Text
                    И. И. ОЛЬХОВСКИЙ
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ДЛЯ ФИЗИКОВ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ДОПОЛНЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального
образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов»
обучающихся по специальности «Физика»
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
1978


УДК 531.0 {075.8) Рецензенты: Кафедра электродинамики и квантовой теории поля и кафедра теоретической физики Томского университета. И. И. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978 г, 575 с, 127 ил. Библиогр. 66 назв. Книга содержит систематическое изложение теоретической механики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уделено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона — Галилея, законам изменения и сохранения импуль- импульса, кинетического момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Га- Гамильтона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также законам механики сплошных сред, на единой основе которых рассматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге подробно излагаются; задача двух тел и классическая теория рассеяния, законы изменения импульса, кинетического мо- момента и энергии относительно неинерциальных ' систем отсчета, теория линейных колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и диссипатив- ных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных систем, методы усреднения уравнений движения. Книга содержит большое количество примеров, интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на движения за- зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на рассеяние частиц, коле- колебания молекул, нелинейные колебания, колебания систем с медленно меняющими- меняющимися параметрами, примеры из магнитогидродинамики. Книга рассчитана на сту- студентов и аспирантов физических специальностей. 20302 105 О 84—78 (с) Издательство Московского университета, 1978 077@2)—78
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ........ 7 ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ § 1.1. Понятия о материальной точке, о пространстве и времени . 8 § 1.2. Понятия о силе и массе 26 § 1.3. Понятие об инсрциальной системе отсчета и законы Ньютона. Принцип относительности Галилея 35 § 1.4. Решение уравнений движения и начальные условия ... 41 ГЛАВА II. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА И ЭНЕРГИИ § 2.1. Законы изменения и сохранения импульса и момента им- импульса материальной точки 60 § 2.2. Законы изменения и сохранения энергии материальной точки 65 § 2.3. Движение в центрально-симметричном поле 77 § 2.4. Движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы. Законы Кеплера . . 82 § 2.5 Движение центра масс; законы изменения и сохранения им- импульса системы 94" § 2.6. Законы изменения и сохранения кинетического момента си- системы 102 § 2.7. Законы изменения и сохранения энергии системы . . . 106 ГЛАВА III ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Й ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ § 3.1. Задача двух тел 114 § 3.2. Упругое рассеяние частиц 121 § 3.3. Поперечные сечения рассеяния 139 ГЛАВА IV. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА § 4.1. Положение системы отсчета 150 § 4.2. Поступательное движение и изменение ориентации системы отсчета 154 § 4.3. Общий случай движения системы отсчета 162 § 4.4. Положение, скорость и ускорение материальной точки от- относительно разных систем отсчета 165 § 4.5. Уравнение движения материальной точки относительно не- инерциальной системы отсчета; силы инерции 171 § 4.6. Законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно поступательно движущейся- системы центра масс .... 180
§ 4.7. Законы изменения и сохранения импульса, кинетического мо- момента и энергии относительно произвольных неинерциальных систем отсчета 186 ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА § 5.1. Основная задача динамики несвободной системы и понятие о связях 197 § 5.2. Действительные, возможные и виртуальные перемещения; идеальные связи 201 § 5.3. Уравнения Лагранжа с реакциями связей; законы изменения импульса, кинетического момента и энергии для систем со связями 206 § 5.4. Уравнения Лагранжа в независимых координатах и общее уравнение механики; циклические координаты и симметрия силового поля и связей 214 § 5.5. Структура уравнений движения в независимых координатах и функция Лагранжа 229 § 5.6. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии 237 § 5.7. Ковариантность уравнений Лагранжа в независимых коорди- координатах 248 ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ § 6.1. Собственные одномерные колебания 253 § 6.2. Положение устойчивого равновесия 262 § 6.3. Собственные и главные колебания системы под действием потенциальных сил 270 § 6.4. Собственные колебания системы под действием потенциаль- потенциальных, гироскопических и диссипативных сил 289 § 6.5. Вынужденные колебания 300 ГЛАВА VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ § 7.1. Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбова . 311 § 7.2. Вынужденные колебания и резонанс 320 § 7.3. Метод усреднения 331 ГЛАВА VIII. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА § 8.1. Уравнения движения твердогр тела 338 § 8.2. Тензор инерции 348 § 8.3. Плоскопараллельное движение твердого тела 357 § 8.4. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Урав- Уравнения Эйлера . 367 § 8.5. Линейные неголономные связи 379 ГЛАВА IX. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА § 9.1. Канонические уравнения 384 § 9.2. Фазовое пространство и теорема Лиувилля 389 § 9.3. Скобки Пу.ассона 394 § 9.4; Уравнение Гамильтона — Якоби 399 § 9.5. Метод разделения переменных 407 § 9.6. Движение материальной точки и волновой процесс . . . 415 § 9.7. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана 419 § 9.8. Канонические преобразования 427 § 9.9. Переменные «действие — угол» и адиабатические инварианты 438 § 9.10. Уравнения движения и интегральные вариационные принципы 449
ЧАСТЬ И. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД . ... 459 ГЛАВА X. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД § 10.1. Физически бесконечно малая частица 459 § 10.2. Деформация малой частицы 461 § 10.3. Законы сохранения массы, изменения импульса и кинетиче- кинетического момента 470 § 10.4. Уравнение изменения кинетической энергии. Законы термо- термодинамики 475 ГЛАВА XI. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ § 11.1. Уравнения движения идеальной жидкости 482 § 11.2. Основные теоремы динамики идеальной жидкости . . . 487 § 11.3. Потоки импульса и энергии 494 § 11.4. Несжимаемая жидкость 496 § 11.5. Звуковые волны 504 § 11.6. Ударные волны 511 § 11.7. Магнитогидродинамика идеальной жидкости 515 ГЛАВА XII. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ § 12.1. Тензор напряжений и уравнения движения 522 § 12.2. Уравнение Навье — Стокса 525 § 12.3. Малые колебания 537 § 12.4. Магнитогидродинамика вязкой жидкости 541 ГЛАВА XIII. ИДЕАЛЬНО УПРУГОЕ ТЕЛО § 13.1. Закон Гука и уравнения изменения импульса 546 § 13.2. Равновесие изотропных тел 553 § 13.3. Упругие волны . . 561 Литература 565 Предметны й указатель 567
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Отличия предлагаемого издания «Курса теоретиче- теоретической механики для физиков» от второго издания этого учебника обусловлены изменением программы курса, принципы совершенствования которой были доложены автором на IV Всесоюзном съезде по теоретической ме- механике. В связи с этим, в частности, опущен материал, посвященный распаду частиц, и в то же время за счет изложения метода усреднения расширена глава, в ко- которой рассматриваются нелинейные колебания. При работе над третьим изданием «Курса» автор также учитывал появление учебного пособия «Задачи по теоретической механике для физиков» (И. И. Оль- Ольховский, Ю. Г. Павленко, Л. С. Кузьменков. М., Изд-во Моск. ун-та, 1977). Этот сборник задач полностью соответствует «Курсу» (ч. I) и дополняет учебник боль- большим числом задач. По мнению автора, «Курс» и «Зада- «Задачи» следует использовать, по существу, как единое учеб- учебное пособие с целью глубокого освоения теоретической механики — одной из фундаментальных естественно- естественнонаучных дисциплин. Автор приносит глубокую благодарность В. Г. Баг- Багрову за неизменную поддержку в работе по совершенст- совершенствованию «Курса», многие ценные советы и полезные замечания. Автор искренне благодарен всем, кто при- принимал участие в обсуждениях этого учебника на уче- ученых советах, кафедрах и совещаниях. Автор также благодарен В. Л. Экелекяну и Н. М. Садыкову за по- помощь в подготовке третьего издания к печати. Пользуясь случаем, автор выражает глубокую при- признательность переводчику Е. Богдановичу и коллективу Гос. Научного Издательства ПНР, которые успешно подготовили и издали эту книгу на польском языке И. И. Ольховский
ЧАСТЬ I ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Глава I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ Все известные нам материальные объекты: поля, элементар- элементарные частицы, атомы, молекулы, неживые и живые тела — движут- движутся в самом общем смысле этого слова, т. е. изменяются вообще *. Наиболее простой формой движения тел является их перемеще- перемещение относительно друг друга. Любая другая форма движения, будучи связанной с каким-либо перемещением, не исчерпывается этим перемещением и является более сложной. «Само собой разумеется, что изучение природы движения должно было „ исходить от... простейших форм его... И, действи- действительно, мы видим, что в историческом развитии естествознания раньше всего разрабатывается теория простого перемещения, механика небесных тел и земных масс» **. Эта теория называется классической механикой. В ней рассматриваются дви- движения макроскопических тел, т. е. тел, состоящих из большого количества атомов и молекул, причем допускается, что движения совершаются со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Итак, классическая механика — это теория достаточно мед- медленных перемещений одних макроскопических тел относительно других ***. Основными понятиями классической механики являются по- понятия о пространстве и времени, о силе и массе, об инерциальной системе отсчета. Основными законами являются закон инерции Галилея — Ньютона (первый закон Ньютона), уравнение движе- движения относительно инерциальной системы отсчета (второй закон Ньютона), закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона). Эти понятия и законы были сформулированы И. Ньютоном в его гениальном трактате «Математические начала натуральной философии» A687). * Q движении как изменении вообще см.: Энгельс Ф. Диалектика при- природы. М., Политиздат, 1965, с. §0, 214. ** Там же, с. 50. *** В некоторых частных случаях классическая механика описывает также движение микрочастиц.
8 Основные понятия и законы механики Гл. I С точки зрения современного состояния науки взаимодейст- взаимодействие тел осуществляется посредством полей и передается с конеч- конечной скоростью — со скоростью света; совокупность тел и полей представляет собой единую материальную систему. Под влиянием взаимодействия тела могут изменять свое расположение относи- относительно друг друга, т. е. перемещаться в пространстве. Вме- Вместе с тем изменение относительного расположения обладает дли- длительностью, т. е. перемещение происходит не только в простран- пространстве, но и во в р е м е н и. Однако пространство и время не являют- являются объектами, подобными телам, полям и т. д. Пространство и время представляют собой общие формы существования всех ма- материальных объектов. Энгельс подчеркивал, что «...обе эти формы существования материи без материи суть ничто, пустые представ- представления, абстракции, существующие только в нашей голове» *. Создание общей теории относительности подтвердило правиль- правильность такого представления о пространстве и времени. По мне- мнению Эйнштейна, основателя общей теории относительности, если бы исчезла материя, то исчезли бы и пространство и время. Классическая механика изучает такие перемещения тел в пространстве и времени, при которых процесс передачи взаимо- взаимодействия тел можно считать практически мгновенным; тем самым процессы, протекающие в самих полях, мы можем не рассматри- рассматривать. Несмотря на это ограничение, область применимости клас- классической механики очень велика (скорости тел должны быть малыми по сравнению со скоростью света). Отметим также, что большое количество понятий и аналитических приемов классиче- классической механики с успехом используется в других разделах теорети- теоретической физики. § 1.1. Понятия о материальной точке, о пространстве и времени Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, нужно отвлечься от несущественных (для рассматриваемого дви- движения) деталей. С этой целью используются понятия, примени- применимость которых зависит от того, какое именно движение тел изу- изучается. Среди этих понятий большое значение имеет понятие о материальной точке. Материальной точкой называется тело исчезающе малых размеров; в задачах механики о движении реальных тел понятие материальной точки применимо к такому телу, размерами которого можно пренебречь по сравнению с раз- размерами, характеризующими- движение этого тела. Например, изу- изучая движение Земли вокруг Солнца, и Землю и Солнце можно считать материальными точками, хотя радиус Земли примерно 6-Ю6 м, а радиус Солнца 7-Ю8 м. Дело в том, что эти размеры * Энгельс Ф. Диалектика природы. М., Политиздат, 1965, с. 203.
§ 1.1 Понятия о пространстве и времени 9^ весьма малы по сравнению с расстоянием между центрами Солнца и Земли, составляющим примерно 1,5-1011 м. В другом случае, при изучении вращения Земли вокруг своей оси, представ- представление о Земле как о материальной точке неприменимо. Действи- Действительно, максимальны^ размером, характеризующим это движе- движение, является длина окружности, по которой движется какая-либо точка поверхности Земли, находящаяся на экваторе. Очевидно, что радиусом Земли нельзя пренебречь по сравнению с указанной длиной. Совокупность нескольких тел, каждое из которых можно счи- считать материальной точкой, называют системой матери- материальных точек. Например, нашу Галактику можно представ- представлять как систему очень большого числа материальных точек- звезд; в ряде задач газ, состоящий из молекул, также можно представлять себе как систему большого числа материальных то- точек-молекул. Из приведенных примеров и из определения мате- материальной точки видно, что это понятие не связано с представле- представлением об атомистическом строении вещества. Важную роль в механике играет понятие абсолютно твердого тела, или, кратко говоря, твердого тела. Так называется си- система материальных точек, расстояния между которыми не изме- изменяются при произвольных перемещениях этой системы. Конечно, размеры реальных тел остаются практически неизменными либо в определенных условиях, либо в течение определенных интерва- интервалов времени. Например, годовое угловое смещение большинства звезд^ составляет примерно 0",01. Следовательно, система Солн- Солнце — «неподвижные» звезды может быть принята с известной сте- степенью точности за твердое тело, причем для сравнительно дли- длительных интервалов времени. При изучении взаимного расположения материальных точек первостепенное значение имеет определение расстояний между ними с помощью эталона длины. Расстояние между точками будет определяться при этом тем числом, которое показывает, сколько раз эталон длины «укладывается» на отрезке прямой, соединяю- соединяющей точки. До 1960 г. за эталон длины принимался метр—длина некоторого сплошного твердого тела, находящегося в стационар- стационарных условиях. Согласно единой международной системе СИ, введенной с 1960 г., за эталон длины принят м етр—длина, рав- равная 1 650 763,73 длины волны излучения, соответствующего пере- переходу между уровнями 2рю и 5с?5 атома криптона-86 (в вакууме). Этот эталон обеспечивает большую точность измерений по сравне- сравнению со старым эталоном. Рассмотрим движение некоторой системы А материальных точек относительно системы 5. Пусть для данных перемещений системы А систему S можно считать твердым телом. Тогда с те- телом 5 можно жестко связать систему отсчета, т. е. три
10 Основные понятия и законы механики Гл. I единичных некомпланарных вектора пх, пу, nz, имеющих общее начало в некоторой точке О этого тела (для определенности бу- будем считать выбранный базис ортогональным и правовинтовым — см. рис. 1.1). Положение любой материальной точки системы А относительно выбранной системы отсчета 5 зададим радиусом- вектором г этой точки *. Разложив вектор г по трем осям Ох, Оу, Ог, которые определяются ортами nx, ny, nz, получим г = хпх + ущ \ znz, A.1) где х, yf z — проекции радиуса-вектора на указанные оси. Таким образом, при определении положения материальной точки ей ста- Рис. 1.1 Рис. 1.2 вятся во взаимнооднозначное соответствие три вещественные ко- координаты х, у, z, называемые декартовыми коорди- координатами. Заметим, что в формуле A.1) неявно пренебрегается влия- влиянием процесса измерения положения точки на само положение. Это допущение оправдывается при рассмотрении движений мак- макроскопических тел; для атомных явлений эта привычная гипотеза неверна. Чтобы определить положение всех точек системы А относи- относительно системы 5, нужно задать радиусы-векторы этих точек. Пусть система А состоит из N материальных точек. Тогда анало- аналогично A.1) угпу + z{nz = 1, 2,. •. , A.2) * В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «точка находится в положении, задаваемом радиусом-вектором г», мы будем для краткости говорить: «точка находится в положении г».
§ 1.1 Понятия о пространстве и времени И где г* — радиус-вектор i-той точки, а хи Уи %г — декартовы коор- координаты i-той точки. Приведем пример системы отсчета. Для изучения движения планет солнечной системы относительно системы Солнце — звезды можно в течение сравнительно длительного промежутка времени систему Солнце — звезды считать твердым телом. Совмещая на- начало системы отсчета с центром Солнца и связывая направления декартовых осей с направлениями на определенные звезды, полу- получим гелиоцентрическую'систему отсчета Копер- Коперника. Рассмотрим свойства пространства, для чего возьмем любые две точки 1 и 2. Положения этих точек относительно некоторой системы S, зададим радиусами-векторами п и г2: гх - хгпх + угпу + 2хп2, Г2 = Х2ПХ + У2Пу + 22П2. Вектор, проведенный от точки 1 к точке 2, равен (здесь и в дальнейшем порядок индексов 1 и 2 соответствует на- направлению вектора от точки 1 к точке 2), а расстояние между этими точками равно модулю вектора ri2, т. е. гп = [(*2 -*х)а + (#2 - Ух? + Bа - SiJ]1'2. A.3) На основании опыта с макроскопическими телами, скорости которых достаточно малы, можно утверждать, что величина дан- данного пространственного интервала относительно разных произ- произвольно движущихся систем отсчета — одна и та же в данный мо- момент времени. Запишем это важнейшее утверждение аналитиче- аналитически, для чего возьмем две системы отсчета: систему S с началом в точке О и ортами пх> щ, nz и систему S' с началом вО'и ор- ортами пх', пу\ п/ (рис. 1.2). Расстояние между точками 1 и 2 относительно системы S равно ri2. Расстояние между этими же точками относительно системы S' равно Г12= |Г2 —г!|, где ft * / Г2 = Х2ПХ' + #2*У f 22П2', г! =х[пх> + у[пу> + г[пг>. Утверждается, что, как бы ни двигалась «штрихованная» система отсчета относительно «нештрихованной», расстояния ri2 и r'i2, взятые в один и тот же момент времени, равны между собой, т. е.
12Основные понятия и законы механикиГл. I [(Дл;J + (Д</J + (Д*)Т/2 = [(Д*')я + (W + (Л2'J]1/2; A -4) здесь Ах=х2—xlr>Ax'=x'2—х'г и т. д. Из постулата A.4) сле- следует, что проекции вектора r'i2 на оси S' и проекции вектора г12 на оси 5 связаны между собой ортогональным преоб- преобразованием, а именно преобразованием Дл;' = аХ'Х Дл: + а^д Ay + ax>zAz, &У' = а*х Д* + а„уАу + ay>zAz, A.4') Дг' = а*хАх + az>yAy + az>zAz, где коэффициенты ai',- подчинены условиям ортогональ- ортогональности = О, + 4'у + <&'у = 1, а>х'хах>г + а„>хау>2 + аг>хаг>г - 0, A.4") d f аГиаг>г = О и равны косинусам углов между ортами S' и S (например, ах'х — это косинус угла между пх* и пх). Как известно, пространства, в которых расстояния между любыми двумя точками определяются формулой A.3), называют- называются евклидовыми. Таким образом, из постулата A.4), осно- основанного на опыте, следует, что пространства в классической ме- механике—это евклидовы пространства *. Преобразование A.4') нетрудно представить в форме Г12 = Г12, A.5) где Г12 = Г2 — г[ = (Дл:') пх> + (Ау') щ> 4 (Дг') tv, г12 = г, — Гх = (Дл:) пх + (Ау) пу + (Дг) п2, A.5') а орты системы 5 связаны^ с ортами S' следующим образом: Пх = ах>хХ\х' + йу'хЩ' + пг'хПг', пд = ах>упх> + a^n^' + а2^пг-, A.5") nz = ах>гпх> -\-ау>гпу' * Ньютон подчеркивал: «... самое проведение прямых линий и кругов, слу- служащее основанием геометрии, в сущности относится к механике. Геометрия не учит тому, как проводить эти линии, но предполагает (постулирует) выполни- выполнимость этих построений». «Итак, геометрия основывается на механической прак- практике» (из предисловия Ньютона к первому изданию «Математических начал», см. [3]).
§ 1.1 Понятия о пространстве и времени 13 Из A.5) вытекает простое, но очень важное соотношение радиу- радиусов-векторов одной и той же точки относительно разных систем отсчета. Пусть го' — радиус-вектор начала системы S' относи* тельно системы 5, г — радиус-вектор точки относительно системы S, а гг — радиус-вектор той же точки относительно S'. Тогда, полагая г2 =г, т[ = г', тг — r0-, r[ = о, из A.5)* получим Г = ГО' + Г\ A.6) Подчеркнем еще раз, что соотношения A.5) и A.6) справедливы только в классической механике. Если же скорости тел не пре- пренебрежимо малы по сравнению со скоростью света, то эти «оче- «очевидные» постулаты становятся неверными. Движение тел с лю- любыми скоростями (в том числе сравнимыми со скоростью света) рассматриваются в релятивистской механике Эйнштейна. Важную роль в механике играет понятие периодического процесса, т. е. регулярно повторяющегося явления. Например, такими процессами являются колебания маятника, вращение Земли вокруг своей оси, движение Земли по орбите вокруг Солнца. Тело, с помощью которого осуществляется периодический процесс, может служить, часами, а длительность периода — этало- эталоном времени. Конечно, длительность периода реального периоди- периодического процесса постоянна лишь с определенной степенью точ- точности. До 1960 г. эталоном времени служила определенная часть средних солнечных суток. Но ввиду экспериментально доказан- доказанной (с помощью атомных -часов) неравномерности вращения Земли, а также изменений среднего тропического года, за эталон времени в системе СИ принята секунда — длительность, рав- равная 1/31556 925,9747 части тропического года для 1900 г., янва- января 0, в 12 часов эфемеридного времени (cto. [41, гл. II]). В классической механике постулируется существование таких часов, длительность периода которых не изменяется при произ- произвольных перемещениях этих часов. Такие часы позволяют измерить длительность различных процессов в любых системах отсчета и установить, что величина данного временного интервала относи- относительно разных произвольно движущихся систем отсчета одина- одинакова, т. е. *» = 4; A.7) здесь ti2—t2~-1\ — длительность определенного процесса относи- относительно системы 5, t\2 = h — t\ — длительность того же процесса относительно системы S'. Кроме того, предполагается, что изме- измерение длительности некоторого процесса можно провести, не влияя на саму длительность. Согласно A.7) в любых системах отсчета можно произвольно выбирать одно и то же начало отсчета времени и тем самым ввес*
14 Основные -понятия и законы механики Гл. I ти одну временную «координату» t. Постулат A.7), как и посту- постулат A.5), справедлив, пока скорости движения макроскопических тел пренебрежимо малы по -сравнению со скоростью света *. Используя рассмотренные понятия и постулаты, можно экс- экспериментально определить закон движения материаль- Граехтория томи w(t) Рис. 1.3 ной точки, т. е% определить положение материальной точки в любой момент времени относительно данной системы отсчета S и задать его с помощью радиуса-вектора точки как функции вре- времени г = г(*). A.8) Конец этого радиуса-вектора описывает в пространстве кривую, называемую траекторией точки. Заметим, что в классической механике постулируется непре- непрерывность как координат, так и времени; тем самым постулируется непрерывность функции A.8). Скоростью точки относительно системы отсчета S называется отношение бесконечно малого приращения -dv радиуса- векгора точки к бесконечно малому интервалу времени dt, за ко- который происходит указанное изменение радиуса-вектора. Прираще- Приращение dx есть приращение относительно системы S, орты которой жестко скреплены с телом S. В связи с этим скорость точки v от- * Утверждения A.5) и A.7) по существу использовались Ньютоном. Однако Ньютон возвел их в абсолютные постулаты и тем самым пришел к представле- представлениям о времени и пространстве как о «пустых» вместилищах тел и событий. Ньютон писал: «Длительность или продолжительность существования вещей одна и та же, быстры ли движения (по которым измеряется время), медленны ли, или их совсем нет ...» и «Как неизменен порядок частей времени, так неизменен и порядок частей пространства» [3].
§ 1 1 Понятия о пространстве и времени 15 носительно системы S равняется производной радиуса-вектора по времени при постоянных ортйх пх, пу, nz (рис. 1.3,а) *: v=r, A.9) Ускорение точки w относительно системы S опреде- определяется как первая производная скорости по времени при посто- постоянных ортах пх, пу, nz. Учитывая A.9), ускорение можно также записать в виде второй производной от г по времени. Таким об- образом, w-v-r, A.10) dv •• d4 где v = —, г = . dt dt* В ряде задач используется понятие секторной скоро- скорости точки а, по определению равной *=--y-[rv]" AЛ1) Величина 7г | [vdr] | равна площади, очерчиваемой радиусом-век- радиусом-вектором при элементарном перемещении точки на dr. Следователь- Следовательно, модуль секторной скорости равен скорости, с которой изме- изменяется площадь, очерчиваемая радиусом-вектором точки (рис. 1.3, б). Иногда также рассматривают секторное ускорение а. Радиусы-векторы точек, их скорости и ускорения задают с помощью различных координат. В декартовых координатах радиус-вектор точки как функция времени задается тремя координатами x(t), y(t), z(t) как функ- функциями времени. Этот вектор определяет положение точки относи- относительно выбранной системы отсчета S в любой момент времени. Диф- Дифференцируя радиус-вектор r(t) по времени при постоянных ортах пх, Щ, nz, найдем скорость и ускорение точки в виде \ = xnx + yny + zn2i A.12) ч = хпх + упу + гпг.~ A.13) Следовательно, проекции скорости и ускорения точки на декарто- декартовы оси соответственно равны vx = х> vy = У> vz = *; wx = x, wy = y, wz = z. A.14) * Скорость точки v иногда называется линейной скоростью.
16 Основные понятая и законы механики Гл. I В цилиндрических координатах r(t) задается скалярными функциями р@, ф@, z(t) (рис. 1.4): zn2, A.15) где орты цилиндрических координат связаны с ортами декартовых координат соотношениями Пр = П^ COS ф + П^ SlO ф, пф = — п^ sin ф+ n^ cos ф, A.16) пг = п2. При перемещениях точки относительно системы S положение ортов. При пф изменяется, а положение ортов пх, пу и nz фикси- (f) Рис. Ь4 Рис. 1.5 ровано. Учитывая это, в результате дифференцирования г по вре- времени найдем г = рпр + рпр + mz. Замечая далее, что согласно A.16) пр=фпф, для скорости точки относительно системы 5 получаем выражение • • Таким образом, проекции скорости на координатные оси (р), (ф), (г) оказываются соответственно равными
§ 1.1 Понятия о пространстве и времени 17 V9 = P, Уф-рф, VZ=.Z. A.18) Аналогично, дифференцируя по времени v и учитывая зависи- зависимость пр и пф от ф@, получим ускорение точки относитель- относительно S в виде разложения по ортам цилиндрических координат: W-(p-pcp2)np + — ^(р2ф)Пф + 2П2. A.19) ~р at Следовательно, проекции ускорения на оси (р), (ф), (г) соответ- соответственно равны о>р = Р — РФ2, шф = — -4- (Р2ф)> w2 = 'L A.20) р at Отметим, что проекция ускорения Wq> связана с проекцией секторной скорости а2 соотношением поскольку согласно A.11), A.15) и A.17) (L22> В сферических координатах радиус-вектор точки задается функциями r(t), Q(t), q(t) (рис. 1.5). Разложение радиуса-век- радиуса-вектора по ортам сферических координат и сами орты определяются формулами г - гпп Пг = ( ^ по = (пх cos Ф + n^ sin ф) cos 6 — пг sin 6, A.23) пф = —Ш Учитывая, что направления ортов пг, пе, пф зависят от положения точки, для ее скорости получим выражение * v = гпг + гёпе + г51п0фПф. A-24) Следовательно, проекции скорости точки на координатные оси (г)у (в), (ф) соответственно равны i/r = /% ve=rQ, v(p = rsinQ-y. (L25) Иногда используется естественное задание движения точки, при котором в качестве аргумента радиуса-вектора точки берется * Проекции ускорения в сферических координатах будут получены более- простым способом на с. 228.
18 Основные понятия и законы механики Гл. I длина 5 дуги траектории, а сама длина дуги задается как функ- функция времени: r = r(s), s = s(t) A.26) (длина дуги отсчитывается от начального положения точки в направлении ее движения). а Рис. 1.6 С помощью векторной функции r(s) в каждой точке траекто- траектории можно определить орты, совокупность которых называется естественным трехгранником (рис. 1.6,а). Один из этих ортов пт направляют по приращению dv, определяющему касательную к траектории. Поскольку |dv[ с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен элементу дуги ds, орт _ dv Х~~ ds ' A.27) Второй орт п направляют по приращению dnx, т. е. по г л а в н о й нормали к траектории*. Используя A.27), находим ds n, A.28). *Приращение любого вектора а постоянной длины перпендикулярно самому вектору. В самом деле, дифференцируя обе части равенства а2 = const, получим ada = 0, чем и доказывается утверждение.
§ 1.1 Понятия о пространстве и времени 19 т. е. п .= ds* ds* A.29). Орт п можно записать с помощью радиуса кривизны тра- траектории R, который определяется, как отношение приращения длины дуги ds к da — углу между пс и nT-\-dn%: ds A.30) da Так как пх — единичный вектор, то модуль его приращения \dnx\ с точностью до величины высшего порядка малости равен углу da (рис. 1.6, б). Поэтому согласно A.30) и A.28) R = ds* а орт п определится выражением ds (Г.31) A.32) Третий орт щ естественного трехгранника задается с помощью векторного произведения [птп] и определяет бинормаль к траектории. Разложение скорости точки по «естественным» ортам полу- получим, используя A.9), A.26) и A.27): где s = ds dt v = snt, A.33) Дифференцируя обе части A.33) по времени, найдем ускоре- ускорение точки w = snT + s Замечая, что согласно A.28) и A.31) dt dt __ п ' окончательно получим w = snt R п. Учитывая, что s = v, ускорение точки в естественных координатах можно также представить в виде
20 Основные понятия и законы механики Гл. I W = ОТ1Т + ¦п. A.34) Введенные в этом параграфе понятия и соотношения дают возможность решать кинематические задачи, т. е. зада- задачи, в которых движение описывается вне связи с причинами, вызы- вызывающими это движение. Пример 1.1. Траектория, скорость и ускорение материальной точки в декартовых координатах. Закон движения точки относительно системы отсчета S имеет вид х = acosco/, r/ = ?sinco/, 2 = 0, где a, b и со — постоянные величины. Найти траекторию, линей- линейную и секторную скорости, а также ускорение точки относительно системы S. Дифференцируя по времени заданные функции x(t), y(t) и z(t)y получим проекции скорости и ускорения точки на декартовы оси х = —aco sifico/, у = + бсо cos со/, 2 = 0; х = —aco2 cos со/, у =— йсо2 sin со/, 2 = 0. г Выражая проекции ускорения через проекции радиуса-векто- радиуса-вектора, убедимся в том, что ускоре- ускорение в любой момент времени направлено к началу коорди- координат (рис. 1.7): х = — со2л:, у = — со2у, 2 = 0, т. е. г = —со2г. Для секторной скорости, ис- используя функции #(/), y(t), x(t)> У{t)$ найдем выражение Рис. 1.7 a = X X У У 0 0 Jo> где Оо — значение секторной скорости в начальный момент време- времени * (?=0). Наконец, исключая t из функций x(t)9 y(t)9 получим уравнение траектории * Здесь и в дальнейшем все величины с индексом «О» являются постоян- постоянными.
