Text
                    ENUMERATIVE COMBINATORICS
Volume I
Richard P. Stanley
Wadsworth & Brooks/Cole
Advanced Books & Software
Monterey, California


Р Стенли Перечислительная комбинаторика Перевод с английского А. И. БАРВИНКА и А. А. ЛОДКИНА под редакцией А. М. ВЕР ШИКА Москва «Мир» 1990
ББК 22.174 С79 УДК 5.19.1 Стенли Р. С79 Перечислительная комбинаторика: Пер. с англ.—М.: Мир, 1990.-440 с, ил. ISBN 5-03-001348-2 Книга американского математика, отражающая современное состояние комбинаторики. Изложение отличается высоким уровнем алгебран- зацнн, новизной материала, широкой областью приложений, включая приложения к задачам математической физики. В ней представлены комбинаторика частично упорядоченных множеств, метод трансфер- матрицы, алгебры инцидентности, линейные диофантовы уравнения, диаграммы Юнга и др. Книга написана ясно, продуманно и последовательно. Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов университетов. 1602100000-234 ,9.90 С 041(01)-90 19 9° ББК 22Л74 Редакция литературы по математическим наукам ISBN 5-03-001348-2 (русск.) © 1986 by Wadsworth, Inc. California ISBN 0-584-06546-5 (аигл.) 94002 © перевод на русский язык, А. И. Барвинок, А. А. Лодкин, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Эта книга, написанная одним из ведущих специалистов по комбинаторике, профессором Массачусетского технологического института Ричардом Стенли, является одновременно и учебником, и монографией как по классической так и по современной перечислительной комбинаторике. При этом она написана в совершенно новых для этой области традициях. Древнейшая и, возможно, ключевая ветвь математики — комбинаторика— долгое время оставалась на периферии математической науки. Хотя всякая серьезная теорема, теория имеет свою комбинаторную лемму, комбинаторный аналог, хотя комбинаторное рассмотрение предшествует почти всякому анализу, тем не менее из разрозненных даже глубоких результатов еще не складывается единая жизнеспособная теория или область исследований. В то же время собственно комбинаторные проблемы подчас изолированы от большей части математики. В особенности это относится к перечислительной комбинаторике, поскольку задачи перечисления конечных множеств объединяются скорее по формальному, а не методологическому признаку. На наших глазах происходит включение комбинаторики в русло современной математики; этот процесс определяется, во-первых, резким обновлением ее аппарата, в который постепенно входят разнообразные теории и методы других областей математики, а во-вторых, не менее резким расширением области приложений и предмета исследований комбинаторики. Важная, но не единственная роль в этих изменениях принадлежит изменению статуса дискретной математики в связи с появлением информатики, компьюторики и т. п., — эти изменения усилили интерес математиков к комбинаторике. Однако имеются внутренние причины появления «новой» комбинаторики. До самого последнего времени наиболее мощный контакт перечислительной комбинаторики с остальной математикой проходил через теорию производящих функций и в конце концов вел в теорию функций комплексной переменной. Это классическое направление и сейчас сохраняет свое значение. Но читатель сможет оценить, насколько далеко, судя по данной книге,
6 Предисловие редактора перевода продвинута классическая теория производящих функций в новых направлениях. На него, несомненно, произведет впечатление широчайший охват материала, как традиционного, так и никогда не встречавшегося в книгах по комбинаторике. Нет смысла перечислять соответствующие примеры. Обратим внимание лишь на включение в книгу целой главы (гл. 3), посвященной, казалось бы, чуждому предмету — частично упорядоченным множествам. Однако именно в этом отражается одно из серьезных методологических нововведений, принадлежащих Дж.-К. Рота и развитых им вместе с Р. Стенли. Грубо говоря, алгебраиза- ция большого числа задач комбинаторики по замыслу Рота — Стенли начинается с выявления того или иного частично упорядоченного множества, которое, как правило, неявно сопутствует комбинаторной задаче. Блестящий и ставший классическим пример — теория обращения Мёбиуса, созданная Дж.-К- Рота, и теория алгебр инцидентности Рота — Стенли. Виртуозное владение материалом самого различного характера дает возможность автору сделать книгу чрезвычайно привлекательной и для алгебраиста, и для геометра, для специалиста по теории функций, теории представлений, и, конечно, для комбинаториков. Р. Стенли построил книгу наилучшим для данной ситуации способом: сравнительно простое, понятное студентам изложение основной части соседствует с громадным по запасу и глубине материалом упражнений, среди которых есть вполне тривиальные, но есть результаты и проблемы из самых последних работ большого числа авторов. Главы 1—3 переведены А. И. Барвинком, глава 4 —А. А. Лод- киным. Автор любезно прислал специально для русского издания список исправлений, что помогло при работе над переводом; некоторые мелкие погрешности исправлялись без специальных примечаний. Следует заметить, что литературные ссылки автора не полны, и мы не стремились пополнить их, поскольку число работ, так или иначе связанных с темами, затрагиваемыми в книге, необычайно велико. Как сообщил нам автор, в ближайшее время ожидается выход второго тома этой книги в оригинале. А. М. Вершик
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЖ.-К. РОТА Очень жаль, что после того, как книга выходит в свет и начинает собственную жизнь, она больше не хранит свидетельств мучительного выбора, возникшего перед его автором на протяжении работы. Перед автором любой книги встают такие вопросы: для какой аудитории она предназначена, для кого окажется бесполезной, кто будет самым вероятным критиком? Большинство из нас подчас занято бесплодным составлением оглавлений книг, которые, как мы знаем, никогда не увидят свет. В некоторых странах такие особо талантливо составленные проекты посылают в печать (хотя они могут и не включаться в список авторских публикаций). В математике, однако, бремя выбора, стоящего перед автором, настолько тяжело, что выдерживают лишь самые смелые. Но из всей математики сегодня, вероятно, трудней всего писать книги по комбинаторике, несмотря на существование жаждущей аудитории, состоящей из специалистов в самых различных областях. Следует ли выделить отдельный параграф для изолированного частного результата? Нужно ли новую, неоперившуюся теорию, имеющую пока редкие приложения, робко втискивать в середину главы? Следовать ли одному из двух противоположных искушений: стремлению к популяризации с одной стороны или к категорической строгости с другой? Или поддаться обаянию алгоритма? Ричард Стенли победно преодолел все эти барьеры. Говорят, что в комбинаторике слишком много теорем, связанных с очень небольшим числом теорий; книга Стенли опровергает это утверждение. Умело отбирая наиболее привлекательные современные теории, он демократично сочетает их с многообразными примерами, в диапазоне от топологии до компьютерной математики, от алгебры до комплексного анализа. Читатель никогда не испытает нехватки в иллюстративном примере или недоумения от доказательства, нарушающего критерий Г. Хар- ди, согласно которому оно должно появляться как приятный сюрприз.
8 Предисловие Дж.-К. Рота Сделанный автором выбор упражнений позволит нам, наконец, предложить удовлетворительную библиографическую ссылку коллеге, стучащемуся в нашу дверь со своей комбинаторной проблемой. Но более всего Стенли преуспел в следующем: он сделал захватывающим сам предмет в книге, которая от начала и до конца поглотит внимание любого математика, открывшего ее на первой странице. Джан-Карло Рота
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Перечислительная комбинаторика занимается подсчетом числа элементов в конечном множестве S. В том виде как это определение сформулировано, оно мало говорит о самом предмете, так как фактически любую математическую задачу можно сформулировать в таких терминах. В собственно перечислительной задаче элементы множества 5 обычно будут иметь очень простое комбинаторное определение и весьма незначительную дополнительную структуру. Выявляется, что множество S содержит много элементов, и главным вопросом будет определение их числа (или оценка его), а не поиск, например, какого-нибудь особого элемента. Конечно, существует много вариантов этой основной задачи, также относящихся к перечислительной комбинаторике; они встретятся на протяжении этой книги. В последние годы наблюдалось бурное развитие комбинаторики, включая и перечислительную комбинаторику. Одной из важных причин этого явилась та фундаментальная роль, которую играет комбинаторика будучи аппаратом информатики и смежных областей. Другой причиной были огромные усилия, начало которым положил Дж.-К. Рота около 1964 г., нацеленные на объединение и согласование разделов комбинаторики, особенно теории перечисления, и на превращение комбинаторики в составную часть магистрального направления современной математики. Эти усилия значительно прояснили роль перечислительной комбинаторики в таких областях математики, как теория конечных групп, теория представлений, коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и алгебраическая топология. Эта книга предназначена для трех разновидностей читателей и служит трем различным целям. Во-первых, ее можно использовать как введение для окончивших курс высшего учебного заведения в одну из чарующих областей математики. Для чтения большей части книги необходимо знать основные сведения из линейной алгебры, и возможно, прослушать односеме- стровый курс абстрактной алгебры. Глава 1 может служить введением в теорию перечисления на несколько более низком
10 Предисловие автора уровне. Во-вторых, книга предназначена для специалистов по комбинаторике, для которых она могла бы служить в качестве общего источника. Так как невозможно полностью охватить все, мы попытались по крайней мере включить главные темы перечислительной комбинаторики. Наконец, эту книгу могут использовать математики, не занимающиеся комбинаторикой, но работа которых требует решения некоторых комбинаторных задач. Судя по многочисленным беседам, которые я вел с математиками, работающими в различных областях, такая ситуация возникает довольно часто. Поэтому я особенно старался охватить в книге темы перечислительной комбинаторики, которые возникают в других областях математики. Упражнения, помещенные в конец каждой главы, играют первостепенную роль при достижении всех трех целей этой книги. Более легкие упражнения (трудность которых находится, скажем, в диапазоне от 1 —до 3—) могут пытаться решать студенты, использующие эту книгу как учебник; не предполагается, что будут решены более сложные упражнения (хотя, несомненно, некоторые читатели не смогут противостоять серьезному вызову). Эти задачи скорее служат отправной точкой изучения областей, непосредственно не охватываемых текстом. Я надеюсь, что эти более сложные упражнения убедят читателя в глубине и широкой применимости перечислительной комбинаторики, особенно в гл. 3, где никоим образом априори не очевидно, что частично упорядоченные множества есть нечто большее, чем удобное бухгалтерское приспособление. Почти все упражнения снабжены решениями или ссылками на решения. Принцип цитирования и указания ссылок, я надеюсь, ясен. Всем указаниям на ссылки в другой главе предшествует номер соответствующей главы. Например, [3.16] отсылает к позиции 16 в гл. 3. Я не ссылался на литературу в пределах основного текста; все такие указания встречаются в разделе «Замечания» в конце каждой главы. Каждая глава содержит свой собственный список литературы, а цитируемая литература, относящаяся к упражнению, дана отдельно в решении упражнения. Многие лица разными способами внесли вклад в написание этой книги. Особо нужно упомянуть Дж.-К. Рота, который ввел меня в изумительный мир перечислительной комбинаторики, а также постоянно поддерживал и поощрял. Я должен также упомянуть Дональда Кнута, чьи великолепные книги по программированию побудили меня включить в книгу обширный список упражнений с решениями и с указанием трудности перед упражнением. Я благодарю Эда Бендера, Луи Биллера, Андерса Бьорнера, Томаса Брнлавского, Перси Дьякониса, Доминика Фоата, Анд-
Предисловие автора И рнано Гарсиа, Иру Гессель, Джея Голдмана, Кертиса Грина, Виктора Кли, Пьера Леру, И. Рональда, К. Муллина за ценные предложения и ободрение. Кроме того, имена многих авторов, идеи которых я заимствовал, упомянуты в разделах «Замечания» и «Упражнения». Я благодарен группе, отлично подготовившей рукопись, в том числе Руби Агуир, Луизе Бальзарини, Маргарет Бьюклер, Бенито Раковеру и Филлису Руби. Наконец, я благодарю Джона Киммеля из издательства Wadsworth & Brooks/Cole Advanad Books & Software за поддержку и ободрение во время подготовки книги и Филлис Ларимор за аккуратное редактирование. За финансовую поддержку при написании этой книги я хочу поблагодарить Массачусетский технологический институт, Национальный научный фонд и Фонд Гуггенхейма. Ричард Стенли ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ С большим энтузиазмом я встретил перевод на русский язык первого тома моей книги «Перечислительная комбинаторика». Я надеюсь, что эта книга позволит советским математикам почувствовать очарование перечислительной и алгебраической комбинаторики и будет способствовать их сотрудничеству с западными математиками в духе гласности. Ричард Стенли Август 1989 г.
ОБОЗНАЧЕНИЯ С комплексные числа N неотрицательные целые Р положительные целые Q рациональные числа R вещественные числа Z целые [п] множество {1,2, ..., п) при neN (так что [ №] = 0) lt, j] множество {i, t+ I, ..., /} для чисел i^j х\ наибольшее целое, не превосходящее х \х\ наименьшее целое, не меньшее х cardX, фХ, \Х\ используются для обозначения числа элементов в конечном множестве X {аи ...,ак}< множество {аи ..., at} £ R, где а\ < ... ... йк Ы{ символ Кронекера, равный 1, если i = j и 0 в противном случае := равенство по определению im А образ функции А ker А ядро гомоморфизма или линейного преобразования А tr А след линейного преобразования А GF(q), Tq конечное поле из q элементов (единственное с точностью до изоморфизма) уг V{ прямая сумма векторных пространств (или модулей, колец и т д.) Vi R[x] кольцо многочленов от переменной х с коэффициентами в области целостности R R (х) кольцо рациональных функций от х с коэффициентами в R {R(x) есть поле частных кольца R [х], если R — поле) R [[х]] кольцо формальных степенных рядов £п5>о апхП от х с коэффициентами ап из R R((x)) кольцо формальных рядов Лорана Hn>rha.nxn для некоторого по е Z от х с коэффициентами ап из R (R((x)) есть поле частных кольца /?[[*]], если кольцо R является полем)
Глава 1 ЧТО ТАКОЕ ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНАЯ КОМБИНАТОРИКА? 1.1. Как сосчитать Основная проблема перечислительной комбинаторики состоит в том, чтобы сосчитать число элементов в конечном множестве. Обычно нам дан бесконечный класс конечных множеств St, где i пробегает некоторое множество индексов / (такое, как множество неотрицательных целых чисел N), и мы хотим сосчитать число f(i) элементов в каждом 5; «одновременно». Тотчас же возникают философские трудности. Что значит «сосчитать» число элементов S*? На этот вопрос нет определенного ответа. Только с опытом действительно развивается понятие того, что понимается под «вычислением» считающей функции f(i). Считающая функция /(0 может быть задана несколькими стандартными способами: 1. Наиболее приятная форма /(/) — совершенно явная замкнутая формула, включающая только хорошо известные функции и не содержащая символов суммирования. Только в редких случаях такая формула будет существовать. По мере того как формулы для /(/) становятся более сложными, наше желание принять их как «выражения» для f(i) уменьшается. Рассмотрим следующие примеры. 1.1.1. Пример. Для каждого neN пусть f{n) — число подмножеств множества [/г]={1, 2, ..., п). Тогда f(n) = 2n, и никто не будет отрицать, что это удовлетворительная формула для f(n). 1.1.2. Пример. Предположим, что п человек сдали свои п шляп гардеробщику. Пусть f{n) — число способов, которыми шляпы могут быть розданы обратно, причем каждый получает одну шляпу и ни один не получает свою собственную. Например, f(l) = 0, /(2)= 1, f(3)=2. Мы увидим в гл. 2, что /(«) = «! t(-!)'/«• (1) Эта формула для f(n) не так элегантна как формула в примере 1.1.1, но за отсутствием более простого ответа нам хочется принять (1) как удовлетворительную формулу. Фактически, как
14 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? только стал понятен вывод формулы (1) (используется принцип включения — исключения), легко понять комбинаторный смысл каждого члена формулы (1). Это позволяет нам «понять» (1) интуитивно, так что наше желание принять эту формулу усиливается. Заметим также, что из (1) легко следует, что /(л) —ближайшее целое к п\/е. Это, конечно, простая явная формула, но ее неудобство в том, что она «некомбинаторная», так как деление на е и округление до ближайшего целого не имеют прямого комбинаторного смысла. 1.1.3. Пример. Пусть /(п) —число я X « матриц М из нулей и единиц, таких, что каждая строка и каждый столбец содержат три единицы. Например, /(0)= 1; /(1) = /(2) = 0; /(3)=1. Наиболее явная формула для f(n), известная в настоящее время,— это f(n, -fi-^V1 (-Ор"12(Р + Зу)12азР ,™ И»)-° L a!p!Y!26V ' W где сумма берется по всем (п + 2) (п + 1)/2 решениям уравнения а+р + 7 = « в неотрицательных целых числах. Эта формула дает очень небольшую возможность исследовать поведение f(n), но она действительно позволяет сосчитать f{n) гораздо быстрее, чем на основе использования лишь комбинаторного определения f(n). Поэтому с некоторой неохотой мы принимаем (2) за «выражение» для f(n). Конечно, если бы кто- нибудь позже доказал, что f(n) = (n— 1) (п — 2)/2 (что весьма маловероятно), то наш энтузиазм относительно формулы (2) значительно уменьшился бы. 1.1.4. Пример. Впрочем, встречаются формулы в литературе («безымянные с этих пор»)1) для некоторых считающих функций f(n), вычисление которых требует перебора всех (или почти всех) f{n) подсчитываемых объектов! Подобные формулы полностью бесполезны. 2. Может быть дано рекуррентное выражение для /(/) через ранее вычисленные значения f(j), дающее тем самым простую процедуру вычисления f(i) для любого желаемого /е/. Например, пусть f(n) — число подмножеств [п], которые не содержат двух последовательных чисел. Например, для п = 4 имеем подмножества 0, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,3}, {1,4}, {2,4}, так что f(4) = 8. Легко видеть, что }{п)= f (п — 1)+ f (п — 2) при п ^ 2. Это делает тривиальным, например, подсчет f (20). С дру- ') «Nameless here for evermore» —Э. По. Ворон 2-я строфа, перевод М. Зенкевича. — Прим. ред.
1.1. Как сосчитать 15 гой стороны, можно показать, что / (я) = Jr(T*+*-*•+»), где т = -5~(l + V5)> т = "2"(l — д/б). Это точный ответ, но так как формула содержит иррациональные числа, то вопрос, лучше ли он, чем рекуррентная формула Дп) = /(я— 0+ f(n — 2), является спорным. 3. Может быть дана оценка f(i). Если /= N, то эта оценка часто принимает форму асимптотической формулы f(n) ~ g(n), где g(n) — «знакомая функция». Обозначение f(n)~ g(n) означает, что limbec/(")/&(")= 1- Например, пусть f(n) — функция примера 1.1.3. Можно показать, что /(«)~e-236-"(3ft)!. Для многих целей эта оценка предпочтительнее, чем «явная» формула (2). 4. Самый полезный, но и самый трудный для понимания метод численного представления функции f(i) состоит в задании ее производящей функции. В этой главе мы не будем развивать строгую абстрактную теорию производящих функций, а вместо этого удовлетворимся неформальным обсуждением и некоторыми примерами. Говоря неформально, производящая функция есть «объект», который представляет считающую функцию f(i). Обычно этот объект есть формальный степенной ряд. Два наиболее общих типа производящих функций суть обычные производящие функции и экспоненциальные производящие функции. Если / = N, то обычная производящая функция последовательности f(n) — формальный степенной ряд Z f{n)x\ в то время как экспоненциальная производящая функция последовательности f(n) — формальный степенной ряд Z f(n)x*/n\. л>0 (Если / = Р — множество положительных целых, то эти суммы начинаются с я—1.) Эти степенные ряды называются «формальными», так как мы не связываем с символом х конкретных значений и игнорируем вопросы сходимости и расходимости. Член ряда х11 или х"/п\ просто отмечает место, где написано
16 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? f(n). Если F {х) = У£<п>0апхп, мы называем ап коэффициентом при хп в F(x) и пишем an = CF(x) или an = F{x)\n. п Аналогично можно рассматривать производящие функции нескольких переменных, как, например, I I I f(l, m, n)xlymzn/n\ 1>U m>0 n>0 (которую можно считать «обычной» по индексам /, m и «экспоненциальной» по /г), или даже бесконечного числа переменных. В последнем случае каждый член должен содержать только конечное число переменных. Зачем утруждать себя производящими функциями, если они есть всего лишь другой способ записи считающих функций? Ответ состоит в том, что мы можем выполнять различные естественные операции над производящими функциями, имеющие комбинаторный смысл. Например, мы можем сложить две производящие функции (от одной переменной) по правилу Г Е апхп) + ( Zibnxn)=lZ(an + bn)xn Vn>0 / Vn>0 / n>0 ИЛИ \л>0 / \л>0 / п>0 Аналогично мы можем перемножить производящие функции по правилу (Zanxn)(lbnxn)= 2с„*я, где с„ = £"=оаА-». или (Е^ГЕ-Чг)-!^- \п>0 / \п>0 / п>0 где <*« = £"({ )aibn_i, a [. J = n\/i\(n-i)\. Заметьте, что эти операции в точности такие же, какие бы мы получили, если бы производящие функции подчинялись обычным законам алгебры, подобным х'х' — xi+L Эти операции совпадают со сложением и умножением функций в тех случаях, когда степенные ряды сходятся для подходящих значений х, и они подчиняются таким известным законам алгебры, как ассоциативность и коммутативность сложения и умножения, ди-
1.1. Как сосчитать 17 стрибутивность умножения относительно сложения и сокращение произведения (т. е. если F(х)G(х) = F(х)Н(х) и Р(х)Ф0, то G(x) = Н(х)). Фактически множество всех формальных степенных рядов y£Jn>0anxn с комплексными коэффициентами а„ образуют (коммутативную) область целостности относительно определенных только что операций, йта область целостности обозначается С[[х]]. (В действительности С[[х]] — очень специальный тип области целостности. Для читателей, в какой-то мере знакомых с алгеброй, заметим, что С [[.г]] — область главных идеалов и, следовательно, область с однозначным разложением. В действительности любой идеал С [ [х] ] имеет вид (хп) для некоторого п ^ 0. С точки зрения коммутативной алгебры С[[х]] — одномерное полное регулярное локальное кольцо. Здесь мы не будем касаться этих общих алгебраических рассмотрений; вместо этого мы обсудим с элементарной точки зрения те свойства С [ [х] ], которые будут нам полезны.) Аналогично множество формальных степенных рядов от т переменных х\, ..., хт (где т может быть и бесконечностью) обозначается С[[х хп]\ и образует область с однозначным разложением (хотя и не область главных идеалов при т^2). Именно исключительно с приобретением опыта познается комбинаторный смысл алгебраических операций в С [ [х] ] или C[[xi, ..., Хт]], а также совершается выбор: использовать обычные или экспоненциальные производящие функции (или функции различных других видов, обсуждаемые в следующих главах). В разделе 3.15 мы объясним до некоторой степени комбинаторный смысл этих операций, но даже тогда опыт совершенно необходим. Если F(x) и G{x) — элементы С [[*]], удовлетворяющие условию F(x)G(x)= \, то мы (естественно) пишем: G(x) = = F(x)~l. (Здесь 1—сокращенная запись для 1+0х + + 0х2+ •••)• Легко видеть, что F(x)~l существует (и в этом случае единственно) тогда и только тогда, когда а0 Ф 0, где Р (*) —Хих)0™*"- Обычно «символически» пишут «0 = ^(0), даже если F{x) не рассматривается как функция от х. Если F(0)=^0 и F(x)G(x)=H(x), то G (х) = F~l (х) Н {х). Более общим образом операция (-)-1 удовлетворяет всем привычным законам алгебры, если только она применяется к степенному ряду F(x), удовлетворяющему условию F(0)=^0. Например, (F{x)G(x))-l=F(x)-"Q(x)-\ (F(x)-')-i = /:'(x)h так далее. Аналогичные результаты имеют место для C[[jci, ..., хп]]. 1.1.5. Пример. Пусть (Е„>оа"*")0 — а*)= Цп>оспхП> где а— ненулевое комплексное число. Тогда по определению произведе-
18 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? ния степенных рядов _( 1, ft = 0 Сп~\ап-а(ап~1) = 0, л>1. Следовательно, ^1п>0апхп = (1 — ах)~\ Это может быть также записано в виде £ aV = _L_. Эта формула не вызывает удивления; это просто формула (в формальной записи) суммы геометрической прогрессии. Пример 1.1.5 дает простую иллюстрацию общего принципа, который, говоря нестрого, утверждает, что если имеется тождество со степенными рядами, которое выполняется, если степенные ряды рассматривать как функции (т. е. считать переменные достаточно малыми комплексными числами), тогда это тождество продолжает оставаться верным, когда его рассматривают как соотношение между формальными степенными рядами, лишь бы операции, участвующие в формулах, имели смысл для формальных степенных рядов. С нашей стороны было бы излишним педантизмом устанавливать здесь точную форму этого принципа, так как читатель не должен испытывать больших затруднений, проверяя в каждом частном случае формальную справедливость наших действий со степенными рядами. На протяжении этого раздела мы приведем несколько примеров для иллюстрации этого утверждения. 1.1.6. Пример. Тождество {TJx?ln\\(YJ{-\)nx'4n\\^\ (3) справедливо как тождество между функциями (оно гласит, что ехе~х = 1) и имеет смысл как утверждение о формальных степенных рядах. Поэтому (3) — справедливое тождество между формальными степенными рядами. Другими словами (приравнивая коэффициенты при хп/п\ в обеих частях равенства (3)), имеем E(-Dfe(I)=6- (4) fe=0 Для вывода этого тождества непосредственно из формулы (3) мы можем рассуждать следующим образом. Обе части (3) схо-
1.1. Как сосчитать 19 дятся для всех хеС, так что имеем Z(Z(-1Kft)):5r=1 Для всех *s С. Но если два степенных ряда от х дают разложение одной и той же функции f(x) в некоторой окрестности 0, то, согласно стандартному элементарному результату о степенных рядах, они должны совпадать почленно. Отсюда следует (4). 1.1.7. Пример. Тождество £ (x+l)a/nl = eZ х"1п\ справедливо как тождество между функциями (оно гласит, что ех+1 = е-ех), но не имеет смысла как утверждение о формальных степенных рядах. Нет формальной процедуры для написания £„>0(*+ 1)"/л! как элемента С [[*]]. Хотя и выражение 2„>0(я+ 1)7"! формально не имеет смысла, тем не менее есть некоторые бесконечные процессы, которые могут быть формально выполнены в С [ [х] ]. (Эти рассуждения прямо распространяются на кольцо С[[х хт]], но для простоты мы рассмотрим только С [ [х] ].) Для определения этих действий нам нужно ввести некоторую дополнительную структуру на кольце С [[*]], а именно — ввести понятие сходимости. С алгебраической точки зрения определение сходимости неявно присутствует в утверждении о том, что С [ [х] ] полно в некоторой стандартной топологии, которая может быть введена на С [ [л;] ]. Однако мы не будем предполагать наличие топологических знаний у читателя и дадим вместо этого замкнутое в себе элементарное обсуждение понятия сходимости. Если F\(x), F2(x),... — последовательность формальных степенных рядов и ecmiF (х) = ^п>0апхп — другой формальный степенной ряд, по определению положим: Fi(x) сходится к F(x) при /->оо (запись: Ft(x)->F(x)), если для всех п^О существует такое число б(п), что коэффициент при хп в Fi{x) есть а„, как только i ^ б (я). Другими словами, для любого п последовательность CM*). CF2(x), ... п п комплексных чисел в конце концов становится постоянной со значением ап. Эквивалентное определение сходимости следующее. Определим степень ненулевого формального степенного ряда F (х) = £„>0 апхп обозначение — degF(*)) как наименьшее
20 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? целое п, такое, что апф0. Заметим, что degF(x)G(x) = = degF(х) -f deg G (x). Тогда Fi(x) сходится если и только если lim,-->oo deg(Fi+, (х) — Ft (х)) = оо. Мы говорим, что бесконечная сумма £,,>0Fj(x) имеет значение F(x), если YjjS!,oFj{x)->F{x). Аналогичное определение дается бесконечному произведению Jlj>lF}(x). Чтобы избежать непринципиальных технических деталей, мы предположим, что в любом бесконечном произведении \±j>lFj(x) каждый множитель Fj{x) удовлетворяет условию 7^(0) = 1. Например, пусть Fj{x) = asx'. Тогда для i~^n коэффициент при хп в 2)=о^/(*) равен ап. Следовательно, L,1>0Fj(x) есть в точности степенной ряд Yin>oanxn- Таким образом, мы можем думать о формальном степенном ряде £п>0апхп как о «сумме» его одночленов. Доказательства следующих двух элементарных результатов оставляются читателю. 1.1.8. Предложение. Бесконечный ряд ^j>QFj{x) сходится тогда и только тогда, когда lim/^oo degFj(x) = оо. □ 1.1.9. Предложение. Бесконечное произведение Ц/>1 (1 +/7г(л;)), где Fi(Q) = Q, сходится тогда и только тогда, когда lim/^oodegF/(^) = oo. □ Важно понимать, что при вычислении сходящегося ряда ^L,}>0Fj(x) (или аналогично произведения TJ.j:>1Fj(x)) для любого данного п коэффициент при хп может быть вычислен с использованием только конечного процесса. Ибо если / достаточно велико, скажем / > б(я), тогда deg Fj(x) > п, так что 6(л) С 2 F}(x) = C T,F,(x). п />0 л /=0 Последнее выражение содержит только конечную сумму. Самое важное комбинаторное приложение понятия сходимости—это идея композиции степенных рядов. Если F(x) = = 2rt>oa«*" и G{x) — формальные степенные ряды с условием G(0) = 0, определим композицию F(G{x)) как бесконечную сумму 2n>0a„G(x)n. Так как AegG(х)п = пdegG(х)^п, то в силу 1.1.8 мы видим, что выражение F(R(x)) определено как формальный степенной ряд. Мы также видим, почему выражение, подобное е1+х, действительно формально не имеет смысла; имен-
1.1. Как сосчитать 21 но, бесконечный ряд 2„>0(1 + х)п/п\ не сходится в соответствии с определением, данным выше. С другой стороны, выражение, подобное ее ~\ вполне имеет формальный смысл, так как оно равно F(G(x)), где F{x) = 'Zn>0xn/n\ и G{x) = Zn>lxn/n\. 1.1.10. Пример. Если элемент F(x)^C[[x}) удовлетворяет условию Р(0) = 0, мы можем определить для любого X е С формальный степенной ряд (1+Р(х))к=^(1)рМп, (5) \ II, J где I I = X [X — 1) ... (X — п -+- 1)/«!. Фактически мы можем рассматривать X как переменную и принять (5) за определение (1 + F(x))h как элемента С[[х, X]] (или С [X] [[х]], т. е. коэффициент при х" в (1 -f F(x))x— полином от X). Все ожидаемые свойства возведения в степень действительно выполняются, например (1 + 7?(^))х+»1 =(1 -f F(x))l(\ -f Fix))!1 (рассматриваемое как тождество в кольце С [ [хД, ц]] или в кольце С[[х]], где X, ц взяты из поля С). Если F (*) = 2ra>0a,t.tra, определим, формальную производную F'(x) ( также обозначаемую-^— или DF(x) J как формальный степенной ряд Y.n>ananxn~l = £„>0("+ l)«/t+i^"- Легко проверить, что все знакомые правила дифференцирования, определенные формально, продолжают выполняться и для формальных степенных рядов. В частности, (F + G)' = F' + G't (FGY = F'G + FG', F(G(x))' = G'(x)F'(G(x)). Таким образом, мы имеем формальное исчисление для формальных степенных рядов. Полезность этой теории станет очевидной в последующих примерах. Сначала дадим пример использования формального исчисления, который должен дополнительно осветить законность обращения с формальными степенными рядами, как если бы они в действительности были функциями от х. 1.1.11. Пример. Предположим F(Q)=\, и пусть G(x) — единственный степенной ряд, удовлетворяющий условиям G'(x) = F'(x)/F{x), G(0) = 0. (6)
22 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Рассматривая F(x), G(x) как функции, мы можем «решить» (6) и получить F,(х) = expG (х), где по определению e.\pG(*) = — Tln>oG(x)n/n\."TaK^KaK G(0) = 0, все имеет смысл и формально, так что (6) должно оставаться эквивалентно утверждению F(x)~ exp G(x), даже если степенной ряд для F(x) сходится только при х = 0. Как это утверждение может быть проверено без непосредственного доказательства некоторого комбинаторного тождества? Пусть F(x) = l +£«>i апхп. Из (6) мы можем явно вычислить G(x) = Хл>1 Ьпхп, и сразу видно, что каждый из коэффициентов Ьп — полином от конечного числа а,-. Если exp G (х) = 1 + Z„>i сп*"> т0 каждый коэффициент сп также будет являться полиномом от конечного числа а,-, скажем Сп = рп(а\,а2, ..., ат), где т зависит от п. Мы знаем, что F(x)= exp G(x), если ряд 1 + ^1п>хапх"' сходится. Если два ряда Тейлора, сходящиеся в некоторой окрестности нуля, представляют одинаковые функции, то их коэффициенты совпадают. Следовательно, а„ = рп(аи а2, .... ат), если ряд 1 + + £и>1 апхП сходится. Таким образом, два полинома ап и рп(аи ■■■, ат) совпадают в некоторой окрестности нуля в С", так что они должны быть равны. (Хорошо известно, что если два комплексных полинома от т переменных совпадают на некотором открытом множестве в Ст, то они тождественно равны.) Так как an = /?n(ai, аг, ..., ат) как полиномы, то тождество F(х) = exp G (х) продолжает оставаться справедливым для формальных степенных рядов. Есть другой метод, позволяющий дать обоснование решению F(x) = expG(x) уравнения (6), который может привлечь читателя со склонностью к топологии. Дан элемент G(x), G(0) = 0, определим F(x) = expG(x) и рассмотрим отображение F' (х) <р: С [[л:]]-* С [[*]], определенное так: <р (G (х)) = G' (х) jfict' Легко проверяется следующее: (а) если G сходится в некоторой окрестности 0, то <p(G(;c)) = 0; (в) множество $ всех степенных рядов, сходящихся в некоторой окрестности 0, плотно вС[И] в топологии, определенной выше (фактически множество С[лг] полиномов плотно в С[[х]]), и (с) функция ф непрерывна в определенной выше топологии. Отсюда следует, что <p(G(x)) = 0 для всех G(x)^C[[x]] с условием G(0) = 0. Сейчас мы дадим всевозможные примеры, иллюстрирующие обращение с производящими функциями. На всем протяжении мы будем часто использовать принцип обращения с формальными рядами как с функциями.
1.1. Как сосчитать 23 1.1.12. Пример. Найдем простое выражение для производящей функции F{x) = Yjn>0anxn, где а0 = aj = 1, ап = ап^ + ап_2 при п^ 2. Имеем F(x) = Е апхп=1 + х + Е апхп = = 1+х + Е (ап-\ + ап_2)хп = = 1 + х + * Е а*-!*^1 + х2 Е а„_2^-2 = /г>2 п>2 = l + * + *(F(*)-l) + x2(F(*)). Разрешая уравнение относительно F(x), получаем F {х) = 1/(1 - х - х2). 1.1.13. Пример. Найдем простое выражение для производящей функции F{x) = Y,n>0anXnln\, где 00 = ^ = 1, a„ = a„_: + + («—l)a„_2 при п^2. Имеем F(x)= Е a„*>l = = 1+* + Е a„Jc7n! = = 1 + * + Е (а„_, + (« - 1) а„_2) дс"/л!. (7) л>2 Пусть G(x) = £ll>2aII_1x7/i! и Я (*) = Е„>2(« - 1)а„_2х7"!. Тогда G4*) = En>2a»-i*"~Y(rt-l)l==^(*)-l и #'(*)*= = Е„>2 Дл-г*"- /(rt — 2)! = л:/7 (х). Следовательно, если мы продифференцируем (7), то получим F'(x) = l + (F(x)-l) + xF(x) = (l+x)F(x). Единственное решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию F(0)=l, есть F(x)=exp(x + -т;*2) ■ (Как показано в примере 1.1.11, решение этого дифференциального уравнения есть чисто формальная процедура.) 1.1.14. Пример. Пусть \\,(п) — функция Мёбиуса, используемая в теории чисел; т. е. р,(1)= 1, р,(я) = 0, если п делится на квадрат целого числа, большего единицы, и \х,{п) = (—\)г, если п — произведение г различных простых чисел. Найдем простое
24 Гл. 1. Чю такое перечислительная комбинаторика? выражение для степенного ряда F(x)=T[(l-xn)-,1(n)"1. (8) п>1 Во-первых, удостоверимся, что F(х) имеет смысл как формальный степенной ряд. Из примера 1.1.10 имеем Заметим, что (l - хп)~]Х(п)1п = I + Н (х), где degH(x) = n. Следовательно, согласно предложению 1.1.9, бесконечное произведение (8) сходится, так что F(x) имеет смысл. Теперь прологарифмируем (8). Иными словами, найдем log-F(Jc), где iog(i + *)= E(-irV/« — разложение натурального логарифма в степенной ряд. Получим \ogF(x) = \ogl[(l-xn)-,1{n)ln = = £М1-*гип)/п= — iVi (-■£)• Коэффициент при л;"1 в этом степенном ряде есть т йТт Е Ш), где сумма берется по всем положительным целым d, делящим т. Хорошо известно, что т d^m К 0 В ПрОТ |т I и в противном случае. Отсюда log.F(jt) = .*:, так что F(x) = ex. Заметьте, что вывод этой удивительной формулы использует только формальные действия.
1.1. Как сосчитать 25 1.1.15. Пример. Найдем единственную последовательность ао = 1, аи аг, ... вещественных чисел, удовлетворяющих условиям п Е akan_k =1 •] (9) для всех «еМ. Хитрость заключается в том, чтобы понять, что левая часть формулы (9) есть коэффициент при хп в (Z„>na^")2- Положив F М = Z„>0 апхП, имеем F(xf= Z *я = 1/(1-*). rt>0 Следовательно, F(x) = {\ — *)~I/2 = ) I J (— l)nxn, так »Jii>0 \ n J что ЬЗ-5... (2w-l) 2nnl Теперь, когда мы обсудили действия с формальными степенными рядами, встает вопрос о преимуществах использования производящих функций для представления считающей функции f (п). Почему, например, формула, подобная I f(n)xn/nl = exp(x + ~). (Ю) должна рассматриваться как «определение» f{n)? По существу ответ состоит в том, что существует много стандартных, рутинных технических средств для извлечения информации из производящих функций. Производящие функции — часто наиболее полный и эффективный способ представления информации об их коэффициентах. Например, из выражения (10) опытный специалист по перечислительной комбинаторике с одного взгляда может сказать следующее: 1. Простая реккуррентная формула для /(«) может быть найдена дифференцированием. Именно мы получим Е f (п)*"-'/(« - 1)! = (1 + *) ех+{хт = (1 + х) Z f («) *>!• Приравнивая коэффициенты при хп/п\, получим f(n+ l) = f{n) + nf(n— 1), л>1.
26 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 2. Из тождества ех + {х~2) = ехех'12 может быть получена явная формула для /(«). Именно /г>0 \и>0 / \«>0 / = {Y £\fY (2n)l *2n \ I Z-i я! II Z-i 2nnl (2ft)! Г \n>0 / \rt>0 / так что ««>= z (?)?4 ,,o ■ - • - 1"2)' i четное 3. Рассматриваемая как функция комплексной переменной, ехр ух + ~Л — целая функция с хорошим поведением, так что для оценки }(п) может быть применена стандартная техника асимптотического оценивания. В качестве первого приближения стандартным способом (для достаточно сведущих в теории функций комплексной переменной) получается асимптотическая формула Никакой другой метод представления f(n) не позволяет так легко определить эти важнейшие свойства. Многие другие важные свойства /(«) также могут быть легко получены из производящей функции; читателю мы оставляем задачу вычисления суммы E<--ir'(?)f<o i = 0 на основе рассмотрения формулы (10). Итак, мы готовы принять производящую функцию ехр (х-\- -^- J за удовлетворительное определение /(/г). Этот пример заканчивает обсуждение производящих функций и вообще проблемы удовлетворительного описания считающей функции f(n). Теперь мы займемся вопросом, как наилучшим способом доказать, что считающая функция имеет данное опи-
1.1. Как сосчитать -27 сание. В соответствии с принципом, заимствованным из других областей математики, гласящим, что лучше предъявить явный изоморфизм между двумя объектами, чем просто доказать, что они изоморфны, мы принимаем тот общий принцип, что лучше предъявить явно взаимно однозначное соответствие (биекцию) между двумя конечными множествами, чем просто доказать, что они имеют одинаковое число элементов. Доказательство, которое показывает, что некоторое множество 5 содержит т элементов, построением явной биекции между 5 и некоторым другим множеством, заведомо имеющим т элементов, называется комбинаторным или биективным доказательством. Точной границы между комбинаторными и некомбинаторными доказательствами нет, и некоторые аргументы, которые начинающему покажутся некомбинаторными, более опытным специалистом по перечислительной комбинаторике будут восприняты как комбинаторные. Это происходит в основном потому, что опытный специалист владеет определенной стандартной техникой, позволяющей преобразовать некомбинаторные на первый взгляд рассуждения в комбинаторные. Мы не будем касаться здесь подобных тонкостей и приведем лишь несколько примеров, четко демонстрирующих различие между комбинаторными и некомбинаторными доказательствами. 1.1.16. Пример. Пусть п и k — фиксированные положительные целые числа. Сколько существует последовательностей {Хи Х2, ...,Xk) подмножеств множества [я] = {1, 2, ...,п}, таких, что Х1С\Х2С\ •■■ C\Xk = 0"> Пусть их число есть f(k, п). Если нет особого вдохновения, можно бы было рассуждать следующим способом. Предположим Хх П Х2 П • • • П Xk_i = Т, где | Т | = i. Если положить Yi = Xl — T, то У, f] Y2 (] . .. П Yk-\ = = 0 и Yi = [п] — Т. Следовательно, существует f(k— 1, п — 1) последовательностей (Хи ...,Xk_i), таких что ^П^гП--- .. . f\Xk_l = T. В каждой такой последовательности Xk может быть любым из 2п~! подмножеств множества [п] — Т. Как, вероятно, известно большинству читателей, существует = п!Д! (п — г)! i-элементных подмножеств Т множества [п] (это также будет обсуждаться позднее). Следовательно, нь, л)=2д")2"-7(*-1, n-i). (и) Положим Fk(x) = Yjn>0f{k, п)хп/п\. Тогда (11) эквивалентно Fk'(x) = exFh_l(2x).
28 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Ясно, что Л (х) = ех. Легко выводится, что Fk(x) = exp(x + 2x + <ix + ...+2ft_1*) = = exp((2ft — 1)*) = Z(2»-l)"*" n\ Следовательно, f(k, n) = {2k—\)n. Перед нами явный пример некомбинаторного доказательства. Окончательный ответ чрезвычайно прост, несмотря на ухищрения, с которыми он был получен. Фактически, (2*—1)" есть, очевидно, число /г-ок (Zb Z2, ..., Zn), где Z( — подмножество [k], не совпадающее со всем множеством [к]. Можно ли найти биекцию 8 между множеством Skn всех наборов (Хь ..., Xk) s [n]k, таких, что Xi(] ... (]Xk = 0, и множеством Tkn всех наборов (Zu Z2, ... ..., Z„), где [k]Ф1{<= [k\> По данному элементу (Zb Z2, ..., Z„) множества Tkn определим (Хи ...,Xk) условием: i^X/, если и только если / е Z,. Это суть точная формулировка следующего рассуждения: элемент 1 может появиться в любой коллекции множеств Xi, за исключением набора из всех множеств Х-„ так что такую коллекцию множеств Xi можно выбрать 2к—1 способами; аналогично существует 2к—1 возможности выбора множеств Xi, содержащих 2, 3 я и т. д., так что всего получается (2к—1)" способов выбора множеств Xi. Мы оставляем читателю (несколько скучную) задачу строгой проверки биективности 8. Обычный способ проверить это — явно построить отображение <р: Tkn^>Skn,a затем показать,что <р = в-1; показав, например, что <p6(*) = Jt и что 0 сюръективно. Предостережение: любое доказательство биективности 8 не должно априори использовать тот факт, что | Skn| = | Tkn|! Приведенное выше комбинаторное доказательство не только значительно короче, чем предыдущее, но и объясняет полностью причину простого ответа. То, что произошло — частый случай. Пришедшее на ум первое доказательство оказывается трудоемким и не элегантным, но окончательный ответ подсказывает более простое комбинаторное рассуждение. 1.1.17. Пример. Проверить тождество И"Х-,НЯ+Л 1 = 0 где а, Ъ и п — неотрицательные целые. Некомбинаторное доказательство могло бы быть таким. Выражение, стоящее в левой
1.2. Множества и мультимножества 29 части, есть коэффициент при хп в степенном ряду (который в действительности является многочленом) IV I . )* JX X(V ( )х!). Но согласно биномиальной теореме W№0')-«+™ + *)ь = = (\+х)а+ь = откуда и следует требуемое утверждение. Комбинаторное доказательство протекает так. В правой части равенства (12) стоит число /г-элементных подмножеств X множества [а -\-Ь]. Предположим, что множества X и [а] содержат i элементов в пересечении. Пересечение ATI [а] можно выбрать I . I способами, а оставшиеся п — / элементов пересечения Х[\{а-\- 1, а -\- 2, ... ( ь \ .... а + Ь) можно выбрать I . I способами. Таким обра- (аЛ( ь \ зом, существует всего I . 11 .1 возможностей, при которых пересечение ^П[а] имеет i элементов. Суммирование по i дает общее число I I «-элементных подмножеств множества [а + Ь]. В литературе имеется много примеров конечных множеств, про которые известно, что они содержат одинаковое число элементов, но тем не менее не известно ни одного комбинаторного доказательства этого. Некоторые из этих множеств будут встречаться в упражнениях на протяжении книги. 1.2. Множества и мультимножества Мы (наконец-то!) завершили описание понятия решения перечислительной задачи и теперь готовы погрузиться в исследование некоторых актуальных проблем. Начнем с основной проблемы подсчета подмножеств множества. Пусть S={x\,X2, ... ..., хп}—/г-элементное множество или, для краткости, п-мно-
3 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? жество. Пусть 25 обозначает множество всех подмножеств S, и положим {0, 1}"={(еье2, •-., е„): е«=0 или 1}. Так как е,- может принимать два значения, имеем #{0,1}" = 2". Определим отображение 0: 2s ->-{0, 1}" по формуле в(Г) = (еь е2, ... .. •, е„), где _<1,х,е=Т, в'_1о, х{фТ. Например, если п = 5 и Т = {х2, xit х5}, то 0(Г) = (О, 1, 0, 1, 1). Легко видеть, что 8 — биекция, так что мы дали комбинаторное доказательство того, что #2 =2". Конечно, есть много альтернативных доказательств этого простого результата, и многие из них можно считать комбинаторными. Определим теперь множество I , ] (иногда обозначаемое S(ft) или как-нибудь иначе) как множество всех ^-элементных подмножеств (или k — подмножеств) S и положим по определению (t,) —#(»,) (игнорируя прошлое использование символа ( , I). Подсчитаем двумя способами число N(n,k) возможностей, которыми можно выбрать ^-подмножество Т множества S, а затем линейно упорядочить его элементы. Мы можем выбрать Т I , 1 способами, затем k способами выбрать первый по порядку элемент Т, k — 1 способом — второй элемент и т. д. Таким образом N(n, ft) = ("Jftl. С другой стороны, можно взять п способами любой элемент множества 5 в качестве первого, п — 1 способом любой из оставшихся в качестве второго и так далее, k-й элемент можно выбрать из оставшихся п — k + 1 способом. Следовательно, N(n, k) = n{n-\) ... {n-k+l). Итак, мы дали комбинаторное доказательство того, что (n\k\ = n(n-\) ... (n-k+l), и, следовательно, 1) ... (n-k+l)/kl. (13) (л)"л(л'
читается 1.2. Множества и мультимножества 31 Заметим, что, пользуясь формулой (13), можно определить зна- чение I , 1 для любого комплексного числа п, если AgN, как это было сделано в примере 1.1.10. Выражение п(п—1) ... ... («— k-\-\) читается «факториал от п до k снизу» и обозначается (п)к. Биномиальный коэффициент I . I «из п по k». Подход к биномиальным коэффициентам с точки зрения теории производящих функций можно изложить следующим образом. Пусть х\ хп— независимые переменные. Имеем (1+*,)(1+*2) ... (! + *„)= Z П xt (можно дать строгое доказательство этой формулы по индукции). Если положить Xi = х, получим так как каждый член xk появляется в точности I , I раз в сумме Yitss *'rl- ^еРеД нами пример простого, но полезного наблюдения: если 9" — набор конечных множеств, таких, что SP содержит в точности f(n) /г-элементных множеств, то I *IS|=Z/(«)*"• Более общим образом, если g: N->-C. — произвольная функция, то I £(|S|)*|S|= Е g(n)f(n)xn. Из формулы (l-f *)"—У ( , )хк легко вытекают раз- нообразные тождества с биномиальными коэффициентами, и поиск их комбинаторных доказательств будет весьма поучительным для читателя. Например, положив дс=1, получим 2" = e Zfc>0 ( А )' псмюжив я- = -1, получим 0 = £ft>0 (-!)*( J и п > 0; продифференцировав и положив х=1, получим = У & ( , I и так далее. L-tk>-<s \k J
32 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Существует тесная связь между подмножествами множества и разложениями целого числа. Разложение п есть представление числа п в виде упорядоченной суммы положительных целых. Например, существует восемь разложений числа 4; а именно: 1+1+1+1 3+1 2+1+1 1+3 1+2+1 2+2 1+1+2 4 Если разложение а содержит в точности k слагаемых, говорят, что а имеет k частей и называется k-разложением. Если а\ + + аг+ ... + аи — ^-разложение о числа п, определим (k—1)- подмножество 0(a) множества [п—1] формулой 6(a) = {аь а^а2 а: + а2+ ... +ak_x). Эта формула устанавливает биекцию между всеми &-разложе- ниями числа п и (k—1)-подмножествами множества [п—1]. (п— 1 \ Следовательно, существует I I ^-разложений п. и 2п~1 разложений п. Биекцию 0 часто схематично представляют, рисуя в строку п точек и k—! разделяющую вертикальную черту. Точки разделились по k линейно упорядоченным «купе»; числа точек в отделениях дают ^-разложение числа п. Например, отделения соответствуют разложению 1 + 2+1 + 1+3 + 2. Другая проблема, тесно связанная с разложениями, есть задача подсчета числа N(n,k) решений уравнения Х\ + х2 + ... ... + Xk = п в неотрицательных целых числах. Решение такого уравнения называется слабым разложением п на k частей, или слабым k-разложением числа п. (Решение в положительных целых числах есть просто й-разложение п.) Если мы положим слабым k-разложением числа п. (Решение в положительных числах уравнения у\ + у2 + ... + Уъ. = п + k, т. е. число й-раз- /n + k — 1 ложений числа n-\-k. Таким образом, # (п, &) = 1 и_\ Подобным же приемом (найти его предоставляется читателю) доказывается, что число решений неравенства х\ + х2 + ... (n + k ■ ■ + Xk ^ п в неотрицательных целых числах есть I /г-подмножество Т «-множества 5 иногда называют k-соче-
1.2. Множества и мультимножества 33 танием из S без повторений. Так возникает задача подсчета числа ^-сочетаний с повторениями; то есть мы выбираем k элементов множества 5, не взирая на порядок и допуская повторяющиеся элементы. Обозначим число таких способов(I , 11. Например, ((о))==^- 1-сли ^={1,2,3}, то подходящие сочетания есть 11, 22, 33, 12, 13 и 23. Эквивалентное, но более точное исследование сочетаний с повторениями может быть проведено, если ввести понятие мультимножества. На интуитивном уровне мультимножество есть множество с повторяющимися элементами, например {1, 1, 2, 5, 5}. Более точно, конечное мультимножество М на множестве S есть функция v: S-*- N. такая, что Их^3^(х) < °о. v(x) рассматривается как число повторений элемента х. Целое число *E,x<=sv(x) называют мощностью или числом элементов М и обозначают |М| или ФМ. Если 5={л;ь ..., Хп} и v(xi) = ai, то мы пишем M = \xil, ... хпп\.Множество всех й-мультимножеств на 5 обозначается Если М' — другое мультимножество на S, отвечающее отображению v'\ S -*- N, мы говорим, что М' является подмуль- тимножеством М, если v'{x)^v(x) для всех xeS. Число под- мультимножеств М равно IIa.SiS(v(a;) + 1),так как для каждого xeS можно выбрать v'(x) v(x)-\- 1 способами. Теперь ясно, что й-сочетания с повторениями это просто мультимножества на 5 с k элементами. Хотя, возможно, читатель этого не заметил, но мы уже сосчитали число (( , 1). Если S = {yb ..., уп) и мы положим Xi = v(yi), то увидим, что I ( , 11 есть число решений в неотрицательных целых числах уравнения х\ + х2 + ••■ -\-xn — k. Это (n + k —1\ (n + k —1 \ число, как мы видели, есть I )==\ / )' прямое комбинаторное доказательство утверждения II , 11 = (n + k— 1 \ = 1 , I таково. Пусть l^ai<a2< ••• <.ctk^n + + k — 1 есть й-подмножество [п + k — 1]. Положим bi = си — О-
34 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? — i+1. Тогда {Ьи Ь2, -.., bk)—й-мультимножество на [п]. Обратно, если дано ^-мультимножество 1 ^ Ьх ^ Ь2 ... ^ bk ^ ^ п на [п], определив а, формулой а* =6* +1— 1, видим, что {а\, а2, ..., ak) есть ^-подмножество [n-\-k—\]. Следова- ((Щ\\ f[n + k-l]\ тельно, мы определили биекцию между I I I I и[ , I, что и требовалось. Поучителен подход к мультимножествам с точки зрения производящих функций. Совершенно аналогично проведенному исследованию подмножеств множества 5={лгь ..., хп} имеем (1 + *, + *»+...)(i +*я + *5+ ...)••• О+*« + *•«+...) = = I П х]Ы. v: S-+N xt <=S Положим Xi~x. Тогда (l+je + jc2+...)n=Zjcv^>+-+v<*») = \xk. так Но (Ц-х + дс'Ч- ■■•)" = (!—^)"n = 2ft>0(~fen)('"1)*JC' anW k( — n\ (n + k—\\ ,JJ = (—1)1 t,) = l и 1. Появление элегантной формулы (I , )) = (—1)4 h Iне случайно; это простейший пример комбинаторной теоремы взаимности. Общая теория будет изложена в гл. 4. Биномиальный коэффициент I , I может быть интерпретирован следующим способом. Каждый элемент /г-множества 5 помещается в одну из двух категорий; k элементов в первой категории и п — k элементов во второй категории. (Элементы первой категории образуют ^-подмножество Т.) Это рассуждение подсказывает возможность обобщения на случай большего числа категорий. Пусть (а\, а2, ..., ат)—последовательность неотрицательных целых чисел, сумма которых равна п, и предположим, что имеется m категорий С\, ..., Сш. Пусть ( ) обозначает число способов отнесения каждого \аь аъ . .., ат)
1.2. Множества и мультимножества 35 т, из элементов /г-множества 5 к одной из категорий С\, ..., С, так что в категорию Ci попадает в точности а» элементов. Это обозначение несколько не согласуется с обозначением для биномиальных коэффициентов (в случае т = 2), но не должно происходить путаницы, если мы будем писать I , вместо (п \ ( п \ , . Число I называется мильтиномиаль- \k, n — kj \аь а2, ..., amJ ным коэффициентом. Обычно элементы множества 5 представляют в виде п различимых шаров, а категории — в виде m раз- ( п \ личимых коробок. Тогда I I есть число способов \аь а2, ..., ат) разложить шары по коробкам так, чтобы г'-я коробка содержала а,- шаров. Мультиномиальный коэффициент можно также интерпретировать в терминах «перестановок мультимножества». Если 5 — /г-множество, то перестановка п множества 5 может быть задана линейным упорядочением х\, Хч, ..., хп элементов S. Будем представлять я как слово Х\Х2 ... х„ в алфавите 5. Если S={*/i,#2, •■•. </«}, то такое слово соответствует биекции я: S->S, задаваемой формулой zi(yi) = Xi, так что перестановку множества 5 можно рассматривать как биекцию S-*-S. Множество всех перестановок 5 обозначается в (5). Если 5 = = [/г], то пишем <3„ вместо @(5). Выберем х\ п способами, хг — (п—1) способом и так далее. Очевидно, получим |@(5)| = п!. Аналогичным способом можно определить перестановку я мультимножества М мощности п как линейное упорядочение «элементов» х\, Х2, ..., Хп, т. е. если М отвечает отображение v: S-v N, то элемент ig5 появляется в точности v(x) раз в перестановке. Вновь мы можем представлять я как слово Х\Х2 ... ... хп. Например, существует 12 перестановок мультимножества {I, 1, 2, 3}; именно 1123, 1132, 1213, 1312, 1231, 1321, 2113, 3112, 2131, 3121, 2311, 3211. Пусть в(М) обозначает множество всех перестановок М. Если М = { уа\ . .., у"т | и | М | = п, то ясно, что |©(Л1)| = Г п V V а1( а2, ..., ат) Действительно, если Xi появляется в /-й позиции перестановки, то мы относим элемент / множества [п] к i'-й категории. Наши результаты о биномиальных коэффициентах непосредственно обобщаются на случай мультиномиальных коэффи-
36 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? циентов. Мы оставляем читателю задачу показать, что ( 1 = п\1аЛа21 ... ат\ и что ( ) есть коэффициент при х?'х!?а . ■ ■ х°т в вы- \аьа2, ...,amJ ** р ' 2 т ражении (хх + х2 + ... + хт)п. Заметьте, что ( , . , ) = п\— число всех перестановок «-элементного множества. 1.3. Статистики перестановок1) Перестановки множеств и мультимножеств — один из самых богатых объектов перечислительной комбинаторики. Основная причина этого — большое разнообразие способов комбинаторного представления перестановки. Мы уже видели, что перестановку множества можно представлять как слово или как функцию. В частности, функция я: [«]->-[«], задаваемая равенством n(i)=Qi, соответствует слову а\а2 . •. а„. В этом разделе даны некоторые дополнительные способы представления перестановок. Многие из основных результатов, полученных здесь, в дальнейшем будут играть важную роль при анализе более сложных объектов, связанных с перестановками. Циклическая структура Если рассматривать перестановку множества я как биекцию я: 5-^-5, то естественно для каждого xeS рассмотреть последовательность х, я(х), я2(х), В конце концов (так как я — биекция, и множество 5 предполагается конечным) мы вновь получим х. Таким образом, для некоторого единственного /^ 1 имеем, что я'(х) = х и элементы х, п(х), ..., я/_1(х) все различны. Назовем последовательность (х,я(х), ..., я/_1(л;)) циклом я длины /. Циклы (х, я(х), ..., я'-'(х)) и (я('(х), я'+1(х), ..., я/-1(х), х, ..., я'-'(х)) считаются эквивалентными. Каждый элемент S встречается тогда в единственном цикле перестановки я, и мы можем рассматривать я как объединение непересекающихся циклов или, по-другому, как произведение различных циклов Сь ..., Ck, записывая в виде я = С{С2 ... ... Ck. Например, если перестановка я: [7]-»-[7] определена равенствами я(1) = 4, я(2) = 2, я(3)==7, я(4)=1, я(5) = 3, ') Под статистикой автор понимает здесь функцию на группе ©„ и изучает ее функцию распределения относительно равномерной меры.—Прим. ред.
1.3. Статистики перестановок 37 я(6) = 6, я(7) = 5, то я = (14) (2) (375) (6). Конечно, возможны различные обозначения такого представления я; например, имеем: я = (753) (14) (6) (2). Можно определить стандартное представление; при этом (а) в каждом цикле пишется первым его наибольший элемент и (б) циклы записываются в порядке возрастания их максимальных элементов. Таким образом, стандартная форма рассмотренной выше перестановки я есть (2) (41) (6) (753). Пусть я — слово (или перестановка), полученная из я путем записи я в стандартной форме и удаления скобок. Например, если я есть (2) (41) (6) (753), имеем я = = 2416753. Заметим теперь, что можно однозначно восстановить я из я, расставляя левые скобки перед каждым максимумом при чтении слева направо') слова я = а\й2 ... ап. То есть, левая скобка ставится перед каждым элементом а,-, таким что а,- > а/ для всех / < i. Теперь расставим правые скобки на подходящие места, а именно перед каждой внутренней левой скобкой и в конце. Таким образом, отображение я->-я есть биекция из ©я в себя. Суммируем полученные сведения в виде предложения. 1.3.1. Предложение. Определенное выше отображение <5п->~<&п является биекцией. Если перестановка я е @„ имеет k циклов, то я имеет k максимумов при чтении слева направо. Если пе@(5) и |S| = «, положим с, = сг(я)— число циклов длины i перестановки я. Заметьте, что n=2_lici. Назовем последовательность (сь ..., сп) типом перестановки я (обозначается: тип я). Общее число циклов я обозначается с(п), так что с (я) = с, (я) -f- ••■ +сп(п). 1.3.2. Предложение. Число перестановок ле6(5) типа (си ..., с„) есть nl/lClcl\2c*c2l ... п°псп\. Доказательство. Пусть я= а\а2 ... ап—произвольная перестановка множества 5. Расставим в слове я скобки таким образом, чтобы первые с\ циклов имели длину 1, следующие имели длину 2 и так далее. Это дает разложение перестановки я' типа (cj сп) на непересекающиеся циклы и, следовательно, определяет отображение Ф : © (5) -> ©с (5), где ©с (S) — множество всех перестановок 0e6(S) типа c=(ci, ..., сп). Мы утверждаем, что для любой перестановки ие@с(5) существует lCl Ci! 2С2с2! ... пСпсп\ способов представить ее в виде последовательности непересекающихся циклов, так что длины циклов не убывают слева направо. Именно упорядочим циклы длины i с,! ') В оригинале — left-to-right maximum. Мы будем переводить это выражение словом «рекорд». — Прим- перед.
38 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? различными способами и выберем первый элемент в каждом из этих циклов iCi способами. Все эти выборы можно сделать независимо, поэтому наше утверждение доказано. Отсюда \/ае©е(5)|ф_1(а)| = lClcl\2c*c2\ ...пСпсп\и доказательство предложения следует из того, что |в(5)|==п!. П Пусть c(n,k) — число перестановок я е @„, имеющих в точности k циклов. Число s(n, &): = (—l)n~kc(n,k) известно как число Стирлинга первого рода, а с (п, k) называется числом Стирлинга первого рода без знака. 1.3.3. Лемма. Числа c(n,k) удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению: с(п, k) — (n—l)c(n—l, k) + c(n — l, k — l), п, й> 1, с начальными условиями c(n,k) = 0 при п^О или k^LO, за исключением с (0,0)= 1. Доказательство. Возьмем перестановку ке®и с k циклами. Мы можем вставить символ п после любого из символов 1,2,... ..., п—1 в разложении перестановки я на непересекающиеся циклы п—1 способом, получив таким образом разложение на непересекающиеся циклы перестановки я'е<3„ с k циклами, где п встречается в цикле длины не меньшей 2. Следовательно, существует (п—1)с(п—l,k) перестановок п'е®„с ft циклами, для которых л'(п)ф п. С другой стороны, если выбрана перестановка я е ©„^ с k— 1 циклом, ее можно достроить до перестановки я' е <3„ с k циклами, удовлетворяющей условию л'(п) = п. Положим ( я (г), если геф-1], я (г) = < ( п, если i = п. Следовательно, имеется с(п—1, k—1) перестановок я'е @„ с k циклами, для которых л'(п) = п, и доказательство закончено. D Большинство элементарных свойств чисел c(n,k) может быть установлено, если использовать лемму 1.3.3 и математическую индукцию. Тем не менее более предпочтительны комбинаторные доказательства, если таковые возможны. Следующий результат демонстрирует разнообразную технику, применяемую для доказательств элементарных комбинаторных тождеств. ' 1.3.4. Предложение. Пусть х— переменная. Фиксируем п^О. Тогда п £ с(п, k)xk = x(x+l)(x-}-2) ... {х-\-п-\). (14) &=0
I.S. Статистики перестановок 39 Первое доказательство. Это доказательство можно рассматривать как «полукомбинаторное», так как оно непосредственно основывается на лемме 1.3.3, которая имела комбинаторное доказательство. Положим: Fn (х) := х (х + 1) ... (* + п~ 1) = = Z/Lo6(rt> *)**• Ясно, что 6(0, 0)=1 произведение пустого множества сомножителей равно единице) и b(n,k) = 0 при «<0 или k < 0. Более того, М*) = (* +л-№-1 (*) = п-1 ft = Е 6(п-1, й-1)х* + (л-1)£ b(n- l,k)x ft=l fc=0 Отсюда следует b(n, k) = (n— \)b(n— 1, k)+b(n— 1, й—1). Поэтому b(n,k) удовлетворяет тем же рекуррентным соотношениям и начальным условиям, что и c(n,k), а значит, они совпадают. Второе доказательство. Коэффициент при xk в /^(л:) есть £ а,^ ... а„_ь (15) 1<а,<а2< ... <a/t_ft<n-l /«-1\ где суммирование ведется по всем I . J (п — ^-подмножествам {аь ..., a„_ft} множества [л —1]. Ясно, что (15) есть число пар (S, f), где 5е1 _, I и f: S->[n— 1] удовлетворяет условию f(i)<^.i. Будем искать биекцию <р : Q->©rtA, между множеством Q всех таких пар (S, f) и множеством Snk перестановок де6„ с k циклами. По данной паре (5, /) е Q, где 5 = {аь ..., an_k}< s [п — 1], определим Т = {/ е [п]: п — / ф S}. Пусть й: > Ь2 > ... > й„_&— элементы множества [п] — Т. Положим я = ф(5, f) — такая перестановка, стандартная форма которой удовлетворяет условиям (1) первый (= наибольший) элемент циклов я есть элемент Т и (2) для каждого i е [k] число элементов я, предшествующих hi, и больших, чем bi, есть Да,-). Мы оставляем читателю доказать, что это дает требуемую биекцию. 1.3.5. Пример. Предположим, /г = 9, k = 4, 5 = {1, 3, 4, 6, 8}, /(1)=1,/(3) = 2Л(4)=и(6) = 3,Д8) = 6.ТогдаГ = {2,4,7,9}, [9]-7 = {1, 3, 5, 6, 8} и я = (2) (4) (753) (9168). Третье доказательство предложения 1.3.4. Существуют два основных способа комбинаторного доказательства равенства двух многочленов: (1) показать, что равны их коэффициенты, и (2) показать, что их значения совпадают для достаточно большого
40 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? множества переменных. Мы уже доказали предложение 1.3.4 с помощью первого приема, здесь мы применим второй. Если значения двух многочленов от одной (скажем, комплексной) переменной совпадают для всех iep, то эти два многочлена равны. Таким образом, достаточно установить справедливость формулы (14) для всех х е V. Пусть хер, и пусть С (я) обозначает множество циклов перестановки я е @„. Выражение, стоящее в формуле (14) слева, есть число всех пар (я,/), где яе®„ и /: С(л)->[х]. Выражение, стоящее справа, подсчитывает число последовательностей целых чисел (ai, a2, ..., a„), где O^a.^x + n — i — 1. (Принятая нами такая форма ограничений на переменные а-,, а не l^ai^x-\-i—1, например, обусловливается историческими причинами.) Для построения (я, f) по данной последовательности (ai, аг ап) можно использовать следующий простой алгоритм. Напишем число п и будем считать его началом цикла С[ перестановки я. Положим }{С\)= ап-\- \. Предположим, что числа п, п— 1, ..., п — i-\- 1 уже вставлены в запись разложения я на непересекающиеся циклы. Имеются две возможности: 1. О <: an-i, ^х— 1. В этом случае начнем новый цикл С/, написав п — / слева от ранее вставленных элементов и положив /(С;)=а„-;+1. 2. а„_,- = х + k, где 0 ^ k ^ i— 1. Тогда вставим п — г в старый цикл, так, чтобы п — i не являлся крайне левым элементом никакого цикла и чтобы он оказался правее k -\- 1 ранее включенного числа. Это дает требуемую биекцию. □ 1.3.6. Пример. Предположим п = 9, х = 4 и (<ц, ...,с9) = = (4,8,5,0,7,5,2,4, 1). Перестановка я строится следующим способом: (9) (98) (7) (98) (7) (968) (7) (9685) (4) (7) (9685) (4) (73) (9685) (4)(73)(96285) (41) (.73) (96285) и /(96285) = 2,/(73) = 3,/(41)=1.
