Author: Стенли Р.
Tags: математика естественные науки теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов комбинаторика
ISBN: 5-03-001348-2
Year: 1990
Text
ENUMERATIVE COMBINATORICS
Volume I
Richard P. Stanley
Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software Monterey, California
R Стенли
Перечислительная комбинаторика
Перевод с английского
А. И. БАРВИНКА и А. А. ЛОДКИНА
под редакцией
А. М. ВЕР ШИКА
Москва «Мир» 1990
ББК 22.174
G79
УДК 5.19.1
Стенли Р.
С79 Перечислительная комбинаторика: Пер. с англ.—М.: Мир, 1990.—440 с., ил.
ISBN 5-03-001348-2
Книга американского математика, отражающая современное состояние комбинаторики. Изложение отличается высоким уровнем алгебран-зацнн, новизной материала, широкой областью приложений, включая приложения к задачам математической физики. В ней представлены комбинаторика частично упорядоченных множеств, метод трансфер-матрицы, алгебры инцидентности, линейные диофантовы уравнения, диаграммы Юнга и др. Книга написана ясно, продуманно и последовательно.
Для математиков разных специальностей, аспирантов н студентов университетов.
1602100000-234 041(01)-90
19-90
ББК 22.174
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001348-2 (русск.)
ISBN 0-534-06546-5 (аигл.)
© 1986 by Wadsworth, Inc. California 94002
© перевод на русский язык, А. И. Барвинок, А. А. Лодкин, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Эта книга, написанная одним из ведущих специалистов по комбинаторике, профессором Массачусетского технологического института Ричардом Стенли, является одновременно и учебником, и монографией как по классической так и по современной перечислительной комбинаторике. При этом она написана в совершенно новых для этой области традициях.
Древнейшая и, возможно, ключевая ветвь математики — комбинаторика— долгое время оставалась на периферии математической науки. Хотя всякая серьезная теорема, теория имеет свою комбинаторную лемму, комбинаторный аналог, хотя комбинаторное рассмотрение предшествует почти всякому анализу, тем не менее из разрозненных даже глубоких результатов еще не складывается единая жизнеспособная теория или область исследований. В то же время собственно комбинаторные проблемы подчас изолированы от большей части математики. В особенности это относится к перечислительной комбинаторике, поскольку задачи перечисления конечных множеств объединяются скорее по формальному, а не методологическому признаку.
На наших глазах происходит включение комбинаторики в русло современной математики; этот процесс определяется, во-первых, резким обновлением ее аппарата, в который постепенно входят разнообразные теории и методы других областей математики, а во-вторых, не менее резким расширением области приложений и предмета исследований комбинаторики. Важная, но не единственная роль в этих изменениях принадлежит изменению статуса дискретной математики в связи с появлением информатики, компьюторики и т. п., — эти изменения усилили интерес математиков к комбинаторике. Однако имеются внутренние причины появления «новой» комбинаторики. До самого последнего времени наиболее мощный контакт перечислительной комбинаторики с остальной математикой проходил через теорию производящих функций и в конце концов вел в теорию функций комплексной переменной. Это классическое направление и сейчас сохраняет свое значение. Но читатель сможет оценить, насколько далеко, судя по данной книге,
6
Предисловие редактора перевода
продвинута классическая теория производящих функций в новых направлениях. На него, несомненно, произведет впечатление широчайший охват материала, как традиционного, так и никогда не встречавшегося в книгах по комбинаторике. Нет смысла перечислять соответствующие примеры. Обратим внимание лишь на включение в книгу целой главы (гл. 3), посвященной, казалось бы, чуждому предмету — частично упорядоченным множествам. Однако именно в этом отражается одно из серьезных методологических нововведений, принадлежащих Дж.-К. Рота и развитых им вместе с Р. Стенли. Грубо говоря, алгебраиза-ция большого числа задач комбинаторики по замыслу Рота — Стенли начинается с выявления того или иного частично упорядоченного множества, которое, как правило, неявно сопутствует комбинаторной задаче. Блестящий и ставший классическим пример — теория обращения Мёбиуса, созданная Дж.-К- Рота, и теория алгебр инцидентности Рота — Стенли.
Виртуозное владение материалом самого различного характера дает возможность автору сделать книгу чрезвычайно привлекательной и для алгебраиста, и для геометра, для специалиста по теории функций, теории представлений, и, конечно, для комбинаториков. Р. Стенли построил книгу наилучшим для данной ситуации способом: сравнительно простое, понятное студентам изложение основной части соседствует с громадным по запасу и глубине материалом упражнений, среди которых есть вполне тривиальные, но есть результаты и проблемы из самых последних работ большого числа авторов.
Главы 1—3 переведены А. И. Барвинком, глава 4 —А. А. Лодкиным. Автор любезно прислал специально для русского издания список исправлений, что помогло при работе над переводом; некоторые мелкие погрешности исправлялись без специальных примечаний. Следует заметить, что литературные ссылки автора не полны, и мы не стремились пополнить их, поскольку число работ, так или иначе связанных с темами, затрагиваемыми в книге, необычайно велико. Как сообщил нам автор, в ближайшее время ожидается выход второго тома этой книги в оригинале.
А. М. Вершик
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЖ.-К. РОТА
Очень жаль, что после того, как книга выходит в свет и начинает собственную жизнь, она больше не хранит свидетельств мучительного выбора, возникшего перед его автором на протяжении работы. Перед автором любой книги встают такие вопросы: для какой аудитории она предназначена, для кого окажется бесполезной, кто будет самым вероятным критиком? Большинство из нас подчас занято бесплодным составлением оглавлений книг, которые, как мы знаем, никогда не увидят свет. В некоторых странах такие особо талантливо составленные проекты посылают в печать (хотя они могут и не включаться в список авторских публикаций).
В математике, однако, бремя выбора, стоящего перед автором, настолько тяжело, что выдерживают лишь самые смелые. Но из всей математики сегодня, вероятно, трудней всего писать книги по комбинаторике, несмотря на существование жаждущей аудитории, состоящей из специалистов в самых различных областях. Следует ли выделить отдельный параграф для изолированного частного результата? Нужно ли новую, неоперив-шуюся теорию, имеющую пока редкие приложения, робко втискивать в середину главы? Следовать ли одному из двух противоположных искушений: стремлению к популяризации с одной стороны или к категорической строгости с другой? Или поддаться обаянию алгоритма?
Ричард Стенли победно преодолел все эти барьеры. Говорят, что в комбинаторике слишком много теорем, связанных с очень небольшим числом теорий; книга Стенли опровергает это утверждение. Умело отбирая наиболее привлекательные современные теории, он демократично сочетает их с многообразными примерами, в диапазоне от топологии до компьютерной математики, от алгебры до комплексного анализа. Читатель никогда не испытает нехватки в иллюстративном примере или недоумения от доказательства, нарушающего критерий Г. Харди, согласно которому оно должно появляться как приятный сюрприз.
8 Предисловие Дж.-К. Рота
Сделанный автором выбор упражнений позволит нам, наконец, предложить удовлетворительную библиографическую ссылку коллеге, стучащемуся в нашу дверь со своей комбинаторной проблемой. Но более всего Стенли преуспел в следующем: он сделал захватывающим сам предмет в книге, которая от начала и до конца поглотит внимание любого математика, открывшего ее на первой странице.
Джан-Карло Рота
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Перечислительная комбинаторика занимается подсчетом числа элементов в конечном множестве S. В том виде как это определение сформулировано, оно мало говорит о самом предмете, так как фактически любую математическую задачу можно сформулировать в таких терминах. В собственно перечислительной задаче элементы множества S обычно будут иметь очень простое комбинаторное определение и весьма незначительную дополнительную структуру. Выявляется, что множество S содержит много элементов, и главным вопросом будет определение их числа (или оценка его), а не поиск, например, какого-нибудь особого элемента. Конечно, существует много вариантов этой основной задачи, также относящихся к перечислительной комбинаторике; они встретятся на протяжении этой книги.
В последние годы наблюдалось бурное развитие комбинаторики, включая и перечислительную комбинаторику. Одной из важных причин этого явилась та фундаментальная роль, которую играет комбинаторика будучи аппаратом информатики и смежных областей. Другой причиной были огромные усилия, начало которым положил Дж.-К. Рота около 1964 г., нацеленные на объединение и согласование разделов комбинаторики, особенно теории перечисления, и на превращение комбинаторики в составную часть магистрального направления современной математики. Эти усилия значительно прояснили роль перечислительной комбинаторики в таких областях математики, как теория конечных групп, теория представлений, коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и алгебраическая топология.
Эта книга предназначена для трех разновидностей читателей и служит трем различным целям. Во-первых, ее можно использовать как введение для окончивших курс высшего учебного заведения в одну из чарующих областей математики. Для чтения большей части книги необходимо знать основные сведения из линейной алгебры, и возможно, прослушать односеместровый курс абстрактной алгебры. Глава 1 может служить введением в теорию перечисления на несколько более низком
10
Предисловие автора
уровне. Во-вторых, книга предназначена для специалистов по комбинаторике, для которых она могла бы служить в качестве общего источника. Так как невозможно полностью охватить все, мы попытались по крайней мере включить главные темы перечислительной комбинаторики. Наконец, эту книгу могут использовать математики, не занимающиеся комбинаторикой, но работа которых требует решения некоторых комбинаторных задач. Судя по многочисленным беседам, которые я вел с математиками, работающими в различных областях, такая ситуация возникает довольно часто. Поэтому я особенно старался охватить в книге темы перечислительной комбинаторики, которые возникают в других областях математики.
Упражнения, помещенные в конец каждой главы, играют первостепенную роль при достижении всех трех целей этой книги. Более легкие упражнения (трудность которых находится, скажем, в диапазоне от I —до 3—) могут пытаться решать студенты, использующие эту книгу как учебник; не предполагается, что будут решены более сложные упражнения (хотя, несомненно, некоторые читатели не смогут противостоять серьезному вызову). Эти задачи скорее служат отправной точкой изучения областей, непосредственно не охватываемых текстом. Я надеюсь, что эти более сложные упражнения убедят читателя в глубине и широкой применимости перечислительной комбинаторики, особенно в гл. 3, где никоим образом априори не очевидно, что частично упорядоченные множества есть нечто большее, чем удобное бухгалтерское приспособление. Почти все упражнения снабжены решениями или ссылками на решения.
Принцип цитирования и указания ссылок, я надеюсь, ясен. Всем указаниям на ссылки в другой главе предшествует номер соответствующей главы. Например, [3.16] отсылает к позиции 16 в гл. 3. Я не ссылался на литературу в пределах основного текста; все такие указания встречаются в разделе «Замечания» в конце каждой главы. Каждая глава содержит свой собственный список литературы, а цитируемая литература, относящаяся к упражнению, дана отдельно в решении упражнения.
Многие лица разными способами внесли вклад в написание этой книги. Особо нужно упомянуть Дж.-К. Рота, который ввел меня в изумительный мир перечислительной комбинаторики, а также постоянно поддерживал и поощрял. Я должен также упомянуть Дональда Кнута, чьи великолепные книги по программированию побудили меня включить в книгу обширный список упражнений с решениями и с указанием трудности перед упражнением.
Я благодарю Эда Бендера, Луи Биллера, Андерса Бьорнера, Томаса Брнлавского, Перси Дьякониса, Доминика Фоата, Анд-
Предисловие автора
11
риано Гарсиа, Иру Гессель, Джея Голдмана, Кертиса Грина, Виктора Кли, Пьера Леру, И. Рональда, К. Муллина за ценные предложения и ободрение. Кроме того, имена многих авторов, идеи которых я заимствовал, упомянуты в разделах ^Замечания» и «.Упражнения». Я благодарен группе, отлично подготовившей рукопись, в том числе Руби Агуир, Луизе Бальзарини, Маргарет Бьюклер, Бенито Раковеру и Филлису Руби. Наконец, я благодарю Джона Киммеля из издательства Wadsworth & Brooks/Cole Advanad Books & Software за поддержку и ободрение во время подготовки книги и Филлис Ларимор за аккуратное редактирование.
За финансовую поддержку при написании этой книги я хочу поблагодарить Массачусетский технологический институт, Национальный научный фонд и Фонд Гуггенхейма.
Ричард Стенли
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
С большим энтузиазмом я встретил перевод на русский язык первого тома моей книги «Перечислительная комбинаторика». Я надеюсь, что эта книга позволит советским математикам почувствовать очарование перечислительной и алгебраической комбинаторики и будет способствовать их сотрудничеству с западными математиками в духе гласности.
Ричард Стенли
Август 1989 г.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
С комплексные числа
N Р Q R Z [п] [ Ln /] 1x1 cardX, #Х, |Х| неотрицательные целые положительные целые рациональные числа вещественные числа целые множество {1,2, .... п} при пе N (так что 10] = 0) множество {t, i + I, ..., /} для чисел i j наибольшее целое, не превосходящее х наименьшее целое, не меньшее х используются для обозначения числа элементов в конечном множестве X
{а1( .... ak}< множество {аь а*} = R, где ai < ... ... ak
6i} символ Кронекера, равный 1, если i — j и 0 в противном случае
im А ker A равенство по определению образ функции А ядро гомоморфизма или линейного преобразования А
trA GF(q), F, след линейного преобразования А конечное поле из q элементов (единственное с точностью до изоморфизма)
IM* прямая сумма векторных пространств (или модулей, колец и т д.) V;
ЯЫ кольцо многочленов от переменной х с коэффициентами в области целостности R
R(x) кольцо рациональных функций от х с коэффициентами в R (R(x) есть поле частных кольца R [х], если R — поле)
»]] кольцо формальных степенных рядов апхП от х с коэффициентами ап из R
W)) кольцо формальных рядов Лорана для некоторого по е Z от х с коэффициентами ап из R (/?((х)) есть поле частных кольца R [ [х] ], если кольцо R является полем)
Глава 1
ЧТО ТАКОЕ ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНАЯ КОМБИНАТОРИКА?
1.1. Как сосчитать
Основная проблема перечислительной комбинаторики состоит в том, чтобы сосчитать число элементов в конечном множестве. Обычно нам дан бесконечный класс конечных множеств Si, где i пробегает некоторое множество индексов I (такое, как множество неотрицательных целых чисел N), и мы хотим сосчитать число f(i) элементов в каждом Si «одновременно». Тотчас же возникают философские трудности. Что значит «сосчитать» число элементов S,? На этот вопрос нет определенного ответа. Только с опытом действительно развивается понятие того, что понимается под «вычислением» считающей функции f(i). Считающая функция f(i) может быть задана несколькими стандартными способами:
I. Наиболее приятная форма /(/) — совершенно явная замкнутая формула, включающая только хорошо известные функции и не содержащая символов суммирования. Только в редких случаях такая формула будет существовать. По мере того как формулы для f(i) становятся более сложными, наше желание принять их как «выражения» для f(i) уменьшается. Рассмотрим следующие примеры.
1.1.1. Пример. Для каждого neN пусть f(n) — число подмножеств множества [п] ={1, 2, ..., п}. Тогда f(n) = 2", и никто не будет отрицать, что это удовлетворительная формула для f(n).
1.1.2. Пример. Предположим, что п человек сдали свои п шляп гардеробщику. Пусть f(n) — число способов, которыми шляпы могут быть розданы обратно, причем каждый получает одну шляпу и ни один не получает свою собственную. Например, f(l) = 0, f(2)= 1, f(3)= 2. Мы увидим в гл. 2, что
п
f(n)=ni Е(-1)7л. (1)
1-0
Эта формула для f(n) не так элегантна как формула в примере 1.1.1, но за отсутствием более простого ответа нам хочется принять (1) как удовлетворительную формулу. Фактически, как
14
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
только стал понятен вывод формулы (1) (используется принцип включения — исключения), легко понять комбинаторный смысл каждого члена формулы (1). Это позволяет нам «понять» (1) интуитивно, так что наше желание принять эту формулу усиливается. Заметим также, что из (1) легко следует, что f(n) — ближайшее целое к п\/е. Это, конечно, простая явная формула, но ее неудобство в том, что она «некомбинаторная», так как деление на е и округление до ближайшего целого не имеют прямого комбинаторного смысла.
1.1.3. Пример. Пусть f(n) — число п X п матриц М из нулей и единиц, таких, что каждая строка и каждый столбец содержат три единицы. Например, f(0) = 1; f(l) = f(2) = 0; f(3)=l. Наиболее явная формула для f (п), известная в настоящее время,— это
f(n) = 6-«y (-1>^ + Зу>12“3»
Z-J a! 0! y!26v ' '
где сумма берется по всем (п + 2) (п + I)/2 решениям уравнения а+р + у = п в неотрицательных целых числах. Эта формула дает очень небольшую возможность исследовать поведение f{n), но она действительно позволяет сосчитать f(n) гораздо быстрее, чем на основе использования лишь комбинаторного определения f(n). Поэтому с некоторой неохотой мы принимаем (2) за «выражение» для f(n). Конечно, если бы кто-нибудь позже доказал, что f(n) = (n— 1) (п — 2)/2 (что весьма маловероятно), то наш энтузиазм относительно формулы (2) значительно уменьшился бы.
1.1.4. Пример. Впрочем, встречаются формулы в литературе («безымянные с этих пор»)1) для некоторых считающих функций вычисление которых требует перебора всех (или почти всех) f(n) подсчитываемых объектов! Подобные формулы полностью бесполезны.
2. Может быть дано рекуррентное выражение для f(i) через ранее вычисленные значения f(j), дающее тем самым простую процедуру вычисления f(i) для любого желаемого i^.1. Например, пусть f (п) — число подмножеств [и], которые не содержат двух последовательных чисел. Например, для п = 4 имеем подмножества 0, {!}, {2}, {3}, {4}, {1,3}, {1,4}, {2,4}, так что f(4) = 8. Легко видеть, что f (п)= f (п —1)+ f (п — 2) при
2. Это делает тривиальным, например, подсчет f(20). С дру-
*) «Nameless here for evermore» — Э. По. Ворон 2-я строфа, перевод М. Зенкевича. — Прим. ред.
1.1. Как сосчитать
IS
гой стороны, можно показать, что
f (ft) = -^(^+2-^),
где т = -^-(1 + Уб), т = -|-(1 — д/б). Это точный ответ, но так как формула содержит иррациональные числа, то вопрос, лучше ли он, чем рекуррентная формула
f(n) = f(n— 1) + f(n — 2), является спорным.
3. Может быть дана оценка f(i). Если I — N, то эта оценка часто принимает форму асимптотической формулы f(n)~ g(n), где g(n)— «знакомая функция». Обозначение f(n) ~ g(n) означает, что limre->oo7(n)/^(n)= I. Например, пусть f(n)— функция примера 1.1.3. Можно показать, что
f (п) - e~236-n (3ft)!.
Для многих целей эта оценка предпочтительнее, чем «явная» формула (2).
4. Самый полезный, но и самый трудный для понимания метод численного представления функции f(i) состоит в задании ее производящей функции. В этой главе мы не будем развивать строгую абстрактную теорию производящих функций, а вместо этого удовлетворимся неформальным обсуждением и некоторыми примерами. Говоря неформально, производящая функция есть «объект», который представляет считающую функцию f(i). Обычно этот объект есть формальный степенной ряд. Два наиболее общих типа производящих функций суть обычные производящие функции и экспоненциальные производящие функции. Если I = N, то обычная производящая функция последовательности f(n) — формальный степенной ряд
Z Нп)хп,
п^О
в то время как экспоненциальная производящая функция последовательности f(ft) — формальный степенной ряд
Z f(n)xn/nl.
п>0
(Если I = Р — множество положительных целых, то эти суммы начинаются с ft—1.) Эти степенные ряды называются «формальными», так как мы не связываем с символом х конкретных значений и игнорируем вопросы сходимости и расходимости. Член ряда хп или хп!п\ просто отмечает место, где написано
16
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
f(n). Если F (х) = En>o ап.хп, мы называем ап коэффициентом при хп в F(x) и пишем
an = CF(x) или ап = F (х) |„. п
Аналогично можно рассматривать производящие функции нескольких переменных, как, например,
У Е Е ft!, tn, ri)xlymzn/n\
/X) m^O n^sO
(которую можно считать «обычной» по индексам I, tn и «экспоненциальной» по п), или даже бесконечного числа переменных. В последнем случае каждый член должен содержать только конечное число переменных.
Зачем утруждать себя производящими функциями, если они есть всего лишь другой способ записи считающих функций? Ответ состоит в том, что мы можем выполнять различные естественные операции над производящими функциями, имеющие комбинаторный смысл. Например, мы можем сложить две производящие функции (от одной переменной) по правилу
( S ='£ Ч + ».) V
\п>0 / \п>0 / п>0
или
/ у апхп \ ./у Ьпхп\ _ у (art + bn) хп
I Ь л1 I т I L л| I Zj п!
\п>0 / \п>0 / п>0
Аналогично мы можем перемножить производящие функции по правилу
( Е апхп>) ( Е bnxn\ = Е спхп,
\п>0 / \п>0 / п.>0
где сп = Е?=оаА-»> или
/ у апхп \ / у Ьпхп \ _ у dnxn
Zj и! I Zj и1 I Zj n! ’
\n>0 / \n>0 / n>0
Z ft \ Z ft \
где I . аЛ-i, a I . \ =
*—li=o \ i / \ i /
Заметьте, что эти операции в точности такие же, какие бы мы получили, если бы производящие функции подчинялись обычным законам алгебры, подобным х‘х’ — xi+l. Эти операции совпадают со сложением и умножением функций в тех случаях, когда степенные ряды сходятся для подходящих значений х, и они подчиняются таким известным законам алгебры, как ассоциативность и коммутативность сложения и умножения, ди-
1.1. Как сосчитать
17
атрибутивность умножения относительно сложения и сокращение произведения (т. е. если F(х) G (х) = F(х) Н(х) и F(x)=/=0, то G(x) = /7(x)). Фактически множество всех формальных степенных рядов '£1п>оапхп с комплексными коэффициентами ап образуют (коммутативную) область целостности относительно определенных только что операций. с)та область целостности обозначается С [ [х] ]. (В действительности С [ [х] ] — очень специальный тип области целостности. Для читателей, в какой-то мере знакомых с алгеброй, заметим, что С [ [х] ] — область главных идеалов и, следовательно, область с однозначным разложением. В действительности любой идеал С[[х]] имеет вид (хп) для некоторого п 0. С точки зрения коммутативной алгебры С[[х] ] — одномерное полное регулярное локальное кольцо. Здесь мы не будем касаться этих общих алгебраических рассмотрений; вместо этого мы обсудим с элементарной точки зрения те свойства С [ [х] ], которые будут нам полезны.) Аналогично множество формальных степенных рядов от т переменных xi, ..., хт (где т может быть и бесконечностью) обозначается С[[х....хга] ] и образует область с однозначным
разложением (хотя и не область главных идеалов при т^2).
Именно исключительно с приобретением опыта познается комбинаторный смысл алгебраических операций в С[[х]] или C[[xi, ..., Хт]], а также совершается выбор: использовать обычные или экспоненциальные производящие функции (или функции различных других видов, обсуждаемые в следующих главах). В разделе 3.15 мы объясним до некоторой степени комбинаторный смысл этих операций, но даже тогда опыт совершенно необходим.
Если F(x) и G(x)— элементы С [ [х]], удовлетворяющие условию F(x)G(x)=l, то мы (естественно) пишем: G(x) = = F(x)-1. (Здесь 1—сокращенная запись для 1 Ох+ + 0х2+ ...). Легко видеть, что F(x)-1 существует (и в этом случае единственно) тогда и только тогда, когда а0 =#= 0, ЕДе F (х) = ^п>оапхп. Обычно «символически» пишут ao = F(O), даже если F(x) не рассматривается как функция от х. Если F (0)=/=0 и F(x)G(x) = Я(х), то G(x)= F-1(x)//(x). Более общим образом операция (•)“' удовлетворяет всем привычным законам алгебры, если только она применяется к степенному ряду F(x), удовлетворяющему условию F(0)=/=0. Например, (F(x) G(x))-1 = F(x)-nG(x)-1, (F(x)-1)-1 = F(x) и так далее. Аналогичные результаты имеют место для C[[xi, ..., х„]].
1.1.5. Пример. Пусть (£п>оапхп}{1—ах)=^п>оспхП> где а— ненулевое комплексное число. Тогда по определению произведе
18
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
ния степенных рядов
( 1, п = 0
Cn = ( an-a (art-1) = О, п>1.
Следовательно, ^п>оапхп = (1 — ох)-1. Это может быть также записано в виде
апх* = —
1 ~ ах
Эта формула не вызывает удивления; это просто формула (в формальной записи) суммы геометрической прогрессии.
Пример 1.1.5 дает простую иллюстрацию общего принципа, который, говоря нестрого, утверждает, что если имеется тождество со степенными рядами, которое выполняется, если степенные ряды рассматривать как функции (т. е. считать переменные достаточно малыми комплексными числами), тогда это тождество продолжает оставаться верным, когда его рассматривают как соотношение между формальными степенными рядами, лишь бы операции, участвующие в формулах, имели смысл для формальных степенных рядов. С нашей стороны было бы излишним педантизмом устанавливать здесь точную форму этого принципа, так как читатель не должен испытывать больших затруднений, проверяя в каждом частном случае формальную справедливость наших действий со степенными рядами. На протяжении этого раздела мы приведем несколько примеров для иллюстрации этого утверждения.
1.1.6. Пример. Тождество
(Е*7п!>)(Е(-1)п*'7п!') = 1 (3)
справедливо как тождество между функциями (оно гласит, что ехе-х — ц и ИМеет смысл как утверждение о формальных степенных рядах. Поэтому (3) — справедливое тождество между формальными степенными рядами. Другими словами (приравнивая коэффициенты при хп1п\ в обеих частях равенства (3)), имеем
(4> fe=0 4 7
Для вывода этого тождества непосредственно из формулы (3) мы можем рассуждать следующим образом. Обе части (3) схо
1.1. Как сосчитать
19
дятся для всех хеС, так что имеем
£ для всех хеС-
n>0 'fe=0 '
Но если два степенных ряда от х дают разложение одной и той же функции f(x) в некоторой окрестности 0, то, согласно стандартному элементарному результату о степенных рядах, они должны совпадать почленно. Отсюда следует (4).
1.1.7. Пример. Тождество
У, (х + 1)7«! = е 2 xn/nl п^О п^О
справедливо как тождество между функциями (оно гласит, что ех+1 = е-ех), но не имеет смысла как утверждение о формальных степенных рядах. Нет формальной процедуры для написания Хп>0(х+ !)"/«! как элемента С [ [х] ].
Хотя и выражение 1)7Л1 формально не имеет
смысла, тем не менее есть некоторые бесконечные процессы, которые могут быть формально выполнены в С [ [х] ]. (Эти рассуждения прямо распространяются на кольцо С[[х........хт] ],
но для простоты мы рассмотрим только С [ [х] ].) Для определения этих действий нам нужно ввести некоторую дополнительную структуру на кольце С [ [х] ], а именно — ввести понятие сходимости. С алгебраической точки зрения определение сходимости неявно присутствует в утверждении о том, что С [ [х] ] полно в некоторой стандартной топологии, которая может быть введена на С [ [х] ]. Однако мы не будем предполагать наличие топологических знаний у читателя и дадим вместо этого замкнутое в себе элементарное обсуждение понятия сходимости.
Если Ei(x), Е2(х),... — последовательность формальных степенных рядов и если/7 (х) = ^п>йапхп — другой формальный степенной ряд, по определению положим: Ft(x) сходится к F(x) при t —> оо (запись: F;(x)-> F(x)), если для всех п 0 существует такое число б(п), что коэффициент при хп в Fi(x) есть ап, как только i 6(п). Другими словами, для любого п последовательность
СГДх), С/72(х), ... п п
комплексных чисел в конце концов становится постоянной со значением ап. Эквивалентное определение сходимости следующее. Определим степень ненулевого формального степенного ряда F (х) = У,п>0 апхп обозначение — degF(x)) как наименьшее
20
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
целое п, такое, что ап=/=0. Заметим, что deg/7(x)G(x) = = deg F (х) 4- deg G (x). Тогда Ft(x) сходится если и только если lim^oo deg(Fi+1 (х) — F{ (х)) = оо.
Мы говорим, что бесконечная сумма Е/>о^/(х) имеет значение F (х), если 2/=оА/(^)-* А(х). Аналогичное определение дается бесконечному произведению Ц/>1ГДх). Чтобы избежать непринципиальных технических деталей, мы предположим, что в любом бесконечном произведении Ц/>1/7у(х) каждый множитель Fj(x) удовлетворяет условию /j(0) = 1. Например, пусть Fj (х) = djX’. Тогда для i^n коэффициент при хп в Е/=о-^/(х) равен ап. Следовательно, Tj!>0F j(x) есть в точности степенной ряд Еп>оапхП> Таким образом, мы можем думать о формальном степенном ряде ^п>йапхп как о «сумме» его одночленов. Доказательства следующих двух элементарных результатов оставляются читателю.
1.1.8. Предложение. Бесконечный ряд ^j^F^x) сходится тогда и только тогда, когда lim/->oo degF;(x) = оо. □
1.1.9. Предложение. Бесконечное произведение П/551 (1 + (х)), где Fj(O) = O, сходится тогда и только тогда, когда lim/->oo degFy(x) = оо. □
Важно понимать, что при вычислении сходящегося ряда Е/>0^/(х) (или аналогично произведения П/^^Дх)) для любого данного п коэффициент при хп может быть вычислен с использованием только конечного процесса. Ибо если / достаточно велико, скажем / > 6(/г), тогда deg/7/(x)> п, так что
6(п)
С Е F}(x) = c Ef/(x). п />0 п /=0
Последнее выражение содержит только конечную сумму.
Самое важное комбинаторное приложение понятия сходимости — это идея композиции степенных рядов. Если 7?(х) = = Еп>оапх,г и О(х) — формальные степенные ряды с условием G(0) = 0, определим композицию F(G(x)) как бесконечную сумму En>oanG(x)"- Так как deg G (x)n = ft deg G (х) > ft, то в силу 1.1.8 мы видим, что выражение F(R(x)) определено как формальный степенной ряд. Мы также видим, почему выражение, подобное е1+х, действительно формально не имеет смысла; имен
1.1. Как сосчитать
21
но, бесконечный ряд £„>0(1 + х)7«! нс сходится в соответствии с определением, данным выше. С другой стороны, выражение, подобное ее -1, вполне имеет формальный смысл, так как оно равно F(G(x)), где F(x) = '^n>0/l/nl и G(x) = Еге>1 хп/п\.
1.1.10. Пример. Если элемент F(x) е С [ [х] ] удовлетворяет условию Ё(0) = 0, мы можем определить для любого X е С формальный степенной ряд
(1+Е(х))х=£ ( Е(х)п, (5)
““ \ ft /
п^О
где I I —Х(Х — 1) ... (Л, — п + 1)/п!. Фактически мы можем
рассматривать X как переменную и принять (5) за определение (1 + F(x) )к как элемента С [ [х, X] ] (или _С [X] [ [х] ], т. е. коэффициент при хп в (I 4-Е(х))х— полином от X). Все ожидаемые свойства возведения в степень действительно выполняются, например (1 + E(x))x+i1 =(1 + Е(х))х(1 4- Е(х))*1 (рассматриваемое как тождество в кольце .С[[х, X, ц]] или в кольце С [ [х] ], где X, р взяты из поля С).
Если F (х) = ^п>оапхп, определим, формальную производную Е'(х)^ также обозначаемую-^- или DF(x)^ как формальный степенной ряд En>ona„x"_I = £„>0(n + 1)ап+1хп.
Легко проверить, что все знакомые правила дифференцирования, определенные формально, продолжают выполняться и для формальных степенных рядов. В частности,
(F + G)' = F' + G',
(FG)' = F'G + FG',
F(G(x))' = G'(x)F'(G(x)).
Таким образом, мы имеем формальное исчисление для формальных степенных рядов. Полезность этой теории станет очевидной в последующих примерах. Сначала дадим пример использования формального исчисления, который должен дополнительно осветить законность обращения с формальными степенными рядами, как если бы они в действительности были функциями от х.
1.1.11. Пример. Предположим F(Q) = 1, и пусть G(x)— единственный степенной ряд, удовлетворяющий условиям
G'(x) = F'(x)/F(x), G(0) = 0. (6)
22 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Рассматривая F(x), G(x) как функции, мы можем «решить» (6) и получить F,(х) = expG (х), где по определению e.xpG(x) = — G (х)'1/»!. "Так^как G(0) = 0, все имеет смысл и формально, так что (6) должно оставаться эквивалентно утверждению F(x) = exp G (х), даже если степенной ряд для F(x) сходится только при х = 0. Как это утверждение может быть проверено без непосредственного доказательства некоторого комбинаторного тождества? Пусть F(x) = l апхл. Из (6) мы можем явно вычислить G (х) = £л>1 Ьпхп, и сразу видно, что каждый из коэффициентов Ьп — полином от конечного числа а,. Если exp G (х) = 1 + спхп, то каждый коэффициент сп также будет являться полиномом от конечного числа а,-, скажем сп — pn(ai, а2, ат), где т зависит от п. Мы знаем, что F(x) = exp G(x), если ряд 1+У,п>1апхп сходится. Если два ряда Тейлора, сходящиеся в некоторой окрестности нуля, представляют одинаковые функции, то их коэффициенты совпадают. Следовательно, ап = рп(а\, а2, , dm), если ряд 1 + + Srt>i ап*п сходится. Таким образом, два полинома ап и Рп(а\, ..., ат) совпадают в некоторой окрестности нуля в Ст, так что они должны быть равны. (Хорошо известно, что если два комплексных полинома от т переменных совпадают на некотором открытом множестве в Ст, то они тождественно равны.) Так как ап~ рп(а\, а2> ..., ат) как полиномы, то тождество F(х) = exp G (х) продолжает оставаться справедливым для формальных степенных рядов.
Есть другой метод, позволяющий дать обоснование решению F(x) = exp G(x) уравнения (6), который может привлечь читателя со склонностью к топологии. Дан элемент G(x), G(0) = 0, определим F(x) = exp G(x) и рассмотрим отображение
F' (х) <р: С [[х]]С [[х]], определенное так: <p(G(x)) = G (х)-
Легко проверяется следующее: (а) если G сходится в некоторой окрестности 0, то <p(G(x)) = 0; (в) множество & всех степенных рядов, сходящихся в некоторой окрестности 0, плотно в С[[х]] в топологии, определенной выше (фактически множество С[х] полиномов плотно в С [ [х] ]), и (с) функция <р непрерывна в определенной выше топологии. Отсюда следует, что <p(G(x)) = 0 для всех G(x)eC[[x]] с условием G(0) = 0.
Сейчас мы дадим всевозможные примеры, иллюстрирующие обращение с производящими функциями. На всем протяжении мы будем часто использовать принцип обращения с формальными рядами как с функциями.
1.1. Как сосчитать
23
1.1.12. Пример. Найдем простое выражение для производящей функции F (x) = ^n>Qanxn, гле а0 = а{ = 1, ап = ап^{ + ап_2 при и > 2. Имеем
F (х) = S апхп = 1 + х + S апхп = п>0 л>2
= 1 + X + X («л-1 + Яп_2) ХП — п^2
= 1 + х + х X an-ixn^1 + х2 £ ап-2хп~2 = п~^2 n^s2
= l + x + x(F(x)-l) + x2(F(x)).
Разрешая уравнение относительно F(x), получаем
К(х) = 1/(1 -х-х2).
1.1.13. Пример. Найдем простое выражение для производящей функции F (х) ==^п>оапхп/п1, где Oo = «i = l, an = an-i + + (п—1)а„_2 при п^2. Имеем
F(x) = X апхп1п\~ п>0
= 1 + X + s апхп/п\ = п>2
= l + x+ х («л-1 + (п — V)an_2) хп/п\. (7) п->2
Пусть G(x) = Xn>2an-iXn/n\ и Н (х) = Хп>2(п — 1)ап_2хп/п\. Тогда G'(x) = ^„>2a„_lx"-1/(n — l)! = F(x) — 1 и Н'(х) = = S„>2an-2x”-1/(rt —2)! = х/?(х). Следовательно, если мы продифференцируем (7), то получим
F' (х) = 1 + (F (х) - 1) + xF (х) = (1 + х) F (х).
Единственное решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию F(0)=l, есть F(x) = exp(х + Т}*2) • (Как показано в примере 1.1.11, решение этого дифференциального уравнения есть чисто формальная процедура.)
1.1.14. Пример. Пусть ц(и) — функция Мёбиуса, используемая в теории чисел; т. е. р(1)= 1, р(«) = 0, если п делится на квадрат целого числа, большего единицы, и р(«) = (—1)г, если п — произведение г различных простых чисел. Найдем простое
24 Гл. 1. Чю такое перечислительная комбинаторика?
выражение для степенного ряда
F(x) = П (1 - х'1)-'* (8)
Во-первых, удостоверимся, что F(x) имеет смысл как формальный степенной ряд. Из примера 1.1.10 имеем
<>о 4
Заметим, что (1 — хл)_м,(л)/п = 1 + Я (х), где deg/Z(x) = n. Следовательно, согласно предложению 1.1.9, бесконечное произведение (8) сходится, так что F(x) имеет смысл. Теперь прологарифмируем (8). Иными словами, найдем logf(x), где
log(l + х) = X (— 1)п~1хп/п п>1
— разложение натурального логарифма в степенной ряд. Получим
log F (х) = log Д (1 — хп)_ц (л)/л = п>1
= х ^0-г)-1*"1"-
П>1
= - Е ^10g(l - Хп) = п>1
n>i г>1
Коэффициент при хт в этом степенном ряде есть
т d\т
где сумма берется по всем положительным целым d, делящим т. Хорошо известно, что
] _ ( 1, т= 1,
— S Р- (d) = s п т dim 10 в противном случае.
Отсюда log F (х) = х, так что F(x) = ex. Заметьте, что вывод этой удивительной формулы использует только формальные действия.
1.1. Как сосчитать
25
1.1.15. Пример. Найдем единственную последовательность ао = 1, Оь аг, ... вещественных чисел, удовлетворяющих условиям
п
Е akan_k =1 и (9)
й = 0
для всех п е N. Хитрость заключается в том, чтобы понять, что левая часть формулы (9) есть коэффициент при хп в (JLn>oanx”)2- Положив F (х) = Е„>о апхп, имеем
F(x)2 = £ х" = 1/(1 -х).
п>0
/__1/2 \
Следовательно, F(x) = (l — x)~I/2 = V | )(—1)лхл, так
\ п /
что
„.(--h , ,/-4-)(-4)(-4) -(-2-^)
ип ' 1 I - I ~ ' 1 nt -
\ п /
1 - 3-5 ... (2n- 1)
2лп!
Теперь, когда мы обсудили действия с формальными степенными рядами, встает вопрос о преимуществах использования производящих функций для представления считающей функции f (n). Почему, например, формула, подобная
f(n)xn/nl = ехр(х + 4"). (Ю)
п^О ' z '
должна рассматриваться как «определение» /(п)? По существу ответ состоит в том, что существует много стандартных, рутинных технических средств для извлечения информации из производящих функций. Производящие функции — часто наиболее полный и эффективный способ представления информации об их коэффициентах. Например, из выражения (10) опытный специалист по перечислительной комбинаторике с одного взгляда может сказать следующее:
1. Простая реккуррентная формула для f(n) может быть найдена дифференцированием. Именно мы получим
S f (п)хл~7(п - 1)! = (1 + х) ех+(х2/2) = (1 + х) £ f (п) хп/п\.
п>0 п>0
Приравнивая коэффициенты при хп1п\, получим .
+ !) = /(«) + nf(n- 1), л>1.
26
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
2. Из тождества ех + <х /2) = ех ех 12 может быть получена явная формула для /'(«). Именно
/у / У (2п)! х2п \
Zu я! Zu 2пя1 (2я)1 ’ \п>0 / \п>0 /
так что
/(»)= х
i=0 i четное
/I
L ) 2il2(i/2)l
3. Рассматриваемая как функция комплексной переменной, ехр (х + — целая функция с хорошим поведением, так что
для оценки f(n) может быть применена стандартная техника асимптотического оценивания. В качестве первого приближения стандартным способом (для достаточно сведущих в теории функций комплексной переменной) получается асимптотическая формула
1 rtn/2e-rt/2 + VT-
V2
Никакой другой метод представления f(n) не позволяет так легко определить эти важнейшие свойства. Многие другие важные свойства /(«) также могут быть легко получены из производящей функции; читателю мы оставляем задачу вычисления суммы
П Z X
. / п \
/=о 4 '
на основе рассмотрения формулы (10). Итак, мы готовы принять производящую функцию ехр (х + за удовлетворительное определение /(/!).
Этот пример заканчивает обсуждение производящих функций и вообще проблемы удовлетворительного описания считающей функции /’(«). Теперь мы займемся вопросом, как наилучшим способом доказать, что считающая функция имеет данное опи
1.1. Как сосчитать
-27
сание. В соответствии с принципом, заимствованным из других областей математики, гласящим, что лучше предъявить явный изоморфизм между двумя объектами, чем просто доказать, что они изоморфны, мы принимаем тот общий принцип, что лучше предъявить явно взаимно однозначное соответствие (биекцию) между двумя конечными множествами, чем просто доказать, что они имеют одинаковое число элементов. Доказательство, которое показывает, что некоторое множество S содержит т, элементов, построением явной биекции между S и некоторым другим множеством, заведомо имеющим т элементов, называется комбинаторным или биективным доказательством. Точной границы между комбинаторными и некомбинаторными доказательствами нет, и некоторые аргументы, которые начинающему покажутся некомбинаторными, более опытным специалистом по перечислительной комбинаторике будут восприняты как комбинаторные. Это происходит в основном потому, что опытный специалист владеет определенной стандартной техникой, позволяющей преобразовать некомбинаторные на первый взгляд рассуждения в комбинаторные. Мы не будем касаться здесь подобных тонкостей и приведем лишь несколько примеров, четко демонстрирующих различие между комбинаторными и некомбинаторными доказательствами.
1.1.16. Пример. Пусть п и k— фиксированные положительные целые числа. Сколько существует последовательностей (Xi, Х2, ...,Xk) подмножеств множества [«] — {!, 2, таких, что П Х2 П ... П Xk — 0 ? Пусть их число есть f(k, п). Если нет особого вдохновения, можно бы было рассуждать следующим способом. Предположим Х} П Х2 П ... П Xk_{ = Т, где | Т | = Z. Если положить Уг = Xf — Т, то У] Г) У2 0 ••• ПУ4-1 = = 0 и Уг^[п] — Т. Следовательно, существует f(k— 1, n — i) последовательностей (Хь ...,Xk_i), таких что ^П^гП-..
.. . П Xk_i = Т. В каждой такой последовательности Xk может быть любым из 2п~‘ подмножеств множества [/г] — Т. Как,
/ п \
вероятно, известно большинству читателей, существует I . \ — — (п — г)! i-элементных подмножеств Т множества [п] (это также будет обсуждаться позднее). Следовательно,
f(k, n) = X( z n-i). (11)
Положим /7fe(x) = Xn>oH^. п)хп/п\. Тогда (11) эквивалентно Pk\x) = exFk_l (2х).
28 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Ясно, что Fi (х) = ех. Легко выводится, что
F к (*)== exp (х -f- 2х -J- 4х -j- ... -j- 2 х) =
= exp((2ft — 1)х) =
V» (2й- 1)пхп 2-1 nt п>0
Следовательно, f(k, п) = (2к—1)п. Перед нами явный пример некомбинаторного доказательства. Окончательный ответ чрезвычайно прост, несмотря на ухищрения, с которыми он был получен. Фактически, (2й—1)л есть, очевидно, число п-ок (Zb Z2, ..., Zrt), где Ze — подмножество [&], не совпадающее со всем множеством [£]. Можно ли найти биекцию 6 между множеством Skn всех наборов (Хь ..., Хк) s [п]й, таких, что Xi П • • ПА* = 0, и множеством Tkn всех наборов (Zb Z2, ... ..., Z„), где [ft] #= Z{ s [&]? По данному элементу (Zb Z2, ..., Z„) множества Tkn определим (Xb ...,Xk) условием: i<^X;, если и только если / е Z,-. Это суть точная формулировка следующего рассуждения: элемент i может появиться в любой коллекции множеств Xi, за исключением набора из всех множеств Х„ так что такую коллекцию множеств X, можно выбрать 2к—1 способами; аналогично существует 2к—1 возможности выбора множеств Xi, содержащих 2, 3, ..., п и т. д., так что всего получается (2fe—1)л способов выбора множеств Xt. Мы оставляем читателю (несколько скучную) задачу строгой проверки биективности 0. Обычный способ проверить это — явно построить отображение <p: Tkn-^Skn, а затем показать,что <р = 0-1; показав, например, что <р0(х) = х и что 0 сюръективно. Предостережение: любое доказательство биективности 0 не должно априори использовать тот факт, что ] Skn| = | Т\п|!
Приведенное выше комбинаторное доказательство не только значительно короче, чем предыдущее, но и объясняет полностью причину простого ответа. То, что произошло — частый случай. Пришедшее на ум первое доказательство оказывается трудоемким и не элегантным, но окончательный ответ подсказывает более простое комбинаторное рассуждение.
1.1.17. Пример. Проверить тождество
где а, b и п — неотрицательные целые. Некомбинаторное дока-зательство могло бы быть таким. Выражение, стоящее в левой
1.2. Множества и мультимножества
29
части, есть коэффициент при хп в степенном ряду (который ( V"' f \
в действительности является многочленом) I > I . lx IX х*—4>о х I / /
X I V I IxH Но согласно биномиальной теореме
(eJOx%sC)x0=(I+x>',<i+*)1=
откуда и следует требуемое утверждение. Комбинаторное доказательство протекает так. В правой части равенства (12) стоит число «-элементных подмножеств X множества [а + d]. Предположим, что множества X и [а] содержат I элементов в пере-/ а \
сечении. Пересечение X f~| [«] можно выбрать I 1 способами,
а оставшиеся п — I элементов пересечения X["|{a+ 1, а -ф 2, ... . ( ь \
..., а -ф Ь} можно выбрать I .J способами. Таким обра-( а \ / b \
зом, существует всего I . II .J возможностей, при которых пересечение X П [а] имеет I элементов. Суммирование по I ( а b \
дает общее число I n ) «-элементных подмножеств множества [а -ф &].
В литературе имеется много примеров конечных множеств, про которые известно, что они содержат одинаковое число элементов, но тем не менее не известно ни одного комбинаторного доказательства этого. Некоторые из этих множеств будут встречаться в упражнениях на протяжении книги.
1.2. Множества и мультимножества
Мы (наконец-то!) завершили описание понятия решения перечислительной задачи и теперь готовы погрузиться в исследование некоторых актуальных проблем. Начнем с основной проблемы подсчета подмножеств множества. Пусть S={xi,x2, ••• ..., хп}—«-элементное множество или, для краткости, п-мно-
3
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
два значения, имеем #{0,1}п = 2п. Опреде-0: 2s->{0, 1}" по формуле 0(7’) = (е1, е2, •••
жество. Пусть 2s обозначает множество всех подмножеств S, и положим {0, 1}" ={(б1, 82, ..., е„); 8,=0 или 1}. Так как е> может принимать лим отображение .. •, е„), где
&i I 0, Xi <£ Т.
Например, если п = 5 и Т = {х2, х4, х5), то 0(7') = (0, 1, 0, 1, 1). Легко видеть, что 0 — биекция, так что мы дали комбинаторное доказательство того, что # 2s = 2Л. Конечно, есть много альтернативных доказательств этого простого результата, и многие из них можно считать комбинаторными.
/ S\
Определим теперь множество 1^1 (иногда обозначаемое S(ft) или как-нибудь иначе) как множество всех ^-элементных подмножеств (или k — подмножеств) S и положим по опреде-
лению
использование
сим-
( п\
вола I , I). Подсчитаем двумя способами число N(n,k) \ /с /
можностей, которыми можно выбрать ^-подмножество Т жества S, а затем линейно упорядочить его элементы.
способами, затем k способами
Т, k — 1 способом — второй
жем в
первый по порядку элемент и т. д. Таким образом
N (п,
С другой стороны, можно множества оставшихся выбрать из
воз-
мно-
Мы мо-
выбрать элемент
/ П\
взять n способами любой первого, n — 1 способом любой из
элемент
S в качестве в качестве второго и так далее, &-й элемент можно оставшихся п — k -|- 1 способом. Следовательно,
АЦга, k) = n(n- 1) ... (n-k+ 1).
Итак, мы дали комбинаторное доказательство того, что
/ п \
I . \k\ = n(n \k J '
и, следовательно, (п \ , } = п(п — 1) ... (п — kl)/kl. К /
. (n-k + 1),
(13)
1.2. Множества и мультимножества
31
Заметим, что, пользуясь формулой (13), можно определить зна-( п \
чение 1.1 для любого комплексного числа п, если /г е N, как
это было сделано в примере 1.1.10. Выражение п{п—1) ... ... (п — &+1) читается «факториал от п до k снизу» и обо-
( п\ значается (п)к. Биномиальный коэффициент I , I читается
\ Кг / «из п. по k».
Подход к биномиальным коэффициентам с точки зрения теории производящих функций можно изложить следующим образом. Пусть Xi....хп— независимые переменные. Имеем
(1 + Xj (1 + Х2) ... (1 + Х„) = Е Ц
TsS Х^Т
(можно дать строгое доказательство этой формулы по индукции). Если положить Xi — х, получим
(1 +х)П= 2 П Х= £ х|Г| т = 3 Х/<=Г Ts=S
п] k k)x ’
/ п \
так как каждый член хк появляется в точности 1,1 раз в сумме
ErsS *|Г|- ПеРед нами пример простого, но полезного наблюдения: если SP — набор конечных множеств, таких, что 9? содержит в точности f(n) n-элементных множеств, то
Е xIS|= Е t^x\ n>0
Более общим образом, если g: N~>-С. — произвольная функция, то
jS| = Z g хп. п>0
Из формулы (1+хГ=У ( , lx4 легко вытекают раз-
\ « / нообразные тождества с биномиальными коэффициентами, и поиск их комбинаторных доказательств будет весьма поучительным для читателя. Например, положив х=1, получим 2" —
V™' Z" \ ь f \
= 1^1* положив х ~ —Ь получим о — / (—1) I £ I
при п > 0; продифференцировав и положив х = 1, получим /г2п~' — У k ( , ) и так далее.
\ к /
32
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Существует тесная связь между подмножествами множества и разложениями целого числа. Разложение п есть представление числа п в виде упорядоченной суммы положительных целых. Например, существует восемь разложений числа 4; а именно:
1+1+1+1 3+1
2+1+1 1+3
1+2+1 2+2
1+1+2 4
Если разложение о содержит в точности k слагаемых, говорят, что о имеет k частей и называется k-разложением. Если а\ + + а2 + ... + ak — ^-разложение о числа п, определим (k—1)-подмножество 0 (о) множества [«—1] формулой
6(о) = {ait а1 + а2..+ а2 + ... + ак_{}.
Эта формула устанавливает биекцию между всеми £-разложе-ниями числа п и (k—1)-подмножествами множества [п—1].
/ п — 1 \
Следовательно, существует I । I ^-разложений п и 2"-1 разложений п. Биекцию 0 часто схематично представляют, рисуя в строку п точек и k—! разделяющую вертикальную черту. Точки разделились по k линейно упорядоченным «купе»; числа точек в отделениях дают ^-разложение числа п. Например, отделения
соответствуют разложению 1 + 2 + 1 + 1 + 3 + 2.
Другая проблема, тесно связанная с разложениями, есть задача подсчета числа N(n,k) решений уравнения Х\ + х2 + ... ... + Xk = п в неотрицательных целых числах. Решение такого уравнения называется слабым разложением п на k частей, или слабым k-разложением числа п. (Решение в положительных целых числах есть просто ^-разложение п.) Если мы положим слабым k-разложением числа п. (Решение в положительных числах уравнения у\ + у2 + ... + уь = п + k, т. е. число й-раз-/ п + k — 1 \ ложений числа n-\-k. Таким образом, N (п, й) = 1 £—1 )•
Подобным же приемом (найти его предоставляется читателю) доказывается, что число решений неравенства х^ + х2 + ... /п + &\ .. + Xk п в неотрицательных целых числах есть I I.
й-подмножество Т «-множества S иногда называют k-соче-
1.2. Множества и мультимножества
33
ганием из S без повторений. Так возникает задача подсчета числа ^-сочетаний с повторениями-, то есть мы выбираем k эле-
ментов множества 5, не взирая
ряющиеся элементы. Обозначим
на порядок и допуская повто-число таких способов
6. Если
5 ={1,2,3}, то подходя-
щие сочетания есть 11, 22, 33, 12, 13 и 23. Эквивалентное, но более точное исследование сочетаний с повторениями может быть проведено, если ввести понятие мультимножества. На интуитивном уровне мультимножество есть множество с повторяющимися элементами, например {1, 1, 2, 5, 5}. Более точно, конечное мультимножество М на множестве S есть функция v: S -> N. такая, что Sx(=sv W < 00 v(x) рассматривается как число повторений элемента х. Целое число SX(=sv(x) называют мощностью или числом элементов М и обозначают |Л4| или Если S = {хь ..., хп} и v(xi) = ai, то мы пишем Л4 = {х/, ... .... *п"}. Множество всех ^-мультимножеств на S обозначается
Если — ДРУгое мультимножество на S, отвечающее отображению v': S -> N, мы говорим, что М' является подмультимножеством М, если v'(x)s^v(x) для всех xeS. Число подмультимножеств М равно IIxeS(v(x)+ 1),так как для каждого x^S можно выбрать v'(x) v(x)+ 1 способами. Теперь ясно, что ^-сочетания с повторениями это просто мультимножества на S с k элементами.
Хотя, возможно, читатель этого не заметил, но мы уже со-. Если S = {z/b ..., уп} и мы положим
считали число
число, как мы видели, есть I
\ п — 1
х,= v(pi), то увидим, что jj есть число решений в неотрицательных целых числах уравнения х, + х2 + ... -j-х„ = k. Это
/ п 4- k — 1\ ( П-\- k — 1 \
k )•Пр"'
мое комбинаторное доказательство утверждения JJ = ( п + k — 1 \
— I , I таково. Пусть l^ai<a2< ••• +
\ к J
k— 1 есть ^-подмножество [п + k — 1]. Положим bi = at —
2 Р. Стенли
34
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
— i-j- 1. Тогда {6ь 6г, •••> bk}—k-мульти множество на [л]. Обратно, если дано ^-мультимножество 1 Ь} Ь2 ... bk
п на [л], определив а, формулой at =bi + i— 1, видим, что {аь а2, ..., ak} есть ^-подмножество 1]. Следова-
тельно, мы определили биекцию между! I II и! I,
что и требовалось.
Поучителен подход к мультимножествам с точки зрения производящих функций. Совершенно аналогично проведенному исследованию подмножеств множества 5={хь ..., хп} имеем
(1+Х)+х2+...)(1+х2 + х2+ (1+Хп + х2 + ...) =
= Е П
v: 3->N xt е 3
Положим Х( = х. Тогда
(1+х + х2+ ...)« = ^xv(x1)+...+v(x„)==
= Е ^1= Е ((" )V.
Мни S Л>0\\ k JJ
Но (1+х + х2+...)п = (1-х)"п=У ( / )(-!)*?, так
Z-'fe>0 \ й /
Л + k — 1\
, I. Появление элегант-« /
что
ной формулы £ JJ = (— 1) £ jне случайно; это простей-
ший пример комбинаторной теоремы взаимности. Общая теория будет изложена в гл. 4.
(л \
, I может быть интерпрети-г? /
рован следующим способом. Каждый элемент л-множества S помещается в одну из двух категорий; k элементов в первой категории ил — k элементов во второй категории. (Элементы первой категории образуют ^-подмножество Т.) Это рассуждение подсказывает возможность обобщения на случай большего числа категорий. Пусть (aj, а2, ..., ат)—последовательность неотрицательных целых чисел, сумма которых равна л, и предположим, что имеется т категорий Ci, ..., Ст. Пусть / л \
I I обозначает число способов отнесения каждого
\ а\ > а2> • • •» ат /
1.2. Множества и мультимножества 35
из элементов «-множества S к одной из категорий Сь ..., Ст, так что в категорию Ct попадает в точности at элементов. Это обозначение несколько не согласуется с обозначением для биномиальных коэффициентов (в случае т = 2), но не должно про-(« \
, I вместо гС /
/« \ ( п А
,1. Число I называется мультиномиаль-
\k,n — kj \аъ а2, ..., ат J
ним коэффициентом. Обычно элементы множества S представляют в виде п различимых шаров, а категории — в виде т раз-/ п \
личимых коробок. Тогда I I есть число способов
\ац, а2, ..., ат J
разложить шары по коробкам так, чтобы i'-я коробка содержала а, шаров.
Мультиномиальный коэффициент можно также интерпретировать в терминах «перестановок мультимножества». Если S — «-множество, то перестановка п множества S может быть задана линейным упорядочением xi, х2, ..., хп элементов S. Будем представлять л как слово Х[Х2 ... хп в алфавите S. Если S = {z/i, у 2, Уп}, то такое слово соответствует биекции
л: S->S, задаваемой формулой n(yi) = xi, так что перестановку множества S можно рассматривать как биекцию S->S. Множество всех перестановок S обозначается <S(S). Если S = = [«], то пишем <3п вместо ©(S). Выберем xi п способами, х2— («—1) способом и так далее. Очевидно, получим |©(S) | = «1. Аналогичным способом можно определить перестановку л мультимножества М мощности « как линейное упорядочение «элементов» х2, ..., хп, т. е. если М отвечает отображение v: S-> N, то элемент хе S появляется в точности v(x) раз в перестановке. Вновь мы можем представлять л как слово Х[Х2 ... ... хп. Например, существует 12 перестановок мультимножества {1, 1, 2, 3}; именно 1123, 1132, 1213, 1312, 1231, 1321, 2113, 3112, 2131, 3121, 2311, 3211. Пусть <S(M) обозначает множество всех перестановок М. Если М = | . .., уа™ j и | М | =
«, то ясно, что
~ \
|©(М)| =
\ а1( а2, ..., amJ
Действительно, если х,- появляется в /-й позиции перестановки, то мы относим элемент / множества [«] к i-й категории.
Наши результаты о биномиальных коэффициентах непосредственно обобщаются на случай мультиномиальных коэффи
36
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
циентов. Мы оставляем читателю задачу показать, что
( п \
I „ „ „ I = «'/ail а2! ... ат1
\ w1; а2, .. ., ат z
/ п \
и что I I есть коэффициент при х. ’х,а ... х 01 в вы-
\ Яр а2, .. .,ат)
, „ ( П \ ражении^ + х2+•••+*т) -Заметьте, что I I ] I = п\—
число всех перестановок «-элементного множества.
1.3. Статистики перестановок1)
Перестановки множеств и мультимножеств — один из самых богатых объектов перечислительной комбинаторики. Основная причина этого — большое разнообразие способов комбинаторного представления перестановки. Мы уже видели, что перестановку множества можно представлять как слово или как функцию. В частности, функция л: [«]->[«], задаваемая равенством n(j)=a,-, соответствует слову czi<z2 ... ап. В этом разделе даны некоторые дополнительные способы представления перестановок. Многие из основных результатов, полученных здесь, в дальнейшем будут играть важную роль при анализе более сложных объектов, связанных с перестановками.
Циклическая структура
Если рассматривать перестановку множества л как биекцию л: S->-S, то естественно для каждого .reS рассмотреть последовательность х, л(х), л2(х), .... В конце концов (так как л — биекция, и множество S предполагается конечным) мы вновь получим х. Таким образом, для некоторого единственного 1 имеем, что л'(х) = х и элементы х, л(х)........л;-1(х) все
различны. Назовем последовательность (х,л(х), ..., л/-1(х)) циклом л длины I. Циклы (х, л(х), ..., л'_’(х)) и (л'(х), л/+1(х), ..., л/-1(х), х, .... л‘-1(х)) считаются эквивалентными. Каждый элемент S встречается тогда в единственном цикле перестановки л, и мы можем рассматривать л как объединение непересекающихся циклов или, по-другому, как произведение различных циклов Сь ..., Ck, записывая в виде л = CiC2 ... ... Ck. Например, если перестановка л: [7]->[7] определена равенствами л(1) = 4, л(2) = 2, л(3) = 7, л(4)=1, л(5) = 3,
*) Под статистикой автор понимает здесь функцию на группе и изучает ее функцию распределения относительно равномерной меры.—Прим, ред.
1.3. Статистики перестановок
37
л(6) = 6, л (7) = 5, то л = (14) (2) (375) (6). Конечно, возможны различные обозначения такого представления л; например, имеем: л = (753) (14) (6) (2). Можно определить стандартное представление-, при этом (а) в каждом цикле пишется первым его наибольший элемент и (б) циклы записываются в порядке возрастания их максимальных элементов. Таким образом, стандартная форма рассмотренной выше перестановки л есть (2) (41) (6) (753). Пусть л — слово (или перестановка), полученная из л путем записи л в стандартной форме и удаления скобок. Например, если л есть (2) (41) (6) (753), имеем л = = 2416753. Заметим теперь, что можно однозначно восстановить л из л, расставляя левые скобки перед каждым максимумом при чтении слева направо') слова л = 0102 ... оп. То есть, левая скобка ставится перед каждым элементом а,, таким что а, > а,- для всех / < I. Теперь расставим правые скобки на подходящие места, а именно перед каждой внутренней левой скобкой и в конце. Таким образом, отображение л—>л есть биекция из <Sn в себя. Суммируем полученные сведения в виде предложения.
1.3.1. Предложение. Определенное выше отображение является биекцией. Если перестановка л е ©„ имеет k циклов, то л имеет k максимумов при чтении слева направо.
Если neS(S) и |S| = п, положим с, = с/(л) — число циклов длины i перестановки л. Заметьте, что п=^гсг. Назовем последовательность (сц ..., сп) типом перестановки л (обозначается: тип л). Общее число циклов л обозначается с(л), так ЧТО С (л) = Ci (л) + ... +сп(л).
1.3.2. Предложение. Число перестановок ле<5 (S) типа (сь ..., с„) есть nl/^'Cfl 2С2с2! ... пСпсп\.
Доказательство. Пусть л = а\а2 ... ап—произвольная перестановка множества S. Расставим в слове л скобки таким образом, чтобы первые с{ циклов имели длину 1, следующие имели длину 2 и так далее. Это дает разложение перестановки л' типа (cj.....с„) на непересекающиеся циклы и, следовательно, оп-
ределяет отображение Ф : S (S) -> Sc (5), где ©с (5) — множество всех перестановок aeS(S) типа c=(ci, ..., сп). Мы утверждаем, что для любой перестановки <т е <5С (5) существует Iе'cj 2°2с2! ... п°псп\ способов представить ее в виде последовательности непересекающихся циклов, так что длины циклов не убывают слева направо. Именно упорядочим циклы длины i с,!
*) В оригинале — left-to-right maximum. Мы будем переводить это выражение словом «рекорд». — Прим- перев-
38 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
различными способами и выберем первый элемент в каждом из этих циклов iCi способами. Все эти выборы можно сделать независимо, поэтому наше утверждение доказано. Отсюда y<j е ScfS)!®"1 (ст)| = 1с,С1! 2с2с2! .. .nc"crt! и доказательство предложения следует из того, что |<S(S)| = n!. □
Пусть c(n,k)— число перестановок л е имеющих в точности k циклов. Число s («,&): = (—l)n-fec(n, k) известно как число Стирлинга первого рода, а с (п, k) называется числом Стирлинга первого рода без знака.
1.3.3. Лемма. Числа c(n,k) удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:
с(п, k) = (п — 1) с (п — 1, k)-\-c(n — 1, k — 1), п, k~^ 1, с начальными условиями c(n,k) = 0 при или k 0, за исключением с (0,0)= 1.
Доказательство. Возьмем перестановку ЛЕ®,-! с k циклами. Мы можем вставить символ п после любого из символов 1,2,... ..., п—1 в разложении перестановки л на непересекающиеся циклы п—1 способом, получив таким образом разложение на непересекающиеся циклы перестановки л'е<Зп с k циклами, где п встречается в цикле длины не меньшей 2. Следовательно, существует (п—1)с(п—l,k) перестановок л'е®„ с k циклами, для которых л'(п)#= п.
С другой стороны, если выбрана перестановка л е с k— 1 циклом, ее можно достроить до перестановки п' е <3n с k циклами, удовлетворяющей условию л'(п) = п. Положим ( л (г), если ie[n- 1], л7 (г) = s ( п, если i = п.
Следовательно, имеется с(п—1, k—1) перестановок л' е с k циклами, для которых л'(п) = п, и доказательство закончено. □
Большинство элементарных свойств чисел с(п, k) может быть установлено, если использовать лемму 1.3.3 и математическую индукцию. Тем не менее более предпочтительны комбинаторные доказательства, если таковые возможны. Следующий результат демонстрирует разнообразную технику, применяемую для доказательств элементарных комбинаторных тождеств. 1
1.3.4. Предложение. Пусть х — переменная. Фиксируем п 0. Тогда п
с (п, k) xk = х (х -|- 1) (х + 2) ... (х п — 1). (14)
6=0
1.3. Статистики перестановок
39
Первое доказательство. Это доказательство можно рассматривать как «полукомбинаторное», так как оно непосредственно основывается на лемме 1.3.3, которая имела комбинаторное доказательство. Положим: Fn (х) := х (х + 1) ... (х + п — 1) = = ELo6(rt> Ясно, что д(0, 0)=1 произведение пустого множества сомножителей равно единице) и b(n, k) = 0 при л<0 или k < 0. Более того,
Fn (х) = (х + л — 1) (х) =
п п-1
= Х 6(n-l, k- 1)х* + (п- 1) L b(n—\,k)xk.
Л=1 й=о
Отсюда следует b(n, k) = (n—l)b(n—l,k)+b{n—1, k—1). Поэтому b(n, k) удовлетворяет тем же рекуррентным соотношениям и начальным условиям, что и с(п, k), а значит, они совпадают.
Второе доказательство. Коэффициент при xk в Fn(x) есть
а1а2...а„_ъ (15)
1<а,<а2< ... <a„_ft<n-l
/ П — 1 \
где суммирование ведется по всем I 1 (л — ^-подмножествам {ах, ..., а„_*} множества [л —1]. Ясно, что (15) есть
Г [л — 1] \
число пар (S, f), где Sei n I и f: $->[л—1] удовлетворяет условию f Будем искать биекцию <р : между
множеством Й всех таких пар (S, f) и множеством &nk перестановок леЗ„ с k циклами.
По данной паре (S, f) е Й, где S = {а,, ..., an_k}< s [п — 1], определим Т = {/ е [л]: л — / ф S). Пусть Ь{ > Ь2 > ... > bn_k— элементы множества [л] — Т. Положим л = <р(£, f) — такая перестановка, стандартная форма которой удовлетворяет условиям (1) первый (= наибольший) элемент циклов л есть элемент Т и (2) для каждого i е [&] число элементов л, предшествующих bi, и больших, чем bi, есть flat). Мы оставляем читателю доказать, что это дает требуемую биекцию.
1.3.5. Пример. Предположим, л = 9, й = 4, S = {1, 3, 4, 6, 8}, / (1) = 1, / (3) = 2,) (4) = 1, f (6) = 3, f(8) = 6. Тогда Т = {2,4, 7, 9}, [9] —7’ = {1, 3, 5, 6, 8} и л = (2) (4) (753) (9168).
Третье доказательство предложения 1.3.4. Существуют два основных способа комбинаторного доказательства равенства двух многочленов: (1) показать, что равны их коэффициенты, и (2) показать, что их значения совпадают для достаточно большого
40
Гл. I. Что такое перечислительная комбинаторика?
множества переменных. Мы уже доказали предложение 1.3.4 с помощью первого приема, здесь мы применим второй. Если значения двух многочленов от одной (скажем, комплексной) переменной совпадают для всех хер, то эти два многочлена равны. Таким образом, достаточно установить справедливость формулы (14) для всех хер.
Пусть хер, и пусть С (л) обозначает множество циклов перестановки л е ©п. Выражение, стоящее в формуле (14) слева, есть число всех пар (л,/), где ле®„ и f: С(л)->[х]. Выражение, стоящее справа, подсчитывает число последовательностей целых чисел (аь а2, ап), где 0 а, х п — i — 1. (Принятая нами такая форма ограничений на переменные а(-, а не 1 at х + i—1, например, обусловливается историческими причинами.) Для построения (л, f) по данной последовательности (аь ......ап) можно использовать следующий про-
стой алгоритм. Напишем число п и будем считать его началом цикла С[ перестановки л. Положим f (Ci) = ап + 1. Предположим, что числа п, п— 1, ..., п — i + 1 уже вставлены в запись разложения л на непересекающиеся циклы. Имеются две возможности:
1.0^ an-i х— 1. В этом случае начнем новый цикл С/, написав п — I слева от ранее вставленных элементов и положив an-t + I-
2. an-i — х + k, где 0 k i— 1. Тогда вставим n — i в старый цикл, так, чтобы п — I не являлся крайне левым элементом никакого цикла и чтобы он оказался правее k -|- 1 ранее включенного числа.
Это дает требуемую биекцию. □
1.3.6. Пример. Предположим п = 9, х = 4 и (аь ..., аэ) = = (4, 8, 5, 0, 7, 5, 2, 4, 1).
Перестановка л строится следующим способом:
(9) (98) (7) (98) (7) (968) (7) (9685) (4) (7) (9685) (4) (73) (9685) (4)(73)(96285) (41);.73)(96285)
и f(96285) = 2, f(73) = 3, [ (41)= 1.
1.3. Статистики перестановок
41
Если положить х = 1 в предыдущем доказательстве, получится комбинаторное доказательство следующего результата.
1.3.7. Предложение. Пусть п, k е Р. Число последовательностей целых чисел (аь .... ап), таких, что 0 at п — i, и в точности k значений а, равны 0, равно c(n,k). □
Заметим, что в силу предложения 1.3.1 мы «бесплатно» вычислили число перестановок с данным числом рекордов.
1.3.8. Следствие. Число перестановок л е <Sn, имеющих k рекордов, равно c(n,k). □
Следствие 1.3.8 иллюстрирует одно преимущество представления разными способами одного и того же объекта (здесь этот объект —перестановка) — различные перечислительные задачи с этим объектом становятся эквивалентными.
Инверсии
Доказательство предложения 1.3.7 (в случае х— 1) сопоставляет перестановке л е ©„ последовательность целых чисел («1, .... ап), 0 at п — i. Есть другой способ установить такое соответствие, и он, возможно, более естественный. Пусть дан такой вектор (а\......ап) и предположим, что числа п, п —
— 1, ..., п —1+1 уже включены в запись перестановки л, которую сейчас мы будем интерпретировать как слово (а не как произведение циклов). Вставим п — I таким образом, чтобы слева от него находилось an-i элементов. Например, если («1, ..., а9) = (1, 5, 2, 0, 4, 2, О, 1, 0), то л строится следующим образом:
9
98
798
7968
79685
479685
4739685
47396285
417396285
Ясно, что а, есть число элементов / перестановки л, стоящих слева от I и удовлетворяющих условию / > I. Пара (6,, Ь/) называется инверсией перестановки л = bib2 ... bn, если i < j и bi^-bf. Рассмотренная выше последовательность /(л) = (аь ...
42
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
ап) называется таблицей инверсий перестановки л. Описанный выше алгоритм построения л из ее таблицы инверсий 7(л) дает следующий результат.
1.3.9. Предложение. Пусть Д~п = {(а,, ..., ап): 0 < и — г) — = [0, п - 1] х [о, п - 2] х ... X [о, 0].
Отображение I: переводящее каждую перестановку
в ее таблицу инверсий, есть биекция.
Таким образом, таблица инверсий I(л) есть еще один способ представления перестановки л.
1.3.10. Следствие. Пусть обозначает число инверсий перестановки л е Тогда
Е <7^> = (1+<?)(! +<7+ <72) ... (1+9 + ^+ ... +^-1). fteg.
Доказательство. Если / (л) = (ар а2, ..., а„), то z (л) = «1+ .. +«„. Следовательно,
п-1 п-2 о
Е </(я,= Е Е ... Е />+-+о" = а1=0 а2=0 а„=0
/П-I х zn—2 х z 0 .
= ( £ <7а,Н £ • • •( Е яап),
\а1=0 7\а2=0 7 \о,г“° 7
что и требовалось.
□
Спуски
Помимо цикловой структуры и таблицы инверсий, есть еще одна основная статистика, связанная с перестановкой ле©п. Если л= «[«г ••• Яп, определим множество спуска
D (я) = {г | at > at+i}.
(Иногда желательно положить по определению яей(л), но мы будем придерживаться принятого соглашения, так что и<^£)(л).) Для Ss[n—1] будем обозначать а(3) (или a.n(S), если это необходимо) число перестановок ле©„, множество спуска которых содержится в S, а символом P(S) (или Pn(S)) — число перестановок, для которых S есть множество спуска. Запишем:
a (S) = card {л е @>я : D (л) s S}, р (S) = card {л е : D (л) = S).
1.3. Статистики перестановок
43
Ясно, что
«(5)= Z Р(Т). (16)
т = з
1.3.11. Предложение. Пусть S — {зь ..., sft}< s [п — 1]. Тогда ( п \
a(S) =
\ sb s2 — sb $3 — s2, ..., n — sk )
Доказательство. Чтобы получить перестановку л = а1а2 ... ап^ удовлетворяющую условию Z)(n)sS, для начала выбе-( п \
рем последовательность < ... < а,11 I способами. За-
(п — $! \ тем выберем последовательность aS| + i<aS1+2 < ... < aS11 I
\ s2 — S| / способами и так далее. Отсюда получаем
\ Sj 7 \ s2 — $! 7 \ s3 — s2 7 \ п — sk)
( п \
\ Sj, s2 sb ..., n sk )
что и требовалось. □
В последующих главах мы используем уравнение (16) и предложение 1.3.11 для получения формул и другой информации о Р(3). Здесь мы удовлетворимся несколькими дополнительными определениями понятий, основанных на множествах спуска. Число |.О (л) | спусков перестановки л обозначается г/(л), а многочлен
Д„г(х) = Е x,+d(n)
называется многочленом Эйлера. Коэффициент при хк в выражении Ап(х) обозначается A(n,k) и называется числом Эйлера. Следовательно,
A (n, k) = card {л е <5n : d (л) = k — 1}.
Ниже приведены несколько первых многочленов Эйлера:
А1 (х) = х
И2 (X) X -|- X2
Л3 (х) = х + 4х2 + х3
А4 (х) = х + 11х2 + Их3 4- х4
А (х) = х + 26х2 + 66х3 + 26х4 + х5
Д6 (х) = х + 57х2 + ЗО2Х3 + 302х4 + 57Х5 + х6
Д7(х) = х+ 120х2+ 1191х3 + 2416х4 + 1191х5 + 120хб + х7
As (х) = х + 247х2 + 4193х3 + 15619х4 + 15619х5 +
+ 4293х6 + 247х7 + х8.
44 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Биекция л-»- Л, устанавливаемая в предложении 1.3.1, дает интересное альтернативное описание чисел Эйлера. Предположим, что
Л = (а1а2 • • • fyj) -I- j 4-2 • af2) . . . + 2 • • • ап)
— перестановка, записанная в стандартной форме. Таким образом, числа ah at-1 + 1, ..., a/A_l + I — наибольшие элементы циклов и a{<aii + {< ... <aik_i + {. Отсюда следует, что если л(а,)#= #=az+I, то ai<.ai+l. Следовательно, az<al(1 или i = n тогда и только тогда, когда л (аг) ah так что
п — d (л) = # {i е [/г]: л (z) I}.
Число i, для которого n(z)^z, называется точкой слабого превышения перестановки л, а число I, для которого л(г)> I,— точкой превышения л. Легко видеть, что перестановка n=ai«2 • • • ... ап имеет k точек слабого превышения тогда и только тогда, когда перестановка b\b2 ... Ьп, где Ь, = п+ 1—an+i->., имеет п — k точек превышения. Кроме того, л имеет п — 1 — / спусков в том и только том случае, когда anan-i ... а{ имеет / спусков. Отсюда следует предложение.
1.3.12. Предложение. Число перестановок имеющих k
точек превышения, равно числу Эйлера А(п, k-\- 1) (то же верно для перестановок с k-\- 1 точкой слабого превышения). □
Еще одной полезной статистикой, связанной с множеством спуска £)(л), является большой индекс л (также называемый главным индексом и обозначаемый MAJ(n)), равный по определению сумме всех элементов £)(л). Он будет обозначаться i(л). В следствии 4.5.9 будет доказан замечательный результат, состоящий в том, что i п i имеют одинаковое распределение; т. е. для любого k card {л е ®n : i (л) = k} = card {л £ : i (л) = = k}.
Два способа представить перестановку в виде дерева
Мы уже видели, как перестановки можно представлять в виде слов, функций и последовательностей. Можно также представлять перестановки геометрически и использовать геометрические соображения для получения информации о них. Здесь мы изложим два способа представить перестановку л как дерево Т и обсудим, как взаимодействуют структура Т и комбинаторные свойства л.
1.3. Статистики перестановок
45
Пусть n — aia2 ... ап — произвольное слово в алфавите р без повторяющихся букв. Определим бинарное дерево Т (л) следующим образом. Если л = 0, то Т (л) = 0. Если л =# 0, пусть I-—наименьший элемент (буква) л. Слово л может быть представлено единственным образом в виде л = сп'т. Пусть теперь i — корень дерева, а Г(о), Т(т) — левое и правое поддеревья, полученные удалением i (рис. 1.1). Тем самым получено индуктивное определение Т’(л). Элемент, следующий за / слева, есть
такой наименьший элемент k, стоящий слева от j в слове л, что все элементы между k и j (включительно) не меньше, чем /. Аналогично определяется элемент, следующий за / справа.
1.3.13. Пример. Пусть л = 57316284. Тогда Т (л) изображено на рис. 1.2.
Соответствие л-*-7’(л) есть биекция между множеством и возрастающими бинарными деревьями с п вершинами, т. е. такими бинарными деревьями с п вершинами, помеченными числами 1, 2, ..., п, что вдоль любого пути из корня метки возрастают. Пусть л = а1Я2 ••• «л Назовем элемент а, слова л
подъемом, если а^ < < ai + l,
склоном, если at_x > at > al+1,
пиком, если at_x < at > аг + 1,
долиной, если at_i > < а1+х.
Положим а0 = a„+i=0. Легко видеть, что свойства элемента I, перечисленные ниже, соответствуют данному свойству вершины i дерева Т’(л).
46
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Элемент i перестановки л Следующие за i вершины Тл расположены
подъем справа
склон слева
долина справа и слева
ПИК нет соседей снизу
Из рассмотрения биекции л-*-Г(л) может быть легко выведено огромное число других удивительных свойств возрастающих бинарных деревьев. Следующее предложение содержит несколько образцов таких результатов.
1.3.14. Предложение.
1. Число возрастающих бинарных деревьев с п вершинами равно п\.
2. Число таких деревьев, для которых в точности k вершин имеют слева снизу соседа, равно числу Эйлера А(п, &+1). 3. Число таких деревьев, имеющих k концевых вершин, равно числу деревьев, для которых ровно п вершин имеют двух преемников.
4. Число полных возрастающих бинарных деревьев (т. е. таких, у которых каждая вершина либо концевая, либо имеет двух преемников) с 2п + 1 вершиной равно числу чередующихся перестановок
Щ > Й2 < Лз > Я4 < . • • < Л2п + 1
из ©2л+ь (Позже мы сможем сказать значительно больше о чередующихся перестановках.) □
Рассмотрим теперь другой способ представить перестановку в виде дерева. Пусть n = aia2 ... построим (неупоря-
доченное) дерево Т'(л) с вершинами 0, 1, ..., п, сделав вершину I преемником крайнего справа элемента / среди предшествующих i и меньших I. Если такого элемента / нет, сделаем I преемником нуля (корня).
1. 3.15. Пример. Пусть л = 57316284. Тогда дерево Т'(л) изображено на рисунке 1.3.
Соответствие п->-Т'(п) есть биекция между и возрастающими деревьями с п + 1 вершиной. Легко видеть, что преемники 0 есть последовательные минимумы перестановки л (т. е. такие элементы Я/, что яг- < Я/ для всех / < I, где л = а\ ... ап). Кроме того, концевые вершины Г'(л) есть в точности элементы а„ для которых i е £)(л) или i — п. Таким образом, по аналогии
1.3. Статистики перестановок
47
с предложением 1.3.14 (с использованием предложения 1.3.1 и очевидной симметрии между рекордами и последовательными минимумами) имеет место
1. 3.16. Предложение.
1. Число неупорядоченных возрастающих деревьев с /г + 1 вершиной равно п\.
2. Число таких деревьев, имеющих k преемников корня, есть число Стирлинга без знака с(п, k).
3. Число таких деревьев, имеющих k концевых вершин, есть число Эйлера A(n,k). □
Перестановки мультимножеств
Большая часть сделанного в этом разделе может быть обобщена с перестановок множеств на перестановки мультимножеств. Например, существует красивая теория разложения перестановок мультимножеств на циклы. Здесь, однако, мы обсудим только те темы, которые понадобятся в дальнейшем.
Во-первых, ясно, что можно определить множество спуска D(n) перестановки л мультимножества М точно так же, как это сделано для множеств. А именно если л = а^а^ ... ап, то
D (л)== (i: а{ > ai+1}.
Следовательно, также имеем понятия a(S) и |3(S) для мультимножества. Аналогично определяется число d(n) спусков, большой индекс t(n), многочлен Эйлера мультимножества
Лм(х)= Z x,+d(Il) neg (Af)
и т. д. В гл. 4 будет рассмотрено значительное обобщение этих концепций. Заметим, что нет очевидного аналога предложу-
48 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
ния 1.3.11 — а именно явной формулы для числа перестановок ле®(М), множества спуска которых содержатся в S.
Ясно, что можно определить инверсию л = 6]62 • • • Ьп е е ®(Л4) как пару &,): i < •/, bi > bj, и так же, как раньше, определить число г (л) инверсий перестановки л. Мы хотим обобщить следствие 1.3.10 на мультимножества. Нам потребуется важное определение, чтобы сделать это. Если (он, ..., ат)—последовательность неотрицательных целых чисел, в сумме дающих п, определим q-мультиномиальный коэффициент
а1; . . ., am7 (aj! ... (ат)1 ’
где к! — (1) (2) ... (к) и (j) = 1 + <7 + q2 + • • • + q!Ясно, что / п \
п
I I — рациональная функция от q, а ее значение
\ а1, • • • , am /
в точке q = 1 есть обычный мультиномиальный коэффициент
/ п \
I I. Фактически нетрудно увидеть, что
\ flj, ..., amJ \ai, ..., ат/
полином от q. Вот один из способов убедиться в этом. Будем
/ п \ / п \
писать для краткости I . I вместо I . . I (в полной ана-
\К / \ К, П—К /
( п \
логии с обозначением I . I для биномиальных коэффициентов). \ К /
( п \
Выражение I I называется q-биномиальным коэффициентом \ К /
(или многочленом Гаусса). Непосредственно проверяется, что
/ п \
Из этих уравнений и «начальных условий» I I = 1 по индук-
/ п \
ции доказывается, что I — многочлен от q с неот-
\ aj, ..., am J
рицательнымп целыми коэффициентами.
1.3. Статистики перестановок
49
1.3.17. Предложение. Пусть М = {1а‘, ..., та,п} — мультимножество мощности п — а\ + ... + ат. Тогда
n Y (is)
neg(l!) X Я], ..., 8т/
Первое доказательство. Обозначим левую сторону формулы (18) через Р(а\, ат) и положим Q(n, k) = P(k, п — k). Ясно, что Q(n, 0) = 1. Отсюда следует ввиду формулы (17а, Ь), что достаточно показать
Pfa......am) = Q(n, а^Р{а2......ат), (19а)
Q(n, fc) = Q(n- 1, k)qn~kQ(n — 1, k - 1). (19b)
Пусть л e <3 (/И), положим л'— перестановка M' = {2“2, ... ..., тОт}, полученная удалением 1 из л, а л" — перестановка мультимножества М" = {1а*, 2га—"’J, полученная заменой каждого элемента, большего 2, на 2. Ясно, что л однозначно определяется перестановками п' и л" и что г(л)=/(л')+1’(л"). Следовательно,
Р(Щ.....ат) = S S
it'eg(M') л"е©(М")
— Q(n, а{)Р(щ, а3.....ат),
что и дает (19а).
Пусть теперь Л4 = {1\ 2n~6}, a ®( (M)(1 <И^2) состоит из тех перестановок л<=®(Л1), последний элемент которых есть I, и положим Л4| = {1&-1, 2”-ft}, Af2 = {l\ 2п~к~1}. Если л е (Л!) и л = о1, то а(Afj) и i(n) = n — k + i(o). Если л2<^&2(М) и л = т2, то те© (Л12) и г’ (я)= i (т)- Следовательно,
Q(n, k)= Е qi«’>+'l-k+ 2 <7г(х) = б = All те Mz
= qn~kQ(n — 1, k — 1) + Q(n — 1, k),
что дает формулу (196).
Второе доказательство. Определим отображение
Ф: S (М) X ®ai X • • X ->
( JTq , ЗТ| у • j 1 зт, преобразовав все элементов i в перестановке л0 в числа а1 + • • + + 1, Я| + • • • + я(-_1 + 2, ..., aj + ... + ai-i +
50 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
в порядке, определяемом перестановкой щ. Например, (21331223, 21, 231, 312) >—>42861537. Мы преобразовали И в 21 (сохранив относительный порядок членов Л] =21), 222 в 453 (сохранив порядок 231) и 333 в 867 (сохранив тот же порядок членов, что и в перестановке 312). Легко проверить, что <р — биекция и что
Z (л) = i (ло) + i (Л;) + ... + z (nft).
С помощью следствия 1.3.10 заключаем
( Z ql (я)) (ai)I ... (ak)l = (n)!
Доказательство закончено. □
Первое доказательство предложения 1.3.17 может быть отнесено к «полукомбинаторным». Мы не дали прямого доказательства формулы (18), а вместо этого установили рекуррентные формулы (19). На этой стадии трудно было бы дать прямое комбинаторное доказательство формулы (18), так как не было «очевидной» комбинаторной интерпретации ни коэффициентов / п \
I I, ни значений этого многочлена при <? = N. По-
ка], ..., ат / этому теперь мы хотим обсудить проблему комбинаторной интерпретации для некоторых <7 е N, что приведет нас к комбинаторному доказательству формулы (18) при /п = 2. Если скомбинировать его с нашим доказательством (19а), это приведет к комбинаторному доказательству (18) в общем случае. Читатель, не знакомый с конечными полями, может пропустить весь конец этого раздела, за исключением краткого обсуждения разбиений.
Пусть <7 — степень простого числа, a IFi? обозначает конечное поле с q элементами (все такие поля, разумеется, изоморфны). Vn(q) обозначает n-мерное векторное пространство И> = = {(®1» .. •, а„): Of е Г,}.
1.3.18. Предложение. Число k-мерных подпространств Vn(q) / п \
равно I k I
Доказательство. Обозначим искомое число G(n, k), и пусть N = — N(n, k) есть число упорядоченных ^-наборов (щ, ..., Vk) линейно независимых векторов из Vn(q). Можно выбрать щ qn—1
1.3. Статистики перестановок S1
способами, затем v2 qn — q способами и так далее; окончательно
N = (qn — I) (qn — q) ... (qn - qk~l). (20)
С другой стороны, можно выбрать (иь ..., Vk), сначала выбрав ^-мерное подпространство W пространства Vn(q) G(n,k) способами, а затем, выбирая vi е W qk—1 способами, v2^W qk—q способами и т. д. Следовательно,
N = G(n, k)(qk-l)(qk-q) ... (qk - qk~'). (21)
Сравнение (20) и (21) влечет за собой
G(n -
( (^_i)(^_9)...(^_^--)-
(k)l (п - к)! V к )
Определим теперь разбиение числа п е N как последовательность X=(Xi, ..., Xft)e №, такую, что и М
... X*. Мы считаем два разбиения одинаковыми, если они
отличаются только числом заключительных нулей, например (3, 3, 2, 1) = (3, 3, 2, 1, 0, 0). Неформально разбиение X = (М, ... ..., Kk) (где, скажем, X* > 0) можно рассматривать как способ представить п в виде суммы Zi + ... + X* положительных целых, игнорируя порядок слагаемых (так как существует единственный способ записи слагаемых в невозрастающем порядке, при котором мы не различаем равные слагаемые между собой). Сравните с определением разложения п, при котором порядок частей существен. Если X — разбиение п, то мы пишем X P- п или | X | = п. Ненулевые члены Лг- называются частями X, и мы говорим, что X имеет k частей, где k = #{z: X/ > 0}. Если разбиение X имеет а, частей, равных i, то мы пишем Л = (1а', 2“2, ...), где члены с а,- = 0 и верхние индексы а,- = 1 могут быть опущены. Например,
(4, 4, 2, 2, 2, 1) = <Р, 23, 3°, 42> = <1, 23, 42) Ь 15.
Мы также будем обозначать р(л)— общее число разбиений п, рк(п)— число разбиений п, имеющих в точности k частей, и p(j,k,n) — число разбиений п на не более чем k частей, наибольшая из которых не превосходит /. Например, существует семь разбиений числа 5, даваемых формулами 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 2+1 + 1 + 1, 3+1 + 1, 2 + 2+1, 4+1, 3 + 2, 5, так что Pi(5) = 1, р2(5) = 2, р3(5) = 2, р4(5) = 1, рз(5) = 1, р(3,3,5) = 3 и т. д. Примем соглашение, что ро(О) = р(0) = 1. Заметьте, что p„(n)= 1, p„_!(n)= 1, если /г> 1, Р1(л)= 1, рг(л)= [л/2].
52 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Легко проверить рекуррентное соотношение
Pk («) = Pk-\ (n — 1) + Pk (п — k), дающее удобный метод построения таблицы чисел pk(n) Для небольших п, k.
Пусть (Xi, ..., Х*)|— п. Нарисуем массив из п точек, имеющий X; точек в i-й строке; строки выровнены слева. Этот массив называется диаграммой Ферре или графом Ферре разбиения Например, на рис. 1.4 изображена диаграмма Ферре разбиения 4 + 3 + 1 + 1-|-1. Если заменить точки, поставив на их места квадраты, получившуюся диаграмму называют диаграммой
местах на протяжении этой книги мы еще вернемся к разбиениям. Однако мы не будем пытаться систематически исследовать этот необъятный и чарующий предмет.
Следующий результат показывает, что при рассмотрении (/-биномиальных коэффициентов уместно использовать разбиения.
1.3.19. Предложение. Зафиксируем j, k <= N. Тогда
V ft, \ (j к А
>, P(l, k, ri)qП = 1 I-
n>0 J
Доказательство. Хотя не трудно дать индуктивное доказательство, использующее (17b), мы предпочтем прямое комбинаторное рассуждение, основанное на предложении 1.3.18. До конца его пусть tn = j + k. Напомним из линейной алгебры, что любое й-мерное подпространство Vm(q) (или m-мерного векторного пространства Fm над произвольным полем F) имеет единствен
1.3. Статистики перестановок
53
ный упорядоченный базис (щ, ..., vk), для которого матрица
М =
(22)
Lvk
имеет ступенчатую, приведенную по строкам форму. Это значит (а) первый ненулевой элемент каждого vt есть 1; (б) первый ненулевой элемент я1Н-1 стоит в столбце правее первого ненулевого элемента Vi, 1 <5 i k— 1, и (в) в столбце, содержащем первый ненулевой элемент vt, все остальные элементы равны 0.
Предположим теперь, что нам дана последовательность целых чисел 1 «1 < й2 < • • • < ak tn, и рассмотрим все сту-
пенчатые приведенные по строкам матрицы (22) над |р?, для которых первый ненулевой элемент vt находится в я,-й позиции. Например, если m = 7, k = 4, (ои, ..., а4) = (1,3,4,6), то М имеет вид
”1 * 0 0 * 0 *
0 0 10*0*
0 0 0 1 * 0 >:•
.0 0 0 0 0 1 *.
где « обозначает произвольный элемент поля lfQ. Число X; знаков «*» в строке i равно /— at + i, и последовательность Х = = (M,ta, •••, определяет разбиение некоторого целого п— на не более чем k частей, и наибольшая часть не превосходит Общее число матриц (22), где аь ..., ак определяются, как и выше, есть «у1*1. Обратно, для любого данного разбиения X на не более чем k частей, с наибольшим слагаемым, не превосходящим /, можно положить at — j — X, + 1. Существует в точности приведенных по строкам матриц вида (22), где а\..ak имеют значения, указанные выше.
Так как число приведенных по строкам ступенчатых матриц / j ~F" to \
(22) равно числу I ) Л-мерных подпространств F™, получаем \ К /
(j + кЛ
\ к J
£ <7,м= X P(i’ k’ п^П'
^.k частей наибольшая часть</
□
54
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Для читателей, знакомых с этим предметом, заметим, что в доказательстве предложения 1.3.19 по существу строится хорошо известное клеточное разбиение многообразия Грассмана Gkm.
Разбиения к, перечисляемые p(j,k,n), можно описать как разбиения, диаграмма Юнга которых помещается в прямоугольник k\ j. Например, для k = 2 и j = 3 на рис. 1.6 изображены
Рис. 1.6.
(5 \
I 2 1=10 разбиений, которые можно вместить в 2X3 прямоугольник. Значение |Л| написано под диаграммой. Следовательно,
(5 \
) = 1 + <7 + 2<72 + 2<73 + 2<74 + <75 + q6. £ /
Осталось связать предложения 1.3.17 и 1.3.19, показав, что p(j,k,n) есть число перестановок л мультимножества М —
Рис. 1.7.
= {1/, 2*}, имеющих п инверсий. Для данного разбиения X числа п на не более чем k частей, каждая из которых не превосходит /, опишем перестановку л = л(Х)<= ©(Л4) с п инверсиями, оставив читателю легкое доказательство биективности построенного соответствия. Рассмотрим диаграмму Юнга У разбиения X, содержащуюся в прямоугольнике /гХА и ПУГЬ по решетке из
1.4. Двенадцатеричный путь
55
верхнего правого угла прямоугольника в нижний левый, идущий вдоль границы У. Будем идти вдоль и писать 1, когда делаем шаг по горизонтали, и 2, если идем по вертикали. Это дает требуемую перестановку л. Например, для k = 3, j = 5, X = = (4,3, 1) см. рис. 1.7. Двойки в перестановке л стоят в позициях / — Л,- + I, где X = (М, • • •. М •
1.4. Двенадцатеричный путь1)
Мы заканчиваем наше введение в перечислительную комбинаторику обсуждением основных чисел, связанных с подсчетом функций между двумя множествами. Пусть N и X — конечные множества, |А| = п, |Х| = х. Мы хотим подсчитать число функций j: N-+X, подчиняющихся некоторым ограничениям. Три ограничения можно наложить на сами функции и четыре ограничения на то, какие функции считать одинаковыми. Получается всего двенадцать перечислительных проблем, а решить их — значит пройти Двенадцатеричный путь.
Три ограничения, накладываемые на функции f: N^X, следующие:
a. f произвольная (нет ограничений) b. t инъективная (взаимно-однозначная) с. f сюръективная (отображение «на»)
Четыре интерпретации того, какие функции считать одинаковыми (или эквивалентными), возникают из рассмотрений элементов множеств N и X как «различимых» или «неразличимых». Будем представлять N в виде множества шаров, a X в виде множества коробок. Если мы можем отличать шары друг от друга, то элементы N называются различимыми», в противном случае— неразличимыми. Аналогично, если мы можем отличать коробки друг от друга, элементы X называются различимыми, а иначе — неразличимыми. Например, предположим N ={1,2,3}, Х = {а,Ь, c,d) и определим функции f, g, h, i: N^X формулами f(l) = f(2)' = a, f(3) = 6,
g(l) = g(3) = a, g$) = b, Л(1) = Л(2) = &, h(3) = d, i(2) = i(3) = b, i(\) = c.
*) «Двенадцатеричный», а до этого «восьмеричным» путем называют некоторые модели в физике элементарных частиц, основанные на представлениях тех или иных групп. Термины заимствованы Гелл-Маном из буддийских вероучений. В данном случае асссоциация с физическими терминами чисто внешняя. — Прим. ред.
56
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Если элементы обоих множеств N и X различимы, функции можно «нарисовать», как на рис. 1.8. Все четыре картинки разные, и эти четыре функции все неэквивалентны. Теперь предположим, что элементы W (но не X) неразличимы. Это соответствует стиранию меток шаров. Изображения функций становятся такими, как показано на рис. 1.9, так что fug эквива-
IQ 01 10_I I_I I_
abed
IQQI IQ I I__I I_I’
abed
I_110 011____I 0 l‘
abed
I I 10 01 10 I I I1'
abed
Рис. 1.8.
KX11 L£1_J || I a b c , d
Рис. 1.9.
10 01 LQ_I I_I I_I
Рис. 1.10.
лентны. Однако f, h и i остаются неэквивалентными. Если элементы X (но не N) неразличимы, мы стираем метки с коробок. Таким образом, f и h обе имеют картинки, показанные на рис. 1.10. (Порядок коробок не существен, если мы не можем различать их.)
Следовательно, f и h эквивалентны, но f, g и i неэквивалентны. Если элементы обоих множеств N и X неразличимы, то все четыре функции изображаются, как на рис. 1.11, и все они эквивалентны.
Желательно дать строгое определение введенному выше понятию эквивалентности, Говорят, что две функции f, g- N^X эквивалентны с неразличимым множеством N, если существует
1.4. Двенадцатеричный путь
57
биекция л: N^-N, такая, что f(n(a)) = g(a) для всех a^N. Аналогично fug эквивалентны с неразличимым множеством X, если существует биекция о: Х->-Х, такая, что v(f(a)) = g(a) ya^N. Наконец, функции fug эквивалентны с неразличимыми множествами N и X, если существуют биекции л: /V—>-А и о; Х-*-Х, такие, что о(/(л(а)))= g(a) для любого a<=N. Все эти три понятия есть отношения эквивалентности, и число «различных» по отношению к одному из этих понятий функций просто означает число классов эквивалентности1)- Если fug эквивалентны (в любом из названных выше смыслов), то f инъективна (соответственно сюръективна) тогда и только тогда, когда g инъективна (соответственно сюръективна). Поэтому мы
1о о! Lo____________I I________11_______J
Рис. 1.11.
говорим, что понятия инъективности и сюръективности совместимы с отношением эквивалентности. Под «числом неэквивалентных инъективных функций f: N-*-X» мы понимаем число классов эквивалентности, элементы которых инъективны.
Теперь мы готовы пройти Двенадцатеричный путь. Двенадцать возможностей перечислены и будут по отдельности обсуждены. Следующая таблица дает число неэквивалентных функций /: N X соответствующего типа, где |А|=п и |X| = х.
Двенадцатеричный путь
Элементы множества N Элементы множества X Произвольная функция f Инъективная функция f Сюръективная функция f
разли- разли- 1. хп 2. (Х)„ 3. x!S (n, х)
чимы чимы
неразличимы различимы - (О) 5- (*) Ч(Л,))
разли- неразли- 7. S (n, 1) + S (л, 2) + 8. 1, если п х 9. S («, х)
чимы чимы + ... + S («, х) 0, если п > х
неразли- иеразли- 10. pi (п) + р2(п) + 11. 1, если п^х 12. рх («)
чнмы чимы + • • • + Рх («) 0, если п > х
*) В современном анализе принята следующая терминология: правая эквивалентность соответствует замене в прообразе и левая—замене в образе, право-левая — одновременной замене в образе н прообразе. — Прим. pet).
58 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Обсуждение элементов таблицы Двенадцатеричного пути
1. Для каждого a^N f(а) может быть любым элементом х е X. Следовательно, существует хп функций.
2. Пусть М={аь а„}. Выберем f(at) х способами, затем f(a2) х— 1 способами и так далее, получив всего х(х— 1 ... ... (х — п + 1) = (х)п способов.
3. *) Разбиение конечного множества N есть набор л={Вь В2, ..., Bk} подмножеств множества N, таких, что
a. Bt =# 0 для каждого I,
б. BiOBj—0, если i^j, в. BjUB2U ... UBk = N.
Мы называем В,- блоком л и говорим, что л имеет k блоков (обозначение | л| = k). Пусть S(n,k) — число разбиений «-множества на k блоков. S(n,k) называется числом Стирлинга второго рода. Условимся полагать 5(0,0)= 1. Читатель должен проверить, что для «^1, S(n,k) = 0 при k > п, S(n, 0) = 0, S(n, 1)= 1, f п\
5(n,2) = 2"-1 —1, S(n,n) = 1, S(n, п — l) = l 2 I.
Числа Стирлинга второго рода удовлетворяют следующим основным рекуррентным соотношениям:
S(n, k) = kS(n—l, k) + S(n-\, k-l). (23)
Уравнение (23) проверяется следующим образом. Чтобы получить разбиение множества [«] на k блоков, можно разбить множество [п— 1] на k блоков и поместить п в любой из этих блоков kS{n—1, k) способами или образовать отдельный блок из п и разбить множество [п — 1] на k — 1 блок S(n — 1, k — 1) способами. Отсюда следует (23). Рекуррентное соотношение (23) позволяет доказать по индукции много результатов о числах S(n,k), хотя часто мы будем предпочитать комбинаторные доказательства. Общее число разбиений «-множества называется числом Белла и обозначается В(«). Таким образом, В(«) = = ^)> 1-
Ниже приводится список некоторых основных формул для 5(«, k) и В («):
Ж = (24а)
/=о М 7
X s <n,k) % = 4r (e*-!)*. *>0, <24b)
') Обсуждение n. 4 начинается на стр. 64.
1.4. Двенадцатеричный путь 59
£ S(n, k)xn = xk/(l— х)(1 — 2х) ... (1 -kx), (24с)
xn=t S(n, k)(x)k, (24d)
k=0
B(n+ 1) = Х(П ')B(z), «>0, (24e)
У*, В (n) xnln\ = exp (ex — 1). (24f)
n >0
Сейчас мы наметим доказательства формул (24а) — (24f). Для всех формул, за исключением (24d), мы обрисуем некомбинаторные доказательства, хотя ценой небольшой дополнительной работы могут быть даны и комбинаторные (некоторые из них появятся позже в книге). Пусть Fk (х) — ^n>hS (п, k)xn/nl. Ясно, что Fo(x)= 1. Из формулы (23) имеем
Fk(x) = k^n>kS(n-\, £)x7n! + Z„>AS(n-l, k-l)xn/nl.
Продифференцируем обе части равенства, чтобы получить
^(Х) = ^(х) + ^_,(х). (25)
Предположим по индукции Fk_l (х) = (ех — l)fe~*. Тогда единственным решением уравнения (25), коэффициент которого при хк есть 1/Л!, будет Fk (х) = (ех — l)ft. Отсюда по индукции следует (24b). Чтобы доказать (24а), напишем
i=0 v 1 '
и извлечем коэффициент при х". Чтобы доказать (24f), просуммируем (24b) по k, получив
£ В (п) хп/п\ = У (ех - 1)* = ехр (ех - 1). п>0 k>0
Формула (24е) может быть получена дифференцированием (24f) и сравнением коэффициентов. Очень легко также дать прямое комбинаторное доказательство. Доказательство формулы (24с) проводится аналогично доказательству (24а); ее можно доказать И аналогично предложению 1.3.4 (см. упражнение 16 в конце
60 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
этой главы). Осталось проверить формулу (24d), что будет сделано после следующего абзаца.
Проверим теперь п. 3 таблицы Двенадцатеричного пути. Нам нужно показать, что число сюръективных функций f: N^~X равно x!S(n, х). Выражение xlS(n, х) дает число способов разбить N на х блоков, а затем линейно упорядочить блоки, скажем, (Вь В2, ..., Вх). Пусть X = {bi,b2, ..., bx}. Свяжем последовательность (Вь В2, ..., Вх) с сюръективной функцией f, определенной формулой f(i) = b/, если i^Bj. Это устанавливает требуемое соответствие.
