F(t) = Yli=i0- ~ ^г~1^)~1? т0 SF _ 6(A) ТТ 1^ \± S*-q 11 1-Ми) ' и£\ ч где 6(A), с(и) и h(u) имеют тот же смысл, что и в теореме 7.21.2.
Упражнения 583 [2+] Выведите из п. (Ь), что если то zqH' „. ~„с(и) иех ч d. [2-] Покажите, что в общем случае, если F(t) = Ylj>o fj& и £(\) = £, то sf = det(fXi-i+j)id=1. e. [3+] Предположим, что F(t) — отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами (и, как обычно, F(0) = 1). Тогда s% есть просто комплексное число. Покажите, что следующие четыре условия равносильны. (i) Каждый корень многочлена F(t) — отрицательное вещественное число. (ii) Для всех разбиений Л число s% неотрицательно. Эквивалентным образом, если произведение F(ti)F(t2) ••• представлено в виде линейной комбинации функций Шура 5л(^1,^2,...), то все коэффициенты являются неотрицательными вещественными числами. Другими словами, F(ti)F(t2) • • • — s-положительная функция. (ш) Если произведение F(ti)F(t2) • • • представлено в виде линейной комбинации элементарных симметрических функций ел(^1, ^2,...), то все коэффициенты — неотрицательные вещественные числа. Другими словами, функция F(ti)F(t2) • • • является е-положительной. Эквивалентным образом, для всех разбиений Л числа m^ — неотрицательные целые числа. (iv) Все коэффициенты многочлена F(t) — неотрицательные вещественные числа, и матрица А = (pf+j^jlo является положительно полуопределенной. Здесь мы полагаем р£ = degF. 7.92. а. [3+] Пусть А = (а^) —такая вещественная матрица размера п х п, что все ее миноры (определители квадратных подматриц) неотрицательны. Введем симметрическую функцию ween Покажите, что Fa является s-положительной.
584 Гл. 7. Симметрические функции Ь. [5] Покажите, что Fa есть /i-положительная функция. 7.93. [2+] Пусть и = ui-'-Um, £ 6m, a v = vi---vn £ 6[m+ifm+nj. Через sh(u, v) обозначим множество тасовок слов ui • • • um и vi---?;n, т.е. sh(u, г;) состоит из всех таких перестановок и>1 • • • wm+n на множестве [ш + п], что щ • • • um и v\ • • • vn являются подпоследовательностями из w. В частности, #sh(u,v) = (m*n). Положим а = со(и) и (3 = со(г>), где со(и) и co(v) определены в начале разд. 7.19. Покажите, что LaLp = 2^ Lco(wy w£sh(u,v) 7.94. а. [2+] Пусть Q обозначает кольцо квазисимметрических функций над Q. Определим линейную инволюцию и): Q —► Q формулой Q(La) = La, где Sa = [п — 1] — Sa для a £ Comp(n). Покажите, что С является автоморфизмом кольца Q и что его сужение на Л совпадает с инволюцией Ш. b. [3-] Пусть Р — конечное градуированное ч. у. множество ранга п с 0 и 1. Пусть / £ I(P)i где /(F)—алгебра инцидентности1) множества Р, и / удовлетворяет условиям f(t,t) = 1 для всех t £ Р. Положим Ff= Y, /(*o,ti)/(ti,t2)---/(tfc-i,tfc) d=to^i<-^*-i<tjb=i p(t0,ti) ^P(«i,ta) p(tk-i,tk) 1 •^'2 • • • ^, ^ где используются те же обозначения, что и в формуле (7.134). Ясно, что Ff £ Qn. Покажите, что u)(Ff) = (—l)nFf-i. Отметим, что упр. 7.48(b) является частным случаем, где / = С- 7.95. а. [2] Для данного S С [п — 1] через а = co(S) обозначим соответствующее разложение числа п, определенное в начале разд. 7.19. Пусть Ва —косой крюк, в котором длина г-й снизу строки равна с^. Через Ps обозначим для краткости ч. у. множество Рва (множество Р\/^ определено после следствия 7.19.5). Для данной перестановки w = w\W2 • • • wn £ 6П обозначим через uw пометку множества Ps, получающуюся при расстановке чисел Wi в клетках косого крюка Ва снизу вверх и слева направо. х)Пусть Int(P)—множество интервалов из Р. Алгеброй инцидентности ч. у. множества Р над некоторым полем К называется if-алгебра всех функций /: Int(P) —► К, где умножение определяется формулой fg(x,y) = Е^^у f(x,z)g(z,y).- Прим. иерее.
Упражнения 585 Например, если а = (2,3,1) (в частности, S = {2,5}) и w = 426315, то (Ps,uw) выглядит следующим образом: Покажите, что множество Жордана-Гёльдера C(Ps,uw) состоит из всех таких перестановок v £ 6П, что D(wv~1) = S. b. [2+] Выведите из п. (а) следующее утверждение. Для данных w £ 6П и 5, Т С [п — 1] положим f(w,S,T) = #{(u,v)e6nx6n: uv = w, D(u)=S, D(v) = T}. Тогда f(w,S,Г) = f(w',S,Г), если D[w) = D(w'). 7.96. [3] Для w £ &n обозначим через Lco^ квазисимметрическую функцию, заданную формулой (7.89), где co(w) определяется в начале разд. 7.19. Положим ween рассматривая эту сумму как элемент групповой алгебры Q&n с коэффициентами в кольце квазисимметрических функций Q. Таким образом, Тп действует на Q6n посредством левого умножения. Покажите, что собственными числами оператора Тп будут степенные суммы р\ с кратностями nl/zx, где n\/z\ — число перестановок w £ &п циклового типа Л. Чему равны собственные векторы? 7.97. а. [2] Зафиксируем г, с и Л = (Ai, Л2,...) Ь t. Пусть /(п) — количество плоских разбиений 7г = {щ^) числа п с главной диагональю, равной (7Гц,7Г22, • • •) = А, имеющих не более г строк и не более с столбцов. Положим F(x) = Sn>o f(n)xn • Покажите, что F(x) = x~l s\(x, x2,..., xr)s\(x, x2,..., xc). b. [2+] Покажите, что если g(n) — число симметричных плоских разбиений с главной диагональю, равной А, то Y^g(n)xn = sx(x,x3,x5y...). п>0
586 Гл. 7. Симметрические функции 7.98. а. [2+] Для данных Л Ь п и (г, j) £ Л положим w(hJ) = Ylxk-h где все жт — переменные, а произведение берется по всем клеткам (&,I) £ Л в крюке (г, j), т.е. по таким (&,/), что либо к = г и / ^ j, либо I = j и к ^ г. Если 7Г = (эту) — обратное плоское разбиение формы Л (допускаются нули в качестве частей), то положим ww= П ъ-i- Покажите, что £>(*) = па-юнг1, где 7г пробегает все обратные плоские разбиения формы Л, в которых допускаются нули в качестве частей. b. [3-] Сформулируйте и докажите аналогичный результат для симметричных обратных плоских разбиений формы Л, где Л = Л'. 7.99. [2+] Пусть Kt(n) —число плоских разбиений числа п со следом t. Покажите, что если 0 ^ п ^ £, то число Kt{n+t) равно коэффициенту при хп в произведении Y[(l-xi)~i~1= l+2x+6x2+Ux3+33x4+70x5+U9x6+- • • . 7.100. а. [3-] Пусть А и Б —две N-матрицы с одним и тем же носителем, т. е. a,ij ф О в том и только в том случае, когда bij Ф 0. Покажите, что если А —► (Р, Q) и В —> (Р', Q'), то первые столбцы таблиц Р и Р' одинаковы и первые столбцы таблиц Q и Q' одинаковы. b. [2+] Пусть t\(n) обозначает число плоских разбиений 7г = (7Гу), форма которых содержится в Л и которые удовлетворяют условию п = tr(7r) := 7Гц + 7Г22 Н • Покажите, что t\(n) является многочленом от п степени |А| — 1. c. [2+] Покажите, что если Л — прямоугольник размера а х 6, т. е. А имеет а частей, каждая из которых равна 6, то , ч fab + п — 1\
Упражнения 587 7.101. а. [3-] Пусть 5п обозначает ступенчатую диаграмму (п — 1, п — 2,..., 1), a /n(m) — число плоских разбиений формы <5П, допускающих нули в качестве частей, с наибольшей частью, не превосходящей га. Например, из упр. 6.19(uu) следует, что /п(1) есть число Каталана Сп. Покажите, что /пМ=п'^(п2Т+7Л"') - п ^V/-г'- <"51» l^i<j^n J b. [3-] Более общим образом, пусть gMdeim) обозначает число плоских разбиений (допускаются нули в качестве частей) формы Л = (М — d, М — 2d, ...,M — £d) с наибольшей частью, не превосходящей га. Покажите, что / \ ТТ т + £ + с(и) тгтг (rf+l)m + Hc(w) Ш^(т)= И ■ 11 —— , u=(i,i)GA *+c(uXA4 £ + c(u) «=(*,i)GA M-c(u)>Af £ + c(u) (7.152) где c(u) обозначает содержание клетки и. 7.102. а. [2-] Пусть Л £ Par, а п настолько велико, что п + с(и) > О для всех и £ А. (В частности, п ^ ^(А).) Положим tA)n(9) = SA(l,9,g2,...)II(1-9n+c(u))- иех Покажите, что £а,п (я) ~ многочлен от переменной q с неотрицательными целыми коэффициентами. b. [3-] Обобщите п. (а) на косые диаграммы A//i. В этом случае с(и) для и £ A//i определяется как соответствующее значение с(и) в А. (Например, содержания клеток диаграммы 21/1 равны 1 и —1; поэтому мы должны взять п ^ 2.) Покажите, что если *АМп(<г) = *л/Д1,<г,92,---) П (1 -9n+c(u)), и£\/ц то t\i^n(q) — многочлен от q с неотрицательными целыми коэффициентами. Более точно, г где сумма берется по всем таким обратным полустандартным таблицам Юнга Т = (Т^) (допускающим нули в каче-
588 Гл. 7. Симметрические функции стве частей) формы A//i, что Tij < п + & — i. Например, если X/fi = 32/1 и п = 2, то таблицы, перечисляемые функцией £32/1,2 (#)> имеют следующий вид: 10 11 20 21 22 00 00 00 00 00 ' Следовательно, £32/1,2(3) = ^ "*~ ^2 + tf3 + tf4- 7.103. а. [3+] Пусть А(г) —число таких плоских разбиений 7г, имеющих не более г строк, что 7г симметрично и каждая строка из 7г есть самосопряженное разбиение. (Отсюда следует, что 7г имеет не более г столбцов и наибольшая часть не превосходит г.) Такие плоские разбиения называются вполне симметричными. Покажите, что Л( ) - ТТ г+3 + k-l Ь. [3+] Пусть В (г)— число тех плоских разбиений из (а), которые также являются самодополнительными (самодополнительное разбиение определено в упр. 7.106(b)). Покажите, что = 11417! 101---(Зг-2)! 1 ; г!(г + 1)!(г + 2)!..-(2г-1)Г с [3+] Монотонным треугольником порядка г называется схема Гельфанда-Цетлина (определенная в разд. 7.10), в которой первая строка равна 1,..., г и каждая строка строго возрастает. Через М(г) обозначим число монотонных треугольников порядка г. Например, М(3) = 7, что соответствует монотонным треугольникам 123 123 123 123 123 123 123 12 12 13 13 13 23 23. 12 12 3 2 3 Покажите, что М(г) = В (г). d. [3] Пусть Р — ч. у. множество с 1. Пополнением Макни- ла Ь(Р) множества Р называется нижняя полурешетка (meet sublattice)1) в 2Р (т.е. в булевой алгебре всех подмножеств множества Р), которая порождена главными порядковыми идеалами множества Р. (Пополнение Мак- нила упомянуто в решении упр. 3.12.) Пусть Рп обозначает введенный в упр. 3.75 порядок Брюа1) на симмет- Х)В переводах на русский язык также встречается термин «Л-полурешетка». — Прим. перев.
Упражнения 589 3214 1234 Рис. 7.19. Пополнение Макнила порядка Брюа на группе в4- рической группе бп. Покажите, что #L(Pn) = М(п). На рис. 7.19 изображена решетка L(P±), причем вершины, соответствующие элементам множества Р±, не закрашены. 7.104. [3+] Будем писать f(n) ~ #(п), если lin^^oo f(n)/g(n) = 1. Пусть а(п) обозначает количество плоских разбиений числа п. Покажите, что а(п) ~ C(3)V362-ii/36n-25/36 ехр(3 . 2-2/зс(3)1/зп2/з + 2С)| где С обозначает дзета-функцию Римана, а г°° ylnydy -Г Jo е2пу _ I = -0.0827105718. 7.105. [3-] Если разбиения А и /х имеют одно и то же мультимножество длин крюков, то следует ли отсюда, что Л и /i равны или сопряжены? х)См. примечание переводчика к упр. 6.47(a).
590 Гл. 7. Симметрические функции 7.106. а. [2] Пусть разбиение v = (сг) состоит из г частей, равных с. Найдите разложение функций s£ по функциям Шура. b. [3-] Зафиксируем г, с и t. Пусть 7Г = (7г^) —плоское разбиение, у которого не более г строк, не более с столбцов и наибольшая часть не превосходит t. Будем говорить, что 7г — самодополнительное или, более точно, (г, с, t)-самодополнительное плоское разбиение, если щ = t — 7rr_ijC_j для всех Ц К г и Ц j < с. Другими словами, разбиение 7г (рассматриваемое как прямоугольная таблица размера гхс) инвариантно относительно замены каждой части к на t — к и поворота на 180°. Например, следующее плоское разбиение является самодополнительным при (г, с, t) = (4,5,6): [66543] 6 5 5 4 2 4 2 110 [3 2 1 0 oj Пусть F(r, с, t) обозначает число плоских разбиений, у которых не более г строк, не более с столбцов и наибольшая часть не превосходит t. Пусть G(r,c,t) обозначает число таких разбиений, которые, кроме того, являются самодополнительными. Нетрудно видеть, что G(r, с, t) ^ 0 тогда и только тогда, когда ret четно. Покажите, что G(2r, 2с, 2t) = F(r, с, tf. (7.153) Найдите аналогичные формулы для G(2r, 2с, 2t + 1) и G(2r,2c+1,2* + 1). 7.107. а. [2+] Пусть /i £ Par, а А^ — бесконечная диаграмма, состоящая из квадранта Q = {(i,j) : г < 0, j > 0} с выкинутой из правого нижнего угла диаграммой /х. Таким образом, каждая клетка диаграммы А^ имеет конечный крюк, а значит, и длину крюка. Например, если /л = (3,1), то получим диаграмму 10 9 8 6 3 9 8 7 5 2 8 7 6 4 1 6 5 4 2 5 4 3 1 3 2 1
Упражнения 591 Покажите, что мультимножество длин крюков диаграммы Ар есть объединение мультимножества длин крюков для Q (оно равно {I1,22,З3,... }) и аналогичного мультимножества для \х. [2+] Зафиксируем плоское разбиение /х. Пусть а^(п) обозначает количество косых плоских разбиений числа п формы Л//х для некоторого Л. Например, аг(2) = 6, что соответствует разбиениям .-2 2* •#11 1 11 } Покажите, что £«»«"=[да-9*Н [ш1-**00)-1 п>0 i>\ с. [3] Из п. (b), следствия 7.20.3 и теоремы 7.22.1 вытекает, что п к-0 где а(к)— количество плоских разбиений числа к, а Ь^(п — к) —количество обратных плоских разбиений формы /х числа п — к. Найдите биективное доказательство. 7.108. [2-] Пусть р, q ^ 2. Найдите в явном виде число F(p,q) тех перестановок w £ <5р+9, у которых длина длиннейшей возрастающей подпоследовательности равна р и длина длиннейшей убывающей подпоследовательности равна q. 7.109. [3] Пусть Е(п) обозначает математическое ожидание длиннейшей возрастающей подпоследовательности перестановки w £ &п. Эквивалентным образом, вд = h £is(w)- П! a. [2-] Покажите, что £(п) = 5]А1(/А)2. (7-154) АЬп b. [3] Покажите, что существует предел Итп_юо Е(п)/у/п. c. [2] Пусть а обозначает предел из п. (Ь). В предположении, что а существует, выведите из примера 7.23.19(a) неравенство а ^ 1.
592 Гл. 7. Симметрические функции d. [3-] Покажите, что а ^ е. e. Пусть Лп = ((An)i, (Лп)2,...) —некоторое разбиение числа п, которое максимизирует /Л (по всем Л Ь п). Отождествим Лп с функцией из R>o в Е^о > определенной формулой Хп(х) = —^, если —7=" < х ^ Т= - у/п у/п у/п Таким образом, /0°° Хп(х) dx = 1. Покажите, что в смысле слабой сходимости в некоторой «разумной» метрике мы имеем lim Хп = /, П—+00 где функция у = f(x) задана в параметрическом виде: 2 x = 2/ + 2cos0, у= -(sin0-0cos0), 0 ^ в ^ 2тг, и /(х) = 0 для х > 2. Таким образом, / описывает «предельную форму» разбиений, которые максимизируют /Л. f. [3-] Выведите из п. (е), что а ^ 2. g. [3] Используя алгоритм RSK, покажите, что а ^ 2. Следовательно, а = 2. 7.110. [3-] Пусть d(T) обозначает число спусков стандартной таблицы Юнга Т. Положим Л€Раг где внутренняя сумма берется по всем стандартным таблицам Т формы Л. Покажите, что £„>o(i-*)n*» z = i-GEn^a-*)"-1*» ^ = EzrV1(i-«)n"4(g)PA, Л где п = |Л|, £ = £(\), a Ae(q) обозначает многочлен Эйлера1). 7.111. Пусть В — подмножество множества [n] х [п]. (Множество В называется доской.) Пусть X = Хв —множество всех перестановок w G 6П, удовлетворяющих условию w(i) = j => (i,j) G В. Обозначим через Zx(x) дополненный цикловый х) Определение многочлена Эйлера см. в примечании к упр. 5.14(a). Прим. иерее.
Упражнения 593 индекс множества X, определенный в разд. 7.24 (определение 7.24.1). a. [2-] Пусть В = [п] х [п]. Покажите, что Zx = n\hn. b. [2+] Пусть X = {w G &п : w(n) ф 1}. Выразите Zx через элементы базиса {h\}. c. [3] Предположим, что существуют целые числа а, Ь ^ О, такие, что а + Ъ ^ п и (г, j) G В, если г ^ п — а или j > 6. Пусть m = min{a,6}. Покажите, что Zx является линейной комбинацией с неотрицательными целыми коэффициентами симметрических функций hjhn-j, О ^ j ^ га. (Отметим, что п. (Ь) соответствует случаю а = b = 1.) d. [5] Пусть В С [п] х [п]. Предположим, что множество {(г,п + 1 — j) : (z,j) G jB} является диаграммой разбиения. Покажите, что Zx есть h-положительная функция. e. [3-] Пусть w G &п. Обозначим через Bw доску размера п х п, из которой удалили it;, т. е. Вщ = {(*,Я€[п]2:и;(г)^Л. Покажите, что ^в„ = £(/ArldAXAHSA, Ahri где числа с^л определены в упр. 7.63(a). f. [3-] Пусть в п. (е) w обозначает n-цикл. Покажите, что п Zbw = ]T(nA-i + (-1)i)5<i,i»-')' г=1 где A-i —число беспорядков множества [г — 1]. 7.112. а. [2+] Будем говорить, что две последовательности а\- • -ап и Ь\ • • • Ьп эквивалентны, если одна из них является циклическим сдвигом другой. Ожерельем называется класс эквивалентности последовательностей. Пусть N(n, к) — число ожерелий длины п, элементы которых (называемые «бусинами») принадлежат алфавиту из к символов. Покажите, что число N(n, к) выражается формулой N(k, п) = - Y^ <f>(d)kn/d, (7.155) d\n где ф обозначает функцию Эйлера. Ь. [2+] Найдите формулу для числа ожерелий, состоящих из п красных и п голубых бусин.
594 Гл. 7. Симметрические функции 7.113. [2+] Пусть #г(р) ~ число неизоморфных графов без петель и кратных ребер с р вершинами и i ребрами. Используя упр. 7.75(c), покажите, что последовательность go(p)1gi(p), • • • ? 9(р) (р) является симметричной и унимодальной. Дополнительные упражнения к гл. 71) 7.51. [2] Найдите число f(n) таких пар разбиений (Л, /i), что А Ь п и /i покрывает Л в решетке Юнга Y. Ответ дайте в терминах чисел разбиений р(к) для подходящих значений к. Постарайтесь непосредственно найти биекцию, не прибегая к помощи производящих функций, рекуррентных соотношений, индукции и т. п. 7.52. [2] Пусть рг(п) обозначает количество разбиений числа п ранга г. Найдите производящую функцию Fr(x) = Y,Pr(n)xn. 7.53. [2+] Для каких вещественных чисел а формальный симметрический степенной ряд F(x) = Пг(^ + axi + х?) является е- положительным, т. е. является бесконечной линейной комбинацией функций ел с неотрицательными коэффициентами? 7.54. [2-Ь] Найдите все симметрические функции / £ Лп, одновременно являющиеся е- и /i-положительными. 7.55. [1+] Найдите все / £ Лп, такие, что uf = 2/. 7.56. [2] Пусть многочлен Р(х) удовлетворяет условию Р(0) = 1. Представьте и П; Р(хг) в виде бесконечного произведения. 7.57. [2-] Пусть j,k ^ 1. Представьте мономиальную симметрическую функцию ra(fcj) в виде линейной комбинации степенных сумм рх. 7.58. [2-] Пусть а — вещественное число или независимая переменная. Представьте произведение YliO- + х*)а виДе бесконечной линейной комбинации степенных сумм р\. 7.59. [2] Пусть /(ж, у) £ А(х) ® Л (у), т.е. f(x,y) является симметрической функцией по переменным х±, хъ,... и отдельно по переменным 2/i, 2/2? • • • • Запишем f(x,y) как многочлен от функций Pi(x), считая все yj постоянными, и обозначим чеРез dPk{x)f(x^y) частнУю производную f(x,y) по рк(х). Найдите простую формулу для дрк(х) AJ. ^Добавленные автором к русскому переводу (без решений). — Прим. перев.
Упражнения 595 7.510. [2+] Зафиксируем п ^ 1. Найдите простую формулу для числа пар (щ v) £ &п х 6 п, таких, что гш — vu. Обобщите результат на случай, когда 6П заменяется на произвольную конечную группу G. 7.511. а. [2+] Докажите, что симметрический степенной ряд т_ Sn^O fe2n+l является степенным рядом от нечетных степенных сумм b. [3-] Найдите коэффициенты разложения функции Т в ряд по степенным суммам. 7.512. Для заданных / £ Aq и к £ Р обозначим через /(&х) симметрическую функцию / от набора переменных, содержащего к экземпляров каждой из переменных xi,X2,... . Так, например, mi(kx) = kmi(x). a. [2-] Пусть {и\ : А Ь п} —базис пространства Aq. Положим f(kx) = J^cx(k)ux. (7.156) АЬп Покажите, что коэффициенты с\(к) являются многочленами от А; с рациональными коэффициентами. Формула (7.156) позволяет определить f(kx) для произвольного к из, скажем, некоторого расширения F поля Q. b. [2-] Для заданного j £ F положим g(x) = f(jx). Покажите, что для всякого к £ F имеет место равенство д(кх) = f(jkx). c. [2] Выразите f(—x) через f(x) и ш. 7.513. [2+] Вычислите скалярное произведение (/i2in_2j'^2in-2)* 7.514. [2+] Зафиксируем п ^ 1. Найдите размерность подпространства пространства Aq, порожденного множеством {h\ + е\ : АЬп}. 7.515. а. [3-] Зададим линейное преобразование ср: Aq —* Aq формулой ip(e\) = m\t. Найдите размер наибольшей жорда- новой клетки преобразования (р. b. [5-] Найдите жорданову форму преобразования (р. c. [5-] Сделайте то же самое для линейных преобразований е\ ь-+ шЛ, h\ ь-+ гал, р\ ь-+ тл, р\ ь-+ /ia- 7.516. Пусть (•, •) обозначает стандартное скалярное произведение в пространстве Aq. Два линейных преобразования А, В: Aq —» Aq называются сопряженными, если (Л/, Б) = (/, Вд) для всех /, д £ Aq.
596 Гл. 7. Симметрические функции a. [2] Найдите преобразование, сопряженное с и + а/, где / обозначает тождественное преобразование, а а — константа. b. [2] Обозначим через -£^f частную производную функции / £ Л по pi (подразумевается, что / записана как многочлен от pi,p2? • • • )• Зададим линейное преобразование Mj формулой Mj(f) = Pjf. Найдите преобразование, сопряженное с Mj. Ответ выразите в терминах операторов д/дрг. 7.517. [2] Пусть к ^2. Вычислите число Костки /^(fc,fc,fc),(fc—i,fc—i,ifc+2)- 7.518. [2-] Сколько имеется стандартных таблиц Юнга формы (пп), главная диагональ которых равна (1,4,9,16,..., п2)? 7.519. [2-] Представьте sxs^ для произвольных разбиений Л и /х в виде косой функции Шура. 7.520. [2-] Пусть 1 ^ fc ^ п и А = (fc, jn-fcj (такая диаграмма называется формой крюка). Найдите простую формулу для числа Костки К\у, для произвольного разбиения /х Ь п. 7.521. а. [3] Пусть Л — разбиение на различные части. Сдвинутая стандартная таблица Юнга формы Л определяется точно так же, как и обычная стандартная таблица Юнга формы Л, с той лишь разницей, что каждая строка сдвинута на одну клетку вправо по отношению к предыдущей строке. Примером сдвинутой стандартной таблицы формы (5,4,2) служит 1 2 4 3 6 7 5 8 10 9 11 Будем говорить, что две перестановки и, v £ &п являются W-эквивалентными, если они принадлежат одному классу эквивалентности транзитивного замыкания следующего отношения: либо (i) в результате применения алгоритма RSK к перестановкам u,v £ 6П получаются одинаковые записывающие таблицы, либо (ii) и(1) = v(2) и и(2) = v(l). Например, для п = 3 классами Неэквивалентности будут {123,213,231,321} и {312,132}. Покажите, что число классов Неэквивалентности в 6П равно числу сдвинутых стандартных таблиц размера п. Ь. [5-] Имеются ли интересные обобщения этого результата? 7.S22. Пусть Л —разбиение числа п на различные части. В этом случае будем использовать обозначение X \= п. Пусть дх обозначает число сдвинутых стандартных таблиц формы Л, определенных в упр. 7.S21.
Упражнения 597 a. [3-] Используя подходящую модификацию алгоритма RSK, докажите, что ^2п-£^(дх)2 = п\. (7.157) Л|=п b. [3] Следующий любопытный результат является «сдвинутым аналогом» следствия 7.13.9. Пусть £ = (1 + г)/у/2 = е2тгг/8 ПОЛОЖИМ и{п) = Y, с*<л>2(*-«л»/у. Х\=п Покажите, что $>(п)£ = е«+^. (7.158) 7.523. [2+] Вычислите суммы £/А/2/А и £аА/2)2- \\-п \\-п 7.524. [2+] Пусть сг(Т) — наибольшее целое число к, такое, что l,...,fc находятся в первой строке стандартной таблицы Юнга Т. Обозначим через Еп математическое ожидание случайной величины a(ins(w))1 где w — случайная (равномерно распределенная) перестановка из 6n, a ins(w) — записывающая таблица, полученная в результате применения к w алгоритма RSK. Таким образом, Еп = — У] a(ins(w)). ween Найдите предел limn_»oo Еп. 7.525. [2] Пусть г, j, п ^ 1. Вычислите сумму /п(м) = 1>а(1>а(1'')- Х\-п 7.526. [3-] Положим уп = X^Ai-nsA* Найдите производящую функцию ад = !>»'*•>«"• Выразите ответ через производящую функцию P(x,t) = IWl-te')"1.
598 Гл. 7. Симметрические функции 7.527. [3] Положим * ц\-п Х\-п ' где 2Л = (2АЬ 2Л2,... )• Так, (/(0), /(1),..., /(10)) = (1,1,3,5,12,20,44,76,157,281,559). Покажите, что £/м<" = П-д=гП<тз^- 7.528. [3+] Положим Vn = Yli<i<j<n(xi ~ хз)- Покажите, что для lv2k V2k^ = ((2fc + l)n)! \Уп ,vn )п (2* + 1)!япГ Здесь скалярное произведение ( , )п берется в кольце Лп с ортонормированным базисом, образованным функциями Шура s\(xi, • • • ,Хп) при е(Х) ^ п. 7.529. [2+] Пусть Л1-2п Найдите производящую функцию F(t) = J2n>oan7fi- (Здесь может оказаться полезным один из результатов гл. 5.) 7.S30. а. [3-] Найдите число /(п) способов перейти от пустого разбиения 0 к 0 за п шагов, где каждый шаг состоит в одной из следующих операций: (i) добавление клетки; (ii) удаление клетки; (Ш) добавление, а затем удаление клетки (причем требуется, чтобы диаграмма всегда оставалась диаграммой разбиения, даже в середине операции третьего типа). Например, /(3) = 5, что соответствует пяти последовательностям 0 0 0 0 0 (1,0) (1,0) 1 1 1 (1,0) 1 (2,1) (ИД) 0 (1,0), 0, 0, 0, (1,0). Представьте ваш ответ в виде знакомого комбинаторного числа, а, скажем, не в виде суммы.
Упражнения 599 b. [3-] Для произвольного разбиения Л определим число f\(n) аналогично п. (а), с той лишь разницей, что переход от 0 к Л осуществляется за п шагов. Положим Гп = ^/л(п)5Л. Например, Г3 = 5 + 10si + 6s2 + 6su + s3 + 2s2i + em. Найдите (Tm,Tn}. Как и в п. (а), представьте ваш ответ в виде знакомого комбинаторного числа. 7.531. [3] Пусть w = aia2---a2n £ &2п- Предположим, что а; + a2n+i-i = 2п + 1 для всех г, 1 ^ г ^ п. Покажите, что диаграмму записывающей таблицы ins (it;) можно покрыть п костями домино. 7.532. [2-] Пусть d, п ^ 1, а С = e2ni/d — первообразный корень из 1 степени d. Возьмем fe Лп. Покажите, что /(1, С,..., Cd_1) = О кроме случая, когда d\ п. 7.533. [3-] Пусть (п - 3)/2 ^ га ^ п - 1. Покажите, что £ /А=«»>- £ Ц^«л Л1-п i,j,Z>0 '•У* £(X)^m 2i+j+2l=n-m-l где t(j) обозначает число инволюций в группе &j. 7.534. [2-] Пусть и — клетка косой диаграммы Л//х. Точно так же, как и для обычных диаграмм, можно определить крюк Н(и) = Нх/^(и). А именно, это множество клеток, лежащих в строке справа от и и в столбце ниже щ при этом сама клетка и считается один раз. Аналогично можно определить длину крюка h(u) = Н\/^(и) := фН(и). Пусть (A//i)r обозначает диаграмму A//i, повернутую на 180°, как в упр. 7.56. Покажите, что ивХ/ц ue{\/ti)r 7.535. [3-] Пусть 77fc(A) обозначает число крюков длины к разбиения А. Покажите, что J]77fc(A) =fe^mfc(A), Х\-п Х\-п где, как обычно, rajfc(A) есть число частей разбиения А, равных к. Отметим, что упр. 7.S1 эквивалентно случаю к = 1. Имеется ли здесь простое биективное доказательство, аналогичное решению упр. 7.S1?
600 Гл. 7. Симметрические функции 7.536. [3-Ь] Для разбиения А и клетки и € А так же, как в упр. 7.26, обозначим через а(и) и £(и) длины руки и ноги клетки и. Положим 7(А) = #{и G А : а{и) - 1{и) = 0 или 1}. Покажите, что £«7(A) = E<z'(A)' Ahn Ahn где ^(А) есть длина (т.е. число частей) разбиения А. 7.537. [2] Пусть, как обычно, S = (п — 1,п — 2,.. .,0). Возьмем A € Par с п ^ ^(А). Найдите разложение произведения ss(x1,...,xn)s\(xl,...,xl) по функциям Шура. 7.538. [2] Пусть Ек обозначает число Эйлера, т.е. число чередующихся перестановок1) чисел 1,..., к. Вычислите определители Ап Е- '2t+2j-l и Вп = Е- 2J+2J-3 (2г + 2^-3)! М=1 |(2t + 2j-l)!| Указание. Воспользуйтесь упр. 7.40. 7.S39. Зададим гомоморфизм алгебр шу: А{х,у) —> А(х) ® А(у) формулой иуРп(х, у) = рп(х) + (-1)п_1РпЫ. (7.159) Эквивалентным образом, иу есть автоморфизм cj, действующий только по переменным у. Будем писать u>yf(x,y) = f(x/y). В частности, функции s\{x/y) называются суперфункциями Шура. Положим £ = im(o;y) = {f(x/y) : f £ Л}. Это подалгебра в А(х) ® А(у). a. [2-] Покажите, что зх(х/у) = J2 *мОФа'/м'Ы- (7-16°) b. [3-] Пусть д(х, у) € А(х) ® Л(?/), a t — независимая переменная. Покажите, что д € £ тогда и только тогда, когда 9(х, y)\Xl=t,yi=-t = д(х, у)\Х1=У1=0. (7.161) c. [3] Докажите следующий «конечный аналог» п. (Ь). Пусть д G А(жь ..., хт) ® A(j/i,..., уп). 1^См. примечание к упр. 7.64(a). — Прим. перев.
Упражнения 601 Тогда для выполнения равенства 9(х, y)\Xl=t,yi=-t = д(х, у)\Х1=У1=0 необходимо и достаточно, чтобы функция д была многочленом от «переменных» р»(ж1,...,жто) + (-l)t_1Pi(j/i,...,J/n)i i ^ !• [2-] Покажите, что для произвольной функции / € Л функция f(x/x) является многочленом от нечетных степенных сумм РьРз?Р5? • • • • [3-] Определим супертаблицу формы А как массив Т формы А, состоящий из положительных целых чисел и удовлетворяющий условиям: (i) числа по строкам и столбцам нестрого возрастают; (ii) числа по диагоналям в направлении слева направо сверху вниз строго возрастают (эквивалентным образом, нет квадратов размера 2x2 с одинаковыми элементами). Компонентой супертаблицы Т называется максимальное ладейно-связное1^ подмножество, состоящее из равных элементов. Через с{Т) обозначим число компонент. Например, если Т имеет вид 111112 2 11 2 2 2|3|4 i X | 2 1 3 3 3 4 ■ 2 2 1 4 4 | з| то в ней имеется одна компонента из единиц, две компоненты из двоек, три компоненты из троек и две компоненты из четверок; итого с(Т) = 8. Покажите, что зх(х/х) = ^2с{Т)хТ, где Т пробегает все супертаблицы формы А, а хт имеет обычное значение. f. [2+] Пусть (nm) обозначает прямоугольную диаграмму размера га х п. Покажите двумя различными способами, что m п S(n")(sii • • • 1 Xm/yi, . . • , уп) = П ДО*:* + Vj)- В первом (простом) доказательстве следует использовать упр. 7.41 и 7.42. Второе доказательство должно исполь- *' То есть множество, любые два квадрата которого соединены маршрутом ладьи. В оригинале «rookwise-connected». — Прим. перев.
602 Гл. 7. Симметрические функции зовать п. (Ь) выше (легкую часть необходимости), но не RSK, тождество Коши и т. п. g. [3-] Более общим образом, пусть а и /3 — разбиения с £(а) < га, £(Р) < п. Через [т,п,а,/3] обозначим разбиение, получающееся при присоединении к (пт) справа а и снизу /?', как изображено на рисунке ниже. п а Покажите, что 5[m,n,a,i9](^l,...,Xm/j/i,...,J/n) т п = sa(xi,... , Xm)5/j(j/i, .... уп) • Д Д fa + yj). 7.540. [3] Пусть t — независимая переменная. Зададим специализацию (гомоморфизм) г?: Л —* A[t] формулой Покажите, что где с{и) обозначает содержание клетки и. 7.541. [5] Пусть J — набор подынтервалов вида {г, г + 1,..., г + j} множества [п]. Не умаляя общности, можно считать, что 1 является антицепью, т. е. если /, J G I и / С J, то I = J. Положим JT\X) = / ^ xi\ ' ' ' xini где i\ • • • in пробегают все такие наборы из п положительных целых чисел, что если j, к € / € X и j ф к, то ж^. ф Х{к. Таким образом, /х € Л. Например, если J = 0, то /х = е™, а если J = {[п]}, то /х = п\еп. Покажите, что функция /х является е-положительной.
Упражнения 603 pXrX 7.542. a. [2+] Зафиксируем целые числа тип, 1 < га < п. Найдите простые формулы для следующих четырех сумм: a(m.n)=E Е Е/"/"/А^' ^thm i/hn—m Ahn 6(m.n) = E E Е^"с ^thm i/hn-m Ahn cKn) = E E E/"/A fi\~m v\-n—m Ahn d(m.n) = E E E/A fihm v\~n—m Ahn где c^ — коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона. Некоторые из формул могут включать в себя число t{k) инволюций в &к Для некоторых к. Ь. [5-] Сделайте то же самое для e(m.n)=E Е Е/Чо ц\-тп v\~n—m Ahn /("».п) = е Е Ес^- fihm v\~n — m Ahn Это может быть выполнимо при соответствующем понимании выражения «простая формула». 7.543. [3+] Пусть A, /i, v — разбиения, а п € Р. Покажите, что с*, ф 0 тогда и только тогда, когда c£*jnl/ ^ 0. 7.544. [3+] Пусть A, /i, v — разбиения длины не более п. Если А — эрмитова матрица размера п х п с собственными числами ai ^ • • • ^ an, то будем писать spec(^) = (ai,..., an). Покажите, что следующие два условия равносильны: • существуют такие эрмитовы матрицы Л, В и С размера п х п, что А = В + С, spec(^) = A, spec(jB) = /i и spec(C) = i/; • коэффициент Литтлвуда-Ричардсона с^ отличен от 0. 7.545. а. [2-] Найдите все такие разбиения Ahn, что хЛ(аО ¥" 0 для всех разбиений ц\- п. Ь. [5-] Найдите все такие разбиения fi h п, что хЛ(аО 7^ 0 для всех Ahn. 7.546. [2+] Для данного разбиения Ahn обозначим через Н\ произведение всех длин крюков из А. Так, Н\ = п!//Л. Покажите, что для к G N имеем fan П'
604 Гл. 7. Симметрические функции Указание. Воспользуйтесь упр. 7.69(b) (точнее, его решением) и упр. 7.70. 7.547. Зафиксируем разбиение fi Ь к и положим N(n;fi) = Ylxhn fX^< Пусть t(j) обозначает число инволюций в &j. a. [2-Ь] Покажите, что для всех п, к ^ 0 мы имеем М» + *;/0 = Е(")( Е /"/v)*(«-j)- b. [3-] Пусть v обозначает разбиение, полученное из v заменой каждой четной части 2г на две части г, г. Эквивалентным образом, если w — перестановка циклового типа I/, то w2 имеет цикловый тип и. Покажите, что для п ^ к "(».") = tj^S Е ^V(^ife-). mi(i/)=m2(i')=0 Например, N(n; 32) = iV(n; 221) = ^r(t(n) - 4t(n - 3) + 6t(n - 4)). 7.548. [3-] Зафиксируем разбиение fi\- к. Для заданного разбиения Х\- п^ к положим л,х(„ ,,,-fcx (n)fcxA(M,l"-fc) Х(М )_ хА(1") • Через р х g обозначим разбиение с р частями, равными q. Зафиксируем перестановку w^ € &к циклового типа fi и обозначим через k(w) число циклов перестановки w £ &к- Покажите, что xpxq(ti,ipq~k) = (-i)k Y^ pk{u\-q)k{v\ где суммирование ведется по всем к\ парам перестановок (и, v) бб^хбл;, удовлетворяющих условию uv = w^. Указание. Воспользуйтесь правилом Мурнагана-Накаямы и упр. 7.70. 7.549. а. [2+] Через k(w) обозначим число циклов перестановки w € &п. Покажите, что Pn(q) := jyMiA-.»» = -±—((q + n)n+1 - (q)n+1),
Упражнения 605 где w пробегает все (п — 1)! циклов длины п в 6n, а iu(l,..., п) обозначает произведение w и п-цикла (1,..., п) Например, £ ^(1'2'3)) = ^№4-3)4-(g)4)=g34-g. Р(«/)=(3) Указание. Воспользуйтесь упр. 7.70. b. [2+] Покажите, что вещественные части всех корней многочлена Pn(q) равны 0. c. [5-] Из п. (а) следует, что г L(n-1)/2J Рп(я) = 7кщ £ c(n+l,n-2i)qn-2\ \ 2 ) г=0 где c(n-fl, п—2г) обозначает число перестановок w € 6n+i с п — 2г циклами. Имеется ли биективное доказательство? (На самом деле не столь очевидно, что с(п + 1,п - 2г) делится на (n J1). Дж. Берне доказал более сильный результат, утверждающий, что если АЬп+1 и е\ = — 1, то (п + 1)!/*а делится на ("J1).) d. [3] Обобщите п. (Ь) следующим образом. Зафиксируем А Ь п. Положим л(«)= £ в"(,о(1--п)), p(w)=A где w пробегает все перестановки из &п циклового типа А. Покажите, что вещественные части всех нулей многочлена P\(q) равны 0. 7.550. [3] Определим ранг косой диаграммы X/fi как наименьшее число косых крюков в таблице косых крюков формы X/fi. Легко видеть, что в случае /i = 0 это определение согласуется с определением в конце разд. 7.2. Пусть |A//i| = n, a v есть разбиение числа п, удовлетворяющее условию t(y) = rank(A//i). Покажите, что \Х^ (у) делится на m\(v)\ m\(v)\ • • •. (Отметим, между прочим, что, согласно определению (7.75) числа х^М? мы имеем хХ^(у) = 0, если t(y) < rank(A//i).) 7.551. Пусть Е(Х) (соответственно О(А)) обозначает число стандартных таблиц формы А с четным (соответственно нечетным) главным индексом. а. [2+] Выразите симметрическую функцию Rn = Y/(E(X)-0(X))sx Xhn через симметрические степенные суммы.
606 Гл. 7. Симметрические функции b. [2+] Выведите из п. (а), что если А Ь п, то Е(Х) = О(Х) тогда и только тогда, когда на диаграмме А нельзя разместить [п/2\ непересекающихся костей домино (т. е. пар клеток с общим ребром). c. [2+] Обобщите п. (Ь) на косые диаграммы A//i. d. [2+] Пусть р — простое число. Обобщите пп. (а)-(с) на случай Л0(А) = Ах(Х) = • • • = Ap-i(X), где Ai(X) обозначает число стандартных таблиц Юнга формы А, удовлетворяющих условию maj(T) = г (mod р). e. [5] Следующая задача на первый взгляд похожа на задачу п. (Ь). Стандартную таблицу формы А (или, более общим образом, линейное расширение конечного ч. у. множества Р) можно рассматривать как перестановку клеток диаграммы А (или элементов множества Р) при условии, что фиксирована некоторая таблица Г, отвечающая тождественной перестановке. Будем называть стандартную таблицу четной, если она, рассматриваемая как перестановка, является четной. Аналогично определяется нечетная стандартная таблица. Для каких А число четных стандартных таблиц равно числу нечетных? (Нетрудно видеть, что ответ не зависит от выбора «тождественной таблицы» Т.) Эта задача была решена для прямоугольных диаграмм при помощи сложного метода, заслуживающего оценки [3] или даже [3+]. 7.552. [3] Пусть А Ь п, а симметрическая функция L\ такая же, как в упр. 7.89(f). Пусть a € Comp(n). Обозначим через Ва соответствующий косой крюк, определенный перед леммой 7.23.3. Покажите, что (Lx,sBa) = #{w е б„ : p(w) = A, D(w) = Sa}, где D(w) обозначает множество спуска перестановки w. 7.553. [5-] Пусть |А//х| = п и /Л/"Ы = (1-й(1-Л---(1-0^/^(1^,^,...) = £<zmaj(T), г где Т пробегает все косые стандартные таблицы формы Х/р (см. предложение 7.19.11). Многочлен fx^(q) можно рассматривать как «естественный» g-аналог числа fx^. Исследуйте, когда коэффициенты многочлена fx^(q) унимодальны. Это не всегда так, например, это не так, когда А = (2,2), р = 0. Однако в некоторых случаях они, кажется, должны быть унимодальными, например, когда р = 0, а А является арифметической прогрессией, заканчивающейся 1.
Упражненья 607 7.554. а. [3-] Предположим, что s\ = f + д, где f,g G А и f и д являются L-положительными. Покажите, что / = 0 или 5 = 0. Ь. [2+] Приведите пример L-положительной симметрической функции, не являющейся 5-положительной. 7.555. [2-] Обозначим через 21п знакопеременную группу степени п (рассматриваемую как подгруппу симметрической группы &п). Представьте цикловый индекс Z%n в виде линейной комбинации функций Шура. 7.556. а. [1+] Пусть X— непустое подмножество из 6П. Предположим, что цикловый индекс Zx является «-положительным. Покажите, что X содержит единицу группы &п. Ь. [5] Что можно сказать о подмножествах X из 6П, для которых Zx является s-положительной или /г-положи- тельной функцией? (По поводу дальнейшей информации см. формулу (7.120), упр. 7.111(c),(d) и упр. 7.S57 ниже.) 7.557. Пусть G— подгруппа группы 6П, для которой цикловый индекс Zg является s-положительным. a. [2+] Покажите, что Zq = h\ для некоторого разбиения Ah п. b. [3-] Покажите, что на самом деле G сопряжена с подгруппой Юнга &х. 7.558. [3-] Найдите супераналог теоремы 7.24.4 (теоремы Пойа). Точнее, дайте комбинаторную интерпретацию коэффициентов разложения функции Zc(x/y) в виде линейной комбинации функций т\(х)тц(у). 7.559. а. Пусть Т — стандартная таблица Юнга формы А Ь п. Таблицу evac(T), определенную в приложении 1, можно рассматривать как перестановку элементов 1,..., п из Т. Покажите, что эта перестановка четна тогда и только тогда, когда число Q) + (0(A) - 0(А'))/2 четно. Здесь O(fi) обозначает число нечетных частей разбиения /i. (Отметим, что это условие зависит только от формы А таблицы Т.) Ь. [3] Через е(п) обозначим число разбиений А Ь п, для которых evac(T) — четная перестановка элементов некоторой (или всякой) стандартной таблицы Т формы А. Пусть р(п) обозначает общее количество разбиений числа п. Покажите, что е(п) = (р(п) + (—l)W/(n))/2, где 7.560. [2] Выразите exf[g] через ех/ и ехд, где ех обозначает экспоненциальную специализацию, a f[g]— плетизм.