§ 1.1 Пснгятия о пространстве и времени 21 Таким образом, в рассмотренном случае точка движется с посто- постоянной секторной скоростью по эллипсу, лежащему в плоскости г=0, причем ускорение все время направлено к центру эллипса. Пример 1.2. Траектория, скорость и ускорение материальной точки в цилиндрических координатах. Цилиндрические координаты точки при ее движении относи- относительно некоторой системы отсчета 5 изменяются по закону Найти траекторию, линейную и секторную скорости, а также уско- ускорение точки. Для простоты рассмотрим три частных случая. 1. Полагая в заданных функциях ро=О и исключая из них время, найдем уравнение траектории п п ф —фо z — Zp Р = Ро» : ~ : » фо Ч а используя выражения A.15), A.17) и A.19), получим V = РофоПф + 20П2, W = — Рф Отсюда видно, что точка движется по винтовой линии (ее шаг ра- равен 2яго/фг)) с постоянными по абсолютной величине скоростью v = (рофо + 2оI/2 и ускорением w = роф2о; направлено же ускоре- ускорение все время к оси цилиндра перпендикулярно к ней (рис. 1.8). Нетрудно убедиться, что модуль и направление секторной скорос- скорости в этом случае не сохраняются. 2. Полагая фо=0 и поступая аналогично предыдущему, найдем р — р0 z — z0 = ~> Ф = Фо, Ро *о = (Pot + Ро) пр + (V + *о) v = ропр + zonz, w = О, Таким образом, точка движется по прямой с постоянной линейной и секторной скоростями (рис. 1.9).
22 Основные понятия и законы механики Тл. I Рис. 1.8 Рис. 1.9 кроме того, положить ро = О, фо=О, 3. Если задать zo = O Zo=O, то г = ро/пр, v = ропр + w = — рофо /пр + 2роФопф, сг = — В этом случае секторная скорость изменяется по величине, но со- сохраняет свое направление, что обусловлено движением по плоской траектории. Исключая время из функций р=ро^ и ф=фь?, получим уравнение траектории — архимедову спираль Р = фо (рис. 1.10). Такую кривую описывает точка, движущаяся с посто- постоянной скоростью ро вдоль прямой, которая сама вращается с по- постоянной угловой скоростью фо. Пример 1.3. Ускорение точки, движущейся по эллипсу с по- постоянной относительно фокуса эллипса секторной скоростью. Из эмпирически установленных двух законов Кеплера извест- известно, что в гелиоцентрической системе отсчета любая планета опи- описывает эллипс с фокусом в центре Солнца, а секторная скорость планеты относительно фокуса постоянна (рис. 1.11) *. Основы- Основываясь на этих законах, найти w—ускорение любой планеты как функцию ее расстояния от Солнца. Выберем систему координат с учетом характера исследуемого движения. Начало координат поместим в центр Солнца, относи- * Более подробное обсуждение законов Кеплера см. на с. 87 и 120.
§ 1.1 Понятия о пространстве и времени тельно которого секторная скорость постоянна, а одну из осей, например ось Oz, направим перпендикулярно плоскости траекто- траектории. На этой Плоскости введем полярные координаты; тогда усло- условия задачи можно записать в виде (см. A.22)) 1 + 8 COS ф 2 (здесь р — параметр эллипса, 8 — его эксцентриситет). Найдем прежде всего проекции скорости Vp и иф как функции от р или ф. Рис. 1.10 Рис. 1.11 Используя выражение секторной скорости, получим тогда скорость точки как функцию ее положения можно, записать в виде i Проекция ускорения w^ в силу сохранения az будет равна нулю (см. A.21)), а значение w9 вследствие того, что dp • 4<*5 d2 / 1 \ -2 Щ р = -Л. ф == — — — , РФ — —- ^Ф р2 ^ф2 \ р / Р3 будет определяться формулой Бине р2 [ р ^ф2 \ р / J Wo = B)
24 Основные понятия и законы механики Гл. I Отсюда, используя уравнение эллипса, окончательно получим Таким образом, исходя из законов Кеплера, приходим к выводу, что ускорение любой планеты обратно пропорционально квадрату расстояния от планеты до Солнца и направлена к центру Солн- Солнца (сравните этот результат с законом всемирного тяготения Ньютона A.49)). Отметим, что формулы A) и B) сцраведливы для любой плоской траектории, заданной в полярных координатах функцией р(ф), причем формула B) верна лишь при условии постоянства секторной скорости. Пример 1.4. Ускорение точки, движущейся по эллипсу с по- постоянной относительно центра эллипса секторной скоростью. Точка движется по эллипсу с полуосями а и 6. Ее секторная скорость относительно центра эллипса постоянна. Определить ускорение точки как функцию ее положения. Совместим начало декартовых координат с центром эллипса, а ось Ог направим перпендикулярно к плоскости траектории (см. рис. 1.7). Тогда оси Ох и Оу можно выбрать так, что траек- траектория точки будет описываться уравнением а2 б2 Условие постоянства секторной скорости в декартовых координа- координатах имеет вид Дифференцируя левую и правую части уравнения эллипса по вре- времени, вместо исходных уравнений получим систему a2 b2 из которой находим проекции скорости точки как функции х, у: 2сго • , 2а0 X — L. yf у = -\ — X. Ь* а2 Отсюда имеем Ь2
§ 1.1 Понятия о пространстве и времени 25 Ц 4 X X = ' Ч т, е. W = — Г. 262 Таким образом, в отличие от предыдущего примера ускорение точки направлено к центру эллипса и пропорционально расстоя- расстоянию от точки до этого центра. Пример 1.5. Определение положения точки по ее скорости. Точка движется по плоскости траектории с постоянной сектор- секторной скоростью а0. Величина ее линейной скорости обратно про- пропорциональна расстоянию р от точки до некоторого центра, лежа- лежащего в плоскости движения г==0 и выбранного "за начало коорди- координат. Найти закон движения точки, ее траекторию и ускорение, если при ?=0 заданы р = ро, v = v0 и угол а между радиусом-век- радиусом-вектором точки и ее скоростью @<а0<я/2). Выберем полярную ось так, чтобы в начальный момент вре- времени точка была расположена на этой оси. Тогда условия задачи можно записать в виде = 2or0, v - с/р, где 2ао=ро^о sinao, c^po^o. Пользуясь тем, что, с одной стороны, а с другой стороны, согласно условию v = povo/p, найдем радиаль- радиальную составляющую скорости как функцию р: Так как 0<а0<я/2, то ро>О и, следовательно, в последнем выра- выражении нужно выбрать знак «плюс». Разделяя в этом выражении переменные р и К, в результате интегрирование получим р2 *= Bроуо cos a0) t + const, откуда, учитывая начальные условия (?=0, р=р0), окончательно находим Определяя далее <р из выражения секторной скорости, получим ф = rpoPosinao pg + Bp0u0 cos oo) t '
26 Основные понятия и законы механики Гл. I Отсюда интегрированием найдем ф(/): ф== р0 (здесь для определения постоянной интегрирования использовано условие: при /=0, фО=О). Из функций р (t), q(t) исключим t и по- получим уравнение траектории — логарифмическую спираль Наконец, зная уравнения орбиты р(ф) и используя постоянство секторной скорости, находим ускорение точки как функцию р (см. формулу Бине на с. 23) 2 2 § 1.2. Понятия о силе и массе Рассмотрим движение материальной точки относительно про- произвольной системы отсчета, предполагая, что начальные ус- условия, т. е. радиус-вектор точки г0 и ее сжорость v0 в началь- начальный момент времени tOi могут быть заданы произвольно (такую точку будем называть свободной) *. Пользуясь эталонами длины и времени, можно определить положение, скорость и уско- ускорение точки в любой момент времени. Затем, помещая вблизи точки некоторое тело, можно заметить, что то^ка приобретает добавочное ускорение, исчезающее по мере удаления тела на бес- бесконечно большое расстояние от точки. Например, рассмотрим движение материальной точки / вбли- вблизи поверхности Земли (рис. 1.12, а, на котором плоскость Оху со- совпадает с землой поверхностью). Предполагая, что эта точка обладает электрическим зарядом, сравним ее движение в двух случаях: а) в отсутствие каких-либо других тел, б) при наличии заряженного тела. Пусть в первом случае точка 1 в начальный момент времени находится в положении г10 и имеет скорость Vi0. Определим поло- положение точки, ее скорость и ускорение wt в любой момент времени. Затем исследуем движение той же точки при тех же начальных условиях, поместив вблизи начального положения точки достаточ- достаточно малое заряженное тело 2 (рис. 1.12, б). Измерения покажут, что по сравнению с предыдущим; случаем точка приобрела дополни- дополнительное ускорение Wi<2). Результирующее ускорение точки отно- * Произвольность начальных условий исключает рассмотрение таких случаев движения точки, как, например, движение по поверхностям абсолютно твердых тел и т. п. Теория движения несвободных точек будет изложена в гл. V.
§ 1.2 Понятия о силе и массе 27 сительно Земли во втором случае будет равно Wi+wi<2>. Следо- Следовательно, другими станут и закон движения точки и ее траекто- траектория. Удаляя тело 2 на бесконечно большое расстояние от точки /, B) мы убедимся, 4T0Wi исчезает. Рис 1.12 Вообще опыт показывает, что в любой системе отсчета любое тело 2 вызывает некоторое ускорение w? свободной матери- материальной точки 1, причем это ускорение становится исчезающе ма- малым по мере удаления тела на бесконечно большое расстояние от точки, т. е. wf- ¦О, если г12->-оо A.35) Экспериментальное изучение ускорений, вызываемых у дан- данного тела различными другими телами, приводит к утверждению о независимости этих ускорений друг от друга. Иначе говоря, опыт показывает, что ускорение w(i2'3), сообщаемое данному те- телу 1 одновременно двумя любыми телами 2 и 3, равно векторной сумме ускорений wi и wi , сообщаемых телу' 1 телами 2 и 3 каждым в отдельности, т. е. », ^2,3) _.B) [ C) /1 о??\ Wi = W\ -j- Wi . (l.OO) Убедиться в этом можно, в частности, продолжая только что рас- рассмотренный эксперимент. Как мы видели, под действием заряжен- заряженного тела 2 заряд 1 приобретает ускорение w(i2) (рис. 1.12,6). Если же вместо тела 2 вблизи начального положения гю точки поместить достаточно малое заряженное тело 3 (рис. 1.13, а), то оно вызовет другое ускорение точки w(i}- Наконец, вернув точ- точку 1 в ее начальное положение Гю и поместив оба тела одновре- одновременно в прежние их положения, указанные на рис. 1.12,6 и рис. 1.13, а, обнаружим, что точка приобрела ускорение . wB'3) по
28 Основные понятия и законы механики Гл. I сравнению с тем случаем, когда оба тела отсутствуют (рис. 1.13,6). Измерив wi2), w(i3) и w(i2'3), можно убедиться в справедливости A. 36). Заметим, что утверждение о независимости ускорений имеет место при любом числе воздействующих тел' Итак," на основании опытов можно сделать вывод о том, что, во-первых, одни тела воздействуют на другие, причем это воздей- W д Рис. 1.13 ствие проявляется в приобретении телами ускорений, и, во-вто- во-вторых, ускорения, сообщаемые разными телами данному телу, неза- независимы. Этот вывод лежит в основе важнейшего понятия механи- механики о силе. Под силой, с которой произвольное тело 2 действует на данную материальную точку 1, понимают такое влияние тела 2 на точку 1, в результате которого точка 1 приобретает ускорение, исчезающее при удалении тела 2 на бесконечно большое расстоя- расстояние от точки 1. Заметим, что если воздействия одних тел на дру- другие существуют объективно, то введенное в механике понятие о силах отражает эти воздействия лишь с некоторой точностью. Поскольку сила является причиной ускорения, а ускорение обладает свойствами вектора, то постулируется, что и сила есть вектор, причем направленный так же, как и ускорение, вызывае- вызываемое этой силой, т. е. постулируется, что F tt wl2) П 37Ъ 21 11 1' \ • / где F2i — сила, действующая со стороны тела 2 на точку 7, а w<2>— ускорение точки 1, обусловленное действием этой силы.. «Одна из важнейших характеристик силы — ее материальное происхождение», «...говоря о силе, мы всегда неявно предпола- предполагаем, что когда нет физических тел, то сила равна нулю» [26, вып. I, с. 210—211]. Это значит, что как ускорение wi2),
§ 1.2 Понятия о силе и массе 29 так и сила F2i стремятся к нулю по мере удаления тела 2 на бес- бесконечно большое расстояние от точки F, т. е. F21-*" 0» если г21->оо. A.38) Так как ускорения, сообщаемые точке различными телами, не- независимы друг от друга, то в отношении сил, действующих на точку со стороны этих тел, постулируется аналогичное свойство. А имен- именно, полагают, что сила F(i2f3), с которой тела 2 и 3 действуют на данную точку 1 одновременно, равна векторной сумме сил F2i и F3i, действующих на точку 1 со стороны этих тел порознь, т. е. Ff'3) = F21 + F31. A.39) Может случиться, что одновременное действие нескольких тел на материальную точку не изменяет того ускорения точки, кото- которое она имела в отсутствие этих сил. В таком случае сумма сил, действующих на точку со стороны этих тел, и сумма соответствую- соответствующих ускорений равны нулю: Ff'^O, wF}=:0. A.40) Основываясь на A.36), A.39) и A.40), можно производить измерение сил, т. е. их сравнение с силой-эталоном. В каче- качестве силы-эталона можно взять, в частности, силу, с которой дей- действует на тело прикрепленная к нему одним из концов определен- определенная пружина, растянутая до определенной длины /et> Пусть в ре- результате действия на точку силы-эталона и некоторого тела 2 (например, произвольной пружины 2) ускорение точки останется таким же, как и в отсутствие эталонной пружины и тела 2 (на- (например, точка остается в покое относительно Земли). Это значит, что wi^2) = wirt)+wf) = 0, A.41) где Fet — сила-эталон, a wiet)— ускорение точки /, вызываемое эталонной пружиной. Из A.41) видно, что F2i== —Fet, т. е. сила F2i оказывается измеренной. Имея несколько одинаковых эталон- эталонных пружин и располагая их параллельно или под различными углами, в принципе можно измерить любую силу. Пользуясь указанным способом измерения сил, эталонами дли- длины и времени/ экспериментально устанавливают зависимость сил от различных величин. Приведем ряд исследованных таким обра- образом сил. Упругая сила, действующая со стороны пружины 2 на тело /, прикреплённое к ее концу," при достаточно малых удли-
30 Основные понятия и законы механики Гл. I нениях пружины пропорциональна этому удлинению и направлена по прямой, совпадающей с осью пружины (предполагается, что второй конец пружины прикреплен к другому телу): A.42) 2i (ai) Г21 Здесь r2i = ri—г2, Г! — радиус-вектор точки 1 и скрепленного с цей конца пружины, г2 — радиус-вектор другого конца пружины, I — длина ненапряженной пружины, к — характеризующая данную пружину положительная константа, называемая жесткостью. Из A.42) следует, что действующая на точку 1 сила F2i сжатой пру- пружины направлена от конца 2 пружины в. сторону точки / (в этом случае г2\<1, т. е. удлинение г2\—/ отрицательно). Если же пру- пружина растянута (г2\>1у удлинение положительно), то эта сила направлена от точки / в сторону точки 2. Итак, опыт показывает, что абсолютная величина и направление рассмотренной упругой силы зависят лишь от положения точек 1 и 2. Согласно закону Кулона сила электростатического воз- воздействия заряженной точки 2 на заряженную точку 1 обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками и направ- направлена по прямой, соединяющей эти заряды: 21— —ъ —> U-4O) здесь ех и е2 — электрические заряды первой и рторой точек соот- соответственно *. Сила Лоренца F, действующая на точечный заряд е со стороны электрического и магнитного полей, зависит как от по- положения заряда, так и от его скорости: F = *S+ y[vX]. A.44) Здесь с — скорость света; <§ (г, t) и Ж (г, t)—напряженности соответственно электрического и магнитного полей в точке г пространства, где находится заряд; v — скорость заряда. Напом- Напомним, что напряженность электрического поля определяется силой, действующей со стороны этого поля на единицу положительного заряда; направление напряженности Ж магнитного поля можно определить как такое направление скорости заряда, при котором сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна нулю; вели- величину напряженности магнитного поля можно определить как отношение модуля силы, действующей на заряд е со стороны * Единицу электрического заряда можно выбрать, имея эталоны силы и длины. См., например, [40, с. 20].
§ 1.2 Понятия о силе и массе 31 магнитного поля, к величине (e/c)v±, где v± —составляющая скорости заряда, перпендикулярная направлению напряженно- напряженности Ж в данной точке пространства (конечно, радиус-вектор г, скорость v заряда и напряженности полей должны измеряться в одной и той же системе отсчета) [40, с. 212, 553—554]. Поскольку в классической механике не рассматриваются про- процессы, происходящие в полях, постольку напряженности полей <? и % 8 наших задачах будут-считаться заданными функциями радиуса-вектора точки и времени. Например, напряженность электрического поля плоского конденсатора постоянной емкости, к пластинам которого подводится переменное напряжение, изме* няющееся со временем по гармоническому закону, вдали от краев пластин с большой степенью точности можно считать равной <§0cos(D^,'TOe <§о —напряженность электрического поля при t = 09 а со — частота, с которой изменяется подводимое напряжение. Та- Таким образом, сила, действующая на заряд е со стороны этого поля, будет равна F-??<S0cos<d/. A.45) Сила сопротивления среды, действующая на осе- симметричное твердое -тело при его движении в жидкости или газе, зависит от скорости тела относительно среды и направлена противоположно этой скорости (если ось симметрии тела колли- неарна скорости). При достаточно малой скорости эта сила имеет вид F = —*v, A-46) где k — положительная константа, характерная для данного тела и данной среды, a v — скорость тела относительно покоящейся на бесконечности среды. Итак, опыт показывает, что существует широкий класс сил, явно зависящих от положений и скоростей тела, а также от неко- некоторых постоянных величин и времени *. Рассмотрим детальнее соотношение между силой и вызывае- вызываемым ею ускорением. Исследуем, например, движение материаль- материальной точки / по горизонтальному идеально гладкому стержню (рис. 1.14,а) под действием прикрепленной к точке пружины 2, навитой на стержень и закрепленной другим концом в точке О стержня (сила, с которой идеально гладкий стержень действует на точку, перпендикулярна к стержню). Если пружина 2 действу- действует на точку с силой A.42), а стержень неподвижен относительно Земли, то, выбирая систему отсчета 5 с началом в точке О и осью * Известна также сила, зависящая от третьей производной координаты по времени. Таковой является сила лучистого трения, с которой электромагнитное излучение заряда тормозит этот заряд.
32 Основные понятия и законы механики Гл. I Ох, направленной по стержню, в результате измерений получим значения ускорений точки 1, которые аналитически можно пред- представить формулой где х\ — координата точки 7, a coi — величина, постоянная для данной точки и пружины. Поскольку сила F2i, действующая на точку 1 со стороны пружины, равна — x(*i—/)пх, отноше- отношение F2i/wf> будет постоянной величиной для данной точки и данной пружины, а именно У Wy ' COj Аналогичные эксперимен- эксперименты, поставленные с другими пружинами 2, но с тем же те- телом 1, показывают, что отно- отношение F2\/w(f) не зависит от свойств используемой пружи- пружины и является постоянным для данного тела. Если эти эксперименты поставить в условиях, когда стержень вращается с постоян- постоянной угловой скоростью &> в Го- Горизонтальной плоскости Оху, т. е. вращается относительно сис- системы S (рис. 1.14,6), то измерения покажут, что ускорение w/ точ- точки относительно системы S', связанной со стержнем, в случае воз- воздействия на точку пружины будет определяться формулой * Рис, 1.14 W' = Пх>. ! ПХ' — Cof (X\ — Здесь первый член справа равен ускорению точки в отсутствие пружины (рис. 1.14, в), х[— координата точйи в системе S', ось Ох' которой направлена по стержню, а начало совпадает с нача- началом системы S, причем величина o>i—та же постоянная, что и в экспериментах с неподвижным стержнем. Сравнивая ускорения точки на вращающемся стержне при наличии пружины и в ее отсутствие, найдем wi2)— ускорение точки, вызываемое пружиной: * Подробное решение задачи о движении точки на вращающемся стержне приведено на с. 268 в примере 6.5.
§ 1.2 Понятия о силе и массе 33^ Сопоставляя это выражение с силой, действующей со стороны пружины и равной —%{х\ — /)tv, убедимся в том, что для дан- данной точки отношение силы к вызываемому ускорению- в обеих системах отсчета S и S' одинаково. На основании этих опытов, а также опытов с использованием других сил, приходим к фундаментальному утверждению класси- классической механики: в любой системе отсчета отношение силы, действующей на некоторую материальную точку, к ускорению точки, вызываемому этой силой, является величиной постоянной для данной материальной точки. Эту постоянную называют инертной массой или просто массой. Таким образом, -%=mlf A.47) где Ш\ — положительная постоянная — масса точки 1. Утвержде- Утверждение A.47) означает независимость массы от того, как движется тело. Это справедливо, однако, для скоростей, малых по сравне- сравнению со скоростью света. Если же скорость тела сравнима со ско- скоростью света, то утверждение A.47) оказывается неверным. Основываясь на A.47), можно измерять массы различных тел *. Действительно, выберем за эталон массы массу met некото- некоторого -тела и определим ее как отношение f^et/^?» где F2,et — абсолютная величина силы, действующей на тело-эталон со сто- стороны тела 2, а ы$— величина вызываемого этой силой ускорения тела-эталона. Массу тела 1 можно определить, используя воздей- воздействие произвольного тела 3. Тогда отношение массы тх к массе- эталону будет равно Пользуясь способом измерения масс, сил и расстояний, мож- можно экспериментально установить закон всемирного тяго- тяготения Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения двух материальных точек пропорциональна произве- произведению масс этих точек, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей точки. Из эксперимента находится и коэффициент пропорциональ- пропорциональности — гравитационная постоянная 7- Таким образом, сила гравитационного воздействия одной точки на другую равна Г2\ Об измерении масс см. также с. 34 и 176. 2 Зак. 284
34 Основные понятия и законы механики Гл. I Подчеркнем, что только гравитационные силы обладают заме- замечательным свойством одинаково ускорять любые тела, помещае- помещаемые в данную точку пространства. Действительно, из A.49), A.47) и постулата о том, что F21fT wi2)» видно: ускорение, которое при- приобретает тело 1 в гравитационном поле тела 2, равно A.50) и не зависит от массы Ш\. Следовательно, ускорения двух любых тел / и et, находящихся на одинаковых расстояниях от тела 2, равны между собой, т. е. wf = *$. A.51) Из A.49) и A.51) вытекает, что отношение сил гравитацион- гравитационного притяжения двух данных тел 1 и et к любому третьему телу 2 (при условии равенства расстояний r2i=r2jet) равно отношению масс: -I*-*=-?*-. A.52) Это свойство гравитационных сил удобно использовать для изме- измерения масс. Наряду с определением инертной массы в классической ме- механике имеется определение гравитационной (или тяже- тяжелой) массы*. При этом исходят из экспериментально установ- установленного постоянства отношения /W^et для данной пары тел 1 и et, поочередно помещаемых в одну и ту же точку гравитационного поля любого тела 2. Это отношение определяют как отношение гравитационных масс mf/mg[. Иначе говоря, исходят из зако- закона всемирного тяготения в виде A.53) Далее, опираясь на экспериментально установленное свойство гравитационных сил A.51) и исходя из отношения инертных масс A.48), убеждаются в том, что гравитационная и инертная массы тела пропорциональны, т. е. (^)f, A.54) « S причем коэффициент пропорциональности met/mft зависит от Оно аналогично определению электрических зарядов, см. [40, с. 20].
§ 1.3 Понятие об инерциальной системе и законы Ньютона 35 выбора системы единиц измерения (обычно полагают, что wet = mft и тем самым фиксируют размерность [у] гравитацион- гравитационной постоянной; в системе единиц LMT в этом случае [у] = — ЬгМ-1Т-2). Заключение о пропорциональности гравитационной и инертной масс тела неоднократно и с большой степенью точно- точности подтверждалось на опыте. § 1.3, Понятие об инерциальной системе отсчета и законы Ньютона. Принцип относительности Галилея Понятие об инерциальной системе отсчета связано с понятием об изолированной материальной точке, т. ;е. точке, которая находится на весьма больших расстояниях от всех прочих тел. Согласно опыту ускорения изолированной точки, вызываемые телами, будут исчезающе малыми. Вместе с тем эксперименталь- экспериментальные исследования показывают, что относительно одних систем от- отсчета ускорение такой точки равно нулю, а относительно других систем изолированные точки движутся ускоренно. Например, возь- возьмем изолированную точку, покоящуюся относительно системы S и занимающую положение х=Хо, y=z=0 (рис. 1.15, а). Тогда ус- ускорение точки относительно S равно нулю. Теперь рассмотрим ту же точку в системе S', вра- вращающейся относительно 5 с по- постоянной угловой скоростью со вокруг оси Oz (для простоты совместим начала систем О, О' и оси Ог, OV). Ясно, что относи- относительно S' точка будет двигаться по окружности радиуса хо, и по- поэтому ее ускорение относительно S' отлично от нуля (рис. 1.15,6). Система отсчета, относительно которой изолированная мате- материальная точка либо покоится, либо движется равномерно и пря- прямолинейно из любого начального положения при любом направле- направлении скорости, называется инер- инерциальной системой от- отсчета. В инерциальной системе отсчета радиус-вектор изолиро- изолированной точки есть линейная функция времени РИС.
36 Основные понятия и законы механики Гл. I r = vo*-f-ro A.55) при любых постоянных Го и Vo. Система отсчета, в которой усло- условие A.55) для изолированной точки не выполняется, называется неинерциальной системой. Существование инерциальных систем отсчета подтверждается экспериментом (как всегда, с известной степенью точности). Про- Простейший опыт Галилея заключался в наблюдении над отполиро- отполированным металлическим шариком, скатывающимся по наклонной гладкой доске. Наблюдением было установлено, что если угол на- наклона доски к горизонту стремится к нулю, то ускорение шарика также стремится к нулю. Отсюда был сделан вывод о том, что «когда тело движется по горизонтальной плоское*™, не встречая никакого сопротивления, то... движение его является равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца» [2, с. 417, 418]. В последующих более точных опытах была установлена неинерциальность геоцентриче- геоцентрической системы, которая фактически использовалась в эксперименте Галилея. В то же время наблюдения над ускорениями небесных тел показали инерциальность гелиоцентрической системы Копер- Коперника. Конечно, участие солнечной системы во вращении вокруг центра нашей Галактики должно приводить к весьма малой не- инерциальности гелиоцентрической системы (по сравнению с не- инерциальностью геоцентрической системы). Однако тогда за инер- циальную систему можно принять систему, связанную с несколь- несколькими галактиками. Первый закон классической механики, или з а - кон инерции Галилея — Ньютона, сводится к утверж- утверждению, что инерциальные системы отсчета существуют, т. е. суще- существуют системы, удовлетворяющие требованию A.55) *. Конечно, возникает вопрос: с чем связано существование такой привилеги- привилегированной системы отсчета, как инерциальная система? Однако этот вопрос до сих пор не может считаться решенным. В основе второго закона Ньютона лежат утвержде- утверждения о независимости массы от движения тела, о независимости сил и независимости ускорений, сообщаемых данному телу раз- различными другими телами, и утверждение о существовании инер- циальной системы отсчета. * Приведем обычную формулировку закона: «Всякое тело продолжает удер- удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движе- движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние» [3, с. 39]. Мы видели, однако, что существуют и такие системы от- отсчета, относительно которых изолированное тело (т. е. тело, «не понуждаемое приложенными силами») движется ускоренно. Следовательно, объективным со- содержанием приведенной формулировки закона инерции является утверждение о том, что действительно инерциальные системы существуют.