Сейчас мы дадим простое комбинаторное доказательство формулы (24d). Левая часть есть общее число функций ftN-*-X. Каждая такая функция является сюръекцией на единственное подмножество У множества X, удовлетворяющее условию | У |
п. Если | У| == k, то существует klS(n,k) таких функций и (X \
I выборов подмножеств У множества X с условием | У | = k. R, J
Следовательно, п п
х" = £ Й1$(п, k) (*) = £ S(n, fe)(x)ft.
fe = 0 \ « / fe = 0
Уравнение (24d) имеет следующую дополнительную интерпретацию. Множество ZP всех многочленов с комплексными коэффициентами образуют комплексное векторное пространство. Множества Д ={1, х,х2, ...} и В2 ={1, (х) ь (х)2, ...} оба являются базисами ф. Тогда формула (24d) утверждает, что (бесконечная) матрица S = [S(n, &)]ft ns_N является матрицей перехода от базиса В2 к базису В\. Рассмотрим снова уравнение (14), встретившееся ранее в этой главе. Если заменить х на —х и умножить на (—I)'1, получим
п
Е S(n, 6)х* = (х)„.
fe = 0
Таким образом, матрица s = [s(n, k)]k neN есть матрица перехода от В\ к В2 и, следовательно, обратная к матрице S.
Из утверждения, что матрицы S и s взаимно обратны, следует такой результат.
1.4.1. Предложение.
а. Для всех m, n е N
S S(m, k)s(k, n) = bm„.
1.4. Двенадцатеричный путь
61
Ь. Пусть ао, ап и Ьо, bi, ... — две последовательности (скажем, комплексных чисел). Следующие два условия эквивалентны-.
i. Для всех ле N п bn — Y^S (п, k) ak. k = 0
ii. Для всех л е N
n
а«= Е s(n, k)bk. fe=0
Доказательство.
а. Это в точности утверждение о том, что произведение двух матриц S и s есть единичная матрица [бт«].
Ь. Пусть а и b обозначают (бесконечные) всктор-столбцы (Оо, Оь ...) и (bo, bi, ...) соответственно. Тогда формула (i) утверждает, что Sa = b. Умножение слева на s дает а = sb, а это есть (ii). Аналогичным образом из (ii) следует (i). □
Матрицы S и s имеют такой вид:
г 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S - 0 1 7 6 1 0 0 0
0 1 15 25 10 1 0 0
0 1 31 90 65 15 1 0
0 1 63 301 350 140 21 1
1 0 0 0 0 J 0 0'
0 1 0 0 0 J 0 0
0 1 1 0 0 J 0 0
0 1 3 1 0 1 0 0
s 0 6 11 6 1 ) 0 0 • •
0 24 50 35 - 10 0 0
0 -120 274 -225 85 -15 1 0
0 720 - 1764 1624 - 735 175 -21 1
62 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Уравнения (14) и (24d) тесно связаны также с исчислением конечных разностей, о котором мы очень кратко здесь скажем. Дана функция f: Z->C (или, возможно, N~>-.С; С можно заменить произвольной абелевой группой, если не имеют дело со специальными примерами, как-то f(n) = n4). Определим новую функцию АД называемую первой разностью f, формулой
А называется разностным оператором первого порядка; кратко, но очень упрощенно можно определить исчисление конечных разностей как исследование оператора А. Можно применить A k раз и получить k-й разностный оператор
Число А*/(0) называется k-й разностью f в 0. Определим другой оператор Е, называемый оператором сдвига, формулой £/(«) = = f(n-|-l). Таким образом, А = £—1, где 1 означает единичный оператор. Имеем
Aftf(n) = (£—l)*f (п) =
k / Ь\
i = 0 ' * '
к / ь \
=£(-nfe_,( v(»+n. (26)
»=i '
В частности,
/ Ь \
Д^(0) = £ ( )Ж (27)
i=0 \1 /
что дает явную формулу для A*f(O) в терминах значений f(0), f(l), ..., f(k). Легко можно обратить формулу (26) и выразить f(n) в терминах чисел A'f(O). Именно,
f(n) = £7(0) =
= (1 + A)"f (0) =
= У(“М(°). (28)
Напишем теперь в строку значения
... H-2)f(-l)f(0)f(l)f(2)f(3) ...
1.4. Двенадцатеричный путь
63
Если внизу написать между каждой парой последовательных членов f(i), 1) их разность f(t*+ 1) —f(t)= Af(i), получим
последовательность
... А/(-2)А/(-1)А/(0)А/(1)А/(2) ...
Повторение этой процедуры приводит к таблице разностей функции f. k-я строка состоит из значения A*f(n). Диагональ, начинающаяся в /(0) и идущая направо вниз, состоит из разностей А*/(0) в 0. Например, пусть f(n)=n4. Таблица разностей (начинающаяся с /(0)) выглядит так:
О
1
1 16 81 256 625
15 65 175 369
14 50 110 194
36 60 84
24 24 0
Из формулы (27)
/л\ /л\ f п\ (п\ (п\
',, = (1)+1412) + 3Чз) + 2Ч4) + Ч5)+'"
В этом случае, так как л4— многочлен четвертой степени и
л \ k )
при фиксированном k есть многочлен степени k, написанное (л \
, )• то есть
Д*04 = 0, если k > 4 (или, более общим образом, А*л4 = 0,если k > 4). Заметьте, что из (24d) имеем
4
л4 = £ k\ S(4, k)
*=о
n\ k ) ’
откуда заключаем: 11S (4, 1) = 1, 2! S(4, 2) = 14, 3! S(4, 3) = 36, 41S (4, 4) = 24.
Предыдущее рассуждение, конечно, не относится исключительно к функции л4. Подобные размышления приводят к следующему результату.
1.4.2. Предложение.
а. Функция f: Z -> С — полином степени, не превосходящей d, тогда и только тогда, когда Ad'i[[(n) = 0 (или Adf(n)— постоянная).
64 Гл. I. Что такое перечислительная комбинаторика?
Ь. Если многочлен f(n) степени, не превосходящей d, разложен ( п\
в ряд по базису I I > 0 k d, то коэффициенты суть
т. е. d
i=0
с. В специальном случае f(n) = nd имеем
AV = £lS(d, k). □
1.4.3. Следствие. Пусть f: Z->,C.— многочлен степени, не превосходящей d. Необходимое и достаточное условие того, что f(n)^Z для всех n&Z, есть AV(0)eZ, 0 k d. (В алгебраических терминах: абелева группа всех многочленов f: Z->Z, / п \
степень которых не больше d, свободна и имеет базис I I, / п \ ( п \
11)......( d )
Перейдем теперь к следующему элементу таблицы двена-
дцатеричного пути.
4. «Шары» неразличимы, так что нас интересует только то, сколько шаров кладут в каждую из коробок Ь\, Ьг, , Ьх- Если v(bi) шаров помещают в коробку bi, то v определяет п-элемент-ное мультимножество на X. Число таких мультимножеств есть О-
5. Этот случай аналогичен предыдущему, только каждая коробка содержит не более одного шара. Поэтому наше мульти-/х \
множество становится множеством, и существует I In-элемент
ных подмножеств X.
6. Каждая коробка bi должна содержать по крайней мере один шар. Если удалить из каждой коробки по одному шару, получим (п — х)-элементное мультимножество на X. Число таких мультимножеств есть (( п _ х ))'
7. Так как коробки неразличимы, функция f: N-+X определяется непустыми множествами b е X, где f~l(b) =
= {a^N: f(a) = b}. Эти множества образуют разбиение л множества N, называемое ядром или кообразом f. На л накладывается единственное ограничение, что оно содержит не более х блоков. Число разбиений N на не более чем х блоков равно S(n,l) + S(n,2)+ ... +S(n,x).
1.4. Двенадцатеричный путь
65
8. Каждый блок кообраза л функции f должен содержать один элемент. Существует единственное такое разбиение л, если х п; в противном случае таких л нет.
9. Если f сюръективна, ни одно из множеств /-1(Ь) не пусто. Отсюда кообраз л содержит в точности х блоков. Число таких л равно S (п, х).
10. Пусть рДп) обозначает число разбиений п на k частей согласно определению на стр. 51. Функция f: N-+X, где N и X оба неразличимы, определяется только числом элементов в каждом из блоков кообраза л. Сами по себе элементы не важны. На эти числа накладывается единственное ограничение: они являются положительными целыми, сумма их равна п, а число их не превосходит х. Другими словами, эти числа образуют разбиение п на не более чем х частей. Число таких разбиений есть Р1(п)+ Р2(п)+ . .. + рх(п).
Дополним наше исследование этого пункта, сосчитав производящую функцию этих чисел. Можно было бы просто положить k = x и устремить /->-оо в предложении 1.3.19, но мы изложим более прямой подход. Предположим, что Л — разбиение п. Если поменять местами строки и столбцы диаграммы Ферре X, получим диаграмму другого разбиения п, называемого сопряженным X, и обозначаемого X'. Если X = (Xi,X2, .... X*), то число частей X', равных I, есть X, — X<+i. Это соображение дает удобный метод вычислять X' из X, не рисуя диаграмму. Например, если X = (4, 3, 1, 1, 1), то X' = (5, 2, 2, 1).
Пусть pk(n) обозначает число разбиений п на не более чем k частей, т. е. pk(n) = pi(n)-f- р2(п) + + р*(/г). X есть разбие-
ние такого вида тогда и только тогда, когда наибольшая часть разбиения X' не превосходит k. Это наблюдение позволяет нам вычислить производящую функцию X„>0Pfe(n)xn. Разбиение числа п, наибольшее слагаемое которого не превосходит k, можно рассматривать как решение уравнения ои + 2а2 + • • • ... -j- ka,k = п в неотрицательных целых числах. Здесь а, показывает, сколько раз слагаемое i встречается в разбиении. Следовательно,
Г Pk(n)xn= £ £ хп =
п>0 п>0 «Xj + ... +kak=n.
= 1/(1 — х)(1 -х2) ... (1 -xft). (29)
66 Гл, 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Устремляя оо, получаем знаменитую производящую функцию
Е р(п)хп = п (1- /Г1. (30)
n>0 1
Уравнения (29) и (30) можно существенно обобщить. Следующий результат, хотя, разумеется, далеко не самый общий из возможных, достаточен для наших целей.
1.4.4. Предложение. Для каждого iep зафиксируем множество SfsN. Пусть д’ —(Si, S2, ...), и положим Р^) —множество всех разбиений X, таких, что если слагаемое i встречается а* = ах (X) Раз, то Определим производящую функцию
от переменных х = (хь х2, . ..):
F(^, х) = £ x“1(Wx?(W ... .
Тогда
тх)=П(Е*П- (3D
Доказательство. Читатель должен убедиться в справедливости этого результата путем «проверки». Коэффициент при xfxf2 ... в правой части формулы (31) равен 1, если Va; eS,, и 0 в противном случае, что и дает требуемый результат.
1.4.5. Следствие. Сохраним обозначения предыдущего предложения, и пусть р (д’, п) обозначает число разбиений п, принадлежащих Р(д), т. е.
р (д’, п) = card {X Ь п: к^Р (д’)}.
Тогда
Е Р(д>, п)хв=П( Е х"\ п>0 i>l VeSi )
Доказательство. Положим каждую переменную X/ равной х‘ в предложении 1.4.4 □
Чтобы дать читателю почувствовать дух теории разбиений, рассмотрим два специальных случая следствия 1.4.5. Во-первых, если положить £,={0,1}, то получим, что р(д’,п) есть число разбиений п на попарно различные слагаемые, обозначаемое q(n). Из следствия 1.4.5.
Е ^(п)хп=П(1+х‘). (32)
n>0 i>l
Аналогично, положив S,= N, если i — нечетное и S, — {0}, если I— четное, имеем, что р(д, п) есть число разбиений п на
Замечания
67
нечетные слагаемые, обозначаемое рнеч(п). Из следствия 1.4.5 £ Рнеч(и)*п= Z (1 + х1 + x2i + ...) n>0 i1
i неч
= П (1-х2/-1)-‘.
Если теперь положить в формуле (32) 1 + х‘=(1—x2i)/(l— — х‘), то числитель сократится с множителями вида (1—х21) в знаменателе, и окончательно получим
£ q(n)xn= П(1 -Х2/-‘)"‘= £ Рнеч(«)^-п>0 />1 п>0
Следовательно, ^(п) = рнеч(п) для всех п 0. Естественно желание дать комбинаторное доказательство. Возможно, самое простое из них таково. Пусть X — разбиение п на нечетные слагаемые, причем часть 2/—1 встречается 0/ раз. Построим разбиение ц числа п на попарно различные части, потребовав, чтобы слагаемое (2/—l)2fe, k^O, входило в ц тогда и только тогда, когда двоичное разложение числа 0/ содержит член 2*. Читателю остается проверить, что это действительно биекция. Например, если X = <95, 512, З2, 13>1— 114, то
114 = 9 (1 + 4) + 5 (4 + 8) + 3 (2) + 1 (1 + 2) = 9 + 36 + 20 + 40 + 6 + 1 + 2,
так что ц =(40, 36, 20, 9, 6, 2, 1).
11. Те же рассуждения, что и в п. 8
12. Рассуждения, аналогичные приведенным в п. 9. Если f: N-+X—сюръекция, то кообраз л отображения f имеет точно х блоков, их мощности образуют разбиение числа п в точности на х частей.
Замечания
Мы не собираемся здесь прослеживать развитие основных идей и результатов перечислительной комбинаторики. Интересно, однако, отметить, что, согласно Хису [9, с. 319], некий результат Ксенократа из Халцедона (396—314 до н. э.) возможно «представляет первую, письменно зафиксированную попытку решить сложную задачу о перестановках и сочетаниях». (См. также [4, с. 113].) Работы [4] и [16] — два ценных источника по истории комбинаторики. Ниже мы дадим только те ссылки и комментарии, которые нельзя легко извлечь из [4] и [16].
Дальнейшие сведения о формальных степенных рядах с комбинаторной точки зрения, см., например, [15] или [17]. Строгий
68
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
алгебраический подход появляется в [5, гл. IV, § 5]. Следующая интересная работа [2]. Чтобы проиллюстрировать недоразумения, которые могут возникнуть при работе с формальными степенными рядами, мы приведем, не указывая авторов, следующие цитаты из литературы:
«Так как сумма бесконечного ряда в действительности не используется, мы можем рассуждать строго или формально».
«(1.3) показывает тщетность поиска производящей функции, даже экспоненциального вида для IU (п); так как эти числа настолько велики, что ряд
F(z) = Z IU(ri)'zn/nl п
расходится, если z #= 0. Любое замкнутое уравнение для F поэтому не имеет решения, и все манипуляции с разложением Тейлора, биномиальной теоремой и так далее не дают никакого эффекта ’). Попытайтесь найти производящую функцию для 2* 2 ».
«Иногда возникают трудности со сходимостью некоторых функций, коэффициенты ап которых растут слишком быстро; тогда вместо регулярных производящих функций мы изучаем экспоненциальные производящие функции».
Аналитик должен был бы по крайней мере поднять вопрос о том, что общие технические средства, пригодные для оценивания скорости роста коэффициентов степенного ряда, требуют сходимости (например, пригоден аппарат теории функций комплексного переменного). Существуют, однако, общие методы оценки коэффициентов расходящихся степенных рядов [3, § 5].
Техника представления комбинаторных объектов, подобных перестановкам, «моделями», такими как слова и деревья, интенсивно развивалась в основном французскими авторами. Здесь мы упомянем только работу [7]. В частности, «фундаментальное преобразование» на стр. 13—15 этой работы есть, в сущности, наше отображение из предложения 1.3.1.
Большой индекс перестановки был впервые рассмотрен Мак-Магоном [13]. Предложение 1.3.17 доказано Нетто [14, § 94] для т = 2 и Карлитцем в [6] для общего случая. Приведенное здесь второе доказательство было предложено А. Бьорнером. Клеточное разбиение многообразия Грассмана (основа нашего доказательства предложения 1.3.19) обсуждается в работе [11]2).
’) В оригинале: «is bound to produce a heap of eggs (single — 0 — or double oo — yolked)», что приблизительно переводится: неизбежно приводят к груде битых яиц (с желтками в виде 0 и двойными желтками в виде оо). — Прим, перев.
2) См. также Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характеристические классы,— М.: Мир, 1979, или Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии.—М.: Мир, 1982. — Прим. ред.
Замечания об упражнениях
69
Теория разбиений натуральных чисел была в основном создана Эйлером, некоторая ее часть предвосхищена Лейбницем в неопубликованной работе (см. [12]). Работа [1] является прекрасным введением в этот предмет. Идея Двенадцатеричного пути принадлежит Дж. К. Рота (высказана им в серии лекций, хотя терминология «Двенадцатеричного пути» была предложена Жоэлем Спенсером. Интересный популярный подсчет чисел Белла появился в работе [8]. В частности, рисунки 52 разбиений 5-элементного множества используются в качестве «названий глав» (всех, за исключением первой и последней) книги «Повесть о Гэндзи» Леди Мурасаки (978—1031) *). Стандартная ссылка по исчислению конечных разностей — работа [10]®).
Мы в основном рассматривали исключительно такие перечислительные задачи, которые допускают точное решение. О проблемах оценки решений перечислительных задач см. [3]. Есть причины полагать, что некоторые перечисленные задачи чрезвычайно сложны и не могут иметь «хорошего» решения. См. работу Вэльянта по теории ^Р-полноты [18].
Замечание об упражнениях
Каждому упражнению следующим образом дается оценка сложности:
1. рутинное, решается прямолинейно,
2. имеется некоторая трудность или хитрость,
3. трудное,
4. очень трудное,
5. нерешенная проблема.
Дальнейшие градации отмечаются знаками + или —. Таким образом, 1—обозначает крайне тривиальную задачу, а 5 — нерешенную проблему, которой уделяется мало внимания и которая, возможно, не очень сложна. Оценка 2+ обозначает самую сложную из задач, которые могут быть приемлемы в целом для аспирантов. Некоторые студенты, вероятно, смогут решить 3 — задачу, но почти никто из них не сможет решить 3
') Речь идет об одном из первых крупных произведений классической средневековой японской литературы периода Хэйан «Гэндзи Моноготари или повесть о блистательном принце Гэндзи» Мурасаки Сикибу. Русский перевод: Н. И. Конрад. «Японская литература в образцах и очерках», т. I, Л., 1927 и «Японская литература от Кодзикн до Тукутом», — М.: Изд-во вост, лит., 1974, стр. 233—256. К сожалению, в русском переводе эти заставки отсутствуют. — Прим. ред.
’) См. также Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: 1967. — Прим. ред.
70 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
в разумный период времени. Конечно, все эти оценки субъективны, и всегда есть вероятность, что осталось незамеченным: какое-либо простое доказательство, которое понизило бы оценку сложности. Некоторые задачи, по-видимому, требуют использования результатов или методов, обычно не связываемых с комбинаторикой других областей математики. Здесь оценки менее значимы — они основываются на соображениях, насколько легко читатель обнаружит применимость этих внешних по отношению к комбинаторике методов и результатов.
Литература
1. Andrews'G. Е. The theory of Partitions. Addison-Wesley, Reading, Mass, 1976. [Имеется перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982.]
2. Bender Е. A. A lifting theorem for formal power series, Proc. Amer. Math, Soc. 42 (1974), 16—22.
3. Bender E. A. Asymptotic methods in enumeration, SIAM Rev, 16, 1974, 485—515. Errara: SIAM Rev. 18 (1974), 292.
4. Biggs N. L. The roots of combinatorics, Historia Math. 6 (1979), 109—136.
5. Bourbaki N. Elements de Mathematique, Livre II, Algebre, Ch. 4—5 2e ed., Hermann, Paris, 1959. (Имеется перевод: Бурбаки H. Элементы математики. Алгебра. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966.)
6. Carlitz L. Sequences and inversions, Duke Math. J. 37 (1970), 193—198.
7. Foata D., Schutzenberger M.-P. Theorie geometrique des polynomes Eule-riens, Lecture Notes in Math., no. 138, Springer, Berlin, 1970.
8. Gardner M. Mathematical games, Scintific American 238 (May, 1978), 24—30.
9. Heath T. A. History of Greek Mathematics; vol. (1), Dover, New York, 1981.
10. Jordan C. Calculus of Finite Differences, Chelsea, New York, 1965.
11. Kleiman S. L. and Laksov D. Schubert calculus, Amer. Math. Monthly 79 (1972), 1061—1082.
12. Knobloch E. Leibniz on combinatorics, Historia Math. 1 (1974), 409—430.
13. MacMahon P. A. The indices of permutations..., Amer. J. Math. 35 (1913), 281—322.
14. Netto E. Lehrbuch der Combinatorik, Teubner, Leipzig, 1900.
15. Niven I. Formal power series, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 871—889.
16. Stein P. K. A Brief history of enumeration, Advances in Applied Mathematics, Metropolics.
17. Tutte W. T. On elementary calculus and the Good formula, J. Combinatorial Theory 18 (1975), 97—137.
18. Valiant L. G. The Complexity of enumeration and reliability probleme, SIAM J. Comput. 8 (1979), 410—421.
Упражнения
[1+] 1. Мы начнем с дюжины простых вычислительных за-
дач. Найдите насколько возможно простое решение, а. Сколько подмножеств множества [10] = {1,2, ... ..., 10} содержат по крайней мере одно нечетное число?
Упражнения
71
Ь. Сколькими способами можно рассадить семь человек по кругу? Два расположения считаются одинаковыми, если каждый имеет тех же соседей (не обязательно с той же стороны).
с. Сколько перестановок л: удовлетворяют
условию л(1) #= 2?
d. Сколько перестановок множества [6] имеют в точности два цикла (т. е. найти с(6,2))?
е. Сколько разбиений множества [6] имеют в точности три блока (найти S(6,3))?
f. Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколькими способами можно это сделать?
g. Десять человек разбились на пять групп, по два в каждой. Сколькими способами это можно сделать?
h. Сколько разложений числа 19 состоит лишь из чисел 2 и 3?
i. Сколькими разными способами можно упорядочить буквы в слове МИССИССИППИ, так чтобы четыре буквы «С» не стояли подряд.
j. Сколько существует последовательностей (а 1, аг, ..., ai2), состоящих из четырех нулей и восьми единиц, таких что никакие два последовательных члена не являются нулями?
к. В коробке лежат три синих носка, три красных носка и четыре цвета «шартрез»'). Восемь носков убрали, по одному за один раз. Сколькими способами можно это сделать? (Носки одинакового цвета неразличимы.)
1. Сколько существует функций f-. [5]->-[5], удовлетворяющих условию card f~l (n) 2 для всех п е
е[5]?
2. Дайте комбинаторные доказательства следующих тождеств (х,у,п,а,Ь — неотрицательные целые):
Видимо, зеленый цвет. Шартрез — ныне исчезнувший ликер. — Прим.
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
т = min (а, Ь).
Сколько существует на плоскости путей из точки (0,0) в точку (fi,n)eNXN, если каждый отрезок пути имеет вид (1,0) или (0, 1) (т. е. является шагом длины 1 в восточном или северном направлениях)? Дайте комбинаторное доказательство. Установите обобщение этого факта на высшие размерности. Эта задача является прототипом результатов обширного предмета, касающегося подсчета путей в решетках, а. Покажите, что
Ь. Найдите V ( 1 ^х".
п /
Пусть f (т, п) — число путей из точки (0, 0) в точку (т, n)eNXN, где каждый шаг имеет вид (1,0), (0, 1) или (1, 1).
а. Покажите, что Em>oEn>of (т, п) хтуп = (1 - х --у-ху)-1.
Ь. Найдите простое явное выражение для п)х"-
а. Пусть р — простое число и п = £ ЩР1, т — Ь{р* — р-ичные разложения целых чисел т, п. Покажите, что
(п °0 Va‘
(mod р).
Ь. Используйте (а), чтобы определить, когда
Упражнения
73
( П \
нечетно. Для каких п число I m I нечетно при
с. Из п. (а) следует (это можно также легко пока-(ра\ / а \
pft / ~ \ ft / Р)’
Дайте комбинаторное доказательство того, что на
самом деле
d. Если р 5, покажите, что фактически
( Р& А__ ( & 3\
, , (modp3).
\ pb J \b J
Есть ли здесь комбинаторное доказательство?
е. Дайте простое описание наибольшей степени про-/ п \
стого числа р, делящей I „ I \т /
7. Пусть т, jigN. Дайте комбинаторное доказатель-
ство тождества m j j — п _ । ) j •
8. а. Пусть ai, a2, ..., an <= P. Покажите, разложить произведение
что если
(33)
в многочлен Лорана от переменных xi, хп (допускаются отрицательные показатели степени), то постоянный член есть мультиномиальный коэф-
/ + а2 4- ... + ап \
фициент I I • Указание', сна-
V а1; ..., ап J
чала докажите тождество
(34)
а затем умножьте на выражение (33).
Ь. Положите п = 3 и выведите тождество
_ft/a+ft'\/ft+c\/c + a\ = /<a + ft + c\ \a + £/\ft + &/\c + £/ \ а, Ь, с )
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
с. Пусть q — добавочная переменная. Покажите, что если разложить произведение
в многочлен Лорана от х<.....хп (коэффициенты
которого здесь — многочлены от q), то свободный член есть (/-мультиномиальный коэффициент
' ai + а2 + ... + а„ \
\ а1( а2, ..., а„ 7
d. Пусть k еР. Если произведение
разложено, как описано выше, покажите, что его постоянный член есть
36 \ / 56 \ Г (2п-3)А> \/(п-1)А>\
/\ k /
е. Пусть f(«i,a2, «я) обозначает постоянный
член многочлена Лорана
ft (q~ai + q~ai+{ + ... + /*). 1=1
где все сц е N. Покажите, что
“1.<Ъг>°
Д хп~х
(1 + X,) . . . (1 + Х„) У 7-1-----------------.
гй (1-^)П (xi - */) 0 - V/)
9. а. Найдите число разложений числа п>1, имеющих четное число четных частей. Естественно, предпочтительно комбинаторное доказательство.
Ь. Пусть е(п), о(п) и k(n) обозначают соответственно число разбиений п с четным числом четных частей, с нечетным числом четных слагаемых и самосопряженных разбиений. Покажите, что е(п) —
Упражнения
+5
о(п) = k(n). Есть ли здесь комбинаторное доказательство?
10. Пусть 1 k < п. Дайте комбинаторное доказательство того, что среди всех 2"-1 разложений числа п k встречается слагаемым всего (п— k + 3)2"-*-2 раз. Например, если п = 4 и k — 2, двойка встречается один раз в 2 + 1 + 1, 1+24-1, 1 + 1+ 2 и дважды в 2 + 2, всего пять раз.
11. а. Пусть |W| = n, |Х| = х. Найдите простое явное выражение для числа способов, которыми можно выбрать функцию f; N-+-X, а затем линейно упорядочить каждый блок кообраза f. (Элементы множеств N и X предполагаются различимыми.) Ь. Сколько таких способов существует, при условии что f сюръективна? (Дайте простой явный ответ.) с. Тот же вопрос, что и в п. (а), но элементы множества X неразличимы. (Дайте ответ в виде конечной суммы.)
12. Пусть |Sj = n и зафиксируем k е Р. Сколько существует таких последовательностей (Т+Тг, Tk)
подмножеств Т,- множества S, что ...
... =Л?
13. Зафиксируем п, k, Р. Сколько существует последовательностей вида 1 «1 < «а < ... < dk п,
где a1+i — ai / для всех 1 i k— 1?
14. Числа Фибоначчи определяются формулами Л = 1, F2 = 1, Fn = Fn-i + Fn-2 при « > 3. Выразите через числа Фибоначчи:
а. Число подмножеств S множества [п] = {1,2, ... ..., п}, не содержащих никаких двух. последовательных чисел.
Ь. Число разложений п на части, превосходящие 1. с. Число разложений п на части, равные 1 или 2. d. Число разложений п на нечетные слагаемые.
е. Число последовательностей (ej, е2, .... ея) нулей и единиц, таких что ei=C е2 += е3 е4 + е5 «С ...
f. У, аха2 ... ak, где суммирование производится по всем 2П-1 разложениям 01 + 02 + ... +а* = п.
g. У, (2Q1-1 — 1) ... (2“ft-1 — 1), суммирование ведется по тому же множеству, что ив (f).
h. У 2*^суммирование ведется по тому же множеству, что ив (/).
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
i. Число последовательностей (61,62....6П) из ну-
лей, единиц и двоек, таких, что ни за одним нулем непосредственно не следует единица.
Зафиксируем k, п е Р. Найдите простое выражение, использующее числа Фибоначчи, для числа последовательностей (Ti, Гг> •••> Тп} подмножеств Ti множества [А], таких, что Т\ <= Т2 Э Тз s Ti э ••• Пусть S(n, k) обозначает шсло Стирлинга второго рода. Из производящей функции £nS(n,k)xn= — хк/(1 — х) (1 — 2х) ... (1 — kx) следует тождество
S(n, ^) = £10,"1-2а2"1 ... kak~\ (36)
где сумма берется по всем разложениям ах + + а2 ... + ак = п. Дайте комбинаторное доказательство формулы (36), аналогичное второму доказательству предложения 1.3.4. То есть мы хотим сопоставить с каждым разбиением л множества [п] на k блоков разложение ai + а2 +... + ак = п, такое, что этому разложению соответствуют в точности ... k“k 1 разбиений л.
а. Пусть п, k е Р, положим j — L&/2 J . Пусть S(n, k) обозначает число Стирлинга второго рода. Из рассмотрения производящей функции докажите, что
/ п —- / — 1 \
iSXn, £)=Ц n_k J(mod2)’.
b. Дайте комбинаторное доказательство.
с. Сформулируйте и докажите аналогичный результат для чисел Стирлинга первого рода.
Пусть S(n,k) обозначает число Стирлинга второго рода. Определим Кп условием S (и, К.п) S (n, k) для всех k. Пусть / — решение уравнения
(f + 2Н log (/+ 2) _ t -J-1
Докажите, что достаточно больших п Кп.= UJ или Xn = UJ + l.
В этом упражнении мы рассмотрим один метод обобщения разложения перестановок на непересекающиеся циклы с множеств на мультимножества. Мультицикл — это последовательность C = (i\,i2, ... ..., ik) положительных целых с возможными повторениями, причем последовательности (о, i2, ..., /*) и (ij, ij+i, ..., ik, i\, ..., ij-i) при счи
Упражнения
77
таются эквивалентными. Введем переменные xt, х2, ... и определим вес С формулой w(C) = Xii ... ... xik. Мультиперестановка есть мультимножество мультициклов. Например, мультимножество {1,1,2} допускает следующие мультиперестановки (1) (1) (2), (H)(2), (12) (1), (112). Вес да (л) мультиперестановки л = С[С2 Cj задается равенством да(л) = = да(С1) ... w(Cj).
а. Покажите, что
П (1 — W (С))-1 = Z С я
где С пробегает множество всех мультициклов на р, а л — все мультиперестановки на Р.
Ь. Пусть рк = х* 4- х* 4- ... . Покажите, что
Па-нси-^Па-р*)’1.
С й>1
с. Пусть fh(n) обозначает число мультиперестановок на множестве [£] общего размера п. Например, }2(3) = 14; данные мультиперестановки: (1)(1)(1), (1)(1)(2), (1) (2) (2), (2) (2) (2), (H)(1), (H)(2), (12)(1), (12)(2), (22)(1), (22)(2), (111), (112), (222). Выведите из (Ь) формулу
Е f(n)x’’ = II(i-^)'1.
n>0 i 1
d. Найдите прямое комбинаторное доказательство пп. (Ь) или (с).
20. а. Имеется п квадратных конвертов разных размеров. Сколькими способами их можно упорядочить по включению? Например, если п = 3, существует шесть способов, а именно: пометим конверты буквами А, В, С (буквой А самый большой, а буквой С — наименьший), и пусть запись I&J означает, что конверт I содержится в конверте J. Вот эти шесть способов: (1), 0, (2) В^А, (3) СеЛ, (4) С(=В, (5) В(=А, Се=А, (6) СеВеЛ.
Ь. Сколько существует размещений, в которых существует в точности k конвертов, не содержащихся ни в каком другом? Не содержащих никакого конверта?
21. Пусть рь(п) обозначает число разбиений п на k частей. Зафиксируем / 0. Покажите, что при п-+
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
->4-оо последовательность pn-i(ti) становится в конце концов постоянной. Чему равна эта константа /(О? Каково наименьшее значение п, для которого p„_f(n) = f(O? Ваши аргументы должны быть комбинаторными.
22. Пусть Pk(n) определено, как и выше, и пусть qk(n) — число разбиений п на k различных частей. Например, р3(8) = 2; соответствующие разбиения есть 14-24-5 и 14-3 4-4. Дайте простое комбинаторное доказа-
/ / k \\
тельство того, что qk I п 4- I J J ~ Pk (л)-
23. Из огромного множества тождеств с разбиениями мы приводим здесь несколько похожих формул, имеющих особенно простые и элегантные комбинаторные доказательства.
а П (1 - W' - Ео (,-«)(, -7)...
ь. По-^г1^
i>l
= у _______________Xk2qk______________
(1 - х) ... (1 - xk) (1 - qx) ... (1 - qxk) ‘
°, п ('+’*'’=
d. П (1 +^K-1)= У 7---------2W X -4.--7---2kX-
i 1 й >0
24. а Логарифмическая производная степенного ряда F(x) определяется равенством log F (х)— — F'(x)/F(x). Взяв логарифмическую производную степенного ряда Zre>o/’(n)xn = Пг>1 (1 — х‘Г1, выведите рекуррентное соотношение
п • р (n) = Е а (0 р(п — i), i=sl
где cr(t')— сумма всех делителей числа i.
b. Дайте комбинаторное доказательство.
25. а. Дано множество S р. Пусть ps(n) (соответственно qs(n)) обозначает число разбиений п (со
Упражнения
79
ответственно число разбиений п на попарно различные слагаемые), части которых лежат в множестве S. (Это специальные случаи функций р(7, п) следствия 1.4.5) Назовем пару (S, Т), где S, Г=Р, парой Эйлера, если ps(n) = дт(п) для всех neN. Покажите, что (3, Т) пара Эйлера тогда и только тогда, когда 2Т е Т (где 2Т = = {2i: i^T}) и S = T — 2T.
b. Каков смысл случая 3={1}, 7' = {1, 2, 4, 8, ...}?
26. Пусть X — разбиение целого числа п. Обозначим — число появлений k в разбиении X, a gs(X)— число различных частей X, встречающихся по меньшей мере k раз. Например, f2(3, 2,2,2,1,1)= 3 и g-2(3, 2, 2, 2, 1, 1) = 2.
Покажите, что ZkU) = У, gk (X), где k <= Р фиксировано и суммирование в обоих случаях ведется по всем разбиениям X фиксированного целого пер.
27. а. Пусть леР и f(n) обозначает число подмножеств 7)п7, (вычетов по модулю л), сумма элементов которых равна 0 в Z/nZ. Например, f(4) — 4; соответствующие подмножества — 0, {О}, {1,3}, {0, 1, 3}. Покажите, что
din'd нечетно
где ср обозначает функцию Эйлера из теории чисел ').
Ь. Если л нечетно, то легко показать, используя (а), что f(n) равно числу ожерелий (с точностью до циклического поворота) из л бусин, каждая из которых покрашена в черный или белый цвета. Дайте комбинаторное доказательство. (Это просто сделать, если л — простое число.)
с. Обобщите. Исследуйте, например, сколько подмножеств 3 множества 7)п7 удовлетворяет условию p(z) = a(modn), где р — фиксиро-
ванный полином и число a^7Jn7^ фиксировано. 28. Пусть f(n,k) обозначает число последовательностей ... ап положительных целых чисел,' таких, что первое появление i 1 встречается раньше, чем первое появление числа i+1 (l^i^&—1), и прй
ф(п) есть число чисел, меньших п и взаимно простых с п.—Прим,
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
этом максимальное встречающееся число есть k (Предполагается, что каждое число 1, 2, k встречается по меньшей мере один раз.) Выразите f(n,k) через знакомые числа. Дайте комбинаторное доказательство.
29. Дайте комбинаторное доказательство того, что число разбиений множества [л], в которых ни одна пара последовательных целых чисел не оказывается в одном блоке, есть число Белла В(п— 1).
30. а. Пусть ffe(n) обозначает число перестановок л е ®„, имеющих k инверсий. Покажите из комбинаторных соображений, что для п k
b. Выведите из (а), что при n^k fk(n) есть полином от п степени k и что его старший коэффициент равен \/k\. Например, f2 (л) = у (п + 1) (л — 2) при п 2.
с. Пусть gk(n)—многочлен, значения которого при n^k равны ^(л). Найдите Mgk(—п), т. е. вычислите коэффициент а, в разложении
k
gk(-n)=£«/(п )•
/=0 ' 1 '
31. Пусть лг(л) обозначает число рекордов, a i(n) (как обычно)—число инверсий перестановки л. Вычислите производящую функцию
Ч) = Z хт(я,<7/<я).
яе@п
32. а. Перестановка а\ ... ап множества [л] называется неразложимой, если п есть наименьшее положительное целое среди всех /, для которых {«i, а2, ... ..., а/}-{1,2, ..., /}.
Пусть f(n) — число неразложимых перестановок множества [л], и положим F(x) = л! х". Покажите, что
£ f (л)хп= 1 — Г(х)-1.
п> 1
Ь. Элемент а,- называется сильной неподвижной точкой перестановки ai ... ап, если (1) / < I => а/ < < at и (2) / > i => а, > а/. Пусть g (л) — число
Упражнения
81
перестановок множества [л], не имеющих сильных неподвижных точек. Покажите, что
Е g(n) хп = F (x)(l + xF (х))~1.
п>0
Пусть Дп(х)—многочлен Эйлера. Дайте комбинаторное доказательство того, что-| Дп(2) равно числу упорядоченных разбиений (т. е. разбиений, блоки которых линейно упорядочены) n-элементного множества.
На какой последовательности с= (ci, ..., cn) s Nn с условием Е ici — п достигается максимум числа перестановок л е <S„, имеющих тип с?
Пусть / — простое число. Положим п = а0 + а11-}-+ aJP + ... =Оо, I, для всех i^O.
Пусть ki (л) обозначает число последовательностей c = (ct, с2..c„)eNn, EI'<;i = «, таких, что число
перестановок л е типа с не делится на I. Покажите, что
Ь (и) = р (л) = р (ад) Ц + 1),
где р(л0)— число разбиений ло- В частности, число последовательностей с, для которых нечетное число перестановок имеют тип с, равно 26, причем
L«/2J имеет b единиц в двоичном разложении.
а. Пусть F(x) = '^n>Qf(n)xnln\. Покажите, что
e-*F(x) = E„>ol^f(O)]x7«l
b. Найдите единственную функцию f: Р->С, удовлетворяющую условиям /(1)=1 и А"/(1) = /(п) для всех л <= Р.
а. Пусть F (х) = V f (л) хп. Покажите, что т j- -X z-'n>0
Ъ. Найдите единственные функции f, g:N~*C, удовлетворяющие условиям А"/ (0) = g (л), A2"g (0) = = f(n), A2n+1g(0) = 0, f (0)= 1.
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
с. Найдите единственные функции f, g: N->C, удовлетворяющие условиям Л"/(1) = g(«), A2rtg(0) = = f(n), A2n+1g(0) = 0, f(0)= 1.
38. Пусть А — абелева группа всех многочленов р: Z->C, таких что Dkp: Z—>Z для всех (Dk обозначает k-ю производную). Тогда А имеет / х \
базис вида pn(x) = cnl I, neN, где константа сп зависит только от п. Найдите явный вид сп.
39. Пусть % — комплексное число (или переменная), положим
У= 1 + Е f (ti)xn, ук= £ g(n)xn. п>0
Покажите, что
п
= — k), 1.
fe=i
Это дает гораздо более эффективный метод подсчета коэффициентов нежели непосредственное использование формулы (5).
40. Пусть ft, f2, ... — последовательность комплексных чисел. Покажите, что существует единственная последовательность комплексных чисел а\, az, ..., что
F(x):=l+ £ fnxn = П (1-х')"0'-.
Найдите выражение для at в терминах /„-ых. Каковы az-e, когда F(x) = l-j-x и F(x) = e’c/(1-Jc)? 41. а. Пусть /(~ь(х) обозначает обратный относительно КОМПОЗИЦИИ К f (х) ==х + Еп>2апхП е С [ М 1 Эле‘ мент С[[х]], т. е. f<-1>(f(x)) = f(f<~’>(x)) = x. Покажите, что f (—f (—х)) = х тогда и только тогда, когда существует ряд§(х) = х+ такой,
что f (x) = g<"1>(— g(— х)).
b. Покажите, что если f(—f(—х)) = х, то существует единственный элемент g(x), удовлетворяющий условию п. (а) вида g(x) = х + En>ib2nx2n.
с. Заметьте, что если f (х) = j , то f (—f (— х))=х.
Покажите, что g(~n (— g (— х)) = t 2х тогда и
Упражнения
83
r v-> bn+txn
только тогда, когда е~х > —— имеет вид
Z—'n>0 nl
d. Определите коэффициенты Ь2п единственного ряда g(x) = х + Хп>1 Ь2Пх2п> удовлетворяющего условию
42. Зафиксируем Сколько последователь-
ностей целых чисел 1 а( < «2 < ••• < а* н удовлетворяют условию at = i (mod 2) для всех Z?
43. а. Дано а0 = а, аг = р, ап+1 =ап + atl_[ при п^>1. Вычислите у = £п>оапхп.
( п\
Ь. Дано zzo=l и art+i=(«+l)art —I 2 |ап_2 при п^О. Вычислите У = ^п>оапхП/п1.
Еп f п \
I ; ПРИ
1=0 \ z /
п^1. Вычислите у — ^п>оапхп/п\.
\^п (п\
с . Дано Оо= 1 и 2an+l = > I . при п^О.
Ч=о \ I / Вычислите
У = ^п>^пхп1п\.
44. Найдите простые замкнутые выражения для коэффициентов степенных рядов (разложения берутся в окрестности х = 0):
Ь. y(sin-'i)’.
с. sin (/ sin-1 х),
d. cos (t sin-1 x).
45. Следующая цитата — из «Нравоучений» Плутарха (VIII. 9, 732); «Хризипп говорит, что число сложных предложений, которые можно составить всего из десяти простых предложений превосходит миллион (Гиппарх, однако, опроверг это, показав, что утвердительных сложных предложений 103049, а отрицательных — 310952)»
84
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Т. Хис в «.Истории греческой математики-», т. 2, стр. 245, пишет, что «невозможно, кажется, получить хоть какую-нибудь из этих цифр». (Хис также замечает, что один из вариантов чтения —101049 вместо 103049.)
Можно ли, действительно, придать какой-нибудь смысл утверждению Плутарха?
Решения упражнений
1. Здесь приводится один из возможных способов получения ответа. Возможно, есть другие такие же простые (нли даже проще) способы решить эти задачи.
а. 210 — 25 = 992.
Ь. '/г (7- 1)1 = 360.
с. 5-5! (или 61—5!) = 600.
/6\ /6\ /6\ „
а. Ь)4! + Ь)3!+,/ЧзГ! 274-
f. (6)4 = 360.
g. 1 - 3-5-7-9 = 945.
/7\ /8\ /9\
Ц2Н М1 )=86-
/ 11 \ / 8 \
L ( 1, 2, 4, 4 ) \ 1, 1, 2, 4 ) —33810-
/8+ 1\
ц ; >126-
k- 2( 1, 3, 4 ) + 3 (2, 3, 3 ) + ( 2, 2, 4 ) = 26М'
/5\ i/5\/4\
1. 51 + [ 2 ) (5)4 + -Д 1 Д 2 ) (5)3 = 2220.
2. а. Для любого данного n-подмножества S множества [х + + п 4- 1 ] существует наибольшее i, для которого #(Sf|
|"| [х + t]) = i- Для данного i можно выбрать S, состоящим
Решения упражнений
85
из любого t-элементного подмножества [х + z] . j вариантов) и элементов {x + z'4-2, х + г + 3,...,х + + z + » + 1}.
b. Первое доказательство. Выберем подмножество множества [п] и обведем кружком один из его элементов. Это можно
V"' fft\
сделать z I . I способами. Наоборот, заключим в кру-
жок один из элементов [п] п способами и выберем 2П-1 способами подмножество из оставшихся элементов.
Второе доказательство. (Оно не так комбинаторно.) Разделим тождество на 2ге. Теперь оно гласит, что среднее число элементов подмножества [п] есть п/2. Это следует из того, что каждое подмножество может быть объединено в пару со своим дополнением.
с. Чтобы дать некомбинаторное доказательство, просто возведем в квадрат обе части тождества (упражнение 4(a))
|х" = (1 - 4х)~‘/2
и приравняем коэффициенты. Проблема поиска комбинаторного доказательства была поставлена П. Верессом и решена Г. Хайошем в 1930-х годах. Недавно появилось доказательство в D. J. Kleitman, Studies in Applied Math. 54(1975), 289—292.
См. также M. Sved. Math. Intelligencer, vol. 6, no. 4 (1984), 44—45.
d. G. E. Andrews. Identities in combinatorics, I: On Sorting two ordered sets. Discrete Math. 11(1975). 97—106.
Пусть £ = (1,0), W=(0,1). Путь соответствует последовательности {W} и {E}, содержащей m шагов E и n шагов W.
(m-j-nX
Существует I m ) таких последовательностей.
D . f «1+ • . . + tld\
В размерности а существует I I путей из
\ nb ..., nd /
начала координат в точку (»i, ..., nd), каждый шаг — единичный координатный вектор.
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
а. (1 -4хГ1/? = £ ( ТепеРь
п >0
2»-1-3- ... • (2п — 1) (2п)|
nl
(Ш)2
( 2п — 1 \ j ( 2п \
Ь. Заметьте, что I 1 = тг1 I, п > 0.
\ п J 2 \ п у
Ь. Хотя существуют мощные общие методы решения задач такого типа, мы дадим здесь «наивное» решение. Предположим, что путь содержит k шагов вида (0,1) и, следовательно, k шагов (1,0) и п — k шагов вида (1,1). Эти n + k шагов можно выбрать в любом порядке, так что
k h
-Щ )(!-')*—-t"3
k
4*.r1/2 =
-|-x V (1-x)2 J
= (l-6x + x2)“1/2.
а. Можно легко проверить, что (х + l)ps=xp + 1 (mod р), т. е. каждый коэффициент многочлена (х + 1)р — (хр + 1) делится на р.
Следовательно,
(х + 1)п = (х + 1)£“«’р‘ = Д (хр1 + 1)“г (mod р) ms i
ai
53 П / )x/pZ (mod р).
i /=о 4 J
С п \
Коэффициент при хт в левой части есть I I, а в пра
Решения упражнений
87
вой — J \ 6 j • • • • Это сравнение взято из работы Lucas Е. Bull. Soc; Math. France 6(1878), 49—54.
(n \
I нечетно тогда и только тогда, когда двоичное разло-т J жение т «содержится» в двоичном разложении п, т. е. i-й двоичный знак т нечетен только тогда, когда на i-м месте в разложении п также стоит единица. Следова-(п А
I нечетно для всех 0 т п тогда и только т )
тогда, когда п = 2k — 1.
с. Рассмотрим расчерченный на квадраты прямоугольник (ра \
J способами. Можно выбрать pb квадратов, составляющих b целых / а \
строк, I I способами. В остальных случаях найдутся по крайней мере две строки, в которых будет находиться от одного до р— 1 квадрата. Будем циклически сдвигать квадраты независимо в каждой строке. Это дает разбиение / а \
множества выборов на классы эквивалентности. ( I этих классов содержат единственный элемент; остальные содержат число элементов, делящееся на р2.
d. Продолжим рассуждения п. (с). Если выбранные pb элементов заполняют менее чем b — 2 целых строки, то мощность соответствующего класса эквивалентности делится на р3. Отсюда мы сводим задачу к случаю а = 2, & = 1. Теперь
(p-l)^(p-2F... (p-fe + 1)»
k\3
р-i
s2+p k~2 (mod p3).
k=i
Но так как k пробегает от 1 до р— 1, то k~x также пробегает значения от 1 до р — 1 по модулю р. Следовательно, р-i [р-i
S 2 = X &2(mod р).
£=i k=i
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Используем теперь, например, такое тождество
£ £2 n(n+ 1)(2га+ 1) й» 1
р-1
и получим У, k2 = 0(modр), р^5. й = 1
/ п \
е. Показатель наибольшей степени р, делящей I I, ~ число переносов, необходимое для сложения чисел т и п — т, записанных по основанию р. См. Е. Kummer. Jour, iur Math. 44(1852), 115—116. и L. E. Dickson. Quart. J. Math. 33(1902), 378—384.
Будем интерпретировать выбор т объектов из и с возможными повторениями как расстановку п— 1 вертикальных черт в промежутках между пг точками (включая промежутки в начале и в конце). Например,
I • • • II • • I- •
соответствует мультимножеству {1°, 22, 3°, 42, 52}. Поменяем теперь черточки и точки местами:
• II.-II. II.
и получаем {I1, 2°, З2,4°, 51, 6°, 7°}. Это дает требуемую биекцию. (Разумеется, можно дать и более формальное описание, но оно, вероятно, только затемнит смысл построенной выше биекции.)
а. Один из способов доказательства формулы (34) — вспомнить интерполяционную формулу Лагранжа. Именно если р(х) — многочлен степени, меньшей п, и xi, ..., хп — различные числа (или неизвестные), то
п
р(х) = Хр(^)Пт-=Г7-
i-1 ! + 1 1 1
Теперь положим р(х) = 1 и х = 0.
Применяя формулу, приведенную в указании, видим, что постоянный член С(а,\, ..., ап) удовлетворяет рекуррентному соотношению
п
С (#1, ..., ап) = 52 С (#|, ..., ъ 1, •. •, ап) i= I
Решения упражнений
89
при а, > 0. Если, с другой стороны, сц — 0, имеем
С(аь ..., а,.!, 0, а<+1......а„) = С(аь .... ai+b .... а„).
Этому рекуррентному соотношению также удовлетворяет ( + ... + ип \
выражение! I; начальные условия С (0,0,...
\ Ci, . •., ап J
( 0 \
..., 0) = 1 и I о J = ПРИ этом совпадают.
Справедливость этого результата предположил Ф. Дж. Дайсон в 1962') году, а доказан он был в том же году Дж. Гансоном и К. Вилсоном. Элегантное доказательство, приведенное здесь, принадлежит И. Дж. Гуду (1970). Дальнейшую информацию и ссылки см. в работе G. Andrews, ed., Percy Alexander Mac-Mahon, Collected Papers, Vol. 1, M. I. T. Press, Cambridge, Mass, 1978, pp. 377— 387.
с. Это «/-аналог гипотезы Дайсона, см. G. Е. Andrews, Theory and Application of Special Functions (R. Askey, ed.). Academic Press. New York, 1975, pp. 19,1—224 (cm. § 5). Она была доказана в работе D. Zeibberger, Discrete Math. 54(1985), с. 201—224.
d. И. Г. Макдональд высказал гипотезу о справедливости обобщения формулы (а) на случай произвольной системы корней R. Данная задача соответствует случаю R = Dn, в то время как (а) — случаю R =An-i (если все а, равны). Эта гипотеза была проверена А. Регевом для R = Вп, Сп, Dn. Она остается открытой для алгебр Es, Е7, Es, Ft и G2. Макдональд также дал (/-аналог своей гипотезы, для которого случай (с) соответствует An-i (если все а,- равны). См. I. G. Macdonald. Sem. d’Alg. Paul. Dubriel et Ma-rie-Paule Malliavin, Lecture Notes in Math, no. 867, Springer, Berlin, pp. 90—97, и SIAM J. Math. Anal. 13(1982), 988—1007. Гипотеза Макдональда (для произвольного q) для системы корней G2 была независимо проверена в работах Habsieger, С. R. Acad. Sc. Paris (Serie I), 303 (1986), 211—213, и D. Zeilberger, SIAM J. Math. Anal., (будет опубликовано), а для корневых систем Вп, Сп и Dn — К. Кэйделлом (будет опубликовано).
*) Любопытно, что эта задача возникла у Ф. Дайсона в связи с вычислением предельных спектров случайных матриц (см. Ф. Дайсон. Статистическая теория энергетических уровней сложных систем. — М.: ИЛ, 1963).— Прим. ред.
90
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
е. Напишем:
Мы ищем не зависящий от q член Fq(x). По интегральной формуле Коши (предположив, что х, малы) получаем
п
= lL+2^£+2»l £ dq П___________£2._____
{q-x.}(1-qx.} -
где интеграл берется по окружности |<?|=1. Подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке q —х{ с вычетом х"-1/(1 — х|) H/¥l/ (xf — х;) (1 — и доказа -тельство следует из теоремы вычетов.
а. Пусть + «2 + • • • + «й — произвольное разложение числа п > 1. Если = 1, сопоставим ему разложение (at + +
+ а3 + ... + ак. Если ах > 1 — разложение 1 + (ах — 1) + + а2 + ... + ak. Это соответствие определяет инволюцию на множестве разложений п, меняющую четность числа четных частей. Следовательно, существует у с (п) = 2"~2 разложений с четным числом четных частей. (Обратите внимание на аналогию с перестановками: существует 1 .
у и! перестановок с четным числом четных циклов — а именно элементов знакопеременной группы.)
Решения упражнений
91
Ь. Легко видеть, что
Z (е (п) — о (п)) хп = П(1+(-1)<х,)~1. n>0 i>l
В конце разд. 1.4 было показано:
П (1+х9 = П (1 - х®'-1)-’.
i>l i>l
Следовательно (заменив —х на х и взяв обратные выражения), получаем
П (1 + (-1)' хГ1 = П (1 + х2'-1) =
I > 1 i > 1
= £ k(ti)xn, п^О
что следует из решения упражнения 23(d).
0. Нарисуем в линию п точек и обведем кружком k последовательных точки. Проведем вертикальные черты слева и справа от выделенных точек. Например, случай п — 9, k = = 3 изображен на рис. 1.12.
Случай 1. Среди обведенных кружком точек нет концевых. Тогда описанную выше процедуру можно произвести п — k — 1 способами. Остается п — k — 2 промежутка ме-
Рис. 1.12.
Рис. 1.13.
жду неотмеченными точками. Вставим не более одной вертикальной черты в каждый из промежутков (2га-*-2 способами).
Таким образом получается разложение числа и, причем одна из равных k частей отмечена кружком. Например, если расставить черточки как на рис. 1.13, то получим 3 + 1 + 1 + + ®+1.
Случай 2. Среди обведенных кружком точек есть концевые. Здесь может быть два случая, и теперь существует п — k — 1 промежутков, куда 2"_ft-1 способом можно вставить черточки,
92
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Следовательно, получаем ответ
(п - k - 1) 2rt-fe~2+ 2 • 2"~ft_1 = (п - k + 3) 2n~k~2
12. Для каждого xeS можно определить наименьшее I (если существует какое-нибудь), что х е Т,. Для каждого х имеется (£-|-1) вариантов, так что имеется всего (й+1)га случаев.
/ п — (k — 1) (/ — 1) \
13. Существует I , I последовательностей,
\ К /
содержащих k знаков / и п — (k — 1) j — 1 единиц. По данной последовательности Ь} < &2 < • • • < bm, где m = п — {k —1)(/ — О, положим S={1 + &i4-62+ • • • + l^i<m и b(+l — j}. Это доставляет подходящую биекцию.
14. а. Выведите рекуррентную формулу, рассмотрев те подмножества S, которые содержат п и которые не содержат п. Ответ: Fn+2.
b. Рассмотрите случаи, когда первое слагаемое равно 2 и когда оно не меньше 3. Ответ: Fn-\.
С. Fn+b
d. Рассмотрите случаи, когда первое слагаемое 1 и когда оно не меньше 3. Ответ: Fn.
е. Рассмотрите случаи 8л = 0 или 8Л=1. Ответ: Fn+z-
f. Следующее доказательство, так же, как доказательство пунктов (g) и (h), принадлежат Ире Гессель. Сумма £ . ап есть число способов, которыми можно в
п—1 промежутков, разделяющих п нарисованных в одну линию точек, вставить не более одной вертикальной черты в каждый, а затем обвести кружком одну точку в каждом отделении. Пример изображен на рис. 1.14. Заменим каждую черту единицей, каждую не помеченную кружком точку двойкой, а каждую помеченную — снова единицей. Например, рис. 1.14 превращается в
212211211111211122111211.
Решения упражнений
93
Мы получили разложение 2п—1 на единицы и двойки.
Это соответствие обратимо. Из п. (с) следует ответ: Fzn-Можно дать простое доказательство через производящие функции, использующее тождество
Е (х + 2х2 + 3х?+ ...) = х(1 -Зх + х2)-1;
£>• Р2п—2’
Ь" ^2п + 2-
Рчп+2-
15. Обозначим искомое выражение />(п). Для каждого ie[6] независимо от других можно выбрать множества Т/,
•®’*|®’|®|®|*®|®. •!©[•••
Рис. 1.14.
его содержащие. Следовательно fk(n) = fi(n)k. Вычисление fi(n) эквивалентно упражнению 14(e). Следовательно,
f,(«) = ^+2-
16. Положим сумму ak + ak-\ + ... + a*+i-f равной наименьшему г, такому, что если удалить 1, 2, .... г из п, получившееся разбиение будет иметь k — i блоков.
17. а. Имеем:
X 5 х* = (l-jc)(l-2x)...(l-fejc) s
n>0
-^(™d2).
О других сравнениях с числами S (м, k) см. Carlitz L. Acta Arith. 10(1965), 409—422.
b. Комбинаторное доказательство было найдено К. Коллинзом.
18. Canfield Е. R. Studies in Applied Math. 59(1978), 83—93.
19. b. Во-первых, заметим, что
Zd(w(A))nk,d, (37)
d In A
где А пробегает множество всех апериодических циклов длины d (т. е. циклов длины d не равных своему нетождественному циклическому сдвигу). Теперь подставьте (37) в разложение logH(l— pfc)-1 и упростите.
94 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Этот результат неявно содержится в работе Р. К. Линдона (см. ссылку [4.21], теор. 5.1.5). См. также N. G. de Bruijn, D. A. Klarner, SIAM J. Alg. Disc. Math. 3 (1982), 359—368. Результат в явной форме был получен И. Гес-сель (не опубликовано). Другая теория перестановок мультимножеств, принадлежащая Д. Фоате, хорошо изложена в § 5.1.2 книги Д. Е. Кнута, The Art of Computer Programming, vol 3, Addison-Wesley, Reading Mass., 1973.')
с. Положите Xi= ... = xk = x и x, = 0, если / > k.
20. Пометим конверты 1, 2, ..., n в порядке убывания размеров. Введем частичный порядок на размещениях конвертов, упорядочив их по включению, и добавим сверху корень, помеченный нулем. Мы получили (неупорядоченное) возрастающее дерево с п + 1 вершиной и это соответствие, очевидно, обратимо. Следовательно, из предложения 1.3.16 всего существует и! размещений, в c(n,k) из которых k конвертов не содержатся ни в каком другом и в А(п, k) из которых k конвертов не содержат других.
21. Вычтите единицу из каждой части разбиения п на п — t частей , чтобы вывести, что pn-t(n) = p(f) тогда и только тогда, когда п 2t.
22. Разбиение М ^2 соответствует разбиению
*4“ k — 1 А.2 k — 2 ... Xfe.
23. а. Коэффициент при qkxn в левой части равен рДп), так же как и коэффициент при хп в х*/(1— х)-(1—х?) ... ... (1-х*).
Ь. Разбейте диаграмму Ферре разбиения X, как обозначено на рис. 1.15. Здесь А— наибольшая квадратная поддиаграмма, называемая квадратом Дюрфи разбиения К. Тогда В —разбиение на не более чем k частей, в то время как С — разбиение, наибольшая часть которого не превосходит k. Следовательно, коэффициент при qmxn в
_________!_________________!--------- (1 — х) ... (1 — xk) (1 — qx) ... (1 — qxk)
равен числу разбиений п на m частей, причем квадрат Дюрфи имеет длину k. Теперь просуммируйте по k.
с. Используйте упражнение 22.
d. Предположим, что X — самосопряженное разбиение п, то есть V = X. Разобьем диаграмму Ферре X, как пока-
*> Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 3. Сортировка и поиск. — М.: Мир, 1978. — Прим, перев.
Решения упражнений 95
зано на рис. 1.16. Число точек в последовательных «крюках» определяет разбиение п на различные нечетные слагаемые, а число частей (или крюков) равно длине стороны квадрата Дюрфи диаграммы Л. С другой стороны, разобьем диаграмму Ферре, как показано на рис. 1.17.
к
В дополнение к квадрату Дюрфи длины k имеем разбиение, наибольшее слагаемое которого не превосходит k и сопряженное ему. Отсюда легко следует доказательство.
Рис. 1.16.
Рис. 1.17.
Также легко можно доказать (d), сделав подстановку х^-х2, q—r-qx-'' в (с).
Некоторые близкие результаты принадлежат Эйлеру и подробно изложены в § 303 книги Р. A. MacMahon, Combinatory Analysis, vol. 2, Cambridge University Press, 1916; перепечатано Chelsea, New York, 1960.
Эту задачу поставил Дэйл Ворли. Каждому числу I: 1
i п, каждому разбиению X числа п — i и каждому делителю d числа i мы хотим сопоставить d-элементное мультимножество М разбиений и, так чтобы каждое разбиение п встретилось в точности п раз. Сопоставим просто разбиению 2. d копий разбиений, полученных присоединением i/d чисел d к %.
96 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
25. а. См. [1], следствие 8.6
Ь. Ясно, что ps(n)=l для всех п, так что утверждение <7s (п) = 1 есть в точности утверждение о единственности двоичного разложения п.
26. С каждым разбиением X числа п и каждой частью j разбиения X, встречающейся не менее k раз, нам нужно так связать разбиение р числа п, чтобы данное разбиение р в общей сложности появлялось столько раз, каково число т^(р) частей р, равных k. Чтобы сделать это, просто заменим k
слагаемых j в q на j слагаемых k. Например, п - 6, k = 2:
X j Д
1 1 1 111 1 2 1111
2 1 1 11 12 2 1 1
3 1 1 1 1 3 2 1
4 1 1 1 4 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1
2 2 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2
Доказательство, основанное на использовании произво-
дящих функций, дано в работе М. S. Kirdar and Т. Н. R. Skyrme. Canad. J. Math. 34(1982), 194—195.
Приведенная здесь биекция также есть в работе А. Н. М. Ноа-ге. Amer. Math. Monthly 93 (1986), 475—476.
27. а. Положим Р(х) = (1 + х) (1 + х2) ... (1 + хп) = ^k^o(ikxk. Пусть £ = е2я,'/п (или любой примитивный корень n-й степени из единицы). Так как для каждого целого k
Д ., ( п, если п I k,
z = s
/У (. 0 в противном случае,
имеем
п
/-1 I
Если теперь £/ — примитивный корень d-й степени из единицы (так что d = п/ (j, и)), то
и, положив х — —1, получаем
/ / о/х / лк С 2, d нечетно,
(Н-ЙО + сТ-.О + ^Но: </ четко,
Решения упражнений
97
Следовательно,
р , | 2n,d, d нечетно,
( '0, d четно.
Так как существует <p(d) значений j е [п], для которых (7 — примитивный корень d-й степени из единицы, получаем
п
ТЕ/’^'>=т Z
/»1 d J п
d нечетно
Дальнейшие результаты в этом направлении см. R. Stanley, М. F. Voder. JPL Technical Report 32—1526, Deep Space Network 14(1972), 117—123, и A. Odlyzka, R. Stanly. J. Number Theory 10(1978), 263—272.
b. Предположим, что n — нечетное простое число. Отождествим бусины ожерелья с элементами T^riL очевидным способом. Пусть S = Z/nZ — множество черных бусин. Если S #= 0 и S #= Zто существует единственный элемент a s Z /nZ, для которого
У (х + а) = 0. X Е S
Множество {х + а : х е S} представляет такое же ожерелье (с точностью до циклической симметрии), так что мы сопоставили с каждым неодноцветным ожерельем подмножество, сумма элементов которого равна 0. Сопоставим ожерелью из одних черных бусин подмножество S = 0, а из одних белых — подмножество S='ZlnL. Мы получили требуемую биекцию.
28. Мы утверждаем, что f(n, k) есть в точности число Стирлинга второго рода S(n,k). Нам нужно сопоставить каждой такой последовательности а<а2 ... ап разбиение множества [п] на k блоков. Просто объединим I и / в один блок, если а, — а/. Это дает желаемую биекцию. Дальнейшие сведения см. S. Milne, Advances in Math., 26(1977), 290—305.
29. Для данного разбиения л множества [п—1] пусть i, i + 1, ..., j: j > i — максимальная последовательность двух или более последовательных целых чисел, содержащихся в некотором блоке л. Удалим /—1, j — 3, j — 5 ... из этой последовательности и поместим их в блок, содержащий п. Проделав это для каждой такой последовательности i, i + + 1, ..., /, получим желаемую биекцию. См. Н. Prodinger. Fibonacci Quart. 19(1981), 463—465.
4 Р. Стенли
98 Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Пример. Если л—1456—2378, то получаем 146—38—2579.
30. а. Пусть перестановка л — а^ ... an+l e<Sn+1 содержит k инверсий, n^k. Существует ffe(n) таких л, удовлетворяющих условиюan+l = п + 1. Если at- = n + 1 и I < п + 1, мы можем поменять at и az+1 местами, получив перестановку л' е®ге+1 с k— 1 инверсиями. Так как n^k, любая перестановка л' = Ь1Ь2 ... ^+ie@n+1 с k—1 инверсиями удовлетворяет условию и может,
следовательно, быть получена из перестановки ле@„ + 1 с k инверсиями описанным выше способом.
Ь. Используйте индукцию по k.
с. Из следствия 1.3.10 имеем
£ M«)<7ft = (l + <?)(! + q + <72) • • • (1 + <7 + ... +<7^4 = fe>0
= (1-?)(1-?2)... (I-VMI-?)-^
= (1-<7)(1-<72) ... (1-<7л) £ ( k)(-Vkqk-k>o4 7
Следовательно, если П (1 —ql) — £ bd, то i>о />о
k
= n>k. (38)
/=.<А 1 '
Замечание. Хорошо известное тождество Эйлера гласит
П (1 _ qi) = 1 4- У, (— q(l/2}n(3n+l}y
П>1
так что коэффициенты (— bk_j в формуле (38) можно вычислить явно (в частности, все они равны 0 или ±1). См. с. 15—16 Knuth D. Е„ The Art of Computer Programming, vol. 3, Addison — Wesley, Reading, Mass., 1973!).
31. Рассуждая аналогично доказательству предложения 1.3.9 и следствия 1.3.10, получаем
Л-1
F (х, q) = Ц (х + q + q2 + ... + qk).
32. а. В начале установите рекуррентную формулу
£, f(j)(n-j)l = п\, га>1.
7=1
‘) Страница 34 русского издания. — Прим, перед.
Решения упражнений
99
Эта задача иллюстрирует, насколько несущественна сходимость для производящих функций. См. Comte L. С. R. Acad. Sci Paris 275 А(1972).
b. (И. Гессель) Теперь имеем
nl = g(n) + 2 g(j— l)(n — /)!, п>1, /=1
где положим g(0) = 1.
33. Имеем 4-Ал(2)—V А(п, k)2k, где А(п, k) перестановок * z_ik
множества [ц] имеют k спусков. Таким образом, нам нужно сопоставить упорядоченному разбиению т множества [ц] пару (л, S), где л е и $^О(л). Для данной перестановки л = П1а2 ап нарисуем вертикальную черту между at и a,+i, если а, < а>+1 или если аг-> а,+1 и ieS. Множества, содержащиеся между чертами (включая начало и конец) определяют г, будучи прочитанными слева направо.
Пример, л = 724531968, S ={1,5}. Пишем 71214]53[ 1 ]96]8, так что т = (7, 2, 4, 35, 1, 69, 8).
34. Ответ. Ci = en-i —1, все остальные с,- равны 0.
35. Число перестановок ле®, типа с равно п\/\с'с^ ... пСпсп\. Нетрудно видеть, что это число взаимно просто с / в том и только том случае, когда, полагая k = a, имеем
— k)l, где I J взаимно просто с I. Из упраж-
нения 6 легко следует, что число биномиальных коэф-f \ I 'Г
фициентов I, взаимно простых с I, есть (а;+1).
Доказательство следует из того, что (Cj — (щ — k)l, с2, ..., может быть типом произвольного разбиения а0.
Этот результат впервые появился в книге I. G. Macdonald. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press, 1979, Упр. 10 Гл. 1.2. [Имеется русский перевод: Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985.]
Доказательство, приведенное здесь, содержится на стр. 260— 261 работы R. Stanley. Bull. Amer. Math. Soc. 4(1981), 254— 265.
36. а. Используйте (27).
b. Из n. (a) e~xF' (x) = F (x), отсюда F(x) = ee -I, так что f(n) — число Белла B(n).
4*
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
а. Дальнейшие сведения, связанные с этой задачей и упражнением 36 (а), см. D. Dumont in Scminaire Lotharingien de Combinatoire 5 eme Session, Institut de Recherche Ma-thematique Avancee, Strasbourg, 1982, 59—78.
b. Вычисляем f(0) = 1, f(l) = 2, f(2) = 6, f(3) = 20, ...
/ 2n \
Возникает предположение f(n) = l I и F (x) := := £ f (n) xrt = (1 — 4x)-I/2. Из (а) тогда имеем G(x):= := £ = F <1 ~2x~ 3*2)~I/2' Чтобы
проверить предположение, достаточно убедиться, что > ууу G ( ; (х2)> что делается непосредственно,
с. (Предложено Л. Шапиро.) Вычисляем f (0) = 1, f(l) = l, f(2) = 2, / (3) = 5, f (4) = 14, ...
1 ( %n\
Следовательно, предполагаем f(n) — ——r I I и
Я T 1 \ fl /
F (x) := £ f (n) xn = 2^ (1 - (1 - 4x)I/2). Тогда F, (x) := := £ f (n+ l)x" = ± (F (x) - 1) = (1 - 2x—(1 - 4x)1/2),
так что из n. (a) G(x):= £g (п)хп== (гтг) = = 2^(1-х-(1-2х-Зх2)1/2).
Чтобы подтвердить предположение, нужно проверить, что 1 = (х2), чт0 делается обычным
способом. Числа f(n) называются числами Каталана.
Ответ: с„ = Пр|г!,Ч где р пробегает множество^всех про-р
стых чисел. Следовательно, с0 = 1, ci = 1, Cj = 2, с3 = 6, С4=12, с5 = 60, Сб = 360 и так далее. См. Е. G. Strauss. Proc. Amer Math. Soc. 2(1951), 24—27.
Положим z = ук и приравняем коэффициенты при х"-1 в обеих частях равенства (Х+ 1)y'z = (yz)См. Н. W. Gould. Amer. Math. Monthly 81 (1974), 3—14.
Пусть logF(x)= Тогда
n > 1 i > 1 J > 1 n > 1 d|n
Следовательно,
ngn =2 dad, d I n
Решения упражнений
101
так что из формулы обращения Мёбиуса (из элементарной теории чисел)
= vE dSd^(n/d). (39)
d | п
Имеем 1 +х=(1 — х)-1^—х2) (здесь нет необходимости пользоваться формулой (39)). Если F(x) = ех/^~х\ то gn = 1 для всех п, так что из формулы (39) имеем ап = <р(п)/п, где ф — функция Эйлера.
Ь. Используйте индукцию по п.
с. Сначала покажите следующее:
л. > 1 я >1 п > 0 / > 0
xl
(см. упражнения 36(a) и 37(a)).
2. Для любых функций f(х) = х + ^п^.2апхп и h(x) = = х + Хп>2ЬпХп имеем f-l>(— f (— х)) = А<-1>(— h (— х)), тогда и только тогда, когда f(x)/h(x) — нечетная функция (т. е. f (— x)/h(— х) = — f (x)/h(x)).
d. Ответ: b2n = t2n^, где th х = Дгп-^2"-1^ — 1)1.
Позже (в разд. 3.16) мы увидим, что (— l)n-1/2n-i есть число чередующихся перестановок в ®2/и-ь Пусть bi==at — г’+1. Тогда 1
1 и каждое bt нечетно. Обратно, по данным bt можно однозначно восстановить а;. Поэтому, положив
[л___ k ”1“ 2 П
----2---1 ~ число нечетных целых в множестве ( ( m\\ ( — \ \ (q\
[п — k + 1], получим ответ II = 1 £ l=(, I,
где q = [~2-J’
Это упражнение называется задачей Теркема. Обобщение см. в работе М. Abramson, W. О. Moser. J. Combinatorial Theory 7(1969), 162-—170, и J. Combinatorial Theory 7(1969), 171 — 180.
a. у = (a + (0 — a) x)/(l — x — x2).
b. Рекуррентное соотношение приводит к у'= (xy)r—%х2у, у (0) = 1. Таким образом, у = (1 — x)-I/2exp + -j-).
с. Получаем 2у' = у2-}-\, у(0)=1, откуда
у = tan (-у + -2-) = tan х + sec х.
102
Гл. 1. Что такое перечислительная комбинаторика?
Значение этой производящей функции будет объяснено в разд. 3.16.
с'. Здесь мы имеем 2у' = у2, у (0) = 1, откуда у = (1 —у х) .
Таким образом, ап = 2~пп\.
44. а. лу^±±==(1+х)(1_х2)-^ =
Z zrt Т 1
(- 1Г t (/2 - I2)(/2 - З2) ... (/2- (2n - I)2)
п 0
(- П" /2 (^ - 22) (/2 - 42) . . . (/2 - (2п - 2)2) .
п 0
Чтобы решить (с), например, увидим сначала, что коэффициент при x2n+i/(2n + 1)! в sin (t sin-1 (x)) — многочлен Pn(t) степени 2n 1 и старшим коэффициентом (—1)”. Если fcsZ, то sin (2^ + 1) 0 — нечетный многочлен от sin 0 степени 2k -j- 1. Следовательно, Рп(± (2k + 1)) = 0 при п > k. Далее sin 0 = 0, так что Р„(0) = 0. Теперь мы обладаем достаточной информацией, чтобы определить единственным образом Pn(t). Чтобы получить формулу (Ь), рассмотрите коэффициент при t2 в (d).
45. В соответствии с нашими определениями число сложных предложений, которые можно построить из десяти простых предложений, равно 22 . Представляется невероятным, что Гиппарх, который был замечательным математиком, мог быть так далек от истины. Другая возможная интерпретация такова. «Сложное предложение», возможно, есть объ-
единение непересекающихся множеств простых предложений. В этом случае Гиппарх пытался сосчитать число Белла В (10)= 115975. Вероятно, выражение «отрицательных» означает, что по меньшей мере одно из простых предложений не используется в разбиении, так что 310952 — вычисленное Гиппархом значение В(11)— В (10) = 562595. Согласимся, что это значение В (11) — В (10) вычислено не так точно, как значение В(10).
Глава 2
МЕТОДЫ РЕШЕТА
2.1. Включение — исключение
Говоря нестрого, «метод решета» в перечислительной комбинаторике есть метод определения мощности множества S, который начинает с большего множества и каким-либо путем вычитает или аннулирует нежелательные элементы. Существуют два основных варианта методов решета: (1) Мы можем сначала дать приблизительный ответ, взяв большее число элементов, затем вычесть число элементов, большее, чем ошибка, полученная на первом шаге, н так далее до тех пор, пока после конечного числа шагов мы не придем к правильному ответу. Это комбинаторная сущность принципа включения — исключения, которому посвящены этот и следующие четыре раздела. (2) Элементам большего множества можно приписать вес естественным комбинаторным способом так, чтобы нежелательные элементы аннулировались и осталось первоначальное множество S. Мы обсудим эту технику в разд. 2.5—2.7.
Принцип включения — исключения — одно из фундаментальных средств перечислительной комбинаторики. Говоря абстрактно, принцип включения — исключения есть не более чем вычисление матрицы, обратной к некоторой другой матрице. Как таковой он является простым частным результатом линейной алгебры. Красота этого принципа лежит не в самом результате, а в его широкой применимости. Мы дадим несколько примеров задач, которые можно решить применением принципа включения— исключения, некоторые из них решаются несколько более тонким методом. Сначала мы установим этот принцип в самом чистом виде.
2.1.1. Теорема. Пусть S — п-множество. Пусть V — 2п-мерное векторное пространство (над некоторым полем k) всех функций f: 2s-^k. Пусть ср: V V — линейное преобразование, определенное формулой
= Е f(Y) для всех T<=S. (1)
Y=>T
104 Гл. 2. Методы решета
Тогда преобразование «р-1 существует и определяется формулой
<p-If(7’)= X (—1)|У-Г| f (У) для всех Tf=S. (2) У == т
Доказательство. Определим отображение ф: VV формулой ф) (Л — Sy = г(—1)|У~Г| f (Л- Тогда (композиция берется справа налево)
Ч>Ч>(Т) = у£г(-1)|1'_Г|ф/(7) =
- Е (-i)"'-r| S HZ) = Y==T ZsY
= S( S (-D|r-r,)/(z).
ZsTVZsYsT J
Полагая m=\Z — У|, имеем
m
x (-i)iy-yi=S(-4m)=6om,
Za Y э T i ' 1 '
(Z, T фиксированы)
так что <рф/(7’) = f(T). Следовательно, (p^f = f, так что ф=<р-1.
□
Ниже приводится типичная комбинаторная ситуация использования теоремы 2.1.1. Мы представляем 3 как множество свойств, которыми элементы некоторого данного множества объектов А могут обладать, а могут и не обладать. Для любого подмножества Т множества 3 пусть (Т) — число объектов в множестве А, которые обладают в точности свойствами из Т (так что они не обладают свойствами из подмножества Т = = 3— Т). (Более общим образом, если w: А k — произвольная весовая функция на А со значениями в поле (или абелевой группе) k, то можно было бы положить f_(T) — где х
пробегает все те объекты из А, обладающие в точности свойствами из Т.) Пусть f>(T) — число объектов А, обладающих по меньшей мере свойствами из Т. Ясно, что тогда
f>(r) = S МП. (3)
у =. г
Следовательно, из теоремы 2.1.1
МП = S (-- 1)|У’Г|/>(П- (4)
У a T
2.1. Включение — исключение
105
В частности, число объектов, не имеющих ни одного свойства из множества S, дается формулой
L(0)=E(-i)|r|f>(n (5)
где Y пробегает все подмножества S. В типичных приложениях принципа включения — исключения относительно легко будет вычислить f^(Y) для Y s X, так что (4) будет окончательной формулой для f= (Т).
В уравнении (4) />(7’) (член У = Т) считают первым приближением для Затем мы вычитаем
Е f>(n
УэГ
|У-Т|=1
чтобы получить лучшее приближение, снова прибавляем
Е f>(Y)
Y==T
| У — Г [ = 2
и так далее, пока, наконец, не получим точную формулу (4). Это объясняет терминологию «включение —исключение».
Возможная стандартная формулировка принципа включения — исключения состоит в том, что свойства сами по себе не объединяют в одно множество S, а рассматривают подмножества множества А. Таким образом, пусть Лц ..., Ап — подмножества конечного множества А. Для каждого подмножества Т множества [/г] положим
Ат= П At
1еТ
(с условием А0 = А) и для 0 k п положим
Sk = Е |ЛГ|; (6)
|Т|-=»
это сумма мощностей (или более общим образом — взвешенных мощностей
w (Лг) = Е ® (х))
х^Аг
по всем й-наборам пересечений множеств Л,-. Будем считать, что множество At определяет свойство Р(- в том смысле, что хеЛ удовлетворяет свойству Р, тогда и только тогда, когда хеЛ;. Тогда Ат есть в точности множество объектов из Л, обладающих по меньшей мере свойствами _из множества Т, так что из формулы (5) число #(Л1П ••• (М„) элементов множества Л,
106
Гл. 2. Методы решета
не принадлежащих ни одному из множеств At, дается формулой
#(АП ... лл„) = S0-S, + S2- ... +(-l)nS„, (7)
где So = | A0 | = | A |.
Можно дать двойственную формулировку принципа включения— исключения в его различных вариантах, заменив (] на U, S на (и обратно) и так далее повсюду. Двойственная форма теоремы 2.2.1 гласит, что если
ф^(Л= Е f (У) для всех Т S, у <=т
то отображение ф-1 существует и дается формулой
Ф"7(Л= Е (-(У) для всех T£=S.
У S г
Аналогично если обозначить f<(T) (взвешенное) число объектов из А, обладающих свойствами не более чем из множества Т, то
/<(П= Е МП
' у = Т
£ (-1),7’-у|/<(У). (8)
у к т
Распространенным частным случаем принципа включения — исключения является выполнение условия f = (Г) = f= (Т'), как только 171 = | Г'|, Таким образом, f>(T) зависит также только от | Т |, и полагаем a (n — Z) = f = (Г) и b (п — i) = f(Т), если |7| = Z. (Предостережение: Во многих задачах множества объектов А н свойств S будут зависеть от параметра р и функции а(1) и b(i) могут зависеть от р. Например, а(0) и 6(0) — количества объектов, обладающих всеми свойствами, и эти числа могут, конечно, зависеть от р. Предложение 2.2.2 посвящено тому случаю, когда a(i) и b(i) не зависят от р.) Из формул (3) и (4) мы, таким образом, получаем, что формулы
эквивалентны.
2.2. Примеры и частные случаи
107
Другими словами, матрица, обратная к (п + 1) X (/г + 1) матрице, (г, /)-элемент которой (0 г, j есть имеет
в качестве (г, /)-элемента (—1)/-1Q). Например,
- 1 1 1 1-1
0 12 3
0 0 13
-0001-
rl -1 1 -1-1
0 1-23
0 0 1-3
- 0 0 0 1 -
Конечно, можно положить п стремящимся к сю, так что формулы (9) и (10) эквивалентны и при п = со.
Заметьте, что на языке исчисления конечных разностей (см. гл. 1, уравнение (27)) формула (10) может быть переписана в виде
а(т) = \тЬ (0), О^т^/г.
2.2. Примеры и частные случаи
Каноническим примером использования принципа включения — исключения является следующий.
2.2.1. Пример. («Задача о беспорядке» или «задача о встречах»). Сколько перестановок не имеют неподвижных точек,
то есть л(0=Н=г для всех iejn]? Такая перестановка называется беспорядком. Обозначим это число D(n). Тогда D (0) = 1, £>(1) = 0, £>(2)=1, D(3) = 2. Будем рассматривать условие л(£) = 1 как г-е свойство перестановки л. Тогда число перестановок, имеющих неподвижные точки по меньшей мере из Т s [п], есть f>(T) = bin. — i) = (п — г)1, где (так как мы
фиксируем элементы множества Т и произвольно переставляем оставшиеся п — i элементов). Следовательно, из формулы (10) число f_ (0) = а{п) = D (п) перестановок без неподвижных точек равно
£>(n) = f Q)(-lf(11)
Последнее выражение можно переписать в виде
0(я)-ж(1-4 + ^-Д+ ...+-Ь!Г.). (12)
108
Гл. 2. Методы решета
Так как е 1 == т0 из формулы (12) видно, что
п\/е— хорошее приближение для £>(/г), и в действительности нетрудно показать, что £>(л)—ближайшее целое к м!/е. Из формулы (12) также немедленно следует, что при п 1
D(ri) = nD(n — 1) + (-1)п, (13)
D(n) = (n- 1)(£>(«— 1) + £>(п-2)). (14)
Хотя дать прямое комбинаторное доказательство формулы (14) просто, значительно больше труда требует комбинаторное доказательство формулы (13) (см. упражнение 4). В терминах производящих функций имеем
ЕР (п) хп е~х п! 1 — X п >0
Функция имеет очень специальное свойство — она
зависит только от I, но не от п. Эквивалентным образом число перестановок, множество подвижных точек которых лежит в множестве Г s[п], зависит только от |Т|, но не От п. Это означает, что формулу (11) можно переписать на языке конечных разностей (см. гл. 1, уравнение (27)) в виде
£>(п) = Дпх! L=o-
(Сокращенная запись Дп01). Так как число b(i) перестановок из подвижные точки которых содержатся в некотором определенном z-множестве, зависит только от /, то же верно и для числа а (г) перестановок имеющих в качестве множества подвижных точек некоторое определенное /-множество. Из комбинаторных соображений ясно, что а (/) = £>(/); это также очевидно из формул (10) и (11).
Сформулируем общий результат, который следует из приведенного выше рассмотрения.
2.2.2. Предложение. Для каждого neN пусть Вп — (конечное) множество и Sn— множество п свойств, которыми элементы множества Вп могут обладать или не обладать. Предположим, что для любого Т <= Sn число таких элементов х е Вп, что свойства, которыми они не обладают, содержатся в множестве Т (т. е. эти элементы имеют по меньшей мере все свойства из Sn—Т), зависит только от |Т|, но не от п. Пусть b„ = cardBn и а(п) — число объектов х^Вп, не обладающих ни одним свойством из Sn- Тогда
а(п) = Д"6(0). □
2.2. Примеры и частные случаи
109
2.2.3. Пример. Рассмотрим пример, к которому неприложимо предыдущее предложение. Пусть h(n) — число перестановок мультимножества Мп= {I2, 22, ..., /г2}, никакие два последовательных члена которых не равны. Таким образом,/i(0)= 1, й(1) = 0 и /i(2) = 2 (соответствует перестановкам 1212 и 2121). Пусть А — множество всех перестановок л мультимножества Мп и Р, для 1 п — свойство перестановки л иметь последовательными членами два числа I. Тогда мы ищем/L (0) = /i(n). Из соображений симметрии ясно, что при фиксированном п f^(T) зависит только от i = | Т|, так что обозначим g(i) = =/>(7’). Ясно, что g(i) равно числу перестановок л мультимножества {1, 2, .... /, (t+ I)2, ..., п2} (замените каждое число j I, встречающееся в л, двумя последовательными членами, равными /), так что
g(0 = (2n-i)!2-(re-°.
Заметьте, что b(i):=g(n — i) — (п + i) !2_‘ не является функцией лишь от I, так что предложение 2.2.2 в действительности неприменимо. Однако из формулы (10) получаем, что
п
h(n) = Y(n)(- VT1 (п + г)! 2'г = А" (п + г)! 2~‘ | ^0. i=0 1 '
Сейчас мы обратимся к примеру, в котором окончательный ответ можно представить в виде некоторого определителя.
2.2.4. Пример. Напомним, что в гл. 1 (разд. 1.3.3) мы определили множество спуска £)(л) перестановки л = а\а2 ... ап множества [п] условием £>(л) = {/: ai>ai+l}. Наша цель теперь— получить выражение для числа pn(S) перестановок ле е <3„ с множеством спуска S. Пусть an(S) — число перестановок л е множество спуска которых содержится в S. Таким образом (как отмечено в гл. 1, уравнение (16)),
a„(S)= Z ₽„(Г), г = з
откуда из формулы (8)
₽„($)’= Е (-l)|S-7|a„(7’). т к з
Напомним также, что если 1 3] < з2 ... < з* п — 1 — эле-
менты множества S, то из предложения 1.3.11
п \
a„(S) =
п \S\, s2 — s{, ..п ~ sk/
по
Гл. 2. Методы решета
Поэтому
Мы можем переписать формулу (15) в другом виде следующим образом. Пусть [ — любая функция, определенная на множестве [0, k + 1] X [0, k + 1], удовлетворяющая условиям f(i, i) = = 1, = O при i > j. Тогда члены суммы
1 I1 < ^2 ’ * ‘
есть в точности ненулевые слагаемые в разложении определи-теля (£ + 1) X (k + 1) матрицы, (г, /)-элемент которой есть f(i, /+ 1)> (г, k] X [0, &]• Следовательно, если положить f(i, j)= \/(Sj — зг)! (с условиями so = O, sk+l=n), из формулы (15) получим, что
p„(S) = n!det[l/(s/ + I - s(.)l], (16)
(г, j) s [0, fe] X [0> Н Например, если п = 8 и S = {1, 5}, то
pre(S) = 8!
1 1 1
1! 5! 8!
1 — —
1 4! 7!
= 217.
С помощью элементарных преобразований (детали оставляются читателю) выражение (16) можно записать в виде
Г/ п — з£
p„(S) = det I ‘ , (17)
L \ $j + [ 7 J
где (i, /)е [0, k\ X [0, k\, как и ранее.
2.2.5. Пример. Можно получить «Q-аналог» предыдущего примера ценой небольшой дополнительной работы. Мы ищем некоторую статистику з(л) перестановки л е такую, что
Z/ п \
о*(л) = , (18)
\ S ।, S, S ।, . . ., П S|< /
D(n)<=S
где элементы множества S, как и выше, таковы: 1 ^3[ < s2 < . . . ... <sft^rt —1. Затем мы автоматически получим ^-аналог формул (15), (16) и (17). Мы утверждаем, что формула (18)
2.2. Примеры и частные случаи
111
имеет место, если з(л) = г(л)— число инверсий перестановки л. Чтобы увидеть это, положим t2 = s2 — sl, ..., tk+i =
— n — sk. Пусть М = {1\ (6 + l/fe+1}- Напомним, что из
предложения 1.3.17
т-i / П \
У + X х )• (19)
ае^М) Mb t2, ..., tk + 1/
Теперь по данной перестановке определим перестановку заменив единиц в б на 1, 2, .... Sj в порядке возрастания, затем t2 двоек на + 1, + 2, .... $2
в порядке возрастания и так далее. (В этом случае мы называем т тасовкой множеств [1, sj, [Sj + 1, s2], . [sft + 1, n].) Ясно, что г(а) = г(т). Положим теперь л = т"1. Легко видеть, что л —тасовка множеств [1, sj, [$( + 1, s2], ..., [sft + 1, n], если и только если О (л) = {sb s2, . .., sk}. Легко видеть также, что перестановка и обратная к ней имеют одинаковое число инверсий. Следовательно, i (т) = i (л), и мы получаем
п \
(20) k S,, S2 — Si, .... И — Sk /
D (Л) s S
что и требовалось.
Положим
MS, <?) = X
О(л)=3
Полностью повторяя рассуждения примера 2.2.4, получим
MS, q) = (п)! det[l/(sj+1 - Sj)!]*
(2D
Lk sj+i sj / Jo
Например, если n — 8 и S = {1, 5}, то
W 1 (5)! 1 (8)!
MS, ?) = (8)! 1 1 (4)! 1 (7)! ==
0 1 Ш
= q2 + 3<73 + 6<?4 + M + 13q6 + 1 lq7 + 21^ + 23<?9 + + 24</10 + 23Q11 + 21q12 + 18q13 + 14<?14 + 10<?15 + + 7q16 + 4<?17 + 2<z18 + q19.
112
Гл. 2. Методы решета
Если проанализировать причины, по которым мы получили определитель в предыдущих двух примерах, то получим следующий результат.
2.2.6. Предложение. Пусть S = {PX, .. .,Рп} — множество свойств и T = {Ps}, , Psk} — S, где l<si< ... Предпо-
ложим, что f<(T) имеет вид
f<(T) = h(n)e^s0, *,)<?($,, s2) ... e(sft, sft+1)
для некоторых функций h на N и е на N X N, где положим $0 = О, sft+1 = п + 1, е(Р 0 = 1 « /) = 0 при j <i. Тогда
f= (Г) = h in) det [e (st-, s/+1)]o. □
2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение
В задаче о беспорядках ищут число перестановок л е <Зп, в которых для каждого i некоторые значения л(г) запрещены (именно л(г)=#0- Рассмотрим общую теорию таких перестановок. Традиционно ее описывают, используя шахматную терминологию. Пусть В [и] X [«] • Множество В называют доской. Для лее,, определим график G(n) перестановки л условием
G (л) = {(г, л (г)) i е [«]}.
Определим теперь
Nt = card {л j = # (В П G (л))},
rk = число 6-подмножеств множества В, таких, что никакие два элемента не имеют общей координаты,
= число способов разместить k не атакующих друг друга ладей на В.
Мы можем отождествить перестановку л е с размещением п не атакующих ладей в квадратах (г, л (г)) доски [м] X [«]• Тогда Nt есть число способов размещения п не атакующих друг друга ладей на доске [n] X [«], при которых в точности j из этих ладей находятся в В. Например, если В = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}, то М0 = 6, #, = 9, М2 = 7, М3=1, М4=1, г0 = 1, И = 5, г2 = 8, Гз = 5, r4= 1. Наша цель— описать числа Nj и, в особенности, No в терминах чисел rk. Определим многочлен М„(х) формулой
2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение
ИЗ
2.3.1. Теорема. Имеем
Nn(x)= rk(n-k)\(x- 1)\ fe=0
В частности,
п
N0 = Nn(O) = Z fe=0
(22а)
(22b)
Первое доказательство. Пусть Ck есть число пар (л, С), где и С — ^-подмножество множества Для каж-
дого j выберем перестановку л N] способами, так чтобы
j — card В f) G (л), а затем выберем С
способами.
Следо-
вательно,
Ck
=s,G)
Nj. С другой стороны, можно было бы
сначала выбрать множество С rk способами, а затем «расширить» до перестановки л (п — k)l способами. Следовательно, Cft = rk(n — fe)l. Поэтому
х(0^=ГА(п-/г)!’
или, эквивалентно,
£(у+1)'Л=£гй(п-6)!/. / k
Полагая у—х—1, получаем желаемую формулу. □
Второе доказательство. Достаточно доказать формулу в предположении хе Р. Левая часть формулы (22а) подсчитывает число способов, которыми можно разместить не атакующие ладьи на доске [и] X [п] и пометить каждую ладью на В элементами множества [х]. С другой стороны, такую конфигурацию можно получить, поместив k не атакующих ладей на участок В, пометив каждую из них элементом множества {2, ... ..., х}, поместив п — k добавочных ладей на доску [п]Х[п] (п — &)! способами и пометив новые ладьи на В единицами. Это устанавливает желаемую биекцию. □
Два доказательства теоремы 2.3.1 дают еще одну иллюстрацию принципа, провозглашенного в гл. 1 (третье доказательство предложения 1.3.4), о двух комбинаторных способах доказательства равенства двух многочленов. Конечно, можно доказать формулу (22b) прямым применением метода включения — исключения, обобщая рассуждения примера 2.2.1. Такое дока
114
Гл. 2. Методы решета
зательство нельзя было бы рассматривать как комбинаторное, так как мы не построили явно биекцию между двумя множествами (см., однако, в разделе 2.6 метод, делающий подобное доказательство комбинаторным). Два доказательства, которые мы привели, можно рассматривать как «полукомбинаторные», так как они получаются из прямых формул биекций, включающих параметры х и у соответственно, и затем мы получаем формулу (22b), полагая у =—1 и х = 0 соответственно. В общем случае, полукомбинаторное доказательство формулы (5) можно легко дать, сначала комбинаторно показав, что
Ef.(Х)хИ|=£ 1)|У|,
X Y
ИЛИ
XL W (у+ 1),х,= X X Y
а затем положив х =0 или у = —1 соответственно.
Как пример к теореме 2.3.1 возьмем В ={(1,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,4)}, как и выше. Тогда
N4 (х) = 4! + 5-3! (х- 1) + 8-2!(х- 1)2 + 5-1!(х- 1)3+(х- 1)4 = = х4 + х3 + 7х2 + 9х + 6.
2.3.2. Пример. (Снова задача о беспорядках.) Возьмем В = = {(1,1), (2,2), ..., (п,п)}. Мы хотим вычислить Nn = D(n).
( п\
Ясно, что rfe = I I, так что
П z х.
Е/ П \ L
)(п-6)!(х-1)* = \ к / k=0
= Х #<-)**
Ы
п
=> л/0 = ад (0) = £ (-\)kn\ik\. «=о
2.3.3. Пример. (Задача о супружеских парах (о гостях).) Эта известная задача1) эквивалентна поиску числа М(п) перестановок л е (&„, для которых л (/) Ф I, i -)- 1 (mod п) для всех i е [п]. Другими словами, мы ищем число No для доски В = {(1, 1),
1) Сколькими способами можно рассадить за круглым столом п супружеских пар так, чтобы никакая пара не сидела рядом и жены чередовались с мужьями. — Прим. ред.
2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение 115
(2, 2), ..., (n, п), (1, 2), (2,3), ..., {п — 1, п), (п, 1)}. Взглянув на рисунок доски В, мы видим, что п.: равно числу способов, которыми можно выбрать k из 2п расположенных по окружности точек так, чтобы среди выбранных не было двух последовательных.
2.3.4. Лемма. Число способов, которыми можно выбрать k точек из пг точек, стоящих по окружности так, чтобы среди них
m ( m — k\
не было двух последовательных, равно ;и _ I I-
Первое доказательство. Пусть f(m,k) — искомое число, и пусть g(m, k)— число способов выбрать k не последовательных точек из пг точек, расположенных по окружности, а затем раскрасить k точек в красный цвет и одну из неокрашенных точек покрасить в синий цвет. Ясно, что g(m, k) = (m— k)f(m,k). Но мы можем вычислить g(m,k) также следующим образом. Сначала покрасим точку в синий цвет m способами. Теперь нам нужно покрасить в красный цвет k точек, выбранных из линейного массива пг— 1 точек так, чтобы среди них не было двух последовательных. Один из способов дальнейших рассуждений таков. Расположим пг-—1—k неокрашенных точек в линию и вставим k красных точек в т — k промежутков между неокра-( т — k\
шенными (считая начало и конец) I , I способами. Следо-\ «V /
(т — k\ т
I, так что f (т, k) — т X
Предложенное выше доказательство основано на некотором общем принципе перехода от «кругового» к «линейному» массиву. Мы обсудим этот принцип в дальнейшем в гл. 4 (см. предложение 4.7.11).
Второе доказательство. Пометим точки числами 1, 2, ..., пг в возрастающем по часовой стрелке порядке. Мы хотим покрасить k из них в красный цвет, так чтобы не было двух последовательных красных. Сначала подсчитаем число возможностей, при которых точка 1 не окрашена в красный цвет. Расположим пг — k неокрашенных точек по кругу, пометим одну из них единицей и вставим k красных точек в пг — k промежутков
/ пг — k \
между неокрашенными точками I I способами. С другой \ «V /
стороны, если 1 будет покрашена в красный цвет, то расположим
116
Гл. 2. Методы решета
т—& + 1 точек по кругу, покрасим одну из этих точек (т — k — 1 \
> , I к — 1 /
способами k—1 красную точку на т — k—1 разрешенных мест. Следовательно,
(tn — k\ (m-k-lX т (tn — k\ Цт, 6) = , + , , = . □
' \ k J \ k—1 / m — k\ k /
2.3.5. Следствие. Многочлен Nn (х) для доски В — {(г, г), (г, i + 1) (mod /г): 1 г п} дается формулой
1)'.
6 = 0
В частности, число No перестановок л е >3П, таких, что л (г) Ф i, i + 1 (mod п) при 1 i п, дается формулой
ЕОи ( ^п k \ .
2^Т( k И»-*)'(-К'- □
6=0
Следствие 2.3.5 наводит на следующий вопрос. Зафиксируем /г е Р и пусть Вп обозначает доску
Вп = {(1, г)> (г> 1 + 1), (*, г + k — 1)(modп): l^Z^n}.
Найти ладейный многочлен (*) = гг (п) хг для Вп. Эта задача известна как «задача о fe-несогласующихся (противоречивых) перестановках». При k > 2 нет столь простого и явного выражения для г/(м), как в случае k = 1,2. Однако мы увидим в примере 4.7.17, что существуют многочлены Qa-(х, z/) <= Z [х, у], такие, что
Е п
W)yn-
~У Qk (X, У)
Qk (х, у)
если 7?п(х) надлежащим образом интерпретируется при п < k. Например, Qj (х, у) = 1 — (1 + х) у; Q2 (х, у) = (1 — (1 + 2х) у + + х2г/2)(1 — хуф, Q3(x, у) = (\ — (1 4-2х)у — xy2 + xV)(l — ху).
2.4. Доски Ферре
Для некоторой доски или класса досок В мы можем поставить вопрос, обладают ли ладейные числа г, какими-либо особенными интересными свойствами. Здесь мы обсудим класс досок,
2.4. Доски Ферре
117
называемый досками Ферре. Для данной последовательности чисел 0 Ь\ Ь2 ... Ьт доска Ферре формы (Ь\, ..., Ьт) определена так:
В = {(«, /): 1 m- 1 < / < Ь(}. *)
Доска В зависит (с точностью до сдвига) только от положительных чисел bi. Однако окажется удобным с технической точки зрения допустить 6, =0.
2.4.1. Теорема. Пусть X г kxk — ладейный многочлен доски Ферре В формы (bit ..., bm). Положим s{ = bt — i + 1. Тогда
E Гк (X)m_k = П (x + Sj).
i
Доказательство. Пусть .vsN, и В' — доска Ферре формы (bi + х, .. .,bm-(- х). Рассмотрим В' = В U С, где С — (х X /^-прямоугольник, помещенный ниже В. Мы сосчитаем rm(B') двумя способами.
1. Разместим k ладей на доске В rk способами, а затем m — k ладей на С (x)m_k способами, получив
f m (В ) fk (x)m — k-
2. Поместим ладью в первый столбец В' х Д- bi = х $i способами, затем поместим ладью во второй столбец х-(-Ь2—1 = = х-|-$2 способами и так далее, получим
m
/m(s') = II(x + s/).
1
Доказательство закончено. □
2.4.2. Следствие. Пусть В — «.треугольная доска» формы (0,1, 2, ..., m — 1). Тогда rk = S(m, m — k).
Доказательство. Имеем: каждое число s, = 0. Следовательно, из теоремы 2.4.1
Х,п= Е rk (х)т_к.
Из уравнения (24d) гл. 1 следует, что гк = S(m, т — k). □
Ясно, что желательно дать комбинаторное доказательство следствия 2.4.2. Мы хотим сопоставить разбиению множества [т] на т — k блоков расположение k не атакующих друг друга ладен на доске B — {(i, j): 1 j г}. Если ладья
1) Напомним о тонком различии между диаграммами Ферре и более известными диаграммами Юнга, данном в гл. 1. Читатель может считать, что эти два понятия совпадают. — Прим. ред.
118
Гл. 2. Методы решета
стоит в клетке («,/), отнесем I и j к одному блоку разбиения. Легко проверить, что это дает требуемое соответствие.
2.4.3. Следствие. Две доски Ферре, каждая с т столбцами (пустые столбцы разрешаются) имеют одинаковые ладейные многочлены тогда и только тогда, когда мультимножества их чисел st совпадают. □
Возникает вопрос, сколько досок Ферре имеют тот же ладейный многочлен, что и данная доска В.
2.4.4. Теорема. Пусть Q^.cx^....^.cm и f(cx, •>cm) — число досок Ферре без пустых столбцов, имеющих такие же ладейные многочлены, что и доска Ферре формы (С[, ..., ст). Добавим достаточное количество начальных нулей к с,.ст,
чтобы получить форму (Ь{, ...,&,) = (О, ..., О, с,, ..., ст), такую, что если st = bt — i\\, то лишь Sj0 (т. г. s, < 0 при Предположим, что а, из чисел sf равны —i, так что
ai ~ ~ 1- Тогда
f(clt ..., cm) =
ai Ч- а2 — 1 \ Т а2 Н- а3 — 1 \ / а3 + щ 1
Щ / \ «3 / \ «4
Доказательство. Согласно следствию 2.4.3, мы ищем число перестановок dxd2 . dt_i мультимножества {1°‘, 2°2, ...}, таких, что 0 d, — \~^d2 —- 2 ^ ... ^ dt_x — t + 1. Равносильно, d{ = 1 и за dt должно следовать число, не превосходящее + 1. Расположим а{ единиц в линию; а2 Двоек можно поместить произвольным образом в ах промежутков, следующих за каждой (( ах \\ / ах -|- ^2 — 1 Л
единицей 1 I а J I = I а I способами. Теперь а3 троек можно произвольно поместить в а2 промежутков, следующих за (( а2 ( а2 + а3 — 1 \
каждой двойкой, II 11 = 1 I способами и т. д_, что
\\ а3 // \ а3 /
заканчивает доказательство. □
Например, не существует других досок Ферре, имеющих тот же ладейный многочлен, что и треугольная доска (0,1, ... ..., п — 1), в то время как существует З"-1 досок Ферре с тем же ладейным многочленом, что и «Хм шахматная доска [м] X X [«]
Если в доказательстве теоремы 2.4.4 мы хотим, чтобы все столбцы нашей доски Ферре имели разные длины, то мы должны упорядочить мультимножество {1а‘, 2а% • • •} сначала в строго возрастающем порядке до его максимума, а затем в невозрастающем. Следовательно, получаем
2.5. V-разбиения
119
2.4.5. Следствие. Пусть В — доска Ферре. Тогда существует единственная доска Ферре, столбцы которой имеют различные (ненулевые) длины, и имеющая тот же ладейный многочлен, что и В. □
Например, единственная «возрастающая» диаграмма Ферре с тем же ладейным многочленом, что и доска [nj X [я], имеет форму (1, 3, 5, ..., 2п—1).
