Text
                    E. H. Березкин
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Издание второе,
переработанное и дополненное
Допущен о
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1974


УДК 531 Книга предназначена служить руководством для студентов университетов при изучении курса теоретической механики, а также может быть использована в качестве дополнительной литературы студентами технических вузов. Материал книги полностью соответствует действующей программе курса тео- теоретической механики для университетов. Книга включает тео- теорию скользящих векторов, кинематику, геометрическую и ана- аналитическую статику, динамику материальной точки и системы материальных точек, аналитическую динамику и элементы спе- специальной теории относительности. Рецензенты: кафедра теоретической механики Ленинградского университета; проф. С. М. Попов ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, 1974 г. 20302— 120 Б077@2)-74
Оглавление Предисловие 7 Введение 9 Глава I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ П § 1. Свободные векторы 13 1. Основные определения 13 2. Сложение свободных векторов 14 3. Проекция вектора на ось 15 4. Инварианты системы свободных векторов 15 § 2. Скользящие векторы 22 1. Определения 22 2. Координаты скользящего вектора 22 3. Момент скользящего вектора. Плюккеровы координаты . 22 4. Аналитическое определение момента скользящего вектора . 24 5. Проекция момента на ось 25 6. Момент скользящего вектора относительно оси .... 25 § 3. Система скользящих векторов 26 1. Система сходящихся скользящих векторов 26 2. Произвольная система скользящих векторов. Элементарные операции .... 27 3. Приведение системы скользящих векторов к простейшей экви- эквивалентной форме 28 4. Плоская система скользящих векторов 40 5. Свойства системы параллельных скользящих векторов . . 41 § 4. Закрепленные векторы 43 § 5. Дифференцирование свободного вектора по скалярному аргументу 44 Глава II. КИНЕМАТИКА 46 § 1. Кинематика точки 47 1. Скорость точки 47 2. Ускорение точки. Проекции ускорения на прямоугольные оси координат 50 3. Скорость и ускорение точки в полярных координатах . . 51 4. Движение точки по окружности 53 5. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника . . 53 6. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки . 58 7. Метод Роберваля построения касательных к плоским кривым 61 8. Аналитическое доказательство теоремы о сложении скоростей 62 9. Сложение скоростей в общем случае сложного движения точки 64 § 2. Кинематика абсолютно твердого тела 66 1. Определения 66 2. Элементарные движения твердого тела 66 3. Мгновенные движения твердого тела 69 4. Сложение мгновенно-поступательных и мгновенно-вращатель- мгновенно-вращательных движений твердого тела 70 5. Общий случай сложения мгновенно-поступательных и мгновен- мгновенно-вращательных движений твердого тела Непрерывное дви- движение твердого тела 73 6. Мгновенное движение твердого тела с одной неподвижной точкой 82 7. Плоскопараллельное движение твердого тела 84 § 3. Ускорение точки в сложном движении 89 1. Теорема Кориолиса 89 2. Замечание о дифференцировании единичного вектора . . 96 3. Векторный вывод теоремы Кориолиса 97 4. Теорема Ривальса 99 § 4. Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твер- твердого тела 102
1. Распределение ускорений 102 2. Мгновенный центр ускорений 107 § о. Кинематические уравнения Эйлера 112 Глава III. СТАТИКА 115 I. Геометрическая статика 115 § 1. Аксиомы статики 117 § 2. Понятие о силе трения 120 § 3. Различные задачи статики 123 1. Система сходящихся сил, действующих на твердое тело . . 123 2. Равновесие трех сил . . . 124 § 4. Момент силы .... . 126 1. Момент силы относительно точки 126 2. Момент силы относительно оси 127 3. Теорема Вариньона для системы сходящихся снл .... 127 § 5. Произвольная система сил, действующих на твердое тело . . 127 1. Эквивалентные системы сил 127 2. Пара сил 127 3. Приведение системы снл, действующих на твердое тело, к про- произвольной точке (центру приведения) 127 § 6. Условия равновесия системы снл, действующих на твердое тело 128 § 7. Приведение системы сил, действующих на твердое тело, к дииаме. Уравнения равновесия твердого тела 129 § 8. Условия равновесия системы твердых тел 130 § 9. Плоская система сил 133 § 10. Задача о равновесии несвободного твердого тела .... 134 1. Постановка задачи 134 2. Частные случаи равновесия твердого тела 136 §11. Задача о равновесии при наличии трения 142 § 12. Сила тяжести и центр тяжести 149 II. Аналитическая статика 152 § 1. Работа силы на перемещении. Силоваи функция .... 152 § 2. Принцип возможных перемещений 156 1. Определения 156 2. Теорема Лаграижа о равновесии системы 160 3. Принцип Торричелли 167 § 3. Общие вопросы аналитической статики 169 1. Связи и возможные перемещения 169 2. Обобщенные координаты. Уравнения Лаграижа .... 172 3. Общие теоремы о равновесии системы материальных точек . 180 4. Метод неопределенных множителей Лагранжа .... 182 5. Определение реакций 188 § 4. Определение реакций в общем случае 191 § 5. Равновесие нити 196 1. Уравнения равновесия 196 2. Естественные уравнения равновесия нити 200 Глава IV. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 208 § 1. Основные законы динамики 209 § 2. Две основные задачи динамики. Уравнения движения точки в декартовых осях 2J § 3. Естественные уравнения движения 214 § 4. Основные теоремы динамики для свободной материальной точки 215 1. Теорема об изменении количества движения материальной точки 215 2. Теорема об изменении момента количества движения . . 216 3. Следствия из теорем об изменении количества движения и момента количества движения материальной точки . . . 217 ,4. Теорема живых снл 221 5. Интеграл живых сил 222 6. Устойчивость равновесия. Теорема Лаграижа . . • • ¦ 6
§ 5. Движение тяжелой материальной точки в пустоте .... 230 § 6. Движение материальной точки под действием центральных сил 237 1. Основные положения 237 2. Формулы Бине 239 3. Задача о движении планет 242 § 7. Движение точки в сопротивляющейся среде 255 § 8. Движение несвободной материальной точки 258 1. Движение материальной точки по кривой 258 2. Движение материальной точки по поверхности .... 269 § 9. Относительное движение материальной точки 284 1. Теорема живых сил в относительном движении точки . . 286 2. Уравнения относительного равновесия точки 288 3 Равновесие материальной точки на поверхности Земли. Вес . 289 4. Задача о падении тяжелой точки в пустоте 291 5. Маятник Фуко 292 § 10. Принцип Даламбера 295 Глава V. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК . - 299 § 1. Учение о связях 300 § 2. Принцип Даламбера — Лагранжа 303 § 3. Основные теоремы динамики системы 305 1. Теорема об изменении количества движения системы и о дви- движении центра масс системы 305 2. Теорема об изменении момента количества движения . . 316 3. Теорема живых сил 326 § 4. Теоремы о движении системы относительно осей неизменного на- направления, проходящих через центр масс системы (осей Кёнига) 333 1. Теоремы Кёнига 333 2. Теорема об изменении момента количества движения системы относительно осей Кёнига 335 3. Теорема живых сил в движении системы относительно осей Кёнига 338 § 5. Уравнения Лагранжа второго рода 339 1. Вывод уравнений Лагранжа 339 2. Случай существования силовой функции 344 3. Замечание о лагранжевых координатах 345 § 6. Элементарные случаи интегрируемости уравнений Лагранжа . 348 1. Циклические координаты 348 2. Метод Рауса игнорирования циклических координат . . . 348 3. Обобщение теоремы и интеграла живых сил 353 § 7. Определение реакций 359 Глава VI. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 368 § 1. Теория моментов инерции 369 1. Определения 369 2. Момент инерции системы относительно произвольной оси, про- проходящей через заданную точку 373 3. Эллипсоид инерции 373 4. Определение главных осей ннерцнн для произвольной точки 376 § 2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси .... 382 § 3. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку . 391 1. Основные динамические характеристики 391 2. Уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой 393 § 4. Движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки . 399 1. Постановка задачи 400 2. Интегрирование уравнений движения тяжелого твердого тела. Первые интегралы уравнений движения 402 3. Случай Эйлера — Пуансо 406 4. Случай Лагранжа 420 5. Случай Ковалевской 436
§ 5. Определение реакций в случае движения твердого тела с одной неподвижной точкой 438 § 6. Уравнения движения свободного твердого тела 439 § 7. Гиростаты 440 Глава VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА 443 § 1, Канонические уравнения Гамильтона 444 1. Преобразования Лежандра " 446 2. Канонические уравнения Гамильтона 449 3. Функция Гамильтона и ее свойства 451 § 2. Принцип Гамильтона — Остроградского 457 1. Принцип Гамильтона — Остроградского 457 2. Вывод канонических уравнений Гамильтона из принципа Га- мильтона — Остроградского 1^5 3. Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре ™п § 3. Интегрирование канонических уравнений Гамильтона . . . 4Ь9 1. Действие по Гамильтону и его свойства 469 2. Канонические преобразования 473 3. Бесконечно малые канонические преобразования .... 477 4. Теорема Лиувилля 479 5. Теорема Якоби 481 6. Интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби .... 482 7. Скобки Пуассона 497 § 4. Вариационные принципы механики 500 1. Исторические замечания 500 2. Принцип Лагранжа 502 3. Принцип наименьшего действия в форме Якоби .... 506 4. Оптико-механическая аналогия 512 5. Интегральные инварианты 517 6. Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Уравнения Аппеля 524 7. Уравнения Рауса 535 § 5. Малые колебания 539 1. Малые колебания системы с одной степенью свободы . . 540 2. Общий случай малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия 551 § 6. Устойчивость движения 571 1. Основные теоремы 571 2. Влияние новых связей на малые колебания системы около по- положения равновесия 582 3. Влияние диссипативных сил на устойчивость равновесия . 584 4. Влияние гироскопических сил на устойчивость равновесия 589 § 7. Элементы теории возмущений 594 1. Уравнения в вариациях Пуанкаре 595 2. Метод изменения произвольных постоянных 601 Глава VIII. ТЕОРИЯ УДАРА 604 § 1. Основные положения 604 § 2. Теоремы Карно 611 § 3. Задача о центре удара 615 § 4. Задача о баллистическом маятнике 617 § 5. Уравнения Лагранжа для удара 618 § 6. Задача об ударе по твердому телу с одной неподвижной точкой 619 Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬ- ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 622 § 1. Постановка задачи 622 § 2. Специальный принцип относительности Эйнштейна .... 628 § 3. Группа преобразований Лоренца 630 § 4. Инвариантные величины в теории относительности. Четырехмер- Четырехмерный вектор. Мир Мннковского 636 § 5. Релятивистская динамика 640 Литература 645
П редисловие Предлагаемый вниманию читателя «Курс теоретической меха- механики» является переработанным и дополненным изданием книги автора «Лекции по теоретической механике», вышед- вышедшей двумя выпусками в 1967 и 1968 гг. Она содержит мате- материал лекционного курса, который автор в течение ряда лет читает на механико-математическом факультете Московского университета. Книга предназначена служить руководством для студентов механико-математических факультетов универ- университетов при изучении курса теоретической механики и соот- соответствует действующей программе для университетов. При изложении материала автор старался следовать сло- сложившимся в Московском университете традициям и продол- продолжать идеи Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина и Н. Г. Четае- ва; замечательные лекции последнего автор слушал в Мос- Московском университете в 1953—1958 гг. Книга включает в себя элементы теории скользящих векторов, геометрическую и аналитическую статику, динамику материальной точки и системы материальных точек, динамику твердого тела, аналитическую динамику, элементы теории удара и элементы специального принципа относительности Эйнштейна. В основу кинематики положено понятие сложно- сложного движения, базирующееся на теории скользящих векторов. В статике большое внимание уделено методу возможных перемещений. В динамике точки более подробно изучаются центральные движения и относительные движения. При изло- изложении основных теорем динамики системы материальных точек автор следовал методам Н. Е. Жуковского и Н. Г. Че- таева, продолжавших идеи Лагранжа. Это направление проходит через весь курс и особенно подчеркивается при рассмотрении решений задач. В раздел «аналитическая дина-
мика» включены вариационные принципы механики, методы интегрирования уравнений механики, интегральные инвариан- инварианты, теория малых колебаний и элементы теории устойчивости движения. Глава IX, посвященная специальному принципу относительности, включает только основные .понятия. При подготовке второго издания автор старался сохра- сохранить основное содержание курса, хотя отдельные разделы книги и подверглись переработке. С целью улучшения содер- содержания книги частично или полностью были переработаны разделы, посвященные кинематике, аналитической статике, аналитической динамике и динамике твердого тела. Некото- Некоторые параграфы (интегральные инварианты, канонические уравнения и др.) были написаны заново. Несколько сокра- сокращена первая часть книги. Внесены некоторые исправления. Автор выражает свою глубочайшую признательность всем лицам, сообщившим свои замечания и пожелания по улучшению содержания книги и пользуется возможностью выразить искреннюю благодарность академику Киргизской ССР профессору С. М. Попову и профессорам Н. Н. Поляхо- ву и Ю. А. Архангельскому, сделавшим ряд ценных замеча- замечаний при чтении рукописи второго издания, а также доценту Н. Н. Колесникову, взявшему на себя нелегкий труд редакти- редактирования книги.
Введение Механика изучает простейшие формы движения материи, сущ- сущность которых исчерпывается перемещениями материальных тел или частиц в пространстве и времени. Теоретическая меха- механика представляет собой один из разделов естествознания, по- посвященный изучению механических движений материи. Она изуча- изучает наиболее общие законы движения и равновесия, а также воз- возникающие при этом взаимодействия материальных тел. Являясь одним из разделов физики, она выделилась в самостоятельную дисциплину благодаря своим обширным и важным приложениям. В своей основе она содержит законы, полученные из эксперимен- эксперимента и наблюдений явлений природы. Все прикладные механические дисциплины опираются на методы и выводы теоретической меха- механики. По характеру изучаемых задач теоретическая механика разде- разделяется на статику, кинематику и динамику. Такое разделение в значительной степени облегчает изучение механических систем. Статика •— наука о равновесии материальных тел. Она изучает условия, при которых тела или системы тел, находящиеся под действием некоторых заданных сил, остаются в состоянии покоя по отношению к определенной системе координат. Возникнув в глубокой древности, статика получила значительное развитие в работах Архимеда B87—212 гг. до н. э.), С. Стевина A548— 1620), Л. Пуансо A777—1859) и других ученых. Законы статики имеют большое значение в инженерных расчетах. Кинематика изучает движение материальных тел вне за- зависимости от причин, вызывающих или изменяющих это движение.
Как самостоятельная наука кинематика оформилась лишь в пер- первой половине XIX в. Ее можно рассматривать как геометрию движущихся объектов, к которой в качестве основного понятия присоединено время. Динамика изучает движение материальных тел в зависи- зависимости от действующих на них сил. Возникновение и развитие динамики неразрывно связано с именами Галилео Галилея A564— 1642), Исаака Ньютона A642—1727), Жозефа Луи Лагранжа A736—1813). Механика, основывающаяся на принципах Галилея и Ньюто- Ньютона, называется классической, или ньютоновской, в от- отличие от механических дисциплин, исходящих из иных принципов, как, например, релятивистская механика, в основу ко- которой положены понятия специального принципа относительности Эйнштейна.
Глава I ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ Многие физические величины имеют не только числовое значение, но еще и направление. Такие величины принято называть векто- векторами. Они имеют большое значение в механике. В то время как в математических курсах обычно изучаются только свободные векторы, в механике, кроме того, применяются векторы скользя- скользящие и закрепленные. Векторное исчисление впервые возникло благодаря потребнос- потребностям механики и физики. Понятие векторной величины в механику ввел, по-видимому, голландский математик и инженер Стевин, установивший закон сложения сил по правилу параллелограмма, хотя аналогичный закон сложения сил уже был известен Архиме- Архимеду. Окончательное развитие векторное исчисление получило лишь в XIX в. в работах У. Р. Гамильтона A805—1865), Г. Грассмана A809—1877) и Р. Болла по гиперкомплексным числам и теории кватернионов, а также казанского математика А. П. Котельникова A865—1944), разработавшего теорию винтового исчисления и при- приложившего ее к механике. При изучении различных физических величин, характеризую- характеризующих состояния движения материальных тел, эти величины опреде- определяются в некоторой определенной системе координат или системе отсчета. Для определения вектора будем в дальнейшем пользовать- пользоваться прямоугольной декартовой системой координат Oxyz. Различают два рода прямоугольных координат: правую (английскую) и левую (французскую). Правую и левую системы координат можно отли- отличать следующим образом: большой, указательный и средний паль- пальцы правой или левой руки, в том порядке, как мы их называем, осуществляют соответственно правую или левую систему. Можно также сказать, что в правой системе вращение от оси х кратчай- кратчайшим образом к оси у вокруг оси z происходит против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной оси z. И
Рис. 1 Физические величины можно разделить на две существенно различные категории: скалярные и векторные. Скалярные ве- величины имеют лишь числовое значение. Те же физические вели- величины, которые кроме числового значения характеризуются еще и направлением, называются векторными. Векторную величину изображают направленным отрезком, длина которого, измеренная в определенном масштабе, равна числовому значению этой физиче- физической величины, а направление стрелки указывает направление ее действия (рис. 1). Примерами ска- скалярных величин являются темпера- температура, масса, плотность, энергия. Ве- Величины эти могут иметь различное значение в каждой точке простран- пространства, но они не обладают направ- направлением, а лишь определяют некото- некоторые физические характеристики в данной точке пространства. Такие же физические величины, как скорость, сила и т. п., характеризу- характеризуются не только числовым значением, но и направлением действия. Отвлекаясь сначала от физического содержания, будем рас- рассматривать абстрактные векторные величины. Векторную величину обозначим направленным отрезком АВ. Точку А назовем началом или точкой приложения вектора (рис. 1). Точку В будем называть концом вектора. Продолжая неограниченно в обе стороны отрезок АВ, получим прямую, которая называется линией действия вектора. Каждый вектор определяется линией действия, стороной и точкой приложения. Аналитически вектор можно определить координатами его начала и конца относительно декартовой системы координат или координатами точки приложения и проекциями отрезка АВ на координатные оси. Знаки проекций при этом определяются обыч- обычными правилами аналитической геометрии (рис. 1). Все векторы подразделяются на три категории: свободные, скользящие и связанные (закрепленные) вектора. Свободными векторами представляются векторные физи- физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной точки пространства к любой другой. Такой вектор характеризует физи- физическую величину во всем исследуемом пространстве. Так, при поступательном движении твердого тела скорости в каждой точке тела равны между собой по величине и по направлению. Скорость такого движения твердого тела задается одним свободным век- вектором. Скользящие векторы представляют собой векторные вели- величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора и изменяющиеся при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия. Например, сила, приложенная к точ- 12
ке А твердого тела, сообщит последнему вполне определенное движение из данного его состояния. Такое же движение сообщит эта сила, будучи приложенной к произвольной точке В, располо- расположенной на той же линии действия. Но если эту же силу прило- приложить к точке С твердого тела, не принадлежащей данной линии действия, она сообщит телу уже совсем иное движение. Таким образом, по своему действию на твердое тело сила должна рас- рассматриваться как скользящий вектор. Закрепленные векторы представляют векторные физиче- физические величины только в данной точке пространства. В других точ- точках пространства они либо имеют уже другое значение, либо во- вообще теряют смысл. Такими векторами являются, например, вектор скорости движущейся материальной точки и вектор силы, прило- приложенной к деформируемому телу. Рассмотрим последовательно эти три категории векторов и изучим их свойства. § 1. СВОБОДНЫЕ ВЕКТОРЫ 1. Основные определения. Как уже говорилось, свободный век- вектор характеризует векторную физическую величину в каждой точке пространства, поэтому его можно переносить в любую точку. Часто бывает удобно переносить свободные векторы в начало прямо- прямоугольной декартовой системы координат. Замечание. Для обозначения вектора в дальнейшем будем употреблять малые буквы латинского алфавита, набранные жир- жирным шрифтом, например а, а его величину (модуль) будем обозначать через а или |а| (иногда вектор, имеющий начало в точке А и конец в точке В, будем обозначать двумя буквами с чер- чертой сверху АВ). Свободный вектор в системе координат Oxyz задается направ- направлением и величиной вектора. Направление можно определить посредством трех направляющих косинусов а, р, у, связанных очевидным соотношением а? + Р2 + Y2 = 1 (а) (направляющие косинусы двух векторов, направленных в противо- противоположные стороны, имеют противоположные знаки). Задав еще ве- величину, мы полностью определим свободный вектор. Из трех направляющих косинусов произвольно можно задать только два, поскольку третий определяется из соотношения (а). Таким обра- образом, для полного определения свободного вектора, казалось бы, достаточно задать три независимых параметра: два направляющих косинуса и величину вектора. Однако такое задание не определяет однозначно свободный вектор. Для третьего косинуса отсюда по- получим два значения, отличающихся знаком. Поэтому трем из указанных чисел, например, а, р и а, будут соответствовать два 13
различных вектора. Чтобы устранить неопределенность введем другой способ задания свободного вектора а, определяя его через три проекции на ортогональные координатные оси. Пусть X, Y, Z— алгебраические значения таких проекций вектора а на оси х, у, z (проектирование на какую-либо ось производится параллельно, плоскости, проходящей через две другие оси). Будем иметь X = аа, Y = ар1, Z = ау. Определения. Два свободных вектора называются равны- равными, если равны их соответствующие проекции на три координат- координатных оси. Два свободных вектора называются параллельными (коллине- арными), если их проекции пропорциональны, т. е. X, Yx _ Zx Л2 12 Z<i 2. Сложение свободных векторов. Определение. Суммой свободных векторов аь аг, ..., afe называется свободный вектор а =- ах + а2 + ... + aft, для построения которого нужно последовательно отложить в любом порядке векторы ai, аг, ..., а^, совмещая, начало каждого сле- Рис. 2 Рис 3 дующего с концом предыдущего; замыкающий вектор а, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего, представляет собой вектор суммы свободных векторов (рис. 2). При сложении двух свободных векторов отсюда получаем правило параллелограмма: сумма двух свободных векто- векторов является свободным вектором, совпадающим по величине и по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 3). Если свободный вектор с является суммой двух свободных векторов а и Ь, угол между которыми равен ср, то величина вектора с будет определяться по формуле 14
с = b2 + 2ab cos Коммутативность и ассоциативность операций сложения векторов очевидна a -t- b — b -+- а, а -'- (b + с) = (а + Ь) + с Если свободный вектор а можно представить в виде суммы свободных векторов а = aL -J- а, + ... -±- а„, то слагаемые правой части называются составляющими, или ком- компонентами вектора а. 3. Проекция вектора на ось. Рассмотрим произвольную пря- прямую, на которой выберем положительное направление, указанное на рис. 4 стрелкой. Примем эту пря- прямую за ось х. Пусть Av и Av+i обозна- обозначают ортогональные проекции начала и конца вектора av на ось х. Отрезок AvAv+\ называют проекцией вектора а% на ось х, считая ее положительной, если направление от точки Av к точке A?+i совпадает с положительным направлением оси х. Из приведенного определения видно, что проекция век- тор.а на ось является скалярной вели- величиной, равной произведению модуля вектора на косинус угла между на- направлением оси и направлением век- вектора. Обозначая отрезок A,j4v+i одной буквой с двумя индексами av, v+i рассмотрим проекцию суммы векторов А, О Рис. 4 а = ах + а2 на направление оси х 4- где каждое число av,v+i положительное или отрицательное в за- зависимости от направления вектора av. Проекция вектора а на ось равна сумме проекций сторон многоугольника, составленного из векторов ai, аг, ..., а„. Результат можно представить в виде сле- следующей теоремы. Теорема. Проекция суммы свободных векторов равна сумме проекций составляющих векторов. 4. Инварианты системы свободных векторов. Рассмотрим свойства свободных векторов, не зависящие от выбора системы 15
отсчета, предполагая только, что каждый раз выбирается прямо- прямоугольная система отсчета с одной и той же единицей измерения. Эти свойства называются инвариантными по отношению к преобразованию системы координат (за исключением зеркаль- зеркального отображения), а сами величины — инвариантами. Для свободных векторов такими инвариантами являются следующие величины. а) Величина вектора. При изменении системы коорди- координат меняются проекции вектора на оси координат, величина же вектора m Рис. 5 а = /X3 + У2 f Z2 остается неизменной. Она является первым инвариантом по отношению к изменению осей. б) Скалярное произведе- произведение двух векторов1. Рассмотрим систему, состоящую из двух свобод- свободных векторов а и Ь, которые перене- у сем в начало координат О (рис. 5). Пусть ф — угол между положитель- положительными направлениями векторов. Ска- Скалярным произведением векторов а и b называют скалярную величину а = | а | | b | cos cp — ab cos ф, которая зависит только от модулей векторов, инвариантных отно- относительно преобразования координат указанного типа, и от угла между векторами. Все эти величины можно выразить через проек- проекции векторов на оси координат. В самом деле, пусть ах, ау, аг — b b b р р проекции вектора а на оси координат, bx by, bz АВ р р р x, y щие проекции вектора Ь. Из треугольника ОАВ имеем АВ2 = АО2 -J- ОБ2 — 2А0 ¦ OB-cos q>. Определяя отсюда cos cp, получим соответствую- соответствуюа = ab cos q> = ab - (bz - azf] = axbx ayby откуда получим аналитическую запись второго инварианта — ска- скалярного произведения, которое в дальнейшем будем обозначать круглыми скобками 1 Иногда скалярное произведение называют прямым, или алгебраическим про- произведением векторов. 16
a = (a, b) = axbx -т- ayby -p агЬг. Второй инвариант принимает теперь следующий вид: аА + ауьу -г azbz = const. в) Векторное произведение1. Третьим инвариантом, системы свободных векторов относительно изменения системы ко- координат является векторное произведение двух векторов. Этот инвариант имеет векторный характер. Он определяет плоскость, параллельную двум свободным векторам, и численно равен пло- площади параллелограмма, который можно построить на двух сво- свободных векторах, если их перенести в одну точку. Рассмотрим систему, состоящую из двух свободных векторов а и Ь, перенесен- перенесенных в начало системы координат Oxyz (рис. 5). На векторах а и b построим параллелограмм. Площадь этого параллелограмма, как известно, не зависит от выбора системы координат Oxyz, а за- зависит лишь от взаимного расположения и величин векторов аи b и определяется формулой S = | а | | b | sin ф, где ф — угол между линиями действия векторов а и Ь. Рассмот- Рассмотрим свободный вектор т, модуль которого равен площади парал- параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, а направление линии действия перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами а. и Ь. Вектор m направлен в ту сторону, откуда вращение от векто- вектора а к вектору b (внутри параллелограмма) осуществляется против хода часовой стрелки. Построенный свободный вектор т. назовем векторным произведением векторов а и b и обозначим символом [ ] m = [а, bj. Векторное произведение не зависит от выбора системы коор- координат. Проекции векторного произведения на оси координат. Построим на векторах а и b треугольник (рис. 6). Величина векторного произведения векторов а и b будет равна удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах. Найдем проекцию вектора пт на ось z XXYX тг = т cos ф = %Saaob cos ф — 2Sa1ob1 — — Г jXj, где А\ и В. — проекции точек А и В на плоскость Оху, Хи У1} Zj — проекции вектора а на оси х, у, z, а Х2, Y2, Z2 — соответст- соответствующие проекции вектора Ь. 1 Векторное произведение иногда называют внешним, произведением. 17Г
Замечание. Площадь треугольника Л1ОВ1 можно легко вычислить (рис. 7) с 1 и ¦ bAfiBt — ~JTaA sin Ф- sin ф = sin (y — a) = sin у cos a — sin a cos у — (X1Y2 — КД), axbx I ж> Рис. 6 отсюда Sa,ob, — У Рис. 7 1) Аналогично получаем две других проекции my — LXA% — Лх?.ъ. Обозначая через еь е2, е3 единичные векторы координатных осей к, у, z, результат можно представить в виде или более компактно при помощи определителя ех е2 е3 Хг Yx Zx X V 7 Иногда употребляется матричное обозначение m = х х 18
Из определения векторного произведения некоммутативность, т. е. [а, Ь] = - [Ь, а], сразу же следует его; так как перестановка строк в определителе, представляющем век- векторное произведение, влечет за собой смену знака. Смешанным произведением векторов называют скалярное произведение вектора на векторное произведение двух других векторов: (а, [Ь, с]). СУ С* + ау bzbx + аг КЬу г г СХ Су ах ау az Ьх by К Сх Су Сг Из определения следует (а, [Ь, с]) = ах Так как две перестановки строк не меняют знака определителя, то будет иметь место следующее свойство смешанного произведения: (а, [Ь, с]) = (Ь, [с, а]) = (с, [а, Ь]), т. е. при циклической перестановке векторов (замена а на b, b на с, с на а) смешанное произведение не меняется. Дистрибутивность векторного произведения [a, b + с] = [а, Ь] + [а, с] непосредственно следует из свойств определителей. Двойным векторным произведением называют векторное произведение вектора а на векторное произведение m=[b, с] (рис. 8), или Q = [а, [Ь, с]]. (а) Вектор Q (на чертеже он не указан) перпендикулярен к векторам а и т. В свою очередь вектор тп перпендикулярен к плоскости (я), в которой лежат векторы b и с. Отсюда следует, что вектор Q, бу- будучи перпендикулярным к вектору т, лежит в плоскости (я) и может быть представлен в виде линейной комбинации векторов b и с, т. е. Q = (Ь) Для определения вектора Q теперь достаточно вычислить коэффи- коэффициенты Р и y- Введем в плоскости (я) вектор Сь перпендикуляр- перпендикулярный к вектору с. Умножая равенство (Ь) скалярно на вектор сь в силу условия (сь с) =0 находим (Q>Cl)-p(b,c).
Подставляя сюда значение Q Q = [a, ml, получим (Qq) = ([a, m], q) = ([m, q], a). Легко подсчитать величину этого скалярного произведения. С этой целью вычислим сначала модуль векторного произведения [mci] | п | = | [m, qj | = тсх = Ьссг sin ф. Так как векторное произведение [mci] =n представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам m и Ci, то его линия дейст- действия будет совпадать с линией действия вектора с. Рис. 8 Рис. 9 Для скалярного произведения получим теперь значение (Q, Су) = (п, а) = па cos (па) = Ьссга sin ф cos (па). В то же время для скалярного произведения векторов b и Ci будем иметь (Ь, сх) = bc± cos (bq), cos (bq) = ± cos ф, причем знак перед косинусом совпадает со знаком выражения .cos(па), т. е. sign cos(b, c^ = sign cos (n, a). Поскольку (с, а) = ca cos (na), (b, ct) r= bcx cos (b, cx) = bcr cos (90° — ф) = bq sin ф, 20
то откуда следует (Q, сх) = (с, а) (Ь, сх) = E (b, q), Р = (С а). Вводя вектор Ъг ортогональный вектору Ь, аналогичным способом по- получим (рис. 9) или Но (Q,b1) = Y(c,b1), ([а, т],Ьг) = 7(с, Ьх). ([а, т]Ь1) = ([т, bj, a). Определив величину вектора к _- [mbj, | к | = mbx = cbbx sin ф, направление которого совпадает с направлением вектора Ь, находим (Qbx) = ([m, bx] a) = bcbx sin ф cos (ba) = ba cos (ba) bxc sin ф = = — ba cos (ba) bxc cos (90° -f q>) = — (b, a) (bxc). Таким образом, -(b,a)(b1c)=v(b,c), откуда y=—(b, a). Подставляя значения коэффициентов p и у в формулу (Ь), получим Q = [a,[bfc]] = b(a, c)-c(a,b). Эту же формулу можно получить и чисто аналитически. В самом деле, рассмотрим проекцию вектора Q на ось z. По определению лроекции имеем ах ау тхту = ах by К СУ С* ЪгЪх сг сх — Ь,р2) — ау {ЬуСг — Ьгсу) = = К (ахсх + аусу + а,сг) — сг (axbx + ayby + агЬг) = \=Ь,(л,с)-сж(л,Ь). Аналогично получим две других проекции Ях = Ьх(л, с) — сх(а, Ь), 21
Qy = by(R, с) — су(я,Ъ). На основании этих выражений для проекций, можно записать век- векторное равенство Q = [a, [b, c]] = b(a, с) —с(а, b). § 2. СКОЛЬЗЯЩИЕ ВЕКТОРЫ 1. Определения. Скользящие векторы в заданном пространстве определяют такие векторные физические величины, которые не меняются вдоль линии действия вектора. Вдоль линии действия они имеют одно и то же значение и направление и представляются одним н тем же вектором. При переходе к другой точке, не распо- расположенной на линии действия, эти физические величины имеют уже другое значение. Скользящими векторами представляются силы, действующие на абсолютно твердое тело, вектор мгновенной угло- угловой скорости вращения твердого тела и другие физические вели- величины. 2. Координаты скользящего вектора. Чтобы полностью опре- определить скользящий вектор, нужно знать его величину, сторону и линию действия. Направление и величину можно определить тремя проекциями X, Y, Z вектора на ортогональные оси коорди- координат. Линия действия будет однозначно определена заданием трех координат хотя бы одной точки М его линии действия. Не нарушая общности, всегда можно предполагать, что линия действия не па- параллельна плоскости Оху. Тогда за точку на линии действия мож- можно будет выбрать точку А (х, у, 0) пересечения последней линии с плоскостью Оху. Пять произвольных чисел X, У, Z, х, у пол- полностью определяют скользящий вектор и называются его коор- координатами. Рассмотренный способ задания скользящего вектора не всегда удобен в силу его несимметричности. Другой способ определения скользящего вектора опирается на понятие момента скользящего вектора относительно начала координат. 3. Момент скользящего вектора. Плюккеровы координаты. Рассмотрим такие свойства скользящего вектора, которые не из- изменяются при перенесении вектора в любую точку его линии дей- действия, иначе говоря, являющиеся инвариантными относительно» скольжения вектора вдоль линии действия. Такими инвариантными величинами являются, прежде всего, три проекции X, Y, Z сколь- скользящего вектора на оси декартовой системы координат. Построим плоскость (я), проходящую через начало координат и линию действия скользящего вектора. В этой плоскости рассмотрим тре- треугольник АВО (рис. 10). Плоскость треугольника и его площадь 22
не меняются при скольжении вектора вдоль его линии действия. Плоскость (я) разбивает пространство на две части. Ту сторону от плоскости (я), откуда вращение от начала вектора а к его концу (от А к В) видно происходящим против хода часовой стрелки, назовем положительной, а противоположную сторону — отрицательной. Нетрудно заметить, что положительная и отрица- отрицательная стороны плоскости (я) не меняются при скольжении век- вектора вдоль его линии действия. Объединяя отмеченные свойства в одно векторное представление, введем в рассмотрение свободный Рис. 10 вектор Q, ортогональный к плоскости (я) и направленный в поло- положительную от нее сторону; величину вектора Q примем равной удвоенной площади треугольника ОАВ, т. е. | Q | = aft. Построенный так вектор Q будем называть моментом вектора а относительно начала координат: Q == тот0а. Замечание. Гак как понятие момента связано с определен- определенной линией действия, то не имеет смысла термин «момент свобод- свободного вектора». Если известны величина и направление скользящего вектора, то задание вектора Q полностью определяет скользящий вектор. В самом деле, вектор Q однозначно определяет плоскость (я), ортогональную к его линии действия и проходящую через начало координат (рис. 10). Линия действия вектора а находится в плос- плоскости (я) на расстоянии от начала координат. Зная, кроме того, направление вектора а, нетрудно определить и его линию действия. Для этого в плоскости 23
(я) через начало координат проведем прямую, ортогональную к вектору а, и отложим на ней отрезок OA=h таким образом, чтобы направления ОА, а и Q составляли бы правую тройку. Тогда линия действия вектора а будет проходить через точку А. Задание проекций векторов а и Q полностью определяет скользящий вектор а, а потому величины X, Y, Z, Qx, Qv, Qz можно- рассматривать как координаты скользящего вектора. В силу опре- определения момента скользящего вектора эти величины не могут быть заданы произвольно, так как векторы а и Q ортогональны и, сле- следовательно, их скалярное произведение всегда равно нулю, т. е. Отсюда видно, что из введенных шести координат, определяющих скользящий вектор, независимых будет только пять. Шесть вели- величин X, Y, Z, Qx, Qy, Qz называются плюккеровыми коорди- координатами скользящего вектора. 4. Аналитическое определение момента скользящего вектора. В основу аналитического определения координат вектора момен- момента Q могут быть положены свойства момента вектора относитель- относительно начала координат. В самом деле, пусть линия действия сколь- скользящего вектора &{Х, Y, Z) проходит через точку А(х, у, г) (рис. 11). Построим в точке О свободный вектор с, линия действия которого параллельна линии действия вектора а, а величины,, направления и стороны векторов е и а совпадают. Площадь парал- параллелограмма, построенного на векторах е и а, будет равна модулю» момента Q вектора а относительно точки О, а его плоскость орто- ортогональна к линии действия вектора Q. С другой стороны, эта пло- площадь равна модулю векторного произведения векторов ОА и е„ причем вектор т=[ОА, е] по величине и по направлению совпа- совпадает с вектором Q, так что момент Q вектора а относительно точ- точки О может быть формально определен как векторное произведе- произведение векторов ОА и е Q = \ОА, е] или как векторное произведение векторов ОА и а, рассматривае- рассматриваемых как свободные Q = [ОА, а]. Полученная формула дает возможность найти проекции вектора Q на ортогональные оси координат, но не определяет категорию век- вектора Q. Раскрывая формулу, имеем Q .= [ОА, а] х у z X Y Z 24
откуда для проекций вектора Q найдем значения Qx = yZ-zY, Qy = zX-xZ, Qz = xY-yX. Пример 1 Скользящий вектор а(а, 0, 0) проходит через точку Л@, й,0). Определить момент скользящего вектора а относительно точки О Решение Замечание. Начало координат можно выбрать в произ- произвольной точке пространства. Вообще говоря, момент скользящего вектора относительно различных точек пространства будет различ- различным и по величине и по направлению. Но этот момент представ- представляет некоторую вполне определенную физическую величину, харак- характеризующую свойства скользящего вектора. При изучении системы скользящих векторов будет показано, что момент скользящего вектора относительно начала координат в силу его свойств можно рассматривать как вектор свободный. 5. Проекция момента на ось. Рассмотрим момент относитель- относительно точки О скользящего вектора а(Х, Y, Z), линия действия кото- которого проходит через точку А(х, у, г). Проекция момента Q на ось z имеет вид Qz = Q cos ft = 2S cos ft =r 2Slt где S — площадь треугольника OAB; S[ — площадь треугольника OAiBi (рис. 12). С другой стороны, если ввести единичный век- вектор е3, то 25^3 = mom0 a^ или mom0 ax =¦ Qze3, т. е. проекция момента вектора на ось равна моменту проекции. 6. Момент скользящего вектора относительно оси представ- представляет собой алгебраическое значение проекции на эту ось момента скользящего вектора относительно всех точек на оси. Такое опре- определение имеет смысл только в том случае, когда проекция не зави- зависит от выбора точки на оси. Последнее свойство действительно имеет место, так как проекция момента на ось равна моменту проекции вектора на плоскость, ортогональную к оси. Проекция же не зависит от положения точки на оси, что и доказывает утверждение. Пример 2 Найдем линию действия скользящего вектора, заданного плюккеровыми координатами X=l, K = 2, Z = 3; Qx=o, Qy^2, Q2 = — 3. 25
Из определения момента получим Q* = У z Y Z г х ZX или — 2г = 5, г ¦* у XY\f /= —3. Эта система линейно зависимых уравнений определяет в пространстве линию действия скользящего вектора. Рис 12 Рис 13 § 3. СИСТЕМА СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ 1. Система сходящихся скользящих векторов. Систему сколь- скользящих векторов, все линии действия которых пересекаются в одной точке, будем называть сходящейся. Определение. Результирующим вектором системы сходя- сходящихся в точке О скользящих векторов назовем скользящий век- вектор с, линия действия которого проходит через точку О, а величи- величина и направление определяются сложением векторов, рассматри- рассматриваемых как свободные. Теорема Вариньона. Момент результирующего вектора системы сходящихся векторов относительно начала координат ра- равен геометрической сумме моментов составляющих векторов отно- относительно того же начала. Доказательство. Докажем сначала теорему для двух сходящихся скользящих векторов. Пусть система состоит из двух скользящих векторов а и Ь, линии действия которых пересекаются в точке А (рис. 13). И пусть с — результирующий вектор этой си- 26
стемы. Покажем, что момент результирующего вектора с относи- относительно точки О равен сумме моментов составляющих векторов а и Ь. Для этого проведем через точку О плоскость (я) ортогональ- ортогональную к прямой АО, и пусть отрезки ai, b[ и cj являются соответст- соответственно ортогональными проекциями векторов a, b и с на плоскость (я). По определению, момент тс вектора с относительно точки О равен по величине удвоенной площади треугольника ОАС, т. е. произведению ОА-С\, расположен в плоскости (я) и направлен лерпендикулярно отрезку сь Точно так же и моменты та и т& векторов а и b относительно точки О равны соответственно произ- произведениям ОА-щ и OA-bi и ортогональны к прямым ODi и OBt Отсюда видно, что параллелограмм, построенный на векторах т„ и ть, будет подобен параллелограмму, OB\C\Di, а момент шс бу- будет совпадать с диагональю этого параллелограмма, т. е. тс яв- является геометрической (или векторной) суммой векторов та и т&. Теорема доказана. Она легко распространяется на любую сходя- сходящуюся систему скользящих векторов. Пример 3 Пусть заданы два скользящих вектора: аA, 2, 3) и ЬD, 3, 2), проходящие через точку А(\, 3, 5). Проверим справедливость теоре- теоремы Вариньона Вектор с=а+Ь имеет проекции сE, 5, 5) Момент вектора с относительно начала координат определится по формуле Q = mom0 с = х у г х y г ИЛИ е2 es 3 5 5 5 5 Тогда Q.X- — Ю, Qy=20, Qz= — Ю. Вычисляя моменты векторов а и b относительно начала координат получим QlX=-l. Qiy~=2, Qlz = -1, Q2i=--9, Q2y-18, Q2Z=- —9. Отсюда очевидна справедливость теоремы Вариньона 2. Произвольная система скользящих векторов. Элементарные операции. Рассмотрим произвольную пространственную систему скользящих векторов. Поскольку каждый из скользящих векторов представляет собой некоторую физическую величину, то и система скользящих векторов также будет представлять определенную совокупность физических величин. Каждый скользящий вектор можно переносить вдоль линии действия, а скользящие векторы, линии действия которых пересекаются, можно складывать по пра- правилу параллелограмма. Получаемые при этом новые системы сколь- 27
зящих векторов представляют собой те же физические свойства, что и первоначальная система, но новая система векторов может оказаться более простой. В связи с этим возникает задача о на- нахождении более простой системы скользящих векторов, представ- представляющей те же физические свойства, что и первоначальная система векторов. Рассмотрим э л е м ента р н ы е операции, являющие- являющиеся естественным обобщением изученных выше свойств скользящих векторов. 1. Перенос вектора в произвольную точку его линии действия (скольжение вектора вдоль линии действия). 2. Замена системы сходящихся скользящих векторов, линии действия которых пересекаются в одной точке, одним скользящим вектором, линия действия которого проходит через ту же точку, а величина и направление определяются по правилу сложения сколь- скользящих векторов. 3. Присоединение или отбрасывание двух равных по величине и направленных в противоположные стороны скользящих векторов с общей линией действия (добавление или отбрасывание нулевой системы) 1. Определение. Системы скользящих векторов, которые можно получить одну из другой при помощи элементарных опера- операций, называют эквивалентными2. 3. Приведение системы скользящих векторов к простейшей эквивалентной форме. При изучении различных систем векторов особо выделим систему параллельных скользящих векторов. а) Система параллельных скользящих векторов. Определение. Векторы, линии действия которых парал- параллельны, называются параллельными скользящими векто- векторами. Сначала рассмотрим случай двух параллельных векторов, на- направленных в одну сторону, предполагая, что их линии действия проходят через точки А и В, в которые и перенесем векторы (рис. 14). Проведем через точки А к В прямую и присоединим к системе два равных по величине, противоположно направленных и лежащих на одной прямой АВ, вектора и и —и. Новая система четырех скользящих векторов эквивалентна первоначальной систе- системе. Но последнюю систему векторов u, b, а, —и можно заменить эквивалентной системой, состоящей из двух скользящих векторов Р и Q, так что P=b + u, Q = a — u. 1 Можно было бы ограничиться двумя первыми элементарными операциями, так как третья может быть представлена как комбинация первых двух. Мы оставляем здесь три зависимых элементарных операции, что на наш взгляд име- имеет преимущества при дальнейших рассуждениях. 2 Впервые такое определение эквивалентных систем было дано француз- французским математиком и механиком Луи Пуансо. 28