608 Гл. 7. Симметрические функции 7.561. [2+] Выразите плетизм h2[hn] через функции Шура. 7.562. Обратной к / 6 Л относительно операции плетизма называется симметрическая функция д € Л, удовлетворяющая условиям f[g] = g[f] = рг (pi —единица для операции плетизма); см. упр. 7.88(d). Нетрудно видеть, что если функция д существует, то она единственна. Кроме того, д существует тогда и только тогда, когда свободный член функции / равен 0 и [рх]/ ф 0. a. [2] Опишите функцию, обратную относительно операции плетизма к / = J2n>ianPi (гДе °>i Ф 0)? в терминах «знакомых» объектов. b. [2] Пусть / = J2n^ianPn, где аг ^ 0. Опишите функцию, обратную к / относительно плетизма, в терминах свертки Дирихле. Свертка Дирихле а*Ь двух функций а, Ь: Р —* С определяется формулой а * b(n) = ]Р a(d)b(n/d). d\n 7.563. [2-] Группа GL(n,C) действует на пространстве Mat(n,C) комплексных матриц размера пхп посредством левого умножения. Представьте характер этого действия в виде линейной комбинации неприводимых характеров. Решения упражнений 7.1. Верно! Указание. Где стоит точка в конце предложения? 7.2. См. работы Brylawski Т. Discrete Math. 6 (1973), 201-219, и Greene С, Kleitman D. J. Europ. J. Combinatorics 7 (1986), 1-10. Отметим, что упр. 3.55 связано с функцией Мёбиуса решетки Раг(п). (Ответ в п. (с): п = 7.) 7.3. Пусть ш — первообразный кубический корень из 1. Тогда г>1 г>1 Д(1 + я* + х?) = Д(! - "**)(! - Л) = (£>l)»u,^n)(£(-l)V»en) 71^0 ' ХП^0 = Een+Et(-1)m+na'm+2n
Решения упражнений 609 где 2, 1, -1, -2, -1, 1, если т - если т - если т - если т - если т - если т - - п = 0 (mod 6), - п = 1 (mod 6), - п = 2 (mod 6), - п = 3 (mod 6), - п = 4 (mod 6), - п = 5 (mod 6). Этот результат принадлежит А. М. Гесселю. 7.4. Один из многих способов доказать эту формулу (известную Якоби) состоит в том, чтобы взять формулу 5л = a\+s/a>6 (теорема 7.15.1), положить А = (г) и разложить определитель й(г)+б п0 последнему столбцу. Дальнейшие аспекты см. в работе Gustafson R. A., Milne S. С. Advances in Math. 48 (1983), 177-188. 7.5. Положив yi = t и у2 = Уз = • • • = 0 в формуле (7.20) (или начиная рассуждения непосредственно с (7.11)), получим Гр„- = 1пГМп. (7.162) i.—• л *—• 71^1 71^0 Продифференцируем по t и умножим на £, чтобы получить Р ~ У" h tn ' Эта формула эквивалентна доказываемой. 7.6. (Набросок.) Пусть Ci,...,Cj — циклы некоторой фиксированной длины г перестановки w (таким образом, j = mi). Выберем Шг! способами перестановку тг G &j. Выберем imi способами элемент ак € С*, 1 ^ к ^ j. Сделаем это для всех г. Тогда имеется единственная перестановка г;, коммутирующая с w, такая, что если Ьк —наименьший элемент цикла Ск, то v(bk) = а-к(к), и все перестановки г;, коммутирующие с w, получаются таким способом. 7.7. Ответ. Базис состоит из функций р\ для таких разбиений Л Ь п, у которых все части А* > 0 нечетны. Доказательство. Ясно, что каждая такая функция р\ принадлежит £1п. И наоборот, предположим, что / G fin, но / ф spanQ{pA • А Ь п}. Можно считать, что / = Х^асаРа> где А пробегает все разбиения числа п с по крайней мере одной четной частью. Пусть fi — наименьший по доминированию элемент, для которого см ф 0. Тогда коэффициент при
610 Гл. 7. Симметрические функции х^х^х^3 • • • в разложении /(xi, —жь жз, #4» • • •) отличен от нуля (почему?); противоречие. □ Отсюда следует, что размерность dimfJn равна количеству разбиений числа п на нечетные слагаемые. Согласно известной теореме Эйлера (см., например, десятый элемент Двенадцатеричного пути в разд. 1.4, а также Hardy G. Н., Wright Е. М. An Introduction to the Theory of Numbers, 4th ed., Oxford University Press, London, I960 (теорема 344), и [1.1, следствие 1.2]), эта величина равна также числу разбиений числа п на попарно различные слагаемые. Восходящий к Шуру естественный базис для 17п, аналогичный функциям Шура и индексируемый разбиениями числа п на различные части, появляется в [96, гл. III.8]. 7.8. Пусть / = J2\hn саРа- Тогда wf = £аьп сл^лРл; поэтому (vfh = Yl ca£aPa(zi , ж*,...) = X) с*е*Рм- Х\-п Х\-п С другой стороны, fk = 22 C^Pa(^i , Ж*, • • • ) = Х^ С*Р**5 \\-п \\-п таким образом, ufk = ^2Xhnc\ek\Pk\' Теперь £kx = (_!)|fcA|-/(fcA) = (.^HAI-ZfA) что завершает доказательство. 7.9. (Набросок.) Из равенства а\^ = (Д,^) получаем, что h^ = ^а^а^а^д. Из формулы (7.13) (или другим способом) можно вывести, что hn = Уцелел, АЬп где ел равно числу различных перестановок последовательности (Ai,...,A^) (здесь £ = £(Х)) и, следовательно, это в точности мультиномиальный коэффициент ( £ ) = е] Vmi(A),m2(A),..7 mi(A)!m2(A)! ••• Так как h\ и е\ мультипликативны, то можно вычислить а\ц, выражая h^ h^ • • • через е\. Забытую симметрическую функцию впервые «вспомнил» Дубиле (Doubilet P. Studies in Applied Math. 51 (1972), 377-396). В этой работе появилось менее прямое доказательство, отличное от приведенного выше.
Решения упражнений 611 7.10. Имеем ос а п^1 = ^2 -тЛх\, х21 • • •) = Х^Шпл* п^1 п^1 Предположим, что А Ь г. Тогда (почему?) а;тЛ(*?, *2,...) = (-1)(п-1)ггл £ ^тДх?, *£, • • • )• Следовательно, о;1пЛЛ(ж) = ЫшА\(х) = -(-1){п~1)гех^,а^тп» v = (-1Гел£ Е £ (-1) ПГ .(Зп п М /?GPerm(^) п^1 где Perm(/i) обозначает множество различных перестановок последовательности (/ii,/i2, • • • )• Получим 1по;ЛЛ(х) = (-1)ггл $>Лм $>(1 - (-l)^)"1; поэтому " ' если г четно, ujA\(x) ... ,, '",си"- если г нечетно. Аналогично (или потому, что матрица перехода М(/, т) является инволюцией), «■{ass шБл(х) = Гхм~^Г^, если г четно, т-т /1 /^.^елал/х^ если г нечетно. 7.11. Ответ: YJj=o (# — l)j5n-j,ii • Как только этот ответ угадан, он может быть проверен следующим образом. Мы построим полустандартную таблицу Юнга формы (n — j, V) и типа /х, выбирая, какие части разбиения /i, за исключением первой части, попадут в каждую из j клеток в первом столбце ниже первой строки. Имеется (£^Лг) вариантов такого выбора; поэтому i^(n-j,ii),^ = G(u)-i)- Следовательно, коэффициент
612 Гл. 7. Симметрические функции при шд в угаданном ответе задается формулой что завершает доказательство. 7.12. Это результат был высказан в качестве гипотезы в работе Snapper Е. J. Algebra 19 (1971), 520-535 (гипотеза 9.1), и доказан независимо в работах Liebler R. A., Vitale М. R. J. Algebra 25 (1973), 487-489, и Lam Т. Y. J. Pure Appl. Algebra 10 (1977), 81-94 (теорема 1). 7.13. а1). См. Беренштейн А. Д., Зелевинский А. В. Фупкц. анализ и прил. 24 (1990), 1-13. 7.14. а. Согласно следствию 7.13.7, интересующее нас число равно 5з(г) — числу симметричных N-матриц размера 3x3, в которых сумма элементов в каждой строке равна г. Требуемая формула является теперь простым следствием формулы для Сз(А), приведенной после предложения 4.6.212). Ь. Теперь по следствию 7.13.7 мы вычисляем Sn(r) —число симметричных N-матриц размера п х п, у которых сумма элементов в каждой строке равна г. Предложение 4.6.21 показывает, что Sn(r) имеет вид Pn(r) + (-l)rQn(r). Нетрудно найти degPn(r), например, рассуждая, как в доказательстве предложения 4.6.19, или вычисляя максимальное число линейно независимых симметричных N-матриц размера п х п. Точное значение degQn(r) упомянуто в замечаниях к гл. 4 в качестве гипотезы. Эта гипотеза была доказана в работе Jia R. Q. In: Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, Proceedings of the Fifth Conference, Florence, Italy, June 21-25, 1993 (A. Barlotti, M. Delest, and R. Pinzani, eds.), Universita di Firenze, pp. 292-300, с использованием теории многомерных сплайнов. См. связанную с предыдущей работу Jia R. Q. Trans. Amer. Math. Soc. 340 (1993), 179-198. 7.15. См. работу Macdonald I. G. Bull. London Math. Soc. 3 (1971), 189-192. Случай p = 2 см. также в статье McKay J. J. Algebra 20 (1972), 416-418. 7.16. а. Впервые в явном виде этот результат был сформулирован Бендером и Кнутом в работе Bender Е. A., Knuth D. Е. J. Combinatorial Theory (А) 13 (1972), 40-54. Ранее выражение через пфаффиан для обобщения чисел Вк было *' Другое доказательство см. в работе Kirillov А. N. Europ. J. Combinatorics 21 (2000), 1047-1055 (предложение 2.2). — Прим. автора при переводе. 2)Сз(А) = Ц=л*кШ)' г^е С"(Л) = ^r^oSn(r)Xr. - Прим. перев.
Решения упражнений 613 дано в статье Gordon В., Houten L. J. Combinatorial Theory 4 (1968), 81-99. Гордон (Gordon В. J. Combinatorial Theory 11 (1971), 157-168) упростил частный случай, эквивалентный специализации для Вк, сведя его к определителю. Бендер и Кнут заметили, что упрощение Гордона можно применить к самим Вк> Дальнейшее обсуждение появляется в работе Gessel I. М. J. Combinatorial Theory (А) 53 (1990), 257-285 (§6). b, с. Из правила Пиери (теорема 7.15.7) получаем 5|п/2№/2] = ]Г 5Л. АЬп *(АК2 Теперь возьмем в обеих частях коэффициент при х\ • • • хп, откуда следует формула для У2(тг). Это рассуждение принадлежит Регеву (Regev A. Advances in Math. 41 (1981), 115-136). Регев привел подобное, хотя и более сложное рассуждение для к = 3. (См. упр. 7.82(b).) Комбинаторные доказательства для 2 ^ к ^ 5 принадлежат Гуйу- Бошаму (Gouyou-Beauchamps D. Europ. J. Combinatorics 10 (1989), 69-82). В цитированной выше работе Гесселя получены формулы из п. (а) для Ук(п) при 2 < к < 5. d, е. См. цитированную выше статью Гесселя (§7). В этой работе Гессель привел для из(п) формулу, чуть более сложную, чем (7.124), но впоследствии он нашел сформулированное здесь упрощение, f. Случай к = 2 разобран в упр. 6.19(ww). Ряд формул для ук(п) и Uk(n) при больших к приведен в работе Goulden I. P. Canadian J. Math. 42 (1990), 763-774. Некоторые относящиеся к этой задаче результаты, использующие следствие 7.23.12, см. в упр. 6.56(c). 7.17. См. работу Stanley R. J. Combinatorial Theory 76 (1996), 169- 172. Дальнейшую информацию о Wi(n) см. в упр. 6.33(c). 7.18. Обозначим черные пешки через Pi,...,P5, считая сверху. Когда пешка Р^ превратится в ладью, обозначим эту ладью через Ri- Ходы черных изображены на рис. 7.20 в виде элементов ч. у. множества Р. Черные могут делать ходы в любом таком порядке, что если и < v в Р, то ход и должен предшествовать ходу v. Следовательно, число решений равно числу е(Р) линейных расширений упорядочения Р. Это число есть в точности уК6»6»6»6) — число стандартных таблиц Юнга формы (6,6,6,6), и формула крюков (следствие 7.21.6) дает ответ 140 229 804. Эта задача была составлена К. Вай- саненом и появилась в брошюре Queue Problems (задача 7), упоминавшейся в решении упр. 6.23.
614 Гл. 7. Симметрические функции Рис. 7.21. Косая диаграмма \//л. 7.19. Для заданных a, b ^ 0 рассмотрим диаграмму А указанной на рис. 7.21 формы; тогда а = X/fi для некоторого /i. Пусть Va,b,(j(ri) —число таких /i, удовлетворяющих условию \fi\ = п.
Решения упражнений 615 Тогда (почему?) „ah+ar+hs n^O L J L J Значит, „ah+ar+as ЕМп+о^=Е^рщг- п^О а,Ь^О L J L J Простые преобразования показывают, что правая часть равна сформулированному ответу [г — l]![s — 1]!/[оо]![г + 5 — 1]!. 7.20. а. В общем случае, если / € Лп, то (р™,/) = [xi- — xn]f, как следует, например, из формулы (7.25). Следовательно, (Pi,h\) = [xi • "Xn]h\ = (х х )• Так как (например, по лемме 5.5.3) число разбиений множества [п] типа А равно (ал ) Пг ^г(А)"1, то это завершает доказательство. b. Следующее рассуждение принадлежит Дэйлу Уорли. Пусть 7Г — разбиение множества [п] типа А. Обозначим его блоки через В\, Въ, . • •, где #В{ = Х{ и ттВ{ < min Bj, если #В{ = #Bj при i < j. Вставим элементы блока В{ в возрастающем порядке в строку г диаграммы А. Например, для Вг = {3,6,8}, В2 = {5,7,9}, В3 = {1,4}, В4 = {2} получим таблицу 368 579 14 * 2 Отсортируем каждый столбец в возрастающем порядке. Для примера, приведенного выше, получим 148 269 37 * 5 Хорошо известная «теорема о несмешивании» (см. более общий результат в работе Gale D., Кагр R. М. J. Comput. System Sci. 6 (1972), 103-115) утверждает, что строки остаются возрастающими; поэтому в результате получается стандартная таблица Юнга Т. Несложное комбинаторное рассуждение показывает, что каждая стандартная таблица Юнга Т получается таким способом /(Т) раз, что завершает доказательство. c. Пусть Т — полустандартная таблица Юнга формы А и типа II. Пусть T{s) обозначает число, стоящее в клетке s G X таблицы Т. Назовем клетку 5 специальной, если s = (г, j),
616 Гл. 7. Симметрические функции j > 1 и T(i,j — 1) < T(i,j). Если клетка 5 специальная, то определим f(s) точно так же, как в п. (Ь), т.е. положим f(s) равным числу клеток г в столбце непосредственно слева от 5 и в строках не выше 5, для которых T(r) < T(s). Положим теперь Yl8 /(5), если в Т имеется в точности £(fi) — £(Х) специальных клеток, О, если в Т имеется больше чем £(fi) — £(Х) специальных клеток, где произведение берется по всем специальным клеткам 5. (Можно показать, что Т всегда имеет по крайней мере £(fi) — £(Х) специальных клеток.) Тогда y£f(T) = (mi(\)\)-1(j>li,hx), (7.163) т где Т пробегает все полустандартные таблицы Юнга формы А и типа /i. Правая часть тождества (7.163) равна числу разбиений мультимножества {lMl, 2М2,... } на непересекающиеся блоки (где каждый блок является мультимножеством) размеров Ai, А2,.. • . Пример. Пусть А = (4,2,1) и ц = (2,2,1,1,1). Имеется пять таблиц Т, у которых в точности £(Х) — £(fi) = 2 специальные клетки (элементы, стоящие в этих клетках, выделены в них жирным шрифтом), а именно, 1122 1122 1134 1135 1145 Т 34 35 22 22 22 5 4 5 4 3- /(Г) 12 2 2 2 Таким образом, ]Ст/СП = ^, что соответствует следующим девяти разбиениям мультимножества {1,1,2,2, 3,4,5}: 1122-34-5,1122-35-4,1122-45-3,1134-22-5, 1135 - 22 - 4, 1145 - 22 - 3, 2234 - 11 - 5, 2235 - 11 - 4, 2245 - 11 - 3. Доказательство п. (с) аналогично доказательству п. (Ь). Замечание. Пункты (Ь) и (с) были первоначально доказаны алгебраическим способом. Определим Р\ (ж; t), как в [96, гл. 3.2], и запишем Ра(*;«) = X)(l -*)'(AM("W*K.(s), /(т) =
Решения упражнений 617 где а\ц € Z[t]. Коэффициенты а\ц(1) можно интерпретировать двумя способами, используя формулы (4.4) на с. 224 и (5.11') на с. 229 книги [96] ^ (отметим, что формула (4.4) содержит типографскую опечатку: напечатано Q\(x\t) вместо Q\{y',t)), что завершает доказательство. Мы опускаем утомительные детали. 7.21. См. работы Edelman P. Н., Greene С. Contemp. Math. 34 (1984), 155-162 (теорема 2), и Advances in Math. 63 (1987), 42-99 (теорема 9.3). Обобщение сбалансированных таблиц см. в статье Fomin S., Greene С., Reiner V., Shimozono М. Europ. J. Combinatorics 18 (1997), 373-389. 7.22. а. Для любого a € Comp(p) имеем [x\ • • -хр]Ьа — 1, и результат следует из определения функции Fw. b. Определим алгебру 91п (скажем, над Q), называемую ниль-алгеброй Кокстера симметрической группы 6П, следующим образом. Алгебра У1п имеет п — 1 образующих щ,... ,un-i, удовлетворяющих ниль-соотношениям Кокстера и\ = О, 1 < г < п, UiUj = UjUi, если \i — j\ > 2, щщ+1Щ = щ+1щщ+х, 1 ^ г ^ п — 2. Если (ai,..., ар) € R(w), то отождествим элемент uai • • • иар алгебры 9tn с w. Нетрудно видеть, что такое отождествление корректно и что &п является Q-базисом алгебры 9tn • Будем писать (/, w) для обозначения коэффициента при w в разложении элемента / € 9tn по базису 6п. Положим теперь х = (xi,X25 • • •) и определим А(х) € %i ®q Q[x) и G = G(x) € ЭТП ®q Q[x] формулами A{x) — (1 + xun-i)(l + хип-2) •••(! + хщ), G = А(хг)А(х2) • • • • Из определения G непосредственно следует, что G = 2 F-"2 * ™* Основная лемма, которая легко доказывается индукцией по п, утверждает, что А(х)А(у) = А(у)А(х). Отсюда следует, что Fw € Ар. ^См. также с. 153 и с. 157 русского перевода книги [92]. — Прим. перев.
618 Гл. 7. Симметрические функции Результат этого упражнения впервые был приведен (с более сложным доказательством) в работе Stanley R. Europ. J. Combinatorics 5 (1984), 359-372 (теорема 2.1). Доказательство, набросок которого приведен здесь, появилось в статье Fomin S., Stanley R. Advances in Math. 103 (1994), 196-207 (после леммы 2.1). с. Пусть w = w\W2 • • • wn, и пусть aw —приведенное разложение перестановки w, которое получается следующим образом: начав с 12 • • • п, переместим сначала wn в последнюю позицию, сдвигая за один шаг на одну позицию, затем wn-\ — в предпоследнюю и т. д. Например, если w — 361524, то aw = (4,5,2,3,4,3,1,2). Можно показать, что LCo(aw) содержит слагаемое *n(w) Xn-i(w) „AiCw) что ни для каких других a € R(w) ряд Lco(a) не содержит этого слагаемого и что никакой ряд Lco(a) не содержит слагаемого, у которого показатели, расположенные в порядке нестрогого убывания, были бы больше, чем A(w), в упорядочении по доминированию. Так как а ^ /9, если Кар ф О, и так как Крр = 1, то получаем, что А ^ A(w), если cw\ ф О, и cw^\(w) = 1. Соответствующие результаты для fi(w) являются следствием утверждений для A(w), примененных к Fw-i, и того факта, что uFw = Fw-i. (Из упр. 7.94(a) нетрудно вывести, что uFw = Fw-i.) Детали см. в цитированной выше работе Стенли (теорема 4.1). d. Флаговые перестановки (однако под другим названием) были введены в работе Lascoux A., Schtitzenberger М. Р. С. R. Acad. Sci. Pans, Ser. I 294 (1982), 447-450 (см. теорему 3.1), и независимо переоткрыты Стенли (Stanley R. Europ. J. Combinatorics 5 (1984), 359-372 (следствие 4.2)). В статье Lascoux A., Schtitzenberger М. P. Lett, in Math. Phys. 10 (1985), 111-124, флаговые перестановки определены как 2143-избегающие перестановки (с. 115), а в лемме 2.3 доказана эквивалентность с тем определением, которое дали мы. См. также формулу (1.27) в работе Macdonald I. G. Notes on Schubert Polynomials, Publications du LACIM, vol. 6, Universite du Quebec a Montreal, 1991. e. Этот результат принадлежит Уэсту (West J. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1990 (следствие 3.1.7), и Discrete Math. 146 (1995), 247-262 (следствие 3.5)). Уэст
Решения упражнений 619 установил биекцию между 2143-избегающими перестановками и 4321-избегающими перестановками в &п. Результат вытекает из следствия 7.23.12 для р = 3 (с заменой Л на А'). f. Перестановка wo является флаговой, и нетрудно видеть, что A^0 = fj,WQ = (га — 1, га - 2,..., 1). Следовательно, из п. (с) получаем, что r(wo) — yrn-1>n-2v,i? и утверждение следует из формулы крюков (следствие 7.21.6). Этот результат принадлежит Стенли; см. цитированную выше работу, следствие 4.3. g. Формула (7.126) принадлежит Фомину и Кириллову (Fo- min S., Kirillov A. N. J. Alg. Combinatorics 6 (1997), 311- 319 (теорема 1.1). Отметим, что, согласно формуле (7.151), произведение в правой части равенства (7.126) есть в точности число плоских разбиений ступенчатой формы (га — 1,га — 2,...,1) с частями, не превосходящими х. Формула (7.127) принадлежит Макдональду; см. цитированную выше работу, уравнение (6.11). Более простое доказательство дано в статье Fomin S., Stanley R. Advances in Math. 103 (1994), 196-207 (лемма 2.3). Обобщения см. в упр. 6.19(оо). h. Этот результат впервые доказан в работе Edelman Р. Н., Greene С. Advances in Math. 63 (1987), 42-99 (следствие 8.4). Последующие доказательства и связанные с ними результаты см. в работах Kraskiewicz W., Pragacz P. Schubert functors and Schubert polynomials, preprint, October 1986; Kraskiewicz W., Pragacz P. С R. Acad. Sci. Paris, Serie I, Math. 304 (1987), 209-211; Kraskiewicz W. Europ. J. Combinatorics 16 (1995), 293-313; Fomin S., Greene С Discrete Math. 193 (1998), No. 1-3, 179-200 (теорема 1.2 и пример 2.2); Reiner V., Shimozono M. J. Alg. Combinatorics 4 (1994), 331-351, и Reiner V., Shimozono M. J. Combinatorial Theory (A) 82 (1998), 1-73. 7.23. Эта удивительная связь между алгоритмом RSK и симметрическими цепными разложениями восходит к работе Vo К. Р. SIAM J. Algebraic Discrete Methods 2 (1981), 324-332. Частный случай, когда Р — булева алгебра, см. также в книге Stanton D., White D. Constructive Combinatorics, Springer- Verlag, New York, 1986 (теорема 7.5). 7.24. a, b. Эти пункты устанавливают простые свойства дифференцирования, не имеющие отношения к симметрическим функциям как таковым. с. Доказывается непосредственно индукцией по £.
620 Гл. 7. Симметрические функции d. Используя тот факт, что (d/dpi)s\ — s\/\ (см. решение упр. 7.35(a)), в качестве частных случаев теоремы 7.15.7 и следствия 7.15.9 имеем Us^ = ^ s„, Dsp = ^2 5р> v р где v получается из р, при добавлении клетки, а р получается из р, при удалении клетки. Отсюда легко следует, что (U + D)el = J2fhx. А Так как D1 = 0, то из п. (с) вытекает, что r:=(n-i)/2GN £ e\ YJx*> 2rr\i\ V ^ r:=(n-i)/2GN Это завершает доказательство. Операторы U и D являются мощным средством для перечисления различных последовательностей, получающихся при добавлении к диаграммам разбиений и удалении из них единственной клетки. Другие примеры даны в упр. 7.25-7.27. С точки зрения частично упорядоченных множеств фундаментальное свойство DU — UD — I имеет место потому, что решетка Юнга Y является 1-дифферен- циальным ч. у. множеством, т. е. Y — локально конечное ч.у. множество с б, такое, что (i) если Л € Y покрывает в точности к элементов, то Л покрывается в точности к -Ь1 элементами (см. упр. 3.22); (И) если различные элементы A,/i G Y покрывают в точности к общих элементов, то они покрываются в точности к общими элементами. (Заметим, что на самом деле в (ii) к — 0 или к = 1.) Общая теория дифференциальных ч. у. множеств развита в работах Stanley R. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 919-961 (no поводу данного упражнения см. с. 940), и Stanley R. In: Invariant Theory and Tableaux (D. Stanton, ed.), IMA Vol. Math. Appl. 19, Springer-Verlag, New York, 1990, pp. 145- 165. Обобщение дано в статье Gessel I. M. J. Stat Plan. Inf. 34 (1993), 125-134. Последующие ссылки, связанные с дифференциальными ч. у. множествами: Fomin S. J. Alg. Combinatorics 3 (1994), 357-404, и 4 (1995), 5-45; Fomin S.
Решения упражнений 621 J. Combinatorial Theory (A) 72 (1995), 277-292; Kemp R. In: Proc. Fifth Conf. on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, 1993, pp. 71-80; Kremer D., O'Hara К. M. J. Combinatorial Theory (A) 78 (1997), 268-279; Roby T. W. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1991; Roby T. W. Schensted correspondences for differential posets, preprint, и Stanley R. Europ. J. Combinatorics 11 (1990), 181-188. е. Мы ищем (почему?) биекцию между множеством 0£х заканчивающихся на Л осциллирующих таблиц длины £ и парами (7г, Т), где 7г —разбиение некоторого подмножества S (обязательно четной мощности) множества [£] на блоки размера 2, а Т — стандартная таблица Юнга формы Л с элементами из [£] — S. По заданной осциллирующей таблице 0 = А0,А1,...,А* = А мы рекурсивно построим последовательность (7г0, Г0), (ni, Т\),..., (7г^, Т^), где (ni^Ti) = (7г, Т). Мы оставляем читателю проверку того, что эта конструкция задает правильную биекцию. Пусть 7г0 — пустое разбиение пустого множества 0, а То—пустая стандартная таблица над пустым алфавитом. Если Аг D Аг_1, то 7Гг = 7Гг_1, a Ti получается из Ti-\ добавлением числа г в клетку Аг/Аг_1. Если Аг С Аг_1, то в качестве Т{ возьмем единственную стандартную таблицу (над подходящим алфавитом) формы Аг, такую, что T^_i получается из Т{ при столбцовой вставке некоторого числа j. В этом случае возьмем разбиение 7Гг, получающееся из 7Гг_1 при добавлении блока В{ — {г,^}. Эта биекция появилась в статье Сандарам (Sunda- ram S. J. Combinatorial Theory (A) 53 (1990), 209-238). Связь между осциллирующими таблицами и теорией представлений см. в работе Sundaram S. In: Invariant Theory and Tableaux (D. Stanton, ed.), IMA Vol. Math. Appl. 19, Springer-Verlag, New York, 1990, pp. 191-225. Подход к осциллирующим таблицам, основанный на диаграммах роста из разд. 7.13, см. в работе Roby Т. W. Schensted correspondences for differential posets, preprint (§4.2). Теорию косых осциллирующих таблиц см. в статьях Dulucq S., Sagan В. Е. Discrete Math. 139 (1995), 129-142, и Roby Т. W. Discrete Math. 139 (1995), 481-485. Приведем пример построенной выше биекции (он указан в первой из работ Сандарам, упомянутых выше). В качестве осциллирующей таблицы возьмем (0,1,11,21,211,111,11, 21,22,221,211). Тогда парами (В»,Тг) (где В{ — блок, добавленный К 7Гг_1 При ПОЛучеНИИ 7Гг) ЯВЛЯЮТСЯ
622 Гл. 7. Симметрические функции 1 1 13 13 1 1 17 17 17 17 22233333 8 4 4 9 9 {2,5}{4,б} {3,10}. Следовательно, 17 Г= 8 , тг = {{2,5},{4,6},{3,10}}. 9 7.25. а. Пусть преобразования U и D такие же, как в упр. 7.24. Нетрудно видеть, что f2k(n) = ^2((U + D)2ksx,sx). Xhn Но UlD^{s\) —однородная функция степени n+i—j. Следовательно, положив г=0 v ' из упр. 7.24(c) получим, что Ып) = Х>5А, 5Л> = tr(T, Л"), где tr(T, Лп) обозначает след оператора Т, действующего на пространстве Лп. Заметим, что C/l'^ = (m1(/i))ipM, (7.164) где гп\{у) обозначает число частей разбиения /i, равных 1, a (mi(/i))i —убывающий факториал1). Поскольку след линейного оператора равен сумме его собственных чисел, получаем ы») = Е Е (fc-l^pz*-*miMi (2Л)! rjfc- ^hn г=0 (2fc)!v^/mi(M)\/A /ihn t=0 x / \ / x) (a)j = a(a — 1) • • • (a — г + 1). — Прим. перев.
Решения упражнений 623 Теперь, полагая P(q) — 1Ъ^о(1 ~~ #J') *> имеем (почему?) Следовательно, (2k)\fl + q\k что завершает доказательство. Этот результат появился (с другим доказательством, в контексте дифференциальных ч. у. множеств) в работе Stanley R. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 919-961 (следствие 3.14). b. Нетрудно видеть, что 92k(n) = ^((UD)ksx,sx) = ti((UD)k,An). Ahn Следовательно, если 0i,...,0p(n) ~ собственные числа оператора UD, действующего на Лп, то Ы«) = я?+ ••• + *£(«)• Из тождества (7.164) при г — 1 следует, что собственные числа оператора UD — это в точности числа mi(fi) для /i\- п. Имеется много способов показать, что #{/i h п : mi(/i) = п - j} = p(j) - p(j - 1). Это завершает доказательство. Этот результат связан с работами Stanley R. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 919- 961 (теорема 4.1), и Stanley R. In: Invariant Theory and Tableaux (D. Stanton, ed.), IMA Vol. Math. Appl. 19, Springer-Verlag, New York, 1990, pp. 145-165 (предложение 2.9). 7.26. Удивительно, что все известные доказательства этого элементарного тождества требуют применения либо глубоких свойств симметрических функций Макдональда и д-обраще- ния Лагранжа (Garsia А. М., Haiman М. J. Alg. Combinatorics
624 Гл. 7. Симметрические функции 5 (1996), 191-244 (теорема 2.10(a))), либо схем Гильберта точек на плоскости (Haiman М. Discrete Math. 193 (1998), 201— 224 (случай т — 0 уравнения (1.10)). Конечно, желательно получить более элементарное доказательство. 7.27. Алгебраические доказательства тождеств (c)-(h) даны в [96, примеры 1.5.26-1.5.28]; они были независимо переоткрыты многими авторами (Ласку, Таубером, Стенли, Зелевинским). Тождества (а) и (Ь) легко выводятся из (f) и (h) при помощи экспоненциальной специализации из разд. 7.8. Все тождества (a)-(h) можно также доказать, используя операторы U и D из упр. 7.24. Два случая см. в работе Stanley R. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 919-961 (теоремы 3.2 и 3.11). Наконец, биективные доказательства тождеств (a)-(h), основанные на обобщении алгоритма RSK для косых таблиц, были даны в статье Sagan В. Е., Stanley R. J. Combinatorial Theory (A) 55 (1990), 161-193 (следствия 4.5, 4.2, 6.12, 7.6, 6.4, 6.7, 7.4 и 6.9 соответственно). Связанные с ними результаты появились в работах С. В. Фомина (Fomin S. J. Alg. Combinatorics 3 (1994), 357-404, 4 (1995), 5-45, и J. Combinatorial Theory (A) 72 (1995), 277-292). Имеется частный случай тождества (с), представляющий особый интерес. Пусть /3 = 0. Возьмем коэффициенты при обеих частях. Если а Ь га, то £/А/А/в = (»)т/°. АЬп В частности, если га — п — 1, то £/л = (т + 1)/*, (7.165) л где сумма в левой части берется по всем разбиениям Л, покрывающим а в решетке Юнга Y. Имеются многочисленные доказательства этого результата, в том числе простое комбинаторное рассуждение, использующее только тот факт, что если разбиение ц покрывает к элементов в Y, то ц покрывается к -Ь 1 элементами. Кроме того, в терминах теории характеров, развитой в разд. 7.18, формула (7.165) выражает очевидный факт, что dimind^+1 ха = (гп + 1) dim*". 7.28. а. Как и в доказательстве теоремы 7.13.1, в силу леммы 7.11.6 можно предполагать, что если (") — двустрочный массив, отвечающий А, то и и v не имеют повторяющихся элементов. Доказательство проводится индукцией по длине
Решения упражнений 625 п строк и и v, случай п — О очевиден. Теперь (мы сохраняем обозначения из доказательства теоремы 7.13.1) след tr(yl) равен числу антицепей h{^) нечетной мощности (почему?) и, таким образом, также равен числу антицепей U (£) четной мощности. Таким образом, по индукции tr(yl) равен числу столбцов таблиц Р и Q четной длины. Поскольку общее число столбцов таблиц Р и Q равно числу всех антицепей U (^), доказательство завершается индукцией. Этот результат принадлежит Шютценберже [140, с. 127]. Можно также провести доказательство, основанное на диаграмме роста перестановки w, применявшейся во втором доказательстве теоремы 7.13.1. Пусть w £ 6П — инволюция; тогда соответствующая перестановочная матрица является симметричной. В этом случае вся диаграмма роста Gw будет симметричной. Пусть v(i,j) —разбиение, стоящее в углу (г,^) клетки диаграммы Gw (левый нижний угол диаграммы имеет номер (0,0)). Мы утверждаем, что при 0 ^ г < п число столбцов диаграммы разбиения 1/(г,г) равно числу неподвижных точек к перестановки w, удовлетворяющих неравенству к ^ г. Доказательство проводится индукцией по г; случай г = 0 очевиден. Предположим, что утверждение выполнено для г. Пусть sab обозначает клетку в строке а (снизу) и столбце Ь (слева) диаграммы Gw • По предположению индукции число столбцов нечетной длины разбиения v(i,i) равно числу неподвижных точек к перестановки it;, удовлетворяющих неравенству к ^ г. Рассмотрим применение локальных правил (L1)-(L4) для получения v(i + 1,г + 1). В силу симметрии диаграммы Gw имеем 1/(г,г -Ь 1) =v(i + \,i)\ поэтому правило (L3) никогда не применяется. Если применяется правило (L1), то г -Ь 1 не является неподвижной точкой перестановки w и 1/(г-Ь1,г-Ь1) = ^(г,г), что и требовалось. Если применяется правило (L2), то г-f 1 не является неподвижной точкой перестановки г/;,и1/(г-Ь1,г-Ь1) получается из 1/(г, г) добавлением 1 к двум последовательным частям. Это не изменяет число столбцов нечетной длины, что и требовалось. Наконец, если применяется правило (L4), то г -Ь1 является неподвижной точкой перестановки w и v(i -f 1, г -f 1) получается из 1/(г, г) добавлением клетки к первой строке. Это увеличивает на 1 число столбцов нечетной длины, что и требовалось. Доказательство завершается индукцией.
626 Гл. 7. Симметрические функции b. Левая часть тождества (7.128) равна Хм qtT^xTOV/^, где А пробегает все симметричные N-матрицы с конечным носителем. Теперь применим п. (а) вместе со следствием 7.13.7. c. Надо положить q = О в равенстве (7.128). Это тождество было впервые доказано Литтлвудом [88, (11.9;2)] с использованием симметрических функций. Биективное доказательство, основанное на варианте алгоритма RSK, дал Бёрдж [13, §2]. d. Поскольку fx = fx, мы видим, что а(п, к) — ]ГЛ /л, где А' имеет к нечетных частей. Взяв в п. (а) в качестве А симметричную перестановочную матрицу (или рассматривая коэффициент при qkx\ — -хп в тождестве (7.128)), мы получаем, что а(п, к) есть число перестановок из &п циклового типа (2J, 1к), где 2j + k = п. Следовательно, а(п, к) = . .... . e. Ответ: П(1+^)(1-х?)-1-Ц(1-х^х,)-1 = £>°(А)*а(*), (7.166) г г<7 Л где о(А) обозначает число нечетных частей разбиения А. Случай q — О появился в \^>Ъ^ (11.9;4)]. Комбинаторное доказательство было дано в цитированной выше статье Бёрджа (§3). «Современные» некомбинаторные доказательства пп. (а)-(е) см. в [96, примеры 1.5.4—1.5.10, с. 76- 79]. 7.29. а. Этот результат был впервые доказан Литтлвудом \^%^ (11.9;5), с. 238]. Комбинаторное доказательство дано в цитированной выше статье Бёрджа (§6). Доказательство, основанное на формуле знаменателей Вейля для системы корней Сп, см. в книге [96, пример 9(c), с. 78-79]. Имеется интересная связь между результатом этого упражнения и алгебраической топологией. Определим комплекс паросочетаний Мп как симплициальный комплекс, вершинами которого являются двухэлементные подмножества множества [п], а грани состоят из множеств попарно непересекающихся вершин. Симметрическая группа <5п естественным образом действует на Мп и, следовательно, также на его рациональной (приведенной) гомологии if*(Mn;Q). Таким образом, можно задать вопрос о характеристике chHi(Mn; Q) этого действия на г-й группе гомологии. Этот результат был без доказательства
Решения упражнений 627 сформулирован (в иной форме) на с. 195 работы Юзефяка и Веймана Jozefiak Т., Weyman J. Math. Proc. Carnb. Phil. Soc. 103 (1988), 193-196. Явная формулировка и доказательство были даны в статье Бука (Bouc S. J. Algebra 150 (1992), 158-186 (предложение 4)) и позднее, независимо, в диссертации Карагезяна (Karagueuzian D. В. Ph.D. thesis, Stanford University, 1994). А именно, ch^(Mn;Q) = ^5A, (7.167) л где А пробегает все самосопряженные разбиения числа гг, удовлетворяющие условию i = L11^] — Г| rank(A)]. (В частности, действие группы &п на всей гомологии if*(Mn;Q) обладает элегантной характеристикой ]Гднп£а-) А=А' Затем формула следа Хопфа (обсуждение этой техники см. в работе Sundaram S. Contemp. Math. 178 (1994), 277- 309) показывает, что ^(-l)iACi(Mn;Q) = ^(-l)ichffi(Mn;Q)> i i где Ci(Mn;Q) обозначает пространство ориентированных рациональных г-цепей комплекса Мп. Левая (соответственно правая) часть отвечает слагаемому степени п в левой (соответственно правой) части формулы (7.129). Таким образом, формула (7.129) эквивалентна вычислению 6п-эквивариантной эйлеровой характеристики комплекса Мп, тогда как равенство (7.167) является ее уточнением, дающим фактическую гомологию. Дальнейшую информацию о комплексах паросочета- ний и связанных с ними комплексах (в том числе комплексах «шахматной доски», которые являются аналогами Мп для полных двудольных графов) см. в работах Bjorner A., Lovasz L., Vrecia S. Т., Zivaljevic R. J. London Math. Soc. 49 (1994), 25-39 (§4); Garst P. F. Ph.D. thesis, University of Wisconsin-Madison, 1979; Reiner V., Roberts J. J. Alg. Combinatorics 11 (2000), 135-154; Ziegler G. M. Israel J. Math. 87 (1994), 97-110. В обсуждавшихся выше работах Юзефяка-Веймана, Бука и Карагезяна вычисляются гомологии комплексов паросочетаний над Q (с дополнительной структурой действия группы 6П). Также представляют интерес их гомологии над Z. Вычисления в цитированной выше работе Бука (§3.3) и в статье Babson Е., Bjorner A., Linusson S., Shareshian J., Welker V.
628 Гл. 7. Симметрические функции Topology 38 (1999), 271-299 (табл. 3), наводят на мысль, что кручение возникает только для простого числа 3; однако этот вопрос остается открытым. b. Этот результат доказан Литтлвудом [88, (11.9;3)] с использованием симметрических функций и Бёрджем при помощи варианта алгоритма RSK (см. § 5 в цитированной выше работе Бёрджа). c. Этот результат принадлежит Юзефяку и Вейману (Joze- fiak Т., Weyman J. Advances in Math. 56 (1985), 1-8). Другое доказательство и ряд связанных с ним результатов см. в работе Lascoux A., Pragacz P. J. Phys. А 21 (1988), 4105-4114. В качестве дальнейшего источника см. Remmel J. В., Yang М. SIAM J. Discrete Math. 4 (1991), 253-274. 7.30. а. Имеем Л + 8 = d(fi + 5). Следовательно, из теоремы 7.15.1 получаем ( )_а\+б(хи...,хп) as(xi,...,xn) = qAA+s(sj,...,s;[) e' as(xf,...,±*) as(xf,...,x*) а$(ж1,...,ж„) •*—»- х^ — х^ = *Л*1,...,*„)П:гзг-- г<з J b. Надо положить ц = 0 в п. (а). c. См. Юцис А.-А. А. Машем, заметки 27 (1980), 353-359, 492, и Sundquist Т. S. Ph.D. thesis, University of Minnesota, 1992 (с. 49-52). 7.31. Пусть 0^а1<а2<---<ап^р-1и0<&1<б2<---< Ьп ^ Р — 1. Эти две последовательности задают подматрицу В = [Gajbk]jk=i- Положим х = (xi,...,xn) и определим матрицу В(х) = [x*k]?k=1; в частности, В = B(Cai,... ,Can)- Пусть Л = (Ьп — п + 1, bn-i — п + 2,..., &i). По теореме 7.15.1 det В{х) = ±s\(x) Y[ (xj ~ xk)- Так как Ili^j<jk^n(Cai — Cafe) Ф 0, то нам надо показать, что 5а(СЛ1? • • • ? СЛп) Ф 0- Предположим противное. Тогда q = С является нулем многочлена s\(qai,... ,qan) с целыми коэффициентами; поэтому sx(qai,...,qan)=L(q)(l+q+--- + qr-1)
Решения упражнений 629 для некоторого L{q) € Z[q]. Положив q = 1, получим s\(ln) = 0 (modp). Но из формулы (7.105) следует, что *а(П= П t~*q (modp); мы пришли к противоречию. Этот результат впервые доказал (другим способом) Н. Г. Чеботарев в 1948 г. Другие доказательства и литературу см. в статье Newman М. Linear Multilinear Algebra 3 (1975/76), 259-262. Приведенное здесь доказательство в 1990 г. нашел Р. Стенли. 7.32. а. Используя теорему 7.15.1, запишем функции Шура из формулы (7.130) в виде отношения определителей. В числителях стоят определители матриц, транспонированных друг к другу, а знаменатели могут быть вычислены на основании равенства (7.105). Этот результат и два примера из п. (Ь) принадлежат Дж. Р. Стембриджу (частное сообщение). Работа Стембриджа была выполнена в более общем контексте характеров произвольных полупростых комплексных алгебр Ли. Ь. Положите в п. (а) соответственно fi = (1) и ц = (21п_2). 7.33. а. Из упр. 7.30(c) следует, что t{n) — число последовательностей полустепеней исхода («i,... ,ап) турнира1) на множестве вершин [п]. Теперь используйте упр. 4.322). Ь. Пусть tk(n) —число различных одночленов в Sfc$(#ij..., хп). Согласно непосредственному обобщению упр. 7.30(c), tk{n) —число последовательностей полустепеней исхода ориентированных графов без петель с п вершинами, у которых имеется в точности к ребер (без учета ориентации) между любыми двумя различными вершинами. Упражнение 4.32(b), примененное к неориентированному графу Г с п вершинами и к ребрами между любыми двумя различными вершинами, показывает, что tk{n) — это число лесов с п вершинами и с ребрами, раскрашенными х) Турнир на множестве [п] — это ориентированный граф без петель на множестве вершин [п], такой, что каждая пара вершин соединена в точности одним ориентированным ребром. — Прим. перев. 2) Пусть Г — конечный граф с п вершинами. Пусть Vr — выпуклая оболочка в пространстве Rn множества всех последовательностей полустепеней исхода (определенных в упр. 7.30) <5(<т), отвечающих ациклическим ориента- циям а графа Г. Тогда i(Vr,t) = %1?=о /г(Г)^, где i(Vr,t) = #(tVrr\Zn), а /i(r) —число остовных лесов в Г, имеющих г ребер. — Прим. перев.
630 Гл. 7. Симметрические функции в к цветов. Следовательно, £*fc(n)5=exp£;j-2^. 7.34. См. [96, пример 3.8. с. 46-47] гК Этот результат по сути принадлежит Якоби [64]. 7.35. а. Простое решение состоит в том, чтобы показать, что D = д/dpi (где D рассматривается как оператор, действующий на многочлены от pi,P25 • • • )• См. [96, пример 1.5.3с, с. 75-76] 2К Требуется лишь рутинная проверка того, что q—P\,Pii) = (pa,PiPk>- Можно также дать прямое комбинаторное доказательство, основанное на правиле Литтлвуда-Ричардсона (приложение 1, разд. А 1.3). b. Если D — произвольное дифференцирование кольца Я, то простое формальное вычисление показывает, что операция [/, д] = (Df)g — f(Dg) задает структуру алгебры Ли. c. Это тождество появилось впервые в контексте уравнения Кортевега-де Фриза в работе Adler М., Moser J. Сотт. Math. Phys. 61 (1978), 1-30. Комбинаторное доказательство дано в статье Goulden I. P. Europ. J. Combinatorics 9 (1988), 161-168. Дальнейшую информацию и ссылки см. в работе Leclerc В. Discrete Math. 153 (1996), 213-227. 7.36. Используем тот факт, что D^ является сопряженным оператором к гомоморфизму Мм, умножающему на sM (теорема 7.15.4). Так как Мм и Mv коммутируют, то D^ и Dv тоже коммутируют. 7.37. а. Имеем а$ = detV^, где Vn обозначает матрицу Вандер- монда (x™~J)i. Тогда, используя (временное) соглашение, что р0 = п, получаем V*Vn = {p2n-i-j)\- Вычислим определители обеих частей, чтобы получить разложение а| = det(p2n-i-j)- Этот результат принадлежит Борхард- ту (Borchardt С. W. Crelle's Journal 30 (1845), 38-45, и Journal de Math. 12 (1845), 50-67). b. Положив m = n и yj = —qxj в упр. 7.42, получим x1 • • • xn = (1 - q)n ^[(xi - qxj) = ^ (-q)xs\(x)s£,(x), гфз AC(n") ^См. также пример 8 на с. 43 русского перевода [92]. — Прим. перев. 2)См. также пример 3 на с. 58-59 русского перевода [92]. — Прим. перев.
Решения упражнений 631 где х = {х\,..., хп). Теперь (в\ *д„ S(„n))n = <5Л, 5(nn)/v)n (по (7.60)) = («л, 5Л')п (по упр. 7.56(a)) _ fl, если Л = Л' С (тгп), 1 0 в противном случае. (Другое рассуждение см. в работе Littlewood D. Е. J. London Math. Soc. 28 (1953), 494-500 (теорема III).) Следовательно, коэффициент при S(nn) в х\ • • -хп{1—q)n П^Д^*- qxj) равен (почему?) £ (-g)'Al = (1 - д)(1 - д3)... (1 _ ^-1} ле(пп) А=А' Разделим на (1 — q)n и положим q = 1; при этом мы получим, что коэффициент при S(nn) в х\ • • • хп а| равен (—l)U)i . 3---(2п - 1). (Знак (-l)W возникает, потому что а25 = (-l)W Y[iz£j(xi — Xj).) Это равносильно (почему?) тому, что коэффициент при s^n_i^ в а| также равен (-l)C0l.3---(2n-l). c. Этот результат следует из теоремы 11.4 или примера 11.6(a) диссертации Стембриджа (Stembridge J. R. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1985). d. Это случай q = 1 следствия 6.2 из работы Stembridge J. R. Trans. Amer. Math. Soc. 299 (1987), 319-350. В общем случае формулы для с\ неизвестно. В качестве дальнейшего источника см. Kirillov А. N. Adv. Ser. Math. Phys. 16 (1992), 545-579. По поводу утонченной алгебраической техники, связанной с симметрической функцией а|, см. работы Hanlon P. Advances in Math. 84 (1990), 91- 134, и Kostant В. Advances in Math. 125 (1997), 275-350 (в особенности §5). e. Положим F{q) = Yii^j(xi ~ Qxj)- Пусть и = е27гг/3. Так как (Х{ - UJXj)(Xj - LJXi) = -U(xf + XiXj + x*), то, используя упр. 7.30(b), получаем F(w) = (-u;)C0 Y[(*i + xixj + *j) = (-w)(*)s26(xu..., xn). i<j
632 Гл. 7. Симметрические функции Рассматривая среди показателей одночленов, появляющихся в разложении F(q), наибольший в упорядочении по доминированию показатель, мы видим, что (F(q),S2s) = (-qpy Отсюда следует, что в разложении F(q) по функциям Шура все коэффициенты, кроме коэффициента при S25, обращаются в 0 при подстановке q = и>. Следовательно, так как все коэффициенты являются многочленами от д, они делятся на q2 -f q -f 1 / Теперь подставим q = 1. Этот результат был подмечен (эмпирически) Дж. Стембриджем (частное сообщение от 13 мая 1998 г.) и доказан Р. Стенли. Другие до некоторой степени близкие результаты см. в [96, пример 1.3.17, с. 50-51] х>. 7.38. а. Пусть V — комплексное TV-мерное векторное пространство для достаточно большого N (а именно, N ^ |A//i|). Пусть Fx^ обозначает СЬ(У)-модуль с характером 5л/м(ж1,..., xn) (здесь мы используем результаты и терминологию приложения 2). Для (слабого) разложения а = (o;i, од,...) через Sa обозначим СЬ(У)-модуль с характером ha; в частности, Sa = Sai(V) 0 Sa2(V) 0 • • •, где Sl(V) обозначает г-ю симметрическую степень пространства V. Для 0 < j < Q) определим СЬ(У)-модуль j3 = ТТ s\+5-w(fi+5) ^ ween £(w)=j где Ц обозначает прямую сумму, а разбиение S то же, что в формуле (7.69). Идея доказательства состоит в задании точной последовательности GL(F)-модулей 0 _> j(3) _> , ji _ jo _ fx^ -> 0. (7.168) Существование такой точной последовательности непосредственно решает задачу при помощи очевидного обобщения упр. 2.3(b)2) с векторных пространств на СЦУ)-модули. Существование точной последовательности (7.168) в случае ц = 0 утверждалось в работе Ласку 1^См. также пример 17* на с. 46 русского перевода [92]. — Прим. перев. 2)Пусть 0 —► Vn -3 Vn-i —* • — -+ Vb -$■ W —► 0 — точная последовательность конечномерных векторных пространств над некоторым полем, т. е. д{ — линейные преобразования, удовлетворяющие условиям imdj+i = kerfy (дп инъективно, до сюръективно). Тогда для 0 ^ j ^ п имеет место равенство rank dj = Yl?-j(—l)l_J dim Vf. В частности, величина, стоящая в правой части равенства, неотрицательна. — Прим. перев.
