Text
                    ENUMERATIVE COMBINATORICS
Volume I
Richard P. Stanley
Wadsworth & Brooks/Cole
Advanced Books & Software
Monterey, California
P Стенли
Перечислительная
комбинаторика
Перевод с английского
А. И. БАРВИНКА и А. А. ЛОДКИНА
под редакцией
А. М. ВЕР ШИКА
Москва «Мир» 1990


ББК 22.174 С79 УДК 5.19.1 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Стенли Р. С79 Перечислительная комбинаторика: Пер. с англ.—М.: Мир, 1990.—440 с, ил. ISBN 5-03-001348-2 Книга американского математика, отражающая современное состоя- состояние комбинаторики. Изложение отличается высоким уровнем алгебран- зацнн, новизной материала, широкой областью приложений, включая приложения к задачам математической физики. В ней представлены комбинаторика частично упорядоченных множеств, метод трансфер- матрицы, алгебры инцидентности, линейные диофантовы уравнения, диаграммы Юнга и др. Книга написана ясно, продуманно и последова- последовательно. Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов университетов. 1602100000-234 041@1)-90 19-90 ББК 22.174 Редакция литературы по математическим наукам ISBN 5-03-001348-2 (русск.) ISBN 0-584-06546-5 (аигл.) © 1986 by Wadsworth, Inc. California 94002 © перевод на русский язык, А. И. Бар- Барвинок, А. А. Лодкин, 1990 Эта книга, написанная одним из ведущих специалистов по ком- комбинаторике, профессором Массачусетского технологического ин- института Ричардом Стенли, является одновременно и учебником, и монографией как по классической так и по современной пере- перечислительной комбинаторике. При этом она написана в совер- совершенно новых для этой области традициях. Древнейшая и, возможно, ключевая ветвь математики — ком- комбинаторика— долгое время оставалась на периферии мате- математической науки. Хотя всякая серьезная теорема, теория имеет свою комбинаторную лемму, комбинаторный аналог, хотя ком- комбинаторное рассмотрение предшествует почти всякому анализу, тем не менее из разрозненных даже глубоких результатов еще не складывается единая жизнеспособная теория или область исследований. В то же время собственно комбинаторные про- проблемы подчас изолированы от большей части математики. В осо- особенности это относится к перечислительной комбинаторике, по- поскольку задачи перечисления конечных множеств объединяются скорее по формальному, а не методологическому признаку. На наших глазах происходит включение комбинаторики в русло современной математики; этот процесс определяется, во-первых, резким обновлением ее аппарата, в который посте- постепенно входят разнообразные теории и методы других обла- областей математики, а во-вторых, не менее резким расширением области приложений и предмета исследований комбинаторики. Важная, но не единственная роль в этих изменениях принад- принадлежит изменению статуса дискретной математики в связи с по- появлением информатики, компьюторики и т. п., — эти изменения усилили интерес математиков к комбинаторике. Однако имеют- имеются внутренние причины появления «новой» комбинаторики. До самого последнего времени наиболее мощный контакт перечис- перечислительной комбинаторики с остальной математикой проходил через теорию производящих функций и в конце концов вел в теорию функций комплексной переменной. Это классическое направление и сейчас сохраняет свое значение. Но читатель сможет оценить, насколько далеко, судя по данной книге,
6 Предисловие редактора перевода продвинута классическая теория производящих функций в новых направлениях. На него, несомненно, произведет впечатление широчайший охват материала, как традиционного, так и никогда не встречавшегося в книгах по комбинаторике. Нет смысла пе- перечислять соответствующие примеры. Обратим внимание лишь на включение в книгу целой главы (гл. 3), посвященной, ка- казалось бы, чуждому предмету — частично упорядоченным мно- множествам. Однако именно в этом отражается одно из серьезных методологических нововведений, принадлежащих Дж.-К. Рота и развитых им вместе с Р. Стенли. Грубо говоря, алгебраиза- ция большого числа задач комбинаторики по замыслу Рота — Стенли начинается с выявления того или иного частично упорядоченного множества, которое, как правило, неявно со- сопутствует комбинаторной задаче. Блестящий и ставший клас- классическим пример — теория обращения Мёбиуса, созданная Дж.-К- Рота, и теория алгебр инцидентности Рота — Стенли. Виртуозное владение материалом самого различного харак- характера дает возможность автору сделать книгу чрезвычайно при- привлекательной и для алгебраиста, и для геометра, для специа- специалиста по теории функций, теории представлений, и, конечно, для комбинаториков. Р. Стенли построил книгу наилучшим для дан- данной ситуации способом: сравнительно простое, понятное сту- студентам изложение основной части соседствует с громадным по запасу и глубине материалом упражнений, среди которых есть вполне тривиальные, но есть результаты и проблемы из самых последних работ большого числа авторов. Главы 1—3 переведены А. И. Барвинком, глава 4 —А. А. Лод- киным. Автор любезно прислал специально для русского изда- издания список исправлений, что помогло при работе над перево- переводом; некоторые мелкие погрешности исправлялись без специаль- специальных примечаний. Следует заметить, что литературные ссылки автора не полны, и мы не стремились пополнить их, поскольку число работ, так или иначе связанных с темами, затрагивае- затрагиваемыми в книге, необычайно велико. Как сообщил нам автор, в ближайшее время ожидается выход второго тома этой книги в оригинале. А. М. Вершик ПРЕДИСЛОВИЕ ДЖ.-К. РОТА Очень жаль, что после того, как книга выходит в свет и начи- начинает собственную жизнь, она больше не хранит свидетельств мучительного выбора, возникшего перед его автором на протя- протяжении работы. Перед автором любой книги встают такие во- вопросы: для какой аудитории она предназначена, для кого окажется бесполезной, кто будет самым вероятным критиком? Большинство из нас подчас занято бесплодным составлением оглавлений книг, которые, как мы знаем, никогда не увидят свет. В некоторых странах такие особо талантливо составленные проекты посылают в печать (хотя они могут и не включаться в список авторских публикаций). В математике, однако, бремя выбора, стоящего перед авто- автором, настолько тяжело, что выдерживают лишь самые смелые. Но из всей математики сегодня, вероятно, трудней всего писать книги по комбинаторике, несмотря на существование жажду- жаждущей аудитории, состоящей из специалистов в самых различных областях. Следует ли выделить отдельный параграф для изоли- изолированного частного результата? Нужно ли новую, неоперив- неоперившуюся теорию, имеющую пока редкие приложения, робко втис- втискивать в середину главы? Следовать ли одному из двух проти- противоположных искушений: стремлению к популяризации с одной стороны или к категорической строгости с другой? Или под- поддаться обаянию алгоритма? Ричард Стенли победно преодолел все эти барьеры. Гово- Говорят, что в комбинаторике слишком много теорем, связанных с очень небольшим числом теорий; книга Стенли опровергает это утверждение. Умело отбирая наиболее привлекательные со- современные теории, он демократично сочетает их с многообраз- многообразными примерами, в диапазоне от топологии до компьютерной математики, от алгебры до комплексного анализа. Читатель никогда не испытает нехватки в иллюстративном примере или недоумения от доказательства, нарушающего критерий Г. Хар- ди, согласно которому оно должно появляться как приятный сюрприз.
8 Предисловие Дж.-К. Рота Сделанный автором выбор упражнений позволит нам, нако- наконец, предложить удовлетворительную библиографическую ссыл- ссылку коллеге, стучащемуся в нашу дверь со своей комбинаторной проблемой. Но более всего Стенли преуспел в следующем: он сделал захватывающим сам предмет в книге, которая от на- начала и до конца поглотит внимание любого математика, от- открывшего ее на первой странице. Джан-Карло Рота ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Перечислительная комбинаторика занимается подсчетом числа элементов в конечном множестве S. В том виде как это опре- определение сформулировано, оно мало говорит о самом предмете, так как фактически любую математическую задачу можно сформулировать в таких терминах. В собственно перечисли- перечислительной задаче элементы множества 5 обычно будут иметь очень простое комбинаторное определение и весьма незначи- незначительную дополнительную структуру. Выявляется, что множество S содержит много элементов, и главным вопросом будет опре- определение их числа (или оценка его), а не поиск, например, ка- какого-нибудь особого элемента. Конечно, существует много ва- вариантов этой основной задачи, также относящихся к перечис- перечислительной комбинаторике; они встретятся на протяжении этой книги. В последние годы наблюдалось бурное развитие комбинато- комбинаторики, включая и перечислительную комбинаторику. Одной из важных причин этого явилась та фундаментальная роль, кото- которую играет комбинаторика будучи аппаратом информатики и смежных областей. Другой причиной были огромные усилия, на- начало которым положил Дж.-К. Рота около 1964 г., нацеленные на объединение и согласование разделов комбинаторики, осо- особенно теории перечисления, и на превращение комбинаторики в составную часть магистрального направления современной ма- математики. Эти усилия значительно прояснили роль перечисли- перечислительной комбинаторики в таких областях математики, как тео- теория конечных групп, теория представлений, коммутативная ал- алгебра, алгебраическая геометрия и алгебраическая топология. Эта книга предназначена для трех разновидностей читате- читателей и служит трем различным целям. Во-первых, ее можно ис- использовать как введение для окончивших курс высшего учеб- учебного заведения в одну из чарующих областей математики. Для чтения большей части книги необходимо знать основные сведе- сведения из линейной алгебры, и возможно, прослушать односеме- стровый курс абстрактной алгебры. Глава 1 может служить введением в теорию перечисления на несколько более низком
10 Предисловие автора Предисловие автора И уровне. Во-вторых, книга предназначена для специалистов по комбинаторике, для которых она могла бы служить в качестве общего источника. Так как невозможно полностью охватить все, мы попытались по крайней мере включить главные темы пере- перечислительной комбинаторики. Наконец, эту книгу могут исполь- использовать математики, не занимающиеся комбинаторикой, но ра- работа которых требует решения некоторых комбинаторных задач. Судя по многочисленным беседам, которые я вел с мате- математиками, работающими в различных областях, такая ситуа- ситуация возникает довольно часто. Поэтому я особенно старался охватить в книге темы перечислительной комбинаторики, кото- которые возникают в других областях математики. Упражнения, помещенные в конец каждой главы, играют первостепенную роль при достижении всех трех целей этой книги. Более легкие упражнения (трудность которых находит- находится, скажем, в диапазоне от 1 —до 3—) могут пытаться решать студенты, использующие эту книгу как учебник; не предпола- предполагается, что будут решены более сложные упражнения (хотя, несомненно, некоторые читатели не смогут противостоять серь- серьезному вызову). Эти задачи скорее служат отправной точкой изучения областей, непосредственно не охватываемых текстом. Я надеюсь, что эти более сложные упражнения убедят читателя в глубине и широкой применимости перечислительной комби- комбинаторики, особенно в гл. 3, где никоим образом априори не очевидно, что частично упорядоченные множества есть нечто большее, чем удобное бухгалтерское приспособление. Почти все упражнения снабжены решениями или ссылками на решения. Принцип цитирования и указания ссылок, я надеюсь, ясен. Всем указаниям на ссылки в другой главе предшествует номер соответствующей главы. Например, [3.16] отсылает к позиции 16 в гл. 3. Я не ссылался на литературу в пределах основного текста; все такие указания встречаются в разделе «Замеча- «Замечания» в конце каждой главы. Каждая глава содержит свой соб- собственный список литературы, а цитируемая литература, отно- относящаяся к упражнению, дана отдельно в решении упражнения. Многие лица разными способами внесли вклад в написание этой книги. Особо нужно упомянуть Дж.-К. Рота, который ввел меня в изумительный мир перечислительной комбинаторики, а также постоянно поддерживал и поощрял. Я должен также упомянуть Дональда Кнута, чьи великолепные книги по про- программированию побудили меня включить в книгу обширный список упражнений с решениями и с указанием трудности перед упражнением. Я благодарю Эда Бендера, Луи Биллера, Андерса Бьорнера, Томаса Брнлавского, Перси Дьякониса, Доминика Фоата, Анд- рнано Гарсиа, Иру Гессель, Джея Голдмана, Кертиса Грина, Виктора Кли, Пьера Леру, И. Рональда, К. Муллина за ценные предложения и ободрение. Кроме того, имена многих авторов, идеи которых я заимствовал, упомянуты в разделах «Замеча- «Замечания» и «Упражнения». Я благодарен группе, отлично подгото- подготовившей рукопись, в том числе Руби Агуир, Луизе Бальзарини, Маргарет Бькжлер, Бенито Раковеру и Филлису Руби. Нако- Наконец, я благодарю Джона Киммеля из издательства Wadsworth & Brooks/Cole Advanad Books & Software за поддержку и обод- ободрение во время подготовки книги и Филлис Ларимор за акку- аккуратное редактирование. За финансовую поддержку при написании этой книги я хочу поблагодарить Массачусетский технологический институт, На- Национальный научный фонд и Фонд Гуггенхейма. Ричард Стенли ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ С большим энтузиазмом я встретил перевод на русский язык первого тома моей книги «Перечислительная комбинаторика». Я надеюсь, что эта книга позволит советским математикам по- почувствовать очарование перечислительной и алгебраической комбинаторики и будет способствовать их сотрудничеству с за- западными математиками в духе гласности. Ричард Стенли Август 1989 г.
ОБОЗНАЧЕНИЯ Глава 1 ЧТО ТАКОЕ ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНАЯ КОМБИНАТОРИКА? Р Q R Z [я] U П х\ м cardX, {аи ..., ак} Ы, im A ker A trA GF(q), F, R[x] комплексные числа неотрицательные целые положительные целые рациональные числа вещественные числа целые множество {1, 2, ..., п) при п /} для чисел i (так что *.((*)) множество {i, i + I, . наибольшее целое, не превосходящее х наименьшее целое, не меньшее х | X | используются для обозначения числа элемен- элементов в конечном множестве X множество {аи ..., а*} = R, где а\ <. ... символ Кронекера, равный 1, если i = j и 0 в противном случае равенство по определению образ функции А ядро гомоморфизма или линейного преобра- преобразования А след линейного преобразования А конечное поле из q элементов (единственное с точностью до изоморфизма) прямая сумма векторных пространств (или модулей, колец и т д.) Vi кольцо многочленов от переменной х с коэф- коэффициентами в области целостности R кольцо рациональных функций от х с коэффи- коэффициентами в R {R(x) есть поле частных коль- кольца R [х], если R — поле) кольцо формальных степенных рядов 2п>о апхП от х с коэффициентами ап из R кольцо формальных рядов Лорана 2„>Пояп*" для некоторого по е Z от х с коэффициен- коэффициентами а„ из R (R((x)) есть поле частных коль- кольца /?[[*]], если кольцо R является полем) 1.1. Как сосчитать Основная проблема перечислительной комбинаторики состоит в том, чтобы сосчитать число элементов в конечном множе- множестве. Обычно нам дан бесконечный класс конечных множеств Si, где i пробегает некоторое множество индексов / (такое, как множество неотрицательных целых чисел N), и мы хотим сосчи- сосчитать число f(i) элементов в каждом 5; «одновременно». Тотчас же возникают философские трудности. Что значит «сосчитать» число элементов Si? На этот вопрос нет определенного ответа. Только с опытом действительно развивается понятие того, что понимается под «вычислением» считающей функции f(i). Счи- Считающая функция f(i) может быть задана несколькими стан- стандартными способами: 1. Наиболее приятная форма /(/) — совершенно явная замк- замкнутая формула, включающая только хорошо известные функ- функции и не содержащая символов суммирования. Только в редких случаях такая формула будет существовать. По мере того как формулы для f(i) становятся более сложными, наше желание принять их как «выражения» для f(i) уменьшается. Рассмотрим следующие примеры. 1.1.1. Пример. Для каждого nsN пусть f{n) — число подмно- подмножеств множества [п]={1, 2, ..., «}. Тогда f(n) = 2", и никто не будет отрицать, что это удовлетворительная формула для f(n). 1.1.2. Пример. Предположим, что п человек сдали свои п шляп гардеробщику. Пусть f(n) — число способов, которыми шляпы могут быть розданы обратно, причем каждый получает одну шляпу и ни один не получает свою собственную. Например, f(l) = 0, /B)= I, fC)=2. Мы увидим в гл. 2, что A) Эта формула для /(я) не так элегантна как формула в при- примере 1.1.1, но за отсутствием более простого ответа нам хочется принять A) как удовлетворительную формулу. Фактически, как
14 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.1. Как сосчитать 15 только стал понятен вывод формулы A) (используется прин- принцип включения — исключения), легко понять комбинаторный смысл каждого члена формулы A). Это позволяет нам «понять» A) интуитивно, так что наше желание принять эту формулу усиливается. Заметим также, что из A) легко следует, что f(n) — ближайшее целое к п\/е. Это, конечно, простая явная формула, но ее неудобство в том, что она «некомбинаторная», так как деление на е и округление до ближайшего целого не имеют прямого комбинаторного смысла. 1.1.3. Пример. Пусть /(п) —число я X « матриц М из нулей и единиц, таких, что каждая строка и каждый столбец содержат три единицы. Например, /@)= 1; /A) = /B) = 0; /C)=1. Наи- Наиболее явная формула для f{n), известная в настоящее время,— это "-, B) гой стороны, можно показать, что где сумма берется по всем (п + 2) (п + 1)/2 решениям уравне- уравнения а+р + у = я в неотрицательных целых числах. Эта фор- формула дает очень небольшую возможность исследовать поведе- поведение f(n), но она действительно позволяет сосчитать f(n) го- гораздо быстрее, чем на основе использования лишь комбина- комбинаторного определения f(n). Поэтому с некоторой неохотой мы принимаем B) за «выражение» для f(n). Конечно, если бы кто- нибудь позже доказал, что f(n) = {n— 1) (п — 2)/2 (что весьма маловероятно), то наш энтузиазм относительно формулы B) значительно уменьшился бы. 1.1.4. Пример. Впрочем, встречаются формулы в литературе («безымянные с этих пор»I) для некоторых считающих функ- функций f(n), вычисление которых требует перебора всех (или почти всех) f{n) подсчитываемых объектов! Подобные формулы пол- полностью бесполезны. 2. Может быть дано рекуррентное выражение для /(/) через ранее вычисленные значения f(j), дающее тем самым простую процедуру вычисления /(/) для любого желаемого /е/. На- Например, пусть f{n) — число подмножеств [п], которые не содер- содержат двух последовательных чисел. Например, для п = 4 имеем подмножества 0, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,3}, {1,4}, {2,4}, так что fD) = 8. Легко видеть, что }{п)= f (п — 1)+ f (n — 2) при п ^ 2. Это делает тривиальным, например, подсчет f B0). С дру- ') «Nameless here for evermore» —Э. По. Ворон 2-я строфа, перевод М. Зенкевича. — Прим. ред. где / (я) = J=- (т"+* т = -5~(l -f- V5)> т = "(l — л/5). Это точный ответ, но так как формула содержит иррациональные числа, то вопрос, лучше ли он, чем рекуррентная формула Дп) = /(я— 0+ f(n — 2), является спорным. 3. Может быть дана оценка f(i). Если /= N, то эта оценка часто принимает форму асимптотической формулы f(n)~ g{n), где g{n)— «знакомая функция». Обозначение f{n) ~ g(n) озна- означает, что \imn->cX>f{n)/g(ri)= 1. Например, пусть f(n) — функция примера 1.1.3. Можно показать, что /(«)~e-236-"Cft)!. Для многих целей эта оценка предпочтительнее, чем «явная» формула B). 4. Самый полезный, но и самый трудный для понимания метод численного представления функции f(i) состоит в задании ее производящей функции. В этой главе мы не будем развивать строгую абстрактную теорию производящих функций, а вместо этого удовлетворимся неформальным обсуждением и некото- некоторыми примерами. Говоря неформально, производящая функция есть «объект», который представляет считающую функцию f(i). Обычно этот объект есть формальный степенной ряд. Два наи- наиболее общих типа производящих функций суть обычные произ- производящие функции и экспоненциальные производящие функции. Если / = N, то обычная производящая функция последователь- последовательности f{n) — формальный степенной ряд Z f(n)xT, в то время как экспоненциальная производящая функция после- последовательности f(n) — формальный степенной ряд Z f(n)xn/n\. л>0 (Если / = Р — множество положительных целых, то эти суммы начинаются с п—\.) Эти степенные ряды называются «фор- «формальными», так как мы не связываем с символом х конкретных значений и игнорируем вопросы сходимости и расходимости. Член ряда хп или х"/п\ просто отмечает место, где написано
16 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? f{n). Если F {х) = У?1п>оапхп, мы называем ап коэффициентом при хп в F(x) и пишем an = CF(x) или an = F(x)\n. п Аналогично можно рассматривать производящие функции не- нескольких переменных, как, например, I Z Z f(l, m, n). 1.1. Как сосчитать 17 (которую можно считать «обычной» по индексам /, m и «экспо- «экспоненциальной» по /г), или даже бесконечного числа перемен- переменных. В последнем случае каждый член должен содержать только конечное число переменных. Зачем утруждать себя производящими функциями, если они есть всего лишь другой способ записи считающих функций? Ответ состоит в том, что мы можем выполнять различные есте- естественные операции над производящими функциями, имеющие комбинаторный смысл. Например, мы можем сложить две про- производящие функции (от одной переменной) по правилу ( У п гп\ 4- ( V>h rn\ — ЧУ "in 4- h \xn Vn>0 / Vn>0 / " " или и! Аналогично мы можем перемножить производящие функции по правилу Г ? апхЛ ( I Ъпх«) = I спх\ где с„ = -<. или ( V а*хП\ ( V bnxn\ = v1 dnX" \ L п\ )\ L и! L П\ \п>0 / \п>0 / п>0 где ^ = П Заметьте, что эти операции в точности такие же, какие бы мы получили, если бы производящие функции подчинялись обыч- обычным законам алгебры, подобным xlx> = xi+s. Эти операции со- совпадают со сложением и умножением функций в тех случаях, когда степенные ряды сходятся для подходящих значений х, и они подчиняются таким известным законам алгебры, как ассо- ассоциативность и коммутативность сложения и умножения, ди- дистрибутивность умножения относительно сложения и сокраще- сокращение произведения (т. е. если F(x)G(х) = F(х)Н(х) и F(x)=?Q, то G(x) = H(x)). Фактически множество всех формальных сте- степенных рядов Л,п>оапхп с комплексными коэффициентами а„ образуют (коммутативную) область целостности относительно определенных только что операций, йта область целостности обозначается С[[х]]. (В действительности С[[х]] — очень спе- специальный тип области целостности. Для читателей, в какой-то мере знакомых с алгеброй, заметим, что С[[х]] — область глав- главных идеалов и, следовательно, область с однозначным разложе- разложением. В действительности любой идеал С [ [х] ] имеет вид (хп) для некоторого п ^ 0. С точки зрения коммутативной алгебры С [ [х] ] — одномерное полное регулярное локальное кольцо. Здесь мы не будем касаться этих общих алгебраических рас- рассмотрений; вместо этого мы обсудим с элементарной точки зре- зрения те свойства С [ [х] ], которые будут нам полезны.) Анало- Аналогично множество формальных степенных рядов от m пере- переменных х\, ..., xm (где т может быть и бесконечностью) обозначается С[[#ь ..., хп]] и образует область с однозначным разложением (хотя и не область главных идеалов при т^2). Именно исключительно с приобретением опыта познается комбинаторный смысл алгебраических операций в С [ [х] ] или С[[хь ..., хт]], а также совершается выбор: использовать обычные или экспоненциальные производящие функции (или функции различных других видов, обсуждаемые в следующих главах). В разделе 3.15 мы объясним до некоторой степени комбинаторный смысл этих операций, но даже тогда опыт со- совершенно необходим. Если F(x) и G(x) — элементы С [[*]], удовлетворяющие условию F(x)G(x)= \, то мы (естественно) пишем: G(x) = = F(x)~l. (Здесь 1—сокращенная запись для 1+0х + + 0х2+ •••)• Легко видеть, что F(x)~x существует (и в этом случае единственно) тогда и только тогда, когда а0 Ф 0, где ^(х) = Х„>оа„*п. Обычно «символически» пишут ao = F(Q), даже если F(x) не рассматривается как функция от х. Если F@)=?Q и F(x)G(x)=H(x), то G(х) = F-Цх)Н(х). Более об- общим образом операция (•)"' удовлетворяет всем привычным за- законам алгебры, если только она применяется к степенному ряду F(x), удовлетворяющему условию F@)=^0. Например, (F(я) G(я)) =F(x)-11GW, (F(x)-1yl = F(x)n так далее. Ана- Аналогичные результаты имеют место для C[[xi, ..., хп]]. 1.1.5. Пример. Пусть (Sn>oaV)A —<**)= Т,п>оспхп, где а- ненулевое комплексное число. Тогда по определению произведе-
18 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? ния степенных рядов сп = Следовательно, Е«>оаП*" = U ~~ записано в виде 1, .а"-аО xV = (l Е а"*" га>0 ««->) = -а*) 1 1 — = 0, -1 ах п = Это = 0 s 1. может быть также Эта формула не вызывает удивления; это просто формула (в формальной записи) суммы геометрической прогрессии. Пример 1.1.5 дает простую иллюстрацию общего принципа, который, говоря нестрого, утверждает, что если имеется тож- тождество со степенными рядами, которое выполняется, если сте- степенные ряды рассматривать как функции (т. е. считать пере- переменные достаточно малыми комплексными числами), тогда это тождество продолжает оставаться верным, когда его рассматри- рассматривают как соотношение между формальными степенными ря- рядами, лишь бы операции, участвующие в формулах, имели смысл для формальных степенных рядов. С нашей стороны было бы излишним педантизмом устанавливать здесь точную форму этого принципа, так как читатель не должен испытывать боль- больших затруднений, проверяя в каждом частном случае формаль- формальную справедливость наших действий со степенными рядами. На протяжении этого раздела мы приведем несколько приме- примеров для иллюстрации этого утверждения. 1.1.6. Пример. Тождество E n>0 n>0 __ 1 C) справедливо как тождество между функциями (оно гласит, что ехе~х = 1) и имеет смысл как утверждение о формальных сте- степенных рядах. Поэтому C) — справедливое тождество между формальными степенными рядами. Другими словами (прирав- (приравнивая коэффициенты при хп/п\ в обеих частях равенства C)), имеем &-<)-•-¦ D) Для вывода этого тождества непосредственно из формулы C) мы можем рассуждать следующим образом. Обе части C) схо- 1.1. Как сосчитать дятся для всех хеС, так что имеем ( П { П\\ п ZI У (— i)fe( и)Lг — 1 для всех ^ес. 19 Но если два степенных ряда от х дают разложение одной и той же функции f(x) в некоторой окрестности 0, то, согласно стандартному элементарному результату о степенных рядах, они должны совпадать почленно. Отсюда следует D). 1.1.7. Пример. Тождество Е (* + 1Oя! = е Е хп/п\ >0 >0 справедливо как тождество между функциями (оно гласит, что ех+1==е-ех), но не имеет смысла как утверждение о формаль- формальных степенных рядах. Нет формальной процедуры для напи- написания Е„г*о(*-Ь !)"/"' как элемента С [[*]]. Хотя и выражение Е„>о(^~1~ 1OП' формально не имеет смысла, тем не менее есть некоторые бесконечные процессы, которые могут быть формально выполнены в С [ [х]). (Эти рас- рассуждения прямо распространяются на кольцо С[[Х] хт]], но для простоты мы рассмотрим только С [ [х] ].) Для опреде- определения этих действий нам нужно ввести некоторую дополнитель- дополнительную структуру на кольце С [[я]], а именно — ввести понятие сходимости. С алгебраической точки зрения определение сходи- сходимости неявно присутствует в утверждении о том, что С [ [х] ] полно в некоторой стандартной топологии, которая может быть введена на С [ [л;] ]. Однако мы не будем предполагать наличие топологических знаний у читателя и дадим вместо этого замк- замкнутое в себе элементарное обсуждение понятия сходимости. Если F\(x), F2(x),... — последовательность формальных степенных рядов и если/7(л;) = Еп>оаяхП ~ Другой формальный степенной ряд, по определению положим: Fi(x) сходится к F{x) при /->оо (запись: Fi{x)->F(x)), если для всех п^О суще- существует такое число 6(я), что коэффициент при хп в Fi{x) есть ап, как только i ^ б (я). Другими словами, для любого п после- последовательность СМ*), СМ*), ... п п комплексных чисел в конце концов становится постоянной со значением а„. Эквивалентное определение сходимости следую- следующее. Определим степень ненулевого формального степенного ряда F (х) = Е„>о апхП обозначение — degF(*)) как наименьшее
20 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.1. Как сосчитать 21 целое п, такое, что апФ§- Заметим, что degF(x)G(x) = = degF(x) -f deg G (x). Тогда Fi(x) сходится если и только если lim,-->oo deg(Fi+, (x) — Ft (x)) = oo. Мы говорим, что бесконечная сумма ^L1>0F](x) имеет зна- значение F(x), если YjjcoFi(x)-*F(x). Аналогичное определение дается бесконечному произведению Jir>lFi(x). Чтобы избежать непринципиальных технических деталей, мы предположим, что в любом бесконечном произведении \Xj>lFj{x) каждый мно- множитель Fj(x) удовлетворяет условию Fj@) = 1. Например, пусть Fj{x) = asx''. Тогда для i^n коэффициент при хп в 2)=о^/(*) равен ап. Следовательно, S/xj^/M есть в точности степенной ряд Ytn>oanxlt- Таким образом, мы можем думать о формаль- формальном степенном ряде ^п>оапхп как о «сумме» его одночленов. Доказательства следующих двух элементарных результатов оставляются читателю. 1.1.8. Предложение. Бесконечный ряд 2/^o^/W сходится тогда и только тогда, когда lim/.»» deg/7y(*) = oo. ? 1.1.9. Предложение. Бесконечное произведение H/Ssl(l ¦i-Fl(x)), где Fj(O) = O, сходится тогда и только тогда, когда Mm/.»» degFj(x) = oo. ? Важно понимать, что при вычислении сходящегося ряда Y,i>0Ft(x) (или аналогично произведения H/^i^/C*)) Для любого данного п коэффициент при хп может быть вычислен с использованием только конечного процесса. Ибо если / доста- достаточно велико, скажем / > б(я), тогда deg Fj(x) > n, так что 6(л) л />0 л /=0 Последнее выражение содержит только конечную сумму. Самое важное комбинаторное приложение понятия сходи- сходимости— это идея композиции степенных рядов. Если F(x) = ==У^п->оапхп и G(x) — формальные степенные ряды с условием G@) = 0, определим композицию F(G(x)) как бесконечную сум- сумму 2n>oa«G W• Так как deg G (х)п = п deg G (х) > п, то в силу 1.1.8 мы видим, что выражение F(R(x)) определено как фор- формальный степенной ряд. Мы также видим, почему выражение, подобное е1+х, действительно формально не имеет смысла; имен- но, бесконечный ряд 2„>0A + х)п\п\ не сходится в соответствии с определением, данным выше. С другой стороны, выражение, подобное ее ~К вполне имеет формальный смысл, так как оно равно F(G(x)), где F(x) = Zn>oxn/n\ и G(*) = E 1.1.10. Пример. Если элемент F(x)^C[[xj] удовлетворяет условию Р@) = 0, мы можем определить для любого 1еС фор- формальный степенной ряд / а \ ' (*)". E) мы можем где I I = А, (А, — 1) ... (А, — я + 1)/я!. Фактически рассматривать X как переменную и принять E) за определение A -f F(x))k как элемента С[[х, X]] (или С [i] [[x]], т. е. коэф- коэффициент при х" в A -\-F(x))*- — полином от X). Все ожидаемые свойства возведения в степень действительно выполняются, на- например A +F(x))*-+v=(l + F(x))*-(\ + F{x))>1 (рассматривае- (рассматриваемое как тождество в кольце С [ [хД, ц]] или в кольце С[[х]], где X, ц взяты из поля С). Если F (я) = ?ra^oart*ra, определим. 0о/шальнг//о производную F'{x) (также обозначаемую-^- или DF(x)j как формальный степенной ряд Zn>ona^"~I = Z«>o("+ O^+Z- Легко проверить, что все знакомые правила дифференциро- дифференцирования, определенные формально, продолжают выполняться и для формальных степенных рядов. В частности, (F + G)' = F' + G', (FGY = F'G + FG', Y = G'(x)F'(G{x)). Таким образом, мы имеем формальное исчисление для фор- формальных степенных рядов. Полезность этой теории станет очевидной в последующих примерах. Сначала дадим пример использования формального исчисления, который должен до- дополнительно осветить законность обращения с формальными степенными рядами, как если бы они в действительности были функциями от х. 1.1.11. Пример. Предположим Z7@) = 1, и пусть G{x) — един- единственный степенной ряд, удовлетворяющий условиям G'(x) = F'(x)/F(x), G@) = 0. F)
22 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.1. Как сосчитать 23 Рассматривая F(x), G(x) как функции, мы можем «решить» F) и получить F,(х) = expG (х), где по определению expG(x) = — Hn>oG(x)n/n]-- «Такчкак G@) = 0, все имеет смысл и фор- формально, так что F) должно оставаться эквивалентно утвержде- утверждению F(x) = exp G(x), даже если степенной ряд для F(x) схо- сходится только при х = 0. Как это утверждение может быть проверено без непосредственного доказательства некоторого ком- комбинаторного тождества? Пусть F(x) = l +E«>i апх>г- Из F) мы можем явно вычислить G(x) = Ел>1 Ьпхп, и сразу видно, что каждый из коэффициентов Ьп — полином от конечного числа а,-. Если exp G (х) = 1 + Ел>1 спх"> т0 каждый коэффициент с„ так- также будет являться полиномом от конечного числа а,-, скажем Сп — Рп{а\, а2, ..., ат), где /и зависит от п. Мы знаем, что F(x)= exp G(x), если ряд 1+Е„>1вп*п сходится. Если два ряда Тейлора, сходящиеся в некоторой окрестности нуля, пред- представляют одинаковые функции, то их коэффициенты совпа- совпадают. Следовательно, а„ = рп(а\, а2, ..., ат), если ряд 1 + + Ert>i ап*п сходится. Таким образом, два полинома ап и рп{п\, ..., ат) совпадают в некоторой окрестности нуля в С", так что они должны быть равны. (Хорошо известно, что если два комплексных полинома от т переменных совпадают на не- некотором открытом множестве в Ст, то они тождественно равны.) Так как ап = ря(яь а2, .... ат) как полиномы, то тождество F(х) = exp G (х) продолжает оставаться справедливым для фор- формальных степенных рядов. Есть другой метод, позволяющий дать обоснование решению F(x) = exp G(x) уравнения F), который может привлечь чита- читателя со склонностью к топологии. Дан элемент G(x), G@) = 0, определим F(x) = expG(x) и рассмотрим отображение <р: С [[*]]-> С [[*]], определенное так: q>(G {x)) = Gf{x) - ~^-. Легко проверяется следующее: (а) если G сходится в некото- некоторой окрестности 0, то q>(G(x)) — Q; (в) множество $ всех сте- степенных рядов, сходящихся в некоторой окрестности 0, плотно в С[[х]] в топологии, определенной выше (фактически множе- множество С[лг] полиномов плотно в С[[х]]), и (с) функция ф не- непрерывна в определенной выше топологии. Отсюда следует, что (f(G(x)) = 0 для всех G(x)^ С[[х]] с условием G@) = 0. Сейчас мы дадим всевозможные примеры, иллюстрирующие обращение с производящими функциями. На всем протяжении мы будем часто использовать принцип обращения с формаль- формальными рядами как с функциями. 1.1.12. Пример. Найдем простое выражение для производя- производящей функции F(х) = ^п>оапхп, где ao = ai = 1, ап = ап_{ + ап_2 при п^ 2. Имеем F(x)= /г>0 апхя = + + Е ^ + Е п_2 /г>2 п>2 = 1 + х + x(F(x)- 1) + х*(Р(х)). Разрешая уравнение относительно F(x), получаем 1.1.13. Пример. Найдем простое выражение для производя- производящей функции F(x) = 'Zn>oanxn/n\, где ао = ах = \, ап = ап_1 + + (п—1)а„_2 при п^2. Имеем = 1+Х + = 1 + х + Е (а„_, + («-!)а„_2)дс"/л!. G) Пусть G(x) = Zn>2an^xn/n\ и Н(х) = ?п>2(п - 1)ап_2хп/п\. Тогда G'(x) = Zn>2an_lxn-1/(n-l)\ = F(x)-l и Н'(х) = = Е7 = Е„>2а1-2л:"~7(/г — 2)\ = xF(x). Следовательно, если мы про- продифференцируем G), то получим F' (х) = I + (F (х) - I) + xF (х) = A + х) F (х). Единственное решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию F@)=l, есть F(jc)=expf x + х ) ¦ (Как показано в примере 1.1.11, решение этого дифференци- дифференциального уравнения есть чисто формальная процедура.) 1.1.14. Пример. Пусть \i{n) — функция Мёбиуса, используемая в теории чисел; т. е. jxA) == 1, (х(«) = 0, если п делится на квад- квадрат целого числа, большего единицы, и \i(n) = (—1)г, если п — произведение г различных простых чисел. Найдем простое
24 Гл. 1. Чю такое перечислительная комбинаторика? выражение для степенного ряда 1.1. Как сосчитать 25 (8) Во-первых, удостоверимся, что F(x) имеет смысл как формаль- формальный степенной ряд. Из примера 1.1.10 имеем Заметим, что {\ - хп)~*{пIп = \ + Н(х), где degH(x) = n. Сле- Следовательно, согласно предложению 1.1.9, бесконечное произве- произведение (8) сходится, так что F(x) имеет смысл. Теперь пролога- прологарифмируем (8). Иными словами, найдем logF(x), где — разложение натурального логарифма в степенной ряд. Полу- Получим log (!-*»> = Коэффициент при л; в этом степенном ряде есть где сумма берется по всем положительным целым d, деля- делящим т. Хорошо известно, что I, т=\, ) в противном случае. Отсюда log.F(jt) = .*:, так что F(x) = ex. Заметьте, что вывод этой удивительной формулы использует только формальные действия. 1.1.15. Пример. Найдем единственную последовательность ао = 1, аи п2, ... вещественных чисел, удовлетворяющих условиям п-к = 1 •J (9) для всех «eN. Хитрость заключается в том, чтобы понять, что левая часть формулы (9) есть коэффициент при х11 в (LXnJ. Положив F(x) = 'Zll>oanxn, имеем F(xJ=l Следовательно, F {х) = A —. что = У ( )(-1)п*п, *-Jn>0 V П / так ЬЗ-5... Bя-1) Теперь, когда мы обсудили действия с формальными степен- степенными рядами, встает вопрос о преимуществах использования производящих функций для представления считающей функции f (n). Почему, например, формула, подобная A0) должна рассматриваться как «определение» f{nO По существу ответ состоит в том, что существует много стандартных, рутин- рутинных технических средств для извлечения информации из про- производящих функций. Производящие функции — часто наиболее полный и эффективный способ представления информации об их коэффициентах. Например, из выражения A0) опытный спе- специалист по перечислительной комбинаторике с одного взгляда может сказать следующее: 1. Простая реккуррентная формула для /(«) может быть найдена дифференцированием. Именно мы получим Приравнивая коэффициенты при хп/п\, получим
26 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.1. Как сосчитать -27 ехех?12 2. Из тождества еЛ т v*""" = еУ"" может быть получена яв- явная формула для /(«). Именно Z-. я! Z-. 2"я! Bn)! \/г>0 / \и>0 / так что I =0 i четное 3. Рассматриваемая как функция комплексной переменной, х + — J — целая функция с хорошим поведением, так что для оценки f(n) может быть применена стандартная техника асимптотического оценивания. В качестве первого приближе- приближения стандартным способом (для достаточно сведущих в теории функций комплексной переменной) получается асимптотическая формула fin)- I я/2 -п/2 + V"~~1/4 V2 Никакой другой метод представления f(n) не позволяет так легко определить эти важнейшие свойства. Многие другие важ- важные свойства /(«) также могут быть легко получены из произ- производящей функции; читателю мы оставляем задачу вычисления суммы z <-¦>-'(:>« на основе рассмотрения формулы A0). Итак, мы готовы при- (X2 \ х-\- — J за удовлетворитель- удовлетворительное определение /(/г). Этот пример заканчивает обсуждение производящих функций и вообще проблемы удовлетворительного описания считающей функции f(n). Теперь мы займемся вопросом, как наилучшим способом доказать, что считающая функция имеет данное опи- описание. В соответствии с принципом, заимствованным из других областей математики, гласящим, что лучше предъявить явный изоморфизм между двумя объектами, чем просто доказать, что они изоморфны, мы принимаем тот общий принцип, что лучше предъявить явно взаимно однозначное соответствие (биекцию) между двумя конечными множествами, чем просто доказать, что они имеют одинаковое число элементов. Доказательство, кото- которое показывает, что некоторое множество 5 содержит m эле- элементов, построением явной биекции между 5 и некоторым дру- другим множеством, заведомо имеющим m элементов, называется комбинаторным или биективным доказательством. Точной гра- границы между комбинаторными и некомбинаторными доказатель- доказательствами нет, и некоторые аргументы, которые начинающему по- покажутся некомбинаторными, более опытным специалистом по перечислительной комбинаторике будут восприняты как комби- комбинаторные. Это происходит в основном потому, что опытный спе- специалист владеет определенной стандартной техникой, позволяю- позволяющей преобразовать некомбинаторные на первый взгляд рассуж- рассуждения в комбинаторные. Мы не будем касаться здесь подобных тонкостей и приведем лишь несколько примеров, четко демон- демонстрирующих различие между комбинаторными и некомбинатор- некомбинаторными доказательствами. 1.1.16. Пример. Пусть п и k — фиксированные положитель- положительные целые числа. Сколько существует последовательностей (Хи Х2, ...,Xk) подмножеств множества [я] = {1, 2, ...,п}, таких, что XlC[X2Cl ... [\Xk = 0? Пусть их число есть f(k, n). Если нет особого вдохновения, можно бы было рассуждать следующим способом. Предположим Xi f] Х2 П • • ¦ П Xk_i = Т, где | Т | = i. Если положить Y{ = Xt — Т, то У, f] Y2 (] . .. П Yk-\ = = 0 и У{ = [п] — Т. Следовательно, существует f(k— I, n — i) последовательностей (Хи ...,Xk_i), таких что ^П^гП--- .. . (]Xk_l = T. В каждой такой последовательности Xk может быть любым из 2п~' подмножеств множества [п] — Т. Как, вероятно, известно большинству читателей, существует I . 1 = = n!/i!(rt — г)! i-элементных подмножеств Т множества [п] (это также будет обсуждаться позднее). Следовательно, -1, n-i). A1) Положим = Yun>Qf{k, n)xn/n\. Тогда A1) эквивалентно
28 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Ясно, что Fi (x) = ех. Легко выводится, что = ехр(B*-1)*) = V B* _ ЦП хп п\ Следовательно, f(k, n) = Bk—l)n. Перед нами явный пример некомбинаторного доказательства. Окончательный ответ чрез- чрезвычайно прост, несмотря на ухищрения, с которыми он был получен. Фактически, B*—1)" есть, очевидно, число /г-ок (Zb Z2, ..., Zn), где Z( — подмножество [k], не совпадающее со всем множеством [к]. Можно ли найти биекцию 8 между множеством Skn всех наборов (Хь ..., Xk) s [n]k, таких, что Х{П • • • (]Xk = 0, и множеством Tkn всех наборов (Zu Z2, ... ..., Zn), где [k] Ф Zt s [&]? По данному элементу (Zb Z2, ..., Zn) множества Tkn определим (Хь ...,Xk) условием: i^Xj, если и только если / е Z,. Это суть точная формулировка следую- следующего рассуждения: элемент 1 может появиться в любой коллек- коллекции множеств Xi, за исключением набора из всех множеств Xi, так что такую коллекцию множеств Xt можно выбрать 2к—1 способами; аналогично существует 2к—1 возможности выбора множеств Xi, содержащих 2, 3, ..., п и т. д., так что всего по- получается Bк—1)" способов выбора множеств Xi. Мы остав- оставляем читателю (несколько скучную) задачу строгой проверки биективности 8. Обычный способ проверить это — явно по- построить отображение <р: Tkn-*-Skn,а затем показать,что <р = 8-1; показав, например, что <p6(*) = jc и что 6 сюръективно. Предо- Предостережение: любое доказательство биективности 8 не должно априори использовать тот факт, что | Skn\ = \ Ты|! Приведенное выше комбинаторное доказательство не только значительно короче, чем предыдущее, но и объясняет полностью причину простого ответа. То, что произошло — частый случай. Пришедшее на ум первое доказательство оказывается трудоем- трудоемким и не элегантным, но окончательный ответ подсказывает более простое комбинаторное рассуждение. 1.1.17. Пример. Проверить тождество A2) где а, Ь и п — неотрицательные целые. Некомбинаторное дока- доказательство могло бы быть таким. Выражение, стоящее в левой 1.2. Множества и мультимножества 29 части, есть коэффициент при хп в степенном ряду (который в действительности является многочленом) (V ( • I* |Х \/-'i>o\ t / J X ( У1 ( W). Но согласно биномиальной теореме >0 />0 п>0 откуда и следует требуемое утверждение. Комбинаторное дока- доказательство протекает так. В правой части равенства A2) стоит число /г-элементных подмножеств X множества [а -\-Ь]. Пред- Предположим, что множества X и [а] содержат i элементов в пере- С а\ сечении. Пересечение Xf|[a] можно выбрать I . 1 способами, а оставшиеся п — / элементов пересечения Х[){а-\- 1, а + 2, ... ( Ъ \ ..., а + Ь) можно выбрать I . I способами. Таким обра- \ и i / (а\( Ь \ зом, существует всего I . 11 .1 возможностей, при кото- которых пересечение ЯП[#] имеет I элементов. Суммирование по i дает общее число I ) «-элементных подмножеств множе- \ п / ства [а -\- Ь]. В литературе имеется много примеров конечных множеств, про которые известно, что они содержат одинаковое число эле- элементов, но тем не менее не известно ни одного комбинаторного доказательства этого. Некоторые из этих множеств будут встре- встречаться в упражнениях на протяжении книги. 1.2. Множества и мультимножества Мы (наконец-то!) завершили описание понятия решения пере- перечислительной задачи и теперь готовы погрузиться в исследо- исследование некоторых актуальных проблем. Начнем с основной про- проблемы подсчета подмножеств множества. Пусть S={jci,jc2, ... ...,хп)—/г-элементное множество или, для краткости, п-мно-
3 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? жество. Пусть 25 обозначает множество всех подмножеств S, и положим {0, 1}"={(еье2, •-., е„): е«=0 или 1}. Так как е,- может принимать два значения, имеем #{0,1}" = 2". Опреде- Определим отображение 0: 2s ->-{0, 1}" по формуле 0G') = (е1, е2, ... ..., е„), где 1,х,е=Т, 0, хгф Т. Например, если /г = 5 и Т='{х2, xit х5}, то 0(Г) = (О, 1, 0, 1, 1). Легко видеть, что 8 — биекция, так что мы дали комбинатор- комбинаторное доказательство того, что #2 =2п. Конечно, есть много альтернативных доказательств этого простого результата, и многие из них можно считать комбинаторными. (S\ Определим теперь множество 1.1 (иногда обозначаемое S(ft) или как-нибудь иначе) как множество всех ^-элементных подмножеств (или k — подмножеств) S и положим по опреде- (п\ (S\ лению It,) —#lt,l (игнорируя прошлое использование сим- символа I. Подсчитаем двумя способами число N{n,k) воз- можностей, которыми можно выбрать ^-подмножество Т мно- множества S, а затем линейно упорядочить его элементы. Мы мо- можем выбрать Т С) способами, затем k способами выбрать первый по порядку элемент Т, k — 1 способом — второй элемент и т. д. Таким образом N(n, k) = С другой стороны, можно взять п способами любой элемент множества 5 в качестве первого, п — 1 способом любой из оставшихся в качестве второго и так далее, k-и элемент можно выбрать из оставшихся п — k-\- 1 способом. Следовательно, N(n, k) = n{n-\) ... (л-Л+1). Итак, мы дали комбинаторное доказательство того, что и, следовательно, A3) 1.2. Множества и мультимножества 31 Заметим, что, пользуясь формулой A3), можно определить зна- (п\ чение 1.1 для любого комплексного числа п, если AgN, как это было сделано в примере 1.1.10. Выражение п(п—1) ... ... (п — &+1) читается «факториал от п до k снизу» и обо- обозначается (п)к- Биномиальный коэффициент С) читается «из п по к». Подход к биномиальным коэффициентам с точки зрения тео- теории производящих функций можно изложить следующим обра- образом. Пусть х\, ..., х„ — независимые переменные. Имеем П *, (можно дать строгое доказательство этой формулы по индук- индукции). Если положить xi = х, получим (¦+«>¦-z TeS С) так как каждый член хк появляется в точности [ и J раз в сумме 2jr<=s *'"• ^еРеД нами пример простого, но полезного наблю- наблюдения: если 9— набор конечных множеств, таких, что 9 со- содержит в точности f(n) /г-элементных множеств, то Более общим образом, если g: N-»-C. — произвольная функ- функция, то '= Z g(n)f(n)xn. легко вытекают раз- Из формулы A-{-х)п — нообразные тождества с биномиальными коэффициентами, и поиск их комбинаторных доказательств будет весьма поучитель- поучительным для читателя. Например, положив х=\, получим 2п— == У I , )» положив х = —1, получим 0 = У (— l)ft( , I при п > 0; продифференцировав и положив х=1, получим „_1 y-« (П\ п2 — ) k I , I и так далее.
32 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.2. Множества и мультимножества Существует тесная связь между подмножествами множе- множества и разложениями целого числа. Разложение п есть пред- представление числа п в виде упорядоченной суммы положительных целых. Например, существует восемь разложений числа 4; а именно: 1+1+1+1 3+1 2+1+1 1+3 1+2+1 2+2 1+1+2 4 Если разложение а содержит в точности й слагаемых, говорят, что а имеет k частей и называется k-разложением. Если а\ + + а2 + ... + аи — ^-разложение а числа п, определим (й—1)- подмножество 0(а) множества [п—1] формулой Эта формула устанавливает биекцию между всеми й-разложе- ниями числа п и (й—1)-подмножествами множества [п—1]. ( п—\\ Следовательно, существует I I ^-разложений п и 2П~1 раз- разложений п. Биекцию 0 часто схематично представляют, рисуя в строку п точек и й—! разделяющую вертикальную черту. Точки разделились по й линейно упорядоченным «купе»; числа точек в отделениях дают ^-разложение числа п. Например, отделения •I- -1-Ы---1- • соответствуют разложению 1 + 2+1 + 1+3 + 2. Другая проблема, тесно связанная с разложениями, есть задача подсчета числа N(n,k) решений уравнения Х\ + х2 + ... ... + Xk = п в неотрицательных целых числах. Решение такого уравнения называется слабым разложением п на й частей, или слабым k-разложением числа п. (Решение в положительных целых числах есть просто й-разложение п.) Если мы положим слабым k-разложением числа п. (Решение в положительных числах уравнения у\ + у2 + ... + у к = п + k, т. е. число й-раз- /гс + й — 1 \ ложений числа n+й. Таким образом, N (п, й) = 1 и_\ J- Подобным же приемом (найти его предоставляется читателю) доказывается, что число решений неравенства х\ + лгг + ... (n + k\ ¦ ¦ + Xk ^ п в неотрицательных целых числах есть I I. /г-подмножество Т «-множества 5 иногда называют k-соче- танием из S без повторений. Так возникает задача подсчета числа ^-сочетаний с повторениями; то есть мы выбираем k эле- элементов множества 5, не взирая на порядок и допуская повто- ап\\ ,11. , (( о))^6' 1' 'хли ^^Ч т0 подходя- подходяНапример, щие сочетания есть 11, 22, 33, 12, 13 и 23. Эквивалентное, но более точное исследование сочетаний с повторениями может быть проведено, если ввести понятие мультимножества. На интуитив- интуитивном уровне мультимножество есть множество с повторяющи- повторяющимися элементами, например {1, 1, 2, 5, 5}. Более точно, конеч- конечное мультимножество М на множестве S есть функция v: S-*- N. такая, что Y,x<EsS VM < °°- v(;c) рассматривается как число повторений элемента х. Целое число Z)x<=sv(x) называют мощ- мощностью или числом элементов М и обозначают \М\ или ФМ. {а ¦ Xi', . . . ..., хпп\.Множество всех й-мультимножеств на 5 обозначается (( , II. Если М' — другое мультимножество на S, отвечающее отображению v': 5 -v N, мы говорим, что М' является подмуль- тимножеством М, если v'(x)^v(x) для всех j;e5. Число под- мультимножеств М равно IIxsS(v(*)+ 1).так как для каждого xeS можно выбрать v'(x) v(x)-\- 1 способами. Теперь ясно, что й-сочетания с повторениями это просто мультимножества на 5 с й элементами. Хотя, возможно, читатель этого не заметил, но мы уже со- сочисло (( , I]. Если S = {yb ..., уп} и мы положим Xi = v(yi), то увидим, что I I , 1) есть число решений в неотри- неотрицательных целых числах уравнения х\-\-х%-\- ¦¦¦ -\-xn — k. Это (n+k—\\ (n+k—\\ число, как мы видели, есть I ) = \ )¦ Пря- ап\\ ,11 = fn + k-l \ = \ , I таково. Пусть I^ai<a2< ... <а/(^« + + й — 1 есть й-подмножество [п + й — 1]. Положим bi = ai — 2 Р. Стенли считали
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.2. Множества и мультимножества 35 — i+ 1. Тогда {Ь\, Ьч, ..., bk)—й-мультимножество на [п]. Обратно, если дано ^-мультимножество 1 ^ bt ^ Ь2 ... ^ bk ^ ^ п на [п], определив at формулой at =bi + i— 1, видим, что {а\, а2, ..., ak) есть ^-подмножество [n-\-k—l]. Следова- f([n)\\ f[n + k-l]\ тельно, мы определили биекцию между N , I I и1 , I, что и требовалось. Поучителен подход к мультимножествам с точки зрения про- производящих функций. Совершенно аналогично проведенному ис- исследованию подмножеств множества 5={xb ..., хп} имеем ( = I П xl<*\ v: S-+N xt eS Положим xt — x. Тогда У М на S Но что = У ft>0 ¦>o [ — i) A , TdK . Появление элегант- элегантной формулы (( t, )) = (~1)ft( и )не случайно; это простей- простейший пример комбинаторной теоремы взаимности. Общая теория будет изложена в гл. 4. Биномиальный коэффициент может быть интерпрети- интерпретирован следующим способом. Каждый элемент /г-множества 5 помещается в одну из двух категорий; k элементов в первой категории и п — k элементов во второй категории. (Элементы первой категории образуют ^-подмножество Т.) Это рассужде- рассуждение подсказывает возможность обобщения на случай большего числа категорий. Пусть (аи а2, ..., ат)—последовательность неотрицательных целых чисел, сумма которых равна п, и пред- предположим, что имеется т категорий С\, ..., Ст. Пусть ( п \ I обозначает число способов отнесения каждого \аь аъ . .., ат/ из элементов /г-множества 5 к одной из категорий Сь ..., Ст, так что в категорию Ct попадает в точности а» элементов. Это обозначение несколько не согласуется с обозначением для бино- биномиальных коэффициентов (в случае т = 2), но не должно про- \ исходить путаницы, если мы будем писать (п\ I , I вместо (п \ ( п \ , ,1. Число I I называется мультиномиаль- \k, n — kj \аь а2, ..., ат) фф ты мн катего \ I .. ат) , ь 2 т ным коэффициентом. Обычно элементы множества 5 представ- представляют в виде п различимых шаров, а категории — в виде m раз- ( п личимых коробок. Тогда I \ аь а2, есть число способов разложить шары по коробкам так, чтобы i-я коробка содер- содержала а,- шаров. Мультиномиальный коэффициент можно также интерпрети- интерпретировать в терминах «перестановок мультимножества». Если 5 — /г-множество, то перестановка п множества 5 может быть задана линейным упорядочением х\, х% ..-, хп элементов S. Бу- Будем представлять п как слово дг^г ... хп в алфавите 5. Если S—{yi,V2, •••.У«}> т0 такое слово соответствует биекции я: 5-v5, задаваемой формулой n(yi) = xi, так что переста- перестановку множества 5 можно рассматривать как биекцию S-*-S. Множество всех перестановок 5 обозначается в E). Если 5 = = [п], то пишем <3„ вместо @E). Выберем х\ п способами, хг — (п—1) способом и так далее. Очевидно, получим |@E)| = п!. Аналогичным способом можно определить перестановку я муль- мультимножества М мощности п как линейное упорядочение «эле- «элементов» х\, х% ..., хп, т. е. если М отвечает отображение v: S-v N, то элемент ig5 появляется в точности v(x) раз в пе- перестановке. Вновь мы можем представлять я как слово Х\Х2 ... ...хп. Например, существует 12 перестановок мультимноже- мультимножества {I, 1, 2, 3}; именно 1123, 1132, 1213, 1312, 1231, 1321, 2113, 3112, 2131, 3121, 2311, 3211. Пусть в(УИ) обозначает мно- множество всех перестановок М. Если М = | уа\ . .., у°т X и | М | = п, то ясно, что | = ( П )• п \аи а2, ..., ат) Действительно, если Xi появляется в /-й позиции перестановки, то мы относим элемент / множества [п] к i-й категории. Наши результаты о биномиальных коэффициентах непосред- непосредственно обобщаются на случай мультиномиальных коэффи-
36 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? циентов. Мы оставляем читателю задачу показать, что П ) = «l/at!a2! ... aj a[t a2, ..., am j и что I I есть коэффициент при ха.ххач% ... х°т в вы- \аьа2, ...,ат) тт v • 2 т ражении (х{ + х2 + ... + хт)п. Заметьте, что I ) = п\— число всех перестановок «-элементного множества. 1.3. Статистики перестановок1) Перестановки множеств и мультимножеств — один из самых богатых объектов перечислительной комбинаторики. Основная причина этого — большое разнообразие способов комбинатор- комбинаторного представления перестановки. Мы уже видели, что переста- перестановку множества можно представлять как слово или как функ- функцию. В частности, функция я: [«]->-[«], задаваемая равенством n(i)=Qi, соответствует слову а\_а2 . ¦. ап. В этом разделе даны некоторые дополнительные способы представления перестано- перестановок. Многие из основных результатов, полученных здесь, в даль- дальнейшем будут играть важную роль при анализе более слож- сложных объектов, связанных с перестановками. Циклическая структура Если рассматривать перестановку множества я как биекцию я: 5-^-5, то естественно для каждого Jte5 рассмотреть по- последовательность х, к(х), я2(х), .... В конце концов (так как я — биекция, и множество 5 предполагается конечным) мы вновь получим х. Таким образом, для некоторого единственного /^ 1 имеем, что п'(х) = х и элементы х, п(х), ..., я'-'(х) все различны. Назовем последовательность (х,п(х), ..., п'-Цх)) циклом я длины /. Циклы (х, я(х), ..., я'~'(х)) и (я'(х), я'+1(х), ..., я'~'(х), х, ..., я'-'(х)) считаются эквивалентными. Каждый элемент S встречается тогда в единственном цикле пе- перестановки я, и мы можем рассматривать я как объединение непересекающихся циклов или, по-другому, как произведение различных циклов Сь ..., Ck, записывая в виде я = С{С2 ... ... Ck. Например, если перестановка я: [7]-»-[7] определена равенствами яA) = 4, яB) = 2, яC)==7, яD)=1, яE) = 3, 1.3. Статистики перестановок 37 ') Под статистикой автор понимает здесь функцию на группе ©„ и изу- изучает ее функцию распределения относительно равномерной меры.—Прим. ред. яF) = 6, яG) = 5, то я = A4) B) C75) F). Конечно, возможны различные обозначения такого представления я; например, имеем: я = G53) A4) F) B). Можно определить стандартное представление; при этом (а) в каждом цикле пишется первым его наибольший элемент и (б) циклы записываются в порядке возрастания их максимальных элементов. Таким образом, стандартная форма рассмотренной выше перестановки я есть B) D1) F) G53). Пусть я — слово (или перестановка), по- полученная из я путем записи я в стандартной форме и удаления скобок. Например, если я есть B) D1) F) G53), имеем я = = 2416753. Заметим теперь, что можно однозначно восстано- восстановить я из я, расставляя левые скобки перед каждым максимумом при чтении слева направо') слова ft = a\ai ... ап. То есть, ле- левая скобка ставится перед каждым элементом а,-, таким что а,- > а,- для всех / < L Теперь расставим правые скобки на под- подходящие места, а именно перед каждой внутренней левой скоб- скобкой и в конце. Таким образом, отображение я->-я есть биекция из ©п в себя. Суммируем полученные сведения в виде предло- предложения. 1.3.1. Предложение. Определенное выше отображение <Srt-v@n является биекцией. Если перестановка я е в,, имеет k циклов, то я имеет k максимумов при чтении слева направо. Если ne@(S) и |5| = «, положим с, = с,-(я) — число циклов длины i перестановки я. Заметьте, что n=zlic{. Назовем по- последовательность (сь ..., сп) типом перестановки я (обозна- (обозначается: тип я). Общее число циклов я обозначается с(п), так что с (я) = с, (я) + ••• +сп(п). 1.3.2. Предложение. Число перестановок ne6(S) типа (сь ..., с„) есть nl/lClcl\2c*c2l ... п°псп\. Доказательство. Пусть я=а1а2 ••• ап—произвольная пере- перестановка множества 5. Расставим в слове я скобки таким обра- образом, чтобы первые С\ циклов имели длину 1, следующие имели длину 2 и так далее. Это дает разложение перестановки я' типа (cj cn) на непересекающиеся циклы и, следовательно, оп- определяет отображение Ф : © E) -> ©с E), где ©с (S) — множество всех перестановок 0e6(S) типа c=(ci, ..., сп). Мы утвер- утверждаем, что для любой перестановки <те©сE) существует lc^cl\2C2c2l ... п°псп\ способов представить ее в виде последова- последовательности непересекающихся циклов, так что длины циклов не убывают слева направо. Именно упорядочим циклы длины i с,! ') В оригинале — left-to-right maximum. Мы будем переводить это вы- выражение словом «рекорд». — Прим- перев.
38 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? различными способами и выберем первый элемент в каждом из этих циклов iC{ способами. Все эти выборы можно сделать независимо, поэтому наше утверждение доказано. Отсюда Vae©cE)|O~1(a)| = lC|Ci!2csc2! ...пСпсп\и доказательство пред- предложения следует из того, что |вE)|==п!. D Пусть с(п, k) — число перестановок я е @„, имеющих в точ- точности k циклов. Число s(n,k): = (—l)n~kc(n,k) известно как число Стирлинга первого рода, а с (п, k) называется числом Стирлинга первого рода без знака. 1.3.3. Лемма. Числа c(n,k) удовлетворяют следующему рекур- рекуррентному соотношению: с(п, k) = {n-l)c{n—l, k) + c(n — l, k-\), л, fe>l, с начальными условиями c(n,k) = Q при п^О или k^O, за исключением с (О,0)= 1. Доказательство. Возьмем перестановку ке@и с k циклами. Мы можем вставить символ п после любого из символов 1,2,... .... п—1 в разложении перестановки я на непересекающиеся циклы п—\ способом, получив таким образом разложение на непересекающиеся циклы перестановки я'е@„сЛ> циклами, где п встречается в цикле длины не меньшей 2. Следовательно, су- существует (п—\)с{п—\,k) перестановок п'е®„с ft циклами, для которых п'{п)ф п. С другой стороны, если выбрана перестановка я е ©„_[ с k— 1 циклом, ее можно достроить до перестановки я' е <3„ с k циклами, удовлетворяющей условию п'(п) = п. Положим Г я @, если *«=[«-1], я' (г) = < (, п, если i = п. Следовательно, имеется с(п—1, k—1) перестановок я'е ©„ с k циклами, для которых я'(«) = п, и доказательство закон- закончено. D Большинство элементарных свойств чисел c(n,k) может быть установлено, если использовать лемму 1.3.3 и математи- математическую индукцию. Тем не менее более предпочтительны ком- комбинаторные доказательства, если таковые возможны. Следую- Следующий результат демонстрирует разнообразную технику, приме- применяемую для доказательств элементарных комбинаторных тож- тождеств. ' 1.3.4. Предложение. Пусть х— переменная. Фиксируем п^О. Тогда l.S. Статистики перестановок 39 Первое доказательство. Это доказательство можно рассмат- рассматривать как «полукомбинаторное», так как оно непосредственно основывается на лемме 1.3.3, которая имела комбинаторное доказательство. Положим: Fn (х) :=х (х + 1) ... {х + п— 1) = = Х^=ой(«, k)xk. Ясно, что 6@,0)=1 произведение пустого множества сомножителей равно единице) и b(n,k) = 0 при «<0 или k < 0. Более того, п-\ = Е Ь{п—\, k- ftl Ai=0 Ь(п- l,k)xk. Отсюда следует b(n, k) = (n— \)b(n— 1, k)+b(n— 1, k— 1). Поэтому b(n,k) удовлетворяет тем же рекуррентным соотноше- соотношениям и начальным условиям, что и c(n,k), а значит, они со- совпадают. Второе доказательство. Коэффициент при xk в Fn(x) есть X аха2 ... ап_ь A5) I<a,<a2< ... <a/t_ft<n-l fn-l\ где суммирование ведется по всем I _и) (« — ^-подмноже- ^-подмножествам {аи ..., а„_д,} множества [«— 1]. Ясно, что A5) есть число пар (S, f), где 5е1 __, I и f: S-*[n— 1] удовлетво- удовлетворяет условию f(i)^.i. Будем искать биекцию <р : Q->©rtM, между множеством Q всех таких пар (S, f) и множеством ©„fe пере- перестановок яе6„ с k циклами. По данной паре E, /) е Q, где 5 = {а,, ..., а„_А}< s [п — 1], определим Т = {/ е [п]: п — j ф S). Пусть Ьх > Ь2 > ... > bn_k— элементы множества [п] — Т. Положим я = фE, f) — такая пе- перестановка, стандартная форма которой удовлетворяет усло- условиям A) первый (= наибольший) элемент циклов я есть эле- элемент Т и B) для каждого i e [k] число элементов я, предше- предшествующих bi, и больших, чем bly есть f(a,). Мы оставляем чита- читателю доказать, что это дает требуемую биекцию. 1.3.5. Пример. Предположим, /г = 9, k = 4, 5 = {1, 3, 4, 6, 8}, /(l)l/C) 2j()f) Д) 6Г {49} ...(x + n-l). A4) /(),/() j(),f() , Д) д [9] —7 = {1, 3, 5, 6, 8} и я = B) D) G53) (9168). Третье доказательство предложения 1.3.4. Существуют два ос- основных способа комбинаторного доказательства равенства двух многочленов: A) показать, что равны их коэффициенты, и B) показать, что их значения совпадают для достаточно большого
40 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.3. Статистики перестановок 41 множества переменных. Мы уже доказали предложение 1.3.4 с помощью первого приема, здесь мы применим второй. Если значения двух многочленов от одной (скажем, комплексной) пе- переменной совпадают для всех iep, то эти два многочлена равны. Таким образом, достаточно установить справедливость формулы A4) для всех х е V. Пусть х е Р, и пусть С (я) обозначает множество циклов перестановки я е @„. Выражение, стоящее в формуле A4) слева, есть число всех пар (я,/), где яе®„ и /: С(л)->[х]. Вы- Выражение, стоящее справа, подсчитывает число последователь- последовательностей целых чисел (аь а2, ..., а„), где 0 ^ а,- ^ х + п — I — 1. (Принятая нами такая форма ограничений на переменные а,-, а не 1 ^ щ ^ х + i—1, например, обусловливается историче- историческими причинами.) Для построения (я, f) по данной последова- последовательности (а\, а.2 ап) можно использовать следующий про- простой алгоритм. Напишем число п и будем считать его началом цикла С[ перестановки я. Положим f{C{)= ап-\- \. Предполо- Предположим, что числа п, п— 1, ..., п — i+ 1 уже вставлены в запись разложения я на непересекающиеся циклы. Имеются две воз- возможности: 1.0^ an-i, ^х— 1. В этом случае начнем новый цикл С/, напи- написав п — / слева от ранее вставленных элементов и положив /(С) 1 2. а„_,- = х + k, где 0 ^ k ^ i— 1. Тогда вставим п — г в старый цикл, так, чтобы п — i не являлся крайне левым элементом ни- никакого цикла и чтобы он оказался правее k + 1 ранее включен- включенного числа. Это дает требуемую биекцию. ? 1.3.6. Пример. Предположим п = 9, х = 4 и = D,8,5,0,7,5,2,4, 1). Перестановка я строится следующим способом: (9) (98) G) (98) (.7) (968) G) (9685) D) G) (9685) D) G3) (9685) D)G3)(96285) D1)G3) (96285) и /(96285) = 2,/G3) = 3JD1)= 1. ь ..., аэ) = Если положить х = 1 в предыдущем доказательстве, полу- получится комбинаторное доказательство следующего результата. 1.3.7. Предложение. Пусть пДеР. Число последовательностей целых чисел (аи ..., ап), таких, что O^ai^n — /, и в точ- точности k значений а,- равны 0, равно c(n,k). ? Заметим, что в силу предложения 1.3.1 мы «бесплатно» вы- вычислили число перестановок с данным числом рекордов. 1.3.8. Следствие. Число перестановок я дов, равно с(п, k). \ <5п, имеющих k рекор- ? Следствие 1.3.8 иллюстрирует одно преимущество представ- представления разными способами одного и того же объекта (здесь этот объект-—перестановка) — различные перечислительные задачи с этим объектом становятся эквивалентными. Инверсии Доказательство предложения 1.3.7 (в случае х— 1) сопостав- сопоставляет перестановке я е <3„ последовательность целых чисел (а\, ..., ап), 0 ^ at ^ п — L Есть другой способ установить та- такое соответствие, и он, возможно, более естественный. Пусть дан такой вектор (а\ ап) и предположим, что числа п, п — — 1, ..., п — г+1 уже включены в запись перестановки я, которую сейчас мы будем интерпретировать как слово (а не как произведение циклов). Вставим п — / таким образом, чтобы слева от него находилось an-i элементов. Например, если (а\, ..., а9) = A, 5, 2, 0, 4, 2, 0, 1, 0), то я строится следующим образом: 9 98 798 7968 79685 479685 4739685 47396285 417396285 Ясно, что а,- есть число элементов / перестановки я, стоящих слева от i и удовлетворяющих условию / > L Пара (bi, bj) на- называется инверсией перестановки я = Ьф2 ... Ь,„ если i < / и Ь,:> bj. Рассмотренная выше последовательность 1(п) = (а\, ...
42 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.3. Статистики перестановок 43 ..., ап) называется таблицей инверсий перестановки я. Описан- Описанный выше алгоритм построения я из ее таблицы инверсий /(я) дает следующий результат. 1.3.9. Предложение. Пусть Тп = {{аи ..., а„): = [О, п - 1] X [0, п - 2] X ... X [0, 0]. Отображение I: <5п-+-&~п, переводящее каждую перестановку в ее таблицу инверсий, есть биекция. Таким образом, таблица инверсий /(я) есть еще один способ представления перестановки я. 1.3.10. Следствие. Пусть /(я) обозначает число инверсий пере- перестановки л е @„. Тогда Е <?«*> = A + q) A + q + <72) .. . A + q + q2 + . . . + qn~l). Доказательство. Если /(я) = (а,, а2, ...,ап), то i(n) = al+... +а„. Следовательно, я-l л-2 0 )= Е 2 ... Е ^+-+в» = ле®, а,=0 а2=0 а„=0 п-2 что и требовалось. ? Спуски Помимо цикловой структуры и таблицы инверсий, есть еще одна основная статистика, связанная с перестановкой яе@„. Если л= а\а2 ... ап, определим множество спуска D(n) = {l\at>at+l}. (Иногда желательно положить по определению пей(л), но мы будем придерживаться принятого соглашения, так что n^D(n).) Для Se[«—1] будем обозначать a{S) (или а«E), если это необходимо) число перестановок яе®„, мно- множество спуска которых содержится в 5, а символом P(S) (или РпE)) — число перестановок, для которых 5 есть множество спуска. Запишем: аE) = card (яе@л:О(я) s5}, р E) = card {яе6„:О (л) = S]. Ясно, что а E)= Е Р(Г)- A6) 1.3.11. Предложение. Пусть S = {su ..., sk}<s[n—I]. Тогда \sh s2 — slt s3 — s2, ..., n — sk) Доказательство. Чтобы получить перестановку л = aia2 ... ane е ©я, удовлетворяющую условию D(n)ES, для начала выбе- (п \ рем последовательность ах < а^ < ... < а,, I I способами. За- (tl-Si\ тем выберем последовательностьas, + i<aSl+2 < .. • < fl«, I I \ s2 — Si / способами и так далее. Отсюда получаем u s2 — slt ..., п — sk что и требовалось. ? В последующих главах мы используем уравнение A6) и пред- предложение 1.3.11 для получения формул и другой информации о |3(S). Здесь мы удовлетворимся несколькими дополнительными определениями понятий, основанных на множествах спуска. Число |Z) (зг) | спусков перестановки п обозначается ^(л), а мно- многочлен Anr(x)= E *I+dW называется многочленом Эйлера. Коэффициент при xk в выра- выражении Ап(х) обозначается А(п, k) и называется числом Эйлера. Следовательно, А(п, k) = card{ne6B:(f(ji) = 4- 1}. Ниже приведены несколько первых многочленов Эйлера: Л, (х) = х А3(х) = х + 4х2 + х3 Л5 (*) = * + 26л:2 + 66л:3 + 26л:4 + л:5 .46 (х) = х + 57л:2 + 302Х3 + 302л:4 + 57л5 + л:6 Л7(л:) = л:+120л:2+ 1191л:3 + 2416л:4 + 1191л:5 + 120л:6 + л:7 As (*) = * + 247л:2 + 4193л:3 + 15619х4 + 15619л:5 + + 4293л:6 + 247л:7 + х8.
44 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.3. Статистики перестановок 45 Биекция я-»- я, устанавливаемая в предложении 1.3.1, даст интересное альтернативное описание чисел Эйлера. Предполо- Предположим, что — перестановка, записанная в стандартной форме. Таким обра- образом, числа аи а,-1 + 1, ..., aik_l + 1 — наибольшие элементы циклов и ai<a,1 + i< ... <aijt_l + l. Отсюда следует, что если n(at)?= фа1+ь то at<.ai+i. Следовательно, <^<а, + 1 или / = /г тогда и только тогда, когда я (а,-) ^ аь так что п - d (я) = # {i е= [п]: я @ > /}. Число /, для которого я(/)^ t, называется точкой слабого пре- превышения перестановки я, а число /, для которого я(/)>/,— точкой превышения я. Легко видеть, что перестановка n=aici2 . ¦. ... ап имеет k точек слабого превышения тогда и только тогда, когда перестановка Ъ\Ъ2 ... Ь„, где bi = n-\-\—а„+1_,-, имеет п — k точек превышения. Кроме того, я имеет п — 1 — / спусков в том и только том случае, когда апап-\ ... сц имеет / спусков. Отсюда следует предложение. 1.3.12. Предложение. Число перестановок леб», имеющих k точек превышения, равно числу Эйлера A(n,k-\- 1) (то же верно для перестановок с k-\- 1 точкой слабого превышения). ? Еще одной полезной статистикой, связанной с множеством спуска D{n), является большой индекс я (также называемый главным индексом и обозначаемый МАЛ(я)), равный по опре- определению сумме всех элементов D(n). Он будет обозначаться 1(я). В следствии 4.5.9 будет доказан замечательный результат, состоящий в том, что i и i имеют одинаковое распределение; т. е. для любого k card {я е <3„ : / (я) = k) = card {я е @„ : i (л) = = *}• Два способа представить перестановку в виде дерева Мы уже видели, как перестановки можно представлять в виде слов, функций и последовательностей. Можно также представ- представлять перестановки геометрически и использовать геометриче- геометрические соображения для получения информации о них. Здесь мы изложим два способа представить перестановку я как дерево Т и обсудим, как взаимодействуют структура Т и комбинаторные свойства л. Пусть n — a\(i2 ••• ап — произвольное слово в алфавите Р без повторяющихся букв. Определим бинарное дерево Т(п) сле- следующим образом. Если я = 0, то Г(я) = 0. Если я ф 0, пусть / — наименьший элемент (буква) я. Слово я может быть пред- представлено единственным образом в виде я = oh. Пусть теперь i — корень дерева, а Т(а), Т(т) — левое и правое поддеревья, полученные удалением i (рис. 1.1). Тем самым получено индук- индуктивное определение Т(я). Элемент, следующий за / слева, есть Рис. 1.2. такой наименьший элемент k, стоящий слева от / в слове л, что все элементы между k и / (включительно) не меньше, чем /. Аналогично определяется элемент, следующий за / справа. 1.3.13. Пример. Пусть я = 57316284. Тогда Т(п) изображено на рис. 1.2. Соответствие п-*-Т(л) есть биекция между множеством @п и возрастающими бинарными деревьями с п вершинами, т. е. такими бинарными деревьями с п вершинами, помеченными чис- числами 1, 2, ..., п, что вдоль любого пути из корня метки воз- возрастают. Пусть п = а\а% ... ап е @„. Назовем элемент а,- слова я подъемом, если аг_{ < at < ai + u склоном, если at_x > at > al+l, пиком, если а(-_! < at > аг + 1, долиной, если а;_| > а,- < а1+х. Положим а0 —я„+1=0. Легко видеть, что свойства элемента i, перечисленные ниже, соответствуют данному свойству вершины i дерева Т(л).