1.3. Статистики перестановок 41 Если положить х = 1 в предыдущем доказательстве, получится комбинаторное доказательство следующего результата. 1.3.7. Предложение. Пусть пДеР. Число последовательностей целых чисел (аи ..., ап), таких, что 0 ^ at ^ п — /, и в точности k значений а,- равны О, равно c(n,k). □ Заметим, что в силу предложения 1.3.1 мы «бесплатно» вычислили число перестановок с данным числом рекордов. 1.3.8. Следствие. Число перестановок яе®„, имеющих k рекордов, равно c(n,k). □ Следствие 1.3.8 иллюстрирует одно преимущество представления разными способами одного и того же объекта (здесь этот объект-—перестановка) — различные перечислительные задачи с этим объектом становятся эквивалентными. Инверсии Доказательство предложения 1.3.7 (в случае х— 1) сопоставляет перестановке я е <3„ последовательность целых чисел (а\, .... ап), 0 ^ at ^ п — i. Есть другой способ установить такое соответствие, и он, возможно, более естественный. Пусть дан такой вектор (а\ ап) и предположим, что числа п, п — — 1, ..., п — г+1 уже включены в запись перестановки я, которую сейчас мы будем интерпретировать как слово (а не как произведение циклов). Вставим п — i таким образом, чтобы слева от него находилось an-i элементов. Например, если (ai, ..., а9) = (1, 5, 2, 0, 4, 2, 0, 1, 0), то я строится следующим образом: 9 98 798 7968 79685 479685 4739685 47396285 417396285 Ясно, что а,- есть число элементов / перестановки я, стоящих слева от i и удовлетворяющих условию / > L Пара (bi, bj) называется инверсией перестановки я = b\b2 ... b,„ если i < / и bi~>bi. Рассмотренная выше последовательность I(n) = (ai, ■■■
42 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? ..., ап) называется таблицей инверсий перестановки я. Описанный выше алгоритм построения я из ее таблицы инверсий /(я) дает следующий результат. 1.3.9. Предложение. Пусть Тп = {{ах, ..., an):0^.al^.n — i} — = [О, п - 1] X [0, п - 2] X ... X [0, 0]. Отображение I: <5п-+-{Гп, переводящее каждую перестановку в ее таблицу инверсий, есть биекция. Таким образом, таблица инверсий /(я) есть еще один способ представления перестановки я. 1.3.10. Следствие. Пусть i(n) обозначает число инверсий перестановки л е @„. Тогда £ ?'<*» = (1 + q) (1 + q + <72) .. . (1 + q + q2 + . . . + Яп~1). Доказательство. Если /(я) = (а,, а2, ..., ап), то i(л) = а{-\-... +а„. Следовательно, л-1 я-2 о Z ?Мя,= £ 2 ... £ ?а'+-+а» = neg„ в,=0 а2=0 ая=0 /"-1 v /П-2 ч /0 . -fZ9e'¥s^)...f £?Ч что и требовалось. П Спуски Помимо цикловой структуры и таблицы инверсий, есть еще одна основная статистика, связанная с перестановкой яе@я. Если л— а\й2 •■• ап, определим множество спуска D{n) = {l\at>at+l}. (Иногда желательно положить по определению пей(л), но мы будем придерживаться принятого соглашения, так что пфБ(л).) Для Se[«—1] будем обозначать a(S) (или а«(5), если это необходимо) число перестановок ле@„, множество спуска которых содержится в 5, а символом Р(5) (или Рп(5)) — число перестановок, для которых 5 есть множество спуска. Запишем: a (S) = card {neS„:fl (я) s 5}, р (5) = card {jt6S„:fl (я) = S].
1.3. Статистики перестановок 43 Ясно, что 1.3.11. Предложение. a(S) = ( a (5)= Z Р(П. Пусть S = {su . п sl> S2 — SI> $3 S2> n — sk)' (16) Тогда \n — sk) Доказательство. Чтобы получить перестановку я = а\й2 ... a„e е @л, удовлетворяющую условию D(n)sS, для начала выберем последовательность ах < а^ < ... < a,, I ] способами. За- (n — sx \ тем выберем последовательностьas, + i<aSl+2 < ... < fls, I I \S2 — Sj J способами и так далее. Отсюда получаем \ Si A S2 — S, )\ s3 — s2 ) = ( П \ \Sj, s2 — Sj, ..., п — Sk J что и требовалось. □ В последующих главах мы используем уравнение (16) и предложение 1.3.11 для получения формул и другой информации о |3(S). Здесь мы удовлетворимся несколькими дополнительными определениями понятий, основанных на множествах спуска. Число |Z) (зх) | спусков перестановки я обозначается й(л), а многочлен Аа(х)= L *,+d(n) яе@„ называется многочленом Эйлера. Коэффициент при xk в выражении Ап(х) обозначается А(п, k) и называется числом Эйлера. Следовательно, А{п, k) = card{ne6„:(f(ji) = 4- 1}. Ниже приведены несколько первых многочленов Эйлера: = х = Х -\- X2 = х -\- 4л:2 + л;3 = л:+11л:2+11х3 + л:4 = х + 26л:2 + 66л:3 + 26л:4 + х5 = х + 57 х2 + 302ЛГ3 + 302л:4 + 57л5 + л:6 = л:+120л:2+ 1191л:3 + 2416л:4 + 1191л:5 + 120л:6 + х7 = х + 247л:2 + 4193л:3 + 15619х4 + 15619л:5 + + 4293л:6 + 247л:7 + х8. ЛЛх) А2(х) Л3(х) АА(х) Мх) Мх) Мх) Мх)
44 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Биекция п-*- я, устанавливаемая в предложении 1.3.1, даст интересное альтернативное описание чисел Эйлера. Предположим, что n = (aia2 ... a/l)(a£l + 1a,lf2 ... a,t)mt. (a^_1 +Aft_1 + 2 • ■ • a„) — перестановка, записанная в стандартной форме. Таким образом, числа аи а,-+1, ..., aik_ +i — наибольшие элементы циклов и ai<a,1 + i< ... <a/ft_, + i- Отсюда следует, что если л(а1)ф фа1+ь то at<ai+l. Следовательно, a/<at-+i или / = /г тогда и только тогда, когда я (a,-) ^ аь так что /i-d(fi) = #{ie [я]: л (г) ^ /}. Число /, для которого rt(t)^t, называется точкой слабого превышения перестановки я, а число i, для которого я(/)>г,— точкой превышения я. Легко видеть, что перестановка n==aia2 • • ■ ... ап имеет k точек слабого превышения тогда и только тогда, когда перестановка Ьф2 ... Ьп, где &, = « + 1—an+i-<., имеет я — & точек превышения. Кроме того, л имеет п — 1 — / спусков в том и только том случае, когда апап-\ ... сц имеет / спусков. Отсюда следует предложение. 1.3.12. Предложение. Число перестановок яеб», имеющих k точек превышения, равно числу Эйлера A(n,k-\- 1) (то же верно для перестановок с k-\- 1 точкой слабого превышения). □ Еще одной полезной статистикой, связанной с множеством спуска D(n), является большой индекс л (также называемый главным индексом и обозначаемый MAJ(n)), равный по определению сумме всех элементов D(n). Он будет обозначаться 1(я). В следствии 4.5.9 будет доказан замечательный результат, состоящий в том, что i и i имеют одинаковое распределение; т. е. для любого k card {я е @„ : i (л) = k) = card {л е @„ : i (л) = = *}• Два способа представить перестановку в виде дерева Мы уже видели, как перестановки можно представлять в виде слов, функций и последовательностей. Можно также представлять перестановки геометрически и использовать геометрические соображения для получения информации о них. Здесь мы изложим два способа представить перестановку я как дерево Т и обсудим, как взаимодействуют структура Т и комбинаторные свойства л.
1.3. Статистики перестановок 45 Пусть я = а\а2 ... ап — произвольное слово в алфавите Р без повторяющихся букв. Определим бинарное дерево Т(л) следующим образом. Если л = 0, то Т(л) = 0. Если я ф 0, пусть / — наименьший элемент (буква) я. Слово л может быть представлено единственным образом в виде я = air. Пусть теперь I — корень дерева, а Т(а), Т(х) — левое и правое поддеревья, полученные удалением i (рис. 1.1). Тем самым получено индуктивное определение Т(л). Элемент, следующий за / слева, есть Рис. 1.1. такой наименьший элемент k, стоящий слева от / в слове л, что все элементы между k и / (включительно) не меньше, чем /. Аналогично определяется элемент, следующий за / справа. 1.3.13. Пример. Пусть я = 57316284. Тогда Т(л) изображено на рис. 1.2. Соответствие п-*-Т(п) есть биекция между множеством @п и возрастающими бинарными деревьями с п вершинами, т. е. такими бинарными деревьями с п вершинами, помеченными числами 1, 2, ..., п, что вдоль любого пути из корня метки возрастают. Пусть п = а\а2 ... ап е <3„. Назовем элемент а,- слова я подъемом, если at_{ < at < аии склоном, если аь_х > at > al+l, пиком, если al_l < at > а£ + 1, долиной, если а1_х > щ < а1+х. Положим а0 = an+i = 0. Легко видеть, что свойства элемента I, перечисленные ниже, соответствуют данному свойству вершины i дерева Т(л). 8 Рис. 1.2.
46 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? _ , Следующие за I вершины Гя Элемент I перестановки я * расположены подъем справа склон слева долина справа и слева пик нет соседей снизу Из рассмотрения биекции п^>-Т(п) может быть легко выведено огромное число других удивительных свойств возрастающих бинарных деревьев. Следующее предложение содержит несколько образцов таких результатов. 1.3.14. Предложение. 1. Число возрастающих бинарных деревьев с п вершинами равно п\. 2. Число таких деревьев, для которых в точности k вершин имеют слева снизу соседа, равно числу Эйлера А(п, &+1). 3. Число таких деревьев, имеющих k концевых вершин, равно числу деревьев, для которых ровно п вершин имеют двух преемников. 4. Число полных возрастающих бинарных деревьев (т. е. таких, у которых каждая вершина либо концевая, либо имеет двух преемников) с 2п + 1 вершиной равно числу чередующихся перестановок ах > а2 < аъ > а4 < • ■ ■ < «2n+i из ©2л+1. (Позже мы сможем сказать значительно больше о чередующихся перестановках.) □ Рассмотрим теперь другой способ представить перестановку в виде дерева. Пусть п = а\а2 ... а„е@л, построим (неупорядоченное) дерево Т'(п) с вершинами 0, 1, ..., п, сделав вершину i преемником крайнего справа элемента / среди предшествующих i и меньших I. Если такого элемента / нет, сделаем i преемником нуля (корня). 1.3.15. Пример. Пусть л = 57316284. Тогда дерево Г (л) изображено на рисунке 1.3. Соответствие л-+Т'(л) есть биекция между ©„ и возрастающими деревьями с п + 1 вершиной. Легко видеть, что преемники 0 есть последовательные минимумы перестановки л (т. е. такие элементы ait что щ < а,- для всех / < i, где л = ах ... ап). Кроме того, концевые вершины V(л) есть в точности элементы а,, для которых i еА(я) или i = п. Таким образом, по аналогии
1.3. Статистики перестановок 47 с предложением 1.3.14 (с использованием предложения 1.3.1 и очевидной симметрии между рекордами и последовательными минимумами) имеет место 1.3.16. Предложение. 1. Число неупорядоченных возрастающих деревьев с п-\- 1 вершиной равно п\. 8 Рис. 1.3. 2. Число таких деревьев, имеющих k преемников корня, есть число Стирлинга без знака с(п, k). 3. Число таких деревьев, имеющих k концевых вершин, есть число Эйлера A(n,k). □ Перестановки мультимножеств Большая часть сделанного в этом разделе может быть обобщена с перестановок множеств на перестановки мультимножеств. Например, существует красивая теория разложения перестановок мультимножеств на циклы. Здесь, однако, мы обсудим только те темы, которые понадобятся в дальнейшем. Во-первых, ясно, что можно определить множество спуска D(n) перестановки л мультимножества М точно так же, как это сделано для множеств. А именно если я = u\ui ... ап, то D(it) = {t:a,>fl, + ,}. Следовательно, также имеем понятия a(S) и |3(S) для мультимножества. Аналогично определяется число d{n) спусков, большой индекс i(n), многочлен Эйлера мультимножества Ам(х)= Е *,+d("' neg (Af) и т. д. В гл. 4 будет рассмотрено значительное обобщение этих концепций. Заметим, что нет очевидного аналога предложе-
48 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? ния 1.3.11 — а именно явной формулы для числа перестановок пе@(Л1), множества спуска которых содержатся в 5. Ясно, что можно определить инверсию л = Ь\Ьг ... Ьп ^ е @(Л4) как пару (6,-, bj): i < j, bi > bj, и так же, как раньше, определить число i(n) инверсий перестановки л. Мы хотим обобщить следствие 1.3.10 на мультимножества. Нам потребуется важное определение, чтобы сделать это. Если (а,\, ..., ат)—последовательность неотрицательных целых чисел, в сумме дающих п, определим q-мультиномиальный коэффициент ( П \= (п)1 Vab ..., a„J (а,)! ... (am)! • где k! = (l)(2) ... (к) и (j) = 1-f-<7 + <72 + ... + <77 "'• Ясно, что ( п \ I I — рациональная функция от q, а ее значение V аь ..., ат / в точке q = 1 есть обычный мультиномиальный коэффициент / п \ ( п \ I . Фактически нетрудно увидеть, что — \аь ..., aj rj Vab ..., am/ полином от q. Вот один из способов убедиться в этом. Будем писать для краткости I , 1 вместо I , , I (в полной аналогии с обозначением I , I для биномиальных коэффициентов). Выражение I , 1 называется q-биномиальным коэффициентом (или многочленом Гаусса). Непосредственно проверяется, что ( " ) = (n)(n~ai)(n~ai~~a2)...(am)(m) Va,, ...,am/ Va,/V a2 /V a3 / \am/v и (kWD+Hk-!) (l7b) Из этих уравнений и «начальных условий» I I = 1 по индук- ( п \ ции доказывается, что I — многочлен от а с неот- Vai, ..., а„, / рицательнымп целыми коэффициентами.
1.3. Статистики перестановок 49 1.3.17. Предложение. Пусть М = {\ах, ..., т°т} — мультимножество мощности п — а\ + ... + ат. Тогда £ *'(ЯЧ п )• (is) ле®(.« \ ai ат / Первое доказательство. Обозначим левую сторону формулы (18) через Р{а\, ..., ат) и положим Q(n,k) = P(k,n — k). Ясно, что Q(n,Q)= 1. Отсюда следует ввиду формулы (17а, Ь), что достаточно показать P(cti am) = Q{n, а,)Р(аа ат), (19а) Q(/i, k) = Q(n-l, k) + qn-kQ{ti-\, k-\). (19b) Пусть я g ® (M), положим n' — перестановка M, = {2C'2, ... ..., ma"1}, полученная удалением 1 из л, а л"— перестановка мультимножества M" = {la,> 2п~а*}, полученная заменой каждого элемента, большего 2, на 2. Ясно, что п однозначно определяется перестановками я' и л" и что i(n)= i(n') + г(я"). Следовательно, /Mai 0= Z Е 7'<»0+W = я'е©(Л1') я»е=©(ЛГ) = Q(rt, a,)P(a2, a3 О. что и дает (19а). Пусть теперь M = {l\ 2"~ }, а <S,(M)(1 <л<12) состоит из тех перестановок ne©(Af), последний элемент которых есть г, и положим M, = {l**', 2""ft}, M2 = {lft,2ri~ft-1}. Еслия<=@,(М) и я = ст1, то ae<2>(/W,) и i(n) = n — k-\-i(a). Если я2е©2(М) и л = т2, то те6(Л12) и г(я) = /(т). Следовательно, Q(n, *)= Е qiW+n-k _|_ J] <7'М = = <7"-*Q(/t-l, Л— 1) + Q(«— 1, Л), что дает формулу (196). Второе доказательство. Определим отображение Ф: @ (М) X ©e, Х-..Х ©„,-*©„ ("о. Я], ..., пА)ь->я, преобразовав все at элементов i в перестановке л0 в числа а,+ ... + а,_,+ 1, fl|+ ... +a»-i + 2, .... а, + ... + а,_,-f-a,
50 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? в порядке, определяемом перестановкой щ. Например, (21331223, 21, 231, 312)н-> 42861537. Мы преобразовали И в 21 (сохранив относительный порядок членов ni=21), 222 в 453 (сохранив порядок 231) и 333 в 867 (сохранив тот же порядок членов, что и в перестановке 312). Легко проверить, что <р — биекция и что i (л) = i (щ) + / (я,) + ... +1 (лк). С помощью следствия 1.3.10 заключаем Г Е <7г^(а.)!...(ак)! = (п)! Доказательство закончено. П Первое доказательство предложения 1.3.17 может быть отнесено к «полукомбинаторным». Мы не дали прямого доказательства формулы (18), а вместо этого установили рекуррентные формулы (19). На этой стадии трудно было бы дать прямое комбинаторное доказательство формулы (18), так как не было «очевидной» комбинаторной интерпретации ни коэффициентов I 11 ни значений этого многочлена при а е N. По- V аь ..., ат ) н ч этому теперь мы хотим обсудить проблему комбинаторной ни- С) терпретации I , I для некоторых ^е|М, что приведет нас к комбинаторному доказательству формулы (18) при /п = 2. Если скомбинировать его с нашим доказательством (19а), это приведет к комбинаторному доказательству (18) в общем случае. Читатель, не знакомый с конечными полями, может пропустить весь конец этого раздела, за исключением краткого обсуждения разбиений. Пусть q— степень простого числа, a Fq обозначает конечное поле с q элементами (все такие поля, разумеется, изоморфны). Vn(q) обозначает n-мерное векторное пространство F£ = = {(°ь • • •. <*я): «I е= F,}. 1.3.18. Предложение. Число k-мерных подпространств Vn{q) равно 1.1' Доказательство. Обозначим искомое число G{n,k), и пусть N = = N(n,k) есть число упорядоченных ft-наборов {v\, ..., Vk) линейно независимых векторов из Vn(q). Можно выбрать v\ qn—1
1.3. Статистики перестановок SI способами, затем v2 q" — q способами и так далее; окончательно N = {q"-\){qn-q)...{qn-qk-[)- (20) С другой стороны, можно выбрать (vu ..., Vk), сначала выбрав ^-мерное подпространство W пространства Vn(q) G(n,k) способами, а затем, выбирая vi es W qk—1 способами, v2^W qh—q способами и т. д. Следовательно, N = G(n, k)(qk-\){qk-q) ... О?*-?*-'). (21) Сравнение (20) и (21) влечет за собой Gin к) ^-W-?)--^-^')- п-k)! Vk/ (k)! (п - k)! □ Определим теперь разбиение числа /ieN как последовательность Л=(Ль ,..Д4)е№, такую, что £я.;=п и Xi ^ ... ... ^ Kk. Мы считаем два разбиения одинаковыми, если они отличаются только числом заключительных нулей, например (3, 3, 2, 1) = (3, 3, 2, 1, 0, 0). Неформально разбиение К=(Ки ... ..., %к) (где, скажем, %к > 0) можно рассматривать как способ представить п в виде суммы %\ + ... + км положительных целых, игнорируя порядок слагаемых (так как существует единственный способ записи слагаемых в невозрастающем порядке, при котором мы не различаем равные слагаемые между собой). Сравните с определением разложения п, при котором порядок частей существен. Если X — разбиение п, то мы пишем К \- п или |Л|=л. Ненулевые члены Xj называются частями X, и мы говорим, что X имеет k частей, где k = #{/: %i > 0}. Если разбиение К имеет а, частей, равных i, то мы пишем A, = (lu', 2а\ ...), где члены с а, = 0 и верхние индексы а,- = 1 могут быть опущены. Например, (4, 4, 2, 2, 2, 1) = <1\ 23, 3», 42> = (1, 23, 42> \- 15. Мы также будем обозначать р(п) — общее число разбиений п, Pk(n) — число разбиений п, имеющих в точности k частей, и p{j,k,n)— число разбиений п на не более чем k частей, наибольшая из которых не превосходит /. Например, существует семь разбиений числа 5, даваемых формулами 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 2+1 + 1 + 1, 3+1 + 1, 2 + 2+1, 4+1, 3 + 2, 5, так что р,(5)= 1, р2(5) = 2, р8(5) = 2, р«(5)= 1, р5(5)= 1, р(3,3,5) = 3 и т. д. Примем соглашение, что ро(0) = р(0) = 1. Заметьте, что рп{п)= 1, рп_1(п)= 1, если п> 1, pi(n)= 1, р2(п)= [п/2].
52 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Легко проверить рекуррентное соотношение Pk (л) = рк-\ (« — 1) + Pk (п - k), дающее удобный метод построения таблицы чисел pk(n) для небольших п, к. Пусть (A.I, ..., %k)\~ п. Нарисуем массив из п точек, имеющий %i точек в г-й строке; строки выровнены слева. Этот массив называется диаграммой Ферре или графом Ферре разбиения К. Например, на рис. 1.4 изображена диаграмма Ферре разбиения 4 + 3+1 + 1 + 1. Если заменить точки, поставив на их места квадраты, получившуюся диаграмму называют диаграммой Юнга разбиения К. Например, диаграмма Юнга 4 + 3+ 1 + 1 + + 1 изображена на рис. 1.5. В следующем разделе и в других Рис. 1.4. Рис. 1.5. местах на протяжении этой книги мы еще вернемся к разбиениям. Однако мы не будем пытаться систематически исследовать этот необъятный и чарующий предмет. Следующий результат показывает, что при рассмотрении <7-биномиальных коэффициентов уместно использовать разбиения. 1.3.19. Предложение. Зафиксируем /, ^gN. Тогда 2>(/,*,n)<f=(jtk)- Доказательство. Хотя не трудно дать индуктивное доказательство, использующее (17Ь), мы предпочтем прямое комбинаторное рассуждение, основанное на предложении 1.3.18. До конца его пусть m = / + &. Напомним из линейной алгебры, что любое ft-мерное подпространство Vm{q) (или m-мерного векторного пространства Fm над произвольным полем F) имеет единствен-
i.3. Статистики перестановок S3 ный упорядоченный базис (v\, ..., Vk), для которого матрица М Lvh J (22) имеет ступенчатую, приведенную по строкам форму. Это значит (а) первый ненулевой элемент каждого Vi есть 1; (б) первый ненулевой элемент Vi+i стоит в столбце правее первого ненулевого элемента v\, \^i^k—1, и (в) в столбце, содержащем первый ненулевой элемент vi, все остальные элементы равны 0. Предположим теперь, что нам дана последовательность целых чисел 1 ^ а\ < й2 < ... < ak ^ т, и рассмотрим все ступенчатые приведенные по строкам матрицы (22) над fq, для которых первый ненулевой элемент vi находится в а,-й позиции. Например, если m = 7, k = 4, (аь ..., а4) = (1,3,4,6), то М имеет вид 1 * 0 0 * 0 * 0 0 10*0* 0 0 0 1 * 0 *. 0 0 0 0 0 1*. где * обозначает произвольный элемент поля 1F?. Число %i знаков «*» в строке i равно / — a»-f-*, и последовательность Х = = (^i,ta, -.., ^k) определяет разбиение некоторого целого n= Yi^t на не более чем k частей, и наибольшая часть не превосходит /. Общее число матриц (22), где аь ..., ak определяются, как и выше, есть q '. Обратно, для любого данного разбиения X на не более чем k частей, с наибольшим слагаемым, не превосходящим /, можно положить ai — i — Xi -+- 1. Су- ш ществует в точности q приведенных по строкам матриц вида (22), где а\ а^ имеют значения, указанные выше. Так как число приведенных по строкам ступенчатых матриц / j + к Л (22) равно числу I . I А-мерных подпространств Vq , получаем m q\%\==YJP(Uk,n)q\ а <й частей наибольшая часть</ я>0
54 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Для читателей, знакомых с этим предметом, заметим, что в доказательстве предложения 1.3.19 по существу строится хорошо известное клеточное разбиение многообразия Грассмана Gkm разбиения К, перечисляемые p(j,k,n), можно описать как разоиения, диаграмма Юнга которых помещается в прямоугольник kXj. Например, для k = 2 и / = 3 на рис. 1.6 изображены Щ ш ш ш ш /У// щ ш 77/7/ ш У/// Ш/ ш ^2,/ ^° разбиений, которые можно вместить в 2X3 прямоугольник. Значение \\\ написано под диаграммой. Следовательно, ( 2 ) = 1 + <7 + 2<72 + 2<73 + 2<74 + <75 + q\ Осталось связать предложения 1.3.17 и 1.3.19, показав, что P(l,k,n) есть число перестановок п мультимножества М — jr = 1212121121 Рис. 1.7. = 0У, Щ, имеющих п инверсий. Для данного разбиения % числа п на не более чем k частей, каждая из которых не превосходит }, опишем перестановку л = я(Я)е <5(М) с п инверсиями, оставив читателю легкое доказательство биективности построенного соответствия. Рассмотрим диаграмму Юнга У разбиения X, содержащуюся в прямоугольнике &Х/, и путь L по решетке из
1.4. Двенадцатеричный путь 55 верхнего правого угла прямоугольника в нижний левый, идущий вдоль границы Y. Будем идти вдоль и писать 1, когда делаем шаг по горизонтали, и 2, если идем по вертикали. Это дает требуемую перестановку я. Например, для k = 3, / = 5, Л = = (4,3, 1) см. рис. 1.7. Двойки в перестановке л стоят в позициях / — Л,- + i, где Л = (Ль .... Kk) ■ 1.4. Двенадцатеричный путь1) Мы заканчиваем наше введение в перечислительную комбинаторику обсуждением основных чисел, связанных с подсчетом функций между двумя множествами. Пусть N и X — конечные множества, |/V|=n, |Х| = х. Мы хотим подсчитать число функций f: N-+X, подчиняющихся некоторым ограничениям. Три ограничения можно наложить на сами функции и четыре ограничения на то, какие функции считать одинаковыми. Получается всего двенадцать перечислительных проблем, а решить их— значит пройти Двенадцатеричный путь. Три ограничения, накладываемые на функции f: N^-X, следующие: a. f произвольная (нет ограничений) b. г инъективная (взаимно-однозначная) c. f сюръективная (отображение «на») Четыре интерпретации того, какие функции считать одинаковыми (или эквивалентными), возникают из рассмотрений элементов множеств N я X как «различимых» или «неразличимых». Будем представлять N в виде множества шаров, а X в виде множества коробок. Если мы можем отличать шары друг от друга, то элементы N называются различимыми», в противном случае— неразличимыми. Аналогично, если мы можем отличать коробки друг от друга, элементы X называются различимыми, а иначе — неразличимыми. Например, предположим N ={1,2,3}, X = {a,b, c,d) и определим функции f, g, h, i: N^-X формулами f(l) = f(2y = a, f(S) = b, *(D = £(3) = a, g(2) = b, h(l) = h(2) = b, h(3) = d, i(2) = t(3) = 6, i(l) = c. ') «Двенадцатеричный», а до этого «восьмеричным» путем называют некоторые модели в физике элементарных частиц, основанные на представлениях тех или иных групп. Термины заимствованы Гелл-Маном из буддийских вероучений. В данном случае асссоциация с физическими терминами чисто внешняя. — Прим. ред.
56 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Если элементы обоих множеств N и X различимы, функции можно «нарисовать», как на рис. 1.8. Все четыре картинки разные, и эти четыре функции все неэквивалентны. Теперь предположим, что элементы N (но не X) неразличимы. Это соответствует стиранию меток шаров. Изображения функций становятся такими, как показано на рис. 1.9, так что / и g эквива- 10)01 Ш I I I I I' abed 1 CD 0)1 1ф | | | | | * в Ь с а I I 1(0 0)1 I I 10) |> abed I I 10 0)1 Ю I I I' abed Рис. 1.8. 10 OI IO I I I |_ | а ь с d Рис. 1.9. 1CD 0)1 LQ | | | | | Рис. 1.10. лентны. Однако /, h и i остаются неэквивалентными. Если элементы X (но не N) неразличимы, мы стираем метки с коробок. Таким образом, { и к обе имеют картинки, показанные на рис. 1.10. (Порядок коробок не существен, если мы не можем различать их.) Следовательно, f и h эквивалентны, но f, g и i неэквивалентны. Если элементы обоих множеств N и X неразличимы, то все четыре функции изображаются, как на рис. 1.11, и все они эквивалентны. Желательно дать строгое определение введенному выше понятию эквивалентности, Говорят, что две функции /, g: N^>-X эквивалентны с неразличимым множеством N, если существует
i.4. Двенадцатеричный путь 5? биокция л: N-*-N, такая, что /(я(а)) = g(a) для всех a^N. Аналогично / и g эквивалентны с неразличимым множеством X, если существует биекция а: Х-+Х, такая, что a (f{a)) = g{a) \fa^N. Наконец, функции f я g эквивалентны с неразличимыми множествами N и X, если существуют биекцни л: N^>-N и а: Х^-Х, такие, что а(/(я(а)))= g(a) для любого a^N. Все эти три понятия есть отношения эквивалентности, и число «различных» по отношению к одному из этих понятий функций просто означает число классов эквивалентности1). Если f и g эквивалентны (в любом из названных выше смыслов), то f инъективна (соответственно сюръективна) тогда и только тогда, когда g инъективна (соответственно сюръективна). Поэтому мы lool Lq Рис. 1.11. говорим, что понятия инъективности и сюръективности совместимы с отношением эквивалентности. Под «числом неэквивалентных инъективных функций /: N-*-X» мы понимаем число классов эквивалентности, элементы которых инъективны. Теперь мы готовы пройти Двенадцатеричный путь. Двенадцать возможностей перечислены и будут по отдельности обсуждены. Следующая таблица дает число неэквивалентных функций /: N-*• X соответствующего типа, где |./V|=rt и |X| = x. Двенадцатеричный путь Элементы множества N различимы неразличимы различимы неразличимы Элементы множества X различимы различимы неразличимы неразличимы Произвольная функция f 1. хп 7. S(ft, 1) + S(n, 2) + + ...+S(n, х) 10. pi(n) + p2(n) + + ...+px(n) Инъективиая функция f 2. (X)n 5C) 8. 1, если n <J x 0, если n > x 11. 1, если n^Lx 0, если ft > x Сюръективная функция f 3. X\S (ft, x) 9. S(n, x) 12. px (ft) ') В современном анализе принята следующая терминология: правая эквивалентность соответствует замене в прообразе и левая—замене в образе, право-левая — одновременной замене в образе н прообразе. — Прим. ред.
58 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Обсуждение элементов таблицы Двенадцатеричного пути 1. Для каждого a^N f(a) может быть любым элементом х^Х. Следовательно, существует хп функций. 2. Пусть N={ait ..., а„}. Выберем f(cii) х способами, затем f(a2) х— 1 способами и так далее, получив всего х(х— 1 ... ... (х — п+ !) = (*)« способов. 3.') Разбиение конечного множества N есть набор л={Вь Вг, • ■ ■, Bk) подмножеств множества N, таких, что а. Bt Ф 0 для каждого i, б. ЯгПВ/=0, если 1ф\, в. я,ив8и...ия* = лг. Мы называем В, блоком, л и говорим, что л имеет k блоков (обозначение |я| = &). Пусть S(n,k) — число разбиений п-множества на k блоков. S{n,k) называется числом Стирлинга второго рода. Условимся полагать 5(0,0)= 1. Читатель должен проверить, что для rt^l, S{n,k) = 0 при k>n, S(n,0) = 0, S{n, 1)=1, 5(rt,2) = 2"-1 —1, S{n,n)=l, S(n, n~\) = Числа Стирлинга второго рода удовлетворяют следующим основным рекуррентным соотношениям: S(n, k) = kS(n—l, k) + S(n—\, k-l). (23) Уравнение (23) проверяется следующим образом. Чтобы получить разбиение множества [п] на k блоков, можно разбить множество [п— 1] на k блоков и поместить п в любой из этих блоков kS{n—\,k) способами или образовать отдельный блок из п и разбить множество [п — 1] на k— 1 блок S(n— 1, k — 1) способами. Отсюда следует (23). Рекуррентное соотношение (23) позволяет доказать по индукции много результатов о числах S(n,k), хотя часто мы будем предпочитать комбинаторные доказательства. Общее число разбиений /г-множества называется числом Белла и обозначается В(п). Таким образом, В(п) = = E*-iS(/i, k), n>i. Ниже приводится список некоторых основных формул для S(n,k) и Я (л): s<**>eirE<-1>*~l(?V' (24а) 2 S(«, fe)^l = -ir(^-l)ft, k>0, (24b) ;• ') Обсуждение п. 4 начинается на стр. 64.
1.4. Двеиадцатеричный путь 59 £ 5 (л, k) хп = х*/(1 - jc) (1 - 2х) ... (1 - Л*), (24с) *я =£ 5(п, *)(*)*, (24d) fc=0 п В(п+\) = ]?(П.)В(1), «>0, (24е) £ В (я) jc"//i! = ехр (е* - 1). (24f) п э=о Сейчас мы наметим доказательства формул (24а) — (24f). Для всех формул, за исключением (24d), мы обрисуем некомбинаторные доказательства, хотя ценой небольшой дополнительной работы могут быть даны и комбинаторные (некоторые из них появятся позже в книге). ПустьFk (х) = Lun>kS{n, k)xn/n\. Ясно, что Fo(x)= 1. Из формулы (23) имеем FAx) = kZn>kS(n-\, k)xn/n\ + Zn>kS(n-l, k-l)xn/n\. Продифференцируем обе части равенства, чтобы получить F'k{x) = kFk(x) + Fk_x{x). (25) Предположим по индукции Fk_x (х) = .. _ .., (ех — 1) ~~ . Тогда единственным решением уравнения (25), коэффициент которого при хк есть l/k\, будет Fk(x) — jr(ex — 1)*- Отсюда по индукции следует (24Ь). Чтобы доказать (24а), напишем >"-1>*=тг 2>'Г(*у« £=0 V ' ' и извлечем коэффициент при хп. Чтобы доказать (24f), просуммируем (24b) по k, получив £ В (п) хп/п\ = £ Jp (ех - \)к = ехр (ех - 1). Формула (24е) может быть получена дифференцированием (24f) и сравнением коэффициентов. Очень легко также дать прямое комбинаторное доказательство. Доказательство формулы (24с) проводится аналогично доказательству (24а); ее можно доказать И аналогично предложению 1.3.4 (см. упражнение 16 в конце
60 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? этой главы). Осталось проверить формулу (24d), что будет сделано после следующего абзаца. Проверим теперь п. 3 таблицы Двенадцатеричного пути. Нам нужно показать, что число сюръективных функций f: N^>-X равно x\S(n,x). Выражение x\S(n, х) дает число способов разбить N на х блоков, а затем линейно упорядочить блоки, скажем, (Ви В2, ..., Вх). Пусть X = {bi,b2, ..., bx}. Свяжем последовательность (Ви В2, ..., Вх) с сюръективной функцией f, определенной формулой j(i) = bj, если i^B,-. Это устанавливает требуемое соответствие. Сейчас мы дадим простое комбинаторное доказательство формулы (24d). Левая часть есть общее число функций f:N-*-X. Каждая такая функция является сгоръекцией на единственное подмножество У множества X, удовлетворяющее условию |У|^ ^ п. Если |У|=&, то существует k\S{n,k) таких функций и II выборов подмножеств У множества X с условием |У| = &. Следовательно, п п Уравнение (24d) имеет следующую дополнительную интерпретацию. Множество & всех многочленов с комплексными коэффициентами образуют комплексное векторное пространство. Множества В1={\,х,х2, ...} и В2={\, (х)и (х)2, ■ ■ ■} оба являются базисами &. Тогда формула (24d) утверждает, что (бесконечная) матрица S = [S(n, k)]k „sN является матрицей перехода от базиса В2 к базису В\. Рассмотрим снова уравнение (14), встретившееся ранее в этой главе. Если заменить х на —х и умножить на (—1)", получим п Z s(n, k)xk = {x)n. Таким образом, матрица s = [s(n, k)]k „eN есть матрица перехода от В\ к В2 и, следовательно, обратная к матрице S. Из утверждения, что матрицы S и s взаимно обратны, следует такой результат. 1.4.1. Предложение. а. Для всех tn, п е N Е S(tn, k)s(k, n) = 6m.
1.4. Двенадцатеричный путь 61 b. Пусть ао, Оь ••• и Ь0, b\, ... — две последовательности (скажем, комплексных чисел). Следующие два условия эквивалентны: i. Для всех neN п Ьп = £ S (п, k) ak. ft = 0 ii. Для всех neN п a,i= Hs(n, k)bk. ft=0 Доказательство. a. Это в точности утверждение о том, что произведение двух матриц S и s есть единичная матрица [бт«]. b. Пусть а и b обозначают (бесконечные) вектор-столбцы (ао, а\, ...) и (bo,b\, ...) соответственно. Тогда формула (i) утверждает, что Sa = b. Умножение слева на s дает а = sb, а это есть (ii). Аналогичным образом из (ii) следует (i). □ Матрицы S и s имеют такой вид: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 7 15 31 (.3 (1 0 0 1 6 25 90 301 0 0 0 0 1 10 65 350 0 0 0 0 0 1 15 140 0 0 0 0 0 0 1 21 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 т ь 24 -120 720 0 0 1 3 11 ■ 50 274 -- 1764 0 0 0 1 6 35 -225 1624 0 0 0 0 1 -10 85 - 735 0 0 0 0 0 1 -15 175 0 0 0 0 0 0 1 -21 0 0 0 0 0 0 0 1
62 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Уравнения (14) и (24d) тесно связаны также с исчислением конечных разностей, о котором мы очень кратко здесь скажем. Дана функция /: Z->C (или, возможно, N->LC; С можно заменить произвольной абелевой группой, если не имеют дело со специальными примерами, как-то f(n) = n4). Определим новую функцию А/, называемую первой разностью f, формулой Af(n) = f(n+l)-f(n). А называется разностным оператором первого порядка; кратко, но очень упрощенно можно определить исчисление конечных разностей как исследование оператора А. Можно применить A k раз и получить k-й разностный оператор A*/ = A(Af-'f)- Число А*/(0) называется k-й разностью f в 0. Определим другой оператор Е, называемый оператором сдвига, формулой Ef(n) = = f(« + l). Таким образом, А = Е—1, где 1 означает единичный оператор. Имеем Akf(n) = (E-l)kf(n) = i=Q k (26) В частности, A*f(0) = £(-1)*-'(?W (27) что дает явную формулу для A*f(0) в терминах значений f(0), f(l), ..., f(k). Легко можно обратить формулу (26) и выразить f(n) в терминах чисел А;,/(0). Именно, /(п) = £"/(0) = = (1+ДП(0) = -2 С) A"f (0). (28) Напишем теперь в строку значения ... /(-2)f(-l)f(0)f(l)f(2)f(3)
1.4. Двенадцатеричный путь 63 Если внизу написать между каждой парой последовательных членов f{i), f(i-\- 1) их разность f(i+ 1) — /(О — ДД0> получим последовательность ...Л/(-2)Л/(-1)А/(0)А/(1)А/(2)... Повторение этой процедуры приводит к таблице разностей функции f. k-я строка состоит нз значения А*/(п). Диагональ, начинающаяся в /(0) и идущая направо вниз, состоит из разностей А*/(0) в 0. Например, пусть f(n)=n4. Таблица разностей (начинающаяся с /(0)) выглядит так: 0 1 16 81 256 625 ... 1 15 65 175 369 14 50 ПО 194 36 60 84 24 24 0 Из формулы (27) Л,-(")+14(2) + 36(з) + 24(4) + °(5)+-- В этом случае, так как п* — многочлен четвертой степени и при фиксированном k есть многочлен степени k, написанное выше разложение обрывается после члена 241 , ). то есть Д*04 = 0, если k > 4 (или, более общим образом, Akn4 = 0,если k > 4). Заметьте, что из (24d) имеем 4 n4 = £ k\S(4, k) откуда заключаем: 1!5(4, 1) = 1, 2!5(4, 2)= 14, 3!5(4, 3) = 36, 4! 5 (4, 4) = 24. Предыдущее рассуждение, конечно, не относится исключительно к функции п4. Подобные размышления приводят к следующему результату. 1.4.2. Предложение. а. Функция f: Z -> С — полином степени, не превосходящей d, тогда и только тогда, когда Ad+lf(n) = 0 (или Adf(n) — постоянная). : :■
64 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? b. Если многочлен f(n) степени, не превосходящей d, разложен в ряд по базису (.)' 0^ k^ d, то коэффициенты суть Д*/(0); т. е. d f:(n)=£A*/(o)Q). c. В специальном случае f{n) = nd имеем AkQd = k\S(d, k). U 1.4.3. Следствие. Пусть /: Z-^C— многочлен степени, не превосходящей d. Необходимое и достаточное условие того, что f(/i)eZ для всех n&Z, есть Д'[(0)е7, 0 ^ k ^ d. (В алгебраических терминах: абелева группа всех многочленов /: Z ■ степень которых не больше d, свободна и имеет базис С) С) (о> ) Перейдем теперь к следующему элементу таблицы двена- дцатеричного пути. 4. «Шары» неразличимы, так что нас интересует только то, сколько шаров кладут в каждую из коробок Ь\, Ьг Ьх. Если v(bi) шаров помещают в коробку bi, то v определяет «-элементное мультимножество на X. Число таких мультимножеств есть (С))- 5. Этот случай аналогичен предыдущему, только каждая коробка содержит не более одного шара. Поэтому наше мульти- C)"-s множество становится множеством, и существует I ln-элемент- ных подмножеств X. 6. Каждая коробка bi должна содержать по крайней мере один шар. Если удалить из каждой коробки по одному шару, получим (п — х) -элементное мультимножество на X. Число та- ((.!.))• ких мультимножеств есть 7. Так как коробки неразличимы, функция f: N-+X определяется непустыми множествами f~l(b), iel, где f~l(b) = = {a^N: f(a) = b}. Эти множества образуют разбиение я множества N, называемое ядром или кообразом f. На я накладывается единственное ограничение, что оно содержит не более х блоков. Число разбиений N на не более чем х блоков равно S(n,\) + S{n,2) + ... +S(n,x).
1.4. Двенадцатеричный путь 65 8. Каждый блок кообраза я функции / должен содержать один элемент. Существует единственное такое разбиение я, если х ^ п; в противном случае таких я нет. 9. F-сли / сюръективна, ни одно из множеств f~l(b) не пусто. Отсюда кообраз я содержит в точности х блоков. Число таких я равно S(n, х). 10. Пусть ри{п) обозначает число разбиений п на k частей согласно определению на стр. 51. Функция /: N->-X, где N я X оба неразличимы, определяется только числом элементов в каждом из блоков кообраза я. Сами по себе элементы не важны. На эти числа накладывается единственное ограничение: они являются положительными целыми, сумма их равна п, а число их не превосходит х. Другими словами, эти числа образуют разбиение п на не более чем х частей. Число таких разбиений есть Pi(n)+p2(n)+ ... + рх{п). Дополним наше исследование этого пункта, сосчитав производящую функцию этих чисел. Можно было бы просто положить i = j; и устремить /'->-оо в предложении 1.3.19, но мы изложим более прямой подход. Предположим, что % — разбиение л. Если поменять местами строки и столбцы диаграммы Ферре К, получим диаграмму другого разбиения п, называемого сопряженным X, и обозначаемого %'. Если A. = (Xi,A,2, ..., Xk), то число частей V, равных i, есть X,- — Ki+i. Это соображение дает удобный метод вычислять А/ из К, не рисуя диаграмму. Например, если К =(4, 3, 1, 1, 1), то %' =(5, 2, 2, 1). Пусть pk{n) обозначает число разбиений п на не более чем k частей, т. е. /?*.(«) = р\(п)-\- рг(«) + •■• +/?*(")• ^ есть разбиение такого вида тогда и только тогда, когда наибольшая часть разбиения %' не превосходит k. Это наблюдение позволяет нам вычислить производящую функцию Tjn>0Рк(п)хП- Разбиение числа п, наибольшее слагаемое которого не превосходит k, можно рассматривать как решение уравнения а,\ + 2о&2 + ... ... + ka,k = л в неотрицательных целых числах. Здесь а; показывает, сколько раз слагаемое I встречается в разбиении. Следовательно, £ РЛп)*п= Z £ *"= п>0 я>0 0|+ ... +kak=n = £ £ ••• £ д;а1+2а2+ •■■ +йай = а,>0 а2>0 ай>0 =f £ *a'V £ x2aA...(Z ***w Va,>0 J\at>0 J \%>° J = 1/(1 -x)(l-x2) ... (1 -xk). (29)
вв Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Устремляя k-*■-{- оо, получаем знаменитую производящую функцию Е р(я)*в=П(1-*')"'• (зо) Уравнения (29) и (30) можно существенно обобщить. Следующий результат, хотя, разумеется, далеко не самый общий из возможных, достаточен для наших целей. 1.4.4. Предложение. Для каждого i е Р зафиксируем множество S^eN. Пусть 9"-= (Sh S2, ...), и положим Р(9") — множество всех разбиений %, таких, что если слагаемое i встречается а« = а*(^) Раз, то a^eSj. Определим производящую функцию от переменных х = (#1> х2, . ..): F(9>,x) = £ х?(Мх?(М.... Тогда F(9>,x)=U( Е *fl- (31) Доказательство. Читатель должен убедиться в справедливости этого результата путем «проверки». Коэффициент при х^хр ... в правой части формулы (31) равен 1, если Vaf ^St, и 0 в противном случае, что и дает требуемый результат. 1.4.5. Следствие. Сохраним обозначения предыдущего предложения, и пусть р (У, п) обозначает число разбиений п, принадлежащих Р(9"), т. е. р (9>, п) = card {% Ь п: Хе=Р (9>)}. Тогда я3*0 i>l ^eS, ) Доказательство. Положим каждую переменную xt равной х' в предложении 1.4.4 □ Чтобы дать читателю почувствовать дух теории разбиений, рассмотрим два специальных случая следствия 1.4.5. Во-первых, если положить S;={0,1}, то получим, что p{9f, п) есть число разбиений п на попарно различные слагаемые, обозначаемое q{n). Из следствия 1.4.5. Е<7(л)*в=П(1+*'). (32) «>0 i>l Аналогично, положив S,- = N, если i — нечетное и S, = {0}, если i — четное, имеем, что р(9,,п) есть число разбиений п на
Замечания 67 нечетные слагаемые, обозначаемое рнеч(п). Из следствия 1.4.5 Е р„.,(л)*в= Е (1+х< + *«+ ...) i неч = П(1-*2/-1г'- Если теперь положить в формуле (32) 1+х'=(1—x2i)/(l — — х1), то числитель сократится с множителями вида (1—х21) в знаменателе, и окончательно получим Е Я{П)ХП=Т1{\-Х*-Г1= Е Рнеч (")*"• Следовательно, ^(п) = рНеч(п) для всех п ^ 0. Естественно желание дать комбинаторное доказательство. Возможно, самое простое из них таково. Пусть X — разбиение п на нечетные слагаемые, причем часть 2/—1 встречается Р/ раз. Построим разбиение |х числа п на попарно различные части, потребовав, чтобы слагаемое (2/—l)2ft, k ^ 0, входило в ц тогда и только тогда, когда двоичное разложение числа [3/ содержит член 2*. Читателю остается проверить, что это действительно биекция. Например, если К = <95, 512, З2, 13>Ь 114, то 114 = 9 (1 + 4) + 5 (4 + 8) + 3 (2) + 1 (1 + 2) = 9 + 36 + 20 + 40 + 6+1 + 2, так что ц, =(40, 36, 20, 9, 6, 2, 1). 11. Те же рассуждения, что и в п. 8 12. Рассуждения, аналогичные приведенным в п. 9. Если f: N-+X — сюръекция, то кообраз я отображения / имеет точно х блоков, их мощности образуют разбиение числа п в точности на х частей. Замечания Мы не собираемся здесь прослеживать развитие основных идей и результатов перечислительной комбинаторики. Интересно, однако, отметить, что, согласно Хису [9, с. 319], некий результат Ксенократа из Халцедона (396—314 до н. э.) возможно «представляет первую, письменно зафиксированную попытку решить сложную задачу о перестановках и сочетаниях». (См. также [4, с. 113].) Работы [4] и [16] —два ценных источника по истории комбинаторики. Ниже мы дадим только те ссылки и комментарии, которые нельзя легко извлечь из [4] и [16]. Дальнейшие сведения о формальных степенных рядах с комбинаторной точки зрения, см., например, [15] или [17]. Строгий
68 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? алгебраический подход появляется в [5, гл. IV, § 5]. Следующая интересная работа [2]. Чтобы проиллюстрировать недоразумения, которые могут возникнуть при работе с формальными степенными рядами, мы приведем, не указывая авторов, следующие цитаты из литературы: «Так как сумма бесконечного ряда в действительности не используется, мы можем рассуждать строго или формально». «(1.3) показывает тщетность поиска производящей функции, даже экспоненциального вида для IU(n); так как эти числа настолько велики, что ряд F(z)=Y,IU(n)y/n\ п расходится, если z ф 0. Любое замкнутое уравнение для F поэтому не имеет решения, и все манипуляции с разложением Тейлора, биномиальной теоремой и так далее не дают никакого эффекта '). Попытайтесь найти производящую функцию для 22"». «Иногда возникают трудности со сходимостью некоторых функций, коэффициенты ап которых растут слишком быстро; тогда вместо регулярных производящих функций мы изучаем экспоненциальные производящие функции». Аналитик должен был бы по крайней мере поднять вопрос о том, что общие технические средства, пригодные для оценивания скорости роста коэффициентов степенного ряда, требуют сходимости (например, пригоден аппарат теории функций комплексного переменного). Существуют, однако, общие методы оценки коэффициентов расходящихся степенных рядов [3, § 5]. Техника представления комбинаторных объектов, подобных перестановкам, «моделями», такими как слова и деревья, интенсивно развивалась в основном французскими авторами. Здесь мы упомянем только работу [7]. В частности, «фундаментальное преобразование» на стр. 13—15 этой работы есть, в сущности, наше отображение л->-я из предложения 1.3.1. Большой индекс перестановки был впервые рассмотрен Мак- Магоном [13]. Предложение 1.3.17 доказано Нетто [14, § 94] для т = 2 я Карлитцем в [6] для общего случая. Приведенное здесь второе доказательство было предложено А. Бьорнером. Клеточное разбиение многообразия Грассмана (основа нашего доказательства предложения 1.3.19) обсуждается в работе [11]2). '') В оригинале: «is bound to' produce a heap of eggs (single — 0 — or double oo — yolked)», что приблизительно переводится: неизбежно приводят к груде битых яиц (с желтками в виде 0 и двойными желтками в виде оо). — Прим. перев. 2) См. также Дж. Милнор, Дж. Сташеср. Характеристические классы.— М.: Мир, 1979, или Грнффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1982.— Ярил. ред.
Замечания об упражнениях 69 Теория разбиений натуральных чисел была в основном создана Эйлером, некоторая ее часть предвосхищена Лейбницем в неопубликованной работе (см. [12]). Работа [1] является прекрасным введением в этот предмет. Идея Двенадцатеричного пути принадлежит Дж. К. Рота (высказана им в серии лекций, хотя терминология «Двенадцатеричного пути» была предложена Жоэлем Спенсером. Интересный популярный подсчет чисел Белла появился в работе [8]. В частности, рисунки 52 разбиений 5-элементного множества используются в качестве «названий глав» (всех, за исключением первой и последней) книги «Повесть о Гэндзи» Леди Мурасаки (978—ЮЗ!)1). Стандартная ссылка по исчислению конечных разностей — работа [10]2). Мы в основном рассматривали исключительно такие перечислительные задачи, которые допускают точное решение. О проблемах оценки решений перечислительных задач см. [3]. Есть причины полагать, что некоторые перечисленные задачи чрезвычайно сложны и не могут иметь «хорошего» решения. См. работу Вэльянта по теории ^Р-полноты [18]. Замечание об упражнениях Каждому упражнению следующим образом дается оценка сложности: 1. рутинное, решается прямолинейно, 2. имеется некоторая трудность или хитрость, 3. трудное, 4. очень трудное, 5. нерешенная проблема. Дальнейшие градации отмечаются знаками + или —. Таким образом, 1 — обозначает крайне тривиальную задачу, а 5 — нерешенную проблему, которой уделяется мало внимания и которая, возможно, не очень сложна. Оценка 2+ обозначает самую сложную из задач, которые могут быть приемлемы в целом для аспирантов. Некоторые студенты, вероятно, смогут решить 3 — задачу, но почти никто из них не сможет решить 3 ') Речь идет об одном из первых крупных произведений классической средневековой японской литературы периода Хэйан «Гэндзи Моноготари или повесть о блистательном принце Гэндзи» Мурасаки Сикибу. Русский перевод: Н. И. Конрад. «Японская литература в образцах и очерках», т. I, Л., 1927 и «Японская литература от Кодзикн до Тукутом», — М.: Изд-во вост. лит., 1974, стр. 233—256. К сожалению, в русском переводе эти заставки отсутствуют. — Прим. ред. ') См. также Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: 1967. — Прим. ред.
70 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? в разумный период времени. Конечно, все эти оценки субъективны, и всегда есть вероятность, что осталось незамеченным: какое-либо простое доказательство, которое понизило бы оценку сложности. Некоторые задачи, по-видимому, требуют использования результатов или методов, обычно не связываемых с комбинаторикой других областей математики. Здесь оценки менее значимы — они основываются на соображениях, насколько легко читатель обнаружит применимость этих внешних по отношению к комбинаторике методов и результатов. Литература 1. Andrews'G. Е. The theory of Partitions. Addison-Wesley, Reading, Mass, 1976. [Имеется перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982.] 2. Bender Е. A. A lifting theorem for formal power series, Proc. Amer. Math, Soc. 42 (1974), 16—22. 3. Bender E. A. Asymptotic methods in enumeration, SIAM Rev, 16, 1974, 485—515. Errara: SIAM Rev. 18 (1974), 292. 4. Biggs N. L. The roots of combinatorics, Historia Math. 6 (1979), 109—136. 5. Bourbaki N. Elements de Mathematique, Livre II, Algebre, Ch. 4—5 2e ed., Hermann, Paris, 1959. (Имеется перевод: Бурбаки H. Элементы математики. Алгебра. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966.) 6. Carlitz L. Sequences and inversions, Duke Math. J. 37 (1970), 193—198, 7. Foata D., Schutzenberger M.-P. Theorie geometrique des polynomes Eule- riens, Lecture Notes in Math., no. 138, Springer, Berlin, 1970. 8. Gardner M. Mathematical games, Scintific American 238 (May, 1978), 24—30. 9. Heath T. A. History of Greek Mathematics; vol. (1), Dover, New York, 1981. 10. Jordan С Calculus of Finite Differences, Chelsea, New York, 1965. 11. Kleiman S. L. and Laksov D. Schubert calculus, Amer. Math. Monthly 79 (1972), 1061—1082. 12. Knobloch E. Leibniz on combinatorics, Historia Math. 1 (1974), 409—430. 13. MacMahon P. A. The indices of permutations..., Amer. J. Math. 35 (1913), 281—322. 14. Netto E. Lehrbuch der Combinatorik, Teubner, Leipzig, 1900. 15. Niven I. Formal power series, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 871—889. 16. Stein P. K. A Brief history of enumeration, Advances in Applied Mathematics, Metropolics. 17. Tutte W. T. On elementary calculus and the Good formula, J. Combinatorial Theory 18 (1975), 97—137. 18. Valiant L. G. The Complexity of enumeration and reliability probleme, SIAM J. Comput. 8 (1979), 410—421. Упражнения [1+] 1. Мы начнем с дюжины простых вычислительных задач. Найдите насколько возможно простое решение, а. Сколько подмножеств множества [10] = {1,2, ... ..., 10} содержат по крайней мере одно нечетное число?
Упражнения 71 b. Сколькими способами можно рассадить семь человек по кругу? Два расположения считаются одинаковыми, если каждый имеет тех же соседей (не обязательно с той же стороны). c. Сколько перестановок я: [6]-v[6] удовлетворяют условию я(1)=т^2? d. Сколько перестановок множества [6] имеют в точности два цикла (т. е. найти с(6, 2))? e. Сколько разбиений множества [6] имеют в точности три блока (найти S(6,3))? f. Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколькими способами можно это сделать? g. Десять человек разбились на пять групп, по два в каждой. Сколькими способами это можно сделать? h. Сколько разложений числа 19 состоит лишь из чисел 2 и 3? I. Сколькими разными способами можно упорядочить буквы в слове МИССИССИППИ, так чтобы четыре буквы «С» не стояли подряд. j. Сколько существует последовательностей (a i,a2, •• ■ ..., aw), состоящих из четырех нулей и восьми единиц, таких что никакие два последовательных члена не являются нулями? к. В коробке лежат три синих носка, три красных носка и четыре цвета «шартрез»'). Восемь носков убрали, по одному за один раз. Сколькими способами можно это сделать? (Носки одинакового цвета неразличимы.) 1. Сколько существует функций /: [5] ->-[5], удовлетворяющих условию card f-1 (п) ^ 2 для всех п е е[5]? 2. Дайте комбинаторные доказательства следующих тождеств (х,у,п,а,Ь — неотрицательные целые): X*(x + i\ (х + п+\\ Видимо, зеленый цвет. Шартрез —ныне исчезнувший ликер. — Прим.
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? -(ТХ'Г)- т = min (а, Ь). Сколько существует на плоскости путей из точки (0,0) в точку (n^)eNXN, если каждый отрезок пути имеет вид (1,0) или (0, 1) (т. е. является шагом длины 1 в восточном или северном направлениях)? Дайте комбинаторное доказательство. Установите обобщение этого факта на высшие размерности. Эта задача является прототипом результатов обширного предмета, касающегося подсчета путей в решетках. a. Покажите, что (1-4*Г*= £Г У- />oW b. Найдите / ( \хп. Пусть / (т, п) — число путей из точки (0, 0) в точку (m, n)eNXN, где каждый шаг имеет вид (1,0), (0, 1) или (1, 1). a. Покажите, что Em>0Z„>0f (т> п)хтуп = (I -х- -у-ху)~\ b. Найдите простое явное выражение для a. Пусть р — простое число и п = X а{р1, т = X Ь{р* — р-ичные разложения целых чисел т, п. Покажите, что b. Используйте (а), чтобы определить, когда ( )
Упражнения 73 нечетно. Для каких п число I I нечетно при всех 0 ^ т ^ п? c. Из п. (а) следует (это можно также легко показать непосредственно), что ( , )~( и l(niodp). Дайте комбинаторное доказательство того, что на самом деле ( , ) = ( . J (mod р2). d. Если р ^ 5, покажите, что фактически Есть ли здесь комбинаторное доказательство? e. Дайте простое описание наибольшей степени про- ( п\ стого числа р, делящей L I- 7. Пусть m, neN. Дайте комбинаторное доказатель- ство тождества ((2)) = ((™_ { ))• 8. а. Пусть fli, а2, ..., о«еР. Покажите, что если разложить произведение 1 + 1 (33) в многочлен Лорана от переменных х\, ..., хп (допускаются отрицательные показатели степени), то постоянный член есть мультиномиальный коэф- /0[ + а2+ ... +а„\ фициент I I • Указание: чала докажите тождество а затем умножьте на выражение (33). Ь. Положите п = 3и выведите тождество У (-ик(а+ЬЛ(Ь + с)(с + а} = (а + Ь + с} L [ ' \a + k)\b + k)\c + k) \ а, Ь, с )' сна- (34) k = -a
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? c. Пусть q — добавочная переменная. Покажите, что если разложить произведение хО-^О-^-О-*"-^) <з5> в многочлен Лорана от Х\ х„ (коэффициенты которого здесь — многочлены от q), то свободный член есть ^-мультиномиальный коэффициент / а! + а2 + ••• + а„ \ \ &i, а2, ..., а„ / d. Пусть АеР. Если произведение вп.[(-#(«->-«*0--£)Г разложено, как описано выше, покажите, что его постоянный член есть а)(з;х5л-Г7з,*)гл- e. Пусть f(auci2, ■■■, ап) обозначает постоянный член многочлена Лорана 1=1 где все а* е N. Покажите, что £ № •••• а»К1'--*»в== 9. а. Найдите число разложений числа п>1, имеющих четное число четных частей. Естественно, предпочтительно комбинаторное доказательство. Ь. Пусть е{п), о(п) и k(n) обозначают соответственно число разбиений п с четным числом четных частей, с нечетным числом четных слагаемых и самосопряженных разбиений. Покажите, что е{п) —
Упражнения ; 75 o(n) = k(n). Есть ли здесь комбинаторное доказательство? 10. Пусть 1 ^ k <С п. Дайте комбинаторное доказательство того, что среди всех 2"-1 разложений числа п k встречается слагаемым всего (п — k -+- 3)2"-*-2 раз. Например, если п = 4 и k = 2, двойка встречается один раз в 2 + 1 + 1, 1+2 + 1. 1 + 1+2 и дважды в 2 -+- 2, всего пять раз. 11. а. Пусть \N\ = n, J А" | == х. Найдите простое явное выражение для числа способов, которыми можно выбрать функцию /: N-*-X, а затем линейно упорядочить каждый блок кообраза /. (Элементы множеств N я X предполагаются различимыми.) b. Сколько таких способов существует, при условии что / сюръективна? (Дайте простой явный ответ.) c. Тот же вопрос, что и в п. (а), но элементы множества X неразличимы. (Дайте ответ в виде конечной суммы.) 12. Пусть |Sj = n и зафиксируем SeP. Сколько существует таких последовательностей (7i,72, ..., Tk) подмножеств 7,- множества 5, что Г| s Г2 s ... ... =7*? 13. Зафиксируем п, k, /е Р. Сколько существует последовательностей вида 1 ^ ах < аг < ... < ak ^ п, где a,-+i — а,- ^= / для всех 1 ^ i ^ k — 1? 14. Числа Фибоначчи определяются формулами Л=1, F% = 1, Fn = Fn-i + F„^2 при n ^ 3. Выразите через числа Фибоначчи: a. Число подмножеств S множества [п]={1,2, ... ..., п}, не содержащих никаких двух. последовательных чисел. b. Число разложений п на части, превосходящие 1. c. Число разложений п на части, равные 1 или 2. d. Число разложений п на нечетные слагаемые. e. Число последовательностей (еь е2, ..., е„) нулей и единиц, таких что ei ^ г2 ^ е3^ е4 15= е5 ^ ... f. X flia2 • • • ak> гДе суммирование производится по всем 2п~1 разложениям ui + u2+ ... -\-ak = n. g. X (2а'_1 — l) ... (2а*-1 — l), суммирование ведется по тому же множеству, что ив (f). h. X2*{':а»'=1}, суммирование ведется по тому же множеству, что ив (/).
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? i. Число последовательностей (бь бг бге) из нулей, единиц и двоек, таких, что ни за одним нулем непосредственно не следует единица. Зафиксируем i,neP. Найдите простое выражение, использующее числа Фибоначчи, для числа последовательностей (7"i, Г2> • • •, Тп) подмножеств Г; множества \k], таких, что Т\ <= Т2 э Т3 s Г4 э ... Пусть Sm(n, k) обозначает шсло Стирлинга второго рода. Из производящей функции £„S(n,к)хп= = xkj{i — х) (1 — 2х) ... (1 — кх) следует тождество S (л, k) = £ I"'"' • 2е'"1 ... А**"1, (36) где сумма берется по всем разложениям ах + + а2 ••• + #А = п. Дайте комбинаторное доказательство формулы (36), аналогичное второму доказательству предложения 1.3.4. То есть мы хотим сопоставить с каждым разбиением я множества [п] на k блоков разложение а\ + а% +... + ак = п, такое, что этому разложению соответствуют в точности 1а1_12аг_1 ... k"k~i разбиений я. a. Пусть п,АеР, положим / = \_k/2 J . Пусть S(n, k) обозначает число Стирлинга второго рода. Из рассмотрения производящей функции докажите, что / п — } — 1 \ iS&n,k) = y п_К J (mod 2).'. b. Дайте комбинаторное доказательство. c. Сформулируйте и докажите аналогичный результат для чисел Стирлинга первого рода. Пусть S(n, k) обозначает число Стирлинга второго рода. Определим Кп условием S(n, Кп)^ S(n, k) для всех k. Пусть t — решение уравнения it + 2) t log (t + 2) „ / + 1 ~~n- Докажите, что достаточно больших п Кп'= UJ или Kn=ltj+L В этом упражнении мы рассмотрим один метод обобщения разложения перестановок на непересекающиеся циклы с множеств на мультимножества. Мультицикл — это последовательность C = (ii,i2, ... ..., ik) положительных целых с возможными повторениями, причем последовательности (i\, 12, ..., ik) и (i,;il+u • ••> ik,i\, ■■■, ij-i) при 1 <; / ^ & счи-
Упражнения 77 таются эквивалентными. Введем переменные х\, х2, ... и определим вес С формулой w(C) = Xil ... ... х1/}. Мультиперестановка есть мультимножество мультициклов. Например, мультимножество {1,1,2} допускает следующие мультиперестановки (1) (1) (2), (H)(2), (12) (1), (112). Вес о;(я) мультиперестановки л = С{С2 ... Cj задается равенством ш(я) = = хю{С\) ... w(Cj). a. Покажите, что П(1-ИС)Г' = 2>(«), с я где С пробегает множество всех мультициклов на р, а я — все мультиперестановки на Р. b. Пусть pk = xf + xb+ ... +. Покажите, что Па-оког'^по-лг1. С й>1 с. Пусть fh(n) обозначает число мультиперестановок на множестве Щ общего размера п. Например, f2(3) = 14; данные мультиперестановки: (1)(1)(1), (1)(1) (2), (1) (2) (2), (2) (2) (2), (H)(1), (H)(2), (12) (1), (12)(2), (22) (1), (22) (2), (111), (112), (222). Выведите из (Ь) формулу I /(«)*"= П О-А*')-1. d. Найдите прямое комбинаторное доказательство пп. (Ь) или (с). a. Имеется п квадратных конвертов разных размеров. Сколькими способами их можно упорядочить по включению? Например, если п = 3, существует шесть способов, а именно: пометим конверты буквами Л, В, С (буквой А самый большой, а буквой С — наименьший), и пусть запись /е/ означает, что конверт / содержится в конверте /. Вот эти шесть способов: (1), 0, (2) ВеЛ, (3) Се Л, (4) СеВ, (5) ВеЛ, Се=Л, (6) С<=Я<=Л. b. Сколько существует размещений, в которых существует в точности k конвертов, не содержащихся ни в каком другом? Не содержащих никакого конверта? , Пусть Pk(n) обозначает число разбиений п на k частей. Зафиксируем t ^ 0. Покажите, что при «->-
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? -> + °° последовательность pn-i(n) становится в конце концов постоянной. Чему равна эта константа f(t)? Каково наименьшее значение я, для которого pn-t(n) = f(t)? Ваши аргументы должны быть комбинаторными. 22. Пусть Pk(n) определено, как и выше, и пусть qk{ri) — число разбиений п на k различных частей. Например, <7з(8) = 2; соответствующие разбиения есть 1 + 2+5 и 1+3 + 4. Дайте простое комбинаторное доказательство того, что <7ft(n + ( )) = Pfc(л). 23. Из огромного множества тождеств с разбиениями мы приводим здесь несколько похожих формул, имеющих особенно простые и элегантные комбинаторные доказательства. Л* а. ТТ 0-?*')"'= У / * , *ч ь. По-?*')-'= _ у xkY ft>0 (!-*)••• О-**)(1-<7*)-..(1-<7**) (k+ X 2 (kt[) "П(|+^-,£,-»о-^>---(-'»- d-n,('+^->-Z(,-^(,jy..,(-«i <>1 ft>0 24. а Логарифмическая производная степенного ряда F(x) определяется равенством -т— \ogF{x) = = F'(x)/F (х). Взяв логарифмическую производную степенного ряда Т,п>0р{п)хп = ~[[1>1{1—х1)~\ выведите рекуррентное соотношение п п • Р (") = £ о (г) р(п — /), где a(i) — сумма всех делителей числа i. b. Дайте комбинаторное доказательство. 25. а. Дано множество S t= Р. Пусть ps(n) (соответственно qs(n)) обозначает число разбиений п (со-
Упражнения 79 ответственно число разбиений п на попарно различные слагаемые), части которых лежат в множестве 5. (Это специальные случаи функций р{^,п) следствия 1.4.5) Назовем пару (5,7), где 5, 7^Р, парой Эйлера, если ps{n) = qT{n) для всех heN. Покажите, что (S, 7) пара Эйлера тогда и только тогда, когда 27 е 7 (где 27 = = {2i: /е7}) и 5 = 7 — 27. b. Каков смысл случая S={1}, 7 = {1, 2, 4, 8, ...}? 26. Пусть К — разбиение целого числа п. Обозначим fk№ — число появлений k в разбиении A,, a gft(X) — число различных частей Л, встречающихся по меньшей мере k раз. Например, f2(3, 2,2,2,1,1)= 3 и ^(3,2,2,2, 1,1) = 2. Покажите, что£/у(Я.) = Xgfc(X.)>где 4еР фиксировано и суммирование в обоих случаях ведется по всем разбиениям К фиксированного целого пеР. 27. а. Пусть пеР и f(n) обозначает число подмножеств Z/nZ (вычетов по модулю я), сумма элементов которых равна 0 в Z/nZ. Например, /(4) = 4; соответствующие подмножества — 0, {О}, {1,3}, {0, 1,3}. Покажите, что d\n'd нечетно где ф обозначает функцию Эйлера из теории чисел '). b. Если п нечетно, то легко показать, используя (а), что f(n) равно числу ожерелий (с точностью до циклического поворота) из п бусин, каждая из которых покрашена в черный или белый цвета. Дайте комбинаторное доказательство. (Это просто сделать, если п — простое число.) c. Обобщите. Исследуйте, например, сколько подмножеств 5 множества Z/nZ удовлетворяет условию Yi{f=s р(0 —a(m°drt), гДе Р — фиксированный полином и число aeZ/nZ фиксировано. 28. Пусть f(n,k) обозначает число последовательностей а\а% ... ап положительных целых чисел,' таких, что первое появление / ^ 1 встречается раньше, чем первое появление числа ;+1 (1^£^&—1), и при ф(п) есть число чисел, меньших п и взаимно простых с п.—Прим,
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? этом максимальное встречающееся число есть k (Предполагается, что каждое число 1, 2, ..., k встречается по меньшей мере один раз.) Выразите f{n,k) через знакомые числа. Дайте комбинаторное доказательство. 29. Дайте комбинаторное доказательство того, что число разбиений множества [п], в которых ни одна пара последовательных целых чисел не оказывается в одном блоке, есть число Белла В(п— 1). 30. а. Пусть ffe(n) обозначает число перестановок я е @„, имеющих k инверсий. Покажите из комбинаторных соображений, что для n^k fk(n+\) = h(n) + fk-An+D. b. Выведите из (а), что при n^k fk(n) есть полином от п степени k и что его старший коэффициент равен \/k\. Например, f2 (и) = у (п + 1) (п — 2) при п ^ 2. c. Пусть gk(n)—многочлен, значения которого при n^k равны fk(n). Найдите №gk{—п), т. е. вычислите коэффициент а-, в разложении gk{-n) = Yjai("i\ 31. Пусть т(п) обозначает число рекордов, a i(n) (как обычно)—число инверсий перестановки я. Вычислите производящую функцию 32. а. Перестановка a\ ... an множества [n] называется неразложимой, если n есть наименьшее положительное целое среди всех /, для которых {ai, а2, ... ..., а,} = {1,2, ..., /}• Пусть f(n) — число неразложимых перестановок множества [п], и положим /?(х) = £я>0л! хп. Покажите, что S f(n)xn=l-F(x)-\ Ь. Элемент а,- называется сильной неподвижной точкой перестановки а\ ... ап, если (!) / < i =>- а/ < < at и (2) / > I => а/ > ai. Пусть g(n) — число
Упражнения 81 перестановок множества [л], не имеющих сильных неподвижных точек. Покажите, что £ g(n)xn = F(x)(\+xF(x))-1. Пусть Л„(х) — многочлен Эйлера. Дайте комбинаторное доказательство того, что-„ Л„(2) равно числу упорядоченных разбиений (т. е. разбиений, блоки которых линейно упорядочены) n-элементного множества. На какой последовательности с= (сь ..., с„) е N" с условием Yi i-ci== п достигается максимум числа перестановок я е <Вп, имеющих тип с? Пусть / — простое число. Положим я = а0 + а1/-|- + aj? + ... = do, 0^at^l—l, для всех i^0. Пусть k( (п) обозначает число последовательностей с = (С[, с2 c„)eN", YiiCi~n, таких, что число перестановок л е ©„ типа с не делится на /. Покажите, что kt (п) = р(п) = р (Оо) П (а{ + 1), где р{а0) — число разбиений а<>. В частности, число последовательностей с, для которых нечетное число перестановок яе®л имеют тип с, равно 26, причем L«/2J имеет b единиц в двоичном разложении. a. Пусть F(x) = ^n>Qf(n)xn/n\. Покажите, что e-*F(x)=*j:n>0[bnf{0)]xn/nl b. Найдите единственную функцию f: Р->С, удовлетворяющую условиям /(1)=1 и Anf(l)=f(n) для всех пеР. а. Пусть F (х) = V / (п) хп. Покажите, что . , X Х"(-пЫ=1и„[А"?<°>1*"- Ь. Найдите единственные функции f, g:N-*C, удовлетворяющие условиям А"/ (0) = g (л), A2"g-(0) = = f(n), A2«+'g(0) = 0, f(0)=l.