Решения упражнений 633 (Lascoux A. These, Universite Paris VII, 1977), однако отображения не были определены. В действительности Ласку рассматривал двойственную ситуацию, соответствующую следствию 7.16.2, но s-положительность функции tx^^ равносильна 5-положительности для сс;(£Л/^). Строгое изложение работы Ласку (как в сформулированном, так и в двойственном случае) было впоследствии дано в статьях Akin К. J. Algebra 117 (1988), 494-503, Contemp. Math. 88 (1989), 209-217, и J. Algebra 152 (1992), 417-426. Независимое изложение для X/fi общего вида дано в работе: Зелевинский А. В. Функц. анализ и прил. 21 (1987), 152-154. 7.39. Этот результат принадлежит Джамбелли (Giambelli G. Z. Atti Torino 38 (1903), 823-844). См. также [96, пример 1.3.9, с. 47]1). 7.40. Это результат из работы Lascoux A., Pragacz P. Europ. J. Combinatorics 9 (1988), 561-574. См. также [96, примеры I.5.20-I.5.22, с. 87-89]. 7.41. Алгебраическое доказательство. Из классического определения функций Шура (теорема 7.15.1) имеем , „.у.,-1 -!, (xi-xm)"det(xr(Aj+",-J))r (*!-*«)*(*! *.)- det(x|-(m-i))j' det(x71+n~1x~(Aj+m~i)) det(xr1xr(m_i)) dettxT1) Комбинаторное доказательство. Для заданной полустандартной таблицы Юнга Т формы А пусть /Д...,//1 обозначают столбцы этой таблицы (слева направо). Пусть Дг — столбец, элементы которого образуют дополнение до // в [га] и расположены в возрастающем порядке. Пусть Т состоит из столбцов ДП,ДП_1,... ,Д*. Отображение Т *-> Т' дает требуемую биекцию. В качестве примера пусть га = 6, п = 7 и 11234 т= 33446 455 6 ^См. также пример 9 на с. 44 русского перевода [92]. — Прим. перев.
634 Гл. 7. Симметрические функции Тогда Г 1111122 2222345 333566 4456 55 66 7.42. В тождестве Ц П(Х + х*Уз) = ]Г*аОФа'Ы> г—г j=l А полученном из теоремы 7.14.3 в результате специализации, заменим yj на yj1, умножим на (yi' — yn)m и применим упр. 7.41. См. [96, пример 1.4(5), с. 67] гК 7.43. Заметим, что Ф(Рп) = wyPn(a,2/)L=i,yi=t, fxi=yi=0, если г>1 где х = (xi, Ж2, • • •), 2/ = {уг,У2, • • •), ао;у обозначает инволюцию о;, действующую только на переменные ?/. Следовательно, используя формулу (7.66)), получаем ФМ = 5A(x,?/)L1=l,y1=t, 1Хг=Уг=0, еСЛИ 1>1 = У2 (St*(x)\*i=l, ) ' (WV5A/Jvi=t, ) с. v *Xi=0, если г>1' v 'Vi=0, если г>1' Теперь 5М(1) = 1, если ц состоит из единственной строки, и 5М(1) = 0 в противном случае. Аналогично, sa'/a*'W = £'A/^I, если X/fi — вертикальная полоса, и sa'/m'W = О в противном случае. Таким образом, если sm(1)sa//m/(£) ф О, то А = (гг — fc, lfc) для некоторого 0 < А; < тг — 1и либо ц = (п — А;), либо /х = (п — А; — 1); в этом случае sm(1)sa'/^(0 = ^'Л^'- Результат следует отсюда непосредственно. Предположим, что / = ]СмЬп см5* • Применение специализации ф и деление на 1 -f t дает .. n—1 1 + 1 fc=0 ^См. также пример 5 на с. 52 русского перевода [92]. — Прим. перев.
Решенья упражнений 635 Следовательно, это упражнение может служить хорошим средством для вычисления коэффициентов крюков в разложениях по функциям Шура. См. пример в упр. 7.86(c). 7.44. Эта интересная специализация взята из работы Brenti F. Pacific J. Math. 157 (1993), 1-28. Пункты (a)-(d) соответствуют теоремам 4.1, 4.2 и предложениям 4.5, 4.8. 7.45. Пусть s\ = Х^ьаб^мтм5 таким образом, К\^ — число Костки. Значит, Ta(sx) = ^#A,ai/TO„. vY-Ъ Используя билинейность скалярного произведения вместе со следствием 7.12.4 и ортонормированностью функций Шура (следствие 7.12.2), заключаем отсюда, что для всякого р Ь Ь Рассмотрим эндоморфизм ipa алгебры Л, заданный формулой (fa{hi) = hai- Если мы применим ifа к тождеству Якоби-Труди, определяющему sp (теорема 7.16.1), то получим матрицу Якоби-Труди для косой функции Шура косой формы (ар + (а-1)5)/(а- 1)6, где S = (£- 1J - 2,..., 1,0), если £(р) = £. Следовательно, Va(sp) = S(ap+(a-l)<5)/(a-l)<5- Таким образом, ^(Sp, mu)hav =<Pal ^T,(SP> mv)hv ) v ^ v ' = Va(sp) = S(ap+(a-l)<5)/(a-l)<5- Отсюда следует, что (Ta(sA),Sp) = (sAS(a-l)<55S(ap+(a-l)<5))5 где в правой части стоит коэффициент Литтлвуда-Ричардсо- на. Эти коэффициенты всегда неотрицательны (см. следствие 7.18.6 и приложение 1 разд. А1.3), что завершает доказательство. Этот результат был независимо открыт Стенли (Stanley R. Electron. J. Combinatorics 3(2) (1996), R6 (теорема 2.4)) и Литтелманом в качестве простого следствия его теории моделей путей, развитой в работе Littelmann P. Ann. Math.
636 Гл. 7. Симметрические функции 142 (1995), 499-525. Более явные утверждения содержатся в работах Littelmann P. J. Amer. Math. Soc. 11 (1998), 551-567 (§2), и Littelmann P. In: Algebraic Groups and Their Representations (R. Carter and J. Saxl, eds.), NATO ASI Ser., Ser. C, Math. Phys. Sci. 517, Kluwer, Dordrecht, 1998, pp. 175- 212. 7.46. Этот результат был высказан в качестве гипотезы в статье Reutenauer С. Advances in Math. 110 (1995), 234-246 (гипотеза 2), и независимо доказан в статье Дорана (Doran W. F. J. Combinatorial Theory (A) 74 (1996), 342-344) и в неопубликованной работе Шарфа и Тибона. Доран рассмотрел симметрическую функцию f(n,k)= ]Г qx Xhn min{Ai:Ai>0}^/c и показал, что к -/(п, к) = 5(„-i,i) + ^2 Л*' *)-f (n ~ *' *)• г=2 Индукцией по к доказывается, что для к > 2 симметрическая функция —f(n,k) является линейной комбинацией функций Шура с неотрицательными коэффициентами. Так как qn = /(гг, гг), то это завершает доказательство. 7.47. а. Симметрическая функция Xq впервые введена в работе Stanley R. Advances in Math. Ill (1995), 166-194. Указания ниже в скобках перед решениями пп. (b)-(g) и (j)-(k) отсылают к упомянутой работе. Утверждение, что Хс(1п) = Xg(™)5 сформулировано как предложение 2.2 и является непосредственным следствием определения. b. (С. 170.) Т. Чоу проверил, что ответ на вопрос положителен для всех деревьев, имеющих не более девяти вершин. Отметим, что все деревья с d вершинами имеют один и тот же хроматический многочлен, а именно п(п — l)d_1. c. (Предложение 2.4.) Коэффициент при одночлене х^х^2 • • • в Xg равен числу способов выбрать устойчивое разбиение 7г графа G типа А = (1Г12Г2 • • •), а затем для каждого г раскрасить некоторый блок мощности А* в цвет г. Как только мы выбрали 7Г, имеется г\\ г^\ • • • способов выбрать раскраску, что завершает доказательство. d. (Теорема 2.6.) Решение аналогично решению упр. 3.44. Под раскраской графа G мы понимаем любое отображение к: V —* Р. (Отметим, что термин «раскраска» в упр. 3.44 соответствует здесь термину «правильная раскраска».)
Решения упражнений 637 Для заданного разбиения a € Lq положим Ха = ^2кхк, где суммирование ведется по всем раскраскам к графа G, таким, что (i) если и и v находятся в одном блоке разбиения сг, то к(и) = k(v)] (ii) если и и v находятся в различных блоках и между вершинами и и v есть ребро, то к(и) Ф к{у). Для любой раскраски к\ V —► Р существует единственное разбиение о € Lq , такое, что к индексирует одно из слагаемых в определении Ха. Отсюда следует, что для всякого 7г € Lq Ptype(Tr) = 2_j ^°' Согласно формуле обращения Мёбиуса ^ (предложение 3.7.2), Но Xq = Xq , что завершает доказательство. e. (Следствие 2.7.) Так как для любого А' Ь d имеем е\ = (_1)«*-<(А) (см. формулу (7.19)), то £type(x) = (-1)<Н*1. Те- перь используем предложение 3.10.12), предложение 7.7.5 и равенство (7.132). f. (Теорема 3.1 и формула (8).) Пусть Р есть d-элементное ч. у. множество. Зафиксируем биекцию ш: Р —> [d\, обращающую порядок. Положим к где суммирование ведется по всем строго сохраняющим порядок отображениям к: Р —> Р. Из следствия 7.19.5 имеем Хр= Y, Ь°°(.*У> (7-169) поэтому, в частности, функция Хр является //-положительной. Пусть теперь о — ациклическая ориентация графа G, а к — правильная раскраска. Будем говорить, что к является о-совместимой, если к(и) < k(v), когда (v,u) — ребро ориентации о (т. е. ребро uv графа G направлено из х)Пусть Р— конечное ч.у. множество, а /х — его функция Мёбиуса (т.е. /х(ж, х) =■ 1 для всех х Е Р и fi(x,y) = —^2x^z<yfJ-(x,z) для всех пар х < у в Р). Пусть /, д: Р —» С. Тогда д(х) = 23/>х /(у) для всех iGPb том и только в том случае, когда f(x) = ^2у>х /х(ж, у)д(у) для всех ж Е Р. — Прим. перев. 2)См. примечание к упр. 7.47(e). — Прим. перев.
638 Гл. 7. Симметрические функции v в и). Нетрудно видеть, что всякая правильная раскраска к совместима ровно с одной ациклической ориентацией о. Следовательно, если Х0 = YjK хК-> гДе суммирование ведется по всем о-совместимым правильным раскраскам к, то Xg = J20 Хо ? где суммирование ведется по всем ациклическим ориентациям графа G. Пусть о обозначает транзитивное и рефлексивное замыкание ориентации о. Так как ориентация о ациклическая, то о — ч. у. множество и Хо = Х0. Так как, согласно тождеству (7.169), функция Хо является L-положительной, отсюда следует, что Xq также L-положительна. g. (Теорема 3.3.) Идея доказательства состоит в том, чтобы определить (используя обозначения разд. 7.19) линейный оператор (р: Qd —> Q[t] формулами (L ) = fa ~ 1^' 6СЛИ а = (г* + М, 1, • • •, х)' 1 0 в противном случае. Можно показать, что <р{е\) = te^ и з откуда следует утверждение. Было бы интересно найти более концептуальное доказательство. h. Этот красивый результат взят из работы Гашарова (Ga- sharov V. N. Discrete Math. 157 (1996), 193-197), где он был доказан с помощью принципа инволюции. В случае, когда Р — цепь, биективное доказательство немедленно получается из алгоритма RSK. Таким образом, естественно возникает вопрос об обобщении алгоритма RSK, которое позволило бы доказать результат Гашарова в общем случае. Если Р также не содержит индуцированного ч. у. подмножества, изоморфного множеству на рис. 7.22, то такое обобщение было найдено в работе Sundquist Т. S., Wagner D. G., West J. J. Combinatorial Theory (A) 79 (1997), 36-52. \ Рис. 7.22. Препятствие для обобщенного алгоритма RSK.
Решения упражнений 639 i. Пусть V — множество вершин графа G = inc(P). Если а: V —у N, то определим Ga как граф, получающийся из G, если заменить каждую вершину v графа G на полный подграф Ka(v) порядка a(v) и соединить ребром каждую вершину из ifa(v) с каждой вершиной из Ка^ в том случае, когда uv — ребро графа G. (Если a(v) = О, то мы просто удаляем вершину v.) Из определения функции Xq<* следует, что i a: V-+N Нетрудно видеть, что каждый граф Ga является графом несравнимости некоторого (3 -Ь 1)-свободного ч. у. множества. Следовательно, согласно п. (h), произведение YliC(xi) является s-положительным. Результат теперь следует из упр. 7.91(e). Это рассуждение появилось в работе Stanley R. Discrete Math. 193 (1998), 267-286 (следствие 2.9). Другое доказательство дал М. Скандера в 1998 г. j. (Гипотеза 5.1.) Аналогичная гипотеза появилась в работе Стенли и Стембриджа (Stanley R., Stembridge J. R. J. Combinatorial Theory (A) 62 (1993), 261-279 (гипотеза 5.5)) в контексте «имманантов матриц Якоби-Труди». Частный случай этой гипотезы утверждает, что для любых фиксированных fc, d ^ 1 симметрическая функция Fk,d — J2 xh '' * xid ? гДе сумма берется по всем таким последовательностям zi,..., id, что любые к последовательных элементов различны, является е-положительной. Даже случай к = 3 остается открытым. По поводу к — 2 см. формулу (7.133). к. (Предложения 5.3 и 5.4.) Пусть А Ь d. Число Ь\ связных разбиений графа Pd (определенных в п. (d)) типа А есть просто число различных перестановок частей разбиения А. Следовательно, если А = (1Г12Г2---), то 6л = (г г ) * ^ак как ^d ~ ДеРево5 то решетка Lpd является просто булевой алгеброй. Поэтому из примера 3.8.31) мы получаем, что /х(6,7г) = £type(7r) • Таким образом, из формулы (7.132) следует, что ЧгЫ2,...у х)Пусть Вп —булева алгебра ранга п. Тогда ее функция Мёбиуса есть /х(Т, S) = (-1)*(т'5), где l(T, S) — длина интервала [Т, S]. — Прим. перев.
640 Гл. 7. Симметрические функции поэтому Х^Хр td = - J£0 Pd 1-р^ + р2Р-р3Р + ..-' Доказательство теперь завершается применением инволюции и к тождеству (7.123). Второе доказательство появилось в статье, указанной в п. (а). По-видимому, впервые этот результат (сформулированный в иной форме) был доказан в работе Carlitz L., Scoville R. A., Vaughan Т. Manuscripta Math. 19 (1976), 211-243 (с. 242). Комбинаторное доказательство дали в неопубликованной работе Дж. Доллхопф, И. П. Гульден и К. Грин. Производящая функция (7.133) (или ее образ под действием инволюции и) появляется в, казалось бы, совершенно ином контексте в работе Stanley R. In: Graph Theory and Its Applications: East and West, Ann. New York Acad. Sci., vol. 576, 1989, pp. 500-535. Эта статья основана на работах К. Прочези; дальнейшие ссылки см. в работе Stembridge J. R. Advances in Math. 106 (1994), 244-301 (c. 266), и в [6.28, теорема 14.2.4]. Формула для Cd может быть выведена из формулы для Pd на основании следствия 4.7.31). См. детали на с. 190 указанной в п. (а) статьи. 1. В действительности Xq является линейной комбинацией с неотрицательными коэффициентами симметрических функций eied-i- В частном случае, когда дополнение к G является двудольным графом, этот результат следует из цитированной выше работы Стенли и Стембриджа (теорема 4.3); другое доказательство дано в статье Stanley R. Advances in Math. Ill (1995), 166-194 (следствие 3.6). Как заметил Т. Чоу, это второе доказательство требует только, чтобы дополнение к G не содержало треугольников. т. Этот вопрос принадлежит В. Н. Гашарову и появился в работе Stanley R. Discrete Math. 193 (1998), 267-286 (гипотеза 1.4). Если бы ответ на этот вопрос оказался положительным, то следующая гипотеза (впервые упомянутая в качестве открытого вопроса в работе Hamidoune Y. О. J. Combinatorial Theory (В) 50 (1990), 241-244 (с. 242)) следовала бы из него таким же образом, как п. (i). Пусть граф G не содержит индуцированного подграфа, изо- х) Пусть Л —матрица смежности графа £>, a Cd(ti) — число всех замкнутых путей в графе D, имеющих длину п. Следствие 4.7.3. Пусть Q(A) = det(/ - ХЛ). Тогда Т,п>1Со(п)*п = -AQ'(A)/Q(A). — Прим. перев.
Решения упражнений 641 МОрфнОГО ПОЛНОМУ ДВУДОЛЬНОМУ Графу if 1,3, и ПУСТЬ С{ — число независимых г-элементных подмножеств множества вершин графа G. Тогда всякий корень многочлена J2 с{Ьг является вещественным. 7.48. Развитая в этом упражнении теория локально рангово-сим- метричных ч. у. множеств впервые появилась в работе Stanley R. Electron. J. Combinatorics 3 (1996), R6. Определение ряда Fp было предложено в статье Ehrenborg R. Advances in Math. 119 (1996), 1-25 (определение 4.1). а. Рассматривая носитель мультицепи 6 = to ^ h ^ - - ^ tk-i < tk = 15 мы получаем S={rai,...,raj}< l^ii<---<ij+i SC[n-l] (7.170) где число ар(S) определено в разд. 3.121) (и теперь называется флаговым f -вектором множества Р). Так как ap(S) = YjTCS Рр(Т) (формула (3.33)), то требуется показать, что для всякого Т С [п — 1] Е Е хьхь ""х-'-хь+Г =^со(г). mi ГП2—ГП1 ф ф тп~гп. h ^гг * * ij+i SDT l^ii<---<ii+i S={mi,... ,77ij } < Но эта проверка является рутинной; следует рассмотреть всевозможные варианты выбора знаков < или = для символа ^ в определении (7.89) ряда Ls- См. цитированную выше работу Стенли (предложение 1.3). b. Этот результат является частным случаем упр. 7.94(b) при / = С- Упрощенный вариант доказательства упр. 7.94(b) в данном случае см. в работе Simion R., Stanley R. Discrete Math. 204 (1999), 369-396 (предложение 4.7.1). c. Из равенства (7.170) следует, что Fp € Ап тогда и только тогда, когда для всех S = {mi,... ,mj} С [п — 1] число ар(S) зависит только от мультимножества {mi,m2 — mi, тпз — тп2,..., п — rrij}, но не от порядка элементов в нем (см. цитированную работу Стенли, следствие 1.2). Теперь применим упр. 3.652) (оно верно и для локально рангово- симметричных ч. у. множеств, хотя было сформулировано только для локально самодвойственных ч.у. множеств). *)См. примечание к упр. 7.48. — Прим. перев. 2)Для множества Р, удовлетворяющего условиям упр. 7.48(c), ctp(S) зависит только от мультимножества {mi, 7712 — mi, 7713 — 7712,..., n — rrij }. — Прим. перев.
642 Гл. 7. Симметрические функции d. См. цитированную выше работу Стенли (предложение 3.3) e. См. теорему 3.5 из цитированной работы Стенли. Этот результат имеет место для более широкого, чем решетки подгрупп, класса решеток. Их называют q-полупри- марными решетками типа fi. Дальнейшие детали см. в указанной выше статье Стенли. Многочлены Kx^q) = qb{X)Kx»(l/q) (где, как обычно, Ь(А) = £(г-1)А*) называются многочленами Костки или многочленами Костки- Фулкса. Они возникают в множестве комбинаторных и алгебраических задач и обладают замечательными свойствами. Дальнейшую информацию о многочленах Костки см., например, в [96, гл. 3.6], а также в работах Garsia А. М., Procesi С. Advances in Math. 94 (1992), 82-138; Han G.-N. РгёриЫ Inst Rech. Math. Av. 1994/21, 71-85; Керов С. В., Кириллов А. Н., Решетихин Н. Ю. Записки научн. семинаров ЛОМИ 155 (1986), 50-64, 193. f. Stanley R. Electron. J. Combinatorics 4 (1997), R20. В §5 этой работы обсуждаются некоторые обобщения решетки NCn+i, связанные с системами корней. g1). См. упоминавшуюся в п. (Ь) работу. Ч.у. множества тасовок впервые рассматривались в работе Greene С. J. Combinatorial Theory (А) 47 (1988), 191-206. Обобщение дано в статье Doran W. F. J. Combinatorial Theory (A) 66 (1994), 118-136. 7.49. Этот результат доказан в работе Lenart С. J. Alg. Combinatories 11 (2000), 69-78, при помощи интересного рассуждения, использующего решеточные пути. 7.50. Положим х\ = • • • = хп = 1 и хп+\ = хп+2 = • • • = 0 в равенстве (7.78). Тогда s*(in) = м Е *Vk(u,)- * we&N Теперь применим следствие 7.21.4 и получим йЕЛ.у«-П^. сито (Конечно, полиномиальное тождество, выполненное для всех п G Р, будет выполнено и в том случае, когда п — переменная.) х) Дальнейшие обобщения ч. у. множеств тасовок рассматривались в работе Hersh P. J. Combinatorial Theory (А) 97 (2002), 1-26. — Прим. автора при переводе.
Решения упражнений 643 7.51. Возьмем коэффициент при nN~x в обеих частях равенства (7.171). Результат следует из простых преобразований, использующих тот факт, что Х^пел с(и) = Н^') ~ &(А) (см. [96, пример 3, с. 11] *)). Это элегантное доказательство принадлежит Сандарам и др. Другие доказательства см. в работах [96, пример 7, с. 117-118] и Benyon W. М., Lusztig G. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 84 (1978), 417-426 (c. 419-420). Также можно использовать упр. 7.62 и получить равенство ХЛ(21П"2) = /л/2 - /VH. Очевидно, что /л/2 + /V" = /\ Вычисление /Л/2 см. в [72, упр. 19, с. 70]. 7.52. Определим глубину d(u) клетки и = (z,j) диаграммы разбиения А как наименьшее целое к > 0, для которого и -Ь (к, к) £ А. Число клеток глубины к в точности равно /i^. Кроме того, если мы последовательно удалим из А косые крюки, то к-й удаленный косой крюк не содержит клеток, глубина которых больше чем к. Следовательно, первые к удаленных косых крюков содержат всего не более чем ц\-\ b/i/c клеток. Тогда из правила Мурнагана-Накаямы (следствие 7.17.5) немедленно получаем, что если хХ(и) Ф 0; т0 v ^ f1- Теперь А содержит единственный косой крюк В\ размера fi\, А — В\ содержит единственный косой крюк #2 размера fi2 и т. д. Так как Ы(В{) = \'{ — г. то из правила Мурнагана-Накаямы мы получаем требуемую формулу хЛ(аО = (~~!)*• 7.53. Рассмотрим формулу (7.171). Коэффициент при пг в левой части равен сумме ^2W xX(w), которую мы хотим вычислить, умноженной на 1/NI. Если теперь £{у) > г, то из упр. 7.52 получаем хХ{и) = 0- Следовательно, левая часть равенства (7.171) делится на пг. В числителе правой части имеется г множителей, равных п, возникающих для г диагональных сомножителей и = (г,г). Следовательно, коэффициент при пг в правой части равен П ие\ с(и) П„6аЛ(«) Нетрудно видеть, что это произведение есть в точности (-1Г(А)П(А*-г)!(А;-г)!, г=1 что завершает доказательство. )См. также пример 3 на с. 20 русского перевода [92]. —Прим. иерее. N\ П сн- иф{г,г)
644 Гл. 7. Симметрические функции 7.54. Предположим, что хЛ(аО = О? если некоторая часть щ четна. Так как хЛ (аО — ех ХЛ(аО? т0 отсюда следует, что Л = Л'. Если Л ф (га, га — 1,...,1),товЛ имеется косой крюк четной длины. Пусть В — косой крюк максимальной четной длины. Так как всякий косой крюк самосопряженного разбиения может быть продолжен либо вверх до первой строки, либо вниз до первого столбца с сохранением четности, то отсюда следует, что имеется в точности два четных косых крюка В и В' максимального размера, причем они симметрично расположены на границе диаграммы Л и ht(jB) ф ht(B') (mod 2). Пусть |jB| = 2г. Тогда (по правилу Мурнагана-Накаямы) имеем для всех v Ь п — 2г О = xA(2r U и) = ±(ХХ-ВН ~ ХА-В'Н). Пусть а = А — В, в частности, о! = Л — В'. Тогда для всех v мы получим, что ха{и) = Ха {у). Следовательно, а = а', что невозможно. Это рассуждение принадлежит Ш. Сандарам (1984 г.). 7.55. а. Так как 6П порождается транспозициями (и даже транспозициями, переставляющими соседние элементы), то рЛ(6п) С SL(m, С) тогда и только тогда, когда detpA(iu) = 1 для тех w, которые имеют цикловый тип (21п~2). Теперь tr px(w) = хЛ(21п_2), так что собственными числами матрицы px(w) будут 1 с кратностью ^(/Л + хЛ(21п~2)) и —1 с кратностью |(/л - хЛ(21п~2)). Следовательно, рЛ(6п) С SL(m,C) тогда и только тогда, когда |(/Л - ХЛ(21П_2)) —четное число. Доказательство теперь следует из упр. 7.51. Этот результат принадлежит Л. Соломону (не опубликовано). 7.56. а. Если мы повернем полустандартную таблицу Юнга формы 9 на 180°, то получим обратную полустандартную таблицу формы 0Г, и наоборот. Теперь применим предложение 7.10.4. Ь. Используем п. (а) и то, что (Ва)г = В&. 7.57. Пусть и £ А. Пусть щ обозначает самую нижнюю клетку диаграммы Л в том же столбце, что и u, а «2 —самую правую клетку в той же строке, что и и. Тогда имеется косой крюк Ви, начинающийся в щ и заканчивающийся в г^, и это сопоставление устанавливает биекцию между клетками и косыми крюками диаграммы Л. Следовательно, число косых крюков равно п. Отметим также, что #Ви есть длина крюка h(и) в и.
Решения упражнений 645 7.58. Предположим, что в Л нашелся крюк четной длины. Нетрудно видеть, что тогда имеется крюк длины два. Удалим его из диаграммы разбиения Л. Получившаяся в результате диаграмма имеет на один крюк четной длины и на один крюк нечетной длины меньше, чем Л (см. упр. 7.59(c)). Поэтому разность между числом крюков нечетной длины и числом крюков четной длины остается неизменной. Продолжим удаление крюков длины два до тех пор, пока все длины крюков не станут нечетными. Получившееся в результате разбиение будет иметь вид (А:, А; — 1,..., 1) для некоторого к. См. ссылки в решении упр. 7.59. 7.59. Код С\ разбиения А впервые был определен в работе Comet S. Numer. Math. 1 (1959), 90-109, и изучался впоследствии в статье Olsson J. В. Math. Scand. 61 (1987), 223-247. Теория бусинных конфигураций и абаков, развитая в книге Джеймса и Кербера James G. D., Kerber A. The Representation Theory of the Symmetric Group, Addison-Wesley, 1981 (гл. 2.7), является техникой, эквивалентной кодированию разбиений. Она основана на работах Т. Накаямы, X. Фарахата, Г. Джеймса, Б. Вагнера, Ж. де Б. Робинсона и Д. Э. Литтлвуда. а, Ь. Эти утверждения являются непосредственными следствиями соответствующих определений. c. Легко следует из пп. (а) и (Ь). d. Пусть ... Cj-2pCj-pCjCj+pCj+2p ••• — последовательность кода С\, обозначаемая через Сх. Операция, описанная в п. (Ь), эквивалентна выбору некоторого j. 0 ^ j < р, и замене двух последовательных элементов 10 в Сх на 01. Ясно, что любой порядок выполнения таких операций приводит в результате к одной и той же последовательности Сд, для которой дальнейшие операции невозможны. Если Сх = С^, то, согласно п. (Ь), // — единственная р-сердцевина разбиения А. Весьма общий подход к результатам единственности, таким, как это упражнение или упр. 3.9(a), см. в работах Eriksson К. Ph.D. thesis, Kungl. Tekniska Hogskolan, Stockholm, 1993, и Discrete Math. 153 (1996), 105-122. e. Если p = 1, то ясно, что fi = 0 и Y\,% = Y. Предположим, что Cx = C\j, где последовательность CJX определена в п. (d). Тогда п. (d) показывает, что отображение Л ь-> (А0, А1,... ,ЛР_1), определенное для А с фиксированной р-сердцевиной /i, есть биекция между Yp^ и Yp, причем |А| = р(|А°| + - - - + [А^1!) + И. (7.172) Формула (7.136) непосредственно следует из (7.172).
646 Гл. 7. Симметрические функции Последовательность (А0,... ,Ар-1) называется р-частным разбиения Л. Теория р-сердцевин и р-частных была развита в работе Nakayama Т. Jap. J. Math. 17 (1940), 165-184, 411-423; ее обзор имеется в цитированной выше книге Джеймса и Кербера (гл. 2.7). Явный вид изоморфизма между Y0 и Yp (который очевидным образом обобщается на случай, когда 0 заменяется на произвольную р-сердцевину рь) впервые приведен в статье Fomin S.. Stanton D. W. Алгебра и анализ 9 (1997), №5, 140-150 (теорема 1.2). f. Предположим, что рь является р-сердцевиной. Пусть Х{ — число тех клеток в первом столбце диаграммы /i, у которых длины крюков сравнимы с г по модулю р. Тогда набор (xi,... ,xp-i) удовлетворяет уравнению из (ii), и каждое решение (xi,... , £p-i) € Np_1 этого уравнения получается таким способом в точности по одному разу. Таким образом, числа в (i) и (ii) равны. Пусть теперь д{п) обозначает число из (i). Сложим равенства (7.136) для всех р-сердцевин ц. Так как ]^V Л* fa) = р(п) (где pfa) — количество разбиений числа п), мы получим да - *г' = (Е s(")*n) • ГК1 - *pi)~p' что и требовалось. g. Единственными разбиениями без крюков четной длины являются «ступенчатые разбиения» fa, п — 1,..., 1). Следовательно, Пт^ = !><"">■ Это тождество принадлежит Гауссу (см., например, Andrews G. Е. The Theory of Partitions. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 19761) (следствие 2.10). h. Биекция Y0 —> Yp показывает, что левая часть равенства (7.137) равна сумме ^2terYp)n е(^)2? ГДе 0^р)п ~~ множество элементов решетки Yp ранга n, a e(t) — число насыщенных цепей между 0 и t в Yp. Следовательно, х) Имеется перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука, 1982. — Прим. перев.
Решения упражнений 647 Е <#>2= Е E-E\L ",)/»'• Н Aecp(n) ti+-+ip=nA1Hi APhip LX 1'*--' Р/ J - Е G„.".,j'«-v ti+-+ip=n ч и ' р/ = рпп! (почему?). Это упражнение лишь дает представление о многочисленных результатах, касающихся длин крюков, делящихся на р. Ряд еще не упомянутых работ включает следующие: Olsson J. В. Math. Scand. 38 (1976), 25-42; Kirillov A. N., Lascoux A., Leclerc В., Thibon J.-Y. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I 318 (1994), 395-400; Stanton D. W., White D. E. J. Combinatorial Theory (A) 40 (1985), 211-247; [96, примеры 1.1.8- 1.1.11, с. 12-16]. (К этой теме относятся и многие другие примеры в [96].) 7.60. а. Пусть последовательные клетки косого крюка в обозначены, если читать слева направо и снизу вверх, через щ, U2,..., urs. Используя индукцию по г, достаточно найти содержащийся в в косой крюк A//ir_1 диаграммы А, такой, что |A//ir_1| = 5 и при удалении A//ir_1 из в число клеток в получающихся в результате компонентах (в одной или в каждой из двух) делится на 5. Положим Si = {щ3-3+1,щ3-3+2,... ,uis}, 1 < i < г. Пусть j — наименьшее положительное целое число, для которого UjS+i не лежит справа от UjS. Такое целое j существует, так как клетка urs+i не определена и, следовательно, не лежит справа от urs. Так как j — наименьшее такое число, то Ujs_s+i лежит справа от Ujs-S. Следовательно, 9j будет косым крюком с требуемыми свойствами. Это рассуждение, принадлежащее А. М. Гарсиа и Р. Стенли, приведено в работе Stanley R. Linear and Multilinear Algebra 16 (1984), 3-27 (лемма 7.3). Так как размер (число клеток) косого крюка диаграммы А есть длина некоторого ее крюка (см. решение упр. 7.57), то мы получаем второе утверждение упражнения. Это упражнение можно также решить, используя упр. 7.59(a),(Ь). Ь. Считая, что 5 фиксировано, для каждого целого к положим J ^/5> если 5 | А:, 1 0 в противном случае.
648 Гл. 7. Симметрические функции Перенумеруем щ так, чтобы /ii,..., fij не делились на 5, a fij+i,. ..,fi£ делились; здесь £ = £(ц). Если хЛ(аО Ф 05 то по правилу Мурнагана-Накаямы (следствие 7.17.5) существует таблица косых крюков формы А и типа //. Согласно п. (а), существует таблица косых крюков формы Л и типа (/ii,...,/ij, 5,5,..., 5), где число элементов 5 равно т := ^Г,{ /4 • Согласно упр. 7.59(c), для того чтобы можно было удалить га последовательных косых крюков размера 5 из Л, необходимо выполнение условия га < hs(X), где hs (Л) — число длин крюков диаграммы А, делящихся на 5. Тогда кратность первообразного корня из единицы £ степени 5 как корня многочлена П(1 — Q*1*) равна #{г: 5 | /^}, а кратность С как корня многочлена H\(q) равна hs(X). Очевидно, что #{г : s | fii} ^ га. Это завершает доказательство. Этот результат появился впервые в цитированной выше работе Стенли (следствие 7.5). 7.61. См., например, Duncan D. G. J. London Math. Soc. 27 (1952), 235-236, или Chen Y. M., Garsia A. M., Remmel J. B. Contemp. Math. 34 (1984), 109-153. В общем случае для произвольной функции / € Л имеем (f(xk),s\) = 0, кроме случая, когда А:-сердцевина разбиения Л пуста. В силу линейности скалярного произведения достаточно проверить это для / = рм. В этом случае iPfi(xk), s\) = (р^, s\) = ХЛ(М- По правилу Мурнагана-Накаямы (следствие 7.17.5) хЛ(^м) = 0, кроме случая, когда существует таблица косых крюков формы Л и типа kfi. Согласно упр. 7.60(a), если такая таблица существует, то существует и таблица косых крюков формы Л и типа (кт) (где А Ь km). Следовательно, fc-сердцевина разбиения А пуста. 7.62. Вычислим хХ (^пк) п0 правилу Мурнагана-Накаямы (следствие 7.17.5), взяв а = (/ii,/i2,-.., 1,1,..., 1). 7.63. а. Из правила Мурнагана-Накаямы (следствие 7.17.5) получаем, что dA=n!eA|Pl=o>Pa=Ps=...=1. (7.173) Из предложения 7.7.4 и теоремы 7.12.1 имеем ]Гsx(x)s\(y) = ехр ^2 ~ Рп(х)рп(у). л n^i п
Решения упражнений 649 Положив р\(у) = О и Р2(у) = Рз(у) = ''' = 1, получим Чтобы получить сформулированный результат, остается теперь собрать слагаемые степени п. В силу правила Пиери (теорема 7.15.7) легко видеть, что <*! Л*'в«Д-'>>-1(^1), если * = 0. Следовательно, используя соотношение (2.11) ^, получаем из п. (а), что d0Mn -^t(-1)"-«.G:;)+(-1)"G-"0 .,-!)-(») [tc-^uVH +<-<-'D .(-.Г'О^-^'^Т1). Этот результат (сформулированный несколько иным образом и с другим доказательством) был впервые получен в работе Okazaki S. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1992 (следствие 1.3). 7.64. а. Просто прочитаем стандартную таблицу формы тп справа налево и сверху вниз, получая чередующуюся перестановку2) множества [п] (определенную в конце разд. 3.16). Эта процедура устанавливает биекцию между стандартными таблицами Юнга формы тп и чередующимися перестановками на [п]. Поскольку, как показано в конце разд. 3.16, Еп есть число чередующихся перестановок множества [п], это завершает доказательство. Ь. Применим правило Мурнагана-Накаямы (следствие 7.17.5) к косой диаграмме тп. Если п нечетно, то в тп нет косых крюков четной длины; поэтому предположим, что в /i имеется 2г -Ь 1 нечетных частей. Рассмотрим 1) Dn = £Г=о (?)(-1)п-*Я- - Прим. перев. 2) Перестановка а\ ■ • • ап Е &п называется чередующейся, если а\ > а,2 < аз > • • • . — Прим. перев.
650 Гл. 7. Симметрические функции таблицу косых крюков В типа /i, например такую, как изображена на рисунке: 3 3 1 3 1 1 1 1 2 5 2 2 4 В этом примере fi = (5,3,3,1,1). Выписывая числа справа налево и сверху вниз без повторений, получим чередующуюся перестановку (для данного примера это 42 513), причем всегда ht(jB) = к — г. Это дает требуемую биек- цию. с. Аналогично п. (Ь), хотя немного сложнее. Пункты (Ь) и (с) впервые появились в работе Фулкса Foulkes Н. О. Discrete Math. 15 (1976), 311-324. Фулкс дал более сложное доказательство. Другой подход предложил А. М. Гессель. Используя, например, тождество Якоби-Труди, можно показать, что £„>o(-i)"Wi*2n+1 5>ЬХТ")*" : -+ п>0 £„>0(-l)nb2nt2" £„>o(-l)"W2" Можно выразить правую часть через функции р\ и явно вычислить коэффициенты. 7.65. а. Сначала следует доказать, что п chv„ = x;(-i)fcfcr%, к=0 после чего легко вычислить значения характеров ipn(w). Симметрическая функция chipn впервые рассмотрена в работе Gessel I. М., Reutenauer С. J. Combinatorial Theory (А) 64 (1993), 189-215 (теорема 1, с. 206). Отметим, что из соотношения deg ^n = Dn следует, что Dn равно числу тех w G &п, наибольший спуск которых имеет ту же четность, что и п. Этот факт был впервые установлен в статье Desarmenien J. In: Actes 8е Seminaire Lotharingien, Publ. 229/S08, IRMA, Strasbourg, 1984, pp. 11-16. Обобщение дано в работе Desarmenien J., Wachs M. L. In: Actes 19е Seminaire Lotharingien, Publ. 361/S19, IRMA, Strasbourg, 1988, pp. 13-21.
Решения упражнений 651 7.66. а. Мы проиллюстрируем доказательство на примере X/fi = 8877/211. Рассмотрим десять путей в форме зигзага, выделенных на рис. 7.23 пунктиром. Каждый такой путь состоит из нескольких горизонтальных или вертикальных шагов, или ребер, идущих из внутренности одной клетки во внутренность соседней с ней. Ни один косой крюк из разложения диаграммы X/fi на косые крюки не может содержать три последовательные клетки, через которые проходит один пунктирный путь. Эквивалентным образом, пусть S — множество ребер е пунктирных путей, обладающих тем свойством, что две клетки, через которые проходит е, принадлежат одному и тому же косому крюку. Тогда S не может содержать два последовательных ребра из одного пунктирного пути. И наоборот, если из множества ребер пунктирных путей мы выберем подмножество S, такое, что S не содержит двух последовательных ребер ни из какого пунктирного пути, то имеется ровно одно разложение диаграммы Х/ц на косые крюки, обладающее следующим свойством: пусть е — произвольное ребро пунктирного пути, а и и v — клетки, через которые проходит е; тогда и и v принадлежат одному косому крюку в том и только в том случае, когда е Е S. Рис. 7.23. Пунктирные пути, соответствующие диаграмме 8877/211. Отсюда следует, что d(X/fi) равно числу способов выбрать S. Число способов так выбрать множество ребер из пути длины п, чтобы никакие два не были последовательными, равно числу Фибоначчи Fn+2 (см. упр. 1.14(a)), что завершает доказательство. На самом деле это упражнение является частным случаем дополнительного упр. 3.14 из второго издания первого тома этой книги. Оно появилось в работе Stanley R. Problem 10199, Amer. Math. Monthly 99 (1992), 162; решение приведено в заметке Chen W. Y. С. Amer. Math. Monthly 101 (1994), 278-279.
652 Гл. 7. Симметрические функции Ь. Если Р — путь длины т — 1, то из упр. 1.13 следует, что Y^t^T = Si (тг~г)^г' Где -^ про^гает все множества ребер из Р, не содержащие последовательных ребер. Теперь доказательство является непосредственным обобщением п. (а). 7.67. а. Немедленно следует из правила Мурнагана-Накаямы (следствие 7.17.5). Ь. Отождествим каждый класс сопряженности С{ с суммой его элементов в групповой алгебре CG. Мы используем стандартный результат (см., например, [15, §229 и §236]) о том, что элементы d 1 ^ = Й|£^' 1^г<«, (7.174) образуют полное множество ортогональных идемпотентов для центра алгебры CG. В силу ортогональности характеров обращение равенства (7.174) влечет за собой равенство * хг- Сз = \Cj\z2-TEr- r=l Ur Так как Е{ — ортогональные идемпотенты (т. е. ErEs = 5rsEr), отсюда следует, что X>i\ * * * X.in Ci\ ' ' ' Cim — |Cti I * * * \Cim I 2^ —1~#п ~Er \Сп\---\ат\^х1---х1 \G\ r=l ™r k=\ t = \Ci1\1^\CiJ^c S^_}_ Г .. r -r ' ' /c=l r=l r Для завершения доказательства выразим все через базис G и возьмем коэффициент при w в обеих частях. Этот результат (в чуть более общей форме) приведен, например, в книге [67, теорема 6.3.1]. Другим источником является книга Айзекса Isaacs I. М. Character Theory of Finite Groups, Academic Press, New York, 1976; reprinted by Dover, New York, 1994 (задача 3.9). В п. (b) положим G = &n и возьмем в качестве всех Ciu • • •»Сгт класс сопряженности, состоящий из тг-циклов.