46 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? ,, , Следующие за I вершины Тл Элемент I перестановки я ¦" расположены 1.3. Статистики перестановок 47 подъем склон долина пик справа слева справа и слева нет соседей снизу Из рассмотрения биекции л->-Т(я) может быть легко выведено огромное число других удивительных свойств возрастающих би- бинарных деревьев. Следующее предложение содержит несколько образцов таких результатов. 1.3.14. Предложение. 1. Число возрастающих бинарных деревьев с п вершинами равно п\. 2. Число таких деревьев, для которых в точности k вершин имеют слева снизу соседа, равно числу Эйлера A(n,k-\-\). 3. Число таких деревьев, имеющих k концевых вершин, равно числу деревьев, для которых ровно п вершин имеют двух преем- преемников. 4. Число полных возрастающих бинарных деревьев (т. е. таких, у которых каждая вершина либо концевая, либо имеет двух преемников) с In + 1 вершиной равно числу чередующихся пе- перестановок аг > а2 < аг > а4 < • • • < из ©2/1+1. (Позже мы сможем сказать значительно больше о че- чередующихся перестановках.) ? Рассмотрим теперь другой способ представить перестановку в виде дерева. Пусть n = a\a2 ... а„е©л, построим (неупоря- (неупорядоченное) дерево Т'(п) с вершинами 0, 1, ..., п, сделав вер- вершину I преемником крайнего справа элемента / среди предше- предшествующих i и меньших L Если такого элемента / нет, сделаем i преемником нуля (корня). 1.3.15. Пример. Пусть л = 57316284. Тогда дерево Г (я) изобра- изображено на рисунке 1.3. Соответствие л-+Т'(л) есть биекция между ©„ и возрастаю- возрастающими деревьями с п + 1 вершиной. Легко видеть, что преем- преемники 0 есть последовательные минимумы перестановки л (т. е. такие элементы ait что щ < а,- для всех / < I, где л = п\ ... ап). Кроме того, концевые вершины Т'(п) есть в точности элементы а,, для которых i e D(n) или i = п. Таким образом, по аналогии с предложением 1.3.14 (с использованием предложения 1.3.1 и очевидной симметрии между рекордами и последовательными минимумами) имеет место 1.3.16. Предложение. 1. Число неупорядоченных возрастающих деревьев ся+1 вер- вершиной равно п\. о 1 2. Число таких деревьев, имеющих k преемников корня, есть число Стирлинга без знака с(п, k). 3. Число таких деревьев, имеющих k концевых вершин, есть число Эйлера A(n,k). ? Перестановки мультимножеств Большая часть сделанного в этом разделе может быть обоб- обобщена с перестановок множеств на перестановки мультимножеств. Например, существует красивая теория разложения перестано- перестановок мультимножеств на циклы. Здесь, однако, мы обсудим толь- только те темы, которые понадобятся в дальнейшем. Во-первых, ясно, что можно определить множество спуска D(n) перестановки л мультимножества М точно так же, как это сделано для множеств. А именно если я = aia2 ... ап, то D(n) = {i:al>al + 1}. Следовательно, также имеем понятия a(S) и |3(S) для мульти- мультимножества. Аналогично определяется число й{л) спусков, боль- большой индекс i(n), многочлен Эйлера мультимножества А„(х)= в (М) и т. д. В гл. 4 будет рассмотрено значительное обобщение этих концепций. Заметим, что нет очевидного аналога предложе-
48 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.3. Статистики перестановок 49 ния 1.3.11 — а именно явной формулы для числа перестановок яе@(ЛГ), множества спуска которых содержатся в 5. Ясно, что можно определить инверсию я = Ь\Ьг ... bn e е @(М) как пару F,-, bj): i < j, bi > b,-, и так же, как раньше, определить число г(я) инверсий перестановки я. Мы хотим обоб- обобщить следствие 1.3.10 на мультимножества. Нам потребуется важное определение, чтобы сделать это. Если (а\, ..., ат)—по- ат)—последовательность неотрицательных целых чисел, в сумме даю- дающих п, определим q-мультиномиальный коэффициент Vab ..., am/ (n)! (*.)'•¦¦ Ы' где k! = (l)B) ... (к) и (j)=l-b<7 + <72+... + ^-'. Ясно, что С п \ I I — рациональная функция от q, а ее значение V аь ..., ат / в точке q = 1 есть обычный мультиномиальный коэффициент ( п \ ( п \ I . Фактически нетрудно увидеть, что — полином от q. Вот один из способов убедиться в этом. Будем /п\ / п \ I . I вместо I I (в полной ана- (п\ обозначением I . I для биномиальных коэффициентов). /п\ Выражение I . I называется q-биномиальным коэффициентом (или многочленом Гаусса). Непосредственно проверяется, что писать для краткости логии с Vab ...,am/ Vai/V a2 /V а3 / \am/v и /П\ (VL — \\ /П — 1\ UH k J+^4k-iJ- A7b) Из этих уравнений и «начальных условий» I I = 1 по индук- ( п \ ции доказывается, что I — многочлен от а с неот- V ai, ..., am / 1.3.17. Предложение. Пусть M = {\ai, ..., m°m} — мультимно- мультимножество мощности п — а\-\- ... + ат. "Тогда A8) V ai, ..., am / Первое доказательство. Обозначим левую сторону формулы A8) через Р{а\, ..., ат) и положим Q(n, k) = P(k, n — k). Ясно, что Q(n, 0)=1. Отсюда следует ввиду формулы A7а, Ь), что до- достаточно показать Я (а, am) = Q(n, al)P{a2 ат), A9а) Q(n,k) = Q(n-l, k) + qn-kQ{ti-\,k-\). A9b) Пусть я е <5(М), положим я' — перестановка М' = {2, ... ..., т"}, полученная удалением 1 из л, а я" — перестановка мультимножества M" = {lat, 2"""'}, полученная заменой каждого элемента, большего 2, на 2. Ясно, что л однозначно определяется перестановками л' и л" и что i(л) = i(n') + i(я"). Следова- Следовательно, = Q(n, a , a3 am), что и дает A9а). Пусть теперь M = {l\ 2n~k}, а @,(М)A </<2) состоит из тех перестановок яе©(Л1), последний элемент которых есть г, и положим М, = {1*Л 2n~k), M2 = {lk,2n~k~1}. Еслияе©,(М) и я = а1, то a^S(M{) и г(я) = /г — k + i(а). Если ©(М) и я = т2, то те6(Л12) и г(я) = /(т). Следовательно, Q(n, k)= Z < 2 рицательнымп целыми коэффициентами. что дает формулу A96). Второе доказательство. Определим отображение Ф :<S(M)X ©a, X-..X ©„,->©„ (я0, я,, ..., щ)\-^я, преобразовав все а{ элементов i в перестановке я0 в числа а,+ ... +а,_, + 1, а,+ ... + а,_, + 2, .... а, + ... +а4_,+ а,
50 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.3. Статистики перестановок S1 в порядке, определяемом перестановкой щ. Например, B1331223, 21, 231, 312)ь-> 42861537. Мы преобразовали И в 21 (сохранив относительный порядок членов Л!=21), 222 в 453 (сохранив порядок 231) и 333 в 867 (сохранив тот же порядок членов, что и в перестановке 312). Легко проверить, что <р — биекция и что / (я) = ; С помощью следствия 1.3.10 заключаем Г Е 7 \»eg(JH) Доказательство закончено. ? Первое доказательство предложения 1.3.17 может быть отне- отнесено к «полукомбинаторным». Мы не дали прямого доказатель- доказательства формулы A8), а вместо этого установили рекуррентные формулы A9). На этой стадии трудно было бы дать прямое комбинаторное доказательство формулы A8), так как не было «очевидной» комбинаторной интерпретации ни коэффициентов I I, ни значений этого многочлена при а е N. По- V аь ..., ат ) v ч этому теперь мы хотим обсудить проблему комбинаторной ип- терпретации для некоторых , что приведет нас к комбинаторному доказательству формулы A8) при /п = 2. Если скомбинировать его с нашим доказательством A9а), это приведет к комбинаторному доказательству A8) в общем слу- случае. Читатель, не знакомый с конечными полями, может про- пропустить весь конец этого раздела, за исключением краткого обсуждения разбиений. Пусть q— степень простого числа, a Fq обозначает конечное поле с q элементами (все такие поля, разумеется, изоморфны). Vn(q) обозначает n-мерное векторное пространство Fq — = {(о,, ...,о„):о,е F,}. 1.3.18. Предложение. Число k-мерных подпространств Vn(q) равно Доказательство. Обозначим искомое число G(n,k), и пусть N = = N(n,k) есть число упорядоченных ft-наборов (uj, ..., Vk) ли- линейно независимых векторов из Vn(q). Можно выбрать v\ qn—1 способами, затем v2 q" — q способами и так далее; окончательно JV = fo«-I) fa"-?)...(?»-?*-'). B0) С другой стороны, можно выбрать (vu ..., Vk), сначала выбрав ^-мерное подпространство W пространства Vn(q) G(n,k) спо- способами, а затем, выбирая v\ e W qk—1 способами, v2^W qk—q способами и т. д. Следовательно, N = G(n, k)(qk-\){qk-q) ... (qk - qk~% B1) Сравнение B0) и B1) влечет за собой П ш (к)! (п - к)! Определим теперь разбиение числа /ieN как последователь- последовательность Я=(Яь ..., Уе№, такую, что ?я.;=п и Ki^ ... ... ^ Kk. Мы считаем два разбиения одинаковыми, если они отличаются только числом заключительных нулей, например C, 3, 2, 1) = C, 3, 2, 1, 0, 0). Неформально разбиение K=(h, ¦¦• ..., %и) (где, скажем, %k > 0) можно рассматривать как способ представить п в виде суммы h + ... + Я* положительных це- целых, игнорируя порядок слагаемых (так как существует един- единственный способ записи слагаемых в невозрастающем порядке, при котором мы не различаем равные слагаемые между собой). Сравните с определением разложения п, при котором порядок частей существен. Если X — разбиение п, то мы пишем %\- п или |Я|=п. Ненулевые члены Xj называются частями %, и мы гово- говорим, что % имеет k частей, где k = #{t: fa > 0}. Если разбие- разбиение X имеет а,- частей, равных i, то мы пишем A, = (lu', 2a\ ...), где члены с а,- = 0 и верхние индексы а,- = 1 могут быть опу- опущены. Например, D, 4, 2, 2, 2, 1) = <1\ 23, 3°, 42) = A, 23, 42> (- 15. Мы также будем обозначать р(п) — общее число разбиений п, Pk(n) — число разбиений п, имеющих в точности k частей, и p{j,k,n) — число разбиений п на не более чем k частей, наи- наибольшая из которых не превосходит /. Например, существует семь разбиений числа 5, даваемых формулами 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 2+1 + 1 + 1, 3+1 + 1, 2 + 2+1, 4+1, 3 + 2, 5, так что /М5)= 1, Р2E) = 2, р8E) = 2, р«E)= 1, р5E)= 1, рC,3,5) = 3 и т. д. Примем соглашение, что ро(О) = р(О)= 1. Заметьте, что рп{п)= 1, pn-i{n)= 1, если n> I, pi(n)= I, P2(n)= [п/2].
52 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Легко проверить рекуррентное соотношение Pk («) = Pk-\ (« — 1) + Pk (« — k), дающее удобный метод построения таблицы чисел рн(п) для небольших п, к. Пусть (A.I, ..., \к)\~ п. Нарисуем массив из п точек, имею- имеющий Xi точек в г-й строке; строки выровнены слева. Этот массив называется диаграммой Ферре или графом Ферре разбиения X. Например, на рис. 1.4 изображена диаграмма Ферре разбиения 4 + 3+1 + 1 + 1. Если заменить точки, поставив на их места квадраты, получившуюся диаграмму называют диаграммой Юнга разбиения X. Например, диаграмма Юнга 4 + 3+ 1 + 1 + + 1 изображена на рис. 1.5. В следующем разделе и в других Рис. 1.4. Рис. 1.5. местах на протяжении этой книги мы еще вернемся к разбие- разбиениям. Однако мы не будем пытаться систематически исследовать этот необъятный и чарующий предмет. Следующий результат показывает, что при рассмотрении <7-биномиальных коэффициентов уместно использовать раз- разбиения. 1.3.19. Предложение. Зафиксируем /, k Тогда Доказательство. Хотя не трудно дать индуктивное доказатель- доказательство, использующее A7Ь), мы предпочтем прямое комбинатор- комбинаторное рассуждение, основанное на предложении 1.3.18. До конца его пусть m = / + &. Напомним из линейной алгебры, что любое ft-мерное подпространство Vm{q) (или m-мерного векторного пространства Fm над произвольным полем F) имеет единствен- i.3. Статистики перестановок 53 ный упорядоченный базис (v\, ..., Vk), для которого матрица М Lvk. B2) имеет ступенчатую, приведенную по строкам форму. Это зна- значит (а) первый ненулевой элемент каждого vi есть 1; (б) пер- первый ненулевой элемент vt+i стоит в столбце правее первого не- ненулевого элемента v\, I =S^ i^k—1, и (в) в столбце, содержа- содержащем первый ненулевой элемент Vi, все остальные элементы равны 0. Предположим теперь, что нам дана последовательность це- целых чисел 1 ^ й\ < п2 < ... < ak =S^ tn, и рассмотрим все сту- ступенчатые приведенные по строкам матрицы B2) над fq, для которых первый ненулевой элемент vi находится в я,-й пози- позиции. Например, если m = 7, k = 4, (аь ..., а4) = A,3,4,6), то М имеет вид 1 * 0 0 * 0 *" О 0 1 0 * 0 * 0 0 0 1*0=:. |_0 0 0 0 0 1 *. где * обозначает произвольный элемент поля 1F?. Число %i зна- знаков «*» в строке i равно / — ai-\-i, и последовательность %,== = (^bta, •••, ^k) определяет разбиение некоторого целого п= 2Л; на не более чем k частей, и наибольшая часть не пре- превосходит /. Общее число матриц B2), где аь ..., ak опреде- определяются, как и выше, есть q . Обратно, для любого данного разбиения X на не более чем k частей, с наибольшим слагае- слагаемым, не превосходящим /, можно положить щ — ] — %i-\- 1. Су- Существует в точности а приведенных по строкам матриц вида B2), где а\ ак имеют значения, указанные выше. Так как число приведенных по строкам ступенчатых матриц B2) равно числу I I А-мерных подпространств F?\ получаем егь p{j,k,n)q\ D <& частей наибольшая часть</
54 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.4. Двенадцатеричный путь 55 Для читателей, знакомых с этим предметом, заметим, что в до- доказательстве предложения 1.3.19 по существу строится хорошо известное клеточное разбиение многообразия Грассмана Gkm. Разбиения К, перечисляемые p(j,k,n), можно описать как разбиения, диаграмма Юнга которых помещается в прямоуголь- прямоугольник &Х /. Например, для k = 2 и / = 3 на рис. 1.6 изображены 0 т ш ж ж ш. ш ж т т т ш 1 ш 4 Рис. 1.6. /5\ I 2 1=10 разбиений, которые можно вместить в 2X3 прямо- прямоугольник. Значение \Х\ написано под диаграммой. Следова- Следовательно, Осталось связать предложения 1.3.17 и 1.3.19, показав, что P(i,k,n) есть число перестановок я мультимножества М = Г = 1212121121 Рис. 1.7. = {!', 2*}, имеющих п инверсий. Для данного разбиения X числа п на не более чем k частей, каждая из которых не превосходит /, опишем перестановку я = я(Л)<= @(ЛГ) с п инверсиями, оста- оставив читателю легкое доказательство биективности построенного соответствия. Рассмотрим диаграмму Юнга У разбиения X, со- содержащуюся в прямоугольнике kXi, и путь L по решетке из верхнего правого угла прямоугольника в нижний левый, иду- идущий вдоль границы Y. Будем идти вдоль и писать 1, когда де- делаем шаг по горизонтали, и 2, если идем по вертикали. Это дает требуемую перестановку я. Например, для k = 3, / = 5, К = = D,3, 1) см. рис. 1.7. Двойки в перестановке я стоят в пози- позициях / — h + i, где % = (ки .... Kk). 1.4. Двенадцатеричный путь1) Мы заканчиваем наше введение в перечислительную комбина- комбинаторику обсуждением основных чисел, связанных с подсчетом функций между двумя множествами. Пусть N и X — конечные множества, |/V|=n, |X| = x. Мы хотим подсчитать число функ- функций /: N-+X, подчиняющихся некоторым ограничениям. Три ограничения можно наложить на сами функции и четыре огра- ограничения на то, какие функции считать одинаковыми. Получает- Получается всего двенадцать перечислительных проблем, а решить их^— значит пройти Двенадцатеричный путь. Три ограничения, накладываемые на функции f: N^>~X, сле- следующие: a. f произвольная (нет ограничений) b. t инъективная (взаимно-однозначная) c. f сюръективная (отображение «на») Четыре интерпретации того, какие функции считать одина- одинаковыми (или эквивалентными), возникают из рассмотрений эле- элементов множеств N я X как «различимых» или «неразличимых». Будем представлять N в виде множества шаров, а X в виде мно- множества коробок. Если мы можем отличать шары друг от друга, то элементы N называются различимыми», в противном слу- случае— неразличимыми. Аналогично, если мы можем отличать коробки друг от друга, элементы X называются различимыми, а иначе — неразличимыми. Например, предположим N ={1,2,3}, X = {a,b, c,d) и определим функции f, g, h, i: N^-X формулами ') «Двенадцатиричным», а до этого «восьмеричным» путем называют не- некоторые модели в физике элементарных частиц, основанные на представле- представлениях тех или иных групп. Термины заимствованы Гелл-Маном из буддийских вероучений. В данном случае асссоциация с физическими терминами чисто рнещняя. — Прим. ред.
56 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.4. Двенадцатеричный путь 5? Если элементы обоих множеств N и X различимы, функции можно «нарисовать», как на рис. 1.8. Все четыре картинки раз- разные, и эти четыре функции все неэквивалентны. Теперь предпо- предположим, что элементы N (но не X) неразличимы. Это соответ- соответствует стиранию меток шаров. Изображения функций стано- становятся такими, как показано на рис. 1.9, так что / и g эквива- I' [О Ь с Рис. 1.8. IOOI Ю Рис. 1.9. Рис. 1.10. лентны. Однако /, h и i остаются неэквивалентными. Если эле- элементы X (но не N) неразличимы, мы стираем метки с коробок. Таким образом, / и h обе имеют картинки, показанные на рис. 1.10. (Порядок коробок не существен, если мы не можем различать их.) Следовательно, f и h эквивалентны, но f, g и i неэквивалентны. Если элементы обоих множеств N и X неразличимы, то все четыре функции изображаются, как на рис. 1.11, и все они экви- эквивалентны. Желательно дать строгое определение введенному выше по- понятию эквивалентности, Говорят, что две функции /, g: N-*- X эквивалентны с неразличимым множеством N, если существует биокция л: N^>-N, такая, что f(n(a)) = g(a) для всех a^N. Аналогично / и g эквивалентны с неразличимым множеством X, если существует биекция а: Х-+Х, такая, что а (/(а)) = g{a) \fa^N. Наконец, функции f я g эквивалентны с неразличимыми множествами N и X, если существуют биекцни л: N^-N и а: Х^>-Х, такие, что а(/(я(а)))= g(a) для любого a^N. Все эти три понятия есть отношения эквивалентности, и число «раз- «различных» по отношению к одному из этих понятий функций просто означает число классов эквивалентности1). Если fug эквивалентны (в любом из названных выше смыслов), то / инъективна (соответственно сюръективна) тогда и только тогда, когда g инъективна (соответственно сюръективна). Поэтому мы lool In 1 I Рис. 1.11. говорим, что понятия инъективности и сюръективности совме- совместимы с отношением эквивалентности. Под «числом неэквива- неэквивалентных инъективных функций /: N^>-X» мы понимаем число классов эквивалентности, элементы которых инъективны. Теперь мы готовы пройти Двенадцатеричный путь. Двенад- Двенадцать возможностей перечислены и будут по отдельности обсуж- обсуждены. Следующая таблица дает число неэквивалентных функций /: N-*• X соответствующего типа, где |./V|=rt и |X| = x. Двенадцатеричный путь Элементы Элементы миоже- множества ства N х Произвольная функция f Инъективиая функция f Сюръективная функция f разли- различимы разли- различимы 2. (Х)п - (О) 3. x\S («, х) - (CD) неразли- разли- различимы чимы разли- неразли- 7. S(n, 1) + S (л, 2) + 8. 1, если п < х 9. S (п, х) чимы чимы + ... + S (п, х) 0, если п > х неразли- иеразли- 10. pi(n) -\- р2(п) + 11. 1, если п^.х 12. рх (п) чнмы чимы + • • • + Рх («) 0, если п > х ') В современном анализе принята следующая терминология: правая эк- эквивалентность соответствует замене в прообразе и левая—замене в обра- образе, право-левая — одновременной замене в образе н прообразе. — Прим. ред.
58 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.4. Двеиадцатеричный путь 59 Обсуждение элементов таблицы Двенадцатеричного пути 1. Для каждого a^N f(a) может быть любым элементом х^Х. Следовательно, существует хп функций. 2. Пусть N—{ait ..., ап). Выберем f(ai) x способами, за- затем f(a2) х— 1 способами и так далее, получив всего х(х— 1 ... ... (X — П + !) = (*)« СПОСОбоВ. 3.') Разбиение конечного множества N есть набор я—{В\, Вг, • ¦ ¦, Bk} подмножеств множества N, таких, что а. Bt Ф 0 для каждого i, б. 5гП5/=0, если 1ф\, в. Bl[)B2U...{)Bk = N. Мы называем В, блоком п и говорим, что я имеет k блоков (обо- (обозначение |я| = ?). Пусть S{n,k) — число разбиений п-множества на k блоков. S{n,k) называется числом Стирлинга второго рода. Условимся полагать 5@,0)= 1. Читатель должен проверить, что для rt^l, S(n,k) = 0 при k > n, S(rt,0) = 0, S(n, l)=l, Числа Стирлинга второго рода удовлетворяют следующим ос- основным рекуррентным соотношениям: S(n, k) = kS(n-l, k) + S(n-\, k-l). B3) Уравнение B3) проверяется следующим образом. Чтобы полу- получить разбиение множества [п] на k блоков, можно разбить множество [п— 1] на k блоков и поместить п в любой из этих блоков kS{n—\,k) способами или образовать отдельный блок из п и разбить множество [п — 1] на k— 1 блок S(n— 1, k — 1) способами. Отсюда следует B3). Рекуррентное соотношение B3) позволяет доказать по индукции много результатов о числах S(n,k), хотя часто мы будем предпочитать комбинаторные до- доказательства. Общее число разбиений /г-множества называется числом Белла и обозначается В(п). Таким образом, В(п) = = ZLiS(«, k), п>1. Ниже приводится список некоторых основных формул для S(n,k) и В(п): ft! k>0, B4а) B4b) 5(л, k)xn = xk/(l — jc)<1 — 2jc) — A — kx), B4c) xn=?s(n,k)(x)k, B4d) ft=O 5@, л>0, B4e) В (л) л^/л! = exp (e* — 1). B4f) ' Сейчас мы наметим доказательства формул B4а) — B4f). Для всех формул, за исключением B4d), мы обрисуем некомби- некомбинаторные доказательства, хотя ценой небольшой дополнитель- дополнительной работы могут быть даны и комбинаторные (некоторые из них появятся позже в книге). ПустьFk (х) = zLn>kS{n, k)xn/nl. Ясно, что Fo(x)= 1. Из формулы B3) имеем (n-l, k-\)xnln\. Продифференцируем обе части равенства, чтобы получить F'k{x) = kFk(x) + Fk_x{x). B5) Предположим по индукции Fk_x (х) = „ _ 1); (е* — l)k~\ Тогда единственным решением уравнения B5), коэффициент которого при xk есть \/k\, будет Fk(x) = jr(e* ~ !)*• Отсюда по индук- индукции следует B4Ь). Чтобы доказать B4а), напишем и извлечем коэффициент при хп. Чтобы доказать B4f), просум- просуммируем B4b) no k, получив В (п) хп/п\ = 2 Jp (ex - \)k = exp (ex - 1). ') Обсуждение п. 4 начинается на стр. 64. Формула B4е) может быть получена дифференцированием B4f) и сравнением коэффициентов. Очень легко также дать прямое комбинаторное доказательство. Доказательство формулы B4с) проводится аналогично доказательству B4а); ее можно доказать И аналогично предложению 1.3.4 (см. упражнение 16 в конце
60 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? 1.4. Двенадцатеричный путь 61 = ? k\S(n, k) (Л~ этой главы). Осталось проверить формулу B4d), что будет сде- сделано после следующего абзаца. Проверим теперь п. 3 таблицы Двенадцатеричпого пути. Нам нужно показать, что число сюръективных функций f: N^~X равно x\S(n,x). Выражение x\S(n, x) дает число способов раз- разбить N на х блоков, а затем линейно упорядочить блоки, ска- скажем, (Бь В2, ..., Вх). Пусть X = {bi,b2, ..., bx}. Свяжем по- последовательность (Ви В2, ..., Вх) с сюръективной функцией f, определенной формулой f(i) = bj, если /еВ/. Это устанавливает требуемое соответствие. Сейчас мы дадим простое комбинаторное доказательство формулы B4d). Левая часть есть общее число функций f:N^>-X. Каждая такая функция является сгоръекцией на единственное подмножество У множества X, удовлетворяющее условию |У|^ ^ п. Если \Y\= k, то существует k\S{n,k) таких функций и ( х\ II выборов подмножеств У множества X с условием |У| = &. Следовательно, (n, k)(x)k. Уравнение B4d) имеет следующую дополнительную интер- интерпретацию. Множество 9* всех многочленов с комплексными коэффициентами образуют комплексное векторное пространство. Множества В, ={1, х.л:2, ...} и В2={1, (*)i. (хJ, . . •} оба яв- являются базисами !Р. Тогда формула B4d) утверждает, что (бес- (бесконечная) матрица S = [S(rt, k)]k пеЫ является матрицей пере- перехода от базиса В2 к базису В\. Рассмотрим снова уравнение A4), встретившееся ранее в этой главе. Если заменить х на ~х и умножить на (—1)", получим п ? s(n, k)xk = {x)n. Таким образом, матрица s = [s(n, k)]k „eN есть матрица пере- перехода от В\ к В2 и, следовательно, обратная к матрице S. Из утверждения, что матрицы S и s взаимно обратны, сле- следует такой результат. 1.4.1. Предложение. а. Для всех tn, n e N b. Пусть а0, ai, ¦•¦ « b0, b\, ... — две последовательности (ска- (скажем, комплексных чисел). Следующие два условия эквива- эквивалентны: t. Для всех «eN ii. Для всех п ¦ *„ = ! S(n,k)ak. ft = O an=Y,s{n, k)bk. ft0 Доказательство. a. Это в точности утверждение о том, что произведение двух матриц S и s есть единичная матрица [бт„]. b. Пусть а и b обозначают (бесконечные) вектор-столбцы (а0, cii, ...) и (bo, b\, ...) соответственно. Тогда формула (i) утверждает, что Sa = b. Умножение слева на s дает а = sb, а это есть (ii). Аналогичным образом из (ii) следует (i). D Матрицы S и s имеют такой вид: S — S(m, k)s(k, п) = Ь тц. 1 f 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) 0 0 1 3 7 15 31 (.3 0 1 1 2 6 24 -120 720 0 0 0 1 6 25 У0 301 0 0 0 0 1 10 65 350 0 0 1 3 11 50 274 -\1 64 0 0 0 0 0 1 15 140 0 0 0 1 6 35 -225 1624 0 0 0 0 0 0 1 21 - 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 10 85 - 735 0 0 0 0 0 1 -15 175 0 0 0 0 0 0 1 -21 0 0 0 0 0 0 0 1
62 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Уравнения A4) и B4d) тесно связаны также с исчислением конечных разностей, о котором мы очень кратко здесь скажем. Дана функция /: Z->C (или, возможно, 1М->чС; С можно за- заменить произвольной абелевой группой, если не имеют дело со специальными примерами, как-то f(n) = n4). Определим новую функцию А/, называемую первой разностью f, формулой А называется разностным оператором первого порядка; кратко, но очень упрощенно можно определить исчисление конечных разностей как исследование оператора Л. Можно применить A k раз и получить k-й разностный оператор Число А*/@) называется k-й разностью f в 0. Определим другой оператор Е, называемый оператором сдвига, формулой Ef(n) = = f(« + l). Таким образом, А = Е—1, где 1 означает единич- единичный оператор. Имеем В частности, t-o B6) B7) что дает явную формулу для A*f(O) в терминах значений f@), f(l), ..., f(k). Легко можно обратить формулу B6) и выра- выразить f(n) в терминах чисел A'v/@). Именно, B8) Напишем теперь в строку значения 1.4. Двенадцатеричный путь 63 Если внизу написать между каждой парой последовательных членов f(i), f(i-\- 1) их разность f(i+ l) — f(i)=Af(i), получим последовательность Повторение этой процедуры приводит к таблице разностей функ- функции f. k-я строка состоит нз значения А*/(п). Диагональ, начи- начинающаяся в /@) и идущая направо вниз, состоит из разностей А*/@) в 0. Например, пусть f(n)=n4. Таблица разностей (на- (начинающаяся с /@)) выглядит так: 0 1 16 81 256 625 ... 1 15 65 175 369 14 50 ПО 194 36 60 84 24 24 0 Из формулы B7) В этом случае, так как п4 — многочлен четвертой степени и ( , 1 при фиксированном k есть многочлен степени k, написанное (п\ выше разложение обрывается после члена 241 , J. то есть Д*04 = 0, если k > 4 (или, более общим образом, А*п4 = 0, если k > 4). Заметьте, что из B4d) имеем 4 откуда заключаем: 1!5D, 1) = 1, 2!5D, 2)= 14, 3!5D, 3) = 36, 4! 5 D, 4) = 24. Предыдущее рассуждение, конечно, не относится исключи- исключительно к функции я4. Подобные размышления приводят к сле- следующему результату. 1.4.2. Предложение. а. Функция f: Z -> С — полином степени, не превосходящей d, тогда и только тогда, когда Ad+[f(n) = Q (или Adf(n) — постоян- постоянная).
64 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Ь. Если многочлен f(n) степени, не превосходящей d, разложен в ряд по базису ( I. О ^. k ^ d, то коэффициенты суть d 1.4. Двенадцатеричный путь 65 Д*/@); т. е. с. В специальном случае f{n) = nd имеем AkQd = k\S(d, k). U 1.4.3. Следствие. Пусть /: Z-*-JC. — многочлен степени, не пре- превосходящей d. Необходимое и достаточное условие того, что f(«)eZ для всех n^Z, есть A6/@)gZ, 0 ^ k ^ d. (В алгеб- алгебраических терминах: абелева группа всех многочленов /: Z ¦ степень которых не больше d, свободна и имеет базис (о) 0 (:)¦> Перейдем теперь к следующему элементу таблицы двена- дцатеричного пути. 4. «Шары» неразличимы, так что нас интересует только то, сколько шаров кладут в каждую из коробок Ь\, Ьг Ьх. Если v(bi) шаров помещают в коробку bi, то v определяет п-элемент- ное мультимножество на X. Число таких мультимножеств есть О- 5. Этот случай аналогичен предыдущему, только каждая ко- коробка содержит не более одного шара. Поэтому наше мульти- мультимножество становится множеством, и существует г-элемент- ных подмножеств X. 6. Каждая коробка bi должна содержать по крайней мере один шар. Если удалить из каждой коробки по одному шару, получим (п — х) -элементное мультимножество на X. Число та- ((.:.))¦ ких мультимножеств есть 7. Так как коробки неразличимы, функция /: N-+X опреде- определяется непустыми множествами f~[(b), del, где /~'(^) = = {ае№ f(a) = b}. Эти множества образуют разбиение я мно- множества N, называемое ядром или кообразом /. На я наклады- накладывается единственное ограничение, что оно содержит не более х блоков. Число разбиений N на не более чем х блоков равно S(n,l) + S(n,2) + ... +S(n,x). 8. Каждый блок кообраза я функции / должен содержать один элемент. Существует единственное такое разбиение я, если х ^ п; в противном случае таких я нет. 9. Если / сюръективна, ни одно из множеств f~l{b) не пусто. Отсюда кообраз я содержит в точности х блоков. Число таких я равно S(n, x). 10. Пусть Ph(n) обозначает число разбиений п на k частей со- согласно определению на стр. 51. Функция /: N->X, где N и X оба неразличимы, определяется только числом элементов в каж- каждом из блоков кообраза я. Сами по себе элементы не важны. На эти числа накладывается единственное ограничение: они яв- являются положительными целыми, сумма их равна п, а число их не превосходит х. Другими словами, эти числа образуют раз- разбиение п на не более чем х частей. Число таких разбиений есть Pi(n)+p2(n)+ ... +рх{п). Дополним наше исследование этого пункта, сосчитав произ- производящую функцию этих чисел. Можно было бы просто поло- положить i = j( и устремить /->-оо в предложении 1.3.19, но мы изложим более прямой подход. Предположим, что к — разбие- разбиение п. Если поменять местами строки и столбцы диаграммы Ферре к, получим диаграмму другого разбиения п, называемого сопряженным к, и обозначаемого к'. Если к = (к\,к2, ..., кк), то число частей к', равных i, есть ki — kt+i. Это соображение дает удобный метод вычислять к' из к, не рисуя диаграмму. Например, если Х=D, 3, 1, 1, 1), то к' =E, 2, 2, 1). Пусть рк(п) обозначает число разбиений п на не более чем k частей, т. е. рк(п) = pi(«)+ Рг(п)+ ¦¦• + Рк(п). к есть разбие- разбиение такого вида тогда и только тогда, когда наибольшая часть разбиения к' не превосходит k. Это наблюдение позволяет нам вычислить производящую функцию Т,п>оРк(п)х>г- Разбиение числа п, наибольшее слагаемое которого не превосходит k, можно рассматривать как решение уравнения ai + 2о&2 + • • • ... + kak = п в неотрицательных целых числах. Здесь ai по- показывает, сколько раз слагаемое I встречается в разбиении. Сле- Следовательно, У б.(п)хп= У а,>0 B9)
ее Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Устремляя k-*¦-{- оо, получаем знаменитую производящую функ- функцию Е р(я)*"=ПA-*')"'• C0) Уравнения B9) и C0) можно существенно обобщить. Сле- Следующий результат, хотя, разумеется, далеко не самый общий из возможных, достаточен для наших целей. 1.4.4. Предложение. Для каждого i e P зафиксируем мно- множество 5jeN. Пусть P — iSy, S2, ...), и положим Р(9?) — мно- множество всех разбиений %, таких, что если слагаемое i встречается o.i = di{'K) раз, то a^eSj. Определим производящую функцию от переменных х — (хи х2, . ..): , x)= Е Тогда Е *f). C1) Доказательство. Читатель должен убедиться в справедливости этого результата путем «проверки». Коэффициент при х\1х\% ... в правой части формулы C1) равен 1, если Vaf eSj, и 0 в про- противном случае, что и дает требуемый результат. 1.4.5. Следствие. Сохраним обозначения предыдущего предло- предложения, и пусть р (9", п) обозначает число разбиений п, принад- принадлежащих Р^), т. е. р E?, П) = card {К Ь га: Я е= Р {9>)}. Тогда Е р(Р, л)*в=П Доказательство. Положим каждую переменную xi равной х1 в предложении 1.4.4 ? Чтобы дать читателю почувствовать дух теории разбиений, рассмотрим два специальных случая следствия 1.4.5. Во-первых, если положить 5;={0,1}, то получим, что р{9',п) есть число разбиений га на попарно различные слагаемые, обозначаемое q(n). Из следствия 1.4.5. I + *'). C2) Аналогично, положив S,- = N, если i — нечетное и S, — {0}, если i — четное, имеем, что р{^,п) есть число разбиений п на Замечания 67 нечетные слагаемые, обозначаемое рнеч(га). Из следствия 1.4.5 Е/ Ч П V flJ.vlJ.Jij. 1 i неч Если теперь положить в формуле C2) 1+х'=A—х2{)/A — — х1), то числитель сократится с множителями вида A—x2i) в знаменателе, и окончательно получим Е </(«)*»= ДО -**-')"'= Е Рнеч (")*"• 0 />1 >0 Следовательно, q(n) = р„еч(п) для всех n ^ 0. Естественно же- желание дать комбинаторное доказательство. Возможно, самое простое из них таково. Пусть К — разбиение п на нечетные сла- слагаемые, причем часть 2/—1 встречается Р/ раз. Построим раз- разбиение |х числа п на попарно различные части, потребовав, чтобы слагаемое B/—lJft, k^O, входило в ц тогда и только тогда, когда двоичное разложение числа Р/ содержит член 2*. Читателю остается проверить, что это действительно биекция. Например, если К = <95, 512, З2, 13>Ь 114, то 114 = 9 A + 4) + 5 D + 8) + 3 B) + 1 A + 2) = 9 + 36 + 20 + 40 + 6+1 + 2, так что ц, =D0, 36, 20, 9, 6, 2, 1). 11. Те же рассуждения, что и в п. 8 12. Рассуждения, аналогичные приведенным в п. 9. Если f: N -»- X — сюръекция, то кообраз я отображения / имеет точно х блоков, их мощности образуют разбиение числа п в точности на х частей. Замечания Мы не собираемся здесь прослеживать развитие основных идей и результатов перечислительной комбинаторики. Интересно, од- однако, отметить, что, согласно Хису [9, с. 319], некий результат Ксенократа из Халцедона C96—314 до н. э.) возможно «пред- «представляет первую, письменно зафиксированную попытку решить сложную задачу о перестановках и сочетаниях». (См. также [4, с. 113].) Работы [4] и [16] —два ценных источника по ис- истории комбинаторики. Ниже мы дадим только те ссылки и ком- комментарии, которые нельзя легко извлечь из [4] и [16]. Дальнейшие сведения о формальных степенных рядах с ком- комбинаторной точки зрения, см., например, [15] или [17]. Строгий
68 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Замечания об упражнениях 69 алгебраический подход появляется в [5, гл. IV, § 5]. Следую- Следующая интересная работа [2]. Чтобы проиллюстрировать не- недоразумения, которые могут возникнуть при работе с формаль- формальными степенными рядами, мы приведем, не указывая авторов, следующие цитаты из литературы: «Так как сумма бесконечного ряда в действительности не используется, мы можем рассуждать строго или формально». «A.3) показывает тщетность поиска производящей функции, даже экспоненциального вида для Ш(п); так как эти числа на- настолько велики, что ряд F(z)=Y,IU{n)'za/nl п расходится, если z ф 0. Любое замкнутое уравнение для F по- поэтому не имеет решения, и все манипуляции с разложением Тейлора, биномиальной теоремой и так далее не дают никакого эффекта '). Попытайтесь найти производящую функцию для 22"». «Иногда возникают трудности со сходимостью некоторых функций, коэффициенты ап которых растут слишком быстро; тогда вместо регулярных производящих функций мы изучаем экспоненциальные производящие функции». Аналитик должен был бы по крайней мере поднять вопрос о том, что общие технические средства, пригодные для оцени- оценивания скорости роста коэффициентов степенного ряда, требуют сходимости (например, пригоден аппарат теории функций комп- комплексного переменного). Существуют, однако, общие методы оценки коэффициентов расходящихся степенных рядов [3, § 5]. Техника представления комбинаторных объектов, подобных перестановкам, «моделями», такими как слова и деревья, ин- интенсивно развивалась в основном французскими авторами. Здесь мы упомянем только работу [7]. В частности, «фунда- «фундаментальное преобразование» на стр. 13—15 этой работы есть, в сущности, наше отображение л-»-я из предложения 1.3.1. Большой индекс перестановки был впервые рассмотрен Мак- Магоном [13]. Предложение 1.3.17 доказано Нетто [14, § 94] для т = 2и Карлитцем в [6] для общего случая. Приведенное здесь второе доказательство было предложено А. Бьорнером. Клеточное разбиение многообразия Грассмана (основа нашего доказательства предложения 1.3.19) обсуждается в работе [11]2). '') В оригинале: «is bound to' produce a heap of eggs (single — 0 — or double oo — yolked)», что приблизительно переводится: неизбежно приво- приводят к груде битых яиц (с желтками в виде 0 и двойными желтками в виде оо). — Прим. перев. 2) См. также Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характеристические классы.— М.: Мир, 1979, или Грнффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1982.— Ярил. ред. Теория разбиений натуральных чисел была в основном создана Эйлером, некоторая ее часть предвосхищена Лейбницем в не- неопубликованной работе (см. [12]). Работа [1] является пре- прекрасным введением в этот предмет. Идея Двенадцатеричного пути принадлежит Дж. К. Рота (высказана им в серии лекций, хотя терминология «Двенадцатеричного пути» была предло- предложена Жоэлем Спенсером. Интересный популярный подсчет чи- чисел Белла появился в работе [8]. В частности, рисунки 52 раз- разбиений 5-элементного множества используются в качестве «на- «названий глав» (всех, за исключением первой и последней) книги «Повесть о Гэндзи» Леди Мурасаки (978—1031I). Стандартная ссылка по исчислению конечных разностей — работа [10]2). Мы в основном рассматривали исключительно такие пере- перечислительные задачи, которые допускают точное решение. О про- проблемах оценки решений перечислительных задач см. [3]. Есть причины полагать, что некоторые перечисленные задачи чрез- чрезвычайно сложны и не могут иметь «хорошего» решения. См. работу Вэльянта по теории #Р-полноты [18]. Замечание об упражнениях Каждому упражнению следующим образом дается оценка сложности: 1. рутинное, решается прямолинейно, 2. имеется некоторая трудность или хитрость, 3. трудное, 4. очень трудное, 5. нерешенная проблема. Дальнейшие градации отмечаются знаками + или —. Та- Таким образом, 1 — обозначает крайне тривиальную задачу, а 5 — нерешенную проблему, которой уделяется мало внимания и которая, возможно, не очень сложна. Оценка 2+ обозначает самую сложную из задач, которые могут быть приемлемы в це- целом для аспирантов. Некоторые студенты, вероятно, смогут ре- решить 3 — задачу, но почти никто из них не сможет решить 3 ') Речь идет об одном из первых крупных произведений классической средневековой японской литературы периода Хэйан «Гэндзи Моноготари или повесть о блистательном принце Гэндзи» Мурасакн Сикибу. Русский перевод: Н. И. Конрад. «Японская литература в образцах и очерках», т. I, Л., 1927 и «Японская литература от Кодзикн до Тукутом», — М.: Изд-во вост. лит., 1974, стр. 233—256. К сожалению, в русском переводе эти заставки отсутствуют. — Прим. ред. *) См. также Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: 1967. — Прим. ред.
70 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Упражнения 71 в разумный период времени. Конечно, все эти оценки субъек- субъективны, и всегда есть вероятность, что осталось незамеченным: какое-либо простое доказательство, которое понизило бы оцен- оценку сложности. Некоторые задачи, по-видимому, требуют ис- использования результатов или методов, обычно не связываемых с комбинаторикой других областей математики. Здесь оценки менее значимы — они основываются на соображениях, на- насколько легко читатель обнаружит применимость этих внешних по отношению к комбинаторике методов и результатов. Литература 1. Andrews'G. E. The theory of Partitions. Addison-Wesley, Reading, Mass, 1976. [Имеется перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982.] 2. Bender E. A. A lifting theorem for formal power series, Proc. Amer. Math, Soc. 42 A974), 16—22. 3. Bender E. A. Asymptotic methods in enumeration, SIAM Rev, 16, 1974, 485—515. Errara: SIAM Rev. 18 A974), 292. 4. Biggs N. L. The roots of combinatorics, Hisforia Math. 6 A979), 109—136. 5. Bourbaki N. Elements de Mathematique, Livre II, Algebre, Ch. 4—5 2e ed., Hermann, Paris, 1959. (Имеется перевод: Бурбаки Н. Элементы матема- математики. Алгебра. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966.) 6. Carlitz L. Sequences and inversions, Duke Math. J. 37 A970), 193—198. 7. Foata D., Schutzenberger M.-P. Theorie geometrique des polynomes Eule- riens, Lecture Notes in Math., no. 138, Springer, Berlin, 1970. 8. Gardner M. Mathematical games, Scintific American 238 (May, 1978), 24—30. 9. Heath T. A. History of Greek Mathematics; vol. A), Dover, New York, 1981. 10. Jordan С Calculus of Finite Differences, Chelsea, New York, 1965. 11. Kleiman S. L. and Laksov D. Schubert calculus, Amer. Math. Monthly 79 A972), 1061—1082. 12. Knobloch E. Leibniz on combinatorics, Historia Math. 1 A974), 409—430. 13. MacMahon P. A. The indices of permutations..., Amer. J. Math. 35 A913), 281-322. 14. Netto E. Lehrbuch der Combinatorik, Teubner, Leipzig, 1900. 15. Niven I. Formal power series, Amer. Math. Monthly 76 A969), 871—889. 16. Stein P. K. A Brief history of enumeration, Advances in Applied Mathema- Mathematics, Metropolics. 17. Tutte W. T. On elementary calculus and the Good formula, J. Combinato- Combinatorial Theory 18 A975), 97—137. 18. Valiant L. G. The Complexity of enumeration and reliability probleme, SIAM J. Comput. 8 A979), 410-421. Упражнения [1+] I. Мы начнем с дюжины простых вычислительных за- задач. Найдите насколько возможно простое решение, а. Сколько подмножеств множества [10] = {1,2, ... ..., 10} содержат по крайней мере одно нечетное число? Сколькими способами можно рассадить семь че- человек по кругу? Два расположения считаются одинаковыми, если каждый имеет тех же соседей (не обязательно с той же стороны). Сколько перестановок я: [6]-v[6] удовлетворяют условию яA)=т^2? Сколько перестановок множества [6] имеют в точности два цикла (т. е. найти сF, 2))? Сколько разбиений множества [6] имеют в точ- точности три блока (найти SF,3))? Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каж- Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколь- Сколькими способами можно это сделать? Десять человек разбились на пять групп, по два в каждой. Сколькими способами это можно сде- сделать? Сколько разложений числа 19 состоит лишь из чи- чисел 2 и 3? Сколькими разными способами можно упорядо- упорядочить буквы в слове МИССИССИППИ, так чтобы четыре буквы «С» не стояли подряд. Сколько существует последовательностей (a i,a2, •¦¦ ..., аи), состоящих из четырех нулей и восьми единиц, таких что никакие два последовательных члена не являются нулями? В коробке лежат три синих носка, три красных носка и четыре цвета «шартрез»'). Восемь носков убрали, по одному за один раз. Сколькими спосо- способами можно это сделать? (Носки одинакового цвета неразличимы.) Сколько существует функций /: [5] ->-[5], удовлет- удовлетворяющих условию card f~l (п) ^ 2 для всех п е [] Ь. с. d. е. f. g. h. I. j. к. 1. 2. Дайте комбинаторные доказательства следующих тождеств (х,у,п,а,Ь — неотрицательные целые): Видимо, зеленый цвет. Шартрез —ныне исчезнувший ликер. — Прим.
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? К b ){ а )' т = min (а, Ь). Сколько существует на плоскости путей из точки @,0) в точку (n,fi)eNXN, если каждый отрезок пути имеет вид A,0) или @, 1) (т. е. является шагом длины 1 в восточном или северном направлениях)? Дайте комбинаторное доказательство. Установите обобщение этого факта на высшие размерности. Эта задача является прототипом результатов обширного предмета, касающегося подсчета путей в решетках. а. Покажите, что b. Найдите У Bп~1 )х\ Пусть / (т, п) — число путей из точки @, 0) в точку (т, n)eNXN, где каждый шаг имеет вид A,0), @, 1) или A, 1). a. Покажите, что Em>oZn>of(m. п)хтуп = A—х — — у — ху)~\ b. Найдите простое явное выражение для a. Пусть р — простое число и п = ? а^1, т = ? Ь{р* — р-ичные разложения целых чисел т, п. Покажите, что (:)-(:)(;:)•¦•<-»•. ( п\ b. Используйте (а), чтобы определить, когда I I Упражнения нечетно. Для каких п число 73 ("V нечетно при всех 0 ^ т ^ п? c. Из п. (а) следует (это можно также легко пока- / ра\ fa\ зать непосредственно), что I , )~( и )(то^Р)' Дайте комбинаторное доказательство того, что на ( ра\ ( а \ самом деле ( , ) = ( h I (mod p2). d. Если р ^ 5, покажите, что фактически Есть ли здесь комбинаторное доказательство? е. Дайте простое описание наибольшей степени про- ( п\ стого числа р, делящей I „ I ¦ \т J 7. Пусть т, neN. Дайте комбинаторное доказатель- доказательство тождества (( |) = (( 1 ))• \\tti } J \\п — 1 // 8. а. Пусть fli, a2, ..., о«еР. Покажите, что если разложить произведение C3) в многочлен Лорана от переменных х\, ..., хп (допускаются отрицательные показатели степени), то постоянный член есть мультиномиальный коэф- / «1 + «2 + • • • + ап \ фициент I I • Указание: сна- 1 \ л /it аъ ап чала докажите тождество -1 C4) а затем умножьте на выражение C3). Ь. Положите п = 3и выведите тождество a,b,c
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? с. Пусть q— добавочная переменная. Покажите, что если разложить произведение п <35) в многочлен Лорана от Х\ х„ (коэффициенты которого здесь — многочлены от q), то свободный член есть ^-мультиномиальный коэффициент а2 + + \ ли а2, d. Пусть Ае + а„ \ а„ У Если произведение разложено, как описано выше, покажите, что его постоянный член есть /Н/ЗН/5П fBn-3)k\f(n-l)k\ e. Пусть f(aua2, ..., an) обозначает постоянный член многочлена Лорана П 1=1 где все а* е N. Покажите, что „n-i а+„,... с 9. а. Найдите число разложений числа п> 1, имею- имеющих четное число четных частей. Естественно, предпочтительно комбинаторное доказательство. Ь. Пусть е{п), о(п) и k{n) обозначают соответствен- соответственно число разбиений п с четным числом четных ча- частей, с нечетным числом четных слагаемых и са- самосопряженных разбиений. Покажите, что е(п) — Упражнения о(п) = k(n). Есть ли здесь комбинаторное дока- доказательство? 10. Пусть 1 ^ k < п. Дайте комбинаторное доказатель- доказательство того, что среди всех 2"-1 разложений числа п k ^ )*2 р р встречается слагаемым всего (п — ^ + 3J Н 4 k 2 й "-*~2 раз. р ( ) р Например, если п = 4 и k = 2, двойка встречается один раз в 2 + 1 + 1, 1+2 + 1. 1 + 1+2 и дважды в 2 -+- 2, всего пять раз. П. а. Пусть \N\ = n, \X\ —x. Найдите простое явное выражение для числа способов, которыми можно выбрать функцию /: N-+X, а затем линейно упо- упорядочить каждый блок кообраза /. (Элементы множеств N я X предполагаются различимыми.) b. Сколько таких способов существует, при условии что / сюръективна? (Дайте простой явный ответ.) c. Тот же вопрос, что и в п. (а), но элементы мно- множества X неразличимы. (Дайте ответ в виде ко- конечной суммы.) 12. Пусть |Sj = n и зафиксируем SeP. Сколько су- существует таких последовательностей {ТиТ2, ..., Tk) подмножеств Г, множества 5, что Т\ s Г2 s ... ... =7*? 13. Зафиксируем п, k, /e Р. Сколько существует после- последовательностей вида 1 ^ а\ < аг < ... < ak ^ п, где a1+i — а,- ^= / для всех 1 ^ i ^ k — 1? 14. Числа Фибоначчи определяются формулами Fi=l, F2 = 1, Fn = Fn-\ -\- /„_2 при п ^ 3. Выразите через числа Фибоначчи: a. Число подмножеств S множества [п]={1,2, ... ..., п}, не содержащих никаких двух. последова- последовательных чисел. b. Число разложений п на части, превосходящие 1. c. Число разложений п на части, равные 1 или 2. d. Число разложений п на нечетные слагаемые. e. Число последовательностей (еь е2, ..., е„) нулей и единиц, таких что 61.^62^63^64^65^ ... f. X щп} ... ak, где суммирование производится по всем 2"-1 разложениям ai + a2+ ••• -\-ak = n. g. X Bai~' — l) ... Bа*~' — l), суммирование ведет- ведется по тому же множеству, что ив (f). h. X2*{':a'1=1}, суммирование ведется по тому же множеству, что ив (/).
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? i. Число последовательностей (бь бг бге) из ну- нулей, единиц и двоек, таких, что ни за одним ну- нулем непосредственно не следует единица. Зафиксируем i,«eP. Найдите простое выражение, использующее числа Фибоначчи, для числа последо- последовательностей G"ь Г2> • • •, Тп) подмножеств Г; мно- множества \k], таких, что Т\ <= Т2 э Т3 s Г4 э ... Пусть S.(n, k) обозначает шсло Стирлинга вто- второго рода. Из производящей функции ^„S(n,k)xn= ==¦ xkl{\ — х) A — 2х) ... A — kx) следует тождество S(n, k) = C6) где сумма берется по всем разложениям а.\ -\- + а2 ... + ак = п. Дайте комбинаторное доказа- доказательство формулы C6), аналогичное второму до- доказательству предложения 1.3.4. То есть мы хо- хотим сопоставить с каждым разбиением я множе- множества [п] на k блоков разложение а\ + а2 +• • • + ak = n, такое, что этому разложению соответ- соответствуют в точности lai~l2U2~l ... k"k~l разбиений я. а. Пусть п,1йеР, положим / = L&/2 J • Пусть S(n, k) обозначает число Стирлинга второго рода. Из рас- рассмотрения производящей функции докажите, что b. Дайте комбинаторное доказательство. c. Сформулируйте и докажите аналогичный резуль- результат для чисел Стирлинга первого рода. Пусть S(n, k) обозначает число Стирлинга второго рода. Определим Кп условием S(n, Kn)^ S(n, k) для всех k. Пусть / — решение уравнения t + i _„ Докажите, что достаточно больших п Кп'= У} или K j l В этом упражнении мы рассмотрим один метод обобщения разложения перестановок на непересе- непересекающиеся циклы с множеств на мультимножества. Мультщикл — это последовательность C = {i\,i2, ... ..., ik) положительных целых с возможными повто- повторениями, причем последовательности (i\, i2, ..., ik) и (ij,i/+u •••> ik, i\> ¦¦¦, ij-\) при 1^/^^ счи- Упражнения 77 таются эквивалентными. Введем переменные х\, х2, ... и определим вес С формулой w(C) = Xtl ... ... xik. Мультиперестановка есть мультимножество мультициклов. Например, мультимножество {1,1,2} допускает следующие мультиперестановки A) A) B), A1) B), A2) A), A12). Вес w(k) мультипереста- мультиперестановки n = C{C2 ... Cj задается равенством w(n) = = w(Cl) ... (C) а. Покажите, что где С пробегает множество всех мультициклов на Р, а я — все мультиперестановки на Р. Ь. Пусть pk = x\ -f х\ + • • • + • Покажите, что с. Пусть fh(n) обозначает число мультиперестановок на множестве [k] общего размера п. Например, f2C) = 14; данные мультиперестановки: A)A)A), A)A)B), A)B)B), B) B) B), A1) A), (И) B), A2) A), A2)B), B2) A), B2) B), A11), A12), B22). Выведите из (Ь) формулу I f(n)xn=Ed-kxr1. >0 i>l d. Найдите прямое комбинаторное доказательство пп. (Ь) или (с). 20. а. Имеется п квадратных конвертов разных разме- размеров. Сколькими способами их можно упорядочить по включению? Например, если п = 3, существует шесть способов, а именно: пометим конверты бук- буквами А, В, С (буквой А самый большой, а буквой С — наименьший), и пусть запись /е/ означает, что конверт / содержится в конверте /. Вот эти шесть способов: A), 0, B) В&А, C) Се Л, D) СеВ, E) ВеЛ, Се=Л, F) CeBei b. Сколько существует размещений, в которых суще- существует в точности k конвертов, не содержащихся ни в каком другом? Не содержащих никакого кон- конверта? 21. Пусть Pk(n) обозначает число разбиений п на k ча- частей. Зафиксируем t ^ 0. Покажите, что при «->-
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? -> + °° последовательность pn-t(n) становится в конце концов постоянной. Чему равна эта константа f(t)? Каково наименьшее значение л, для которого pn-t{n) = f(t)'? Ваши аргументы должны быть ком- комбинаторными. 22. Пусть РкЫ) определено, как и выше, и пусть qk(ri) — число разбиений п на k различных частей. Например, <7з(8) = 2; соответствующие разбиения есть 1 + 2+5 и 1+3 + 4. Дайте простое комбинаторное доказа- доказательство того, что qk \п + ( 2 JJ = pk(л). 23. Из огромного множества тождеств с разбиениями мы приводим здесь несколько похожих формул, имею- имеющих особенно простые и элегантные комбинаторные доказательства. а. A - X) A - X2) ... A - Xk) ' ь. По-</*')-'= I — лг) ... (l — xk) (I — qx) ... (l — qxk) Л 2 ) „к d. х* q* i>\ ft>0 l-x2)(l-x4)...(l-x2k) ¦ 24. а Логарифмическая производная степенного ряда F(x) определяется равенством -^-log F (#) = = F' (x)JF (x). Взяв логарифмическую производную степенного ряда Лп>ор(")хп = ~[[t>l A — xl)~\ выведите рекуррентное соотношение п п- р(п)= Е а @ р (« - /), где ff(i) — сумма всех делителей числа i. b. Дайте комбинаторное доказательство. 25. а. Дано множество 51= P. Пусть ps(«) (соответ- (соответственно ^s(«)) обозначает число разбиений п (со- Упражнения 79 ответственно число разбиений п на попарно раз- различные слагаемые), части которых лежат в мно- множестве 5. (Это специальные случаи функций р(9',п) следствия 1.4.5) Назовем пару (S,T), где 5, Т ^ Р, парой Эйлера, если ps(«) = Цт{п) для всех heN. Покажите, что (S, Т) пара Эйлера тогда и только тогда, когда 27 е Т (где 2Т = = {2i: ieT}) и S = T — 2T. b. Каков смысл случая S={1}, T = {\, 2, 4, 8, ...}? 26. Пусть К — разбиение целого числа п. Обозначим fkW — число появлений k в разбиении %, a gk{k) — число различных частей Я, встречающихся по мень- меньшей мере k раз. Например, f2C, 2,2,2,1,1)= 3 и ^C,2,2,2, 1,1) = 2. Покажите, что?/у(Х) = XgfcM.где 4еР фиксиро- фиксировано и суммирование в обоих случаях ведется по всем разбиениям К фиксированного целого пеР. 27. а. Пусть пеР и f(n) обозначает число подмно- подмножеств Z/nZ (вычетов по модулю л), сумма эле- элементов которых равна 0 в Z/nZ. Например, /D) = 4; соответствующие подмножества — 0, {О}, {1,3}, {0, 1,3}. Покажите, что =T E d I n'. d нечетно где ф обозначает функцию Эйлера из теории чи- чисел '). b. Если п нечетно, то легко показать, исполь- используя (а), что f(n) равно числу ожерелий (с точ- точностью до циклического поворота) из п бусин, каждая из которых покрашена в черный или бе- белый цвета. Дайте комбинаторное доказательство. (Это просто сделать, если п — простое число.) c. Обобщите. Исследуйте, например, сколько под- подмножеств 5 множества Z/nZ удовлетворяет усло- условию Yii^s p@ —a(m°drt), гДе Р — фиксиро- фиксированный полином и число aeZ/nZ фиксировано. 28. Пусть f(n,k) обозначает число последовательностей а\а2 ... ап положительных целых чисел,' таких, что первое появление / ^ 1 встречается раньше, чем пер- первое появление числа i+1 A^?^&—1), и при ф(п) есть число чисел, меньших п и взаимно простых с п.—Прим,
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? этом максимальное встречающееся число есть k (Предполагается, что каждое число 1, 2, ..., k встре- встречается по меньшей мере один раз.) Выразите f(n,k) через знакомые числа. Дайте комбинаторное доказа- доказательство. 29. Дайте комбинаторное доказательство того, что число разбиений множества [п], в которых ни одна пара последовательных целых чисел не оказывается в од- одном блоке, есть число Белла В(п— 1). 30. а. Пусть ffe(n) обозначает число перестановок я е ®„, имеющих k инверсий. Покажите из комбинаторных соображений, что для n^-k b. Выведите из (а), что при n~^k fk{n) есть поли- полином от п степени k и что его старший коэффици- коэффициент равен \/k\. Например, f2 (и) = у (п + 1) (п — 2) при л 15= 2. c. Пусть gk(n)—многочлен, значения которого при n^k равны fk(n). Найдите №gk{—п), т. е. вы- вычислите коэффициент a,j в разложении /-о 31. Пусть т(п) обозначает число рекордов, a i(n) (как обычно)—число инверсий перестановки п. Вычис- Вычислите производящую функцию Fix, q)= Z *т(яУ(я). 32. а. Перестановка а,\ ... ап множества [п] называется неразложимой, если п есть наименьшее положи- положительное целое среди всех /, для которых {ai, a2, ... ..., а,} = {1,2, ..., /}• Пусть f(n) — число неразложимых перестановок множества [л], и положим F(x) = Yin > о п^х"- до- докажите, что ? f{n)xn=\-F(x)-\ Ь. Элемент а, называется сильной неподвижной точ- точкой перестановки а\ .. ¦ ап, если (!) / < i =*¦ а/ < < а{ и B) / > I => а/ > а;. Пусть g(n) — число Упражнения 81 перестановок множества [л], не имеющих сильных неподвижных точек. Покажите, что Пусть Л„(я) — многочлен Эйлера. Дайте комбина- комбинаторное доказательство того, что-„ АпB) равно числу упорядоченных разбиений (т. е. разбиений, блоки которых линейно упорядочены) n-элементного мно- множества. На какой последовательности с= (сь ..., сп) е N" с условием Yi i°i== n достигается максимум числа перестановок я е <Вп, имеющих тип с? Пусть / — простое число. Положим « = 00 + ^/ + + aj,2 + ... =Оо. 0^а{^.1— I, для всех i^0. Пусть k( (n) обозначает число последовательностей с = (С[, с2 cJeN", YjiCi — n, таких, что число перестановок я е ©„ типа с не делится на /. Покажите, что где р(ао) — число разбиений ао. В частности, число последовательностей с, для которых нечетное число перестановок пе®я имеют тип с, равно 26, причем L«/2J имеет Ь единиц в двоичном разложении. а. Пусть F(x) = Yn>Qf(n)xn/n\. Покажите, что Ь. Найдите единственную функцию f: P->C, удов- удовлетворяющую условиям /A)=1 и An/(l)=f(n) для всех пеР. а. Пусть F (х) = У / (п) хп. Покажите, что . , X *—'я>0 * "г х b. Найдите единственные функции f, g:N-*C, удо- удовлетворяющие условиям А"/ @) = g (л), A2ng @) = е / \ л г»« i 1 'Л\ Л ? /f\\ t
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? с, Найдите единственные функции f, g: N-»-C, удо- удовлетворяющие условиям A"f(l) = g(tt), A2"g-@) = = f(n), tf»+lg@) = 0, /@)=l. 38. Пусть A — абелева группа всех многочленов р: Z-*C, таких что Dkp: Z-»-Z для всех 6<=N {Dk обозначает k-ю производную). Тогда А имеет f х\ базис вида рп(х) = сп\ I, «eN, где константа сп зависит только от п. Найдите явный вид с„. 39. Пусть Я, — комплексное число (или переменная), по- положим f(n)xn, Уь= I g(n)x\ >0 Покажите, что Это дает гораздо более эффективный метод подсчета коэффициентов гД нежели непосредственное исполь- использование формулы E). 40. Пусть fi, f2, ••• — последовательность комплексных чисел. Покажите, что существует единственная по- последовательность комплексных чисел а\, а2. •••, что F(x):=\+ [ Найдите выражение для at в терминах ^„-ых. Каковы аге, когда F (л:) = 1 + л; и /7(д;) = е'с/<1-дс>? 41. а. Пусть fl~u(x) обозначает обратный относительно композиций к f (х) = х-{-^1П>2апхп ^С[[х]] эле- элемент С [[*]], т. е. f<-l>(f(x)) = f(f<-b(x)) = x. Покажите, что f (—/ (—х)) — х тогда и только тогда, когда существует ряд^(л;) = лг+ ^п>2Ьпхп, такой, что f(x) = g<-lH-g(-x)). b. Покажите, что если f(—f(—х)) = х, то существует единственный элемент g(x), удовлетворяющий ус- условию п. (а) вида g(x) = x + Era>1 b2nx2n. c. Заметьте, что если/(я) =ух^7> tof (~f(~x))=x. Покажите, что ^~°(—g(— x))= t . 2je- тогда и только V тогда *-2п Упражнения , когда е~х Ьп+х*п имеет 83 вид d. Определите коэффициенты Ь2п единственного ряда g(x) = x-\- Еп>1 ^пХ2п, удовлетворяющего условию в(-«(-*))—ГТ5Г- 42. Зафиксируем l^^^tt. Сколько последователь- последовательностей целых чисел 1 ^ а, < йг < ••• * удовлетворяют условию а,- == i (mod 2) для всех г? 43. а. Дано ао = а, ах = р, а„+1=а„ + ап-| при п> Вычислите г/ = Е Ь. Дано «0=1 и а„+|=(«+1)а« —(^2 ja«-2 при п^О. Вычислите г/ = Х„>оа«Л;''/'г'- I , )а^«-г при г=0 \ I / . Вычислите у = > с'. Дано Оо=1 и 2а„+1 = У I )^art_< при Вычислите 44. Найдите простые замкнутые выражения для коэф- коэффициентов степенных рядов (разложения берутся в окрестности х = 0): '¦ b. i- c. sin(/ sin x), d. cos {t sin л;). 45. Следующая цитата — из «Нравоучений» Плутарха (VIII. 9, 732): «Хризипп говорит, что число сложных предложений, которые можно составить всего из де- десяти простых предложений превосходит миллион (Гиппарх, однако, опроверг это, показав, что утвер- утвердительных сложных предложений 103049, а отрица- отрицательных — 310952)»
84 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Т. Хис в «Истории греческой математики», т. 2, стр. 245, пишет, что «невозможно, кажется, получить хоть какую-нибудь из этих цифр». (Хис также заме- замечает, что один из вариантов чтения —101049 вместо 103049.) Можно ли, действительно, придать какой-нибудь смысл утверждению Плутарха? Решения упражнений 1. Здесь приводится один из возможных способов получения ответа. Возможно, есть другие такие же простые (нли даже проще) способы решить эти задачи. a. 210-25 = 992. b. '/2G-1I = 360. c. 5-5! (или 6!-5!) = 600. Решения упражнений 85 f. FL = 360. g. 1 .3-5-7-9 = 945. ¦ел- * 1. 2. а. Для любого данного «-подмножества 5 множества [л; + + я+1] существует наибольшее /, для которого #(Sf| П [х + i]) = i. Для данного i можно выбрать 5, состоящим из любого j-элементного подмножества [х + i] (( • I вариантов] и элементов {x-\~i-\~2, Jc 1}. 3, ..., + +} b. Первое доказательство. Выберем подмножество множества [п] и обведем кружком один из его элементов. Это можно Е( п\ /I . I способами. Наоборот, заключим в кру- кружок один из элементов [п] п способами и выберем 2"-1 способами подмножество из оставшихся элементов. Второе доказательство. (Оно не так комбинаторно.) Раз- Разделим тождество на 2". Теперь оно гласит, что среднее число элементов подмножества [п] есть п/2. Это следует из того, что каждое подмножество может быть объединено в пару со своим дополнением. c. Чтобы дать некомбинаторное доказательство, просто воз- возведем в квадрат обе части тождества (упражнение 4(а)) 2п и приравняем коэффициенты. Проблема поиска комбина- комбинаторного доказательства была поставлена П. Верессом и ре- решена Г. Хайошем в 1930-х годах. Недавно появилось дока- доказательство в D. J. Kleitman, Studies in Applied Math. 54A975), 289—292. См. также М. Sved. Math. Intelligencer, vol. 6, no. 4 A984), 44—45. d. G. E. Andrews. Identities in combinatorics, I: On Sorting two ordered sets. Discrete Math. 11A975). 97—106. Пусть ? = A,0), N =@,1). Путь соответствует последова- последовательности {N} и {Е}, содержащей т шагов Е и п шагов N. /т + п\ Существует I I таких последовательностей. В размерности d существует начала координат в точку (п\, . ничный координатный вектор. из ( I путей V пь ..., nd ) .., па), каждый шаг — еди-
а. A-4*Г1/? = Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? -4Г^. Теперь 2"-1 -3- ... -Bга— 1) _ Bд)! ~ («О2 ' га! Bп — \\ х Bп\ Ь. Заметьте, что I ) = т1 I, я > 0. Ь. Хотя существуют мощные общие методы решения задач такого типа, мы дадим здесь «наивное» решение. Предпо- Предположим, что путь содержит k шагов вида @,1) и, следова- следовательно, k шагов A,0) и п — k шагов вида A,1). Эти n + k шагов можно выбрать в любом порядке, так что 1? -1/2 а. Можно легко проверить, что (х + 1)р = л:р + 1 (mod/j), т. е. каждый коэффициент многочлена (*+ 1)р — (л;р + 1) делится на р. Следовательно, (х + 1)" = (х + l)Za«pi э Д {х"г + 1)°' (mod p) ^ /=о ( п\ Коэффициент при хт в левой части есть I I, а в пра- праРешения упражнений 87 вой — ( ,° I f , I .... Это сравнение взято из работы Lucas E. "buII.'soc; Math. France 6A878), 49-54. b. I 1 нечетно тогда и только тогда, когда двоичное разло- разложение т «содержится» в двоичном разложении п, т. е. i-й двоичный знак т нечетен только тогда, когда на i-м месте в разложении п также стоит единица. Следова- Следовательно Г") нечетно для всех 0 т п тогда и только тогда, когда n = 2k — 1. с. Рассмотрим расчерченный на квадраты прямоугольник С ра\ а X р. Выберем pb из этих квадратов I ,1 способами. Можно выбрать pb квадратов, составляющих b целых строк, 1Л) способами. В остальных случаях найдутся по крайней мере две строки, в которых будет находиться от одного до р — 1 квадрата. Будем циклически сдвигать квадраты независимо в каждой строке. Это дает разбиение множества выборов на классы эквивалентности ¦С) этих классов содержат единственный элемент; остальные содер- содержат число элементов, делящееся на р2. d. Продолжим рассуждения п. (с). Если выбранные pb эле- элементов заполняют менее чем Ъ — 2 целых строки, то мощ- мощность соответствующего класса эквивалентности делится на р3. Отсюда мы сводим задачу к случаю а = 2, 6 = 1. Теперь (р-1)*(р-2J ¦¦¦(/>- P-l k=l Но так как k пробегает от 1 до р— 1, то k~l также пробе- пробегает значения от 1 до р — 1 по модулю р. Следовательно, ?2(modp).
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Используем теперь, например, такое тождество yi ^2= /г (га- и получим У. k2 — 0 (mod о), р ^ 5. е. Показатель наибольшей степени р, делящей m число переносов, необходимое для сложения чисел т и п — т, записанных по основанию р. См. Е. Kummer. Jour. fur Math. 44A852), 115—116. и L. E. Dickson. Quart. J. Math. 33A902), 378—384. Будем интерпретировать выбор т объектов из п с возмож- возможными повторениями как расстановку п— 1 вертикальных черт в промежутках между т точками (включая промежутки в на- начале и в конце). Например, соответствует мультимножеству {Г, 22, 3°, 42, 52}. Поменяем теперь черточки и точки местами: • И- .11. II- и получаем {I1, 2°, З2,4°, 51, 6°, 7°}. Это дает требуемую биек- цию. (Разумеется, можно дать и более формальное описание, но оно, вероятно, только затемнит смысл построенной выше биекции.) а. Один из способов доказательства формулы C4) — вспом- вспомнить интерполяционную формулу Лагранжа. Именно если р(х) — многочлен степени, меньшей п, и х\, ..., хп — раз- различные числа (или неизвестные), то Теперь положим р(х) = 1 и х = 0. Применяя формулу, приведенную в указании, видим, что постоянный член С(аи ..., ап) удовлетворяет рекур- рекуррентному соотношению я С(аь .... ап) = ? С(щ, ..., at - 1, ..., ап) Решения упражнений 89 при а, > 0. Если, с другой стороны, ai — 0, имеем , ..., а^у 0, а(+1 an) = C(alt .... а^и ai+l, ..., ап). Этому рекуррентному соотношению также удовлетворяет ( щ + ... +ап\ выражение! I; начальные условия С @,0,... \ оь ..., ап J ( 0 \ ..., 0) = 1 и I I = 1 при этом совпадают. \ и, ..., о / Справедливость этого результата предположил Ф. Дж. Дайсон в 1962') году, а доказан он был в том же году Дж. Гансоном и К. Вилсоном. Элегантное доказа- доказательство, приведенное здесь, принадлежит И. Дж. Гуду A970). Дальнейшую информацию и ссылки см. в работе G. Andrews, ed., Percy Alexander Mac-Mahon, Collected Pa- Papers, Vol. 1, M. I. T. Press, Cambridge, Mass, 1978, pp. 377— 387. c. Это <7-аналог гипотезы Дайсона, см. G. E. Andrews, Theory and Application of Special Functions (R. Askey, ed.). Academic Press. New York, 1975, pp. 19,1—224 (см. § 5). Она была доказана в работе D. Zeibberger, Discrete Math. 54A985), с. 201—224. d. И. Г. Макдональд высказал гипотезу о справедливости обобщения формулы (а) на случай произвольной системы корней R. Данная задача соответствует случаю /? = Dn, в то время как (а) — случаю R =Ап-\ (если все а,- равны). Эта гипотеза была проверена А. Регевом для /? = Вп, Сп, Dn. Она остается открытой для алгебр ?б, Е7, Es, F* и G2. Макдональд также дал ^-аналог своей гипотезы, для ко- которого случай (с) соответствует Ап-\ (если все а/ рав- равны). См. I. G. Macdonald. Sem. d'Alg. Paul. Dubriel et Ma- rie-Paule Malliavin, Lecture Notes in Math, no. 867, Sprin- Springer, Berlin, pp. 90—97, и SIAM J. Math. Anal. 13A982), 988—1007. Гипотеза Макдональда (для произвольного q) для системы корней G2 была независимо проверена в ра- работах Habsieger, С. R. Acad. Sc. Paris (Serie I), 303 A986), 211—213, и D. Zeilberger, SIAM J. Math. Anal., (будет опубликована), a для корневых систем Вп, Сп и Dn — К. Кэйделлом (будет опубликовано). ^Любопытно, что эта задача возникла у Ф. Дайсона в связи с вычис- вычислением предельных спектров случайных матриц (см. Ф. Дайсон. Статисти- Статистическая теория энергетических уровней сложных систем. — М.: ИЛ, 1963).— Прим. ред.