Два последних вектора Р и Q перенесем вдоль их линий действия- в точку пересечения 5 и сложим по правилу параллелограмма Полученный вектор R эквивалентен исходной системе скользящих, векторов, а по величине равен сумме векторов а и Ь, рассматри- рассматриваемых как свободные. Вектор R параллелен векторам а и Ь, а по A S Рис. 14 Рис. 15 величине равен сумме их модулей. Из подобия треугольников AQa и ASO, а также ВРЬ и OSB следует а _ и Ъ и ~OS~~AO' ~OS~~OB' или a-OA = b-OB, т. е. — — ов Ь ~ ОА ' Мы получили, что система двух параллельных векторов, на- направленных в одну сторону, приводится к одному скользящему вектору, эквивалентному заданной системе, линия действия кото- которого параллельна линиям действия первоначальных векторов и делит расстояние между ними в отношении, обратно пропорцио- пропорциональном их величинам, а модуль равен сумме модулей векторов системы. Рассмотрим теперь систему, состоящую из двух параллельных векторов, направленных в противоположные стороны. Пусть вели- величины этих векторов различны и для определенности положим |а|>|Ь|. Предположим, кроме того, что линии действия векторов проходят через точки А и В (рис. 15). В силу обратимости эле- 29
ментарных операций вектор а можно заменить эквивалентной системой из двух векторов Ь[ и Ь2, параллельных вектору а, вели- величины которых определяются из равенств а = Ь1 + Ьг, 1^1 = |Ь|, где векторы a, bL и Ь2 рассматриваются как свободные. Отсюда будем иметь Ьх — — Ь, Ь2 = а — Ьг = а -|- Ь. Линию действия вектора bi проведем через точку В, тогда точка S па линии действия вектора Ь2 определится из условия Ьх • В А = Ь% ¦ AS, ¦или AS by b ВА ~ b2 ~ |a| —|b| ' Система векторов b, bb b2 эквивалентна первоначальной системе. Векторы bi и Ь2 представляют собой нулевую систему скользящих векторов, которую можно отбросить. В результате будем иметь один скользящий вектор Ь2, эквивалентный первоначальной системе скользящих векторов, т. е. система двух параллельных скользя- скользящих векторов а и Ь, не равных по величине и направленных в про- противоположные стороны, эквивалентна одному скользящему векто- вектору Ь2, параллельному первоначальным векторам, линия действия которого делит отрезок, соединяющий точки приложения векторов а и b внешним образом в отношении AS _ Ь BS ~ а ' Направления векторов Ь2 и а совпадают, а величина Ь2 равна раз- разности величин векторов а и Ь. Замечание. Вектор Ь2, эквивалентный рассматриваемой системе векторов, называют результирующим вектором системы. б) Пара скользящих векторов и ее свойства. Рассмотренный выше случай противоположно направленных параллельных векто- векторов исключает равенство |а| = |Ь|, так как при выполнении этого равенства невозможно определить положение линии действия век- вектора Ь2. Величина вектора Ь2 просто исчезает. Систему двух параллельных векторов, равных по величине, направленных в противоположные стороны и не лежащих на одной прямой, будем называть парой. Пара скользящих векторов об- обладает целым рядом специфических особенностей и имеет очень большое значение в теории скользящих векторов. Плоскость, определяемую векторами пары, будем называть плоскостью пары, расстояние между линиями действия векторов пары — плечом пары. Векторы пары создают «вращение плеча» в ту 30
сторону, куда указывают их стрелки. Всегда можно указать ту сторону от плоскости пары, откуда это вращение видно происхо- происходящим против хода часовой стрелки. Эту сторону назовем поло- положительной. Введем в рассмотрение вектор m — момент пары,, направленный перпендикулярно к ее плоскости в ту сторону, отку- откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, равный по величине площади параллелограмма, построенного на векторах пары (рис. 16). Будем сначала рассматривать вектор m как вектор, приложенный к началу вектора —а. По величине и по направлению вектор гп совпадает с величиной и направлением вектора момента а относительно точки В momB а = [ВА, а], что дает возможность определить проекции вектора m на оси. координат. m Рис. 16 Рис. 17 Заметим, что при помощи элементарных операций пару нельзя привести к одному скользящему вектору, эквивалентному паре. В этом мы уже имели возможность убедиться, рассматривая си- систему из двух параллельных скользящих векторов, направленных в противоположные стороны. Как было показано, система таких векторов эквивалентна одному результирующему вектору только тогда, когда разность величин векторов отлична от нуля. Если же эта разность стремится к нулю, величина результирующего векто- вектора тоже стремится к нулю, а линия его действия уходит в беско- бесконечность. Установим следующие свойства пары: 1. При помощи элементарных операций пару можно повер- повернуть в своей плоскости, причем момент пары не изменяет ни вели- величины, ни направления. В самом деле, пусть имеется пара скользящих векторов а, —а, линии действия которых проходят через точки А и В и пусть плечо пары равно h (рис. 17). Проведем в плоскости пары две парал- параллельных прямых, расстояние между которыми равно h и которые 31
образуют уюл а с векторами пары. В произвольно выбранных точках С и D этих прямых добавим две нулевые системы скользя- скользящих векторов ai, а2, a3, a<i, по величине равных величинам векто- векторов пары, а направленных вдоль этих новых прямых. Полученная новая система шести скользящих векторов эквивалентна первона- первоначальной системе векторов. Перенося теперь нулевые системы век- векторов вдоль линий их действия в точки А и В пересечения прямых и складывая затем векторы ai и ъ.% с векторами первоначальной пары, получим новую систему векторов Qi, Q2, аг, а3> эквивалент- эквивалентную первоначальной паре. Векторы Qi и Q2 направлены по общей диагонали ромба в противоположные стороны и равны по вели- величине, т. е. представляют собой нулевую систему, которую можно отбросить. В результате останется система двух скользящих век- векторов аг и аз, равных по величине, направленных в противополож- противоположные стороны и расположенных на параллельных прямых. Такая система векторов является парой, у которой линии действия век- векторов повернуты по сравнению с первоначальной на угол а. В рас- рассмотренном преобразовании не изменилось плечо пары, не измени- изменились по величине вектора пары, а следовательно, не изменилась и величина вектора момента пары. Остается неизменным и направление вектора момента пары. Этим доказано, что при по- помощи элементарных операций пару можно повернуть в своей плоскости, причем величина и направление вектора момента пары остаются инвариантными по отношению к такому преобразова- преобразованию. Новая пара оказывается эквивалентной первоначальной паре. 2. При помощи элементарных операций можно изменить плечо пары (изменяя величины векторов обратно пропорционально изме- изменению плеча пары), при этом получаем эквивалентную пару. момент которой по величине и по направлению равен моменту первоначальной пары. Для доказательства этого предложения предположим, что не- некоторая прямая А пересекает линии действия векторов пары под прямым углом в точках А и В, так что отрезок АВ равен величине ллеча пары h (рис. 18). Для построения эквивалентной пары, пле- плечо которой /ii>/i, на прямой А на расстоянии hj2 по обе стороны от середины О отрезка АВ отложим точки С и D и в этих точках добавим две нулевые системы векторов и и —и, линии действия которых параллельны векторам пары, а величины определяются из условия uhi — ah. Полученная система шести векторов эквивалентна первоначальной паре. Как нетрудно убедиться, система параллельных векторов а и и (последний проходит через С) эквивалентна одному вектору R с началом в точке О, причем величина вектора R определяется из равенства 32
С другой стороны, векторы —а и —и (последний проходит через точку D) эквивалентны одному вектору —R с точкой приложе- приложения О, величина которого определяется из равенства — R = — а — и. Векторы R и —R представляют нулевую систему, отбросив кото- которую, получим пару векторов и и —и с плечом hi, эквивалентную первоначальной паре. Момент новой пары тх = uhx = a — h1 = ah = т, т. е. равен по величине и по направлению моменту первоначальной пары. u. -u a В А Z h R T -R В С -a u -a. Рис 18 Рис. 19 3. При помощи элементарных операций пару можно перено- переносить в параллельную плоскость. При этом величина и направление вектора момента пары остаются неизменными. В самом деле, пусть заданная пара скользящих векторов а и —а расположена в плоскости (я), а линии действия векторов пары проходят через точки А и В (рис. 19). Перпендикуляры, восстановленные к плоскости (я) в точках А и В, пересекают параллельную плоскость (Я]) в точках Л[ и В[. Добавим в этих точках две пулевые системы скользящих векторов &\, —ai, ъ.% —а2, по величине равных вектору а, линии действия которых парал- параллельны линиям действия вектора а. Новая система шести векторов эквивалентна первоначальной паре. Система параллельных векто- векторов а и а2 эквивалентна одному скользящему вектору R = a+a2, а линия действия его проходит через точку пересечения диагона- диагоналей параллелограмма ABBiAi. Аналогично, система векторов ¦—а и —ai эквивалентна одному скользящему вектору —R=—а—аь линия действия которого тоже проходит через точку пересечения диагоналей. Векторы R и —R представляют собой нулевую систе- систему скользящих векторов, отбросив которую, получим систему, со- Е Н Березкин 33
стоящую из двух скользящих векторов а\ и —а2, расположенных в плоскости (jti) и представляющих собой пару с моментом, рав- равным моменту первоначальной пары. Замечание. Плоскость пары нельзя повернуть вокруг пря- прямой, не являющейся ортогональной к плоскости пары. В самом деле, если предположить, что существуют две эквивалентные пары, лежащие соответственно в плоскостях (щ) и (яг), пересекающихся по прямой А (рис. 20), то каждую из этих пар можно реализовать некоторым заданным вектором а, расположенным на прямой Д, и двумя параллельными векторами —ai и —а2) равными по величине Рис. 20 Рис. 21 и расположенными соответственно в плоскостях (ni) и (яг). Утверждение об эквивалентности пар сводится теперь к условию эквивалентности двух параллельных скользящих векторов —ai и —аг, равных по величине, но не лежащих на одной линии дейст- действия. Последнее противоречит определению скользящих векторов. Рассмотренные свойства пары скользящих векторов говорят о том, что элементарными операциями можно изменять положение пары в пространстве, но при этом остается неизменным вектор момента пары, обладающий свойствами свободного вектора. По отношению к элементарным операциям вектор момента пары ин- инвариантен. Следствие. Две пары эквивалентны, если их векторы мо- моментов пар равны по величине, параллельны и одинаково направ- направлены. Пары определяются своими моментами, которые являются свободными векторами. Теорема о сложении пар. Две произвольные пары эквивалентны одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов заданных пар. Доказательство. Рассмотрим две произвольные пары, плоскости которых пересекаются по некоторой прямой /, проходя- проходящей через точку О, с моментами соответственно mi и т2 (рис. 21). На прямой / отложим произвольный отрезок ОА, и заданные пары преобразуем так, чтобы плечо каждой из них было равно величи- 34
не отрезка ОА. Представленные пары можно теперь реализовать векторами аь —ai и а2, —а2, проходящими соответственно через точки О и Л, а моменты этих пар будут соответственно равны т1 = [ОА, aj, m2 = [ОА, aj. Складывая векторы ai с а2 и —а.{ с —а2, получим два скользящих вектора z, а = a2, — a - - &x a2, линии действия которых проходят со- соответственно через точки Л и О. Век- Векторы а и —а равны по величине, па- параллельны и направлены в противопо- противоположные стороны, т. е. представляют собой пару, эквивалентную двум пер- первоначальным парам. Применяя алгеб- алгебру свободных векторов для определе- определения величины и направления момен- момента результирующей пары, бу- будем иметь m = [ОА, а] = [ОД аг + aj = [ОД г Рис. 22 [ОA, ^ + тг, или т в) Приведение произвольной системы скользящих векторов. Рассмотрим произвольную систему скользящих векторов av(Xv, Vv, 2V) v = l, 2,..., k, линии действия которых проходят со- соответственно через точки А„(х^, yv, zv)- При помощи элементар- элементарных операций можно построить простейшую эквивалентную систе- систему скользящих векторов. В самом деле, добавим в точке О нулевую систему скользящих векторов а^ и —\, линия действия которых параллельна линии действия вектора av, а величины равны величине вектора av (рис. 22). Система векторов av и —а^ будет представлять пару, момент которой tTIv = является вектором свободным. Проводя такие же преобразования для каждого вектора системы, в результате получим систему схо- сходящихся скользящих векторов a'v а'2, ... , &'k и систему пар с моментами mi, m2)..., mh. Новая система скользящих векторов эквивалентна первоначальной системе векторов аь а2, ..., aft. Си- Систему сходящихся скользящих векторов &[, а'2> ... , &'k можно за- заменить одним результирующим вектором 2* 35
линия действия которого проходит через точку О. Складывая пары скользящих векторов av, —av' (v=l, 2, ..., k), получим результи- результирующую пару с моментом М = 2mv. В результате приходим к следующей теореме. Теорема. Для произвольной системы скользящих векторов всегда можно построить эквивалентную систему, состоящую из трех скользящих векторов, причем линия действия одного из этих векторов (результирующего вектора) проходит через наперед за- заданную точку, а два других представляют пару с моментом, равным сумме моментов векторов системы относительно той же точки. Процесс построения результирующего вектора и результирую- результирующей пары носит название приведения системы скользя- скользящих векторов к произвольной точке. Теорема об эквивалентности двух систем скользящих векторов. Две системы скользящих векторов &i, а.2, ..., afe и Ьь Ъ2, ..., Ъг эквивалентны тогда и только тогда, когда при приведении к произвольной точке каждой из этих систем их результирующие векторы и моменты результирующих пар сов- совпадают. Доказательство. (Необходимость). Предположим снача- сначала, что система скользящих векторов ai, а2, ..., а& эквивалентна системе скользящих векторов Ьь Ь2, ..., Ъг. Приводя систему сколь- скользящих векторов ai, a2, ..., а^ к произвольной точке О, получим результирующий вектор R и результирующую пару скользящих векторов а и —а с моментом т. Эта система трех скользящих векторов эквивалентна системе aj, a2, ..., а&, а значит и системе bi, b2, ..., Ъг, т. е. последнюю можно получить из векторов R, а и —а при помощи элементарных операций. В силу обратимости элементарных операций векторы R, а и —а получаются из системы bi, b2, ..., Ъг при помощи элементарных операций и представляют собой результирующий вектор и результирующую пару этой си- системы. (Достаточность). Если предположить, что две системы сколь- скользящих векторов ai, а2, ..., aft и bi, b2, ..., Ьг приводятся к одному и тому же результирующему вектору и к одной и той же паре, то такие системы эквивалентны. Это утверждение непосредственно следует из обратимости элементарных операций. г) Изменение точки приведения системы скользящих векторов. Инварианты. Предположим, что система скользящих векторов уже приведена к началу координат и что результирующий вектор равен R, а момент результирующей пары равен т. Рассмотрим произвольную точку О', не лежащую на линии действия результи- результирующего вектора R, и добавим к системе два скользящих вектора Ri и —Ri, лежащих на прямой, проходящей через точку О' и 36
параллельной вектору R, направленных в противоположные сторо- стороны, а по величине равных величине вектора R. Векторы R и —Ri представляют пару с моментом nii = [СУО, R] - - [ОУ, R], которую можно сложить с первоначальной результирующей парой с моментом т, полученной при приведении системы к точке О. Сложение этих пар дает новую результирующую пару с моментом т* = т — [ОСУ, R]. Новая система скользящих векторов эквивалентна первоначальной системе и состоит из скользящего вектора Ri, линия действия кото- которого проходит через точку О', и пары с моментом ш*. Рассмотрим инвариантные величины по отношению к измене- изменению точки приведения системы скользящих векторов. Первым таким инвариантом является, очевидно, величина и направление результирующего вектора, не изменяющиеся при изменении точки приведения. Результирующий вектор остается скользящим векто- вектором. Вторым инвариантом является скалярное произведение результирующего вектора на момент результирующей пары. В са- самом деле, (Rx, m*) = (R, m — [Ш, Щ) = (R, m) = const, или, переписывая этот инвариант в другом виде, имеем (R, m) — Xmx -f- Ymy + Zmz = const. С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно (R, m) = iR||m|cos(R7m). Здесь |R| является инвариантной величиной, следовательно про- произведение модуля момента результирующей пары на косинус угла между направлениями результирующего вектора и момента ре- результирующей пары, т. е. проекция момента результирующей пары на направление результирующего вектора также есть инвариант. д) Приведение системы скользящих векторов к винту. Как мы уже имели возможность заметить, при изменении точки приведе- приведения системы скользящих векторов не изменяется величина проек- проекции момента результирующей пары на направление результирую- результирующего вектора, так что если момент результирующей пары m представить в виде суммы двух свободных векторов гп' и т", из которых т' направлен вдоль линии действия вектора R, а т" ему ортогонален, то при изменении точки приведения системы будет изменяться только составляющий вектор т". При изменении точки приведения добавляется пара. Выберем точку О' так (рис. 23), чтобы плоскость этой добавочной пары была бы ортогональна к 37
вектору т", а ее момент был бы равен по величине вектору т", но направлен в противоположную сторону, т. е. чтобы Тогда при приведении к точке О для момента результирующей пары будем иметь ш' = m f m1 = m' -f m" + "h = m'. -R Рис. 23 m, Рис. 24 m m. Этот момент коллинеарен с вектором R. Из условия коллинеарнос- коллинеарности векторов т* и R получим тх т (а) Если теперь начало координат выбрать в точке О, а координаты точки О' обозначить через х, у, z, то, принимая во внимание, что проекции вектора тх == [WO, R] = - [Об7, R] определяются из матрицы х, у, z можно записать уравнение (а) в виде тх — Щг — zRy) = ти — (zRx — xRz) Rx Ry ~тг — (xRy — yRx) Rz Полученное уравнение определяет прямую линию, параллельную линии действия вектора R и проходящую через точку О'. Прямую эту назовем винтовой осью. Для всех точек винтовой оси момент результирующей пары имеет наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками пространства, равное вели- величине проекции момента результирующей пары относительно произ- 38
вольной точки на направление линии действия результирующего вектора *. е) Различные случаи приведения системы скользящих век- векторов. При изменении точки приведения системы скользящих век- векторов остаются инвариантными две величины: 1) величина н на- направление результирующего вектора; 2) скалярное произведение результирующего вектора на момент результирующей пары, т. е. R = const, (R, m) = const. В зависимости от значений этих инвариантов можно различить четыре различных случая приведения системы скользящих век- векторов. 1) R Ф О, (R, m) = 0. В этом случае для точек винтовой оси момент результирующей па- пары будет принимать нулевое значение, и система приведется к одному результирующему вектору, который называют равно- равнодействующим вектором системы. 2) R = 0 m=?0. Система приводится к одной результирующей паре, которую будем называть равнодействующей парой. 3) R=?0 (Ц,т)фО. При приведении к винтовой оси момент результирующей пары получает наименьшее значение, отличное от нуля. Система приво- приводится к винту. 4) R = 0, m = 0. В этом случае система скользящих векторов эквивалентна нулю. Пример 4 Система скользящих векторов приведена к началу коорди- координат, причем результирующий вектор R@, О, а), а момент результирующей пары т(тх, Шу, rnz). Написать уравнение винтовой оси. Проекции момента добавочной пары определяются из матрицы х у г\\ О 0 а\\' а ось винта является линией пересечения плоскостей тх ту у = = const, х = — = const. а а Пример 5. Система скользящих векторов приведена к началу координат, причем результирующий вектор R и момент результирующей пары m образуют угол а Определить ось влита. Приведем геометрическое решение задачи (рис. 24). Из точки О проведем прямую /, ортогональную к плоскости, построенной на векторах R и т. На этой прямой выберем точки Ои так чтобы момент вектора R относительно точки Oi 1 Винтовую ось называют еще центральной осью системы. 39
был бы направлен в сторону, противоположную направлению вектора расстояние h до точки О± было бы равно | т21 да sin a В точке Ot добавим систему скользящих векторов, эквивалентную нулю, состоя- состоящую из векторов R и —R. Вся система будет эквивалентна одному скользящему вектору R, линия действия которого проходит через точку Oi, и паре, момент которой по величине равен т1 = m cos a и направлен параллельно вектору R. 4. Плоская система скользящих векторов. Как частный случай проведенных выше рассуждений рассмотрим систему скользящих, векторов, линии действия которых расположены в одной плоскос- плоскости (я). За центр приведения этой системы выберем точку О, рас- расположенную в плоскости векторов. Добавив в точке О нулевые системы скользящих векторов, равных по величине соответствую- соответствующим векторам системы, получим в результате систему сходящихся векторов, расположенных в плоскости (я), и систему пар, распо- расположенных в той же плоскости. Складывая сходящиеся скользящие векторы, получим результирующий вектор, расположенный в плос- плоскости (я) и проходящий через точку О- сложение пар дает одну результирующую пару, расположенную в той же плоскости (я), момент которой будет ортогонален к плоскости (я), т. е. во всяком случае будет иметь место условие (R, m) = 0. Можно отметить три различных случая приведения плоской системы скользящих векторов. 1. При приведении к произвольной точке плоскости, результи- результирующий вектор и момент результирующей пары отличны от нуля Результирующий вектор и момент результирующей пары в этом случае всегда ортогональны. Предположим, что линия действия результирующего вектора R проходит через точку О, а пара пред- представляется двумя скользящими векторами R и —R, линии действия которых проходят соответственно через точки О' и О. Плечо пары определится из условия IRI Векторы R и —R, проходящие через точку О, представляют собой нулевую систему скользящих векторов, которую можно отбросить; в результате получим один скользящий вектор R, линия действия которого проходит через точку О' (второй вектор пары). В рас- рассмотренном случае система скользящих векторов эквивалентна 40
одному результирующему вектору, который еще называют равно- равнодействующим вектором системы скользящих векторов. Случай R=^=0, m = 0 приводит к предыдущему. 2. При приведении системы скользящих векторов к произ- произвольной точке результирующий вектор равен нулю, а момент ре- результирующей пары отличен от нуля R = 0, m=?0. При изменении точки приведения системы момент результирующей пары не меняется. Система эквивалентна одной результирующей паре, которую еще называют равнодействующей парой. 3. Если при приведении системы к произвольной точке резуль- результирующий вектор и момент результирующей пары равны нулю R = 0, m = 0, то они будут оставаться равными нулю и при приведении к любой другой точке пространства. Таким образом, для плоской системы скользящих векторов имеется три существенно различных случая приведения: 2) R = 0, m^O; 3) R = 0, m = 0. Винта, при котором результирующий вектор и момент результи- результирующей пары совпадают по направлению, здесь не бывает. 5. Свойства системы параллельных скользящих векторов. Рас- Рассмотрим систему скользящих векторов av, линии действия которых параллельны некоторой неподвижной прямой с направляющими косинусами (а, р, y), проходящей через начало координат. Выбе- Выберем на линиях действия векторов av произвольные фиксированные точки Д,(Ху, г/v, 2V), а проекции векторов av на неподвижные ортогональные оси х, у, г обозначим через Xv, Yv, Zv. Эти проек- проекции будут определяться равенствами Xv = ava, Yv — avp, Zv — avy. Для проекций результирующего вектора системы на оси координат получим выражения X =. 2XV = a2av, Y = SKV • При приведении системы скользящих векторов к началу координат будем иметь результирующую пару с моментом т, проекции кото- которого на оси координат будут иметь вид =. 2av (yvy my = 41
— t/va) = Очевидно, что момент результирующей пары и результирующий вектор системы будут ортогональны между собой, так как при приведении каждого вектора системы к началу координат появ- появляется пара, момент которой ортогонален к линии действия ре- результирующего вектора системы. В связи с этим будут возможны три различных случая приведения системы , m = 0; 2) R=0, m=?0; 3) R = 0, m = 0. He останавливаясь на двух последних, рассмотрим только первый случай, когда система параллельных скользящих векторов приво- приводится к одному равнодействующему вектору. Для всех точек линии действия равнодействующего вектора момент результирующей пары равен нулю. Поэтому линию действия равнодействующего вектора можно определить из уравнений пгх = О, т*у — 0, пгг — 0, или тх = тх — (yZ — zY) = 0, ту = тд — (zX — xZ) = 0, tn*z = тг — (xY — yX) = 0. Отсюда, после подстановки значений тх, ти, тг, X, Y, Z, получим = 0, = 0, ™ - 0. После перегруппировки слагаемых будем иметь у Bavyv — J/Sav) — 0 {Savzv — z2av) = 0, a B>avZv — zSov) — у Bavxv — x2av) = 0, — a Bavyv — y2av) = 0, что можно также представить в виде *_ = —У^!- *_ t (a) где х, у, z координаты точки линии действия результирующего вектора. Если теперь ввести точку S с координатами 42
то уравнения (а) можно будет переписать в виде Л - У _ Z~z - ?-* /вч ~Т~~ V ~ « ' () Эти уравнения определяют прямую линию, проходящую через точ- точку S, с направляющими косинусами (а, |3, у). Нетрудно видеть, что координаты точки S не зависят от направления линии действия системы векторов, но зависят от величин векторов и от координат точек Av, выбранных на линиях действия параллельных скользя- скользящих векторов системы. Точку S будем в дальнейшем называть центром системы параллельных скользящих век- векторов при заданных точках приложения Av. Можно заметить, что положение точки S не изменится, если все векторы av повер- повернуть на один и тот же угол <р вокруг точек Av. § 4. ЗАКРЕПЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ Закрепленными будем называть векторы, приложенные в опре- определенных точках пространства, изменяющие свой физический смысл при изменении точки приложения. Аналитически закреп- закрепленный вектор задается шестью независимыми параметрами: тремя координатами х, у, г точки приложения и тремя своими проекциями X, Y, Z на координатные оси. При определении скользящего вектора были введены плюкке- ровы координаты X, Y, Z, Qx, Qy, Qz, подчиненные условию XQX + YQy + ZQZ = 0. Аналогичным образом можно определить и закрепленный вектор; если ввести понятие вириала1. Пусть а — закрепленный вектор, приложенный в точке А. Рас- Рассмотрим произвольную точку Р. Вириалом вектора а относительно точки Р назовем скалярное произведение v = (а, ~АР) -- |а\\~АР\ costf, где Ф угол между линией действия вектора а и направлением от- отрезка АР. Если же точку А принять за начало координат, а коор- координаты точки Р обозначить через х, у, z, то для вириала получим выражение v = Хх + Yy + Zz. Теорема. Если два геометрически равных закрепленных вектора имеют одинаковые вириалы и моменты относительно одной и той же точки, то они приложены в одной и той же точке. Доказательство. Так как векторы геометрически равны, а их моменты относительно одной и той же точки совпадают, то 1 Понятие вириала было впервые введено Р. Клаузиусом A822—1888). 43
они должны иметь одну и ту же линию действия. Из равенства же вириалов имеем OAcos-d- = O иначе говоря, проекции отрезков, соединяющих начало координат с точками приложения векторов, на линию действия векторов равны. Последнее возможно только при совпадении отрезков, а следовательно, и точек приложения векторов. Центр системы параллельных закрепленных векторов. Рассмотрим систему закрепленных векторов av, при- приложенных соответственно в точках Лу и параллельных некоторому заданному направлению. Обозначим через Xv, Yv, Zv проекции векторов на оси координат, через a v их величины, а через ,x:v, i/y, zv координаты точек Av. Точку S с координатами %, ц, ?, определяемыми соотношениями 5 = г > Ц — ~ > »= i: . назовем центром системы параллельных закреп- закрепленных векторов. Такое определение центра системы па- параллельных закрепленных векторов совпадает с определением центра системы скользящих векторов при заданных точках А>. При рассмотрении системы параллельных скользящих векторов мы заметили, что координаты точки S не изменяются при повороте всей системы векторов на один и тот же угол. Это же свойство будет иметь место и для системы параллельных закрепленных векторов. Закрепленный вектор R, по величине равный геометрической сумме параллельных закрепленных векторов av, параллельный этим векторам и приложенный в точке S, будем называть резуль- результирующим вектором системы параллельных за- закрепленных векторов. § 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СВОБОДНОГО ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ Рассмотрим свободный вектор а, который для удобства даль- дальнейшего изучения перенесем в начало некоторой неподвижной системы отсчета. Предположим, что величина и направление век- вектора изменяются вместе с изменением некоторого скалярного па- параметра t, которым, в частности, может быть и время, так что При изменении параметра t конец вектора а в системе отсчета Oxyz опишет некоторую кривую, называемую го догр а фо м вектора а. В системе осей Oxyz вектор а можно задать его проек- 44
циями X, Y, Z на оси координат, которые при изменении парамет- параметра t будут изменяться вместе с вектором а. Рассмотрим два положения вектора а в моменты t и соответственно (рис. 25). Разность a(f + Ы) — a(f) -ЛШ1 = Аа тоже будет свободным вектором. Производной от вектора а по ска- скалярному аргументу t будем называть предел dt lim *(* + *)-»«) = iim_*L z -—- 9 M / У Рис 25 Обозначая через Ay, Аг/, Аг проекции вектора Аа на оси х, у, г. по теореме о проекции суммы векторов будем иметь АХ = X (f + At) — X (*), АУ = Y(t + А*) — Y(t), и для проекций вектора dajdt на оси координат получим Д|!-»0 A<->0 dZ или da. dt dX dt dt Более глубокое изложение теории скользящих векторов можно найти в оригинальной работе А. П. Котельникова «Винтовое исчис- исчисление и некоторые его приложения к геометрии и механике». Казань, 1895 г. 45
Глава II КИНЕМАТИКА Как самостоятельный раздел механики кинематика оформилась сравнительно недавно. Важность геометрического изучения движе- движения отмечал еще Ж. Даламбер A717—1783), но лишь А. Ампер A775—1836) обосновал необходимость изучения геометрических свойств движения. В 1838 г. французский математик и инженер Ж. Понселе A788—1867) представил факультету наук в Париже свой первый курс кинематики. Дальнейшее развитие основ кине- кинематики связано с именами М. Шаля A793—1880) и Л. Эйлера A707—1783). В 1862 г. французским механиком А. Резалем A828—1896) создан курс «Чистой кинематики», в котором приво- приводятся и аналитические методы изучения движения. С появлением этого курса кинематика окончательно утвердилась как самостоя- самостоятельный раздел механики. Кинематика изучает движения материальных тел, не оста- останавливаясь на причинах, вызывающих эти движения. По своему содержанию она является геометрией движущихся материальных объектов, в которой независимой переменной является время. Вся- Всякое движение материального тела или состояние его покоя можно представить лишь по отношению к каким-то другим телам. Поэто- Поэтому всякое движение имеет относительный характер. Конкретное представление о движении зависит от того, в какой системе мы это движение рассматриваем. Геометрическое пространство, по отно- отношению к которому изучается движение материальных тел, опреде- определим системой декартовых осей. Движение происходит во времени. Будем предполагать, что возможна такая арифметизация тече- течения времени, при которой одновременность каких-либо собы- событий не зависит ни от природы и места самих событий, ни от выбо- выбора системы отсчета, относительно которой наблюдаются события. Определенное таким образом время будем называть абсолют- абсолютным. Более детальное рассмотрение вопросов, связанных с опре- определением пространства и времени, отнесем к разделу «динамика». 46
§ 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 1. Скорость точки. Рассмотрим движение материальной точки М по отношению к системе ортогональных осей Охуг. Геометриче- Геометрическое место последовательных положений точки в этой системе назовем траекторией точки. Положение точки в простран- пространстве можно задать ее координатами х, у, z, которые при движении материальной точки будут меняться в зависимости от времени, так что *-ф@, у -гИО, z = x('). Выписанные уравнения определяют закон движения матери- материальной точки и представляют собой параметрические уравнения тра- траектории точки. В непрерывном дви- движении материальной точки будем рассматривать функции ф, 1|з, %, не- непрерывные вместе со своими произ- производными первого и второго поряд- порядков. Рассматривая два близких по- положения материальной точки М и Mi соответствующие моментам вре- времени t и t + At, вектор ММ], соеди- соединяющий эти точки, будем называть вектором п ер емещени я точ- точки за промежуток времени At (рис. 26). Обозначая через х, у, z координаты точки М в момент t, a через х+Ах, у+Ау, z + Az в момент t+Att для координат вектора пере- Рис. 26 мещения получим значения Ах, Ау, Az. Отношение вектора перемещения ко времени перемещения назовем средней скоростью точки за время А^ Направление вектора средней скорости точки совпадает с направ- направлением вектора перемещения точки. Предел этого отношения при At-+O назовем истинной скоростью точки v = lim At->0 ммг Секущая MMi при Д/-^0 займет предельное положение, совпадаю- совпадающее с положением касательной к кривой в точке М. Вектор сред- средней скорости точки имеет проекции на оси координат Ах/At, Ay/At, Az/At. Проекции истинной скорости определяются соотношениями 47
i. Ал: dx ,. Ду dy vx= hm = , v = hm —- = —^- At->o Д< Л д/-»о A< dt д«-»о Ai df Отсюда следует, что проекции вектора скорости являются первыми производными от координат точки по времени. Производная от радиус-вектора точки. Поло- Положение движущейся материальной точки можно определить векто- вектором t — OM, изменяющимся с течением времени по величине и по направлению относительно некоторой системы осей Oxyz, который будем называть радиус-вектором точки (рис. 26). Вектор перемещения точки можно представить через значение радиус-вектора точки в моменты t и t+At. ММ1 = г (t + М) — г (*) = Дг (f). Для средней скорости точки получим теперь выражение w Л* Для истинной же скорости — предел этого отношения v lm , At-*O ht dt таким образом, скорость точки может быть определена как произ- производная от радиус-вектора точки по времени. Величину скорости точки можно выразить через ее проекции на ортогональные оси координат. dx у , / dy \2 / dz \я V(dxf + (dy)* + (dzf [IT) J +[) = или ( (dtf \ dt где ds — дифференциал дуги траектории точки. Выбрав опреде- определенным образом положительное направление отсчета дуги, можно определить, что при возрастании s производная dsjdt будет поло- положительной. Если условиться, что скорость v положительна в на- направлении возрастания дуги s, то dt Наиболее простым среди всех возможных движений точки является такое движение, при котором в любой момент времени выполняется условие 48
v = = a = const. dt Такое движение будем называть равномерным. Перепишем последнее уравнение в виде ds — adt, после интегрирования отсюда получим s = at -J- const; последнее равенство представляет собой закон изменения пути со временем. Пример 6. Точка М совершает движение в плоскости Оху по закону х = R cos at, у = R sin a>t, где R и h) — постоянные величины. Определить траекторию и скорость точки. Уравнение траектории задано в параметрическом виде. Исключив отсюда время t, получим т. е. траекторией точки является окружность радиуса R. Проекции скорости получим, дифференцируя уравнения, определяющие координаты точки как функ- функции времени dx ~dT Vx = —— = — Ra sin at, vy = Rm cos at. Отсюда величина скорости v = у v2 + у2 = Ra. Пример 7. Ползун В приводится в движение нитью, наматывающейся на шкив радиуса R, вращающийся с угловой скоростью <в. Найти скорость ползуна как функцию расстояния ОВ = х (рис. 27). Через неподвижную точку А нить проходит со скоростью v=Ra>. С такой же скоростью изменяется длина отрезка нити AN В. Обозначив длину этого отрезка через s, получим С другой стороны, s= /л:2-Л2-Н/?Ф> (а) где ф определяется из соотношения R sin ф = —. X Дифференцируя тождество (а), получим ds х dx dw = г р J- dt ухы _ R dt dt ' 49
где dyldt определяется из условия dq> R dx COS ф = •— Y dt a2 dt Подставляя ds/dt и dq>/dt, будем иметь x — #со = откуда следует ухг — R2 dt dx dt dx dt COS ф = Rax Rx x2 — R -R* X dx 2 dt /я2 — R* Рис. 27 Рис. 28 2. Ускорение точки. Проекции ускорения на прямоугольные оси координат. Рассматривая движение материальной точки, мы определили вектор v скорости этой точки. Перенесем вектор v в начало не- неподвижной системы осей Oxyz (рис. 28). Конец / этого нового вектора назовем индексом скорости точки. При движении точки по траектории вектор v скорости будет изменять свои величину и направление, при этом индекс / скорости точки будет описывать некоторую кривую относительно системы отсчета Oxyz, которую будем называть годографом скорости точки. Обозначив через х\, У\, z\ координаты индекса скорости, приходим к очевидным соот- соотношениям *1 = dx dt dy dt z-, = dz dt Вектор скорости движения индекса / по годографу обозначим че- через j. Тогда проекции вектора j определяется из равенств 50
dt dt dt* ' '" dt dt* iz ~~ dt dF Вектор j, приложенный к точке М, называется ускорением точки М. Скорость точки М определяется через производную от ее ра- радиус-вектора dt Вектор ускорения точки определяется как скорость движения ин- индекса по годографу скорости и в соответствии с определением производной от вектора, получим . dx_ __ jfr_ ~ dt ~~ dP (в самом определении производной от вектора по скалярному аргументу содержится условие переноса вектора в начало коорди- координат). Величина вектора ускорения точки может быть выражена через проекции на ортогональные оси координат следующим образом: 3. Скорость и ускорение точки в полярных координатах. Пусть точка М совершает движение в плоскости Оху. При помощи формул преобразования перейдем от декартовых координат х, у к полярным координатам г, ср x = rcos(p, у — г sin ф. При движении точки М величины г и ср будут некоторыми функ- функциями времени. Тогда проекции скорости на декартовы оси коор- координат получим из соотношений ^ irfcoscprirsincp' dt dt dt du dr • dw V,. = —2- = Sin ф + Г —— COS ф. V dt dt ^ dt * Введем два ортогональных направления: направление из начала координат на движущуюся точку — радиальное и перпенди- перпендикулярное к нему направление в сторону возрастания угла ф — трансверсальное направление. Легко подсчитать проекции вектора скорости vr и иф на эти направления: 51
vr — vx cos ф 4 vy sin ф, иф = — vx sin ф -f vy cos ф, после подстановки сюда значений vx и vy будем иметь vr = —— cos2 ф — г —— sin ф cos ф 4- dt y dt ^ ^ , dr . „ , dw dr -i Sin2 ф 4 Г—— SinroCOSffi= , dt dt T dt V(f — — sin ф cos Ф + г —?- sin'2 ф | sin ф cos ф , dw a dw + Г—- СО32ф — Г ——, dt ^ dt т. e. dr dw Эти проекции называют радиальной и трансверсальной состав- составляющими скорости точки. Рассмотрим проекции ускорения точки на оси декартовой си- системы координат d?x \ cPr I dm \21 I o dr dw , Л1 . Jx = "= г —- COS ф — 2 л- 4- Г —X Sin ф, dt2 I dt* \ dt J J Y [ dt dt dt3 J Y dt Проектируя ускорение точки на радиальное и трансверсальное направления, получим dw i2 т. е. ... dV /г = ]х COS ф + ] Sin ф =. Г ^ Л2 V dt Уф - — ]х sin Ф + }у cos ф = 2 — -J- + г -2Lt ~1р \Т)' h~ dt Эти проекции называются радиальной и трансверсальной состав- составляющими ускорения. Как нетрудно заметить, эти составляющие не являются непосредственными производными от радиальной и трансверсальной составляющих скорости точки. Пример 8. Определить траекторию, скорость и ускорение точки, движе- движение которой в плоскости задано в полярных координатах: г = at, w = U. 52
Исключив время, найдем траекторию точки Т = —— ф (архимедова спи- о раль), а затем определим скорость v = VV2 -г г2ф'2 -= и ускорение a2b4* = a V\ ~\- } —V if + 1% = У 4a2fe2 = ab V* + ЬНг. 4. Движение точки по окружно- окружности. Рассмотрим задачу о движении точки по окружности /? = const. Из формул для радиальной и трансвер- сальной составляющих ускорения получим „ / dm \ а . D d2q> Jr \ dt ) ' 'Ф dt* Здесь радиальная составляющая направлена к центру окружности, а трансверсальная составляющая — по касательной к окружности. Обо- Обозначим через /т и /„ проекции уско- ускорения точки на касательную и нор- нормаль к окружности. Будем иметь (рис. 29) n d2q> dv где Рис 29 5. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника. Как мы уже заметили, при движении точки по окружности ее ускорение может быть представлено в виде двух составляющих, одна из которых направлена по касательной к окружности, а дру- другая к центру окружности. При движении точки по произвольной кривой в каждый момент времени достаточно малый участок траектории можно рассматривать как часть дуги окружности соот- соответствующего радиуса, а непрерывное движение точки по траекто- траектории можно представить как некоторую последовательность дви- движений по дугам соответствующих окружностей. Рассмотрим три последовательных положения точки на траектории: М, Ми М2 (рис. 30). Если точка Mi занимает беско- бесконечно близкое положение по отношению к точке М, то отрезок ММ\ в пределе определит положение касательной к кривой в точ- точке М. Если траектория не является прямой линией, то три точки М, Мг и М2 определят некоторую плоскость. Предельное 53
положение этой плоскости, когда точки М\ и М2 неогра- неограниченно стремятся к точке М будем называть сопри- соприкасающейся плоскостью в точке М. Касательная к кривой, построенная в точке М, лежит в этой плоскости. В об- общем случае три точки М, Mi и М2 однозначно определяют окруж- h Рис. 30 Рис. 31 ность, лежащую в соприкасающейся плоскости. Предельная окружность, получающаяся при неограниченном приближении то- точек Mi и М2 к точке М, называется окружностью кривиз- н ы, или кругом кривизны. Радиус этой окружности называют радиусом кривизны. Круг кривизны всегда на- находится в соприкасающейся плоскости. Хорды MMi и MiM2 в пре- пределе, при неограниченном приближении точек М] к точке М, а М2 к точке Ми определят касательные к кривой в точках М и М[ соот- соответственно (рис. 30), а следовательно, и направление скоростей в этих точках. Обозначим скорости точки в положениях М и Mi соответственно через v и vb Перенесем Vi в точку М (рис. 31). Два вектора v и Vi определят плоскость. Предельное положение этой плоскости, когда точка Mi неограниченно приближается к точке М, будет определять соприкасающуюся плоскость. Вектор АВ определяет перемещение индекса скорости по годогра- годографу. Геометрическая величина вектора АВ определится из равен- равенства где точки К я В лежат на одной и той же окружности с центром в точке М (рис. 31). Разделим это равенство на А^: АВ Ж , KB At At At Отношение ABjkt равно среднему ускорению точки М за время At. Ускорение точки М является предельным значением среднего ускорения, когда интервал времени At неограниченно стремится к нулю. 54
Рассмотрим вектор AK/At, который всегда направлен по каса- касательной к траектории. Предельное значение модуля этого вектора будет иметь вид Iim Д(->0 АК М = Iim I |vi|-|v| I At dt — /х- Производную по времени от модуля скорости точки назовем касатель- касательной, или тангенциальной, со- составляющей ускорения точки. Можно еще ввести в рассмотрение вектор ка- касательного ускорения Ь» положитель- положительное направление которого совпадает с направлением скорости точки, а вели- величина равна производной от модуля скорости точки. Обозначив через е угол между направлениями скоростей v и v,, назовем этот угол углом смежности (рис. 32). Тогда для предельного значения модуля вектора At получим Iim KB At — Iim д*-»с = Iim At vi AS -- Iim At AS P Рис. 32 д*-»о P At p Здесь AS, как это видно из чертежа, представляет собой длину дуги траектории, соединяющей точки М и М\. Предельное значе- значение величины отрезка МО, когда точка неограниченно прибли- приближается к М, назовем радиусом кривизны траектории в точке М Mt-+M I e Обозначив через ф угол АКВ (рис. 31), получим я —е Предельное значение этого угла, когда А^-^0, равно я/2 и, следо- следовательно, Нтф= —. до 2 Предельное значение вектора КВ1Ы обозначим через jn, т. е. , _ ,. KB At->Q At 55
Величина этого вектора равна отношению квадрата скорости точки о2 к радиусу кривизны траектории, т. е. ]п = —, сам вектор лежит Р в соприкасающейся плоскости и направлен ортогонально к скорос- скорости точки в сторону вогнутости траектории. Та нормаль п к траек- траектории, которая лежит в соприкасающейся плоскости и направлена в сторону вогнутости траектории, называется главной нор- нормалью, а вектор jn, направленный по главной нормали к траек- траектории, называется нормальным ускорением точки (рис. 33). Рис. 33 Рис 34 Рассмотрим систему осей координат с началом в точке М, ось т направим по касательной к траектории точки, ось п по направ- направлению главной нормали, а третью ось р (по бинормали) направим так, чтобы тройка векторов т, n, p образовала правую систему. Выбранные так оси представляют собой сопровождающий трех- трехгранник, который еще называют естественным трехгран- трехгранником1. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны dv и2 . . Ут = -—, У,,-—, УР -=- 0. dt p Модуль ускорения определяется равенством P Пример 9. Точка движется по плоскости Оху по закону Определить радиус кривизны траектории точки. Решение. Величины скорости и ускорения определяются из формул * = x'* + y'*, У В дифференциальной геометрии его называют трехгранником Френе. 56
Касательную составляющую ускорения найдем, дифференцируя квадрат скорос- скорости точки do Рис. 35 Вычислим радиус кривизны траектории точки по формуле \ dt или у,2 _ Приводя подобные члены и умножая на о2, получим откуда р х"у' — у"х' Можно дать и геометрическое решение этой задачи. Как видно из рис. 34, про- проекция ускорения на нормаль к траектории равна и2 — = х" cos (90° — а) — у" sin (90° — а) = Р „ У' „ х' = х" — — у" —, V V 57