2.5. V-разбиения и унимодальные последовательности
Сейчас мы приведем пример такого применения метода решета, которое не может быть получено (разве лишь очень запутанным образом) с использованием принципа включения — исключения. Под унимодальной последовательностью веса п (также называемой п-стеком) мы понимаем Р — последовательность с/i, йг, ..., dm, такую, что
а- Е df = n.
b. Для некоторого j, • • • ^dj^d^^ ... dm.
Многие интересные комбинаторные последовательности оказываются унимодальными. В этом разделе мы не будем иметь дела с какими-либо специальными последовательностями, а займемся подсчетом общего числа и(п) унимодальных последовательностей веса п. По соглашению положим и(0) = 0. Например, и(5)= 15, так как все 16 разложений числа 5 унимодальны, за исключением 212. Положим
U (х) = X и(п)хп = х + 2х2 + 4х3 + 8х4 + 15х5 + .. ..
Наша цель — найти хорошее выражение для U(x). Легко видеть, что число унимодальных последовательностей веса п, наибольший член которых есть k, равно коэффициенту при хп в выражении
xft/(l — х) (1 — х2) ... (1 — х4-1) (1 — х) (1 — х2) ... (1 — xft).
Следовательно,
(1 — х)(1 — х2) ... (1 — xft-!) (1 — х) (1 — х2) ... (1 — xft) '
(23)
120
Гл. 2. Методы решета
Это аналог формулы
Е р^хП= £ n>0
(1 -х)(1 -х2)... (1 - xk)
где р(п) — число разбиений п. То, что мы хотим получить, однако, есть аналог формулы
Z р(п)хП=П(1 -?)->.
Оказывается, проще работать с объектами, слегка отличающимися от унимодальных последовательностей, а в конце эти новые объекты связать с ними. Определим V-разбиение числа п как N-массив
такой, что = ... и с^-Ъ^
.. .. Следовательно, У-разбиения можно рассматривать как унимодальные последовательности, в которых одна из максимальных частей выделена как «корень». Пусть и(м) — число У-разбиений числа п, о(0) = 1. Так, например, о(4)= 12, так как существует один способ выбора корня для 4, один — для 13, один—для 31, два — для 22, один — для 211, один — для 121 и четыре для 1111. Положим
V (х) = X v (n) хп = 1 + х + Зх2 + 6х3 + 12х4 + 21х5 + ....
Аналогично формуле (23) имеем
V {Х} = (1 -Х)2(1 -х2)2 ... (1 - xfe)2 ’
но, как и раньше, мы хотим получить представление У(х) в виде произведения.
Пусть Vn — множество всех У-разбиений числа п, a Dn — множество всех двойных разбиений п, т. е. N-массивов
а,, Ьь
таких, что ai + — п;
d (n) = card Dn, то ясно, что
^d(rt)x« = n(l-xz)-2. (26)
п^О iI
h ’ (25)
О2 • • J
а, а2 • • bi'^b2'^-.-. Если
2.5. V-разбиеиия
121
Определим теперь отображение Гр Dn -> Vn формулой
Г!
а, bi
[а,
[ bl
^2 bl ai b2
a3 ... b2 ...
02 ... b3 ...
, если a, blt
, если b[ > ax.
Ясно, что Г1 сюръективно, но не инъективно. Каждое V-разбиение из множества
Ь2
появляется дважды в образе Гь так что
# #£>„-# V*.
Затем определим отображение Г2: Dn_i~*-Vln формулой
Я[ а2 .
bi b2 ...
а, + 1 , если aj1
И t?2 • • • J
CL\ -J- 1 С?2 • • • 1
b{ b2 b3 ] ’ есЛИ > Q1 + !•
Снова Г2 сюръективно, но любое V-разбиение из множества
Vn
Я] а2
bi b2
а3 ... I
Ь3 ... J
встречается дважды как значение Г2. Следовательно, # V„ = ==#Г>„_1 — # V2n, так что
п-* Dn~ Dn_x-V^V2n.
Затем определим Г3: Dn..3->V2n формулой
я2
Ь2
Получим
я2 -|- 1 а3 аА ... ”1
я, + 2 , , , , если al-V2^bl,
bi b2 b3 ... J
ax + 2 a2 + 1 a3 ... 1
o. , , , , если o.>a.+2.
1 fe2 b3 b4 . .. J ’
#Vn — # Dn — Dn_x + Dn_3 Vn-
е с >
122
Гл. 2. Методы решета
Продолжая этот процесс, получим отображения Г;: D f >
z-i ( ‘А
—>Vt, . Этот процесс останавливается, если I % ) > п> так что получаем формулу в духе теории решета
v (п) = d (п) — d (п — 1) + d (п — 3) — d (п — 6) + ...,
где положили d(tn) — Q при т < 0. Таким образом, используя (26), получим
2.5.1. Предложение. Имеем
□
Теперь мы получим выражение для U(x), используя следующий результат.
2.5.2. Предложение. Имеем
U(x) + V(x)= П(1 -хТ2.
Доказательство. Пусть Un — множество всех унимодальных последовательностей веса п. Нужно найти биекцию Dn Un U Vn. Такая биекция дается формулой
а2
^2
.. а2 ai bi b2 если а{ > blt
at a2 ...
b2 b3 ...
□ если bi^ai.
2.5.3. Следствие. Имеем
U(x) =
□
2.6. Инволюции
Напомним нашу точку зрения из разд. 1.1, что лучшим способом установления равномощности двух конечных множеств является предъявление биекции между ними. Мы покажем, как применить этот принцип к тождеству (5). С тождеством (4), кажущимся более общим, можно поступить точно таким же образом. В том виде, в каком оно написано, это тождество не утверждает, что два множества имеют одинаковую мощность. Поэтому мы переупорядочим члены так, чтобы все знаки стали
2.6. Инволюции
123
положительными. Таким образом, мы хотим доказать тождество
L(0)+ Е f>(n= Е f>(D, (27)
|У| нечетно |У| четно
где f_(T) (соответственно /^(Т)) обозначает число объектов множества А, обладающих свойствами в точности (соответственно по меньшей мере) из подмножества Т s S. Левая часть равенства (27)—мощность множества MUM где М — множество объектов х, не имеющих никаких свойств из множества S, a N — множество упорядоченных троек (х, Y,Z), где х^А имеет в точности свойства из множества ZY, где |У| нечетно. Правая часть равенства (27) есть мощность множества N' упорядоченных троек (x',Y',Z'), где элемент х' еЛ обладает свойствами в точности из подмножества Z' Э Y', где |У'| четно. Введем полный порядок на множестве свойств S и определим отображение о: MU jVN' следующим образом:
о(х) = (х, 0, 0), если хеМ
(х, У — i, Z), если (х, У, Z) е N
и min У = min Z — i, a{x, У, Z) = « rUt; z)> если
„ и minZ = Z<miny.
Легко видеть, что о — биекция с обратной биекцией о-’
х sM,
если У = Z = 0,
о~1(х, У, Z) =
(х, У — г, Z) е АТ", если У =£ 0 и min У = min Z = г,
(х, УUг, Z)e^
если Z 0
и min Z = i < min У
(где мы положили пнпУ=оо, если У = 0).
Это дает требуемое доказательство.
Заметьте, что если в определении о-1 мы отождествим хеМ с тройкой (х, 0, 0)<=#/ (так что о-1(х, 0, 0) = = (х, 0, 0)), то о U о-1 есть функция т: N\JN'N', удовлетворяющая условиям: (а) т — инволюция, т. е. x2 = id; (b) неподвижные точки т есть тройки (х, 0, 0), множество которых находится во взаимно однозначном соответствии с М, и (с) если (х, У, Z) — не неподвижная точка т и мы положим т(х, У, Z) = (x, Y', Z), то (—1)|У| +1 — 1 ||У 1 = 0. Таким образом, инволюция т выбирает члены из правой части равенства (5) (или скорее члены из правой части равенства (5), получив
124
Гл. 2. Методы решета
шиеся после того, как каждое из выражений /^(У) записано в виде суммы (3), сумма которых равна левой части, и т аннулирует оставшиеся члены.
Можно провести предыдущие рассуждения в следующем общем контексте. Предположим, что конечное множество X записано в виде объединения непересекающихся подмножеств X+J U Х~, называемых соответственно «положительной» и «отрицательной» частями X. Пусть х— инволюция, удовлетворяющая условиям
а. Если х(х) = у и х=£у, то либо хе/+ и у^Х~, либо, наоборот, xe.Y” и у^Х+.
Ь. Если т (х) = х, то хе Х+.
Если мы определим весовую функцию w на X формулой
( 1, хеГ, “’«“(-1. х^Х~, тогда, очевидно,
#(Fixx) = £ ау(х), (28)
хеХ
где Fixx обозначает множество неподвижных точек т. Точно так же, как и в предыдущем абзаце, инволюция х выбрала члены из правой части равенства (28), в сумме дающие левую часть равенства, и аннулировала оставшиеся члены.
Рассмотрим теперь более сложную ситуацию. Пусть имеется другое множество X, также представленное в виде объединения ~ непересекающихся множеств X = Х+ I) Х~, инволюция х на X, удовлетворяющая вышеприведенным условиям (а) и (Ь). Предположим, что нам дана сохраняющая знаки биекция f: Х-+Х, т. е. /(Х+) = Х+ и f(X~) = X~. Ясно, что тогда #(Fixx) = #(Fixf),_ так как # (Fixx) = | Х+ | — |Х- | и # (Fix х) = | Х+1 — | Х~ |. Мы хотим построить каноническим способом биекцию g между Fixx и Fixx. Это построение известно как принцип инволюции и является мощным средством превращения некомбинаторных доказательств в комбинаторные.
Биекция g: Fixx->-Fixx определяется следующим образом. Пусть хе Fixx. Легко видеть, что так как множество X конечно, существует положительное целое п, для которого
/ (х/~*х/)п(х) е Fixx. (29)
Положим по определению g(x) = f(xf~lxf)n(x), где п —наименьшее положительное целое, для которого справедлива формула (29).
2.6. Инволюции
125
Мы оставляем читателю строгую проверку того, что g — биекция из Fixт на Fixx. Существует, однако, хороший геометрический способ проиллюстрировать ситуацию. Представим элементы X и X в виде вершин графа Г. Соединим ненаправленным ребром две различные вершины х и у, если (1) х, у е X и т (х) = у, или (2) х, у е X и т (х) = у; или (3) х е X, у е= X и F(x) = y. Каждая компонента графа Г будет либо циклом, не содержащим точек из Fix? и Fixx, или путем, имеющим один конец z в Fixx и другой конец z в множестве Fixi. Тогда g определяется равенством g(z) = z. См. рис. 2.1.
Имеется видоизменение принципа инволюции, связанное с «решеточной эквивалентностью». Мы упомянем здесь лишь простейший случай: его дальнейшее развитие см. в упражнении 17. Предположим, что X и X — (непересекающиеся) конечные множества. Пусть Y <=Х и Y ^Х, и предположим, что нам даны биекции f: Х—>Х и g: Y-+Y. Следовательно, | X — У|== = | X — Y | и мы хотим построить явную биекцию h между X — Y и X — У. Выберем х <= X — У. Как и в случае формулы (29), найдется положительное целое п, для которого
HrV)nWeX-y. (зо)
В этом случае п единственно, так как если х е X — У, то g-1(z/) не определено1). Положим по определению Л(х) равным f(g-1/)"(x), гДе п удовлетворяет условию (30). Легко проверяется, что отображение /г: X — У -> X — У — биекция.
*) Здесь y = f(x). — Прим, перев.
126 Гл. 2. Методы решета
Рассмотрим простой пример биекции h: X — У->Х — Y.
2.6.1. Пример. Пусть У — множество всех перестановок л из Gra, которые оставляют неподвижным элемент 1, т. е. л(1) = 1. Пусть У — множество всех перестановок л из <Sn, имеющих в точности один цикл. Таким образом, | У | = | У | = (м — 1)!, так что
|S„-У | = |S„ - У | = и! - (и- 1)1
Однако построить биекцию h между — У и @>п — У, возможно, не так просто. С одной стороны, просто построить биекцию g между У и У; а именно если n=laj ... ап е У (где л записано как слово, т. е. л(г) = а,), то положим £(л) = = (1, 02...ага) (записано в виде цикла). Биекцию /:
мы полагаем, конечно, тождественной. Тогда формула (30)
определяет биекцию /г: S„ — — У. Например, если и = 3,
мы изобразим отображение f на рис. 2.2 сплошными линиями, a g прерывистыми линиями. Следовательно (записывая перестановки в области определения в виде слов, а в области значений в виде произведений циклов),
/1(213) = (12)(3),
А(231) = (1)(2)(3),
/г (312) = (1)(23), h (321) = (13) (2).
Естественно здесь (и в других случаях использования принципа инволюции и связанных с ним методов) поставить вопрос, не существует ли более прямого описания h. В данном примере трудность небольшая, так как У и У — непересекающиеся под
2.7. Определители
127
множества (если п 2) одного и того же множества В этом
частном случае
h (л) =
л, если л ф. Y, g~l (л), если л е У.
(31)
2.7. Определители
В предложении 2.2.6 мы видели, что определитель detf/z^lo с условиями а,/ = 0 при j < i — 1 можно комбинаторно интерпретировать, используя принцип включения — исключения. В этом разделе мы рассмотрим некоторую комбинаторную задачу, для которой в правой части формулы (28) находится разложение определителя.
Конечным, неотрицательным решеточным путем на плоскости (шаги которого состоят в переходах на единицу вправо или вниз) называется последовательность Л=(пь ..., nfe), где
и uz+1 — = (1, 0) или (0, —1). Мы изображаем L, соединяя вершины Vi и vi+l ребром, —1. Например, решеточ-
ный путь ((1, 4), (2, 4), (2, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 1)) изображен на рис. 2.3. п-Путем называется набор L = (Lb Ln) п решеточных путей. Пусть a, р, у, Тогда L есть путь типа
(а, р, у, 6), если переходит от (pf, уг) к (аь 6J. (Очевидно, что в этом случае а;^рг и уг^б;.) n-Путь L называется само-пересекающимся, если для некоторых г=/=/ и L;- имеют общую точку; в противном случае L — несамопересекающийся. Положим вес горизонтального шага из (z, j) в (i + 1,/) равным переменной X/, а вес L — произведению весов горизонтальных шагов. Например, путь на рис. 2.3 имеет вес Х2Х4.
Если а = (аь . .^cQgN" и л е <Sn, то положим л(а) = = (ал(1)> ...,аЛ(п)). Пусть з$ = .9/(а, р, у, б) — множество всех
128
Гл. 2. Методы решета
n-путей типа (а, 0, у, 6), а А = А (а, 0, у, 6) — сумма их весов. Рассмотрим путь из точки (р;, yf) в точку (af, 6;). Пусть т = = af — Для каждого /, удовлетворяющего условию 1 существует в точности один горизонтальный шаг вида (/' — 1 + + Рг, &/)-*(/ + kj)- Числа kb k2, km можно выбрать произвольно удовлетворяющими условию
б/.
У/ fei
(32)
Следовательно, если положить
h (т; уъ 60 = £ . xkm,
где сумма берется по всем целочисленным последовательностям (32), тогда
п
Л (а, Р, у, 6) = Ц/г(а, —Рг; уг, 6Z). (33)
<=i
Пусть 91 = 9! (а, р, у, 6) — множество всех несамопересека-ющихся n-путей типа (а, р, у, 6), и положим в = 5(а, р, у, 6) —
сумма их весов. Например, пусть а = (2, 3), Р = (1, 1), у = (2, 3), б = (1, 0). Тогда В (а, р, у, 6) = х2х| + + х(х2х3 соответству-
ет несамопересекающимся 2-путям, показанным на рис. 2.4.
2.7.1. Теорема. Пусть а, р, у, 6 s N" такие, что для ле2„ множество ^(л(а), р, у, л (6)) пусто, если только л —не тождественная перестановка. (Например, это условие выполняется, если щ < ai + i, Р, < рг+), у, <y/ + i и при 1 <z<n — 1.)
Тогда
В (а, р, у, 6) = det [/г(ау — pf; у,-, б/)]'1, (34)
где мы полагаем /Да,— р,; у,-, 6() = 0, если не существует последовательностей типа (32).
Доказательство. Если разложить правую часть равенства (34), получим
У, (sgn л) А (л (а), р, у, л (6)). (35)
2.7. Определители
129
Пусть (л (а), 0, у, л (6)). Мы построим биекцию L->L*
множества ( [J — $ на себя, обладающую свойствами: \яе®п )
a. L” = L, т. е. * есть инволюция;
b. w (L*) = w (L), т. е. биекция * сохраняет веса;
с. если L е s4-n и L” s s£a, то sgn о = —sgn л.
Тогда, группируя члены разложения (35), соответствующие парам (L, L*) самопересекающихся n-путей, видим, что все члены сокращаются, за исключением слагаемых, дающих требуемый результат В (а, 0, у, д).
Построим инволюцию *. Пусть L — самопересекающийся n-путь. Нам нужно выбрать каноническим образом определенную пару пересекающихся путей (£;, £;) из L. Один из многих способов сделать это состоит в следующем. Пусть i — наименьшее целое, для которого £, и Lk пересекаются при некотором k ф i, и х — наименьшее целое, такое, что Lt пересекает некоторый путь Lk при k> i в точке (х,у), а /— минимум всех таких k. Построим L], продолжая L{ до его первой точки пересечения v с путем Lh а затем следуя по L, до конца. Построим L* аналогично, следуя по L, до точки и, а затем по £г до конца. Для k #= i, j положим L*k = Lk.
Свойство (а) следует из того, что пути Lr и Ls пересекаются в точке и тогда и только тогда, когда Л* и £* также пересекаются в точке и, так что тройку (г, /, v) можно получить из L* по тому же правилу, по которому она получена из L. Свойство (Ь) следует немедленно из того, что весь набор единичных шагов в L и L* один и тот же. Наконец, перестановка а получается из л умножением на транспозицию (i, j), откуда следует (с). □
Теорема 2.7.1 имеет важные приложения к теории симметрических функций, но здесь мы приведем лишь простой пример ее использования.
2.7.2. Пример. Пусть г, s е N и S — подмножество множества [О, г] X [0, s]. Сколько существует решеточных путей, соединяющих точки (0, г) и (s,0) и не пересекающих S? Обозначим это число f(r, s, S). Пусть S ={(<2i, b\), (aft,bs)}, и положим
а = (s, а,, ..., ak), 0 = (0, а{, ..., ак), y = bit ..., bk), 6 = (0, bi....bk).
S P. Стенли
130
Гл. 2. Методы решета
Тогда f(r, s, S) = B(a, р, у, 6), где каждый вес xf полагаем равным 1. Тогда
Yb а/_₽/
Следовательно, из теоремы 2.7.1 f(r, s, S) =
/ S — fl!] “I” Ь\ \ s — fl!]
/ r + ak — bk \
\ ak )
ak — bk — щ ak — ai
s — ak + bk\ ^ai — bi — ak + bk s — ak ) \ ах—ак
f i \
где полагаем . J = ПРИ I/< 0 или *— / < 0. Если разложить этот определитель, получим формулу для f(r, s, S), которую также можно непосредственно вывести из принципа включения — исключения. В действительности с помощью подходящей перестановки строк и столбцов написанное выше выражение f(r,s,S) превращается в специальный случай предложения 2.2.6. (В полной общности, однако, теорему 2.7.1 нельзя вывести из предложения 2.2.6; в действительности определитель (34) в общем случае не будет содержать нулевых элементов.)
Замечания')
Как отмечает П. Стейн в своей замечательной монографии [1.16], принцип включения — исключения «несомненно является очень старым; его источник, вероятно, невозможно проследить». Обширный список литературы дан в работе [21], и источники результатов, упомянутых ниже без ссылок, могут быть найдены там. Вероятностную формулировку принципа включения — исключения можно отнести к де Муавру и с меньшей достоверностью к Я. Бернулли; ее также иногда называют «теоремой Пуанкаре». Первую формулировку в комбинаторных терминах относят к да Сильве и иногда — к Сильвестру.
’) Если ссылка встретилась в списке цитируемой литературы предыдущей главы книги, то число, указываемое в скобках, есть номер главы; например [1.16] отсылает к позиции 1G списка литературы гл. 1.
Литература
131
Пример 2.2.1 (задача о беспорядках) впервые был решен Монтмортом (в вероятностных терминах) и позже независимо исследовался Эйлером.
Пример 2.2.4 восходит к Мак-Магону [15, v. 1, с. 190], а затем несколько раз переоткрывался, пример 2.2.5 впервые появился в работе [20, следствие 3.2]. Задачу о супружеских парах (пример 2.3.3) Тэйт предложил Кэли и Мюиру, но им не удалось получить определенного ответа. Эта задача независимо рассматривалась Люкасом и была им решена в весьма неудовлетворительном виде. Элегантная формула, приведенная в следствии 2.3.5, принадлежит Тушару. Ссылки на более свежие работы см. в книге [3, с. 185]. Обзор задачи о супружеских парах появился в работе J. Dutka. Math. Intell. 8 (1986), no. 3, 18— 25, 33. Теория ладейных многочленов в общем принадлежит Капланскому и Риордану [12], см. [17, гл. 7—8]. Теория досок Ферре, представленная в разд. 2.4, появилась (с большим количеством дополнительного материала) в работах [6] — [10]1). Доказательство теоремы 2.4.4, приведенное здесь, предложено П. Леру. Результаты разд. 2.5 впервые опубликованы в [18, гл. IV. 3] и вновь установлены в работе [19, § 23].
Принцип инволюции впервые установлен в работе [4], где он использовался для получения долгожданного комбинаторного доказательства тождества Роджерса — Рамануджана. Дальнейшее обсуждение принципа инволюции, решетчатой эквивалентности и родственных результатов см. в работах [2], [11], [22], [24]. Комбинаторное доказательство принципа включения — исключения, данное в разд. 2.6, неявно содержится в работе [16], а в более явной форме — в работе [23]. Теорема 2.7.1 и ее доказательство предвосхищены в [1], [13], [14], хотя первая явная формулировка появилась в статье Гессель и Вьенно [5]. Наше изложение близко к изложению Гессель и Вьенно.
Литература
1. Chaundy Т. W. Partition-generated functions, Quart. J. Math. (Oxford) 2 (1931), 234—240.
2. Cohen D. I. A. PIE sums: A combinatorial tool for partition theory, J. Combinatorial Theory (A) 31 (1981), 223—236.
3. Comtet L. Advanced Combinatorics, Reidel, Boston, 1974.
4. Garsia A. M. Milne S. C. A Rogers-Ramanujan bijection, J. Combinatorial Theory (A) 31 (1981), 289—339.
5. Gessel I., Viennot G. Binomial determinants, paths, and hock length formulae, Advances in Math. 58 (1985), 300—321.
6. Goldman J., Joichi J., Reiner D., White D. Rook theory II: Boards of binomial type, SIAM J. Applied Math. 31 (1976), 618—633.
') См. примечание па с. 146.
132
Гл. 2. Методы решета
7. Goldman J., Jouichi J., White D. Rook theory I: Rook equivalence of Ferrers boards, Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 485—492.
8. Goldman J., Joichi J., White D. Rook polynomials. Mobius inversion and the umbral calculus, J. Combinatorial Theory (A), 21 (1976), 230—239.
9. Goldman J. Joichi J., White D. Rook theory IV: Orthogonal sequences of rook polynomials, Studies in Applied Math. 56 (1977), 267—272.
10. Goldman J., Joichi J., White D. Rook theory II: Rook polynomials and the chromatic structure of graphs. J. Combinatorial Theory (B) 25 (1978), 135—142.
11. Gordon B. Sieve-equivalence and explicit bijections, J. Combinatorial Theory (A) 34 (1983), 90—93.
12. Kaplansky I., Riordan J. The problem of the rooks and its applications, Duke Math. J. 13 (1946), 259—268.
13. Karlin S., McGregor G. Coincidence probabilities, Pacific J. Math. 9 (1959), 1141—1164.
14. Lindstrom B. On the vector representation of induced matroids, Bull. London Math. Soc. 5 (1973), 85—90.
15. MacMahon P. A. Combinatory Analysis 2 vols — Cambridge Univ. Press, 1915 and 1916, переиздано в одном томе Chelsea, New York, 1960.
16. Remmel J. Bijective proofs of some classical partition identities, J. Combinatorial Theory (A) 33 (1982), 273—286.
17. Riordan J. An Introduction to Combinatorial Analysis — Wiley, New York, 1958. [Имеется перевод: Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ.— М.: ИЛ, 1963.]
18. Stanley R. Ordered structures and partitions, thesis, Harvard Univ., 1971.
19. Stanley R. Ordered structures and partitions, Mem. Amer. Math. Soc., 119 (1972).
20. Stanley R. Binomial posets, Mobius inversion and permutation enumeration, J. Combinatorial Theory 20 (1976), 336—356.
21. Takacs L. On the method of inclusion and exclusion, J. Amer. Stat. Soc. 62 102—113.
j. S. Sieve-equivalence in generalized partition theory, J. Combinatorial Theory (A) 34 (1983), 80—89.
23. Zeilberger D. Garsia and Milne’s bijective proof of the inclusion-exclusion principle, Discrete Math. 51 (1984), 109—110.
24. Zeilberger D. Garsia and Milne’s involution principle, Drexel Univ. Technical Report.
Упражнения
[2]
1.
Пусть S = {pi, ..., pn} — множество свойств и fk (соответственно обозначает число объектов конечного множества А, обладающих в точности k (соответственно не менее k) свойствами. Покажите, что
" / i \
Lk (36)
и
" , k ( i - 1 \
u=X<->) (37>
Упражнения
133
где
g< = W). t<=s
|Т| = 1
2. а. Пусть Ль ..., Ап — подмножества конечного множества Л; определим числа Sk, О k ^п, формулой (6). Покажите, что
SA-SA+1+...+(-l)n-ftS„>0, 0<fe<n. (38)
b. Найдите необходимые и достаточные условия, накладываемые на вектор (So,Si, •••, Sn)e N"+1, чтобы существовали подмножества Л); ..., Ап конечного множества А, удовлетворяющие условиям (6).
3. а. Пусть
... (39)
— точная последовательность конечномерных векторных пространств над некоторым полем, т. е. dj — линейные преобразования, удовлетворяющие условиям im <3/+I = ker д, (дп — инъективно и до сюръективно). Покажите, что
п
dim-№= Е (-l/dimV,. (40)
1=0
b. Покажите, что для 0 j п
rank д, — У, (—1)г-/ dim Vit i=i
(41)
в частности величина, стоящая в правой части равенства, неотрицательна.
с. Предположим, что нам дано лишь, что последовательность (39) — комплекс, т. е. д/д/+1==О для 0^/^га—1, или равносильно imd/+l sker dj. Покажите, что если равенство (41) выполняется для 0^/^га, то последовательность (39) точна.
d. Пусть А[, ..., Ап — подмножества конечного множества А, и для положим Лг = ПгеГ А{. В частности, А0 = А. Пусть Vr — векторное пространство (над некоторым полем) с базисом, состоящим из всех символов вида [а, Г], где ае
134
Гл. 2. Методы решета
е Ат. Положим Vj = U|T|=/ Ут ’) и определим для линейное преобразование df.
формулой
д,(а, П==Е(-1)г~’к T-ti], (42)
z=i
где элементы Т суть < ... < tj. Также определим векторное пространство W с базисом {[а]: а е At f| ... П Лп]} и положим д0: Vo -> W — линейное отображение, заданное формулой
-л г Г И, если ае4~П П Л, д0[а, 0] = S п
I 0, в противном случае.
(Здесь Ai = А — Л,.) Покажите, что (39) — точная последовательность.
(1+] е. Выведите уравнение (7) из (а) и (d).
f. Выведите решение упражнения 2(a) из (Ь) и (d).
[3— 4. Дайте комбинаторное доказательство формулы
(13), а именно: D(n)=nD(n—1) + (—1)".
[2—] 5. Докажите формулу
\kOd = k\S(d, k)
предложения 1.4.2 (с), используя принцип включения — исключения.
[2—] 6. а. Дана перестановка л = а{а2аг е <53. Пусть Рл обо-
значает соответствующую 3 X 3 перестановочную матрицу; т. е. элемент (г, /) матрицы Р„ равен 6/, л(Ц. Пусть ая, где л е <53 — целые числа, удовлетворяющие уравнению —0- Покажите, что
®123 ~ а312 — “231 = °213 — а321 = — а132-
[2] Ь. Пусть Н3(г) обозначает число 3X3 N-матриц А, суммы чисел в каждой строке и каждом столбце которых равны г. Предположим известной теорему о том, что А — сумма перестановочных матриц. Выведите из этого результата и п. (а), что
Я3(г) = (
г+5\ р+2\
5 М 5 Л
(43)
') U У а означает жрямую сумму пространств Уа. ~ Прим. перев. a<s4
Упражнения
135
[2] 7. Зафиксируем k 1. Сколько перестановок мно-
жества [га] не имеют циклов длины /г? Пусть fft(n) обозначает их число. Вычислите Итга->то/й(га)/ /л!
[2] 8. а. Пусть f2(n) — число перестановок л множества
вычетов по модулю п, состоящих из единственного цикла л = (аь а%, ап) и для которых а/+1 Ф а, + 1 (mod га) при всех i (при этом ап+1=а1).
Например, при га = 4 существует единственная такая перестановка, а именно (1, 4, 3, 2). Положим МО)—! и f2(l) = 0. Используя принцип включения-исключения, найдите формулу для /2(га). [1-j-] b. Запишите ответ п. (а) в виде Ang'(0) для некоторой функции g.
[2—] с. Найдите производящую функцию £,i>Qf2(ra)хп/п\
[2—] d. Выразите число беспорядков D(n) в терминах чи-
сел f2(&).
[2—] е. Покажите, что
lim
П“>ОО
ft(n)
(п-1)!
£ е
[3—] f. Обобщите (е), показав, что функция f2(«) имеет
следующее асимптотическое разложение:
f,(n) 1 / 1 1 1 1 9
------(1--------? + —--------ё +
(п — 1)! е \ п п п п п
(44)
где atx4i\ =ехр(1—ех). По определению формула (44) означает, что для любого feeN
г Л Мя>
hm ras — ----------
П->оо (n —• 1)!
[3] 9. Пусть k 2, f*(ra)— число циклов, аналогичных тем,
которые определены для k = 2 в упражнении 8, для которых не существует i, что
л (i + /) = л (г) j (mod га) для всех j = 1, 2, ..., k — 1 *),
’) То есть при любом i найдется j е [1, й—1], такое что n(i-f-/) ^n(t)+/(mod п).— Прим, перев.
Гл. 2. Методы решета
где аргумент i + j берется по модулю п. Используя принцип включения — исключения, покажите, что
(„)/(«_ 1)1 = 1 + о(„-•),
для фиксированного k 5.
В частности, при фиксированном k 3
lim fk(n)l(n- 1)1 = 1. П-> 00
10. Назовем две перестановки 2п-элементного множества S = {ab «2, ...-, ап, bit ..., bn} эквивалентными, если одна может быть получена из другой переменой мест последовательных элементов вида afii или Например, перестановка a^)^i3b~fllbl эквивалентна самой себе и перестановкам a2baa3b2blai па^Ь^Ь^. Сколько
существует классов эквивалентности?
11. а. Пусть F — лес, имеющий / = компонент с множеством вершин [п]. Мы говорим, что F — корневой (посаженный) лес, если выделена корневая вершина каждой компоненты связности леса F. Таким образом, если ср с2, .... с^> — количество вершин в компонентах F (так что £cz = n), то число p(F) способов, которыми можно посадить лес F, есть c{c2 ... 9. Покажите, что число fe-ком-понентных корневых лесов на множестве [п], содержащих F, равно
//— 1 \ , Р(Л k
b. Для данного графа G с множеством вершин [п] определим многочлен
P(G, х)= Е (45)
F
где сумма берется по всем корневым лесам на [и], содержащимся в G. Пусть G обозначает
Упражнения
137
дополнение G; то есть пара {i, j} е J образует ребро G тогда и только тогда, когда {/, /} — не ребро G. Используя п. (а) и принцип включения— исключения, покажите, что
P(G, x) = (-l)n-1 P(G, -х-п). (46)
В частности, число c(G) остовных деревьев1) графа G дается формулой
с (G) = (- If"1 Р (G, - п)/п. (47)
[3] 12. Пусть г-Черенковым V-разбиением числа п
называется массив неотрицательных целых чисел
Я! ...
• • •
аг
С1С2С3 . . .
такой что at а2 ... аг Ь{ Ь2 Ь3 .,
аг > с{ > с2 > с3 > ... и Е «г + Е &z + Е cz = л-Следовательно, 1-черенковое разбиение есть в точности У-разбиение. Пусть vr(n) обозначает число r-черенковых разбиений п. Покажите, что
V („\уп —_______________Рг (х) Т (х) - дг (х)____
vrW - (1 _ х} (1 _ х2} (1 _ хГ_1} п (1 _ ?)2 ,
">° Z>1
где
Pi(x)=l, р2(х) = 2, ^(х) = 0, ?2(х)=1, pr (х) = 2pr_[ (х) + (хг~2 - 1) рг_2 (х), г > 2, ?г(х) == 2^г_! (х) + (хг“2 — 1) ^г_2(х), г > 2, Т(х)= Е (- 1)г/2’Х
Z>0
[3]
13. Дайте основанное на методе решета доказательство формулы пятиугольных чисел Эйлера
Е
П>1
1 +
(—1)л [жп(Зл-1)/2 х«(3«+1)/2]
ПО-?)
<>1
*) Остовным деревом связного графа называется дерево, являющееся подграфом данного графа и содержащее все его вершины (оно всегда существует). Остовным деревом произвольного графа называется остовное дерево его компоненты связности. — Прим, перев.
Гл. 2. Методы решета
Следует начать просеивание всех разбиений всех чисел /1>0 и отбросить все, за исключением пустого разбиения числа 0.
Предположим, что в предложении 2.2.6 функции имеют вид
е (i, /) = а,_{
для некоторых чисел а*, удовлетворяющих условиям ао = 1 и a,k = 0 при k < 0. Покажите, что f=(S) равно коэффициенту при х"+1 в степенном ряде
/г(п)(1—atx а2х2— а^х3 +
Выведите из формулы (21), что
Турнир Т на множестве вершин [га] есть ориентированный граф на множестве [га] без петель, такой что каждая пара вершин соединена в точности одним ориентированным ребром. Пусть x/ = w(e) — вес ориентированного ребра е из i в j (обозначение i-+j), если I < /, и —Xj, если i> j. Вес турнира Т по определению равен w (Г) = Це w (е), где е пробегает все ребра Т.
а. Покажите, что
Е w (Т) = П (х,- - х,), т Г<К/<п
(49)
где сумма берется по всем турнирам на [га].
Ь. Турнир Т транзитивен, если существует перестановка л<=©п, для которой л(г)->л(/) тогда и только тогда, когда i < j. Покажите, что не транзитивный турнир содержит некоторый 3-цикл, т. е. тройку вершин (и, v, w), для которых w.
с. Если Т и Т' — турниры на [га], мы пишем Т-^Т', если Т' можно получить из Т, обращая 3-цикл, то есть заменяя ребра u^-v, w—>u ребрами v->«, u—>w и оставляя все другие ребра неизменными. Покажите, что w(T') = — w(T).
d. Покажите, что если Т ^-Т', то Т и Т' имеют одинаковое число 3-циклов.
Решения упражнений
139
[2+]
е. Выведите из пп. (а) — (d), что
det [х/ ’]"= П (Xj — Xi), 1 < i < i < п
[3—] 17.
сократив все члены в левой части равенства (49), за исключением тех, которые соответствуют транзитивным турнирам Т.
Пусть Аь ..., Ап — подмножества конечного множества А и В\, ..., Вп — подмножества конечного множества В. Для каждого подмножества S множества [п] положим = и Bs =
= П/<=$^1- По данным биекциям fs: AS->BS для всех S = [п] постройте явную биекцию h\ А — — Ц_1 Ai -+В — Uf=i &i- Ваше определение h должно зависеть только от биекций fs, но не от какого-нибудь упорядочения элементов А или меток на подмножествах Аь ..., Ап и В,, ..., Вп.
Решения
1. Имеем
п . п
Ё (- »"*(')«,=£ (-D'-*(') Е fjn-
Z=A \«/ i=k
|T|=Z
=Z(-i)'-‘(H E f.«)=
z-fe ' K x t = r = s
|T|-i
= X E (-i),r,-fe
«eS T<=R
Если | R| = г, то внутренняя сумма равна
откуда следует доказательство формулы (36). Сумма (37) вычисляется аналогично. Эти формулы принадлежат Шарлю Жордану. Обширная библиография содержится в работе [21].
40
Гл. 2. Методы решета
2. а. Если рассматривать Д,- как множества элементов, имеющих свойство Р,, то
ЛГ=/>(Л= Е f=(Y).
Y=iT
Следовательно,
sA-sft+1 + ••• +(-irfts„= £ (-1)|Г,"*/>(Л =
= £ E (- 1)|Г|-Й L (Г) =
|T|>A У = Т
= £ Ш £ (-1)1г'-* =
|У|>й ГеУ
lTl>k
= X f-wx y|)-
|У|>6 i-k ' 1 '
Em i-k ( ( m — 1
(— 1) I . = , .
i = k \ I J \ k— 1
Формула (38) следует из того, что /=(У)^0.
Полагая
s = L(0) = #GM ... n^) = s0-s1 + ... + (-i)ns„,
можно переписать неравенство (38) в виде
S>0
S<S0
5 So S[
5 So — S[ -j- S2
Другими словами, частичные суммы So — Sj + ... ... (—\)kSk последовательно превышают и не превосходят величину S. В таком виде формула (38) принадлежит Бонферрони (Bonferroni, Pubblic. 1st. Sup. Sc. Ес. Comm. Firenze 8 (1936), 1—62). Эти неравенства иногда позволяют точно оценивать S, когда не все числа S, можно вычислить явно.
Ь. Ответ: V (— 1/ )St0,
\k) ’
Решения упражнений
141
Наиболее прямолинейное доказательство — индукция по п. Случай ц = 0 тривиален (так как, если п = 0, точность последовательности означает, что W=Vo). Детали опущены.
Последовательность
im dj -> 0
точна. Но dim (im dj) = rank d/t так что доказательство следует из п. (а).
Из формулы (41) имеем: dim Vj = rank dj + rank dj+l. С другой стороны, rank d/+1 = dim (imd/+1) и rank dj —
= dim Vj — dim(ker<3/), так что dim(im<3/+i) = dim(ker<3/).
Доказательство следует из того, что imd/+I Skerdy. Для фиксированного аеЛ пусть Vt—пространство, порожденное символами [п, Г], если а е Ат; в противном случае У“=0. Пусть V/= 11[г[=/Ит и Wa— линейная оболочка единственного элемента [а], если а е At П ...
... П Лга; в противном случае Wa — 0. Тогда dj: V“ -> V/-i, /^1, и d0: Vo -> Wa. (Таким образом, последовательность (39) есть прямая сумма таких последовательностей для фиксированных а.) Отсюда следует, что мы можем предположить А ={п}.
Ясно, что do — сюръективное отображение, так что в члене W последовательность точна. Легко проверить, что djdj+\=Q, так что (39)—комплекс. Так как А =
= {а}, имеем
п — 1
/-1
dim Vj
Можно несколькими способами показать,
/ п — 1 \
что rank 5, = | . , I, так что доказательство
1 \J~iJ
следует
из п. (с).
Существует много других доказательств, возможность понимания которых зависит от подготовленности. Напри-
мер, рассматриваемый комплекс (39) в данном случае (Л={а}) есть тензорное произведение комплексов
0——> W -> 0, где пространство Ut порождено [а, {/;}]. Ясно, что каждая последовательность точна, следовательно, точна последовательность (39). (Определение (42) не взято с потолка; это соотношения Кошуля и
142
Гл. 2. Методы решета
(r+ 5Х
\ 5 7
последовательность (39) (Л = {а}) есть комплекс Ко-шуля. Дальнейшую информацию см. практически в любом тексте по гомологической алгебре1*.
е., f. Следуют из того, что dimQr= |f|, если dimV/= 5/.
4. J. В. Remmel, European J. Combinatorics 4(1983), 371 — 374.
5. Мы интерпретируем k\S (d, k) как число сюръективных функций f: [d]->[£]. Пусть A — множество всех функций f: [d]-> ->[&] и для i 6= [&] пусть Pi — свойство; Функция f
не обладает свойствами, разве лишь из Т = S = {Pi.....Р^}
тогда и только тогда, когда imf s {i: Pi<=T}, следовательно, число таких функций f есть id, где |T| = i.
Доказательство следует из предложения 2.2.2
6. а. Результат легко получается после проверки того, что любые пять матриц Рп линейно независимы.
Ь. Пусть А — 3X3 N-матрица, сумма элементов в каждой строке и каждом столбце которой равна г. Дано, что
Д = 52 ал^*л> (50)
л
где ая е N и =г- Из разд. 1.2 число способов выбрать числа a„eN так, чтобы — г, равно
Из п. (а) представление (50) единственно, если по крайней мере одно из чисел а213, а32], а132 есть 0. Число способов ВЫбраТЬ ЧИСЛа Ctj23> 0С312> ^231 0^213» 0С321, 0С132 Р,
так чтобы £а„ = г, равно числу слабых 6-разложений (г +2\
числа г — 3, т. е. равно I 5 )• Следовательно, Я3(г) =
/ г + 5 \ / г + 2 \
5 7 \ 5 7
Уравнения (43) появились в § 40 работы [15], по существу, с тем же доказательством, что и выше. Вычисление Ht(r) на основе аналогичной техники практически совершенно невозможно, однако, используя теорему Гильберта о сизигиях, можно показать, что в принципе такое вычисление можно провести. См. Stanley R. Duke Math. 40 (1973), 607—632. Другой подход к вычислению Нп(г) при произвольном п см. в предложении 4.6.19. Теорема, упомянутая в п. (Ь), есть случай п = 3 теоремы Бирк-гофа — фон Неймана и доказана для произвольного п в лемме 4.6.18.
*) Например, в кн. Бурбаки Н. Алгебра. Глава X. Гомологическая алгебра.— М. Наука, 1987. — Прим, перев.
Решения упражнений
143
Wk]
i —О
Mill -- Z J----c-
n->oo n\ ilk
n
a. ( П J (—1)‘ (n — i — 1)!, если положим (—1)1 = 1.
b. g(n) = (n — 1)! и g(0) = 1.
c. e~* (1 — log(l — x)).
d. D(n) = f(n) + f(«+l).
Эта задача восходит к работе Whitworth W. A. Choice and Chance, 5-е издание (и, предположительно, ранние издания), Stechert, New York, 1934 (предл. 34 и упр. 217). Дальнейшую информацию и ссылки см. Tanny S. М., J. Combinatorial Theory 21(1976), 196—202 и R. Stanley, JPL Space Programs Summary 37—40, vol. 4(1966), 208—214.
R. Stanley, JPL Space Programs Summary 37—40, vol. 4(1966), 208—214.
Назовем перестановку стандартной, если за bi непосредственно не следует а, для 1 i п. Ясно, что каждый класс эквивалентности содержит в точности одну стандартную перестановку. Непосредственное применение метода включения •— исключения показывает, что число стандартных перестановок равно п
X ( П ) (— 1 )< (2га - 01 = А» (п + 0! I. .
i=o Y 1 J 1
. а. Случай & = 1 равносилен теореме 6.1 Moon J. W. Counting Labelled Trees. Canadian Mathematical Monographs, № 1, 1970.
В общем случае доказательство аналогично.
b. Пусть fk_(G) обозначает коэффициент при xk~l в P(G, х). т. е. fk(G) равно числу ^-компонентных корневых лесов F в графе G. Из принципа включения — исключения
(-1Г/(Р)яИП.
F
где F пробегает множество всех остовных лесов Gngk(F) обозначает число ^-компонентных корневых лесов на
Гл. 2. Методы решета
множестве [п], содержащих F. (Заметьте, что п — /(F)
равно числу ребер F). Из п. (a), gk(F) — p(F)
где / — /(F). Следовательно,
MG) = X<-^
\ t tv /
F
(51)
С другой стороны, из формулы (46) коэффициент при хк~х в (—l)n~1P(G,—х — п) равен
(-1Г1 У (-1/'1Р(Л ( t 2 ! ) (52)
\ К 1 J
F
где сумма снова берется по остовным лесам F графа G с условием / — /(F). Требуемый результат доказан, так как выражения (51), (52) совпадают.
Уравнение (47) (в сущности случай х = 0 в уравнении (46)) неявно содержится в работе Temperley V. Proc. Phys. Soc. 83(1964), 3—16. См. также работу Дж. В. Муна, цитированную в п. (а), теорема 6.2. Общий случай уравнения (46) содержится в статье Bedrosian S. D. J. Franklin Inst. 227 (1964), 313—326. Впоследствии уравнение (46) было доказано А. К. Келмансом с использованием матричной техники. См. уравнение (2.19) в работе Cvetkovic D. М., Doob М., Sachs Н., Spectra of Graphs, Academic Press, New York, 1980. Простое доказательство формулы (46) и дополнительные ссылки имеются в работе Moon J. W., Bedrosian S. D. J. Franklin Inst. 316 (1983), 187—190.
Уравнение (46) можно рассматривать как «теорему взаимности» для корневых деревьев. Его можно использовать вкупе с очевидным фактом, что P(G-]-H, х) — = xP(G,x)P(H,x) (где G 4- Н обозначает несвязное объединение G и Н) для унификации и упрощения многих известных результатов, касающихся перечисления остовных деревьев и лесов. Например, пусть Кп и Кг, s обозначают соответственно полный и полный двудольный графы. Тогда имеем
Р(Кь х) = 1 ^гр(пКх, х) = xn~l ^Р(Кп, x) = (x + n)n~i ^P(Kr + Ks, х) = х (х + г)г~1 (х + зГ* => Р (Kr> s, х) = (х 4- г 4- з) (х 4- з)г 1 (х 4- r)s 1 ^с(Кг,1) = ^Г*-'.
Решения упражнений
145
12. Впервые этот результат появился в [18, гл. V. 3] и был сформулирован без доказательства в [19, предложение 23.8].
13. Andrews G. Е. The Theory of Arithmetic Functions (A. A. Gioia and D. L. Goldsmith, eds.), Lecture Notes in Math., no 251, Springer, Berlin, 1972, pp. 1—20.
См. также гл. 9 работы [1.1].
14. Имеем
L(S)= Z (—D,s-r,/:<(T) =
TsS
= A(«) 2 (— 1)" ftaaiafl2_ai . . . a„+i-ak =
1<О]< ...
= h(n) £ (—1)"
&l+&2+ ... +6fe+1=re + l bt e P
“*A+1
— h(n) У, C (cqx — a2x2a3x3 — ...)fe+1 = fe<-l n + 1
= h(n) C (1 — ape 4- a2x2 .. .)-1 .
n+1
15.
Пусть S — {1, 2, ..., n — 1} единственная перестановка условию £)(л) = 5, а именно / п \
i (л) = I „ I. Следовательно, \ А) /
в формуле (21). Существует л е <S„, удовлетворяющая л = (п, п — 1, ..., 1). Тогда P„(S, д)=/2\ С другой
стороны, правая часть равенства (21) превращается в левую часть равенства (48), откуда и следует требуемый ре-
зультат.
16. Этот результат взят из работы Gessel I. J. Graph Theory 3(1979), 305—307. Пункт (d) впервые рассмотрен в статье Kendall М. G., Babington Smith В. Biometrika 33(1940), 239—251. Главный момент в решении п. (е) следующий: пусть G — граф, вершины которого — турниры Т на множестве [п], а ребра — множества пар Т, Т', таких, что Т ++Т'. Тогда из п. (с) и (d) выводим, что G— двудольный и регулярный граф1), так что компонента связности G, содержащая Т, состоит из некоторого числа турниров веса w(T) и такого же числа турниров веса —w (Т).
’) Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на такие (непересекающиеся) подмножества Vi U Vi = V, что любое его ребро имеет вид (vj, Vi), vt е Vit у2 е V2. Граф называется регулярным, если каждая его вершина инцидентна одному и тому же количеству ребер.— Прим, перев.
146
Гл. 2. Методы решета
Некоторые далеко идущие обобщения появились в работах Zeilberger D., Bressoud D. М. A proof of Andreiws q-Dyson conjecture, Discrete Math. 54(1985), 201—224; Bressound D. M. Colored tournaments and Weyl’s denominator formula, Pennsylvania State University Research Report и Calder-bank A. R., Hanlon P> The extension to root systems of a theorem on tournaments, J. Combinatorial Theory (A) 41(1986), 228—245. Первая из этих ссылок содержит решения упражнения 8 (с) главы 1.
17. Ц1].
* * *
Примечание автора в корректуре русского перевода. Значительная часть теории досок Ферре, изложенная в этой главе, до статей [6]—[10] появилась в работе Foata Г)., Shiitzenberger М. Р. On the rook polynomials of Ferrers relations, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai 4, Combinatorial Theory and its Applications, vol. 2 (P. Erdos, A. Renyi and V.T. Sos, eds), North-Holland Am-sterdam/London, 1970, p.p. 431—436. В частности, паше следствие 2.4.5 есть теорема 11 этой работы.
Глава 3
ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
3.1. Основные понятия
Теория частично упорядоченных множеств (или ч. у. множеств)1) играет важную объединяющую роль в перечислительной комбинаторике. В частности, теория обращения Мёбиуса на частично упорядоченном множестве является далеко идущим обобщением принципа включения — исключения, а теория биномиальных ч.у. множеств представляет универсальный источник различных классов производящих функций. На протяжении главы будут в основном освещаться эти две темы, но и многие другие интересные аспекты частично упорядоченных множеств также будут представлены.
Чтобы обрисовать спектр возможных направлений теории частично упорядоченных множеств в связи с принципом включения— исключения, рассмотрим следующий пример. Пусть у нас есть четыре конечных множества А, В, С, D, такие, что /)=АПВ = АПС = ВПС = АПВПС. Из принципа включения — исключения следует, что
| Л U S U С | = | Л | +1 В | +1С | — | A f| В | — | А 0 С | — | В f] С |+ + 1 АПВПС| =
= | А |-|-1 В 14-1 С | — 2|£>|. (1)
Соотношения A f] В=А П C=Bf| С=А ("| В П С сводят общее семичленное выражение для |A(JB(J С| к четырехчленному выражению, так как в наборе пересечений множеств А, В, С есть только четыре различных члена. Каков смысл коэффициента —2 в формуле (1)? Сможем ли мы эффективно сосчитать такой коэффициент для более сложной совокупности равенств между пересечениями множеств А), Аг, ..., А„? Ясно, что коэффициент —2 зависит только от отношения частичного порядка между множествами А, В, С, D, т. е. от того факта, что D<=A, D f= В, D s С. Действительно, в дальнейшем мы увидим, что —2 есть некоторое значение функции Мёбиуса этого частичного порядка (присоединяется еще дополнительный элемент, отвечаю-
*) В оригинале — partially ordered set (poset); мы не рискнули вводить термины «чум» или «посет», хотя иногда они использовались в русской литературе. — Прим. ред.
148
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
щий пустому пересечению). Таким образом, обращение Мёбиуса при благоприятных обстоятельствах упрощает метод включения— исключения. Однако мы также увидим, что обращение Мёбиуса имеет гораздо более далеко идущие приложения, нежели просто обобщение принципа включения — исключения.
Прежде чем погружаться с головой в теорию алгебр инцидентности и функций Мёбиуса, полезно развить некоторую интуицию в отношении структуры конечных частично упорядоченных множеств. Поэтому в первых пяти разделах этой главы мы соберем воедино основные определения и результаты данного предмета, хотя, строго говоря, для понимания теории обращения Мёбиуса в большинстве из них нет необходимости.
Частично упорядоченное множество Р (или, для краткости, ч. у. множество) есть множество (которое, допуская нестро-гость в обозначениях, мы также называем Р), вместе с бинарным отношением, обозначаемым (или ^Р, если есть возможность путаницы), удовлетворяющее следующим трем аксиомам: 1. Для каждого элемента хеР, х <1 х (рефлексивность).
2. Если x^t/ и i/<x, то х = г/ (антисимметричность).
3. Если х^у и у z, то x^z (транзитивность).
Мы используем очевидные обозначения х у, означающие у х, х < у (означает х^у и х^=у) и х>у (означает у<.х). Мы говорим, что элементы х и у множества Р сравнимы, если х^у или у <1 х; в противном случае элементы х и у несравнимы.
Прежде чем обращаться к более длинному списку связанных с ч.у. множествами определений, рассмотрим некоторые примеры конечных ч. у. множеств, представляющих комбинаторный интерес. Мы позже рассмотрим их более детально.
3.1.1. Пример
а. Пусть п е Р. Множество [л] с обычным порядком образует n-элементное ч.у. множество, обладающее тем особым свойством, что любые два его элемента сравнимы. Это ч.у. множество обозначается п. Конечно, п и [п] совпадают как множества, но мы используем обозначение п, чтобы подчеркнуть порядковую структуру.
Ь. Пусть N. Мы можем превратить множество 21"1 всех подмножеств множества [п] в ч. у. множество Вп, положив по определению S в Вп, если S s Т как множества. Говорят, что Вп состоит из подмножеств множества [«] «упорядоченных по включению».
с. Пусть ns ' . Множество всех целых положительных делителей числа п можно превратить в ч. у. множество Dn «есте
3.1. Основные понятия
149
ственным» способом, положив i j в Dn, если / делится на i (обозначение i\j).
d. Пусть р. Множество П„ всех разбиений множества [«] можно сделать ч.у. множеством (также обозначаемым П„), положив л о в П„, если каждый блок л содержится в блоке ст. Например, если п = [9] и если разбиение л имеет блоки 137, 2, 46, 58, 9 и о имеет блоки 13467, 2589, то л ст. В этом случае мы говорим, что разбиение л есть измельчение разбиения ст и что ч.у. множество П« состоит из разбиений множества [п], «упорядоченных по измельчению». >)
Рис. 3.1.
е. В общем, любой набор множеств можно упорядочить по включению, чтобы образовать ч. у. множество. Некоторые случаи представляют особый комбинаторный интерес. Пусть, например, Ln(q) —ч.у. множество, состоящее из всех подпространств «-мерного векторного пространства Vn(q) над полем
из q элементов, упорядоченных по включению. Мы увидим, что Ln{q} есть обладающий хорошим поведением ««/-аналог» ч. у. множества Вп, определенного в п. (Ь).
Теперь мы приведем список основных определений и результатов, связанных с частично упорядоченными множествами. Некоторые читатели, возможно, захотят перейти сразу к разд. 3.6 и обращаться к пропущенному материалу только при необходимости.
Два ч. у. множества Р и Q изоморфны, если существует сохраняющая порядок биекция ср :P->Q, обратная к которой
В теории меры и в анализе принято упорядочение разбиений, противоположное этому, однако в комбинаторике более удобно то, которое приводится в тексте. — Прим. ред.
150 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
также сохраняет порядок, т. е.
в Р (х)< ф (у) в Q.
При определении понятия «ч. у. подмножества» следует проявить некоторую осторожность. Под слабым ч. у. подмножеством ч. у. множества Р мы понимаем подмножество Q элементов множества Р и такое частичное упорядочение Q, что если х у в Q, то х у в Р. Если S — слабое ч. у. подмножество Р и Р — Q как множества, то мы называем Р измельчением Q. Под индуцированным ч.у. подмножеством Р мы понимаем подмножество Q ч. у. множества Р с частичным порядком на Q, таким, что для х, у е Q имеем х у в Q тогда и только тогда, когда х у в Р. В этом случае мы говорим, что ч. у. подмножество Q ч.у. множества Р имеет индуцированный порядок. Таким образом, конечное ч. у множество Р имеет в точности 2|Р| индуцированных ч. у. подмножеств. Под ч. у. подмножеством Р мы всегда будем понимать индуцированное ч. у. подмножество. Специальным типом ч.у. подмножества Р является (замкнутый) интервал [х, у} = {z е Р: х z у}, определенный в случае, если х у. (Таким образом, пустое множество не рассматривается как интервал.) Интервал [х, х] состоит из единственного элемента х. Если любой интервал Р конечен, то Р называется локально конечным ч. у. множеством. Положим по определению ч.у. подмножество Q ч.у. множества Р выпуклым, если у е Q при условии, что х < j < z в Р и х, zg Q. Интервал, таким образом, выпуклый. Аналогично определим открытый интервал (х, у)= {z е Р: х < z < у}, так что (х, х) = 0.
Если х, у е Р, то мы говорим, что элемент у покрывает элемент х, если х < у и ни один элемент zgP не удовлетворяет условию х < z < у. Таким образом, у покрывает х тогда и только тогда, когда х < у и [х,у} ={х, у}. Локально конечное ч. у. множество Р полностью определяется своим отношением покрытия. Диаграммой Хассе конечного ч.у. множества Р называется граф, вершинами которого являются элементы Р, а пара (а, Ь) образует ребро, если элемент b покрывает элемент а, и такой, что если х <' у, то у рисуют «выше» х (т. е. с большей вертикальной координатой). На рис. 3.1 показаны диаграммы Хассе всех (с точностью до изоморфизма) ч.у. множеств, не более чем с 4 элементами. Некоторую осторожность нужно проявлять при «опознавании» ч.у. множеств по их диаграммам
Хассе. Например, граф является полноценной диаграммой
Хассе, однако кажется, что он пропущен в упомянутой выше
3.1. Основные понятия
151
таблице. Мы надеемся, что читатель разрешит этот вопрос.
Аналогично, почему выше не встретился граф \ ? На
рис. 3.2 показаны диаграммы Хассе некоторых ч.у. множеств, рассмотренных в примере 3.1.1.
5 В3 1>]: П,
Рис. 3.2.
Л,(2)
Мы говорим, что ч. у. множество Р имеет 0, если существует такой элемент 0 е Р, что х^О для всех х е Р. Аналогично Р имеет 1, если существует такой элемент 1 Е Р, что х 1 для всех х е Р. Мы обозначаем Р ч. у. множество, полученное из Р присоединением 0 и 1 (несмотря на возможно уже содержащиеся в Р элементы 0 или 1). См. примеры на рис. 3.3.
г
Рис. 3.3.
Цепью (или вполне упорядоченным множеством, или линейно упорядоченным множеством) называется ч.у. множество, любые два элемента которого сравнимы. Так ч.у. множество и примера 3.1.1 (а) есть цепь. Подмножество С ч.у. множества Р называется цепью, если С, рассматриваемое как ч.у. подмножество ч.у. множества Р, есть цепь. Цепь С ч.у. множества Р называется насыщенной (или неизмельчаемой), если не существует такого элемента z^P — С, что х < z <Z у для некоторых х, у^С, и С U {?} есть цепь. В локально конечном ч. у. множестве
152 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
цепь хо < Xi < ... <хп насыщена тогда и только тогда, когда х, покрывает х,_) при 1 i п. Длина 1(C) конечной цепи определяется равенством /(С) = ]С|— 1. Длина (или ранг) конечного ч. у. множества Р есть 1(Р)max {/(С); С — цепь в Р}. Длина интервала [х, у] множества Р обозначается 1(х, у). Если каждая максимальная цепь в Р имеет одну и ту же длину п, то говорим, что ч. у. множество Р градуированное ранга п. В этом случае существует единственная ранговая функция р: Р^-—{0, 1, ..., п}, такая, что р(х) = 0, если х—минимальный элемент Р и р(у) = р(х)+ 1, если у покрывает х в Р. Если р(х) = i, то мы говорим, что х имеет ранг I. Таким образом, если х у, то 1(х,у)=р(у)—р(х). Если Р — градуированное ч.у. множество ранга п и содержит Pi элементов ранга i, то многочлен
F (Р, q)=lL Ptq1 i = 0
называется рангово-производящей функцией ч.у. множества Р. Например, все ч.у. множества n, Вп, Dn, Пл и Ln(q) из примера 3.1.1 являются градуированными. Читатель может проверить правильность заполнения следующей таблицы (некоторые из клеток которой будут более детально обсуждены позже).
Ч. у. множество Р Ранг элемента х е Р Ранг Р
п Вп Dn X — 1 п — 1 card х п число простых делителей х (под- число простых де-считаниых с учетом кратности) лителей п
п„ Ln (<?) п — | X | п — 1 dim х п
Мультицепь ч. у. множества Р есть цепь с повторяющимися элементами, т. е. мультимножество на множестве, являющемся цепью в Р. Мультицепь длины п есть в точности последовательность хо Xi х2 ... Хп элементов ч. у множества Р.
Антицепь (или семейство Шпернера, или клаттер) есть подмножество А ч.у. множества Р, в котором любые два элемента несравнимы. Порядковый идеал (полуидеал или нижнее множество, или убывающее подмножество) ч.у. множества Р есть такое подмножество I ч.у. множества Р, что если хе/ и у х, то ys/. Аналогично двойственный порядковый идеал (или фильтр) есть подмножество I ч.у. множества Р, такое, что если хе/ и у х, то у е I. Если Р — конечное ч. у. множество, то
3.2. Новые ч. у. множества из старых 153
существует взаимно однозначное соответствие между антицепями А из Р и порядковыми идеалами /. Именно антицепь А есть множество максимальных элементов идеала I, а
1 = {х Е Р: х^у для некоторого у<=А). (2)
Множество всех порядковых идеалов ч. у. множества Р, упорядоченное по включению, образует ч.у. множество, обозначаемое J(P). В разделе 3.4 мы изучим J (Р) более подробно. Если множества 7 и А связаны соотношением (2), то мы говорим, что А порождает I. Если A={xi, ..., х^}, то мы используем обозначение 1 = <хь ..., хл> для порядкового идеала, порожденного множеством А. Порядковый идеал <х> называется главным порядковым идеалом, порожденным элементом х, и обозначается Ах. Аналогично, Vx обозначает главный двойственный порядковый идеал, порожденный элементом х, т. е. Vx — {у е Р: у х}.
3.2. Новые ч. у. множества из старых
К одному и более ч.у. множествам можно применять различные операции. Если Р и Q — ч.у. множества на непересекающихся множествах, то дизъюнктным объединением (или прямой суммой) Р и Q называется ч. у. множество Р + Q на объединении Р U Q, такое, что х^у в Р + Q, если либо (а) х, у^Р и х у в Р, либо (Ь) х, у Е Q и х у в Q. Ч. у. множество, не являющееся дизъюнктным объединением двух непустых ч. у. множеств, называется связным. Дизъюнктное объединение п ч. у. множеств Р обозначается пР-, следовательно, п-элемент-ная антицепь изоморфна nl. Если Р и Q, как и выше, — ч.у. множества на непересекающихся множествах, то порядковая сумма Р и Q есть ч. у. множество Р Ф Q на объединении Р U Q, такое, что х у в Р Ф Q, если (а) х, у Е Р и х у в Р, или (Ь) х, у Е Q и х у в Q, или (с) х Е Р и у е Q. Таким образом, n-элементная цепь определяется равенством n = 1 Ф 1 Ф ... ... Ф1 (п раз). Из 16 4-элементных ч.у. множеств в точности одно не может быть построено из ч. у. множества 1 с использованием операций дизъюнктного объединения и порядковой суммы. Ч.у. множества, которые можно построить таким способом, называются последовательно-параллельными ч. у. множествами.
Если Р и Q ч.у. множества, то прямое (или декартово) произведение Р и Q есть ч. у. множество Р X Q на множестве {(х, у): х Е Р и у е Q), такое, что (х, у) sg (х', у') в Р X Q, если х х' в Р и у у' в Q. Прямое произведение п экземпляров ч.у. множества Р обозначается Рп. Чтобы нарисовать
154
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
диаграмму Хассе ч. у. множества PXQ (если множества Р и Q конечные), нарисуем диаграмму Хассе ч.у. множества Р, заменим каждый элемент х из Р копией Qx ч.у. множества Q и соединим соответствующие элементы Qx и Qy (по отношению к некоторому изоморфизму Qx^Qy), если элементы х и у соединены в диаграмме Хассе ч.у. множества Р. Например, диаграм-
му Хассе ч. у. множества
рисуют, как пока-
зано на рис. 3.4.
х, -г/ '~'N N
Рис. 3.4.
Из определения ясно, что прямые произведения Р X Q и Q X Р изоморфны. Однако диаграмма Хассе, полученная заменой Р на Q и Q на Р в описанной выше процедуре, в общем случае выглядит совершенно не похожей на исходную, хотя они, конечно, изоморфны. Если Р и Q градуированы с рангово-производящими функциями F(P,q) и F(Q,q), то легко видеть, что ч. у. множество Р X Q градуировано и
F(PXQ, q) = F(P, q)F(Q, q). (3)
Следующая операция над ч.у. множествами — порядковое произведение Р® Q. В этом случае частичный порядок на множестве {(х, у): х Е Р, у е Q) вводится так: (х, у) sg (х', у'), если (i) х = х' и у у', или (ii) х < х'. Чтобы изобразить диаграмму Хассе P®Q (где множества Р и Q конечны), нарисуем диаграмму Хассе ч.у. множества Р, заменим каждый элемент х из Р копией Qx ч. у. множества Q, а затем соединим каждый максимальный элемент Qx с каждым минимальным элементом Qy при условии, что у покрывает х в Р. Если ч.у. множества Р и Q градуированы и ранг Q равен г, то аналогом уравнения (3) для
3.3. Решетки
155
порядкового произведения является уравнение
F (Р ® Q, q) = F (Р, Яг+1) F (Q, q).
Заметьте, что в общем случае ч.у. множества P8Q и Q&P не имеют одной и той же рангово-производящей функции, так что, в частности, они не изоморфны.
Теперь мы хотим рассмотреть двойственное ч.у. множество к Р. Это ч. у. множество Р* на том же самом множестве, что и Р, но такое, что х у в Р* тогда и только тогда, когда у х в Р. Если ч.у. множества Р и Р* изоморфны, то Р называется самодвойственным. Из 16 четырехэлементных ч.у. множеств 8 самодвойственны.
Если Р и Q ч. у. множества, то Qp обозначает множество всех сохраняющих порядок отображений f: P->Q, т. е. х^у в Р влечет за собой f(x)^f(y) в Q. Мы снабдим Qp структурой ч. у. множества, положив если f(x)^.g(x) для всех х Е Р. Простым упражнением является проверка справедливости следующих правил арифметики кардиналов (знак равенства нужно интерпретировать как изоморфизм):
а. операции Ц- и X ассоциативны и коммутативны.
b. PX(Q + R) = (PXQ) + (PXR).
с. RP+Q = pPXRQ-
d. (rq)p = Rqxp.
3.3. Решетки
Здесь мы кратко опишем важный класс ч. у. множеств, называемых решетками. Если элементы х и у содержатся в ч. у. множестве Р, то верхней гранью х и у называется элемент г, удовлетворяющий условиям z х и z у. Наименьшая верхняя грань хну есть верхняя грань z элементов х и у, такая, что любая верхняя грань w элементов х и у удовлетворяет условию w z. Если наименьшая верхняя грань х и у существует, то она, очевидно, единственна и обозначается х V у (читается «объединение х и у» или «супремум х и у»). Двойственным образом можно определить наибольшую нижнюю грань х Л у (читается «пересечение х и у» или «инфимум х и у») в тех случаях, когда она существует. Решетка — это ч.у. множество, в котором любая пара элементов имеет наименьшую верхнюю грань и наибольшую нижнюю грань. Решетки можно также определять аксиоматически в терминах операций V и Л, но для комбинаторных целей в этом нет необходимости, Читатель, однацо, должен про? верить, что в решетке L;
156
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
а. операции V и Л ассоциативны, коммутативны и идемпо-тентны (т. е. х Л х = х V х — х);
Ь. х Д (х V у) = х = х V (х Д у) (законы поглощения);
с. х Л у — хох V у = уо-х sC У-
Ясно, что все конечные решетки содержат элементы 0 и 1. Если L и М — решетки, то таковыми же являются L*, LXMu L® М. Однако L + М никогда не будет решеткой, если только одно из множеств L или М непусто, но ч. у. множество L + Л4 всегда является решеткой. На рис. 3.5 показаны диаграммы Хассе всех решеток, содержащих не более шести элементов.
Рис. 3.5.
При проверке, является ли (конечное) ч.у. множество решеткой, иногда легко увидеть, что пересечение, скажем, существует, но существование объединения не столь очевидно. Поэтому будет полезным критерий, сформулированный в следующем предложении. Если каждая пара элементов ч. у. множества Р имеет пересечение (соответственно объединение), то говорим, что Р— нижняя полурешетка (соответственно верхняя полурешетка) ').
1) В оригинале «meet-semilattice», «joiп-semilattice» — в переводах на русский язык наряду с использованием нами терминами встречаются также обозначения «Д-полурешетка» и «V-полурешетка». — Прим, перев.
3.3. Решетки
157
3.3.1. Предложение. Пусть Р — конечная нижняя полурешетка с 1. Тогда Р есть решетка. (Разумеется, двойственным образом конечная верхняя полурешетка с 0 есть решетка.)
Доказательство. Если х, у <^Р, то множество S = {zs Р: z х и z у} конечно (так как Р конечно) и непусто (так как leS). По индукции убеждаемся, что существует пересечение конечного множества элементов нижней полурешетки. Следовательно, имеем xyy=/\zEsSz. □
Предложение 3.3.1 не выполняется для бесконечных решеток L, так как не обязательно существует пересечение или объединение элементов произвольного подмножества в L. Если любое подмножество элементов решетки L действительно имеет пересечение и объединение, то L называется полной решеткой. Ясно, что полная решетка содержит элементы 0 и 1.
Теперь мы рассмотрим один из типов решеток, представляющих для комбинаторики наибольший интерес.
3.3.2. Предложение. Пусть L — конечная решетка. Следующие два условия эквивалентны:
i. L градуирована, и ранговая функция р решетки L удовлетворяет условию р (х) + р (у) р (х“ V у) + р (х у) для всех х, y^L. И. Если элементы х и у оба покрывают х‘Д у, то элемент х V у покрывает как х, так и у.
Доказательство (i) =>(ii). Предположим,~ что х и у покрывают х Л у. Тогда р(х) = р(г/) = р(х Л у) + 1 и р(х V у) > р(х) =р(у). Следовательно, из п. (i) имеем р(х V */) = р(х) + 1 =р(г/) + 1, так что х V у покрывает элементы х и у.
(ii) =>(i). Предположим, что решетка L не градуированная, и пусть [и, и] — интервал из L минимальной длины, не имеющий градуировки. Тогда существуют элементы xt, х2 интервала [и, о], покрывающие и и такие, что все максимальные цепи каждого интервала [х,, и] имеют одну и ту же длину Ц, где 1\ =/= 1^. Из п. (ii) следует, что в интервалах [х(-, и] существуют насыщенные цепи вида х,<_ xi V х2 <. yi < У2 < • • • < у к = и, что противоречит утверждению 1\ =/= 1%. Следовательно, решетка L градуирована.
Предположим теперь, что существует пара элементов х, у решетки L с условием
Р (*) + Р (у) < р (х Д у) + р (х V у), (4)
и выберем такую пару с минимальным значением I (х Л у, xVу), а затем с минимальным значением p(x)+p(i/). В силу п. (ii) оба элемента х и у не могут покрывать х Л у. Поэтому
158 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
предположим, например, что х Л у < х' <Z х. Из минимальности I(х Л у, х V у) и р(х)+ р(у) имеем
Р:(х') + р(у)>р\х' Д г/) + р(х' V у). (5)
Теперь х' Л у = х Л у, так что из формул (4), (5) следует, что р(х) + р(х'V z/) <р(х') + р(х V у).
Ясно, что х Д (х' V у) х' и х у (х' у у) — х у у. Следовательно, положив Х = х, Y = x'y у, мы нашли пару элементов X, Y^L с условием р(Т) + р(К)<р(ХДУ) + р(Х\/У) и I (X Д Y, ХУ У) <1(х Д у, хУ у). Полученное противоречие завершает доказательство. □
Конечная решетка, удовлетворяющая любому из условий предыдущего предложения, называется конечной полумодулярной сверху решеткой или просто конечной полумодулярной решеткой. Читатель может проверить, что из 15 решеток с шестью элементами в точности восемь являются полумодулярными.
Конечная решетка L, двойственная к которой решетка L* полумодулярна, называется полумодулярной снизу. Конечная решетка, которая является одновременно полумодулярной сверху и снизу, называется модулярной решеткой. В силу предложения 3.3.2 конечная решетка является модулярной тогда и только тогда, когда она градуирована и ее ранговая функция р удовлетворяет условию
р (х) + р (у) = р (х Д у) + р (х У у) для всех х, у е L. (6)
Например, решетка Ln(c]) подпространств (упорядоченных по включению) «-мерного векторного пространства над полем Fq является модулярной, так как ранг подпространства есть в точности его размерность и формула (6) известна из линейной алгебры. Любая полумодулярная решетка не более чем с шестью элементами является модулярной. Существует единственная семиэлементная не модулярная, полумодулярная решетка, показанная на рис. 3.6. Эта решетка не является модулярной, так как элемент хУ у покрывает х и у, но элементы х и у не по
3.3. Решетки
159
крывают х Л у. Можно показать, что конечная решетка L является модулярной тогда и только тогда, когда для любой тройки элементов х, у, г из L, где х z, имеем
х V ,(у Л г) = (х V у) Az. (7)
Это позволяет распространить понятие модулярности на бесконечные решетки, хотя мы будем рассматривать только конечные решетки.
Рис. 3.7. Рис. 3.8.
Решетка L с б и 1 называется решеткой с дополнениями, если для каждого элемента x^L существует такой элемент y^L, что х А У =б и х V У =б. Если для всех элементов х дополнение у единственно, то L — решетка с единственными дополнениями. Если каждый интервал [х,у] решетки L является решеткой с дополнениями, то решетка L есть решетка с относительными дополнениями. Атомом конечной решетки L называется элемент, покрывающий б, и если любой элемент L есть объединение атомов, то решетка L называется атомарной (или точечной решеткой). Двойственным образом, коатом — это элемент, который покрывается 1 и очевидным образом определяется коатомарная решетка. Доказательство следующего простого результата мы опускаем.
3.3.3. Предложение. Пусть L — конечная полумодулярная решетка. Следующие два условия эквивалентны:
i. L — решетка с относительными дополнениями,
ii. L — атомарная решетка. □
Каждая полумодулярная решетка, удовлетворяющая условиям (i) или (ii), приведенным выше, называется конечной геометрической решеткой. Основным примером является следующий. Возьмем любое конечное множество точек S в некотором аффинном пространстве V над полем k (или даже над кольцом с делением). Тогда упорядоченные по включению подмножества из S вида S П W7, где W— аффинное подпространство в V,
160 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
образуют геометрическую решетку L(S). Например, если взять множество S с R2 таким, как показано на рис. 3.7, то элементами L(S) являются 0, {a}, {b}, {с}, {d}, {a, d}, {b, d], {с, d}, {а, Ь, с}, {а, Ь, с, d}. В этом примере решетка L(S) в действительности модулярная; она показана на рис. 3.8.
Возможно, читатель захочет проверить правильность заполнения (местами многословной) таблицы, касающейся ч.у. множеств примера 3.3.1.
Ч. у. множество Р Свойства» которыми обладает Р Свойства, которыми Р не обладает (и велико)
п модулярная решетка решетка с дополнениями, атомарная, коатомарная, геометрическая
Вп модулярная решетка, решетка с относительными дополнениями, с единственными дополнениями, атомарная, коатомарная геометрическая
Dn модулярная решетка решетка с дополнениями, атомарная, коатомарная, геометрическая (если только п не свободно от квад-
ратов, в противном случае Dn = Вп)
п„ геометрическая решетка модулярная
Вп модулярная решетка, ре- решетка с единственными
шетка с относительными дополнениями, атомарная, коатомарная, геометрическая дополнениями
3.4. Дистрибутивные решетки
Наиболее важный класс с комбинаторной точки зрения образуют дистрибутивные решетки. Они определяются законами дистрибутивности:
х V (у Л z) = (х V У) Л (х V z),
х Д (у Д z) = (х Л у) V (х Д z).
(Можно доказать, что любой из этих законов влечет за собой другой.)1) Если мы предположим, что x^z в первом законе
*) То есть выполнение одного тождества для всех троек х, у, г влечет за собой выполнение другого тождества также для всех троек. Выполнение одного тождества для какой-нибудь тройки элементов х, у, г не влечет, конечно, выполнения другого тождества для этой же тройки. — Прим, перев.
3.4. Дистрибутивные решетки
161
дистрибутивности, то получим формулу (7), так как х V z = z. Следовательно, каждая дистрибутивная решетка является модулярной. Решетки и, Вп и Dn примера 3.1.1 дистрибутивны, а решетки П„ (п > 2) и Ln(q) (п > 1) не дистрибутивны. Другой пример дистрибутивной решетки дает решетка J (Р) порядковых идеалов ч.у. множества Р. Решеточные операции V и Д на порядковых идеалах есть в точности объединения и пересечения их (как подмножеств множества Р). Так как объединение и пересечение порядковых идеалов есть снова порядковый идеал, то из хорошо известного свойства дистрибутивности объединений и пересечений множеств следует, что J(P) действительно дистрибутивная решетка. Фундаментальная теорема для конечных дистрибутивных решеток (ФТКДР) гласит, что обратное тоже верно, если решетка конечна.
3.4.1. Теорема (ФТКДР). Пусть L — конечная дистрибутивная решетка. Тогда существует единственное (с точностью до изоморфизма) конечное ч. у. множество Р, для которого L^J(P).
Замечание. Для комбинаторных целей было бы лучше всего в действительности определить конечную дистрибутивную решетку как произвольное ч.у. множество вида /(Р), Р конечно. Однако, чтобы избежать конфликта с установившейся практикой, мы дали обычное определение.
Чтобы доказать теорему 3.4.1, сначала мы должны построить кандидата Р, а затем показать, что в действительности L^J(P). Назовем элемент х решетки L неразложимым в объединение *), если нельзя записать х в виде х = у V z, Tjps. у <Z х и z < х. (Двойственным образом определяется элемент, неразложимый в пересечение.) Мы предполагаем, что элемент 0 не является неразложимым в объединение. Порядковый идеал I конечного ч.у. множества Р неразложим в объединение в J(Р) тогда и только тогда, когда он является главным идеалом в Р. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между неразложимыми в объединение элементами Ах из / (Р) и элементами х из Р. Так как Ах S тогда и только тогда, когда х у, мы получаем
3.4.2. Предложение. Множество неразложимых элементов из J(P), рассматриваемое как (индуцированное) ч.у. подмножество решетки ЦР), изоморфно Р. Следовательно, J(P)^J(Q) тогда и только тогда, когда Р ^Q. □
’) В литературе неразложимые в объединение элементы иногда называют «V-неразложимымн», а неразложимые в пересечение — «Д-неразложи-мыми».—Прим, перев.
6 Р. Стенли
162
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Доказательство теоремы 3.4.1. В силу предложения 3.4.2 достаточно показать, что если Р — ч.у. подмножество неразложимых в объединение элементов из L, то L J(Р). По данному xg £ положим 1Х = {у е Р: у^х}. Ясно, что IX^J(P), так что отображение х^>-1х определяет сохраняющее порядок (на самом деле сохраняющее пересечения) вложение L -Д> J-(P), обратное к которому сохраняет порядок на <р(Р). Следовательно, нам нужно показать, что <р — сюръекция. Пусть / е J(Р) и x = V{y: z/e/}. Нам нужно показать, что / = 1Х. Ясно, что I £ 1Х. Пусть z е 1Х. Теперь
V {у. y^I}= V {у. yt=Ix}. (9)
Применим Дг к формуле (9). Из дистрибутивности получим
V {у Л z: у^1} = V {у Л z: у f=Ix}. (10)
Правая часть равенства есть в точности z, так как один из членов есть z, а все другие ^z. Так как элемент z неразложим в объединение (будучи по определению элементом из Р), из формулы (10) следует, что некоторый элемент у^.1 удовлетворяет условию z/Az = z, т. е. z у. Так как / — порядковый идеал, z<eI, то Ix е I. Следовательно, I = 1Х. Откуда и следует результат. □
В некоторых комбинаторных задачах естественно появляются бесконечные дистрибутивные решетки специального вида. Таким образом, назовем локально конечную дистрибутивную решетку L с элементом б финитарной дистрибутивной решеткой. Отсюда следует, что L имеет единственную ранговую функцию р: L->-N, где р(х) — длина любой насыщенной цепи от 0 до х. Если решетка L имеет конечное число pt элементов любого данного ранга i е N, то можно определить ранговопроизводящую функцию F(L,q) равенством
F(L, Ptq1
i^()
В этом случае, конечно, F(L,q) не обязательно многочлен, но в общем случае — формальный степенной ряд. Мы оставляем читателю проверить, что ФТКДР для финитарных решеток формулируется так:
3.4.3. Предложение. Пусть Р — ч.у. множество, такое, что любой его главный порядковый идеал конечен. Тогда ч. у. множество Jf (Р) конечных порядковых идеалов ч. у. множества Р, упорядоченных по включению, есть финитарная дистрибутивная решетка. Обратно, если L — финитарная дистрибутивная ре-
3.4. Дистрибутивные решетки 163
шетка и Р — ее ч.у. подмножество, состоящее из элементов, неразложимых в объединение, то любой главный идеал ч. у. множества Р конечен и L = Jf(P). □
Теперь мы обратимся к исследованию комбинаторных свойств решетки J(Р) (где ч.у. множество Р конечно) и взаимосвязи между ч.у. множествами Р и J(P). Если I — порядковый идеал в Р, то элементы из J(P), покрывающие I, являются в точности порядковыми идеалами 7(JW> где х — минимальный элемент множества Р — I. Отсюда мы выводим
3.4.4. Предложение. Если Р — п-элементное ч.у. множество, то J(Р)—градуированное ч.у. множество ранга п. Далее, ранг р(/) элемента /е/(Р) есть в точности мощность |/| множества I, рассматриваемого как подмножество Р. □
Из предложений 3.4.2, 3.4.4 и ФТКДР следует, что существует биекция между множествами классов изоморфных ч.у. множеств Р мощности п и множеством классов изоморфных дистрибутивных решеток ранга п. Эта биекция ч.у. множеству Р сопоставляет решетку ЦР), а обратная биекция относит решетке J(Р) ч. у. множество ее неразложимых в объединении элементов. В частности, число неизоморфных ч. у. множеств мощности п равно числу неизоморфных дистрибутивных решеток ранга п.
Если Р = п — n-элементная цепь, то 7(Р) = п-|-1. В другом крайнем случае, если Р = «1 — «-элементная антицепь, то любое подмножество в Р является порядковым идеалом и J(Р) есть в точности множество подмножеств множества Р, упорядоченных по включению. Следовательно, ч.у. множество /(«]) изоморфно ч. у. множеству Вп примера 3.1.1(b), и мы просто пишем Bn = J(nl). Мы называем Вп булевой алгеброй ранга «. (Обычное определение булевой алгебры наделяет ее более богатой структурой, чем просто структура дистрибутивной решетки, но для наших целей мы будем рассматривать Вп как некоторую дистрибутивную решетку.) Из ФТКДР (или как-нибудь иначе) следует, что следующие условия на конечную дистрибутивную решетку L эквивалентны:
a. L — булева алгебра,
b. L — решетка с дополнениями,
с. L — решетка с относительными дополнениями, d. L — атомарная решетка,
е. 1 есть объединение атомов L, f. L — геометрическая решетка, g. любой неразложимый в объединение элемент L покрывает О, h. если L имеет п неразложимых в объединение элементов,
6*
164
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
то L имеет по крайней мере (равносильно, в точности) 2" элементов.
i. рангово-производящая функция решетки L есть (1 + q)n для некоторого п.
Для данного порядкового идеала / ч.у. множества Р определим отображение Р->-2 формулой (1, хе/, f/ W = | 2, х Ф /.
Тогда в 2Р, тогда и только тогда, когда / э Г. Следо-
вательно, J(P*) = 2p. Заметьте также, что /(Р*) = /(Р)* и J (Р + Q) = I (Р) X HQ)- В частности, Вп = /(nl) /(1)" = 2".
Рис. 3.9.
Рис. 3.10.
Это соображение дает возможность изображать решетку Вп, используя метод предыдущего раздела для изображения произведений. Например, полученная таким образом диаграмма Хассе решетки В3 изображена на рис. 3.9, а на рис. 3.10 показано, как получить диаграмму Хассе ч.у. множества В4.
Если /^/' в дистрибутивной решетке J (Р), то интервал [/, /'] изоморфен J (/'— /), где /'— / рассматривается как (индуцированное) ч. у. подмножество ч. у. множества Р. В частности, [/,/']— дистрибутивная решетка. (Более общим образом: любая подрешетка дистрибутивной решетки дистрибутивна.) Отсюда следует, что существует взаимно однозначное соответствие между интервалами [/,/'] решетки J (Р), изоморфными решетке Bk(k^l), такими, что не существует интервалов [/С, /'], где К < /, являющихся булевыми алгебрами, и ^-элементными антицепями в Р. Равносильно: ^-элементные антицепи в Р соответствуют элементам J(P), покрывающим в точности k элементов.
Мы можем использовать развитые выше идеи для описания метода изображения диаграммы Хассе решетки J(P) по данной диаграмме Хассе ч.у. множества Р. Пусть / — множество минимальных элементов из Р, скажем мощности т. Для начала, изобразим Bm=J{I). Теперь выберем минимальный элемент множества Р — /, скажем х. Присоединим неразложи
3.4. Дистрибутивные решетки
165
мый в объединении элемент, покрывающий порядковый идеал Ах— {*} к J (/). Множество объединений элементов, покрывающих идеал Ах — х, должно образовывать булеву алгебру, так что нарисуем необходимые объединения, чтобы это условие выполнялось. Теперь могут существовать элементы, покрывающие Ах — х, покрывающие элементы которых, однако, не
Рнс. 3.20.
Рис. 3.21.
имеют объединений. Нарисуем эти объединения, чтобы образовать булеву алгебру. Будем продолжать до тех пор, пока каждое множество элементов, покрывающих данный элемент, не будет иметь объединение. Таким образом, мы получим дистрибутивную решетку /(/U {х}). Теперь выберем минимальный элемент у из Р — I—{х} и присоединим неразложимый в объединение элемент к /(/(J {%}), покрывающий порядковый
166
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
идеал Лу—{у}. «Заполним» покрывающими элементами нужные места, как и раньше. Это дает J (I U {х,у}). Будем продолжать до тех пор, пока не получим ЦР). Сам процесс проще произвести, чем описать. Проиллюстрируем его, взяв ч. у. множество Р, изображенное на рис. 3.11. Мы будем обозначать подмножества Р типа {a, b, d} через abd. Во-первых, изобразим В3 = J(abc), как на рис. 3.12. Присоединим порядковый идеал \d = abd над ab (и пометим его буквой d) (рис. 3.13). Добавим объединения элементов, покрывающих ab (рис. 3.14). Присоединим Ьсе над Ьс (рис. 3.15). Дополним объединениями элементов, покрывающих Ьс (рис. 3.16). Введем объединения элементов, покрывающих abc (рис. 3.17). Добавим cf над с (рис. 3.18). Дополним объединениями элементов, покрывающих с. Эти объединения (включая объединение с с пустым множеством) образуют булеву алгебру ранга три. Элементы а, ас, be, cf и abc уже присутствуют там, так что нам необходимы три дополнительных объединения acf, bcf и abcf (рис. 3.19). Теперь введем объединения элементов, покрывающих Ьс (рис. 3.20). Наконец, добавим объединения элементов, покрывающих abc (рис. 3.21). После небольшой практики, эта процедура дает довольно эффективный метод вычисления вручную рангово-производящей функции F(J(P),q). Для примера, рассмотренного выше, мы видим
F(/(P), <?) = 1 + 3? + 4?2 + 5q3 + bq* + З?5 + q*.
Дальнейшую информацию о ч.у. множествах вида «зигзаг» (заборы), подобных изображенным на рис. 3.11, см. упражнение 23.
3.5. Цепи в дистрибутивных решетках
Мы видели, что многие комбинаторные свойства конечного ч.у. множества Р имеют простые интерпретации в терминах J(P). Например, число ^-элементных порядковых идеалов в Р равно числу элементов из J(P), имеющих ранг k, и число ^-элемент-ных антицепей (k^ 1) в Р равно числу элементов из ЦР), покрывающих в точности k элементов. Мы хотим обсудить еще один пример такой же природы.
3.5.1. Предложение. Пусть Р — ч. у. множество и m е N. Следующие числа равны:
а. Число сохраняющих порядок отображений о: Р->т.
Ь. Число мультицепей 0 = /0 Л ... = 1 длины те ЦР).
с. Мощность 7(РХш —1).
3.5. Цепн в дистрибутивных решетках
167
Доказательство. По данному отображению о: Р—>т определим /; = o~1(j). По данной мультицепи 0 = /0 s^/1 X • • lm = 1 определим порядковый идеал I множества РХт — 1 формулой / = {(х, /)е Z1 Хш — 1: хе Для данного порядкового идеала I ч.у. множества Р X гл — 1 положим о: Р —> то (х)= = min{m — j: (х, /) е /}, если (х, j)^I для некоторого /, а в противном случае а (х) = пг. Это дает требуемую биекцию. □
Заметьте, что эквивалентность п. (а) и (с) следует также из вычисления:
В качестве модификации предыдущего предложения имеем
3.5.2. Предложение. При сохранении обозначений предложения 3.5.1 следующие числа равны-.
а. число сюръективных сохраняющих порядок отображений о: Р—► т.
Ь. Число цепей Ь = /о</]< ... </т=1 длины m в J(P).
Доказательство. Оставляется читателю. □
Один специальный случай предложения 3.5.2 имеет особый интерес. Если | Р | = п, то сохраняющая порядок биекция о: Р-+п называется расширением Р до полной упорядоченности или линейным расширением Р. Число расширений Р до полной упорядоченности обозначается е(Р) и является, вероятно, единственным весьма полезным числом, измеряющим «сложность» ч. у. множества Р. Из предложения 3.5.2 следует, что е(Р) также равно числу максимальных цепей в J(P).
Можно отождествить расширение о: Р->п до полной упорядоченности с перестановкой о-1(1), ..., о-1(п) элементов множества Р. Аналогично, мы можем следующим образом отождествить максимальную цепь в J(Р) с «решеточным путем» некоторого типа в евклидовом пространстве. Пусть Сь ... ..., С— разбиение Р на цепи. (По следствию хорошо известной теоремы Дилуорса наименьшее возможное значение k равно мощности наибольшей антицепи в Р.) Определим отображение 6: J(P)->Nfe формулой
6(/) = (|/ПС1|, |/ПС2|, ..., |/ПС*|)/
Если мы снабдим N4 порядком произведения ч.у. множеств (очевидным образом), то 6 станет инъективным решеточным гомоморфизмом, сохраняющим отношение покрытия (и, следовательно, сохраняющим ранг). (Таким образом, в частности,
168
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
решетка ЦР) изоморфна подрешетке Nft. Если мы выберем каждую цепь такой, что |С,|= 1, то получим сохраняющий ранг инъективный гомоморфизм 1(Р)-+Вп, где |Р| = и.) По данному отображению б: J(P)->N4, определенному выше, положим Гв = Ut-cx(6(7’)), где сх обозначает выпуклую оболочку в Rft, а Т пробегает множество всех интервалов в /(Р), изоморфных булевым алгебрам. Таким образом, Г6 — компактное полиэдральное подмножество пространства Rft. Тогда ясно, что число максимальных цепей в J (Р) равно числу решеточных путей в Гв из начала координат (0, ..., 0) = 6(0) до точки 6(1), причем единичные шаги делаются в направлении координатных осей. Другими словами, е(Р) равно числу способов записать 6(1) = vt + V2 + ... + vn, где каждое слагаемое vt— единичный координатный вектор в R* и где щ + t>2 + ... + vt е е Г6 для всех i. Перечисление решеточных путей — широко развитый предмет, с которым мы столкнулись в разд. 2.7. Суть здесь состоит в том, что некоторые задачи о решеточных путях эквивалентны определению числа е(Р) для некоторого ч.у. множества Р. Таким образом, они также эквивалентны задаче подсчета перестановок некоторых типов.
3.5.3. Пример. Пусть ч. у. множество Р задано на рис. 3.22. Возьмем С\={а,с}, Сг = {b,d,e}. Тогда погружение 6 решетки
Рис. 3.22. Рис. 3.23.
Рис. 3.24.
J(Р) в N2 задано на рис. 3.23. Чтобы получить полиэдральное множество Г6, мы просто «заполним» квадраты на рис. 3.23, получив полиэдральное множество, изображенное на рис. 3.24. Существует девять решеточных путей требуемого типа в П6 из точки 0,0) в точку (2,3), то есть, е(Р) = 9. Соответствующие девять перестановок множества Р есть abcde, bacde, abdce, bacde, bdace, abdec, badec, bdaec, bdeac.
3.5. Цепи в дистрибутивных решетках
169
3.5.4. Пример. Пусть Р — дизъюнктное объединение Ci + С2 цепей С[ и С2 мощностей тип. Тогда Г6 — т X п прямоугольник с вершинами (0,0), (хп,0), (0, п), (т,п). Как отмечалось в упражнении 3 гл. 1, число решеточных путей из точки (0,0) в точку (т, п) с шагами вида (1,0) и (0,1) равно / т + п \
I I = е (Сх + С2). Расширение о: P-*m + n до линейного порядка полностью определяется образом o(C’i), который может быть любым m-элементным подмножеством m + n. Tax' т + п \
ким образом, снова мы имеем e(C1 + C2) = l т J- Более общим образом, если Р = Р1 + Р2 + ... + Рк и пг = | Р( |, то
( П, -|- ... Пь \
е(Р) = ( „ „ ••• е(Рк).
\ «1» • • •> «fe /
3.5.5. Пример. Пусть Р = 2%п и, положим = {(2, у): yen}, С2 = {(1, /); yen}. Тогда 6(J(P)) = {(Z, у) е N2: 0^i<y<«}-
Рис. 3.25.
Например, если п = 3, получим рис. 3.25. Следовательно, е(Р) равно числу решеточных путей из точки (0,0) в точку (п, и) с шагами (1,0) и (0,1), которые нигде не превышают главную диагональ х = у плоскости (х, у). Из определения е(Р), мы видим, что это число также равно количеству 2 X п матриц, элементы которых — различные целые числа 1, 2, ..., 2п, возрастающие вдоль каждой строки и каждого столбца. Например,
170
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
е(2ХЗ) = 5, что соответствует матрицам
123 124 125 134 135
456 356 346 256 246
। / ли \
Можно показать, что е(2Хп) = —xrl )• Это известные
Л ~Г 1 \ д /
числа Каталана (см. также упражнение 37(c) гл. 1).
<(N +N)
Рис. 3.26.
Мы уже видели два способа нахождения чисел е(Р)\ подсчетом некоторых сохраняющих порядок отображений (или перестановок) или подсчетом некоторых цепей. Можно, однако, с других позиций рассматривать числа е(Р), а именно как числа, удовлетворяющие некоторому рекуррентному соотношению. Рассмотрим е как функцию на решетке ЦР), т. е. для Iе J(Р) положим е(1)— число расширений идеала I (рассматриваемого как ч.у. подмножество из Р) до полной упорядоченности. Таким образом, е(1) есть также число насыщенных цепей из 0 до / в ЦР). Отсюда ясно, что
е(/) = £еП (11)
г
где Р пробегает множество всех элементов ЦР), покрываемых I. Другими словами, е(1) есть «сумма тех значений е(Р), которые лежат непосредственно ниже» I. Это аналог определения треугольника Паскаля, в котором каждый элемент есть сумма двух лежащих «непосредственно выше». Действительно, если взять в качестве Р бесконечное ч. у. множество N + N и пусть Jf(P) — решетка конечных порядковых идеалов Р, то Д(Р)£$
/ m-\-n
\ n
3.6. Алгебра инцидентности ч. у. множеств 171
^NXN. Если пометить элементы (Р) числами е(1), то получим в точности треугольник Паскаля (хотя и в перевернутой записи по сравнению с обычным его определением). Каждый конечный порядковый идеал I ч.у. множества N + N имеет вид m + п для некоторых т и п, и из примера 3.5.4 мы
действительно имеем е (J (m + n)) = е (m + 1 Хп +1) =
См. рис. 3.26.
Руководствуясь этим примером, мы определим обобщенный треугольник Паскаля как финитарную дистрибутивную решетку L = Jf(P) и функцию е: £->Р. Числа е(/) обобщенного треугольника Паскаля, таким образом, имеют три тех же свойства, что и обычный треугольник Паскаля: (а) они подсчитывают перестановки некоторых типов, (Ь) они подсчитывают решеточные пути некоторых типов и (с) они удовлетворяют простому рекуррентному соотношению1).
3.6. Алгебра инцидентности
локально конечных ч. у. множеств
Пусть Р — локально конечное ч.у. множество и Int(Р) обозначает множество интервалов Р. (Напомним, что пустое множество не является интервалом.) Пусть К—-поле. Для функции /: lnt(P)->K мы будем писать f(x,y) вместо /([%,у]).
3.6.1. Определение. Алгеброй инцидентности ЦР, К) ч.у. множества Р над К называется /(-алгебра всех функций
f: Int(P)->K
(наделенная обычной структурой векторного пространства над К), где умножение (или свертка) определяется формулой fg(x,y)= 2 f(x,z)g(z,y).
x^z^y
Написанная выше сумма конечна (и, следовательно, определена функция fg), так как ч.у. множество Р локально ко-
’) Числа е(Р) имеют еще одни смысл: е(Р) = |Р|! vol(J?), где t?— многогранник, построенный при решении упражнения 74 этой главы. Выражение числа е(Р) через объем подходящего многогранника позволяет эффективно оценивать эту важную характеристику ч. у. множеств с помощью некоторого вероятностного алгоритма. См. Lovasz L. An algorithmic theory of numbers, graphs and convexity, SIAM, Philadelphia, 1986, p. 61; Dyer M., Frieze A., Kannan R. A random polynomial time algorithm for approximating the volume of convex bodies. Preprint RR. 88—40. Pittsburgh, Carnegie Mellon University, 1989. — Прим, nepee.
172
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
нечно. Легко видеть, что I (Р, К)—ассоциативная /(-алгебра с (двусторонней) единицей, обозначаемой б или 1, определяемой формулой
( 1, если х = у, ЬЦ, у) = <
( 0, если х ¥= у-
Для наших целей достаточно всегда брать К — С, так что мы просто пишем I (Р) вместо ЦР, С).
Можно считать, что ЦР,К) состоит из всех формальных выражений вида f = int(P) f(x, у) [x, у]. Тогда свертка определяется единственным образом из условия
( [х, да], если u = z, [х, у] • [z, да] = <
(.0, если у =£ г,
распространением на все пространство ЦР,К) по билинейности (допускаются бесконечные линейные комбинации интервалов [х, у\). Пометим элементы конечного ч. у. множества Р х5 символами хц хп, где х, < х/ => i < j
(существует в точности е(Р) способов, ко-/ торыми можно так пометить элементы Р,
\ х4 где число е(Р) определено в разд. 3.5). / / Тогда алгебра /(Р) изоморфна алгебре
er J всех верхних треугольных матриц Af=(mi;)
X] х2 над С, где 1 i, j и, таких, что т,/ = 0, Рис. 3.27. если xt X/. (Доказательство. Отождествим с f(xi, х/).) Например, для ч.у. множества Р, изображенного на рис. 3.27, алгебра ЦР) изоморфна алгебре всех матриц вида
*0*0* о * * * * 0 0*0* 0 0 0 ** 0 0 0 0 *
3.6.2. Предложение. Пусть f е I(Р). Следующие условия эквивалентны-.
a. f имеет обратный слева элемент,
b. f имеет обратный справа элемент,
с. f имеет двусторонний обратный (который необходимо является единственным левым и правым обратным элементом),
3.6. Алгебра инцидентности ч. у. множеств 173
d. f(x, х) =?£ О для всех х^Р.
Далее, если элемент f~l существует, то J ' (х. у) зависит только от ч. у. множества [х, у].
Доказательство. Равенство fg = b эквивалентно
f (х, х) g (х> х) — 1 для всех х^Р (12)
и
g(x, у) = — f (х, х)-1 X fix, z)g(z, у) для всех пар х < у в Р.
Отсюда следует, что f имеет обратный справа элемент g тогда и только тогда, когда f(x, х)=И=0 для всех хе Р, и что в этом случае f~*(x,у) зависит только от [х,у]. Те же рассуждения, примененные к равенству hf = б, показывают, что f имеет обратный слева элемент h тогда и только тогда, когда f(x, х)=/=0 для всех хеР; т. е. тогда и только тогда, когда f имеет обратный справа. Но из равенств fg = б и hf = b имеем g = h, откуда и следует требуемое. □
Рассмотрим некоторые полезные функции из ЦР). Дзета-функция определяется равенством
£(х, у) = 1 для всех х^у в Р.
Таким образом,
£(х,у)= £ 1 = card[x, у]. X < Z < у
Более общим образом, если /ге Р, то
lkix, у) = Е 1
х=х0 < х, < ... < Xk < у
есть число мультицепей длины k от х до у. Аналогично, ( 1, если х < и, (g — 1)(х, t/) = < _
' а (0, если х = у.
Следовательно, если k е Р, то (£— 1)&(х, у) есть число цепей х = х0 < X] < ... < хк = у длины k от х до у. Из предложений 3.5.1 и 3.5.2 получаем дополнительные интерпретации выражений £*(х, у) и (£—1)*(х, у) в случае, если Р —дистрибутивная решетка.
Рассмотрим теперь функцию 2 —£е/(Р). Таким образом,
( 1, если х = у,
(2-£)(х, г/) = < ,
( — 1, если х < у.
174
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
В силу предложения 3.6.2 2 — £ — обратимая функция. Мы утверждаем, что (2 — ч) -1 (х, у) равно общему числу цепей х = = л'о < Л'1 < ... < xk = у от х до у. Мы наметим два объяснения этого факта.
Первое объяснение. Пусть I — длина самой длинной цепи в интервале [х, у]. Тогда (g — 1/+1 (и, v) = 0 для всех х и v
у. Таким образом, для х и v у
(2 — g)[l + (£ — 1) + U — 1)2+ ••• + (? — 1У](«, 4 = = [1 - (£ — 1)] [1 +(£- 1)+ ••• +(?-!)'](«, v) = = [!-(£-l)z+'](u, и) = 6(«, v).