90 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? е. Напишем: Решения упражнений 91 F(x) = . ai. at »n>OLi-l n л)] х - ' гг Г t - A - <?>" JUL L1 - <г ч ~ тт 1 + *< - ?* Мы ищем не зависящий от q член Fo(x). По интегральной формуле Коши (предположив, что х, малы) получаем dq 1+ (l+ACl)...(l+AC«) 2Я/ где интеграл берется по окружности |^|=1. Подынте- Подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке q —x( с вычетом *?-y(l — дс?) П; #1 (л;( — дсу) A — xtxf) и доказа - тельство следует из теоремы вычетов. а. Пусть ах + <к + • • • + ak — произвольное разложение числа п > 1. Если ах = 1, сопоставим ему разложение (af + Ог) + + а3 + ... + aft. Если щ > 1 — разложение 1 + (а, — 1) + + а2 + ... + а^. Это соответствие определяет инволюцию на множестве разложений п, меняющую четность числа четных частей. Следовательно, существует -~- с {п) = 2"~2 разложений с четным числом четных частей. (Обратите внимание на аналогию с перестановками: существует -j п\ перестановок с четным числом четных циклов — а именно элементов знакопеременной группы.) Ь. Легко видеть, что В конце разд. 1.4 было показано: П (!+*') = ПО-я"-1 (>1 <> Следовательно (заменив —х на л; и взяв обратные выра- выражения), получаем что следует из решения упражнения 23 (d). 0. Нарисуем в линию п точек и обведем кружком k последо- последовательных точки. Проведем вертикальные черты слева и справа от выделенных точек. Например, случай п = 9, k = = 3 изображен на рис. 1.12. Случай 1. Среди обведенных кружком точек нет кон- концевых. Тогда описанную выше процедуру можно произвести n — k—\ способами. Остается п — k — 2 промежутка ме- Рис. 1.12. Рис. 1.13. жду неотмеченными точками. Вставим не более одной вер- вертикальной черты в каждый из промежутков Bга-*-2 спосо- способами). Таким образом получается разложение числа п, причем одна из равных k частей отмечена кружком. Например, если рас- расставить черточки как на рис. 1.13, то получим 3+ 1 + 1 + Случай 2. Среди обведенных кружком точек есть конце- концевые. Здесь может быть два случая, и теперь существует п — k — 1 промежутков, куда 2п~к~1 способом можно вста- вставить черточки,
92 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Следовательно, получаем ответ (n-k-lJ"-ft-2+ 2 • 2n-k~1 = (п -k + 3Jn~k~2. 11. a. b. c Решения упражнений 93 12. Для каждого jeS можно определить наименьшее i (если существует какое-нибудь), что х е ТУ Для каждого л: имеет- имеется (й+1) вариантов, так что имеется всего (?+1)" слу- случаев. 13. Существует (n I последовательностей, содержащих k знаков / и n — (k—l)j — l единиц. По данной последовательности &, < Ь2 < ... < Ьт, где m = n — {k —1)(/— 1), положим S={l + &i + u2+ • • • +bt\ \^.i<m и й<+1 = /}. Это доставляет подходящую би- екцию. 14. а. Выведите рекуррентную формулу, рассмотрев те подмно- подмножества 5, которые содержат п и которые не содержат п. Ответ: Fn+2. b. Рассмотрите случаи, когда первое слагаемое равно 2 и когда оно не меньше 3. Ответ: Fn-\. c. Fn+u d. Рассмотрите случаи, когда первое слагаемое 1 и когда оно не меньше 3. Ответ: Fn. e. Рассмотрите случаи 8л = 0 или ея=1. Ответ: Fn+2- f. Следующее доказательство, так же, как доказательство пунктов (g) и (h), принадлежат Ире Гессель. Сумма ? аха2 ... ап есть число способов, которыми можно в п—1 промежутков, разделяющих п нарисованных в одну линию точек, вставить не более одной вертикальной чер- черты в каждый, а затем обвести кружком одну точку в каж- каждом отделении. Пример изображен на рис. 1.14. Заменим каждую черту единицей, каждую не помеченную круж- кружком точку двойкой, а каждую помеченную — снова еди- единицей. Например, рис. 1.14 превращается в 212211211111211122111211. Мы получили разложение 2п—1 на единицы и двойки. Это соответствие обратимо. Из п. (с) следует ответ: F^n- Можно дать простое доказательство через производящие функции, использующее тождество 15. Обозначим искомое выражение fk(ti). Для каждого t e [fe] независимо от других i' e [k] можно выбрать множества Т/, • • © • © • © © • • Рис. 1.14. © его содержащие. Следовательно fk(n) = fi(n)k. Вычисление /i(n) эквивалентно упражнению 14 (е). Следовательно, 16. Положим сумму ak + uk-i + ... + Ok+i-i равной наимень- наименьшему г, такому, что если удалить 1, 2, ..., г из л, получив- получившееся разбиение будет иметь k — i блоков. 17. а. Имеем: (\-x)(\-2x)...(\-kx) • (mod 2). О других сравнениях с числами S(n,k) см. Carlitz L. Acta Arith. 10A965), 409—422. b. Комбинаторное доказательство было найдено К. Коллин- Коллинзом. 18. Canfield E. R. Studies in Applied Math. 59A978), 83—93. 19. b. Во-первых, заметим, что Pi ~ Aj Aj d(w (A)) , C7) d\n A где А пробегает множество всех апериодических циклов длины d (т. е. циклов длины d не равных своему нетож- нетождественному циклическому сдвигу). Теперь подставьте C7) в разложение log XT A — Рк)~1 и упростите.
94 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Решения упражнений 95 20. Этот результат неявно содержится в работе Р. К. Лин- дона (см. ссылку [4.21], теор, 5.1.5). См. также N. G. de Bruijn, D. A. Warner, SIAM J. Alg. Disc. Math. 3 A982), 359—368. Результат в явной форме был получен И. Гес- сель (не опубликовано). Другая теория перестановок мультимножеств, принадлежащая Д. Фоате, хорошо из- изложена в § 5.1.2 книги Д. Е. Кнута, The Art of Computer Programming, vol 3, Addison-Wesley, Reading Mass., 1973.') с. Положите xi= ... = xk = x и Xj = 0, если / > k. Пометим конверты 1, 2, ..., n в порядке убывания раз- размеров. Введем частичный порядок на размещениях конвер- конвертов, упорядочив их по включению, и добавим сверху корень, помеченный нулем. Мы получили (неупорядоченное) воз- возрастающее дерево с п+1 вершиной и это соответствие, оче- очевидно, обратимо. Следовательно, из предложения 1.3.16 всего существует п\ размещений, в c(n,k) из которых k конвертов не содержатся ни в каком другом и в A(n,k) из которых k конвертов не содержат других. Вычтите единицу из каждой части разбиения п на п — t ча- частей , чтобы вывести, что pn-t(n) = p(t) тогда и только тогда, когда п ^s 2t. 22. Разбиение Xi ^s Х% ^ ... ^ Xk соответствует разбиению Х\-\- k — \ > %2-\- k —¦ 2 > ... ¦ > Xk. 23. а. Коэффициент при qkxn в левой части равен Pk(n), так же как и коэффициент при хп в xk/(l — х) • (I—х?) ... ... A-**). Ь. Разбейте диаграмму Ферре разбиения X, как обозначено на рис. 1.15. Здесь А — наибольшая квадратная поддиа- поддиаграмма, называемая квадратом Дюрфи разбиения X. Тогда В —разбиение на не более чем k частей, в то время как С — разбиение, наибольшая часть которого не пре- превосходит k. Следовательно, коэффициент при qmxn в i и V 1 21 4 A_*)...A_**) (\-qx)...{\-qxk) равен числу разбиений п на m частей, причем квадрат Дюрфи имеет длину k. Теперь просуммируйте по k. c. Используйте упражнение 22. d. Предположим, что X — самосопряженное разбиение п, то есть X' = i. Разобьем диаграмму Ферре %, как пока- !> Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 3. Сортировка и поиск. — М.: Мир, 1978. — Прим. перев. зано на рис. 1.16. Число точек в последовательных «крю- «крюках» определяет разбиение п на различные нечетные сла- слагаемые, а число частей (или крюков) равно длине сто- стороны квадрата Дюрфи диаграммы Я. С другой стороны, разобьем диаграмму Ферре, как показано на рис. 1.17. к Рис. 1.15. В дополнение к квадрату Дюрфи длины k имеем разбие- разбиение, наибольшее слагаемое которого не превосходит k и сопряженное ему. Отсюда легко следует доказательство. Рис. 1.16. Рис. 1.17. Также легко можно доказать (d), сделав подстановку ¦х2, q- ¦qx~l в (с). Некоторые близкие результаты принадлежат Эйлеру и подробно изложены в § 303 книги P. A. MacMahon, Com- binatory Analysis, vol. 2, Cambridge University Press, 1916; перепечатано Chelsea, New York, 1960. Эту задачу поставил Дэйл Ворли. Каждому числу i: I ^ <: i <: п, каждому разбиению К числа п — in каждому делителю d числа i мы хотим сопоставить cf-элементное мультимножество М разбиений п, так чтобы каждое раз- разбиение п встретилось в точности п раз. Сопоставим просто разбиению X d копий разбиений, полученных присоедине- присоединением i/d чисел d к X.
96 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Решения упражнений 97 25. а. См. [1], следствие 8.6 Ь. Ясно, что ps(«)=l для всех п, так что утверждение <7s (п) = 1 есть в точности утверждение о единственности двоичного разложения п. 26. С каждым разбиением К числа п и каждой частью / разбие- разбиения X, встречающейся не менее k раз, нам нужно так свя- связать разбиение ц числа п, чтобы данное разбиение ц в об- общей сложности появлялось столько раз, каково число mk([n) частей (х, равных k. Чтобы сделать это, просто заменим k слагаемых / в q на / слагаемых к. Например, п = 6, k = 2: Следовательно, j 2n/d, d нечетно, I '0, d четно. Так как существует q>(d) значений /е[п], для которых t,' — примитивный корень d-n степени из единицы, полу- получаем =! Z 1 1 111 2 1 1 3 1 4 1 1 2 2 11 2 2 11 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 11 Доказательство, основанное на использовании произво- производящих функций, дано в работе М. S. Kirdar and Т. Н. R. Skyrme. Canad. J. Math. 34A982), 194—195. Приведенная здесь биекция также есть в работе А. Н. М. Ноа- re. Amer. Math. Monthly 93 A986), 475—476. 27. а. Положим P(x) = (l + x)(l + х2) ... A + *") = ?feSsOaft**- Пусть ? = е2ш'/" (или любой примитивный корень п-п сте- степени из единицы). Так как для каждого целого k Ес"= п, если п | k, 0 в противном случае, имеем Если теперь ?' — примитивный корень d-й степени из еди- единицы (так что d = n/(j, n)), то и, положив х = —1, получаем 2, d нечетно, о, „четн0, Дальнейшие результаты в этом направлении см. R. Stanley, M. F. Voder. JPL Technical Report 32—1526, Deep Space Network 14A972), 117—123, и A. Odlyzka, R. Stanly. J. Number Theory 10A978), 263—272. b. Предположим, что п — нечетное простое число. Отожде- Отождествим бусины ожерелья с элементами Z/nZ очевидным способом. Пусть SsZ/nZ—множество черных бусин. Если БФ0 и ЭФХ/ги,, то существует единственный элемент oeZ /nZ, для которого Множество {х-\- а : х ^ S} представляет такое же оже- ожерелье (с точностью до циклической симметрии), так что мы сопоставили с каждым неодноцветным ожерельем под- подмножество, сумма элементов которого равна 0. Сопоста- Сопоставим ожерелью из одних черных бусин подмножество 5 = 0, а из одних белых — подмножество S = Z/nZ. Мы получили требуемую биекцию. 28. Мы утверждаем, что f(n,k) есть в точности число Стирлинга второго рода S(n,k). Нам нужно сопоставить каждой та- такой последовательности а\а2 ... ап разбиение множества [п] на k блоков. Просто объединим i и / в один блок, если а, == а/. Это дает желаемую биекцию. Дальнейшие сведения см. S. Milne, Advances in Math., 26A977), 290—305. 29. Для данного разбиения я множества [п—1] пусть /, г-f- + 1, ..., /: / > i — максимальная последовательность двух или более последовательных целых чисел, содержащихся в некотором блоке я. Удалим /—1, / — 3, j — 5 ... из этой последовательности и поместим их в блок, содержащий п. Проделав это для каждой такой последовательности j, i + + 1, ..., /, получим желаемую биекцию. См. Н. Prodinger. Fibonacci Quart. 19A981), 463—465. 4 Р. Стенли
98 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Решения упражнений 99 Пример. Нсли я = 1456—2378, то получаем 146—38—2579. 30. а. Пусть перестановка п — а^ ... ап+1 е<Зя+1 содержит k инверсий, n^k. Существует fk(n) таких л, удовлетво- удовлетворяющих условиюап+1 = «+ 1. Еслиа, = п + 1 и i < п-\-1, мы можем поменять at и а/+1 местами, получив пере- перестановку я'е©„+1 с k— 1 инверсиями. Так как n~^k, любая перестановка n' = blb2 ... ftn+ie@n+1 с k — 1 ин- инверсиями удовлетворяет условию ЪхФп-\-\ и может, следовательно, быть получена из перестановки яе@„ + 1 с k инверсиями описанным выше способом. b. Используйте индукцию по k. c. Из следствия 1.3.10 имеем ft>0 * > о Следовательно, если П A — ?') = ? &;<7;> то /=-с /г. C8) Замечание. Хорошо известное тождество Эйлера гласит так что коэффициенты (— \)j bk_,- в формуле C8) можно вычислить явно (в частности, все они равны 0 или ±1). См. с. 15—16 Knuth D. E., The Art of Computer Programming, vol. 3, Addison —Wesley, Reading, Mass., 1973"). 31. Рассуждая аналогично доказательству предложения 1.3.9 и следствия 1.3.10, получаем F(x, <7) = П(* + <7 + <72+ ... +<Д 32. а. В начале установите рекуррентную формулу tf(i)(n-j)\ = n\, п>\. Эта задача иллюстрирует, насколько несущественна сходимость для производящих функций. См. Comte L. С. R. Acad. Sci Paris 275 АA972). b. (И. Гессель) Теперь имеем ') Страница 34 русского издания. — Прим. перев. где положим g@)= 1. 33. Имеем у Ап B) =- ^ Л (п, k) 2k, где А (п, k) перестановок множества [п] имеют k спусков. Таким образом, нам нужно сопоставить упорядоченному разбиению т множества [п] пару (я, 5), где я е @„ и S^D(n). Для данной переста- перестановки п = а\а2 ... а„ нарисуем вертикальную черту между а,- и a,-+i, если й; < а,+! или если а,-> a,-+i и i^S. Множе- Множества, содержащиеся между чертами (включая начало и ко- конец) определяют т, будучи прочитанными слева направо. Пример, я = 724531968, 5 ={1,5}. Пишем 7|2|4|53| 1196|8, так что т = G, 2, 4, 35, 1, 69, 8). 34. Ответ: Ci = cn_i —1, все остальные с,- равны 0. 35. Число перестановок я е ©„ типа с равно tt!/lClC]! ... n°ncn\. Нетрудно видеть, что это число взаимно просто с / в том и только том случае, когда, полагая k = ci, имеем /п, \ С\~^{пх— k)l, где I , I взаимно просто с /. Из упраж- упражнения 6 легко следует, что число биномиальных коэф- коэффициентов I , I, взаимно простых с /, есть ТТ (at-{-\). Доказательство следует из того, что (cl—(n1 — k)l, с2, . .., Ci_i) может быть типом произвольного разбие- разбиения а0. Этот результат впервые появился в книге I. G. Macdo- nald. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press, 1979, Упр. 10 Гл. 1.2. [Имеется русский пе- перевод: Макдональд И. Симметрические функции и много- многочлены Холла. — М.: Мир, 1985.] Доказательство, приведенное здесь, содержится на стр.260— 261 работы R. Stanley. Bull. Amer. Math. Soc. 4A981), 254— 265. 36. а. Используйте B7). b. Из п. (a) e~xF'(x) = F(x), отсюда F(x) = ee ~l, так что f (n) — число Белла В(п). 4*
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? а. Дальнейшие сведения, связанные с этой задачей и упраж- упражнением 36 (а), см. D. Dumont in Scminaire Lotharingien de Combinatoire 5 eme Session, lnstitut de Recherche Ma- thematique Avancee, Strasbourg, 1982, 59—78. Ь.Вычисляем f@)=l, f(l) = 2, fB) = 6, fC) = 20, ... Bn\ Возникает предположение /(«) = ( I и F (x) := (я)л:" = A -4x)~m. Из (а) тогда имеем G(x):= проверить предположение, достаточно убедиться, что ТХ—^ (-гх—)==-';'(Л;2)> что делается непосредственно, с. (Предложено Л. Шапиро.) Вычисляем f@)=l, /A) = 1, fB) = 2, fC) = 5, /D) = 14, ... 1 С 2п\ Следовательно, предполагаем / (п) = t I I и F (х) := ? f(n) хп = -±- A - A - 4хI/2). Тогда F, (х) := так что из п. (а) 1/2\ Чтобы подтвердить предположение, нужно проверить, что -7—.— G (-гА-—)-=F(x2), что делается обычным способом. Числа f(n) называются числами Каталана. Ответ: с„ = XI р'"/р', гДе Р пробегает множество^всех про- р стых чисел. Следовательно, со^1, С\ = 1, Сг = 2, с3 = 6, с4=12, с5 = 60, с6 = 360 и так далее. См. Е. G. Strauss. Proc. Amer Math. Soc. 2A951), 24—27. Положим z = y% и приравняем коэффициенты при х"-1 в обеих частях равенства (К-\- \)i/z = (yz)'. См. Н. W. Gould. Amer. Math. Monthly 81 A974), 3—14. Пусть log F (x) = ёпХп. Тогда Следовательно, Решения упражнений 101 так что из формулы обращения Мёбиуса (из элементарной теории чисел) ~~ (n/d). C9) d | п Имеем \-\-х=(\—х)-1(\—х2) (здесь нет необходимости пользоваться формулой C9)). Если F(x)= ex/<-l~x), то gn = 1 для всех п, так что из формулы C9) имеем ап = (р(п) /п, где ф — функция Эйлера. b. Используйте индукцию по п. c. Сначала покажите следующее: (см. упражнения 36 (а) и 37 (а)). 2. Для любых функций f(х) = х + Т^п>2апхП и h(x) = = х -\-^п^2Ьпхп имеем /*""(—/(—х)) = Л<~ '(—h(—л;)), тогда и только тогда, когда f(x)lh(x) — нечетная функ- функция (т. е. f(-x)/h(-x) = -f(x)/h(x)). d. Ответ: b2n = t2n-u ГД^ th x = Sn>i hn-\x2n~ll{2n— \)\. Позже (в разд. 3.16) мы увидим, что (—1)"~ t2n-i есть число чередующихся перестановок в ©2n+i> Пусть bl==ai — i-\~ 1. Тогда 1 <! Ьх ^ Ь2 ^ ... ^ bk ^ ^п — k-\- 1 и каждое Ьг нечетно. Обратно, по данным bt можно однозначно восстановить а,-. Поэтому, положив — число нечетных целых в множестве n + k I 3J. где <? = Это упражнение называется задачей Теркема. Обобще- Обобщение см. в работе М. Abramson, W. О. Moser. J. Combinatorial Theory 7A969), 162—170, и J. Combinatorial Theory 7A969), 171 — 180. a. y = (a + (fl-a)x)/(l-x-x2). b. Рекуррентное соотношение приводит к у' = (хуУ—%х2У> у@)=\. Таким образом, г/ = A — л:)~1/2ехр Г-у + -j-J . c. Получаем 2у' = у2-\-\, у@)=\, откуда у = tan Г-у + -^-J = tan x + sec x.
102 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика? Значение этой производящей функции будет объяснено в разд. 3.16. ( 1 \~' с'. Здесь мы имеем 2у' = у1, у @) = 1, откуда у = ( 1 —~- х \ Таким образом, ап = 2~пп\. 44. а. Л 2/2пЧ с. ? (-1)" / (/2 - I2) (/2 - З2) . . . (t2 - Bл - IJ) Bи+ 1)! d. - 22) (/2 - 42) . . . (i2 - Bя - 2J) Чтобы решить (с), например, увидим сначала, что коэффициент при х2п+1/Bп -\- 1)! в sin (t sin (x)) — мно- многочлен Pn(t) степени 2/г + 1 и старшим коэффициентом (—1)". Если 4eZ, to sin Bk -f- 1)9 — нечетный много- многочлен от sin 9 степени 26-j- 1. Следовательно, Рп(± Bk + 1)) = 0 при п > k. Далее sin 0 = 0, так что Р„@) = 0. Теперь мы обладаем достаточной информацией, чтобы определить единственным образом Pn(t). Чтобы получить формулу (Ь), рассмотрите коэффициент при t2 в (d). 45. В соответствии с нашими определениями число сложных предложений, которые можно построить из десяти простых предложений, равно 22 . Представляется невероятным, что Гиппарх, который был замечательным математиком, мог быть так далек от истины. Другая возможная интерпрета- интерпретация такова. «Сложное предложение», возможно, есть объ- объединение непересекающихся множеств простых предложе- предложений. В этом случае Гиппарх пытался сосчитать число Белла В(Ю)= 115975. Вероятно, выражение «отрицательных» озна- означает, что по меньшей мере одно из простых предложений не используется в разбиении, так что 310952 — вычисленное Гиппархом значение ВA1) — ВA0) = 562595. Согласимся, что это значение В (II) — В A0) вычислено не так точно, как значение ВA0). Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕТА 2.1. Включение — исключение Говоря нестрого, «метод решета» в перечислительной комбина- комбинаторике есть метод определения мощности множества S, кото- который начинает с большего множества и каким-либо путем вычи- вычитает или аннулирует нежелательные элементы. Существуют два основных варианта методов решета: A) Мы можем сначала дать приблизительный ответ, взяв большее число элементов, за- затем вычесть число элементов, большее, чем ошибка, полученная на первом шаге, н так далее до тех пор, пока после конечного числа шагов мы не придем к правильному ответу. Это комби- комбинаторная сущность принципа включения — исключения, кото- которому посвящены этот и следующие четыре раздела. B) Элемен- Элементам большего множества можно приписать вес естественным комбинаторным способом так, чтобы нежелательные элементы аннулировались и осталось первоначальное множество S. Мы обсудим эту технику в разд. 2.5—2.7. Принцип включения — исключения — одно из фундаменталь- фундаментальных средств перечислительной комбинаторики. Говоря абстракт- абстрактно, принцип включения — исключения есть не более чем вычис- вычисление матрицы, обратной к некоторой другой матрице. Как та- таковой он является простым частным результатом линейной ал- алгебры. Красота этого принципа лежит не в самом результате, а в его широкой применимости. Мы дадим несколько примеров задач, которые можно решить применением принципа включе- включения— исключения, некоторые из них решаются несколько более тонким методом. Сначала мы установим этот принцип в самом чистом виде. 2.1.1. Теорема. Пусть S — п-множество. Пусть V — 2п-мерное векторное пространство (над некоторым полем k) всех функций f: 2s ->-&. Пусть ср: V ->- V — линейное преобразование, опреде- определенное формулой <ff(T)= S f(Y) для всех T<=S. A)
104 Гл. 2. Методы решета Тогда преобразование qH существует и определяется формулой <P~lf(T)= ? (-1)|У~Г|/A') для всех T<=S. B) Доказательство. Определим отображение \|г. V-*- V формулой ¦ф/(Т) = ?у =,т(—1) /(^). Тогда (композиция берется справа налево) у эг EI « ч| У —Т I V \—ч 2-i Y=>T Z=>Y Z=>T\Z=>Y=>T Полагая m=\Z — Г|, имеем 2.1. Включение — исключение 105 Z==Y=>T » = 0 (Z, 7" фик- фиксированы) так что ф1|)/(Г) =/(Г). Следовательно, Ф^/ = /, так что i|)=qH. ? Ниже приводится типичная комбинаторная ситуация исполь- использования теоремы 2.1.1. Мы представляем S как множество свойств, которыми элементы некоторого данного множества объектов А могут обладать, а могут и не обладать. Для любого подмножества Т множества S пусть f = (Т) — число объектов в множестве А, которые обладают в точности свойствами из Т (так что они не обладают свойствами из подмножества Т = = S — Т). (Более общим образом, если w: A-*-k — произволь- произвольная весовая функция на А со значениями в поле (или абелевой группе) k, то можно было бы положить f_(T) =^х^(х), где х пробегает все те объекты из А, обладающие в точности свой- свойствами из Т.) Пусть f>(T) — число объектов А, обладающих по меньшей мере свойствами из Т. Ясно, что тогда Следовательно, из теоремы 2.1.1 C) D) В частности, число объектов, не имеющих ни одного свойства из множества S, дается формулой -1)'1'1/>(У). E) где Y пробегает все подмножества S. В типичных приложе- приложениях принципа включения— исключения относительно легко бу- будет вычислить f>(Y) для Y^X, так что D) будет окончатель- окончательной формулой для /= (Т). В уравнении D) f^{T) (член Y=T) считают первым при- приближением для /=(Г). Затем мы вычитаем чтобы получить лучшее приближение, снова прибавляем и так далее, пока, наконец, не получим точную формулу D). Это объясняет терминологию «включение —исключение». Возможная стандартная формулировка принципа включе- включения — исключения состоит в том, что свойства сами по себе не объединяют в одно множество S, а рассматривают подмноже- подмножества множества А. Таким образом, пусть А\, ..., Ап — подмно- подмножества конечного множества А. Для каждого подмножества Т множества [п] положим (с условием А0 = А) и для 0 ^ k ^ n положим Sk= E \АТ\; \T\-k F) это сумма мощностей (или более общим образом — взвешен- взвешенных мощностей w(AT)= S w(x)) A по всем /г-наборам пересечений множеств Л,-. Будем считать, что множество Л; определяет свойство Р,- в том смысле, что хёЛ удовлетворяет свойству Р, тогда и только тогда, когда хеЛ,-. Тогда Ат есть в точности множество объектов из Л, обладаю- обладающих по меньшей мере свойствами из множества Т, так что из формулы E) число #(Л1(~| ••• 0An) элементов множества Л,
106 Гл. 2. Методы решета не принадлежащих ни одному из множеств /Ц дается формулой # (Л, П ¦ • • Г) Л„) = S0 - S, + S2 - ... + (-l)nSn, G) nnrt О —^— I A _ 1 —— I /j I 1 ДС O|) I Л0 I I ^1 |. Можно дать двойственную формулировку принципа включе- включения— исключения в его различных вариантах, заменив (~) на U, Е на з (и обратно) и так далее повсюду. Двойственная форма теоремы 2.2.1 гласит, что если 4Pf'C0= E f(Y) Для всех T^S, YsT то отображение ф существует и дается формулой Ф"'/(Л= Е (-l)]T~Y4(Y) для всех rss. YsT Аналогично если обозначить f<(T) (взвешенное) число объ- объектов из А, обладающих свойствами не более чем из множе- множества Т, то = Z (- (8) Распространенным частным случаем принципа включения — исключения является выполнение условия f=(T) = f=(Tr), как только |Г| = |Г'|. Таким образом, f>(T) зависит также только от |Г|, и полагаем а(п —i) = f={T) и b(n —i) = f>(T), если \T\ = L (Предостережение: Во многих задачах множества объ- объектов А н свойств S будут зависеть от параметра р и функции a(i) и b(i) могут зависеть от р. Например, а@) и 6@) — коли- количества объектов, обладающих всеми свойствами, и эти числа мо- могут, конечно, зависеть от р. Предложение 2.2.2 посвящено тому случаю, когда a(i) и ЬA) не зависят от р.) Из формул C) и D) мы, таким образом, получаем, что формулы (m) = (9) A0) 2.2. Примеры и частные случаи Другими словами, матрица, обратная к (п 107 1) X (п + 1) ма- матрице, (г, /)-элемент которой (О^г, j ^.п) есть ( ¦ ). имеет в качестве (г, /)-элемента (—I)'! . )• Например, -1 0 0 -0 1 1 0 0 1 2 1 0 1  3 3 1 -1 1 '¦' Г 1 0 0 -0 J 1 0 0 1 о 1 0 -1- 3 -3 1 - Конечно, можно положить п стремящимся к оо, так что фор- формулы (9) и A0) эквивалентны и при п = со. Заметьте, что на языке исчисления конечных разностей (см. гл. 1, уравнение B7)) формула A0) может быть переписана в виде 2.2. Примеры и частные случаи Каноническим примером использования принципа включения — исключения является следующий. 2.2.1. Пример. («Задача о беспорядке» или «задача о встречах»). Сколько перестановок п е <3„ не имеют неподвижных точек, то есть пA)ф1 для всех i'e[n]? Такая перестановка называет- называется беспорядком. Обозначим это число D(n). Тогда ?>@)=1, ?>A) = 0, DB)=l, DC) = 2. Будем рассматривать условие n(j) = t как i-e свойство перестановки п. Тогда число пере- перестановок, имеющих неподвижные точки по меньшей мере из Т s [п], есть f>(T) = b{n — i) = (n — г)!, где \Т\= i (так как мы фиксируем элементы множества Т и произвольно переставляем оставшиеся n — i элементов). Следовательно, из формулы A0) число /_ @) = а(п) = D(n) перестановок без неподвижных то- точек равно эквивалентны. D(n) = Последнее выражение можно переписать в виде D{n) = rif* ' ' ' — ' L (~-)Я (И) A2)
108 Гл. 2. Методы решета 2.2. Примеры и частные случаи 109 Так как е ' == ?/>0(— 1O/'. т0 из формулы A2) видно, что «!/е — хорошее приближение для D(n), и в действительности нетрудно показать, что D(n)—ближайшее целое к п\/е. Из фор- формулы A2) также немедленно следует, что при п ^ 1 D(n) = (n— A3) A4) Хотя дать прямое комбинаторное доказательство формулы A4) просто, значительно больше труда требует комбинаторное до- доказательство формулы A3) (см. упражнение 4). В терминах производящих функций имеем 2 Р(п)хп я! 1 — X Функция 6 (г) = г! имеет очень специальное свойство — она зависит только от i, но не от п. Эквивалентным образом число перестановок, множество подвижных точек которых лежит в мно- множестве Ге[л], зависит только от |Т|, но не От п. Это означает, что формулу A1) можно переписать на языке конечных раз- разностей (см. гл. 1, уравнение B7)) в виде (Сокращенная запись Д!). Так как число b(i) перестановок из ©„, подвижные точки которых содержатся в некотором опре- определенном /-множестве, зависит только от i, то же верно и для числа а (г) перестановок ©„, имеющих в качестве множества подвижных точек некоторое определенное /-множество. Из ком- комбинаторных соображений ясно, что a(i) = D(i); это также оче- очевидно из формул A0) и A1). Сформулируем общий результат, который следует из приве- приведенного выше рассмотрения. 2.2.2. Предложение. Для каждого neN пусть Вп— (конечное) множество и Sn — множество п свойств, которыми элементы мно- множества Вп могут обладать или не обладать. Предположим, что для любого Т ^ Sn число таких элементов х <= Вп, что свойства, которыми они не обладают, содержатся в множестве Т (т. е. эти элементы имеют по меньшей мере все свойства из Sn—Т), за- зависит только от \Т\, но не от п. Пусть bn = cardВп и а(п) — число объектов х^Вп, не обладающих ни одним свойством из S,,. Тогда а(п) = \пЬ@). П 2.2.3. Пример. Рассмотрим пример, к которому неприложимо предыдущее предложение. Пусть h(n) — число перестановок мультимножества Мп= {I2, 22, ..., п2}, никакие два последо- последовательных члена которых не равны. Таким образом, /t@)= 1, /t(l) = 0 и hB) = 2 (соответствует перестановкам 1212 и 2121). Пусть А — множество всех перестановок я мультимножества Мп и Pi для 1 ^ j =S^ n — свойство перестановки я иметь после- последовательными членами два числа i. Тогда мы ищем f= @) = h(n). Из соображений симметрии ясно, что при фиксированном п /^(Г) зависит только от /=|Г|, так что обозначим g{i) = =/¦>(Т). Ясно, что g(i) равно числу перестановок л мультимно- мультимножества {1, 2, ..., i, (i+1J, ..., п2} (замените каждое число / ^ i, встречающееся в я, двумя последовательными членами, равными /), так что Заметьте, что b{i):=g{n — i) = (n + i)\2~l не является функ- функцией лишь от i, так что предложение 2.2.2 в действительности неприменимо. Однако из формулы A0) получаем, что Сейчас мы обратимся к примеру, в котором окончательный ответ можно представить в виде некоторого определителя. 2.2.4. Пример. Напомним, что в гл. 1 (разд. 1.3.3) мы опреде- определили множество спуска О(я) перестановки я = а\а2 ¦ ¦ ¦ ап множества [п] условием D(n) = {i: on > ai+i}. Наша цель те- теперь— получить выражение для числа P«(S) перестановок яе е <3„ с множеством спуска S. Пусть an(S) — число перестано- перестановок я ^ ©л, множество спуска которых содержится в S. Таким образом (как отмечено в гл. 1, уравнение A6)), TsS откуда из формулы (8) Напомним также, что если 1 ^ st < s2 ... < s& менты множества S, то из предложения 1.3.11 an(S) = 1 — эле-
элеПО Поэтому Гл. 2. Методы решета A5) Мы можем переписать формулу A5) в другом виде следующим образом. Пусть / — любая функция, определенная на множе- множестве [0, k + 1] Х[0, k + 1], удовлетворяющая условиям /(/,/) = = 1, f(i,j) = O при i > /. Тогда члены суммы лк= ? (-1)^7@, «,)/(/„ у ... /(»„ *+ и 1<(,<г2... <ij<k есть в точности ненулевые слагаемые в разложении определи- определителя (&+1)Х(&+1) матрицы, (г, /)-элемент которой есть /(г> /+ 1). (г, /)^[0> Ь\ X [0. &]• Следовательно, если положить f\i, j) = l/(Sj — S;)! (с условиями so = O, sfe+1=n), из фор- формулы A5) получим, что + I-s()!], A6) (г, /)е[0, fe]X[0. ]• Например, если п~8 и _L _L _L И 5! 8! J L = {1, 5}, то 1 J_ _L 1Г 7! о 1 4т = 217. С помощью элементарных преобразований (детали оставляются читателю) выражение A6) можно записать в виде A7) где (i,j)e=[0,k]X[0,k], как и ранее. 2.2.5. Пример. Можно получить «^-аналог» предыдущего при- примера ценой небольшой дополнительной работы. Мы ищем неко- некоторую статистику s(n) перестановки я е ©„, такую, что V П —Sk A8) D(n)!=S где элементы множества S, как и выше, таковы: \ ^.sl < s2< ¦ ¦ ¦ ... <sft<Jn — 1. Затем мы автоматически получим ^-аналог формул A5), A6) и A7). Мы утверждаем, что формула A8) 2.2. Примеры и частные случаи 111 имеет место, если s(n) = i(n) — число инверсий перестановки л. Чтобы уВИДеТЬ ЭТО, ПОЛОЖИМ /t = St, ^2 = 5,-5^ ..., tk + 1 = = rt — sk. Пусть M — {ll\ ..., (?+l/fe+'}. Напомним, что из предложения 1.3.17 A9) I tl, t2, . . . , tk + 1 Теперь по данной перестановке cr e S (M) определим переста- перестановку те©„, заменив t{ единиц в © на 1, 2, ..., s1 в по- порядке возрастания, затем t2 двоек на st -f- I, sl + 2, ..., s2 в порядке возрастания и так далее. (В этом случае мы назы- называем т тасовкой множеств [1, sj, [S[ + 1, s2], • ••• tsft + Ь "]•) Ясно, что г(<т) = ?(т). Положим теперь л^т". Легко видеть, что я — тасовка множеств [1, s,], [S( + l, s2], ..., [sk-\-l,n], если и только если ?>(л) s {su s2, . .., sft}. Легко видеть также, что перестановка и обратная к ней имеют одинаковое число инверсий. Следовательно, i(x) = i(n), и мы получаем Z s,, s2 —s,, . . ., n —sk B0) in(S,q)= Z <7'(я). о (я) s s что и требовалось. Положим Полностью повторяя рассуждения примера 2.2.4, получим MS, ?) = J Например, если n = и = {1, 5}, то 1 1 1 A)! E)! (8)! 1 1 DI G)! 1 W 1 0 1 I7q7 23q9 I8q13 lOq15
112 Гл. 2. Методы решета Если проанализировать причины, по которым мы получили определитель в предыдущих двух примерах, то получим следую- следующий результат. 2.2.6. Предложение. Пусть S = {Pl, .. .,Рп}— множество свойств и T = {PS}, ..., PSk}<=S, где l<Si< ... <sk<n. Предпо- Предположим, что f<(T) имеет вид f<{T) = h{n)e(s0, s,)e(Sl, s2) ...e(sk, sk+]) для некоторых функций hnaH tie на N X N, где положим sQ = О, = n+ l,e(i,i)=l и е(i, j) = 0 при j < i. Тогда Mr) = A(n)det[e(sbs/+1)]o*. ? 2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение В задаче о беспорядках ищут число перестановок я е ©„, в ко- которых для каждого i некоторые значения я(г') запрещены (имен- (именно яA)ф1). Рассмотрим общую теорию таких перестановок. Традиционно ее описывают, используя шахматную терминоло- терминологию. Пусть В g [я] X [п]. Множество В называют доской. Для я е <5„ определим график G(n) перестановки л условием 2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение 113 2.3.1. Теорема. Имеем Д/ (у\ — У г (п _ Ь\\ (г ¦ l\k (99я\ 1ч п \л) /_и Г fa \Г1 к)\ \Х I) . yZZd) В частности, п Первое доказательство. Пусть Ck есть число пар (я, С), где яе@„ и С — ^-подмножество множества B(]G(n). Для каж- каждого / выберем перестановку я N/ способами, так чтобы / = card В П G (я), а затем выберем С ( , 1 способами. Следо- Следовательно, Cfe= V I )N/. С другой стороны, можно было бы сначала выбрать множество С rk способами, а затем «расши- «расширить» до перестановки л (п — k)\ способами. Следовательно, С* = rk{n — k)\. Поэтому или,эквивалентно, Определим теперь N, = card {я <= ©„: / = # (В П G (л))}, rk = число ^-подмножеств множества В, таких, что никакие два элемента не имеют общей координаты, = число способов разместить k не атакующих друг друга ладей на В. Мы можем отождествить перестановку kgSjC размещением п не атакующих ладей в квадратах (i, я (г)) доски [п] Х[«1- Тогда N/ есть число способов размещения п не атакующих друг друга ладей на доске [п] X W. при которых в точности / из этих ладей находятся в В. Например, если В = {A, 1), B, 2), C, 3), C, 4), D, 4)}, то JV0 = 6, JV, = 9, 7V2 = 7, ЛГ3=1, #4=1, го=1, г1 = 5, г2 = 8, г3 = 5, г4= 1. Наша цель — описать числа N j и, в особенности, Af0 в терминах чисел rk. Определим мно- многочлен Nn(x) формулой Полагая у=х—'1, получаем желаемую формулу. П Второе доказательство. Достаточно доказать формулу в пред- предположении 1ё Р. Левая часть формулы B2а) подсчитывает число способов, которыми можно разместить не атакующие ладьи на доске [«]Х[л] и пометить каждую ладью на В эле- элементами множества [х]. С другой стороны, такую конфигура- конфигурацию можно получить, поместив k не атакующих ладей на уча- участок В, пометив каждую из них элементом множества {2, ... ..., х), поместив п — k добавочных ладей на доску [л]Х[л] (п — k)\ способами и пометив новые ладьи на В единицами. Это устанавливает желаемую биекцию. ? Два доказательства теоремы 2.3.1 дают еще одну иллюстра- иллюстрацию принципа, провозглашенного в гл. 1 (третье доказатель- доказательство предложения 1.3.4), о двух комбинаторных способах дока- доказательства равенства двух многочленов. Конечно, можно дока- доказать формулу B2Ь) прямым применением метода включения — исключения, обобщая рассуждения примера 2.2.1. Такое дока-
114 Гл. 2. Методы решета 2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение 115 зательство нельзя было бы рассматривать как комбинаторное, так как мы не построили явно биекцию между двумя множе- множествами (см., однако, в разделе 2.6 метод, делающий подобное доказательство комбинаторным). Два доказательства, которые мы привели, можно рассматривать как «полукомбинаторные», так как они получаются из прямых формул биекций, включаю- включающих параметры х и у соответственно, и затем мы получаем формулу B2Ь), полагая у = —1 и х = 0 соответственно. В об- общем случае, полукомбинаторное доказательство формулы E) можно легко дать, сначала комбинаторно показав, что или а затем положив х =0 или у = —1 соответственно. Как пример к теореме 2.3.1 возьмем В ={A,1), B,2), C,3), C,4), D,4)}, как и выше. Тогда = хк + х3 + 7а;2 + 9х + 6. 2.3.2. Пример. (Снова задача о беспорядках.) Возьмем В = = {A,1), B,2), ..., (п,п)}. Мы хотим вычислить N0 = D(n). ( п\ Ясно, что rk = I , I, так что й=о _?.-(,- 2.3.3. Пример. (Задача о супружеских парах (о гостях).) Эта известная задача1) эквивалентна поиску числа М(п) перестано- перестановок я е ©„, для которых я (/) ф i, i + 1 (mod о) для всех i e [п]. Другими словами, мы ищем число No для доски В = {A, 1), ') Сколькими способами можно рассадить за круглым столом п супру- супружеских пар так, чтобы никакая пара не сидела рядом и жены чередовались с мужьями. — Прим. ред. B, 2), ..., (п, п), A, 2), B,3), ..., (п-1,п),(п, 1)}. Взглянув на рисунок доски В, мы видим, что rk равно числу способов, кото- которыми можно выбрать k из 2/г расположенных по окружности точек так, чтобы среди выбранных не было двух последова- последовательных. 2.3.4. Лемма. Число способов, которыми можно выбрать k то- точек из m точек, стоящих по окружности так, чтобы среди них не было двух последовательных, равно ^Ц( m так, чтобы ср -k \ k ) Первое доказательство. Пусть f(tn,k) — искомое число, и пусть g(m,k) — число способов выбрать k не последовательных точек из m точек, расположенных по окружности, а затем раскрасить k точек в красный цвет и одну из неокрашенных точек покра- покрасить в синий цвет. Ясно, что g(tn,k) = (m — k)f(m,k). Но мы можем вычислить g(m,k) также следующим образом. Сначала покрасим точку в синий цвет m способами. Теперь нам нужно покрасить в красный цвет k точек, выбранных из линейного массива m— 1 точек так, чтобы среди них не было двух после- последовательных. Один из способов дальнейших рассуждений та- таков. Расположим т-—1—k неокрашенных точек в линию и вставим k красных точек в т — k промежутков между неокра- (т — k\ шенными (считая начало и конец) It,) способами. Следо- Следовательно т — (т — k \ ™ k у так что f(m, k)= m_k X Предложенное выше доказательство основано на некотором общем принципе перехода от «кругового» к «линейному» мас- массиву. Мы обсудим этот принцип в дальнейшем в гл. 4 (см. пред- предложение 4.7.11). Второе доказательство. Пометим точки числами 1, 2, ..., m в возрастающем по часовой стрелке порядке. Мы хотим покра- покрасить k из них в красный цвет, так чтобы не было двух после- последовательных красных. Сначала подсчитаем число возможно- возможностей, при которых точка 1 не окрашена в красный цвет. Распо- Расположим m — k неокрашенных точек по кругу, пометим одну из них единицей и вставим k красных точек в m — k промежутков (m — k\ между неокрашенными точками I 1 способами. С другой стороны, если 1 будет покрашена в красный цвет, то расположим
116 Гл. 2. Методы решета 2.4. Доски Ферре 117 т—k -f- 1 точек по кругу, покрасим одну из этих точек (m-k-\\ в красный цвет и пометим ее 1, а затем вставим I , I способами k—1 красную точку на т — k—1 разрешенных мест. Следовательно, m — k\ (m — k— \\ m (m — k 2.3.5. Следствие. Многочлен Nn (x) для доски В = {(г, г), (i, г+1) (mod/г): 1^г'^/г} дается формулой п — k ( k к — О В частности, число No перестановок л е о„, таких, что л (г) # i, i + 1 (mod п) при 1 ^ г -^ /г, дается формулой 2/г — ? Следствие 2.3.5 наводит на следующий вопрос. Зафиксируем 4ёР и пусть Вп обозначает доску Bn = {(i, i), (i, t + 1), ..., (i, i + k — l)(modn): Найти ладейный многочлен Rn (x) = ?f rt (n) xl для Вп. Эта задача известна как «задача о fe-несогласующихся (противоре- (противоречивых) перестановках». При k > 2 нет столь простого и явного выражения для ri(n), как в случае k = 1,2. Однако мы увидим в примере 4.7.17, что существуют многочлены Qk(x,y)^ Z [х,у], такие, что д _ У ду к (Х> У Qk (x, у) п если Rn(x) надлежащим образом интерпретируется при п < k. Например, Q, (х, у) = 1 - A + х) у; Q2 (х, у) = A - A + 2х) у + + хУ) A - ху); Q3 (х, у) = A - A + 2х) у - ху* + *Y) A - Jty). 2.4. Доски Ферре Для некоторой доски или класса досок В мы можем поставить вопрос, обладают ли ладейные числа г< какими-либо особен- особенными интересными свойствами. Здесь мы обсудим класс досок, называемый досками Ферре. Для данной последовательности чисел 0 ^ Ь\ ^ Ь2 ... ^ Ьт доска Ферре формы (Ь\, ..., bm) определена так: В = {(i, j): 1 <г]< m, I < / < bt}.') Доска В зависит (с точностью до сдвига) только от положи- положительных чисел bi. Однако окажется удобным с технической точки зрения допустить 6, =0. 2.4.1. Теорема. Пусть X rkxk — ладейный многочлен доски Ферре В формы (&!, ..., bm). Положим sl = bi — г+ 1. Тогда Z rk (x)m_k = П (х + st). I Доказательство. Пусть xeN, и В' —доска Ферре формы (bl + х, ..., Ьп -+- х). Рассмотрим В' = В U С, где С — (х X т)-пря- моугольник, помещенный ниже В. Мы сосчитаем rm{B') двумя способами. 1. Разместим k ладей на доске В rk способами, а затем m — k ладей на С (x)m_k способами, получив rm(B')=Zrk(x)m_k. 2. Поместим ладью в первый столбец В' х -f- &i = х -\- s\ спо- способами, затем поместим ладью во второй столбец х-\- b\—1 = = х-\-Si способами и так далее, получим Доказательство закончено. D 2.4.2. Следствие. Пусть В — ^треугольная доска» формы. @,1, 2, ..., т—1). Тогда rk = S{m,m — k). Доказательство. Имеем: каждое число s,- = 0. Следовательно, из теоремы 2.4.1 Из уравнения B4d) гл. 1 следует, что rk = S(m, пг — k). D Ясно, что желательно дать комбинаторное доказательство следствия 2.4.2. Мы хотим сопоставить разбиению множества [пг] на m — k блоков расположение k не атакующих друг друга ладен на доске B = {{i,j): l^.i^.m, 1^/^t}. Если ладья ') Напомним о тонком различии между диаграммами Ферре и более из- известными диаграммами Юнга, данном в гл. 1. Читатель может считать, что эти два понятия совпадают. — Прим. ред.
118 Гл. 2. Методы решета 2.5. V-разбиения 119 стоит в клетке ((',/), отнесем i и / к одному блоку разбиения. Легко проверить, что это дает требуемое соответствие. 2.4.3. Следствие. Две доски Ферре, каждая с т столбцами (пустые столбцы разрешаются) имеют одинаковые ладейные многочлены тогда и только тогда, когда мультимножества их чисел Si совпадают. ? Возникает вопрос, сколько досок Ферре имеют тот же ладей- ладейный многочлен, что и данная доска В. 2.4.4. Теорема. Пусть 0 < с, < ... <ст и / (с„ ..., сп) — число досок Ферре без пустых столбцов, имеющих такие же ладейные многочлены, что и доска Ферре формы (сх, ..., ст). Добавим достаточное количество начальных нулей к сх ст, чтобы получить форму (&,, ...,&,) = (О, .... О, сь .... ст), такую, что если si = bi — i+ 1, то лишь s{^О (г. е. S; < 0 при 2^.t). Предположим, что а,- из чисел st равны —i, так что ai —1~ 1- Тогда f(cu ...,O = а2 — а3 - а3 + о4 - Доказательство. Согласно следствию 2.4.3, мы ищем число пере- перестановок dld2 . ¦ ¦ dt_x мультимножества {lO1, 2a\ ...}, таких, что O^d, — l^d2 — 2^...^ dt_x — t + 1. Равносильно, dx = 1 и за dt должно следовать число, не превосходящее d* + 1. Рас- Расположим ах единиц в линию; а2 двоек можно поместить произ- произвольным образом в ах промежутков, следующих за каждой 11 = 1 I способами. Теперь аъ троек можно произвольно поместить в а2 промежутков, следующих за • • ((аЛ\ (а2 + а3—\\ каждой двойкой, II I I = I I способами и т. д., что заканчивает доказательство. ? Например, не существует других досок Ферре, имеющих тот же ладейный многочлен, что и треугольная доска @,1, ... ..., п — 1), в то время как существует 3"~' досок Ферре с тем же ладейным многочленом, что и «Хм шахматная доска [п]Х хм. Если в доказательстве теоремы 2.4.4 мы хотим, чтобы все столбцы нашей доски Ферре имели разные длины, то мы должны упорядочить мультимножество {Iе', 2а\ • • •} сначала в строго возрастающем порядке до его максимума, а затем в невозрас- тающем. Следовательно, получаем 2.4.5. Следствие. Пусть В — доска Ферре. Тогда существует единственная доска Ферре, столбцы которой имеют различные (ненулевые) длины, и имеющая тот же ладейный многочлен, что и В. ? Например, единственная «возрастающая» диаграмма Ферре с тем же ладейным многочленом, что и доска [я]ХМ> имеет форму A, 3, 5, ..., 2п— 1). 2.5. V-разбиения и унимодальные последовательности Сейчас мы приведем пример такого применения метода решета, которое не может быть получено (разве лишь очень запутан- запутанным образом) с использованием принципа включения — исклю- исключения. Под унимодальной последовательностью веса п (также называемой п-стеком) мы понимаем Р — последовательность du di, ..., dm, такую, что а. b. Для некоторого /, i + l Многие интересные комбинаторные последовательности оказы- оказываются унимодальными. В этом разделе мы не будем иметь дела с какими-либо специальными последовательностями, а займемся подсчетом общего числа и(п) унимодальных последовательно- последовательностей веса п. По соглашению положим и@) = 0. Например, иE)= 15, так как все 16 разложений числа 5 унимодальны, за исключением 212. Положим U (х) = Е и (л) хп = х + 2х2 + 4л;3 + 8л;4 + 15л;5 + ¦. .. Наша цель — найти хорошее выражение для U(x). Легко ви- видеть, что число унимодальных последовательностей веса п, наи- наибольший член которых есть k, равно коэффициенту при х" в вы- выражении Следовательно, A - *)(l - x2) ... A - **-') A - X) A - x2) ... A - **) ' B3)
120 Гл. 2. Методы решета Это аналог формулы у р{п)х -х)A -X2)... A -X* где р(п) — число разбиений п. То, что мы хотим получить, од- однако, есть аналог формулы Оказывается, проще работать с объектами, слегка отличаю- отличающимися от унимодальных последовательностей, а в конце эти новые объекты связать с ними. Определим V'-разбиение числа п как N-массив Г а, Ог ... "I B4) такой, что с+ X ai + H bj = n, c^ax^sа2^ ... и с^6,^ ~^Ь2~^.... Следовательно, У-разбиения можно рассматривать как унимодальные последовательности, в которых одна из мак- максимальных частей выделена как «корень». Пусть v(n) — число У-разбиений числа п, v@)= 1. Так, например, иD)= 12, так как существует один способ выбора корня для 4, один — для 13, один —для 31, два — для 22, один — для 211, один — для 121 и четыре для 1111. Положим V(x)= Z v (я) хя = 1 + х + Зх2 + 6х3 + 12х4 + 21х5 + .... Аналогично формуле B3) имеем но, как и раньше, мы хотим получить представление V(x) в виде произведения. Пусть Vn — множество всех У-разбиений числа п, a Dn — множество всех двойных разбиений п, т. е. N-массивов Га,, а2 ... I \Ьи Ь2 ... J ' таких, что X at + X bt = п; а,>О2>... d (n) = card Dn, то ясно, что B5) Если B6) 2.5. V-разбиеиия 121 Определим теперь отображение Г,: Dn -> Vn формулой а, а2 а2 а3 . . 1 Ьх Ь2 . . . J ' [п[ а2 ... I Ь{ Ь2 Ьг ...J' если Ясно, что Г! сюръективно, но не инъективно. Каждое У-разбие- ние из множества появляется дважды в образе Гь так что Затем определим отображение Г2: Dn_x-*-Vxn формулой а2 а3 b2 ... о. + 1 •••  • . . J если 1 L ' ь2 a2 ... ' если ъ2 ъъ ... Снова Г2 сюръективно, но любое У-разбиение из множества встречается дважды как значение Г2. Следовательно, ==#/?„_! — # У«, так что # У„ = #?>„-# Dre_,+ # У2. Затем определим Г3: Dn_.3->V2n формулой ^ а2 + 1 а3 [а2 + 1 а3 а4 ...  [а, + 2 , , , , если а,-\-2^Ь, Ьх Ь2 ... J Г а, + 2 а2 + 1 а3 • ¦ • 1 [ibl ь2 ь3 64...J'ecjIH6'>G' + 2 Получим #yre = #Dn-#Dn_, + #Dn_3-#y3n.
122 Гл. 2. Методы решета Продолжая этот процесс, получим отображения Г;: D /i -> Vn~ . Этот процесс останавливается, если I I > п, так что получаем формулу в духе теории решета v (я) = d (я) - d (я — 1) + d (п — 3) - d (п — 6) + •. •, где положили d(m) — 0 при т < 0. Таким образом, используя B6), получим 2.6. Инволюции 123 2.5.1. Предложение. Имеем ъ ( л>0 По - <>1 Теперь мы получим выражение для U(x), используя следую- следующий результат. 2.5.2. Предложение. Имеем Доказательство. Пусть Un — множество всех унимодальных по- последовательностей веса я. Нужно найти биекцию Dn -*¦ II п U У„. Такая биекция дается формулой [_ ( а2 щ Ьх Ь2 ..., если а, > ft,, fl, fl2 ...1 1 г \ \ г 1 i> :::]¦ если Ь 2.5.3. Следствие. Имеем 2.6. Инволюции Напомним нашу точку зрения из разд. 1.1, что лучшим спосо- способом установления равномощности двух конечных множеств яв- является предъявление биекции между ними. Мы покажем, как применить этот принцип к тождеству E). С тождеством D), кажущимся более общим, можно поступить точно таким же об- образом. В том виде, в каком оно написано, это тождество не утверждает, что два множества имеют одинаковую мощность. Поэтому мы переупорядочим члены так, чтобы все знаки стали положительными. Таким образом, мы хотим доказать тожде- тождество IУ| нечетно |г| четно где /=(Г) (соответственно f^iT)) обозначает число объектов множества А, обладающих свойствами в точности (соответствен- (соответственно по меньшей мере) из подмножества jTeS. Левая часть ра- равенства B7)—мощность множества M\jN, где М — множество объектов х, не имеющих никаких свойств из множества S, а N — множество упорядоченных троек (х, Y,Z), где х^А имеет в точ- точности свойства из множества Z^Y, где \Y\ нечетно. Правая часть равенства B7) есть мощность множества N' упорядочен- упорядоченных троек (х/, Y',Z'), где элемент /е/1 обладает свойствами в точности из подмножества Z'^Y', где |У'| четно. Введем полный порядок на множестве свойств S и определим отобра- отображение a: M\j N -*¦ N' следующим образом: о(х) = (х, 0, 3), если хеМ (х, Y — i, Z), если (х, Y, Z)e=N и min Y = tnin Z = i, a(x, Y, Z) = < И Легко видеть, что а — биекция с обратной биекцией а-1 х е М, если Y — Z = 0, (х, Y — i, Z)e=N, если Y Ф 0 и minF = minZ==i, a-1(x,Y,Z) = (x, Y\Ji, Z)e=N, если и min Z = i < min К (где мы положили minK=°o, если Y = 0). Это дает требуемое доказательство. Заметьте, что если в определении а мы отождествим х^М с тройкой {х, 0, 0)<=ЛГ' (так что о~1(х, 0, 0) = = (*i 0. 0))i то a U о есть функция т: N [} N' -> N U N', удов- удовлетворяющая условиям: (а) т — инволюция, т. е. -г2 = id; (b) неподвижные точки т есть тройки (х, 0, 0), множество которых находится во взаимно однозначном соответствии с М, и (с) если (х, Y, Z) — не неподвижная точка т и мы положим х(х, Y, Z) = (x, Y', Z), то (—1)|У| + |—1|1П = 0. Таким обра- образом, инволюция х выбирает члены из правой части равенства E) (или скорее члены из правой части равенства E), получив-
124 Гл. 2. Методы решета 2.6. Инволюции 125 шиеся после того, как каждое из выражений f>(Y) записано в виде суммы C), сумма которых равна левой части, и i аннулирует оставшиеся члены. Можно провести предыдущие рассуждения в следующем об- общем контексте. Предположим, что конечное множество X запи- записано в виде объединения непересекающихся подмножеств X+\j U Х~, называемых соответственно «положительной» и «отрица- «отрицательной» частями X. Пусть т — инволюция, удовлетворяющая условиям a. Если х(х) = у и хфу, то либо х^Х+ и </еГ, либо, наоборот, леГ и у^Х+. b. Если т (х) = х, то х ее Х+. Если мы определим весовую функцию до на X формулой w(x) 1-1, \Х~ тогда, очевидно, #(Fixx)= ? w(x), Х B8) где Fixx обозначает множество неподвижных точек т. Точно так же, как и в предыдущем абзаце, инволюция т выбрала чле- члены из правой части равенства B8), в сумме дающие левую часть равенства, и аннулировала оставшиеся члены. Рассмотрим теперь более сложную ситуацию. Пусть имеется другое множество X, также представленное в виде объедине- объединения^ непересекающихся множеств X = Х+ [) Х~, инволюция т на X, удовлетворяющая вышеприведенным условиям (а) и (Ь). Предположим, что нам дана сохраняющая знаки биекция f: Х->Х, т. е. f(X+) = X+ и f{X~) = X~. Ясно, что тогда #(FixT) = #(Fixr),_ так как # (Fix т) = [ Х+ | - \Х~ \ и # (Fix т) = | Х+1 — | Х~ |. Мы хотим построить каноническим спо- способом биекцию g между Fixt и Fix т. Это построение известно как принцип инволюции и является мощным средством пре- превращения некомбинаторных доказательств в комбинаторные. Биекция g: Fixt-^-Fixi; определяется следующим образом. Пусть л: е Fix т. Легко видеть, что так как множество X ко- конечно, существует положительное целое п, для которого B9) Положим по определению g{x) = f{xf~lxf)n{x), где п — наимень- наименьшее положительное целое, для которого справедлива форму- формула B9). Мы оставляем читателю строгую проверку того, что g — биекция из Fixt на Fix т. Существует, однако, хороший гео- геометрический способ проиллюстрировать ситуацию. Представим элементы X и X в виде вершин графа Г. Соединим ненаправ- ненаправленным ребром две различные вершины х и у, если A) х, у 6= X и % (х) = у; или B) х, у е X и т (х) = у; или C) х ge X, //el и F(x) = y. Каждая компонента графа Г будет либо циклом, не содержащим точек нз Fixr и Fix г, или путем, имеющим один конец z в Fixt и другой конец z в множестве Fix а. Тогда g определяется равенством g(z) = z. См. рис. 2.1. Fix т X" Ъ —о Fix r' Рис. 2.1. Имеется видоизменение принципа инволюции, связанное с «решеточной эквивалентностью». Мы упомянем здесь лишь простейший случай: его дальнейшее развитие см. в упражне- упражнении 17. Предположим, что X и X— (непересекающиеся) конеч- конечные множества. Пусть УеХи Y^X, и предположим, что нам даны биекции f: Х^>Хи g: Y-+Y. Следовательно, \Х — Y\ = = | X — Y | и мы хотим построить явную биекцию h между X — Y и Х~ 7. Выберем х <= X — У. Как и в случае формулы B9), найдется положительное целое п, для которого C0) = X-Y, то g~l(y) не определено1). Положим по определению h(x) равным f(g~ и (*)> гДе п удовлетворяет условию C0). Легко проверя- проверяется, что отображение h: X — Y ^-X — Y — биекция. В этом случае п единственно, так как если l() 1) П ') Здесь у = f(x). — Прим. перев.
126 Гл. 2. Методы решета Рассмотрим простой пример биекции h: X — У->Х — У. 2.6.1. Пример. Пусть У — множество всех перестановок п из §„, которые оставляют неподвижным элемент 1, т. е. лA) = 1. Пусть У — множество всех перестановок п из <&„, имеющих в точности один цикл. Таким образом, | У | = | Y\ = (n — 1)!, так что Однако построить биекцию h между 6„ — У и ©„ — У, воз- возможно, не так просто. С одной стороны, просто построить биекцию g между У и У; а именно если я=1а, ... an^Y (где я записано как слово, т. е. n(i) = al), то положим g(n) = = A, а%, ..., ап) (записано в виде цикла). Биекцию /: Sn—*•?„ мы полагаем, конечно, тождественной. Тогда формула C0) 123 132 213 231 312 321 ч. UK23) \ ч. ч. ч. 0 23) -^ A32) — A3I2) Рис. 2.2. определяет биекцию h: 3„ — У->•©„ — У. Например, если я = 3, мы изобразим отобр'ажение / на рис. 2.2 сплошными линиями, a g прерывистыми линиями. Следовательно (записывая пере- перестановки в области определения в виде слов, а в области значе- значений в виде произведений циклов), АB13) = АB31) = h C12) = A) B3), h C21) = A3) B). Естественно здесь (и в других случаях использования принципа инволюции и связанных с ним методов) поставить вопрос, не существует ли более прямого описания h. В данном примере трудность небольшая, так как У и ? — непересекающиеся под- подмножества (если п частном случае 2.7. Определители 127 2) одного и того же множества ©„. В этом -I п, если п ф У, g~l (л), если я е= У. C1) 2.7. Определители В предложении 2.2.6 мы видели, что определитель ^Q с условиями Oij = 0 при j < i — 1 можно комбинаторно интер- интерпретировать, используя принцип включения — исключения. В этом разделе мы рассмотрим некоторую комбинаторную за- задачу, для которой в правой части формулы B8) находится раз- разложение определителя. У п: Рис. 2.3. Конечным, неотрицательным решеточным путем на плоско- плоскости (шаги которого состоят в переходах на единицу вправо или вниз) называется последовательность L-={v\, ..., Vk), где и,е eN2 и vi+x — vi = (l,0) или @, —1). Мы изображаем L, соединяя вершины vt и vt+l ребром, l^i^fe — 1. Например, решеточ- решеточный путь (A, 4), B, 4), B, 3), B, 2), C, 2), C, 1)) изображен на рис. 2.3. п-Путем называется набор L = (Lb ..., Ln) n реше- решеточных путей. Пусть а, р, у, 6eN". Тогда L есть путь типа (а, р, Y. 6), если Lt переходит от (р,-, у{) к (ah бг). (Очевидно, что в этом случае а^^р,- и Yi^<V) га-Путь L называется само- самопересекающимся, если для некоторых i-ф] Lt и L;- имеют общую точку; в противном случае L — несамопересекающийся. Положим вес горизонтального шага из A,1) в (i -\- 1,/) равным переменной х/, а вес L — произведению весов горизонтальных шагов. Например, путь на рис. 2.3 имеет вес Х2Х4. Если а = (аь ,.,, o,)gN" и п е &п, то положим jt(<z) = = (аЖП. ...,аЛ(п)). Пусть s& = s?(a, p, y> б) — множество всех
12S Гл. 2. Методы решета 2.7. Определители 129 п-путей типа (а, Р, у, б), а А = А (а, р, y. б) — сумма их весов. Рассмотрим путь из точки (pi; yt) в точку (аь б,-). Пусть т = = щ — рг. Для каждого /, удовлетворяющего условию 1 ^/^т, существует в точности один горизонтальный шаг вида (у — 1 + -f- Рг, &/)—>О + Рг. &/)• Числа ?ь fe2. •••> km можно выбрать произвольно удовлетворяющими условию Vt>ki>k2>--->km>6t. C2) Следовательно, если положить h (m; yt, в*) = Z **,**, • • • **m> где сумма берется по всем целочисленным последовательностям C2), тогда А (а, р, Y, 6) = -Рг; Y,, C3) Пусть 9Ь = ^ (а, р, у. б) — множество всех несамопересека- ющихся n-путей типа (а, р, y, 6), и положим В = В(а, р, y, б) — о •—•—• о •—• «I -•—•—• Рис. 2.4. сумма их весов. Например, пусть а = B, 3), Р = A, 1), Y = B, 3), б = A, 0). Тогда В (а, р, y, б) = х2х\ + хух\ + x{x2xz соответству- соответствует несамопересекающимся 2-путям, показанным на рис. 2.4. 2.7.1. Теорема. Пусть а, р, y, SsN" такие, что для пеЗ„ множество &(п(а), р, y, п(б)) пусто, если только п — не тож- тождественная перестановка. (Например, это условие выполняется, если at < ai + 1, Р,- < Рг+ь Yi ^ Yi + i и б,- ^6i + I при 1 <л ^п — 1.) Тогда В (а, Р, Y- e) = det[A(a,-pJ; Y,-, в/)]", C4) гйе льг полагаем h (a/ —13,; у/. S/) = 0, если не существует после- последовательностей типа C2). Доказательство. Если разложить правую часть равенства C4), получим ? (sgn я) Л (я (а), р, У, я (б)). C5) Пусть ^л = ^(л(а), р, y, я F)). Мы построим биекцию L->L* множества ( [} з4-Л —$ на себя, обладающую свойствами: a. L" = L, т. е. * есть инволюция; b. w (V) = w (L), т. е. биекция * сохраняет веса; c. если L e s?n и L'e s4-a, то sgn a = — sgn я. Тогда, группируя члены разложения C5), соответствующие па- парам (L, L*) самопересекающихся n-путей, видим, что все члены сокращаются, за исключением слагаемых, дающих требуемый результат В (а, р, y, 6)- Построим инволюцию *. Пусть L — самопересекающийся га-путь. Нам нужно выбрать каноническим образом определен- определенную пару пересекающихся путей (U, L,-) из L. Один из многих способов сделать это состоит в следующем. Пусть i — наимень- наименьшее целое, для которого Li и L* пересекаются при некотором k ф i, и х — наименьшее целое, такое, что Li пересекает некото- некоторый путь Lk при k > i в точке (х, у), а / — минимум всех таких k. Построим L), продолжая L{ до его первой точки пересече- пересечения v с путем L/, а затем следуя по L/ до конца. Построим L* аналогично, следуя по L/ до точки о, а затем по Li до конца. Для k Ф i, j положим L*k = Lk. Свойство (а) следует из того, что пути Lr и Ls пересекаются в точке и тогда и только тогда, когда L* и L* также пересе- пересекаются в точке и, так что тройку (i, j, v) можно получить из L* по тому же правилу, по которому она получена из L. Свой- Свойство (Ь) следует немедленно из того, что весь набор единичных шагов в L и L* один и тот же. Наконец, перестановка а полу- получается из я умножением на транспозицию (i,j), откуда сле- следует (с). ? Теорема 2.7.1 имеет важные приложения к теории симмет- симметрических функций, но здесь мы приведем лишь простой пример ее использования. 2.7.2. Пример. Пусть г, seN и 5 — подмножество множества [О, г] X [0, s]. Сколько существует решеточных путей, соединяю- соединяющих точки @, г) и (s, 0) и не пересекающих 5? Обозначим это число f(r, s, S). Пусть 5 ={{aub\), ..., (ак, &*)}, и положим a = (s, аь ..., ak), р = @, аь ..., ak), Y = (r, bu ..., bk), 6 = @, 6, bk). 5 P. Стенли
130 Гл. 2. Методы решета Литература 131 Тогда f(r, s, S) = B(a, p, y. 6). гДе каждый вес xt полагаем равным 1. Тогда Следовательно, из теоремы 2.7.1 f(r, s, S) = ( ( с с —— S S- s s ) ах + Ь — а, ak + l — ak 0 ) 1 / а, - ft, — ak - 0 Vbk ¦••( ак~ + ak ak ¦bk- i 1 -bk\ ai + fti где полагаем ( . ) = 0 при [у < 0 или i — / < 0. Если разло- разложить этот определитель, получим формулу для f(r, s, S), которую также можно непосредственно вывести из принципа включе- включения — исключения. В действительности с помощью подходящей перестановки строк и столбцов написанное выше выражение /(г, s,5) превращается в специальный случай предложения 2.2.6. (В полной общности, однако, теорему 2.7.1 нельзя вывести из предложения 2.2.6; в действительности определитель C4) в об- общем случае не будет содержать нулевых элементов.) Замечания1) Как отмечает П. Стейн в своей замечательной монографии [1.16], принцип включения —исключения «несомненно является очень старым; его источник, вероятно, невозможно проследить». Обширный список литературы дан в работе [21], и источники результатов, упомянутых ниже без ссылок, могут быть найдены там. Вероятностную формулировку принципа включения — ис- исключения можно отнести к де Муавру и с меньшей достовер- достоверностью к Я. Бернулли; ее также иногда называют «теоремой Пуанкаре». Первую формулировку в комбинаторных терминах относят к да Сильве и иногда — к Сильвестру. ]) Если ссылка встретилась в списке цитируемой литературы предыду- предыдущей главы книги, то число, указываемое в скобках, есть номер главы; напри- например [1.10] отсылает к позиции 10 списка литературы гл. 1. Пример 2.2.1 (задача о беспорядках) впервые был решен Монтмортом (в вероятностных терминах) и позже независимо исследовался Эйлером. Пример 2.2.4 восходит к Мак-Магону [15, v. 1, с. 190], а за- затем несколько раз переоткрывался, пример 2.2.5 впервые по- появился в работе [20, следствие 3.2]. Задачу о супружеских па- парах (пример 2.3.3) Тэйт предложил Кэли и Мюиру, но им не удалось получить определенного ответа. Эта задача независимо рассматривалась Люкасом и была им решена в весьма неудов- неудовлетворительном виде. Элегантная формула, приведенная в след- следствии 2.3.5, принадлежит Тушару. Ссылки на более свежие ра- работы см. в книге [3, с. 185]. Обзор задачи о супружеских парах появился в работе J. Dutka. Math. Intell. 8 A986), no. 3, 18— 25, 33. Теория ладейных многочленов в общем принадлежит Капланскому и Риордану [12], см. [17, гл. 7—8]. Теория досок Ферре, представленная в разд. 2.4, появилась (с большим коли- количеством дополнительного материала) в работах [6] — [Ю]1). До- Доказательство теоремы 2.4.4, приведенное здесь, предложено П. Леру. Результаты разд. 2.5 впервые опубликованы в [18, гл. IV. 3] и вновь установлены в работе [19, § 23]. Принцип инволюции впервые установлен в работе [4], где он использовался для получения долгожданного комбинаторного доказательства тождества Роджерса — Рамануджана. Дальней- Дальнейшее обсуждение принципа инволюции, решетчатой эквивалент- эквивалентности и родственных результатов см. в работах [2], [11], [22], [24]. Комбинаторное доказательство принципа включения — ис- исключения, данное в разд. 2.6, неявно содержится в работе [16], а в более явной форме — в работе [23]. Теорема 2.7.1 и ее до- доказательство предвосхищены в [1], [13], [14], хотя первая яв- явная формулировка появилась в статье Гессель и Вьенно [5]. Наше изложение близко к изложению Гессель и Вьенно. Литература 1. Chaundy Т. W. Partition-generated functions, Quart. J. Math. (Oxford) 2 A931), 234—240. 2. Cohen D. I. A. PIE sums: A combinatorial tool for partition theory, J. Com- Combinatorial Theory (A) 31 A981), 223—236. 3. Comtet L. Advanced Combinatorics, Reidel, Boston, 1974. 4. Garsia A. M. Milne S. С A Rogers-Ramanujan bijection, J. Combinatorial Theory (A) 31 A981), 289—339. 5. Gessel I., Viennot G. Binomial determinants, paths, and hock length for- formulae, Advances in Math. 58 A985), 300—321. 0. Goldman J., Joichi J., Reiner D., White D. Rook theory II: Boards of bino- binomial type, SIAM J. Applied Math. 31 A976), 618—633. ') См. примечание на с. 146. 5*
132 Гл. 2. Методы решета Упражнения 133 7. Goldman J., Jouichi J., White D. Rook theory I: Rook equivalence of Ferrers boards, Proc. Amer. Math. Soc. 52 A975), 485—492. 8. Goldman J., Joichi J., White D. Rook polynomials. Mobius inversion and the umbral calculus, J. Combinatorial Theory (A), 21 A976), 230—239. 9. Goldman J. Joichi J., White D. Rook theory IV: Orthogonal sequences of rook polynomials, Studies in Applied Math. 56 A977), 267—272. 10. Goldman J., Joichi J., White D. Rook theory II: Rook polynomials and the chromatic structure of graphs. J. Combinatorial Theory (B) 25 A978), 135—142. 11. Gordon B. Sieve-equivalence and explicit bijections, J. Combinatorial The- Theory (A) 34 A983), 90—93. 12. Kaplansky I., Riordan J. The problem of the rooks and its applications, Duke Math. J. 13 A946), 259—268. 13. Karlin S., McGregor G. Coincidence probabilities, Pacific J, Math. 9 A959), 1141—1164. 14. Lindstrom B. On the vector representation of induced matroids, Bull. Lon- London Math. Soc. 5 A973), 85—90. 15. MacMahon P. A. Combinatory Analysis 2 vols — Cambridge Univ. Press, 1915 and 1916, переиздано в одном томе Chelsea, New York, 1960. 16. Remmel J. Bijective proofs of some classical partition identities, J. Com- Combinatorial Theory (A) 33 A982), 273—286. 17. Riordan J. An Introduction to Combinatorial Analysis — Wiley, New York, 1958. [Имеется перевод: Риордан Дж. Введение в комбинаторный ана- анализ.—М.: ИЛ, 1963.] 18. Stanley R. Ordered structures and partitions, thesis, Harvard Univ., 1971. 19. Stanley R. Ordered structures and partitions, Mem. Amer. Math. Soc, 119 A972). 20. Stanley R, Binomial posets, Mobius inversion and permutation enumeration, J. Combinatorial Theory 20 A976), 336—356. 21. Takacs L. On the method of inclusion and exclusion, J. Amer. Stat. Soc. 62 A967), 102—113. 22. Wiff H. S. Sieve-equivalence in generalized partition theory, J. Combina- Combinatorial Theory (A) 34 A983), 80—89. 23. Zeilberger D. Garsia and Milne's bijective proof of the inclusion-exclusion principle, Discrete Math. 51 A984), 109—110. 24. Zeilberger D. Garsia and Milne's involution principle, Drexel Univ. Tech- Technical Report. Упражнения [2] 1. Пусть S = {pi, ..., pn} — множество свойств и fk (соответственно f>k) обозначает число объектов конечного множества Л, обладающих в точности k (соответственно не менее к) свойствами. Пока- Покажите, что t C6) C7) где Т<=5 2. а. Пусть А\, ..., Ап — подмножества конечного мно- множества Л; определим числа Sk, 0 ^ k ;?C п, фор- формулой F). Покажите, что Ь. Найдите необходимые и достаточные условия, на- накладываемые на вектор (S0,Si, ..., Sn)e|4n+1, чтобы существовали подмножества А\, ..., Ап ко- конечного множества А, удовлетворяющие усло- условиям F). 3. а. Пусть .. luv0-\w->0 C9) — точная последовательность конечномерных век- векторных пространств над некоторым полем, т. е. dj — линейные преобразования, удовлетворяющие условиям im 3/+1 = ker Зу (дп — инъективно и до сюръективно). Покажите, что dim-IP = ? (-1)'dim V, г=о b. Покажите, что для 0 ^ / ^ п rank 3, = ?(-1)'-'dim D0) D1) t-k в частности величина, стоящая в правой части ра- равенства, неотрицательна. c. Предположим, что нам дано лишь, что последо- последовательность C9) — комплекс, т. е. dyd/+I = O для 0^/^га—1, или равносильно imd/+l sker dj. Покажите, что если равенство D1) выполняется для 0^/^га, то последовательность C9) точна. d. Пусть Ль ..., Ап — подмножества конечного мно- множества А, и для Ге[и] положим Лг = П,-е=т Л- В частности, А0 = А. Пусть VT — векторное про- пространство (над некоторым полем) с базисом, состоящим из всех символов вида [а, Т], где ае
134 Гл. 2. Методы решета Упражнения 135 г, Положим Vj = \J,T,jVTl) и определим для < линейное преобразование df. Vl^-V!_1 формулой d,(a,T)='fci(-l)i-x[a,T-tt], D2) где элементы Т суть /,<...< t}. Также опреде- определим векторное пространство W с базисом {[а]: а <= ~АХ Л ... П Лп]} и положим д0: Vo -> W — линей- линейное отображение, заданное формулой если а<=Ау[\...[\Ап, в противном случае. до[а, 0] (Здесь At = А — Л,-.) Покажите, что C9) — точная последовательность. [1+] е. Выведите уравнение G) из (а) и (d). [1-j-j f. Выведите решение упражнения 2(а) из (Ь) и (d). [3—] 4. Дайте комбинаторное доказательство формулы A3), а именно: D{n)= nD(n— 1) + (— О". [2—] 5. Докажите формулу AkOd = k\S(d, k) предложения 1.4.2 (с), используя принцип включе- включения — исключения. [2—] 6. а. Дана перестановка я = а1а2а3е©3- Пусть Ря обо- обозначает соответствующую 3 X 3 перестановочную матрицу; т. е. элемент (г, /) матрицы Р„ равен 6/, Я@- Пусть ая, где п е ©3 — целые числа, удовлетво- удовлетворяющие уравнению ^пО.пРл = 0. Покажите, что «123 = а312 = °231 = — °213 == — «321 = — а132- [2] Ь. Пусть #3(г) обозначает число 3X3 N-матриц А, суммы чисел в каждой строке и каждом столбце которых равны г. Предположим известной теорему о том, что А — сумма перестановочных матриц. Выведите из этого результата и п. (а), что (г) -СГНгГ)- [2] [2] [1+] [2-] [2-] [3-] /г (я) («-1I [3] 7. Зафиксируем k~^s\. Сколько перестановок мно- множества [я] не имеют циклов длины &? Пусть ffc(n) обозначает их число. Вычислите Нпь-юо/П")/ /га! 8. а. Пусть f2(ra)— число перестановок я множества вычетов по модулю га, состоящих из единственного цикла п = (а.\, а^, ..., а„) и для которых ai+x Ф Ф а,- -(- 1 (mod га) при всех ? (при этом а„+1=а,). Например, при га = 4 существует единственная такая перестановка, а именно A, 4, 3, 2). Положим f2@)=l и /2A) = 0. Используя принцип вклю- включения—исключения, найдите формулу для /2(га). b. Запишите ответ п. (а) в виде Ang@) для некото- некоторой функции g. c. Найдите производящую функцию 2n>of2(")*"/"' d. Выразите число беспорядков D(n) в терминах чи- чисел f2(k). e. Покажите, чта f. Обобщите (е), показав, что функция U(n) имеет следующее асимптотическое разложение: 1 / 11119 а. \ A F + —+ —""Г 6-+---+-Г+ ••¦)' е \ п п п п п п1 ) D4) где 2;>о aixt№ ^ехрA—ех). По определению формула D4) означает, что для любого fee N hm J /2(«) 1 Л а 1 m га* > -4=0. ^оо [(и-!)! e f-j «( J D3) 9. Пусть /е ^ 2, /&(«) — число циклов, аналогичных тем, которые определены для k = 2 в упражнении 8, для которых не существует i, что для всех /= 1, 2, ..., k — 1 '), ') U У а означает шрямую сумму пространств Va-~ Прим. перев. а<вА ') То есть при любом i найдется /s[l, k—l], такое что я(? + /) ё) +/(mod п).— Прим. перев.