откуда сразу же следует выведенная выше формула для радиуса кривизны траектории. Пример 10. Точка описывает плоскую траекторию. Линия действия ее ускорения в пересечении с кругом кривизны образует хорду МА = 1 (рис. 35). Выразить величину ускорения точки через величину ее скорости и длину этой хорды. Решение. Из подобия треугольников MDC и МАВ следует откуда получим или j __ MB MA MD МС ' 2р / Т 7 spin /р Рис. 36 6. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки. Пусть некоторая неизменяемая система отсчета (в частном слу- случае такой системой может быть абсолютно твердое тело S) совер- совершает определенное движение относительно неподвижной системы координат Oxyz, а материальная точка М движется относительно этой подвижной неизменяемой системы (рис. 36). Движение точ- точки М по отношению к системе координат Oxyz называют абсо- абсолютным движением, а ее траекторию в этом движении — 58
абсолютной траекторией. Движение точки относительно системы 5 называют относительным движением, а тра- траекторию в этом движении •— относительной траекторией точки. Если точку М закрепить в некоторый момент в подвиж- подвижной системе, то она будет двигаться лишь как точка подвижной системы. Такое движение точки называют переносным дви- движением точки в данный момент времени. Соответствующая траектория точки называется переносной траекторией для данного момента времени. Скорость движения точки по абсо- абсолютной траектории называют абсолютной траекторией точки, а скорость движения точки по отношению к подвижной си- системе отсчета — ее относительной скоростью. Если точку в рассматриваемый момент времени закрепить в подвижной систе- системе и рассматривать ее движение вместе с этой системой, то ско- скорость ее движения в этот момент времени представит перенос- переносную скорость точки. Теорема. Абсолютная скорость материальной точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей: Доказательство. Рассмотрим два близких положения не- неизменяемой подвижной системы S в моменты времени t и ti = t + At. Перемещения точки в абсолютном, относительном и переносном движениях (рис. 36) представляются соответственно векторами ММ2, MiM2, MM\. Вектор ММ2 равен геометрической сумме векто- векторов М\Мъ и ММ\\ = Лр42 + ММ[ (а) Средняя абсолютная скорость точки М за время At, по определе- определению, равна отношению вектора перемещения ко времени At, т. е. w _ млк Разделив равенство (а) на At, будем иметь мм.2 л^лГ2 \t \t At Вектор (b) wr определяет среднюю скорость точки в подвижной системе S, вектор 59
представляет среднюю скорость переносного движения, поэтому равенство можно переписать в виде Vta = we + wr- (С) Векторы we, wr, wa пропорциональны соответствующим векторам перемещений (рис. 36). В пределе при At—>-0 векторы wa, we и wy дают значения истинных скоростей в абсолютном, переносном и относительном движениях, т. е. Полученная теорема имеет исключительно важное значение в ме- механике. Рассмотрим некоторые примеры на ее применение. Пример 11. Палочка вращается в плоскости вокруг своего неподвиж- неподвижного конца О с угловой скоростью a—dy/dt. Точка М скользит вдоль палочки со скоростью о. Определить абсолютную скорость точки (рис. 37). Решение. Точка участвует в двух движениях. Она перемещается вместе с палочкой и, кроме того, движется вдоль палочкн. Относительно палочки точка совершает прямолинейное движение со скоростью v, поэтому, приняв за под- М Рис. 37 Рис. 38 вижную систему S палочку, получим следующее значение относительной скорос- скорости точки: о, = о = dr dt Для определения переносной скорости точки рассмотрим движение той точки палочки, которая в данный момент совпадает с движущейся материальной точ- точкой. В переносном движении точка описывает окружность вокруг точки О со dw скоростью f , а потому переносная скорость точки будет равна at "e dt Так как векторы переносной и относительной скоростей ортогональны, будем иметь 60
Полученные значения переносной и относительной скоростей совпадают с из- известными значениями радиальной и трансверсальной составляющими скорости. Пример 12. Палочки ОА и OiB вращаются в плоскости чертежа с уг- угловыми скоростями «о и оL соответственно вокруг неподвижных точек О и Oi (рис. 38). На обе палочки одновременно надето кольцо М, перемещающееся при вращении палочек. Определить абсолютную скорость кольца. Решение. Выберем подвижную систему Оху, связанную с палочкой ОА, как указано на рис. 38. В этой системе кольцо все время находится на оси х, а его относительная скорость vr направлена вдоль выбранной оси, причем ве- величина относительной скорости остается пока неизвестной. Переносная скорость \е колечка равна скорости той точки подвижной системы (палочки ОА), которая в данный момент совпадает с колечком. Обозначив через х расстояние ОМ, получим Ve =(?>X. Эта скорость направлена параллельно оси у. По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость колечка равна геометрической сумме переносной и относи- относительной скоростей Va = Ve + vr. Конец вектора относительной скорости расположен на прямой А, параллельной оси х и проходящей через конец вектора переносной скорости. Следовательно, и конец вектора абсолютной скорости колечка будет находиться на прямой А. Выбирая теперь за подвижную систему оси OiXiyi, связанные с палочкой О\В, и повторяя все рассуждения, придем к заключению, что конец вектора абсолют- абсолютной скорости будет находиться на прямой Д4, проходящей через конец вектора переносной скорости колечка ve в системе O\Xiyi, величина которой ve =cdiXi. Точка пересечения прямых Д и Ai определяет положение конца вектора абсо- абсолютной скорости колечка. 7. Метод Роберваля построения касательных к плоским кри- кривым. Рассмотрим способ построения касательных к плоским кривым второго порядка. Каждую такую кривую можно рассматривать как траекторию материальной точки, находящейся в сложном движе- движении. Абсолютная скорость движения точки по такой кривой будет определять направление касательной к кривой. Для определения направления абсолютной окорости движение материальной точки представляют как сумму двух более простых движений, направле- направления которых могут быть известны. Пример 13. При помощи теоремы о сложении скоростей построить каса- касательную к эллипсу (рис. 39). Решение. Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов эллипса) является вели- величиной постоянной Г\ + Н — 2я, (а) где а — большая полуось эллипса. Выберем неподвижную систему осей FtXiyi с началом в первом фокусе, направив ось FiXi в сторону движущейся по эллипсу точки М. Относительная скорость точки М будет равна скорости изменения расстояния от точки М до фокуса 61
_ dr, Vn dt Выбирая вторую подвижную систему координат Fix^ с началом во втором фо- фокусе, направим ось Рчуг на точку М. Относительная скорость точки М в новой системе координат направлена вдоль оси F2y2, а ее величина равна скорости изменения расстояния от точки М до фокуса Fi 1Г г , ,м Рис 39 Рис 40 Из уравнения (а) имеем или dt dt vr = — о, 'Ч / обе системы осей обладают только вращательным движением вокруг соответ- соответствующих фокусов, поэтому переносные скорости будут направлены перпендику- перпендикулярно к прямым FiXi и Fijjt На основании теоремы о сложении скоростей нахо- находим положение конца вектора абсолютной скорости, который лежит на пересе- пересечении перпендикуляров к прямым F^i и F21/2, проведенным через концы соот- соответствующих относительных скоростей. 8. Аналитическое доказательство теоремы о сложении скоро- скоростей. Рассмотрим движение материальной точки М в системе OiXiyiZu совершающей некоторое движение относительно системы Oxyz (рис. 40). В каждый момент времени можно определить по- положение точки М как в системе Oxyz, так и в системе ОуХуу&х. Обозначим координаты точки Ot в неподвижной системе координат через х0, уо, z0, координаты точки М в неподвижной системе коор- координат через х, у, z, а координаты точки М в подвижной системе координат через xlt уь Z\. Формулы преобразования дадут зависи- зависимость между координатами в неподвижной и подвижной системах 62
= x0 xa 4- y1a1 = 20 ft Yi где a, ?, Y, «i. Pi. Yi. a2, К Y2 — косинусы углов между соответ- соответствующими осями, определяемые из таблицы X а II У Р II 2 I Ч «1 Pi Zi «2 Р, Дифференцируя величины х, у, z, получим проекции абсолютной скорости vax, Vay, vaz на неподвижные оси координат. Из формул преобразования будем иметь d* dx, 0 1 dy dt da dt d* dXl 4-a, dt dzt dt dp dt dt Л dt (a) dz vn, =- —- = ^дг + Y dt dt dt Для определения переносной скорости рассмотрим движение точки вместе с подвижной системой координат. В этом движении коорди- координаты х\, У\, Z[ остаются неизменными, а потому dt d< dp dt dt .^T +ft (b) 63
Положение точки относительно подвижной системы координат за- задается ее координатами хи \j\, г\, поэтому проекции ее скорости в относительном движении на подвижные оси хи уи Z\ будут равны dxjdt, dyjdt, dzi/dt. Проекции же вектора относительной скорости на неподвижные оси координат найдем при помощи формул пре- преобразования dx, , dy, . du vrx = a—*— 4- ax —^ + a2 rx dt dt 4 ax + a2 dt dt dt dt Tl dt T2 dt (с) Сравнивая формулы (а), (b) и (с), получим выражения для про- проекций абсолютной скорости точки vax = vex ¦+- vrx, иау = vey + vry, vaz = vez + vrz. Откуда сразу же следует векторное равенство va = v, -\- vr, т. е. абсолютная скорость точки равна сумме ее переносной и отно- относительной скоростей. 9. Сложение скоростей в общем случае сложного движения точки. Рассмотрим сложное движение точки, движущейся относи- относительно системы Si, которая, в свою очередь, совершает некоторое движение относительно системы 5г. Пусть, кроме того, система 5г совершает некоторое движение относительно системы S3 и т. д. и, наконец, некоторая система S^ совершает движение относительно системы S. Для определения скорости точки М относительно си- системы S воспользуемся теоремой о сложении скоростей. Обозначим скорость точки относительно системы Si через vr, а через Vi — ско- скорость относительно системы 5г той точки системы Si, с которой в данный момент совпадает точка М. По теореме о сложении ско- скоростей находим скорость точки М относительно системы 5г Обозначая далее через v% скорость относительно системы S3 той точки системы S2, с которой в данный момент совпадает точка М, по теореме о сложении скоростей получим значение скорости точ- точки М относительно системы S3 vr3 = vr2 + v2 = vr + vx + v2. Продолжая процесс, определим значение скорости точки М относи- относительно системы S 64
V = V,k + Vfe = Vr + V1 + V, 2 i "ft. где V{ — скорость относительно системы Si+\ точки системы Siy сов- совпадающей в данный момент с точкой М. Пример 14. Ползун А скользит по прямолинейному рельсу со скоростью Va. Вокруг точки А ползуна вращается со скоростью со в вертикальной плоскости стержень АВ, по которому движется материальная точка М с относительной ско- скоростью vo (рис. 41). Определить абсолютную скорость точки М. X Рис. 41 Рис. 42 Решение. Рассмотрим сначала систему, связанную со стержнем. Эта си- система вращается относительно поступательно движущейся системы, связанной с ползуном. Переносная скорость точки М равна мг и направлена ортогонально к стержню. Складывая эту скорость со скоростью Но, получим скорость vi дви- движения точки М относительно системы, жестко связанной с ползуном. Для опре- определения абсолютной скорости точки М сложим скорость vi со скоростью посту- поступательного движения системы вместе с ползуном. Замечания. 1. Положение точки М относительно неподвиж- неподвижной системы отсчета Оху можно определить радиус-вектором ОМ (рис. 42). Определяя положение начала подвижной системы коор- координат радиус-вектором ОО} и положение точки М в подвижной си- системе координат радиус-вектором О[М, составим векторное равен- равенство справедливое для любого момента времени. Дифференцируя это соотношение, получим dOM dt dt dt Здесь дифференцирование левой и правой частей равенства должно быть выполнено в одной и той же системе координат, поэтому про- производная dOiM/dt, рассматриваемая в неподвижной системе коор- Е. Ы. Березкин 65
динат, не будет совпадать с относительной скоростью точки так же, как и dOOJdt не совпадает с переносной скоростью точки. 2. Относительное движение точки рассматривается относитель- относительно движущейся системы отсчета. Если же остановить подвижную систему, то изменится и характер относительного движения точки. Пример 15. Пусть подвижная система отсчета Ох\ух вращается вокруг начала неподвижной системы с угловой скоростью (о. Определить относительную скорость точки М, покоящуюся в неподвижной системе отсчета. Решение. Рассмотрим точку М, неподвижную относительно неподвиж- неподвижной системы отсчета. Для определенности будем предполагать, что точка М на- находится на неподвижной оси Ох. Тогда абсолютная скорость точки М равна нулю. Ее переносная скорость и скорость относительно подвижной системы ко- координат по величине равны произведению а>-ОМ и направлены в противополож- противоположные стороны. Если же остановить подвижную систему, то скорость точки М относительно этой покоящейся системы координат будет равна нулю и не будет равна относительной скорости по отношению к системе, движущейся относитель- относительно неподвижной. 3. Переносная скорость точки не зависит от характера относи- относительного движения точки, но зависит от ее положения в подвижной системе отсчета и от движения подвижной системы координат. § 2. КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1. Определения. Абсолютно твердым телом называют такую систему материальных точек, расстояния между двумя лю- любыми точками которой остаются всегда неизменными. Абсолютно твердое тело либо заполняет некоторую область пространства, либо состоит из нескольких отдельных точек. Перемещения абсолютно твердого тела в пространстве могут быть либо свободными, либо стесненными некоторыми условиями. Так, например, перемещения твердого тела будут стеснены, если одну из его точек сделать не- неподвижной. Если закрепить две точки твердого тела, то возмож- возможными движениями такого тела будут только вращения вокруг не- неподвижной прямой, проходящей через эти закрепленные точки. Такую прямую называют осью вращения твердого тела. Если закрепить еще одну точку твердого тела, не расположенную на оси вращения, то тело не сможет перемещаться и будет оставаться не- неподвижным. Таким образом, три точки твердого тела, не располо- расположенные на одной прямой, полностью определяют положение твер- твердого тела. Для определения движения твердого тела достаточно знать закон движения трех его точек, не расположенных на одной прямой. 2. Элементарные движения твердого тела. Говорят, что твер- твердое тело испытывает перемещение, если оно переходит из од- одного положения в другое. Вектор МгМ{, соединяющий два различ- различных положения точки твердого тела, характеризует перемещение точки Mi (рис. 43). Этот вектор называют вектором переме- перемещения точки Mi твердого тела. В общем случае перемещения 66
различных точек твердого тела отличаются друг от друга как по величине, так и по направлению. Поступательное перемещение твердого тела. Может оказаться, что векторы перемещений различных точек твер- твердого тела равны по величине и параллельны. В таком случае гово- говорят, что твердое тело совершает поступательное перемещение. При поступательном перемещении твердого тела прямые линии, соеди- Рис. 43 Рис. 44 няющие две произвольные точки этого тела, остаются параллель- параллельными одному и тому же направлению. Если с твердым телом жест- жестко связать систему прямоугольных осей, то при поступательном перемещении твердого тела эти оси будут оставаться параллель- параллельными своему первоначальному положению. Как уже отмечалось, положение твердого тела вполне определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Через такие три точки всегда можно провести две пересекающиеся прямые, которые пол- полностью будут определять перемещение твердого тела. Так как при поступательном перемещении векторы перемеще- перемещений всех точек твердого тела равны по величине и по направлению, то такое перемещение может быть представлено одним вектором w = ММ', где М — произвольная точка твердого тела. Иначе говоря, вектор перемещения твердого тела при поступательном перемещении мож- можно переносить в любую точку твердого тела и рассматривать как вектор свободный. Определение. Движение твердого тела, состоящее из по- последовательности поступательных перемещений, называют посту- поступательным движением твердого тела. Можно указать много примеров поступательных движений. Так, например, кабина лифта совершает поступательное движение, 67
кузов железнодорожного вагона, совершающего прямолинейное движение, тоже совершает поступательное движение и т. д. Скорость поступательного движения. Пусть вектор w поступа- поступательного перемещения твердого тела соответствует двум положе- положениям твердого тела в моменты t и t + kt. Отношение вектора пере- перемещения w к интервалу времени At определяет среднюю скорость произвольной точки твердого тела, которая называется средней скоростью поступательного движения твердого тела. Предел этого отношения при Д?->-0, если, конечно, он существует, будем называть скоростью поступательного движения твердого тела v = lim—. д<-»о At Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Рассмотрим твердое тело, у которого неподвижно закреплены две точки О и Ot. Такое твердое тело может вращаться вокруг неподвижной оси и не может совершать других движений. При вращении твердого те- тела всякая его точка описывает окружность в плоскости, перпен- перпендикулярной к оси вращения. Радиус соответствующей окружности равен расстоянию точки от оси вращения. Величина скорости про- произвольной точки твердого тела пропорциональна расстоянию h от этой точки до оси вращения. Положение точки можно определить углом ¦& (двугранный угол) между двумя плоскостями, проходя- проходящими через ось вращения, одна из которых неподвижна, а вторая вращается вместе с рассматриваемой точкой (рис. 44). Числен- Численная величина скорости точки М в ее круговом движении равна dt * где величина d$jdt = (u называется угловой скоростью вра- вращения твердого тела. Она определяет скорость изменения угла между плоскостью, проходящей через ось вращения и через точку М, и неподвижной плоскостью, также проходящей через ось вра- вращения. Таким образом, вращение твердого тела может быть опреде- определено так же, как и скользящий вектор, тремя элементами: осью вращения, величиной вращения (величиной угловой скорости вра- вращения) и стороной вращения. Если теперь ввести на оси вращения вектор (о, направленный в ту сторону, откуда вращение видно про- происходящим против движения часовой стрелки, а по величине рав- равный величине угловой скорости вращения, то скорость точки М можно будет определить как момент вектора с* относительно точ- точки М. Величина и направление скорости v не изменяются, если перемещать вектор с* вдоль оси вращения, т. е. с* — скользящий вектор 68
или v = momM w = [MO, o>] — [to, ОМ], v = [ы, ОМ]. Полученная формула носит название формулы Эйлера. Выберем систему осей Oxyz, начало которой находится на оси вра- вращения. Через р, Q, г обозначим проекции вектора угловой скоро- скорости с* на оси координат, а через i, j, k — орты координатных осей. Тогда из формулы Эйлера получим v = [ы, ОМ] = i, P X I q у k г z откуда vy=rx — Если ось вращения проходит через точку А(х0, yQ, zD), то для определения скоростей точек твердого тела формула Эйлера дает i j k v= p q r — х0 у — ув г- или 3. Мгновенные движения твердого тела. В общем случае дви- движения твердого тела каждая его точка описывает свою траекторию и имеет свою скорость. Может оказаться, что в некоторый момент времени скорости всех точек твердого тела равны по величине и но направлению. В этом случае говорят, что твердое тело в данный момент совершает мгновенно-поступательное движе- движение. Вектор v, представляющий скорость произвольной точки твердого тела в этот момент времени, называется вектором мгно- мгновенно-поступательной скорости твердого тела. Мгновенно-поступательное движение твердого тела определяет- определяется лишь состоянием скоростей точек тела в данный момент време- времени. В любой Другой момент времени скорости могут уже не удов- удовлетворять условиям мгновенно-поступательного движения твердого тела. Нельзя отождествлять мгновенно-поступательное движение с поступательным движением тела. Это совершенно разные понятия. Рассмотрим другой случай, когда скорости точек твердого тела в данный момент времени удовлетворяют условию v = [ад, Ж], 69
где Л — некоторая фиксированная точка, а М — произвольная точ- точка твердого тела, окорость которой определяется. Если скорости всех точек М твердого тела могут быть определены из этого урав- уравнения, то говорят, что твердое тело совершает в данный момент мгновенно-вращательное движение, а вектор с* являет- является вектором мгновенной угловой скорости вращения твердого тела. Выражения «мгновенно-поступательное движение» и «мгновен- «мгновенно-вращательное движение» обозначают исключительно распреде- распределение скоростей в твердом теле в данный момент времени. Замечание. В случае мгновенно-поступательного движения твердого тела перемещения точек тела совпадают друг с другом по величине и по направлению с точностью лишь до величин первого порядка малости по сравнению с At. 4. Сложение мгновенно-поступательных и мгновенно-враща- мгновенно-вращательных движений твердого тела. В общем случае движение твер- твердого тела является сложным движением. Оно задается движением относительно некоторой системы отсчета, «оторая в свою очередь совершает движение относительно какой-то другой системы отсче- отсчета. Последняя тоже может совершать некоторое относительное движение и т. д. Рассмотрим некоторые конкретные случаи слож- сложного мгновенного движения и распределение скоростей в этих слу- случаях. а) Сложение мгновенно-поступательных движений твердого тела. Предположим, что в рассматриваемый момент времени t твердое тело Т совершает мгновенно-поступательное движение от- относительно системы отсчета Si со скоростью мгновенно-поступа- мгновенно-поступательного движения vr. Пусть, кроме того, система St сама совер- совершает мгновенно-поступательное движение относительно системы 5г с мгновенно-поступательной скоростью Vi; система S2 в свою оче- очередь совершает мгновенно-поступательное движение относительно системы S3 с мгновенно-поступательной скоростью V2 и т. д., и пусть, наконец, система Sk совершает мгновенно-поступательное движение относительно системы 5 с мгновенно-поступательной ско- скоростью vh. Рассмотрим произвольную точку М твердого тела Т. Эта точка участвует в сложном движении. Ее относительная ско- скорость по отношению к системе Si равна по величине и направле- направлению скорости vr. При определении скорости точки М относительно системы 5 заметим, что точка совершает сложное переносное дви- движение. Каждая подвижная система Su S2, S3, ..., Sk совершает мгновенно-поступательное движение, а потому скорость точки М не зависит от ее положения. Относительно системы S2 ее скорость определяется соотношением vr2 = v, -г Vi- Скорость относительно системы S3 находим из равенства v,3 = vr2 + v2 и т. д., 70
а для скорости относительно системы S имеем Vs = Vr,k-\ + Vb или, окончательно, после подстановки значений vr,k-i vs = v, 4- vx + v2 + ... -t- vfc. Теорема. В том случае, когда мгновенное движение твердого тела является результатом нескольких одновременных мгновенно- поступательных движений, результирующее движение тоже являет- является мгновенно-поступательным, причем мгновенно-поступательные скорости складываются как свободные векторы. б) Сложение мгновенных вращений, оси которых пересекают- пересекаются. Рассмотрим мгновенное вращение твердого тела Т относитель- относительно системы Si с мгновенной угловой скоростью о*г. Пусть система Si сама совершает мгновенное вращение с мгновенной угловой ско- скоростью &е относительно некоторой неподвижной системы отсчета 5. Предположим, кроме того, что линии действия векторов ие и с*г пересекаются в некоторой точке О. Рассмотрим скорость произ- произвольной точки М твердого тела Т, совершающей вместе с телом сложное движение. Движение тела Т относительно системы S\ представляет собой мгновенное вращение с мгновенной угловой скоростью <йг, поэтому относительную скорость точки М получим из уравнения Величина и направление переносной скорости точки определяются из условия, что подвижная система отсчета тоже совершает мгно- мгновенное вращение с угловой скоростью (ле относительно системы S. Поэтому переносная скорость точки М будет равна vff = К, ОМ]. На основании теоремы о сложении скоростей теперь будем иметь va = v? + vr = [i»eOM] + К, ОМ] = К + <»г,ОМ] = [fill, т. е. скорость произвольной точки твердого тела определяется фор- формулой v0 =¦ [Й, ОМ]. Как мы уже знаем, такое движение является мгновенным враще- вращением с мгновенной угловой скоростью Q. Вектор результирующей мгновенной угловой скорости й равен геометрической сумме век- векторов относительной и переносной угловых скоростей, т. е. а его линия действия проходит через точку О. Итак, если твердое тело совершает сложное мгновенное движение, состоящее из двух 71
одновременных вращений с угловыми скоростями <аг и <ле, линии действия которых проходят через одну и ту же точку О, то резуль- результирующим движением будет также мгновенное вращение с мгно- мгновенной угловой скоростью Q, которая представляет собой сумму мгновенных угловых скоростей ше и с*г с линией действия, прохо- проходящей через точку О. Отсюда следует, что векторы c*e и с*г можно переносить вдоль их линий действия и складывать по правилу параллелограмма, если их линии действия пересекаются, т. е. ше и <ог векторы сколь- скользящие. Распространяя правило сложения векторов на случай трех и более вращений, получим следующую теорему. Теорема. Если твердое тело Т совершает мгновенное враще- вращение с угловой скоростью е>г относительно системы Sb которая сама вращается с угловой скоростью аи относительно системы S2, систе- система S2 совершает мгновенное вращение относительно системы S3 и т. д., и, наконец, система Sk совершает мгновенное вращение относительно системы S с угловой скоростью «а и если линии дей- действия векторов (йг, (ой ©2, ..., «и пересекаются в одной точке, то ре- результирующее движение твердого тела является мгновенно-враща- мгновенно-вращательным движением с угловой скоростью Я, которая определяется как геометрическая сумма векторов, т. е. Q = W, + <я1 -j- и>2 + • • • ~г wft- В частном случае, когда твердое тело участвует в двух мгно- мгновенных вращениях в противоположных направлениях с одинако- одинаковыми по величине угловыми скоростями, результирующее движение будет соответ- соответствовать состоянию покоя (система будет вращаться в одну сторону, а твердое тело вокруг той же оси — в противоположном направлении). Следствие. Добавление (или отбра- отбрасывание) к системе движений твердого те- тела двух равных мгновенных вращений в противоположных направлениях не изме- измени» т няет мгновенного распределения скоростей в твердом теле. ¦ 4э Рассмотренные свойства мгновенных вращений позволяют установить кинемати- кинематический смысл эквивалентных систем скользящих векторов ©i, oJ,..., ..., (Ой, который соответствует одному и тому же результирующему мгновенному движению твердого тела. в) Пара вращений. Пусть мгновенное движение твердого тела является сложным и состоит из мгновенного вращения подвижной системы координат 5 вокруг неподвижной оси (пусть для опреде- определенности эта ось совпадает с осью z) с мгновенной угловой ско- скоростью с* и мгновенного вращения в этой системе твердого тела 72
вокруг оси, параллельной оси вращения системы S (параллельной оси г), но в направлении, противоположном вращению системы 5 (рис. 45). Предположим, что величина мгновенной угловой скорости вращения твердого тела относительно системы S равна величине мгновенной угловой скорости вращения подвижной системы 5. Такое мгновенное движение можно представить двумя скользя- скользящими векторами с* и ¦—с*, равными по величине, направленными в противоположные стороны и лежащими на параллельных пря- прямых. Определяя скорость произвольной точки М твердого тела по теореме о сложении скоростей V. = V, + Vr и имея в виду, что подвижная система осей совершает мгновенное вращение со скоростью и, переносную скорость точки М определим по формуле Эйлера (рис. 45) ve -= [ю, ОМ). Мгновенное относительное движение тоже является мгновенным вращением, поэтому относительная скорость точки равна vr = [— ы, AM]. Для определения абсолютной скорости получим соотношение v0 = [»,Щ+[—ы,Щ= К бЩ— [», AM] = Нетрудно видеть, что величина и направление скорости произволь- произвольной точки твердого тела, участвующего в таком движении, не зави- зависят от ее положения, а зависят лишь от расположения осей враще- вращения. Скорости всех точек твердого тела оказываются равными по величине и по направлению. Такое движение твердого тела назы- называется мгновенно-поступательным движением. Результат можно сформулировать в следующей теореме. Теорема. Пара мгновенных вращений твердого тела эквива- эквивалентна одному результирующему мгновенно-поступательному дви- движению, скорость которого равна по величине и направлению мо- моменту этой пары. 5. Общий случай сложения мгновенно-поступательных и мгно- мгновенно-вращательных движений твердого тела. Непрерывное дви- движение твердого тела. Рассмотрим сложное мгновенное движение твердого тела, состоящее из мгновенно-поступательных движений со скоростями V\, V2, ..., vh и мгновенно-вращательных движений с угловыми скоростями ом, (д2, ..., c*s (рис. 46). Пусть линии дей- действия векторов и], «2, ..., (ns проходят соответственно через точки Ль А2, ..., As. Теорема. Результирующее мгновенное движение твердого тела, участвующего одновременно в нескольких мгновенно-поступа- 73
тельных и мгновенно-вращательных движениях, сводится к двум простейшим мгновенным движениям: одному мгновенно-поступа- мгновенно-поступательному и одному мгновенно-вращательному движению. Доказательство. Твердое тело участвует в системе мгно- мгновенных движений. Добавим к этой системе движеннй еще два мгно- мгновенных движения, не изменяющих распределения скоростей в твер- твердом теле. Такими движениями являются мгновенные вращения с угловыми скоростями о*] и —(Оь линии действия которых совпа- совпадают и проходят через точку О. Тогда вектор с*] с началом в точ- точке Л] и вектор —©1, проходящий через точку О, образуют пару вращений, эквивалентную одному мгновенно-поступательному дви- движению со скоростью Wl = К^О]. Аналогичные построения проведем с каждым из векторов o*i, ©г, ¦•• ..., (os. Полученная новая система мгновенных движений твердого rfd. Рис. 46 Рис. 47 тела эквивалентна первоначальной системе и состоит из системы мгновенных вращений с угловыми скоростями (Oi, @2, ..., ojs, линии действия которых проходят через начало координат, и системы мгновенно-поступательных движений со скоростями vb V2, ..., v^, w,, w2, ..., ws, причем wv=[<ivV)] (v = 1, 2 s). Как было показано выше, система мгновенно-поступательных дви- движений эквивалентна одному мгновенно-поступательному движению, скорость которого равна геометрической сумме составляющих скоростей мгновенно-поступательных движений V = Vi 'r V2 -I- ... + 3 -f Ws 74
Система мгновенных вращений вокруг пересекающихся осей экви- эквивалентна одному мгновенно-вращательному движению, угловая скорость Q которого равна геометрической сумме угловых скоро- скоростей составляющих мгновенных вращений, причем линия действия вектора Q проходит через точку пересечения линий действия со- составляющих векторов с* у. т. е. Q = й)х + <о2 + ... -г «V Этим доказана теорема о том, что результирующее движение твер- твердого тела сводится к одному мгновенно-поступательному движению со скоростью v и одному мгновенно-вращательному движению с угловой скоростью Я. а) Мгновенно-винтовое движение твердого тела. Теорема. Сложное мгновенное движение твердого тела, со- состоящее из одного мгновенно-поступательного движения со скоро- скоростью v и одного мгновенно-вращательного движения с угловой скоростью Q эквивалентно одному мгновенно-винтовому движению. Доказательство. Рассмотрим мгновенное движение твер- твердого тела, состоящее из мгновенного вращения с угловой скоростью О, линия действия которого проходит через точку О, и мгновенно- поступательного движения со скоростью v (рис. 47). Представим вектор v в виде суммы двух свободных векторов vt и v2, один из которых vi параллелен вектору Q; а второй v2 ортогонален векто- вектору й. В плоскости (я), проходящей через линию действия векто- вектора Q и ортогональной к вектору V2, выберем такую точку Ои отно- относительно которой момент вектора Q по величине совпадает с вели- величиной вектора v2) а по направлению противоположен направлению вектор-а V2. Положение точки О\ определяется из условия [ОД Q]_-v2, или [ОО[, Q] = v2. Умножив векторно это равенство на Q, получим [&ЛОб~1, Q]]=[Q,v2], или 00^-Q (OOlt Q) = [Q, vj = [Q, v]. Если, «роме того, потребовать, чтобы отрезок OOi был ортогона- ортогонален к линии действия вектора й, то равенство можно будет пере- переписать в виде па tQ» vi Q* К рассматриваемой системе мгновенных движений твердого тела добавим два мгновенных вращения с угловыми скоростями Q и 75
—ii, линии действия которых проходят через точку Оь Полученная новая система мгновенных движений твердого тела эквивалентна первоначальной системе мгновенных движений. Но вектор Q, про- проходящий через точку О, и вектор —?2, проходящий через точку О и образуют пару вращений, эквивалентную мгновенно-поступатель- мгновенно-поступательному движению со скоростью w = [Q, Щ] = — \Рдх, Щ-- v2. Результирующее движение состоит из одного мгновенного враще- вращения с угловой скоростью й, линия действия которой проходит че- через точку Оь и системы мгновенно-поступательных движений со скоростями v и w. Два последних мгновенно-поступательных дви- движения эквивалентны одному мгновенно-поступательному движению со скоростью коллинеарной с линией действия вектора Q. Мгновенное движение твердого тела, состоящее из таких мгно- мгновенно-вращательного и мгновенно-поступательного движений, у которых линии действия векторов мгновенно-угловой скорости и мгновенно-поступательной скорости коллинеарны, будем называть мгновенно-винтовым движением. Рассмотренное выше движение является мгновенно-винтовым движением твердого тела. Прямую линию твердого тела, для всех точек которой направление скорости совпадает с направлением мгновенно-угловой скорости твердого тела, будем называть винтовой осью. Отношение скорости поступательного движения тела вдоль винтовой оси к его угловой скорости Н Q называют параметром винта. При р=0 будем иметь только одно мгновенное вращение, при р — оо мгновенно-поступательное движение. Мгновенно-винтовое движение определяет лишь состоя- состояние скоростей в данный момент времени, но не определяет полно- полностью всего непрерывного движения твердого тела. Чтобы полностью определить движение, надо знать характер изменения скорости. Если же твердое тело действительно совершает винтовое движе- иие, так что положение винтовой оси и параметры, определяющие состояние скоростей, не меняются, тогда за время ^=2я/й, т. е. за время одного полного оборота, тело продвинется вдоль винтовой оси на расстояние h = *Л = ^ = 2лр, число h называют шагом винта 76
б) Теорема Эйлера. Рассмотрим самый общий случай движе- движения твердого тела и докажем теорему, принадлежащую Эйлеру, о распределении скоростей в твердом теле при произвольном дви- движении. Теорема. Произвольное мгновенное движение твердого тела в любой момент времени может быть представлено как сумма двух мгновенных движений: одного мгновенно-поступательного и одного мгновенно-вращательного. Доказательство. Будем рас- рассматривать движение твердого тела относительно системы осей Oxyz (рис. 48). С твердым телом свя- свяжем жестко другую систему осей O\XU yu Z\, относительно которой оно не совершает движения. Тогда движе- движение твердого тела будет полностью определяться движением подвижной системы координат O\X{yiZi, Выберем произвольную точку М твердого тела и рассмотрим ее движение относитель- относительно системы осей Oxyz. Координаты точки М в неподвижной системе отсче- отсчета обозначим через х, у, z, а ее коорди- координаты в системе, связанной с твердым телом,— через х\, уи z\. Через xQ, yo, z0 обозначим координаты точ- точки Оь Положение подвижной системы координат определяется положением точки О\ и направляющими косинусами углов между осями подвижной и неподвижной систем координат. Эти направ- направляющие косинусы можно задать таблицей: Рис. 48 II x *1 f/l a P .||v У «X Pi Yi z a2 P2 Y2 Координаты х, у, z точки М связаны с ее координатами xh yu Z\ известными формулами преобразования координат х ^ + рУ1 + yzlt 2 = 20 f агх уй~ Проекции скорости точки на неподвижные оси координат получим, дифференцируя координаты х, у, z по времени, 77
dt dt x dt yi dt 1 dt dt dt dt dt dt v -A-^i+r JO*. 4- и -&- -4- 2 -^i- z ~ dt ~ dt +Xl dt + У1 dt f 2l dt Чтобы придать формулам более симметричный вид, рассмотрим сначала проекции вектора абсолютной скорости точки М на по- подвижные оси Х\, tjy Z\. Эти проекции найдем из уравнений + vzaiy vyi = vx$ + vy^x -f- ozp2, которые приводят к следующей формуле: dxo а JM±_ а i J?±_ (, \ .l v (~ da dt dt г dt 1 \ dtdt*dt}x\ dt г dt a dt ) Аналогичным образом можно вывести формулы для vVl и vZt, Дифференцируя тождественное соотношение, связывающее на- направляющие косинусы a, ai и аг получим + ai + a2 dt x dt 2 dt Рассмотрим далее косинусы углов между подвижными осями коор- координат cos (ylt Zj) = pY + P1Y1 + P2Y2 = 0, cos B1, x-i) = \a -r YA + Y2a2 ^ 0, cos (xlt t/i) = ap -+- ctj^Px -\- CI2P2 ^ ^- Дифференцируя эти соотношения по времени, приходим к следую- следующему результату: Y-#-+Yi~t-'fY2- dt «^ + «1^ + «2 dt ° dt Pda . а aux dt ' rl dt " dt 78
Проекции скорости точки М на оси хи уь z^ запишутся в виде (Последние два равенства легко получаются из первого цикличе- циклической перестановкой индексов.) Введем единичные векторы еь ег, е3, направленные соответственно по осям хь г/ь zb Тогда вектор v скорости точки М можно представить как сумму трех векторов v = -f vZle Zle3. Пусть вектор v0 = и° ех -j- хР е3 + и° е^ представляет скорость точки Ог относительно системы Одгг/2. Если, кроме того, ввести вектор о> с проекциями на подвижные оси plt qt, rt и вектор г с проекциями xi> #i' zi> T0 сумму векторов ei (?izi — hVi) + Ч (Vi — РА) + можно будет представить в виде определителя Pi Ух zi - [w, г], и окончательно скорость точки М определится формулой v = v0 + [w, г], которая называется формулой Эйлера. Формула показывает, что скорость произвольной точки твердого тела складывается из скоростей начала подвижной системы координат (общей для всех точек твердого тела) и скорости, определяемой векторным произве- произведением [с*, г]. Последняя формула соответствует случаю мгновенно- вращательного движения твердого тела, причем вектор с* представ- представляет мгновенную угловую скорость вращения твердого тела отно- относительно системы осей, совершающей поступательное движение вместе с точкой Оь В результате в самом общем случае мгновен- мгновенное движение твердого тела сводится к одному мгновенно-посту- мгновенно-поступательному движению со скоростью произвольной точки Оь неиз- неизменно связанной с твердым телом (ее иногда называют полю- полюсом), и одному мгновенному вращательному движению с угловой скоростью и, вектор которой проходит через точку Оь Этим и до- доказана теорема Эйлера. Замечание. Скорость произвольной точки твердого тела, определяемую формулой Эйлера, можно рассматривать как ско- скорость движения материальной точки в сложном движении в соот- соответствии с теоремой о сложении скоростей. При этом опно m pac- 79
смотренных мгновенных движений твердого тела будет являться переносным, а другое — относительным, и в каждый момент мгно- мгновенное движение твердого тела можно представить как мгновенно- вращательное движение с угловой скоростью ю относительно систе- системы осей OiX2, 1/2, 22, движущейся поступательно со скоростью точ- точки О]. В некоторых случаях удобнее представлять мгновенное движение как мгновенное вращение подвижной системы осей, отно- относительно которой твердое тело совершает мгновенно-поступатель- мгновенно-поступательное движение. в) Уравнение винтовой оси. Аксоиды. Непрерывное движение твердого тела. Из теоремы Эйлера следует, что произвольное мгновенное движение твердого тела всегда может быть сведено к одному мгновенно-винтовому движению. Рассмотрим самый общий случай мгновенного движения твер- твердого тела, эквивалентного мгновенно-поступательному движению со скоростью v и мгновенно-вращательному движению с угловой скоростью со. Такое мгновенное движение сводится к мгновенно- винтовому движению, в котором скорости v, точек твердого тела, лежащих на винтовой оси, параллельны вектору мгновенной угло- угловой скорости to (рис. 49). Условие параллельности векторов vt и ю, записанное через проекции на оси хи уи zu неизменно связанные с твердым телом, получает вид Pi 9i 'л. Если обозначить координаты точек винтовой оси в подвижной си- системе через %\, у\, гь то по формуле Эйлера найдем Подставляя эти значения в условие параллельности векторов, имеем v°x. + <7А — Г& v° + гЛ - p1z1 v°t + p^i — ял _ = ^а^ Pi <7i ri Полученное уравнение определяет координаты точек твердого тела, расположенных на винтовой оси, относительно системы OyXiyiZi, связанной с твердым телом. Можно найти уравнение винтовой оси и в системе неподвиж- неподвижных осей Oxyz. Обозначим через р, q, r проекции вектора ю на не- неподвижные оси х, у, z. Проекции скорости точки О2, находящейся на винтовой оси, на оси х, у, z определим из формулы Эйлера v = v0 + [w. г], 80
где вектор г имеет проекции на неподвижные оси {х—хо, у—у г—z0}. Тогда для проекций скорости получим vx = v°x -f q (z — z0) — r (y — (/„), vy = vy + r (x — xo* — P B— 2o). ^ = v°z + P (У — Уо) — Я (x — x0), а уравнение винтовой оси в неподвижной системе координат Охуг приобретает вид + д{г — г0) — г (у ~ (х — х0) — р (г — z0) У о) — Я(х — х0) (Ь) Рис. 49 Уравнения (а) и (Ь) определяют одну и ту же прямую ли- линию— винтовую ось. Но при движении твердого тела мгновенное распределение скоростей непрерывно меняется со временем. При этом изменяются величины v0 и <а. При непрерывном изменении коэффициентов уравнения (а) и (Ь) в каждый следующий момент будут вообще определять уже другую прямую. Геометрическое ме- место мгновенных винтовых осей в неподвижном пространстве Охуг называют неподвижным аксоидом, а геометрическое место мгновенных винтовых осей, определенных относительно системы отсчета Q\X\y\Z\, — подвижным аксоидом. Эти геометриче- геометрические места (аксоиды) представляют собой линейчатые поверхно- поверхности, имеющие в каждый момент по меньшей мере одну общую прямую — мгновенную винтовую ось. Покажем, что подвижный и неподвижный аксоиды имеют об- общую соприкасающуюся плоскость, проходящую через мгновенную 81
винтовую ось. В самом деле, пусть неподвижный аксоид X и По- Подвижный аксоид Si имеют общую винтовую ось А (рис. 50). Рас- Рассмотрим движение некоторой точки М, остающейся все время на винтовой оси. Пусть S — траектория этой точки на неподвижном аксоиде X и Si — траектория точки М на подвижном аксоиде 2Х. Абсолютная скорость va точки М направлена по касательной к абсолютной траектории точки М. Относительная скорость vr на- направлена по касательной к относительной траектории точки. Пере- Переносная скорость — это скорость точки подвижного аксоида, совпа- совпадающей в данный момент с точкой М. Но эта точка лежит на винтовой оси, а потому и переносная скорость \е направлена вдоль винтовой оси. Касательная плоскость к неподвижному аксоиду бу- будет определяться векторами va и ve, а касательная плоскость к подвижному аксоиду — векторами vr я ve. Но по теореме о сложе- сложении скоростей имеем ve = ve -j- vr, т. е. вектор va лежит в касательной плоскости к подвижному аксо- аду, а следовательно, касательные плоскости совпадают. Непрерыв- ,ное движение твердого тела можно теперь представить как каче- качение подвижного аксоида Si по неподвижному аксоиду Б с про- проскальзыванием вдоль мгновенной винтовой оси. 6. Мгновенное движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Мгновенное движение твердого тела, у которого закреп- закреплена одна точка, представляет собой частный- случай общего мгно- мгновенно-винтового движения твердого тела. Но в общем случае мгновенно-винтового движения все точки тела, расположенные на мгновенной винтовой оси, имеют наименьшую скорость. У твердого тела с одной закрепленной точкой наименьшую скорость, равную нулю, имеет сама закрепленная точка. Поэтому в рассматриваемом случае винтовая ось должна проходить через неподвижную точку О, а точки тела, расположенные на винтовой оси, будут иметь скоро- скорости, равные нулю. Тогда скорость произвольной точки тела будет определяться по формуле v = [о>, г], и распределение скоростей будет таким же, как и при вращении вокруг мгновенной оси. Параметр винта V здесь обращается в нуль, а мгновенная винтовая ось становится мгновенной осью вращения. В каждый момент мгновен- мгновенная ось вращения проходит через неподвижную точку, а аксоиды представляют собой конические поверхности (рис. 51). Пример 16. По неподвижному круговому конусу с углом при вершине 2 а катится без скольжения другой круговой конус с углом при вершине 2 f, 82
так, что ось симметрии последнего вращается вокруг оси симметрии неподвиж- неподвижного конуса с угловой скоростью <о\. Определить абсолютную угловую скорость вращения подвижного конуса и аксоиды (рис. 52). Рис. 51 Рис. 52 Решение. Подвижный конус катится по неподвижному без проскальзы- проскальзывания, поэтому точки подвижного конуса, расположенные на общей образую- образующей, имеют нулевые скорости. Следовательно, мгновенная ось вращения проходит по общей образующей двух конусов. Мгновенная ось вращения перемещается как по поверхности неподвижного, так и по поверхности подвиж- подвижного коиуса, и аксоидами являются поверхно- поверхности конусов. Движение подвижного конуса можно представить как сложное, состоящее из вращения подвижной системы вокруг оси сим- симметрии неподвижного конуса с переносной угловой скоростью cae=u>i и относительного вращения подвижного конуса вокруг своей оси симметрии в подвижной системе координат. Зная направления абсолютной и относительной угловых скоростей подвижного конуса и ве- величину и направление переносной угловой ско- скорости подвижной системы, легко определить величину и направление абсолютной угловой скорости вращения конуса, треугольника скоростей (рис. 53) имеем Рнс. 53 <оа sin [180°— (а sinp ' откуда <Ba = ¦ sin (a + Пример 17. Горизонтальные колеса I и II дифференциального механизма вращаются вокруг одной и той же вертикальной оси АВ го скоростями <Oi и йJ.