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? с, Найдите единственные функции f, g: N-»-C, удовлетворяющие условиям A"f(l) = g(tt), A2"g-(0) = = f(n), A2»+»g(0) = 0, /(0)=1. 38. Пусть A — абелева группа всех многочленов р: Z-*C, таких что Dkp: Z-*Z для всех 6<=N {Dk обозначает k-ю производную). Тогда А имеет базис вида рп{х) = сЛ J, «gN, где константа с„ зависит только от п. Найдите явный вид с„. 39. Пусть % — комплексное число (или переменная), положим У=1+ Е f(n)xn, у*= I g(n)xn. Покажите, что 1 £(") = тЕ [bfr+l)-n]f(k)g(n-k), я>1. Это дает гораздо более эффективный метод подсчета коэффициентов у%, нежели непосредственное использование формулы (5). 40. Пусть fi, f2, ... — последовательность комплексных чисел. Покажите, что существует единственная последовательность комплексных чисел аи а2> •••, что F(x):=\+ I fX=TL(l-xrat- Найдите выражение для at в терминах fn-nx. Каковы af-e, когда F {х) = 1 + х и F (х) = ex,il~x}? 41. а. Пусть f{~b(x) обозначает обратный относительно композиций к f (х) = х + 2]„>2а«л;" е С [[*] ] элемент С [[*]], т. е. f<-l>(f(x)) = f(f<-b(x)) = x. Покажите, что f (-—/ (—*)) = * тогда и только тогда, когда существует ряд #(*) = *+ Е„>2Й«-Л такой, что f {х) = &-»(-g(-*))- b. Покажите, что если f(—f(—х)) = х, то существует единственный элемент g(x), удовлетворяющий условию п. (а) вида g(x) = x + Zra>1 b2nx2n. c. Заметьте, что если/(х) =YTH' tof(~f(~x))=x- Покажите, что g(~° (— g (— *)) = {, 2х тогда и
Упражнения 83 3-Х Е bn+ix" только тогда, когда е~л > ——.— имеет вид «>о ft! j—>n > 0 С2пх • Определите коэффициенты Ь2п единственного ряда g(x) = x-\- ]£п>1 b2nx2n, удовлетворяющего условию :1 ' 1 +2х 42. Зафиксируем l^.k^.n. Сколько последовательностей целых чисел 1 <! а, < а^ < ••• <ak^.n удовлетворяют условию а,- s= i (mod 2) для всех г? 43. а. Дано а0 = а, щ = (3, а„+1 = а„ + йп-| при п^1. Вычислите у = ^п>0апхп. b. Дано 00=1 и a„+i=(«+1)а« —( 2 )а„-2 при tt^O. Вычислите г/ = ]£п>0Дп*,7я'- c. Дано 00 = ^ = 1, 2а„+1 = ]>] ( {. )а,а„_г при п^1. Вычислите # = ]C>oая-*;'7'г^• с'. Дано Оо=1 и 2а„+1 = ^] I . 1ага„_, при п>0. Вычислите У = 1^п>оапХп/п\. 44. Найдите простые замкнутые выражения для коэффициентов степенных рядов (разложения берутся в окрестности х = 0): а. Ь. с. d. ^№. Ylsin т) • sin (/sin-1*), cos (t sin-1 я). 45. Следующая цитата — из «Нравоучений» Плутарха (VIII. 9, 732): «Хризипп говорит, что число сложных предложений, которые можно составить всего из десяти простых предложений превосходит миллион (Гиппарх, однако, опроверг это, показав, что утвердительных сложных предложений 103049, а отрицательных — 310952)»
84 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Т. Хис в «Истории греческой математики-», т. 2, стр. 245, пишет, что «невозможно, кажется, получить хоть какую-нибудь из этих цифр». (Хис также замечает, что один из вариантов чтения —101049 вместо 103049.) Можно ли, действительно, придать какой-нибудь смысл утверждению Плутарха? Решения упражнений 1. Здесь приводится один из возможных способов получения ответа. Возможно, есть другие такие же простые (нли даже проще) способы решить эти задачи. a. 210-25 = 992. b. '/2(7-1)1 = 360. c. 55! (или 6!-5!) = 600. d-(l)4! + (2)3!+,/2(3)2!2 = 274' f. (6)4 = 360. g. 1 .3-5-7-9 = 945. «•( 7 )=126- "•2(l,3,4)+3(2,3>3) + (2,2.4) = 2660- Г. 5|+(2)<5)4 + 4-(|)(2)<5>» = 2220- 2. а. Для любого данного «-подмножества 5 множества [л; + -f-tt+1] существует наибольшее /, для которого #(Sf| П [х + i]) = I- Для данного i можно выбрать 5, состоящим
Решения упражнений 85 I вариантов) и элементов {x-\-i-\-2, х + i + 3, ..., * + b. Первое доказательство. Выберем подмножество множества [п] и обведем кружком один из его элементов. Это можно сделать У п . 1 способами. Наоборот, заключим в кружок один из элементов [п] п способами и выберем 2"-1 способами подмножество из оставшихся элементов. Второе доказательство. (Оно не так комбинаторно.) Разделим тождество на 2". Теперь оно гласит, что среднее число элементов подмножества [п] есть п/2. Это следует из того, что каждое подмножество может быть объединено в пару со своим дополнением. c. Чтобы дать некомбинаторное доказательство, просто возведем в квадрат обе части тождества (упражнение 4(a)) еСУ-о-*)" и приравняем коэффициенты. Проблема поиска комбинаторного доказательства была поставлена П. Верессом и решена Г. Хайошем в 1930-х годах. Недавно появилось доказательство в D. J. Kleitman, Studies in Applied Math. 54(1975), 289—292. См. также M. Sved. Math. Intelligencer, vol. 6, no. 4 (1984), 44—45. d. G. E. Andrews. Identities in combinatorics, I: On Sorting two ordered sets. Discrete Math. 11(1975). 97—106. Пусть £ = (1,0), N =(0,1). Путь соответствует последовательности {N} и {£}, содержащей m шагов Е и п шагов N. (пг + п\ Существует I I таких последовательностей. (Щ+ ... +па\ В размерности а существует I I путей из \ пь ..., nd J начала координат в точку (щ, ..., Па), каждый шаг — единичный координатный вектор.
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? а. (1 -4хГФ = £ (~У2)(_4Г*Я. Теперь 2я-1-3- ... -(2га-1) _ (2ft)! га! — (ft!)2 ' (2п— 1\ J /2«\ Ь. Заметьте, что I /Т1 I. ">0. Ь. Хотя существуют мощные общие методы решения задач такого типа, мы дадим здесь «наивное» решение. Предположим, что путь содержит k шагов вида (0,1) и, следовательно, k шагов (1,0) и п — k шагов вида (1,1). Эти n + k шагов можно выбрать в любом порядке, так что '("■"»-Е(пД*,*)=Е(Я2* )(*)* z^^-z(?)z(*i>- XU J(i-,)^'=(H3ynp-4(a)) п>0 к «>0 1 /. 4х -1/2 / 4* Ч-'" = — 1-х ^' (1-д;)2; = (1_6д^ + а:2Г1/2. а. Можно легко проверить, что (х + 1)р = хр + 1 (modp), т. е. каждый коэффициент многочлена (*+ 1)р —- (хр -+- 1) делится на р. Следовательно, (Х + 1)» = (* + lp'tr1 а Д (*р' + i)a' (mod р) г i ^nz(?Vp'(™dP). Коэффициент при хт в левой части есть I ), а в пра-
Решения упражнений 87 вой — I ) ( , ) .... Это сравнение взято из работы Lucas Е. "buII.'soc; Math. France 6(1878), 49-54. С) нечетно тогда и только тогда, когда двоичное разложение т «содержится» в двоичном разложении п, т. е. i-й двоичный знак т нечетен только тогда, когда на i-м месте в разложении п также стоит единица. Следова- >•(:) тельно, I I нечетно для всех О =SJ т ^ п тогда и только тогда, когда п = 2k — 1. Рассмотрим расчерченный на квадраты прямоугольник / ра\ а X р. Выберем pb из этих квадратов I , I способами. Можно выбрать pb квадратов, составляющих b целых <■(:) строк, 1л) способами. В остальных случаях найдутся по крайней мере две строки, в которых будет находиться от одного до р — 1 квадрата. Будем циклически сдвигать квадраты независимо в каждой строке. Это дает разбиение ■С) множества выборов на классы эквивалентности. I , I этих классов содержат единственный элемент; остальные содержат число элементов, делящееся на р2. d. Продолжим рассуждения п. (с). Если выбранные pb элементов заполняют менее чем b — 2 целых строки, то мощность соответствующего класса эквивалентности делится на р3. Отсюда мы сводим задачу к случаю а = 2, 6 = 1. Теперь (p-l)*(p-2)*...(p-fe + l)» _ (>s(:t-'+'£ ^2 + /^V2(modp3) Но так как k пробегает от 1 до р— 1, то k~l также пробегает значения от 1 до р — 1 по модулю р. Следовательно, р-1 Zp-i ZV2sE A:2(modp).
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Используем теперь, например, такое тождество п ,я . д(я+1)(2д+1) б р-1 и получим £ ft2 s 0 (mod р), р ^ 5. А = 1 •С).- е. Показатель наибольшей степени р, делящей число переносов, необходимое для сложения чисел т и п — т, записанных по основанию р. См. Е. Kummer. Jour. fur Math. 44(1852), 115—116. и L. E. Dickson. Quart. J. Math. 33(1902), 378—384. Будем интерпретировать выбор m объектов из п с возможными повторениями как расстановку п— 1 вертикальных черт в промежутках между т точками (включая промежутки в начале и в конце). Например, соответствует мультимножеству {1°, 22, 3°, 42, 52}. Поменяем теперь черточки и точки местами: • И- .11. II- и получаем {I1, 2°, З2,4°, 51, 6°, 7°}. Это дает требуемую биек- цию. (Разумеется, можно дать и более формальное описание, но оно, вероятно, только затемнит смысл построенной выше биекции.) а. Один из способов доказательства формулы (34) — вспомнить интерполяционную формулу Лагранжа. Именно если р(х) — многочлен степени, меньшей п, и хи ■■■, хп — различные числа (или неизвестные), то P(x) = YjP ^ П х. — х. Теперь положим р(х) = 1 и х = 0. Применяя формулу, приведенную в указании, видим, что постоянный член С(аи ..., ап) удовлетворяет рекуррентному соотношению я С(аи ..., ап) = £ C(ah ..., at — 1, ..., ап)
Решения упражнений 89 при а, > 0. Если, с другой стороны, at = 0, имеем С(щ, ..., а^_1, 0, а(+1 ап) = С{аи .... щ_и аш, ..., а„). Этому рекуррентному соотношению также удовлетворяет ( ах + ... + ап \ выражение! I; начальные условия С (0,0,... \ аь ..., ап J ( 0 \ ..., 0) = 1 и I „ I = 1 при этом совпадают. Справедливость этого результата предположил Ф. Дж. Дайсон в 1962') году, а доказан он был в том же году Дж. Гансоном и К. Вилсоном. Элегантное доказательство, приведенное здесь, принадлежит И. Дж. Гуду (1970). Дальнейшую информацию и ссылки см. в работе G. Andrews, ed., Percy Alexander Mac-Mahon, Collected Papers, Vol. 1, M. I. T. Press, Cambridge, Mass, 1978, pp. 377— 387. c. Это <7-аналог гипотезы Дайсона, см. G. Е. Andrews, Theory and Application of Special Functions (R. Askey, ed.). Academic Press. New York, 1975, pp. 19,1—224 (см. § 5). Она была доказана в работе D. Zeibberger, Discrete Math. 54(1985), с. 201—224. d. И. Г. Макдональд высказал гипотезу о справедливости обобщения формулы (а) на случай произвольной системы корней R. Данная задача соответствует случаю R = Dn, в то время как (а) — случаю R = Ап-\ (если все а,- равны). Эта гипотеза была проверена А. Регевом для R = Вп, Сп, Dn. Она остается открытой для алгебр .Е^, Е7, Es, Fi и G2. Макдональд также дал ^-аналог своей гипотезы, для которого случай (с) соответствует Ап~\ (если все ai равны). См. I. G. Macdonald. Sem. d'Alg. Paul. Dubriel et Ma- rie-Paule Malliavin, Lecture Notes in Math, no. 867, Springer, Berlin, pp. 90—97, и SIAM J. Math. Anal. 13(1982), 988—1007. Гипотеза Макдональда (для произвольного q) для системы корней G2 была независимо проверена в работах Habsieger, С. R. Acad. Sc. Paris (Serie I), 303 (1986), 211—213, и D. Zeilberger, SIAM J. Math. Anal., (будет опубликована), a для корневых систем Вп, Сп и Dn — К. Кэйделлом (будет опубликовано). ^Любопытно, что эта задача возникла у Ф. Дайсона в связи с вычислением предельных спектров случайных матриц (см. Ф. Дайсон. Статистическая теория энергетических уровней сложных систем. — М.: ИЛ, 1963).— Прим. ред.
90 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? е. Напишем: F(x) = F(Xl,..., хп) = £ (Ш?-а''+ ••• +*"')! at o„>oL-l J (-1 />o = (\-q)n JUL [_1-<Г'*< ~ 1 - ?*, J = n i i (=1 о-^чоо-^) Мы ищем не зависящий от q член Fo(x). По интегральной формуле Коши (предположив, что х, малы) получаем dq А 1 + ^ foW = Sr*1-Il7r ? 11 (1-*-'*,) (I-**,) i-l где интеграл берется по окружности |^|=1. Подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке q = х( с вычетом *"_1/(1 — xf) Л1Ф1 (xt — дс;.) (1 — дс^) и доказа - тельство следует из теоремы вычетов. а. Пусть Я[ + #2 + • • • + «и — произвольное разложение числа п > 1. Если ai = 1, сопоставим ему разложение (щ + Ог) + + а3 + ... + а*. Если ctx > 1 — разложение 1 + («i — 1) + -j- a2 + ... + afc- Это соответствие определяет инволюцию на множестве разложений п, меняющую четность числа четных частей. Следовательно, существует у с (п) = 2"~2 разложений с четным числом четных частей. (Обратите внимание на аналогию с перестановками: существует -п п\ перестановок с четным числом четных циклов — а именно элементов знакопеременной группы.)
Решения упражнений 91 b. Легко видеть, что I (е(„)_ о(«))*"=Ц(1+(-1)'*'Г'. В конце разд. 1.4 было показано: П (! + *') = По-*2'-')-1. Следовательно (заменив —х на л; и взяв обратные выражения), получаем П (1 + (-1)'*Г1= П (1 + *2'-1) = / > 1 i > 1 = I k(n)x», что следует из решения упражнения 23(d). 0. Нарисуем в линию п точек и обведем кружком k последовательных точки. Проведем вертикальные черты слева и справа от выделенных точек. Например, случай п = 9, k = = 3 изображен на рис. 1.12. Случай 1. Среди обведенных кружком точек нет концевых. Тогда описанную выше процедуру можно произвести п — k — 1 способами. Остается п — k — 2 промежутка ме- Рис. 1.12. Рис. 1.13. жду неотмеченными точками. Вставим не более одной вертикальной черты в каждый из промежутков (2га-*-2 способами). Таким образом получается разложение числа п, причем одна из равных k частей отмечена кружком. Например, если расставить черточки как на рис. 1.13, то получим 3+ 1 + 1 + Случай 2. Среди обведенных кружком точек есть концевые. Здесь может быть два случая, и теперь существует п — k — 1 промежутков, куда 2п-к~1 способом можно вставить черточки,
92 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Следовательно, получаем ответ (n-k-l) 2"-ft-2+ 2 • 2я-*-1 = (я - А + 3) 2"-*~2. 11. а. *(*+1)(* + 2) ... (* + «--l) = nl(Y "_ J J. Ь. (п)х(П-1)п-х = п\ (д._ j J- Eft! /«—IN 12. Для каждого teS можно определить наименьшее i (если существует какое-нибудь), что х е 7У Для каждого д; имеется (£+1) вариантов, так что имеется всего (£+1)" случаев. /„_(А,_1)(/_.)ч 13. Сушествует It, I последовательностей, содержащих k знаков / и n — (k—l)j — l единиц. По данной последовательности &, < Ь2 < ... < Ьт, где m = n — {k —1)0'— П. положим 5={l + *i + u2+ • •■+&<; 1^/</п и й<+1 = /}. Это доставляет подходящую би- екцию. 14. а. Выведите рекуррентную формулу, рассмотрев те подмножества 5, которые содержат п и которые не содержат п. Ответ: ^„+2. b. Рассмотрите случаи, когда первое слагаемое равно 2 и когда оно не меньше 3. Ответ: Fn-\. c. Fn+u d. Рассмотрите случаи, когда первое слагаемое 1 и когда оно не меньше 3. Ответ: Fп. e. Рассмотрите случаи 8„ = 0 или 8„=1. Ответ: F„+2- f. Следующее доказательство, так же, как доказательство пунктов (g) и (h), принадлежат Ире Гессель. Сумма ]£ ща2 ... ап есть число способов, которыми можно в п—1 промежутков, разделяющих п нарисованных в одну линию точек, вставить не более одной вертикальной черты в каждый, а затем обвести кружком одну точку в каждом отделении. Пример изображен на рис. 1.14. Заменим каждую черту единицей, каждую не помеченную кружком точку двойкой, а каждую помеченную — снова единицей. Например, рис. 1.14 превращается в 2122112Ш112Ш221П2И.
Решения упражнений 93 Мы получили разложение 2п—1 на единицы и двойки. Это соответствие обратимо. Из п. (с) следует ответ: Fin- Можно дать простое доказательство через производящие функции, использующее тождество £ {х + 2х2 + 3х? + .. .) = *(1 - Зх + х2)'1; S- ?2п-2- h- ^2п + 2- '• ^2п+2- 15. Обозначим искомое выражение fk(ti). Для каждого t е [fe] независимо от других i' е [k] можно выбрать множества Т/, 0 © © © • © © • • © Рис. 1.14. его содержащие. Следовательно fk(n) = fi(n)k. Вычисление /i(«) эквивалентно упражнению 14(e). Следовательно, 16. Положим сумму ak + flft-i + ••• + cik+i-i равной наименьшему г, такому, что если удалить 1, 2, ..., г из л, получившееся разбиение будет иметь k — i блоков. 17. а. Имеем: L, S^n' к)хП= (l-je)(l-2*)...(l-fce) = (1 - х)1 (mod 2). О других сравнениях с числами S(n,k) см.Carlitz L.Acta Arith. 10(1965), 409—422. b. Комбинаторное доказательство было найдено К. Коллинзом. 18. Canfield Е. R. Studies in Applied Math. 59(1978), 83—93. 19. b. Во-первых, заметим, что d In A (37) где А пробегает множество всех апериодических циклов длины d (т. е. циклов длины d не равных своему нетождественному циклическому сдвигу). Теперь подставьте (37) в разложение logII(l — рь)~1 и упростите.
94 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Этот результат неявно содержится в работе Р. К. Лин- дона (см. ссылку [4.21], теор, 5.1.5). См. также N. G. de Bruijn, D. A. Warner, SIAM J. Alg. Disc. Math. 3 (1982), 359—368. Результат в явной форме был получен И. Гес- сель (не опубликовано). Другая теория перестановок мультимножеств, принадлежащая Д. Фоате, хорошо изложена в § 5.1.2 книги Д. Е. Кнута, The Art of Computer Programming, vol 3, Addison-Wesley, Reading Mass., 1973. •) с. Положите xi = ... = xk = x и x\ = 0, если / > k. 20. Пометим конверты 1, 2, ..., n в порядке убывания размеров. Введем частичный порядок на размещениях конвертов, упорядочив их по включению, и добавим сверху корень, помеченный нулем. Мы получили (неупорядоченное) возрастающее дерево сп+1 вершиной и это соответствие, очевидно, обратимо. Следовательно, из предложения 1.3.16 всего существует п\ размещений, в c(n,k) из которых k конвертов не содержатся ни в каком другом и в A(n,k) из которых k конвертов не содержат других. 21. Вычтите единицу из каждой части разбиения п на п — t частей , чтобы вывести, что pn-t(n) = p(t) тогда и только тогда, когда п ^s It. 22. Разбиение %\ ^ \i ^ ... ^ Xk соответствует разбиению h + k — 1 > U + k — 2 > ... >\k. 23. а. Коэффициент при qkxn в левой части равен Pk(n), так же как и коэффициент при хп в xk/(l — х) • (I—х?) ... ... (1-**). b. Разбейте диаграмму Феррё разбиения X, как обозначено на рис. 1.15. Здесь А — наибольшая квадратная поддиаграмма, называемая квадратом Дюрфи разбиения %. Тогда В —разбиение на не более чем k частей, в то время как С — разбиение, наибольшая часть которого не превосходит k. Следовательно, коэффициент при qmxn в k v Г 1 Я Х ' (1 - х) .. . (1 - Xk) ' (1 - qx) ... (1 - qx") равен числу разбиений п на m частей, причем квадрат Дюрфи имеет длину k. Теперь просуммируйте по k. c. Используйте упражнение 22. d. Предположим, что X — самосопряженное разбиение п, то есть %' = i. Разобьем диаграмму Ферре %, как пока- '> Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 3. Сортировка и поиск. — М.: Мир, 1978. — Прим. перев.
Решения упражнений 95 зано на рис. 1.16. Число точек в последовательных «крюках» определяет разбиение п на различные нечетные слагаемые, а число частей (или крюков) равно длине стороны квадрата Дюрфи диаграммы Я. С другой стороны, разобьем диаграмму Ферре, как показано на рис. 1.17. к< с 1 А ( ■ч В 1 Рис. 1.15. В дополнение к квадрату Дюрфи длины k имеем разбиение, наибольшее слагаемое которого не превосходит k и сопряженное ему. Отсюда легко следует доказательство. Рис. 1.16. Рис. 1.17. Также легко можно доказать (d), сделав подстановку х2, q- ■qxr1 в (с). Некоторые близкие результаты принадлежат Эйлеру и подробно изложены в § 303 книги P. A. MacMahon, Combinatory Analysis, vol. 2, Cambridge University Press, 1916; перепечатано Chelsea, New York, 1960. Эту задачу поставил Дэйл Ворли. Каждому числу i: 1 ^ <: i <: п, каждому разбиению К числа п — in каждому делителю d числа i мы хотим сопоставить cf-элементное мультимножество М разбиений п, так чтобы каждое разбиение п встретилось в точности п раз. Сопоставим просто разбиению X d копий разбиений, полученных присоединением i/d чисел d к %.
96 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 25. а. См. [1], следствие 8.6 Ь. Ясно, что ps(n)=\ для всех п, так что утверждение qs (п) = 1 есть в точности утверждение о единственности двоичного разложения п. 26. С каждым разбиением X числа п и каждой частью /' разбиения X, встречающейся не менее к раз, нам нужно так связать разбиение ц числа п, чтобы данное разбиение ц в общей сложности появлялось столько раз, каково число т*((х) частей (х, равных к. Чтобы сделать это, просто заменим к слагаемых / в q на / слагаемых к. Например, п = 6, k = 2: Л 1111 2 111 3 111 4 1 1 2 2 11 2 2 11 2 2 2 3 3 1 1 1 J 1 1 1 1 2 1 2 3 V- 2 1111 2 2 11 3 2 1 4 2 2 2 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Доказательство, основанное на использовании производящих функций, дано в работе М. S. Kirdar and Т. Н. R. Skyrme. Canad. J. Math. 34(1982), 194—195. Приведенная здесь биекция также есть в работе А. Н. М. Ноа- ге. Amer. Math. Monthly 93 (1986), 475—476. 27. а. Положим P(x) = (l + х)(1 + х2) ... (1 + *") = £feSs0aft**- Пусть £ = e2nifn (или любой примитивный корень п-я степени из единицы). Так как для каждого целого k у ц _ ( п, если п | к, ~i (.ив противном случае, имеем тЁр^)=1а/»=» 1 /-1 / Если теперь £' — примитивный корень d-й степени из единицы (так что d = n/(j, п)), то xd-\={x-z!){X-?)...{x-Zdl\ и, положив х — —1, получаем d нечетно, d четно,
Решения упражнений 97 Следовательно, р л-л = | 2"/d. d нечетно, I '0, d четно. Так как существует q>(d) значений /е[п], для которых Q — примитивный корень d-я степени из единицы, получаем TZ^')=i Е »<">2"м /=1 d | п d нечетно Дальнейшие результаты в этом направлении см. R. Stanley, М. F. Voder. JPL Technical Report 32—1526, Deep Space Network 14(1972), 117—123, и A. Odlyzka, R. Stanly. J. Number Theory 10(1978), 263—272. b. Предположим, что n — нечетное простое число. Отождествим бусины ожерелья с элементами Z/nZ очевидным способом. Пусть SsZ/fflZ—множество черных бусин. Если БФ0 и S^ Z/riL, то существует единственный элемент oeZ /nZ, для которого £ (х + а) = 0. Множество {х + а : х е S) представляет такое же ожерелье (с точностью до циклической симметрии), так что мы сопоставили с каждым неодноцветным ожерельем подмножество, сумма элементов которого равна 0. Сопоставим ожерелью из одних черных бусин подмножество 5 = 0, а из одних белых — подмножество S = Z/nZ. Мы получили требуемую биекцию. Мы утверждаем, что f(n,k) есть в точности число Стирлинга второго рода S(n,k). Нам нужно сопоставить каждой такой последовательности а\а2 ... ап разбиение множества [п] на k блоков. Просто объединим i и / в один блок, если щ = ah Это дает желаемую биекцию. Дальнейшие сведения см. S. Milne, Advances in Math., 26(1977), 290—305. Для данного разбиения я множества [п—1] пусть /, i + + 1, ..., /: j > i — максимальная последовательность двух или более последовательных целых чисел, содержащихся в некотором блоке я. Удалим /—1, / — 3, j — 5 ... из этой последовательности и поместим их в блок, содержащий п. Проделав это для каждой такой последовательности I, i + + 1, ..., /, получим желаемую биекцию. См. Н. Prodinger. Fibonacci Quart. 19(1981), 463—465.
98 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Пример. Если я = 1456—2378, то получаем 146—38—2579. 30. а. Пусть перестановка л = а1а2 ... а„+1 е<Зя+1 содержит к инверсий, n^k. Существует fk(n) таких л, удовлетворяющих условиюап+1 = «+ 1. Еслиа£ = п + 1 и г < п+ 1, мы можем поменять at и а/+1 местами, получив перестановку я'е©„+1 с к — 1 инверсиями. Так как п~^к, любая перестановка п' = Ьф2 ••• ^n+ie@n+i с &—1 инверсиями удовлетворяет условию ЬхФп-\-\ и может, следовательно, быть получена из перестановки яе<3„ + 1 с к инверсиями описанным выше способом. b. Используйте индукцию по к. c. Из следствия 1.3.10 имеем ft>0 = (1-^)(1-^)...(1-Л(1-^Г" = = (l-q)(\-q*)...(l-q") £ (~?)(-l)V Следовательно, если П (1 — ?') = X bfl\ то «>0 />0 m«)=£(~'!)(-i)/**-/. я^л- (38) Замечание, Хорошо известное тождество Эйлера гласит П(1— <7')=1+ Z (—1)"(^1'2>"<3"-1> + ^(1/2)'1(3"+1)). так что коэффициенты (—\)'Ьк_,- в формуле (38) можно вычислить явно (в частности, все они равны 0 или ±1). См. с. 15—16 Knuth D. Е., The Art of Computer Programming, vol. 3, Addison —Wesley, Reading, Mass., 1973'). 31. Рассуждая аналогично доказательству предложения 1.3.9 и следствия 1.3.10, получаем F(x, q) = R(x + q + q*-f- ... + qk). 32. а. В начале установите рекуррентную формулу t f(j)(n -j)\ = n\, п>\. /=1 ') Страница 34 русского издания. — Прим. перев.
Решения упражнений 99 Эта задача иллюстрирует, насколько несущественна сходимость для производящих функций. См. Comte L. С. R. Acad. Sci Paris 275 А(1972). b. (И. Гессель) Теперь имеем n\ = g(n)+£g(j-l)(n-})\, я>1, /=i где положим g(0) = 1. 33. Имеем -j Ап (2) =•• V Л (п, k) 2к, где А (п, k) перестановок множества [п] имеют k спусков. Таким образом, нам нужно сопоставить упорядоченному разбиению т множества [п] пару (я, 5), где я е @„ и 5eD(n). Для данной перестановки л = а\а2 ... а„ нарисуем вертикальную черту между а,- и a,-+i, если а, <С а,-+1 или если а,-> а,+] и ieS. Множества, содержащиеся между чертами (включая начало и конец) определяют т, будучи прочитанными слева направо. Пример, я = 724531968, 5 ={1,5}. Пишем 7|2|4|53| 1196|8, так что т = (7, 2, 4, 35, 1, 69, 8). 34. Ответ: Ci = cn-i = l, все остальные с-, равны 0. 35. Число перестановок я е ©„ типа с равно n!/lClC]! ... пСпсп\. Нетрудно видеть, что это число взаимно просто с / в том и только том случае, когда, полагая & = с/, имеем C\~^t{nx— k)l, где 1,1 взаимно просто с /. Из упражнения 6 легко следует, что число биномиальных коэффициентов I , 1, взаимно простых с /, есть ТТ (а;+0- Доказательство следует из того, что (с,—(щ — k)l, сz, ••-, Ci_x) может быть типом произвольного разбиения а0. Этот результат впервые появился в книге I. G. Macdo- nald. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press, 1979, Упр. 10 Гл. 1.2. [Имеется русский перевод: Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985.] Доказательство, приведенное здесь, содержится на стр.260— 261 работы R. Stanley. Bull. Amer. Math. Soc. 4(1981), 254— 265. 36. а. Используйте (27). b. Из п. (a) e~xF' (x) = F (x), отсюда F(x) = ee _I, так что f (n) — число Белла B(n).
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? а. Дальнейшие сведения, связанные с этой задачей и упражнением 36 (а), см. D. Dumont in Scminaire Lotharingien de Combinatoire 5 erne Session, lnstitut de Recherche Ma- thematique Avancee, Strasbourg, 1982, 59—78. Ь.Вычисляем f(0) = 1, f(l) = 2, f(2) = 6, f(3) = 20, ... (2n\ Возникает предположение f(n) = i I и F (x) := := £/(п)л:" = (1 -4x)-1'2. Из (а) тогда имеем G(x):= := &("'/ = TT^f (ттт)=(1-2;с-3х2)"1/2- Чтобы проверить предположение, достаточно убедиться, что s -f+Y G ( i л. х ) — F (х2)> что делается непосредственно. с. (Предложено Л. Шапиро.) Вычисляем f(0)=l, /(1) = 1, f(2) = 2, /(3)-5, /(4) = 14, ... 1 ( 2п\ Следовательно, предполагаем /(«) = —т~Г I ) и F (х) := J] / («) jc» = ^ (1 - (1 - 4х)112). Тогда F, (*) := := YJf(n+l)xn = ^(F(x)-l) = ^r{l-2x-(\~4x)m), так что из п. (a) G(x):= £ g{n)xn = -y^Fi (гтг) = Чтобы подтвердить предположение, нужно проверить, что t , G (тТ—) = ^(л;2)' чт0 делается обычным способом. Числа f(n) называются числами Каталана. Ответ: с„ = XI p'n/pl, где р пробегает множество'всех про- р стых чисел. Следовательно, с0 = 1, Ci = 1, Сг = 2, с3 = 6, С4=12, с$ = 60, Сб = 360 и так далее. См. Е. G. Strauss. Proc. Amer Math. Soc. 2(1951), 24—27. Положим z = y% и приравняем коэффициенты при х"-1 в обеих частях равенства (А,+ l)y'z = (yz)'. См. Н. W. Gould. Amer. Math. Monthly 81 (1974), 3—14. Пусть logF (x)=Y,n>ignXn- Тогда n > 1 J > 1 / > 1 n > 1 d|n Следовательно, din
Решения упражнений 101 так что из формулы обращения Мёбиуса (из элементарной теории чисел) d \п Имеем \-\-х ={\—х)-1(1—х2) (здесь нет необходимости пользоваться формулой (39)). Если F(х) = ех'<-:-х), то gn = 1 для всех п, так что из формулы (39) имеем ап = (р{п) /п, где ф — функция Эйлера. b. Используйте индукцию по п. c. Сначала покажите следующее: га > I я > 1 га > 0 г > 0 (см. упражнения 36(a) и 37(a)). 2. Для любых функций f (х) = х + Хя^г0"*" и М*) = = x + Zn>2bnxn имеем Г"(-/(- *)) = А<_1>(- h (-*)), тогда и только тогда, когда f(x)/h(x) — нечетная функция (т. е. f(— x)/h(— х) = — f(x)/h(x)). d. Ответ: b2n = t2n_lt где th дс = £n>1 ^-iX2"~7(2n — 1)!. Позже (в разд. 3.16) мы увидим, что (—I)*- t2n-\ есть число чередующихся перестановок в ©2«+i- Пусть bl = ai — i-\- 1. Тогда 1 < Ьх < Ь2 < ... < bk < <!п — ft-j- 1 и каждое bt нечетно. Обратно, по данным bt можно однозначно восстановить а,-. Поэтому, положив 5 —число нечетных целых в множестве [л —А + 1], получим ответ (К )J = ( k гЦ^Ь где ^ = [-2— J- Это упражнение называется задачей Теркема. Обобщение см. в работе М. Abramson, W. О. Moser. J. Combinatorial Theory 7(1969), 162—170, и J. Combinatorial Theory 7(1969), 171 — 180. a. у = (а + ($-а)х)/(1-х-х2). b. Рекуррентное соотношение приводит к у'= (ху)'—j*^' г/ (0) = 1. Таким образом, г/ = (1 — л:)_1/2ехр Г-у + -j-J . c. Получаем 2у' = у2+1, г/ (0) == 1, откуда у = tan Г-у + -^-J = tanх + sec х.
102 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Значение этой производящей функции будет объяснено разд. 3.16. с'. Здесь мы имеем 2i/= if, у(0) = 1, откуда у = (1 — у х\ . Таким образом, ап = 2"пп\. 44. а. = Е4""(Т)(^+^+,)- п >0 I £ (-1)" / (/2 - I2) (/2 - З2) . . . (/2 - (2л - I)2) - £ (-1)" /2 (^2 - 22) (Г- -А2) ... (t2 - (2л - 2)2) (2га+1)! (2га)! п>0 Чтобы решить (с), например, увидим сначала, что коэффициент при х2п+1/(2п -\- 1)! в sin (t sin-1 (х)) — многочлен Pn(t) степени 2л-f-1 и старшим коэффициентом (—1)". Если 4eZ, то sin (2k -f- 1)9 — нечетный многочлен от sin 9 степени 2k -j- 1. Следовательно, Рп(± (2k + 1)) = 0 при л >k. Далее sin 0 = 0, так что Р„(0) = 0. Теперь мы обладаем достаточной информацией, чтобы определить единственным образом Pn(t). Чтобы получить формулу (Ь), рассмотрите коэффициент при t2 в (d). 45. В соответствии с нашими определениями число сложных предложений, которые можно построить из десяти простых « Г\2'° Г-1 предложении, равно 2 . Представляется невероятным, что Гиппарх, который был замечательным математиком, мог быть так далек от истины. Другая возможная интерпретация такова. «Сложное предложение», возможно, есть объединение непересекающихся множеств простых предложений. В этом случае Гиппарх пытался сосчитать число Белла В(Ю)= 115975. Вероятно, выражение «отрицательных» означает, что по меньшей мере одно из простых предложений не используется в разбиении, так что 310952 — вычисленное Гиппархом значение В(\1) — В(10) = 562595. Согласимся, что это значение В (11) — 5(10) вычислено не так точно, как значение В(10).
Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕТА 2.1. Включение — исключение Говоря нестрого, «метод решета» в перечислительной комбинаторике есть метод определения мощности множества S, который начинает с большего множества и каким-либо путем вычитает или аннулирует нежелательные элементы. Существуют два основных варианта методов решета: (1) Мы можем сначала дать приблизительный ответ, взяв большее число элементов, затем вычесть число элементов, большее, чем ошибка, полученная на первом шаге, н так далее до тех пор, пока после конечного числа шагов мы не придем к правильному ответу. Это комбинаторная сущность принципа включения — исключения, которому посвящены этот и следующие четыре раздела. (2) Элементам большего множества можно приписать вес естественным комбинаторным способом так, чтобы нежелательные элементы аннулировались и осталось первоначальное множество S. Мы обсудим эту технику в разд. 2.5—2.7. Принцип включения — исключения — одно из фундаментальных средств перечислительной комбинаторики. Говоря абстрактно, принцип включения — исключения есть пе более чем вычисление матрицы, обратной к некоторой другой матрице. Как таковой он является простым частным результатом линейной алгебры. Красота этого принципа лежит не в самом результате, а в его широкой применимости. Мы дадим несколько примеров задач, которые можно решить применением принципа включения— исключения, некоторые из них решаются несколько более тонким методом. Сначала мы установим этот принцип в самом чистом виде. 2.1.1. Теорема. Пусть S — п-множество. Пусть V — 2п-мерное векторное пространство (над некоторым полем k) всех функций f: 2s-v&. Пусть ср: V -»- V — линейное преобразование, определенное формулой <ff(T)= £ f(Y) для всех T^S. (1) Гз7
104 Гл. 2. Методы решета Тогда преобразование ф-1 существует и определяется формулой 4>~lf(T)= Z (-1)|У"Г|/(Г) для всех T^S. (2) Доказательство. Определим отображение \|г. V-*- V формулой tyf(T) = 2^уэг(~1)'У_Г'/(^)- Тогда (композиция берется справа налево) ф^(П = уЕг(-1)|У_Г|ф/(7') = = £ (-1)|у-Г| I /(2) = = Zf Е (-D,y-n)/^- Полагая m=\Z — Т\, имеем m £ (-1)'У-' = 2(-1)£(т) = б- ZsY=>T » = 0 ^ J ' (Z, 7" фиксированы) так что ytyf (Т) = f (Т). Следовательно, Ф^/ = /, так что я|э=ф-1. □ Ниже приводится типичная комбинаторная ситуация использования теоремы 2.1.1. Мы представляем S как множество свойств, которыми элементы некоторого данного множества объектов А могут обладать, а могут и не обладать. Для любого подмножества Т множества S пусть f = (Т) — число объектов в множестве А, которые обладают в точности свойствами из Т (так что они не обладают свойствами из подмножества Г = = S — Т). (Более общим образом, если w: А -*- k — произвольная весовая функция на А со значениями в поле (или абелевой группе) k, то можно было бы положить f=(T) — TuXw{x), где х пробегает все те объекты из А, обладающие в точности свойствами из Т.) Пусть f>(T) — число объектов А, обладающих по меньшей мере свойствами из Т. Ясно, что тогда />(П= I /.(У). (3) Следовательно, из теоремы 2.1.1 f.(T)= I (-i)|y"n/>00. (4) y зт ^
2.1. Включение — исключение 105 В частности, число объектов, не имеющих ни одного свойства из множества S, дается формулой f-(0) = Z(-i)ll,|/>(y). (5) где Y пробегает все подмножества S. В типичных приложениях принципа включения —исключения относительно легко будет вычислить f>(Y) для Fsl, так что (4) будет окончательной формулой для /= (Т). В уравнении (4) f>(T) (член Y=T) считают первым приближением для /=(Г). Затем мы вычитаем I />(у), YraT ^ |У-Г|=1 чтобы получить лучшее приближение, снова прибавляем У==Т ^ и так далее, пока, наконец, не получим точную формулу (4). Это объясняет терминологию «включение —исключение». Возможная стандартная формулировка принципа включения — исключения состоит в том, что свойства сами по себе не объединяют в одно множество S, а рассматривают подмножества множества А. Таким образом, пусть А\, ..., Ап — подмножества конечного множества А. Для каждого подмножества Т множества [п] положим Ат= П At (с условием /10 = А) и для 0 ^ k ^ п положим Sk= Е \АТ\; (6) это сумма мощностей (или более общим образом — взвешенных мощностей w (Ат) = X w (х)) по всем /г-наборам пересечений множеств At. Будем считать, что множество Л; определяет свойство Р,- в том смысле, что хёЛ удовлетворяет свойству Р, тогда и только тогда, когда хеЛ,-. Тогда Ат есть в точности множество объектов из А, обладающих по меньшей мере свойствами из множества Т, так что из формулы (5) число #(Л1П ••• Pi An) элементов множества А,
106 Гл. 2. Методы решета не принадлежащих ни одному из множеств At, дается формулой #(Л,П ... fM„) = So-S, + S2- ... +(-l)nS„, (7) где SO = \A0\ = \A\. Можно дать двойственную формулировку принципа включения— исключения в его различных вариантах, заменив П на U, Е на з (и обратно) и так далее повсюду. Двойственная форма теоремы 2.2.1 гласит, что если qpf,'(7*) = Е f(Y) для всех rss, У = г то отображение ф-1 существует и дается формулой Ф"'/(Л= £ (-l),r~nf00 для всех rss. YsT Аналогично если обозначить f<(T) (взвешенное) число объектов из А, обладающих свойствами не более чем из множества Т, то f<(T)= £ f.(Y), f.(T)= Z (-lf-YiU(Y). (8) Распространенным частным случаем принципа включения — исключения является выполнение условия f={T) = f=(T'), как только |Г| = |Г'|- Таким образом, f>(T) зависит также только от | Г |, и полагаем а(п —i) = f={T) и 6 (п— /) = /> (Г), если | У j ^= /. (Предостережение: Во многих задачах множества объектов А н свойств S будут зависеть от параметра р и функции а(1) и b (i) могут зависеть от р. Например, а(0) и 6(0) — количества объектов, обладающих всеми свойствами, и эти числа могут, конечно, зависеть от р. Предложение 2.2.2 посвящено тому случаю, когда a(i) и b(i) не зависят от р.) Из формул (3) и (4) мы, таким образом, получаем, что формулы m & (m) = ]>Ym W), 0<m<n, (9) и m a(m) = jYm J(-l)m_t"&(0, 0<т<л, (10) эквивалентны.
2.2. Примеры и частные случаи 107 Другими словами, матрица, обратная к (п + 1) X (п + 1) матрице, (г, /)-элемент которой (О^г, j ^.п) есть ( . ), имеет в качестве (г, /)-элемента (—1)'-1( . )• Например, 1111-1-' Г 1 -1 1 -1т 0 12 3 0 1-23 0 0 13 0 0 0 1 0 О 0 -3 1 J Конечно, можно положить п стремящимся к оо, так что формулы (9) и (10) эквивалентны и при п = со. Заметьте, что на языке исчисления конечных разностей (см. гл. 1, уравнение (27)) формула (10) может быть переписана в виде а(т) = ЫпЬ(0), 0<т<л. 2.2. Примеры и частные случаи Каноническим примером использования принципа включения — исключения является следующий. 2.2.1. Пример. («Задача о беспорядке» или «задача о встречах-»). Сколько перестановок леб» не имеют неподвижных точек, то есть п(1)ф1 для всех i'e[n]? Такая перестановка называется беспорядком. Обозначим это число D(n). Тогда £)(0)=1, £>(1) = 0, D(2)=l, D(3) = 2. Будем рассматривать условие л (£) = j как г'-е свойство перестановки л. Тогда число перестановок, имеющих неподвижные точки по меньшей мере из Т s [п], есть f>(Т) = b{n — i) = {n — i)\, где \Т\= i (так как мы фиксируем элементы множества Т и произвольно переставляем оставшиеся п — i элементов). Следовательно, из формулы (10) число /_ (0) = а(п) = D(n) перестановок без неподвижных точек равно D(n) i=0 ч ' -1)"-'/!. (И) Последнее выражение можно переписать в виде D(n) = H!(l-^ + ^---l+...+^-). (12)
108 Гл. 2. Методы решета Так как е ' == 2/>0(—1)7/'. т0 из формулы (12) видно, что п\/е — хорошее приближение для D(n), и в действительности нетрудно показать, что D(n)—ближайшее целое к п\/е. Из формулы (12) также немедленно следует, что при п ^ 1 D(n) = nD(n-l) + (-\r, (13) D(n) = (n-l)(D(n-l) + D(n-2)). (14) Хотя дать прямое комбинаторное доказательство формулы (14) просто, значительно больше труда требует комбинаторное доказательство формулы (13) (см. упражнение 4). В терминах производящих функций имеем ZD(n)xn __ е~х п\ ~ 1 - х ' п3=0 Функция b(i)=i\ имеет очень специальное свойство — она зависит только от i, но не от п. Эквивалентным образом число перестановок, множество подвижных точек которых лежит в множестве Ге]/!], зависит только от |Т|, но не От п. Это означает, что формулу (11) можно переписать на языке конечных разностей (см. гл. 1, уравнение (27)) в виде D(n) = A"x!U.0. (Сокращенная запись Д"0!). Так как число b(i) перестановок из ©„, подвижные точки которых содержатся в некотором определенном /-множестве, зависит только от i, то же верно и для числа a(i) перестановок ©„, имеющих в качестве множества подвижных точек некоторое определенное /-множество. Из комбинаторных соображений ясно, что a(i) = D(i); это также очевидно из формул (10) и (11). Сформулируем общий результат, который следует из приведенного выше рассмотрения. 2.2.2. Предложение. Для каждого neN пусть Вп — (конечное) множество и Sn — множество п свойств, которыми элементы множества Вп могут обладать или не обладать. Предположим, что для любого Т ^Sn число таких элементов х е Вп, что свойства, которыми они не обладают, содержатся в множестве Т (т. е. эти элементы имеют по меньшей мере все свойства из Sn—Т), зависит только от \Т\, но не от п. Пусть 6„ = cardB„ и а(п) — число объектов х^Вп, не обладающих ни одним свойством из S„- Тогда а(я) = А"6(0). П
2.2. Примеры и частные случаи 109 2.2.3. Пример. Рассмотрим пример, к которому неприложимо предыдущее предложение. Пусть h (п) — число перестановок мультимножества Мп= {I2, 22, ..., п2}, никакие два последовательных члена которых не равны. Таким образом, /t(0)= 1, /t(l) = 0 и /t(2) = 2 (соответствует перестановкам 1212 и 2121). Пусть А — множество всех перестановок я мультимножества Мп и Pi для 1 ^ j ^ п — свойство перестановки я иметь последовательными членами два числа L Тогда мы ищем f= (0) = h(n). Из соображений симметрии ясно, что при фиксированном п />(Т) зависит только от i=\T\, так что обозначим g(i) = =f>(Т). Ясно, что g(i) равно числу перестановок я мультимножества {1, 2, ..., i, (i+1)2, ..., п2} (замените каждое число / ^ i, встречающееся в я, двумя последовательными членами, равными /), так что g(i) = {2n-i)\2-(n-l). Заметьте, что b{i):=g{n — i) = (п + i)!2-' не является функцией лишь от i, так что предложение 2.2.2 в действительности неприменимо. Однако из формулы (10) получаем, что п М") = £(")(-1Г1 ("+ 0! 2^ = Л> + 0! 2^и0. Сейчас мы обратимся к примеру, в котором окончательный ответ можно представить в виде некоторого определителя. 2.2.4. Пример. Напомним, что в гл. 1 (разд. 1.3.3) мы определили множество спуска О(я) перестановки л = а\а2 ■.. ап множества [п] условием £>(я) = {/: а,- > a-t+l}. Наша цель теперь— получить выражение для числа $n(S) перестановок яе е<3„ с множеством спуска S. Пусть an{S) — число перестановок я е ©л, множество спуска которых содержится в S. Таким образом (как отмечено в гл. 1, уравнение (16)), o»(S)= £ Kin TsS откуда из формулы (8) P»(S)'= £ (-lf-rian(T). TsS Напомним также, что если 1 ^ s2 < s2 ... < s& ^ п — 1 — элементы множества S, то из предложения 1.3.11 a»(S) = ( " )• VS], S2 — S], ..., П — Sj. /
по Поэтому Гл. 2. Методы решета P„(S)= £ (~l)*-'( s s -8П n-s ) <15) Мы можем переписать формулу (15) в другом виде следующим образом. Пусть / — любая функция, определенная на множестве [0, k + 1] Х[0, k + 1], удовлетворяющая условиям /(/,/) = = 1, f(i,j) = 0 при г > /'. Тогда члены суммы (-1)^7(0, »,)/(*„ У .../(*,,£+!) Л = <«'/</ есть в точности ненулевые слагаемые в разложении определителя (&+1)Х(£+1) матрицы, (г, /)-элемент которой есть /(г> /+ 1). (i, /)е[0> Щ X [0. &]• Следовательно, если положить /(i, /) = \J(sj — S;)! (с условиями s0 = 0, sfe+1=rt), из формулы (15) получим, что p„(S) = n!det[l/(s/ + I-s()!], (16) (г, /)е=[0, fe]X[0, &]• Например, если п = 8 и S = {1, 5}, то MS) = 8! И 5! 8! ■ i 7! 0 1 -к = 217. С помощью элементарных преобразований (детали оставляются читателю) выражение (16) можно записать в виде P„(S) = det ( n~Si )} l\sl + i — stjy (17) где (i, /)<= [0, k]X [0, k], как и ранее. 2.2.5. Пример. Можно получить «^-аналог» предыдущего примера ценой небольшой дополнительной работы. Мы ищем некоторую статистику s(jt) перестановки я е ©„, такую, что I 7s(n). £>(n)sS \s1( s2 —sb ..., n — sk/ (18) где элементы множества S, как и выше, таковы: I ^.sl<s2<- ■ • ... <sft<Jrt — 1. Затем мы автоматически получим ^-аналог формул (15), (16) и (17). Мы утверждаем, что формула (18)
2.2. Примеры и частные случаи 111 имеет место, если s(я) = i(л) — число инверсий перестановки л. Чтобы увидеть это, положим ti = su t2 = s2 — su ..., tk+l = = о — sfe. Пусть M: предложения 1.3.17 :{l'\ ..., (&+l/fe+1}. Напомним, что из Ъп4'™ U, t2) .... tk+J- (19) Теперь по данной перестановке cr e S (M) определим перестановку те©„, заменив ^ единиц в © на 1, 2, ..., s, в порядке возрастания, затем /2 двоек на Si+1, Si + 2, ..., s2 в порядке возрастания и так далее. (В этом случае мы называем т тасовкой множеств [1, s2], [Si + 1, s2], . .., [sk -\- 1, «].) Ясно, что г'(сг) = г(г). Положим теперь л = т"1. Легко видеть, что я —тасовка множеств [1, s{], [Si~\-l, s2], ..., [sk-\-l,n], если и только если £>(л) s {s^ s2, . .., sft}. Легко видеть также, что перестановка и обратная к ней имеют одинаковое число инверсий. Следовательно, i(x) = i(n), и мы получаем £ ^(я)=(! п D (я) S S So Si n —sk/' (20) что и требовалось. Положим л<г@„ ,(<П) Полностью повторяя рассуждения примера 2.2.4, получим MS, <7) = (n)!det[l/(eJ+,-e,)l]0* е Lvsj+i-sj JJo' (21) Например, если п = 8 и S = {1, 5}, то MS,?) = (8)1 1 (1)! 1 0 1 (5)! 1 (4)1 1 1 (8)! 1 (7)! 1 (3)! = q2 + 3<73 + б?4 + V + 13</6 + I7q7 + 2 V + 23<?9 + + 2V° + 23</u + 2 V2 + 18<713 + 14<714 + Щ15 + + 7?16 + 4<717 + 2<?18 + </19.
112 Гл. 2. Методы решета Если проанализировать причины, по которым мы получили определитель в предыдущих двух примерах, то получим следующий результат. 2.2.6. Предложение. Пусть S = {PU ..., Рп} — множество свойств и T = {PSv ..., PSk}<=S, где l<Si< ... <sft<n. Предположим, что f<(T) имеет вид f<(T)^h(n)e(s0, s^e^, s2) ... e(sk, sk+i) для некоторых функций h наН и е на N X N, где положим s0 = О, Sft+i = п+ I, e(i, i)=l и е(i, /) = 0 при j < i. Тогда f=(T) = h(n)det[e(sh s/+1)]o- □ 2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение В задаче о беспорядках ищут число перестановок я е <5„, в которых для каждого i некоторые значения я(г') запрещены (именно n(i)¥=i). Рассмотрим общую теорию таких перестановок. Традиционно ее описывают, используя шахматную терминологию. Пусть В g [л] X [п] ■ Множество В называют доской. Для я е <5„ определим график G(n) перестановки л условием G (л) = {(?', я(0) i^[n]}. Определим теперь N, = card {я <= ©„: / = # (В П G (л))}, rk = число ^-подмножеств множества В, таких, что никакие два элемента не имеют общей координаты, = число способов разместить k не атакующих друг друга ладей на В. Мы можем отождествить перестановку hgS„c размещением п не атакующих ладей в квадратах (г, я (г)) доски [п] ХМ- Тогда Nj есть число способов размещения п не атакующих друг друга ладей на доске [п] X ["]> ПРИ которых в точности / из этих ладей находятся в В. Например, если В = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}, то JV0 = 6, JV, = 9, JV2 = 7, N3=l, N4=l, r0=l, r1 = 5, r2 = 8, r3 = 5, r4= 1. Наша цель — описать числа Nj и, в особенности, N0 в терминах чисел rk. Определим многочлен Nn(x) формулой
2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение ИЗ 2.3.1. Теорема. Имеем п Nn(x)=Z rk(n~k)\(x~l)k. (22а) fe=0 В частности, N0 = Nn(0)= Z (-l)"rk(n-k)\. (22b) =о Первое доказательство. Пусть Ck есть число пар (я, С), где яе@„ и С — ^-подмножество множества Bf\G(n). Для каждого / выберем перестановку я Nj способами, так чтобы / = card В П G (л), а затем выберем С I , 1 способами. Следовательно, Cfe=V I , JNj. С другой стороны, можно было бы сначала выбрать множество С rk способами, а затем «расширить» до перестановки л {п — k)\ способами. Следовательно, С* = rk(n — k)\. Поэтому z(0^=rft(n-/2)!' или,эквивалентно, £ (у+l)/tf/=£rfc(n-*)!/■ Полагая у=х—'1, получаем желаемую формулу. □ Второе доказательство. Достаточно доказать формулу в предположении 1ё Р. Левая часть формулы (22а) подсчитывает число способов, которыми можно разместить не атакующие ладьи на доске [«]Х[л] и пометить каждую ладью на В элементами множества [х]. С другой стороны, такую конфигурацию можно получить, поместив k не атакующих ладей на участок В, пометив каждую из них элементом множества {2, ... ..., х}, поместив п — k добавочных ладей на доску [я]Х[я] (п — k)\ способами и пометив новые ладьи на В единицами. Это устанавливает желаемую биекцию. □ Два доказательства теоремы 2.3.1 дают еще одну иллюстрацию принципа, провозглашенного в гл. 1 (третье доказательство предложения 1.3.4), о двух комбинаторных способах доказательства равенства двух многочленов. Конечно, можно доказать формулу (22Ь) прямым применением метода включения — исключения, обобщая рассуждения примера 2.2.1. Такое дока-
44 Гл. 2. Методы решета зательство нельзя было бы рассматривать как комбинаторное, так как мы не построили явно биекцию между двумя множествами (см., однако, в разделе 2.6 метод, делающий подобное доказательство комбинаторным). Два доказательства, которые мы привели, можно рассматривать как «полукомбинаторные», так как они получаются из прямых формул биекций, включающих параметры х и у соответственно, и затем мы получаем формулу (22Ь), полагая у = —1 и х = О соответственно. В общем случае, полукомбинаторное доказательство формулы (5) можно легко дать, сначала комбинаторно показав, что Е/_(*)*'*'= Е/>(П(*-1)т. X Y ** ИЛИ Z/.wfo+nm = i:f>ao*,r|. X Y " а затем положив х =0 или у = —1 соответственно. Как пример к теореме 2.3.1 возьмем В ={(1,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,4)}, как и выше. Тогда Af4(x) = 4! + 5-3!(x-l) + 8-2!(;t-l)2 + 5-l!(;K-l)3+(x-l)4 = = х* + х3 + 7х2 + 9х + 6. 2.3.2. Пример. (Снова задача о беспорядках.) Возьмем В = = {(1,1), (2,2), ..., (п,п)}. Мы хотим вычислить N0 = D(n). (п\ Ясно, что rk = \ , I, так что п / \ tf»(*)=E( nk){n-k)\{x-\)k= п *-0 2.3.3. Пример. (Задача о супружеских парах (о гостях).) Эта известная задача1) эквивалентна поиску числа М(п) перестановок я е ©„, для которых я (/) Ф i, i + 1 (mod о) для всех i е [п]. Другими словами, мы ищем число N0 для доски В = {(1, 1), ') Сколькими способами можно рассадить за круглым столом п супружеских пар так, чтобы никакая пара не сидела рядом и жены чередовались с мужьями. — Прим. ред.
2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение 115 (2, 2), ..., (п, п), (1, 2), (2,3), .... (л- 1, л),(л, !)}• Взглянув на рисунок доски В, мы видим, что rk равно числу способов, которыми можно выбрать k из 2л расположенных по окружности точек так, чтобы среди выбранных не было двух последовательных. 2.3.4. Лемма. Число способов, которыми можно выбрать k точек из m точек, стоящих по окружности так, чтобы среди них m ( m — k\ не было двух последовательных, равно —zttX и )' Первое доказательство. Пусть f(m,k) — искомое число, и пусть g(m,k) — число способов выбрать k не последовательных точек из m точек, расположенных по окружности, а затем раскрасить k точек в красный цвет и одну из неокрашенных точек покрасить в синий цвет. Ясно, что g(tn,k) = (m — k)f(m,k). Но мы можем вычислить g(m,k) также следующим образом. Сначала покрасим точку в синий цвет m способами. Теперь нам нужно покрасить в красный цвет k точек, выбранных из линейного массива m— 1 точек так, чтобы среди них не было двух последовательных. Один из способов дальнейших рассуждений таков. Расположим ш-—1—k неокрашенных точек в линию и вставим k красных точек в m — k промежутков между неокра- ( ш — k\ шенными (считая начало и конец) I , I способами. Следо- (т — k \ т , I, так что f (m, k) = —iry X (т — k\ k У а Предложенное выше доказательство основано на некотором общем принципе перехода от «кругового» к «линейному» массиву. Мы обсудим этот принцип в дальнейшем в гл. 4 (см. предложение 4.7.11). Второе доказательство. Пометим точки числами 1, 2, ..., m в возрастающем по часовой стрелке порядке. Мы хотим покрасить k из них в красный цвет, так чтобы не было двух последовательных красных. Сначала подсчитаем число возможностей, при которых точка 1 не окрашена в красный цвет. Расположим m — k неокрашенных точек по кругу, пометим одну из них единицей и вставим k красных точек в m — k промежутков ( m — k\ между неокрашенными точками I 1 способами. С другой стороны, если 1 будет покрашена в красный цвет, то расположим
116 Гл. 2. Методы решета т—k -f- 1 точек по кругу, покрасим одну из этих точек (т. — k — 1 в красный цвет и пометим ее 1, а затем вставим I , способами k—1 красную точку на т — k—1 разрешенных мест. Следовательно, (m — k\ (т — k— 1\ т (m — k\ «"•■*> = ( * ) + ( *_i )-т£т( * ) а 2.3.5. Следствие. Многочлен Nn (х) для доски В = {(г, г), (г, г + l)(modrt): 1г^г'г^/г} дается формулой N»(x)=tl^ir(2nkk){n-k)[{X-l)k- k = 0 В частности, число N0 перестановок л е о„, таких, что л (г) # i, i + 1 (mod п) при 1 ^ г -^ /г, дается формулой fe=0 Следствие 2.3.5 наводит на следующий вопрос. Зафиксируем 4ёР и пусть 5ге обозначает доску Ва = Ш, '), (*', ' + 1). •■•, (г, г +/г-1) (mod/г): l<i<n}. Найти ладейный многочлен Rn (х) = £f гг (п) х* для В„. Эта задача известна как «задача о fe-несогласующихся (противоречивых) перестановках». При k > 2 нет столь простого и явного выражения для ri(n), как в случае k = 1,2. Однако мы увидим в примере 4.7.17, что существуют многочлены Qk(x,y)^ Z [х,у], такие, что п если Rn(x) надлежащим образом интерпретируется при п < k. Например, Qx (х, у) = 1 — (1 + х) у; Q2 (х, у) = (1 — (1 + 2*) у + + хУ) (1 - х</); Q3 (х, у) = (1 - (1 + 2х) у - ху2 + *Y) (1 - *#)• 2.4. Доски Ферре Для некоторой доски или класса досок В мы можем поставить вопрос, обладают ли ладейные числа г< какими-либо особенными интересными свойствами. Здесь мы обсудим класс досок,
2.4. Доски Ферре 117 называемый досками Ферре. Для данной последовательности чисел 0 s^ b\ s^ Ь2 ... ^Ьт доска Ферре формы (Ьи ..., Ьт) определена так: В = {(i, /): 1 <?К т> 1 < / < М-') Доска В зависит (с точностью до сдвига) только от положительных чисел bi. Однако окажется удобным с технической точки зрения допустить 6, =0. 2.4.1. Теорема. Пусть Z i~kx — ладейный многочлен доски Ферре В формы (&!, ..., bm). Положим si = bi —1'+ 1- Тогда Z rk (x)m_k = П (x + s^). I Доказательство. Пусть ieN, и В' —доска Ферре формы (b\ + х, ..., bm -f- л;). Рассмотрим В' = В U С, где С — (я X т)-пря- моугольник, помещенный ниже В. Мы сосчитаем rm{Br) двумя способами. 1. Разместим k ладей на доске В rk способами, а затем m — k ладей на С (x)m_k способами, получив rm {В') = Z rk {x)m_k. 2. Поместим ладью в первый столбец В' х -f- Ь\ = х -f- s\ способами, затем поместим ладью во второй столбец х-\-Ь2—1 = = x-\-Si способами и так далее, получим m rm(B') = R(x + Si). 1 Доказательство закончено. D 2.4.2. Следствие. Пусть В — «треугольная доска» формы. (0,1, 2, ..., m — 1). Тогда rk = S (m, m — k). Доказательство. Имеем: каждое число s,- = 0. Следовательно, из теоремы 2.4.1 х = 2-1 /"ft (x)m~k- Из уравнения (24d) гл. 1 следует, что rk = S(tn, tn — k). D Ясно, что желательно дать комбинаторное доказательство следствия 2.4.2. Мы хотим сопоставить разбиению множества [т] на m — k блоков расположение k не атакующих друг друга ладен на доске B = {(i,j): \ ^.i ^. m, 1^/^i}. Если ладья ') Напомним о тонком различии между диаграммами Ферре и более известными диаграммами Юнга, данном в гл. 1. Читатель может считать, что эти два понятия совпадают. — Прим. ред.