§ 1.3 Понятие об инерциальной системе и законы Ньютона 37 Рассмотрим для простоты систему из трех точек У, 2 и 5. Для первой точки можно получить соотношение между силой F(i2'3), действующей на нее со стороны второй и третьей точек, и ускорением wf's\ которое вызывает эта сила. Действительно, согласно утверждению о существовании инерт- инертной массы и постулату об одинаковой направленности силы и ус- ускорения, вызываемого этой силой, m.wp^pf^ (L56) где т1 — масса точки 7, wB,3) == WB) 4. wC)? рB,3) р , р ri =г21 + г31. Однако ускорение w^3* точки 1, вызываемое телами 2 и 3, равно ускорению wi точки 1 относительно инерциальной системы отсче- отсчета, поскольку в этой системе тела 2 и 3 являются единственной причиной ускорения точки; таким образом, wf8>= wlf A.57) где Wi = vx (см. A.10)). Нетрудно показать, что соотношения вида A.56) и A.57) бу- будут справедливыми и при любом числе тел, действующих на дан- данную точку. Следовательно, ускорение Wi точки 1 относительно инерциальной системы и сумма сил Fb действующих на точку со стороны всех тел, связаны уравнением m1W1 = F1, A.58) которое называется вторым законом Ньютона. Итак, согласно второму закону Ньютона произведение массы любой материальной точки на ее ускорение относительно инер- инерциальной системы отсчета равно сумме всех сил, действующих на данную .точку со стороны других тел. Второй закон является одним из фундаментальных законов природы. Он лежит в основе того раздела механики, в котором рассматривается движение ма- материальных точек в зависимости от действия сил. Этот раздел ме- механики называется динамикой. Второй закон позволяет найти положение и скорость точки в любой момент времени, если известны: масса точки-т, сила F (г, v, t) как функция положения, скорости и времени, а также поло- положение точки Го и ее скорость v0 в некоторый момент времени t0 (конечно, рассматриваются положение и скорость относительно инерциальной системы). Действительно, зная г0 и v0, можно опре- определить силу в момент t0, а зная эту силу и массу, найти ускоре- ускорение в тот же момент времени го = —F(r0, v0, t0) (рис. 1.16). m
38 Основные понятия и законы механики Гл. I Ускорение в свою очередь определяет приращение ско- скорости d\=rodt1 а скорость v0 определяет приращение радиу- радиуса-вектора dr=Vodt. Таким об- образом, определяются положе- положение и скорость точки в момент U+dt и тем самым опреде- определяется сила F(ro-Mr, Vb+dv, U-\-dt)} действующая на точку в момент U + dt. Повторяя ука- указанный процесс, можно найти положение и скорость точки в любой момент времени t>U. Сформулированная здесь за- задача является основной зада- задачей динамики. Используя второй закон Ньютона, можно решать и об- обратную задачу: зная массу точки и ее положение относи- относительно инерциальной системы отсчета в любой момент вре- времени, получить силу, действую- действующую на точку также в любой момент времени. Подчеркнем, что под действием данной силы данное изменение скорости у тела с большей массой происходит за более длитель- длительный промежуток времени. В связи с этим говорят, что тела обла- обладают инертностью, а масса тел является мерой инерт- инертности. Второй закон дает возможность выбрать основные единицы из- измерения в механике. В самом деле, этот закон устанавливает взаи- взаимосвязь между массой, ускорением и силой. Но ускорение являет- является второй прозводнои радиуса-вектора по времени. Следовательно, закон устанавливает взаимосвязь между величинами с размерно- размерностями массы, длины, времени и силы. В принятой с 1960 г. систе- системе СИ за основные единицы в механике выбраны единицы длины, времени и массы. За эталон массы принят килограмм — мас- масса определенного тела — международного килограмма. Единицей силы является ньютон — сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2. Применяя второй закон к системе материальных точек, полу- получим уравнения движения механической системы относительно инерциальной системы отсчета: Рис. 1.16 ^F, (i= 1,2, ... ,N), A.59)
§ 13 Понятие об инерциальной системе и законы Ньютона 39 здесь Fi — сила, действующая на /-тую материальную точку; пред- предполагается, что все эти силы являются заданными функциями гь Г2, ..., Tjv, Vi, v2, ..., vN и t (см., например, A.42) — A.46)). В третьем законе Ньютона утверждается, что силы, с которыми две любые материальные точки действуют друг на друга, равны по величине и направлены в противоположные сторо- стороны по прямой, соединяющей точ- точки (см. рис. 1.17, где изображен случай сил отталкивания). Таким образом, для любых двух то- ; чек 1 и 2 *Х Fai=-F. 21 12 > A.60) где F2i — сила, действующая на первую точку со стороны второй, а сила Fi2 действует на вторую точку со стороны первой; э$и си- силы коллинеарны вектору ri2 (или Рис j 17 Из третьего и второго законов механики вытекает, что любые две материальные точки сообщают друг другу ускорения, обратно пропорциональные их массам и направленные в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти точки. Следовательно, вели- величины ускорений и масс взаимодействующих точек связаны соотно- соотношением щ w1 m2 A.61) При установлении третьего закона Ньютон также основывал- основывался на данных эксперимента. Принцип относительности Галилея. Возьмем си- систему отсчета S\ неускоренно движущуюся относительно инерциальной системы S. Это означает, что начало системы S' движется относительно S равномерно и прямолинейно, а углы между осями систем S' и S сохраняют постоянные значения. Тог- Тогда система S' также будет инерциальной. Действительно, из A.6) вытекает, что радиусы-векторы г и г', характеризующие положе- положение любой материальной точки относительно систем S и S7, свя- связаны между собой соотношением г=го- + г\ A.62) где r0'=(V(/)o *4-(iV)o — радиус-вектор начала О' относитель-
40 Основные понятия и законы механики Гл. I но 5; (v0/)o и (г0г)о — скорость и радиус-вектор начала О' в мо- момент времени^=0. Дифференцируя обе части A.62) по времени и учитывая неизменность ориентации осей S'f получим соотноше- соотношение для скоростей точки v = V, A.63) где v и v' — скорости точки относительно систем S и S' соответ- соответственно. Дифференцируя по времени A.63), найдем, что W = W . A.64) Таким образом, ускорение точки в данный момент времени одина- одинаково относительно любой из систем, неускоренно движущихся от- относительно друг друга. Следовательно, если в системе S ускоре- ускорение изолированной точки равно нулю, то и в системе S' оно равно нулю. Итак, если система S является инерциальной системой, то любая другая система S', неускоренно движущаяся относительно S, также инерциальна. Преобразование координат при переходе от одной инерциаль- инерциальной системы к другой инерциальной системе определяется соотно- соотношением A.62). Это преобразование называется преобразова- преобразованием Галилея. Оно заметно упрощается, если системы S и S' одинаково ориентированы, око-, рость начала О' направлена по одной из осей (например, по оси Ох), а в начальный, момент вре- времени точки О' и О совпадают (рис. 1.18). В этом случае пре- преобразование Галилея имеет вид o+, у у, , A.65) где Vq=(xo,)o (конечно, в этом преобразовании «участвует» фун- фундаментальное допущение класси- классической механики о преобразова- преобразовании времени A.7)). Галилеем был сформулирован классический принцип относительности, согласно которому законы механики одинаковы в любых инерциальных системах отсчета. Это значит, что уравнения движения относительно любых инерци- инерциальных систем 5 и S' совпадают друг с другом, т. е. уравнение Рис. 1.18 На основании наблюдений
§ 1.4 Решение уравнений движения 41 mw = F эквивалентно уравнению m'wf = F\ Поскольку в классической механике масса данной точки постоян- постоянна (m=m/), а ускорение точки в данный момент времени одина* ково по отношению к любым инерциальным системам (w=w/), из принципа Галилея следует, что F = F'f A.66) т. е. следует утверждение о неизменности сил, действующих на точку, при переходе от одной инерциальной системы к другой, также инерциальной системе. Итак, все величины, входящие в уравнение Ньютона, не изменяются при преобразовании от одной инерциальной системы к другой инерциальной системе. Иными словами, уравнения Ньютона инвариантны относительно преобра- преобразований Галилея. Рассмотренные выше основные понятия и законы классиче- классической механики: понятия о материальной точке, о пространстве и времени, о силе и массе, понятие об инерциальной системе отсче- отсчета, законы Ньютона и принцип относительности Галилея — яв- являются фундаментом классической механики. Этот фундамент был построен в результате деятельности многих поколений, был роз- роздан в результате анализа и теоретического обобщения экспери- экспериментальных данных. Проверкой правильности основ классической механики, ее соответствия природе является сопоставление выво- выводов теории опять-таки с экспериментом. Так как теория создается человеком в определенные исторические эпохи с определенными воззрениями и техническими возможностями, то любая физичес- физическая теория является приближенной, ограниченной. В том числе приближенными, ограниченными являются основные понятия и за- законы классической механики. § 1.4. Решение уравнений движения и начальные условия Движение механической системы N материальных точек под- подчинено уравнениям A.59). Если известны массы всех точек и их положения в любой момент времени, то, используя A.59), можно определить силы как функции времени. Однако несравненно более трудной задачей является отыскание радиусов-векторов точек как функций времени, если заданы силы как функции положений то- точек, их скоростей и времени. В математическом отношении эта за- задача является задачей о нахождении общего решения системы
Основные понятия и законы механики Гл. I 3N дифференциальных обыкновенных уравнений 2-го порядка *. Это решение будет зависеть от 6N произвольных постоянных и может быть записано в виде Г/^г^^^С, ...,С6Л,) A-1,2, ... ,N). A.67) Постоянные интегрирования связаны с начальными условиями. Действительно, пусть нам известно общее решение A. 67) и за- заданы начальные положения и скорости точек системы, т. е. зада- заданы ri0=r<(*0), Vio=v*(*o) (i=l, 2, ..., N). Дифференцируя A.67) по времени, получим скорости точек как функции времени и 6N произвольных постоянных v,=v,(f,ClfCB, ..^СбАг) (t-1,2, ... 9N). A-68) Полагая в системах A.67) и A.68) i = tQi будем иметь гю = rt (*о> Clf С2, ... , Се//)» vio ^ v* (^о> С1э С2, ¦.. , Cqn) <*-1,2, ...,Л0. A.69) Допуская, что система A.69) разрешима относительно постоянных интегрирования, найдем Са = Ca(t0> Г10, Г20, . . . , Tjvo, Vlo> V20, . . . , Vjvo) (a = 1, 2, . . . , 6iV). A.70) Наконец, подставляя A.70) в A.67), получим общее решение уравнений движения механической системы в виде ri = ri (^» ^0» ri0i Г20» • • • » ГАГО, V1O, V20, . . . , (f=l,2f ...,iV). A.71) Таким образом, если заданы массы точек, силы, действующие на точки системы, и начальные условия, то поведение системы опре- определяется однозначно. В этом проявляется причинная обусловлен- обусловленность механического движения. Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений движения относительно инерциальной системы отсчета. При этом обратим внимание на большое значение выбора системы координат, кото- который должен отражать особенности заданных сил и начальных ус- условий. Такой выбор обеспечивает сравнительную простоту реше- решения задачи. Пример 1.6. Заряженная частица в переменном электрическом поле. * Здесь и далее предполагается выполнимость математических условий, при которых решение системы дифференциальных уравнений единственно.
§ 1-4 Решение уравнений движения 43 Заряд е массы т движется между обкладками плоского не- неподвижного конденсатора, где напряженность электрического по- поля равна <§ = <g0 cos at ((§о и со— постоянные величины). В момент времени ? = 0 заряд находился в положении г0 и имел скорость Vo относительно систе- системы отсчета, связанной с пластинами конденсатора. Найти поло- положение и скорость заряда в любой момент времени ?>0. Из условия вытекает, что на заряд действует сила (см. A.45)) F = ee0cosa>t, а уравнением движения является уравнение тт = е60 Сила в любой момент времени коллинеарна постоянному векто- ру<§ 0. Поэтому ускорение и при- приращение скорости также кол\лине- арны <§о- Следовательно, движе- движение заряда происходит в плоско- плоскости, задаваемой векторами <§0 и v0. В соответствии с этим выбе- выберем систему декартовых коорди- координат (начало отсчета и орты должны быть жестко связаны с конденсатором). Одну из осей (например, ось Ох) направим вдоль вектора <§0, а плоскость <г=0 совместим с плоскостью движения (рис. 1.19). В выбран- выбранной системе координат проекции силы имеют вид О \ 1 еЯГ v F Рис. 1.19 Fy - F2 = 0, а проекции радиуса-вектора и скорости на ось Ог равны нулю. Проектируя левую и правую части векторного уравнения дви- движения на оси выбранной системы, получим три дифференциаль- дифференциальных уравнения шх = е§о cos со/, ту = 0, тг = 0 (подчеркнем, что проекция силы на ось Ох изменяется по гармо- гармоническому закону и в соответствии с этим изменяется абсолютная величина и знак ^проекции ускорения на ось Ох). В результате интегрирования уравнений найдем
44 Основные понятия и законы механики Гл. I X = — Sin (dt ma) raco2 У = ^2» {/ == ^2^ + C6, Подставляя в эти функции tf=O и используя начальные условия, получим решение для v(t) и г (t) в виде mooa Итак, заряд движется в плоскости, образуемой векторами <§о и v0 (т. е. в плоскости 2=0). Движение вдоль оси Оу происходит с постоянной скоростью, так как сила действует лишь в направ- направлении оси Ох. Движение заряда вдоль оси Ох слагается из дви- движения по инерции с начальной скоростью хо и колебания с часто- частотой со изменения заданной силы. Усредненная по времени за пе- период 2я/со проекция скорости на ооэ Ох равна проекции началь- начальной скорости на эту ось, т. е. х = л:0. Отметим также, что изменяющиеся по гармоническому закону составляющие проекций скорости и радиуса-вектора заряда на ось Ох отстают по фазе от изменения проекции ускорения соответственно на я/2 и я. В общем случае, когда на материальную точку действует сила, зависящая только от времени, все три уравнения движения имеют вид n? = Fx(t). Интегрируя это уравнение и учитывая начальные условия, найдем общее решение в квадратурах: t t t x = ±^Fx(t)dt + x0, x = -i- J [J Fx(t) Л] dt + xo(t-to) + x0. U U. to Для других проекций скорости и радиуса-вектора результаты ана- аналогичны. Пример 1.7. Задача о пространственном осцилляторе. На точку массы m действует сила, направленная к неподвиж- неподвижной точке О и пропорциональная расстоянию между этими точ- точками (коэффициент пропорциональности х). Найти уравнение траектории материальной точки, а также ее радиус-вектор и ско-
§ 1.4 Решение уравнений движения 45 рость как функции времени, если в момент времени /=0 она на- находилась в положении г0 относительно системы отсчета с началом в точке О и имела скорость v0. Уравнением движения в рассматриваемой системе отсчета яв- является уравнение тт = —хг. Таким образом, в любой момент времени ускорение (и прираще- приращение скорости) коллинеарно вектору г, а движение точки происхо- происходит в плоскости, определяемой векторами г0 и v0. Действительно, если ? = 0, то приращение скорости коллинеарно вектору г0 (см. рис. 1.7), и поэтому в момент времени, бесконечно близкий к начальному, точка будет находиться в указанной плоскости. Аналогично, рассматривая последующие приращения радиуса-век- радиуса-вектора и скорости точки, можно прийти к выводу о ее движении в плоскости, определяемой начальными условиями. В связи с этим плоскость Оху декартовой системы координат целесообразно сов- совместить с плоскостью движения. Проектируя левую и правую части уравнения движения на оси Ох и Оу, придем к системе уравнений х 4- со2* = 0, у + со2у == 0, где со2=х/т. Общее решение этой системы уравнений имеет вид х = Сг cos со/ +'С2 sin со/, у = C3cosco/ + C4sinco/. Дифференцируя его по времени, получим x=z—(иС1 sin со/ + ®С2 cos со/, у = — о)С3 sin со/ + соС4 cos tot. Полагая в последних четырех функциях t==0 я используя началь- начальные условия, найдем п y Г — х° Г и Г — ^° со со Общее решение можно записать также в виде х = ах cos (со/ + ах), у == а2 cos (со/ -f а2), где аь а2, аи а2 — произвольные постоянные. Из полученных реше- решений следует, что в направлении осей Ох и Оу точка совершает гармонические колебания с частотой со, амплитудами а\, &2
46 Основные понятия и законы механики Гл. I и ф а з а м и аь <Х2 соответственно. Амплитуды и фазы выражают- выражаются через начальные положение и скорость точки; например, v>2 \ 1/2 v Jl) , tgou = —• со2 / ша Запишем y(t) в следующей форме: ot + ах + б), где разность фаз 6 = o&2~ai, и возведем в квадрат правые и левые части функций x(t), y(t), представленных в виде, удобном для исключения времени: ^— =CQs((ut + аг), | — cos (со/ + ai)cos61 __ _ sin(o)^ + аг). sin о L °2 J Складывая результаты возведения в квадрат, получим уравнение траектории Итак, под действием силы — иг материальная точка движется по эллипсу с центром в неподвижной точке О, к которой в любой момент времени направлена сила. Плоскость эллипса определяет- определяется начальными условиями, этими же условиями определяются величины полуосей эллипса (аи аг) и его ориентация в плоскости движения (т. е. разность фаз б). В общем случае, когда сила зависит только от положения точ- точки, а каждая декартова проекция силы зависит только от соответ- соответствующей проекции радиуса-вектора, уравнения движения имеют вид mx = Fx (*), my == Fy (у), mz = Fz B). Общее решение этих уравнений может быть получено в квадрату- квадратурах. Например, умножая обе части первого уравнения на dx и учитывая, что xdx = dx = xdx\ dt получим xdx = — F (x) dx. m
§ 1.4 Решение уравнений движения 47 Интегрируя это уравнение, найдем х(х): (здесь выбирается тот знак, который имеет х при я = Хо), а Раз* деляя в последнем уравнении переменные t, x и интегрируя еще раз, получим ?(л;): Пример 1.8. Движение в однородном поле тяжести при нали- наличии силы сопротивления. Пусть достаточно малое невращающееся тело массы m дви- движется в однородном поле тяготения напряженности g вблизи по- поверхности Земли. Кроме то- того, среда, покоящаяся отно- относительно Земли, действует на тело с силой, пропорци- пропорциональной его скорости отно- относительно Земли (коэффици- (коэффициент пропорциональности k). Найти положение и ско- скорость тела как функции вре- времени. Выберем систему от- отсчета, жестко связанную с -Землей, и будем считать эту систему инерциальной, что с определенной степенью точ- ис" ' ности допустимо (см. при- пример 4.3). Сила, действующая на тело, слагается из постоянной силы притяжения mg и силы сопротивления среды — &v, где v — скорость тела (см. A.46)). Следовательно, ускорение в любой мо- момент времени лежит в плоскости, определяемой векторами g, v0; в этой же плоскости будет двигаться тело (рис. 1.20). Учитывая данное обстоятельство, одну из координатных плоскостей, (напри- (например, Oyz) совместим с плоскостью движения, а ось Oz направим вверх по вертикали.л Уравнение движения точки имеет вид Я7Г = mg —kr9
48 Основные понятия и законы механики Гл. I где г — радиус-вектор, определяющий положение тела. Проекти- Проектируя левую и правую части уравнения движения на координатные оси указанной выше системы отсчета, найдем, что уy9 g(+ m \ mg Интегрируя эти уравнения и используя начальные условия, полу- получим решение для проекций скорости у k т mg -—t (в качестве начальных условий здесь взяты не у0 и 20, а модуль скорости v0 и угол ао между начальной скоростью и осью Оу). Интегрируя второй раз, получим общее решение задачи в виде У = yvo OTS «о О — е т ) + Уо> Рассмотрим следующие частные случаи. Пусть уо=О и <хо = = +я/2, т. е. начальная скорость направлена вверх. Тогда началь- ное ускорение z0 = — gil Ч z0) < 0, т. е. будет направ- \ гпё 1 лено вниз. С возрастанием времени (как видно из решения) ус- ускорение, оставаясь отрицательным, стремится к нулю, так как сила сопротивления в конце концов компенсирует силу притяже- притяжения. Установившаяся скорость падения оказывается равной — (mg/k)- Если начальная скорость направлена вниз (#о=О, ао=—я/2), но | г0 | < {mg/k), то опять zo<O. Если же начальная скорость направлена вниз, а | z0 \>(mg/k), то начальное ускорение направлено вверх. Сила сопротивления в этом случае направлена взерх и по величине больше, чем сила притяжения. В последующие моменты времени ускорение, остава- оставаясь положительным, стремится к нулю; соответственно скорость стремится к предельной скорости падения. Пусть теперь уоФО, zo>O и ао заключено в пределах: либо О<ао<я/2, либо (я/2)<ао<я. Тогда в начале движения (при t9 очень близком в ?=0) z >0, а для достаточно больших t z<0.
Решение уравнений движения Следовательно, в течение некоторого времени тело будет подни- подниматься, а затем начнет падать. Время подъема определим, пола- полагая 2 = 0: mg Из функций y(t) и z(t) легко отыскать координаты точки в тот момент, когда она достигает максимальной высоты. Действитель- Действительно, полагая в этих функциях t=t^==oy найдем y{t. ) = z—0 til sin 2oo Уо> 1 + v0 sin Oo mg z(t. ) = z=o mg v0 Sin a Уравнение траектории z (у) получим, исключая время из функции z(t) с помощью функции y(t): mg mg ^о sin a0 Для наглядности рассмотрим предельные случаи, когда можно считать, чта (klm)t^>\ или {klm)t<.\. Если тело в начальный момент находится достаточно высоко над поверхностью Земли, то время полета (до падения на поверхность Земли) может быть достаточно велико (рис. 1.21,а); тогда в конце полета бу- будет выполняться условие (k/m)t'^>\. Устремляя ?->-+оо, получим предельные значения y(t)t y(t)t z(t): mg Уоо = °> zoo== — —• Эти величины дают приближенные значения дальности полета и проекций ско- скорости в момент падения тела на поверхность Земли. Трае/тория р Рис. 1.21
50 Основные понятия и законы механики Гл. I Если время полета достаточно мало, то выполняется условие (klm)t<C\. Предполагая, что сила сопротивления среды мала по сравнению с силой притя- притяжения тела Землей, и разлагая интересующие нас функции в ряды по малым величинам, получим приближенные решения. Пусть, например, в начальный мо- момент времени тело находится на поверхности Земли и требуется вычислить время полета tit дальность z/i и квадрат скорости тела в момент его падения на по- поверхность Земли (рис. 1.21,6). Полагая z=20 = 0 в функции z(t) и разлагая ее по степеням (k/m)t, а также имея в виду, что {kvo/mg) <Cl, получим приближен- приближенное значение для времени полета kv0 . \ _ sin a \ mg °) Полагая t=ti в функции y(t) и считая величины, пропорциональные k, малыми, найдем приближенное значение для дальности полета ^sin2a0 / 2kv9 \ уг = 1 — sin a0 g \ mg ) Наконец, полагая t = ti в функциях $(t) и z(t), получим приближенное значение квадрата скорости тела в момент его падения на поверхность Земли: Приближенное уравнение траектории найдем с помощью разложения функции z(y) в ряд по величинам, содержащим k: {у Уо). Q Q cos3 a0 Отсюда видно, что в рассматриваемом случае траектория весьма близка к пара- параболе. Устремляя &->0 либо в уравнениях движения, либо в решениях, получим описание движения точки в однородном поле тяготения. В общем случае, когда сила является функцией только скоро- скорости точки, причем каждая декартова проекция силы зависит лишь от соответствующей проекции скорости, уравнения движения имеют вид Общее решение этих уравнений может быть получено в квадра- квадратурах. Например, возьмем первое уравнение движения. Так как ** dx , Xz=: , то сразу видно, что переменные t и х разделяются и dt соответствующий интеграл равен ( -4- Fx(x)
§ 1.4 Решение уравнений движения 51_ Если отсюда можно выразить х как функцию от /, то можно бы- было бы найти в квадратуре x(t), т. е. х = х0 + J х (t) dt. Отметим еще один прием интегрирования уравнений указанного типа. Умножая обе части уравнения движения на dx и имея в ви- виду, что х dx = x dx, получим зависимость х(х): х = х0 + т Г xdx ) FAx) х0 Аналогично интегрируются и остальные уравнения движения. Пример 1.9. Движение заряженной частицы в постоянных одно- однородных электрическом и магнитном полях. Теория движения заряда в электромагнитных полях имеет большое значение в современной физике: она играет важную роль в исследованиях плазмы, в ускорительной технике, в астрофизике и т. д. Рассмотрим сначала поведение заряда в постоянном однород- однородном электрическом поле напряженности <§. Уравнение движения и его решение в векторной форме имеют вид ' гпх = е&, (здесь r0, v0 — начальные значения радиуса-вектора и скорости заряда). Отсюда следует, что заряд движется ускоренно в нап- направлении вектора & и по инерции в направлении, перпендикуляр- перпендикулярном к ё, а траекторией точки является парабола. Эти основные черты рассматриваемого движения будут лучше видны, если спро- спроектировать левую и правую части векторного решения на оси де- декартовой системы координат, выбранной так, чтобы ось Ох была параллельна вектору <§, а ось Оу была расположена в плоскости движения, определяемой векторами <§ и v0. Тогда е Р X = ~2^- *2 + Xj + Х09 У = yot + Уо, 2 = 0.
•52 Основные понятия и законы механики Гл. I Исключая из этих функций время, найдем уравнение траектории Уо W?(»-*•>'• Измеряя элементы этой траектории, можно получить значение ве- величин el ту о и хо!уо. Движение заряда в постоянном однородном магнитном поле напряженности Ж подчиняется векторному уравнению (см. A.44)) e г* - mv = — [ra Для решения этого уравнения выберем декартову систему коор- координат с осью Ог, параллельной Ж (рис. 1.22). В такой системе сила Лоренца имеет вид F = — ПХ ПУ ^2 л; j/ z 0 055? (yn^ — xnX а уравнениями движения являются уравнения х = cot/, у = — (oi, z = О, еЖ гдесо= так называемая циклотронная часто- частоте т а. Интегрируя эту систему один раз и учитывая начальные усло- условия, найдем х = а(у — уо)+ х0, у=—®(х — хо)+ г/0, 2 = г0. Подставляя функцию у(х) в первое из уравнений движения, полу- получим X + СО2 (Х — Хо) =@ 1/0. Это уравнение гармонических колебаний с постоянной правой частью имеет общее решение вида х = х0 + a). Отсюда дифференцированием найдем выражение для проекции скорости на ось Ох: х = acosin((D/ + a).
1.4 Решение уравнений движения 53 Используя функции х(t) и х(t), определим постоянные а и а: sta « = /. ,\1Я1 cos a = -, Затем, подставляя решение x(t) в полу- полученную выше функцию х (у), откуда следует, что у .= a(ocos(o)H- a). Наконец, исключая время из функций (t) (f) x(t) и z/(f), придем к выводу, что проек- проекция материальной точки на плоскость, перпендикулярную Ж , движется по ок- окружности гд"е Уо Уо ч Рис. 1.22 х<у = ¦и»—г-- Радиус а этой окружности определяется удельным зарядом ejmy напряженностью магнитного поля Ж и проекцией начальной ско- скорости на плоскость, перпендикулярную вектору напряженности Ж (величина радиуса а не зависит от начального положения заря- заряда). Центр указанной окружности определяется взятыми в на- начальный момент времени проекциями радиуса-вектора и скорости заряда на плоскость Оху> т. е. величинами Хо, уь, #о, Уо> & также циклотронной частотой со. В направлении оси Oz точка движется по инерции со скоростью &о. Следовательно, траекторией точки является винтовая линия с постоянным шагом г0Bя/(о).
54 Основные понятия и законы механики Гл. I «аи Из решения видно, чт величина проекции скорости на плоскость Оху постоянна; остается постоянным и мо- модуль скорости точки. Дифференцируя x(t)t и y(t) по времени, получим проек- проекции ускорения как функции времени х = а со2 cos (cot + а), у = — а (о2 sin (at + а), а выразив их через х и у, найдем .* = —<о2(л: —*о')» */ = — <°2 (У — Уо>)- Рис. 1.23 Из приведенных соотношений, а также из того, что проекция ускоре- ускорения на ось Ог равна нулю, следует, что абсолютная величина ускорения заряда является постоянной: а вектор ускорения направлен все время перпендикулярно к оси воображаемой цилиндрической поверхности радиуса а, на кото- которую навивается траектория заряда. Отметим важное свойство фокусировки рассматриваемого магнитного поля. Оно проявляется в том, что частицы с одинако- одинаковым удельным зарядом и одинаковым начальным положением, но с различными начальными скоростями, перпендикулярными Ж, при- приходят в одно и то же положение через период времени Т*=2п/ы. Теперь рассмотрим движение заряда во взаимно перпендику- перпендикулярных электрическом и магнитном полях с напряженностями & и Ж [14, стр. 245—248]. Если начальная скорость v0 заряда перпендикулярна Ж, то его движение будет плоским, поскольку приращение скорости в начальный и последующий моменты вре- времени лежит в плоскости, определяемой векторами v0 и Fo = = е& + — [\0Ж] (см. A.44)). В связи с этим ось Ог направим с вдоль вектора Ж, а ось Ох вдоль § (см. рис. 1.23, где е<0). Уравнение движения заряда mv =
§ 1.4 Решение уравнений движения 55 в выбранных декартовых координатах принимает вид . eg .. * = coy +-^-, У = —сох, е. 'W где (о = . Интегрируя эту систему по аналогии с предыдущим тс случаем, находим где Для проекций скорости и ускорения соответственно имеем i = со a sin (со? + а), х = co2acos (arf -f a), у = — —^- + со a cos (ю* 4a)J = — со2а si Уравнение траектории (циклоиды) запишем в виде где , с S Отсюда видно, что движение заряда происходит в полосе, лежа- лежащей в плоскости Оху, и может быть наглядно представлено как равномерное вращение заряда с постоянной угловой скоростью со по окружности радиуса а, центр которой движется параллельно с Р оси Оу с постоянной скоростью -щ- (рис. 1.24). Существен- Существенно, что со зависит от отношения efflltn и не зависит от начальных условий, а скорость центра указанной окружности зависит лишь от отношения напряженностей полей S/S5? и, следовательно, одина- одинакова для частиц с различными удельными зарядами е/т и раз- различными начальными условиями. Ширина полосы, в которой про- происходит движение заряда, равна 2а. Она зависит от удельного за- заряда, напряженностей полей, начальной скорости и не зависит от начального положения ввиду однородности полей.