Определить мгновенную угловую скорость планетарного колеса III, ось которого может свободно вращаться вокруг оси АВ (рис. 54). Решение. Абсолютное мгновенное движение колеса III можно предста- представить как результат сложения переносного движения вместе с колесом I и отно- относительного движения колеса III по отношению к колесу I. Тогда переносная В Ш А й Рис 54 Рис. 55 угловая скорость колеса III будет представляться скользящим вектором coi (рнс. 55). В относительном движении мгновенная ось вращения Д] колеса III проходит через точку соприкосновения колес III н I и через точку О пересече- пересечения осей колес Ш н I. Начало скользящего вектора он перенесем в точку О. Тогда конец вектора абсолютной угловой скорости колеса III будет лежать на прямой Si, параллельной Д[ и проходящей через конец вектора соь Представляя теперь движение колеса III как результат сложения перенос- переносного движения (вместе с колесом II) н относительного движения колеса III по отношению к колесу II, аналогичным образом получим, что конец вектора абсолютной угловой скорости колеса III лежит на прямой б2, параллельной Дг, проходящей через конец вектора ш2 Тогда величина вектора абсолютной угловой скорости колеса III определится геометрически из чертежа Г,1„ \ 2 — co2 \2 где R и г соответственно радиусы колес I и III. 7. Плоскопараллельное движение твердого тела. Плоскопарал- лельиым называют такое движение твердого тела, при котором
скоррсти всех его точек параллельны некоторой неподвижной пло- плоскости (л). Сечение твердого тела плоскостью (л) (или плоско- плоскостью, ей параллельной) представляет собой плоскую фигуру, неиз- неизменно связанную с твердым телом. Как мы уже видели, три точки твердого тела, не лежащие на одной прямой, однозначно опреде- определяют положение твердого тела. Поэтому движение плоского сече- сечения должно полностью определять и движение самого твердого тела. В общем случае мгновенно-винтового движения твердого тела скорости точек твердого тела складываются из скорости движения вдоль винтовой оси и скорости от вращения вокруг мгновенной винтовой оси. При этом скорости точек твердого тела не располо- расположены в одной плоскости. Они лежат в касательных плоскостях к поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого совпадает с мгновенной винтовой осью (рис. 56). Скорости всех точек твер- твердого тела будут параллельны одной плоскости лишь в тех случаях, когда мгновенное движение либо поступа- поступательное, либо вращательное. В пер- первом случае мгновенная винтовая ось параллельна плоскости (я), во втором — ортогональна к плоско- плоскости (я). О), "/ a Рис. 56 Рис. 57 Заметим, что мгновенно-поступательное движение можно рас- рассматривать как предельный случай мгновенно-вращательного дви- движения. В самом деле, произвольное мгновенно-вращательное дви- движение твердого тела с угловой скоростью п всегда можно пред- представить как сложение двух мгновенных вращений вокруг парал- параллельных осей со скоростями ©i и ш (рис. 57), удовлетворяющими условиям о) >г = 2, = a -f Мгновенно-поступательному движению будет соответствовать пре- предельный случай двух вращений, когда величина угловой скорости 85
<о неограниченно приближается к величине угловой скорости Расстояние до мгновенной оси вращения 01) = а>1 — ш в этом случае стремится к бесконечности, а величина мгновенной угловой скорости Q стремится к нулю. Таким образом, мгновенно- поступательное движение представляет собой предельный случай мгновенного вращения, когда величина мгновенной угловой скоро- скорости стремится к нулю, а мгновенная ось вращения уходит в беско- бесконечность. Рис. 58 Рнс. 59 Мгновенное плоскопараллельное движение твердого тела всег- всегда можно привести к одному мгновенному вращению, мгновенная ось вращения которого ортогональна к плоскости (л), параллель- параллельной скоростям точек твердого тела. При непрерывном движении твердого тела направления скоро- скоростей его точек все время остаются параллельными одной и той же неподвижной плоскости (я). В каждый момент движение представ- представляет собой вращение мгновенной оси, ортогональной к плоскости (л), а аксоиды в плоскопараллельном движении представляют со- собой цилиндрические поверхности, образующие которых ортогональ- ортогональны к плоскости (я) (рис. 58). Аксоиды пересекаются с плоскостью (л) по двум кривым, называемым центроидами (полодия- (полодиями), а точка пересечения мгновенной оси вращения с плоскостью (л) называется мгновенным центром вращения. Непре- Непрерывное движение твердого тела в плоскопараллельном движении можно представить как качение без скольжения подвижной цен- центроиды по неподвижной. В самом деле, если выбрать неподвижную систему осей так, чтобы плоскость Оху совпадала бы с плоскостью (я), а ось г была бы ортогональна к плоскости (л), то, обозначив координаты мгновенного центра вращения через С(х0, у0, 0) и ко- координаты произвольной точки М твердого тела через (х, у, z) (рис. 59), из формулы Эйлера 86
v = [о>, г] определим проекции скорости точки М. При помощи матрицы О 0 со — х0 у — у0 z — находим Чг = — «> (У — Уо)> vu = fa О — «о), v, = 0. Из этих формул видно, что скорость точки не зависит от коорди- координаты г и все точки твердого тела, лежащие на прямой, ортогональ- ортогональной к плоскости (л), имеют одни и те же скорости. Следовательно, мгновенное движение твердого тела полностью определяется дви- У Рис. 60 Рис. 61 жением точек плоской фигуры, т. е. качением без скольжения подвижной центроиды по неподвижной. Точка твердого тела, совпа- совпадающая в данный момент с мгновенным центром вращения, имеет скорость, равную нулю. Если положение мгновенного центра вращения известно, то скорость произвольной точки твердого тела, лежащей в плоскости (jt), ортогональна к прямой, соединяющей эту точку с мгновенным центром вращения (рис. 60). Вектор скорости точки М направлен по касательной к ее траектории, которую называют рулеттой точки. Зная рулетты двух точек М и Mi твердого тела, можно определить геометрическое место мгновенных центров вращения твердого тела (центроиды), которые лежат на пересечении норма- нормалей к рулеттам (если только эти нормали не совпадают). Пример 18. Палочка АВ скользит концами по сторонам прямого угла хОу. Найти центроиды (рис. 61). Решение. Точка А скользит по оси х, а точка В — по оси у. Эти осн являются рулеттами точек А и В. Мгновенный центр вращения S лежит на пере- пересечении перпендикуляров к осям х и у. Фигура OBSA — прямоугольник. Отсюда следует, что расстояние точки S от неподвижной точки О остается постоянным 87
и равно длине палочки, т. е. геометрическое место мгновенных центров враще- вращения в неподвижном пространстве есть окружность. Диагонали в прямоугольнике делятся пополам, поэтому расстояние точки S от середины палочки тоже равно половине длины последней, а геометрическое место мгновенных центров враще- вращения относительно палочки (подвижная центроида) есть окружность с центром в середине палочки и радиусом, равным половине ее длины. Пример 19. Палочка АВ длиной / движется в неподвижной плоскости так, что всегда проходит через точку М непо- неподвижной окружности радиуса r^//2, a конец палочки скользит по внутренней стороне этой окружности. Найти траекто- траектории точек палочки, а также центроиды ее ? движения (рис. 62). Решение. Обозначим через а рас- расстояние точки С от конца палочкн Л, тогда расстояние МС = р будет р = 2r cos <р — а. Такая кривая называется улиткой Паска- Паскаля. Чтобы определить положение мгновен- мгновенного центра вращения, найдем рулетты Рис. 62 двух точек палочки А и М. Рулетга точки А — окружность, и, следовательно, мгно- мгновенный центр вращения лежит на прямой АО, проходящей через центр окружности. Рулетта точки М — улитка Паскаля p=2r(coscp—coscpo). Касательная к рулетте в точке М направлена вдоль скоро- скорости точки М палочки. Направление же скорости точки М найдем, рассматривая движение неподвижной точки М (острия) в системе координат, связанной с па- палочкой. Абсолютная скорость точки М острия равна нулю. В системе, связанной с палочкой, точка М острия скользит по палочке, и, следовательно, относитель- относительная скорость направлена вдоль палочки. Переносная скорость точки М острия— это скорость точки М палочки. Из теоремы о сложении скоростей имеем откуда следует, что переносная скорость тоже направлена вдоль палочки. Итак, мгновенный центр вращения палочки расположен на прямой, ортогональной к палочке и проходящей через точку М. Мгновенный центр вращения S нахо- находится в точке пересечения прямых АО и MS. Прямой угол AMS всегда опи- опирается на диаметр окружности, на которой лежат точки А и S. Поэтому точка S также лежит на окружности с центром в точке О. Для определения центроид, заметим, что при изменении положения палочки точка 5 всегда остается на окружности, центр которой находится в точке О, а радиус равен г. Эта окруж- окружность и будет неподвижной центроидой. Расстояние точки 5 от точки А палочки не изменяется и всегда равно 2 г, поэтому подвижной цеитроидой будет окруж- окружность радиуса 2 г с центром в точке А. Пример 20. Стержень ОВ вращается в неподвижной плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью шь Со стержнем ОВ шарнирно соеди- соединен второй стержень ВА, который также вращается в той же плоскости вокруг точки В, причем угол ср между стержнями АВ и ОВ изменяется по закону ср = = 0J^. Определить центроиды стержня ВА (рис. 63). Решение. Рулеттой точки В является окружность с центром в точке О, так что мгновенный центр вращения стержня ВА лежит на нормали к рулетте, т. е. на прямой ОВ. Стержень ВА участвует в двух вращениях вокруг парал- параллельных осей, причем векторы угловых скоростей Ш] н и>2 направлены в одну и ту же сторону (рис. 64). В этом случае результирующее движение также мгновенное вращение, причем величина угловой скорости результирующего вра- вращения (Й = (Й! -f- OJ. 88
Вектор ш направлен в ту же сторону, что и векторы cot и <в2, а положение линии действия определяется из уравнений откуда х = dJ Рис. 63 ш Рис. 64 В Расстояние мгновенного центра вращения от точки О А' = j + <В2 не изменяется, если остаются неизменными величины cui и шг. В этом случае неподвижной центроидой является окружность радиуса х с центром в точке О. Расстояние мгновенного центра вращения от точки В палочки АВ равно со, а и также остается постоянным, если не изменяются u)i и шг. Подвижной центро- центроидой является окружность с центром в точке В и радиусом у. Непрерывное движение палочки АВ можно представить как качение без скольжения подвиж- подвижной окружности по неподвижной. § 3. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ 1. Теорема Кориолиса. Между ускорениями точки в подвиж- подвижной и неподвижной системах отсчета существует более сложная зависимость, чем между скоростями. Эта зависимость впервые бы- была установлена французским механиком Г. Кориолисом A792— 1843) при аналитическом изучении движения материальной точки. Чтобы выяснить эту зависимость, рассмотрим движение матери- материальной точки М в подвижной системе OxXiyiZu которая в свою оче- очередь совершает некоторое движение относительно неподвижной си- системы отсчета Oxyz (например, материальная точка перемещается по твердому телу, которое само движется относительно неподвиж- неподвижной системы координат). 89
Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение материаль- материальной точки равно геометрической сумме ускорений: относительного, переносного и добавочного К Доказательство. Обозначим через х, у, z координаты точки М относительно неподвижной системы отсчета, через Х\, Уи %\ — ее координаты относительно подвижной системы отсче- отсчета. Формулы преобразования устанавливают зависимость между координатами точки в подвижной и неподвижной системах: х = хь + а*! + Рг/Х -|- yzv У = Уо + аЛ + Pif/i + YA, (a) где a, p, y — направляющие косинусы углов между осями подвиж- подвижной и неподвижной систем координат, заданные таблицей 1Ь X У а •\- Уг Р Pi Рз Ч Y Yi Y2 Формулы преобразования (а) справедливы для любого момента времени. Дифференцируя их по времени, получим dx dl dt dt dt dy __ dy0 , da! dt dt dt dz _ dzn , day ~dT dt """ dt где выражение dt dt dt dt r dt ¦f"+Pi-^-+Vi dt Л dt dt dt (b) dt ' dt dt dt dt представляет собой проекцию переносной скорости точки на ось х, а выражение а —Ш- + р —— -+• у -^- — проекцию относительной dt dt dt скорости точки на ось х. Аналогичные соотношения получаем и для других осей. 1 Добавочное ускорение еще называют поворотным, или к о р и о л и- с о в ы м ускорением. 90
Дифференцируя еще раз равенства (Ь), получим dt2 dt* df- dt* * dt* г dt* dt% _l у d2Zl + 2 \ dt dt dt dt dt dt d*y tPyQ d4 , d»pt d*yi d*x, <РУ1 , dt* dt3 dt* x dt* dt* x dt* " dp dt dt x1 . dp2 dyi . dy2 dzx n—г " "" у 2 f ™ dt2 ' \ dt dt dt dt ' dt dt Переносным ускорением точ.ки назовем ускорение той точки подвижной системы координат, которая совпадает в дан- данный момент с движущейся материальной точкой М. Проекции пере- переносного ускорения ]е на неподвижные оси координат найдем, поло- положив в формулах (с) координаты х\, у\, zx постоянными величина- величинами. Тогда для проекций переносного ускорения будем иметь выра- выражения d?xn , d4 lex - dt* ' dt2 . _ <Pyt 1'b Положение точки в подвижной системе координат определяет- определяется ее координатами х\, У\, zu и вектор относительного ускорения \г точки будет иметь проекции на оси хи у\, ги равные вторым про- производным от координат хи уи zx по времени d2xi/dt2, cPyJdt2, d2Zi/dt2. Проекции вектора относительного ускорения на неподвиж- неподвижные оси координат получим непосредственно из формул преобра- преобразования ~dF + Yl IF- d*ttl d4, 91
Рассмотрим еще вектор j' с проекциями п I da dx1 . dp dyl , ]* = z ~~r. г 1 7 7. г . 2{da1_J^1_ dt dt ' dt dt dt dt с / da, dx, . d&« dy, , J" ¦>- dt dt dt dt dt dt который будем называть вектором добавочного, или пово- поворотного, ускорения точки (ускорения Кориолиса). Проекции вектора абсолютного ускорения точки на неподвижные оси коорди- координат можно теперь представить в виде суммы трех членов: Lx = Зех + !rx + j'x> lay ~ ley i Irg i lyi !az = lez + hz + j'f Откуда сразу же получим векторную формулу Ja^ie+ir + j'. т. е. абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме пере- переносного, относительного и добавочного ускорений. Выясняя механический смысл добавочного ускорения, заметим следующие его свойства: 1. Добавочное ускорение обращается в нуль, если подвижная система координат не вращается, а движется поступательно, по- поскольку в этом случае обращаются в нуль производные от направ- направляющих косинусов подвижной системы осей. 2. Добавочное ускорение обращается в нуль, если равна нулю скорость относительного движения материальной точки. Рассмотрим проекции вектора добавочного ускорения на по- подвижные оси координат 4 = /> + Vх! А' /»°*. 4 = /;р + /;pi + га, i'zt = /Л + /JYi + №¦ Подставляя сюда значения проекций j'x, f, ]'г, получим г. Г dx, ! da , dai . da* \ ix* [dt\dt1dt*dt dt г dt % dt d< \ dt dt " dt 92
at у a ¦ " dt ' •• dt v4 + Vi^ + Y,f (i< at dt Вводя обозначения * ' " Я Y2 di Дифференцируя теперь тождественные соотношения а« + о? + а*=1. р^+р2+р2=1) Y2 + Y2 + Y2=1; PY + [PiYi + PaYa = 0. Y« + YA + Y2a3 = 0, ар + а^ + а#2 = О, найдем da . da, , da* n dt ^ dt г dt p Jt 4. p A + p2 .*_ = 0, H rf< ^X dt F2 d/. полученные формулы для проекций добавочного ускорения перепи- перепишем в виде 4 = 2 [ft*; —/чу;], 93
¦что можно представить одной векторной формулой Г =2[», vr], где to — вектор мгновенной угловой скорости вращения подвижной системы координат, имеющий проекции на подвижные оси коорди- координат ри qb rx. Сопоставляя полученную формулу с формулой Эйлера V = [«>, Г] .для определения скоростей точек твердого тела в случае мгновен- мгновенного вращения последнего, заметим, что вектор добавочного уско- ускорения направлен в сторону вращения (вместе с системой коорди- координат) конца вектора относительной скорости точки (рис. 65). Рис. 65 Рис. 66 Пример 21. Палочка АВ скользит своими концами по неподвижным вер- вертикальной и горизонтальной прямым так, что конец А движется с постоянной скоростью и. По палочке движется точка М с постоянной относительной ско- скоростью v. Определить абсолютные скорость и ускорение точки М (рис. 66). Решение. Мгновенный центр вращения палочки находится в точке О] с координатами х = 2а sin ф, у = 2а cos <p, где 2 а — длина палочки, а ср — угол между палочкой и вертикальной прямой Обозначая через s расстояние точки М от конца А палочки, для координат точ- точки М получим значения x=ssincp, у = Bа — s)cos<p. (a) Проекции переносной скорости точки М на неподвижные оси координат получим, рассматривая движение точки М палочки. Эти проекции можно вычислить по формулам Эйлера, рассматривая мгновенное вращение палочки вокруг точки Оь Эти же проекции можно найти непосредственным дифференцированием уравне- уравнений (а), предполагая постоянной величину s хе = sip' cos ф, уе — — Bа — s) ф' sin ф. (Ь)
Для определения величины ср' рассмотрим скорость точки А: — и = — 2аф' sin ф, откуда Ф = 2a sin ф Тогда для проекций переносной скорости на оси х, у будем иметь us , Bа — s) Проекции относительной скорости точки получим, рассматривая движение точки по палочке хг = s' sin ф = v sin ф, у'г = — s' cos ф = — v cos ф. Воспользовавшись теоремой о сложении скоростей, найдем проекции абсолют- абсолютной скорости Bа - s) -а 2а т т *° 2а Ускорение точки определим при помощи теоремы Кориолиса. При этом пе- переносное ускорение получим дифференцированием уравнений (с) в предположе- предположении, что s=const: Если точка движется по палочке с постоянной скоростью v, то относительное ускорение равно нулю, а проекции добавочного ускорения точки получим и* матрицы О 0 ш откуда jx = — 2ayr = 2av cos'tp, j'y = 2(?>x'r ¦- 2cof sin ф. По теореме Кориолиса проекции абсолютного ускорения будут теперь равны lax = — . - . , h 2fi№ cos ф, 4а2 sin3 ф jay~= 2wysin ф, или, после подстановки значения а>, u2s uv +t ' Направления переносного и добавочного ускорений легко определить геометри- геометрически (рис. 67). 95
Пример 22. Палочка вращается в плоскости чертежа вокруг неподвиж- неподвижной точки О, причем угол, который она образует с неподвижной прямой, меняет- меняется по произвольно заданному закону ср = ф>(<). Вдоль палочки скользит ползунок по заданному закону r=r(t). Определить ускорение ползунка в зависимости от его поло- положения (рис. 68). Решение. Применим теорему Кориоли- са. В переносном движении точка движется по окружности, поэтому переносное ускорение может быть задано касательной и нормальной составляющими Относительное движение точки прямолинейное, а относительное ускорение точки направлено вдоль палочки Рис. 67 Добавочное ускорение ;'=2Ф7' •будет направлено ортогонально к палочке в сторону ее вращения, если прини- принимать положительную относительную скорость направленной вдоль палочки от Рис 68 Рнс. 69 точки О. Проектируя ускорение на направление палочки и на ортогональное к ней направление, получим радиальную и трансверсальную составляющие уско- ускорения у = т" — Ф'*г, /ф = ф"г + 2Ф7'. 2. Замечание о дифференцировании единичного вектора. Свя- Свяжем с движущимся твердым телом систему подвижных осей О\Х\ухгх и рассмотрим единичный вектор еь направленный все вре- время вдоль оси xi (рис. 69). Производная от вектора е{, взятая в си- системе Oxyz, 96
dt д<-»о определяет скорость движения конца вектора этом изменяется только направление вектора дем при помощи формулы Эйлера г = К eil- t по годографу. При ^ Эту скорость най- найdt Точно так же определяются и производ- производные от единичных векторов е2 и е3, на- направленных соответственно вдоль осей у И Z. 3. Векторный вывод теоремы Корио- лиса. Рассмотрим движение материаль- материальной точки М, положение которой отно- относительно неподвижной системы коорди- координат Oxyz задается радиус-вектором R. Положение точки М относительно другой системы осей OiXiy,zlt движущейся отно- относительно системы Oxyz, определим ради- радиус-вектором г. Пусть, кроме того, Ro ¦— радиус-вектор начала подвижной систе- системы координат (рис. 70). Векторы R, г, Ro связаны между собой геометрическим соотношением R = Ro + г, Рис. 70 (а) сохраняющимся в каждый момент времени. Скорость точки М от- относительно системы Oxyz определим, дифференцируя радиус-век- радиус-вектор R по времени dt dt — dt (b) где производные как правой, так и левой части берутся в одной и той же системе координат Oxyz. Радиус-вектор г, определяющий положение точки М в системе O\X\y\Zu можно представить в виде суммы трех векторов: Тогда производная от вектора г в системе Oxyz получит вид dr = dx1 e + dyx e _j_ dz1 e _|_ x det , 4t dea , „ dt dt dt dt dt dt dt где производные dxjdt, dyjdt, dz\jdt являются проекциями отно- относительной скорости точки М на оси подвижной системы, а произ- производные dejdt, de2/dt, de^/dt определяются по формулам Эйлера Е Н Березкин 97
rie, _ г dt dt dt Поэтому для производной dr/dt будем иметь -jJL = vr + хг [ее, ех] + у1 [ю, е2] + zx [to, es] = = vr + [w, ^ej + [о>, t/xe2] + [о>, гхе,] = — vr + [w, ^ex + yxe2 + гхе,] = v, + [o>, r], где Обозначим через ve скорость начала подвижной системы координат, так что dt °' тогда формулу (Ь) можно будет переписать в виде v0 = vo + К Г1 4 vr. (с) Обращаясь к теореме о сложении скоростей, получим выражение для переносной скорости точки: v, = v0 + К rj. Вектор ускорения точки М получается в результате дифферен- дифференцирования вектора ее скорости vo в системе Oxyz. Из равенства (с) находим а dt dt l dt где первый член правой части dvo/dt представляет ускорение нача- начала подвижной системы координат Дифференцирование векторного произведения дает d г т — [.,rl= = [—-, г] +kvr+Kr]]= Наконец, дифференцирование вектора относительной скорости дает dt dt \ dt x dt 98
-+. di dt Величины cPxJdt2, d^yjdt2, d2zx\dt2 представляют собой проекции относительного ускорения точки М на оси подвижной системы ко- координат. Таким образом, вектор jr относительного ускорения точ- точки М будет иметь вид ir~ № 6l+ а» а+ л» 3" Для производной от вектора относительной скорости получим вы- выражение Окончательно равенство (d) приобретает теперь вид J« = Jo + [-~' г] +1». I». «"И + 2 [«о, vr] + jr. Переносное ускорение точки найдем, полагая, что точка не совершает движения относительно подвижной системы координат. В этом случае относительная скорость и относительное ускорение равны нулю, а потому будем иметь ^. г]+1ю, К г]]. Обозначая через /' [векторное произведение j' = 21», v,I. приходим к теореме Кориолиса Замечание. Добавочное ускорение получается как за счет дифференцирования вектора относительной скорости в неподвиж- неподвижной системе координат, так и за счет дифференцирования вектора переносной скорости в той же неподвижной системе координат. 4. Теорема Ривальса. Для выяснения кинематического смысла переносного ускорения рассмотрим движение твердого тела отно- относительно неподвижной системы координат Oxyz. Подвижную си- 4* 99
стему O\X\t)\Z\ неизменно свяжем с твердым телом. В этом случае точки твердого тела не будут совершать никакого относительного движения относительно подвижной системы координат, относитель- относительная скорость и относительное ускорение этих точек будут равны нулю, и формула установленная Ривальсом, будет определять абсолютные ускоре- ускорения точек твердого тела. Здесь j0 — ускорение начала подвижной системы координат (ускорение полюса), a da/dt— угловое ускоре- ускорение тела. Вектор JB0 do) dt Рис. 71 будем называть вращательным ускорением точек твердого тела. Этот вектор направлен ортогонально к плоскости, проходящей через векторы do/dt и г, а его величина равна произве- произведению модуля вектора dto/dt на расстоя- расстояние точки М до линии действия вектора dta/dt (рис. 71), т. е. h. dt Определенное так вращательное ускорение точек твердого тела может быть представлено теперь как касательное ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг оси, совпадающей с линией действия вектора do>/dt. Вектор Joc = K К г]] называют осестремительным ускорением точек твер- твердого тела. Нетрудно видеть, что вектор j00 не изменяет своих вели- величины и направления, если переносить вектор ш вдоль его линии действия, т. е. если перенести начало вектора ю в точку, являю- являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на ли- линию действия вектора <а, то будет иметь место равенство [о>, [о>, г]] == [о>, [т, г2]. Раскрывая двойное векторное произведение, получим [о>, К г]] = [о>, [о>, гЛ] = о) («о, гх) — IV*J = — rlftJ, или 100
откуда видно, что вектор осестремительного ускорения направлен по Г/ к линии действия вектора со, а его величина равна произве- произведению квадрата угловой скорости вращения твердого тела на рас- расстояние /i2 точки М от линии действия вектора ю. Это ускорение определяется так, как будто твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью са вокруг неподвижной оси, совпадающей с ли- линией действия вектора о. Отсюда получаем теорему. Теорема Ривальса. Ускорение произвольной точки твер- твердого тела складывается из ускорения полюса, вращательного и осе- осестремительного ускорений. Пример 23. Конус II с углом при вершине 20 катится без скольжения по внешней стороне неподвижного конуса I с углом при вершине 2а, причем Рис. 72 Рис. 73 ось симметрии подвижного конуса вращается вокруг оси симметрии неподвиж- неподвижного конуса с постоянной угловой скоростью Ио. Определить абсолютное ускоре- ускорение верхней точки М основания подвижного конуса, полагая, что радиус это* о основания равен г (рис. 72). Решение. Выберем в качестве полюса вершину конуса, остающуюся не- неподвижной во все время движения. Будем иметь (рис. 73) jo —0, а ускорение точки М будет складываться из осестремительного и вращательного. Для опре- определения этих составляющих ускорения прежде всего найдем величину и направ- направление вектора мгновенной угловой скорости вращения подвижного конуса Не- Нетрудно видеть, что общая образующая двух упомянутых конусов является мгно- мгновенной осью вращения подвижного конуса, поскольку точки подвижного конуса, лежащие на этой оси, имеют равные нулю скорости. Подвижный конус участ- участвует в сложном движении. Он вращается вокруг своей оси симметрии, которая в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси. Абсолютная угловая ско- скорость вращения конуса равна сумме угловых скоростей переносного и относи- относительного движений и определяется по правилу сложения векторов. Нетрудно найти н величину абсолютной угловой скорости (рис 73): 101
Юг __ СОр СО sin a sin P sin (а + Р) откуда получим sin (а + Р) — 0 • а sin р Угловое ускорение dmjdt равно производной от вектора о> по времени, взятой в неподвижной системе координат Очевидно, что конец вектора » будет опи- описывать окружность вокруг вертикальной оси, и скорость конца вектора » можно определить по формуле Эйлера Для величины вектора dmjdt имеем условие dt 2 sin (a + P) sin а юою sin а = «о sin Величина вращательного ускорения определяется равенством , 9 sin (a -f- ft) sin a '»Р=тог sTnl * Расстояние точки М до мгновенной оси вращения h = 2r sin (90° — Р) = 2r cos р, откуда для величины осестремительного ускорения получим а sinMa + P) „ . /0С==Ш° sin'P 2rC0SP' § 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1. Распределение ускорений. Плоскопараллельное движение является частным случаем движения твердого тела. На практике этот случай встречается наиболее часто, а потому и будет иссле- исследован особо. При изучении плоскопараллельного движения твер- твердого тела, как это уже отмечалось выше, можно ограничиться рас- рассмотрением движения некоторого плоского сечения твердого тела. Будем изучать движение плоского сечения по отношению к сис- системе прямоугольных осей, которую будем считать неподвижной. Обозначим эту систему осей через Оху. Пусть мгновенный центр вращения твердого тела находится в точке С(хц, у0) (рис.74). Координаты произвольной точки М твердого тела обозначим через х и у. Скорости точек твердого тела определяются по формуле Эйлера v = [со, rj. Откуда проекции скорости на неподвижные оси координат найдем при помощи матрицы 102
О 0 w х — х0 у — у0 О откуда имеем dx di Рис. 74 Проекции ускорения точки М на неподвижные оси координат полу- получим, дифференцируя по времени формулы для проекций скорости - щ' — со' (у — у0) — сог/о — со2 (д: — л;0) — а'[(у — у0), = — содг0 + ых' + ы' (х — хо) = = — сохо — со2 (г/ — у0) + со' (д; — х0), где величины Хо = dt и уо = dt представляют проекции на неподвижные оси координат скорости движения по центроиде мгно- мгновенного центра вращения. Вектор Yc с проекциями (<оу0, —ах'о) на неподвижные оси координат будет, очевидно, определять уско- ускорение точки С твердого тела (чтобы убедиться в этом, достаточно в формулах для ускорений положить х=Хо, у=уо). Проекции этого вектора можно найти из матрицы О 0 со х'о у'о О 103
а сам вектор ус можно определить формулой уе = — К и], где и — скорость движения мгновенного центра вращения по цент- центроиде. Формула показывает, что ускорение точки С твердого тела направлено ортогонально к центроиде в сторону вращения. Это же можно получить и непосредственно. Выберем неподвижную систему осей так, чтобы ее начало совпадало в данный момент с точкой С, а ось г/i была бы направлена в сторону направления скорости дви- движения мгновенного центра вращения. Тогда для проекций скорости мгновенного центра вращения будем иметь л:0 = 0, f/0 = а для проекций вектора ус получим значения Усх = Щй = »«, усд = — ах'о =- 0. Если бы мгновенный центр вращения оставался неподвижным, т. е. и=0, то ускорения точек твердого тела определялись бы как уско- ускорения во вращательном движении твердого тела. При этом каса- касательное ускорение \х и нормальное ускорение \п можно задать проекциями на неподвижные оси координат: Тт{— ®'(у — г/0), а>'(х — х0)}, Здесь вектор \т направлен по скорости точки М, а вектор \п орто- ортогонален к скорости. Формулы для определения ускорений точек твердого тела можно представить в векторном виде ]" = Чс + Т„ + Yt- Полученная формула представляет собой одну из разновидностей выведенной выше формулы Ривальса, примененной для случая плоскопараллельного движения, в которой за полюс взят мгновен- мгновенный центр вращения плоской фигуры. Если обозначить через г расстояние точки М от мгновенного центра вращения, то для опре- определения величин касательного и нормального ускорений будем иметь уп = со2 г, Yt = ю' г. Замечание. К этим же результатам можно прийти непо- непосредственно, исходя из теоремы о сложении ускорений для точки (теоремы Кориолиса), если за начало подвижной системы коорди- координат, движущейся поступательно, принять точку твердого тела, совпадающую в данный момент с мгновенным центром вращения. Тогда относительное ускорение точки М определится как ускорение точки в ее движении по окружности и будет складываться из нор- 104
мального и касательного ускорений. Переносным ускорением будет ускорение точки С. Добавочное ускорение здесь равно нулю, по- поскольку подвижная система движется поступательно. Для опреде- определения переносного ускорения рассмотрим движение точки С по центроиде (рис. 74). Мгновенный центр вращения С за время At переместится в точку С\ и в момент t+At твердое тело будет вра- вращаться вокруг точки С[ с угловой скоростью w+Aco. Скорость точ- точки С будет направлена в сторону вращения, ортогонально к хорде С{С и будет равна ис (t Н- АО = (со + А со) СгС. Модуль ускорения точки С по определению равен /= lim I А/-» О I v (t + At) — v (t) lim v~(t + Ы) = lim (со + А со) СХС At ¦¦ lim Д(-»0 (со + А со) и At А/ — COU. Подвижная Пример 24. Палочка АВ скользит своим концом А по окружности и всегда проходит через точку С этой окружности. Определить ускорение точки В, расположенной на расстоянии / от точки А, если последняя движется по окружности с постоянной скоростью Vo (рис. 75). Решение. Мгновенный центр вра- вращения палочки находится на пересечении диаметра окружности, проходящего через точку А, и перпендикуляра к палочке, вос- восстановленного в точке С. Расстояние от Центра окружности до мгновенного центра вращения равно радиусу окружности, а не- неподвижной центроидой является сама ок- окружность. Расстояние от точки А до мгно- мгновенного центра вращения равно диаметру окружности и остается постоянным. Под- Подвижной центроидой будет окружность диа- диаметром 2г с центром в точке А палочки М1иовеиная угловая скорость вращения палочкн Рис. 75 со = ¦ есть величина постоянная. Угловое ускорение е = dm равно нулю, а потому равно нулю и касательное ускорение ух. Нормальное ускорение точки В где SB = /ll -t- Arl — 4rl cos ф. Ускорение точки, совпадающей с мгновенным центром вращения, равно ус -= 2г 105
Проекция ускорения точки В на направление палочки / — 2/- cos <p — 2 Проекция ускорения точки В на ортогональное к палочке направление ¦ = sin го + - CS у^пф Н^- "8 9 . 8 . 2/- sin ф = sin ф. r Пример 25. Окружность радиуса г катится без скольжения по неподвиж- неподвижному прямолинейному рельсу так, что скорость ее центра »o=const. Определить ускорение точки С окружности, касающейся в данный момент рельса (рис. 76). С Рис. 76 Рис. 77 Решение. Точка С является мгновенным центром вращения окружности. Скорость движения мгновенного центра равна t»o- Ускорение точки С окружно- окружности определяется из условия Пример 26. Окружность радиуса г катится без скольжения по неподвиж- неподвижной окружности радиуса R так, что скорость ее центра в данный момент равна оо. Определить ускорение той точки подвижной окружности, которая в данный момент касается неподвижной окружности (рис. 77). Решение. Мгновенный центр вращения подвижной окружности находится в точке S соприкосновения двух окружностей. Мгновенная угловая скорость (о = ——. Скорость движения мгновенного центра вращения по центроиде опре- определится из соотношения 106
откуда и ускорение точки твердого тела, совпадающей с его мгновенным центром вра- вращения, получит вид ус — (аи = 2. Мгновенный центр ускорений. Мгновенным центром ускоре- ускорений называется точка твердого тела, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для определения такой точки рас- рассмотрим ускорения точек твердого тела в плоскопараллельном дви- движении. Обозначая через /х и /„ проекции ускорения произвольной точки твердого тела на касательную и нормаль к траектории этой точки, будем иметь Подставляя в эти соотношения значения Yt> Y« и Ус получим /л = со2г — сои cos <р, /, = ш' г — co'asin ф, где ф — угол между радиус-вектором точки М, построенным из мгновенного центра вращения, и направлением ускорения точки С (рис. 78). Введя обозначение w——, представим предыдущие (О формулы в виде ( ^-usincp). (a) Если R — радиус кривизны рулетты точки М, то нормальное уско- ускорение можно будет представить в виде ln- R ¦ Это выражение обращается в нуль при и=0 или при R = °o. В по- последнем случае точка М является точкой перегибов. Если /п=0, то из уравнений (а) получим при со^О г — wcosy = О, или r = a>cosq>. (b) Величина w = — является одной и той же для всех точек твер- ю дого тела. Геометрическое место точек, удовлетворяющих уравне- уравнению (Ь), есть окружность радиуса ш/2. Рулетты на этой окружно- окружности имеют точки перегибов, поэтому полученную окружность назы- 107
вают кругом перегибов, или кругом Лагира. Нормаль- Нормальные ускорения точек твердого тела, совпадающих с кругом Латра, равны нулю, а касательные ускорения проходят через точку К окружности, которую назовем полюсом перегибов. Замечание. В случае поступательного движения твердого тела со-^0, и радиус круга Лагира стремится к бесконечности. Рис. 78 Рис. 79 Рассмотрим теперь геометрическое место точек твердого тела, для которых обращается в нуль тангенциальное ускорение j%. Пусть 'О, тогда из формул (а) получим г —¦ сои sin ф. Геометрическое место точек, удовлетворяющее этому уравнению, является окружностью радиуса сон/2<»'. Если со'->О, то радиус этой окружности неограниченно возрастает. Не будем рассматривать случай, когда со' и со одновременно обращаются в нуль (случай поступательного движения), и будем предполагать, что эти величи- величины отличны от нуля и конечны. На окружности обращаются в нуль касательные ускорения, и, следовательно, имеет место условие ; dv п '0 т. е. скорость принимает стационарное значение. Поэтому получен- полученную окружность называют кругом стационарности (или кругом Бресса). Ускорения всех точек твердого тела, совпадающих с кругом Бресса, направлены к мгновенному центру вращения твердого тела. В точке S, пересечения кругов Бресса и Лагира, обращаются в нуль и касательное и нормальное ускорения. Поэто- Поэтому ускорение точки S твердого телз равно нулю. Точка 5 является мгновенным центром ускорений твердого тела. 108
Круг стационарности и круг перегибов пересекаются в двух точках S и С. Но точка С является мгновенным центром враще- вращения, а потому в ней будет равно нулю нормальное ускорение. Ус- Ускорение же ус точки С параллельно скорости точки С в момент t-\- -\-М, т. е. направлено по касательной к траектории точки С и от- отлично от нуля. Определяя предельное значение ускорения при r-Я), заметим, что поскольку /п-»-0, то ф -»¦ , и тогда /т = сои. Если связать подвижную систему координат с твердым телом, то из теоремы Кориолиса будем иметь ;V=0, /'=0 и ускорения то- точек твердого тела будут определяться формулой Ривальса где р — радиус-вектор начала подвижной системы координат. Если за начало подвижной системы координат выбрать точку твердого тела, совпадающую с мгновенным центром ускорений, то —~ = 0, и ускорения точек твердого тела будут распределяться так, как будто твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, ортого- ортогональной к плоскости движения твердого тела и проходящей через мгновенный центр ускорений (рис. 79). Формулы, определяющие мгновенный центр ускорений и уско- ускорения произвольной точки твердого тела в плоскопараллельном движении, можно получить и непосредственно из формул Эйлера. Обозначая через хй, у0 координаты мгновенного центра вращения твердого тела в неподвижной системе координат, а через х, у — координаты произвольной точки твердого тела, для проекций ско- скоростей точек твердого тела получим равенства их=-%- = -<*(у-у0), иу^^- = ы(х-х0). (а') Отсюда для проекций ускорений точек твердого тела на неподвиж- неподвижные оси координат будем иметь следующие соотношения: ^ ' ^Чх — хо) — ч>'(у — у0), Обозначая через х\, у\ координаты той точки твердого тела, уско- ускорение которой равно нулю, для определения этих координат полу- получим равенства 0 = (ог/о — ш2 (*! — х0) — со' (#! — у0), 109
Система линейных неоднородных алгебраических относительно раз- разностей Х\—х0, г/i—у0 уравнений имеет решение, если определитель системы отличен от нуля со' —со2 Это условие выполняется, когда хотя бы одна из величин со или со' отлична от нуля, что всегда имеет место, если движение твердого тела не является поступательным. В этом случае координаты точ- точки твердого тела, ускорение которой равно нулю (мгновенного центра ускорений) определяются из равенств ¦ сог/о —со солго — со2 Cl) д Уг~Уо = ~ — со2 со' — Щй со Д со'*о), со'г/0). Вычитая уравнения (Ь') из соответствующих уравнений (а'), полу- получим уравнения для определения ускорений точек твердого тела /* = — ffl2 (х — хг) — со' (у — уг), ]'д = — ш2 (г/ — г/х) + со' {х — хг). Эти формулы допускают простое геометрическое истолкование: ус- ускорения точек твердого тела распределяются так, как будто твер- твердое тело вращается вокруг мгновенного центра ускорений, и мо- могут быть представлены касательной и нормальной составляющими h = «г, /„ = со2г, где е= угловое ускорение твердого тела. dt Если обозначить через <р угол между направлением ускорения и прямой, соединяющей точку М с мгновенным центром ускоре- ускорений, то ¦"--?- = const, т. е. этот угол является общим для всех точек твердого тела. Вели- Величина же ускорения пропорциональна расстоянию точки до мгновенного центра уско- ускорений. Пример 27. Стержень АВ вращается с постоянной угловой скоростью соо вокруг своего неподвижного конца в неподвижной плоскости (я). В этой же ПО
плоскости (я) вокруг точки С может вращаться стержень DC Концы В н D ToeJ™Hn пС0?ТНеНЫ шаРниР"° с тРеть™ стержнем ВО. Определить ускорение точки О в тот момент, когда стержни АВ и DC параллельны между собой и ГОЬЫ°ТРеЗКУ ДЛИ"а СТерЖ"Я °С РЭВНа г' ДЛИНа отРезка В^ Мрс80) Решение. В рассматриваемом положении мгновенный центр вращения стержня BD уходит в бесконечность, а его угловая скорость вращения равна нулю, т. е стержень ВО совершает мгновенно-поступательное движение Скоро- Скорости точек В и D равны по величине и по направлению в В Я Рис. 80 Рис. 81 Точка D совершает движение по окружности радиуса г, и ее центростремитель- центростремительное ускорение стержня BD: Т°ЧКИ ° П° формуле принимая за полюс точку В Joe- (a) только центростремительным при вращении во- Осестремительное ускорение точки D равно нулю, поскольку равна нулю мгно- точки У ск°Р°сть вращения стержня BD. Вращательное же ускорение /вр = 8 а содержит неизвестную величину е. Определяя центростремительную составляю- составляющую ускорения точки D из формулы (а), получим D2 = fi>o Я — е a cos а, где cos а = 111
откуда га cos a Тогда вращательная составляющая ускорения точки D /х= easin a, и полное ускорение точки D получит вид 1 = ( а>1 | т a sin а = \ г ] [ га cos а J где R-r ga~ /а2 — (R— rf' Пример 28. Квадрат ABCD со стороной а совершает движенне в плоско- плоскости чертежа. Найти положение мгновенного центра ускорений и ускорение вер- вершин его Си Д если известны в данный момент ускорения точек А и В (рис.81). Решение. Определим сначала мгновенную угловую скорость и угловое ускорение квадрата, воспользовавшись формулой Ривальса: Проектируя это равенство на оси хну, получим \А — га = 0, — jB + (o2a = 0, откуда U , /д , со' \а е = , со2 = , tg m = = . а а ^ ф \в Если величины \А и /в равны, то мгновенный центр ускорений находится в центре квадрата, а ускорения точек D и С направлены по сторонам квадрата и по величине равны ускорениям точек А к В. % 5. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА При изучении движения твердого тела, у которого закреплена одна точка, положение такого тела удобно определять специаль- специальными углами, называемыми углами Эйлера. Тогда проекции век- вектора мгновенной угловой скорости вращения твердого тела на оси координат могут быть представлены в зависимости от скоростей изменения углов Эйлера. Рассмотрим движение твердого тела с одной неподвижной точкой. За начало неподвижной системы коор- координат выберем неподвижную точку твердого тела О. Подвижную систему координат Ox\t)\Z\ неизменно свяжем с твердым телом, а начало подвижной системы координат также поместим в непод- неподвижную точку О |(рис. 82). Прямую линию, образованную пересе- 112
чением плоскостей Оху и Ох\ух, назовем линией узлов. Положе- Положение твердого тела с одной неподвижной точкой определяется поло- положением системы осей, неизменно связанных с твердым телом. За- Зададим его тремя независимыми параметрами, в качестве которых выберем углы Эйлера. Обозначим через ф угол между осью х\ и линией узлов, поло- положительное направление угла будем отсчитывать от линии узлов к оси х таким образом, чтобы со сто- стороны положительного направления оси Oz\ оно было бы видно происходящим против хода часовой стрелки. Этот угол ср будем в дальнейшем называть углом собственного враще- н и я. Угол ф между осью х и линией узлов назовем углом прецессии и будем измерять его от оси х к линии узлов так, чтобы положительное вра- вращение было видно со стороны положи- положительного направления оси z происхо- происходящим против хода часовой стрелки. Угол Ф между неподвижной осью z и подвижной осью Z\ будем назы- называть углом нутации и будем измерять его от оси z к оси Z\ так, чтобы положительное вращение было видно со стороны поло- положительного направления линии узлов происходящим против хода часовой стрелки. Углы ф, -ф и О называются углами Эйлера. Они полностью определяют положение твердого тела. В самом деле, изменение уг- угла Ф определяет отклонение оси Z\ от оси z. При постоянном зна- значении угла Ь ось Z\ может вращаться вокруг оси z. При этом будет вращаться плоскость X\Oyi и угол прецессии ф будет изменяться. Если же, кроме того, угол прецессии ф сохраняет постоянное зна- значение, то ось Z\ будет оставаться неподвижной. Тогда твердое тело будет иметь возможность лишь вращаться вокруг неподвижной оси Z\. В таком движении положение твердого тела будет полностью определяться углом собственного вращения ф. В общем случае все три угла ф, \р и Ф могут изменяться одновременно и независимо один от другого. Мгновенное движение твердого тела определяется бесконечно малыми изменениями углов Эйлера. Пусть ф', i|/, ¦&' — скорости изменения углов ф, oj\ Ф: Рис. 82 dt dt Рассмотрим три вектора «м, а>2, юз, характеризующие мгновенное движение твердого тела. Вектор ©i направим по оси z\ в ту сто- сторону, откуда положительное изменение угла ф видно происходящим 113
против хода часовой стрелки. Величину вектора выберем равной скорости изменения угла ср. Вектор ©2 направим по оси г в ту сто- сторону, откуда положительное изменение угла ty видно происходя- происходящим против хода часовой стрелки, а величину вектора ©2 выберем равной величине скорости изменения угла \р. Вектор ©з направим по линии углов в ту сторону, откуда положительное изменение уг- угла Ф видно происходящим против хода часовой отрелки. Величину вектора ©з выберем равной скорости изменения угла Ф. Результирующее мгновенное движение твердого тела можно представить как сумму трех мгновенных вращений с мгновенными угловыми скоростями ©1, ©2, ©з. а результирующая угловая ско- скорость будет равна ы = ыг + w2 + «)8. Обозначим через р\, qu f\ проекции вектора мгновенной угловой скорости со на подвижные оси Х\, t/\, z\. Тогда для проекций полу- получим следующие значения: рг = щ sin Ф cos (90° — ф) + со3 cos ф, qx == со2 sin Ф sin (90° — <р) — со3 si° Ф. г\ — Ю1 + uJcosO, или, подставляя значения величин со^ щ, со3, будем иметь рх = о|)' sin Ф sin ф 4- О' cos ф, q1 = о|)' sin О cos ф — ¦&' sin ф г1 = ф' 4- г|з' cos d. Полученные формулы носят название кинематических урав- уравнений Эйлера. Замечание о конечных перемещениях твердого тела. В различ- различных курсах теоретической механики закон распределения скоростей в твердом теле выводится из теоремы Шаля. Теорема Шаля о конечных перемещениях твердого тела строго доказывается для последовательных перемещений, следующих одно за другим. Суще- Существование единого предела, не зависящего от порядка последова- последовательности перемещений, обычно в курсах не доказывается. Это же относится и к теореме Даламбера о конечных перемещениях. В теореме Эйлера рассматривается не последовательность пе- перемещений, следующих одно за другим, а сложное движение твер- твердого тела в данный момент времени. Рассматриваемые в настоящей книге мгновенные винты определяют лишь распределение скоро- скоростей в данный момент времени. Их нельзя отождествлять с конеч- конечными перемещениями твердого тела.