118 Гл. 2. Методы решета стоит в клетке ((',/), отнесем i и / к одному блоку разбиения. Легко проверить, что это дает требуемое соответствие. 2.4.3. Следствие. Две доски Ферре, каждая с т столбцами (пустые столбцы разрешаются) имеют одинаковые ладейные многочлены тогда и только тогда, когда мультимножества их чисел si совпадают. □ Возникает вопрос, сколько досок Ферре имеют тот же ладейный многочлен, что и данная доска В. 2.4.4. Теорема. Пусть 0 < с, < ... <ст и / (с„ ..., ст) — число досок Ферре без пустых столбцов, имеющих такие же ладейные многочлены, что и доска Ферре формы (сь ..., ст). Добавим достаточное количество начальных нулей к с{ ст, чтобы получить форму (&,, ...,&,) = (О, .... О, сь .... ст), такую, что если sL = bi — i-{- 1, то лишь sy^О (г. е. st < 0 при 2^.i^.t). Предположим, что а,- из чисел Sj равны —i, так что Xi>i ai ~t ~ 1- Тогда ( ах + а2 — 1 \ / а2 + а3 - 1 \ / а3 + о4 - 1 \ Доказательство. Согласно следствию 2.4.3, мы ищем число перестановок dxd2 ... dt_i мультимножества {l°', 2а\ ...}, таких, что O^d, — l^d2 — 2^...^ d/_1 — ^+ 1. Равносильно, d1 = 1 и за с?г должно следовать число, не превосходящее d* + 1. Расположим а! единиц в линию; а2 двоек можно поместить произвольным образом в aj промежутков, следующих за каждой ааЛ\ fay + (h—\\ 11 = 1 I способами. Теперь аъ троек можно произвольно поместить в а2 промежутков, следующих за аа2\\ (а2 + аъ—\\ 11 = 1 I способами и т. д., что заканчивает доказательство. □ Например, не существует других досок Ферре, имеющих тот же ладейный многочлен, что и треугольная доска (0,1, ... ..., п — 1), в то время как существует З"-1 досок Ферре с тем же ладейным многочленом, что и пХп шахматная доска [п]Х хм. Если в доказательстве теоремы 2.4.4 мы хотим, чтобы все столбцы нашей доски Ферре имели разные длины, то мы должны упорядочить мультимножество {Iе', 2йг> • • •} сначала в строго возрастающем порядке до его максимума, а затем в невозрас- тающем. Следовательно, получаем
2.5. V-разбиения 119 2.4.5. Следствие. Пусть В — доска Ферре. Тогда существует единственная доска Ферре, столбцы которой имеют различные (ненулевые) длины, и имеющая тот же ладейный многочлен, что и В. □ Например, единственная «возрастающая» диаграмма Ферре с тем же ладейным многочленом, что и доска [я] ХМ, имеет форму (1, 3, 5, ..., 2/г-1). 2.5. V-разбиения и унимодальные последовательности Сейчас мы приведем пример такого применения метода решета, которое не может быть получено (разве лишь очень запутанным образом) с использованием принципа включения — исключения. Под унимодальной последовательностью веса п (также называемой п-стеком) мы понимаем Р — последовательность di, d2, ..., dm, такую, что a- S dt = n. b. Для некоторого /, d{ ^d2 ^ ... ^ d,- ^ t// + 1 ^ ... ^ dm. Многие интересные комбинаторные последовательности оказываются унимодальными. В этом разделе мы не будем иметь дела с какими-либо специальными последовательностями, а займемся подсчетом общего числа и(п) унимодальных последовательностей веса п. По соглашению положим н(0) = 0. Например, и(5)= 15, так как все 16 разложений числа 5 унимодальны, за исключением 212. Положим U(x) = £ и(/г)х" = х + 2х2 + 4х3 + 8х4 + 15х5 + .... Наша цель — найти хорошее выражение для U(x). Легко видеть, что число унимодальных последовательностей веса п, наибольший член которых есть k, равно коэффициенту при х" в выражении //(1-х) (1-х2) ... (1-х*-1) (1-х) (1-х2) ... (1-х*). Следовательно, ZX ь П-*)(1-**)...0-**-')(!-*)(!-*2)...(1-**Г (23)
120 Гл. 2. Методы решета Это аналог формулы 2> <«)*•*= £ — n>0 fc>0(l-*)(l-*»)... 0-*V где р(п) — число разбиений п. То, что мы хотим получить, однако, есть аналог формулы £/Ф)*"=П(1-*')-•. Оказывается, проще работать с объектами, слегка отличающимися от унимодальных последовательностей, а в конце эти новые объекты связать с ними. Определим V-разбиение числа п как N-массив Г а, Ог ... "I (24) такой, что с+ X a,i + И bj = n, с^а^сц^... и с ~^ЪХ~^ ~^Ь{^ .. .. Следовательно, У-разбиения можно рассматривать как унимодальные последовательности, в которых одна из максимальных частей выделена как «корень». Пусть v(n) — число У-разбиений числа п, v(0)= 1. Так, например, и(4) = 12, так как существует один способ выбора корня для 4, один — для 13, один —для 31, два — для 22, один — для 211, один — для 121 и четыре для 1111. Положим V(x)= Z v(n)xn=l + x + 3x2 + 6x3+l2x4 + 21x5 + .... Аналогично формуле (23) имеем v {х) = £0(i-*)2o-*V..(i-*ft)2' но, как и раньше, мы хотим получить представление V(x) в виде произведения. Пусть Vn — множество всех У-разбиений числа п, a Dn — множество всех двойных разбиений п, т. е. N-массивов (25) Га,, а2 ... ! Ьи Ь2 ... таких, что X ai + И bj = п; а^а^^... Ь^Ъ{^- .... Если d (п) = card Dn, то ясно, что £</(л)*" = 11(1-*')-2. (26)
2.5. V-разбиеиия 121 Определим теперь отображение Г,: Dn -*■ Vn формулой а2 а3 Га, а2 ... 1 Чь, ь2 ...J- Г «2 «3 • • • 1 ^ , Г1 Ъх Ъ2 ...J' еслиа1>6ь Г , Й1 «2 • • • 1 Г1 &2 6з .-.J' если6»>а- Ясно, что Г[ сюръективно, но не инъективно. Каждое У-разбие- ние из множества появляется дважды в образе Гь так что #Va=#Da-#Vl Затем определим отображение Г2: Dn_{-*- V\ формулой [<h аз • • • 1 ах + \ b b J, если ai-f- 1 >6Ь Г a! a2 . . I U 62 ...J~ [, :]• если 6j > aj + 1. £2 h Снова Г2 сюръективно, но любое У-разбиение из множества ЧК :::::Ь>".Ч встречается дважды как значение Г2. Следовательно, # Vn = = #£>„_,-# ft так что Затем определим Г3: Dn..3-*-Vn формулой (Г а2 + 1 а3 а4 . . . 1 _,-,-, .... , Г| + 2 ьх ь2ь3..\'ста> + 2>ь- 2 L 6, fe2 • • • J I Г . ai + 2 а2 + 1 из • • Получим |[ :::]■ если Ьх > ах + 2. #y„ = #D„-#D„_1 + #D„_3-#l/3„.
122 Гл. 2. Методы решета Продолжая этот процесс, получим отображения Г,: D /1\ > -> Vn~ ■ Этот процесс останавливается, если I I > п, так что получаем формулу в духе теории решета v (я) = d (я) - d (я — 1) + d (п — 3) - d (п — 6) + •. •, где положили d(m) — 0 при т < 0. Таким образом, используя (26), получим 2.5.1. Предложение. Имеем v{x) = ( E(-i)" *("*')) П(1-*гг2- и Теперь мы получим выражение для U(x), используя следующий результат. 2.5.2. Предложение. Имеем U(x) + V(x)= П(1-*Г2. i>\ Доказательство. Пусть Un — множество всех унимодальных последовательностей веса я. Нужно найти биекцию Dn -*■ Un \j V„- Такая биекция дается формулой . а2 а.\ 6) Ь2 ..., если ау > Ьь Га, а2 ...1 •-•■-,-.-.--■ ^••■Нкг.::]. если Ь{^ах. 2 "3 а 2.5.3. Следствие. Имеем £/(*) = [ Е (-l)"-1*^ Л П(1-*'"Г2- □ 2.6. Инволюции Напомним нашу точку зрения из разд. 1.1, что лучшим способом установления равномощности двух конечных множеств является предъявление биекции между ними. Мы покажем, как применить этот принцип к тождеству (5). С тождеством (4), кажущимся более общим, можно поступить точно таким же образом. В том виде, в каком оно написано, это тождество не утверждает, что два множества имеют одинаковую мощность. Поэтому мы переупорядочим члены так, чтобы все знаки стали
2.6. Инволюции 123 положительными. Таким образом, мы хотим доказать тождество /.(0)+ Z f>oo= Z му>« <27> |У| нечетно |У| четно где /_(Г) (соответственно f>(T)) обозначает число объектов множества А, обладающих свойствами в точности (соответственно по меньшей мере) из подмножества jTeS. Левая часть равенства (27)—мощность множества M\jN, где М — множество объектов х, не имеющих никаких свойств из множества S, а N — множество упорядоченных троек (х, Y,Z), где х^А имеет в точности свойства из множества Z^Y, где \Y\ нечетно. Правая часть равенства (27) есть мощность множества N' упорядоченных троек (x',Y,,Z'), где элемент /е/1 обладает свойствами в точности из подмножества Z'^Y', где |У'| четно. Введем полный порядок на множестве свойств 5 и определим отображение с: M\j N -*■ N' следующим образом: о(х) = (х, 0, 3), если леМ (х, Y — i, Z), если (х, Y, Z) <= N и min Y = min Z = i, a(x, Y, Z) = \ ^ Ku^ z)) если ^ ^ Z)^N и minZ = i < miny. Легко видеть, что a — биекция с обратной биекцией с-1 х е М, если K = Z = 0, (a:, У —г, Z)<=N, если У=И=0 и min У = min Z = г, (х, У U г, Z)eW, если Z=£0 и min Z = i < miny (где мы положили ттУ=°о, если У = 0). Это дает требуемое доказательство. Заметьте, что если в определении a~i мы отождествим х^М с тройкой (х, 0, 0)<=./V' (так что о~1(х, 0, 0) = = (х, 0, 0)), то a (J а-1 есть функция т: N [} N' -> Я (J /V', удовлетворяющая условиям: (а) т — инволюция, т. е. t2 = id; (b) неподвижные точки т есть тройки (х, 0, 0), множество которых находится во взаимно однозначном соответствии с М, и (с) если (х, У, Z) — не неподвижная точка т и мы положим %{х, У, Z) = (x, У, Z), то (—1)|У| + |—1|1П = 0. Таким образом, инволюция х выбирает члены из правой части равенства (5) (или скорее члены из правой части равенства (5),получив- o~l(x, Y,Z)
124 Гл. 2. Методы решета шиеся после того, как каждое из выражений />(У) записано в виде суммы (3), сумма которых равна левой части, и i аннулирует оставшиеся члены. Можно провести предыдущие рассуждения в следующем общем контексте. Предположим, что конечное множество X записано в виде объединения непересекающихся подмножеств X+\j U Х~, называемых соответственно «положительной» и «отрицательной» частями X. Пусть т.— инволюция, удовлетворяющая условиям a. Если х(х) = у и хфу, то либо х^Х+ и </еГ, либо, наоборот, леГи у^Х+. b. Если т (х) = х, то х ее Х+. Если мы определим весовую функцию до на X формулой Г 1, Jtel+, тогда, очевидно, #(Fixx)= £ w(x), (28) где Fixx обозначает множество неподвижных точек т. Точно так же, как и в предыдущем абзаце, инволюция т выбрала члены из правой части равенства (28), в сумме дающие левую часть равенства, и аннулировала оставшиеся члены. Рассмотрим теперь более сложную ситуацию. Пусть имеется другое множество X, также представленное в виде объединения^ непересекающихся множеств X = Х+ (J Х~, инволюция f на X, удовлетворяющая вышеприведенным условиям (а) и (Ь). Предположим, что нам дана сохраняющая знаки биекция f: Х-+Х, т. е. /U+) = Z+ и f{X~) = X~. Ясно, что тогда #(Fixx) = #(Fixf),_ так как # (F\xt) = \X+ | - \Х~ \ и Ф (Fix т) = | Х+1 — | Х~ |. Мы хотим построить каноническим способом биекцию g между Fix-r и Fix т. Это построение известно как принцип инволюции и является мощным средством превращения некомбинаторных доказательств в комбинаторные. Биекция g: Fixt-»-Fix т определяется следующим образом. Пусть л: е Fix т. Легко видеть, что так как множество X конечно, существует положительное целое п, для которого f(Tf-i:if)n{x)<=Fix%. (29) Положим по определению £(*) = /(т/-1т/)',(х), где п —наименьшее положительное целое, для которого справедлива формула (29).
2.6. Инволюции 125 Мы оставляем читателю строгую проверку того, что g — биекция из Fixt на Fix т. Существует, однако, хороший геометрический способ проиллюстрировать ситуацию. Представим элементы X и X в виде вершин графа Г. Соединим ненаправленным ребром две различные вершины хну, если (1) х, у е X и т (х) = у; или (2) х, у е X и f (х) = у; или (3) х ^ X, jel и F(x) = y. Каждая компонента графа Г будет либо циклом, не содержащим точек нз Fixt и Fix г, или путем, имеющим один конец г в Fixt и другой конец z в множестве Fix а. Тогда g определяется равенством g(z) = z. См. рис. 2.1. Рис. 2.1. Имеется видоизменение принципа инволюции, связанное с «решеточной эквивалентностью». Мы упомянем здесь лишь простейший случай: его дальнейшее развитие см. в упражнении 17. Предположим, что X и X — (непересекающиеся) конечные множества. Пусть FsXh Y^X, и предположим, что нам даны биекции f: Х^-Х и g: Y-+Y. Следовательно, \X — Y] = = | X — Y | и мы хотим построить явную биекцию h между X — Y и X — Y. Выберем х <= X — У. Как и в случае формулы (29), найдется положительное целое п, для которого f(g-iff(x)<=X-Y. (30) В этом случае п единственно, так как если х е X — Y, то g_1 (у) не определено1). Положим по определению h(x) равным f(g~f)n(x), где п удовлетворяет условию (30). Легко проверяется, что отображение h: X — Y ^>Х — Y — биекция. ') Здесь у = f(x). — Прим. перев.
126 Гл. 2. Методы решета Рассмотрим простой пример биекции h: X — У->Х — У. 2.6.1. Пример. Пусть У — множество всех перестановок п из 2>„, которые оставляют неподвижным элемент 1, т. е. л(1) = 1. Пусть У — множество всех перестановок п из <&„, имеющих в точности один цикл. Таким образом, | У | = | Y\ = (n — 1)!, так что |3„-У| = |®„-У| = п!-(п-1)! Однако построить биекцию h между 6„ — Y и ©„ — У, возможно, не так просто. С одной стороны, просто построить биекцию g между У и У; а именно если я=1а, ... an^Y (где я записано как слово, т. е. n{i) = a{), то положим g(n) = = (1, U2, ..., ап) (записано в виде цикла). Биекцию /: S„—*•£„ мы полагаем, конечно, тождественной. Тогда формула (30) 123 ^ (1)(2)(3) 132 х ^ч 11)123) 213 Хч Nx (12)(3) 231 ^ ^ 0 23) 312 ^ (132) 321 (13)12) Рис. 2.2. определяет биекцию hi 3„ — У—>•©„ — У. Например, если я = 3, мы изобразим отображение / на рис. 2.2 сплошными линиями, a g прерывистыми линиями. Следовательно (записывая перестановки в области определения в виде слов, а в области значений в виде произведений циклов), А(213) = (12)(3), А(231) = (1)<2)(3), h (312) = (1) (23), h (321) = (13) (2). Естественно здесь (и в других случаях использования принципа инволюции и связанных с ним методов) поставить вопрос, не существует ли более прямого описания h. В данном примере трудность небольшая, так как У и ? — непересекающиеся под-
2.7. Определители 127 множества (если п ^ 2) одного и того же множества ©„. В этом частном случае f л, если пф Y, Л(я) = < ' С g '(л), если яеУ. (31) 2.7. Определители В предложении 2.2.6 мы видели, что определитель det[a(/]Q с условиями ац = О при j < i — 1 можно комбинаторно интерпретировать, используя принцип включения — исключения. В этом разделе мы рассмотрим некоторую комбинаторную задачу, для которой в правой части формулы (28) находится разложение определителя. У о • •—• • о • • • • Рис. 2.3. Конечным, неотрицательным решеточным путем на плоскости (шаги которого состоят в переходах на единицу вправо или вниз) называется последовательность L=(yb ..., Vk), где и,е eN2 и vi+l — vt = (1, 0) или (0, —1). Мы изображаем L, соединяя вершины vt и vi+l ребром, l^j^fe —1. Например, решеточный путь ((1, 4), (2, 4), (2, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 1)) изображен на рис. 2.3. п-Путем называется набор L = (Lb ..., Ln) п решеточных путей. Пусть а, р, у, 6eN". Тогда L есть путь типа (а, р, Y. 6), если Lt переходит от (р,-, у{) к (ah 6г). (Очевидно, что в этом случае с^^р,- и Yi^<V) га-Путь L называется самопересекающимся, если для некоторых 1ф\ Li и L;- имеют общую точку; в противном случае L — несамопересекающийся. Положим вес горизонтального шага из (I, j) в (г + 1,/) равным переменной х/, а вес L — произведению весов горизонтальных шагов. Например, путь на рис. 2.3 имеет вес х&ь Если а = (аь ,.,, ajeN" и п е <&„, то положим jt(<z) = = (ая(П> ...,аЛ(п)). Пусть ^ = ^(а, р, y> б) — множество всех
12S Гл. 2. Методы решета я-путей типа (а, Р, у, б), а А = А (а, р, y> б) — сумма их весов. Рассмотрим путь из точки (Р;, yt) в точку (аь б,-). Пусть т = = аг — рг. Для каждого /, удовлетворяющего условию 1 ^/^т, существует в точности один горизонтальный шаг вида (у — 1 + + Рг. &/)-*(/ +Рг> &/)• Числа kx, k2, ..., km можно выбрать произвольно удовлетворяющими условию Y/>fei>fe2> ...>£„> в,. (32) Следовательно, если положить Л (т\ yh бг) = X xklXk2 ... Xkm, где сумма берется по всем целочисленным последовательностям (32), тогда А (а, р, Y, б) = Ш(а,-рг; у{, б,). t=i (33) Пусть & = 3) (а, р, у, б) — множество всех несамопересека- ющихся я-путей типа (а, р, y, б), и положим В = В(а, р, y, б) — . . . " ~Г! " *—т t t т * t ° т —т о • 1 о о 1—• (I о 1—• о Рис. 2.4. сумма их весов. Например, пусть а = (2, 3), Р = (1, 1), Y = (2, 3), б = (1, 0). Тогда В (а, р, y. &) = х2х\-\- ххх\-\- хух2хг соответствует несамопересекающимся 2-путям, показанным на рис. 2.4. 2.7.1. Теорема. Пусть а, р, y, SsN" такие, что для яеЗ„ множество tM(n(a), р, y, я (б)) пусто, если только п — не тождественная перестановка. (Например, это условие выполняется, если щ < ai + u р,- < рг+ь у{ <Yi + i " б,- <б, + 1 при 1 <г <п — 1.) Тогда В (о, Р, у, 6) = det[A(a,-pJ; yt, б,)]?, (34) где мы полагаем h (а/— р,; у/. б/) = 0, если не существует последовательностей типа (32). Доказательство. Если разложить правую часть равенства (34), получим Z (sgnn)^(n(o), Р, Y, я (б)). (35)
2.7. Определители 129 Пусть s4-n = st-{n{a), р, y, я(6)). Мы построим биекцию L->L* множества ( [} st-Л — $ на себя, обладающую свойствами: Чяе@« ) a. L" = L, т. е. * есть инволюция; b. w (L*) = w (L), т. е. биекция * сохраняет веса; c. если L е зФп и L'e зФа, то sgn о = —sgn я. Тогда, группируя члены разложения (35), соответствующие парам (L, L*) самопересекающихся n-путей, видим, что все члены сокращаются, за исключением слагаемых, дающих требуемый результат В (а, р\ у, 6). Построим инволюцию *. Пусть L — самопересекающийся га-путь. Нам нужно выбрать каноническим образом определенную пару пересекающихся путей (Li, L;) из L. Один из многих способов сделать это состоит в следующем. Пусть i — наименьшее целое, для которого L, и L*. пересекаются при некотором кф[, и х — наименьшее целое, такое, что Lt пересекает некоторый путь Lk при k > i в точке (х, у), а / — минимум всех таких k. Построим Ц, продолжая Ll до его первой точки пересечения v с путем L,-, а затем следуя по L/ до конца. Построим L* аналогично, следуя по L/ до точки о, а затем по Li до конца. Для k Ф i, j положим L*k = Lk. Свойство (а) следует из того, что пути Lr и Ls пересекаются в точке и тогда и только тогда, когда L* и L* также пересекаются в точке и, так что тройку (г, /, v) можно получить из L* по тому же правилу, по которому она получена из L. Свойство (Ь) следует немедленно из того, что весь набор единичных шагов в L и L* один и тот же. Наконец, перестановка а получается из я умножением на транспозицию (i,j), откуда следует (с). □ Теорема 2.7.1 имеет важные приложения к теории симметрических функций, но здесь мы приведем лишь простой пример ее использования. 2.7.2. Пример. Пусть г, seN и 5 — подмножество множества [О, г] X [0, s]. Сколько существует решеточных путей, соединяющих точки (0, г) и (s, 0) и не пересекающих 5? Обозначим это число f(r, s, S). Пусть 5 ={(al,bl), ..., (ak,bk)}, и положим а = (s, а,, ..., ak), р = (О, аь ..., ak), Y = (r, bu ..., bk), 6 = (0, 6, bk).
130 Гл. 2. Методы решета Тогда f(r, s, S) = B(a, р, y. 6). гДе каждый вес xt полагаем равным 1. Тогда A(e,-P,;Yi.e*)|,r, = ( щ__^ у Следовательно, из теоремы 2.7.1 f(r, s, S) = ([r + s\ /T + a,-ft,\ fr + ak-bk\ / s — a, + ft, \ / ak — bk — a, + ft, \ \ s — ai ) "\ ак — а{ ) /s-aft + ftfe\ /a, —ft, —a* + ft* \ V s — ak ) \ Щ—ак J '" где полагаем ( . ) = 0 при [у < 0 или i —/<0. Если разложить этот определитель, получим формулу для f(r, s, S), которую также можно непосредственно вывести из принципа включения — исключения. В действительности с помощью подходящей перестановки строк и столбцов написанное выше выражение /(г, s,5) превращается в специальный случай предложения 2.2.6. (В полной общности, однако, теорему 2.7.1 нельзя вывести из предложения 2.2.6; в действительности определитель (34) в общем случае не будет содержать нулевых элементов.) Замечания1) Как отмечает П. Стейн в своей замечательной монографии [1.16], принцип включения —исключения «несомненно является очень старым; его источник, вероятно, невозможно проследить». Обширный список литературы дан в работе [21], и источники результатов, упомянутых ниже без ссылок, могут быть найдены там. Вероятностную формулировку принципа включения — исключения можно отнести к де Муавру и с меньшей достоверностью к Я. Бернулли; ее также иногда называют «теоремой Пуанкаре». Первую формулировку в комбинаторных терминах относят к да Сильве и иногда — к Сильвестру. ]) Если ссылка встретилась в списке цитируемой литературы предыдущей главы книги, то число, указываемое в скобках, есть номер главы; например [1.10] отсылает к позиции 10 списка литературы гл. 1.
Литература 131 Пример 2.2.1 (задача о беспорядках) впервые был решен Монтмортом (в вероятностных терминах) и позже независимо исследовался Эйлером. Пример 2.2.4 восходит к Мак-Магону [15, v. 1, с. 190], а затем несколько раз переоткрывался, пример 2.2.5 впервые появился в работе [20, следствие 3.2]. Задачу о супружеских парах (пример 2.3.3) Тэйт предложил Кэли и Мюиру, но им не удалось получить определенного ответа. Эта задача независимо рассматривалась Люкасом и была им решена в весьма неудовлетворительном виде. Элегантная формула, приведенная в следствии 2.3.5, принадлежит Тушару. Ссылки на более свежие работы см. в книге [3, с. 185]. Обзор задачи о супружеских парах появился в работе J. Dutka. Math. Intell. 8 (1986), no. 3, 18— 25, 33. Теория ладейных многочленов в общем принадлежит Капланскому и Риордану [12], см. [17, гл. 7—8]. Теория досок Ферре, представленная в разд. 2.4, появилась (с большим количеством дополнительного материала) в работах [6] — [Ю]1). Доказательство теоремы 2.4.4, приведенное здесь, предложено П. Леру. Результаты разд. 2.5 впервые опубликованы в [18, гл. IV. 3] и вновь установлены в работе [19, § 23]. Принцип инволюции впервые установлен в работе [4], где он использовался для получения долгожданного комбинаторного доказательства тождества Роджерса — Рамануджана. Дальнейшее обсуждение принципа инволюции, решетчатой эквивалентности и родственных результатов см. в работах [2], [11], [22], [24]. Комбинаторное доказательство принципа включения — исключения, данное в разд. 2.6, неявно содержится в работе [16], а в более явной форме — в работе [23]. Теорема 2.7.1 и ее доказательство предвосхищены в [1], [13], [14], хотя первая явная формулировка появилась в статье Гессель и Вьенно [5]. Наше изложение близко к изложению Гессель и Вьенно. Литература 1. Chaundy Т. W. Partition-generated functions, Quart. J. Math. (Oxford) 2 (1931), 234—240. 2. Cohen D. I. A. PIE sums: A combinatorial tool for partition theory, J. Combinatorial Theory (A) 31 (1981), 223—236. 3. Comtet L. Advanced Combinatorics, Reidel, Boston, 1974. 4. Garsia A. M. Milne S. С A Rogers-Ramanujan bijection, J. Combinatorial Theory (A) 31 (1981), 289—339. 5. Gessel I., Viennot G. Binomial determinants, paths, and hock length formulae, Advances in Math. 58 (1985), 300—321. G. Goldman J., Joichi J., Reiner D., White D. Rook theory II: Boards of binomial type, SIAM J. Applied Math. 31 (1976), 618—633. ) См. примечание на с. 146.
132 Гл. 2. Методы решета 7. Goldman J., Jouichi J., White D. Rook theory I: Rook equivalence of Ferrers boards, Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 485—492. 8. Goldman J., Joichi J., White D. Rook polynomials. Mobius inversion and the umbral calculus, J. Combinatorial Theory (A), 21 (1976), 230—239. 9. Goldman J. Joichi J., White D. Rook theory IV: Orthogonal sequences of rook polynomials, Studies in Applied Math. 56 (1977), 267—272. 10. Goldman J., Joichi J., White D. Rook theory II: Rook polynomials and the chromatic structure of graphs. J. Combinatorial Theory (B) 25 (1978), 135—142. 11. Gordon B. Sieve-equivalence and explicit bijections, J. Combinatorial Theory (A) 34 (1983), 90—93. 12. Kaplansky I., Riordan J. The problem of the rooks and its applications, Duke Math. J. 13 (1946), 259—268. 13. Karlin S., McGregor G. Coincidence probabilities, Pacific J, Math. 9 (1959), 1141—1164. 14. Lindstrom B. On the vector representation of induced matroids, Bull. London Math. Soc. 5 (1973), 85—90. 15. MacMahon P. A. Combinatory Analysis 2 vols — Cambridge Univ. Press, 1915 and 1916, переиздано в одном томе Chelsea, New York, 1960. 16. Remmel J. Bijective proofs of some classical partition identities, J. Combinatorial Theory (A) 33 (1982), 273—286. 17. Riordan J. An Introduction to Combinatorial Analysis — Wiley, New York, 1958. [Имеется перевод: Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — М.: ИЛ, 1963.] 18. Stanley R. Ordered structures and partitions, thesis, Harvard Univ., 1971. 19. Stanley R. Ordered structures and partitions, Mem. Amer. Math. Soc, 119 (1972). 20. Stanley R, Binomial posets, Mobius inversion and permutation enumeration, J. Combinatorial Theory 20 (1976), 336—356. 21. Takacs L. On the method of inclusion and exclusion, J. Amer. Stat. Soc. 62 (1967), 102—113. 22. Wiff H. S. Sieve-equivalence in generalized partition theory, J. Combinatorial Theory (A) 34 (1983), 80—89. 23. Zeilberger D. Garsia and Milne's bijective proof of the inclusion-exclusion principle, Discrete Math. 51 (1984), 109—110. 24. Zeilberger D. Garsia and Milne's involution principle, Drexel Univ. Technical Report. Упражнения [2] 1. Пусть S = {pi, ..., pn} — множество свойств и fk (соответственно f>k\ обозначает число объектов конечного множества А, обладающих в точности k (соответственно не менее k) свойствами. Покажите, что Ь=Е<-1>'-*(1)* (36) и U=t^rk{lk~-\)su (37)
Упражнения 133 где T<=S ^ 2. а. Пусть A\, ..., An— подмножества конечного множества А; определим числа Sk, 0 ^ k ;£С п, формулой (6). Покажите, что Sk-Sk+l+ ...+(-\f-kSn>0, 0<fe<n. (38) b. Найдите необходимые и достаточные условия, накладываемые на вектор (So,Si, •••, Sn)eNn+1, чтобы существовали подмножества А\, ..., Ап конечного множества А, удовлетворяющие условиям (6). 3. а. Пусть 0^Vn\vn^^...Xv0Xw^0 (39) — точная последовательность конечномерных векторных пространств над некоторым полем, т. е. dj — линейные преобразования, удовлетворяющие условиям im <Э/+1 = ker <Э;- (дп — инъективно и до сюръективно). Покажите, что п dim-№=£(-l)'dimF,-. (40) г=о b. Покажите, что для О ;£С / ^ п п rank <Э, = £(-1)'-'dim V,, (41) 1=1 в частности величина, стоящая в правой части равенства, неотрицательна. c. Предположим, что нам дано лишь, что последовательность (39) — комплекс, т. е. <5/<3/+i = 0 для 0^/^га—1, или равносильно imd/+l sker dj. Покажите, что если равенство (41) выполняется для 0^/^«, то последовательность (39) точна. d. Пусть Ль ..., Ап — подмножества конечного множества А, и для Ге[и] положим Лг = П,-е=г A-i' В частности, А0 = А. Пусть VT — векторное пространство (над некоторым полем) с базисом, состоящим из всех символов вида [а, Т], где ае
134 Гл. 2. Методы решета еЛг, Положим V1 = ]J,T,I VTX) и определим для 1^/<л линейное преобразование д,-: V/->V/_I формулой 3/(а, Г)=Е(-1)'~'[а, У-'*]. (42) t-i где элементы Т суть t{< ... <tj. Также определим векторное пространство W с базисом {[а]: а <= А{ Л ■ • • П Ап]} и положим d0: V0 -> И7 — линейное отображение, заданное формулой -, г «, Г М, если as Л1 П.--П Л. д0[а, 0] = { п (. О, в противном случае. (Здесь Л; = Л — Л,-.) Покажите, что (39) — точная последовательность. [1+] е. Выведите уравнение (7) из (а) и (d). [1-j-j f. Выведите решение упражнения 2(а) из (Ь) и (d). [3—] 4. Дайте комбинаторное доказательство формулы (13), а именно: D(n)= nD(n— 1) + (— О". [2—] 5. Докажите формулу A*0** = feIS(d, fe) предложения 1.4.2 (с), используя принцип включения — исключения. [2—] 6. а. Дана перестановка n = ala2<h^'®z. Пусть Рп обозначает соответствующую 3X3 перестановочную матрицу; т. е. элемент (г, /) матрицы Рл равен 6/, Я(0- Пусть ая, где п е ©3 — целые числа, удовлетворяющие уравнению 2лал^я —0. Покажите, что aI23 = a312 == °231 = — °213 == — a32I = — aI32- [2] b. Пусть Я3(г) обозначает число 3X3 N-матриц А, суммы чисел в каждой строке и каждом столбце которых равны г. Предположим известной теорему о том, что А — сумма перестановочных матриц. Выведите из этого результата и п. (а), что H*u=(rY)-{rV)- (4з) ) U У а означает шрямую сумму пространств Va. -~ Прим. перев. а<вА
Упражнения 135 [2] 7. Зафиксируем k~^\. Сколько перестановок множества [я] не имеют циклов длины &? Пусть ffc(n) обозначает их число. Вычислите Нпь-юо/П")/ /л! [2] 8. а. Пусть f2(n) — число перестановок я множества вычетов по модулю п, состоящих из единственного цикла п = (а.\, а%, ..., ап) и для которых ai+l Ф Ф щ■ + 1 (mod п) при всех i (при этом ап+1=а1). Например, при л = 4 существует единственная такая перестановка, а именно (1, 4, 3, 2). Положим f2(0)=l и /2(1) = 0- Используя принцип включения—исключения, найдите формулу для f2(n). [1+] b. Запишите ответ п. (а) в виде Ang(0) для некоторой функции g. [2—] с. Найдите производящую функцию Hn>Qf2(n)xn/n\ [2—] d. Выразите число беспорядков D{n) в терминах чисел f2(k). [2—] е. Покажите, что „-*« («-О' е [3—] f. Обобщите (е), показав, что функция \г{п) имеет следующее асимптотическое разложение: /2 (л) 1 / 1 1 1 1 9 ' at \ (44) где 2jj>oa'*'A"l =ехР(1—e*)- ^° определению формула (44) означает, что для любого fee N .. J /2(«) 1 vflil л hm л* — > —г = 0. и-*» |_(га-1)! е f-iQ п< } [3] 9. Пусть k ^ 2, /й(п) — число циклов, аналогичных тем, которые определены для k = 2 в упражнении 8, для которых не существует i, что jt(i + /) = я(0 + /(mod л) для всех /= 1, 2, ..., k — 1 '), ') То есть при любом i найдется /е[1, ft— 1], такое что я(£ + /) ^ ^fen(t) +/(mod п).— Прим. перев.
Гл. 2. Методы решета где аргумент t + / берется по модулю п. Используя принцип включения — исключения, покажите, что (n)/(n_l)! = l--L_4 * " +0(д-«), п 2 п2 3«3 \ 5 29__1_ п2 п3 2 п* (п)Цп-\)\^\—^-^--^-^+0{п~% W/(n-1).= l-^r-'t-2'2(t + "^r- _ k(k+\)(3k2-5k-\Q) J_ 0 / jk-n 24 л* ^ для фиксированного k ^ 5. В частности, при фиксированном & IimM*)/(«-1)1 = 1- /J-»oo 10. Назовем две перестановки 2я-элементного множества S = {au иг. • • •» a«. ^i. • • •> bn) эквивалентными, если одна может быть получена из другой переменой мест последовательных элементов вида afii или &;а,-. Например, перестановка афзаффуЬу эквивалентна самой себе и перестановкам a2aib3b^albu a2b3a3b2blal иа2агЬ3Ь2^1а1- Сколько существует классов эквивалентности? 11. а. Пусть F— лес, имеющий / = S(F) компонент с множеством вершин [п]. Мы говорим, что F — корневой (посаженный) лес, если выделена корневая вершина каждой компоненты связности леса F. Таким образом, если ср с2, ..., с^ — количество вершин в компонентах F (так что ^_Jci = n), то число p(F) способов, которыми можно посадить лес F, есть схс2 ... с^. Покажите, что число fe-ком- понентных корневых лесов на множестве [п], содержащих F, равно Ь. Для данного графа G с множеством вершин [я] определим многочлен P(G,x)=Zx^F^K (45) F где сумма берется по всем корневым лесам на [я], содержащимся в G. Пусть G обозначает
Упражнения 137 ( Ы \ дополнение G; то есть пара {t, /'} е I I образует ребро G тогда и только тогда, когда {i, j} — не ребро G. Используя п. (а) и принцип включения— исключения, покажите, что P(G, x) = (-\)n-1P(G, -х-п). (46) В частности, число c(G) остовных деревьев'> графа G дается формулой c(G) = {-l)n-lP(G,-ri)ln. (47) [3] 12. Пусть г^1. г-Черенковым V-разбиением числа п называется массив неотрицательных целых чисел Г Ьф2Ь3 .. ] я, ... аг I схс2сг ... J такой что ак~^а2~^ ... ^ аг ^ Ь{ ^ Ь2 ^ Ь3 ^ ..., «г ^ сх > с2 > с3 > ... и X аг + Z bt + 2 с< = п. Следовательно, 1-черенковое разбиение есть в точности V-разбиение. Пусть vr(n) обозначает число r-черенковых разбиений п. Покажите, что V г, (п\уп — Рг (*> т (*> ~ «'(х) k* — (1 - ^ (1 - ^2)... (1 - ^-') П (I - ^')2 * где Pi(x)=\, р2(х) = 2, Ч1(х) = 0, q2{x)=\, рг (х) = 2р,_, (х) + (х'~2 - 1) рг_2 (х), г > 2, qr(x) = 2qr_l(x) + (хг~2 - I) qr_2(x), г > 2, [3] 13. Дайте основанное на методе решета доказательство формулы пятиугольных чисел Эйлера 1+ £ (_!)«• [ж»(*.-1№+хя(Зл+1)/8] n>i __ . по-*') 1>\ ') Остовным деревом связного графа называется дерево, являющееся подграфом данного графа и содержащее все его вершины (оно всегда существует). Остовным деревом произвольного графа называется остовное дерево его компоненты связности. — Прим. перев.
Гл. 2. Методы решета Следует начать просеивание всех разбиений всех чисел д>0 и отбросить все, за исключением пустого разбиения числа 0. Предположим, что в предложении 2.2.6 функции e(i,}) имеют вид е (г, /) = а;_, для некоторых чисел а*, удовлетворяющих условиям а0 = 1 и a,k = 0 при k < 0. Покажите, что /=(5) равно коэффициенту при х"+1 в степенном ряде h(n)(l — щх + сцх2 — азХ3+ ...)"'. Выведите из формулы (21), что «[(^г+.)Г'='(")- <48) Турнир Т на множестве вершин [п] есть ориентированный граф на множестве [п] без петель, такой что каждая пара вершин соединена в точности одним ориентированным ребром. Пусть х,==ш(е)— вес ориентированного ребра е из i в / (обозначение i -»■/), если I < /, и —Xj, если i> j. Вес турнира Т по определению равен w (Т) = Це w (е), где е пробегает все ребра Т. a. Покажите, что Zw(T)= П (*/-*,), (49) где сумма берется по всем турнирам на [га]. b. Турнир Т транзитивен, если существует перестановка я<=@п, для которой я(г')-»-я(/) тогда и только тогда, когда i < /. Покажите, что не транзитивный турнир содержит некоторый 3-цикл, т.е. тройку вершин (и, v, до), для которых u-*-v-*- ->-до-»- и. c. Если Т и V— турниры на [га], мы пишем Т-^-Т', если V можно получить из Т, обращая 3-цикл, то есть заменяя ребра u->v, и->до, до->и ребрами а->и, а»->а, и->до и оставляя все другие ребра неизменными. Покажите, что до(7") = — до(Г). d. Покажите, что если Г <-> 7", то Г и Г' имеют одинаковое число 3-циклов.
Решения упражнений 139 [2+] е. Выведите из пп. (а) — (d), что det [лтГ1] /-пп П (х, */). [3-] 17. сократив все члены в левой части равенства (49), за исключением тех, которые соответствуют транзитивным турнирам Т. Пусть А{, ..., Ап — подмножества конечного множества А и Ви ..., Вп — подмножества конечного множества В. Для каждого подмножества S множества [я] положим As = Иге s ^i и Bs == = f]<<=s^r П° данным биекциям /s: As->Bs для всех 5 = [я] постройте явную биекцию h: А — ~~ Ц_1 Ai^-B — U"=i Bt. Ваше определение h должно зависеть только от биекций fs, но не от какого-нибудь упорядочения элементов А или меток на подмножествах Аи ..., Ап и Ви ..., Вп. Решения 1. Имеем п £<-i)'-'(;><=i: <-"'~'(П 1мг>= /-ft ^К' /-ft ^K/rsS =t(-')'-'(l) I f.w- /-ft V K / TsRt=S I г I -« -ELieli-irf"). flc=S г<=я \ « / Если |/?j = r, то внутренняя сумма равна fr-,»'-'c;)(>)-(i)S(-"'-'(;:;) = 60г> откуда следует доказательство формулы (36). Сумма (37) вычисляется аналогично. Эти формулы принадлежат Шарлю Жордану. Обширная библиография содержится в работе [21].
40 Гл. 2. Методы решета 2. а. Если рассматривать Л,- как множества элементов, имеющих свойство Pi, то дг = / (Г)= £ /_(У). ** у_,г Следовательно, 5ft-5A + 1+ ... +(-1Гй5„= 2 (-1)|Г|-*/>(П = |Г|>А = Z Z (-1)|Г|-*/.(п= = £ f.(io Z (-i)|r|-ft = |У]>й TsK |Г|>Й z L(^i(-ir4iri). |У|>* г-ft Легко видеть, что V (—1)' ( ■ ] = ( и_\ )^® Формула (38) следует из того, что f=(F)^0. Полагая 5 = L(0) = #Hin ... nA,) = s0-S,+ ... +(-i)fts„, можно переписать неравенство (38) в виде 5 > 50 - 5! Другими словами, частичные суммы So— Si + ••• ... (—\)kSk последовательно превышают и не превосходят величину S. В таком виде формула (38) принадлежит Бонферрони (Bonferroni, Pubblic. 1st. Sup. Sc. Ее. Coram. Firenze 8 (1936), 1—62). Эти неравенства иногда позволяют точно оценивать S, когда не все числа S,- можно вычислить явно. Ь. Ответ: £* (-!)'"*( [ )s,- >0, 0<fe<n.
Решения упражнений 141 Наиболее прямолинейное доказательство — индукция по п. Случай п = 0 тривиален (так как, если п = 0, точность последовательности означает, что W^Vo)- Детали опущены. Последовательность 0->V„ —>F„_, *■ ... *■ V/ —-> im д, -> О точна. Но dim (imdj) = rank djt так что доказательство следует из п. (а). Из формулы (41) имеем: dim V/ = rank dj + rank dj+l. С другой стороны, rank d/+1 = dim (imd/+1) и rankd/ = = dimF/— dim(ker<5/), так что dirn(imd/+1) = dim(kerd/). Доказательство следует из того, что imd/+I Skerdy. Для фиксированного ае/1 пусть Vf—пространство, порожденное символами [а, Т], если а е Ат; в противном случае V"=0. Пусть V" = Ц|7Ч-/Уг и tt^a — линейная оболочка единственного элемента [а], если а^ А{[\ ... ... П Лга; в противном случае Wa — 0. Тогда df Vf -> V/-i, /^1, и 50: Уо-> №а. (Таким образом, последовательность (39) есть прямая сумма таких последовательностей для фиксированных а.) Отсюда следует, что мы можем предположить А ={а}. Ясно, что до — сюръективное отображение, так что в члене W последовательность точна. Легко проверить, что <Э/-<Э/+1=0, так что (39)—комплекс. Так как А = = {а}, имеем dimF/=( . J и V (—l)i-/dim Уг = = 1 . . I. Можно несколькими способами показать, /л— 1\ что rank д] = 1 . . I, так что доказательство следует из п. (с). Существует много других доказательств, возможность понимания которых зависит от подготовленности. Например, рассматриваемый комплекс (39) в данном случае (А—{а}) есть тензорное произведение комплексов <ei\ 0->£/г —>■ №->0, где пространство Ut порождено [a, {ti}]. Ясно, что каждая последовательность 9?i точна, следовательно, точна последовательность (39). (Определение (42) не взято с потолка; это соотношения Кошуля и
142 Гл. 2. Методы решета последовательность (39) (А ={а}) есть комплекс Ко- шуля. Дальнейшую информацию см. практически в любом тексте по гомологической алгебре^. е., f. Следуют из того, что dimQr= \Т\, если dim V/ = S,. 4. J. В. Remmel, European J. Combinatorics 4(1983), 371 — 374. 5. Мы интерпретируем k\S{d,k) как число сюръективных функций f: [d]->-[&]. Пусть А— множество всех функций f: [d]-*- ->[&] и для i е [k] пусть Pi — свойство: i&imf. Функция f не обладает свойствами, разве лишь из rgS = {Pi Рь) тогда и только тогда, когда imf s {/: Р^Т), следовательно, число таких функций / есть id, где | Т\ = L Доказательство следует из предложения 2.2.2 6. а. Результат легко получается после проверки того, что любые пять матриц Рп линейно независимы. Ь. Пусть А — 3X3 N-матрица, сумма элементов в каждой строке и каждом столбце которой равна г. Дано, что А = £ «Л, (50) я где <x„eN и 2 «я — ''- Из разд. 1.2 число способов выбрать числа <x„eN так, чтобы Va„ —г, равно Из п. (а) представление (50) единственно, если по крайней мере одно из чисел a2i3, a32i, a132 есть 0. Число способов выбрать числа a123, a3i2, 023, е N и а213, а321, а132 е Р, так чтобы £a„ = r, равно числу слабых 6-разложений (г + 2\ числа г — 3, т. е. равно I _ I. Следовательно, Н3(г) = -сп-сп Уравнения (43) появились в § 40 работы [15], по существу, с тем же доказательством, что и выше. Вычисление Hi{r) на основе аналогичной техники практически совершенно невозможно, однако, используя теорему Гильберта о сизигиях, можно показать, что в принципе такое вычисление можно провести. См. Stanley R. Duke Math. 40 (1973), 607—632. Другой подход к вычислению Н„(г) при произвольном п см. в предложении 4.6.19. Теорема, упомянутая в п. (Ь), есть случай я = 3 теоремы Бирк- гофа — фон Неймана и доказана для произвольного п в лемме 4.6.18. ') Например, в кн. Бурбаки Н. Алгебра. Глава X. Гомологическая алгебра. — М. Наука, 1987. — Прим. перев. Т
Решения упражнений 143 [nlk\ i\kl fk(n) v (-1)г lim = > r~ n-foo n\ ^ i\kl ■l/fe a. V ( )(—l)'(n —/—1)!, если положим (—1)1 = 1. г=сЛ г ' b. g(n) = (n-l)! и g(0)=l. c. е~х{1 — log (1 — я)). d. D(n) = f(n) + f(n+ 1). Эта задача восходит к работе Whitworth W. A. Choice and Chance, 5-е издание (и, предположительно, ранние издания), Stechert, New York, 1934 (предл. 34 и упр. 217). Дальнейшую информацию и ссылки см. Tanny S. М., J. Combinatorial Theory 21(1976), 196—202 и R. Stanley, JPL Space Programs Summary 37—40, vol. 4(1966), 208—214. R. Stanley, JPL Space Programs Summary 37—40, vol. 4(1966), 208—214. Назовем перестановку стандартной, если за bi непосредственно не следует а, для 1 ^ i ^ п. Ясно, что каждый класс эквивалентности содержит в точности одну стандартную перестановку. Непосредственное применение метода включения ■— исключения показывает, что число стандартных перестановок равно п -1)'(2« — /)1 = А" (" + /)! a. Случай & = 1 равносилен теореме 6.1 Moon J. W. Counting Labelled Trees. Canadian Mathematical Monographs, № 1, 1970. В общем случае доказательство аналогично. b. Пусть fk(0) обозначает коэффициент при xk~l в P(G, х). т. е. fk(G) равно числу fe-компонентных корневых лесов/7 в графе G. Из принципа включения — исключения f*(G)=Z(-ir/<F,ft(^. р где F пробегает множество всех остовных лесов Gngk(F) обозначает число ^-компонентных корневых лесов на
Гл. 2. Методы решета множестве [п], содержащих F. (Заметьте, что п — t(F) ft— 1\ , равно числу ребер F). Из п. (а),gk{F) = р(F)\ \nf~k> где £ — t(F). Следовательно, С другой стороны, из формулы (46) коэффициент при хк~1 в (—l)n^-iP(Q,—х — п) равен (_1Г«^(_1/-'рЮ(^-|)/-'-(^)1 (52) F где сумма снова берется по остовным лесам F графа G с условием i = t(F). Требуемый результат доказан, так как выражения (51), (52) совпадают. Уравнение (47) (в сущности случай х = 0 в уравнении (46)) неявно содержится в работе Temperley V. Proc. Phys." Soc. 83(1964), 3—16. См. также работу Дж. В. Му- на, цитированную в п. (а), теорема 6.2. Общий случай уравнения (46) содержится в статье Bedrosian S. D. J. Franklin Inst. 227 (1964), 313—326. Впоследствии уравнение (46) было доказано А. К. Келмансом с использованием матричной техники. См. уравнение (2.19) в работе Cvetkovic D. М., Doob М., Sachs Н., Spectra of Graphs, Academic Press, New York, 1980. Простое доказательство формулы (46) и дополнительные ссылки имеются в работе Moon J. W., Bedrosian S. D. J. Franklin Inst. 316 (1983), 187—190. Уравнение (46) можно рассматривать как «теорему взаимности» для корневых деревьев. Его можно использовать вкупе с очевидным фактом, что P(G-\-H, х) = = xP(G,x)P(H,x) (где G-\-Н обозначает несвязное объединение G и Н) для унификации и упрощения многих известных результатов, касающихся перечисления остовных деревьев и лесов. Например, пусть Кп и Кг, s обозначают соответственно полный и полный двудольный графы. Тогда имеем Р(Ки х) = \^Р\пКх, х) = Xя-1 ^Р(Кп, x) = {x + nf~' ^Р(КГ + Ка, х) = х(х + г)г-1 (X + *Г' => Р (Кг, s,x) = (x + r + s) (х + s)r~l (х + гГ1 =>c(Kr,.) = s'-V-«.
Решения упражнений 145 12. Впервые этот результат появился в [18, гл. V. 3] и был сформулирован без доказательства в [19, предложение 23.8]. 13. Andrews G. Е. The Theory of Arithmetic Functions (A. A. Gioia and D. L. Goldsmith, eds.), Lecture Notes in Math., no 251, Springer, Berlin, 1972, pp. 1—20. См. также гл. 9 работы [1.1]. 14. Имеем = h(n) 2 (— l)n~kaa aa a . . . a„+i-ak = l<c,< ... <ab<n i2i в bt+b2+ ...+bk+^n+l ab iabt ■ ■ ■ abk+l = h(n) 2 С (a,a; — a2x2 + a3x? — ...)+1 = fe<-l Л+1 = Л (я) С (1 — axx-\- a^x2 ...)"'. 15. Пусть S = {1, 2, .... n — 1} в формуле (21). Существует единственная перестановка я е ©„, удовлетворяющая условию D(n) = S, а именно п = (п, я—1, ..., 1). Тогда г(я)=1 „ I. Следовательно, Р„(5, q)=q^2'. С другой стороны, правая часть равенства (21) превращается в левую часть равенства (48), откуда и следует требуемый результат. 16. Этот результат взят из работы Gessel I. J. Graph Theory 3(1979), 305—307. Пункт (d) впервые рассмотрен в статье Kendall М. G., Babington Smith В. Biometrika 33(1940), 239—251. Главный момент в решении п. (е) следующий: пусть G — граф, вершины которого — турниры Т на множестве [л], а ребра — множества пар Т, 7', таких, что Т-*-*-Т. Тогда из п. (с) и (d) выводим, что G — двудольный и регулярный граф1), так что компонента связности G, содержащая Т, состоит из некоторого числа турниров веса w(T) и такого же числа турниров веса —w (Т). ') Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на такие (непересекающиеся) подмножества Vi U V2 = V, что любое его ребро имеет вид (vit У2), 4i е Ki, у2 е V2. Граф называется регулярным, если каждая его вершина инцидентна одному и тому же количеству ребер. — Прим. перев.
146 Гл. 2. Методы решета Некоторые далеко идущие обобщения появились в работах Zeilberger D., Bressoud D. М. A proof of Andreiws q-Dyson conjecture, Discrete Math. 54(1985), 201—224; Bressound D. M. Colored tournaments and Weyl's denominator formula, Pennsylvania State University Research Report и Calder- bank A. R., Hanlon P- The extension to root systems of a theorem on tournaments, J. Combinatorial Theory (A) 41(1986), 228—245. Первая из этих ссылок содержит решения упражнения 8 (с) главы 1. 17. [11]. * * * Примечание автора в корректуре русского перевода. Значительная часть теории досок Ферре, изложенная в этой главе, до статей [6]—[10] появилась в работе Foata D., Shutzenberger М. P. On the rook polynomials of Ferrers relations, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai 4, Combinatorial Theory and its Applications, vol. 2 (P. Erdos, A. Renyi and V.T. Sos, eds), North-Holland Amsterdam/London, 1970, p.p. 431—436. В частности, паше следствие 2.4.5 есть теорема 11 этой работы.
Глава 3 ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 3.1. Основные понятия Теория частично упорядоченных множеств (или ч. у. множеств)1) играет важную объединяющую роль в перечислительной комбинаторике. В частности, теория обращения Мёбиуса на частично упорядоченном множестве является далеко идущим обобщением принципа включения — исключения, а теория биномиальных ч.у. множеств представляет универсальный источник различных классов производящих функций. На протяжении главы будут в основном освещаться эти две темы, но и многие другие интересные аспекты частично упорядоченных множеств также будут представлены. Чтобы обрисовать спектр возможных направлений теории частично упорядоченных множеств в связи с принципом включения— исключения, рассмотрим следующий пример. Пусть у нас есть четыре конечных множества А, В, С, D, такие, что D=A[}B = A[}C = B[}C = A[}B[}C. Из принципа включения — исключения следует, что Мияис| = М| + |Я| + |С|-|Лля|-Мпс|-|япс| + +|лпяпс|= = M| + |B| + |C|-2|D|. (1) Соотношения А [}В=А (1 С=#Л С=А (]В(\ С сводят общее се- мичленное выражение для | Л U ^ U С\ к четырехчленному выражению, так как в наборе пересечений множеств А, В, С есть только четыре различных члена. Каков смысл коэффициента —2 в формуле (1)? Сможем ли мы эффективно сосчитать такой коэффициент для более сложной совокупности равенств между пересечениями множеств А\, Аъ, ..., Л„? Ясно, что коэффициент —2 зависит только от отношения частичного порядка между множествами А, В, С, D, т. е. от того факта, что D<=A, D еВ, D еС. Действительно, в дальнейшем мы увидим, что —2 есть некоторое значение функции Мёбиуса этого частичного порядка (присоединяется еще дополнительный элемент, отвечаю- ') В оригинале — partially ordered set (poset); мы не рискнули вводить термины «чум» или «посет», хотя иногда они использовались в русской литературе. — Прим. ред.
148 Гл. 3. Частично упорядоченные множества щий пустому пересечению). Таким образом, обращение Мёбиуса при благоприятных обстоятельствах упрощает метод включения— исключения. Однако мы также увидим, что обращение Мёбиуса имеет гораздо более далеко идущие приложения, нежели просто обобщение принципа включения — исключения. Прежде чем погружаться с головой в теорию алгебр инцидентности и функций Мёбиуса, полезно развить некоторую интуицию в отношении структуры конечных частично упорядоченных множеств. Поэтому в первых пяти разделах этой главы мы соберем воедино основные определения и результаты данного предмета, хотя, строго говоря, для понимания теории обращения Мёбиуса в большинстве из них нет необходимости. Частично упорядоченное множество Р (или, для краткости, ч. у. множество) есть множество (которое, допуская нестрогость в обозначениях, мы также называем Р), вместе с бинарным отношением, обозначаемым ^ (или ^р, если есть возможность путаницы), удовлетворяющее следующим трем аксиомам: 1. Для каждого элемента х^Р, х^.х (рефлексивность). 2. Если J( < 1/ и I/ < х, тох = г/ (антисимметричность). 3. Если х<(/и^г, tox^z (транзитивность). Мы используем очевидные обозначения х ^ у, означающие у^х, х < у (означает х^у и хфу) и х>у (означает у<.х). Мы говорим, что элементы х и у множества Р сравнимы, если х =^ у или у =^ х; в противном случае элементы х и у несравнимы. Прежде чем обращаться к более длинному списку связанных с ч.у. множествами определений, рассмотрим некоторые примеры конечных ч. у. множеств, представляющих комбинаторный интерес. Мы позже рассмотрим их более детально. 3.1.1. Пример a. Пусть п е Р. Множество [п] с обычным порядком образует «-элементное ч.у. множество, обладающее тем особым свойством, что любые два его элемента сравнимы. Это ч.у. множество обозначается п. Конечно, п и [я] совпадают как множества, но мы используем обозначение п, чтобы подчеркнуть порядковую структуру. b. Пусть rtsN- Мы можем превратить множество 21"1 всех подмножеств множества [п] в ч.у. множество Вп, положив по определению S^T в Вп, если 5 s Т как множества. Говорят, что Вп состоит из подмножеств множества [га] «упорядоченных по включению». c. Пусть яе!. Множество всех целых положительных делителей числа п можно превратить в ч.у. множество Dn «есте-
3.1. Основные понятия 149 ственным» способом, положив i ^ / в Dn, если / делится на i (обозначение i\j). d. Пусть ке Р. Множество П„ всех разбиений множества [п] можно сделать ч.у. множеством (также обозначаемым Ип), положив я ^ о в П„, если каждый блок я содержится в блоке а. Например, если п = [9] и если разбиение я имеет блоки 137, 2, 46, 58, 9 и а имеет блоки 13467, 2589, то я < а. В этом случае мы говорим, что разбиение я есть измельчение разбиения а и что ч.у. множество П« состоит из разбиений множества [я], «упорядоченных по измельчению».') о ООО О О О О V J ь х/ V чь с/ А b Рис. 3.1. е. В общем, любой набор множеств можно упорядочить по включению, чтобы образовать ч. у. множество. Некоторые случаи представляют особый комбинаторный интерес. Пусть, например, Ln(q) — ч. у. множество, состоящее из всех подпространств «-мерного векторного пространства Vn{q) над полем F? из q элементов, упорядоченных по включению. Мы увидим, что Ln{q) есть обладающий хорошим поведением <«7-аналог»ч.у. множества Вп, определенного в п. (Ь). Теперь мы приведем список основных определений и результатов, связанных с частично упорядоченными множествами. Некоторые читатели, возможно, захотят перейти сразу к разд. 3.6 и обращаться к пропущенному материалу только при необходимости. Два ч. у. множества Р и Q изоморфны, если существует сохраняющая порядок биекция ср :P->Q, обратная к которой •) В теории меры и в анализе принято упорядочение разбиений, противоположное этому, однако в комбинаторике более удобно то, которое приводится в тексте. — Прим. ред.
150 Гл. 3. Частично упорядоченные множества также сохраняет порядок, т. е. х^.у в Р <=?■ ф (хХ ф (у) в Q. При определении понятия «ч. у. подмножества» следует проявить некоторую осторожность. Под слабым ч. у. подмножеством ч. у. множества Р мы понимаем подмножество Q элементов множества Р и такое частичное упорядочение Q, что если х ^ у в Q, то х ^ у в Р. Если 2 — слабое ч. у. подмножество Р и P = Q как множества, то мы называем Р измельчением Q. Под индуцированным ч.у. подмножеством Р мы понимаем подмножество Q ч. у. множества Р с частичным порядком на Q, таким, что для х, у eQ имеем х ^ у в Q тогда и только тогда, когда х ^. у в Р. В этом случае мы говорим, что ч. у. подмножество Q ч.у. множества Р имеет индуцированный порядок. Таким образом, конечное ч. у множество Р имеет в точности 2 индуцированных ч. у. подмножеств. Под ч. у. подмножеством Р мы всегда будем понимать индуцированное ч. у. подмножество. Специальным типом ч.у. подмножества Р является (замкнутый) интервал [х,у)= {z е Р: х ^ z ^ у}, определенный в случае, если х ^ у. (Таким образом, пустое множество не рассматривается как интервал.) Интервал [х, х] состоит из единственного элемента х. Если любой интервал Р конечен, то Р называется локально конечным ч. у. множеством. Положим по определению ч.у. подмножество Q ч.у. множества Р выпуклым, если i/eQ при условии, что х<.у<.гвРих, zeQ. Интервал, таким образом, выпуклый. Аналогично определим открытый интервал (х,у)= {ze Р: х < z < у), так что (х,х) = 0. Если х, у s Р, то мы говорим, что элемент у покрывает элемент х, если х < г/ и ни один элемент геЯ не удовлетворяет условию х <. z <. у. Таким образом, у покрывает х тогда и только тогда, когда х <. у и [х,у]={х,у). Локально конечное ч. у. множество Р полностью определяется своим отношением покрытия. Диаграммой Хассе конечного ч. у. множества Р называется граф, вершинами которого являются элементы Р, а пара (а, Ь) образует ребро, если элемент Ъ покрывает элемент а, и такой, что если х < у, то у рисуют «выше» х (т. е. с большей вертикальной координатой). На рис. 3.1 показаны диаграммы Хассе всех (с точностью до изоморфизма) ч.у. множеств, не более чем с 4 элементами. Некоторую осторожность нужно проявлять при «опознавании» ч.у. множеств по их диаграммам Хассе. Например, граф А является полноценной диаграммой Хассе, однако кажется, что он пропущен в упомянутой выше
3.1. Основные понятия 151 таблице. Мы надеемся, что читатель разрешит этот вопрос. Аналогично, почему выше не встретился граф <Чг> ? На рис. 3.2 показаны диаграммы Хассе некоторых ч.у. множеств, рассмотренных в примере 3.1.1. 5 В3 1)и II, L,(2) Рис. 3.2. Мы говорим, что ч. у. множество Р имеет О, если существует такой элемент ОеР, что х^О для всех х^Р. Аналогично Р имеет 1, если существует такой элемент 1еР, что х <! 1 для всех х е Р. Мы обозначаем Р ч. у. множество, полученное из Р присоединением 0 и 1 (несмотря на возможно уже содержащиеся в Р элементы 0 или 1). См. примеры на рис. 3.3. Рис. 3.3. Цепью (или вполне упорядоченным множеством, или линейно упорядоченным множеством) называется ч.у. множество, любые два элемента которого сравнимы. Так ч. у. множество п примера 3.1.1 (а) есть цепь. Подмножество С ч.у. множества Р называется цепью, если С, рассматриваемое как ч.у. подмножество ч.у. множества Р, есть цепь. Цепь С ч.у. множества Р называется насыщенной (или неизмельчаемой), если не существует такого элемента геР — С, что х < z < у для некоторых х, ^еС, и СU {z} есть цепь. В локально конечном ч.у. множестве
152 Гл. 3. Частично упорядоченные множества цепь хо < х\ < ... <.хп насыщена тогда и только тогда, когда Xi покрывает x,--i при 1 =^ i =^ п. Длина 1(C) конечной цепи определяется равенством /(С) = ]С|—1. Длина (или ранг) конечного ч. у. множества Р есть /(/>):= max {1(C); С — цепь в Р). Длина интервала [х, у] множества Р обозначается 1(х,у). Если каждая максимальная цепь в Р имеет одну и ту же длину «, то говорим, что ч. у. множество Р градуированное ранга п. В этом случае существует единственная ранговая функция р: Р-*- -»-{0, 1, ..., п}, такая, что р(х) = 0, если х—■ минимальный элемент Р и р(у) = р(дг)-|- 1, если у покрывает х в Р. Если р(х) — i, то мы говорим, что х имеет ранг [. Таким образом, если х ^ у, то 1(х, у)= р(у)—р(х). Если Р — градуированное ч. у. множество ранга п и содержит pi элементов ранга i, то многочлен F(P, q)=tpiql i=0 называется рангово-производящей функцией ч. у. множества Р. Например, все ч.у. множества n, Вп, Dn, Пл и Ln(q) из примера 3.1.1 являются градуированными. Читатель может проверить правильность заполнения следующей таблицы (некоторые из клеток которой будут более детально обсуждены позже). Ч. у. множество Р Ранг элемента *еР Ранг Р п х — 1 п — 1 Вп card х п Dn число простых делителей х (под- число простых де- считаниых с учетом кратности) лителей п Нп п — \ х | я — 1 Ln (q) dim х п Мультицепь ч. у. множества Р есть цепь с повторяющимися элементами, т. е. мультимножество на множестве, являющемся цепью в Р. Мультицепь длины п есть в точности последовательность хо ^ х\ ^ х2 ... ^ хп элементов ч. у множества Р. Антицепь (или семейство Шпернера, или клаттер) есть подмножество А ч.у. множества Р, в котором любые два элемента несравнимы. Порядковый идеал (полуидеал или нижнее множество, или убывающее подмножество) ч.у. множества Р есть такое подмножество / ч.у. множества Р, что если д:е/ и у ^ х, то г/е/. Аналогично двойственный порядковый идеал (или фильтр) есть подмножество / ч.у. множества Р, такое, что если х s / и у^х, то у е /. Если Р — конечное ч. у. множество, то
3.2. Новые ч. у. множества из старых 153 существует взаимно однозначное соответствие между антицепями А из Р и порядковыми идеалами /. Именно антицепь А есть множество максимальных элементов идеала /, а / = ^еР: х^.у для некоторого г/еЛ}. (2) Множество всех порядковых идеалов ч. у. множества Р, упорядоченное по включению, образует ч. у. множество, обозначаемое /(/>). В разделе 3.4 мы изучим J(P) более подробно. Если множества / и А связаны соотношением (2), то мы говорим, что А порождает I. Если А={х\, ..., хк), то мы используем обозначение / = (х{, ..., хп} для порядкового идеала, порожденного множеством А. Порядковый идеал (х) называется главным порядковым идеалом, порожденным элементом х, и обозначается Ах. Аналогично, Vx обозначает главный двойственный порядковый идеал, порожденный элементом х, т. е. Vx — {// е Р: у ^ х}. 3.2. Новые ч. у. множества из старых К одному и более ч.у. множествам можно применять различные операции. Если Р и Q — ч.у. множества на непересекающихся множествах, то дизъюнктным объединением (или прямой- суммой) Р и Q называется ч. у. множество Р + Q на объединении P[)Q, такое, что x^Zy в Р + Q, если либо (а) х, у е Р и х ^ у в Р, либо (Ь) х, г/е Q и х ^ у в Q. Ч.у. множество, не являющееся дизъюнктным объединением двух непустых ч. у. множеств, называется связным. Дизъюнктное объединение п ч. у. множеств Р обозначается пР; следовательно, «-элементная антицепь изоморфна п\. Если Р и Q, как и выше, — ч.у. множества на непересекающихся множествах, то порядковая сумма Р и Q есть ч. у. множество Р ® Q на объединении Р U Q, такое, что х ^ г/ в Р ® Q, если (а) #, г/ е Р и д: ^ у в />, или (Ь) х, у s Q и х ^ г/ в Q, или (с) л; е Р и г/ е Q. Таким образом, я-элементная цепь определяется равенством п = 1 Ф 1 © ... ... Ф1 (п раз). Из 16 4-элементных ч.у. множеств в точности одно не может быть построено из ч. у. множества 1 с использованием операций дизъюнктного объединения и порядковой суммы. Ч.у. множества, которые можно построить таким способом, называются последовательно-параллельными ч. у. множествами. Если Р и Q ч.у. множества, то прямое (или декартово) произведение Р и Q есть ч. у. множество Я X Q на множестве {(х, у): х s Р Hi/eQ}, такое, что (х, у) ^ (л/, у') в Р X Q, если х ^. х' в Я и у ^.у' в Q. Прямое произведение п экземпляров ч.у. множества Р обозначается Рп. Чтобы нарисовать
154 Гл. 3. Частично упорядоченные множества диаграмму Хассе ч. у. множества PX.Q (если множества Р и Q конечные), нарисуем диаграмму Хассе ч.у. множества Р, заменим каждый элемент х из Р копией Qx ч.у. множества Q и соединим соответствующие элементы Qx и Qy (по отношению к некоторому изоморфизму Qx = Qy), если элементы х и у соединены в диаграмме Хассе ч.у. множества Р. Например, диаграмму Хассе ч. у. множества ( / \ °) * ( | \ | ) рисуют, как показано на рис. 3.4. Л - - М" "N N Шаг 2 Рис. 3.4. Из определения ясно, что прямые произведения Р X Q и Q X Р изоморфны. Однако диаграмма Хассе, полученная заменой Р на Q и Q на Р в описанной выше процедуре, в общем случае выглядит совершенно не похожей на исходную, хотя они, конечно, изоморфны. Если Р и Q градуированы с рангово-про- изводящими функциями F(P,q) и F(Q,q), то легко видеть, что ч. у. множество Р X Q градуировано и F(PXQ,q) = F(P,q)-F(Q,q). (3) Следующая операция над ч.у. множествами — порядковое произведение Р® Q. В этом случае частичный порядок на множестве {(х, у): х е Р, у е Q} вводится так: (я, г/) ^ (х', г/'), если (i) х = л:' и у ss: t/, или (ii) х <С л/. Чтобы изобразить диаграмму Хассе P<2)Q (где множества Р и Q конечны), нарисуем диаграмму Хассе ч.у. множества Р, заменим каждый элемент х из Р копией Qx ч. у. множества Q, а затем соединим каждый максимальный элемент Qx с каждым минимальным элементом Qy при условии, что у покрывает х в Р. Если ч.у. множества Р и Q градуированы и ранг Q равен г, то аналогом уравнения (3) для
3.3. Решетки 155 порядкового произведения является уравнение F(P®Q, q) = F(P, qr+i)-F(Q, q). Заметьте, что в общем случае ч. у. множества P®QuQ®Pue имеют одной и той же рангово-производящей функции, так что, в частности, они не изоморфны. Теперь мы хотим рассмотреть двойственное ч.у. множество к Р. Это ч. у. множество Р* на том же самом множестве, что и Р, но такое, что х ^ у в Р* тогда и только тогда, когда у ^ х в Р. Если ч.у. множества Р и Р* изоморфны, то Р называется самодвойственным. Из 16 четырехэлементных ч.у. множеств 8 самодвойственны. Если Р и Q ч. у. множества, то Qp обозначает множество всех сохраняющих порядок отображений /: P->Q, т. е. х^.у в Р влечет за собой f{x)^.f(y) в Q. Мы снабдим Qp структурой ч. у. множества, положив f ^.g, если f(x)k^g(x) для всех х е Р. Простым упражнением является проверка справедливости следующих правил арифметики кардиналов (знак равенства нужно интерпретировать как изоморфизм): a. операции + и X ассоциативны и коммутативны. b. PX(Q + R) = (PXQ) + (PXR). c. tf+Q = IfXRQ. 3.3. Решетки Здесь мы кратко опишем важный класс ч. у. множеств, называемых решетками. Если элементы х и у содержатся в ч. у. множестве Р, то верхней гранью хну называется элемент z, удовлетворяющий условиям г^^иг>1/, Наименьшая верхняя грань хну есть верхняя грань z элементов х и у, такая, что любая верхняя грань w элементов х и у удовлетворяет условию w ^ z. Если наименьшая верхняя грань х и у существует, то она, очевидно, единственна и обозначается х V у (читается «объединение х и у» или «супремум х и у»). Двойственным образом можно определить наибольшую нижнюю грань х Л у (читается «пересечение х и у» или «инфимум х и у») в тех случаях, когда она существует. Решетка — это ч.у. множество, в котором любая пара элементов имеет наименьшую верхнюю грань и наибольшую нижнюю грань. Решетки можно также определять аксиоматически в терминах операций V и А, но для комбинаторных целей в этом нет необходимости, Читатель, однако, должен про? верить, что в решетке L;
156 Гл. 3. Частично упорядоченные множества а. операции V и Л ассоциативны, коммутативны и идемпо- тентны (т. е. х Л х = х V х = х); b. х Л (х V у) = х = х V (х Л г/) (законы поглощения); c. л; Л у = х<^>х V г/ = //-ФФх^г/. Ясно, что все конечные решетки содержат элементы 0 и 1. Если L и М — решетки, то таковыми же являются V, LY,M и L® М. Однако L + М никогда не будет решеткой, если только одно из множеств L или М непусто, но ч. у. множество L + М всегда является решеткой. На рис. 3.5 показаны диаграммы Хассе всех решеток, содержащих не более шести элементов. . 11 i <> I <5> ^ ф О <HfO^<i>f О О ф Ф # Ф 4- Рис. 3.5. При проверке, является ли (конечное) ч.у. множество решеткой, иногда легко увидеть, что пересечение, скажем, существует, но существование объединения не столь очевидно. Поэтому будет полезным критерий, сформулированный в следующем предложении. Если каждая пара элементов ч. у. множества Р имеет пересечение (соответственно объединение), то говорим, что Р — нижняя полурешетка (соответственно верхняя полурешетка)1). 1) В оригинале «meet-semilattice», «join-semilattice» — в переводах на русский язык наряду с использованием нами терминами встречаются также обозначения «Д-полурешетка» и «V-полурешетка». — Прим. перев.