56 Основные понятия и законы механики Гл. I Рассмотренное движение заряда в направлении вектора с постоянной в среднем скоростью называют дрейфом заря- д а. Средние значения проекций скорости и ускорения за период Г=2я/со соответственно равны х — 0 и = — г Рис. 1.24 Кстати отметим, что абсолютная величина ускорения отлична от нуля и равна \е\Я Г -2 , / • , eg w = I а I со2 = тс Уо -)*]"'• а вектор ускорения направлен все время к центру «образующей» окружности. Изучаемые поля обладают важным свойством фокусировки. Дело в том, что ни частота со, ни скорость дрейфа — с -~г не зависят от начальных условий. Поэтому расстояние / между двумя последовательными вершинами циклоиды, равное произве- произведению величины скорости дрейфа на период Т, также не зависит от начальных условий: Следовательно, частицы с одинаковым удельным зарядом и оди- одинаковым начальным положением, но с различными начальными скоростями, перпендикулярными к Ж, будут приходить в одно и то же положение через периоды времени Т. Рассмотрим детальнее явление дрейфа заряда. С этой целью перенесем начало координат в начальное положение заряда, а на- начальную скорость направим перпендикулярно плоскости полей, т. е. положим, что xo=yo = O и Xo=O. Такой выбор начальных ус-
§ 1.4 Решение уравнений движения _57 ловий по существу не вносит ограничений, поскольку, изменяя на- начало отсчета времени t0, всегда можно добиться того, чтобы хо = О. Подставляя выбранные начальные условия в общее решение, по- получим с р х = a(lcos<ut) i/ ? где а = —(' С§ СО \ <^2» Возьмем для определенности отрицательный заряд ?<0 и поло- положительно направленную начальную скорость #р>0. Учитывая, что при этом со<0 и а<0, вычислим х, у, х, у, х, у при значениях ар- з гумента - Ы = О, —я/2, —я,— — я, —2я (на рис. 1.24 эти точки обозначены 0, 1, 2, 3, 4 соответственно, а в каждой из этих точек изображены скорость v, сила е&> сила. Fa? = — [v Ж] и сумма этих сил F). В результате мы увидим, что на участке тра- траектории 0—1—2 электрическое поле разгоняет заряд от скорости, равной г/о, до скорости максимальной величины уъ-\-2с {&!Ж). Одновременно магнитное поле, искривляя траекторию, поворачи- поворачивает скорость настолько, что в положении 2 она становится анти- антипараллельной начальной скорости; при этом сила F#? оказывается направленной по вектору <§, а по величине превосходит силу е & (так как скорость в положении 2 достаточно велика). В.связи с этим на участке траектории 2—3—4 появляется составляющая скорости, направленная против силы е §; происходит торможение заряда электрическим полем, а магнитное поле продолжает ис- искривлять траекторию; скорость заряда в точке 4 достигает мини- минимальной величины уо и поворачивается до направления начальной скорости. Из этой картины движения следует, что на участке тра- траектории /—2—3 величина средней скорости движения заряда в направлении, перпендикулярном плоскости полей, больше, чем на участках 0—У, 3—4. В самом деле, легко подсчитать, что средние значения проекции скорости на участке 1—2—3 соответственно равны х = 0, у = -щ — асо, а на участках '0 — 1, 3 — 4 11 W ^ к -г eg _2_ = 0, у = «г- + - <
58 Основные понятия и законы механики Гл. I Аналогично возникает дрейф частицы и при других значениях на- начальной скорости (см. рис. 1.25, на котором изображены все воз- возможные случаи траекторий отрицательного заряда, если Хо = Уо—: Исследуем движение заряда в постоянных однородных элект- электрическом и магнитном полях с произвольной ориентацией векто- векторов <§, Ж и v0. Направляя ось Ог вдоль Ж, а ось Ох в одной из плоскостей, определяемых векторами & и Ж, убедимся, что дви- движение проекции материальной точки на плоскость Оху описыва- описывается полученными ранее уравнениями с той разницей, что роль величины $ играет ёх —проекция & на ось Ох, а движение проекции точки на ось Ог будет равноускоренным и определится проекцией напряженности электрического поля <?2. Таким обра- образом, общее решение имеет вид с ^ \ — acos {(at + a), Xo t + asin (octf + <*)> = ZQ + Zot + 2m где
§ 1.4 Решение уравнений движения 59 В этом случае движение заряда может быть наглядно представ- представлено как его равномерное вращение с угловой скоростью со по окружности радиуса а, плоскость которой все время остается пер- перпендикулярной напряженности Ж, а центр движется с постоянной с & скоростью * в направлении вектора [ёЩ и равноускорен- равноускоренно вдоль Ж. Следовательно, траекторией заряда является некото- некоторая винтовая кривая, вьющаяся около параболы с осью, парал- параллельной напряженности магнитного поля.
Глава II ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА И ЭНЕРГИИ В первой главе было показано, что зада'ча о движении одной точки имеет общее решение для сравнительно широкого класса сил. Задача о движении двух точек также имеет общее решение в квадратурах при достаточно общих предположениях о силе взаимодействия между точками (см. § 3.1). Однако отыскание общего решения задачи трех и более точек при достаточно общих предположениях о силах взаимодействия встречает непреодоли- непреодолимые трудности*. В связи с этим общие теоремы, справедливые при любом числе материальных точек, приобретают громадное значение. Такими универсальными теоремами являются законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энер- энергии. Рассмотрим эти законы для механических систем свободных точек (см. с. 26), или, кратко говоря, для свободных систем. § 2.1. Законы изменения и сохранения импульса и момента импульса материальной точки Из дальнейшего будет ясно, что законы сохранения импуль- импульса, кинетического момента и энергии приводят к так называемым интегралам движения. Интегралом движения называется такая' функция времени, координат и скоростей точек, которая при движении механической системы сохраняет постоянное зна- значение, определяемое начальными условиями. Таким образом, ин- интеграл движения определяет соотношение ©ида f{t, гх, г2, ... , vNy vlf v2, ... , \N) = С B.1) между радиусами-векторами и скоростями точек системы. Функ- Функция / сохраняет постоянное значение при любых начальных усло- условиях, а значение постоянной С фиксируется, если начальные усло- условия заданы, т. е. * В настоящее время частные решения задачи трех тел находятся с по- помощью методов вычислительной математики.
§ 2.1 Сохранение импульса и момента импульса точки 61 /С ri» г2, ... , rNt vu v2, ... rv;v) = C0, B.2) где Co = f(t0) гю> r2o> • • • » гмь v10, v20, . • • , vjvo). Интегралы движения, содержащие скорости точек, называют- называются первыми интегралами. Вторыми интегралами называются такие функции времени, координат точек и произ- произвольных констант, которые при движении системы сохраняют постоянные значения. Если известны 6N независимых первых интегралов движе- движения fa(t, Г1э Г2, . . . , Tjv, У19 V2, . . . , VN) = Са B.3} (<х=1, 2, ... , то уравнения движения A.59) механической системы можно счи- считать проинтегрированными, поскольку соотношения B.3) опреде- определяют радиусы-векторы и скорости точек системы как функции времени и 6N произвольных постоянных. Соответственно зна- знание s независимых первых интегралов дает возможность пони- понизить порядок системы уравнений движения на 5. Рассмотрим связь законов сохранения со свойствами сил на* примере одной точки, движущейся относительно определенной инерциальной системы отсчета. Закон изменения импульса материальной точки совпадает со вторым законом Ньютона. Действительно, импульсом точки р называется произведение массы точки m на ее скорость v (часто эту величину называют количеством движения). Поскольку масса точки постоянна, то из уравне- уравнения A.58) получаем закон изменения р = F. B.4> На основании B.4) можно утверждать: если проекция силы на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна ну- нулю, то проекция импульса на ту же ось сохраняется; например, если F2=0, то Если проекции силы на две фиксированные оси равны нулю, то получим два интеграла. Например, пусть на точку действует сила тяжести mg. Так как вектор g постоянен, то проекции силы на оси, перпендикулярные этому .вектору, равны нулю в любой мо- момент времени. Следовательно, проекции импульса (и скорости) на оси, перпендикулярные g, сохраняются, т. е. х=х0, у=уо (ось Ог
62 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II направлена вдоль /вектора g). Наконец, если сумма сил, действую- действующих на точку, равна нулю (F=0), то Р = Ро> B.6) т. е. имеет место закон сохранения импульса точки. Отметим: если проекция силы «а подвижную ось равна нулю, то отсюда не вытекает сохранение (проекции импульса на эту ось. Пусть, например, проекция силы на координатную ось (р) равна нулю. Спроектировав на эту ось обе части уравнения движения точки (или B.4)), найдем, что mwQ = jFp. Левая часть этого уравнения (согласно A.20)) равна Рр — т рф2, где рр=тр и является проекцией импульса точки на ось (р). Та- Таким образом, если /7р=0, то это не означает, что рр сохраняется. Закон изменения момента импульса точки является следствием второго закона Ньютона. Действительно, умножая B.4) векторно слева на радиус-вектор точки г, получим Правая часть этого уравнения называется моментом силы L. Левую часть (используя определение импульса и очевидное ра- равенство [vv]=0) можно представить в виде [гр] dt где М= [гр] — момент импульса точки. В результате най- найдем, что производная момента импульса материальной точки по времени равна моменту силы, действующей на эту точку, M-L. B.7) Отсюда следует: если проекция момента силы на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то про- проекция момента импульса точки на ту же ось сохраняется; напри- например, если Lz=0, то М2 = М20. B.8) Подчеркнем, что момент силы (или его проекция) может рав- равняться нулю не только в том случае, когда сила равняется нулю. Пусть, например, задана сила, направление которой постоянно.
§2.1 Сохранение импульса и момента импульса точки Направляя координатную ось Oz коллинеарно силе, на основании B.8) йайдем (рис. 2.1, а) Ьхф0, 1уф0, L,=xFy — yFx = O; B.9) М 2 = т (ху — ух) = MzQ. Таким образом, проекция момента импульса точки на направле- направление силы сохраняется, что дает один первый интеграл движения. х \ Теперь рассмотрим силу (рис. 2.1,6), лщшя действия которой все время пересекает неподвижную ось под прямым углом (линией действия силы называется прямая, на которой расположен этот вектор). Выбирая неподвижную ось за ось Oz, на основании B.8) получим Fy = 0, 1Ф ф 0, Lz = р^ф - 0; М2 =тр2ф-Л/]20. B.10) Следовательно, проекция момента импульса точки «а неподвиж- неподвижную ось сохраняется и дает также один первый интеграл *, тогда как из- равенства Lp нулю не следует постоянство Мр, по- поскольку орт пр сам зависит от времени. В физических приложениях очень распространен случай центральной силы, т. е. силы, линия действия которой все время проходит через некоторую неподвижную точку — центр сил ы. Выбирая эту точку за «ачало координат (рис. 2.1, в), най- найдем * Случаи B.9) и B.10) являются частными случаями более общего, когда линия действия силы все время пересекает неподвижную прямую под любым углом.
€4 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II B.11) М = m[rv] = Мо. Рис. 2.2 m[rv]r = Мог = Таким образом, момент импульса точки относительно центра силы сохраняется. Однако между тремя проекциями момента импульса имеется очевидная зависимость: Mv = m[rv]v = 0, B.12) поэтому из полученных трех первых интегралов незави- независимы лишь два. Под действием цент- центральной силы точка всегда движется по плоской траек- траектории. Это видно как из уравнения движения *(см., в частности, пример 1.7 на с. 45), так и из второго интеграла B.13) Плоскость траектории проходит через центр силы и перпендику- перпендикулярна ^постоянному моменту импульса точки; положение этой плос- плоскости определяется начальными условиями, так как Mo = m[rovo]. Во всех отмеченных случаях для выявления сохраняющихся величин важен такой выбор системы координат, который учиты- учитывает особенности сил. Только в случае изолированной точки не существенно, где поместить начало координат и как направить оси, поскольку силы, действующие на точку, отсутствуют (F=0); в этом случае М=М0, B.14) т. е. имеет место закон сохранения момента импуль- импульса точкой. Для более наглядного представления о сохранении моменту импульса выразим уравнение B.7) через секторную скорость <т (см. A.11) и рис. 1.3,6). Тогда получим B.15) откуда вытекает, что из равенства Mz=Mz0 следует B.16)
§22 Сохранение энергии точки 65 Это значит, что проекция радиуса-вектора точки на плоскость, перпендикулярную оси Ог, описывает одинаковые площади за лю- любые одинаковые (интервалы времени (рис. 2.2). По этой причине интеграл B.16) часто называется интегралом- площадей. § 2.2. Законы изменейия и сохранения энергии материальной точки Закон изменения 'кинетической энергии точки получим, умно- умножая обе части уравнения движения A.58) скалярно на перемеще- перемещение точки dv: mv dv = ? dv. Правая часть этого уравнения называется элементарной ра- работой dA силы F на перемещении dv, з. левая часть, равна дифференциалу от кинетической энергии. В последнем мож- можно убедиться, используя определение скорости A.9) и известное утверждение о том, что скалярное произведение вектора на его приращение равно произведению модуля вектора на приращение этого модуля*: dv т dv = mv dv = mvdv = dT, dt где T=mv2l2—кинетическая энергия точки. В ре- результате получаем, что дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе действующей на точку силы: dT = dA. B.17) Разделив B.17) на dt и определив мощность силы как отно- отношение , получим другую форму закона изменения dt кинетической энергии, а именно: производная кинетиче- кинетической энергии точки по времени равна мощности силы, действую- действующей на точку: ^ B.18) dt * Действительно, по определению скалярного произведения для любого вектора а имеем a da = a \ d a | cos (a, da). Но приращение модуля вектора равно da = \ d a | cos (a, da), следовательно, a da = a da. 3 Зак 284
66 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II Следует иметь в виду, что элементарная работа dA не всегда является полным дифференциалом, а мощность — полной dt производной скалярной функции по времени. Потенциальные с и л ы. Как предполагалось выше, сила является заданной функцией положения, скорости точки и време- времени. Поэтому, не зная закона движения точки (т. е. функции v{t))f нельзя вычислить работу на конечном (перемещении точюи. Для вычисления конечного изменения кинетической энергии >в общем случае нужно знать решение уравнений движения. Однако для весьма широкого класса сил можно, не зная решения уравнений движения, найти изменение кинетической энергии. Такими силами являются потенциальные силы. Понятие о потенциальных силах тесно связано с понятием о силовом поле, которое рассмотрим на примере электростати- электростатического поля. Известно, чтЬ сила, с которой неподвижный заряд 2 действует на заряд 1, может быть записана в виде где <§2 = е% —~ (здесь начало координат совмещено со вторым зарядом, см. A.43)). В этом выражении вектор <§2 не зависит от величины заряда ех. Поэтому становится возможным следующее представление о силе: заряд 2 — источник силы — порождает силовое поле, которое в каждой точке пространства имеет опреде- определенную напряженность 62 независимо от того, присутствует ли в этой точке пространства другой заряд — объект воздейст- воздействия— или нет; если такой заряд имеется, то на него действует поле с силой, равной произведению этого заряда на напряжен- напряженность поля в месте нахождения этого заряда. Таким образом, си- силовое поле можно задать с помощью напряженности поля или си- силы как функций точки пространства. Силовое поле называется потенциальным, если его напряжен- напряженность удовлетворяет требованию, которое для рассматриваемого примера имеет (вид rot<S2(rj-e2rot(r/r3) =-0 (дифференциальная операция «ротор» производится по коорди- координатам точки пространства). Соответственно силу называют потен- потенциальной, если она зависит только от координат и удовлетворяет требованию rotF(r)-0. B.19) Учитывая, что векторная функция, удовлетворяющая требова- требованию B.19), «всегда может быть выражена через градиент некото-
§ 2.2 Сохранение энергии точки 67 рой скалярной функции U от положения точки, потенциальную силу можио представить в виде F = — gradG(r). B.20) Элементарная работа потенциальной силы будет полным диффе- дифференциалом *: dA = —yUdr = —dU. B,21) Отсюда вытекает, что работа на конечном перемещении точки из положения Го в положение т\ равна определенному интегралу: d(/ = ty(r0)-i;(r1) B.22) (Го) (здесь и далее предполагается, что U— однозначная функция). Итак, работа потенциальной силы равна разности значений функ- функции U в начальном и конечном положениях материальной точки и не зависит от формы траектории, по которой движется точка. Скалярную функцию U называют потенциальной энергией точки, т. е. энергией, зависящей от расположения точки в по- потенциальном силовом поле. Из B.21) и B.20) видно, что потен- потенциальную энергию можно найти по заданной потенциальной силе с помощью неопределенного интеграла: ?/ = —JFdM-C B.23) (здесь С — постоянная, определяющая «нулевой уровень» потен- потенциальной энергии; выбор такого уровня произволен и не влияет на значение силы и работы этой силы). Приведем ряд примеров. Пусть сила перпендикулярна к непо- неподвижной плоскости и является функцией расстояния от этой плос- плоскости. Такая сила потенциальна, поскольку она удовлетворяет ус- условию B.19). Если координатную ось Oz направить вдоль силы, т. е. перпендикулярно к указанной плоскости, то найдем F = F(z)nz, Fdr = F(z)dz,' U - — JF(z)dz + С. tB.24) В частности, напряженность <S поля равномерно заряженной бес- бесконечной плоскости постоянна по величине и направлена перпен- перпендикулярно этой плоскости [40, гл. I, § 4]. Совмещая координат- координатную плоскость Оху с заряженной плоскостью, получим следую- следующие выражения для силы и элементарной работы: * Здесь и далее градиент записывается с помощью векторного дифферен- дифференциального оператора «набла», который в декартовых координатах имеет вид д д д
68 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II F-e?n,, dA = egdz. B.25) Для потенциальной энергии заряда и работы силы электростати- электростатического поля на конечном перемещении заряда соответственно на- находим U = —egz + C, 4 = — j dU = eS{zl — z0). B.26) Отсюда -видно, что работа силы по перемещению точки с плоско- плоскости z=z0 на плоскость z=Z\ не зависит от формы траектории (каждая из указанных плоскостей представляет собой экви- эквипотенциальную поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке которой потенциальная энергия имеет одно и то же зна- значение) . Рассмотрим -силу, величина которой зависит от расстояния до неподвижной прямой^ а линия действия которой проходит через эту прямую перпендикулярно к ней. Поле такой силы цотенци- ально, поскольку условие B.19) выполняется. Бели ось Oz совме- совместить с осью симметрии поля, то в цилиндрических координатах будем иметь B.27) Po В качестве частного примера можно взять электростатическое по- поле равномерно заряженной бесконечной прямой. Как известно, сила, действующая на заряд е со стороны такого поля, равна F = e-^-np, B.28) Р где х — заряд, приходящийся на единицу длины [40, гл. I, § 4]. Подставляя B.28) в B.27), получим dA =-*2-dp9 I/= -2exlnp + C, А = 2ек\п(-^-\. B.29) p \ Po / В данном примере эквипотенциальными поверхностями являются коаксиальные цилиндры с осью, совпадающей с заряженной пря- прямой, а работа, совершаемая над зарядом при его движении по любому пути между двумя такими поверхностями, будет одной и той же. Наконец, приведем случай центральной силы, являющейся функцией расстояния от центра силы. Совмещая начало коорди-
§ 2.2 Сохранение энергии точки 69 нат с центром силы и используя сферические координаты, запи- запишем силу в виде F^F(r)nr. B.30) Непосредственной проверкой убедимся в потенциальности силы B.30); при этом интересующие нас выражения будут определять- определяться следующими формулами: dA = F(r)dr, U~-$F(r)dr + C, A = \F(r)dr. B.31) Например, если г2 р -- д2 п Г2 Г> ТО (/ = -?Л- + с, Л = еА f-L — —V B.32) г \ го гх I В этом примере поверхностями равного потенциала являются сферы с центром, совпадающим с неподвижным зарядом (см. с. 66). Во всех рассмотренных случаях сила являлась стационар- стационарной, т. е. явно от времени не зависела. Это означает, что п.ри фиксированном положении точки ее потенциальная энергия не из-, меняется со временем, т. е. частная производная = 0. Од- dt нако если точка перемещается, то ее потенциальная энергия будет изменяться. Такое изменение характеризуется полной производ- производной*: dt V dt (здесь г является радиусом-вектором материальной точки). В при- приведенных на с. 67—69 примерах полная производная 0=^0. Сила, явно зависящая не только от положения, но и от вре- времени, также может удовлетворять условию потенциальности B.19) (в этом случае сила называется нестационарной потен- потенциальной силой). Тогда выражение B.20) также имеет место, а потенциальная энергия определяется по заданной силе интегра- * В более подробной записи полная производная в декартовых координа- координатах имеет вид dU(r) _ dU dx dU dy , dU dz dt ~ dx dt dy dt ~^ dz dt
70 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II лом B.23), причем интегрирование производится при фиксирован- фиксированном времени. Что касается соотношения B.21), то оно не имеет места. Действительно, если U явно зависит от г и t, то dU = у Udr + — Л B.33) dt и, следовательно, dA = — yf/dr = —dU + -Ш-dt. B.34) v dt v ' Так как свойство B.22) в этом случае не выполняется, то для оп- определения работы, совершенной на конечном пути, нужно знать закон движения точки, т. е. функцию г(/). Рассмотрим в качестве примера заряд е в переменном элект- электрическом поле напряженности <S0coscd? (!см. A.45)). Направляя ось Ох вдоль вектора бо, согласно B.23) получим U = —е(?0л;со8(о? + С. B.35) Следовательно, в этом примере как полная, так и частная произ- производные потенциальной энергии по времени отличны от нуля. Гироскопической силой F# называется сила, линейно зависящая от скорости точки и направленная всегда перпендику- перпендикулярно этой скорости; проекции гироскопической силы на коорди- координатные оси являются однородными линейными формами относи- относительно проекций скорости точки с коэффициентами, составляющи- составляющими антисимметричную матрицу; работа гироскопических сил всегда равна нулю. Возьмем, например, часть Лоренца A.44), зависящую от напряженности магнитного поля: ?=^ — [\Щ. B.36) с Проекции этой силы на декартовы оси соответственно равны откуда видно, что матрица, составленная из коэффициентов при проекциях скорости, антисимметрична:
§ 2.2 Сохранение энергии точки 71 о +жг -жу -Жг О +ЖХ + ЖУ ~ЖХ о B.37) Так же легко убедиться, что мощность силы B.36) всегда равна нулю: dt B,38) Диссипативной силой Fd называется сила, направлен- направленная всегда противоположно скорости тела относительно среды, вызывающей торможение этого тела. Такая сила имеет вид — —— /v v j B.39) где k — положительная скалярная функция, которая может за- зависеть от положения и скорости тела *. Диссипативная сила за- задается диагональной матрицей коэффициентов при проекциях ско- скорости на координатные оси k 0 0 0 k 0 [0 0 k Мощность диссипативных сил при перемещениях тела относитель- относительно среды, вызывающей торможение тела, отрицательна: dA dt = —Ь2<0. B.40) Например, сила сопротивления A.46) является диссипативной си- силой. При достаточно больших относительных скоростях сила соп- сопротивления пропорциональна квадрату скорости и имеет вид B.39), где k=kiv (k\ — положительная постоянная). Сила тре- трения скольжения, возникающая при движении тела по поверхности другого твердого тела, прямо пропорциональна /?х — величине нормальной реакции твердого тел_а на движущееся тело. Таким образом, в этом случае k = \L (k2 — положительная пос- постоянная, a R± может зависеть от положения тела). Теперь предположим, что на точку действуют потенциальная, гироскопическая и диссипативная силы, сумма которых равна F = — v^ + Fg + pd- B.41) * В гидродинамике встречаются диссипативные силы , более общего по сравнению с B.39) вида, например силы, проекции которых на координатные оси являются однородными линейными формами относительно проекций ско- скорости тела с коэффициентами, составляющими симметричную матрицу.
72 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II B.42) Мощность силы F получим, учитывая B.34) и B.38): dA (j + J!L+F*v dt dt Тогда, определяя полную механическую энергию Е точки как сумму ее кинетической и потенциальной энергий E^T + U9 B.43) с помощью B.18) найдем закон изменения полной энергии точки при наличии потенциальных, гироскопических и диссипативных сил: Ё = Ш- + Fdv. B.44) dt Итак, изменение полной энергии точки обусловлено явной зависи- зависимостью потенциальных сил от времени, а также наличием дисси- диссипативных сил; гироскопические силы не изменяют энергии. Например, изменение полной энергии заряда в переменном электрическом поле A.45) подчиняется уравнению (см. B.35)) Ё = е § о ®х sin ®t. Если на точку действует потенциальная сила тяжести и диссипа- тивная сила сопротивления, т. е. юила F=mg—kv (см. пример 1.8 на с. 47), то потенциальная энергия точки равна U=mgz + C (ось Oz направлена против силы тяжести), а закон изменения энергии примет вин Следовательно, полная энергия точки убывает, что, конечно, не означает исчезновения энергии; механическая энергия Е убывает, превращаясь в определенное количество теплоты, но это превра- превращение уравнение B.44) не отражает. В общем случае полная энергия точки может возрастать, убьь вать или сохранять постоянное значение; в частности, энергия бу- будет сохраняться, если ее прибыль и убыль компенсируют друг друга. Однако возможны случаи, когда процессы поступления энергии в систему и убыли энергии отсутствуют. Действительно, если среди сил, действующих на точку, нет диссипативных сил, а потенциальные силы стационарны, то полная энергия точки будет сохраняться, т. е. если Fd = 0 и = 0, то dt E=^ + U(r) = E0. B.45)
§ 2.2 ; Сохранение энергии точки 73 Закон B.45) сохранения полной энергии точки дает один первый интеграл — интеграл энергии, который позволяет, не отыскивая решения уравнений движения, опреде- определять величину скорости как функцию положения точки. Например, в задаче о пространственном осцилляторе потен- потенциальная энергия равна (/=— г2 B.46) (см. пример 1.7). Поскольку U явно от времени не зависит, а дис- сипативные силы отсутствуют, то полная энергия осциллятора бу- будет сохраняться, т. е. «?7 7J л/ ftlVn */ 2 2 2 2° Отсюда можно определить величину скорости как функцию рас- расстояния от центра силы: jl/2 V '=¦ I 1)г ~\~ —— ' " " L m В примере 1.9 рассматривалось движение заряда в постоян- постоянном однородном магнитном поле, т. е. движение под действием только гироскопической силы (см. с. 52). Закон B.45) в этом случае приводит к интегралу ? = Г = ^-=^, B.47) из которого следует сохранение абсолютной величины скорости заряда. При движении заряда .в постоянных однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях на заряд действуют потенциальная сила её и гироскопическая ?ж (см. пример 1.9 на с. 54). Направляя ось Ох вдоль вектора б, найдем выражение потенциальной энергии U = —eix-rC и получим интеграл энергии Так как оила F#, искривляя траекторию, ограничивает движе- движение заряда в направлении оси Ох, то и кинетическая энергия из- изменяется в определенных пределах.
74 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл, II Теорема Клаузиуса о в и риале сил. Если движе- движение точки происходит в ограниченной области пространства с ог- ограниченной по модулю скоростью, то имеет место теорема Клау- Клаузиуса, согласно которой кинетическая энергия точки, усреднен- усредненная по бесконечному интервалу времени, равна усредненному по тому же интервалу времени вириалу сил; вир и алом силы F называется функция --i-Fr. B.48) В самом деле, умножим обе части уравнения движения A.58) ска- лярно на радиус-вектор г точки и представим результат умноже- умножения в виде — (mvr) — 27-Fr. Усредняя все члены по бесконечному интервалу времени, найдем, что lim m vr Д/-»оо At — 27 = Fr. Отсюда, учитывая ограниченность v и г, получим соотношение Т = — — Fr, B.49) доказывающее справедливость теоремы Клаузиуса. Если сила F потенциальна, то B.49) можно представить в виде 1 '—^ B.50) Теперь дополнительно потребуем, чтобы потенциальная энер- энергия была .однородной функцией v-той степени относительно коор- координат точки. В этом случае из соотношения B.50) следует прак- практически важное соотношение между средними значениями кинети- кинетической и потенциальной энергий точки Т = —0 B.51) (при этом используется теорема Эйлера об однородных функциях [44, с. 477]). Например, для линейного гармонического осцил- осциллятора (U~r2, v=2) Т = ?/, B.52)
§ 2.2 Сохранение энергии точки 75 а для точки, движущейся в поле тяготения Ньютона (f/^— 1/г, v=-l) г = --?¦• B-53) Теорема о вириале используется в механике, статистической ме- механике и атомной физике (например, для вывода уравнений сос- состояния и определения постоянных межмолекулярного взаимодей- взаимодействия). Теорема в виде B.50) и B.51) имеет место и в квантовой механике (с соответствующими обобщениями используемых опе- операций усреднения и других понятий). Для системы iV точек теорема о вириале сил следует из урав- уравнений A.59). Действительно, умножая обе части каждого из урав- уравнений A.59) на соответствующий радиус-вектор г* и складывая все результаты умножения, аналогично B.49) получим N ^ B>54) для произвольных заданных сил и N О^ B-55) ?=.1 для потенциальных сил. Пример 2.1 Движение через потенциальный барьер. Точка массы m движется из полупространства, где ее потен- потенциальная анергия равна постоянной величине U, в полупростран- полупространство, где потенциальная энергия равна постоянной Uf=^=U. Эти полупространства разделены плоскостью. Найти скорость точки после того, как она перейдет плоскость раздела (начальная ско- скорость точки известна). Изменение потенциальной энергии происходит только на плос- плоскости раздела в направлении, перпендикулярном этой плоскости. Поэтому сила, действующая на точку, отлична от нуля только на плоскости и перпендикулярна к ней. В связи с этим координат- координатную плоскость Oyz совместим с плоскостью потенциального барьера, а ось Ох направим перпендикулярно к нему. Так как проекции силы на оси Оу и Oz равны нулю, то из закона сохра- сохранения импульса следует, что V'y=VV> V>V* (в этом примере «нештрихованные» величины относятся к полу- полупространству, где потенциальная энергия равна U, а «штрихован-
76 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II ные» — к полупространству, где потенциальная энергия равна U\ причем все «нештрихованные» величины считаются заданны- заданными). Из закона сохранения энергии вытекает, что 2 2 Полученные соотношения дают возможность найти направ- направляющие косинусы и абсолютную величину скорости после про- прохождения плоскости пртенц'иального барьера как функции тех же величин до прохождения барьера: ' = -^ !"cos2a H v L cos P' == -^- cos p, cos y' = "v cos y, v v где v' - v I 1 4- a, p, v и a', ?', y7 — углы между координатными осями и скоро- скоростью точки до и после прохождения потенциального барьера со- соответственно. Приведенное решение справедливо, если me/2 ч в противном случае имеет место отражение частицы от потенци- потенциального барьера. Пример 2.2. Заряд в неоднородном магнитном поле. В магнитном поле постоянного тока силы /, протекающего по бесконечному прямому тонкому проводнику, движется точка заряда е<0. Найти удельный заряд точки, полагая известными начальное расстояние ро заряда до проводника, начальную ско- скорость vo, направленную вдоль тока, и максимальное расстояние Ртах заряда от проводника. Направляя ось Oz по проводнику вдоль тока, получим выра- выражение для напряженности магнитного поля в цилиндрических координатах [40, с. 204] Ж = пр. A) Проекции силы Лоренца будут соответственно равны
§ 2.3 Движение в центрально-симметричном поле 77 Используя B), найдем, что проекция Lz момента силы Лоренца равна нулю, что привадит к интегралу площадей (ом. B.16). Р2Ф = Рофо- C) Отсюда в силу начальных условий (vo=zonz, т. е. ро=О, фо = О) заключаем, что заряд движется в плоскости ф==фо. Сохранение кинетической энергии (см. B.47)) дает еще один интеграл который для заданных начальных условий сводится к соотношению P*+z*^zl D) Поскольку законы сохранения других интегралов движения не дают, воспользуемся одним из уравнений движения тс2 р которое сразу интегрируется: 2 = ^ + j?fln(P/Po). E). тс2 При максимальном удалении проекция скорости р должна обращаться в нуль и, следовательно, z согласно D) должна рав- равняться ±z0. Таким образом, из интеграла E) с учетом знака за- заряда е<С0 получим величину удельного заряда т J In (Pmax/Po) § 2.3. Движение в центрально-симметричном поле Рассмотрим движение материальной точки массы т под дей- действием центральной силы, произвольно зависящей только от рас- расстояния между точкой и центрохМ силы. Такая сила потенциальна и стационарна (см. с. 69). Помещая начало системы отсчета в центр силы и используя законы сохранения момента импульса « энергии, получим четыре первых интеграла движения m[rv]=M0, JH^+U(r) = E09 B.56) из которых три независимы (здесь и далее потенциальная энер- энергия U(г) считается заданной).