Решения упражнений 653 Пусть Ск — класс сопряженности, состоящий из тождественной перестановки. Тогда формула (7.138) немедленно сводится к (7.139) на основании того, что ^(n_s'lS)(ln) Это рассуждение взято из работы Stanley R. Discrete Math. 37 (1981), 255-262. Обзор работ, посвященных умножению классов сопряженности в 6П, приведен в статье Goupil A. Contemp. Math. 178 (1994), 129-143. Укажем недавние работы, не упомянутые в этом обзоре: Goulden I. P. Trans. Amer. Math. Soc. 344 (1994), 421-440; Goulden I. P., Jackson D. M. J. Algebra 166 (1994), 364- 378; Jackson D. M. Trans. Amer. Math. Soc. 299 (1987), 785-801; Jackson D. M., Visentin T. I. Trans. Amer. Math. Soc. 322 (1990), 353-363, 365-376; Kerov S. V. С R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 316 (1993), 303-308 (предложение 2.2); Zagier D. Nieuw Arch. Wish. (4) 13 (1995), 489-495; [96, примеры I.7.24-I.7.25, с. 131-134]. Если n четно, то слагаемые с номерами г и п— 1 — г сокращаются; поэтому сумма равна нулю. Другой способ: для четного п произведение трех n-циклов является нечетной перестановкой и, следовательно, не может равняться тождественной перестановке. Если п нечетно, то доказываемый результат эквивалентен тождеству где г = п — 1. Напомним, что интеграл, задающий бета- функцию, равен %-<r^-fc!(r-fc)! /о " v~ "' "' (г+1)! Умножим на (—1)к, просуммируем по к от 0 до п, внесем сумму под знак интеграла, вычислим эту сумму в явном виде и проинтегрируем, чтобы получить сформулированный результат. Это рассуждение предложил Стэн- тон. Безусловно, тождество (7.175) не является новым, и имеется много других способов доказать его. Независимый вывод результата этого упражнения имеется в работе Mednykh A. D. Сотт. Alg. 18 (1990), 1517-1533 (формула (32)). 7.68. а. Заметим, что uvu lv l = u(vu lv l) —произведение и и сопряженного с u~l. Пусть С и С—классы сопряженности группы G, содержащие и и и~1 соответственно
654 Гл. 7. Симметрические функции (в частности, \С\ = \С\). Если у — фиксированный элемент, сопряженный с и-1, то имеется |G|/|G| элементов v € G, удовлетворяющих условию у = vu~1v~l. Следовательно, 'W = £ Щ #««' !/)eCx6:t" = "*/}' (7-176) где С пробегает все классы сопряженности группы G. Пусть х1»• • •»X* обозначают неприводимые характеры группы G, а Хс обозначает значение характера хг на произвольном элементе из С. Так как \С\ = \С\ и xr(v~l) = Хг(г>), то из упр. 7.67(b) имеем #{(«, у) € С х С : w = чу} = i^f J2 J-Xc Хс X»- Следовательно, |G| ttdr Г=1 t I T s-T —r v / = ElclE;rxbxcx'. С r=\ Поэтому в силу ортогональности характеров </.xr> = J-£№bxrc = 1 / j i ~ i до до i i ar dT что завершает доказательство. Этот результат был известен многим исследователям в области конечных групп. Тесно связанная с ним задача приведена в цитированной выше книге Айзекса (задача 3.10). Кроме того, этот результат неявно появляется в работе Leitz М. Arch. Math. (Basel) 67 (1996), 275-280; см. также ссылки, указанные в ней. b. Эту проблему рассматривали многие специалисты по теории групп, такие, как Дж. Л. Альперин, И. М. Айзеке и Л. Соломон. c. Для всякой функции классов F на &п имеем ch F = £(F, хЛ> 8Х. Теперь положим F = /, где функция / определена в п. (а). d. Для всякой функции классов д на 6П и всякой перестановки w € &п имеем g(w) = (д,р\)- Следовательно, из формулы (7.140) вытекает, что fn = ^Ял(5Л,рл). ЛНп
Решения упражнений 655 Из упр. 7.67(a) следует, что /»= £(-i)fctf<n-fc)i*> = E(-1)fcn(n -к - гУ-kl /с=0 /с=0 Теперь применим (7.175). Этот результат эквивалентен формуле (43) из работы Mednykh A. D. Сотт. Alg. 18 (1990), 1517-1533. e. Положим в равенстве (7.140) х\ = • • • = xq = 1 и Х{ = 0 при г > q и применим следствие 7.21.4. f. Из п. (е) следует, что * AhntEA (7.177) g=i Имеется три случая. (i) Ни одно из содержаний диаграммы А не равно —1. Тогда А = (п) и вклад Хв Епв формуле (7.177) равен Нп. (ii) В А имеется ровно одно содержание, равное — 1. Тогда А имеет форму (а, 6,1к), где а^Ь>0,А:^0и а + Ь + к = п. В этом случае вклад X в Еп равен 1 Д (1 + ф)) = (-1)ка\(Ь-1)Ш. (7.178) (ш) В А имеется более одного содержания, равного —1. Тогда вклад X в Еп равен нулю. Нетрудно видеть (на основании тождества (7.175)), что когда мы просуммируем (7.178) по всем (а,6, А:), таким, что а ^ 6 > 0, fc>0no + 6 + /e = n, то получим правую часть равенства (7.141) кроме слагаемого Яп, которое уже возникало для А = (п). g. Пусть Tj — функционал на симметрических функциях, определенный формулой r'{f)-w/ Pi = l где выражение g\Pi=i означает, что мы должны представить д в виде многочлена от функций р^, а затем положить все pi равными 1. Таким образом, из (7.140) имеем Н^Ч-
656 Гл. 7. Симметрические функции Пусть mj(fi) обозначает число частей разбиения //, равных j. Заметим, что Г;Ы = т,-(/х) = (p!A,YlzxlmJ^)P^) = y^Pj-^h4- Но из равенства J2n ^п = ещ>(52п ^Г) следует, что dpj п~ j n~j' Значит, в силу линейности функционала Tj мы получаем rj(/) = (f,-Pjhn-j для произвольной функции / 6 Лп. Из теоремы 7.17.1 имеем hn4 = Y,(-vhtip/in-j))sp, pj где сумма берется по всем разбиениям р Э (n — j), для которых р/(п — j) является косым крюком В размера j. Для каждого —l^i^j — 1 имеется в точности один такой косой крюк Bi с г -f 1 клетками в первом столбце, за исключением случая, когда Bij-n-i не существует при 2j > п. Обозначим через рг то разбиение р, для которого р/(п — j) = В{. Отсюда следует, что при А Ь п г, , J-(-l)ht(Bi), еслиА = р\ {О в противном случае. (Эту формулу можно также получить, показав, что оператор d/dpj является сопряженным к оператору умножения на Ipj и что s\\Pi=i = О за исключением случая А = (п).) В частности, 4Ahn у 'Ji=-1 При г = — 1 имеем р~1 = (п) и ±(-1)ЩВ-г)Нг* = 1. Рассматривая по отдельности случаи 2j < п + г и 2j > п -Ь г -f 1, нетрудно проверить, что при 0 ^ г ^ j — 1 (за
Решения упражнений 657 исключением г = 2j — п — 1, если 2j > п) ir_nht№)ff = (-!)*(»-J + » + l) г/ ij " (^(^(n-Jy + i+l)' Это завершает доказательство. Этот результат принадлежит Р. Стенли и Дж. Р. Стембриджу (не опубликовано). По поводу задачи о вычислении математического ожидания числа j-циклов для выражений, более общих, чем uvu~1v~1, см. работу Nica A. Random Structures and Algorithms 5 (1994), 703-730. 7.69. а. Квадрат цикла нечетной длины п является n-циклом, тогда как квадрат цикла четной длины п будет произведением двух циклов длины п/2. Тогда из экспоненциальной формулы (следствие 5.1.9) получаем, что Е^ Е рр^2) = ехр Е ^р«+ Е п нечетно = ехрЕ^(Е*?+Е(^)п) _ 1 "Ш1-^)-П^(1-^,) = ЕЕ5л> n^O Ahn где последнее равенство использует следствие 7.13.8. Итак, ' we&n Ahn b. Пусть f(w) = J2xhn XX (w) 5 тогда ch / = £A s\ . Надо показать, что ch/ есть p-положительная функция, т.е. является линейной комбинацией функций р^ с неотрицательными коэффициентами. Теперь применим п. (а). Это рассуждение показывает в действительности, что Y^x\w) = #{ue&n:w = u2}. Ahn См. также [96, пример 11, с. 120]. Более общим образом, из работ Фробениуса и Шура (см. изложение этих результатов в гл. 4 из цитированной выше книги Айзекса) следует, что если G — конечная группа, для которой всякое
658 Гл. 7. Симметрические функции комплексное представление эквивалентно вещественному представлению, то для всякого w GG имеем Y^X(w) = #{ueG:w = u2}, хед где G обозначает множество неприводимых характеров группы G. Это результат Шарфа (Scharf Т. Bayreuther Math. Schr. 38 (1991), 99-207; J. Algebra 139 (1991), 446-457). См. также [67, гл. 6.2]. Шарф доказал следующее. Пусть Раг^(п) обозначает множество тех разбиений числа п, все части которых делят к. Для каждого разбиения A € Раг^(п) выберем элемент гид £ ©п циклового типа А. Положим £ = е27гг/к. На циклической группе, порожденной гид, определим одномерный характер *фх формулой iPx(wx) = (k/Xl+"+k/Xe, где £ = £(Х). Этот характер естественным образом распространяется до одномерного характера фх централизатора C(w\) элемента w\. Тогда rk= y, шс^х)Фх- AeParfc(n) Следовательно, г к является характером группы 6П, что завершает доказательство. Доказательство, в большей степени основанное на теории симметрических функций, приведено в работе Thibon J.-Y. Bayreuther Math. Schr. 40 (1992), 177-201 (следствие 5.2). Мы дадим несколько упрощенный вариант этого доказательства, обобщающего рассуждения из п. (а). Пусть 6к,п = ch(rn}fc). Так как к-я степень п-цикла есть произведение (п, к) циклов длины п/(п, к) (где (п, к) обозначает наибольший общий делитель чисел п и к), то из экспоненциальной формулы (следствие 5.1.9) немедленно получаем, что £'м = ехр£^5й*)- (7.179) 71^0 71^1 Пусть Ld — симметрическая функция из формулы (7.149). Простое рассуждение, основанное на принципе включения-исключения, показывает, что Е^Й.*)=Е£^(*"), (7-180) n^l d\k n^l
Решения упражнений 659 где Ld(xn) = Ld(#][S#2 5 • • • )• Равенство (7.179) равносильно формуле для плетизма Эквивалентным образом, если /i = Х^п>о ^п' то ^2ek,n = i[h[Ld]. Теперь hn есть просто функция Шура sn, тогда как по упр. 7.89(b) функция 1^ — неотрицательная целочисленная линейная комбинация функций Шура. Следовательно, по теореме А2.5 из приложения 2 правая часть равенства (7.181) также является линейной комбинацией функций Шура с неотрицательными коэффициентами, что завершает доказательство. Неизвестно, будет ли функция Гк (распространенная очевидным образом на произвольные конечные группы) характером любой конечной группы G, для которой каждое представление можно реализовать над Z. (Группа кватернионов порядка 8 показывает, что недостаточно предполагать, что G есть /С-группа, определенная в п. (j).) d. Достаточно предполагать, что т = 2, повторяя рассуждения в случае необходимости (хотя общий случай также может быть доказан непосредственно). Положим а = f\ и Ь = /2. Будем следовать обозначениям упр. 7.67(b). Имеем t t h(w) = ^^jTaibj#{(u,v)eGxG :ueCi, veCj, uv = w}. i=i j=i Согласно упр. 7.67(b), #{(u,v) e G x G : и e d, v e Cj, uv = w} Следовательно, (h,Xr) = 1^7 ЕЕ 1^1 • МЫЛЯ*} |Lr| i=i j=i aT - fL (/,*'>-to, л, ar
660 Гл. 7. Симметрические функции и доказательство завершено. Этот результат можно рассматривать как частный случай теоремы, утверждающей, что преобразование Фурье отображает свертку в произведение. e. Определим фх: &п —► Z формулой фх(ъи) = 1, если p{w) = А, и фх(ъи) = 0 в противном случае. Нетрудно проверить, что chF^A^ = (chi/;A)n(ch^). По билинейности получаем, что chF/^ = (chf)D(chg) для всех функций классов /, д на &п. Теперь, чтобы получить тождество (7.143), положим / = хЛ, д = Xм и применим равенство (7.142). Можно обратить это рассуждение и вывести (7.142) из (7.143). f. Взяв такую же функцию г^, как в п. (с), получаем h(w)= Д rai(u1)--rarn(um)- Результат теперь следует из пп. (с) и (f). Ряд результатов, тесно связанных с пп. (d) и (f), приведен в работе Кербера и Вагнера (Kerber A., Wagner В. Arch. Math. (Basel) 35 (1980), 252-262). На самом деле, если применить результат о том, что для всякой конечной группы G и любого неприводимого характера \ (см. лемму 4.4 на с. 49 из цитированной выше книги Ай- зекса), то утверждение 1 из работы Кербера и Вагнера равносильно нашему п. (d) для случая fo = rai. В качестве другой работы, связанной (хотя и не столь тесно) с этой задачей, см. Solomon L. Arch. Math. (Basel) 20 (1969), 241-247. g. Пусть a = uvu и b = uv. Тогда и = b~la и v = a~lb2. Поэтому если пары (u, v) пробегают GxG, то и пары (а, Ь) также пробегают GxG. Но uvu2vuv = ab2: очевидно, что это произведение равномерно распределено на G. Таким образом, #{(u, v) € G х G :w = uvu2vuv} = \G\. Существо дела состоит в том, что подстановка и = Ь-1а, v = a~lb2 является обратимой, потому что гомоморфизм (р: i<2 —► i<2 (где i<2 — свободная группа с образующими х,у), заданный формулами ip(x) = у~гх и ip(y) = х~гу2,
Решения упражнений 661 является автоморфизмом группы F2. По поводу классификации автоморфизмов свободных групп см., например, Hall М., Jr. The Theory of Groups, Macmillan, New York, 19591} (теорема 7.3.4). h. Из упр. 7.68(a) и пп. (а) и (Ь) этого упражнения получаем, что (/,хЛ) — (<7эХЛ) = Н\ для всех А Ь п. Это завершает доказательство. Для биективного доказательства заметим, что каждый элемент из &п сопряжен со своим обратным. Следовательно, можно заменить уравнение w = u(vu~1v~1) на w = u{vuv~l) и построить простую биекцию между решениями двух уравнений. Положим теперь а = uv и v = б-1. Так как и = аЬ и v = б-1, то элементы а и Ь пробегают всю группу (5П, когда и и v пробегают эту группу. Следовательно, можно заменить уравнение w = uvuv~l на w = (ab)b~x(ab)b = a2b2, откуда следует требуемое утверждение. Это рассуждение остается в силе для любой конечной группы, в которой каждый элемент сопряжен со своим обратным, или, эквивалентным образом (поскольку x(w-1) = x(w))i У которой всякий характер вещественный, например, для конечной группы Кокстера. Случай w = 1 для произвольной конечной группы G рассматривался в упр. 5.12. i. Второе рассуждение из п. (h) легко обобщается на случай ^ = хукху~к. А именно, положим а = хук, b = у~1 и получим /7,en = /a2b2fc,sn? что является характером согласно п. (f). Для 7 — хукх~1у~к заметим, что, как и в равенстве (7.176), /7,сИ = $>(C)j|j#{(U,y) eCxC:w = иу}, где rk определено в п. (с). Рассуждение, в точности такое же, как в решении упр. 7.68(a), показывает, что для всякого неприводимого характера х группы G </>*> = "Щ (пь>ХХ>- Так как, согласно п. (с), функция г к является характером для G = &п, то отсюда следует, что / — также характер. Аналогичное рассуждение показывает, что если /3 — х) Имеется перевод: Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962. — Прим. перев.
662 Гл. 7. Симметрические функции произвольное слово в алфавите х\,..., хг, а х — символ, отличный от всех Х{, то (fx0x-*0,x) = Zmtfp'X2)- j. Если r = 1 (в частности, /7jg = rk для некоторого A: € G), то из работы Фробениуса (Probenius F. G. Sitz. Kongl. Preufi. Akad. Wissen. Berlin (1907), 428-437; Ges. Abh., vol. Ill, article 78, pp. 394-403) следует, что т> является разностью двух характеров. Набросок доказательства приведен в цитированной выше книге Айзекса (задача 4.7). Если г > 1, то, поскольку /7><з есть функция классов, достаточно показать, что для фиксированного i #{(tib ..., ur) G Gr : 7(tib ..., О € d} = 0 (mod \G\). Но это в точности частный случай т = 1 теоремы 1 из работы Solomon L. Arch. Math. (Basel) 20 (1969), 241-247. Очень близкий результат см. в статье Isaacs I. М. Canadian J. Math. 22 (1970), 1040-1046 (теорема В). к. Если 7 = х2у2х2у2, х2у3х2у~3 или х2у2х2у3, то неизвестно, будет ли функция /7,еп характером для всех п. (Случай х2у2х2у2 проверен для п < 16, остальные два — для п < 7.) С другой стороны, если 7 = ху~1х2у, х2у3х~2у~3 или х2у3х5у4, то /7,еп будет характером не для всех п. Отметим также, что для слов вида 7 = х\ х3* х% х\ х\ х\ х4 ж| (где каждый показатель появляется четное число раз) из п. (d) следует, что /7jg является характером для всех конечных групп G. 7.70. Пусть /i1,... ,/ifc Ь п. По следствию 7.17.5, если левую часть формулы (7.144) выразить через степенные суммы, то коэффициент Q при р^(х^) • • -Рцк(х(к)) задается формулой Ahn г=1 Пусть Сц обозначает класс сопряженности в &п, состоящий из перестановок циклового типа fi. Так как |СМ| = nl/z^ (в силу формулы (7.18)), /Л = п\/Н\ (по следствию 7.21.6) и Хх(1п) = /Л (согласно (7.79)), то в-(яПР-|)Е^(П^))лп.
Решения упражнений 663 Сравнивая с (7.138) и используя тот факт, что функции \Х ~ неприводимые (по теореме 17.18.5)) вещественные характеры группы &п, мы получаем Q = ^!#{(™ь • • •, и;*) G <Skn : w1 • • • wk = id}, что и требовалось. Случай к = О равносилен следствию 7.12.6, а случай к = 1 равносилен следствию 7.12.5. Формула (7.144) впервые появилась в работе Hanlon P. J., Stanley R., Stembridge J. R. Contemp. Math. 138 (1992), 151- 174 (предложение 2.2), в связи с распределением собственных чисел матрицы AUBU*, где А и В — фиксированные эрмитовы матрицы размера п х n, a U — случайная матрица размера п х п, элементами которой являются независимые стандартные комплексные случайные величины с нормальным распределением. 7.71. а. В силу ортогональности характеров £ххН = #си, X где в правой части стоит порядок централизатора C(w) элемента w (т.е. число элементов v € G, коммутирующих с w). Это просто число неподвижных точек при действии w на, G посредством сопряжения (т.е. число таких v € G, что wvw~1 = v). Так как число неподвижных точек элемента w, действующего на множестве, есть значение характера на нем, то (i) и (ii) совпадают. Ь. Пусть G обозначает множество неприводимых характеров группы G. Тогда (Фсх) = 4д Е Е 0{w)e{w)X{w) Е ;-^2>Н0М £ weG ' X(w)[G : C(w)]~l. weG Ho [G : C(w)] есть число элементов, сопряженных с w. Таким образом, предыдущая сумма преобразуется в Екх(к). Имеем ch^n = — Yl MW)P«> = Yl tSn : c(w)]~lp™ = Х^Л*
664 Гл. 7. Симметрические функции d. См. работы Prumkin A. Israel J. Math. (1) 55 (1986), 121-128; Scharf Т. Arch. Math. (Basel) 54 (1990), 427-429; Roichman Y. Israel J. Math. 97 (1997), 305-316. e. См. связанную с этим вопросом работу Decoste Н. Series indicatrices d'especes ponder ees et q-analogues, Publications du LACIM, vol. 2, Universite du Quebec a Montreal, 1989 (пример 3.7). 7.72. Пусть AkA обозначает действие оператора А на AkV. Если собственными числами оператора А являются в\,..., 9п, то собственными числами оператора АкА будут 0^ • • • 0»fc, 1 < zi < • • • < ik ^ п. Следовательно, п Х>гЛ*Л)(-# = (l-Oiq)...(l-0nq)=det(I-qA). (7.182) к=0 Теперь, если w G &п имеет цикловый тип ц = (/ii,/i2,.. •)> где e(fj) = е, то det(I-qw) = (l-q^)(l-q^) • • • {l-q^). Следовательно, обозначая через Ф& характер группы 6П, действующей на AkV, имеем п Х)Ф*И(-9)* = (1-9М1)(1-вм)---(1-^); (7-183) к=0 поэтому fc=0 ween Заметим, что так как pj(-qx) = (—l)JqJpj(x) и u>(pj) = (_l)i-ipi? то (1 - q*)pj(x) = uypk(x,y)\y=-qx, где uy обозначает оператор а;, действующий только на переменные у. Следовательно, П г 1 ^(chVk)(-q)k = и;у - Y^Pp(w)(x>1 к=0 ТЫ y=-qx -■ ujyhn(x,y)\y=_qx (по предложению 7.7.6) Uy^SjirfSn-jiy) 3=0 Ylsj(x)sin-'(y) i=o (из (7.66)) qx (по теореме 7.14.5) y=-qx j=0
Решения упражнений 665 Нетрудно умножить Sj на sjn-j при помощи правила Пиери (теорема 7.15.7), привести подобные слагаемые и получить п £(ch*fe)g* = Х>А* + sXk-i)qk, к=0 к откуда ch Ък = sXk + sXk-i и Ук = хЛ* 4- хЛ*-1 • Отметим, что этот результат равносилен формуле д/с^(п-1,1) _ ^(n-/c,i ) ^т0 упражнение взято из работы Aitken А. С. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 7 (1946), 196-203. 7.73. Рассуждения аналогичны решению упр. 7.72. Пусть SkA обозначает действие оператора А на пространстве SkV* однородных форм степени к от переменных vi,...,vn. Аналогично выводу равенств (7.182) и (7.183) получаем yavSkA)qk- г - г к>0 (1 - exq) •••(!- 9nq) det(/ - qA) Е^н^ = (1_дМ1)(1Дм2)(1_^г Следовательно, по предложению 7.7.4 и теореме 7.12.1 сп^ « , 2^ (l-^i)...(i_^) -} ^2 мм,?2,... к /c^o ' -шее ween p(w)=n = ^5Л(1'^^2'---)5Л* Ahn Это результат из работы Aitken А. С. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 5 (1937), 1-13 (теорема 2). «Современные» доказательства (на языке А-колец) этого и предыдущего (упр. 7.72) упражнений см. в статье Thibon J.-Y. Bayreuther Math. Schr. 40 (1992), 177-201 (§3). 7.74. Пусть собственные числа перестановки w € 6П, рассматриваемой как элемент группы GL(n, С), равны в\,..., вп. Тогда £A(w) = вл(01,...,0п)- Положим p(w) = (pi(w),p2(w),...). Так как П(1-м = П(1-9,')Ми,)' г=1
666 Гл. 7. Симметрические функции то из тождества Коши (теорема 7.12.1) получаем, что ^y^Wsxiy) = — . Вычисление характеристики обеих частей дает = n\Y^ PpM(x)pP(w)[h](y) ' to€S„ что завершает доказательство. Формула (7.145) появилась в работе Шарфа и Тибона (Scharf Т., Thibon J.-Y. Advances in Math. 104 (1994), 30- 58, теорема 5.1). Соответствие s\ *—► ch£A является частным случаем операции внутреннего плетизма, определенной следующим образом. Пусть а: &п —* GL(7V,С) —произвольное конечномерное представление группы (5n, а (р: GL(iV, С) —> GL(M,C) — полиномиальное представление группы GL(7V,C). Тогда композиция ра будет представлением группы 6П, и мы определим внутренний плетизм / 0 д симметрических функций / = ch а и д = char (р формулой f Од = chipa. В частности, (sn + S(n_ifl))©SA = ch£A> поскольку характер определяющего представления &п —> GL(n, С) группы &п равен хп + х^п~1'1^- Внутренний плетизм введен в работе Littlewood D. Е. Canadian J. Math. 10 (1958), 1-16,17-32. Дальнейшую информацию и ссылки см. в цитированной выше работе Шарфа и Тибона1). 7.75. а. Орбита О^ действия группы &к на (м) определяется разбиением fj, = (lmi---nmn)\-j, х'Ряд связей между внутренним плетизмом и графическим перечислением см. в диссертации Travis L. Ph.D. thesis, Brandeis University, 1999; http://front.math.ucdavis.edu/math.CO/9811127. — Прим. автора при переводе.
Решения упражнений 667 где ^2тг = к и £(fi) = J2mi ^ к. Она состоит из тех подмультимножеств N € (м), у которых mi элементов имеют кратность г. Например, орбита, содержащая {1,1,1,1,3,4,4,5,5,5,5,7,8}, отвечает разбиению р, = (l3^1^2) Ь 13. Характеристика сЬ(С?д) действия группы &к на О^ есть просто hrnihrn2 • • • /imnfyfc-*(M) (почему?). Следовательно, положив г = к — ^(/i), имеем Yl h™i' i,...,mn^0 r^O ^<У- где /|fc обозначает однородную часть степени к симметрической функции /. Получаем, что П(1-^)(1-^)- --(1-^)1 = ]Г 5А(1, д,..., qn)sx(x) (в силу (7.44)). Ahfc Это завершает доказательство. Нетрудно видеть, что Uj коммутирует с действием группы &к- Доказательство инъективности при j < кп/2, использующее только элементарную линейную алгебру, является частным случаем рассуждения, приведенного в § 6 работы Proctor R. A., Saks М. Е., Sturtevant D. G. Discrete Math. 30 (1980), 173-180. См. связанную с этой задачей работу Proctor R. A. J. Combinatorial Theory (А) 54 (1990), 235-247 (в особенности следствие 1). Мы опускаем легкое доказательство того, что аэ- = akn-j • Пусть j < [кп/2\. Так как отображение Uj коммутирует с действием группы 6 к и инъективно, то оно является инъективным отображением &к -модулей. Таким образом, всякое неприводимое представление группы &к будет появляться в Q( ^) не реже, чем в Q(M). Поэтому мы получаем из п. (а), что aj < а3+\. Унимодальность функции s\(l,q,...,qn) была впервые доказана (хотя и не сформулирована явно в терминах функций Шура) в контексте теории представлений полупростых групп Ли в работах Е. Б. Дынкина (Дын- кин Е. Б. Докл. АН СССР 71 (1950), 221-224, и Труды
668 Гл. 7. Симметрические функции Московского машем, общества 1 (1957), 39-156). Формулировку результата Дынкина, не использующую язык теории представлений, см. в работе Stanley R. In: Young Day Proceedings (Т. V. Narayana, R. M. Mathsen, J. G. Williams, eds.), Dekker, New York-Basel, 1980, pp. 127-136. Элегантный вариант доказательства Дынкина, частный случай которого мы рассматривали здесь, дан в [96, пример 1.8.4, с. 137-138] *). Он основан на теореме А2.5 из приложения 2. Доказательство, подобное приведенному здесь, но использующее сплетения вместо мультимножеств, появилось в работе Kerber A., Thiirlings К.-J. Bayreuther Math. Schr. 21 (1986), 156-278 (теорема 2.2). Дальнейшую информацию см. в статье Stanley R., Ann. New York Acad. ScL, vol. 576,1989, pp. 500-535. Неизвестно ни одного доказательства унимодальности функции 5д(1,д,...,дп), которое не использовало бы теории представлений (или еще более изощренных средств); см., однако, в п. (d) ниже частный случай, для которого известны более простые доказательства. d. Применим п. (с) к Sik(l,q,... ,qn~l) или s/c(l,g,..., qn-k+iy^ эти специализации вычислены в предложении 7.8.3. Этот результат восходит к работам Сильвестра (Sylvester J. J. Philos. Mag. 5 (1878), 178-188; Collected Math. Papers, vol. 3, Chelsea, New York, 1973, pp. 117-126). Впоследствии был дан ряд других доказательств; они обсуждаются в цитированной выше работе Стенли. В частности, комбинаторное доказательство, которое долго искали, было дано в статье О'Нага К. М. J. Combinatorial Theory (А) 53 (1990), 29-52; его изложение приведено в работе Zeilberger D. Amer. Math. Monthly 96 (1989), 590- 602. 7.76. а. Пусть fw обозначает число точек, неподвижных под действием w € G на Т; в частности, fw = x(w)- Таким образом, \Хч X/ j77~» / ^ J w С другой стороны, число неподвижных точек действия перестановки w на Т х Т есть в точности /^. Значит, по лемме Бернсайда (лемма 7.24.5) приведенная выше сумма равна рангу группы G. Ь. Пусть Ха обозначает характер этого действия. Из следствия 7.18.3 имеем chx» = ha. Так как отображение ch 1^См. также пример 4 на с. 91-92 русского перевода [92]. — Прим. перев.
Решения упражнений 669 является изометрией (предложение 7.18.1), то ранг группы 6П, действующей на 6п/©а, равен (Да, ha), а это, согласно формуле (7.31), есть число N-матриц А с row(^) = со\(А) = а. Левые классы смежности по 6а естественным образом индексируются перестановками мультимножества Ма = {1а1,2а2,... }, и действие группы &п на &п/&а соответствует ее действию на Ма посредством перестановки координат. Следовательно, действие группы 6 на Т х Т эквивалентно ее действию путем перестановок столбцов на множестве 2 х п матриц В = CL\ а,2 ... ап &1 &2 ••• Ьп где каждая строка есть перестановка мультимножества Ма. Свяжем с В матрицу Л, в которой на пересечении строки г и столбца j стоит число столбцов матрицы В. равных *. Это устанавливает требуемую биекцию между орбитами действия группы &п на f х Г и N-матрицами А с row(^) = со1(Л) = а. 7.77. а. Имеем (indg 1я, ind£ 1К) = (indg 1# ® ind£ 1К, 1G). Теперь представление ind// 1я <8> inci^^ \к есть перестановочное представление, полученное при помощи действия группы G на парах (аН,ЬК) левых классов смежности по формуле w • (аН,ЬК) = (waH,wbK). Следовательно, кратность тривиального представления равна числу орбит этого действия. Когда два элемента находятся в одной орбите? Каждая орбита содержит элемент вида (Н, ЬК). Поэтому нас интересует, для каких u,v € G можно найти такой элемент w £ G, что w • (Н,иК) = (H,vK). Так как wH = Н, то w € Н; поэтому мы хотим знать, когда можно найти такой элемент h € Н, что huk = vk' для k, k' € К. Но очевидно, что это условие выполнено тогда и только тогда, когда НиК = HvK. Значит, число орбит равно числу двойных классов смежности, что и требовалось. Этот результат может быть значительно усилен как часть теории, которую развил Дж. Макки. См., например, книгу Curtis С. W., Reiner I. Representation Theory of
670 Гл. 7. Симметрические функции Finite Groups and Associative Algebras, Wiley (Interscience), New York, 1962, reprinted in 19881) (§10C), и [142, §7.3]. b. Рассуждения, приведенные в п. (а), показывают, что число двойных классов смежности по (Н, Н) есть число орбит группы G, действующей диагональным образом на G/H х G/H. Это число есть в точности ранг группы С, действующей на G/H. c. Так как ch(ind@n 1е7) = ^7 (п0 следствию 7.18.3), то, согласно п. (а) и предложению 7.18.1, число двойных классов смежности по (Н,К) равно {ha,h/3), т.е. (по (7.31)) числу N-матриц А с row(^) = а и со1(Л) = /?. Решение упр. 7.76(c) непосредственно обобщается до комбинаторного доказательства настоящего упражнения. 7.78. а. Так как все характеры группы &п вещественные, то п\ *--± we&n Очевидно, что последнее выражение имеет требуемую симметрию. b. Имеем s\ * 5М = ^gxuvSv = ch^pAAu/X* = chxV*. V V c. По линейности можно взять f = s\. Используя п. (Ь) и то, что еп = s\n, получаем 6п * 5Л = п\ ^ Xin(™)xX(™)PP(w) ' w€&n ' w£&n 711 we&n d. Пусть g, h G Лп. Мы утверждаем, что {g*h,pv) = {g,pv) • (h,pu). (7.184) По билинейности достаточно взять д = s\ и h = sM. Тогда равенство (7.184) следует из равенства (7.78) и п. (Ь). Теперь положим д = р\ и h = р^. ^ Имеется перевод изд. 1962 г.: Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. — М.: Наука, 1969. — Прим. перев.
Решения упражнений 671 e. Заметим, что р»{ху) = рг^(х)р1/(у). Следовательно, равенство (7.184) равносильно требуемому результату в случае, когда f — Pv Общий случай получается по линейности. f. Один из способов выполнить эти вычисления: Е 9XiivS\{x)sIJL{y)sv{z) X,fi,f = £<xV,x">A(xMyM2) = E E \~ЕгЛх(р)хЧр)хЧр) n^OA,/i,i/hn p\-n s\{x)sfl(y)sl/(z) Е^м*) E^(pKW = E zp ^рОФрЫРрМ = П (X " ^S/i**) *5 p tjjfc эти соотношения устанавливаются так же, как в доказательстве предложения 7.7.4. g. Непосредственное обобщение п. (f). Внутреннее произведение симметрических функций впервые определил Редфилд [124] (обозначая его через^З3) и затем, независимо, Литтлвуд (Littlewood D. Е. J. London Math. Soc. 31 (1956), 89-93). 7.79. а. Пусть ху имеет то же значение, что и в упр. 7.78(e). Из тождества Коши (теорема 7.12.1), примененного к двум множествам переменных xiyj и Zk, имеем Д(1 -XiyjZk)'1 = E5a(z2/)sa(2). i,j,k А Сравнивая с упр. 7.78(f), получаем s\(xy) = Е5а * sv{x)sv(y) = ^gxfivs^s^y). (7.185) Предположим, что (s\, sM * s^) = д\^ ф 0. Положим а = £(ц), Ь = t(y) и ограничимся переменными х = (ж1?..., ха) и у = (j/i, • • •, уь). Тогда 8р(х) /Ои sv(y) Ф 0, а потому sx(xy) Ф 0- Но s\(xy) — функция Шура от аЬ переменных Xiyj. Значит, если s\(xy) ф 0, то ^(А) < аЬ.
672 Гл. 7. Симметрические функции b. Рассуждения в п. (а) можно обратить. В формуле (7.185) возьмем х = (xi,... ,ха) и у = (у1,---,уь)- Так как ^(А) < аб, то s\(xy) ф 0. Следовательно, некоторое слагаемое д\1л,3ц(х)зи(у) отлично от нуля; поэтому £(fi) ^ а и 1>(у) < Ь. Результаты этого упражнения (пп. (а) и (Ь)) были впервые получены (другим способом) в работе Regev А. J. Algebra 154 (1993), 125-140. c. Dvir Y. J. Algebra 154 (1993), 125-140. Продолжение см. в работе Dvir Y. Europ. J. Combinatorics 15 (1994), 449-457. 7.80. Эти результаты получены в работе Bessenrodt С, Klesh- chev A. S. Pacific Math. J. 190 (1999), 201-223. 7.81. Так как хп_1,1М = roi(A) —1 (почему?), то для / € Лп имеет место формула / * Sn-i,i = Pi ~K~f _ /i dpi где / рассматривается как многочлен от степенных сумм. Так как ^~s\ = s\/i (см. решение упр. 7.35), то это завершает доказательство. 7.82. а. Непосредственное следствие упр. 7.71(a)(ii) и 7.71(c). Ь. В неявном виде этот результат появился в работах Про- чези (Procesi С. Advances in Math. 19 (1976), 306-381, и J. Algebra 87 (1984), 342-359 (§2)). Явное утверждение и доказательство приведены в статьях Regev A. Linear and Multilinear Algebra 21 (1987), 1-28 (следствие 2.14), 29-39 (теорема 1). 7.83. а. Имеем (хФ,Ф) = iTFi У2 хЫФЫФЫ = (хФ,Ф)- Следовательно, согласно неравенству Коши-Шварца, (хФЛ)2^(хФ,хФ)$Л) 1 г weG —— 2_] lx^(^)|2 (так как характер ф неприводим) < шф{1)2 £|хИ|2 (так как 1ФН] 4 ^(1)) ^ weG = ФМ2(х,х) = ф{1)2 (так как характер х неприводим). Этот результат приведен в книге Айзекса Isaacs I. М. Character Theory of Finite Groups, Academic Press, New
Решения упражнений 673 York, 1976; reprinted by Dover, New York, 1994 (задача 4.12). b. Непосредственно следует из п. (а), формулы (7.79) и того, что 7.84. а. Согласно упр. 7.78(e), (h\ * Sp, sv) = (hx * su, s^) (почему?) = (hx(x)st/(y),stA(xy)). Упорядочим переменные xy следующим образом: xiyi < х\У2 < • • • < x2yi < х2у2 < • • • • Из формулы (7.66) получаем, что sn(xv) = 5Z П ^V/м'-1 Ы Л 0=/i°C/i1C —C/i£=/i*^1 |/*Vm*"1I=a* откуда легко следует требуемый результат. См. [96, пример 1.7.23(d), с. 130]. Ь. Пусть v Ь п. Из упр. 7.78(e) получаем (га„, h\ * h^) = (mv(xy), h\(x)hIJL(y)). Тогда A i,j A где Л пробегает все N-матрицы (а^), такие, что элементы a,ij, расположенные в убывающем порядке, дают v. Результат теперь легко следует из двойственности между базисами {гад} и {hx} (соотношение (7.30)). См. [96, пример 1.7.23(e), с. 131]. 7.85. См. [46, следствие 15]. Последующее вычисление коэффициентов gx\iv см. в статье Remmel J. В., Whitehead Т. Bull Belgian Math. Soc. 1 (1994), 649-683, и препринте Vallejo E. On the Kronecker product of irreducible characters of the symmetric group; также см. указанные в них работы. Одна из главных открытых проблем в комбинаторной теории представлений группы &п состоит в получении комбинаторной интерпретации коэффициентов д\^и в общем случае1). *) Дальнейшие вычисления коэффициентов д\^и см. в работе Rosas М. Н. J. Alg. Combinatorics 14 (2001), 153-173. — Прим. автора при переводе.
674 Гл. 7. Симметрические функции 7.86. а. Из упр. 7.78(b) получаем где р(гу) = (pi,...,p/) и ^ > 0. Из упр. 7.60(b) следует, что знаменатели ненулевых слагаемых в этой сумме являются делителями многочлена H\(q), что завершает доказательство. Впервые этот результат приведен в работе Stanley R. Linear and Multilinear Algebra 16 (1984), 29-34 (предложение 8.2(i)). Алгебраические и геометрические аспекты этого упражнения см. в работах Hanlon P. J. Advances in Math. 56 (1985), 238-282; Stembridge J. R. J. Combinatorial Theory (A) 46 (1987), 79-120; Brylin- ski R. K. In: Lecture Notes in Math., 1404, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1989, pp. 35-94; Brylinski R. K. Advances in Math. 100 (1993), 28-52. b. Домножим равенство (7.186) на H\(q) и подставим q = 1. Все слагаемые, за исключением слагаемого, соответствующего w = id, обратятся в нуль, что влечет за собой равенство РдД1) = ^ХАдаЧ1с1)Ял(1) = г. Пусть ху имеет то же значение, что и в упр. 7.78(e). Пусть ф = ipt — специализация из упр. 7.43, действующая только по переменным у, и пусть psn и ps обозначают главную специализацию и стабильную главную специализацию из разд. 7.8, действующие только по переменным х. Непосредственные вычисления в случае f = Рк показывают, что для любой функции / € Л и п € Р Р8^-^/(жу) = ps^ f(x). (7.187) Теперь, согласно упр. 7.78(f), s\(xy) = ]^(5Л * 5м)0ФмЫ- Применим специализацию ps;v. Из формулы (7.187) получаем, что 5Л(1, q, • • •, qN~X) = Х^5л * ^К1' Q>q2' * * *) $-qNS*(y)'
Решения упражнений 675 В силу теоремы 7.21.2, следствия 7.21.3 и упр. 7.43 имеем НА) ТТ 1-g*4"'-* 1 _ qh(ij) « п = £ п ^(gU^))("q)Nfc(1"qN)- Домножим на П(1 — qh^1^) и положим £ = — qN. Мы получим полиномиальное по t тождество, выполненное для бесконечного числа значений t (а именно t = — qN), а значит, верное и в случае, когда t — переменная. Следовательно, qW П (! + #'"*)= Е *V(9)*fe(l + *), что, как нетрудно видеть, равносильно сформулированному утверждению. Этот результат принадлежит А. Ласку (частное сообщение). Его доказательство использует технику А-колец. Так как мы не вводили здесь эту технику, мы привели «наивный» вариант доказательства Ласку. Однако подход, основанный на А-кольцах, дает более естественное и элегантное доказательство. Дальнейшую информацию о А-кольцах см. в книге Knutson D. Lecture Notes in Math. 308, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1973. d. Это обманчиво простое утверждение следует из [96, пример VI.8.3, с. 362-363] и одной гипотезы Макдональда (Macdonald I. G. In: Actes 20е Seminaire Lotharingien. Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 372/S-20, 1988, pp. 131-171 (§6) и [96, (8.18), с. 355]). Пункт (b) наводит на мысль, что коэффициенты многочлена Р\^(я) перечисляют некоторую статистику на стандартных таблицах Юнга формы /i, но вопрос о такой интерпретации остается открытым. См. также работу Kirillov А. N. Adv. Ser. Math. Phys. 16 (1992), 545-579. 7.87. См. теорему 5.1 из работы Stanley R. Linear and Multilinear Algebra 16 (1984), 3-27. 7.88. а. Из стандартной формулы для индуцированного характера (см., например, цитированную выше книгу Айзекса, определение 5.1) или [142, предложение 20]) немедленно следует, что chiprr п d\n Ч С
676 Гл. 7. Симметрические функции где С пробегает все первообразные корни из 1 степени d. Результат теперь вытекает из хорошо известного (см. работу Nicol С. A., Vandiver Н. S. Proc. Nat Acad. ScL 40 (1954), 825-835) факта, что приведенная выше сумма по £ Равна фШ(т <0)М^/(Ш? d)). Формула (7.147) взята из статьи Foulkes Н. О. In: Combinatorics (D. J. A. Welsh and D. R. Woodall, eds.), The Institute for Mathematics and Its Applications, Southend-on-Sea, Essex, 1972, pp. 141-154 (теорема 1). (Набросок.) Определим на A[[q]\ оператор Dm формулой fim/fa) = I £ C"7(C<Z), v=1 считая, что n фиксировано. Таким образом, fim «выбирает» из степенного ряда f(q) те слагаемые, показатели которых сравнимы с га по модулю п. Применим Qm к тождеству где [j] — 1 — qJ и внутренняя сумма в левой части берется по всем стандартным таблицам Юнга Г формы Л. Коэффициент при s\ в левой части равен числу стандартных таблиц Т формы Л, удовлетворяющих условию maj(T) = m (mod п). Коэффициент при р\ в правой части вычисляется по формуле О, если A^(dn/d), -Vcm, еслиА=(йп^), п. ' ** П где сумма берется по всем первообразным корням из 1 степени d. Результат следует из п. (а). Этот результат был впервые независимо доказан в препринте Краске- вича и Веймана (Kraskiewicz W., Weyman J. Algebra of coinvariants and the action of Coxeter element) и в неопубликованной работе Стенли. Здесь приведено доказательство Стенли. Похожее доказательство имеется в [130, теорема 8.10]. Краскевич и Вейман распространили результат на группы Вейля типов Вп и Dn. Считая, что п фиксировано, мы видим, что выражение (7.147) для фт зависит только от (га,п). Результат следует из п. (Ь). Биективное доказательство неизвестно.
Решения упражнений 677 d. В работе Kontsevich М. In: The Gelfand Mathematical Seminars, 1990-1992 (L. Corwin et al., eds.), Birkhauser, Boston, 1993, pp. 173-187, упоминается (на с. 181) некоторое представление группы &п размерности (п — 2)!, описанное в более явном виде (как действие мультилиней- ной части свободной алгебры Ли с п — 1 образующими) в статье Getzler Е., Kapranov М. М. In: Geometry, Topology, and Physics, International Press, Cambridge, Massachusetts, 1995, pp. 167-201. Мы не будем давать здесь определения, но из него следует, что характеристика Wn этого действия вычисляется по формуле Wn =piLn-i - Ln, где используется обозначение (7.149). Из упр. 7.89(c) нетрудно вывести, что {piLn-i,s\) = ?/n_i(A), тогда как само упр. 7.89(c) утверждает, что (Ln,s\) = г/п(А). Это завершает доказательство. Не известно ни одного комбинаторного доказательства. Впоследствии симметрическая функция Wn возникала в на удивление многих совершенно различных вопросах. Тот &п -модуль, для которого она является характеристикой, называют модулем Уайтхауза. Сошлемся на некоторые работы: Babson Е., Bjorner A., Linusson S., Shareshian J., Welker V. Topology 38 (1999), 271-299; Hanlon P. J. Combinatorial Theory (A) 74 (1996), 301- 320; Hanlon P., Stanley R. Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), 4445-4459; Mathieu O. Comm. Math. Phys. 176 (1996), 467-474; Robinson C. A. Sonderforschungsbereich 343, Universitat Bielefeld, preprint 92-083, 1992; Robinson С A., Whitehouse S. J. Pure Appl. Algebra 111 (1996), 245-253; Sundaram S. J. Alg. Combinatorics 9 (1999), 251- 269; Sundaram S. J. Pure Appl. Algebra 155 (2001), 271- 304; Turchin V. In: Topics in Quantum Groups and Finite- Type Invariants. Mathematics at the Independent University of Moscow. (B. Feigin, ed.), Transl. Math. Monogr. 185 (38), American Mathematical Society, Providence, RI, 1998, pp. 147-153; Whitehouse S. Ph.D. thesis, Warwick University, 1994; Whitehouse S. J. Pure Appl. Algebra 115 (1996), 309- 321. e. Имеем H[j] = ('£hi Е^щ(1+И) L J^i
678 Гл. 7. Симметрические функции »pE!)[EfE(-«-f = ехрЕЕЕ^^)(-1)п_1&. Полагая ЛГ = Ы, получаем Я[7] = exp Y, £ ^(-l)n-1P& !>(<*) = ехр£(-1Г-^ = expln(l+pi) = 1+Pi, откуда (H — 1)[J] = pi. Так как обратимые (относительно плетизма) элементы из А образуют группу, отсюда также следует, что J[H-1] = pi. Это завершает доказательство. Результат этого упражнения взят из работы Cado- gan С. С. J. Combinatorial Theory (В) 11 (1971), 193- 200 (§3). Дальнейшие аспекты и обобщения см. в статье Calderbank A. R., Hanlon P., Robinson R. W. Proc. London Math. Soc. 53 (1986), 288-320. 7.89. а. Этот результат можно доказать непосредственно на основании принципа включения-исключения. Он равносилен перечислению примитивных ожерелий длины п в зависимости от числа появлений каждого цвета. В этой форме формула (7.149) появлялась в [130, теорема 7.2]. b. Это частный случай т = 1 упр. 7.88(a). c. Положите т = 1 в упр. 7.88(b). d. См., например, Lothaire М. Combinatorics on Words, Addi- son-Wesley, Reading, Massachusetts, 1983 (теорема 5.1.5), или [130, (7.4.1)]. e. Этот результат легко следует из предложения 1.3.1 ^. f. Например, этот результат является следствием теоремы 3.6 из работы Gessel I. М., Reutenauer С. J. Combinatorial Theory (А) 64 (1993), 189-215. *' Стандартным представлением перестановки 7Г называется такое ее разложение в произведение непересекающихся циклов, что (i) в каждом цикле первым пишется его наибольший элемент; (ii) циклы записываются в порядке возрастания их наибольших элементов. Пусть 7Г — слово (или перестановка), полученное из 7Г путем записи 7Г в стандартной форме и удаления скобок. Предложение 1.3.1 утверждает, что отображение л: вп —► вп является биек- цией. Если перестановка 7Г € 6П имеет к циклов, то 7Г имеет к максимумов при чтении слева направо. — Прим. перев.
Решения упражнений 679 g. Эта ключевая «теорема взаимности» появилась в работе Шарфа и Тибона (Scharf Т., Thibon J.-Y. Advances in Math. 104 (1994), 30-58 (замечание 3.11)). Более простое доказательство дал позднее А. М. Гессель (не опубликовано). h. Из пп. (f) и (g) получаем (*м, 5М) = ]P(La, Ю • (рл, 5М) = ]Р(рл, hp) • (LA, fy). а л Но ясно, что рл является m-положительной функцией. Значит (р\, hp) ^ 0. Кроме того, из п. (Ь) и теоремы А2.7 (приложение 2), утверждающей, что плетизм «-положительных симметрических функций s-положителен, вытекает, что L\ является s-положительной функцией. Следовательно, (La,5m) ^ 0. Поэтому (tM,Sn) ^ 0, что и требовалось. Этот результат был первоначально высказан в качестве гипотезы Стенли и доказан в цитированной выше работе Шарфа и Тибона (пример 3.15). 7.90. а. В заданной стандартной таблице т с D{r) С 5 заменим 1,2,... ,а\ на 1, заменим ai -f 1, ct\ -f2,... ,ai +«2 на 2 и т. д. Это дает полустандартную таблицу типа (ai,..., а^), и такое соответствие является биекцией. Ср. с обсуждением, предшествовавшим лемме 7.11.6. Ь. Пусть т' обозначает таблицу формы А'///, транспонированную к т. Условие г € D(r) равносильно условию г ^ £>(т'), т.е. £>(т') С {1,...,г-1,г+1,...,га-1}. Таким образом, согласно п. (а), число таблиц т формы \/ц с г € D(r) есть число Костки -Ка'/^',**, где а = (1,1,..., 1,2,1,..., 1). Но Ку/^^а не зависит от порядка элементов в а. 7.91. а. Первое утверждение непосредственно вытекает из тождества Коши (теорема 7.12.1). Аналогично, если F(t) = Пг>1(1 + х^)"> то из двойственного тождества Коши (теорема 7.14.3) вытекает, что sf = s\'{x). b. Непосредственное следствие п. (а) и теоремы 7.21.2. c. Обозначим F(t) через Fy^z{t). Заметим, что s^ есть многочлен P\(y,z) от у и z. Если у = 1 и z = qn, то задача сводится к п. (Ь). Так как многочлен от одной переменной полностью определяется своими значениями в любом бесконечном множестве точек, то отсюда следует, что равенство (7.150) имеет место для Fi^z(t). Теперь для произвольного многочлена F(t) положим G(t) = F(yt). Ясно,
680 Гл. 7. Симметрические функции что sf = yWef. Так как Fy,z(t) = Fhz/y{yt), то 1 _ £яс(и) f»'« = ,|lAl*f'-*/» = ,,lAUb(A) п ^i— sFr=»'v-" = у1 V(A) П т ие\ q1 h(u) 2ь(х) J- y~zqi Этот результат равносилен теореме IX из работы Little- wood D. Е., Richardson A. R. Quart. J. Math. (Oxford) 6 (1935), 184-198; он воспроизведен в [88, II, с. 125]), а также приведен в [96, пример 1.3, с. 45]. d. Примените гомоморфизм ip к тождеству Якоби-Труди (теорема 7.16.1). e. Очевидно, что (iii)=>(ii), поскольку функция е\ является 5-положительной по двойственному тождеству Якоби- Труди (следствие 7.16.2). Предположим, что верно (i), т.е. F(t) = Пт(1 + 7»*)? где каждое число 7г положительно. Тогда откуда следует, что (i) ==> (iii). Предположим, что верно (i). Ясно, что тогда коэффициенты многочлена F(t) есть неотрицательные вещественные числа. Обозначим корни F(t) через в\,..., вп и рассмотрим матрицу Вандермонда V = (0*)™~3О. Тогда V — вещественная матрица и А = VV1; поэтому А положительно полуопределена. Следовательно, (i) => (iv). Трудными импликациями являются (ii) => (i) и (iv) => (i). Первая из них равносильна фундаментальному результату из работы Айссена, Шёнберга и Уит- ни Aissen М., Schoenberg I. J., Whitney A. J. Analyse Math. 2 (1952), 93-103. Этот результат утверждает, что если ao,ai,...,am £ R5 то все нули многочлена F(t) = ao + ai^ + * * * + amtm в том и только в том случае являются неположительными вещественными числами, когда каждый минор бесконечной тёплицевой матрицы А = [o.j-i]ij^o (где мы полагаем а^ = 0, если к < 0 или к > т) неотрицателен. Для того чтобы увидеть связь с рассматриваемой задачей, предположим, что а0 = 1. Тогда а{ = е.(71, • • • 17т), где -7i~\ • • • > "7т1 — корни многочлена F(t). Согласно двойственному тождеству Якоби- Труди (следствие 7.16.2), всякий минор матрицы А есть
Решения упражнений 681 косая функция Шура «л/Дть • • • ?7ш)« Так как (по следствию 7.18.6 или теореме А1.3.1) косые функции Шура являются 5-положительными, то отсюда следует, что (ii) имеет место, если каждый минор матрицы А неотрицательный. Следовательно, из теоремы Айссена-Шёнберга- Уитни и того, что F(0) = 1, следует, что всякий корень многочлена F(t) является отрицательным вещественным числом. Приведенная выше формулировка теоремы Айссена- Шёнберга-Уитни в терминах симметрических функций в явном виде появилась, по-видимому, впервые в статье Stanley R. Discrete Math. 193 (1998), 267-286 (теорема 2.11). Обобщение на произвольные тёплицевы матрицы (не обязательно с конечным числом ненулевых диагоналей) было найдено в работах Edrei A. Canadian J. Math. 5 (1953), 86-94, и Trans. Amer. Math. Soc. 74 (1953), 367- 383, что дало доказательство гипотезы Айссена, Шёнберга и Уитни. Этот же результат был переоткрыт в контексте характеров бесконечной симметрической группы в статье Thoma Е. Math. Z. 85 (1964), 40-611}. Матрица, все миноры которой неотрицательны, называется вполне положительной (или иногда вполне неотрицательной) матрицей. Такие матрицы были предметом интенсивного изучения2^; см., например, работы Karlin S. Total Positivity, vol. 1, Stanford University Press, Stanford, CA, 1968; Ando T. Linear Algebra Appl. 90 (1987), 165-219; Stembridge J. R. Bull. London Math. Soc. 23 (1991), 422- 428; Kostant B. J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), 181-186; Brenti F. J. Combinatorial Theory (A) 71 (1995), 175- 218; Berenstein A. D. Fomin S., Zelevinsky A. Advances in Math. 122 (1996), 49-149; Окуньков А. Записки научи, семинаров ПОМИ 240 (1997), 167-230; см. также некоторые статьи в сборнике Total Positivity and Its Applications {Jаса, 1994), Mathematics and Its Applications *) Точнее, Тома использовал одну теорему Бибербаха (Bieberbach L.), эквивалентную теореме Эдреи и др. из работы Aissen М., Edrei A., Schoenberg I. J., Whitney А. Ргос. Nat. Acad. Sci. USA 37 (1951), 303-306. — Прим. ред. 2) Одними из первых, кто изучал вполне положительные матрицы, были Шёнберг (Schoenberg I. J. J. Analyse Math. 1 (1951), 331-374) и (независимо) Крейн и Гантмахер (Крейн М. Г., Гантмахер Ф. Р. Осцилляциоппые матрицы и ядра и малые колебания механических систем, М.-Л.: ГИТТЛ, 1950). Существенное развитие понятие вполне положительности получило в работах Pickrell D. Pacific J. Math. 150 (1991), 139-166, и Olshanski G., Vershik A. Amer. Math. Soc. Transl. (2) 175 (1996), 137-175, в которых оно использовалось для нахождения инвариантных мер на бесконечномерных группах. — Прим. ред.