Гл. 2. Методы решета Упражнения 137 где аргумент t + / берется по модулю я. Используя принцип включения — исключения, покажите, что («)/(«-1)! = 1—1—4^. 14 («)/(я-1)! = 1-Ц-- (п _ 1)! = 1 ^_ — для фиксированного k ^ 5. В частности, при фиксированном k ^ 3 lim fk(n)/(n -1)! = 1. /1->оо 10. Назовем две перестановки 2я-элементного мно- множества S = {a,, о^, ...-, а„, &,, ..., ^«} эквивалент- эквивалентными, если одна может быть получена из другой переменой мест последовательных элементов вида о;&; или bfii. Например, перестановка аф^ф^аф^ эквивалентна самой себе и переста- перестановкам а2афф2аф{, аф3аф2Ь1ах иа2аффф1а1. Сколько существует классов эквивалентности? 11. а. Пусть F — лес, имеющий t = t{F) компонент с множеством вершин [п]. Мы говорим, что F — корневой (посаженный) лес, если выделена кор- корневая вершина каждой компоненты связности леса F. Таким образом, если ср с2, ..., с^ — количество вершин в компонентах F (так что 2сг = я), то число p(F) способов, которыми можно посадить лес F, есть с,с2 ... с^. Покажите, что число fe-ком- понентных корневых лесов на множестве [я], со- содержащих F, равно Ь. Для данного графа G с множеством вершин [я] определим многочлен P(G, x)=E^(F)-1- D5) где сумма берется по всем корневым лесам на [я], содержащимся в G. Пусть G обозначает дополнение G; то есть пара {t, /'} е I 1 обра- образует ребро G тогда и только тогда, когда {i, j} — не ребро G. Используя п. (а) и принцип включе- включения— исключения, покажите, что P(G, x) = {-\ , -x-n). D6) [3] В частности, число c(G) остовных деревьев'> гра- графа G дается формулой 12. Пусть г^1. г-Черенковым V-разбиением числа я называется массив неотрицательных целых чисел [Ьффг ...Л я, ... аг с,с2с3 ... J такой что с &Г ^ С\ ^ С2 ^ С3 ^ . . . И 2j ai + 2u bi + 2j ct == n- Следовательно, 1-черенковое разбиение есть в точ- точности V-разбиение. Пусть vr(n) обозначает число r-черенковых разбиений п. Покажите, что ,. ии pr(x)T(x)-qr(x) л>0 где рг (х) = 2рг_! (х) + Ч1(х) = 0, q2(x)=\, - 1) pr_2 W, г > 2, -l)9r_2W) r>2, i+l [3] 13. Дайте основанное на методе решета доказательство формулы пятиугольных чисел Эйлера i+ У. (-1)" ') Остовным деревом связного графа называется дерево, являющееся подграфом данного графа и содержащее все его вершины (оно всегда суще- существует). Остовным деревом произвольного графа называется остовное дерево его компоненты связности. — Прим. перев.
Гл. 2. Методы решета Следует начать просеивание всех разбиений всех чи- чисел д^О и отбросить все, за исключением пустого разбиения числа 0. Предположим, что в предложении 2.2.6 функции e(i, /) имеют вид е (I, }) = «/-* для некоторых чисел а*, удовлетворяющих усло- условиям осо = 1 и otfe = 0 при k <. 0. Покажите, что /=E) равно коэффициенту при xn+l в степенном ряде D8) Выведите из формулы B1), что n — Турнир Т на множестве вершин [п] есть ориентиро- ориентированный граф на множестве [п] без петель, такой что каждая пара вершин соединена в точности од- одним ориентированным ребром. Пусть x,==w(e) — вес ориентированного ребра е из i в / (обозначение i-*-j), если i < j, и —*/, если i> j. Вес турнира Т по определению равен w (Т) = Це w (e), где е пробе- пробегает все ребра Т. а. Покажите, что Zw(T)= П (*/-*,), D9) где сумма берется по всем турнирам на [п]. b. Турнир Т транзитивен, если существует переста- перестановка яе@п, для которой я(г)-»-я(/) тогда и только тогда, когда i < /. Покажите, что не тран- транзитивный турнир содержит некоторый 3-цикл, т.е. тройку вершин (ы, v, до), для которых u-*~v-*- -*¦ w-*- и. c. Если Т и V — турниры на [га], мы пишем T*^>-Tf, если Т' можно получить из Т, обращая 3-цикл, то есть заменяя ребра м—>и, и—>а>, а»->и реб- ребрами а->и, a»->t», и->оу и оставляя все другие ребра неизменными. Покажите, что доG") = — до(Г). d. Покажите, что если Г ¦«->• 7", то Т и 7" имеют одинаковое число 3-циклов. Решения упражнений [2+] е. Выведите из пп. (а) — (d), что n?= П (x,-xt), 1<г</<» [3—] 17. 139 сократив все члены в левой части равенства D9), за исключением тех, которые соответствуют тран- транзитивным турнирам Т. Пусть А[, ..., Ап — подмножества конечного мно- множества А и Ви ..., Вп — подмножества конеч- конечного множества В. Для каждого подмножества S множества [п] положим As = Hi e s А и ^s == = iu<=s^r ^° данным биекциям /s: Л5->В5для всех 5 г [п] постройте явную биекцию h: A — — LJfLi >!»—>¦ S — U"=i ^^- Ваше определение h должно зависеть только от биекций fs, но не от какого-нибудь упорядочения элементов А или ме- меток на подмножествах Аи ..., кп и Ви ..., В„. Решения 1. Имеем \T\=i I Г I -i Если |/?j = r, то внутренняя сумма равна откуда следует доказательство формулы C6). Сумма C7) вычисляется аналогично. Эти формулы принадлежат Шар- Шарлю Жордану. Обширная библиография содержится в ра- работе [21].
40 Гл. 2. Методы решета Решения упражнений 141 2. а. Если рассматривать Л,- как множества элементов, имею- имеющих свойство Pi, то Следовательно, Z (- УэГ \У\>к TsY \T\>k 1П Zm i-k(m \ ( rn — (—1) I . 1 = 1 , i = k \ I J \ 4 Формула C8) следует из того, что f=(F)^O. Полагая можно переписать неравенство C8) в виде So - Oj ~p O2 Другими словами, частичные суммы 5о — Si + ... ... (—\)kSk последовательно превышают и не превосхо- превосходят величину 5. В таком виде формула C8) принадле- принадлежит Бонферрони (Bonferroni, Pubblic. 1st. Sup. Sc. Ее. Comm. Firenze 8 A936), 1—62). Эти неравенства иногда позволяют точно оценивать S, когда не все числа 5,- можно вычислить явно. Ь. Ответ: >0, 0<fe<n. Наиболее прямолинейное доказательство — индукция по п. Случай д = 0 тривиален (так как, если п = 0, точность последовательности означает, что W^Vq). Детали опу- опущены. Последовательность О imi ¦0 точна. Но dim (imdj) = rank dh так что доказательство следует из п. (а). Из формулы D1) имеем: dim Vj = rank dt + rank dl+l. С другой стороны, rank d/+1 = dim (imd/+1) и гапкд/ = = dimF/— dim(ker<5/), так что dim(im<5/+1) = dim(kerE/). Доказательство следует из того, что imd/+I Sker<5y. Для фиксированного ае/1 пусть Vf—пространство, порожденное символами [а, Т], если а е Ат; в противном случае V"==0. Пусть V1 = ]l[\t\=iVt и ^" — линейная оболочка единственного элемента [а], если ае А\ П ... П Ап> в противном случае Wa = 0. Тогда df Vf -> Vf-i, /^1, и д0: Уо-> ^а- (Таким образом, последовательность C9) есть прямая сумма таких последовательностей для фиксированных а.) Отсюда следует, что мы можем пред- предположить А ={а}. Ясно, что до — сюръективное отображение, так что в члене W последовательность точна. Легко проверить, что d;d/+i=O, так что C9)—комплекс. Так как А = = {а}, имеем п— 1 dim V ( п— 1 \ = 1 . f I. /я— 1\ , =f " J и (—l)'-'dim V,= что rank dj Можно несколькими способами показать, я— 1 так что доказательство следует из п. (с). Существует много других доказательств, возможность понимания которых зависит от подготовленности. Напри- Например, рассматриваемый комплекс C9) в данном случае (А—{а}) есть тензорное произведение комплексов ЯНс. 0-+Ui — >• W-^-0, где пространство Ut порождено [a, {tt}]. Ясно, что каждая последовательность "g^ точна, следовательно, точна последовательность C9). (Опреде- (Определение D2) не взято с потолка; это соотношения Кошуля и
142 Гл. 2. Методы решета Решения упражнений 143 последовательность C9) (А ={а}) есть комплекс Ко- шуля. Дальнейшую информацию см. практически в лю- любом тексте по гомологической алгебре'>. е., f. Следуют из того, что dimQ,.= \Т\, если dim Vy- = S/. 4. J. В. Remmel, European J. Combinatorics 4A983), 371 — 374. 5. Мы интерпретируем k\S{d,k) как число сюръективных функ- функций f: [d]->-[&]. Пусть А— множество всех функций f: [d]-*- ->[?] и для ie[A] пусть Р, — свойство: i^imf. Функция f не обладает свойствами, разве лишь из FgS = {Л Рн) тогда и только тогда, когда imf s {/: Р,еГ}, следовательно, число таких функций / есть id, где | Т\ = L Доказательство следует из предложения 2.2.2 6. а. Результат легко получается после проверки того, что лю- любые пять матриц Рп линейно независимы. Ь. Пусть А — 3X3 N-матрица, сумма элементов в каждой строке и каждом столбце которой равна г. Дано, что Л = Е<хЛ, E0) я где c^eN и 2а„ = г. Из разд. 1.2 число способов выбрать числа aneN так, чтобы Van — г, равно ( _ 1. Из п. (а) представление E0) единственно, если по край- крайней мере одно из чисел a2i3, a32i, а13г есть 0. Число спо- способов выбрать числа а123, а312, Ощ е N и а213, а321, а132 е Р, так чтобы Еа„ = г, равно числу слабых 6-разложений (г + 2\ числа г — 3, т. е. равно I _ J. Следовательно, Я3(г) = Уравнения D3) появились в § 40 работы [15], по су- существу, с тем же доказательством, что и выше. Вычисле- Вычисление Hi{r) на основе аналогичной техники практически совершенно невозможно, однако, используя теорему Гиль- Гильберта о сизигиях, можно показать, что в принципе такое вычисление можно провести. См. Stanley R. Duke Math. 40 A973), 607—632. Другой подход к вычислению Н„(г) при произвольном п см. в предложении 4.6.19. Теорема, упомянутая в п. (Ь), есть случай я = 3 теоремы Бирк- гофа — фон Неймана и доказана для произвольного п в лемме 4.6.18. ;=о lim П\ ilk1 ' ilk1 a. 2j ( . )(~U' (n ~l'— О'. если положим (—1I = 1. Л b. g(n) = (n-l)! и g@)=l. c. е~*A — log(l —x)). d. /)(«) = /(«) + /(«+ 1). Эта задача восходит к работе Whitworth W. A. Choice and Chance, 5-е издание (и, предположительно, ранние издания), Stechert, New York, 1934 (предл. 34 и упр. 217). Дальнейшую информацию и ссылки см. Tanny S. M., J. Combinatorial Theory 21A976), 196—202 и R. Stanley, JPL Space Programs Summary 37—40, vol. 4A966), 208—214. R. Stanley, JPL Space Programs Summary 37—40, vol. 4A966), 208—214. Назовем перестановку стандартной, если за bi непосред- непосредственно не следует а,- для 1 ^ i ^ п. Ясно, что каждый класс эквивалентности содержит в точности одну стандарт- стандартную перестановку. Непосредственное применение метода включения ¦— исключения показывает, что число стандарт- стандартных перестановок равно (-1УBп - о»=а" («+о» (=0 a. Случай &= 1 равносилен теореме 6.1 Moon J. W. Coun- Counting Labelled Trees. Canadian Mathematical Monographs, № 1, 1970. В общем случае доказательство аналогично. _ b. Пусть fkF) обозначает коэффициент при xk~l в P(G, x). т. е. fft(G)_paBHo числу fe-компонентных корневых лесов/7 в графе G. Из принципа включения — исключения ') Например, в кн. Бурбаки Н. Алгебра. Глава X. Гомологическая ал- алгебра. — М. Наука, 1987. — Прим. перев. где F пробегает множество всех остовных лесов обозначает число ^-компонентных корневых лесов на
Гл. 2. Методы решета множестве [п], содержащих F. (Заметьте, что п — ) равно числу ребер F). Из п. (a),gk(F) — p(F)i _ , )n^~k> где ? — ?{F). Следовательно, Решения упражнений 145 С другой стороны, из формулы D6) коэффициент при xk-\ в (—l)«-ip(G, —х — «) равен E2) где сумма снова берется по остовным лесам F графа G с условием ? = i(F). Требуемый результат доказан, так как выражения E1), E2) совпадают. Уравнение D7) (в сущности случай х = 0 в уравне- уравнении D6)) неявно содержится в работе Temperley V. Proc. Phys. Soc. 83A964), 3—16. См. также работу Дж. В. Му- на, цитированную в п. (а), теорема 6.2. Общий случай уравнения D6) содержится в статье Bedrosian S. D. J. Franklin Inst. 227 A964), 313—326. Впоследствии уравнение D6) было доказано А. К. Келмансом с ис- использованием матричной техники. См. уравнение B.19) в работе Cvetkovic D. M., Doob M., Sachs H., Spectra of Graphs, Academic Press, New York, 1980. Простое дока- доказательство формулы D6) и дополнительные ссылки имеются в работе Moon J. W., Bedrosian S. D. J. Frank- Franklin Inst. 316 A983), 187—190. Уравнение D6) можно рассматривать как «теорему взаимности» для корневых деревьев. Его можно использо- использовать вкупе с очевидным фактом, что P(G-\-H, x) = = xP(G, х)Р(Н, х) (где G-\-Н обозначает несвязное объединение G и Н) для унификации и упрощения мно- многих известных результатов, касающихся перечисления остовных деревьев и лесов. Например, пусть Кп и Кг, s обозначают соответственно полный и полный двудольный графы. Тогда имеем Р (Ки х) = \ + гГ1 (х + *Г' + S) (X + S)^1 (X + Р (Кг, s,X) = 12. Впервые этот результат появился в [18, гл. V. 3] и был сфор- сформулирован без доказательства в [19, предложение 23.8]. 13. Andrews G. E. The Theory of Arithmetic Functions (A. A. Gioia and D. L. Goldsmith, eds.), Lecture Notes in Math., no 251, Springer, Berlin, 1972, pp. 1—20. См. также гл. 9 работы [1.1]. 14. Имеем (-1)" аА„-a, Ь1+Ь2+...+Ьк+1=п+1 b, eP (-1)" ab "k+l = h(n) /] С (a,a; — a2x2 + CI3X3— ...)+1 = fe<-l n+l = A(n)C A -а^ + ъх2 ...)~l . 15. Пусть 5 = {1, 2, .... n — 1} в формуле B1). Существует единственная перестановка я е <&п, удовлетворяющая условию D(n) = S, а именно п = (п, п—1, ..., 1). Тогда i(л) = I 2 I. Следовательно, Р„E, q)= С другой стороны, правая часть равенства B1) превращается в ле- левую часть равенства D8), откуда и следует требуемый ре- результат. 16. Этот результат взят из работы Gessel I. J. Graph Theory 3A979), 305—307. Пункт (d) впервые рассмотрен в статье Kendall M. G., Babington Smith В. Biometrika 33A940), 239—251. Главный момент в решении п. (е) следующий: пусть G — граф, вершины которого — турниры Т на множе- множестве [п], а ребра — множества пар Т, Т, таких, что Т++Т'. Тогда из п. (с) и (d) выводим, что G — двудольный и регу- регулярный граф1), так что компонента связности G, содержа- содержащая Т, состоит из некоторого числа турниров веса w(T) и такого же числа турниров веса —w (T). 1) Граф называется двудольным, если множество его вершин можно раз- разбить на такие (непересекающиеся) подмножества Vi (J V2 = V, что любое его ребро имеет вид (vi, У2), 4i e Ki, y2 e V2. Граф называется регулярным, если каждая его вершина инцидентна одному и тому же количеству ре- ребер. — Прим. персе.
146 Гл. 2. Методы решета Некоторые далеко идущие обобщения появились в рабо- работах Zeilberger D., Bressoud D. M. A proof of Andreiws q-Dyson conjecture, Discrete Math. 54A985), 201—224; Bressound D. M. Colored tournaments and Weyl's denominator formula, Pen- Pennsylvania State University Research Report и Calder- bank A. R., Hanlon P- The extension to root systems of a theorem on tournaments, J. Combinatorial Theory (A) 41A986), 228—245. Первая из этих ссылок содержит реше- решения упражнения 8 (с) главы 1. 17. [11]. Примечание автора в корректуре русского перевода. Значительная часть теории досок Ферре, изложенная в этой главе, до статей [6]—[10] появилась в работе Foata D., Shutzenberger M. P. On the rook polynomials of Ferrers relations, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai 4, Combinatorial Theory and its Applications, vol. 2 (P. Erdos, A. Renyi and V.T. Sos, eds), North-Holland Am- Amsterdam/London, 1970, p.p. 431—436. В частности, паше следствие 2.4.5 есть теорема 11 этой работы. Глава 3 ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 3.1. Основные понятия Теория частично упорядоченных множеств (или ч. у. мно- множествI) играет важную объединяющую роль в перечислитель- перечислительной комбинаторике. В частности, теория обращения Мёбиуса на частично упорядоченном множестве является далеко идущим обобщением принципа включения — исключения, а теория бино- биномиальных ч.у. множеств представляет универсальный источник различных классов производящих функций. На протяжении гла- главы будут в основном освещаться эти две темы, но и многие дру- другие интересные аспекты частично упорядоченных множеств также будут представлены. Чтобы обрисовать спектр возможных направлений теории частично упорядоченных множеств в связи с принципом вклю- включения — исключения, рассмотрим следующий пример. Пусть у нас есть четыре конечных множества А, В, С, D, такие, что D=A(}B = A(}C = B(}C = A[}B[}C. Из принципа включе- включения — исключения следует, что = |4| + |B| + |C|-2|D|. A) Соотношения А [}В=А П C=Bf\ C=A f\B[] С сводят общее се- мичленное выражение для | Л (J ^ U С\ к четырехчленному выра- выражению, так как в наборе пересечений множеств А, В, С есть только четыре различных члена. Каков смысл коэффициента —2 в формуле A)? Сможем ли мы эффективно сосчитать такой коэффициент для более сложной совокупности равенств между пересечениями множеств А\, Лг, ..., А„? Ясно, что коэффи- коэффициент —2 зависит только от отношения частичного порядка ме- между множествами А, В, С, D, т. е. от того факта, что D<=A, D = В, D ЕС. Действительно, в дальнейшем мы увидим, что —2 есть некоторое значение функции Мёбиуса этого частичного по- порядка (присоединяется еще дополнительный элемент, отвечаю- ') В оригинале — partially ordered set (poset); мы не рискнули вводить термины «чум» или «посет», хотя иногда они использовались в русской лите- литературе. — Прим. ред.
148 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.1. Основные понятия 149 щий пустому пересечению). Таким образом, обращение Мёбиуса при благоприятных обстоятельствах упрощает метод включе- включения— исключения. Однако мы также увидим, что обращение Мёбиуса имеет гораздо более далеко идущие приложения, не- нежели просто обобщение принципа включения — исключения. Прежде чем погружаться с головой в теорию алгебр инци- инцидентности и функций Мёбиуса, полезно развить некоторую ин- интуицию в отношении структуры конечных частично упорядочен- упорядоченных множеств. Поэтому в первых пяти разделах этой главы мы соберем воедино основные определения и результаты данного предмета, хотя, строго говоря, для понимания теории обраще- обращения Мёбиуса в большинстве из них нет необходимости. Частично упорядоченное множество Р (или, для краткости, ч.у. множество) есть множество (которое, допуская нестро- нестрогость в обозначениях, мы также называем Р), вместе с бинар- бинарным отношением, обозначаемым ^ (или ^Р, если есть возмож- возможность путаницы), удовлетворяющее следующим трем аксиомам: 1. Для каждого элемента х^Р, х^.х (рефлексивность). 2. Если х ^.у и у ^ х, тох = г/ (антисимметричность). 3. Если х<р(/^г, то х<г (транзитивность). Мы используем очевидные обозначения х ^ у, означающие у^х, х < у (означает х^у и хфу) и х>у (означает у<.х). Мы говорим, что элементы х и у множества Р срав- сравнимы, если х =^ у или у =^ х; в противном случае элементы х и у несравнимы. Прежде чем обращаться к более длинному списку связан- связанных с ч.у. множествами определений, рассмотрим некоторые примеры конечных ч. у. множеств, представляющих комбинатор- комбинаторный интерес. Мы позже рассмотрим их более детально. 3.1.1. Пример a. Пусть п е Р. Множество [п] с обычным порядком обра- образует «-элементное ч.у. множество, обладающее тем особым свойством, что любые два его элемента сравнимы. Это ч.у. мно- множество обозначается п. Конечно, п и [п] совпадают как мно- множества, но мы используем обозначение п, чтобы подчеркнуть порядковую структуру. b. Пусть rtsN- Мы можем превратить множество 21 всех подмножеств множества [п] в ч. у. множество Вп, положив по определению S^T в Вп, если 5 s T как множества. Говорят, что Вп состоит из подмножеств множества [га] «упорядоченных по включению». c. Пусть п е 1 . Множество всех целых положительных де- делителей числа п можно превратить в ч. у. множество Dn «есте- «естественным» способом, положив i ^ / в Dn, если / делится на i (обозначение i\j). d. Пусть ке Р. Множество П„ всех разбиений множества [п] можно сделать ч.у. множеством (также обозначаемым Ип), положив я ^ о в П„, если каждый блок я содержится в блоке а. Например, если п = [9] и если разбиение я имеет блоки 137, 2, 46, 58, 9 и а имеет блоки 13467, 2589, то л < а. В этом случае мы говорим, что разбиение я есть измельчение разбиения а и что ч.у. множество П« состоит из разбиений множества [я], «упорядоченных по измельчению».') V о о о о р i Рис. 3.1. Л е. В общем, любой набор множеств можно упорядочить по включению, чтобы образовать ч. у. множество. Некоторые слу- случаи представляют особый комбинаторный интерес. Пусть, на- например, Ln(q) — ч. у. множество, состоящее из всех подпро- подпространств га-мерного векторного пространства Vn(q) над полем F? из q элементов, упорядоченных по включению. Мы увидим, что Ln(q) есть обладающий хорошим поведением <«7-аналог»ч.у. множества Вп< определенного в п. (Ь). Теперь мы приведем список основных определений и резуль- результатов, связанных с частично упорядоченными множествами. Не- Некоторые читатели, возможно, захотят перейти сразу к разд. 3.6 и обращаться к пропущенному материалу только при необходи- необходимости. Два ч. у. множества Р и Q изоморфны, если существует со- сохраняющая порядок биекция ср :P-+Q, обратная к которой •) В теории меры и в анализе принято упорядочение разбиений, проти- противоположное этому, однако в комбинаторике более удобно то, которое приво- приводится в тексте. — Прим. ред.
150 Гл. 3. Частично упорядоченные множества также сохраняет порядок, т. е. х<г/ в Р <=?¦ ф (x)< ф (у) в Q. При определении понятия «ч. у. подмножества» следует про- проявить некоторую осторожность. Под слабым ч. у. подмноже- подмножеством ч. у. множества Р мы понимаем подмножество Q элемен- элементов множества Р и такое частичное упорядочение Q, что если х ^ у в Q, то х ^ у в Р. Если 2 — слабое ч. у. подмножество Р и P = Q как множества, то мы называем Р измельчением Q. Под индуцированным ч.у. подмножеством Р мы понимаем под- подмножество Q ч. у. множества Р с частичным порядком на Q, таким, что для х, у eQ имеем х ^ у в Q тогда и только тогда, когда х ^ у в Р. В этом случае мы говорим, что ч. у. подмно- подмножество Q ч.у. множества Р имеет индуцированный порядок. Та- Таким образом, конечное ч. у множество Р имеет в точности 2 индуцированных ч. у. подмножеств. Под ч. у. подмножеством Р мы всегда будем понимать индуцированное ч. у. подмножество. Специальным типом ч.у. подмножества Р является (замкну- (замкнутый) интервал [х,//] = {z e Р: x ^ z ^ у}, определенный в слу- случае, если х ^ у. (Таким образом, пустое множество не рассмат- рассматривается как интервал.) Интервал [х, х] состоит из единствен- единственного элемента х. Если любой интервал Р конечен, то Р назы- называется локально конечным ч. у. множеством. Положим по опре- определению ч.у. подмножество Q ч.у. множества Р выпуклым, если у s Q при условии, что х<.у<гвРих, zeQ. Интервал, та- таким образом, выпуклый. Аналогично определим открытый ин- интервал (х,у)= {ze Р: х < z < у}, так что (х,х) = 0. Если х, у s P, то мы говорим, что элемент у покрывает эле- элемент х, если л; < у и ни один элемент геР не удовлетворяет условию х < z < г/. Таким образом, г/ покрывает л; тогда и только тогда, когда х < г/ и [х, г/] ={х, г/}. Локально конечное ч. у. множество Р полностью определяется своим отношением покрытия. Диаграммой Хассе конечного ч. у. множества Р назы- называется граф, вершинами которого являются элементы Р, а пара (а, Ь) образует ребро, если элемент Ъ покрывает элемент а, и такой, что если х < у, то у рисуют «выше» х (т. е. с большей вертикальной координатой). На рис. 3.1 показаны диаграммы Хассе всех (с точностью до изоморфизма) ч.у. множеств, не более чем с 4 элементами. Некоторую осторожность нужно про- проявлять при «опознавании» ч.у. множеств по их диаграммам Хассе. Например, граф является полноценной диаграммой 3.1. Основные понятия 151 таблице. Мы надеемся, что читатель разрешит этот вопрос. Аналогично, почему выше не встретился граф c^l^ ? На рис. 3.2 показаны диаграммы Хассе некоторых ч.у. множеств, рассмотренных в примере 3.1.1. В Мы говорим, что ч. у. множество Р имеет б, если сущест- существует такой элемент ОеР, что х^О для всех х^Р. Анало- Аналогично Р имеет 1, если существует такой элемент 1еР, что х ^ 1 для всех х е Р. Мы обозначаем Р ч. у. множество, по- полученное из Р присоединением 0 и 1 (несмотря на возможно уже содержащиеся в Р элементы 0 или 1). См. примеры на рис. 3.3. Хассе, однако кажется, что он пропущен в упомянутой выше Рис. 3.3. Цепью (или вполне упорядоченным множеством, или линейно упорядоченным множеством) называется ч.у. множество, любые два элемента которого сравнимы. Так ч. у. множество п примера 3.1.1 (а) есть цепь. Подмножество С ч.у. множества Р назы- называется цепью, если С, рассматриваемое как ч.у. подмножество ч.у. множества Р, есть цепь. Цепь С ч.у. множества Р назы- называется насыщенной (или неизмельчаемой), если не существует такого элемента геР — С, что х < z < у для некоторых х, jeC, и СU {z} есть цепь. В локально конечном ч.у. множестве
152 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.2. Новые ч. у. множества из старых 153 цепь хо < х\ < ... <хп насыщена тогда и только тогда, когда Xi покрывает x,--i при 1 =^ i ^ п. Длина 1{С) конечной цепи определяется равенством /(С) = ]С|—1. Длина (или ранг) ко- конечного ч. у. множества Р есть /(Р):=тах {/(С); С — цепь в Р). Длина интервала [х, у] множества Р обозначается 1(х,у). Если каждая максимальная цепь в Р имеет одну и ту же длину «, то говорим, что ч. у. множество Р градуированное ранга п. В этом случае существует единственная ранговая функция р: Р-*- -»-{0, 1, ..., п}, такая, что р(х) = 0, если я —минимальный эле- элемент Р и р(г/) = р(х) + 1, если у покрывает х в Р. Если р(х)— i, то мы говорим, что х имеет ранг i. Таким образом, если х ^ у, то 1(х, у)= р(у)—р(х). Если Р — градуированное ч. у. множе- множество ранга п и содержит Pi элементов ранга i, то многочлен i0 называется рангово-производящей функцией ч. у. множества Р. Например, все ч.у. множества n, Bn, Dn, П„ и Ln(q) из при- примера 3.1.1 являются градуированными. Читатель может прове- проверить правильность заполнения следующей таблицы (некоторые из клеток которой будут более детально обсуждены позже). Ч. у. множество Р п Вп Dn п„ Ln(q) Ранг элемента *еР X — 1 card х число простых делителей х (под- (подсчитанных с учетом кратности) п-\х\ dim х Ранг Р п — 1 п число простых де- делителей п п— 1 п Мультицепь ч. у. множества Р есть цепь с повторяющимися элементами, т. е. мультимножество на множестве, являющемся цепью в Р. Мультицепь длины п есть в точности последователь- последовательность хо ^ Х\ ^ х2 ... ^ хп элементов ч. у множества Р. Антицепь (или семейство Шпернера, или клаттер) есть под- подмножество А ч.у. множества Р, в котором любые два элемента несравнимы. Порядковый идеал (полуидеал или нижнее множе- множество, или убывающее подмножество) ч.у. множества Р есть та- такое подмножество / ч.у. множества Р, что если д:е/ и у ^ х, то г/е/. Аналогично двойственный порядковый идеал (или фильтр) есть подмножество / ч.у. множества Р, такое, что если х s / и у^х, то у е= /. Если Р — конечное ч. у. множество, то существует взаимно однозначное соответствие между антице- антицепями А из Р и порядковыми идеалами /. Именно антицепь А есть множество максимальных элементов идеала /, а для некоторого B) Множество всех порядковых идеалов ч. у. множества Р, упорядо- упорядоченное по включению, образует ч.у. множество, обозначаемое J(P). В разделе 3.4 мы изучим J(P) более подробно. Если мно- множества I и А связаны соотношением B), то мы говорим, что А порождает I. Если А={х\, ..., х&}, то мы используем обозна- обозначение / = (хи ..., хпу для порядкового идеала, порожденного множеством А. Порядковый идеал (х) называется главным по- порядковым идеалом, порожденным элементом х, и обозначается Ах. Аналогично, Vx обозначает главный двойственный порядко- порядковый идеал, порожденный элементом х, т. е. Vx ={у е Р: у ^ х). 3.2. Новые ч. у. множества из старых К одному и более ч.у. множествам можно применять различные операции. Если Р и Q — ч.у. множества на непересекающихся множествах, то дизъюнктным объединением (или прямой суммой) Р и Q называется ч. у. множество Р + Q на объедине- объединении P\JQ, такое, что х^.у в Р + Q, если либо (а) х, у е Р и х ^ у в Р, либо (Ь) х, у s Q и х ^ у в Q. Ч.у. множество, не являющееся дизъюнктным объединением двух непустых ч. у. множеств, называется связным. Дизъюнктное объединение п ч. у. множеств Р обозначается пР; следовательно, «-элемент- «-элементная антицепь изоморфна п\. Если Р и Q, как и выше, — ч.у. множества на непересекающихся множествах, то порядковая сумма Р и Q есть ч. у. множество Р Ф Q на объединении Р [j Q, такое, что х ^ у в Р © Q, если (а) х, у е Р и х ^ у в Р, или (Ь) х, г/ s Q и х ^ г/ в Q, или (с) х е Р и г/ е Q. Таким обра- образом, я-элементная цепь определяется равенством п = 1 Ф 1 Ф ... ... ®1 (п раз). Из 16 4-элементных ч.у. множеств в точности одно не может быть построено из ч. у. множества 1 с использо- использованием операций дизъюнктного объединения и порядковой суммы. Ч.у. множества, которые можно построить таким спо- способом, называются последовательно-параллельными ч. у. мно- множествами. Если Р и Q ч.у. множества, то прямое (или декартово) про- произведение Р и Q есть ч. у. множество Р X Q на множестве {(х,у): х s P h!/eQ}, такое, что (х, у) ^ (л/,у') в Р X Q, если х ^ х' в Р и у ^у' в Q. Прямое произведение п экземпля- экземпляров ч.у. множества Р обозначается Р". Чтобы нарисовать
154 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.3. Решетки 155 диаграмму Хассе ч. у. множества PX.Q (если множества Р и Q конечные), нарисуем диаграмму Хассе ч.у. множества Р, заме- заменим каждый элемент х из Р копией Qx ч.у. множества Q и со- соединим соответствующие элементы Qx и Qy (по отношению к не- некоторому изоморфизму Qx = Qy), если элементы х и у соеди- соединены в диаграмме Хассе ч.у. множества Р. Например, диаграм- диаграмму Хассе ч. у. множества зано на рис. 3.4. рисуют, как пока- N Шаг 1 М N Шаг 2 Рис. 3.4. Из определения ясно, что прямые произведения Р X Q и Q X Р изоморфны. Однако диаграмма Хассе, полученная заме- заменой Р на Q и Q на Р в описанной выше процедуре, в общем случае выглядит совершенно не похожей на исходную, хотя они, конечно, изоморфны. Если Р и Q градуированы с рангово-про- изводящими функциями F(P,q) и F(Q,q), то легко видеть, что ч. у. множество Р X Q градуировано и F(PXQ,q) = F(P,q)-F(Q,q). C) Следующая операция над ч.у. множествами — порядковое произведение Р <8> Q. В этом случае частичный порядок на мно- множестве {(х, у): х <= Р, y^Q} вводится так: (х, у) ^ (х', у'), если (i) х = х' и у s^ у', или (ii) х < *'. Чтобы изобразить диаграмму Хассе P®Q (где множества Р и Q конечны), нарисуем диа- диаграмму Хассе ч.у. множества Р, заменим каждый элемент х из Р копией Qx ч. у. множества Q, а затем соединим каждый мак- максимальный элемент Qx с каждым минимальным элементом Qy при условии, что у покрывает х в Р. Если ч.у. множества Р и Q градуированы и ранг Q равен г, то аналогом уравнения C) для порядкового произведения является уравнение , q). Заметьте, что в общем случае ч.у. множества P®QnQ®PHe имеют одной и той же рангово-производящей функции, так что, в частности, они не изоморфны. Теперь мы хотим рассмотреть двойственное ч.у. множество к Р. Это ч. у. множество Р* на том же самом множестве, что и Р, но такое, что х ^ у в Р* тогда и только тогда, когда у <: х в Р. Если ч.у. множества Р и Р* изоморфны, то Р называется самодвойственным. Из 16 четырехэлементных ч.у. множеств 8 самодвойственны. Если Р и Q ч. у. множества, то Qp обозначает множество всех сохраняющих порядок отображений /: P->Q, т. е. х^.у в Р влечет за собой f(x)^.f(y) в Q. Мы снабдим Qp структу- структурой ч. у. множества, положив f ^.g, если f(x)k^g(x) для всех jceR Простым упражнением является проверка справедли- справедливости следующих правил арифметики кардиналов (знак равен- равенства нужно интерпретировать как изоморфизм): а. операции + и X ассоциативны и коммутативны. b. с. d. 3.3. Решетки Здесь мы кратко опишем важный класс ч. у. множеств, называе- называемых решетками. Если элементы х и у содержатся в ч. у. множе- множестве Р, то верхней гранью хну называется элемент z, удовлет- удовлетворяющий условиям г^^иг>1/, Наименьшая верхняя грань хну есть верхняя грань z элементов х и у, такая, что любая верхняя грань w элементов х и у удовлетворяет условию w ^ z. Если наименьшая верхняя грань х и у существует, то она, оче- очевидно, единственна и обозначается х V у (читается «объедине- «объединение х и у» или «супремум х и у»). Двойственным образом можно определить наибольшую нижнюю грань х Л у (читается «пере- «пересечение х и у» или «инфимум х и у») в тех случаях, когда она существует. Решетка — это ч.у. множество, в котором любая пара элементов имеет наименьшую верхнюю грань и наиболь- наибольшую нижнюю грань. Решетки можно также определять аксио- аксиоматически в терминах операций V и А, но для комбинаторных целей в этом нет необходимости, Читатель, однако, должен про? верить, что в решетке L;
156 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.3. Решетки 157 а. операции V и Л ассоциативны, коммутативны и идемпо- тентны (т. е. х Л х = х V х = х); b. х Л (х V у) = х = х V (х Л г/) (законы поглощения); c. л; Л у = х<=>х V y = Ясно, что все конечные решетки содержат элементы б и Т. Если L и Af — решетки, то таковыми же являются I', LXAf и L® М. Однако L + М никогда не будет решеткой, если только одно из множеств L или М непусто, но ч. у. множество L + М всегда является решеткой. На рис. 3.5 показаны диаграммы Хассе всех решеток, содержащих не более шести элементов. Рис. 3.5. При проверке, является ли (конечное) ч. у. множество ре- решеткой, иногда легко увидеть, что пересечение, скажем, суще- существует, но существование объединения не столь очевидно. По- Поэтому будет полезным критерий, сформулированный в следую- следующем предложении. Если каждая пара элементов ч. у. множества Р имеет пересечение (соответственно объединение), то говорим, что Р — нижняя полурешетка (соответственно верхняя полуре- полурешеткаI). •) В оригинале «meet-semilattice», «join-semilattice» — в переводах на русский язык наряду с использованием нами терминами встречаются также обозначения «Л-полурешетка» и «V-полурешетка». — Прим. перев. '3.3.1. Предложение. Пусть Р — конечная нижняя полурешетка с Т. Тогда Р есть решетка. (Разумеется, двойственным образом конечная верхняя полурешетка с 0 есть решетка.) Доказательство. Если х, у еР, то множество S = {z e P: z ^ х и z ^ у) конечно (так как Р конечно) и непусто (так как IgS). По индукции убеждаемся, что существует пересечение конечного множества элементов нижней полурешетки. Следова- Следовательно, имеем х\/ у= /\zesSz. ? Предложение 3.3.1 не выполняется для бесконечных реше- решеток L, так как не обязательно существует пересечение или объ- объединение элементов произвольного подмножества в L. Если лю- любое подмножество элементов решетки L действительно имеет пересечение и объединение, то L называется полной решеткой. Ясно, что полная решетка содержит элементы 0 и 1. Теперь мы рассмотрим один из типов решеток, представляю- представляющих для комбинаторики наибольший интерес. 3.3.2. Предложение. Пусть L —конечная решетка. Следующие два условия эквивалентны: i. L градуирована, и ранговая функция р решетки L удовлетво- удовлетворяет условию р (я) + р (у) Жр (.х V у) + р (х А у) для всех х, y^L. ii. Если элементы х и у оба покрывают х\А у, то элемент х V у покрывает как х, так и у. Доказательство (i)=>-(ii). Предположим,~гчто х и у покрывают х А У- Тогда 9(х) = р(у) = р{х Ау)+1 и р{х V у)>р{х) = р(у). Следовательно, из п. (i) имеем р(х V у) = р(#)•+ 1 =р{у) + 1, так что х V у покрывает элементы хну. (ii)=>(i). Предположим, что решетка L не градуированная, и пусть [и, v] — интервал из L минимальной длины, не имею- имеющий градуировки. Тогда существуют элементы xlt x<i интервала [и, v], покрывающие и и такие, что все максимальные цепи каж- каждого интервала [х,-, v] имеют одну и ту же длину /,-, где U ф 1%. Из п. (ii) следует, что в интервалах [xi, v] существуют насы- насыщенные цепи вида х,¦<. х\ V х2 <С г/i < Уч <С ... < у и = v, что противоречит утверждению 1Х Ф12. Следовательно, решетка L градуирована. Предположим теперь, что существует пара элементов х, у ре- решетки L с условием p(x) + p(y)<p(xAy) + p(xVy), D) и выберем такую пару с минимальным значением I (х А у, х\/у), а затем с минимальным значением р(х)-\-р(у). В силу п. (ii) оба элемента х и у не могут покрывать х Л у. Поэтому
158 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.3. Решетки 159 предположим, например, что хАу 1(х Л у, х V у) ир(х)+р(у) имеем р(х') + 9(У)>Р(х' A х'<х. Из минимальности у). E) Теперь х' Л у = х Л у, так что из формул D), E) следует, что р(х) + р(х' V У) <р(х') + 9(х V у). Ясно, что х Л (*' V у) > х' и х\/ (х' V у) = х\/ у. Следова- Следовательно, положив Х = х, Y = x'\/ у, мы нашли пару элементов X, Ye=L с условием p(Z) + p(F)< p(J Л Y) + р(Х V К) и / (Jf Л У, X V Y) <Цх А У, х V «/)• Полученное противоречие завершает доказательство. ? Конечная решетка, удовлетворяющая любому из условий пре- предыдущего предложения, называется конечной полумодулярной сверху решеткой или просто конечной полумодулярной решет- решеткой. Читатель может проверить, что из 15 решеток с шестью элементами в точности восемь являются полумодулярными. Рис. 3.6. Конечная решетка L, двойственная к которой решетка L* полумодулярна, называется полу модулярной снизу. Конечная решетка, которая является одновременно полумодулярной сверху и снизу, называется модулярной решеткой. В силу предложе- предложения 3.3.2 конечная решетка является модулярной тогда и только тогда, когда она градуирована и ее ранговая функция р удов- удовлетворяет условию р (х) + р (у) = р (х А у) + р (х V у) для всех х, у <= L. F) Например, решетка Ln(q) подпространств (упорядоченных по включению) я-мерного векторного пространства над полем Fq является модулярной, так как ранг подпространства есть в точ- точности его размерность и формула F) известна из линейной ал- алгебры. Любая полумодулярная решетка не более чем с шестью элементами является модулярной. Существует единственная се- миэлементная не модулярная, полумодулярная решетка, пока- показанная на рис. 3.6. Эта решетка не является модулярной, так как элемент х V у покрывает х и у, но элементы х и у не по- покрывают х А у. Можно показать, что конечная решетка L яв- является модулярной тогда и только тогда, когда для любой тройки элементов х, у, z из L, где х <: z, имеем = (xy y)Az. G) Это позволяет распространить понятие модулярности на беско- бесконечные решетки, хотя мы будем рассматривать только конечные решетки. d Рис. 3.7. Рис. 3.8. Решетка L с б и 1 называется решеткой с дополнениями, если для каждого элемента x^L существует такой элемент i/ei, что х А У = 0 и х V У =1- Если для всех элементов х до- дополнение у единственно, то L — решетка с единственными до- дополнениями. Если каждый интервал [х, у] решетки L является решеткой с дополнениями, то решетка L есть решетка с относи- относительными дополнениями. Атомом конечной решетки L назы- называется элемент, покрывающий 0, и если любой элемент L есть объединение атомов, то решетка L называется атомарной (или точечной решеткой). Двойственным образом, коатом — это эле- элемент, который покрывается 1 и очевидным образом опреде- определяется коатомарная решетка. Доказательство следующего про- простого результата мы опускаем. 3.3.3. Предложение. Пусть L — конечная полумодулярная ре- решетка. Следующие два условия эквивалентны; i. L — решетка с относительными дополнениями, и. L — атомарная решетка. О Каждая полумодулярная решетка, удовлетворяющая усло- условиям (i) или (И), приведенным выше, называется конечной гео- геометрической решеткой. Основным примером является следую- следующий. Возьмем любое конечное множество точек S в некотором аффинном пространстве V над полем k (или даже над кольцом с делением). Тогда упорядоченные по включению подмножества из S вида S П W, где W — аффинное подпространство в V,
160 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.4. Дистрибутивные решетки 161 образуют геометрическую решетку L(S). Например, если взять множество S с R2 таким, как показано на рис. 3.7, то элемен- элементами L(S) являются 0, {а}, {Ь}, {с}, {d}, {a, d), {b, d], {с, d), {a, b, с), {a, b, с, d}. В этом примере решетка L(S) в дей- действительности модулярная; она показана на рис. 3.8. Возможно, читатель захочет проверить правильность запол- заполнения (местами многословной) таблицы, касающейся ч.у. мно- множеств примера 3.3.1. Ч. у. множество Р Свойства! которыми обладает Р Свойства, которыми Р не обла- обладает (п велико) модулярная решетка Вп модулярная решетка, ре- решетка с относительными дополнениями, с единствен- единственными дополнениями, ато- атомарная, коатомарная гео- геометрическая Dn модулярная решетка Ип геометрическая решетка Ln (q) модулярная решетка, ре- решетка с относительными дополнениями, атомарная, коатомарная, геометриче- геометрическая решетка с дополнениями, атомарная, коатомарная, геометрическая решетка с дополнениями, атомарная, коатомарная, геометрическая (если толь- только п не свободно от квад- квадратов, в противном случае Dn ei Bn) модулярная решетка с единственными дополнениями 3.4. Дистрибутивные решетки Наиболее важный класс с комбинаторной точки зрения обра- образуют дистрибутивные решетки. Они определяются законами ди- дистрибутивности: х V(yAz) = (xV y)A(x Vz), х Л(у Лг) = {хЛ у) V(xA4 ' (Можно доказать, что любой из этих законов влечет за собой другой.I) Если мы предположим, что х ^ z в первом законе ') То есть выполнение одного тождества для всех троек х, у, г влечет за собой выполнение другого тождества также для всех троек. Выполнение одного тождества для какой-нибудь тройки элементов х, у, г не влечет, ко- конечно, выполнения другого тождества для этой же тройки, — Прим. перев. дистрибутивности, то получим формулу G), так как х V z = z. Следовательно, каждая дистрибутивная решетка является мо- модулярной. Решетки п, Вп и Dn примера 3.1.1 дистрибутивны, а решетки Лп (п > 2) и Ln(q) (п > 1) не дистрибутивны. Дру- Другой пример дистрибутивной решетки дает решетка J(P) поряд- порядковых идеалов ч.у. множества Р. Решеточные операции V и Л на порядковых идеалах есть в точности объединения и пересе- пересечения их (как подмножеств множества Р). Так как объединение и пересечение порядковых идеалов есть снова порядковый идеал, то из хорошо известного свойства дистрибутивности объедине- объединений и пересечений множеств следует, что J(P) действительно дистрибутивная решетка. Фундаментальная теорема для конеч- конечных дистрибутивных решеток (ФТКДР) гласит, что обратное тоже верно, если решетка конечна. 3.4.1. Теорема (ФТКДР). Пусть L — конечная дистрибутивная решетка. Тогда существует единственное (с точностью до изо- изоморфизма) конечное ч. у. множество Р, для которого L^J(P) Замечание. Для комбинаторных целей было бы лучше всего в действительности определить конечную дистрибутивную ре- решетку как произвольное ч.у. множество вида J(P), P конечно. Однако, чтобы избежать конфликта с установившейся практи- практикой, мы дали обычное определение. Чтобы доказать теорему 3.4.1, сначала мы должны по- построить кандидата Р, а затем показать, что в действительности LszJ(P). Назовем элемент х решетки L неразложимым в объ- объединение '), если нельзя записать х в виде х = у V г, где у < х и z < х. (Двойственным образом определяется элемент, нераз- неразложимый в пересечение.) Мы предполагаем, что элемент 0 не является неразложимым в объединение. Порядковый идеал / конечного ч.у. множества Р неразложим в объединение в J(P) тогда и только тогда, когда он является главным идеалом в Р. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между неразложимыми в объединение элементами Л* из J (Р) и элементами х из Р. Так как Ах Е Л^ тогда и только тогда, когда х ^ у, мы получаем 3.4.2. Предложение. Множество неразложимых элементов из J(P), рассматриваемое как (индуцированное) ч.у. подмноже- подмножество решетки J(P), изоморфно Р. Следовательно, J(P)^J(Q) тогда и только тогда, когда Р ^ Q. П ') В литературе неразложимые в объединение элементы иногда назы- называют «V-неразложимымн», а неразлоа<имые в пересечение — «Л-неразложи- мымп».—Прим. перев. 6 Р. Стенли
162 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.4. Дистрибутивные решетки 163 Доказательство теоремы 3.4.1. В силу предложения 3.4.2 доста- достаточно показать, что если Р — ч.у. подмножество неразложимых в объединение элементов из L, то L ^ / (Р). По данному х е L положим 1Х = {у е= Р: у^х}. Ясно, что /ie/(P), так что отображение х^*-1х определяет сохраняющее порядок (на са- самом деле сохраняющее пересечения) вложение L -^> J.(P), об- обратное к которому сохраняет порядок на (p(L). Следовательно, нам нужно показать, что ф — сюръекция. Пусть /e/(f) и Х = У{У- У^1}- Нам нужно показать, что 1 = 1Х. Ясно, что / ? 1Х. Пусть z е= 1Х. Теперь Применим /\z к формуле (9). Из дистрибутивности получим V {уАг: y^l}=V{yAz: y^IJ. A0) Правая часть равенства есть в точности z, так как один из членов есть z, а все другие ^2. Так как элемент z неразложим в объединение (будучи по определению элементом из Р), из формулы A0) следует, что некоторый элемент у^1 удовлет- удовлетворяет условию у Л z = г, т. е. z ^ у. Так как / — порядковый идеал, ze/, то 1Х <= I. Следовательно, / — 1Х. Откуда и сле- следует результат. ? В некоторых комбинаторных задачах естественно появ- появляются бесконечные дистрибутивные решетки специального вида. Таким образом, назовем локально конечную дистрибу- дистрибутивную решетку L с элементом 6 финитарной дистрибутивной решеткой. Отсюда следует, что L имеет единственную ранговую функцию р: L-»-N, где р(х)— длина любой насыщенной цепи от 0 до х. Если решетка L имеет конечное число р, элементов любого данного ранга i e Ц, то можно определить рангово- производящую функцию F(L,q) равенством F(L, q)=Z Pij- i >0 В этом случае, конечно, F{L,q) не обязательно многочлен, но в общем случае — формальный степенной ряд. Мы оставляем читателю проверить, что ФТКДР для финитарных решеток формулируется так: 3.4.3. Предложение. Пусть Р — ч.у. множество, такое, что лю- любой его главный порядковый идеал конечен. Тогда ч. у. множе- множество Jf (Р) конечных порядковых идеалов ч. у. множества Р, упорядоченных по включению, есть финитарная дистрибутивная решетка. Обратно, если L — финитарная дистрибутивная ре- решетка и Р — ее ч.у. подмножество, состоящее из элементов, неразложимых в объединение, то любой главный идеал ч. у. множества Р конечен и L = Jf (P). ? Теперь мы обратимся к исследованию комбинаторных свойств решетки J(P) (где ч.у. множество Р конечно) и взаи- взаимосвязи между ч.у. множествами Р и J(P). Если / — поряд- порядковый идеал в Р, то элементы из J(P), покрывающие /, яв- являются в точности порядковыми идеалами 1\}{х), где х — ми- минимальный элемент множества Р — /. Отсюда мы выводим 3.4.4. Предложение. Если Р — п-элементное ч.у. множество, то J(Р)—градуированное ч.у. множество ранга п. Далее, ранг р(/) элемента /е/(Р) есть в точности мощность |/| мно- множества I, рассматриваемого как подмножество Р. ? Из предложений 3.4.2, 3.4.4 и ФТКДР следует, что суще- существует биекция между множествами классов изоморфных ч.у. множеств Р мощности п и множеством классов изоморфных дистрибутивных решеток ранга п. Эта биекция ч.у. множеству Р сопоставляет решетку J(P), а обратная биекция относит решетке J(P) ч. у. множество ее неразложимых в объедине- объединении элементов. В частности, число неизоморфных ч. у. мно- множеств мощности п равно числу неизоморфных дистрибутивных решеток ранга п. Если Р = п — п-элементная цепь, то 7(Р)^п + 1. В другом крайнем случае, если Р = п\ — п-элементная антицепь, то лю- любое подмножество в Р является порядковым идеалом и J(P) есть в точности множество подмножеств множества Р, упоря- упорядоченных по включению. Следовательно, ч.у. множество J(n\) изоморфно ч. у. множеству Вп примера 3.1.1 (Ь), и мы просто пишем Вп = J(п\). Мы называем Вп булевой алгеброй ранга п. (Обычное определение булевой алгебры наделяет ее более бо- богатой структурой, чем просто структура дистрибутивной ре- решетки, но для наших целей мы будем рассматривать Вп как некоторую дистрибутивную решетку.) Из ФТКДР (или как- нибудь иначе) следует, что следующие условия на конечную дистрибутивную решетку L эквивалентны: a. L — булева алгебра, b. L — решетка с дополнениями, c. L — решетка с относительными дополнениями, d. L — атомарная решетка, e. Т есть объединение атомов L, f• L — геометрическая решетка, g. любой неразложимый в объединение элемент L покрывает 0, h. если L имеет п неразложимых в объединение элементов, 6*
164 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.4. Дистрибутивные решетки 165 то L имеет по крайней мере (равносильно, в точности) 2" элементов. i. рангово-производящая функция решетки L есть A -\-q)n для некоторого п. Для данного порядкового идеала / ч. у. множества Р опре- определим отображение //: Р ->¦ 2 формулой Тогда f/<//' в 2Р, тогда и только тогда, когда / э/'. Следо- Следовательно, J(P*) = 2P. Заметьте также, что J(P*) = J(P)* и ни i_Q)^/(P)x/(Q). В частности, Bn = /(nl)^/(l)" sl 2". Рис. 3.9. Рис. 3.10. Это соображение дает возможность изображать решетку Вп, используя метод предыдущего раздела для изображения про- произведений. Например, полученная таким образом диаграмма Хассе решетки В3 изображена на рис. 3.9, а на рис. 3.10 пока- показано, как получить диаграмму Хассе ч.у. множества В4- Если 1^1' в дистрибутивной решетке J (Р), то интервал [/, /'] изоморфен /(/' — /), где I' — / рассматривается как (ин- (индуцированное) ч. у. подмножество ч. у. множества Р. В част- частности, [/,/'] — дистрибутивная решетка. (Более общим образом: любая подрешетка дистрибутивной решетки дистрибутивна.) Отсюда следует, что существует взаимно однозначное соответ- соответствие между интервалами [/,/'] решетки J(P), изоморфными решетке Bk{k~^\), такими, что не существует интервалов [/(,/'], где К < /, являющихся булевыми алгебрами, и /г-эле- ментными антицепями в Р. Равносильно: ^-элементные анти- антицепи в Р соответствуют элементам J(P), покрывающим в точ- точности k элементов. Мы можем использовать развитые выше идеи для описа- описания метода изображения диаграммы Хассе решетки J(P) по данной диаграмме Хассе ч.у. множества Р. Пусть / — множе- множество минимальных элементов из Р, скажем мощности т. Для начала, изобразим Bm^J(I). Теперь выберем минимальный элемент множества Р — /, скажем х. Присоединим неразложи- неразложимый в объединении элемент, покрывающий порядковый идеал Ах—{х} к /(/). Множество объединений элементов, покры- покрывающих идеал A.v — х, должно образовывать булеву алгебру, так что нарисуем необходимые объединения, чтобы это условие выполнялось. Теперь могут существовать элементы, покры- покрывающие Ах — х, покрывающие элементы которых, однако, не d e f A/V « Ь с Рис. 3.11. Рис. 3.12. Рис. 3.13. Рис. 3.14. Рис. 3.15. Рис. 3.16. Рнс. 3.20. имеют объединений. Нарисуем эти объединения, чтобы обра- образовать булеву алгебру. Будем продолжать до тех пор, пока каждое множество элементов, покрывающих данный элемент, не будет иметь объединение. Таким образом, мы получим ди- дистрибутивную решетку J(I[){x}). Теперь выберем минималь- минимальный элемент у из Р — /—{л:} и присоединим неразложимый в объединение элемент к 7A[) {х}), покрывающий порядковый
166 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.5. Цепн в дистрибутивных решетках 167 идеал Лу—{</}. «Заполним» покрывающими элементами нуж- нужные места, как и раньше. Это дает /(/U {х,у}). Будем продол- продолжать до тех пор, пока не получим J(P). Сам процесс проще произвести, чем описать. Проиллюстрируем его, взяв ч. у. мно- множество Р, изображенное на рис. 3.11. Мы будем обозначать подмножества Р типа {a, b, d) через abd. Во-первых, изобразим В3 = J(abc), как на рис. 3.12. Присоединим порядковый идеал Ad = abd над ab (и пометим его буквой d) (рис. 3.13). Доба- Добавим объединения элементов, покрывающих ab (рис. 3.14). При- Присоединим bee над be (рис. 3.15). Дополним объединениями эле- элементов, покрывающих be (рис. 3.16). Введем объединения эле- элементов, покрывающих abc (рис. 3.17). Добавим cf над с (рис. 3.18). Дополним объединениями элементов, покрываю- покрывающих с. Эти объединения (включая объединение с с пустым мно- множеством) образуют булеву алгебру ранга три. Элементы а, ас, be, cf и abc уже присутствуют там, так что нам необходимы три дополнительных объединения acf, bef и abef (рис. 3.19). Теперь введем объединения элементов, покрывающих be (рис. 3.20). Наконец, добавим объединения элементов, покры- покрывающих abc (рис. 3.21). После небольшой практики, эта про- процедура дает довольно эффективный метод вычисления вручную рангово-производящей функции F(J(P),q). Для примера, рас- рассмотренного выше, мы видим F(J(P), q)= V + Sq5 Дальнейшую информацию о ч.у. множествах вида «зигзаг» (заборы), подобных изображенным на рис. 3.11, см. упражне- упражнение 23. 3.5. Цепи в дистрибутивных решетках Мы видели, что многие комбинаторные свойства конечного ч.у. множества Р имеют простые интерпретации в терминах J(P). Например, число ^-элементных порядковых идеалов в Р равно числу элементов из J(P), имеющих ранг k, и число ^-элемент- ^-элементных антицепей (k~^\) в Р равно числу элементов из J(P), по- покрывающих в точности k элементов. Мы хотим обсудить еще один пример такой же природы. 3.5.1. Предложение. Пусть Р — ч. у. множество и m e N. Сле- Следующие числа равны: a. Число сохраняющих порядок отображений о: Р-+тп. b. Число мультицепей 0 = /0 ^ Л ^ •.. ^ /т — 1 длины m в J (Р). c. Мощность /(РХ*п —1). Доказательство. По данному отображению о: Р—>т определим /;- = a~1(j). По данной мультицепи 0 — iQ^Iy ^ ... <j/m = 1 определим порядковый идеал / множества РХш — 1 форму- формулой / = {{х, у) е Р X *п — 1: х е /т_;}. Для данного порядко- порядкового идеала /ч.у. множества Р X m — 1 положим о: Р —> шст (#)= = min {m — /: (х, j) е /}, если (л:, /)е/ для некоторого /, а в противном случае а (х) = /?г. Это дает требуемую биекцию. ? Заметьте, что эквивалентность п. (а) и (с) следует также из вычисления: В качестве модификации предыдущего предложения имеем 3.5.2. Предложение. При сохранении обозначений предложения 3.5.1 следующие числа равны: a. число сюръективных сохраняющих порядок отображений о: Р->-т. b. Число цепей б=/0</,< ... </т=Г длины m в /(Р). Доказательство. Оставляется читателю. D Один специальный случай предложения 3.5.2 имеет особый интерес. Если \Р\ = п, то сохраняющая порядок биекция о: Р->-п называется расширением Р до полной упорядочен- упорядоченности или линейным расширением Р. Число расширений Р до полной упорядоченности обозначается е(Р) и является, ве- вероятно, единственным весьма полезным числом, измеряющим «сложность» ч. у. множества Р. Из предложения 3.5.2 следует, что е(Р) также равно числу максимальных цепей в J(P). Можно отождествить расширение о: Р->п до полной упо- упорядоченности с перестановкой 0~'A), ..., о~*(п) элементов множества Р. Аналогично, мы можем следующим образом отождествить максимальную цепь в J(P) с «решеточным пу- путем» некоторого типа в евклидовом пространстве. Пусть С\, ... ..., Ck — разбиение Р на цепи. (По следствию хорошо извест- известной теоремы Дилуорса наименьшее возможное значение k равно мощности наибольшей антицепи в Р.) Определим ото- отображение б: /(P)->N* формулой 6(/)=(i/nc,i, i/nc2i,..., i/ncti): Если мы снабдим М* порядком произведения ч.у. множеств (очевидным образом), то б станет инъективным решеточным гомоморфизмом, сохраняющим отношение покрытия (и, следо- следовательно, сохраняющим ранг). (Таким образом, в частности,
168 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.5. Цепи в дистрибутивных решетках 169 решетка J (P) изоморфна подрешетке N*. Если мы выберем каждую цепь Cj такой, что |С,|=1, то получим сохраняющий ранг инъективный гомоморфизм J(P)-*-Bn, где \Р\ = п.) По б )(P)N* рф данному отображению б: )(P) )(8(Т) определенному выше, по- поб р (), ру ложим Г6 = [)тСх(8(Т)), где сх обозначает выпуклую оболочку в R*, а Т пробегает множество всех интервалов в J(P), изо- изоморфных булевым алгебрам. Таким образом, Г6 — компактное полиэдральное подмножество пространства Rk. Тогда ясно, что число максимальных цепей в J (P) равно числу решеточных путей в Г в из начала координат @, ..., 0)= 6F) до точки б (Г), причем единичные шаги делаются в направлении координат- координатных осей. Другими словами, е(Р) равно числу способов запи- записать 6A) = i>i + ^2 + ... + vn, где каждое слагаемое Vi— еди- единичный координатный вектор в R* и где vi -f- V2 + ... + о» е е Г6 для всех L Перечисление решеточных путей — широко развитый предмет, с которым мы столкнулись в разд. 2.7. Суть здесь состоит в том, что некоторые задачи о решеточных путях эквивалентны определению числа е{Р) для некоторого ч. у. множества Р. Таким образом, они также эквивалентны задаче подсчета перестановок некоторых типов. 3.5.3. Пример. Пусть ч. у. множество Р задано на рис. 3.22. Возьмем Ci={a,c}, Сг = {b,d,e}. Тогда погружение 6 решетки 23 J(Р) в W2 задано на рис. 3.23. Чтобы получить полиэдральное множество Г6, мы просто «заполним» квадраты на рис. 3.23, получив полиэдральное множество, изображенное на рис. 3.24. Существует девять решеточных путей требуемого типа в П6 из точки 0,0) в точку B,3), то есть, е(Р) = 9. Соответствующие девять перестановок множества Р есть abode, bacde, abdce, bacde, bdace, abdec, bad.ec, bdaec, bdeac. 3.5.4. Пример. Пусть Р — дизъюнктное объединение C\ + C2 цепей Ci и С2 мощностей тип. Тогда Г6 — т~Х.п прямоугольник с вершинами @,0), (т,0), @, п), (т,п). Как отмечалось в упражнении 3 гл. 1, число решеточных путей из точки @,0) в точку (т,п) с шагами вида A,0) и @,1) равно ( т-\- п\ I I = е{Сх + С2). Расширение о: Р->-т + п до линейного порядка полностью определяется образом а(С\), который мо- может быть любым m-элементным подмножеством m + п. Та- ким образом, снова мы имеем е(С1 п\ I. Более общим образом, если Р = Р^ + Р2 + ... + Рь, и nt = \ Pt\, то „ 3.5.5. Пример. Пусть Р = 2Х" и, положим Cl С2 = {A, /); /en}. Тогда б G (Р)) = {(/,/) е N2: {B, j): /en}, 0<»</<я}. Рис. 3.25. Например, если л = 3, получим рис. 3.25. Следовательно, е(Р) равно числу решеточных путей из точки @,0) в точку (п, п) с шагами A,0) и @,1), которые нигде не превышают главную диагональ х = у плоскости (х, у). Из определения е(Р), мы видим, что это число также равно количеству 2 X п матриц, элементы которых — различные целые числа 1, 2, ..., 2п, воз- возрастающие вдоль каждой строки и каждого столбца. Например,
170 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.6. Алгебра инцидентности ч. у. множеств 171 еBХЗ) = 5, что соответствует матрицам 123 124 125 134 135 456 356 346 256 246 1 Bп\ Можно показать, что е B X п) = ~^гу I )• Это известные числа Каталана (см. также упражнение 37 (с) гл. 1). Рис. 3.26. Мы уже видели два способа нахождения чисел е(Р): под- подсчетом некоторых сохраняющих порядок отображений (или перестановок) или подсчетом некоторых цепей. Можно, од- однако, с других позиций рассматривать числа е(Р), а именно как числа, удовлетворяющие некоторому рекуррентному соот- соотношению. Рассмотрим е как функцию на решетке 1(Р), т. е. для /е/(Р) положим еA) — число расширений идеала / (рас- (рассматриваемого как ч.у. подмножество из Р) до полной упоря- упорядоченности. Таким образом, еA) есть также число насыщен- насыщенных цепей из 0 до / в J(P). Отсюда ясно, что e(J)=Ze(Ir), (П) где /' пробегает множество всех элементов /(Р), покрываемых /. Другими словами, е{1) есть «сумма тех значений e(I'), ко- которые лежат непосредственно ниже» /. Это аналог определения треугольника Паскаля, в котором каждый элемент есть сумма двух лежащих «непосредственно выше». Действительно, если взять в качестве Р бесконечное ч. у. множество N + N и пусть Jt(P) — решетка конечных порядковых идеалов Р, то ^NXN. Если пометить элементы /e/f (P) числами еA), то по- получим в точности треугольник Паскаля (хотя и в переверну- перевернутой записи по сравнению с обычным его определением). Каж- Каждый конечный порядковый идеал / ч.у. множества N + N имеет вид m + п для некоторых m и п, и из примера 3.5.4 мы действительно имеем е (J (m + п)) = е (т + 1X" + 1) = I I • См. рис. 3.26. Руководствуясь этим примером, мы определим обобщенный треугольник Паскаля как финитарную дистрибутивную решетку L = Jf(P) и функцию е: 2,->Р. Числа еA) обобщенного тре- треугольника Паскаля, таким образом, имеют три тех же свой- свойства, что и обычный треугольник Паскаля: (а) они подсчи- подсчитывают перестановки некоторых типов, (Ь) они подсчитывают решеточные пути некоторых типов и (с) они удовлетворяют простому рекуррентному соотношению1). 3.6. Алгебра инцидентности локально конечных ч. у. множеств Пусть Р — локально конечное ч.у. множество и Int(P) обозна- обозначает множество интервалов Р. (Напомним, что пустое множе- множество не является интервалом.) Пусть К— поле. Для функции /: Int(P)->-/C мы будем писать f{x,y) вместо f{[x,y]). 3.6.1. Определение. Алгеброй инцидентности 1(Р,К) ч.у. множе- множества Р над К называется /С-алгебра всех функций /: Ы(Р)->К (наделенная обычной структурой векторного пространства над К), где умножение (или свертка) определяется формулой f(x, z)g(z, у). f8(x,y) Написанная выше сумма конечна (и, следовательно, опре- определена функция fg), так как ч.у. множество Р локально ко- ') Числа е(Р) имеют еще одни смысл: е(Р) = \Р\\ \о\(9>), где 3> — уногогранник, построенный при решении упражнения 74 этой главы. Выра- Выражение числа е(Р) через объем подходящего многогранника позволяет эффек- эффективно оценивать эту важную характеристику ч. у. множеств с помощью некоторого вероятностного алгоритма. См. Lovasz L. An algorithmic theory of numbers, graphs and convexity, SIAM, Philadelphia, 1986, p. 61; Dyer M., Frieze A., Kannan R. A random polynomial time algorithm for approximating ihe volume of convex bodies. Preprint RR. 88—40. Pittsburgh, Carnegie Mel- Mellon University, 1989. — Прим. перев.
172 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.6. Алгебра инцидентности ч. у. множеств 173 нечно. Легко видеть, что 1(Р,К)—ассоциативная /(-алгебра с (двусторонней) единицей, обозначаемой б или 1, определяе- определяемой формулой ( 1, если х = у, б (х, у) = s _ (. О, если х ф у. Для наших целей достаточно всегда брать К=^С, так что мы просто пишем 1(Р) вместо 1(Р, С). Можно считать, что 1(Р,К) состоит из всех формальных выражений вида f = ^[x,yi^int(P)f(x, y)[x, у]. Тогда свертка оп- определяется единственным образом из условия Г [х, до], если y = z, [х, у] • [z, w] = s _ 1 i'i L I 0, если у ф z, распространением на все пространство 1(Р,К) по билиней- билинейности (допускаются бесконечные линейные комбинации интер- интервалов [х, у]). Пометим элементы конечного ч. у. множества Р символами х\, ..., х„, где х-ь <. х/ =>- i <. j (существует в точности е(Р) способов, ко- которыми можно так пометить элементы Р, где число е(Р) определено в разд. 3.5). Тогда алгебра 1(Р) изоморфна алгебре всех верхних треугольных матриц М=(тц) над С, где 1 ^ i, j ^ n, таких, что т,7 = 0, если х( ^ Xj. (Доказательство. Отождествим щц с f(xi,Xj).) Например, для ч.у. множе- множества Р, изображенного на рис. 3.27, алгебра I(P) изоморфна алгебре всех матриц вида * 0 * 0 * ~ 0 * * * * о о * о * о о о * * _о о о о *_ 3.6.2. Предложение. Пусть /е/(Р). Следующие условия экви- эквивалентны: a. f имеет обратный слева элемент, b. f имеет обратный справа элемент, c. f имеет двусторонний обратный (который необходимо яв- является единственным левым и правым обратным элемен- элементом), d. f(x, х) ф 0 для всех х е Р. Далее, если элемент f~l существует, то f~l (x. у) зависит только от ч. у. множества [х, у]. Доказательство. Равенство fg = b эквивалентно f (x, x)g{x, х)=1 для всех хеР A2) g(x, y) = — f(x, x) '1 f(x, z)g(z, у) для всех пар х <у в Р. A3) Отсюда следует, что f имеет обратный справа элемент g тогда и только тогда, когда ((х,х)Ф0 для всех хеР, и что в этом случае f~l(x,y) зависит только от [х,у]. Те же рассуждения, примененные к равенству hf = б, показывают, что / имеет об- обратный слева элемент h тогда и только тогда, когда f(x, х)фО для всех хеР; т. е. тогда п только тогда, когда / имеет об- обратный справа. Но из равенств fg = б и Л/ = б имеем g = h, откуда и следует требуемое. ? Рассмотрим некоторые полезные функции из 1(Р). Дзета- функция t, определяется равенством t,(x, y) = \ для всех х^.у в Р. Таким образом, № У)= ? 1= card [*,»/]. Более общим образом, если й е Р, то ?(Х,У)= Z 1 есть число мультицепей длины k от х до у. Аналогично, , если х < у, ), если х = у. Следовательно, если АеР, то (?—1)*(*, у) есть число цепей х = х0 < хх < ... < xk = у длины k от х до у. Из предложе- предложений 3.5.1 и 3.5.2 получаем дополнительные интерпретации вы- выражений ?,к(х, у) и (?— 1)к{х, у) в случае, если Р —дистрибу- —дистрибутивная решетка. Рассмотрим теперь функцию 2 — ^ge/(P). Таким образом, B-i 1, если х — у, — 1, если х < у.
174 Гл. 3. Частично упорядоченные множества В силу предложения 3.6.2 2 — ? — обратимая функция. Мы утверждаем, что B — ?)-'(*,*/) равно общему числу цепей х = = хо < Л'1 < ... < хк = у от х до у. Мы наметим два объяс- объяснения этого факта. Первое объяснение. Пусть / — длина самой длинной цепи в ин- интервале [х, у]. Тогда (? — 1)г+1 (и, v) = 0 для всех .г ^ и ^ и ^ ^ у. Таким образом, для х ^ и ^ и ^ у Следовательно, B — ?)"' = 1 + (? — 1) + • • • + (? — 1)' при огра- ограничении на Int ([x, у]). Но из определения I ясно, что [1 + (? — 1) + ... + (? — 1)'] (я, у) есть общее число цепей от х до г/, что и требовалось. Ц Ц Второе объяснение. Наше второе объяснение в сущности экви- эквивалентно первому, но использует немного топологии, чтобы из- избежать необходимости ограничивать наши рассмотрения ин- интервалами. Топологический подход можно использовать для того, чтобы проводить без труда в алгебре /(Р) вычисления подобного вида. Введем топологию в I(P) по аналогии с тем, как в гл. 1 мы ввели топологию в кольце С [ [л:] ], положив, что последовательность функций /i, f2, • ¦ • сходится к f, если для всех пар х^у существует по = по(х,у)^\\ что fn(x,y) = = f(x,y) для всех п ^ п0. Следующее вычисление имеет смысл в этой топологии (так как бесконечный ряд сходится) так что B — ?)"'(•*> #) = Z E — l)*^. #) — Z (число цепей длины k от .г до I/) — общее число цепей от х до у. ? Аналогично приведенной выше интерпретации функции B — ?)-' мы оставляем читателю проверить, что значение A—ц)~1(х,У) равно общему числу максимальных цепей в ин- интервале [*,«/], где г] определяется условием Tl(*. У) = если у покрывает х, в противном случае. 3.7. Формула обращения Мёбиуса 175 3.7. Формула обращения Мёбиуса Из предложения 3.6.2 следует, что дзета-фупкция локально конечного ч. у. множества Р обратима; обратная к ней назы- называется функцией Мёбиуса ч. у. множества Р и обозначается ц (или (ip, если возможна путаница). Можно определить ц ин- индуктивно, не обращаясь к алгебре инцидентности. Именно со- соотношение |д? = б эквивалентно равенствам ц(х, х)=\ для всех jeP, ц(х, у) = — ? ц (х, z) для всех пар х < у в Р. ' ' 3.7.1. Предложение. (Формула обращения Мёбиуса.) Пусть Р — ч. у. множество, в котором каждый главный порядковый идеал конечен. Пусть f, g; P-*-C Тогда g{x)— ? f(y) для всех хёР < тогда и только тогда, когда f(x)= ? g (у) \i (у, х) для всех Доказательство. Множество Ср всех функций Р—>С образует векторное пространство, в котором 1(Р) действует (справа), как алгебра линейных преобразований, по формуле (Ш(*)= ? f№(y,x), У<х где feC, ge/(P). Формула обращения Мёбиуса в этом слу- случае есть не что иное, как утверждение Иногда удобна двойственная формулировка формулы обра- обращения Мёбиуса. 3.7.2. Предложение. (Формула обращения Мёбиуса, двойствен- двойственная форма.) Пусть Р — ч. у. множество, в котором каждый двойственный главный порядковый идеал Vx конечен. Пусть f, geCp. Тогда g{x)= ? f (у) для всех jgP У>х тогда и только тогда, когда /(¦*)= Е И(*> У)g(у) для всех ieP. У>х
176 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 177 Доказательство. Точно такое же, как и выше, только теперь алгебра 1(Р) действует слева: (lf)(x)= ? Ux, y)f {у). U Как и в принципе включения — исключения, чисто абстракт- абстрактная формула обращения Мёбиуса, как, например, приведенная выше, есть не более чем тривиальное наблюдение из линейной алгебры. Здесь важны именно применения формулы обращения Мёбиуса. Сначала мы покажем, что формула обращения Мё- Мёбиуса действительно объясняет формулы, подобные формуле A). Даны п конечных множеств Si, ..., Sn, и пусть Р— ч.у. мно- множество их пересечений, упорядоченное по включению, содержа- содержащее в том числе пустое пересечение Si\j ... USn = 1. Для ГёР пусть f(T) есть число элементов множества Т, не принадлежащих ни одному подмножеству Т' < Т из Р, и пусть g(Т) = |Т|. Мы хо- хотим получить выражение для |5[ U ••• LJ5n| = ?r<~ f(T)=g(l). Теперь g(T) = '?IT,<Tf G")> так чт0 нз формулы обращения Мёбиуса на Р имеем 0 = /(Г)= Z g(T)ii(T, Г)=>йГ(Г) = — Z |Г||хG-Л), tsp г<? что и требовалось. В примере, описанном уравнением A), ч. у. множество Р изображено на рис. 3.28. Действительно, ц(А, 1) = = ц(В, T) = |i(C, T) = — 1 и \i{D, T) = 2, откуда следует фор- формула A). 3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса Чтобы формула обращения Мёбиуса представляла какую бы то ни было ценность, необходимо уметь вычислять функцию Мёбиуса для интересующих ч. у. множеств Р. Мы начнем с про- простого примера, который может быть решен «грубой силой». 3.8.1. Пример. Пусть Р есть цепь N. Непосредственно из фор- формулы A4) следует, что {1, если i = j, — 1, если г + 1=/, О в других случаях. Формула обращения Мёбиуса принимает вид п g («) = Z f @ для всех п > 0 о / (п) = g (п) — g (п — 1) 1=0 для всех п > 0. Другими словами, операторы S и А (где начальные значения оператора 2 определяются подходящим образом) взаимно об- ратны; это конечно-разностный аналог «основной теоремы ана- анализа». Так как только в редких случаях функции Мёбиуса можно вычислить непосредственно, как в примере 3.8.1, нам нужна общая техника ее подсчета. Мы начнем с простейшего резуль- результата этой природы. 3.8.2. Предложение (теорема о произведении). Пусть Р и Q — локально конечные ч. у множества, и Р X Q — их прямое про- произведение. Если (х, у) ^ (х', у') в РУ( Q, то Vpxq ((*> У), (х'> У')) = ^р (х> х') Vq (У> 'Л- Доказательство. Пусть (х, у) ^ (х', у'). Имеем ? (X, U) HQ (у, V) = Z \*О.(У, V)\ = дхх'буу'= 6(х, у), (х', у'). ^1<У' / ( Сравнение этого равенства с формулой A4), которая одно- однозначно определяет функцию ц, завершает доказательство. ? Для читателей, знакомых с понятием тензорного произве- произведения, упомянем более концептуальный способ доказательства предыдущего предложения. Именно, легко видеть, что / (Р XQ) = / (Р / ) р == / (Р) ® / (Q) и t,p e Q = t, следовательно \xpyQ = \xQ. 3.8.3. Пример. Пусть Р = Вп — булева алгебра ранга п. Тогда Bn^i2n и функция Мёбиуса цепи 2 = {1, 2} дается формулой цA, 1) = ^B, 2)=1, цA, 2) = —1. Следовательно, если ото- отождествить Вп с множеством всех подмножеств п-множества X,
178 Гл. 3. Частично упорядоченные множества мы заключаем из теоремы о произведении, что Так как [S—Т\ есть длина l(T,S) интервала [Г, S], в тер- терминах теории ч. у. множеств имеем 3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 179 (Г, S) = (-l) '(r's' A5) Формула обращения Мёбиуса для Вп превращается в следую- следующее утверждение. Пусть /, g; В„->С, тогда g{S)= ? f(T) для всех S<=X тогда и только тогда, когда f(S)= ? (-l)iS~Tlg{T) для всех Ssl. Это — в точности уравнение (8) гл. 2. Следовательно, можно сказать, что обращение Мёбиуса в булевой алгебре эквивалент- эквивалентно принципу включения — исключения. Заметьте, что уравнение (8) гл. 2 н формула обращения Мёбиуса в действительности доказывают формулу A5), так что мы теперь имеем два дока- доказательства этого результата. 3.8.4. Пример. Пусть пи п2, ..., nk — неотрицательные целые, и пусть P = ni + 1 Хп2 + 1Х...Хпк + 1. Заметим, что ч. у. мно- множество Р изоморфно дистрибутивной решетке / (n^rio-f- • ¦ • -\-щ). Отождествим Р с множеством всех ^-наборов (аи аъ ...,afe)eN*T 0^аг^п(-, упорядоченных покомпонентно. Если а,-<1&,- для всех i, то интервал [{аи ..., ак), (Ьь .... bk)\ в ч. у. мно- множестве Р изоморфен bi — 31 + 1 X ¦•• Xbk — ак + 1. Следова- Следовательно, из примера 3.8.1 и предложения 3.8.2 мы имеем ,, ..., ak), (&,, . . ., bk)) = Равносильно, если все разности bi — at равны О или 1, в противном слу- случае. A6) (— \)Цх'у\ если [х, у] — булева алгебра, О в противном случае. (Некоторое обобщение см. в примере 3.9.6,) Есть еще два интересных способа интерпретировать решетку Р = П]+1Х ••• ХПх + 1. Во-первых, ч. у. множество Р изо- изоморфно ч. у. множеству подмультимножеств мультимножества {.v, ..., xnkk}, упорядоченных по включению. Во-вторых, если N — положительное целое число вида р ... рпкк, где рь — раз- различные простые числа, то Р изоморфно ч. у. множеству DK, определенному в примере 3.1.1 (с), состоящему из положитель- положительных целых делителей числа N, упорядоченных по делимости (т. е. г ^ s в Р, если r\s). В этом последнем случае формула A6) принимает вид !(—1)г, если s/r есть произведение I различных простых чисел, О в противном случае. Другими словами, (.i(r,s) есть в точности классическая функ- функция Мёбиуса ii{s/r) из теории чисел. Формула обращения Мё- Мёбиуса превращается в классическую, а именно &(«)=!? / (d) Для вСех п IN тогда и только тогда, когда f(«) = Z gid)V(n/d) для всех n\N. d \n Это объясняет терминологию «функция Мёбиуса ч. у. множе- множества». Вместо того, чтобы ограничиваться делителями фиксиро- фиксированного целого N, естественно рассмотреть ч. у. множество Р всех положительных целых, упорядоченных по делимости. Так как каждый интервал [г, s] этого ч.у. множества встречается как интервал в решетке делителей 5 (или любого числа N, для которого s\N), функция Мёбиуса остается прежней ц(г, s) = = |.i(s/r). Более абстрактно, ч.у. множество Р изоморфно фи- финитарной дистрибутивной решетке ^ П N, A7) >1 где произведение IIn>1N есть ограниченное прямое произве- произведение (отличных от нуля компонент любого элемента произве- произведения лишь конечное множество). В других терминах ч.у. мно- множество Р можно отождествить с решеткой всех конечных муль- мультимножеств на множестве Р (или любом другом счетном беско- бесконечном множестве).