Следовательно, (2 — £) 1 = 1 + (£ — 1) -ф ... -(- (£ — 1/ при ограничении на Int([x, у]). Но из определения I ясно, что [1 + (£ — 1) + • • • + (£ — 1/] (х, у) есть общее число цепей от х до у, что и требовалось. □
Второе объяснение. Наше второе объяснение в сущности эквивалентно первому, но использует немного топологии, чтобы избежать необходимости ограничивать наши рассмотрения интервалами. Топологический подход можно использовать для того, чтобы проводить без труда в алгебре I(Р) вычисления подобного вида. Введем топологию в 7(Р) по аналогии с тем, как в гл. 1 мы ввели топологию в кольце С[[х]], положив, что последовательность функций ft, f2, ... сходится к f, если для всех пар х у существует п0 = п0(х, у)<^ Г, что fn(x, у) = = f(x,y) для всех п п0. Следующее вычисление имеет смысл в этой топологии (так как бесконечный ряд сходится)
(2-cr‘ = (i-(?- 1)г*= Е «-о*.
так что (2 — 4 1 (х, у)= Е (£ — 4* 4- У) Е (число цепей длины k от х до у) — общее число цепей от х до у. □
Аналогично приведенной выше интерпретации функции (2 — 4-1 мы оставляем читателю проверить, что значение (1—т])-1(Л',4 равно общему числу максимальных цепей в интервале [х, у], где т] определяется условием
f 1, п(м 4 = | 0
если у покрывает х, в противном случае.
3.7. Формула обращения Мёбиуса 175
3.7. Формула обращения Мёбиуса
Из предложения 3.6.2 следует, что дзета-функция локально конечного ч.у. множества Р обратима; обратная к ней называется функцией Мёбиуса ч.у. множества Р и обозначается р (или [ip, если возможна путаница). Можно определить ц индуктивно, не обращаясь к алгебре инцидентности. Именно соотношение ц£ = б эквивалентно равенствам
р(х, х) = 1 для всех х е Р,
ц (х, у)==— Е И 2) Для всех паР х < У в Р- (14) x<z<a
3.7.1, Предложение. (Формула обращения Мёбиуса.) Пусть Р — ч. у. множество, в котором каждый главный порядковый идеал конечен. Пусть f, g\ Р-*-С. Тогда
g(x)~ У f(у) для всех х^Р
У<х
тогда и только тогда, когда
f(x) = Е ё (у) И (У> х) для всех хе Р.
Доказательство. Множество Ср всех функций Р->С образует векторное пространство, в котором I(Р) действует (справа), как алгебра линейных преобразований, по формуле
(Ю(х) = Е f№(y, Л-), у
где /еСр, ge/(P). Формула обращения Мёбиуса в этом случае есть не что иное, как утверждение
f^g^^gp. □
Иногда удобна двойственная формулировка формулы обращения Мёбиуса.
3.7.2. Предложение. (Формула обращения Мёбиуса, двойственная форма.) Пусть Р — ч.у. множество, в котором каждый двойственный главный порядковый идеал Vx конечен. Пусть f,g^ Ср. Тогда
g(x) = Е f (у) для всех х^Р
У >х
тогда и только тогда, когда
f (х) = Е И (х, у) g (у) для всех хе Р.
176
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Доказательство. Точно такое же, как и выше, только теперь алгебра I(Р) действует слева:
(^)(*) = Е у) fly). □
У>х
Как и в принципе включения — исключения, чисто абстрактная формула обращения Мёбиуса, как, например, приведенная выше, есть не более чем тривиальное наблюдение из линейной алгебры. Здесь важны именно применения формулы обращения Мёбиуса. Сначала мы покажем, что формула обращения Мёбиуса действительно объясняет формулы, подобные формуле (1).
Даны п конечных множеств Si, ..., Sn, и пусть Р — ч.у. множество их пересечений, упорядоченное по включению, содержа-
щее в том числе пустое пересечение Si U ... U Sn = 1. Для Т е Р пусть /’(?’) есть число элементов множества Т, не принадлежащих ни одному подмножеству Т' < Т из Р, и пусть g(Т) = | Г]. Мы хотим получить выражение для | Sj U ••• U5„ | = Ег<Т НЛ=£(1) • Теперь g (Т) = ^т,<т f (Т'), так что из формулы обращения Мёбиуса на Р имеем
о=/(Г>= Е ^(Г)н(г, f) =>g(f) = - Ejt’mt’J), Т Е Р Т < 1
что и требовалось. В примере, описанном уравнением (1), ч. у. множество Р изображено на рис. 3.28. Действительно, р(А, 1) = = ц(В, Т) = ц(С, 1) = — 1 и ц(О, Т) = 2, откуда следует формула (1).
3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса
Чтобы формула обращения Мёбиуса представляла какую бы то ни было ценность, необходимо уметь вычислять функцию Мёбиуса для интересующих ч. у. множеств Р. Мы начнем с простого примера, который может быть решен «грубой силой».
3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса
177
3.8.1. Пример. Пусть Р есть цепь N. Непосредственно из формулы (14) следует, что
1,
Р(С /) = 5 —1,
О
если i = /, если i + 1 = j, в других случаях.
Формула обращения Мёбиуса принимает вид
п
g (я) = X f (О ДЛЯ всех п > (n) = g(n) — g(n — 1)
1=0
для всех п > 0.
Другими словами, операторы S и А (где начальные значения оператора S определяются подходящим образом) взаимно обратны; это конечно-разностный аналог «основной теоремы анализа».
Так как только в редких случаях функции Мёбиуса можно вычислить непосредственно, как в примере 3.8.1, нам нужна общая техника ее подсчета. Мы начнем с простейшего результата этой природы.
3.8.2. Предложение (теорема о произведении). Пусть Р и Q — локально конечные ч. у множества, и Р\ Q — их прямое произведение. Если (х, у) (х', у') в Р'Х Q, то
^PXQ «-V> УУ) = <Х’ -И Hq (У’ У'У
Доказательство. Пусть (х, у) (х', у'). Имеем
2 (х, и) pQ (у, v) = ( S Цр(х,и))-
(X. </)<(«. у') Z
’ ( = ^xx'byy' = 6(х, у}, (х', у')-
\y<v^y' /
Сравнение этого равенства с формулой (14), которая однозначно определяет функцию п, завершает доказательство. □
Для читателей, знакомых с понятием тензорного произведения, упомянем более концептуальный способ доказательства предыдущего предложения. Именно, легко видеть, что /(PXQ) = = I (Р) ® I (Q) и t,p e следовательно ц;, х Q = ® pQ.
3.8.3. Пример. Пусть Р = Вп — булева алгебра ранга п. Тогда Вп^2п и функция Мёбиуса цепи 2 = {1, 2} дается формулой ц(1, 1) = р(2, 2) = 1, ц(1, 2) = —1. Следовательно, если отождествить ВГ1 с множеством всех подмножеств «-множества X,
178 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
мы заключаем из теоремы о произведении, что
р(Т, S) = (—l)|s-r|.
Так как IS—PI есть длина l(T, S) интервала [Г, S], в терминах теории ч. у. множеств имеем
ц(Т, S) = (-l)!(T’s>. (15)
Формула обращения Мёбиуса для В,, превращается в следующее утверждение. Пусть /, g: Вп-+С, тогда
g(S) = X f (Л для всех S s X
TsS
тогда и только тогда, когда
f(S) = X (-l)IS~ri g(T) Для всех S<=X.
T^S
Это — в точности уравнение (8) гл. 2. Следовательно, можно сказать, что обращение Мёбиуса в булевой алгебре эквивалентно принципу включения — исключения. Заметьте, что уравнение (8) гл. 2 и формула обращения Мёбиуса в действительности доказывают формулу (15), так что мы теперь имеем два доказательства этого результата.
3.8.4. Пример. Пусть пъ п2, ..., nk — неотрицательные целые, и пусть Р = л, +1 X Пг + 1 X ... X Пк + 1. Заметим, что ч. у. множество Р изоморфно дистрибутивной решетке J (п^гь-)- • • + nft). Отождествим Р с множеством всех ^-наборов (аь а2, ..., nfe)eNfc, 0^пг^иг, упорядоченных покомпонентно. Если a^^bi для всех г, то интервал [(аь ..., ak), (6Ь .... 6fe)J в ч. у. множестве Р изоморфен bi — ai + lX ХЬк —ак + 1. Следовательно, из примера 3.8.1 и предложения 3.8.2 мы имеем
(_1)2(6г а;)> если все разности Ь( — а, равны О
ц((а>, ..., ak), (6„ ..., bk)) = { ИЛИ 1,
О в протнвнО1М слу-
чае.
(16)
Равносильно,
__( (—1)г(х,у\ если [х, у} — булева алгебра,
I 0 в противном случае.
(Некоторое обобщение см. в примере 3.9.6.)
3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса
179
Есть еще два интересных способа интерпретировать решетку Р = П1 +1 X ••• ХПх + 1. Во-первых, ч.у. множество Р изоморфно ч. у. множеству подмультимножеств мультимножества {х"1, ..., x'kk], упорядоченных по включению. Во-вторых, если N — положительное целое число вида р"1 ... pnkk, где рг — различные простые числа, то Р изоморфно ч. у. множеству £)Л-, определенному в примере 3.1.1(c), состоящему из положительных целых делителей числа N, упорядоченных по делимости (т. е. г s в Р, если r\s). В этом последнем случае формула (16) принимает вид
если s/r есть произведение I различных простых чисел, в противном случае.
Другими словами, ц(т, s) есть в точности классическая функция Мёбиуса |.i(s/r) из теории чисел. Формула обращения Мёбиуса превращается в классическую, а именно
g(n) — Е f(d) для всех п|N d | п
тогда и только тогда, когда
f(n) = X g(d)n(n[d) для всех n\N. d | п
Это объясняет терминологию «функция Мёбиуса ч.у. множества».
Вместо того, чтобы ограничиваться делителями фиксированного целого N, естественно рассмотреть ч.у. множество Р всех положительных целых, упорядоченных по делимости. Так как каждый интервал [г, s] этого ч.у. множества встречается как интервал в решетке делителей s (или любого числа N, для которого з)М), функция Мёбиуса остается прежней ц(г, з) = = p(s/r). Более абстрактно, ч.у. множество Р изоморфно финитарной дистрибутивной решетке
Л(Р + Р + Р ... + ...) = Jf( Е П N, (17) \п > 1 / п > I
где произведение Un>1N есть ограниченное прямое произведение (отличных от нуля компонент любого элемента произведения лишь конечное множество). В других терминах ч.у. множество Р можно отождествить с решеткой всех конечных мультимножеств на множестве Р (или любом другом счетном бесконечном множестве).
180
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Теперь мы подошли к очень важному способу вычисления функций Мёбиуса.
3.8.5. Предложение. Пусть Р — конечное ч. у. множество и Р обозначает Р с присоединенными элементами 0 и 1. Пусть ct — число цепей 0 = х0 < xt < ... < xt = 1 длины i между элементами 0 и 1. {Таким образом, со = О и <?[ = ].) Тогда
Ир (бЛ) = са —С1 + с2 —с3+ ... . (18)
Доказательство. Имеем
рр(Ь, Т)=(1 +(£ — 1))-* (0, Г) =
= (1-Й-1) + (£-1)2- Г) =
= 6(6, Г) - (С - 1)(0, !) + (?- 1)2(0, 1)- ... =
= с0 — с, + с2 — с3 + ... . □
Смысл предложения 3.8.5 состоит в том, что значение ц(б, 1) (и, следовательно, значение ц(х, у) для любого интервала [х, у]) можно интерпретировать как эйлерову характеристику, и поэтому данное предложение связывает обращение Мёбиуса с мощной техникой алгебраической топологии.') Чтобы увидеть эту связь, напомним, что (абстрактным) симплициальным комплексом с множеством вершин V называется набор А подмножеств V, удовлетворяющий условиям а. Если х <= V, то {х} еЛ и
Ь. если SsA и T^S, то 7еА,
Элемент SeA называется гранью А, а размерность грани S полагается по определению равной |S|—1. В частности, пустое множество 0 всегда является гранью А (если А =И= 0) размерности —1. Определим размерность А формулой
dim А = max (dim F). тел
Если A — конечное множество, то пусть fi обозначает число z-мерных граней А. Определим приведенную эйлерову характеристику х(А) формулой
X(A) = Z(-l)4==-t-1 + fo-fi+ ••• =-l + fo-f>+ ••• • ________L (19>
*) Более подробное изложение теории абстрактных симплициальных комплексов и используемого в дальнейшем аппарата алгебраической топологии см., например, Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.— Прим. ред.
3.8. Техника вычисления функций Мёбиуса 181
(X (А) связана с обычной эйлеровой характеристикой %(А) соотношением %(А) = х(А)—1). Теперь по данному произвольному ч.у. множеству Р определим симплициальный комплекс А(Р) следующим образом: вершинами А(Р) являются элементы Р, а гранями А(Р)— цепи из Р. А(Р) называется порядковым комплексом ч.у. множества Р. Из формул (18) и (19) выводим следующее
3.8.6. Предложение. (Переформулировка предложения 3.8.5.) Пусть Р — конечное ч. у. множество. Тогда
Ир (б, Г) = х(А(Р)). П
Предложение 3.8.5 дает самодвойственное выражение для и. (О, 1) (т. е. остающееся неизменным при замене Р на Р*). Таким образом, мы видим, что в любом локально конечном ч.у. множестве Р.
Цр(*, у) = цр*и. у)-
(Это можно доказать также, используя тождество ц£ = £ц.). Напомним, что в топологии с симплициальным комплексом
А связывают топологическое пространство |А|, называемое геометрической реализацией А. (Говорят также, что А есть триангуляция пространства |А|.) Приведенная эйлерова характеристика xW пространства X дается формулой
xW=Z(-l)Zrank/71-(X, Z),
i
где Ri(X, Z)— t-ая приведенная группа гомологий пространства X. Имеем тогда
Х(Х) = Х(А), (20)
так что ц р (0, 1) зависит только от геометрической реализации | А(Р) | симплициального комплекса А(Р).
3.8.7. Пример. (Для читателей, в некоторой степени знакомых с топологией.) Конечный регулярный клеточный комплекс Г есть конечное множество непустых попарно непересекающихся открытых клеток сн cz R^, таких что
а. (стг, <тг — ог) «а (В", S"-1) для некоторого n = n(i).
b. каждое множество о; — а, есть объединение множеств а/. Здесь ац обозначает замыкание стг, ~ обозначает гомеоморфизм, В" — единичный шар: ..., xn) е Rra: х? + . .. + х^1}
и5"-1 — единичная сфера {(xi, .. .,хп) е R'1: x^-j-x^-t- ... +%п=1}. Заметьте, что клетка о, может состоять из единственной точки
182 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
(в случае п=0). Определим также подстилающее пространство комплекса Г как топологическое пространство Г = U <= <= По данному конечному регулярному клеточному комплексу Г определим его (первое) барицентрическое подразделение sd(F) как абстрактный симплициальный комплекс, вершинами которого являются замкнутые клетки щ из Г, а гранями— те наборы вершин (5^, которые образуют
флаг 6ildCi2cz ... <^Gik. Решающее свойство конечного регулярного клеточного комплекса, которое нас здесь интересует, состоит в том, что геометрическая реализация |sd(r)| симплициального комплекса sd(r) гомеоморфна подстилающему пространству |Г| клеточного комплекса Г.
Пусть теперь дан конечный регулярный клеточный комплекс Г и Р(Г)—ч.у. множество клеток Г, упорядоченных так: о, оу, если di S о,. Из предыдущего абзаца следует, что А(Р(Г)) = sd(r). Из предложения 3.8.6 и формулы (20) мы заключаем следующее.
3.8.8. Предложение. Пусть Г — конечный регулярный клеточный комплекс и Р = Р(Г). Тогда
Н?(0, 1) = х(|Г|), (21)
где х()Г]) — приведенная эйлерова характеристика топологического пространства |Г|. □
Предложения 3.8.6 и 3.8.8 объясняют топологический смысл целого числа up (0, 1). Нам интересны также другие значения Ир (х, у), так что мы кратко обсудим этот вопрос. Пусть Д — любой конечный симплициальный комплекс и F е Д. Линк грани F есть подкомплекс комплекса Д, определяемый так:
IkF = {G е A: G Л F = 0 и GIJFsA}.
Если Р — конечное ч. у. множество и х < у в Р, выберем насыщенные цепи %] < х2 < ... < хг = х и у = ух < у2 < . . . < ys в Р так, что X] — минимальный элемент и ys максимальный элемент в Р. Пусть F = {xb ..., хг, ух, ..., %}еД(Р). Тогда lk F есть в точности порядковый комплекс открытого интервала (х, y) — {z^P: х < z < у}, поэтому из предложения 3.8.6 имеем
И(х, y) = x(lkF). (22)
Предположим теперь, что А — абстрактный симплициальный комплекс, триангулирующий многообразие М с краем или без края. (Другими словами, |А|« М.) Пусть 0 #= F е А. Из то
3.8. Техника вычисления функции Мёбиуса
183
пологий хорошо известно, что тогда lk F имеет те же группы гомологий, что и сфера или шар размерности dim(lkF) = =maxOeIkF(dim G). Далее, lk F будет иметь гомологические группы шара в том и только том случае, если F лежит на крае <5Д комплекса Д. (Несколько удивительно, что lk F не обязательно должен быть односвязным и I lk F | — не обязательно многообразие!) Так как %(S") = (— 1)" и х(Вп) = 0, из формул (21) и (22) получаем следующий результат.
3.8.9 Предложение. Пусть Г — конечный регулярный клеточный комплекс. Предположим, что |Г| — многообразие с краем или без края. Пусть Р = Р(Г). Тогда
Нр (х, у) =
О,
Х(|Г|),
(-1)
Цх.у)
если х =#= 0, у = 1 и клетка х лежит на крае | Г |, если (х, у) = (О, 1), в противном случае. □
Руководствуясь предложением 3.8.9, мы назовем конечное градуированное ч. у. множество Р с элементами 0 и 1 полу-эйлеровым, если цР(х, y) — (—l)I(x,yj при условии, что (х, z/)=# =# (0, 1), и эйлеровым, если, кроме того, |хР(6, 1) —(—1)Г(0' °. Таким образом, из предложения 3.8.9 следует, что если | Г | — многообразие (без края), то Р(Г) — полуэйлерово. Далее, если | Г | — сфера, то Р (Г) — эйлерово ч. у. множество. В силу примера 3.8.3 булевы алгебры Вп— эйлеровы ч. у. множества; в действительности Вп — Р(Г), где Г —граничный комплекс (п—1)-мерного симплекса. Следовательно, | Д (Вп) | S"-2. Не-
которые интересные свойства эйлеровых ч. у. множеств встретятся в разд. 3.14.
3.8.10. Пример
а. Диаграммы на рис. 3.29 изображают конечные регулярные клеточные комплексы Г, такие, что | Г | = S1 или | Г | S2 (заштрихованные области изображают 2-клетки). Соответствующие эйлеровы ч.у. множества Р(Г) показаны на рис. 3.30. Заметьте, что Р (Г2) и_Р(Гз)— решетки. Это потому, что в Г2 и Га любое пересечение сг,- П о/ есть некоторая клетка о*.
Ь. Диаграмма Q представляет некоторый клеточный комплекс Г, который не является регулярным, так как для един-
184
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
ственной 1-клетки о не верно, что д — ст ~ S(). (S° состоит из двух точек, в то время как б — о есть единственная точка.) Соответствующее ч.у. множество Р = Р(Г)— двухэлементная цепь и пространство | А (Р) | не гомеоморфно | Г |. (|Г| «S', а | А(Р) | ~ В1.) Заметьте, что ч. у. множество Р не эйлерово, несмотря на то что | Г [ — сфера.
Агр Рщ = в3 лг3) ~ лгр Р(г5) 1Р(Ге)=Аг5)*
Рис. 3.30.
с. Рассмотрим клеточный комплекс Г, изображенный на рис. 3.31. Тогда ]Г] — многообразие без края с той же эйлеровой характеристикой, что и S1 (именно она равна 0), хотя lIIl^S1. Следовательно, Р(Г)— эйлерово ч.у. множество, не
Рис. 3.31.
Рис. 3.33.
Рис. 3.32.
1 = 3
О о
смотря на то что пространство ]Г| даже не имеет гомологических групп сферы. См. рис. 3.32.
d. Если Г — несвязное объединение t точек, то |Г|—многообразие с эйлеровой характеристикой t. Следовательно, Р(Г)— полуэйлерово, но не эйлерово при t^=2. См. рис. 3.33.
Мы заканчиваем нашу экскурсию в топологию рассмотрением следующего вопроса. Пусть Р—конечное градуированное ч.у. множество с элементами 0 и 1. Мы говорим, что функ
3.9. Решетки и их алгебры Мёбиуса 185
ция Мёбиуса ч.у„ множества Р является знакочередующейся, если
(—1)/(х,1')ц(х, г/)^0 для вСех паР х^У из Р.
Конечное ч.у. множество Р называется ч.у. множеством Коэна — Маколея (над Q), если для любой пары х < у в Р порядковый комплекс Д(х, у) открытого интервала (х, у) удовлетворяет условию
Н{ (А (х, у), Q) = 0, если i < dim А (х, у). (23)
Здесь Hi(K(x, у), Q) обозначает приведенные симплициальные гомологии с рациональными коэффициентами (в поле Q). Легко показать, что ч. у. множество Коэна — Маколея градуировано. Если выполняется условие (23), то при d = dim Д(х, у) имеем
уУ-=7Лих, */)) = (— l)ddimQ^£i(A(x, у), Q).
Так как d = 1(х, у) — 2, получаем
(-(х, у) = dimQ Hd (А (х, у), Q)>0.
Нами доказано
3.8.11. Предложение. Если Р—ч.у. множество Коэна — Маколея, то функция Мёбиуса ч. у. множества Р являестя знакочередующейся. □
Среди примеров ч.у. множеств Коэна-—Маколея находятся ч.у. множества вида Р(Г), где Г — конечный регулярный клеточный комплекс, такой, что |Г|—многообразие размерности d с краем или без, удовлетворяющее условию /7,(|Г], Q) = 0 при i < d. Можно показать, что для любого конечного регулярного клеточного комплекса Г свойство Р(Г) быть ч.у. множеством Коэна — Маколея зависит только от пространства |Г|. Можно показать также, что, если Р — конечная полумодулярная решетка, то Р —ч.у. множество Коэна — Маколея. Хотя мы не будем здесь этого доказывать, позже докажем более слабое утверждение, что функция Мёбиуса конечной полумодулярной решетки знакочередующаяся.
3.9. Решетки и их алгебры Мёбиуса
Существуют специальные методы вычисления функции Мёбиуса решеток, не применимые для ч.у. множеств общего вида. Мы разовьем эти результаты единым способом, используя тео
186
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
рию алгебр Мёбиуса. Хотя приложения к функциям Мёбиуса можно получить без обращения к алгебрам Мёбиуса, мы предпочитаем удобство и элегантность алгебраической точки зрения.
3.9.1. Определение. Пусть L — решетка и К— поле. Алгебра Мёбиуса A (L, К) есть полугрупповая алгебра решетки L над К с операцией пересечения. Другими словами, A (L, К) есть векторное пространство над К, состоящее из формальных линейных комбинаций элементов L с (билинейным) умножением, определенным так: х-у = х А у для всех х, у е L.
Алгебра Мёбиуса А (А, А) коммутативна и имеет базис (как векторное пространство), состоящий из идемпонентов, именно из элементов Lt Из общей теории колец (из теоремы Веддер-берна или как-нибудь иначе) следует, что если L — конечная решетка, то A{L, A) = ^L'. Мы хотим сделать этот изоморфизм более явным. С этой целью по данному элементу х L определим элемент б.; е/1 (А, А) формулой
6.V = Е И (у, х) у.
У^х
Следовательно, из формулы обращения Мёбиуса
X = Е Ьу. (24)
У<х
Число элементов равно | L | = dimK A (L, К), а формула (24) показывает, что они порождают A(L, К,). Следовательно, элементы 6Х образуют /(-базис в A(L, К,).
3.9.2. Теорема. Пусть L — конечная решетка и A' (L, К) — абстрактная алгебра I где все пространства Кх изо-
морфны К. Обозначим через 6' единичный элемент Кх, так что д'д'=6^6'. Определим линейное преобразование 0: А(А, /<) > ->Д'(А, А), полагая 0(6х) = б' и продолжая затем 0 по линейности. Тогда 0 есть изоморфизм алгебр.
Доказательство. Пусть хеА; положим х' = "£1у<хМу^ А'. Так как 0, очевидно, является изоморфизмом векторных пространств, нам нужно только показать, что х'у' = (х А у)'. Имеем:
х'у' = ( Е 6'W Е О = Е bzwMz =
= Е б; = (.гдуГ. □
V < х Л у
3.9. Решетки и их алгебры Мёбиуса 187
3.9.3. Следствие. Пусть L — конечная решетка не менее чем с двумя элементами, и пусть 1#=а е L. Тогда
Е л и(*. Т) = о.
х: х Л
Доказательство. В алгебре Мёбиуса A(L, С) имеем
абу = ( Е б^ бу = 0, если а =#= Т. (25)
\Ь<а )
С другой стороны,
абу = а Е ц(М 0*= 2 И (х, Г)(аДх). (26) хеL х & L
Записывая абу = EXf=z. сх ' из формулы (25) заключаем, что с^ = 0, а из формулы (26), что c-j = Ех; хда=о О- □
Глядя на рекуррентное соотношение (14), определяющее функцию Мёбиуса, мы видим, что следствие 3.9.3 дает аналогичное рекуррентное соотношение, но в общем случае имеющее значительно меньшее число членов. Позже будут даны некоторые приложения следствия
3.9.3. Сначала мы приведем некоторые другие следствия теоремы 3.9.2.
3.9.4. Следствие. Пусть L — конечная решетка и X — подмножество решетки L, такое, что (а) 1 ф X, и (Ь) если у е L и у =# 1, то у^х для некоторого элемента х е X. Тогда
Н(б, 1) = Е (- l)kNk, k
где Nk — число k-подмножеств в X, пересечение всех элементов которых равно 0.
Доказательство. Для любого хе А имеем в А (А; С)
Т — х = Е ъу— Е ъу = Е
!/<Т у<х
Следовательно, из теоремы 3.9.2
П (Г-х) = Ебу> хе X у
где у пробегает множество всех элементов L, удовлетворяющих условиям у^х для всех хеХ. По предположению, един
188
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
ственный такой элемент есть 1. Следовательно, п (Г-Х) = 6Т.
хе X
Если теперь разложить обе части в линейную комбинацию элементов L и приравнять коэффициенты при 0, получим требуемый результат. □
Ясно, что подмножество X решетки L удовлетворяет условию (Ь) следствия 3.9.4 тогда и только тогда, когда X содержит множество А* коатомов (элементов, покрываемых элементом 1) решетки L. Чтобы сделать числа Nk наименьшими из возможных, мы должны взять X = А*. Заметьте, что если б не есть пересечение всех коатомов L, то каждое из чисел Nk равно 0. Отсюда заключаем
3.9.5. Следствие. Если L — конечная решетка, для которой 0 не является пересечением коатомов, то ц(б, 1) = 0. Двойственным образом, если 1 не является объединением атомов, то снова ц(б, 1) = 0. □
3.9.6. Пример. Пусть L = J (Р)—конечная дистрибутивная решетка. Интервал [/, /'] решетки L является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда Г — I антицепь в Р. Более общим образом, объединение всех атомов интервала [/, I'] (рассматриваемого как подрешетка в L) есть порядковый идеал IU М, где М — множество минимальных элементов ч.у. подмножества If — I из Р. Следовательно, Р является объединением атомов интервала [/,/'] тогда и только тогда, когда [/,/']— булева алгебра. Из примера 3.8.3 и следствия 3.9.5 мы получаем функцию Мёбиуса на L, а именно:
и (Л П =
(—= (—1)|Г-/|, если [/, /'] — булева алгебра (т. е. если Г — 1 — антицепь в Р), в противном случае.
о
3.10. Функция Мёбиуса полумодулярной решетки
Мы хотим применить двойственную форму следствия 3.9.3 к конечной полумодулярной решетке L ранга п с ранговой функцией р. Выберем «атом а решетки L. Предположим, что а У х = 1. Если также а^х, то х = 1. Следовательно, либо хДа = 0, либо х=1. Теперь из определения полумодулярности имеем
3.10, Функция Мёбиуса полумодулярной решетки 189
р(х) + р(а) ^р(х Д а) + р(х V а), так что либо х = f, либо р(х) + 1 0 + п. Следовательно, либо х = 1, либо х — коатом.
Из следствия 3.9.3. (двойственная форма) вытекает
и(0, Т) = - s ц(0, х). (27)
коатомы х, такие, что х^а
Так как каждый интервал полумодулярной решетки есть снова полумодулярная решетка (например, в силу предложения 3.3.2), из формулы (27) индукцией по п получаем следующий результат, упомянутый в конце разд. 3.8.
3.10.1. Предложение. Функция Мёбиуса конечной полумодулярной решетки является знакочередующейся. □
Так как (—1)г <*») у (х, ^ — неотрицательное целое число для любой пары х sC у в конечной полумодулярной решетке L, мы можем спросить, не подсчитывает ли это выражение чего-нибудь связанного со структурой Л? На этот вопрос будет дан ответ в разд. 3.13. Сейчас мы обратимся к двум из наиболее важных примеров полумодулярных решеток.
3.10.2. Пример. Пусть q — степень простого числа, GF(q)— ^-элементное поле и У„ = УП(^)— n-мерное векторное пространство над GF (q). Пусть Ln = Ln(q) обозначает ч. у. множество всех подпространств Vn, упорядоченных по включению, как определено в примере 3.1.1 (е). Мы видели в разд. 3.3, что /. — градуированная решетка ранга п, где ранг р(1У) подпространства W есть в точности его размерность. Мы также упоминали, что так как любые два подпространства 1У, W из У удовлетворяют условию dim IT dim WT = dim (W (] W") + + dim(U7 + W'), из формулы (6) следует, что Ln в действительности — модулярная решетка. Так как любое подпространство в Vп есть линейная оболочка его одномерных подпространств, то L также геометрическая решетка. Интервал [1У, IT'] решетки Ln изоморфен решетке подпространств факторпространства 1У7^> так что \W,W']^Lm, где m = IT') = dim W' - dim W. Следовательно, значение ц (IT, W) зависит только от целого I — I (W, W'), так что мы пишем р.г = ц(1Г, 1У')- Легко сосчитать ц.г, используя формулу (27). Пусть а —элемент решетки Ln
/ ii \
ранга 1. Решетка Ln имеет всего I __* I = qn~'! + qn~2 + ...-)- 1
/ n — 1 \
коатомов, из которых I _ I = qn~2 + qn~3 + ... +1 лежат
190
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
над а. Следовательно, существует qn~l коатомов х, удовлетворяющих условию х^а, так что из формулы (27) имеем
Вместе с начальным условием ро = 1 это дает
ц„ = (-1Гг2Л (28)
3.10.3. Пример. Мы приведем один простой пример использования формулы (28). Мы хотим подсчитать количество подмножеств в Vn(<7), порождающих все пространство Vn(q). (Заметьте, что пустое множество. 0 не порождает никакого пространства, в то время как подмножество {0} порождает нульмерное подпространство {0}.) Для W i= Ln(q) пусть f(W) — число подмножеств Vn(q), линейная оболочка которых есть W, и g(W) число подмножеств, линейная оболочка которых содержится в пространстве W. Следовательно, g (IT) = 2’ — 1,
так как 0 не имеет линейной оболочки. Ясно, что
£(Г)= 2 ЦТ),
T<,W
так что из обращения Мёбиуса в решетке Ln(q)
f(W)= Е g(T)n(T, W).
Полагая W = Vn, имеем n /n—k \
Z(V„)= 2 g{T}v^T, 2
TeLn fe = cA К '
3.10.4. Пример. Пусть П(5) обозначает множество всех разбиений конечного множества S, и будем множество П([и]) обозначать П„. Как и в примере 3.1.1(d), мы частично упорядочим П(5) по измельчению, т. е. положим л ст, если каждый блок л содержится в блоке разбиения о. Например, П,, П2 и Пз показаны на рис. 3.34. Легко видеть, что П„ — градуированное ч.у. множество ранга п—1. Ранг р(л) разбиения л равен п — (число блоков л) = л — |л|. Следовательно, рангово-производящая функция ч. у. множества П« есть
п~\
К(П„, <?) = £ S(n, n — k)qk, (29)
k — 0
где S(n, п — k) — число Стирлинга второго рода. Если л, ст е Пп, то л А о имеет в качестве блоков непустые множества В ПС,
3.10. Функция Мёбиуса полумодулярной решетки
191
где Сел и Сеа. Следовательно, П„ — нижняя полурешетка. Так как разбиение [и] с одним блоком является элементом 1 для 11„, то из предложения 3.3.1 следует, что П„— решетка.
Предположим, л = {В{, ..., Bk} s П„. Тогда интервал [л, 1] изоморфен очевидным образом решетке П (л) —решетке разбиений множества {В,, ..., Bk}. Следовательно, [л, 1] = TTfe. Теперь легко видеть, что в Щ объединение любых двух различных атомов имеет ранг 2. Далее, любой элемент ле Пл
Рнс. 3.34.
есть объединение таких атомов {В1( Вп_^, что |BJ = 2,
и В, — подмножество некоторого блока разбиения л. Следовательно, П„ — геометрическая решетка.
В предыдущем абзаце определена структура интервала [л, 1]. Рассмотрим теперь структуру произвольного интервала [о, л]. Предположим, что л = {Вь В2, ..., В*} и что В£ разбивается на блоков в о. Оставим читателю легкое доказательство того, что
[о, л] ГЦ X Щ2 X • • • X ПЦ.
В частности, [0, л] П“‘ X • • • X П“п, где тип л = (av ..., ал). Например, если ст = 1—2—3—45—67—890 и л = 14 567 — — 2 890 — 3, то
[<т, л] = II (1 — 45 — 67) X П (2 — 890) X П (3) П3 X П2 X Пр
Положим теперь p,„ = p.(O, 1), где ц — функция Мёбиуса решетки 11„. Если [о, л] = 1ЦХПл2Х ... ХГЦ, то из предложения 3.8.2 имеем ц(о, л) = ... Следовательно,
чтобы определить полностью функцию ц, достаточно вычислить Хотя П„ — геометрическая решетка, так что можно использовать формулу (27), проще обратиться непосредственно к следствию 3.9.3. Выберем элемент а —разбиение с двумя блоками {1, 2.....п— 1} и {п}. Элемент х решетки П„ удо-
влетворяет условию хДа = 0 тогда и только тогда, когда х = 6
192 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
или х — атом, единственный двухэлементный блок которого имеет вид {/, п} для /е[п-1]. Интервал [х, 1] изоморфен решетке П„_ь так что из следствия 3.9.3 имеем цп = — (л — 1) р„_1. Так как ц0=1, мы заключаем
= 1)! (30)
Существует много других способов доказательства этого важного результата; некоторые из них мы рассмотрим позже. Здесь мы просто отметим более общий результат (который следует из упражнения 44):
Н(0, n)qlnl = (q)n = q(q — 1) ... (q — и + 1); (31)
чтобы получить формулу (30), приравняем коэффициенты при q.
Уравнение (31) можно рассмотреть в следующем более общем контексте. Пусть Р — конечное градуированное ч.у. множество с элементом 0, скажем ранга п. Определим характеристический многочлен %(Р, </) ч. у. множества Р формулой
% (Р, q) = 2 И (0, *) <7n~p w — X wkqn~k .
хеР А = 0
Коэффициент Wk называется k-м числом Уитни первого рода ч. у. множества Р-.
Ц(0, х).
X <= Р p(x)=fe
В этом контексте число элементов ч.у. множества Р ранга k обозначается Wk и называется k-м числом Уитни второго рода ч.у. множества Р. Таким образом, рангово-производящая функция F(P, q) ч.у. множества Р дается формулой
F(P, <7)= Е q^=Z Wkqk. х^Р fc = 0
Из формулы (31) следует, что
X (П„, q) = (q — 1) (q — 2) . . . (q — n + 1),
так как решетка 1J„ имеет ранг п—1 и |л| = л —р(л). Следовательно, из предложения 1.3.4 имеем: wk = s(n, л — 6) — число Стирлинга первого рода. Далее уравнение (30) дает W k = ==S(n, п — k) для решетки Г1„.
3.11, Дзета-многочлены
193
3.11. Дзета-многочлены
Пусть Р — конечное ч.у. множество. Если п 2, положим Z(P,n)— число мультицепей xj х% ... xZ!_i в Р. Мы называем выражение Z(P, п) (рассматрйвая его как функцию от п) дзета-многочленом ч. у. множества Р. Начнем с того, что оправдаем это название и соберем вместе некоторые элементарные свойства Z(P,п).
3.11.1. Предложение
а. Пусть bi — число цепей xt < х2 < ... < х£-1 в Р. Тогда bi+2 — MZ (Р, 2), z>0. Другими словами,
/п —2\ z(p,
(32)
В частности, Z(P,n) есть многочлен от п, степень d которого равна наибольшей длине цепи в Р, а старший коэффициент равен Ьл^/дХ. Далее, Z(P, 2) = |Р| (это ясно из определения Z (Р, п)).
Так как Z(P,n)— многочлен для всех целых чисел п^2, мы можем определить его для всех п е Z (или даже для всех л е С). Тогда
z(P, 1) = х(Д(Р))=1 + м6, 1).
с. Если ч. у. множество Р содержит элементы 0 и f, то Z(P, и) = ^(0, 1) для всех п^Т, (это объясняет выражение дзета-многочлен). В частности, Z(P, —1)= и(б, 1), Z(P, 0) = 0 (если 6 #=1) и Z(P, 1) = 1.
Доказательство.
а. Число (п — 1)-элементных мультицепей с носителем
Х,<Х,< ... <х,_, равно । = ,_2J;
отсюда следует формула (32). Дополнительная информация о многочлене Z(P, п) может быть извлечена из формулы (32).
Ь. Полагая п— 1 в выражении (32), получаем
Z(P, п) =
i>2
Теперь используйте предложение 3.8.5.
7 Р. Стенли
194
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
с. Если ч. у. множество Р содержит элементы 0 и 1, то число мультицепей Xj х2 xn_j такое же, как и число
мультицепей 0 — х0 xt х2 ... x„-i хп — 1 > которое равно £"(0, 1) при л^>2. Несколькими различными способами можно показать, что многочлен Z (Р, п), определенный формулой (32) для всех п 2, равен £" (0, 1) при всех п е Z. Например, из п. (а) и предложения 1.4.2 имеем, что дй+1^(0, 1) = 0 для всех л^>2. Но тогда для любого nsZ
Ad+V(6, T) = ^"2(Ad+Vh=2(6, Т) = = 0.
Следовательно, £"(0, 1) есть полиномиальная функция для всех яеХ, и, таким образом, ее значение должно совпадать с выражением (32) при всех neZ. □
Для теР пусть Q(P, т) обозначает число сохраняющих порядок отображений н: Р->ш. Из предложения 3.5.1 следует, что Q(P, ni) = Z(J(P), т). Следовательно, Q(P, tri) есть полиномиальная функция от т степени |Р| и старшим коэффициентом е(Р)/|Р|!. (Это можно легко увидеть с помощью более прямых рассуждений.) Q(P, т) называется порядковым многочленом ч.у. множества Р. Таким образом, порядковый многочлен ч.у. множества Р есть дзета-многочлен решетки J(P). Дальнейшие сведения о порядковых многочленах см. в гл. 4, теорема 4.5.14, пример 4.5.18.
3.11.2. Пример. Пусть P = Bd— булева алгебра ранга d. Тогда Z (Bd, п) для п 1 равно числу мультицепей 0 = So S S1S ... ...sSn —S d-множества S. Для каждого seS мы можем выбрать произвольно наименьшее положительное целое число i е [л], для которого seS;. Следовательно, Z(Bd, n) = nd. (Мы можем также получить это из формулы Z(Bd, n) = Q(dl, л), так как любое отображение о: dl~*n сохраняет порядок.) Полагая л = —1, получаем цв^(С), 1) = (—l)d — третье доказательство формулы (15). Это вычисление ц (0, 1) дает интересный пример «полукомбинаторного» доказательства. Мы вычислили Z(Bd, п) комбинаторно для л 1, а затем подставили п — —1. Многие другие теоремы, использующие функции Мёбиуса ч.у. множеств Р можно доказать в такой манере, доказывая комбинаторно подходящий результат для л 1 для Z(P,n), а затем полагая п = — 1.
3.12. Ранговый выбор
195
3.12. Ранговый выбор
Пусть Р — конечное градуированное ч.у. множество ранга п с ранговой функцией р: Р->[0, га]. Для S = [0, и] определим ч. у. подмножество
Ps = {x<=P-. p(x)eS},
называемое S-рангово-выбранным ч.у. подмножеством ч. у. множества Р. Например, Р& — 0 и Р[0, = Р. Определим теперь число а(Р, S) (или просто a(S)) как число максимальных цепей множества Ps. Например, a(z) (сокращенное обозначение для а({/})) есть в точности число элементов ч. у. множества Р ранга I. Наконец, определим числа р (Р, S) = P(S) формулой
Р(5) = S (—1)|5~Г|а(Т’). т s s
Равносильно из принципа включения—исключения
<*($) = X Р(Т). (33)
Ts s
Если ps обозначает функцию Мёбиуса ч.у. множества Ps, то из предложения 3.8.5 следует, что
P(S) = (-l)|S1-,ps(6, Г). (34)
По этой причине мы называем функцию р рангово-выбранным инвариантом Мёбиуса ч.у. множества Р.
Предположим, что ч.у. множество Р имеет элементы 0 и 1. Легко видеть, что
a(P, S) = a(P, Sn[n — 1]),
Р(Р, S) = 0, если S£[n- 1] (т. е. если OeS или neS).
Поэтому ;мы ничего не теряем, ограничиваясь рассмотрением подмножеств S s [п—1]. По этой причине, если мы заранее знаем, что ч.у. множество Р имеет элементы 0 и 1 (например, если Р — решетка), то можно рассматривать лишь множества S [п — 1] .
Уравнения (33) и (34) подсказывают комбинаторный способ интерпретации функции Мёбиуса ч.у. множества Р. Числа a(S) имеют комбинаторное определение. Если мы сможем ввести числа y(S)^0 так, что найдется комбинаторное доказательство равенства a (S) — S y(D, то получим у (S) = р (S) и Т sS
Hs(0, 1) = (—I)* 1-1 y(S). Мы не можем ожидать, что определим числа y(S) для произвольного ч.у. множества Р, так
196
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
как в общем случае не обязательно p(S)^O. Однако существует большой класс ч.у. множеств Р, для которых числа y(S) действительно можно определить вполне комбинаторным способом. Чтобы познакомить читателя с этим предметом, мы рассмотрим здесь два специальных случая, в то время как следующий раздел посвящен более общему результату на эту тему.
Пусть L = J(P)—конечная дистрибутивная решетка ранга п (так что [Р|=я). Рассмотрим Р как частичное упорядочение множества [я] и предположим, что порядок Р совместим с обычным порядком на [я], т. е. если i < j в Р, то i < j в Z. Будем в этом случае называть Р естественным частичным по-
3 4
N
1 2
Рис. 3.35.
рядком на множестве [и]. Как и в разд. 3.5, можно отождествить расширение а: Р->[я] ч.у. множества Р до полной упорядоченности с перестановкой сг~!(1), ..., о-1 (я) множества [я]. Множество всех е(Р) перестановок множества [я], полученных таким способом, обозначается S’(P) и называется множеством Жордана — Гельдера ч.у. множества Р. Например, если Р таково, как на рис. 3.35, то 2? (Р) состоит из пяти перестановок: 1234, 2134, 1243, 2143, 2413.
3.12.1. Теорема. Пусть L = J(P), как, и выше, u S s [я — 1]. Тогда p (L, S) равно числу перестановок я eS’JP) с множеством спуска S.
Доказательство. Пусть S = {ab я2> •••> Из предложения 3.5.1 следует, что а (Л, S) равно числу цепей ... с: Ik
порядковых идеалов в Р, таких, что |li\ = al. По данной такой цепи порядковых идеалов определим перестановку я s S£ (Р) следующим образом: сначала расположим элементы идеала Ц в возрастающем порядке. Справа от них расположим элементы множества Д —1\ в возрастающем порядке. Продолжим эту процедуру до тех пор, пока в конце не расположим элементы множества Р — Ik в возрастающем порядке. Это дает биекцию между максимальными цепями из Ls и перестановками я е ^3?(Р), множество спуска которых содержится в S. Слс.дова-
3.13. Я-пометкн
197
тельно, если y(L,S) обозначает число перестановок л^З(Р), множество спуска которых есть S, то
a (A, S)= Е у (А, Т).
т = s
Доказательство закончено.
□
3.12.2. Следствие. Пусть L = Bn — булева алгебра ранга п и
1] . Тогда р (A, S) равно общему числу перестановок множества [и], множество спуска которых есть S. {Таким образом, р (L, S) = p„(S), как определено в примере 2.2.4.) □
Как и в примере 2.2.5, существует ^-обобщение примера 2.2.4, так что мы можем обобщить предыдущее следствие.
3.12.3. Теорема. Пусть L —Ln(q) — решетка подпространств п-мерного векторного пространства над Fq. Пусть S s [п — 1]. Тогда
Р(Л Д)=Е^<Я), (35)
л
где сумма берется по всем перестановкам, л е с множеством спуска S, и i (л) — число инверсий перестановки л.
Доказательство. Пусть 5 = {аь 0%, ..., ak}. Тогда
п —
n-aft
Доказательство следует теперь из сравнения уравнения (20) гл. 2 с формулой (33). □
3.13. /^-пометки ,
В этом разделе мы приведем широкий класс ч.у. множеств Р, для которых рангово-выбранный инвариант Мёбиуса р(Р, S) имеет прямую комбинаторную интерпретацию (и поэтому неотрицателен). Если то любой интервал ч.у. множества
Р будет также лежать в классе так что, в частности, функция Мёбиуса ч. у. множества Р знакочередующаяся.
Пусть Зв(Р) обозначает множество пар (х, у) элементов Р, для которых у покрывает х. Мы можем считать элементы 3^{Р) ребрами диаграммы Хассе ч.у. множества Р.
198
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
3.13.1. Определение. Пусть Р — конечное градуированное ч.у. множество, содержащее элементы 0 и 1. Функция Я,: J^(P)->Z называется R-пометкой ч. у. множества Р, если для любого интервала [х, у] из Р существует единственная насыщенная цепь х = хо < xj <_ ... < Xi = у, удовлетворяющая условию
Я,(х0, *i)O(Xb Хо)^ ... ^Z(x;_|, Xi). (36)
Ч. у. множество Р, обладающее Р-пометкой, называется R-ч. у. множеством, и цепь х = х0 < Xj < ... < х£ = у, удовлетворяющая условию (36), называется возрастающей цепью от х до у.
Заметьте, что, если 1 = [х, у] — интервал в Р, то ограничение Я, на Ж(1) является Р-пометкой 5^ (/). Следовательно, I есть также Р-ч. у. множество, так что любым свойством, которым обладают все Р-ч. у. множества Р, также обладает каждый интервал Р-ч. у. множества Р.
3.13.2. Теорема. Пусть Р R-ч. у. множество, и положим п—1(Р). Пусть Я, — R-no метка Р и S s [и — 1]. Тогда р (Р, S) равно числу максимальных цепей М: 0 = х0 < Xj < ... < хп = 1 из Р, для которых последовательность Я, (Л4) := (Я, (х0, xj, ..., Я,(хп_1, х„)) имеет множество спуска S, т. е. для которых
D(k(M)) :={i: A(xz_j, х,)>Я,(х/, x(X1)) = S.
Доказательство. Пусть С = 6 < у, < ... <ys <1 — максимальная цепь в Ps. Мы утверждаем, что существует единственная максимальная цепь М в Р, содержащая С и удовлетворяющая условию D(k(M))^S. Пусть М: 0 = х0 < х{ < ... < хп = 1 — такая максимальная цепь (если она существует) и S = {щ, ... ..., Таким образом, ха. =yt. Так как Я.(ха._1; xa/_l+i)^ <Ч*в,_1+ь -4_i+2)< • • <4*a£-i> ха1) при 1 <z<s+ 1 (где мы полагаем ао = О, as+l = 1), мы должны взять в качестве хв/1, xa._l + I, ..., ха{ единственную возрастающую цепь из интервала [z/z—i, уД = [ха._р ха/]. Таким образом, цепь М существует и единственна, как утверждалось.
Следовательно, число а' (Р, S) максимальных цепей М из ч. у. множества Р, удовлетворяющих условию D (Я. (М)) г S, есть в точности число максимальных цепей в Ps, т. е. а'(Р, S)= =а(Р, S). Если р'(Р, S) обозначает число максимальных цепей М в Р, удовлетворяющих условию D(k(M)) — S, то ясно, что а'(Р, S) = S Р'(Л П-
TsS
Следовательно, из (33) мы заключаем: р' (Р, S) = P(P, S). □
3.13. Я-пометкн
199
3.13.3. Пример. Рассмотрим теперь некоторые примеры /?-мно-жеств. Пусть Р — естественный частичный порядок на множестве [га], как и в теореме 3.12.1. Пусть (/, Г) Зв (ЦР}), так что / и /' — порядковые идеалы в Р с условием /si' и \Г—/| = 1. Положим Я, (/, /') — единственный элемент множества /' — /. Для любого интервала [Ж, /('] решетки I (Р) существует единственная возрастающая цепь К = Ко < К\ < ... < Ki = К', определенная следующим образом: единственным элементом множества Ki — Ki-i является наименьшее целое число (относительно обычного линейного порядка на множестве [п]), содержащееся в К' — Ki-i. Следовательно, Я,— /?-пометка и теоремы 3.12.1 и 3.12.2 действительно совпадают. Мы упомянем без доказательства два обобщения этого примера.
3.13.4. Пример. Конечная решетка L называется сверхразрешимой, если она содержит максимальную цепь С, называемую M-цепью, такую, что подрешетка решетки L, порожденная С и любой другой цепью из L, является дистрибутивной. Среди примеров сверхразрешимых решеток — модулярные решетки, решетки разбиений Пл, решетка подгрупп конечной сверхразрешимой группы. Для модулярных решеток любая максимальная цепь есть Л4-цепь. Для решетки Пп цепь 0 — л0 < nj < ... ... <лл_1=1 является Л4-цепью тогда и только тогда, когда каждое разбиение л;(1 i п— 1) содержит в точности 1 блок Bi с более чем одним элементом (так что В\ ст В2 ст ... ... с= Вп-1 = [п]). Число Л4-цепей в решетке Пл равно и!/2, и 2. В решетке L подгрупп сверхразрешимой группы G Л4-цепь задается нормальным рядом {1}= Go < Gi < ... ... < Gn = G, т. e. каждый элемент G< есть нормальная подгруппа группы G и каждая из факторгрупп Gt+\/Gi является циклической группой простого порядка. (Могут существовать и другие Л4-цепи.)
Если L — сверхразрешимая решетка с Л4-цепью С: О = хо< < X] < ... < х„й= 1, то /^-пометка Я,: 3e(P)->Z задается формулой
Я, (х, у) — min {i: х V xt — у V *i}. (37)
Если ограничить Я, на (дистрибутивную) подрешетку L' решетки L, порожденную С и некоторой другой цепью, то мы получим /?-пометку решетки L', совпадающую с той, которая построена в примере 3.13.3. На рис. 3.36 показаны (не полумоду-лярная) сверхразрешимая решетка L, в которой М-цепь отмечена темными точками, и ^-пометка L. Здесь существует пять максимальных цепей с метками 312, 132, 123, 213, 231 и
200
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
соответствующими множествами спуска {О, {2}, 0, {О. {2}-Следовательно, 0(0) = 1, 0(1) = 0(2) = 2, 0(1, 2) = 0.
3.13.5. Пример. Пусть L — конечная полумодулярная (сверху) решетка. Пусть Р — ч.у. подмножество неразложимых в объединение элементов из L. Пусть со: — сохраняющая по-
рядок биекция, и положим хг = <o-1(z). Определим для пары (х, r/)s^(L)
Л(х, J/) = min{z: х V Xt=y}. (38)
Тогда X есть /^-пометка и, следовательно, полумодулярные решетки являются R-ч.у. множествами. На рис. 3.37 слева пока-
зана полумодулярная решетка L, элементы х< которой обозначены через I, а справа — соответствующая 7?-пометка X. Существует семь максимальных цепей с метками 123, 132, 213, 231, 312, 321, 341, а соответствующие множества спуска есть 0, {2}, {!}, {2}, {!}, {1,2}, {2}. Следовательно, 0(0)= 1, 0(1) = 2, 0(2)= 3, 0(1, 2)= 1.
Примеры 3.13.4 и 3.13.5 имеют то общее свойство, что можно пометить некоторые элементы L символами xt и определить, функцию Л аналогичными формулами (37) и (38). Многие другие 7?-решетки, хотя и не все, имеют это свойство. Конечно, формулы (37) и (38) бессмысленны для ч.у. множеств, не являющихся решетками. На рис. 3.38 изображено ч.у. множество Р, не являющееся решеткой, и его /^-пометка X.
3.14. Эйлеровы ч. у. множества 201
3.14. Эйлеровы ч.у. множества
Напомним определение эйлеровых ч.у. множеств, следующее за предложением 3.8.9: конечное градуированное ч. у. множество Р с элементами 0 и 1 является эйлеровым, если цР(х, у) = = (— 1)г,х'для всех пар х^.у в Р. Эйлеровы ч. у. множества обладают многими замечательными свойствами «двойственности». Мы начнем с рассмотрения дзета-многочленов эйлеровых ч. у. множеств.
3.14.1. Предложение. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п. Тогда Z(P,—tri) = (—\)nZ(P, tri).
Доказательство. Из предложения 3.11.1 (с) имеем
Z(P, -m) = pm(6, Т) =
= Е м*о. м) • хт),
где сумма берется по всем мультицепям б = ... <^хт=1.
Так как Р —- эйлерово, то ц(хг_ь х,) = (—I)1 хд, Следова-
тельно, ц(х0, Xj) ... p(xm_b хт) — (— 1)*, так что
Z(P, — m) = (—l) = (-l)'tZ(P, tri). □
Назовем конечное ч.у. множество Р с элементом б симпли-циальным, если каждый его интервал [0, х] изоморфен булевой алгебре.
3.14.2. Предложение. Пусть Р — симплициальное ч.у. множество. Тогда Z(P, tri) — —- 1)£, где
Г( = ф{хеР: [б, x\^Bt}.
В частности, если ч. у. множество Р градуировано, то Z(P,q-\-+ 1) есть рангово-производящая функция ч.у. множества Р.
Доказательство. Пусть хеР'и ZX(P, tri) обозначают число мультицепей Xj^x2^ ... ^xffl_(=x в Р. Из примера 3.11.2, ZX(P, tri) = (tn— 1)г, где [б, x]^S;. Но Z (Р, tri)==£ixs_.pZx(P, tri), откуда следует доказательство. □
Предположим теперь, что Р эйлерово и ч.у. множество Р' := Р — {1} является симплициальным. Рассматривая по отдельности мультицепи в Р, которые содержат или не содержат элемент 1, мы видим, что
Z(P', tn+\) = Z(P, zn+l)-Z(P, m) = AZ(P, m).
202
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Следовательно, из предложения 3.14.2
AZ (Р, пг) = 5 Wtml, (39)
1 = 0
где ч. у. множество Р содержит Wt элементов ранга i. С другой стороны, из предложения 3.14.1 имеем Z(P, — /«)=(—1)"Z(P, пг), так что AZ (Р, — ni) — (— I)"-1 AZ(Р, пг— 1). Комбинируя это с формулой (39), получаем
п-i п-i
S ITz(m-l/=E (40)
1 = 0 1=0
Уравнения (40) налагают некоторые линейные соотношения на числа Wt, известные как уравнения Дена — Соммервилля. В общем случае существует [yj независимых уравнений (в дополнение к условию 1F3 = 1). Мы перепишем ниже эти уравнения для 2 п 6, причем положим IFo = 1:
n = 2: IF, = 2,
и = 3: 1Г1-1Г2 = 0,
п = 4: IF1-IF2+IF3 = 0,
2IF2 - 3IF3 = 0,
и = 5: WX-W2+WZ—WK = Q,
IF3 —2IF4 = 0,
n = 6: Wj-W2 + IF3-IF4+IF5 = 2,
2W2 - 3IF3 + 4W< - 51F5 = 0,
2IF4 - 5IF5 = 0,
Более элегантный способ установления этих уравнений будет обсуждаться в связи с теоремой 3.14.9.
Основным примером эйлеровой решетки L, для которой L— {1} есть симплициальное ч.у. множество, является решетка граней триангуляции А сферы с присоединенным элементом 1. В этом случае IF,- есть в точности число (i—1)-мерных граней А.
Заметим, что хотя мы вывели уравнение (40) как специальный случай предложения 3.14.1, можно также вывести предложение 3.14.1 из формулы (40). Именно, для данного эйлерова ч.у. множества Р применим формулу (40) к ч.у. множеству цепей Р с присоединенным элементом 1. Получившееся уравнение формально эквивалентно предложению 3.14.1.
3.14. Эйлеровы ч. у. множества
203
Затем мы обратимся к теореме двойственности для чисел Р(Р, S) в том случае, когда Р — эйлерово ч.у. множество.
3.14.3. Лемма. Пусть Р — конечное ч.у. множество с элементами б и 1, и пусть х Р-- {0, 1}. Тогда
1Ъ>_х(б, 1) = М0, Ь — М0> х)у,Р(х, 1).
Доказательство. Это простое следствие предложения 3.8.5. □
3.14.4. Лемма. Пусть Р — такое же ч.у. множество, как и выше, и Q — произвольное ч. у. подмножество Р, содержащее элементы б и Г. Тогда
Hq(0, Т) = S (—1)S Не (0, М)Мм> х2) ... !)>
где суммирование ведется по всем цепям 0 < xt < ... < xk < 1 в Р, таким, что Xi$=Q для всех i.
Доказательство. Многократно примените лемму 3.14.3, последовательно удаляя элементы ч. у. подмножества Q из Р. □
3.14.5. Предложение. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п и Q — произвольное ч.у. подмножество Р, содержащее элементы б и f. Положим Q = (p_Q)U{6, 1}. Тогда
pq(6, 7) = (-1ГЧ(6, f).
Доказательство. Так как Р эйлерово, имеем
(б, х{) р,р (хь х2) ... р,р (xk, 1) = (—If
для всех цепей 0 < х{ < ... < xk < 1 в Р. Следовательно, из леммы 3.14.4 имеем Pq(6, 1) = S(— l)fe+", где сумма берется по всем цепям б < xt < ... < xk < 1 в Q. Доказательство следует из предложения 3.8.5. □
3.14.6. Следствие. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга п, —1 ]. Положим, 8 — \п—1] —S. Тогда Р(Р, S)= Р(Р, S).
Доказательство. Применим предложение 3.14.5 к случаю Q = Ps U {0, 1} и используем формулу (34). □
Топологическое отступление. Предложение 3.14.5 доставляет поучительный пример, показывающий полезность интерпретации функции Мёбиуса как (приведенной) эйлеровой характеристики и рассмотрения при этом самих групп гомологий. В общем случае мы ожидаем, что если разумным образом усилить
204 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
предположение, взяв в расчет группы гомологий, то и вывод аналогичным образом усилится. Действительно, пусть вместо требования, что р.Р(х, у) = (— 1/<х' у\ мы предположим, что
~ ( 0, i =# I (х, у) — 2,
й. К) = (к> i =
где К— поле (или любая группа коэффициентов), а Д обозначает порядковый комплекс, определенный в разд. 3.8. Равносильно, Р —-эйлерово ч.у. множество Коэна — Маколея над К. Пусть Q, Q — ч.у. множества из предложения 3.14.5, и положим Q' = Q — {0, 1}, Q' = Q — {0, 1}. Теорема двойственности Александера для симплициальных комплексов утверждает, что в этих условиях
^(A(Q'), K)^Hn-l~3(b(Q'), К).
(Если К — поле, то существует (не канонический) изоморфизм Й'(Д, К) = Я;(А, К).)
В частности, %(A(Q')) = (—1)" '/(А^')), чт0 эквивалентно предложению 3.14.5 (в силу предложения 3.8.6). Следовательно, предложение 3.14.5 можно рассматривать как «аналог в теории обращения Мёбиуса» теоремы двойственности Александера.
Наконец, мы подошли к замечательной «главной теореме двойственности» для эйлеровых ч. у. множеств Р. Мы свяжем с Р два многочлена f(P,x) и g(P,x), определенные ниже. Пусть Р — множество всех интервалов [0, у] из Р, упорядоченных по включению. Ясно, что отображение Р-+Р, определенное формулой z/->[0, у], есть изоморфизм ч.у. множеств. Многочлены f и g определяются индуктивно следующим образом:
1. f(l, x) = g(l, х) = 1. (41)
2. Если п + 1 = rank Р > 0, то многочлен f (Р, х) имеет степень п, скажем f (Р, х) — h0 + h{x + ... + hnxn.
Определим тогда
g (Р, х) = h0 + (Ai — h0) х + (ft2 — hi) х2 + ... + (hm — h,^) xm,
(42)
где m = L«/2J.
3. Если n + 1 = rank P > 0, то положим
f(P, x)= E g(Q> x)(x-l)ra-p(Q). (43)
Q^P
0ФР
3.14. Эйлеровы ч. у. множества
205
3.14.7. Пример. Рассмотрим шесть эйлеровых ч.у. множеств, изображенных на рис. 3.39. Будем писать ft и gi вместо f(P,,x) и g(Piyx) соответственно. Последовательно вычисляем, что
/о = £о=1,
fi=go= 1, £1=1,
f2 = 2£i + £oC*-0= 1 + *, £г=1,
/з = 2£2 + 2g-! (х — 1) + (х — 1)2= 1 +х2, g3= 1 —х,
f4 = 3£2 + 3gi (х - 1) + (х - I)2 = 1 + х + х2, g4=l,
f5 = 2£4 + £3 + 4g2(x— 1) + 3£j (x — l)2 + (x- 1)3 =
- 1 +x3, g5 = 1 — X.
3.14.8. Пример. Запишем fn = f(JBn,x) и gn = g(Bn, x), где
—булева алгебра. Простое вычисление дает
fo=l, £о=1, Л = 1, £i=l, f2=l + *, £2=1, f3=l+x + x2, £з=1, 1+х + х2 + х3, g4=l.
Это наводит на мысль, что fn — 1 + х + ... +хп~1(п>0) и gn — 1. Ясно, что формулы (41) и (42) имеют место; нам нужно
о о Х ’ V
Ро Pi Pi Р3 Р< Р5
Рнс. 3.39.
только проверить формулу (43). Рекуррентное соотношение (43) сводится к виду
п '
г V'' (Ч" 1 A i \\n-k
fn+i = X^4 , (*-1) •
Подставляя g% = 1, получаем
1>”"= kt Л k /
= (х — I)-1 [((х — 1) + 1)”+1 —- 1] (из биномиальной теоремы) —
= 1 + X + . . . + хп.
206 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Следовательно, мы показали
f (Вп, х) = 1 + х -j- ... + xn~l, 1, g(Bn, х)=1, n^Q.
Предположим теперь, что Р — эйлерово ч.у. множество ранга п + 1 и Р — {Т} симплициально. Так как g(JBn,x)=\, из формулы (43) получаем
f(P, х)= 2 (х- 1)^P(Q,= Q^P
= S UM* - П'Ч (44)
i = 0
где Р имеет Wt элементов ранга I.
Мы подошли к главному результату этого раздела.
3.14.9. Теорема. Пусть Р — эйлерово ч.у. множество ранга о + 1. Тогда f(P, x) = xnf(P, l/х). Эквивалентно, если f(P, х) =
== So , то hi = hn_l.
Доказательство. Мы пишем f(P) вместо f(P,x), g(P) вместо g(P,x) и так далее. Положим у = х—1. Умножая формулу (43) на у и прибавляя g(P), получаем
ё№ + у№ = S ^(Q)i/p(p,-p(Q)=>i/-p(P)te(P) + ^O = QeP
= S g(Q) irp(<3)-Q
Из формулы обращения Мёбиуса получаем
ё (Р) у-^ = X (g (Q) + yf (Q)) i/-p(Q) Hp (Q, P)-Q
Так как P — эйлерово ч. у. множество, получаем gp-(Q, Р) = — (— l)l(Q’ р), так что
ё (Р) = 2 (ё (Q) + yf (О) (-У)1 (2' Р)- (45)
Q
Положим f(Q) = tz0 + a1x+ • •+«Х, где p(Q) = r+l. Тогда
ё (Q) + yf (Q) = ~ as+i) xs+1 + (as+i - as+2) xs+2 + ...,
3.15. Биномиальные ч.у. множества
207
где s = |r/2J. Будем вести индукцию по p(Q). Предположим, что az = ar_z при г < п. В этом случае
g(Q) + yf(Q) =
(as — as_ J xs+I + (as_j — as_2) xs+2 + ..., г четно, (as — as_ j) xs+2 + (as_! — tzs_2) xs+3 + ..., г нечетно,
(46)
= xp(Q)g(Q, 1/x).
Вычтем теперь yf(P)-t- g(P) из обеих частей равенства (45) и используем формулу (46), чтобы получить
~УЦР)= Е x^g(Q, l/x)(-z/)'(Q’P)=^
Q<i
^f(P) = £ x₽(Q>g(Q, 1/х)(-у)1^р>-1 =
Q<T
= xnf(P, 1/x) (из формулы (43)).
Доказательство закончено. □
Уравнение (44) дает прямую комбинаторную интерпретацию многочлена f(P,x), если Р— {1} есть симплициальное ч.у. множество, и в этом случае теорема 3.14.9 эквивалентна формуле (40). В общем случае, однако, выражение f(P,x) оказывается значительно более тонким инвариантом ч. у. множества Р. Дальнейшую информацию см. в упражнениях 70—72.
3.15. Биномиальные ч.у. множества и производящие функции
Мы сталкивались до сих пор с множеством примеров произво-дящих функций, в основном видаХп>0/(га)или Еп>оНга) x7rt’--Почему эти типы производящих функций встречаются повсеместно, а производящие функции, подобные Ега>о f (п)х"/(1 + «2), кажется, не встречаются никогда? Существуют ли другие классы производящих функций, полезных в комбинаторике, кроме двух упомянутых выше? Теория биномиальных ч.у. множеств пытается ответить на эти вопросы. Она предлагает единый подход к производящим функциям многих различных типов, встречающихся в комбинаторике. Остаток главы будет посвящен этой теме. Большая часть последующего материала этой книги будет посвящена более тонким аспектам теории производящих функций, для которых в действительности теория биномиальных ч.у. множеств не подходит. Мы должны упомянуть,
208
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
что имеется несколько альтернативных подходов к созданию единой теории производящих функций. Мы выбрали биномиальные ч.у. множества по двум причинам: (а) мы уже развили большую часть соответствующего подготовительного материала по теории ч. у. множеств и (Ь) из всех существующих теорий теория биномиальных ч.у. множеств дает наиболее явную комбинаторную интерпретацию чисел В(п), появляющихся в производящих функциях вида ^n>of (п) хп/В (п). (Не путайте эти числа В(п) с числами Белла.)
Рассмотрим сначала некоторые виды производящих функций F(x)e С[[х]], которые в действительности уже возникли в комбинаторике. Эти производящие функции нужно рассматривать как «представление» функций f: N-*C степенным рядом F(x) = '£ln>of (п)хп/В(п), где В(п) — некоторые комплексные числа (которые, как оказывается в теории биномиальных ч.у. множеств, всегда являются положительными целыми).
3.15.1. Пример
а. (Обыкновенные производящие функции.) Это производящие функции вида F (х) = ^n>of (ri)xn. (Более точно, мы говорим, что F(x) есть обыкновенная производящая функция последовательности f(n).) Конечно, мы видели много примеров таких производящих функций, как, например,
Ъ. (Экспоненциальные- производящие функции.) Здесь F (х) == = Sn>oHra) хп1п\. Снова мы имеем множество примеров, таких, как
2 В (о) хп/п\ = ее*~1, п>0
X D(n)xn/n\ = -^^. п>0
3.15. Биномиальные ч. у. множества 209
с. (Эйлеровы производящие функции.) Пусть g — фиксированное положительное целое число (практически почти всегда берется степень простого числа, соответствующая полю р?). Иногда удобнее рассматривать q как переменную, а не как целое число. Соответствующая производящая функция есть
F(x)= S f(n)%7(n)!,
п >0
где (и)! =(1 + q) (1 + q + q2) ... (1 + </ + ... + qn~l), как и в разд. 1.3. Заметьте, что выражение (и)! сокращается до п\, если положить q — \. Иногда в литературе знаменатель заменяют на (1—q) (1—q2) ... (1 — qn)-, это равносильно преобразованию х-*-х/(1 —q). Мы увидим, что наш выбор знаменателя естествен, поскольку рассматриваются биномиальные ч.у. множества. Одно немедленное преимущество состоит в том, что эйлерова производящая функция сокращается до экспоненциальной производящей функции, если положить q = \. Пример эйлеровой производящей функции
у f (га) хп _/ у хп у
L (п)! I 2-1 (п)! ) ’ га>0 \п>0 /
где f(п) — общее число подпространств в Vn(q) (т. е. /(«) =
d. (Дважды экспоненциальные производящие функции.) Эти функции имеют вид ^n>of (п) xn/nl2. Например, если f (п) есть число п X п матриц неотрицательных целых чисел, таких, что суммы элементов в каждой строке и каждом столбце равны двум, то F(х) = ех!2(1—х)~1/2. Иногда случается иметь дело с более общей г-экспоненциальной производящей функцией F (x) = ^in>of (») хп/п\г, где г — произвольное положительное целое число.
е. (Хроматические производящие функции.) Зафиксируем число q G Р. Тогда
F(x) = X f{n)xnlq^n\.
ra>0
/п\
Иногда выражение q'-2' заменяют на qn'12, что соответствует преобразованию Например,
Е f(n)xnl2^n\=[ £ (—\
га>0 \га>0 /
210
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
где f(n) есть число ациклических ориентированных графов с п вершинами, т. е. число подмножеств множества [га] X [га], не содержащих никакой последовательности элементов (r0, ix), (h, «2), (*2. h), •••, *0). Например, f (3) = 25, что
соответствует пустому множеству, шести 1-подмножествам {(г, /): г=#/}, двенадцати 2-подмножествам {(г, /), (k, I): i=£j, k=^l, (г, j) (I, k) и шести 3-подмножествам, полученным из набора {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} перестановкой цифр 1, 2, 3.
Основное понятие, которое будет использовано для объединения приведенных выше примеров, следующее:
3.15.2. Определение. Ч.у. множество Р называется биномиальным ч.у. множеством, если оно удовлетворяет трем, условиям: а. Р локально конечное, содержащее элемент 0 и бесконечную цепь.
Ь. Каждый интервал [х,у] ч.у. множества Р градуирован. Если 1(х,у)=п, то мы называем [х, у] п-интервалом.
с. Для всех п е N любые два «-интервала содержат одно и то же число В(п) максимальных цепей. Мы называем В (га) факториальной функцией ч. у. множества Р.
Замечание. Условие (а) введено, в основном, для удобства, здесь возможно несколько альтернативных условий.
Заметьте, что из определения биномиального ч.у. множества мы имеем В(0) = В(1)=1, В(2) = card (х, у), где [х, у] — любой 2-интервал, и В (0) В (1) В (2)
3.15.3. Пример. Нижеследующие ч.у. множества являются биномиальными.
а. Пусть P = N с обычным линейным порядком. Тогда В(га) = = 1 для всех ti е N.
Ь. Пусть Р — решетка всех конечных подмножеств множества N (или любого бесконечного множества), упорядоченных по включению. Тогда Р — дистрибутивная решетка и В (га) = га!. Мы будем обозначать это ч.у. множество через В.
с. Пусть Р — решетка всех конечномерных подпространств векторного пространства бесконечной размерности над полем упорядоченных по включению. Тогда В(га) = (п)!. Это ч.у. множество обозначим В (с/).
d. Пусть Р — множество всех упорядоченных пар (S, Т) конечных подмножеств S, Т множества N, удовлетворяющих условию | S | = | Т |, и упорядоченных покомпонентно (т. е. (S, Т)^ =C(S', Т'), если SsS' и Т<=Т'). Тогда В (га) = га!2. Это ч. у. множество будет обозначаться В2. Более общим образом, пусть Ph Р2, Аг — биномиальные ч. у. множества с факториальными функциями В[, В2, . . ., Bk. Пусть Р есть ч. у. подмноже
3.15. Биномиальные ч. у. множества
211
ство ч.у. множестваР2X • • • Х^ь состоящее из всех ^-наборов (хь ..., xk), таких, что /(О, xj =...=/(б, xfe).Тогда Р — биномиальное ч. у. множество с факториальной функцией В (п) = В[ (п) ... Bk (п). Мы пишем P = P1*...*Pfe. Поэтому В., = В * В. Более общим образом, положим ВГ=В* ... * В (г раз), е. Пусть V-—бесконечное множество вершин, q^p— фиксированное число, и пусть Р — множество всех пар (G, о), где
G — функция из совокупности всех 2-наборов {и, I
в множество {0,1, ..., q - 1}, такая, что все значения функции G, за исключением конечного числа, суть нули (G можно представить в виде графа с конечным числом ребер, помеченных числами 1,2, ..., q — 1), и где ст: {0, 1} — отображение,
удовлетворяющее двум условиям:
1. Если G({u, и}) #= 0, то о (и) =# о (и), и
2. ZueVa(v) < °°-
Если (G, ст), (Н, т)еР, то положим (G, т), если
1. (г(ц)^т (и) для всех v е V, и
2. если <j(u) = t(u) и о(и) = т(ц), то G({u, v}) = H({u, и}).
Тогда Р является биномиальным ч. у. множеством и В(п) =
= и IqX 2/. Мы оставляем читателю задачу нахождения биномиального ч. у. множества Q с факториальной функцией р)
В (ii) = q'2такого, что P = Q*B, где В — биномиальное ч. у. множество из примера 3.15.3(b).
f. Пусть Р — биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией В(п), и пусть £е|;. Определим ч. у. подмножество
P*fe) = {х е Р : I (б, х) делится на k}.
Тогда P(fe) — биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией
Bk(n) = B(nk)/B(k)n.
Заметим, что числа В(п), рассмотренные в примере 3.15.3 (а) — (е), появляются в степенных рядах производящих функций примера 3.15.1. Если мы сможём как-либо сопоставить биномиальное ч.у. множество с производящей функцией вида У, f (п) хп/В(п), то мы объясним форму производящей функции примера 3.15.1. Мы также получим некоторое оправдание того эвристического принципа, что обыкновенные производящие
212
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
функции связаны с неотрицательными целыми числами, экспоненциальные производящие функции — с множествами, эйлеровы производящие функции — с векторными пространствами и так далее.
Начнем наше изучение биномиальных ч. у. множеств Р. Вы-Г п I
берем числа i, п е N, и пусть । . I обозначает число элементов ранга I в «-интервале [х,у]. Заметьте, что так как — i)
максимальных цепей интервала [х, у] проходят через данный элемент z ранга I, мы имеем
п
I
В (п)
В (z) В(п — i) ’
(47)
[п I
. зависит только от я и г, но не от выбора
«-интервала [х, у]. В случае Р = В, как в примере 3.15.3 (Ь), [п ] / п \
. — I . I, что объясняет наши термины «бино-
миальное ч. у. множество» и «факториальная функция». Эта аналогия с факториалами еще усиливается, если заметить, что
В(п) = А(п)А(п- 1) ... 4(1),
[г ]
I — число атомов в /-интервале.
Теперь мы можем сформулировать главный результат о биномиальных ч.у. множествах.
3.15.4. Теорема. Пусть Р — биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией В(п) и алгеброй инцидентности ЦР) (над С). Положим
R(P) = {f е I (Р): Цх, у) = Цх', у'), если Цх, у) = Цх', у')}.
Если f е R(P), то мы пишем f(n) вместо Цх, у), если Цх, у) = п. Тогда R(P) есть подалгебра алгебры. I (Р) и имеем изоморфизм алгебр <р: R (Р) -> С Цх]], задаваемый формулой
<P(f)= Z Цп)хп/В(п).
П>0
Доказательство. Ясно, что R(P) есть векторное подпространство пространства ЦР). Пусть f, g^R(P). По определению
3.15. Биномиальные ч. у. множества
213
числа
для/г-интервала [х, у] имеем:
fg(x, у) — £ Цх, z)g(z, у) = z е (X, у]
п
(48)
Следовательно, значение fg(x,y) зависит только от 1(х,у), так что R(P) есть подалгебра алгебры ЦР). Далее, правая часть равенства (48) есть в точности коэффициент при хп/В(п) в 43(f)tP(S’)> откуда следует доказательство. □
Отметим полезное свойство алгебры R(P), которое непосредственно вытекает из теоремы 3.15.4 (его можно доказать и не обращаясь к теореме 3.15.4).
3.15.5. Предложение. Пусть Р — биномиальное ч. у. множество и f^R(P). Предположим, что в ЦР) существует элемент f~l (т. е. Цх, х)=#0 для всех элементов х^Р). Тогда f~l е R(P).
Доказательство. Постоянный член степенного ряда F = <p(f) равен Цх, х) =И= О для всех хеР, так что элемент F~l существует в кольце С[[х]]. Пусть g = <p~‘ (F~l) g R(P). Так как FF~l — l в С [[х]], имеем fg = l в алгебре ЦР). Следовательно, f-l = g<=R(P). □
Мы обратимся теперь к некоторым примерам, показывающим объединяющую мощь биномиальных ч.у. множеств. Мы не будем пытаться их систематизировать или изложить в максимально возможной общности, но просто попробуем почувствовать вкус этого предмета.
3.15.6. Пример. Пусть Цп) есть мощность «-интервала [х, у]
Еп Г ”1
. . Из определения i=ol t J
ясно, что дзета-функция £ лежит в алгебре R(P) и <р (£) = = ^П>охп/В(п). Так как R (Р) — подалгебра в ЦР), имеем еР(Р). Так как g2(x, i/) = card[x, у], то
Е Цп) х'1 /В (п) = ( X хЦВЦЦ2.
nZ&O \п >0 /
214 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Таким образом, из примера 3.15.3(a) имеем, что число элементов f(n) цепи длины п удовлетворяет равенству
L rw^=(L z“Y= X (-+
п^О \п^0 ✓ п>0
откуда f(n) = n-\- 1 (это не самый глубокий результат данной темы). Аналогично, из примера 3.15.3(b) число f(n) подмножеств «-элементного множества удовлетворяет уравнению
X f(n) хп/п! = ( У, хп/п!\2=е2х = У 12пхп1п\,
откуда f(n) =2га. Аналогичная формула для эйлеровых производящих функций была установлена в примере 3.15.1(c).
3.15.7. Пример. Пусть ц(«) обозначает функцию Мёбиуса ц(х,у) для «-интервала [х,у] ч.у. множества Р (значение ц(х,у) зависит только от п в силу предложения 3.15.5). Из теоремы 3.15.4 имеем
2 ц («) хп1В («) = ( £ -хп/В (п)}'1. (49)
П>0 \П>0 )
Если Р— ч.у. множество из примера 3.15.3(a), то
у р, (о) хп == ( У = 1 — X, П^О \П^0 /
что, разумеется, согласуется с примером 3.8.1. Аналогично, для примера 3.15.3(b) имеем
\п^0 / п>0
что дает еще один способ определения функции Мёбиуса булевой алгебры. Таким образом, формально принцип включения— исключения эквивалентен тождеству (е*)-1 = е~х.
3.15.8. Пример. Предыдущие два примера можно обобщить следующим образом. Пусть Zn(A) обозначает дзета-многочлен (от переменной Л) «-интервала [х, у] ч. у. множества Р. Тогда, так как Z„(A) = ^%(x, у), имеем
X Z„(A)xra/B(«) = f Е xra/B(«)V.
Эта формула справедлива для любого комплексного числа (или переменной) Л.
3.15.9. Пример. Зафиксируем k (вариант предыдущего примера), и пусть ck (п) обозначает число цепей х = х0 < Xj < ... < xk = у
3.15. Биномиальные ч. у. множества
215
длины k между х и у в «-интервале [х, у]. Так как ck(n) = = (£— l)fe(x, у), имеем
Е ck (п) хп/В (га) = ( Е хп/В(п)}к. п^О \п> 1 )
Особенно интересен случай Р = В. Здесь ck(ri) — число цепей 0==Soc:Sl с: ... cSs = [«], или, по-другому, — число упорядоченных разбиений (Sb S2 — Sb S3 — S2, , [га] — Sfe_i) множества [га] на k (непустых) блоков. Так как существует kl способов упорядочения разбиения с k блоками, имеем ck(n) = = k\S (п, k). Следовательно,
£ S(ra, k)xn/nl^-L(ex-l)k.
П > О
Таким образом, теория биномиальных ч.у. множеств «объясняет» простую форму производящей функции из уравнения (24b) гл. 1.
3.15.10. Пример. Пусть с (п) —общее число цепей от х до у в «-интервале [х, у], т. е. с(п) = ck (га). Мы уже видели (разд. 3.6), что с (га) = (2 — £)-1 (х, у). Следовательно,
Е с(п)хп/В(п) = (2 — Е хп/В(п)\~'.
п > 0 \ п > 0 J
Например, если Р = N, то
X с (п)х’ - (2 - Ду)’ ‘ - 1 + X п>0 n >1
Поэтому с(га) = 2"-1, га^ 1. Действительно, в га-интервале [0, га] цепь 0 = хо<х1< ... <хА = га можно отождествить с разложением п = х1~1-(х2— Xi)+ ... +(га — xA_i), так что мы переоткрыли результат о существовании 2га_| разложений числа га. Если вместо этого взять Р = В, то
Е с (ri) xn/nl = (2 —
Как видно из примера 3.15.9, с (га) есть общее число упорядоченных разбиений множества [га], т. е. с (га) = Efe klS(n, k). Иногда называют упорядоченное разбиение множества S размещением с предпочтением, так как оно соответствует расположению элементов S в линейном порядке с разрешенными объединениями.
216
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
3.15.11. Пример. Пусть — общее число цепей х = х0< < %! < ... < xk — у в n-интервале [х, у\ ч. у. множества Р, таких, что /(хг_ь хг)^2 для всех 1 где число k может
меняться. Теперь читателю должно быть очевидно, что
Zw-wi-Е (Е -fa-1 - X тй>у‘
n>0 fe>0\n>0 / \ п>2 /
(50)
Например, если Р = N, мы перечисляем подмножества интервала [0, п], содержащие 0 и п и не содержащие никаких двух последовательных целых чисел. Равносильно, мы подсчитываем разложения (xi— х0) + (х2— xi)+ ••• +(n — xft-i) числа п, ни одна из частей которых не равна 1. Из формулы (50) имеем
Е f (п) к" - (1 - -1 + Е
п>0 п^2
где Fn-i обозначает число Фибоначчи в согласии с упражнением 14(b) гл. 1. Аналогично, если Р = В, мы получаем экспоненциальную производящую функцию (2-|-х' — е*)-1 для числа упорядоченных разбиений га-элементного множества без одноэлементных блоков.
3.16. Приложения к перечислению перестановок
В разд. 3.12 мы связали функции Мёбиуса с подсчетом перестановок, обладающих некоторыми свойствами. Используя теорию биномиальных ч.у. множеств, мы можем получить производящие функции для перечисления некоторых из этих перестановок.
На протяжении этого раздела Р обозначает биномиальное ч.у. множество с факториальной функцией В(п). Пусть Ss Р. Если [х, у] — n-интервал ч.у. множества Р, обозначим через [x,//]sS рангово-выбранное ч.у. подмножество интервала [х,у] с присоединенными элементами х и у, т. е.
Iх. y\s — {z^[x> 1/]: г = х, 2 = у, или I (х, г)е$}. (51)
Пусть цз обозначает функцию Мёбиуса ч. у. множества [х, z/]s, и положим y.s(n) = Цз (х, у). (Легко видеть, что значение ц$(о) зависит только от п, но не от выбора n-интервала [х, у].)
3.16.1. Лемма. Имеем
- X Их (П) хп1В (п) = Г L х"/В (п)1 Г1 + 2 Их («) *п1В («)!• (52) n > 1 Ln > 1 JL neX J
3.16. Приложения к перечислению перестановок
217
Доказательство. Определим функцию %: N -> {0, 1} формулой Х(п)=1, если п = 0 или n sS, %(га) = 0 в остальных случаях. Тогда рекуррентное соотношение (14), определяющее функцию Мёбиуса, дает ц5 (0) = 1, и
П— I r -| ЕГ it 3
I z I Hs(0%(0> «>1,
1 = 0
[п 1
. = В (п)/В (г) В (п — г), как обычно. Следовательно,
п
— Hs(«)(l—%(«)) = £ Г П 1 Нз(0%(0, «>1, i=o L 1 J
что переводится в тождество для производящих функций
Eps (и) хп у (п) % (п) хп Гу хп ]
В (п) + Zj В~(п) ~~ I 2-/ В (/г) Х
n^o n>o Ln>o J
Г у M'S («) % (я) *" 1
Х Zu В~(п) ~ •
Ln>o J
Ясно, что это равносильно равенству (52). П
Рассмотрим теперь множество S, для которого степенной ряд 1 + p,s(n)x't/B(n) может быть вычислен явно.
3.16.2. Лемма. Пусть feeP и S = k'P = {kti: п е Р). Тогда
1 + Е Ms (га) хп/В (га) = Г Е xkn/B (kn)T1. (53)
п е S Ln 0 J
Доказательство. Пусть — биномиальное ч. у. множество из примера 3.15.3(f) с факториальной функцией ВДп) — — B(kii)/В(1г)п. Если ц(А)-—функция Мёбиуса на ч.у. множестве Р(А>, то из формулы (49) следует, что
Е Ц(А) (п) xnIBk (п) = Г Е xn/Bk (п)1_ ‘. (54)
п > о Ln > о J
Но n(ft,(n) == (kn). Полагая Bk (и) = В (kn)/B (k)n в формуле
(54), получаем
Е Hs (И (В (k) х)п/В (kn) = Г Е (В (k) х)п/В (6п)Г1.
п > 0 Ln > о J
Если подставить xk вместо B(k)x, получим формулу (53). □
218 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Комбинируя леммы 3.16.1 и 3.16.2, получим
3.6.13. Следствие. Пусть k е Р и S = kP. Тогда
— Е Нз («) х7-6 (я) = [ Е хп1В (га)1 Г Е xknIB (kn)] '. □
«> i J L n > о J
Теперь рассмотрим случай P = B(g) (пример 3.15.3(c)). Для любого подмножества р из теоремы 3.12.3 следует, что
(—plSHln-l] 1-1 p,s(„) =
Л
где сумма берется по всем перестановкам те с множеством спуска S. Если S = 1гР, то | S П [п — 1] | = 1 j. Следователь-
но, мы заключаем:
3.16.4. Предложение. Пусть k^ P, и пусть
fnft(<7)= Е ЧЦп),
Л
где сумма берется по всем перестановкам п — а\й2 ... ап^ ©„, таким, что ai>ai+i, тогда и только тогда, когда k\i. В этом случае
Е (- fnk (<?) х7(п)! = Г Е х7(п)!1 Г Е x^/(kn)!l~'. □
п>1 Ln>i JLn>o J
(55)
Хотя предложение 3.16.4 можно доказать без использования биномиальных ч.у. множеств, наш подход позволяет дополнительно понять, почему выражение (55) имеет такую простую форму. В частности, простой знаменатель Z„>o*fe7(kn)! возникает при участии функции Мёбиуса ч. у. множества P(fe), где Р = В(^).
1 — 1
Мы можем избавиться от некрасивого множителя (— 1)L k J в выражении (55), исследуя отдельно каждый класс чисел п, дающих данный вычет по модулю k. Зафиксируем 1 j k, подставим —xk и извлечем из формулы (55) только те члены, показатели степени которых s/(mod&)- Мы получим элегантную формулу
mE0 fnk (?) х7(п)! = Г ;Ео (-l)mx7(n)!jr£
(56)
3.16. Приложения к перечислению перестановок
219
В частности, если j = k, мы можем прибавить 1 к обеим частям равенства (56) и получить
Е fmk+k(q)xmk/(rnk)l = Г Е (—1)"x"fe/(nk)!l“1. (57)
т > 0 Ln > О J
Уравнения (57) являются также прямым следствием леммы 3.16.2.
Один специальный случай формулы (56) заслуживает отдельного упоминания. Напомним (предложение 1.3.14(4)), что перестановка а\а2 ... ап е <5п чередующаяся, если ai > а2 < <а3> ••• Ясно, что fnz(l) есть число Еп чередующихся перестановок в Еп известно как число Эйлера (его не нужно путать с числами Эйлера из разд. 1.3). Подстановка k = 2, q — \ и J = 1 и 2 в формуле (56) приводит к замечательной формуле:
Е Епхп1гй = tg х + sec х. (58)
n>0
По этой причине Е2т иногда называют числом секанса, a E2ll+i — числом тангенса.
Было бы полезно отметить, как уравнение (58) можно вывести из наших первоначальных принципов. Рассмотрим следующую процедуру. Выберем f-подмножество S из интервала ( п \ —
[2, п + 1] I I способами и положим S=[2, п + 1] —S. Выберем чередующиеся перестановки л е <5 (S) и те@($) способами. Пусть р = л Io е ®„+1, где л — перестановка л, записанная в обратном порядке. Например, если п — 7, л = 635, а = 8472, то р = 53618472. Если р = а1а2 ... ап+1, то либо р является чередующейся (а, > а2 < а3 > ...), либо «чередующейся наоборот» (а1<а2> аз< • • •), и каждая такая перестановка р встречается в точности один раз. Так как существует биекция между чередующимися и чередующимися наоборот перестановками из ®n+i (именно, az-» п + 2 — az), то число перестановок р, получившихся таким образом, есть 2En+i. Следовательно,
п 2£„+1=£PW„_z, «>1, г=(Л 1 ’
и производящая функция Еге>оЕпхп1п\ тогда вычислена в уд ражнении 43(c) гл. 1.
220
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Замечания
Предмет частично упорядоченных множеств и решеток имеет свое начало в работах Г. Буля, Ч. С. Пирса, Е. Шредера и Р. Дедекинда в девятнадцатом столетии. Однако только с работами Гарретта Биркгофа в 1930-х годах действительно началось развитие теории ч.у. множеств как самостоятельного предмета. В частности, появление в 1940-м году первого издания знаменитой книги Биркгофа [5] сыграло плодотворную роль в развитии предмета. Более явные ссылки на развитие теории ч.у. множеств и решеток можно найти в работе [5]. Кроме того, библиография, содержащая порядка 1400 наименований по ч.у. множествам (но не решеткам), появилась в работе [25]. Эта последняя работа содержит много ценных обзоров по текущему состоянию теории ч. у. множеств. В частности, мы упомянем обзор К. Грина [19] по функциям Мёбиуса. Весьма обширная библиография по теории решеток появилась в работе [17].
Идея алгебр инцидентности восходит к Дедекинду и Е. Т. Беллу, хотя формула обращения Мёбиуса для ч.у. множеств по существу открыта Л. Вейснером в 1935 г. Скоро после этого она была переоткрыта Ф. Холлом и установлена в полной общности М. Бардом в 1939 г. Холл доказал основное предложение 3.8.5 (известное поэтому как «теорема Филиппа Холла»), а Вейснер доказал столь же важное следствие 3.9.3 («теорема Вейснера»), Только в 1964-м году с плодотворной работой [26] Дж. К. Рота началось систематическое развитие теории ч. у. множеств и решеток в связи с комбинаторикой. Ссылки на более ранние работы в этой области, приведенные выше, имеются в работе [26].
Мы теперь обратимся к более специальным ссылкам, начиная с разд. 3.4. Теорема 3.4.1 (фундаментальная теорема для конечных дистрибутивных решеток) была доказана Биркгофом [4, теорема 7.3]. Связь между цепями в дистрибутивных решетках J (Р) и сохраняющими порядок отображениями а: P-*N (разд. 3.5) впервые была явно рассмотрена в работах [28] и [29]. Понятие «обобщенного треугольника Паскаля» появилось в работе [34].
Развитие гомологической теории для ч. у. множеств было рассмотрено Дехьювелем, Доукером, Фармером, Окамото и другими (см. работу [14] для ссылок), но комбинаторные ответвления такой теории, включая связь с функцией Мёбиуса, оставались непонятыми до работы Рота [26, с. 355—356]. Некоторая работа по этим направлениям была проделана Фармером, Фолкманом, Лаксером, Мазером и другими (см. [40], [41] для
Замечания
221
ссылок). В частности, Фолкман доказал результат, эквивалентный утверждению о том, что геометрические решетки являются ч.у. множествами Коэна — Маколея. Систематическое изучение связей между комбинаторными и топологическими свойствами ч.у. множеств было начато К- Баклавским и А. Бьернером и продолжено Дж. Волкером. Легко читаемый обзор трудов в этой области появился в работе [41], и многие ссылки можно также найти в работе [40]. Связь между регулярными клеточными комплексами и ч. у. множествами широко обсуждается в статье [7]. Ч.у. множества Коэна — Маколея были открыты независимо Баклавским [1] и Стенли [36, § 8]. Обзор по ч.у. множествам Коэна — Маколея имеется в работе [8]. Предшествующее предложению 3.8.9 утверждение о том, что Ik F не обязательно односвязен и |lk Г| не обязательно многообразие, если |Д|—многообразие, есть следствие глубокого результата Р. Д. Эдвардса, см. [41, с. 99—100].
Алгебра Мёбиуса ч. у. множества Р (обобщающая наше определение в разделе 3.10 в случае, если Р — решетка) была введена Л. Соломоном [27] и впервые систематически исследована К. Грином [18], который показал, как ее можно использовать для вывода многих, казалось бы не имеющих к ней отношения, свойств функций Мёбиуса.
Предложение 3.10.1 (установленное для геометрических решеток) принадлежит Рота [26, теорема 4, с. 357]. Формула (28) для функций Мёбиуса решетки Ln(q) принадлежит Ф. Холлу [21, (2.7)], в то время как формула (30) для решетки П„ независимо открыта Шютценберже и Фрухтом с Рота (см. [26, с. 359]). Обобщение (31) имеется в работе [26, упр. 1, с. 362— 363].
Дзета-многочлены были введены в работе [33, § 3] и в дальнейшем развиты в работе [13].
Идея рангово-выбранных ч.у. подмножеств и соответствующие функции а(Р, S) и р(Р, S) были рассмотрены для последовательно все более общих классов ч. у. множеств в работах [29, гл. II], [30], [32] и достигли своей кульминации в работе [37, § 5]. Теорема 3.12.1 появилась (в несколько более общей форме) в работе [29, теорема 9.1], в то время как теорема 3.12.3 появилась в работе [35, теорема 3.1] при г = 1.
Развитие понятия /^-пометок шло параллельно с развитием понятия рангового выбора. Эта концепция последовательно обобщалась в работах [29], [30], [32] и окончательно сформулирована к настоящему времени в работах [6] (откуда взят термин «/^-пометки») и [9]. Пример 3.13.4 восходит к работе [30], а пример 3.13.5 найден в работе [32]. Более строгий тип пометок, чем /^-пометки, называемый L-пометками, введен
222
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
в работе [6] и обобщен до CL-пометок в работе [9]. (Определение CL-пометок неявно обобщает понятие /^-пометок до того, что можно было бы назвать «С/?-пометками»). Ч.у. множество с СЕ-пометками (первоначально так назывались множества, обладающие лишь Е-пометками) называется лексикографически шелушимым. В то время как R пометки используются (как в разд. 3.13) для вычисления эйлеровой характеристики (т. е. функции Мёбиуса), СЕ-пометки позволяют вычислять сами группы гомологий. В частности, лексикографически шелушимые ч.у. множества являются ч.у. множествами Коэна — Маколея. Ввиду многих важных примеров из работ [9], [10] ч.у. множеств, про которые может быть доказано, что они обладают СЕ-пометками, но не Е-пометками (называемыми теперь «ЕЕ-пометками»), кажется ясным, что СЕ-пометки суть «правильный» уровень общности для этого предмета. Мы исследовали здесь только ^-пометки из-за простоты их представлений и потому, что мы сосредоточиваемся на перечислении, а не на топологии.
Эйлеровы ч. у. множества были впервые явно определены в работе [38, с. 136], хотя они, конечно, рассматривались ранее. В частности, предложение 3.14.1 встречается в работе [33, предложение 3.3] (хотя и установлено в меньшей общности), а наш переход к уравнениям Дена — Соммервилля появился в работе [33, с. 204]. В классическом случае уравнения Дена — Соммервилля были установлены для решетки граней симпли-циального выпуклого многогранника или триангуляций сфер (см. [20, гл. 9, 8]); Кли [24] провел в общем эквивалентное нашему исследование.
Лемма 3.14.3 и ее обобщение — лемма 3.14.4, открыты независимо Баклавским [2, лемма 4.6] и Стечкиным [39]. Более общая формула дана Бьернером и Волкером [11]. Предложение 3.14.5 и следствие 3.14.6 появились в работе [38, предложение 2.2]. Теорема 3.14.9 имеет интересную историю. Она впервые установлена для случая, когда Р—решетка граней выпуклого рационального') многогранника 5s как побочный продукт при вычислении гомологий пересечений* 2) //7(X(^),C) торического многообразия Х(3°), связанного с 5s. Подробнее,
*) То есть вершины многогранника имеют рациональные координаты. — Прим, перев.
2) В оригинале «intersection homology». В русской литературе отсутствует, кажется, общепринятый перевод. В гладком случае рассматриваемый объект есть кольцо Чжоу. Иногда эти гомологии называют также ГМ-гомо-логиями (гомологиями Горецкого и Мак-Ферсона). См., например, Фултон У., Мак-Ферсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями.— М.: Мир, 1983. — Прим. ред.
Литература
223
полагая pt = dim/ТУ,-(X (^*), С), имеем
S ₽^ = f(P, ?2).
i >0
Но гомологии пересечений удовлетворяют двойственности Пуанкаре, которая влечет за собой р,- = 02л-». Ссылки и дальнейшую информацию см. в упражнении 72. Затем было естественно поставить вопрос о более элементарном доказательстве в максимальновозможной общности, откуда и возникла теорема 3.14.9.
Теория биномиальных ч.у. множеств была развита в работе [12, § 8]. Фактически весь материал разд. 3.15 (некоторую его часть в более общем виде) можно найти в этой работе, за исключением хроматических производящих функций [31]. Производящая функция (2-—е*)-1 примера 3.15.10 впервые рассматривалась в статье A. Cayley, Phil. Mag 18(1859), 374—378 в связи с его исследованиями по деревьям. См. также О. A. Gross, Amer. Math. Monthly 69(1962), 4—8. Применение биномиальных ч.у. множеств к перечислению перестановок (разд. 3.16) было развито в работе [35].
Литература
1. Baclawski К. Cohen — Macaulay ordered sets. J. Algebra 63 (1980), 226— 258.
2. Baclawski K. Cohen — Macaulay connectivity and geometric lattices. European J. Combinatorics 3 (1984), 293—305.
3. Bender E. A. Goldman J. R. Enumerative uses of generating functions, Indiana Univ. Math. J. 20 (1971), 753—765.
4. Birkhoff G. On the combination of subalgebras. Proc. Cambridge Phil. Soc. 29 (1933), 441—464.
5. Birkhoff G. Lattice Theory, 3rd ed., American Math. Soc. Providence, R. I., 1967. [Имеется перевод: Биркгоф Г. Теория решеток, М.: Наука, 1984.]
6. Bjorner A. Shellable and Cohen — Macaulay partially ordered sets. Trans. Amer. Math. Soc. 260 (1980), 159—183.
7. Bjorner A. Posets, regular CW complexes and Bruhat order. European J. Combinatorics 5 (1984), 7—16.
8. Bjorner A., Garsia A. and R. Stanley. An introduction to Cohen — Macaulay partially ordered sets. In [25], pp. 583—615.
9. Bjorner A., Wachs M. Bruhat order of Coxeter groups and shellability. Advances in Math. 43 (1982), 87—100.
10. Bjorner A., Wachs M. On lexicographically shellable posets. Trans. Amer. Math. Soc. 277 (1983), 323—341.
11. Bjorner A., Walker J. W. A homotopy complementation formula for partially ordered sets. European J. Combinatorics 4 (1983), 11—19.
12. Doubile P., Stanley R., Rota G. C. On the foundation of combinatorial theory (VI). The idea of generating functions. In Sixth Berkeley Symp. on Math. Stat, and Prob., vol. 2: Probability Theory, Univ, of California (1972), pp. 267—318. [Имеется перевод: Дубиле П., Рота Дж.-К., Стенли Р. Об основах комбинаторной теории (VI): идея производящей функции. В сборнике «Перечислительные задачи комбинаторного анализа» — М.: Мир, 1979, с. 160—228.]
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Edelman Р. Н. Zeta polynomials and the Mobius function. European J. Combinatorics 1 (1980), 335—340.
Farmer F. D. Cellular homology for posets. Math. Japonica 23 (1979), 607—613.
Gessel I. M. Generating functions and enumeration of sequences. Thesis, M. 1.Т., 1977.
Goulden I. P., Jackson D. M. Combinatorial Enumeration, John Wiley, New York, 1983.
Gratzer G. General lattice Theory. Academic Press, New York, 1978. [Имеется перевод: Гретцер Дж. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982.1 Greene С. On the Mobius algebra of a partially ordered set. Advances in Math 10 (1973), 177—187.
Greene C. The Mobius function of a partially ordered set in [25], pp. 555— 581.
Grtinbaum B. Conveux Polytopes. John Wiley (Interscience), London — New York, 1967.
Hall P. The Eulerian functions of a group. Quart. J. Math. 7 (1936), 134— 151.
Henle M. Dissection of generating functions. Studies in Applied Math. 51 (1972), 397—410.
Joyal A. Une theorie combinatoire des sfiries formelles. Advances in Math. 42 (1981), 1—82.
Klee V. A combinatorial analogue of Poincare’s duality theorem. Canadian J. Math. 16 (1964), 517—531.
Rival I. (ed.), Ordered Sets, Reidel, Dordrecht/Boslon, 1982.
Rota G. C. On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Mobius functions. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 2 (1964), 340—368.
Solomon L. The Burnside algebra of a finite group. J. Combinatorial theory 2 (1967), 603—615.
Stanley R. Ordered structures and partitions. Thesis, Harvard Univ., 1971. Stanley R. Ordered structures and partitions. Memoirs Amer. Math. Soc. No. 119 (1972).
Stanley R. Supersolvable lattices. Alg. Univ. 2 (1972), 197—217.
Stanley R. Acyclic orientations of graphs. Discrete Math 5 (1973), 171— 178. [Имеется перевод: Стенли P. П. Ациклические ориентации графов. В сб. «Перечислительные задачи комбинаторного анализа».—М.: Мир, 1979, с. 256—265.].
Stanley R. Finite lattices and Jordan — Holder sets. Alg. Univ. 4 (1974), 361—371.
Stanley R. Combinatorial reciprocity theorems. Advances in Math, 14 (1974), 194—253.
Stanley R. The Fibonacci lattice. Fib. Quart. 13 (1975), 215—232.
Stanley R. Binomial posets, Mobius inversion and permutation enumeration.
J. Combinatorial Theory (A), 20 (1976), 336—356.
Stanley R. «Cohen — Macualay complexes» in Higher Combinatorics (M. Aigner, ed.). Reidel, Dordrecht/Boston, 1977, pp. 51—62.
Stanley R. Balanced Cohen — Macaulay complexes. Trans. Amer. Math. Soc. 249 (1979), 139—157.
Stanley R. Some aspects of groups acting of finite posets. J. Combinatorial Theory (A) 32 (1982), 132—161.
Стечкин Б. С. Теоремы вложения для Мёбиус-функций. Докл. ДН СССР, 1981, т. 260, № 1, с. 40—43.
Walker J. Homotopy type and Euler characteristic of partially ordered sets. European J. Combinatorics 2 (1981), 373—384.
Walker J. Topology and combinatorics of ordered sets, thesis, M. I. T., 1981.