682 Гл. 7. Симметрические функции 359, Kluwer, Dordrecht, 1996. Интересное обобщение теоремы Айссена-Шёнберга-Уитни-Эдреи-Тома см. в статье Kerov S., Okounkov A., Olshanski G. Internat Math. Res. Notices (1998), No. 4, 173-179. Эквивалентность (i)-(iii) наводит на мысль, что можно дать комбинаторное доказательство того, что некоторый многочлен F(t) имеет вещественные корни. Считая, что F(0) = 1, следует искать комбинаторную интерпретацию коэффициентов разложения произведения F(ti)F(t2) - • - по функциям Шура или элементарным симметрическим функциям, доказывая тем самым, что они неотрицательны. Пример такого рассуждения см. в упр. 7.47(i). Импликация (iv) => (i) является следствием результатов работ А. Гурвица, Э. Дж. Рауса, Ж. Ш. Штурма и других авторов о нулях многочленов. В явном виде она была впервые сформулирована, по-видимому, в книге Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, М., 1953 (гл. 15). Так как вещественная симметричная матрица (aij)^^ является положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда главные миноры det(a^)^J==1 неотрицательны, то условие (iv) дает (в дополнение к условиям на неотрицательность коэффициентов) п — 1 неравенств для коэффициентов многочлена F(£), которые являются необходимыми и достаточными условиями того, что все корни многочлена F(t) суть отрицательные вещественные числа. (При этом получается п — 1 неравенств вместо п, поскольку an = р£ = degF ^ О.)1^ 7.92. а. См. работу Stembridge J. R. Bull. London Math. Soc. 23 (1991), 422-428. Другое доказательство было позднее дано ^В работе: Вершик А. М., Керов С. В. Функц. анализ и прил. 15 (1981), вып. 4, 15-27, дано новое доказательство теоремы Тома о характерах симметрической группы, основанное на их аппроксимации неприводимыми характерами конечных групп («эргодический метод»). Это доказательство дает прямую интерпретацию нулям (и полюсам) соответствующих мероморфных производящих функций как частотам строк и столбцов растущих диаграмм. Любопытно, что оно дает также альтернативное доказательство теоремы о перечислении вполне положительных функций, которое можно было бы назвать комбинаторным или, точнее, аппроксимационным. Дальнейшие развитие вопроса см. в статьях Окуньков А. Ю. Записки паучн. семинаров ПОМИ 240 (1997), 167-230 (операторное доказательство); Окуньков А. Ю., Ольшанский Г. И. Алгебра и анализ 9 (1997), №2, 73-146; Kerov S., Olshanski G. С R. Acad. Sci. Paris 319 (1994), 121-126 (точная формула для относительных размерностей); Olshanski G., Regev A., Vershik A. In: /. Schur Memorial Conference (Rehovot, Israel, 2000), Progress in Math. 210, pp. 351-400 (функции Фробениуса-Шура). — Прим. ред.
Решения упражнений 683 в статье Kostant В. J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), 181-186. Отметим, что матрицы А из этого упражнения являются вполне положительными матрицами, обсуждавшимися в решении упр. 7.91(e). Ь. См. гипотезу 2.1 из работы Stembridge J. R. Canadian J. Math. 44 (1992), 1079-1099. Упражнение 7.111(d) является ее частным случаем. Еще более сильная гипотеза, использующая теорию Каждана-Люстига, была выдвинута в статье Haiman М. J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), 569-595 (гипотеза 2.1). 7.93. Пусть (Р, и>) обозначает помеченное ч. у. множество, являющееся объединением двух непересекающихся цепей t\ < • • • < tm и t[ < • • • < t'n с uj(U) = щ и u(tj) = Vj. Из определения обратного (Р, ш)-разбиения и из определения (7.95) функции Кр,и немедленно следует, что Кр,и = ^со(и) А;о(и) . С другой стороны, C(P,w) = sh(u, г>), и результат получается из следствия 7.19.5. 7.94. а. Сохраним обозначения упр. 7.93. Из этого упражнения следует, что O(LaL0) = Yl L^r wEsh(u,v) С другой стороны, wEsh(v,u) где v € 6n и й € 6[n+i,n+m] удовлетворяют условиям со(^) = J3 и со(гх) = а. Но тогда естественная биекция (р: sh(u, v) —» sh(v,u) удовлетворяет условию co(w) = co(ip(w)) для w € sh(u, v). Следовательно, Q(LaLp) = u){La)uj{Lp). Так как функции La образуют базис пространства Q, а и) — линейное отображение, то отсюда следует, что и) — эндоморфизм кольца Q. Так как и) является инволюцией, то это на самом деле автоморфизм. Теперь положим а = (1,1,..., 1) € Comp(n), а значит, а = (п). Тогда La = еп и L^ = hn. Следовательно, Q(en) = hn. Так как Q является автоморфизмом, то и)(е\) = h\ для всех Л € Par и, таким образом, а;|л = и). Ь. Первое доказательство. Если С: 6 = to < t\ < • • • < tk = 1 — цепь в Р, то положим f(C) = f(t(ht1)f(tut2)'-f(tk-1,tk).
684 Гл. 7. Симметрические функции Кроме того, для а = (ai,...,afc) £ Comp(n) через Са обозначим множество всех цепей 0 = to <ti < ••• <tk = l из Р, для которых p{U) — p(U-\) = оц. Следовательно, *>-' = Е Е гЧс)ма, aGComp(n) СЕСа где функция Ма задана формулой (7.87). Теперь положим / = 1 + #, так что /_1 = 1 — # + д2 . Тогда ГХ(С) = (1-д+д2- • • • )(t0,ti) • • • (1-9+92- ''' )(**-ьtk) = £ (-1)£№)/р), DhC где D УС означает, что D — цепь, измельчающая цепь С, a ^(D) обозначает длину цепи D. Следовательно, *>-= Е Е Еи>адЖ' aGComp(n) CeCQ £>^С Теперь сначала просуммируем по D. Если D G С/?, то а удовлетворяет условию Sa £ 5/?. Кроме того, ^(D) = #5/?. Таким образом, мы получаем *>- = Е Е (-d#sW) Е м« /?GComp(n) ЯеС/з a:SaCS(3 = Е Е (-d#sW) /?GComp(n) ЯеС^ x E E (-D^-^cocr, a:5QC5^5aCTC[n-l] (последнее равенство имеет место в силу (7.91)). Пусть Т = [п — 1] — Т. Из п. (а) получаем QFf-> = Е Е (-i)#s'/P) /?eComp(n) яес^ х Е Е (-1)#(г-^со(г) a:5aC5^5aCTC[n-l] = Е Е (-i)#5w) /?GComp(n) jDgC^ х Е w> Е (-1)#0,-ад. TC[n-l] aiSaCS^flT
Решения упражнений 685 Но У (_!)#(r-se) = |(-1)#Т. если 5/з ПГ = 0, «s^nr 1° в ПР°ТИВН0М ^У4^- Так как Sp П Г = 0 в том и только в том случае, когда 5/з С Т, то **>-*= Е Е^1)*5'^) Е (-i)n-#%o(f) /?GComp(n) jDGC/з S0CTC[n-l] = (-!)" Е E/(D)Mco(/J) (по (7.91)) /?GComp(n) jDGC^ =(-!)"*>, что завершает доказательство. Набросок второго доказательства. Пусть га € Р. Из соответствующих определений непосредственно следует, что Ffm(x) = Ff(mx), (7.188) где тх обозначает мультимножество переменных, состоящее из га экземпляров х\, га экземпляров х^ и т. д. (в таком порядке). Если для некоторой функции G € Qn мы разложим G(mx) по некоторому базису пространства Qn, то коэффициенты будут многочленами от га. Используя базис {La}, можно показать, что, положив т = — 1, мы получим (—l)nQ(G). (Ср. с формулой (А2.12) из приложения 2.) Аналогично, если левую часть равенства (7.188) разложить по некоторому базису пространства Qn, то коэффициенты будут многочленами от ш, и подстановка га = — 1 дает Fj-i(x). Для завершения доказательства положим в равенстве (7.188) га = — 1. 7.95. а. Это непосредственное обобщение леммы 7.23.3. Рассматривая Ps как косой крюк Ва, мы видим, что перестановка v € 6П принадлежит C(Ps,uw) в том и только в том случае, когда Wi+i следует за W{ в г>, если W{ находится слева от Wi+i в той же самой строке, и wi+\ предшествует wi в v, если Wi находится ниже Wi+i в том же столбце. Нетрудно видеть, что это условие равносильно тому, что D(wv~1) = S. b. Множество Ar(Ps,uw) обратного (Р^ил^-разбиения зависит от 5 и от множества тех пар (и,v) € Ps х Ps, для которых и < v и u>w(u) > ujw(v). Это множество пар, в свою очередь, зависит только от D(w). Значит, по следствию 7.19.5 мультимножество М = {D(v) : v € C(Ps,ww)} зависит только от 5 и D(w). Согласно п. (а),
686 Гл. 7. Симметрические функции имеем М = {D(v) : D(wv~1) = 5}. Положив и = wv~1, получим, что число тех u,v, для которых D{u) = S, D{v) = Т и uv = w, зависит только от 5, Т и D(w), что и требовалось. Этот результат можно следующим образом сформулировать в алгебраической форме. В групповой алгебре Q&n группы 6П для каждого 5 С [п — 1] положим Bs= Yl w' w:D(w)=S Тогда алгебра Z>n, порожденная элементами £$, совпадает (как множество) с их линейной оболочкой. Другими словами, dimX>n = 2n_1. Алгебра Vn называется алгеброй спуска группы 6П и обладает многими замечательными свойствами. Впервые она была определена для произвольной конечной группы Кокстера в работе Solomon L. J. Algebra 41 (1976), 255-268. Связь между алгебрами спуска и квазисимметрическими функциями см. в статье Malvenuto С, Reutenauer С. J. Algebra 177 (1995), 967-982. Приведенное здесь доказательство того, что dimZ>n = 2n_1, принадлежит А. М. Гесселю. Хорошим источником по алгебрам спуска является [130, гл. 9]. 7.96. В неявном виде этот результат появляется в работе Gar- sia А. М., Reutenauer С. Advances in Math. 77 (1989), 189-262 (теорема 4.4). 7.97. а. Из четырех соотношений, начинающихся с (7.98), следует, что F(x) = £*И+1«1-|А| = х-'(£>1р|) (5>,9|\ P,Q ^ Р ' ^ Q ' где Р пробегает все обратные полустандартные таблицы Юнга формы А с наибольшим элементом, не превосходящим с, a Q пробегает все обратные полустандартные таблицы Юнга формы А с наибольшим элементом, не превосходящим г. Таким образом, сумма по Р есть просто s\(x,ж2,... ,жг), а сумма по Q есть s\(x,x2,... ,жс), что завершает доказательство. Ь. Доказательство аналогично доказательству п. (а); используйте соответствие 7г «-► сг, определенное во втором доказательстве теоремы 7.20.4. 7.98. а. Эту формулу можно доказать, обобщая доказательство теоремы 7.22.1 (алгоритм Гиллмана-Грассла). См. работу Gansner Е. R. J. Combinatorial Theory (А) 30 (1981), 71-89 (теорема 5.1). Ь. См. упомянутую выше работу (теорема 6.1).
Решения упражнений 687 7.99. Из доказательства теоремы 7.20.1 имеем £,n^0 a,ij где каждый индекс ац при i,j ^ 1 пробегает множество N. Подстановка q/x вместо q дает t,n^0 a>ij Условие n ^ t принимает вид Y^(i + J ~ 2)a>ij ^J2aiJ> или, эквивалентным образом, an > ^ (*+•? ~3)au> где ]Г означает, что слагаемое при (i,j) = (1,1) опускается. Следовательно, Y, Kt(n + t)qlxn = ]£ дЕаужЕ(^-2)ау °<n^* oii^E'Ci+j-sjoy 1-0 " aii:(t,i)^(l,l) = An'(E(^)(i+i-2)-) --L-ТГ - l-gll 1 - (дж)^'-2 1 - а Л1 (1 - (^ nVi(1~(9x)fc)fc+r Отсюда непосредственно следует требуемое утверждение. Этот результат был впервые доказан (при помощи более сложного метода) в работе Stanley R. J. Combinatorial Theory (A) 14 (1973), 53-64 (следствие 5.3(v)). Результат этого упражнения равносилен формуле п Kt(n + t) = ^2р(к)а(п -к), О ^ п < t, к=0 где р(к) обозначает количество разбиений числа к, а а(п — к) — количество плоских разбиений числа п — к. Имеется ли прямое биективное доказательство?
688 Гл. 7. Симметрические функции RSK 7.100. а. Пусть А —► (Р, Q). Предложение 7.23.10 дает нам первую строку таблицы Р. Теорема 7.23.16 позволяет описать первый столбец таблицы Р непосредственно в терминах матрицы А. Затем, используя теорему 7.13.1, мы также можем описать первый столбец таблицы Q в терминах А. Это все составные части, необходимые для доказательства. Детали мы опускаем. b. Результат п. (а) точно так же применяется к «обратному» варианту алгоритма RSK, который использовался в доказательстве теоремы 7.20.1. Следовательно, объединенные (как описано в доказательстве теоремы 7.20.1) плоские разбиения 7г(Р, Q) и 7г(Р', Q') будут иметь один и тот же первый столбец, а значит, строчно сопряженные к ним плоские разбиения 7г'(Р, Q) и 7г'(Р',Q') будут иметь одну форму. Другими словами, форма sh(7r') зависит только от носителя supp(^). Так как для соответствия А •—► 7г' мы имеем tr(7r/) = ^ aij ? то отсюда следует, что имеется набор S конечных подмножеств множества Р х Р, таких, что выполнено следующее условие: sh(7f') С А и tr(7r/) = п тогда и только тогда, когда supp(A) 6 <S и ^а^ = п. Если 5 С Р2 и #5 = к, то число N-матриц с носителем S и суммой элементов, равной п, есть просто количество разложений числа п на к частей, т.е. ("ZJ). Таким образом, '»<->-£(£■-.)• что является многочленом от п. Зная, что t\(n) есть многочлен, можно несколькими способами показать, что его степень равна |Л| — 1. Например, теорема 4.5.4 или более общее следствие 7.19.5 позволяет выразить производящую функцию ^n t\(n)xn в виде суммы /Л рациональных функций вида ха/(1 — xbl) • • • (1 — жЬт), где А Ь га, откуда немедленно следует, что deg ^л = |А| — 1. См. работу Gansner Е. R. Illinois J. Math. 25 (1981), 533-554. c. Из доказательства теоремы 7.20.1 видно, что условие, что 7г' вкладывается в прямоугольник размера а х 6, равносильно тому, что max{j : (i,j) € supp(A)} ^ b и тах{г : (h J) € SUPP(^4)} ^ °" Следовательно, t(ba)(n) равно числу N-матриц размера a x 6, сумма элементов которых равна п, а это просто (^-Т*) * 7.101. Формула (7.151) была приведена без доказательства (и с опечаткой) в работе Stanley R. In: Combinatoire et Representation du Groupe Symetrique (Strasbourg, 1976), Lecture Notes in
Решения упражнений 689 Math. 579, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1977, pp. 217-251 (теорема 4.3(b)). Первое доказательство дал Проктор (Proctor R. A. In: Lie Algebras and Related Topics (D. J. Britten, F. W. Lemire, and R. V. Moody, eds.), CMS Conf. Proa, vol. 5, American Mathematical Society, Providence, RI, 1986, pp. 357-360; Inv. Math. 92 (1988), 307-332 (следствие 4.1). На самом деле Проктор доказал случай d = 1 формулы (7.152), а затем сформулировал (сразу после следствия 4.1) равенство (7.152) в полной общности. Доказательство Проктора было основано на теории представлений; на самом деле число /п(ш) есть размерность неприводимого представления симплектической группы Sp(2(n — 1),С) (или алгебры Ли sp(2(n — 1),С)) со старшим весом mAn_i, где An_i обозначает (п— 1)-й фундаментальный вес. (См. также упр. 6.25(c).) Проктор доказал более общий случай d = 1 формулы (7.152), также используя теорию представлений. Однако если число М — £ четно, это требует построения неполупростого аналога sp(2n -f 1,С) симплектической алгебры Ли sp(2n, С). Неопубликованное доказательство Проктора общего случая формулы (7.152) использует совершенно иную технику, а именно, вычисление в случае q = 1 детерми- нантной формулы Мак-Магона (MacMahon P. A. Phil. Trans. Royal Soc. London (A) 211 (1911), 345-373 (c. 367); Collected Works, vol. 1 (G. E. Andrews, ed.), MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978, pp. 1406-1434 (c. 1428)) для многочлена Sti- ^Г'7Г' 5 гДе суммирование ведется по всем плоским разбиениям произвольной формы /х, допускающим нули в качестве частей. Впоследствии более простое доказательство было дано в работах Краттенталера (Krattenthaler С. Manuscripta Math. 69 (1990), 173-202, и Krattenthaler С. In: Number- Theoretic Analysis (H. Hlawka and R. F. Tichy, eds.), Lecture Notes in Math. 1452, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1990, pp. 121-131) (однако в частном случае формулы (7.152) Краттенталер не формулировал результат в той принадлежащей Проктору элегантной форме, которую мы привели). Дальнейшие приложения теории представлений к перечислению плоских разбиений см. в статье Proctor R. А. Europ. J. Combinatorics 11 (1990), 289-300. 7.102. а. Из теоремы 7.21.2 и следствия 7.21.3 имеем *А,п(д) = 5л(1,д,...,дп), а эта функция, очевидно, обладает требуемыми свойствами.
690 Гл. 7. Симметрические функции Из тождества Якоби-Труди (теорема 7.16.1), применяя специализацию hi(l,q,...) = 1/[г]! (где [г]! = (l-q)(l-q2) • • • (1 — дг)), получаем = П(1-«"+*')>- £^П [A» -/xw(i) -* + и;(г)]! ' Нетрудно видеть, что Отсюда следует, что t *"=*'(U-XA-^))- <7Л89) Доказательство теперь завершается прямолинейным применением теоремы 2.7.1 ^. На самом деле равенство (7.189) есть специализация принадлежащего А. М. Гесселю и появившегося в работе Wachs М. L. J. Combinatorial Theory (А) 40 (1985), 276-289 (теорема 3.5), результата, называемого «тождеством Якоби-Труди для флаговых функций Шура». Доказательство, которое мы только что дали, принадлежит X. Л. Вольфгангу (частное сообщение от 13 ноября 1996 г.). Вариант доказательства, основанный на теории многочленов Шуберта, появился в работе Billey S. С, Jockusch W., Stanley R. J. Alg. Combinatorics 2 (1993), 345-375 (теорема 3.1). Имеется ли «хорошее» биективное доказательство?2^ 7.103. а. Этот результат был высказан в качестве гипотезы И. Мак- дональдом и доказан в работе Stembridge J. R. Advances in Math. Ill (1995), 227-243. b. Этот результат был высказан в качестве гипотезы Д. П. Роббинсом и Р. Стенли и доказан в работе Andrews G. Е. J. Combinatorial Theory (А) 66 (1994), 28-39. х) Формулировку теоремы см. в примечании переводчика в начале разд. 7.16. — Прим. перев. 2) «Хорошее» комбинаторное доказательство, о котором шла речь, появилось в работе Rubey М. A nice bijection for a content formula for skew semistandard Young tableaux, http: //front.math. ucdavis. edu/math/CO/001099. Доказательство основано на игре «15». — Прим. автора при переводе.
Решения упражнений 691 Оба пп. (а) и (Ь) (а также теорема 7.20.4 и упр. 7.106(b)) являются частью области комбинаторики, посвященной перечислению классов симметрии плоских разбиений. Обзор этой области (написанный в то время, когда большинство нынешних теорем были гипотезами) см. в работе Stanley R. J. Combinatorial Theory (A) 43 (1986), 103-113; Erratum, 44 (1987), 310. Все десять классов симметрии, обсуждавшихся в этой статье, теперь перечислены, однако задача о g-перечислении вполне симметричных плоских разбиений (т. е. плоских разбиений из п. (а)) остается открытой. См. последующие ссылки в недавней работе Kuperberg G. J. Combinatorial Theory (A) 75 (1996), 295-315. Увлекательный обзор чисел B(r) из п. (b) см. в статье Robbins D. P. Math. Intelligencer 13 (1991), 12-19. c. Этот интригующий и удивительно сложный результат был высказан в качестве гипотезы в работах Mills W. Н., Robbins D. P., Rumsey Н., Jr. Inv. Math. 66 (1982), 73- 87 (гипотеза 1), и J. Combinatorial Theory (A) 34 (1983), 340-359 (гипотеза 1). Он был впервые доказан в статье Zeilberger D. Electron. J. Combinatorics 3 (1996), R13; эта статья также опубликована в сборнике The Foata Festshrift (J. Desarmenien, A. Kerber, V. StrehL eds.), Imprimerie Louis-Jean, Gap, France, 1996, pp. 289-372. Упрощенное доказательство позднее дал Куперберг (Kuperberg G. Internat. Math. Res. Notices, No. 3 (1996), 139-150). Дальнейшую информацию об этом результате см. в упоминавшейся в п. (Ь) статье Роббинса. См. также учебник Bressoud D. М. Proofs and Confirmations: the Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, Cambridge University Press, 1999, посвященный классам симметрии плоских разбиений, монотонным треугольникам и связанным с ними вопросам. d. Если w — w\ • • • wn € &п, то свяжем с w монотонный треугольник mt(w) = (aij(w))i<^j<^n, строка г которого состоит из чисел wi,W2,- •. ,wn_i+i в возрастающем порядке. Как показано в работе Ehresmann С. Ann. Math. 35 (1934), 396-443 (§20), множество {mt(w) : w € 6n}, упорядоченное покомпонентно, изоморфно множеству Рп. Для данных треугольных таблиц а = (а^) и b = (bij) назовем их нижней гранью а Л b треугольную таблицу (min{aij, bij}). Нетрудно проверить, что множество всех таблиц, полученных при помощи последовательного взятия нижних граней треугольных таблиц mt(w), w G 6n,
692 Гл. 7. Симметрические функции совпадает с множеством монотонных треугольников. Следовательно, L{Pn) является пополнением множества Рп, и нетрудно проверить, что на самом деле это есть пополнение Макнила. Удивительная формула #L(Pn) = М(п) взята из статьи Lascoux A., Schutzenberger М. P. Electron. J. Combinatorics 3 (1996), R27; эта статья также опубликована в сборнике The Foata Festshrift (J. Desarmenien, A. Kerber, V. Strehl, eds.), Imprimerie Louis-Jean, Gap, Prance, 1996, pp. 653-685. Отметим также неожиданный факт, что L(Pn) является дистрибутивной решеткой. 7.104. Это результат из работы Wright Е. М. Quart. J. Math. (Oxford) (2), 2 (1931), 177-189. 7.105. Да, если п < 14, но не для п = 14; примером служат А = (5,5,2,1,1) и ц = (4,4,3,1,1,1). Эти результаты принадлежат Л. А. Шеппу (частное сообщение, 1975). 7.106. а. Непосредственное применение правила Литтлвуда-Ри- чардсона (приложение 1, разд. А 1.3) дает sl = /^ S^c+Xl,c+X2^.,c+Xr,c-Xr,c-Xr-1,...,c-X1)' (7.190) AC(c-) Можно также дать прямое биективное доказательство, использующее игру «15» (по сути, это доказательство правила Литтлвуда-Ричардсона в частном случае s£); см. статью Stanley R. J. Combinatorial Theory (A) 43 (1986), 103- 113; Erratum, 44 (1987), 310. b. Пусть 7г есть (2r, 2c, 2t) -самодополнительное плоское разбиение. Добавим 2r — г к каждому элементу строки г из 7Г и получим полустандартное обратное плоское разбиение а формы ((2с)2г), допускающее нули в качестве частей, с наибольшей частью, не превосходящей 2r + 2t — l. Пусть т — подтаблица в сг, состоящая из всех элементов, меньших г -f t. Тогда т есть повернутая полустандартная таблица Юнга (допускающая нули в качестве элементов) с наибольшим элементом, не превосходящим r+t — 1, причем ее форма совпадает с одним из разбиений /i, для которых слагаемое sM входит в сумму в формуле (7.190). И наоборот, для такой заданной полустандартной таблицы Юнга можно обратить шаги этой процедуры и получить (2r, 2с, 2t) -самодополнительное плоское разбиение. Отсюда следует, что G(2r,2c,2t) = s{cr)(lr+t)2. Но S(cr)(lr+t) = F(r, с, t), поскольку полустандартную таблицу Юнга (допускающую элементы, равные 0), у
Решения упражнений 693 которой число строк не превосходит г, число столбцов не превосходит с и наибольший элемент не превосходит r + t — 1, можно превратить, вычитая г — г из элементов строки г и поворачивая на 180°, в плоское разбиение, у которого не более г строк, не более с столбцов и наибольшая часть не превосходит г + t. Следовательно, мы получим формулу (7.153). Аналогичным образом можно получить равенства G(2r + 1,2с, 2«) = F(r, с, t)F(r + 1, с, t), G(2r + 1,2с + 1, t) = F(r + 1, с, t)F(r, с + 1, t). Эти результаты взяты из цитированной выше работы Стенли (формулы (За)-(Зс)). 7.107. а. Пусть /Лп1 обозначает разбиение, диаграммой которого является квадрат размера п х п (для достаточно большого п) с удаленной из нижнего правого угла диаграммой /i. В силу упр. 7.41 Sfj,ln]\Xll • • • 1Хп) = \Х1 * * * Хп) Sfl\X\ ? • • • ? Хп )' Положим Хг = дг-1. Из теоремы 7.21.2 получаем, что I _ qn+c(u) i_ q-n-c(v) як 11 i_oM«) 11 1- -ь(«) для некоторого к Е Z. Правая часть равна gm JJ ^J? />м для некоторого га Е Z; поэтому vG^ *-m тт 1-дя+с(ц)=тт1-дя+сМ 9 11 1_аЛ(«) 11 l-qh(v) ' Подстановка q = 0 показывает, что к — т = 0. Теперь нетрудно заметить, что при п —» оо что завершает доказательство. Биективное доказательство этого упражнения дал Д. Уайт (частное сообщение). Мы дадим набросок другого такого доказательства, найденного в соавторстве с
694 Гл. 7. Симметрические функции К. Бессенродт. Оно использует кодирование разбиений II двоичными последовательностями См, объясненное в упр. 7.59. Рассматривая последовательности См и Сл^ и используя упр. 7.59(a), мы видим, что необходимо дать биективное доказательство следующего утверждения. Лемма. Пусть С — двоичная последовательность ... c-\CqC\ ..., начинающаяся с бесконечной последовательности нулей и заканчивающаяся бесконечной последовательностью единиц. Для каждого р ^ 1 через гр(С) обозначим количество целых чисел i, таких, что С{ = О и Ci+p = 1, а через sp{C) —количество целых чисел г, таких, что Ci = 1 и С{+р = 0. Тогда rp(C) =р + sp(C). Доказательство. Заметим сначала, что случай р = 1 легко доказать биективно. Но, применяя случай р = 1 к каждой из подпоследовательностей CJ = {cPi+j}ieZi где 0 < j < р, мы получаем требуемое утверждение. D Бессенродт заметила, что данное упражнение равносильно утверждению о том, что для всякого р ^ 1 число способов добавить к диаграмме fi косой крюк размера р в точности на р больше, чем число косых крюков размера р в /i. Отметим, что случай р = 1 есть известный факт (см. упр. 3.22(c)) о том, что в решетке Юнга число элементов, покрывающих /i, на 1 больше числа элементов, покрываемых /i. Тогда общий случай следует из изоморфизма Yp^0 -^ YP из упр. 7.59(e). См. связанную с этим упражнением работу Bessenrodt С. Annals of Combinatorics 2 (1998), 103-110. Слабое обратное плоское разбиение формы /i'nl, повернутое на 180°, — это просто косое плоское разбиение формы (nn)/fi. Следовательно, по теореме 7.22.1 1 Е qH Пие<пп>дЛМч)] " Теперь устремим п к бесконечности и применим п. (а). с. Такое доказательство приведено в работе Kadell К. J. Combinatorial Theory (А) 77 (1997), 110-133 (§6). 7.108. Единственным разбиением числа p + q на q частей с наибольшей частью, равной р, является (р, 2,19-2). Следовательно, в силу теоремы 7.23.13 [ 0> + g)i I2 Lpg(p + «-l)(p-2)!(«-2)lJ ' 7.109. а. Непосредственно вытекает из следствия 7.23.12. F(p,q) = (f^l4-y
Решения упражнений 695 b. Этот результат был впервые доказан Хаммерсли в работе Hammersley J. М. In: Proc. Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, vol. 1, University of California Press, Berkeley-Los Angeles, 1972, pp. 345-394 (теорема 4), с применением субаддитивной эргодической теории. С. ДЛЯ W = W\W2 • • • Wn € &п ПОЛОЖИМ Wr = Wn • • • W2W1. Из примера 7.23.19(a) следует, что is(w) • is(wr) ^ п. Следовательно, применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем Ew = k\l E(isH+isK)) w€Gn we&n we&n что завершает доказательство. Используя более изощренное рассуждение, Хаммерсли в цитированной выше работе (с. 360) показал, что а ^ 7г/2 = 1.57..., и объяснил, как эта оценка может быть улучшена до оценки y/S/7T = 1.59... (независимо полученной также Д. Блеку- эллом). d. Число подпоследовательностей длины к перестановки w € <5п есть (£), и вероятность того, что выбранная из них подпоследовательность возрастает, равна 1/к\. Следовательно, вероятность того, что is(w) ^ к, не может превосходить £j (£), и доказательство завершается правильным применением формулы Стирлинга. Это рассуждение принадлежит Хаммерсли (см. теорему б из цитированной работы). e. Этот результат независимо доказан в работах Logan В. F., Shepp L. A. Advances in Math. 26 (1977), 206-222, и Вер- шик А. М., Керов С. В. Докл. АН СССР 233 (1977), 1024- 1027. f. Грубо говоря, основной вклад в сумму в левой части равенства (7.154) вносят слагаемые, индексируемые разбиениями А, «близкими» к Ап. Кроме того, поскольку Х)анп(/Л)2 = п* и число слагаемых в этой сумме мало по сравнению с п!, мы видим, что (/лп)2 «близко» к п\. Таким образом, наибольшая часть (An)i разбиения Ап «близка» к ау/п. Так как \imx-+o f(x) = 2, то отсюда следует, что асимптотически (An)i не меньше, чем 2^,
696 Гл. 7. Симметрические функции а значит, а ^ 2. Строгое изложение этого рассуждения см. в двух упомянутых в п. (е) работах. См. цитированную выше работу Вершика и Керова. Впоследствии много работ было посвящено оцениванию Е(п) и описанию Ап, а также тесно связанной с этим задаче нахождения «типичной» формы перестановки w € 6п (т. е. формы стандартной таблицы Юнга Р или Q, получающейся из w в результате применения алгоритма RSK). См., например, работы Kerov S. V., Vershik А. М. SIAM J. Alg. Disc. Meth. 7 (1986), 116-124; Steele J. M. In: Discrete Probability and Applications (Minneapolis, MN, 1993), IMA Vol. Math. Appl. 72, Springer-Verlag, New York, 1995, pp. 111-131; Aldous D., Diaconis P. Probab. Theory Related Fields 103 (1995), 199-213; Kim J. H. J. Combinatorial Theory (A) 76 (1996), 148-155; Seppalainen T. Electron. J. Probab. 1 (1996), No. 5; Bollobas В., Janson S. In: Combinatorics, Geometry and Probability (Cambridge, 1993), Cambridge University Press, Cambridge, 1997, pp. 121-128; Baik J., Deift P., Johansson K. J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), 1119-1178. В последней статье Байка, Дейфта и Йоханссона был доказан следующий замечательный результат. Пусть и(х) — единственное решение уравнения Пенлеве типа II ихх = 2и3 -Ь хи и и ~ А\(х) при х —» оо, где К\(х) есть функция Эйри. Пусть Ln обозначает длину наибольшей возрастающей подпоследовательности случайной перестановки w € 6П • Тогда lirn^Prob (Ln~y*^t\ =exp(- Г(х - t)2u(x)2dx В частности, дисперсия величины Ln есть п1/3, с точностью до явной мультипликативной константы1). х) Вслед за работой Байка, Дейфта и Йоханссона в работе Borodin А., Okounkov A., Olshanski G. J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), 481-515, был дан новый вывод этого глубокого результата, основанный на совсем других идеях, не связанных с проблемой Римана-Гильберта, но использующих тонкую асимптотику меры Планшереля и точечные процессы (еще одно близкое доказательство дано в работе Okounkov A. Selecta Math., New Ser. 7 (2001), 1-25). Появление n1/6 вместо предполагавшегося многими п1/4 и несимметрия предельного распределения заставили думать о новом типе универсальных предельных распределений, совершенно непохожих на гауссовские. В настоящее время имеется целый ряд задач подобного типа. Следует упомянуть, что указанные асимптотические проблемы объединились с задачами о предельных спектрах случайных матриц (см., например, Tracy С. A., Widom Н. Сотт. Math. Phys. 207 (1999),
Решения упражнений 697 7.110. Из формулы (7.96) следует, что m>0 * = £( £ *d(T)> A vshT=A 7 q A m^O = ^5>т5>Л-*А(1-<?,...,1-<г) q ^4 ll(l-Xi(l-q))m' последний шаг использует тождество Коши (теорему 7.12.1). Заметим, что Следовательно, „ 1-9 1 E^oU-e)"*» 9 ^g^U)».. we^u-?)-1*» (7.191) Теперь заметим, что из вида производящей функции для многочленов Эйлера, приведенной в упр. 3.81(c), следует, что 1^ х1 _ (1-д)е(-1-^х е*1-^* «£? «~ i-**-«>• "i-sE^d-^f Полагая H(z) = J2n>o sn^"j можно переписать правую часть формулы (7.191) в виде (l-g)ff(l-g) l-qH(l-q) * Из формулы (7.162) получаем H{z) = exp (pi z + р2 у + • • •); 665-685; Deift P. Orthogonal Polynomials and Random Matrices: a Riemann- Hilbert Approach, Courant Lecture Notes in Math. 3, New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, 1999; Borodin A., Okounkov A., Olshanski G., цит. выше, и др). — Прим. ред.
698 Гл. 7. Симметрические функции поэтому Разложение на основании мультиномиальной теоремы показывает, что коэффициент при р\ равен z^q-1(l-q)n-eAe(q)px, что и требовалось. Это рассуждение найдено в соавторстве с А. М. Гесселем. 7.111. а. Имеем X = &п. Следовательно, формула Zx = n\hn равносильна формуле (7.22). Ь. Пусть Yi = {w G &п '• w{n) = г}. Ясно, что Zyx = Zy2 = • • • = Zyn_1, тогда как из п. (а) имеем Zyn = (п— 1)! hn-ihi. Но п\ hn = Z[n]x[n] = ZYl-\ h Zyn, а значит, Zx = Zin]x[n]-ZYl = n\hn -(n!/in-(n-l)!/in_i/ii) J J n— 1 = n{n-2)(n-2)\hn + (n-2)\hn-ihi. с /i-положительность функции Zx равносильна упр. 7.47(1) для случая, когда дополнение к G— двудольный граф. См. ссылки в решении этого упражнения. Кроме того, из его решения следует, что единственными функциями h\, которые появляются в разложении функции Zx, будут функции вида hjhn-j. d. Этот результат равносилен частному случаю упр. 7.47(j), когда Р является также (2 -Ь 2)-свободным. (Кроме того, это частный случай упр. 7.92(a)). См. работу Stanley R., Stembridge J. R. J. Combinatorial Theory (A) 62 (1993), 261-279 (§5). Результат более слабый, чем s-положитель- ность функции Zx, следует из упр. 7.47(h), а также из упр. 7.92(a). e. Положим к = 3, х^ = х, х^ = у, pi(x^) = 0, РгО*^) = Рз(#^) = * * * = 15 wi = v и W2 = w в формуле (7.144). Используя формулу (7.173), получим J2Hx^Sx^Sx^ = ~] Yl Pp(v)(x)pP(w)(y)- л\~п vw€\Dn
Решения упражнений 699 Следовательно, так как (рм,р^) = z^S^, то %вЛх) = \ — YlHxdxSx(x)Sx(y^pp(w)(y4 ' где ( , )у обозначает, что скалярное произведение вычисляется только по переменным у. Так как ра = J2\ XX(a)sx (следствие 7.17.4) и /Л = п\/Н\ (следствие 7.21.6), то Zb„ = ^(/А)-^лХАН5А, АЬп что и требовалось. Эта формула принадлежит Оказа- ки (Okazaki S. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1992 (теорема 1.2)). f. Легко следует из п. (е) и упр. 7.63(b). См. цитированную выше работу Оказаки (теорема 1.6). Отметим, что из этого результата следует, что Zbw является s-положительной функцией, если w есть n-цикл. В общем случае функция Zbw не обязательно будет s-положительной; например, если w = id € 62, то Zbw = s2- 5ц. 7.112. а. Пусть G — подгруппа в 6П, порожденная п-циклом (1,...,п). Ожерелье с бусинами из алфавита А есть в точности орбита действия группы G на Л'п1, где Л'п1 — множество функций [п] —► А. Тогда по следствию 7.24.6 имеем N(k,ri) = - J2kcM- weG Так как в G имеется ф{а1) элементов циклового типа (dn/d), это завершает доказательство. Перечисление (7.155) ожерелий принадлежит Мак-Магону (MacMahon Р. А. Ргос. London Math. Soc. 23 (1892), 305-313 (с. 308); In: Collected Papers (G. E. Andrews, ed.), MIT Press, Cambridge, 1978, pp. 468-313), и является предшественником перечислительной теории Пойа. Мак-Магон упоминает, что перечисление ожерелий в соответствии с числом бусин каждого цвета (и, следовательно, включающее п. (Ь) в качестве частного случая) ранее независимо получили М. Е. Яблонский и М. Моро. Ь. По теореме 7.24.4 нас интересует коэффициент при х^х^ в 2g(pi,P2, ...) = — Y, <КФТ/Л- d\2n
700 Гл. 7. Симметрические функции Нетрудно видеть, что этот коэффициент есть просто 7.113. Пусть V есть р-элементное множество, a G — группа перестановок множества S = (2), индуцированных, как в примере 7.24.2(b), перестановками множества V. Из примера 7.24.3(b) имеем (S) X>(p)g' = ZG(l,g). г=0 В силу формулы (7.120) н$ где а\ е N. По упр. 7.75(c) каждый из s\(l,q) является симметричным и унимодальным многочленом с центром симметрии, равным \ (?J). Следовательно, то же самое верно и для Zg(1,^), что завершает доказательство. Этот результат (в более общем виде, который можно доказать точно так же, как выше) содержится в работе Livingstone D., Wagner A. Math. Z. 90 (1965), 393-403. Дальнейшие ссылки и обобщения см. в работах Stanley R. Ann. New York Acad. Sci. 576 (1989), 500-535 (в особенности теорема 10), и Stanley R. Discrete Appl. Math. 34 (1991), 241-277 (§3).
Приложение 1 к гл. 7 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КНУТА, ИГРА «15» И ПРАВИЛО ЛИТТЛВУДА-РИЧАРДСОНА С. В. Фомин В этом приложении изучается несколько комбинаторных конструкций, использующих стандартные таблицы Юнга, что приводит к доказательству правила Литтлвуда-Ричардсона, комбинаторного правила, описывающего коэффициенты разложения произвольных косых функций Шура (или произведения двух обычных функций Шура) по функциям Шура. Большая часть излагаемого ниже материала может быть непосредственно перенесена на полустандартные таблицы Юнга. Для того чтобы упростить изложение, мы не делаем этого здесь. А1.1. Эквивалентность Кнута и теорема Грина Алгоритм RSK w ^5 (Р, Q) связывает с перестановкой w G 6П пару стандартных таблиц Юнга: записывающую таблицу Р и нумерующую таблицу Q\ эти таблицы имеют одну и ту же форму sh(w). В этом разделе мы изучим следующие вопросы. • При каких условиях две перестановки имеют одну и ту же форму sh(w)? • При каких условиях две перестановки имеют одну и ту же записывающую таблицу Р? Ответ на первый вопрос использует специальное семейство описываемых в терминах ч. у. множеств инвариантов перестановок. Отношение эквивалентности, возникающее во втором вопросе, можно описать в терминах некоторых элементарных преобразований, которые меняют три последовательных элемента перестановки. Сначала мы сформулируем эти два результата, а оставшуюся часть раздела посвятим их доказательству. Для перестановки w = w\ • • • wn G 6n и числа к G N обозначим через Ik = Ik(w) наибольшее число элементов в объединении к возрастающих подпоследовательностей перестановки w. Аналогично, пусть D\ — наибольший размер объединения I убывающих подпоследовательностей перестановки w. Например, для w = 236145 G 66 имеем /0 = О, Д = 4, I2 = h = • • • = 6, D0 = О, Di = 2, D2 = 4, D3 = 5, £>4 = Db = • • • = 6.
702 Приложение 1 к гл. 7 А1.1.1. Теорема (теорема Грина). Пусть w Е 6П и sh(w) = А. Тогда для любых положительных целых чисел к и I h{w) = Ai + • • • + Afc, Di(w) = Ai + • • • + A}. (A1.1) (Заметим, что теорема A 1.1.1 является переформулировкой теорем 7.23.13 и 7.23.17.) RSK В качестве иллюстрации возьмем ги = 236145. Тогда ги —► (P.Q), где Р = 1 2 3 6 4 | 5 , Q = 1 4 2 5 3 | 6 | sh(u;) = A = (4,2). Чтобы получить числа Ik , мы считаем клетки в первых к строках диаграммы: 0,4,6,6,... . Аналогично, подсчет клеток в первых столбцах диаграммы А дает 0,2,4,5,6,6,..., что согласуется с нашими предыдущими вычислениями. Из теоремы А 1.1.1 вытекает, что две перестановки имеют одну и ту же форму sh(w) тогда и только тогда, когда значения Д, I<i,... (или D\,D<i, •..), вычисленные для этих перестановок, одинаковы. Другое непосредственное следствие теоремы А 1.1.1 приведено ниже. А 1.1.2. Следствие. Для любой перестановки w последовательности (Д, 1ч — Д, Is — hi • • •) и {D\,D2 — Di,Ds - D2,...) задают сопряженные разбиения. Чтобы сформулировать ответ на второй вопрос, поставленный в начале этого раздела, нам потребуется следующее определение. А1.1.3. Определение. Преобразованием Кнута перестановки называется ее преобразование в другую перестановку, имеющее один из перечисленных ниже типов: (А1.2) где а < Ь < с (все остальные элементы остаются на месте). Таким образом, каждое преобразование Кнута меняет местами два соседних элемента а и с при условии, что рядом с а или с расположен элемент Ь, удовлетворяющий условию а < Ь < с . Две перестановки u,v G 6П называются эквивалентными по Кнуту, если одна из них может быть получена из другой при помощи последовательных преобразований Кнута. Эквивалентность по Кнуту обозначается следующим образом: и ~ v. acb • •• i cab••• •••cab••• i •••acb••• •••bac••• i •••bca • • • •••bca • • • i •••bac•••
А1.1. Эквивалентность Кнута и теорема Грина 703 Например, шесть перестановок в (А1.3) образуют класс эквивалентности по Кнуту, причем те перестановки, которые могут быть получены друг из друга одним преобразованием Кнута, соединены ребром: 51243 15243 12543 I I (А1.3) 54123 51423 15423 А1.1.4. Теорема. Перестановки являются эквивалентными по Кнуту тогда и только тогда, когда их записывающие таблицы совпадают. Будем говорить, что перестановки и и v двойственно эквивалентны по Кнуту, если u~l ~ v~l. Например, перестановка 34521 двойственно эквивалентна по Кнуту перестановке 12543. Напомним следующее свойство симметрии алгоритма RSK (см. теорему 7.13.1): нумерующая таблица для перестановки w есть не что иное, как записывающая таблица для w~1. Таким образом, из теоремы А 1.1.4 вытекает, что перестановки имеют одну и ту же нумерующую таблицу тогда и только тогда, когда они двойственно эквивалентны по Кнуту. Можно дать более детальное описание классов эквивалентности по Кнуту, что будет сделано в теореме А1.1.6 ниже. А1.1.5. Определение. Пусть Г — таблица. Прочтение таблицы Г (обозначаемое через reading(T)) — это последовательность элементов из Т, полученная путем конкатенации строк таблицы Т, читаемых снизу вверх. Например, прочтением таблицы 3 4 5 7 1 6 9 2 8 ! будет слово 479356812. В дальнейшем мы будем говорить, что таблица имеет прямую форму, если ее форма есть диаграмма Юнга (или диаграмма Фер- ре). Заметим, что всякая таблица Т прямой формы однозначно восстанавливается по своему прочтению. А именно, чтобы разделить слово w = reading(T) на фрагменты, задающие строки таблицы Г, надо просто найти спуски перестановки w. А 1.1.6. Теорема. Каждый класс эквивалентности по Кнуту содержит в точности одно прочтение стандартной таблицы Юнга прямой формы {обозначим эту таблицу через Т) и состоит из всех перестановок, записывающая таблица которых есть Т.
704 Приложение 1 к гл. 7 1 4 5 2 3 Например, в классе эквивалентности по Кнуту из (А1.3) единственным прочтением является 54123 = reading(T), На самом деле, так как /sh(T) = 6, то имеется 6 перестановок с записывающей таблицей Т, и это в точности те перестановки, что появляются в (А 1.3). Доказательства теорем Al.1.1, А1.1.4 и А1.1.6 А1.1.7. Лемма. Для всякого к значения Ik(w) и Dk{w) не меняются при преобразованиях Кнута перестановки w. Доказательство. Достаточно доказать инвариантность чисел h, поскольку замена перестановки w = w\ • • • wn на w' = wn • • • w\ меняет роли Ik и Dk и очевидно, что и ~ v 4=> и' ~ г/'. Нам надо показать, что Ik не меняется ни при одном из двух типов преобразований Кнута и = ... асЬ • • • —► г; = ... cab..., а < Ь < с, и и = ... Ьас • • • —> v = ... Ьса..., а <Ь < с (ср. (А1.2)). Так как эти два случая совершенно аналогичны, остановимся на первом из них. Пусть Ik{u) = т. Очевидно, что Ik{v) ^ т. Кроме того, единственная ситуация, когда возможно неравенство Ik{v) < m, такова: каждый набор {а\,... ,сг&}, состоящий из к непересекающихся возрастающих подпоследовательностей перестановки и, которые совместно покрывают т элементов, содержит подпоследовательность (скажем, о\), в которую входят оба элемента а и с. Предположим, что эта ситуация имеет место, и рассмотрим такой набор {<ri,... ,сг&}. Если Ь не принадлежит ни одной из подпоследовательностей сгг, то просто заменим с на Ь в <ri, приходя к противоречию с нашим предположением. Таким образом, можно предполагать, что Ь принадлежит, скажем, подпоследовательности 02: о\ = (ttti < -" < Щ3 < а <с < щз+3 <•••)> а2 = (Ujl < • • • < ujt < b < ujt+2 <•••)• Тогда возрастающие подпоследовательности а[ и сг2, определенные формулами ai = (uh < -" <Щ3 < а <Ь < Ujt+2 <•••)> 0-2 = (uh < • • • < ujt < с < uis+3 <•••)>
А 1.1. Эквивалентность Кнута и теорема Грина 705 будут покрывать совместно те же элементы перестановки и, которые покрывают а\ и 02- Набор {сг^сг^сгз,... ,0>} покрывает т элементов, однако не содержит подпоследовательности, которой одновременно принадлежат а и с. Это противоречит нашему предположению, что завершает доказательство. □ Далее мы покажем, что операцию вставки алгоритма RSK можно рассматривать как последовательность преобразований Кнута. А1.1.8. Лемма. Каждая перестановка эквивалентна по Кнуту прочтению своей записывающей таблицы. Доказательство. Напомним, что в разд. 7.11 через Р <— к обозначался результат вставки к в Р. Для доказательства леммы достаточно показать, что для любой стандартной таблицы Юнга (прямой формы) Р и для любого положительного целого числа к имеем reading(P) • к ~ reading(P <— &), (А1.4) где • обозначает конкатенацию. В силу построчной природы операции вставки алгоритма RSK достаточно доказать (А 1.4) для таблицы, состоящей из единственной строки, что осуществляется непосредственной проверкой. □ А1.1.9. Следствие. Пусть Р — записывающая таблица для w. Тогда перестановки w и reading(P) имеют для всех к одни и те же значения параметров Ik и Dk- Доказательство непосредственно следует из лемм А1.1.7иА1.1.8. □ А1.1.10. Лемма. Пусть w — прочтение стандартной таблицы Юнга Т прямой формы. Тогда Т является записывающей таблицей для w. Доказательство. В частном случае табличного слова процесс вставки алгоритма RSK весьма прост: возрастающие отрезки слова последовательно размещаются один над другим, в результате образуя исходную таблицу. □ Доказательство теоремы А1.1.1. Учитывая следствие А1.1.9 и лемму А1.1.10, можно предполагать, что w — прочтение стандартной таблицы Юнга Т прямой формы. Для иллюстрации положим 1 2 1 5 3 6 9 4 7 8 Г = I 2 | 6 | 7 | ; (А1.5) тогда w = 592671348. Отметим, что каждая строка таблицы Т становится возрастающей подпоследовательностью в w = reading(T).