Глава III СТАТИКА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА Статикой называется часть механики, изучающая условия, ко- которым должны удовлетворять силы, действующие на систему ма- материальных точек, при которых система находится в равновесии, а также условия эквивалентности системы сил. Равновесие, как и движение, можно изучать только по отно- отношению к некоторой определенной системе координат, принимаемой за неподвижную, или за абсолютную. В дальнейшем будем вво- вводить некоторые идеальные модели материальных тел, упрощаю- упрощающие изучение последних. В наиболее простых задачах будем рас- рассматривать равновесия и движения таких материальных тел, поло- положения которых с достаточной точностью могут быть определены как положения материальных точек, размерами которых можно пренебрегать при изучении движения или равновесия этих тел. Та- Такие материальные тела будем называть материальными точ- точками. Материальные точки могут быть представлены как резуль- результат деления физического тела на бесконечно большое число ча- частей. Но они могут представлять и конечные тела, обладающие определенным количеством вещества, когда размеры этих тел ста- становятся несущественными. Второй из наиболее важных моделей является модель абсолютно твердоготела. Абсолютно твер- твердым телом называют такую совокупность материальных точек, рас- расстояния между которыми не могут быть изменены никакими дей- действиями. Реальные тела обычно могут изменять свою форму, при этом изменяются и расстояния между отдельными точками тел. Однако в ряде случаев эти изменения (деформации) настолько малы, что ими можно пренебрегать. Одним из основных понятий механики является понятие силы. Силами в механике называют объективные причины, являющие- являющиеся результатом взаимодействия материальных объектов, способные вызвать движение материальных тел из состояния покоя или изме- 115
нить существующее движение последних. Равными силами называ- называются такие, которые вызывают одинаковые движения одного и то- того же объекта. Так как всякое движение материальных тел имеет относительный характер, а сила определяется вызываемым ею дви- движением, то и понятие силы должно иметь относительный характер. Одно и то же тело в различных системах отсчета в одно и то же время оказывается подверженным действию различных сил, зави- зависящих от относительного движения систем отсчета. Мы не будем здесь заниматься вопросами происхождения сил, относя эти воп- вопросы к курсам физики'. Мы будем говорить, что несколько сил, действующих на мате- материальную точку, находятся в равновесии, если, будучи приложен- приложенными к этой точке, они не сообщают ей никакого движения отно- относительно данной системы координат, и ускорение точки в этой си- системе остается равным нулю. Система материальных точек нахо- находится в равновесии, если она не получает никакого движения из состояния покоя от сил, действующих на эту систему. Из повседневного опыта известно, что силы, действующие на твердое тело, имеют векторный характер. Они имеют определен- определенную величину, направление и линию действия, а также точку при- приложения. Если точка приложения силы совпадает с центром тяже- тяжести тела, то последнее под действием силы начинает двигаться из состояния покоя поступательно и при изучении такого движения тела можно отвлечься от его размеров, рассматривая движение лишь одной точки — центра тяжести. Понятие материальной точки в этом случае принимает вполне реальный смысл. Современное понятие силы, действующей на материальную точку, было дано еще Галилеем, сформулировавшим свой знамени- знаменитый закон инерции, из которого следует, что действующая на материальную точку сила изменяет ее состояние покоя или равно- равномерного прямолинейного движения, т. е. сообщает точке ускорение. Определенные так силы Ньютон назвал ускоряющими. Направ- Направление силы, действующей на точку, определяется направлением вектора ускорения точки, которое последняя приобретает под дей- действием силы. Ньютон предложил измерять силу, действующую на матери- материальную точку, тем ускорением, которое она сообщает материальной точке, считая величину силы пропорциональной величине ускоре- ускорения. Такую силу можно представить вектором F, определяемым ра- равенством 1 Механика не в состоянии дать исчерпывающего определения понятия си- силы. В общем случае причины изменения состояния движения материальных тел обусловлены различными формами движения материи, которые сами по себе могут оказаться очень сложными, а при анализе этих причин требуется привле- привлечение физики, химии и других наук. Лишь в простейших случаях эти причины являются результатом движения чисто механического типа и сводятся к меха- механическому взаимодействию между телами, осуществляемому либо непосредствен- непосредственным контактом, либо действием на расстоянии через материальную среду с дру- другими физическими свойствами, находящуюся между рассматриваемыми телами. 116
F = mi, где j — ускорение точки; т — коэффициент пропорциональности, называемый м\ассой материальной точки. Первой системой мер, принятой для измерения силы, были ме- меры веса. Это было вызвано тем, что первое представление о силе у человека возникло в связи с тем усилием, которое он должен был приложить, чтобы удержать груз рукой. Сравнение сил с ве- весом может быть осуществлено при помощи динамометра, сравни- сравнивающего растяжение пружины силой с растяжением той же пружи- пружины подвешенным грузом. При таком измерении при помощи упру- упругих деформаций две силы оказываются равными, если они произ- производят одинаковые деформации или если их действия взаимно унич- уничтожаются, когда эти силы заставляют действовать на одну и ту же точку по одной прямой, но в противоположные стороны. Иногда в физике рассматривают силу как истинную реаль- реальность, существующую независимо от материальных объектов, кото- которые являются ее источником или испытывают эффект ее действия, определяя силу независимо от движения, которое она способна произвести. Такая концепция противоречит определению силы, при- принятому в классической механике, и нами рассматриваться не будет. Мы будем каждый раз понимать силу как результат взаимодейст- взаимодействия различных материальных объектов, не останавливаясь на выяс- выяснении физической природы взаимодействия, и будем измерять силу тем ускорением, которое она сообщает материальной точке. Механика изучает физические законы природы. Законы эти устанавливаются в результате наблюдений, изучения природы. Обобщая многовековой опыт человечества, Галилей и Ньютон сфор- сформулировали основные законы механики, которые должны рассмат- рассматриваться как аксиомы механики. Вся классическая механика стро- строится на этих аксиомах, имеющих в основе экспериментальные фак- факты. Для обоснования статики будем использовать следствия из ос- основных законов Галилея—Ньютона, рассматривая эти следствия как самостоятельные аксиомы. § 1. АКСИОМЫ СТАТИКИ Из повседневного опыта известно, что если на материальную точку действует несколько сил, то действие этой системы сил рав- равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу многоугольника. Вектор, замыкающий силовой мно- многоугольник, т. е. многоугольник, составленный из векторов сил, носит название равнодействующей силы. Этот опытный факт порождает первую аксиому статики. Аксиома I. Действие на точку твердого тела нескольких сил равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения векторов. 117
Следствие. Силы, приложенные к точке твердого тела, скла- складываются по правилу параллелограмма. Аксиома II. Две силы, приложенные к точке твердого тела, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по величине, направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой. Аксиома III. Действие на твердое тело системы сил не из- изменится, если добавить к этой системе или отбросить от нее две силы, равные по величине, направленные в противоположные сто- стороны и лежащие на одной прямой. Две последние аксиомы позволяют установить следующее следствие. Следствие. Силу, действующую на твердое тело, можно переносить вдоль линии действия этой силы. При этом действие си- силы на твердое тело не изменяется. Иначе говоря, действие силы на твердое тело не изменится, ес- если последнюю приложить к твердому телу в любой точке ее линии действия. В самом деле, пусть сила F действует на точку Л твердо- твердого тела. На линии действия силы F добавим две направленные в противоположные стороны силы, равные по величине силе F и имеющие ту же линию действия, одна из которых, направленная в сторону, противоположную силе F, приложена к точке А, а другая— к точке В. В соответствии с аксиомой III действие новой системы сил равносильно действию одной силы F. Отбрасывая теперь при- приложенные к точке А силу F и силу — F, в результате получим все- всего одну силу F, приложенную к точке В, действие которой на твер- твердое тело равносильно действию одной силы F, приложенной в точке Л. Две категории сил. Силы, действующие на твердое тело, мож- можно разделить на две категории. К первой категории отнесем силы, которые создают или способны создать движение твердого тела. Силы этой категории называются активными силами. Актив- Активной силой является, например, сила веса, которая всегда создает движение твердого тела, если только этому движению не препятст- препятствуют другие причины. Силы, не создающие движения, но ограни- ограничивающие перемещения твердого тела, препятствующие его пере- перемещениям, относятся ко второй категории сил и называются пас- пассивными силами. В качестве примера рассмотрим одну материальную точку Л, подвешенную на нерастяжимой нити к неподвижной точке О (рис. 83) и находящуюся под действием силы тяжести. Сила тя- тяжести -— активная сила, способная вызвать падение материальной точки вниз. Этому движению препятствует пассивная сила — сила натяжения нити. Последняя не в состоянии заставить точку дви- двигаться вверх, но препятствует ее движению вниз. Если точку откло- отклонить от вертикали, сохраняя нить в натянутом состоянии, то под 118
действием силы тяжести точка будет стремиться двигаться по вер- вертикали вниз. Этому движению будет препятствовать пассивная си- сила натяжения нити, заставляя точку двигаться по окружности. Рассматривая движение точки по гладкой горизонтальной плоскости, можно пренебречь действием силы тяжести, если толь- только нас не интересует давление, оказывае- оказываемое точкой на плоскость. Предположим, что на точку в горизонтальной плоскости дей- действует нерастяжимая нить. Если точке со- сообщить скорость Vo ортогональную к нити, то она начнет двигаться по окружности. Изменение направления прямолинейного движения здесь происходит под действием пассивной силы натяжения нити, которая не создает, а только изменяет движение (препятствует движению). Как активные, так и пассивные силы удовлетворяют аксио- \тд ме Ньютона (третий закон Ньютона). Аксиома IV. Действие одного тела на второе равно и противоположно дейст- действию этого второго тела на первое (действие равно противодействию). Геометрические условия, ограничивающие перемещения точек, называют связями. Связи могут быть заданы аналитически в ви- виде равенств или неравенств. Так, например, материальная точка М, соединенная стержнем неизменной длины I с неподвижным центром О, удовлетворяет условию связи где х, у, z — координаты точки в системе отсчета с началом в цент- центре О. Материальная точка, соединенная с центром О гибкой нерас- нерастяжимой нитью длины I, удовлетворяет следующему условию связи: х2 +- У2 + z2 < /2. Рассмотренные связи препятствуют перемещениям материальных точек и обусловливают силы, препятствующие этим перемещениям. Последние будем называть силами реакции. Действие связей эквивалентно действию сил реакции, и можно ввести следующую аксиому связей. Аксиома V. Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакций, действие которых эквива- эквивалентно действию связей. Замечание. В статике будем рассматривать только неиз- неизменные во времени связи, которые не создают движения, а лишь препятствуют перемещениям в тех или иных направлениях (пас- (пассивные связи). Связи, меняющиеся со временем, будут рассматри- рассматриваться в динамике. 119
Материальная точка, на которую действует активная сила F и наложены связи, испытывает со стороны связей действие силы ре- реакции R. Находясь в состоянии покоя, точка может начать движе- движение (получить ускорение) лишь в том случае, когда активная сила не уравновешивается силами реакции. Последние, не являясь сила- силами, создающими движение, представляют собой силы, противодей- противодействующие активным или уравновешивающие их. В тех случаях, когда пассивные силы не в состоянии уравновесить действие актив- активных сил, начинается движение. Пример 29. Материальная точка, подвешенная при помощи нерастяжи- нерастяжимой нити, находится под действием силы тяжести. Исследовать равновесие точки и найти натяжение нити. Решение. Сила реакции будет уравновешивать действие силы тяжести в том случае, когда точка находится в наинизшем положении и нить направ- направлена по вертикали, при этом величина силы реакции (натяжение нити) равна величине силы тяжести. Если же точка находится в состоянии покоя в откло- отклоненном от вертикали положении, то сила реакции уже не сможет уравновесить силу тяжести, и точка под действием силы тяжести начнет движение по окруж- окружности (получит ускорение по касательной к окружности). Для равновесия этой точки необходимо приложить к ней силу F, уравновешивающую действие со- составляющей р2, тогда составляющая силы тяжести, направленная вдоль нити, будет уравновешиваться действием силы реакции нити, т. е. будет равна по величине этой составляющей силы тяжести (рис. 84). Пример 30. Тяжелый цилиндр лежит на гладкой горизонтальной плоско- плоскости. Исследовать равновесие цилиндра. Решение. На цилиндр действует активная сила — сила веса, способная вызвать движение цилиндра по вертикали вниз. Этому движению препятствует горизонтальная плоскость, создающая силу реакции, уравновешивающую дей- действие силы веса (рис. 85). К пассивным силам следует отнести и силу трения, о кото- которой сделаем несколько дополнительных замечаний, поскольку она обладает некоторыми специфическими особенностями. Рис. 85 § 2. ПОНЯТИЕ О СИЛЕ ТРЕНИЯ Как уже говорилось, связи накладывают ограничения на пере- перемещения материальных точек. Эти ограничения можно представить 120
в виде некоторых поверхностей, на которых вынуждена оставаться соответствующая материальная точка. Если поверхности гладкие и не оказывают сопротивления перемещениям точек вдоль поверхно- поверхностей, то будем говорить, что на точки наложены гладкие связи. В случае гладких связей силы реакции направлены ортогонально к поверхностям связи. В природе свободному скольжению всегда препятствуют некоторые силы, которые называют силами тре- трения. Величины этих сил трения зависят от целого ряда различ- V77/////77/Z77777777. тр Рис. 87 Рис. 88 ных факторов. Пусть, например, тело 5 находится на горизонталь- горизонтальной плоскости и на него действует горизонтальная сила F (рис.86). Из опыта известно, что тело 5 начнет движение из состояния по- покоя лишь тогда, когда величина силы F станет достаточно боль- большой. Состояние покоя тела S при отличной от нуля величине силы F свидетельствует о том, что сила F уравновешивается некоторой другой силой Q, называемой силой трения. Сила Q уравновешивает силу F лишь до тех пор, пока величина силы F не превзойдет не- некоторого определенного предела, после чего тело 5 начнет двигать- двигаться. В реальных задачах мы имеем дело не с гладкими связями. Реакции связей направлены вообще не по нормали к поверхности связи, а составляют некоторый угол с нормалью. При этом полная реакция всегда может быть представлена в виде суммы нормаль- нормальной реакции и силы трения (рис. 87). Исследованием законов трения занимался еще Леонардо да Винчи A452—1519), рассмотревший ряд частных задач. В более общей постановке законы трения изучал французский физик Амон- тон A663—1705), установивший в 1699 г. независимость величины силы трения от величины поверхностей соприкосновения. В более законченной форме законы трения были сформулированы француз- французским инженером Ш. Кулоном A736—1806). Установленные Амон- тоном и Кулоном законы трения применяются в технике и по на- настоящее время. Несмотря на то что с явлениями треиия прихо- приходится встречаться повседневно, теория трения после Кулона была изучена весьма незначительно и в настоящее время находится на начальной ступени развития. В нашем курсе ограничимся лишь уп- упрощенной трактовкой законов Амонтона—Кулона, предполагая, что 121
сила трения по величине пропорциональна нормальному давлению соприкасающихся тел, т. е. Коэффициент пропорциональности k определяется опытным путем и зависит от относительных скоростей соприкасающихся то- точек (рис. 88). Максимальное значение k принимает в момент на- нарушения относительного покоя. Коэффициент /=йШах называют коэффициентом трения. Пассивная сила трения зависит от величины и направления действующих активных сил. Эту силу будем обозначать следующим образом: FTJ> = WV, где коэффициент пропорциональности k зависит от характера дей- действующих активных сил и удовлетворяет условию Такая зависимость обусловливается пассивным характером силы трения. N Рис. 89 Рис. 90 Угол ф, образованный нормалью к поверхности связи и линией действия равнодействующей сил: нормального давления N и мак- максимальной величины силы трения, — называется углом трения. Угол трения ф связан с коэффициентом трения очевидным соотно- соотношением (рис. 89) N Полная реакция, действующая на точку со стороны поверхности связи, состоит из нормальной реакции и силы трения и лежит всег- всегда внутри угла трения. Если в точке соприкосновения тела с по- поверхностью построить конус, ось которого направлена по нормали к поверхности связи, а угол при вершине равен 2ф, то реакция связи в данной точке всегда будет находиться внутри этого конуса, который называется конусом трения. Вообще говоря, шеро- 122
ховатость по различным направлениям может оказаться различ- различной. Тогда для различных направлений коэффициент трения также будет различным, а конус трения вообще не будет прямым круго- круговым конусом. Пример 31. Рассмотреть условия равновесия материальной точки на шероховатой поверхности. Решение. Предположим, что конус трения имеет при вершине угол 2<р. Пусть на точку действует активная сила F, образующая угол а с нормалью к касательной плоскости к поверхности (рис. 90). Если а<ср, то линия действия силы F будет лежать внутри конуса трения и действие на точку силы F будет всегда уравновешиваться действием силы реакции, лежащей внутри конуса тре- трения, как бы велика ни была сила. Если а>ср, то линия действия силы F уже не будет находиться внутри конуса трения, и сила F не сможет быть уравнове- уравновешена силой реакции. В этом случае точка начнет двигаться под действием силы F, как бы ни была мала эта сила по величине. Замечание. При изучении статики за основу можно принять другую систему аксиом, отличную от рассмотренных выше. Эта но- новая система может рассматриваться и как следствие приведенных здесь основных аксиом. § 3. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ 1. Система сходящихся сил, действующих на твердое тело. Сходящейся системой сил называется такая система сил, действую- действующих на твердое тело, линии действия ко- которых пересекаются в одной точке. По- Последнюю всегда можно принять за нача- начало координат. Выше было показано, что сила, дейст- действующая на твердое тело, является сколь- скользящим вектором, который, следователь- следовательно, можно переносить в любую точку ее линии действия. В рассматриваемом слу- случае все линии действия сил пересекаются в начале координат, поэтому действие за- заданной системы сил можно заменить дей- действием одной равнодействующей силой, линия действия которой прохо- проходит через начало координат (рис. 91), а величина и направление определяются по правилу сложения векторов. Проек- Проекции равнодействующей силы определяют- определяются соотношениями Рис 91 Если величина равнодействующей силы будет отлична от нуля, эта система сил вызовет движение твердого тела. Если же равнодей- равнодействующая равна нулю, то система сил не создаст движения твер- твердого тела и последнее будет находиться в равновесии. Условие рав- равновесия для сходящейся системы сил получает вид 123
R=0, или Отсюда следует, что в случае равновесия сходящейся системы сил силовой многоугольник должен быть замкнутым. 2. Равновесие трех сил. Теорема. Если на твердое тело дей- действуют три силы, и линии действия двух сил пересекаются в неко- некоторой точке А, то равновесие этой системы сил возможно тогда и только тогда, когда линия действия третьей силы тоже проходит через точку А, а силовой треугольник является замкнутым. Доказательство. Действительно, силы Fi и F2 имеют рав- равнодействующую, проходящую через точку Л (рис. 92) Г F2, а силы F3 и F* уравновешиваются только при условии, что они ле- лежат на одной прямой, направлены в противоположные стороны и равны по величине. Рис. 92 Пример 32. Однородный стержень весом Р и длиной 2а опирается своим верхним концом Л на абсолютно гладкую стену. К его нижнему концу В при- привязана нерастяжимая нить длиной I, прикрепленная к стене в точке С, лежащей над точкой Л на одной с ней вертикали. Определить угол а, который составляет стержень с вертикалью в положении равновесия (рис. 93). Решение. На стержень действуют три силы: сила веса, приложенная в центре стержня и направленная по вертикали вниз, сила натяжения веревки Т, направленная вдоль веревки, и сила реакции стенки R, направленная по гори- горизонтали. Линии действия двух из этих сил — силы веса и силы реакции стенки — пересекаются в точке 5. Из условия равновесия трех сил получим, что и третья сила — сила натяжения веревки — тоже должна проходить через точку S. Из треугольника DCB теперь легко получить 124
тогда /sin p = 2asin a, /cos [5= 4acos a, sin2p= 1 — —-— cos2 a, после чего находим т. е. Р 1- 16as cos2 a = 4a2sin2a, cos a = 2а /Г Реакции определим из условия замкнутости силового многоугольника, которое в данном случае дает откуда получим Пример 33. Палочка АВ опирается одним концом на гладкую вертикаль- вертикальную стенку, а другим концом — в угол. Определить реакции в точках А и В, если вес палочки Р, ее длина 21, расстояние ОВ=а (рис. 94). Рис 94 Рис. 95 Решение. Реакция в точке А направлена ортогонально к стенке и пере- пересекает линию действия силы Р в точке S. При равновесии третья сила — сила реакции в точке В—также пройдет через точку S. Зная направления NA и Nb, построим замкнутый силовой треугольник. Определяя из чертежа tgcp: tg(p=2 -а* получим или 125
V16/2 — За2 Пример 34. Гладкий однородный стержень ЛВ длиной 21 и весом /> опирается на острие в точке С, а концом А — в угол. При каком значении / равновесие становится невозможным, если AD=a и CD=b (рис. 95)? Решение. На стержень действуют три силы: вес, приложенный в точке О, реакция в точке С, ортогональная к стержню, реакция в точке А, обусловлен- обусловленная давлением на стержень пола и стенки. Линии действия двух из этих сил — силы веса и реакции в точке С — пересекаются в точке S. Реакция /V может пройти через точку S лишь в том случае, когда S лежит внутри угла EAD, т. е. когда центр тяжести расположен левее точки Оь Во всех остальных случаях силы реакции не могут уравновесить действия силы тяжести. Таким образом, равновесие возможно только при условии Из подобия треугольников имеем AS a AS • АС — = , т. е. АО, = AOi AC a АС = V& С другой стороны, АС а (АС? , или ASX = ¦ откуда следует '(АС) К—-г—, или /< ^ § 4. МОМЕНТ СИЛЫ 1. Момент силы относительно точки. Выше было установлено, что силы, действующие на точки твердого тела, являются векто- векторами скользящими. Это обстоятельство дает возможность распро- распространить на силы, действующие на твердое тело, все свойства сколь- скользящих векторов. В частности, можно определить момент силы F относительно произвольной точки О. По определению вектор m момента силы относительно точки О является вектором свобод- свободным, а его координаты определяются из векторного произведения m = [ОА, ?], откуда для проекций вектора момента силы относительно точки О получим следующие выражения: _/> ?)Y т — (z ?)Х (у гO V* ^0/ ' у V 0/ \ 0/ » где X, Y, Z — проекции силы F на оси х, у, г, а х0, у о, za и х, у, z — соответственно координаты точек О и А. 126
2. Момент силы относительно оси. Моментом силы F от- относительно оси А называется алгебраическое значение проек- проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О этой оси А. Момент силы относительно оси является скалярной величиной, не зависящей от выбора точки на оси А, как это следует из свойств момента вектора относительно оси. 3. Теорема Вариньона для системы сходящихся сил. Важная теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы, доказатель- доказательство которой приводилось в разделе, посвященном скользящим век- векторам, может быть здесь сформулирована следующим образом: Теорема. Момент равнодействующей силы для системы схо- сходящихся сил относительно произвольной точки А равен сумме мо- моментов всех составляющих сил относительно той же точки А. § 5. ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО 1. Эквивалентные системы сил. Из основных аксиом статики непосредственно следуют элементарные операции, не изменяющие действия рассматриваемой системы сил на твердое тело: 1. Силу можно переносить вдоль ее линии действия. 2. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, можно складывать по правилу параллело- параллелограмма (по правилу сложения векто- векторов). 8 3. К системе сил, действующих на твердое тело, можно всегда добавить ^\/F две силы, равные по величине, лежа- лежащие на одной прямой и направленные Рис. 96 в противоположные стороны. Эти элементарные операции позволяют установить эквивалент- эквивалентные системы тел, как системы, производящие одинаковое действие на твердое тело. 2. Пара сил. Система, состоящая из двух параллельных сил, равных по величине, не лежащих на одной прямой и направленных в противоположные стороны, называется парой сил. Пара сил обладает всеми свойствами пары скользящих векторов. Момент m пары сил является свободным вектором, координаты которого определяются при помощи векторного произведения (рис. 96) m = \BA, F]. 3. Приведение системы сил, действующих на твердое тело, к произвольной точке (центру приведения). Систему сил, действую- действующих на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой сил, получающейся из данной при помощи элементарных операций. Эта 127
новая система оказывает такое же действие на твердое тело, как и первоначальная система сил. В прикладных задачах представля- представляет интерес замена действующей системы сил более простой экви- эквивалентной системой. Такой более простой системой является систе- система, состоящая из трех сил, одна из которых проходит через про- произвольную, наперед заданную точку, а две другие представляют собой пару сил. Построение такой системы сил называется приве- приведением системы сил, действующих на твердое тело, к точке. При приведении используются элементарные операции, как это было показано в теории скользящих векторов, путем добавления в наперед заданной точке О нулевой системы сил Fv hJ—Fv, величи- величины которых равны величине силы Fv, действующей на v-тую точку твердого тела. В результате получается система сил Fv, линии действия которых проходят через точку О и систему пар с момен- моментами mv, определяемыми из условия mv = \0Av, Fvl, где Av — точка приложения силы Fv. Новая система сил эквива- эквивалентна одной результирующей силе F, величина и направле- направление которой определяются из условия F = SFv = SFV) а линия действия проходит через точку О, и паре сил с моментом m = 2mv, которая называется результирующей парой системы. В силу обратимости элементарных операций легко показать, что две системы сил будут эквивалентны тогда и только тогда, ког- когда обе эти системы приводятся к одним и тем же результирующей силе и результирующей паре сил, т. е. когда выполняются условия F = F', гп0 =гпо. § 6. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО Пусть действующая на твердое тело система сил приводится к одной результирующей силе F, линия действия которой проходит через начало координат, и к паре сил {Q, —Q}. Реализуем пару сил так, чтобы линия действия силы Q проходила через начало ко- координат. Сходящиеся силы F и Q могут быть заменены одной ре- результирующей силой <I> = F+Q (рис. 97), линия действия которой проходит через начало координат О. В результате получим экви- эквивалентную систему, состоящую из двух сил Ф и —Q, одна из ко- которых (Ф) проходит через точку О. Под действием этих двух сил твердое тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, 128
когда силы Ф и —Q лежат на одной прямой, направлены в проти- противоположные стороны и равны по величине. Это означает, что при равновесии линия действия силы —Q проходит через точку О. При выполнении этих условий получаем, что момент результирующей пары сил равен нулю, т. е. то==О, а результирующая сила тоже равна нулю (F=0). Условия равновесия твердого тела можно те- теперь записать в виде двух уравнений F = 0, m = 0, справедливых для любой точки пространства. § 7. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО, К ДИНАМЕ. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Пусть система сил, действующих на твердое тело, приведена к началу координат и пусть R— результирующая сила, a m — мо- момент результирующей пары. Из теории скользящих векторов из- известно, что для такой системы сил всегда найдется такая точка Оь при приведении к которой момент результирующей пары rnj будет коллинеарен результирующему вектору силы (рис. 98). Но- Новая пара имеет момент iri! ^m + [O^OR] = m — [ООД, а условие коллинеарности векторов R и тх аналитически представит- представится в виде равенства т1Х __ т1у _ miz Rx Ry Rz или после подстановки значений т1х, т1у и mlz в виде тх — {yRz — zRy) _ my — (zRx — xRz) _ mz — (xRy — yRx) Rx Ry Rz Последние уравнения определяют прямую линию, при приведении ко всем точкам которой момент результирующей пары будет кол- коллинеарен результирующему вектору. Эта прямая называется д и- н а мо й. Е Н Березкии 129
Когда на оси динамы момент результирующей пары равен ну- нулю, система сил, действующих на твердое тело, становится эквива- эквивалентной одной результирующей силе, направленной вдоль оси ди- динамы. Такая результирующая сила, эквивалентная всей системе сил, действующих на твердое тело, называется равнодейст- равнодействующей силой системы. Очевидно, что необходимым усло- условием существования равнодействующей силы будет равенство mxRx -Ь туЯу + mzRz = 0. Могут представится следующие четыре различных случая приве- приведения системы: 1) |R|^0, (R, m)^0 — динама; 2) | R | =^ 0, (R,m) = 0 — равнодействующая; 3) |R| = 0, m^bO — пара; 4) | R | — 0, | m | = 0 — равновесие. В последнем случае два векторных уравнения равновесия R = 0, m - 0 дают шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовы оси координат Rx = SXV - 0, Ry = SYv = 0, Rt = SZV = 0, mx = 2 (yvZv — 2v7v) = 0, my = 2 (zvXv — xvZv) = 0, mz = S (xvYv — xvXv) — 0. Уравнения будут иметь более или менее сложный вид в зависимо- зависимости от выбора точки приведения системы сил и успех в решении задачи о равновесии до некоторой степени будет зависеть от вы- выбора точки приведения системы сил. § 8. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ При определении условий равновесия системы твердых тел, находящихся во взаимодействии, задача о равновесии может быть разрешена для каждого тела в отдельности. Силы реакции (взаи- (взаимодействия), возникающие в точках соприкосновения, удовлетво- удовлетворяют третьему закону Ньютона. В соответствии с этим мы обязаны принять условие, что действие одного тела на другое равно и про- противоположно по направлению действию этого другого тела на первое. Если при решении задачи о равновесии выбирать один и тот же центр приведения для всех гел системы, то для каждою из тел полу!.'.h c,:t\,лоилш \слоьия {'Ргновесия:
<P = 0, = 0 (v=l, 2, ..., k). где Rv и mv' соответственно результирующая сила и момент ре- результирующей пары всех сил, действующих на данное тело, кро- кроме сил взаимодействия между отдельными телами (внутренних реакции). Rv и т\, — соответственно результирующая сила и мо- момент результирующей пары сил внутренних реакций, действующих на данное тело. Производя теперь формальное суммирование и принимая во внимание, что для внутренних сил взаимодействия выполняются условия 2Ri° = 0 и 2т^ = О, получим следующие необходимые условия равновесия системы твердых тел: ER<f> = 0, Smlfi) = О, где суммирование уже распространяется на все точки взаимодей- взаимодействующих тел. Пример 35. Система состоит из двух однородных стержней CD длиной 2а и ОА длиной 26 и весом Р. Оба стержня могут вра- вращаться в одной вертикальной плоскости: стер- стержень CD вокруг своей середины О', а стер- стержень ОА вокруг шарнира О, расположенного иа одной вертикали с О' на расстоянии 00'=а. К концу D стержня CD подвешен груз весом Q. Груз Q посредством стержня CD отклоня- отклоняет стержень ОА от вертикального положения. Определить угол СОО' в положении равнове- равновесия системы, а также реакцию в точке О (рис. 99). Решение. Рассматриваемая система состоит из двух твердых стержней, находя- находящихся под действием плоской системы сил. Условия равновесия первого стержня Рис. 99 Rx = 0, Ш! = 0 можно переписать в виде , = 0, 2Zv=0, Последнее уравнение первой группы свидетельствует о том, что единственная сила реакции Ro, расположена в плоскости чертежа. Следовательно, момент результирующей пары направлен вдоль оси г, перпендикулярной к плоскости хО'у. Рассматривая условия равновесия стержня ОА, заметим, что и реакция в точке О расположена в плоскости чертежа, а условия равновесия каждого из стержней состоят из трех уравнений. В результате получим шесть уравнений равновесия системы для определения угла ф и реакции в точках О, О' и С. Для определения положения равновесия системы необходимо найти только одну величину — угол ср. При составлении уравнений равновесия можно заметить, что они содержат по нескольку неизвестных величин (параметр ф и неизвестные реакции). В зави- 5* 131
симости от выбора центра приведения эти уравнения будут иметь более или менее сложный вид. Рассмотрим сначала равновесие стержня CD, выбирая за центр приведе- приведения точку О'. Условием равновесия является равенство нулю суммы моментов пар от приведения сил Q и N' к точке О' (здесь N' сила реакции, действующая со стороны стержня ОА на стержень CD) — Qa cos Bф — 90°) + N'a sin (90° — <p) = 0, или N' =2Qsincp. Перейдем теперь к исследованию равновесия стержня ОА. За центр приведения выберем точку О, так что условие равновесия (равенство нулю суммы момен- моментов пар при приведении к точке О) получит вид Pa sin ф — 2Na cos ф — 0, или N= |"tg<p, где N — сила реакции, действующая со стороны стержня CD иа ОА. По третьему закону Ньютона N = —N', откуда Р tgq> = 4Qsin ф. Полученное уравнение имеет два решения: 1) sin ф= 0 соответствует вертикальному положению стержней ОА и CD; 2) cos Ф ^ — возможно лишь при условии P<4Q. Тогда реакцию N в точке С получим в виде W = — tg Ф = -у Для определения реакции в точке О рассмотрим сумму проекций сил, дей- действующих на стержень О А, на горизонтальную и вертикальную оси где X и Y — проекции сил реакции в точке О. Отсюда получив — N sin (90е — ф) + X = 0, — Р + N cos (90* — ф) -f Y = О, или X = Л cos <р = —- /\6(Р-Р\ Y = P-N sin у = Р- —— 8Q 132
§ 9. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ Условия равновесия сильно упрощаются, если к твердому телу приложена система сил, все линии действия которых лежат в одной плоскости. Действительно, выбрав за центр приведения системы точку О, расположенную в плоскости действия сил, после приведе- приведения получим систему сходящихся в точке О сил, и систему пар, расположенных в той же плоскости. Результирующая сила R и ре- результирующая пара также лежат в плоскости сил, поэтому вы- выполняется тождество (m, R) = 0. В плоскости сил всегда найдется такая точка, при приведении к которой момент результирующей пары будет иметь наименьшее значение. Система сил приводится либо к одной результирующей паре, либо эквивалентна нулю. Последний случай и представляет равновесие системы сил. Векторные уравнения равновесия R = 0, m = 0 сводятся к трем скалярным уравнениям: ZXv = 0, SYv = 0, 2 momz Fv = 0, если предполагать, что ортогональные оси х и у расположены в плоскости действия сил. Плоская система сил особенно часто встре- встречается в приложениях. Пример 36. Доска О А может вращаться вокруг шарнира О и опирает- опирается в точке В на шар весом Р, который, в свою очередь, опирается на непо- неподвижную горизонтальную плоскость. К концу А доски подвешен груз весом Q. Определить, пренебрегая весом доски, при каких значениях угла а возможно равновесие системы (необходимые условия), если шар шероховатый и угол тре- трения шара о доску и о горизонтальную плоскость один и тот же и равен ср (рис. 100). Решение. На шар действуют три силы: сила веса, реакция в точке В и реакция в точке С. Реакция точки С пересекается в этой точке с линией действия силы веса шара, следовательно, эти две силы можно заменить одной равнодействующей R. Задача сводится к определению условий равновесия твер- твердого тела, находящегося под действием двух сил: силы R, линия действия кото- которой проходит через точку С и силы реакции в точке В. При равновесии, как известно, сила реакции в точке В должна проходить через точку приложения силы R, т. е. через точку С. Согласно закону Кулона сила реакции точки В ле- лежит внутри или на границе угла трения <р. Это означает, что равновесие воз- возможно лишь в том случае, когда угол трения ф не меньше угла, который обра- образует прямая ВС с нормалью к доске ОА, т. е. о „ а ф > у, где у = — . Так что ф > — . Полученное условие является необходимым, но не достаточным для равновесия системы. 133
§ 10. ЗАДАЧА О РАВНОВЕСИИ НЕСВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1. Постановка задачи. Несвободным называют такое твер- твердое тело, перемещения которого стеснены связями (например, посредством соприкосновения с другими телами или шарнирными закреплениями некоторых точек твердого тела). Вообще связи мо- Рис. 100 гут осуществляться самым различным образом, а сложность реше- решения задачи о равновесии зависит от характера наложенных связей. При определении условий равновесия несвободного твердого тела всегда можно рассматривать это тело как свободное, заме- заменив наложенные на твердое тело связи неизвестными силами реак- реакции, действие которых на твердое тело эквивалентно действию связей. Пример 37. На цилиндрической гладкой поверхности лежит однородная палочка А.В длиной 11 и весом Р (рис. 101). Определить угол ср, который со- составляет палочка с горизонтальной плоскостью при равновесии, н реакции в точ- точках А я С. Решение. На твердое тело действуют три силы Ra, Rc и Р. Положение стержня определяется одним параметром — углом ф. Задача о равновесии сво- сводится к определению значения угла ср в положении равновесия. Сила реакции в точке А ортогональна к цилиндрической поверхности, по- поскольку связи не препятствуют скольжению точки А. В точке С реакция направ- направлена ортогонально к палочке, так как нет сил, препятствующих скольжению палочки по точке С. Теперь можно определить точку S пересечения реакций. Если принять эту точку за центр приведения системы сил, действующих на твердое тело, то сразу же получим условие равновесия, не содержащее сил реакции связи Это условие говорит о том, что в положении равновесия линия действия един- единственной активной силы Р должна проходить через точку S, если только вели- величина этой силы отлична от нуля. Угол ф определяется из условий AC = 2r cosq>, GC cos I. 134
Кроме того, CS = 2r cos ф tg ф = 2г sin ф, откуда GC = CS tg ш = 2r Sl" ф ¦. СОЭф Сравнивая два последних уравнения, находим ¦ = 2r cos m — /, coscp или 4r cos2 ср — I cos ф — 2г = О, откуда С08ф= По условиям задачи угол ф может измениться в пределах 0<Ф< —. Тогда для cos ф остается только одно значение из уравнения / 4- у р + 32га COS ф — 8г Для действительных значений ф должно выполняться условие /-Н//2 + 32л2 i или 1<2г. Этим полностью определены условия равновесия. Для определения реакций связи можно рассматривать проекции всех сил на горизонтальную и вертикальную оси хну. Проще, однако, получить реакции, выбирая новые центры приведения сил и рассматривая сумму моментов всех сил относительно этих новых центров приведения. Так, принимая за центр приведения точку С и подсчитывая сумму моментов всех сил относительно точки С, будем иметь — RA-AC sin ф-f P.SC sin ф= О, или — RA 2г cos ф -f- P2r sin ф = 0, откуда Выбирая теперь за центр приведения точку А и подсчитывая сумму моментов всех сил относительно этой точки, получим RC-AC— P-AG cos ф = О, или Rc2r cos ф — PI cos ф = 0, откуда Rr--=P—.