Упражнения
226
Упражнения
П+] l.a. Частично предупорядоченным множеством ’) (ч.п.у. множеством), или квазиупорядоченным множеством называется множество Р с бинарной операцией удовлетворяющей условиям рефлексивности и транзитивности (но не обязательно условию антисимметричности). Для данного ч.п.у. множества положим х ~ у, если х у и у х. Покажите, что ~ есть отношение эквивалентности.
[1+] Ь. Пусть Р обозначает множество классов эквивалентности по отношению к ~. Для X, У е Р положим X У, если существуют элементы х е X и у G У, для которых х у в Р. Покажите, что это определение превращает Р в ч. у. множество.
[2—] с. Пусть Q — ч.у. множество и f: P-+Q сохраняет порядок. Покажите, что существует сохраняющее порядок отображение g: P-+Q, такое, что следующая диаграмма коммутативна:
Р-*Р
Q
Здесь отображение Р-+Р есть каноническое отображение, переводящее элемент х в класс эквивалентности, содержащий х.
[1+] 2. а. Пусть Р — конечное ч.п.у. множество (как опре-
делено в упражнении 1). Назовем подмножество U из Р открытым, если U — порядковый идеал из Р (определенный очевидным образом для ч.п.у. множеств). Покажите, что Р становится (конечным) топологическим пространством, обозначаемым Ptop.
[2—] b. Покажите, что для данного конечного топологи-
ческого пространства X существует единственное ч. п. у. множество Р, для которого Ptop = X. Следовательно, соответствие P-*-Ptop есть биекция между конечными ч. п. у. множествами и конечными топологиями.
[2—] с. Покажите, что ч. п. у. множество Р есть ч. у. множество в том и только том случае, если РюР —
’) В русской литературе принят также термин «предпорядок». — Прим, ред.
ft Р. Станли
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
То-пространство (т. е. разные точки имеют разные наборы окрестностей).
d. Покажите, что отображение f: P-+Q ч. п.у. множеств сохраняет порядок тогда и только тогда, когда f, рассматриваемое как отображение f: АорQtop, непрерывно.
а. Нарисуйте диаграммы 63 пятиэлементных ч. у. множеств, 318 шестиэлементных ч.у. множеств и 2045 семиэлементных ч.у. множеств. (Решение прямолинейно, но требует времени.)
Ь. Пусть f(n)—число неизоморфных га-элементных ч.у. множеств. Найдите «разумную» формулу для числа f(n). (Вероятно, это невозможно.)
с. Для той же функции f пусть Р обозначает утверждение, что бесконечно много значений функции f(ra) являются палиндромами, будучи записанными по основанию 10. Покажите, что утверждение Р нельзя доказать или опровергнуть в теории множеств Цермело — Френкеля.
d. Покажите, что
log f (n) ~ (га2/4) log 2.
(Обозначение g (га) ~ й (га) означает:
Нпь-юо g (n)/h (га) = 1.)
е. Улучшите оценку п. (d), показав, что f(ra)~C2n2/4+3nVra-n-1,
где С — константа, определяемая формулой
С = ^- ^2~i(Z+1) « 0.80587793 (га чётно), i>0
и аналогично для га нечетного.
а. Пусть Р — конечное ч. у. множество и f: Р -+ Р — сохраняющая порядок биекция. Покажите, что f—автоморфизм Р (т. е. f-1 сохраняет порядок).
Ь. Покажите, что п. (а) не выполняется для бесконечных ч. у. множеств Р.
а. Приведите пример конечного ч.у. множества Р, такого, что если I — длина самой длинной цепи в Р, то любой элемент хеР содержится в некоторой цепи длины I, однако Р имеет максимальную цепь длины, меньшей I.
Упражнения
227
Ь. Покажите, что если Р — конечное ч. у. множество, самая длинная цепь которого имеет длину I, и если для любого элемента у, покрывающего элемент х, в Р существует цепь длины I, содержащая оба элемента хну, причем каждый элемент из Р содержится в некоторой цепи длины I, то любая максимальная цепь в Р имеет длину I.
Найдите конечное ч.у. множество Р, для которого существует биекция f; Р-*-Р, такая, что х ^.у тогда и только тогда, когда f(x)^f(y) (т. е. Р — самодвойственно), но для которого не существует такой биекции f, удовлетворяющей условию f(f(x)) = x для всех № Р.
а. Для ч.'>у. множества Р пусть Int(P) —ч. у. множество [(непустых) интервалов Р, упорядоченных по включению. Покажите, что для любых ч. у. множеств А и В Int (Л X В) & Int (Л X В*).
Ь. Пусть Р и Q — ч. у. множества. Покажите, что если Р содержит элемент 0 и Int(P) Int(Q), то X X й и Q = Д X В* для некоторых ч. у. множеств А и В.
с. Найдите конечные ч. у. множества Р, Q, для гкоторых Int (Р) = Int (Q), однако утверждение (Ь) гне выполняется.
а. Пусть А — множество всех классов изоморфизма конечных ч. у. множеств. Пусть [Р] обозначает класс ч.у. множества Р. Тогда на А определены операции • и +, заданные так: [Р] + [Q] = [Р + -f- Q] и [Р] • [Q] = [Р X Q] • Покажите, что эти операции превращают множество А в коммутативное полукольцо (т. е. А удовлетворяет всем аксиомам коммутативного кольца, за исключением существования аддитивно обратного элемента).
Ь. Мы можем формально присоединить аддитивно обратные элементы к А очевидным образом, чтобы получить кольцо В (точно таким же способом, как получают Z из N). Покажите, что В есть в точности кольцо многочленов Z [ [Pi], [Ря] где [Р,] есть классы связных конечных ч.у. множеств, имеющих более одного элемента (единичный элемент кольца В дает класс одноэлементных ч.у. множеств).
с. Найдите конечные ч.у. множества Р,, удовлетворяющие условию Pi X Р2 = Рз X Р», однако Р( 3^
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
^Р3, P^Pit и ни одно из ч. у. множеств Pi не являются нетривиальным прямым произведением Q X Q'- Почему это не противоречит известному факту, что кольцо Z х%, ...] есть область с единственным разложением?
а. Элемент х конечного множества Р называется неразложимым, если х покрывает в точности один элемент или покрывается в точности одним элементом. Ч.у. подмножество Q из Р называется сердцевиной Р (запись Q = coreP), если
i. ч. у. множество Р можно записать в виде Р = Q U {-Ч.....Xk), где xt — неразложимый
элемент ч. у. множества Q U {-Ч, х2, •••, xt} при 1^1^^ и
ii. Q не имеет неразложимых элементов.
Покажите, что любые две сердцевины ч. у. множества Р изоморфны (хотя и не обязаны совпадать). (Следовательно, обозначение согеР определяет единственное ч.у. множество с точностью до изоморфизма.)
Ь. Если Р содержит элементы 0 или 1, покажите, что core Р состоит из одного элемента.
с. Покажите, что ]согеР]= 1 в том и только том случае, если ч.у. множество Рр сохраняющих порядок отображений f: Р-*-Р связно.
а. Пусть de Покажите, что следующие два условия на конечное ч.у. множество Р с множеством вершин [п] эквивалентны:
i. Р есть пересечение d линейных упорядочений множества [п].
ii. Р изоморфно ч. у. подмножеству ч. у. множества Nd.
b. Далее, покажите, что, если d = 2, эти два условия также равносильны третьему:
iii. Существует ч. у. множество Q на [п], такое, что х < у или х > у в Q тогда и только тогда, когда элементы х и у несравнимы в Р.
Какие из ч.у. множеств, изображенных на рис. 3.40, являются решетками?
Пусть L — конечная решетка, и определим ч.у. подмножество Irr(L) неразложимых элементов решетки L формулой
Irr(£) = {xe L: х неразложим в объединение или неразложим в пересечении (или и то и другое)}.
Упражнения
229
Покажите, что решетку L можно однозначно восстановить из ч.у. множества Irr(L).
13. Приведите пример конечной атомарной коатомар-ной решетки, которая не является решеткой с дополнениями.
14. Конечная решетка L содержит п неразложимых в объединение элементов. Какое наибольшее число f(n) неразложимых в пересечение элементов может иметь решетка L?
Рис. 3.40.
15. а. Пусть fk(n) есть число неизоморфных «-элементных ч.у. множеств Р, содержащих для каждого 1 i п — 1 в точности k порядковых идеалов мощности i. Покажите, что f2(n) = 2n~3, п 3.
Ь. Пусть g («) есть число таких ч. у. множеств Р, перечисляемых функций fs(n), для которых единственные 3-элементные антицепи состоят из трех минимальных и трех максимальных элементов ч.у. множества. Покажите, что g(n) = 2п~7, п 7.
с. Используйте п. (6) для нахождения 22п>оМп)х*• (Это, должно быть, возможно.)
d. Найдите fk(n) для k > 3.
16. а. Пусть L —конечная полумодулярная решетка.
Пусть L'— ч.у. подмножество L, состоящее из тех элементов L, которые являются объединениями атомов L (включая 0 как пустое объединение). Покажите, что L' — геометрическая решетка. Ь. Является ли U подрешеткой решетки L?
17. Пусть k е N. В конечной дистрибутивной решетке L пусть Рк есть ч.у. подмножество элементов, покрывающих k элементов, a Rk— ч.у. подмножество элементов, покрываемых k элементами. Покажите, что Pk = Rk, и опишите в терминах структуры L явный изоморфизм <р: Pk-^-Rk.
18. Пусть L — конечная дистрибутивная решетка длины kr, содержащая k неразложимых в объединение
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
элементов ранга I для 1 I г (и, следовательно, не содержащая никаких других неразложимых в объединение элементов). Какое наибольшее число элементов может иметь решетка £?
а. Конечная нижняя полурешетка является дистрибутивной снизу, если любой интервал [х, у] решетки L, такой, что х есть пересечение элементов интервала [х,у], покрываемых элементом у, есть булева алгебра. Например, дистрибутивные решетки дистрибутивны снизу, в то время как решетка на рис. 3.41 дистрибутивна снизу, но не дистрибутивна.
Рис. 3.41.
Пусть L — дистрибутивная снизу нижняя полурешетка, и пусть fk = fk(L)— число интервалов решетки L, изоморфных булевой алгебре Bk. Положим также gk = gk(L) — число элементов решетки
L, покрывающих в точности k элементов. Покажите, что
Е Яа(1 + *)*= X tk*k-
Ь. Выведите из п. (а), что
Е Ы)Ч=1.
с. Пусть L = /(mXn) в п. (а). Явно вычислите числа fk и gk.
d. Для данного пусть Qmn — ч. у. подмножество ч. у. множества Р X Р, определенное формулой
{(i,/) еРХР: +
и положим Ртп = гл X п. Покажите, что ч. у. множества Ртп и Qmn имеют один и тот же дзета-многочлен.
е. Покажите, что ч.у. множества Ртп и Qmn. имеют один и тот же порядковый многочлен.
Упражнения
231
f. Покажите, что решетки 1{Рт„) и Z(Qm„) имеют одни и те же значения fk и gk.
Пусть L — конечная дистрибутивная снизу решетка, как определено в упражнении 19, и пусть хе/. Покажите, что число неразложимых в объединение элементов у из L, удовлетворяющих условию у х, равно рангу р(х) элемента х.
Пусть L — финитарная дистрибутивная решетка с конечным числом элементов любого ранга. Пусть есть число элементов ранга i, покрывающих в точности j элементов, и пусть v (i, /) — число элементов ранга /, покрываемых в точности j элементами. Покажите, что для всех i j О
/ & \ / \
У «(*> *)( • )= У — fc)l • )• (59)
(Каждая сумма содержит конечное число ненулевых членов.)
Пусть f: N N- Говорят, что финитарная дистрибутивная решетка L имеет функцию покрытия f, если как только элемент хе/, покрывает i элементов, так сразу f (i) элементов из L покрывают элемент х. а. Покажите, что существует не более одной (с точностью до изоморфизма) финитарной дистрибутивной решетки с данной функцией покрытия f.
b. Покажите, что если L — конечная дистрибутивная решетка с функцией покрытия Д то L есть булева алгебра.
с. Пусть b <= Р. Покажите, что существуют финитарные дистрибутивные решетки с функциями покрытия f (n) = b и f(n) = п + Ь.
d. Пусть a, b <= Р и а 2. Покажите, что не существует финитарной дистрибутивной решетки L с функцией покрытия f(n)=an-\-b.
е. Можно ли явно охарактеризовать все функции покрытия?
Пусть Zn обозначает n-элементное „зигзаг ч. у. множество" или забор с элементами {хь ..., хп) и отношением покрытия x2f_i < x2i и x2l > x2t+l. а. Сколько порядковых идеалов содержит ч. у. множество Zn?
Ъ. Пусть Wn(q) обозначает рангово-производящую функцию решетки 7(Zrt), так, что W0(q)=i,
232
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
ЯМ<7)=1+<7, W2(q) = l+<; + <?, HW = 1 + + 2<? + <72 + <73 и так далее.
Найдите простую явную формулу для производящей функции
F(x):= X Wn(q)xn.
[2] с. Найдите число e(Zn) линейных расширений ч. у. множества Zn.
[3—] d. Пусть Q(Z„, m) — порядковый многочлен ч. у.
множества Z„. Положим
Gm(x)= 1 + 2 й(2„, т)хп+1, 1.
п>0
Найдите рекуррентное соотношение, выражающее Gm(x) через Gm_2(x), и задайте начальные условия G](x) и G2(x).
[3—] 24. Пусть Р — конечное ч. у. множество. Свободная дистрибутивная решетка FD(P), порожденная ч.у. множеством Р, есть, интуитивно, наибольшая дистрибутивная решетка, содержащая Р как ч.у. подмножество и порожденная (как решетка) ч. у. множеством Р. Более точно: если L — произвольная дистрибутивная решетка, содержащая ч. у. множество Р и порожденная Р, то существует (сюръективный) гомоморфизм решеток f: FD (Р)-> L, тождественный на Р. *) Покажите, что FD(P) ^J(J(P)) — {б, 1}. В частности, решетка FD(P) конечна. Если Р = п1, мы пишем FD(P)= FD(n) — свободная дистрибутивная решетка с п образующими, так что FD(n)^ ~J(B„)-{6, 1}.
Замечание. Иногда определяют FD(P) как свободную ограниченную дистрибутивную решетку, порожденную ч.у. множеством Р. В этом случае нам нужно присоединить элементы б и 1 к FD(P), так что иногда можно встретить утверждение, что FD{P)~J(J(P)) и FD(n)^J(Bn).
[2] 25. а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, наибольшая
антицепь которого имеет k элементов. Каждая антицепь А в Р соответствует порядковому идеалу
(4) = {х: х^.у для некоторого у <= A} ^ЦР).
*) Гомоморфизмом решеток называется отображение, сохраняющее операции Д и V-—Прим, перев.
Упражнения
233
Покажите, что множество всех порядковых идеалов <Л> из Р с условием |Л| = & образует подрешетку М(Р) решетки ЦР).
Ь. Покажите, что каждая конечная дистрибутивная решетка L изоморфна решетке М(Р) для некоторого ч.у. множества Р.
26. а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, и положим GP (q, t) = где I пробегает множе-
ство всех порядковых идеалов из Р и т(Г) обозначает число максимальных элементов в I. (Таким образом, GP(q, 1) есть рангово-производящая функция решетки ЦР).) Пусть Q — «-элементное ч. у. множество. Покажите, что
Gp ® q (q, t) = GP (q\ q~“ (GQ (q, t) - 1)),
где P ® Q обозначает порядковое произведение, b. Покажите, что если |Р| = р, то
27. Назовем конечное градуированное ч.у. множество Р (с ранговой функцией р) приятным, если ранговопроизводящая функция F(L,q) решетки L = ЦР) задается формулой
Р(Ц q)= И
хер
1 _ qP W+2
1 _ дРЙ+1 *
Покажите, что множества Р, приведенные в пп. (а) — (g), являются приятными. (Заметьте, что (а)—частный случай (Ь), а (с) — частный случай п. (d).)
а. P = mXn,
b. Р = 1ХтХп,
с. P = J (2Хп),
d. P = mX/(2Xn),
е. Р = /(ЗХп),
f. P = mX(n©(l +1)® n),
где т, пе Р.
где 1, т, п е= Р.
где пеР.
где т, п <= Р.
где ПЕР.
где т, пе Р.
g. P = mX/(/(2X3)) и P = mX/(/(/(2X3))), где meP.
h. Найдите разумное выражение для F(L, q), если L = J(P), где P = n1Xn2Xn3Xn4 илиР = /(4Хп)-(В общем случае эти ч. у. множества Р не являются приятными.)
234 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
[2+] 28. Двоичное правило остановки длины п есть (нестрого
говоря) правило, указывающее человеку, когда прекратить случайные испытания (бросание монеты), такое, что он гарантированно остановится после п испытаний. Два правила считаются одинаковыми, если они дают один и тот же исход. Например, «продолжайте до тех пор, пока не получите три последовательных орла, или четыре последовательных решки, или пока не пройдет п испытаний* является правилом остановки. Частично упорядочим правила остановки длины п, положив А В, если испытатель никогда не остановится, используя правило А, позже, чем используя правило В. Пусть Ln — получившееся ч.у. множество. Ч.у. множество Lz показано на рис. 3.42. Покажите, что Ln есть дистрибутивная решетка, и вычислите ч. у. множество неразложимых
Остановиться после первой "решки** или Двух "орлов" подряд
Остановиться до первого испытания
L2
Рис. 3.42.
в объединение элементов. Найдите простую рекуррентную формулу для рангово-производящей функции F(Ln, q) в терминах F(Ln^, q).
29. В этом упражнении Р и Q обозначают локально конечные множества, и I(P), I(Q) — ux алгебры инцидентности над полем К.
[2] а. Покажите, что радикал Джекобсона алгебры /(Р) есть {f e/(P):f(x, х) = Одлявсех хеР}.1) [2+] Ь. Покажите, что решетка двусторонних идеалов в /(Р) изоморфна множеству всех порядковых идеа-
') Радикал Джекобсона есть пересечение максимальных (правых) идеалов алгебры 1(Р). — Прим, перед.
Упражнения
235
лов А из Int(P), упорядоченных в обратном к включению порядке.
[3—] с. Покажите, что если ЦР) и /(Q) изоморфны как /(-алгебры, то ч.у. множества Р и Q изоморфны.
[3] d. Опишите группу /(-автоморфизмов и простран-
ство /(-дифференцирований алгебры ЦР).1)
[5—] с. Исследуйте дальнейшие алгебраические свойства алгебры ЦР). Например, для элемента f е ЦР) опишите алгебру централизаторов C(f) = {ge &ЦР): gf = fg}. В частности, если Р — конечное ч.у. множество, какова размерность C(f) как векторного пространства над /(? Есть ли разумный критерий для определения того, когда два элемента алгебры ЦР) сопряжены (по аналогии с теорией канонической формы Жордана)?2)
[2+] 30. Отображение Х-+Х на ч.у. множестве Р называется
оператором замыкания (или замыканием), если для всех х,у е Р
х ^.х,
х «С у => х У,
X — X.
Элемент х ч.у. множества Р называется замкнутым, если х = х._ Множество замкнутых элементов Р обозначается Р (называется частным ч. у. множества Р по отношению к замыканию). Пусть Р — локально конечное ч.у. множество с замыканием и частным Р. Покажите, что для всех пар х, у е Р
X Н (*, 2) = ze?
(*> У)>
0
если х = х, если х < х.
[2+] 31. Пусть f и g — функции на конечной решетке L, удов-
летворяющие условию
у'-.хКу^
(60)
]) То есть пространство К-линейных функционалов D: ЦР)К, таких, что D(fg) = Df-g + f-Dg для f, g <= I(P). —• Прим, nepee.
2) Элементы fug называются сопряженными, если существует такой элемент h е ЦР), что f — hgh~'. —Прим, перев.
236 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Покажите, что если ц(0, х)=#0 для всех х е L, то выражение (60) можно обратить и получить
g (х) = Е а (х, у) f (у),
У
где
а(х, )=у
Zu и(0,о
[2+] 32. Пусть Р — конечное ч.у. множество с элементами
б и 1 и ц— его функция Мебиуса. Пусть f: Р->С. Покажите, что
S(f(*i)-l)(f(x2)-l) ••• (Ж)~1) =
= S (—l)fe+1 Ц (б, X!) Ц (хь х2) ... fl (xk_u Хк) f (xj • f (x2) . . . f (Xft), где обе суммы берутся по всем цепям б < Xj < ...
... < хк < Г в Р.
[3—] 33. Предположим, что L — конечная решетка, и зафикси-
руем элемент хе L. Покажите, что
Ц (0, 1) = Е Ц (0, у) £ (у, z) ц (г, 1),
у, Z
где элементы у и z пробегают все пары дополнений элемента х. Выведите отсюда, что если ц (0, 1) =# 0, то L — решетка с дополнениями.
[2] 34. а. Пусть L — конечная решетка, в которой для каж-
дого элемента х > 0 интервал [0, х] имеет четное число точек. Используя упражнение 33, покажите, что L есть решетка с дополнениями.
[3—] Ь. Найдите простое доказательство, не использующее функций Мёбиуса.
[2-f-] 35. Пусть L =J(P) — конечная дистрибутивная решетка.
Функция V. L->C называется нормированием (над С), если v (б) = 0 и v (х) + v (у) = v (х V у) + v (х Л у) для всех пар х, у Е L. Докажите, что нормирование v однозначно определяется своими значениями на неразложимых в объединение элементах решетки L (которые мы можем отождествить с элементами ч. у. множества Р). Более точно, покажите, что если I — порядковый идеал ч. у. множества Р, то
v(I) = — Е у(х)ц(х, 1),
хе/
Упражнения
237
где р обозначает функцию Мёбиуса на идеале I (рассматриваемом как ч. у. подмножество из Р) с присоединенным элементом 1,
36. Пусть L — конечная решетка; зафиксируем элемент z е L. Покажите, что следующее тождество выполняется в алгебре Мёбиуса решетки L (над некоторым полем):
£ р (б, х) х = ( £ р (О, О А • ( S р (б, у) у\
x^L \t<iz / \уД2=0 )
37. а. Пусть L — конечная решетка (или нижняя полурешетка) и f(x, s) — функция (со значениями, скажем, в коммутативном кольце), определенная для всех пар х, s е L. Положим, F (х, s) = = ^z<xf (z, s). Покажите, что
det [F (x Л у, г)]х L = П f (x, x). * x^L
b. Докажите, что п
det[H. О. Д. (i, /)]" /=1 = Ц <р(Л),
где <р —функция Эйлера.
с. Положите f (х, s) = р (0, х) и выведите, что для конечной нижней полурешетки L, такой, что р (0, х) =/= 0 для всех х е L, существует перестановка л: L->£, удовлетворяющая условию х А Л л (х) = 6 при всех х е L.
d. Пусть L — конечная геометрическая решетка ранга п, содержащая W\ элементов ранга i. Выведите из п. (с) (точнее, из двойственной к (с) формулировки), что при k^.n/2
U71+ ... ... +U7„_,. (61)
В частности,
е. Докажите, что если в формуле (61) равенство имеет место для какого-нибудь значения k, то L — модулярная решетка.
f. Пусть L такая же решетка, что и в п. (d). Покажите, что Wk^.Wn_k при всех k^.n.12.
38. Пусть L — конечная решетка, такая, что р(х, 1)=#0 и р (0, х) =# О для всех элементов х е L. Докажите, что существует перестановка л: £->L, для которой при всех х е L элементы х и л (х) являются допол
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
нениями друг другу. Покажите, что это не так, если просто предположить, что р, (0, х) =# О при всех x<=L
38.5. а. Пусть L — конечная решетка, а Л и В — ее подмножества. Предположим, что для всех элементов хф.А существует элемент х* > х, для которого ц(х, х*)=# О и х* #=xV у при у е В. (Таким образом, leX.) Покажите, что существует инъективное отображение qp: В-*-А, удовлетворяющее условию qp(/):>/ при всех (ей.
Ь. Пусть К — конечная модулярная решетка. Покажите следующее: (i) Если элемент 1 есть объединение атомов решетки К, то К — геометрическая решетка, и, следовательно, ц(0, 1) ф 5^0. (ii) При тех же условиях, что и в п. (i), решетка К. содержит равное число атомов и коатомов. (in) Для любых элементов а, Ь^. К отображение [аЛ Ь, а V J], определенное формулой фг,(х) = х\/й, является изоморфизмом решеток (или ч.у. множеств).
с. Пусть L — конечная модулярная решетка и Jk (соответственно Л1*) есть множество элементов из L, покрывающих (соответственно покрываемых) не более k элементов (не более k элементами). (Таким образом, 70 = {6} и Л40 = {1}.) Выведите из пп. (а), (Ь) существование инъективного отображения ф: удовлетворяю-
щего условию ф(0^ t при всех t^. Jk-
d. Выведите из п. (с), что число элементов решетки L, покрывающих в точности k элементов, равно числу элементов, покрываемых ровно k элементами.
е. Выведите решение упражнения 37(d) из п. (а). 39. а. Пусть L — конечная решетка с п элементами. Существует ли неразложимый в объединение элемент х решетки L, для которого главный двойственный порядковый идеал Vx={y^L: у^х} содержит не более п/2 элементов?
Ь. Пусть L — любая конечная решетка с п элементами. Предположим, что существует элемент х из L, для которого |V\|> п/2. Покажите, что ц(0, у) = 0 Для некоторого элемента y^L.
40. Пусть L — конечная решетка, и предположим, что она содержит подмножество S мощности п, такое,
Упражнения
239
что (i) любые два элемента S несравнимы (т. е. S есть антицепь), и (ii) любая максимальная цепь решетки L пересекает множество S. Найдите как функцию от п наименьшее и наибольшее возможные значения величины у. (0, 1). (Например, если п = 2, то О у (б, 1) 1, ;а’при’га = 3— 1 у (б, 1) 2.)
41. а. Пусть Р — п + 2-элементное множество, содержащее элементы б и 1. Каково наибольшее возможное значение | уР (б, 1) |?
Ь. То же, что и в п. (а) для n-элементной решетки L.
42. Пусть k, I е Р. Найдите тахР|ц(0, 1) |, где Р пробегает все конечные ч. у. множества, содержащие элементы б, 1 и цепь наибольшей длины /, причем каждый элемент из Р покрывается не более чем k элементами.
43. Пусть L — конечная решетка, для которой |у.ь(0, 1)1^2, Следует ли отсюда, что L содержит подрешетку, изоморфную 5-элементной решетке 1 Ф 31 Ф Ф 1?
44. Пусть G — граф с конечным множеством вершин V fV\
и дуг Е s I g I. п-Раскраской графа G называется функция с: V -> [п], такая, что с(а)#=с(0) при (а, ₽)е£. Пусть %(п) обозначает число п-раскрасок графа G. Функция %: N->N есть хроматический многочлен графа G. Множество AsV называется связным, если для каждой пары вершин о, v'eA можно найти последовательность ц = ц0, ui>
..., vm — v' вершин Vi^A при Osgjzsgjm и {v{_}, v^eE при 1 i m. Пусть La есть ч. у. множество (в действительности — геометрическая решетка) всех разбиений л множества V, упорядоченных по измельчению, в которых каждый блок связен. Покажите, что
%(«)= Z Ц(0, л) п1'я(,
ле£0
где |л|— число блоков разбиения л и у, — функция Мёбиуса на Lg- Отсюда следует, что хроматический многочлен %(п) графа G и характеристический многочлен x(Lo,n) связаны соотношением х(п) = nc%(L0, п), где с есть число компонент связности графа G. Заметьте, что если G является
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
( (У\\
полным графом Кр\ т. е. E = l % I Ь т0 мы получим формулу (31).
а. Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем и L есть решетка подпространств пространства V. Пусть X есть векторное пространство над [р9 с х векторами. Из подсчета числа инъективных линейных преобразований VX двумя способами (первый способ — непосредственно, второй способ — обращение Мёбиуса на L) покажите, что
«-1 п
Ц(х —<?*) = £ ( " )(—
fe=0 fe=0 \ К /
Это тождество справедливо для бесконечного множества значений X и, следовательно, выполняется как тождество между многочленами (где х — переменная). Заметьте, что если положить ц
то мы получим
л-1 п . .
(У + zqk) = £ ( " ) 2 'yn~kzk, й=0 fe=0 '
(62)
и это тождество превращается в биномиальную теорему при q—i. По этой причине уравнение (62) иногда называют ««/-биномиальной теоремой».
(ш\
. I , где£ — примитивный J /?=С
корень степени г из единицы.
Зафиксируем k > 2. Пусть L'n есть ч. у. множество всех таких подмножеств S множества [п], упорядоченных по включению, что S не содержит k последовательных целых чисел. Пусть Ln есть ч. у. множество Ln с присоединенным элементом 1. Пусть есть функция Мёбиуса на Ln. Найдите цп(0, !)• Ваш ответ должен зависеть только от класса вычетов п по модулю 2k + 2.
Пусть п 1. Положительное целое число d называется унитарным делителем числа п, если d\n и (d, n/d)=\. Пусть L есть ч.у. множество всех по
Упражнения
241
ложительных чисел, упорядоченных условием а Ь, если а есть унитарный делитель числа Ь. Опишите функцию Мёбиуса ч.у. множества L. Установите унитарный аналог классической формулы обращения Мёбиуса из теории чисел.
48. а. Пусть М есть моноид (полугруппа с единицей е) с п образующими g\, ..., gn, подчиненными только соотношениям вида gtgj = g/gt для некоторых пар i ф j. Упорядочим элементы моноида М, полагая х у, если существует такой элемент г, что xz = y. (Например, предположим, что М имеет образующие 1, 2, 3, 4 (сокращение для git g2, g3, gi) с соотношениями 13 = 31, 14 = 41, 24 = 42. Тогда интервал [е, 11324] изображен на рис. 3.43.)
Покажите, что любой интервал [е, ю] в ч. у. множестве М является дистрибутивной решеткой L& и опишите ч.у. множество Ри, для которого La = = ЦРа).
Ь. Выведите из п. (а), что число разложений w = gi{ ... glt равно числу е(Рю) линейных расширений ч.у. множества Рю.
с. Выведите из п. (а), что функция Мёбиуса ч.у. множества М задается формулой
(-1)г.
ЦПУ)' = *
О
если w есть произведение г попарно коммутирующих образующих git
в противном случае.
d. Пусть N (аъ а2...ап) обозначает число различ-
ных элементов из множества М степени а£ по
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
образующей g{. (Например, для элемента g^g2gtgl aj = 3, 02—1, а3 = 0, а4 = 2.) Пусть хь хп независимые коммутирующие переменные. Выведите из п. (с), что
N (а!...ап) х! * • • • хп.п = (Х( 1) Х1{Х12 • • х/г) >
где последняя сумма берется по всем таким наборам (ib что l^ii<t2<
и элементы gt , gt , ..., gt попарно коммутируют. Какие тождества получаются в п. (d), если никакие образующие gt и gj не коммутируют (i #= j), или когда все образующие gt и gt коммутируют. Пусть L — конечная сверхразрешимая полумоду-лярная решетка с Af-цепью 0 = х0 < jq < ... ... < хп = 1. Пусть at есть число атомов у решетки L, таких, что у^хь но у^-х^. Покажите, что
%(L, q) — (q — а,)(<7 — a>) ••• (<7~ ап).
Пусть L — конечная сверхразрешимая решетка с M-цепью С: О = хо<х1< ... <хп—1. Для хе А положим
Л(х) = {г: xVxt-L^xVXi} = [п].
Легко видеть, что # Л (х) = р (х) и что элемент у покрывает х, если (в обозначениях формулы (37)) Л (у) — Л (х) = {А, (х, у)}. Пусть теперь Р — произвольное естественное частичное упорядочение множества [п] (т. е. i < j в P=>i < j в Z), и определим
АР = {х е L: А(х) е/(Р)}.
Покажите, что Lp есть R — помечиваемое ч.у. множество, удовлетворяющее условию
₽(АР, S)= Е ₽(L, S),
л е= X (Р) D (л)=3
где 3?(Р) обозначает множество Жордана — Гёль-дера ч.у. множества Р (определенное в разд. 3.12).
В частности, взяв L = Ln(q), из теоремы 3.12.3 получаем, что «/-аналог LP дистрибутивной ре-
243
Упражнении
шетки J (Р) удовлетворяет равенству
P(LP>S)= Е qW
я<=2(Р) D(n)-S
Заметьте, что ч.у. множество Lp зависит не только от Р, как от абстрактного ч.у. множества, но и от выбора линейного продолжения порядка Р (или максимальной цепи из /(Р)), которое отождествляет элементы ч. у. множества Р с элементами множества [м].
49.5. а. Зафиксируем простое число р и целое k > 1 и определим ч. у. множества (р), Л(й2) (р) и (р) следующим образом:
i. L(1)(p) состоит из всех подгрупп конечного индекса рт для некоторого свободной
абелевой группы Z*, упорядоченных по отношению, обратному ко включению.
ii. Л(*2)(р) состоит из всех конечных подгрупп группы (Z/p°°Z)ft, упорядоченных по включению, где
Z/p°°Z = Z[l/p]/Z
Z[1/р] = {аеQ: р'"а ge Z для некоторого т^О].
iii. L(ft3,(p)= (J L«,a(p), где Ln,k(p) обозначает п
решетку подгрупп абелевой группы (ZlpnZ,)k и где мы отождествляем решетку Ln<h{p) с образом ее в решетке Ln+\fk(p) при вложении (Z/p"Z)ft<=»(Z/pn+1Z)ft, определенном так: (ab ... .... aft)->(pab ..., рак).
Покажите, что = ^(р) = Ц3)(р)- Назовем это ч. у. множество Lft(p). Покажите, что Lft(p) есть локально конечная модулярная решетка с элементом 0 (и, следовательно, имеет ранговую функцию р: Lft(p)-*N).
b. Покажите, что для любого элемента хеЦр) главный двойственный порядковый идеал Vx изоморфен решетке Lk(p).
Покажите, что решетка Lk (р) содержит
элементов ранга п и, следовательно, имеет ран-
n+k-1 k —1
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
гово-производящую функцию
F(Lk(р), х) = 1/(1 - х) (1 - рх) ... (1 - pk-'x).
Все «/-биномиальные коэффициенты в этом упражнении берутся при q = p.
d. Выведите из пп. (Ь) и (с), что для S = {sb ... .... «/}<<=₽
<т expi + k-1 W^-^ + k-l \
(£fe(p), S)-(^ k_j Д k-1 J...
fsi — sj-> “b k — 1 \
k —1 J’
e. Пусть Nk обозначает множество всех бесконечных слов w = 6^2 ..., таких, что е{ е [0, k — 1] и et = 0 для достаточно больших i. Положим а (о») = et + е2 + ... и определим, как обычно, множество спуска
D(w) = {i: ez>ez + 1}<=P.
Используйте п. (d), чтобы показать, что для любого конечного множества Ss Р
a(Lk(p), S)= Z р°м, w^Nk D(w)sS
MLk(p), S) = E p^.
D (a>)=S
50. а. Пусть P — конечное ч. у. множество, обладающее следующими свойствами: (i) Р градуированное, ранга п, содержит элементы 0 и 1; (ii) для всех 0^/^п существует такое ч. у. множество Pjt что [х, 1] a* Pj, если п — р (х) = /. Мы называем такое ч. у. множество Р однородным. Пусть V (г, /) есть число элементов ч. у. множества Pt, имеющих ранг i — j, и положим
v(i, j)=H Н(О, х), X
где х пробегает множество всех элементов х е Р,, имеющих ранг i — j. (Таким образом, V(i,j) = = Wt-j и v{i, j) = Wi-j, где w и W обозначают числа Уитни ч.у. множества Pi первого и второго
Упражнения
245
родов.) Покажите, что матрицы [V (г, /)]0</ и [р(г> /)]о<£, являются взаимно обратными. (Заметьте, что предложение 1.4.1 соответствует случаю Л == П,+1.)
Ь. Найдите интересные однородные ч.у. множества. Можно ли расклассифицировать все однородные геометрические решетки? (См. упражнение 51(d).)
Пусть X — ц-элементное множество, a G — конечная группа порядка т. Частичное разбиение множества X есть набор {Л.......Лг} непустых попарно
непересекающихся подмножеств множества X. Частичное G-разбиение ч. у. множества X есть семейство а={аь ..., аг} функций ар. Aj-^-G, где {Ль ..., Ап} есть частичное разбиение множества X. Пусть Q„(G) обозначает множество всех частичных G-разбиений множества X. Положим а Р в Qn(G), если для каждой функции ар. A.-+G из а существует некоторая функция bp Bk-+G из р и некоторый элемент w е G, для которых А, и bk (х) = w- а/(х) для всех х е Ар
а. Покажите, что если m= 1, то Qn(G)~ Пп+ь
Ь. Покажите, что Qn(G) есть сверхразрешимая геометрическая решетка ранга п.
с. Используя п. (Ь) и упражнение 49, покажите, что характеристический многочлен решетки Qn(G) задается формулой
п-1
X (Q„ (G), q) = П (q — 1 — mi). t = 0
d. Покажите, что решетка Qn(G) однородна в смысле упражнения 50.
Пусть Рп— множество всех подмножеств {z'i, ... ..., z2fe}<=: Р, где
0 < < i2 < ... < i2k < 2п + 1 и
числа ip i2 — iu ..., i2k — i2k_p 2n + 1 — i2k
все нечетны. Упорядочим элементы ч.у. множества Рп по включению. Тогда Рп есть градуированное ч.у. множество ранга п с элементами 0 и 1. Найдите число элементов ранга k ч.у. множества Р, общее число элементов в Рп, функцию Мёбиуса ц. (0, 1) и число максимальных цепей в ч.у. множестве Рп- Покажите, что если р (х) = k, то [0, х] Рк, а интервал
246 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
[х, 1] изоморфен произведению ч.у. множеств Р,-. (Таким образом, ч.у. множество Рп однородно в смысле упражнения 50.)
[2+] 53. а. Пусть Ln обозначает решетку всех подгрупп сим-
метрической группы ©я, упорядоченных по включению. Пусть обозначает функцию Мёбиуса решетки Ln. Покажите, что
Ен„(0, G) = (— If*(п — 1)1,
где G пробегает все транзитивные подгруппы группы <5п').
[3] Ь. Покажите, что ия(1, 1) делится на п!/2.
[5—] с. Докажите или оп овергните, что при м =+ 1,6
Н„(б, Т) = (—l)"-lni/2.
[5] 54. а. Пусть Ля обозначает множество всех р(п) разбие-
ний целого числа п. Упорядочим Ля по измельчению. Это означает, что X р, если части разбиения X можно разбить на блоки так, что части разбиения р есть в точности суммы элементов в блоках разбиения X. Например, (4, 4, 3, 2, 2, 2, 1> 1)^(9, 4, 4, 2), что соответствует разложениям 9 = 4 + 24-2+1, 4 = 4, 4 = 3 + 1, 2 = 2. Определите функцию Мёбиуса у,(Х, р) ч.у. множества Ля. (Это задача тривиальная, если X = =<1">, и легкая, если X =<1'г-2, 2>.)
[3] Ь. Является ли функция Мёбиуса у, ч. у. множества Л„ знакочередующейся, то есть, верно ли, что (—1/ ц(х ,г/)^0, если [х, у] — интервал длины /? Верно ли, что Л„ — ч. у. множество Коэна — Маколея?
[3] 55. Пусть Л„ — то же множество, что и в упражнении 54,
но теперь упорядочим Л„ по отношению доминирования. Это означает, что (Хь Х2, Я,3, ...) ^(рь р2, р3,...), если X] + Х2 + ... +^/^Р1 + Рг+ ••• + Р/ при всех 1^1. Найдите функцию у для этого упорядочения.
[3] 56. а. Гиперплоскость в евклидовом пространстве Ed =
={(х1, ..., xd):x;eR} состоит из всех точек (хь ..., xd), удовлетворяющих данному линейному уравнению ctjXj + ... + adxd = р. Пусть
’) Подгруппа Н Е называется транзитивной, если для любой пары {(,/}[«] существует элемент he.H, для которого h(i) = j.—Прим, перев.
Упражнения
247
Hit Н2, Hv — набор гиперплоскостей в Ed, причем Нх П П • • • П Hv = 0. Пусть L есть ч. у. множество (в действительности — решетка; фактически любой интервал [О, х], х =/= 1, из L является геометрической решеткой) ') всех различных пересечений Hit f| Я/2Л ••• Л упорядоченных по обратному включению. Таким образом, L содержит элемент 0, соответствующий пересечению пустого набора в Ed, и элемент 1, соответствующий пустому множеству 0. Если удалить Н\ (J ... U Нч из Ed, оставшееся множество будет состоять из объединения непересекаю-щихся областей. Пусть С есть общее число областей и В — число ограниченных областей. Покажите, что
С = Z 1п(б, х)|,
в = |ц(б, 1)1 = 1 S |х(0,х)1. е L
[3] Ь. Предположим, что гиперплоскости Н1гHvc Ed содержат 0, т. е. они являются подпространствами векторного пространства Rd. Пусть r = d — — dim(ZZin ••• A#v) и Х = {ЯЬ .... Hv}. Как легко видеть, ч. у. множество L = L(X) пересечений гиперплоскостей {Н{} является геометрической решеткой ранга г. Положим
Q = Q (X) = {р = (рь .... pd): pi е= R [хь xd]
и для всех i <= [v] и имеем p(a)G//J.
Ясно, что Q есть модуль над кольцом R = R [хь ... ..., xd], т. е. если рей и <7 R, то qp е Q. Легко показать, что Q имеет ранг г, т. е. Q содержит г (и не более) линейно независимых над R элементов. Предположим, что Q есть свободный /^-модуль, т. е. можно найти элементы р2, ..., ргей, такие, что Q = ф ... ®prR.
’) Строго говоря, L есть нижняя подполурешетка решетки всех подпространств в Ed, которая в смысле индуцированного упорядочения является геометрической решеткой (но не подрешеткой решетки Ld(R). О необходимости рассмотрения таких полурешеток в теории конфигураций см. также примечание редактора на с. 287. — Прим. ред.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Легко видеть, что можно тогда выбрать каждый элемент р,- таким образом, что все компоненты этого многочлена будут однородными одной и той же степени е,-. Покажите, что характеристический многочлен L задается формулой
Х(Ь, 9) = П(7-в/).
1 = 1
Покажите, что й — свободный модуль, если решетка L сверхразрешима, и найдите свободный модуль й, для которого L не является сверхразрешимой решеткой.
При п>3 пусть гиперплоскости Нх, ..., Ну (/ п\ / п \\
v = I I + I _ II определены уравнениями \ 2 J \ <5 / /
х/ = х/, 1 i < j п,
Xi + X/ + xk = 0, 1 i < / < k п.
Свободен ли модуль £2?
Предположим, что Hv ..., Hv и Н\.......
два расположения линейных гиперплоскостей (т. е. подпространств, содержащих 0), и пусть L и L' — соответствующие решетки, a й и й'— соответствующие модули. Если L L', й — свободный модуль, верно ли, что модуль й' свободен? Иными словами, зависит ли свойство модуля й быть свободным только от решетки L или оно зависит от самого местонахождения гиперплоскостей?
Пусть X = {Яь ..., Hv}, как в п. (Ь), и s е L (X). Определим новое расположение
XS = {H^X: sc=H}.
Таким образом, решетка L(XS) изоморфна интервалу [б, з] решетки L(X). Покажите, что если й (X) — свободный модуль, то и й (Xs) — также свободный модуль.
Пусть X = {Hlt ..., Hv}, как и в п. (Ь), и пусть Н е X. Определим расположение Хн в (d—1)-мерном вещественном векторном пространстве Н, состоящее из гиперплоскостей вида Hi П Н. Таким образом, решетка ЦХН) изоморфна интервалу
Упражнения
249
[Н, f] решетки L(X). Если Q(X) свободный модуль, верно ли, что Q (Xя) — свободный модуль? Пусть Р и Q — конечные ч. у. множества. Выразите многочлены Z (Р + Q, tn), Z (P®Q, m), Z (PXQ> w) в терминах многочленов Z (Р, j) и Z (Q, j).
а. Пусть P — конечное ч. у. множество. Как связаны дзета-многочлены Z (Р, п) и Z(Int(P), п)?
Ь. Предположим, что Р содержит элементы 0 и 1. Пусть Q обозначает ч. у. множество Int (Р) с присоединенным элементом 0. Как связаны (0, 1) и p,Q(6, Т)?
а. Пусть Р — конечное ч. у. множество, и Q — ch(P) обозначает ч. у. множество непустых цепей в Р, упорядоченных по включению. Пусть Qo обозначает ч. у. множество Q с присоединенным элементом б (= пустая цепь в Р). Покажите, что если Z (Р, т + 1) = / at I . I, то Z (Qo, т + 1) =
b. Пусть Р и Q обозначают ч. у. множества Р и Q соответственно с присоединенными элементами 0 и 1. Выразите pg (0, 1) через цр (0, 1).
с. Мы говорим, что конечное градуированное множество Р ранга п обладает свойством разбиваемости цепей, если для любой максимальной цепи К из ч. у. множества Р найдется цепь r(K)sK (ограничение цепи К), такая, что любая цепь (включая 0) ч. у. множества Р лежит в точности в одном из интервалов [г (К), К] ч. у. множества Qo. Для данной цепи С из множества Р определим ее ранговое множество р(С) = {р(х): ,сеС}£ [0, п\. Покажите, что если Р обладает свойством разбиваемости цепей, то р (Р, S) равно числу максимальных цепей К из Р, для которых р (г (К)) = S. (Так что, в частности, Р(Р, 5)^0.) d. Покажите, что если для некоторого ч. у. множества Р ч. у. множество Р обладает /?-помет-ками, то Р обладает свойством разбиваемости цепей.
е. Верно ли, что все ч. у. множества Коэна — Маколея обладают свойством разбиваемости цепей?
250 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
[3—] 60. а. Для ч. у. множества Р граф сравнимости Сот(Р) есть граф, вершины которого — элементы Р, а две вершины х и у соединены (неориентированным) ребром, если х < у или у < х. Покажите, что порядковый многочлен Q (Р, п) конечного ч. у. множества Р зависит только от графа Com (Р).
[2] Ь. Приведите пример двух конечных множеств Р и Q, для которых Com (Р) Сот (Q), но Q (Р, пг) — = Q(Q, пг).
[2+] 61. а. Пусть Q(P, п) обозначает порядковый многочлен конечного ч. у. множества Р, так что из разд. 3.11 имеем Q(P, n) — Z(J(P), п). Пусть р = | Р |. Используя пример 3.9.6, покажите, что при пер (—l)pQ(P, — п) есть число отображений т: Р-*п, строго сохраняющих порядок, т. е. таких, что если х < у в Р, то т (х) < т (у).
[1+] Ь. Вычислите явно значения Q(P, п) и (— 1)рй(Р, — п) для случаев (i) Р — p-элементная цепь и (ii) Р — р-элементная антицепь.
[1+] 62. Вычислите Z (L, п) для решеток граней всех пяти платоновых тел *).
[3] 63. Пусть Y — множество всех разбиений всех целых
чисел п. Упорядочим Y покомпонентно, то есть положим (рц, ц2, ...)^(Л|, А2> •••)> если 14 для всех i. Y называется решеткой Юнга; она изоморфна финитарной дистрибутивной решетке /f(№). Для пары разбиений в Y положим Z(n) = = (ц, А) — дзета-многочлен интервала [pi, А]. Выберите число г, чтобы Хг+1 = 0. Покажите, что
[5—] 64. Верно ли, что если L и L' — дистрибутивные решетки ранга п, для которых 0 (L, S) — 0 (I/, S) (или, равносильно, а (Л, S) = a(L', S)) для всех подмножеств S [п — 1], то решетки L и L' изоморфны?
[2-]-] 65. Пусть Р — конечное градуированное ч. у. множество ранга п с элементами 0, 1, и предположим, что каждый интервал ч. у. множества Р самодвойственный. Пусть S — {«1, п2, • • • > «$}< S 1п ~ И-
*) То есть для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.— Прим, перев.
Упражнения
251
Покажите, что значение а(Р, S) зависит только от мультимножества чисел п{, п2 — п{, п3—п2, ... ..., ns — ns_b n — ns (но не от их порядка).
Пусть P = NXN. Для любого конечного множества 3 = Р можно определить числа а (Р, S) и р (Р, 3) точно так же, как в разд. 3.12 (несмотря на то что Р бесконечно). Покажите, что для S = {mb т2, .. .ms}< с N
Р (N X N, S) = т1 (т2 — тх — \) ... (tns — ms_{ — 1).
Пусть Р — конечное градуированное ч. у. множество ранга п с элементами 0 и 1.
а. Покажите, что
Aft+1Z(P, 0) = £ а(Р, 3). Sspi-I] |S|=fe
Ь. Покажите, что
(1-х)"+‘ £ Z(P, m)x-= £ pftx*+>, m>0 A>0
где
P* = E Р(Л5).
Se [«—11 |S|=fe
с. Покажите, что %(P, q) = 'Z,k>f)wkqn~k, где
(-1)*шА = р(Р, [k- l]) + p(P, И).
(Полагаем p (P, [n]) = p (P, [—1]) = 0.)
а. Пусть k, i sP. Пусть PA> t обозначает ч. у. множество всех таких разбиений л множества [&] = = {1, 2.......kt}, упорядоченных по измельчению
(т. е. Pk)t есть ч. у. подмножество решетки Щ<), что:
i число элементов в каждом блоке разбиения л делится на k',
ii если а< b < с <d и В, В' — есть блоки разбиения л, для которых а, с <= В и b, d^B', то В = В'.
Покажите комбинаторно, что дзета-многочлен ч. у. множества Pkti задается формулой
Z(Pk>i, п +1)
((fen + l)i)f_1 Л
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Ь. Заметьте, что ч. у. множество Pk<t всегда содержит элемент f и что Рь t содержит б. Используя п. (а), покажите, что Р1? t имеет Ct элементов и что Ири(0, 1) = (-1/-1С<_1, где Сг = ^ J.
с. Покажите, что Р2, t = Int(Pli t).
d. Заметьте, что ч. у. множество Pft>< является градуированным ранга t — 1. Для S = {т^, ..., ms}< s = [0, t — 2] покажите, что
1 / t \ / kt \ е. Выведите, что Pk t имеет -т-1 II , эле-
t \ т )\т— \ J
ментов ранга t — т и kQtt)*'2 максимальных цепей.
69. а. Покажите, что конечное градуированное ч.у. множество с элементами б и 1 является полуэйле-
ровым в том и только том случае, если для всех пар х < у, за исключением, возможно, пары (х, у)=(б, 1), интервал [х, у} имеет равные количества элементов нечетного и четного рангов. Покажите, что ч. у. множество Р является эйлеровым, если, кроме того, Р содержит равные количества элементов нечетного и четного рангов. Ь. Покажите, что если Р — полуэйлерово ч.у. мно-
жество ранга п, то
-l)nZ(P, -m) = Z(P, m) + m((-l)>P(6, 1)- 1).
с. Покажите, что полуэйлерово ч. у. множество нечетного ранга п является эйлеровым.
d. Предположим, что Р и Q эйлеровы ч. у. множества, и пусть Р' = Р — {б}, Q' — Q — {б}, Р = (Р'Х Q') U {б}. Покажите, что Р — эйлерово ч, у. множество.
70. а. Пусть Рп обозначает порядковую сумму 1 ф 21 ф ф 21 ф ... ф 21 ф 1 (п копий ч. у. множества 21). Например, ч. у. множество Р3 изображено на рис. 3.44. Вычислите числа р (Р, S) для всех подмножеств S s [п].
Упражнения
253
Ь. Используя п. (а) и упражнение 67 (Ь), вычислите ^m>0Z(Pn, т)хт.
с. Легко видеть, что ч. у. множество Рп эйлерово. Вычислите многочлены f (Рп, х) и g{Pn, х) из разд. 3.14.
а. Пусть Ln обозначает решетку граней п-мерного куба, упорядоченных по включению. Покажите,
Рис. 3.44.
что решетка Ln изоморфна ч.у. множеству Int(B„) с присоединенными элементами 0 и 1, где Вп обозначает булеву алгебру ранга п.
Ь. Покажите, что решетка Ln изоморфна ч.у. множеству Ап с присоединенным элементом 0, где
А — трехэлементное ч. у. множество
с. Пусть Рп — ч.у. множество из упражнения 70. Покажите, что решетка Ln изоморфна ч.у. множеству цепей из Рп, не содержащих 0 и 1 (включая пустую цепь), упорядоченных в обратном к включению порядке и с присоединенным элементом 0.
d. Пусть S = [/г]. Покажите, что
п
$n(Ln, = Z+1)’
где Dn(T, j) обозначает число перестановок множества [т] с множеством спуска Т и последним элементом j, a S = [n] — S.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
е. Вычислите Z(Ln, m).
f. Так как Ln есть решетка граней выпуклого многогранника, то в силу предложения 3.8.9 она является эйлеровой. Вычислите многочлен g(Ln,x) из разд. 3.14. Покажите, что, в частности,
g{Ln, 1)
1 п+1
и f(L„, 1) = 2
g. Используя п. (f),покажите,что g(Ln, х) — £ azx\ где at есть число плоских деревьев с п + 1 вершиной, у которых в точности i вершин имеют не менее 2 сыновей. См., например, рис. 3.45 для случая п = 3, который показывает, что g(L$, х) = = 1 + 4х.
Число вершин, имеющих не менее 0 1 1 11
2-х сыновей
Рис. 3.45.
72. а. Покажите, что если L есть решетка граней рационального выпуклого многогранника Ф (т. е. все вершины & имеют рациональные координаты), то коэффициенты многочлена g(L, х) неотрицательны (так что коэффициенты многочлена f(L,x) неотрицательны и унимодальны, т. е. возрастают до максимума, а затем убывают).
Ь. Выполняется ли утверждение п. (а) для произвольных выпуклых многогранников? Неизвестно даже, верно ли, что коэффициенты многочлена f(L,x) неотрицательны. Более общим образом, остается ли утверждение п. (а) справедливым, если L есть ч.у. множество граней регулярного клеточного разбиения сферы, при условии, что это ч.у. множество является решеткой? (Ч.у. множество Р2 из упражнения 70 показывает, что
Упражнения
255
предположение о том, что L есть решетка, не может быть опущено.)
73. Пусть п, d<=P и n>d+l- Пусть L'nd есть ч. у. множество всех таких подмножеств S из [п], упорядоченных по включению, что выполняется следующее условие: множество S содержится в некотором таком d-подмножестве Т из [п], что если 1 i ф Т, [i + 1, i + k\ s T и п i + k + 1 Ф Т, то число k четно. Пусть есть ч. у. множество, по. лученное присоединением элемента 1 к L'nd. Покажите, что Lnd есть эйлерова решетка. Решетка L42 изображена на рис. 3.46.
^42
Рис. 3.46.
74. Пусть Р — конечное ч.у. множество и л — такое разбиение элементов множества Р, что каждый блок из л связен (как ч.у. подмножество в Р). Определим отношение на блоках л следующим образом: В В' если для некоторых элементов хеВ и х' <= В' имеем х^х' в Р. Если это отношение является частичным порядком, мы говорим, что разбиение л P-совместимо. Пусть Г(Р) есть множество всех P-совместимых разбиений ч. у. множества Р, упорядоченных по измельчению (так что Г(Р) есть ч.у. подмножество в П(Р)). См. пример на рис.3.47. Покажите, что Г(Р) есть эйлерова решетка.
75. а. Определим следующим образом частичный порядок Рп на симметрической группе ®п. Редукцией перестановки л=а1а2 ап называется перестановка, полученная из л переменой мест чисел сц
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
и а/, если i < j и а, > а;. Положим а л, если перестановку а можно получить из л последовательностью редукций. Ч.у. множество Рз изображено на рис. 3.48. Покажите, что ч.у. множество Рп эйлерово.
Рис. 3.48.
Рис. 3.49.
Ь. Определим следующим
другой частичный порядок Р'п на образом. Простой редукцией переста-
новки л называется перестановка, полученная из л переменой мест некоторых чисел at и а<+1, если а,- > а,+1. Положим ст л, если перестановку ст
л)
можно получить из перестановки л последовательностью простых редукций. Ч.у. множество Р'-А изображено на рис. 3.49. Покажите, что
г(—1)\ если перестановку л можно получить из ст, обратив порядок элементов в каждом из k + 1 непересекающихся возрастающих участков перестановки л,
- 0 в противном случае.
Упражнения
257
с. Покажите, что дзета-многочлен ч.у. множества Р'п удовлетворяет условию
-/) = (-1Г‘/,
d. Покажите, что число Д'2 ' Z (Рп, 0) максимальных цепей в Рп задается формулой
(") Q)1
aU >Z °) = ~—„-зД-Уу—д„3), •
е. Можно ли дать «хорошее» выражение для
76. Пусть a = (ai,a2, ..., а«)— конечная последовательность целых чисел, никакие два последовательных элемента которой не равны. Пусть Р — множество всех подпоследовательностей а/ = (а1-1, а/2, ... ..., aZm) (так что 1 С ii < t2 < ... < im п) последовательности а, не содержащих ни одной пары равных последовательных элементов. Упорядочим Р по правилу: b с, если b есть подпоследовательность в с. Покажите, что ч.у. множество Р эйлерово.
77. Пусть Vn_! обозначает векторное пространство всех функций f: 2ln~11 -*Q, так что dim Vn_i = 2"-1. Пусть Еп^\ обозначает подпространство пространства Уп-ь порожденное всеми функциями а (Р, S) (или 0 (Р, S)), где Р пробегает все эйлеровы ч. у. множества ранга п. Покажите, что dimE„_1 есть число Фибоначчи Fn. (В частности, 2п~2 различных соотношения 0(Р, S) = ₽ (Р, S) из следствия 3.14.6 не есть все линейные соотношения, которым удовлетворяют числа ₽(Р, S).)
Замечание. Если вместо этого рассмотреть аффинное подпространство En-i> порожденное функциями а(Р, S), то добавится единственное дополнительное соотношение а (Р, 0)= 1 и, таким образом, dim£n_]= = F„-1.
78. а. Покажите, что если В (п) — факториальная функция биномиального ч. у. множества Р, то В (п)2
l)B(n+ 1).
Ь. Какие функции В(п) являются факториальными функциями биномиальных ч. у. множеств? В ча-
Стенлн
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
стности, можно ли взять в качестве такой функции В (п) = • F2 ... Fn, где Рг — Z-е число Фибо-
наччи (Fi—F2~l, Fn+i = Fn + Рп_г)?
79. а. Пусть P — локально конечное ч. у. множество с элементом 0, в котором любая максимальная цепь бесконечна и любой интервал [х, у\ градуирован. Поэтому ч. у. множество Р имеет ранговую функцию р. Назовем Р треугольным ч. у. множеством, если существует функция В: {(Z, /) е е№/</}->Р, такая, что любой интервал [х, у] ч. у. множества Р, где р(х) = т и р(у) — п, имеет В(п, tri) максимальных цепей. Определим подмножество Т(Р) алгебры инцидентности I (Р) условием
(Р) = {f «= I (Р): f (х, у) = f (х', у'), если р (х) = р (х') и
Р G/) ~Р (#')}•
Для функции feP(P) будем писать f (пг, п) вместо f (х, у), если р (х) = tn и р (у) = п. Покажите, что Т (Р) изоморфно алгебре всех комплексных бесконечных верхних треугольных матриц [a,/], i, j^O, где изоморфизм задается формулой
- f (0, 0) f(0. 1) f (0, 2)
В (0, 0) В (0, 1) В (0, 2)
Ц1, 1) /(1, 2)
и В(1, 1) В (1, 2)
где f geT (Р).
b. Пусть L — треугольная решетка. Положим £)(«) = = В (п, п + 2) — 1. Покажите, что L полумоду-лярна (сверху) тогда и только тогда, когда для всех п пг + 2
п-т-2
(ВЛ’Гю- = 1+ Е £»(m)D(/n+l) ... D(m + i).
\fll “f 1, Il)
1=0
с. Пусть L — треугольная решетка. Покажите, что если £)(л)У=0 при всех п 0, то L атомарная.
Упражнения
259
Используя п. (Ь), покажите, что обратное верно, если L полумодулярная.
-] 80. Зафиксируем целочисленную последовательность
0 — dj < а2 < ... < аг < т. Для k е [г] пусть fk (п) обозначает число перестановок Ьф2 . .. bmn.,ak множества [/пп + аА], для которых bj>bj+\ тогда и только тогда, когда .........ar(modm). Пусть
_ г , . тп + «ь nr + A:
—
ф,м= х
(игп + аД! xmn+i
Пусть вычет
а обозначает наименьший неотрицательный a(modm), и положим i|)z/= Ф^т^-(х). Пока-
жите, что
Мп + Л2Ф12 + ••• + Fr^ir—1, ЛФ21 + F2fe + • • + ЛФгг = 0, Mr! + ^2Фг2 + ••• +^гФгг = О-
Решите эти уравнения и получите явное выражение для Fk(x) в виде отношения двух определителей.
Р] 81. а. Пусть Р — локально-конечное ч. у. множество, в котором каждый интервал градуирован. Для любого подмножества SsP и пары х^у определим множество [х, y]s формулой (51), и пусть обозначает функцию Мёбиуса интервала [х, y]s.
Пусть t переменная, и определим функции f, ge/(P) формулами
{1, если
(1если
х = у,
Цх, у) = п^1,
С 1, если х = у,
. I X Hs (х, У) tn~i s, если х < у, где /(х, w) = n^l (X, у) = < S
I и 3 пробегает все подмножества
к множества [п — 1], a s = |S|.
Покажите, что h = g-~l в ЦР).
9*
260 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
[1+] Ь. Для биномиального ч. у. множества будем писать h (п) вместо h(x, у), если 1(х, у) — п. Покажите, что
1+ Е h(ti) хп/В (п) = \1 + Е (1 + ()п~' хп/В(п)]~1, П>1 L П>1 J
[2] с. Положим
Gn(q,t) = Е td(n)qnn}t
где </(л) и г (л.) обозначают соответственно число спусков и инверсий перестановки л. Покажите, что
1+ Е Gn(q, 0*7(n)l = [l - Е (t- I)""1 хп/(п)П-1, п > 1 L п 1 J
В частности, полагая q = 1, мы получаем
i+ Z t~xAn(t)xnln\=\\- Е (t-i)'l-'x7nir,= п>1 L п>1 J
= (1-0/(ех<1-<> - 1),
где An(t) обозначает многочлен Эйлера.
Решения упражнений
1. Стандартная задача. См. [5]').
2. Соответствие между конечными ч.у. множествами и конечными топологиями (или более общим образом между произвольными ч.у. множествами и топологиями, в которых любое пересечение открытых множеств открыто), кажется, впервые было рассмотрено в работе: Александров П. С. Мат. сб. (Н. С.) 2(1937), 510—518, и неоднократно перестирывалось.
3. a. Wright John A., thesis, Univ, of Rochester, 1972.
d. Kleitman D. J. and Rothschild B. L.. Proc. Amer. Math. Soc. 25(1970), 276—282.
e. Kleitman D. J. and Rothschild B. L. Trans. Amer. Math. Soc. 205(1975), 205—220. Асимптотическая формула, приведенная там, более сложна, но может быть упрощена.
4. a. f есть перестановка конечного множества, так что fn=l для некоторого п е Р. Но_тогда f”1 = fn~l; f1”1 сохраняет порядок.
’) В русском переводе — с. 37, лемма 1. — Прим, перев.
Решения упражнений
261
Ь. Пусть P = Z(J{x}, где х<0 и элемент х не сравним ни с одним числом п < 0. Пусть f (х) = х и f(ri) = n+ 1 при reeZ.
а. Пример приведен на рис. 3.50. Существуют четыре других 6-элементных примера, и ни одного примера с меньшим числом элементов. О значении этого упражнения см. обсуждение, следующее за доказательством следствия 4.5.15.
Ь. Используйте индукцию по I, убирая все минимальные элементы из Р. Это доказательство принадлежит Д. Уэсту.
Результат (с более сложным доказательством) впервые опубликован в работе [28], с. 19—20.
Примером является ч.у. множество из книги [5], упражнение 10 на с. 54').
а. Стандартная техника.
Ь. Предположим, что f: Int(P)-* Int(Q) — изоморфизм.
Пусть А ч. у. подмножество из Int(Q) всех элементов x^f(6) и В по определению — ч. у. подмножество х^/(б). Проверьте, что Р А% В, Q^A'XB*.
Этот результат получен независимо А. Глисоном (не опубликовано) и в работе Aigner М., G. Prins, Trans. Amer. Math. Soc. 166(1972), 351—360.
с. (А. Глисон, не опубликовано) См. рис. 3.51, 3.52. Ч.у. множество Р можно рассматривать как «подкрученное» прямое произведение ч.у. множеств А и В на рис. 3.53, a Q есть «подкрученное» прямое произведение А и С.
Эти подкрученные произведения существуют, так как ч.у. множество А не является односвязным в некотором подходящем смысле, но имеет в качестве накрывающего ч.у. множество на рис. 3.54. Общая теория была изложена А. Глисоном на семинаре в Массачусетском технологическом институте в декабре 1969 г.
*) На с. 77 русского перевода. — Прим, перев.
262 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
8. а. [5], теорема 2, с. 57 ').
Ь. См. [5], с. 68-69* 2).
с. [5], с. 693). Если Р есть произвольное ч. у. множество с более чем одним элементом, можно взять = 1 -J- Р3, Р2 = 1 + р + р\ />3 = 1 />2 Р4) =! р есть од.
поэлементное ч.у. множество). Здесь нет противоречия, так как, хотя Z [xi, х2, ...] есть область с однозначным
Рис. 3.53. Рис. 3.54.
разложением, отсюда не следует, что N[xi,x2, ...] есть полукольцо с однозначным разложением. В кольце В имеем
РХР. = Р3Р4 = (1 + Р) (1 - Р + Р2) (1 + Р + Р2).
9. а, с. Эти результаты (в контексте теории конечных топологических пространств) изложены в работе Stong R. Е., Trans. Amer. Math. Soc. 123(1966), 325—340 (см. с. 330) п. (а) см. также Duffus D. and Rival I., in Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai (A. Hajnal and V. T. Sos.
*) C. 80 русского издания. — Прим, персе.
2) С. 95—9G русского издания. — Прим, перги.
3) С. 96 русского издания. — Прим, перев.
Решения упражнений 263
eds), vol. 1, North-Holland. New York, 1978, pp. 271— 292 (p. 272). П. (с) см. также Duffus D. and Rival I., Discrete Math. 35(1981), 53—118 (Теорема 6.13). П. (c) обобщен для бесконечных ч.у. множеств Baclawski К. and Bjorner A., Advances in Math., 31(1979), 263—287 (Теорема 4.5).
a, b. Наименьшее число d, для которого выполняются пп. (i) или (ii), называется размерностью Р. Обзор по этой теме см. в работе Kelly D. and Trotter W. T. Jr., in [25]. c. 171—211. В частности, эквивалентность пп. (i) и (ii) установил Ope, а результат (iii) есть наблюдение Дашника и Миллера. Другие результаты по ч.у. множествам размерности 2 см. Baker К- А., Fisburn Р. С. and Roberts F. S. Networks 2(1972), 11—28. Много дополнительной информации содержится в книге Fisburn Р. С. Interval Orders and Interval Graphs John Wiley, New York, 1985.
Ни одно.
Пусть В — булева алгебра всех подмножеств множества Irr (L), и пусть L' — нижняя полурешетка в В, порожденная главными порядковыми идеалами из Irr(А). Можно показать, что L изоморфна иолурешетке L' с присоединенным элементом 1.
Фактически решетка L есть пополнение Макнила (см., например, [5, гл. V, § 9]) ч.у. множества Irr(i). Это упражнение есть результат из статьи Banaschewski, Z. Math. Lo-gik 2(1956), 117—130. Пример приведен на рис. 3.55.
Рис. 3.55.
Пусть L есть нижняя подполурешетка булевой алгебры В6, порожденной подмножествами 1234, 1236, 1345, 2346, 1245, 1256, 1356, 2456 с присоединенным элементом 1. По определению L—коатомарная полурешетка. Можно проверить,
264
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
что каждое одноэлементное подмножество {i} принадлежит L, 1 si i si 6, так что L атомарная полурешетка. Однако подмножество {1,2} не имеет дополнения. Этот пример привел И. Райвал (личное сообщение) в феврале 1978 г. См. Discrete Math. 29(1980), 245—250 (Рис. 5).
14. Д. Клейтмап показал (не опубликовано), что
Ln/2J) (’ + 2« + 5 ) <^n)<([n/2j)(1 + V» )’
и предположил, что нижняя оценка ближе к истине.
15. а. Из теоремы 3.4.1 j2(n) равно числу дистрибутивных решеток L ранга п точно с двумя элементами каждого
Рис. 3.56.
Рис. 3.57.
Рис. 3.58.
ранга 1, 2, ..., п—1. Мы строим L снизу вверх. Элементы рангов 0, 1, 2 должны выглядеть (с точностью до изоморфизма) так, как изображено на диаграмме на рис. 3.56, где мы также изобразили элемент z = xV у ранга 3. Мы можем поместить оставшийся элемент w ранга 3 двумя способами: поместить его над х или над У, как показано на рис. 3.57. Снова мы можем двумя способами выбрать оставшийся элемент ранга 4 — поместить его над z или над w. Продолжая рассуждать таким образом, мы будем иметь две возможности выбора независимо на каждом из п — 3 шагов. Это дает требуемый результат.
Решения упражнений
265
Например, для п = 5, четыре ч.у. множества изображены на рис. 3.58.
Ь. Аналогично п. (а).
d. (Предложено П. Эдельманом.) f* (п) = 0 при k > 3, так ( k \ как тогда I I > k.
16. а. Ясно, что L' есть верхняя полурешетка в L с элементом О, следовательно из предложения 3.3.1 L' есть решетка. По определению L' атомарная. Предположим, элемент у покрывает х в L'. Тогда у = х V а Для некоторого атома а из L. Из свойства полумодулярности (предложение 3.3.2 (i)) следует тогда, что р (у) = р (х) + 1 в L, следовательно у покрывает х в решетке L. Теперь легко видеть, что свойство полумодулярности из предложения 3.3.2 наследуется решеткой L' из L. Таким образом, решетка L' геометрическая.
Ь. Нет. Пусть К есть булева алгебра В3 всех подмножеств множества [5], из которой убраны все 4-элементные подмножества. Пусть L состоит из К и дополнительного присоединенного элемента х, такого, что х покрывает элемент {1} и покрывается элементами {1, 2, 3} и {1, 4, 5}. Тогда х ф L', но х принадлежит подрешетке решетки L, порожденной L'.
Этот пример принадлежит К. Грину.
17. Для хе Рк положим
<р (х) = sup {z : z каждого неразложимого в объединение элемента х; из (единственного) несократимого разложения х= х^У ... V хп в объединение неразложимых элементов).
(63)
В частности, если хеР,, то <р (х) = sup {z : z^ х). Существенно проще доказать, что отображение <р обладает требуемыми свойствами, работая с ч.у. множеством Р, для которого J(P)— L, а не с самой решеткой L.
2^-1 (ог___i) 1к ,,
18. Ответ: ----f-;-----^- + 2r(fe-1).
Следует из следствия на с. 214 работы R. Stanley J. Combinatorial Theory 14(1973), 209—214.
19. а. Индукция по ]L|. Случай |Т|=1 тривиален. Пусть теперь | L| 2 и у — максимальный элемент полурешетки
L. Предположим, что элемент у покрывает j элементов полурешетки L, и положим L' = L—{у}. Гипотеза о ди-
266
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
стрибутивности снизу влечет, что число элементов х =£7 у,
для которых [х, у] Bk, равно
1,1. Следовательно, у k /
S fft(L)(l + x)4 = (l+x)/+ Е fk(L'W+x)k,
£ gk^xk= Xf !}xk+ £ gk(L')xk = k>0 k = 0 '-“J fe>Q
= (l+x)'+ £ gk{L')xk,
fe >0
и доказательство следует из индуктивного предположения, так как L' — дистрибутивная снизу нижняя полурешетка.
Заметьте, что в специальном случае L = J (Р) число gk(L) равно числу /г-элементных антицепей в Р.
Ь. Положите х = —1 в п. (а). Этот результат был впервые доказан (другим способом) для случая L = J(Р) в работе Das S. К. J. Combinatorial Theory (В) 26(1979), 295—299. Его также можно доказать, используя тождество Е.р£ = £ в алгебре инцидентности решетки L U {1}
Топологическое замечание. Это упражнение имеет интересное топологическое обобщение (найдено совместно с Г. Калаи). По данной полурешетке L определим кубический комплекс Й = Й(Т) следующим образом. Вершинами Й являются элементы L, а грани состоят из интервалов [х, у] решетки L, изоморфных булевым алгебрам. (Из упражнения 71 следует, что Й действительно является кубическим комплексом.)
Предложение. Геометрическая реализация |Й| стягиваема (фактически сдавливаема)').
Набросок доказательства. Пусть у есть максимальный элемент L и L' = L—{г/}, а х есть пересечение элементов, которые покрываются элементами у, так что [х, у\ =
Bk для некоторого k е Р- Тогда пространство | Й (£/) | получается из пространства ]Й(£,)| сдавливанием куба I I*. У] I на еГ0 грань, не содержащую точку у. Приме-
*) Стягиваемость (в точку) означает, что тождественное отображение |Q|->|Q| гомотопно постоянному: |Q| -•>-pt. Сдавливаемость означает, что это — простая гомотопическая эквивалентность. — Прим, персе.
Решения упражнений
пив индукционное предположение, получаем, Что пространство [Q(L)| сдавливаемо, а следовательно, стягиваемо ’).
Формула l)fe fk = 1 утверждает просто, что эйлерова характеристика Q(L) или | £2 (L) | равна 1; утверждение о том, что пространство |Q(L) | стягиваемо, значительно сильнее.
с. ^-элементная антицепь А из ч. у. множества m X п имеет вид
Д = {(аь bi), (ch, b2), ..., (ак, bk)},
где 1 < «! < а2 < • • • < ak т и п Ь{ > Ь2> • >Ьк 1.
(т\(п\
Следовательно, gk = I , II , I. Легко вычислить либо \ К J \ IZ /
на основе прямых комбинаторных рассуждений, либо из п. (Ь) и формулы Вандермонда (пример 1.1.17), что (т\(т-\-п —
k Д т 7‘
d. Этот результат независимо доказан в работах Stembridge J. European J. Combinatorics 7(1986), p. 377—387 (Следствие 2.2) (другим способом) и R. Proctor. Proc. Amer. Math. Soc. 89(1983), 553—559 (Теорема 2).
e. R. Proctor, там же, Теорема 1.
Справедливость этого результата предположил П. Эдельман для п = т и в общем случае впервые доказали Р. Стенли и Дж. Стембридж, используя теорию «jeu de taquin», развитую М. Шютценберже; см. Springer Lecture Notes in Math., #579, pp. 59—113. Элементарные доказательства были даны М. Хайманом (не опубликовано). См. детали и дополнительные результаты в работе Stembridge J. Trapezoidal chains and antichains, European J. Combinatorics 7(1986), p. 377—387 (см., в частности, следствие 2.4).
20. Индукция по р(х). Справедливость утверждения ясна при р(х)^1. Предположим, что утверждение справедливо при p(x)<.k, и пусть §(x) = k. Если х — неразложимый в объединение элемент, то утверждение справедливо. В противном случае элемент х покрывает г > 1 элементов. Из принципа включения — исключения и индукционного предположения
*) Соответствующая топологическая техника развита, например, в книге Рурк К., Сандерсон Б. Введение в кусочно-линейную топологию. — М.: Мир, 1974. — Прим, перед.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества следует, что число неразложимых в объединение элементов ^х равно
r(Af— 1) —(2 + —3)— ... ±Q< ^ = k.
Дальнейшую информацию об этом результате и вообще о дистрибутивных снизу решетках см. Monjardet В. Order 1(1985), 415—417. Другие ссылки: Greene С. and Kleit-man. D. J. J. Combinatorial Theory (A) 20(1976), 41—68 (Thm. 2.3.1), Edelman P.) Alg. Universalis 10(1980), 290— 299, Edelman P. H. and R. F. Jamison R. F. Geometriae Ded. 19(1985), 247—270. Обзор по дистрибутивным снизу решеткам имеется в работе Edelman Р. Contemporary Math. 57(1986), 127—150.
Левая часть равенства (59) есть число пар (х, S), где х — элемент решетки L ранга i, a S — множество из / элементов, покрываемых элементом х. Аналогично в правой части равенства стоит число пар (у,Т), где p(y) = i — j, а Т есть множество j элементов, покрывающих у. Мы установим биекцию между парами (х, S) и (у, Т) следующим образом. Для данной пары (х, S) положим у = AzeSz, и пусть Т есть множество всех элементов интервала \у, х], которые покрывают элемент у.
а. Пусть L— финитарная дистрибутивная решетка с функцией покрытия f. Пусть Lk обозначает подрешетку решетки L, порожденную всеми неразложимыми в объединение элементами, ранг которых не превосходит k. Мъ\ докажем индукцией по k, что решетка Lk единственна (если она существует). Так как L = [)Lk, доказательство будет закончено.
При k = 0 утверждение верно, так как То является одноэлементной решеткой. Предположим, что оно верно для k. Решетка Lk содержит все элементы решетки L, ранг которых не превосходит k. Предположим, что х есть элемент ранга k решетки Lk, покрывающий п элементов, и предположим также, что элемент х покрывают в решетке Lk tx элементов. Пусть sx = f{n)—tx. Если sx < 0, то решетки L не существует, так что предположим, что sx 0. Тогда те sx элементов из А — Lk, покрывающих элемент х в решетке L, должны быть неразложимыми в объединение в L. Таким образом, для каждого элемента хе Д рангаk присоединим неразложимых в объединение элементов над х и получим нижнюю подрешетку L'k. Пусть Pk+l обозначает ч.у. множе-
Решения упражнений
269
ство неразложимых в объединение элементов полурешетки L'k. Тогда множество Pk+x должно совпадать с ч.у. множеством неразложимых в объединение элементов решетки Lk+\. Так что Lk+\ = J(Pk+x) и решетка Lk+1 определена однозначно.
Ь. Предложение 2 на с. 226 в [34].
с. Если f (п) = Ь, то L = Nft. Если f (и) = п + Ь, то L = /f (N2)ft.
d. Используя упражнение 21, покажите, что
и (5, 1) = - (6/3) (2а3 - 2а2 - 3).
Следовательно, и (5, 1)<0 при а ^2 и 6^1, так что решетки L не существует.
е. См. § 3 [34].
а. Число Фибоначчи Fn+2- Это прямое следствие упражнения 14(e) гл. 1.
Можно дать простые комбинаторные доказательства следующих рекуррентных соотношений:
Г2га (?) = (1 + q + ?2) 1^2 („-!) (?) - ?2№2 <„-2) (?),
Г2„+1 (?) = lF2„+2r(?) - ?2Г2„ (?).
Умножив эти формулы на х2п и x2n+I соответственно и суммируя по п, получаем
1 + (! + ?) * ~ Я2х3 Г W— 1 _ (1 + q + q2) Х2 + q2x< •
с. Биекция о: Z„->-[n] является линейным расширением в том и только том случае, если последовательность п + 1 — o(xi), п+1 — а(хп) является чередующейся
перестановкой множества [п] (как в предложении 1.3.14(4)). Следовательно, из формулы (54), имеем
У, enxn[ti\ = tg х + sec х.
d. Присоединим дополнительный элемент хп+1 к ч.у. множеству Zn, получив Zn+i. Можно построить сохраняющее порядок отображение f: Z„—>m + 2 следующим образом. Выберем разложение 04 + ... + = п + 1 и свяжем с ним разбиение {хх, .. ха,}, {xat+i, .., ха,+а!}
ч.у. множества Zn+i. Например, выбирая п = 17 и разложение 3 + 1 + 2 + 4 + 1 + 2 + 2 + 3 = 18, получим разбиение, изображенное на рис. 3.59. Пометим последний элемент х каждого блока числами 1 или т + 2, в зави-
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
снмости от того, является х минимальным или максимальным элементом ч. у. множества Z„+i, как показано на рис. 3.60
Удалив из ч. у. множества Zn+i эти помеченные элементы, получим дизъюнктное объединение У1+ ... + У*, где каждое ч.у. множество У, изоморфно Z t или Z* _г Для каждого i выберем Q(Za , иг) способами сохраняющее порядок отображение Уг->[2, m + 1 ]. Существует
Рис. 3.59.
Рис. 3.60.
одна дополнительная возможность. Если некоторые числа at — 2, мы можем также присвоить единственному элементу у множества У; ту же метку (1 или т + 2), что и оставшемуся элементу х в блоке, содержащем элемент у (таким образом, у помечается числом 1, если он является максимальным элементом ч.у. множества Z„+i, и числом т + 2, если он минимальный элемент этого ч.у. множества). Эта процедура дает каждое сохраняющее порядок отображение f: Z„ -> m + 2 в точности один раз. Следовательно,
k
Q. (Zn, т + 2) = 2 П (Q (Zai-i, т) + 62. а.) =>
=> Gm+2 W = X (Gm (х) - 1 + x'-)k =
= (2-x^-Gm(x))~'.
Начальные условия здесь (х) = 1/(1 — х) и G2(x) = = 1/(1 -х-х2).
Эквивалентный результат был установлен без доказательства (с ошибкой в обозначениях) в упражнении 3.2 работы Stanley R., Annals of Discrete Math. 6(1980), 333—342.
Решения упражнений
271
Далее Г. Зиглер показал, что
G (х} — 1 Gm W wm+iW з- Xt — Gm(x) •
24. Результат для FD(n) принадлежит Дедекинду. См. [5], гл. III, § 4. Результат для решетки FD(P) доказывается таким же способом. См., например, следствие 6.3 Jonsson in [25], с. 3—41. Задаче оценивания числа элементов решетки FD(n) уделялось большое внимание, см. Kleitman D. Proc. Amer. Math. Soc. 21(1969), 677—682, и Kleitman D. and Mar-kowsky G. Trans. Amer. Math. Soc. 213(1975), 373—390.
25. а. Доказательство легко сводится к следующему утверждению: если А и В есть ^-элементные антицепи в ч. у. множестве Р, то множество A U В содержит k максимальных элемента. Пусть С и D — множества соответственно максимальных и минимальных элементов множества A U В. Так как х е А П В тогда и только тогда, когда х е С П D, то | С | +1D | — 2k. Если | С | < k, то множество D было бы антицепью в Р с более чем k элементами. Противоречие.
Этот результат принадлежит Р. П. Дилуорсу: Dilworth R. Р. in Proc. Symp. Appl. Math. (Bellman R. and Hall M. Jr, eds.), Amer. Math. Sos., Providence, R. I., 1960, 85—90. Интересное приложение содержится в § 2 Greene С. and Kleitman D. J. in Studies in Combinatorics (Rota G.-C. ed.), Math. Assoc, of America, 1978, pp. 22—79.
b. Koh К. M. Alg. Univ. 17(1983), 73—86 and 20(1985), 217—218.
26. а. Пусть p: P ® Q-» В — отображение проектирования на P (т. e. p{x, y) = x). Пусть / — порядковый идеал ч. у. множества P®Q. Тогда р(/) есть порядковый идеал ч. у. множества Р, скажем с т максимальными элементами х1г ..., хт и k немаксимальными элементами уъ ..., yk. Тогда идеал / есть объединение р-1 (у,) К ... U р~л (.Уь) с непустыми порядковыми идеалами /г из каждого ч. у. множества р-1 (xz) Q. Имеем | /1 = kn + У, | Ц | и т (/) = = У,Следовательно,
У У ( 0-1Г(Г) =
/е/(Р®<2) Te/(Pj V
= GP{qn, q~n(GQ(q, /)-1)).
Ь. Пусть x — максимальный элемент ч. у. множества Р и Ах — {у е Р: у «С х}, и положим Р} — Р — х и Р2 = Р — Ах.
272 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Запишем G(P) = GP (q, Легко видеть, что
G (Р) = G (Л) + (q - 1) q\ Л*1 ”*0(Р2)
(рассматривается для каждого идеала I е / (Р) два случая: хе/ и хф.1). По индукции имеем G(Pi) — qp~i и G(P2) = </Ip~a*I, откуда и следует доказательство.
Это упражнение предложено М. Хайманом. Здесь возможны и другие доказательства.
27. а. Порядковый идеал ранга г из /(mXn) легко можно отождествить с разбиением числа г на не более чем т частей, наибольшая часть которого не превосходит п. Используйте теперь предложение 1.3.19, чтобы доказать, /ш + п\
чтоР(Р, <?) = I I. Это утверждение равносильно
тому, что ч. у. множество Р является приятным.
Ь. Это утверждение равносильно знаменитому результату Мак-Магона. См. теорему 18.1, Stanley R. Studies in Applied Math. 50(1971), 167—188, 259—279.
с. Порядковый идеал ранга г ч.у. множества /(2Хп) легко отождествляется с разбиением числа г на не более чем п различных частей, откуда F(L, <у) = (1 + q) (1 + q2) ... ••• (1+ </")•
d. Этот результат эквивалентен гипотезе Бендера и Кнута; как показано в работе G. Andrews, Pacific J. Math. 72(1977), 283—291, он следует из значительно более ранней гипотезы Мак-Магона. Гипотеза Мак-Магона была независимо доказана в работах Andrews G. Adv. Math. Suppl. Studies, vol. 1(1978), 131—150; Cordon B. Pacific J. Math. 108(1983), 99—113; Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford Univ. Press, 1979 (Упр. 19 на с. 53) >).
e. Эта формула равносильна одной гипотезе, на которую есть ссылка в работе Andrews G. Abstracts Amer. Math. Soc. 1(1980), 415. Эквивалентная этому гипотеза была высказана Д. Роббинсом (не опубликовано). Несколькими авторами показано, что F(L,q) равно Sx(detA), где А пробегает множество всех квадратных подматриц (включая пустую матрицу 0 с определителем det0 = 1)
’) Имеется перевод: И. Макдональд. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985. См. упражнение 19 на с. 68.—Прим, перев.
Решения упражнений
273
(« + 1)Х(»+ 1) матрицы
f, g. Следует из теоремы 6 статьи Proctor R. European J. Combinatorics 5(1984), 331—350. Нетрудно дать прямое доказательство п. (f). Можно дать, в принципе, прямое доказательство п. (g), используя технику разд.4.5, но вычисление, вероятно, потребовало бы применения ЭВМ (особенно для второго ч.у. множества Р).
Если Ln = J(Рп), то Рп есть полное двойственное бинарное дерево высоты п, изображенное на рис. 3.61. Порядковый
Рз =
Рис. 3.61.
идеал I дерева Рп определяет правило остановки следующим образом. Начав с точки 0, двигаться вверх на шаг влево (соответственно вправо) после выпадения решетки (соответственно орла). Остановка происходит в момент выхода из идеала /.
Так как Рп = 1 ф (Pn_t ф Рп_{), ясно, ‘ что F (Ln, q) = = 1 + <7Г(Л„_1, q)\
См. Stanley R. Bull. Amer. Math. Soc. 76(1970), 1236—1239; [12] § 3; Baclawski K- Proc. Amer. Math. Soc. 36(1972), 351—356; Feinberg R. B. Pacific J. Math. 65 (1976), 35—45; Feinberg R. B. Discrete Math. 17(1977), 47—70.
Имеем
И (x, z) = E H (x, z) 6p(z, -у) = z
= E F U, z)Ep(z, й»)Нр(й», z/) =
z, w
= E fU, z)?(z, й) р.р(й>, у)=(так как z^w<=^z^w)= z, w
= E'S(x, й>)'|1р(й>, y)-Шее
Этот фундаментальный результат впервые получил Старо Н. Archiv der Math. 19(1968), 595—607 (теорема 1), упрощая одну раннюю работу Дж.-К. Рота в [26]. Описание
274
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
теории функций Мёбиуса, основанное на операторах замыкания, см. в гл. IV, 3 книги Aigner М. Combinatorial Theory, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1979.')
31. Пусть G(x) = ^y>xg{y). Легко показать, что
Е н(б, t)G(t) = Е g(y) = f(x). у ~
х А у=о
Используя обращение Мёбиуса, получим
и (б, y)G(y) = Е на, У)Ш- (64)
С другой стороны, формула обращения Мёбиуса дает
g(x) = Е HU, У)6(у). (65)
У>Х
Подстановка значения G(y) из формулы (64) в формулу (65) дает требуемый результат.
Эта формула есть результат из статьи Doubilet Р. Studies in Applied Math. 51 (1972), 377—395 (лемма на с. 380).
32. Для данной цепи С: 0 < х, < ... < xk < 1 коэффициент при f(x,) ... f{xk) в левой части равенства есть
Е (— 1)|С'~С| = (— l)fe+1 ц(б, xi)p(x1( х2) ... н(**_!, xk) С'аС
(из предложения 3.8.5). Здесь С' пробегает множество всех цепей из Р — {б, 1), содержащих цепь С.
По существу такой же результат содержится в гл. II, лемма 3.2, работы [28].
33. Старо Н. Н. J. Comb. Theory 1 (1966), 126—131 (Теорема 3). Топологические аспекты этого результата см. в работе Bjorner A. J. Comb. Theory (А) 30 (1981), 90—100.
34. а. Из индуктивного определения (14) функции Мёбиуса следует, что число ц, (0, х) нечетно (и поэтому не равно нулю) для всех хеА. Используйте теперь упражнение 33. b. Freese R. and Univ, of Wyoming Problem Group, Amer. Math. Monthly 86(1979), 310—311.
35. Этот результат (установленный в несколько другой форме) взят из работы Rota G.-C. in Studies in Pure Mathematics (L. Mirsky ed.), Academic Press, London, 1971, 221—223
’) Имеется перевод: Айгнер M. Комбинаторная теория.—М.: Мир, 1982.— Прим, перед.
Решения упражнений
275
(Теорема 2). Работы на близкую тему: Rota G. С. in Proc. Univ. Houston Lattice Theory Conf., 1973, pp. 575—628; Geissinger L. Arch. Math. (Basel) 24(1973), 230—239, 337— 345. Davis R. L. Bull. Amer. Math. Soc. 76(1970), 83—87.
36. [18]. Теорема 5.
37. Наше изложение этого упражнения основывается на работе [19].
а. Определим матрицу М = [М (х, у) ], положив М(х,у) = = £(х, У)!(х, у). Ясно, что М— треугольная матрица, и что det М = Пх/(х, х). С другой стороны (обозначая буквой £ матрицу ^-функции решетки L в базисе, состоящем из элементов решетки L, т. е. g есть матрица инцидентности отношения А),1) имеем
М = ГЕЖ х)Цг, x)^(z, у)1 =
L z -U, y^L
= Г X /(2, х)1 = [F(x/\y, х)].
Л У J*, y^L
Поэтому det [Л (х Л */, х)] = detA4^= detM.
Эта формула является результатом статьи В. Lindstrom. Proc. Amer. Math. Soc. 20(1969), 207—208 и (в случае, если F(x, s) зависит только от х) статьи Н. Wilf, Bull. Amer. Math. Soc. 74(1968), 960—964.
b. Возьмем в качестве L множество [n], упорядоченное по делимости, и положим /(х, s) = х. Доказательство, не использующее предыдущих рассмотрений, см. в книге Polya G. and Szego G. Problems and Theorems in Analysis II, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1976 (Part VIII, Ch. 1, no. 33).2)
с. Если f(x, s) = ц (0, x), имеем (убрав s)
F(x Л У) = E И (0, z) = S (0, x Л У).
z<x/\y
Следовательно, матрица R = [E(x Л у)] есть в точности матрица инцидентности отношения хАу = 0. Из п. (а) det R 0. Следовательно, некоторый член в разложении det R должен быть ненулевым; он и задает желаемую перестановку л.
Этот результат содержится в статье Dowling Т. and Wilson R. Proc. Amer. Math. Soc. 47(1975), 504—512 (Теорема 2*).
’) g есть \L\ X |L| матрица {g(x, y)}x, у e= L, g(x, y) = 1 при x sg у н g(x, у) = 0 в противном случае. —Прим, перед.
2) Имеется перевод: Полна Г., Сеге Г. Задача и теоремы из анализа. — М.: Наука, 1978. — Прим, перед.
276
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
d. Из уравнения (27) легко следует, что ц(х, у) =# 0 для всех х у в геометрической решетке L. Применим п. (с) к двойственной решетке L*. Мы получим такую перестановку л, что x:Vn(x)=l при всех xeL. Из полумодулярности следует, что р(х) + р(л(х)) ^п, так что перестановка л отображает инъективно элементы ранга, не превосходящего k, в элементы ранга, не меньшего п — k.
Этот результат содержится также в той же работе Т. Доулинга и Р. Вильсона (теор. 1). Случай k = l был первоначально доказан в работе Greene С. J. Comb. Theory 2(1970), 357—364.
е. Dowling Т. and Wilson R. ibid. (Теорема 1).
38. Dowling T. J. Comb. Theory (B) 23(1977), 223—226. Следующее элегантное доказательство принадлежит Р. Вильсону (не опубликовано). Пусть (;— матрица из решения упражнения 3.37(a), и положим
Ло = diag (ц(б, х): х е L),
= diag (ц (х, 1): xsL).
Из решения упражнения 37 (е) (и двойственного к нему) имеем, что
[^0?]^ = 6(6, х Л у),
[^% = 6(х V у, 1).
Пусть С = Из того, что С = (^Ш = (?М,
следует, что Сху = 0, если только х и у не являются взаимными дополнениями. Но из условия на решетку L следует, что detC=#o и, следовательно, ненулевой член разложения det С дает искомую перестановку л.
38. 5. а. Пусть f: L->Q, и определим функцию f: L-+Q формулой
/(х)= S f(t).
t^x
Для любых элементов х^х* в L имеем
X /(Он(Л Е н(0 х) Е Ну) =
= 2/ (1/) Е н (Л х) =
у
= 'Lf(y) Е Н (Л х) =
У х\/
= Е Ну).
У
х V у—х*
Решения упражнений
277
Предположим теперь, что f (х) = 0, если только элемент х не лежит в В. Мы утверждаем, что ограничение функции f на множество А определяет функцию f (и, следовательно, функцию f, так как f (х) = = f(0 н(Л х) (из формулы обращения Мёбиуса)).
Мы докажем это утверждение индукцией по длине /(х, 1) интервала [х, 1]. Если х=1, то / (1)==/Л(1), так как по условию 1 е/1. Пусть теперь х< 1. Если хеЛ, то нечего доказывать, так как f (х) = fЛ (х). Поэтому предположим, что х ф. А. Пусть х* — элемент из условия задачи. Тогда
У, f(y) = O (сумма состоит из нулей), У х\/ у=х*
так что
Z f(nn а, х*)=о.
Из индукционного предположения мы знаем значения f(t) при х< t. Так как ц(х, х*)#=0, можем разрешить уравнение относительно f(x). Итак, предложение доказано.
Следовательно, ранг матрицы [£(/, х)]‘^ равен |В]. Поэтому некоторая ]В)X|В] подматрица имеет ненулевой определитель. Ненулевой член в разложении этого определителя определяет инъективную функцию <р: В-*-А, удовлетворяющую условию <р(/)^Л Доказательство закончено.
Этот результат и помещенные ниже приложения содержатся в статье Kung J. Order, 2(1985), 105—112. b. Это стандартные результаты теории решеток; см., например, [5], теорема 13, с. 131), и § IV.6 — IV.7.
с. Возьмем A = Mk и B = Jk в п. (а). Для данного элемента х е L пусть х* есть объединение элементов, покрывающих элемент х. В силу п. (i) из (Ь) имеем р. (х, х*) =/= 0. Далее, из утверждения (ii) получаем, что если элемент х покрывается / элементами решетки L, то х* покрывает j элементов интервала [х, х*]. Пусть y^B = Jk. Тогда из утверждения (iii) получаем [х Л г/, у] = [х, х V у]. Следовательно, х V У х*, так
*) С. 28 перевода. — Прим, перев.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
что условия п. (а) выполняются: отсюда следует требуемый результат.
d. Из п. (с) | Jk |^| Mk |. Так как двойственная к модулярной решетке также является модулярной, мы имеем также | Mk | Jk |, откуда следует требуемый результат. Этот результат был сначала доказан (более сложным способом) в работе R. Р. Dilworth, Ann. Math. (2) 60 1954), 359—364, а затем в статье В. Ganter and I. Rival, Alg. Universalis 3(1973), 348—350.
e. С той же решеткой L, что и в упражнении 37(d), возьмем
А = {х е L: р(х)~^п — k},
B — {x^L\ р(%)<:&}.
Положим х* = 1 для всех хе L. Условие п. (а) легко проверяется, так что, в частности, |В|<;|А|, что и требовалось.
а. Эта дьявольская задача равносильна гипотезе П. Франкеля (см. с. 525 книги Graphs and Order (I. Rival, ed). Reidel. Dordrecht— Boston, 1985).
b. Если это не так, то, как следует из упражнения 37(c), существует перестановка л: L-+L, для которой z Л Лп(х) = б при всех zeL. Но если IVX[> п/2, то Vx П jr(Vx)#= 0 и любой элемент t Vx П л(Ух) удовлетворяет условию /Лл(/)>х.
Можно дать простое прямое доказательство (не использующее функций Мёбиуса) следующего, более сильного результата.
Пусть L — конечная решетка с п элементами, в которой каждый элемент х > 0 является объединением атомов интервала [0, х]. Тогда каждый элемент х > 0 удовлетворяет условию |I7x|^n/2.
Ответ. Если п > 3, то
Scheid Н. J. Comb. Theory 13(1972), 315—331, лемма 5.
а. Г. Зиглер показал (индукцией по /(Р)), что ответ такой:
k
max П (а, - 1) • - - (ак — 1),
Z-1
Решении упражнений 279
где максимум берется по всем разбиениям ai + аз + .. ... + йк — п. Можно показать, что максимум достигается на наборе, в котором все числа, кроме, возможно, четырех, равны пяти. Эта оценка достигается, если Р есть порядковая сумма ... ®я*1®1.
Ь. Можно получить оценку п2~в (для произвольного & > О и достаточно большого и), взяв в качестве L решетку подпространств подходящего конечномерного векторного пространства над конечным полем. Кажется правдоподобным, что п2-в — лучшая возможная оценка. Эту задачу поставил Л. Ловас.
Эту задачу поставил П. Эдельман. Кажется правдоподобным предположение, что максимум достигается на ч.у. множестве Р, являющемся порядковой суммой 1Ф&1Ф&1 ... ... ФМ Ф1 (всего I— 1 копия ч.у. множества £1). Это дает |И(б, f)| = (fe —1/"1. Эдельман, однако, нашел пример, где 1н(б, i)|>(fc-1)'"1.
Нет; пример дается на рис. 3.62. Первый такой пример (несколько более сложный) привел К. Грин (частное сообщение, 1972).
Рис. 3.62.
Для разбиения <т множества V пусть (п) есть число отображений f: V—>[п], таких, что (i) если точки а и b лежат в одном и том же блоке разбиения <т, то f(a) = f(Z>) и (ii), если а и b находятся в разных блоках и {a, b} е Е, то f (а) ф f (6). Для любой функции f: V -> [п] найдется единственное разбиение <т е La, для которого f есть одно из отображений, перечисляемых выражением ха(п). Следовательно, ДЛЯ любого Л е Lo П|Л| — Хя>лХа(Д- Из формулы обращения Мёбиуса: хл(п) = £о>яп|а|ц(п, <т). Но х^(п) = ==%„, откуда и следует требуемый результат.
Эта интерпретация функции %(п) в терминах функций Мёбиуса принадлежит Дж.-К. Рота [26], § 9.
а. Пусть N(,V, X) есть число инъективных линейных преобразований VX. Легко видеть, что N(V, Х) =
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
= IlXi (х — qk). С другой стороны, пусть W есть подпространство пространства V, и пусть (HZ) есть число линейных отображений 0: V->X с ядром W. Пусть F>(W) есть число отображений, ядро которых содержит пространство W. Таким образом, F^fW) = TiW,>wF= (IF'), так что из формулы обращения Мёбиуса получим
N (V, X) = F_ ({0}) = 2 ^(IF') ц (0, W').
Ясно, что F>(lF') = x" а!ти7, в то время как из фор-мулы (28) имеем р(б, 1F) = ( — l)*^' , где k = dim W'. (n \
. I подпространств W' размерно-К /
сти k, получаем
n f k
N(V, X)= £ (~1)V2 k=0
n k)x
b. При подстановке q-+t>, z^>—z и n-+rn в формулу (62), левая часть равенства превращается в (yr — zr)n =
/ tb \ ,
= / (— 1/ j yi’<n~J>zr‘. Сравнивая с правой частью
равенства, получаем
г Т k
п I
. I, k = rj. 1 /
Первое решение. Пусть f (i, п) есть число i-подмножеств множества [п], не содержащих k последовательных чисел. Так как интервал [0, S] в решетке Ln для SeL' является булевой алгеброй, то р(0, S) = (—I)1 I Следовательно, полагая ап — рп (0, 1), имеем
п
-ап=Х (-1)Ч(г, п).
1 = 0
Положим F(x, y) — Yii^o'^n>of(i’n)xtyn- Рекуррентное соотношение
п) = f (i, п — 1) + f (i — 1, п — 2) + ... + f (i — k + 1, n — k)
Решения упражнений
281
(оно получается, если рассмотреть случаи, когда максимальный элемент множества [и] удален из множества S е L'n) окончательно дает
г*? \ 1 + ху + х*у2 4” •.. + ' yk ’
Так как — F (— 1, //) = Е„>(1 мы получаем
-(1 - у + у2 - ... ±yfe-')
1 — у (1 — у + у2 — ... ± yk~')
_ _ 1 + (—1)*-1 у* _
1 + (-l)fe yk+i
= ((-i) + (-Dfe“V) Е (-1/ (-i)ftV(*+”=> />0
ln
— 1, если п = 0, — 1 (mod 2& + 2), (—1)\ если n = k, k + 1 (mod 2k + 2),
. О в противном случае
Второе решение (независимо получено Е. Гримсоном и Дж. Ширером). Пусть а {1} L'n. Двойственная к следствию 3.9.3 формулировка утверждает, что
Е ЛН(0, х) = 0.
xVa=T
Теперь х V а=1 =>х =1 или х = {2, 3, ..., k} U А, где A s s {k + 2, ..., п}.
Легко вывести, что
ап~ (-l)fe-1a„_*-i = 0.
Это рекуррентное соотношение наряду с начальными условиями а0=—1, а£ = 0 при ze[6— 1] и afe = (—l)ft определяет последовательность ап единственным образом. Интервал [d, п\ ч. у. множества L изоморфен булевой алгебре BV(n/d), где v(m) обозначает число различных простых делителей числа ш. Следовательно, p(d, п) — (— l)v(n/d>.
Будем писать d||«, если d^n в L. Для данных функций f, g: Р->С имеем
g («) = Е f (d) при всех «ер
d || п
тогда и только тогда, когда
f(n)= Е g(d) при всех пеР.
d||n
282 Гл. 3. Частично упорядоченные множества
48. а, Ь. Выберем разложение да = £/1 ... gir Пусть Pw есть мультимножество {ib ..., ij, частично упорядоченное следующим образом: ir < is, если r<s и girgis¥=gisgir или если г < s и ir = is. Например, если w = 11324, как на рис. 3.43, то ч.у. множество Pw изображено на рис. 3.63. Можно показать, что / есть порядковый идеал
Рис. 3.63.
ч. у. множества Pw тогда и только тогда, когда для некоторого (или любого) линейного расширения gjL,... ч. у. множества I имеем w = gji ... gjkz
для некоторого ze.M. Легко следует, что LW = J(PW) и выполнение п. (Ь) также получается немедленно. Моноид М был введен и широко изучен в работе Car-tier Р. and Foata D. Lecture Notes in Math., no. 85, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg —New York, 1969. Впервые утверждение, что Lw = (Pw), в явной форме, кажется, было установлено И. Гессель в письме, датированном 8 февраля 1978 г. Этот результат, однако, неявно содержится в упражнении 5.1.2.11 книги Knuth D. Е. The Art of Computer Programming, vol. 3, Addison — Wesley, Reading, Mass. 1973 9- Это упражнение из книги Кнута совпадает в сущности с п. (Ь) нашей задачи, хотя Кнут работает с некоторым представлением элементов моноида М в виде перестановок мультимножеств.