180 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 181 Теперь мы подошли к очень важному способу вычисления функций Мёбиуса. 3.8.5. Предложение. Пусть Р — конечное ч. у. множество и Р обозначает Р с присоединенными элементами 0 и Т. Пусть с,- — число цепей б = х0 < хх < ... < xt = 1 длины i между эле- элементами 0 и 1, (Таким образом, со = О и ^ = 1.) Тогда /П 1 \ л /> 1 п г> | /1 О\ |Хр \\Jf if — lq — C\ ~y~ C'2 ^3 ~|~ • • • . ^IO^ Доказательство. Имеем , Г) = б(б, Г) — (s — 1)(о, с0 — с, + с2 — с3 + — IJ(о, Т) D Смысл предложения 3.8.5 состоит в том, что значение ц@, 1) (и, следовательно, значение \\.{х, у) для любого интервала [х,у]) можно интерпретировать как эйлерову характеристику, и поэтому данное предложение связывает обращение Мёбиуса с мощной техникой алгебраической топологии.') Чтобы уви- увидеть эту связь, напомним, что (абстрактным) симплициальным комплексом с множеством вершин V называется набор А под- подмножеств V, удовлетворяющий условиям a. Если х е V, то {х} еА и b. если 5еА и JsS, то ГеА, Элемент SeA называется гранью А, а размерность грани 5 полагается по определению равной |5|—1. В частности, пу- пустое множество 0 всегда является гранью А (если А Ф 0) раз- размерности —1. Определим размерность А формулой dim А = max (dim F). Если А — конечное множество, то пусть {{ обозначает число z-мерных граней А. Определим приведенную эйлерову характе- характеристику %(А) формулой '_ A9) ') Более подробное изложение теории абстрактных симплициалышх ком- комплексов и используемого в дальнейшем аппарата алгебраической топологии см., например, Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.— Прим. ред. (% (А) связана с обычной эйлеровой характеристикой %(А) со- соотношением х(Д) = х(А)—1). Теперь по данному произволь- произвольному ч. у. множеству Р определим симплициальный комплекс А(Р) следующим образом: вершинами А(Р) являются эле- элементы Р, а гранями А(Р)— цепи из Р. А(Р) называется по- порядковым комплексом ч. у. множества Р. Из формул A8) и A9) выводим следующее 3.8.6. Предложение. (Переформулировка предложения 3.8.5.) Пусть Р — конечное ч. у. множество. Тогда Цр @, 1) = х(А(Р)). П Предложение 3.8.5 дает самодвойственное выражение для (я @, 1) (т. е. остающееся неизменным при замене Р на Р*). Та- Таким образом, мы видим, что в любом локально конечном ч. у. множестве Р. (Это можно доказать также, используя тождество |я? = ?ц.). Напомним, что в топологии с симплициальным комплексом А связывают топологическое пространство |А|, называемое геометрической реализацией А. (Говорят также, что А есть триангуляция пространства |А|.) Приведенная эйлерова харак- характеристика %(Х) пространства X дается формулой X (*)=!(-!)'гапкЯ,(*. Z), i где Hi(X,Z) — j-ая приведенная группа гомологии простран- пространства X. Имеем тогда B0) так что ц р @, 1) зависит только от геометрической реализа- реализации |А(Р)| симплициального комплекса А(Р). 3.8.7. Пример. (Для читателей, в некоторой степени знакомых с топологией.) Конечный регулярный клеточный комплекс Г есть конечное множество непустых попарно непересекающихся открытых клеток о,- с R^, таких что а. , S"~') для некоторого n = n(i). Ъ. каждое множество at — о,; есть объединение множеств о/. Здесь д{ обозначает замыкание ah =» обозначает гомеомор- гомеоморфизм, В" — единичный шар: {(xv ...,^)Кл| 1} и5"~' — единичная сфера {(х\, .. .,хп) s R": } Заметьте, что клетка о; может состоять из единственной точки
182 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 183 (в случае /г=0). Определим также подстилающее простран- пространство комплекса Г как топологическое пространство Г = (J сг,-с с= RN. По данному конечному регулярному клеточному комп- комплексу Г определим его (первое) барицентрическое подразде- подразделение sd(F) как абстрактный симплициальный комплекс, вер- вершинами которого являются замкнутые клетки а из Г, а гра- гранями— те наборы вершин {сх^, ..., сг,Л, которые образуют флаг diicz di2cz ... a a,-ft. Решающее свойство конечного ре- регулярного клеточного комплекса, которое нас здесь интере- интересует, состоит в том, что геометрическая реализация |sd(r)| симплициального комплекса sd(T) гомеоморфна подстилаю- подстилающему пространству |Г| клеточного комплекса Г. Пусть теперь дан конечный регулярный клеточный комп- комплекс Г и Р(Г)—ч.у. множество клеток Г, упорядоченных так: а,, если 6; ^ сг,. Из предыдущего абзаца следует, что O) = sd(r). Из предложения 3.8.6 и формулы B0) мы заключаем следующее. 3.8.8. Предложение. Пусть Г — конечный регулярный клеточ- клеточный комплекс и Р = Р(Т). Тогда И?@, 1) = Х(|Г|), B1) где %(\Т\) — приведенная эйлерова характеристика топологи- топологического пространства |Г|. ? Предложения 3.8.6 и 3.8.8 объясняют топологический смысл целого числа цр @, !). Нам интересны также другие значения цр(х, у), так что мы кратко обсудим этот вопрос. Пусть Д — любой конечный симплициальный комплекс и РёД. Линк грани F есть подкомплекс комплекса А, определяемый так: lkF = {Ge=A: G(]F=0 и GUf eA}. Если Р — конечное ч. у. множество и х < у в Р, выберем на- насыщенные цепи х1 < х2 < ... < хГ = х и у = у\ < у2 < • •. < ys в Р так, что хх — минимальный элемент и ys максимальный элемент в Р. Пусть F = {xx, ..., хг, уь ..., //s}eA(P). Тогда Ik/7 есть в точности порядковый комплекс открытого интер- интервала (х, у) = {гЕР: х < z < у), поэтому из предложения 3.8.6 имеем B2) Предположим теперь, что А — абстрактный симплициальный комплекс, триангулирующий многообразие М с краем или без края. (Другими словами, |Aj«.M.) Пусть 0^FeA. Из то- топологии хорошо известно, что тогда Ik F имеет те же группы гомологии, что и сфера или шар размерности dim (ikF) = =maxOsIk/r(dim G). Далее, Ik/7 будет иметь гомологические группы шара в том и только том случае, если F лежит на крае дА комплекса А. (Несколько удивительно, что Ik/7 не обязательно должен быть односвязным и j Ik Z7 {— не обязательно многооб- многообразие!) Так как %($") = (— 1)" и хAВп) = 0( из формул B1) и B2) получаем следующий результат. 3.8.9 Предложение. Пусть Г — конечный регулярный клеточ- клеточный комплекс. Предположим, что |Г| — многообразие с краем или без края. Пусть Р = Р(Т). Тогда [ о, если хфЬ, у = 1 и клетка х лежит на крае | Г |, если (х, у) = (б, 1), (— \)Цх-у) в противном случае. ? Руководствуясь предложением 3.8.9, мы назовем конечное градуированное ч. у. множество Р с элементами 0 и 1 полу- полуэйлеровым, если ]1Р{х, у)— (—\)'(х'у* при условии, что (х, у)Ф ф @, I), и эйлеровым, если, кроме того, цРF, !) —(— 1)г@' ". Таким образом, из предложения 3.8.9 следует, что если | Г | — многообразие (без края), то Р (Г) — полуэйлерово. Далее, если | Г | — сфера, то Р(Г) — эйлерово ч. у. множество. В силу примера 3.8.3 булевы алгебры Вп — эйлеровы ч. у. множества; в действительности Вп — Р(Г), где Г — граничный комплекс (п—1)-мерного симплекса. Следовательно, | Д (Вп) \ « S"~2. Не- Некоторые интересные свойства эйлеровых ч. у. множеств встре- встретятся в разд. 3.14. 3.8.10. Пример a. Диаграммы на рис. 3.29 изображают конечные регулярные клеточные комплексы Г, такие, что|Г| = Я' или |Г|^=32 (за- (заштрихованные области изображают 2-клетки). Соответствующие эйлеровы ч.у. множества Р(Г) показаны на рис. 3.30. Заметьте, что /ЧГ2) и_Р(Гз)— решетки. Это потому, что в Г2 и 1\ любое пересечение сг,- П 0/ есть некоторая клетка сг*. b. Диаграмма Q представляет некоторый клеточный ком- комплекс Г, который не является регулярным, так как для един-
184 Гл. 3. Частично упорядоченные множества ственной 1-клетки а не верно, что а — о » S°. (S0 состоит из двух точек, в то время как а — а есть единственная точка.) Соответствующее ч. у. множество Р = Р(Г) — двухэлементная цепь и пространство" | А (Р) | не гомеоморфно |_Г |. (| Г | « S , а | А(Р) | » В1.) Заметьте, что ч. у. множество Р не эйлерово, несмотря на то что | Г | — сфера. О А Рнс. 3.29. Л г,) Р1Г2)=В3 ЯГ,) Рис. 3.30. с. Рассмотрим клеточный комплекс Г, изображенный на рис. 3.31. Тогда ]Г] — многообразие без края с той же эйлеро- эйлеровой характеристикой, что и S1 (именно она равна 0), хотя jlll^1. Следовательно, Р(Г)— эйлерово ч.у. множество, не- О О Рис. 3.3). Рис. 3.32. Рнс. 3.33. смотря на то что пространство |Г| даже не имеет гомологи- гомологических групп сферы. См. рис. 3.32. d. Если Г — несвязное объединение t точек, то |Г|—многооб- |Г|—многообразие с эйлеровой характеристикой t. Следовательно, Р(Г) — полуэйлерово, но не эйлерово при 1ф2. См. рис. 3.33. Мы заканчиваем нашу экскурсию в топологию рассмотре- рассмотрением следующего вопроса. Пусть Р —конечное градуирован- градуированное ч.у. множество с элементами 0 и 1. Мы говорим, что функ- 3.9. Решетки и их алгебры Мёбнуса 185 ция Мёбиуса ч.у„ множества Р является знакочередующейся, если (—1)Цх'у)ц(х, для всех пар из Р. Конечное ч.у. множество Р называется ч.у. множеством Коэна— Маколея (над Q), если для любой пары х < у в Р порядковый комплекс Д(л',у) открытого интервала (х,у) удов- удовлетворяет условию Н{ (А (х, у), Q) = 0, если i < dim Л (х, у). B3) Здесь Hi(A(x,y),Q) обозначает приведенные симплициальные гомологии с рациональными коэффициентами (в поле Q). Легко показать, что ч. у. множество Коэна — Маколея градуи- градуировано. Если выполняется условие B3), то при d = dim k(x, у) имеем , у), Q). Так как d = l(x, у) — 2, получаем (-1)"*-»V?(*, y) = dimQ/yd(A(x, у), Q Нами доказано 3.8.11. Предложение. Если Р—ч.у. множество Коэна — Мако- Маколея, то функция Мёбиуса ч. у. множества Р являестя знако- знакочередующейся. D Среди примеров ч.у. множеств Коэна-—Маколея находятся ч.у. множества вида Р(Г), где Г — конечный регулярный кле- клеточный комплекс, такой, что |Г|—многообразие размерности d с краем или без, удовлетворяющее условию Я,(|Г|, <Q) = 0 при i < d. Можно показать, что для любого конечного регулярного клеточного комплекса Г свойство Р(Т) быть ч.у. множеством Коэна — Маколея зависит только от пространства |Г|. Можно показать также, что, если Р — конечная полумодулярная ре- решетка, то Р —ч.у. множество Коэна — Маколея. Хотя мы не будем здесь этого доказывать, позже докажем более слабое утверждение, что функция Мёбиуса конечной полумодулярной решетки знакочередующаяся. 3.9. Решетки и их алгебры Мёбиуса Существуют специальные методы вычисления функции Мё- Мёбиуса решеток, не применимые для ч.у. множеств общего вида. Мы разовьем эти результаты единым способом, используя тео-
186 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.9. Решетки и их алгебры Мёбиуса 187 рию алгебр Мёбиуса. Хотя приложения к функциям Мёбиуса можно получить без обращения к алгебрам Мёбиуса, мы пред- предпочитаем удобство и элегантность алгебраической точки зрения. 3.9.1. Определение. Пусть L — решетка и К — поле. Алгебра Мёбиуса A (L, К) есть полугрупповая алгебра решетки L над К с операцией пересечения. Другими словами, A(L,K) есть век- векторное пространство над К, состоящее из формальных линей- линейных комбинаций элементов L с (билинейным) умножением, определенным так: х-у = х Л у для всех х, у е L. Алгебра Мёбиуса A(L,K) коммутативна и имеет базис (как векторное пространство), состоящий из идемпонентов, именно из элементов L* Из общей теории колец (из теоремы Веддер- берна или как-нибудь иначе) следует, что если L — конечная решетка, то A(L, К) = Ю L^. Мы хотим сделать этот изоморфизм более явным. С этой целью по данному элементу igL опреде- определим элемент 8^еЛ (L, К) формулой ^ = ? ц (У, у. Следовательно, из формулы обращения Мёбиуса х= ? v B4) Число элементов 6Х равно \L\ = dimKA(L, К), а формула B4) показывает, что они порождают A(L, К)- Следовательно, эле- элементы Ьх образуют /(-базис в A(L, К)- 3.9.2. Теорема. Пусть L — конечная решетка и A' (L, К) ~ аб- абстрактная алгебра \-]x^LKx> где все пространства Кх изо- изоморфны К. Обозначим через Ь'х единичный элемент Кх, так что 6'хд' =6 6^.. Определим линейное преобразование В: A(L, К)-* ->A'(L, К), полагая 6 FХ) = б^. и продолжая затем 8 по линей- линейности. Тогда 8 есть изоморфизм алгебр. Доказательство. Пусть j:gL; положим х' = ^1у<хЬ/ е А'. Так как 0, очевидно, является изоморфизмом векторных про- пространств, нам нужно только показать, что х'у' = (х А у)'. Имеем: X I/ = 3.9.3. Следствие. Пусть L — конечная решетка не менее чем с двумя элементами, и пусть 1 Ф а е L. Тогда ? ^ ц (х, Т) = 0. х: х Л а-'З Доказательство. В алгебре Мёбиуса Л(?, С) имеем ¦ = ( ? б6")б-р = 0, если аф\. B5) B6) С другой стороны, аЬ-? = а ? ц(л;, Г)л;= ? ц(л;, Г)(аЛ^). X!~L Записывая ab^ =^llx<=Lcx • х, из формулы B5) заключаем, что СЗ = О, а из формулы B6), что ^ = ^:,Ло=о М*. Ь- ? Глядя на рекуррентное соотношение A4), определяющее функцию Мёбиуса, мы видим, что следствие 3.9.3 дает анало- аналогичное рекуррентное соотношение, но в общем случае имеющее значительно меньшее число членов. Позже будут даны неко- некоторые приложения следствия 3.9.3. Сначала мы приведем некоторые другие следствия тео- теоремы 3.9.2. 3.9.4. Следствие. Пусть L — конечная решетка и X — подмно- подмножество решетки L, такое, что (а) 1 ф X, и (Ь) если i/eLk у ф1, то у^х для некоторого элемента х^Х. Тогда I* F, 1) =?(-!)*#*, где Nk — число k-подмножеств в X, пересечение всех элемен- элементов которых равно 0. Доказательство. Для любого хе[ имеем в A(L;C) \-х= ? ьу- ? ду= ? в,. Т У<х У^х ? Следовательно, из теоремы 3.9.2 П (Г-*) = Ев„, где у пробегает множество всех элементов L, удовлетворяю- удовлетворяющих условиям у^х для всех х^Х. По предположению, един-
188 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.10, Функция Мёбиуса полумодулярной решетки 189 ственный такой элемент есть Т. Следовательно, П (f-*) = uT. х s X Если теперь разложить обе части в линейную комбинацию эле- элементов L и приравнять коэффициенты при 0, получим требуе- требуемый результат. П Ясно, что подмножество X решетки L удовлетворяет усло- условию (Ь) следствия 3.9.4 тогда и только тогда, когда X содер- содержит множество А* коатомов (элементов, покрываемых элемен- элементом 1) решетки L. Чтобы сделать числа Nk наименьшими из возможных, мы должны взять X = А*. Заметьте, что если б не есть пересечение всех коатомов L, то каждое из чисел Nk равно 0. Отсюда заключаем 3.9.5. Следствие. Если L — конечная решетка, для которой 6 не является пересечением коатомов, то ц. (б, 1) = 0. Двойствен- Двойственным образом, если 1 не является объединением атомов, то снова иF, !) = о. ? 3.9.6. Пример. Пусть L = J(P)— конечная дистрибутивная ре- решетка. Интервал [/, /'] решетки L является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда /' — / антицепь в Р. Более общим образом, объединение всех атомов интервала [/, /'] (рассмат- (рассматриваемого как подрешетка в L) есть порядковый идеал 1[]М, где М — множество минимальных элементов ч. у. подмножества /' — / из Р. Следовательно, /' является объединением атомов интервала [/,/'] тогда и только тогда, когда [/,/']— булева алгебра. Из примера 3.8.3 и следствия 3.9.5 мы получаем функ- функцию Мёбиуса на L, а именно: !(_!)»</./') = (_1I/'-Л, если [/, /'] — булева алгебра (т. е. если /' — / — антицепь в Р), 0 в противном случае. ЗЛО. Функция Мёбиуса полумодулярной решетки Мы хотим применить двойственную форму следствия 3.9.3 к ко- конечной полумодулярной решетке L ранга п с ранговой функцией р. Выберем «атом а решетки L. Предположим, что а\/ х — \. Если также а^.х, то х = 1. Следовательно, либо хДа = 0, либо x = t. Теперь из определения полумодулярности имеем р(х) + р(а) ^р(х Л а) + р(х V я), так что либо х=1, либо р(х)+1^0 + п. Следовательно, либо х=\, либо х — коатом. Из следствия 3.9.3. (двойственная форма) вытекает О, Т) = - ? коатомы х, такие, что .(О,*). B7) Так как каждый интервал полумодулярной решетки есть снова полумодулярная решетка (например, в силу предложения 3.3.2), из формулы B7) индукцией по п получаем следующий резуль- результат, упомянутый в конце разд. 3.8. 3.10.1. Предложение. Функция Мёбиуса конечной полумодуляр- полумодулярной решетки является знакочередующейся. П Так как (— 1)'<х-у) ц (х, у) — неотрицательное целое число для любой пары х гс: у в конечной полумодулярной решетке L, мы можем спросить, не подсчитывает ли это выражение чего-ни- чего-нибудь связанного со структурой L? На этот вопрос будет дан ответ в разд. 3.13. Сейчас мы обратимся к двум из наиболее важных примеров полумодулярных решеток. 3.10.2. Пример. Пусть ^ — степень простого числа, GF(q) — ^-элементное поле и Vn = Vn(q) — n-мерное векторное про- пространство над GF(q). Пусть Ln = Ln(q) обозначает ч. у. множе- множество всех подпространств Vn, упорядоченных по включению, как определено в примере 3.1.1 (е). Мы видели в разд. 3.3, что L — градуированная решетка ранга п, где ранг p(lF) под- подпространства W есть в точности его размерность. Мы также упоминали, что так как любые два подпространства W, W из V удовлетворяют условию dim W + dim WT == dim (W f| W) + + dim (W + W), из формулы F) следует, что Ln в действитель- действительности — модулярная решетка. Так как любое подпространство ц V~п есть линейная оболочка его одномерных подпространств, то L также геометрическая решетка. Интервал [W, W) решетки!,,, изоморфен решетке подпространств факторпространства W'lW, так что [W,W']e?Lm, где m = l(W, W) = dim W — dim W. Следовательно, значение jx (W, W) зависит только от целого l = l(W, W), так что мы пишем [Xi = \i(W, W). Легко сосчи- сосчитать ц./, используя формулу B7). Пусть а —элемент решетки Ln ранга 1. Решетка Ln имеет всего ( ^ j = qn^1 + qn~2 + ... + 1 f n — l\ коатомов, из которых I _ I = qn~2 + Цп~ъ + ... +1 лежат
190 Гл. 3. Частично упорядоченные множества ЗЛО. Функция Мёбиуса полумодулярной решетки 191 над а. Следовательно, существует q"~1 коатомов х, удовлетво- удовлетворяющих условию хр*а, так что из формулы B7) имеем ¦ ¦ ли — I 1 1 Рп — — Ч Н*л-1- Вместе с начальным условием (до = 1 это дает \ап = (—1) q . (zo) 3.10.3. Пример. Мы приведем один простой пример использова- использования формулы B8). Мы хотим подсчитать количество подмно- подмножеств в Vn(q), порождающих все пространство Vn(q). (За- (Заметьте, что пустое множество. 0 не порождает никакого про- пространства, в то время как подмножество {0} порождает нуль- нульмерное подпространство {0}.) Для W ^ Ln(q) пусть f(W) — число подмножеств Vn(q), линейная оболочка которых есть W, и g(W) число подмножеств, линейная оболочка которых содер- содержится в пространстве W. Следовательно, g (W) = 2Ч —1, так как 0 не имеет линейной оболочки. Ясно, что так что из обращения Мёбиуса в решетке Ln(q) Полагая W = Vn, имеем 3.10.4. Пример. Пусть ПE) обозначает множество всех разбие- разбиений конечного множества S, и будем множество П([л]) обо- обозначать П„. Как и в примере 3.1.1 (d), мы частично упорядочим ПE) по измельчению, т. е. положим л ^ сг, если каждый блок я содержится в блоке разбиения сг. Например, Ш, П2 и Пз по- показаны на рис. 3.34. Легко видеть, что П„ — градуированное ч.у. множество ранга п—1. Ранг р(л) разбиения л равен п — (число блоков л) = л — |я|. Следовательно, рангово-производя- щая функция ч. у. множества П« есть F(Un, <7) = E S(n, n-k)qk, B9) где S(n, n — k) — число Стирлинга второго рода. Если л, а е П„, то л Л ст имеет в качестве блоков непустые множества BQC, где Вел и Сеи. Следовательно, П„ — нижняя полурешетка. Так как разбиение [п] с одним блоком является элементом 1 для П„, то из предложения 3.3.1 следует, что П„ — решетка. Предположим, п = {Ви ..., Bj} e П„. Тогда интервал [л, 1] изоморфен очевидным образом решетке П(я) — решетке раз- разбиений множества {В,, ..., Bk}. Следовательно, [л, Г]^П4. Теперь легко видеть, что в Wk объединение любых двух раз- различных атомов имеет ранг 2. Далее, любой элемент яёПл 123 12 1-23 2-13 3-12 1 1-2 1-2-3 Рнс. 3.34. есть объединение таких атомов {Ви ..., Bn_i}, что 15,1 = 2, и В{ — подмножество некоторого блока разбиения л. Следо- Следовательно, П„ — геометрическая решетка. В предыдущем абзаце определена структура интервала [л, Т]. Рассмотрим теперь структуру произвольного интервала [сг, л]. Предположим, что п = {Вь Въ ..., Bk) и что Вг разбивается на Аг блоков в сг. Оставим читателю легкое доказательство того, что [сг, я] ~ Щ, X Па, X ••• ХПЧ. В частности, [0, я] <=* П?1 X • • • X П°«, где тип л = (av ..., ап). Например, если а = 1—2—3—45—67—890 и л =14 567 — — 2 890 - 3, то [а, я] = П A - 45 - 67) X П B - 890) X П C) as Ц, X П2 X П,. Положим теперь [х„ = ц,@, 1), где jx — функция Мёбиуса решетки П„. Если [ст, я] = 1\ X Щ2 X ••• ХЩЙ, то из предло- предложения 3.8.2 имеем ц (а, л) = ц.Л • [х^ ... ц^ . Следовательно, чтобы определить полностью функцию ц., достаточно вычи- вычислить \in. Хотя П„ — геометрическая решетка, так что можно использовать формулу B7), проще обратиться непосредственно к следствию 3.9.3. Выберем элемент а —разбиение с двумя блоками {1, 2 /г—1} и {/г}. Элемент х решетки П„ удо- удовлетворяет условию х /\а = 6 тогда и только тогда, когда х = 0
192 Гл. 3. Частично упорядоченные множества или х — атом, единственный двухэлементный блок которого имеет вид {i, п} для (е[я—1]. Интервал [х, 1] изоморфен решетке Пп_и так что из следствия 3.9.3 имеем ц„ = — (л — 1) ц„_!. Так как |ао=1, мы заключаем И„ = (-1Г'(«-!)! C0) Существует много других способов доказательства этого важ- важного результата; некоторые из них мы рассмотрим позже. Здесь мы просто отметим более общий результат (который сле- следует из упражнения 44): ..(q-n+ 1); C1) МО, n)«7l«l = (?)„ = <7fo- чтобы получить формулу C0), приравняем коэффициенты при q. Уравнение C1) можно рассмотреть в следующем более об- общем контексте. Пусть Р — конечное градуированное ч.у. мно- множество с элементом 0, скажем ранга п. Определим характери- характеристический многочлен %{P,q) ч. у. множества Р формулой X (Л ?) = ? И @, х) Коэффициент Wk называется k-м числом Уитни первого рода ч. у. множества Р-. о>* = Е v (о, *). Х<=Р P(x)=ft В этом контексте число элементов ч.у. множества Р ранга k обозначается Wk и называется k-м числом Уитни второго рода ч.у. множества Р. Таким образом, рангово-производящая функ- функция F(P, q) ч.у. множества Р дается формулой Р Z fc = 0 Из формулы C1) следует, что Х(П„, q) = (q-l)(q- ...(q-n+l), так как решетка И„ имеет ранг п— 1 и | я \ — п — р(л). Следо- Следовательно, из предложения 1.3.4 имеем: wk = s(n, п — k) — число Стирлинга первого рода. Далее уравнение C0) дает Wk = = 5(«, n — k) для решетки П„. 3.11. Дзета-многочлены 3.11. Дзета-многочлены 193 Пусть Р — конечное ч.у. множество. Если п ^ 2, положим Z(P,n) — число мультицепей х\ ^ Хч ^ ... ^ хп-\ в Р. Мы на- называем выражение Z(P,n) (рассматривая его как функцию от п) дзета-многочленом ч. у. множества Р. Начнем с того, что оправдаем это название и соберем вместе некоторые элемен- элементарные свойства Z(P,n). 3.11.1. Предложение а. Пусть Ьх — число цепей xt < х2 < ... < xt_i в Р. Тогда b &lZ(, 2), /^0. Другими словами, C2) В частности, Z(P,n) есть многочлен от п, степень d кото- которого равна наибольшей длине цепи в Р, а старший коэффи- коэффициент равен bd+2/dl. Далее, Z(P,2) = \P\ (это ясно из опре- определения Z(P, n)). Так как Z(P,n) — многочлен для всех целых чисел п ^ 2, мы можем определить его для всех beZ (или даже для всех леС). Тогда Z{P, 1) = Х(Д (/>))= 1 + црF, Т). с. Если ч. у. множество Р содержит элементы 0 и 1, то Z(P, п) = ?,п@, 1) для всех neZ (это объясняет выражение дзета-многочлен). В частности, Z(P, —1)= МО, 0. z(p> °) = 0 (если 6=?М) и Z(P, 1) = 1. Доказательство. а. Число (п — 1)-элементных мультицепей с носителем *,<*,< _, Равно () отсюда следует формула C2). Дополнительная информация о многочлене Z (Р, п) может быть извлечена из формулы C2). Ь. Полагая я=1 в выражении C2), получаем Теперь используйте предложение 3.8.5. 7 Р. Стенли
194 Гл. 3. Частично упорядоченные множества с. Если ч. у. множество Р содержит элементы б и 1, то число мультицепей ^^л^^ ... <^лг„_, такое же, как и число мультицепей 0 = х0 ^ хх ^ х2 ^ ... ^ х,п-\ ^хп=1, которое равно ?"F, Т) при n^s2. Несколькими различными способами можно показать, что многочлен Z(P,n), определенный формулой C2) для всех дГ>2, равен ?" @, 1) при всех лё7. Например, из п. (а) и предложения 1.4.2 имеем, что Ad+l?,n@, ?) = 0 для всех п^2. Но тогда для любого яе2 = 0. Следовательно, ?"@, 1) есть полиномиальная функция для всех neZ, и, таким образом, ее значение должно совпа- совпадать с выражением C2) при всех neZ. ? Для тер пусть п(Р,т) обозначает число сохраняющих порядок отображений а: Р-*-т. Из предложения 3.5.1 следует, что Q(P, m) = Z(J(P), т). Следовательно, ?1(Р,т) есть поли- полиномиальная функция от т степени |Р| и старшим коэффициен- коэффициентом е(Р) /\Р\\. (Это можно легко увидеть с помощью более прямых рассуждений.) п(Р,т) называется порядковым много- многочленом ч. у. множества Р. Таким образом, порядковый много- многочлен ч.у. множества Р есть дзета-многочлен решетки J(P). Дальнейшие сведения о порядковых многочленах см. в гл. 4, теорема 4.5.14, пример 4.5.18. 3.11.2. Пример. Пусть P = Bd — булева алгебра ранга d. Тогда Z (Bd, п) для п ^2= 1 равно числу мультицепей 0 = 50 s 5, S ... ...s5n = S d-множества 5. Для каждого sgS мы можем выбрать произвольно наименьшее положительное целое число ('е[4 для которого s^Si. Следовательно, Z (Bd, n) = nd. (Мы можем также получить это из формулы Z(Bd, n) = Q(d\, п), так как любое отображение сг: d\->n сохраняет порядок.) Полагая л = —1, получаем \iBdF, f) = (—l)d— третье доказа- доказательство формулы A5). Это вычисление [х @, 1) дает интересный пример «полукомбинаторного» доказательства. Мы вычислили Z(Bd,n) комбинаторно для п ^ 1, а затем подставили п = —1. Многие другие теоремы, использующие функции Мёбиуса ч. у. множеств Р можно доказать в такой манере, доказывая ком- комбинаторно подходящий результат для п ^ 1 для Z(P,n), а за- затем полагая га = —1. 3.12. Ранговый выбор 3.12. Ранговый выбор 195 Равносильно из принципа включения—исключения a (S)= Z р(Г). Пусть Р — конечное градуированное ч.у. множество ранга п с ранговой функцией р: Р-*-[0, п]. Для Sе[0,п] определим ч. у. подмножество называемое S-рангово-выбранным ч.у. подмножеством ч. у. множества Р. Например, Р0 = 0 и Я[0, „] = Р. Определим теперь число <х(Р, S) (или просто <x(S)) как число максимальных цепей множества Ps. Например, а (г) (сокращенное обозначение для а ({г})) есть в точности число элементов ч. у. множества Р ранга i. Наконец, определим числа р (Р, S) — $(S) формулой C3) Если n,s обозначает функцию Мёбиуса ч.у. множества Ps, то из предложения 3.8.5 следует, что P(S) = (-l)|S|-IHs@, T). C4) По этой причине мы называем функцию р рангово-выбранным. инвариантом Мёбиуса ч.у. множества Р. Предположим, что ч.у. множество Р имеет элементы б и 1. Легко видеть, что а(Р, S) = o(P, Sfl [«-!]), Р(Р, S) = 0, если SSE[«—1] (т. е. если OeS или лё5). Поэтому длы ничего не теряем, ограничиваясь рассмотрением подмножеств Ss[/i—1]. По этой причине, если мы заранее знаем, что ч.у. множество Р имеет элементы б и 1 (напри- (например, если Р — решетка), то можно рассматривать лишь множе- множества 5 = [га— 1]. Уравнения C3) и C4) подсказывают комбинаторный спо- способ интерпретации функции Мёбиуса ч.у. множества Р. Числа <x(S) имеют комбинаторное определение. Если мы сможем ввести числа y(S)^0 так, что найдется комбинаторное дока- доказательство равенства а E) = ? \{Т), то получим y(S) = ${S) и ~ ^ Т s=S H*s@, 7) = (— l)|S|-'y(S). Мы не можем ожидать, что опре- определим числа y(S) для произвольного ч.у. множества Р, так
Гл. 3. Частично упорядоченные множества 196 как в общем случае не обязательно рE)^0. Однако суще- существует большой класс ч. у. множеств Р, для которых числа y(S) действительно можно определить вполне комбинаторным способом. Чтобы познакомить читателя с этим предметом, мы рассмотрим здесь два специальных случая, в то время как сле- следующий раздел посвящен более общему результату на эту тему. Пусть L = J(P)—конечная дистрибутивная решетка ранга п (так что \Р\=п). Рассмотрим Р как частичное упорядоче- упорядочение множества [я] и предположим, что порядок Р совместим с обычным порядком на [я], т. е. если i <С / в Р, то i <С / в Z. Будем в этом случае называть Р естественным частичным по- 1 2 Рис. 3.35. рядком на множестве [л]. Как и в разд. 3.5, можно отожде- отождествить расширение о: Р-*-[я] ч.у. множества Р.до полной упо- упорядоченности с перестановкой оНA), ..., а-1 (я) множества [л]. Множество всех е(Р) перестановок множества [л], полу- полученных таким способом, обозначается & (Р) и называется мно- множеством Жордана — Гельдера ч.у. множества Р. Например, если Р таково, как на рис. 3.35, то З'(Р) состоит из пяти пере- перестановок: 1234, 2134, 1243, 2143, 2413. 3.12.1. Теорема. Пусть L = J(P), как и выше, kS = [b-1]. Тогда р(L, S) равно числу перестановок лей1'(Р) с множеством спуска S. Доказательство. Пусть S = {alt a2, ¦ ¦¦, а*}^ Из предложения 3.5.1 следует, что <x(L, S) равно числу цепей /, с /2 с ... czlk порядковых идеалов в Р, таких, что \Ii\ = al. По данной такой цепи порядковых идеалов определим перестановку its^fP) следующим образом: сначала расположим элементы идеала 1\ в возрастающем порядке. Справа от них расположим элементы множества /2 —1\ в возрастающем порядке. Продолжим эту процедуру до тех пор, пока в конце не расположим элементы множества Р — /& в возрастающем порядке. Это дает биекцию между максимальными цепями из Ls и перестановками п е S'(P), множество спуска которых содержится в 5. Слсдова- 3.13. Я-пометкн тельно, если y(L,S) обозначает число перестановок я множество спуска которых есть S, то a(L, S)= , T). Доказательство закончено. 197 &(Р), ? 3.12.2. Следствие. Пусть L = Bn — булева алгебра ранга п и Ss[ft-1]. Тогда P(L, S) равно общему числу перестановок множества [п], множество спуска которых есть S. (Таким обра- образом, р (L, 5) = р„E), как определено в примере 2.2.4.) ? Как и в примере 2.2.5, существует ^-обобщение примера 2.2.4, так что мы можем обобщить предыдущее следствие. 3.12.3. Теорема. Пусть L — Ln(q) — решетка подпространств п-мерного векторного пространства над Fq. Пусть S s [л—1]. Тогда S)=E<7i(Jt), C5) где сумма берется по всем перестановкам яеб.с множеством спуска S, и i (л) — число инверсий перестановки л. Доказательство. Пусть S = {au a^, ..., ak}. Тогда а3 — а2/ Vn — akj a2 — a2 —a, n — ak Доказательство следует теперь из сравнения уравнения B0) гл. 2 с формулой C3). ? 3.13. /?-пометки ^ В этом разделе мы приведем широкий класс зФ ч.у. множеств Р, для которых рангово-выбранный инвариант Мёбиуса р(Р, S) имеет прямую комбинаторную интерпретацию (и поэтому не- неотрицателен). Если Pei, то любой интервал ч.у. множества Р будет также лежать в классе s4-, так что, в частности, функ- функция Мёбиуса ч. у. множества Р знакочередующаяся. Пусть Ж(Р) обозначает множество пар (х, у) элементов Р, для которых у покрывает х. Мы можем считать элементы Ж(Р) ребрами диаграммы Хассе ч.у. множества Р.
198 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.13. Я-пометкн 199 3.13.1. Определение. Пусть Р — конечное градуированное ч.у. множество, содержащее элементы 0 и Г. Функция Я: Ж(Р)->7. называется R-пометкой ч. у. множества Р, если для любого ин- интервала [х, у] из Р существует единственная насыщенная цепь х = хо < х\ < ... <Л; = у, удовлетворяющая условию Х(х0, *,)<*,(*!. *->)<...<Я,(*!_,, xi). C6) Ч. у. множество Р, обладающее /^-пометкой, называется R-ч. у. множеством, и цепь х = лг0 < я, < ... < xi = у, удовлетворяющая условию C6), называется возрастающей цепью от х до у. Заметьте, что, если / = [х, у) — интервал в Р, то ограниче- ограничение Я на Ж{1) является /^-пометкой Ж{1). Следовательно, / есть также R-ч. у. множество, так что любым свойством, которым обладают все R-ч. у. множества Р, также обладает каждый интервал R-ч. у. множества Р. 3.13.2. Теорема. Пусть Р R-ч. у. множество, и положим п—1(Р). Пусть Я — R-no метка PuSs[n-l]. Тогда Р (Р, S) разно числу максимальных цепей М: 0 = х0 < хх < ... < хп = 1 из Р, для которых последовательность Я (М) := (Я (*0, х{), ..., Я (*„_,, хп)) имеет множество спуска S, т. е. для которых Z)(Л(Л1)) :={*:* (*<-i. *,-)>М*„ xul)} = S. Доказательство. Пусть С = 0 < #j < ... < ys < 1 — максималь- максимальная цепь в Ps. Мы утверждаем, что существует единственная максимальная цепь М в Р, содержащая С и удовлетворяющая условию D(X(M))^S. Пусть М: 0 = л;0 < хх < ... < хп= 1 — такая максимальная цепь (если она существует) и 5 = {аь ... ..., as}<. Таким образом, xa.=yi. Так как K{xa._v ^ai_, + i)^ <4*«j_i+i. *a<_,+2)<--- <Л,(*в?_,, дсв|) при 1</<s+ 1 (где мы полагаем ao = O, as+i = l), мы должны взять в качестве *«?_,. л;а?_1 + 1, .. -, л:а/ единственную возрастающую цепь из интервала \у{-и yi\ = [xai_v xa^. Таким образом, цепь М суще- существует и единственна, как утверждалось. Следовательно, число ar (P, S) максимальных цепей М из ч. у. множества Р, удовлетворяющих условию D (X (М)) ? S, есть в точности число максимальных цепей в Ps, т. е. а' (Р, S)= =а(Р, S). Если Р'(Р, S) обозначает число максимальных цепей М в Р, удовлетворяющих условию D(X(M)) = S, то ясно, что , S)= Г sS , Г). Следовательно, из C3) мы заключаем: |3' (Р, S) = P(P, 5). П 3.13.3. Пример. Рассмотрим теперь некоторые примеры ^-мно- ^-множеств. Пусть Р — естественный частичный порядок на множе- множестве [п], как и в теореме 3.12.1. Пусть (/, /') е Ж (J (Р)), так что / и /' — порядковые идеалы в Р с условием / = /' и |/'—/| = 1. Положим Я (/, /') — единственный элемент множества /' — /. Для любого интервала [К, К'] решетки J(P) существует един- единственная возрастающая цепь К = К0< К\ < • ¦ ¦ <Ki = K', опре- определенная следующим образом: единственным элементом мно- множества Ki — Kt-i является наименьшее целое число (относи- (относительно обычного линейного порядка на множестве [«]), содер- содержащееся в /С' — Ki-j. Следовательно, Я — ^-пометка и тео- теоремы 3.12.1 и 3.12.2 действительно совпадают. Мы упомянем без доказательства два обобщения этого примера. 3.13.4. Пример. Конечная решетка L называется сверхразреши- сверхразрешимой, если она содержит максимальную цепь С, называемую М-цепью, такую, что подрешетка решетки L, порожденная С и любой другой цепью из L, является дистрибутивной. Среди примеров сверхразрешимых решеток — модулярные решетки, решетки разбиений Пл, решетка подгрупп конечной сверхраз- сверхразрешимой группы. Для модулярных решеток любая максималь- максимальная цепь есть М-цепь. Для решетки Пп цепь 6 = jio< Jt! < ... ... <Jtft_i=l является JW-цепью тогда и только тогда, когда каждое разбиение я«A ^ i ^ п— 1) содержит в точности 1 блок Bi с более чем одним элементом (так что В\ а В2 cz ... ... с=В„_1=[/г]). Число М-цепей в решетке Пл равно л!/2, п ^ 2. В решетке L подгрупп сверхразрешимой группы G JW-цепь задается нормальным рядом {1}= Go < G\ < ... ... < Gn = G, т. е. каждый элемент G,- есть нормальная под- подгруппа группы G и каждая из факторгрупп Gi+i/G,- является циклической группой простого порядка. (Могут существовать и другие JW-цепи.) Если L — сверхразрешимая решетка с JW-цепью С: 0 = *0< < хх < ... < xnt= 7, то ^-пометка Я: Ж(Р)->Х задается фор- формулой Я (х, у) = min {i: x V xt == у V *,}. C7) Если ограничить Я на (дистрибутивную) подрешетку V ре- решетки L, порожденную С и некоторой другой цепью, то мы по- получим ^-пометку решетки V', совпадающую с той, которая по- построена в примере 3.13.3. На рис. 3.36 показаны (не полумоду- полумодулярная) сверхразрешимая решетка L, в которой М-цепь отме- отмечена темными точками, и ^-пометка L. Здесь существует пять максимальных цепей с метками 312, 132, 123, 213, 231 и
200 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.14. Эйлеровы ч. у. множества 201 соответствующими множествами спуска {1}, {2}, 0, {1}, {2}. Следовательно, р@)=1, рA) = РB) = 2, РA, 2) = 0. 3.13.5. Пример. Пусть L — конечная полумодулярная (сверху) решетка. Пусть Р — ч.у. подмножество неразложимых в объ- объединение элементов из L. Пусть ю: Р->-[&]— сохраняющая по- порядок биекция, и положим Xi = <й~[ (г). Определим для пары (x,y)e=3®(L) Х(х, y) = min{i: x\/ Xi=y}. C8) Тогда к есть ^-пометка и, следовательно, полумодулярные ре- решетки являются R-ч.у. множествами. На рис. 3.37 слева пока- 1 Рис. 3.37. зана полумодулярная решетка L, элементы xi которой обозна- обозначены через i, а справа — соответствующая ^-пометка Я. Суще- Существует семь максимальных цепей с метками 123, 132, 213, 231, 312, 321, 341, а соответствующие множества спуска есть 0, {2}, {1}, {2}, {1}, {1,2}, {2}. Следовательно, Р@)=1, РA) = 2, РB)=3, рA,2)=1. Примеры 3.13.4 и 3.13.5 имеют то общее свойство, что цожно пометить некоторые элементы L символами xi и определить, функцию X аналогичными формулами C7) и C8). Многие дру- другие /^-решетки, хотя и не все, имеют это свойство. Конечно, формулы C7) и C8) бессмысленны для ч.у. множеств, не яв- являющихся решетками. На рис. 3.38 изображено ч.у. множество Р, не являющееся решеткой, и его /^-пометка %. 3.14. Эйлеровы ч.у. множества Напомним определение эйлеровых ч.у. множеств, следующее за предложением 3.8.9: конечное градуированное ч. у. множе- множество Р с элементами 0 и 1 является эйлеровым, если \iP(x, y) = = (— \I{х-у) для всех пар х^у в Р. Эйлеровы ч. у. множества обладают многими замечательными свойствами «двойственно- «двойственности». Мы начнем с рассмотрения дзета-многочленов эйлеровых ч. у. множеств. 3.14.1. Предложение. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п. Тогда Z(P,—m) = {—l)»Z(P,m). Доказательство. Из предложения 3.11.1 (с) имеем Z(P, -m) = ^mF, T) = = S И*0. Х\) ¦ • ¦ У(*т-И xm), где сумма берется по всем мультицепям 6 = 0^i^ ^m Так как Р — эйлерово, то ц(*г-ь лс() = (— 1 )'(**-•' *'). Следова- Следовательно, }х(*о, XJ ... \i(xm_u xm) = (—l)n, так что Z(P, -m) = (-l)nt,m@, l) = (-l)nZ(P, m). U Назовем конечное ч.у. множество Р с элементом 0 симпли- циальным, если каждый его интервал [0, х] изоморфен буле- булевой алгебре. 3.14.2. Предложение. Пусть Р — симплициальное ч.у. множе- множество. Тогда Z{P, m) = Y,i>^i{m—\)i, где sP: [б, х]е*В,}. В частности, если ч.у. множество Р градуировано, то Z(P,q-\- + 1) есть рангово-производящая функция ч.у. множества Р. Доказательство. Пусть хеР'и Zx(P, m) обозначают число мультицепей л^^Яг^ ... ^хт_х = х в Р. Из примера 3.11.2, ZX{P, т) = (т- II, где [6, х]^Вг. Но Z(P, m)=ZxePZx(P, m), откуда следует доказательство. ? Предположим теперь, что Р эйлерово и ч.у. множество Р' := Р — {1} является симплициальным. Рассматривая по от- отдельности мультицепи в Р, которые содержат или не содержат элемент 1, мы видим, что Z(Pr, m+l) = Z(P, m+l)-Z(P, m) = AZ{P, m).
202 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Следовательно, из предложения 3.14.2 3.14. Эйлеровы ч. у. множества 203 AZ (Р, т) = ? i 0 C9) где ч. у. множество Р содержит Wt элементов ранга i. С другой стороны, из предложения 3.14.1 имеем Z(P, —т) — (—l)nZ(P, т), так что AZ (P, —«)==(—1)"~'AZ(P, т—1). Комбинируя это с формулой C9), получаем n-1 ? 2 = 0 D0) Уравнения D0) налагают некоторые линейные соотношения на числа Wi, известные как уравнения Цена — Соммервилля. В об- общем случае существует -^- независимых уравнений (в до- дополнение к условию №0=1)- Мы перепишем ниже эти уравне- уравнения для 2 ^ п ^ 6, причем положим Wo = 1: я = 2: Wx = 2, 4 - 5Г5 = 0, 2W2 — Более элегантный способ установления этих уравнений будет обсуждаться в связи с теоремой 3.14.9. Основным примером эйлеровой решетки L, для которой L— {1} есть симплициальное ч.у. множество, является решетка граней триангуляции Д сферы с присоединенным элементом 1. В этом случае №,- есть в точности число (i—1)-мерных гра- граней Д. Заметим, что хотя мы вывели уравнение D0) как специаль- специальный случай предложения 3.14.1, можно также вывести предло- предложение 3.14.1 из формулы D0). Именно, для данного эйлерова ч.у. множества Р применим формулу D0) к ч.у. множеству це- цепей Р с присоединенным элементом Т. Получившееся уравнение формально эквивалентно предложению 3.14.1. Затем мы обратимся к теореме двойственности для чисел , S) в том случае, когда Р — эйлерово ч.у. множество. 3.14.3. Лемма. Пусть Р — конечное ч.у. множество с элемен- элементами б и 1, и пусть jeP — {0, 1}. Тогда Цр-Хф, Г) = М0, Г)-Мб, *)М*. О- Доказательство. Это простое следствие предложения 3.8.5. ? 3.14.4. Лемма. Пусть Р — такое же ч.у. множество, как и выше, и Q — произвольное ч. у. подмножество Р, содержащее элементы. 0 и Г. Тогда 1) = ? (—1)* МО, *i)M*i, x2) ... iiP(xk, 1), где суммирование ведется по всем цепям 0 < дс, < ... < xk < 1 в Р, таким, что Xi$=Q для всех i. Доказательство. Многократно примените лемму 3.14.3, после- последовательно удаляя элементы ч. у. подмножества Q из Р. ? 3.14.5. Предложение. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п и Q — произвольное ч.у. подмножество Р, содержащее эле- элементы, б'м Г. Положим Q = (P — Q) U {б, Т}. Тогда Мб, Т) = (-1Г'^(б, Г). Доказательство. Так как Р эйлерово, имеем МО, *i)M*i> х2) ... М*ь 0 = (—!)" для всех цепей 0 < х{ < ... < xk < 1 в Р. Следовательно, из леммы 3.14.4 имеем ц<?(б, 1) = ?(—1) +", где сумма берется по всем цепям 0 < х{ < ... < xk < 1 в Q. Доказательство сле- следует из предложения 3.8.5. ? 3.14.6. Следствие. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п, S^\n— 1]. Положим, 5 = [я—1] —S. Тогда Р(Р, S)= P(P, S). Доказательство. Применим предложение 3.14.5 к случаю Q = Ps U {0, 1} и используем формулу C4). ? Топологическое отступление. Предложение 3.14.5 доставляет поучительный пример, показывающий полезность интерпрета- интерпретации функции Мёбиуса как (приведенной) эйлеровой характе- характеристики и рассмотрения при этом самих групп гомологии. В об- общем случае мы ожидаем, что если разумным образом усилить
204 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.14. Эйлеровы ч. у. множества 205 предположение, взяв в расчет группы гомологии, то и вывод аналогичным образом усилится. Действительно, пусть вместо требования, что [iP(x, у) = {—\I{х'у\ . у), *) = мы предположим, что _ 2, где К — поле (или любая группа коэффициентов), а Д обозна- обозначает порядковый комплекс, определенный в разд. 3.8. Равно- Равносильно, Р — эйлерово ч. у. множество Коэна — Маколея над К. Пусть Q, Q — ч. у. множества из предложения 3.14.5, и поло- положим Q' = Q — (о, !}, Q' = Q —{0, 1}. Теорема двойственности Александера для симплициальных комплексов утверждает, что в этих условиях Hi (A (Q'), К) s Нп-1~3 (Д (Q0, К). (Если К — поле, то существует (не канонический) изоморфизм я'(Д, К)е*Н,(Ь, К).) В частности, ЗС(Д(<2')) = (—1)" 1%(&(Q')), что эквивалентно предложению 3.14.5 (в силу предложения 3.8.6). Следовательно, предложение 3.14.5 можно рассматривать как «аналог в тео- теории обращения Мёбиуса» теоремы двойственности Александера. Наконец, мы подошли к замечательной «главной теореме двойственности» для эйлеровых ч. у. множеств Р. Мы свяжем с Р два многочлена f(P,x) и g(P, x), определенные ниже. Пусть Р — множество всех интервалов [б, у] из Р, упорядоченных по включению. Ясно, что отображение Р-*-Р, определенное фор- формулой у-*-[О,у], есть изоморфизм ч.у. множеств. Многочлены f и g определяются индуктивно следующим образом: 1. f(l, x) = g(l, x) = \. D1) 2. Если п + 1 = rank Р > 0, то многочлен f (Р, х) имеет степень п, скажем f(P, x) = hQ-{-hlx+...+ hnxn. Определим тогда g(P, x) = ho + (hl-fio)x + (h2-hl)x2+...+(hm-hm_l)xm, D2) где m = \nj2\. 3. Если п + 1 = rank P > 0, то положим f(P, *)= E g(Q, x)(x-ir*(Q). D3) «e? 0.ФР 3.14.7. Пример. Рассмотрим шесть эйлеровых ч. у. множеств, изображенных на рис. 3.39. Будем писать ft и gi вместо f(Pi,x) и g(Phx) соответственно. Последовательно вычисляем, что = 2g2+2gl (х- 1) + (х - 1J= 1 + х\ g3= 1-х, = 1 +x3, g5= 1 — x. 3.14.8. Пример. Запишем fn = f(Bn,x) и gn = g (Bn, x), где Bn~булева алгебра. Простое вычисление дает fo=l, eo=U fi = l, ffi=l, fa = 1 4- JC. ft=l, f3=l+x + x\ ga=l, f4=l+x + x* + x*, gt=l. Это наводит на мысль, что fn = 1 + х + •¦¦ +*"~1(« > 0) и gn = 1. Ясно, что формулы D1) и D2) имеют место; нам нужно о Pq Рх Рнс. 3.39. только проверить формулу D3). Рекуррентное соотношение D3) сводится к виду Подставляя g4= 1, получаем 1-ft = (.v—1) ' \((х — 1) + 1)"+1 — l] (из биномиальной теоремы)
206 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Следовательно, мы показали f(Bn, х)=\ +х+... +х«-\ «>1, g(Bn, х)=\, га>0. Предположим теперь, что Р — эйлерово ч.у. множество ранга я+ 1 и Р — {Т} симплициально. Так как g(Bn,x)=l, из фор- формулы D3) получаем D4) 3.15. Биномиальные ч.у. множества 207 1=0 где Р имеет Wi элементов ранга и Мы подошли к главному результату этого раздела. 3.14.9. Теорема. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п-\- 1. Тогда f(P, x) = xnf(P, l/x). Эквивалентно, если f(P, x) = En . 0 htx , то h{ = hn_t. Доказательство. Мы пишем f(P) вместо f(P, x), g(P) вместо g(P, х) и так далее. Положим у = х—1. Умножая формулу D3) на у и прибавляя g(P), получаем = Е /-P(Q) Из формулы обращения Мёбиуса получаем Так как Р — эйлерово ч. у. множество, получаем \ip(Q, P) = = (-l/(Q'p), так что g(P)=Z (g (Q) + yf (Q)) (-УУ(Q' P>- D5) Положим f (Q) — ao + alxJr ¦ ¦ • +arxr, где p(Q) = r+l. Тогда g (Q) + yf (Q) = {a, - ae+1) jc»+1 + (a,+1 - as+2) x^ +..., где s = L/"/2J. Будем вести индукцию по p(Q). Предположим, что a,- = ar_,- при г < п. В этом случае f (a, - as_i) xs+ D6) г нечетно, Вычтем теперь yf(P) + g(P) из обеих частей равенства D5) и используем формулу D6), чтобы получить -yf(P)= Q<\ =>f(P)= E = xnf(P, l/x) (из формулы D3)). Доказательство закончено. ? Уравнение D4) дает прямую комбинаторную интерпретацию многочлена f(P,x), если Р— {1} есть симплициальное ч.у. мно- множество, и в этом случае теорема 3.14.9 эквивалентна формуле D0). В общем случае, однако, выражение f(P,x) оказывается значительно более тонким инвариантом ч. у. множества Р. Дальнейшую информацию см. в упражнениях 70—72. 3.15. Биномиальные ч.у. множества и производящие функции Мы сталкивались до сих пор с множеством примеров произво- производящих функций, в основном вида Тлп>0! in) ^ или Xn>of (n)xn/n\. Почему эти типы производящих функций встречаются повсе- повсеместно, а производящие функции, подобные ^n>of(n)xn/(l + п2), кажется, не встречаются никогда? Существуют ли другие клас- классы производящих функций, полезных в комбинаторике, кроме двух упомянутых выше? Теория биномиальных ч. у. множеств пытается ответить на эти вопросы. Она предлагает единый подход к производящим функциям многих различных типов, встречающихся в комбинаторике. Остаток главы будет посвя- посвящен этой теме. Большая часть последующего материала этой книги будет посвящена более тонким аспектам теории произ- производящих функций, для которых в действительности теория би- биномиальных ч.у. множеств не подходит. Мы должны упомянуть,
208 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.15. Биномиальные ч. у. множества 209 что имеется несколько альтернативных подходов к созданию единой теории производящих функций. Мы выбрали бино- биномиальные ч. у. множества по двум причинам: (а) мы уже раз- развили большую часть соответствующего подготовительного ма- материала по теории ч. у. множеств и (Ь) из всех существующих теорий теория биномиальных ч. у. множеств дает наиболее яв- явную комбинаторную интерпретацию чисел В(п), появляющихся в производящих функциях вида S«>of (п) хп/В(п). (Не путайте эти числа В(п) с числами Белла.) Рассмотрим сначала некоторые виды производящих функ- функций F(x)^C[[x]], которые в действительности уже возникли в комбинаторике. Эти производящие функции нужно рассмат- рассматривать как «представление» функций f: N->-C степенным ря- рядом F(x) = J^n>Qf(n)xn/B(n), где В(п)— некоторые комплекс- комплексные числа (которые, как оказывается в теории биномиальных ч.у. множеств, всегда являются положительными целыми). 3.15.1. Пример а. (Обыкновенные производящие функции.) Это производя- производящие функции вида F(x) = J^n>of (n)xn. (Более точно, мы гово- говорим, что F (х) есть обыкновенная производящая функция по- последовательности f(n).) Конечно, мы видели много примеров таких производящих функций, как, например, n^sO Ь. (Экспоненциальные- производящие функции.) Здесь F (х) = = 2n>cJ (n)xn/nl. Снова мы имеем множество примеров, таких, как с. (Эйлеровы производящие функции.) Пусть q—-фиксирован- q—-фиксированное положительное целое число (практически почти всегда бе- берется степень простого числа, соответствующая полю Vq). Иногда удобнее рассматривать q как переменную, а не как це- целое число. Соответствующая производящая функция есть F(x)=Z f(n)xnj(n)\, где (n)! =A + q) A + q + q2) • •¦ A + ?+ ¦•• +<7"~1)> KaK и в разд. 1.3. Заметьте, что выражение (п)! сокращается до п\, если положить q — \. Иногда в литературе знаменатель заме- заменяют на A—q) A—q2) ... A — qn); это равносильно преоб- преобразованию x-*-x/(l —q). Мы увидим, что наш выбор знамена- знаменателя естествен, поскольку рассматриваются биномиальные ч. у. множества. Одно немедленное преимущество состоит в том, что эйлерова производящая функция сокращается до экспоненци- экспоненциальной производящей функции, если положить q = \. Пример эйлеровой производящей функции (п)! где /(«) — общее число подпространств в Vn{q) (т. е. f(n) = -ТИПУ d. (Дважды экспоненциальные производящие функции.) Эти функции имеют вид Xra>of (я)*п/я!2. Например, если f (п) есть число п X п матриц неотрицательных целых чисел, таких, что суммы элементов в каждой строке и каждом столбце равны двум, то F{x) = ex/2{\—x)~l/2. Иногда случается иметь дело с более общей г-экспоненциальной производящей функцией F(х) = 2„>о^ (tt)*n/wlr, гДе г — произвольное положительное целое число. e. (Хроматические производящие функции.) Зафиксируем число ?еР. Тогда п >0 f(n)xn/qUJnl Иногда выражение q^2-1 заменяют на q2, что соответствует преобразованию x->xq~112. Например, f (п) хп/2^ ^п\=[ Z (-1Г *nM2'
210 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.15. Биномиальные ч. у. множества 211 где / (о) есть число ациклических ориентированных графов с п вершинами, т. е. число подмножеств множества [о] X [я], не содержащих никакой последовательности элементов (г0, i{), (г,, г), (г2, г3), ..., (i}_u i,)(i,, i0). Например, fC) = 25, что соответствует пустому множеству, шести 1-подмножествам {(г, /): iф/}, двенадцати 2-подмножествам {(г, /), (k, I): iф j, кФI, (г> j) Ф (U k) и шести 3-подмножествам, полученным из набора {A, 2), B, 3), A, 3)} перестановкой цифр 1, 2, 3. Основное понятие, которое будет использовано для объеди- объединения приведенных выше примеров, следующее: 3.15.2. Определение. Ч.у. множество Р называется биномиаль- биномиальным ч.у. множеством, если оно удовлетворяет трем, условиям: a. Р локально конечное, содержащее элемент 0 и бесконечную цепь. b. Каждый интервал [х,у] ч.у. множества Р градуирован. Если 1(х, у)=п, то мы называем [х, у] п-интервалом. c. Для всех п е N любые два я-интервала содержат одно и то же число В(п) максимальных цепей. Мы называем В(п) фак- ториальной функцией ч. у. множества Р. Замечание. Условие (а) введено, в основном, для удобства, здесь возможно несколько альтернативных условий. Заметьте, что из определения биномиального ч.у. множества мы имеем 5@) = БA)= 1, ВB) = card{x, у), где [х, у] — лю- любой 2-интервал, и@)БA)В2) 3.15.3. Пример. Нижеследующие ч.у. множества являются бино- биномиальными. a. Пусть P = N с обычным линейным порядком. Тогда В(п)== = 1 для всех п е N. b. Пусть Р — решетка всех конечных подмножеств множества N (или любого бесконечного множества), упорядоченных по включению. Тогда Р — дистрибутивная решетка и В(п)=п\. Мы будем обозначать это ч.у. множество через В. c. Пусть Р — решетка всех конечномерных подпространств век- векторного пространства бесконечной размерности над полем fq, упорядоченных по включению. Тогда В(п) = (п)\. Это ч.у. мно- множество обозначим В (q). d. Пусть Р — множество всех упорядоченных пар (S, Т) конеч- конечных подмножеств S, Т множества N, удовлетворяющих усло- условию |S| = |r|, и упорядоченных покомпонентно (т. е. E, Г)<[ <(S', Т'), если SSS' и ГсГ). Тогда В(я) = гг!2. Это ч. у. множество будет обозначаться В2. Более общим образом, пусть Ри Р2, ..., Аг — биномиальные ч. у. множества с факториаль- ными функциями Вь В2, . . ., Bk. Пусть Р есть ч. у. подмноже- подмножеI ство ч.у. множестваЛХ^Х • • • XРь состоящее из всех ^-набо- ^-наборов (хи ..., xk), таких, что 1@, х{)= ... =1@, xk).Тогда Р — биномиальное ч. у. множество с факториальной функцией В (п) = В{ (ft) ... Bk (n). Мы пишем P = Pi*...*Pft. Поэтому В., = В * В. Более общим образом, положим ВГ=В* ... * В (г раз), е." Пусть V — бесконечное множество вершин, ^ер — фикси- фиксированное число, и пусть Р — множество всех пар (G,a), где G — функция из совокупности всех 2-наборов {и, u} в множество {0,1, ..., q — 1}, такая, что все значения функ- функции G, за исключением конечного числа, суть нули (G можно представить в виде графа с конечным числом ребер, помечен- помеченных числами 1, 2, ..., q — 1), и где ст: У-> {0, 1} —отображение, удовлетворяющее двум условиям: 1. Если G({u, v})фO, то а (и) ф о (v), и 2. Еиеу<Ф)<°°. Если (G, а), (Н, т)еР, то положим (G, о)^.(Н, х), если 1. а(и)^т(и) для всех oeF, и 2. если а(и) = х(и) и o(v) = x(v), то G({u, и}) = Я({и, и}). Тогда Р является биномиальным ч. у. множеством и В(п) — () = ra!<j\2/\ Мы оставляем читателю задачу нахождения бино- биномиального ч. у. множества Q с факториальной функцией (in\ () q', такого, что P — Q*E, где В — биномиальное ч. у. множество из примера 3.15.3 (Ь). f. Пусть Р — биномиальное ч.у. множество с факториаль- факториальной функцией В(п), и пусть ftep. Определим ч. у. подмноже- подмножество Р"' = {^еР:| (б, х) делится на k). Тогда P(fe) — биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией Bk(n) = B(nk)/B(k)n. Заметим, что числа В(п), рассмотренные в примере 3.15.3 (а) — (е), появляются в степенных рядах производящих функ- функций примера 3.15.1. Если мы сможем как-либо сопоставить би- биномиальное ч.у. множество с производящей функцией вида Yd /(«) хп/В(п), то мы объясним форму производящей функции примера 3.15.1. Мы также получим некоторое оправдание того эвристического принципа, что обыкновенные производящие
212 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.15. Биномиальные ч. у. множества 213 функции связаны с неотрицательными целыми числами, экспо- экспоненциальные производящие функции — с множествами, эйле- эйлеровы производящие функции — с векторными пространствами и так далее. Начнем наше изучение биномиальных ч. у. множеств Р. Вы- •С] берем числа /, п е N, и пусть! . I обозначает число элементов ранга I в n-интервале [х, у]. Заметьте, что так как B(i)B(n — i) максимальных цепей интервала [х, у] проходят через данный элемент z ранга I, мы имеем В(п) D7) В (i) B(n- i) ' [nl так что число . зависит только от п и i, но не от выбора и-интервала [х, у]. В случае Р = В, как в примере 3.15.3 (Ь), В (и) = «1 и . =1 . I, что объясняет наши термины «бино- «биномиальное ч. у. множество» и «факториальная функция». Эта аналогия с факториалами еще усиливается, если заметить, что где A (i) = . I — число атомов в г-интервале. Теперь мы можем сформулировать главный результат о би- биномиальных ч. у. множествах. 3.15.4. Теорема. Пусть Р — биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией В(п) и алгеброй инцидентности 1(Р) (над С). Положим R(P) = {ft=I(P):f(x, y) = f(x', у'), если l(x, y) = l(x', yf)}. Если f e R(P), то мы пишем f(n) вместо f(x, у), если 1(х, г/) = п. Тогда R(P) есть подалгебра алгебры. I (Р) и имеем изоморфизм алгебр qp: R(P)-+C [[x]], задаваемый формулой ф(/)= Е f(n)xn/B(n). >0 Доказательство. Ясно, что R(P) есть векторное подпростран- подпространство пространства /(Р). Пусть f, g<=R(P). По определению числа Гп1 . ! для n-интервала [х, у] имеем: L I J fg(x, У)= z e [x, у) 1 = 0 D8) Следовательно, значение fg(x,y) зависит только от 1(х,у), так что R(P) есть подалгебра алгебры 1(Р). Далее, правая часть равенства D8) есть в точности коэффициент при хп/В(п) в ф(/)ф(&)> откуда следует доказательство. ? Отметим полезное свойство алгебры R{P), которое непосред- непосредственно вытекает из теоремы 3.15.4 (его можно доказать и не обращаясь к теореме 3.15.4). 3.15.5. Предложение. Пусть Р — биномиальное ч. у. множество и f^R(P). Предположим., что в I(P) существует элемент f~l (т. е. f(x, х)фО для всех элементов ^еР). Тогда f~l Доказательство. Постоянный член степенного ряда F = q>(f) равен f(x, x) =^ 0 для всех хеР, так что элемент F~ сущест- существует в кольце С [[#]]. Пусть § = ф~1(Г|)е^(Р). Так как FF~l = l в С[[х]], имеем fg = l в алгебре /(Р). Следовательно, Мы обратимся теперь к некоторым примерам, показываю- показывающим объединяющую мощь биномиальных ч. у. множеств. Мы не будем пытаться их систематизировать или изложить в мак- максимально возможной общности, но просто попробуем почувство- почувствовать вкус этого предмета. 3.15.6. Пример. Пусть f(n) есть мощность о-интервала [х, у] ч. у. множества Р, т. е. f (я) = ) . . Из определения ясно, что дзета-функция ? лежит в алгебре R(P) и ф (?) = = ^п>охп/В(п). Так как R(P)—"подалгебра в I(P), имеем ?2е е ^ (Р). Так как ?2(х, у) = card [x, у], то f(n)x"/B(n) = n/B(n)J
214 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.15. Биномиальные ч. у. множества 215 Таким образом, из примера 3.15.3(а) имеем, что число элемен- элементов f (я) цепи длины п удовлетворяет равенству откуда /(га) = п+1 (это не самый глубокий результат данной темы). Аналогично, из примера 3.15.3(Ь) число f(n) подмно- подмножеств «-элементного множества удовлетворяет уравнению ? f{n)xn/n\ = ( ? х"/п\\2=ё2х = ? 2V>!, >0 \>0 ) >0 откуда /(га) = 21 Аналогичная формула для эйлеровых произ- производящих функций была установлена в примере 3.15.1 (с). 3.15.7. Пример. Пусть [i(o) обозначает функцию Мёбиуса ц(х,у) для га-интервала [х,у] ч.у. множества Р (значение ц(х,у) зависит только от я в силу предложения 3.15.5). Из теоремы 3.15.4 имеем ? ц()/() (? /()Г'. D9) ? ц(п)хп/В(«) = (? -xn/B(«)Г Если Р— ч.у. множество из примера 3.15.3(а), то ? Mn)x* = >0 что, разумеется, согласуется с примером 3.8.1. Аналогично, для примера 3.15.3 (Ь) имеем х'- что дает еще один способ определения функции Мёбиуса бу- булевой алгебры. Таким образом, формально принцип включе- включения— исключения эквивалентен тождеству (ех)~г = е~х. 3.15.8. Пример. Предыдущие два примера можно обобщить следующим образом. Пусть Zn(K) обозначает дзета-многочлен (от переменной X) п-интервала [х, у] ч. у. множества Р. Тогда, так как Zn(X) = t,}-(х, у), имеем ? Zafr)xn/B(n) = ( I xn/B(n))\ Эта формула справедлива для любого комплексного числа (или переменной) Я. 3.15.9. Пример. Зафиксируем к (вариант предыдущего примера), и пусть ск (п) обозначает число цепей х = х0 < х{ < ... < хк = у длины k между х и у в га-интервале [х, у]. Так как ck{n) = = (?— l)k(x, у), имеем = (Z x n/B(n))k Особенно интересен случай Р = В. Здесь ск(п) — число цепей 0 == So с: Si с: ... с: Sk — [п], или, по-другому, — число упо- упорядоченных разбиений (Su S2 — Su S3 — S2, ¦¦¦, [и]— Sfe_i) множества [га] на & (непустых) блоков. Так как существует k\ способов упорядочения разбиения с k блоками, имеем cfe(n) = = k\S (га, k). Следовательно, Таким образом, теория биномиальных ч. у. множеств «объяс- «объясняет» простую форму производящей функции из уравнения B4Ь) гл. 1. 3.15.10. Пример. Пусть с (га) — общее число цепей от х до у в я-интервале [х, у], т. е. с(п) = ?ftck(n). Мы уже видели (разд. 3.6), что с (га) = B — ?)~' (х, у). Следовательно, I с(п)хп/В(п) = B- Е хп/В(п))~1. Например, если Р = N, то Поэтому с (га) = 2" ', п~^\. Действительно, в га-интервале [0, га] цепь 0 = х0 < х1 < ... < хА = га можно отождествить с разло- разложением п = хх + (х2 — Xi) + ... +(« —^a-i), так что мы переоткрыли результат о существовании 2п~1 разложений числа п. Если вместо этого взять Р = В, то Е с(га)А'7га! = B-е*). Как видно из примера 3.15.9, с (га) есть общее число упоря- упорядоченных разбиений множества [п], т.е. c(n) = ?jkk\S{n,k). Иногда называют упорядоченное разбиение множества S раз- размещением с предпочтением, так как оно соответствует распо- расположению элементов S в линейном порядке с разрешенными объединениями.
216 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 3.15.11. Пример. Пусть f(n) — общее число цепей х = хй< <хх< ... < xk — у в о-интервале [х, у] ч. у. множества Р, таких, что l(x,i_x, xt)~^2 для всех 1 <л <[&, где число k может меняться. Теперь читателю должно быть очевидно, что E0) Например, если Р = N, мы перечисляем подмножества интер- интервала [0, п], содержащие 0 и я и не содержащие никаких двух последовательных целых чисел. Равносильно, мы подсчиты- подсчитываем разложения (х\—хо)-\-(х2— х\)-\- ••• +(я — Xk-i) числа п, ни одна из частей которых не равна 1. Из формулы E0) имеем где Fn-i обозначает число Фибоначчи в согласии с упражне- упражнением 14 (Ь) гл. 1. Аналогично, если Р = В, мы получаем экспо- экспоненциальную производящую функцию B4-х — е")-1 для числа упорядоченных разбиений га-элементного множества без одно- одноэлементных блоков. 3.16. Приложения к перечислению перестановок В разд. 3.12 мы связали функции Мёбиуса с подсчетом пере- перестановок, обладающих некоторыми свойствами. Используя тео- теорию биномиальных ч. у. множеств, мы можем получить произ- производящие функции для перечисления некоторых из этих пере- перестановок. На протяжении этого раздела Р обозначает биномиальное ч. у. множество с факториальной функцией В(п). Пусть Ss P. Если [х, у] — о-интервал ч. у. множества Р, обозначим через [х, у] sS рангово-выбранное ч. у. подмножество интервала [х, у] с присоединенными элементами х и у, т. е. [х, y]s = {ze=[x,y\: г = х, г = у, или l(x,z)<=S}. E1) Пусть \is обозначает функцию Мёбиуса ч. у. множества [х, y]s, и положим iis(ri) = \is(x, у). (Легко видеть, что значение Hs(tt) зависит только от п, но не от выбора о-интервала [х, у].) 3.16.1. Лемма. Имеем - Z Ц* (п) хп/В (п) = Г? Xя(В Ш Г1 + Е Us («) XяIB (n)\ E2) 3.16. Приложения к перечислению перестановок 217 Доказательство. Определим функцию %: N->{0, 1} формулой %(п)=1, если и = 0 или /jeS, %(п) = 0 в остальных случаях. Тогда рекуррентное соотношение A4), определяющее функцию Мёбиуса, дает ns(())=l> и j где . \ = B(n )/B(i)B(n — г), как обычно. Следовательно, i-o что переводится в тождество для производящих функций HS (п) х" В(п) В В х Z, вм - Lra>0 J Ясно, что это равносильно равенству E2). П Рассмотрим теперь множество S, для которого степенной ряд 1 + Е„ е s Ps (n) xn/B (о) может быть вычислен явно. 3.16.2. Лемма. Пусть И:еР и S = № = {to:«eP}. Тогда "'• E3) Доказательство. Пусть P<fe> — биномиальное ч. у. множество из примера 3.15.3 (f) с факториальной функцией Bk{n) — = B(kn)/B(k)n. Если ц(А)•—функция Мёбиуса на ч.у. множе- множестве Р(Ч то из формулы D9) следует, что n > 0 E4) Но ^k)(n) = ns(kn). Полагая Bk{n) = B(kn)IB(k)n в формуле E4), получаем fIB (fen) = Г ? (В (fe) ^)"/5 (fen)l~'. Ln>o J Если подставить xk вместо B(k)x, получим формулу E3). ?