2. Частные случаи равновесия твердого тела. Рассматривая общие свойства равновесия твердого тела, отметим следующую теорему. Теорема. Три силы уравновешивают твердое тело только в том случае, когда все они расположены в одной плоскости. Доказательство. При при- приведении системы сил, действующих на твердое тело, к произвольной точке О результирующая сила и момент ре- результирующей пары равны нулю, если твердое тело находится в равновесии. Выберем точку О на линии действия третьей силы (рис. 102). Тогда момент результирующей пары будет М = Мх -t- М2. Но в положении равновесия М = 0, откуда М2 = — М2. Направление вектора момента пары определяется плоскостью тре- треугольника, а потому при равновесии плоскости треугольников Si и S2 должны совпадать. Плоскости эти будут совпадать при приве- приведении к любой точке на линии действия третьей силы. Это и дока- доказывает теорему. а) Условия равновесия твердого тела с одной неподвижной точкой. Предположим, что у твердого тела, равновесие которого изучается, закреплена одна точка. Выберем неподвижную прямо- прямоугольную систему координат Oxyz с началом в этой закрепленной точке (рис. 103). Предположим, что на каждый элемент твердого тела с массой mv, координаты которого обозначим через xv, f/v. zv, действует сила Fv(Xv, Yv, Zv). Через R обозначим силу реакции в точке О. Выбирая за центр приведения неподвижную точку О, получим условия равновесия твердого тела, не включающие реак- реакции связи пгх = S (yvZv — zvYv) = 0, Шу^Ъ (zvXv — xvZv) ^ 0, mz = 2 (xvYv — f/vXv) = 0. Приравнивая нулю результирующую силу, приходим к уравнениям для определения реакций связи 2XV -f Rx - 0, 2FV + Ry = 0, SZv + Rz = 0. б) Условия равновесия твердого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси. Неподвижность оси может быть достиг- достигнута закреплением двух точек тела О и Oi (рис. 104), хотя можно было бы закрепить и большее число точек, расположенных на од- одной прямой. Пусть на частицу m v тела действует активная сила 136
Fv. Уравнения равновесия твердого тела можно получить, выбирая за центр приведения одну из неподвижных точек, например точ- точку О. В качестве систем'ы неподвижных осей выберем прямоуголь- прямоугольные оси Oxyz с началом в точке О, причем ось z направим по пря- прямой ОО\. Тогда уравнения равновесия получат вид 2XV + Rx + Rx = 0, Ry + Ry = 0, — zvyv) — hRg = 0, E (zvXv где Xv, Уv, Zv — проекции силы Fv на оси x, у, z\ Rx, Rv, Rz — проекции силы реакции в точке О на эти же оси; Rx, Ry, Rz — О х Рис. 103 Рис 104 проекции силы реакции в точке О\ на оси х, у, z; h — расстояние между точками О и О\. Рассматриваемое твердое тело может свободно вращаться во- вокруг оси г, проходящей через две неподвижные точки, а его по- положение в пространстве определяется одним параметром, в каче- качестве которого можно взять угол поворота твердого тела вокруг этой оси. Условием равновесия, определяющим этот параметр, является последнее уравнение системы 137
Пять остальных уравнений служат для определения шести неиз- неизвестных проекций сил реакции связи. Эта задача не может быть полностью разрешена из-за того, что уравнений оказывается мень- меньше, чем неизвестных, подлежащих определению. Такого рода зада- задачи называются статически неопределимыми. Равновесие твердого тела не изменится, если в точках О и О\ добавить две равные по величине и направленные в противоположные стороны по прямой ОО\ силы. Такие силы могут быть обусловлены началь- начальными напряжениями. Если в точке О\ поставить цилиндрический подшипник так, чтобы реакция в точке Oi была направлена пер- перпендикулярно к оси z, то задача станет статически определи- м о й. Разрешить статически неопределимую задачу можно также, отказавшись от гипотезы абсолютно твердого тела, как это и де- делается в курсах сопротивления материалов. в) Условия равновесия твердого тела, способного перемещать- перемещаться параллельно неподвижной плоскости. Рассмотрим задачу о рав- равновесии твердого тела, опирающегося несколькими своими точками на неподвижную гладкую плоскость Оху. Силы реакции со стороны плоскости здесь будут действовать только на точки контакта и ор- ортогональны к плоскости Оху. Обозначим точки контакта через Av, а их координаты через (av, bv. О). Тогда уравнения равновесия получат вид SXV = 0, 2rv =- О, SZ? + 2i?v = 0, 2 (#VZV — zvyv) + lbvRv = 0, 2 (zvXv — xvZy) — 2av/?v -= 0, S (xvYv — yvXv) = 0, где Xv, Yv, Zv-— проекции активных сил на оси х, у, z; xx, t/v, zv — координаты точек приложения активных сил, Rv —сила ре- реакции, действующая на точку Av твердого тела. Два первых и последнее уравнения дают необходимые усло- условия равновесия твердого тела. Три остальных уравнения определя- определяют силы реакции, действующие на твердое тело. Очевидно, что из трех уравнений можно определить только три неизвестные силы реакции. Задача определения сил реакции в том случае, когда твердое тело касается плоскости более чем тремя точками, не мо- может быть разрешена методами статики абсолютно твердого тела и является статически неопределимой задачей. Для раз- разрешения такого рода задач необходимо вводить дополнительные гипотезы. Рассмотрим частный случай, когда твердое тело опирается о плоскость только тремя своими точками. Для определения сил ре- реакции имеем три уравнения, которые запишем в виде ЯП Я, + Да = — 2Zv, ^Я, + a2Rz 4 a-Rj = Му, 6^i + V?2 4 *«Яа = —Мх, Rt>0 (i = 1, 2, 3). (а) 138
Здесь A^ = 2i Система уравнений (а) обладает решением только в том случае, когда определитель системы отличен от нуля, т. е. 1 1 1 А = b* ФО. Отсюда видно, что задача определения реакций разрешима только тогда, когда все три точки не лежат на одной прямой. Если это условие не выполняется, задача определения реакций становится неразрешимой, и мы снова приходим к статически неопределимой задаче. Из необходимых условий равновесия = О, 2FV = 0,2 (xvYv — yvXv) = 0 следует, что в рассматриваемом случае система активных сил, дей- действ} ющих на твердое тело, приводится к одной результирующей си- силе, линия действия которой параллельна оси г. Обозначая резуль- результирующую силу через F, а координаты точки пересечения ее линии действия с плоскостью Оху через а и Ь, уравнения для определения сил реакции запишем в виде Rt>0 (i = l, 2, 3), где F проекции вектора F на ось z. Из первого уравнения следует, что F<.0. Два других уравнения после подстановки значения F можно переписать в виде а = Эти уравнения определяют центр системы параллельных векторов Ri, R2, Rz, который, как известно, находится внутри треугольника, образованного точками приложения этих векторов, т. е. точками соприкосновения тела и плоскости. Полученные условия равновесия сводятся к тому, что линия действия результирующей силы F про- проходит внутри треугольника, образованного точками касания. г) Замечание о статически неопределимых задачах. Рассмот- Рассмотрим тот случай, когда определитель А обращается в нуль 1 1 1 А = = 0, 139
т. е. когда выполняется условие «2 — Последнее имеет место в случае, когда все три точки расположены на одной прямой (если точки не совпадают). Не нарушая общно- общности, можно предположить, что все точки Av расположены на оси х (рис. 105) и, следовательно, h = h = bs = 0. «i = 0. а3 > а2. Тогда уравнения для определения реакций примут вид R3 = — Z, 4- a3R3 = = 0. Последнее из этих уравнений дает условие равновесия активных сил, два первых уравнения служат для определения трех неизвест- неизвестных реакций. Как уже отмечалось, задачи статики, в которых не- неизвестных больше, чем независимых уравнений равновесия, назы- называются статически неопределимыми задачами. Рис. 105 Статическая неопределенность обусловливается излишними связями, накладываемыми на систему материальных точек, и мо- может быть устранена освобождением системы от лишних связей. Та- Такое освобождение системы от лишних связей осуществляется заме- заменой связей силами, величины которых определяются из дополни- дополнительных условий, являющихся следствием вводимых физических гипотез. Так, например, рассматривая задачу о равновесии стерж- стержня, покоящегося на трех опорах, можно предположить, что одна из опор выполнена из упругого, легко деформируемого материала. Предположим, что возникающая при деформации сила сопротивле- сопротивления стержня подчинена закону Гука, а ее величина прямо пропор- пропорциональна величине сжатия опоры. Предположим, кроме того, что две другие опоры абсолютно жесткие, т. е. их деформации пренеб- пренебрежимо малы. Обозначив через /о длину несжатой опоры, а через / длину опоры, когда на нее положен груз, силу, действующую со стороны опоры на балку, найдем из условия F = k(lo-t). 140
Тогда уравнения для определения реакций получат вид Отсюда сразу определяются неизвестные силы реакции R\ и /?з- Замечание. Статически неопределимые задачи могут стать статически определимыми, если систему частично освободить от некоторых связей. Пример 38. Исследовать равновесие тяжелой абсолютно твердой палочки весом Р, закрепленной шарнирно в двух точках А и В (рис. 106). Решение. Задача определения горизонтальных составляющих реакций в точках А н В оказывается неразрешимой (статически неопределимая задача). Если частично освободить палочку от связей, оставив в точке А шарнирное за- закрепление, а в точке В вместо шарнира ввести точечную опору, препятствующую перемещению палочки вниз, то задача станет статически определимой (предпо- (предполагается, что палочка гладкая). Полученная статически определимая задача не эквивалентна первоначальной. В общем случае статически неопределимые задачи могут быть сделаны определимыми, если вместо гипотезы абсолютно твердого тела ввести гипотезу упругого тела, подчиняющегося закону Гука. Такого рода задачи решаются в курсах теории упругости и сопро- сопротивления материалов. При исследовании равновесия системы абсолютно твердых тел статическая неопределимость может возникнуть как некоторое пре- предельное положение системы. *k Рис. 107 Рис. 108 Пример 39. Исследовать равновесие системы, состоящей из двух тяже- тяжелых однородных стержней, соединенных между собой шарнирно и закреплен- закрепленных шарнирно в точках А я В (рис. 107), предполагая, что расстояние между точками А и В равно сумме длин стержней, так что оба стержня вытянуты в одну прямую линию. Решение. Рассматриваемая задача является статически неопределимой, и реакции не могут быть найдены методами геометрической статики. Выбрав систему осей Аху, как это показано на чертеже, и, обозначив через Ха, Уа, Хв, Ув соответствующие проекции реакций в точках А и В на эти оси, приве- приведем систему сил, действующих на оба стержня, к точке А. Необходимые условия равновесия системы хл + хв = о, кд + гв-2Р = о, -я Отсюда сразу получим Ув = Р и Уа = Р. Для определения двух величин ХА и Хв имеем только одно уравнение. Если же рассмотреть условия равновесия стержня ВС, то, приводя систему сил, действующих на этот стержень, к точ- точке С, будем иметь 141
Отсюда находим Ув = Р/2, что при РфО противоречит полученным ранее ре- результатам. Новых условий для определения реакции Хв и в этом случае не получаем. Противоречие устраняется, если отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела или исключить условие о том, что расстояние между точками А и В равно сумме длин стержней. Рассмотрим это последнее предположение. Пусть расстоя- расстояние АВ меньше суммы длин стержней (рис. 108). Тогда стержни образуют угол а с прямой, соединяющей точки А и В. Для определения реакций приведем сначала систему сил, действующих на оба стержня, к точке А. Тогда ХА+Хв=0, YA + YB~2P=0, —р(-у-гY Из этой системы уравнений следует, что Приводя затем систему сил, действующих на стержень СВ, к точке С, получим следующую систему уравнений: — P — cos a + YB I cos a — XBl sin a = 0, которая дает Реакции теперь полностью определяются (реакция в точке А находится из пер- первой группы уравнений). Заметим, что при a-э-О величина реакции ^з->°°, т. е. на стержень будут действовать очень большие растягивающие силы. В реальной задаче стержни не являются абсолютно твердыми, и эти усилия растягивают стержень так, что угол а при равновесии имеет конечное значение, отличное от нуля. Дальнейшее развитие изложенных положений можно найти в оригинальной монографии Пэнлеве «Лекции о трении». § 11. ЗАДАЧА О РАВНОВЕСИИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ До сих пор мы рассматривали равновесие преимущественно идеальных механических систем, предполагая, что поверхности со- соприкасающихся тел являются абсолютно гладкими и что всякое трение между соприкасающимися телами отсутствует, а сами те- тела — абсолютно твердые. Такие предположения лишь приближен- приближенно соответствуют действительности. В частности, в реальных за- задачах невозможно полностью исключить влияние сил трения. При- Применение же законов статики к решению практических задач о рав- равновесии механических систем без учета сил трения может привести к результатам, мало соответствующим действительности. Силы трения существенно отличаются от всех других сил. Они возникают в тех случаях, когда активные силы способны создать 142
относительное движение соприкасающихся тел. Не останавливаясь подробно на вопросах о происхождении и физической природе сил трения, ограничимся лишь изучением некоторых их свойств и той роли, которую они играют при исследовании равновесия и движе- движения механических систем. Силы трения в статике будем определять в соответствии с за- законами Амонтона—Кулона, сущность которых была изложена вы- выше. Это грубое предположение достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными. гп Рис. 109 m Рис. 110 Аналитический метод решения задач статики при наличии сил трения сохраняется таким же, как и при отсутствии сил трения, но из-за того, что силы трения не определяются однозначно, усло- условия равновесия при наличии сил трения выражаются неравенства- неравенствами. Это говорит о том, что при наличии трения существует не од- одно, а целое множество смежных положений равновесия исследуе- исследуемой системы. Задача о равновесии сводится теперь к отысканию границ области равновесия. Рассматривая абсолютно твердые и идеально гладкие тела, мы предполагали, что два тела, находящиеся в равновесии, могут со- соприкасаться друг с другом в одной точке и свободно скользить од- одно относительно другого. Такое предположение противоречит опыт- опытным данным. Реальные тела не являются ни абсолютно твердыми, ни абсолютно гладкими. В действительности соприкосновение тел никогда не происходит в одной точке, ибо соприкасающиеся тела испытывают деформации и, как бы малы ни были последние, со- соприкасание тел происходит по некоторой площадке, размерами ко- которой обычно пренебрегают. Рассмотрим два твердых тела А я В, находящиеся в сопри- соприкосновении, и пусть О — точка контакта (рис. 109). Мгновенное движение тела В относительно тела А всегда может быть сведено 143
к мгновенно-поступательному движению с относительной скоростью v0 точки О тела В и к мгновенно-вращательному движению тела В с относительной угловой скоростью <о, линия действия которой проходит через точку О. Вектор оз можно представить в виде сум- суммы двух векторов причем ©1 лежит в общей касательной плоскости (я), а ©2 орто- ортогонален к плоскости (я). Вектор ом будем называть вектором скорости качения, а вектор <й2 — вектором скорости вер- верчения тела. Мгновенное движение тела В относительно тела А теперь можно представить как совокупность трех движений: сколь- скольжения, качения и верчения. Совокупность действующих на находя- находящееся в равновесии тело В активных сил может быть приведена к одной результирующей силе F, линия действия которой проходит через точку О, и паре с моментом т. Действие этой системы сил уравновешивается силами реакций со стороны тела А, которые та- таким образом сводятся к результирующей силе R, линия действия которой совпадает' с линией действия силы F, и результирующей паре с моментом mi (рис. ПО), удовлетворяющих условиям Разложим силу R и момент пары mi на составляющие, располо- расположенные в плоскости (л) и ортогональные к ней Составляющую Rn, направленную по нормали к соприкасающейся плоскости (л), назовем нормальной реакцией. Эта сила препятствует взаимному проникновению тел. Составляющую Rt, лежащую в плоскости (л), будем называть силой трения скольжения, или просто трением скольжения. Эта сила препятствует проскальзыванию тела В по телу А. Составляющую min, ортогональную к плоскости (я) и препятствующую верчению тела, назовем парой трения верчения. Наконец, составляю- составляющую Щи, параллельную плоскости (я) и препятствующую качению тела, назовем парой трения качения. Заметим, что влияние пар mix и П11та вообще очень мало по сравнению с влиянием сил Rn и Rt, поэтому рассмотрим сначала те задачи, в которых этими парами можно пренебрегать. Хотя реальные тела не являются абсолютно твердыми и в об- общем случае касание тел А я В происходит по некоторой площадке, тем не менее в ряде задач можно пренебречь размерами этой пло- площадки и с достаточной степенью точности считать тела А я В абсо- абсолютно твердыми, а их касание происходящим в одной точке. Кроме того, будем предполагать, что со стороны тела В на тело А дейст- действует рассмотренная выше система сил. 144
Пусть тело S под действием активных сил находится в равно- равновесии на поверхности Si, касаясь последней в точке А (рис. 111). Действующая на тело S со стороны поверхности Si полная реак- реакция R складывается из нормальной реакции N и силы трения FTp. Направление последней заранее неизвестно, а максимальное значе- значение, определенное в соответствии с законом Амонтона—Кулона, FTP=/JV, где f — коэффициент трения скольжения. Угол ср между направлениями полной реакции R и нормальной реакции N никог- Рис. 111 Рис. 112 да не превосходит угла трения q>m, который определяется из ус- условия Для равновесия тела S необходимо, чтобы уравновешивались все силы, действующие на тело S. Последнее возможно лишь в случае, когда все действующие на тело силы приводятся к одной равно- равнодействующей силе F, линия действия которой проходит через точ- точку А, по величине, равной силе реакции R и противоположной по направлению. Сила F должна «прижимать» тело S к поверхности Si и образовывать с нормалью к поверхности Si угол, меньший угла трения. Эти необходимые условия оказываются и достаточными, так как если они выполнены, то равнодействующую силу F можно раз- разложить на составляющие: нормальную Р и касательную Q (рис. 112). Сила Р уравновешивается силой нормальной реакции N, так что N=P. Сила Q=Ptgcp, где ф-^фт, не может вызывать скольжения тела S по поверхности Sit поскольку она остается меньше максимальной силы трения 145
Можно придать условиям равновесия и геометрическую интерпре- интерпретацию. Для этого достаточно рассмотреть конус вращения с углом при вершине 2<pm, вершина которого совпадает с точкой А, а ось направлена по нормали к поверхности S\. Необходимые и доста- достаточные условия равновесия сводятся к тому, что равнодействую- равнодействующая активных сил проходит через точку А и лежит внутри этого конуса. Рассмотренный конус принято называть кон у- сом трения. Рис. ИЗ Следствия. 1. Равнодействующая активных сил, проходя- проходящая внутри конуса трепня, не может вызвать движения тела, как бы велика она ни была. 2. Как бы ни была мала равнодействующая активных сил, не лежащая внутри конуса трения, она не может быть урав- уравновешена силами трения и сообщает телу движение. Замечание. Коэффициент трения зависит от направления касательной к поверхности Si, так что конус трения вообще не является прямым круговым конусом. Пример 40. Тяжелая материальная точка находится на шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом (рис. 113). Найти усло- условия равновесия точки. Решение. Точка будет находиться в равновесии лишь тогда, когда линия действия силы тяжести будет проходить внутри угла трения, т. е. при выполне- выполнении неравенства Фт^а. Пример 41. Тяжелая однородная палочка АВ длиной 2/ может сколь- скользить своими концами по шероховатой окружности (угол трения равен срт), пло- плоскость которой вертикальна (рис. 114). Определить условия равновесия палочки. Решение. На палочку действуют три силы: сила тяжести и силы реак- реакции в точках А и В, расположенные внутри соответствующих углов трения. Под действием трех сил палочка будет находиться в равновесии, если эти силы пере- пересекаются в одной точке, а силовой треугольник замкнут. 146
Построим в точках А и В углы трения cpm. Получим часть плоскости S\SS2S\ заключенную внутри того и другого угла. Первое из условий равнове- равновесия может быть выполнено лишь в случае, когда линия действия силы тяжести пересекает фигуру S1SS2S'. Аналитически это условие можно записать в виде xsl < *с < *м, (а) где хс — абсцисса центра палочки. Обозначив через Р угол между горизонталь- горизонтальным радиусом окружности и прямой ОА, соединяющей центр окружности с цен- центром палочки, а через а — угол между прямой АО и палочкой, и опуская у ср индекс т, полученное условие представим в виде /+2; cos(p+q))< cos a sin 2a cos a cos 6 sin (a + (p) < - / ~ + 11 —7Г2- cos (p cos a sin 2a откуда окончательно получаем условия равновесия Условия (Ь) определяют не одно положение равновесия, а целую область воз- возможных положений равновесия. Условия эти являются и достаточными. В самом Деле, перенося силу mg в произвольную точку заштрихованной области, заме- заметим, что эта сила всегда может быть уравновешена силами реакции. В частном случае при ср = а условие (Ь) становится особенно наглядным О < cos (a — Р), откуда следует или я л а-— <Р< а+ -2 . Если трение отсутствует, т. е. ср=О, условие (Ь) сводится к уравнению 2slt7a о , о, cos 6 = cos (a — р), sin 2a которое преобразуется к виду sin (a — Р) = 0. Последнее уравнение определяет единственное положение равновесия, соответ- соответствующее горизонтальному положению палочки. При наличи сил трения задача определения положения равновесия и сил реакций однозначно не разрешается. Замечание о трении качения. Как уже отмечалось, трение ка- качения возникает при качении одного тела по другому. Возникнове- Возникновение этого трения можно грубо объяснить тем, что поверхности со- соприкасающихся тел не являются абсолютно твердыми и несколько деформируются. Законы трения качения, основанные на этом пред- предположении Кулоном и Мореном, представляют грубое приближение к действительности. 147
Рассмотрим в качестве примера задачу о качении колеса по прямолинейному горизонтальному рельсу, предполагая, что кроме силы тяжести на колесо действует еще некоторая система сил, рас- расположенных в плоскости колеса. Действующие силы вообще не- несколько деформируют как само колесо, так и рельс, и для возмож- возможности качения по рельсу необходимо приложить некоторое усилие. Возникающее сопротивление свободному качению обычно и назы- называют трением качения. Такое объяснение явления трения свя- ^777777777^ Рис. 115 зано с отказом от гипотезы абсолютно твердого тела, что вызывает необходимость пересмотра основных принципов статики твердого тела, в основе которых лежит эта гипотеза. Поэтому, сохраняя ги- гипотезу абсолютно твердого тела, будем предполагать, что соприка- соприкасание тел происходит в одной точке и всякие деформации тел от- отсутствуют. Обозначим через А точку касания колеса и плоскости (рис. 115). Приводя систему сил, действующих на колесо, к точке Л, в общем случае получим результирующую силу F и пару сил с моментом т, перпендикулярным к плоскости колеса. Расклады- Раскладывая силу F на Fb нормальную к рельсу, и F2, параллельную рельсу, заметим, что сила F2 будет вызывать скольжение колеса, а пара — его вращение. Для отсутствия скольжения достаточно выполнения неравенства. где f — коэффициент трения скольжения. При выполнении этого условия колесо еще не будет находиться в равновесии, пока не уравновешена пара. Опыт показывает, что колесо не начнет ка- катиться до тех пор, пока момент пары m не превзойдет некоторого предельного значения m" = 6/v Величина 6 называется коэффициентом трения качения. Этот коэффициент не зависит от величины силы F и радиуса кри- 148
визны катящегося предмета, а зависит лишь от физических свойств соприкасающихся тел. Обычно вводится гипотеза, что кроме ак- активных сил на твердое тело действуют нормальная сила реакций N, уравновешивающая действие силы Fu сила трения скольжения, уравновешивающая действие силы F2 и пара сил, называемая па- парой трения качения, которая уравновешивает пару с моментом т. Для равновесия достаточно выполнения двух неравенств fF1 > F2, 8Ft > т. Заметим, что в большинстве случаев трение качения оказывается значительно меньшим, чем трение скольжения, и при решении практических задач им часто можно пренебрегать. Замечание о трении верчения. Рассмотрим тяжелый шар, ле- лежащий на горизонтальной плоскости и касающийся ее в точке С (рис. 116), так что СО — вертикальный радиус шара. Вращение шара вокруг вертикального радиуса называют верчением. При- Приводя систему активных сил, действующих на шар, к точке С, в об- общем случае получим результирующую силу, проходящую через точку С, и пару с моментом т. Предположим, для простоты, что момент пары параллелен вертикальному радиусу шара. Раскла- Раскладывая, как это уже делалось выше, результирующую силу на со- составляющие, одна из которых F2 параллельна горизонтальной плос- плоскости, а вторая Fi ей ортогональна, заметим, что сила Fi уравно- уравновешивается нормальной реакцией плоскости, сила F2 — силой тре- трения скольжения, и для полного равновесия шара необходимо еш? уравновесить пару. Как известно из опыта, если момент пары, стре- стремящийся привести шар в верчение, достаточно мал, то шар вертеть- вертеться не начнет. Действию активной силы в этом случае препятствует некоторая пара сил реакций, называемая трением верчения. Предельный момент трения верчения можно представить в виде произведения некоторого коэффициента k, называемого коэффи- коэффициентом трения верчения и определяемого эксперимен- экспериментально, на нормальную составляющую результирующей активной силы, т. е. kF\. Коэффициент трения верчения обычно величина ма- малая, в 5—10 раз меньшая коэффициента трения качения. Условия равновесия сводятся к двум неравенствам: § 12. СИЛА ТЯЖЕСТИ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ Материальная точка, отпущенная без начальной скорости вблизи поверхности Земли, совершает движение по отношению к Земле с некоторым ускорением, которое называют ускоре- ускорением силы тяжести. Это ускорение, измеренное относи- относительно вращающейся Земли, определяется притяжением к центру Земли и вращением Земли вокруг своей оси. Оно оказы- оказывается различным на различных широтах и зависит от расстоя- 149
иия точки от оси вращения Земли. Силу, действующую на мате- материальную точку и равную произведению массы этой точки на ускорение силы тяжести, называют весом материальной точки. Направление силы тяжести отличается от направления к центру Земли и изменяется с изменением широты местности. Более детальное изучение силы тяжести будет проведено в динамике. Рассмотрим систему материальных точек Mv, каждая из ко- которых имеет массу mv. Обозначим координаты точки Mv через xv, г/v. 2V. Предположим, что на каждую материальную точку действует сила тяжести. Ограничиваясь только случаем, когда размеры тел достаточно малы, будем предполагать, что силы тяжести Fv всех точек параллельны одному направлению. Оче-^ видно, что если повернуть всю систему на определенный угол, сохраняя взаимное расположение точек, то сами векторы Fv не изменят своих величин, а изменят лишь направление по отноше- отношению к самой системе материальных точек. Векторы Fv в рас- рассматриваемом случае приложены к определенным точкам систе- системы, и следовательно, являются связанными векторами. В теории векторов было показано, что для такой системы векторов суще- существует точка S(?, т], ?), координаты которой не зависят от на- направления векторов и даются уравнениями: Определенная так точка S называется центром тяжести системы. Она найдена из условия о том, что сумма моментов сил тяжести относительно точки S равна нулю. Такая точка будет существовать, поскольку всякая система параллельных сил, направленных в одну сторону, приводится к равнодейст- равнодействующей силе. Аналитически это условие запишется в виде S moms Fv — F^a где а, C, у — направляющие косинусы линии действия силы тя- тяжести относительно выбранных осей координат. Выписанное векторное соотношение эквивалентно трем скалярным уравне- уравнениям - Л) ^vY - (Zv - ?) ^vPl = О, 2 [(zv - S) Fva — («v -1) ^vY] = 0, S [(xv - s) ^vP - 0/v — ti) Fva] = 0, которые можно переписать в виде Y Bi\i/v - tiF) - Р B/Vv - V) - 0, 150
- V) — Y B.*>v - IF) = 0- — |F) — a (ZFV#V — t,F) = 0, где F = 2FV. Полученные из этих уравнений координаты |, г], и определяют произвольную точку, лежащую на линии действия равнодействующей. Положение равнодействующей зависит от направления силы тяжести относительно выбранных осей. Урав- Уравнения не будут зависеть от выбора направляющих косинусов а, C, у, если координаты |, г\, ? удовлетворяют условиям A), т. е. являются координатами центра тяжести системы. Если си- систему осей жестко связать с материальными точками, то при изменении положения системы координаты отдельных ее частиц, не изменятся, и мы получим способ вычисления координат центра тяжести. Полученные формулы для координат центра тяжести систе- системы материальных точек не могут быть непосредственно приме- применены к определению центра тяжести сплошных материальных тел. Определение координат центра тяжести в этом случае мож- можно свести к вычислению интегралов. Действительно, рассмотрим некоторую точку тела, коорди- координаты которой обозначим через х, у, z, и выделим из тела эле- элементарный объем AV, содержащий эту точку. Будем предпола- предполагать, что когда объем стягивается к точке, средняя плотность рср этого элемента стремится к определенному пределу р, не зави- зависящему от выбора элементарного объема и от способа его стрем- стремления к нулю. Величина р представляет собой некоторую функ- функцию от х, у, z, которая по своему физическому смыслу одно- однозначна и которую назовем плотностью в точке. Разделим теперь объем, занимаемый телом, на бесконечно малые элементы dV. Масса элемента объема равна pdV. Сила тяжести, действующая па элемент dV, может быть представлена в виде dF — gdm = gpdV, а проекции этой силы на оси координат dX = agpdV, dY _= $gpdV, dZ = ygpdV. Координаты центра тяжести получат вид _ lim S xagpdV _ Щ xPdV е _ _ lim S y$gpdV _ ~ limSfepdV ~ _ lim S zygpdV KmZygpdV j'jjp 151
II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА При решении задач о равновесии в элементарной статике применяются исключительно геометрические методы, основанные на свойствах векторов. Аналитическая статика дает другой метод исследования равновесия механических систем, в основе которого лежит поня- понятие работы сил, действующих на исследуемую систему. При наличии связей уравнения равновесия механической системы, получаемые геометрическим методом, кроме активных •сил содержат еще и силы реакций, которые необходимо исклю- исключить из уравнений для определения возможных положений рав- равновесия системы. Число подлежащих исключению реакций тем •больше, чем больше связей наложено на исследуемую систему. Но поскольку силы реакции не создают движения системы, есте- естественно искать такие условия равновесия, которые бы не содер- содержали реакции связей. Эти условия могут быть получены при по- помощи принципа возможных перемещений. Еще Аристотель использовал метод возможных перемеще- перемещений при решении задачи о равновесии рычага. Галилей приме- применял его для исследования равновесия простейших машин. Однако окончательное завершение метод получил только в 1717 г. в ра- работах И. Бернулли и Лагранжа. Швейцарский ученый И. Бер- нулли A667—1748) первым показал общность принципа воз- возможных перемещений и его преимущества при решении задач статики. Лагранж дал первое доказательство этого принципа. После Лагранжа появилось еще несколько других доказа- доказательств. Наиболее известные из них принадлежат Амперу, К. Нейману и Ж. Фурье A768—1830). § 1. РАБОТА СИЛЫ НА ПЕРЕМЕЩЕНИИ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ Понятие работы силы на элементарном перемещении являет- является одним из важнейших в механике. Пусть материальная точка, находящаяся под действием силы F(X, У, Z), совершает некото- некоторое элементарное перемещение из положения М(х, у, z) в поло- положение Mi(x+dx, y+dy, z + dz) и вектор элементарного переме- перемещения точки ММ\ имеет проекции на неподвижные оси xyz: dx, dy, dz (рис. 117). Вне зависимости от того, будет или нет сила F действовать на точку на всем перемещении, работой си- силы F на элементарном перемещении ММ1 будем называть ска- скалярное произведение силы F и перемещения ММ\ А = (F, ММ[) = | F| \ММ11 cosЪ = Xdx + Ydy + Zdz. Это формальное определение теряет смысл, если не говорится о силе или о перемещении. Рассмотрим некоторые примеры. 1. В определении работы не возникает никаких сомнений, если сила действует на материальную точку на всем переме- перемещении. 152
2. Предположим, что тяжелый цилиндр находится на глад- гладкой горизонтальной плоскости (рис. 118). Тогда со стороны пло- плоскости на цилиндр будет действовать сила реакции R, направ- направленная перпендикулярно к плоскости. Если сообщить цилиндру бесконечно малое перемещение ММи при котором он покидает плоскость, то работа силы R на этом перемещении, по опреде- 0 М Рис. 117 Рис. 118 V7777777//. Рис. 119 Рис. 120 лению, будет отлична от нуля, хотя сила R и перестает дейст- действовать на цилиндр, как только последний начнет перемещаться. 3. Рассмотрим перемещение шероховатой пластинки па острию (рис. 119). На точку М пластинки действует сила реак- реакции R, которая совершает отличную от нуля работу на переме- перемещении точки М пластинки, хотя сила R и не действует па точ- точку М пластинки на всем ее перемещении. На острие со стороны пластинки действует сила Rb равная по величине силе R, но направленная в противоположную сторону. Эта сила Ri не со- совершает работы на перемещении точки М острия, так как острие остается неподвижным. 4. Цилиндр катится без скольжения по плоскости. Если плоскость шероховата, то на цилиндр со стороны плоскости в 153
•общем случае действует сила реакции R, направленная под не- некоторым углом а к плоскости (рис. 120). Работа силы R на пе- перемещении точки А цилиндра равна нулю, а на перемещении dS точки касания плоскости с цилиндром работа силы R отлична от нуля. Если элементарные перемещения точки образуют целую ли- линию L и сила действует на точку на всем ее перемеще- перемещении по линии, то можно говорить о работе силы на криво- криволинейном пути материальной точки, определяя эту работу кри- криволинейным интегралом А= UXdx + Ydy + Zdz). В общем случае эта работа зависит не только от силы, дейст- действующей на точку, но и от вида кривой, по которой перемещает- перемещается точка. Если элементарная работа силы на бесконечно малом перемещении представляет собой полный дифференциал некото- некоторой функции U (х, у, z), зависящей только от координат точки, т. е. имеет место равенство Xdx + Ndy + Zdz = dU = — dx ^ — dy-\ — dz, дх ду dz то силы, действующие на материальную точку, могут быть пред- представлены частными производными от этой функции Х = — Y = — Z- — дх ' ду ' ~ дг ' Функция U называется силовой функцией. Необходимые и достаточные условия существования силовой функции можно представить в виде дХ __ _дУ__ _dY_ _ _dZ_ JZ_ __ дХ ду дх дг ду дх дг При выполнении этих условий работа силы на криволинейном участке пути будет зависеть лишь от начального и конечного лоложений точки. В самом деле м, м, А^ ^ (Xdx + Ydy + Zdz) =. j dU = U (M2) — U (MJ. Силы, обладающие этим свойством, называются консерва- консервативными. Если силовая функция однозначна, то, как извест- известно, интеграл по замкнутому контуру будет равен нулю. Для неоднозначных функций этот интеграл может быть и отличным от нуля. Поверхности, на которых силовая функция принимает постоянное значение U consr, Не1 ¦'ЫВЭЮ1Ч Я Г |~> ^ С р X I О 1 I Я М ,1 \ р С 3 И Я
Чтобы выяснить, как расположены силы по отношению к поверхности уровня, рассмотрим систему прямоугольных осей Mxyz с началом в точке М поверхности уровня так, чтобы оси х и у были расположены в касательной плоскости к поверхности уровня. Ось z направим по нормали к поверхности в сторону увеличения функции U(x, у, г). Тогда, представляя U как функ- функцию координат х, у, z, в точке М будем иметь откуда т. е. сила направлена ортогонально к поверхности уровня в сто- сторону возрастания силовой функции. Рассмотрим некоторые наиболее важные примеры сил, обла- обладающих силовой функцией. Сила тяжести. Выберем систему координат так, чтобы ось z была направлена вертикально вверх. Тогда действующая на ма- материальную точку сила тяжести будет иметь следующие про- проекции: X = О, Y = О, Z = — mg, где т — масса точки; g — ускорение силы тяжести. Элементар- Элементарная работа силы тяжести на произвольном перемещении А = Xdx + Ydy 4- Zdz = — mgdz = — d (mgz) представляет собой полный дифференциал функции U =. — mgz, которая и называется силовой функцией силы тяжести. Упругая сила. Такой силой является сила притяжения к не- неподвижному центру, пропорциональная расстоянию точки от этого центра. Проекции силы на оси координат имеют вид "V , , t? f У( Jt* 1^ К I ¦ " fftii г г ' а силовая функция U должна удовлетворять условиям dU у, dU ,. dU ,, дх ду а дг Отсюда находим для силовой функции следующее выражение: В качестве примера для силы, не обладающей силовой функцией, рассмотрим силу, имеющую следующие проекции на оси координат: Х=0, Y=kx, Z = 0. 155
Для этой силы будем иметь и условие ие выполняется. дх dY дх дХ дХ = 0, § 2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 1. Определения. Будем рассматривать систему материаль- материальных точек Mv(xv, yv, 2V), на которые действуют некоторые за- заданные активные силы FV(XV, Yv, 2V), предполагая, что на точ- Рис. 121 ки системы наложены связи, не изменяющиеся со временем и -ограничивающие перемещения точек системы. Множество всех бесконечно малых перемещений точек, допускаемых наложенны- наложенными на систему связями, называется возможными переме- перемещениями системы. Возможные перемещения могут быть как освобождаю- освобождающими, при которых некоторые из точек системы покидают наложенные на систему связи (освобождаются), так и н е о с- вобождающими, при которых наложенные на систему связи сохраняются и после перемещения системы. Так, например, материальная точка М, подвешенная при помощи нерастяжимой гибкой нити к неподвижной точке 0 (рис. 121), может находить- находиться в равновесии под действием некоторых сил, если расстояние точки от центра не превышает длины нити. Условие связи здесь может быть записано в виде неравенства (соединенного с равен- равенством) х2 \-Уъ + г2 — /2<0. 156
Тяжелый материальный шарик, находящийся на горизон- горизонтальном столе, может перемещаться по его поверхности или вверх, покидая стол. Выбирая систему координат так, чтобы оси х я у были расположены в горизонтальной плоскости стола, а ось z была бы направлена вертикально вверх, условие связи запишем в виде — г<0. Если в рассматриваемом положении равновесия та или иная связь не действует на материальную точку и не стесняет ее перемещений, то говорят, что такая связь находится в нена- ненатянутом положении. Так, например, рассматривая равновесие тяжелого шарика, находящегося внутри цилиндрической трубы с горизонтальной осью, и предполагая, что, кроме того, перемещения шарика стеснены наклонной плоскостью (рис. 122), условия связи можно представить в виде х2 + у2 — Я2<0, у — ах КО, с>0. Вторая связь в положении равновесия не ограничивает возмож- возможные перемещения шарика и находится в ненатянутом состоянии. Если наложить на шарик связи вида х2 + </2 — Я2<0, ах — у<0, с>0 (рис. 122), то в положении равновесия будут натянуты обе •связи. Ненатянутые связи не ограничивают возможные перемеще- перемещения точек системы. Натянутые односторонние связи ограничи- ограничивают возможные перемещения точек в одну сторону. Условия, накладываемые связями на возможные перемещения, получают- получаются дифференцированием уравнений связи. Так, для рассмотрен- рассмотренного выше случая (рис. 121) точки, подвешенной на нити, имеем условие связи в виде хЬх + У&У +- zbz < 0. Здесь знак равенства имеет место лишь для перемещений по поверхности сферы радиуса R. Знак неравенства отвечает здесь перемещениям, ослабляющим натяжение нити. В случае натяну- натянутой нити на точку в положении равновесия будет действовать сила реакции со стороны нити — реакция натяжения. Она на- направлена в сторону освобождающих перемещений ортогонально к поверхности связи. Рассматривая в этом случае работу силы реакции на произвольном возможном перемещении, будем иметь Rxbx + Ryby + R28z < 0. Работа будет равна нулю для всех возможных перемещений, при которых нить остается в натянутом состоянии (неосвобождаю- 157
щее перемещение), и будет положительной для перемещений, при которых нить ослабевает, т. е. связь переходит в ненатяну- ненатянутое состояние. Обозначим через MVMV вектор бесконечно малого переме- перемещения точки Mv, возможного при наложенных на систему свя- связях. Проекции этого вектора на оси координат обозначим через 6-Kv, S#v, 6zv и будем называть их вариациями коор- координат. Заменив наложенные на точку Mv связи силой реак- реакции Rv (Rvx, Rvy, Rmz), действие которой эквивалентно действию связей, можно рассматривать систему, как освобожденную от связей, но находящуюся под действием активных сил Fv и сил реакции Rv. Из всех связей, которые вообще могут быть нало- наложены на систему материальных точек, будем рассматривать лишь такие, сумма работ реакций которых на любом возможном перемещении системы неотрицательна и, следовательно, удов- удовлетворяет условию 0. v=l Связи, удовлетворяющие этому условию, будем называть иде- идеальными. Знак равенства здесь соответствует неосвобождаю- неосвобождающим перемещениям. Освобождающим возможным перемещениям соответствует знак неравенства, если только соответ- соответствующие силы реакции отличны от нуля. Примером идеальных связей явля- являются гладкие связи, не препятствую- препятствующие перемещениям материальных точек вдоль поверхностей связи. Силы реак- реакции таких связей всегда ортогональны к неосвобождающим перемещениям точек системы и направлены в сторону осво- освобождающих возможных перемещений, поэтому условие идеальности оказывает- оказывается выполненным. Идеальными могут оказаться и негладкие связи. Покажем это на примере. Пример 43. Исследовать состояние равновесия тяжелого колеса, на- находящегося на шероховатом горизонтальном рельсе Решение. Предположим, что на колесо действуют две горизонталь- горизонтальные силы Fi и F2, как это указано на рис. 123. Тогда уравнения равновесия получат вид Рис. 123 откуда сразу следует, что колесо будет находиться в равновесии, если выпол- выполняется условие 158
но тогда горизонтальная составляющая силы реакции в точке касания будет равна R F <0 Таким образом, равновесие оказывается возможным лишь при шероховатых негладких связях. Связь эта является идеальной, так как работа силы реак- реакции на возможном перемещении (вращении вокруг мгновенного центра ско- скоростей) равна нулю. Предполагая, что на систему материальных точек М^(х^, yv, ;zv) действуют активные силы Fv (Xv, Yv, Zv) и наложены односторонние связи вида /(Y 11 У V // "9 Y 11 У \ >.<""" П / \Л1» i/1» *1» Ла» У2' ^2* ' ' ' » ^Л» Ун.» 'Ы/ ^ и (/=1, 2,..., /п), заметим, что если в положении равновесия связь удовлетворяется в виде неравенства, то она будет удовлетворяться в виде нера- неравенства и в некоторой достаточно малой окрестности положения равновесия. Такие связи являются несушественными в данном положении равновесия, поэтому могут быть исключены из рас- рассмотрения. В дальнейшем будем рассматривать лишь такие связи, которые в данном положении равновесия натянуты и, следовательно, записываются в виде равенств (знак неравенства тогда отвечает другим положениям системы, отличным от дан- данного положения равновесия). Предположим, что связи, наложенные на материальные точки системы, задаются независимой системой функций, так что в матрице Якоби дх-i ' dt/L ' dzi ' дхг дхп ' дуп ' дгп c'ftn dfm dfm Ofm dftn ofm d/m dxi ' dyi ' dXj ' dx% dxn ' dyn ' dzn составленной из частных производных по всем координатам, оказывается отличным от нуля хотя бы один из миноров т-ного порядка. Тогда при натянутых связях положение системы опре- определяется k = 3n—т независимыми параметрами. При возможных перемещениях система может освобождать- освобождаться от некоторых из связей, поэтому вариации координат при раз- различных возможных перемещениях системы будут удовлетворять условиям п Rf -V/Asv -J_ <'h Я„ I. dfi R
где знак равенства имеет место лишь для неосвобождающих возможных перемещений, а знак неравенства — для освобож- освобождающих. В силу независимости функций fi, f2, —, fm среди всех неосвобождающих перемещений будет только k = 3n—т незави- независимых, а остальные будут выражаться через независимые. Нало- Наложенные на систему материальных точек связи могут быть заме- заменены силами реакций Rv (Rvx, Rvy, Rvz), действие которых экви- эквивалентно действию связей. 2. Теорема Лагранжа о равновесии системы. Принцип воз- возможных перемещений, предложенный Лагранжем, дает необхо- необходимые и достаточные условия равновесия системы материаль- материальных точек, стесненной идеальными связями, не зависящими явно от времени. Принцип этот заключается в том, что при равнове- равновесии системы материальных точек сумма работ всех сил, дейст- действующих на систему, на любом возможном перемещении неполо- неположительна и всегда равна нулю на всех неосвобождающих пере- перемещениях системы. Впервые без доказательства принцип был сформулирован И. Бернулли в письме к Вариньону, который и поместил его в своей «Nouvelle Mecanique». Первое наглядное и достаточно общее доказательство, основанное на применении блоков, было предложено Лагранжем. Лагранж представил при- приложенные к системе силы в виде натяжений нитей, перекинутых через блоки и снабженных грузами. Приведем здесь другое ана- аналитическое доказательство теоремы Лагранжа. Лагранж рассматривал теорему только для случая двусто- двусторонних идеальных связей. Распространением теоремы на случай односторонних идеальных связей впервые занимался француз- французский математик Ж. Фурье в связи с задачей о равновесии нити. В 1834 г. М. Г. Остроградским A801—1861) была предложена полная формулировка с доказательством обобщенной теоремы Лагранжа для случая односторонних связей. Теорема Лагранжа. Для того чтобы система мате- материальных точек, на которую наложены односторонние идеаль- идеальные связи, не зависящие явно от времени, находилась в равно- равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма работ всех активных сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении системы была бы неположи- неположительной, т. е. удовлетворяла бы условию п (xv&xv + FV6#V -f zv6zv) < 0, (a) v=l где знак неравенства отвечает освобождающим перемещениям, а знак равенства — неосвобождающим. Доказательство. Необходимость. Пусть систе- система материальных точек, на которую наложены освобождающие идеальные связи, находится в равновесии под действием актив- активных сил с проекциями на неподвижные оси координат Xv, Kv, Zv 160
Тогда для каждой точки системы будут выполняться условия (v=l, 2, ..., п), где Rvx, Rvy, i?vz — проекции сил реакций, действующих на v-тую точку системы. Определяя отсюда величины Rvx,R^j/, Rvz и подставляя их значения в условие идеальности связей + Rvz8zv) > О, получим условие равновесия или О, О, чем и доказывается необходимость. Достаточность. Будем исходить от противного. Пред- Предположим, что при выполнении условия (а) система не находится в состоянии равновесия, т. е. в данном положении системы имеются неуравновешенные точки. Тогда, находясь первона- первоначально в состоянии покоя, неуравновешенная система начнет движение из этого состояния, подчиняясь наложенным на нее связям. Освободим теперь систему от связей, заменив действие последних действием сил реакций Ryx, Ryy, Rvz. Подсчитаем ра- работу всех сил на том перемещении, которое получает система, начиная движение из состояния покоя (в дальнейшем это пере- перемещение будем называть действительным). Так как каж- каждая точка системы начинает перемещаться из состояния покоя в направлении действия равнодействующей силы Ф^ = Fv 4- Rv, действительные перемещения точек будут пропорциональны этим равнодействующим силам + RVy), 8% = av(Zv + Д„ж), где av—некоторые положительные числа. Действительное пере- перемещение подчиняется наложенным на систему связям, т. е. яв- является одним из возможных перемещений системы. Вычисляя работу всех сил, действующих на точки системы, на действи- действительном перемещении будем иметь 5М = S [(*„ + Rvx) Vxv -\ - (Yv + ft,H) 8*#v + (Zv + Rvz) 6%] = 2 + (Kv + RlyJ +- (Zv + Я*,I] ¦ (b) 4- Заметим, что работа реакций связи на действительном переме- перемещении системы всегда равна нулю, т. е. Е. Н. Березкнн 161
2 (Rvxb'xv -\- RvySTyv + Rv*b%) = 0. (c) В самом деле, если действительное перемещение не является освобождающим, то, по определению, сумма работ реакций связи на этом перемещении равна нулю. Если же перемещение освобождающее, т. е. хотя бы одна точка системы Av под дей- действием силы Фу = Fv -f- Rv покидает связь, то в рассматривае- рассматриваемом положении точка уже не оказывает действия на связь, и соответствующая сила реакции становится равной нулю. Тогда и работа этой силы реакции будет равна нулю на действитель- действительном перемещении. Итак, сумма работ реакций связи всегда равна нулю на действительном перемещении системы. Тогда из (Ь) и (с) сразу получаем 2 (Xvb*xv + FvS*i/v 4- ZV6%) > 0. Предполагая, что при выполнении условия (а) система не нахо- находится в положении равновесия, мы обнаружили перемещение, на котором не выполняется условие (а), что противоречиво и, следовательно, система в действительности находится в равно- равновесии. Замечания. 1. В том случае, когда на систему матери- материальных точек наложены только двусторонние связи, теорема Лагранжа получает более простую формулировку. Теорема. Для того чтобы рассматриваемое положение системы было положением равновесия, необходимо и достаточ- достаточно, чтобы в этом положении сумма работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю. Доказательство этого предложения проводится так же, как и в общем случае. Условие же равновесия системы при двусто- двусторонних связях получает вид V (X^xv + Yv8yv -t- Zv6zv) =. 0. Это уравнение называется общим уравнением статики. 2. Уравнения равновесия системы Xv -\- Rvx = 0, i v + Rvy = 0, Zv + Rvz = 0 могут быть непосредственно получены из принципа Бернулли. В самом деле, рассматривая систему материальных точек Afv> на которую наложены идеальные связи и которая находится под действием активных сил FV(XV, Yv, Zv), заменим наложен- наложенные на систему связи силами реакций RV(RVX, R4y, Rvz). После такой замены каждая точка системы должна рассматриваться как свободная от связей и находящаяся только под действием активных сил Fv и сил Rv. Возможные перемещения такой осво- освобожденной системы 5*Xv, b*yv, 8% уже не стеснены никакими условиями и поэтому все являются произвольными и незави- 162
симыми. Принцип Бернулли для этой системы представляется в виде равенства s [(xv + Rn) arx,, + (Fv + R*u) 5*t/v + (Zv + Д*«) &%] = o, откуда в силу независимости величин 8*хч, 5*j/v, 5*zv следуют уравнения Хц -\- Rvx = О, Fv ~г Rvy = 0, •Zv + R\z — 0. 3. Принцип возможных перемещений дает возможность определять положения равновесия системы материальных точек, не определяя реакции связей. 4. Если существует силовая функция для сил, действующих на систему матери- материальных точек, то принцип Бернулли полу- получает особенно простой вид. В этом случае имеем Y 6U oxv dU ги а потому условие равновесия преобразует- преобразуется к виду dU dU ди v / dU о , dU с. ди д \ RIJ „ ИЛИ Это условие говорит о том, что в положении равновесия силовая функция имеет стационарное значение для всех неосвобождаю- щих перемещений системы. Пример 44. Полиспаст (механизм, состоящий из двух блоков, каж- каждый из которых смонтирован в общей обойме, причем блоки насажены на общую ось или на отдельные оси), как показано на рис. 124, оснащен нитью, один конец которой прикреплен к неподвижной точке, а другой остается свободным. Нить обходит последовательно все блоки, насаженные как на подвижные, так и иа неподвижные оси. К нижнему блоку подвешен груз весом Q, а к свободному концу нити приложена сила F, которая должна уравновесить груз Q. Определить соотношение величин силы F и веса Q при равновесии системы. Решение. Предположим, что размеры блоков подобраны так, что все части нити, заключенные между обеими системами блоков, можно рас- рассматривать как параллельные. Тогда при перемещении точки приложения силы F на расстояние бр груз поднимется на величину §q. Общая длина иити остается неизменной, так что 163
как это видно из чертежа. Из принципа Бернулли для двусторонних связей имеем - 6p, ипа Б Q8q=Q, или после подстановки значений бр DF- QNq=0, откуда сразу получаем условие равновесия Q = 4F. Пример 45. Два однородных стержня BD и ОА соответственно дли- длиной 2а и 21 и весом Р каждый могут свободно вращаться в одной вертикаль- вертикальной плоскости: первый вокруг своей середины О\, второй вокруг шарнира О, расположенного на одной вертикали с О\, на расстоянии а от точки О\ (рис. 125). К концу D стержня BD прикреплен груз Q. Определить угол q> в положении равновесия системы. У°1 /У/'///У///УУУУУ, . Рис. 125 Рис. 126 Решение. Активные силы Р и Q имеют проекции только на верти- вертикальную ось у, поэтому из пршщипа Бериулли будем иметь -QSy1~P6y2<0, где знак неравенства имеет место только для освобождающих перемещений. Рассматривая сначала только неосвобождающие перемещения, координаты yi и г/г представим в функции угла <р, т. е. у1= — a sin Bф — 90°), у2 = а — / cos ф, откуда 6i/x = —22sin2cp6<p, 6y-2 = I sin ф бф. После подстановки найденных вариаций координат будем иметь BQa sin 2ф — PI sin ф) бф — 0. 164
Откуда получаем значения угла ср в положении равновесия: 1) sin ф = 0; ф = 0, я, 2л,... Р1 2) cos ф = ¦ AQa Первая система значений <р представляет особое решение и ие допускается наложенными на систему связями. Второе решение имеет смысл тогда, когда PZ< 4Qa. Переходя к анализу освобождающих перемещений, которые могут по- появиться только при потере контакта между стержнями, заметим, что здесь сумма работ всех активных сил всегда будет отрицательна, так как освобож- освобождение сопровождается либо поднятием груза Q, либо поворотом вверх стерж- стержня ОА. Таким образом, рассмотренное положение является положением рав- равновесия Пример 46. Однородный гладкий стержень АВ длиной 2/ и весом Р опирается одним концом на гладкую вертикальную стенку и, кроме того, опирается в точке С на край неподвижного стола (рис. 126). Определить угол ф, который образует стержень со столом в положении равновесия, если расстояние от стенки до стола равно а. Решение. Если центр тяжести находится слева от точки С, равнове- равновесия быть не может, так как при освобождении точки А работа силы тяжести станет положительной. Для определения положения равновесия, когда точ- точка S находится справа от точки С, из принципа Бернуллн, рассматривая неосвобождающие перемещения, имеем -/%,=<>. Подставляя сюда значение ws будем иметь cos sin ф. — Р (— a tg2 ф + / cos ф — а) бф = 0, отсюда, приравнивая нулю выражение, стоящее в скобках, получаем условие равновесия а COS3 ф — , которое возможно лишь при условии Пример 47. В полый цилиндр радиуса R, который может кататься без скольжения по горизонтальной плоскости, вложен массивный цилиндр весом Р с радиусом г (рис, 127). К малому цилиндру в плоскости чертежа приложена пара сил с моментом М. На полый цилиндр намотана нить, несу- несущая на свободном конце груз Q. Полагая поверхности цилиндров достаточно шероховатыми, найти положение равновесия системы и определить, при какой зависимости между данными силами оно возможно. Решение Положение системы полностью определяется двумя коор- координатами х и О, которые могут изменяться независимо одна от другой. Поэтому любое возможное перемещение системы будет определяться измене- изменением этих двух независимых координат. Сообщим сначала большому цилиндру такое возможное перемещение, при котором не изменяется угол О (малый цилиндр при этом вращается вокруг своей оси, перемещаясь в горизонталь- горизонтальном направлении). На этом перемещении сила Р не совершает работы. Обоз- Обозначим через х горизонтальную координату центра большого цилиндра и под- подсчитаем работу силы Q и пары М на рассматриваемом перемещении. Сила Q 165
будет совершать отличную от нуля работу лишь прн перемещении груза в вертикальном направлении. Если центр большого цилиндра переместится на 6 величину 6.v, то сам цилиндр повернется вокруг своей оси иа угол К (на чертеже не указан). При этом провисающая часть нити сократится на величину R6q = 6x, а сила Q совершит работу —Qbx. Точка В большого ци- цилиндра (точка касания) повернется от вращения вокруг его оси Cj на вели- А Р Рис. 127 чину 6s=/?S(p = 6x На такую же величину повернется и точка В малого ци- цилиндра, вращающегося вокруг своей оси С% сам же цилиндр повернется на 6s 6х угол oiji = = (на чертеже не указан). Как нетрудно видеть, пара сил, действующих на малый цилиндр, совершит положительную работу 6х М (работа пары сил на поступательном перемещении сплошного ци- цилиндра всегда равна нулю). Приравнивая нулю работу всех сил, действующих на систему, получим Q6 M0 откуда следует условие равновесия 0 = м Сообщим теперь системе такое возможное перемещение, при котором координата х остается постоянной, а изменяется только угол #. Заметим, что при таком перемещении сила Q не будет совершать работы (отсутствует пе- перемещение точки приложения силы). Работа силы Р на рассматриваемом перемещении будет равна Р (R —г) со$(ЭО" + &) 8&. При вычислении работы пары сил заметим, что малый цилиндр при таком перемещении будет катиться без скольжения по поверхности большого, вра- вращаясь вокруг своей оси. Мгновенное перемещение малого цилиндра можно представить как сумму мгновенно-поступательного перемещения вместе с осью Сг и мгновенного вращения вокруг этой оси. На поступательном пере- перемещении пара сил работы не совершает. Обозначая угол поворота малого" цилиндра относительно неподвижных осей через бф, получим для этого угла выражение =¦.= (R — r) 166