78 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II Наряду с первыми интегралами в дайной задаче можно найти три вторых независимых интеграла. Один ш таких интегралов, а именно интеграл Мог—0, представляет собой уравнение B.13) плоскости, в которой происходит движение точки. Два других ин- интеграла вытекают из B.56). Действительно, направляя ось Ох по вектору Мо и вводя на плоскости Оху полярные координаты, по- получим тг2ф^М0, ^ (/» +гУ)•!-?/(г) =?0. B.57) Исключая ф из интеграла энергии с помощью интеграла площа- площадей, придем к уравнению, допускающему разделение переменных г и t: r'2^ ±[E0-UeU]f B.58) где функция Uett(r), часто называемая «эффективной» по- потенциальной энергией, равна М2 u uM ? <2-59> (отметим, что уравнение B.58) эквивалентно уравнению для пря- прямолинейного движения точки с потенциальной энергией, равной f/eff). Разделяя переменные в уравнении B.58), найдем еще один второй интеграл + const. B.60) Из интеграла B.60) в принципе можно определить функцию r(t) а подставить ее в интеграл момента. Тогда получим, что ф__Мо_ B61) Отсюда найдем последний второй интеграл B.62) ф Интеграл момента позволяет найти уравнение траектории, если с его помощью в интеграле энергии исключить at, а затем вычис- вычислить квадратуру:
§23 Движение в центрально-симметричном поле 79 Ф = ± \ f2 "* .1/2 + const. B.63) } Выбор злака в интегралах B.60) и B.63) диктуется начальными условиями; например, знак перед интегралом B.60) определяется знаком производной г, взятой в начальный момент времени. Итак, три вторых интеграла B.13), B.60) и B.62) определяют общее решение поставленной задачи (один из интегралов B.60) или B.62) может быть заменен интегралом B.63)). Это решение содержит шесть постоянных: ?0, МхОу Му0, Mz0, r0> <р0. Выбор пос- постоянных не является единственным: можно, например, ввести г0, фо> Ль Фо и два угла, определяющие положение плоскости движе- движения. Однако выбор постоянных интегрирования, содержащих энергию и момент, имеет определенное преимущество, в частно- частности, при переходе к соответствующим (Квантовым задачам. Замечательным является то, что полученное общее решение справедливо для любой центральной силы, зависящей только от расстояния до центра силы. Движение точки в поле таких сил обладает общими свойствами, а именно: движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы; радиус- вектор точки описывает равные площади за равные промежутки времени; угол ф изменяется со временем всегда монотонно; траек- траектория точки симметрична относительно апсид (так называются прямые, проходящие через центр силы, и точки поворота, находящаяся (В начальный момент времени в точке поворота и обладающая в одном случае начальной скоростью v0, а в другом случае — v0, будет двигаться по симметричным кривым. Действи- Последнее утверждение означает, что материальная точка, т. е. точки траектории, в которых величина радиуса-вектора при- принимает экстремальные значения). тельно, в точках поворота г обращается в нуль, а в окрестности, этих точек изменяет знак; вместе с г изменяет знак выражение которое определяет знак подынтегральных функций в B.60) и B.63). Следовательно, при^отсчете ср от некоторой апсиды участки траектории, находящиеся по разные стороны от апсиды, будут отличаться знаком <р (при одинаковых значениях г). Это свойст- свойство симметрии позволяет построить всю траекторию, зная лишь участок траектории между двумя апсидами. Таковы общие черты движения точки в центрально-симметричном поле.
80 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II Если функция U(г) задана, то, вычисляя интегралы B.60) и B.62) (или B.63)), можно получить общее решение для соответ- соответствующего 1В1Ида взаимодействия. Однако до нахождения общего решения полезно, провести его качественный анализ. Построив график Uett(г), можно определить область- изменения коорди- координаты г движущейся точки. Действительно, поскольку в классиче- классической механике, г, v й t вещественны, то г2 должна быть положи- положительно определенной величиной. Таким образом, из уравнения B.58) вытекает неравенство E0>Ueff(r), B.64) определяющее область изменения г, и уравнение Eo=Veff(r), B.65) определяющее границы указанной области. Рассмотрим простей- простейший пример, когда точка движется по инерции относительно сис- системы координат с началом, не лежащим на траектории точки. В этом случае М2 (МОФО, UeffT а область изменения г определяется неравенством Траекторией точки может быть любая прямая, касающаяся ок- окружности радиуса r = rmin (см. рис. 2.3, где (плоскость Оху являет- является плоскостью движения точки). Если точка движется в потенциальном поле B.46), то 2 2mr2 В этом случае уравнение B.65) дает "две точки поворота, опреде- определяемые равенствами Mo I гп ) \ а неравенство B.64) определяет область ri^r<Cr2 (рис. 2.4). Если ?0= (f/eff)min= (%/пгI^2МоУ то точка будет двигаться по окружности радиуса г=г1 = г2= (Eq/kI!2. Траектория точки в общем случае, когда ?о> (^eff)min, находится с помощью интеграла B.63). Ею является эллипс, центр которого находится в центре силы и кото- который дважды касается окружностей с радиусами гх и г2 соответст- соответственно (см. пример 1.7).
§ 23 Движение в центрально-симметричном поле 81 Анализ графика Ueti позволяет найти условие падения час- частицы «а центр силового поля. Пусть, например, (такая степенная функция используется при рассмотрении меж- молекулярного взаимодействия). Из графика Uett (рис. 2.5) (Вид- //77, Ъг х h- ь Рис. 2.4 но: если (?/eff)max<?o, то движение происходит в неограниченной области и, в частности, возможно падение точки на центр. Если 0<?о<С (Uett)max, то движение происходит либо в области г^г2, либо в области г<Сгь в которой точка достигает центра; при Ео^О также имеет место падение на центр. В общем случае условие падения на центр можно получить с помощью неравенства B.64), записанного в виде 2т Устремляя здесь г к нулю, найдем условие падения на центр си- силового поля
82 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II О > 1т B.66) Для степенного потенциала ?/(г) = —а/гп это условие выполняется при п = 2, если а > Ml 2т п > 2, если а > 0; B.67) Рис. 2.5 иначе говоря, потенциальная энергия должна достаточно быст- быстро стремиться к —оо при Гг-^О. В заключение приведем ус- условие замкнутости финитной тра- траектории, КОГДа 0<rmin^(r^rmax< <оо. В этом случае, определяя из B.63) угол Аф поворота ради- радиуса-вектора точки за период вре- времени, в течение которого г изме- изменяется ОТ rmin ДО Гтах И ОПЯТЬ ДО fmim и приравнивая Аф рацио- рациональной части от 2jt, получим ус- условие замкнутости траектории Мо тг2 dr 1/2 B.68) где k и п — целые числа. Действительно, если B.68) имеет место, то через k полных оборотов точка займет первоначальное поло- положение. Соотношение B.68) при любых -начальных условиях вьь полняется только для двух полей: § 2.4. Движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы. Законы Кеплера Исследуем движение точки массы т оз центрально-симметрич- центрально-симметричном поле .вида
§ 2.4 Законы Кеплера 83 [/=-— B.69) с неподвижным центром силы; в случае электростатического поля, создаваемого неподвижным зарядом ес, постоянная а=—eeCi где е — заряд движущейся точки, а в случае гравитационного поля, создаваемого неподвижной массой тс, постоянная а=уттс (см. A.43), A.49), B.32)).- Анализируя график Uett (рис. 2.6) и принимая во# внимание неравенство B.64), убедимся, что в случае притяжения (<х>0) и положительной полной энергии (?0>0) r^rmin; в случае а>0 и Eq = 0 движение точки также будет происходить в неограниченной области (т. е. будет инфинитным); в случае а>0 и отрица- отрицательной энергии (?0<0) движение происходит в ограниченной об- области rmin^r^rm3iX (т. е. движение финитно); если а>0 и Ео= (f/eff)min, то точка движется по окружности; наконец, в слу- случае отталкивания (а<0) всегда r^rmin, а полная энергия поло- положительна (?0>0). Во всех указанных случаях траектория, или, как часто гово- говорят, орбита точки, определяется одной-формулой. Действи- Действительно, подставляя B.69) в B.63), получим « (-У 2m|g| Ml . Ml т)-(т)Т (здесь знак «+» под радикалом соответствует случаю а>0, a знак «—» случаю а<0). Вводя вместо постоянных Ео и Ь% поло- положительные (по определению) постоянные iir. B.70) т|а| запишем последний интеграл в виде Затем в результате интегрирования получим ф — с = ± arccos — (— =F I е \ г Опуская знак «—» перед углом (ср—с) ввиду четности косинуса^ найдем уравнение орбиты
84 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II г = 2 , B.71) ± 1 + е cos (ф — с) где знак «+» соответствует случаю притяжения (а>0), а знак «—» случаю отталкивания (а<0). Уравнение B.71) является уравнением кривой второго по- порядка, в фокусе которой находится начало координат; постоян- постоянная р называется параметром орбиты, а постоянная е — ее эксцентриситетом. Значение с зависит от выбора нап- направления полярнрй оси в плоскости орбиты. Если полярную ось направить на ближайшую к центру силы точку траектории (см. выбор осей на рис. 2.6), то с=0. Из аналитической геометрии известно, что траектории вида B.71) представляют собой гиперболу (при е>1), параболу (при ?=1), эллипс (е<1) или окружность (е=0). Принимая во вни- внимание B.70), получим, что в заданном потенциальном поле U=—а/г в случае притяжения (а>0) траекторией точки будет гипербола, если Ео > 0, парабола, если Ео = 0, н B.72) эллипс, если 0 > Ео > (Ueff)mfn, окружность, если Ео = (t/eff)min; в случае отталкивания (а<0) точка может двигаться только по гиперболе (?0>0). Рассмотрим подробнее движение по эллиптической орбите, когда а>0, >a 0>E0> (f/eff)min, т. е. е<1 (рис. 2.6). Из уравне- уравнения B.71) следует, что С помощью известных из аналитической геометрии формул для полуосей эллипса а = —^—, Ъ - r p B.74) 1-е2 /1—82 ^ > и формул B.70) а и Ь можно выразить через постоянные Ео и Мо: а= а , h- м° - B.75) 2|?01 V2m\E0\ ' Отсюда видно, что большая полуось эллипса зависит от полной энергии и не зависит от значения момента.
§ 2.4 Законы Кеплера 85 ?ff>0 0>I0 > (Ueff)mn (e<0 Рис. 2.6
86 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II В частном случае круговой орбиты (EQ= (f/eff)min, e=0) имеем r = 09 г==Го = а--=Ь. B.76) Очевидно, что при движении по окружности постоянна не только полная энергия, но и потенциальная и кинетическая энергия точки. Закон движения точки по эллиптической траектории получим из интеграла B.60). Учитывая, что Ео=—|?о| « а>0, а также используя формулы B.75), запишем B.60) в виде rdr 2|?о| G помощью B.74) убедимся, что Ь2=а2 A-е2), и сведем интеграл к следующему: rdr Сделав подстановку г = а{\ —ecosg), найдем Выбирая параметр | так, чтобы с его увеличением время возра- возрастало, и принимая начальные условия го = аA — e) = rmin, ^0 = 0 при |=0, B.77) получим закон движения точки по эллиптической орбите в пара- параметрическом виде (gesIn6), B.78) где Т — 2п У md?!a — период полного оборота точки по эл- эллипсу. Значение этого периода легко получить с помощью интег- интеграла площадей, записав его в виде (см. B.8)) 2maz - 2m— = Мо, B.79) dt где dS — площадь, очерчиваемая радиусом-вектором точки за время dt. Интегрируя это выражение по полному периоду и учи- учитывая, что площадь эллипса равна nab, иайдем
§ 2.4 Законы Кеплера 87 2mnab = М0Т. Отсюда, используя B.75), получим 2 |?ol3 a ' ' Таким образом, период обращения по эллипсу зависит только от полной энергии (или от величины большой полуоси) и не зависит от момента (и от величины малой полуоси). Уравнение орбиты B.71), закон площадей B.79) и соотноше- соотношение периода и большой полуоси B.80) являются математическим выражением трех законов Кеплера, установленных им эмпирически примерно в 1609—1619 гг. в результате обработки наблюдений над движением планет. В этих законах утвержда- утверждалось, что каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце (первый закон); секторная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна (второй закон); отношение квадратов периодов обращения планет к кубам больших полуосей их орбит постоянно и для всех планет одинако- одинаково (третий закон). Заметим, что применительно к движению планет третий за- закон Кеплера верен приближенно (см. с. 120). Тем не менее отк- открытие законов Кеплера имело очень большое значение. В частно- частности, на их основе Ньютоном был установлен закон всемирного тяготения: допуская, что движение тел в поле тяготения Земли также подчинено законам Кеплера, можно было на основании пер- первого и второго законов утверждать, что величина ускорения тел вблизи поверхности Земли равна (см. пример 1.3) 8 R* ' где R — радиус Земли. Кроме того, из третьего закона Кеплера следовало, что квадрат периода обращения Луны вокруг Земли прямо пропорционален кубу радиуса а лунной (приблизительно круговой) орбиты, т. е. Т2 = а3. С Допуская, что постоянные С в последних двух выражениях имеют одинаковые-значения, можно было найти следующую формулу для ускорения g:
88 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II Таким образом, ускорение тел вблизи поверхности Земл'и можно было вычислить как по данным наблюдений за Луной, так и по данным эксперимента, проведенного около земной поверхности. Совпадение этих двух результатов являлось одним из доказа- доказательств справедливости закона всемирного тяготения (см. A.49)). На основе закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона была создана количественная теория движения небесных тел относительно гелиоцентрической системы отсчета. Совпадение наблюдений и выводов этой теории доказало инер- циальность гелиоцентрической системы Коперника — Бруно и ее преимущественность .над геоцентрической системой Птолемея, что явилось крупным шагом в победе материалистического воззре- воззрения на вопросы мироздания. В случае а>0 и ? = 0 (е=1) точка движется по параболе (см. рис. 2.6). Минимальное расстояние, на котором она проходит вблизи центра силы, равно rmin = P/2. B.82) В этом положении скорость точки максимальна, а по мере удаления точки от центра силы ее скорость стремится к нулю, поскольку при г->оо потенциаль- потенциальная энергия становится исчезающе малой и по условию E0 = T+U = 0. Закон движения точки по параболе легко получить в параметрическом виде из B.60): (здесь начальное условие выбрано аналогично B.77)). В случае движения по гиперболе под воздействием притягивающего центра имеем а>0, ?о>О (е>1). Орбитой при этом будет левая ветвь гиперболы (см. рис. 2.6)' с минимальным расстоянием до центра силы, равным B.84) 1 +8 Учитывая, что полуоси гиперболы связаны с параметром р и эксцентриситетом е гиперболы соотношениями B-85> с помощью B.70) находим а =-2-, Ь= *Ь_ . B.86)
§ 2.4 Законы Кеплера 89 Закон движения точки по гиперболе в случае а>0 получим (аналогично B.78)) в виде г — а(е dig— 1), t = B.87) (здесь начальные условия также аналогичны B 77)). Наконец, приведем формулы для случая движения точки по гиперболе под действием отталкивающего центра (а<0): 8— а = 2?0 Мо B.88) орбитой при этом будет правая ветвь гиперболы (см. рис. 2.6). Пример 2.3. Изменение орбиты космического корабля. Пусть в момент прекра- прекращения работы двигателя космический корабль массы m находился на расстоянии г0 от центра Земли и имел скорость vo, направленную под углом yo к радиусу-век- радиусу-вектору корабля г0 (рис. 2.7). Определить элементы орби- орбиты корабля в плоскости его движения, пренебрегая со- сопротивлением атмосферы, если напряженность поля тяготения на поверхности Земли равна g, а радиус Земли равен R. Насколько нужно изменить кинетичес- кинетическую энергию корабля в перигее, чтобы он перешел на орбиту при- приземления, изображенную на рисунке штриховой линией (измене- (изменением массы корабля в результате достаточно кратковременной раооты двигателя можно пренебречь)? Учитывая лишь силу притяжения корабля Землей и при- небрегая воздействием всех прочих тел, мы можем .воспользовать- .воспользоваться общим решением задачи о движении точки в центральном поле. г Поместим начало системы координат в центр Земли, так как он является центром силы притяжения. Плоскость Охи .совмес- .совместим с плоскостью орбиты, сохраняющей свою ориентацию отно- относительно гелиоцентрической системы отсчета, а ось Ох .направим на ближайшую к центру Земли точку орбиты —перигей Вы- Рис. 2.7
90 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II бранную систему можно считать инерциальной для достаточно больших интервалов времени. Выразим постоянные а, Ео и МОг входящие в общее решение задачи о движении точки в централь- центральном поле, через постоянные," заданные в условии примера. Пола- Полагая, в частности, в A.49), что r2\ = R9 а массы т\ и т2 соответст- соответственно равны массе корабля т и массе Земли т3, найдем а = у пищ = mgR2. Тогда потенциальная энергия корабля-спутника (см. B.69)) при- принимает вид Полная энергия и момент импульса спутника в начальный момент времени соответственно равны ) м°= тг°щ sln Y°- B) С помощью этих выражений на основе B.72) можно убедить- убедиться, что траекторией рассматриваемого тела будет гипербола, если ug > v2(R/r0O парабола, если v2 = v2(R/rQ)> эллипс, если v2 < o|(/?/r0), C) окружность, если v\ = v\(R/r0) и у0 = я/2, где vx = VgR— первая космическая скорость, a v2 = = ]/2gR —^вторая космическ ея скорость. Параметр и эксцентриситет орбиты, выраженные через на- начальные условия, находим, используя B.70) и формулы B) нас- настоящего примера: С помощью B.74) и B.85) получим выражения полуосей, спра- справедливые как в случае эллипса, так и в случае гиперболы: а = ¦ -•« 1/21
§ 2.4 Законы Кеплера 91 Наконец, согласно B.80) период полного оборота спутника по эллипсу равен 7 = *Й5 . F) / 2gR? „\з/2 v ' Если орбита спутника известна, то его положение в любой момент времени определяется законом B.78). Величину скоро- скорости как функцию г легко найти из интеграла энергии G) Направление же скорости можно определить, отыскивая с по- помощью интегралов момента и энергии величины г и гф как функ- функции г: • = гоур sin уо г поскольку отношение этих функций дает tg^o как функцию г. Теперь найдем изменение кинетической энергии, при котором космический корабль перейдет на орбиту приземления. Так как в перигее радиальная составляющая скорости корабля равна нулю, а расстояние до центра силы минимально, то из формулы (8) найдем Эту скорость нужно изменить так, чтобы корабль стал двигаться по эллипсу, касающемуся поверхности Земли. Большая полуось новой орбиты при этом будет равна rmin + Я Учитывая, что ai=a/2|?i| (см. B.75)), определим полную энергию * mm i 4N> которой корабль должен обладать при движении по заданной ор- орбите приземления. Затем, пользуясь сохранением полной энергии корабля, движущегося по новой орбите, получаем значение кине- кинетической энергии корабля на орбите приземления в точке r=rmin
92 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II A0) 2 \ rm[n mn + I Наконец, из формул (9) и A0) находим требуемое изменение ки- кинетической энергии *у9- 2** rmin где rmln = , a p и е определены формулами D) настоя- щего примера. Пример 2.4. Движение по баллистической траектории. Пусть достаточно малое тело масеы m запускается с поверх- поверхности Земли со скоростью vo<^v%(v2 = ]f2gR). Пренебрегая со- сопротивлением атмосферы, определить максимальную высоту, даль- дальность и время полета тела (под дальностью будем понимать длину дуги большого круга, которая по поверхности Земли соединяет точки вылета и падения,— см. рис. 2.8). Этот пример является частным случаем примера 2.3, поэтому выбор системы координат и предыдущие результаты остаются в силе. В частности, в рассматриваемом примере тело будет дви- двигаться по отрезку эллиптической орбиты, пересекающей поверх- поверхность Земли ,в точках вылета и падения. Максимальная высота подъема тела над поверхностью Земли равна ^тах == гтах ^м где /-тах определяется одной из формул B.73), а значения пара- параметра и эксцентриситета орбиты находятся с помощью формулы D) примера 2.3: [ Используя эти соотношения, получим 2gR-v20 Угол фо между осью Ох и направлением на точку вылета находится из уравнения орбиты B.71), в котором г полагается равным R:
§ 2.4 Законы Кеплера 93 ф0 = arccos — Зная ф0, получим угол между направлениями на точки выле- вылета и падения Аф = 2 (я — ф0), отсюда определим дальность полета / = = 2nR x Hi-1)]- Рис. Время полета получим, исполь-. зуя решение B.78). Учитывая, что в этом решении приняты начальные условия B.77), мо- момент U начала движения тела с поверхности Земли и соответст- соответствующее ему значение параметра go определим так: R = а(\ — (So- где Т = (см. формулу F) примера 2.3). Момент прохождения апогея, т. е. наиболее удаленной от центра Земли точки эллиптической орбиты, будет равен (Г/2) —10. Учитывая, что время полета точки от места запуска до апогея равно време- времени полета от апогея до места падения, для полного времени по- полета находим где = arccos — fl-—), a = e V a I 2gR-v20 (см. формулу E) примера 2.3).
94 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл II § 2.5. Движение центра масс; законы изменения и сохранения импульса системы Как будет ясно из дальнейшего, закон изменения импульса механической системы тесно связан с понятием о центре масс. Центром масс или центром инерции механической системы называется воображаемая точка, которая как бы обла- обладает массой, равной массе всей системы, и положение которой определяется радиусом-вектором N rm=— . B-89) m где mi и Ti — масса и радиус-вектор i-той точки системы, N у— масса всей системы, a N— число материальных то- точек системы. Скорость центра масс vm можно получить, продиф- продифференцировав левую и правую части B.89) по времени: N 2 т Аналогично найдем ускорение ww центра масс: N 2 B.90) B.91) Из определений .B.89), B.90) и B.91) вытекают некоторые свойства центра масс, его скорости и ускорения. Например, ско- скорость и ускорение, приобретаемые центром масс в результате движения i-той точки (см. рис. 2.9, на котором изображена систе- ма двух точек), будут равны v^ и—-wt соответствен- т т но. Таким образом, скорость и ускорение центра масс, связанные с движением только i-той точки, параллельны соответственно ско- скорости v* и ускорению \уг- этой точки и в m/m* раз меньше их по величине. Импульсом механической системы Р называется сумма импульсов точек системы Р = ? Р/. B-92) t=.-i
§25 Закон сохранения импульса системы 95 где р{=гп{\{ — импульс t-той точки. Согласно B.90) импульс системы равен массе всей сие- темы, умноженной на скорость центра масс, т. е. Р = mvm, B.93) а согласно B.91) производная импульса по времени равна массе системы, умноженной на ускорение центра масс: B.94) Заметим, что определение им- импульса системы в виде B.93) аналогично определению им- импульса одной материальной точки. Уравнение движения цент- центра масс можно получить с по- Рис. 2.9 мощью уравнений движения материальных точек A.59), так как движение центра масс —этой воображаемой точки — обусловлено движением отдельных реальных точек механической системы. Из B.91) следует, что N B.95) однако в инерциальной системе отсчета произведение маосы ка- какой-либо точки на ее ускорение согласно второму закону Ньютона должно быть равно аиле, приложенной к этой точке, т. е. = F4. B.96) Следовательно, произведение массы всей системы на ускорение центра масс ввиду B.95) должно быть равно сумме всех сил, дей- действующих >на отдельные точки системы (см. рис. 2.9, в): mwOT = F, B.97> \, a F{— сила, действующая на i-тую точку.
96 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл II Среди сил, действующих на точки системы, есть как внутрен- внутренние, так и внешние силы. Под внутренними силами пони- понимают силы, действующие между точками данной механической системы, а под внешними — силы, действующие на точки дан- данной системы со стороны тел, не входящих в эту систему. Деление сил на внутренние (и внешние зависит от того, какую систему мы считаем данной, движение какой системы изучается. Если система выбрана, то силу, действующую на ее /-тую точку, всегда можно записать в виде B.98) N где ?\п = jT F;i — сумма внутренних сил, действующих на /-тую точку, F/1 — сила, действующая на /-тую точку со стороны /-той точки системы, a F* — суммарная внешняя сила, действующая на /-тую точку. Складывая все силы B.98), действующие на точ- точки системы, находим N N N F = EEF"+EF'e- B-99) *=1/=1 1=1 Однако сумма всех внутренних сил равна нулю, поскольку силы взаимодействия каждой пары точек равны по величине и проти- противоположны по направлению. Действительно, представляя сумму всех внутренних сил Fin в виде Fin = ? ? (F/i + Fi/) BЛ00) и применяя третий закон Ньютона к каждой паре точек системы (см. A.60)), найдем Fin-0. B.101) Таким образом, из уравнения B.97) получаем уравнение движе- движения центра масс относительно инерциальной системы отсчета mw^-F6, B.102) N где Fe = V Ff — сумма всех внешних сил, действующих на точки системы. Уравнение B.102) ввиду соотношения B.94) при- приводит к закону изменения импульса
§ 2.5 Закон сохранения импульса системы 97 P = Fe. B.103) На основании B.103) в полной аналогии со случаем одной ма- материальной точки (см. B.5)) можно утверждать, что если проек- проекция суммы внешних сил на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса системы или проекция, скорости центра масс системы на ту же ось сохра- сохраняется. Например, если то N Р2 = У тл, =-P,Ot B.104) или N га i=l Следовательно, в направлении оси Oz центр масс системы дви- движется равномерно Теперь рассмотрим замкнутую, или изолированную, систему, т. е. систему, взаимодействием которой с прочими не входящими в нее телами можно пренебречь *. Для такой системы все внешние оилы равны нулю: Ff = O (i=l, 2, .... N), и поэтому N Р = Vm^Po B.106) или N , = vm0> т. е^имеет место закон сохранения импульса замкну- замкнутой 'системы. В физике термин «замкнутая система» является весьма распростра- распространенным. 4 Зак 284
98 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II Центр масс замкнутой системы движется равномерно и пря- прямолинейно, а ее внутренние силы не могут изменить скорости центра масс (или импульса системы). Например, солнечная систе- система с определенной степенью точности может рассматриваться как замкнутая, и поэтому силы взаимодействия между ее телами не влияют на равномерное и прямолинейное движение центра масс системы, хотя все тела, входящие в солнечную систему, движутся ускоренно. В случае незамкнутой системы внутренние силы, вообще говоря, влияют на изменение импульса и ускорение центра масс системы, если сумма внешних сил зависит от положения или ско- скоростей точек системы. Действительно, изменение импульса систе- системы определяется вектором, Fe —суммой всех внешних сил, дейст- действующих на систему (см. B.103)), причем вектор Fe считается известной функцией радиусов-векторов точек и их скоростей. Однако радиусы-векторы и скорости точек изменяются под воз- воздействием как внешних, так и внутренних сил согласно уравне- уравнениям движения m-r- = F-n 4- F? (i — 1 2 N) Вместе с тем изменяются аргументы вектора Fe и как следст- следствие этого изменяется сам вектор Fe. Влияние внутренних сил на ускорение центра масс подробно проиллюстрировано на приме- примере 2.6. Подчеркнем, что закон сохранения импульса справедлив и для таких замкнутых систем, поведение которых не подчинено уравне- уравнениям Ньютона. Например, при исследовании движения системы заряженных частиц, среди внутренних сил которой есть электро- электромагнитные силы, было обнаружено излучение электромагнитных волн. Это излучение, как оказалось, обладает импульсом, в свя- связи с чем импульс собственно зарядов не сохраняется. Однако сум- суммарный импульс зарядов -и электромагнитного поля остается не- неизменным, т. е. имеет место закон сохранения импульса замкну- замкнутой системы, под которой в данном случае следует понимать совокупность зарядов и поля излучения. Пример 2.5. Движение центра масс в однородном поле. В однородном постоянном электрическом поле с напряжен- напряженностью <§ движутся две заряженные точки. Их массы и заряды соответственно1 равны пги гп2 и еи е2. Найти положение центра масс как функцию времени, если начальные значения rmo и vwo известны. Направляя ось Ох вдоль вектора & и учитывая, что внутрен- внутренние силы электростатического взаимодействия подчинены третье- третьему закону Ньютона, получим уравнение B.103) в проекциях на декартовы оси
§ 2.5 Закон сохранения импульса системы 99 шхт = в^> -\- е%э, ут = 0, 2т = 0. Интегрируя эту систему, найдем Хт = ; (9 ~~~ "Т" XmQt " *^тО> Сопоставляя это решение с решением задачи о движении одного заряда (см. с. 51), мы видим, что воображаемая точка — центр масс двух зарядов — движется как материальная точка с массой mi+m2 и зарядом ei+e2. Что касается движения каждо- каждого из зарядов, то без решения системы уравнений A.59) найти закон такого движения нельзя. Пример 2.6. Движение центра масс в неоднородном поле. Две точки с массами trt\ и пг2 движутся в силовом поле (здесь %>0, а г — радиус-вектор точки пространства в инерцн- альной системе отсчета с началом в центре силы). Найти поло- положение центра масс системы как функцию времени в двух случа- случаях: а) пренебрегая взаимодействием точек друг с другом; б) пред- предполагая, что внутренними силами являются силы притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между точками с коэффи- коэффициентом пропорциональности к. В обоих случаях движение центра масс определяется одним и тем же уравнением B.102) m?m = F?f F^xO^ + ia), A) где m = mi+m2. Однако уравнения движения точек системы будут различными. В случае (а) mir1 = кг1У m2r2 = нг2, B) а в случае (б) m/i = F2i + w1$ m2r2 = F12 + xr2, C) где F21 = — %{тх—r2)=— F12. Перепишем системы B) и C) в удобном для интегрирования виде: а) г1 = й?г1, га =Air2; D) б) Y1 = k\v^ r2 = k22ru E)
100 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. Н где &i = —^-, А| = -^-. Решение этих систем в декартовых коор- ди«атах не представляет затруднений. Найдем, например, реше- решение системы уравнений, описывающих движение точек в направ- направлении оси Ох: а) х± — k\xl9 x2 = k22x2; F) б) хг = k\x^ x2 =$х±. G) Решение системы F) имеет вид ^ = 9i@. ** = %(')¦ (8) где <Pi @ = Vм + A*<r-klt, Ф2 @ - Вге^ + В2е-Ы, а А\ ,и Лг, Bi я Вг — произвольные постоянные, определяемые на- начальными условиями. Учитывая (8), из уравнения A) найдем проекцию ускорения центра масс невзаимодействующих точек как функцию времени *«(') = — Ы0 + ф.@]. (9) т а из определения центра масс "и решения (8) легко получим xn(t) - — [ШхФЛО + /п2ф2@]- (Ю) /71 Умножая правую и левую части второго из уравнений G) на отношение k\\k% и затем один раз складывая, а второй раз вычи- вычитая результат умножения из первого уравнения системы G), при- придем к уравнениям ^ = к^9 в = — kxkA A1) где у = ^ + --i- аг2| 6 = л:х ^ л;2. AJ2 «2 Решением системы A1) являются функции = a cos (К&А' Н- «)• Отсюда, используя соотношения между д^, х2 и ф, 6, находим *i @ = v f* @ + 6 WJ. ^ 10 = ^г- № @ - в @].