218 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Комбинируя леммы 3.16.1 и 3.16.2, получим 3.6.13. Следствие. Пусть k e P и S = kP. Тогда - Е Us (я) *7Я (я) = Г I хп/В (п)] Г Е **7Я (МГ' • ? п>1 Lra>l JLn>0 J 3.16. Приложения к перечислению перестановок 219 Теперь рассмотрим случай P = B(g) (пример 3.15.3(с)). Для любого подмножества S^ Р из теоремы 3.12.3 следует, что где сумма берется по всем перестановкам я е @п с множеством спуска S. Если S = kP, то | S Л [« — 1] I = I ^~Y^\ ¦ Следователь- Следовательно, мы заключаем: 3.16.4. Предложение. Пусть fee?, и пусть я где сумма берется по всем перестановкам я = a\a2 ... я„ е <3П, таким, что aiXXi+i, тогда и только тогда, когда k\i. В этом случае Е (- (q) Г Е *7(п)Л [ Е *ftn/(kn)!l~ ' Ь>1 JU>o J П @0) Хотя предложение 3.16.4 можно доказать без использова- использования биномиальных ч. у. множеств, наш подход позволяет до- дополнительно понять, почему выражение E5) имеет такую про- простую форму. В частности, простой знаменатель Е„>ол:*'1/Ои1)' возникает при участии функции Мёбиуса ч. у. множества P(k), где Р = В(<7). 1 — 1 Мы можем избавиться от некрасивого множителя (—1)L k J в выражении E5), исследуя отдельно каждый класс чисел п, дающих данный вычет по модулю k. Зафиксируем 1 ^ / ^ k, подставим xfe->—xk и извлечем из формулы E5) только те члены, показатели степени которых s/(mod/z). Мы получим элегантную формулу Е n = mk+j >0 1и\~Ч х k j J Lra >0 Е m>0 n^mk + j В частности, если } = k, мы можем прибавить 1 к обеим частям равенства E6) и получить Е fmk+k(q)xmk/(mk)l =[ Е (-1)"дсп*/(пк)!Г . E7) Уравнения E7) являются также прямым следствием леммы 3.16.2. Один специальный случай формулы E6) заслуживает от- отдельного упоминания. Напомним (предложение 1.3.14D)), что перестановка аха2 ... ап е @„ чередующаяся, если ах ~> а2 < •< из > ••• ¦ Ясно, что /я2A) есть число Еп чередующихся пе- перестановок в @п; Еп известно как число Эйлера (его не нужно путать с числами Эйлера из разд. 1.3). Подстановка k = 2, q = \ и / = 1 и 2 в формуле E6) приводит к замечательной формуле: Е enx7«! = tgx + secx. E8) >0 По этой причине ?2т иногда называют числом секанса, а ?2/1+1 — числом тангенса. Было бы полезно отметить, как уравнение E8) можно вы- вывести из наших первоначальных принципов. Рассмотрим сле- следующую процедуру. Выберем г-подмножество 5 из интервала [2, и+1] I . I способами и положим S=[2, п + 1]—S. Выберем чередующиеся перестановки я е @ (S) и oe®(S) ?;?„_; способа- способами. Пусть р = jtlae<3rt+i, где я — перестановка я, записанная в обратном порядке. Например, если « = 7, я = 635, a = 8472, то р = 53618472. Если р = а1а2 ... ап+ь то либо р является чередующейся {а{> а2<а3> ...), либо «чередующейся наобо- наоборот» (ai < Ог > а3 <•••). и каждая такая перестановка р встречается в точности один раз. Так как существует биекция между чередующимися и чередующимися наоборот переста- перестановками из ©п+1 (именно, at -> п + 2 — at), то число переста- перестановок р, получившихся таким образом, есть 2Еп+1. Следова- Следовательно, E6) и производящая функция Еге>о^п*7п' тогда вычислена в уп- упражнении 43 (с) гл. 1.
220 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Замечания Предмет частично упорядоченных множеств и решеток имеет свое начало в работах Г. Буля, Ч. С. Пирса, Е. Шредера и Р. Дедекинда в девятнадцатом столетии. Однако только с ра- работами Гарретта Биркгофа в 1930-х годах действительно на- началось развитие теории ч.у. множеств как самостоятельного предмета. В частности, появление в 1940-м году первого изда- издания знаменитой книги Биркгофа [5] сыграло плодотворную роль в развитии предмета. Более явные ссылки на развитие теории ч.у. множеств и решеток можно найти в работе [5]. Кроме того, библиография, содержащая порядка 1400 наимено- наименований по ч.у. множествам (но не решеткам), появилась в ра- работе [25]. Эта последняя работа содержит много ценных об- обзоров по текущему состоянию теории ч. у. множеств. В частно- частности, мы упомянем обзор К. Грина [19] по функциям Мёбиуса. Весьма обширная библиография по теории решеток появилась в работе [17]. Идея алгебр инцидентности восходит к Дедекинду и Е. Т. Беллу, хотя формула обращения Мёбиуса для ч.у. мно- множеств по существу открыта Л. Вейснером в 1935 г. Скоро после этого она была переоткрыта Ф. Холлом и установлена в пол- полной общности М. Вардом в 1939 г. Холл доказал основное предложение 3.8.5 (известное поэтому как «теорема Филип- Филиппа Холла»), а Вейснер доказал столь же важное следствие 3.9.3 («теорема Вейснера»). Только в 1964-м году с плодотвор- плодотворной работой [26] Дж. К. Рота началось систематическое раз- развитие теории ч. у. множеств и решеток в связи с комбинатори- комбинаторикой. Ссылки на более ранние работы в этой области, приведен- приведенные выше, имеются в работе [26]. Мы теперь обратимся к более специальным ссылкам, начи- начиная с разд. 3.4. Теорема 3.4.1 (фундаментальная теорема для конечных дистрибутивных решеток) была доказана Биркгофом [4, теорема 7.3]. Связь между цепями в дистрибутивных ре- решетках J (Р) и сохраняющими порядок отображениями а: P->N (разд. 3.5) впервые была явно рассмотрена в работах [28] и [29]. Понятие «обобщенного треугольника Паскаля» по- появилось в работе [34]. Развитие гомологической теории для ч. у. множеств было рассмотрено Дехьювелем, Доукером, Фармером, Окамото и дру- другими (см. работу [14] для ссылок), но комбинаторные ответв- ответвления такой теории, включая связь с функцией Мёбиуса, оста- оставались непонятыми до работы Рота [26, с. 355—356]. Некото- Некоторая работа по этим направлениям была проделана Фармером, Фолкманом, Лаксером, Мазером и другими (см. [40], [41] для Замечания 221 ссылок). В частности, Фолкман доказал результат, эквивалент- эквивалентный утверждению о том, что геометрические решетки являются ч.у. множествами Коэна — Маколея. Систематическое изучение связей между комбинаторными и топологическими свойствами ч.у. множеств было начато К- Баклавским и А. Бьернером и продолжено Дж. Волкером. Легко читаемый обзор трудов в этой области появился в работе [41], и многие ссылки можно также найти в работе [40]. Связь между регулярными клеточными комплексами и ч. у. множествами широко обсуждается в статье [7]. Ч.у. множества Коэна — Маколея были открыты незави- независимо Баклавским [1] и Стенли [36, § 8]. Обзор по ч.у. мно- множествам Коэна — Маколея имеется в работе [8]. Предшествую- Предшествующее предложению 3.8.9 утверждение о том, что Ik F не обяза- обязательно односвязен и Ilk/7! не обязательно многообразие, если |Д|—многообразие, есть следствие глубокого результата Р. Д. Эдвардса, см. [41, с. 99—100]. Алгебра Мёбиуса ч. у. множества Р (обобщающая наше оп- определение в разделе 3.10 в случае, если Р — решетка) была введена Л. Соломоном [27] и впервые систематически исследо- исследована К. Грином [18], который показал, как ее можно исполь- использовать для вывода многих, казалось бы не имеющих к ней oi- ношения, свойств функций Мёбиуса. Предложение 3.10.1 (установленное для геометрических ре- решеток) принадлежит Рота [26, теорема 4, с. 357]. Формула B8) для функций Мёбиуса решетки Ln(q) принадлежит Ф. Холлу [21, B.7)], в то время как формула C0) для решетки П„ неза- независимо открыта Шютценберже и Фрухтом с Рота (см. [26, с. 359]). Обобщение C1) имеется в работе [26, упр. 1, с. 362— 363]. Дзета-многочлены были введены в работе [33, § 3] и в даль- дальнейшем развиты в работе [13]. Идея рангово-выбранных ч.у. подмножеств и соответствую- соответствующие функции а(Р, S) и р(Р, S) были рассмотрены для после- последовательно все более общих классов ч. у. множеств в работах [29, гл. II], [30], [32] и достигли своей кульминации в работе [37, § 5]. Теорема 3.12.1 появилась (в несколько более общей форме) в работе [29, теорема 9.1], в то время как теорема 3.12.3 появилась в работе [35, теорема 3.1] при г = \. Развитие понятия ^-пометок шло параллельно с развитием понятия рангового выбора. Эта концепция последовательно обобщалась в работах [29], [30], [32] и окончательно сформу- сформулирована к настоящему времени в работах [6] (откуда взят термин «^-пометки») и [9]. Пример 3.13.4 восходит к работе [30], а пример 3.13.5 найден в работе [32]. Более строгий тип пометок, чем 7?-пометки, называемый L-пометками, введен
222 Гл. 3. Частично упорядоченные множества в работе [6] и обобщен до CL-пометок в работе [9]. (Определе- (Определение СХ-пометок неявно обобщает понятие /^-пометок до того, что можно было бы назвать «С7?-пометками»). Ч. у. множество с CL-пометками (первоначально так назывались множества, об- обладающие лишь L-пометками) называется лексикографически шелушимым. В то время как R пометки используются (как в разд. 3.13) для вычисления эйлеровой характеристики (т.е. функции Мёбиуса), С7,-пометки позволяют вычислять сами группы гомологии. В частности, лексикографически шелуши- шелушимые ч. у. множества являются ч. у. множествами Коэна — Мако- лея. Ввиду многих важных примеров из работ [9], [10] ч. у. множеств, про которые может быть доказано, что они обла- обладают CL-пометками, но не /,-пометкамн (называемыми теперь «?Х-пометками»), кажется ясным, что CL-пометки суть «пра- «правильный» уровень общности для этого предмета. Мы исследо- исследовали здесь только ^-пометки из-за простоты их представлений и потому, что мы сосредоточиваемся на перечислении, а не на топологии. Эйлеровы ч. у. множества были впервые явно определены в работе [38, с. 136], хотя они, конечно, рассматривались ра- ранее. В частности, предложение 3.14.1 встречается в работе [33, предложение 3.3] (хотя и установлено в меньшей общности), а наш переход к уравнениям Дена — Соммервилля появился в работе [33, с. 204]. В классическом случае уравнения Дена — Соммервилля были установлены для решетки граней симпли- циального выпуклого многогранника или триангуляции сфер (см. [20, гл. 9, 8]); Кли [24] провел в общем эквивалентное нашему исследование. Лемма 3.14.3 и ее обобщение — лемма 3.14.4, открыты неза- независимо Баклавским [2, лемма 4.6] и Стечкиным [39]. Более общая формула дана Бьернером и Волкером [11]. Предложе- Предложение 3.14.5 и следствие 3.14.6 появились в работе [38, предло- предложение 2.2]. Теорема 3.14.9 имеет интересную историю. Она впервые установлена для случая, когда Р — решетка граней вы- выпуклого рационального') многогранника 5s как побочный про- продукт при вычислении гомологии пересечений2) 1Н(Х{!Р),С) торического многообразия Х(д°), связанного с 9>. Подробнее, Литература полагая р, = dimIHi(X(&), С), имеем 223 ') То есть вершины многогранника имеют рациональные координаты. — Прим. перев. 2) В оригинале «intersection homoiogy». В русской литературе отсут- отсутствует, кажется, общепринятый перевод. В гладком случае рассматриваемый объект есть кольцо Чжоу. Иногда эти гомологии называют также ГМ-гомо- логиями (гомологиями Горецкого и Мак-Ферсона). См., например, Фултон У., Мак-Ферсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностя- особенностями. — М.: Мир, 1983. —Ярил. ред. Но гомологии пересечений удовлетворяют двойственности Пу- Пуанкаре, которая влечет за собой р,- = Ргп-«. Ссылки и дальней- дальнейшую информацию см. в упражнении 72. Затем было естественно поставить вопрос о более элементарном доказательстве в мак- максимально возможной общности, откуда и возникла теорема 3.14.9. Теория биномиальных ч. у. множеств была развита в работе [12, § 8]. Фактически весь материал разд. 3.15 (некоторую его часть в более общем виде) можно найти в этой работе, за ис- исключением хроматических производящих функций [31]. Про- Производящая функция B-е*)-1 примера 3.15.10 впервые рас- рассматривалась в статье A. Cayley, Phil. Mag 18A859), 374—378 в связи с его исследованиями по деревьям. См. также О. A. Gross, Amer. Math. Monthly 69A962), 4—8. Применение биномиальных ч.у. множеств к перечислению перестановок (разд. 3.16) было развито в работе [35]. Литература 1. Baclawski К. Cohen — Macaulay ordered sets. J. Algebra 63 A980), 226— 258. 2. Baclawski K. Cohen — Macaulay connectivity and geometric lattices. Euro- European J. Combinatorics 3 A984), 293—305. 3. Bender E. A. Goldman J. R. Enumerative uses of generating functions, In- Indiana Univ. Math. J. 20 A971), 753—765. 4. Birkhoff G. On the combination of subalgebras. Proc. Cambridge Phil. Soc. 29 A933), 441—464. 5. Birkhoff G. Lattice Theory, 3rd ed., American Math. Soc. Providence, R. I., 1967. [Имеется перевод: Биркгоф Г. Теория решеток, М.: Наука, 1984.] 6. Bjorner A. Shellable and Cohen — Macaulay partially ordered sets. Trans. Amer. Math. Soc. 260 A980), 159—183. 7. Bjorner A. Posets, regular CW complexes and Bruhat order. European J. Combinatorics 5 A984), 7—16. 8. Bjorner A., Garsia A. and R. Stanley. An introduction to Cohen — Ma- Macaulay partially ordered sets. In [25], pp. 583—615. 9. Bjorner A., Wachs M. Bruhat order of Coxeter groups and shellability. Advances in Math. 43 A982), 87—100. 10. Bjorner A., Wachs M. On lexicographically shellable posets. Trans. Amer. Math. Soc. 277 A983), 323—341. 11. Bjorner A., Walker J. W. A homotopy complementation formula for par- partially ordered sets. European J. Combinatorics 4 A983), 11—19. 12. Doubile P., Stanley R., Rota G. С On the foundation of combinatorial theory (VI). The idea of generating functions. In Sixth Berkeley Symp. on Math. Stat. and Prob., vol. 2: Probability Theory, Univ. of California A972), pp. 267—318. [Имеется перевод: Дубиле П., Рота Дж.-К., Степ- ли Р. Об основах комбинаторной теории (VI): идея производящей функ- функции В сборнике «Перечислительные задачи комбинаторного анализа» — М.: Мир, 1979, с 160—228.]
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Упражнения 226 Edelman P. H. Zela polynomials and the Mobius function. European J. Combinatorics 1 A980), 335—340. Farmer F. D. Cellular homology for posets. Math. Japonica 23 A979), 607—613. Gessel I. M. Generating functions and enumeration of sequences. Thesis, M.I. Т., 1977. Goulden I. P., Jackson D. M. Combinatorial Enumeration, John Wiley, New York, 1983. Gratzer G. General lattice Theory. Academic Press, New York, 1978. [.Име- [.Имеется перевод: Гретцер Дж. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982.1 Greene С. On the Mobius algebra of a partially ordered set. Advances in Math 10 A973), 177—187. Greene С The Mobius function of a partially ordered set in [25], pp. 555— 581. Grunbaum B. Conveux Polytopes. John Wiley (Interscience), London — New York, 1967. Hall P. The Eulerian functions of a group. Quart. J. Math. 7 A936), 134— 151. Henle M. Dissection of generating functions. Studies in Applied Math. 51 A972), 397—410. Joyal A. Une theorie combinatoire des series formelles. Advances in Math. 42 A981), 1-82. Klee V. A combinatorial analogue of Poincare's duality theorem. Canadian J. Math. 16 A964), 517—531. Rival I. (ed.), Ordered Sets, Reidel, Dordrecht/Boston, 1982. Rota G. C. On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Mobius functions. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 2 A964), 340—368. Solomon L. The Burnside algebra of a finite group. J. Combinatorial theory 2 A967), 603—615. Stanley R. Ordered structures and partitions. Thesis, Harvard Univ., 1971. Stanley R. Ordered structures and partitions. Memoirs Amer. Math. Soc. No. 119 A972). Stanley R. Supersolvable lattices. Alg. Univ. 2 A972), 197—217. Stanley R. Acyclic orientations of graphs. Discrete Math 5 A973), 171— 178. [Имеется перевод: Стенли Р. П. Ациклические ориентации графов. В сб. «Перечислительные задачи комбинаторного анализа».—М.: Мир, 1979, с. 256—265.]. Stanley R. Finite lattices and Jordan — Holder sets. Alg. Univ. 4 A974), 361—371. Stanley R. Combinatorial reciprocity theorems. Advances in Math, 14 A974), 194—253. Stanley R. The Fibonacci lattice. Fib. Quart. 13 A975), 215—232. Stanley R. Binomial posets, Mobius inversion and permutation enumeration. J. Combinatorial Theory (A), 20 A976), 336—356. Stanley R. «Cohen — Macualay complexes» in Higher Combinatorics (M. Aigner, ed.). Reidel, Dordrecht/Boston, 1977, pp. 51—62. Stanley R. Balanced Cohen — Macaulay complexes. Trans. Amer. Math. Soc. 249 A979), 139—157. Stanley R. Some aspects of groups acting of finite posets. J. Combinatorial Theory (A) 32 A982), 132—161. Стечкип Б. С. Теоремы вложения для Мёбиус-функций. Докл. ДН СССР, 1981, т. 260, № 1, с. 40—43. Walker J. Homotopy type and Euler characteristic of partially ordered sets. European J. Combinatorics 2 A981), 373—384. Walker J. Topology and combinatorics of ordered sets, thesis, M. I. T., 1981. Упражнения [1+] [1+] [2—] [1+] [2—] [2—] 1« а. Частично предупорядоченным множеством1) (ч.п.у. множеством), или квазиупорядоченным множеством называется множество Р с бинарной операцией ^, удовлетворяющей условиям реф- рефлексивности и транзитивности (но не обязательно условию антисимметричности).Для данного ч.п.у. множества положим х <~ у, если х ^ у и у ^ х. Покажите, что ~ есть отношение эквивалент- эквивалентности. b. Пусть Р обозначает множество классов эквива- эквивалентности по отношению к ~. Для X, Y е Р по- положим X ^ У, если существуют элементы х^Х и jgF, для которых х ^у в Р. Покажите, что это определение превращает Р в ч. у. множество. c. Пусть Q — ч.у. множество и f: P-+Q сохраняет порядок. Покажите, что существует сохраняющее порядок отображение g: P-*-Q, такое, что сле- следующая диаграмма коммутативна: 'V' Здесь отображение Р-+Р есть каноническое ото- отображение, переводящее элемент х в класс эквива- эквивалентности, содержащий х. 2. а. Пусть Р — конечное ч.п.у. множество (как опре- определено в упражнении 1). Назовем подмножество U из Р открытым, если U — порядковый идеал из Р (определенный очевидным образом для ч.п.у. множеств). Покажите, что Р становится (конеч- (конечным) топологическим пространством, обозначае- обозначаемым Ptop. b. Покажите, что для данного конечного топологи- топологического пространства X существует единственное ч. п. у. множество Р, для которого Ptop = X. Сле- Следовательно, соответствие P->-PtoP есть биекция между конечными ч. п. у. множествами и конеч- конечными топологиями. c. Покажите, что ч. п. у. множество Р есть ч. у. мно- множество в том и только том случае, если Ptop — ред. 1) В русской литературе принят также термин «предпорядок». — Прим. ft P. Стенли
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Го-пространство (т. е. разные точки имеют разные наборы окрестностей). d. Покажите, что отображение /: P-*-Q ч. п. у. мно- множеств сохраняет порядок тогда и только тогда, когда /, рассматриваемое как отображение f: Ptop -+¦ Qtop, непрерывно. a. Нарисуйте диаграммы 63 пятиэлементных ч. у. множеств, 318 шестиэлементных ч. у. множеств и 2045 семиэлементных ч. у. множеств. (Решение прямолинейно, но требует времени.) b. Пусть f(n)—число неизоморфных я-элементных ч.у. множеств. Найдите «разумную» формулу для числа f(n). (Вероятно, это невозможно.) c. Для той же функции f пусть Р обозначает утвер- утверждение, что бесконечно много значений функции f(n) являются палиндромами, будучи записанны- записанными по основанию 10. Покажите, что утверждение Р нельзя доказать или опровергнуть в теории мно- множеств Цермело — Френкеля. d. Покажите, что logf(n)~(«2/4)log2. (Обозначение g (n) ~ h (n) означает: Нт„-> с» g {n)/h (ra)=l.) e. Улучшите оценку п. (d), показав, что f(n)~C2n4i+3nl2enn-n-\ где С — константа, определяемая формулой С = -|- Yj 2~i(i+1)~ 0.80587793 (п четно), и аналогично для п нечетного. a. Пусть Р — конечное ч. у. множество и f: Р -»- Р — сохраняющая порядок биекция. Покажите, что /—автоморфизм Р (т.е. f~x сохраняет порядок). b. Покажите, что п. (а) не выполняется для беско- бесконечных ч. у. множеств Р. а. Приведите пример конечного ч.у. множества Р, такого, что если / — длина самой длинной цепи в Р, то любой элемент #еР содержится в неко- некоторой цепи длины I, однако Р имеет максималь- максимальную цепь длины, меньшей /. Упражнения 227 Ь. Покажите, что если Р — конечное ч. у. множество, самая длинная цепь которого имеет длину /, и если для любого элемента у, покрывающего эле- элемент х, в Р существует цепь длины /, содержащая оба элемента х и у, причем каждый элемент из Р содержится в некоторой цепи длины /, то любая максимальная цепь в Р имеет длину /. Найдите конечное ч.у. множество Р, для которого существует биекция f: P-*-P} такая, что х ^.у тогда и только тогда, когда f(x)^f(y) (т. е. Р — само- самодвойственно), но для которого не существует такой биекции f, удовлетворяющей условию f(f(x)) = x для всех ieP. a. Для ч.~>у. множества Р пусть Int(P) — ч. у. мно- множество [(непустых) интервалов Р, упорядоченных по включению. Покажите, что для любых ч. у. множеств А и В Int (А X В) s* Int (A X В*). b. Пусть Р и Q — ч. у. множества. Покажите, что если Р содержит элемент 0 и Int (Р) = Int (Q), то Р^ЛХ-В и Qs^XS* для некоторых ч. у. множеств А и В. c. Найдите конечные ч. у. множества Р, Q, для ""которых Int(P) = Int(Q), однако утверждение (Ь) гне выполняется. a. Пусть А — множество всех классов изоморфизма конечных ч. у. множеств. Пусть [Р] обозначает класс ч.у. множества Р. Тогда на А определены операции • и +, заданные так: [Р] + [Q] = [.Р + + Q] и [Р] • [Q] = [Р X Q]. Покажите, что эти операции превращают множество А в коммута- коммутативное полукольцо (т. е. А удовлетворяет всем аксиомам коммутативного кольца, за исключе- исключением существования аддитивно обратного эле- элемента). b. Мы можем формально присоединить аддитивно обратные элементы к А очевидным образом, чтобы получить кольцо В (точно таким же способом, как получают Z из N). Покажите, что В есть в точности кольцо многочленов Z[[P\), [Рг],...]> где [Pi\ есть классы связных конечных ч.у. мно- множеств, имеющих более одного элемента (единич- (единичный элемент кольца В дает класс одноэлементных ч.у. множеств). c. Найдите конечные ч.у. множества Pi, удовлетво- удовлетворяющие условию Pi X Рг = ^з X Р^ однако Р, ЗЁ
Гл. 3. Частично упорядоченные множества ^Р3. Pi^Pi, и ни одно из ч. у. множеств Pi не яв- являются нетривиальным прямым произведением Q X Q'. Почему это не противоречит известному факту, что кольцо Z [хи х2, ...] есть область с единственным разложением? a. Элемент х конечного множества Р называется не- неразложимым, если х покрывает в точности один элемент или покрывается в точности одним эле- элементом. Ч. у. подмножество Q из Р называется сердцевиной Р (запись Q = coreP), если i. ч. у. множество Р можно записать в виде P = Q U{*i xk), где х{ — неразложимый элемент ч. у. множества QU{*i, x2, ..., xt) при 1 гО' г^ /> И п. Q не имеет неразложимых элементов. Покажите, что любые две сердцевины ч. у. мно- множества Р изоморфны (хотя и не обязаны совпа- совпадать). (Следовательно, обозначение согеР опре- определяет единственное ч. у. множество с точностью до изоморфизма.) b. Если Р содержит элементы 0 или 1, покажите, что core P состоит из одного элемента. c. Покажите, что ] core Р ] = 1 в том и только том случае, если ч.у. множество Рр сохраняющих по- порядок отображений f: P-+P связно. a. Пусть rfe Р. Покажите, что следующие два усло- условия на конечное ч.у. множество Р с множеством вершин [п] эквивалентны: i. P есть пересечение d линейных упорядочений множества [п]. и. P изоморфно ч. у. подмножеству ч. у. множе- множества Nd. b. Далее, покажите, что, если d = 2, эти два усло- условия также равносильны третьему: Ш. Существует ч. у. множество Q на [п], такое, что х < у или х> у ъ Q тогда и только тогда, когда элементы х и у несравнимы в Р. Какие из ч.у. множеств, изображенных на рис. 3.40, являются решетками? Пусть L — конечная решетка, и определим ч.у. под- подмножество Irr(L) неразложимых элементов решетки L формулой Irr(L) = {xe L: х неразложим в объединение или неразложим в пересечении (или и то и другое)}. Упражнения 229 Покажите, что решетку L можно однозначно вос- восстановить из ч.у. множества Irr(L). 13. Приведите пример конечной атомарной коатомар- ной решетки, которая не является решеткой с допол- дополнениями. 14. Конечная решетка L содержит п неразложимых в объединение элементов. Какое наибольшее число f(n) неразложимых в пересечение элементов может иметь решетка L? Рис. 3.40. 15. а. Пусть fk(n) есть число неизоморфных п-элемент- ных ч.у. множеств Р, содержащих для каждого 1 ^ i ^ п — 1 в точности k порядковых идеалов мощности L Покажите, что f2(n) = 2"~3, п ^ 3. b. Пусть g (n) есть число таких ч. у. множеств Р, пе- перечисляемых функций [з(я)> Для которых един- единственные 3-элементные антицепи состоят из трех минимальных и трех максимальных элементов ч.у. множества. Покажите, что g(n) = 2n~7,n ^= 7. c. Используйте п. (Ь) для нахождения Х^оЫ")*"- (Это, должно быть, возможно.) d. Найдите fk(n) для k > 3. 16. а. Пусть L — конечная полумодулярная решетка. Пусть U — ч.у. подмножество L, состоящее из тех элементов L, которые являются объедине- объединениями атомов L {включая б как пустое объедине- объединение). Покажите, что U — геометрическая решетка. Ь. Является ли U подрешеткой решетки L? 17. Пусть AeN.B конечной дистрибутивной решетке L пусть Pk есть ч. у. подмножество элементов, покры- покрывающих k элементов, a Rk — ч.у. подмножество эле- элементов, покрываемых k элементами. Покажите, что Pk = Rk, и опишите в терминах структуры L явный изоморфизм ф: Pk-*-Rk- 18. Пусть L — конечная дистрибутивная решетка дли- длины kr, содержащая k неразложимых в объединение
Гл. 3. Частично упорядоченные множества . элементов ранга I для 1 s^ i ^ r (и, следовательно, не содержащая никаких других неразложимых в объединение элементов). Какое наибольшее число элементов может иметь решетка L? а. Конечная нижняя полурешетка является дистри- дистрибутивной снизу, если любой интервал [х, у] ре- решетки L, такой, что х есть пересечение элементов интервала [*,</], покрываемых элементом у, есть булева алгебра. Например, дистрибутивные ре- решетки дистрибутивны снизу, в то время как ре- решетка на рис. Я.41 дистрибутивна снизу, но не ди- дистрибутивна. Рис. 3.41. Пусть L — дистрибутивная снизу нижняя полуре- полурешетка, и пусть fk = fk(L) — число интервалов ре- решетки L, изоморфных булевой алгебре Bk. Поло- Положим также gh = gh{L) — число элементов решетки L, покрывающих в точности k элементов. Пока- Покажите, что V l\ _1_ \k V t „ft /s>0 b. Выведите из п. (а), что c. Пусть L = /(mXn) в п. (а). Явно вычислите числа fk и gk. d. Для данного m ^ п пусть Qmn — ч. у. подмноже- подмножество ч. у. множества Р X Р, определенное фор- формулой {(/,/)еРХР: 1 <*</<« + «-*, 1<*<«Ь и положим Pmn = m X п. Покажите, что ч. у. мно- множества Ртп и Qmn имеют один и тот же дзета- многочлен. e. Покажите, что ч.у. множества Ртп и Qmn имеют один и тот же порядковый многочлен. Упражнения 231 f. Покажите, что решетки J(Pmn) и J(Qmn) имеют одни и те же значения fk и gk. Пусть L — конечная дистрибутивная снизу решетка, как определено в упражнении 19, и пусть х е L. По- Покажите, что число неразложимых в объединение элементов у из L, удовлетворяющих условию у ^ х, равно рангу р(х) элемента х. Пусть L — финитарная дистрибутивная решетка с ко- конечным числом элементов любого ранга. Пусть u(i,j) есть число элементов ранга t, покрывающих в точ- точности / элементов, и пусть v (i, j) — число элементов ранга /, покрываемых в точности / элементами. По- Покажите, что для всех t ^ / ^ О E9) (Каждая сумма содержит конечное число ненуле- ненулевых членов.) Пусть f: N ->- М' Говорят, что финитарная дистрибу- дистрибутивная решетка L имеет функцию покрытия f, если как только элемент jtsL покрывает i элементов, так сразу f (/) элементов из L покрывают элемент х. a. Покажите, что существует не более одной (с точ- точностью до изоморфизма) финитарной дистрибу- дистрибутивной решетки с данной функцией покрытия f. b. Покажите, что если L — конечная дистрибутивная решетка с функцией покрытия f, то L есть булева алгебра. c. Пусть 6еР, Покажите, что существуют фини- финитарные дистрибутивные решетки с функциями по- покрытия f(ri)= b и f(n) = n + Ь. d. Пусть a,ieP и а ^ 2. Покажите, что не суще- существует финитарной дистрибутивной решетки L с функцией покрытия f(n)= an + b. e. Можно ли явно охарактеризовать все функции покрытия? Пусть Zn обозначает «-элементное „зигзаг ч. у. множество" или забор с элементами {хи ..., хп} и отношением покрытия #2t-i < X2i и x2l > x2i+l. a. Сколько порядковых идеалов содержит ч. у. множество Zn? b. Пусть Wn(q) обозначает рангово-производящую функцию решетки J{Zn)> так> чт0 W0(q)=l,
232 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Упражнения 233 [2] [3—] [3—] [2] ИМ<7)+<7, йМ<7) 1+<7 + <7, W3(q) l + + 2<7 + Я + ч и так далее. Найдите простую явную формулу для произво- производящей функции F(x):= ? Wn{q)xn. >0 c. Найдите число e(Zn) линейных расширений ч. у. множества Zn. d. Пусть Q(Zn, m) — порядковый многочлен ч. у. множества Zn. Положим Gm(x)= Q(Zn, Найдите рекуррентное соотношение, выражающее Gm(x) через Gm_2(x), и задайте начальные усло- условия Gi(x) и G2(x). 24. Пусть Р — конечное ч. у. множество. Свободная ди- дистрибутивная решетка FD(P), порожденная ч. у. множеством Р, есть, интуитивно, наибольшая ди- дистрибутивная решетка, содержащая Р как ч. у. под- подмножество и порожденная (как решетка) ч. у. мно- множеством Р. Более точно: если L — произвольная ди- дистрибутивная решетка, содержащая ч. у. множество Р и порожденная Р, то существует (сюръективный) гомоморфизм решеток /: FD(P)-*-L, тождественный на Р.1) Покажите, что FD (Р) ^ / (/ (Р)) — {б, Т}. В частности, решетка FD(P) конечна. Если P = nl, мы пишем FD(P)—FD(n) — свободная дистрибутив- дистрибутивная решетка с п образующими, так что FD() C Замечание. Иногда определяют FD(P) как свобод- свободную ограниченную дистрибутивную решетку, порож- порожденную ч. у. множеством Р. В этом случае нам нужно присоединить элементы б и Т к FD(P), так что иногда можно встретить утверждение, что )B 25. а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, наибольшая антицепь которого имеет k элементов. Каждая антицепь А в Р соответствует порядковому идеалу (А) = {х: х^у для некоторого </еЛ} ') Гомоморфизмом решеток называется отображение, сохраняющее опе- операции Д и V-—Прим. перев. Покажите, что множество всех порядковых идеа- идеалов <Л> из Р с условием |Л| = & образует подре- шетку М(Р) решетки /(Р). Ь. Покажите, что каждая конечная дистрибутивная решетка L изоморфна решетке М(Р) для неко- некоторого ч.у. множества Р. 26. а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, и положим GP(q, 0 = Z;<7i;i*m(/)' гДе / пробегает множе- множество всех порядковых идеалов из Р и m(I) обо- обозначает число максимальных элементов в /. (Та- (Таким образом, GP(q, 1) есть рангово-производящая функция решетки /(Р).) Пусть Q — п-элементное ч. у. множество. Покажите, что Gp®q (q, t) = GP " (OQ (q, t) - 1)), где Р ® Q обозначает порядковое произведение. b. Покажите, что если \Р\ = р, то 27. Назовем конечное градуированное ч. у. множество Р (с ранговой функцией р) приятным, если рангово- производящая функция F{L,q) решетки L = J(P) задается формулой JCG-P _ ?p(x)+l • Покажите, что множества Р, приведенные в пп. (а) — (g), являются приятными. (Заметьте, что (а)—ча- (а)—частный случай (Ь), а (с) — частный случай п. (d).) a. P = mXn, где m,neP. b. P = 1 X m X п, где c. Р = /BХп), где d. P = m X / B X n), где e. P = /CXn), где = mX(n©(l+l)©n), где = mX/(/BX3)) и P = mX где Найдите разумное выражение для F(L, q), если L = J(P), гдеР = п1Хп2ХпзХп4илиР = /DХп). (В общем случае эти ч. у. множества Р не являются приятными.) f. h. /, m, nsP. neP. m, n €= P. neP. m, neP. /n ( P,
234 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Упражнения 235 [2+] [2] [2+] 28. Двоичное правило остановки длины п есть (нестрого говоря) правило, указывающее человеку, когда пре- прекратить случайные испытания (бросание монеты), такое, что он гарантированно остановится после п испытаний. Два правила считаются одинаковыми, если они дают один и тот же исход. Например, «про- «продолжайте до тех пор, пока не получите три последо- последовательных орла, или четыре последовательных реш- решки, или пока не пройдет п испытаний» является пра- правилом остановки. Частично упорядочим правила ос- остановки длины п, положив А ^ В, если испытатель никогда не остановится, используя правило А, позже, чем используя правило В. Пусть Ln — получившееся ч. у. множество. Ч. у. множество Li показано на рис. 3.42. Покажите, что Ln есть дистрибутивная ре- решетка, и вычислите ч. у. множество неразложимых Остановиться после первой "решки" или двух "орлов" подряд Остановиться после второго испытания Остановиться после первого "орла" или двух "решек" подряд Остановиться после первого испытения Остановиться до первого испытания Рис. 3.42. в объединение элементов. Найдите простую рекур- рекуррентную формулу для рангово-производящей функ- функции F(Ln, g) в терминах F(Ln-u q). 29. В этом упражнении Р и Q обозначают локально ко- конечные множества, и /(Р), 1@) — их алгебры инци- инцидентности над полем К- a. Покажите, что радикал Джекобсона алгебры /(Р) есть {/е/(Р):/(х,дг) = Одлявсех хеР}.1) b. Покажите, что решетка двусторонних идеалов в 1(Р) изоморфна множеству всех порядковых идеа- [3-] [3] [5-] [2+] [2+] лов А из Int(P), упорядоченных в обратном к включению порядке. c. Покажите, что если /(Р) и I(Q) изоморфны как /(-алгебры, то ч. у. множества Р и Q изоморфны. d. Опишите группу /(-автоморфизмов и простран- пространство /(-дифференцирований алгебры /(Р).1) с. Исследуйте дальнейшие алгебраические свойства алгебры /(Р). Например, для элемента /е/(Р) опишите алгебру централизаторов C(f) = {g^ е/(Р): gf = fg}. В частности, если Р — конеч- конечное ч. у. множество, какова размерность C(f) как векторного пространства над /(? Есть ли разум- разумный критерий для определения того, когда два элемента алгебры 1(Р) сопряжены (по аналогии с теорией канонической формы Жордана)?2) 30. Отображение Х-+Х на ч.у. множестве Р называется оператором замыкания (или замыканием), если для всех х, у е Р Элемент х ч.у. множества Р называется замкнутым, если х = х. Множество замкнутых элементов Р обо- обозначается Р (называется частным ч. у. множества Р по отношению к замыканию). Пусть Р —локально конечное ч.у. множество с замыканием x-vx и ча- частным Р. Покажите, что для всех пар х, у е Р \ip-(x, у), если ic = x, О если х < х. 31. Пусть / и g — функции на конечной решетке L, удов- удовлетворяющие условию F0) ') Радикал Джекобсона есть пересечение максимальных (правых) идеа- идеалов алгебры 1(Р). — Прим. перев. ') То есть пространство 7С-линейных функционалов D: 1(Р)-*-К, таких, что D{fg) = Df-g + f-Dg для f, g <=1(Р). — Прим. перев. 2) Элементы fug называются сопряженными, если существует такой элемент fte/(P), что f = hgh~K —Прим. перев.
236 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Упражнения 237 Покажите, что если ц@, х)фО для всех х е L, то выражение F0) можно обратить и получить где g (х) = Е а (х, у) f (у), а{х ) = [2+] = Е ( 32. Пусть Р — конечное ч.у. множество с элементами б и 1 и [1 — его функция Мебиуса. Пусть /: Я->С. Покажите, что f (xk), ц (б, где обе суммы берутся по всем цепям б < х\ < ... ... < х* < Г в Р. [3—] 33. Предположим, что L — конечная решетка, и зафикси- зафиксируем элемент х е L. Покажите, что МО, Т)=?мо, у)?(у, г)Мг, !), И, 2 где элементы у и z пробегают все пары дополнений элемента х. Выведите отсюда, что если ц @. 1) Ф 0, то L — решетка с дополнениями. [2] 34. а. Пусть L — конечная решетка, в которой для каж- каждого элемента х > 0 интервал [0, х] имеет четное число точек. Используя упражнение 33, покажите, что L есть решетка с дополнениями. [3—] Ь. Найдите простое доказательство, не использую- использующее функций Мёбиуса. [2+] 35. Пусть L =/(Р) — конечная дистрибутивная решетка. Функция v: /,->С называется нормированием (над С), если v (б) = 0 и v (х) + v (у) = v (х V у) + v (x Л у) для всех пар х, у е L. Докажите, что нормирование v однозначно определяется своими значениями на не- неразложимых в объединение элементах решетки L (которые мы можем отождествить с элементами ч. у. множества Р). Более точно, покажите, что если / — порядковый идеал ч.у. множества Р, то »(/) = - Е v(x)ii(x,% I где ц обозначает функцию Мёбиуса на идеале / (рассматриваемом как ч. у. подмножество из Р) с присоединенным элементом 1. 36. Пусть L — конечная решетка; зафиксируем элемент 26L. Покажите, что следующее тождество выпол- выполняется в алгебре Мёбиуса решетки L (над некото- некоторым полем): Е мо, х)х = ( Е мо, t)t)( E 37. а. Пусть L — конечная решетка (или нижняя полу- полурешетка) и f(x, s) — функция (со значениями, скажем, в коммутативном кольце), определенная для всех пар x,s e L. Положим, F (x, s) = EC2. s)- Покажите, что x^L= П f(x,x). b. Докажите, что det[H. О. Д. (t, /)]"/=1=Пф(?), Л= 1 где ф —функция Эйлера. c. Положите f (x, s) = \л (б, х) и выведите, что для конечной нижней полурешетки L, такой, что ц(б, х) Ф 0 для всех xgL, существует переста- перестановка я: L—>L, удовлетворяющая условию х Л Л я(х) = б при всех Jtei, d. Пусть L — конечная геометрическая решетка ранга п, содержащая Wt элементов ранга i. Выведите из п. (с) (точнее, из двойственной к (с) формулировки), что при &<!д/2 W,+ ... +^<Г„_,+ ... +№„_,. F1) В частности, W1^.Wn_l. e. Докажите, что если в формуле F1) равенство имеет место для какого-нибудь значения k, то L — модулярная решетка. f. Пусть L такая же решетка, что и в п. (d). Пока- Покажите, что Wk^.Wn_k при всех k^.n/2. 38. Пусть L —конечная решетка, такая, что ц(х, Т)=^=0 и ц (б, х) ф0 для всех элементов jheL Докажите, что существует перестановка я: L->L, для которой при всех х е L элементы х и я (х) являются допол-
Гл. 3. Частично упорядоченные множества нениями друг другу. Покажите, что это не так, если просто предположить, что ц F, х) ф О при всех 38.5. а. Пусть L — конечная решетка, а А я В — ее под- подмножества. Предположим, что для всех элемен- элементов хфА существует элемент х* > х, для кото- которого \i(x,x*)=?0 и х* фхУ у при 1/еВ. (Таким образом, ГеЛ.) Покажите, что существует инъективное отображение <р: В-*-А, удовлетво- удовлетворяющее условию y(t)~^t при всех (еб. b. Пусть К — конечная модулярная решетка. По- Покажите следующее: (i) Если элемент Г есть объединение атомов решетки К, то К — геомет- геометрическая решетка, и, следовательно, ц(б> ^)ф фО. (ii) При тех же условиях, что и в п. (i), ре- решетка К содержит равное число атомов и ко- коатомов, (ш) Для любых элементов а, бе К отображение ipy. [a Л b, a)-*-[b, a V b], опреде- определенное формулой ^ь{х) = х V b, является изо- изоморфизмом решеток (или ч.у. множеств). c. Пусть L — конечная модулярная решетка и Jk (соответственно Mk) есть множество элементов из /,, покрывающих (соответственно покрывае- покрываемых) не более k элементов (не более k элемен- элементами). (Таким образом, /0 = {б} и Мо — {1}.) Выведите из пп. (а), (Ь) существование инъек- тивного отображения ц>: Jk-*-Mk, удовлетворяю- удовлетворяющего условию (p(t)^t при всех t^Jk- d. Выведите из п. (с), что число элементов ре- решетки L, покрывающих в точности к элементов, равно числу элементов, покрываемых ровно k элементами. e. Выведите решение упражнения 37(d) из п. (а). 39. а. Пусть L — конечная решетка с п элементами. Существует ли неразложимый в объединение элемент х решетки L, для которого главный двойственный порядковый идеал l/x={i/eL: у ^ х} содержит не более п/2 элементов? Ь. Пусть L — любая конечная решетка с д элемен- элементами. Предположим, что существует элемент х из L, для которого \VX\> п/2. Покажите, что цF>«/) = 0 для некоторого элемента jgL. 40. Пусть L — конечная решетка, и предположим, что она содержит подмножество 5 мощности д, такое, Упражнения 239 что (i) любые два элемента 5 несравнимы (т. е. 5 есть антицепь), и (ii) любая максимальная цепь ре- решетки L пересекает множество 5. Найдите как функ- функцию от п наименьшее и наибольшее возможные зна- значения величины ц @, Т). (Например, если п = 2, то 0 < ц (б, Т) < 1, Га'при^л = 3- 1 < |i (б, 1) < 2.) 41. а. Пусть Р — п + 2-элементное множество, содер- содержащее элементы 0 и 1. Каково наибольшее воз- возможное значение | ц-p (О, 1) |? Ь. То же, что и в п. (а) для д-элементной решетки L. 42. Пусть k, /еР. Найдите тахР| цF, 1)|, где Р про- пробегает все конечные ч. у. множества, содержащие элементы б, Т и цепь наибольшей длины /, причем каждый элемент из Р покрывается не более чем k элементами. 43. Пусть L — конечная решетка, для которой J jxjl @, 1I^=2. Следует ли отсюда, что L содержит подре- шетку, изоморфную 5-элементной решетке 1 Ф 31 Ф Ф1? 44. Пусть G — граф с конечным множеством вершин V fV\ и дуг Е s I „ I. п-Раскраской графа G называется функция с: V ->¦[«], такая, что с(а)Фс($) при (а, Р)е?'. Пусть %(п) обозначает число д-раскрасок графа G. Функция х: N->N есть хроматический многочлен графа G. Множество A^V называется связным, если для каждой пары вершин v, о'еЛ можно найти последовательность v = v0, vu v$, ... ..., vm = v' вершин V{^A при 0^/^m и {vt_u vt}^E при 1 ^ t ^ tn. Пусть La есть ч. у. множество (в дей- действительности — геометрическая решетка) всех раз- разбиений к множества V, упорядоченных по измельче- измельчению, в которых каждый блок связен. Покажите, что Х(«)= S Ц(б, я) «•:«', i где |я| — число блоков разбиения п и ц, — функ- функция Мёбиуса на La- Отсюда следует, что хромати- хроматический многочлен %(п) графа G и характеристиче- характеристический многочлен %(La,n) связаны соотношением х(д) = «сх(?о, д), где с есть число компонент связ- связности графа G. Заметьте, что если G является
Гл. 3. Частично упорядоченные множества полным графом /Ср(т. е. ? = („))• то мы получим формулу C1). а. Пусть V — д-мерное векторное пространство над полем fq, и L есть решетка подпространств про- пространства V. Пусть X есть векторное простран- пространство над F, с Jt векторами. Из подсчета числа инъективных линейных преобразований V-+X двумя способами (первый способ — непосред- непосредственно, второй способ — обращение Мёбиуса на L) покажите, что k=0 Это тождество справедливо для бесконечного множества значений X и, следовательно, выпол- выполняется как тождество между многочленами (где х — переменная). Заметьте, что если положить JL v Х~ то мы получим /1-1 П m»+*>-i с; > <62> и это тождество превращается в биномиальную теорему при <7=1. По этой причине уравнение F2) иногда называют «^-биномиальной теоре- теоремой». /т\ Ь. Вычислите значение I . ) , где ? — примитивный V ] /<?=? корень степени г из единицы. Зафиксируем k^2. Пусть L,'n есть ч. у. множество всех таких подмножеств 5 множества [п], упорядо- упорядоченных по включению, что 5 не содержит k после- последовательных целых чисел. Пусть L,, есть ч. у. мно- множество Ь'п с присоединенным элементом 1. Пусть ц,„ есть функция Мёбиуса на Ln. Найдите ц,„@,1). Ваш ответ должен зависеть только от класса вычетов п по модулю 2k + 2. Пусть п ^ 1. Положительное целое число d назы- называется унитарным делителем числа п, если d\n и (d,n/d)=\. Пусть L есть ч.у. множество всех по- Упражнения 241 ложительных чисел, упорядоченных условием а ^ Ь, если а есть унитарный делитель числа Ь. Опишите функцию Мёбиуса ч. у. множества L. Установите унитарный аналог классической формулы обращения Мёбиуса из теории чисел. 48. а. Пусть М есть моноид (полугруппа с единицей е) с п образующими gi, ..., gn, подчиненными толь- только соотношениям вида gig/ = gjgi для некоторых пар t ф /. Упорядочим элементы моноида М, по- полагая х ^ у, если существует такой элемент z, что xz = y. (Например, предположим, что М имеет образующие 1, 2, 3, 4 (сокращение для gu g2, gz, gi) с соотношениями 13 = 31, 14 = 41, 24 = 42. Тогда интервал [е, 11324] изображен на рис. 3.43.) 11324 Покажите, что любой интервал [е, со] в ч. у. мно- множестве М является дистрибутивной решеткой L» и опишите ч.у. множество Ри, для которого L» = /(Д) () b. Выведите из п. (а), что число разложений w = gi{ ... git равно числу e(Pw) линейных рас- расширений ч.у. множества Pw. c. Выведите из п. (а), что функция Мёбиуса ч.у. множества М задается формулой !(—1)г, если w есть произведение г попарно коммутирующих образующих gt, О в противном случае. d. Пусть N (аи а2 ап) обозначает число различ- различных элементов из множества М степени at по
Гл. 3. Частично упорядоченные множества образующей gt. (Например, для элемента g\g2gxg\ а, = 3, 02=1, а3 = 0. «4 = 2.) Пусть хи ..., хп независимые коммутирующие переменные. Выве- Выведите из п. (с), что где последняя сумма берется по всем таким на- наборам Aи ..., 1Т), что I<i,<t2< ... <гг<«, и элементы gt , g( , ..., gt попарно коммутируют. Какие тождества получаются в п. (d), если ника- никакие образующие gt и g/ не коммутируют (i Ф j), или когда все образующие gt и gt коммутируют. Пусть L — конечная сверхразрешимая полумоду- полумодулярная решетка с М-цепью 0 = л;0<л:1< ... ... < хп = Т. Пусть щ есть число атомов у решетки L, таких, что y^xlt но */^*,_i. Пока- Покажите, что q) = (q — al)(q — a2) ...(q — an). Пусть L — конечная сверхразрешимая решетка с Af-цепью С: б = *0<л:1< ... <*„ = !. Для H6L ПОЛОЖИМ Л (х) = (г Легко видеть, что # Л (х) = р (х) и что элемент у покрывает х, если (в обозначениях формулы C7)) Л (у) — Л (х) == {к (х, у)}. Пусть теперь Р — произ- произвольное естественное частичное упорядочение множества [п] (т. е. i < / в P=w < у в Z), и опре- определим Покажите, что Lp есть R — помечиваемое ч. у. множество, удовлетворяющее условию PO.J., 5)= I P(L,S). я е i? (P) D (n)S где S' (Р) обозначает множество Жордана — Гёль- дера ч.у. множества Р (определенное в разд. 3.12). В частности, взяв L = Ln(q), из теоремы 3.12.3 получаем, что <7"аналог LP дистрибутивной ре- Упражнении шетки /(Р) удовлетворяет равенству 243 Заметьте, что ч.у. множество L? зависит не толь- только от Р, как от абстрактного ч.у. множества, но и от выбора линейного продолжения порядка Р (или максимальной цепи из J{P)), которое отож- отождествляет элементы ч. у. множества Р с элемен- элементами множества [п]. 49.5. а. Зафиксируем простое число р и целое k > 1 и определим ч. у. множества D?> (p), Щ'1 (р) и Щ] (р) следующим образом: i. LA)(p) состоит из всех подгрупп конечного индекса рт для некоторого т ^ О свободной абелевой группы Z*, упорядоченных по отно- отношению, обратному ко включению. П. L(A2)(p) состоит из всех конечных подгрупп группы (Z/p°°Z)*, упорядоченных по включению, где : = Z[l/p]/Z = {aeQ: pma eZ для некоторого т^О}. Ill- L(ft3)(p)= U Ln,k(p), где Ln.k(p) обозначает п решетку подгрупп абелевой группы (Z/p"Z)* и где мы отождествляем решетку Ln< k (p) с об- образом ее в решетке Ln+Xfk(p) при вложении (Z/p"Z)ft<=,(Z/pn+1Z)ft, определенном так: (а,, ... .... ak)-+(pau ..., рак). Покажите, что LV (р) = L^ (р) ?? L^ (р). Назо- Назовем это ч. у. множество Lk(p). Покажите, что Lk(p) есть локально конечная модулярная ре- решетка с элементом 0 (и, следовательно, имеет ранговую функцию р: Ьк{р)-+Ы). Ь. Покажите, что для любого элемента x^Lk(p) главный двойственный порядковый идеал Vx изоморфен решетке Lk(p). /n+k—1\ Покажите, что решетка Lft(p) содержат! , I элементов ранга п и, следовательно, имеет ран-
Гл. 3. Частично упорядоченные множества гово-производящую функцию F (Lk (р), х)=Щ1-х)A-рх)...A- />*"'*). Все ^-биномиальные коэффициенты в этом упражнении берутся при д = р. d. Выведите из пп. (Ь) и (с), что для S = {su ... .... J,}<cP s2 — k-1 k — 1 ••'V k-1 е. Пусть Nk обозначает множество всех бесконеч- бесконечных слов w = ехе2 ..., таких, что е{ е [0, k — 1] и et = 0 для достаточно больших i. Положим a (w) = е{ + е2 + ... и определим, как обычно, множество спуска D(w) = {i: ei>eul}ciP. Используйте п. (d), чтобы показать, что для любого конечного множества SsP a(Lk(p), S)= o(w) D(w)sS 50. а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, обладающее следующими свойствами: (i) P градуированное, ранга п, содержит элементы 0 и 1; (и) для всех О^у^п существует такое ч. у. множество Pt, что [х, 1 ] т Р/, если п — р (х) = /. Мы называем такое ч. у. множество Р однородным. Пусть V (i, j) есть число элементов ч. у. множества Pt, имеющих ранг t — j, и положим где х пробегает множество всех элементов х е Pt, имеющих ранг i — у. (Таким образом, V(i, /) = = Wi-j и v(i, j) = Wi-j, где w и W обозначают числа Уитни ч. у. множества Pi первого и второго Упражнения 245 родов.) Покажите, что матрицы [V (i, j)]0<i l<n и [°('| /)]o<t, /<n являются взаимно обратными. (Заметьте, что предложение 1.4.1 соответствует случаю Р*= П,-+1.) Ь. Найдите интересные однородные ч.у. множества. Можно ли расклассифицировать все однородные геометрические решетки? (См. упражнение 51 (d).) Пусть X — /г-элементное множество, a G — конечная группа порядка т. Частичное разбиение множе- множества X есть набор {А\ Аг) непустых попарно непересекающихся подмножеств множества X. Ча- Частичное G-разбиение ч. у. множества X есть семей- семейство а={аь ..., аг} функций a,-: Aj-^G, где {А\, .... А„) есть частичное разбиение множества X. Пусть Qn(G) обозначает множество всех частич- частичных G-разбиений множества X. Положим а ^ р в Qn(G), если для каждой функции a,-. Aj-*-G из а существует некоторая функция bk'- Bk-^-G из р и некоторый элемент w e G, для которых Aj sBj и bk (х) = w ¦ uj (х) для всех х е Л/. a. Покажите, что если т= 1, то Qn(G) = Пп+i. b. Покажите, что Qn{G) есть сверхразрешимая гео- геометрическая решетка ранга п. c. Используя п. (Ь) и упражнение 49, покажите, что характеристический многочлен решетки Qn(G) за- задается формулой <7) = П [Я- l- П d. Покажите, что решетка Qn(G) однородна в смыс- смысле упражнения 50. .Пусть Рп — множество всех подмножеств {iu ... ..., i2k}<=: P, где 0 < t, < г2 < • ¦ • < hk < 2" + 1 и числа t,, i2 — i\, . ¦ ¦, hk — hk-u 2n + 1 — i2k все нечетны. Упорядочим элементы ч.у. множества Рп по включению. Тогда Рп есть градуированное ч.у. множество ранга п с элементами 0 и 1. Найдите число элементов ранга k ч.у. множества Р, общее число элементов в Рп, функцию Мёбиуса ц (б, 1) и число максимальных цепей в ч. у. множестве Рп. По- Покажите, что если р (х) = k, то [0, х] ^ Pk, а интервал
246 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Упражнения 247 [х, 1] изоморфен произведению ч. у. множеств Р,-. (Таким образом, ч. у. множество Рп однородно в смысле упражнения 50.) [2+] 53. а. Пусть Ьп обозначает решетку всех подгрупп сим- симметрической группы @„, упорядоченных по вклю- включению. Пусть цп обозначает функцию Мёбиуса решетки Ьп. Покажите, что где G пробегает все транзитивные подгруппы группы ©я1). [3] Ь. Покажите, что ц„('(:, 1) делится на /г!/2. [5—] с. Докажите или оп овергните, что при пф 1,6 Мб, Т) = (-1Г'т/2. [5] 54. а. Пусть Ап обозначает множество всех р(п) разбие- разбиений целого числа п. Упорядочим Ап по измель- измельчению. Это означает, что Я ^ р, если части раз- разбиения Я можно разбить на блоки так, что части разбиения р есть в точности суммы элементов в блоках разбиения Я. Например, D, 4, 3, 2, -2, 2, 1.1)^(9, 4, 4, 2), что соответствует разложе- разложениям 9 = 4 + 2 + 2+1,4 = 4,4 = 3 + 1,2 = 2. Определите функцию Мёбиуса ц(Х, р) ч. у. мно- множества А„. (Это задача тривиальная, если X = =<1">, и легкая, если Я=<1"-2, 2>.) [3] Ь. Является ли функция Мёбиуса ц. ч. у. множе- множества Л„ знакочередующейся, то есть, верно ли, что (—1)' ц(х ,у)^0, если [х, у]— интервал длины/? Верно ли, что Л„ — ч. у. множество Коэна — Ма- колея? [3] 55. Пусть Л„ — то же множество, что и в упражнении 54, но теперь упорядочим Л„ по отношению доминиро- доминирования. Это означает, что (Хи Х2, Я3, ...)<!(рь р2,р3,...), если Хх + %2+ ••• +Яг<р1 + р2+ ... +р, при всех / ^ 1. Найдите функцию ц для этого упорядо- упорядочения. [3] 56. а. Гиперплоскость в евклидовом пространстве Ed = ={(хь ..., xd): Xi^R} состоит из всех точек (хи ..., xd), удовлетворяющих данному линей- линейному уравнению а,*, + ... + adxd = р. Пусть [3] #!, #2, ..., #v — набор гиперплоскостей в Ed, причем //, Л #2 П • • • П #v = 0 • Пусть L есть ч. у. множество (в действительности — решетка; фактически любой интервал [0, х], х Ф 1, из L является геометрической решеткой) ') всех раз- различных пересечений Я^ПЯ^П • • • П Hir упо- упорядоченных по обратному включению. Таким образом, L содержит элемент 0, соответствующий пересечению пустого набора в Ed, и элемент 1, соответствующий пустому множеству 0. Если удалить Н\ U ... U tfv из Ей, оставшееся множе- множество будет состоять из объединения непересекаю- непересекающихся областей. Пусть С есть общее число об- областей и В — число ограниченных областей. По- Покажите, что ИF, = 1A@,1I = 1 Ь. Предположим, что гиперплоскости Ни ..., Яv с Ed содержат 0, т. е. они являются подпространствами векторного пространства Rd. Пусть r = d — -dim(//,n ••• ЛЯV) и * = {#„ .... Нч}. Как легко видеть, ч. у. множество L = L(X) пересе- пересечений гиперплоскостей {#,-} является геометри- геометрической решеткой ранга г. Положим q = Q (X) = {р = (р„ ..., Pd): Pi e R [хь ..., хй) и для всех /e[v] и веЯ( имеем р(о)еЯ,-}. Ясно, что Q есть модуль над кольцом R = R [хи ... ..., xd], т. е. если рей и i/eR, то ?peQ. Легко показать, что Q имеет ранг г, т. е. Q содержит г (и не более) линейно независимых над R элементов. Предположим, что Q есть свободный /^-модуль, т. е. можно найти элементы р2 Pr^Q, такие, что О = р,Я ф ... ©рг#. ') Подгруппа Н е @„ называется транзитивной, если для любой пары {(', у} [и] существует элемент /ieff, для которого h(i) = j.—Прим. перев. ') Строго говоря, L есть нижняя подполурешетка решетки всех подпро- подпространств в Ed, которая в смысле индуцированного упорядочения является геометрической решеткой (но не подрешеткой решетки L<*(R). О необходи- необходимости рассмотрения таких полурешеток в теории конфигураций см. также примечание редактора на с. 287. — Прим. ред.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Легко видеть, что можно тогда выбрать каждый элемент р,- таким образом, что все компоненты этого многочлена будут однородными одной и той же степени е,-. Покажите, что характеристи- характеристический многочлен L задается формулой %(L,g)=I[(q-et). Покажите, что Я — свободный модуль, если ре- решетка L сверхразрешима, и найдите свободный модуль Я, для которого L не является сверхраз- сверхразрешимой решеткой. При /г^З пусть гиперплоскости Ни ..., #v lv = l I -f-1 „ II определены уравнениями xi + xk = n. Свободен ли модуль Q? Предположим, что Я,, ..., Hv и Н\ H'v — два расположения линейных гиперплоскостей (т. е. подпространств, содержащих 0), и пусть L и U — соответствующие решетки, a Я и Q' — со- соответствующие модули. Если L ^ U, Я — свобод- свободный модуль, верно ли, что модуль Q' свободен? Иными словами, зависит ли свойство модуля Q быть свободным только от решетки L или оно за- зависит от самого местонахождения гиперплоско- гиперплоскостей? Пусть X = {Ни ..., Hv}, как в п. (b), HS6L(X). Определим новое расположение Таким образом, решетка L(XS) изоморфна интер- интервалу [б, s] решетки L(X). Покажите, что если п (X) — свободный модуль, то и Q (Xs) — также сво- свободный модуль. Пусть Х = {Ни ..., #v}, как и в п. (Ь), и пусть Яе! Определим расположение Хн в (d — 1)- мерном вещественном векторном пространстве Н, состоящее из гиперплоскостей вида Н{ П Н. Таким образом, решетка L(XH) изоморфна интервалу Упражнения 249 [H, Г] решетки L(X). Если Q(X) свободный мо- модуль, верно ли, что Я (Хн) — свободный модуль? Пусть Р и Q — конечные ч. у. множества. Выра- Выразите многочлены Z{P + Q, m), Z (P®Q, m), Z (PXQ, т) в терминах многочленов Z (Р, /) и Z (Q, у). a. Пусть Р —конечное ч. у. множество. Как свя- связаны дзета-многочлены Z(P, n) и Z(lnt(P),ji)? ^ b. Предположим, что Р содержит элементы 0 и Г. Пусть Q обозначает ч. у. множество Int(P) с при- присоединенным элементом 0. Как связаны Цр(б, 1) и nQ@, Г)? а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, и Q —ch(P) обозначает ч. у. множество непустых цепей в Р, упорядоченных по включению. Пусть Qo обозна- обозначает ч. у. множество Q с присоединенным эле- элементом б (= пустая цепь в Р). Покажите, что ( у ) Z(m \ at{. J, то Z(QQ> b. Пусть Р и Q обозначают ч. у. множества Р и Q соответственно с присоединенными элементами б и Г. Выразите (г§ @, 1) через цр (б, Т). c. Мы говорим, что конечное градуированное мно- множество Р ранга п обладает свойством разбивае- мости цепей, если для любой максимальной цепи К из ч. у. множества Р найдется цепь r(K)sK (ограничение цепи К), такая, что любая цепь (включая 0) ч. у. множества Р лежит в точности в одном из интервалов [г (К), К] ч. у. мно- множества Qo. Для данной цепи С из множества Р определим ее ранговое множество р(С) = {р(х): xeC}s [0, п]. Покажите, что если Р обладает свойством разбиваемости цепей, то р (Р, S) равно числу максимальных цепей К, из Р, для которых p(r(K)) = S. (Так что, в частности, р (Р, S)>0.) d. Покажите, что если для некоторого ч. у. мно- множества Р ч. у. множество Р обладает R-помет- ками, то Р обладает свойством разбиваемости цепей. e. Верно ли, что все ч. у. множества Коэна — Ма- колея обладают свойством разбиваемости цепей?
250 [3-] Гл. 3. Частично упорядоченные множества Упражнения 251 60. а. Для ч. у. множества Р граф сравнимости Сот(Р) есть граф, вершины которого — элементы Р, а две вершины х и у соединены (неориентирован- (неориентированным) ребром, если х < у или у < х. Покажите, что порядковый многочлен Q (Р, п) конечного ч. у. множества Р зависит только от графа Com (P). [2] Ь. Приведите пример двух конечных множеств Р и Q, для которых Com (Р) 9= Com (Q), но Q (P, m) = [2+] 61. а. Пусть Q(P, n) обозначает порядковый многочлен конечного ч. у. множества Р, так что из разд. 3.11 имеем Й(Р, n) = Z(/(P), n). Пусть р = |Р|. Ис- Используя пример 3.9.6, покажите, что при леР (—1)PQ(P, — п) есть число отображений т: Р-*п, строго сохраняющих порядок, т. е. таких, что если х < у в Р, то т (х) < т (у). [1+] Ь. Вычислите явно значения Й(Р, п) и (—1)PQ(P, — п) для случаев (i) Р — р-элементная цепь и (и) Р — р- элементная антицепь. [1+] 62. Вычислите Z(L, n) для решеток граней всех пяти Платоновых тел'). [3] 63. Пусть Y — множество всех разбиений всех целых чисел п. Упорядочим Y покомпонентно, то есть по- положим (ц1( ц2, . ..)^(АЬ А2, ...). если Цг^А^ для всех i. Y называется решеткой Юнга; она изо- изоморфна финитарной дистрибутивной решетке /f (N2). Для пары разбиений (г^А в F положим Z(n) = = ?" (ц, А) — дзета-многочлен интервала [ц, А]. Вы- Выберите число г, чтобы Яг+1 = 0. Покажите, что [5—] 64. Верно ли, что если L и V — дистрибутивные ре- решетки ранга п, для которых р (L, S) — р (L?, S) (или, равносильно, a(L, S) = a(L', S)) для всех подмно- подмножеств S ^ [п — 1], то решетки L и L' изоморфны? [2+] 65. Пусть Р — конечное градуированное ч. у. множество ранга п с элементами б, Г, и предположим, что каждый интервал ч. у. множества Р самодвойствен- самодвойственный. Пусть S = {nu n2, ..., ns}< s [n — 1]. ') To есть для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.— Прим. перев. Покажите, что значение сс(Р, 5) зависит только от мультимножества чисел пь щ — Щ, п3— гц, ... ..., ns — ns_x, n — ns (но не от их порядка). Пусть P = NXN. Для любого конечного множества S s Р можно определить числа а (Р, 5) и р (Р, 5) точно так же, как в разд. 3.12 (несмотря на то что Р бесконечно). Покажите, что для S = {mit щ, .. ¦ms}< cN р (N X N, 5) = m, (m2 - m, - 1) ... (ms - m,_, - 1). Пусть Р — конечное градуированное ч. у. множество ранга п с элементами б и Г. а. Покажите, что A*+1Z(P, 0) = b. Покажите, что /1 r\n+l У 7 (Р где а(Р, S). P(P,S). 1 с. Покажите, что %(Р, <7) = >ti— h где ()* р(, []) р(Я[]) (Полагаем p (P, [n]) = p(P, [-l]) = 0.) а. Пусть k, /eP. Пусть Pktt обозначает ч. у. мно- множество всех таких разбиений я множества [kt] = = {1, 2 kt), упорядоченных по измельчению (т. е. Pktt есть ч. у. подмножество решетки ПА<), что: i число элементов в каждом блоке разбиения я делится на k; П если a<b<c <d и В, В' — есть блоки раз- разбиения я, для которых a, csB и b, d^B', то В = В'. Покажите комбинаторно, что дзета-многочлен ч. у. множества Pktt задается формулой Z(Pktttn+\) = -
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Ь. Заметьте, что ч. у. множество Pk<t всегда содер- содержит элемент Г и что Plt t содержит 0. Используя п. (а), покажите, что Р1? t имеет Ct элементов и что ,_„ где Сг = c. Покажите, что Р2) t = Int(P1)<). d. Заметьте, что ч. у. множество Pft>( является гра- градуированным рангам — 1. Для5 = {ть ..., tns}< s = [0, t — 2] покажите, что тх т2 —тг — ms_iJ\t — l — mJ e. Выведите, что P M ранга t — m имеет if'У kt ) t \m)\m-\) и к{Ы)*-2 эле- элемаксимальных ментов цепей. 69. а. Покажите, что конечное градуированное ч.у. мно- множество с элементами 0 и 1 является полуэйле- полуэйлеровым в том и только том случае, если для всех пар х < у, за исключением, возможно, пары (х, у) = (б, Г), интервал [х, у] имеет равные коли- количества элементов нечетного и четного рангов. Покажите, что ч. у. множество Р является эйле- эйлеровым, если, кроме того, Р содержит равные ко- количества элементов нечетного и четного рангов. b. Покажите, что если Р — полуэйлерово ч.у. мно- множество ранга п, то — l)nZ(P, —m) = Z(P, т) + т((-1)"цР(б, Г)—1). c. Покажите, что полуэйлерово ч. у. множество не- нечетного ранга п является эйлеровым. d. Предположим, что Р и Q эйлеровы ч. у. мно- множества, и пусть Р' = Р — {б}, Q' = Q — {б}, R = (P'X Q') U {б}. Покажите, что R — эйлерово ч. у. множество. 70. а. Пусть Рп обозначает порядковую сумму 1 ф 21 ф ф 21 ф ... ф 21 ф 1 (п копий ч. у. множе- множества 21). Например, ч. у. множество Р3 изобра- изображено на рис. 3.44. Вычислите числа р (Р, S) для всех подмножеств S = [га]. Упражнения 253 Ь. Используя п. (а) и упражнение 67 (Ь), вычислите с. Легко видеть, что ч. у. множество Р„ эйлерово. Вычислите многочлены f(Pn, x) и g(Pn, x) из разд. 3.14. а. Пусть Ln обозначает решетку граней п-мерного куба, упорядоченных по включению. Покажите, Р = Рис. 3.44. что решетка Ln изоморфна ч. у. множеству Int(Bn) с присоединенными элементами 0 и 1, где Вп обозначает булеву алгебру ранга п. Ь. Покажите, что решетка Ln изоморфна ч. у. мно- множеству Ап с присоединенным элементом 0, где Л — трехэлементное ч. у. множество /\ c. Пусть Рп — ч.у. множество из упражнения 70. Покажите, что решетка Ln изоморфна ч.у. мно- множеству цепей из Рп, не содержащих б и 1 (включая пустую цепь), упорядоченных в обрат- обратном к включению порядке и с присоединенным элементом б. d. Пусть Ssfrt]. Покажите, что in(Ln, S) = где Dn(T, j) обозначает число перестановок мно- множества [/и] с множеством спуска Т и последним элементом у, а 5 = [n] — S.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества e. Вычислите Z(Ln, т). f. Так как Ln есть решетка граней выпуклого мно- многогранника, то в силу предложения 3.8.9 она яв- является эйлеровой. Вычислите многочлен g(Ln,x) из разд. 3.14. Покажите, что, в частности, «-1 g. Используя п. (f), покажите, что g(Ln, x)— X а^л;', где а; есть число плоских деревьев с п + 1 вер- вершиной, у которых в точности i вершин имеют не менее 2 сыновей. См., например, рис. 3.45 для случая п = 3, который показывает, что g{L%, x) = = 1+4*. Дерево Число вершин, имеющих не менее 2-х сыновей Рис. 3.45, 72. а. Покажите, что если L есть решетка граней ра- рационального выпуклого многогранника 9* (т. е. все вершины & имеют рациональные координаты), то коэффициенты многочлена g(L, x) неотрица- неотрицательны (так что коэффициенты многочлена f(L,x) неотрицательны и унимодальны, т. е. воз- возрастают до максимума, а затем убывают). Ь. Выполняется ли утверждение п. (а) для произ- произвольных выпуклых многогранников? Неизвестно даже, верно ли, что коэффициенты многочлена f(L,x) неотрицательны. Более общим образом, остается ли утверждение п. (а) справедливым, если L есть ч.у. множество граней регулярного клеточного разбиения сферы, при условии, что это ч.у. множество является решеткой? (Ч.у. множество Рг из упражнения 70 показывает, что Упражнения 256 предположение о том, что L есть решетка, не может быть опущено.) 73. Пусть п, deP и n>rf+l. Пусть L'nd есть ч. у. множество всех таких подмножеств S из [п], упо- упорядоченных по включению, что выполняется сле- следующее условие: множество S содержится в неко- некотором таком d-подмножестве Т из [п], что если 1 <г ф. Т, [i+ I, i + k] s T и п > i + k + 1 ф Т, то число k четно. Пусть L^ есть ч. у. множество, по. лученное присоединением элемента 1 к L'nd. Пока- Покажите, что Lna есть эйлерова решетка. Решетка Li2 изображена на рис. 3.46. 14 74. Пусть Р — конечное ч.у. множество и я — такое разбиение элементов множества Р, что каждый блок из я связен (как ч.у. подмножество в Р). Оп- Определим отношение ^ на блоках я следующим об- образом: В ^.Вг если для некоторых элементов леВ и /еВ' имеем х^х' в Р. Если это отношение яв- является частичным порядком, мы говорим, что раз- разбиение я Р-совместимо. Пусть Т(Р) есть множество всех Р-совместимых разбиений ч. у. множества Р, упорядоченных по измельчению (так что Г(Р) есть ч.у. подмножество в П(Р)). См. пример на рис.3.47. Покажите, что Г(Р) есть эйлерова решетка. 75. а. Определим следующим образом частичный поря- порядок Рп на симметрической группе @„. Редукцией перестановки п—а{а2 ... ап называется переста- перестановка, полученная из л переменой мест чисел щ
Гл. 3. Частично упорядоченные множества и с/, если i < у и с, > а,. Положим а ^ я, если перестановку а можно получить из я последова- последовательностью редукций. Ч. у. множество Рг изобра- изображено на рис. 3.48. Покажите, что ч. у. множество Рп эйлерово. abed а Р Рис. 3.47. 231 213 Рис. 3.49. Ь. Определим другой частичный порядок Р'п на <5п следующим образом. Простой редукцией переста- перестановки я называется перестановка, полученная из я переменой мест некоторых чисел а,- и а<+ь если а,- > c;+i. Положим а ^ я, если перестановку 0 можно получить из перестановки л последова- последовательностью простых редукций. Ч. у. множество Р'3 изображено на рис. 3.49. Покажите, что -(—1)*, если перестановку я можно получить из а, обратив порядок элементов в каждом из k + 1 непересекающихся возрастающих участков перестановки я, О в противном случае. Упражнения 257 c. Покажите, что дзета-многочлен ч.у. множества Р'п удовлетворяет условию С) d. Покажите, что число А^2 'Z (Р'п, 0) максимальных цепей в Р'п задается формулой а*. ' >г (К, о) =„¦. • 3" ¦б" ... Bя —ЗI е. Можно ли дать «хорошее» выражение для Z (Р'п, пг) ? 76. Пусть л = (а\, п2, ..-, ап) — конечная последова- последовательность целых чисел, никакие два последователь- последовательных элемента которой не равны. Пусть Р — множе- множество всех подпоследовательностей а/ = (а<1, ai2, ... ..., а,т) (так что 1 ^ i\ < h < • • • < im ^ n) по- последовательности а, не содержащих ни одной пары равных последовательных элементов. Упорядочим Р по правилу: b ^ с, если b есть подпоследователь- подпоследовательность в с. Покажите, что ч.у. множество Р эйлерово. 77. Пусть У„_! обозначает векторное пространство всех функций /: 2ln~"-+Q, так что dim У„_, = 2"""'. Пусть ?„_! обозначает подпространство пространства Vn_b порожденное всеми функциями а (Р, S) (или р (Р, S)), где Р пробегает все эйлеровы ч. у. множества ран- ранга п. Покажите, что dim?n_i есть число Фибоначчи Fn. (В частности, 2п~2 различных соотношения Р(Р, S) = р (Р, S) из следствия 3.14.6 не есть все линейные соотношения, которым удовлетворяют числа Р(Р, S).) Замечание. Если вместо этого рассмотреть аффинное подпространство Ёп-и порожденное функциями <х(Р, S), то добавится единственное дополнительное соотношение а (Р, 0)= 1 и, таким образом, A\тЁп_}= = Fn-\. 78. а. Покажите, что если В(п) — факториальная функ- функция биномиального ч. у. множества Р, то В (пJ <| <Б(п- 1)В{п+ 1). Ь. Какие функции В(п) являются факториальными функциями биномиальных ч. у. множеств? В ча- Стенлн
Гл. 3. Частично упорядоченные множества стности, можно ли взять в качестве такой функ- функции B(n) = Fl ¦ F2 ... Fn, где F{ — i-e число Фибо- Фибоначчи (Fl = F2=\, Fn+l = Fn + Fn_{)? 79. а. Пусть Р — локально конечное ч. у. множество с элементом 0, в котором любая максимальная цепь бесконечна и любой интервал [х, у] градуи- градуирован. Поэтому ч. у. множество Р имеет ранговую функцию р. Назовем Р треугольным ч. у. мно- множеством, если существует функция В: {(г, j) e g№(</)-»-P, такая, что любой интервал [х, у] ч. у. множества Р, где р (х) = m и р (у) — п, имеет В(п, гп) максимальных цепей. Определим под- подмножество Т{Р) алгебры инцидентности I (P) условием />) = {/<=/(/>): f{x, y) = f(x'7 у'), если р(*) = р(*О и Упражнения 259 Для функции f^T(P) будем писать f(m,n) вместо / (х, у), если р (х) = m и р (у) = п. Пока- Покажите, что Т{Р) изоморфно алгебре всех ком- комплексных бесконечных верхних треугольных ма- матриц [ац], i, /^0, где изоморфизм задается формулой / @, 0) /@, О / @, 2) Ь. Пусть L — треугольная решетка. Положим 1)(п) = = В{п, п + 2) — 1. Покажите, что L полумоду- лярна (сверху) тогда и только тогда, когда для всех п ^ m + 2 ' (га, п) /г—т—2 с. Пусть L — треугольная решетка. Покажите, что если Р(п)ф0 при всех п ^ 0, то L атомарная. Используя п. (Ь), покажите, что обратное верно, если L полумодулярная. 80. Зафиксируем целочисленную последовательность 0 = а, < а2 < ... < ar <m. Для k e [г] пусть fk (n) обозначает число перестановок ЬХЬ2 . . . bmn+ak мно- множества [тп-\-ак], для которых bj>bj+l тогда и только тогда, когда ]^sax ar(modm). Пусть fk (i) X [тп + ак)\ тп + 1 Пусть а обозначает наименьший неотрицательный вычет a(modm), и положим ^ц = Ф——(х). Пока- Покажите, что = 0, Решите эти уравнения и получите явное выражение для Fk(x) в виде отношения двух определителей. -Ь] 81. а. Пусть Р — локально-конечное ч. у. множество, в котором каждый интервал градуирован. Для любого подмножества SsP и пары х^.у опре- определим множество [х, y]s формулой E1), и пусть \x.s обозначает функцию Мёбиуса интервала [я, y]s. Пусть t переменная, и определим функции f, ge/(Р) формулами если х = у, если /(*, у) = п^ 1, если х = у, если х < у, где / {х, у) = (х, у) = и 5 пробегает все подмножества множества [п— 1], а s = |S|. Покажите, что h = g~l в /(Р). 9*
260 [1+] Гл. 3. Частично упорядоченные множества b. Для биномиального ч. у. множества будем писать h (п) вместо h(x, у), если Цх, у) —п. Покажите, что Z h(n)xn/B(n) = c. Положим Gn(q, /) = Решения упражнений 261 [2] где с1(я) и г (л) обозначают соответственно число спусков и ин- инверсий перестановки л. Покажите, что 1+ I Gn(q, 0*7(n)l = [l - I (t- lrVAn) В частности, полагая q = 1, мы получаем = A-*)/(** A-"-1), где An(t) обозначает многочлен Эйлера. Решения упражнений 1. Стандартная задача. См. [5]1). 2. Соответствие между конечными ч.у. множествами и конеч- конечными топологиями (или более общим образом между произ- произвольными ч.у. множествами и топологиями, в которых лю- любое пересечение открытых множеств открыто), кажется, впервые было рассмотрено в работе: Александров П. С. Мат. сб. (Н. С.) 2A937), 510—518, и неоднократно переот- переоткрывалось. 3. a. Wright John A., thesis, Univ. of Rochester, 1972. d. Kleitman D. J. and Rothschild B. L.. Proc. Amer. Math. Soc. 25A970), 276—282. e. Kleitman D. J. and Rothschild B. L. Trans. Amer. Math. Soc. 205A975), 205—220. Асимптотическая формула, приве- приведенная там, более сложна, но может быть упрощена. 4. a. f есть перестановка конечного ^множества, так что f"=l для некоторого /ieP. Но_тогда f' = /""'; f~l сохраняет порядок. Ь. Пусть P = Z\J{x), где х < 0 и элемент х не сравним ни с одним числом п < 0. Пусть f(x) = x и /(п) = п+ 1 при nsZ, a. Пример приведен на рис. 3.50. Существуют четыре других 6-элементных примера, и ни одного примера с меньшим числом элементов. О значении этого упражнения см. об- обсуждение, следующее за доказательством следствия 4.5.15. b. Используйте индукцию по /, убирая все минимальные элементы из Р. Это доказательство принадлежит Д. Уэсту. Рнс. 3.50. Результат (с более сложным доказательством) впервые опубликован в работе [28], с. 19—20. Примером является ч.у. множество из книги [5], упраж- упражнение 10 на с. 54'). a. Стандартная техника. b. Предположим, что /: Int(Р) -*¦ Int (Q)— изоморфизм. Пусть А ч. у. подмножество из Int(Q) всех элементов x^f@) и В по определению — ч. у. подмножество *^/F). Проверьте, что Р^А~ХВ, Q^Ay^B*. Этот результат получен независимо А. Глисоном (не опубликовано) и в работе Aigner M., G. Prins, Trans. Amer. Math. Soc. 166A972), 351—360. c. (А. Глисон, не опубликовано) См. рис. 3.51, 3.52. Ч.у. мно- множество Р можно рассматривать как «подкрученное» пря- прямое произведение ч.у. множеств Ли В на рис. 3.53, a Q есть «подкрученное» прямое произведение А и С. Эти подкрученные произведения существуют, так как ч.у. множество Л не является односвязным в некотором под- подходящем смысле, но имеет в качестве накрывающего ч.у. множество на рис. 3.54. Общая теория была изложена А. Глисоном на семинаре в Массачусетском технологиче- технологическом институте в декабре 1969 г. 1) В русском переводе — с. 37, лемма 1. — Прим. перев. 1) На с. 77 русского перевода. — Прим. перев.