3.3. Решетки 157 3.3.1. Предложение. Пусть Р — конечная нижняя полурешетка с 1. Тогда Р есть решетка. (Разумеется, двойственным образом конечная верхняя полурешетка с 0 есть решетка.) Доказательство. Если х, у е Р, то множество S = {ze Р: z^z х и z ^ у} конечно (так как Р конечно) и непусто (так как leS). По индукции убеждаемся, что существует пересечение конечного множества элементов нижней полурешетки. Следовательно, имеем х V У= AzsSz. □ Предложение 3.3.1 не выполняется для бесконечных решеток L, так как не обязательно существует пересечение или объединение элементов произвольного подмножества в L. Если любое подмножество элементов решетки L действительно имеет пересечение и объединение, то L называется полной решеткой. Ясно, что полная решетка содержит элементы 0 и 1. Теперь мы рассмотрим один из типов решеток, представляющих для комбинаторики наибольший интерес. 3.3.2. Предложение. Пусть L — конечная решетка. Следующие два условия эквивалентны: i. L градуирована, и ранговая функция р решетки L удовлетворяет условию р (я) + р (у) Жр (х~ V у) + р (х Л у) для всех х, y^L. ii. Если элементы х и у оба покрывают х\А у, то элемент х V у покрывает как х, так и у. Доказательство (i)=>-(ii). Предположим,~что х и у покрывают х А У- Тогда р(х) = р(у) = р(х Ау)+1 и р(х V у)> р(х) = р(у). Следовательно, из п. (i) имеем р(х V у) = р(х)•+ 1 =р{у) + 1, так что х V у покрывает элементы х и у. (ii)=>(i). Предположим, что решетка L не градуированная, и пусть [и, v] — интервал из L минимальной длины, не имеющий градуировки. Тогда существуют элементы Ху, Хг интервала [и, v], покрывающие и и такие, что все максимальные цепи каждого интервала [xi, v] имеют одну и ту же длину /,-, где U ф 1%. Из п. (ii) следует, что в интервалах [xi,v] существуют насыщенные цепи вида xs < х\ V х2 < г/i < уч < ... <yk = v, что противоречит утверждению 1\ Ф h. Следовательно, решетка L градуирована. Предположим теперь, что существует пара элементов х, у решетки L с условием p(x) + p(y)<p(xAy) + p(xVy), (4) и выберем такую пару с минимальным значением I (х А у, xWу), а затем с минимальным значением р(х)-\-р(у). В силу п. (ii) оба элемента х и у не могут покрывать х/\у. Поэтому
158 Гл. 3. Частично упорядоченные множества предположим, например, что xAy<x'<ix. Из минимальности 1(х Л у, х V у) и р (х) -{- р (у) имеем Р-ОО + Р (У) > РV Ay) + p(x'V у). (5) Теперь х' Л у = х Л у, так что из формул (4), (5) следует, что р(*) + р(*' V У) < р(х') + р(х V у). Ясно, что х А(х' V у)^ х' и х\/ (хг у y) = xV у. Следовательно, положив Х = х, Y = х' \/ у, мы нашли пару элементов X, Ye=L с условием p(Z) + p(F)< p(J Л К) + р(Х V К) и / (Jf Л У, X V У) <Цх А У, х V */)• Полученное противоречие завершает доказательство. □ Конечная решетка, удовлетворяющая любому из условий предыдущего предложения, называется конечной полумодулярной сверху решеткой или просто конечной полумодулярной решеткой. Читатель может проверить, что из 15 решеток с шестью элементами в точности восемь являются полумодулярными. Рис. 3.6. Конечная решетка L, двойственная к которой решетка L* полумодулярна, называется полумодулярной снизу. Конечная решетка, которая является одновременно полумодулярной сверху и снизу, называется модулярной решеткой. В силу предложения 3.3.2 конечная решетка является модулярной тогда и только тогда, когда она градуирована и ее ранговая функция р удовлетворяет условию р (*) + р {у) = р (х А У) + Р (х V у) для всех х, у <= L. (6) Например, решетка Ln(q) подпространств (упорядоченных по включению) я-мерного векторного пространства над полем Fq является модулярной, так как ранг подпространства есть в точности его размерность и формула (6) известна из линейной алгебры. Любая полумодулярная решетка не более чем с шестью элементами является модулярной. Существует единственная се- миэлементная не модулярная, полумодулярная решетка, показанная на рис. 3.6. Эта решетка не является модулярной, так как элемент х V у покрывает х и г/, но элементы х и у не по-
3.3. Решетки 159 крывают х Ay. Можно показать, что конечная решетка L является модулярной тогда и только тогда, когда для любой тройки элементов х, у, z из L, где х ^ z, имеем х\/.(уАг) = (хУу)Аг. (7) Это позволяет распространить понятие модулярности на бесконечные решетки, хотя мы будем рассматривать только конечные решетки. a b с • • • а d Рис. 3.7. Рис. 3.8. Решетка L с 0 и 1 называется решеткой с дополнениями, если для каждого элемента x^L существует такой элемент jel, что х А У = 0 и х V У = 1- Если для всех элементов х дополнение у единственно, то L — решетка с единственными дополнениями. Если каждый интервал [х, у] решетки L является решеткой с дополнениями, то решетка L есть решетка с относительными дополнениями. Атомом конечной решетки L называется элемент, покрывающий 0, и если любой элемент L есть объединение атомов, то решетка L называется атомарной (или точечной решеткой). Двойственным образом, коатом — это элемент, который покрывается 1 и очевидным образом определяется коатомарная решетка. Доказательство следующего простого результата мы опускаем. 3.3.3. Предложение. Пусть L — конечная полумодулярная решетка. Следующие два условия эквивалентны: \. L — решетка с относительными дополнениями, и. L — атомарная решетка. О Каждая полумодулярная решетка, удовлетворяющая условиям (i) или (И), приведенным выше, называется конечной геометрической решеткой. Основным примером является следующий. Возьмем любое конечное множество точек S в некотором аффинном пространстве V над полем k (или даже над кольцом с делением). Тогда упорядоченные по включению подмножества из S вида S(]W, где W — аффинное подпространство в V,
160 Гл. 3. Частично упорядоченные множества образуют геометрическую решетку L(S). Например, если взять множество S cz R2 таким, как показано на рис. 3.7, то элементами L(S) являются 0, {а}, {Ь}, {с}, {d}, {a, d), {b, d], {с, d), {a, b, с}, {a, b, с, d}. В этом примере решетка L(S) в действительности модулярная; она показана на рис. 3.8. Возможно, читатель захочет проверить правильность заполнения (местами многословной) таблицы, касающейся ч.у. множеств примера 3.3.1. Ч. у. множество Р Свойства, которыми обладает Р Свойства, которыми Р не обладает (п велико) Вп Dn Ln{q) модулярная решетка модулярная решетка, решетка с относительными дополнениями, с единственными дополнениями, атомарная, коатомарная геометрическая модулярная решетка геометрическая решетка модулярная решетка, решетка с относительными дополнениями, атомарная, коатомарная, геометрическая решетка с дополнениями, атомарная, коатомарная, геометрическая решетка с дополнениями, атомарная, коатомарная, геометрическая (если только п не свободно от квадратов, в противном случае Dn = Вп) модулярная решетка с единственными дополнениями 3.4. Дистрибутивные решетки Наиболее важный класс с комбинаторной точки зрения образуют дистрибутивные решетки. Они определяются законами дистрибутивности: х V(yAz) = (xV у)А(х Vz), хЛ(г/Л2) = (хЛ у) V (х Az). ' (Можно доказать, что любой из этих законов влечет за собой другой.)1) Если мы предположим, что х ^ z в первом законе ') То есть выполнение одного тождества для всех троек х, у, z влечет за собой выполнение другого тождества также для всех троек. Выполнение одного тождества для какой-нибудь тройки элементов х, у, г не влечет, конечно, выполнения другого тождества для этой же тройки, — Прим. перев.
3.4. Дистрибутивные решетки 161 дистрибутивности, то получим формулу (7), так как xVz = z. Следовательно, каждая дистрибутивная решетка является модулярной. Решетки п, Вп и Dn примера 3.1.1 дистрибутивны, а решетки Лп (п > 2) и Ln{q) (я > 1) не дистрибутивны. Другой пример дистрибутивной решетки дает решетка J(P) порядковых идеалов ч.у. множества Р. Решеточные операции V и Л на порядковых идеалах есть в точности объединения и пересечения их (как подмножеств множества Р). Так как объединение и пересечение порядковых идеалов есть снова порядковый идеал, то из хорошо известного свойства дистрибутивности объединений и пересечений множеств следует, что J(P) действительно дистрибутивная решетка. Фундаментальная теорема для конечных дистрибутивных решеток (ФТКДР) гласит, что обратное тоже верно, если решетка конечна. 3.4.1. Теорема (ФТКДР). Пусть L — конечная дистрибутивная решетка. Тогда существует единственное (с точностью до изоморфизма) конечное ч. у. множество Р, для которого L^J(P). Замечание. Для комбинаторных целей было бы лучше всего в действительности определить конечную дистрибутивную решетку как произвольное ч.у. множество вида J(P), Р конечно. Однако, чтобы избежать конфликта с установившейся практикой, мы дали обычное определение. Чтобы доказать теорему 3.4.1, сначала мы должны построить кандидата Р, а затем показать, что в действительности L^J(P). Назовем элемент х решетки L неразложимым в объединение '), если нельзя записать х в виде х = у V г, где у <. х и z <. х. (Двойственным образом определяется элемент, неразложимый в пересечение.) Мы предполагаем, что элемент 0 не является неразложимым в объединение. Порядковый идеал / конечного ч.у. множества Р неразложим в объединение в J(P) тогда и только тогда, когда он является главным идеалом в Р. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между неразложимыми в объединение элементами Л* из J (Р) и элементами х из Р. Так как Ах £ Л,, тогда и только тогда, когда х ^ у, мы получаем 3.4.2. Предложение. Множество неразложимых элементов из J(P), рассматриваемое как (индуцированное) ч.у. подмножество решетки J(P), изоморфно Р. Следовательно, J(P)^J(Q) тогда и только тогда, когда Р ^ Q. П ') В литературе неразложимые в объединение элементы иногда называют «V-неразложимымн», а неразложимые в пересечение — «Д-неразложи- мыми».—Прим. перев.
162 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Доказательство теоремы 3.4.1. В силу предложения 3.4.2 достаточно показать, что если Р— ч.у. подмножество неразложимых в объединение элементов из L, то L ^ / (Р). По данному х е L положим 1Х = {у е Р: у^х}. Ясно, что IX<=J(P), так что отображение *->-/* определяет сохраняющее порядок (на самом деле сохраняющее пересечения) вложение L -^> J.(P), обратное к которому сохраняет порядок на (p(L). Следовательно, нам нужно показать, что ф — сюръекция. Пусть /e/(f) и Х = У{У- У^1}- Нам нужно показать, что 1 = 1Х. Ясно, что / £ 1Х. Пусть z е 1Х. Теперь \/{у: y(=I}=V{y: y^Ix}. (9) Применим Аг к формуле (9). Из дистрибутивности получим V{yAz:y^l}=V{yAz:y^Ix}. (10) Правая часть равенства есть в точности г, так как один из членов есть z, а все другие =5^2. Так как элемент z неразложим в объединение (будучи по определению элементом из Р), из формулы (10) следует, что некоторый элемент у^.1 удовлетворяет условию 1/Лг = 2, т. е. z ^ у. Так как / — порядковый идеал, ze/, то 1Х £ /. Следовательно, / = 1Х. Откуда и следует результат. □ В некоторых комбинаторных задачах естественно появляются бесконечные дистрибутивные решетки специального вида. Таким образом, назовем локально конечную дистрибутивную решетку L с элементом 6 финитарной дистрибутивной решеткой. Отсюда следует, что L имеет единственную ранговую функцию р: L-»-N, где р(х) — длина любой насыщенной цепи от 0 до х. Если решетка L имеет конечное число р, элементов любого данного ранга i е N, то можно определить рангово- производящую функцию F(L,q) равенством F(L, q)=Z P,q'. i >0 В этом случае, конечно, F{L,q) не обязательно многочлен, но в общем случае — формальный степенной ряд. Мы оставляем читателю проверить, что ФТКДР для финитарных решеток формулируется так: 3.4.3. Предложение. Пусть Р — ч.у. множество, такое, что любой его главный порядковый идеал конечен. Тогда ч. у. множество /f (Р) конечных порядковых идеалов ч. у. множества Р, упорядоченных по включению, есть финитарная дистрибутивная решетка. Обратно, если L — финитарная дистрибутивная ре-
3.4. Дистрибутивные решетки 163 шетка и Р — ее ч.у. подмножество, состоящее из элементов, неразложимых в объединение, то любой главный идеал ч. у. множества Р конечен и L = Jf{P). □ Теперь мы обратимся к исследованию комбинаторных свойств решетки J(Р) (где ч.у. множество Р конечно) и взаимосвязи между ч.у. множествами Р и J{P). Если / — порядковый идеал в Р, то элементы из J(P), покрывающие /, являются в точности порядковыми идеалами 1\]{х}, где х — минимальный элемент множества Р — /. Отсюда мы выводим 3.4.4. Предложение. Если Р — п-элементное ч.у. множество, то J(Р)—градуированное ч.у. множество ранга п. Далее, ранг р(/) элемента /е/(Р) есть в точности мощность |/| множества I, рассматриваемого как подмножество Р. □ Из предложений 3.4.2, 3.4.4 и ФТКДР следует, что существует биекция между множествами классов изоморфных ч.у. множеств Р мощности п и множеством классов изоморфных дистрибутивных решеток ранга п. Эта биекция ч.у. множеству Р сопоставляет решетку J(P), а обратная биекция относит решетке J(P) ч. у. множество ее неразложимых в объединении элементов. В частности, число неизоморфных ч. у. множеств мощности п равно числу неизоморфных дистрибутивных решеток ранга п. Если Р = п — п-элементная цепь, то 7(Р)^п + 1. В другом крайнем случае, если Р = п\ — п-элементная антицепь, то любое подмножество в Р является порядковым идеалом и J{P) есть в точности множество подмножеств множества Р, упорядоченных по включению. Следовательно, ч.у. множество J(n\) изоморфно ч. у. множеству Вп примера 3.1.1(b), и мы просто пишем Bn = J(nl). Мы называем В„ булевой алгеброй ранга п. (Обычное определение булевой алгебры наделяет ее более богатой структурой, чем просто структура дистрибутивной решетки, но для наших целей мы будем рассматривать Вп как некоторую дистрибутивную решетку.) Из ФТКДР (или как- нибудь иначе) следует, что следующие условия на конечную дистрибутивную решетку L эквивалентны: a. L — булева алгебра, b. L — решетка с дополнениями, c. L — решетка с относительными дополнениями, й. L — атомарная решетка, е. 1 есть объединение атомов L, f• L — геометрическая решетка, g. любой неразложимый в объединение элемент L покрывает О, h. если L имеет п неразложимых в объединение элементов,
164 Гл. 3. Частично упорядоченные множества то L имеет по крайней мере (равносильно, в точности) 2" элементов. i. рангово-производящая функция решетки L есть (1 -\-q)n для некоторого п. Для данного порядкового идеала / ч. у. множества Р определим отображение //: Р-*-2 формулой Тогда fi^fi' в 2Р, тогда и только тогда, когда / э/'. Следовательно, J(Р*) = 2Р. Заметьте также, что J(P*) = J(P)* и 7(P + Q)ss/(P)X/(Q)- В частности, Вп = ]{п\) ^ 7(1)" ~ 2". Рис. 3.9. Рис. 3.10. Это соображение дает возможность изображать решетку Вп, используя метод предыдущего раздела для изображения произведений. Например, полученная таким образом диаграмма Хассе решетки В3 изображена на рис. 3.9, а на рис. 3.10 показано, как получить диаграмму Хассе ч.у. множества В4- Если 1^.1' в дистрибутивной решетке J (Р), то интервал [I, Г] изоморфен /(/' — /), где I' — I рассматривается как (индуцированное) ч. у. подмножество ч. у. множества Р. В частности, [/,/'] — дистрибутивная решетка. (Более общим образом: любая подрешетка дистрибутивной решетки дистрибутивна.) Отсюда следует, что существует взаимно однозначное соответствие между интервалами [/,/'] решетки J{P), изоморфными решетке Bk(k~^\), такими, что не существует интервалов [/(,/'], где /С </, являющихся булевыми алгебрами, и /г-эле- ментными антицепями в Р. Равносильно: ^-элементные антицепи в Р соответствуют элементам J(P), покрывающим в точности k элементов. Мы можем использовать развитые выше идеи для описания метода изображения диаграммы Хассе решетки J(P) по данной диаграмме Хассе ч.у. множества Р. Пусть / — множество минимальных элементов из Р, скажем мощности т. Для начала, изобразим Bm^J(I). Теперь выберем минимальный элемент множества Р — /, скажем х. Присоединим неразложи-
3.4. Дистрибутивные решетки 165 мый в объединении элемент, покрывающий порядковый идеал Ах— {л:} к /(/). Множество объединений элементов, покрывающих идеал A.v — х, должно образовывать булеву алгебру, так что нарисуем необходимые объединения, чтобы это условие выполнялось. Теперь могут существовать элементы, покрывающие Ах — х, покрывающие элементы которых, однако, не АЛ/ аКАс ЛЙЙС « ь и Nk N1^ Рис. 3.11. Рис. 3.12. Рис. 3.13. Рис. 3.14. Рис. 3.15. Рис. 3.16. Рнс. 3.20. Рис. 3.21. имеют объединений. Нарисуем эти объединения, чтобы образовать булеву алгебру. Будем продолжать до тех пор, пока каждое множество элементов, покрывающих данный элемент, не будет иметь объединение. Таким образом, мы получим дистрибутивную решетку J(I[){x}). Теперь выберем минимальный элемент у из Р— /—{л:} и присоединим неразложимый в объединение элемент к /(/U {*}), покрывающий порядковый
166 Гл. 3. Частично упорядоченные множества идеал Лу—{</}. «Заполним» покрывающими элементами нужные места, как и раньше. Это дает /(/U {х,у}). Будем продолжать до тех пор, пока не получим J(P). Сам процесс проще произвести, чем описать. Проиллюстрируем его, взяв ч. у. множество Р, изображенное на рис. 3.11. Мы будем обозначать подмножества Р типа {a, b, d) через abd. Во-первых, изобразим B3 = J(abc), как на рис. 3.12. Присоединим порядковый идеал Аа = abd над ab (и пометим его буквой d) (рис. 3.13). Добавим объединения элементов, покрывающих ab (рис. 3.14). Присоединим bee над be (рис. 3.15). Дополним объединениями элементов, покрывающих be (рис. 3.16). Введем объединения элементов, покрывающих abc (рис. 3.17). Добавим cf над с (рис. 3.18). Дополним объединениями элементов, покрывающих с. Эти объединения (включая объединение с с пустым множеством) образуют булеву алгебру ранга три. Элементы а, ас, be, cf и abc уже присутствуют там, так что нам необходимы три дополнительных объединения acf, bef и abc] (рис. 3.19). Теперь введем объединения элементов, покрывающих be (рис. 3.20). Наконец, добавим объединения элементов, покрывающих abc (рис. 3.21). После небольшой практики, эта процедура дает довольно эффективный метод вычисления вручную рангово-производящей функции F{J{P),q). Для примера, рассмотренного выше, мы видим F(I(P), q)=l + 3q + 4q* + Ъф + V + З?5 + q6. Дальнейшую информацию о ч. у. множествах вида «зигзаг» (заборы), подобных изображенным на рис. 3.11, см. упражнение 23. 3.5. Цепи в дистрибутивных решетках Мы видели, что многие комбинаторные свойства конечного ч.у. множества Р имеют простые интерпретации в терминах J(P). Например, число ^-элементных порядковых идеалов в Р равно числу элементов из J(P), имеющих ранг k, и число ^-элементных антицепей (k^\) в Р равно числу элементов из J(P), покрывающих в точности k элементов. Мы хотим обсудить еще один пример такой же природы. 3.5.1. Предложение. Пусть Р — ч. у. множество и m е N. Следующие числа равны: a. Число сохраняющих порядок отображений о: Р-*т. b. Число мультицепей 0 = /0 ^ Л ^ • • • ^ Лп — 1 длины me J{P). c. Мощность /(РХ*п —1).
3.5. Цепн в дистрибутивных решетках 167 Доказательство. По данному отображению о: Р—>т определим /; = a~1(j). По данной мультицепи 0 = /0s^/, ^ ... <j/m = 1 определим порядковый идеал / множества РХя — 1 формулой / = {(х, /) е Р X m — 1: х е 1т_,}. Для данного порядкового идеала / ч. у. множества Р X m — 1 положим о: Р —> шст (х)= = min{m —/: (х, j) <= /}, если (л:, /)е/ для некоторого /, а в противном случае a (.v) = /?г. Это дает требуемую биекцию. □ Заметьте, что эквивалентность п. (а) и (с) следует также из вычисления: mP-(2"-y-2m-,XP. В качестве модификации предыдущего предложения имеем 3.5.2. Предложение. При сохранении обозначений предложения 3.5.1 следующие числа равны: a. число сюръективных сохраняющих порядок отображений о: Р->-т. b. Число цепей 0 = /0 < Л< ••• <Лп=1 длины m в /(Р). Доказательство. Оставляется читателю. D Один специальный случай предложения 3.5.2 имеет особый интерес. Если \Р\ = п, то сохраняющая порядок биекция о: Р-*-п называется расширением Р до полной упорядоченности или линейным расширением Р. Число расширений Р до полной упорядоченности обозначается е(Р) и является, вероятно, единственным весьма полезным числом, измеряющим «сложность» ч. у. множества Р. Из предложения 3.5.2 следует, что е(Р) также равно числу максимальных цепей в 7(Р). Можно отождествить расширение о: Р->п до полной упорядоченности с перестановкой a_1(l), ..., о~1(п) элементов множества Р. Аналогично, мы можем следующим образом отождествить максимальную цепь в J(Р) с «решеточным путем» некоторого типа в евклидовом пространстве. Пусть С\, ... ..., Ck — разбиение Р на цепи. (По следствию хорошо известной теоремы Дилуорса наименьшее возможное значение k равно мощности наибольшей антицепи в Р.) Определим отображение б: /(P)->N* формулой 6(/)=(i/nc,i, |/пс2|,..., i/ncti): Если мы снабдим М* порядком произведения ч. у. множеств (очевидным образом), то б станет инъективным решеточным гомоморфизмом, сохраняющим отношение покрытия (и, следовательно, сохраняющим ранг). (Таким образом, в частности,
168 Гл. 3. Частично упорядоченные множества решетка J (Р) изоморфна подрешетке N*. Если мы выберем каждую цепь Cj такой, что |С,|=1, то получим сохраняющий ранг инъективный гомоморфизм 7(Р)->В„, где |Р|=п.) По данному отображению б: )(P)->N*, определенному выше, положим Т6 = {]тСх(6(Т)), где сх обозначает выпуклую оболочку в R*, а Т пробегает множество всех интервалов в J(P), изоморфных булевым алгебрам. Таким образом, Г6 — компактное полиэдральное подмножество пространства Rk. Тогда ясно, что число максимальных цепей в J (Р) равно числу решеточных путей в Г6 из начала координат (0, ..., 0)= 6(0) до точки 6(1), причем единичные шаги делаются в направлении координатных осей. Другими словами, е(Р) равно числу способов записать b(l) = Vi -\- V2+ ... + vп, где каждое слагаемое vi— единичный координатный вектор в R* и где vi + V2 + ... +1>,-е е Г6 для всех L Перечисление решеточных путей — широко развитый предмет, с которым мы столкнулись в разд. 2.7. Суть здесь состоит в том, что некоторые задачи о решеточных путях эквивалентны определению числа е(Р) для некоторого ч. у. множества Р. Таким образом, они также эквивалентны задаче подсчета перестановок некоторых типов. 3.5.3. Пример. Пусть ч. у. множество Р задано на рис. 3.22. Возьмем С\={а,с}, Сг = {b,d,e}. Тогда погружение 6 решетки Рис. 3.22. Рис. 3.23. Рис. 3.24. J(P) в W2 задано на рис. 3.23. Чтобы получить полиэдральное множество Г6, мы просто «заполним» квадраты на рис. 3.23, получив полиэдральное множество, изображенное на рис. 3.24. Существует девять решеточных путей требуемого типа в П6 из точки 0,0) в точку (2,3), то есть, е(Р) = 9. Соответствующие девять перестановок множества Р есть abode, bacde, abdce, bacde, bdace, abdec, badec, bdaec, bdeac.
3.5. Цепи в дистрибутивных решетках 169 3.5.4. Пример. Пусть Р — дизъюнктное объединение С\ -+- С2 цепей Ci и С2 мощностей тип. Тогда Г6 — т~Х.п прямоугольник с вершинами (0,0), (т,0), (0, п), (т,п). Как отмечалось в упражнении 3 гл. 1, число решеточных путей из точки (0,0) в точку (т, п) с шагами вида (1,0) и (0,1) равно / т-\- п \ I I = е{Сх + С2). Расширение о: P->-m + n до линейного порядка полностью определяется образом о(С\), который может быть любым m-элементным подмножеством m + п. Та- ( т-\-п\ ким образом, снова мы имеем е(С1 + С2) = 1 I. Более общим образом, если Р = Р, + Р2 + ... + Pk и ni = I ^г 1> то е(Р) /П, + ... +Пь\ -( », „'>m)«m-«™- 3.5.5. Пример. Пусть Р = 2Х" и, положим Ci = {(2, }): /en}, С2 = {(1, /); /en}. Тогда 6(/(P)) = {(f,/)GN2: 0<i</<n}. Например, если я = 3, получим рис. 3.25. Следовательно, е(Р) равно числу решеточных путей из точки (0,0) в точку (п, п) с шагами (1,0) и (0,1), которые нигде не превышают главную диагональ х = у плоскости (х,у). Из определения е(Р), мы видим, что это число также равно количеству 2 X п матриц, элементы которых — различные целые числа 1, 2, ..., In, возрастающие вдоль каждой строки и каждого столбца. Например,
170 Гл. 3. Частично упорядоченные множества е(2ХЗ) = 5, что соответствует матрицам 123 124 125 134 135 456 356 346 256 246 1 {2п\ Можно показать, что е (2 X п) — п , t I I. Это известные числа Каталана (см. также упражнение 37(c) гл. 1). Jf{H +N) Рис. 3.26. Мы уже видели два способа нахождения чисел е(Р): подсчетом некоторых сохраняющих порядок отображений (или перестановок) или подсчетом некоторых цепей. Можно, однако, с других позиций рассматривать числа е(Р), а именно как числа, удовлетворяющие некоторому рекуррентному соотношению. Рассмотрим е как функцию на решетке J(P), т. е. для /е/(Р) положим е(1) — число расширений идеала / (рассматриваемого как ч.у. подмножество из Р) до полной упорядоченности. Таким образом, е(1) есть также число насыщенных цепей из 0 до / в J(Р). Отсюда ясно, что е{1)=2.е(Г), (11) где /' пробегает множество всех элементов J(P), покрываемых /. Другими словами, е(1) есть «сумма тех значений е(Р), которые лежат непосредственно ниже» /. Это аналог определения треугольника Паскаля, в котором каждый элемент есть сумма двух лежащих «непосредственно выше». Действительно, если взять в качестве Р бесконечное ч. у. множество N + N и пусть J[(P) — решетка конечных порядковых идеалов Р, то Jf(P)m
3.6. Алгебра инцидентности ч. у. множеств 171 ^NXN. Если пометить элементы /e/f (Р) числами е(1), то получим в точности треугольник Паскаля (хотя и в перевернутой записи по сравнению с обычным его определением). Каждый конечный порядковый идеал / ч.у. множества N + N имеет вид m + п для некоторых т и п, и из примера 3.5.4 мы действительно имеем е (J (т + п)) = е (т + 1X" + 1) = См. рис. 3.26. Руководствуясь этим примером, мы определим обобщенный треугольник Паскаля как финитарную дистрибутивную решетку L = Jf(P) и функцию е: 2,->Р. Числа е(1) обобщенного треугольника Паскаля, таким образом, имеют три тех же свойства, что и обычный треугольник Паскаля: (а) они подсчитывают перестановки некоторых типов, (Ь) они подсчитывают решеточные пути некоторых типов и (с) они удовлетворяют простому рекуррентному соотношению1). 3.6. Алгебра инцидентности локально конечных ч. у. множеств Пусть Р — локально конечное ч.у. множество и Int(P) обозначает множество интервалов Р. (Напомним, что пустое множество не является интервалом.) Пусть К—-поле. Для функции /: Int(P)->-/( мы будем писать f{x,y) вместо f([x,у]). 3.6.1. Определение. Алгеброй инцидентности 1(Р,К) ч.у. множества Р над К называется /(-алгебра всех функций /: Ы(Р)->К (наделенная обычной структурой векторного пространства над К), где умножение (или свертка) определяется формулой f8(x,y)= Z f(x, z)g(z, у). Написанная выше сумма конечна (и, следовательно, определена функция fg), так как ч.у. множество Р локально ко- ') Числа е(Р) имеют еще одни смысл: е{Р) = \Р\\ \о\(3>), где 9> — уногогранник, построенный при решении упражнения 74 этой главы. Выражение числа е(Р) через объем подходящего многогранника позволяет эффективно оценивать эту важную характеристику ч. у. множеств с помощью некоторого вероятностного алгоритма. См. Lovasz L. An algorithmic theory of numbers, graphs and convexity, SIAM, Philadelphia, 1986, p. 61; Dyer M., Frieze A., Kannan R. A random polynomial time algorithm for approximating ihe volume of convex bodies. Preprint RR. 88—40. Pittsburgh, Carnegie Mellon University, 1989. — Прим. перев. "Г-
172 Гл. 3. Частично упорядоченные множества нечно. Легко видеть, что 1(Р,К)—ассоциативная /(-алгебра с (двусторонней) единицей, обозначаемой б или 1, определяемой формулой 6(х •*-{i если х = у, если х ф у. ■С, Для наших целей достаточно всегда брать /С=;Ь, так что мы просто пишем 1(Р) вместо 1(Р,С). Можно считать, что 1(Р,К) состоит из всех формальных выражений вида / = Х[*.y\e\nt{P)f (х, у)[х, у]. Тогда свертка определяется единственным образом из условия [х, у] ■ [z, w] ■■ ( [х, w], I О, если если У = г, Уфг, распространением на все пространство 1(Р,К) по билинейности (допускаются бесконечные линейные комбинации интервалов [х, у]). Пометим элементы конечного ч. у. множества Р символами х\, ..., хп, где xi < х/ =>■ i < j (существует в точности е(Р) способов, которыми можно так пометить элементы Р, где число е(Р) определено в разд. 3.5). Тогда алгебра 1{Р) изоморфна алгебре всех верхних треугольных матриц M=(m,ij) над С, где 1 ^ /, / ^ п, таких, что т,-/ = 0, если xt =s£ Xj. (Доказательство. Отождествим тц с f(xi,Xj).) Например, для ч.у. множества Р, изображенного на рис. 3.27, алгебра 1(Р) изоморфна алгебре всех матриц вида * 0 * 0 * 0 * * * * о о * о * о о о * * _о о о о *_ 3.6.2. Предложение. Пусть /е/(Р). Следующие условия эквивалентны: a. f имеет обратный слева элемент, b. f имеет обратный справа элемент, c. f имеет двусторонний обратный (который необходимо является единственным левым и правым обратным элементом),
3.6. Алгебра инцидентности ч. у. множеств 173 d. f(x, х) ф 0 для всех х е Р. Далее, если элемент /_1 существует, то f^i (х. у) зависит только от ч. у. множества [х, у]. Доказательство. Равенство fg = b эквивалентно / (х, х) S (х> х) — 1 Для всех хеР (12) и g(x, у) = — f(x, х)~х £ f{x, z)g{z, у) для всех пар х < у в Р. (13) Отсюда следует, что f имеет обратный справа элемент g тогда и только тогда, когда }(х,х)Ф0 для всех jgP, и что в этом случае f~l{x,y) зависит только от [х,у]. Те же рассуждения, примененные к равенству hf = б, показывают, что / имеет обратный слева элемент h тогда и только тогда, когда f(x, х)фО для всех хеР; т. е. тогда п только тогда, когда / имеет обратный справа. Но из равенств fg = б и Л/= 6 имеем g = h, откуда и следует требуемое. □ Рассмотрим некоторые полезные функции из 1(Р). Дзета- функция £ определяется равенством £,(х, у) = 1 для всех х^.у в Р. Таким образом, ¥(х, у) = 2 1 = card [х, у]. х<г<У Более общим образом, если k е Р, то ?{*,У)= Z 1 есть число мультицепей длины k от х до у. Аналогично, ( 1, если х < у, (£-!)<*, *) = (0i если х = уш Следовательно, если АёР, то (£— l)k(x, у) есть число цепей х = х0 < хх < ... < хк = у длины k от х до у. Из предложений 3.5.1 и 3.5.2 получаем дополнительные интерпретации выражений £*(*, у) и (£—l)k(x, у) в случае, если Р — дистрибутивная решетка. Рассмотрим теперь функцию 2 —£е/(Р). Таким образом, Г 1, если х = у, (2-Ш*. »)-{_,_ есл„ x<s.
174 Гл. 3. Частично упорядоченные множества В силу предложения 3.6.2 2 — t, — обратимая функция. Мы утверждаем, что (2 — £)-1 (х, у) равно общему числу цепей х = = хо < Л'1 < ... < хк = у от х до у. Мы наметим два объяснения этого факта. Первое объяснение. Пусть / — длина самой длинной цепи в интервале [х, у]. Тогда (£ — 1)г+1 (и, v) = 0 для всех х ^ u ^ v ^ ^ I/. Таким образом, для х ^ и ^ v ^ у (2-$)[1+($-1) + (£-1)*+ ... +(£_!)'](«, D) = = [l-(£-l)][l+(g-l)+ ... +(S-1)'](«, v) = = [l-(S-l)' + ,](«, f) = 6(«, D). Следовательно, (2 — £)-1 = 1 + (£ — 1) -j- ... + (£ — 1)' ПРН ограничении на Int ([x, у]). Но из определения l ясно, что [1 + (£ — 1) + ... -f- (£ — 1)'] {x, у) есть общее число цепей от х до у, что и требовалось. Ц Второе объяснение. Наше второе объяснение в сущности эквивалентно первому, но использует немного топологии, чтобы избежать необходимости ограничивать наши рассмотрения интервалами. Топологический подход можно использовать для того, чтобы проводить без труда в алгебре I (Р) вычисления подобного вида. Введем топологию в 1(Р) по аналогии с тем, как в гл. 1 мы ввели топологию в кольце С [ [л:] ], положив, что последовательность функций fi, f2, ... сходится к f, если для всех пар х ^ у существует п0 = п0(х, у)^ Р, что fn{x,y) = = f(x,y) для всех п ^ п0. Следующее вычисление имеет смысл в этой топологии (так как бесконечный ряд сходится) (2-g)~, = (l-(S-l))",= £ (£-!)*> так что (2 — Ъ)~х{х, у)= £ (£ — 1) (я, г/) — X (число цепей длины & от .г до у) — общее число цепей от х до у. О Аналогично приведенной выше интерпретации функции (2 — £)-1 мы оставляем читателю проверить, что значение (1—ц)~[(х, у) равно общему числу максимальных цепей в интервале [х,у], где ц определяется условием Г 1, если у покрывает х, lv *' (0 в противном случае.
3.7. Формула обращения Мёбиуса 175 3.7. Формула обращения Мёбиуса Из предложения 3.6.2 следует, что дзета-фуикция локально конечного ч. у. множества Р обратима; обратная к ней называется функцией Мёбиуса ч. у. множества Р и обозначается ц (или (ip, если возможна путаница). Можно определить ц индуктивно, не обращаясь к алгебре инцидентности. Именно соотношение ц£ = б эквивалентно равенствам ц(х, х)=1 для всех igP, ц(х, у) = — 2 ц(х, z) для всех пар х < у в Р. ' ' Х<2<2/ 3.7.1. Предложение. (Формула обращения Мёбиуса.) Пусть Р — ч. у. множество, в котором каждый главный порядковый идеал конечен. Пусть f, g; Р->С. Тогда g(х) = Л f(У) для всех igP У<х тогда и только тогда, когда f (х) = 2 S (у) V (у, х) для всех ieP. У<х Доказательство. Множество Ср всех функций Р—>С образует векторное пространство, в котором 1(Р) действует (справа), как алгебра линейных преобразований, по формуле (Ш(*) = £ f№(y,x), У<х где /е=€р, ge/(P). Формула обращения Мёбиуса в этом случае есть не что иное, как утверждение Иногда удобна двойственная формулировка формулы обращения Мёбиуса. 3.7.2. Предложение. (Формула обращения Мёбиуса, двойственная форма.) Пусть Р — ч. у. множество, в котором каждый двойственный главный порядковый идеал Vx конечен. Пусть f, g<=Cp. Тогда g{x)— Z f (у) для всех х se Р У >х тогда и только тогда, когда f (х) = Л V (х, у) g (у) для всех х se Р. У>х
176 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Доказательство. Точно такое же, как и выше, только теперь алгебра 1(Р) действует слева: (lf)(x)= Е l(x, y)f (у). □ Как и в принципе включения — исключения, чисто абстрактная формула обращения Мёбиуса, как, например, приведенная выше, есть не более чем тривиальное наблюдение из линейной алгебры. Здесь важны именно применения формулы обращения Мёбиуса. Сначала мы покажем, что формула обращения Мёбиуса действительно объясняет формулы, подобные формуле (1). Даны п конечных множеств Si, ..., S„, и пусть Р— ч.у. множество их пересечений, упорядоченное по включению, содержащее в том числе пустое пересечение Si U • • - U Sn = 1. Для ГеР пусть f(T) есть число элементов множества Т, не принадлежащих ни одному подмножеству V < Т из Р, и пусть g(Т) = | Т |. Мы хотим получить выражение для |S[ U ••• U5„| = 2г<? /О0=&0) • Теперь g{T) = YiT'<Tf(T'), так что из формулы обращения Мёбиуса на Р имеем что и требовалось. В примере, описанном уравнением (1), ч. у. множество Р изображено на рис. 3.28. Действительно, ц(А, 1) = = ц(В,1) = ц{С,1) = —1 и n(D, Т) = 2, откуда следует формула (1). о = /(Г)= Z g(T)ii(T, Г) ТШР 3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса Чтобы формула обращения Мёбиуса представляла какую бы то ни было ценность, необходимо уметь вычислять функцию Мёбиуса для интересующих ч. у. множеств Р. Мы начнем с простого примера, который может быть решен «грубой силой».
3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 177 3.8.1. Пример. Пусть Р есть цепь N. Непосредственно из формулы (14) следует, что {1, если i = j, — 1, если г + 1=/, О в других случаях. Формула обращения Мёбиуса принимает вид п g(n) = Hf(0 Для всех n>0<=>f(n) = g(n) — g(n — l) i = 0 для всех п > 0. Другими словами, операторы 2 и А (где начальные значения оператора 2 определяются подходящим образом) взаимно об- ратны; это конечно-разностный аналог «основной теоремы анализа». Так как только в редких случаях функции Мёбиуса можно вычислить непосредственно, как в примере 3.8.1, нам нужна общая техника ее подсчета. Мы начнем с простейшего результата этой природы. 3.8.2. Предложение (теорема о произведении). Пусть Р и Q— локально конечные ч. у множества, и Р X Q — их прямое произведение. Если (х, у) ^ (х', у') в Р X Q, то Vpxq ((х, у), (*', /)) = ЦР (х, х') nQ (у, у'). Доказательство. Пусть (х, у) ^ {х', у'). Имеем 2 lip (х, и) nQ (у, v) = ( £ \1р(х,и)\- '( Z Va(y, v)\ = дХХ'дуУ> = д(х, у), (Х', Г). Сравнение этого равенства с формулой (14), которая однозначно определяет функцию ц, завершает доказательство. □ Для читателей, знакомых с понятием тензорного произведения, упомянем более концептуальный способ доказательства предыдущего предложения. Именно, легко видеть, что / (Р XQ) = = / (Р) <8> / (Q) и t,p e Q = t,p ® t,Q, следовательно \хр х Q = цр <8> \iQ. с 3.8.3. Пример. Пусть Р = Вп — булева алгебра ранга п. Тогда Вп^2п и функция Мёбиуса цепи 2 = {1, 2} дается формулой ц(1, 1) = ^(2, 2)=1, ц(1, 2) = —1. Следовательно, если отождествить Вп с множеством всех подмножеств п-множества X,
178 Гл. 3. Частично упорядоченные множества мы заключаем из теоремы о произведении, что \i(T, S) = (-l)|s-T|. Так как [S—Т\ есть длина l(T,S) интервала [Г, S], в терминах теории ч. у. множеств имеем И (Г, S) = (-l)'(r's'. (15) Формула обращения Мёбиуса для Вп превращается в следующее утверждение. Пусть /, g; В„->С, тогда 8(S)= Е f(T) для всех S <= X тогда и только тогда, когда f(S)= £ (-l)iS~Tlg(T) для всех Ssl. Это — в точности уравнение (8) гл. 2. Следовательно, можно сказать, что обращение Мёбиуса в булевой алгебре эквивалентно принципу включения — исключения. Заметьте, что уравнение (8) гл. 2 и формула обращения Мёбиуса в действительности доказывают формулу (15), так что мы теперь имеем два доказательства этого результата. 3.8.4. Пример. Пусть пи п2, ..., nk — неотрицательные целые, и пусть P = ni + 1 Хпг + lX...Xnk + l- Заметим, что ч. у. множество Р изоморфно дистрибутивной решетке 7 (i^+rio-f- • • • -\-щ). Отождествим Р с множеством всех ^-наборов (аь а2, ..., afc)eNft, 0^.at^.nh упорядоченных покомпонентно. Если а,<1&,- для всех i, то интервал [(аи ..., ak), (Ьь .... bk)\ в ч. у. множестве Р изоморфен bi — ai + lX ••• Xbk —aw + 1. Следовательно, из примера 3.8.1 и предложения 3.8.2 мы имеем (—1) (6'~а<), если все разности Ь{ — at равны О ц((Щ, -.., ak), (6„ ..., Ьк)) = { или 1, О в противном случае. (16) Равносильно, И (х, у) = | (—1)1(х'у), если [х, у] — булева алгебра, О в противном случае. (Некоторое обобщение см. в примере 3.9.6,)
3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 179 Есть еще два интересных способа интерпретировать решетку Р = П]+1Х ••• ХПх + 1. Во-первых, ч. у. множество Р изоморфно ч. у. множеству подмультимножеств мультимножества {.v"1, ..., x1k), упорядоченных по включению. Во-вторых, если N — положительное целое число вида р"1 ... pnkk, где р{ — различные простые числа, то Р изоморфно ч. у. множеству DK, определенному в примере 3.1.1(c), состоящему из положительных целых делителей числа N, упорядоченных по делимости (т. е. г ^ s в Р, если r\s). В этом последнем случае формула (16) принимает вид !(—1)г, если s/r есть произведение ( различных простых чисел, О в противном случае. Другими словами, (,i(r,s) есть в точности классическая функция Мёбиуса ii{s/r) из теории чисел. Формула обращения Мёбиуса превращается в классическую, а именно g (п)= X / (d) Для вСех п IN тогда и только тогда, когда f(п) = И S(d)Ц(n/d) для всех n\N. d \п Это объясняет терминологию «функция Мёбиуса ч. у. множества». Вместо того, чтобы ограничиваться делителями фиксированного целого N, естественно рассмотреть ч. у. множество Р всех положительных целых, упорядоченных по делимости. Так как каждый интервал [r,s] этого ч.у. множества встречается как интервал в решетке делителей 5 (или любого числа N, для которого s\N), функция Мёбиуса остается прежней ц.(г, s) = = [i(s/r). Более абстрактно, ч.у. множество Р изоморфно финитарной дистрибутивной решетке /f(p + p + p... + ...) = /f( Z p^ITn, (i7) где произведение Hn>1N есть ограниченное прямое произведение (отличных от нуля компонент любого элемента произведения лишь конечное множество). В других терминах ч.у. множество Р можно отождествить с решеткой всех конечных мультимножеств на множестве Р (или любом другом счетном бесконечном множестве).
180 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Теперь мы подошли к очень важному способу вычисления функций Мёбиуса. 3.8.5. Предложение. Пусть Р — конечное ч. у. множество и Р обозначает Р с присоединенными элементами 0 и 1. Пусть с,- — число цепей 0 = х0 < хх < ... < xt = 1 длины I между элементами 0 и 1, {Таким образом, с0 = 0 и с1 = 1.) Тогда Ир (б, Г) = са - с, + с2 - с3 + ... . (18) Доказательство. Имеем ц?(0, Т) = (1+(£-1)Г'(6, Г) = = (i-(C-i) + (S-i)2- ...)(о, Г) = = о(б, Г) — (s — 1)(о, Т)и-(£ — 1)2(б, !)-...= = с0 — с, + с2 — с3 + . . . . D Смысл предложения 3.8.5 состоит в том, что значение ц(0, 1) (и, следовательно, значение ц(х, у) для любого интервала [х,у]) можно интерпретировать как эйлерову характеристику, и поэтому данное предложение связывает обращение Мёбиуса с мощной техникой алгебраической топологии.') Чтобы увидеть эту связь, напомним, что (абстрактным) симплициальным комплексом с множеством вершин V называется набор А подмножеств V, удовлетворяющий условиям a. Если х <= V, то {х)еД и b. если 5еА и Г<=5, то ГеА, Элемент SeA называется гранью А, а размерность грани 5 полагается по определению равной |5|—1. В частности, пустое множество 0 всегда является гранью А (если А Ф 0) размерности —1. Определим размерность А формулой dim А = max (dim F). Если A — конечное множество, то пусть ft обозначает число /-мерных граней А. Определим приведенную эйлерову характеристику х(А) формулой х(А) = £ (-1)7,--L. + fo-fi+--- =-i + f0-/>+••• • L (19) ') Более подробное изложение теории абстрактных симплициальных комплексов и используемого в дальнейшем аппарата алгебраической топологии см., например, Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.— Прим. ред.
3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 181 (% (А) связана с обычной эйлеровой характеристикой %(А) соотношением х(Д) = х(А)—1). Теперь по данному произвольному ч. у. множеству Р определим симплициальный комплекс А(Р) следующим образом: вершинами А(Р) являются элементы Р, а гранями А(Р)— цепи из Р. А(Р) называется порядковым комплексом ч. у. множества Р. Из формул (18) и (19) выводим следующее 3.8.6. Предложение. (Переформулировка предложения 3.8.5.) Пусть Р — конечное ч. у. множество. Тогда Vp(6,\) = %(A(P)). П Предложение 3.8.5 дает самодвойственное выражение для (я (0, 1) (т. е. остающееся неизменным при замене Р на Р*). Таким образом, мы видим, что в любом локально конечном ч. у. множестве Р. Цр(*> у) = Ир*{х, у). (Это можно доказать также, используя тождество |я£ = £ц.). Напомним, что в топологии с симплициальным комплексом А связывают топологическое пространство |А|, называемое геометрической реализацией А. (Говорят также, что А есть триангуляция пространства |А|.) Приведенная эйлерова характеристика %(Х) пространства X дается формулой X(*)=E(-l)'rank#,(*, Z), i где Hi(X,Z) — j-ая приведенная группа гомологии пространства X. Имеем тогда %(Х) = г(А), (20) так что ц.р (0, 1) зависит только от геометрической реализации |А(Р)| симплициального комплекса А(Р). 3.8.7. Пример. (Для читателей, в некоторой степени знакомых с топологией.) Конечный регулярный клеточный комплекс Г есть конечное множество непустых попарно непересекающихся открытых клеток о,- с R^, таких что a. (ah at — at) «* (В", S"-1) для некоторого n — n(i). b. каждое множество о; — о,; есть объединение множеств а,-. Здесь dt обозначает замыкание ah ~ обозначает гомеоморфизм, В" — единичный шар: {(я,, ..., хп) е R": х\ + ... + ^<1} и5"-1 — единичная сфера {(х\, .. .,хп) е R": Xi+X2-t- • • • + JC/»=lj. Заметьте, что клетка о; может состоять из единственной точки
182 Гл. 3. Частично упорядоченные множества (в случае /г=0). Определим также подстилающее пространство комплекса Г как топологическое пространство Г = (J Oi' <= с= RN. По данному конечному регулярному клеточному комплексу Г определим его (первое) барицентрическое подразделение sd(F) как абстрактный симплициальный комплекс, вершинами которого являются замкнутые клетки а из Г, а гранями— те наборы вершин {ст*,, ..., ст,^}, которые образуют флаг dt[czai2cz ... со;.. Решающее свойство конечного регулярного клеточного комплекса, которое нас здесь интересует, состоит в том, что геометрическая реализация |sd(r)| симплициального комплекса sd(T) гомеоморфна подстилающему пространству |Г| клеточного комплекса Г. Пусть теперь дан конечный регулярный клеточный комплекс Г и Р(Т)—ч.у. множество клеток Г, упорядоченных так: о; гс: сгу, если б; s а,-. Из предыдущего абзаца следует, что A(P(0) = sd(r). Из предложения 3.8.6 и формулы (20) мы заключаем следующее. 3.8.8. Предложение. Пусть Г — конечный регулярный клеточный комплекс и Р = Р(Г). Тогда Ц?(0, 1) = Х(|Г|), (21) где %(\Г\) — приведенная эйлерова характеристика топологического пространства |Г|. П Предложения 3.8.6 и 3.8.8 объясняют топологический смысл целого числа цр (0, !). Нам интересны также другие значения цр(х, у), так что мы кратко обсудим этот вопрос. Пусть Д — любой конечный симплициальный комплекс и FgA. Линк грани F есть подкомплекс комплекса А, определяемый так: lkF = {Ge=A: G(]F=0 и GUFeA}. Если Р — конечное ч. у. множество и х < у в Р, выберем насыщенные цепи хх < х2 < ... < хг = х и у = ух < у2 < ■ ■ . < ys в Р так, что хх — минимальный элемент и ys максимальный элемент в Р. Пусть F = {xu ..., хг, уь ..., %}gA(P). Тогда Ik/7 есть в точности порядковый комплекс открытого интервала (х, у) = {геР: х < z < у), поэтому из предложения 3.8.6 имеем ]i(x, у) = ШП- (22) Предположим теперь, что А — абстрактный симплициальный комплекс, триангулирующий многообразие М с краем или без края. (Другими словами, [k[& М.) Пусть 0^FeA. Из то-
3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 183 пологий хорошо известно, что тогда Ik F имеет те же группы гомологии, что и сфера или шар размерности dim (Ik/*■)== =max0sIk/,(dim G). Далее, Ik/7 будет иметь гомологические группы шара в том и только том случае, если F лежит на крае дА комплекса А. (Несколько удивительно, что lkF не обязательно должен быть односвязным и llkF| — не обязательно многообразие!) Так как x(S") = (—1)"" и х(Вп) = 0, из формул (21) и (22) получаем следующий результат. 3.8.9 Предложение. Пусть Г — конечный регулярный клеточный комплекс. Предположим, что |Г| — многообразие с краем или без края. Пусть Р = Р(Г). Тогда О, если х Ф 0, у = 1 и клетка х лежит на крае | Г |, Ив (х, г/) = ч ~ ~. Р * Х(|Г|), если (х,у) = (0, 1), (— i)l(x,y} в противном случае. □ Руководствуясь предложением 3.8.9, мы назовем конечное градуированное ч. у. множество Р с элементами 0 и 1 полуэйлеровым, если ]1Р(х, у) = (—\)Цх'у} при условии, что (х, у)Ф ¥=(0, 1), и эйлеровым, если, кроме того, Цр(0, 1) —(— 1) (' ". Таким образом, из предложения 3.8.9 следует, что если | Г | — многообразие (без края), то Р (Г) — полуэйлерово. Далее, если | Г | — сфера, то Р(Г)— эйлерово ч. у. множество. В силу примера 3.8.3 булевы алгебры Вп — эйлеровы ч. у. множества; в действительности Вп — Р(Г), где Г —граничный комплекс (п—1)-мерного симплекса. Следовательно, | Д (В„) | «* S"- . Некоторые интересные свойства эйлеровых ч. у. множеств встретятся в разд. 3.14. 3.8.10. Пример a. Диаграммы на рис. 3.29 изображают конечные регулярные клеточные комплексы Г, такие, что | Г |^ S1 или |Г|^=32 (заштрихованные области изображают 2-клетки). Соответствующие эйлеровы ч.у. множества Р(Г) показаны на рис. 3.30. Заметьте, что Р (Г2) и Р(Г3)— решетки. Это потому, что в Г2 и Га любое пересечение сг,- П о/ есть некоторая клетка сг*. b. Диаграмма П представляет некоторый клеточный комплекс Г, который не является регулярным, так как для един-
184 Гл. 3. Частично упорядоченные множества ственной 1-клетки а не верно, что а — а ** S°. (S0 состоит из двух точек, в то время как а — а есть единственная точка.) Соответствующее ч. у. множество Р = Р(Т) — двухэлементная цепь и пространство |Д(Р)| не гомеоморфно |^Г |. (|Г|«5', а | Д(Р) | я* В1.) Заметьте, что ч. у. множество Р не эйлерово, несмотря на то что |Г| — сфера. О А Г, г, Рнс. 3.29. ЛГ,1 ЯГ,) = в, ЯГ3) ЛГ4) Рис. 3.30. J'(4) ЛГ6)=Аг5г с. Рассмотрим клеточный комплекс Г, изображенный на рис. 3.31. Тогда ]Г] — многообразие без края с той же эйлеровой характеристикой, что и S1 (именно она равна 0), хотя jnl^S1. Следовательно, Р(Г) — эйлерово ч.у. множество, не- О о Рис. 3.3). t=\ Рис. 3.32. t = 2 Рнс. 3.33. t = 3 смотря на то что пространство |Г| даже не имеет гомологических групп сферы. См. рис. 3.32. d. Если Г — несвязное объединение t точек, то |Г|—многообразие с эйлеровой характеристикой t. Следовательно, Р(Г) — полуэйлерово, но не эйлерово при t=£2. См. рис. 3.33. Мы заканчиваем нашу экскурсию в топологию рассмотрением следующего вопроса. Пусть Р—конечное градуированное ч.у. множество с элементами 0 и 1. Мы говорим, что функ-
3.9. Решетки и их алгебры Мёбнуса 185 ция Мёбиуса ч.у„ множества Р является знакочередующейся, если (— 1)1{х'у)р(х, у)^0 для всех пар х^.у из Р. Конечное ч.у. множество Р называется ч. у. множеством Коэна— Маколея (над Q), если для любой пары х <С у в Р порядковый комплекс Д(л%у) открытого интервала (х,у) удовлетворяет условию Hi (А (х, у), Q) = О, если i < dim Л (х, у). (23) Здесь #,-(A(jc,у), Q) обозначает приведенные симплициальные гомологии с рациональными коэффициентами (в поле Q). Легко показать, что ч. у. множество Коэна — Маколея градуировано. Если выполняется условие (23), то при d = dim k(x, у) имеем М*> 0) = X(M*. y)) = (-l)duimQHd(A(x, у), Q). Так как d = 1{х, у) — 2, получаем (-1)"*-»V?(*, y) = dimQtfd(A(x, у), Q)>0. Нами доказано 3.8.11. Предложение. Если Р—ч.у. множество Коэна — Маколея, то функция Мёбиуса ч. у. множества Р являестя знакочередующейся. П Среди примеров ч.у. множеств Коэна-—Маколея находятся ч.у. множества вида Р(Г), где Г — конечный регулярный клеточный комплекс, такой, что |Г|—многообразие размерности d с краем или без, удовлетворяющее условию #,(|Г|, <Q) —0 при I <С d. Можно показать, что для любого конечного регулярного клеточного комплекса Г свойство Р{Т) быть ч.у. множеством Коэна — Маколея зависит только от пространства |Г|. Можно показать также, что, если Р — конечная полумодулярная решетка, то Р —ч.у. множество Коэна — Маколея. Хотя мы не будем здесь этого доказывать, позже докажем более слабое утверждение, что функция Мёбиуса конечной полумодулярной решетки знакочередующаяся. 3.9. Решетки и их алгебры Мёбиуса Существуют специальные методы вычисления функции Мёбиуса решеток, не применимые для ч.у. множеств общего вида. Мы разовьем эти результаты единым способом, используя тео-
186 Гл. 3. Частично упорядоченные множества рию алгебр Мёбиуса. Хотя приложения к функциям Мёбиуса можно получить без обращения к алгебрам Мёбиуса, мы предпочитаем удобство и элегантность алгебраической точки зрения. 3.9.1. Определение. Пусть L — решетка и К — поле. Алгебра Мёбиуса A (L, К) есть полугрупповая алгебра решетки L над К с операцией пересечения. Другими словами, A(L,K) есть векторное пространство над К, состоящее из формальных линейных комбинаций элементов L с (билинейным) умножением, определенным так: х-у = х Л у для всех х, у е L. Алгебра Мёбиуса A(L, К) коммутативна и имеет базис (как векторное пространство), состоящий из идемпонентов, именно из элементов L? Из общей теории колец (из теоремы Веддер- берна или как-нибудь иначе) следует, что если L — конечная решетка, то A(L, /Q^/Cl*-!. Мы хотим сделать этот изоморфизм более явным. С этой целью по данному элементу ieL определим элемент й^еЛ (L, К) формулой 5j=El»(У, х)у. У<,Х Следовательно, из формулы обращения Мёбиуса ■х = £ б,. (24) У <х Число элементов Ьх равно \ L\ = dimK A(L, К), а формула (24) показывает, что они порождают A(L, К)- Следовательно, элементы Ьх образуют /(-базис в A(L, К)- 3.9.2. Теорема. Пусть L — конечная решетка и A' (L, К) — абстрактная алгебра \-lx<=LKx, где все пространства Кх изоморфны К. Обозначим через Ь' единичный элемент Кх, так что 6'хд' =6 6^. Определим линейное преобразование В: A(L, К)-* ->A'(L, К), полагая в (бх) = б^. и продолжая затем 8 по линейности. Тогда 8 есть изоморфизм алгебр. Доказательство. Пусть xeL; положим #' = £a<JC6^ е Л'. Так как 0, очевидно, является изоморфизмом векторных пространств, нам нужно только показать, что х'у' = (х А у)'. Имеем: cy = (ZO(Z 0= £ = £ b'v = (xAyY. □
3.9. Решетки и их алгебры Мёбиуса 187 3.9.3. Следствие. Пусть L — конечная решетка не менее чем с двумя элементами, и пусть 1 Ф а е L. Тогда £ ^{х, Т) = о. х: х Л а=0 Доказательство. В алгебре Мёбиуса A(L, С) имеем абт = ( £ бЛбт = 0, если а Ф Т. (25) С другой стороны, абт = а £ И(*> Г)дс= £ ц(*, f) (а Л*). (26) хе L jei Записывая аб-f =2]л:(=х.сл: • *> из формулы (25) заключаем, что с^ = 0, а из формулы (26), что с? = £х:;сда_-з Р(х> Ь- □ Глядя на рекуррентное соотношение (14), определяющее функцию Мёбиуса, мы видим, что следствие 3.9.3 дает аналогичное рекуррентное соотношение, но в общем случае имеющее значительно меньшее число членов. Позже будут даны некоторые приложения следствия 3.9.3. Сначала мы приведем некоторые другие следствия теоремы 3.9.2. 3.9.4. Следствие. Пусть L — конечная решетка и X — подмножество решетки L, такое, что (а) 1 ф. X, и (Ь) если у е L и у Ф\, то у^х для некоторого элемента х^Х. Тогда Мб, !) = £(-!)*#*, k где Nk — число k-nodмножеств в X, пересечение всех элементов которых равно 0. Доказательство. Для любого хе[ имеем в A(L;C) Т — * = £ by— £ ^ = £ V »<Т у<х у^х Следовательно, из теоремы 3.9.2 П (i-x) = T,6„, х^Х у где у пробегает множество всех элементов L, удовлетворяющих условиям у^х для всех х^Х. По предположению, един-
188 Гл. 3. Частично упорядоченные множества ственный такой элемент есть Т. Следовательно, П (f-*) = fiT. Если теперь разложить обе части в линейную комбинацию элементов L и приравнять коэффициенты при 0, получим требуемый результат. П Ясно, что подмножество X решетки L удовлетворяет условию (Ь) следствия 3.9.4 тогда и только тогда, когда X содержит множество А* коатомов (элементов, покрываемых элементом 1) решетки L. Чтобы сделать числа Nk наименьшими из возможных, мы должны взять X = А*. Заметьте, что если 0 не есть пересечение всех коатомов L, то каждое из чисел Nk равно 0. Отсюда заключаем 3.9.5. Следствие. Если L — конечная решетка, для которой 0 не является пересечением коатомов, то р. (0, 1) = 0. Двойственным образом, если 1 не является объединением атомов, то снова ц(б, Т) = 0. □ 3.9.6. Пример. Пусть L = J(Р)—конечная дистрибутивная решетка. Интервал [/, /'] решетки L является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда /' — / антицепь в Р. Более общим образом, объединение всех атомов интервала [/, /'] (рассматриваемого как подрешетка в L) есть порядковый идеал 1[}М, где М — множество минимальных элементов ч. у. подмножества /' — / из Р. Следовательно, /' является объединением атомов интервала [/,/'] тогда и только тогда, когда [/,/']— булева алгебра. Из примера 3.8.3 и следствия 3.9.5 мы получаем функцию Мёбиуса на L, а именно: (_ !)»</./') = (_1)1/'-Л, если [/, /'] — булева И (/,/') алгебра (т. е. если Г — I — антицепь в Р), в противном случае. ЗЛО. Функция Мёбиуса полумодулярной решетки Мы хотим применить двойственную форму следствия 3.9.3 к конечной полумодулярной решетке L ранга п с ранговой функцией р. Выберем «атом а решетки L. Предположим, что а\/ х — \. Если также а^.х, то х = \. Следовательно, либо хЛа=0, либо х = 1. Теперь из определения полумодулярности имеем
3.10, Функция Мёбиуса полумодулярной решетки 189 р(х) + р(а)^р(х Л а) + р(х V а), так что либо х=\, либо р(л;)+1^0 + п. Следовательно, либо лс=1, либо х — коатом. Из следствия 3.9.3. (двойственная форма) вытекает |Х (0, Т) : £ (1(6,*). (27) коатомы л:, такие, что Так как каждый интервал полумодулярной решетки есть снова полумодулярная решетка (например, в силу предложения 3.3.2), из формулы (27) индукцией по п получаем следующий результат, упомянутый в конце разд. 3.8. 3.10.1. Предложение. Функция Мёбиуса конечной полумодулярной решетки является знакочередующейся. П Так как (— 1)'<х-у] [х (х, ^ — неотрицательное целое число для любой пары х s^. у в конечной полумодулярной решетке L, мы можем спросить, не подсчитывает ли это выражение чего-нибудь связанного со структурой L? На этот вопрос будет дан ответ в разд. 3.13. Сейчас мы обратимся к двум из наиболее важных примеров полумодулярных решеток. 3.10.2. Пример. Пусть ^ — степень простого числа, GF(q) — ^-элементное поле и Vn = Vn(q)— n-мерное векторное пространство над GF(q). Пусть Ln = Ln(q) обозначает ч. у. множество всех подпространств Vn, упорядоченных по включению, как определено в примере 3.1.1 (е). Мы видели в разд. 3.3, что L — градуированная решетка ранга л, где ранг p(W) подпространства W есть в точности его размерность. Мы также упоминали, что так как любые два подпространства W, W из V удовлетворяют условию dim W -+- dim Wr = dim (W f| W) + + dim {W + W), из формулы (6) следует, что Ln в действительности — модулярная решетка. Так как любое подпространство ъ V~п есть линейная оболочка его одномерных подпространств, то L также геометрическая решетка. Интервал [W, W) решетки!,,, изоморфен решетке подпространств факторпространства W/W, так что [W,W')e*Lm, где m = l(W, W) = dim W— dim W. Следовательно, значение jx (W, W) зависит только от целого l = l{W, W), так что мы пишем ni = \i(W, W). Легко сосчитать и./, используя формулу (27). Пусть а —элемент решетки Ln ранга 1. Решетка Ln имеет всего I __ I = qn^1 -+- qn"2 + ... -f- 1 /n —1 \ коатомов, из которых I I = qn~2 + qn~3 + ... -f- 1 лежат
190 Гл. 3. Частично упорядоченные множества над а. Следовательно, существует qn~l коатомов х, удовлетворяющих условию х^а, так что из формулы (27) имеем Vn = — <7n~V«-i- Вместе с начальным условием цо = 1 это дает (") H„ = (-1)V • (28) 3.10.3. Пример. Мы приведем один простой пример использования формулы (28). Мы хотим подсчитать количество подмножеств в Vn(q), порождающих все пространство Vn(q). (Заметьте, что пустое множество. 0 не порождает никакого пространства, в то время как подмножество {0} порождает нульмерное подпространство {0}.) Для W ^ Ln(q) пусть f(W) — число подмножеств Vn(q), линейная оболочка которых есть W, и g(W) число подмножеств, линейная оболочка которых содержится в пространстве W. Следовательно, g (W) = 2q — 1, так как 0 не имеет линейной оболочки. Ясно, что g(W)= £ fin так что из обращения Мёбиуса в решетке Ln(q) fm= I g(T)»(T,w). Полагая W = Vn, имеем 3.10.4. Пример. Пусть П(5) обозначает множество всех разбиений конечного множества S, и будем множество П([л]) обозначать П„. Как и в примере 3.1.1(d), мы частично упорядочим П(5) по измельчению, т. е. положим л ^ сг, если каждый блок я содержится в блоке разбиения о. Например, Ш, П2 и Пз показаны на рис. 3.34. Легко видеть, что П„ — градуированное ч.у. множество ранга п—1. Ранг р(л) разбиения л равен п — (число блоков л) = л — |я|. Следовательно, рангово-производя- щая функция ч. у. множества П« есть F(nn,q)=at,S(n,n-k)q*, (29) где S(n, п — k) — число Стирлинга второго рода. Если л, о s= П„, то л Л ст имеет в качестве блоков непустые множества В П С,
ЗЛО. Функция Мёбиуса полумодулярной решетки 191 где Вел и Сес. Следовательно, П„ — нижняя полурешетка. Так как разбиение [п] с одним блоком является элементом 1 для П„, то из предложения 3.3.1 следует, что П„ — решетка. Предположим, я = {Вь ..., S4} е П„. Тогда интервал [л, 1] изоморфен очевидным образом решетке П (я) —решетке разбиений множества {Вь ..., Bk}. Следовательно, [л, 1]^П4. Теперь легко видеть, что в Wk объединение любых двух различных атомов имеет ранг 2. Далее, любой элемент яеПл 12 123 п/2-13 1-23 а^ <Р>° 3-12 1 1-2 1-2-3 Рнс. 3.34. есть объединение таких атомов {Ви ..., Вп_1}, что |В,| = 2, и В, — подмножество некоторого блока разбиения л. Следовательно, П„ — геометрическая решетка. В предыдущем абзаце определена структура интервала [л, 1]. Рассмотрим теперь структуру произвольного интервала [сг, л]. Предположим, что я = {Вь В2, ..., Bk} и что Bt разбивается на Kt блоков в сг. Оставим читателю легкое доказательство того, что [сг, л^П^ХП^Х ... ХПЧ. В частности, [0, л] зё П"1 X • • • X П°", где тип л = (ар ..., ал). Например, если а = 1—2—3—45—67—890 и я =14 567 — — 2 890 — 3, то [сг, л] = И (1 - 45 - 67) X П (2 - 890) X П (3) ~ П3 X П2 X П,. Положим теперь [х„ = ц,(0, 1), где jx — функция Мёбиуса решетки 11„. Если [сг, я] = И^ X Пл2 X ••• ХЩЙ, то из предложения 3.8.2 имеем ц (а, л) = \*.х • \ik ... \iK . Следовательно, чтобы определить полностью функцию ц., достаточно вычислить \in. Хотя П„ — геометрическая решетка, так что можно использовать формулу (27), проще обратиться непосредственно к следствию 3.9.3. Выберем элемент а — разбиение с двумя блоками {1, 2 /г—1} и {п}. Элемент х решетки П„ удовлетворяет условию х Аа = 0 тогда и только тогда, когда л; = 6
192 Гл. 3. Частично упорядоченные множества или х — атом, единственный двухэлементный блок которого имеет вид {i, п} для (е[п- 1]. Интервал [х, 1] изоморфен решетке Un_i, так что из следствия 3.9.3 имеем цп = — (л — 1) ц/г_1. Так как jj.0 = 1, мы заключаем И„ = (-1Г'("-!)! (30) Существует много других способов доказательства этого важного результата; некоторые из них мы рассмотрим позже. Здесь мы просто отметим более общий результат (который следует из упражнения 44): £ МО, п)<7|я| = (<7)п = <7(<7-1) ...(q-n+l); (31) чтобы получить формулу (30), приравняем коэффициенты при q. Уравнение (31) можно рассмотреть в следующем более общем контексте. Пусть Р — конечное градуированное ч.у. множество с элементом 0, скажем ранга п. Определим характеристический многочлен %{P,q) ч. у. множества Р формулой П. X (Л ?) = £ Ц (0, х) qn~e W = Z а>*<Г_* • Коэффициент Wk называется k-м числом Уитни первого рода ч. у. множества Р-. Щ = £ И* (б, х). Xf=P p(x)=k В этом контексте число элементов ч.у. множества Р ранга k обозначается Wk и называется k-м числом Уитни второго рода ч.у. множества Р. Таким образом, рангово-производящая функция F(P, q) ч.у. множества Р дается формулой Р(Р,Я)= Е qpix)=twkqk. x<^P fc = 0 Из формулы (31) следует, что Х(П„, q) = (q-\)(q-2) ...(q-n+l), так как решетка 1Т„ имеет ранг п— 1 и | я \ — п — р(л). Следовательно, из предложения 1.3.4 имеем: wk = s(n, п — k) — число Стирлинга первого рода. Далее уравнение (30) дает Wk = = S(n, n — k) для решетки П„.