§ 2.5 Закон сохранения импульса системы ИМ Это решение дает возможность определить проекцию ускорения центра масс и проекцию центра масс на ось Ох в случае взаимо- взаимодействующих точек: Решение для других проекций ускорения центра масс аналогично полученному. Из формул (9) и A2) видно, что в отсутствие внешних сил скорость центра масс становится постоянной и внутренние силы не могут ее 'изменить. Однако если внешняя неоднородная сила отлична от нуля, то внутренние силы влияют на движение центра масс (сравните A0) и A3)). Пример 2.7. Движение тела переменной массы; задача Циол- Циолковского. В современной технике большое практическое значение имеет задача о движении тела переменной массы. Пусть изменение мас- массы тела происходит за счет непрерывного отделения от тела неко- некоторых его частей, причем за бесконечно малый элемент времени отделяется частица бесконечно малой массы. Однако скорость отделившейся частицы отличается от скорости тела на конечную величину. Найти уравнение движения тела (в предположении, что тело и отделяющиеся частицы можно считать материальными точками). Отделение частиц от тела происходит за счет внутренних сил системы тело — частица. Следовательно, изменение импульса рассматриваемой системы подчинено закону B.103). Подсчитаем это изменение. В момент времени t (до отделения частицы от тела) импульс системы равен где га— масса тела в момент tt v — скорость тела в тот же мо- момент времени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. В момент времени t-\-dt (после отделения частицы) им- импульс системы равен сумме импульса тела и импульса частицы: где d\— изменение скорости тела за время dt, dm — уменьше- уменьшение массы тела,^ соответственно \dm\—масса отделившейся час- частицы, Vi—скорость этой частицы относительно инерциальной системы отсчета.
102 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II Следовательно, изменение импульса системы с точностью до бесконечно малых второго порядка равно dP =a mdv + | dm | (vx — v). Подставляя это выражение в BЛ03), получим уравнение движения точки с переменной массой, т. е. уравнение Мещерского где u=Vi—v —скорость отделяющихся частиц относительно тела, Fe — внешняя сила, действующая на тело, а <0. Нетрудно dt убедиться, что в случае присоединяющихся к телу частиц f dm . А\ I ~~тг -> и! справедливо то же уравнение A). В качестве примера на решение уравнения A) рассмотрим задачу Циолковского. Пусть ракета движется в отсутст- отсутствие внешнего поля, скорость и отделяющихся частиц сгорающего топлива постоянна и направлена противоположно v0—скорости тела в начальный момент времени. Найти скорость, которую при- приобретает тело за счет .конечного изменения своей массы. Умножая правую и левую части уравнения A) на Л и проек- проектируя их на ось, направленную по вектору Vo, получим mdv = — udm, откуда находим, что v = vo+u\n-^. B) m Таким образом, скорость, приобретаемая телом, зависит только от величины относительной скорости отделяющихся частиц и от изменения массы тела и не зависит от того, по какому закону изменялась масса тела. § 2.6. Законы изменения и сохранения кинетического момента системы Умножая каждое из уравнений движения A.59) векторно сле- слева на Гг — радиус-вектор соответствующей точки и учитывая, что F{ = F*n + Ff у получим уравнение, определяющее изменение мо- момента импульса i-той точки. M,-l4n-f Lte, B.107) где Lf1 = [тг?\п] — момент внутренней силы, действующей на t-тую точку, Lf = [гД7? ] — момент внешней силы, действующей на t-тую точку. Суммируя B.107) по всем точкам, находим
2.6 Закон сохранения кинетического момента системы 103 ?, B.108) N где М = V М< — кинетический момент системы, равный *=i сумме моментов импульсов всех точек системы. Учтем далее, что силы взаимодействия между каждой парой точек согласно третье- третьему закону Ньютона равны по величине, противоположны по на- направлению и расположены на прямой, соединяющей взаимодейст- взаимодействующие точки. С этой целью запишем момент внутренних сил в виде суммы моментов аил по всем парам взаимодействующих точек N N N \Ф1 i<j Каждый член последней суммы в силу третьего закона Ньютона равняется нулю в любой системе отсчёта (см. рис. 1.17), т. е. [г/у<] + ВД = [(г, - г,) F/7] = 0, B.110) так как вектор ?^ коллинеарен вектору г^ —г^—Гу. Учитывая B.110) и B.109), из B.108) найдем, что производ- производная кинетического момента системы по времени равна сумме мо- моментов внешних сил, действующих на точки системы (закон •изменения кинетического момента системы): М-1Д B.111) где i=\ Из B.111) вытекает (сравните с B.8)): если проекция суммы мо- моментов внешних сил на некоторую неподвижную ось для любого момента времени равна нулю, то проекция кинетического момента системы на ту же ось сохраняется; например, если то i--=\
104 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II Учитывая определение -секторной (скорости A.11), последний ин- интеграл можно представить в виде интеграла площадей N = Af20, B.113) из которого следует сохранение суммы произведений масс точек на площади, описываемые за любые одинаковые интервалы .вре- .времени проекциями радиусов- векторов этих точек на пло- плоскость Оху. (См. ряс. 2.10, на котором изображены проекции площадей, описы- описываемых радиусами-вектора- радиусами-векторами двух точек за интервал времени At; если для систе- системы двух точек Lt = 0, то сумма произведений масс то- точек на соответствующие площади сохранится и для любого другого интервала времени, равного А/.) В случае замкнутой Рис. 2.10 системы все силы F; = О и поэтому N т. е. согласно B. 111) будет иметь место закон сохранения кинетического момента замкнутой системы: N = М0. B.114) Таким образом, момент замкнутой системы не может изменяться под действием внутренних сил, поскольку они подчинены третьему закону Ньютона. Однако ориентация такой системы под действием внутренних сил может изменяться. Действительно, под воздейст- воздействием внутренних сил может произойти перемещение некоторых точек системы и изменение их скоростей. При этом другие точки системы также переместятся и изменят скорости, т. е. произойдет переориентация системы. Вместе с тем момент всей системы оста- останется неизменным. В случае незамкнутых систем внутренние силы, вообще гово- говоря, могут влиять на изменение кинетического момента, если сумма
§ 2.6 Закон сохранения кинетического момента системы 105 моментов внешних сил зависит от положений и скоростей точек системы (причинна этого уже была выяснена при рассмотрении закона изменения имшульса на с. 98). Пример 2.8, Изменение моментов импульсов точек замкнутых систем. Рассмотрим две замкнутые системы, каждая из которых со- состоит из N^.3 взаимодействующих точек. Внутренними силами первой системы являются силы притяжения, прямо пропорцио- пропорциональные расстоянию между взаимодействующими точками и про- произведению масс этих точек (коэффициент пропорциональности х). Точки второй системы взаимодействуют по закону всемирного тяготения. Сравним изменения моментов импульсов точек обеих систем. Так как обе системы замкнутые, то их кинетические моменты сохраняются относительно. любой инерциальной системы отсчета. Выбирая инерциальные системы с началами в центрах масс рас- рассматриваемых механических систем, для каждой из них получим , = М0.] A) Изменение момента импульса t-той точки определяется моментом внутренних сил согласно уравнению B.107) ] B) где F/г — оила, с которой /-тая точка действует на t-тую точку. Для первой системы /7 — —пщтрл, (б) где Tji = ^i—г —вектор, направленный от /-той точки к t-той точ- точке, nij и Шг — массы этих точек; для второй системы F/7 = Y "з гц- D) Используя C), найдем момент сил, действующих она i-тую точку первой системы: /=•-1 Учитывая, что начало отсчета помещено в центр масс (rm=0), согласно B.89) получаем
106 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. И и, таким образом, для точек первой системы Un = 0 (i=l, 2, ..., N). Следовательно, сохраняется не только кинетический момент всей системы, но и момент импульса каждой точки: M, = m,[r,vt-] = M/0 (U=l, 2 JV). Отсюда вытекает, что точки первой системы при любых началь- начальных условиях движутся каждая в своей плоскости постоянной ориентации. В системе грквитирующих точек момент сил, действующих на i-тую точку, отличен от нуля: N Следовательно, моменты импульсов точек не сохраняются, а при произвольных начальных условиях изменяются как по величине, так и по направлению. Последнее означает, что движение грави- тирующих масс при N^3, вообще говоря, неплоское. Например, момент каждой планеты солнечной системы изменяется. Но по- поскольку масса Солнца значительно больше массы любой плане- планеты, то воздействие планет друг на друга весьма мало по сравне- сравнению с воздействием Солнца на планеты. Поэтому в любой момент времени картину движения можно представить так: каждая пла- планета движется по определенному эллипсу только под^ воздействи- воздействием Солнца, а влияние всех прочих планет сводится к медленному изменению характеристик этого эллипса. Величины параметров, эксцентриситетов и наклонений орбит различных планет взаимо- взаимосвязаны между собой, и эту взаимосвязь дает закон сохранения кинетического момента всей системы. § 2.7. Законы изменения и сохранения энергии системы Умножим t-тое уравнение системы A.59) скалярно на переме- перемещение dvi соответствующей точки и учтем разделение сил на внутренние и внешние. Тогда аналогично тому, как было получе- получено B.17), получим выражение для изменения кинетической энер- энергии i-той точки
§ 2.7 Закон сохранения энергии системы 107 dTt=dAn + dAl B.115) где Ti — кинетическая энергия t-той точки, dAl" и dAet —работы внутренней и внешней сил на элементарном перемещении i-той точки соответственно. Суммируя B.115) по всем точкам, находим dT = dAln + dA\ B.116) n где Т = V Tt — кинетическая энергия системы, N равная сумме кинетических энергий точек, dAln = V F/n drt — N элементарная работа всех внутренних сил, dAe = V F| rfr^ —• i=i элементарная работа всех внешних сил. Итак, дифференциал ки- кинетической энергии системы, равен элементарной работе всех внутренних и внешних сил, действующих на точки системы. В отличие от изменений импульса и кинетического момента изменение кинетической энергии зависит как от внешних, так и от внутренних сил. Чтобы убедиться в этом, используем третий за- закон Ньютона и представим работу внутренних сил в виде dAin= ? {F/ldr,+Fi/rfr/}= ? F^dn-dr,). B.117) Поскольку перемещения различных точек под воздействием даже одинаковых сил, вообще говоря, различны, т. е. vj (t, /= 1,2, ... ,N, то d№=?0. B.118) Теперь рассмотрим закон изменения кинетической энергии B.116) в предположении, что сумма всех ©нешних сил, действую- действующих на i-тую точку системы, и сумма всех внутренних сил, дейст- действующих на ту же точку, соответственно равны: F? - Ff'p + F^g + F*e'd, Fln - Ип'р + Fjn'd B.119) (здесь индексами р, g, d обозначены соответственно потенциаль- потенциальные, гироскопические и дисоипативные силы). Учитывая, что гиро- гироскопические силы не совершают работы, т. е. F?'gdr<=0 (/=1,2, ... ,N) B.120)
108 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II (см. B.38)), найдем, что N N dA* = V Ff'prfr-4- V F?'ddr B.121) N N Для потенциальных сил имеем rprfr,+C (* = 1,2, ... ,ЛГ); B.122) здесь t/^(rb f) — потенциальная энергия /-той точки во внешнем по- потенциальном поле, а символом уг- обозначен оператор «набла», где дифференцирование производится по координатам t-той точ- точки (см. с. 67). Используя B.122), получим выражение для рабо- работы внешних потенциальных сил (см. B.34)): f'p dvt - — dUe + -^- dU B.123) где ?/e=rV U* — потенциальная энергия системы во внешних полях. Предположим, что потенциальная энергия взаимодействия любой пары точек системы задается функцией ^/ = ^;(|r<-i7l). B.124) Тогда для потенциальных сил взаимодействия точек находим F& = - V. Ulh FF/ = - Vy Uti. B.125) Нетрудно убедиться, что эти силы удовлетворяют закону действия и противодействия, а >их элементарная работа равна F^d^ + Fl-drj^—dUif. B.126) Суммируя B.126) по всем парам точек системы, получим работу всех внутренних потенциальных сил в виде jn'p dr, = ? {Fldri + Fl-drj} - -dUin9 B.127) 1-^=1 t,/=i N где t/ln = V f/</—внутренняя потенциальная энергия системы, /i
§ ^ 7 Закон сохранения энергии системы 109 Потенциальную энергию U системы определяют как сумму ее потенциальной энергии во внешних полях и внутрен- внутренней потенциальной энергии: U =^Ue + Uin. B.128) При допущениях B.122) и B.124) потенциальная энергия систе- системы имеет вид N N tt)+-L ? Uu(\rt-r,\). B.129) Полная механическая энергия Е системы (или, кратко, энергия системы) определяется как сумма кинети- кинетической и потенциальной энергий системы Е = T + U. B.130) Основываясь на законе изменения кинетической энергии B.116) и используя B.121), B.123), B.127) и B.130), получим N dE = -^- dt + J]F? tfr,, B.131) где F? = Ft-n>d + F^d— сумма внутренних и внешних дисоипатив- ных сил, действующих «а t-тую точку. Разделим левую и правую части B.131) на элемент времени dt; тогда найдем, что полная производная механической энергии системы по времени равна сум- ме^частной производной потенциальной энергии системы во внеш- внешних полях по времени и мощности диссипативных внутренних и внешних сил, Действующих на точки системы: С помощью этого закона изменения механической энергии системы относительно инерциальной си- системы отсчета получим закон сохранения механи- механической энергии системы. Действительно, если потенци- потенциальная энергия системы во внешних полях явно от времени не зависит, а диссипативные силы {внешние и внутренние) отсутст- отсутствуют, т. е. если = 0 и F? = 0 (* = 1, 2, ... , Л/), B.133) dt
ПО Законы изменения импульса, момента и энергии ГлУ II то механическая энергия системы сохраняется: N 2 N N JL+Sf;f"i- X U"=E°- BЛ34) / Такую систему называют консервативной. Энергия может сохраняться также и \в том случае, когда убыль энергии за счет диссипативных сил компенсируется поступ- поступлением энергии в систему. Тогда N -^- + V Ffv, = О, Е = EOf B.135) причем N (см. B.40)). Механическая энергия замкнутой системы сохраняется, если внутренние диссипативные силы отсутствуют: ? = 7+[/in = ?0. B.136) Если же внутренние диссипативные силы отличны от нуля, то ме- механическая энергия замкнутой системы убывает, т. е. Ё= У F!Mv,<0, B.137) где E = T-{-U{n. Однако это не означает исчезновения энергии: на- наличие диссипативных сил приводит к превращению механической энергии \в определенное количество теплоты. В связи с этим под- подчеркнем, что закон сохранения механической энергии является частным случаем 'всеобщего закона сохранения и превращения энергии всех форм движения ма- материи, согласно которому формы движения «при известных обстоятельствах... переходят друг в друга», «и притом так, что данному количеству энергии в одной форме всегда соответствует определенное количество энергии в какой-либо другой форме»*. Например, механическая энергия движущихся зарядов, излучаю- излучающих электромагнитные волны, превращается в энергию этого из- излучения. Закон сохранения энергии, учитывающий изменение энер- Энгельс Ф. Диалектика природы. М., Политиздат, 1965, с. 58 и 168,
§ 2 7 Закон сохранения энергии системы Ш гии за счет излучения, формулируется в электродинамике. Что касается закона сохранения энергии, учитывающего передачу тепла, то он изучается в термодинамике. Полученный выше закон сохранения механической энергии представляет собой лишь закон прев!ращения кинетической энергии в потенциальную и обратно. В заключение сделаем ряд общих замечаний о законах изме- изменения и сохранения импульса, кинетического момента ,и энергии. Законы изменения N dt +V F,dv, B.138) представляют собой семь уравнений, которые при определенных свойствах оил приводят к законам сохранения. В случае замкнутой системы в отсутствие внутренних дисси- пативных сил число интегралов движения, вытекающих из законов сохранения, максимально, а именно в этом случае имеем семь первых и три вторых интеграла Р = Р0 (vm = vm0), М = М0, Е = Е0, B.139) гт = Vm0 (t — t0) + Гт0, т. е. десять классических интегралов механики. Законы сохранения могут иметь место для систем с любым чис- числом точек, в связи с чем они являются важнейшим орудием иссле- исследований. Например, изучение свойств газа, состоящего из очень большого числа молекул, основано на законах сохранения. В настоящей главе законы сохранения были получены как следствие уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со свойствами пространства и времени, которые постулируются в классической механике. Эту связь лучше рассмотреть на примере замкнутой системы (см. приложение к гл. IX, а также [21, § 6—9]). Оказывается, что сохранение импульса связано с одно- однородностью пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном перено- переносе системы как целого. Сохранение момента связано с изотропией пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого. А сохранение механической энергии связано с однородностью времени, в' силу которой механические свойства замкнутой систе- системы не меняются при любом «переносе» системы во времени. Наконец, подчеркнем, что законы сохранения справедливы и в таких замкнутых системах, когда движение объекта не описы- описывается уравнениями Ньютона. Следовательно, значение законов
112 Законы изменения импульса, момента и энергии Гл. II сохранения импульса, момента и энергии выходит далеко за рам- рамки классической механики. Пример 2.9. Зависимость скоростей планет от их расстояний до Солнца и их расстояний между собой. Рассмотрим солнечную систему как систему, состоящую из N материальных точек (планет) и Солнца — одной точки весьма большой массы по сравнению с массами прочих точек. Поскольку эту систему можно считать замкнутой, ее центр масс движется равномерно и прямолинейно. Если пренебречь процессами излу- излучения и диссипации, то механическую энергию системы можно считать постоянной. Найдем интеграл энергии относительно инер- циальной системы отсчета с началом в центре масс солнечной системы. Для этого вычислим потенциальную энергию взаимодей- взаимодействия любой пары точек (см. B.126)): Используя третий закон Ньютона и закон всемирного тяготения, получим, что ([ i^. A) Таким образом, интеграл энергии B.134) можно записать в виде N о ., о N ,, N 2-г- i=\ где mi и \i — масса и скорость i-той планеты, Ms и vs — масса и скорость Солнца. Учитывая, что в системе центра масс vm=0, установим связь между скоростью Солнца и скоростями планет (см. 2.90); N i = l Исключая с помощью C) из интеграла B) скорость vs, получим соотношение между скоростями планет v^, их взаимными расстоя- расстояниями Гц и расстояниями до Солнца r{S (i, / = 1, 2, ..., N, i=~ N с, N N ., N '«i D) Таким образом, изменение расстояний от планет до Солнца и рас- расстояний между планетами приводит к иЗхМенению скоростей планет.
§ 2 7 Закон сохранения энергии системы ИЗ В интеграле D) вторая и четвертая суммы малы по сравне- сравнению с первой и третьей суммами соответственно, так как Ms^>trii (t=l, 2, ..., N). Пренебрежение указанными малыми членами равносильно пренебрежению воздействием планет на движение Солнца и друг на друга, т. е. равносильно допущению о том, что каждая планета движется только под действием Солнца. При таком допущении вместо интеграла D) будут иметь место интег- интегралы энергий для каждой планеты в центр ал ьнонсимметричном поле Солнца mtMs ? is (cm. B.56) и B.69)).
Глава III ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ Под задачей двух тел обычно понимают задачу о движении двух взаимодействующих точек в отсутствие внешних сил. Значе- Значение этой задачи весьма велико: ее решение лежит в основе небес- небесной механики и теории свободного движения спутников, в основе теории столкновения и рассеяния частиц; ее решение использует- используется в статистической механике, когда задачу о движении многих частиц фактически сводят к статистической задаче двух точек, и т. д. § 3.1. Задача двух тел Исследуем движение двух точек с массами гп\ и т2, если по- потенциальная энергия их взаимодействия U зависит только от расстояния между точками, а внешние силы отсутствуют. Уравнениями движения точек относительно инерциальной си- системы S являются уравнения тхт, =F21 (|га —гх|)э C.1) ',Р12([г2— rj), где Fal = —Vif/(|ra —141), a Fia = — уа?/(|га-rt|) (см. B.124), B.125)). Один из векторных интегралов уравнений C.1) очевиден: ввиду отсутствия внешних сил центр масс системы движется от- относительно S равномерно и прямолинейно (см. B.106)). Таким образом, скорость центра масс и его радиус-вектор соответственно равны Ym = Vm0> rm = Vm(/ + Г/;г0, C.2) где vm0 = — (ЩУю + ЩУ*о)> rmo = —(тхг10 + ЩГ20), а г10, г20, v10> m m v20 — начальные положения и скорости соответствующих точек.
§ зл Задача двух тел 115 Рассмотрим далее движение точек относительно поступа- поступательно движущейся системы центра масс Sm (рис. 3.1). Так называют систему отсчета, начало которой нахо- находится в центре масс механической системы, а оси не изменяют своей ориентации относительно системы 5 (т. е. углы между ося- осями систем Sm и 5 неизменны). В данном случае система Sm инерциальна, поскольку центр масс движется равномерно и прямолинейно относительно системы 5. Следовательно, по- положения, скорости и ускорения / точек относительно S и Sm свя- u заны между собой соотноше- соотношениями (см. A.62) —A.64)): rt = rm + r't, v, = vm0 + vi, w, = Wj (t = 1, 2), C,3) где «нештрихованные» векто- векторы относятся к системе S, а «штрихованные» — к системе Sm. Учитывая инвариантность уравнений движения при переходе от системы S к Sm (см. с. 41)s из C.1) получим Рис. 3.1 Однако положения точек 1 и 2 в системе 5т не являются незави- независимыми. Действительно, из определения центра масс B.89) и од- ределения системы Sm имеем тхх\ + щг2 = 0. C.5) Поэтому радиус-вектор г=г2—гь характеризующий относитель- относительное расположение точек, выражается через п и г2: m m г2 — гх = г2 — Г2 = C.6) а радиусы-векторы п и r2 связаны с вектором г соотношениями г;=— m C.7),
116 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III Дифференцируя C.5) — C.7) по времени, получаем аналогичные соотношения для скоростей точек + m2v2 = 0, C.8) ' ' rn ' m ' C.9) ' \tTln ' ТПл Vi = — — V, V2 = — V, m m где v = v2 —v1# Соотношения C.6J или C.7) дают возможность разделить переменные в уравнениях C.4). Действительно, подставляя C.6) в C.4), найдем Отсюда, переходя к переменной г, сведем оба уравнения к одному и тому же уравнению Hr = Fia(|r|)f C.11) где ц = * 2 — «приведенная» масса. Это уравнение 1 + 2 представляет собой уравнение движения одной точки в заданном поле с центром силы, как бы помещенным в центр масс системы двух точек. Таким образом, задача двух тел сводится к эквива- эквивалентной задаче о движении ji-t очки — воображаемой точки с массой [i и радиусом-вектором г — в центрально-симметричном поле с неподвижным центром, т. е. к задаче, разобранной в § 2.3. Поскольку на ji-точку «действует» центральная стационарная потенциальная сила, имеет место сохранение момента импульса и энергии относительно Sm: J? \) = EQ. C.12) Выведем эти интегралы, исходя непосредственно из законов со- сохранения B.114) и B.136). Согласно этим законам кинетический момент и энергия системы двух точек относительно Sm сохра- сохраняются: М' - Mi + Mo = Mo, E' = Т[ + f2 + U - Е'о. C.13) Выразим момент импульса и кинетическую энергию точки / в пе- переменных г, v (см. C.7) и C.9)):
C.14) mi (v[J mx § 3.1 Задача двух тел 117 MJ = пг1 [n vi] = т1 Т\ = 2 2 \ m Аналогично для второй точки получим TVL 1 о =z ^ I I V"> @.10) 2 \ m J а учитывая C.14) и C.15), найдем (Выражения кинетического момента и кинетической энергии системы в переменных г и v: M'=|i[rv], Г=-^-. C.16) Следовательно, C.12) и C.13) представляют собой одни и те же законы сохранения. Сопоставляя C.12) с интегралами B.56), мы видим, что ре- решение задачи двух тел относительно 5т можно найти сразу, если в общем решении, описывающем движение точки в центрально- симметричном потенциальном поле, произвести замену Тогда из B.13), B.60) и B.63) получим общее решение урав- уравнения C.11): C.18) г где t/eff ^ Смысл первого из интегралов C.18) очевиден: он определяет плоскость движения [х-точки. Эта плоскость проходит через центр масс перпендикулярно к Мо, т. е. совпадает с плоскостью О'х'у' на рис. 3.1. Второй и третий интегралы определяют движение ji-точки на указанной плоскости в полярных координатах. Таким образом, с помощью интеграло>в C.18) можно определить функ-
118 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III цию г(/) и тем самым с помощью C.7) найти положения точек 1 и 2 относительно Sm. Затем, используя C.2) и C.3), можно найти законы движения точек относительно системы S в виде ri(O=rm(O 2*-г (9, т C.19) т Аналогично для скоростей точек относительно 5 получим решение в виде (см. C.9) и C.3)) @, tn C.20) a@ m0+ т dv(t) где v(t) - , Итак, Общее решение задачи двух точек, потенциальная энергия взаимодействия которых зависит только от расстояния между ними, в отсутствие внешних сил определяется формулами C.2), C.18) и C.19). Из этих формул следует, что относи- относительно инерциальной системы отсчета центр масс точек движется равномерно и прямолинейно, а обе точки относительно системы центра масс совершают движение в плоскости, проходящей через центр масс и сохраняющей свою ориентацию относительно инер- инерциальной системы отсчета; траектории обеих точек относительна системы центра масс подобны, а центр подобия находится в цент- ре масс, причем соотношение подобия равно отношению масс точек. Проиллюстрируем задачу двух тел «а примере системы с по- потенциальной энергией взаимодействия Г где а равняется либо ут\т2 (гравитационное взаимодействие)> либо —е\е2 (электростатическое взаимодействие). В этом случае общее решение аналогично решению, приведенному в § 2.4. На- Например, производя в формуле B.71) замену C.17), получим урав- уравнение ОрбиТЫ A-ТОЧКИ ? COS ф
3.1 Задач двух тел 119 где р = \i\a\ —параметр орбиты - 8 = [1 + ^ J-- эксцентри- эксцентриситет орбиты, значение + 1 в знаменателе формулы соответствует случаю а > 0, а значение — 1 — случаю а < 0. Закон движения |л-точки по эллиптической орбите иайдем из формулы B.78): 2я где а = 1-е2 — большая полуось эллипса, по которому дви- движется ц-точка, T2=4n2{\ia3/a)—квадрат периоду обращения по эллипсу, а р и е определены в C.21). (( \ \ \ г^-— ч* 0'* / У У / / ! 1 1 \ \ \ / ( \ N ч Г2 Ч х Чч \ V \ \ 1 1 > /у Рис. 3.2 Чтобы представить себе движение реальных точек 1 я 2 отно- относительно Sm, рассмотрим их движение по эллиптическим орбитам при различных соотношениях масс и заданных р я е. Например, пусть m2<Cmi, тогда выражения радиусов-векторов точек через радиус-вектор jx-точки можно записать в виде (см. C.7)) т1 1 т2 г; если же m2 =- mlf то Таким образом, если уточка движется по эллипсу, то и реальные точки описывают эллиптические орбиты (рис. 3.2). Рассмотрен- Рассмотренные случаи дают представление о движении систем: планета — Солнце и двойные звезды соответственно.