262 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Решения упражнений 263 8. а. [5], теорема 2, с. 57 '). b. См. [5], с. 68-692). c. [5], с. 693). Если Р есть произвольное ч. у. множество с более чем одним элементом, можно взять Р1 = 1 -{- Р3, Р2 = 1 + р + Р2, Р3 == 1 + Р2 + Р4, Р4 = 1 + Р A есть од- одноэлементное ч.у. множество). Здесь нет противоречия, так как, хотя Z [х\, х2, ...] есть область с однозначным Р = Рис. 3.51. Рис. 3.52. V Л в Рис. 3.53. Рис. 3.54. разложением, отсюда не следует, что Н[х\,Хч, ...] есть полукольцо с однозначным разложением. В кольце В имеем Р1Р2 = Р3РА = A + Р)A - Р + Р2)A + Р + Р2). 9. а, с. Эти результаты (в контексте теории конечных топо- топологических пространств) изложены в работе Stong R. Е., Trans. Amer. Math. Soc. 123A966), 325—340 (см. с. 330) п. (а) см. также Duffus D. and Rival I., in Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai (A. Hajnal and V. T. Sos. ') С 80 русского издания. — Прим. персе. 2) С. 95—9С русского издания. — Прим. перге. 3) С. 96 русского издания. — Прим. перев. eds), vol. I, North-Holland. New York, 1978, pp. 271— 292 (p. 272). П. (с) см. также Duffus D. and Rival I., Discrete Math. 35A981), 53—118 (Теорема 6.13). П. (с) обобщен для бесконечных ч.у. множеств Baclawski К. and Bjorner A., Advances in Math., 31A979), 263—287 (Теорема 4.5). a, b. Наименьшее число d, для которого выполняются пп. (i) или (ii), называется размерностью Р. Обзор по этой теме см. в работе Kelly D. and Trotter W. T. Jr., in [25]. с. 171—211. В частности, эквивалентность пп. (i) и (ii) установил Оре, а результат (iii) есть наблюдение Дашника и Миллера. Другие результаты по ч.у. множествам размерности 2 см. Baker К- А., Fisburn P. С. and Roberts F. S. Networks 2A972), 11—28. Много дополнительной информации содер- содержится в книге Fisburn P. С. Interval Orders and In- Interval Graphs John Wiley, New York, 1985. Ни одно. Пусть В— булева алгебра всех подмножеств множества Irr(L), и пусть V — нижняя полурешетка в В, порожден- порожденная главными порядковыми идеалами из Irr(L). Можно показать, что L изоморфна нолурешетке L' с присоединен- присоединенным элементом 1. Фактически решетка L есть пополнение Макнила (см., например, [5, гл. V, § 9]) ч.у. множества Irr(L). Это упраж- упражнение есть результат из статьи Banaschewski, Z. Math. Lo- gik 2A956), 117—130. Пример приведен на рис. 3.55. abcQ irr(L) Рис. 3.55. Z/ Пусть L есть нижняя подполурешетка булевой алгебры В6, порожденной подмножествами 1234, 1236, 1345, 2346, 1245, 1256, 1356, 2456 с присоединенным элементом Г. По опреде- определению L—'Коатомарная полурешетка. Можно проверить,
264 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Решения упражнений 265 что каждое одноэлементное подмножество {/} принадлежит L, 1 ^ i ^ 6, так что L атомарная полурешетка. Однако подмножество {1,2} не имеет дополнения. Этот пример при- привел И. Райвал (личное сообщение) в феврале 1978 г. См. Discrete Math. 29A980), 245—250 (Рис. 5). 14. Д. Клейтмаи показал (не опубликовано), что и предположил, что нижняя оценка ближе к истине. 15. а. Из теоремы 3.4.1 /2(п) равно числу дистрибутивных ре- решеток L ранга п точно с двумя элементами каждого или Рис. 3.56. Рис. 3.57. Рис. 3.58. ранга 1, 2, ..., п—1. Мы строим L снизу вверх. Эле- Элементы рангов 0, 1, 2 должны выглядеть (с точностью до изоморфизма) так, как изображено на диаграмме на рис. 3.56, где мы также изобразили элемент z = x\/y ранга 3. Мы можем поместить оставшийся элемент w ранга 3 двумя способами: поместить его над х или над у, как показано на рис. 3.57. Снова мы можем двумя спосо- способами выбрать оставшийся элемент ранга 4 — поместить его над z или над w. Продолжая рассуждать таким образом, мы будем иметь две возможности выбора независимо на каждом из п — 3 шагов. Это дает требуемый результат. Например, для п = 5, четыре ч.у. множества изображены на рис. 3.58. Ь. Аналогично п. (а). d. (Предложено П. Эдельманом.) fk(n) = O при k > 3, так как тогда I I > k. 16. а. Ясно, что L' есть верхняя полурешетка в L с элементом 6~, следовательно из предложения 3.3.1 L' есть решетка. По определению U атомарная. Предположим, элемент у покрывает хъЬ'. Тогда у = х\/ а для некоторого атома а из L. Из свойства полумодулярности (предложение 3.3.2 (i)) следует тогда, что р (г/) == р (лг) + 1 в L, следо- следовательно у покрывает х в решетке L. Теперь легко видеть, что свойство полумодулярности из предложения 3.3.2 наследуется решеткой Z/ из L. Таким образом, решетка L' геометрическая. Ь. Нет. Пусть К есть булева алгебра В3 всех подмножеств множества [5], из которой убраны все 4-элементные подмножества. Пусть L состоит из К и дополнительного присоединенного элемента х, такого, что х покрывает элемент {1} и покрывается элементами {1, 2, 3} и {1, 4, 5}. Тогда х ф L', но х принадлежит подрешетке решетки L, порожденной V. Этот пример принадлежит К. Грину. 17. Для ле^1 положим <p(;c) = sup {г '¦ 2^ каждого неразложимого в объединение элемента xt из (единственного) несокра- несократимого разложения х= хх\/ ... V хп в объединение неразложимых элементов}. F3) В частности, если xePi, то <p(;c) = sup {z : z^ x}. Суще- Существенно проще доказать, что отображение ф обладает тре- требуемыми свойствами, работая с ч.у. множеством Р, для которого /(Р)= L, а не с самой решеткой L. 18. Ответ: —1 + 2r( Следует из следствия на с. 214 работы R. Stanley J. Combi- Combinatorial Theory 14A973), 209—214. 19. а. Индукция по \L\. Случай |^1==1 тривиален. Пусть те- теперь [L|^2 и у — максимальный элемент полурешетки L. Предположим, что элемент у покрывает / элементов полурешетки L, и положим L' = L—{у}. Гипотеза о ди-
266 Гл. 3. Частично упорядоченные множества стрибутивности снизу влечет, что число элементов х ^ у, для которых [х, у] о* Bk, равно ( , I. Следовательно, Vxf = {\+x)!+^Jk{L'){\+x)\ i и доказательство следует из индуктивного предположе- предположения, так как L' — дистрибутивная снизу нижняя полуре- полурешетка. Заметьте, что в специальном случае L = J (Р) число gk{L) равно числу ^-элементных антицепей в Р. Ь. Положите х = —1 в п. (а). Этот результат был впер- впервые доказан (другим способом) для случая L = J(P) в работе Das S. К. J. Combinatorial Theory (В) 26A979), 295—299. Его также можно доказать, используя тожде- тождество ?|it; = ?; в алгебре инцидентности решетки LU{1} Топологическое замечание. Это упражнение имеет инте- интересное топологическое обобщение (найдено совместно с Г. Калаи). По данной полурешетке L определим куби- кубический комплекс Q = Q(L) следующим образом. Верши- Вершинами Q являются элементы L, а грани состоят из интер- интервалов [х, у] решетки L, изоморфных булевым алгебрам. (Из упражнения 71 следует, что Й действительно яв- является кубическим комплексом.) Предложение. Геометрическая реализация |Й| стяги- стягиваема (фактически сдавливаема)'). Набросок доказательства. Пусть у есть максимальный элемент L и U= L—{у}, а х есть пересечение элемен- элементов, которые покрываются элементами у, так что [х, у]^ ^Bk для некоторого feeP' Тогда пространство |Q(Z/)| получается из пространства ]fi(L)| сдавливанием куба I [х, у] 1 на его грань, не содержащую точку у. Приме- ') Стягиваемость (в точку) означает, что тождественное отображение |Q|->]Q| гомотопно постоянному: |Q| —^pt. Сдавливаемость означает, что это — простая гомотоническяя эквивалентность. — Прим. персе. Решения упражнений 267 нив индукционное предположение, получаем, Что про- пространство |Q(L)| сдавливаемо, а следовательно, стяги- стягиваемо !). Формула ?(— l)fe/ft= 1 утверждает просто, что эйле- эйлерова характеристика Q(L) или |Q(L) | равна 1; утверж- утверждение о том, что пространство |Q(L).| стягиваемо, значи- значительно сильнее. с. ^-элементная антицепь А из ч. у. множества m X n имеет вид А = {(а1у 6,), (Ог. Ь2), ..., {ак, bk)}, где а2 ak ^ m и Следовательно, Sk = m \(n\ И ^ I • Ь2> ¦ •. >bk Легко вычислить либо на основе прямых комбинаторных рассуждений, либо из п. (Ь) и формулы Вандермонда (пример 1.1.17), что ( т\( т-\-п— k\ d. Этот результат независимо доказан в работах Stemb- ridge J. European J. Combinatorics 7A986), p. 377—387 (Следствие 2.2) (другим способом) и R. Proctor. Proc. Amer. Math. Soc. 89A983), 553—559 (Теорема 2). e. R. Proctor, там же, Теорема 1. Справедливость этого результата предположил П. Эдель- ман для п = т и в общем случае впервые доказали Р. Стенли и Дж. Стембридж, используя теорию «jeu de taquin», развитую М. Шютценберже; см. Springer Lec- Lecture Notes in Math., #579, pp. 59—113. Элементарные до- доказательства были даны М. Хайманом (не опубликова- опубликовано). См. детали и дополнительные результаты в работе Stembridge J. Trapezoidal chains and antichains, Euro- European J. Combinatorics 7A986), p. 377—387 (см., в част- частности, следствие 2.4). 20. Индукция по р(х). Справедливость утверждения ясна при р(д;)^1. Предположим, что утверждение справедливо при p(x)<.k, и пусть Q(x) = k. Если х — неразложимый в объ- объединение элемент, то утверждение справедливо. В противном случае элемент х покрывает г > 1 элементов. Из принципа включения—-исключения и индукционного предположения ') Соответствующая топологическая техника развита, например, в книге Рурк К., Сандерсон Б. Введение в кусочно-линейную топологию. — М.: Мир, 1974. — Прим. перев.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества следует, что число неразложимых в объединение элементов равно Дальнейшую информацию об этом результате и вообще о дистрибутивных снизу решетках см. Monjardet В. Order 1A985), 415—417. Другие ссылки: Greene С. and Kleit- man. D. J. J. Combinatorial Theory (A) 20A976), 41—68 (Thm. 2.3.1), Edelman P.) Alg. Universalis 10A980), 290— 299, Edelman P. H. and R. F. Jamison R. F. Geometriae Ded. 19A985), 247—270. Обзор по дистрибутивным снизу решет- решеткам имеется в работе Edelman P. Contemporary Math. 57A986), 127—150. Левая часть равенства E9) есть число пар (x,S), где х— элемент решетки L ранга i, а 5 — множество из / элемен- элементов, покрываемых элементом х. Аналогично в правой части равенства стоит число пар (у,Т), где p(y) = i — /, а Т есть множество j элементов, покрывающих у. Мы установим биекцию между парами (х, S) и (у, Т) следующим обра- образом. Для данной пары (х, S) положим y = AZf=sz, и пусть Т есть множество всех элементов интервала [у, х], которые покрывают элемент у. а. Пусть L — финитарная дистрибутивная решетка с функ- функцией покрытия /. Пусть Lk обозначает подрешетку ре- решетки L, порожденную всеми неразложимыми в объеди- объединение элементами, ранг которых не превосходит k. Мы докажем индукцией по k, что решетка Lk единственна (если она существует). Так как L = (J Lk, доказательство будет закончено. При k = 0 утверждение верно, так как Lo является одноэлементной решеткой. Предположим, что оно верно для k. Решетка Lk содержит все элементы решетки L, ранг которых не превосходит k. Предположим, что х есть элемент ранга к решетки Lk, покрывающий п эле- элементов, и предположим также, что элемент х покрывают в решетке Lk tx элементов. Пусть sx = f(n)—tx. Если sx < 0, то решетки L не существует, так что предполо- предположим, что sx ^ 0. Тогда те sx элементов из L — Lk, по- покрывающих элемент х в решетке L, должны быть не- неразложимыми в объединение в L. Таким образом, для каждого элемента х е Lk ранга k присоединим sx неразло- неразложимых в объединение элементов над х и получим ниж- нижнюю подрешетку L'k. Пусть Pk+l обозначает ч. у. множе- Решения упражнений 269 стьо неразложимых в объединение элементов нолуре- шетки L'k. Тогда множество Pk+\ должно совпадать с ч.у. множеством неразложимых в объединение элементов ре- решетки Lk+i. Так что Lk+\ = /(Pft+i) и решетка Lk+i опре- определена однозначно. b. Предложение 2 на с. 226 в [34]. c. Если / (п) = Ь, то L = Nb. Если f (п) = п + Ь, то L = Jf (N2)b. d. Используя упражнение 21, покажите, что и E, 1) = — F/3) Bа3 - 2а2 - 3). Следовательно, «E, 1)<0 при а ^2 и 6^1, так что решетки L не существует. e. См. § 3 [34]. а. Число Фибоначчи Fn+2- Это прямое следствие упражне- упражнения 14 (е) гл. 1. Можно дать простые комбинаторные доказательства следующих рекуррентных соотношений: W2n(g) = A + q + g2) r2(n-,,fa) - q2W2^2)(q), W2n+l (q) = W2n+i(q) - q2W2n (q). Умножив эти формулы на х2п и х2п+{ соответственно и суммируя по п, получаем F м - q) х ~ 1 - A + q + q*) x* + q*x< ' c. Биекция a: Zn-*-[n\ является линейным расширением в том и только том случае, если последовательность п+1 — cr(*i), ..., п+1 — о(хп) является чередующейся перестановкой множества [п] (как в предложении 1.3.14D)). Следовательно, из формулы E4), имеем Y, епхп/п\ = tg х + sec x. /!>0 d. Присоединим дополнительный элемент хп+\ к ч.у. множе- множеству Zn, получив Zn+\. Можно построить сохраняющее порядок отображение /: Zn—>m + 2 следующим обра- образом. Выберем разложение ai + • • • + a-k = n + 1 и свя- свяжем с ним разбиение {хи .. ., ха,}, {xai+u ¦ ¦., xai+a} ¦ ¦ ¦ ч.у. множества Zn+i. Например, выбирая л = 17 и раз- разложение 3+1+2 + 4+1+2 + 2 + 3=18, получим раз- разбиение, изображенное на рис. 3.59. Пометим последний элемент х каждого блока числами 1 или m + 2, в зави-
Гл. 3. Частично упорядоченные множества симостн от того, является х минимальным или макси- максимальным элементом ч. у. множества Zn+\, как показано на рис. 3.60 Удалив из ч. у. множества Zn+i эти помеченные элементы, получим дизъюнктное объединение Y\ -\- ... + Yk, где каждое ч. у. множество У, изоморфно Za _, или Z*a_v Для каждого I выберем Q(Za. . tn) способами сохра- сохраняющее порядок отображение У,--»-[2, т + 1 ]. Существует Рис. 3.60. одна дополнительная возможность. Если некоторые чис- числа я* = 2, мы можем также присвоить единственному элементу у множества У,- ту же метку A или т + 2), что и оставшемуся элементу х в блоке, содержащем элемент у (таким образом, у помечается числом 1, если он яв- является максимальным элементом ч.у. множества Zn+\, и числом т + 2, если он минимальный элемент этого ч.у. множества). Эта процедура дает каждое сохраняющее порядок отображение f: Zn -> m + 2 в точности один раз. Следовательно, k Q(Zn, 2)= Z + k П (Q(Z..-ь т) + 62,а.) Начальные условия здесь G\(x) = lj(\—х) и G2(*) = = 1/A -х-*2). Эквивалентный результат был установлен без дока- доказательства (с ошибкой в обозначениях) в упражнении 3.2 работы Stanley R., Annals of Discrete Math. 6A980), 333—342. Решения упражнений Далее Г. Зиглер показал, что 271 4— 3_x2_Gm(x) ¦ 24. Результат для FD(n) принадлежит Дедекинду. См. [5], гл. III, § 4. Результат для решетки FD(P) доказывается таким же способом. См., например, следствие 6.3 Jonsson in [25], с. 3—41. Задаче оценивания числа элементов решетки FD(n) уделялось большое внимание, см. Kleitman D. Ргос. Amer. Math. Soc. 21A969), 677—682, и Kleitman D. and Mar- kowsky G. Trans. Amer. Math. Soc. 213A975), 373—390. 25. а. Доказательство легко сводится к следующему утвержде- утверждению: если А и В есть й-элементные антицепи в ч. у. мно- множестве Р, то множество А [} В содержит k максимальных элемента. Пусть С и D — множества соответственно мак- максимальных и минимальных элементов множества A (J В. Так как х^А[\В тогда и только тогда, когда jceCflD, то | С | +1D | = 2k. Если | С | < k, то множество D было бы антицепью в Р с более чем k элементами. Противоречие. Этот результат принадлежит Р. П. Дилуорсу: Dil- worth R. P. in Proc. Symp. Appl. Math. (Bellman R. and Hall M. Jr, eds.), Amer. Math. Sos., Providence, R. I., 1960, 85—90. Интересное приложение содержится в § 2 Greene С. and Kleitman D. J. in Studies in Combinatorics (Rota G.-C. ed.), Math. Assoc. of America, 1978, pp. 22—79. b. Koh К. М. Alg. Univ. 17A983), 73—86 and 20A985), 217—218. 26. а. Пусть p: P<S>Q->P — отображение проектирования на Р (т. е. р(х, у) = х). Пусть / — порядковый идеал ч. у. множества P<S>Q. Тогда рA) есть порядковый идеал ч. у. множества Р, скажем с т максимальными элементами хь ..., хт и k немаксимальными элементами уь ..., yk. Тогда идеал / есть объединение p~l ((/i)U ... U р~л (Uk) с непустыми порядковыми идеалами It из каждого ч. у. множества p~l (xt) as Q. Имеем | /1 = kn + 2 \It \ и пг{1) = = X m{h)- Следовательно, T^J(P) GP(qn, q-n(GQ(q, t)-l)). b. Пусть x — максимальный элемент ч. у. множества Р и Ax = {f/GP: у < х), и положим Я, = Р — х и Р2 = Р — Ах.
272 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Запишем G (P) = GP (q, q~ j. Легко видеть, что (рассматривается для каждого идеала /е/(Р) два слу- случая: #е/ и хф1). По индукции имеем G{Pi) — qp~x и G(P2) = <7'P~A*', откуда и следует доказательство. Это упражнение предложено М. Хайманом. Здесь воз- возможны и Другие доказательства. 27. а. Порядковый идеал ранга г из /(mXn) легко можно отождествить с разбиением числа г на не более чем т частей, наибольшая часть которого не превосходит п. Ис- Используйте теперь предложение 1.3.19, чтобы доказать, /m-fn\ 4to/?(L, <7) = l I. Это утверждение равносильно тому, что ч. у. множество Р является приятным. b. Это утверждение равносильно знаменитому результату Мак-Магона. См. теорему 18.1, Stanley R. Studies in Applied Math. 50A971), 167—188, 259—279. c. Порядковый идеал ранга г ч.у. множества /BХп) легко отождествляется с разбиением числа г на не более чем п различных частей, откуда F(L, q) = (l + q) A + q2) ... ... A + ?"). d. Этот результат эквивалентен гипотезе Бендера и Кнута; как показано в работе G. Andrews, Pacific J. Math. 72A977), 283—291, он следует из значительно более ран- ранней гипотезы Мак-Магона. Гипотеза Мак-Магона была независимо доказана в работах Andrews G. Adv. Math. Suppl. Studies, vol. 1A978), 131—150; Cordon B. Paci- Pacific J. Math. 108A983), 99—113; Macdonald I. G. Symmet- Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford Univ. Press, 1979 (Упр. 19 на с. 53) ')¦ e. Эта формула равносильна одной гипотезе, на которую есть ссылка в работе Andrews G. Abstracts Amer. Math. Soc. 1A980), 415. Эквивалентная этому гипотеза была высказана Д. Роббинсом (не опубликовано). Несколь- Несколькими авторами показано, что F(L,q) равно 2j4(det.<4), где А пробегает множество всех квадратных подматриц (включая пустую матрицу 0 с определителем det0 = 1) Решения упражнений (п + 1)Х(«+ 1) матрицы 273 f, g. Следует из теоремы 6 статьи Proctor R.European J. Com- Combinatorics 5A984), 331—350. Нетрудно дать прямое доказательство п. (f). Можно дать, в принципе, пря- прямое доказательство п. (g), используя технику разд.4.5, но вычисление, вероятно, потребовало бы применения ЭВМ (особенно для второго ч.у. множества Р). Если Ln = J(Pn), то Рп есть полное двойственное бинарное дерево высоты п, изображенное на рис. 3.61. Порядковый Рис. 3.61. идеал / дерева Рп определяет правило остановки следую- следующим образом. Начав с точки 0, двигаться вверх на шаг влево (соответственно вправо) после выпадения решетки (соответственно орла). Остановка происходит в момент вы- выхода из идеала /. Так как Р„ = 1 ®(Р„_, + Р„_0> ясно,'что F{Ln,q) = = 1 + qF(Ln_u qf. См. Stanley R. Bull. Amer. Math. Soc. 76A970), 1236—1239; [12] § 3; Baclawski K- Proc. Amer. Math. Soc. 36A972), 351—356; Feinberg R. B. Pacific J. Math. 65 A976), 35—45; Feinberg R. B. Discrete Math. 17A977), 47—70. Имеем \x (x, z) = ? [i (*, z) &p(z, -g) = )={raK как *) Имеется перевод: И. Макдональд. Симметрические функции и много- многочлены Холла. — М.: Мир, 1985. См. упражнение 19 на с. 68.—Прим. перев. у). Этот фундаментальный результат впервые получил Crapo H. Archiv der Math. 19A968), 595—607 (теорема 1), упрощая одну раннюю работу Дж.-К. Рота в [26]. Описание
274 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Решения упражнений 275 теории функций Мёбиуса, основанное на операторах замы- замыкания, см. в гл. IV, 3 книги Aigner M. Combinatorial Theory, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1979.') 31. Пусть G(x) = Yjy>xg(y)- Легко показать, что Z lx(O,t)G(t)= Z F4) Используя обращение Мёбиуса, получим (б, y)G(y)= Z t<y y)f(t). С другой стороны, формула обращения Мёбиуса дает ?(*)=? Мх, У)О(у). F5) У>Х Подстановка значения G(y) из формулы F4) в формулу F5) дает требуемый результат. Эта формула есть результат из статьи Doubilet P. Studies in Applied Math. 51A972), 377—395 (лемма на с. 380). 32. Для данной цепи С: 0 < хх <....<. xk< 1 коэффициент при f() ... f(xk) в левой части равенства есть Z C'sC „ x2) ... ^u xk) (из предложения 3.8.5). Здесь С пробегает множество всех цепей из Р — {0, 1}, содержащих цепь С. По существу такой же результат содержится в гл. II, лемма 3.2, работы [28]. 33. Crapo H. H. J. Comb. Theory I A966), 126—131 (Теорема 3). Топологические аспекты этого результата см. в работе Bjorner A. J. Comb. Theory (A) 30 A981), 90—100. 34. а. Из индуктивного определения A4) функции Мёбиуса следует, что число \xL @, х) нечетно (и поэтому не равно нулю) для всех ^ei. Используйте теперь упражнение 33. b. Freese R. and Univ. of Wyoming Problem Group, Amer. Math. Monthly 86A979), 310—311. 35. Этот результат (установленный в несколько другой форме) взят из работы Rota G.-C. in Studies in Pure Mathematics (L. Mirsky ed.), Academic Press, London, 1971, 221—223 ') Имеется перевод: Айгнер М. Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982.— Прим. перев. (Теорема 2). Работы на близкую тему: Rota G. С. in Proc. Univ. Houston Lattice Theory Conf., 1973, pp. 575—628; Geissinger L. Arch. Math. (Basel) 24A973), 230—239, 337— 345. Davis R. L. Bull. Amer. Math. Soc. 76A970), 83—87. 36. [18]. Теорема 5. 37. Наше изложение этого упражнения основывается на работе [19]. а. Определим матрицу М = [М(х, у) ], положив М(х,у) = = t,(x, у)}(х, у). Ясно, что М — треугольная матрица, и что detAf = Uxf(x, x). С другой стороны (обозначая бук- буквой t, матрицу ^-функции решетки L в базисе, состоящем из элементов решетки L, т. е. ? есть матрица инцидент- инцидентности отношения L),1) имеем У)] JX = Г Z /B, х)\ , х)\ =[F(xAy, x)}. x, y<=L Поэтому det[F(xAy, x)\ = detM'g= detM. Эта формула является результатом статьи В. Lindst- rom. Proc. Amer. Math. Soc. 20A969), 207—208 и (в слу- случае, если F(x, s) зависит только от х) статьи Н. Wilf, Bull. Amer. Math. Soc. 74A968), 960—964. b. Возьмем в качестве L множество [п], упорядоченное по делимости, и положим f(x, s) = x. Доказательство, не использующее предыдущих рассмотрений, см. в книге Polya G. and Szego G. Problems and Theorems in Ana- Analysis II, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1976 (Part VIII, Ch. 1, no. 33).2) c. Если f(x, s) = ц @, x), имеем (убрав s) F{x Ay)= Z H Ф, z) = б (б, х А у). Следовательно, матрица R = [F(x /\y)] есть в точности матрица инцидентности отношения хЛу = Ъ. Из п. (а) detR=?O. Следовательно, некоторый член в разложении det R должен быть ненулевым; он и задает желаемую пе- перестановку л. Этот результат содержится в статье Dowling T. and Wilson R. Proc. Amer. Math. Soc. 47A975), 504—512 (Теорема 2*). ') t, есть \L\ X \Ц матрица {?(*, y))x, y<=L, ?(*, y) = 1 при х sg у H i(x> У) = 0 n противном случае. —Прим. перев. 2) Имеется перевод: Полна Г., Cere Г. Задача и теоремы из анализа. — М.: Наука, 1978. — Прим. перев.
276 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Решения упражнений 277 d. Из уравнения B7) легко следует, что ц(х, у) ф 0 для всех х ^ у в геометрической решетке L. Применим п. (с) к двойственной решетке L*. Мы получим такую переста- перестановку я, что x:Vn(i:) = I при всех ieL. Из полумоду- полумодулярности следует, что р(х) + р(к(х)) ^п, так что переста- перестановка л отображает инъективно элементы ранга, не пре- превосходящего k, в элементы ранга, не меньшего п — k. Этот результат содержится также в той же работе Т. Доулинга и Р. Вильсона (теор. 1). Случай k = \ был первоначально доказан в работе Greene С. J. Comb. Theory 2A970), 357—364. e. Dowling Т. and Wilson R. ibid. (Теорема 1). 38. Dowling Т. J. Comb. Theory (B) 23A977), 223—226. Сле- Следующее элегантное доказательство принадлежит Р. Виль- Вильсону (не опубликовано). Пусть ? — матрица из решения упражнения 3.37(а), и положим A0 = diag(nF, х): x^L), A! = diag(n(x, Г): x<=L). Из решения упражнения 37 (е) (и двойственного к нему) имеем, что 6 Пусть C = ?Ai?'Ao5. Из того, что C = (SA, следует, что Сху = 0, если только х и у не являются вза- взаимными дополнениями. Но из условия на решетку L сле- следует, что detC^O и, следовательно, ненулевой член раз- разложения det С дает искомую перестановку п. 38.5. а. Пусть f: L->Q, и определим функцию /: L->Q форму- формулой /(*)= X f(t). Для любых элементов х^х* в L имеем Z /@ ii (/,*')= Z М', Л Z = Z/G/) Z м*. *') = = Z Предположим теперь, что / {х) = 0, если только элемент х не лежит в В. Мы утверждаем, что ограничение fA функции f на множество А определяет функцию f (и, следовательно, функцию /, так как f (х) = = Zf<x f (t) M'^. *) (из формулы обращения Мёбиуса)). Мы докажем это утверждение индукцией по длине 1(х, 1) интервала [х, Т]. Если х = 1, то /A) = /лA)> так как по условию 1 еУ1. Пусть теперь х <. 1. Если д; е Л, то нечего доказывать, так как f (х) = fA (х). Поэ- Поэтому предположим, что хфА. Пусть х* — элемент из условия задачи. Тогда Z f(y) — O (сумма состоит из нулей), Z f(t)n(t, x') = t<* у х\1 у так что Из индукционного предположения мы знаем значения f(t) при х < t. Так как ц(х, х*)фО, можем разрешить уравнение относительно f(x). Итак, предложение дока- доказано. Следовательно, ранг матрицы [?(/, *)]^д равен \В\. Поэтому некоторая |В|Х|^| подматрица имеет ненулевой определитель. Ненулевой член в разложе- разложении этого определителя определяет инъективную функ- функцию <р: В-*-А, удовлетворяющую условию (f(t)^t. До- Доказательство закончено. Этот результат и помещенные ниже приложения со- содержатся в статье Kung J. Order, 2A985), 105—112. b. Это стандартные результаты теории решеток; см., например, [5], теорема 13, с. 131), и § IV.6-—IV.7. c. Возьмем A = Mk и B = Jk в п. (а). Для данного эле- элемента ^gL пусть х* есть объединение элементов, покрывающих элемент х. В силу п. (i) из (Ь) имеем \х(х, х*)?=0. Далее, из утверждения (ii) получаем, что если элемент х покрывается / элементами решетки L, то х* покрывает / элементов интервала [х, х*\. Пусть у е В = Jk- Тогда из утверждения (Hi) получаем [х А У, у] = [х, х V у]. Следовательно, х V У Ф х*, так ') С. 28 перевода. — Прим. перев.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества что условия п. (а) выполняются: отсюда следует тре- требуемый результат. d. Из п. (с) |/fc|^|.Mfe|. Так как двойственная к модуляр- модулярной решетке также является модулярной, мы имеем также \ Mk\^.\Jk\, откуда следует требуемый результат. Этот результат был сначала доказан (более сложным способом) в работе R. P. Dilworth, Ann. Math. B) 60 1954), 359—364, а затем в статье В. Ganter and I. Rival, Alg. Universalis 3A973), 348—350. e. С той же решеткой L, что и в упражнении 37(d), возь- возьмем А = {х е L: р (х) > я — k], Положим х* = 1 для всех ieL. Условие п. (а) легко проверяется, так что, в частности, |В|<;|Л|, что и требовалось. a. Эта дьявольская задача равносильна гипотезе П. Фран- келя (см. с. 525 книги Graphs and Order (I. Rival, ed). Reidel. Dordrecht— Boston, 1985). b. Если это не так, то, как следует из упражнения 37(с), существует перестановка я: L-+L, для которой гА Ля(г) = 0 при всех z e L. Но если \Vx\> п/2, то Ух [\п(]/х)ф 0 и любой элемент t^Vx(]n(Vx) удов- удовлетворяет условию t An(t)^ х. Можно дать простое прямое доказательство (не ис- использующее функций Мёбиуса) следующего, более силь- сильного результата. Пусть L — конечная решетка с п. элементами, в кото- которой каждый элемент х > 0 является объединением ато- атомов интервала [б, х]. Тогда каждый элемент х > 0 удов- удовлетворяет условию |F^|^/2 Ответ. Если п ^ 3, то Scheid H. J. Comb. Theory 13A972), 315—331, лемма 5. а. Г. Зиглер показал (индукцией по 1(Р)), что ответ такой: — 1) ••• (ak— 1), Решении упражнений 279 где максимум берется по всем разбиениям а,\ -\- ач + ¦ ¦ • ... -+- uk = п. Можно показать, что максимум достигает- достигается на наборе, в котором все числа, кроме, возможно, че- четырех, равны пяти. Эта оценка достигается, если Р есть порядковая сумма 1 Фа{1 ф ... фад,1Ф1. Ь. Можно получить оценку п2~е (для произвольного е > 0 и достаточно большого л), взяв в качестве L решетку подпространств подходящего конечномерного векторного пространства над конечным полем. Кажется правдопо- правдоподобным, что п2~в — лучшая возможная оценка. Эту за- задачу поставил Л. Ловас. Эту задачу поставил П. Эдельман. Кажется правдоподоб- правдоподобным предположение, что максимум достигается на ч. у. мно- множестве Р, являющемся порядковой суммой 1Ф&1ФЫ ... ... Ф&1 Ф1 (всего /— 1 копия ч.у. множества k\). Это дает б T)| = (fe — I). Эдельман, однако, нашел пример, где |ц(б, Г)!>(*-1)'-'. Нет; пример дается на рис. 3.62. Первый такой пример (не- (несколько более сложный) привел К. Грин (частное сообще- сообщение, 1972). Рис. 3.62. Для разбиения а множества V пусть %а (п) есть число ото- отображений /: У—>[ге], таких, что (i) если точки а и Ъ лежат в одном и том же блоке разбиения ст, то f(a) = fF) и (И), если а и Ъ находятся в разных блоках и {а, Ь) е Е, то f(a)=?f(b). Для любой функции f: V->[n] найдется един- единственное разбиение а е La, для которого / есть одно из отображений, перечисляемых выражением %а{п). Следова- Следовательно, для любого ueL0 n|ix| = S0>nXa(n)- ^3 формулы обращения Мёбиуса: %K(n) = Y,a>nnlaiix(n, а). Но %^(п) = = %„, откуда и следует требуемый результат. Эта интерпретация функции %(п) в терминах функций Мёбиуса принадлежит Дж.-К. Рота [26], § 9. а. Пусть Af (V, X) есть число инъективных линейных преоб- преобразований V-*-Х. Легко видеть, что N(V', Х) =
Гл. 3. Частично упорядоченные множества = HfcZo (x ~~ Чк)- С другой стороны, пусть W есть под- подпространство пространства V, и пусть F= (W) есть число линейных отображений 9: V->X с ядром W. Пусть F>(W) есть число отображений, ядро которых содержит = T,W> W>>W пространство W. Таким образом, F > так что из формулы обращения .Чёбиуса получим N (V, X) = F_ ({0}) = Е F^W') ц @, W). Ясно, n — dim W , в то время как из фор- мулы B8) имеем ц@, W) = (-1)V , где А = dim Так как существует I . I подпространств W размерно- размерности k, получаем Ь. При подстановке д-*¦?,, z^>—z и п->т в формулу F2), левая часть равенства превращается в (уг— zr)n = = V(—1);( . \yT(n~i)zTi. Сравнивая с правой частью равенства, получаем О, Первое решение. Пусть f(i, n) есть число i-подмножеств множества [п], не содержащих k последовательных чисел. Так как интервал [0, S) в решетке Ln для S e L'n является булевой алгеброй, то (i@, 5) = (—1)|S|. Следовательно, по- полагая ап = цп @, Т), имеем Положим F(x, соотношение i = V = L,l>0Ln>of(i, п)х*уп. Рекуррентное Решения упражнений 281 (оно получается, если рассмотреть случаи, когда макси- максимальный элемент множества [л] удален из множества S e L'n) окончательно дает Так как — F(— 1, //) = ?„>п ян?Л мы получаем !1, если ns 0, — 1 (mod 2? + 2), (-1)*, если ге = А;, А; + 1 (mod 2k + 2), 0 в противном случае Второе решение (независимо получено Е. Гримсоном и Дж. Ширером). Пусть а=/={1}е^. Двойственная к след- следствию 3.9.3 формулировка утверждает, что Теперь л; V я = 1 = s{A; + 2, ..., п}. Легко вывести, что =1 или х = {2, 3, ..., A} U Л, где Л s Это рекуррентное соотношение наряду с начальными условиями а<)=— 1, аг = 0 при /e[fe —1] и afe = (—1)* определяет последовательность а„ единственным образом. Интервал [d, re] ч. у. множества L изомор.фен булевой алгебре Bv(n/d), где v(m) обозначает число различных про- простых делителей числа т. Следовательно, n(d, п) — (—i)v("'d). Будем писать d\\n, если d4^n в L. Для данных функ- функций f, g: P->C имеем S(п)= при всех «еР тогда и только тогда, когда f(n)=Z(-l)vlnld)g(d) при всех гее Р. d||"
282 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Решения упражнений 283 48. а, Ь. Выберем разложение w = gil ... gir Пусть Pw есть мультимножество {iu ..., it}, частично упорядоченное следующим образом: i,<is, если г<п girgis?=gisgir или если г <. s и ir = is. Например, если w = 11324, как на рис. 3.43, то ч. у. множество Pw изображено на рис. 3.63. Можно показать, что / есть порядковый идеал 3 Рис. 3.63. ч. у. множества Pw тогда и только тогда, когда для не- некоторого (или любого) линейного расширения gj , ... ..-,gik ч. у. множества / имеем w = g/i ... gikz для некоторого 2ЕЙ Легко следует, что LW = J(PW) и выполнение п. (Ь) также получается немедленно. Моноид М был введен и широко изучен в работе Car- tier P. and Foata D. Lecture Notes in Math., no. 85, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg —New York, 1969. Впервые утверждение, что Lw = (Pw), в явной форме, кажется, было установлено И. Гессель в письме, да- датированном 8 февраля 1978 г. Этот результат, однако, неявно содержится в упражнении 5.1.2.11 книги Knuth D. E. The Art of Computer Programming, vol. 3, Addison — Wesley, Reading, Mass. 1973l). Это упраж- упражнение из книги Кнута совпадает в сущности с п. (Ь) нашей задачи, хотя Кнут работает с некоторым пред- представлением элементов моноида М в виде перестановок мультимножеств. с. Интервалы [v, vw] и [е, w] очевидным образом изо- изоморфны (посредством отображения v-^vx), и из п. (а) следует, что Pw есть антицепь (и, следовательно, ин- интервал [е, w] является булевой алгеброй) в том и только том случае, если w есть произведение г различ- различных попарно коммутирующих образующих g(. Дока- Доказательство следует из примера 3.9.6. Другое доказательство содержится в гл. II. 3 ци- цитированной выше книги П. Картье и Д. Фоата. ') Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программировании для ЭВМ, т. 3. Сортировка и поиск.—М.: Мнр, 1978. d. Для w ^ M пусть xw обозначает (коммутативный) мо- моном, полученный заменой в слове w каждого элемента gi на А',-. Ввиду п. (с) мы хотим показать, что ) F6) Разложите в сумму левую часть равенства F6), возь- возьмите коэффициент при данном мономе хи и исполь- используйте определяющее рекуррентное соотношение A4) ДЛЯ фуНКЦИИ (Л. е. Тождества ¦Z -I 1( — (*!+...+ Х„) 1 ••• а\ >0 я„>0 ... A-Хп) соответственно. [30], теорема 4.1. Это упражнение принадлежит А. Бьернеру и Р. Стенли. Для данного элемента x^L пусть DX = J(QX) есть ди- дистрибутивная подрешетка решетки L, порожденная цепью С и элементом х. М-цепь С определяет линейное расширение ч. у. множества Qx и, следовательно, отож- отождествление Qx с естественным частичным порядком на множестве [п]. Легко видеть, что LP П Dx = J(P[) Qx). Отсюда легко вытекают все утверждения. .. Изоморфизм l}k\p)^L{k)(p) получается непосредственно, а изоморфизм L(k(p) s bt} (р) следует из стандартных результатов двойственности в теории абелевых групп (или, более общим образом, теории абелевых катего- категорий). Хорошим элементарным источником здесь яв- является глава 2 книги Hilton P. J. and Wu Y. С. A Course in Modern Algebra, Wiley, New York, 1974. В частности, функтор, переводящий группу G в группу Homz(G, Z/p°°Z), является обращающей порядок биекцией между подгруппами G индекса р'п (при некотором m ^ 0) Zk в группе и подгруппами порядка рт в группе Оставшаяся часть п. (а) решается стандартным спо- способом.
284 Гл. 3. Частично упорядоченные множества Решения упражнений b. Следует, например, из того, что каждая подгруппа ко- конечного индекса в группе Z[ изоморфна самой груп- группе Z*. c. Этот результат восходит к Эйзенштейну A852) и Эр- миту A851). Доказательство непосредственно полу- получается из теории нормальной формы Эрмита (см., на- например, § 6 книги Newman M. Integral Matrices, Acade- Academic Press, New York, 1972), из которой следует, что каждая подгруппа G индекса р" в группе Zk имеет един- единственный ?!-базис г/ь ..., у к вида У{ = (ац, а», ¦¦¦' aiu 0 .... 0), где аи > 0, 0 <^ац < аи при j < i и ап • а22 • довательно, число таких подгрупп есть ¦ • akk = р'\ Сле- СлеНекоторые обобщения см. в работах Solomon L. Advan- Advances in Math. 26A977), 306—326, и Solomon L. in Rela- Relations between Combinatorics and Other Parts of Mathe- Mathematics (Ray Chaudhuri D. K. ed.), Proc. Syrnp. Pure Math., vol. 34, American Mathematical Society, Provider!-' ce, R. I., 1979, pp. 309—329. d. Если xx < ... < x, в решетке Lk{p) и p{xl) = sl, то эле- / + kl\ мент /s,-fk-l\ можно выбрать I . 1 I -С дующий элемент х k-1 способами, сле- способами и так далее. е. Слово w = е{е2 ¦ ¦ ¦ s Nk удовлетворяет условию D (w) S- sS={s!, ..., sj}< тогда и только тогда, когда ^^ = es.+2= ... =0. При фиксированных ink pdl+...+dl = и доказательство легко отсюда следует. Задача вычисления величин a(L),,S) и $(L\,S), где L), есть решетка подгрупп конечной абелевой группы типа (Хи ..., %к)=К, более сложна. (В данном упраж- упражнении рассматривается «стабильный» случай Xt —*- со 1 =?г i ^ k.) Довольно легко можно показать, что выра- выражение $(Li,S) есть многочлен от р; используя теорию симметрических функций, можно дать комбинаторную интерпретацию коэффициентов этого многочлена, дока- доказав, что они неотрицательны. Независимое доказатель- доказательство этого факта — в работе Butler L. Thesis, M. I. T, 1986. 50. а. Для любого фиксированного элемента уфО ч. у. множе- множества Pi имеем Е ц(б , х)\ ) Просуммируем по всем элементам у ранга i — k > 0 ч. у. множества Ph получив (так как [х, 1]^Ру) ЕГ / I Е мо,х)\( (x)=t-l / 4p k). С другой стороны, ясно, что Е у(г. i)V(jt i)=l,u дока- зательство закончено. Этот результат (для геометрических решеток) содер- содержится в статье Dowling Т. J. Comb. Theory (В) 14A973), 61—86 (Теорема 6). Ь. См. М. Aigner, Math. Ann. 207A974), 1—22, Aigner M. Aeq. Math. 16A977), 37—50; Stonesifer J. R. Discrete Math. 32A980), 85—88. 51. Dowling J. Comb. Theory (B) 14A973), 61—86. Erratum, тот же журнал, 15A973), 211. Далеко идущее обобщение этих замечательных «реше- «решеток Доулинга» появилось в работе Заславского по графам со знаками (соответствует случаю |G| = 2) и графам напря- напряжений (произвольная группа G). Работа Заславского по вы- вычислению характеристических многочленов и связанных с ними инвариантов опубликована в Ouart. J. Math. Oxford B), 33A982), 493—511. 52. Число элементов ранга k равно fn+k\ К 2k )' (число Фибоначчи), (числ0 Каталана), число максимальных цепей есть 1 • 3 • 5 • • ¦ Bп— 1).
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Это упражнение принадлежит К. Баклавскому и П. Эдель- ману. a. Введем оператор замыкания (определенный в упражне- упражнении 30) на решетке Ln, положив G = ?((?i)X • • • Х®(^)> где О\, ..., Оп есть орбиты группы G, и 2@>г) обозна- обозначает симметрическую группу на множестве Ot. Тогда Ln^Un. Выберите в упражнении C,)) лг = О и у = 1; резуль- результат следует из формулы C0). b. Обобщение, справедливое для любой конечной группы G, дано в теореме 3.1 статьи Kratzer С. и Thevenaz J. Com- Comment. Math. Helvetici 59A984), 425-438. c. Эта формула проверена для «<7в работе Wensley С. D. The supercharacter table of the symmetric group Slt pre- preprint (p. 11). Далее \i6@, 1) = —6!, так что при 3^/г^7 имеем ц„(б, 1) = (—1)""' | Aut Ъп |/2, где к\х\Ъп обозначает группу автоморфизмов группы ®„. (Хорошо известно, что | Aut <3„ | = /г! при /г^З, за единственным исключением | Aut©6| = 2 • 6!). Венсли впоследствии проверил, что ц8 (б, Г) = -8!/2. a. Ч. у. множество Л„ определено в книге [5], гл. 8, упр. 10. Задача подсчета функции Мёбиуса сформулирована в упражнении 13 на стр. 104 этой книги.') (В этом упраж- упражнении О нужно заменить на разбиение A"~2,2).) b. В статье Ziegler G. On the poset of partitions of an inte- integer, J. Combinatorial Theory (A), 42A986), 215—222, по- показано, что Лп не является ч. у. множеством Коэна — Ма- колея при п ^ 19 и что функция Мёбиуса не является знакочередующейся при п ^ 111. (Эти оценки не обяза- обязательно являются точными.) Brylawski Т. Discrete Math. 6A973), 201—219 (Предложе- (Предложение 3.10) и Greene С. A class of lattices with Mobius func- function ±1,0, to appear. а. Эти две формулы иллюстрируют красивую теорию рас- расположений гиперплоскостей, развитую в работе Zaslav- sky Т. Mem. Amer. Math. Soc, no. 154, Amer. Math. Soc. Providence R. I, 1975. Дальнейшие работы Заслав- Заславского на эту тему: J. Comb. Theory (A) 20A976), 244— 257; Adv. Math. 25A977), 267—285; Mathematika 28A981), 169—190; Geom. Dedicata 14A983), 243—259 и (совместно с С. Greene) Trans. Amer. Math. Soc. 280A983), 97—126. Эта теория имеет разнообразные при- приложения к алгебре и геометрии; некоторые из них об- обсуждаются и работе Cartier i\ Lecture Notes in Math, no ') Стр. 139 перевода. — Прим. перев. Решения упражнений 287 901, Springer-Verlag, Berlin —Heidelberg —New York, 1981, pp. 1—22. b. Этот замечательный результат эквивалентен основной теореме статьи Terao H. Invent. Math. 63A981), 159—179. Было бы весьма желательно найти более простое дока- доказательство. c. Результат о том, что модуль Q свободен, если решетка сверхразрешима (получен независимо Р. Стенли и X. Те- Терао, Advances in Math. 52A984), 248—258), можно до- доказать индукцией по v, используя «Removal Theorem» статьи Terao H. J. Fac. Sci. Tokyo AA) 27A980), 293— 312, и тот факт, что если решетка L=L{H\, ..., #v) является сверхразрешимой, то для некоторого I <= [v] решетка Ь(Ни ..., Hi-\, Н,+\, ..., tfv) также сверхраз- сверхразрешима. Примеры свободного модуля Q при условии, что решетка L не является сверхразрешимой, содержатся в цитированной выше работе и статье Н. Terao, Proc. Japan. Acad. (A) 56A980), 389—392. d. Эта гипотеза Орлика — Соломона — Терао, проверивших ее для п ^ 7. Числа (еь ..., еп) при 3 ^ я sg 7 есть A,1,2), A,2,3,4), A,3,4,5,7), A,4,5,7,8,10) и A,5,7,9,10,11,13). e. На эту гипотезу есть ссылка на стр. 293 работы Terao H. J. Fac. Sci. Tokyo AA) 27A980), 293—312. f. Terao H. Invent. Math. 63A981), 159—179 (Предложение 5.5). Как заметил Л. Биллера, это следует из того, что ло- локализация свободного модуля является свободным моду- модулем. Ранее Терао дал более глобокое доказательство. См. теорема 3.8.3 работы Ziegler G. M. Ph. D. thesis. M. I. T, 1987. Эта диссертация содержит интересный свод ал- алгебраических свойств расположений гиперплоскостей, включая теорию модуля й (X).') 57. Ответ: Z(P + Q, tn) = Z(P, m) + Z{Q, m), Z(P®Q, m)=fJZ(P, j)Z(Q, n. Z(PXQ, m) = Z(P, m)Z(Q, m). m' ') Проблематика, связанная с темой данного упражнения — расположе- расположение гиперплоскостей и, более общо, конфигурации аффинных подпространств, в настоящее время получила значительное развитие. См.: Варченко А. Н., Гельфанд И. М. О функциях Хевисайда конфигурации плоскостей. Функц. анализ 21, № 4, 1987 — в связи с общей теорией гипергеометрических функ- функций; Вершик А. М. Геометрический подход к представлениям частично упо- упорядоченных множеств. Вестник ЛГУ, № 1, 1988 — в связи с классификацией представлений ч. у. множеств; Мнев Н. Е. О топологии многообразий конфи- конфигураций данного комбинаторного типа. ДАН СССР, 1985, т. 283, № 6.— Прим. ред.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества По определению Z(Int(P), n) есть число цепей интервалов ч. у. множества Р. Равносильным образом, *П-1 < */»-2 < • • • <-К, < «Л Следовательно, Z(Int(P), n) = Z(P, In—1). Легко видеть, что Z(Q, n)-Z(Q, n-l) = Z(lnt(P), n). Положив я = 0 и используя предложение 3.11.1 (с) вместе с п. (а), получите, что nQ(o, Ъ = -г(Р, -1) = -црF, 7). Для любой цепи С ч. у. множества Р пусть ZC(QO, m + 1) обозначает число цепей С1^.С2^: ... ^Ст — С в Qo. Так как интервал [0, С] в ч. у. множестве Qo является булевой алгеброй, из примера 3.11.2 имеем, что ZC(QO, m-fl) = mlC|. Следовательно, Z (Qo, m + 1) = Sc<=QomlCI = = X сцт', где ч. у. множество Р содержит at i-цепей, и доказательство следует1 из предложения 3.11.1. Ответ, iip (б, Т) = ц§ (б, Г). Это тождество отражает тот топологический факт, что геометрические реализации конечного симплициального комплекса и его первого барицентрического подразделения гомеоморфны (и поэ- поэтому имеют равные эйлеровы характеристики). Пусть v(P, S) обозначает число интервалов [г {К), К], для которых р (г (К)) = 3. Если С есть произвольная цепь из ч. у. множества Р с условием p(C) = S, то цепь С содержится в единственном интервале [г (К), К], таком что p(r(/C))sS и обратно, интервал [г (К), К] удовлетво- удовлетворяющий условию p(r(/C))sS, содержит единственную цепь С из ч. у. множества Р, такую, что p(C) = S. Сле- Следовательно, у(Р, Г) = а(Р, S), и доказательство следует из формулы C3). Понятие ч. у. множеств со свойством разбиваемости цепей введено независимо в работах Provan J. S. thesis, Cornell Univ. 1977 (Appendix 4), P. Стенли [37], с. 149, и Garsia A. M. Advances in Math. 38A980),229—266 (§ 4). Решения упражнений 2&§ (Первые две из этих работ изложены в более общем контексте симплициальных комплексов, а третья работа использует термин «ER-poset» для наших ч. у. множеств со свойством разбиваемости цепей.) d. Пусть Я: <?^(P)->Z есть Р-пометка и К: хг< ... ... < xn_i — максимальная цепь в Р, так что 0 = х0 < <*!<... < хп_х <.хп=\ есть максимальная цепь ч. у. множества Р. Положим по определению По данной цепи С: г/, < ... < yk ч. у. множества Р опре- определим К как (единственную) максимальную цепь ч. у. множества Р, состоящую из возрастающих цепей интер- интервалов JO, yj, [yu y2] [yk, T] с удаленными элемен- элементами 0 и Т. Легко видеть, что С ^[г (К), К] и что К есть единственная максимальная цепь ч. у. множества Р, для которой Се [г(К), К]. Следовательно, ч.у. множество Р обладает свойством разбиваемости цепей. е. Для так называемых «шелушимых» ч. у. множеств (это специальный класс ч.у. множеств Коэна — Маколея) до- доказано в трех цитированных в п. (с) работах, что они обладают свойством разбиваемости цепей. Неизвестно, являются ли все шелушимые множества Коэна — Мако- Маколея (или ч.у. множества Коэна — Маколея) ^-помечи- ваемыми. С другой стороны, представляется весьма ве- вероятным, что существует #-помечиваемое ч.у. множество, которое не является шелушимым, хотя этот факт также не доказан. (Два кандидата изображены на рис. A8) и A9) работы [8].) В работе Stanley R. Invent. Math. 68A982), 175—193, содержится весьма общая гипотеза теории колец (Гипотеза 5.1), из справедливости которой следовало бы, что ч. у. множества Коэна — Маколея обла- обладают свойством разбиваемости цепей. 60. а. Первое доказательство. В работах нескольких авторов (например, Faigle-Schrader, Gallai, Golumbic, Habib, Kelly, Wille) неявно содержится тот факт, что два конеч- конечных ч. у. множества Р и Q имеют один и тот же граф сравнимости в том и только том случае, если существует последовательность ч. у. множеств Р = Ро, Ри ..., Pk = = Q, таких, что ч. у. множество P,+i получено из Р,- «пе- «переворачиванием вверх дном» (дуализацией) подмноже- подмножества Т s Pi, для которого каждый элемент leP/ — Т удовлетворяет условиям (а) х < у для всех у^Т, или 10 Р. Стенлн
Гл. 3. Частично упорядоченные множества (Ь) х > у для всех jeJ, или (с) элементы х и у не- несравнимы для всех i/eT. Первая явная формулировка и доказательство содержатся, по-видимому, в статье Dreesen В., Poguntke W. and Winkler P. Order 2A985), 269—274 (Теорема 1). Затем другое доказательство содер- содержится в работе Kelly D. Invariants of finite comparabi- comparability graphs, preprint. Легко видеть, что ч. у. множества Pi и Р,+1 имеют один и тот же порядковый многочлен, откуда и следует доказательство этого упражнения. Второе доказательство. Пусть Г(Р, т) есть число отобра- отображений g: P^-[0, m— 1], в которых g{x{)+ ... +g(*feX ^m — 1 для каждой цепи хх < ... < xk ч. у. множества Р. Мы утверждаем, что Q(P, /я) = Г(Р, пг). Чтобы доказать это, для данного отображения g положим f(x)= 1 +max{#(*,)+ ... +g(xk):xl< ... <xk = x}. Тогда отображение f: P-+[tn] сохраняет порядок. Наобо- Наоборот, по данному отображению / положим g (х) = min {/ (х) — f (у): х покрывает у). Таким образом, Й(Р, /п) = Г(Р, пг). Но по определению функция t(P,m) зависит только от Сот(Р). Это доказа- доказательство содержится в работе Stanley R. Discrete Com- put. Geom. 1A986), 9—23. и Рис. 3.64. См. рис. 3.64 Общий обзор по графам сравнимости ч. у. множеств см. Kelley D. in Graphs and Order (I. Rival, ed.), Reidel, Dordrecht —Boston, 1985, pp. 3—40. Имеем Q(P, — n) = Z(/(P), — я) = ц"(Р)(б, T). Из примера 3.9.6 где сумма берется по всем цепям 0=/os/1S ... = /„=Р порядковых идеалов из ч. у. множества Р, таких, что каждое из множеств lt — /,-_i есть антицепь в Р. Так как |/,-/0|+...+!/„_/„_, | = р, то (-1)<V(O, Г) есть число таких цепей. Но такая цепь соответствует строго Решения упражнений 291 сохраняющему порядок отображению т: Р-*п, опреде- определенному формулой x(x) = i, если х е /,— /;_]. Доказа- Доказательство закончено. Этот результат известен как теорема взаимности для порядковых многочленов; он впервые опубликован в статье [29], предложение 13.2. Другое доказательство бу- будет дано в следствии 4.5.15; будет представлено также много других доказательств: Ь. Q(p, я) = (-1)рЙ(р, -п) = пр, Тетраэдр: Z (L, n) = n*, куб или октаэдр: Z (L, n) = 2n* — n2, икосаэдр или додекаэдр: Z (L, n) = 5n4 — An2. Случай ц = 0 эквивалентен одному результату из книги MacMahon P. A. Combinatory Analysis, vols. 1, 2, Chelsea, New York, 1960 (положите x = 1 в неявной формуле для GF(pup2, ..., рт',п)), на стр. 243 и часто переоткрывался в разных обличиях. Общий случай содержится в работе Kreweras G. Cahiers du BURO, no. 6, Institut de Statistique de L'Univ. Paris, 1965 (Section 2.3.7); он является частным случаем (после построения простой подготовительной биек- ции) теоремы 2.7.1. Ответом предположительно является «нет», хотя проверено, что утверждение верно при п ^ 6. Пусть 1 ^ k ^ п. Определим в алгебре инцидентности 1(Р) функцию щ формулой , если р (у) — р (*) = k, в остальных случаях. Из самодвойственности интервала [х, у] следует, что 4i'4k(x,y) = r\kr\j(x,у) для всех пар / и k, так что функции г]/ и Цк коммутируют. Но а(Р, S) = л„ Л„ _„ • • • Л„_„ @, Г). Доказательство вытекает из того, что все функции г\/ можно произвольным образом переставить, 10*
292 Гл. 3. Частично упорядоченные множества 66. Имеем NXN = /f(Q), где элементы ч. у. множества Q есть хх < х2 < • • • и Ух < г/2 < • • • • Рассмотрим ч. у. множество Q как подмножество вполне упорядоченного множества, в ко- котором Xi<.yj для всех пар i, ). Из теоремы 3.12.1 (распространенной очевидным способом на финитарные дистрибутивные решетки) имеем, что число P(NXN,5) равно числу линейных упорядочений щ, «2, •¦-, V\, V2, ... ч. у. множества Q, таких что элементы xi стоят в возрастаю- возрастающем порядке, элементы г// расположены в возрастающем по- порядке, а за элементом yi непосредственно следует элемент х,- в том и только том случае, если г/,- = и*, где ieS. По- Поэтому элементы щ ит, можно выбрать в качестве эле- элементов Х\, ..., Xi, у\ ym,~i (O^i^mi — 1) т\ способа- способами. Тогда umi+i = xi+i, а элементы ыт1+2, •••, ит2 можно выбрать т% — ni\ — 1 способами и так далее, что и дает тре- требуемый результат. Менее комбинаторное доказательство содержится в ра- работе [29], предложение 23.7. 67. а. Пусть aft = ?|S|=fea(P, 5). Теперь Z(P, m) есть число мультицепей б = х0 ^ хх ^ ... ^ хт = 1. Такую мульти- цепь К можно получить, выбрав сначала цепь С: 0 < г/1 <... ... < yk< I ak способами, а затем выбрав мультицепь К, носителем которой (подстилающим множеством) является «k + 2 Е ( т \ = I ... I способами. Следова- \k-\- 1 / т \ *+ь _ к -J- 1 / Ь. Разделим обе части требуемого равенства на A—х)п+1 и возьмем коэффициент при хт. Нам нужно показать, что r-i m-/-i ( —п—^ ^ V (п-\-т — / — 1\ ' ZjP/^ \т — / — 1/ Z-i^!\ n )' i ' ! Теперь •»* \S\=k Решения упражнений Следовательно, из п. (а) 293 Но ?U+iJL-i-aJ А п + т — j — 1 п (в частности, из примера 1.1.17), и доказательство закон- закончено. Можно дать более элементарное доказательство в сле- следующем направлении. Введем переменные /ь ..., tn_x и для подмножества S ? [п — 1] запишем ts=JlisSti. Далее, для мультицепи К: хх ^ ... ^ хт ч. у. множества Р — {О, Т} напишем /#= Ц,.=1^р^). Легко видеть, что 1 — i iGS Положив tt=x и умножив на A — х)~2 (что соответст- соответствует присоединению элементов б и Т), получим (а) и (Ь). Замечание. В разд. 4.3 обсуждается производящая .функ- .функция ]iim>of(m)xm и, в частности, ее представление в виде W(x)(I — x)~n~i в случае, если / — произвольный много- многочлен степени п. Поэтому данное упражнение можно рас- рассматривать как «нахождение» функции W (х) при / (т) = = Z(P, m). Из определения многочлена %(Р, q) имеем fe= Е И (б, *) = PW=A (б,
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Пусть [is обозначает функцию Мёбиуса S-рангово вы- выбранного ч. у. подмножества Ps ч. у. множества Р, как в разделе 3.12. Тогда из определяющего рекуррентного соотношения A4) для функции ц получаем Wk = — №] (б. ) + \Чк-П @. Ъ- Доказательство следует из формулы C4). В случае к = 1 некомбинаторное доказательство п. (а) впервые получено в статье Kreweras G. Discrete Math. 1A972), 333—350. Затем комбинаторное доказательство было получено в работе Poupard Y. Discrete Math. 2A972), 279—288. Случай произвольных чисел к и п. (с) и (d) рас- рассмотрены в статье Edelman P. Discrete Math. 31 A980), 171— 180. См. также Edelman P. Discrete Math. 40A982), 171—179. Конечно, п. (Ь) следует из п. (а), если взять п = 1 и п = —2, а п. (е) следует из п. (d), если положить S ={t — т) и S = [0, t — 2]. Разбиения я, обладающие свойством (И), на- называются непересекающимися разбиениями. Дальнейшие результаты о непересекающихся разбиениях содержатся в статьях Prodinger H. Discrete Math. 46A983), 205—206, и Dershowitz N. and Zaks S. Discrete Math. 62A986), 215—218. a. Утверждение, что интервал [х, у] содержит одинаковое число элементов нечетного и четного рангов, равносильно тому, что Х2?3[* г/](—1)р<2>~р(х>= 0. Доказательство теперь легко следует из определяющего рекуррентного соотноше- соотношения A4) для функции ц. b. Аналогично предложению 3.14.1. c. Если п нечетно, то из п. (Ь) Z{P, Z{P, -m) = -m((-l)" , Г) - 1). Левая часть равенства есть четная функция от т, в то время как правая часть четна в том и только том случае, когда цР@, f) = (—1)". (Существует много других дока- доказательств.) d. Из предложения 3.8.2 ч. у. множество Р X Q является эйлеровым. Следовательно, каждый интервал [zf, z] ч. у. множества R с условием z'=^=0R является эйлеровым. Та- Таким образом, в силу п. (а) достаточно показать, что для любой пары z = (x, y)>0R в R имеем Решения упражнений где рд обозначает ранговую функцию в любого 1ф0ц имеем рц (/) = рр х Q @—Ь 29S в 7?. Так как для то Орфх'^х в Р в Q = 0-1-1 1=0. Дальнейшую информацию, относящуюся к ч. у. множе- множеству R, см. в статье Bennett M. К. Rectangular products of lattices, Abstracts Amer. Math. Soc. 6 (October, 1985), 326—327. Ответ: p (P, S) = 1 для всех S S [n]. Из упражнения 67 (b) Z (Pn, tn)x — „+2 (можно обратиться также к упражнению 5.7). Запишем fn = f(Pn,x), gn = g(Pn,x). Рекуррентное соотношение D3) дает я-1 F7) Уравнения D2) и F7) вместе с начальным условием f0 = g0 = 1 полностью определяют функции fn и gn. Вы- Вычисляя несколько первых значений, приходим к догадке: ["/21 Нетрудно проверить, что эти многочлены удовлетворяют необходимым рекуррентным соотношениям. Заметьте также, что g2m = A — x)g2m-i и f2m+1 =
Гл. 3. Частично упорядоченные мнбжест&а Пусть С„ = {(хи ..., хп) <= R": 0;<х, < 1} — «-мерный куб. Непустая грань F куба Сп получается, если выбрать подмножество Т s [я], функцию ф: Г-* [О, 1] и положить F{(xi х„)еС„: xl = q{i), если ieT}. Пусть грань F соответствует интервалу [ф~!@» Ф~!0I1 U([я] —Г)] булевой алгебры Вп. Это дает требуемую (сохраняющую порядок) биекцию. Обозначим элементы ч. у. множества Л, как на рис. 3.65. Пусть грань F определена, как и выше, и ей соответст- соответствует n-набор (г/, nJeA', где yt = <f(i), если ieT, и У{ = и, если 1ф.Т. Это дает требуемую (сохраняющую порядок) биекцию. Решения упражнений 297 Рис. З.в5. Обозначим два элемента ч. у. множества Рп ранга i посредством at и b{, l^.i^n. Сопоставим с цепью z,< < z2 < ... < zk ч. у. множества Рп — {б, 1} я-набор (У\, • • •» Уп) е Л" следующим образом: {О, 1, и если некоторый элемент Zj= если некоторый элемент zi = в других случаях. Это дает требуемую биекцию. Следует из п. (с), упражнения 70(а) и [38], теорема 8.3. С тем же ч. у. множеством Л, как и в п. (Ь), имеем Z(A, m) = 2m — 1, так что из упражнения 57 Z(An,m) = = Bm — 1)". Легко вывести, что Z(Ln, т) = Г + Зя + 5в + •• (получено в сотрудничестве с И. Гессель). Этот результат вывел из п. (f) Л. Шапиро (частное со- сообщение) . Разными авторами показано (не опубликовано), что для торического многообразия Х{&), ассоциированного с мно- многогранником &, функция f(L,q2) есть многочлен Пуан- Пуанкаре (средних) когомологий пересечений многообразия X(fP). Но когомологий пересечений, рассматриваемые как модуль над кольцом сингулярных когомологий, удовлет- удовлетворяют сильной теореме Лефшеца, из которой следует, что коэффициенты многочлена f(L,x) унимодальны. Основ- Основные факты о торических многообразиях и сильной тео- теореме Лефшеца см. в статье Stanley R. in Discrete Geometry and Convexity (J. E. Goodman et. al.,eds.), Ann N. Y.Acad. Sci. A985), pp. 212—223. О (ко)гомологиях пересечений см. Goresky M. and MacPherson R. Topology 19A980), 135—162, и Invent. Math. 72A983), 77—129. Дальнейшую информацию по поводу этого упражнения см. в работе Stanley R. Generalized /i-vectors, intersection cohomology of toric varieties, and related results, in Proc. U. S. — Japan Joint Seminar on Commutative Algebra and Combinatorics (M. Nagata, ed.), North-Holland, to appear. 73. Решетка Lnd есть в действительности решетка граней неко- некоторого выпуклого многогранника C(n,d), называемого цик- циклическим многогранником. Следовательно, из предложения 3.8.9, решетка Lnd является эйлеровой. Данное в задаче ком- комбинаторное описание решетки Lna называется «условием четности Гейла». См., например, McMullen R. and Shep- hard G. С. Convex Polytopes and the Upper Bound Conjecture, Cambridge Univ. Press, 1971, p. 85, или с. 62 книги [20]'). Можно дать также прямое комбинаторное решение, избе- избегающее всякого упоминания выпуклых многогранников. 74. Пусть Р = {хь ..., х„), и положим ,<1 и х{ Тогда &> есть выпуклый многогранник, и нетрудно показать (впервые на это указано в работе Geissinger L. Proc. Third Carribean Conf. on Combinatorics, 1981, pp. 125—133), что решетка Г(Р) изоморфна двойственной к решетке граней многогранника 9* и, следовательно, Т(Р) есть эйлерова ре- решетка. Дальнейшие сведения о многограннике $Р см. в ра- работе Stanley R. J. Disc, and Сотр. Geom. 1A986), 9—23. 75. а. Рп есть порядок Брюа на группе ©„. Его можно обобщить на случай произвольных групп Кокстера. Было показано в этом контексте, что Рп — эйлерово ч. у. множество в ра- ') Читатель может также обратиться к монографии Емеличев В. А., Ко- Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники, графы, оптимизация (комбина- (комбинаторная теория многогранников).—М.: Наука, 1981. См. также Брёистед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. — М.: Мнр, 1988, с. 137.— Прим. перев.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества Решения упражнений 299 ботах Verma D.-N. Ann. Scient. Ее. Norm. Sup. 4A971), 393—398, и Deodhar V. V. Invent. Math. 39A977), 187— 198. Далеко идущее топологическое обобщение содержит- содержится в статье [9]. Обзор порядков Брюа дан в работе Bjorner A. Contemp. Math. 34A984), pp. 175—195. b. Следует из следствия 3 на с. 185 цитированной работы А. Бьернера. c. Edelman P. H. Geometry and the Mobius function of the weak Bruhat order of the symmetric group, preprint (Тео- (Теорема 1.3). d. Впервые этот результат доказан в статье Stanley R. Euro- European J. Combinatorics 5A984), 359—372 (Следствие 43). Последующие доказательства анонсированы в работах Edelman P. H. and Greene С. Contemporary Math. 34A984), 155—162, и Lascoux A. and Schtitzenberger M. —P., Acad С. R. Sc. Paris 295, Serie 1A982), 629—633. Доказательство первых двух авторов опубликовано в статье Edelman P. H. and Greene С. Balanced tableaux Advances in Math., 63A987), 42—99. Ч. у. множество Р является интервалом ч. у. множества нормальных слов, введенного в статье Farmer F. D. Math. Japonica 23A979), 607—613. Как заметили авторы статьи [10], § 6, ч.у. множество всех нормальных слов над конеч- конечным алфавитом S={si, ..., sn} есть в точности порядок Брюа группы Кокстера W = (S: sf=l\. Следовательно, ч.у. множество Р является эйлеровым ввиду результата Вер- ма — Деодара, упомянутого при решении упражнения 75. Можно также дать прямое доказательство. Bayer М. М. and Billera L. J. Inv. Math. 79A958), 143—157 (Теорема 2.6). Обзор результатов на близкую тему см. в работе Bayer M. M. and Billera L. J. Contemp. Math. 34A984), 207— 252. a. Пусть [x, y] — (n-\- 1) —интервал ч. у. множества Р, и z есть коатом (элемент, покрываемый элементом у) интер- интервала [х, у]. Тогда интервал [х, у] содержит А(п-{- \) = = В{п-{-1)/В(п) атомов, а интервал [х, z] содержит А (п) = 5 (п)/5 (и — 1) атомов. Так как каждый атом ин- интервала [х, z] является атомом интервала [х, у], имеем A (n + l)^s А (п), откуда следует доказательство. b. Ч. у. множество на рис. 3.66 могло бы быть 4-интервалом биномиального ч.у. множества, в котором В(п) = = FrF2 ... Fn. а. [12], предл. 9.1. Этот результат доказывается полностью аналогично теореме 3.15.4, Ь, с. [12], предл. 9.3. 80. Так как обозначения становятся несколько беспорядочными, проиллюстрируем доказательство примером ai=0, a2 = 3, аз = 4, т = 6. Пусть Sn = {6/, 6* + 3, 6/ + 4: 0 < / < п}, S'n = Sn(i{6n}, s: = SnU{6n, 6п + 3}. Пусть Р — биномиальное ч.у. множество В всех конечных подмножеств множества N, упорядоченных по включению, и Рис. 3.66. пусть ns(n) — функция, определенная в разделе 3.16. Тогда из теоремы 3.12.1 имеем (-1)"+I Ып) = IV Fи + 3) :=&(«), - 1Г /з (л) = 4) := Из определяющего рекуррентного соотношения A4) для функции [1 имеем га-1 Ы + 3
300 Гл. 3. Частично упорядоченные Множёст&а Эти формулы можно переписать (положив также gr,(O) 1) в виде °-z[( Умножая эти три уравнения на ^"/ л;6"+4/Fп + 4)! соответственно и суммируя по п + 3)! и получаем что и требовалось. Читателю остается проверить, что в об- общем случае можно действовать тем же способом. Заметьте, что можно заменить функцию fk(n) более тонким рядом ]Сл<7'(п)> гДе п пробегает множество всех перестановок, пе- перечисляемых функцией fk(tt); взяв просто вместо ч. у. мно- множества В ч. у. множество В(^) и поэтому везде заменив а! на (а)! и (*) на (*). 81 Другой подход к этой задаче дан в статье Jackson D. М, and Goulden I. P. Advances in Math. 42A981), 113—135. a. [35, Лемма 2.5] Примените теорему 3.15.4 к п. (а). См. [35, следствие 2.6]. Рассмотрите в п. (b) Р = В (q) и заметьте, что из тео- теоремы 3.12.3 имеем Gn(q, t) = (—lYlh(n)\t^_t. Более общий результат содержится в работе [35, следствие 3.6]. Глава 4 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 4.1. Рациональные степенные ряды от одной переменной Теория биномиальных ч. у. множеств, представленная в преды- предыдущей главе, в изрядной степени проливает свет на смысл про- производящих функций и сводит перечислительные задачи опреде- определенного типа к шаблонному вычислению. Однако к более слож- сложным задачам такой подход едва ли применим. В этой главе мы будем в основном заниматься другими средствами, позволяю- позволяющими находить и изучать производящие функции. Сначала рас- рассмотрим простейший общий класс производящих функций, а именно рациональные производящие функции. В этом разделе мы сосредоточимся на рациональных производящих функциях от одной переменной, т. е. производящих функциях вида F(x) = = Хга>о f (rt) *"» которые являются рациональными функциями в кольце С [ [л;] ]. Это означает, что существуют такие много- многочлены Р(х), Q(x)sC[jc], что F{x) = P(x)Q(x)-1 в С:[[*]]. При этом предполагается, что Q @)=й=0, так что Q(*)~' существует в С, [[*]]. Основное с точки зрения теории перечисления свой- свойство рациональных функций в кольце С [ [*] ] заключается в следующей теореме. 4.1.1. Теорема. Пусть фиксирована последовательность аьсхг,... ..., ad комплексных чисел, причем d~&z 1 ко^О. Для функции f: N -*- С следующие условия равносильны: Q(*) ' A) где Q(х) = 1 + а{х + а2х2 + ... -\-adXd, a P(х) — многочлен от х, степень которого меньше d. ii. Для всех п^О выполняется соотношение iii. Для всех п 0 выполняется соотношение /(«)=S^(«)Y?, (n) = 0. B) C)
302 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.1. Рациональные степенные ряды от одной переменной 303 где 1 + щх2 + • • • = Щ=! 0 — у{ различны, а степень многочлена Pi{n) от переменной п меньше di. Доказательство. Зафиксируем многочлен Q(x)= 1 -\-a\X + ••• ... + adxd и введем четыре векторных пространства: Vl = {f: N->C: / удовлетворяет соотношению (i)}, ^2 = {f: N->C: / удовлетворяет соотношению (ii)}, Уз = {f- N->C: / удовлетворяет соотношению (iii)}, F4 = {f: N->C: ln>J(n)xn^Zll0t(x)(l-yix)-^ для некоторых многочленов Gi(x) степени меньше di, где у,- и di имеют тот же смысл, что и в условии (Hi)}. В представлении (i) мы можем выбрать d коэффициентов многочлена Р(х) произвольно. Следовательно, dim Vi = d. В ре- решении f системы (ii) мы можем выбирать значения /@),/A),... ..., f(d—l), после чего остальные значения f(n) определяются однозначно. Следовательно, dim F2 = d. В представлении (iii) мы можем выбрать коэффициенты многочленов Pi{n) произ- произвольно (их общее число равно d). Следовательно, dim F3 = d. Для функции |eF4 произвольно могут быть выбраны d коэф- коэффициентов G[(x), ..., Gk(x), откуда следует, что dim V4 = d. Если / е Vu то, приравнивая коэффициенты при хп в тождестве Q(x)^n>oi(n)xn = P(x), убедимся, что /еУ2. Благодаря совпадению размерностей Vt = V2. Приводя сумму ^=lGi(x)(l—Yi*)~d< K общему знамена- знаменателю, мы видим, что V4 — У\- Поскольку dim V{ = dim VA, от- отсюда следует, что V\ = V4. Заметим, что упомянутая сумма дробей является конечной линейной комбинацией дробей вида х>(\—ух)~с, где / < с. Имеет место разложение (I-' Поскольку '-'С — многочлен от п степени с — 1, ¦с + п-1-Г с-\ отсюда следует включение У4 s V3. Благодаря тому, что dim V3=dim Vit мы приходим к выводу, что Va=Vi (= Vi = V2). D Прежде чем обратиться к некоторым интересным вариан- вариантам и частным случаям теоремы 4.1.1, мы на типичном примере покажем, как в комбинаторике появляются производящие функции. 4.1.2. Пример. Пусть f(n) — число n-звенных ломаных (путей) на двумерной решетке, не имеющих самопересечений, звенья которых имеют тип A, 0), (—1,0) или @, 1). Например,/B) = 7, что видно из рис. 4.1. Эквивалентная формулировка задачи по- получится, если мы положим ?=A,0), № = (—\,0), N =@,\) и поставим вопрос о числе слов вида А\А2 ... Ап, где каждое О 0 0 0 0 0 0 Рис. 4.1. At — это Е, W или N, причем комбинации EW и WE не встре- встречаются. Пусть п ^ 2. Ровно f(n—1) слов длины п кончаются на N, еще f(n— 1) слов длины п оканчиваются одной из ком- комбинаций ЕЕ, WW или NE. Наконец, f(n — 2) слов длины п кон- кончаются на NW. Разумеется, любое слово длины п ^ 2 оканчи- оканчивается одной из комбинаций N, ЕЕ, WW, NE или NW. Следо- Следовательно, /(n) = 2/(n-l) + f(n-2), /@) = l, f(l) = 3. По теореме 4.1.1 существуют такие числа А и В, для которых %n>of(n)xn = (A + Bx)/(l —2х — х2). Сравнивая коэффициенты, скажем, при 1 и х, обнаружим, что А =?= 1. Таким образом, Разложим знаменатель: 1 — 2л: — л;2,= (l — (l + V2) х) >< X A — 0 — л/%)х). Снова по теореме 4.1.1 мы получим, что f(n) = a(l + л/2)п + Ь{1 — У2Г для некоторых чисел а я Ь. Подставляя, например, п = 0, 1, находим их: а = ( й = A —д/2)/2. Следовательно, Отметим, что если не требовать, чтобы пути не имели само- самопересечений, то получатся 3" путей из п шагов вместо прибли- приблизительно (l -)- д/2)" = B.414 ...)" шагов в случае путей без са- самопересечений,
304 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.2. Дальнейшее развитие теории В этом разделе мы обсудим ту дополнительную информацию, которую удается извлечь из теоремы 4.1.1. Сначала мы приве- приведем непосредственное следствие по поводу возможностей «упро- «упростить» формулы A), B), C). 4.2.1. Следствие. Пусть функция f: N-*-'C удовлетворяет лю- любому из равносильных условий теоремы 4.1.1. Следующие усло- условия, формируемые в обозначениях этой теоремы, равносильны: I. Р(х) и Q(x) взаимно просты. Другими словами, невозможно сокращение дроби P(x)/Q(x) = Pl(x)/Ql(x), где Рь Q{ —мно- —многочлены и deg Qx < deg Q = d. i\. He существует такого целого числа с, O^c^d, и таких комплексных чисел ^1 рс, что для всех п^О. Иными словами, B) является однородным линейным рекуррентным соотношением для f(n) наимень- наименьшего порядка. III. degPi(«) = rf<-l для" 1 <t<fc. Далее мы будем рассматривать коэффициенты любой ра- рациональной функции P(x)/Q(x)<^ С [[*]], т. е. не обязательно удовлетворяющей условию deg Р < deg Q. 4.2.2. Предложение. -Пусть f: N->C, и пусть Hn>of (п)хп = = P(x)/Q(x), где Р, QeC[x]. Тогда существует единственное множество Е^сН {называемое исключительным множеством для функции f) и единственная такая функция /t: ?1->C*, что функция g: N->C, определенная соотношением 8W~ f(n если п ф Ef, если «e?f, удовлетворяет равенству Tln>og(n)xn = R(x)/Q{x), где R^C[x] и deg R < deg Q. Более того, в предположении, что Е[Ф0 (т. е. deg Р^ deg Q), положим m(/) = max{?: г е ?f}. Тогда i. m(/) = degP-degQ. Н. m {f) — наибольшее целое п, для которого соотношение B) не выполняется. Ш. Пусть, как в теореме 4.1.1, Q(x) — П?A — Y«*)d'» а Ри ¦ • ¦, Pk — те единственные многочлены Ри ..., Pk, для которых равенство C) справедливо для всех достаточно 4.2. Дальнейшее развитие теории 305 больших п. Тогда m(f) —наибольшее целое п, для которого C) не выполняется. Доказательство. Применение алгоритма деления многочленов от одной переменной к многочленам Р(х) и Q(x) позволяет найти (определяемые единственным образом) многочлены L(x) и R (х), deg R < deg Q, для которых Р (х) _ г Q(x) — *- R(x) Q (x) D) В таком случае мы должны определить Ef, g(n) и f\{ri) форму- формулами: n>0 q(^ . *-f = {'•" CL(x) Ф 0}, »е? ;f откуда сразу следует доказательство. ? Теперь мы опишем метод, который позволяет быстро найти коэффициенты рациональной функции Р {x)/Q (х) = ?„ > 0 f (n) х"< практически угадывая их. Предположим, не умаляя общности, что Q (х) = 1 + &ix + • • • + a,dXd, и положим Р (х) = р0 + + Pix + ••• + $еХе (возможно, что е^ d). Приравнивая коэф- коэффициенты при хп в равенстве Q(x)= п>0 получаем E) где мы считаем, что f (k) = 0 при k < 0 и pft = 0 при k > /. Вид рекуррентного соотношения можно легко угадать (по крайней мере для небольших значений d и ос,). Например, пусть P(x)/Q(x) = (\— 2jc + 4x2 — х3)/{1— Зх + Зх2— х3). Тогда = 3-3 = 4, 1-1=9, и так далее. Последовательность 1,1,4,9,16,25, ... подозрительно напоминает f(n)=n2, за исключением f@)=\. В самом деле, исключительное множество Ef = {0} и Р (x)/Q (х) = 1 + (х + х2)/
306 Гл. 4. Рациональные производящие функции A — хK = 1 + ?n>oraV. В разделе 4.3 мы обсудим случай, ко- когда f(n)— многочлен, и, в частности, когда f(n)==nk. Предложение 4.2.2 (i) объясняет смысл разности degP — — degQ в случае, когда deg P ^ deg Q. Что касается случая, когда degР < degQ, то его лучше комментировать на языке своего рода теоремы двойственности. Если zln>of(n)xn = = P(x)/Q(x) и degP< degQ, то имеют место формулы B) и C). Каждая из них может быть использована для расширения области определения функции f на отрицательные значения п. Пользуясь рекуррентным соотношением B), мы можем (благо- (благодаря предположению, что а<* ф 0) двигаться назад, последова- последовательно подставляя значения п=—1—2 Получается, что существует единственное продолжение f на все множество Z, удовлетворяющее соотношению B) для всех heZ, Если при- прибегнуть к формуле C), то мы можем просто подставлять отри- отрицательные значения п в правую часть. Легко убедиться, что эти два продолжения / на Z совпадают. 4.2.3. Предложение. Пусть deN и а а^еС, причем ad ф 0. Предположим, что функция /: Z -> С удовлетворяет со- соотношению Рассмотрим рациональную функцию ^ln>Qf(n)x" = — Имеет место равенство рациональных функций: Доказательство. Пусть R (х) = Р (х) /Q (х), где Q(x)=l + + ОС[Х+ ... + a,dXd. Обозначим через & комплексное вектор- векторное пространство всех рядов Лорана ?nmZanxn, a,eC. В этом пространстве нет разумного понятия произведения формальных рядов, однако каждый ряд Лорана можно умножить на много- многочлен Q(x). Получим линейное преобразование 9?—+2?, зада- задаваемое таким умножением. Условие, наложенное на функцию f, означает, что QW If («)*" = о. гае Z Из линейности умножения на Q(x) следует, что Q(x) I f{-n)x-* = - ? 4.2. Дальнейшее развитие теории 307 Подставляя 1/х вместо х, получим требуемое тождество: га>1 Читатель может сам убедиться, чтобы снять возможные подо- подозрения, что все шаги приведенного доказательства поддаются строгой проверке. В частности, заметим, что векторное про- пространство 3? включает в себя два кольца С[[х]] и {Хп^п^я*"}» пересечение которых совпадает с С [х]. О Предложение 4.2.3 помогает объяснить значение некоторых свойств рациональной функции P(x)/Q(x). 4.2.4. Следствие. Пусть dEN и ось •••» а<*е С, причем аафО. Предположим, что функция /: Z -*- С удовлетворяет соотноше- соотношению + d-l)+ ... +adf(n) = 0 для всех n^Z, т. е. Zra>0/(n) xn = P (x)/Q(x), где Q(x) = = 1 + а{х + ... + adxd, причем deg Р < deg Q. Пусть Р (х)= + +'1 i. min{neN: /(n) ф 0} = min{/ eN: p/ ф 0}. Более того, если г — значение этого минимума, то f (г) = рг. II. min{ne=P: / (- п) ф 0} = min {/ с= Р: pd_y Ф 0} = deg Q - - deg P. Более того, если s — значение этого минимума, то f (— s) = iii. Пусть F (x) = P {x)/Q (x), а числа г и s — такие, как выше. Тогда F (x) = ± xr~sF A/jc) тогда и только тогда, когда f (n) = = ± /(— п + г — s) для всех n e= Z. Доказательство. Если Р (X) = рг^ + Рл+1*Г+1 + • • • + Prf-i^-1, то P(x)/Q(x)= PrXr+ ..., и, таким образом, соотношение (i) верно. Если Р (х) = $d-sxd-s + $a-s-ixd-s-1 + ... + Ро, то благодаря предложению 4.2.3 получаем
30S Гл. 4. Рациональные производящие функции откуда вытекает условие (ii). Наконец, условие (iii) непосред- непосредственно следует из предложения 4.2.3. ? Следствие 4.2.4 (ii) отвечает на поставленный выше вопрос о значении разности degQ — deg/3 в случае правильной дроби P/Q. Ясно, что если F(x) и G(x) — рациональные степенные ряды из С [[*]], то ряды aF(x) + $G(x) (а, реС)и F(x)G(x) тоже рациональны. Более того, если F (x)/G (х) е С [ [х]], toF(x)/G(x) — рациональный ряд. Возможно, несколько менее очевидна замкнутость семейства рациональных степенных рядов относи- относительно операции произведения по Адамару. Такое произведение для степенных рядов F(х) = ?„>0 f (п)хп и G{x) = Y определяется формулой {F*G)(x)= I f(n)g(n)x\ >0 4.2.5. Предложение. Если F(x) и G(x) — рациональные степен- степенные ряды, то к этому классу относится и их произведение Ада- мара (F*G)(x). Доказательство. Из теоремы 4.1.1 и следствия 4.2.2 следует, что степенной ряд Н (х) = ^п>оп(п)хп является рациональным в том и только том случае, когда h (га) = Yj?=i Ri (п) ^ Для Д°" статочно больших п, где |(, ..., \т — фиксированные ненуле- ненулевые комплексные числа, a R{ Rm — фиксированные мно- многочлены от п. Тогда коэффициенты рядов F(х) = ?„>0/ (п)х11 и G(x)= ?jn>og(n)xn имеют вид '/(га) = ?*_i Pi («) y" и g(n) = J^j=lQi(nN'j при достаточно больших га, откуда f (п) я (п) = ? Я, («)Q/ что означает рациональность ряда (F»G)(x). П 4.3. Многочлены Важным классом функций /: N->C, для которых производя- производящая функция Jln>of(n)xn рациональна, является класс много- многочленов. Для этого класса можно сформулировать следующее следствие из теоремы 4.1.1. 4.3.1. Следствие. Пусть f: вия эквивалентны: 4.3. Многочлены -*• С, rfe 309 . Следующие три уело- где Р (х) е= С [х] и deg P < d. ii. Для всех га^О Иными словами, Ad+1f(n) = O. iii. f(ra) является многочленом от га, степень которого не превы- превышает d. (Более того, deg f = d в том и только том случае, когда Р(\)фО.) Равносильность условий (ii) и (iii) следует из предложения 1.4.2(а). Отметим, что в том случае, когда РA)фО и, следова- следовательно, deg/=d, старший коэффициент многочлена f(n) рав- равняется P(\)/d\. Чтобы это увидеть, можно, например, вычис- вычислить коэффициент при A—x)~d~l в разложении функции ?„>0/ (и) х11 в ряд Лорана в окрестности х = 1. Всевозможные многочлены /: N -*¦ С (или /: Z-»-C) сте- степени, не превышающей d, образуют векторное пространство Pd над С размерности d -\- 1. Существует много естественных спосо- способов выбора базиса в этом пространстве. Описание этих базисов и матриц перехода от одного из них к другому могло бы соста- составить целую книгу. Здесь мы перечислим четыре, по-видимому, самых важных базиса и обсудим их значение. а. га', 0 ^ i ^ d. При разложении многочлена /(га) по элемен- элементам этого базиса мы получаем, разумеется, его обычные ко- коэффициенты. Можно также пользоваться базисом мы можем /га\ / . I . I, O^i^d. I (га)г = п1 . J. ) В силу предложения 1.4.2 (Ь), написать разложение/(га) = ^]/=о(А'/(О))[ . ). Из предложе- предложения 1.4.2 (с) следует, что матрицы перехода между базисами га' и I . J составлены из чисел Стирлинга первого и второго
310 Гл. 4. Рациональные производящие функции рода, т. е. «=0 С' «• "•¦¦ *")' °^l<d- (можно также использовать возрастающие факториальные степени п(га+ 1) ... (n + i — 1) = Л I ( . JJ. 1 Мы приходим к пред- представлению Тот же результат можно получить, если составить таблицу разностей последовательности f(n). Тогда коэффициенты при это элементы ее (( • )) разложения f (n) = V с,-11 . J 1 — диагонали, идущей от /@) к юго-западу. Например, если /(п) = П3 + п + 1, то примером таблицы разностей будет слу- служить следующая: -29 -9 -1 1=/@) 20 8 2 -12 -6 поэтому Матрицы перехода к базисам riи I . 1 определяются фор- формулами t=o 4.3. Многочлены '• где 311 i=0 '•( n + d — i \ , I, O^i^d. Существует по крайней мере два простых способа убедиться, что это базис для простран- ства Pd. Положив п = 0 в равенстве f(n) = / с{ ( ), fo V d * мы однозначно определим с0. Затем, подставляя п=\, одно- однозначно определим сь и так далее.1) Таким образом, d + 1 / n + d - i \ многочленов I I линейно независимы и, следовательно, образуют базис в Pd. Можно рассуждать иначе. Заметим, что k d-i n_ (n + d-i\ 1еперь утверждение о том, что многочлены I ] обра- обраd-i зуют базис в Ра, равносильно, благодаря предложению 4.3.1, тому очевидному обстоятельству, что рациональные функции х'A—x)-d-\ 0 ^ i ^ d, образуют базис в пространстве всех рациональных функций вида Р(х)(\—x)-d~l, где Р(х)—много- Р(х)—многочлен степени не выше d. Если ? / (п)х" = (^»о + м»(д: + ... + + wdx )/A — x)d+i,то числа wq,w\, ..., waназываются f-эйлеро- выми числами, а многочлен Р{х) = шо + W\x + ... + WdXd назы- называется ^-эйлеровым многочленом. Если f(n) = nd, то из теоремы 4.5.14 следует, что /-эйлеровы числа — это просто числа Эйлера A(d,i), а /-эйлеров многочлен Р(х) превращается в многочлен Эйлера Аа(х). Совершенно так же, как и в случае обычных чи- чисел Эйлера, /-эйлеровы числа часто имеют комбинаторный смысл. Пример будет приведен в разделе 4.5. Обсуждение ') Здесь используется то, что II = 0 при целых k ^ й. — Прим. персе,
312 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.5. Р-разбиений 313 /n+d — i\ матрицы перехода от базиса I j к трем базисам, рас- га + d — i' d смотренным ранее не является столь же плодотворным заня- занятием, и мы его опустим. 4.4. Квазимногочлены Квазимногочлен (известный также под многими другими назва- названиями, например псевдомногочлен, или многочлен от классов вы- вычетов) степени d — это функция f: N->C (или /: Z->'C) вида f (n) = cd (n) nd (n), где каждый множитель с,(п) является периодической функцией (с целым периодом), a Cd(ri) не обращается тождественно в нуль. Иначе, / является квазимногочленом, если существуют такое целое число N > 0 (а именно общий период функций Со, си ..., cd) и такие многочлены /о, /ь ¦ • •, /лг-ь что f(n) — f{{n), если tt=i(modN). Число N (таких чисел может быть несколько) будем называть квазипериодом квазимногочлена /. 4.4.1. Предложение. Для функции f: N-»-C и целого числа N > 0 следующие условия равносильны: i. f является квазимногочленом с квазипериодом N. 11. где Р(х), Q(x)^C[x], degP<degQ и каждый корень а мно- многочлена Q (х) удовлетворяет соотношению aN = 1 при условии, что дробь P(x)/Q(x) является несократимой. Ш. Для всех п^О где Р{ является многочленом от п и yf = 1 при всех L Более того, степень многочлена Pi(n) в соотношении F) на единицу меньше кратности корня у-1 многочлена Q{x), если дробь P(x)/Q(x) несократима. Доказательство. Утверждение легко следует из теоремы 4.1.1, и мы опускаем подробности рассуждения, ? 4.4.2. Пример. Пусть p~k(n) обозначает число разбиений числа п в сумму не более чем k слагаемых. Тогда из соотношения B9) гл. 1 следует, что Следовательно, рк(п)—квазимногочлен. Его наименьший ква- квазипериод равняется наименьшему общему кратному чисел 1, 2, ..., к, а его степень равна k— 1. Можно сделать и гораздо более точные утверждения. Например, рассмотрим случай к = 6. Тогда р6 (п) = Csfl5 + С4П* -f C3tt3 + С2» П2 + Cj (П) П + Со{п), где Сг, Ci, Cs^Q (фактически Cs=l/5!6I, в чем можно убе- убедиться, если найти коэффициент при A—л;)-6 в разложении функции 1/A—х)A—х*) ... A—х6) в окрестности точки х = 1), а функции Ci(n), C\{n), со(п) имеют периоды 2, 6 и 60 соответственно (эти периоды не обязательно наименьшие). Бо- Более того, функция Ci(n) складывается из двух периодических функций с периодами 2 и 3. Читатель сможет вывести эти ре- результаты, изучая производящую функцию 1/A—х) A—х2) ... ... (I-*8). Особенно изящным является случай k = 3. Будем обозна- обозначать символом [а0, а\, ..., aP_i]p периодическую функцию с, имеющую период р и принимающую значения c{ri) = at при ns=i(modp). Довольно утомительное вычисление приводит к равенству />з(«)=4«2+-^+[1,4-. |, f |, 41- Совершенно случайное обстоятельство позволяет записать рз{п) в компактной форме щ"(п.+3J|, гдеРЦ обозначает ближай- ближайшее целое к вещественному числу t, т. е. IUII = I t-\- тН. 4.5. Р-разбиения Оставшаяся часть этой главы будет посвящена трем основным областям, в которых рациональные производящие функции иг- играют видную роль. Мы начнем с теории Р-разбиений, которая является одновременно обобщением теории разложений (т. е. разбиений числа п в сумму линейно упорядоченных слагаемых) и теории разбиений (в сумму неупорядоченных слагаемых). Мы уже немного познакомились с этой теорией в разд. 3.5.