с. Интервалы [и, ида] и [е, да] очевидным образом изоморфны (посредством отображения v-^vx), и из п. (а) следует, что Pw есть антицепь (и, следовательно, интервал [е, да] является булевой алгеброй) в том и только том случае, если да есть произведение г различных попарно коммутирующих образующих gt. Доказательство следует из примера 3.9.6.
Другое доказательство содержится в гл. II. 3 цитированной выше книги П. Картье и Д. Фоата.
*) Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программнровавин для ЭВМ, т. 3. Сортировка и поиск.—М.: Мнр, 1978.
Решения упражнений
283
d. Для w М пусть xw обозначает (коммутативный) моном, полученный заменой в слове w каждого элемента gt на Xi. Ввиду п. (с) мы хотим показать, что
( Е/И S и(е, v)x°] = l.
(66)
Разложите в сумму левую часть равенства (66), возьмите коэффициент при данном мономе х“ и используйте определяющее рекуррентное соотношение (14) для функции ц.
е. Тождества
__________1__________
1 — (Xj + • • • + хп)
И Z •“ Х1‘ • • • V = (1 - X,) . . , (1 - хп)
о1>°
хпп==
соответственно.
[30], теорема 4.1.
Это упражнение принадлежит А. Бьернеру и Р. Стенли. Для данного элемента xeL пусть Dx = J(QX) есть дистрибутивная подрешетка решетки L, порожденная цепью С и элементом х. Л4-цепь С определяет линейное расширение ч. у. множества Qx и, следовательно, отождествление Qx с естественным частичным порядком на множестве [п]. Легко видеть, что L? ft Dx = J (Р Qx). Отсюда легко вытекают все утверждения.
.. Изоморфизм Lk1 (р)Lk*(р) получается непосредственно, а изоморфизм Lk}(p) = Lk} (р) следует из стандартных результатов двойственности в теории абелевых групп (или, более общим образом, теории абелевых категорий). Хорошим элементарным источником здесь является глава 2 книги Hilton Р. J. and Wu Y. С. A Course in Modern Algebra, Wiley, New York, 1974. В частности, функтор, переводящий группу G в группу Homz(G, Z!p°°Z), является обращающей порядок биекцией между подгруппами G индекса рт (при некотором т 0) в группе ZA и подгруппами порядка рт в группе (Z/p00Z)ftsHomz(Z*, Z/p°°Z).
Оставшаяся часть п. (а) решается стандартным способом.
284
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Ь. Следует, например, из того, что каждая подгруппа конечного индекса в группе Zi изоморфна самой группе Z*.
с. Этот результат восходит к Эйзенштейну (1852) и Эрмиту (1851). Доказательство непосредственно получается из теории нормальной формы Эрмита (см., например, § 6 книги Newman М. Integral Matrices, Academic Press, New York, 1972), из которой следует, что каждая подгруппа G индекса рп в группе Z* имеет единственный Z-базис yi, yk вида
yt = {an, ai2, ..., atl, 0 ..., 0),
-1 1
где ait >0, 0 при j < i и ан • а22 • . . . • акк - рп'. Сле-
довательно, число таких подгрупп есть
Ьг+2Ь3+ ... +(k-l)bk _ ( П + k
Р \ к-
Ь1 + ...+Ь*=п
Некоторые обобщения см. в работах Solomon L. Advances in Math. 26(1977), 306—326, и Solomon L. in Relations between Combinatorics and Other Parts of Mathematics (Ray Chaudhuri D. K. ed.), Proc. Symp. Pure Math., vol. 34, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1979, pp. 309—329.
d. Если Xj < ... в решетке Lk(p) и p(xz) = s;, то эле-/ S| -J- k — 1 \
мент xt можно выбрать I |€_j ) способами, сле-
/ s2 — Sj + k — 1 \
дующий элемент x2 — I , I способами и
\ К 1 /
так далее.
e. Слово w = exe2 ... e Nk удовлетворяет условию D (w) S-sS={si, ..., S/}< тогда и только тогда, когда • • •
. . . + 1 . . ., + l i =
= ^sj+2— ... = 0. При фиксированных i и k di+...+dl ( i + k —1 \
P \ k —1 )’
и доказательство легко отсюда следует.
Задача вычисления величин a(Li,S) и (ЗЩ, S), где L), есть решетка подгрупп конечной абелевой группы типа (%ь ..., lfc)=X, более сложна. (В данном упражнении рассматривается «стабильный» случай Х,->оо 1 i k.) Довольно легко можно показать, что выра
Решения упражнений
85
жение |3(Лх, S) есть многочлен от р; используя теорию симметрических функций, можно дать комбинаторную интерпретацию коэффициентов этого многочлена, доказав, что они неотрицательны. Независимое доказательство этого факта — в работе Butler L. Thesis, М. I. Т, 1986.
50. а. Для любого фиксированного элемента р=/=0 ч.у. множества Pi имеем
0 — Е и (б, х) = X ( Е и (б, *) х^у I I
Просуммируем по всем элементам у ранга I — /? > 0 ч. у. множества Ph получив (так как [х, 1] a* Pj)
= Е v(i, j)V (j, k). i
С другой стороны, ясно, что У v(i, j)V (j, i)= 1, и дока-/ зательство закончено.
Этот результат (для геометрических решеток) содержится в статье Dowling Т. J. Comb. Theory (В) 14(1973), 61—86 (Теорема 6).
b. См. М. Aigner, Math. Ann. 207(1974), 1—22, Aigner M. Aeq. Math. 16(1977), 37—50; Stonesifer J. R. Discrete Math. 32(1980), 85—88.
51. Dowling J. Comb. Theory (B) 14(1973), 61—86. Erratum, тот же журнал, 15(1973), 211.
Далеко идущее обобщение этих замечательных «решеток Доулинга» появилось в работе Заславского по графам со знаками (соответствует случаю |G| = 2) и графам напряжений (произвольная группа G). Работа Заславского по вычислению характеристических многочленов и связанных с ними инвариантов опубликована в Quart. J. Math. Oxford (2), 33(1982), 493—511.
/ ft k \
52. Число элементов ранга k равно I I, \ /
I Рп I = (число Фибоначчи), , 1 /2ft \
(—1)" р. (0, 1) = 7; qz~i I п I (число Каталана), число максимальных цепей есть 1 • 3 • 5 • • (2ft— 1).
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Это упражнение принадлежит К. Баклавскому и П. Эдельману.
а. Введем оператор замыкания (определенный в упражнении 30) на решетке Ln, положив G = £(0’1)X • • • Х®^), где ..., Оп есть орбиты группы G, и $(GZ) обозначает симметрическую группу на множестве Gz. Тогда Л„ = Т1„. Выберите в упражнении (33) х = 0 и у = 1; результат следует из формулы (30).
Ь. Обобщение, справедливое для любой конечной группы G, дано в теореме 3.1 статьи Kratzer С. и Thevenaz J. Comment. Math. Helvetic! 59(1984), 425 - 438.
с. Эта формула проверена для п^.7 в работе Wensley С. D. The supercharacter table of the symmetric group S7, preprint (p.ll). Далее ц6(0, 1) = —6!, так что при 3^n^7 имеем рп(б, 1) = (—l)"-11 Aut$„ |/2, где Aut®„ обозначает группу автоморфизмов группы (Хорошо известно, что | Aut<Sra| = n! при п^З, за единственным исключением | Aut<561 = 2 • 61). Венсли впоследствии проверил, что р8(б, f) = -81/2.
а. Ч.у. множество Ап определено в книге [5], гл. 8, упр. 10. Задача подсчета функции Мёбиуса сформулирована в упражнении 13 на стр. 104 этой книги.') (В этом упражнении О нужно заменить на разбиение (Iя-2,2).)
Ь. В статье Ziegler G. On the poset of partitions of an integer, J. Combinatorial Theory (A), 42(1986), 215—222, показано, что An не является ч.у. множеством Коэна — Маколея при п 19 и что функция Мёбиуса не является знакочередующейся при п 111. (Эти оценки не обязательно являются точными.)
Brylawski Т. Discrete Math. 6(1973), 201—219 (Предложение 3.10) и Greene С. A class of lattices with Mobius function + 1, 0, to appear.
а. Эти две формулы иллюстрируют красивую теорию расположений гиперплоскостей, развитую в работе Zaslavsky Т. Mem. Amer. Math. Soc., no. 154, Amer. Math. Soc. Providence R. I, 1975. Дальнейшие работы Заславского на эту тему: J. Comb. Theory (А) 20(1976), 244— 257; Adv. Math. 25(1977), 267—285; Mathematika
28(1981), 169—190; Geom. Dedicata 14(1983), 243—259 и (совместно с C. Greene) Trans. Amer. Math. Soc. 280(1983), 97—126. Эта теория имеет разнообразные приложения к алгебре и геометрии; некоторые из них обсуждаются в работе Cartier Р. Lecture Notes in Math, no
*) Стр. 139 перевода. — Прим, перев.
Решения упражнений
287
901, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1981, pp. 1—22.
b. Этот замечательный результат эквивалентен основной теореме статьи Terao Н. Invent. Math. 63(1981), 159—179. Было бы весьма желательно найти более простое доказательство.
с. Результат о том, что модуль £2 свободен, если решетка сверхразрешима (получен независимо Р. Стенли и X. Те-рао, Advances in Math. 52(1984), 248—258), можно доказать индукцией по v, используя «Removal Theorem» статьи Terao И. J. Fac. Sci. Tokyo (1A) 27(1980), 293— 312, и тот факт, что если решетка Ь = ЦНь ..., Hv) является сверхразрешимой, то для некоторого i е [vj решетка L(Hif Ht-\, Ht+\, ..., //v) также сверхразрешима. Примеры свободного модуля Q при условии, что решетка L не является сверхразрешимой, содержатся в цитированной выше работе и статье Н. Terao, Proc. Japan. Acad. (A) 56(1980), 389—392.
d. Эта гипотеза Орлика — Соломона — Терао, проверивших ее для п < 7. Числа (еь ..., еп) при 3 7 есть
(1,1,2), (1,2,3,4), (1,3,4,5,7), (1,4,5,7,8,10) и (1,5,7,9,10,11,13).
е. На эту гипотезу есть ссылка на стр. 293 работы Terao Н. J. Fac. Sci. Tokyo (1А) 27(1980), 293—312.
f. Terao H. Invent. Math. 63(1981), 159—179 (Предложение 5.5). Как заметил Л. Биллера, это следует из того, что локализация свободного модуля является свободным модулем. Ранее Терао дал более глобокое доказательство. См. теорема 3.8.3 работы Ziegler G. М. Ph. D. thesis. М. I. Т, 1987. Эта диссертация содержит интересный свод алгебраических свойств расположений гиперплоскостей, включая теорию модуля й (X). *)
57. Ответ: Z(P + Q, m) = Z(P, m) + Z(Q, m),
Z(P®Q, m)=ZZ(P, j)Z(Q, rn+1-j), meP, i=i
Z(PXQ, m) = Z(P, m)Z(Q, m).
’) Проблематика, связанная с темой данного упражнения — расположение гиперплоскостей и, более общо, конфигурации аффинных подпространств, в настоящее время получила значительное развитие. См.: Варченко А. Н„ Гельфанд И. М. О функциях Хевисайда конфигурации плоскостей. Функц. анализ 21, № 4, 1987 — в связи с общей теорией гипергеометрических функций; Вершик А. М. Геометрический подход к представлениям частично упорядоченных множеств. Вестник ЛГУ, № 1, 1988 — в связи с классификацией представлений ч. у. множеств; Мнев Н. Е. О топологии многообразий конфигураций данного комбинаторного типа. ДАН СССР, 1985, т. 283, № 6.— Прим. ред.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
По определению Z(Int(P), п) есть число цепей
[*b «/,]<[х2, Z/2]< Скп-ь Уп-у]
интервалов ч. у. множества Р. Равносильным образом, xn-i хп-2 xi У1 Уч • • • ^Уп-\-
Следовательно, Z(Int(P), n) = Z(P, 2п— 1).
Легко видеть, что
Z (Q, n)-Z(Q, п- l) = Z(Int(P), /г).
Положив и = 0 и используя предложение 3.11.1(c) вместе с п. (а), получите, что
Нг(6, 1) = -Z(P, -1) = -(б, 1).
Для любой цепи С ч. у. множества Р пусть ZC(QO, m + 1) обозначает число цепей С{ . ^Ст — С в Qo.
Так как интервал [0, С] в ч. у. множестве Qo является булевой алгеброй, из примера 3.11.2 имеем, что ZC(QO, m-f-l) = mlC|. Следовательно, Z (Qo, т-\-1) = Ec<=Qom|C| = = X aim1, где ч. у. множество Р содержит а( i-цепей, и доказательство следует из предложения 3.11.1.
Ответ, цр (0, 1) = цд (0, 1). Это тождество отражает тот топологический факт, что геометрические реализации конечного симплициального комплекса и его первого барицентрического подразделения гомеоморфны (и поэтому имеют равные эйлеровы характеристики).
Пусть у(Р, S) обозначает число интервалов [г (К), /С], для которых р (г (К)) = S. Если С есть произвольная цепь из ч. у. множества Р с условием p(C) = S, то цепь С содержится в единственном интервале [г (/О, /С], таком что p(r(K)) = S и обратно, интервал [г (7<), X] удовлетворяющий условию p(r(K))sS, содержит единственную цепь С из ч. у. множества Р, такую, что p(C) = S. Следовательно,
Е у (л л=«(д s),
и доказательство следует из формулы (33).
Понятие ч. у. множеств со свойством разбиваемости цепей введено независимо в работах Provan J. S. thesis, Cornell Univ. 1977 (Appendix 4), P. Стенли [37], c. 149, и Garsia A. M. Advances in Math. 38(1980),229—266 (§ 4).
Решений упражнений
2ЗД
(Первые две из этих работ изложены в более общем контексте симплициальных комплексов, а третья работа использует термин «ER-poset» для наших ч. у, множеств со свойством разбиваемости цепей.)
d. Пусть Л: (Р) -> Z есть Р-пометка и К: Ху < ... ... < хп_[ — максимальная цепь в Р, так что 0 = х0 < <%!<... < < хп = 1 есть максимальная цепь ч. у.
множества Р. Положим по определению
r(K) = {xz: X(xz_b x<)>%(xi, xf + 1)}.
По данной цепи С: ух < ... < yk ч. у. множества Р определим К как (единственную) максимальную цепь ч. у. множества Р, состоящую из возрастающих цепей интервалов [0, yj, [1/1, у2], \yk, 1] с удаленными элементами 0 и 1. Легко видеть, что Се[г (К), К] и что К. есть единственная максимальная цепь ч.у. множества Р, для которой С<= [г(К), К]. Следовательно, ч.у. множество Р обладает свойством разбиваемости цепей.
е. Для так называемых «шелушимых» ч. у. множеств (это специальный класс ч.у. множеств Коэна—-Маколея) доказано в трех цитированных в п. (с) работах, что они обладают свойством разбиваемости цепей. Неизвестно, являются ли все шелушимые множества Коэна — Маколея (или ч.у. множества Коэна — Маколея) Р-помечи-ваемыми. С другой стороны, представляется весьма вероятным, что существует Р-помечиваемое ч.у. множество, которое не является шелушимым, хотя этот факт также не доказан. (Два кандидата изображены на рис. (18) и (19) работы [8].) В работе Stanley R. Invent. Math. 68(1982), 175—193, содержится весьма общая гипотеза теории колец (Гипотеза 5.1), из справедливости которой следовало бы, что ч. у. множества Коэна — Маколея обладают свойством разбиваемости цепей.
60. а. Первое доказательство. В работах нескольких авторов (например, Faigle-Schrader, Gallai, Golumbic, Habib, Kelly, Wille) неявно содержится тот факт, что два конечных ч. у. множества Р и Q имеют один и тот же граф сравнимости в том и только том случае, если существует последовательность ч. у. множеств Р = Ро, Рь ..., Р* = = Q, таких, что ч. у. множество Pi+i получено из Р, «переворачиванием вверх дном» (дуализацией) подмножества Т = Р;, для которого каждый элемент хе Pt — Т удовлетворяет условиям (а) х < у для всех у^Т, или
10 Р. Стенлн
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
(Ь) х > у для всех у^Т, или (с) элементы х и у несравнимы для всех у^Т. Первая явная формулировка и доказательство содержатся, по-видимому, в статье Dreesen В., Poguntke W. and Winkler Р. Order 2(1985), 269—274 (Теорема 1). Затем другое доказательство содержится в работе Kelly D. Invariants of finite comparability graphs, preprint. Легко видеть, что ч.у. множества Pi и Р1+1 имеют один и тот же порядковый многочлен, откуда и следует доказательство этого упражнения.
Второе доказательство. Пусть Г (Р, пг) есть число отображений g: Р->[0, tn — 1], в которых £(*!)+ ... + ^(xfe)< — 1 для каждой цепи хх< ... < хк ч. у. множества Р.
Мы утверждаем, что Й(Р, /и) = Г(Р, пг). Чтобы доказать это, для данного отображения g положим
f (*)= 1 + max{g(x,)+ ... +g(Xfe): *i < ... < xk = x}.
Тогда отображение f: Р->-[/п] сохраняет порядок. Наоборот, по данному отображению f положим
g (х) = min {f (х) — f (у): х покрывает у}.
Таким образом, й(Р, пг) = Г(Р, пг). Но по определению функция Г(Р, пг) зависит только от Сот(Р). Это доказательство содержится в работе Stanley R. Discrete Com-put. Geom. 1 (1986), 9—23.
Рис. 3.64.
См. рис. 3.64
Общий обзор по графам сравнимости ч.у. множеств см. Kelley D. in Graphs and Order (I. Rival, ed.), Reidel, Dordrecht—-Boston, 1985, pp. 3—40.
Имеем Q(P, — n) — Z (J (P), — n) —p"(P)(0, 1).
Из примера 3.9.6
ц"(0, Г)= X (-l)lzi“zol+ •••
где сумма берется по всем цепям 0=IQ^lx^ ... Sln=P порядковых идеалов из ч. у. множества Р, таких, что каждое из множеств Ц — Ц~х есть антицепь в Р. Так как IZi —/01 + . . . +1| = Р, то (—1)рцп(0, Г) есть число таких цепей. Но такая цепь соответствует строго
Решения упражнений
291
сохраняющему порядок отображению т: Р-*п, определенному формулой т(х) = 1, если хе/;-^. Доказательство закончено.
Этот результат известен как теорема взаимности для порядковых многочленов-, он впервые опубликован в статье [29], предложение 13.2. Другое доказательство будет дано в следствии 4.5.15; будет представлено также много других доказательств:
Ь. й(р, п) = (—1)рй(р, — п) = пр,
Й(р1, п)
п + р— 1 р
(-I)WI. -п)=[р
Тетраэдр: Z (L, п) = п4,
куб или октаэдр: Z (L, п) = 2п4 — п2, икосаэдр или додекаэдр: Z (L, п) = 5п4 — 4п2.
Случай |i = 0 эквивалентен одному результату из книги MacMahon Р. A. Combinatory Analysis, vols. 1, 2, Chelsea, New York, 1960 (положите х=1 в неявной формуле для GF(pltp2, ..., pm',n)), на стр. 243 и часто переоткрывался в разных обличиях. Общий случай содержится в работе Kreweras G. Cahiers du BURO, no. 6, Institut de Statistique de L’Univ. Paris, 1965 (Section 2.3.7); он является частным случаем (после построения простой подготовительной биекции) теоремы 2.7.1.
Ответом предположительно является «нет», хотя проверено, что утверждение верно при п 6.
Пусть 1 k п. Определим в алгебре инцидентности 1(Р) функцию ц* формулой
( 1, если р (у) — р (х) = k, Пь(х, у) = \ п
( 0 в остальных случаях.
Из самодвойственности интервала [х,у] следует, что у) = r\kT\i(x, у) для всех пар / и k, так что функции т|/ и ц*. коммутируют. Но
а(Р, S) = nnin„2_ni ••• n„_„s(0, Г).
Доказательство вытекает из того, что все функции тр- можно произвольным образом переставить,
10*
292
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
66. Имеем NXN = Jf(Q), где элементы ч. у. множества Q есть < х2 < ... и ух < у2 < .... Рассмотрим ч. у. множество Q как подмножество вполне упорядоченного множества, в котором Xt<_yj для всех пар i, j. Из теоремы 3.12.1 (распространенной очевидным способом на финитарные дистрибутивные решетки) имеем, что число ₽(NXN,S) равно числу линейных упорядочений и1; ц2, Vi, v2, ... ч. у. множества Q, таких что элементы xt стоят в возрастающем порядке, элементы у; расположены в возрастающем порядке, а за элементом yi непосредственно следует элемент X/ в том и только том случае, если у, = Uk, где fee S. Поэтому элементы щ........ит, можно выбрать в качестве элементов xi, xt, у\.......Ут,-1 —1) mi способа-
ми. Тогда umi+i = Xi+i, а элементы ит.+2, ит2 можно выбрать т2— — 1 способами и так далее, что и дает тре-
буемый результат.
Менее комбинаторное доказательство содержится в работе [29], предложение 23.7.
67. а. Пусть «6 = S|S|=fea(^> 3). Теперь Z (Р, т) есть число мультицепей О = хо^х1 ... ^хт— 1. Такую мультицепь К можно получить, выбрав сначала цепь С: 0 < ух <... ... < yk< 1 ak способами, а затем выбрав мультицепь К, носителем которой (подстилающим множеством) является // /? —{— 2 \\ / т \
цепь С, I I , , I I = I , , . I способами. Следова-
\\m—1 —«7/ \л+1/
тельно, Z (Р, = 1 т’ е‘ 0) —“fe-
ll. Разделим обе части требуемого равенства на (1—x)n+1 и возьмем коэффициент при хт. Нам нужно показать, что z(P.m)=X₽,(—') /-( _-_j)-£₽,( „ ).
/ ' 1
Теперь
2 Е г)=
|S|=£ T^S
V""' /* 1 \
1 1П-/
Решения упражнений
293
Следовательно, из п. (а)
/(л
Но
( т \ — 1 — / Ч
2и\&+1/\п — 1 — k ) «
₽/•
yf т \/п-1-/\_ 4-'Л^+1/\.П — 1— k )
я
п-\-т — j — 1 п
(в частности, из примера 1.1.17), и доказательство закончено.
Можно дать более элементарное доказательство в следующем направлении. Введем переменные /ь ..., tn_x и для подмножества S£[n-1] запишем ^=Пге5^. Далее, для мультицепи К: %] ... ^хт ч. у. множества
Р — {б, 1} напишем /к= IXt=i (•»/)• Легко видеть, что
Е^=Е“<«(П-Л-)=
К S \i<=S /
E₽<SHs s
— ... (!-/„_,) •
Положив tt=x и умножив на (1 — х) 2 (что соответствует присоединению элементов 0 и 1), получим (а) и (Ь).
Замечание. В разд. 4.3 обсуждается производящая .функция Ет>о/ х>п и> в частности, ее представление в виде W (х) (1 — х)~п~1 в случае, если / — произвольный многочлен степени п. Поэтому данное упражнение можно рассматривать как «нахождение» функции W (х) при f (т) =
~ Z (Р, т).
Из определения многочлена %(Р, q) имеем
Е И(6, х) =
р(х)=Л
р= Е и (б, х) — Е и (б, х).
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
Пусть ц$ обозначает функцию Мёбиуса S-рангово выбранного ч.у. подмножества Ps ч.у. множества Р, как в разделе 3.12. Тогда из определяющего рекуррентного соотношения (14) для функции ц получаем
Wk = — Ц[*] (6> 0 + И[А-1] (0,1).
Доказательство следует из формулы (34).
В случае k = 1 некомбинаторное доказательство п. (а) впервые получено в статье Kreweras G. Discrete Math. 1(1972), 333—350. Затем комбинаторное доказательство было получено в работе Poupard Y. Discrete Math. 2(1972), 279—288. Случай произвольных чисел k и п. (с) и (d) рассмотрены в статье Edelman Р. Discrete Math. 31 (1980), 171— 180. См. также Edelman Р. Discrete Math. 40(1982), 171—179. Конечно, п. (Ь) следует из п. (а), если взять п = 1 и п — —2, а п. (е) следует из п. (d), если положить S ={t — т} и S = [0, t — 2]. Разбиения л, обладающие свойством (ii), называются непересекающимися разбиениями. Дальнейшие результаты о непересекающихся разбиениях содержатся в статьях Prodinger Н. Discrete Math. 46(1983), 205—206, и Dershowitz N. and Zaks S. Discrete Math. 62(1986), 215—218. а. Утверждение, что интервал [x, у} содержит одинаковое число элементов нечетного и четного рангов, равносильно тому, что Х2е=[Х yl(-l)₽(2,-₽W= 0. Доказательство теперь легко следует из определяющего рекуррентного соотношения (14) для функции ц.
Ь. Аналогично предложению 3.14.1.
с. Если п нечетно, то из п. (Ь)
Z(P, m) + Z(P, — m) = — m ((—1)" цР (б, f) - 1).
Левая часть равенства есть четная функция от т, в то время как правая часть четна в том и только том случае, когда Цр (0, 1) = (—1)га. (Существует много других доказательств.)
d. Из предложения 3.8.2 ч. у. множество Р X Q является эйлеровым. Следовательно, каждый интервал [z', z] ч. у. множества R с условием z'=t=0R является эйлеровым. Таким образом, в силу п. (а) достаточно показать, что для любой пары z = (x, у) > 0р в R имеем
X (- 1)P*(2'J = 0, г'<г
Решения упражнений
295
где рд обозначает ранговую функцию в 7?. Так как для любого /#=0я имеем ря (/) = рр х Q (0 — L т0
и <2
В PXQ
£ (_ l)PQ(P')-1 +
Ор^х'<х QQ^y'^y
в Р в Q
Ц_ (_ IjPPXQpPxQ)-1 _j_ (_ 1)₽Р (°Я) =
= 0—1 — 14-14-1=0.
Дальнейшую информацию, относящуюся к ч.у. множеству 7?, см. в статье Bennett М. К. Rectangular products of lattices, Abstracts Amer. Math. Soc. 6 (October, 1985), 326—327.
Ответ: p (P, S) = 1 для всех S = [п].
Из упражнения 67 (b)
£ Z(Pn, m)xm
m > 0
_ x (1 + x)n ~ (1 - x)n+2
(можно обратиться также к упражнению 5.7).
Запишем fn = f(Pn, х), gn = g(Pn,x).
Рекуррентное соотношение (43) дает
/„ = (х - 1)" + 2 Е ё1 (х — 1 )ге-1 (67)
г=о
Уравнения (42) и (67) вместе с начальным условием fo = go = 1 полностью определяют функции fn и gn. Вычисляя несколько первых значений, приходим к догадке:
Нетрудно проверить, что эти многочлены удовлетворяют необходимым рекуррентным соотношениям.
Заметьте также, что g2m = (1 — x)g2m-i и f2m+i = = (l-x)2m(l + x).
Гл. 3. Частично упорядоченные мнбжёстЭД
Пусть С„ = {(хь .... хп) е R": 0;< xt < 1} — n-мерный куб. Непустая грань F куба Сп получается, если выбрать подмножество Т г [п], функцию ср: Т ->[0, 1] и положить
F {(х,...х„)еСя: х£ = ср(г), если i (= Т}.
Пусть грань F соответствует интервалу [<р_ 1 (1), <p-1(l)(J U (И —Г)] булевой алгебры Вп. Это дает требуемую (сохраняющую порядок) биекцию.
Обозначим элементы ч. у. множества Л, как на рис. 3.65. Пусть грань F определена, как и выше, и ей соответствует n-набор (у1г ..., i/jeA", где ^ = <р(0, если i е Т, и Hi = u, если i&T. Это дает требуемую (сохраняющую порядок) биекцию.
U
Рис. 3.65.
Обозначим два элемента ч. у. множества Рп ранга i посредством at и b{, Сопоставим с цепью zt<
<z2<...<zk ч. у. множества Рп — {0, 1} п-набор (Уь • • Уп)^ An следующим образом:
'О, если некоторый элемент Z]=at,
= л 1> если некоторый элемент zi=^bL,
к и в других случаях.
Это дает требуемую биекцию.
Следует из п. (с), упражнения 70(a) и [38], теорема 8.3.
С тем же ч.у. множеством Л, как и в п. (Ь), имеем Z(A, m) = 2m— 1, так что из упражнения 57 Z(A", т) = = (2m — 1)". Легко вывести, что
Z(L„, т) = 1п + Зя + 5п+ ... +(2m-l)tt.
1 f n\f 2n — 2k\ k
Ответ: g(Ln, = k+n
(получено в сотрудничестве с И. Гессель).
Этот результат вывел из п. (f) Л. Шапиро (частное сообщение) .
Разными авторами показано (не опубликовано), что для торического многообразия Х(^), ассоциированного с мно
Решения упражнений
297
гогранником ф, функция f(L, q2) есть многочлен Пуанкаре (средних) когомологий пересечений многообразия X(fP). Но когомологии пересечений, рассматриваемые как модуль над кольцом сингулярных когомологий, удовлетворяют сильной теореме Лефшеца, из которой следует, что коэффициенты многочлена f(L,x) унимодальны. Основные факты о торических многообразиях и сильной теореме Лефшеца см. в статье Stanley R. in Discrete Geometry and Convexity (J. E. Goodman et. al.,eds.)> Ann N. Y. Acad. Sci. (1985), pp. 212—223. О (ко) гомологиях пересечений см. Goresky М. and MacPherson R. Topology 19(1980), 135—162, и Invent. Math. 72(1983), 77—129. Дальнейшую информацию по поводу этого упражнения см. в работе Stanley R. Generalized /i-vectors, intersection cohomology of toric varieties, and related results, in Proc. U.S. — Japan Joint Seminar on Commutative Algebra and Combinatorics (M. Nagata, ed.), North-Holland, to appear.
73. Решетка Lnd есть в действительности решетка граней некоторого выпуклого многогранника С(п, d), называемого циклическим многогранником. Следовательно, из предложения 3.8.9, решетка Lnd является эйлеровой. Данное в задаче комбинаторное описание решетки Lnd называется «условием четности Гейла». См., например, McMullen R. and Shephard G. C. Convex Polytopes and the Upper Bound Conjecture, Cambridge Univ. Press, 1971, p. 85, или c. 62 книги [20] ’). Можно дать также прямое комбинаторное решение, избегающее всякого упоминания выпуклых многогранников.
74. Пусть Р = {хь ..., хп}, и положим
^ = {(“1, •••> ara)eRra: 0<a4sCl и xt xt =>at a,}.
Тогда 0 есть выпуклый многогранник, и нетрудно показать (впервые на это указано в работе Geissinger L. Proc. Third Carribean Conf, on Combinatorics, 1981, pp. 125—133), что решетка Г(Р) изоморфна двойственной к решетке граней многогранника & и, следовательно, Г(Р) есть эйлерова решетка. Дальнейшие сведения о многограннике & см. в работе Stanley R. J. Disc, and Comp. Geom. 1(1986), 9—23.
75. a. Pn есть порядок Брюа на группе ©я. Его можно обобщить на случай произвольных групп Кокстера. Было показано в этом контексте, что Рп — эйлерово ч.у. множество в ра-
*) Читатель может также обратиться к монографии Емеличев В. А., Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники, графы, оптимизация (комбинаторная теория многогранников). — М.: Наука, 1981. См. также Брёистед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. — М.: Мнр, 1988, с. 137.— Прчм. перед.
Гл. 3. Частично упорядоченные множества
ботах Verma D.-N. Ann. Scient. Ес. Norm. Sup. 4(1971), 393—398, и Deodhar V. V. Invent. Math. 39(1977), 187— 198. Далеко идущее топологическое обобщение содержится в статье [9]. Обзор порядков Брюа дан в работе Bjorner A. Contemp. Math. 34(1984), рр. 175—195.
b. Следует из следствия 3 на с. 185 цитированной работы А. Бьернера.
с. Edelman Р. Н. Geometry and the Mobius function of the weak Bruhat order of the symmetric group, preprint (Теорема 1.3).
d. Впервые этот результат доказан в статье Stanley R. European J. Combinatorics 5(1984), 359—372 (Следствие 43). Последующие доказательства анонсированы в работах Edelman Р. Н. and Greene С. Contemporary Math. 34(1984), 155—162, и Lascoux A. and Schiitzenberger M. —P., Acad C. R. Sc. Paris 295, Serie 1(1982), 629—633. Доказательство первых двух авторов опубликовано в статье Edelman Р. Н. and Greene С. Balanced tableaux Advances in Math., 63(1987), 42—99.
Ч.у. множество P является интервалом ч.у. множества нормальных слов, введенного в статье Farmer F. D. Math. Japonica 23(1979), 607—613. Как заметили авторы статьи [10], § 6, ч.у. множество всех нормальных слов над конечным алфавитом S={$i, ..., $«} есть в точности порядок Брюа группы Кокстера 1F = (S: $2=iy Следовательно, ч.у. множество Р является эйлеровым ввиду результата Верма— Деодара, упомянутого при решении упражнения 75. Можно также дать прямое доказательство.
Bayer М. М. and Billera L. J. Inv. Math. 79(1958), 143—157 (Теорема 2.6).
Обзор результатов на близкую тему см. в работе Bayer М. М. and Billera L. J. Contemp. Math. 34(1984), 207— 252.
а. Пусть [x, y\ — (n+ 1) —интервал ч. у. множества Р, и z есть коатом (элемент, покрываемый элементом у) интервала [х, у]. Тогда интервал [х, у] содержит А(п-{- 1) = = В(п+1)/В(и) атомов, а интервал [х, z] содержит А (и) = В (п)/В (п—1) атомов. Так как каждый атом интервала [х, г] является атомом интервала [х, у], имеем A(n-f-l)^A(n), откуда следует доказательство.
Ь. Ч. у. множество на рис. 3.66 могло бы быть 4-интервалом биномиального ч.у. множества, в котором В(п) = = Fi-F2 ... Fn.
а. [12], предл. 9.1. Этот результат доказывается полностью аналогично теореме 3.154,
Решения упражнений
299
Ь, с. [12], предл. 9.3.
80. Так как обозначения становятся несколько беспорядочными, проиллюстрируем доказательство примером ai=0, 02 = 3, аз = 4, т = 6. Пусть
Sn = {6i, 6i + 3, 6i + 4: 0 < n},
S' = sn u {6n}, S" -=Sn0 {6n, 6ra + 3}.
Пусть P — биномиальное ч.у. множество В всех конечных подмножеств множества N, упорядоченных по включению, и
Рис. 3.66.
пусть ps(n)— функция, определенная в разделе 3.16. Тогда из теоремы 3.12.1 имеем
(-1)" fi (п) = (6га) := g{ (га),
(-l)n+If2(n) = Hs' (6п + 3):==^2(га), п
(- l)n+2 h (п) = (6га + 4) := g3 (га).
п
Из определяющего рекуррентного соотношения (14) для функции ц имеем
га > 0,
300
Гл. 3. Частично упорядоченные Множества
*<-»—£(6л +4) * <0 - Z ( «t з ) * в “ (ЗЛ 6г ) г=<Д6г + 3'
Эти формулы можно переписать (положив также gj(O) = =1) в виде
& ... . ( 6п \ ... , / 6n \ ...1
^°л—I г.. )ёГ1(г)Ч-( „ 1^2(0 +( . 1£з(*) |>
^|Д6г J \ 6г + 3 / \ 6г 4-4/ J
а V1 IV 6/г 4-3 \ ... 7бп4-3\ ... /6п4-3\ ...I
° = Х 2- Н1(г)+ «-То &(* + „.; . кз(о >
м1\ 6г / \ 6г 4- 3 / \ 6г 4- 4 / J
а ГГ/'®П+^ /а । /6га-|-4\ ... /би4-4 \ ...I
° = Х J с-То ^0) + „,Т. &(* •
L\ 61 ) V 6г 4- 3 / V 6г 4- 4 ) J
Умножая эти три уравнения на ^"/(бп)!, х6п+3/(6п 4-3)! и х6га+4/(6п 4* 4)! соответственно и суммируя по п^О, получаем
^Фо Ч- ^Фз + ^зФг= । >
/4Ф3 4- Г2Ф0 4- ^зФз = 0,
+ ^2®i + ^зФо = 0>
что и требовалось. Читателю остается проверить, что в общем случае можно действовать тем же способом. Заметьте, что можно заменить функцию f*(n) более тонким рядом Хл?г(п), где л пробегает множество всех перестановок, перечисляемых функцией ffe(n); взяв просто вместо ч.у. множества В ч.у. множество В(<?) и поэтому везде заменив а!
(а \ /а \
на I I •
Другой подход к этой задаче дан в статье Jackson D. М. and Goulden I. Р. Advances in Math. 42(1981), 113—135.
81. a. [35, Лемма 2.5]
Примените теорему 3.15.4 к п. (а). См. [35, следствие 2.6]. Рассмотрите в п. (b) Р = В (q) и заметьте, что из теоремы 3.12.3 имеем Gn(q, /) = (— 1)гаЛ(п) |^_г Более общий результат содержится в работе [35, следствие 3.6].
Глава 4
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
4.1. Рациональные степенные ряды от одной переменной
Теория биномиальных ч. у. множеств, представленная в предыдущей главе, в изрядной степени проливает свет на смысл производящих функций и сводит перечислительные задачи определенного типа к шаблонному вычислению. Однако к более сложным задачам такой подход едва ли применим. В этой главе мы будем в основном заниматься другими средствами, позволяющими находить и изучать производящие функции. Сначала рассмотрим простейший общий класс производящих функций, а именно рациональные производящие функции. В этом разделе мы сосредоточимся на рациональных производящих функциях от одной переменной, т. е. производящих функциях вида F(x) — — ^П>й1(п)хп, которые являются рациональными функциями в кольце С[[х]]. Это означает, что существуют такие многочлены Р(х), Q(x)sC[x], что F(x) = P(x)Q(x)~l в С; [ [х] ]. При этом предполагается, что Q (0)^=0, так что Q(x)-1 существует в С,[[х]]. Основное с точки зрения теории перечисления свойство рациональных функций в кольце С [ [х] ] заключается в следующей теореме.
4.1.1. Теорема. Пусть фиксирована последовательность аьосг,... ..., ad комплексных чисел, причем 1 и <ха ¥= 0. Для функции f: N -* С следующие условия равносильны-.
’• 2 = (1)
п>0
где Q(х) = 1 + сцх + а2х2 + ... + adxd, а Р(х) — многочлен от х, степень которого меньше d.
it. Для всех п^О выполняется соотношение
f(n + d) + aj (n + d — 1) + a2f (n + d — 2) + ... + adf (n) = 0. (2)
iii. Для всех n^Q выполняется соотношение
k
f{ti)='^Pi{n)ynt, (3)
302
Гл. 4. Рациональные производящие функции
где 1 + ахх + с^х2 + • • • + = П/=1 (1 — числа yz
различны, а степень многочлена РДп) от переменной п меньше di.
Доказательство. Зафиксируем многочлен Q(x)=l+ai%+ ... ... + aaxd и введем четыре векторных пространства:
V\ = {f'. N->C: f удовлетворяет соотношению (i)},
E2 = {f: N->C: f удовлетворяет соотношению (ii)},
И3 = {f: N->C: f удовлетворяет соотношению (iii)},
У4 = {/: N->C:
для некоторых многочленов ОДх) степени меньше di, где у,- и dt имеют тот же смысл, что и в условии (iii)}.
В представлении (i) мы можем выбрать d коэффициентов многочлена Р{х) произвольно. Следовательно, dim Vi — d. В решении f системы (ii) мы можем выбирать значения f(O),f(l),... ..., f(d— 1), после чего остальные значения f(n) определяются однозначно. Следовательно, dim У2 = d. В представлении (iii) мы можем выбрать коэффициенты многочленов Р,(п) произвольно (их общее число равно d). Следовательно, dim У3 = d. Для функции f е V4 произвольно могут быть выбраны d коэффициентов Gi(x), ..., Gk(x), откуда следует, что dim V4 = d.
Если f <^Vто, приравнивая коэффициенты при хп в тождестве Q(x) ^n>of (п)хп = Р(х), убедимся, что f е У2. Благодаря совпадению размерностей Vi = V2-
Приводя сумму Gf (х) (1—fiX)~di к общему знаменателю, мы видим, что V4sV1. Поскольку dim = dim V4, отсюда следует, что — V4.
Заметим, что упомянутая сумма дробей является конечной линейной комбинацией дробей вида х'(1—ух)-с, где j < с. Имеет место разложение
.(с + п-\-]\
Поскольку 1 __। I — многочлен от п степени с — 1,
отсюда следует включение V4 s V3. Благодаря тому, что dim V3=dimV4, мы приходим к выводу, что V3=V4(=V1 = V2)- □
Прежде чем обратиться к некоторым интересным вариантам и частным случаям теоремы 4.1.1, мы на типичном примере
4.1. Рациональные степенные ряды от одной переменной
303
покажем, как в комбинаторике появляются производящие функции.
4.1.2. Пример. Пусть f(n)— число п-звенных ломаных (путей) на двумерной решетке, не имеющих самопересечений, звенья которых имеют тип (1, 0), (—1,0) или (0, 1). Например, f (2) — 7, что видно из рис. 4.1. Эквивалентная формулировка задачи получится, если мы положим Е = (1,0), № = (—1,0), У =(0,1) и поставим вопрос о числе слов вида AtA2 ... Ап, где каждое
О О 0 0 0 о о
Рис. 4.1.
А, — это £, W или N, причем комбинации EW и WE не встречаются. Пусть п 2. Ровно f(n— 1) слов длины п кончаются на N, еще f(n— 1) слов длины п оканчиваются одной из комбинаций ЕЕ, WW или NE. Наконец, f(n — 2) слов длины п кончаются на NW. Разумеется, любое слово длины п 2 оканчивается одной из комбинаций N, ЕЕ, П7Ц7, NE или NW. Следовательно,
f(n) = 2f(n-l) + f(n-2), f(0) = l, f(l) = 3.
По теореме 4.1.1 существуют такие числа А и В, для которых %n>Qf(n)xn = (A + Вх)/(1 — 2х — х2). Сравнивая коэффициенты, скажем, при 1 и х, обнаружим, что А = В= 1. Таким образом,
X I х" = 1 -2х-х2 •
Разложим знаменатель: 1 — 2х — х2, = (1 — (1 + л/2) х) X X (1 — (1 — д/2_)х). Снова по_ теореме 4.1.1 мы получим, что f (п)==а(1 + д/2)Л+ &(1 — л/2)" для некоторых чисел а я Ь. Подставлящ например, п = 0, 1, находим их: а = (1 + д/2)/2, /> = (1 — д/2)/2. Следовательно,
fw-jKi + VJr' + d-V?)"'].
Отметим, что если не требовать, чтобы пути не имели самопересечений, то получатся Зга путей из п шагов вместо приблизительно (1+72)" = (2.414 ...)" шагов в случае путей без самопересечений,
304 Гл. 4. Рациональные производящие функции
4.2. Дальнейшее развитие теории
В этом разделе мы обсудим ту дополнительную информацию, которую удается извлечь из теоремы 4.1.1. Сначала мы приведем непосредственное следствие по поводу возможностей «упростить» формулы (1), (2), (3).
4.2.1. Следствие. Пусть функция f: N-*-'C удовлетворяет любому из равносильных условий теоремы 4.1.1. Следующие условия, формируемые в обозначениях этой теоремы, равносильны-1. Р(х) и Q(x) взаимно просты. Другими словами, невозможно
сокращение дроби Р (x)/Q (х) = Pt (x)/Q( (х), где Р{, Qt —многочлены и deg Q, < deg Q = d.
ii. He существует такого целого числа с, Q^.c^.d, и таких комплексных чисел р1........рс, что
f(n + c)+pj(n + c-l)+ ... +pcf(n) = O
для всех п 0. Иными словами, (2) является однородным линейным рекуррентным соотношением для f(n) наименьшего порядка.
Hi. deg Pt (n) = dt — 1 для
Далее мы будем рассматривать коэффициенты любой рациональной функции P(x)/Q(x)e,C[[x]], т. е. не обязательно удовлетворяющей условию deg Р <. deg Q.
4.2.2. Предложение. -Пусть f: N->C, и пусть (п) хп — = P(x)/Q(x), где Р, QeC[x], Тогда существует единственное множество Ef cN (называемое исключительным множеством для функции f) и единственная такая функция ff. Е^С, что функция g: N->C, определенная соотношением
( f (п), если п 0 Ef,
I f (п) + Л(п), если n^Ef,
удовлетворяет равенству ^n>og(n)xn = R(x)/Q(x), гдеР«=С[х] и degP<degQ. Более того, в предположении, что Ef^0 (т. е. degP^degQ), положим m(f) — max {i: i Ef}. Тогда i. m (f) = deg P — deg Q.
ii. tn (f) — наибольшее целое n, для которого соотношение (2) не выполняется.
iii. Пусть, как в теореме 4.1.1, Q(x) = U*(l — У/х)\ a Pi, ..., Pk — те единственные многочлены Pi, ..., Pk, для которых равенство (3) справедливо для всех достаточно
4.2. Дальнейшее развитие теории
305
больших п. Тогда m(f) —наибольшее целое п, для которого (3) не выполняется.
Доказательство. Применение алгоритма деления многочленов от одной переменной к многочленам Р(х) и Q(x) позволяет найти (определяемые единственным образом) многочлены L(x) и R (х), deg R <. deg Q, для которых
JLW. — l (х) + (4)
Q (х) ь w + Q (х) ' w
В таком случае мы должны определить Ef, g(n) и fi(n) формулами:
Е = CL(x)+=0}, £
п>0
откуда сразу следует доказательство. □
Теперь мы опишем метод, который позволяет быстро найти коэффициенты рациональной функции Р (x)/Q (х) = > 0 f (п) х",
практически угадывая их. Предположим, не умаляя общности, что Q (х) = 1 + адх + ... + adxd, и положим Р (х) = р0 + + р1х + ... + рехе (возможно, что e^d). Приравнивая коэффициенты при х" в равенстве
QW = S f(n)x" = P(x), n>0 получаем
f (n) = —aj(n —1) — ... — adf(n — d) + Pn, (5)
где мы считаем, что f(k) = 0 при k < 0 и pft = 0 при k > /. Вид рекуррентного соотношения можно легко угадать (по крайней мере для небольших значений d и a(j. Например, пусть ₽ (х) /Q (х) = (1 — 2х + 4х2 — х3) / (1 — Зх 4- Зх2 — х3). Тогда
f(O) = po=l,
f(l) = 3f(0) + p, = 3-2=l,
f (2) = 3/(1) — 3/(0) + р2 = 3 — 3 + 4 = 4,
f(3) = 3f(2)-3f(l) + f(0) + p3=12-3+ 1-1=9,
F (4) = 3f (3) - 3/(2) + f (1) = 27 - 12 + 1 = 16,
f (5) = 3f (4) - 3f (3) + f (2) = 48 - 27 + 4 = 25,
и так далее. Последовательность 1,1,4,9,16,25, ... подозрительно напоминает f(n)=n2, за исключением /(0)=1. В самом деле, исключительное множество £/={0} и P(x)/Q(x) = 1 + (х + х2)/
306 Гл. 4. Рациональные производящие функции
(1 — х)3 = 1 + В разделе 4.3 мы обсудим случай, ко-
гда f(n) — многочлен, и, в частности, когда f(n)==nk.
Предложение 4.2.2 (i) объясняет смысл разности degP— — degQ в случае, когда deg Р^ deg Q. Что касается случая, когда degdegQ, то его лучше комментировать на языке своего рода теоремы двойственности. Если ^n>Qf (п)хп — = P(x)/Q(x) и degР< degQ, то имеют место формулы (2) и (3). Каждая из них может быть использована для расширения области определения функции f на отрицательные значения п. Пользуясь рекуррентным соотношением (2), мы можем (благодаря предположению, что =И= 0) двигаться назад, последовательно подставляя значения п=—1 —2...Получается, что
существует единственное продолжение f на все множество Z, удовлетворяющее соотношению (2) для всех neZ. Если прибегнуть к формуле (3), то мы можем просто подставлять отрицательные значения п в правую часть. Легко убедиться, что эти два продолжения f на Z совпадают.
4.2.3. Предложение. Пусть deN и а1( .... а^еС, причем аа ¥= 0. Предположим, что функция f: Z -> С удовлетворяет соотношению
f(n + d) + aif(n+d— 1)+ ... +adf(n), n<=Z.
Рассмотрим рациональную функцию £ln>of(n)xn = — F(x). Имеет место равенство рациональных функций:
Z(т)-
Доказательство. Пусть 7?(х) = P(x)/Q(x), где Q(x)=l + + aix+ ••• + <XdXd. Обозначим через 2? комплексное векторное пространство всех рядов Лорана SnG=zanx"> В этом пространстве нет разумного понятия произведения формальных рядов, однако каждый ряд Лорана можно умножить на многочлен Q(x). Получим линейное преобразование 2 —^~2, задаваемое таким умножением. Условие, наложенное на функцию f, означает, что
QW Ej(n)xn = o.
Из линейности умножения на Q(x) следует, что
QW S f(-n)x-n = -Q(x) Z f(n)xn = -P(x).
4.2. Дальнейшее развитие теории
307
Подставляя 1/х вместо х, получим требуемое тождество:
£/(-»)*"-------=
n> 1
Читатель может сам убедиться, чтобы снять возможные подозрения, что все шаги приведенного доказательства поддаются строгой проверке. В частности, заметим, что векторное пространство 3? включает в себя два кольца С [ [х] ] и {Sn<„0«nxn}> пересечение которых совпадает с С [х]. □
Предложение 4.2.3 помогает объяснить значение некоторых свойств рациональной функции P(x)/Q(x).
4.2.4. Следствие. Пусть и ои, .... а^е С, причем а</=£0. Предположим, что функция f: Z -> С удовлетворяет соотношению
f(n + d) + aj(n + d-l)+ ... +ad/(n) = 0
для всех n^Z, т. е. En>of (п) хп = Р (x)/Q(x), где Q(x) = = 1 + сцх + ... + adxd, причем deg Р < deg Q. Пусть Р (х)=
= ₽о+ ₽!•*+ ••• +
1. min{neN: f (и) #= 0} = min {/е N: Р/У=0).
Более того, если г — значение этого минимума, то f (г) = ₽г.
Н. min{neP: f (— n) =/= 0} = min {j <= P: pd_/ #= 0} = deg Q — — deg P.
Более того, если s — значение этого минимума, то f (— s) = = ~ ad ^d-s’
iii. Пусть F (x) = P (x)/Q (x), а числа г и s —такие, как выше. Тогда F (х) = ± xr~sF (1/х) тогда и только тогда, когда f (и) = — ± /(— п + г — s) для всех n^Z.
Доказательство. Если
Р (X) = + fW'+' + • • • + Pd-l^-1,
то P(x)/Q(x)= pfxr+ ..., и, таким образом, соотношение (i) верно. Если
р W = ₽d-sXd-S + Pd-s-lXd-s-1 + ... + Ро.
то благодаря предложению 4.2.3 получаем
V \ « - Р(1/х) - Pd-X~(d~s)+•••+Ро .
»>/ П Х QWX>> l + ajx-1-!- ... +adx~d
_ ....
1 + ad_IadIx + ... +ad‘xd
308 Гл. 4. Рациональные производящие функции
откуда вытекает условие (ii). Наконец, условие (iii) непосредственно следует из предложения 4.2.3. □
Следствие 4.2.4 (ii) отвечает на поставленный выше вопрос о значении разности deg Q — degР в случае правильной дроби P/Q.
Ясно, что если F(х) и G(x) — рациональные степенные ряды из С [ [х] ], то ряды aF(x) + pG(x) (a, ₽ е С) и F(x)G(x) тоже рациональны. Более того, если F(x)/G (х) е С [ [х] ], то F (x)/G(х) — рациональный ряд. Возможно, несколько менее очевидна замкнутость семейства рациональных степенных рядов относительно операции произведения по Адамару. Такое произведение для степенных рядов F (х) = >0 f (п) хп и G (х) = '£Jtl>og(п) хп определяется формулой
(F*G)(x) = Е f(n)g(n)xn.
4.2.5. Предложение. Если F(x) и G(x) — рациональные степенные ряды, то к этому классу относится и их произведение Ада-мара (F*G)(x).
Доказательство. Из теоремы 4.1.1 и следствия 4.2.2 следует, что степенной ряд И (x) = S„>0/i(n)x'i является рациональным в том и только том случае, когда h(n) = Для Д°‘
статочно больших п, где ...........— фиксированные ненулевые комплексные числа, а ............Rm — фиксированные многочлены от п. Тогда коэффициенты рядов F (х) = (п) хп
и G(x) = 2}ra>og(n)x'1 имеют вид 'Цп) = Pt (и) у" и g(n) — Иi=i Qi (п) 6/ при достаточно больших п, откуда
f(n)^(n)=5JP<(n)Q/(n)(YAr,
что означает рациональность ряда (/7»G)(x). □
4.3. Многочлены
Важным классом функций f: N-*C, для которых производящая функция ^n>Qf (п) хп рациональна, является класс многочленов. Для этого класса можно сформулировать следующее следствие из теоремы 4.1.1.
4.3. Многочлены
309
4.3.1. Следствие. Пусть f: N-»-C, deN. Следующие три условия эквивалентны'.
i. У = —Р(х).+ -
где Р (х) е С [х] и deg Р ^.d.
11. Для всех
X (- i)d+1-< (d+1 W+o=o. i=o \ i /
Иными словами, №+'}(п) = 0.
iii. f(n) является многочленом от п, степень которого не превышает d. (Более того, deg f = d в том и только том случае, когда Р(1)#=0.)
Равносильность условий (ii) и (iii) следует из предложения 1.4.2(a). Отметим, что в том случае, когда Р(1)#=0 и, следовательно, deg f = d, старший коэффициент многочлена f(n) равняется Р(1)/сИ. Чтобы это увидеть, можно, например, вычислить коэффициент при (1—x)~d~{ в разложении функции S„>of (п) в РЯД Лорана в окрестности х = 1.
Всевозможные многочлены f: N->• С (или f: Z—>-С) степени, не превышающей d, образуют векторное пространство Pd над ,С размерности d + 1. Существует много естественных способов выбора базиса в этом пространстве. Описание этих базисов и матриц перехода от одного из них к другому могло бы составить целую книгу. Здесь мы перечислим четыре, по-видимому, самых важных базиса и обсудим их значение.
а. п‘, 0 t d. При разложении многочлена f (п) по элементам этого базиса мы получаем, разумеется, его обычные коэффициенты.
/ п \ /
b. . I, (Можно также пользоваться базисом
\ t / \
(п)г = П^. В силу предложения 1.4.2 (Ь), мы можем
написать разложение f (n) = 2j/=о f (0)) I t- J • Из предложе-
ния 1.4.2(c) следует, что матрицы перехода между базисами ( п \
п1 и I 1 составлены из чисел Стирлинга первого и второго
310
Гл. 4. Рациональные производящие функции
рода, т. е.
= X t! S (/, 0 ( ? ), «=о \ 1 /
М / (=о
с.
(/п\\ (n + i — (— П\ (
.11. г- l = (—1)‘I f. J, (Можно
также использовать возрастающие факториальные степени п (n + 1) • • • (« + i — 1) = г! ) Мы приходим к пред-
ставлению
d
п))„.о
г=о
Тот же результат можно получить, если составить таблицу разностей последовательности f(n). Тогда коэффициенты при . )) разложения f (n) = сг . )) — это элементы ее диагонали, идущей от /(0) к юго-западу. Например, если f(n) = n3 + п + 1, то примером таблицы разностей будет служить следующая:
-29 -9 -1 1=7(0)
20 8 2
-12 -6 6,
поэтому
Матрицы
«+n+l=i+2((“))-6(Q))+6((;)).
перехода к базисам п‘ и 1.1 определяются фор-
мулами
4.3. Многочлены
311
!
-ji-^ctf, i)n‘, где c(j, = i)|,
1=0
/ п 4" d — I \
I I, Существует по крайней мере два
простых способа убедиться, что это базис для простран-d
d.
ства Pd. Положив n = 0 в равенстве /(и) =='^Jct( Y
мы однозначно определим Со- Затем, подставляя п—1, однозначно определим сь и так далее.') Таким образом, d + 1 ( п -j- d — i\
многочленов I I линейно независимы и, следовательно,
\ d /
образуют базис в Рц. Можно рассуждать иначе. Заметим, что
п 4- d — i \ n__ x‘
d Г ~ (l-x)d+I '
( П d — I \
Теперь утверждение о том, что многочлены I J обра-
зуют базис в Pd, равносильно, благодаря предложению 4.3.1, тому очевидному обстоятельству, что рациональные функции х'(1—x)~d~!, O^i^d, образуют базис в пространстве всех рациональных функций вида Р(х)(1—x)-d-1, где Р(х)—многочлен степени не выше d. Если S f (и) хп = (ау0 + wtx 4- ... +
п > О
+ wdxd)l(\ — x)d+i ,то числа w0,®i. •••, w называются f-эйлеровыми числами, а многочлен Р(х) = wo + ацх -]-•••+ waxd называется f-эйлеровым многочленом. Если f(n.) = nd, то из теоремы 4.5.14 следует, что f-эйлеровы числа — это просто числа Эйлера A(d,i), а /-эйлеров многочлен Р(х) превращается в многочлен Эйлера Ad(x). Совершенно так же, как и в случае обычных чисел Эйлера, /-эйлеровы числа часто имеют комбинаторный смысл. Пример будет приведен в разделе 4.5. Обсуждение
*) Здесь используется то, что I ) = 0 при целых k d. — Прим, персе,
312 Гл. 4. Рациональные производящие функции
, ( n + d — i\
матрицы перехода от базиса I I к трем базисам, рас-
\ d J
смотренным ранее не является столь же плодотворным занятием, и мы его опустим.
4.4. Квазимногочлены
Квазимногочлен (известный также под многими другими названиями, например псевдомногочлен, или многочлен от классов вычетов) степени d — это функция f: N -* С (или f: Z->'C) вида
f(n) = cd(n)nd + cd_l(n)nd-i+ ... +c0(n),
где каждый множитель с,(п) является периодической функцией (с целым периодом), a cd(n) не обращается тождественно в нуль. Иначе, f является квазимногочленом, если существуют такое целое число N > 0 (а именно общий период функций Со, Ci, , cd) и такие многочлены fo, fi, .. •, fy-i, что
f(n) — f{(n), если n=i (mod Af).
Число N (таких чисел может быть несколько) будем называть квазипериодом квазимногочлена f.
4.4.1. Предложение. Для функции f: N~»-C и целого числа N > 0 следующие условия равносильны'.
i. f является квазимногочленом с квазипериодом N.
и.
п>0
где Р(х), Q(x)eC[.r], degP<degQ и каждый корень а многочлена Q (х) удовлетворяет соотношению aN — 1 при условии, что дробь P(x)/Q(x) является несократимой.
1Н. Для всех п^О
k
f(n)=ZPt(n)yf, (6)
где Р{ является многочленом от п и = 1 при всех i.
Более того, степень многочлена Pt(n) в соотношении (6) на единицу меньше кратности корня многочлена Q(x), если дробь P(x)/Q(x) несократима.
Доказательство. Утверждение легко следует из теоремы 4.1.1, и мы опускаем подробности рассуждения, □
4.6. Р-разбиениЯ
313
4.4.2. Пример. Пусть р*(п) обозначает число разбиений числа п в сумму не более чем k слагаемых. Тогда из соотношения (29) гл. 1 следует, что
Следовательно, р*(п)—квазимногочлен. Его наименьший квазипериод равняется наименьшему общему кратному чисел 1, 2, .... k, а его степень равна k— 1. Можно сделать и гораздо более точные утверждения. Например, рассмотрим случай k = 6. Тогда
р6 (п) = с5п5 + с4п4 + с3п3 + с2(п) п2 + Cj (п) п + сог(п),
где Сз, с$ е Q (фактически Cs= 1/5161, в чем можно убедиться, если найти коэффициент при (1—х)-8 в разложении функции 1/(1—х)(1—х$) ... (1—х6) в окрестности точки х = 1), а функции Ci(n), Ci(n), с0(п) имеют периоды 2, 6 и 60 соответственно (эти периоды не обязательно наименьшие). Более того, функция Ci(n) складывается из двух периодических функций с периодами 2 и 3. Читатель сможет вывести эти результаты, изучая производящую функцию 1/(1—х) (1—х2) ... ... (1-х8).
Особенно изящным является случай k = 3. Будем обозначать символом [а0, «ь периодическую функцию с,
имеющую период р и принимающую значения с(п) = а/ при n = t(mod/?). Довольно утомительное вычисление приводит к равенству
- , . 1 2 . 1 . Г< 5 2 3 2 51
Рз(га)— 12 п + 2 П +L ’ 12 ’ 3 ’ 4 ’ 3 ’ 12 Je *
Совершенно случайное обстоятельство позволяет записать /?3(п) в компактной форме ||^(«.+ 3)2||, где || 11| обозначает ближайшее целое к вещественному числу t, т. е. ||fl|=|^+ у|.
4.5. Р-разбиения
Оставшаяся часть этой главы будет посвящена трем основным областям, в которых рациональные производящие функции играют видную роль. Мы начнем с теории Р-разбиений, которая является одновременно обобщением теории разложений (т. е. разбиений числа п в сумму линейно упорядоченных слагаемых) и теории разбиений (в сумму неупорядоченных слагаемых). Мы уже немного познакомились с этой теорией в разд. 3.5.
314
Гл- 4. Рациональные производящие функции
Пусть Р — конечное ч. у. множество мощности р. Для удобства будем считать, что Р совпадает с множеством [/?], на котором задан естественный (в смысле определения в разд. 3.12) частичный порядок. Другими словами, если i < j в Р, то i < j и в Z. Отображение о: P->-N называется обращающим порядок, если из того, что i j в Р, следует, что cr(J) в N. Отображение т: P-*-N называется строго обращающим порядок, если из i < j в Р следует t(z)>t(j) в N. Р-разбиением числа п называется обращающее порядок отображение cr:P—>-N, для которого выполняется соотношение Х/ер<т(г')==га> Чт0 кратко будем записывать в виде |о| = п. Аналогично, строгим Р-разбиением числа п будем называть строго обращающее порядок отображение т; P->N, удовлетворяющее условию SZeP't(t) = n, или |т| = п. Например, если Р — это цепь из р элементов, то Р-разбиение числа п аналогично обычному разбиению числа п в сумме не более чем р слагаемых. Другой крайний случай — если Р является объединением р попарно несравнимых точек. В этой ситуации Р-разбиение числа п равносильно слабому разложению числа п на р слагаемых.
Основные производящие функции, связанные с Р-разбие-ниями, определяются формулами
FP(xv........
РР(х1.....х) = Е^,> ••• ххр{р)>
%
где а пробегает множество всех Р-разбиений, а т — множество всех строгих Р-разбиений. Производящие функции F и F в основном перечисляют все Р-разбиения и строгие Р-разбиения и содержат полную информацию о них. Например, не составляет труда восстановить ч. у. множество по любой из функций F, F.
Мы получим явные выражения для F и F, из которых будут следовать многие свойства как этих, так и родственных им производящих функций.
4.5.1. Лемма-определение.
а. Пусть С —цепь, а реР. Для всякой функции f: [/?]->С существует единственная перестановка л = (аь ..., ар) е <5р, удовлетворяющая условиям’.
1. f(a1)>f(a2)> ... >f(ap) и
ii. f (а{) > f (al+i), если а{ > al+l.
В этом случае мы будем говорить, что функция f является ^-совместимой.
4.5. Р-разбиения
315
Ь. Для произвольной функции [: [/?]->-С существует единственная перестановка p — (bi.........bp)<=<op, удовлетворяющая
условиям:
ii f(bi)>f(b{+i), если bt<bl+l.
В этом случае будем говорить, что f двойственно р-совместима.
Доказательство.
а. Существует только одно такое упорядоченное разбиение (Вь Bk) множества [/?], что функция f постоянна на каждом множестве В, и f(B\)> f(B2)> ••• >f(Bk), Тогда перестановку л можно выбрать таким образом, чтобы элементы множества Bi шли в убывающем порядке, за ними шли в убывающем порядке элементы В2, и так далее.
Ь. Функция f: [р]—является (аь «2, • • •, пр)-совместимой тогда и только тогда, когда она двойственно (р + 1 — аь р+1 — а2,... ..., р+1 — ар)-совместима. Таким образом, утверждение следует из пункта (а). □
4.5.2. Лемма.
а. Пусть л = (ai....ар) е Sp, и пусть Sn — множество всех
п-совместимых функций f: [p]->N. Тогда
*а*а2 ха!
~ Ха1Ха2 ’ ' ‘ *а|
где D.i — множество спуска перестановки л.
Ь. Пусть 5Л — совокупность всех двойственно л,-совместимых функций f: [р]-> N. Тогда
F (х., ..., х \:= У* + ,1)... х1!<р) = Л\ 1’ ’ Р) 1 Р
feS„ 1 Л
(8)
где Дл — [р—1] — Dn — множество подъема перестановки л.
Доказательство.
а. Пусть f е Определим числа с,-, 1 I р, формулой _ (7 («<) — /(««+1), если at<al+i, Ci~ If — f (at+i)— 1, если at > ai+l,
где мы полагаем, что f(ap+i) = O. Заметим, что с, 0 и что любой выбор чисел Ci, сг, .,,, ср е N однозначно определяет
316
Гл. 4. Рациональные производящие функции
функцию f е S.i, удовлетворяющую соотношениям (9). Тогда
р
х{ ^ ... xf (Р>= П (Ха.Ха . . . Xa.Y1 П Ха.Ха2 . . X, 1 р 1=1 4 1 2 ieD_ 1 2
Этим задается взаимно однозначное соответствие между членами в левой и правой частях соотношения (7), откуда следует наше утверждение.
Ь. Доказывается так же, как (а). □
4.5.3. Лемма.
а. Пусть Р — естественный частичный порядок на [р], а 3? (Р)S != ©р—множество Жордана — Гёльдера для Р, определенное в разд. 3.12. Функция о: Р—>-N является Р-разбиенйем в том и только том случае, когда она ^.-совместима с некоторой (непременно единственной') перестановкой л е S? (Р). Иными словами, если обозначить через (Р) множество всех Р-раз-биений, то
&(Р)= U
Ь. Функция т: Р -> N является строгим Р-разбиением в том и только том случае, когда она двойственно п-совместима с некоторой (непременно единственной) перестановкой n^Z'(P). Иными словами, если обозначить через (Р) множество всех строгих Р-разбиений, то
£(Р) = и
леУ(Р)
Доказательство.
а. Если ле^(Р), то любая л-совместимая функция о: P->N, очевидно, является Р-разбиением. Обратно, если л = (яь «2, ..., ар) е 2? (Р), то для некоторой пары I < / имеет место неравенство flz > я;- в множестве Р и поэтому яг > я;- в множестве целых чисел. Тогда для некоторых чисел i^k<j мы имеем ak > ак+1. Следовательно, если разбиение а является л-совместимым, то о (at) a (ak) > о (я*+1) о (aj),
так что а не является Р-разбиением. Единственность перестановки л следует из леммы 4.5.1.
Ь. Пусть л = (яь ..., яр)е^(Р). Если т двойственно л-сов-местима, то она является, очевидно, Р-разбиением. Предположим, что а{ < Uj в Р, тогда I < j и а{ < Яу в множестве целых чисел. Для некоторых I k < j выполняется строгое неравенство ак < я*+|. Следовательно, т (at) (я*)<т (я4+|)^
4.5. Р-разбиения
317
^...^т(ау), так что действительно т является строгим Р-разбиением. Противоположное включение доказывается так же, как в пункте (а). □
Комбинируя утверждения лемм 4.5.2 и 4.5.3, мы приходим к основной теореме о производящих функциях FP и FP.
4.5.4. Теорема. Пусть Р — естественный частичный порядок на множестве [р], и (Р) — соответствующее множество Жордана— Гёльдера. Тогда
с , х V II/eD *Л(1)ХЛ(2) ••• ХЯ(П
Рр(х\........ХР) = У -п-p *------------------------------------- (10а)
пе#(Р) Hl-lO ХЛ(1)Хя(2) • • • xn(i))
и
.......«,)= Е *.«>
л£=.?(₽) (! ХЛ(1)ХЯ(2) ••• хл(о)
(10b)
4.5.5. Пример. Пусть Р задано с помощью рис. 4.2. Тогда лемма 4.5.3 утверждает, что каждое Р-разбиение о: Р -> N удовлетворяет ровно одному из условий
ст(1)>ст(2)>ст(3)>ст(4), ст(2) > ст(1)^ст(3)>ст(4), ст(1)>ст(2)>ст(4)>ст(3), ст(2)> ст(1)>ст(4) > ст(3), ст(2)>ст(4) > ст(1)>ст(3).
Следовательно,
1
Рр(х1> х2> хз> xi) (1 — xt) (1 — х,х2) (1 — xix2x3) (1 — xix2x3x4)
-J________________________£2_________________________|_
(1 — ХГ2) (1 — Х[Х2) (1 — Х,Х2Х3) (1 — Х1Х2Х3Х4) г
I_____________________Х1Х2Х4________________________
"Г (1 — *1) (1 — *1Х2) (1 — Х,Х2Х4) (1 — Х,Х2Х3Х4)
2
(1 — х2) (1 — xtx2) (1 — Х]Х2х4) (1 — XiX2X3xt) ~
_____________________XjXj_____________________
(1 — Хг) (1 — хгх4) (1 — Xixtx<) (1 — хххгх3хк)'
318 Гл. 4. Рациональные производящие функции
Аналогично, каждое строгое Р-разбиение т: P->N удовлетворяет ровно одному из условий
т(1) > т(2) > т(3) > т(4), т(2)>т(1)>т(3)>т(4), т(1)>т(2)>т(4)>т(3), т(2)>т(1) > т(4)>т(3), т(2) > т(4)>т(1) > т(3),
и Fp(xi, х2, х3, х4) тоже легко выписывается. Этот пример иллюстрирует комбинаторную природу эффективности фундаментальной леммы 4.5.3 — она позволяет множества <s$(P) и j^(P) всех
3 4
N
1 2
Рис. 4.2.
Р-разбиений и строгих Р-разбиений разложить на конечное число (а именно е(Р)) подмножеств, каждое из которых имеет простое описание.
Теорема 4.5.4 немедленно приводит к теореме взаимности для Р-разбиений.
4.5.6. Лемма. Пусть л е ®р, а производящие функции Fn и ЕП — такие, как в лемме 4.5.2. Тогда справедливо следующее равенство рациональных функций:
Х\Х2 ... xpF„ (х,..Хр) = (- 1)р F„ ..........
Доказательство. Пусть л = (аь .... ар). Тогда
4.6. /’-разбиений 316
Теперь справедливость утверждения вытекает из соотношений
(11) и (8). □
4.5.7. Теорема. (Теорема взаимности для....Р-разбиений.) Рациональные функции Fp(xi.......................................хр) и Fp(xi хр) связаны со-
отношением
ххх2 ... хрЁр (хь ..., хр) = (—l)pFP ..., .
Доказательство. Эта теорема непосредственно следует из теоремы 4.5.4 и леммы 4.5.6.
Теперь мы обратимся к изучению производящих функций Fp и Fp в некоторых частных случаях. Они представляют собой наиболее существенные примеры, в которых проявляется комбинаторное значение основных свойств рациональных функций, обсуждавшихся в разд. 4.1—4.4. Пусть а(п) (соответственно а(п))—число Р-разбиений (соответственно строгих Р-разбиений) числа п. Введем производящие функции:
GP(x)= У, а(п)хп, п>0
GP(x)= У а(п)хп. (12)
п >0
Очевидно, Gp(x) = FP(x, х, ..., х) и GP(x) = FP(x, х, ..., х). Кроме того, П/ ® вп х1 = х1 (л), где t (л) — большой индекс (или главный индекс) перестановки л, который определяется (как в разделе 1.3.3) формулой
г(л)= У /.
/е£)я
Следовательно, из теорем 4.5.4 и 4.5.7 мы получаем следующий результат:
4.5.8. Теорема. Производящая функция Gp(x) имеет вид
с ( \ WpМ
иР W — (1 _ _ хру ,
где Wp(x) — многочлен
WP(x) — £ х‘М (13)
Я^Х (Р)
(в частности, а(п) является квазимногочленом). Кроме того, xpGP(x) = (-l)pGP(\/x). □ (14)
Если в качестве Р в теореме 4.5.8 взять антицепь pi, то, очевидно, Gp(x) будет иметь вид (1—х)~р. Отсюда, с учетом
32Й Гл. 4. Рациональные производящие функции
формулы (13), следует утверждение, приведенное после предложения 1.3.12.
4.5.9. Следствие. Имеет место соотношение
У. хг<я> = (1 +х)(1 + х + %2) ... (1 +% + ... +хр~1). □
Отметим удивительное следствие формулы (14): если мы знаем числа а(п), то мы можем найти числа а (и). Другое неожиданное следствие уравнений (13) и (14) состоит в том, что числа а(п) несут информацию о строении цепей в множестве Р. Для элемента t Р определим величину 6(0 как длину / самой длинной цепи t = to < ti < ... < tt в P, имеющую t первым элементом. Положим также
б(Р)= £ б(/).
t еР
Будем говорить, что Р удовлетворяет 8-цепному условию, если для любого t е Р все максимальные цепи главного двойственного порядкового идеала Vt ={t' е P\ t' /} имеют одну и ту же длину. Если Р содержит 0, то это означает, что ч. у. множество Р градуировано. Заметим, однако, что ч.у. множества Р и
Q, изображенные на рис. 4.3, удовлетворяют 6-цепному условию, но не являются градуированными.
4.5.10. Следствие. Пусть р = |Р|, Тогда степень многочлена Wp(x) равна — б (Р). Более того, многочлен №р(х) сводится к моному (значение этих результатов проясняет следствие 4.2.4 (ii)).
Доказательство. В силу соотношения (13) нам нужно проверить, что
( р \ max i (л) — I о ) — б (Р) пе X (Р) \* /
4.6. Р-разбиения
321
и что этот максимум достигается на единственной перестановке. Пусть л=(аь 02, ар) S? (Р), и пусть самая длинная цепь в множестве Р имеет длину I. Для каждого i(l обоз-
начим через jt наибольшее целое число, для которого б (а/г) = I. Очевидно, /1 > /г > • • • > ji- Для любого i в Р найдется элемент akl, для которого выполняется неравенство а/{<аь{ (в ч.у. множестве Р, а следовательно, и в Z), а б (а*,) = б (я/,) — 1. Отсюда следует, что Л < &; j»+i- Следовательно, в переста-
новке л где-то между и /г+1 найдется пара аг<аг+1 (неравенство в Z), и поэтому
* ("X (г) - Е/г-v i-1
Если б, обозначает число таких элементов t^P, что б (/) = i,
то по определению /zi>6z + 6i+1 + ... +б/. Следовательно,
Если здесь выполняется равенство, то для последних бо элементов t перестановки л выполняется равенство 8(f) —О, для следующей (справа) группы из 61 элементов t — равенство б(/)= 1, и так далее. При этом последние бо элементов должны следовать в убывающем порядке (как элементы Z), следующая группа из 61 элементов тоже в убывающем порядке, и так далее. Таким образом, существует единственная перестановка, для которой выполняется равенство. □
4.5.11. Пример. Пусть Р — естественный частичный порядок, показанный на рис. 4.4. Тогда единственная перестановка л е
( р \
е 2? (Р), удовлетворяющая условию i (л) = I _ I — б (Р), такова: \ £ J
л = (2, 1, 6, 5, 7, 9, 4, 3, 11, 10, 8),*
поэтому г (л) = 36 и б(Р) = 19.
Перед тем, как сформулировать следующее утверждение о многочлене Wp(x), напомним, что символ 6^(Р) (соответственно л^(Р)) обозначает множество всех Р-разбиений (соответ-
11 Р. Стенли
322 Гл. 4. Рациональные производящие функции
ственно строгих Р-разбиений). Определим отображение (обозначаемое символом ') ^(Р)->з^(Р) формулой
а/(/) = о(0 + б(/)> /еР. (15)
Очевидно, что соответствие >о' инъективно.
Рис. 4.4.
4.5.12. Лемма. Для того, чтобы отображение из множества st (Р) в множество st (Р) было биективным, необходимо и достаточно, чтобы порядок Р удовлетворял 6-цепному условию. Доказательство. Достаточность очевидна. Для проверки необходимости нам нужно показать, что если Р не удовлетворяет б-цепному условию, то найдется такой элемент x^st(P), для которого т — 6^st(P). В самом деле, если Р не удовлетворяет б-цепному условию, то существуют такие два элемента t0, t\ в Р, что t\ покрывает tQ и б(/о) > 5(Л)+1. Определим функцию т следующим образом:
( 6(f), если f^t0 и (в Р), т I б(/) + 1, если или t = tx (в Р).
Легко видеть, что т е st- (Р), но
т(/0)-б(/0)=о<1=т(о-ба1).
Поскольку tQ < flt мы заключаем, что r — 6<£st(P). □
4.5.13. Теорема. Пусть Р — ч.у. множество из р элементов. Для того, чтобы Р удовлетворяло 6-цепному условию, необходимо и достаточно, чтобы
x^~&<P)WP^) = WP(x). (16)
/ р \
(Поскольку deg Fp (х) = I “ б(Л, Условие (I6) просто со
4.5. Р-разбиения 323
стоит в том, что многочлен IV'p(x) возвратный, т. е. его коэффициенты симметричны.)
Доказательство. Пусть ае^(Р) и |<т| = п. Тогда для строгого Р-разбиения о', определенного формулой (15), выполняется условие |о'| = п + б(Р). Следовательно, из леммы 4.5.12 следует, что ч.у. множество Р удовлетворяет б-цепному условию тогда и только тогда, когда а(п) = а(п + б(Р)) при всех п ^0. В терминах производящих функций это означает выполнение условия x6(₽>Gp(x) = Gp(x). Доказательство завершается применением теоремы 4.5.8. □
Порядковый многочлен
Напомним, что, согласно определению из раздела 3.11, значение порядкового многочлена Й(Р,пг), теР конечного ч.у. множества Р определяется как число сохраняющих порядок отображений о: Р-^-т. Определим также строгий порядковый многочлен Q(P,m) в точке теР как число строго сохраняющих порядок отображений т: Р->т. Использование изложенной выше теории Р-разбиений позволяет легко получить основные свойства этих двух многочленов. Заметим, что отображение о: Р->т обращает (соответственно строго обращает) порядок тогда и только тогда, когда отображение а': Р->т, определенное формулой о'(х) = т-|-1—о(х), сохраняет (соответственно строго сохраняет) порядок. Следовательно, Q(P, m) (соответственно Q(P, m)) совпадает с числом Р-разбиений (соответственно строгих Р-разбиений) о: Р->т. Следующее утверждение описывает основное свойство многочленов Q (Р, т) ий(Р, т).
4.5.14. Теорема. Справедливы соотношения
£ Й(Р, т)1т = ( £ Л1+4(я^(1-Л)"₽+1, т>0 /
£ Й(Р, т)1т = ( £ Х1+а(я)>|(1-X)“p-1. т>1 /
Доказательство. Это утверждение нетрудно вывести из теоремы 4.5.4, но еще проще сослаться непосредственно на предшествующую ей лемму 4.5.3. Функция f; P->m совместима с перестановкой п = (а\.......ар)е5’(Р) в том и только том слу-
чае, когда
m —d(n)>f(a1) —d1>f(a2) —d2> • • • >/(«₽) — 1,
где
и*
324
Гл. 4. Рациональные произаодящие функции
// т — d (л) \\ Следовательно, число таких функций равно II II,
а соответствующая производящая функция имеет вид
V (( т~
-р
Суммируя по всем перестановкам neS’(P), мы получим первое равенство в утверждении теоремы. Аналогично доказывается и второе равенство.
4.5.15. Следствие. (Теорема взаимности для порядковых многочленов.) Многочлены ЩР, т) и Q(P, т) связаны соотношением ЩР, т) = (-1)рЩР, -т).
Доказательство. Положим
ЯР(Л) = X Q(P,’/n)Xm и НР{К)= £ ЩР, m)Km.
Поскольку d(л) + а (л) = р—1, из теоремы 4.5.14 следует, что Я₽(1/Х) = (—1)р-1//р(Х). Утверждение теперь следует из пред-
ложения 4.2.3. (Можно также прямо сослаться на лемму 4.5.3 и использовать формулу
(( — пг — dirt) \\ „//т —а(л)\\
(( р р )}> °
Теорема 4.5.13 показывает, что по многочлену WP(x) (или, что почти то же самое, по коэффициентам а(п) производящей функции (12)) можно судить, удовлетворяет ли ч.у. множество Р З-цепному условию. Похожие результаты справедливы для многочленов ЩР, ш). Напомним, что ч.у. множество Р является градуированным ранга I, если каждая его максимальная цепь имеет длину I. Мы также будем говорить, что Р удовлетворяет Х-цепному условию, если каждый элемент множества Р содержится в цепи, имеющей максимальную длину. Очевидно, что
4.5. Р-разбиения
325
градуированное ч.у. множество удовлетворяет к-цепному условию. Обратное неверно, как можно убедиться из рис. 4.5 (см. также упражнение 3.5).
Пусть *$&т(Р) (соответственно обозначает множе-
ство всех обращающих (соответственно строго обращающих) порядок отображений о: Р->т. Следующий результат является аналогом леммы 4.5.12 для градуированных ч.у. множеств и Х-цепного условия.
4.5.16. Лемма. Пусть Р — конечное ч. у. множество, самая длинная цепь которого имеет длину I. Для каждого числа /бР определим вложение 0Z: (Р) -» si-i+i (Р), положив 0г (о) = о + б.
а. Для того, чтобы отображение 0[ было биективным (т. е.
I «^z+i (Р) I = 1), необходимой достаточно, чтобы Р удовлетворяло К-цепному условию.
Ь. Для того, чтобы отображения 0! и 02 были биективными, необходимо и достаточно, чтобы множество Р было градуированным. В этом случае биективными оказываются отображения 0,- для всех ie Р.
Доказательство.
а. Достаточность очевидна. Чтобы доказать необходимость, определим б* (х) для элемента х е Р как длину k самой длинной цепи xq < Xi < ... < Xk = х в множестве Р с наибольшим элементом х. Тогда б(х)+б*(х)— длина самой длинной цепи в ч.у. множестве Р, содержащей этот элемент, причем б(х) + + б* (х) = / для всех элементов х е Р тогда и только тогда, когда множество Р удовлетворяет 1-цепному условию. Определим строгие Р-разбиения о, те s^i+\(P) равенствами <т(х) = = 1 + б(х) и т(х)= I — б*(х)+ 1. Тогда в том (и только том) случае, когда множество Р не удовлетворяет %-цепному условию, так что в этом случае отображение 01 не биективно.
Ь. И в этом случае достаточность очевидна. Для доказательства необходимости предположим, что ч.у. множество Р не является градуированным. Если это множество не удовлетворяет %-цепному условию, то, в силу пункта (а), отображение 01 не биективно. Предположим теперь, что множество Р удовлетворяет %-цепному условию. Пусть х0 < Xi < ... < xm — максимальная цепь в множестве Р и пг < I. Пусть k, 0 k т, — наибольшее целое число, для которого 6(xk)> т — k. Благодаря тому, что множество Р удовлетворяет %-цепному условию, а хо — минимальный элемент этого множества, выполняется неравенство 6(хо) = /> т, и, следовательно, такое k всегда существует. Более того, k=/= т, так как х^ — это максимальный
326 Гл- 4. Рациональные производящие функции
элемент в множестве Р. Определим отображение ст: Р->[/-|-2] следующим образом:
( 1 + б (х), если x<xfc+1,
а(Х'~ I 1 + тах(б(х), б (xfc+1) + Z (х, xfe+1) + 1), еслих<х*+1, где Х(х, xfe+1) обозначает длину самой длинной цепи в интервале [х, x*.^. Нетрудно видеть, что о ^[+2(Р). Кроме того, о (xk) — б (xk) = 0, o(xfc+1)-6(xft+1)= 1,
так что ст —б^^(Р). Следовательно, отображение 02 не биективно, и доказательство закончено. □
4.5.17. Следствие. Пусть Р является р-элементным ч. у, множеством с самой длинной цепью из I элементов. Тогда Q(P,—1) = = Q(P,—2) — ... = Q(P,—I) = 0. При этом
а. Ч. у. множество Р удовлетворяет К-цепному условию в том и только том случае, когда Q(P, —I— 1) = (—1)р.
Ь. Следующие три условия равносильны:
I. Ч. у. множество Р градуировано.
ii. Q(P, -I- 1) = (-1)р и Q(P, — Z — 2) = (—1)р Q (Р, 2).
iii. Q (P, — I — rri} = (— l)p Q (P, m) для всех m^Z. □ Следующий пример показывает, как следствие 4.5.17 помогает вычислениям.
4.5.18. Пример. Пусть ч.у. множество Р задано рисунком 4.6. Тогда Q(P, m) является многочленом степени 6, и из предыду-
Рис. 4.6.
щего следствия вытекает, что Q(P,0)=Q(P,—1) = Q(P,—2) = = 0, Й(Р, 1)=Q(P, — 3)= 1, Q(P,2) = Q(P,—4). Таким образом, если мы вычислим значение Q(P, 2), то сразу будем знать семь значений Q(P, m), чего достаточно для задания этого многочлена. В нашем случае Q(P, 2)= 14, откуда получается, что
£ О(Р, т)l + + .
m>0
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
327
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
Пусть Ф — целочисленная матрица (или Z-матрица) размера г X т. Многочисленные комбинаторные задачи оказываются эквивалентными задаче об отыскании всех векторов (столбцов) а е Nm, удовлетворяющих уравнению
Фа = 0, (17)
где 0 = (0,0, ..., 0)eNr. Векторное уравнение (17) равносильно системе из г однородных линейных уравнений с целыми коэффициентами от т неизвестных a = (ai...am). (Для удоб-
ства обозначений мы будем записывать векторы-столбцы в строчку.) Заметим, что если бы мы искали решения aeZm (а HeaF Nm), то это бы не составило большой проблемы. Решения, лежащие в группе Z"1 (или Z-решения), образуют подгруппу G в этой группе, и из теории конечно порожденных абелевых групп следует, что G — конечно порожденная свободная абелева группа. Число образующих (или ранг) группы G равняется размерности ядра матрицы Ф, и для явного отыскания этих образующих существуют хорошо известные алгоритмы. Ситуация с решениями, лежащими в множестве N"1 (или Ы-реше-ниями), уже не столь ясная. Множество решений образует не группу, а только (коммутативный) моноид (т. е. полугруппу с единицей) Е = Еф. Разумеется, в этом случае Е уже не является свободным коммутативным моноидом. Это означает, что не существует таких элементов си, ..., а5е£, что всякий элемент а^Е единственным образом записывается в виде ^Гг8=1агаг, где a, eN. Возьмите, например, Ф = [1, 1,—1,—1]. Тогда в моноиде Е имеется нетривиальное соотношение (1,0,1,0) +(0,1,0,1) = = (1,0,0,1) + (0,1,1,0).
Не умаляя общности, мы можем предположить, что строки матрицы Ф линейно независимы, то есть гапкф = г. Если бы пересечение ДПР"1 было пустым (то есть уравнение (17) не имело бы P-решений), то для некоторого числа iE[m] каждый вектор (ai, ..., ат) е Е имел бы нулевую компоненту а,- = 0, которую нам ничего не стоит игнорировать. Поэтому мы можем предположить, что Е П Р"1 =/= 0. Такой моноид Е мы назовем положительным.
Мы проанализируем структуру, моноида Е до такой степени, чтобы иметь возможность выписать производящую функцию
£(х) = £'(х1, ..., хт)= У, х“, (18а)
а е Е
где для a = (ab ..., ат) запись х“ означает х“* ... х“т. Мы также будем рассматривать тесно связанную с ней производя
328 Гл. 4. Рациональные производящие функции
щую функцию
Е(х) = Е(х1....хт) = £_х“, (18b)
где Е = ЕПР”- Поскольку мы предполагаем, что Е=£0, отсюда следует, что Е(х)^=0. Вообще в этом разделе для произвольного подмножества G s Nm мы будем употреблять обозначение
О(х) = У, х".
а Е G
Вначале стоит заметить, что, рассматривая неравенства вида Та 0 для некоторой Z-матрицы Т размера зХ т, мы не выигрываем в общности. Это происходит потому, что всегда имеется возможность ввести дополнительные переменные у = (уь ... ..., ys) и заменить неравенство Та 0 уравнением Т(а — у) = = 0. Каждое N-решение последнего уравнения соответствует N-решению исходного неравенства. В частности, теорию Р-разбиений, разработанную в предыдущем разделе, можно включить в общую теорию N-решений уравнения (17). Введем переменные ах для всех элементов х е Р и аХу для всех пар х < у (или, практически, только для тех элементов у, которые покрывают элемент х). Тогда N-решение а системы
а( — ау — аху = 0 для всех элементов х < у (19) в множестве Р (или только для всех у, покрывающих х)
отвечает Р-разбиению о: P->N, заданному формулой о(х) = ах. Более того, P-решению системы (19) отвечает строгое Р-раз-биение на положительные части. Если мы просто отнимем по единице от каждой части, то получим произвольное строгое Р-разбиение. Следовательно, по теореме 4.5.7 производящие функции Е(х) и £(х), определенные соотношениями (18а) и (18b) по системе (19), связаны равенством
£ (х) = (—1)рЕ(1/х), (20)
где 1 /х означает, что в рациональной функции Е(х) осуществляется подстановка 1/х, вместо xt. Это подсказывает формулировку теоремы взаимности общего вида для системы (17), и одна из наших целей — доказать такую теорему. (Нам пока не известно даже, являются ли функции £(х) и Д(х) рациональными, без чего равенство (20) становится бессмысленным.) Теория Р-разбиений дает ключ к получению формулы для вычисления функции Е(х). В идеале нам хотелось бы разбить моноид Е явным и каноническим образом на конечное число частей, имеющих понятную структуру. К сожалению, нам придется доволь
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
329
ствоваться меньшим. Мы представим моноид Е в виде объединения хорошо устроенных частей (называемых симплициаль-ными моноидами), но эти части не будут дизъюнктными, и нужно будет выяснить, как они пересекаются. Кроме того, сами симплициальные моноиды будут получены с помощью довольно произвольного построения (далеко не такого изящного, как в случае, когда мы связывали Р-разбиение с единственной перестановкой л е S’ (Р)) и для исследования симплициальных моноидов самих по себе потребуются определенные усилия. Но наградой за это будет в высшей степени общая теория с множеством важных и интересных применений.
Хотя теория, которую мы собираемся развить, может быть получена чисто алгебраически, гораздо более удобный путь, более опирающийся на интуицию, — геометрический. Для того, чтобы им воспользоваться, мы дадим краткий обзор основ теории выпуклых многогранных конусов. Линейное полупространство Зв пространства R"1— это подмножество вида Зв ={v: v-•w^O} для некоторого фиксированного ненулевого вектора weRm, Выпуклый многогранный конус *₽’ в пространстве R"1 определяется как пересечение конечного числа полупространств. (Некоторые авторитеты потребовали бы, чтобы содержал ненулевой вектор.) Мы будем говорить, что конус <g’ выступающий, если он не содержит прямой, или, что то же, если О У= v е то — v Опорная гиперплоскость Зв конуса *₽’ — это такая линейная гиперплоскость, пересекающая что конус лежит по одну сторону от нее. Иными словами, гиперплоскость Зв делит пространство Rm на два таких замкнутых полупространства Зв+ и Зв~ (пересечение которых совпадает с Зв}, что либо 43 <=3в+, либо 43 Зв~. Грань конуса ‘g’ — это подмножество Зв П # в 43, где Зв—некоторая опорная гиперплоскость. Каждая грань конуса ‘g’ сама является выпуклым многогранным конусом, в том числе вырожденная грань {0}. Размерностью грани iF, обозначаемой через dim#", называется размерность подпространства в пространстве Rm, натянутого на .S". Если dim^F" = /, то грань называется i-гранью. В частности, {0} и "g7 являются гранями конуса 4?, которые называются несобственными, и dim{0}=0. Крайним лучом называется 1-грань, и если dim’g’ = d, то (d—1)-грань называется гипергранью. Мы будем предполагать известным стандартный результат: выступающий выпуклый многогранный конус содержит только конечное число крайних лучей и является их выпуклой оболочкой. Симплициальным конусом называется е-мерный выступающий выпуклый многогранный конус асе крайними лучами (наименьшее возможное число). Это равносильно тому, что найдутся такие линейно независимые векторы 0Ь ..., ре, что а —
330
Гл. 4. Рациональные производящие функции
= {ai₽i + ••• +«еР: а;еР+}. Триангуляция конуса ‘g’ состоит из конечного набора Г={<п, .... ctJ симплициальных конусов, удовлетворяющих условиям: (i) (]сц = <ё>, (ii) если аеГ, то и каждая грань конуса о лежит в Г, и (iii) Ст/. П ст/ является общей гранью конусов CTj И СТ/.
4.6.1. Лемма. Выступающий выпуклый многогранный конус допускает триангуляцию Г, крайние лучи которой (т. е. одномерные конусы, содержащиеся в Г) являются крайними лучами конуса ’g’.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по размерности конуса. Если dim ‘g’ = 1 или 2, то доказывать нечего, так как конус симплициальный. Пусть dim Ч? > 2. Предположим, что 5? — крайний луч этого конуса. Следуя индукционному предположению, мы можем триангулировать каждую гипергрань конуса, пересекающую луч только в точке 0, не привлекая новых крайних лучей. Пусть Г1, ..., Г* — такие триангуляции. Для каждой грани сте Г, обозначим через о* выпуклую оболочку грани о и луча 5?, то есть пересечение всех выпуклых множеств, содержащих ст и 91.
Тогда о* является симплициальным конусом, причем dim ст* = = 1 + dim ст. Определим триангуляцию Г как семейство всех конусов вида ст*, где сте L для некоторого I, а также всех граней этих конусов ст*. Нетрудно проверить, что Г удовлетворяет всем нужным свойствам. □
Границей д9? выпуклого многогранного конуса ‘g’ называется объединение всех гиперграней <&. (Это определение совпадает с обычным топологическим понятием границы.) Если Г является триангуляцией конуса <&, определим ее границу равенством дГ = {стеГ: а внутренность — равенством Г = Г—
— дГ.
4.6.2. Лемма. Пусть Г — произвольная триангуляция выпуклого многогранного конуса . Пусть Г — ч.у. множество (на самом деле — решетка) элементов триангуляции Г, упорядоченное по включению, с присоединенной единицей 1. Пусть ц. обозначает функцию Мёбиуса множества Г. Тогда Г является градуированным множеством ранга d. = dim ‘g’ и
еслив<х^<'\)
ц (а> т) = < (- l)d-dim 0+1, если ст е- Г.’и т = 1,
I 0, если ст <= дГ и т==Т.
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
331
Доказательство. Это утверждение является частным случаем предложения 3.8.9. □
Теперь вернемся к системе уравнений (17). Пусть ?? обозначает множество всех решений а этой системы в неотрицательных вещественных числах. Тогда ?? является выступающим выпуклым многогранным конусом. Мы будем всегда обозначать размерность dim1?? буквой d. Поскольку мы сделали предположение, что rank Ф = г и что моноид Е положительный, отсюда следует, что d = m— г [почему?]. Хотя нам это здесь и не потребуется, естественно описать грани конуса Ч? непосредственно в терминах моноида Е. Ограничимся перечислением относящихся к этому фактов (без доказательств). Определим носитель suppa вектора a = (ai, .... am)e Rm равенством supp a = = {z: ai^=0}. Если X — произвольное подмножество пространства R"1, положим
suppX= U (suppa).
а е X
Пусть £(??) —решетка граней конуса и пусть L(E) = = {supp a : a e E} — множество, упорядоченное по включению. Определим отображение f ; L Вт (Вт — булева алгебра на множестве [т]) следующим образом: f (&~) = supp 3". Тогда f оказывается изоморфизмом ч. у. множеств £('₽’) и L(E).
4.6.3. Пример. Пусть Ф = [1,1,— 1,—1]. Тогда ч.у. множество L(E) задается рисунком 4.7. Так, конус ?? имеет четыре крайних луча и четыре 2-грани. □
Пусть теперь Г —триангуляция конуса крайние лучи которой являются крайними лучами конуса. Такая триангуляция существует по лемме 4.6.1. Если аеГ, пусть
£о==(тП^. (21)
332 Гл. 4. Рациональные производящие функции
Тогда каждое множество Еа является подмоноидом Е и Е— Uaer^o- Более того, если мы положим
Еа = {и е Еа : и ф. Ех для всякого тс: о}, (22)
то Е=Уае;—Еа (объединение попарно непересекающихся множеств). Так получается основное разложение моноидов Е и Е на «хорошие» подмножества, совсем так же, как в лемме 4.5.3 делалось для Р-разбиений и строгих Р-разбиений. _
«Триангуляции» {£„:оеГ} и {£о:аеГ} моноидов Е и Е гозволяют сформулировать следующее утверждение, касающееся производящих функций.
4.6.4. Лемма. Производящие функции Е(х), Е(х) и Е0(х), Е0(х) связаны соотношениями
Ё(х) = — X И (а, Т)Е0(х), (23а)
аеГ
= £_Ёа(х). (23b)
аеГ
Доказательство. Равенство (23а) немедленно следует из формулы обращения Мёбиуса. А именно положим Ef (х) = 0 и определим функции На'.
На(*)= ХЕМ oef.
Очевидно, что
На(х) — Ео(х), <т(=Г,
Ят(х) = Е(х). (24)
По формуле обращения Мёбиуса
0 = ЁТ(х)= £ Яа(х)ц(0, 1),
поэтому равенство (23а) следует из формул (24).
Равенство (23b) сразу следует из того, что части, входящие в объединение Е = Uoer Ео, попарно не пересекаются.
4.6.5. Пример. Пусть Е — моноид, рассмотренный в примере 4.6.3. Выберем триангуляцию конуса так, как показано на рисунке 4.8, где suppa={l,3}, suppb =={1,4}, suppc={2,4}, suppd={2,3}. Тогда ч.у. множество Г можно изобразить рис. 4.9. Заметим также, что V = {bd, abdt bed}. Лемма 4.6.4
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
333
утверждает, что
Е (х) = Eabd (х) + Ebcd (х) — Ebd (х), Е (х) = Eabd (х) + Ebcd (х) + Ebd (х).
(25)
Следующий шаг в нашем рассуждении — вычисление производящих функций Еа(х) и Еа(х), входящих в равенство (23а). Назовем подмоноид F моноида (или даже Z"1) симплици-альным, если существуют такие линейно независимые векторы
Рис. 4.9.
Рис. 4.8.
щ, ..., at е F (называемые квазиобразующими моноида F), что
F — {у е Nm : пу = ам + ... + atat для некоторых пеР и (z;eN}.
Квазиобразующие ab ..., at определяются не вполне однозначно. Если а', .... а'—другой набор квазиобразующих, то s — t и при подходящем выборе индексов а' = ^аг> где qt^Q, qt > 0. Определим внутренность F моноида F следующим образом:
F = {v е Nm : пу = «!<»! + +atat для некоторых «Ер и Р}. (26)
Заметьте, что F зависит только от F, а не от «ц, ..., at.
334
Гл- 4. Рациональные производящие функции
4.6.6. Лемма. Подмоноиды Еа моноида Е, определенные формулой (21), являются симплициальными. Если Sl\, ..., Sit— крайние лучи конуса а, то мы можем выбрать на роль квазиобразующих подмоноида Еа любые ненулевые целочисленные векторы из Sl\....Sit (по одному вектору из каждого луча Sit).
Кроме того, определение внутренности подмоноида Еа формулой (26) согласуется с определением Еа с помощью формулы (22)-.
Доказательство. Это утверждение является простым следствием того обстоятельства, что о является симплициальным конусом. Детали оставляем читателю. □
Если FsN"1 — симплициальный моноид с квазиобразующими Q = {ai, ..., aj, то мы определим два подмножества Dp и Пр в моноиде F (зависящие от выбора квазиобразующих Q) таким образом:
Dp = {у е F : у = о^сц + ... + ЩЩ, 0^ai< 1}, (27а)
Dp = {y е F : v = a1a1 + ... -j- atat, 0<a,<l}. (27b)
Отметим, что Dp и Dp — конечные множества, так как они содержатся в пересечении дискретного множества F (или N"1) с ограниченным множеством всех векторов aiai + ... + а?сие eRm, где О at 1.
4.6.7. Лемма. Пусть F s Rm — симплициальный моноид с квазиобразующими си, ..., at.
i. Каждый элемент у е F представляется единственным образом в виде
V = ₽ + aiai + • • • + atat>
где p^Dp и а^ N- Обратно, каждый такой вектор принадлежит моноиду F.
ii. Каждый элемент у eF представляется единственным образом в виде
y = ₽ + a1a1+ ... +а,<ч,
где p^Dp и ^eN. Обратно, каждый такой вектор принадлежит внутренности F.
Доказательство.
i. Пусть yeF. Воспользуемся (единственным) разложением у = &!«!+ ... + btat, bi^Q+. Пусть ai = \bi\ (наибольшее целое число, не превосходящее bt), и пусть ₽ = у — с^сц — ...
...— сцщ. Тогда PeF и, так как Q^.bt— < 1, даже
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 33S
Если бы нашлось другое такое представление у = = ₽'4-а{а1+ ... +а£ар то мы имели бы равенство 0 = = (₽ — ₽') + (а1 — а') а, + ... + (а, — а') ар Каждая разность at — является целым числом, в то время как если Р — — ₽' = с^! + • •. + то — 1 < ct < 1. Следовательно, ez=0 и представления совпадают. Обратное утверждение очевидно, ii. Доказательство аналогично предыдущему. Вместо а/ = |Д.1 следует положить (ближайшее сверху целое число). □
4.6.8. Следствие. Для производящих функций
F(x) = Е х“> /7(х) = X х« ° е а е F
справедливы формулы
F(x) = f Е х^ПО-х’О-1, (28а)
J i-\
F(x) = f Е_ х’А п (1 - x°«)_1. (28b)
/i=1
Доказательство. Это утверждение является непосредственным следствием леммы 4.6.7.
Замечание. Для читателей с алгебраическим складом ума мы поясним алгебраический смысл множеств Df и Df. Пусть G — подгруппа группы Zm, порожденная моноидом F, и пусть Н — подгруппа в G, порожденная квазиобразующими аь ..., at. Тогда каждое из множеств Df и Df является множеством представителей классов смежности подгруппы Н в G. Множество Df (соответственно DF) состоит из тех представителей, которые принадлежат множеству F (соответственно F) и находятся ближе всего к началу координат. Из общих фактов теории ко-нечнопорожденных абелевых групп следует, что индекс [G: Я] (т. е. число элементов в множествах Df или Df) равняется наибольшему общему делителю определителей подматриц размера i X t матрицы со строками ai, ..., at.