706 Приложение 1 к гл. 7 Таким образом, для любого к IfcH^Ai + --- + Afc. (А1.6) Кроме того, элементы каждого столбца таблицы Т образуют убывающую подпоследовательность в w. Следовательно, для любого I A(u;)^Ai + "- + A{. (А1.7) Рассмотрим теперь клетку, лежащую на границе диаграммы Л (такую, как клетки, содержащие элементы 5,9,6,7,4,8, в примере (А 1.5)). Предположим, что эта клетка расположена в строке к и столбце I. Тогда (Ai Ч h ЛЛ) + (А; Ч h АО = п + kl. (А1.8) Объединяя (А1.6), (А1.7) и (А1.8), получим Ik(w) + Di(w) >n + kl. С другой стороны, возрастающая и убывающая подпоследовательности могут иметь не более одного общего элемента. Следовательно, h(w) + Dt(w) ^n + kl для любых к и I. Сравнивая это неравенство с предыдущим, мы заключаем, что h{w) + Di(w) = п + Ы и, более того, оба неравенства (А 1.6) и (А 1.7) на самом деле являются равенствами для выбранных значений к и I. Так как каждая строка и каждый столбец диаграммы А содержат по крайней мере по одной клетке на границе, тождества (А1.1) имеют место для всех к и I. □ А1.1.11. Следствие. Форма sh(u?) инвариантна относительно преобразований Кнута. Доказательство. С учетом теоремы А1.1.1 форма sh(w) однозначно определяется значениями Ii(w), hi^), • • •; поэтому утверждение следует из леммы А 1.1.7. □ Теперь мы покажем, что имеет место гораздо более сильный результат. А1.1.12. Следствие. Записывающая таблица Р перестановки w инвариантна относительно преобразований Кнута этой перестановки. Доказательство. Для к = 1,... ,га обозначим через w^k) перестановку из в&, образованную элементами 1,...,А; перестановки w. (Например, если w = 236145, то гищ = 2314.) Пусть w^$ (P,Q) и W(k) —*• (P(k)iQ(k))- Тогда P(fc) есть не что иное, как таблица, образованная к наименьшими элементами из Р, так как ббльшие элементы не вмешиваются в ту часть процесса вставки, которая
А1.2. Игра «15» 707 включает меньшие элементы. Теперь решающим является следующее наблюдение: любое преобразование Кнута перестановки w либо не меняет w^)i либо преобразует ее в эквивалентную по Кнуту перестановку. По следствию А1.1.11 это не влияет на форму sh(w(k)) = sh(P(fc)). Так как таблицу Р можно рассматривать как последовательность форм 0 с sh(P(i)) С sh(P(2)) с • • • С sh(P(n)) = sh(P) и так как все эти формы остаются неизменными под действием преобразований Кнута, это завершает доказательство. □ Доказательство теорем А1.1.4 и А1.1.6. Из леммы А1.1.8 и следствия А1.1.12 вытекает, что две перестановки эквивалентны по Кнуту тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же записывающую таблицу (прочтение которой тоже принадлежит тому же самому классу эквивалентности). Наконец, два различных прочтения не могут быть эквивалентными по Кнуту, так как по лемме А1.1.10 они имеют разные записывающие таблицы. □ А1.2. Игра «15» Конструкции из предыдущего раздела тесно связаны с замечательной «15»-эквивалентностью (jeu de taquin equivalence) между косыми таблицами. В этом разделе мы установим фундаментальные свойства этой эквивалентности, которые будут использованы в разд. А1.3 для доказательства основного результата — правила Литтлвуда-Ричардсона. Игра «15», или «задорная игра» (jeu de taquin) — это определенный набор правил преобразования косых таблиц, где элементы таблиц рассматриваются как отдельные части, которые можно перемещать по «шахматной доске» на плоскости. Эти правила составлены так, чтобы сохранять свойство «быть таблицей». Понятие игры «15» интуитивно очень простое, и, вероятно, в нем легче всего разобраться, рассматривая конкретные примеры. Однако мы начнем с формального описания. А1.2.1. Определение. Пусть А//х — косая диаграмма. (На рис. Al.l A//i состоит из клеток, обведенных жирными линиями.) Рассмотрим клетки Ь, которые могут быть добавлены к A//i так, чтобы b имела по крайней мере одно общее ребро с X/fi и диаграмма {6} U A//i имела допустимую косую форму. (На рис. Al.l эти клетки обведены пунктирными линиями.) Могут возникать два типа таких клеток в зависимости от того, с какой стороны от A//i они находятся. Мы будем помечать знаком • те пунктирные клетки, нижнее или правое ребро которых является
708 Приложение 1 к гл. 7 ребром диаграммы A//i, а те, у которых общим с X/fi является верхнее или левое ребро, будем помечать символом о. I • : ! • I I I ° ! • I f Го | ! • 1 I о I хИз ! о | Рис. А1.1. Добавление клеток к косой диаграмме. Предположим, что нам дана стандартная таблица Юнга Т формы A//i. С каждой клеткой Ь, помеченной символом • или о, мы свяжем преобразование jdt6(T) таблицы Т, называемое перемещением (в игре «15») таблицы Т в Ь. Определения перемещений во внутренние клетки, помеченные символом •, и во внешние, помеченные о, совершенно аналогичны; поэтому мы обсудим только первые, а затем приведем примеры, иллюстрирующие оба случая. Рассмотрим клетку Ь0, помеченную •. В A//i имеется по крайней мере одна клетка &i, смежная с Ьо (т.е. Ьо и bi имеют общее ребро); если имеется две такие клетки, то в качестве Ь\ возьмем ту, в которой стоит меньшее число. Переместим число, занимающее bi, в Ьо- Затем рассмотрим элементы таблицы справа и снизу от Ъ\ и повторим ту же самую операцию: если имеется один такой элемент, то переместим его в Ь\\ если имеется выбор из двух, то переместим меньшее число. При этом остается пустой некоторая клетка &2> и процесс продолжается до тех пор, пока мы не достигнем внешней границы. Получающаяся в результате таблица (на самом деле она будет стандартной таблицей Юнга) и есть по определению jdt6(T). Например, возьмем Т = а 2 4 1 5 8 3 б 11 7 9 Ь 10 (А1.9) (квадраты а и Ь не входят в Т). Тогда^ 1^Если перемещение осуществляется в клетку, помеченную символом о, то в случае выбора из двух соседних клеток надо выбирать ту, в которой находится большее число. — Прим. перев.
А1.2. Игра «15» 709 Jdte(T) = 1 2 4 3 5 8 6 9 11 7 10 и jdt6(T) 11 ю (ALIO) Al.2.2. Определение. Таблицы T и Т" называются «15»-э?свгша- леншными (обозначение: Т ~ Т"), если одна может быть получена из другой путем последовательных перемещений в игре «15». Заметим, что отношение ~ симметрично (и, очевидно, транзи- тивно), так как каждое перемещение может быть обращено путем перемещения в клетку, оставшуюся свободной на предыдущем шаге. Например, в примере (А1.9) имеем jdtc(jdta(T)) = Г, где с — это клетка таблицы Т, в которой стоит число 9. А1.2.3. Лемма. Каждое перемещение в игре «15» переводит прочтение таблицы в эквивалентное ему по Кнуту слово: reading(jdt6(T)) ~ reading(T). Доказательство. Проверим, что на каждом шаге процесса перемещения прочтение таблицы преобразуется в эквивалентное по Кнуту слово. Горизонтальные перемещения вообще не меняют прочтение. Вертикальное перемещение вида а г Ь 3 к с 1 d т е а г Ь 3 к с 1 ... d т е заменяет фрагмент г- • • jkl- • -та- • -be-- -d прочтения на фрагмент г • —jl- — та • • • Ькс • • • d. Для доказательства того, что эти фрагменты эквивалентны по Кнуту, можно использовать теорему А 1.1.4. В самом деле, нетрудно проверить, что оба фрагмента имеют одну и ту же записывающую таблицу а г Ь 3 к 1 с т d что завершает доказательство леммы. □ Следующий результат иногда называют основной теоремой игры «15».
710 Приложение 1 к гл. 7 А1.2.4. Теорема. Каждый класс «15»-эквивалентности содержит ровно одну таблицу прямой формы. Доказательство. Если Т — косая таблица формы A//i, то, выполняя последовательные операции перемещения во все клетки диаграммы /i (в любом допустимом порядке), мы получим таблицу прямой формы, которая «15»-эквивалентна таблице Т. Единственность такого представителя в каждом классе эквивалентности непосредственно следует из леммы А 1.2.3 и второго утверждения теоремы А1.1.6. □ Через jdt(T) мы будем обозначать единственную таблицу прямой формы в классе «15»-эквивалентности данной (косой) таблицы Т. Заметим, что, согласно лемме А1.2.3, reading(jdt(r)) £ reading(T). (Al.ll) Al.2.5. Следствие. Две стандартные таблицы являются «15»- эквивалентными тогда и только тогда, когда их прочтения эквивалентны по Кнуту. Доказательство. Пусть ГиГ'- стандартные таблицы. Тогда Г' jdt(T)=jdt(T') reading(jdt(T)) £ reading(jdt(Г')) reading(T) ~ reading(T') (по теореме Al.2.4) (по теореме A 1.1.6) (no (Al.ll)). □ Al.2.6. Следствие. Для данной перестановки w = w\ • • • wn G 6„ пусть Tw обозначает косую таблицу wr W\ W2 Тогда jdt(T^) есть записывающая таблица для w. к Доказательство. По лемме Al.2.3 reading(jdt(Tti;)) ~ reading(Tiy) = w, и утверждение следует из теоремы А1.1.4. П Аналогично алгоритму RSK игра «15» может быть описана в терминах диаграмм роста (ср. разд. 7.13). Лучше всего пояснить это на примере. Таблицу (А1.12) 2 3 1 4
А1.2. Игра «15» 711 можно рассматривать как последовательность диаграмм 1 2 1 2 3 1 — 2 3 1 4 (не надо обращать внимание на числа, которые показаны только для того, чтобы сделать правила более прозрачными) или как последовательность разбиений 21 - 31 - 311 - 321 - 331. (А1.13) Рассмотрим последовательность перемещений игры «15» 111 14 14 Ч34 I—— -> ——-* I———-> —н^— I 3 I 4 I | 3 J I 2 I 3 I J 2 J 21 ПЛ Каждую из этих таблиц заменим на соответствующую последовательность разбиений, поместим эти последовательности одну над другой и повернем получившуюся в результате таблицу так, чтобы получить диаграмму роста, показанную на рис. А1.2. ч331 Рис. А 1.2. Диаграмма роста игры «15». Ее верхняя левая строка (или, возможно, ее следует называть столбцом) соответствует исходной таблице Т (ср. (А1.12)-(А1.13)). Нижняя правая строка есть полученная в результате данной последовательности перемещений таблица jdt(T), а нижняя левая строка 0-1-11-21
712 Приложение 1 к гл. 7 кодирует таблицу 1 2 3 которая нумерует порядок выполнения перемещений: сначала было выполнено перемещение в клетку, занятую числом 3, затем в клетку, занятую числом 2, и, наконец, в клетку, занятую числом 1. Отметим, что, согласно теореме А1.2.4, получающаяся в результате таблица jdt(T) не зависит от того, в каком порядке выполнялись перемещения, т.е. не зависит от таблицы R. Диаграммы роста для последовательностей перемещений игры «15» можно описать при помощи очень простых локальных правил. Прежде всего, нетрудно проверить, что если диаграмма Л покрывает /i в диаграмме роста, то Л может быть получена из /i добавлением единственной клетки. Другое свойство диаграмм роста игры «15» сформулировано ниже. А1.2.7. Предложение. Пусть фрагмент диаграммы роста игры «15» имеет вид Р v (Таким образом, обе диаграммы р, и А покрывают v в решетке Юнга, а р покрывает /i и А.) Тогда А однозначно определяется по и, /i и р в соответствии со следующим правилом: • если fi — единственная диаграмма данного размера, которая содержит v и содержится в р, то А = /i; • в противном случае имеется единственная такая ^ ' ' диаграмма, отличная от рь, и это и есть А. Другими словами, р ^ А тогда и только тогда, когда интервал [у, р] в решетке Юнга изоморфен произведению двух двухэлементных цепей. Доказательство. Пусть дана таблица Т формы X/fi и клетка 6, такая, что операция jdt6(T) определена. Закодируем Т в виде последовательности форм и разместим эти формы одну над другой и все вместе — над формой р, \ {6}, как показано на рис. А1.3. Надо показать, что последовательное применение локальных правил (А1.14) даст таблицу (закодированную нижней правой строкой на рис. А1.3), которая в точности есть jdt6(T). Проверка такой переформулировки определения игры «15» проводится непосредственно, и мы оставляем ее читателю. □
А 1.2. Игра «15» 713 Рис. А1.3. Задание перемещения в игре «15» локальными преобразованиями. Интерпретация на основании диаграмм роста проявляет важную (и не очевидную из первоначального описания) симметрию игры «15», которая будет играть роль в следующем разделе. Заметим, что правило (А1.14) симметрично по /i и Л; другими словами, Л вычисляется по v, /i и р точно так же, как /i вычисляется по гл Лир. Как следствие «нумерующая» таблица R на рис. А 1.2 равна jdt(5), где S — косая таблица, закодированная нижней правой стороной диаграммы роста (ср. рис. А1.5). Инволюция Шютценберэюе Эта часть приложения описывает инволюцию на множестве стандартных таблиц Юнга данной формы, которая связана с именем М. П. Шютценберже и играет важную роль в комбинаторике, теории представлений и алгебраической геометрии. Материал из этого раздела не используется в последующем доказательстве правила Литтлвуда-Ричардсона. А1.2.8. Определение. Пусть Q — стандартная таблица формы Л, и пусть b — ее угловая клетка, в которой стоит число 1. Положим A(Q)=jdt6(Q), где Q есть косая стандартная таблица Юнга формы Л/(1), полученная из Q при удалении клетки Ь и последующем уменьшении всех остальных ее элементов на 1. Удаляющая таблица evac((5) есть по определению стандартная таблица (формы Л), которая кодируется последовательностью форм 0, Д"-1^), A"-2(Q), • • •, Д2(0), A(Q), Q. (А1.15) Отображение Q »—► evac(Q) называется инволюцией Шютценберэюе. Данная терминология объясняется следующим фактом. А1.2.9. Предложение. Отображение Q i-* evac(Q) является инволюцией.
714 Приложение 1 к гл. 7 Прежде чем доказывать это предложение, проиллюстрируем определение А 1.2.8 на примере. Возьмем Q = 1 | 2 | 4 3 I 6 I 7 51 (А1.16) Последовательно применяя оператор Д, получим таблицы ] из И 1 | з | 6 2 J 5 I 41 1 | 2 | 5 3 4 0 (А1.17) Последовательность их форм (в обратном порядке; ср. (А1.15)) кодирует таблицу evac(Q) = 1 | 2 з 4 I 5 | 7 б! (А1.18) Читателю предлагается проверить, что применение той же процедуры к таблице (А1.18) даст (А1.16), т.е. evac(evac(Q)) = Q. Доказательство. Тот факт, что рассматриваемое отображение является инволюцией, становится менее загадочным, если переформулировать определение А 1.2.8 в терминах диаграмм роста. Это можно сделать следующим образом. Таблицу из (А1.15) можно рассматривать как последовательности форм. Объединим эти последовательности в одну треугольную диаграмму роста, как показано на рис. А1.4. Строки этой диаграммы, идущие в северо-восточном 331 /0 V0 V0 V0 V0 V0 V0 \ 0 Рис. А1.4. Инволюция Шютценберже.
А1.2. Игра «15» 715 направлении, соответствуют таблицам в (А1.15). Всю диаграмму роста можно восстановить по ее левой стороне (которая кодирует исходную таблицу Q), используя локальные правила (А 1.14) вместе с тем фактом, что все таблицы в нижней строке очевидным образом пустые. Тогда правая сторона диаграммы есть по определению кодирование таблицы evac(Q). Так как правило (А1.14) является симметричным по отношению к перемене ролей Л и /i, то применение той же самой процедуры к таблице evac(Q) даст в результате зеркальный образ той же самой диаграммы роста, в котором левая и правая стороны меняются местами. Это доказывает то, что отображение Q »—► evac(Q) является инволюцией. □ Следующая теорема дает непосредственную интерпретацию инволюции Шютценберже в терминах алгоритма RSK; она также предлагает другое доказательство предложения А 1.2.9. Для перестановки w = wiW2'-wn Е 6п определим vfi G 6п согласно формуле W^ = П+1 — Wn ••• П+1 — W2 n+1 — W\ . Эквивалентным образом, vfi = wqwwq , где wq обозначает перестановку п п—\ • • -21. Например, если w = 3547126, то ь$ = 2671435. RSK А1.2.10. Теорема. Если w ^$ (Р, Q), то w» —► (evac(P), evac(Q)). В качестве примера возьмем w = 3547126. Тогда w^(P,Q), Р = ^1 555(^,01), pt 1 3 5 1 2 6 2 4 6 7 3 4 5 7 Q = evac(Q), Q1 = 1 3 5 1 4 6 2 6 4 7 2 5 3 7 = evac(Q). Доказательство. Природа вставки в алгоритме RSK, эквивалентности Кнута и игры «15» такова, что эти операции коммутируют с удалением элементов, которые меньше (или больше) некоторого порогового значения а. Например, если мы удалим все элементы перестановки w, которые больше, чем а (получив, таким образом, перестановку w^a € ©а)> то записывающую таблицу Р^а перестановки w^a можно получить из Р просто путем удаления клеток, содержащих числа а + 1,..., п. Менее очевидным образом, из следствия А1.2.6 вытекает, что записывающая таблица для перестановки w>a равна jdt(P>a), где w>a и Р>а получаются соответственно из w и Р путем удаления элементов, меньших а, и вычитания а из оставшихся.
716 Приложение 1 к гл. 7 Пусть w» 22S(P*,Q»). По теореме А 1.1.1 форму sh(u^) таблицы Р$ можно описать в терминах параметров /fc(u^), которые перечисляют, сколько элементов может покрывать объединение к возрастающих подпоследовательностей перестановки wK Применявшееся выше рассуждение показывает, что форма частичной таблицы Р< • имеет аналогичное описание в терминах возрастающих подпоследовательностей перестановки w$ с элементами, не превосходящими j. Заметим, что эти подпоследовательности соответствуют возрастающим подпоследовательностям перестановки w с элементами, большими, чем n — j. Следовательно, sh(P^) = sh(u7>n-i) = shGdt(P>n-i)) = sh(evac(P)^); поэтому РЙ = evac(P). По теореме 7.13.1 нумерующая таблица для w совпадает с записывающей таблицей для w~l. Мы уже доказали, что при переходе от w к ufi записывающая таблица заменяется на ее образ под действием инволюции Шютценберже. Так как (и?-1)** = (и^)-1, то же самое происходит и с нумерующей таблицей. □ Приведенное далее следствие из теоремы А 1.2.10 является переформулировкой теоремы 7.23.16. RSK А1.2.11. Следствие. Пусть w = w\ • • • wn —► (Р><2)- Тогда wwq = wn- • -w\ —► (P*, evac(Q)*). Доказательство. При замене w на wwq мы меняем местами возрастающие и убывающие подпоследовательности, а каждая из таблиц P^j транспонируется. Следовательно, записывающей таблицей для wwq будет Р1. Что касается нумерующей таблицы, то RSK wqwwq —► (evac(P),evac(Q)) (по теореме А1.2.10) 1 RSK ==>> wqw wq —► (evac(<2),evac(P)) (по теореме 7.13.1) =Ф> wow-1 —► (evac(Q)S • • •) (по только что доказанному) RSK *■ ==> wwo —► (• • • , evac(Q) ) (по теореме 7.13.1), что и требовалось. □ А 1.3. Правило Литтлвуда-Ричардсона Коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона с*и были определены в разд. 7.15 (см. (7.64)) как структурные константы для умножения
А 1.3. Правило Литтлвуда-Ричардсона 717 в базисе из функций Шура: £fj,i/s)4 (А1.19) или как коэффициенты разложения косой функции Шура по этому базису: вл/м = Х^*«- (А1-2°) Знаменитое правило Литтлвуда-Ричардсона состоит в комбинаторном описании коэффициентов с^и. В этом разделе мы докажем два различных варианта этого правила. Еще три варианта будут сформулированы без доказательств. А 1.3.1. Теорема (правило Литтлвуда-Ричардсона, вариант игры «15»). Зафиксируем стандартную таблицу Р формы v. Коэффициент Литтлвуда-Ричардсона с^ равен числу стандартных таблиц формы X/fi, которые «15»-эквивалентны таблице Р. Сначала мы проиллюстрируем теорему А 1.3.1 на примере, а затем докажем ее. А1.3.2. Пример. Пусть Л = (4,4,2,1), /i = (2,1) и и = (4,3,1). Рассмотрим таблицу (А1.21) формы у. (Согласно теореме А1.3.1, стандартная таблица Р формы v может быть выбрана произвольным образом. Этот специальный выбор таблицы Р будет играть роль в другом варианте правила Литтлвуда-Ричардсона.) Имеются в точности две стандартные таблицы Г формы A//i, такие, что jdt(T) = Р, а именно 1 | 2 | 3 4 5 I 6 | 7 | 8~1 1 5 2 8 3 6 4 7 и 1 8 2 5 3 6 4 7 (А1.22) Следовательно, с*„ = 2. Доказательство теоремы А1.3.1. Можно предполагать, что |/i| + \v\ = |А|, так как в противном случае теорема просто утверждает, что 0 = 0. Теперь сосчитаем число диаграмм роста игры «15», вид которых изображен на рис. А1.5. (Диаграммы A, /i и и, а также таблица Р фиксированы, тогда как таблицы Д, 5 и Г нет.)
718 Приложение 1 к гл. 7 0 Рис. А 1.5. Подсчет диаграмм роста игры «15». Это число можно найти двумя различными способами, которые отвечают восстановлению диаграммы роста по ее левой и правой границе соответственно на основании локального правила (А1.14). Прежде всего, можно сосчитать число стандартных таблиц Т формы A//i, таких, что Р = jdt(T). Для каждой такой таблицы Т имеется f** способов выбрать R. С другой стороны, для того чтобы определить значения на правой границе, нам надо только подобрать такую стандартную таблицу S формы Л/^, что jdt(S') имеет форму /i. Сравнивая два способа подсчета, получаем #{Г : Г — стандартная таблица формы A//i и jdt(T) = Р} • /м = #{S : S — стандартная таблица формы \jv и sh(jdt(5)) = /i}. (А1.23) Из этого тождества вытекает, что число С*и = #{Г : Г — стандартная таблица формы X/fi и jdt(T) = Р} (А1.24) зависит только от формы v таблицы Р, но не от самой таблицы. (Отметим в качестве побочного результата, что правая часть равенства (А1.23) равна С^ • /м; отсюда следует, что СД, = С*д.) Для доказательства теоремы нам потребуется разложение косой функции Шура по основным квазисимметрическим функциям, которое было дано в теореме 7.19.7: sx/n = J2Lc°(T)' (А1.25) т
А 1.3. Правило Литтлвуда-Ричардсона 719 где сумма берется по всем стандартным таблицам Т формы A//i и со(Т) обозначает разложение, отвечающее множеству спуска D(T) таблицы Т. Нетрудно проверить, что перемещение в игре «15» никогда не меняет относительного расположения к и к + 1; это значит, что множество спуска косой таблицы инвариантно относительно таких перемещений. Следовательно, разложение (А1.25) можно переписать в виде 5л/д =J2#iT: sh(T) = A//i, Jdt(T) = Р} • LD(P), р где сумма берется по всем стандартным таблицам Р размера п = |A//i|. Учитывая формулу (А1.24), это равенство можно преобразовать к виду и\-п Р где внутренняя сумма берется по всем стандартным таблицам Р формы v. Используя формулу (А1.25) для формы z/, получаем i/\-n Сравнивая это равенство с формулой (А 1.20), мы заключаем, что с*и = С*и . Это завершает доказательство теоремы А 1.3.1. □ Коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона с*и являются одним из наиболее важных семейств комбинаторных чисел. Среди прочих они появляются в следующем контексте: • как коэффициенты в разложениях тензорных произведений на неприводимые GLn -модули; • как коэффициенты в разложениях косых модулей Шпехта на неприводимые; • как коэффициенты в разложениях &п-представлений, индуцированных с подгрупп Юнга; • как числа пересечений в исчислении Шуберта на грассмано- вых многообразиях. Отметим, что из теоремы А 1.3.1 легко следует, что коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона с*и являются неотрицательными целыми числами; это свойство трудно вывести непосредственно из определений (А1.19)-(А1.20). Несмотря на то, что неотрицательность непосредственно вытекает из каждой из четырех интерпретаций коэффициентов с* , перечисленных в предыдущем абзаце,
720 Приложение 1 к гл. 7 ни одна из этих интерпретаций сама по себе не дает комбинаторного правила для вычисления с*и. (Отметим, что третья интерпретация отвечает следствию 7.18.6. Кроме того, первая интерпретация обсуждается в приложении 2.) Имеется много других способов описать коэффициенты Литтл- вуда-Ричардсона как перечислительные комбинаторные константы. Если мы знаем, что с*и — мощность некоторого множества, то любая биекция между этим множеством и другим семейством комбинаторных объектов приводит к новому описанию с*и . Возможно, наиболее известная из таких переформулировок дана ниже в теореме А1.3.3. Напомним (см. разд. 7.10 и предложение 7.10.3(d)), что решеточная перестановка (или слово Яманочи, или баллотировочная последовательность) — это такая последовательность aia2---an, что в любом начальном подслове a\a<i • • • a,j число символов г не меньше, чем число символов г + 1 (для всех г). Нам также потребуется понятие обратного прочтения таблицы, которое есть просто прочтение (ср. определение А1.1.5), записанное в обратном порядке. А1.3.3. Теорема (правило Литтлвуда-Ричардсона). Коэффициент Литтлвуда-Ричардсона с*и равен числу полустандартных таблиц Юнга формы A//i и типа и, обратные прочтения которых являются решеточными перестановками. А1.3.4. Пример. Описанные в теореме А1.3.3. полустандартные таблицы Юнга, обратные прочтения которых являются решеточными перестановками, иногда называются таблицами Литтлвуда- Ричардсона или заполнениями Литтлвуда-Ричардсона формы A//i. Для данных из примера А 1.3.2 имеется две таких таблицы (таким образом, сх =2): 1 2 1 3 1 2 1 2 Соответствующие обратные прочтения 11221312 и 11221213 в самом деле являются решеточными перестановками (типа и). Заметим, что таблицу Литтлвуда-Ричардсона (А 1.26) можно получить из (А1.22), заменяя элементы 1,2,3,4 на 1, элементы 5,6,7 на 2 и элемент 8 на 3. Мы собираемся вывести теорему А1.3.3 из теоремы А1.3.1. Это потребует некоторой подготовительной работы. 1 | 2 3 yjry±.^vjj
А1.3. Правило Литтлвуда-Ричардсона 721 До конца этого раздела мы предполагаем, что разбиение v = (^i,..., Vk) фиксировано. Будем использовать обозначения N0 = О, Ni = уъ N2 = v\ + »2, N3 = v\ + v2 + v-s, .... Пусть Pv обозначает стандартную таблицу Юнга формы v, полученную при последовательном (строка за строкой, начиная с верхней строки) размещении чисел 1,..., п в клетки диаграммы v. Например, если v = (4,3,1), то Ри изображена в (А1.21). В общем случае строка г (где i = 1,..., к) таблицы Ри будет иметь вид Ni-i + l Ni-!+2 Ni (А1.27) Обозначим через Си множество всех таблиц Литтлвуда-Ричард- сона типа v и произвольной формы. Следующая конструкция потребуется для того, чтобы связать понятие таблицы Литтлвуда- Ричардсона с игрой «15». А1.3.5. Определение. Возьмем произвольную полустандартную таблицу Юнга L типа v (в частности, L может быть таблицей Литтлвуда-Ричардсона из Си). Для каждого г элементы таблицы L, равные г, образуют горизонтальную полосу. Заменим единицы в L на 1,..., iVi, двойки на N\ + 1,..., N2 и т. д. так, чтобы числа возрастали слева направо внутри каждой из таких горизонтальных полос. Получившуюся в результате стандартную таблицу будем обозначать через st(L) и называть стандартизацией таблицы L. Например, применение этой процедуры к таблицам Литтлвуда-Ричардсона (А1.26) даст таблицы из (А1.22). А 1.3.6. Лемма. Косая стандартная таблица Т является стандартизацией некоторой таблицы Литтлвуда-Ричардсона типа v (т.е. Т G st^^)) тогда и только тогда, когда для всех i = 1,..., к — 1 выполнено следующее условие: частичные таблицы, образованные элементами iV;_i-fl,..., iVi+i таблиц Т uPv соответствен- (А 1.28) но, являются «15» -эквивалентными. Доказательство. Заметим сначала, что стандартная таблица L есть стандартизация некоторой полустандартной таблицы Юнга типа v (не обязательно таблицы Литтлвуда-Ричардсона) тогда и только тогда, когда каждая из ее частичных таблиц, образованных элементами JVt-i + 1,..., iV», является «15»-эквивалентной таблице (А1.27), т.е. строке г таблицы Pv. Это условие очевидным образом выполнено, если имеет место условие (А1.28). Обратное про-
722 Приложение 1 к гл. 7 чтение таблицы Литтлвуда-Ричардсона L также должно быть решеточной перестановкой, что является некоторым ограничением на частичные таблицы, образованные элементами из L, равными г или г + 1, для г = 1,..., /с — 1. Нетрудно проверить, что отображение стандартизации преобразует это условие в (А 1.28). □ А1.3.7. Лемма. Множество st(£i/) стандартизации таблиц Литтлвуда-Ричардсона типа v совпадает с классом «15» -эквивалентности таблицы Pv . Доказательство. Ясно, что условие (А 1.28) инвариантно относительно перемещений в игре «15»; следовательно, множество st(£i/) есть объединение классов «15»-эквивалентности. По теореме А1.2.4 достаточно показать, что Pv — единственная таблица прямой формы в st(Cu). Рассмотрим полустандартную таблицу Юнга L типа v и формы v, полученную путем размещения чисел г в строке г диаграммы v для всех г. Непосредственно проверяется, что L — единственная таблица Литтлвуда-Ричардсона прямой формы и типа и. Так как st(L) = Pv , это завершает доказательство. □ Доказательство теоремы А1.3.3. Надо показать, что коэффициент c*j, равен числу таблиц Литтлвуда-Ричардсона формы \j\x и типа v. Это делается следующим образом: (Т:Т — стандартная таблица] с^ = *{ изп(Г) = А/^,Г^ / И теореме А1.3.1) = #{Т е st(C„) : sh(T) = A//i} (по лемме А1.3.7) = #{L е Lv : sh(L) = A//i} (последнее равенство имеет место, так как отображение st инъек- тивно на Си). □ Варианты правила Литтлвуда-Ричардсона Отметим, что коэффициент Литтлвуда-Ричардсона с*и можно определить как скалярное произведение: с*и = (sx/^Sv). Следующие два варианта правила Литтлвуда-Ричардсона, приведенные без доказательства, дают комбинаторное описание более общих сплетающих чисел (so,sa) для произвольных косых диаграмм в и а. (Напомним, что (se^s^) на самом деле есть частный случай коэффициентов (s^/^s^); см. обсуждение после формулы (7.64). Однако такое рассмотрение (s#, sa) скрывает симметрию между в и сг, которая появляется далее в теоремах А1.3.8 и А1.3.9.) Будем говорить, что клетка а находится (нестрого) северо- западнее клетки Ь, если а расположена в строке над Ь или в той же строке, что и Ь, а также в столбце слева от Ь или в том же,
А 1.3. Правило Литтлвуда-Ричардсона 723 что и Ь. Аналогичным образом определяется, когда одна клетка расположена (нестрого) юго-западнее другой. А1.3.8. Теорема. Сплетающее число (se^s^) для пары косых диаграмм в и а равно числу биективных отображений /: в —► а, удовлетворяющих следующим условиям: (i) если клетка а расположена {нестрого) северо-западнее клетки Ь, то f(a) находится (нестрого) юго-западнее /(6); (ii) если f(a) расположен (нестрого) юго-западнее f(b), то а находится (нестрого) юго-западнее Ь. (Отметим, что условие (ii) — то же самое, что условие (i), наложенное на обратное отображение /_1.) В качестве примера возьмем диаграммы в = (4,3,1) и а = (4,4,2,1)/(2,1) (ср. с примерами А1.3.2 и А1.3.4). Тогда имеются две биекции в —► сг, удовлетворяющие условиям (i)-(ii) теоремы А 1.3.8, которые описываются следующим образом: 1 | 2 | 3 4 5 I 6 | 7 | | 8 | 7 | 6 I 3 | 4 5 I 2 I П 12 3 4 | 6 | 7 5 | 6 I 7 I | 8 I 3 J 4 t\ 1 5 2 1 ГП (здесь каждая клетка в левой части отображается в клетку в правой части с той же самой пометкой). Таким образом, в этом случае (se,sa) = 2. Al.3.9. Теорема. Сплетающее число (se^s^) для пары косых форм в и а равно числу таких пар (Р, Q) стандартных таблиц Юнга форм в и а соответственно, что обратные прочтения таблиц Р и Q являются взаимно обратными перестановками. (В этой теореме обратные прочтения могут быть заменены на обычные.) Для в = (4,3,1) и а = (4,4,2,1)/(2,1) имеются две пары таблиц (Р, Q), удовлетворяющих условиям теоремы А1.3.9: Р = 1 3 6 2 4 5 8 7 , Q = 1 5 2 8 3 6 4 7
724 Приложение 1 к гл. 7 1 3 8 2 4 5 б 7 Q = 1 8 2 5 3 6 4 7 р = обратные прочтения которых суть соответственно w = 75218436, w -1 _ = 43762815 и w = 75216438, w"1 = 43762518. Последний вариант правила Литтлвуда-Ричардсона, который мы собираемся обсудить, выявляет определенную симметрию коэффициентов с^, скрытую в предыдущих вариантах. Пусть Л, /i hi/- разбиения на не более чем г частей, удовлетворяющие условию |Л| = |/i| + \и\. Определим векторы I — (Zi,... ,Zr_i), wi = (mi,..., mr_i) и n = (щ,..., nr_i) согласно формулам mi = /ii-/ii+i, (A1.29) Щ — Vi- щ+i. (Можно показать, что коэффициент Литтлвуда-Ричардсона с*и на самом деле равен размерности пространства SLr -инвариантов в тензорном произведении трех неприводимых SLr-модулей, связанных с Z, т и п.) Следующая конструкция принадлежит А. Д. Беренштейну и А. В. Зелевинскому, что объясняет наш выбор терминологии. А1.3.10. Определение. Пусть Z = (Zi,.. . ,Zr_i), m=(mi,.. . ,rar_i) и n = (щ,..., nr-i) — векторы с неотрицательными целыми компонентами. BZ-схема типа (г, Z,ra, п) есть набор целых чисел {yij,k), индексируемый множеством {(г, j, fc) G Z3 : 0 ^ г, j, /с < г, г + j + fc = г} и удовлетворяющий определенным линейным уравнениям и неравенствам, которые будут сформулированы ниже. Удобно рассматривать (yij,k) в виде треугольного массива, как показано на рис. А1.6. Для того чтобы числа Уг^,к образовывали BZ-схему, они должны удовлетворять следующим ограничениям. Во-первых, заданы суммы элементов в массиве вдоль каждой прямой, идущей в одном из трех выделенных направлений (кроме сторон треугольника): • суммы в горизонтальных строках равны (сверху вниз) Zi, ..., Lr—i; • суммы в столбцах, идущих в северо-западном направлении, равны (слева направо) mi,..., mr_i;
Замечания 725 Oil 101 \ \ \ \ \ \ Z = (1,2,0), т= (1,1,0), п= (1,2,1) Рис. А1.6. BZ-схемы для г = 4, Л = (4,4,2,1), м = (2,1,0,0),*/= (4,3,1,0). • суммы в столбцах, идущих в юго-западном направлении, равны (справа налево) щ,..., пг-\. Во-вторых, в каждой из приведенных выше Зг — 3 сумм частичные суммы первых элементов (в направлениях, указанных стрелками; см. рис. А1.6) должны быть неотрицательными. На рис. А1.6 изображены две BZ-схемы, отвечающие данным из упр. А1.3.2 и А1.3.4. А1.3.11. Теорема. Коэффициент Литтлвуда-Ричардсона с*и равен числу BZ-схем типа (г,/,га, п); где векторы I, т и п определены формулами (А1.29). Из этого описания ясно, что рассматриваемые коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона инвариантны относительно циклических перестановок векторов Z, га и п. Можно показать, что на самом деле коэффициенты с*и являются симметрическими как функции от Z, га и га, а также инвариантны относительно одновременной перестановки элементов векторов I, га и п в обратном порядке. Благодарности. Я благодарен Кэртису Грину и Андрею Зелевин- скому за ряд ценных предложений и исправлений. Замечания Теорему А 1.1.1 доказал Грин [6], обобщив результат Шенстеда [7.136]. Как показали Грин и Клейтман ([7], [8]), следствие А1.1.2 можно обобщить на произвольные конечные ч. у. множества (см. также [2]). Эквивалентность по Кнуту и теоремы А1.1.4 и А1.1.6 принадлежат Кнуту [7.71]; он рассматривал эту эквивалентность в более общей постановке, где перестановки заменяются на произвольные
726 Приложение 1 к гл. 7 слова в алфавите {1,..., п}. Весьма часто полезно работать в плак- тическом моноиде [12], который есть фактормоноид свободного моноида с образующими 1,..., п по отношению эквивалентности по Кнуту. Игра «15» была изобретена Шютценберже [17]1), так же как и инволюция, носящая его имя [7.140]. Теорема А1.2.4 была доказана Шютценберже [17] и Томасом ([18], [19]), а теорема А1.2.10 — Шютценберже [7.140]. Интерпретация игры «15» при помощи диаграмм роста была предложена в [7.32]. Эти конструкции могут быть обобщены на произвольные конечные ч.у. множества (ср. [16]), однако аналог теоремы А1.2.4 в общем случае не всегда имеет место. Правило Литтлвуда-Ричардсона было открыто Литтлвудом и Ричардсоном [7.89]. Первые полные доказательства дали Шютценберже [17] и Томас ([18], [20]). Неполное доказательство, опубликованное Робинсоном [7.131] и воспроизведенное Литтлвудом [7.88, гл. 6.3, теорема V], было прояснено Макдональдом [7.92, гл. 1.9], [7.96, гл. 1.9]. Приведенное здесь доказательство основано на комбинации идей из [17], [7.32] и [9]. Теорема А 1.3.8 появилась в [3] и является вариантом результата Зелевинского [22] (см. также работу Уайта [21]); идея восходит к Джеймсу и Пилу [10]. Теорема А1.3.9 —это результат Керова [11] и Гарсиа и Реммеля [5]. Теорема А1.1.11 принадлежит Беренштейну и Зелевинскому [1]; они также дали переформулировки, выявляющие другие симметрии коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона. Другие варианты правила Литтлвуда-Ричардсона вместе с альтернативными доказательствами можно найти в [3], [7.35], [4, гл. 5.2-5.3], [7.65, 2.8.13], [14], [15, теорема 4.9.4] и в других источниках. История правила изложена в [13, с. 3-7]. Обобщения и варианты правила Литтлвуда-Ричардсона настолько многочисленны, что мы не пытаемся рассмотреть все из них здесь. Литература 1. Berenstein A. D., Zelevinsky А. V. Triple multiplicities for sl(r -f 1) and the spectrum of the exterior algebra of the adjoint representation, J. Alg. Combinatorics 1 (1992), 7-22. 2. Фомин С. В. Конечные частично упорядоченные множества и таблицы Юнга, Докл. АН СССР 243 (1978), 1144-1147. 3. Fomin S., С. Greene, A Littlewood-Richardson miscellany, European J. Combinatorics 14 (1993), 191-212. 4. Fulton W. Young Tableaux, Cambridge University Press, 1997. [Готовится перевод: Фултон У. Таблицы Юнга. — М.: МЦНМО, 2005.] *) Правильнее сказать, что М. П. Шютценберже изобрел инволюцию и доказал важные теоремы о ней, используя известную со средних веков игру «15». — Прим. ред.
Литература 727 5. Garsia A., Remmel J. Shuffles of permutations and the Kronecker product, Graphs and Combinatorics 1 (1985), 217-263. 6. Greene C. An extension of Schensted's theorem, Advances in Math. 14 (1974), 254-265. 7. Greene C, Kleitman D. J. The structure of Sperner fc-families, J. Combinatorial Theory (A) 20 (1976), 41-68. 8. Greene C. Some partitions associated with a partially ordered set, J. Combinatorial Theory (A) 20 (1976), 69-79. 9. Haiman M. D. Dual equivalence with applications, including a conjecture of Proctor, Discrete Math. 99 (1992), 79-113. 10. James G. D., Peel M. H. Specht series for skew representations of symmetric groups, J. Algebra 56 (1979), 343-364. 11. Керов С. В. Соответствие Робинсона-Шенстеда-Кнута и правило Литтл- вуда-Ричардсона, УМН 39 (1984), вып. 2, 161-162. 12. Lascoux A., Schutzenberger М. P. Le monoide plaxique, In: Noncommutative Structures in Algebra and Geometric Combinatorics (Naples, 1978), Quad. «Ricerca Sci.» 109 (1981), CNR, Rome, pp. 129-156. 13. van Leeuwen M. A. A. The Littlewood-Richardson rule, theory and implementation, CWI Report MAS-R9709, Amsterdam, 1997. ^ 14. Remmel J. В., Shimozono M. A simple proof of the Littlewood-Richardson rule and applications, Discrete Math. 193 (1988), 257-266. 15. Sagan В. E. The Symmetric Group. Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions, Wadsworth &: Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1991. 16. Schutzenberger M. P. Promotion des morphismes d'ensembles ordonnes, Discrete Math. 2 (1972), 73-94. 17. Schutzenberger M. P. La correspondence de Robinson, In: Combinatoire et Representation du Groupe Symetrique (D. Foata, ed.), Lecture Notes in Math. 579 (1977), pp. 59-135. 18. Thomas G. Baxter algebras and Schur functions, Ph.D. thesis, University College of Swansea, 1974. 19. Thomas G. On a construction of Schutzenberger, Discrete Math. 17 (1977), 107-118. 20. Thomas G. On Schensted's construction and the multiplication of Schur functions, Advances in Math. 30 (1978), 8-32. 21. White D. E. Some connections between the Littlewood-Richardson rule and the construction of Schensted, J. Combinatorial Theory (A) 30 (1981), 237-247. 22. Zelevinsky A. V. A generalization of the Littlewood-Richardson rule and the Robinson-Schensted-Knuth correspondence, J. Algebra 69 (1981), 82-94. 1) Обновленная версия статьи под названием The Littlewood-Richardson rule, and related combinatorics доступна в электронном виде по адресу http://front.math.ucdavis.edu/math.C0/9908099. — Прим. автора при переводе.
Приложение 2 к гл. 7 ХАРАКТЕРЫ ГРУППЫ GL(n,C) В этом приложении мы изложим без доказательств основополагающие связи между функциями Шура и характерами полной линейной группы GL(n,С). По определению GL(n,C) —это группа всех обратимых матриц размера п х п с комплексными элементами (групповой операцией является матричное умножение). Если V есть n-мерное комплексное векторное пространство, то после выбора упорядоченного базиса в V можно отождествить GL(n,C) с группой GL(F) обратимых линейных преобразований А: V —> V (с композицией отображений в качестве групповой операции). Линейным представлением группы GL(F) называется гомоморфизм (р: GL(F) —► GL(iy), где W — комплексное векторное пространство. Начиная с этого места, мы предполагаем, что все представления конечномерны, т.е. dimW < оо. Будем называть dimly размерностью представления (р и обозначать через dim ср. Представление <р называется полиномиальным (соответственно рациональным), если после выбора упорядоченных базисов пространств V и W элементы матрицы <р(А) являются многочленами (соответственно рациональными функциями) от элементов матрицы A G GL(ra,С). Ясно, что понятие полиномиального или рационального представления не зависит от выбора базисов в V и W, так как линейная комбинация многочленов (соответственно рациональных функций) вновь является многочленом (соответственно рациональной функцией). В общем случае мы не делаем различия между представлением группы GL(F) и очевидным аналогичным понятием представления группы GL(n,C). Мы говорим, что (р — однородное представление степени га, если <р(аА) = ат(р(А) для всех a Е С* = С \ {0}. Если <р — полиномиальное (или рациональное) представление, то это условие равносильно тому, что элементы матрицы <р(А) являются однородными многочленами (или рациональными функциями) степени га. Замечание. Часто размерность представления <р называется его степенью; читателя не должно ввести в заблуждение иное использование нами термина «степень». А2.1. Пример. Пусть п = 2. Определим отображение <р: GL(2, С) —► GL(3, С) формулой Ч> \а Ь с d = V 2аЬ ас ad + be с2 2cd b2' bd d2 (A2.1)
Приложение 2 к гл. 7 729 Непосредственно проверяется, что <£ —групповой гомоморфизм. Так как элементы правой матрицы в формуле (А2.1) являются однородными многочленами степени 2 от переменных а, Ь, с, d, то Ф — однородное полиномиальное представление размерности три и степени 2. А2.2. Пример. Приведем несколько простых примеров представлений, иллюстрирующих введенные выше понятия. Во всех этих примерах мы считаем, что A Е GL(ra,С). • <р(А) = 1 G С (тривиальное представление). Это однородное полиномиальное представление размерности 1 и степени 0. • ф(А) = А (определяющее1^ представление). Это однородное полиномиальное представление размерности п и степени 1. • (р(А) = (det A)m, где га G Z. Если га > 0, то это однородное полиномиальное представление размерности 1 и степени ran. Если га < 0, то представление <р рационально, но не полиномиально. Степень по-прежнему равна ran. • <р(А) = | det А\^. Это представление не является рациональным. Оно имеет размерность 1 и не является однородным. (Равенство <р(аА) = any/^ip(A) выполняется только тогда, когда а — положительное вещественное число.) • <р(А) = A~~l. Не является представлением! • <р(А) = (А-1) , где ь означает транспонирование. Это однородное рациональное (но не полиномиальное) представление размерности п и степени —1. Чтобы убедиться в этом, следует воспользоваться формулой для элементов обратной матрицы, упомянутой в доказательстве теоремы 4.7.2. • <р(А) = (det А)ш А, где га G N. Это однородное полиномиальное представление размерности п и степени ran + 1. • <р(А) = А, где ~ означает комплексное сопряжение. Представление степени п, не являющееся ни рациональным, ни однородным. • (р(А) = [сг(а^)], где а — автоморфизм поля С, отличный от тождественного и от комплексного сопряжения (таким образом, а неизбежно разрывный). Это представление (размерности п) не только не рационально, но даже и не непрерывно. , Л. [1 bidet-All •*М=[о 1 ' рое не является ни однородным, ни рациональным, хотя и непрерывно. Представление размерности 2, кото- *) Или тождественное. — Прим. ред.