314 Гл. 4. Национальные Производящие функции 4.5. Р-разбиения 315 Пусть Р — конечное ч. у. множество мощности р. Для удоб- удобства будем считать, что Р совпадает с множеством [р], на ко- котором задан естественный (в смысле определения в разд. 3.12) частичный порядок. Другими словами, если i < / в Р, то i < / и в Z. Отображение a: P-»-N называется обращающим поря- порядок, если из того, что i ^ / в Р, следует, что a(i)^a(j) в N. Отображение т: P-*-N называется строго обращающим поря- порядок, если из ( < / в Р следует т(г)>х(/) в N. Р-разбиением числа п называется обращающее порядок отображение cr:P-*-N, для которого выполняется соотношение ?/,=p<T@==n> что кратко будем записывать в виде |а| = п. Аналогично, строгим Р-разбиением числа п будем называть строго обращающее по- порядок отображение т: P->N, удовлетворяющее условию Yii<= рт@ = «> или |т| = п. Например, если Р — это цепь из р элементов, то Р-разбиение числа п аналогично обычному раз- разбиению числа п в сумме не более чем р слагаемых. Другой крайний случай — если Р является объединением р попарно не- несравнимых точек. В этой ситуации Р-разбиение числа п равно- равносильно слабому разложению числа п на р слагаемых. Основные производящие функции, связанные с Р-разбие- ниями, определяются формулами где а пробегает множество всех Р-разбиений, а т — множество всех строгих Р-разбиений. Производящие функции F и F в ос- основном перечисляют все Р-разбиения и строгие Р-разбиения и содержат полную информацию о них. Например, не составляет труда восстановить ч. у. множество по любой из функций F, F. Мы получим явные выражения для F и F, из которых будут следовать многие свойства как этих, так и родственных им про- производящих функций. 4.5.1. Лемма-определение. а. Пусть С — цепь, а ре Р. Для всякой функции /: [р]->С су- существует единственная перестановка я = (а,, ..., ар) е ©р, удовлетворяющая условиям: i. f(ai)>f(a2)> ... >f(ap) и п. / (а,) > / (а{+1), если а{ > а,+1. В этом случае мы будем говорить, что функция f является л-совместимой. b. Для произвольной функции f: [/?]->-С существует единствен- единственная перестановка p = (fti 6р)е©Р, удовлетворяющая условиям: i f(bd>f(b2)> .-.>f(bP) и И f(bi)>f{bl+l), если bi<bl+l. В этом случае будем говорить, что f двойственно ^-совместима. Доказательство. a. Существует только одно такое упорядоченное разбиение (Вь ..., Bk) множества [р], что функция / постоянна на каждом множестве В* и f(B\)> f(B2)> ... >f(Bk)> Тогда перестановку я можно выбрать таким образом, чтобы эле- элементы множества Bi шли в убывающем порядке, за ними шли в убывающем порядке элементы В2, и так далее. b. Функция /: [р]-*-С является (а,, а^, ..., ар)-совместимой тогда и только тогда, когда она двойственно^ +1 — Щ, Р+1 — а2,... ..., р+1 — ар)-совместима. Таким образом, утверждение следует из пункта (а). ? 4.5.2. Лемма. а. Пусть я = (а, ар) е ®р, и пусть Sn — множество всех п-совместимых функций f: [p]->N. Тогда G) где D.i — множество спуска перестановки я. Ь. Пусть 5ц — совокупность всех двойственно п-совместимых функций {: [р]-> N. Тогда f(P)_ Jkzvvv^/_ (8) где Ал = [р—1J — Dn — множество подъема перестановки п. Доказательство. а. Пусть / е Sn. Определим числа с,-, 1 ^ i ^ р, формулой (f(at) — f(ai+1), если a{<ai+u Kf(a{) — f(ai+1)-l, еслио;>а;+„ где мы полагаем, что f(ap+\) = O. Заметим, что с,-^ 0 и что любой выбор чисел с\, с2, .,,, Ср^Ц однозначно определяет
316 Гл. 4. Рациональные производящие функции функцию f e 5я, удовлетворяющую соотношениям (9). Тогда Х[ ">... ХШ = П (Xaixa, ¦ ¦ ¦ *«,)'' i П^ XaiXa2 ...*«,. Этим задается взаимно однозначное соответствие между чле- членами в левой и правой частях соотношения G), откуда сле- следует наше утверждение. Ь. Доказывается так же, как (а). ? 4.5.3. Лемма. а. Пусть Р — естественный частичный порядок на [р], а 3?(Р)S ? ©р—множество Жордана — Гёльдера для Р, определенное в разд. 3.12. Функция a: P->-N является Р-разбиением в том и только том случае, когда она п-совместима с некоторой (не- (непременно единственной) перестановкой л<^3? (Р). Иными словами, если обозначить через S& (P) множество всех Р-раз- биений, то 4.5. Р-разбиения 317 Ь. Функция т: Р -*¦ N является строгим Р-разбиением в том и только том случае, когда она двойственно п-совместима с не- некоторой (непременно единственной) перестановкой п^.З?(Р). Иными словами, если обозначить через з4- (Р) множество всех строгих Р-разбиений, то Доказательство. a. Если яе.2?(Р), то любая я-совместимая функция a: P->N, очевидно, является Р-разбиением. Обратно, если я = (а1, U2, ..., ар) е 2? (Р), то для некоторой пары i < j имеет место неравенство а{> at в множестве Р и поэтому at > ay- в мно- множестве целых чисел. Тогда для некоторых чисел i^k<j мы имеем ak > ak+i. Следовательно, если разбиение а является я-совместимым, то a(at)^ ... ^a(ak) > a(ak+l)^ ... ^o(aj), так что а не является Р-разбиением. Единственность пере- перестановки л следует из леммы 4.5.1. b. Пусть п — (аи ..., ар)е2'(Р). Если т двойственно я-сов- местима, то она является, очевидно, Р-разбиением. Предпо- Предположим, что щ < п) в Р, тогда / < / и а{ < а; в множестве целых чисел. Для некоторых i^.k< j выполняется строгое нера- неравенство ah < ah+x. Следовательно, т(а()<.... =^т(ан)<т(а^)^ s^ ... <! т (аД так что действительно т является строгим Р-разбиением. Противоположное включение доказывается так же, как в пункте (а). ? Комбинируя утверждения лемм 4.5.2 и 4.5.3, мы при- приходим к основной теореме о производящих функциях FP и FP. 4.5.4. Теорема. Пусть Р — естественный частичный порядок на множестве [р], и 3? (Р) — соответствующее множество Жорда- Жордана— Гёльдера. Тогда \*i хр>— AОа) ( Ь' 4.5.5. Пример. Пусть Р задано с помощью рис. 4.2. Тогда лем- лемма 4.5.3 утверждает, что каждое Р-разбиение а: Р -*¦ N удовлет- удовлетворяет ровно одному из условий аA)>аB)>аD)>аC), аB)>аA)>аD)>аC), аB)>аD)>аA)>аC). Следовательно, FP(xx, хъ х3, х4)= A _ A — X2) A — XXX2) A — XlX2Xi) A — XiX2XbXt) (\ - Xl) (\ - XXX2) (\ - „2 — XtX2) A — XlX2Xt) A — - X2) A - X2XA)
318 Гл. 4. Рациональные производящие функции N удовлетво- удовлетвоАналогично, каждое строгое Р-разбиение т: P ряет ровно одному из условий тA)>тB)>тC)>тD), тB)>тA)>тC)>тD), тA)>тB)>тD)>тC), тB)>тA)>тD)>тC), тB)>тD)>тA)>тC), и Fp{x\,x2,х3,х4) тоже легко выписывается. Этот пример иллю- иллюстрирует комбинаторную природу эффективности фундаменталь- фундаментальной леммы 4.5.3 — она позволяет множества зФ(Р) и st(P) всех 1 2 Рис. 4.2. Р-разбиений и строгих Р-разбиений разложить на конечное число (а именно е(Р)) подмножеств, каждое из которых имеет простое описание. Теорема 4.5.4 немедленно приводит к теореме взаимности для Р-разбиений. 4.5.6. Лемма. Пусть л е @р, а производящие функции Fn и Fn — такие, как в лемме 4.5.2. Тогда справедливо следующее равен- равенство рациональных функций: xlx2...XpFn(xl Хр) = (-1)'Ря(±. Доказательство. Пусть п = {а\, ,.., ар). Тогда Лхг — х) " Xaj) (И) Но ... х„ 4.5. Р-разбиений Sid Теперь справедливость утверждения вытекает из соотношений A1) и (8). ? 4.5.7. Теорема. (Теорема взаимности для Р-разбиений.) Рацио- Рациональные функции Fp(xi хр) и Рр(х\ хр) связаны со- соотношением Х\Х2 ... xpFР \Х\, ..., хр) = ( 1 Доказательство. Эта теорема непосредственно следует из тео- теоремы 4.5.4 и леммы 4.5.6. Jenepb мы обратимся к изучению производящих функций Fp и Fp в некоторых частных случаях. Они представляют собой наиболее существенные примеры, в которых проявляется комби- комбинаторное значение основных свойств рациональных функций, об- обсуждавшихся в разд. 4.1—4.4. Пусть а(п) (соответственно а(п))—число Р-разбиений (соответственно строгих Р-разбие- Р-разбиений) числа п. Введем производящие функции: GP{x)= ? а{п)хп, GP(x)= ? а{п)хп. п>0 A2) Очевидно, Gp(x) = FP(x, x, ..., х) и GP(x) = FP(x, x, ..., х). Кроме того, H/sDj,*' = xlin\ где i(n) — большой индекс (или главный индекс) перестановки я, который определяется (как в разделе 1.3.3) формулой Следовательно, из теорем 4.5.4 и 4.5.7 мы получаем следующий результат: 4.5.8. Теорема. Производящая функция Gp{x) имеет вид г м- Wp{x) М) A — л:) A — л:2) ... A — лгР) ' где Wp(x) — многочлен WP{x)= 2 *'(я) A3) (в частности, а(п) является квазимногочленом). Кроме того, грп /у\ / \\ра (\1у\ pi (\а\ Если в качестве Р в теореме 4.5.8 взять антицепь р\, то, оче- очевидно, GP(x) будет иметь вид A—х)-р. Отсюда, с учетом
320 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.5. Р-разбиения 321 формулы A3), следует утверждение, приведенное после пред- предложения 1.3.12. 4.5.9. Следствие. Имеет место соотношение ? xl<n> = (l+x)(\+x + x*) ... A+*+ ... +Х?-1). П Отметим удивительное следствие формулы A4): если мы знаем числа а(п), то мы можем найти числа а(п). Другое не- неожиданное следствие уравнений A3) и A4) состоит в том, что числа а(п) несут информацию о строении цепей в множестве Р. Для элемента /еР определим величину 6@ как длину / самой длинной цепи t = to < U < ... < U в Р, имеющую if первым элементом. Положим также Будем говорить, что Р удовлетворяет Ь-цепному условию, если для любого t e P все максимальные цепи главного двойствен- двойственного порядкового идеала Vt={tf e P\t' ^ t) имеют одну и ту же длину. Если Р содержит 0, то это означает, что ч. у. множе- множество Р градуировано. Заметим, однако, что ч. у. множества Р и Я. Рис. 4.3. Q, изображенные на рис. 4.3, удовлетворяют 6-цепному условию, но не являются градуированными. 4.5.10. Следствие. Пусть р = \Р\. Тогда степень многочлена Wp(x) равна ( 1 — б (Р). Более того, многочлен Wp{x} сводит- сводится к моному (значение этих результатов проясняет следствие 4.2.4 (и)). Доказательство. В силу соотношения A3) нам нужно проверить, что max ле <е (Р) и что этот максимум достигается на единственной перестановке. Пусть л=(аи Ог, ..., ар)<^Э?(Р), и пусть самая длинная цепь в множестве Р имеет длину /. Для каждого гA ^t^/) обоз- обозначим через и наибольшее целое число, для которого б (а/;) = /. Очевидно, /i > /2 > • • • > ji- Для любого i в Р найдется эле- элемент aki, для которого выполняется неравенство ai{<ak{ (в ч.у. множестве Р, а следовательно, и в Z), а б (aj^) = б (а/4) — 1. Отсюда следует, что ii<kt^.ji+l. Следовательно, в переста- перестановке л где-то между // и /г+1 найдется пара ar<ar+i (нера- (неравенство в Z), и поэтому i-l Если бг обозначает число таких элементов t e P, что б (t) = i, то по определению //^6^ + 6^+1+ ... +б/. Следовательно, Если здесь выполняется равенство, то для последних бо элемен- элементов t перестановки л выполняется равенство 6@ = 0, для сле- следующей (справа) группы из 6i элементов / — равенство б@= 1> и так далее. При этом последние бо элементов должны следо- следовать в убывающем порядке (как элементы Z), следующая груп- группа из 6i элементов тоже в убывающем порядке, и так далее. Таким образом, существует единственная перестановка, для ко- которой выполняется равенство. ? 4.5.11. Пример. Пусть Р — естественный частичный порядок, по- показанный на рис. 4.4. Тогда единственная перестановка л е eS'fP), удовлетворяющая условию г(я) = 1 _ 1 — Ь(Р), такова: я = B, 1, 6, 5, 7, 9, 4, 3, 11, 10, 8),5 поэтому i (я) = 36 и б(Р)= 19. Перед тем, как сформулировать следующее утверждение о многочлене Wp{x), напомним, что символ s?(P) (соответствен- (соответственно j#(P)) обозначает множество всех Р-разбиений (соответ- 11 Р. Стенли
322 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.5. Р-разбиения 323 ственно строгих Р-разбиений). Определим отображение (обо- (обозначаемое символом ') *s#(P)-*-j#(P) формулой /еЛ A5) Очевидно, что соответствие в*—>о' инъективно. И 9 4 б 10 4.5.12. Лемма. Для того, чтобы отображение о*—>о' из множе- множества зФ (Р) в множество $Ф (Р) было биективным, необходимо и достаточно, чтобы порядок Р удовлетворял Ь-цепному условию. Доказательство. Достаточность очевидна. Для проверки необ- необходимости нам нужно показать, что если Р не удовлетворяет б-цепному условию, то найдется такой элемент те^(Р), для которого т — §ф$4-(Р). В самом деле, если Р не удовлетворяет б-цепному условию, то существуют такие два элемента to, t\ в Р, что t\ покрывает t0 и 8(to) > $(<i)+ 1. Определим функцию т следующим образом: 6@, если t>t0 и^Мв Р), 1, если tpt0 или t = tx (в Р). Легко видеть, что те^(Р), но т (/о) ~ 6 Со) = 0 < 1 = т (г,) - 6 #,)• Поскольку /0<^i. мы заключаем, что т — ? 4.5.13. Теорема. Пусть Р — ч. у. множество из р элементов. Для того, чтобы Р удовлетворяло Ь-цепному условию, необходимо и достаточно, чтобы A6) (Поскольку deg WP (x) = ( ~ J — б (Р), условие A6) просто стоит в том, что многочлен Wp{x) возвратный, т.е. его коэффи- коэффициенты симметричны.) Доказательство. Пусть ае,я?(Р) и |а| = л. Тогда для строгого Р-разбиения а', определенного формулой A5), выполняется условие |<т'| = га + 6(Р). Следовательно, из леммы 4.5.12 сле- следует, что ч.у. множество Р удовлетворяет б-цепному условию тогда и только тогда, когда а(п)= а(п + б(Р)) при всех п ^0. В терминах производящих функций это означает выполнение условия x6(P>Gp(x) = Gp(x). Доказательство завершается приме- применением теоремы 4.5.8. ? Порядковый многочлен Напомним, что, согласно определению из раздела 3.11, значе- значение порядкового многочлена Й(Р,ш), шёР конечного ч.у. множества Р определяется как число сохраняющих порядок отображений a: P->-m. Определим также строгий порядковый многочлен Й(Р, ш) в точке яеР как число строго сохраняю- сохраняющих порядок отображений т: Р-*-т. Использование изложенной выше теории Р-разбиений позволяет легко получить основные свойства этих двух многочленов. Заметим, что отображение сг: Р->~т обращает (соответственно строго обращает) порядок тогда и только тогда, когда отображение а': Р-*-т, определен- определенное формулой а'(л:) = т-+-1—о(х), сохраняет (соответственно строго сохраняет) порядок. Следовательно, Q{P,tn) (соответ- (соответственно Q(P,m)) совпадает с числом Р-разбиений (соответ- (соответственно строгих Р-разбиений) а: Р-*-т. Следующее утвержде- утверждение описывает основное свойство многочленовй(Р,т) ий(Р,т.). 4.5.14. Теорема. Справедливы соотношения m>0 Доказательство. Это утверждение нетрудно вывести из теоремы 4.5.4, но еще проще сослаться непосредственно на предше- предшествующую ей лемму 4.5.3. Функция f: P->-m совместима с пе- перестановкой п = {а\ ep)eS'(P) в том и только том слу- случае, когда со- где а,>а,+1). 1 *
324 Гл. 4. Рациональные произаодящие функции Следовательно, число таких функций равно II а соответствующая производящая функция имеет вид п~>П\\ "Р '/ ' 4.5. Р-разбиения 325 т — d (я) Р р+1 ' Суммируя по всем перестановкам itG^fP), мы получим пер- первое равенство в утверждении теоремы. Аналогично доказывается и второе равенство. 4.5.15. Следствие. (Теорема взаимности для порядковых много- многочленов.) Многочлены Q(P, m) и Q{P, m) связаны соотношением Доказательство. Положим НР (Х)= ? Q (Р,"ш) lm и Нр(Х)= ? й (Р, m) lm. Поскольку с?(я)+а(я)=р—1, из теоремы 4.5.14 следует, что НрA/Х) = (—\)р-1Пр(Х). Утверждение теперь следует из пред- предРис. 4.5. ложения 4.2.3. (Можно также прямо сослаться на лемму 4.5.3 и использовать формулу ((-;'«))-,- ? Теорема 4.5.13 показывает, что по многочлену WP(x) (или, что почти то же самое, по коэффициентам а(п) производящей функции A2)) можно судить, удовлетворяет ли ч. у. множество Р ^-цепному условию. Похожие результаты справедливы для многочленов Q(P, m). Напомним, что ч. у. множество Р является градуированным ранга I, если каждая его максимальная цепь имеет длину /. Мы также будем говорить, что Р удовлетворяет Я-цепному условию, если каждый элемент множества Р содер- содержится в цепи, имеющей максимальную длину. Очевидно, что градуированное ч. у. множество удовлетворяет Х-цепному усло- условию. Обратное неверно, как можно убедиться из рис. 4.5 (см. также упражнение 3.5). Пусть <s4-m(P) (соответственно s4-m(P)) обозначает множе- множество всех обращающих (соответственно строго обращающих) порядок отображений cr: P-*-m. Следующий результат является аналогом леммы 4.5.12 для градуированных ч. у. множеств и А-цепного условия. 4.5.16. Лемма. Пусть Р — конечное ч. у. множество, самая длин- длинная цепь которого имеет длину I. Для каждого числа i'eP определим вложение fy : s&t (P) -*¦ s4-i+i (P), положив 9г (о) = о + б. a. Для того, чтобы отображение 9, было биективным (т. е. 1^+1(^I=1). необходимо и достаточно, чтобы Р удовлет- удовлетворяло k-цепному условию. b. Для того, чтобы отображения 9i и 02 были биективными, не- необходимо и достаточно, чтобы множество Р было градуиро- градуированным. В этом случае биективными оказываются отображе- отображения 6< для всех ieP. Доказательство. a. Достаточность очевидна. Чтобы доказать необходимость, определим б*(я) для элемента хеР как длину k самой длин- длинной цепи хо < Х\ < ... < Xk = х в множестве Р с наибольшим элементом х. Тогда б(х)+о*(х) — длина самой длинной цепи в ч. у. множестве Р, содержащей этот элемент, причем б(*) + + б*(*) = / Для всех элементов «еР тогда и только тогда, когда множество Р удовлетворяет ^-цепному условию. Опреде- Определим строгие Р-разбиения а, те^|+|(Р) равенствами о(х) — = 1 + б(х) и х(х)= / —б*(х)+ 1. Тогда а ф х в том (и только том) случае, когда множество Р не удовлетворяет Х-цепному условию, так что в этом случае отображение 9i не биективно. b. И в этом случае достаточность очевидна. Для доказатель- доказательства необходимости предположим, что ч.у. множество Р не яв- является градуированным. Если это множество не удовлетворяет ^-цепному условию, то, в силу пункта (а), отображение 6i не биективно. Предположим теперь, что множество Р удовлетво- удовлетворяет ^-цепному условию. Пусть х0 < х\ < ... < хт — макси- максимальная цепь в множестве Р и т < /. Пусть k, 0 ^ k ^ т, — наибольшее целое число, для которого 6(xk)> т — k. Благо- Благодаря тому, что множество Р удовлетворяет Х-цепному условию, а хо — минимальный элемент этого множества, выполняется не- неравенство 6(хо) = />т, и, следовательно, такое k всегда су- существует. Более того, k Ф т, так как хи — это максимальный
326 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 327 элемент в множестве Р. Определим отображение а: Р-»-[/+2] следующим образом: a(x) = xk+b +б(д:), если х + maxF(x), b{xk+l) + h{x, xk+l)+l), если х где Х(х, xk+l) обозначает длину самой длинной цепи в интер- интервале [х, xk+i]. Нетрудно видеть, что ое^|+!(Р). Кроме того, a (xk) — б (xk) = О, а (xfe+1) - б (xh+l) = 1, так что a — 6^s?(P). Следовательно, отображение Q2 не биек- биективно, и доказательство закончено. ? 4.5.17. Следствие. Пусть Р является р-элементным ч. у. множе- множеством с самой длинной цепью из I элементов. Тогда Q(P,—1) = = Й(Р,—2) = ... = Q(P,—/) = 0. При этом a. Ч. у. множество Р удовлетворяет Х-цепному условию в том и только том случае, когда Q(P, —/— 1) = (—1)р. b. Следующие три условия равносильны: i. Ч. у. множество Р градуировано. U.Q{P, -I- 1) = (-1)P и Q(P, -/-2) = (-l)pQ(P, 2). Hi. Q(P, —/ —m) = (—1)PQ(P, m) для всех m^Z. Ц Следующий пример показывает, как следствие 4.5.17 помо- помогает вычислениям. 4.5.18. Пример. Пусть ч. у. множество Р задано рисунком 4.6. Тогда Q(P,m) является многочленом степени 6, и из предыду- Рис. 4.6. щего следствия вытекает, что Й(Р, 0)= Q(P, — 1) = Й(Р, —2) = = 0, Й(Р, 1)=Q(P,— 3)=1, Q(P, 2) = Q(P,— 4). Таким обра- образом, если мы вычислим значение Q(P, 2), то сразу будем знать семь значений Q(P, m), чего достаточно для задания этого мно- многочлена. В нашем случае Й(Р, 2)= 14, откуда получается, что Q(P, m>0 X + 7X2 + 7Я3 + X* A-Я)' 4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения Пусть Ф — целочисленная матрица (или Z-матрица) размера г X т. Многочисленные комбинаторные задачи оказываются эквивалентными задаче об отыскании всех векторов (столбцов) а е Nm, удовлетворяющих уравнению Фа = 0, A7) где 0 = @,0, ..., 0)eNr. Векторное уравнение A7) равно- равносильно системе из г однородных линейных уравнений с целыми коэффициентами от m неизвестных a = (oci am). (Для удоб- удобства обозначений мы будем записывать векторы-столбцы в строчку.) Заметим, что если бы мы искали решения oeZ1" (а не og Nm), то это бы не составило большой проблемы. Ре- Решения, лежащие в группе Zm (или Z-решения), образуют под- подгруппу G в этой группе, и из теории конечно порожденных абе- левых групп следует, что G — конечно порожденная свободная абелева группа. Число образующих (или ранг) группы G рав- равняется размерности ядра матрицы Ф, и для явного отыскания этих образующих существуют хорошо известные алгоритмы. Си- Ситуация с решениями, лежащими в множестве Nm (или ^-реше- ^-решениями), уже не столь ясная. Множество решений образует не группу, а только (коммутативный) моноид (т. е. полугруппу с единицей) Е = Еф. Разумеется, в этом случае Е уже не яв- является свободным коммутативным моноидом. Это означает, что не существует таких элементов аь ..., ccs e E, что всякий эле- элемент ое? единственным образом записывается в виде ^г8=1агаг, где fl;eN. Возьмите, например, Ф = [1, 1,—1,—1]. Тогда в мо- моноиде Е имеется нетривиальное соотношение A,0,1,0)+ @,1,0,1) = A1) A1) ) () Не умаляя общности, мы можем предположить, что строки матрицы Ф линейно независимы, то есть гапкф = г. Если бы пересечение Ef\Pm было пустым (то есть уравнение A7) не имело бы Р-решений), то для некоторого числа /е[т] каждый вектор (аь ..., ат) е Е имел бы нулевую компоненту а,- = 0, которую нам ничего не стоит игнорировать. Поэтому мы можем предположить, что Е П Рт ф- 0. Такой моноид Е мы назовем положительным. Мы проанализируем структуру, моноида Е до такой степени, чтобы иметь возможность выписать производящую функцию Е(х) = Е(хи ..., xj= Z х», A8а) где для а = (аь ..., ат) запись х" означает х ... х^1. Мы также будем рассматривать тесно связанную с ней производя-
328 Гл. 4. Рациональные производящие функции щую функцию 4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 329 = ?(*, *m)= ?_х\ A8Ь) где Е — ЕГ\Р"\ Поскольку мы предполагаем, что ЕФ0, отсюда следует, что Е{\)фО. Вообще в этом разделе для произволь- произвольного подмножества GsN мы будем употреблять обозначение G(x)= Z х«. af=G Вначале стоит заметить, что, рассматривая неравенства вида г 0 для некоторой Z-матрицы Т размера sy^m, мы не вы- выигрываем в общности. Это происходит потому, что всегда имеет- имеется возможность ввести дополнительные переменные y = (Yi> ... ..., Ys) и заменить неравенство Та ^ 0 уравнением T(a — y) = = 0. Каждое N-решение последнего уравнения соответствует N-решению исходного неравенства. В частности, теорию Р-раз- Р-разбиений, разработанную в предыдущем разделе, можно вклю- включить в общую теорию N-решений уравнения A7). Введем пере- переменные ах для всех элементов «еРи а*у для всех пар х <С у (или, практически, только для тех элементов у, которые покры- покрывают элемент х). Тогда N-решение а системы ах — ау — аху = 0 для всех элементов х < у A9) в множестве Р (или только для всех у, покрывающих х) отвечает Р-разбиению a: P-»-N, заданному формулой а(х) = ах. Более того, Р-решению системы A9) отвечает строгое Р-раз- Р-разбиение на положительные части. Если мы просто отнимем по единице от каждой части, то получим произвольное строгое Р-разбиение. Следовательно, по теореме 4.5.7 производящие функции Е(х) и Е{\), определенные соотношениями A8а) и A8Ь) по системе A9), связаны равенством где 1/х означает, что в рациональной функции Е(х) осуществ- осуществляется подстановка 1/х* вместо Xi. Это подсказывает формули- формулировку теоремы взаимности общего вида для системы A7), и одна из наших целей — доказать такую теорему. (Нам пока не известно даже, являются ли функции Е(х) и Е{х) рациональ- рациональными, без чего равенство B0) становится бессмысленным.) Тео- Теория Р-разбиений дает ключ к получению формулы для вычисле- вычисления функции Е{х). В идеале нам хотелось бы разбить моноид Е явным и каноническим образом на конечное число частей, имею- имеющих понятную структуру. К сожалению, нам придется доволь- ствоваться меньшим. Мы представим моноид Е в виде объеди- объединения хорошо устроенных частей (называемых симплициаль- ными моноидами), но эти части не будут дизъюнктными, и нужно будет выяснить, как они пересекаются. Кроме того, сами симплициальные моноиды будут получены с помощью довольно произвольного построения (далеко не такого изящного, как в случае, когда мы связывали Р-разбиение с единственной пе- перестановкой пей1 (Р)) и для исследования симплициальных моноидов самих по себе потребуются определенные усилия. Но наградой за это будет в высшей степени общая теория с мно- множеством важных и интересных применений. Хотя теория, которую мы собираемся развить, может быть получена чисто алгебраически, гораздо более удобный путь, бо- более опирающийся на интуицию, — геометрический. Для того, чтобы им воспользоваться, мы дадим краткий обзор основ тео- теории выпуклых многогранных конусов. Линейное полупростран- полупространство S6 пространства Rm — это подмножество вида S6 ={ы: v- •w^O} для некоторого фиксированного ненулевого вектора weR, Выпуклый многогранный конус Я? в пространстве Rm определяется как пересечение конечного числа полупространств. (Некоторые авторитеты потребовали бы, чтобы Я? содержал не- ненулевой вектор.) Мы будем говорить, что конус Я? выступающий, если он не содержит прямой, или, что то же, если O^vg?1, to — v ф. 92. Опорная гиперплоскость Ж конуса Я? — это такая ли- линейная гиперплоскость, пересекающая *&, что конус лежит по одну сторону от нее. Иными словами, гиперплоскость Ж делит пространство Rm на два таких замкнутых полупространства Ж+ и Ж~ (пересечение которых совпадает с Ж), что либо f? = 5#+, либо <& ^ Ж~. Грань конуса Я? — это подмножество Ж Л 9* в *&, где Ж—некоторая опорная гиперплоскость. Каждая грань Ф конуса Я? сама является выпуклым многогранным конусом, в том числе вырожденная грань {0}. Размерностью грани W, обозначаемой через dim#", называется размерность подпро- подпространства в пространстве Rm, натянутого на '&". Если dim^ = i, то грань #" называется i-гранью. В частности, {0} и ЧР являются гранями конуса Я?, которые называются несобственными, и dim{0}=0. Крайним лучом называется 1-грань, и если АшЯ? = d, то (d—1)-грань называется гипергранью. Мы бу- будем предполагать известным стандартный результат: высту- выступающий выпуклый многогранный конус содержит только ко- конечное число крайних лучей и является их выпуклой оболочкой. Симплициальным конусом называется е-мерный выступающий выпуклый многогранный конус осе крайними лучами (наи- (наименьшее возможное число). Это равносильно тому, что най- найдутся такие линейно независимые векторы рь ..., ре, что а =
330 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.6. Линейные однородные диофаитовы уравнения 331 {P + ... +ае|5: a;eR+}. Триангуляция конуса "<Р состоит из конечного набора Г={аь ..., а*} симплициальных конусов, удовлетворяющих условиям: (i) \}Oi = 4?, (ii) если оеГ, то и каждая грань конуса а лежит в Г, и (Hi) а П <?/ является об- общей ГраНЬЮ КОНУСОВ 0; И Oj. 4.6.1. Лемма. Выступающий выпуклый многогранный конус *& допускает триангуляцию Г, крайние лучи которой (т. е. одно- одномерные конусы, содержащиеся в Г) являются крайними лучами конуса <&. Доказательство. Воспользуемся индукцией по размерности ко- конуса. Если dim *& = 1 или 2, то доказывать нечего, так как ко- конус симплициальный. Пусть dim'iP^ 2. Предположим, что 52 — крайний луч этого конуса. Следуя индукционному предположе- предположению, мы можем триангулировать каждую гипергрань конуса, пересекающую луч М только в точке 0, не привлекая новых край- крайних лучей. Пусть Гь ..., Tk — такие триангуляции. Для каждой грани ае Г,- обозначим через о* выпуклую оболочку грани а и луча М, то есть пересечение всех выпуклых множеств, содер- содержащих а и 91. Тогда а* является симплициальным конусом, причем dima* = = 1 + dim a. Определим триангуляцию Г как семейство всех конусов вида а*, где оеГ; для некоторого I, а также всех гра- граней этих конусов а*. Нетрудно проверить, что Г удовлетворяет всем нужным свойствам. ? Границей д*& выпуклого многогранного конуса Ч? называется объединение всех гиперграней <&. (Это определение совпадает с обычным топологическим понятием границы.) Если Г являет- является триангуляцией конуса Ч?, определим ее границу равенством дГ = {<теГ: a^dW), а внутренность — равенством Г = Г — — дТ. 4.6.2. Лемма. Пусть Г — произвольная триангуляция выпуклого многогранного конуса W. Пусть Г — ч.у. множество (на самом деле — решетка) элементов триангуляции Г, упорядоченное по включению, с присоединенной единицей Т. Пусть ц обозначает функцию Мёбиуса множества Г. Тогда Г является градуиро- градуированным множеством ранга d = dim "<Р и (-l) dim т—dim о d-dimo+1 * если если если а < а е = г; = д\ "и т "" и л =т, Доказательство. Это утверждение является частным случаем предложения 3.8.9. G Теперь вернемся к системе уравнений A7). Пусть W обозна- обозначает множество всех решений а этой системы в неотрицательных вещественных числах. Тогда *<? является выступающим выпук- выпуклым многогранным конусом. Мы будем всегда обозначать раз- размерность dim1?? буквой d. Поскольку мы сделали предположе- предположение, что rank Ф =г и что моноид Е положительный, отсюда сле- следует, что d= m — г [почему?]. Хотя нам это здесь и не потре- потребуется, естественно описать грани конуса *8 непосредственно в терминах моноида Е. Ограничимся перечислением относя- относящихся к этому фактов (без доказательств). Определим носитель suppа вектора a = (oci, ..., am)eRm равенством suppa = = {i; ai#0}. Если X — произвольное подмножество простран- пространства Rm, положим suppX= U (supp a). о е X Пусть L^) — решетка граней конуса С6, и пусть L(E) = = {suppa : oe?) — множество, упорядоченное по включению. Определим отображение /: LDF)—>-Bm(Bm — булева алгебра на множестве [пг]) следующим образом: /(ЗГ) = supp &~. Тогда f оказывается изоморфизмом ч. у. множеств L(W) и L(E). 4.6.3. Пример. Пусть Ф = [1,1,—1,—1J. Тогда ч.у. множество L(E) задается рисунком 4.7. Так, конус *8 имеет четыре край- крайних луча и четыре 2-грани. ? 1234 23 Пусть теперь Г —триангуляция конуса *&, крайние лучи ко- которой являются крайними лучами конуса. Такая триангуляция существует по лемме 4.6.1. Если оеГ, пусть B1)
332 Гл. 4. Рациональные производящие функции Тогда каждое множество Еа является подмоноидом Е и ?= I L^r.fig. Более того, если мы положим {и ^ Еа : и ^ Ех для всякого т сг а}, B2) то Е — Уае_^?а (объединение попарно непересекающихся множеств). Так получается основное разложение моноидов Е и Е на «хорошие» подмножества, совсем так же, как в лемме 4.5.3 делалось для Р-разбиений и строгих Р-разб^ений. _ «Триангуляции» {Еа :оеГ} и {Еа :оеГ} моноидов Е и Е гозволяют сформулировать следующее утверждение, касаю- касающееся производящих функций. 4.6.4. Лемма. Производящие функции Е(х), Е(х) и Еа(х), Еа(х) связаны соотношениями а<=г ' ° B3а) B3Ь) Доказательство. Равенство B3а) немедленно_следует из фор- формулы обращения Мёбиуса. А именно положим Е^ (х) = 0 и опре- определим функции На: На(х)= Z Очевидно, что B4) По формуле обращения Мёбиуса , 1), поэтому равенство B3а) следует из формул B4). Равенство B3Ь) сразу_следует из того, что части, входящие в объединение Е= Ug^r^" попарно не пересекаются. 4.6.5. Пример. Пусть Е — моноид, рассмотренный в примере 4.6.3. Выберем триангуляцию конуса 9s так, как показано на ри- рисунке 4.8, где suppa={l,3}, suppb =={1,4}, suppc={2,4}, suppd={2,3}. Тогда ч.у. множество f можно изобразить рис. 4.9. Заметим также, что T = {bd, abdt bed}. Лемма 4.6.4 4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения утверждает, что E (x) = ЕаЫ (x) + Ebcd (x) + Ebd (x). 333 B5) Следующий шаг в нашем рассуждении — вычисление произ- производящих функций Еа{х) и Еа{х), входящих в равенство B3а). Назовем подмоноид F моноида Nm (или даже Zm) симплици- альным, если существуют такие линейно независимые векторы bed. Ъ а (Пересечение %) с Рис. 4.8. Рис. 4.9. что ., at^F (называемые квазиобразующими моноида F), F = {\ ^Nm : п\ = а^ + ... + atat для некоторых яеР и o;eN}. Квазиобразующие аь ..., at определяются не вполне одно- однозначно. Если а{, .... о^ —другой набор квазиобразующих, то s = t и при подходящем выборе индексов о| = ^ог, где (/,eQ, qt > 0. Определим внутренность F моноида F следующим об- образом: Nm : /iY = aiai + ¦•• +«/a/ Для некоторых яеР и o,sP}. B6) Заметьте, что F зависит только от F, а не от ai, ..., at.
334 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.6. Линейные однородные диофаитовы уравнения 335 4.6.6. Лемма. Подмоноиды Еа моноида Е, определенные форму- формулой B1), являются симплициальными. Если &\, ..., 9lt — край- крайние лучи конуса а, то мы можем выбрать на роль квазиобра- квазиобразующих подмоноида Еа любые ненулевые целочисленные век- векторы из Я\ Mt (no одному вектору из каждого луча 3li). Кроме того, определение внутренности подмоноида Еа форму- формулой B6) согласуется с определением Ёа с помощью фор- формулы B2>. Доказательство. Это утверждение является простым следствием того обстоятельства, что а является симплициальным конусом. Детали оставляем читателю. ? Если FeN™ — симплициальный моноид с квазиобразую- квазиобразующими Q = {ai, ..., at), то мы определим два подмножества Df и Df в моноиде F (зависящие от выбора квазиобразующих Q) таким образом: atat, 0<аг<1}, B7а) 0<a,<l}. B7b) Отметим, что Df и Df — конечные множества, так как они со- содержатся в пересечении дискретного множества F (или Nm) с ограниченным множеством всех векторов aiai + ... + atat^ eRm, где О ==S a* < 1. 4.6.7. Лемма. Пусть FsRm — симплициальный моноид с квази- квазиобразующими cci, ..., at. i. Каждый элемент y s F представляется единственным обра- образом в виде ... +atat, где р е Df и a,- e N- Обратно, каждый такой вектор принад- принадлежит моноиду F. п. Каждый элемент y s F представляется единственным обра- образом в виде _ Y = P + ai«i+ ... +atat, где р е DF и а* е Н._Обратно, каждый такой вектор принад- принадлежит внутренности F. Доказательство. i. Пусть s^F. Воспользуемся (единственным) разложением Y = 6,a1+ ... + btat, bt^Q+. Пусть a, = l&d (наибольшее целое число, не превосходящее bt), и пусть Р = Y — fliai — ... ...—atat. Тогда PeF и, так как 0^Ь{— а{<1, даже pe?>f. Если бы нашлось другое такое представление y = = p/ + ajO,+ ... + aja,, то мы имели бы равенство 0 = = (Р — РО + («1 — а\) о, + • • • + (at — a't) at. Каждая разность at — dt является целым числом, в то время как если Р — — Р' = CjOj + ... + ctat, то — 1 < ct < 1. Следовательно, с{—0 и представления совпадают. Обратное утверждение очевидно. Доказательство аналогично предыдущему. Вместо а* = |А] \b{\ (бй ) п Д рдуу * |А] следует положить at = \b{\ (ближайшее сверху целое число). П 4.6.8. Следствие. Для производящих функций справедливы формулы (x) = ( Z B8a) B8b) Доказательство. Это утверждение является непосредственным следствием леммы 4.6.7. Замечание. Для читателей с алгебраическим складом ума мы поясним алгебраический смысл множеств Df и Df. Пусть G — подгруппа группы Zm, порожденная моноидом F, и пусть Н — подгруппа в G, порожденная квазиобразующими он, ..., at. Тогда каждое из множеств Df и Df является множеством пред- представителей классов ^межности подгруппы Я в G. Множество Df (соответственно DF) состоит из тех представителей, которые принадлежат множеству F (соответственно F) и находятся ближе всего к началу координат. Из общих фактов теории ко- нечнопорожденных абелевых групп следует, что индекс [G: Я] (т. е. число элементов в множествах Df или Df) равняется наи- наибольшему общему делителю определителей подматриц размера t X t матрицы со строками он, ..., о/. 4.6.9. Пример. Пусть он =A,3,0), аг = A,0,3). Наибольший об- общий делитель определителей 1 1 3 0 1 1 0 3  0 0 3
336 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 337 есть 3 = \Dp\ = \DP\. Действительно, DF = {@, 0, 0), A, 1,2), A, 2, 1)} и DP = {(\, 1, 2), A, 2, 1), B, 3, 3)}. Следовательно, 1 + ххх2х3 + ххх2хъ ** F(x) = Мы отмечали выше, что если симплициальный моноид FsNm обладает квазиобразующими си, ..., at, то любые ненулевые рациональные кратные векторов ось ..., at (при условии, что они лежат в Nm) могут быть выбраны в качестве квазиобра- квазиобразующих. Таким образом, существует единственный такой на- набор Рь ..., р< квазиобразующих, что любой другой такой на- набор имеет вид aiPi, .... atfit, где с,- е Р. Назовем векторы Рд, ..., Р/ вполне фундаментальными элементами моноида F и будем писать Cf(F) = {Pi> ..., р<}. Теперь предположим, что ? — моноид всех N-решений системы A7). Будем говорить, что р е Е — вполне фундаментальный элемент, если для всех чисел п е Р и элементов а, а' е Е, для которых лР = а + а', имеют место соотношения а = /р и а' = (л—/)р для некоторого ie P, О ^ i ^ л. Обозначим множество вполне фундаментальных эле- элементов моноида Е через CF(E). 4.6.10. Предложение. Пусть Г — такая триангуляция конуса Ч?, крайние лучи которой совпадают с крайними лучами конуса, и пусть E = \]asFE0 — соответствующее разложение моноида Е на симплициальные моноиды Еа. Тогда следующие множества совпадают: I. VF{E), 11. Uoer^(^), III. {Р е Е: Р принадлежит крайнему лучу конуса <& и Р=^яР' для некоторых п > 1 и Р'е?}, iv. множество ненулевых элементов Ре? с минимальным носителем, которые не представимы в виде лР' для некоторых п > 1 и Р'е? Доказательство. Предположим, что 0 ф Р е ? и supp P не мини- минимален. Тогда для некоторого элемента ссе? имеет место включение supp а с: supp p. Следовательно, для достаточно большого яеР будет справедливо неравенство лР — о^О, и поэтому лР — о s E. Обозначив лР — а через а', получим разложение лР = о + а'. Однако а Ф ф ни при каком ieN, поэтому $?CF(E) Предположим, что элемент Р е Е принадлежит множеству (iii), и пусть лр = а + а', где яеР и а, о' еЕ. Поскольку носи- носитель suppp минимален, то либо а —0, либо supp а = supp p. Если выполняется вторая возможность, выберем наибольшее рациональное число p/(/(i/eP), для которого Р — (p/q)а^О. Тогда q$ — pa^E и supp (<$ — pa) = supp p. Благодаря мини- минимальности suppp мы приходим к выводу, что q$ = pa. Так как Р#пР' для я>1 и Р'е?, мы получаем, что р = 1 и, следовательно, $^CF(E). Поэтому множества (i) и (iv) совпа- совпадают. Теперь пусть 91 — крайний луч конуса <ё>, ое52, о = о, + а2, где а,, а^^.^. По определению крайнего луча мы видим, что al = aa, О^а^Ь.Иэ этого легко вывести, что множества (i) и (iii) совпадают. Поскольку крайние лучи триангуляции Г и конуса ^ совпа- совпадают, элемент р множества CF(Ea) принадлежит некоторому крайнему лучу Я конуса *ё и поэтому попадает в множество (iii). Обратно, если симплициальный конус оеГ содержит крайний луч 91 конуса Я& и если гиперплоскость Ж является опорной для луча М в конусе Ч?{), то Ж является опорной ги- гиперплоскостью для этого луча и в конусе а. Таким образом, 91 является крайним лучом в конусе а. Так как ? = Uasr^o> от- отсюда вытекает, что множество (iii) содержится в множестве (и). ? Мы подошли, наконец, к первой из двух главных теорем этого раздела. 4.6.11. Теорема. Производящие функции Е(х) и Е(х) являются рациональными функциями от переменных х = {хи ..., хт). Если записать эти функции в виде несократимых дробей, знаме- знаменатель каждой из них будет иметь вид Д«= П A-х"). р <= CF (Е) Доказательство. Пусть Г — триангуляция конуса <&, крайние лучи которой совпадают с крайними лучами этого конуса (су- (существование такой триангуляции гарантируется леммой 4.6.1). Пусть Е— Ц, s г Еа — соответствующее разложение моноида Е. Поскольку CF{Ea)—множество квазиобразующих симплици- ального моноида Еа, из следствия 4.6.8 следует, что функции ?а(х) и Еа(х) могут быть записаны как рациональные дроби ') То есть Ж П 9" = Я. — Прим. перев.
338 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 339 со знаменателем = П i = CF( Из предложения 4.6.10 следует, что CF{Ea)^CF(E). Следова- Следовательно, по лемме 4.6.4 мы можем привести дроби, фигурирую- фигурирующие в формулах B3) и задающие функции Е(х) и Е(х), к об- общему знаменателю D(x). Остается проверить, что D(x) — наименьший такой знамена- знаменатель. Мы будем рассматривать лишь функцию Е(х), так как доказательство для функции Ё(х) в основном такое же (и также следует из теоремы 4.6.14). Запишем равенство Е(х) = = N(x)/D(x) и предположим, что эта дробь сократима. Тогда некоторый множитель Г(х) является общим делителем много- многочленов N(x) и D(x). По теореме о единственности разложения на неприводимые множители в кольце многочленов С [*i, ... ..., хт] мы можем предположить, что Т(х) делит многочлен 1 — xv для некоторого элемента y e CF(E). Так как \ ф щ' при любых п > 1 и v'e Nm, многочлен 1-х* неприводим. Следо- Следовательно, мы можем предположить, что 7'(х) = 1 — xv. Таким образом, мы получаем B9) F(x)=JV'(x)/ Ц A-х") где JV'(x)gC[jCi, ..., xm]. Поскольку для любых яеР и <ц е #Y) мы имеем п\ Ф SpeCf(?)apP> отсюда следует, что лишь конечное число членов вида xnv может содержаться в раз- разложении выражения, стоящего в правой части равенства B9). Это противоречит тому, что каждый элемент п\ принадлежит моноиду Е, и доказательство закончено. ? Наша следующая цель — теорема взаимности, связывающая функции Е(х) и Е(х). В качестве предварительного результата нам потребуется теорема взаимности для симплициальных мо- моноидов. 4.6.12. Лемма. Пусть Fg Nm — симплщиальный моноид с ква- квазиобразующими оь ..., at, и предположим, что DF = {Рь ... .... pj. Тогда где о = at -f o2 + ... + «*• Доказательство. Пусть y = «i«i + • • • + «*a< e F- Поскольку 1 тогда н только тогда, когда 0< 1—а*^1, утвер- утверждение леммы сразу вытекает из определения B7) множеств DF и DF. и Напомним, что если R(x) = R(xh ..., xm) — рациональная функция, то R A/х) — обозначение для функции R A/х1( ..., l/xm). 4.6.13. Лемма. Пусть FsN" — симплициальный моноид раз- размерности t. Тогда Доказательство. По формуле B8а) мы имеем где a определяется так же, как в лемме 4.6.12. По этой лемме x-»= Z х». DF f s Dp Доказательство завершается ссылкой на формулу B8b). D Теперь мы имеем все необходимые средства для вывода вто- второй из главных теорем этого раздела. 4.6.14. Теорема. (Теорема взаимности для линейных однород- однородных диофантовых уравнений.) Предположим (как всегда), что моноид Е, состоящий из ^-решений системы A7), является по- положительным, и пусть d = dim®1. Тогда Ж(х) = (-\ГЕA/х). Доказательство. По лемме 4.6.2 и формуле B3а) мы получаем ?A/х) = - Z (-l)d- аеГ По лемме 4.6.13 отсюда следует, что Сравнивая это равенство с равенством B3Ь), получаем требуе- требуемый результат. D Теперь мы приведем несколько примеров и приложений этой теории. Сначала мы закончим изучение уравнения ai -f- «г —
340 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 341 — oc3 — ос4 = 0, уже рассматривавшегося в примерах 4.6.3 и 4.6.5. 4.6.15. Пример. Пусть Е с N4 — моноид N-решений уравнения щ + а2 — а3 — а4 = 0. Согласно формулам B5), нам достаточно вычислить функции Eabd(x), Ebcd{x) и Ebd(x). В нашем случае CF(?) = {ft, Р2, Рз, Р4}, где ft = (l, 0, 1, 0), Р2 = A, 0, 0, 1), Рз = @, 1, 0, 1), Р4 = @, 1, 1, 0). Простое вычисление показывает, что Dabd = Dbcd = Dbd = {@, 0, 0, 0)} (причина этого состоит в том, что множества {Pb P2, PJ, {Р2, Р3, РЛ и (Р2, Р4} могут быть расширены до множества свободных образующих груп- группы Z4). Следовательно, по лемме 4.6.12 мы получаем, что Dabd = {ft -f ft. + ft} = {B, 1, 2, 1)}, Dbcd= {P2 + P3 + ft} = = {A, 2, 1, 2)}, DM = {P2 + P4} = {A, 1, 1, 1)}. Отсюда следует, что ?(x) = A - xtx. 1 fl^4) A " 9 XX X X\X2X$X \xt)(i - - х2хъ) 3*4 :1*+) A 4 - x2xb. A -x2x ) ' (l-XiX — XiX3) A — з) ' A-х,. X1Л2Х3 4)A- xxx *4) A " Х2ДС4) A - \XiX^ — x2xb) ( .2r V2 •2*3*4 • ^2^4) A " - *2*з) 1-X2X4) - *2*з) — х2хг) — х2х3) Заметьте, что действительно ?(х) = — ?A/х) и что также ?1(х) = х1х2х3л;4?'(х). Это связано с тем, что ае? тогда и только тогда, когда а + A, 1, 1, 1)е?. Обобщением этого факта служит следующий результат. 4.6.16. Следствие. Пусть Е — моноид N-решений системы A7), и пусть \^ Zm. Следующие два условия равносильны: _ п. ? = ?(т.е.«е? тогда и только тогда, когда о Доказательство. Условие (ii), очевидно, равносильно условию IF(x) = xv?(x). Доказываемое утверждение следует из тео- теоремы 4.6.14. ? Только в самых простых случаях имеет смысл вычислять производящую функцию Е(х) в лоб, как это было сделано в при- примере 4.6.15. Если, однако, не удается явно вычислить функцию Е(х), мы все же можем сделать некоторые интересные выводы, как скоро будет видно. Сначала нам понадобится предваритель- предварительный результат, касающийся производящей функции Е(х) спе- специального вида. 4.6.17. Лемма. Пусть Е — моноид Ы-решений системы A7), и пусть аи ..., »,,gZ—такие коэффициенты, что для каждого re N число g(r) элементов a = (ai, ..., am) моноида Е, удов- удовлетворяющих уравнению L(a):=aiai+ ... +amam = r, ко- конечно. Пусть G(X) = Yur>oe(r) ^Г- Тогда i. G{l) = E(la*, ..., А>) е= С (Я), где, как обычно, Е(х) = ). Так как ?(х)еС(х), XV. ii. Если ?=тМ0}, то degG(A,)<0. Доказательство. i. Очевидно, что G("k) = Е(АЛ, ..., то и GWeCW. п. В силу формулы B3а) и леммы 4.6.2, достаточно показать, что deg?10(^fll, ..., Я,0) < 0 для всех сг е Г. Рассмотрим выражение B8а) для функции ?0(х), выступающей в роли .F(x), и пусть PeDF. Тогда, по формуле B7а), Р = Г ... + btat, 0^6, <1. Следовательно, ... +^(а/), причем равенство достигается в том и только том случае, когда t = 0 (то есть а = {0}). Но поскольку {0} ф- Г, имеем: L (Р) < L (at) + ... + L (о,). Так как мо- моном хр, вычисленный в точке х = (Яа' k"m), имеет степень L(P), то можно заключить, что каждый член числи- числителя дроби ?0(Яа' Х"т) имеет степень меньшую, чем степень L(a,)-j- ... -\-L{at) знаменателя. ? Отметим, что в предыдущем рассуждении для доказатель- доказательства неравенства degG(A,)^O лемма 4.6.2 нам была не нужна. Она потребовалась лишь для того, чтобы показать, что свободный член G@) в разложении G(X) «правильный» (в смысле предложения 4.2.2). Магические квадраты Мы теперь подошли к первому существенному приложению из- изложенной теории. Пусть Нп(г) — число квадратных N-матриц n-го порядка, у которых суммы элементов в каждой строке и каждом столбце равны г. Например, #i(r)=l (соответствую- (соответствующая 1 X 1-матрица — это [г]), Н2(г) = г-\-1 (соответствующие Г < г — П матрицы имеют вид I _. . 1, 0 ^ i ^ г) и #„(!)= п!
342 Гл. 4. Рациональные производящие функции 4.6. Линейные однородные диофантоны уравнения 343 (соответствующие пХ «-матрицы — это всевозможные матрицы перестановок). Введем п2 переменных а»/, где (i, /)e [п]Х [п]. Тогда матрица размера п X п, у которой суммы элементов во всех строках и столбцах равны г, отвечает N-решению системы уравнений: E 1=1 C0) и ап + сс12+ ... +oln = r. Из леммы 4.6.17 следует, что если Е — моноид N-решений системы C0), то Е{хч) C1) Чтобы продвинуться дальше, мы должны найти множество CF(E). 4.6.18. Лемма. Множество CF(E) состоит из п\ перестано >чных матриц размера пУ^п. Доказательство. Пусть я— перестановочная матрица, и пусть &я = сц + а2, где оь аге?. Тогда у матриц си и аг имеется не более одной ненулевой компоненты в каждой строке и в каждом столбце (поскольку supp ai ? supp я), и, следовательно, эти матрицы кратны матрице я. Поэтому n^CF(E). Обратно, предположим, что я = (яг/)е?' не является пере- перестановочной матрицей. Если я кратна перестановочной матрице, то, очевидно, я ф. CF (Е). Поэтому мы можем предположить, что в некоторой строке, скажем с номером i,1( имеются по крайней мере два ненулевых элемента nt, , п{ j. Так как столбец с но- номером /i имеет ту же сумму, что и строка k, в этом столбце найдется другой ненулевой элемент в столбце /ь скажем Щ212- Поскольку строка fa имеет ту же сумму, что и столбец ji, суще- существует другой ненулевой элемент в строке i%, например ^i2i2- Если продолжать рассуждать таким об