120 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III Полезно найти соотношения между периодом обращения точек по эллиптическим орбитам и их большими полуосями. Например, в случае гравитационного притяжения для ji-точки Y Щ+т2 Периоды обращения точек 1 и 2, очевидно, равны периоду Г. С другой стороны, большие полуоои орбит этих точек выражаются через а, поскольку из C.7) вытекает, что и, следовательно, Г\ = —- Г, Го = —- т т —*-а, а2 = —i-a, т т где ai и а2 — большие полуоси эллиптических орбит точек 1 я 2 соответственно. Таким образом, найдем отношения квадрата пе- периода Т к кубам больших полуосей а,\ и а2: Т2 4я2 т2] Т2 , 4я2 т2 где m=mi-\-m2. Эти отношения зависят от масс точек, в связи с чем становится понятной приближенность третьего закона Кеп- Кеплера, приведенного на с. 87. Действительно, поскольку масса любой планеты весьма мала по сравнению с массой Солнца, то отношение Т2/а1 для любых двух планет одинаково ic большой точностью. Теперь применим' к рассматриваемой задаче теорему о вириа- ле сил в том случае, когда точки движутся по эллипсам. Согласно формуле B.54), отнесенной ,к S^-системе, получим Подставляя сюда выражения сил через потенциальную энергию U(г), найдем соотношение которое для потенциала вида U——а/г упрощается: Г = - 4- C.22)
§ 3.2 Упругое рассеяние частиц 12J Кроме того, поскольку T' + U=EOf C.22) приводит к формулам Г = —Ei, Z7= 2Е0, C.23) которые определяют средние значения кинетической и потенци- потенциальной энергий системы через ее полную энергию в начальный момент .времени. § 3.2. Упругое рассеяние частиц Если в начальный момент времени две частицы находятся достаточно далеко друг от друга, а их начальные скорости на- направлены так, что с течением врехмени происходит сближение частиц, б результате взаимодействия они могут снова удалиться на достаточно большое расстояние друг от друга, причем их ско- скорости как по величине, так и по направлению изменятся. В этом случае говорят, что произошло рассеяние частиц. Если в результате взаимодействия при /->+°° расстояние между части- частицами стремится к нулю или остается ограниченным, то говорят, что произошел захват частиц. Рассеяние и захват частиц зависят от характера взаимодействия между частицами, в связи с чем изучение таких процессов играет большую роль в физике. Рассмотрим задачу о рассеянии двух частиц, в которой счи- считаются известными массы частиц и потенциальная энергия их взаимодействия как функция расстояния г между ними, а внеш- внешними силами можно пренебречь. До рассеяния, т. е. при t-+—сю, частицы считаются бесконечно удаленными друг от друга; они обладают скоростями, соответственно равными v7 - у г @ U-oo, v7 = v2 (О I,.*»*,, C.24) где \i(t) и v2@—скорости обеих точек в момент времени t. Практически состояние «до рассеяния» характеризуется таким конечным расстоянием между частицами, на котором энергией их взаимодействия можно пренебречь. Скорости, рассматриваемые в C.24), являются скоростями частиц относительно некоторой инер- циальной системы отсчета, которую в теории рассеяния обычно называют лабораторной системой, или ^-системой. В задаче считается известной ориентация плоскости движения частиц относительно системы Sm, которую в теории рассеяния часто называют ^-системой. Также считается известным при- прицельное расстояние р-, т. е. расстояние между асимпто- асимптотами траекторий частиц относительно 5т, по которым частицы дви- движутся до рассеяния; прицельное расстояние можно также опре- определить как минимальное расстояние, на котором частицы пролете- пролетели бы друг от друга в отсутствие взаимодействия (см. рис. 3.3, где
122 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III в качестве траектории [i-точки изображена ветвь гиперболы, соот- соответствующая случаю отталкивания — cpatBHHTe с рис. 2.6, а траек- траектории действительных точек изображены для т\ = Рис. 3.3 Бели скорости частиц до рассеяния заданы, то ориентация плоскости движения относительно Sm определяется одним скаляр- скалярным параметром. Действитель- Действительно, по этим скоростям можно определить их разность-вектор z V- = V2 C.25) который лежит в плоскости движения частиц относительно «Sm, так как в любой момент времени вектор v коллинеарен скоростям^ частиц vi и V2 относительно Sm. Поэтому ори- ориентацию этой плоскости всегда можно задать единичным век- вектором п2', перпендикулярным к плоскости и, следовательно, перпендикулярным к v~ (рис. 3.4). Но направление п2', если v- задан, определяется одним скалярным параметром, например углом е между п2 и единичным вектором ПхУ, лежащим в плоскости О'ху и перпендикулярным к \~. Итак, в задаче о рассеянии двух частиц будем считать извест- известными массы этих частиц тх и т2, потенциальную энергию их вза- Рис. 3.4
§32 Упругое рассеяние частиц 123 имодействия U(r), скорости до рассеяния v7 и v7 относитель- относительно лабораторной системы отсчета, угол е, определяющий ориента- ориентацию плоскости движения относительно системы центра масс, а также прицельное расстояние р", которое характеризует относи- относительное расположение точек до рассеяния в системе центра масс. По этим данным требуется определить vf и Уг" - скорости обеих частиц после рассеяния, т. е. при t-^ + oo: vt = vAt)\t-n.»9 v^-v2@U+oo. C.26) Устремляя t к +°°*в соотношениях A2.9) и A2.20), справед- справедливых для любого момента времени, и используя сохранение скорости центра масс частиц, получим m C.27) vt = v^ - -^ v+, v2+ = v« + -^ v+, C.28) m m где vi'", V2+ — скорости точек после рассеяния относительно системы Sm, Vm = —{щчТ + Щч7) — скорость центра масс. Как видно, в C.27) и C.28) входит один неизвестный вектор v+ — разность скоростей точек после рассеяния. Величину этого векто- вектора можно найти, используя закон сохранения энергии относитель- относительно системы Sm. Действительно, вторая из формул C.12) приво- приводит к интегралу *^)а + U+ = И"J + 1Г, C.29) где {/-, U+ — значения потенциальной энергии взаимодействия частиц до и после рассеяния. Эти значения равны между собой, т. е. [/+ = (/", C.30) поскольку как до рассеяния, так и после него частицы находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. Таким образом, из C.29) и C.30) вытекает, что величина разности скоростей час- частиц после рассеяния и до него одна и та же: v+==v~. C.31) По существу этот вывод основан на предположении о том, что внутренняя энергия частиц в процессе рассеяния остается неиз- неизменной (такое рассеяние называется упругим).
124 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III Учитывая C.31), неизвестный вектор v+ можно представить в виде v+ =irnem> C.32) где vr = | v~ — vrl> т- е- является известной величиной, а щт — единичный вектор, направленный по вектору v+ или по вектору Vg+1 что видно из C.27). Орт nem легко определить, используя решение задачи двух тел. Действительно, .вычисляя последний из интегралов C.18) в пределах от rmin до оо, получим фт — угол между асимптотой траектории и апсидой (см., например, рис. 3.3): Ф = \ , (о.оо) где rmin определяется из уравнения EQ = Ueu. Интеграл C.33) определяет угол фт .как функцию Ео, Мо и приведенной массы \х (при заданной потенциальной энергии U(г)). В свою очередь, постоянные Ео и Мо могут быть выраже- выражены через известные величины, т. е. через v~ — величину разности скоростей точек до рассеяния и р~ — прицельное расстояние. На- Например, полагая потенциальную энергию на бесконечности равной нулю, получим ?о=Л1р!_. C.34) Величину кинетического момента относительно системы центра масс можно записать в виде (см. C.12)) Sitl (Г, V) |^-оо, откуда, учитывая, что . г sin (r, v)^ee= p- C.35) (см. рис. 3.3), найдем М0 = Цр-?г\ C.36) Соотношения C.36), C.34) и решение C.33) дают воз- возможность найти угол фт как функцию заданных величин и тем самым определить углы отклонения скоростей первой и второй частиц в системе центра масс. Эти углы р&вны между собой, так как в указанной системе импульс двух частиц всегда равен нулю, и, следовательно, скорости обеих частиц в любой момент времени
§ 3.2 Упругое рассеяние частиц 125 направлены в противоположные стороны. Таким образом, угол между векторами Vi+ и vi~ равен углу между v2+ и v2"~. Назовем этот угол углом рассеяния в системе центра масс и обозначим его 6т. Между углами фт и 6т существует соотношение, которое для центрально-симметричного взаимодейст- взаимодействия принимает весьма простой вид. Действительно, в этом случае движение частиц относительно их центра масс происходит в плос- плоскости, а траектории частиц симметричны относительно апсид (см. с. 79), поэтому 6w = rt-2q>m. C.37> Соотношения C.27) и C.28) с учетом C.32) —C.37) приво- приводят к решению задачи о рассеянии двух частиц. Запишем это решение в виде v;+ = -^-trnew,vH- = ^tF-neWf C.38) где Vm = — (т^уТ + Щ v7), V- = | vJT — vF|, tn а единичный вектор r»em определен углами е и 9W; один из этих углов е задает ориентацию плоскости движения относительно си- системы центра масе при заданных векторах v|T> vf, а угол 9W является углом рассеяния частиц в системе центра масс; зависи- зависимость угла 6т от величин р~, v~ и характера взаимодействия опре- определяется интегралом (з.40> т% Г, 2U(r) (р-)* ] 1/2 г . IX (УГ /2 J где /"тш является корнем уравнения = 0. C.41 > Итак, формулы C.39) и C.40) представляют собой решение задачи об упругом рассеянии двух частиц. Эта задача является частным случаем задачи двух тел, когда интересуются лишь ско- скоростями частиц, после рассеяния. Поэтому в задаче о рассеянии требуется меньшая информация относительно начальных условий по сравнению с задачей двух тел. Подчеркнем еще одну особен-
126 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III ность задачи о рассеянии. Так как решение в виде C.39) полу- получено на основе лишь законов сохранения, то скорости после рас- рассеяния vt, V2~ являются одними и теми же функциями скорос- скоростей до рассеяния v7\ vjT и углов е, 6т при любом центральном взаимодействии частиц. С другой стороны, vt и vt как функции скоростей v~, v$T, угла е и прицельного расстояния р- будут различными для разных взаимодействий, так как зависимость 6W от р~ и v определяется видом потенциальной энергии. Только в одном случае угол отклонения в системе центра масс имеет определенное значение при любой потенциальной энергии взаимодействия U(г). Это случай лобового удара, когда р-= 0 (фт = 0, 6т = я) C.42) и, следовательно, вектор пе направлен противоположно вектору v~: пе =-—. C.43) m v- ч Подставляя C.43) в C.39), получим решение задачи о рассеянии для случая лобового удара + /72i -— /722 — , 2tf22 — Vl — Vl + ¦: V2 , m m C.44) т Расчет общего случая (р~=7^=0) становится более наглядным, если использовать графическое изображение решения C.39), т. е. так называемую диаграмму скоростей. Прежде всего по- построим эту диаграмму в системе Sm. Скорости после рассеяния известны из решения C.38), а скорости до рассеяния получим, устремив в C.9) /->—оо: т Используя C.45) и C.38), получим диаграмму скоростей в си- системе 5W (рис. 3.5, а). В этой системе особенно просто выглядит диаграмма импульсов. Умможая скорости точек (см. C.38) и C.45)) на соответствующие массы, получим выражения для им- импульсов точек относительно Sm (рис. 3.5, б) C.46)
3.2 Упругое рассеяние частиц 127 Из диаграммы видно, что упругое рассеяние двух частиц относительно системы их центра масс сводится к повороту скоро- скоростей и импульсов частиц на оди-н и тот же угол рассеяния 0т; при этом величины скоростей (и импульсов) сохраняются. и Рис. 3.5 Диаграмма скоростей относительно лабораторной системы отсчета соответствует .решению C.39) (рис. 3.6). Заметим, что в общем случае плоскость, образуемая на диаграмме скоростей векторами УГ и V2~> не совпадает с плоскостью , образуемой векторами vt и V2~- Однако эти плоскости пересекаются и конец вектора скорости центра масс лежит на этой линии пересечения. Плоскость, в которой лежат ско- скорости точек, определенные отно- относительно системы Srn, не совпа- совпадает, вообще говоря', ни с плос- плоскостью вектороъ v~, v~, ни с плоскостью векторов v^, v+. В заключение этого парагра- параграфа рассмотрим захват частиц, точнее, рассмотрим падение частиц друг на друга, когда г->0 при t-*-\-oo. Исследование этого случая можно провести с помощью условий B.64) и B.66). Действительно, заменяя в этих формулах т на приведенную мас- массу \i и учитывая, что Рис. 3.6 Mo = \Lp~-V-,
128 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III получим неравенство, определяющее область изменения г в зада- задаче двух тел: VJZ2- >U(r) + ±?2L . JdL C.47) а также условие падения частиц C.48) Для сил отталкивания условие падения не удовлетворяется ни при каких р~. В случае преобладания быстро убывающих сил -/+ притяжения (при г->0) падение становится возможным хотя бы для некоторых прицельных рас- j; стояний. Если известны потенци- потенциальная энергия взаимодействия частиц, их массы и скорости до захвата (т. е. при t~>—сю), то можно, воспользовавшись соот- соотношениями C.47) и C.48),опреде- C.48),определить, при каких прицельных расстояниях произойдет захват. Пример 3.1. Рассеяние двух частиц, одна из которых до рас- рассеяния покоится. Частица с массой Ш\ до рассеяния покоится, т. е. v~ = О, а вторая частица пг2 движется со скоростью \~ относительно л-системы. Определить абсолютные величины и направления ско- скоростей обеих частиц после рассеяния относительно л-системы как функции 9т — угла рассеяния в системе центра масс. Из условия видно, что скорость центра масс и разность ско- скоростей частиц до рассеяния соответственно равны Рис. 3 7 т2 Vm = —- УГ> m m г 0) Отсюда с помощью C.45) получим скорости точек до рассеяния в системе Sm — 1 ГПо tn 2 V — i- V — 2 m 2 B) а используя C.38) и C.39), найдем скорости частиц после рас- рассеяния
§ 3.2 Упругое рассеяние частиц 129 C) m В рассматриваемом примере движение язляется плоским как относительно системы Smj так и относительно л-системы, причем плоскости движения в обеих системах совпадают друг с другом. Благодаря этому одну из координатных плоскостей л-системы можно совместить с плоскостью движения. Тогда вектор nem» лежащий в этой плоскости, будет определяться одним параметром, а именно углом рассеяния 8т. Заметим также, что в системе Sm величина скорости первой точки после рассеяния равна величине скорости центра масс, а отношение v'^jv'^ всегда равно обрат- обратному отношению масс точек. Диаграмма скоростей для данного примера приведена на рис. 3.7. Здесь 6i и 02 — углы рассеяния первой и ©торой частиц в л-системе; они отсчитываются от направления скорости v~ вто- второй частицы до рассеяния. Пользуясь этой диаграммой, решением C) и тригонометрическими соотношениями, найдем /722 D) m I* A __ sin 0m f2- = -^— [mf + m| 4- 2m1m2 cos 6m]1/2 — + cos em Рассмотрим решение D) при различных соотношениях между массами частиц, считая для определенности, что между частицами действуют силы отталкивания. Тогда 8т может изменяться от О до я; причем 6т—0 соответствует бесконечно далеким пролетам частиц, a 0w=jt — лобовому удару. Пусть, например, .mi>m2, т. е. масса частицы, покоящейся до рассеяния, больше массы налетающей частицы (рис. 3.8, а). В этом случае с изменением 6т от 0 до я; угол Э2 изменяется так- также от 0 до я, т. е. налетающая частица может быть рассеяна по 5 Зак. 284
130 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III любому направлению. Соответственно частица, покоящаяся до рассеяния, может быть рассеяна под углом от я/2 до 0. Угол раз- разлета 01+02 для любых 0т будет больше я/2, а в случае лобового удара скорости частиц после рассеяния взаимно про- Рис. 3.8 швоположны. Весьма простой вид принимает решение D), если 7J+ := О ?J+ = ?Г~. 09 = 0^,. E) 1 » 2 2 ' * т т v ' В случае равенства масс налетающей и покоящейся частиц из решения D) получим (рис. 3.8, б) - В — F) v+ = v?coa-f
§ 3.2 Упругое рассеяние частиц Ш Здесь угол разлета 9i+92 для любого Эт равен я/2, а в случае лобового удара происходит «обмен» скоростей. Пусть теперь т2>ть т. е. масса налетающей частицы боль- больше, чем масса покоящейся до рассеяния частицы (рис. 3.8,в). Из диаграммы скоростей видно, что угол разлета 9i+92 для лю- любого 9т меньше, чем я/2, а в результате лобового удара скорости частиц v+ и v+ направлены одинаково. Наиболее интересной осо- особенностью рассматриваемого случая является то, что данному углу Qm соответствуют определенные значения vf ы 92, а данному углу 92 соответствуют два значения 9т и v+. Иначе говоря, функ- функции t>+@m) и 62Fт) являются однозначными функциями, а функции 6,7гF2) и v+(%)— двузначными. Это необходимо иметь в виду, так как экспериментально измеряется именно угол 92, а ему соответствуют два возможных значения 6ОТ и v+. С этой особенностью связано и то, что угол отклонения 92 налетающей частицы изменяется в пределах от 0 до некоторого максимального значения 92тах (рис. 3.8, г), определяемого формулой 81п62тах-^~. G) т2 Пользуясь последней из формул D), найдем, что — cos262-0. (8) m+2,n+ ( В решении этого уравнения следует выбрать знак перед радика- радикалом, для чего рассмотрим предельные случаи далекого пролета и лобового удара. Например, если m2<mi, то из диаграммы, пред- представленной на рис. 3.8, а, в пределе получим 92-*(), если 6т->-0; 62-*я, если 9/?г->я. (9) К этим предельным значениям приводит решение уравнения (8) с положительным знаком перед радикалом: = +cos62 л[ 1 — № sin62J — ^-sin202. A0) Если т2>ти то из диаграммы, представленной на рис. 3.8, в, можно увидеть, что е2-*0 при 9т->0 и 6т-*я, A1) т. е. решение уравнения (8) будет содержать оба знака: cos6/n-±cose2 Л/ 1— lf^-sin%J — ^^sin262. A2) Г \^i I ггц
132 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III Первая ветвь этой функции, соответствующая положительному знаку перед радикалом, дает значения 0т, лежащие в пределах ОТ О ДО 0т@2тах) (при ЭТОМ 02 ИЗМвНЯвТСЯ ОТ О ДО 02max) • Вторая ветвь соответствует значениям 07П, лежащим в пределах от Э|?7г@2тах) До я (при этом 92 изменяется от 02тах ДО 0). Пример 3.2. Рассеяние двух частиц, скорости которых до рассеяния равны по величине и противоположны по направлению. Пусть скорости обеих частиц до рассеяния относительно л-си- стемы соответственно равны v— —/- 0 v— = v— vl ^ U» V2 M ' Определить абсолютные величины и направления скоростей час- частиц в лабораторной системе как функции угла 0т. Согласно условию задачи скорость центра масс частиц, раз- разность их скоростей и скорости частиц относительно системы Sm до рассеяния соответственно равны (см. C.45)) m m I > 1 > (О Отсюда с помощью C.39) находим m х m l m B) v+ = —i vr + 2 —^ vrt\Q . 1 m l m 1 m Поскольку скорости vj~" и Vg"" согласно A) коллинеарны ско- скорости центра масс, постольку движение является плоским не толь- только в системе центра масс, но и в л-системе. Это дает возможность построить плоскую диаграхмму скоростей (рис. 3.9). При построе- построении диаграммы мы учли, что между величинами скоростей v'+ и v'-r имеет место соотношение и что о-< tif (см. A)). Из .решения B) и диаграммы скоростей получим интересую- интересующие нас функции:
§ 3.2 Упругое рассеяние частиц 133 vf = — [4ml + (m1 — m2J — 4m2 (m2 — m,) cos 0m]1/2, m v~ 2 1/2 m tg 02 = ml m2 л /«2 — ml + cos Qm -~ -f cos 9m 2 2m2 Проанализируем это решение. Пусть, например, mi>3m2; тогда из A) и B) следует *2+>vr>vz>v[+. D) Таким образом, скорость центра масс по величине больше, чем скорость первой частицы в системе Sm, но меньше скорости вто- второй частицы в той же системе. Поэтому функция От (ВО будет двузначной, функция 0т(б2) —однозначной, a 0i будет изменяться в пределах от 0 до Bimax (рис. 3.9, а). Угол максимального откло- отклонения первой частицы определяется формулой Sitl Glmax = 2"*2 . E) пг1 — гпч В предельных случаях далекого пролета и лобового удара согласно диаграмме (рис. 3.9, а) имеем: если 0т->0, то 61-^0 и 62-*0; ,fi. если 6ш->я, то 01->0, a 62-^ я. Используя эти предельные значения, а также третью и четвертую функции из формул C), получим выражения: 1 - \*=±jWe,]-- ( «gSL) sin^e,, G) cos6m = cos6Л1 - ( т^~тЛ2sin26alm + щ~щ sin262. (8) L \ 2mj / J 2mx В случае ml=3m2 общее решение C) приводит к более прос- простым формулам для первой частицы v+=vTcos^, е1==-9=-. (9) Если же 3m2 > mt > m2 (рис. 3.9, б), то
134 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III Поэтому как 0Ь так и 02 изменяются от 0 до я, причем в предель- предельных случаях m—>u, и± —ьи, и2"^* ^J (И) Рис. 3.9 В соответствии с этим из решения C) аналогично предыдущему получим однозначную функцию 0m@i), которую запишем в виде (меняя здесь индексы 1 и 2 местами, найдем функцию cos0m@2)). Наконец, если mi=m2, то скорость центра масс равна нулю и, следовательно, с помощью формулы B) найдем (рис. 3.9, в)
§ 3,2 Упругое рассеяние частиц 135 11 1 Соответственно из формулы C) получим v+^v+^VTy 6l = е2 = em. A4) В этом случае решение принимает очень простой вид, так как л-система и система центра масс совпадают. Пример 3.3. Рассеяние двух частиц с электростатическим взаимодействием. Предполагая, что одна, из частиц до рассеяния покоится (v7" = 0), а вторая налетает на нее с заданной скоростью v~ от- относительно л-системы, а также считая известными прицельное расстояние р- и ориентацию плоскости, в которой движутся час- частицы, определить абсолютные величины и направления скоростей обеих частиц как функции и~ и р-. Часть этой задачи уже решена в примере 3.1. Действительно, формулы D) этого примера дают интересующие нас величины как функции v~ и 6т — угла рассеяния в ц-системе: ,%m), e2 = e2F,rt). Теперь нужно найти угол 0т как функцию скорости v~ и при- прицельного расстояния р~. Эта зависимость определяется интегра- интегралом C.40) в котором подставлена потенциальная энергия U — —а/г, а— постоянная, характеризующая взаимодействие, v~ = \v~ — v~| — величина относительной скорости частиц до рассеяния, а |тах определяется из уравнения |2 ?2 1—1=0 w>-(f-J (см. C.41)). Вычисляя этот интеграл, для угла отклонения в Ч-системе получаем выражение вт = — 2 arctg . B) sW>-(tr)» v ;
136 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III В случае сил притяжения (а>0) угол отклонения 9m<0, a для сил отталкивания (а<0) этот угол положителен и функция B) принимает вид 8m = 2arctg |(Х| . C) В соответствии с условием данного примера в формулах B) и C) нужно положить v~ — v~. Совокупность формул D) примера 3.1 и формул B), C) на- настоящего примера дает решение поставленной задачи. Запишем его в общем виде vt=vf[v^9em(p-,i>-)], e^eje^p-,^)], vt = vf[v-,Qm(p-,v-)], e2^e2[ew(p-,L-)]. Ввиду громоздкости этого решения приведем более простой частный случай. Пусть, например, массы .налетающей и покоя- покоящейся до рассеяния частиц равны, тогда, учитывая формулу F) примера 3.1, получаем , ех = — — а,, 2 : L 2a J} E) H—7v If т2р (v9 J Если скорости частиц до рассеяния равны по величине и противо- противоположны по направлению, т.. е. У7 = -УТ (^ = 2^Г), F) то и+, 6Х, v+, 62, как функции v~ и р~, будут заданы совокуп- совокупностью формул C) примера 3.2 и формул B), C) и F) настоя- настоящего примера. В частном случае при mi = 3m2 для первой частицы получим (см. формулу (9) примера 3.2) —IT , 91=-arctg| I. G) Пример З.4. Рассеяние двух однородных абсолютно упругих шариков.
§ 3,2 Упругое рассеяние частиц 1_37_ Потенциальная энергия взаимодействия двух указанных час- частиц с массами Ш\ и т2 имеет вид Г 0, если г > а, [ f оо, если г<^а, где a = ai-\-a2 — сумма радиусов первой и второй частиц-«шари- ков». Предполагая, что в одном случае вторая частица налетает на первую, покоящуюся до рассеяния, а во втором — обе частицы движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью: Опреде- Определить абсолютные величины и направления скоростей обеих частиц после рассеяния как функции их скоростей до рассеяния и при! цельного расстояния. Пользуясь C.40) и C.41), можно определить угол откло- отклонения От- Однако ввиду обращения U в бесконечность 0т удобнее определить с помощью графика «эффективной» потенциальной энергии и траекторий частиц в ^-системе. Действительно, подстав- подставляя значение Л?о = fip~"ir- :в выражение Uetu получим Формулы A) и B) дают возможность построить график Uett(r) (рис. 3.10, а), из которого видно, что /*min = а, если Ео > Е'о (—) (р~ < а); C) ^min = р~, если Ео < Ео (—) (Р~ > а). В первом случае происходит столкновение шариков, во вто- втором— нет. Для обоих случаев траектории геометрических центров шариков относительно ч-системы изображены на рис. 3.10, б и 3.10, в (эти рисунки соответствуют соотношениям mi>m2 и а\>а2\ их полезно сравнить с рис. 2.6 и 3.3). Из рис. 3.10, б и 3.10, в нетрудно видеть, что D) Отсюда, учитывая соотношение C.37), найдем (Р <а), E)
138 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III Рис. 3 10 Следовательно, угол 0т не зависит от разности скоростей и от масс частиц. Он зависит лишь от отношения константы взаимо- взаимодействия а и прицельного расстояния р", что связано с особен- особенностью взаимодействия абсолютно упругих шариков. Заметим, что E) можно получить интегрированием C.40), определяя rmin из
§ 3.3 Поперечные сечения рассеяния 139 формулы C); при этом следует учесть, что потенциальная энер- энергия U в пределах интегрирования от rmin до оо равна нулю. Если скорости обеих частиц до рассеяния относительно л-сис- темы задать так же, как в примерах 3.1 и 3.2, то решение задачи о рассеянии частиц-«шариков» в первом случае определит- определится совокупностью формул D) примера 3.1 и формулы E) на- настоящего примера, а во втором случае — совокупностью формул C) примера 3.2 и той же формулы E). Приведем решение в простейших случаях. Пусть тогда, используя формулы E), F) примера 3.1 и считая р~ найдем F) = arccos() ^ Решение в случае v~ = — v~ найдем, используя, например, формулы (9) примера 3.2. Тогда для первой частицы получим v+ = vr (-*— \, 6Х = arccos 1 l * a J G) \ = 3m2, p § 3.3. Поперечные сечения рассеяния В предыдущем параграфе было изучено рассеяние двух час- частиц; однако на практике чаще приходится иметь дело не с одним актом рассеяния, а со множеством таких актов. Например, в из- известных опытах Резерфорда пучок a-частиц рассеивался на ядрах атомов металлической пленки. Изучим более общий случай рассеяния, а именно рассеяние одного пучка частиц на другом пучке. Пусть один из пучков, достаточно разреженный и однородный по сечению, состоит из одинаковых частиц с массами п%\\ все эти частицы до рассеяния имеют одинаковые скорости, равные v". Второй пучок состоит из других одинаковых частиц с массами т^ и скоростями до рассеяния vj (в остальном второй пучок удов- удовлетворяет тем же требованиям, что и первый). Процесс рассея- рассеяния одного пучка на другом ввиду их разреженности можно свес- свести к рассеянию каждой частицы одного пучка на некоторой части-
140 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III це другого пучка, причем рассеяние каждой частицы по той же причине можно считать однократным. Следовательно, в задаче о рассеянии таких пучков нужно учитывать взаимодействие каждой частицы одного пучка с некоторой частицей другого пучка, в то время как взаимодействием частиц данного пучка между собой можно пренебречь. Тогда акты рассеяния разных пар частиц будут независимы друг от друга, причем рассеяние каждой пары харак- характеризуется своим прицельным расстоянием р~" и происходит в оп- определенной плоскости относительно системы центра масс пары, т. е. характеризуется своим углом е (см. рис. 3.11, на котором изображены траектории ц-точки для двух различных пар сталки- сталкивающихся частиц с одинаковыми е и (различными р~). Центры масс всех пар взаимодействующих частиц покоятся относительно друг друга, поскольку эти центры движутся относи- относительно лхистемы с одинаковой скоростью, равной Поэтому угол рассеяния 0W для каждой данной пары взаи- взаимодействующих частиц будет одним и тем же относительно систе- системы отсчета с началом в центре масс любой пары взаимодейст- взаимодействующих частиц. Выберем одну из таких систем отсчета и будем называть ее условно системой центра масс или ^-системой. В этой системе отсчета рассмотрим те [х-точки, прицельные расстояния которых лежат внутри интервала р~, р~+ф~, а значение угла е изменяется в пределах от 0 до 2я. В силу центральной симмет- симметрии взаимодействия между частицами эти jx-точки рассеются на углы от 9W до Qm+dQm каждая в своей плоскости. Следовательно, на достаточном удалении от начала ^-системы выбранные ji-точ- ки попадут в телесный угол dQm (рис. 3.11, б). Этот телесный угол ограничен поверхностями конусов с вершинами в начале ч-сиете- мы и углами растворов, равными соответственно 20т и 2@т+ +d9m); ось конусов параллельна вектору v~, т. е. параллельна скорости jx-точек до рассеяния. Частицы второго пучка, соответ- соответствующие рассмотренным ^-точкам, после рассеяния также попа- попадут в телесный угол dQm, поскольку они движутся по траектори- траекториям, подобным траекториям ji-точек. Что касается частиц первого пучка, соответствующих рассмотренным ju-точкам, то они рас- рассеются в телесный угол той же величины, но с раствором конусов, направленным противоположно вектору v~. Важной характеристикой процесса рассеяния является диф- дифференциальное эффективное поперечное сечение рассеяния. Например, для частиц первого пучка эта величина определяется как отношение числа djf его частиц, рассеивае- рассеиваемых в телесный угол dQm за единицу времени, к числу /~ час-
§ з.з Поперечные сечения рассеяния 141 тиц того же пучка, пролетающих за единицу времени через еди- единичную площадку поперечного сечения пучка до рассеяния. Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния частиц первого пучка по определению равно dax - -А-. C.49) Рис. 3.11 Кроме дифференциального сечения, часто рассматривают полное эффективное сечение рассеяния, равное отношению общего числа А/+ частиц данного пучка, рассеивае- рассеиваемых за единицу времени под всеми углами 6т=7^=0, к плотности /~ потока этого пучка до рассеяния. Итак, по определению полное сечение рассеяния частиц первого пучка равно C.50) /Г Поскольку до рассеяния пучки однородны по сечению, можно предположить, что поток числа частиц с прицельными расстоя- расстояниями, лежащими .в интервале от р- до p~+dp"~, равен плотности! потока частиц до рассеяния, умноженной на площадь кольца с ра- радиусами, равными р~ и р~+ф-\ Тогда число частиц, рассеивае- рассеиваемых в телесный угол dQm за единицу времени, равно (для перво- первого пучка)
142 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III ip-. C.51) Отсюда получим дифференциальное сечение рассеяния в системе центра масс как функцию прицельного расстояния: da = 2яр-ф~ C.52) (здесь индекс у da опущен, так как в ^-системе две взаимодейст- взаимодействующие частицы отклоняются на один и тот же угол 0т, поэтому сечение рассеяния (выражается через прицельное расстояние оди- одинаково как для частиц первого пучка, так и для частиц второго пучка). Формула C.52) дает возможность найти наглядное выраже- выражение для полного сечения рассеяния в том случае, когда на не- некотором расстоянии r=rmSiX между частицами можно пренебречь потенциальной энергией их взаимодействия. Тогда, очевидно, пол- полное сечение будет равно площади круга радиуса rmax: а^л(гтах)\ C.53) На основании C.52) легко также получить сечение рассбяния как функцию угла 0т и величины относительной скорости частиц v~. Действительно, в задаче об упругом рассеянии двух частиц угол 0т является функцией р~, v~ и масс частиц, причем вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Разрешая функцию C.40) относительно р~, найдем прицельное расстояние .в зависимости от 6т и v~ p-^p-@/H, V-I C.54) а затем, используя C.52), получим дифференциальное сечение рассеяния обоих пучков как функцию угла рассеяния в системе центра масс: = 2яр- dp- C.55) Знак модуля в C.55) связан с тем, что производная —— может быть отрицательной, а сечение рассеяния по определению являет- является положительной величиной. Вместо выражения C.55) часто ис- используют дифференциальное сечение в виде d9- sin Эл C.56) где dQm==2ttsin0md6m. Экспериментальные исследования процессов рассеяния сво- сводятся к измерению потока частиц до рассеяния и количества час- частиц, рассеиваемых под различными углами. Тем самым находят
§33 Поперечные сечения рассеяния 143 сечения рассеяния в л-системе. Теоретически эти величины можно получить, вычисляя da(Qm) в ^-системе, а затем определяя функ- функции 0m@i) и 0т@2) из диаграммы скоростей, основанной <на реше- решении C.39) @i и 02 — углы рассеяния частиц первого и второго сорта .в л-системе). Дифференциальные сечения рассеяния частиц первого и второго сортов в лабораторной системе можно получить как результат подстановок da, = da Fm) |em@l), da2 = daFw) \в^ш). C.57) Формулы C.57) справедливы, если функции 0m@i) и 0т@г) одно- однозначны; однако примеры 3.1 и 3.2 показывают, что это требо- требование не всегда выполняется. Пусть, например, функция 0т@2) будет двузначной, т. е. 0т(б2) = | 6т@2)' C.58) I СF2), где функции 6т и 6т однозначны. Из C.58) следует, что в л-системе под углом 02 рассеиваются все частицы, которые в ^-системе рассеиваются либо под углом 6т, либо под углом 0т- Поэтому в случае двузначной функции 0т(©2) для нахождения do>2 следует брать сумму сечений, соответствующих двум ветвям функ- функции. Таким образом, учитывая C.58), вместо второй из формул C!57) получим do, = do(Qm) \Qys) + da(%m) |e^@2). C.59) Замерим, что сумма сечений, подобная C.59), является суммой модулей соответствующих функций, поскольку сечения рассеяния по определению положительны. Полное сечение захвата os определяется аналогич- аналогично C.50) как отношение числа всех частиц данного пучка, захва- захваченных за единицу времени, к плотности потока этого пучка до рассеяния. Если из условий C.47) -и C.48) вытекает, что при- прицельные расстояния, при которых происходит захват, удовлетво- удовлетворяют неравенствам 0<р-<р~, C.60) то, исходя из дифференциального .выражения C.52) и условия C.60), получим полное сечение захвата Пример 3.5. Дифференциальные сечения рассеяния частиц с электростатическим взаимодействием; формула Резерфорда.