730 Приложение 2 к гл. 7 Отметим, что большинство приведенных выше патологических примеров исчезают, когда вместо GL(ra, С) мы рассматриваем группу SL(ra, С) := {A G GL(n, С) : detA = 1}. Ниже мы поговорим о SL(n, С) подробнее. Рассмотрим представление tp из примера А2.1. Можно проверить, что если собственные числа матрицы л fa Ь\ [с а\ равны 6i и #2> то собственными числами для р(А) будут 6\, #i#2 и в\. Это вычисление иллюстрирует следующий фундаментальный результат. А2.3. Предложение. Если <р — однородное рациональное представление группы GL(F) размерности N и степени т, то существует мультимножество М.^ из N одночленов Лорана ха = xi1'"xnn степени т {т.е. Ylai — m); обладающих следующим свойством. Если собственные числа матрицы A G GL{V) равны 0\ > • • • > #n; то собственные числа матрицы <р(А) есть ва для всех ха G А4<р. Более того, если ср — полиномиальное представление, то одночлены Лорана ха G Мц, являются обычными одночленами [без отрицательных показателей). Если <£—рациональное представление группы GL(n, С), определим его характер char ср как многочлен Лорана char<£ = (сЬагу>)(ж) = ^ ха. (А2.2) Таким образом, если собственные числа матрицы A G GL(n, С) равны 01,...,0П, то (char<^)(0) = tTip(A). В качестве немедленного следствия этого определения отметим тот факт, что если </? = ipi Ф • • • Ф ipm (прямая сумма рациональных представлений), то char<£ = char(^i) Н Ь char(<^m). Теперь мы готовы сформулировать основную теорему о рациональных и полиномиальных представлениях GL(n,С). А2.4. Теорема. (I) Всякое рациональное представление </?: GL(F) —► GL(iy) вполне приводимо, т.е. каждое GL(V)-инвариантное подпространство пространства W имеет GL(V)-инвариантное дополнение. Следовательно, представление ip является прямой суммой неприводимых представлений. (II) Пусть ip: GL(V) -> GL(W) и у': Gb{V) -> GL(W) -рациональные представления группы GL(F). Представления <р и <//
Приложение 2 к гл. 7 731 эквивалентны (т. е. существует биективное линейное преобразование a: W —> W, такое, что a{ip{A){v)) = ip'(A)(a(v)) для всех A G GL(F) и v £W) тогда и только тогда, когда char<^ = char<^'. (III) Неприводимые рациональные представления р группы GL(F) однородны, и char<^ — симметрический однородный многочлен Лорана от переменных xi,... ,хп. Кроме того, chart/* G Л™, если 'ф — однородное полиномиальное представление степени га. (IV) (Основной результат.) Неприводимые полиномиальные представления ц>х группы GL(F) индексируются разбиениями А длины не более п таким образом, что cha,icpx = s\(xi,...1xn). (V) Всякое неприводимое рациональное представление <р группы GL(F) имеет вид ip(A) = (det A)mip'(A) для некоторого га G Z и некоторого неприводимого полиномиального представления cpf группы GL(V). Следовательно, соответствующие характеры связаны соотношением char <р = (х\ • • • хп)т char <//. Из приведенной выше теоремы следует, что если р — полиномиальное представление группы .GL(V), то кратность неприводимого характера ipx в </? равна (у>>У>Л) = (спаг<£,5Л). Рассмотрим несколько простых примеров. • Если <р(А) = 1 (тривиальное представление), то char<^ = 50 = 1. Это представление неприводимо. (Основная теорема едва ли нужна для установления неприводимости; для любой группы всякое ее линейное представление размерности 1 неприводимо.) • Если <р(А) = А (определяющее представление), то char </? = х\ + • • • + хп = 5i (si следует понимать как функцию от переменных xi,..., хп). Представление неприводимо. • Если <р(А) = det(A)m, где га G Z, то char<p = (xi •••xn)m. Если га ^ 0, то char<^ = s\, где Л = (гап). Для всякого т это представление неприводимо. • Если (р(А) = (А"1)*, то char<^ = xj-1 Н Ьх"1 = (xi •• •xn)-1sin-i. Представление неприводимо. Чтобы привести чуть более содержательный пример, обозначим через End(F) множество всех линейных преобразований X: V —► V.
732 Приложение 2 к гл. 7 Рассмотрим действие группы GL(F) на End(F), заданное формулой А • X = АХА~Х. Оно называется присоединенным представлением группы GL(V) и обозначается ad. Заметим, что dim ad = dimEnd(F) = га2. Чтобы вычислить char(ad), выберем сначала упорядоченный базис пространства V; таким образом, можно отождествить End(F) с кольцом Mat(ra) всех комплексных матриц размера га х га. Пусть А = diag(#i,..., вп) —диагональная матрица с элементами 01,..., вп на диагонали. Пусть Е^ —матрица из Mat (га) с единицей на пересечении строки с номером г и столбца с номером j и нулями во всех остальных позициях. Заметим, что AEijA = 6i6j Eij. Следовательно, Eij являются собственными векторами для ad (А), отвечающими собственным числам OiOj1. Мы нашли га2 линейно независимых собственных векторов; значит, trad(A) = 5^e,-ej-1, где г, j пробегают числа от 1 до га. Отсюда вытекает, что char(ad) = /^XjxJ1 = l + (xi---xny1 (га - l)(xi •••xn) + yi—(xi---xn) гфз Xj = s0 + (xi •••xn) 1s2in-2. (A2.3) Следовательно, ad имеет две неприводимые компоненты, одна из которых — тривиальное представление (с характером 50). Иначе говоря, пространство Mat(ra) содержит одномерное подпространство, инвариантное относительно действия группы GL(ra, С). Это пространство состоит из скалярных кратных единичной матрицы. Дополнительное к нему GL(ra, С)-инвариантное неприводимое подпространство состоит из матриц со следом 0. Классическое определение функций Шура (теорема 7.15.1) можно рассматривать как формулу для спаг(<^Л) в виде отношения ад+б/^б двух определителей. Читатели, знакомые с теорией представлений полупростых алгебр Ли или групп Ли, узнают в ней формулу характеров Вейля для группы GL(ra, С). Разложение знаменателя as = Пг<7"(х* ~~ хз) на множители — это в точности формула знаменателей Вейля для группы GL(ra,С). Заметим теперь, что для всякого полиномиального (или рационального) представления <р группы GL(ra,C) по определению (А2.2) характера char(<^) имеем dim<^ = char(^)(ln). (А2.4)
Приложение 2 к гл. 7 733 В частности, s\(ln) = dimcpx. Формула для 5л(1п), полученная из формулы (7.105) при подстановке q = 1, эквивалентна формуле размерности Вейля для группы GL(n, С). Следствие 7.21.4 является ее альтернативной формой. Идея доказательства теоремы А2.4. Хотя мы и не будем доказывать здесь теорему А2.4, скажем несколько слов о структуре доказательства. Пусть V есть n-мерное комплексное векторное пространство. Тогда GL{V) действует диагонально на А:-й тензорной степени V®k, т. е. А • (vi ® • • • ® vk) = (А • vi) ® • • • ® (А • t/fc), (А2.5) а симметрическая группа б& действует на V®k, переставляя тензорные координаты, т. е. ги • (vi ® • • • ® г/*) = ^-1(1) ® • • • ® v^-i(fc). (А2.6) Действия GL(F) и 6& коммутируют, и мы получаем действие группы 6fc х G\j(V) на пространстве F®fc. Решающий факт состоит в том, что действия GL( V) и (5 к централизуют друг друга, т. е. обратимые линейные преобразования V®k —> V®k, коммутирующие с действием 6^, — это в точности преобразования, определенные в (А2.5). И наоборот, линейные преобразования, которые коммутируют с действием GL(F), — это преобразования, порожденные (как С-алгебра) преобразованиями (А2.6). Используя это, можно показать, что V®k разлагается на неприводимые <5к х СЬ(У)-модули следующим образом: V®k = ]J(Mx®Fx), (А2.7) л где Ц означает прямую сумму. Здесь Мх — неизоморфные неприводимые в к -модули, Fx — неизоморфные неприводимые GL(F)- модули, а Л пробегает некоторое множество индексов. Мы знаем (теорема 7.18.5), что неприводимые представления &к индексируются разбиениями Л числа к; таким образом, можно выбрать индексы так, чтобы Мх являлся неприводимым 6 к -модулем, отвечающим разбиению Л Ь к в смысле теоремы 7.18.5. Итак, мы построили неприводимые (или, возможно, нулевые) GL(F)-модули Fx. Эти модули задают полиномиальные представления <^Л, и все ненулевые представления не эквивалентны. (Аргумент, приведенный ниже, показывает, что Fx ф 0 тогда и только тогда, когда £(Х) ^ п.)1) *) Формулу (А2.7) и эскиз доказательства, приведенный выше, объединяет название «двойственность Шура-Вейля». Она составляет основу теории представлений групп GL(V) и <5П. — Прим. ред.
734 Приложение 2 к гл. 7 Теперь мы вычислим характер представления (рх. Пусть w х А — элемент группы &k х GL(V) и tr(w х А) означает след элемента w х А, действующего на V®k. Тогда из разложения (А2.7) получаем ti(w хА) = 5]хЛН ' ti(<px(A)). л Пусть в = (01,..., вп) —собственные числа матрицы А. Непосредственное вычисление показывает, что tr(u? х А) = рр(т)(в); следовательно, Pp(")W = £xAH(chaiV)(0). Л Но мы знаем (следствие 7.17.4), что л Поскольку все хЛ линейно независимы, мы заключаем, что char <^Л = s\. Отдельное рассуждение показывает, что других неприводимых полиномиальных характеров нет. Это завершает набросок доказательства. □ Специальная линейная группа SL(ra, С) определяется как подгруппа в GL(ra,С), состоящая из матриц с определителем 1. Иногда более удобно работать с SL(ra, С), чем с GL(ra, С). Поэтому мы обсудим основы теории представлений группы SL(ra,С). Главный результат — это следующая теорема: А2.5. Теорема. Пусть A Е Par и £(Х) ^ п. Тогда ограничение представления рх на SL(n, С) остается неприводимым. Все представления рх при £(Х) ^ п— 1 не эквивалентны. Если £(Х) = п, то рх и (^(л1_лпЛ2-ап,...,о) эквивалентны как представления группы SL(n, С). Каждое полиномиальное (или рациональное) представление группы SL(ra, С) есть прямая сумма неприводимых представлений рх при £(Х) ^ п — 1. Если 0i,... ,0П —собственные числа матрицы A G SL(ra,C), то в1 • • • вп = 1. Следовательно, естественно определить характер char<^ полиномиального представления </? группы SL(ra, С) как элемент кольца £п = Ап/(х\ • • -хп — 1), т.е. кольца симметрических функций от переменных х\,..., хп, профакторизованного по соотношению х\- • -хп = 1. Базис этого кольца над С состоит из функций Шура 5д при £(Х) ^ п — 1, и два полиномиальных представления группы SL(ra, С) эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же характеры (рассматриваемые как элементы из Еп). В качестве примера вычисления характера представления группы SL(ra, С) определим присоединенное представление группы
Приложение 2 к гл. 7 735 SL(n,C) как действие группы SL(n,C) на множестве Endo(T^) линейных преобразований X: V —► V с нулевым следом, заданное формулой АХ = АХА~1. Иными словами, мы ограничиваем присоединенное представление группы GL(ra, С) на подгруппу SL(n, С) и его действие — на подпространство пространства End(F), состоящее из линейных преобразований с нулевым следом (алгебру Ли sl(V)). Из уравнения (А2.3) видно, что Endo(F) является неприводимым подпространством относительно присоединенного представления группы GL(ra, С) с характером (Х\ • • • Хп)~ 52in-2 G Лп. Следовательно, присоединенное представление группы SL(ra,C) неприводимо, и его характер равен s2in-2 £ Нп. Мы завершим это приложение обсуждением связей между теорией представлений и двумя операциями на симметрических функциях. Первая операция —это обычное произведение fg. Пусть ц>: GL(V) -* GL(W) и у/: GL(V) -* GL(W) - два полиномиальных представления группы GL(V). Тензорное произведение представлений tp® tp1: GL(V) -> Gh{W 0 W) определяется формулой A • (w 0 w') = (A • w) 0 (A • w') и распространяется на все пространство W 0 W по билинейности. Если В: W —* W и В': W —* W' — два линейных преобразования с собственными числами в\,..., 6^ и 6[,..., 6'N, соответственно, то собственными числами для Б 0 Б' являются в^в'^. Отсюда следует, что char(^? 0 <//) = char(<^) • char((^'). В частности, если Л, /i, ^ — разбиения длины не более п = dim V, то кратность представления <^Л в <^м 0 </?" — это в точности коэффициент Литтлвуда-Ричардсона Следовательно, коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона допускают простую интерпретацию, основанную на теории представлений группы GL(ra, С) и показывающую, в частности, что они неотрицательны. Таким образом, мы видели три основных способа доказать, что с*и > 0: (а) комбинаторный, при помощи правила Литтлвуда-Ричардсона (теорема Al.3.1.); (Ь) алгебраический, использующий теорию представлений симметрической группы (см. следствие 7.18.6); (с) алгебраический, использующий теорию представлений полной линейной группы (как было сделано выше). Два метода (Ь) и (с) в некотором смысле «двойственны» друг другу; эта двойственность возникает из спаривания (А2.7) неприводимых представлений групп &k и GL(F).
736 Приложение 2 к гл. 7 Вторая операция на симметрических функциях, которую мы рассматриваем здесь, может показаться на первый взгляд недостаточно мотивированной, если не понимать ее связи с теорией представлений. Предположим, что имеются полиномиальные представления (р: GL(V) -> GL(W) и ф: GL(W) -> GL(r). Тогда композиция г/мр: GL(F) —* GL(Y) задает полиномиальное представление группы GL(F). Мы хотим вычислить его характер. Предположим, что собственные числа преобразования A G GL(F) равны 01,...,вп. Тогда по предложению А2.3 собственные числа преобразования (р(А) являются одночленами 0а, где ха G М.^. Аналогично, если собственные числа преобразования В равны (д,..., (jy, то собственные числа преобразования ф{В) есть одночлены £6, где хъ G Л4гр. Следовательно, если мы запишем одночлены 6а в виде 6а ,..., 6а (в некотором порядке), то собственными числами преобразования ф<р(А) будут в точности одночлены *ЬЦ=*.«> хьеМтр. (А2.8) Таким образом, если / = Хл=1 @а = спаг(^) и 9 = char(^), то мы получаем сЪат(ф1Р)=д(ва\...,ва"), Эта формула приводит нас к следующему определению. А2.6. Определение. Предположим, что симметрическая функция / G Л есть сумма одночленов, скажем, / = Yli>i ха • По данной функции д G Л определим плетизм g[f] (иногда обозначаемый через fog) формулой g[f}=g(xa\xa\...). (Этимология термина «плетизм» объяснялась в замечаниях к гл. 7.) Например, так как si = Х1+Х2 + ..., то g[s{\ = #(xi,X2,.. •) = 9- Более общим образом, для рп = х\ 4- x% 4- • • • f\pn] = /К, *?,...)=£ ха'п = Pn[f]. (А2.9) Из определения плетизма ясно, что (а/ + Ьд) [h] = af[h] + bg[h], a,beQ, (A2.10) (f9)[h}=f[h]-g[h). (A2.ll) Равенство (A2.9) можно использовать для того, чтобы определить pn[f] для всех / G Л, а затем соотношения (А2.10) и (A2.ll) позволят определить g[f] для всех /,# G Л. В частности, если д =
Приложение 2 к гл. 7 737 X^caPa, то А г=1 Например, используя предложение 7.7.6 и формулу (7.19), получаем €(А) Ahn Ahn 1 = 1 Ahn Затем из (A2.10) и (A2.ll) следует, что /[-5l] = (-l)nuj(f) для всех/GAn. (А2.12) Часто некоторые тождества для симметрических функций могут быть переформулированы на языке плетизма. Вот лишь один пример. В следствии 7.13.8 утверждается, что Ш1-^)-а<,(1-*^) = ?Sa(x)' Мы оставляем читателю доказательство того, что это тождество эквивалентно формуле для плетизма (J2 О tei+е2] = Y15л- (А2-13) ^п^О ' А Возвращаясь к значению плетизма в теории представлений и сравнивая формулу (А2.159) с определением плетизма (определение А2.4), мы видим, что char(^) = char (ф) [char (</?)]. Здесь подразумевается, что мы ограничиваемся переменными xi,...,хп (где <р — представление группы GL(ra, С)). На основании этого равенства многие тождества для симметрических функций приобретают значение в теории представлений. Например, положим Н{х) = ho + hi +... . Читатели с достаточной алгебраической подготовкой узнают в #(xi,... ,жп) характер группы GL(F) (где dimF = га), действующей на симметрической алгебре S(V). Аналогично, (ei + e2)(xi,... ,хп) есть характер группы GL(F), действующей на пространстве А1(У) фА2(У), где А2 означает вторую внешнюю степень. Следовательно, формула (А2.13) эквивалентна утверждению о том, что действие группы GL(F) на пространстве S(A1(V) 0 A.2(V)) содержит в точности по одному разу каждое
738 Приложение 2 к гл. 7 неприводимое полиномиальное представление группы GL(F) и не содержит других представлений. Важное свойство плетизма дает следующий результат. А2.7. Теорема. Пусть fug суть N-линейные комбинации функций Шура. Тогда плетизм g[f] также будет N-линейной комбинацией функций Шура. Доказательство. Так как / является N-линейной комбинацией функций Шура, то для любого mGP функция /(xi,... ,xm) будет характером полиномиального представления </?: GL(ra, С) —* GL(n, С) при достаточно больших п. Аналогично, д{х\,..., хп) есть характер полиномиального представления ф: GL(ra, С) —* GL(F). Следовательно, плетизм g[f](x\,... ,хп) является характером композиции %1)ф и, таким образом, будет N-линейной комбинацией функций Шура. Теперь устремим п к бесконечности. □ Не известно ни одного доказательства теоремы А2.7, которое не использовало бы теорию представлений. В частности, не известно комбинаторного правила для разложения плетизма sn [sm], аналогичного правилу Литтлвуда-Ричардсона. Поиск такого правила остается одной из замечательных открытых проблем в теории симметрических функций. Можно спросить, имеется ли некое произведение характеров группы 6П, которое соответствует плетизму так же, как определенное в разд. 7.18 «произведение индуцирования» характеров симметрических групп соответствует обычному произведению симметрических функций. Мы кратко наметим ответ на этот вопрос, подразумевая некоторое знание теории групп. Предположим, что n = km. Группу 6™ можно естественным образом рассматривать как подгруппу Юнга группы 6П. Пусть N = N(&™) обозначает нормализатор подгруппы 6™ в &п. Таким образом, подгруппа N изоморфна сплетению в^§вт, также обозначаемому &к I 6т, &к ~ 6m, 6fcwr6m или &т[&к\- Имеется следующий естественный (функториальный) способ определения представления сг§р: N —► GL(y®m 0 W) по данным представлениям а: 6к —► GL(V) и р: 6т —► GL(W). Элемент N можно естественным образом рассматривать как пару (/,г;), где /: [га] —► 6& и v Е &т. Положим (/,г/)-(ж1®---®жт®у) = (/(l)a;t;-i(1))®---®(/(m)a;t;-i(m))®(vy). Если ха означает характер представления а, то положим Ха§Хр = Ха^р- Теперь мы можем сформулировать основной результат, связывающий плетизм с представлениями группы &п.
Приложение 2 к гл. 7 739 А2.8. Теорема. Пусть \ —характер группы &k, а в —характер группы &гп- Тогда chind^5?)(x§e) = (che)[chx]. А2.9. Пример. 1-фактор (или полное паросочетание) на [2п] — это граф с множеством вершин [2п] и с п ребрами, не имеющими общих вершин. Пусть Оп обозначает множество всех 1-факторов на множестве [2п]. Симметрическая группа &2п действует на Оп, переставляя вершины. Как характер фп этого действия разлагается на неприводимые характеры? Действие группы &2П на Оп транзитивно, и стабилизатор 1-фактора с ребрами {1,2}, {3,4},..., {2п — 1,2п} есть в точности подгруппа N(&2)- Следовательно, сЪфп = chl^e}) = (chleJ[chle2] = hn[h2]. Тогда Y2 нп[ы = Ц(1 - xtXj)-1. Положив q = О в формуле (7.202), мы получим, что Ylil-XiXj)'1 = Y,s^- Значит, i in \\ J 1» если Л = 2 ц для некоторого разбиения [i h n, 1 0 в противном случае.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Абель (Abel, N.) 170 Абрамсон (Abramson, М.) 370 Абъянкар (Abhyankar, S.) 333 Аваль (Aval, J.-C.) 391 Адлер (Adler, М.) 630 Айгнер (Aigner, М.) 368 Айзеке (Isaacs, I. М.) 652, 654, 657, 660, 662, 672, 675 Айссен (Aissen, М.) 680, 681 Айхлер (Eichler, М.) 277 Акин (Akin, К.) 633 Аллуш (Allouche, J.-P.) 338 Алмквист (Almkvist, G.) 139, 332 Алон (Alon, N.) 377 Альперин (Alperin, J. L.) 654 Альтер (Alter, R.) 276 Ананд (Anand, H.) 91 Андо (Ando, Т.) 681 Андре (Andre, D.) 273, 355 ван Арденн-Эренфест (van Aardenne- Ehrenfest, Т.) 91, 93 Атанасиадис (Athanasiadis, С. А.) 156, 180, 191-193, 351, 355 Аткин (Atkin, А. С.) 526 Бабсон (Babson, Е.) 627, 677 Байк (Baik, J.) 696 Бальдони-Сильва (Baldoni-Silva, W.) 393 Бандерье (Banderier, С.) 386 Баркуччи (Barcucci, Е.) 387 Барнард (Barnard, F. R.) 227 Бар-Хиллел (Bar-Hillel, Y.) 383 Баше (Bacher, R.) 322 Бейссингер (Beissinger, J. S.) 142, 143, 187, 189 Бекуит (Beckwith, D.) 366 Беккер (Becker, H. W.) 349, 374 Белчер (Belcher, P.) 279 Бендер (Bender, E. A.) 88, 91, 149, 528, 532, 612 Беньон (Benyon, W. M.) 643 Бёрдж (Burge, W. H.) 524, 532, 626, 628 Береле (Berele, A.) 532 Беренштейн (Berenstein, A. D.) 612, 681, 724, 726 Бержерон (Bergeron, F.) 93, 276, 376, 391 Бержерон (Bergeron, N.) 391 Берлекэмп (Berlekamp, E.) 359 Берне (Burns J.) 605 Бернсайд (Burnside, W.) 529, 532 Бернхарт (Bernhart, F.) 342 Берстель (Berstel, J.) 276, 384 Бертрам (Bertram, E. A.) 147 Бертран' (Bertrand, J.) 273, 276 Бессенродт (Bessenrodt, C.) 672, 694 Бетрема (Betrema, J.) 354 Бибербах (Bieberbach, L.) 681 Биггс (Biggs, N.) 93 Биденхарн (Biedenharn, L. C.) 532 Билли (Billey, S. C.) 345-347, 349, 352, 359, 690 Бим (Веет, E. A.) 532 Бине (Binet, J. P. M.) 272, 276 Блекуэлл (Blackwell, D. H.) 695 Блум (Bloom, D. M.) 356 Блюм (Blum, J.) 147 Блюм (Blum, P.) 379 Болкер (Bolker, E. D.) 147 Болобаш (Bollobas, B.) 696 Бона (Вбпа, M.) 348, 371, 373 Бонин (Bonin, J.) 370 Бородин (Borodin, A. M.) 696, 697 Борхардт (Borchardt, C. W.) 89, 92, 93, 630 Бохнер (Bochner, S.) 339 Брайан (Bryan, J.) 151 Бракман (Bruckman, P. S.) 376, 393 Браун (Brown, W. G.) 276 де Брёйн (de Bruijn, N. G.) 91, 92, 93, 530, 532 Бренти (Brenti, F.) 635, 681
Именной указатель 741 Брессу (Bressoud, D. М.) 691 Бринк (Brink, В.) 383 Бромвич (Bromwich, Т. J. ГА.) 90, 93, 195, 196, 199 Брылявски (Brylawski, Т.) 608 Брылински (Brylinski, R. К.) 674 Брэтли (Bratley, Р.) 532 Бук (Bouc, S.) 627 Буланже (Boulanger, А. Н. L.) 333 Буске-Мелу (Bousquet-Melou, М.) 371, 372, 386, 391 Бьёрнер (Bjorner, А.) 143, 184, 190, 364, 383, 627, 677 Вагнер (Wagner, А.) 700 Вагнер (Wagner, В.) 645, 660 Вагнер (Wagner, D. G.) 638 Вайдя (Vaidya, S.) 333 Вайн (Wine, R. L.) 353 Вайсанен (Vaisanen, К.) 357, 613 Вален (Vahlen, К. ТЪ.) 519, 539 Вальехо (Vallejo, Е.) 673 Вальтр (Valtr, Р.) 360, 362 Ван (Wang, D.-L.) 187 Вандивер (Vandiver, Н. S.) 676 Ванкелен (Vanquelin, D.) 368 ван дер Варден (van der Waerden, В. L.) 522, 539 Варинг (Waring, Е.) 520 Вахс (Wachs, М. L.) 184, 190, 364, 539, 650, 690 Веддербёрн (Wedderburn, J. Н. М.) 374 Вейль (Weyl, Н.) 530, 539 Вейман (Weyman, J.) 627, 628, 676 Вейсс (Weiss, В.) 189 Велкер (Welker, V.) 366, 627, 677 Вернь (Vergne, М.) 393 Вершик (Vershik, А. М.) 474, 525, 527, 531, 681, 682, 695, 696 Ветта (Vetta, А.) 350 Вигнер (Wigner, Е. Р.) 387, 389, 395 Визентин (Visentin, Т. I.) 653 Витале (Vitale, М. R.) 612 Во (Vo, К. Р.) 619 Воан (Woan, W.-J.) 342, 343 Воган (Vaughan, Т.) 640 Войкулеску (Voiculescu, D. V.) 175 Вольстенхольм (Wolstenholme, J.) 195, 196 Вольфарт (Wohlfahrt, К.) 149 Вольфганг (Wolfgang, Н. L.) 690 Вречиа (Vrecia, S. Т.) 627 Вудкок (Woodcock, С. F.) 332, 333, 336, 337, 338 Вун (Vun, I.) 279 Вьенно (Viennot, G. X.) 145, 157, 279, 343, 354, 372, 376, 520, 521, 524, 534, 539 Габриелов (Gabrielov, А.) 394 Гай (Guy, R. К.) 354, 360, 387 Ганди (Gandhi, J. М.) 145 Ганснер (Gansner, Е. R.) 686, 688 Гантмахер Ф. Р. 681, 682 Гарди (Gardy, D.) 387 Гарднер (Gardner, М.) 277, 350 Гарсиа (Garsia, А. М.) 91, 159, 359, 533, 623, 642, 647, 648, 686, 726, 727 Гарст (Garst, P. F.) 627 Гаскон (Gascon, F.) 543 Гаусс (Gauss, С. F.) 646 Гашаров (Gasharov, V. N.) 638, 640 Гейл (Gale, D.) 615 Гельфанд (Gelfand, I. М.) 179, 277, 344, 363, 521, 534 Гессель (Gessel, I. М.) 88, 89, 91, 94, 140, 141, 162, 165, 166, 187, 190, 199, 201, 274, 277, 341, 349, 354, 356, 376, 379, 520, 521, 526, 529, 534, 609, 613, 620, 650, 678, 679, 686, 690, 698 Гету (Getu, S.) 369 Гецлер (Getzler, Е.) 677 Гибер (Guibert, О.) 349, 376, 391 Гиллман (Hillman, А. Р.) 529, 534 Гильберт (Hubert, D.) 335 Гиппарх 274 Глисон (Gleason, А. М.) 147 Голдберг (Goldberg, L. R.) 358 Голдман (Goldman, J.) 88, 91 Голомб (Golomb, S. W.) 94 Гордон (Gordon, В.) 147, 527, 528, 534, 613 Горески (Goresky, М.) 297
742 Именной указатель Граев (Graev, М. I.) 179, 344, 363 Грассл (Grassl, R. М.) 529, 534 Гренсинг (Grensing, D.) 374 Гризер (Grieser, D.) 202 Гримсон (Grimson, R. С.) 89, 94 Грин (Greene, С.) 525, 529, 533, 534, 608, 617, 619, 640, 642, 725-727 Грэхем (Graham, R. L.) 93, 369, 374, 375, 376 Гуд (Good, I. J.) 91, 94 Гудалл (Goodall, S.) 372 Гудман (Goodman, F. M.) 347, 358 Гуйу-Бошам (Gouyou-Beauchamps, D.) 368, 372, 613, 387 Гульд (Gould, H. W.) 170, 277, 350 Гульден (Goulden, I. P.) 186, 371, 613, 630, 640, 653 Грабинер (Grabiner, D.) 384 Гупиль (Goupil, A.) 653 Гупта (Gupta, H.) 88, 91, 94 Гурвиц (Hurwitz, A.) 87, 89, 94, 170, 186, 273, 682 Густафсон (Gustafson, R. A.) 609 Гутман (Gutman, I.) 210, 211 Двир (Dvir, Y.) 672 Дворецкий (Dvoretzky, A.) 90, 93 Дворк (Dwork, B.) 140, 380 Дезарменьен (Desarmenien, J.) 650 Дей (Dey, I.) 149 Дейфт (Deift, P.) 696, 697 Дёйч (Deutsch, E.) 322, 342, 353, 385, 390 Декост (Decoste, H.) 664 Делест (Delest, M.-P.) 343 Делинь (Deligne, P.) 338 Дель Лунго (Del Lungo, A.) 387 Денеш (Denes, J.) 185 Денеф (Denef, J.) 338 Дениз (Denise, A.) 386 Деодхар (Deodhar, V.) 373 Дершовиц (Dershowitz, N.) 93, 174, 349 Джаимо (Giaimo, D.) 129 Джакометти (Giacometti, A.) 385 Джамбелли (Giambelli, G. Z.) 522, 534, 633 Джаффе (Jane, J.) 382 Джеймс (James, G. D.) 535, 645, 646, 726, 727 Джексон (Jackson, D. M.) 186, 348, 653 Джексон (Jackson, F.) 91 Джили (Gili, J.) 358 Джойал (Joyal, A.) 88, 89 Джокуш (Jockusch, W.) 345-347, 352, 359, 690 Джонс (Jones, V. F. R.) 347, 358 Джонсон (Johnson, C. R.) 204 Джонсон (Johnson, W. W.) 521, 535 Диаконис (Diaconis, P.) 93, 696 Дикинс (Dickins, A.) 357, 358 Дике (Dicks, W.) 332 Дин (Dean, R. A.) 353 Долд (Dold, A.) 139 Доллхопф (Dollhopf, J.) 640 Донахи (Donaghey, R.) 368 Доннелли (Donnelly, R. G.) 352 Доран (Doran, W. F.) 636, 642 Доти (Doty, S.) 533 Дресс (Dress, A. W. M.) 88, 93, 149 Дуб (Doob, M.) 93, 211 Дубиле (Doubilet, P.) 88, 610 Думир (Dumir, V. C.) 91 Дункан (Duncan, D. G.) 648 Дынкин (Dynkin, Б. B.) 667 Дэвис (Davis, M. W.) 383 Дюлюк (Dulucq, S.) 185, 344, 371, 376, 621 Дюмон (Dumont, D.) 141, 145 Дюшам (Duchamp, G.) 533 Еременко (Eremenko, A.) 394 Жакоб (Jacob, G.) 275, 277, 382 Жиа (Jia, R. Q.) 612 Живальевич (Zivaljevi6, R.) 627 Жир (Gire, S.) 369, 371 Жирар (Girard, A.) 519, 534 Загир (Zagier, D.) 653 Зайденберг (Seidenberg, A.) 529, 539 Закс (Zaks, S.) 93, 174, 349
Именной указатель 743 Захс (Sachs, Н.) 93, 374 Залп (Zapp, H.-Chr.) 374 Заславский (Zaslavsky, Т.) 143 Зейльбергер (Zeilberger, D.) 278, 279, 356, 371, 379, 393, 525, 533, 668, 691 Зелевинский (Zelevinsky, А. V.) 277, 540, 612, 624, 633, 681, 724, 726, 727 Зингер (Singer, D.) 91, 95 Зингер (Singer, М. F.) 333, 379, 380 Ирланд (Ireland, К.) 140 Йе (Yeh, Y. N.) 157 Йенишен (Janischen, W.) 139 Йоханссон (Johansson, К.) 696 Каделл (Kadell, К.) 694 Кадоган (Cadogan, С. С.) 678 Казарян (Kazarian, М.) 274, 277 Каликов (Kalikow, L.) 191 Кальдербанк (Calderbank, A. R.) 174, 678 Камерон (Cameron, P. J.) 178 Капалбо (Capalbo, М.) 212 Капранов (Kapranov, М. М.) 277, 677 Карагезян (Karagueuzian, D. В.) 627 Карлин (Karlin, S.) 681 Карлиц (Carlitz, L.) 91, 139, 145, 153, 163, 178, 209, 337, 359, 378, 528, 532, 640 Карлсен (Carlsen, I.) 374 Кармони (Carmony, L.) 278 Карп (Кагр, R. М.) 615 Каррелл (Carrell, J. В.) 522, 532 Каталан (Catalan, Е. С.) 272, 276 Каханер (Kahaner, D.) 176, 177 Кац (Кае, М.) 204 Кац (Katz, М.) 163, 164 Квак (Kwak, J. Н.) 150 Кедлайа (Kedlaya, K.S.) 334 Келлер (Keller, G.) 353 Келлог (Kellogg, А.) 359 Кемп (Kemp, R.) 621 Кеньон (Kenyon, R.) 527 Кербер (КегЬег, А.) 535, 645, 646, 660, 668 Керов (Kerov, S. V.) 642, 653, 682, 695, 696, 726, 727 Ким (Kim, J. Н.) 696 Кинг (King, R.) 344 Кириллов (Kirillov, A. N.) 525, 612, 619, 631, 642, 647, 675 Киркман (Kirkman, Т. Р.) 366 Кирхгоф (Kirchhoff, G.) 89 Клазар (Klazar, М.) 350, 368, 370, 372 Кларк (Clark, М. L.) 530 Кларнер (Klarner, D. А.) 277, 342 Клейман (Kleiman, М.) 369, 375, 376 Клейман (Kleiman, S. L.) 535 Клейтман (Kleitman, D. J.) 608, 725, 727 Клещев (Kleshchev, A. S.) 672 Клячко (Klyachko, А.) 533 Кнёдель (Knodel, W.) 178 Кнут (Knuth, D. Е.) 89, 94, 201, 211, 346-348, 352, 369, 523, 524, 527, 528, 532, 535, 612, 726 Кнутсон (Knutson, D.) 675 Коблиц (Koblitz, N.) 140 Козлов (Kozlov, D. N.) 167 Кокер (Koker, J.) 278 Кокстер (Coxeter, Н. S. М.) 276, 355 Коме (Comet, S.) 645 Кон (Cohn, Н.) 156, 374, 527, 532 Кон (Cohn, Р. М.) 271, 276, 333 Конвей (Conway, J. Н.) 276, 355 Конте (Comtet, L.) 87, 89, 274, 275, 276, 373, 374 Конхейм (Konheim, A. G.) 189 Концевич (Kontsevich, М.) 209, 677 Кори (Cori, R.) 348, 376 Костант (Kostant, В.) 631, 681, 683 Костка (Kostka, С.) 520, 521, 535 Костлан (Kostlan, Е.) 374 Кофман (Cofman, J.) 276 Коши (Cauchy, A. L.) 520, 529, 532 Крамер (Cramer, G.) 520 Крало (Сгаро, Н.) 192 Краскевич (Kraikiewicz,W.) 619, 676
744 Именной указатель Краттенталер (Krattenthaler, С.) 91, 344, 387, 525, 528, 535, 689 Креверас (Kreweras, G.) 174, 187, 189, 368, 525 Крейн М. Г. 681 Кремер (Kremer, D.) 369, 621 Кристал (Chrystal, G.) 276 Кроб (Krob, D.) 376, 381, 533-535 Куензи (Kuenzi, N. J.) 278 Кузик (Cusick, Т. W.) 375 Кузнецов (Kuznetsov, А.) 368 Куих (Kuich, W.) 278 Куперберг (Kuperberg, G.) 374, 691 Кучински (Kuchinski, М.) 278 Кэли (Cayley, А.) 89, 90, 92, 93, 273, 276, 366 Кэллан (Callan, D.) 203 Кэнфилд (Canfield, Е. R.) 176 Кэртис (Curtis, С. W.) 533, 669 Лабель (Labelle, G.) 90, 91, 93, 94 Лабель (Labelle, J.) 157 Лагранж (Lagrange, J. L.) 90, 94, 198 Лайнайал (Linial, N.) 180 Лайонс (Lyons, R.) 340 Лаксов (Laksov, D.) 535 Лакшмибаи (Lakshmibai, V.) 373 Ламе (Lame, G.) 272, 278 Ландо (Lando, S.) 274, 277 Ларкомб (Larcombe, P. J.) 273 Ларсен (Larsen, M.) 340, 374, 527, 532 Лас Верньяс (Las Vergnas, M.) 143 Ласку (Lascoux, A.) 349, 534, 618, 624, 628, 632, 633, 647, 675, 692, 727 Левин (Levine, J.) 343 Лезье (Lesier, L.) 522, 536 Лейбовиц (Leibowitz, R.) 278 Лейтон (Leighton, F. T.) 355 Лейц (Leitz, M.) 654 Леклерк (Leclerc, B.) 533-535, 630, 647 Лемер (Lemaire, J.) 362 Ленарт (Lenart, C.) 642 Ленг (Lang, S.) 278 Леру (Leroux, P.) 93 ван Леувен (van Leeuwen, M. A. A.) 523, 536, 727 Лефшец (Lefschetz, S.) 278 Ли (Lee, C. W.) 278, 365, 366 Ли (Lee, J.) 150 Либлер (Liebler, R. A.) 612 Ливингстон (Livingstone, D.) 700 ван Линт (van Lint, J. H.) 95, 354 Линуссон (Linusson, S.) 191, 349, 627, 677 Липшиц (Lipshitz, L.) 278, 338, 379, 380 Лисковец В. A. 150, 151 Литтелман (Littelmann, P.) 636 Литтлвуд (Littlewood, D. E.) 521, 523, 525, 528, 530, 536, 582, 626, 628, 631, 645, 666, 671, 680, 726 Ллойд (Lloyd, E. K.) 536 Ловас (Lovasz, L.) 627 Логан (Logan, B. F.) 695 Локк (Locke, S. C.) 182 Лонгир (Longyear, J. Q.) 186 Лотэр (Lothaire, M.) 90, 678 Лоук (Louck, J. D.) 532 ван де Луне (van de Lune, J.) 360 Луо (Luo, Jian-Jin) 278 Льюис (Lewis, J.) 191 Льюис (Lewis, R. P.) 147 Лэм (Lam, T. Y.) 612 Любоцкий (Lubotzky, A.) 149 Люстиг (Lusztig, G.) 526, 643 Макдональд (Macdonald, I. G.) 349, 520, 523, 529, 532, 536, 612, 618, 619, 675, 690, 726 Мак-Кей (McKay, J. K. S.) 532, 612 Макинтош (Mcintosh, R. J.) 375 Макки (Mackey, G.) 669 Мак-Магон (MacMahon, P. A.) 178, 352, 524, 526-528, 536, 537, 689, 699 Мак-Уильяме (MacWilliams, J.) 209 Макферсон (MacPherson, R.) 297 Мак-Элис (McEliece, R. J.) 523 Мальвенуто (Malvenuto, C.) 537, 686 Мартин (Martin, W. T.) 339
Именной указатель 745 Матье (Mathieu, О.) 677 Махадев (Mahadev, N. V. R.) 142 Медных (Mednykh, A. D.) 653, 655 Метрополис (Metropolis, N.) 89, 95 Миллс (Mills, W. Н.) 691 Милн (Milne, S. С.) 609 Мин (Ming, An-tu) 273 Митчелл (Mitchell, О. Н.) 521, 537 Мозер (Moser, J.) 630 Мозер (Moser, М. О. J.) 370 Молев (Molev, А.) 537 Моро (Moreau, М.) 699 Моррисон (Morrison, J.) 374 Моррисон (Morrison, S.) 379 Моханти (Mohanty, S. G.) 356 Моцкин (Motzkin, Т.) 90, 93, 368 Мошковский (Moszkowski, P.) 186, 189, 368 Маллин (Mullin, R. C.) 176, 177, 350, 370 Мун (Moon, J. W.) 90, 95, 353 Myp (Moore, W. K.) 89, 93 Мурнаган (Murnaghan, F. D.) 525, 537 Мэллоуз (Mallows, C. L.) 187, 376 Мюир (Muir, T.) 521, 537 Мюллер (Muller, T.) 88, 93, 149 фон Нагельсбах (von Nagelsbach, H. E.) 520, 522, 537 Найквист (Nyquist, H.) 204, 205 Накаяма (Nakayama, T.) 525, 537, 645, 646 Нанда (Nanda, V. S.) 526, 537 Нараяна (Narayana, T. V.) 356, 368 Невилл (Neville, E. H.) 90, 95 Нерсде (Nerode, A.) 382 Нетто (Netto, E.) 272, 335 Нидерхаузен (Niederhausen, H.) 387 Нийенхёйс (Nijenhuis, A.) 158, 525, 534 Ника (Nica, A.) 175, 349, 657 Николе (Nichols, W.) 357 Николь (Nicol, C. A.) 676 Нкванта (Nkwanta, A.) 372 Новелли (Novelli, J.-C.) 525, 537 Ной (Noy, M.) 185 Нортон (Norton, S. P.) 147 Ньюман (Neumann, P. M.) 537 Ньюман (Newman, M.) 204, 355, 629 Ньютон (Newton, I.) 520 Одама (Odama, Y.) 129 Одлыжко (Odlyzko, A. M.) 176, 177, 354, 374 Окада (Okada, S.) 537 Оказаки (Okazaki, S.) 649, 699 Октач (Oktac, A.) 278 Окуньков (Okounkov, A.) 474, 527, 537, 681, 682, 696, 697 Олдос (Aldous, D.) 276, 696 Олссон (Olsson, J. B.) 645, 647 Ольшанский (Olshanski, G.) 531, 537, 681, 682, 696, 697 Орлик (Orlik, P.) 192 Остин (Austin, T. L.) 169 Оукли (Oakley, С. O.) 341 O'Xapa (O'Hara, К. M.) 621, 668 Оянгурен (Ojanguren, M.) 334 Пак (Pak, I.) 191, 193, 368, 525, 537 Палло (Pallo, J. M.) 364 Палмер (Palmer, E. M.) 534 Паттерсон (Patterson, S. J.) 278 Пауле (Paule, P.) 91 Педерсен (Pedersen, J.) 277 Пелед (Peled, U. N.) 142, 143, 189 Пемантл (Pemantle, R.) 340 Пенлеве (Painleve, P.) 333 Пено (Penaud, J.-G.) 185, 344, 354 Пеппер (Pepper, S.) 186 Пергола (Pergola, E.) 369, 387, 391 Перлштадт (Perlstadt, M. A.) 375 Петковсек (Petkovsek, M.) 278 Пжитицки (Przytycki, J. H.) 366 Пиери (Pieri, M.) 522, 537 Пикрелл (Pickrell, D.) 681 Пил (Peel, M. H.) 726, 727 Пирт (Peart, P.) 342 Плутарх 274 Пинцани (Pinzani, R.) 387, 391 Питман (Pitman, J.) 166 Плуффе (Plouffe, S.) 376
746 Именной указатель Пойа (P6lya, G.) 87, 89, 95, 273, 278, 332, 337, 343, 530, 537 Поллак (Pollak, Н.) 189 ван дер Портен (van der Poorten, А. J.) 278, 338 Постников (Postnikov, А.) 179-182, 185, 186, 193, 344, 346, 351, 355, 360, 362, 363, 368, 390, 393 Прагач (Pragacz, P.) 619, 628, 633 Продингер (Prodinger, Н.) 349 Проктор (Proctor, R. А.) 529, 538, 667, 689 Пропп (Ргорр, J.) 354, 374, 527, 532 Прочези (Procesi, С.) 640, 642, 672 Пруе (Prouhet, Е.) 366 Прюфер (Prufer, Н.) 89, 95 Пуже (Pouget, J.) 362 Пупар (Poupard, Y.) 368 Путтенхем (Puttenham, G.) 349 Пууса (Puusa, A.) 357 Пфафф (Pfaff, J. F.) 272 Пюизё (Puiseux, V.) 271, 278 Рабинович (Rabinowitz, S.) 529, 538 Раду (Radoux, C.) 359 Райан (Ryan, К. M.) 372 Райнер (Reiner, I.) 669 Райнер (Reiner, V.) 364, 372, 538, 617, 619, 627 Райе (Rice, J. M.) 358 Райе (Rice, S. O.) 204, 205 Райт (Wright, E. M.) 526, 540, 610, 692 Райфегерсте (Reifegerste, A.) 389, 390 Рамануджан (Ramanujan, S.) 366 Рамсей (Rumsey, Jr., H.) 691 Рандрианаривони (Randrianarivony, A.) 145 Рани (Raney, G. N.) 89, 90, 95 Payc (Routh, E. J.) 682 Регев (Regev, A.) 531, 613, 672, 682 Редфилд (Redfield, J. H.) 530, 538, 671 Рейне (Rains, E.) 177, 199 Реммель (Remmel, J. B.) 91, 525, 528, 529, 532, 538, 628, 648, 673, 726, 727 Ретах (Retakh, V. S.) 534 Решетихин (Reshetikhin, N. Yu.) 642 де Ривьер (de Riviere, A.) 92, 95 Ригби (Rigby, J. F.) 355 Рид (Read, R. C.) 530, 537, 538 Ридцелл (Riddell, R. J.) 87, 95 Рикард (Rickard, J.) 332 Риордан (Riordan, J.) 90, 95, 145, 165, 178, 187, 189, 204, 205, 344 Ричарде (Richards, D.) 348 Ричардсон (Richardson, A. R.) 525, 528, 536, 680, 726 Ричман (Richman, D.) 385 Роббинс (Robbins, D. P.) 690, 691 Роберте (Roberts, J.) 627 Роби (Roby, T. W.) 524, 538, 621 Роббинс (Robbins, D. P.) 393 Робинсон (Robinson, C. A.) 677 Робинсон (Robinson, G. de B.) 523, 524, 533, 538, 645, 726 Робинсон (Robinson, R. W.) 174, 534, 678 Робинсон (Robinson, Robin) 162 Роджерс (Rogers, D. G.) 274, 278, 343, 347, 353, 370 Родригес (Rodrigues, O.) 272, 278 Розелль (Roselle, D. P.) 350, 359 Розен (Rosen, J.) 91, 95 Розен (Rosen, M.) 140 Ройтенауэр (Reutenauer, C.) 276, 278, 349, 382, 383, 537, 538, 636, 650, 678, 686 Ройхман (Roichman, Y.) 664 Роман (Roman, S.) 176 Pocac (Rosas, M. H.) 673 Рота (Rota, G.-C.) 88, 89, 95, 176, 177, 192 Ротбах (Rothbach, B.) 358 Ротем (Rotem, D.) 347 Рубел (Rubel, L. A.) 278, 380 Руби (Rubey, M.) 690 Рэндалл (Randall, D.) 374 Саган (Sagan, В. E.) 387, 538, 621, 624, 727 Саймион (Simion, R.) 185, 348, 350, 349, 370, 641
Именной указатель 747 Сакс (Saks, М. Е.) 667 Салмон (Salmon, G.) 335 Саломаа (Salomaa, А.) 278, 279 Сандарам (Sundaram, S.) 174, 345, 539, 621, 627, 643, 644, 677 Сандья (Sandhya, В.) 373 Саттлер (Sattler, U.) 276 Cere (Szego, G.) 95, 332 де Сегнер (de Segner, A.) 272, 279 Седлачек (Sedlacek, J.) 169 Секели (Szekely, L. A.) 93, 183 Секереш (Szekeres, G.) 529, 533 Сеппаляйнен (Seppalainen, T.) 696 Cepp (Serre, J.-P.) 539 Серф (Cerf, R.) 527 Сешадри (Seshadri, C. S.) 373 Сибуя (Sibuya, Y.) 379 Сикора (Sikora, A. S.) 366 Силлке (Sillke, T.) 149 Сильвестр (Sylvester, G. S.) 91, 96 Сильвестр (Sylvester, J. J.) 89, 92, 96, 668 Скандера (Skandera, M.) 639 Сковилл (Scoville, R. A.) 153, 359, 640 Скойнс (Scoins, H. I.) 169 Скотт (Scott, W. R.) 89, 93 Слитор (Sleator, D. D.) 279 Смит (Smith, С. A. B.) 92, 96 Снэппер (Snapper, E.) 612 Сойттола (Soittola, M.) 279 Соломон (Solomon, L.) 151, 644, 654, 660, 662, 686 Спрингер (Springer, CM.) 186 Стам (Stam, A. J.) 170 Станкова (Stankova, Z.) 373 Стейн (Stein, P. R.) 145, 371 Стейнберг (Steinberg, R.) 350 Стембридж (Stembridge, J. R.) 349, 629, 631, 632, 639, 640, 657, 663, 674, 681-683, 690, 698 Стенли (Stanley, R.) 88, 91, 92, 96, 143, 148, 154, 155, 158, 17&-182, 188, 191, 193, 201, 209, 211, 279, 303, 345-347, 349, 350, 352,355, 358, 359, 362, 364, 366, 372, 390, 391, 393, 522, 526, 528, 529, 539, 613, 618, 619, 620, 621, 623, 624, 629, 632, 635, 636, 639-642, 647, 648, 651, 653, 657, 663, 668, 674- 677, 679, 681, 687, 688, 690-693, 698, 700 Стефенс (Stephens, A. B.) 369, 370 Стил (Steele, J. M.) 696 Столл (Stoll, M.) 277, 375 Стояновский (Stoyanovskii, A. V.) 525, 537 Стуртевант (Sturtevant, D. G.) 667 Стэнтон (Stanton, D. W.) 91, 96, 539, 619, 646, 647, 653 Стэнтон (Stanton, R. G.) 350, 370 Судзуки (Suzuki, M.) 150 Суланке (Sulanke, R. A.) 341, 343, 368, 369, 385 Сундквист (Sundquist, T. S.) 628, 638 Суник (Sunik, Z.) 388 Такач (Takacs, L.) 355 Тамари (Tamari, D.) 364 Тарьян (Tarjan, R. E.) 279, 348 Татт (Tutte, W. T.) 92, 96 Таубер (Towber, J.) 624 Tepao (Terao, H.) 192 Терстон (Thurston, W. P.) 279 Тибон (Thibon, J.-Y.) 533-535, 636, 647, 658, 665, 666, 679 Тишлер (Tischler, D.) 358 Тома (Thoma, E.) 681 Томас (Thomas, G.) 726, 727 Торгасев (Torgasev, A.) 211 Тролл (Thrall, R. M.) 525, 533 Троттер (Trotter, W. T.) 353 Труди (Trudi, N.) 520, 539 Трэвис (Travis, L.) 666 Трэйси (Tracy, C. A.) 696 Туран (Turan, P.) 148 Турчин (Turchin, V.) 677 Тушар (Touchard, J.) 87, 89, 96, 354 Тюрлингс (Thtirlings, K.-J.) 668 Уайт (White, D. E.) 539, 619, 647, 693, 726, 727 Уайт (White, N.) 143 Уайтхауз (Whitehouse, S.) 677 Уайтхед (Whitehead, T.) 673