3.11. Дзета-многочлены 193 3.11. Дзета-многочлены Пусть Р — конечное ч.у. множество. Если п ^ 2, положим Z(P,n)— число мультицепей х\ ^ Хч ^ ... ^ хп-\. в Р. Мы называем выражение Z(P,n) (рассматривая его как функцию от п) дзета-многочленом ч. у. множества Р. Начнем с того, что оправдаем это название и соберем вместе некоторые элементарные свойства Z(P,n). 3.11.1. Предложение а. Пусть bt ~ число цепей х{ < х2 < ... < xt_x в Р. Тогда bi+2 — hlZ(P, 2), /^0. Другими словами, i>2 (32) В частности, Z(P,n) есть многочлен от п, степень d которого равна наибольшей длине цепи в Р, а старший коэффициент равен bd+2/dl. Далее, Z(P,2) = \P\ (это ясно из определения Z(P, п)). Так как Z(P,n)— многочлен для всех целых чисел п ^ 2, мы можем определить его для всех neZ (или даже для всех леС). Тогда z(P, 1) = Х(Д(Р))=1 + мо, 1). с. Если ч. у. множество Р содержит элементы 0 и 1, то Z(P, п) = £,п(0, 1) для всех neZ (это объясняет выражение дзета-многочлен). В частности, Z(P, -1)=^(0, Т), Z(P, 0) = 0 (если 0ф1) и Z(P, 1) = 1. Доказательство. a. Число (п — 1)-элементных мультицепей с носителем *,<*,< ... <*,_, равно ((/г_1Г_(^_1))) = ("_2); отсюда следует формула (32). Дополнительная информация о многочлене Z (Р, п) может быть извлечена из формулы (32). b. Полагая я=1 в выражении (32), получаем Теперь используйте предложение 3.8.5.
194 Гл. 3. Частично упорядоченные множества с. Если ч. у. множество Р содержит элементы б и 1, то число мультицепей х: ^.х2^ ... <^■*;„_, такое же, как и число мультицепей 0 = Xo^*i ^л;2^ ... ^хп_1^.хп=1, которое равно £"(0, 1) при п^2. Несколькими различными способами можно показать, что многочлен Z(P, п), определенный формулой (32) для всех дГ>2, равен £"(б, 1) при всех яё7. Например, из п. (а) и предложения 1.4.2 имеем, что Ad+lt,n(0, 1) = 0 для всех п^2. Но тогда для любого «eZ Ad+i£"(6, T)=r2(Ad+lsft:u(6, Т)= = 0. Следовательно, £"(0, 1) есть полиномиальная функция для всех neZ, и, таким образом, ее значение должно совпадать с выражением (32) при всех neZ. □ Для тер пусть Q(P,m) обозначает число сохраняющих порядок отображений а: Р-*-т. Из предложения 3.5.1 следует, что Q(P, т) = Z(J(P),m). Следовательно, Q(P,m) есть полиномиальная функция от т степени |Р| и старшим коэффициентом е(Р)/[Р[\. (Это можно легко увидеть с помощью более прямых рассуждений.) Q(P,m) называется порядковым многочленом ч. у. множества Р. Таким образом, порядковый многочлен ч.у. множества Р есть дзета-многочлен решетки J(P). Дальнейшие сведения о порядковых многочленах см. в гл. 4, теорема 4.5.14, пример 4.5.18. 3.11.2. Пример. Пусть P = Bd — булева алгебра ранга d. Тогда Z (Bd, п) для п ^ 1 равно числу мультицепей 0 = 50 s 5, S ... ...s5„ = S d-множества 5. Для каждого sgS мы можем выбрать произвольно наименьшее положительное целое число (' е [4 для которого ssSj. Следовательно, Z (Bd, n) = nd. (Мы можем также получить это из формулы Z (Bd, n) = Q(d\, л), так как любое отображение сг: rfl->n сохраняет порядок.) Полагая л = —1, получаем цва(0, 1) = (—l)d — третье доказательство формулы (15). Это вычисление [х (0, 1) дает интересный пример «полукомбинаторного» доказательства. Мы вычислили Z(Bd,n) комбинаторно для п ^ 1, а затем подставили п = —1. Многие другие теоремы, использующие функции Мёбиуса ч.у. множеств Р можно доказать в такой манере, доказывая комбинаторно подходящий результат для п ^ 1 для Z(P,n), а затем полагая п = —1.
3.12. Ранговый выбор 195 3.12. Ранговый выбор Пусть Р— конечное градуированное ч.у. множество ранга п с ранговой функцией р: Р-*-[0, п]. Для 5 е [0, п] определим ч. у. подмножество Ps = {x^P: p(x)GS}, называемое S-рангово-выбранным ч.у. подмножеством ч. у. множества Р. Например, Р0 = 0 и Р[0, „] = Р. Определим теперь число <х(Р, S) (или просто <x(S)) как число максимальных цепей множества Ps. Например, а (г) (сокращенное обозначение для а ({г})) есть в точности число элементов ч. у. множества Р ранга i. Наконец, определим числа р (Р, S) — $(S) формулой P(S)= Е (-1),в"Г,а(Г). Равносильно из принципа включения—исключения a (S)= £ Р(Г). (33) Если ja,s обозначает функцию Мёбиуса ч.у. множества Ps, то из предложения 3.8.5 следует, что P(S) = (-1),S,-W6, Г). (34) По этой причине мы называем функцию р рангово-выбранным инвариантом Мёбиуса ч.у. множества Р. Предположим, что ч.у. множество Р имеет элементы 0 и 1. Легко видеть, что a(P, S) = o(P, SC\[n-l]), Р(Р, S) = 0, если SSE[«—1] (т. е. если OeS или neS). Поэтому ;мы ничего не теряем, ограничиваясь рассмотрением подмножеств Ss[/i—1]. По этой причине, если мы заранее знаем, что ч.у. множество Р имеет элементы 0 и 1 (например, если Р — решетка), то можно рассматривать лишь множества Ss[b— 1]. Уравнения (33) и (34) подсказывают комбинаторный способ интерпретации функции Мёбиуса ч.у. множества Р. Числа a(S) имеют комбинаторное определение. Если мы сможем ввести числа y(S)^0 так, что найдется комбинаторное доказательство равенства a (5) = Е \{Т), то получим y(S) = ${S) и ~ Т s=S H*s(0, 7) = (—1)' '~'y(S). Мы не можем ожидать, что определим числа y(S) для произвольного ч.у. множества Р, так
196 Гл. 3. Частично упорядоченные множества как в общем случае не обязательно р(5)^0. Однако существует большой класс ч. у. множеств Р, для которых числа y(S) действительно можно определить вполне комбинаторным способом. Чтобы познакомить читателя с этим предметом, мы рассмотрим здесь два специальных случая, в то время как следующий раздел посвящен более общему результату на эту тему. Пусть L = J(P)—конечная дистрибутивная решетка ранга п (так что [Р[=п). Рассмотрим Р как частичное упорядочение множества [п] и предположим, что порядок Р совместим с обычным порядком на [я], т. е. если i <С / в Р, то i <С / в Z. Будем в этом случае называть Р естественным частичным по- 3 4 N 1 2 Рис. 3.35. рядком на множестве [п]. Как и в разд. 3.5, можно отождествить расширение о: Р->[п) ч.у. множества Р до полной упорядоченности с перестановкой оН(1), ..., о~1(п) множества [л]. Множество всех е(Р) перестановок множества [п], полученных таким способом, обозначается 35'(Р) и называется множеством Жордана — Гельдера ч.у. множества Р. Например, если Р таково, как на рис. 3.35, то 2' (Р) состоит из пяти перестановок: 1234, 2134, 1243, 2143, 2413. 3.12.1. Теорема. Пусть L = J(P), как и выше, «Ss[«-1]. Тогда |3 (L, S) равно числу перестановок itE^fP) с множеством спуска S. Доказательство. Пусть S = {alt а2, ■■-, а^^ Из предложения 3.5.1 следует, что <x(L, S) равно числу цепей /, с /2 с ... czlk порядковых идеалов в Р, таких, что \Ii\ = al. По данной такой цепи порядковых идеалов определим перестановку its^fP) следующим образом: сначала расположим элементы идеала 1\ в возрастающем порядке. Справа от них расположим элементы множества h — h в возрастающем порядке. Продолжим эту процедуру до тех пор, пока в конце не расположим элементы множества Р — /^ в возрастающем порядке. Это дает биекцию между максимальными цепями из Ls и перестановками п е ^3?(Р), множество спуска которых содержится в 5. Слсдова-
3.13. U-пометкн 197 тельно, если y(L,S) обозначает число перестановок яе2'(Р), множество спуска которых есть S, то a(L, S)= £ y(L, Т). т = s Доказательство закончено. □ 3.12.2. Следствие. Пусть L = Вп — булева алгебра ранга п и Ss[/i-l]. Тогда P(L, S) равно общему числу перестановок множества [п], множество спуска которых есть S. (Таким образом, р (L, 5) = р„(5), как определено в примере 2.2.4.) □ Как и в примере 2.2.5, существует ^-обобщение примера 2.2.4, так что мы можем обобщить предыдущее следствие. 3.12.3. Теорема. Пусть L — Ln(q) — решетка подпространств n-мерного векторного пространства над Fq. Пусть S s [я - 1]. Тогда Р(£, 5)=Е<7;(Я), (35) я где сумма берется по всем перестановкам п е ©„ с множеством спуска S, и i (я) — число инверсий перестановки л. Доказательство. Пусть S = {au 0%, ■ ■., ak}. Тогда a,i.,s)=rn)('n-ai)(—■ )...(n"a*) V,a,y Va2 — a,/\,a3 — a2/ \n- &kJ Vab a2 —a, n — &kJ Доказательство следует теперь из сравнения уравнения (20) гл. 2 с формулой (33). □ 3.13. /?-пометки , , В этом разделе мы приведем широкий класс М ч. у. множеств Р, для которых рангово-выбранный инвариант Мёбиуса р(Р, S) имеет прямую комбинаторную интерпретацию (и поэтому неотрицателен). Если Pei, то любой интервал ч.у. множества Р будет также лежать в классе М, так что, в частности, функция Мёбиуса ч. у. множества Р знакочередующаяся. Пусть Ж(Р) обозначает множество пар (х,у) элементов Р, для которых у покрывает х. Мы можем считать элементы Ж(Р) ребрами диаграммы Хассе ч.у. множества Р.
198 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.13.1. Определение. Пусть Р — конечное градуированное ч.у. множество, содержащее элементы 0 и Г. Функция Я: Ж(Р)-*2 называется R-пометкой ч. у. множества Р, если для любого интервала [х, у] из Р существует единственная насыщенная цепь х = хо < х\ < ... < Xi = у, удовлетворяющая условию М*о, ^iXM^i, *,)< ... <Я(л^_ь *0- (36) Ч. у. множество Р, обладающее /^-пометкой, называется R-ч. у. множеством, и цепь х = ха < х{ < ... <xi=y, удовлетворяющая условию (36), называется возрастающей цепью от * до у. Заметьте, что, если / = [х, у) — интервал в Р, то ограничение Я на Ж{1) является /^-пометкой Ж (Г). Следовательно, / есть также R-ч. у. множество, так что любым свойством, которым обладают все R-ч. у. множества Р, также обладает каждый интервал R-ч. у. множества Р. 3.13.2. Теорема. Пусть Р R-ч. у. множество, и положим л—/(Р). Пусть Я — R-noметка Р и S s [п — 1]. Тогда р (Р, S) равно числу максимальных цепей М: 0 = х0 < х1 < ... < хп = 1 из Р, для которых последовательность Я (М) := (Я (л;0, х,), ..., Я (*„_,, хп)) имеет множество спуска S, т. е. для которых D(k(M)):={i:k(xt_u xi)>K{xu *,.,)} = S. Доказательство. Пусть С = 0<#1< ... <ys<\ — максимальная цепь в Ps. Мы утверждаем, что существует единственная максимальная цепь М в Р, содержащая С и удовлетворяющая условию £)(l(Af))sS. Пусть М: 0 = х0< х{< ... <хп=1 — такая максимальная цепь (если она существует) и 5 = {а{, ... ..., а^. Таким образом, xa.=yt. Так как Я (*<,,_,, *ai_, + i)< <4*«j_i+i. *a<_,+2)<--- <*■(*«£-»• *ej) при 1</<s+ 1 (где мы полагаем a0 = 0, as+1 == 1), мы должны взять в качестве ха._, ха._1 + и ..., ха{ единственную возрастающую цепь из интервала [г/г х, yi\ = \xai_v xat]- Таким образом, цепь М существует и единственна, как утверждалось. Следовательно, число ar (Р, S) максимальных цепей М из ч. у. множества Р, удовлетворяющих условию D (Я (М)) £ S, есть в точности число максимальных цепей в Ps, т. е. a'(P, S)= =а(Р, S). Если Р'(Р, 5) обозначает число максимальных цепей М в Р, удовлетворяющих условию D(k(M)) = S, то ясно, что <*'(Р, S)= £ Р'(Л Г). TsS Следовательно, из (33) мы заключаем: Р'(Р, S) = P(P, S). □
3.13. U-пометкн 199 3.13.3. Пример. Рассмотрим теперь некоторые примеры ^-множеств. Пусть Р — естественный частичный порядок на множестве [п], как и в теореме 3.12.1. Пусть (/, 1')^Ж(1(Р)), так что / и /' — порядковые идеалы в Р с условием Isl' и \Г—/| = 1. Положим Я (/, /') — единственный элемент множества /' — /. Для любого интервала [К, К'] решетки J(P) существует единственная возрастающая цепь К = К0< К\ < • ■ ■ <Ki = K', определенная следующим образом: единственным элементом множества Ki — Kt-i является наименьшее целое число (относительно обычного линейного порядка на множестве [«]), содержащееся в К' — Ki-j. Следовательно, Я — /?-пометка и теоремы 3.12.1 и 3.12.2 действительно совпадают. Мы упомянем без доказательства два обобщения этого примера. 3.13.4. Пример. Конечная решетка L называется сверхразрешимой, если она содержит максимальную цепь С, называемую М-цепью, такую, что подрешетка решетки L, порожденная С и любой другой цепью из L, является дистрибутивной. Среди примеров сверхразрешимых решеток — модулярные решетки, решетки разбиений Пл, решетка подгрупп конечной сверхразрешимой группы. Для модулярных решеток любая максимальная цепь есть М-цепь. Для решетки Пп цепь 0 = jt0< Jt! < ... ... <Jt„_i=l является JW-цепью тогда и только тогда, когда каждое разбиение я«(1 ^ i ^ п— 1) содержит в точности 1 блок Bi с более чем одним элементом (так что В\ а В2 с ... ... сВп-\=[п\). Число М-цепей в решетке Пл равно л!/2, п ^ 2. В решетке L подгрупп сверхразрешимой группы G М-цепь задается нормальным рядом {1}= G0 < G\ < ... ... <. G„ = G, т. е. каждый элемент G,- есть нормальная подгруппа группы G и каждая из факторгрупп Gi+i/G,- является циклической группой простого порядка. (Могут существовать и другие JW-цепи.) Если L — сверхразрешимая решетка с JW-цепью С: 0 = л:0< < х1 < ... < хп¥= 7, то ^-пометка X: Ж(Р)->Ъ задается формулой Я (*, у) = min {i: х V xt = у V *Л- (37) Если ограничить X на (дистрибутивную) подрешетку V решетки L, порожденную С и некоторой другой цепью, то мы получим /?-пометку решетки V', совпадающую с той, которая построена в примере 3.13.3. На рис. 3.36 показаны (не полумодулярная) сверхразрешимая решетка L, в которой JW-цепь отмечена темными точками, и ^-пометка L. Здесь существует пять максимальных цепей с метками 312, 132, 123, 213, 231 и
200 Гл. 3. Частично упорядоченные множества соответствующими множествами спуска {1}, {2}, 0, {1}, {2}. Следовательно, р(0)=1, р(1) = Р(2) = 2, Р(1, 2) = 0. 3.13.5. Пример. Пусть L — конечная полумодулярная (сверху) решетка. Пусть Р — ч.у. подмножество неразложимых в объединение элементов из L. Пусть ю: P-*-[k] — сохраняющая порядок биекция, и положим Xt = ю-1 (г). Определим для пары (xty)s=W(L) М*. #) = min{i: х\/ xt=y}. (38) Тогда к есть ^-пометка и, следовательно, полумодулярные решетки являются ^?-ч.у. множествами. На рис. 3.37 слева пока- Рис. 3.37. Рис. 3.38. зана полумодулярная решетка L, элементы xi которой обозначены через i, а справа — соответствующая ^-пометка к. Существует семь максимальных цепей с метками 123, 132, 213, 231, 312, 321, 341, а соответствующие множества спуска есть 0, {2}, {1}, {2}, {1}, {1,2}, {2}. Следовательно, Р(0)=1, Р(1) = 2, Р(2)=3, р(1,2)=1. Примеры 3.13.4 и 3.13.5 имеют то общее свойство, что можно пометить некоторые элементы L символами xi и определить функцию к аналогичными формулами (37) и (38). Многие другие /^-решетки, хотя и не все, имеют это свойство. Конечно, формулы (37) и (38) бессмысленны для ч.у. множеств, не являющихся решетками. На рис. 3.38 изображено ч.у. множество Р, не являющееся решеткой, и его /^-пометка %.
3.14. Эйлеровы ч. у. множества 201 3.14. Эйлеровы ч. у. множества Напомним определение эйлеровых ч.у. множеств, следующее за предложением 3.8.9: конечное градуированное ч. у. множество Р с элементами 0 и 1 является эйлеровым, если \iP(x, у) = = (— 1)Цх-у) для всех пар х^у в Р. Эйлеровы ч. у. множества обладают многими замечательными свойствами «двойственности». Мы начнем с рассмотрения дзета-многочленов эйлеровых ч. у. множеств. 3.14.1. Предложение. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п. Тогда Z{P,—m) = (—l)nZ{P,m). Доказательство. Из предложения 3.11.1 (с) имеем Z(P, -m) = ^m(6, Т) = = Е |*(*о. Х\) ■ ■ ■ V(Xm-U Xm), где сумма берется по всем мультицепям 0 = *0^.*:j<; ... s^xm=l. Так как Р — эйлерово, то ц(*г-ь х1) = (— 1 )'(*'-•' **). Следовательно, }х(*о, хх) ... \i(xm_u xm) = (—l)n, так что Z(P, -m) = (-l)aZm(b, T) = (-1)',Z(P, m). □ Назовем конечное ч.у. множество Р с элементом 0 симпли- циальным, если каждый его интервал [0, х] изоморфен булевой алгебре. 3.14.2. Предложение. Пусть Р — симплициальное ч.у. множество. Тогда Z(P, m) —£i>0U^(tti— 1)', где H^ = #{xsP: [б, *]~В,}. В частности, если ч.у. множество Р градуировано, то Z(P,q-\- + 1) есть рангово-производящая функция ч.у. множества Р. Доказательство. Пусть иеР'и Zx(P, m) обозначают число мультицепей Xi^x2^ ... ^хт_х = х в Р. Из примера 3.11.2, ZX(P, т) = (т- 1)', где [6, jejafl,. Но Z(P, m)=ZxePZx(P, т), откуда следует доказательство. П Предположим теперь, что Р эйлерово и ч.у. множество Р' := Р — {7} является симплициальным. Рассматривая по отдельности мультицепи в Р, которые содержат или не содержат элемент 1, мы видим, что Z{P', m+l) = Z(P, m+l)-Z(P, m) = AZ(P, m).
202 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Следовательно, из предложения 3.14.2 п—1 AZ (Р, m)=Z Wim1, (39) 2 = 0 где ч. у. множество Р содержит Wt элементов ранга i. С другой стороны, из предложения 3.14.1 имеем Z(P, — т) — {— \)nZ(P, т), так что AZ(P, — m) = (—1)"_1 AZ(P, m— 1). Комбинируя это с формулой (39), получаем Е WMm-l)'=E (-1Г'-'Ггтг. (40) 2=0 2=0 Уравнения (40) налагают некоторые линейные соотношения на числа №,-, известные как уравнения Дена — Соммервилля. В общем случае существует у независимых уравнений (в дополнение к условию №0=1)- Мы перепишем ниже эти уравне- 6, причем положим Wo = 1: 2: Г, = 2, 3: 1Г,-Г2 = 0, 4: Wl-W2+W3 = 0, 2Г2-ЗГ3 = 0, 5: Г, -Г2 + W3-W4 = 0, Г3-2Й74 = 0, 6: и71_и72 + Гз-Г4+Г5 = 2, 2Г2 - ЗГ3 + 4Г4 - 5W5 = 0, 2Г4-51^5 = 0, Более элегантный способ установления этих уравнений будет обсуждаться в связи с теоремой 3.14.9. Основным примером эйлеровой решетки L, для которой L— {1} есть симплициальное ч.у. множество, является решетка граней триангуляции Д сферы с присоединенным элементом 1. В этом случае №,- есть в точности число (Г—1)-мерных граней Д. Заметим, что хотя мы вывели уравнение (40) как специальный случай предложения 3.14.1, можно также вывести предложение 3.14.1 из формулы (40). Именно, для данного эйлерова ч.у. множества Р применим формулу (40) к ч.у. множеству цепей Р с присоединенным элементом 1. Получившееся уравнение формально эквивалентно предложению 3.14.1. ния для 2 ^ п п = п — п = п = п =
3.14. Эйлеровы ч. у. множества 203 Затем мы обратимся к теореме двойственности для чисел Р(Р, S) в том случае, когда Р — эйлерово ч. у. множество. 3.14.3. Лемма. Пусть Р — конечное ч.у. множество с элементами б и 1, и пусть хеР-{0, 1}. Тогда Цр-х{0, Г) = |1Р(0, Г) —Цр(0, х)\1Р{х, 1). Доказательство. Это простое следствие предложения 3.8.5. □ 3.14.4. Лемма. Пусть Р — такое же ч.у. множество, как и выше, и Q-— произвольное ч.у. подмножество Р, содержащее элементы О и Г. Тогда |*q(0, I) = Е (— 1)S Ир (0, *i)|1p(*i, х2) ... liP(xk, 1), где суммирование ведется по всем цепям 0 < хх < ... < xk < 1 б Р, таким, что Xi$=Q для всех i. Доказательство. Многократно примените лемму 3.14.3, последовательно удаляя элементы ч. у. подмножества Q из Р. □ 3.14.5. Предложение. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п и Q — произвольное ч.у. подмножество Р, содержащее элементы 0 и Г. Положим Q = (Р — Q) U {0, !}. Тогда Мб, Т) = (-1Г'^(о> Г). Доказательство. Так как Р эйлерово, имеем цР(б, ху)\х.Р{хь х2) ... \iP(xk, Т) = (—1)" для всех цепей 0 < хх < ... < xk < 1 в Р. Следовательно, из леммы 3.14.4 имеем ц<?(0. 1) = Х(~ 1) +"> где сумма берется по всем цепям 0 < х{ < ... < xk < 1 в Q. Доказательство следует из предложения 3.8.5. □ 3.14.6. Следствие. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п, £<=[« — 1]. Положим, 5 = [n—l] — S. Тогда р(Р, S)= р(Р, 5). Доказательство. Применим предложение 3.14.5 к случаю Q = Ps U {0, 1} и используем формулу (34). □ Топологическое отступление. Предложение 3.14.5 доставляет поучительный пример, показывающий полезность интерпретации функции Мёбиуса как (приведенной) эйлеровой характеристики и рассмотрения при этом самих групп гомологии. В общем случае мы ожидаем, что если разумным образом усилить
204 Гл. 3. Частично упорядоченные множества предположение, взяв в расчет группы гомологии, то и вывод аналогичным образом усилится. Действительно, пусть вместо требования, что \iP(x, у) = (—1)1(х'у\ мы предположим, что и 1М \ г\ /°' 1Ф1(Х' У)~2' где К — поле (или любая группа коэффициентов), а Д обозначает порядковый комплекс, определенный в разд. 3.8. Равносильно, Р —-эйлерово ч.у. множество Коэна — Маколея над К. Пусть Q, Q — ч. у. множества из предложения 3.14.5, и положим Q' = Q — {0, !}, Q' = Q — {0, 1}. Теорема двойственности Александера для симплициальных комплексов утверждает, что в этих условиях Ht(A(Q'), К)^Нп-1-3(А(ё), К). (Если К — поле, то существует (не канонический) изоморфизм Й'(А, К)^Н,(А, К).) В частности, %(A(Qf)) = (—l)n %(A(Q')), что эквивалентно предложению 3.14.5 (в силу предложения 3.8.6). Следовательно, предложение 3.14.5 можно рассматривать как «аналог в теории обращения Мёбиуса» теоремы двойственности Александера. Наконец, мы подошли к замечательной «главной теореме двойственности» для эйлеровых ч. у. множеств Р. Мы свяжем с Р два многочлена f(P,x) и g(P, х), определенные ниже. Пусть Р — множество всех интервалов [0, у] из Р, упорядоченных по включению. Ясно, что отображение Р-*-Р, определенное формулой у-*-[0,у], есть изоморфизм ч.у. множеств. Многочлены f и g определяются индуктивно следующим образом: 1. f(l, x) = g(l, х) = \. (41) 2. Если п + 1 = rank Р > 0, то многочлен f (Р, х) имеет степень п, скажем f (Р, х) = А0 + hxx + ... + hnxn. Определим тогда g(P, x) = fi0 + (hl-fi0)x + (h2-hl)x2+...+(hm-hm_l)xmy (42) где m = L"/2J. 3. Если п + 1 = rank Р > 0, то положим f(P, *)= Е g(Q, *)(*-irP(Q). (43) О.ФР
3.14. Эйлеровы ч. у. множества 205 3.14.7. Пример. Рассмотрим шесть эйлеровых ч. у. множеств, изображенных на рис. 3.39. Будем писать ft и gt вместо f(Pi,x) и g(Pt,x) соответственно. Последовательно вычисляем, что /i=go=l, gi=l, f2 = 2gi + £o(*-0=l+*, &=Ь fz = 2g2+2gl (х- 1) + (х - 1)2= 1 + *2, £з= 1-х, f4 = 3g2+3^(x-l) + (x-l)2=l+x + x2, g4=l, /5 = 2^ + ^з + 4^(^-1) + 3^(х-1)2 + (^-1)3 = = l+x\ g5=\—x. 3.14.8. Пример. Запишем fn = f(Bn,x) и g„ = g (Вп, х), где ^п — булева алгебра. Простое вычисление дает fo=1, ffo=l. Л = 1. ffi=l, f2=l + *> £2=1, f3 = 1 + x + x2, g3=l, f4= 1 + * + *2 + *3, ^4=1- Это наводит на мысль, что /« = 1 + *+ ... -\-xn~l(n>Q) и gn — 1. Ясно, что формулы (41) и (42) имеют место; нам нужно лО р0 я, я2 я3 рл р5 Рнс. 3.39. только проверить формулу (43). Рекуррентное соотношение (43) сводится к виду ^=|> ("■£>-'>"-'• Подставляя g4 = 1, получаем fe=o ч к / ==(.v — I)-1 \((х — 1) + 1)"+1 — l] (из биномиальной теоремы) = = 1+х + ... +хп.
206 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Следовательно, мы показали f(Ba, х)=\ +*+... +хп~\ «>1, g(Bn, дс)=1, ra>0. Предположим теперь, что Р — эйлерово ч.у. множество ранга я + 1 и Р — {Т} симплициально. Так как g(Bn,x)=\, из формулы (43) получаем f(p,x)= Е (x-irp(Q)= ^twtix-lf-1, (44) 1=0 где Р имеет Wi элементов ранга и Мы подошли к главному результату этого раздела. 3.14.9. Теорема. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п-\- 1. Тогда f(P, x) = xnf(P, l/х). Эквивалентно, если f(P, х) = = Ео hixi> т0 hi = hn_i. Доказательство. Мы пишем f(P) вместо f(P,x), g(P) вместо g(P, х) и так далее. Положим у = х—1. Умножая формулу (43) на у и прибавляя g(P), получаем g(P) + yf(P)= Z g(Q)y(>{p)~(>(Q)^y-l'(P)(g(P) + yf(P)) = = Eg(Q)*rp(Q). Q Из формулы обращения Мёбиуса получаем g(P)y-"F>=Il(g(Q) + yf(Q))y-plQ)»p(Q, Р)- Q Так как Р — эйлерово ч. у. множество, получаем Hp{Q, Р) = = (-\)l(Q'p\ так что g(P)=Z (g (Q) + yf (Q)) (-У)'(Q' P>- (45) Q Положим f (Q) = a0-\-щх + ... -\-arxr, где p(Q) = r+l. Тогда g (Q) + yf (Q) = (a, - as+l) x°+l + (a,+1 - as+2) x*+2 + ...,
3.15. Биномиальные ч. у. множества 207 где s = |//2J. Будем вести индукцию по p(Q). Предположим, что a,- = ar_,- при г < п. В этом случае ' (а, - а,_,) xs+I + (ая_, - as_2) xs+2 + . .., г четно, *«»+»f<e-ife_(t.1)^+fe.1_^jx.«+...1 <«) г нечетно, = xP(«>g(Q, 1/х). Вычтем теперь yl{P)-\-g{P) из обеих частей равенства (45) и используем формулу (46), чтобы получить -yf(P)= I *p(Q)g(Q, Vx)(-y)l(Q'P)^ =^f(P)= E *p(Q)g(Q, l/x)(-y),lQ-P)-l = = xnf(P, l/x) (из формулы (43)). Доказательство закончено. П Уравнение (44) дает прямую комбинаторную интерпретацию многочлена f(P,x), если Р— {1} есть симплициальное ч. у. множество, и в этом случае теорема 3.14.9 эквивалентна формуле (40). В общем случае, однако, выражение f(P,x) оказывается значительно более тонким инвариантом ч. у. множества Р. Дальнейшую информацию см. в упражнениях 70—72. 3.15. Биномиальные ч. у. множества и производящие функции Мы сталкивались до сих пор с множеством примеров производящих функций, в основном вида Тлп>й!{п)хп или Tln>0f{n)xn/nl. Почему эти типы производящих функций встречаются повсеместно, а производящие функции, подобные ^Jn>0f{n)xn/(l + га2), кажется, не встречаются никогда? Существуют ли другие классы производящих функций, полезных в комбинаторике, кроме двух упомянутых выше? Теория биномиальных ч. у. множеств пытается ответить на эти вопросы. Она предлагает единый подход к производящим функциям многих различных типов, встречающихся в комбинаторике. Остаток главы будет посвящен этой теме. Большая часть последующего материала этой книги будет посвящена более тонким аспектам теории производящих функций, для которых в действительности теория биномиальных ч. у. множеств не подходит. Мы должны упомянуть,
208 Гл. 3. Частично упорядоченные множества что имеется несколько альтернативных подходов к созданию единой теории производящих функций. Мы выбрали биномиальные ч. у. множества по двум причинам: (а) мы уже развили большую часть соответствующего подготовительного материала по теории ч.у. множеств и (Ь) из всех существующих теорий теория биномиальных ч.у. множеств дает наиболее явную комбинаторную интерпретацию чисел В(п), появляющихся в производящих функциях вида £„>0f (п)хп/В(п). (Не путайте эти числа В(п) с числами Белла.) Рассмотрим сначала некоторые виды производящих функций F(j()eC[M], которые в действительности уже возникли в комбинаторике. Эти производящие функции нужно рассматривать как «представление» функций f: N->-C степенным рядом F(x) = J^n>Qf(n)xn/B(n), где В(п)— некоторые комплексные числа (которые, как оказывается в теории биномиальных ч.у. множеств, всегда являются положительными целыми). 3.15.1. Пример a. (Обыкновенные производящие функции.) Это производящие функции вида F(x) = J^n>0f (п)хп. (Более точно, мы говорим, что F (х) есть обыкновенная производящая функция последовательности f(n).) Конечно, мы видели много примеров таких производящих функций, как, например, i О **-<'-*>-'■ £ Р(п)хя= По-я')-1- гс>0 1>\ b. (Экспоненциальные- производящие функции.) Здесь F (х) = = 2n>cJ (п)хп/п\. Снова мы имеем множество примеров, таких, как £ В(п)хп/п\ = ееХ-\ ^0(п)хп/п\ = -^. п>0
3.15. Биномиальные ч. у. множества 209 c. (Эйлеровы производящие функции.) Пусть q—-фиксированное положительное целое число (практически почти всегда берется степень простого числа, соответствующая полю fq). Иногда удобнее рассматривать q как переменную, а не как целое число. Соответствующая производящая функция есть F(x)=Z f(n)xn/(n)\, п >0 где (п)!=(1 + <?)(1+<? + <?2) ... (1 + ?+ ... +д"-1), как и в разд. 1.3. Заметьте, что выражение (п)! сокращается до п\, если положить q = \. Иногда в литературе знаменатель заменяют на (1—q) (1—q2) ... (1 — qn); это равносильно преобразованию x-*-x/(l —q). Мы увидим, что наш выбор знаменателя естествен, поскольку рассматриваются биномиальные ч. у. множества. Одно немедленное преимущество состоит в том, что эйлерова производящая функция сокращается до экспоненциальной производящей функции, если положить q = l. Пример эйлеровой производящей функции (n)! I L (п)! 1 ' где /(«) — общее число подпространств в Vn(q) (т. е. f(n) = -ZLC))- d. (Дважды экспоненциальные производящие функции.) Эти функции имеют вид £„>0f {n)xn/nl2. Например, если f (п) есть число п X п матриц неотрицательных целых чисел, таких, что суммы элементов в каждой строке и каждом столбце равны двум, то F(x) = ex/2(l—х)~1/2. Иногда случается иметь дело с более общей г-экспоненциальной производящей функцией F(x) = 2„> of (")*"/«!', гДе r ~ произвольное положительное целое число. e. (Хроматические производящие функции.) Зафиксируем число ?еР. Тогда F(x)=Z f(n)xn/qUJnl Иногда выражение q^2' заменяют на qnH2, что соответствует преобразованию x->xq~112. Например, £ f («)хп/2^2)«! = ( £ (-1 f хп12\")ni) , n>0 VnSsO /
210 Гл. 3. Частично упорядоченные множества где /(о) есть число ациклических ориентированных графов с п вершинами, т. е. число подмножеств множества [о] X [л], не содержащих никакой последовательности элементов (г0, i{), (г,, г"2), (г2, г3), ..., (i,_u i,)(ij, i0). Например, f(3) = 25, что соответствует пустому множеству, шести 1-подмножествам {(г, /): iф/}, двенадцати 2-подмножествам {(г, /), (k, I): iф /, кфI, (г> /) Ф С. k) и шести 3-подмножествам, полученным из набора {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} перестановкой цифр 1, 2, 3. Основное понятие, которое будет использовано для объединения приведенных выше примеров, следующее: 3.15.2. Определение. Ч.у. множество Р называется биномиальным ч.у. множеством, если оно удовлетворяет трем, условиям: a. Р локально конечное, содержащее элемент 0 и бесконечную цепь. b. Каждый интервал [х,у] ч.у. множества Р градуирован. Если 1(х, у)=п, то мы называем [х, у] п-интервалом. c. Для всех п е NS любые два я-интервала содержат одно и то же число В(п) максимальных цепей. Мы называем В(п) фак- ториальной функцией ч. у. множества Р. Замечание. Условие (а) введено, в основном, для удобства, здесь возможно несколько альтернативных условий. Заметьте, что из определения биномиального ч.у. множества мы имеем В(0) = В(\)=1, В(2)= card(х, у), где [х, у] — любой 2-интервал, иб(0)^Б(1)^В(2)^ ... 3.15.3. Пример. Нижеследующие ч.у. множества являются биномиальными. a. Пусть P = N с обычным линейным порядком. Тогда В(п) = = 1 для всех п е N. b. Пусть Р — решетка всех конечных подмножеств множества N (или любого бесконечного множества), упорядоченных по включению. Тогда Р — дистрибутивная решетка и В(п)=п\. Мы будем обозначать это ч.у. множество через В. c. Пусть Р — решетка всех конечномерных подпространств векторного пространства бесконечной размерности над полем fq, упорядоченных по включению. Тогда В(п) = (п)\. Это ч.у. множество обозначим В(q). d. Пусть Р — множество всех упорядоченных пар (S, Т) конечных подмножеств S, Т множества |М, удовлетворяющих условию |S | = | 74 и упорядоченных покомпонентно (т. е. (S, Г)<[ <(S', Г), если SSS' и ГсГ). Тогда В(я) = л!2. Это ч. у. множество будет обозначаться В2. Более общим образом, пусть Ри Ръ ..., Pk — биномиальные ч. у. множества с факториаль- ными функциями Ви В2, . . ., Bk. Пусть Р есть ч. у. подмноже-
3.15. Биномиальные ч. у. множества 211 ство ч.у. множества PjX ^2 X • • • X Рь состоящее из всех ^-наборов (хи ..., xk), таких, что /(0, лга) == ... = /(0, xk).Тогда Р — биномиальное ч. у. множество с факториальной функцией В (ft) = В{ (ft) ... Bk (ft). Мы пишем P = Pi * ... * Pft. Поэтому Е., = В * В. Более общим образом, положим ВГ=В* ... * В (г раз). е. Пусть V-—бесконечное множество вершин, ^ер — фиксированное число, и пусть Р — множество всех пар (G,a), где G— функция из совокупности всех 2-наборов {и, v} е в множество {0,1, ..., q— 1}, такая, что все значения функции G, за исключением конечного числа, суть нули (G можно представить в виде графа с конечным числом ребер, помеченных числами 1, 2, ..., q — 1), и где ст: У-> {0, 1} —отображение, удовлетворяющее двум условиям: 1. Если G({u, v}) ф 0, то а (и) ф о (v), и 2. Е0€=у<Ф)<°°- Если (G, а), (Н, т)еР, то положим (G, а)<!(#, х), если 1. a(v)^.x(v) для всех ое7, и 2. если а(и) = т(и) и а(и) = т(и), то G{{u, и}) = Я({и, и}). Тогда Р является биномиальным ч. у. множеством и В(п) — (п) = га!<7^2/. Мы оставляем читателю задачу нахождения биномиального ч. у. множества Q с факториальной функцией B(ri) = qx-2', такого, что P — Q*B, где В — биномиальное ч. у. множество из примера 3.15.3(b). f. Пусть Р — биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией В(п), и пусть ftep. Определим ч. у. подмножество ^^{хеР:/ (б, х) делится на k). Тогда P(fe) — биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией Bk(n) = B(nk)/B(k)n. Заметим, что числа В(п), рассмотренные в примере 3.15.3 (а) — (е), появляются в степенных рядах производящих функций примера 3.15.1. Если мы сможем как-либо сопоставить биномиальное ч.у. множество с производящей функцией вида L,f{n)xnlB(n), то мы объясним форму производящей функции примера 3.15.1. Мы также получим некоторое оправдание того эвристического принципа, что обыкновенные производящие G
212 Гл. 3. Частично упорядоченные множества функции связаны с неотрицательными целыми числами, экспоненциальные производящие функции — с множествами, эйлеровы производящие функции — с векторными пространствами и так далее. Начнем наше изучение биномиальных ч. у. множеств Р. Выберем числа /, п е N, и пусть . обозначает число элементов ранга I в n-интервале [х, у]. Заметьте, что так как B(i)B(n— i) максимальных цепей интервала [х, у] проходят через данный элемент z ранга I, мы имеем [;]■ Bin) _ (4?) В (/) В(п — О ' Гп1 так что число . зависит только от п и i, но не от выбора и-интервала [х, у]. В случае Р = В, как в примере 3.15.3 (Ь), В(п) = п\ и . ==( . ), что объясняет наши термины «биномиальное ч. у. множество» и «факториальная функция». Эта аналогия с факториалами еще усиливается, если заметить, что В(п) = А(п)А(п — 1) ... Д(1), где A (i) = . I — число атомов в г-интервале. Теперь мы можем сформулировать главный результат о биномиальных ч. у. множествах. 3.15.4. Теорема. Пусть Р — биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией В(п) и алгеброй инцидентности 1(Р) (над С). Положим R(P) = {ft=I(P):f(x, y) = f(x', у'), если 1(х, у) = Цх', у')}. Если f <= R(P), то мы пишем f(n) вместо f(x, у), если 1(х, у) = п. Тогда R{P) есть подалгебра алгебры I (Р) и имеем изоморфизм алгебр qp: R(P)-+C [[х]], задаваемый формулой ф(/)= £ f(n)xn/B(n). Доказательство. Ясно, что R(P) есть векторное подпространство пространства 1{Р). Пусть f, g^R(P). По определению
числа 3.15. Биномиальные ч. у. множества 213 . | для я-интервала [х, у] имеем: fg(x, У)= Yj f(x> 2)^(г> у) = z е= [х, у) п = ЁГ"1/(')г(п-0. (48) i=o I- l J Следовательно, значение fg(x,y) зависит только от 1(х,у), так что R(P) есть подалгебра алгебры 1(Р). Далее, правая часть равенства (48) есть в точности коэффициент при хп/В(п) в ф(/)ф(&)> откуда следует доказательство. □ Отметим полезное свойство алгебры R(P), которое непосредственно вытекает из теоремы 3.15.4 (его можно доказать и не обращаясь к теореме 3.15.4). 3.15.5. Предложение. Пусть Р — биномиальное ч. у. множество и f^R(P). Предположим., что в I(Р) существует элемент /~ (т. е. f(x, х)=ф0 для всех элементов ^еР). Тогда f~l^R(P). Доказательство. Постоянный член степенного ряда i? = cp(/) равен f(x, х) Ф 0 для всех ieP, так что элемент F~ существует в кольце С[[х]]. Пусть g = f~'(f~I)e^(P). Так как FF~l = l в С[[х]], имеем fg = l в алгебре 1{Р). Следовательно, f-l = ge=R(P). П Мы обратимся теперь к некоторым примерам, показывающим объединяющую мощь биномиальных ч. у. множеств. Мы не будем пытаться их систематизировать или изложить в максимально возможной общности, но просто попробуем почувствовать вкус этого предмета. 3.15.6. Пример. Пусть /(я) есть мощность я-интервала [х, у] ч. у. множества Р, т. е. f (я) = V . . Из определения ясно, что дзета-функция £ лежит в алгебре R(P) и ф (£) = — ^п>0хп/В(п). Так как R(Р) — подалгебра в 1(Р), имеем £2е ^R(P). Так как £2(х, у) = card [х, у], то I f(n)x"/B(n) = (Z х"/В(п))2
214 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Таким образом, из примера 3.15.3(a) имеем, что число элементов f (я) цепи длины п удовлетворяет равенству «>0 \«>0 / «>0 откуда /(га) = п+1 (эт0 не самый глубокий результат данной темы). Аналогично, из примера 3.15.3(b) число f(n) подмножеств «-элементного множества удовлетворяет уравнению Е f(n)x"/n\ = ( Е x»/n\Y={**= Е 2яхп/Ш, откуда /(га) = 21 Аналогичная формула для эйлеровых производящих функций была установлена в примере 3.15.1(c). 3.15.7. Пример. Пусть ц(п) обозначает функцию Мёбиуса \i{x,у) для га-интервала [х,у] ч.у. множества Р (значение ц(х,у) зависит только от я в силу предложения 3.15.5). Из теоремы 3.15.4 имеем Е И (п) хп/В (п) = ( Е "XяIB («)Г'. (49) Если Р — ч.у. множество из примера 3.15.3(a), то Е и(*)*я = (Е *ЯГ1 = 1-*' что, разумеется, согласуется с примером 3.8.1. Аналогично, для примера 3.15.3(b) имеем I-wS-fl-*-)"'-—! <-"•-£. что дает еще один способ определения функции Мёбиуса булевой алгебры. Таким образом, формально принцип включения— исключения эквивалентен тождеству (е*)-1 = е~х. 3.15.8. Пример. Предыдущие два примера можно обобщить следующим образом. Пусть Z„(A) обозначает дзета-многочлен (от переменной Я) «-интервала [х, у] ч. у. множества Р. Тогда, так как Zn(X) = t,}-(x, у), имеем Е Za(Vxn/B(n) = (Il хп/В(п))\ Эта формула справедлива для любого комплексного числа (или переменной) Я. 3.15.9. Пример. Зафиксируем к (вариант предыдущего примера), и пусть ск (га) обозначает число цепей х = х0 < хх < ... < хк = у
3.15. Биномиальные ч. у. множества 215 длины k между х и у в га-интервале [х, у]. Так как ck(n) = = (£ — l)k(x, у), имеем Е ck(n)x"/B(n) = (Z xn/B(n)Y. Особенно интересен случай Р = В. Здесь ck(n) — число цепей 0 = 50 cz Si cz ... с: Sk = [л], или, по-другому, — число упорядоченных разбиений (Su S2 — Su S3 — S2, • •-, [и]— Sfe_i) множества [га] на & (непустых) блоков. Так как существует к\ способов упорядочения разбиения с k блоками, имеем ck{ri) — = k\S (га, k). Следовательно, £s(n, k)xn/n\=-L(ex-l)K Таким образом, теория биномиальных ч. у. множеств «объясняет» простую форму производящей функции из уравнения (24Ь) гл. 1. 3.15.10. Пример. Пусть с (га) — общее число цепей от х до у в л-интервале [х, у], т. е. с(п) = ^кск(п). Мы уже видели (разд. 3.6), что с (га) = (2 — £)-1 (х, у). Следовательно, Е с(п)хп/В(п) = (2- Z хп/В(п))~1. Например, если Р = N, то £ с («)*■ = (2 -тЬ)"» 1 + Е 2-V. Поэтому с(л) = 2"~1, л^ 1. Действительно, в га-интервале [0, га] цепь 0 = х0 < Х[ < ... < xk = га можно отождествить с разложением л = л:1 + (х2 —л^) + ... + (л — *a-i). так что мы переоткрыли результат о существовании 2я-1 разложений числа п. Если вместо этого взять Р = В, то £ с(га)л-7л! = (2-еТ'- Как видно из примера 3.15.9, с (га) есть общее число упорядоченных разбиений множества [л], т.е. c(n) = 2lkk\S(n> k). Иногда называют упорядоченное разбиение множества S размещением с предпочтением, так как оно соответствует расположению элементов S в линейном порядке с разрешенными объединениями.
216 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.15.11. Пример. Пусть f{n)-~ общее число цепей х = х0< < хх < ... < xk — у в о-интервале [х, у] ч. у. множества Р, таких, что 1{Х{_Ь Xt)~^2 для всех 1 <л <[&, где число k может меняться. Теперь читателю должно быть очевидно, что I №>*W»>- Z (Z -fa- 1-*)"-(! - I т^У'. (50) Например, если Р = N, мы перечисляем подмножества интервала [0, п], содержащие 0 и га и не содержащие никаких двух последовательных целых чисел. Равносильно, мы подсчитываем разложения (х\—xo) + (*2— *i)+ ••• +(я —#*-i) числа га, ни одна из частей которых не равна 1. Из формулы (50) имеем где iV-i обозначает число Фибоначчи в согласии с упражнением 14(b) гл. 1. Аналогично, если Р = В, мы получаем экспоненциальную производящую функцию {24-х — ех)~1 для числа упорядоченных разбиений га-элементного множества без одноэлементных блоков. 3.16. Приложения к перечислению перестановок В разд. 3.12 мы связали функции Мёбиуса с подсчетом перестановок, обладающих некоторыми свойствами. Используя теорию биномиальных ч. у. множеств, мы можем получить производящие функции для перечисления некоторых из этих перестановок. На протяжении этого раздела Р обозначает биномиальное ч. у. множество с факториальной функцией В(п). Пусть Ss Р. Если [х, у] — о-интервал ч. у. множества Р, обозначим через [х, y]sS рангово-выбранное ч. у. подмножество интервала [х, у] с присоединенными элементами х и у, т. е. [х, y\s = {z^[x, у\: г = х, z = y, или l(x,z)^S}. (51) Пусть \is обозначает функцию Мёбиуса ч. у. множества [х, y]s, и положим iis(n) = ns(x, у). (Легко видеть, что значение Hs(tt) зависит только от п, но не от выбора о-интервала [х, у].) 3.16.1. Лемма. Имеем - Z Ц5 (п) хп/В (п) = Г Z хп/В (га)1 Г1 + Е Us (") хп/В (га)1 (52) п>1 L«>1 _ILrt(=s J
3.16. Приложения к перечислению перестановок 217 Доказательство. Определим функцию %: N->{0, 1} формулой %{п)=\, если га = 0 или /?eS, %(«) = 0 в остальных случаях. Тогда рекуррентное соотношение (14), определяющее функцию Мёбиуса, дает ц5(0)=1, и п-1 М*) = — Yj [i J^sWxW. ">i. 1 = 0 где . = В (n)/B (i) В (га — г), как обычно. Следовательно, -м«)(1 -х(«))=Х![п 1 мохю, «> 1, что переводится в тождество для производящих функций В (я) + Zj В (я) — 2j В («) I Х n>o n>o Ln>o J Г yi |xs (n) X (я) x" 1 Lra>0 J Ясно, что это равносильно равенству (52). П Рассмотрим теперь множество S, для которого степенной ряд 1 + Tjn j= s M>s (w) *"/# (n) может быть вычислен явно. 3.16.2. Лемма. Пусть feeP и S = № = {to:«eP}. Тогда 1+S ^ (га) ха/В («) = Г I **П/Д (МГ' • (53) п е= S Lra > 0 _| Доказательство. Пусть P<fe> — биномиальное ч. у. множество из примера 3.15.3(f) с факториальной функцией Bk{n) — = B(kn)/B(k)n. Если ц'*) — функция Мёбиуса на ч.у. множестве Р(Ч то из формулы (49) следует, что £ ц<*>(я)*я/В*(п) = Г1 *7Я*(*)1 • (54) «>о Ln>o J Но n'*,(n)==ns(*«)- Полагая Bk(n) = B(kn)/B{k)n в формуле (54), получаем £ ns (И (Б (ф х)п/в (*л) = ГI (в (fc) х)п/в {kn)\'. Если подставить х* вместо B(k)x, получим формулу (53). □
218 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Комбинируя леммы 3.16.1 и 3.16.2, получим 3.6.13. Следствие. Пусть k е Р и S = kP. Тогда - Z Ps («) хп/В (л) = Г Е хп/В (п)] Г Е **7Я (kn)Y' • П п>1 Lra>l JLn^O J Теперь рассмотрим случай Р = В(д) (пример 3.15.3(c)). Для любого подмножества S^ р из теоремы 3.12.3 следует, что (-l)isni»-i]|-i^s(ra)=2<7'("), где сумма берется по всем перестановкам я е @п с множеством спуска S. Если 5 = /гР, то | S Л [" — 1] I = ~т—I • Следовательно, мы заключаем: 3.16.4. Предложение. Пусть fee?, и пусть п где сумма берется по всем перестановкам я = а\аг ... о-п ^ @п, таким, что а» > a(+i, тог<За w только тогда, когда k\i. В этом случае I (- O^-l U (q) *»! = Г Е *7(п)Л Г Е **7<кп)!Г ' • П (55) Хотя предложение 3.16.4 можно доказать без использования биномиальных ч. у. множеств, наш подход позволяет дополнительно понять, почему выражение (55) имеет такую простую форму. В частности, простой знаменатель ^п>0хкп/(кп)\ возникает при участии функции Мёбиуса ч. у. множества P{k), где P = B{q). 1 — 1 Мы можем избавиться от некрасивого множителя (—1)L k J в выражении (55), исследуя отдельно каждый класс чисел п, дающих данный вычет по модулю k. Зафиксируем 1 ^ / ^ k, подставим xk ->—xh и извлечем из формулы (55) только те члены, показатели степени которых s/(mod/z). Мы получим элегантную формулу mZo Ы,)х7(п)1 = Г Zo <-1Г-7(п)ПгЕ ,_„,,»,/,„„.-. n = mk+j Ln=*mk + j J Lra > О J (56)
3.16. Приложения к перечислению перестановок 219 В частности, если j = k, мы можем прибавить 1 к обеим частям равенства (56) и получить Z fmk+k(q)xmk/(mk)l = Г £ (-1)»*я*/(пк)!Г\ (57) m>0 L«>0 J Уравнения (57) являются также прямым следствием леммы 3.16.2. Один специальный случай формулы (56) заслуживает отдельного упоминания. Напомним (предложение 1.3.14(4)), что перестановка аха2 ... ап е @„ чередующаяся, если cii ~> а2 < < из > ••• • Ясно, что /я2(1) есть число Е„ чередующихся перестановок в @„; £„ известно как число Эйлера (его не нужно путать с числами Эйлера из разд. 1.3). Подстановка к = 2, ц = \ и / = 1 и 2 в формуле (56) приводит к замечательной формуле: £ £'nx7"! = tgx + secx. (58) По этой причине Е2т иногда называют числом секанса, а £2/1+1 — числом тангенса. Было бы полезно отметить, как уравнение (58) можно вывести из наших первоначальных принципов. Рассмотрим следующую процедуру. Выберем /-подмножество 5 из интервала [2, и+1] ( . ] способами и положим S=[2,n + 1]—S. Выберем чередующиеся перестановки я е <В (S) и oe@(S) £;£„_г способами. Пусть p = itlae®rt+i, где л — перестановка я, записанная в обратном порядке. Например, если « = 7, я = 635, а = 8472, то р = 53618472. Если р = а1а2 ... ап+ь то либо р является чередующейся (ах> а2<аъ> ...), либо «чередующейся наоборот» (ai < Ог > а3 < • • •). и каждая такая перестановка р встречается в точности один раз. Так как существует биекция между чередующимися и чередующимися наоборот перестановками из ©n+i (именно, at -» п + 2 — аг), то число перестановок р, получившихся таким образом, есть 2£„+1. Следовательно, п 2£ге+1=£ (П) E{En_t, »>1, и производящая функция ^n>QEnxn/nl тогда вычислена в упражнении 43(c) гл. 1.
220 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Замечания Предмет частично упорядоченных множеств и решеток имеет свое начало в работах Г. Буля, Ч. С. Пирса, Е. Шредера и Р. Дедекинда в девятнадцатом столетии. Однако только с работами Гарретта Биркгофа в 1930-х годах действительно началось развитие теории ч.у. множеств как самостоятельного предмета. В частности, появление в 1940-м году первого издания знаменитой книги Биркгофа [5] сыграло плодотворную роль в развитии предмета. Более явные ссылки на развитие теории ч.у. множеств и решеток можно найти в работе [5]. Кроме того, библиография, содержащая порядка 1400 наименований по ч.у. множествам (но не решеткам), появилась в работе [25]. Эта последняя работа содержит много ценных обзоров по текущему состоянию теории ч.у. множеств. В частности, мы упомянем обзор К. Грина [19] по функциям Мёбиуса. Весьма обширная библиография по теории решеток появилась в работе [17]. Идея алгебр инцидентности восходит к Дедекинду и Е. Т. Беллу, хотя формула обращения Мёбиуса для ч.у. множеств по существу открыта Л. Вейснером в 1935 г. Скоро после этого она была переоткрыта Ф. Холлом и установлена в полной общности М. Вардом в 1939 г. Холл доказал основное предложение 3.8.5 (известное поэтому как «теорема Филиппа Холла»), а Вейснер доказал столь же важное следствие 3.9.3 («теорема Вейснера»). Только в 1964-м году с плодотворной работой [26] Дж. К. Рота началось систематическое развитие теории ч. у. множеств и решеток в связи с комбинаторикой. Ссылки на более ранние работы в этой области, приведенные выше, имеются в работе [26]. Мы теперь обратимся к более специальным ссылкам, начиная с разд. 3.4. Теорема 3.4.1 (фундаментальная теорема для конечных дистрибутивных решеток) была доказана Биркгофом [4, теорема 7.3]. Связь между цепями в дистрибутивных решетках J (Р) и сохраняющими порядок отображениями а: P-+N (разд. 3.5) впервые была явно рассмотрена в работах [28] и [29]. Понятие «обобщенного треугольника Паскаля» появилось в работе [34]. Развитие гомологической теории для ч. у. множеств было рассмотрено Дехьювелем, Доукером, Фармером, Окамото и другими (см. работу [14] для ссылок), но комбинаторные ответвления такой теории, включая связь с функцией Мёбиуса, оставались непонятыми до работы Рота [26, с. 355—356]. Некоторая работа по этим направлениям была проделана Фармером, Фолкманом, Лаксером, Мазером и другими (см. [40], [41] для
Замечания 221 ссылок). В частности, Фолкман доказал результат, эквивалентный утверждению о том, что геометрические решетки являются ч. у. множествами Коэна — Маколея. Систематическое изучение связей между комбинаторными и топологическими свойствами ч. у. множеств было начато К- Баклавским и А. Бьернером и продолжено Дж. Волкером. Легко читаемый обзор трудов в этой области появился в работе [41], и многие ссылки можно также найти в работе [40]. Связь между регулярными клеточными комплексами и ч. у. множествами широко обсуждается в статье [7]. Ч. у. множества Коэна — Маколея были открыты независимо Баклавским [1] и Стенли [36, § 8]. Обзор по ч. у. множествам Коэна — Маколея имеется в работе [8]. Предшествующее предложению 3.8.9 утверждение о том, что Ik F не обязательно односвязен и Ilk/7! не обязательно многообразие, если |Д[—многообразие, есть следствие глубокого результата Р. Д. Эдвардса, см. [41, с. 99—100]. Алгебра Мёбиуса ч. у. множества Р (обобщающая наше определение в разделе 3.10 в случае, если Р — решетка) была введена Л. Соломоном [27] и впервые систематически исследована К. Грином [18], который показал, как ее можно использовать для вывода многих, казалось бы не имеющих к ней отношения, свойств функций Мёбиуса. Предложение 3.10.1 (установленное для геометрических решеток) принадлежит Рота [26, теорема 4, с. 357]. Формула (28) для функций Мёбиуса решетки Ln{q) принадлежит Ф. Холлу [21, (2.7)], в то время как формула (30) для решетки П„ независимо открыта Шютценберже и Фрухтом с Рота (см. [26, с. 359]). Обобщение (31) имеется в работе [26, упр. 1, с. 362— 363]. Дзета-многочлены были введены в работе [33, § 3] и в дальнейшем развиты в работе [13]. Идея рангово-выбранных ч. у. подмножеств и соответствующие функции а(Р, S) и р(Р, S) были рассмотрены для последовательно все более общих классов ч. у. множеств в работах [29, гл. II], [30], [32] и достигли своей кульминации в работе [37, § 5]. Теорема 3.12.1 появилась (в несколько более общей форме) в работе [29, теорема 9.1], в то время как теорема 3.12.3 появилась в работе [35, теорема 3.1] при г = \. Развитие понятия ^-пометок шло параллельно с развитием понятия рангового выбора. Эта концепция последовательно обобщалась в работах [29], [30], [32] и окончательно сформулирована к настоящему времени в работах [6] (откуда взят термин «^-пометки») и [9]. Пример 3.13.4 восходит к работе [30], а пример 3.13.5 найден в работе [32]. Более строгий тип пометок, чем 7?-пометки, называемый L-пометками, введен
222 Гл. 3. Частично упорядоченные множества в работе [6] и обобщен до CL-пометок в работе [9]. (Определение CL-пометок неявно обобщает понятие /^-пометок до того, что можно было бы назвать «С7?-пометками»). Ч. у. множество с CL-пометками (первоначально так назывались множества, обладающие лишь L-пометками) называется лексикографически шелушимым. В то время как R пометки используются (как в разд. 3.13) для вычисления эйлеровой характеристики (т.е. функции Мёбиуса), CL-пометки позволяют вычислять сами группы гомологии. В частности, лексикографически шелушимые ч. у. множества являются ч. у. множествами Коэна — Мако- лея. Ввиду многих важных примеров из работ [9], [10] ч. у. множеств, про которые может быть доказано, что они обладают CL-пометками, но не /,-пометкамн (называемыми теперь «£Х-пометками»), кажется ясным, что СХ-пометки суть «правильный» уровень общности для этого предмета. Мы исследовали здесь только ^-пометки из-за простоты их представлений и потому, что мы сосредоточиваемся на перечислении, а не на топологии. Эйлеровы ч. у. множества были впервые явно определены в работе [38, с. 136], хотя они, конечно, рассматривались ранее. В частности, предложение 3.14.1 встречается в работе [33, предложение 3.3] (хотя и установлено в меньшей общности), а наш переход к уравнениям Дена — Соммервилля появился в работе [33, с. 204]. В классическом случае уравнения Дена — Соммервилля были установлены для решетки граней симпли- циального выпуклого многогранника или триангуляции сфер (см. [20, гл. 9, 8]); Кли [24] провел в общем эквивалентное нашему исследование. Лемма 3.14.3 и ее обобщение — лемма 3.14.4, открыты независимо Баклавским [2, лемма 4.6] и Стечкиным [39]. Более общая формула дана Бьернером и Волкером [11]. Предложение 3.14.5 и следствие 3.14.6 появились в работе [38, предложение 2.2]. Теорема 3.14.9 имеет интересную историю. Она впервые установлена для случая, когда Р — решетка граней выпуклого рационального') многогранника 5s как побочный продукт при вычислении гомологии пересечений2) 1Н(Х{$Р),С) торического многообразия Х(&>), связанного с Э>. Подробнее, ') То есть вершины многогранника имеют рациональные координаты. — Прим. перев. 2) В оригинале «intersection homology». В русской литературе отсутствует, кажется, общепринятый перевод. В гладком случае рассматриваемый объект есть кольцо Чжоу. Иногда эти гомологии называют также ГМ-гомо- логиями (гомологиями Горецкого и Мак-Ферсона). См., например, Фултон У., Мак-Ферсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — М.: Мир, 1983. —Ярил. ред.
Литература 223 полагая р,- = dimIHi(X(9), С), имеем Z Р,<7' = /(Л<72). i >0 Но гомологии пересечений удовлетворяют двойственности Пуанкаре, которая влечет за собой р,- = p2n-j. Ссылки и дальнейшую информацию см. в упражнении 72. Затем было естественно поставить вопрос о более элементарном доказательстве в максимально возможной общности, откуда и возникла теорема 3.14.9. Теория биномиальных ч. у. множеств была развита в работе [12, § 8]. Фактически весь материал разд. 3.15 (некоторую его часть в более общем виде) можно найти в этой работе, за исключением хроматических производящих функций [31]. Производящая функция (2-е*)-1 примера 3.15.10 впервые рассматривалась в статье A. Cayley, Phil. Mag 18(1859), 374—378 в связи с его исследованиями по деревьям. См. также О. A. Gross, Amer. Math. Monthly 69(1962), 4—8. Применение биномиальных ч.у. множеств к перечислению перестановок (разд. 3.16) было развито в работе [35]. Литература 1. Baclawski К. Cohen — Macaulay ordered sets. J. Algebra 63 (1980), 226— 258. 2. Baclawski K. Cohen — Macaulay connectivity and geometric lattices. European J. Combinatorics 3 (1984), 293—305. 3. Bender E. A. Goldman J. R. Enumerative uses of generating functions, Indiana Univ. Math. J. 20 (1971), 753—765. 4. Birkhoff G. On the combination of subalgebras. Proc. Cambridge Phil. Soc. 29 (1933), 441—464. 5. Birkhoff G. Lattice Theory, 3rd ed., American Math. Soc. Providence, R. I., 1967. [Имеется перевод: Биркгоф Г. Теория решеток, М.: Наука, 1984.] 6. Bjorner A. Shellable and Cohen — Macaulay partially ordered sets. Trans. Amer. Math. Soc. 260 (1980), 159—183. 7. Bjorner A. Posets, regular CW complexes and Bruhat order. European J. Combinatorics 5 (1984), 7—16. 8. Bjorner A., Garsia A. and R. Stanley. An introduction to Cohen — Macaulay partially ordered sets. In [25], pp. 583—615. 9. Bjorner A., Wachs M. Bruhat order of Coxeter groups and shellability. Advances in Math. 43 (1982), 87—100. 10. Bjorner A., Wachs M. On lexicographically shellable posets. Trans. Amer. Math. Soc. 277 (1983), 323—341. 11. Bjorner A., Walker J. W. A homotopy complementation formula for partially ordered sets. European J. Combinatorics 4 (1983), 11—19. 12. Doubile P., Stanley R., Rota G. С On the foundation of combinatorial theory (VI). The idea of generating functions. In Sixth Berkeley Symp. on Math. Stat, and Prob., vol. 2: Probability Theory, Univ. of California (1972), pp. 267—318. [Имеется перевод: Дубиле П., Рота Дж.-К., Стенли Р. Об основах комбинаторной теории (VI): идея производящей функции. В сборнике «Перечислительные задачи комбинаторного анализа» — М.: Мир, 1979, с 160—228.]
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Edelman P. Н. Zela polynomials and the Mobius function. European J. Combinatorics 1 (1980), 335—340. Farmer F. D. Cellular homology for posets. Math. Japonica 23 (1979), 607—613. Gessel I. M. Generating functions and enumeration of sequences. Thesis, M.I. Т., 1977. Goulden I. P., Jackson D. M. Combinatorial Enumeration, John Wiley, New York, 1983. Gratzer G. General lattice Theory. Academic Press, New York, 1978. [Имеется перевод: Гретцер Дж. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982.1 Greene С. On the Mobius algebra of a partially ordered set. Advances in Math 10 (1973), 177—187. Greene С The Mobius function of a partially ordered set in [25], pp. 555— 581. Gninbaum B. Conveux Polytopes. John Wiley (Interscience), London — New York, 1967. Hall P. The Eulerian functions of a group. Quart. J. Math. 7 (1936), 134— 151. Henle M. Dissection of generating functions. Studies in Applied Math. 51 (1972), 397—410. Joyal A. Une theorie combinatoire des series formelles. Advances in Math. 42 (1981), 1—82. Klee V. A combinatorial analogue of Poincare's duality theorem. Canadian J. Math. 16 (1964), 517—531. Rival 1. (ed.), Ordered Sets, Reidel, Dordrecht/Bos Ion, 1982. Rota G. C. On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Mobius functions. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 2 (1964), 340—368. Solomon L. The Burnside algebra of a finite group. J. Combinatorial theory 2 (1967), 603—615. Stanley R. Ordered structures and partitions. Thesis, Harvard Univ., 1971. Stanley R. Ordered structures and partitions. Memoirs Amer. Math. Soc. No. 119 (1972). Stanley R. Supersolvable lattices. Alg. Univ. 2 (1972), 197—217. Stanley R. Acyclic orientations of graphs. Discrete Math 5 (1973), 171— 178. [Имеется перевод: Стенли P. П. Ациклические ориентации графов. В сб. «Перечислительные задачи комбинаторного анализа».—М.: Мир, 1979, с. 256—265,]. Stanley R. Finite lattices and Jordan — Holder sets. Alg. Univ. 4 (1974), 361—371. Stanley R. Combinatorial reciprocity theorems. Advances in Math, 14 (1974), 194—253. Stanley R. The Fibonacci lattice. Fib. Quart. 13 (1975), 215—232. Stanley R. Binomial posets, Mobius inversion and permutation enumeration. J. Combinatorial Theory (A), 20 (1976), 336—356. Stanley R. «Cohen — Macualay complexes» in Higher Combinatorics (M. Aigner, ed.). Reidel, Dordrecht/Boston, 1977, pp. 51—62. Stanley R. Balanced Cohen — Macaulay complexes. Trans. Amer. Math. Soc. 249 (1979), 139—157. Stanley R. Some aspects of groups acting of finite posets. J. Combinatorial Theory (A) 32 (1982), 132—161. Стечкип Б. С. Теоремы вложения для Мёбиус-функций. Докл. ДН СССР, 1981, т. 260, № 1, с. 40—43. Walker J. Homotopy type and Euler characteristic of partially ordered sets. European J. Combinatorics 2 (1981), 373—384. Walker J. Topology and combinatorics of ordered sets, thesis, M. I. Т., 1981.