а работа пары сил будет равна .. R-r Из принципа Бернулли теперь получим [ — Р (R — г) sin d + М R~r 1 6* = О, откуда Р (Я — г) г Рг Действительное значение для угла О существует лишь при условии М <Рг. Мы рассмотрели все возможные перемещения системы и получили все воз- возможные положения равновесия. 3. Принцип Торричелли. В качестве примера на применение принципа Бернулли рассмотрим известный принцип Торричелли, устанавливающий условия равновесия тяжелых тел. В 1644 г. итальянский физик Еванджелиста Торричелли A608—1647) сформулировал принцип равновесия системы тяжелых тел (си- (системы тел, находящихся под действием только сил тяжести), заключающийся в том, что в положении равновесия центр тяже- тяжести системы занимает наинизшее из возможных положение. Принцип Торричелли отбирает из всех возможных положений равновесия только устойчивые. Обобщение этого принципа можно непосредственно получить из принципа Бернулли. В са- самом деле, пусть на систему материальных точек Av(x4, t/v, Zv), стесненную идеальными двусторонними связями, действуют только силы тяжести mvg. Выберем систему прямоугольных осей Oxyz таким образом, чтобы ось z была направлена вертикально вверх. Тогда для проекций активных сил на эти оси будем иметь Xv == Yv = 0, Zv = — nu,g, поэтому принцип Бернулли получает вид — Smvg62v = 0. В силу соотношения 2mvg8zv = g62/?zvzv = S (Mzc) = Mbzc, где zc — координата центра тяжести системы, предыдущее ра- равенство перепишется в виде Ьге = 0. Отсюда следует, что в положении равновесия координата zc цен- центра тяжести системы имеет стационарное значение. Система будет находиться в равновесии, если при всех возможных пере- 167
мещениях системы ее центр тяжести не перемещается по вер- вертикали. Пример 48. Палочка АВ длиной 2а и весом Р концом А опирается иа плоскость (я), образующую угол а с горизонтом, а в точке С — на острие (рис. 128). Определить угол <р между палочкой и горизонтом при равновесии. Размеры и расположение плоскости и острия указаны на чертеже. Решение. Возможное перемещение палочки сводится к повороту вокруг мгновенного центра 5, расположенного в точке пересечения нормалей к плоскости (я) и к палочке. Из всех точек палочки только перемещение точки D, находящейся иа одной вертикали с точкой S, горизонтально. Как (ЯГ) \ / А Ч S ' л Р \ сс'/\ У h в X \ \ \ ^ \\ Рис. 128 Рис. 129 следует из принципа Торричелли, палочка будет находиться в равновесии лишь в том случае, когда ее центр тяжести будет находиться в точке D. Для получения аналитического решения определим сначала координа- координату Ус центра тяжести палочки: где тогда АС = СЕ f g [90° — (а + ф)], Ус = а sin ф —¦ AC sin ф, СЕ sin (90° + a) sin [90° — (а •+ ф)] ' = а sin ф— Ь cos asm ф sin (a -1- ф) При бесконечно малом возможном перемещении палочки координата у получит приращение sin a cos a оус = а cos ш — о \ * sin" (а -f ф) 168
которое в соответствии с принципом Торричелли должно обращаться в нуль в положении равновесия, т. е. / sin a cos a а cos ф — Ъ —ГГ, V Y 2( + ) j V откуда для определения угла ср получаем уравнение a cos ф sin2 (a + ф) — Ъ sin a cos a = 0. Пример 49. Два одинаковых цилиндра весом р каждый положены на внутреннюю поверхность полого цилиндра. Они поддерживают третий цилиндр весом q (рис. 129). Определить зависимость между углами аир при равно- равновесии системы. Размеры указаны на чертеже. Решение. Выберем систему осей Оху с началом в центре неподвиж- неподвижного цилиндра. Ось у направим вертикально вверх. Тогда координата ус центра тяжести системы определится из равенства _ 2p#i 4- ду3 где yi=y2 — координаты центров тяжести нижних цилиндров: уз — коорди- координата центра тяжести верхнего цилиндра. Тогда в силу симметрии будем иметь Hi — Уг = — (R — r) cos а, у3 = — (R — г) cos а -j- (г + р) cos p, где R — радиус полого цилиндра; г — радиусы нижних цилиндров, р — раднус верхнего цилиндра. Тогда 1 ус = [— 2р (R — г) cos а — q (R — г) cos а + q (r + p) cos p], л из принципа Торричелли получим q §Ус = (R — r) sin аба — — (о + г) sin ВбВ = 0. (а) 2р 4- q Параметры аир связаны соотношением (R— л) sin а = (г -Ь р) sfn В, (Ь) сохраняющимся прн всех возможных перемещениях системы. Поэтому будем иметь зависимость (R — г) cos аба = (г + р) cos Вбв, (с) получающуюся непосредственным дифференцированием соотношения (Ь) Исключая из уравнений (а) и (с) величину бр, получим после сокращения на ба q cos а sin f5 sin а — — = 0, 2р ~|- q cos p откуда § 3. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ СТАТИКИ 1. Связи и возможные перемещения. Рассмотрим систему материальных точек /4V, положение которых определяется их Ш9
декартовыми координатами .ц,, yv, zv. Если на точки системы не наложено никаких связей, то их координаты хч, t/v, zv могут принимать произвольные значения. Может оказаться, что координаты точек системы подчинены некоторым ограничениям, которые называются связями. Эти связи могут быть пред- представлены в виде равенств или неравенств, ограничивающих область допустимых значений координат точек системы. Если связи представляются в виде равенств //(*i. Уч zi> *2> Уг> га> ••• . хп, уп, zn) = 0 (/=1, 2,..., m<3n), то число их не должно превосходить величины 3/г—1, где п число точек системы. В противном случае при т = 3п уравнения связей будут однозначно определять координаты всех точек системы, и система не сможет перемещаться из положения, определенного связями. Так, например, для точки, вынужденной оставаться на окружности, уравнения связи могут быть пред- представлены в виде Если связи представляются в виде равенств, то координаты точек системы всегда должны удовлетворять этим равенствам. Такие связи называются удерживающими, или двусто- двусторонними. Связи записываются в виде неравенств (соединенных с ра- равенствами) вида //С*!, Уч zi> *2. #2- г2. ••• . хп, уп, г„)<0, когда точки системы в рассматриваемом положении подчинены условиям, определяемым равенствами, а возможные перемеще- перемещения таковы, что точки системы могут освобождаться от связей. Такие связи могут ограничивать возможные перемещения си- системы. Так, например, координаты материальной точки, находя- находящейся внутри материальной сферы, будут подчинены условию Если связь, накладываемая на некоторую точку системы, осуществляется в виде строгого неравенства, то она будет осуще- осуществляться в виде неравенства и в некоторой достаточно малой окрестности этого положения, поэтому она не будет оказывать никаких ограничений на перемещения рассматриваемой точки. Такая связь оказывается несущественной в рассматриваемом положении и при анализе данного положения равновесия может быть отброшена из рассмотрения. Все проведенные рассуждения могут быть распространены и на более общий случай. 170
Связи, которые записываются в виде неравенств (соединен- (соединенных с равенствами) в дальнейшем будем называть неудержи- неудерживаю щ и м и, или освобождающими связями (односто- (односторонними). Пусть на систему материальных точек наложены удержи- удерживающие связи l< Х2, у%, 22, . . . , Хп, уп, Zn) = О /^1, 2, ... , т<3п), (а) где п число точек системы. Будем предполагать, что матрица Якоби, составленная из частных производных от функций fj по всем переменным хи Уи zu • ¦¦> хп, уп, zn dfi dfx dfi dfi б/, <9Д dh dh ' oh dxn i dyn dh df, dzn dh dzn dfm dfm ?fn dxx di/1 дгг dfm dfm dfn dxn dyn ozn имеет ранг т, т. е. хотя бы один из миноров m-го порядка этой матрицы отличен от нуля. При выполнении этих условий все функции U будут независимыми и ни одна из них не является функцией остальных. Наряду с данным рассмотрим соседнее, бесконечно близкое положение системы, допускаемое наложен- наложенными связями. Тогда координаты точек этого нового положения xv -\- 8хх, yv -',- 8f/v, А, + Szv, (v = 1, 2, ... , n) будут также удовлетворять уравнениям связи (а), так что // (*i + К. У\ + Si/i, Ч + бг1. • • • • хп- Ьхп, уп -г Ьуп, zn + bzn) = 0 (/=1, 2, .... т). (Ь) Предполагая, что уравнения связей представлены непрерывными, сколь угодно раз дифференцируемыми функциями, перепишем уравнения (Ь) в виде степенного ряда по малым значениям ве- величин 8xv, 8yv, 8zv: fj(Xi + 8xlt yx + &ylt zx + &!, . .. , xn + bxn, yn + byn, zn + Szn) = n = /iixi> Уъ zi' • ¦ • 1 xn, yn, zn) -1- \^ v=l + ... = 0, 171
где fj{Xi, У» 2\ хп, уп, 2„) = 0 для всех значений координат точек системы. Для достаточно малых значений 6xv, 8yv, 8zv, при которых можно пренебречь членами выше первого порядка малости, по- получим xv 4- ИЛИ S v=l Вариации координат Ьхч, 8yv, 8zv удовлетворяют полученным т уравнениям связи и не могут быть все заданы произвольно. Из условия, что матрица, составленная из коэффициентов при 8xv, 6j/v, Szv, имеет ранг т, следует, что т из величин 8xv, Ьу^, bz4 являются зависимыми и могут быть выражены через остальные Зя—т независимых величин bxv, 8yv, 5zv. Число k = 3n—т называют числом степеней свободы системы. Оно равно числу независимых параметров, определяющих поло- положение механической системы. Такими параметрами могут быть как Зп—т независимых декартовых координат, так и криволи- криволинейные координаты, в ряде случаев более отвечающие рассмат- рассматриваемой задаче. Так, например, положение точки на окружно- окружности можно задать всего одним параметром, в качестве которого можно выбрать угол, который радиус, соединяющий точку с цен- центром окружности, образует с некоторой заданной прямой. 2. Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа. Как уже говорилось, для определения положения механической системы, на которою наложено т двусторонних связей, достаточно задать только к = Ъп—т каких-либо независимых параметров, полностью определяющих положение этой системы. Число независимых параметров равно числу степеней свободы системы. Каждая новая связь будет на единицу уменьшать число степеней свобо- свободы, а следовательно, и число независимых параметров, опреде- определяющих положение системы. Здесь всюду предполагается, что на систему наложены удерживающие связи. Независимые пара- параметры, через которые могут быть выражены все декартовы коор- координаты точек системы и которые полностью определяют поло- положение последней, называются обобщенными координа- координатами системы, или лагранжевыми координатами 172
(они были введены в механику Лагранжем). Эти лагранжевы координаты имеют вполне определенный геометрический смысл. Они вообще могут отличаться от декартовых координат, но мо- могут также и включать в свое число одну или несколько декарто- декартовых координат. Обозначая k независимых параметров, через которые выражаются все декартовы координаты точек системы, через qu q2, ..., qk, будем иметь хч = xv(ft, ft, ... ,qk), у* = f/v(ft, ft Qk)> zv = zv(ft, ft, ... ,ft). (a) Во всех случаях, когда декартовы координаты различных точек системы могут быть выражены в явном виде через систе- систему независимых параметров ft, q2, ..., qk (которые можно изме- изменять независимо один от другого), полностью определяющих положение системы, будем называть такую систему голоном- ной, а сами параметры qu q2, ¦., qh — координатами г о- лономной системы. В этом случае можно утверждать, что на систему наложено Зп—k = p различных связей. Если из k уравнений системы (а) определить величины q\, q2, ..., qh в функ- функции k величин из X,, уи ..., zn и подставить в оставшиеся Зл.—k уравнений (а), получим р зависимостей между координатами х\, г/1, 2], ..., хп, уп, zn, которые и будут представлять собой урав- уравнения связей. Условие разрешимости уравнений (а) относитель- относительно величин <7ь <72, •••, <7ь сводится к тому, что в прямоугольной матрице из частных производных II Оч dyi dz, II dqs dqs dqs содержащей k столбцов и Зп строк, хотя бы один из миноров &-того порядка будет отличен от нуля, т. е. матрица имеет ранг k. Пусть значения параметров qu q2, ..., qk определяют некото- некоторое положение системы. Рассмотрим близкое к данному положе- положение этой системы, которое определяется значениями параметров: <7i + 6ft, ft + 6ft, ... , qk + 6ft. Тогда вариации декартовых координат получат вид ^ 6ft, S^V-g^ft, 5zv = V-^5ft (b) a ЛЫ OQ id d S=I S=l S=l и все возможные перемещения системы можно будет задать при помощи вариаций независимых параметров 8ft, 8q2, ..., bqk- Пусть на точку системы с координатами xv, t/v, zv действует активная сила Fv (Xv, Yv, Zv). Необходимое и достаточное усло- условие равновесия 173
S (J№v + ^v5f/v + Zv8zJ = 0 (c) при помощи равенств (а) можно выразить через вариации неза- независимых параметров s=l s=l s=l или, после изменения порядка суммирования, s=l v=l Обозначив через Qs выражение, стоящее в квадратных скобках V^ I ^хч ^v ^zv \ Qs = / , ( Ху — г" 'v —; г ^v —"— I, ^ V dqs c)qs dqs j v и перепишем уравнение (d) в виде )fiqs = 0. (е) s=l Величины Qs называют обобщенными силами системы, соответствующими ^-той обобщенной координате. В дальнейшем всегда будем предполагать, что параметры q\, q2, ..., Ць. выбраны так, что для каждого положения системы для любого r@<r^fe) существует перемещение, определяемое условиями 5<7s=O, s^ r, ^гф0. и нет перемещений, при которых все 6^ = 0. Так, например, положение точки, вынужденной оставаться на окружности x2+y2=R2, определяется всего одним парамет- параметром. Но если в качестве такого параметра выбрать координа- координату у, то при х=0 частная производная дх/ду теряет смысл и координата у перестает удовлетворять определению лагранже- вых координат. Нетрудно видеть, что при х=0 возможному пе- перемещению точки соответствует значение бг/ = О, а вариация ко- координаты х становится неопределенной. Параметр у является координатой Лагранжа всюду, за исключением значений y=±R. Так как все 8#s совершенно произвольны и независимы, ра- равенство (е) будет справедливо лишь тогда, когда все Qs обра- обращаются в нуль, т. е. выполняются условия 174
Полученные k уравнений равновесия называются уравнения- уравнениями Лагранжа. Они определяют k неизвестных значений обоб- обобщенных координат q\, q2, .., qu, соответствующих положению равновесия системы. Выражение 2QSS<7S представляет собой сумму работ всех активных сил, действующих на систему, на произвольном воз- возможном перемещении системы, т. е. ЬА = ? Qsbqs. s=l Если сообщить системе возможное перемещение, соответствую- соответствующее изменению только одной обобщенной координаты, напри- например перемещение, определяемое условиями 6^ = 0 1ф\, б^>0, и подсчитать работу сил §А\ на этом перемещении, то получим соотношение для определения обобщенной силы Так можно подсчитать все обобщенные силы системы. Если существует силовая функция U(xit уь zu ..., zn), то бЛ = 6С/ и, выразив силовую функцию через обобщенные коорди- координаты Лагранжа, получим Qt = -T~ (»= 1,2,...,?). dq В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии сво- свободного твердого тела. Для определения его положения зададим координаты произвольной точки С твердого тела (рис. 130). Свяжем с точкой С декартову систему прямоугольных осей Cx\\j\Z\, перемещающихся поступательно, и систему Cx2y2Z2, не- неизменно связанную с твердым телом. Положение последней си- системы относительно осей Cx\\]\Z\ определим углами Эйлера Ф, г|з, ft. Каждую из шести величин \, ц, ?, ср, ty, ft можно изме- изменять независимо от других. Все они полностью определяют по- положение твердого тела в пространстве. Если все названные параметры остаются неизменными, то не будет двигаться и твер- твердое тело. Параметры 1, г\, ?,, ср, ^, ft являются определяющими координатами системы. Декартовы координаты произвольной точки твердого тела могут быть выражены через эти параметры. В самом деле, для произвольной точки твердого тела имеем 175
Записав таблицу направляющих косинусов углов, образованных ОСЯМИ Х\, У], Z\ С ОСЯМИ Х2, f/2. %2 h ч Уъ а Р Ух «X Pi Yi Ч «а Р2 Ъ z \# lil N \ т 1 /у ^^ Ч -^ Рис. 130 Рис. 131 заметим, что система Cx2y2Z2 может быть получена из системы Cx\y\Z\ тремя конечными поворотами (рис. 131), которые опре- определяются следующими формулами преобразования: хг = х' cos i|) — i/'sini|), y1 — Ar'sinip + y'cosij), г1 = г', х' — х", y'=y"cos$ — z'sinft, z' = у" sin § -J- г"cos§, x" = хг cos ф — yt sin ф, ^/" = x2 sin ф -f- У% cos Ф> z" = г2- Тогда результирующее преобразование получит вид xt = л;2 (cos ф cos oj) — sin ф cos ft sin i|>) + t/2 (— sin ф cos гр — — cos ф cos § sin i|>) + z2 sin ft sin ip, t/, = x2 (cos ф sin aj) + sin ф cos ft cos if>) + y3 (— sin ф sin г|з + 4- cos ф cos ft cos гр) — z2 sin ¦& cos oj), 2j = л:2 sin ф sin ft + #2 cos ф sin ft + гг cos d. 176
Сравнивая полученные формулы с выражениями получим значения направляющих косинусов, выраженных через углы Эйлера a = соэфсоэгр — sin ф cos 0 sin гр, р = — sin ф cos г]з — — cos ф cos^fl1 sin г|), y = s'n ® s'n 'Ф' ax = cos ф sin aj) + sin ф cos § cos ty, Pi = — sin ф sin гр -f -f соэфсозгрсоэд, Yi = — c сха^втфвтф, р2 = cos ф sin ¦&, Y2 = Эти формулы устанавливают явную зависимость декартовых координат от независимых параметров, определяющих положе- положение твердого тела. Возможные скорости точек Mv твердого тела удовлетворяют формуле Эйлера vv = vc 4- [*л, CMV]. Для проекций возможных скоростей точек твердого тела на оси получим u + qzv — гуч, —— = v + rxv — pzv, ы —— = w + pyv — qxv- Отсюда сразу находим проекции возможных перемещений точек сис- системы 8,vv = (и + qzv — n/v) 8^, byv = (v 4- rxv — pzv) Ы 8zv = (w -\- рг/v — qx\) 8^- Полученные формулы устанавливают зависимость возмож- возможных перемещений от проекций мгновенной угловой скорости твердого тела р, q, r. Последние определяют только возможные перемещения твердого тела. Декартовы координаты х, у, z точек твердого тела не могут быть выражены через р, q, r. Предполагая, что на точки твердого тела действуют актив- активные силы Fv, запишем принцип Бернулли в виде S (Fv> 6rv) = 0, 177
где 6rv = (vc + [w, CAfv]Nf. Тогда после подстановки будем иметь 8*2 (FVt vc + [<*>, CMV]) = О, или откуда следует 2(Fv,vc)-i 2(Fv>[ (ve, SFV) + («2 [rv, = 0. Это уравнение должно выполняться при любых возможных пе- перемещениях твердого тела, находящегося в равновесии, т. е. при произвольных значениях vc и ©, что возможно, если удовлетво- удовлетворяются условия SFV = 0, 2 [rv, Fv] = 0, являющиеся известными уравнениями равновесия твердого тела. Пример 50. Два одинаковых стержня АС и СВ, каждый длиной 21 и весом Р, связаны между собой шарниром С и опираются на неподвижный цилиндр радиуса г с горизонтальной осью (рис. 132). Найти угол ЛСВ = 2ф при равновесии системы и угол я|з, который биссектриса этого угла составляет с вертикалью. Рис. 132 Решение. Параметры ф и г|> полностью определяют положение си- системы и потому могут рассматриваться как лагранжевы координаты. Тогда уравнения равновесия получат вид Первое из этих уравнений получаем, полагая что \]> не изменяется при воз- возможных перемещениях системы. Определив координату #с центра тяжести системы 178
/ г == — / cos го — cos V Y smcp j получим уравнение равновесия Р&Ус ! '¦ cos ср \ Q --= — 2 —— = 2Р — / sin Ф + . Y cos i|> = 0. ф бф \ 8Ш2ф / Полагая, что при возможных перемещениях но изменяется ф, получим = - 2 Р6ус I r ~ 2Р / I = - 2Р / cos <p - \ sin i|> = 0. Этим уравнениям удовлетворяют следующие решения: 1. sin т|> -= 0, что возможно только при ф = 0, и угол ф определяется из уравнения Г COS ф —/sin ф+ . т =0. 2 2. cosij)=0, что возможно, когда г|з=я/2 или \f = 3 деляется из уравнения t, угол ф здесь опре- опре/ cos ф — sin ф ¦ — 0, и, следовательно, должно быть выполнено условие 2r^t. Стержень АС не оторвется от цилиндра только тогда, когда угол Р=1ф—Ф будет отрицатель- отрицательным. Последнее выполняется только при ф>90°, что противоречит условию для определения ф. Если 1=2г, то уравнения равновесия имеют еще одно решение: ф=л/4, ч|;^л/4, образующее в нуль выражения, стоящие в круглых скобках. Замечание. При определении обобщенных сил необхо- необходимо следить за тем, чтобы все обобщенные силы определялись в одной и той же системе независимых переменных. Поясним это на примере. Пример 51. Система состоит из двух материальных точек А и В, свя- связанных между собой нерастяжимой нитью АВ длины /2 и соединенных с не- неподвижной точкой О нерастяжимой нитью длиной U (рис. 133). К точке А при- приложена вертикальная сила Fi, к точке В — горизонтальная сила F2 Опреде- Определить положение равновесия системы, Решение. Выберем сначала за независимые переменные углы ф и \f, которые образуют соответствующие нити с вертикалью. Определяя обобщен- обобщенные силы в этой системе переменных, получим <Эф = 1г [— Fx sin ф -f F3 cos ф] -= 0, Q^ = l2Fz cos i|> = 0, откуда имеем следующие условия равновесия: iJ>=90°, tgq>-=—-. Если же за независимые переменные выбрать углы ф и О (ф определен выше, а О угол между направлениями нитей), то уравнения равновесия получат вид <?ф = sin ф + F2 [h cos ф + l2 cos (ф = 0, 179
хотя условия равновесия и не изменяются. _Ml_Hicoi0L Fl + Flsin^) * Пример 52. Определить выражение обобщенной силы для твердого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси г. Решение. Возможное перемещение сводится к повороту вокруг не- неподвижной оси. Примем эту ось за ось г. Тогда для определения проекций возможных перемещений можно будет записать матрицу »0 0 6ф|| *v Уч г\ И* откуда будем иметь 6xv = — yv6(f, 6yv — xv6y, 6zv -= 0. Подсчитывая работу активных сил на этом возможном перемещении, получим 2 (Xv6a-v + Yy8t,v + Zv6zv) = 2 (- yvXv + x^YJ бФ = М2бФ, где Мг = 2 (xvYv ~ yvXv) представляет собой сумму моментов активных сил относительно оси г, т. е. обобщенная сила сводится к моменту результирующей пары. 3. Общие теоремы о равновесии системы материальных то- точек. Пусть связи, наложенные на систему материальных точек, допускают поступательное перемещение всей системы материаль- материальных точек вдоль некоторой неподвижной оси, которую всегда можно принять за ось х. Для этого возможного перемещения будем иметь 8xv = a, 6j/v = 6zv = 0 (v = 1, 2, ... , п), п тогда в соответствии с принципом Бернулли условие равнове- равновесия запишется в виде aS^v = О, где a — отличный от нуля множитель. Отсюда следует, что необ- необходимым условием равновесия является равенство нулю суммы проекций всех активных сил на ось х. I,XV = 0. Предположим, что наложенные на систему связи допускают поворот всей системы, как одного целого, вокруг неподвижной оси. Примем эту ось за ось z. Скорости точек тела, вращающе- вращающегося вокруг оси z, определяются известными формулами Эйлера <, = — «Ч/v, У'ч = a*v. г; = 0, 180
откуда для возможных перемещений получим 8л\, = — t/v8<p, 6i/v = Xv&p, 82V — О, где 8ср угол поворота вокруг оси г. Подставляя эти значения в об щее уравнение равновесия 2 (Xv6xv 4- Kv6i/V -- Zv8zv) = О, будем иметь а условие равновесия получает вид т. е. необходимым условием равновесия системы материальных, точек является равенство нулю суммы моментов всех активных. сил, действующих на систему, относительно оси z. Рассмотрим равновесие твердого тела. Произвольное мгно- мгновенное перемещение твердого тела, как известно из кинематики,, сводится к мгновенно-винтовому перемещению. Пусть ось 2 — ось винтового перемещения твердого тела. Если обозначить че- через 80 бесконечно малый угол поворота твердого тела вокруг оси z, а через 5г величину поступательного перемещения твердо- твердого тела вдоль оси 2, то для винтового перемещения будем иметь. бг =- Ш\ где k — параметр винта. Из общего уравнения статики 2 (Хфх^ + Yv8yv -г ZV62V) = О будем иметь 8й2 (*VKV — ywXy) + §22ZV = О, или 6tt [2 (jcvyv — tjvXJ -f ?2ZV] =¦= 0. Обозначая через Mz сумму моментов активных сил, действующих на твердое тело, относительно осп г, перепишем последнее урав- уравнение в виде ЬЬ (Мг + kZ) = 0. Отсюда следует, что для равновесия твердого тела необходимо- выполнение условия Мг + kZ = 0. Замечание. Из того, что произвольное возможное пере- перемещение твердого тела всегда может быть сведено к поступа- поступательному перемещению и к вращению вокруг некоторой оси, нетрудно сделать вывод, что в самом общем случае обобщенные силы имеют размерность силы или момента силы. 181
4. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Рассмот- Рассмотрим голономную механическую систему, подверженную действию активных сил Xv, У%, Zv и стесненную идеальными связями, аналитические выражения которых имеют вид // i*i' «/i. 2i. *2. Уг> 22> ¦ • • > *л. Ул. 2„) < 0 Га) (/= 1, 2,3 т<3п). Будем предполагать, что в рассматриваемом положении равно- равновесия все связи оказываются в натянутом состоянии. Кроме того, ¦будем предполагать, что матрица Якоби, составленная из част- частных производных dxl ' dy1 ' dx2 dfm Щт dfm tfn _ __ dxy ' %x ' dzx ' dx2 ' ' dxn ' dgn ' dzn имеет хотя бы один отличный от нуля минор m-того порядка. Тогда при натянутых связях т. координат точек системы могут быть представлены в функции й = 3я—т остальных. Сообщив системе произвольное возможное перемещение, за- заметим, что на этом возможном перемещении либо все связи остаются в натянутом состоянии, либо некоторые из связей осво- освобождаются (переходят в ненатянутое состояние). В самом общем ¦случае возможные перемещения будут подчинены условиям (Ъ) j =1,2, ... , т. Условие равновесия системы 0 (с) содержит вариации координат 6лч>, 6yv, 8zv, которые не могут быть выбраны произвольно, а подчинены условиям (Ь). Чтобы отсюда получить условия равновесия, следует исключить зависи- зависимые вариации координат. Это исключение можно провести, вос- воспользовавшись методом неопределенных множителей Лагранжа. Для этого умножим сначала каждое из условий связи (Ь) на неопределенные пока множители kj и добавим получающийся результат к левой части неравенства (с). В результате получим сумму 182
VV,, которая обращается в нуль на неосвобождающих перемещениях системы. Группируя коэффициенты при одинаковых значениях 8xv, 8«/v, 82^, для неосвобождающих перемещений будем иметь V=I где величины 8xv, Sj/v, 6zv подчинены условиям (b) со знаком равенства. Предполагая уравнения связи (Ь) независимыми, заметим, что т величин 6xv, Ьуч, fizv являются в этом случае- зависящими от k = 3n—т остальных. Последние могут прини- принимать произвольные значения. Подберем теперь произвольные множители Xj таким образом, чтобы коэффициенты при всех, зависимых перемещениях обратились в нуль. Тогда равенства (d) будет выполняться на любом неосвобождающем перемеще- перемещении системы лишь в том случае, когда все коэффициенты при оставшихся независимых перемещениях 6xv> &/v, 8zv обращают- обращаются в нуль. Иначе говоря, коэффициенты при т независимых ва- вариациях обращаются в нуль вследствие соответствующего выбо- выбора множителей Xj, а коэффициенты при независимых возмож- возможных перемещениях обращаются в нуль потому, что иначе урав- уравнение (d) не будет выполняться на всех возможных перемеще- перемещениях системы. Таким образом, для удовлетворения уравнения (d) необходимо приравнять нулю все коэффициенты прибху, 8#v. 8zv, в результате чего получим уравнения эти Зп уравнений вместе с т уравнениями связи (а) опреде- определяют Зп + т неизвестных величин (Ъп координат xv, yv, zv в положении равновесия системы и т множителей Xj). Рассматривая теперь освобождающие перемещения, для ко- которых условия (Ь) и (с) выполняются со знаком неравенства, нетрудно видеть, что в положении равновесия и для этих пере- перемещений имеет место равенство 6Л + Zbfif, =. О, (f> 18а
так как в положении равновесия равны нулю все коэффициенты при x 6j/v, 6zv. Перепишем равенство (f) в виде Здесь правая часть равна нулю для всех неосвобождающих пе- перемещений системы и больше нуля для освобождающих переме- перемещений, поэтому 2ЭД > 0. (g) Рассмотрим такое освобождающее перемещение, при кото- котором освобождается только одна связь (например, связь /j)> так что на этом перемещении будем иметь Тогда из условия (g) получим что возможно лишь при Проводя аналогичные рассуждения для связей B, fi, ..., fm, при- придем к заключению, что в положении равновесия все множите- множители %j должны быть отрицательными. Уравнения (е) называются уравнениями равновесия с мно- множителями Лагранжа. Они справедливы как для освобождающих, так и для неосвобождающих связей. Положительные значения множителей X; не отвечают положениям равновесия системы лишь в том случае, когда рассматриваются освобождающие связи. Все рассуждения относительно знаков Xj теряют смысл для тех kj, которые соответствуют двухсторонним связям. Для этих ¦связей на всех возможных перемещениях системы имеет место условие 6fj = 0, поэтому соответствующие множители >,5- могут иметь произвольные знаки. Пример 53. Через бесконечно малый блок О (рис. 134) перекинута веревка, к концам которой прикреплена невесомая палочка АВ. Найти положе- положение равновесия системы, если на концах палочки подвешены два груза Р и Q. Решение. Обозначая через у\ и у2 вертикальные координаты то- точек А и В, запишем общее уравнение статики в виде На систему наложены следующие связи: 1. Условие неизменяемости длины палочки, которое можно представить уравнением h - (*i ~ *4* т- (й - Уд2 - а- = О 184
2. Условие неизменяемости длины нити (предполагается, что нить все- время находится в натянутом состоянии), которое записывается равенством /.= !/"*? +iff+ ]/If + ]|"-/ = 0. Дифференцируя эти уравнения связи, получим в/i = 2 W - *,) (8^ - 6х2) + 2 (^ - #2) F^ - 6Й) = О, _j_ x26a.-2 -f у.,Ьу2 _ = у///////////////////////. Рис. 134 В X Рис. 135 Применяя метод множителей Лагранжа, запишем следующие уравнения рав- равновесия: к = 0, = 0, — х2) (с) ¦ = о, к которым еще необходимо присоединить два уравнения связи. Складывая, }равнения (а) и (с), находим 3 д V 4 + ¦ + ¦ = 0. 185
Отсюда следует, что при равновесии один из сомножителей обращается в нуль. Но если бы Я2=0, то, складывая (Ь) и (d), мы получили бы •что противоречит условиям задачи. Следовательно, в нуль должен обратиться второй множитель, откуда имеем Но из чертежа видно, что = cos а, г^пгг" = cos 6, + У~2 •следовательно, cosa=cosP или а = {3, т. е. в положении равновесия ветви нити ¦образуют равные углы с осью х. Умножая теперь первое уравнение иа yjxi и вычитая результат из (Ь), будем иметь Аналогично из (с) и (d) получим Тогда Р х — = — -2-, или Ркг + Qx2 = 0, т. е. при равновесии сумма моментов сил Р и Q относительно точки О должна быть равна нулю. Можно отметить еще и частные решения полученных уравнений, которые получаются при xl=x2=Q, т. е. когда палочка занимает вертикальное поло- положение. Пример 54. Тяжелая однородная палочка АВ скользит своими кон- концами по вертикальной и горизонтальной гладким прямым. К нижнему концу палочки приложена горизонтальная сила F (рис. 135). Определить положение равновесия палочки. Решение. Если связи в точках А и В рассматривать как двусторон- двусторонние, то уравнения связей представятся равенствами я из принципа Бернулли будем иметь Применяя метод множителей Лагранжа, отсюда получим - ~ Ч - F6x2 + ^бд* + Хфуг + 2Я.з (Xl - хг) Fх, - дхг)
Откуда, приравнивая нулю коэффициенты при бхь 8/2, б^, 6г/2, будем иметь \1 + 2\3(х1 — х2) = 0, — F — 2А,3(х, — *.,) =0, — -у- —2Л3 (и — ^i) = 0, Л2 + 2Л3 (y3 — yi) = 0. Принимая из условий связи, что *1 = г/2=0, эти уравнения можно переписать в виде --у-+2^=0, ^ Складывая первое и второе уравнения, получим %1—F = 0, или k1= и из третьего и четвертого уравнений найдем откуда видно, что оба множителя \\ и h2 положительны. Умножая второе уравнение на у\, третье на Хч и вычитая третье из вто- второго, получим откуда угол ф определяет положение равновесия системы. Если наложенные связи являются освобождающими, то уравнения свя- связей запишутся в виде f1==~Xl<0, f,=~y1<0, h=(x1^x^+(y1-~y^~P=--0, а условие равновесия 6х3) + 2Л (S^ — Ъу2)\ = 0, отсюда получим уравнения равновесия — ^ — 2x2^3 = 0, —F+2X3x2 = 0, откуда будем иметь Аа=—F<0, X2=— mg<0, F mg 2(/j mg 187
т. е. при равновесии mg Img Чтобы получить отрицательное значение для )»э, необходимо и третью связь рассматривать как освобождающую, предполагая, что расстояние между точ- точками не может быть меньше длины стержня, т. е. h = Р ~ (*i - *•)" - (У1 - УгУ < 0. 5. Определение реакций. Обозначим через Rvx, Rvy, Rvz про- протекции на неподвижные оси координат силы реакции, действую- действующей на v-тую точку системы. Тогда уравнения равновесия каж- каждой точки системы можно будет записать в виде Xv+-Rvx=0, Yv + R4g = 0, Zv + Rvz=--0 (v=l,2 n). (h) 'Сравнивая эти уравнения с уравнениями равновесия (е), заме- заметим, что они совпадают, если положить (v= 1,2, ...,«)¦ "Эти соотношения можно использовать для определения реакций связи. Рассмотрим вектор RJ, с проекциями гколлинеарный вектору п нормали к поверхности /,- = const в точке (jcv, J/v, 2V), причем вектор п будем считать "направленным в сторону возрастания функции /, F/;<0) (рис. 136). Вектор R{, будет направлен в сторону убывания функции /(- и определит реакцию, дейст- действующую на v-тую точку со стороны связи /,-. Замечание. Уравнения равновесия со множителями для освобождающих связей получены из принципа возможных пере- перемещений при рассмотрении неосвооождающих перемещений. Эти уравнения определяют как положение равновесия, так и реакции связей. Поэтому реакции односторонних связей могут быть всегда найдены в предположении, что связи являются дву- двусторонними. Пример 55. Исследовать условия равновесия шара иа гладком гори- .зонтальном полу, принимая последний за одностороннюю связь. .188
Решение. Уравнение равновесия с множителями имеет вид связь может быть задана условием / = — у < 0, поэтому df ду Отсюда реакция связи определяется однозначно и направлена вверх. Рис. 136 Пример 56. Исследовать равновесие тяжелой материальной точки, на которую наложены связи (рис. 137), fi = y — х<0, /2 = л2 + ^ —г2< 0. Решение. Из принципа возможных перемещений имеем - mgby + Хг фу - Ьх) + U Bx6* + 2у8у) = 0, откуда, приравнивая нулю коэффициенты при Ьх и ду, получим = 0. ¦Сначала рассмотрим случай, когда в натянутом состоянии находятся обе связи (положения 1 и 2). Тогда из уравнений связи будем иметь = х, х= Подставляя эти значения в уравнения равновесия, получим _ теУ% . _ mg 2 4r ' 1 2 Но такие значения Kv не могут соответствовать положениям равновесия (в по- положении равновесия все Яу<0), следовательно, при натянутых связях поло- положений равновесия не существует. 189
Если в натянутом состоянии находится только связь f\, то уравнения равновесия становятся противоречивыми: — mg + К = 0, — %1 = О, т. е. и в этом случае положения равновесия не существует. Если же оказывается натянутой только связь f2, то уравнения равновесия — mg + 2гД2 = 0, 2хЛ2 = О будем иметь решение причем Я2 принимает отрицательное значение лишь при у<0, т. е. возможно только одно положение равновесия (положение 3) х — 0, у=—г. Пример 57. Материальная точка с массой т находится внутри трех- трехосного эллипсоида с полуосями a, b и с. На точку действует сила тяжести, параллельная оси г, и сила отталкивания от оси г, пропорциональная рас- расстоянию точки от этой осн. Найти положения равновесия точки. Решение. Уравнение связи запишется в виде xi уъ гг Из принципа Бернулли имеем 6Л= — mgbz-\- kxbx-\- kyby < 0, k>0. Дифференцируя уравнение связи и применяя метод множителей Лагранжа, получим — mgbz + kx&x + kySy + 2Я (~ Ьх + ~ &у + ~ &г\ -= 0. Отсюда сразу получаем уравнения равновесия: 2Хх 2ку 11л Присоединяя сюда уравнение связи, найдем следующие решения: тес? тес 1\ v (\ ,. Г\ j Ь ^ Л _ г \ & 1) X — U, У — U, г— „*b.U, Z С, Л /Л Z ,'АЬ2 mgc2 2) х=0, Л = -—¦'" " 190
ka? п\ т _^__ ^** f\ — ' 2 Второе и третье решения существуют, если выполняются соответственно условия § 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Один из способов определения реакций связей был уже рас- рассмотрен при изучении уравнений равновесия с множителями Лаг- ранжа, когда связи задаются неявными уравнениями или нера- неравенствами. В общем же случае связи, наложенные на систему материальных точек, всегда могут быть заменены соответствую- соответствующими силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей. После такой замены система может рассматриваться как свободная от связей, но подверженная действию как активных, так и пассивных сил. Принцип Бернулли для такой свободной системы дает необходимые и достаточные условия равновесия в виде уравнения [(Хч +- Я«) 8*v + (Fv + Ryy) 6yv -|- (Zv + Я«) 6zv] = О, (а) V=I где Xm,Yv,Zv — проекции активных сил на неподвижные оси коор- координат; RvX, Rvy, Rvz— проекции сил реакции на те же оси. Величины 8xv, 8yx, 6zv теперь полностью произвольны, так что равенство (а) бу- будет выполняться для всех возможных перемещений лишь в том слу- случае, когда обращаются в нуль все коэффициенты при 8xv, Ьуч, 6zv, т. е. *v + /?v*=0, Kv + /?v» = 0, Zv + .Rv* = 0 (v-= 1,2, ... ,п). Последние уравнения и служат для определения реакций связи. Если по условиям задачи требуется определять не все, а лишь некоторые силы реакции, то система освобождается только от тех связей, реакции которых необходимо определить. Освобож- Освобождая систему от связей, тем самым добавляем ей возможные перемещения, которые раньше не допускались связями и на ко- которых будут работать реакции освобожденных связей. Подсчи- Подсчитывая сумму работ активных сил и сил реакции связей на осво- освобожденном перемещении, получим условия для определения реакций связи. Пример 58. Исследовать условия равновесия твердого тела, у кото- которого закреплены две точки О и О\ и на которое действуют активные силы Fv(^v *V Zv)> приложенные к точкам А^(х^, yv, zv) (рис. 138). Решение. Выберем начало неподвижной системы координат в точке О, я ось г направим по прямой 00\. Наложенные связи допускают вращение твердого тела вокруг осн г. Подсчитывая работу активных сил на этом воз- возможном перемещении, получим 191
где бср — угол поворота твердого тела вокруг оси г. Отсюда сразу же полу- получаем условие равновесия твердого тела, которое сводится к равенству нулю суммы моментов всех активных сил, действующих на твердое тело, относи- относительно оси г: Для определения реакции в точке Oi освободим твердое тело от связи в этой точке, заменив действие последней действием неизвестной силы R' (Rx> Ry> Rz)- Освобожденное от связи тело может вращаться как вокруг оси х, так и вокруг оси у. Сообщим твердому телу бесконечно малое воз- можпое перемещение, повернув его вокруг оси х на угол бф, и подсчитаем работу всех сил на этом возможном перемещении. Возможные перемещения точек твердого тела определятся из матрицы i|> О О так что В Рис. 138 Pl!C- 139 Из принципа Бериулли для освобожденного твердого тела будем иметь (xv6xv + Kv6i/V + z^ag + Rxbx' + R'yby' + /?;&' = о, v=l подставляя сюда значения вариаций координат, получим zvXv + *VZV) - й#убг|> = 0, —, или, после сокращения на 192
где Мх — сумма моментов активных сил относительно оси х, a h — расстоя- расстояние 00'. Точно таким же путем можно получить реакцию Rx, рассматривая поворот твердого тела вокруг оси у. Возможные перемещения в этом случае будут определяться из матрицы О бд О xv Ум zv так что Подставляя найденные значения вариаций координат в общее уравнение ста- статики, получим или Rx — — ^ Реакция R'z таким способом не может быть найдена, потому что любое воз- возможное перемещение точки О' твердого тела ортогонально направлению силы Rг, и задача оказывается статически неопределимой. Пример 59. На гладкой горизонтальной плоскости лежат несколько одинаковых однородных цилиндрических труб. Чтобы трубы не раскатыва- раскатывались, они подпираются двумя брусьями Л и В, как показано на рис. 139. Определить реакции брусьев. Решение. Для определенности рассмотрим пятнадцать труб, располо- расположенных, как указано на чертеже. Чтобы избежать рассмотрения статически неопределимой задачи, предположим, что расстояние между брусками А и В больше суммы диаметров нижних труб. Положение системы определим че- четырьмя параметрами а, E, у и ф (углы, которые образуют прямые, соеди- соединяющие центры труб нижнего и верхнего ряда с горизонталью), которые связаны соотношением 4r (cos а + cos p + cos у -+- cos ф) + 1г — Юг -|- а, (а) где а > 0 — сколь угодно малое число. Углы а, |3, у и ф подчиняются еще усло- условиям а<60°, Р<60°, Y<60°, ф< GO". (b) Будем предполагать сначала, что последние условия выполняются лишь в виде неравенств. Определив вертикальные координаты центров труб у у = 2r sin a, i/2 = 2r sin р, у3 = 2r sin у, i/4 = 2r sin <p, уь = 2r (sin а + sin f5), yt = 2r (sin f5 -f- sin y). y7 — 2r (sin ф -f- sin y) , y8 = 2r (sin а + sin p -f sin y), y3 = 1r (sin ф + sin у -\- sin p), y10 — 2r (sin а + sin P + sin у -f- sin ф). Запишем принцип Торричелли для системы с удерживающими связями: или, после подстановки значений yt — 2гР [4 cos аба + 6 cos рбр + 6 cos убу + 4 cos фбф] -= 0, (с) 7 Е. Н. Березкии 193
где величины ба, 6{1, 8у и 6ф связаны соотношением sin аба + sin рбр -|- sin убу +sin фбф =0. (d) Определив из последнего уравнения ба sin рбр + sin убу + sin ; tkt = — ; sm a и подставив это значение в равенство (с), получим уравнение для независимых параметров 6f$, бу, 6ф — 4 cos a sin рбр — 4 cos a sin убу — 4 cos a sin фбф + + 6 sin a cos f$6f5 -f 6 sin a cos убу -f- 4 sin a cos фбф = 0, Приравнивая нулю коэффициенты при бр\ бу и бф, приходим к следующим усло- условиям равновесия системы: 2 cos a sin р = 3 sin о cos р, 2 cos a sin у = 3 sin a cos у, cos a sin ф — sin a cos ф, которые можно переписать в виде 3 3 tgP=— tga, tgy;=—fga, tgtf = tga. Принимая во внимание неравенства (b), получим условия равновесия = Ytga a<P<60«. (е) Величины а и р должны удовлетворять уравнению (а), которое перепишется в виде cos a + cos p = 1 -|- . (f) 8г При р —» 60* отсюда находим предельное значение для а ат= 1,22г. В самом деле, ат = lim a— lim 8r [cos a -+- cos В— 1] ^ 8г [0,654 + 0,5— 1] s 1,22г. р-»ео° р-»бо° При уменьшении C левая часть равенства (f) будет увеличиваться, а следо- следовательно, будет возрастать и а. Таким образом, предполагая связи (Ь) в по- положении равновесия выполненными в виде неравенств, устанавливаем, что в положении равновесия должно быть а > 1,22г. Лишь при выполнении этого неравенства нижние трубы в положении равно- равновесия не будут касаться друг друга. Уменьшая а, мы вынуждены будем отка- отказаться от предположения, что все связи (Ь) в положении равновесия выпол- выполняются в виде неравенств. Из условий (е) следует, что первыми переходят в равенство связи р< 60* и у<60*. 194
Рассмотрим теперь только такие состояния системы, для которых выпол- выполняются условия a<60V P = y=60#, ф<60°. Уравнение связи для возможных перемещений (d) приобретает вид sina6a + sin фбф = 0, 8р* = 6\ = 0. (d') Общее уравнение статики для рассматриваемой системы перепишем в виде — 2Рг D cos аба -+- 4 cos фбф) = 0. (с') Система линейных относительно ба и бср уравнений (d') и (с') обладает ненулевым решением, если обращается в нуль определитель = 0, или sin a sin cos a cos ф sin (a — q>) = 0. Отсюда следует, что в положении равновесия должно быть а= ф. Тогда из уравнения связи (а) находим 1 1 а cosp" = T, C°Sa = T + "^7- Как видно из последнего соотношения, при а —»0 получим а-* 60°. Для определения реакции в точке А, освободим систему от связи, убрав брус А и заменив его действие силой реакции R. После такого освобождения системы параметры а и ф можно изменять независимо друг от друга. При этом должно выполняться условие 6|3=бу=О (при отличных от нуля 6E или бу системе сообщается освобождающее перемещение, на котором будут совершать отличную от нуля работу силы реакции труб, находящихся при равновесии в соприкосновении). Сообщим системе перемещение 6а < 0, бф = О, бр = Sy = 0 ;х сил, в том числе и работу угдем иметь 4Rr sin a6a — 8Pr cos аба = 0, и подсчитаем работу всех сил, в том числе и работу силы R, на возможном перемещении системы. Будем иметь откуда следует R -= 2Р ctg a. Если а —»0, то a —» 60° и /3" * 2Р Заметим, что на рассматриваемом перемещении опускаются вниз четыре трубы. У остальных труб вертикальные координаты не изменяются. Если обозначить через Q вес опускающихся труб (в нашем случае Q=4P), то пре- предельное значение силы реакции будет равно 195
§ 5. РАВНОВЕСИЕ НИТИ Задача о равновесии нити очень распространена в инженер- инженерной практике. С ней связаны вопросы определения натяжений электрических проводов, цепей висячих мостов, тросов канатных дорог и т. д. Вместе с тем многие прикладные задачи механики нити не имеют теоретического решения до настоящего времени. Особенно большие затруднения вызывают задачи динамики нити, имеющие большое прикладное значение, например в текстильной промышленности. Механикой нити стали заниматься сразу же после открытия дифференциального исчисления. И. Бернулли изучал равновесие тяжелой однородной нити и установил фор- форму цепной линии. Дальнейшее развитие механики нити связано с именами Эйлера, Резаля, Кельвина, Рауса. 1. Уравнения равновесия. Рассмотрим задачу о равновесии гибкой нерастяжимой и несжимаемой нити длиной /, закреплен- закрепленной своими концами в неподвижных точках А я В (рис. 140), на которую действуют непрерывно распределенные силы. Под нитью будем понимать систему материаль- материальных точек, сплошь покрывающих некоторую линию. В действительности всякая нить имеет толщину, но в тех случаях, когда длина нити достаточно велика по сравнению с толщиной, влиянием толщины можно пре- пренебрегать. Обозначим через р линейную плотность нити, т. е. отно- отношение массы какого-либо элемента нити к его длине. Если обозна- обозначить элемент массы через dm, а элемент длины через ds, то плот- плотность выразится в виде О Рис 140 Обозначим через s длину дуги нити, отсчитываемую от какого-либо начала в определенном направлении. Для определенности примем за начало точку А и положительным будем считать направление от точки А к точке В вдоль нити. Выделяя на нити элемент ds, будем предполагать, что внешние силы, действующие на этот элемент, можно представить одной силой Fds, приложенной в некоторой точ- точке элемента. Проекции этой силы на неподвижные оси координат равны Xds, Yds, Ids, где X, Y, Z —проекции вектора F, который назовем силой, отнесенной к единице длины. Пренебрегая разме- размерами элемента ds, будем рассматривать его как одну материаль- материальную точку с массой dm, находящуюся под действием силы Fds, связанную с соседними элементами. Координаты этой точки обоз- обозначим через х, у, г, а ее возможные перемещения через Ьх, 6у, &г. 196
Чтобы из принципа возможных перемещений получить урав- уравнения равновесия нити, нужно вычислить сумму работ всех актив- активных сил на произвольном возможном перемещении всей нити, при- принимая во внимание, что возможные перемещения стеснены услови- условием нерастяжимости и несжимаемости нити. Для этой цели можно использовать метод неопределенных множителей Лагранжа. Эле- Элементарная работа силы Fds, действующей на элемент ds, на воз- возможном перемещении элемента имеет вид Ydsby + Zdsbz. Сумма элементарных работ i А = [(Xdsdx-r Yds by f Zdsbz) = 0. (a) о Условия связи, накладываемые на возможные перемещения эле- элемента ds нерастяжимостью и несжимаемостью элемента, запишутся в виде равенства ds = ]/(dxf + (dy)* + {dzY =_ с = const, откуда bds^O, или, если обозначить f = V(dxf -\- (dy)* + (dzJ - с =- 0, получим л, _ dxb dx-\-dyS dy -\- dzbdz _ „ Y (d*J + (dyf + (dzf Умножая это уравнение на неопределенный множитель % и интег- интегрируя по длине нити, будем иметь dx б dx + dybdy-\-dzbdz \ п / Г I J о где множитель к является функцией s и имеет свое особое значе- значение для каждого элемента ds. Складывая (а) и (Ь), запишем ус- условие Лагранжа i 8dx+ bdy 5й]=0 (с) ds ds ds ) о 197
На концах нити возможные перемещения удовлетворяют сле- следующим условиям: s = 0, s = I, 8x = 8y=bz = 0, причем справедливы равенства 8dx = d8x, 8dy = d8y, 8dz=dbz. В самом деле, рассматривая координаты х, у, z элемента ds как функции длины дуги s, с точностью до малых второго порядка бу- будем иметь dx а* х (s + ds) — х (s), тогда 8dx = 8х (s + ds) — бх (s) = dbx (s) и уравнение (с) можно будет переписать в виде i dx+dy+ ds ds ds Интегрируя по частям i i \ a d ox = I ox — \ 8x л ds J ds ds о J ds \ ds J о о и принимая во внимание, что бдг[s=o = 0 и 8д:|5=/ = 0) получим ( J ds J ds \ ds J о о Аналогичные формулы имеют место для у и 2. После такого преоб- преобразования уравнение (d) перепишется в виде Чтобы отсюда получить уравнения равновесия, следуя методу Ла- гранжа, необходимо приравнять нулю коэффициенты при 8х, 8у, 6z, т. е. положить ds \ ds J ds \ ds 198
ds ds = 0 в каждой точке нити. Полученные уравнения являются уравнения- уравнениями равновесия нити с множителями Лагранжа. После исключения из этих уравнений к получим уравнение кривой, определяющей форму нити при ее равновесии. Переписывая уравнение (е) в виде Xds — ds Zds—dX Yds — drk dz ds dy_ ds = 0, = 0, заметим, что вторые части этих уравнений представляют собой рав- равнодействующую сил реакций, действующих на элемент ds со сто- Рис. 141 Рис. 142 роны соседних элементов. Для идеально гибкой нити такими си- силами реакции являются только силы натяжения нити Т, Т\, направ- направленные вдоль нити (рис. 141). Сумма проекций этих сил на ось х имеет вид ds ds ds где dx/ds — косинус угла между положительным направлением оси х и положительным направлением касательной к нити. Сравни- Сравнивая это уравнение с ,(f), получим Т = — X. Отсюда видно, что множитель К определяет силу натяжения нити, а уравнения равновесия нити можно представить в виде Xds-rd[T—)=0, ds I ds 199
2. Естественные уравнения равновесия нити. С элементом ds нити в некоторой ее точке М свяжем систему прямоугольных осей, определяемую единичными векторами t, n, р, (рис. 142), первый из которых направлен по касательной к нити в точке М, второй — по главной нормали, третий — по бинормали. Обозначим направ- направляющие косинусы касательной через а, р, у, направляющие коси- косинусы нормали — через а', р', у', направляющие косинусы бинор- бинормали — через а", р", у". Тогда уравнения равновесия нити (g) можно будет записать в виде as ds ds или, воспользовавшись формулами Френе — Серре _da___c?_ _dp_ _ _р^_ dy у' ds p ' ds p ' ds p в виде -^-а + Г —= 0, Y+^-Q + T-? ds p ds p Умножая каждое из этих уравнений соответственно на а, р, у и складывая, получим Ха + Ур + Zy f -2L (a8 + Ра + t) + ds ^ + ^ + y^ ds ds ds Здесь первая сумма Ха + Fp + Zy = FT представляет проекцию силы, отнесенной к единице длины нити, на касательную к нити в точке М. Имея в виду соотношения a2 + p2 + Y2 = it (х, n)=aa' + pP'-+-YY'=0, перепишем полученное выше уравнение в виде Умножая каждое из уравнений (h) соответственно на а', р', у' и складывая, получим 200
Xa' + УР' + Z? + 4L („и' + рр' -|. YY') 4. as P Первая часть этого уравнения представляет проекцию силы, отне- отнесенной к единице длины, на главную нормаль. Принимая во вни- внимание соотношение получим Р Умножая далее уравнения (h) соответственно на а", р", у" и скла- складывая, будем иметь Xa" + FP" -} Z\" + ^r («a" + PP" ~ YY") + as + 1. (av H p'p- 4 YY) = 0, P откуда находим Полученные уравнения FT + -^ = 0, Fn + ^ = 0, Fp=0 (i) ds p являются уравнениями равновесия нити в проекциях на естествен- естественные оси координат, или естественными уравнениями равновесия нити. Из первого уравнения (i) имеем dT = — Fxds -.— (Xa+Ур 1 Zy)ds =, —(X — + Y -^- + Z —)ds, \ ds as ds I ИЛИ dT = — (Xdx + Ydy л-Zdz). Если силы допускают существование силовой функции, то по- последнее уравнение перепишется в виде dT = —dU. Интегрируя это соотношение, получим T^ — U + h, где U = U(x,y,z), (j) т. е. при наличии силовой функции натяжение нити в произвольной точке М полностью определяется через координаты этой точки. 201
Зная форму нити и натяжение в некоторой точке, можно опреде- определить натяжение в любой другой точке нити. Пример 60. Исследовать положение равновесия нити, к точкам которой приложены параллельные силы. Решение. Предположим, что силы параллельны оси г. Тогда уравнения (g) приобретают вид d T dx ds Uo, dy ds = 0, Zds dz ds = 0. Интегрируя первые два уравнения, получим ¦ = А, Т dy_ ds где А н В — произвольные постоянные, на первое, будем иметь Разделив второе из полученных равенств dy dx = —— = const, Ay — Bx = Рис. 143 где С — новая произвольная постоянная. Это- Этому уравнению плоскости должны удовлетво- удовлетворять координаты всех точек нити, т. е. нить принимает форму плоской кривой. Пример 61. Определить форму равно- равновесия тяжелой однородной нити, закреплен- закрепленной в двух произвольных точках А к В. Решение. Силы тяжести — парал- параллельные силы, а потому нить будет располо- расположена в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В (рис. 143). Выберем систе- систему прямоугольных осей Аху с началом в точ- точке А так, чтобы ось х была расположена в плоскости нити горизонтально, а ось у на- направлена вертикально вверх. Координаты точ- точки В обозначим через а и Ь. Тогда уравнения равновесия (g) запишутся в виде = 0, (к) где р — вес единицы длины ннтн. Интегрирование первого из этих уравнений дает dx Т = А = const. ds dx Будем предполагать, что о>0. Тогда ~Т~>0. а значит, и i4>0. Подставляя найденное отсюда значение Т в последнее из уравнений (k), получим 202
Здесь дифференциал дуги ds = Vl + УЛ dx и, вводя обозначение А = kp, где fe > 0, будем иметь — pVl + y'* dx + kpdy' = О, или <V dx_ VTT^ ~ k ' Интегрируя это уравнение, получим или Обозначая через х0 координату х точки нити, в которой касательная к нити горизонтальна, так что прн х=х0, if=0 и, следовательно, с = ех°, будем иметь х—ха е к =y' + Vl + У'2 . Представим это уравнение в виде Вычитая второе уравнение из первого, будем иметь X Х0 X Хд откуда, интегрируя, получим X—Хо X— Хр У= у"(е * +е U ) + Cl где сх = уь ¦— k, уь < 0. Если ввести новые координаты l = x — xt, r\ = y + k —1/0, то последнее уравнение приобретет вид JL _ J_ Ti=Y(efe +e ft)> или т) = k ch —— k k 203
Последнее уравнение характеризует связь между координатами ? и i] и пред- представляет уравнение кривой, по которой располагается ннть при равновесии. Эта кривая симметрична относительно оси г\ и называется цепиой линией. Ось | называется направляющей цепной линии, а расстояние k самой нижней точки нити от оси | называется параметром цепной линии. Для определения натяжения нити можно воспользоваться уравнением T-A-f, dx откуда Подставляя сюда значение у', находим т. е. Т=-ГЩ- Отсюда видно, что натяжение нити возрастает пропорционально ординатам, если за ось ? взята направляющая цепной линии. Если представить, что ординаты — материальные прямые, сделанные из той же нити, то можно сказать, что натя- натяжение в каждой точке нити равно весу соответствующей ординаты. Уравнение цепной лииии k 2 содержит три параметра х0, j/o и k, которые могут быть определены из условий на концах нити. В самом деле, пусть точка В расположена выше точки А Тогда в точке A x=y=Q, и, следовательно, п /„ к | . к \ i „ и ИЛИ k В точке В х = а, у = Ь, откуда Ъ = -у(е k +е * ) + уо-к. Определяя длину нитн l a о о имеем Г» Л v v v v \п = \ds =.) С к dx ^ S к |о' Полученные уравнения позволяют определить три параметра хо, уо, к. 204
Покажем, что существует единственное положенне равновесия нити Для этого предварительно, вводя обозначение уо—fe=p, перепишем полученные урав- уравнения в виде — 1 откуда I — Перемножая Ъ = два Р- Хо ~{е k -+ «о -eft), а—Jto '-*¦'• ' а-*, fc(-e * 1 — е k +e '+е k последних уравнения, а у Р — ь2 а а + е k а (е а ь-Р-4 а—х0 к _е а—х. k -е ), 1 + Ь- получим -2)= *>( а (е к х га* k [е а—х0 к , х. + е k ] а—ж0 (г fe а 9fc -e еи е-1 2u а—jc0 е fe ] -г k а 2ft ^ -^ П И* U* W^ "зГ+ 5! ~ а у is _ 1,9 где м = -gT" • При «= 0 выражение обращается в единицу, а при возрастании о также неограниченно возрастает, т. е. при равиовесни или откуда I2 > а2 + Ь2 если а Ф 0. Последнее условие означает, что длина нити больше расстояния между точка- точками А и В. Если это условие выполнено, то можно определить а, и для постоян- постоянных k, хо, Уо получается одна-единственная система значений, т. е. существует одио положение равновесия. Пример 62. Определить условия равновесия гибкой иити, находящейся под действием центральных сил (силы, линии действия которых проходят через одну неподвижную точку — центр сил). Решение. В рассматриваемом случае момент силы, действующей иа элемент нити ds, относительно любой оси, проходящей через центр сил, равен нулю. Принимая за начало прямоугольной системы осей Oxyz центр сил, будем иметь (уЪ — zY) ds = 0, (гХ — xZ)ds=Q, (xY — yX)ds = Q. Умножая соответствующие уравнения равновесия нити (g) на х, у, z и скла- складывая, получим 205
ds \ ds / ds \ ds \ d In, dZ \ d I dx\ d I dz 0 = z Г — v —- T ds \ ds. ) d \ ds V ds j J ds V ds Переписывая эти уравнения в виде d \т (, dx dz I I n —— \T [г —— — л- —— = 0, ds \ \ ds ds и интегрируя их, получим f dz dy \ I dx dz T\y—--z-f-\=A, T z — -x—- \ ds ds J \ ds ds dy dx\ Х—— — У —— = C, ds as I где А, В и С — произвольные постоянные. Умножая первое из полученных урав- уравнений на х, второе на у, третье на г и складывая, находим Ах + By + Сг = 0. Полученное уравнение является уравнением плоскости, проходящей через начало координат, которому удовлетворяют координаты всех точек нити, т. е. при равно- равновесии нить имеет фигуру плоской кривой. Примем плоскость, в которой расположена нить, за плоскость Оху. Тогда А = В=0. Введем полярные координаты х = г cos ф, у = г sin ф, тогда ds ds ds и последний интеграл перепишется в виде 7У = С. ds Предположим, что силы, действующие на нить, зависят только от коорди- координат точек приложения сил и обладают силовой функцией. Тогда из уравнения (j) будем иметь и задача сводится к квадратурам, В самом деле, дифференциал дуги в поляр- полярных координатах равен поэтому интеграл можно записать в виде TV* (ЛрJ = С2 [(.drf -\- r' (iq>J] 206
или [TV* — г»Са] (ЛрK = С! (drI, откуда - Определив из (j') T как функцию г и подставив в полученное уравнение, найдем уравнение с разделенными переменными, определяющее форму равновесия нити.