4.6.9. Пример. Пусть ai =(1,3,0), аг = (1,0,3). Наибольший общий делитель определителей
13 10 '3 0
1 0 ’ 1 3 ’ 0 3
336
Гл. 4. Рациональные производящие функции
есть 3 = | D_fJ = | Df |. Действительно, DF = {(0, 0, 0), (1, 1,2), (1, 2, 1)} и Df = {(\, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 3, 3)). Следовательно,
р, ч 1 + *1*2*1 + Х1Х1Х3
W (1-*14)(1-*14)’
р / к Х1Х2Х3 + х 1^2Х3 + *1*2*3
(i-*i4)(i-*14) *
Мы отмечали выше, что если симплициальный моноид Fs N"1 обладает квазиобразующими ai, ..., at, то любые ненулевые рациональные кратные векторов ai, ..., at (при условии, что они лежат в N"1) могут быть выбраны в качестве квазиобразующих. Таким образом, существует единственный такой набор Pi, .... р< квазиобразующих, что любой другой такой набор имеет вид афь .... atfit, где а,еР. Назовем векторы pi, ..., Р/ вполне фундаментальными элементами моноида F и будем писать CF(F) = {Pi, ..., pj. Теперь предположим, что Е— моноид всех N-решений системы (17). Будем говорить, что реЕ — вполне фундаментальный элемент, если для всех чисел п е Р и элементов a, а' е Е, для которых «р = а -р- а', имеют место соотношения а = /р и а' = (п—/)Р Для некоторого ie Р, 0 i п. Обозначим множество вполне фундаментальных элементов моноида Е через CF(E).
4.6.10. Предложение. Пусть Г — такая триангуляция конуса крайние лучи которой совпадают с крайними лучами конуса, и пусть £ = U0<=r£0 — соответствующее разложение моноида Е на симплициальные моноиды Еа. Тогда следующие множества совпадают:
i. VF(E),
ii. Uaer«Wa)>
iii. {PeE: P принадлежит крайнему лучу конуса и fi^nfi' для некоторых п > 1 и Р'еЕ},
iv. множество ненулевых элементов РеЕ с минимальным носителем, которые не представимы в виде п$' для некоторых п > 1 и Р' g Е.
Доказательство. Предположим, что 0 =/= Р е Е и supp р не минимален. Тогда для некоторого элемента а^Е имеет место включение supp a <= supp р. Следовательно, для достаточно большого пеР будет справедливо неравенство «Р— а^О, и поэтому «р — а е Е. Обозначив пР — а через а', получим разложение пР = а + а'. Однако а ф ни при каком i е N, поэтому P^CF(F).
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 337
Предположим, что элемент ₽ е Е принадлежит множеству (iii), и пусть п₽ = « + «', где пер и«, а'еЕ. Поскольку носитель supp₽ минимален, то либо а— 0, либо supp а = supp 0. Если выполняется вторая возможность, выберем наибольшее рациональное число р/^(^еР), для которого ₽ — (p/q)a^0. Тогда qft — pa^E и supp (qfi — pa) s supp p. Благодаря минимальности suppP мы приходим к выводу, что q$ = pa. Так как Р =/= гаР' для п>1 и Р'е£, мы получаем, что р=1 и, следовательно, $^CF(E). Поэтому множества (i) и (iv) совпадают.
Теперь пусть St — крайний луч конуса <ё>, «ей, а = а1 + «2. где аь а2е<₽’. По определению крайнего луча мы видим, что а1 = аа, 0^а^1.,Иэ этого легко вывести, что множества (i) и (iii) совпадают.
Поскольку крайние лучи триангуляции Г и конуса совпадают, элемент р множества CF(Ea) принадлежит некоторому крайнему лучу 91 конуса и поэтому попадает в множество (iii). Обратно, если симплициальный конус аеГ содержит крайний луч 91 конуса и если гиперплоскость Ж является опорной для луча 91 в конусе то Ж является опорной гиперплоскостью для этого луча и в конусе а. Таким образом, 5? является крайним лучом в конусе ст. Так как Е = UCTe=r£а> от' сюда вытекает, что множество (iii) содержится в множестве (ii). □
Мы подошли, наконец, к первой из двух главных теорем этого раздела.
4.6.11. Теорема. Производящие функции £(х) и Е(х) являются рациональными функциями от переменных x = (%i, ..., xm). Если записать эти функции в виде несократимых дробей, знаменатель каждой из них будет иметь вид
D(*)= П (1-х’).
0 <= CF (Е)
Доказательство. Пусть Г — триангуляция конуса <8>, крайние лучи которой совпадают с крайними лучами этого конуса (существование такой триангуляции гарантируется леммой 4.6.1). Пусть Е = Ua<=r£a — соответствующее разложение моноида Е. Поскольку CF(Ea)—множество квазиобразующих симплици-ального моноида Еа, из следствия 4.6.8 следует, что функции Еа(х) и Еа(х) могут быть записаны как рациональные дроби
‘) То есть 9ё П Ъ = 91. — Прим, перев.
338 Гл. 4. Рациональные производящие функции
со знаменателем
Из предложения 4.6.10 следует, что CF(Ea)s CF(E). Следовательно, по лемме 4.6.4 мы можем привести дроби, фигурирующие в формулах (23) и задающие функции £(х) и £(х), к общему знаменателю £>(х).
Остается проверить, что Z)(x)— наименьший такой знаменатель. Мы будем рассматривать лишь функцию Е(х), так как доказательство для функции Е(х) в основном такое же (и также следует из теоремы 4.6.14). Запишем равенство Е(х) = = .V(x)/D(x) и предположим, что эта дробь сократима. Тогда некоторый множитель Т(х) является общим делителем многочленов N(x) и D(x). По теореме о единственности разложения на неприводимые множители в кольце многочленов С [xi, ... ..., хт] мы можем предположить, что Т (х) делит многочлен 1 — x'l для некоторого элемента у е CF(E). Так как у ф пу' при любых п > 1 и /f Nm, многочлен 1 — х’ неприводим. Следовательно, мы можем предположить, что Т(х) = 1— xv. Таким образом, мы получаем
F(x)=N'(x)/ П (1-х»), (29)
/ f<=CF(E)
где У(х)еС[Х|, ..., хт]. Поскольку для любых пеР и е еМ(РтМ) мы имеем пу S₽ecF(E)a₽P> отсюда следует, что Р =#= V
лишь конечное число членов вида x"v может содержаться в разложении выражения, стоящего в правой части равенства (29). Это противоречит тому, что каждый элемент пу принадлежит моноиду Е, и доказательство закончено. □
Наша следующая цель — теорема взаимности, связывающая функции Е(х) и £(х). В качестве предварительного результата нам потребуется теорема взаимности для симплициальных моноидов.
4.6.12. Лемма. Пусть F^ Nm — симплициальный моноид с квазиобразующими си, ..., at, и предположим, что Dp = {₽i, ... ..., Pi}. Тогда __
DF = {a — Pb ..., a — ps},
где a = cq + a2 + ... + at.
Доказательство. Пусть у — ад + ... + atat e F. Поскольку 0^аг<1 тогда н только тогда, когда 0<1—аг^1, утвер-
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 339
ждение леммы сразу вытекает из определения (27) множеств DF и Dp. □
Напомним, что если 7?(х) = 7?(хь ..., хт) — рациональная функция, то 7? (1/х) — обозначение для функции 7? (1/хь ..., 1/хт).
4.6.13. Лемма. Пусть — симплициальный моноид раз-
мерности t. Тогда
F(x) = (-l)'F(l/x).
Доказательство. По формуле (28а) мы имеем
f(Ux)=( X х-₽Щ(1-х-’0"' = Ji=1
(feOf ) 1 = 1
где а определяется так же, как в лемме 4.6.12. По этой лемме
У, х”_₽= У, х₽.
рей;?
Доказательство завершается ссылкой на формулу (28b). □
Теперь мы имеем все необходимые средства для вывода второй из главных теорем этого раздела.
4.6.14. Теорема. (Теорема взаимности для линейных однородных диофантовых уравнений.) Предположим (как всегда), что моноид Е, состоящий из ^-решений системы (17), является положительным, и пусть d = dim®’. Тогда
£(х) = (-1)^(1/х).
Доказательство. По лемме 4.6.2 и формуле (23а) мы получаем
£(1/х) = - У (-l)d-dlmo£a(l/x). аеГ
По лемме 4.6.13 отсюда следует, что
£(1/х) = (—1/ Х_£0(х).
аеГ
Сравнивая это равенство с равенством (23b), получаем требуемый результат. □
Теперь мы приведем несколько примеров и приложений этой теории. Сначала мы закончим изучение уравнения ai + аг —
340 Гл. 4. Рациональные производящие функции
— а3 — «4 = 0, уже рассматривавшегося в примерах 4.6.3 и
4.6.15. Пример. Пусть Е cz N4 — моноид N-решений уравнения ai + а2 — аз — а4 — 0. Согласно формулам (25), нам достаточно вычислить функции Еам(х), ЕьсДх) и Dbd(x). В нашем случае CF(Е) = {Р„ ₽2, ₽з, Р4), где ₽! = (!, 0, 1, 0), Р2 = (1, 0, 0, 1), Рз = (0, 1, 0, 1), Р.4 = (0, 1, 1, 0). Простое вычисление показывает, что Dabd = Dbcd = Dbd = {(0, 0, 0, 0)} (причина этого состоит в том, что множества {Рь 02 , р4}, {Р2, Р3, р4} и {Р2, Р4) могут быть расширены до множества свободных образующих группы Z4). Следовательно, по лемме 4.6.12 мы получаем, что Dabd = {Pl + Р2 + р4} = {(2, 1, 2, 1)}, Dbcd = {Р2 + Рз + Р4} = = {(1, 2, 1, 2)}, Dbd = {Р2 + р4} = {(1, 1, 1, 1)}. Отсюда следует, что
£ (х) —_____________1______________I_____________1______________
(1 — Х1Х3)(1 — XjX4) (1 — х2х3) (1 — XjX4) (1 — х2х4) (1 — х2х3)
_ ________1________________________1 — Х1*2Х3Х4_________
(1 — Х1Х4) (1 — Х2Х3) ~ (1 — Х1Хз) (1 — Х1Х4) (1 — Х2Х3) (1 — Х2Х4)*
у = ____________________________.__________Х[х|хзХ^__________
' (1 — Х!Хз) (1 — Х1Х4) (1 — Х2Хз) ' (1 — XjX4) (1 — х2х4) (1 — Х2Хз)
________Х1Х2ХзХ4____ _ ________Х1Х2Х3Х4 (1 — Х1Х2Х3Х4)__ (1 — Х|Х4) (1 — Х2Хз) (1 — Х1Хз) (1 — XjX4) (1 — х2х3) (1 — х2х4)
Заметьте, что действительно Е(х) = — Е(1/х) и что также E(x) = xlx2x3xiE(x). Это связано с тем, что а^Е тогда и только тогда, когда « + (1, 1, 1, ])<=Е. Обобщением этого факта служит следующий результат.
4.6.16. Следствие. Пусть Е — моноид N-решений системы (17), и пусть ye Zm. Следующие два условия равносильны:
i. E_(l/x) = (-l)dx\E(x),
ii. Е = у + Е (т. е. а е Е тогда и только тогда, когда а 4~ у е Е).
Доказательство. Условие (ii), очевидно, равносильно условию Е (x) = xvE(x). Доказываемое утверждение следует из теоремы 4.6.14. □
Только в самых простых случаях имеет смысл вычислять производящую функцию Е (х) в лоб, как это было сделано в примере 4.6.15. Если, однако, не удается явно вычислить функцию Е(х), мы все же можем сделать некоторые интересные выводы, как скоро будет видно. Сначала нам понадобится предваритель
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
341
ный результат, касающийся производящей функции £(х) специального вида.
4.6.17. Лемма. Пусть Е — моноид ^-решений системы (17), и пусть а\, ..., am е Z—такие коэффициенты, что для каждого reN число g(r) элементов a = (ai, ..., am) моноида Е, удовлетворяющих уравнению L(a):=ai«i+ ••• + <*»>«»> = г, конечно. Пусть G(Z) = Тогда
i. G(X) = £(Xfl‘, ..., Vm)eC(>.), где, как обычно, Е(х.) = = Г,евх’-
ii. Если Е =^= {0}, то degG(X)<0.
Доказательство.
i. Очевидно, что G(Z) = £,(za', ..., X0"1). Так как £(х)еС(х), то и G(?b)eC (X).
ii. В силу формулы (23a) и леммы 4.6.2, достаточно показать, что degE0(A,a‘, ..., Zfl/n) < 0 для всех о е Г. Рассмотрим выражение (28а) для функции Еа(х), выступающей в роли F(x), и пусть Тогда, по формуле (27а), ₽ =
... +6f«/, 0<6;< 1. Следовательно, L(P)<S L(«i)+ ••• ... + /.(аг), причем равенство достигается в том и только том случае, когда t — 0 (то есть о = {0}). Но поскольку {0} ф Г, имеем: £(₽)</.(«!)+ + L(at). Так как моном х₽, вычисленный в точке x = (V'.......Vm), имеет
степень £(₽), то можно заключить, что каждый член числителя дроби Еа(ка'....Vm) имеет степень меньшую, чем
степень /.(aj-j- ... + £(<ч) знаменателя. □
Отметим, что в предыдущем рассуждении для доказательства неравенства degG(X)^0 лемма 4.6.2 нам была не нужна. Она потребовалась лишь для того, чтобы показать, что свободный член G(0) в разложении G(X) «правильный» (в смысле предложения 4.2.2).
Магические квадраты
Мы теперь подошли к первому существенному приложению изложенной теории. Пусть Нп(г) — число квадратных N-матриц n-го порядка, у которых суммы элементов в каждой строке и каждом столбце равны г. Например, 27i(r)= 1 (соответствующая 1 X 1-матрица — это [г]), Н2(г) = г + 1 (соответствующие
[I г — i 1
r — i i J’ 0 г r) и Hn(i)=nl
342
Гл. 4. Рациональные производящие функции
(соответствующие и X «-матрицы — это всевозможные матрицы перестановок). Введем и2 переменных а//, где (i,/)е [n] X [п]. Тогда матрица размера п X п, у которой суммы элементов во всех строках и столбцах равны г, отвечает N-решению системы уравнений:
п п
1^/^«, (30)
/=1 i=i
и ап + а12+ ... +«1п = г. Из леммы 4.6.17 следует, что если Е — моноид N-решений системы (30), то
Е(хч)Х1Гк (31)
f>1
Чтобы продвинуться дальше, мы должны найти множество CF(E).
4.6.18. Лемма. Множество CF(E) состоит из и! перестало >чных матриц размера п\ п.
Доказательство. Пусть л — перестановочная матрица, и пусть &л = си + а2, где си, a2 е Е. Тогда у матриц си и аг имеется не более одной ненулевой компоненты в каждой строке и в каждом столбце (поскольку supp ai s supp л), и, следовательно, эти матрицы кратны матрице л. Поэтому neCF(£).
Обратно, предположим, что л = (лг/)е£ не является перестановочной матрицей. Если л кратна перестановочной матрице, то, очевидно, л ф CF (Е). Поэтому мы можем предположить, что в некоторой строке, скажем с номером й. имеются по крайней мере два ненулевых элемента л,^, л,.^/. Так как столбец с номером /1 имеет ту же сумму, что и строка й, в этом столбце найдется другой ненулевой элемент в столбце /7, скажем ^i2i2-Поскольку строка й имеет ту же сумму, что и столбец ji, существует другой ненулевой элемент в строке й, например лг2/2. Если продолжать рассуждать таким образом, мы в конце концов придем второй раз к некоторому элементу матрицы. Таким образом мы получим последовательность из по крайней мере четырех элементов с индексами (й, /7), (й+i, /7), (й+ь /7+1), • •. ..., (й,/7-1), где is = jr (возможно, началом последовательности будет (й+1,/7) — это неважно). Пусть ai (соответственно аг)—матрица, полученная из матрицы л добавлением единицы к элементам, стоящим в позициях (й,/7), (й+ь/7+i), ..., (й-ь /s-i) (соответственно вычитанием единицы из этих элементов) и вычитанием единицы из элементов, стоящих в позициях
4.6. Линейные однородные диофантоны уравнения 343
(ir+ьл), (tr+2,/г+1), •., (is,/s-i) (соответственно добавлением единицы к ним). Тогда си, аг^£ и 2л = си + аг. Но ни матрица аь ни матрица аг не являются кратными матрицы л, поэтому л ф CF (F). □
Теперь мы подходим к основному утверждению о функции Нп(г)
4.6.19. Предложение. Для фиксированного числа пеР функция Нп(г) является многочленом степени (п— I)2 от переменной г. Поскольку это многочлен, мы можем вычислить его значение в любой целой точке г, причем
Я„(-1) = Я„(-2) = ... =Я„(-п+1) = 0, Нп(—п — г) = Нп (г).
Доказательство. По лемме 4.6.18 каждая матрица л = (лгу)е <=CF(E) удовлетворяет равенству лп + л12+ ... +л1п=1. Следовательно, если положить xlt = k и хг/=1 для i ^2 в разности 1 — хя (где х“ = Пг мы получим 1 — А. Пусть Fn(k) = ^n>0Hn{r)Kr. Тогда по теореме 4.6.11 и лемме 4.6.17 F„(A)— рациональная функция отрицательной степени со знаменателем (1—A)i+1 для некоторого t s N. Тогда из следствия 4.3.1 вытекает, что функция Нп(г) является многочленом от г.
Далее, матрица а является N-решением системы (30) в том и только том случае, когда матрица а + х является Р-решением этой системы, где х —матрица размера п%п, все элементы которой равны единице. Тогда благодаря следствию 4.6.16
£(1/х)=±[1Ь(/)£(х).
Делая подстановку Хц = А и хц = 1 при i > 1, мы получим
F (1/А) = ± А”Л(А) = ± £ (г) Аг,
г>0
где Нп(г) — это число P-матриц с суммой г в каждой строке и каждом столбце. Следовательно, благодаря предложению 4.2.3
Я„(-п-г) = ±Я„0
(знакравен(—l)deBH«(r)). ПосколькуЯп(1) = ... — Нп(п— 1) = 0, мы также получаем, что Я„(—1)= ... =Я„(—п+1) = 0.
Остается только показать, что deg Hn(r) = (n — I)2. Если а = (а//) есть N-матрица с суммой г в каждой строке и каждом столбце, то (а) 0^а1;^г и (Ь) если аг/ заданы для (г, /)е
344
Гл. 4. Рациональные производящие функции
e[n— 1], то оставшиеся элементы определяются
однозначно. Следовательно,
Нп (r) (r + 1)1)’, и поэтому deg Нп (г)(n — I)2.
С другой стороны, если мы произвольно выберем числа а,-/ так, чтобы < aiy < -~y для (z, /) е [n — 1] X [« — 1], то
после дописывания остальных элементов а с той целью, чтобы суммы в строках и столбцах равнялись г, мы получим М-мат-рицу. Следовательно,
„ r (n-2)r\tn-W ( г
так что deg Нп (г) :> (п—I)2. □
Одно непосредственное применение предложения 4.6.19 — это практическое вычисление значений многочлена Нп (г). Поскольку его степень равна (и—I)2, нам достаточно вычислить (и — — 1)2+1 значений, чтобы полностью задать этот многочлен. Так как Нп(— 1)=... =Нп(—п—1) = 0 и Нп{—п — г) = = (—^"-'//„(г), то, вычислив Hn(Q), Нп(1), ..., Hn(i), мы будем знать 2i + и + 1 значений. Следовательно, достаточно взять
( п — 1 \
i=l I, чтобы задать многочлен//,,(г). Например, для на-
хождения многочлена Н3(г) нам достаточно знание тривиальных значений Н3(0) и //З(1) = 3! = 6. Для нахождения многочлена Ht(r) нам нужны только значения //4(0) = 1, Н4(1) = 24, //4(2)=282, //4(3)=2008. Несколько функций Р„(Л) с небольшими п. задаются формулами
^з(л)— (I” Х)5 •
„ . 1 4- 14Л + 87Ла 4- 148Л3 4- 87V 4- 14Л6 4- Xе
/*4 W — (1 — Л)>» ’
Р5(Л) = Р5(Л)/(1-Л)17,
где
р5 (Л) = 1 + ЮЗА. + 4306Л2 + 63 1 ЮЛ3 + 388 615Л4 + 1 115 068Л5 + + 1 575 669Л® + 1 115 068Л7 + 388 615Л8 + 63 11ОЛ9 +
+ 43О6Л1о+ 103Л11 + Л12.
В качестве изменного варианта предложения 4.6.19 рассмотрим задачу о вычислении числа Sn(r) симметричных N-матриц размера п X п с суммами элементов в каждой строке и каж
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 345
дом столбце, равными г. Снова решающую роль играет утверждение, аналогичное лемме 4.6.18.
4.6.20. Лемма. Пусть Е —моноид симметричных N-матриц размера пУ^п с равными суммами элементов во всех строках (и столбцах). Тогда множество CF(E) содержится в множестве матриц вида л или л + л{, где л — перестановочная матрица, ал1 — транспонированная (или обратная) к ней.
Доказательство. Пусть as£. Забывая на минуту, что матрица а симметрична, мы по лемме 4.6.18 получаем, что носитель suppa содержит носитель некоторой перестановочной матрицы л. Тогда для некоторого k е Р (на самом деле подойдет k — 1, но это неважно), мы имеем &а = л + р, где р—N-матрица с одинаковыми суммами во всех строках. Тогда 2ka = k(a + + a*) = (л + л*) + (Р + Р*) Следовательно, supp(n + л') s s supp а. Отсюда следует, что любая матрица 0 из множества CF(E) удовлетворяет условию /0 = л + л* для некоторых / еР и перестановочной матрицы л. Если л = л<, то у должно равняться двум, в противном случае j = 1, откуда следует доказываемое утверждение. □
4.6.21. Предложение. Для фиксированного числа пеР суще-/ п \
ствуют такие многочлены Рп(г) и Qn(r), что degP„(r) = l % J и
5„(r) = P„(r) + (-irQ„(r).
Кроме того,
S„(-l) = S„(-2)= ••• =S„(-«+l) = 0, Sn(~n-r) = (-l)^Sn(r).
Доказательство. По лемме 4.6.20 каждая матрица Р = (Р,у)е е CF (Е) удовлетворяет условию Рп + Р12 + • • + Pin = 1 или 2. Следовательно, если в выражение 1—х₽ подставить х1/ = л и х(/=1 при /^2, мы получим 1—А, или 1 — К2. Пусть G„(A) = Sn(r) hr. Тогда по теореме 4.6.11 и лемме 4.6.17 функция G„(A)— рациональная, имеет отрицательную степень и ее знаменатель имеет вид (1—A.)s(l—А.2)* для некоторых s,/eN. Из предложения 4.4.1 (или более общей теоремы 4.1.1) следует, что Sn(r) = Pn(r) + (—l)rQn(/‘) для некоторых многочленов Рп(г) и Qn(r). Доказательство завершается так же, как в предложении 4.6.19. □
346
Гл. 4. Рациональные производящие функции
Несколько первых функций Gn(X) задаются формулами:
G1 (А-) 1 _ х ’ ^2 (^) (1 — Л)2 ’ (1- Л)«(1+Л) ’ с i\\— 1 + 4Я + ЮЛ2 + 4Х3 + X4 (i-X)7(1 + M Q /1 \ ^5 (X) sW (1-X)4(l+A,)e ’
где У6(Х)= 1 + 21Х + 222Х2 + 1082Х3+3133Х4+ + 5722Х5 + 701 ЗА,6 + 5722Х7 + 3133Х8 + + 1082Х9 + 222Х10 + 2IX11 + X12.
Квазимногочлен Эрхарта рационального многогранника
Красивое и полезное приложение изложенной теории касается некоторой функции 1(0*, п), связанной с выпуклым многогранником 0>. Напомним, что выпуклым многогранником 0 называется выпуклая оболочка конечного множества в пространстве Rm. Многогранник гомеоморфен шару Bd, размерность d которого мы называем размерностью dim^ многогранника. Через д0* и 0> мы обозначаем границу и внутренность многогранника & в обычном топологическом смысле (по отношению к относительной топологии, унаследованной многогранником из стандартной топологии в пространстве Rm). В частности, граница дф гомеоморфна (d— 1)-мерной сфере.
Точка называется вершиной многогранника &, если существует такое замкнутое аффинное полупространство 06 с <=Rm, что &[\0в = {а}. Иначе, точка а является вершиной,если она не является внутренней точкой ни для какого отрезка прямой, содержащегося в многограннике. Пусть V — множество вершин многогранника SP. Тогда V — конечное множество, и &> = cxV (так обозначается выпуклая оболочка множества У). Более того, если ScrRm — какое-нибудь множество, для которого £? = cxS, то V’^S. (Выпуклый) многогранник ZP называется рациональным, если каждая его вершина имеет рациональные координаты.
Если ^czRm — рациональный выпуклый многогранник, an е Р, то мы определим целые числа i(^>, и) и i (9*, п) так:
I (03, n) = card (п0 Л Zm),
i (9, n) = card (п& Л Zm),
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
347
где пЗ9 = {па: Иначе говоря, число i(&,n) (соответ-
ственно i (&, п)) равняется числу тех рациональных точек в множестве (соответственно ^), все координаты которых имеют знаменатель (в несократимом представлении дроби), который делит п. Мы будем называть i(^,п) (соответственно 1(&,п)) квазимногочленом Эрхарта многогранника & (соответственно ^*). Разумеется, мы должны оправдать эту терминологию, для чего нужно показать, что i {&, п) и i (Ф, п) действительно являются квазимногочленами.
4.6.22. Пример.
а. Пусть Фт — выпуклая оболочка множества {(еь ..., ет) е sRm: ef = 0 или 1}, т. е. &т является единичным кубом в пространстве R"*. Очевидно, что 1{Ф, я) = (п+ I)"1 и 7(^, л) = (л — 1)т.
Ь. Пусть ф— отрезок, соединяющий точки 0 и а>0 на прямой R, где а е Q. Ясно, что i(fP, n) = |naj+ 1, то есть является квазимногочленом, наименьший квазипериод которого совпадает со знаменателем числа а, записанного в виде несократимой дроби.
Чтобы доказать основной факт о квазимногочленах Эрхарта I ((Р, п) и I (£?, п), нам понадобится стандартный результат о том, что выпуклый многогранник Ф можно также определить как ограниченное пересечение конечного числа полупространств. Другими словами, для некоторого фиксированного вектора многогранник Ф является множеством всех вещественных решений aeRn конечной системы линейных неравенств a-б а при условии, что это множество ограничено. (Заметим, что уравнение a-d = a равносильно системе двух неравенств а-(—6)^—а и а-6 а, что дает нам право описывать многогранники, используя как неравенства, так и равенства.) Многогранник ф является рациональным тогда и только тогда, когда задающие его неравенства могут быть выбраны таким образом, чтобы их коэффициенты были рациональными (или целыми).
Поскольку на квазимногочленах 1{^, п) и i(t?,n) не сказывается замена многогранника & на многогранник ^ + у, где ye Zm, мы можем предполагать, что все точки многогранника & имеют неотрицательные координаты, что записывается неравенством Теперь мы свяжем с рациональным выпуклым многогранником ^^0 в пространстве Rm моноид E^sNm+\ состоящий из N-решений системы однородных линейных неравенств. (Напомним, что неравенство можно обратить в равен
348
Гл. 4. Рациональные производящие функции
ство, добавив дополнительные переменные.) Предположим, что & — это множество решений а системы
а • 6г 1
где 6геО", Введем новые переменные V = (Yi> , ут) и t и определим Ер N'n+1 как множество всех N-решений системы
Y • 6г ait, 1 I < s.
4.6.23. Лемма. Ненулевой вектор (у, N"14-1 принадлежит мно-
жеству Ер тогда и только тогда, когда y/t — рациональная точка многогранника
Доказательство. Поскольку й3 :> О, любая рациональная точка y/t^fp, где ye Zm и /еР, удовлетворяет условию ye Nm. Следовательно, ненулевой вектор (у, /)eNm+l при />0 принадлежит множеству Ер тогда и только тогда, когда y/t— рациональная точка многогранника 0.
Остается показать, что если (v, t) е Ер и t = 0, то y = 0. Так как 3s — ограниченное множество, то нетрудно видеть, что каждый вектор р#=0 в пространстве К"1 удовлетворяет неравенству р-6, > 0 для некоторого числа i, 1 i s. Следовательно, единственное решение у системы у-6,0, 1 I s,— это у — 0, и утверждение доказано. □
Наша следующая задача — найти множество CF(Ep) вполне фундаментальных элементов моноида Ер. Если а е Q"1, то определим знаменатель den а вектора а как наименьшее целое число q е Р, для которого qa^im. В частности, если aeQ, то den а — знаменатель несократимой дроби, представляющей число а.
4.6.24. Лемма. Пусть 0 — рациональный выпуклый многогранник в пространстве Rm с множеством вершин V. Тогда
CF (Ер) = {((den а) а, den а) :а е V}.
Доказательство. Пусть (у, t) е Ер и предположим, что некоторое число k е Р удовлетворяет равенству
й(У, 0 = (Vi, Л) + (У2, t2),
где (yi( tt)^Ep, t(=£0. Тогда
y/Z = (tjkt) (у,//,) + (t2/kt) (y2/t2),
где (ti/kt) + (t^kt) = 1. Таким образом, вектор y/t принадлежит отрезку, соединяющему векторы Yj/Zj и y2/t2. Отсюда следует, что (у, t) ^CF (Ер) тогда и только тогда, когда y/t eV (так что yjti = Уг//2 = y/t) и (у/О=^/(у', /') для (у', и целых
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
349
/>1. Таким образом, t должно равняться числу den (у, /), откуда следует доказываемое утверждение. □
Теперь легко установить два основных факта о квазимногочленах п) и ЦФ, п).
4.6.25. Теорема. Пусть Ф — рациональный выпуклый многогранник размерности d в пространстве R"1 и V — множество его вершин. Положим F (53, А) = 1 + 1 (^> п) Тогда F (Ф, А) —
рациональная функция отрицательной степени от К, которую можно записать в виде дроби со знаменателем ПаеУ (1—Adena). (Следовательно, в частности, i((P,ri)—квазимногочлен, «правильным» значением которого в точке нуль (t(^, 0)) является единица.) Если Fftf^k) записано в виде несократимой дроби, то А = 1 является полюсом порядка d + 1 и никакое другое значение не является полюсом, порядок которого превышает d +1.
Доказательство. Пусть переменные xi отвечают у,, а у отвечает t в определении производящей функции -Е>(х, у), т. е.
Е#>(х, у)= £ xV.
(v.
По лемме 4.6.23, учитывая, что £>(0, 0)= 1, получаем
Е^(1......1, А) = Е(^>, А). (32)
Следовательно, по лемме 4.6.17 функция F(£P, А) рациональна и имеет отрицательную степень. По теореме 4.6.11 и лемме 4.6.24 знаменатель дроби Е^(х, у) равняется Па<=у(1 — x(dena)“z/den“)-Тогда с учетом (32) знаменателем дроби F^, А) может служить П..Д1 -**“•).
Пусть dim£> равняется размерности векторного пространства (CF(E&)'), натянутого на множество CF (Е» = {((den a) а, dena):aeV). Ясно, что справедливо также представление (СЕ(Е&)) — ((a, 1): ае У). Размерность последнего пространства— это в точности наибольшее количество вершин а е V, которые аффинно независимы в пространстве Rm (т. е. никакие их нетривиальные линейные комбинации с коэффициентами, имеющими нулевую сумму, не обращаются в нуль). Поскольку множество & порождает d-мерное аффинное подпространство в Rm, отсюда следует, что dim Е& = d + 1. Теперь с помощью лемм 4.6.2 и 4.6.4 мы получаем, что
Е^(х, у)= E_(-l)d+1-dlm:a^(x, у),
сг<=Г
350
Гл. 4. Рациональные производящие функции
и поэтому
F(9>, К) = £_(-l/+1-dlm<’E<T(l.....1, Л). (33)
аеГ
Глядя на выражение (28а) для функции Еа(х, у), мы видим, что те члены в разложении (33), для которых dime —d-j-1, имеют положительный коэффициент при (X—l)d+1 в разложении Лорана в окрестности точки Х = 1, в то время как все остальные члены имеют в точке X — 1 полюс, порядок которого не превосходит d. Кроме того, ни один член разложения не имеет полюса порядка, большего d + 1, во всех точках ^еС. Теорема доказана. П
4.6.26. Теорема. (Теорема взаимности для квазимногочленов Эрхарта.) Поскольку — квазимногочлен, его можно определить во всех точках n^Z. Если dim^=d, то i(0,n) = = —п).
Доказательство. Вектор (у, f) е N”1 лежит в множестве Е& в том и только том случае, когда Таким образом,
Б^(1, .... 1, Л)= £ Ц&, п)Кп.
П>1
Доказываемое утверждение теперь следует из теоремы 4.6.14, предложения 4.2.3 и того обстоятельства (которое выяснилось в процессе доказательства предыдущей теоремы), 4Todim£^= = d+l. □
В отличие от теоремы 4.6.11 знаменатель D(Л.) = HesV(l — — A,den“) рациональной дроби F(^, Л.) не является, вообще говоря, знаменателем в представлении ее в виде несократимой дроби. Последний знаменатель делится по теореме 4.6.25 на (1 — X)d+1, но не делится на (1—X)d+2, в то время как £)(%) делится на (1 — Л)|У|. Но |V]=d+l тогда и только тогда, когда & является симплексом. Для чисел являющихся корнями из единицы, вопрос об определении наивысшей степени разности 1 — на которую делится знаменатель несократимой дроби, представляющей функцию Е(ф, X), является очень деликатной и тонкой задачей. Некоторые результаты в этом направлении приведены в качестве упражнений. Здесь же мы удовлетворимся одним примером, который показывает, что очевидного решения эта задача не имеет.
4.6.27. Пример. Пусть &— выпуклый трехмерный многогранник в пространстве R3 с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения
351
и (т* 0’ 4”)' Развитая выше теория не подсказывает никакой причины, по которой представление рациональной дроби F(^, X) в виде несократимой не содержит множителя 1 + А, в знаменателе, но это действительно так. «Совершенно случайно» этот множитель, который содержится в произведении П«еу (1 — A.den“) = (1 — А.)5(1 + А.),- в действительности сокращается, после чего F((P, А,) представляется в виде (1—А.)-4.
Один частный случай теорем 4.6.25 и 4.6.26 заслуживает специального упоминания.
4.6.28. Следствие. Пусть фа Rm— целочисленный выпуклый d-мерный многогранник (г. е. каждая его вершина имеет целые координаты). Тогда i(fP,n) и i(^,n)— многочлены от п степени d, удовлетворяющие соотношениям
i(SP, 0)=1, /(£», -n) = (-l)df(^*, п).
Доказательство. По теореме 4.6.25 знаменатель несократимой дроби Р(Ф, А,) равен (1—A,)-d-1. Теперь можно воспользоваться следствием 4.3.1.
Если SP cRm — целочисленный многогранник, то естественно называть i (&, п) и i (JP, п) многочленами Эрхарта для Ф и Ф. Одно интересное и неожиданное применение многочленов Эрхарта— задача об отыскании объема многогранника ф. Нам понадобится немного более общее понятие относительного объема целочисленного d-мерного многогранника (d-многогранника). Если cz Rm— такой многогранник, то целые точки аффинного пространства <я£, натянутого на iP, образуют абелеву группу ранга d, т. е. ^[\Zm^Zd. Следовательно, существует такое обратимое аффинное преобразование <р: jj?->-Rd, что <р(^П (]Zm)=Zd. Образ <р(^) многогранника является целочисленным выпуклым d-мерным многогранником в пространстве Rd. Следовательно, ф(^) имеет положительный объем (или меру Лебега) v(^), который называют относительным объемом многогранника &. Легко видеть, что v(^) не зависит от выбора <р и поэтому зависит лишь от многогранника 3>. Если d = пг (т. е.
— целочисленный d-многогранник в пространстве Rd), то v(^) —это обычный объем так как отображение ф можно взять тождественным.
4.6.29. Пример. Пусть ^cR2 - прямолинейный отрезок, соединяющий точки (3,2) и (5,6). Аффинная оболочка зФ этого многогранника есть прямая у—2х — 4, и Z2 = {(x, 2х — 4):x<=Z). За отображение ф: ^-^-R мы можем принять отображение ф(х, 2х — 4) = х. Образ ф(5э) — это отрезок [3, 5], имеющий
352
Гл. 4. Рациональные производящие функции
длину 2. Следовательно, v(^*) = 2. Чтобы получить наглядное геометрическое представление, нарисуем изображение многогранника & (рис. 4.10). «Выпрямленный» многогранник & выглядит как на рис. 4.11, причем его длина равна двум, если мы будем смотреть на точки (3,2), (4,4), (5,6) как на последовательные целые точки, лежащие на вещественной прямой.
(5,6)
(3,2)
(4,4) (5,0)
(3,2)
Рис. 4.10.
Рис. 4.11.
4.6.30. Предложение. Пусть Ф cz Rm — целочисленный выпуклый d-многогранник. Тогда старший коэффициент многочлена равен v(0>).
Набросок доказательства. Отображение <р: j^->Rd, определенное выше, удовлетворяет соотношению i(^,n)= i(<p(^),п). Следовательно, мы можем предполагать, что m = d. Пусть задано число пеР. Для произвольной точки Ye^, такой, что пу е Zd, построим d-мерный гиперкуб Ну с центром у и сторонами, имеющими длину 1/п и параллельными координатным осям. Эти гиперкубы прилегают друг к другу и заполняют весь многогранник, за исключением небольшого несовпадения на границе &. Таких гиперкубов насчитывается i(^,n), и каждый из них имеет объем n~d. Следовательно, их суммарный объем равен п-ЩФ, п). При п-+оо объем объединения гиперкубов стремится к объему многогранника (это довольно ясно из геометрических соображений, но несложно строго обосновывается с помощью определения интеграла Римана). Следовательно, limn^ooM_di (^, и) = откуда следует доказываемое утверждение. □
4.6.31. Следствие. Пусть с R"1 - целочисленный выпуклый d-многогранник. Если нам известны любые d чисел ЦФ,1), /(£?, 2), ... или ЦФ, 1), 2), ..., то мы можем однозначно определить
относительный объем v(^).
Доказательство. Поскольку i(^, 0) = 1 и i(^, — п) = п),
то мы знаем d + 1 значение многочлена i (0, п) степени d.
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения 353
Следовательно, мы можем найти этот многочлен и, в частности, его старший коэффициент v (£?*). □
4.6.32. Пример.
а. Если ^c=Rm— целочисленный выпуклый 2-многогранник,то
Эта классическая формула (для т = 2) обычно дается в виде ?(«Р) = {(2Л-В-2),
где А = card (Z2 Л 3s) = i (&, 1) и В = card (Z2 Л дФ) = i (SP, 1) — -Ц0>, 1).
Ь. Если SP cz Rm — целочисленный выпуклый 3-многогранник, то v (5я) = 1 (х (<?, 2) - Зх (<Р, 1) 1) + 3).
Если Rra — целочисленный выпуклый d-многогранник, то / d . \
*)).
X ft-l X « /
Замечание. Следствие 4.6.31 без труда распространяется на случай, когда многогранник & не обязательно выпуклый. Мы лишь должны предположить, что & с Rd — целочисленное полиэдральное d-многообразие. Это означает, что Ф есть объединение выпуклых d-многогранников в Rd, причем пересечение каждых двух многогранников этого семейства является общей гранью обоих, а также что множество рассматриваемое как топологическое пространство, является многообразием с краем. (Предположение о том, что т = d, приводит к тому, что v(^) становится обычным объемом, и нам не нужно беспокоиться о том, что такое относительный объем полиэдрального комплекса.) Единственное изменение, которое нам нужно сделать, состоит в том, что теперь х’(^, 0)= %(^) — эйлерова характеристика многогранника. Подробности оставляем читателю.
Мы закончим раздел двумя новыми примерами.
4.6.33. Пример. (Возврат к предложениям 4.6.19 и 4.6.21)
а. Пусть 55 = QsczRs — выпуклый многогранник всех бис-тохастических матриц размера s X s, то есть матриц с неотрицательными вещественными элементами, суммы которых по строкам и по столбцам равны единице. Очевидно, что М<=гй«П (]ZS тогда и только тогда, когда М является N-матрицей, суммы элементов которой по строкам и по столбцам равны г.
10 Р Стоили
354
Гл. 4. Рациональные производящие функции
Следовательно, многочлен i(Qs, г) — это просто функция Hs(r) из следствия 4.6.19. Лемма 4.6.18 равносильна утверждению, что множество вершин V(QS) состоит из перестановочных матриц. Таким образом, Qs является целочисленным многогранником, и легко видеть, что предложение 4.6.19 вытекает также из следствия 4.6.28.
Ь. Пусть — 2scRs — выпуклый многогранник всех симметричных дважды стохастических матриц размера s X $ Как и в пункте (а), мы убеждаемся, что i(Zs, r) = Ss(r), где Ss(r) — функция из предложения 4.6.21. Лемма 4.6.20 равносильна утверждению, что
V (Es) s | у (Р + Pf): Р — перестановочная s X «-матрица j.
Следовательно, denM = l или 2 для всех матриц М е V(Ss) и утверждения предложения 4.6.21 следуют также из теоремы 4.6.25.
4.6.34. Пример. Пусть P={xi, ..., хр}—конечное ч.у. множество, &— выпуклая оболочка векторов инцидентности порядковых идеалов I множества Р, т. е. векторов вида (еь ..., ер), где б/= 1, если х-;<=1, и е/ = 0 в противном случае. Тогда
^’ = {(а1, • ••, ak)^Rp: O^a^l и если x{^Xj}.
Таким образом, (Ьь ..., Z>p)en£Pf|Zp в том и только том случае, когда (i) ^eZ, (ii) и (iii) b^bj, если
Следовательно, i (5s, и) — Q (Р, п 4- 1), где Q — порядковый многочлен Р.
4.7. Метод трансфер-матрицы
Метод трансфер-матрицы, подобно принципу включения — исключения или формуле обращения Мёбиуса, имеет простую теоретическую основу, но очень широкую сферу применения. Основные исходные понятия теории могут быть разделены на две части — комбинаторную и алгебраическую. Сначала мы обсудим комбинаторную часть. Ориентированным графом D называется тройка (V, Е, <р), где V = {vi, ... vp)—множество вершин, Е— множество (ориентированных) ребер, или дуг, и ср — отображение из Е в УХ V. Если <p(e) = (u, v), то е называется ребром, ведущим из и в v, с начальной вершиной и и конечной вершиной V. Это будет обозначаться так: и — int е и v — fin е. Если u=v, то ребро е называется петлей. Путем Г в D длины п из и в v
4.7. Метод трансфер-матрицы
355
называется такая последовательность 6162 ... еп из п ребер, что int ai = и, fin еп = v и fin ei = int 61+i для 1 i < n. Если к тому же u = v, то путь Г называется замкнутым путем с началом и. (Заметим, что если Г — замкнутый путь, то 6,61+1 • ... en6i ... е,н, вообще говоря, другой замкнутый путь. В некоторых случаях это различие будет игнорироваться.)
Пусть теперь ay; E-+R— весовая функция на множестве ребер Е со значениями в некотором коммутативном кольце R. (Практически для всех целей мы можем считать, что 7? — это поле С или кольцо многочленов над LC.) Если Г = 6.162 ... ... еп — некоторый путь, то вес Г определяется формулой ау(Г)'= w(61)0/(62) ... ау(ел). Мы будем предполагать впредь, что граф D конечен, т. е. что множества V и Е конечны. В этом случае для i, j е [р] и ne N положим
Л/(п) = Ео>(Г), г
где сумма берется по всем путям Г длины п в графе D, идущим из вершины Vi в вершину у/. В частности, Л,/(0) = б,/. Фундаментальная проблема, которую можно решать с помощью метода трансфер-матрицы, — вычисление чисел Л,/(п). Первый шаг состоит в том, чтобы интерпретировать эти числа как элементы некоторой матрицы. Определим матрицу Л=(Лр) размера р X Р соотношениями
Л£/ = Е ® (е), е
где суммирование распространяется на все ребра е, для которых int е = Vi и fin е = Vj. Другими словами, Л,7 = Лр(1). Матрица Л называется матрицей инцидентности графа D относительно весовой функции w.
4.7.1. Теорема. Пусть п е № Тогда элемент матрицы Ап, стоящий на (1,])-м месте, равен Ац(п). (Здесь мы по определению считаем, что Ай — 1, даже если матрица А не обратима.)
Доказательство. Этот факт сразу вытекает из определения матричного умножения. А именно
(An)ij= Е АщА^ ... Л(П1/,
где сумма берется по всем последовательностям (й, ..., й-1)е е[р]"-1. Слагаемое обращается в нуль, если не существует пути 6162 ... еп из о, в Vj, удовлетворяющего соотношениям fin6ft = vik (1 < п) и infe* = Vik_l (1 < k^n). Если такой путь
существует, то слагаемое равняется его весу, а матричный элемент— сумме весов по всем таким путям, т. е. числу Л,/(п). П
10*
356
Гл. 4. Рациональные производящие функции
Второй шаг метода трансфер-матрицы заключается в использовании линейной алгебры для анализа поведения функции А(у(п). Определим производящую функцию:
Ftl(D, Х) = Е Л/(п)Г.
п>0
4.7.2. Теорема. Производящая функция Fu(D,k) вычисляется по формуле
Р (Г) П (-l/+/det(Z-U: /, О
X) — det, (34)
где символом (В: j, i) обозначается матрица, полученная из матрицы В удалением j-й строки и i-го столбца. В частности, Fi/(D,k) является рациональной функцией от X, степень которой строго меньше кратности по нуля как собственного числа матрицы А.
Доказательство. Flt(D, X) — это (г, /)-й элемент матрицы Еп>о^П^" = (^ — А-Л)-1. Если В — произвольная обратимая матрица, то, как хорошо известно из линейной алгебры, (В-1)г/= = (— l)i+/det(B: /, Z)/detB, откуда следует равенство (34).
Теперь предположим, что А является рХр-матрицей. Тогда
det (I - ХА) = 1 + оцХ + ... + ар_„0Хр-По,
где многочлен '
(—1)р (ар-пЛл° + .. • + аА₽ 1 + Хр)
есть характеристический многочлен det (Л — X/) матрицы А. Тогда для степеней многочленов от Л получаем соотношения degdet(Z— ХА) = р — п0, degdet(Z— ХА: j, i)^p—1. Следовательно,
degF{j(D, Х)<р — 1 — (р — По) <По. □
Один частный случай теоремы 4.7.2 особенно изящен. Пусть
св(») = Еш(Г), г
где сумма берется по всем замкнутым путям Г в графе D, имеющим длину п. Например, CD(1) = tr А, где tr означает след.
4.7.3. Следствие. Пусть Q(X) = det(7— ХА). Тогда
П>1
4.7. Метод трансфер-матрицы
Доказательство. По теореме 4.7.1 получаем
CD (п) = X Аи (л) = tr Ап. /“1
Пусть И], ..., (о9 — ненулевые собственные числа матрицы А. Тогда tr Ап = ш" + ... + со", поэтому
1 — ‘
После приведения к общему знаменателю (1—(OjA.) ... (1—= = Q (Л) получим — AQ' (A)/Q (Л). (Этот результат может быть вы-
веден также непосредственно из теоремы 4.7.2.)
Изложив основы теории, рассмотрим некоторые примеры.
4.7.4. Пример. Пусть f(n) — число таких последовательностей сцаг ... ап<= [3]", у которых в качестве двух последовательных символов ага1+1 не встречаются комбинации 11 и 23. Пусть
з
Рис. 4.12.
D — ориентированный граф с множеством вершин V = [3], в котором ребро (г, j) присутствует, если символу / разрешается следовать за I. Тогда D задается рисунком 4.12. Если положить. ау(е)= 1 для всех ребер, то очевидно, что/(л) = 2j( /=i Ац(п~ О-Полагая Q(X)=det(/— АЛ), Q,/(X) = det(/ — АЛ: j, i) и пользуясь теоремой 4.7.2, находим
п>0
Далее,
’О 1 Г А — 1 1 0 , -1 1 1-
358
Гл. 4. Рациональные производящие функции
и прямым вычислением получаем, что
(Z А,4) 1-2А-А2 + А3
Отсюда вытекает, что
(1 - Л)2 Л
Л(1-Л) 1-А.-А.2
к Х(14-Л)
3 + А — А2
1 — 2А — А2 + А3 ’
Ц1 — Л.) -
Л2
1 - Л - А2-
(35)
что равносильно соотношению
п>0
1 + А
1 — 2А — А2 + А3 ’
В данном случае нам в действительности не нужно вычислять (Z— А.Л)-1 для того, чтобы получить соотношение (35). Сначала можно вычислить определитель: det (Z — ХД) = 1 — 2А — А2 + АА Так как это многочлен третьей степени, то из теоремы 4.7.2 следует, что degZ7(X)<0. Следовательно, числитель рациональной дроби Z7(A) определяется начальными значениями f(l) = 3, f(2) = 7, f(3)= 16. Это вычисление значительно проще, чем отыскание (Z — АЛ)-1.
Теперь предположим, что мы наложили дополнительное ограничение на последовательность aia2 ... ап'- или 23.
Пусть g(n)—число таких последовательностей. Тогда g(n) = = CD(n) — число замкнутых путей длины п в графе D. Следовательно, без дополнительных вычислений мы получаем, что
V* а (пХ iп __ А (2 + 2А ЗА2)
L — ! _2Х_Л2 + Лз • (36)
п 1
Несколько интригующим обстоятельством является то, что, в отличие от случая последовательности f(n), нам не понадобилось учитывать начальные значения. Обратите внимание, что формула (36) дает g(l) = 2. Наши правила запрещают одночленную последовательность 1, так как для нее anai = И. Этот пример иллюстрирует общее явление, когда применение следствия 4.7.3 для малых значений п (не превосходящих числа р—1) дает значения CD(n), не согласующиеся с нашими комбинаторными ожиданиями.
4.7.5. Пример. Пусть f(n) — число таких слов (т. е. последовательностей) а\а2 ... ап е [3]", которые не содержат подслов вида atai+\ = 12, а также а,а,+1аг+2 = 213, 222, 231 или 313. На первый взгляд метод трансфер-матрицы здесь неприменим, так как разрешенное значение а, зависит не только от непосредственно предшествующего значения ai-\. Эта трудность, однако,
4.7. Метод трансфер-матрицы
359
обходится с помощью простого приема: нужно сделать ориентированный граф D настолько большим, чтобы в него была включена необходимая предыстория. В нашем случае мы возьмем У = [3]2, а ребра (ab, Ьс) проведем в том случае, когда последовательность abc является разрешенным подсловом из трех последовательных символов. Таким образом, граф D оказывается таким, как изображено на рис. 4.13. Если положить все веса w(e) равными единице, то
f(n)= Е АаЬ>са(п-2).
» ab, cd eV
Тогда E„>of(n)V является рациональной функцией со знаменателем Q(2l)=det(7 — Л.Л) для вполне определенной матрицы/1 размера 8X8 (а не 9X9, поскольку вершина 12 не используется).
Ясно, что использованный в этом примере прием можно с равным успехом применить для доказательства следующего утверждения.
4.7.6. Предложение. Пусть S — конечное множество, a ST— конечное множество, состоящее из конечных слов, которые составлены из символов (букв), принадлежащих множеству S. Пусть f(n)—число таких слов aia2 ... an^Sn, которые не содержат подслое atai+i ... ai+j, принадлежащих множеству ST. Тогда Еп>о/(П)^п еС(Л). (То же верно и в случае, если мы будем рассматривать индексы, встречающиеся в словах aiOi+i ... ai+j, по модулю п. Если g(n) обозначает число таких допустимых слов, то в этом случае 2п>1^(п)А,Л = —A.Q'(A-)/ /Q (Л.) для некоторого многочлена Q (Л) s С [Л] при условии правильной интерпретации чисел g(n), когда п мало.)
360 Гл. 4. Рациональные производящие функции
Хотя для вычисления производящих функций, о которых идет речь в предложении 4.7.6, применяются особые методы (см. упр. 14), метод трансфер-матрицы по крайней мере дает прозрачное доказательство того, что производящие функции рациональны. 4.7.7. Пример. Пусть f(n) — число таких перестановок aiаг • •• ... ап е ©п, для которых | а, — г[ = 0 или 1. Снова может показаться, что метод трансфер-матрицы не применим из-за того, что разрешенные значения аг зависят от всех предыдущих значений ai......а,_1. Заметьте, однако, что для а,-, существует
всего три возможности, а именно: i— 1, i или i + 1. Кроме того, ни одно из этих значений не может быть использовано для членов последовательности, стоящих перед аг_2. Таким образом, допустимые возможности для а, зависят лишь от того, как выбраны значения для а,_2 и а(-ь Поэтому метод трансфер-матрицы применим. Множество вершин V ориентированного графа D состоит из тех пар (а, 0)е{—1,0,1}2, для которых возможны соотношения а,- — i = а и ai+i — i — 1 = 0. Ребро соединяет пару (а, 0) с парой (0, у), если возможны соотношения а/ — i = = а, ai+\ — i—1=0, ai+2 — i — 2 = у. Таким образом, V = = {vi, Vj}, где У1=(—1,—1), и2 = (—1,0), у3 = (—1,1), р4=(0,0) у5= (0, 1), у6=(1,—1), р7=(1, 1)- (Заметим,что (1,0) не может быть вершиной, потому что если а, — i = 1 и аж — — I—1=0, то ai = аж-)1) Если для вершин (а,, аж) употреблять запись а,а(+1, то мы увидим, что путь (ata2, а2аз), (а2аз, а3а4)....(artart+i, «п+1ам-2) длины п в графе D отвечает
перестановке 1 + aj, 2 + а2, .... п + 2 + ал+2 множества [п + + 2], которая удовлетворяет сделанным ограничениям, если aj —1 и ап+2=т^1. Следовательно, f(n + 2) равняется числу путей длины п в графе D, ведущих из одной из вершин р4, рб, Ре,, Vj в одну из вершин Vi, и2, р4, Ve- Таким образом, если положить ау(е)= 1 для всех ребер е в графе D, то
f(« + 2)= Е Е J-4, 5, 6, 7 /-1, 2, 4, 6
Матрица инцидентности А такова:
'1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 10 0
0 0 0 0 0 1 1
А = 0 0 0 1 10 0
0 0 0 0 0 1 1
0 1 10 0 0 0
1о 0 0 0 0 0 1
Ч По такой же причине не рассматривается вершина (0, —1). — Прим.
перев.
4.7. Метод трансфер-матрицы
361
Для нее Q (А) = det (7 - М) = (1 - Л)2 (1 — к - Л2). Как и в примере 4.7.4, мы можем найти вид числителя функции Sn>tJ(n + 2) Л", используя начальные значения вместо отыскания (7 — ХА)-1. По теореме 4.7.2 многочлен (1 — Х)2(1 — X — Х2)Х X+2)Л" может иметь степень, не превышающую deg Q(X) + 3 = 7, поэтому для вычисления производящей функции S„>of(n)^" нам НУЖНЫ начальные значения /(0), f(l), ... ..., f(7). Если проделать эту работу, мы получим
Е ?<»>*•. (ап «>0
так что f(n) — это в точности число Фибоначчи
Аналогично мы можем искать число g (п) таких перестановок ... апе®п, что аг —ZssO, ±1 (mod/г). Это приведет к необходимости разрешить значения at=n и ап = 1, после чего g(n) станет просто числом замкнутых путей (aIa2, а2а3), («газ, «зсц)» • • • .(оп-1ап, апа1)> (an«i, “Л) в графе D, имеющих длину п. Следовательно,
У „ /..X МГ (X) 2Х , (1 + 2Л)
П>1
Таким образом, g(n) = 2-|- Ln, где Ln — п-е число Люка, которое определяется по закону 7,1 = 1, 7,2=3, Ln+z = Ln+\ + Ln. Обратите внимание на «неправильные» значения g(l) = 3, g(2) = 5.
Очевидно, что предыдущие рассуждения допускают следующее обобщение.
4.7.8. Предложение.
а. Пусть S— конечное подмножество множества Z. Пусть fs(n) —число таких перестановок aia2 ... a„(=©rt, для которых aj — i^S при всех I е [п]. Тогда >0 fs (п) Л" е С’(Х).
Ь. Пусть gs(ri)—число перестановок a,ia2 ... ап е ®п, для которых при всех i е [п] существует такое число j <= S, что ai — i = /(mod и). Если подходящим образом интерпретировать значения gs(n) при малых п, то существует многочлен Q (X) <= 'С [1], для которого t gs («) X" = — XQ' (X)/Q (X).
Читателя, без сомнения, волнует, нет. ли, ввиду простоты производящих функций (37) и (38), более легкого способа их отыскать. (Бесспорно, кажется необязательным вычисление характеристического многочлена матрицы размера 7X7, в то
362 Гл. 4. Рациональные производящие функции
время как окончательным ответом является дробь 1/(1—X — — X2). Пять собственных чисел 0, 0, 0, 1, 1 производят впечатление не имеющих отношения к задаче. В действительности привлечение вершин vi и не является необходимым для вычисления f(n), но у нас все же остается матрица размера 5X5.) Это приводит нас к важному отступлению — методу разложения слов в свободном моноиде. Несмотря на то, что этот метод имеет ограниченную область применения, он необыкновенно изящен и прост в тех случаях, когда он работает.
Разложение на свободные моноиды
Пусть — конечное множество, называемое алфавитом. Словом называется конечная последовательность aia2 ... ап его элементов, включая пустое слово 1. Множество всех слов в алфавите обозначается .$#*. Определим произведение двух слов и — й1 ... ап и v=bi ... bm приписыванием их друг к другу:
uv = а! ... ... bm.
В частности, lu — ul—u для всех Множество «s$*
с только что определенным произведением называется свободным моноидом на множестве si. Если и — ai ... ап е где at ^.si, то определим длину 1(и) слова и равной п. В частности, /(1) = 0.
Если — любое подмножество в si*, то положим
<g’n = {ue<g’: 1(и)~ п}.
Пусть &—подмножество (возможно, бесконечное), и пусть — подмоноид в .$/*, порожденный 9S. Это значит, что 9%* состоит из всех слов и\и2 ... ип, где ш е $. Мы будем говорить, что подмоноид свободно порожден множеством если каждое слово и е 91* может быть представлено в виде и\и2 ... ... ип, nt е 91, единственным образом. Например, если si = = {а, Ь} и 9S — {a, ab, aab}, то подмоноид $* не является свободно порожденным множеством 91 и является свободно порожденным множеством {a, ab}. С другой стороны, если -9S — {a, ab, Ьа}, то подмоноид 91* не является свободно порожденным никаким подмножеством моноида si* (так как aba = a-ba — ab-a).
Теперь предположим, что имеется весовая функция w.si-^R (где R— коммутативное кольцо), и положим w(u) = w(a\) ... ... o>(an), если и = а\ ... ап, a^si. В частности, &у(1)= 1. Для каждого подмножества a si* введем производящую функцию
«?(Л) = £ w(u)x'(B)e^[[X]].
4.7. Метод трансфер-матрицы 363
Таким образом, коэффициент f(n) этого ряда при X" равен r w (и). Следующее предложение почти очевидно.
4.7.9. Предложение. Пусть & — подмножество моноида •$£*, которое свободно порождает подмоноид f%*. Тогда
Доказательство. Мы знаем, что
(ft \
П Z w(u) ).
/=1 J
Умножая члены равенства на %" и суммируя по всем «е N, получаем требуемый результат. □
Как мы скоро увидим, даже это незамысловатое утверждение имеет интересные приложения. Но сначала мы попытаемся получить результат, аналогичный (применительно к ситуации, в которой мы находимся) следствию 4.7.3. Оказывается, нам потребуется, чтобы моноид SS* удовлетворял более сильному условию, нежели свободная порожденность множеством SS. (Это условие зависит от характера вложения в г^*.) Если свободно порожден множеством то мы будем говорить, что подмоноид & очень чистый, если выполняется следующее условие, называемое единственностью циклического разложения (ЕЦР):
(ЕЦР) Пусть u=«i«2 где щ Тогда для
однозначно определяемых целых чисел 0 = по < tii < п2 < • • • ... < tik п мы имеем
Un.+lUn.+2 .. • UnE=&, Un,+lUn +2 ... , Un.+lUnt+2 •.. Un£=$.
U U 1 IX « к к
Если для некоторого i е[п] циклическая перестановка вд+,... ... unui ... «i-i слова и принадлежит множеству &*, то i = = tij + 1 для некоторого числа <j, 0 j ^.k.
Другими словами, если буквы, составляющие слово и, расставить вдоль окружности по часовой стрелке (как изображено на рис. 4.14), не отмечая первую букву ыь то существует единственный способ расстановки черточек-разделителей, при котором буквы, заключенные между разделителями, образуют (при чтении по часовой стрелке) слова из множества Я. См. рис. 4.15.
Например, если = {а} и & = {аа}, то не удовлетворяет свойству ЕЦР, так как слово и = аааа можно подвергнуть «циклическому разложению» двумя способами, изображенными на рис. 4.16. Точно также, если ^—{а, Ь, с} и & = {abc, са,Ь}, то подмоноид 3S* снова не обладает свойством ЕЦР, так как слово и = abc можно циклически разбить так, как показано на
364
Гл. 4. Рациональные производящие функции
рис. 4.17. Заметьте, что в обоих случаях свободно порождается множеством
Хотя это не является необходимым для дальнейшего, мы приведем, для полноты, следующую характеризацию очень чистых моноидов. Доказательство оставляем читателю.
4.7.10,. Предложение. Предположим, что подмоноид свободно порожден подмножеством S& с Следующие два свойства равносильны:
i. 3S* очень чистый',
4.7. Метод трансфер-матрицы 365
ii. Если uv <= ST и vug^’, to и
t> e= $*. ' □
Теперь предположим, что подмоноид обладает свойством ЕЦР. Если «у е s4- и и — и}и2 ... ип е , то назовем .$£"-сопряженным со словом и слово и.и,,, ... и„и, ... и. . е л/’. Положим g(n) — X w (и), где сумма берется по всем различным словам и, ^’-сопряженным с некоторым словом из $’. Например, если st- = {а, Ь} и & = {a, ab}, то g(4) = wfaaad) + w(aaab) + w(aaba) + + w(abad) + w (baaa) + w (abab) + w(baba) = w (a4) + 4u> (a)3 w (b) -|--|- (a)2 w (b)2. Определим производящую функцию
В(Л)= X g(n)kn.
п>1
4.7.11. Предложение. Предположим, что — очень чистый моноид. Тогда
d
Я <« = -iW = Я
или, в равносильной форме,
Г(Л) = ехр£-£^1. (39)
П>1
Первое доказательство. Зафиксируем слово v е Пусть gv(ri)— сумма весов различных слов ... ui-i, ^’-сопряженных к некоторым словам из множества и удовлетворяющих условию UjUl+i ... uk = v для некоторых j Ci и k i. (Отметим, что из условия ЕЦР следует единственность индексов j и kA Если l(v)=m, то, очевидно, gv(n)— mf(n— m), где
W = Xn>o^(n)^n- Следовательно,
g{n)= X g0(n)= S mb (m) f {n - m), оей m=0
откуда
^(Л) = ( X mb(m)Xm}@*(k). □
\m>0 /
Наше второе доказательство предложения 4.7.11 опирается на чисто комбинаторную лемму, проясняющую связь между «обычными» словами из подмоноида и их ^’-сопряженными. Это и есть тот общий результат, который был упомянут после первого доказательства леммы 2.3.4.
366 Гл. 4. Рациональные производящие функции
4.7.12. Лемма. Предположим, что ЗВ*— очень чистый подмоноид. Пусть fk(n) = Xu w (и), где и пробегает множество всех слов в которые являются произведениями k слов из Пусть Sk (п) = X» ® (у), где и пробегает множество всех {различных) слов, .$£*-сопряженных к вышеописанным словам и. Тогда nfk(n) = kgk{n).
Доказательство. Пусть А — множество упорядоченных пар (u,i), где слово, являющееся произведением k слов
из множества a i е [п]. Пусть В — множество упорядоченных пар (v,j), где v принадлежит множеству слов описанного в условии типа, a j <= [£]. Очевидно, что |Д |= nfk(n), а |В| = = kgk{n). Определим отображение ф: А-+В следующим образом. Пусть и = и.и, ... и =v,v„ ... vb (= &*, где и, о,
* 1 Л ft 1 Z К П' • ’ I ' I
Тогда положим
ф(и, i) = (Uiui+l ... ut_i, j),
где щ — одна из букв, входящих в слово Vj. Легко видеть, что ф является биекцией, которая сохраняет вес первой компоненты, откуда следует утверждение. □
Второе доказательство предложения 4.7.11. По предыдущей лемме
nf (n) = X nfk (п) = X kgk (п). (40)
k k
В правой части этого равенства подсчитываются все пары (о, щ), где v — слово, ^‘-сопряженное к некоторому слову ... vk<^ ^&п, где Такое слово v можно единственным образом
представить в виде v'/vf+i ... vkvlv2 ... v^v", где v'^Vj — Vj. Мы свяжем со словом v упорядоченную пару (о£о£+1 • • • Oyt>y+1 ... vt_{o"), тем самым установив биекцию между упомянутым множеством пар (v,vi) и множеством пар (yi,ys), где yi е а слово у2 является ^‘-сопряженным к некоторому слову из множества &*, причем /(«/i)+ l{yz)= п. Следовательно,
п
X kgk(n) = X f (i)'g (п — i). k i=0
Это равенство, если учесть соотношение (40), означает, что A-^-^*(k) = ^*(A)^(X). □
Заметьте, что если Я!— конечное множество, то функции ^(Х) и ^*(%) рациональны. Дополнительная информация об этом предмете содержится в упражнении 5.
4.7. Метод трансфер-матрицы
367
4.7.13. Пример. Посмотрим еще раз на лемму 2.3.4 с точки зрения леммы 4.7.12. Пусть S& = {0, 1} и ^ = {0,10}. Выбор слова, ^’-сопряженного к элементу из который является произведением т — k слов из множества соответствует выбору k точек, никакие две из которых не являются соседними, из множества т точек, расположенных по окружности. (Позиции, в которых стоят единицы, соответствуют выбранным точкам.) По-/ т — k \
скольку имеется I I перестановок последовательности, \ /
содержащей т — 2k раз символ 0 и k раз слово 10, мы видим, ( m — k\ IT . _
что J- лемме 4.7.12 получается, что
пг f tn — k\
gm-k(m) =------г I . I, что составляет содержание леммы
nt Л /J J
2.3.4.
4.7.14. Пример. Вспомним упражнение 14(c) главы 1, в котором устанавливалось, что количество разложений числа п на слагаемые, равные 1 или 2, равно числу Фибоначчи Fn+i- Мы можем
Рис. 4.18.
Рис. 4.19.
Рис. 4.20.
представить себе такое разложение в виде слоя кирпичей длины 1 или 2. Например, разложение 1+1+2+1+2 изображено на рис. 4.18. Упорядоченная пара (а, Р) таких разложений числа п соответствует, таким образом, двум слоям кирпичей, как на рис. 4.19. Вертикальные отрезки, идущие сверху донизу, расчленяют нашу кладку на более короткие блоки. Например, рис. 4.20 показывает разложение кладки, изображенной на рис. 4.19. Простые блоки (то есть блоки, которые не поддаются дальнейшему разложению) показаны на рис. 4.21. Поскольку
368
Гл. 4. Рациональные производящие функции
всего имеется Fn+i пар (а, Р), мы получаем, что
п >0
_ 1-Х
(1 + Л)(1-ЗЛ + Л») ’
Рассуждениями подобного типа можно, в принципе, получить комбинаторное вычисление производящих функций En>o^n+iX” для произвольного k е Р. Однако уже для k — 3 перечисление простых блоков является непростым делом.
(Ь)
(с)
Рис. 4.21.
Теперь мы с помощью формулы (37) и (38).
предложений 4.7.9 и 4.7.11 выведем
4.7.15. Пример. Изобразим перестановку ... ап <= в виде ориентированного графа, располагая вершины сп........vn по
прямой и соединяя вершину vt с вершиной va( ориентированным ребром. Например, перестановка 31542 изображается ри
Рис. 4.22. Рис. 4.23.
сунком 4.22. Перестановка aia2 ... ап е ®л, для которой | а» — — i| = 0 или 1, в таком случае изображается последовательностью графов G и Н, изображенных на рис. 4.23. Другими словами, если мы рассмотрим множество з£ = {а,Ь, с} и слова G = а,Н — Ьс, то функция f(n), рассмотренная в примере 4.7.7, дает число слов в множестве &п> где & = {а,Ьс}. Выбирая веса' w(d)= w{b)= w(c) = 1, мы с помощью предложения 4.7.9 находим, что
Е f(n)V=r(x)=(i-^(x))-’,
п>0
где & (к) = w (а) к1 <а> + (6с) = % + X2. Далее рассмотрим
число g(n) таких перестановок е для которых
at — ( = 0, ±l(modn). Каждый циклический сдвиг некоторого
4.7. Метод трансфер-матрицы
369
слова из множества приводит к перестановке такого вида. Кроме того, имеются еще ровно две такие перестановки (при п^З), а именно 234 ... nl и «123 ... п—1, которые изображены на рис. 4.24. Следовательно,
„ Х-^-^(Х) V,
Zs<">v=-nW+E2V=
П>1 П>1
Х(1+2Х) . 2%
1-Х- Xs "Г 1-Х
при условии правильной интерпретации чисел g(l) и g(2).
(Две ориенгации ребер и 2m> 4 вершин)
Рис. 4.25.
4.7.16. Пример. Пусть f(n) — число перестановок сцаг ... ап е е для которых at — i — ±1 или ±2. Применение метода трансфер-матрицы было бы в данном случае довольно тяжеловесным. Гораздо более изящным оказывается метод разло
370
Гл. 4. Рациональные производящие функции
жения. Перестановки, число которых равняется f(n), представлены последовательностью графов, изображенных на рис. 4.25.
Следовательно, ^(Х) = Х2 +Х4 +2 и
X f(n)X» = ^(X) = (l-X2-^4--f^-)"1 = т >0
__________1-Х________
-' 1 — X — X2 — X3 — X4 + Xs '
Теперь предположим, что разрешены также равенства а, — i — = 0. Определим f*(n) как число перестановок aia2 ... ап е <Зл, удовлетворяющих соотношениям а/ — i = ±l, ±2 или 0. Имеются ровно два новых элемента множества помимо только что
vl.
перечисленных. Отвечающие им графы изображены на рис. 4.26. Следовательно,
£ f(n)Xn = (l-X-X2-X3-X4-I^r)-1 = Л>0
_ 1 -к
1 — 2Х - 2Х3 + X6 •
4.7.17. Пример (й-несогласующиеся перестановки). В разд. 2.3 мы обсуждали задачу подсчета числа fk(n) k-несогласующихся перестановок aia2 ... але<5л, т. е. перестановок, удовлетворяющих условию а{ — i 0, 1, ..., k — 1 (mod п). Мы обнаружили, что
п
fk (n) = S (— 1)' r{ (п) (п — 1)1, i=0
где г/(п)—число способов расстановки i ладей, не бьющих друг друга, на доске
Вп = {(г, s) е [n]X [n]: s-r30, 1, ..., k — 1 (modn)}.
4.7. Метод трансфер-матриДы
371
Отыскание чисел г,(п), которые служат коэффициентами ладейного многочлена Р„ (х) = г{ (п)х1, можно осуществить методами, подобными тем, что применялись для вычисления коэффициентов gs(n) в предложении 4.7.8. Метод трансфер-матрицы может нам подсказать общий вид производящей функции Рь(х, у) = Yin^i^n(x) Уп (ПРИ подходящей интерпретации многочленов Rn(x) для n<.k), после чего метод разложения дает простой способ вычисления Fk(x, у) для малых значений k.
Сначала рассмотрим подход с помощью трансфер-матрицы. Мы начнем с первой горизонтали доски Вп и либо поставим ладью на одну из клеток этой горизонтали, либо оставим горизонталь свободной. Затем перейдем ко второй горизонтали и либо поставим на одну из ее клеток ладью, не бьющую поставленную ранее, либо пропустим вторую горизонталь. Если продолжать эту процедуру, то число вариантов, которые возникают, когда мы переходим к i-тл горизонтали, зависит от способа расстановки ладей на предыдущих k— 1 горизонталях. Поэтому
Рис. 4.27.
за вершины нашего ориентированного графа Dk мы принимаем все возможные способы расстановки не бьющих друг друга ладей на k—1 последовательных горизонталях доски Вп. Две таких расстановки, Pi и Р2, соединяются ребром, если последние k — 2 горизонтали расстановки Pi совпадают с первыми k — 2 горизонталями расстановки Р2, и при наложении Pi на Р2 (при котором получается конфигурация из k горизонталей) ладьи по-прежнему не бьют друг друга. Например, граф £>2 показан на рис. 4.27. Стрелка, ведущая от вершины и к вершине v, отсутствует потому, что соответствующее наложение горизонталей будет таким, как на рис. 4.28, что запрещено. Граф D4 имеет 14 вершин. Типичное ребро показано на рис. 4.29. Если наложить эти две вершины, то получится разрешенная конфигурация, изображенная на рис. 4.30. Положим вес w(Pi,Pz) ребра (Pi, Pi) равным xv(/4 где v(P2)—число ладей на последней горизонтали конфигурации Р2. Очевидно, что в таком случае замкнутому пути Г длины п в графе Dk, имеющему вес xv<r>,
372
Гл. 4. Рациональные производящие функции
отвечает расстановка м(Г) не бьющих друг друга ладей на доске Вп (при условии, что n^k). Следовательно, если Ak — матрица инцидентности графа Dk с весовой функцией w, то
Rn (х) = tr At, n^k.
Тогда если Qk(k) = det (7 — Ы) <= £ [х, Л], то с помощью следствия 4.7.3 мы получаем
2>>l'=-W (41)
П>1
Например, при k = 2 («задача о супружеских парах»), если
X
X
Рис. 4.28.
X
X
X
X
Рис. 4.31.
X
упорядочить вершины, как на рис.
заключить, что
4.31, то из рис. 4.27 можно х' О , х -
так что
' 1 — Л — кх — кх '
Qfe(X) = det —к \-кх О
- — к — кх 1 — кх -
= 1 - Л(1 + 2х) + Л2х2.
4.7. Метод трансфер-матрицы
373
Поэтому
У Р (гН"- М»+2х)-2Х*х* .
2j W А — 1 - к (1 + 2х) + к2х2 'k ~ 2>-n> 1
Если применять эту технику в случае k = 3, то придется вычислять определитель матрицы размера 14X14. Метод разложения приводит к гораздо более простым вычислениям. Рассмотрим расстановку Р не бьющих друг друга ладей на доске Вп (или на любом другом подмножестве множества [п] X [п])
i > 1 вершин п >2 вершин
Рис. 4.34. Рис. 4.35.
как ориентированный граф с вершинами 1, 2, ..., п. Вершина i соединяется ребром с вершиной /, если ладья стоит в клетке на i-й горизонтали и /-й вертикали. Например, расстановка, изображенная на рис. 4.32, отвечает ориентированному графу, показанному на рис. 4.33. В случае k = 2 каждый такой граф —
374
Гл. 4. Рациональные производящие функции
это набор простых графов, изображенных на рис. 4.34, и еще одного дополнительного графа (рис. 4.35). Если мы снабдим такой ориентированный граф с q ребрами весом xq, то, согласно предложению 4.7.11, получим
Е w;-' - /-Ж» + £ Л". <42>
п>1 п>2
где
= х% + Т=7Г •
Это дает такой же ответ, как и раньше, за исключением того, что получается правильное значение /?i(x) = 1 4-х вместо не-
Рис. 4.36.
правильного /?i(x)= 1 4-2х. Чтобы получилось /?i(x)= 1 4- 2х, пришлось бы заменить ряд ^п>2хпкп в соотношении (42) рядом ^п>1хП^П- Таким образом, мы в действительности считаем первый граф из числа изображенных иа рис. 4.34 дважды: первый раз как простой, а второй раз — как дополнительный.
Если применять описанный метод в случае k — 3, это на первый взгляд кажется крайне трудным делом из-за того, что воз-
0 СГ*~ хг лэ •••б''о •• • <Г w'o
ii 2 вершин i 5: 2 вершин д
Рис. 4.37.
никающее при этом множество простых графов может быть очень сложным, например, как на рис. 4.36. Простой прием устраняет это препятствие. Именно вместо того, чтобы использовать доску Вп (/, j + О, (/• / + 2) (mod n)}, мы возь-
мем доску B'n = {(j- 1, /), (’/>/)- (/> / 4-1) (mod п)}. Ясно, что Вп и В'п изоморфны и поэтому дают одинаковые ладейные многочлены. Однако что удивительно, доска В'п приводит к гораздо более обозримому набору простых расстановок, нежели доска Вп. Такие расстановки для В' показаны на рис. 4.37. Кроме них
4.7. Метод трансфер-матрицы 375
имеются две дополнительные расстановки (рис. 4.38). Поэтому
„ X -Х- Л (X) „
£ Rn (х) Г = + 2 X Л" (43)
п>1 п>3
где
$(Х) = X + хХ + х2Х2 + 2 J] x'-’V = f>2
= Л + *Х + х2Л2 1 1 — хХ
Если в формуле (40) заменить ряд £„>3х"Х" рядом Sn>i*n^"
Рис. 4.38.
(что приведет к тому, что Ri(x) и /?2(х) станут «неправильными»), то после упрощений получим
Zp (v\ j п__ Х(1 + 2х + 2хХ — Зх3Ха) . хХ
«nWл 1-Х(1+2х)-хХ2 + х3хз f 1-хХ •
П>1
4.7.18. Пример. Полимино Р — это конечное объединение единичных квадратов на плоскости, вершины которых имеют це-
удаляя конечное число точек. Два полимино будут рассматриваться как эквивалентные, если существует сдвиг, переводящий одно из них в другое (отражения и вращения не допускаются). Полимино Р называется горизонтально выпуклым (или ГВ-по-лимино), если каждый горизонтальный ряд квадратов представляет собой нераспадающуюся полоску (говоря более точно, пересечение любой прямой, параллельной оси х, с Р является отрезком). Пусть f(n)—число ГВ-полимино, составленных из п квадратов. Так, f(l) = 1, f(2) = 2, f(3) = 6 (см. рис. 4.39). Пред-
376
Гл. 4. Рациональные производящие функции
положим, что мы строим ГВ-полимино, выкладывая горизонтальные ряды квадратов по очереди, начиная с нижнего ряда. Если i-й ряд содержит г квадратов, то мы можем добавить (i + 1)-й ряд из з квадратов г 4- s — 1 способом. Следовательно, f(n)= £ («! + «2— 1)(«г4-Яз— 1) • • • (ns4-ns+i - 1), (44) где суммирование ведется по всем 2п~1 разложениям tii + + «2 + + ns+i числа п (будем считать, что разложение
с з = 0 добавляет к сумме единицу). Можно обобщить эту формулу на суммы по всем разложениям «1 + + ... + ns+k-i =
= п, з 0, более общего вида:
7(n)=E(A(n.) + f2(«2)+ ... +ГИ^))(А(Л2) + /2(«з)+ ...
••• +ffe(«fe+l)) • • • (fl(ns) + f2(«s+l)+ ••• + ffe(ns+*-l))> (45)
где fi, ... fk—произвольные функции на множестве Р со значениями в кольце [С- (или любом другом коммутативном кольце /?). Мы условимся, что слагаемое с з = 0 в сумме (45) равняется единице. Формула (44) отвечает набору функций fi(m) = = т + а, f2(/n) = т — а— 1 с произвольным фиксированным аеС,
Метод трансфер-матрицы удивительным образом помогает получить явное выражение для производящей функции F(x) — = Sn>1f(n)x" через производящие функции Ft(x) = — Можно получить произвольное слагаемое из
разложения произведения из правой части формулы (45) двумя способами. Первый способ состоит в том, что выбирается слагаемое fti (nfi) из первого множителя q>i = ft («4 + f2(nz) + ... ... затем слагаемое flt(nit+i) из второго множителя
ф2 = fi(п2) + f2(«з) + +fs(ns+i), и так далее, а затем эти
члены перемножаются.
Второй способ получить это произведение — сначала решить, из каких множителей выбрать слагаемое вида flt (nJ, затем решить, из каких множителей выбрать член вида ffa(n2), и так
далее. Если члены вида ft (nJ уже выбраны, то возможные способы выбрать член вида-f^ (n/+i) определяются тем, из каких k — 1 множителей <Р/_*+2, Ф/-k+з> • • •, Ф/ мы уже выби-
рали «слагаемые. Целесообразно, таким образом, определить ориентированный граф’£)й с множеством вершин'У={(вь ...,eft_i): в£ = 0 или 1}. Вершина (вь ..., ^означает, что выбор члена из множителя ф/_й+/' уже произведен в том и только том случае, когда вг_! = 1. Проведем ребро из вершины (в!.8^.0
в вершину (в,, если возможно выбрать члены вида
4.7. Метод трансфер-матрицы
377
^iy(n/+i) в соответствии с набором (ер ..., а затем член вида f//+1(n/+i) в соответствии с набором (ер ..., e'_J и уже выбранными членами В частности, это означает, что
набор (ер .,е^_() можно получить из набора (е2, ..., efe_p 0) заменой некоторых нулей на единицы. Из этого определения следует, что каждому члену разложения произведения <pi<₽2 • • • ... <pt соответствует путь в графе Dk длины s + k— 1, который начинается в вершине (1, 1.........1) (это объясняется тем, что
когда мы впервые выбираем члены видато мы не можем выбирать их из несуществующих множителей, предшествующих Ф1) и кончается в вершине (0, 0, ..., 0) (так как мы не могли выбрать члены из несуществующих множителей, следующих за Фа). Например, если k=3, то член /з(п3)/1 (пг)/1 (п3)/2(ns)fs(^т) в разложении ф1ф2 • • ф5 отвечает пути, показанному на
Рис. 4.40.
рис. 4.40. Первое ребро пути соответствует тому, что не выбрано нн одного члена вида второе ребро — выбору
члена fi(nz), третье — выбору fi (п3)/3(п3), четвертое — отсутствию члена вида пятое — члену /2(п5), шестое — отсутствию члена fit (п6) и седьмое — члену f3(n7).
Теперь мы должны обсудить проблему выбора весов для ребер графа Dk. Для конкретности рассмотрим ребро е, ведущее из вершины v =(0,0,1,0,0,1) в вершину v' = (1,1,0,1,1,0). Это означает, что мы выбрали множитель f3(/n)f6(m)f7(/n), что схематически изобразим так:
7 6 5 4 3 2 1
V 0 0 1 0 О 1 ¥ 110 110
Если 1, то мы включаем множитель fi(m) в том
случае, когда i-й столбец имеет вид^. Мы также включаем множитель fk(tri), если первый элемент.вектора v равен нулю, и включаем fi(tn), если последний элемент вектора v' равен единице; Мы вправе придать переменной т любое целое положительное значение. Тогда если мы определим вес упомянутого
378
Гл. 4. Рациональные производящие функции
ребра е с помощью производящей функции
£ h (т) f6 (т) f7 (т) хт = (F3 *F6* F7) (х), m>l
где * означает произведение Адамара, то суммарным весом пути, ведущего из вершины (1,1, ..., 1) в вершину (0,0, ... ..., 0), является в точности вклад этого пути в производящую функцию F(x). (Заметим, что ребру е, для которого при фиксированном т не выбирается ни одного множителя вида f/(m), отвечает множитель 1. Таким образом, вес, соответствующий этому ребру, равен У xm = -r^—. Мы его обозначим через
>1 I — х
7(х).) Поскольку нет необходимости следить за длиной пути, из теоремы 4.7.2 вытекает, что F(x)= Fq(Dk, 1), где i — это номер вершины (1,1, ..., 1), а / — номер вершины (0,0, .... 0). (Вообще говоря, бывает бессмысленно подставлять значение Л = 1 в Fij(D,X), но в нашем случае весовая функция была выбрана так, что Fij(Dk, 1) — хорошо определенный формальный степенной ряд. Конечно, мы могли бы при желании рассмотреть более совершенную производящую функцию Fit(Dk,K), которая сохраняет информацию о числе частей каждого разложения.)
Мы можем подвести итог нашим выводам.
4.7.19. Предложение. Пусть А* — матрица размера 2А-1 X 2*-1, строки и столбцы которой занумерованы элементами множества V = {0, l}fe_1, элементы которой определяются следующим образом: если о = (е1, ..., о' = (е'.....еА_1)еУ, то
(^fe)w' --
0, если для некоторого i, 1 i k — 2, справедливы равенства ei+1 = l, и е' = 0;
Fi * ... * Fi в противном случае, где {ib ..., ir} = = {t: ®д-<+1 = 0 u efe-i=4
и где мы полагаем efe = 0, е'о— 1, а пустое произведение Адамара считаем равным ] — х/(\— х).
Пусть Bk—матрица, которая получается вычеркиванием строки с индексом (0,0, .... 0) и столбца с индексом (1, 1, ...» 1) из матрицы I—Ak (где I — единичная матрица) и взятая с подходящим знаком. Тогда производящая функция F(х) = £„ > ( f (п) хп, где f(n) определяются формулой (45), имеет вид
F(x) = (detBft)/det(/-Afe).
В частности, если каждая функция Fi(x) рациональна, то и F(x) рациональна, что следует из предложения 4.2.5. □
4.7. Метод трансфер-матрицы
379
Вот несколько несложных примеров. Если k = 2, задается рисунком 4.41, в то время как
то граф £>2
F2
Fi * F2
Fi
в2=[/],
(46)
В исходной
задаче о перечислении ГВ-полимино
Fi (х) = У, пх11 = х/( 1 — х)2, п>1
F2(x) = Z (n-1)хп = х2/(1-х)2, п> 1
F3 (х) — У п (п — 1) хп = 2х2/( 1 — х)3,
откуда
F(x) =
__________х/(1 — х)________________
X X /, X2 X х 2х2 (1-х)гД‘ (1-х)2 J 1-х' (1-х)3
__ X (1 — х)3 —' 1 — 5х + 7х2 — 4х3 •
Совершенно не очевидно, что числа f(n) удовлетворяют рекуррентному соотношению
f(n + 3) = 5f(n + 2)-7f(n+l) + 4f(n), га>2, (47)
и очень трудно это доказать комбинаторными средствами.
380
Гл. 4. Рациональные производящие функции
Наконец, рассмотрим случай £==3. На рис. 4.42 показан граф £)3, в то время как
' F3 Fi * F3
0 0
J Р1
-0 0
F2 * F3 f, * f2 * f3 -
F3 F, * F3
F2 Fj * F2
7 F, J
~F3 -1-F2
-J -
F ~ det (1 - Д0
где
det (/ — Д3) = (1 — FJ (1 — F3) (1 — F2 — FiF3) --J(1-F1)(F2*F3 + F3(Fi*F3))--Z(1-F3)(F1*F2 + F1(F1*F3))--72((Fi*F3)2+Fi*F2*F3).
Замечания
Основные понятия теории рациональных производящих функций одной переменной заложены в исчислении конечных разностей. Чарльз Джордан {17, § 1.1] приписывает изобретение начал этого исчисления Бруку Тейлору (1717 г.), но отмечает, что подлинным его- основателем был Джейкоб Стирлинг (1730 г.). Первое систематическое исследование по этому предмету было написано Эйлером в 1755 году, в нем впервые употреблялось обозначение Д для разностного оператора. Установление точных источников различных утверждений, содержащихся в теореме 4.1.1, следствии 4.2.1, предложениях 4.2.2 и 4.2.5, следствии 4.3.1 и предложении 4.4.1, было бы трудным делом. Предложение 4.2.3 является частным случаем изложенного в § 44 на стр. 609 статьи [40]. Оно также является частным случаем менее общего (чем у Пойа) утверждения Р. Робинсона [41, § 3]. Интересующемуся этим вопросом читателю, возможно, окажется полезной обширная библиография, содержащаяся в книге Нёрлунда [26].
Результат о взаимности (предложение 4.2.3) относится, по-видимому, к более позднему времени. Он приписывается Эрхартом [7, стр. 21] Т. Поповичу [29, стр. 8]. Однако не было бы
4.7. Метод траисфер-матрицы 381
удивительным, если бы этот результат был открыт значительно ранее.
Операция произведения Адамара была им предложена в работе [14], где он доказал предложение 4.2.5. Как обнаружил Гурвиц [15], этот результат перестает быть верным в.случае степенных рядов от двух и более переменных.
Методы действий с квазимногочленами (такими, как р*(п) из примера 4.4.2) были разработаны Гершелем, Кэли, Сильвестром, Глэшером, Беллом и другими. Ссылки можно найти в книге. [2.3, § 2.6]. Некоторые интересные свойства квазимногочленов приведены Макдональдом [9, стр. 145—155].
Предвестником теории Р-разбиеиий послужила работа Мак-Магона (см., например, [2.15, §§ 439, 441]) и, в более явной форме, статья Кнута [19]. Первая разработка общей теории появилась в работах [3.28], [3.29]. Наше изложение близко следует монографии [3.29]. Красивое следствие 4.5.9 принадлежит Мак-Магону (см. [2.15, § 453]). Комбинаторное доказательство предложил Фоата [11], дальнейшее распространение сделали Фоата и Шютценберже [13]. См. также [12].
Теория линейных однородных диофантовых уравнений, которой был посвящен разд. 4.6, развивалась Эрхартом начиная с 1955 года в более скромном контексте квазимногочленов Эрхарта. (Стоит упомянуть, что Эрхарт проделал большую часть своей работы будучи учителем лицея и получил докторскую степень только в возрасте 57 лет.) Работы Эрхарта собраны в его монографии [9], содержащей подробные ссылки. Макдональдом [22], [23] работа Эрхарта была отчасти исправлена, упрощена и обобщена. Другие подходы к теории квазимногочленов Эрхарта можно найти в работах [24], [37].
Распространение результатов Эрхарта на линейные однородные диофантовы уравнения опубликовано в работе [33], а дальнейшее развитие теории в работах [35], [38], в которых основным инструментом служит коммутативная алгебра. В разделе 4.6 нашей книги применялся подход, более созвучный первоначальной работе Эрхарта. Статья [38] главным образом посвящена неоднородным уравнениям и обобщению теоремы 4.6.14 (о взаимности) на этот случай. Более элементарное, но менее исчерпывающее изложение теории неоднородных уравнений и теорем взаимности имеется в статье [34, §§ 8—11].
Изучение магических квадратов (определяемых в разделе 4.6) было начато Мак-Магоном [2.15, §§ 404—419], который вычислил Н3(г) в § 407. (См. по поводу этого вычисления упражнение 6 главы 2.) Предложение 4.6.19 было выдвинуто в качестве гипотезы Анандом, Думиром и Гуптой в статье [1] и впервые доказано в [33]. Эрхарт [8] доказал предложе
382
Гл. 4. Рациональные производящие функции
ние 4.6.19 своими методами. Спенсер [32] дал элементарное доказательство части утверждения 4.6.19 (с существенным использованием метода трансфер-матрицы). Фундаментальная лемма 4.6.18, на которую опирается предложение 4.6.19, принадлежит Гаррету Биркгофу [3]. Она была переоткрыта Дж. фон Нейманом [39] и иногда называется теоремой Биркгофа — фон Неймана. Приведенное доказательство принадлежит фон Нейману.
Карлиц [4, стр. 782] высказал предположение, что предложение 4.6.21 справедливо для некоторого постоянного многочлена Q«(r), и проверил это для п 4. Значение У5(Х), приведенное после предложения 4.6.21, показывает, что гипотеза Карлица не верна для п — 5. Само предложение 4.6.21 впервые было доказано в статье [33], а его уточнение — в [35, теорема 5.5]. В частности, показано, что
degQ„(r)<
если п нечетно,
если п четно,
и имеется предположение, что для всех п имеет место равенство. Значения Fn(k) (приведенные для п sC 5 перед леммой 4.6.20) были вычислены для п 6 в статье [16], а значения Gn(X) для п^5, приведенные вслед за предложением 4.6.21, впервые получены в работе [35].
Пример 4.6.32(a) — это классический результат Пика. Обобщение (Ь) на трехмерный случай принадлежит Риву, а общий случай (с) (или даже еще более общее следствие 4.6.31) принадлежит Макдональду. Ссылки можно найти в работах [9] и [22].
Связь между степенями Ап матрицы инцидентности ориентированного графа D и подсчетом путей в D (теорема 4.7.1) относится к фольклору из области теории графов. Обширная информация о матрице инцидентности А имеется в книге [6]. В частности, о ее применении для подсчета путей см. § 7.5. Мы должны отметить, что метод трансфер-матрицы в основном совпадает с теорией конечных цепей Маркова в теории вероятностей.
Метод трансфер-матрицы с большим успехом применялся физиками для изучения фазовых переходов в статистической механике. Дальнейшую информацию на эту тему можно найти в книгах [2] и [27].
Для получения большей информации о примере 4.7.5 см. упражнение 14 и приведенные там ссылки. О результатах, свя
Гл. 4. Литература
383
занных с примерами 4.7.7, 4.7.15 и 4.7.16, см. [20], [25] и ссылки, приведенные в этих работах. Содержащиеся там подходы имеют менее комбинаторный характер, чем те, что приведены здесь.
Наше обсуждение метода разложения на свободные моноиды только вскользь затронуло обширный предмет. Прекрасным исчерпывающим источником служит монография [21], из которой мы позаимствовали основную терминологию и обозначения. В числе других интересных источников — работы [5] и [10]. Применение к суммированию ряда (при-
мер 4.7.14) имеется в статье [31], а менее комбинаторный подход к вычислению У, Fn^n можно найти в статье [30]. Для дополнительной информации о степенях чисел Фибоначчи см. [42], [43].
Рекуррентное соотношение (47) для ГВ-полимино впервые было обнаружено Пойа в 1938 году, но не было им опубликовано до 1969 года [28]. Доказательство более общего соотношения (46) имеется в работе [18], а алгебраический вариант этого доказательства — в книге [36, упр. 4.2]. Красивый подход с помощью трансфер-матрицы, приведенный здесь, предложила И. Гессель. Комбинаторное доказательство соотношения (47), на которое мы намекаем, принадлежит Д. Хикерсону (частное сообщение).
Литература ’)
1. Anand Н., Dumir V. С. and Gupta Н. A combinatorial distribution problem. Duke Math. J., 1966, V. 33, p. 757—770.
2. Baxter R. J. Exactly solved models in statistical mechanics. London, New York, 1982. (Русский перевод: Бакстер P. Точно решаемые модели в статистической механике. — М.: Мир, 1985.)
3. Birkhoff G. Tres observaciones sobre el algebra lineal, Univ. Nac. Tucaman Rev. Ser. (A), 1946. V. 5, 147—150.
4. Carlitz L. Enumeration of symmetric arrays. Duke Math., J., 1966, v. 33, p. 771—782.
5. Cohn P. M. Algebra and language theory. Bull. London Math. Soc., 1975, v. 7, p. 1—29.
6. Cvetkovid D. M., Doob M. and Sachs H. Spectra of graphs. New York: Academic Press, 1980.
7. Ehrhart E. Sur un probleme de geometrie diophantienne linfeaire I, II. J. Reine Angew. Math., 1967, B. 226, S. 1—29, B. 227, S. 25—49. Correction: 1968. B. 231—S. 220.
8. Ehrhart E. Sur les carres magiques. С. P. Acad. Sci. Paris 1973, t. 227 A, p. 575-577.
9. Ehrhart E. PolynSmes arithmetigues et methode des polyedres en combi-natoire. International Series of numerical mathematics, vol. 35, Basel, Stuttgart: Birkhauser Verlag, 1977.
*) В русском издании автор расширил раздел замечаний и добавил несколько ссылок (имеющих номера [40]—-[43] в этом списке). — Прим, перед.
Гл. 4. Рациональные производящие функции
10. Fliess М. Sur divers produits de series formelles. Bull. Soc. Math. France 102 (1974), 181—191.
11. Foata D. On the Netto inversion number of a sequence. Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968k 236—240.
12. Foata D. Distributions Euleriennes et Mahoniennes sur le groupe des permutations. In Higher combinatorics (M. Aigner, ed.), Reidel, Dordrecht — Boston, 1977.
13. Foata D., Schiitzenberger M.-P. Major index and inversion number of permutations. Math. Nach. 83 (1978), 143—159.
14. Hadamard J. Thfeoreme sur les series entieres. Acta Math. 22 (1899), 55—63.
15. Hurwitz A., Sur un theoreme de M. Hadamard. C. R. Acad. Sci. Paris 128 S, 350—353.
n D. M., van Rees G. H. J. The enumeration of generalized double stochastic nonnegative integer square matrices. SIAM J. Comput. 4 (1975), 474—477.
17. Jordan C. Calculus of finite differences, 3rd ed. Chelsea, New York, 1965.
18. Klarner D. A. A combinatorial formula involving the Fredholm integral equation. J. Combinatorial Theory 5 (1968), 59—74.
19. Knuth D. E. A note on solid partitions. Math. Comp. 24 (1970), 955—962.
20. Lagrange M. R. Quelques resultats dans la metrique des permutations. Ann. scient. Ёс. Norm. Sup. 79 (1962), 199—241.
21. Lothaire M. Combinatorics on words. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1983.
22. Macdonald I. G. The volume of lattice polyhedron. Proc. Camb. Phil. Soc. 59 (1963k 719—726.
23. Macdonald I. G. Polynomials associated with finite cell complexes, J. London Math. Soc. (2) 4 (1971), 181—192.
24. McMullen P. Lattice invariant valuations on rational polytopes. Arch. Math. (Basel) 31 (1978/79), 509—516.
25. Metropolis N., Stein M. L., Stein P. R. Permanents of cyclic (0,1) matrices. J. Combinatoral Theory 7 (1969), 291—321.
26. Norlund N. E. Vorlesungen uber Differenzenrechnung. Springer-Verlag, Berlin, 1924.
27. Percus J. K. Combinatorial Methods. Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1971.
28. Pdlya G. On the number of certain lattice polygons. J. Combinatorial Theory 6 (1969), 102—105.
29. Popoviciu T. Asupra unei probleme de partitie a numerelor. Acad. R. P. R., Filiala Cluj, Studie ?i cercetari §tiintifice, 1—2, anul. IV (1953), 7—58.
30. Riordan J. Generating functions for powers of Fibonacci numbers. Duke Math. J. 29 (1962), 5—12.
31. Shapiro L. W. A combinatorial proof of a Chebyshev polynomial identity. Discrete Math. 34 (1981), 203—206.
32. Spencer J. H. Counting magic squares. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 397—399.
33. Stanley R. Linear homogeneous diophantine equations and magic labelings of graphs. Duke Math. J. 40 (1973), 607—632.
34. Stanley R. Combinatorial reciprocity theorems. Advances in Math. 14 (1974), 194—253.
35. Stanley R. Magic labelings of graphs, symmetric magic squares, systems of parameters, and Cohen — Macaulay rings. Duke Math. J. 43 (1976), 511—531.
36. Stanley R. Generating functions, in Studies in combinatorics (G.-C. Rota, ed.). Math. Assoc, of America, Washington, D. C., 1978, pp. 100—141.
Упражнения
385
37. Stanley R. Decompositions of rational convex polytopes. Annals of Discrete Math. 6 (1980), 333—342.
38. Stanley R. Linear diophantine equations and local cohomology. Inventiones Math. 68 (1982), 175—193.
39. von Neumann J. A certain zero-sum two person game equivalent to the optimal assignment problem: In Contributions to the theory of games, vol. 2 (H. W. Kuhn and A. W. Tucker, eds.). Annals of Mathematical Studies, no. 28, Princeton University Press (1950), 5—12. (Русский перевод: фон Нейман Дж. Об одной нулевой игре двух лиц, эквивалентной задаче оптимального назначения, в сб.: Матричные игры. — М.: Физматгиз, 1961, 145—155.)
40. Polya G. Math. Zeit., 29 (1928—29), 549—640.
41. Robinson R. M. Trans. Amer. Math. Soc., 153 (1971), 451—468.
42. Carlitz L. Duke Math. J., 22 (1962), 521—537.
43. Horadam A. F. Duke Math. J., 32 (1965), 437—446.
Упражнения
[3—] 1. а. Предположим, что f (x) = — рациональ-
ная функция с целыми коэффициентами ап. Докажите, что мы можем ее представить в виде f(x) = P(x)/Q(x), где Р и Q — взаимно простые (над кольцом Q [х]) многочлены с целыми коэффициентами, a Q(0)= 1.
[3—] b. Предположим, что f(xi, ..., х„) — формальный
степенной ряд (скажем, над С), который представляет рациональную функцию Р(х\, ... ..., xn)/Q(xi, ..., хп), где Р и Q — взаимно простые многочлены. Докажите, что Q(0, ..., 0)=#0.
[3—] 2. Пусть f(x)eZ[[x]], f(0)=#0 и f (x)/f (х) е Z[[х]].
Докажите или опровергните, что f (x)/f (0) е Z [ [х]]. (В то время как эта задача не имеет отношения к рациональным функциям, она по духу близка к упражнению 1,а.)
[3+] 3. а. Пусть ряд Хл>оалх" е С f [х] ] рациональный.
Определим функцию %: C->Z формулой
( 1, a 0, Х(“) = [о, а = 0.
Докажите, что £п>0'Х,(ап) хп — также рациональный ряд (и, следовательно, его коэффициенты начиная с некоторого места периодичны, благодаря упражнению 19(b)).
[2+] Ь. Докажите, что соответствующий результат для С [ [х, у] ] не верен, т. е. ряд £ атпхтуп может
i/alS Р. Стенли
386
Гл. 4. Рациональные производящие функции
быть рациональным, в то время как Х(а/пл)^ту" не рационален.
[3+] с. Пусть ^п>оапхп и £п>0Ь„х" — рациональные функции с целыми коэффициентами ап и Ьп. Предположим, что —целое число для всех
п (так, в частности, Докажите, что
спхп — также рациональная функция.
[2+] 4.а. Пусть 6,ер для i 1. Воспользуйтесь упражне-
нием 3 и докажите, что формальный степенной ряд Г(х) = П(1 -х2*-1)-*'
не является рациональной функцией от х.
[2+] Ь. Найдите такие числа О;еР(1> 1), для которых формальный степенной ряд
^(х) = П(1-хГа/ 1>1
является рациональной функцией от х.
[2] 5. Пусть (х) = Хл>оап+1х" е С [ [х] ]. Докажите, что
следующие условия равносильны:
i. Существует такой рациональный степенной ряд G(x), для которого F(x)= G'(x)/G(x).
.. V* апхп
ii. ехр > — ----рациональный ряд.
п> I
iii. Существуют такие ненулевые комплексные числа (не обязательно различные) <Xi, ..., а/, (Ji, ... ..., что
= Е < - Е ₽?•
[2+] 6. Пусть / — порядковый идеал ч. у. множества N"*,
a f(n) = #{(ai, ..., at + ... ат = п}.
(Иными словами, [(п)— это число тех элементов хе/, ранг которых в Nm равен п.) Проверьте, что существует такой многочлен Р(п), что f(n)=P(n) . для достаточно больших п. (Например, если 1 конечен, то Р (п) = 0.)
7. Пусть X — конечный алфавит, а X* — свободный моноид, порожденный этим алфавитом. Пусть М — фак-тормоноид X*, отвечающий соотношениям Wi = — w\, ..., wk = w'k, где wt и и?;, 1 i k, имеют
Упражнения
387
одинаковую длину. Таким образом, если w^M, то мы можем недвусмысленно говорить о длине элемента w как о длине любого слова в X*, представляющего w. Пусть f(n)—число различных слов в М. имеющих длину п. Положим F (х) = ^n>of (п) хп.
[3—] а. В случае &=1 проверьте, что функция F(x) ра-
циональна.
[3] Ь. Докажите, что в общем случае F(x) не обязательно рациональна.
[ 3—] с. Линейно упорядочим q букв, из которых состоит множество X. Пусть фактор М определен соотношениями acb = cab и Ьас — Ьса для а <_ b < с, aba — baa и bab = bba для а <_ b. Вычислите функцию F(x).
[3—] d. Докажите, что если М коммутативен, то F(x) рациональна.
[2+] 8. а. Пусть А и В — матрицы размера (скажем,
над кольцом С). Для векторов а, Р е Nr определим
t (а, р) = tr Aa‘B₽>A“2B₽2 ... Аа'В₽'.
[2]
[3—]
[2+]
[2+]
Докажите, что Тг(х, у) := £«, <=n,7 (а, Р)х“у₽ — рациональный ряд. Каков знаменатель функции Тг(х, у)?