Упражнения 226 Упражнения [1+] I. а. Частично предупорядоченным множеством') (ч.п.у. множеством), или квазиупорядоченным множеством называется множество Р с бинарной операцией ^, удовлетворяющей условиям рефлексивности и транзитивности (но не обязательно условию антисимметричности).Для данного ч.п.у. множества положим х ~ у, если х ^ у и у ^ х. Покажите, что ~ есть отношение эквивалентности. [1+] Ь. Пусть Р обозначает множество классов эквивалентности по отношению к ~. Для X, У е Р положим X ^ У, если существуют элементы х^Х и уеУ, для которых х ^у в Р. Покажите, что это определение превращает Р в ч. у. множество. [2—] с. Пусть Q — ч. у. множество и f: P-+Q сохраняет порядок. Покажите, что существует сохраняющее порядок отображение g: P-+Q, такое, что следующая диаграмма коммутативна: Р-*Р Л/» Q Здесь отображение Р-+Р есть каноническое отображение, переводящее элемент х в класс эквивалентности, содержащий х. [1+] 2. а. Пусть Р — конечное ч.п.у. множество (как определено в упражнении 1). Назовем подмножество U из Р открытым, если U — порядковый идеал из Р (определенный очевидным образом для ч.п.у. множеств). Покажите, что Р становится (конечным) топологическим пространством, обозначаемым Ptop. [2—] b. Покажите, что для данного конечного топологического пространства X существует единственное ч. п. у. множество Р, для которого Ptop = X. Следовательно, соответствие P->-Ptop есть биекция между конечными ч. п. у. множествами и конечными топологиями. [2—] с. Покажите, что ч. п. у. множество Р есть ч. у. множество в том и только том случае, если Ptop — ') В русской литературе принят также термин «предпорядок». — Прим. ред.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Го-пространство (т. е. разные точки имеют разные наборы окрестностей). d. Покажите, что отображение /: P-+Q ч. п.у. множеств сохраняет порядок тогда и только тогда, когда /, рассматриваемое как отображение f: Лор->-Qtop, непрерывно. a. Нарисуйте диаграммы 63 пятиэлементных ч. у. множеств, 318 шестиэлементных ч. у. множеств и 2045 семиэлементных ч.у. множеств. (Решение прямолинейно, но требует времени.) b. Пусть f(n)—число неизоморфных я-элементных ч.у. множеств. Найдите «разумную» формулу для числа f(n). (Вероятно, это невозможно.) c. Для той же функции f пусть Р обозначает утверждение, что бесконечно много значений функции f(n) являются палиндромами, будучи записанными по основанию 10. Покажите, что утверждение Р нельзя доказать или опровергнуть в теории множеств Цермело — Френкеля. d. Покажите, что logf(n)~(«2/4)log2. (Обозначение g (п) ~ h (п) означает: limn+a>g(n)/h{n)=l.) e. Улучшите оценку п. (d), показав, что f(n)~C2n4i+Znl2enn-n-\ где С — константа, определяемая формулой С = -|- Yj 2~i('+1)~ 0.80587793 (п четно), и аналогично для п нечетного. a. Пусть Р — конечное ч. у. множество и f: Р ->- Р — сохраняющая порядок биекция. Покажите, что /—автоморфизм Р (т.е. /_1 сохраняет порядок). b. Покажите, что п. (а) не выполняется для бесконечных ч. у. множеств Р. а. Приведите пример конечного ч.у. множества Р, такого, что если / — длина самой длинной цепи в Р, то любой элемент х^Р содержится в некоторой цепи длины I, однако Р имеет максимальную цепь длины, меньшей /.
Упражнения 227 b. Покажите, что если Р — конечное ч. у. множество, самая длинная цепь которого имеет длину /, и если для любого элемента у, покрывающего элемент х, в Р существует цепь длины /, содержащая оба элемента х и у, причем каждый элемент из Р содержится в некоторой цепи длины /, то любая максимальная цепь в Р имеет длину /. Найдите конечное ч. у. множество Р, для которого существует биекция f: Р-*-Р, такая, что х ^у тогда и только тогда, когда f(x)^ f(y) (т. е. Р — самодвойственно), но для которого не существует такой биекции f, удовлетворяющей условию f(f(x)) = x для всех ieP, a. Для чЛу. множества Р пусть Int(P)-—ч. у. множество [(непустых) интервалов Р, упорядоченных по включению. Покажите, что для любых ч. у. множеств А и В Int (А X В) е* Int (А X В*). b. Пусть Р и Q —ч. у. множества. Покажите, что если Р содержит элемент 0 и Int (Р)^ Int (Q), то Р^ЛХб и Q ££ Л X S* для некоторых ч. у. множеств А и В. c. Найдите конечные ч. у. множества Р, Q, для гкоторых Int (Р)^й Int (Q), однако утверждение (Ь) гне выполняется. a. Пусть А — множество всех классов изоморфизма конечных ч. у. множеств. Пусть [Р] обозначает класс ч.у. множества Р. Тогда на А определены операции • и +, заданные так: [P] + [Q] = [P + -f Q] и [Р] • [Q] = [PXQ). Покажите, что эти операции превращают множество А в коммутативное полукольцо (т. е. А удовлетворяет всем аксиомам коммутативного кольца, за исключением существования аддитивно обратного элемента). b. Мы можем формально присоединить аддитивно обратные элементы к А очевидным образом, чтобы получить кольцо В (точно таким же способом, как получают Z из N). Покажите, что В есть в точности кольцо многочленов Z[[P\], [Р2],...]> где [Pi] есть классы связных конечных ч.у. множеств, имеющих более одного элемента (единичный элемент кольца В дает класс одноэлементных ч.у. множеств). c. Найдите конечные ч.у. множества Pi, удовлетворяющие условию Pi X Рг ^ Рз X Ра, однако Р, ЗЁ
Гл. 3. Частично упорядоченные множества ^Р3. Pij^P*, и ни одно из ч. у. множеств Р; не являются нетривиальным прямым произведением Q X Q'. Почему это не противоречит известному факту, что кольцо Z [хь х2, ...] есть область с единственным разложением? a. Элемент х конечного множества Р называется неразложимым, если х покрывает в точности один элемент или покрывается в точности одним элементом. Ч. у. подмножество Q из Р называется сердцевиной Р (запись Q = coreP), если i. ч. у. множество Р можно записать в виде P = Q U{*i xk), где xt — неразложимый элемент ч. у. множества QU{*i, х2, ..., xt) при 1 гО' г^ /> И п. Q не имеет неразложимых элементов. Покажите, что любые две сердцевины ч. у. множества Р изоморфны (хотя и не обязаны совпадать). (Следовательно, обозначение согеР определяет единственное ч. у. множество с точностью до изоморфизма.) b. Если Р содержит элементы 0 или 1, покажите, что core Р состоит из одного элемента. c. Покажите, что |согеР|=1 в том и только том случае, если ч.у. множество Рр сохраняющих порядок отображений f: Р-+Р связно. a. Пусть deP. Покажите, что следующие два условия на конечное ч.у. множество Р с множеством вершин [п] эквивалентны: i. Р есть пересечение d линейных упорядочений множества [п]. и. Р изоморфно ч. у. подмножеству ч. у. множества Nd. b. Далее, покажите, что, если d = 2, эти два условия также равносильны третьему: Ш. Существует ч. у. множество Q на [п], такое, что х < у или х> у в Q тогда и только тогда, когда элементы х и у несравнимы в Р. Какие из ч.у. множеств, изображенных на рис. 3.40, являются решетками? Пусть L — конечная решетка, и определим ч.у. подмножество Irr(L) неразложимых элементов решетки L формулой Irr(L) = {xe L: х неразложим в объединение или неразложим в пересечении (или и то и другое)}.
Упражнения 229 Покажите, что решетку L можно однозначно восстановить из ч. у. множества Irr(L). 13. Приведите пример конечной атомарной коатомар- ной решетки, которая не является решеткой с дополнениями. 14. Конечная решетка L содержит п неразложимых в объединение элементов. Какое наибольшее число f(n) неразложимых в пересечение элементов может иметь решетка L? Рис. 3.40. 15. а. Пусть fk(n) есть число неизоморфных «-элементных ч. у. множеств Р, содержащих для каждого 1 ^ i ^ п — 1 в точности k порядковых идеалов мощности L Покажите, что f2(n) = 2n-z, п^З. b. Пусть g (п) есть число таких ч. у. множеств Р, перечисляемых функций /з(я), для которых единственные 3-элементные антицепи состоят из трех минимальных и трех максимальных элементов ч.у. множества. Покажите, что g(n) = 2п~7, п ^ 7. c. Используйте п. (Ь) для нахождения Yda>oh(n)xlt- (Это, должно быть, возможно.) d. Найдите fk{n) для к > 3. 16. а. Пусть L — конечная полумодулярная решетка. Пусть V — ч.у. подмножество L, состоящее из тех элементов L, которые являются объединениями атомов L {включая 0 как пустое объединение). Покажите, что U — геометрическая решетка. Ь. Является ли U подрешеткой решетки L? 17. Пусть AeN.B конечной дистрибутивной решетке L пусть Pk есть ч.у. подмножество элементов, покрывающих k элементов, a Rk — ч.у. подмножество элементов, покрываемых k элементами. Покажите, что Pk = Rk, и опишите в терминах структуры L явный изоморфизм ф: Pk-*~Rk- 18. Пусть L — конечная дистрибутивная решетка длины kr, содержащая k неразложимых в объединение
Гл. 3. Частично упорядоченные множества . элементов ранга i для 1 ^ i ^ г (и, следовательно, не содержащая никаких других неразложимых в объединение элементов). Какое наибольшее число элементов может иметь решетка L? a. Конечная нижняя полурешетка является дистрибутивной снизу, если любой интервал [х, у] решетки L, такой, что х есть пересечение элементов интервала [х,у], покрываемых элементом у, есть булева алгебра. Например, дистрибутивные решетки дистрибутивны снизу, в то время как решетка на рис. Я.41 дистрибутивна снизу, но не дистрибутивна. Рис. 3.41. Пусть L — дистрибутивная снизу нижняя полурешетка, и пусть fk = fk(L) — число интервалов решетки L, изоморфных булевой алгебре Bk. Положим также gh = gh(L) — число элементов решетки L, покрывающих в точности k элементов. Покажите, что Е £*(!+*)*= S f*xh. /s>0 /s>0 b. Выведите из п. (а), что ft>0 c. Пусть L = /(mXn) в п. (а). Явно вычислите числа U и gk. d. Для данного ш ^ п пусть Qmn — ч. у. подмножество ч. у. множества Р X Р, определенное формулой {(/,/)<=РХР: l<i</<m-f-ra-i, 1</<т}, и положим Ртп = т X п. Покажите, что ч. у. множества Ртп и Qmn имеют один и тот же дзета- многочлен. e. Покажите, что ч.у. множества Ртп и Qmn имеют один и тот же порядковый многочлен.
Упражнения 231 f. Покажите, что решетки J(Pmn) и J(Qmn) имеют одни и те же значения fk и gk. Пусть L — конечная дистрибутивная снизу решетка, как определено в упражнении 19, и пусть х е L. Покажите, что число неразложимых в объединение элементов у из L, удовлетворяющих условию у ^ х, равно рангу р(х) элемента х. Пусть L — финитарная дистрибутивная решетка с конечным числом элементов любого ранга. Пусть u(i,j) есть число элементов ранга t, покрывающих в точности / элементов, и пусть v (i, j) — число элементов ранга /, покрываемых в точности / элементами. Покажите, что для всех i ^ / ^ О 5>(*\ *)(*)= 5>(*-/, k)(k). (59) (Каждая сумма содержит конечное число ненулевых членов.) Пусть f: N ->- N- Говорят, что финитарная дистрибутивная решетка L имеет функцию покрытия /, если как только элемент jtsL покрывает i элементов, так сразу f (/) элементов из L покрывают элемент х. a. Покажите, что существует не более одной (с точностью до изоморфизма) финитарной дистрибутивной решетки с данной функцией покрытия f. b. Покажите, что если L — конечная дистрибутивная решетка с функцией покрытия f, то L есть булева алгебра. c. Пусть 6еР, Покажите, что существуют финитарные дистрибутивные решетки с функциями покрытия f(n)= b и f(n) = п + b. d. Пусть a, b е Р и а ^ 2. Покажите, что не существует финитарной дистрибутивной решетки L с функцией покрытия f(n)= an + b. e. Можно ли явно охарактеризовать все функции покрытия? Пусть Z„ обозначает «-элементное „зигзаг ч. у. множество" или забор с элементами {#,, ..., хп} и отношением покрытия x2i_i < x2i и x2l > x2*+i- a. Сколько порядковых идеалов содержит ч. у. множество Z„? b. Пусть Wn(q) обозначает рангово-производящую функцию решетки J{Zn)> так> чт0 W0(q)=l,
232 Гл. 3. Частично упорядоченные множества W1(q)=l+q, W2{q) = \+q + q\ ^з(<7) = 1 + + 2<7 + q2 + q3 и так далее. Найдите простую явную формулу для производящей функции F(x):= £ Wn(q)xn. [2] с. Найдите число e(Z„) линейных расширений ч. у. множества Z„. [3—] d. Пусть Q(Z„, m) —порядковый многочлен ч. у. множества Z„. Положим Gm(x)= 1 + Z &(Zn, т)х»+', т> 1. Найдите рекуррентное соотношение, выражающее Gm(x) через Gm_2(x), и задайте начальные условия Gi(x) и G2(x)- [3—] 24. Пусть Р — конечное ч. у. множество. Свободная дистрибутивная решетка FD(P), порожденная ч. у. множеством Р, есть, интуитивно, наибольшая дистрибутивная решетка, содержащая Р как ч. у. подмножество и порожденная (как решетка) ч. у. множеством Р. Более точно: если L — произвольная дистрибутивная решетка, содержащая ч. у. множество Р и порожденная Р, то существует (сюръективный) гомоморфизм решеток /: FD(P)-*-L, тождественный на Р.1) Покажите, что FD (Р) £ё / (/ (Р)) — {б, Т}. В частности, решетка FD(P) конечна. Если Р = д1, мы пишем FD(P)= FD(n) — свободная дистрибутивная решетка с п образующими, так что FD(n)^ ^7(В„)-{б,1}. Замечание. Иногда определяют FD(P) как свободную ограниченную дистрибутивную решетку, порожденную ч. у. множеством Р. В этом случае нам нужно присоединить элементы 0 и 1 к FD(P), так что иногда можно встретить утверждение, что FD(P)^J(J(P)) wFD{n)^J{Bn). [2] 25. а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, наибольшая антицепь которого имеет k элементов. Каждая антицепь А в Р соответствует порядковому идеалу (А) = {х: х^у для некоторого #еЛ}е/(Р). ') Гомоморфизмом решеток называется отображение, сохраняющее операции Л и у.—Прим. перев.
Упражнения 233 Покажите, что множество всех порядковых идеалов <Л> из Р с условием |Л| = & образует подре- шетку М(Р) решетки J(P). b. Покажите, что каждая конечная дистрибутивная решетка L изоморфна решетке М(Р) для некоторого ч.у. множества Р. 26. а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, и положим Gp(q> t) = Yji^'ltm{' ' гДе I пробегает множество всех порядковых идеалов из Р и т(1) обозначает число максимальных элементов в /. (Таким образом, GP(q, 1) есть рангово-производящая функция решетки J(P).) Пусть Q — п-элементное ч. у. множество. Покажите, что Gp®q (q, t) = GP (q", q~» (GQ (q, t) - 1)), где P®Q обозначает порядковое произведение. b. Покажите, что если \Р\ = р, то Ч'.^г-)- ,р 27. Назовем конечное градуированное ч. у. множество Р (с ранговой функцией р) приятным, если рангово- производящая функция F{L,q) решетки L = J(P) задается формулой F(L,q)=J[j . gPW + 2 qPM+1 ' JCSP ч Покажите, что множества Р, приведенные в пп. (а) — (g), являются приятными. (Заметьте, что (а)—частный случай (Ь), а (с) — частный случай п. (d).) a. P = mXn, где m,neP. b. P = lXmXn, где I, m, леР. c. Р = /(2Хп), где neP. d. P = m X / (2 X n), где m, n c= P. e. P = /(3Xn), где /teP, f. P = mX(n0(l +l)0n), где /п,«еР, gf. P = mX/(/(2X3)) и P = mX/(/(/(2X3))), где BiEp, h. Найдите разумное выражение для F(L, q), если 1 = /(Р)>гдеР = п1Хп2Хп3Хп4илиР = /(4Хп). (В общем случае эти ч. у. множества Р не являются приятными.)
234 Гл. 3. Частично упорядоченные множества [2+] 28. Двоичное правило остановки длины п есть (нестрого говоря) правило, указывающее человеку, когда прекратить случайные испытания (бросание монеты), такое, что он гарантированно остановится после п испытаний. Два правила считаются одинаковыми, если они дают один и тот же исход. Например, «продолжайте до тех пор, пока не получите три последовательных орла, или четыре последовательных решки, или пока не пройдет п испытаний» является правилом остановки. Частично упорядочим правила остановки длины п, положив А ^ В, если испытатель никогда не остановится, используя правило А, позже, чем используя правило В. Пусть Ln — получившееся ч. у. множество. Ч. у. множество Li показано на рис. 3.42. Покажите, что Ln есть дистрибутивная решетка, и вычислите ч. у. множество неразложимых Остановиться после первой "решки" или двух "орлов" подряд Остановиться после второго испытании Остановиться после первого "орла" или двух "решек" подряд Остановиться после первого испытения А Остановиться до первого испытания L2 Рис. 3.42. [2] [2+] в объединение элементов. Найдите простую рекуррентную формулу для рангово-производящей функции F(Ln, д) в терминах F(Ln-u q). 29. В этом упражнении Р и Q обозначают локально конечные множества, и I(P), /(Q) —их алгебры инцидентности над полем К- a. Покажите, что радикал Джекобсона алгебры 1(Р) есть {/е/(Р):/(х,дг) = Одлявсех хеР}.1) b. Покажите, что решетка двусторонних идеалов в 1(Р) изоморфна множеству всех порядковых идеа- ') Радикал Джекобсона есть пересечение максимальных (правых) идеалов алгебры 1(Р). — Прим. перев.
Упражнения 235 лов А из Int(P), упорядоченных в обратном к включению порядке. [3—] с. Покажите, что если I (Р) и I(Q) изоморфны как /(-алгебры, то ч.у. множества Р и Q изоморфны. [3] d. Опишите группу /(-автоморфизмов и пространство /(-дифференцирований алгебры 1(Р).1) [5—] с. Исследуйте дальнейшие алгебраические свойства алгебры 1(Р). Например, для элемента /е/(Р) опишите алгебру централизаторов C(f) = {g<= е/(Р): gf = fg}. В частности, если Р— конечное ч.у. множество, какова размерность C(f) как векторного пространства над /(? Есть ли разумный критерий для определения того, когда два элемента алгебры I (Р) сопряжены (по аналогии с теорией канонической формы Жордана)?2) [2+] 30. Отображение Х-*-Х на ч.у. множестве Р называется оператором замыкания (или замыканием), если для всех х, у е Р х^.х, х<^.у=>х^у, х = х. Элемент х ч.у. множества Р называется замкнутым, если х = х. Множество замкнутых элементов Р обозначается Р (называется частным ч. у. множества Р по отношению к замыканию). Пусть Р — локально конечное ч.у. множество с замыканием x-vx и частным Р. Покажите, что для всех пар х, у е Р LH*.*)=[ о Z<=P 2 = g если х = х, если х < х. [2+] 31. Пусть / и g — функции на конечной решетке L, удовлетворяющие условию f(*)= I j (у)- (И ') То есть пространство ТС-линейных функционалов D: 1(Р)-*-К, таких, что D(fg) = Df-g + f-Dg для f, ge=I(P). — npUM. перев. 2) Элементы fug называются сопряженными, если существует такой элемент he. 1(Р), что f = hgh~[. —Прим. перев.
236 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Покажите, что если ц(0, х)фО для всех х е L, то выражение (60) можно обратить и получить £(*)=£ <ф, у) f(y), у где V ii(0,<) [2+] 32. Пусть Р — конечное ч.у. множество с элементами б и 7 и ц — его функция Мебиуса. Пусть /: Я->С. Покажите, что 1(/(*1)-1)(/(*2)-1)... (/(**)-!) = = Z (-l)fe+1 ц (б, X,) ц (*,, х2) ... ц (xfe_b Xk) f (*,) • f (х2) ... f (xk), где обе суммы берутся по всем цепям 0 < х\ < ... ... < xk < Г в Р. [3—] 33. Предположим, что L — конечная решетка, и зафиксируем элемент х е L. Покажите, что МО, t)=Z»*(0, г/)?(У. г)Мг, !), И, 2 где элементы у и z пробегают все пары дополнений элемента х. Выведите отсюда, что если р. (0, 1) Ф 0, то L — решетка с дополнениями. [2] 34. а. Пусть L — конечная решетка, в которой для каждого элемента х > 0 интервал [0, х] имеет четное число точек. Используя упражнение 33, покажите, что L есть решетка с дополнениями. [3—] Ь. Найдите простое доказательство, не использующее функций Мёбиуса. [2+] 35. Пусть L =/(Р) — конечная дистрибутивная решетка. Функция v. L->C называется нормированием (над С), если v (б) = 0 и v (х) + v (у) = v (х V у) + v (х Л у) для всех пар х, у е L. Докажите, что нормирование v однозначно определяется своими значениями на неразложимых в объединение элементах решетки L (которые мы можем отождествить с элементами ч. у. множества Р). Более точно, покажите, что если / — порядковый идеал ч.у. множества Р, то v(I) = — Е v(x)p(x,l), x&I
Упражнения 237 где ц обозначает функцию Мёбиуса на идеале / (рассматриваемом как ч. у. подмножество из Р) с присоединенным элементом 1. 36. Пусть L — конечная решетка; зафиксируем элемент ге[. Покажите, что следующее тождество выполняется в алгебре Мёбиуса решетки L (над некоторым полем): £ ]i(o,x)x = ( S |i(o, оЛ-f Z рФ,у)у\ 37. а. Пусть L — конечная решетка (или нижняя полурешетка) и f(x, s) — функция (со значениями, скажем, в коммутативном кольце), определенная для всех пар x,s^L. Положим, F (х, s) = = Hz<xf(z> s)- Покажите, что det[F(xAy, z)]xy^L= П f(x,x). b. Докажите, что det[H. О. Д. {I, j)]l,= l=f[^(k), где ф —функция Эйлера. c. Положите f (х, s) = р. (О, х) и выведите, что для конечной нижней полурешетки L, такой, что ц(0, х) Ф О для всех xgL, существует перестановка я: L->L, удовлетворяющая условию х Л Л п(х) = б при всех Jtei, d. Пусть L — конечная геометрическая решетка ранга п, содержащая Wt элементов ранга i. Выведите из п. (с) (точнее, из двойственной к (с) формулировки), что при &^д/2 W{ + ... + Wk^Wn_k + ... +№„_,. (61) В частности, Wx^.V/n_x. e. Докажите, что если в формуле (61) равенство имеет место для какого-нибудь значения k, то L — модулярная решетка. f. Пусть L такая же решетка, что и в п. (d). Покажите, что Wk^.Wn_k при всех &<п/2. 38. Пусть L —конечная решетка, такая, что ц(х, 1)=^=0 и ц (0, х) ф0 для всех элементов jheL Докажите, что существует перестановка я: L->L, для которой при всех х е L элементы х и я (х) являются допол-
Гл. 3. Частично упорядоченные множества нениями друг другу. Покажите, что это не так, если просто предположить, что ц (0, х) ф О при всех 38.5. а. Пусть L — конечная решетка, а А я В — ее подмножества. Предположим, что для всех элементов хфА существует элемент х* > х, для которого ц(х,х*)Ф0 и х* фхУ у при i/eB. (Таким образом, 1еЛ.) Покажите, что существует инъективное отображение qp: В-+А, удовлетворяющее условию (f(t)^t при всех (еВ. b. Пусть К — конечная модулярная решетка. Покажите следующее: (i) Если элемент 1 есть объединение атомов решетки К, то К — геометрическая решетка, и, следовательно, р.(0, 1) ф ФО. (ii) При тех же условиях, что и в п. (i), решетка К содержит равное число атомов и коатомов. (Hi) Для любых элементов а, 6 е= К отображение ф*: [а Л b, a]-^[b, а V Ь], определенное формулой ^ь{х) = х V Ь, является изоморфизмом решеток (или ч.у. множеств). c. Пусть L — конечная модулярная решетка и Jk (соответственно Mk) есть множество элементов из L, покрывающих (соответственно покрываемых) не более k элементов (не более k элементами). (Таким образом, /0 = {б} и М0 = {!}.) Выведите из пп. (а), (Ь) существование инъек- тивного отображения q>: Jk-^Mk, удовлетворяющего условию y(t)^t при всех ?£=/&. d. Выведите из п. (с), что число элементов решетки L, покрывающих в точности k элементов, равно числу элементов, покрываемых ровно k элементами. e. Выведите решение упражнения 37(d) из п. (а). 39. а. Пусть L — конечная решетка с п элементами. Существует ли неразложимый в объединение элемент х решетки L, для которого главный двойственный порядковый идеал Vx={y^L: у ^ х} содержит не более п/2 элементов? Ь. Пусть L — любая конечная решетка с п элементами. Предположим, что существует элемент х из L, для которого \VX\> п/2. Покажите, что ^(0>#) = 0 для некоторого элемента jgL. 40. Пусть L — конечная решетка, и предположим, что она содержит подмножество 5 мощности п, такое,
Упражнения 239 что (i) любые два элемента 5 несравнимы (т. е. 5 есть антицепь), и (и) любая максимальная цепь решетки L пересекает множество 5. Найдите как функцию от п наименьшее и наибольшее возможные значения величины ц (0, 1). (Например, если п = 2, то О<ц(б, Т)< 1, ^а'при'га = 3— 1 < ц (6, 1)<2.) 41. а. Пусть Р — д + 2-элементное множество, содержащее элементы 0 и 1. Каково наибольшее возможное значение | \кР (0, 1) |? Ь. То же, что и в п. (а) для д-элементной решетки L. 42. Пусть k, /gP. Найдите тахР|ц(0, 1)|, где Р пробегает все конечные ч. у. множества, содержащие элементы б, 1 и цепь наибольшей длины /, причем каждый элемент из Р покрывается не более чем k элементами. 43. Пусть L — конечная решетка, для которой | jxjl (О, 1)1^2. Следует ли отсюда, что L содержит подре- шетку, изоморфную 5-элементной решетке 1 Ф 31 Ф Ф1? 44. Пусть G —- граф с конечным множеством вершин V и дуг Е s I „ I. п-Раскраской графа G называется функция с: V ->■[«], такая, что с(а)Фс{$) при (а, $)<=Е. Пусть %(п) обозначает число д-раскрасок графа G. Функция х: N->N есть хроматический многочлен графа G. Множество ЛеУ называется связным, если для каждой пары вершин v, о'е^ можно найти последовательность v = v0, vu v$, ... ..., vm = vf вершин V{^A при 0^/^m и {vt_u vt}^E при 1 ^ t ^ m. Пусть La есть ч. у. множество (в действительности — геометрическая решетка) всех разбиений к множества V, упорядоченных по измельчению, в которых каждый блок связен. Покажите, что %(п)= S и (б, я) *!:«', где |я| — число блоков разбиения я и ц, — функция Мёбиуса на La. Отсюда следует, что хроматический многочлен %(п) графа G и характеристический многочлен %(La,n) связаны соотношением х(д) = псх(£о, д), где с есть число компонент связности графа G. Заметьте, что если G является
Гл. 3. Частично упорядоченные множества ПОЛНЫМ графом /Ср(т. е. Е = \ „ ] ]• то мы получим формулу (31). а. Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем F<7, и L есть решетка подпространств пространства V. Пусть X есть векторное пространство над F, с Jt векторами. Из подсчета числа инъективных линейных преобразований V-*-X двумя способами (первый способ — непосредственно, второй способ — обращение Мёбиуса на L) покажите, что п—' п {k \ fe=0 fe=0 ^ k ' Это тождество справедливо для бесконечного множества значений X и, следовательно, выполняется как тождество между многочленами (где х — переменная). Заметьте, что если положить х—— -j, то мы получим п—\ п /k\ П и/+zcik)=Z (" V2 V-***, (62) и это тождество превращается в биномиальную теорему при <7=1. По этой причине уравнение (62) иногда называют «^-биномиальной теоремой». (ТЬ Ь. Вычислите значение I . I , где £ —примитивный V ] /<?=£ корень степени г из единицы. Зафиксируем k ^ 2. Пусть L,'n есть ч. у. множество всех таких подмножеств 5 множества [д], упорядоченных по включению, что 5 не содержит k последовательных целых чисел. Пусть L„ есть ч. у. множество Ln с присоединенным элементом 1. Пусть р.п есть функция Мёбиуса на Ln. Найдите р.п(0,1). Ваш ответ должен зависеть только от класса вычетов д по модулю 2k + 2. Пусть п ^= 1. Положительное целое число d называется унитарным делителем числа п, если d\n и (d,n/d)=\. Пусть L есть ч.у. множество всех по-
Упражнения 241 ложительных чисел, упорядоченных условием а ^ Ь, если а есть унитарный делитель числа Ь. Опишите функцию Мёбиуса ч. у. множества L. Установите унитарный аналог классической формулы обращения Мёбиуса из теории чисел. а. Пусть М есть моноид (полугруппа с единицей е) с п образующими g\, ..., gn, подчиненными только соотношениям вида gigi = gigi для некоторых пар i ф /. Упорядочим элементы моноида М, полагая х ^ у, если существует такой элемент г, что xz = y. (Например, предположим, что М имеет образующие 1, 2, 3, 4 (сокращение для gu g2, g3, g4) с соотношениями 13 = 31, 14 = 41, 24 = 42. Тогда интервал [е, 11324] изображен на рис. 3.43.) 11324 Покажите, что любой интервал [е, со] в ч. у. множестве М является дистрибутивной решеткой L» и опишите ч.у. множество Ри, для которого L» = = /(Р«). Выведите из п. (а), что число разложений w = gtl ... git равно числу е(Ра) линейных расширений ч.у. множества Pw. Выведите из п. (а), что функция Мёбиуса ч.у. множества М задается формулой (—1)г, если w есть произведение г попарно )' = ^ коммутирующих образующих gt, ) в противном случае. d. Пусть N (аи а2 ап) обозначает число различных элементов из множества М степени а{ по
Гл. 3. Частично упорядоченные множества образующей gt. (Например, для элемента g\g^gxg\ а{ = 3, «2—1. «з = °. «4 = 2.) Пусть хи ..., хп независимые коммутирующие переменные. Выведите из п. (с), что *(«. «„)<'••• <rt=(I(-i)rv2---^J'' где последняя сумма берется по всем таким наборам (iu ..., tr), что l^t'i<t2< ••■ <ir^n> и элементы g, , g, , ..., g, попарно коммутируют. Какие тождества получаются в п. (d), если никакие образующие gt и gt не коммутируют (i ф j), или когда все образующие gt и g/ коммутируют. Пусть L — конечная сверхразрешимая полумодулярная решетка с М-цепью 0 = л;0<л:1< ... ... < хп = 1. Пусть щ есть число атомов у решетки L, таких, что y^xlt но */^*,_i. Покажите, что %(L, q) = (q — ai)(q — a2) ,..{q — an). Пусть L — конечная сверхразрешимая решетка с Af-цепью С: 0 = л:0<л:1< ... <хп—\. Для H6L положим A(x) = {i: j;V«i_i = х\/х{} = [/г]. Легко видеть, что # Л (х) = р (х) и что элемент у покрывает х, если (в обозначениях формулы (37)) Л (у) — Л (х) = {к (х, у)}. Пусть теперь Р — произвольное естественное частичное упорядочение множества [п] (т. е. i < / в P=w < у в Z), и определим LP = {x<=L:A(x)<^J(P)}. Покажите, что Lp есть R — помечиваемое ч. у. множество, удовлетворяющее условию HLP, 5)= Z P(L,S). D (n)=S где i? (.Р) обозначает множество Жордана — Гёль- дера ч.у. множества Р (определенное в разд. 3.12). В частности, взяв L = Ln(q), из теоремы 3.12.3 получаем, что <7"аналог LP дистрибутивной ре-
Упражнении 243 шетки J(P) удовлетворяет равенству P(LP>S)= Z qW. Заметьте, что ч.у. множество Lp зависит не только от Р, как от абстрактного ч.у. множества, но и от выбора линейного продолжения порядка Р (или максимальной цепи из J(P)), которое отождествляет элементы ч. у. множества Р с элементами множества [п]. 49.5. а. Зафиксируем простое число р и целое k > 1 и определим ч. у. множества Uk{) (р), U£> (р) и Щ] (р) следующим образом: i. L(1)(p) состоит из всех подгрупп конечного индекса рт для некоторого т^О свободной абелевой группы Z*, упорядоченных по отношению, обратному ко включению. П. Ь(к2)(р) состоит из всех конечных подгрупп группы (Z/p°°Z)*, упорядоченных по включению, где Z/p°°Z = Z[l/p]/Z Z[l/p]={aeQ: pmasZ для некоторого m;>0}. iii. L{k{p)= (J Ln,k{p), где Ln,k(p) обозначает n решетку подгрупп абелевой группы (Z/p"Z)* и где мы отождествляем решетку Lnih(p) с образом ее в решетке Ln+ltk(p) при вложении (Z/p"Z)ft<=*(Z/pn+1Z)ft, определенном так: (аи ... ..., ак)-+(раи ..., рак). Покажите, что LV (р) ^ L^(р) ^ if (р). Назовем это ч. у. множество Ьк(р). Покажите, что Ьк(р) есть локально конечная модулярная решетка с элементом 0 (и, следовательно, имеет ранговую функцию р: Lk(p)-*N). Ь. Покажите, что для любого элемента x^Lk(p) главный двойственный порядковый идеал Vx изоморфен решетке Ьк(р). Покажите, что решетка Lk (р) содержат элементов ранга п и, следовательно, имеет ран- Т-Г
Гл. 3. Частично упорядоченные множества гово-производящую функцию F (Lk (р), x)=l/(l-x)(l-px)...(l- р^х). Все ^-биномиальные коэффициенты в этом упражнении берутся при д = р. d. Выведите из пп. (Ь) и (с), что для S = {su ... .... */}<<= Р *(Lk(p),S) = { k_, Д к1 )... ■••{ k-1 )• e. Пусть Nk обозначает множество всех бесконечных слов w = eie2 ..., таких, что et е [0, k — 1] и в{ = О для достаточно больших г. Положим a (w) = в! + е2 + ... и определим, как обычно, множество спуска D(w) = {i: ei>ei + l}czP. Используйте п. (d), чтобы показать, что для любого конечного множества SsP a(Mp).S)= I P(W\ £> (a>) s S p(L*(p), S)= I A»'*. D (a»)=S 50. а. Пусть P — конечное ч. у. множество, обладающее следующими свойствами: (i) Р градуированное, ранга п, содержит элементы 0 и 1; (и) для всех О^у^п существует такое ч. у. множество Pj, что [х, 1 ] т Pj, если п — р (х) = у. Мы называем такое ч. у. множество Р однородным. Пусть V (г, у) есть число элементов ч. у. множества Pt, имеющих ранг I —}, и положим v(i, У')=Е Ц(0, х), х где х пробегает множество всех элементов х е Pi, имеющих ранг i — у. (Таким образом, V(i, j) = = Wi-j и v{i,i) = Wi-j, где w и W обозначают числа Уитни ч. у. множества Pi первого и второго
Упражнения 245 родов.) Покажите, что матрицы [V (i, j)]0<lt 1<п и [f & /)]o<t, /<n являются взаимно обратными. (Заметьте, что предложение 1.4.1 соответствует случаю Pi,= Ui+i.) b. Найдите интересные однородные ч.у. множества. Можно ли расклассифицировать все однородные геометрические решетки? (См. упражнение 51(d).) Пусть X — /г-элементное множество, a G — конечная группа порядка т. Частичное разбиение множества X есть набор {Ai Аг) непустых попарно непересекающихся подмножеств множества X. Частичное G-разбиение ч.у. множества X есть семейство а={аь ..., аг) функций а;-: Aj-^G, где {А\, .... An} есть частичное разбиение множества X. Пусть Qn(G) обозначает множество всех частичных G-разбиений множества X. Положим а ^ р в Qn(G), если для каждой функции a,-. A/-+-G из а существует некоторая функция bk'. Bk-^-G из р и некоторый элемент w е G, для которых A,- sBj и bk (х) = w • uj (х) для всех х е Л/. a. Покажите, что если т= 1, то Q„(G) = Пп+1- b. Покажите, что Qn{G) есть сверхразрешимая геометрическая решетка ранга п. c. Используя п. (Ь) и упражнение 49, покажите, что характеристический многочлен решетки Qn(G) задается формулой X(Q„(G), <7) = П(<7-1-тО. t = 0 d. Покажите, что решетка Qn(G) однородна в смысле упражнения 50. Пусть Рп — множество всех подмножеств {i\, ... ..., i2k}<=: Р, где 0 < /, < г2 < • • • < hk < 2" + 1 и числа г',, г2 — h, ..., hk — i2k-\, 2n + 1 — i2k все нечетны. Упорядочим элементы ч.у. множества Рп по включению. Тогда Рп есть градуированное ч.у. множество ранга п с элементами 0 и 1. Найдите число элементов ранга k ч.у. множества Р, общее число элементов в Рп, функцию Мёбиуса ц (0, 1) и число максимальных цепей в ч.у. множестве Рп. Покажите, что если р (х) = k, то [0, х] £ё Р^, а интервал
246 Гл. 3. Частично упорядоченные множества [х, 1] изоморфен произведению ч. у. множеств Р,-. (Таким образом, ч. у. множество Рп однородно в смысле упражнения 50.) [2+] 53. а. Пусть Ln обозначает решетку всех подгрупп симметрической группы @„, упорядоченных по включению. Пусть цп обозначает функцию Мёбиуса решетки Ln. Покажите, что Efi„(0,G) = (-ir1(n-l)!. где G пробегает все транзитивные подгруппы группы ©я1). [3] Ь. Покажите, что ц„('( , 1) делится на /г!/2. [5—] с. Докажите или оп овергните, что при пф 1,6 ц„(б, Т) = (-1Г'л»/2. [5] 54. а. Пусть Ап обозначает множество всех р(п) разбиений целого числа п. Упорядочим Л„ по измельчению. Это означает, что Я ^ р, если части разбиения Я можно разбить на блоки так, что части разбиения р есть в точности суммы элементов в блоках разбиения Я. Например, (4, 4, 3, 2, -2, 2, 1> 1)^(9, 4, 4, 2), что соответствует разложениям 9 = 4 + 2 + 2+1,4 = 4,4 = 3 + 1,2 = 2. Определите функцию Мёбиуса (г (Я, р) ч. у. множества Л„. (Это задача тривиальная, если Я = =<1">, и легкая, если Я=<1"-2, 2>.) [3] Ь. Является ли функция Мёбиуса ц. ч. у. множества Л„ знакочередующейся, то есть, верно ли, что (—1)' ц(х ,у)^0, если [х, у]— интервал длины/? Верно ли, что Л„ — ч. у. множество Коэна — Ма- колея? [3] 55. Пусть Л„ — то же множество, что и в упражнении 54, но теперь упорядочим Л„ по отношению доминирования. Это означает, что (Яь Я2, Я3, ...)^(рь р2,Рз,■••). если Я! + Я2+ ... +Яг<р1 + р2+ ... +Рг при всех / ^ 1. Найдите функцию ц для этого упорядочения. [3] 56. а. Гиперплоскость в евклидовом пространстве Ed = ={(*,, ..., xd): Х(^Щ состоит из всех точек (хи ..., xd), удовлетворяющих данному линейному уравнению а,*, + ... + adxd = (5. Пусть ') Подгруппа Н е @„ называется транзитивной, если для любой пары {(', /}[и] существует элемент ЛеЯ, для которого h(i) = /.—Прим. перев.
Упражнения 247 Ни #2, ..., #v — набор гиперплоскостей в Ed, причем Hi П Н2П • • ■ П #v = 0 • Пусть L есть ч. у. множество (в действительности — решетка; фактически любой интервал [0, х], хф\, из L является геометрической решеткой) ') всех различных пересечений #*, Л Hi2 Л • • • П #t/t упорядоченных по обратному включению. Таким образом, L содержит элемент 0, соответствующий пересечению пустого набора в Ed, и элемент 1, соответствующий пустому множеству 0. Если удалить Н\ U ... U tfv из Ей, оставшееся множество будет состоять из объединения непересекающихся областей. Пусть С есть общее число областей и В — число ограниченных областей. Покажите, что c=Z ||*(6,*)|, 5 = 1(1(0,1)1 = 1 £ И(0, х)\. [3] Ь. Предположим, что гиперплоскости Ни ..., #v с Ed содержат 0, т. е. они являются подпространствами векторного пространства Rd. Пусть г = d — -dim(//,n ••• fl#v) и * = {#„ .... Я,}. Как легко видеть, ч. у. множество L = L(X) пересечений гиперплоскостей {#,} является геометрической решеткой ранга г. Положим 0 = 0(Л) = {р = (р1, ..., pd):PleR[xu ..., xd] и для всех /e[v] и веЯг имеем р(о)еЯ;}. Ясно, что Q есть модуль над кольцом R = R [хи ... ..., xd], т. е. если рей и i/eR, то ?peQ. Легко показать, что Q имеет ранг г, т. е. Q содержит г (и не более) линейно независимых над R элементов. Предположим, что Q есть свободный ^-модуль, т. е. можно найти элементы р2 Рг^Я такие, что Q = pxR ф ... ®рг#. ') Строго говоря, L есть нижняя подполурешетка решетки всех подпространств в Ed, которая в смысле индуцированного упорядочения является геометрической решеткой (но не подрешеткой решетки L<*(R). О необходимости рассмотрения таких полурешеток в теории конфигураций см. также примечание редактора на с. 287. — Прим. ред.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Легко видеть, что можно тогда выбрать каждый элемент р, таким образом, что все компоненты этого многочлена будут однородными одной и той же степени е,-. Покажите, что характеристический многочлен L задается формулой X(L,q)=I[(q-el). 1 = 1 Покажите, что Q — свободный модуль, если решетка L сверхразрешима, и найдите свободный модуль Q, для которого L не является сверхразрешимой решеткой. При /г>3 пусть гиперплоскости #,, ..., #v lv = l )"г"(ч )) опРеДелены уравнениями xi = xj, 1<л < /О, *i + */ + xk = 0, 1 < i < / < k < п. Свободен ли модуль Q? Предположим, что Я,, ..., #v и Н\ Н'^ — два расположения линейных гиперплоскостей (т. е. подпространств, содержащих 0), и пусть L и U — соответствующие решетки, a Q и Q' — соответствующие модули. Если L ^ U, Q — свободный модуль, верно ли, что модуль Q' свободен? Иными словами, зависит ли свойство модуля Q быть свободным только от решетки L или оно зависит от самого местонахождения гиперплоскостей? Пусть X = {Яь ..., #v}, как в п. (b), HS6L (X). Определим новое расположение XS = {H<=X: ssff}. Таким образом, решетка L(XS) изоморфна интервалу [б, s] решетки L{X). Покажите, что если Q(X) — свободный модуль, той Q(Xs) — также свободный модуль. Пусть Х = {Ни ..., Hv}, как и в п. (Ь), и пусть Яе! Определим расположение Хн в (d — 1)- мерном вещественном векторном пространстве Я, состоящее из гиперплоскостей вида Н{ П Я. Таким образом, решетка L(XH) изоморфна интервалу
Упражнения 249 [Н, Г] решетки L(X). Если Q(Z) свободный модуль, верно ли, что Q [Хн) — свободный модуль? Пусть Р и Q — конечные ч. у. множества. Выразите многочлены Z{P-\-Q, т), Z (P(&Q, т), Z (P~XQ, т) в терминах многочленов Z (Р, /) и Z (Q, у). a. Пусть Р — конечное ч. у. множество. Как связаны дзета-многочлены Z(P, п) и Z(Int(P), п)? b. Предположим, что Р содержит элементы 0 и 1. Пусть Q обозначает ч. у. множество Int(P) с присоединенным элементом 0. Как связаны Цр(5, 1) и Мб, Т)? a. Пусть Р — конечное ч. у. множество, и Q —ch(P) обозначает ч. у. множество непустых цепей в Р, упорядоченных по включению. Пусть Q0 обозначает ч. у. множество Q с присоединенным элементом 0 (= пустая цепь в Р). Покажите, что если Z (Р, т + 1) = V аЛ . I, то Z (Q0> т + 1) = b. Пусть Р и Q обозначают ч. у. множества Р и Q соответственно с присоединенными элементами 0 и 1. Выразите ц§ (0, 1) через цр (б, 1). c. Мы говорим, что конечное градуированное множество Р ранга п обладает свойством разбивае- мости цепей, если для любой максимальной цепи К из ч. у. множества Р найдется цепь r(K)sK (ограничение цепи К), такая, что любая цепь (включая 0) ч. у. множества Р лежит в точности в одном из интервалов [г (К), К] ч. у. множества Q0. Для данной цепи С из множества Р определим ее ранговое множество р(С) = {р(л;): хеС}£ [0, п]. Покажите, что если Р обладает свойством разбиваемости цепей, то р (Р, S) равно числу максимальных цепей К из Р, для которых p(r(A)) = S. (Так что, в частности, р (Р, S)^0.) d. Покажите, что если для некоторого ч. у. множества Р ч. у. множество Р обладает Рч-помет- ками, то Р обладает свойством разбиваемости цепей. e. Верно ли, что все ч. у. множества Коэна — Ма- колея облад'ают свойством разбиваемости цепей?
250 Гл. 3. Частично упорядоченные множества [3—] 60. а. Для ч. у. множества Р граф сравнимости Сот(Р) есть граф, вершины которого — элементы Р, а две вершины х и у соединены (неориентированным) ребром, если х < у или у < х. Покажите, что порядковый многочлен Q (Р, п) конечного ч. у. множества Р зависит только от графа Com (Р). [2] Ь. Приведите пример двух конечных множеств Р и Q, для которых Com (Р) 9= Com (Q), но Q (Р, т) — = Щ<2, т). [2+] 61. а. Пусть Q(P, п) обозначает порядковый многочлен конечного ч. у. множества Р, так что из разд. 3.11 имеем Q(P, n) = Z(J(P), п). Пусть р = \Р\. Используя пример 3.9.6, покажите, что при яеР (—1)РЙ(Р, — п) есть число отображений т: Р-*п, строго сохраняющих порядок, т. е. таких, что если х < у в Р, то т (х) < т (у). [1+] Ь. Вычислите явно значения Й(Р, п) и (—1)PQ(P, —п) для случаев (i) Р — р-элементная цепь и (и) Р — р- элементная антицепь. [1+] 62. Вычислите Z(L, п) для решеток граней всех пяти Платоновых тел'). [3] 63. Пусть Y — множество всех разбиений всех целых чисел п. Упорядочим Y покомпонентно, то есть положим (ц1( ц2, . ..)^(АЬ А2, ...). если Цг^А^ для всех i. Y называется решеткой Юнга; она изоморфна финитарной дистрибутивной решетке /f(N2). Для пары разбиений (г<^ в Y положим Z(n) = — £" (ц, А) — дзета-многочлен интервала [ц, А]. Выберите число г, чтобы Аг+1 = 0. Покажите, что IA i-i + n J]l<t,l<r [5—] 64. Верно ли, что если L и L' — дистрибутивные решетки ранга п, для которых р (L, S) — р (L', S) (или, равносильно, a(L, S) = a(L', S)) для всех подмножеств S ^[п— 1], то решетки L и V изоморфны? [2+] 65. Пусть Р — конечное градуированное ч. у. множество ранга п с элементами 0, 1, и предположим, что каждый интервал ч. у. множества Р самодвойственный. Пусть S = {nu n2, ..., nj<s [п— 1]. ') То есть для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.— Прим. перев.
Упражнения 251 Покажите, что значение сс(Р, 5) зависит только от мультимножества чисел пь п2 — пь п3—щ, ... ..., ns — ns_u n — ns (но не от их порядка). Пусть P = NXN. Для любого конечного множества S s Р можно определить числа а (Р, S) и р (Р, 5) точно так же, как в разд. 3.12 (несмотря на то что Р бесконечно). Покажите, что для S = {mh щ, .. .ms}< cN Р (N X N, 5) = m, (m2 - m, - 1) ... (ms ~ ms_x - 1). Пусть P —конечное градуированное ч. у. множество ранга п с элементами 0 и 1. a. Покажите, что A*+1Z(P, 0) = £ а(Р, 3). b. Покажите, что (1-*)я+| Е Z(P, m)V» = Е pft*ft+1, где P*= E P(p,s). SE[n-l] c. Покажите, что %(P, <7) = Xft>0a'ft'7'l~*> r#e (-1)*шА = р(Р, [fe-l]) + p(P, [£]). (Полагаем p (P, [n]) = p(P, [-1]) = 0.) а. Пусть k, /eP. Пусть Pk>t обозначает ч. у. множество всех таких разбиений я множества [kt] = = {1, 2 ki), упорядоченных по измельчению (т. е. Pktt есть ч. у. подмножество решетки ПА<), что: i число элементов в каждом блоке разбиения я делится на k\ П если а< b < с <d и В, В' — есть блоки разбиения я, для которых а, сеВ и b, deB', то В = 5'. Покажите комбинаторно, что дзета-многочлен ч. у. множества Pktt задается формулой г<Рм,„+1)=«!Ц^.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества b. Заметьте, что ч. у. множество Pk>t всегда содержит элемент 1 и что Plt t содержит 0. Используя п. (а), покажите, что Р1? t имеет Ct элементов и что Цр.Д Т) = (-1)'-'С,_„ где Сг = ГрТ(гГ). c. Покажите, что Р2) t = Int(P1)<). d. Заметьте, что ч. у. множество Pkit является градуированным рангам — 1. Для5 = {ть ..., ms}< s = [0, t — 2] покажите, что — t \ т, / \ т2 — тг) '" \ms — ms_J \t — 1 — mj' \ ( t\( kt \ e. Выведите, что Pkt имеет у I II I элементов ранга t — m и k{kt)*~2 максимальных цепей. 69. а. Покажите, что конечное градуированное ч. у. множество с элементами 0 и 1 является полуэйлеровым в том и только том случае, если для всех пар х < у, за исключением, возможно, пары (х, у)=(0, 1), интервал [х, у] имеет равные количества элементов нечетного и четного рангов. Покажите, что ч. у. множество Р является эйлеровым, если, кроме того, Р содержит равные количества элементов нечетного и четного рангов. b. Покажите, что если Р — полуэйлерово ч. у. множество ранга п, то -l)nZ(P, -m) = Z(P, т) + т((-1)пцр(б, Г)-1). c. Покажите, что полуэйлерово ч. у. множество нечетного ранга п является эйлеровым. d. Предположим, что Р и Q эйлеровы ч. у. множества, и пусть Р' = Р — {б}, Q' = Q — {0}, R = (Pf X Q') U {б}. Покажите, что R — эйлерово ч. у. множество. 70. а. Пусть Р„ обозначает порядковую сумму 1 ф 21 © ф 21 © ... ф 21 © 1 (п копий ч. у. множества 21). Например, ч. у. множество Р3 изображено на рис. 3.44. Вычислите числа р (Р, S) для всех подмножеств S = [га].
Упражнения 253 b. Используя п. (а) и упражнение 67 (Ь), вычислите !m>oZ(Pn,m)xm. c. Легко видеть, что ч. у. множество Р„ эйлерово. Вычислите многочлены f(Pn, х) и g(Pn, х) из разд. 3.14. а. Пусть Ln обозначает решетку граней п-мерного куба, упорядоченных по включению. Покажите, ^з = Рис. 3.44. что решетка Ln изоморфна ч. у. множеству Int(B„) с присоединенными элементами 0 и 1, где Вп обозначает булеву алгебру ранга п. b. Покажите, что решетка Ln изоморфна ч. у. множеству Ап с присоединенным элементом 0, где Л — трехэлементное ч. у. множество /\ c. Пусть Р„ — ч.у. множество из упражнения 70. Покажите, что решетка Ln изоморфна ч.у. множеству цепей из Рп, не содержащих 0 и 1 (включая пустую цепь), упорядоченных в обратном к включению порядке и с присоединенным элементом 0. d. Пусть Ss[ft]. Покажите, что п <=(Л 1 ' где Dn(T, j) обозначает число перестановок множества [т.] с множеством спуска Т и последним элементом j, а 5 = [п] — S.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества e. Вычислите Z(Ln, т). f. Так как Ln есть решетка граней выпуклого многогранника, то в силу предложения 3.8.9 она является эйлеровой. Вычислите многочлен g(Ln,x) из разд. 3.14. Покажите, что, в частности, g. Используя п. (f),покажите,что g(Ln, л:)— ]£ а1х*> где at есть число плоских деревьев с п + 1 вершиной, у которых в точности i вершин имеют не менее 2 сыновей. См., например, рис. 3.45 для случая п = 3, который показывает, что g(Ls,x) = = 1+4*. Дерево О О Число вершин, имеющих не менее 2-х сыновей Рис. 3.45, 72. а. Покажите, что если L есть решетка граней рационального выпуклого многогранника & (т. е. все вершины <р имеют рациональные координаты), то коэффициенты многочлена g(L, х) неотрицательны (так что коэффициенты многочлена f(L,x) неотрицательны и унимодальны, т. е. возрастают до максимума, а затем убывают). Ь. Выполняется ли утверждение п. (а) для произвольных выпуклых многогранников? Неизвестно даже, верно ли, что коэффициенты многочлена f(L,x) неотрицательны. Более общим образом, остается ли утверждение п. (а) справедливым, если L есть ч.у. множество граней регулярного клеточного разбиения сферы, при условии, что это ч.у. множество является решеткой? (Ч.у. множество Рг из упражнения 70 показывает, что
Упражнения 256 предположение о том, что L есть решетка, не может быть опущено.) 73. Пусть п, deP и n>d+l- Пусть L'nd есть ч. у. множество всех таких подмножеств S из [п], упорядоченных по включению, что выполняется следующее условие: множество S содержится в некотором таком d-подмножестве Т из [я], что если 1 <г <£ Т, [i+ 1, i + k] s Т и п > i + k + 1 ф Т, то число £ четно. Пусть £„,* есть ч. у. множество, по. лученное присоединением элемента 1 к L'nd. Покажите, что Lna есть эйлерова решетка. Решетка Ц2 изображена на рис. 3.46. 0 ■^42 Рис. 3.46. 74. Пусть Р— конечное ч. у. множество и я— такое разбиение элементов множества Р, что каждый блок из я связен (как ч.у. подмножество в Р). Определим отношение ^ на блоках я следующим образом: В ^.В' если для некоторых элементов леВ и х'<=В' имеем х^х' в Р. Если это отношение является частичным порядком, мы говорим, что разбиение я Р-совместимо. Пусть Г(Р) есть множество всех Р-совместимых разбиений ч. у. множества Р, упорядоченных по измельчению (так что Г(Р) есть ч.у. подмножество в П(Р)). См. пример на рис.3.47. Покажите, что Г(Р) есть эйлерова решетка. 75. а. Определим следующим образом частичный порядок Р„ на симметрической группе @я. Редукцией перестановки п—а{а2 ... ап называется перестановка, полученная из л переменой мест чисел at
Гл. 3. Частично упорядоченные множества 312 213 и с/, если К. j и с, > а,. Положим о ^ я, если перестановку о можно получить из я последовательностью редукций. Ч. у. множество Рз изображено на рис. 3.48. Покажите, что ч. у. множество Рп эйлерово. abed ab-cd ab-c-d Рис. 3.47. 321 231 213 312 132 123 Pi Рис. 3.48. Рис. 3.49. b. Определим другой частичный порядок Р'п на <Sn следующим образом. Простой редукцией перестановки я называется перестановка, полученная из я переменой мест некоторых чисел at и а<+ь если а,- > c;+i. Положим а ^ я, если перестановку 0 можно получить из перестановки я последовательностью простых редукций. Ч. у. множество Р'3 изображено на рис. 3.49. Покажите, что '(—1)*, если перестановку я можно получить из а, обратив порядок элементов в каждом я) = .J из k + 1 непересекающихся возрастающих участков перестановки я, в противном случае.
Упражнения 257 c. Покажите, что дзета-многочлен ч.у. множества Р'п удовлетворяет условию Z(Pfn, -/) = (- 1Г1/, 1</<п-1. С) d. Покажите, что число А^2 'Z (Р'п, 0) максимальных цепей в Рп задается формулой &\2JZ(P' 0"l = ^-^ *-Ут uj !"-i .3«-2.5"-3 ... (2« —З)1 * e. Можно ли дать «хорошее» выражение для Z (Р'п, т) ? 76. Пусть а — (а\,а2, ..., ап) — конечная последовательность целых чисел, никакие два последовательных элемента которой не равны. Пусть Р — множество всех подпоследовательностей а' = (а<1, ai2, ... ..., alm) (так что 1 ^ i\ < t2 < ... < im ^ п) последовательности а, не содержащих ни одной пары равных последовательных элементов. Упорядочим Р по правилу: b ^ с, если b есть подпоследовательность в с. Покажите, что ч.у. множество Р эйлерово. 77. Пусть V„_! обозначает векторное пространство всех функций /: 2[n~l]-+Q, так что dim У„_, = 2"-1. Пусть £„_! обозначает подпространство пространства Vn_b порожденное всеми функциями а (Р, S) (или р (Р, 5)), где Р пробегает все эйлеровы ч. у. множества ранга п. Покажите, что dim£„_i есть число Фибоначчи Fn. (В частности, 2п~2 различных соотношения Р(Р, S) = р (Р, S) из следствия 3.14.6 не есть все линейные соотношения, которым удовлетворяют числа р(Р, S).) Замечание. Если вместо этого рассмотреть аффинное подпространство Еп-\> порожденное функциями <х(Р, S), то добавится единственное дополнительное соотношение а (Р, 0) = 1 и, таким образом, dim£„_i= = Fn-\. 78. а. Покажите, что если В(п) — факториальная функция биномиального ч. у. множества Р, то В (п)2 <| <В(п-1)Я(п+1). Ь. Какие функции В(п) являются факториальными функциями биномиальных ч. у. множеств? В ча-
Гл. 3. Частично упорядоченные множества 79. стности, можно ли взять в качестве такой функции B(n) = Fl- F2 ... Fn, где Ft — г-е число Фибоначчи (F, = F2=1, Fn+l = Fn + Fn^)? а. Пусть P — локально конечное ч. у. множество с элементом 0, в котором любая максимальная цепь бесконечна и любой интервал [х, у] градуирован. Поэтому ч. у. множество Р имеет ранговую функцию р. Назовем Р треугольным ч. у. множеством, если существует функция В: {(г, у) е е№(</)->Р, такая, что любой интервал [х, у] ч. у. множества Р, где р (х) = m и р (у) — п, имеет В(п, т) максимальных цепей. Определим подмножество Т(Р) алгебры инцидентности /(Р) условием (Р) = {/<=/(Р): f{x, y) = f(x', у'), если p(x) = 9(xf) и Р(У) = Р(/)}. Для функции f^T(P) будем писать f(tn,n) вместо / (х, у), если р (х) = m и р (у) = п. Покажите, что Т(Р) изоморфно алгебре всех комплексных бесконечных верхних треугольных матриц [йц], i, /^0, где изоморфизм задается формулой / (0. 0) В (0, 0) 0 /(0, 1) В(0, 1) f(l. 1) / (0, 2) В (0, 2) /0.2) В{1, 1) 0 В(1, 2) f(2, 2) В (2, 2) где /<=Г(Р). Ь. Пусть L—-треугольная решетка. Положим D(n) = = В(п, п + 2) — 1. Покажите, что L полумоду- лярна (сверху) тогда и только тогда, когда для всех п ^ m + 2 В (га^п) л—т—2 В(т+1. я) 2L = 1+ £ £>(m)£>(m+l)... £>(m + i). с. Пусть L — треугольная решетка. Покажите, что если й(п)ф0 при всех п ^ 0, то L атомарная.
Упражнения 259 Используя п. (Ь), покажите, что обратное верно, если L полумодулярная. 80. Зафиксируем целочисленную последовательность 0 == <Zi < а2 < ... <аг <т. Для k е [г] пусть fk (п) обозначает число перестановок Ьф2 . ■ . bmn+ak множества [mn-\-ak], для которых b/>bl+i тогда и только тогда, когда / = а| ar(modtn). Пусть _— j I \ mn + ak nr + k « Ч\ / £_! Imn _|_ a \ j Exmn+! (тп + ПГ n>a Пусть а обозначает наименьший неотрицательный вычет a(modm), и положим г|^/ = Ф—г^-(я). Покажите, что . ^11 + ^12 + ••• +Fr1plr—l, F^2\ + F2bz + • • • + Fr^tr ~ 0, ЛФг! + ^2*г2 + ••• +^rtrr = 0- Решите эти уравнения и получите явное выражение для Fk(x) в виде отношения двух определителей. ■+-] 81. а. Пусть Р — локально-конечное ч. у. множество, в котором каждый интервал градуирован. Для любого подмножества SsP и пары х^.у определим множество [х, y]s формулой (51), и пусть \is обозначает функцию Мёбиуса интервала [х, y]s. Пусть t переменная, и определим функции f, g^I(P) формулами *. У) = { 1, если х = у, (1+/)""', если 1{х, г/) = п>1, 1, если х = у, , Е V>s(x, y)f~l~s, если х<у, где /(х, у) = п > 1 (х, У) = { s и 5 пробегает все подмножества множества [п— 1], а s = |S|. Покажите, что h = g~{ в 1{Р).
260 Гл. 3. Частично упорядоченные множества [1+] Ь. Для биномиального ч. у. множества будем писать h (п) вместо h(x, у), если 1(х, у) —п. Покажите, что 1+ I h(n)xn/B(n) = \l + Е {\+t)n-'xnlB{n)Yl. [2] с. Положим Gn{q, /)= Z /d<лV'(я,- л<=<з„ где d(jr) и г (л) обозначают соответственно число спусков и инверсий перестановки л. Покажите, что 1+ Z Gn(q, 0*7(n)l = [l - Z (*- lrVAn)!]"'. В частности, полагая q = 1, мы получаем 1+ Z rlAn(t)xn/n\=\l- Z (/-1Г1Л«1Г' = =(1-*)/(<?* o-o-l), где Л„(/) обозначает многочлен Эйлера. Решения упражнений 1. Стандартная задача. См. [5]1). 2. Соответствие между конечными ч.у. множествами и конечными топологиями (или более общим образом между произвольными ч.у. множествами и топологиями, в которых любое пересечение открытых множеств открыто), кажется, впервые было рассмотрено в работе: Александров П. С. Мат. сб. (Н. С.) 2(1937), 510—518, и неоднократно переоткрывалось. 3. a. Wright John A., thesis, Univ. of Rochester, 1972. d. Kleitman D. J. and Rothschild B. L.. Proc. Amer. Math. Soc. 25(1970), 276—282. e. Kleitman D. J. and Rothschild B. L. Trans. Amer. Math. Soc. 205(1975), 205—220. Асимптотическая формула, приведенная там, более сложна, но может быть упрощена. 4. a. f есть перестановка конечного ^множества, так что f"=l для некоторого /ieP. Но_тогда f_1 — fn~l; f~ сохраняет порядок. ') В русском переводе —с. 37, лемма 1. — Прим. перев.
Решения упражнений 261 Ь. Пусть P = Z\j{x}, где х < 0 и элемент х не сравним ни с одним числом п < 0. Пусть f(x) = x и /(п) = п+ 1 при rteZ, a. Пример приведен на рис. 3.50. Существуют четыре других 6-элементных примера, и ни одного примера с меньшим числом элементов. О значении этого упражнения см. обсуждение, следующее за доказательством следствия 4.5.15. b. Используйте индукцию по /, убирая все минимальные элементы из Р. Это доказательство принадлежит Д. Уэсту. Рнс. 3.50. Результат (с более сложным доказательством) впервые опубликован в работе [28], с. 19—20. Примером является ч.у. множество из книги [5], упражнение 10 на с. 54 '). a. Стандартная техника. b. Предположим, что /: Int (Р)->■ Int (Q) — изоморфизм. Пусть А ч. у. подмножество из Int(Q) всех элементов x^f(0) и В по определению — ч. у. подмножество *</(6). Проверьте, что PsiAXB, Q^AXB*. Этот результат получен независимо А. Глисоном (не опубликовано) и в работе Aigner М., G. Prins, Trans. Amer. Math. Soc. 166(1972), 351—360. c. (А. Глисон, не опубликовано) См. рис. 3.51, 3.52. Ч.у. множество Р можно рассматривать как «подкрученное» прямое произведение ч.у. множеств Ли В на рис. 3.53, a Q есть «подкрученное» прямое произведение А и С. Эти подкрученные произведения существуют, так как ч.у. множество А не является односвязным в некотором подходящем смысле, но имеет в качестве накрывающего ч.у. множество на рис. 3.54. Общая теория была изложена А. Глисоном на семинаре в Массачусетском технологическом институте в декабре 1969 г. *) На с. 77 русского перевода. — Прим. перев.
262 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 8. а. [5], теорема 2, с. 57 '). b. См. [5], с. 68-692). c. [5], с. 693). Если Р есть произвольное ч. у. множество с более чем одним элементом, можно взять Р] = 1 + Р3, Р2 = 1 + р + Р2, Р3 == 1 + Р2 + Р\ Р4 = 1 + Р (1 есть одноэлементное ч.у. множество). Здесь нет противоречия, так как, хотя Z [*i, х2, ...] есть область с однозначным Р = Рис. 3.51. Рис. 3.52. V Л в Рис. 3.53. Рис. 3.54. разложением, отсюда не следует, что H[x\,Xz, ...] есть полукольцо с однозначным разложением. В кольце В имеем PlP2 = P3Pi=(l+P)(l-P+P2)(l+P+P2). 9. а, с. Эти результаты (в контексте теории конечных топологических пространств) изложены в работе Stong R. Е., Trans. Amer. Math. Soc. 123(1966), 325—340 (см. с. 330) п. (а) см. также Duffus D. and Rival I., in Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai (A. Hajnal and V. T. Sos. ') С 80 русского издания. — Прим. персе. 2) С. 95—9С русского издания. — Прим. перге. 3) С. 96 русского издания. — Прим. перев.
Решения упражнений 263 eds), vol. 1, North-Holland. New York, 1978, pp. 271— 292 (p. 272). П. (с) см. также Duffus D. and Rival I., Discrete Math. 35(1981), 53—118 (Теорема 6.13). П. (с) обобщен для бесконечных ч.у. множеств Baclawski К. and Bjorner A., Advances in Math., 31(1979), 263—287 (Теорема 4.5). a, b. Наименьшее число d, для которого выполняются пп. (i) или (ii), называется размерностью Р. Обзор по этой теме см. в работе Kelly D. and Trotter W. Т. Jr., in [25]. с. 171—211. В частности, эквивалентность пп. (i) и (ii) установил Оре, а результат (iii) есть наблюдение Дашника и Миллера. Другие результаты по ч.у. множествам размерности 2 см. Baker К- А., Fisburn Р. С. and Roberts F. S. Networks 2(1972), 11—28. Много дополнительной информации содержится в книге Fisburn Р. С. Interval Orders and Interval Graphs John Wiley, New York, 1985. Ни одно. Пусть В— булева алгебра всех подмножеств множества Irr(L), и пусть V— нижняя полурешетка в В, порожденная главными порядковыми идеалами из Irr(L). Можно показать, что L изоморфна нолурешетке L' с присоединенным элементом 1. Фактически решетка L есть пополнение Макнила (см., например, [5, гл. V, § 9]) ч.у. множества Irr(L). Это упражнение есть результат из статьи Banaschewski, Z. Math. Lo- gik 2(1956), 117—130. Пример приведен на рис. 3.55. L irr(L) Z/ Рис. 3.55. Пусть L есть нижняя подполурешетка булевой алгебры В6, порожденной подмножествами 1234, 1236, 1345, 2346, 1245, 1256, 1356, 2456 с присоединенным элементом 1. По определению L—коатомарная полурешетка. Можно проверить,
264 Гл. 3, Частично упорядоченные множества что каждое одноэлементное подмножество {/} принадлежит L, 1 ^ i г^ 6, так что L атомарная полурешетка. Однако подмножество {1,2} не имеет дополнения. Этот пример привел И. Райвал (личное сообщение) в феврале 1978 г. См. Discrete Math. 29(1980), 245—250 (Рис. 5). 14. Д. Клейтмаи показал (не опубликовано), что (W2j)(1+l^)<«»><(№j)(, + vr)- и предположил, что нижняя оценка ближе к истине. 15. а. Из теоремы 3.4.1 }2{п) равно числу дистрибутивных решеток L ранга п точно с двумя элементами каждого Рис. 3.56. Рис. 3.57. •и ч и Рис. 3.58. ранга 1, 2, ..., п—1. Мы строим L снизу вверх. Элементы рангов 0, 1, 2 должны выглядеть (с точностью до изоморфизма) так, как изображено на диаграмме на рис. 3.56, где мы также изобразили элемент z — x\/y ранга 3. Мы можем поместить оставшийся элемент w ранга 3 двумя способами: поместить его над х или над у, как показано на рис. 3.57. Снова мы можем двумя способами выбрать оставшийся элемент ранга 4 — поместить его над z или над w. Продолжая рассуждать таким образом, мы будем иметь две возможности выбора независимо на каждом из п — 3 шагов. Это дает требуемый результат.