748 Именной указатель Уидом (Widom, Н.) 696 Уилсон (Wilson, P. D. С.) 273 Уилф (Wilf, Н. S.) 146, 278, 354, 525, 534 Уиснер (Wisner, R. J.) 341 Уитворт (Whitworth, W. А.) 162 Уитни (Whitney, А.) 680, 681 Уитни (Whitney, R.) 528, 529, 538 Уленбек (Uhlenbeck, G. Е.) 87, 95, 161 Ульман (Ullman, D.) 349 Уокер (Walker, G.) 533 Уокер (Walker, R. J.) 279 Уорли (Worley, D.) 615 Уотерман (Waterman, М. S.) 371 Уэст (West, J.) 348, 369, 371, 386, 618, 638 Фаа ди Бруно (Faa di Bruno, F.) 87, 94, 520 Фабель (Fabel, К.) 371 Фавро (Favreau, L.) 376 Фарахат (Farahat, H. K.) 645 Фейт (Feit, W.) 525, 533 Феллер (Feller, W.) 195, 355, 356 Фидлер (Fiedler, M.) 169 Фишберн (Fishburn, P. C.) 353 Флажоле (Flajolet, P.) 387, 392 Фли Сент-Мари (Flye Sainte-Marie, C.) 92, 94 Флисс (Fliess, M.) 274, 277 Фоата (Foata, D.) 88, 94, 157, 159, 170, 189 Фомин (Fomin, S. V.) 349, 381, 524, 533, 617-620, 624, 646, 681, 726 Форд (Ford, G. W.) 161 Форманек (Formanek, E.) 332 Форсайт (Forsyth, A. R.) 527 Форте (Fortet, R.) 204 Фостер (Foster, R. M.) 178 Франель (Franel, J.) 375 Франсон (Francon, J.) 145, 170, 189 Франц (Franz, R.) 149 Францблау (Franzblau, D. S.) 525, 533 Фредериксон (Frederickson, H.) 212 Фрейм (Frame, J. S.) 139, 524, 533 Фридгут (Friedgut, E.) 377 Фробениус (Frobenius, F. G.) 87, 89, 94, 525, 529, 533, 657, 662 Фройнд (Freund, J. E.) 353 Фрумкин (Frumkin, A.) 664 Фулкс (Foulkes, H. O.) 521, 529, 533, 650, 676 Фулман (Fulman, J.) 151 Фултон (Fulton, W.) 297, 474, 522, 533, 726 фон Фусс (von Fuss, N.) 272, 277 Фукс (Fuchs, A.) 170 Фюрлингер (Furlinger, J.) 366 Фюрстенберг (Furstenberg, H.) 274, 277, 338 Хабзигер (Habsieger, L.) 274, 277 Хайбле (Haible, B.) 277 Хайман (Haiman, M.) 183, 188, 275, 277, 359, 365, 373, 385, 533, 534, 623, 624, 683, 727 Хамидун (Hamidoune, Y. O.) 640 Хаммерсли (Hammersley, J. M.) 347, 695 Хамфри (Humphreys, J. E.) 151 Хан (Han, G.-N.) 642 Харари (Harary, F.) 534 Харди (Hardy, G. H.) 610 де ля Харп (de la Harpe, P.) 347, 358 Харрис (Harris, B.) 172, 173 Харрис (Harris, J.) 533 Харрис (Harris, Jr., W. A.) 379 Хартсхорн (Hartshorne, R.) 140 Xay (Hough, D.) 274 Хаулетт (Howlett, R. B.) 383 Хаусдорф (Hausdorff, F.) 395 Хаутус (Hautus, M. L. J.) 277 Хедли (Headley, P.) 191, 193, 383 Херстейн (Herstein, I. N.) 89, 93 Херш (Hersh, P.) 382, 642 Хетан (Khetan, A.) 129 Хилликер (Hilliker, D. L.) 277 Хилтон (Hilton, P. J.) 277 Хирцебрух (Hirzebruch, F.) 196, 197 Хоггатт (Hoggatt, Jr., V. E.) 369, 375, 376, 393 Ходж (Hodge, W. V. D.) 522, 534 Хокинс (Hawkins, T.) 534 Холл (Hall, J. I.) 534
Именной указатель 749 Холл (Hall, Jr., М.) 149, 661 Холл (Hall, Р.) 522, 534 Хомский (Chomsky, N.) 275, 276 Хоррокс (Horrocks, G.) 522, 534 Хоутен (Houten, L.) 613 Хофбауэр (Hofbauer, J.) 91, 366 Хуан (Huang, M.-F.) 333 Хуан (Huang, S.) 364 Хэнлон (Hanlon, P. J.) 174, 631, 663, 674, 677, 678 Цветкович (Cvetkovic, D. M.) 93, 210, 211 Церниц (Zernitz, H.) 374 Цетлин (Tfcetlin, M. L.) 521, 534 Цзян (Jiang, M. S.) 368 Циглер (Ziegler, G. M.) 143, 627 Циглер (Cigler, J.) 91 Чеботарев (Cebotarev, N. G.) 629 Чань (Chan, C.) 154, 358, 393 Чень (Chen, W. Y. C.) 183, 532, 651 Чень (Chen, Y. M.) 648 Чепмен (Chapman, R.) 299, 387 Чжун (Chung, F. R. K.) 93, 369, 374, 375, 376 Чжун (Chung, K. L.) 356 Чонди (Chaundy, T. W.) 528, 532 Чоу (Chow, T.) 211, 636, 640 Чоула (Chowla, S.) 89, 93 Чуку (Ciucu, M.) 211, 370, 374 Шамир (Shamir, E.) 279 Шандон (Chandon, J.-L.) 362 Шапиро (Shapiro, L. W.) 156, 341, 343, 353, 355, 356, 358, 36&-370 Шапиро (Shapiro, M. D.) 383, 385 Шарешьян (Shareshian, J.) 627, 677 Шариф (Sharif, H.) 332, 333, 336, 337, 338 Шарф (Scharf, T.) 636, 658, 664, 666, 679 Шварц (Schwarz, H. A.) 332 Швенк (Schwenk, A. J.) 384 Шевалле (Chevalley, C.) 276, 333 Шёнберг (Schoenberg, I. J.) 680, 681 Шеннон (Shannon, С. E.) 178 Шенстед (Schensted, С. E.) 523, 529, 538, 725 Шёнфельд (Schoenfeld, L.) 172, 173 Шепп (Shepp, L. A.) 692, 695 Шеффер (Schaeffer, G.) 391 Ши (Shi, J.-Y.) 191, 359 Шимозоно (Shimozono, M.) 538, 617, 619, 727 Шлосман С. В. 527 Шлоссер (Schlosser, М.) 344 Шмидт (Schmidt, F. W.) 348 Шмитт (Schmitt, W. R.) 372 Шнайдер (Schneider, T.) 332 Шпайхер (Speicher, R.) 175, 349 Шпербер (Sperber, S.) 379 Шпехт (Specht, W.) 530, 539 Шредер (Schroder, E.) 88, 95, 273 фон Штаудт (von Staudt, С. K. Chr.) 89 Штрель (Strehl, V.) 157, 170, 186, 337, 353 Штурм (Sturm, J. С F.) 682 Штурмфельс (Sturmfels, B.) 143 Шуб (Shub, M.) 374 Шуберт (Shubert, H. С. H.) 522 Шур (Schur, I.) 89, 95, 139, 162, 198, 524, 530, 538, 610, 657 Шютценберже (Schutzenberger, M. P.) 88, 90, 94, 95, 159, 275, 276, 279, 339, 349, 382, 523, 529, 538, 618, 625, 692, 713, 726, 727 Эгглтон (Eggleton, R. B.) 360 Эдельман (Edelman, A.) 374 Эдельман (Edelman, P. H.) 174, 349, 364, 372, 617, 619 Эдреи (Edrei, A.) 681 Эйдсвик (Eidswick, J. A.) 186 Эйзенштейн (Eisenstein, G.) 273, 277 Эйлер (Euler, L.) 73, 272, 277, 371, 610 Эйткен (Aitken, A. C.) 522, 525, 531, 665 Элкис (Elkies, N.) 374
750 Именной указатель Эндрюс (Andrews, G. Е.) 91, 352, 366, 528, 531, 532, 646, 690 Энричи (Henrici, Р.) 91, 94 Эрдейи (Erdelyi, А.) 90, 93, 273 Эрдёш (Erdos, Р.) 148, 529, 533 Эрдёш (Erdos, Peter L.) 93, 183, Эренборг (Ehrenborg, R.) 641 Эресманн (Ehresmann, С.) 522, 533, 691 Эрикссон (Eriksson, Н.) 383 Эрикссон (Eriksson, К.) 645 Эррера (Еггега, А.) 344 Этерингтон (Etherington, I. М. Н.) 90, 93, 273, 374 Юзефяк (Jozefiak, Т.) 627, 628 Юнг (Young, А.) 525, 540 Юнген (Jungen, R.) 272, 277, 332 Юцис (Juris, А.-А. А.) 628 Юэнь (Yuen, D. S.) 393 Яблонский (Jablonski, М. Е.) 699 Ягерс (Jagers, А. А.) 140 Якоби (Jacobi, К. G. J.) 87, 94, 380, 520, 534, 609, 630 Якобсталь (Jacobstahl, Е.) 89, 94 Ян (Yan, С. Н.) 176 Янг (Yang, М.) 628 Янсон (Janson, S.) 696
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ абак 645 абелизация формального ряда 255 автомат 259, 338 автоморфизм свободной группы 661 АДУ 319 алгебра верхнетреугольных матриц 296 - Гельфанда-Цетлина 474 - градуированная 397 - инцидентности 584 - ч. у. множества NCn 115 - квазисимметрических функций 475 - Ли на Л 553 - симплектическая 689 - симметрических функций 397 - спуска 686 - Темперли-Либа 358 - Хопфа 457, 525 алгебраическая топология 626 алгоритм Гиллмана-Грассла 686 - Робинсона-Шенсгпеда-Кнугпа 347 - RSK 347, 389, 430, 433, 503, 550, 592, 626, 628 , геометрическое описание 442, 524 двойственный 446, 524 для (3 + 1)-свободных ч. у. множеств 638 , история 523 обратный 688 антицепь 602 аспект плоского разбиения см. плоское разбиение, аспект ассоциаэдр 365 ацтекский бриллиант 374 увеличенный 374 базис ортогональный 419 - ортонормированный 471 - целый ортонормированный пространства Л 437 - Юнга-Юциса-Мерфи 474 базисы взаимные 418 беспорядок 566, 567, 593 бета-функция 653 биалгебра 457 биальтернант 450, 520 бином Ньютона 111 блок 106 блуждание на N 306 - случайное 385 болезнь каталанова 341 вектор сумм по столбцам 400 строкам 400 h-вектор 303 вес функции / Е Xs 514 вид 88 вронскиан 380 вставка столбцовая 510 - строчная 430 выпуклогранник 299 выпуклое положение, вероятность 300 высота косого крюка см. крюк косой, высота - таблицы косых крюков см. таблица косых крюков, высота гипергеометрическая система 179 гипергеометрические функции на группе унипотентных матриц 179 глубина клетки и Е А 643 ГМ-гомологии 297 гомоморфизм знака 411 грассманиан 326 граф без треугольников 558 - де Брёйна 85, 137 - двудольный 98 полный 99, 134 - Кэли 92 - непересекающийся 309 - несравнимости 558 - пересечений 185 - полный 82 - пороговый 97 - регулярный 136 - связный 27, 126
752 Предметный указатель - чередующийся 122 - -^1,3 -свободный 559 графы неизоморфные 516, 594 группа Вейля 676 - Галуа 379 - диэдральная 511, 514 - знакопеременная 607 - кватернионов 659 - Кокстера 320, 356 - конечная абелева 135 - полная линейная 574, 728 - свободная 102, 265, 571, 661 - симметрическая 36, 465, 466, 513, 518, 522, 525, 563, 567, 570, 573, 574, 719, 738 бесконечная 681 , представление 466, 519, 563, 574, 719 регулярное 474 , теория представлений 474, 531, 733 , характеры 518, 567, 738 неприводимые 465, 466, 472, 525, 570 - симплектическая 296, 345, 689 - специальная линейная 296, 734 /С-группа 572 двойной класс смежности 575 двойственность Шура-Вейля 733 действие группы G на X 466 при помощи сопряжения 573 - - GL(n,C) на Mat(n,C) 608 вп на кольце многочленов 297 упорядоченных парах 473 fc-подмножествах в [п] 473 K[vlt...tvn] 573 Cf)574 S(V*) 573 AkV 573 - транзитивное 149, 467 дельта-оператор 117 дерево 40 - двоичное 283, 307, 308 - - плоское 55, 229, 283 - двукорневое 123 - , инверсия 125 - корневое 40 - локального двоичного поиска 122 - непересекающееся 124 - нетранзитивное 120 - ориентированное 76, 91, 92 - плоское 49, 90, 233, 264, 273, 283, 307, 308, 322, 328 тривалентное 283 - производящее 369, 386 - рекурсивно помеченное 123, 190 - с корнем 40 помеченными ребрами 109 - свободное 40, 42 двудольное 110 - степенное 175 - троичное 124 - чередующееся 120, 344, 363 - - непересекающееся 344, 363 с помеченными ребрами 122 - fc-реберно раскрашенное 109 - 5-плоское 224 дзета-многочлен ч. у. множества Qn 69 - биномиального ч. у. множества 118 дзета-функция алгебраического многообразия 140 - Римана 151, 589 диагональ над полем характеристики р 281 - некоммутативная 269, 275 - некоммутативного рационального ряда 271 - рациональной функции 236, 274, 318 - ряда 236, 282 диаграмма Мурасаки 290 - плоского разбиения см. плоское разбиение, диаграмма - Путтенхема 349 - разбиения 421 - роста 443, 524, 621, 625, 710, 714, 726 - Ферре сдвинутая 486 - хордовая 324 - Юнга 291, 297, 421 косая 422, 454 связная 461 , сдвиг 545 лестничная 465 прямоугольная 497, 601 ступенчатая 587, 646 дискриминант 215, 220, 272, 280, 281 дифференцирование 553 длина крюка см. крюк, длина косой диаграммы 599 - ноги 549, 600
Предметный указатель 753 - разбиения см. разбиение неотрицательного целого числа, длина - руки 549, 600 длины крюков, произведение см. произведение длин крюков домино 310, 314 доска 592 дуги непересекающиеся 285, 286, 324 задача Банаха о спичечных коробках 195 - Веддербёрна-Этерингтона о коммутативной расстановке скобок 374 - Шредера вторая 234, 235, 273, 274, 368 - - первая 234, 273 - - третья 88, 235, 274 - - четвертая 88, 178, 235, 274 закон взаимности чисел Стирлин- га см. числа Стирлинга, закон взаимности заполнение Литтлвуда-Ричардсона 720 звери ориентированные см. ориентированные звери зебра 369 Ф-знаковый тип 297 зонотоп 143 игра «15» 692, 705, 707, 726 , симметрия 713 идемпотенты ортогональные 571, 652 иерархия Акермана 377 измельчение разбиения 557 изометрия 420, 469 инвариант группы SL(2, С) 296 - Мёбиуса рангово-выбранный 478, 559 инверсия дерева см. дерево, инверсия - перестановки см. перестановка, инверсия инволюция без неподвижных точек 289 -в6„ 417, 446, 625 - кольца Л 407 - на кольце Q 584 - флаговая 326 - Шютценбероюе 511, 713, 726 - 213-избегающая 325 - 2143-избегающая 326 - 321-избегающая 325 - 3412-избегающая 311 индекс главный 304 стандартной таблицы Юнга 483, 484, 580, 581 - коглавный стандартной таблицы Юнга 483 - цикловый см. цикловый индекс индикатор цикловый см. цикловый индикатор интеграл абелев 271 интервал рангово симметричный 313 исчисление конечных операторов 176 - Шуберта 421, 522, 719 каталания 341 каталаномания 341 квадрат Дюрфи 400 квазимногочлен Эрхарта 299 квазисимметрическая функция 326, 474, 476, 504, 546, 559, 584, 585 мономиальная 475 - - основная 475, 506, 557, 718 квазисимметрические функции, история 525 класс сопряженности, обратный себе 148 четный 412 клетка Шуберта 372 коалгебра 457 код перестановки см. перестановка, код - Прюфера 43 - разбиения 645, 694 А-кольцо 665, 675 коммутатор 569 комплекс паросочетаний 626 - шахматной доски 627 композиционная формула см. формула композиционная композиция дробная 130 компонента матрицы A Е Ai(n,r) 71 - неприводимая 71 - супертаблицы 601 fc-компонента матрицы A Е ЛЛ(п, г) 71
754 Предметный указатель конфигурация 515 - бусинная 645 координаты Фробениуса 551, 554 корень структуры 26 - квадратный из перестановки см. перестановка, квадратный корень корневой лес см. лес корневой король на шахматной доске 310, 311 косой крюк см. крюк косой коэффициент Литтлвуда-Ричардсона 522, 454, 603, 635, 716, 735 , алгебраическая интерпретация 719 , неотрицательность 472 , равный 1 542 - серединный триномиальный 371 - q-биномиальный унимодальный 575 крюк, длина 493, 563, 565, 589, 590, 599, 603 , делимость на р 564 - косой 461, 505, 554, 563, 565, 578, 584, 644, 656, 694 , высота 461 ступенчатый 566 - косой диаграммы Юнга 599 - разбиения 563 лемма Бернсайда 467, 517, 529, 668 - Коши-Фробениуса 529 - о разрастании 382, 383 циклах 90 - об итерациях 382 лента 461 - Мёбиуса 311 лес корневой 40, 42 - корневых деревьев 40 - непомеченный плоский 49 - помеченный 552 - рекурсивно помеченный 123 - свободный 42 линейное преобразование сопряженное см. преобразование линейное сопряженное - расширение см. расширение линейное мажорирующие последовательности 189 массив двустрочный 432 матрица Адамара 204 - бистохастическая 330 симметричная 108 - Вандермонда 377, 630, 680 - вполне положительная 681, 683 - Костки 521, 556 обратная 457 - Лапласа графа 92 Krs 134 неориентированного графа 81 ориентированного графа 78 - неприводимая 71 - перестановочная 163, 308, 435, 511 - перехода 401 - положительно определенная 295 полуопределенная 583 - с конечным носителем 432 - симметричная 33, 35 - случайная 315, 663 - смежности 79, 92 - субстохастическая симметричная 109 - тёплицева 680 - трехдиагональная 295 - Якоби-Труди 562 , имманант 639 (0,1)-матрица 401 метод исключения Гаусса некоммутативный 257 минимум при чтении слева направо 103 многогранник степенных последовательностей 143 - Чаня-Роббинса 393 - Чаня-Роббинса-Юэня 393 многообразие торическое 297 - флаговое 372 многочлен Абеля 117 - Костки 642 - Костки-Фулкса 642 - Лагерра 117, 157 - некоммутативный 254 - неприводимый 215, 281 - порядковый 499 - с вещественными корнями 558, 583, 641, 682 - унимодальный 575 - характеристический порогового размещения 98 преобразования а; 412 размещения гиперплоскостей 128
Предметный указатель 755 Лайнайала 122 Ши 128 ч. у. множества Qn 69 Фп 115 - хроматический 99 - циклового индекса 36 - цикловый см. цикловый многочлен - Шуберта 690 - Эйлера 103, 555, 592 - экспоненциальный 117 - Эрмита 159 - Эрхарта 301 - /-эйлеров 301 q-многочлен Каталана 305 множество вершин независимое 557 устойчивое 557 - допустимых шагов 241 - Жордана-Гёльдера 478, 505, 585 - спуска 468, 503, 529, 546, 606 стандартной таблицы Юнга 480 модуль Уайтхауза 677 - Шпехта 719 GLn -модуль 719 монеты, способы расположить на плоскости 293 моноид очень чистый 50 - плактический 726 - свободный 50, 253 мультимножество длин крюков 589 мультифункция Шура 531 неассоциативная комбинация 90 непрерывная дробь 304, 392 неравенство Коши-Шварца 672 неразрешимость алгоритмическая 263 ниль-алгебра Кокстера 617 ниль-соотношения Кокстера 617 носитель ряда см. ряд, носитель облако 108 обозначение Фробениуса 554 образ Фробениуса 469 обратное Р-разбиение см. Р-разбиение обратное обратный ряд в смысле композиции 56, 280 объем относительный 301 ожерелье 593 - примитивное 678 оператор, инвариантный относительно сдвига 117 - разностный 47 - сдвига 117 операция коммутативная неассоциативная бинарная 315 - неассоциативная бинарная 229 определитель Вандермонда 450, 495, 521 орграф ациклический 187 - сбалансированный 74, 91, 92 - связный 74 - эйлеров 74, 91 ориентация ациклическая 557, 637 ориентированные звери 372 ортогональность хЛ(аО 464 отношение 293, 310 - подобия 353 отображение индуцирования из Н в G 467 - планарное 348 - рациональное 297 - {Фробениуса) характеристическое 469, 519 паросочетание полное 739 переключательная эквивалентность см. эквивалентность переключательная перемещение в игре «15» 708 перестановка Бакстера 289, 316 редуцированная 316 - гладкая 313 - дек-сортиру мая 370 - доминантная 349 - , инверсия 546 - , квадратный корень 102 - , код 345 - обобщенная 432 - , подпоследовательность 508 возрастающая 317, 508, 529, 591 убывающая 508, 529, 591 - решеточная 426, 524, 720 - сортируемая на двух параллельных очередях 289 - стек-сортируемая 288 - , типичная форма 696 - флаговая 547 - , форма 509 - , цикловый тип 410 - чередующаяся 99, 600, 649 наоборот 100
756 Предметный указатель - , число превышения 555 - и-избегающая 308, 317 - 132-избегающая 349 - 1342-избегающая 313 - 2-стек-сортируемая 311 - 213-избегающая 345 - 2143-избегающая 547 - 231-избегающая 348 - 312-избегающая 288, 345, 348 - 321-избегающая 288, 345, 352, 358 - 4231- и 3412-избегающая 313 перестановки, двойственно эквивалентные по Кнуту 703 - эквивалентные 106 по Кнуту 702 - 1У-эквивалентные 596 перманент 133 планарная схема рифмовки 349 плетизм 530, 574, 582, 607, 608, 679, 736 - внутренний 666 - , этимология 530 плоские разбиения, история 526 плоское разбиение 484 , аспект 492 вполне симметричное 588 , ^-перечисление 691 , диаграмма 491 , класс симметрии 529, 691 косое 591 обратное 529, 586 симметричное 586 слабое 500 полустандартное 485 с не более чем г строками 488 и с столбцами 485, 585 самодополнительное 588, 590 симметричное 489, 528, 585 - - , след 485, 528, 586 строгое по столбцам 291, 428 , форма 485 , часть 485 , число столбцов 485 строк 485 «Повесть о Гэндзи» 350 подгруппа Юнга 467, 575 поддерево главное 41 подмножество минимально неизбежное 315 подмоноид очень чистый 50 - свободно порожденный 50 подпоследовательность перестановки см. перестановка, подпоследовательность подстановка 413 позиция достижимая 314 - неизбежная 314 поле Пюизё обобщенное 333 - частных кольца /f [[ж]] 214 К[х] 214 полимино горизонтально выпуклое 326 - параллелограммное 308, 342 - , перечисление 343 полоса вертикальная 455 - горизонтальная 455 - граничная 461 полугруппа симметрическая 112 полукольцо 253, 382 полукруговой закон Вигнера 395 полу порядок 300, 353 полуребро 307 Л-полурешетка 588 полустепень захода 74 - исхода 74 пометка Шура 480 - ч. у. множества 478 пополнение кольца Л 402 - Макнгша 588 - моноидной алгебры 254 порядок Брюа 313, 588 df-порядок 52 последний выход 76 последовательное приближение 262 последовательность баллотировочная 229, 272, 273, 307, 426, 524, 720 - биномиального типа 117 - де Брёйна 84, 92 двоичная 84, 137 d-арная 136 - выпуклая 299 - Давенпорта-Шинцеля 370 - двоичная 84 - знаменателей экспоненциальной структуры 65 - основная 117 - полустепеней исхода 629 - Прюфера 43, 89 - степеней упорядоченная корневого леса 47, 90
Предметный указатель 757 простого графа 104 - унимодальная 305, 594 - формальных степенных рядов сходящаяся 42 - характеров элементарная 567 правило Литтлвуда-Ричардсона 454, 523, 630, 692 , вариант игры «15» 717 , история 726 , первоначальный вариант 720 - Мурнагана-Накаямы 464, 472, 643, 644, 648, 649, 652 , история 525 - локальное 443, 712 - Пиери 455, 522, 613, 649, 665 двойственное 455 - косое 455 - Юнга 473 представление группы G L (п, С) линейное 728 неприводимое 574 однородное 728 определяющее 729, 731 полиномиальное 728 присоединенное 732 , размерность 728 рациональное 530, 728 степени т 728 тривиальное 729, 731 , характер 730 --SL(n,C) полиномиальное 734 присоединенное 734 рациональное 734 ©п см. группа симметрическая, представление - индуцированное 518 - конечной группы 525, 575 - линейное 518 - перестановочное 518 - регулярное 577 представления, тензорное произведение 470, 576, 735 преобразование Кнута 702 - линейное сопряженное 453, 595 - Фурье 660 принцип включения-исключения 678 - отражения 273, 355 произведение Адамара 222, 300 над полем характеристики р 281 некоммутативных рядов 267, 275, 320 рядов от нескольких переменных 280 £)-конечных рядов 251 - веночное 530 - внутреннее 576, 578 , инвариантное определение 576 - длин крюков 569, 572 - индуцирования 470 - Коти 504 - Кронекера 575 - скалярное на Л 418 - тензорное 470, 575, 576, 735 - цепей 560 - <? 281 прочтение 703 - обратное 720 путь в графе 136 - вставки 431 - Дика 229, 284, 322, 323, 352 - Моцкина 307 двуцветный 323, 387 - решеточный в Re 426 Л 502 - - на плоскости 225, 241, 272, 282, 284, 285, 293, 295, 303, 307, 308, 311, 323, 324, 327 - типа (а, /3,79 £) 458 - , число превышения 295 п-путь 458 5-путь 241 пфаффиан 612 разбиение графа связное 557 устойчивое 557 - множества 545 невложенное 184, 291 для группы отражений 351 непересекающееся 115, 184, 290, 291, 307, 309, 560 - - полное 30, 88, 116 двоичное 31, 88 строго непересекающееся 368 упорядоченное 409 - мультимножества 616 - неотрицательного целого числа 397 , длина 398 , ранг 399
758 Предметный указатель с максимальным /Л 592 самосопряженное 551 сопряженное 398 - плоское см. плоское разбиение - г-мерное 485, 526 Р-разбиение 476, 498, 527 - обратное 477 (Р, и)-разбиение 478, 526 - обратное 478 г-разбиение 66 разветвление полное 427 разложение в прямую сумму 65 - Лорана 131 - на блоки-деревья 161 косые крюки 567 - по основанию 6 320 - приведенное 546 - симметрическое цепное 548 - слабое 396 пары (га, п) 241 - транзитивное 186 разложения эквивалентные 124 размещение гиперплоскостей 128 каталаново 294 Лайнайала 122, 180 пороговое 98 приведенное по модулю р 128 - - Ши 128, 191 разностный оператор см. оператор разностный разрешимость алгоритмическая 275 ранг группы 575 - косой диаграммы 605 - разбиения см. разбиение неотрицательного целого числа, ранг раскраска графа 636 знаковая 143 правильная 556 о-совместимая 637 рассечение выпуклого многоугольника 225, 233, 272, 273, 302, 308, 544 расстановка скобок 225, 272, 273, 315 - - бинарная 234, 283 в множестве 234 бинарная 235 произвольная 235 слове 234 бинарная 234 произвольная 235, 307 произвольная 234 расширение линейное 292, 425, 478 ребра, не являющиеся петлями 78 решетка Бете 385 - векторная 120 - дистрибутивная 692 - подгрупп 560 - полупримарная 642 - симплициальная эйлерова 302 - Тамари 302 - Юнга 351, 398, 565, 620, 694 , цепь в ней 425 РНК 372 росток в оо 252 - Р-рекурсивный 252 ряд алгебраический 213, 321 некоммутативный 263 , свойства замкнутости 383 - гармонический 570 - Гаусса гипергеометрический 332 - голономный 274 - двойной эйлеров 507 - дифференциально конечный 244, 275 конструируемый 275 - дробный Лорана 216 степенной 216 - квадратично лакунарный 319 - Лорана 58, 214 - не £>-конечный 318 - неалгебраический 279 - некоммутативный 253 - нерациональный некоммутативный 320 - , носитель 263 - Пюизё 216 - распознаваемый 255 , интерпретация с помощью теории графов 258 - рациональный некоммутативный 255, 320 - степенной над полем характеристики р 338 - формальный в алфавите X 253 - £>-конечный 244, 274 от нескольких переменных 275 - е-положительный 594 ряды .D-конечные, композиция 250 свертка Дирихле 608 - на алгебре инцидентности 24 свободная теория вероятностей 175 свойство параллельной стены 383
Предметный указатель 759 р-сердцевина 564 - пустая 565, 566 серийный кооперативный мат 296, 545 сеть последовательно-параллельная 119 симметрическая группа см. группа симметрическая - степенная сумма 408, 553 нечетная 465 - функция Доюека 531 забытая 541 зональная 531 Макдональда 531, 623 мономиальная 400 дополненная 557 однородная 396 полная 404 однородная 404 , специализация 413 степени п 396 Холла-Литтлвуда 531 хроматическая 556 цепи 558 цикла 558 элементарная 400, 540 е-положительная 558, 583, 594, 602 /i-положительная 584, 593, 594, 698 L-положительная 557, 607 т-положительная 402, 679 р-положительная 557, 657 р-целая 572 s-положительная 519, 554, 556, 559, 582, 583, 607, 679, 698 5-целая 572 и-положительная 402 и -целая 402 симметрические функции, ранняя история 519 система собственная алгебраическая 261, 321 , компонента 262 , решение 261 след плоского разбиения см. плоское разбиение, след слово Дика 263 - Линдона 580 - Лукашевича 50, 90, 264 - приведенное 320 - сопряженное 51 - Яманочи 426, 720 сложность 82 - графа Krs НО, 134 - некоторых планарных графов 137 собственное число вещественное 315 матрицы Лапласа 81 содержание клетки 493 соответствие Гиллмана-Грассла 501, 525 - между множествами и мультимножествами 408 соотношения Кокстера 151 сопряженные алгебраические ряды 217, 318, 339 специализация 555, 674 - главная 414, 674 стабильная 414, 482, 496, 674 - кольца Л 413 - экспоненциальная 415, 460, 624 , д-аналог 417 сплетение 530, 738 спуск 468 - стандартной таблицы Юнга 480, 484, 592 стабилизатор 517 стандартизация 436, 721 степенная сумма симметрическая см. симметрическая степенная сумма степень алгебраического ряда 213 - вершины корневого леса 47 плоского леса 49 простого графа 104 - дробного ряда 219 - тензорная 733 - элемента г] над полем К(х) 214 сток 557 столб телефонный 96 структура вторичная 311 неприводимая 371 - экспоненциальная 64, 91, 118 сумма циклическая биномиальная 337 супертаблица 601 суперфункция Шура 531, 600 схема Гельфанда см. схема Гелъфан- да-Цетлина - Гельфанда-Цетлина 427, 521, 588 - Гильберта 624 BZ-схема 724
760 Предметный указатель сходимость последовательности коммутативных формальных рядов 42 некоммутативных формальных рядов 254 таблица граничной полосы 463 - записывающая 433, 596, 701 - инверсий 100, 345 - косых крюков 463, 565, 648 , высота 463 - Литтлвуда-Ричардсона 720 - нумерующая 433, 701 - осциллирующая 548, 621 косая 621 - полустандартная см. таблица Юнга полустандартная - прямой формы 703 - сбалансированная 545 - стандартная см. таблица Юнга стандартная - удаляющая 713 - характеров 570 , сумма по строкам 573 - Юнга по л у стандартная 421 , размер 421 , тип 421 , форма 421 косая 422 обратная 428 слабая 500 , специальная клетка 615 стандартная 376, 425, 524 нечетная 606 , пара 291 прямоугольной формы 391 с не более чем к строками 543 сдвинутая 596 формы {щп) 291, 389 (п,п- 1) 291, 389 (пп) 596 четная 606 Р-таблица 558 таблицы «15»-эквивалентные 709 тасовка 584 а-тасовка 468 теорема Айссена-Шенберга-Уитни 681 - блочная о деревьях 160 - взаимности 679 - Грина 702 - композиционная 172 - матричная о деревьях 82, 92, 208, 209 - о баллотировках 273 несмешивании 615 - основная игры «15» 709 о рациональных формальных рядах 260, 275 симметрических функциях 403, 519 об обратных (Р, ш) -разбиениях 479 - Пойа, супераналог 607 - Пюизё 217, 218, 271 над полем характеристики р 280 - Римана-Роха 271 - Чоюуна-Феллера 356 - Эйзенштейна 332 - Эйлера 74 - BEST 91 теория вычетов 239 - инвариантов 188 - Каоюдана-Люстига 683 - моделей путей 636 - перечисления 513 - Пойа перечислительная 513 , предшественник 699 - представлений конечных групп 525 симметрической группы см. группа симметрическая, теория представлений - эргодическая субаддитивная 695 тип корневого леса 48 - Линдона 581 - плоского леса 49 - перестановки цикловый см. перестановка, цикловый тип - полустандартной таблицы Юнга см. таблица Юнга полустандартная, тип - обратной полустандартной таблицы Юнга 428 - ф-знаковый 297 типичная форма перестановки см. перестановка, типичная форма тождество Абеля 170 - Коши 436, 520, 572, 666, 671, 679, 697 двойственное 448, 679 - Якоби-Труди 458, 471, 520, 522, 525, 554, 635, 650, 680, 690
Предметный указатель 761 двойственное 460, 520, 680 для флаговых функций Шура 690 транспозиция 124 треугольник монотонный 588 триангуляция ленты Мёбиуса ката- ланова 311 -многогранника conv{0, е\ — ej} 362 - многоугольника 230, 272, 273, 283, 355 тригонометрия комбинаторная 99 турнир 187, 629 уменьшение числа переменных 413 упорядочение в глубину 52 - естественное 399 - обратное лексикографическое 399 - по доминированию 399, 540, 542, 562 мажорированию 399 уравнение алгебраическое дифференциальное 319 - Кортевега-де Фриза 630 - Пенлеве 696 условие единственности циклического разложения 50 1-фактор 739 фишки 314 а-флаг 468 флаговый /-вектор 641 - /i-вектор 559 флексатон 341 форма косой полустандартной таблицы Юнга 422 - крюка 596 - перестановки см. перестановка, форма - плоского разбиения см. плоское разбиение, форма - полустандартной таблицы Юнга см. таблица Юнга полустандартная, форма формула Бине-Коши 92, 520 - для хХ (а) 464 - знаменателей Вей ля 626, 732 - композиционная 19, 87 , вариант с перестановками 22 для экспоненциальных структур 67 - крюков 376, 497, 503, 525 , д-аналог 497 - Мелера 159 - обращения Лаграноюа 57, 90 для нескольких переменных 91 некоммутативная 91 , <у-аналог 91, 623 - - Мёбиуса 361, 637 - размерности Вейля 733 - следа Хопфа 627 - содержаний крюков 528 - Фаа ди Бруно 87 - характеров Вейля 529, 732 - экспоненциальная 21, 87 , вариант с перестановками 23 - для 2-разбиений 202 экспоненциальных структур 68 - , д-аналог 88 фриз-схема 355 функция ациклическая 169 - Бесселя 134 - групповой редукции 530 - идемпотентная 113 - квазисимметрическая см. квазисимметрическая функция - классов 466 - Мёбиуса 361, 399, 557, 581 решетки Раг(п) 608 Пп 24 ч. у. множества Qn 69 - мультипликативная на П 23 Ф 114 NC 116 - обратно 7г-совместимая 477 - парковки 126-128 простая 128 - полиномиально рекурсивная 245 - рангово-производящая 499 - симметрическая см. симметрическая функция - Шура 358, 423 дополненная 571 - - косая 423, 522 модулярная 531 некоммутативная 531 ортогональная 531 , раннее упоминание 520 - - ряда F 582 сдвинутая 531 симплектическая 531 сплетения 531 факториальная 531
762 Предметный указатель флаговая 531, 690 GL(n,F9)-инвариантная 531 - Эйлера 106, 580, 593 - Р-рекурсивная 245, 274 Р-функция Шура 531 Q-функция Шура 531 характер виртуальный 471 - конечной абелевой группы 135 - - группы 568, 571-573, 578 - симметрической группы см. группа симметрическая, характеры - косой 566 характеристика 469 - конфигураций 515 хорды непересекающиеся 285, 306, 324, 330 хэширование 189 цепь насыщенная в решетке Юнга 425 - разбиений 425 цикл ориентированный 74 - эйлеров 74, 91, 92, 137 п-цикл 568, 569, 579, 581, 593 цикловый индекс 36, 513, 529, 607 дополненный 36, 513, 593 знакопеременной группы 607 симметрической полугруппы 112 - индикатор 36 симметрической полугруппы 112 - многочлен 513 - одночлен 36 - тип см. перестановка, цикловый тип р- частное 646 часть плоского разбиения см. плоское разбиение, часть числа Белла 29 - Бернулли 196 - Гиппарха 274 - Деланноя 242, 274 центральные 242, 314 - Доюеноччи 100 - Каталана 55, 222, 229, 234, 264, 266, 272, 273, 295, 298, 299, 300, 301, 306, 313, 358, 359, 543, 587 , д-аналог 303 , алгебраические интерпретации 296-297, 322 , комбинаторные интерпретации 283, 295, 322 - Костки 424, 473, 521, 582, 596 косые 424 , таблица 428 - Моцкина 306, 313, 322, 369 - Нараяны 306, ,329, 364, 390 - Стирлинга 29, 68, 201 , закон взаимности 201 - тангенса 70 - Фибоначчи 568 - центральные факториальные 99, 274, 282, 307, 310 - Шредера 235 малые 235 , q -аналог 370 - Эйлера 70, 567, 600 - /-эйлеровы 301 число плоских разбиений, асимптотика 589 - превышения перестановки см. перестановка, число превышения пути см. путь, число превышения - сплетающее 722 - спусков 103, 305 - треугольное 563 - циклов перестановки 569 ч.у. множество без 3-элементных антицепей 312 биномиальное 118 - дифференциальное 620 инверсионное 439 - интервалов цепи 292 локально рангово-симметричное 560 локально самодвойственное 560 пересечений порогового размещения 98 размещения гиперплоскостей 128 Лайнайала 122 Ши 128 последовательно-параллельное 119 разложений в прямую сумму 305 симплициальное 167, 302 тасовок 560 треугольное 167
Предметный указатель 763 эйлерово 302 - - (3 + 1)-свободное 558, 638 - - NCn 115 шахматная задача 296, 544 эквивалентность по Кнуту 524, 702, 726 двойственная 703 - переключательная 120 - целочисленная 437 «15» -эквивалентность 709 экспоненциальная формула см. формула экспоненциальная элемент алгебраический над К[х] 214 - покрывающий 425 язык 263 - алгебраический 263, 321 - Дика 263, 266, 275, 383 - контекстно-свободный 263 - Лукашевича 264 - неалгебраический 321 - рациональный 263, 320 - регулярный 263 якобиан 266 ящик 492 аа 449 BZ-схема 724 ch469 char 730 со 475, 480 Comp 475 df-порядок 52 evac 713 ex 415 exg 417 Fix 467, 517 gfun 376 GLn -модуль 719 h- вектор 303 /С-группа 572 jdt 708, 710 fc-компонента матрицы A G ЛЛ(п,г) 71 п-путь 458 n-цикл 568, 569, 579, 581, 593 Р-разбиение 476, 477, 498, 527 р-сердцевина 564, 565, 566 Р-таблица 558 Р-функция Шура 531 р-частное 646 Putnam Competition 375 (P,u;)-разбиение 478 (Р, lj)-разбиения 526 g-многочлен Каталана 305 Q-функция Шура 531 г-разбиение 66 5-путь 241 st 721 vier combinatorische Probleme 88, 234, 273 z\ 410 а-тасовка 468 a-флаг 468 £\ 410 А-кольцо 665, 675 7г-совместимость обратная 477 (0,1)-матрица 34 1-фактор 739 103 049, 274 310 952 274 310 954 274 «15»-эквивалентность 709 * 576 П571 о 470 <? 281 0 666 § 738 1 738 V 671 Ф-знаковый тип 297 Л-полурешетка 588
СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВ 1-4 Глава 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.1. Как сосчитать 1.2. Множества и мультимножества 1.3. Статистики перестановок 1.4. Двенадцатеричный путь Замечания Замечания об упражнениях Литература Упражнения Решения упражнений Глава 2. Методы решета 2.1. Включение—исключение 2.2. Примеры и частные случаи 2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение 2.4. Доски Ферре 2.5. V-разбиения и унимодальные последовательности 2.6. Инволюции 2.7. Определители Замечания Литература Упражнения Решения упражнений Глава 3. Частично упорядоченные множества 3.1. Основные понятия 3.2. Новые ч.у. множества из старых 3.3. Решетки 3.4. Дистрибутивные решетки 3.5. Цепи в дистрибутивных решетках 3.6. Алгебра инцидентности локально конечных ч. у. множеств 3.7. Формула обращения Мёбиуса 3.8. Техника вычисления функции Мёбиуса 3.9. Решетки и их алгебры Мёбиуса 3.10. Функция Мёбиуса полумодулярной решетки 3.11. Дзета- многочлены 3.12. Ранговый выбор 3.13. R-пометки 3.14. Эйлеровы ч.у. множества 3.15. Биномиальные ч.у. множества и производящие функции 3.16. Приложения к перечислению перестановок Замечания Литература Упражнения Решения упражнений
Содержание глав 1-4 765 Глава 4. Рациональные производящие функции 4.1. Рациональные степенные ряды от одной переменной 4.2. Дальнейшее развитие теории 4.3. Многочлены 4.4. Квазимногочлены 4.5. Р-разбиения 4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 4.7. Метод трансфер-матрицы Замечания Литература Упражнения Решения упражнений Приложение. Терминология теории графов
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 5 Предисловие автора к русскому изданию 10 Предисловие Дж.-К. Роты 11 Предисловие 13 Список принятых обозначений 15 Глава 5. Деревья и композиция производящих функций 17 5.1. Экспоненциальная формула 17 5.2. Приложения экспоненциальной формулы 27 5.3. Перечисление деревьев 40 5.4. Формула обращения Лагранжа 56 5.5. Экспоненциальные структуры 64 5.6. Ориентированные деревья и матричная теорема о деревьях 73 Замечания 87 Литература 93 Упражнения 96 Решения упражнений 138 Глава 6. Алгебраические, D-конечные и некоммутативные производящие функции 213 6.1. Алгебраические производящие функции 213 6.2. Примеры алгебраических рядов 224 6.3. Диагонали 236 6.4. £)-конечные производящие функции 244 6.5. Некоммутативные производящие функции 253 6.6. Алгебраические формальные ряды 261 6.7. Некоммутативные диагонали 268 Замечания 271 Литература 276 Упражнения 279 Решения упражнений 331 Глава 7. Симметрические функции 396 7.1. Симметрические функции в целом 396 7.2. Разбиения и их упорядочения 397 7.3. Мономиальные симметрические функции 400 7.4. Элементарные симметрические функции 400 7.5. Полные однородные симметрические функции 405 7.6. Инволюция 407 7.7. Симметрические степенные суммы 408 7.8. Специализации 413 7.9. Скалярное произведение 418 7.10. Комбинаторное определение функций Шура 420 7.11. Алгоритм RSK 430 7.12. Некоторые следствия алгоритма RSK 436
Оглавление 767 7.13. Симметрия алгоритма RSK 439 7.14. Двойственный алгоритм RSK 446 7.15. Классическое определение функций Шура 449 7.16. Тождество Якоби-Труди 457 7.17. Правило Мурнагана-Накаямы 461 7.18. Характеры симметрической группы 466 7.19. Квазисимметрические функции 474 7.20. Плоские разбиения и алгоритм RSK 484 7.21. Плоские разбиения с ограниченным размером частей 491 7.22. Обратные плоские разбиения и соответствие Гиллмана- Грассла 499 7.23. Приложения к перечислению перестановок 503 7.24. Перечислительная теория Пойа 513 Замечания 519 Литература 531 Упражнения 540 Решения упражнений 608 Приложение 1 к гл. 7. Эквивалентность Кнута, игра «15» и правило Литтлвуда—Ричардсона (С. В. Фомин) 701 А1.1. Эквивалентность Кнута и теорема Грина 701 А1.2. Игра «15» 707 А1.3. Правило Литтлвуда-Ричардсона 716 Замечания 725 Литература 726 Приложение 2 к гл. 7. Характеры группы GL(n, С) 728 Именной указатель 740 Предметный указатель 751 Содержание глав 1-4 764
Учебное издание Ричард Стенли Перечислительная комбинаторика Деревья, производящие функции и симметрические функции Зав. редакцией академик В. И. Арнольд Зам. зав. редакцией А. С. Попов. Ведущий редактор Г. М. Цукерман Художник М. М. Иванов Технический редактор Е. В. Денюкова Оригинал-макет подготовлен Б. А. Амосовым в пакете WFgX2£ Подписано к печати 21.03.2005 г. Формат 60х90^1б Печать офсетная. Объем 24,0 бум. л. Усл.-печ. л. 48,0. Изд. №1/9755. Тираж 2000 экз. Заказ 12154. Издательство «Мир» Министерства культуры и массовых коммуникаций РФ 107996, ГСП-6, Москва, 1-й Рижский пер., 2. Диапозитивы изготовлены в издательстве «Мир» Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «ИПК «Южный Урал», Оренбург, пер. Свободина, 4.
Р. Стенли Перечислительная комбинаторика I Ричард П. Стенли, профессор прикладной математики Массачусетского технологического института, является одним из ведущих специалистов в области алгебраической комбинаторики и ее разнообразных применений - в самой I математике и в ее приложениях. Он автор около 150 науч- I ных работ и нескольких книг. Первый том его двухтомника i «Перечислительная комбинаторика» опубликован в русском переводе в 1990 году. Р. Стенли является членом Американской академии искусств и наук и Национальной академии наук, лауреатом премии Пойа в области прикладной комбинаторики и шведской премии Р. Шока по математике. За двухтомник «Перечислительная комбинаторика» ему присуждена премия Американского математического общества 2001 года за лучшую математическую монографию. ISBN 5-03-003476-5