г° -11
Ь. Вычислите Tt(x, у) для А = | . _ I и
Г 1 1 "I L 1 U J
В L — 1 О Г
9. Пусть f(n) означает число различных Z/nZ-реше-ний а уравнения (17) по модулю п. Например, если Ф = [1—1], то f (п) = п — число решений (а, р), где а, p^Z/nZ, уравнения а — р =; 0 (mod/г). Докажите, что f(n) совпадает с квазимногочленом при достаточно больших п (в частности, £n>1 f(n)x" — рациональная функция).
10. Пусть £*— множество всех N-решений а уравнения (17), состоящих из различных целых чисел оц, ... ..., ат. Докажите, что производящая функция Е* (х) := zLaS£*x“ рациональна.
11. а. Пусть Ф — Z-матрица размера гУ.т, peZr. Обозначим через £р множество всех N-решений а уравнения Фа = р. Докажите, что производящая функция £р (х) является рациональной функцией
1/.ЛЗ*
388 Гл. 4. Рациональные производящие функции
от х = (хь хт). Докажите также, что либо £р(х) = 0 (т. е. Et = 0), либо знаменатель Z)(x) несократимой дроби, представляющей Ef(x), такой же, какой имеет функция £(х), определенная в теореме 4.6.11.
[2+] Ь. В остальных пунктах этого упражнения будем предполагать, что моноид Е положителен и что Ef=/= 0. Будем говорить, что пара (Ф, р) обладает R-свойством, если £f(x) = (— V)dEf(l/x), где Et — множество P-решений а уравнения Фа = —р, a d1—число, определенное в теореме 4.6.14. (Таким образом, в теореме 4.6.14 утверждается, что пара (Ф, 0) обладает P-свойством.) Для каких целых чисел р пара ([1 1 — 1 — 1], Р) обладает Р-свойством?
[3] с. Предположим, что существует вектор а е Qm, удовлетворяющий условиям —1<а,^0 (1 sC im) и Фа = р. Докажите, что пара (Ф, р) обладает Р-свойством.
[3+] d. Найдите «разумные» необходимое и достаточное условия для того, чтобы пара (Ф, р) обладала ^-свойством.
[5—] 12. Пусть Ф —матрица размера г X tn, элементами ко-
торой служат линейные многочлены ап + Ь, где a, Предположим, что для каждого фиксиро-
ванного пер число f(n) решений aeNm уравнения Фа = 0 конечно. Докажите, что f(n)—квазимногочлен.
[4—] 13. а. Пусть ..., Рк <= К [х1; ..., хт], где K = GF (q). Пусть f (и) — число таких векторов а = (а1, ..., ат), af е GF (qn), что Р, (а) — ... = Рк (а) = 0. Докажите, что F(x) = exp f («) хП1п ~~ рациональная функция. (См. упражнение 5, где приведены эквивалентные формы этого условия.)
[ 4] Ь. Пусть Рь ..., P^gZ[x„ ..., хт], а р — простое число. Обозначим через f(n) число решений a = (a1, ат), at^Z/pnZ, системы сравнений
Pi (a) == . .. = Pk (a) s 0 (mod pn).
Докажите, что функция F (x) := £n>of (n) xn рациональна.
[2+] 14. а. Пусть X = {xb ..., x„} — алфавит из n букв,
а С<<Х>> обозначает некоммутативное кольцо степенных рядов (над С) от переменных X. Это
Упражнения
389
означает, что С<<Х>> состоит из всех формальных выражений вида Ew<=x*aww’ где ukeC, а X* — свободный моноид, порожденный X. Умножение в ,С <<Х» определяется естественным образом, а именно,
( Е аии) ( Е м) = Е au^vuv = s Nww, \ и У \ V У U,V W
где yw = Euv= а)аиР» (число слагаемых конечно).
Пусть L — множество таких слов, что никакой собственный делитель слова из L не принадлежит L. (Слово v <= X* называется делителем слова w е X*, если w = uvy для некоторых элементов и, у е X*.) Назовем L-кластером тройку (да, (ui,... .... vk), (Л, .... где г-
длина слова да = <У1<т2 ... or, a k — некоторое положительное целое число, причем
I. Если 1 j k, то да = uv/y для некоторых и е Х\ и у е X* (т. е. да содержит делитель
V/, первая буква которого стоит на //-м месте в слове да). Далее мы будем отождествлять V/ с этим подсловом слова да.
ii. Если 1 j k— 1, то и/ и v/+i перекрываются в слове да и начало слова v;+i правее начала слова V,- (т. е. О </1 </2 <...</*< г).
iii. Ui содержит а и* содержит ог.
Заметьте, что различные /.-кластеры могут иметь одну и ту же первую компоненту да. Например, если Х = {а), a L={aaa}, то (ааааа, (ааа, ааа, ааа), (1,2,3)) и (ааааа, (ааа, ааа), (1,3))—два таких L-кластера.
Обозначим через D(L) множество L-кластеров. Для всех слов о е £ введем новые переменные ta, коммутирующие с переменными Xi и друг с другом. Рассмотрим кластерную производящую функцию
С(Х, t)= Е (П О(ц))даеС[[/в: ое£]](Х), (а), ц, v) е D (L) \о s L )
где через /п0(ц) обозначено число тех компонент vt в ц е Lk, которые равны и.
Докажите, что в кольце C[|Y0: i'e£]]£Y) выполняется соотношение
£ (nOwh = [l-X!- ... -хп-С(Х, t-1)]-’, (48) weX* )
13 Р. Стенли
390 Гл. 4. Рациональные производящие функции
где через m0(w) обозначается число делителей элемента w, равных v, a t — 1 означает, что вместо каждого tv нужно подставить tv—1.
[1+] b. Отметим следующие частные случаи равенства (48):
i. Если допустить, что переменные Xi в формуле (48) коммутируют, a tv = t для всех v, то коэффициент при tkx"b .х™п окажется равным числу слов w <= X* в которые х,- входит /и, раз (1 i п) и которые содержат ровно k делителей из L.
ii. Если в равенстве (48) положить х; = х и tv = t для всех i и v, то коэффициент при tkxm совпадет с числом слов w е X* длины т, ровно k делителей которых принадлежат L.
iii. Если в (48) положить все х, равными х, a tv равными нулю, то коэффициент при хт — это число слов w е X* длины т, не содержащих делителей из L.
[2 ] с. Докажите, что если L конечно, а переменные х, в равенстве (48) коммутируют, то члены этого равенства являются рациональными функциями от переменных хь ..., ,хп и tv, v е L.
[2] d. Если w = О1Й2 OjeX* то определим многочлен автокорреляции Aw (х) = с1 + с2х + . . . ... + C;XZ-1, коэффициенты которого имеют вид
( 1, если а1а2 ... az_i+1 =а(я( + 1 ... at,
( 0, в противном случае.
Например, если w = abacaba, то Xta(x) = 1 -|-х4 + + х6. Пусть f(m) — число слов w е X* длины т, для которых w не является делителем. Докажите, что
У /(rn)xm =---------------- (4.9)
(1 - ПХ) (X) + Д ' ’
т >0
[3—] 15. Пусть Bfe(n) — число способов расстановки k ферзей
на доске размера которые не бьют друг друга. Например, Bi(n) = n2, В2(3) = 8. Докажите, что х" ~ рациональный степенной ряд.
[2+] 16. Пусть t(n)— число попарно неконгруэнтных тре-
угольников с целочисленными сторонами и перимет
Упражнения
391
ром п. Например, Z(9) = 3, что соответствует треугольникам 3 + 3 + 3, 2 + 3 + 4, 1+4 + 4. Найдите функцию 'En>3t(n)xn.
[2+] 17. Пусть k, г, пеР. Обозначим через Nkr(n) число
таких наборов а = (аь ..., а„) е [&]", что никакие г подряд идущих элементов а не равны между собой. (Например, Nkr (г) = kr — k.) Пусть Fkr (х) = = X„>0^*r(n)x,t- Найдите явный вид этой функции (считая, что Nkr(0)=l).
[3] 18. а. Пусть mep, 6eZ. Определим функцию
f: {т, zn + 1, /п + 2, Z формулами
' f(n+ l) = |^±lf(rt)|, п>т. (50)
Докажите, что f является квазимногочленом в своей области определения.
5—] Ь. Что изменится,. если дробь (п + 2) /п заменить какой-нибудь другой рациональной функцией /?(п)?'
2] 19. а. Определим функцию /: N->Q формулами
• /(„ + 2) = {f(n+l)-f(n), f(0) = 0, f(l)=l. (51)
Докажите, что | f (п) | < .
[2] Ь. Предположим, что последовательность f: N Z удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению (2), где а, <= Z, и ограничена при п-*-<». Докажите, что f(n) периодична.
[3+] с. Предположим, что у является степенным рядом с целыми коэффициентами и что его' радиус сходимости равен единице. Докажите, что либо у — рациональный ряд, либо единичная окружность является его естественной границей, т. е. функция у не допускает аналитического продолжения за ее пределы.
[3] 20. Пусть а <= ЬГ, k > 0. Обозначим через fk (а) число
разбиений вектора а на k частей (слагаемых), также принадлежащих Nm. Например, /2(2, 2) = 5, так как (2,2) = (2,2) + (0,0) = (1,0) + (1,2) = (0,1) + (2,1) = = (2,0) + (0,2)=(1,1)+(1,1). Пусть для «=(«!..., ат)
13*
392
Гл. 4. Рациональные производящие функции
х“ обозначает х“> ... х"т. Докажите, что
Z fk (а) х“ = [ Z х/ <я‘) ... xj X ае Nm
где второе суммирование ведется по всем наборам (Л1, ..., удовлетворяющим условию
л^лг ••• «т = 1, и где г(л)—большой индекс перестановки л.
[3] 21. а. Пусть S = {ab ..., aj}< cz Р. Обозначим через
fs(n) число цепей Х° < X1 < ... < V, составленных из разбиений X' (упорядоченных по включению их диаграмм Юнга), которые удовлетворяют условиям |Х°| = п и | | = п + для i е [у].
(Таким образом, в обозначениях раздела 3.12, (га) = aL (Г), где L = /f(N2), а Т = {п, п + а{, ...
..., п + йу}.) Положим
S fs(n)qn = P(q)As(q), п >0
где Р (<?) = Пг>1 (1 — <?z)_|. Например, А0 = 1. Докажите, что As (q) — рациональная функция, знаменателем которой может служить многочлен <ра/(?) :=(1 — ?)(1 — ?2) (1 — <7°/).
[2+] Ь. Вычислите As(q) для S S [3].
[3—] с. Докажите, что для k е Р
I (-1)*-|5|А5(<у) = <Д 2 )<vAqr'. (52)
[2+] d. Выведите из пункта (с), что если Л = 7у(№) и P(L, S) определены как в разделе 3.12, то для k е N имеет место равенство
k
Г л( ^/2) i (i-ьЗ) z_i\A — i *1 /_i\A
£ Р(L, [п, п + fc])qn+k = P(q)£ Н--------------| - .
{21 е. Найдите простое комбинаторное доказательство того, что Ару (q) = (1 — q)~'.
(2-р] 22. а. Пусть Р — конечное ч.у. множество, р — число его элементов, Q(P, tn)—его порядковый многочлен.
Упражнения
393
Докажите, чтр при m^oo(mGp) функция Q(P,m)m~p убывает, начиная с некоторого места, и строго убывает, начиная с некоторого места, если Р не является антицепью.
[5] Ь. Является ли функция Q(P, m)m~p убывающей во всей области тер?
[3] 23. Пусть Р —частичный порядок на множестве [р].
Определим формальный степенной ряд G(P, х) от переменных х = (х0, *i, •••) формулой
G(P, х)= £ хо(1) ... хо(р), О
где ст пробегает множество всех Р-разбиений ст: P->N. Докажите, что G(P, х)— симметрическая функция (т. е. G(P, х) = G(P, лх) для произвольной перестановки л множества N, где лх = = (хл(О), *л(1), •••)) в том и только том случае, когда Р — дизъюнктное объединение (в смысле ч. у. множеств) цепей.
Замечание. Легко видеть, что функция G(P, х) симметрическая тогда и только тогда, когда для S = {n1( п2, ..., ns}< = [р — 1] число a(/(P),S) зависит лишь от мультимножества, состоящего из чисел nlt n2 — ni, ns — ns-\, р — ns (а не от их порядка). См. упражнение 65 в гл. 3.
[2—] 24. а. Пусть Р — конечное ч.у. множество, ameN. Определим многочлен
Um(P, <7)=S<710', О
где ст пробегает множество всех обращающих порядок отображений (Р-разбиений) ст: Р->[0, т]. В частности, U0(P, q)= 1 и Um(P, 1) = ЩЛ /п+1). Докажите, что Um(P, q) = F (J(m X P), q) — рангово-производящая функция ч. у. множества ЦтХР).
[2+] Ь. Если | Р | = р, a O^i^p — 1, то положим
НМЛ ?)=Z<7i(4 (53)
Л
где л пробегает множество всех перестановок в 3? (Р) с ровно i спусками, а Цл) обозначает большой индекс перестановки л. Заметим, что
394
Гл. 4. Рациональные производящие функции
W (Р, q) = YJiWi (Р, q). Докажите, что для всех me N
р-i . । _.
ит(Р, <?) = £ ( р + т ' q) (54)
1=0 ' Р /
[2] с. Докажите, что
q)^qptWAP, 1/<7), (55)
Um(P', q) = qpmUn(P, l/q), (56)
где через Р* обозначено двойственное к Р ч.у. множество.
[1+] d. Формула
/а\ (i_g0)(i_g0-l),..(i_ga-6+1)
kbj (1 - 9Ь) (1 - <7*-*) ...(1-?)
позволяет нам определить j для всех ае Z и !> е N. Докажите, что
I 1— (—1)Ь ^(-1/2)6 (2О + &-1) ( 1 J
_p+I Va + b —1 \
= (-1)Ь<7 2 Д h ) •
[2+] е. Равенство (54) и предыдущий пункт (d) позволяют нам определить Um(P,q) для всех meZ. Докажите, что для тер
u_m(P, <?) = (-1)рЕ<г'Ч
где т пробегает множество всех строго обращающих порядок отображений (строгих Р-разбиений) т: Р->-[т — 1].
{3—] f. Если хеР, то определим 6(х) как длину самой
длинной цепи в Р с наименьшим элементом х. Пусть б* — число элементов хе Р, для которых 6(х) = k, где 0 k I = 1(Р). Пусть, по определению,
Дг = 6Г-|-6г+1 + . . . + 6/,
Положим
M(P) = [p-l]_{A1> Д2; д/}.
Упражнения
395
Докажите, что степень многочлена Wt(P, q) равняется сумме I наибольших элементов множества М(Р). (Заметим также, что если Р градуировано и имеет ранг I, то
Аг = # {х е Р: р(х)^.1 — г}.)
25. Пусть P={xi, ...,хр}—конечное ч.у. множество. Оно называется гауссовским, если существуют такие целые числа hi, ..., hp > 0, что для всех meN
р
Um(P, ?) = П i = l
m+h
1
1
(57)
где Um(P, q) введены в упражнении 24.
[3—] а. Докажите, что ч. у. множество Р гауссовское тогда и только тогда, когда каждая связная компонента Р является гауссовской.
[3—] Ь. Докажите, что если Р — связное и гауссовское, то каждая максимальная цепь Р имеет одну и ту же длину I. (Таким образом, Р является градуированным ч.у. множеством ранга /.)
[3] с. Пусть Р — связное и гауссовское, р — его ранговая функция (существование которой следует из пункта (Ь)). Докажите, что мультимножества {йь ..., hp} и {1 + рх: х е Р} совпадают.
Замечание. Из пункта (с) легко следует, что конечное связное ч.у. множество Р является гауссовским тогда и только тогда, когда ч.у. множество PXni приятное (в соответствии с определением в упражнении 27 главы 3) для всех т е'Р. [2Д-] d. Предположим, что множество Р связное и гауссовское, а числа hi, , hp перенумерованы в порядке возрастания: hi ... hp. Докажите, что ht -j- hp_w = I (Р) 4- 2 для 1 < i < р.
[2+] е. Пусть Р связное и гауссовское. Докажите, что каждый элемент Р, ранг которого равен единице, покрывает ровно один минимальный элемент из Р.
[3+] f. Докажите, что следующие ч.у. множества гауссовские:
i. г X s для всех г, se Р,
ii. J(2Xr) для всех rep,
iii. порядковая сумма г ф (1 + 1)фг для всех г е Р, iv. /(/(2X3)), v. /(/(/(2X3))).
396
Гл. 4. Рациональные производящие функции
[5] g. Имеются ли другие связные гауссовские ч.у. мно-
жества? В частности, должно ли связное гауссовское ч.у. множество быть дистрибутивной решеткой?
[2] 26. а. Пусть М = {1Г1, 2Гг, ..., tnm} — конечное мульти-
множество, составленное из элементов множества [/п], и пусть <5 (М) — множество всех
+ • • + Гт \
г \ перестановок л = (аь с^, ..., аг)
множества М, где г = Г1 + ... -Ь rm = | М |. Пусть d (л) — число спусков_ л. Введем функции Ам (х) =
До-
кажите, что
£ОО О-п-М \ . Ам М
^.\rj\r2) ” \rm) (1-X)r+1 п О
[2] Ь. Найдите явный вид коэффициентов ряда Лм(х) в случае т = 2.
[2] 27. а. Пусть г, зер, а ^ — выпуклый многогранник
в Rr+S, определенный неравенствами
Х1 + х2 + ••• + Хг — У1А~У2~Ь~ ••• yi^Q.
Рассмотрим (квази-) многочлен Эрхарта 1(п) = = многогранника J3. Используя упражнение 26, найдите явный вид функции F(x) = = Хл>ог'(n)т0 еСТЬ Укажите знаменатель этой функции и коэффициенты числителя. Чему равен объем ^? Каковы вершины ^?
[2] Ь. Найдите ч.у. множество Prs, Для которого i(n— — l) = Q(PrSjn) служит порядковым многочленом. [3+] 28. а. Пусть &— целочисленный выпуклый d-мерный
многогранник, г(^, п)—его многочлен Эрхарта. Положим
По теореме 4.6.25 W(&,x)—многочлен с целыми коэффициентами степени не превосходящей d. Докажите, что его коэффициенты неотрицательны.
Упражнения
397
[3+] Ь. Пусть Qc к"1 — объединение конечного числа целочисленных выпуклых многогранников размерности d, причем пересечение каждых двух из них является их общей гранью (возможно, пустой). Предположим, что Q, как топологическое пространство, удовлетворяет условиям
(£, Q. — р; Q) = 0, если i <d, а р е
Hi (^; Q) = 0, если i < d.
Здесь символы Hi и Hi обозначают группы относительных сингулярных гомологий и приведенных сингулярных гомологий соответственно. Мы можем определить многочлен Эрхарта i(Q,n) точно так же, как для многогранника, и легко проверяется, что п) является многочленом степени d. Положим
Докажите, что коэффициенты многочлена W(@,x) неотрицательны.
29. Антимагическим квадратом индекса п называется такая N-матрица M = размера d X d, что для каждой перестановки л <= выполняется условие
/П1,я(1) = п. Другими словами, сумма любого множества из d элементов матрицы, никакие два из которых не находятся в одной строке или в одном столбце, равняется п.
[2] а. Для каких положительных целых d существуют
антимагические квадраты размера d X d, все элементы которых — различные целые числа 1, 2, ... .... d2?
[2+] b. Пусть R.i (соответственно С,)—матрица размера d X d с единицами в г-й строке (соответственно i-м столбце) и нулевыми остальными элементами. Докажите, что антимагический квадрат размера d X d обязательно имеет вид
п п
M=TialRl + ZblCh
где а{, bj е N.
398 Гл. 4. Рациональные производящие функции
[2+] с. Используя пункт (Ь), найдите простое явное выражение для числа антимагических квадратов размера d X d с индексом п.
[2] d. Пусть выпуклый многогранник в Rd’ всех R-матриц Х = (х1;) размера dX^, удовлетворяющих условиям
d
хг/>0, zL л(о— 1 для всех
Что из себя представляют вершины
Найдите многочлен Эрхарта п) этого многогранника.
[2+] 30. а. Пусть Р ={xi, ..., хр}— конечное ч. у. множе-
ство. Обозначим через &'(Р) выпуклый многогранник, определенный следующим образом:
= 0<eit + ... + % < 1
каждый раз, когда x{l< ... < xt^t
Найдите вершины этого многогранника.
[2+] Ь. Докажите, что (квази)многочлен Эрхарта многогранника &'(Р) задается формулой itJP'lP), п — — 1) = Q (Р, п), где Q (Р, п) — порядковый многочлен ч.у. множества Р. (Таким образом, имеется два многогранника, ассоциированных с Р, многочленом Эрхарта которых служит Q(P,n+ 1). Второй многогранник приведен в примере 4.6.34.)
[2] с. Найдите объем выпуклого многогранника &п R”, заданного условиями xt 0, если 1 i п, и
Xi + Xi+t 1, если 1 i п— 1.
[3] 31. Пусть иь ..., е Z"1 и пусть
^={«^1 + ••• +<W. OCX-CJ}.
Тогда Ф— выпуклый многогранник с целыми вершинами. Докажите, что его многочлен Эрхарта имеет вид i (^, п) = скпк + ... + Со, где ct = f (X). В этой сумме X пробегает множество всех линейно независимых t-элементных подмножеств множества {щ, ... ..., Vk}, a f(X)—наибольший общий делитель определителей (взятых по абсолютной величине) миноров размера t'Xt матрицы, строками которой служат элементы множества X.
[3] 32. а. Пусть ЗРй обозначает выпуклую оболочку в Rdd!
точек (л(1), л(2), ..., n(d)), л е ®d. Докажите,
Упражнения
399
что многочлен Эрхарта многогранника имеет вид
d-l
n)= £ fill1, 1=0
где fi — число лесов с i ребрами на множестве / (d\
из d вершин. I Например,/о—1. Л =1 9 I, fd—i= — dd~2.'^ В частности, относительный объем 0*а равен dd~2.
[3] b. Обобщите результат п. (а) следующим образом. Пусть Г — конечный граф (допускаются петли и кратные дуги) с вершинами ..., vd- Ориентацией ст, заданной на ребрах этого графа, можно считать указание направления u->-v для каждого ребра {м,у}. Для заданной ориентации ст символом 61 обозначим число ребер, выходящих из вершины Назовем 6(ст) = (61, ..., 8d) последовательностью степеней выхода ориентации ст. Будем говорить, что ориентация ст ациклична, если не существует ориентированных циклов цд -> -^-U2-^- ... -^Uk-^ui. Пусть Рг—выпуклая оболочка в пространстве Rd множества всех последовательностей степеней выхода 6(ст), отвечающих ациклическим ориентациям ст графа Г. Докажите, что
d-l
n) = ^fi(V) п‘, 1=0
где fi(r) — число остовиых лесов в Г, имеющих i ребер. Докажите также, что
Г) = {б (о): ст является ориентацией Г)
и выведите отсюда, что число различных последовательностей 6 (ст) равняется числу остовных лесов для Г.
[3—] 33. Пусть — d-мерный рациональный выпуклый многогранник в Rm, а его квазимногочлен Эрхарта имеет вид
i ($>, п) = cd (п) nd + cd_! (n) nd~l + ... + c0(ц),
где Co, ..., cd — периодические функции от n. Предположим, что для некоторого j е [0, d] аффинная оболочка каждой /-мерной грани многогранника
400
Гл. 4. Рациональные производящие функции
содержит точку с целыми координатами. Докажите, что если k~^j, то Cft(n) постоянна (т. е. имеет период, равный единице).
[2+] 34. а. Пусть Af = (mj;) — циклическая матрица размера
п X п с первой строкой (а0, •••, an-i)e’C", т. е. mtj = где индекс вычисляется по модулю п. Пусть £ = e2ni/n. Докажите, что собственные числа матрицы М имеют вид
Л— 1
(0г = У, а£1г, 0 < г < п — 1. /=о
[1] Ь. Пусть fk(n) — число последовательностей ti, f2, ...
..., tn где tj е Z/ZiZ — целые числа, взятые по модулю k, причем //+1 н= 1, — 1, tj или tj + + l(modZi), 1 п—1. Найдите явный вид
[2 ] с. Пусть gk(ri) определяются так же, как Д(п), за исключением дополнительного условия: потребуем, чтобы tn— 1, tn или 1 (mod k). Применив метод трансфер — матрицы, докажите, что
Л-1
^л(«) = Х С1 +2cos'zF) • г=0
[5—] d. Из п. (с) находим, что g4(n) = 3" + 2 + (—1)" и g6(ri) — 3" + 2rt+l -j- (— 1)”. Существует ли комбинаторное доказательство этого?
[2+] 35. Пусть, как в упражнении 14, Х = {х1г ..., хп} —
алфавит из п букв. Если w = y{y2 ... yi — слово из свободного моноида X* с буквами у, е X, то его подсловом назовем слово v = yiiyi2... yik, где 1 Ч < Ч < • • • < 1’л I- Пусть N — конечный набор слов. Обозначим через ffi(m) число таких слов w из Х*т (т. е. слов длины т), которые не содержат подслов, принадлежащих набору N. Используя метод трансфер-матрицы, докажите, что функция Fn (х) := (т) хт рациональна.
[2] 36. а. Зафиксируем k е Р и для каждого ne N опре-
делим fk(n) как число способов покрыть шахматную доску размера k X п с помощью у kn неналегающих костей домино (или димеров). Тогда /*(п) = 0 при нечетном kn, fi(2n)—l и f2(2) — 2.
Упражнения
401
Положим Fk (х) = '^Ln>ofk(я) х". Используя метод трансфер-матрицы, докажите, что функция Fk(x) рациональна. Найдите Fk(x) для k =2,3,4.
[3] b. Используя метод трансфер-матрицы, докажите, что
LS/2J £„ + 1 -л + 1
fk. («) = — ПРИ четном nk, (58)
/=1
где
с/ = а/ + (1+а/)'/2>
^ = ^-(1+^/2,
ft/ = (l+a2)‘72, /я a^cos^i—.
[3—] с. Используя п. (Ь), покажите, что Fk(x) можно представить в виде Рк (х) /Qk (х), где Рк и Qk — многочлены со следующими свойствами:
i. Положим / = L&/2J. Пусть S s [/], a S = [/] — S Положим
Тогда
' П (1 — csx), если k четно,
Qk (•*-) ~ -ГТ /. 2 24 .
(1 — Csx ), если k нечетно, s
где S пробегает семейство всех подмножеств множества [/].
ii. Qfc(x) имеет степень = iii. Рк(х) имеет степень pk = qk — 2.
iv. Если k> 1, то Рк(х) = — xPkPk(\/x).
Если k нечетно или делится на 4, то Q*(x)= = x’*Qft(l/x).
Если 2 (mod 4), то Qk(x) = — x4kQk(l/x). Если k нечетно, то Рк(х) = Рк(— х) и Qft(x)= = Qk(— х).
37. Пусть Тп — торический граф размера п X п- Это означает, что множество его вершин есть (Z/nZ)2, а вершина (i, j) соединена с четырьмя соседями
402 Гл. 4. Рациональные производящие функции
(г— !>/), 0 + 1,/), О,/ — 1), («,/ + !), где координаты берутся по модулю п. (Таким образом, Тп имеет и2 вершин и 2и2 ребер.) Пусть %га(А.) — хроматический многочлен графа Тп. Положим также N — п2.
[1+] а. Найдите хп (2).
[4—] Ь. Применяя метод трансфер-матрицы, докажите, что
log (3) = log (у) + о (N).
[5] с. Докажите, что
logx„ (3) = ^-log (±) -Д-+о (!).
[5] d. Найдите lim^^ Л+1 log хп (4).
[3-] е. Пусть Хп (Л) = 1" - (У) 1""’ + q2 (У) XN~2 - ... . Докажите, что существуют такие многочлены Qi(N), что qt(N) = Qi(N) для всех N^N0 (где No зависит от «)• Например, <+ (N) — 2N, Q2 (N)= = #(2Af-l), Q3(#) = l#(4#2-6#-1).
[3] f. Пусть a/ = Qi(l). Докажите, что
1 + E Qt-(Л/) x1 = (1 + o^x + a2x2 + =
— (1 + 2x + x2 — x3 + x4 — x5 + x6 + ...)+
[5—] g. Пусть L(X) = limJV_>00x„(^)1/JV-Докажите, что для Л ^2 функция L(X) имеет асимптотическое разложение
£(Л)~Л(1 — cqV'-j- а2Л-2 — ...).
Сходится ли этот бесконечный ряд?
Решения упражнений
1. а. Будем называть формальный степенной ряД '^п>оапхП с йе" лыми коэффициентами простым, если не существует такого целого числа d> 1, которое делит все ап. Легко видеть, что произведение простых рядов является простым рядом (это утверждение по существу принадлежит Гауссу, но впервые в явной форме сформулировано Гурвицем. Оно эквивалентно утверждению о том, что кольцо Гр [ [х] ] является областью целостности. Здесь Fp— поле простого порядка р).
Решения упражнений
403
Очевидно, что f{x) = P{x)/Q{x), где Р и Q — некоторые взаимно простые многочлены с целыми коэффициентами. Предположим, что не существует целого числа d > 1, которое делит все коэффициенты этих многочленов. Тогда Q должен быть простым многочленом, так как в противном случае, если Q/d е Z [х] для некоторого d > 1, то
-J- = fT^ZW.
что противоречит предположению. Так как (Р, Q)=l в кольце Q [х], то существуют такие целое число m > 0 и многочлены A, BeZ[x], что АР + BQ — т. Тогда т = = Q(Af В) Поскольку многочлен Q простой, то коэффициенты ряда Af + В делятся на т. (В противном случае, если d < т — наибольшее целое число, которое делит все коэффициенты Af + В, то произведение простых рядов Q и {Af В) /d оказывается непростым многочленом m/d> > 1.) Пусть с — свободный член ряда Af + В. Тогда т — = Q(0)c. Из того, что т делится на с, следует, что Q(0) = = + 1.
Приведенный результат известен как лемма Фату и впервые был доказан в статье Fatou Р. Acta Math. 30(1906), 369. Изложенное здесь доказательство принадлежит А. Гурвицу. См. Pdlya G. Math. Ann. 77(1916), 510—512.
b. Этот результат, относящийся к «фольклору» в области алгебраической геометрии и получающийся с помощью использования стандартной техники коммутативной алгебры, был по-видимому, впервые явно сформулирован и доказан (элементарными методами) в статье Gessel I. М. Utilitas Math. 19(1981), 247—251 (теорема 1).
2. Утверждение верно. Не умаляя общности, мы можем предположить, что ряд f{x) простой (это понятие введено в решении упражнения 1). Пусть f'(х) = f(x)g(x), где g(x)<= е Z [ [х] ]. Применяя правило Лейбница дифференцирования произведения, мы по индукции можем проверить, что для всех neN/(x) делит /(П)(х) в кольце Z Цх] ]. Кроме того, п! ] (х)
в Z Цх] ], поскольку если f (х) — а,хг, то -i-f<«>(x) = = С л 1 aixl~n- Значит справедливо равенство f(x)/i(x) = = n\{fW{x) /п\), где ft(x)e Z Цх]]. Так как произведение простых степенных рядов является простым, мы точно так же, как в указании к упражнению 1, убеждаемся, что п\ | h{x) в Z[[x]] и, следовательно, f(х) [ (^я)(х)/п!). В частности,
404 Гл. 4. Рациональные производящие функции
/(0) [ (/(га)(0)/п1) в Z, а это то самое утверждение, которое мы хотим доказать.
Замечание. Другое доказательство использует известное утверждение о том, что Z[[xJ]— область единственной факторизации. Поскольку f(x) fw(x) и n!f(n>(x), и поскольку f(x) и и! взаимно просты в Z [[%]], мы видим, что | /(га) (х).
Это упражнение принадлежит Дэвиду Харбатеру.
3. а. Этот результат сначала был получен Сколемом (Skolem, Oslo Vid. Akad. Skrifter I, no. 6(1933)) для рациональных коэффициентов, затем Малером (Mahler, Proc. Akad. We-tensch. Amsterdam 38(1935), 50—60) для алгебраических коэффициентов, и затем, независимо, Малером и Лехом (Mahler, Proc. Camb. Phil. Soc. 52(1956), 39—48; Lech, Ark. Mat. 2(1953), 417—421) для комплексных коэффициентов (или для рядов над произвольным полем характеристики 0). Все доказательства используют р-адические методы. Как отмечает Лех, результат перестает быть верным в случае характеристики р, что видно из примера ряда
р (х) =_____J__________5---------—
' > 1 - (1 + t)x \—х \ — tx
над полем F₽(/)- См. также статью Serre J.-P. Proc. Ко-nin. Neder. Akad. Weten. (A) 82(1979), 469—471. Дальнейшие сведения о коэффициентах рациональных производящих функций см. в работе van der Poorten A. J. Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, 34, Topics in classical number theory (Halasz G. ed.), vol. 2, North-Holland, New York, 1984, pp. 1265—1294. (Эта статья, однако, содержит много неточностей, начиная со стр. 1276.)
Ь. Пусть
F(x,y) = £ (т — и2) хтуп =
т, п > 0
_________х_____________У + У2
- (1-х)2(1-у) (1-х)(1-у)3 •
Тогда
S X (fn — «2) хтУп = Z хпгуп-т, п^0 п>0
Этот ряд не является рациональным, в чем можно убедиться, если подставить у = \ и использовать пункт (а). Эта задача предложена Д. Кларнером.
Решения упражнений
405
с. Доказательство, основанное на тех же р-адических методах, которые применялись для доказательства пункта (а), намечены в статье van der Poorten A. J. Bull. Austral. Math. Soc. 29(1984), 109—117. Полное доказательство дано Rumely R. в Seminaire de la theorie des nombres, Paris, 1986—87 (C. Goldstein, ed.), Progress in Mathematics, vol. 75, Birkhauser, Boston — Basel, 1989, pp. 349—382; 383—409.
4. а. Запишем равенство
^г—Йг+GW. <S9)
где
G(x) = cnxn. n>l
Рассуждая так же, как в примере 1.1.14, получим
сп = S (2Z—1)г>ж-.
(2«-1) | п
Если п является степенью двойки, то суммирование ведется по пустому множеству и сп — 0. В противном случае сп #= 0. Благодаря результату упражнения 3, G (х) не является рациональной функцией. Следовательно, из равенства (59) следует, что и F(x) не рациональна.
Этот результат принадлежит, главным образом, Серру (Serre J.-P. Proc. Konin. Neder. Akad. Weten. (A) 82(1979), 469—471).
b. Пусть F(x) = (1 —ax)-1, где 0 2, Тогда с помощью тех же аргументов, что и в упражнении 1.1.14, получим
/ i-1 \
= 7 X ц ad > -J- [ аг — £ аг ] > 0
du \ / = 1 /
Имеется возможность комбинаторной интерпретации коэффициентов а, в том случае, когда а 2 — целое (или степень простого числа), откуда вытекает положительность at. 5. (i)=>(iii). Если F(x)eC[[x]] и/7 (x)=G'(x)/G(x), где G (х) е е С ((х)), то F (0) Ф 0. Следовательно, если G (х) — рациональный ряд, то его можно представить в виде
406
Гл. 4. Рациональные производящие функции
для некоторых ненулевых а,-, р, е ,.С. Непосредственное вычисление показывает, что
G' (х) _уз уз Рг-
G (x) L 1 — atx 2j 1 — pjX ’
и поэтому ап— £а" —
(iii) => (ii). Если ап~ £а" — то
ехр Z дг-=П ~ ₽«х)/Ц с1 - а«х)
п> 1
(доказывается прямым вычислением).
(ii) => (i). Положите G (х) = ехр > t апхп1п
и убедитесь, что
F(x) = -^-logG(x) = G/(x)/G(x).
6. Два решения приведены в статье Стенли (Stanley R. Amer. Math. Monthly 83(1976), 813—814). Ключевая лемма элементарного доказательства из этой статьи состоит в том, что любая антицепь в Nm конечна.
7. а. Это следует из работы Backelin J. Comptes Rendus Acad. Sc. Paris 287(A) (1978), 843—846.
b. Первый пример приведен в статье Shearer J. В. J. Algebra 62(1980), 228—231. Хороший обзор по этому предмету дал Pqoc (Roos J.-E. в сборнике 18-th Scandinavian congress of mathematicians (E. Balslev, ed.), Progress in Math., vol. 11, Birkhauser, Boston, 1981, pp. 441—468).
с. Используя теоремы 4 и 6 из статьи Knuth D. Е. Pacific J. Math. 34(1970), 709—727, можно установить биекцию между множеством слов длины п в множестве М и множеством симметричных N-матриц размера <7X7, сумма элементов которых равна п. Отсюда следует, что F(x) = = 1/(1 -х)’(1 -х2)(*).
d. Это утверждение является прямым следствием результата Гильберта — Серра о рациональности рядов Гильберта коммутативных конечнопорожденных градуированных алгебр. См., например, теорему 11.1 в книге Atiyah М. F., Macdonald I. G. Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969. Русский перевод: Атья M., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру.— М.: Мир, 1972.
Решения упражнений
407
8. a. Tr(x, y) = tr S Да>Вр‘ ... Д“гвЧУ =
= tr^x^B^...^B^r) =
= tr (1 - ДхО"1 (1 - ВуУ1 ... (1 - Дхг)-1 (1 - ВугГ1-
Заметим, что для каждой обратимой матрицы М элементы матрицы М-1 являются рациональными функциями (со знаменателем detM) от элементов М. Следовательно, элементы матрицы (1—ДХ1)-‘ ... (1—Вуг)~г являются рациональными функциями от х и у с коэффициентами в [С, а вместе с ними таким же оказывается и след. Знаменатель функции Тг(х, у) может быть представлен в виде
det (1 - ДхО (1 - ByJ ... (1 - Axr) (1 - Вуг) =
= П det (1 - Ах{) п det (1 - By,).
г-i /-1
b.
Г 1 — У + *У х — у 1
(1 — Дх)(1 — В//)= . . . . =>
м L — х + у + ху 1 + ху J
=> 7’1 (х, у) = ,2Гл+2Т ъ
1 \ Ц д2) (1 _ у _|_ у2)
9. Пусть 3 = {₽ е Zm: существуют такие а <= Nm и п е Р, что Фа = п0 и 0 а{ < п). Очевидно, что множество 3 конечно. Для любого 0е3 положим F$ = £у“х", где суммирование распространяется иа все решения а е Nm системы Фа = п0, а, < п и показатели п е Р. Тогда Sn>o/(n)^" = S(leS/:’i>(b х) (где 1 = (1, .... 1)еГ) и доказательство следует из теоремы 4.6.11.
( [щ] \
10. Для множества 3 s I % J определим Es как множество N-решений а уравнения (17), которые удовлетворяют дополнительному условию: ai = alt если {I, /}еЗ. По теореме 4.6.11 производящая функция Es(x) рациональна, а по принципу включения — исключения
£‘(х)= Z (- 1)|S,BS (X), (60)
s
откуда следует утверждение.
Замечание. Для практических вычислений следует заменить ( ря] \
Ss I J на л е Пт, а формулу (60) на формулу обращения Мёбиуса для Пт.
408
Гл. 4. Рациональные производящие функции
11. а. Для ₽sZr положим S = {i: рг- < 0}. Если у = (уь ..., уг), то будем употреблять обозначение ys = (у', у'), где
у. — Vi ПРИ S и у' == — у. при i е S. Пусть Fs — моноид, состоящий из всех N-решений (а, у) уравнения Фа = у5. По теореме 4.6.11 производящая функция
Fs(x, у)= % Х“У¥
(«, y) е
рациональна. Пусть Ps = (pj, ..., р'). Тогда
Следовательно, функция Е^(х) рациональна. Далее, если а s CF (Е), то (а, 0) е CF (Fs). Множители 1 — х“ в знаменателе Fs (х, у) не затрагиваются при вычислении частных производных в выражении (61), а все остальные множители пропадают при подстановке у = 0. Следовательно, £>(х) является знаменателем £р(х). Для того, чтобы убедиться, что это знаменатель наименьшей степени (при условии Е$ ф 0), можно рассуждать так же, как в доказательстве теоремы 4.6.11.
Имеется множество других способов доказательства этого утверждения.
Ь. Ответ, р = 0, ±1.
с. Пусть <xf = — pjqi, тдр Pi^O и qt > 0 — целые числа, / — наименьший общий делитель qh q2, qm. Пусть Ф = [уь ..., ут], где yz — вектор-столбец размерности г. Положим у< = (l/q^ у;, Ф'= [у', ..., у'п]. Для любого вектора v = (vb ..., vm) <= ^п, удовлетворяющего условиям O^v, < q,, обозначим через Е'м совокупность всех N-решений 6 уравнения Ф'б = 0, которые удовлетворяют условию 6f s (mod q{). Если Е' означает множество всех N-решений б уравнения Ф'б = 0, то очевидно Е' = = Uv-^(v) (непересекающееся объединение). Следовательно, по теореме 4.6.14
Е' (х) = ± Е' (1/x) = ± Е Дм(1/х). (62)
Каждый моном х’, входящий в разложение Е'м(1/х) в окрестности нуля, удовлетворяет условию e.s—vf(mod^).
Решений упражнений
400
Из равенства (62) следует, что £'у)(1/х)=± £(-; (х), где = qi — vz при vz #= 0 и v{ — vz при vz = О, а Е'^ — = ^)П£'.
Пусть теперь о, обозначает наименьший неотрицательный вычет числа р, по модулю qi, а о = (оь от). Определим аффинное преобразование <p: ROT->-Rm условием <р (6) = (6i/(7i.6т/(?от) + а. Можно проверить, что
Ф определяет биекцию между множествами Е[д} и £р, а также между Е'{д} и Ef, откуда следует доказываемое утверждение.
Это доказательство следует из теоремы 3.5, принадлежащей автору, из работы Stanley R. Proc. Symp. Pure Math. (D. K. Ray—Chaudhuri, ed.), vol. 34, American Math. Society, 1979, 345—355. Этот результат может также быть выведен из теоремы 10.2 работы [34], как и многие другие утверждения, касающиеся неоднородных линейных уравнений. Другое доказательство содержится, в неявной форме, в работе [38] (см. теорему 3.2 и следствие 4.3). d. Следствие 4.3 работы [38].
12. Несколько более общее предположение было сделано Эрхартом [9, стр. 139]. Там же проверено несколько частных случаев.
13. а. Этот результат был сформулирован в виде гипотезы А. Вейлем в рамках его знаменитых «гипотез Вейля». Он был впервые доказан в работе Dwork В. Amer. J. Math. 82(1960), 631—648, а очень удобочитаемое его изложение имеется в главе V книги Koblitz N. p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, Second ed., Springer-Verlag, New York, 1984. (Русский перевод: Коблиц H. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции.— М.: Мир, 1982). Целиком гипотезы Вейля были впоследствии доказаны П. Делинем. См., например, работу Katz N. М. in Mathematical developments arising from Nilbert problems, Proc. Symp. Pure Math., vol. 26, American Math. Society, Providence, R. I., 1976, pp. 275—305 no поводу дальнейшей информации.
b. Это упражнение представляет собой результат Igusa J.-I. J. Reine Angew. Math. 278/279(1975), 307—321, для случая k=\. Более простое доказательство было позже дано тем же автором в Amer. J. Math. 99(1977), 393—417 (appendix). Доказательство для произвольного k с помощью методов Игусы, приспособленных к этому случаю, дано в статье Meuser D. Math. Ann. 256(1981), 303—310.
14 р. Стенли
410 Гл. 4. Рациональные производящие функции
Другое доказательство есть в работе Denef J. Invent. Math. 77(1984), 1—23. См. также книгу Igusa J.-I. Lectures on forms of higher degree, Springer-Verlag, Berlin— Heidelberg — New York, 1978.
14. а. Пусть Dw обозначает множество делителей w, принадлежащих L. (Мы считаем делители и и v различными, если они начинаются или кончаются в позициях с разными номерами, даже если и и и совпадают как элементы X*.) Ясно, что для фиксированного w
Е fn^=II(i + s0)m°w.
Ts~Dw\v<=T ) veL
Следовательно, если мы всюду подставим зи = tv — 1 в формуле (48), то получим эквивалентную формулу
Е Е (П sv) = [l-Xi~ ...-х„-С(х, S)]"1. (63) u е X* TsDw\veT )
Для w е X* и некоторого набора Т s Dw имеется единственное разложение w — Vi ... Vk, для которого либо i. Vi е X и vi не принадлежит к числу делителей, входящих в Т, или
ii. Vi является первой компонентой некоторого /.-кластера (Vi, ц, v), где компоненты ц состоят из всех делителей Vi, содержащихся в множестве Dw. Кроме того,
ПЧ=П п
v^T i v<sL
где i пробегает множество таких индексов, для которых Vi удовлетворяет условию (ii), а у. определяется этим же условием. Отсюда следует, что если правую часть в формуле (63) разложить как элемент .С [[fa: v е Л] ]<<Х>>, то она совпадет с левой частью равенства (63).
Этот результат доказан в статье Goulden I. Р. Jack-son D. М., J. London Math. Soc. (2) 20(1979), 567—576, а также приводится в книге [3.16], гл. 2.8. (Частный случай был доказан в статье Zeilberger D. Discrete Math. 34(1981), 89—91.)
с. Пусть С0(х, t) состоит из тех членов С(х, t), которые отвечают кластерам (ау,ц, v), имеющим v последней компонентой р. Следовательно, С(х, t) = Е0<=г.Си(х> t)- По формуле (48) или (63) достаточно показать, что каждое слагаемое Cv рационально. Простое комбинаторное рас
Решения упражнений
411
суждение позволяет представить Cv в виде линейной комбинации функций Си и 1 с коэффициентами, которые являются многочленами от Xi и iv. Если решать эту систему линейных уравнений по формуле Крамера (по причине комбинаторного характера существует единственное решение), то Cv выразится рациональной функцией. (Другое решение задачи может быть получено методом трансфер-матрицы.) Явный вид функции С(х, t), полученной таким образом, имеется в процитированной работе Гулдена и Джексона (предложение 3.2) и в книге [3.16, лемма 2.8.10]. См. также статью Guibas L. J., Odlyzko А. М. J. Combinatorial Theory (А) 30(1981), 183—208.
d. Правая часть (49) совпадает с [1 — пх + xlAw (х)-1]-1. Доказательство получается в результате изучения линейного уравнения, которое получено в решении пункта (с). Этот результат имеется в цитированной статье Гуйбаса и Одлызко.
15. Отождествим доску и X и с множеством [0, п — I]2. Число klBk(n) равняется числу векторов ................ал, Pi, • • •
..., y)sZ2fe+1, удовлетворяющих условиям:
у = п — 1, (64)
0<аг<у, 0<р;<у, (65)
i¥= !=> [(а, =/= а,) & (р,- #= р;) &
(«1 — Рг =# а, — Ру) & (а, + Рг =# «/ + Р/)]- (66)
/ k \
Перенумеруем г = 4 I % J неравенств, фигурирующих в условии (66), и обозначим их через /ь ..., 1Г. Пусть 7г. означает отрицание А, то есть равенство, полученное из />• заменой значка =/= на =. Если S Е [г], то через /s (и) обозначим число векторов, удовлетворяющих условиям (64), (65), и Ц при i^S. По принципу включения — исключения получим:
fe!Bfe(«)=Z(-DIS|fS(«). (67)
s
По теореме 4.6.11 производящие функции Fs = = У, х“‘ ... х^у\1 ... ifkx\ где сумма берется по всем векторам v, которые удовлетворяют условиям (65) и Ц при ieS, рациональны. Но 2 fstn)*11 получается из Fs подстановкой xt = yt = 1, поэтому и функция Е fs («) хп рациональна. Тогда из формулы (67) следует также рациональность функции У, Вк(п)хп.
412
Гл. 4. Рациональные производящие функции
Заметим, что основная идея доказательства такая же, как в упражнении 10: заменить неравенства равенствами и применить принцип включения — исключения.
16. Мы хотим сосчитать тройки (a, b, с)е Р3, удовлетворяющие условиям а b > с и a-j- b -j- с — п. Каждая
такая тройка единственным образом может быть записана в виде
(a, b, с) = а(0, 1, !) + ₽(!, 1, 1) + у(1, 1, 2) + (1, 1, 1),
где а, р, yeN. А именно,
а = Ь — а, Р = а + & — с— 1, у —с — Ь.
X3
17.
Далее, выполняется равенство п — 3 = 2а + 3р + 4у. Обратно, каждой тройке (а, р, у) е № отвечает допустимая тройка (а, Ь, с). Следовательно, t(n) равняется числу троек (а, р, у)е№, удовлетворяющих условию 2а + Зр + 4? = = п — 3, и поэтому
я?зf (п) хП ~ (1-хг)(1-х3)(1-*«) •
С точки зрения теории, изложенной в разделе 4.6, простота полученного ответа обязана тому обстоятельству, что моноид Е, состоящий из N-решений (а, Ь, с) системы нера венств а b с и а-\-Ь^ с является свободным (коммутативным) моноидом (с образующими (0,1,1), (1,1,1) и (1-1,2)).
Эквивалентные утверждения (с более сложными доказательствами) получили Jordan J. Н., Walch R„ Wisner R. J. Notices Amer. Math. Soc. 24(1977), A — 450 и Andrews G. E., American Math. Monthly 86(1979), 477—478.
Простые комбинаторные рассуждения показывают, что
Nkr(n+l) = kNkr(n)-(k-l)Nkr(n-r+i), n^r. (68)
Из теоремы 4.1.1 и предложения 4.2.2(ii) следует, что Fkr(x)=Pkr(x)/(l — kx-]-(k — 1)хД, где Pkr(x)— многочлен степени г (так как рекуррентное соотношение (68) не вы полняется для п = г—1). Для того чтобы удовлетворялись начальные условия A\r(0)=l, Nkr(n) — kn при 1 и
г—1, Nkr(r) = kr — k, нужно, чтобы выполнялось равенство Ркг(х)— 1 —хг. Следовательно,
FkT (х) = (1 - хг)/(1 - kx + (k - 1) xr).
Если мы сократим эту дробь, то получим
р /х\ =___________1 + х+ ... +хг~1________
kr( ' l-(k-l)x-(k-\)x2- ...-(fe-l)*r-1 ’
г.
Решения упражнений
413
Эта формула может также быть получена прямой проверкой соотношения
Nk,(п + 1) = (k - 1) [Мкг (и) + Nkr (п - 1) + ... + Nkr(п - г + 2)], но в таком случае несколько более трудно получить выражение для числителя.
18. а. (И. Гессель и Р. Индик). Пусть <?Ер, psZ и (р, q) = = 1, a teN. Во-первых, можно показать, что два семейства функций
п
1(п) = 1+^ [-у-} где п 2/? +
/=1
п
f = 1 + X где п 2iq + 2<7’
/=1
удовлетворяют рекуррентному соотношению (50). Во-вторых, проверяется, что для любых те ° и k s Z одна из таких функций удовлетворяет условию
b. Самый интересный случай — когда R(ri) = P(n)/Q(n), где
Р (и.) = xd + ad_ln.d 1 + ad_2nd 2 + ... +
Q (n)= xd -|- 2 + ... + b0,
а коэффициенты — целые числа, причем ad~\ > 0. (Разумеется, нужно предположить, что Q(n)=#0 для всякого целого п т.) В этом случае f(n) = O(na), где а = ad-\, и возникает вопрос, не является ли функция f(n) квазимногочленом. Экспериментальные наблюдения показывают, что в общем случае ответ отрицательный, хотя во многих частных случаях он положительный. И. Гессель показала, что во всех случаях функция A°f(n) ограничена.
19. а. Простое вычисление показывает, что
/(„) = ^-(а"-р"),
где а = 4- (3 — 4z) и р = 4- (3 4zj. Поскольку | а | =
=1 р 1= 1,
Простейший способ убедиться, что f(n)#=±5/4 — показать, что из рекуррентного соотношения (51) следует, что знаменатель f(n) является степенью числа 5.
414
Гл. 4. Рациональные производящие функции
Ь. Так как функция f имеет целые значения и ограничена, то встречается лишь конечное число различных последовательностей f(n+l), f(« + 2), Таким об-
разом, для некоторых г < $ получаем серию равенств f(г + z) = f(s + z) (l^z^d). Отсюда следует, что f имеет период s — г.
с. Этот результат был высказан Д. Пойа в 1916 году и доказан Ф. Карлсоном в 1921 г. Последующие доказательства и обобщения даны Д. Пойа. Их обзор имеется в Jahrber, Deutsch. Math. Verein. 31 (1922), 107—115 и перепечатан в книге George Folya, Collected papers, vol. 1 (G. Folya and R. P. Boas, eds.), M. I. T. Press, 1974, 192— 198. По поводу более поздних работ на эту тему см. комментарии на стр. 779—780 последнего сборника.
20. Garsia А. М., Gessel I. Advances in Math. 31 (1979), 288—305 (Замечание 22).
21. а. Если диаграмму Л,0 удалить из диаграммы V, то в результате получится упорядоченный набор попарно непересе-
М3 =
2 М-
Рис. 4.43.
кающихся связных (в смысле хода ладьи) «косых» диаграмм у,1, ..., уг (упорядочение набора — от нижнего левого угла к верхнему правому). Например, если Х° = = (5,4,4,4,3, 1), а V =(6,6,5,4,4,4, 1), то получается последовательность косых диаграмм, изображенная на рис. 4.43. Так как выполняется условие | ц11 + ... +1 рг | = = а,, то для заданного S существует лишь конечное число возможных последовательностей р = (р*, ..., pfe). Таким образом, если через fs(y, п) обозначить число тех последовательностей Л° < Л1 < ... < к1 из числа рассматриваемых в задаче, которые приводят к последовательности ц, то достаточно доказать, что степенной ряд As(j*, q), определенный равенством
S n)qn = P(q) As(|i, q), (69)
л>0
является рациональным со знаменателем <f>aj(q)-
Мы проиллюстрируем вычисление функции As(p, q)
для последовательности р, заданной рисунком 4.43, и
Решения упражнений
415
предоставим читателю убедиться, что рассуждение остается в силе для любых ц. Во-первых, легко видеть, что существует константа cs(p)e Р, для которой Л3(ц, q) = = cs (ц) (р, q), поэтому мы можем предположить, что
5={а/} = {9}. Рассмотрим типичную диаграмму V (см. рис. 4.44). Здесь буквы а, Ь, с означают длины тех строк, в которых они стоят. Поэтому с^/> + 2^а + 5. Если из диаграммы V удалить строки, пересекающие некоторую диаграмму у/, то получится разбиение у, никакое
слагаемое которого не может равняться b — 1, b — 2 или с—1, причем каждое такое разбиение v получится лишь в одном случае. Следовательно,
Е /{9} (>*» ft)<7n+9==
п>0
Р (?) Е ?а+26+<зс-,) (1 - ?6-') (1 - <Г2) (1 -
с>6+2>а+5>6
Чтобы вычислить эту сумму, разложим каждое слагаемое в сумму восьми одночленов и просуммируем по с, Ь, а (именно в таком порядке). Каждая сумма является геометрической прогрессией, дающей множитель 1 — q* в знаменателе и одночлен в числителе. Поскольку среди восьми упомянутых одночленов наибольшая сумма коэффициентов при а, b и с в показателе q равна as = 9 (ее дает одночлен ^з-нь-1-4с-5), отсюда следует, что восемь знаменателей — это восемь различных множителей 1 — q‘, 1
416
Гл. 4. Рациональные производящие функции
I 9. Значит, дроби имеют общий знаменатель <р9 (9), что и требовалось. Есть ли более простое доказательство?
Дальнейшие сведения о рациональных функциях As(q) можно найти в диссертации Butler L. Ph. D. thesis, M. I.T., 1986 и препринте Butler L. «Rational generating functions for enumerating chains of partitions».
b. Пусть (q) = Bs (q) j qaj (q). Тогда
$0=1, В] = 1, B2 - 2 — q, B3 = 3— q— q%, 51,2 = 2,
В1,з = 3 4-2<7-<72-^, 52,3 = 4-9 4-2^-2^ и
В,,2,з = 2(2-9) (1 4-94-92)-
Можно ли указать формулу для B[ni(a)?
В готовящейся к печати статье Р. Стенли алгебраическим путем показано, что
У* ЛИ(9)*П = ех„ ( _£___I ___£___Л
Zj п! еХР<1-9 + 2(1-9’) )'
п>0
Доказательство с помощью установления биекции появится в статье Б. Сагана и Р. Стенли. Из него следует, что
LtJ
ВМ(9) = ФП(9) Е ^![{п - 2k)\ k\ 2fc(l - q)n~2k (1 - 9’)»].
с. (При участии Д. Батлера). Сначала проверьте, что коэффициент g(n) при qn в произведении левой части равенства (52) и P(q) равняется p(L, [п,п 4~ )4" 4"
4-1, п 4-^1), где L = //(№). Мы хотим воспользоваться теоремой 3.12.1. Для этого рассмотрим № с обычным порядком в произведении ч.у. множеств как огрубление полного (лексикографического) порядка
(/, /) (Г, /'), если i или г == /'•
По теореме 3.12.1 g(n) равняется числу цепей v: v° < < v1 < ... < составленных из таких разбиений у!, что (1) Ь‘1 = «4-4 (2) vi+1 получается из v‘ добавлением клетки (в диаграмме Юнга) строго над той клеткой, которая добавлялась при переходе от v1'-1 к v'; (3) клетка, которая добавляется при переходе от v*-1 к ук, не принадлежит верхней строке. (Это условие гарантирует наличие спуска в позиции п 4- k.) Диаграмма v° может быть
Решения упражнений
417
выбрана произвольно, a v1 получается добавлением произвольной клетки к V0. (Если клетка, добавляемая к v°, начинает новую строку или принадлежит нижней строке диаграммы v°, то цепь v дает вклад в число §(L, [га+1, п + £]), в противном случае — в p(L, [и,га+ £]).) Теперь мы можем рассуждать таким же образом, как в пункте (а), а именно: добавляемые k клеток принадлежат столбцам, имеющим длины 2 1\ < /2 < ... < 1к, и после
удаления соответствующих строк может получиться любая диаграмма. Следовательно,
'Lg(n)qn+k = P(q) Е <7‘1 + ", + ife=/+^1W)<Pfe(<7),
n>0
откуда следует доказываемое утверждение. Существует ли простое доказательство, не опирающееся на теорему 3.12.1?
d. Это утверждение легко следует из первой фразы решения пункта (с), если заметить, что
k
₽(£, [и, и + *]) = £ (- 1/(0 (L, [n+j, n+ £])) + г=°
+ P(L, [га-Н+1, « + *]))-(-!)*.
(Слагаемое — (—l)ft необходимо для того, чтобы сократился член (—l)feP(L, [п+&+1, «+&]) = (—!)*₽(£, 0) = = (—1)*, который входит в сумму при i = k.)
е. Мы хотим показать, что число f(n) таких цепей к < р, которые удовлетворяют условию |Л| — п и |р| = п + 1, равняется р(0)+р(1)+ ... + р(га), где р(/) равно числу разбиений числа /. Для данного разбиения v, такого, что |v| = fe^n, определим Л, добавив к v еще одно слагаемое п — k (порядковый номер этого слагаемого выбирается так, чтобы не нарушать монотонного убывания частей разбиения), а диаграмму р— добавлением к v слагаемого п — &+1. Это дает нужную биекцию (которая неявно присутствовала в доказательстве пунктов (а) и (с).
22. а. Если Р — антицепь, то Q(P, т)— тр, и утверждение очевидно. Таким образом, достаточно доказать, что если Р не является антицепью, то коэффициент при тр~' многочлена Q(P,m) положителен. Этот коэффициент равняется 2ep-i—(р —- 1)ер. Пусть А — множество всех упорядоченных пар (о, I), где о: Р->-р является линейным продолжением порядка, a i е [р — 1]. Пусть В — множество всех упорядоченных пар (т,/), где т: Р—>-р— 1—сюръективное сохраняющее порядок отображение, a j = 1 или 2.
418 Гл. 4. Рациональные производящие функции
Поскольку #Л=(р—1)ер и i^B = 2ep_t, то достаточно найти такую инъекцию <р: Л->В, которая не была бы сюръективной. Перенумеруем элементы Р: P = {xi, ... ...,хр}. Для произвольной пары (о,/)еЛ определим <р (a, i) = (т, /) так:
( о(х), если o(x)^Z, (о(х) — 1, если о (х) > 1,
( 1, если о (xr) = I, a (xs) = i + 1 и г < s, 1 1 2, если a (xr) = i, a (xs) = i + 1 и г > s.
Легко видеть, что <р инъективно. Если у покрывает х в Р, а т: Р->р— 1 — сохраняющая порядок сюръекция, для которой т(х) = т(у) (такая сюръекция всегда существует), то одна из пар (т, 1) и (т, 2) не может попасть в образ <р. Следовательно, <р не сюръективно.
Ь. Эта задача была рассмотрена Дж. Каком и М. Саксом, которые нашли приведенное выше доказательство пункта (а) независимо от автора настоящей книги.
23. Достаточность доказывается просто, и мы приведем набросок доказательства необходимости. Пусть Р — наименьшее ч.у. множество, для которого функция G(P, х) является симметрической, причем Р не является дизъюнктным объединением цепей. Определим формальный ряд G(P, х) = = xT(0)XT(i) ..., где т пробегает множество всех строгих Р-разбиений т; P->»N. Из доказательства теоремы 4.5.7 можно заключить, что G(P, х) является симметрической функцией тогда и только тогда, когда этим свойством обладает G(P, х). Пусть М — множество минимальных элементов Р. Положим /п = |А1| и Pi = Р -М. Коэффициентом при ^вС(Р,х) служит С?(Рь х'), где х'= (хь хг, ...). Следовательно, <7(Р1,х) — симметрическая функция, и поэтому Pi является дизъюнктным объединением цепей. Аналогично, если М' — множество максимальных элементов Р, то Р — М'— дизъюнктное объединение цепей. Следовательно, Р само является дизъюнктным объединением цепей С\, ..., С*, причем выполняются соотношения х < у, где х — минимальный элемент некоторой цепи Ct, а у — максимальный элемент цепи Ch i ф j.
Теперь обратите внимание на то, что коэффициент при х^хгх2 ... хр_т в G(P, х) равен числу с (Pi) линейных продолжений ч.у. множества Р\, поэтому коэффициент при хох( ... х^хрх^, ... хр_т также равен e(Pi) для всех
Решения упражнений
41fl
i, О i Р — т. Пусть Q = Ci + ... + Ck. Тогда и коэффициент при х%х{ ... хр_т в G(Q, х) тоже равен е(Р\), поскольку P\^Q — множество минимальных элементов Q. Таким образом, коэффициент при х0 ... х”1 ... хр_т в G(Q, х) равняется e(Pt). Поскольку Р является измельчением ч.у. множества Q, справедливо следующее утверждение: если т: Q->-[0, р — т] — строгое Q-разбиение с одноэлементными прообразами т-1(/) для / е [О, р — т] с единственным исключением |т~1 (j) |= т, то (рассматривая Р как измельчение Q) т: Р->[0, р— т] является строгим Р-разбиением. Пусть теперь хСувР, но хну несравнимы в Q. Легко построить строгое Q-разбиение т: Q [0, р — т\, удовлетворяющее условиям т(х)=т(р) (обозначим это число, например, через I) и |т_ 1 (j) | = т, |т-1(/)|=1 при j =/= i. Тогда т: Р->-[0, р — т\ не является строгим Р-разбиением, и мы приходим к противоречию.
Доказанное утверждение составляет частный случай гипотезы, сформулированной на стр. 81 работы [3.29].
24. а. Доказательство выводится из взаимно однозначного соответствия, установленного при доказательстве предложения 3.5.1.
Ь. Этот результат опубликован в работе [3.29, предложение 8.2] и доказывается так же, как теоремы 4.5.8 или 4.5.13.
с. Соотношение (55) прямо вытекает из определения (53) — см. [3.29, предложение 12.1]. Равенство (56) следует из (54) и (55). С другой стороны, (56) непосредственно следует из пункта (а).
е. Доказывается так же, как теорема 4.5.7.
f. См. [3.29, предложение 17.3(H)].
25. а. Сначала заметим, что
/р + m - i\ = (i-^-^G-^-^-^) ... (i-g-^y)
\ Р / (i-^JO-qP-1) ... (1-<?)
где у = qm. Из упражнения 24(b) следует, что существует многочлен V(P, у) степени р по у, коэффициенты которого являются рациональными функциями от q, удовлетворяющий равенству
Um(P, q) = V(P, qm).
Многочлен V(P,y) задается однозначно своими значениями на бесконечном множестве {l,q,q2, ...}.
Поскольку Um(Pi + Р2, q) = Um(Pl, q)Um(P2, q), мы можем заключить, что если каждая компонента множе
420
Гл. 4. Рациональные производящие функции
ства Р является гауссовской, то этим свойством обладает и Р. Напротив, предположим, что Pi + Р2— гауссовское множество. Тогда
v(Pi + p2, у) = /?(?) ft (1-^4
1 = 1
где P(q) зависит только от q (а не от у). Очевидно, V (Pj + Р2, y) = V (Pi, у) V (Р2, у). Поскольку каждый множитель 1 — yqhi неприводим (как многочлен от у) и так как deg V (Р£ y) = # Pi, мы получаем, что
V(Pt, y) = Pi{q) U {\~yqhl\
i<sSi
где j пробегает некоторое подмножество S, множества [р]. Поскольку L/0(Pi, q)= V(Pi, 1)= 1, то справедливо равенство R{(q)= 11/взг0 <7Л/)-1> т0 есть — гауссов-
ское множество.
Ь. Очевидно, что для каждого конечного ч.у. множества Р имеет место равенство
lim Um(P, q) = Gp(q), т-+°о
где правая часть задается формулой (12). Следовательно, если Р гауссовское, мы приходим к равенству
Таким образом, WP(q) —q^Wptl/q), где d(P) = — deg WP (q), и значит, благодаря теореме 4.5.13, Р удовлетворяет 6-цепному-условию.
Теперь из уравнения (56) мы получаем
Um(P', q) = qp,nUm(P, l/q) = Um(P, q).
Отсюда следует, что Р* также гауссовское, и, следовательно, Р* удовлетворяет 6-цепному условию. Но если Р связно, то как Р, так и Р* удовлетворяют 6-цепному условию в том и только том случае, когда Р градуировано, откуда следует доказываемое утверждение.
с. Предположим, что ад элементов А/ равны I. Тогда по формуле (54)
. (|,)1 . (1 - «)•(! - Л)"1 •••(!- Л)“« =
(I) 1 ... <Р> "
р—1
= Е (1 — ••• (1-<г+1^)^г(Р, q). (70)
1-0
Решения упражнений 421
Возьмем /, 1^/^р + 1, и положим при i=£j
и fy = a/-j-l (ар+1 считаем равным нулю). Положим
—, <р+‘" ( -«’+W'+1 =
(1)1 ... (р + lfp+1 р
= 1(1-<7₽+1Л) ••• (1-<'+11/)Хг(Л<7). 1 = 0
Это уравнение однозначно задает все Xi(P,q). Напишем тождество
(1 - /+1) (1 - </</) = (1 - qi+i) (1 - qp+l-{y) +
+ G/+' ~/+1) (1 -q~ly\ (71)
Перемножая почленно равенства (70) и (71), получим р
(Д-Я!ЛА1-ЧР+1-{у) ... (1-<П+Шг(Р, q) = 1=0
р-1
= Е [(i-^'Ki-r1^) ... (i-?-i+1i/) + 1=0
+ (qi+l - <7P+1) (1 - qP~ly) ... (1 - q^y)] W{ (P, q).
Отсюда вытекает, что
(1 -</)Xi = (l -q^Wi + tf+'-'-q^W^. (72)
Теперь введем обозначение
[р - 1] — {а! + а2 + • • • + аг: «> 1} = {ci.ск}>.
Если, рассуждая по индукции, предположить, что известны степени deg U7t_i и deg W, в соотношении (72), то можно вычислить deg %,. Отсюда вытекает, что
deg Wi = С] ... -|- Ci, 0 i k.
Доказательство завершается сравнением с упражнением 24(f).
d. Если функция Um(P) задана равенством (57), то qpmUm{P, l/q) = Um(P, q).
Сравнивая с равенством (56), получаем, что Um(P,q) = = Um (Р*, q). Пусть р* обозначает ранговую функцию множества Р*. Из п. (с) следует, что
{1 + р (х): х е= Р} = {1 + р* (х): х <= Р‘) =
= {/(Р)+1-р(х):хеР}.
422
Гл. 4. Рациональные производящие функции
Следовательно, в силу (с), мультимножества {hi,..., hp} и {/(Р) + 2 — hi.../(Р)4-2 — hP} совпадают, откуда
следует утверждение. (Этот результат был независимо получен П. Хэнлоном.)
е. Пусть множество Р имеет Wi элементов ранга i. Используя равенство (57) и пункт (с), можно вычислить коэффициент при q2 в Ui{P,q), который оказывается равным /Ц70\
I l + С помощью упражнения 24(a) мы убеждаемся, что это число совпадает с числом двухэлемент-(W0X ных порядковых идеалов множества Р. Каждое из I I двухэлементных подмножеств множества минимальных элементов образует такой порядковый идеал. Оставшиеся Wi двухэлементных идеалов должны состоять из элемента ранга единица и единственного минимального элемента, им покрываемого, откуда следует утверждение, f. «Регулярное» доказательство утверждений (i) — (v), использующее теорию представлений полупростых алгебр Ли, принадлежит Р. Проктору: Proctor R. European J. Combinatorics 5(1984), 313—321). Доказательства ad hoc, использующие то наблюдение, что связное ч. у. множество Р является гауссовским тогда и только тогда, когда множества Р X m являются приятными при всех т е Р, могут быть получены с помощью решения упражнения 3.27 (b, d, f, g).
26. а. Примените теорему 4.5.14 к случаю Р = Г1 + ... + гт.
Ь. Предположим, что ле©(А4) и d(jt) = &—1. Тогда л состоит из Xi единиц, за которыми следуют yi двоек, затем х2 единиц, затем у2 двоек, и так далее, причем xj + ... ... + xk = П, yi + ... + Ук = r2, Xi е N, Xi е Р при 2 <
i k, yi е Р при 1 i k — 1, yk е N. Обратно, любые такие наборы чисел х,- и yi задают перестановку л е
( ri \ е<3(Л4), для которой d{n)= k—1. Существует I . , I
способов выбора х и
г2
k- 1
способов выбора у. Сле-
довательно,
A/п {х}
xk+'
Решения упражнений
423
««/-аналог» этого результата имеется в работе [3.29, следствие 12.8].
27. а. Число i(n) равняется числу N-решений системы х1 4- ...
(п + Г \
... + хг = у{ + ... + ys п. Существует I I спосо-
/п + S \ бов выбрать числа и I способов выбрать числа
\ S J
Ч’ГГНП)*
У1,
поэтому
Следовательно, благодаря упражнению
26 (в), мы получаем:
Объем многогранника по предложению 4.6.30 равен 1 v? ( г \( s \ i
V^ = (г + s)! S ( k ) ( k) =="й7Г‘
* = 0
Многогранник имеет (г + !)(«+ 1) вершин — все векторы (хь ..., xr, у1г ..., t/s) <= Nr+s, удовлетворяющие неравенствам X! + . . . + Хг С 1 И ух + ... + ys < 1 •
b. Prs = г + s. См. упражнение 30 по поводу обобщения на произвольное конечное ч. у. множество.
28. а. Известны два доказательства этого результата. Первое (см. [37, теорема 2.1]) использует результат (Н. Brug-gesser, Р. Mani, Math. Scand. 29(1971), 197—205) о том, что граничный комплекс выпуклого многогранника шелушимый. Второй (непосредственное обобщение предложения 4.5 работы [35]) опирается на то, что некоторое коммутативное кольцо связанное с многогранником 53, является кольцом Коэна — Маколея.
b. См. Stanley R. Generalized й-vectors, intersection cohomology of toric varieties, and related results, in Proc. U. S.-Japan seminar on commutative ring theory and combinatorics (M. Nagata, ed.), North — Holland, to appear (теорема 4.4).
Можно также использовать методы, развитые в работе Betke U, Ann. Discrete Math. 20(1984), 61—64,
424 Гл. 4. Рациональные производящие функции
29. а. Для каждого d матрица
1 2 ... d -
м = d+l d + 2 ...2d
_d2-d+ 1 d2-d + 2 ... d2 _
является антимагическим квадратом.
b. Пусть Af = (тц)— антимагический квадрат. Перестановки строк и столбцов оставляют его антимагическим, и поэтому можно считать, что тп— наименьший элемент AI. Положим ai — т.ц — mnEN и 6/ = mi/eN. Из определения антимагического квадрата следует, что = = тп + mti — тп = а, + Ь,.
с. Чтобы получить антимагический квадрат М индекса п, подберите числа а(- и введенные в пункте (Ь), таким образом, чтобы + S равнялось п. Это можно сде-/ 2d + п — 1 \
лать I 2d — 1 J спос°бами. Поскольку единственные линейные соотношения, которым удовлетворяют матрицы Ri и С, — это скалярные кратные тождества Ri ~ S Ch то мы получим каждую матрицу М по одному разу, если / 2d + п — 1 \
вычтем из числа I t I число решений уравнения
22 а, + 22 й/= п, гДе а Ь, еМ Отсюда выте-
/ 2d -|- п — 1 \ кает, что искомый ответ — это число I „ I —
\ ZcZ “” I /
/ d + п — 1 \
I j ] (Обратите внимание на сходство с упражнением 2.6(b).)
d. Вершинами служат 2d матриц Ri и С/. Этот результат по существу повторяет пункт (Ь).
Целая точка в n&d— это просто антимагический квадрат размера индекса п. Следовательно, благодаря пункту (с),
( 2d + п — 1 \ (<d + п — 1 \
г(^щ «) = ( 2d_l 2d_l J-
30. а. Вершинами служат характеристические векторы антицепей А в Р. Это означает, что = (еь ..., ер), где
( 1, если Xi е А,
| 0, если х{ А.
Решения упражнений
425
Ь. Пусть 9* (Р)—многогранник из примера 4.6.34. Определим отображение f: 9>(P)-+9i'(P) формулой
f (si...8Р) = (61, ..., бР), где
= min (ez — 8/: Х[ покрывает ху в Р}.
Тогда f— биективное (а также непрерывное и кусочно линейное) отображение, обратное к которому задается формулой
8г = шах {б/] + ... + 6/fc: xlt< ... <xik = х,}.
Кроме того, образ множества f| Z)P относительно f совпадает с множеством 9* f| Z)P. Следовательно, i(9(Р),п) — I(9'(Р),п), и доказательство утверждения вытекает из примера 4.6.34.
Замечание. По существу та же самая биекция устанавливалась в решении к упражнению 3.60(a). В самом деле, нетрудно видеть, что многогранник 9^(Р) зависит лишь от графа Сот(Р), так что любое свойство 9'(Р) (например, многочлен Эрхарта) зависит только от Сот(Р). с. Возьмем в качестве Р зигзагообразное ч. у. множество Zn из упражнения 3.23. Тогда 9' (Zn) = 9>n. Следовательно, благодаря пункту (Ь) и предложению 4.6.30, V(9n)— старший коэффициент многочлена Q (Zn, т). Из результатов раздела 3.11 следует, что V(9>n)= е(Рп)/п\. Но е(Рп)—это число Еп чередующихся перестановок в <3П (см. упражнение 3.23(c)), поэтому
2 е (Рп) хп/п\ = tg х + sec х.
Вычисление У(^’п), которое в большей степени является решением ad hoc, дано независимо И. Макдональдом и Р. Нельсеном (Macdonald I. G., Nelsen R. В. Amer. Math. Monthly 86(1979), 396.
Результаты всех пунктов этого упражнения включены в статью Stanley R. Discrete and Computational Geometry 1(1986), 9—23.
31. Этот результат получается методами, разработанными в § 5 статьи Shepard G. С., Canad. J. Math. 26(1974), 302—321, и впервые был опубликован в статье [37, Упр. 3.1]. Многогранник 9—это, по определению, зонотоп, и основная идея доказательства — разложить 9 на более простые зонотопы
426 Гл. 4. Рациональные производящие функции
(а именно, параллелепипеды, зонотопические аналоги симплексов), каждый из которых может быть рассмотрен отдельно.
32. Решающее соображение состоит в том, что многогранник (который превращается в &d, когда Г — полный граф Kd)—зонотоп, и поэтому может быть исследован методом упражнения 31. См. статью [37, Упр. 3.1]. Чисто комбинаторное доказательство того, что число последовательностей б (а) равняется числу остовных деревьев графа Г, дано в статье Kleitman D., Winston К. Combinatorica 1(1981), 49—54. Многогранник был введен Т. Заславским (не-опубликовано) под названием ациклотоп.
33. Этот результат был высказан в виде гипотезы Эрхартом [9, стр. 53] и независимо доказан Р. Стенли [37, теорема 2.8] и П. Мак-Мулленом (McMullen Р. Arch. Math. (Base, 31(1978/79), 509—516).
34. а. Вектор-столбец (!,£, £2г, ..., Qn-Vry (значок t означает транспонирование) — собственный вектор матрицы М, отвечающий собственному числу ®г. (Попытка обобщить , этот результат, перейдя от циклических групп к произвольным конечным группам, привела Фробениуса к открытию теории представления групп. См. Hawkins Т. Arch. History Exact Sci. 7(1970/71), 142—170; 8(1971/ 72), 243—287; 12(1974), 217—243.)
b. fk(n) — '
с. Пусть Г — ориентированный граф с множеством вершин 7^/klL, в котором существуют ребра, ведущие из вершины I в вершины г — 1, i и г‘+ 1 (mod А). Тогда g*(n)—эт0 число замкнутых путей длины п в графе Г. Если для (г,/)e(Z/&2)2 мы положим
( 1, если j=U —1, г, г + 1 (modk),
Mi[ == 1 n
1 (,0 b противном случае,
то метод трансфер-матрицы позволяет убедиться, что (/г) = tr М", где М = (Мц). Благодаря пункту (а), собственные числа матрицы М равны 1 + Сг + ?Гг = 1 + + cos, где Z = e , откуда следует утверждение.
35. Пусть N = {wlt w2, ..., а>г). Определим ориентированный граф D = (V, Е) следующим образом. V состоит из всех последовательностей (vb v2, .vr, у) длины г+1, где каждое vt является левым делителем слова wt и v^wi (то есть Wt = vtut и I >1), а у е X. Проведем ориентированное ребро из вершины (ob ...,vr, у) в вершину
Решения упражнений
427
(Ур .... v'r, у''), если при 1=Сг^г и если
( vi&'> если v{y' является левым делителем wit V. = <
1 ( Vi в противном случае.
Путь, начинающийся в некоторой вершине (1, l,yt) (где 1 обозначает пустое слово), вершины которого имеют в качестве последней координаты буквы ух, .... ут, отвечает в точности слову w = у\у2 ... ут, никакое подслово которого не принадлежит множеству N. С помощью метода трансферматрицы можно проверить рациональность функции Fn(x).
36. а. Пусть D — ориентированный граф с множеством вершин V ={0, 1}*. Сопоставим последовательность (ei......efe)e
е V столбцу шахматной доски размера k X п, покрытой
Рис. 4.45. Рис. 4.46.
костями домино таким образом, что 8, = 1 тогда и только тогда, когда кость, покрывающая клетку /-го ряда этого столбца, второй половиной попадает в следующий справа столбец. Направленное ребро и-*- у проводится в том случае, когда столбец v может непосредственно следовать за столбцом и. Например, существует ребро 0 1000-И О 100 отвечающее рисунку 4.45. Число fft(n) при такой интерпретации равняется числу путей длины п— 1 в графе D, которые начинаются и кончаются в определенных вершинах. Поэтому, благодаря теореме 4.7.2, функция Fk(x) рациональна. (Имеются некоторые приемы, позволяющие понизить число вершин, но мы не будем здесь в это вдаваться.)
Пример, k = 2. Ориентированный граф изображен на рис. 4.46. Пути должны начинаться в точке 00 или 11 и
428
Гл. 4. Рациональные производящие функции
кончаться в точке 00. Следовательно, так как
то
Р /И_ - det (/ - хА: 1,2) + det (/ - хА: 2,2)
Г2{Х' det(/-x4)
х + (1 — х)
1 — х — х2
Этот результат также может быть получен с помощью прямого доказательства. Имеют место также равенства
п / \ 1 — xi
~ 1 — 4х2 + х4 ’
Р , ,__________1 — х2______
4 'XJ I — х — 5х2 — х3 + х4 '
г (X) =_____Г-7х* + 7х4-х*______
5W 1 - 15х2 + 32х4-15х« + х8 •
р , , 1 — 8х* — 2х3 + 8х4 — х6
r6 W — 1 _ х _ 20х2 - 10х3 + 38х4 + 10х5 - 20х6 + х7 + х8
(см. Hock J. L., McQuistan R. В. Discrete Applied Math. 8(1984), 101—104; Klarner D., Pollack J. Discrete Math. 32(1980), 45—52; R. C. Read, Aequationes Math. 24(1982), 47—65).
b. Равенство (58) впервые было получено в статье Kaste-leyn Р. W. Physica 27(1961), 1209—1225.
Его доказательство с помощью метода трансфер-матрицы имеется в статье Lieb Е. Н. J. Math. Phys. 8(1967), 2339—2341. Дальнейшие ссылки на эти и связанные с ними результаты содержатся в решениях к упражнению 37(b). См. также главу 8 в книге [6].
с. Stanley R. Discrete Applied Math. 12(1985), 81—87.
37. a.
( 2, если п четно или п=1,
V (2) = < nv (0, если п нечетно и л>3,
Ь. Этот результат получен в статье Lieb Е. Н. Phys. Rev. 162(1967), 162—172. Более подробные доказательства появились в книге [27, стр. 143—159] (в этом изложении имеется много мелких неточностей), статье Lieb Е. Н.,
Решения упражнений 429
Wu F. Y. в Phase transitions and critical phenomena (C. Domb and M. S. Green, eds.), vol. 1, Academic Press, London/New York, 1972, pp. 331—490 и книге [2] (см. соотношение 8.8.20 и стр. 178).
с. Константа —л/6 проверена опытным путем с точностью до 8 десятичных знаков.
f. См. Biggs N. L. Interaction models, Cambridge University Press, 1977; Biggs, Bull. London Math. Soc. 9(1977), 54— 56; Kim D., Enting I. G., J. Combinatorial Theory (B) 26(1979), 327—336.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Терминология теории графов
Количество терминологических систем, используемых в настоящее время в теории графов, равно с большой точностью числу специалистов по теории графов. Здесь мы опишем ту терминологию, которую мы используем на протяжении всей книги, не утверждая, однако, ее превосходства над любым другим выбором терминов.
Конечный граф есть тройка G =(V, Е, <р), где V — конечное множество вершин, Е — конечное множество ребер и <р— функция, ставящая в соответствие каждому ребру некоторое 2-элементное мультимножество вершин. Таким образом, <р: £-*>
// К\\
II 2 II- Если <р(е) = {и, у}, то мы считаем, что реброе соединяет вершины и п v. Если и = v, то ребро е называется петлей. Если отображение <р инъективно и не содержит петель, то граф G называется простым. В этом случае можно отождествить ребро е с множеством <р(е) = {ы, у}, что иногда записывается в виде е = uv. В общем, функцию <р редко упоминают при обращении с графами и фактически никогда не упоминают в случае простых графов.
Вершина v и ребро е инцидентны, если v е <р(е), то есть если ребро е соединяет вершину v с некоторой другой вершиной (иногда снова с вершиной у). Путь длины п из вершины и в вершину у есть последовательность Voe\VieiV2 ... envn, такая, что уо = и, vn = vVi et е£, и любые два последовательных члена инцидентны. Если G — простой граф, то для определения пути достаточно указать вершины у0, Уь ..., vn. Путь называется замкнутым, если vo — vn, тропой, если все ребра е, различны, и замкнутым путем, если все вершины Vi (и, следовательно, ребра е,) различны1). Если и все вершины vi, за исключением уо = vn, различны, то путь называется циклом.
Граф является связным, если любые две различные вершины соединены некоторым путем. Связный граф без циклов назы-
*) Термины путь, тропа, простой путь соответствуют терминам walk, trail, path в оригинале. — Прим. ред.
Приложение. Терминология теории графов 431
вается свободным деревом (многие авторы называют его просто деревом).
Ориентированный граф, или орграф1), определяется аналогично графу, только теперь <р: £-> ЁХ V, то есть ребро состоит из упорядоченной пары вершин (и, v) (возможно, равных). Понятия пути, тропы, простого пути и так далее естественным образом переносятся на орграфы; дальнейшие детали см. в начале раздела 4.7.
Теперь мы переходим к понятию дерева. Его можно рекурсивно определить следующим образом. Дерево Т есть такое множество вершин, что:
а. Одна специально выбранная вершина называется корнем дерева Т, и
Ь. Оставшиеся вершины (исключая корень) разбиты на m О непересекающихся непустых множеств 7\, Tm, каждое из которых является деревом. Деревья Т\, ..., Тт называются поддеревьями.
Вместо того чтобы формально определять некоторые термины, связанные с деревом, мы проиллюстрируем их примером, считая, что это сделает очевидными такие определения. Пусть Т = [9] с корнем в вершине 6 и поддеревьями Т\, Т2. Дерево Т] содержит вершины {2,7} и корень 2, а Т2 содержит вершины {1,3,4,5,8, 9}, корень 3 и поддеревья Т3, Т4. Дерево Т3 содержит вершины {1,4,5,8}, корень 5 и поддеревья Т5, Т6, Т7, состоящие каждое из одной вершины, а дерево 7\ состоит из единственной вершины 9. Эта ситуация изображена на рис. А.1. Заметьте, что мы рисуем корень дерева наверху. Это соглашение широко распространено среди программистов, хотя многие специалисты по теории графов (да и сама Природа) обычно изображают деревья в перевернутом по сравнению с нашим соглашением виде. На рис. А.1 мы называем вершины 2 и 3 сыновьями или преемниками вершины 6. Аналогично, вершина 7 есть сын вершины 2; вершины 5 и 9 — сыновья вершины 3, и вершины 1,4,8 являются сыновьями вершины 5. Мы также называем вершину 2 отцом или предшественником вершины 7, вершину 5 — отцом вершин 1.4 и 8 и так далее. Каждая вершина, за исключением корня, имеет единственного отца. Вершины, не имеющие сыновей, называются листьями или концевыми вершинами', на рис. А.1 таковыми являются вершины 1,4,7,8,9.
Если мы на диаграмме дерева (как на рис. А.1) проигнорируем выбор корней (т.е. рассмотрим только вершины и ребра), то мы получим диаграмму свободного дерева. Обратно, если мы отметим в данном свободном дереве G одну из его вершин как
*) В оригинале «directed graph» (digraph). — Прим, перед.
432 Приложение. Терминология теории графов
корень, то тем самым определим структуру дерева Т на вершинах G. Следовательно, понятие «корневое дерево», означающее свободное дерево с корневой вершиной, совпадает с понятием дерева.
Дерево можно рассматривать также естественным образом как ч.у. множество; просто будем считать его диаграмму диаграммой Хассе. Таким образом, дерево Т, рассматриваемое как
ч. у. множество, имеет единственный максимальный элемент, а именно—корень дерева. Иногда удобно рассматривать двойственное частичное упорядочение дерева Т. Поэтому определим двойственное дерево Р как ч.у. множество, для которого диаграмма Хассе двойственного ч.у. множества Р* является диаграммой дерева.
11 11
35 6 3 6 5 365653
Рис. А.2.
Некоторые важные разновидности деревьев получаются, если модифицировать данное нами рекурсивное определение. Плоское дерево, или упорядоченное дерево, получится, если заменить п. (Ь) в определении дерева на п. (Ь').
Ь'. Оставшиеся вершины (исключая корень) образуют упорядоченное разбиение (1\, ..., Тт) на т 0 непересекающихся непустых множеств Л, ..., Тт, каждое из которых является плоским деревом.
Чтобы подчеркнуть различие Между деревьями и плоскими деревьями, обычное дерево можно назвать неупорядоченным де
Приложение. Терминологий теорий графой 433
ревом. На рис. А.2 показано четыре различных плоских дерева, каждое из которых имеет одно и то же «подстилающее (неупорядоченное) дерево». Упорядочение поддеревьев (1\, ..., Тт) показано изображением их слева направо в нужном порядке.
Пусть теперь пг 2. Определение т-арного дерева получится, если пп. (а) и (Ь) заменить на следующие.
а". Либо дерево Т пусто, либо одна специально выбранная вершина называется корнем дерева Т.
Ь". Оставшиеся вершины (исключая корень) образуют упорядоченное разбиение (Th ..., Tm) в точности на пг непересекающихся (возможно пустых) множеств, каждое из которых есть m-арное дерево.
Рис. А.З.
2-арное дерево также называют бинарным (двоичным) деревом. Когда рисуют m-арное дерево для небольших чисел пг, то ребра, соединяющие вершину v с корнями поддеревьев 7\, ... ..., Тт, изображаются образующими равные углы симметрично относительно вертикальной оси. Таким образом, пустое поддерево Т, отличается отсутствием г-ого ребра из вершины о. На рис. А.З изображены 5 из 55 неизоморфных тернарных деревьев с четырьмя вершинами. Мы говорим, что m-арное дерево является полным, если любая вершина, не являющаяся концевой, имеет пг сыновей. На рис. А.З только первое дерево является полным.
Длина 1(Т) дерева Т равна его длине как ч.у. множества; то есть 1(Т) есть наибольшее число I, для которого существует последовательность вершин Vo, ..., щ таких, что у(- есть сын вершины У/-1 при 1 i I (так что о0 обязательно является корнем дерева Т). Полное пг-арное дерево длины I есть единственное (с точностью до изоморфизма) полное m-арное дерево, в котором каждая максимальная цепь имеет длину I, оно содержит всего 1 m + • • + т1 вершин.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра инцидентности ч.у. множества 171
— Мёбиуса 186
алфавит 326
антимагический квадрат 397
антицепь 152
атом решетки 159
ациклически ориентированный граф
ациклотоп 426
Барицентрическое подразделение 182
^-биномиальная теорема 240
блок разбиения 58
большой индекс перестановки 44
булева алгебра 163
Вершина графа 354, 430
— концевая 431
— многогранника 346
— • ребра конечная 354
— — начальная 354
вес мультиперестановки 77
— пути 355
весовая функция графа 355
— — на моноиде 362
внутренность моноида 333
— триангуляции 330
вполне фундаментальные элементы моноида 336
Геометрическая реализация симпли-
цнального комплекса 181
гнпергрань 329
гипотеза Вейля 409
— Карлица 382
главный индекс перестановки 44
граница выпуклого многогранного ко-
нуса 330
- триангуляции 330
грань конуса 329
— наибольшая нижняя элементов ч. у. множества 155
— наименьшая верхняя элементов ч. у. множества 155
— несобственная 329
— симплициального комплекса 180
i-грань 329
граф конечный 430
— простой 374
— ориентированный 354, 431
— связный 430
— сравнимости ч. у. множества 250
— торнческнй 401
график перестановки 112
Делитель слова 389
дерево 431
— бинарное 45
— возрастающее бинарное 45
— двойственное 432
— т-арное 433
— неупорядоченное 432
— остовное графа 137
— плоское 432
— полное т-ариое 433
— упорядоченное 432
дзета-многочлен ч. у. множества
193
дзета-функция ч.у. множества 173
диаграмма Ферре 52
— Хассе конечного ч. у. множества 150
— Юнга 52, 392, 414—416
днмер 400
диофантово уравнение 327
длина дерева 433
— пути 354
— слова 362
— цепи 152
— элемента моноида 387
долина перестановки 45
Предметный указатель
435
домино 400
доска Ферре 117
дуга графа 354, 430
линк грани симплициального комплекса 182
лист 431
логарифмическая производная 78
ЕЦР-условие (условие единственности циклического разложения) 363
Забор 231
задача о беспорядках 107
---- встречах 107
— — супружеских парах 114, 372
знаменатель вектора 348
зонотоп 426
Идеал порядковый главный 153
----двойственный 152
инверсия перестаиовкн 41
----мультимножества 48
интервал ч. у. множества 150
л-иитервал 210
исчисление конечных разностей 62,
380
Квадрат разбиения Дюрфи 94
Квазимногочлен 312, 381
— Эрхарта 347, 396—399
квазиобразующие моноида 333
квазнпериод многочлена 312
L-кластер 389
коатом решетки 159
кольцо Коэна—Маколея 423 комбинаторное доказательство 27 комплекс векторных пространств 133 — конечный регулярный клеточный
181
композиция степенных рядов 20 конус выпуклый многогранный 329 — выступающий 329
— симплициальный 329
кообраз функции 64
корень дерева 431, 433
коэффициент биномиальный 30, 31
— «/-биномиальный 48
— мультиномиальный 35
крайний луч 329
Лемма Фату 403
лес 399
линейное расширение ч. у. множества 167
Магический квадрат 341, 381 матрица бистохастическая 353 — инцидентности графа 355, 382 метод разложения на свободные моноиды 362, 383
— трансфер-матрицы 354, 431 многогранник выпуклый 346
— рациональный 254, 296, 297, 346
— целочисленный 351
— циклический 297
многочлен автокорреляции 390
— Гаусса 48
— ладейный 112, 117, 371
— от классов вычетов 312
— порядковый ч. у. множества 194
— — строгий 323
— хроматический 239
— Эйлера 43, 311
---перестановки мультимножества 47
— Эрхарта 351, 396
— /-эйлеров 311
множество вполне упорядоченное 151
— Жордана — Гёльдера 196, 316
— исключительное 304
— линейно упорядоченное 151
— спуска перестановки 42
— спуска перестановки мультимножества 47
— - частично упорядоченное (см. ч. у. множество) 148
моноид коммутативный 327
— положительный 327
— свободный 362 мультимножество 33 мультиперестановка 77 мультнцепь 152 мультицикл 76
Неразложимая перестановка множества 80
неразложимый элемент ч. у. множества 228
fe-несогласующаяся подстановка 370
носитель вектора 331
Обобщенный треугольник Паскаля 171 оператор замыкания 235
436
Предметный указатель
— сдвига 62
опорная гиперплоскость 329
орграф 431
отец вершины 431
относительный объем 351
отношение доминирования на разбиениях 246
отображение, обращающее порядок 314
— строго обращающее порядок 314
Пара Эйлера 79
перестановка множества 35
-----неразложимая 80
-----чередующаяся 46
— мультимножества 47
петля 354, 430
пик перестановки 45
подъем перестановки 45
поддерево 431
подмононд очень чистый 363
— свободно порожденный 362
подмультимножество 33
подслово 400
подстилающее пространство 182 полнмино 375, 383
— горизонтально-выпуклое (ГВ-) 375 полиэдральное многообразие 353 полупространство линейное 329 полурешетка верхняя 156
— дистрибутивная снизу нижняя 230
— нижняя 156
/?-пометка ч. у. множества 198
CL-пометкн 222
С7?-пометки 222
L-пометки 221
пополнение Макнила 263
порядковое произведение ч. у. множеств 154
порядок Брюа 297
представление перестановки в виде бинарного дерева 45
—------ — неупорядоченного возра-
стающего дерева 450
--------- — слова 35
----- стандартное 37
предшественник 431
преемник вершины 431
принцип инволюции 124
произведение Адамара 308, 381
— слов 362
производящая функция 15
----- кластерная 389
•----обычная 15
----- рациональная 301
-----хроматическая 209
----- эйлерова 209
----- экспоненциальная 15
прямая сумма 153
прямое произведение ч. у, множеств 153
----- ограниченное 179
псевдомногочлен 312
путь 354, 430
— замкнутый 355
— простой 430
— решеточный 127
п-путь 127
— несамопересекающийся 127
— самопересекающнйся 127
Разбиение конечного множества 58
— множества упорядоченное 81
— — частичное 245
— — самосопряженное 94
— числа 51
----- двойное 120
G-разбиение множества частичное 245
Р-разбнение 314, 381
— строгое 314
V-разбиение 120
— г-черенковое 137
разложение 32
fe-разложенне 32
— слабое 32
размерность грани 329
----- снмплнцнального комплекса 180
— снмплициальпого комплекса 180
— ч. у. множества 263
размещение с предпочтением 215
разностный оператор 62, 380
ранг ч. у. множества 152
рангово-выбранный инвариант Мебиуса ч. у. множества 195
расширение ч. у. множества до полной упорядоченности 167
ребро графа 354, 430
рекорд перестановки 37
N-решение 327
R-решение 327
решетка 155
— атомарная 159
— дистрибутивная 160
— Доулинга 285
— конечная геометрическая 159
----- полумодулярная 158
— модулярная 158
— полная 157
Предметный указатель
437
— полумодулярная сверху 158
--- снизу 158
— разбиений 190—192
— с дополнениями 159
— — единственными дополнениями 159
— — относительными дополнениями 159
— сверхразрешнмая 199
— свободная дистрибутивная 232
— фнннтарная дистрибутивная 162
— Юнга 250
ряд Гильберта 406
Свертка функций на ч. у. множестве 171
свойство разбиваемости цепей ч. у. множества 249
R-свойство 388
сердцевина ч. у. множества 228
сильная неподвижная точка перестановки 80
симплициальный комплекс 180
— подмоноид 333
склон перестановки 45
слово 358
— ^*-сопряженное 365 fe-сочетание без повторений 33
— с повторениями 33
старший индекс перестановки 44
— стек 119
степень формального степенного ряда 19
сходимость формальных степенных рядов 19
сын вершины 431
точка превышения перестановки 44 — слабого превышения перестановки
точная последовательность векторных
пространств 133
триангуляция 330
тропа 430
турнир 138
— транзитивный 138
Унимодальная последовательность веса п 119 унитарный делитель 240 уравнение Дена—Саммервиля 202 условие единственности циклического разложения (ЕЦР) 363
Формальный степенной ряд 15
------ — простой 402
формальная производная формаль-
ного степенного ряда 21
формула обращения Мёбиуса 175
фундаментальная теорема для конеч:
ных дистрибутивных решеток 161 функция двойственно л-совместимая 315
— Мёбиуса ч.у. множества 175
-------------знакочередующаяся 185
— покрытия финитарной дистрибутивной решетки 231
— ранговая ч. у. множества 152
— рангово-пронзводящая ч. у. множества 152
— л-совместимая 315
— Эйлера 79
Таблица инверсий перестановки 41, 42 теорема Биркгофа—фон Неймана 382 — взаимности 380, 381
—• — для линейных однородных дно-фантовых уравнений 339
—-------- квазимногочленов Эрхарта
350
-------порядковых многочленов 324, 381
------ — Р-разбнений 319
— двойственности главная для эйлеровых ч. у. множеств 204—207
— фундаментальная для конечных дистрибутивных решеток 161
тип перестановки 37
тождество Эйлера 98
Характеристический многочлен ч. у. множества 192 хроматический многочлен графа 239, 402
Цепи Маркова 382 б-цепное условие 320 k-цепное условие 324 цепь 151 — возрастающая 198 — насыщенная 151 — неизмельчаемая 151 Af-цепь 199 цикл перестановки 36
438
Предметный указатель
Части разбиения 51
частично предупорядоченное множество (ч. и. у. множество) 148, 225
чередующиеся перестановки 46, 219
числа Каталана 100
— ладейные 112, 116
— Фибоначчи 75, 383
— Эйлера 43, 219, 311
— /-эйлеровы 311
число Белла 58
— секанса 219
— Стирлинга второго рода 58
--- первого рода 38
----------без знака 38
— тангенса 219
— Уитни второго рода ч. у. множества 192
---первого рода ч. у. множества 192
— Эйлера 43, 219, 311
ч. у. множество 148
-------биномиальное 210
------- гауссовское 395
-------градуированное 152, 324
------- двойственное 155
-------Коэна—Маколея 185
—------лексикографически шелуши-
мое 222
------- локально конечное 150
------- однородное 244
-------полиномиальное 210
------- полуэйлерово 183
--------последовательно-параллельное 153
-------- приятное 233
--------S-рангово-выбранное I 195
--------самодвойственное 155
—-------симплнциальное 201
-------- связное 153
-------- треугольное 258
-------- эйлерово 183, 201
ч. у. подмножество выпуклое 150
-------- индуцированное
Эйлера многочлен 43, 311
— — перестановка мультимножества 47
— пара 79
— тождество 98
— функция 79
— число 43, 219, 311
эйлерова характеристика приведенная 180
-------- симплициального комплекса 180
/-эйлеров многочлен 311
/-эйлеровы числа 311
эйлерово ч. у. множество 183, 201
элемент решетки, неразложимый в объединение 161
---------- в пересечение 161
Ядро функции 64
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ................................. 5
Предисловие Дж.-К. Рота............................................7
Предисловие автора.................................................9
Обозначения.......................................................12
Глава 1. Что такое перечислительная комбинаторика?................13
1.1. Как сосчитать.............................................13
1.2. Множества н мультимножества...............................29
1.3. Статистики перестановок...................................36
1.4. Двенадцатеричный путь.....................................55
Замечания..................................................67
Замечания об упражнениях...................................69
Литература.................................................70
Упражнения.................................................70
Решения упражнений.........................................84
Глава 2. Методы решета.......................................... 103
2.1. Включение — исключение....................................ЮЗ
2.2. Примеры и частные случаи.................................107
2.3. Перестановки с ограничениями на местоположение...........112
2.4. Доски Ферре..............................................116
2.5. V-разбиення н унимодальные последовательности............119
2.6. Инволюции................................................122
2.7. Определители.............................................127
Замечания.................................................130
Литература................................................131
Упражнения................................................132
Решения упражнений........................................139
Глава 3. Частично упорядоченные множества...................... 147
3.1. Основные понятия.........................................147
3.2. Новые ч. у. множества нз старых........................153
3.3. Решетки................................................155
3.4. Дистрибутивные решетки............................. . . . 160
3.5. Цепи в дистрибутивных решетках..................' . . . . 166
3.6. Алгебра инцидентности локально конечных ч. у. множеств . . 171
3.7. Формула обращения Мёбиуса.................................175
3.8. Техника вычисления функции Мёбиуса........................176
3.9. Решетки н их алгебры Мёбиуса..............................185
3.10. Функция Мёбиуса полумодулярной решетки...................188
3.11. Дзета-многочлены.........................................193
3.12. Ранговый выбор...........................................195
3.13. /?-пометкн...............................................197
3.14. Эйлеровы ч.у. множества...............................201
3.15. Биномиальные ч.у. множества и производящие функции . . . 207
440
Оглавление
3.16. Приложения к перечислению перестановок.................216
Замечания...............................................220
Литература............................................. 223
Упражнения..............................................225
Решения упражнений......................................260
Глава 4. Рациональные производящие функции......................301
4.1. Рациональные степенные ряды от одной переменной........301
4.2. Дальнейшее развитие теории..............................304
4.3. Многочлены..............................................308
4.4. Квази многочлены........................................312
4.5. Р-разбиення.............................................313
4.6. Линейные однородные диофантовы уравнения................327
4.7. Метод трансфер-матрицы . . . ."........................354
Литература...............................................383
Упражнения...............................................385
Решения упражнений.......................................402
Приложение. Терминология теории графов.......................430
Предметный указатель.....................................434
Научное издание
Ричард Стенли
ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНАЯ КОМБИНАТОРИКА
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ст. научи, редактор А. А. Бряндннская
Мл. научн. редакторы Н. С. Полякова, Р. И. Пяткина
Художник О. С. Василькова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Т. А. Мнрошнна
Корректор А. Ф. Рыбальченко
ИБ № 7161
Сдано в набор 17.08.89. Подписано к печати 26.02.90. Формат 60 X90'/iS. Бумага типографская № 1. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 13,75 бум. л. Усл. печ. л. 27,5. Усл.
кр.-отт. 27,5. Уч.-изд. л. 23,72. Изд № 1/6701. Тираж 5500 экз. Зак. 751. Цена 2 р. 30 к.
Издательство «Мир»
В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по печати 129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29. Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 191126. Ленинград, Социалистическая ул., 14.