Решения упражнений 265 Например, для п = 5, четыре ч.у. множества изображены на рис. 3.58. Ь. Аналогично п. (а). d. (Предложено П. Эдельманом.) /^(п) = 0 при k > 3, так (k\ как тогда I I > к. 16. а. Ясно, что L' есть верхняя полурешетка в L с элементом О, следовательно из предложения 3.3.1 L' есть решетка. По определению U атомарная. Предположим, элемент у покрывает хъЬ'. Тогда y = xV а для некоторого атома а из L. Из свойства полумодулярности (предложение 3.3.2 (i)) следует тогда, что р (у) = р (х) + 1 в L, следовательно у покрывает х в решетке L. Теперь легко видеть, что свойство полумодулярности из предложения 3.3.2 наследуется решеткой Z/ из L. Таким образом, решетка L' геометрическая. Ь. Нет. Пусть К есть булева алгебра В3 всех подмножеств множества [5], из которой убраны все 4-элементные подмножества. Пусть L состоит из К и дополнительного присоединенного элемента х, такого, что х покрывает элемент {1} и покрывается элементами {1, 2, 3} и {1, 4, 5}. Тогда х ф. Z/, но х принадлежит подрешетке решетки L, порожденной V. Этот пример принадлежит К. Грину. 17. Для х^. Pk положим <p(;c) = sup {г '. 2^ каждого неразложимого в объединение элемента xt из (единственного) несократимого разложения х=х{\/ ... V хп в объединение неразложимых элементов}. (63) В частности, если xePi, то <p(;c) = sup {z: z^x}. Существенно проще доказать, что отображение ф обладает требуемыми свойствами, работая с ч.у. множеством Р, для которого /(Р)= L, а не с самой решеткой L. 2k-\ (у (k-\) _ .) 18. Ответ: f-j LL + 2r(fe~u. Следует из следствия на с. 214 работы R. Stanley J. Combinatorial Theory 14(1973), 209—214. 19. а. Индукция no \L\. Случай |L]==1 тривиален. Пусть теперь [L|^2 и у — максимальный элемент полурешетки L. Предположим, что элемент у покрывает ;' элементов полурешетки L, и положим L' = L—{у}. Гипотеза о ди-
266 Гл. 3. Частично упорядоченные множества атрибутивности снизу влечет, что число элементов х ^ у, для которых [х, у] д^ Bk, равно ( , 1. Следовательно, Z fk(L)(\ + x)k = (l+Xy+ Z fk(L')(l+x)k, fe>0 fe>0 x* = fe>0 и доказательство следует из индуктивного предположения, так как U — дистрибутивная снизу нижняя полурешетка. Заметьте, что в специальном случае L = J(P) число gk{L) равно числу ^-элементных антицепей в Р. Ь. Положите х = —1 в п. (а). Этот результат был впервые доказан (другим способом) для случая L = J(P) в работе Das S. К. J. Combinatorial Theory (В) 26(1979), 295—299. Его также можно доказать, используя тождество £ц£; = ?; в алгебре инцидентности решетки LU{1} Топологическое замечание. Это упражнение имеет интересное топологическое обобщение (найдено совместно с Г. Калаи). По данной полурешетке L определим кубический комплекс Q = Q(L) следующим образом. Вершинами Q являются элементы L, а грани состоят из интервалов [х, у] решетки L, изоморфных булевым алгебрам. (Из упражнения 71 следует, что Й действительно является кубическим комплексом.) Предложение. Геометрическая реализация |Й| стягиваема (фактически сдавливаема)'). Набросок доказательства. Пусть у есть максимальный элемент L и U' = L—{у}, а х есть пересечение элементов, которые покрываются элементами у, так что [х, у]^ ^Bk для некоторого k е Р> Тогда пространство |Q(Z/)| получается из пространства ]fi(L)| сдавливанием куба I [х> У\ 1 на его грань, не содержащую точку у. Приме- ') Стягиваемость (в точку) означает, что тождественное отображение |Q|-»-]fi| гомотопно постоянному: |Q[ —^>-pt. Сдавливаемость означает, что это — простая гомотопическая эквивалентность. — Прим. перев.
Решения упражнений Ш пив индукционное предположение, получаем, что пространство |fi(L)| сдавливаемо, а следовательно, стягиваемо !). Формула £(— \)kfk= 1 утверждает просто, что эйлерова характеристика Q(L) или |Q(L) | равна 1; утверждение о том, что пространство |Q(L).| стягиваемо, значительно сильнее. c. ^-элементная антицепь А из ч. у. множества m X п имеет вид А = {(щ, 6,), (Ог. Ь2), ..., {ак, bk)}, где 1 ^ а, < а2 < ... < ak ^ т и п ^ Ь{ > Ь2> ■ •. >bk ^ 1. Следовательно, gk = I , II , 1. Легко вычислить либо на основе прямых комбинаторных рассуждений, либо из п. (Ь) и формулы Вандермонда (пример 1.1.17), что d. Этот результат независимо доказан в работах Stemb- ridge J. European J. Combinatorics 7(1986), p. 377—387 (Следствие 2.2) (другим способом) и R. Proctor. Ргос. Amer. Math. Soc. 89(1983), 553—559 (Теорема 2). e. R. Proctor, там же, Теорема 1. Справедливость этого результата предположил П. Эдель- ман для п = т и в общем случае впервые доказали Р. Стенли и Дж. Стембридж, используя теорию «jeu de taquin», развитую М. Шютценберже; см. Springer Lecture Notes in Math., #579, pp. 59—113. Элементарные доказательства были даны М. Хайманом (не опубликовано). См. детали и дополнительные результаты в работе Stembridge J. Trapezoidal chains and antichains, European J. Combinatorics 7(1986), p. 377—387 (см., в частности, следствие 2.4). 20. Индукция по р(х). Справедливость утверждения ясна при р(д;)^1. Предположим, что утверждение справедливо при p(x)<.k, и пусть q(x) = k. Если х — неразложимый в объединение элемент, то утверждение справедливо. В противном случае элемент х покрывает г > 1 элементов. Из принципа включения —исключения и индукционного предположения ') Соответствующая топологическая техника развита, например, в книге Рурк К., Сандерсон Б. Введение в кусочно-линейную топологию. — М.: Мир, 1974. — Прим. перев.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества следует, что число неразложимых в объединение элементов ^д; равно г(Л.-1)-(2Г)(Лг-2) + (;)(Лг-3)-...±(Л:^1) = Лг. Дальнейшую информацию об этом результате и вообще о дистрибутивных снизу решетках см. Monjardet В. Order 1(1985), 415—417. Другие ссылки: Greene С. and Kleit- man. D. J. J. Combinatorial Theory (A) 20(1976), 41—68 (Thm. 2.3.1), Edelman P.) Alg. Universalis 10(1980), 290— 299, Edelman P. H. and R. F. Jamison R. F. Geometriae Ded. 19(1985), 247—270. Обзор по дистрибутивным снизу решеткам имеется в работе Edelman P. Contemporary Math. 57(1986), 127—150. Левая часть равенства (59) есть число пар (х, S), где х— элемент решетки L ранга i, а 5 — множество из / элементов, покрываемых элементом х. Аналогично в правой части равенства стоит число пар (у,Т), где p((/) = i — /, а Т есть множество j элементов, покрывающих у. Мы установим биекцию между парами (х, S) и (у, Т) следующим образом. Для данной пары (х, S) положим y = AZf=sz, и пусть Т есть множество всех элементов интервала [у, х], которые покрывают элемент у. а. Пусть L — финитарная дистрибутивная решетка с функцией покрытия /. Пусть Lk обозначает подрешетку решетки L, порожденную всеми неразложимыми в объединение элементами, ранг которых не превосходит k. Мы докажем индукцией по k, что решетка Lk единственна (если она существует). Так как L = U Lk, доказательство будет закончено. При k = 0 утверждение верно, так как Lo является одноэлементной решеткой. Предположим, что оно верно для k. Решетка Lk содержит все элементы решетки L, ранг которых не превосходит k. Предположим, что х есть элемент ранга к решетки Lk, покрывающий п элементов, и предположим также, что элемент х покрывают в решетке Lk tx элементов. Пусть sx = f(n)—tx. Если sx < 0, то решетки L не существует, так что предположим, что sx ^ 0. Тогда те sx элементов из L — Lk, покрывающих элемент х в решетке L, должны быть неразложимыми в объединение в L. Таким образом, для каждого элемента х е Lk ранга k присоединим sx неразложимых в объединение элементов над х и получим нижнюю подрешетку L'k. Пусть Pk+l обозначает ч. у. множе-
Решения упражнений 269 стьо неразложимых и объединение элементов полурешетки L'k. Тогда множество Рн+\ должно совпадать с ч.у. множеством неразложимых в объединение элементов решетки Lk+i. Так что Lk+\ = /(Pft+i) и решетка Lk+i определена однозначно. b. Предложение 2 на с. 226 в [34]. c. Если / (п) = Ь, то L = Н". Если f (п) = п + Ь, то L = /f (N2)". d. Используя упражнение 21, покажите, что и (5, 1) = — (6/3) (2а3 - 2а2 - 3). Следовательно, «(5, 1)<0 при а ^2 и 6^1, так что решетки L не существует. e. См. § 3 [34]. а. Число Фибоначчи Fn+2- Это прямое следствие упражнения 14(e) гл. 1. Можно дать простые комбинаторные доказательства следующих рекуррентных соотношений: W2n(q) = (l+q + q2) W»(a-i)(q) - q2W2{n-2)(q), Win+i (q) = W2n+i{q) - q2W2n (q). Умножив эти формулы на х2п и х2п+{ соответственно и суммируя по п, получаем F лл _ 1 + (1 + <?) * - д*х3 Г W — ! _ (1 + q + q2) Х2 + q2x4 • c. Биекция a: Zn->-[n] является линейным расширением в том и только том случае, если последовательность п+1— о{х\), ..., п+1 — о(хп) является чередующейся перестановкой множества [п] (как в предложении 1.3.14(4)). Следовательно, из формулы (54), имеем Yj enxnjn\ = tg х + sec x. /!>0 d. Присоединим дополнительный элемент xn+\ к ч.у. множеству Z„, получив Zn+]. Можно построить сохраняющее порядок отображение /: Zra->m + 2 следующим образом. Выберем разложение cti + • • • + o-k = п + 1 и свяжем с ним разбиение {хи .. ., xai}, {xai+u ■ ■., *а,+аЛ ■ • • ч.у. множества Zn+\. Например, выбирая л = 17 и разложение 3+1+2 + 4+1+2 + 2 + 3=18, получим разбиение, изображенное на рис. 3.59. Пометим последний элемент х каждого блока числами 1 или т + 2, в зави-
Гл. 3. Частично упорядоченные множества симостн от того, является х минимальным или максимальным элементом ч. у. множества Zn+i, как показано на рис. 3.60 Удалив из ч. у. множества Z„+i эти помеченные элементы, получим дизъюнктное объединение Y\ + • • • + Yk, где каждое ч. у. множество У, изоморфно Za _, или Z* _,. Для каждого i выберем Q(Zfl , т\ способами сохраняющее порядок отображение У,-^[2, т+ 1 ]. Существует т + 2 т + 2 Рис. 3.59. т + 2 Рис. 3.60. одна дополнительная возможность. Если некоторые числа ui = 2, мы можем также присвоить единственному элементу у множества У,- ту же метку (1 или т + 2), что и оставшемуся элементу х в блоке, содержащем элемент у (таким образом, у помечается числом 1, если он является максимальным элементом ч.у. множества Zn+\, и числом т + 2, если он минимальный элемент этого ч.у. множества). Эта процедура дает каждое сохраняющее порядок отображение f: Zn -> m -+- 2 в точности один раз. Следовательно, k Q(Z„, т + 2)= Z П (Q(Za.-I( m) + 62,в ) =► =*Gm+2(*) = Z (Gm (*)- 1 -f x*-)k = = (2-*2-GM (*))-'. Начальные условия здесь Gt (x) = 1/(1 — x) и G2(x) = = 1/(1-х-л;2). Эквивалентный результат был установлен без доказательства (с ошибкой в обозначениях) в упражнении 3.2 работы Stanley R., Annals of Discrete Math. 6(1980), 333—342.
Решения упражнений 271 Далее Г. Зиглер показал, что u"«+i W — з - хг - Gm (х) ' 24. Результат для FD(n) принадлежит Дедекинду. См. [5], гл. III, § 4. Результат для решетки FD(P) доказывается таким же способом. См., например, следствие 6.3 Jonsson in [25], с. 3—41. Задаче оценивания числа элементов решетки FD(n) уделялось большое внимание, см. Kleitman D. Ргос. Amer. Math. Soc. 21(1969), 677—682, и Kleitman D. and Mar- kowsky G. Trans. Amer. Math. Soc. 213(1975), 373—390. 25. а. Доказательство легко сводится к следующему утверждению: если А и В есть й-элементные антицепи в ч. у. множестве Р, то множество А [} В содержит k максимальных элемента. Пусть С и D — множества соответственно максимальных и минимальных элементов множества A (J В. Так как х е А П В тогда и только тогда, когда JteCflD, то | С | +1D | = 2k. Если | С | < k, то множество D было бы антицепью в Р с более чем k элементами. Противоречие. Этот результат принадлежит Р. П. Дилуорсу: Dil- worth R. P. in Proc. Symp. Appl. Math. (Bellman R. and Hall M. Jr, eds.), Amer. Math. Sos., Providence, R. I., 1960, 85—90. Интересное приложение содержится в § 2 Greene С. and Kleitman D. J. in Studies in Combinatorics (Rota G.-C. ed.), Math. Assoc, of America, 1978, pp. 22—79. b. Koh К. M. Alg. Univ. 17(1983), 73—86 and 20(1985), 217—218. 26. а. Пусть p: P®Q->P — отображение проектирования на P (т. е. р(х, у) = х). Пусть / — порядковый идеал ч. у. множества P0Q. Тогда р(1) есть порядковый идеал ч. у. множества Р, скажем с т максимальными элементами хь ..., хт и k немаксимальными элементами уь ..., yk. Тогда идеал / есть объединение p~l (y,)U •. • U р~х (Уь) с непустыми порядковыми идеалами It из каждого ч. у. множества p~l (xt) as Q. Имеем | /1 = kn + 2 \U \ и пг{1) = = Yj m(Ii)- Следовательно, X q"4m{1)= Z <7n(|r|-M(n,(GQfo, 0-1)м(Г> = = GP(qn, q-n(GQ(q, t)-l)). b. Пусть x — максимальный элемент ч. у. множества Р и Л, = {//еР: у <х), и положим Я, = Р — х и Р2 = Р — Ах.
272 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Запишем G(P) = GP(q, — J. Легко видеть, что G(P) = G(Pl) + (q-l)q\A^-,G(P2) (рассматривается для каждого идеала /е/(Р) два случая: х^.1 и хф1). По индукции имеем G{P1) — qp~1 и G(P2) = q' ~ *', откуда и следует доказательство. Это упражнение предложено М. Хайманом. Здесь возможны и другие доказательства. 27. а. Порядковый идеал ранга г из /(шХп) легко можно отождествить с разбиением числа г на не более чем т частей, наибольшая часть которого не превосходит п. Используйте теперь предложение 1.3.19, чтобы доказать, /m-fn\ 4to/7(L, <7) = 1 I. Это утверждение равносильно тому, что ч. у. множество Р является приятным. b. Это утверждение равносильно знаменитому результату Мак-Магона. См. теорему 18.1, Stanley R. Studies in Applied Math. 50(1971), 167—188, 259—279. c. Порядковый идеал ранга г ч.у. множества /(2Хп) легко отождествляется с разбиением числа г на не более чем п различных частей, откуда F(L, q) = (\ + q) (1 + q2) ... ... (1+ <?")• d. Этот результат эквивалентен гипотезе Бендера и Кнута; как показано в работе G. Andrews, Pacific J. Math. 72(1977), 283—291, он следует из значительно более ранней гипотезы Мак-Магона. Гипотеза Мак-Магона была независимо доказана в работах Andrews G. Adv. Math. Suppl. Studies, vol. 1(1978), 131—150; Cordon B. Pacific J. Math. 108(1983), 99—113; Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford Univ. Press, 1979 (Упр. 19 на с. 53) '). e. Эта формула равносильна одной гипотезе, на которую есть ссылка в работе Andrews G. Abstracts Amer. Math. Soc. 1(1980), 415. Эквивалентная этому гипотеза была высказана Д. Роббинсом (не опубликовано). Несколькими авторами показано, что F(L,q) равно Хл^ет-Л), где А пробегает множество всех квадратных подматриц (включая пустую матрицу 0 с определителем det 0 = 1) ') Имеется перевод: И. Макдональд. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985. См. упражнение 19 на с. 68.—Прим. перев.
Решения упражнений 273 (п + 1)Х("+ 1) матрицы [«*+"™(i)L- f, g. Следует из теоремы 6 статьи Proctor R.European J. Combinatorics 5(1984), 331—350. Нетрудно дать прямое доказательство п. (f). Можно дать, в принципе, прямое доказательство п. (g), используя технику разд. 4.5, но вычисление, вероятно, потребовало бы применения ЭВМ (особенно для второго ч. у. множества Р). Если Ln = J(Pn), то Рп есть полное двойственное бинарное дерево высоты п, изображенное на рис. 3.61. Порядковый Рг = Рис. 3.61. идеал / дерева Рп определяет правило остановки следующим образом. Начав с точки 0, двигаться вверх на шаг влево (соответственно вправо) после выпадения решетки (соответственно орла). Остановка происходит в момент выхода из идеала /. Так как Ра = 1 ф(Р„_, + Pn-i), ясно,'что F{Ln,q) = = \ + qF(Ln_b qf. См. Stanley R. Bull. Amer. Math. Soc. 76(1970), 1236—1239; [12] § 3; Baclawski K- Proc. Amer. Math. Soc. 36(1972), 351—356; Feinberg R. B. Pacific J. Math. 65 (1976), 35—45; Feinberg R. B. Discrete Math. 17(1977), 47—70. Имеем |1 (x, z) = E Ц (x, z) &p(2, -y) = г = E li(x, z)lp{z, w)\xf(w, y) = z, w — Yu vix, z)t,{z, w)Hp(w,г/)=(так как z^w<=*-z^.w)= г, w = Е'М*. w)vp(w, у). roeQ Этот фундаментальный результат впервые получил Crapo Н. Archiv der Math. 19(1968), 595—607 (теорема 1), упрощая одну раннюю работу Дж.-К. Рота в [26]. Описание
274 Гл. 3. Частично упорядоченные множества теории функций Мёбиуса, основанное на операторах замыкания, см. в гл. IV, 3 книги Aigner М. Combinatorial Theory, Springer-Verlag, Berlin— Heidelberg —New York, 1979.') 31. Пусть G(x) = Yjy>xg(y)- Легко показать, что Z lx(0,t)G(t)= Z g(y) = f(x). "0<t<x V „ *Л</=о Используя обращение Мёбиуса, получим ц(6, y)G(y)= Z М', У)fit)- (64) t<y С другой стороны, формула обращения Мёбиуса дает £(*)=£ Мх, У)0(у). (65) У>Х Подстановка значения G(y) из формулы (64) в формулу (65) дает требуемый результат. Эта формула есть результат из статьи Doubilet P. Studies in Applied Math. 51(1972), 377—395 (лемма на с. 380). 32. Для данной цепи С: 0 < хх < ... < xk< 1 коэффициент при f(xi) ... f(xk) в левой части равенства есть Z (-l)|c'-C| = (-l)fe+V(0, *,)(*(*„ х2) ... |i(**-i, хк) С'эС (из предложения 3.8.5). Здесь С пробегает множество всех цепей из Р — {0, 1}, содержащих цепь С. По существу такой же результат содержится в гл. II, лемма 3.2, работы [28]. 33. Crapo Н. Н. J. Comb. Theory 1 (1966), 126—131 (Теорема 3). Топологические аспекты этого результата см. в работе Bjorner A. J. Comb. Theory (А) 30 (1981), 90-100. 34. а. Из индуктивного определения (14) функции Мёбиуса следует, что число ць (0, х) нечетно (и поэтому не равно нулю) для всех ^ei. Используйте теперь упражнение 33. b. Freese R. and Univ. of Wyoming Problem Group, Amer. Math. Monthly 86(1979), 310—311. 35. Этот результат (установленный в несколько другой форме) взят из работы Rota G.-C. in Studies in Pure Mathematics (L. Mirsky ed.), Academic Press, London, 1971, 221—223 ') Имеется перевод: Лйгнер M. Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982 — Прим. перев.
Решения упражнений 275 (Теорема 2). Работы на близкую тему: Rota G. С. in Ргос. Univ. Houston Lattice Theory Conf., 1973, pp. 575—628; Geissinger L. Arch. Math. (Basel) 24(1973), 230—239, 337— 345. Davis R. L. Bull. Amer. Math. Soc. 76(1970), 83—87. 36. [18]. Теорема 5. 37. Наше изложение этого упражнения основывается на работе [19]. a. Определим матрицу М = [М(х, у) ], положив М(х, у) = = t,(x,y)f(x,y). Ясно, что М — треугольная матрица, и что det М = flxf (х, х). С другой стороны (обозначая буквой t, матрицу ^-функции решетки L в базисе, состоящем из элементов решетки L, т. е. £ есть матрица инцидентности отношения L),1) имеем Л*'£ = ГЕ/(2, х)1(г, х)1(г, у)] = = Г I /(*, х)\ =[F(xAy, х)}. Поэтому det [F (х Л У, х)\ = detM'g = detM. Эта формула является результатом статьи В. Lindst- гбт. Ргос. Amer. Math. Soc. 20(1969), 207—208 и (в случае, если F(x,s) зависит только от х) статьи Н. Wilf, Bull. Amer. Math. Soc. 74(1968), 960—964. b. Возьмем в качестве L множество [n], упорядоченное по делимости, и положим f(x,s) = x. Доказательство, не использующее предыдущих рассмотрений, см. в книге Polya G. and Szego G. Problems and Theorems in Analysis II, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1976 (Part VIII, Ch. 1, no. 33).2) c. Если f(x, s) = ц (0, x), имеем (убрав s) F(xAy)= £ ц(0, z) = fi(0, ХЛУ). Следовательно, матрица R = [F(x Ay)] есть в точности матрица инцидентности отношения хЛу = 0. Из п. (а) dei R фО, Следовательно, некоторый член в разложении det/? должен быть ненулевым; он и задает желаемую перестановку л. Этот результат содержится в статье Dowling Т. and Wilson R. Ргос. Amer. Math. Soc. 47(1975), 504—512 (Теорема 2*). •) t, есть \L\ X \Ц матрица {£(*, y)}x, у e= L, £(*, у) = 1 при x s: у н £(л:, у) = 0 п противном случае. —Прим. перев. 2) Имеется перевод: Полна Г., Сеге Г. Задача и теоремы из анализа. — М.: Наука, 1978. — Прим. перев.
276 Гл. 3. Частично упорядоченные множества d. Из уравнения (27) легко следует, что ц(х, у) ф 0 для всех х ^ у в геометрической решетке L. Применим п. (с) к двойственной решетке L*. Мы получим такую перестановку я, что хУя(д:) = 1 при всех jeL. Из полумодулярности следует, что р(х) + р(л(х)) ~^п, так что перестановка л отображает инъективно элементы ранга, не превосходящего k, в элементы ранга, не меньшего п — k. Этот результат содержится также в той же работе Т. Доулинга и Р. Вильсона (теор. 1). Случай k = \ был первоначально доказан в работе Greene С. J. Comb. Theory 2(1970), 357—364. e. Dowling Т. and Wilson R. ibid. (Теорема 1). 38. Dowling T. J. Comb. Theory (B) 23(1977), 223—226. Следующее элегантное доказательство принадлежит Р. Вильсону (не опубликовано). Пусть £; — матрица из решения упражнения 3.37(a), и положим A0 = diag(n(6, х): *е[), А! = diag(n(x, 1): xei). Из решения упражнения 37(e) (и двойственного к нему) имеем, что [?ь£\ху = т *Лу), Пусть C = £Ai£'Ao5. Из того, что C = (SA,S')A0g = £A1(s'A0g), следует, что Сху = 0, если только х и у не являются взаимными дополнениями. Но из условия на решетку L следует, что detC^O и, следовательно, ненулевой член разложения det С дает искомую перестановку л. 38.5. а. Пусть /: L->Q, и определим функцию /: L->Q формулой /(*)= X /(0- Для любых элементов х^.х* в L имеем Z /(0li(/,*')= Z И', *') £Ш = = 1/0/) Z И', **) = y<t = ХШ Z и (',**) = = Z /(у). I/ x\ly=x*
Решения упражнений 277 Предположим теперь, что / (х) = 0, если только элемент х не лежит в В. Мы утверждаем, что ограничение f^ функции f на множество А определяет функцию f (и, следовательно, функцию /, так как f (х) = — 2f<je f (0 M^i х) (из формулы обращения Мёбиуса)). Мы докажем это утверждение индукцией по длине 1(х, Т) интервала [х, 1]. Если х=\, то /(Т) = /д(1), так как по условию 1еЛ. Пусть теперь х<1. Если х е А, то нечего доказывать, так как f (я) = f д (я). Поэтому предположим, что хф.А. Пусть х* — элемент из условия задачи. Тогда X f(y) — Q (сумма состоит из нулей), У x\J у=х* так что £ f(t)ix(t, х') = 0. x^t<x* Из индукционного предположения мы знаем значения f(t) при х < t. Так как ц(х, х*)фО, можем разрешить уравнение относительно f(x). Итак, предложение доказано. Следовательно, ранг матрицы [£(/, х)]^д равен \В\. Поэтому некоторая |В|Х|£| подматрица имеет ненулевой определитель. Ненулевой член в разложении этого определителя определяет инъективную функцию <р: В-*-А, удовлетворяющую условию cp(t)^t. Доказательство закончено. Этот результат и помещенные ниже приложения содержатся в статье Kung J. Order, 2(1985), 105—112. b. Это стандартные результаты теории решеток; см., например, [5], теорема 13, с. 131), и § IV.6 — IV.7. c. Возьмем A = Mk и B = Jk в п. (а). Для данного элемента х е L пусть х* есть объединение элементов, покрывающих элемент х. В силу п. (i) из (Ь) имеем ц(х, х')ф0. Далее, из утверждения (ii) получаем, что если элемент х покрывается / элементами решетки L, то х* покрывает / элементов интервала [х, х*\. Пусть y^B = Jk. Тогда из утверждения (Hi) получаем [х А У, у] = [х, х V у]. Следовательно, х V У Ф х", так ') С. 28 перевода. — Прим. перев.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества что условия п. (а) выполняются: отсюда следует требуемый результат. d. Из п. (с) |/ft|^|Mfe|. Так как двойственная к модулярной решетке также является модулярной, мы имеем также \ Mk\^\Jk\, откуда следует требуемый результат. Этот результат был сначала доказан (более сложным способом) в работе R. P. Dilworth, Ann. Math. (2) 60 1954), 359—364, а затем в статье В. Ganter and I. Rival, Alg. Universalis 3(1973), 348—350. e. С тон же решеткой L, что и в упражнении 37(d), возьмем А = {х е L: р (х) > я — k), B^={x^L: р(*)<&}. \ Положим х" = 1 для всех ieL. Условие п. (а) легко проверяется, так что, в частности, |В|<||Л|, что и требовалось. a. Эта дьявольская задача равносильна гипотезе П. Френкеля (см. с. 525 книги Graphs and Order (I. Rival, ed). Reidel. Dordrecht— Boston, 1985). b. Если это не так, то, как следует из упражнения 37(c), существует перестановка я: L-+L, для которой гЛ Ля(г) = 0 при всех ге1. Но если \VX\> п/2, то Ух [\я(]/х)ф0 и любой элемент t е Vxf\n(Vx) удовлетворяет условию t Л я (г) ^ х. Можно дать простое прямое доказательство (не использующее функций Мёбиуса) следующего, более сильного результата. Пусть L — конечная решетка с я элементами, в которой каждый элемент х > 0 является объединением атомов интервала [б, х]. Тогда каждый элемент х > 0 удовлетворяет условию \Vx\^.n/2. Ответ. Если п ^ 3, то Scheid Н. J. Comb. Theory 13(1972), 315—331, лемма 5. а. Г. Зиглер показал (индукцией по 1(Р)), что ответ такой k maxll(ai — 1) ••• (ak— 1),
Решении упражнений 279 где максимум берется по всем разбиениям ai + 02 + ■ ■ • ... -+- uk = п. Можно показать, что максимум достигается на наборе, в котором все числа, кроме, возможно, четырех, равны пяти. Эта оценка достигается, если Р есть порядковая сумма 1 Фа{1 ф ... фад,1Ф1. Ь. Можно получить оценку л2~е (для произвольного е > О и достаточно большого л), взяв в качестве L решетку подпространств подходящего конечномерного векторного пространства над конечным полем. Кажется правдоподобным, что п2_е — лучшая возможная оценка. Эту задачу поставил Л. Ловас. Эту задачу поставил П. Эдельман. Кажется правдоподобным предположение, что максимум достигается на ч. у. множестве Р, являющемся порядковой суммой 1Ф&1ФЫ ... ... Ф&1 Ф1 (всего /— 1 копия ч.у. множества k\). Это дает | ц,(б, \)\ = {k — I)'-1. Эдельман, однако, нашел пример, где |ц(б, \)\>{k-\)l-\ Нет; пример дается на рис. 3.62. Первый такой пример (несколько более сложный) привел К. Грин (частное сообщение, 1972). Рис. 3.62. Для разбиения а множества V пусть %а (п) есть число отображений /: У->[ге], таких, что (i) если точки а и Ъ лежат в одном и том же блоке разбиения ст, то f(a) = f(b) и (И), если а и b находятся в разных блоках и {a, b) е Е, то 1(а)Ф1(Ь). Для любой функции f: V -+[п] найдется единственное разбиение а е La, для которого / есть одно из отображений, перечисляемых выражением %а{п). Следовательно, для любого iieL0 п' —2_,а>лха(п). Из формулы обращения Мёбиуса: хк(п) = ^а>яп1а1ц(п, а). Но %$(n) = = %„, откуда и следует требуемый результат. Эта интерпретация функции %(п) в терминах функций Мёбиуса принадлежит Дж.-К. Рота [26], § 9. а. Пусть N(V, X) есть число инъективных линейных преобразований V-*-X. Легко видеть, что N(V, Х) =
Гл. 3. Частично упорядоченные множества = Ilftli (х — qk). С другой стороны, пусть W есть подпространство пространства V, и пусть F=, (W) есть число линейных отображений 9: V->X с ядром W. Пусть F^(W) есть число отображений, ядро которых содержит пространство W. Таким образом, F^W) = T,W>>WF= (W), так что из формулы обращения .Чёбиуса получим N (V, X) '= F. ({0}) = 2 F^W) ц (6, W). Ясно, что F>(W') = xn~d'mW, в то время как из фор- мулы (28) имеем ц(б, W) = ( —l)*qrv 2 7, где 6 = dimW". Так как существует I . I подпространств W размерности к, получаем М(У,Х)=£(-1)»д(*\П)х»-к. Ь. При подстановке q-*■£,, z^—z и д->тв формулу (62), левая часть равенства превращается в (уг— zr)n = = V(—1);( . )yi'(n~1)zrl. Сравнивая с правой частью равенства, получаем 0, г {к НУ г <■ W-ОМП >-* Первое решение. Пусть f{i, п) есть число i-подмножеств множества [п], не содержащих k последовательных чисел. Так как интервал [0, S] в решетке Ln для S е L'n является ■ С I булевой алгеброй, то (i(0, 5) = (—1) '. Следовательно, полагая ап — цп(0, Т), имеем -а„= Е(-1)'/(*\ п). Положим F(x, #) = Zf>0 Hn>of(i, n)xlyn. Рекуррентное соотношение n) = f(i, п-1)+ /(*-!, п-2)+ ...+f(i-k+l, n-k)
Решения упражнений 281 (оно получается, если рассмотреть случаи, когда максимальный элемент множества [л] удален из множества S е L'n) окончательно дает Так как — F (— 1, ;/) = £„>п ян?Л мы получаем У „ ,,"- -0-// + /-■••±/~') _ ^ 1+ (-!)*-V _ i + (-i)V+1 = ((-i) + (-i)fe-1/)Z(-i/(-i)ft^I'(ft+I)^ !—1, если п = 0, — 1 (mod2& + 2), (—1)*, если ге = ^, k+ 1 (mod 26 + 2), О в противном случае Второе решение (независимо получено Е. Гримсоном и Дж. Ширером). Пусть аФ{\}<=Ь'п. Двойственная к следствию 3.9.3 формулировка утверждает, что 2 и(0, *) = о. *Va=T Теперь л; V a = 7 =*►;<: =1 или # = {2, 3, ..., k}\] А, где Л s s{6 + 2, ..., л}. Легко вывести, что an-(-l)fe-1a„-.ft-i = 0. Это рекуррентное соотношение наряду с начальными условиями 00=—1, аг = 0 при /e[fe —1] и afe = (—1)* определяет последовательность ап единственным образом. Интервал [d, re] ч. у. множества L изоморфен булевой алгебре 5v(n/d), где v(m) обозначает число различных простых делителей числа т. Следовательно, n(d, п) — (— i)v("/d). Будем писать d\\n, если d^re в L. Для данных функций f, g: Р-^-С имеем g(п) == Z f (^) при всех пеР d||n тогда и только тогда, когда f(n)=Z(-l)v{nld)g(d) при всех гее Р. d ||/i
282 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 48. а, Ь. Выберем разложение w = gil ... gir Пусть Pw есть мультимножество {ib ..., ii), частично упорядоченное следующим образом: ir<is, если г<п gi^^gi^i или если г <. s и ir = is. Например, если йу = 11324, как на рис. 3.43, то ч. у. множество Pw изображено на рис. 3.63. Можно показать, что / есть порядковый идеал 4 2 Рис. 3.63. ч. у. множества Pw тогда и только тогда, когда для некоторого (или любого) линейного расширения gjL, ... • ••,gik ч. у. множества / имеем w = gj ... gikz для некоторого зеМ, Легко следует, что LW = J(PW) и выполнение п. (Ь) также получается немедленно. Моноид М был введен и широко изучен в работе Car- tier P. and Foata D. Lecture Notes in Math., no. 85, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg —New York, 1969. Впервые утверждение, что Lw = (Pw), в явной форме, кажется, было установлено И. Гессель в письме, датированном 8 февраля 1978 г. Этот результат, однако, неявно содержится в упражнении 5.1.2.11 книги Knuth D. Е. The Art of Computer Programming, vol. 3, Addison — Wesley, Reading, Mass. 1973 *). Это упражнение из книги Кнута совпадает в сущности с п. (Ь) нашей задачи, хотя Кнут работает с некоторым представлением элементов моноида М в виде перестановок мультимножеств. с. Интервалы [v, vw] и [е, w] очевидным образом изоморфны (посредством отображения v-^vx), и из п. (а) следует, что Pw есть антицепь (и, следовательно, интервал [е, w] является булевой алгеброй) в том и только том случае, если w есть произведение г различных попарно коммутирующих образующих gt. Доказательство следует из примера 3.9.6. Другое доказательство содержится в гл. II. 3 цитированной выше книги П. Картье и Д. Фоата. ') Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программировании для ЭВМ, т. 3. Сортировка и поиск.—М.: Мнр, 1978.
Решения упражнений 283 d. Для aieM пусть xw обозначает (коммутативный) моном, полученный заменой в слове w каждого элемента gi на А',-. Ввиду п. (с) мы хотим показать, что ( Е *")( X Ив, v)x°) = \. (66) Разложите в сумму левую часть равенства (66), возьмите коэффициент при данном мономе хи и используйте определяющее рекуррентное соотношение (14) ДЛЯ фуНКЦИИ (Л. e. Тождества £... £ ("^ " ^Г)^' ''' * = 1 1 — (Я, + ... + Хп) и L, ■•■ Zi *"' ••• V= (i-ж,)... (i-xn) соответственно. [30], теорема 4.1. Это упражнение принадлежит А. Бьернеру и Р. Стенли. Для данного элемента «е[ пусть DX = J(QX) есть дистрибутивная подрешетка решетки L, порожденная цепью С и элементом х. М-цепь С определяет линейное расширение ч. у. множества Qx и, следовательно, отождествление Qx с естественным частичным порядком на множестве [п]. Легко видеть, что LP П Dx = J(P(] Qx). Отсюда легко вытекают все утверждения. .. Изоморфизм Lk (p)£*Ly(p) получается непосредственно, а изоморфизм L(k(p) ей 1$ (р) следует из стандартных результатов двойственности в теории абелевых групп (или, более общим образом, теории абелевых категорий). Хорошим элементарным источником здесь является глава 2 книги Hilton P. J. and Wu Y. С. A Course in Modern Algebra, Wiley, New York, 1974. В частности, функтор, переводящий группу G в группу Homz(G, Z/p°°Z), является обращающей порядок биекцией между подгруппами G индекса рт (при некотором т ^ 0) в группе Zk и подгруппами порядка рт в группе (Z/p°°Z)ftsHomz(Z*, Z/p°°Z). Оставшаяся часть п. (а) решается стандартным способом.
284 Гл. 3. Частично упорядоченные множества b. Следует, например, из того, что каждая подгруппа конечного индекса в группе Z\ изоморфна самой группе Z*. c. Этот результат восходит к Эйзенштейну (1852) и Эр- миту (1851). Доказательство непосредственно получается из теории нормальной формы Эрмита (см., например, § 6 книги Newman М. Integral Matrices, Academic Press, New York, 1972), из которой следует, что каждая подгруппа G индекса р" в группе Z* имеет единственный Z -базис у\, ..., tju вида У{ = (ап, а«, •■•> ati, 0 ..., 0), где аи > 0, 0 ^аи < ан при } < i и ап ■ а22 • . . ■ ■ akk = р\ Следовательно, число таких подгрупп есть Ь9+2Ь Р г ь.+...+ьь ,+ ...+(*_^ = /п + к-1\ Некоторые обобщения см. в работах Solomon L. Advances in Math. 26(1977), 306—326, и Solomon L. in Relations between Combinatorics and Other Parts of Mathematics (Ray Chaudhuri D. K. ed.), Proc. Symp. Pure Math., vol. 34, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1979, pp. 309—329. d. Если xx < ... < Xj в решетке Lk{p) и p(x{) = sh то эле- /s, + k-l\ мент #i можно выбрать I . _ 1 I способами, сле- /s2-s, + k-l\ дующий элемент х2 — I и \ ) способами и так далее. e. Слово w = е{е2 ■ ■ ■ е Nk удовлетворяет условию D (w) s sS={sb ..., s/}< тогда и только тогда, когда е!^е2< ... ... <ev eS[+i < ... <ev ..., eS/_i+1< ... <eSy, eS/+i = = ^,+2 = ... =0. При фиксированных / и k ...<<*,<ft-l и доказательство легко отсюда следует. Задача вычисления величин a(Li,S) и р(Д, S), где Lt, есть решетка подгрупп конечной абелевой группы типа (%!, ..., Xk)=X, более сложна. (В данном упражнении рассматривается «стабильный» случай Xt —*- со 1 ^ i ^ k.) Довольно легко можно показать, что выра-
Решения упражнений 35 жение P(Lb S) есть многочлен от р; используя теорию симметрических функций, можно дать комбинаторную интерпретацию коэффициентов этого многочлена, доказав, что они неотрицательны. Независимое доказательство этого факта — в работе Butler L. Thesis, М. I. Т, 1986. 50. а. Для любого фиксированного элемента уфЬ ч. у. множества Pi имеем о= Е и(6, *) = Е( Е ц(6, до р(х)=<-/ ) Просуммируем по всем элементам у ранга i — k > 0 ч. у. множества Ph получив (так как [х, 1]з^Ру) Е( Е ц(о, *АС Е IV Еи*\ /)!/(/, Л). С другой стороны, ясно, что Е у(г"> l)V(i> 0— 1» и дока- зательство закончено. Этот результат (для геометрических решеток) содержится в статье Dowling Т. J. Comb. Theory (В) 14(1973), 61—86 (Теорема 6). Ь. См. М. Aigner, Math. Ann. 207(1974), 1—22, Aigner M. Aeq. Math. 16(1977), 37—50; Stonesifer J. R. Discrete Math. 32(1980), 85—88. 51. Dowling J. Comb. Theory (B) 14(1973), 61—86. Erratum, тот же журнал, 15(1973), 211. Далеко идущее обобщение этих замечательных «решеток Доулинга» появилось в работе Заславского по графам со знаками (соответствует случаю |G| = 2) и графам напряжений (произвольная группа G). Работа Заславского по вычислению характеристических многочленов и связанных с ними инвариантов опубликована в Otiart. J. Math. Oxford (2), 33(1982), 493—511. (n+k\ 52. Число элементов ранга k равно I „, I, I Pn l = ^2/i+i (число Фибоначчи), „ , ! (2п\ (—1)"(л(0, 1) — ,; ■ i I ) (число Каталана), число максимальных цепей есть 1 • 3 • 5 • • ■ (2п— 1).
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Это упражнение принадлежит К. Баклавскому и П. Эдель- ману. a. Введем оператор замыкания (определенный в упражнении 30) на решетке Ln, положив G = 3((?1)X • ■ • X®(^fe)> где 0\, ..., Оп есть орбиты группы G, и 2(0>г) обозначает симметрическую группу на множестве Ot. Тогда Ln^Un. Выберите в упражнении (3,)) ,v = 0 и у = 1; результат следует из формулы (30). b. Обобщение, справедливое для любой конечной группы G, дано в теореме 3.1 статьи Kratzer С. и Thevenaz J. Comment. Math. Helvetici 59(1984), 425—438. c. Эта формула проверена для п^.7 в работе Wensley С. D. The supercharacter table of the symmetric group S7, preprint (p. 11). Далее ц6(6, f) = —6!, так что при 3</г^7 имеем u.„(0, 1) = (—I)"-1 | AutS„ |/2, где Aut®„ обозначает группу автоморфизмов группы ®„. (Хорошо известно, что |Aut©„| = rt! при /г^З, за единственным исключением | Aut©6| = 2 • 6!). Венсли впоследствии проверил, что |х8 (б, Г) = -8!/2. a. Ч. у. множество Ап определено в книге [5], гл. 8, упр. 10. Задача подсчета функции Мёбиуса сформулирована в упражнении 13 на стр. 104 этой книги.') (В этом упражнении О нужно заменить на разбиение (1"~2, 2).) b. В статье Ziegler G. On the poset of partitions of an integer, J. Combinatorial Theory (A), 42(1986), 215—222, показано, что Лп не является ч. у. множеством Коэна — Ма- колея при п ^ 19 и что функция Мёбиуса не является знакочередующейся при п ^ 111. (Эти оценки не обязательно являются точными.) Brylawski Т. Discrete Math. 6(1973), 201—219 (Предложение 3.10) и Greene С. A class of lattices with Mobius function ±1, 0, to appear. а. Эти две формулы иллюстрируют красивую теорию расположений гиперплоскостей, развитую в работе Zaslav- sky Т. Mem. Amer. Math. Soc, no. 154, Amer. Math. Soc. Providence R. I, 1975. Дальнейшие работы Заславского на эту тему: J. Comb. Theory (А) 20(1976), 244— 257; Adv. Math. 25(1977), 267—285; Mathematika 28(1981), 169—190; Geom. Dedicata 14(1983), 243—259 и (совместно с С. Greene) Trans. Amer. Math. Soc. 280(1983), 97—126. Эта теория имеет разнообразные приложения к алгебре и геометрии; некоторые из них обсуждаются и работе Carticr i\ Lecture Notes in Math, no ') Стр. 139 перевода. — Прим. nepee.
Решения упражнений 287 901, Springer-Verlag, Berlin —Heidelberg —New York, 1981, pp. 1—22. b. Этот замечательный результат эквивалентен основной теореме статьи Terao Н. Invent. Math. 63(1981), 159—179. Было бы весьма желательно найти более простое доказательство. c. Результат о том, что модуль Q свободен, если решетка сверхразрешима (получен независимо Р. Стенли и X. Те- pao, Advances in Math. 52(1984), 248—258), можно доказать индукцией по v, используя «Removal Theorem» статьи Terao Н. J. Fac. Sci. Tokyo (1A) 27(1980), 293— 312, и тот факт, что если решетка L=L{HU ..., Hv) является сверхразрешимой, то для некоторого i е [v] решетка L(HU ..., //,--i, #ж» •••. Н\) также сверхразрешима. Примеры свободного модуля Q при условии, что решетка L не является сверхразрешимой, содержатся в цитированной выше работе и статье Н. Terao, Proc. Japan. Acad. (A) 56(1980), 389—392. d. Эта гипотеза Орлика — Соломона — Терао, проверивших ее для п ^ 7. Числа (еь ..., еп) при 3 ^ я ^ 7 есть (1,1,2), (1,2,3,4), (1,3,4,5,7), (1,4,5,7,8,10) и (1,5,7,9,10,11,13). e. На эту гипотезу есть ссылка на стр. 293 работы Terao Н. J. Fac. Sci. Tokyo (1А) 27(1980), 293—312. i. Terao H. Invent. Math. 63(1981), 159—179 (Предложение 5.5). Как заметил Л. Биллера, это следует из того, что локализация свободного модуля является свободным модулем. Ранее Терао дал более глобокое доказательство. См. теорема 3.8.3 работы Ziegler G. М. Ph. D. thesis. М. I. Т, 1987. Эта диссертация содержит интересный свод алгебраических свойств расположений гиперплоскостей, включая теорию модуля Q, (X).') 57. Ответ: Z(P + Q, tn) = Z(P, m) + Z{Q, m), m Z(P®Q, m)=ZZ(P, j)Z(Q, m+l-j), meP, Z(PXQ, m) = Z(P, m)Z(Q, m). !) Проблематика, связанная с темой данного упражнения — расположение гиперплоскостей и, более общо, конфигурации аффинных подпространств, в настоящее время получила значительное развитие. См.: Варченко А. Н., Гельфанд И. М. О функциях Хевисайда конфигурации плоскостей. Функц. анализ 21, № 4, 1987 — в связи с общей теорией гипергеометрических функций; Вершик А. М. Геометрический подход к представлениям частично упорядоченных множеств. Вестник ЛГУ, № 1, 1988 — в связи с классификацией представлений ч. у. множеств; Мнев Н. Е. О топологии многообразий конфигураций данного комбинаторного типа. ДАН СССР, 1985, т. 283, № 6.— Прим. ред.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества По определению Z(Int(P), п) есть число цепей [х„ гл]<[*2> г/2]< ... <K_i, yn-i] интервалов ч. у. множества Р. Равносильным образом, Следовательно, Z(Int(P), n) = Z{P, 2п— 1). Легко видеть, что Z(Q, n)-Z(Q, /i-l) = Z(Int(P), /г). Положив я = 0 и используя предложение 3.11.1(c) вместе с п. (а), получите, что МО, b = ~Z(P, -1) = -цр(6, 1). Для любой цепи С ч. у. множества Р пусть ZC(Q0, m + 1) обозначает число цепей Сх^С2^ ... ^Ст — С в Q0. Так как интервал [0, С] в ч. у. множестве Q0 является булевой алгеброй, из примера 3.11.2 имеем, что ZC(Q|0, m+l) = m'C|- Следовательно, Z (Q0, m + 1) = 2с<=<2„т1С1 = = X fl//w'i где ч. у. множество Р содержит at i-цепей, и доказательство следует1 из предложения 3.11.1. Ответ, iip (О, 1) = ц§ (0, 1). Это тождество отражает тот топологический факт, что геометрические реализации конечного симплициального комплекса и его первого барицентрического подразделения гомеоморфны (и поэтому имеют равные эйлеровы характеристики). Пусть у(Р, S) обозначает число интервалов [г (К), К], для которых р (г (К)) = 3. Если С есть произвольная цепь из ч. у. множества Р с условием p(C) = S, то цепь С содержится в единственном интервале [г (К), К], таком что p(r(/C)) = S и обратно, интервал [г (К), К] удовлетворяющий условию p(r(/C))sS, содержит единственную цепь С из ч. у. множества Р, такую, что p(C) = S. Следовательно, X у(Р, Т) = а(Р, S), и доказательство следует из формулы (33). Понятие ч. у. множеств со свойством разбиваемости цепей введено независимо в работах Provan J. S. thesis, Cornell Univ. 1977 (Appendix 4), P. Стенли [37], с. 149, и Garsia A. M. Advances in Math. 38(1980),229—266 (§ 4).
Решения упражнений 289 (Первые две из этих работ изложены в более общем контексте симплициальных комплексов, а третья работа использует термин «ER-poset» для наших ч. у. множеств со свойством разбиваемости цепей.) d. Пусть Я: <Ж(Р)->2 есть Р-пометка и К: хх< ... ... < xn_i — максимальная цепь в Р, так что 0 = х0 < <*!<... < *„_! < х„= 1 есть максимальная цепь ч. у. множества Р. Положим по определению r(K) = {xt: А,(*,_„ Xt)>X(xh xt + l)}. По данной цепи С: у{ < ... < ук ч. у. множества Р определим К как (единственную) максимальную цепь ч. у. множества Р, состоящую из возрастающих цепей интервалов JO, yh [уи у2] [ук, Т] с удаленными элементами 0 и 1. Легко видеть, что С е [г (К), К] и что К есть единственная максимальная цепь ч. у. множества Р, для которой С<= [г(К), К]. Следовательно, ч.у. множество Р обладает свойством разбиваемости цепей. e. Для так называемых «шелушимых» ч. у. множеств (это специальный класс ч.у. множеств Крэна—Маколея) доказано в трех цитированных в п. (с) работах, что они обладают свойством разбиваемости цепей. Неизвестно, являются ли все шелушимые множества Коэна — Маколея (или ч.у. множества Коэна — Маколея) Р-помечи- ваемыми. С другой стороны, представляется весьма вероятным, что существует Р-помечиваемое ч.у. множество, которое не является шелушимым, хотя этот факт также не доказан. (Два кандидата изображены на рис. (18) и (19) работы [8].) В работе Stanley R. Invent. Math. 68(1982), 175—193, содержится весьма общая гипотеза теории колец (Гипотеза 5.1), из справедливости которой следовало бы, что ч. у. множества Коэна — Маколея обладают свойством разбиваемости цепей. 60. а. Первое доказательство. В работах нескольких авторов (например, Faigle-Schrader, Gallai, Golumbic, Habib, Kelly, Wille) неявно содержится тот факт, что два конечных ч. у. множества Р и Q имеют один и тот же граф сравнимости в том и только том случае, если существует последовательность ч.у. множеств Р = Ро, Р\, ■■■, Pk = = Q, таких, что ч. у. множество P,+i получено из Р, «переворачиванием вверх дном» (дуализацией) подмножества Т = Pi, для которого каждый элемент хбР/ — Т удовлетворяет условиям (а) х < у для всех у^Т, или
Гл. 3. Частично упорядоченные множества (Ь) х > у для всех у^Т, или (с) элементы х и у несравнимы для всех jeT. Первая явная формулировка и доказательство содержатся, по-видимому, в статье Dreesen В., Poguntke W. and Winkler P. Order 2(1985), 269—274 (Теорема 1). Затем другое доказательство содержится в работе Kelly D. Invariants of finite comparability graphs, preprint. Легко видеть, что ч. у. множества Pi и Р,+1 имеют один и тот же порядковый многочлен, откуда и следует доказательство этого упражнения. Второе доказательство. Пусть Г(Р, т) есть число отображений g: Р->-[0, т— 1], в которых g(*i)+ ... +£(**)< ^m — 1 для каждой цепи хх < ... < хк ч. у. множества Р. Мы утверждаем, что Q(P, /я) = Г(Р, пг). Чтобы доказать это, для данного отображения g положим f(x)=l-\-max{g(xl)-\- ... +g(xk):xx< ... <xk = x). Тогда отображение f: P-*-[m] сохраняет порядок. Наоборот, по данному отображению / положим g (х) = min {/ (х) — f (у): х покрывает у). Таким образом, Й(Р,/п) = Г(Р, т). Но по определению функция Г(Р, т) зависит только от Сот(Р). Это доказательство содержится в работе Stanley R. Discrete Corn- put. Geom. 1(1986), 9—23. I 1 - 4/ Рис. 3.64. См. рис. 3.64 Общий обзор по графам сравнимости ч. у. множеств см. Kelley D. in Graphs and Order (I. Rival, ed.), Reidel, Dordrecht —Boston, 1985, pp. 3—40. Имеем Q(P, — n) = Z (/(/>), -я) = ц?(Р)(0, ?). Из примера 3.9.6 l*"(0, f)=£(-l)l/'-/ol+-+l'»-V-i|, где сумма берется по всем цепям 0=/os/1S ... S/„=P порядковых идеалов из ч. у. множества Р, таких, что каждое из множеств /,- — /,_i есть антицепь в Р. Так как 1Л-/0|+... +!/„-/„_, | = Р, то (-1)*V(0, Г) есть число таких цепей. Но такая цепь соответствует строго
Решения упражнений 291 сохраняющему порядок отображению т: Р->п, определенному формулой x(x) = i, если л: е/,-— /;_]. Доказательство закончено. Этот результат известен как теорема взаимности для порядковых многочленов; он впервые опубликован в статье [29], предложение 13.2. Другое доказательство будет дано в следствии 4.5.15; будет представлено также много других доказательств: b. Q(p, я) = (-1)рЙ(р, -п) = пр, (-l)pQ(p\, -п) = (£). Тетраэдр: Z (L, п) = п4, куб или октаэдр: Z{L, п) = 2пА — п2, икосаэдр или додекаэдр: Z(L, п) = 5/г4 — An2. Случай ц = 0 эквивалентен одному результату из книги MacMahon P. A. Combinatory Analysis, vols. 1, 2, Chelsea, New York, 1960 (положите x = 1 в неявной формуле для GF(pup2, ..., pm;n)), на стр. 243 и часто переоткрывался в разных обличиях. Общий случай содержится в работе Kreweras G. Cahiers du BURO, no. 6, Institut de Statistique de L'Univ. Paris, 1965 (Section 2.3.7); он является частным случаем (после построения простой подготовительной биек- ции) теоремы 2.7.1. Ответом предположительно является «нет-», хотя проверено, что утверждение верно при п ^ 6. Пусть 1 ^ k ^ п. Определим в алгебре инцидентности I (Р) функцию ц^ формулой Г 1, если р (у) — р (*) = k, TUUC, «) —I п (, 0 в остальных случаях. Из самодвойственности интервала [х,у] следует, что 4i'4k(x,y) = r\^j{x,y) для всех пар / и k, так что функции г|/ и r\k коммутируют. Но а(Р, ^ЛяД^.-.Л^О, Г). Доказательство вытекает из того, что все функции т)/ можно произвольным образом переставить,
292 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 66. Имеем NXN = /f(Q), где элементы ч. у. множества Q есть хх < х2 < .. ■ и ух < г/2 < • • • • Рассмотрим ч. у. множество Q как подмножество вполне упорядоченного множества, в котором Xi<.yi для всех пар i, j. Из теоремы 3.12.1 (распространенной очевидным способом на финитарные дистрибутивные решетки) имеем, что число P(NXN,5) равно числу линейных упорядочений щ, «г, •■., V\, V2, ... ч. у. множества Q, таких что элементы xi стоят в возрастающем порядке, элементы у,- расположены в возрастающем порядке, а за элементом г/,- непосредственно следует элемент х,- в том и только том случае, если г/,- = Uk, где ieS. Поэтому элементы щ ит, можно выбрать в качестве элементов х\, ..., xt, t/i ym,~i (O^i^mi —1) т\ способами. Тогда umi+i = xt+i, а элементы ыт1+2, ..., ит, можно выбрать т% — т,\ — 1 способами и так далее, что и дает требуемый результат. Менее комбинаторное доказательство содержится в работе [29], предложение 23.7. 67. а. Пусть afe = 2|si=fea(^>> S). Теперь Z(P, т) есть число мультицепей 0 = х0 ^ хх К. ... ^ хт — 1. Такую мульти- цепь К можно получить, выбрав сначала цепь С: 0 < г/1 <... ... < ук< 1 ak способами, а затем выбрав мультицепь К, носителем которой (подстилающим множеством) является // k + 2 \\ / т \ цепь С, II _1_ь)) = 1ь_1_1 ) способами. Следовательно, Z(P, «) = Е*(л+1 )"*• т' е- A*+'Z(P> <>) = «*■ Ь. Газделим обе части требуемого равенства на (1—х)п+1 и возьмем коэффициент при хт. Нам нужно показать, что / Теперь \s\=k rss i 1П-/ -iCzlziK
Решения упражнений 293 Следовательно, из п. (а) z(^«)=2;(*+i)«,= =zG+i)(r-i-iK Но т \fn—\—]\ /ra + m — /—1\ k+\)\n—\—k)\ п ) (в частности, из примера 1.1.17), и доказательство закончено. Можно дать более элементарное доказательство в следующем направлении. Введем переменные t{, ..., tn_x и для подмножества S £ [п — 1] запишем ts=TIisSti. Далее, для мультицепи К: хх ^ ... ^ хт ч. у. множества Р — {О, Т} напишем /#= П,-=1Ц.^). Легко видеть, что К S \i(=S / s ~ (i_/,)(l-/,) ... Q-tn-i) ' Положив tt=x и умножив на (1—л;)-2 (что соответствует присоединению элементов 0 и 1), получим (а) и (Ь). Замечание. В разд. 4.3 обсуждается производящая .функция 2m>o/(m) *"* и> в частности, ее представление в виде W(x)(l — х)~п~х в случае, если / — произвольный многочлен степени п. Поэтому данное упражнение можно рассматривать как «нахождение» функции W (х) при / (т) = = Z(P, т). Из определения многочлена %(Р, q) имеем Wfe= Е И(6, х) = *= Е и (о, *)- Е и (о, ж). р(*К* р(*К*-» I
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Пусть \is обозначает функцию Мёбиуса S-рангово выбранного ч. у. подмножества Ps ч. у. множества Р, как в разделе 3.12. Тогда из определяющего рекуррентного соотношения (14) для функции ц получаем Wk = — №] (б. "1) + №-П (0. Ъ- Доказательство следует из формулы (34). В случае к = 1 некомбинаторное доказательство п. (а) впервые получено в статье Kreweras G. Discrete Math. 1(1972), 333—350. Затем комбинаторное доказательство было получено в работе Poupard Y. Discrete Math. 2(1972), 279—288. Случай произвольных чисел к и п. (с) и (d) рассмотрены в статье Edelman P. Discrete Math. 31 (1980), 171— 180. См. также Edelman P. Discrete Math. 40(1982), 171—179. Конечно, п. (Ь) следует из п. (а), если взять п = 1 и п = —2, а п. (е) следует из п. (d), если положить S ={t — т) и S = [0, t — 2]. Разбиения я, обладающие свойством (И), называются непересекающимися разбиениями. Дальнейшие результаты о непересекающихся разбиениях содержатся в статьях Prodinger Н. Discrete Math. 46(1983), 205—206, и Dershowitz N. and Zaks S. Discrete Math. 62(1986), 215—218. a. Утверждение, что интервал [x, у] содержит одинаковое число элементов нечетного и четного рангов, равносильно тому, что Х2£3[* г/](—1)р(2>_р(х>= 0. Доказательство теперь легко следует из определяющего рекуррентного соотношения (14) для функции ц. b. Аналогично предложению 3.14.1. c. Если п нечетно, то из п. (Ь) Z(P, m) + Z(P, -m) = -m((-l)"M6, Ь - 1). Левая часть равенства есть четная функция от т, в то время как правая часть четна в том и только том случае, когда цР (0, 1) = (—1)". (Существует много других доказательств.) d. Из предложения 3.8.2 ч. у. множество PX.Q является эйлеровым. Следовательно, каждый интервал [z'', z] ч. у. множества R с условием z'ф0ц является эйлеровым. Таким образом, в силу п. (а) достаточно показать, что для любой пары z = (x, y)>0R в R имеем X (_1)Р*<г') = 0,
Решения упражнений 29S где рд обозначает ранговую функцию в R. Так как для любого /=7^0я имеем рд (/) = рр х <Э (0—1> т0 (_1)Рр.<2')= £ (— IJ^xqC)-1 _ ВРХ« _ £ (_1)РР^_^ £ (_ 1)Р« (*'Ы + в Р в Q _j_ (_ ijPpxq^pxQ)-1 _|_ ( 1 )Р^г (°л) = = 0-1-1 + 1 + 1=0. Дальнейшую информацию, относящуюся к ч. у. множеству R, см. в статье Bennett М. К. Rectangular products of lattices, Abstracts Amer. Math. Soc. 6 (October, 1985), 326—327. Ответ: p (P, S) = 1 для всех S S [n]. Из упражнения 67 (b) £ Z(P„ «.)*■-£!*& (можно обратиться также к упражнению 5.7). Запишем fn = f(Pn,x), gn = g(Pn,x). Рекуррентное соотношение (43) дает /„ = (*-1)" +2 Е g,{x-l)n-1-1. (67) Уравнения (42) и (67) вместе с начальным условием /о = go = 1 полностью определяют функции fn и gn. Вычисляя несколько первых значений, приходим к догадке: 1,1/21 Г / 1ч / 1 Ч -I Нетрудно проверить, что эти многочлены удовлетворяют необходимым рекуррентным соотношениям. Заметьте также, что g2m = (1 — x)g2m^1 и f2m+i = = (l-*)2m(l + *).
Гл. 3. Частично упорядоченные Мнбжёства Пусть С„ = {(л;,, .... хп) <= R": 0;<.^ < 1} — n-мерный куб. Непустая грань F куба Сп получается, если выбрать подмножество Т £ [п], функцию q>: Г-*[(), 1] и положить F{(x{ хп)<=Сп: xt = <p(i), если ief}. Пусть грань F соответствует интервалу [<р-1(1)> Ф-1 (1) U U ([п] — Т)] булевой алгебры Вп. Это дает требуемую (сохраняющую порядок) биекцию. Обозначим элементы ч. у. множества Л, как на рис. 3.65. Пусть грань F определена, как и выше, и ей соответствует n-набор (г/„ ..., ?JeA°, где ^ = ф(г), если ieT, и yi = u, если ЬфТ. Это дает требуемую (сохраняющую порядок) биекцию. и О СГ - \ i Рис. З.в5. Обозначим два элемента ч. у. множества Рп ранга i посредством at и bh \*^.i^.n. Сопоставим с цепью z,< < z2 < ... < гк ч. у. множества Рп — {б, 1} «-набор (Уь • • •» Уп) е Л" следующим образом: {О, если некоторый элемент Zj=at, 1, если некоторый элемент zl = bl, и в других случаях. Это дает требуемую биекцию. Следует из п. (с), упражнения 70(a) и [38], теорема 8.3. С тем же ч. у. множеством Л, как и в п. (Ь), имеем Z(A,m) = 2m — 1, так что из упражнения 57 Z(An,m) = = (2m — 1)". Легко вывести, что Z(Ln, m) = l" + 3" + 5"+ ... +(2т-1)п. v-i l (n\f2n — 2k\ к Ответ: g{Ln,X) = Y,k>0T=hrT{k){ n ji*'1? (получено в сотрудничестве с И. Гессель). Этот результат вывел из п. (f) Л. Шапиро (частное сообщение) . Разными авторами показано (не опубликовано), что для торического многообразия Х{&), ассоциированного с мно-
Решения упражнений 297 гогранником &, функция f(L,q2) есть многочлен Пуанкаре (средних) когомологий пересечений многообразия X(fP). Но когомологий пересечений, рассматриваемые как модуль над кольцом сингулярных когомологий, удовлетворяют сильной теореме Лефшеца, из которой следует, что коэффициенты многочлена f(L,x) унимодальны. Основные факты о торических многообразиях и сильной теореме Лефшеца см. в статье Stanley R. in Discrete Geometry and Convexity (J. E. Goodman et. al.,eds.),Ann N. Y.Acad. Sci. (1985), pp. 212—223. О (ко)гомологиях пересечений см. Goresky М. and MacPherson R. Topology 19(1980), 135—162, и Invent. Math. 72(1983), 77—129. Дальнейшую информацию по поводу этого упражнения см. в работе Stanley R. Generalized /i-vectors, intersection cohomology of toric varieties, and related results, in Proc. U. S. — Japan Joint Seminar on Commutative Algebra and Combinatorics (M. Nagata, ed.), North-Holland, to appear. 73. Решетка Lnd есть в действительности решетка граней некоторого выпуклого многогранника C(n,d), называемого циклическим многогранником. Следовательно, из предложения 3.8.9, решетка Ьпа является эйлеровой. Данное в задаче комбинаторное описание решетки Lna называется «условием четности Гейла». См., например, McMullen R. and Shep- hard G. С. Convex Polytopes and the Upper Bound Conjecture, Cambridge Univ. Press, 1971, p. 85, или с. 62 книги [20]'). Можно дать также прямое комбинаторное решение, избегающее всякого упоминания выпуклых многогранников. 74. Пусть Р = {хь ..., *„}, и положим ^ = {(«1. •••> ап) <=№■""■ 0<с^<"1 и х^Х/^а^а^. Тогда !Р есть выпуклый многогранник, и нетрудно показать (впервые на это указано в работе Geissinger L. Proc. Third Carribean Conf. on Combinatorics, 1981, pp. 125—133), что решетка T(P) изоморфна двойственной к решетке граней многогранника 9* и, следовательно, Т(Р) есть эйлерова решетка. Дальнейшие сведения о многограннике & см. в работе Stanley R. J. Disc, and Сотр. Geom. 1(1986), 9—23. 75. a. Pn есть порядок Брюа на группе @„. Его можно обобщить на случай произвольных групп Кокстера. Было показано в этом контексте, что Рп — эйлерово ч. у. множество в ра- ') Читатель может также обратиться к монографии Емеличев В. А., Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники, графы, оптимизация (комбинаторная теория многогранников).—М.: Наука, 1981. См. также Брёистед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. — М.: Мнр, 1988, с. 137.— Прим. перев.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества ботах Verma D.-N. Ann. Scient. Ее. Norm. Sup. 4(1971), 393—398, и Deodhar V. V. Invent. Math. 39(1977), 187— 198. Далеко идущее топологическое обобщение содержится в статье [9]. Обзор порядков Брюа дан в работе Bjorner A. Contemp. Math. 34(1984), pp. 175—195. b. Следует из следствия 3 на с. 185 цитированной работы А. Бьернера. c. Edelman P. Н. Geometry and the Mobius function of the weak Bruhat order of the symmetric group, preprint (Теорема 1.3). d. Впервые этот результат доказан в статье Stanley R. European J. Combinatorics 5(1984), 359—372 (Следствие 43). Последующие доказательства анонсированы в работах Edelman P. Н. and Greene С. Contemporary Math. 34(1984), 155—162, и Lascoux A. and Schiitzenberger M. —P., Acad С. R. Sc. Paris 295, Serie 1(1982), 629—633. Доказательство первых двух авторов опубликовано в статье Edelman P. Н. and Greene С. Balanced tableaux Advances in Math., 63(1987), 42—99. Ч. у. множество P является интервалом ч. у. множества нормальных слов, введенного в статье Farmer F. D. Math. Japonica 23(1979), 607—613. Как заметили авторы статьи [10], § 6, ч.у. множество всех нормальных слов над конечным алфавитом S={si, ..., sn} есть в точности порядок Брюа группы Кокстера W = (S: sf=l). Следовательно, ч.у. множество Р является эйлеровым ввиду результата Вер- ма — Деодара, упомянутого при решении упражнения 75. Можно также дать прямое доказательство. Bayer М. М. and Billera L. J. Inv. Math. 79(1958), 143—157 (Теорема 2.6). Обзор результатов на близкую тему см. в работе Bayer М. М. and