Глава IV ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Динамика является главной частью механики. Она изучает движе- движение различных механических систем в зависимости от причин, вы- вызывающих это движение и влияющих на него. Причины эти в ме- механике называются силами. Этим она и отличается от кинематики, которая при изучении движения материальных объектов не прини- принимает во внимание причины, вызывающие это движение. В механи- механике обычно не рассматривается происхождение сил, а изучается только их действие на движущиеся объекты. Изучение динамики начнем с задач о движении таких тел, размерами которых можно пренебрегать, а положение которых может быть определено как положение геометрической точки. Такие тела, или частицы материи, называют материальными точками. В теоретической ме- механике все тела рассматриваются как совокупности взаимодейст- взаимодействующих материальных точек. Одновременно с изменением положе- положения каждое материальное тело, как бы мало оно ни было, может вращаться и деформироваться. Рассматривая движение материаль- материальной точки, будем изучать только изменение ее положения в про- пространстве, не интересуясь вращением и деформацией. Такое представление о материальной точке не лишено и реального смысла: подобной материальной точкой, с точки зрения механики, является центр тяжести твердого тела. В дальнейшем будет по- показано, что центр тяжести твердого тела движется как материаль- материальная точка, на которую действуют все силы, приложенные к этому телу. Всякое движение материальной точки можно определить лишь по отношению к другим телам, а ее положение относительно других тел может быть задано тремя координатами, относящимися к оп- определенному моменту времени. Обычно выбирают прямоугольные декартовы координаты, так как они проще связаны с длинами и расстояниями. Всякое движение происходит во времени. Моменты време- времени, к которым относятся координаты и расстояния, а также про- 208
межутки времени, становятся определенными, когда выбрана оп- определенная система отсчета. Измерение времени может быть в принципе произведено при помощи любого периодического процес- процесса. В практике же принято астрономическое измерение времени, основанное на изучении законов движения планет и вращения зем- земного шара. Фундаментальной единицей измерения времени являют- являются звездные сутки — промежуток времени между двумя по- последовательными верхними кульминациями точки весеннего рав- равноденствия. Время, протекшее от момента верхней кульминации точки весеннего равноденствия до любого другого момента, харак- характеризуемого другим ее положением, выраженное в долях звездных суток (звездных часах, минутах и секундах), называется звезд- звездным временем. Звездные сутки в качестве основной единицы времени неудобны, потому что начало суток при этой единице мо- может приходиться последовательно на любое время дня и ночи. По этой причине основной единицей времени выбрано среднегодовое значение солнечных суток — промежутка времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через меридиан данного места на земной поверхности. Продолжительность солнеч- солнечных с\ток зависит от годового движения Земли относительно Солнца, поэтому приходится брать среднегодовое значение солнеч- солнечных суток. Практической единицей времени считается секунда среднего солнечного времени, равная 1/86400 средних солнечных суток, что составляет около 1/86164,09 звездных суток. С 1 января 1963 г. в Советском Союзе введена международ- международная система единиц СИ, в которой за единицу времени принята 1 секунда, равная 1/31556 925,9747 тропического года для 1900 г. января 0 в 12 часов эфемеридного времени, не зависящая от не- неравномерности вращения Земли. Такой сопособ определения времени не является очень точным, поэтому в настоящее время для определения промежутков време- времени пользуются некоторыми естественными процессами, связанными с колебаниями атомов, период которых нечувствителен к внешним воздействиям. Но эти вопросы относятся уже к технике измере- измерения времени и в курсе теоретической механики не изучаются. Время, прошедшее между двумя событиями, называют про- промежутком времени, а границу между двумя промежутками называют моментом времени. В теоретической механике ус- устанавливается независимо от событий или от системы, в которой наблюдаются события, соответствие между моментами времени и действительными числами. Определенное так время называют аб- абсолютным идеальным временем. § 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ Свои основные положения динамика берет из опыта и наблю- наблюдений и с их помощью, а также с помощью кинематики и геометрии выводит законы движения. 209
Древние ученые имели смутное представление о законах дви- движения. Аристотель C84—322 гг. до н. э.) не знал еще закона инер- инерции, считая, что с прекращением действия силы тела прекращают двигаться. Только после долгих наблюдений над происходящими в природе движениями Галилеем был раскрыт один из основных за- законов движения, устанавливающий, что всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока внешние силы не выведут его из этого состояния. Этот закон не был сформулирован Галилеем в его универсальной форме, хотя Галилей и пользовался им в явном виде для объясне- объяснения различных явлений. Закон инерции Галилея является обобщением опытных фактов, накопленных человечеством. Опираясь на него, Ньютон сформули- сформулировал свои основные законы движения. Первый закон Ньютона. Всякое тело продолжает удер- удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние. Под телом здесь подразумевается материальная точка, а сила определяется как причина, изменяющая равномерное и прямоли- прямолинейное движение материальной точки. За меру силы Ньютон при- принял то ускорение, которое эта сила вызывает, в связи с чем сила в механике Ньютона называется ускоряющей. Первый Закон Ньютона называют еще законом инерции. Под инерцией понимают способность тела сохранять свое дви- движение или состояние покоя при отсутствии сил или изменять это состояние под действием сил. Связь между силой и ускорением устанавливает второй закон Ньютона. Второй закон Ньютона. Изменение количества движе- движения пропорционально приложенной силе и происходит по направ- направлению той прямой, по которой эта сила действует. Математически этот закон можно представить в виде урав- уравнения — (otv) = F, dt v ; где v — скорость движущейся точки; m — ее масса; mv — количе- количество движения. Считая массу материальной точки величиной посто- постоянной, второму закону Ньютона можно придать и другую матема- математическую формулировку: m F, dt т. е. ускорение, которое получает материальная точка, пропорцио- пропорционально действующей на точку силе. Это уравнение является основ- 210
ным законом движения материальной точки. Масса т входит в него как коэффициент пропорциональности между силой и ускоре- ускорением. Из этого определения видно, что масса является характе- характеристикой инертного свойства материальной точки, т. е. способности ее под действием заданной силы получать определенное ускорение. Так же, как и первый закон Ньютона, второй закон является ре- результатом обобщения многовекового опыта всего человечества и принимается как одна из основных аксиом механики. Третий закон Ньютона. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, другими словами — действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противопо- противоположные стороны. Этот закон рассматривался нами при изучении аксиом ста- статики. Можно заметить, что второй закон Ньютона содержит в себе и закон инерции Галилея. В самом деле, если положить F=0, то dv n , из второго закона следует = 0, или v = const, т. е. если сила не действует на материальную точку, то последняя движется рав- равномерно и прямолинейно. Тем не менее закон инерции Галилея устанавливает само понятие ускоряющих сил в механике. Из второго закона Ньютона следует, что так же, как и ускоре- ускорение, понятие силы в механике связано с определенной системой отсчета. Поскольку сила измеряется ускорением, которое она со- сообщает материальной точке, а ускорение имеет смысл только по отношению к той или иной системе отсчета, то и понятие силы должно быть относительным понятием и связано с выбором систе- системы отсчета. В различных системах отсчета математическая форма законов природы различна, однако существуют такие, так называемые инерциальные системы отсчета, в которых эти законы имеют наи- наиболее простой вид. Такими инерциальными системами называются системы отсчета, в которых материальная точка при отсутствии действующих на нее сил взаимодействия (по третьему закону Ньютона) движется равномерно и прямолинейно, т. е. системы, для которых справедлив закон инерции Галилея (силы можно считать отсутствующими в том случае, когда все тела, от которых эти силы могут исходить, достаточно удалены, так что можно пренебрегать их влиянием). С достаточной точностью такой инерциальной систе- системой можно считать гелиоцентрическую систему координат. В пер- первом приближении (для малых движений) система отсчета, связан- связанная с Землей, так же может рассматриваться как инерциальная система координат. Уравнение mj = F справедливо только по отношению к инер- инерциальной системе координат, в которой определена сила, действую- действующая на материальную точку. Для всякой другой системы отсчета, движущейся относительно данной инерциальной системы поступа- поступательно и с постоянной скоростью, законы Ньютона остаются спра- 211
ведливыми, так как основной характеристикой в этих законах яв- является ускорение, а не скорость. В большинстве технических задач, в которых движения точек ограничены, основная система отсчета может быть связана с Зем- Землей. Для астрономических задач принятие такой системы невоз- невозможно, и приходится учитывать вращение Земли, а за основную систему отсчета выбирать систему, связанную со звездами. Под- Подробнее эти вопросы будут рассмотрены в разделе, посвященном относительному движению материальной точки. § 2. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В ДЕКАРТОВЫХ ОСЯХ В динамике точки рассматриваются две основные задачи: 1. На материальную точку действует сила, определенная в каждой точке пространства. Требуется определить движение ма- материальной точки, происходящее под действием этой силы. 2. В некоторой системе отсчета задано движение материаль- материальной точки. Требуется определить силу или силы, под действием которых происходит это движение. Чтобы пояснить сущность первой из этих задач, рассмотрим уравнение Ньютона т\ = F, где j — ускорение точки в некоторой неподвижной системе коор- координат. Будем предполагать, что сила F, действующая на матери- материальную точку, определена в этой системе отсчета. За неподвиж- неподвижную систему отсчета выберем систему прямоугольных осей Охуг (все дальнейшие рассуждения остаются справедливыми и по отно- отношению к любой инерциальной системе). Вектор ускорения j будет иметь проекции d2xjdt2, d2y/dt2, d2z\dt2 на указанные оси коорди- координат. Обозначим проекции силы на эти же оси координат через X, Y, Z. Из равенства векторов F и т) непосредственно следует ра- равенство их проекций, откуда получаем три скалярных уравнения движения которые назовем уравнениями движения в проекциях на декартовы оси координат. Впервые эти уравнения бы- были получены Маклореном A698—1746). В общем случае силу, действующую на материальную точку, всегда можно представить как функцию времени, координат точки и ее скорости, т. е. F = F(f, х, у, z, х'.у'.г'). 212
В каждом конкретном движении сила может рассматриваться как функция времени. В самом деле, если известен закон движения, т. е. известны координаты точки как функции времени то, определяя из уравнений движения проекции силы на декартовы оси координат и подставляя значения х, у, г, взятые из закона движения, будем иметь X = mcp" (t), Y = mf (t), Z = m%" (f) • Иногда удобнее выразить правые части уравнений движения как функции только координат точки. Пусть, например, уравнение может быть разрешено относительно t t = Q>(x). Тогда вторая производная от х представится в виде Например, если х ¦= a sin t, то х" = — a sin t = — х, откуда X = тх" = — та sin t = — mx. Определять силу в функции только времени не всегда удобно при решении задач о движении, поэтому в общем случае силы представляют как функции времени, координат и скорости. Можно представлять силы и как функции ускорения точки. Но тогда эти силы уже не будут определять ускорение, т. е. не будут ускоряющими в смысле Ньютона. Для такого класса сил может быть построена механика, отличная от механики Ньютона. Если действующие на точку силы заданы, то уравнения дви- движения т = X, т —— = Y, m = Z dt* № dt* представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций х, у, z и общий интеграл этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных X = X (Г, С^, С2> ^3' ^4> ^Ъ' ^в)' У ~ У V' ^1> ^2' ^8> ^4> ^5> ?<$/> z--.z(t, clt с2, с3, с4, сь, св). В каждой конкретной задаче эти постоянные определяются из на- начальных условий, для чего должны быть заданы в начальный мо- момент to начальное положение и начальная скорость точки. Задача определения констант С\, с2, Сз, с4, Cs, cq по заданным величинам *о, Уо, z0> .to, уо, z0 сводится к разрешению системы уравнений 213
xo = Ф (to> Ск c2, cs, c4, cB, ce), y0 == i|> ft,, cx, c2l c8, c4, cB, ce), Z0 = X Uo> Cl> C2> C3> C4" C6> Св)> Xo =- ф' ft,, C1( C2, C3, C4, CB, Ce), l/o = 'Ф' ftp Cj, Ca, C8, C4. CB> Ce), zo = X' (^o> ci. C2. c3> c4) cB, ce) относительно cx, c2, c3, c4 cB ce. Для шести произвольных постоянных получим Ci = fi ftp *o> %- го- *о> Уо, zo) A = 1,2,..., 6), и если выполнены условия существования и единственности, то каждой системе начальных значений координат и скоростей будет отвечать одно движение. Для определения констант си с2, с3, с4, cs, cq могут быть приняты и другие, так называемые граничные условия (пред- (предложенные Гамильтоном). Они сводятся к тому, что рассматривает- рассматривается положение материальной точки в два различных момента вре- времени ^ = ^0 И t = ti. При t = t0, х = х0, у = у0, z = z0 При t = tlt Х = Хг, у = ух, 2 = 2! и из этих условий определяются значения произвольных постоян- постоянных интегралов. Вторая задача, задача определения силы по данному движе- движению материальной точки, требует задания структуры силы, так как ускорение точки представляется и как функция времени, и как функция координат и скорости точки. § 3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Во многих случаях описание движения материальной точки в декартовых неподвижных осях координат вызывает ряд неудобств. Тогда приходится искать другие системы координат, в которых это движение описывается более просто. Одна из таких систем коорди- координат может быть определена сопровождающим трехгранником Фре- не, который образуется касательной к траектории точки, главной нормалью и бинормалью. Такие оси называются естественными осями координат. Как известно из кинематики, проекции абсолют- абсолютного ускорения точки на естественные оси координат имеют вид Обозначая проекции силы на соответствующие оси координат че- через Fz, Fn, Fp, сразу же получим уравнения движения материаль- материальной точки в проекциях на естественные оси координат, или, как их еще называют, естественные уравнения движения 214
at p Из этих уравнений видно, что Fn всегда положительна, a ;Fp—0. Таким образом, сила, действующая на материальную точку, всег- всегда расположена в соприкасающейся плоскости к траектории точки и направлена в сторону вогнутости траектории. Если сила постоянно направлена по нормали к траектории, то Ft=0, откуда следует, что v = const, т. е. точка движется равно- равномерно. Если же сила постоянно направлена по касательной к тра- г, ~ то1 п ектории точки, т. е. гп=и, то = U, и так как v не равно Р тождественно нулю, то траектория точки —¦ прямая линия (р=оо). § 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ДЛЯ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 1. Теорема об изменении количества движения материальной точки. Будем изучать движение точки М относительно системы Oxyz под действием силы F(X, Y, Z). Пусть v-—вектор скорости точки. Введем в рассмотрение вектор Q=mv, называемый количест- количеством движения точки. Проекции этого вектора на оси х, у, z будут иметь вид Qx — тх', Qy = ту', Qz — тг'. Тогда уравнения движения материальной точки можно будет за- записать в виде dt или dQx у dQy у dQz __ 2, dt ~ ' dt ~ ' dt ~ Эти скалярные уравнения эквивалентны одному векторному dQ p dt ~ Полученный результат можно сформулировать в виде теоремы. Теорема. Скорость изменения количества движения мате- материальной точки равна вектору силы, действующей на эту точку. Если проекция силы на одну из осей (например, ось х) тож- тождественно равна нулю, то теорема допускает первый интеграл Qx = const, выражающий закон сохранения количества движения материаль- материальной точки вдоль оси х. Если же сила, действующая на точку, тож- 215
дественно равна нулю, то будет сохраняться вектор количества движения точки: Q = const. 2. Теорема об изменении момента количества движения. Из уравнений движения материальной точки можно вывести теорему, аналогичную теореме об изменении количества движения, но уже характеризующую изменение векто- вектора момента количества движения. В неподвижных осях х, у, z рас- рассмотрим движение материальной точки с массой «г, имеющей в дан- данной момент скорость v (рис. 144). Вектором момента количе- - ства движения точки относи- У тельно начала координат называют вектор а, по величине равный удво- удвоенной площади треугольника, осно- основанием которого является вектор количества движения точки Q, а вершина находится в точке О. Направим вектор а перпендикуляр- перпендикулярно к плоскости треугольника в ту сторону, откуда вращение, сооб- сообщаемое вектором Q, видно происходящим против хода часовой стрелки. Проекции этого вектора на оси х, у, z будут определяться при помощи векторного произведения так что Рнс. 144 dt dt ) y \ dt dt dy dx dt Для изучения свойств вектора момента количества движения выпишем сначала уравнения движения точки в проекциях на оси х, у, z d2z m = Y, m- dt* Заметим, что dax _ dt dy dz dt dt dz dy dt dt dt1 —z d2y dt2 I d?z dt* 216
Подставляя в правую часть последнего соотношения значения вто- вторых производных от координат, из уравнений движения получим Аналогично получаются и два других уравнения, так что = ти dt A dt y dt Эти уравнения определяют закон изменения проекций вектора мо- момента количества движения на неподвижные оси х, у, z. Результат можно сформулировать в виде теоремы. Теорема. Производная по времени от момента количества движения относительно какой-либо неподвижной оси равна момен- моменту равнодействующей всех сил, действующих на точку, относитель- относительно той же оси. Если записать полученные уравнения в векторном виде da dt то можно заметить, что в левой части равенства стоит скорость движения конца вектора момента количества движения по его го- годографу. Тогда теореме можно будет дать другую геометрическую формулировку, принадлежащую Резалю. Теорема. Скорость конца вектора момента количества дви- движения точки относительно неподвижного центра равна моменту всех сил, действующих на точку, относительно того же центра. (В таком виде теорема была известна еще английскому матема- математику Гейуорду.) 3. Следствия из теорем об изменении количества движения и момента количества движения материальной точки. 1. Если сила, действующая на материальную точку, во все время движения остается параллельной неизмененному направлению, то точка будет совершать движение, оставаясь в плоскости, параллельной линии действия силы. В самом деле, пусть Х=У=0. Тогда два первых уравнения движения получат вид dt"- Откуда будем иметь два первых интеграла —— = А — const, —— = В = const. dt dt 217
Разделив первое из этих уравнений на второе, будем иметь _dx A_ dy ~ В ' откуда Вх=Ау + С. Полученному уравнению плоскости удовлетворяют координаты точ- точки во все время ее движения. Такое движение называют плоским движением материальной точки. 2. Пусть линия действия силы, действующей на материальную точку, в каждый момент времени проходит через начало коорди- лат некоторой неподвижной системы осей. Такая сила называется центральной. Тогда будет иметь место теорема. Теорема. Если на точку действует центральная сила, то движение точки происходит в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы. Доказательство. Воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения, которая при данных условиях при- приобретает вид dt и дает первый интеграл (закон сохранения момента количества дви- движения) <7 = Этому векторному интегралу соответствуют три скалярных интеграла в проекциях на неподвижные оси ах = ш(у г -^-] = А = const, \ dt dt j -*-»-?)-С-с—. Умножая последние уравнения соответственно на х, у и z и скла- складывая, получим соотношение Ах-\- By + Cz = Q, которое представляет собой уравнение плоскости, проходящей че- через начало координат. Координаты точки во все время движения должны удовлетворять этому уравнению. Замечание. Случай параллельных сил можно рассматри- рассматривать как частный случай центральных сил, когда центр сил уда- удален в бесконечность. 218
3. Рассмотрим случай, когда момент силы, действующей на точку, относительно оси z тождественно равен нулю Тогда из теоремы об изменении момента количества движения по- получаем первый интеграл или du dx т х — у dt u dt аг = С = const, = С. Этот первый интеграл допускает простую геометрическую интерпретацию, а имен- именно: пусть Р(х, у) — проекция движущей- движущейся точки т на неподвижную плоскость Оху в момент t (рис. 145) и Р\ — проек- проекция этой точки на ту же плоскость в мо- момент t+dt. Обозначая координаты точки Pi через x+dx, y-\-dy, рассмотрим сектор ограниченный проекцией траектории и двумя радиусами ОР и ОР\. Площадь этого сектора, отсчитываемая в направ- направлении положительного вращения вокруг оси 2, Рис. 145 ds = — х у x + dx, у + dy откуда откуда ds \ I dy dx \ С , = — х — у = = const, dt 2 I dt dt 2m S = ¦t+s0. Мы получили теорему, именуемую теоремой площадей. Теорема площадей. Если Мг=0, то в плоскости Оху в равные промежутки времени радиус-вектор проекции точки описы- описывает равные площади. Величина ds/dt называется секторной скоростью про- проекции материальной точки на плоскость Оху, а выражение dy dx o ds х — у = 2 dt a dt dt представляет собой удвоенную секторную скорость проекции точ- точки т. Таким образом, если Mz=0, то секторная скорость проек- проекции на плоскость Оху — величина постоянная. Нетрудно показать, 219
что если положение проекции точки определить полярными коорди- координатами г и ф (x=rcos<f, y=rsincp), то удвоенную секторную ско- скорость можно будет представить в виде 2 _???_ = Г2 d<? dt dt Если Мх = М„ = Л4г = 0, то, как это уже отмечалось, будет су- существовать векторный интеграл а = const или три скалярных: Если ось z направить вдоль вектора а, то ах=ау=0 и точка в своем движении будет оставаться в плоскости Оху, определяемой направлением скорости в какой-либо момент времени. 4. Можно доказать обратную теорему площадей. Теорема. Если материальная точка движется по плоской траектории так, что ее радиус-вектор описывает около некоторого центра О, расположенного в этой же плоскости, площади, пропор- пропорциональные промежуткам времени, то движение происходит под действием центральной силы, линия действия которой проходит через центр О. Доказательство. Выбрав центр О за начало неподвиж- неподвижной системы координат и направив ось z ортогонально к плоско- плоскости траектории, будем иметь dz dt/ r. dx dz n у 2—^-^-0, Z X = 0, У dt dt dt dt dy dx . x — ц _ const. dt y dt Дифференцируя эти уравнения, получим &Н d3y Л d?x йгг п " dt* dt* df- dp d?y d?x n x — у s=0. dt* dt2 Переписав последнее уравнение в виде сРх d?y dP dt"- и принимая во внимание, что z=0, подставим сюда значения про- проекций ускорения из дифференциальных уравнений движения точки. В результате получим 220
A _ r ¦ у — о x у отк\да видно, что вектор силы, действующий на точку, лежит в плоскости Оху и коллинеарен с радиус-вектором точки, т. е. сила — центральная. 4. Теорема живых сил. Запишем уравнения движения точки в проекциях на декартовы оси координат d2x v d*y „ d2z r, т —л, т —— = У, т = Z. dt2 dt* dt2 Умножим каждое из этих уравнений на соответствующие проекции скорости и сложим результат. Получим dx d / dx \ j_ _dy_ _d_ /_dy_\ , J& d_ I dz \ dt dt { dt l dt dt \ dt dt dt \ dt dt dt dt или, после преобразования левой части dt { 2 [\ dt J \ dt J \ dt J JJ dt dt dt Здесь dz = V2 dt ) ' \ dt есть скорость точки. Умножая полученное уравнение на dt, будем иметь ¦Zdz. оеличина —-— = 1 называется живой силой точки, или ее кинетической энергией1. 1 Впервые понятие «живой силы» было введено Лейбницем A646—1716), который назвал этим термином произведение массы точки на квадрат ее скоро- скорости mv2. Лейбниц в отличие от картезианцев, которые считали основным зако- законом природы закон сохранения количества движения, считал, что живая сила является основной механической характеристикой движущейся материальной точки. Термин «живая сила» английский физик Т. Юнг A773—1829) заменил термином «энергия», хотя еще Кориолис применял термин «живая сила» для выражения . Шотландский физик Ранкин iA820—'1872) для выражения то2 предложил название «активная энергия», в настоящее же время его называют чаще кинетической энергией. Первым же обратил внимание на выра- mxfi жение —-— в 1618 г. И. Кеплер. 221
Для обозначения живой силы обычно употребляют букву Т. Величины dx, dy, dz получены из выражения действительной скоро- скорости точки в ее движении по траектории под действием силы, по- поэтому они определяют действительное перемещение материальной точки. Правая часть последнего равенства представляет собой ра- работу силы, действующей на материальную точку, на действительном перемещении этой точки. Полученный результат можно сформули- сформулировать в виде теоремы. Теорема живых сил. При движении материальной точки изменение живой силы равно работе действующих на эту точку сил на ее действительном перемещении. Замечание. Теорема живых сил является одним из след- следствий уравнений движения материальной точки и не может, вооб- вообще говоря, содержать в себе все свойства изучаемого движения ма- материальной точки. Пример 64. Исследовать движение материальной точки в магнитном си- силовом поле под действием силы Лоренца, определяемой формулой F = A[v, H], где v — скорость движущейся точки; Н — напряженность магнитного поля. Решение. Проекции этой силы на неподвижные оси координат имеют вид Х= y'Hz — z'Hy, Y = z'Hx — x'H2, Z = x'Hp—y'Hx, а потому теорема живых сил дает только возможность установить, что точка движется с постоянной по величине скоростью. В самом деле, откуда то1 mv2 = const. Полностью характер движения может быть определен только при помощи тео- теорем об изменении количества движения и момента количества движения. 5. Интеграл живых сил. В ряде случаев силы природы, кото- которые могут быть представлены как функции только координат, об- обладают свойством консервативности, заключающимся в том, что работа, совершаемая этими силами при переносе материальной точки из одного места пространства в другое, не зависит от пути, по которому совершается перенос, а зависит только от положения начальной и конечной точек переноса. Математически это свойство выражается в том, что силы имеют силовую функцию. Усло- Условие существования силовой функции заключается в том, что вели- величина элементарной работы Xdx + Ydy ±Zdz представляет собой полный дифференциал от некоторой функции коор- координат U, так что 222
dx: dy dz откуда + -^— dz = Xdx -f Y dy + Zdz, dz v ди v eu v ди dx dy dz Таким образом, силовая функция есть такая функция коор- координат, частные производные от которой по координатам равны про- проекциям действующей силы на соответствующие оси координат. Дифференцируя уравнение Y = —— по 2, а уравнение Z = —— ду dz по у, получим dY d2U дг d2U dz dzdy ' dy dy dz дУ dZ откуда на основании свойств частных производных — . r dz dy Аналогично можно получить равенства для других координат. Бу- Будем иметь dY dZ dZ дХ дХ дУ dz kdy dx дг dy дх Для существования силовой функции необходимо, чтобы компонен- компоненты данной силы по осям координат удовлетворяли выведенным со- соотношениям. Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся приме- примеры сил, для которых существует силовая функция. а) Сила постоянная по величине и по направлению. К этой категории сил относится и сила тяжести. Направим ось z парал- параллельно линии действия силы в сторону, противоположную направ- направлению силы. Тогда для проекций силы на оси координат будем иметь Х = 0, Y = О, Z = — mg. Выражение работы силы на произвольном перемещении —mgdz является полным дифференциалом функции — mgdz = dil, откуда U = — mgz + С. б) Сила ньютоновского притяжения к неподвижному центру. Поместим начало координат О в притягивающем центре. Тогда для компонентов силы будем иметь \хтх у \irny 7 \irnz гз га гз ' 223
где т — масса материальной точки; Ц — постоянная тяготения; г2 = = х2 -+- у2 + z2. Работа такой силы на произвольном перемещении имеет вид Это выражение представляет собой полный дифференциал неко- некоторой функции U, т. е. г2 откуда, проинтегрировав, найдем Это и есть силовая функция ньютоновского притяжения. в) Сила притяжения, пропорциональная расстоянию точки от неподвижного центра (упругая сила). Проекции этой силы на ко- координатные оси, имеющие начало в центре притяжения, имеют вид X = — kx, Y = —ky, Z^ — kz. Работа силы на произвольном перемещении — k(xdx + ydy + zdz) = - ¦ krdr, откуда dU = —kr dr, интегрируя, находим 2 2 Рассмотрим некоторые свойства силовой функции. Приравни- Приравнивая силовую функцию постоянной величине, получим уравнение U(x, у,г) = С, где С — произвольная постоянная. Это уравнение определяет по- поверхность, которая называется поверхностью уровня. Изме- Изменяя значение постоянной величины С, получим семейство поверх- поверхностей уровня. Покажем, что действующая сила всегда направле- направлена по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функ- функции U. Действительно, так как проекции силы X, Y, Z пропорциональ- пропорциональны направляющим косинусам силы, а частные производные dU/dx, дО/ду, dU/dz пропорциональны направляющим косинусам норма- нормали к поверхности уровня, и сами величины попарно равны друг другу, то и направление силы совпадает с направлением нормали. Рассматривая элементарную работу силы 224
Xdx + Ydy \-Zdz = dU, заметим, что эта работа положительна на перемещении, направлен- направленном в сторону действия силы; функция же U в этом случае воз- возрастает. Утверждение доказано. Если существует силовая функция, то теорема живых сил за- записывается в виде dT = dU, откуда сразу следует первый интеграл который называют интегралом живых сил. Постоянная жи- живых сил h представляет собой полную механическую энергию ма- материальной точки и определяется из начальных условий 2 Если вместо функции U ввести функцию V ^—- U, то ,, 6V „ 3V г, dV дх ду дг Функцию V называют потенциальной функцией. Она изме- измеряет потенциальную энергию материальной точки. Интеграл живых сил теперь можно переписать в виде т. е. если сила, действующая на материальную точку, имеет сило- силовую функцию, то во все время движения материальной точки сумма кинетической и потенциальной энергий материальной точки остает- остается постоянной. В этом заключается закон сохранения меха- механической энергии материальной точки. В физике существует закон, управляющий всеми явлениями природы, который называется законом сохранения энер- энергии. В теоретической механике мы ограничиваемся только меха- механическими движениями и не касаемся других форм движения. По- Поэтому в механике может вообще и не существовать закона со- сохранения энергии. Интеграл живых сил не имеет места, если не существует силовой функции. Чтобы записать закон сохранения энергии при неконсервативных силах, надо кроме механической принимать во внимание и другие виды энергии, например тепло- тепловую, электрическую и т. п. Все эти виды энергии не рассматрива- рассматриваются в курсах теоретической механики. Замечания. 1. В некоторых случаях силы, действующие на материальную точку, постоянно остаются нормальными к траекто- траектории этой точки. Работа таких сил на действительном перемещении точки равна нулю, и говорят, что силы не производят работы. Е Н. Березкин 225
В приложениях теоремы живых сил следует учитывать лишь те силы, которые совершают работу на действительном перемещении точки, не обращая внимания на остальные. 2. Теорема живых сил зачастую позволяет выполнить качест- качественный анализ движения материальной точки. В самом деле, предположим, что на точку действуют силы, обладающие силовой функцией U(х, у, г), я что существует интеграл живых сил -^р = !/(*, у, z) -f ft. Величина всегда отлична от нуля и положительна, если толь- ко точка не находится в покое и, следовательно, в действительном движении точки всегда выполняется условие U (х, у, г) -+- h > 0. Это неравенство определяет область возможных движений мате- материальной точки. Такая область зависит как от вида функции U, так и от величины h, определяемой из начальных условий. Пример 65. На материальную точку действует сила, обладающая си- силовой функцией U{x,y, г) =—— (хг + #а + z2). Исследовать область воз- возможного движения точки. Решение. Положение равновесия точки определяется условием, что про- проекции силы на оси координат равны нулю, т. е. dU дЦ_ дЦ дх ду дг Таким положением в рассматриваемом случае является только начало коорди- координат. Область возможных движений точки около положения равновесия опреде- определяется неравенством -±(* + !Г + *> + н>о и представляет шар радиуса "~ 2/i k чем меньше величина k, тем больше радиус шара. 6. Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа. Положением равновесия является такое положение материальной точки, в ко- котором она будет оставаться, если в начальный момент находилась в этом положении, и ее скорость равнялась нулю. Если существует силовая функция U(x, у, z) для равнодейст- равнодействующей действующих на точку сил, то уравнения равновесия при- принимают вид дх ду дг 226
и положение равновесия является стационарной точкой для функ- функции U(x, у, z). Материальная точка, помещенная без начальной скорости в ту точку пространства, где функция U принимает ста- стационарное значение, будет в дальнейшем оставаться в этом поло- положении, пока какие-либо другие силы не выведут ее из этого по- положения. Выберем систему координат с началом в положении равнове- равновесия материальной точки. Может оказаться, что самый незначитель- незначительный толчок или смещение из этого положения, сообщенные точке, будут достаточны, чтобы привести ее в движение, в котором точка отойдет на конечное расстояние от положения равновесия. Определение. Положение равновесия называют устойчи- устойчивым, если для любых двух положительных чисел А\ и Л2, как бы малы они ни были, найдутся два других положительных числа %\ и Яг, такие, что как только начальные значения координат и скоро- скоростей точки будут удовлетворять условиям х\ + yl + 2о < \, vl < К2, во всякий дальнейший момент времени t^t0 значения координат и скорости точки будут удовлетворять условиям Иначе говоря, если положение равновесия точки устойчиво, то дви- движение точки, начавшееся в достаточно малой окрестности этого положения и с достаточно малой скоростью, будет оставаться в не- некоторой достаточно малой окрестности этого положения равнове- равновесия. Положение равновесия, не удовлетворяющее данному опре- определению, будем называть неустойчивым. Исследованием критериев устойчивости равновесия занимался еще Аристотель, но общие критерии устойчивости равновесия бы- были сформулированы только Лагранжем. Доказательство теоремы об устойчивости равновесия, данное Лагранжем, не вполне совер- совершенно; более аккуратное доказательство принадлежит Лежен Ди- Дирихле A805—-1859). Поэтому теорему Лагранжа об устойчивости равновесия иногда еще называют теоремой Лежен Дирихле. Теорема Лагранжа. Если в положении равновесия мате- материальной точки силовая функция имеет изолированный максимум, то такое положение равновесия устойчиво. Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Не нарушая общности будем предполагать, что в положении равнове- равновесия значение силовой функции равно нулю. Тогда в достаточно ма- малой окрестности положения равновесия функция U будет прини- принимать только отрицательные значения. Для доказательства устой- устойчивости положения равновесия достаточно показать, что по любым двум положительным числам, как бы малы они ни были, найдутся другие положительные числа, удовлетворяющие условию устойчи- устойчивости равновесия. 8* 227
Принимая положение равновесия за начало координат, рас- рассмотрим такую сферу S радиуса А\ с центром в начале координат, чтобы внутри и на границе этой сферы функция U не имела бы других стационарных точек, кроме начала координат. Пусть —1\ (/i>0) —максимальное значение функции U на этой сфере, так что во всех точках поверхности выполняется условие U(x, у, 2)< —/,. Пусть, кроме того, Аг — произвольное, сколь угодно малое положи- положительное число и пусть / — наименьшее из двух положительных чи- чисел U и HL-2-, Выберем начальные значения координат и началь- начальную скорость Vq так, чтобы они удовлетворяли условиям при *о + #о + 2о<^. и i>o<^2 имеют место нера