144 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III Даны два пучка частиц. Первый пучок состоит из частиц с массой Ш\ и зарядом е\\ скорость этих частиц до рассеяния отно- относительно л-системы равна vl~. Аналогичные величины для частиц второго пучка равны m2, e2, V2~- Оба пучка достаточно разрежены и до рассеяния однородны по сечению. Определить дифферен- дифференциальные сечения рассеяния частиц обоих сортов в л-системе. Пользуясь формулой B) примера 3.3, найдем зависимость прицельного расстояния от угла отклонения в ^-системе: где а =—0102, причем если а>0, то 8т<0, если же а<0, то 0™>О. Подставляя эту функцию в C.56), получим выражение для се- сечения рассеядия в ц-системе: da = ( 2 °-i J dUm ' B) 2 где dQm = 2я sin 0m^em. Для отыскания сечения рассеяния в л-оистеме нужно знать 6m@i) и 6тFг). Найдем эти функции для двух простых случаев. Пусть, например, частицы первого пучка до рассеяния покоятся, а частицы второго движутся со скоростью v~. Тогда вторая из формул D) примера 3.1 дает соотношение Ш 1 * \ / где 0i изменяется в пределах от 0 до я/2. Подставляя C) в B), получим дифференциальное сечение рас- рассеяния частиц, которые до рассеяния покоились: где dQi=2jt sin8id8i. Используя формулы E) и F) примера 3.1, из формулы B) данного примера получим дифференциальные сечения рассеяния частиц второго пучка: V dQl (mi<m1;0<Q2<n), E)
§ 33 Поперечные сечения рассеяния 143 2а \2cos02dQ2 / А - А . я \ /ty, -~Т^ [Щ^Щ\ 0<62<— ), F) (i?-)a / sin 92 \ 2 7 где dQ2 = 2Ksin62^82. Формула E) называется формулой Резерфорда. Вывод этой формулы и ее сопоставление с экс- экспериментом по рассеянию быстрых а-частиц на ядрах тяжелых эле- элементов явились в свое время ключом к открытию структуры атома. Теперь найдём сечение рассеяния частиц второго пучка, если Ш2>гп\. В этом случае 0т@2) является двузначной функцией (см. пример 3.1). Представляя сечение B) в форме |dcos9"'1 G) (i-cosemJ' в соответствии с C.59) получим где cos От и cos 0т определяются формулой A2) примера 3.1. Из формулы A2) найдем d cos 0m = — (t + ii)sin %d%, ,g. d COS 0m = — (t — T)) Sin 02d02, где ДСО8в 4- Воспользовавшись формулой G) примера 3.1, найдем пределы изменения угла 02 о < е2 < б2тах < y определяющего знаки т и ц и их отношение. Из A0) следует, что (И) >2> ( т1 пг1 г \ т 1 + (Щ2 > 1 г f-^-Vcos 202 > (^-У - 1 > 0. A2) Легко также убедиться, что отношение х/ц изменяется от величи- величины, меньшей, чем +1> до 0, а производная этого отношения меньше нуля (она равна нулю только при 02 = 0).
146 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. Ill Учитывая сказанное, из формул (9) получим I d cos 6m I = « 1 + V m1 ) cos 202 l/i - (ЛИ- "Ч sin2 Э2 Sin62d62, A3) .— 2^i~COs6? а подставляя A3) в (8), найдем x x cos 202 mi sin2 92 A4) где Ci = 1 — cos 0W, ?2 - 1 — cos 0m. Далее, используя формулы A2) примера 3.1, получим = 21 A + т1 cos2 e. л [ fTLn L \ ^1 ' sin2 —?f = 4созв2 A5) A6) A7) Наконец, подставляя A5)—,A7) в выражение A4), после ряда преобразований :найдем дифференциальное сечение рассеяния час- частиц, налетающих на покоящиеся до рассеяния частицы (при условии s(^J а 1 + cos* 62 — I — т 02 V т1 sin*62 A8) Возьмем другие начальные условия для скоростей. Пусть частицы обоих пучков движутся навстречу друг другу с одинако-
§ 3.3 Поперечные сечения рассеяния 147 выми скоростями. Тогда функции 9m(8i) и 6т@2) определяются третьей и четвертой формулами решения C) примера 3.2. Напри- Например, если mi>3m2, то eos9m(9i) и cos0m@2) заданы формула- формулами G) и (8) примера 3.2, причем cos0m(9i) в этом случае яв- является двузначной функцией, аналогичной функции A2) примера 3.1. Поэтому, используя формулы, аналогичные формулам G) — A8) настоящего примера, сразу найдем дифференциальное сечение рассеяния частиц первого пучка: sin401 2m2 (m1>3m2). A9) Если же mi = m2, то из формулы A4) примера 3.2 и формулы B) настоящего примера следует: d^—=d<y2. B0) Все полученные формулы дифференциальных сечений справед- справедливы как в случае сил отталкивания (а<0), так и для сил при- притяжения (а>0). Нетрудно также убедиться в том, что полное сечение рассеяния для заряженных частиц равно +оо. Это связано с бесконечно большим «эффективным радиусом» кулоновских сил: при р~-^оо угол отклонения 9т весьма «медленно» стремится к нулю. Пример 3.6. Дифференциальное сечение рассеяния однородных абсолютно упругих шариков. Даны два пучка частиц, которые можно представить себе как абсолютно упругие шарики. Первый пучок состоит из частиц мас- массы Ш\ и радиуса аь скорость этих частиц до рассеяния относи- относительно л-системы равна v~; те же величины для частиц второго пучка соответственно равны m2, a2, v~. Определить сечения рас- рассеяния частиц в л-системе. С помощью формулы E) примера 3.4 найдем прицельное рас- расстояние как функцию угла рассеяния в ^-системе: — (а = а1 + а^)9 (I) а затем из C.55) получим da = Ji_dQ B\
148 Задача двух тел и теория рассеяния частиц Гл. III Следовательно, рассеяние частиц-«шариков» в системе центра масс изотропно. Интегрируя B) по всем углам, найдем, что полное сечение рассеяния равно о=па2 (см. C.53)). Вычислим дифференциальное сечение рассеяния в л-системе. Например, если частицы первого пучка до рассеяния покоятся, а частицы второго движутся со скоростью v7, то из формулы B) настоящего примера и формулы D) примера 3.1 найдем do1 = a2coselflfQ1 C) (при любом соотношении масс частиц). Для вычисления Лг2 бу- будем исходить из формул (см. B), C.59) и формулы A0), A2) примера 3.1): da2 = d cos 6/7l F2) |, если щ < m19 Тогда, используя анализ функции мере 3.5, из D) и E) найдем D) doosQm(Q2)\}, если тг>п\. E) , проведенный в при- при1 + т1 ) cos 20, _ 2 ^- cos 6, sin2 92 (пц 1-f- cos 29o (тг > nh). F) G) Если же частицы первого и второго пучков движутся до рас- рассеяния с одинаковыми скоростями навстречу друг другу, то следует взять функции, полученное в примере 3.2. Используя двузначную функцию G) и однозначную функцию A2) примера 3.2, а также используя формулы, аналогичные формулам D) и .E) данного примера и формулам A0) — A2) примера 3.5, найдем дифферен- дифференциальные сечения рассеяния частиц первого пучка: da, = / т, — т2 \ 1+ *- М cos 20! Y4- 2т, (8) sin2 01
§ зз Поперечные сечения рассеяния 149 1+( V'- т1 — m2 2m2 I tTli — ^2 \ 2m2 \ 2 COS29! — j sina6i — /722 • cos C/n2 т2). (9) Из последнего выражения заменой индексов можно получить сечение рассеяния частиц второго пучка при условии mi>m2 (см. формулы (8) и A2) примера 3.2). Наконец, используя формулу B) данного примера и форму- формулу A4) примера 3.2, найдем, что в простейшем случае, когда da х = —dQt = 4 A0)
Глава IV ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИНЕРЦИЛЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА Как отмечалось ранее, уравнения Ньютона справедливы толь- только в инерциальных системах отсчета. Однако на практике часто встречаются и неинерциальные системы. Поэтому необходимо найти уравнения движения относительно таких систем. При этом естественно исходить из уравнений Ньютона, которые, как извест- известно, содержат массы и ускорения материальных точек, а также силы, действующие на них со стороны других тел. Массы точек и время инвариантны относительно перехода от одной системы отсчета к другой, а силы являются функциями положений и ско- скоростей точек. Таким о!бразом, чтобы вывести интересующие нас уравнения движения, прежде всего нужно выяснить, как преобра- преобразуются положения, скорости и ускорения при переходе от инер* циальной системы к неинерциальной системе отсчета. В свою оче- очередь для решения этого вопроса следует с кинематической точки зрения проанализировать движение одной произвольной системы отсчета относительнб другой произвольной системы отсчета. Кстати напомним, что в классической механике системы отсчета мыслятся связанными с твердыми телами, поэтому кинематика движения одной системы отсчета относительно другой эквивалент- эквивалентна кинематике твердого тела. § 4.1. Положение системы отсчета Рассмотрим положение некоторой системы отсчета S' с нача- началом в О' и ортами IV, пу'9 п/ относительно системы 5 с нача- началом в О и ортами пх, пу, nz (рис. 4.1). Положение начала О' от- относительно системы S определяется вектором го', который на основании A.1) можно задать в виде разложения по ортам си- системы S: Т(у = хо>пх + уо>пу + zo>nz. D.1) Ориентацию системы S' относительно системы 5 можно задать с помощью косинусов углов между ортами обеих систем отсчета.
§ 4.1 Положение системы отсчета 151 Однако среди девяти направляющих косинусов av\ только три независимых, поскольку щч подчинены шести условиям ортого- ортогональности A.4"). Часто вместо трех независимых направляющих косинусов используют три угла Эйлера, которые вводятся следующим образом. Построим наряду с системой S' систему Sos начало кото- Рис. 4.1 Рис. 4.2 рой совпадает с началом О', а направления осей — с направления- направлениями соответствующих осей системы 5 (рис. 4.1 и 4.2). Тогда ориен- ориентация системы S' относительно системы So> совпадает с ориен- ориентацией S' относительно S. Пересечение плоскостей О'ху и О'х'у' определяет прямую О'?, которая называется линией узлов. Положительное направление на этой линии задается единичным вектором п. = г D.2) Углами Эйлера называют углы Ф = ^ К» nt)> е = ^ (п2> п*')> * = ^ К» IV) D.3) @<Ф<2хс, 0<6<я, 0<\|?<2я). Положительное направление отсчета углов ф, 0 и \|з определяется обычным для правых систем образом с помощью ортов nz, n^ и tV соответственно. Например, положительным направлением от- отсчета угла ф считается направление отсчета против часовой стрел- стрелки, если смотреть с конца орта nz на его основание.
152 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV Итак, положение одной произвольной системы отсчета S' отно- относительно другой произвольной системы отсчета S определяется в общем случае шестью независимыми величинами: тремя проек- проекциями радиуса-вектора начала системы S' и тремя углами Эйлера; углы Эйлера определяют ориентацию системы S' относительно системы S. Этот вывод полностью относится к определению поло- положения твердого тела, в чем легко убедиться, жестко скрепляя «штрихованную» систему отсчета с данным твердым телом. Рассмотрим простейший случай, когда ориентация системы определяется одним углом. Пусть, например, iv параллелен п., т. е. пусть угол 0 = 0. Тогда плоскость О'х'у' совпадает с плос- плоскостью О'ху я линию узлов можно провести по любой прямой, проходящей через О' в плоскости О'ху. Например, совмещая линию узлов с осью О'х' (т. е. полагая -ф = 0), убеждаемся, что ориентация .системы действительно определяется одним углом ср. В этом случае ах>х = ау>у = cos ф, аХ'У = — аух = sin <p, Clz'z = 1, 0>x'z = Cty'z = Clz'y = 0, а формулы преобразования ортов сводятся к формулам пх> = nx cos ф + ПУ s^ ф, 4- п^соэф, D.4) Матрица такого простейшего ортогонального преобразования имеет вид cos ф sin ф О - sin ф cos ф О D.5) 0 0 1 -а ее элементы подчинены условиям (см. A.4")): <&>х + dy'x = 1, (&'у + а2у'у = 1,- пх'х dx'y + аух аУ'У =0. D.6) В общем случае матрица А ортогонального преобразования A.4') определяется тремя углами Эйлера. Выражение коэффи- коэффициентов Яг/j через углы Эйлера нетрудно получить, если заметить, что преобразование от системы So* к системе S' может быть вы- выполнено тремя последовательными ортогональными преобразова- преобразованиями типа D.4), совершаемыми в определенном порядке, при- причем соответствующие этим преобразованиям повороты опреде- определяются углами Эйлера.
§ 4.1 Положение системы отсчета 153 Действительно, перейдем от системы So, к первой промежуточной системе 0%цг, у которой ось О'? совпадает с линией узлов системы S\ а ось Orz совпа- совпадает с такой же осью системы SQ, (см. рис. 4.3,а). Система O'\\\z может быть получена из системы Sq, поворотом последней на угол ср вокруг оси O'z в по- положительном направлении. Согласно D.4) преобразование от Sq> к O'\x\z и его матрица D определяются формулами щ = nrcosq) + n^sincp, пц = — пА sin ф -f пу cos ф, cos ф sin ф О — sin ф cos ф О О 0 1 Теперь перейдем от системы O'%x\z ко второй промежуточной системе -О'^'г', у которой ось OV совпадает с той же осью системы 5', а ось CKg совпадает с той же осью первой промежуточной системы 0%цг (рис. 4.3,6). Вторая проме- промежуточная система О'^ц'г' может быть получена из первой системы 0%цг пово- поворотом на угол 6 вокруг оси 0% (в положительном направлении). Преобразова- Преобразование от первой ко второй промежуточной системе согласно D.4) имеет вид Щ = п^, пЛ' = nn cos 6 Ч- n2 sin 6, п2г = —г\ц sin 6 -f n2 cos 6, а матрица С этого преобразования равна п , 1 0 0 - 0 cos 6 -sin6 0 sine cose
154 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV Наконец, перейдем к системе S'. Она может быть получена поворотом второй промежуточной системы O'%v)'z' на угол 9 вокруг оси O'z' в положительном направлении (рис. 4.3,в). Орты системы S' связаны с ортами предыдущей систе- системы соотношениями tV = n^cos \f> + щ> sin i|), nyf =, — n^sin я|) + пЛ' cos \( nz> =n2', а матрица этого преобразования равна cos -ф sin i|) О О B = sin i|? cos - О 0 1 Все прийеденные формулы дают возможность выразитьп^, п^>, x\z, через пх, пу> nz и углы Эйлера и тем самым определить матрицу преобразования A.4') через независимые величины. Эта матрица может быть также получена перемножением матриц В, С, D в порядке, сооответствующем последовательности поворотов на углы ф, 9, i|r. Запишем в окончательном виде матрицу преобразования от системы So, к си- системе S': е S: Icos г|) cos ф — cos 9 sin <p sin i|) cos \|з sin ф + cos 9 cos cp sin ф sin \f> sin 9 — sin ф cos ф — cos 9 sin ф cos ф — sin ф sin ф -j- cos 9 cos ф cos ф cos ф sin 9 sin 0 sin ф — sin 9 cos ф cos 9 D.7) Обратное преобразование от системы S7 к системе So, выра- выражается формулами A.5")- Матрицу этого преобразования, обратную по отноше- отношению к Л, обозначают символом Л. Матрица Л получается из матрицы А за- заменой строк на столбцы, т. е. является траспонированной по отношению к Л. Транспонированную матрицу обозначают символом Л. Таким образом, для ортогональной матрицы Л имеем A~i=A. § 4.2. Поступательное движение и изменение ориентации системы отсчета Из предыдущего видно, что положение «штрихованной» систе- системы относительно «нештрихованной» будет определено в любой момент времени, если г0/, ф, 0, г|? заданы как функции времени.
§ 42 Поступательное движение и изменение ориентации 155 Рассмотрим два вида движения системы: поступательное движение и изменение ориентации. В случае посту- поступательного движения ориентация системы S' относительно систе- системы S остается неизменной. Это означает, что остаются неизмен- неизменными направления ортов tv, пу>, iv, т. е. сохраняют постоян- постоянное значение косинусы a/j (или углы Эйлера). Следовательно, 1^=1^=^=0. D.8) Таким образом, поступательное движение системы S' определяется движением ее начала О', т. е. функцией r0' (t), а все точки твер- Рис. 4 4 дого тела, скрепленного с системой S', движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями по траекториям, которые могут быть получены друг из друга параллельным смещением. Действитель- Действительно, радиусы-векторы гиг' любой точки твердого тела относитель- относительно систем S и S' связаны соотношением A.6), причем абсолют- абсолютная величина вектора г' постоянна при произвольных перемеще- перемещениях твердого тела, а его направление относительно системы S неизменно только при поступательном движении тела (см. рис. 4.4, на котором изображены два положения твердого тела при поступательном движении). Дифференцируя A.6) по времени и учитывая постоянство г', получим v = vo', w = w0'. D.9) Другим частным случаем движения системы отсчета (твердого тела) является изменение ориентации при неизменном положении
156 Движение относительно неннерциальных систем Гл. IV начала системы S'. В этом случае го> — постоянный вектор, а орты «штрихованной» системы (косинусы arj и углы Эйлера) являют- являются функциями времени. Анализ этого вида движения основывает- основывается на простой, но важной теореме Эйлера, в которой утвер- утверждается: если относительно некоторой системы отсчета S твердое в Рис. 4.5 тело имеет одну неподвижную точку, то перемещение твердого тела из любого положения в любое другое положение может быть совершено одним поворотом на определенный угол вокруг опреде- определенной оси, проходящей через неподвижную точку тела. Доказательство этой теоремы основано на неизменности рас- расстояний между всеми точками твердого тела. Пусть система S' жестко соединена с твердым телом, а ее начало О' находится в не- неподвижной точке тела. Очертим вокруг точки О' жестко соединен- соединенную с твердым телом сферу единичного радиуса, отметив на ней концы ортов iv, п2' и соединив эти концы дугой х'г' большого круга. Положение этой дуги определяет положение твердого тела (или системы S'). Следовательно, произвольные положения 1 и 2 тела можно задать двумя положениями X\Z\ и x2Z2 дуги x'zr (рис. 4.5, а и б).
§ 4.2 Поступательное движение и изменение ориентации 1_57 Чтобы доказать теорему Эйлера, нужно убедиться в том, что ду- дуга Х\2\ может быть совмещена с дугой x2z2 одним поворотом, указать способ нахождения оси и угла поворота. Соединим точки Xifx2 и точки Z\t z2 дугами больших кругов (рис. 4.5, б), а через середины дуг х\х2 и Z\z2 проведем перпендикулярные к ним. дуги больших кругов до пересечения их друг с другом в точках аир. Стороны X\Z\ и x2z2 сферических треугольников Д(.ада) и Д (х2г2 а) (рис. 4. 5, в) равны, так как это одна и та же дуга в различных положениях, а стороны х[а и х'2а равны по построению точки а,, лежащей на дуге, проведенной через середину основания Х\х2 тре- треугольника A(xix2a). Равны друг другу также стороны Z\a н z2a. Таким образом, сферические треугольники^ Д (х\ Z\ а) и Д (х2 z2 a) равны и, следовательно, равны углы ^ X\az\ и ^ x2az2. Поэтому угол между дугами г[а и z'2a равен углу между дугами х[а их2а, Итак, если твердое тело (систему S') повернуть из положения 1 вокруг оси О'а на определенный угол ^х[ах2 (или равный ему ^Z\az2)t то твердое тело (система отсчета) переместится в положение 2. По- Поскольку положения 1 и 2 выбраны произвольно, теорема Эйлера доказана. Подчеркнем, что теорема Эйлера справедлива для поворотов как на конечные, так и на бесконечно малые углы. Однако сами эти повороты отличаются друг от друга: результат двух поворотов на конечные углы, вообще говоря, зависит от последовательности этих поворотов, в то время как результат двух любых беско- бесконечно малых поворотов с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка не зависит от их последовательности. Проиллюстрируем это на примере поворотов твердой квадратной пластинки (рис. 4.6). Сначала повернем ее вокруг оси O'z' на я/2, а затем вокруг оси О'х' также на я/2 (рис. 4.6,а). После этого изменим последовательность поворотов: повернем пластин- пластинку сначала вокруг оси О'х' на я/2, а затем вокруг O'z' на л/2 (рис. 4.6,6). Как видно, результат одних и тех же поворотов на конечные углы является различным в зависимости от последова- последовательности поворотов *. Теперь проанализируем бесконечно малый поворот. Пусть твердое тело (система S') обладает одной неподвижной точкой О'. Положение этого тела в момент времени / определяется углами * В связи с этим говорят: операция поворота на конечный угол неком- некоммутативна. Этому соответствует некоммутативность умножения матриц конечных поворотов. Например, на с. 154 преобразование Л от системы «So, к системе S' было получено как результат трех ортогональных преобразова- преобразований В, С и Д примененных в определенном порядке. Соответственно А равня- равнялось некоммутативному произведению BCD.
158 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV z'k о' i 1 У /ос* Эйлера ф, 8, ф, а положение того же тела в момент времени t + dt — углами ф + йф, Q + dQy a|) + di|). Это означает, что орты пх\ п/, iv, т. е. орты системы S', занимающие в момент t соответст- соответствующие положения, в момент t + dt получают определенные при- приращения dnx', dny>, dnz> (рис. 4.7). Согласно теореме Эйлера перемещение тела (системы S') из первого положения во второе можно совершить одним поворотом на определенный угол d% вокруг определенной оси, проходящей через О'. Рассматриваемый бесконечно малый поворот в отличие от конечного поворота можно задать вектором dx = dx-nx; D.10) модуль этого вектора равен углу поворота d%\ прямая, на которой расположен вектор, является осью вращения, а направления* век- вектора dx и соответствующего единичного вектора п% выбраны так, чтобы поворот казался совершаемым против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора dx на неподвижную точку О'. В общем случае величина и направление вектора dx могут изменяться со временем. Поэтому ось бесконечно малого поворота, определяе- определяемую вектором dx, называют мгновенной осью вращения. Нетрудно найти приращение любого жестко связанного с систе- системой S' вектора, которое он получает в результате поворота системы
§ 4.2 Поступательное движение и изменение ориентации 159 S' на угол d% вокруг %. Например, учитывая, что приращение орта IV перпендикулярно к плоскости, образуемой dx и пх>, величина приращения div равна d%-sin(nx, пх>) (см. рис. 4.7), приращение dnx' можно представить в виде dn^-[dx IV], D.11) Аналогично для приращений dny' и div, [полученных в результате того же поворота, имеем dny = [dX tv], dnz> = [dX tv]. D.12) Для любого вектора г', жестко скрепленного с системой S', найдем r'J. D.13) dX. dtiyt Формула D.13) позволяет непосредственно убедиться в том, что результат двух бесконечно малых поворотов не зависит от их последовательности. В самом де- деле, совершая два поворота радиу- радиуса-вектора г7 какой-либо точки твердого тела в разной последо- последовательности, для вектора конеч- конечного положения выбранной точ- точки получим * , ^у~ угпу' или r'+[(dX2 Idx^r' где dxi и d/2—векторы рассматри- Рис. 4.7 ваемых поворотов. Два по- последних выражения совпадают с точностью до бесконечно малых высшего порядка по величинам d^i и d%2. В связи с этим еще раз подчеркнехМ, что для конечного поворота нельзя написать опре- определение, аналогичное D.10), так как конечный поворот некомму- некоммутативен, а сложение векторов должно быть коммутативной опера- операцией. Поэтому вектор бесконечно малого поворота был обозначен d/, а не d% (вектора % не существует!). Угловую скорость или скорость изменения ориентации системы S' относительно системы S
160 Движение относительно неиыерциальных систем Гл. IV определим как вектор со, равный отношению вектора d% к прира- приращению времени: со = dt D.14) Если система S' (твердое тело) вращается с угловой скоростью со, то концы базисных векторов tv, гу и iv движутся относительно системы S с линейными скоростя- скоростями, соответственно равными (см. D.11) и D.12)) пх> = [coiv], iy = [ону], iv == [coiv]. D.15) Угловая скорость ю связана со значениями углов Эйлера и их производными по времени. Установим эту связь, учитывая прежде всего, что в результате поворота, который изображается векто- вектором d/, углы Эйлера получают приращения Лр, dQ и d\j), а ука- указанное изменение ориентации может быть получено также тремя поворотами, осуществленными в любой последовательности, а именно поворотами вокруг nz на Лр, вокруг гц на dQ и вокруг *V на rf\|). Следовательно, вектор поворота d% равняется сумме трех векторов: d^ = n/kp + n^d6 + ftz'dty, D.16) а угловая скорость может быть задана в виде to = фп2 + 6п| + ^*V- D.17) Найдем разложение со по ортам системы S'. Для этого умно- умножим D.17) скалярно на iv, ny' и п2' соответственно и выразим необходимые скалярные произведения ортов через углы Эйлера. Например, проектируя орт nz на плоскость О'х'у', получим отре- отрезок, перпендикулярный к линии узлов и равный по величине sin 8 (см. рис. 4.2 и 4.8). Проектируя далее этот отрезок на ось О'х' и ось О'у' соответственно, найдем (см. также цатрицу D.7)) = sin 6 sin -ф, = sin 6 cos if). Кроме того, из определений углов Эйлера D.3) и линии узлов D.2) вытекает (см. рис. 4.2), что n2tv = cos 6, щпг> = 0, ЩПХ> = COS Я|), 1Му = — Sin 1|3.
§ 4.2 Поступательное движение и изменение ориентации 161 Используя полученные выражения, а также то, .что базис систе- системы S' ортонормирован, находим проекции угловой скорости на оси системы S': ov = f^iti \|)Sin 0 + 6 cos i|), ay = ф сое г|) sin 0 — 6 sin \|), ф. D.18) Аналогично, умножая D.17) скалярно на пх, пу, nz соответствен- соответственно и учитывая, что базис 5 ортонормирован, получи-м разложе- разложение о по осям системы S: (ох = 0 cos Ф + \|э sin 0 sin ф, (ду = 0 Sin ф — ф Sin 0 COS ф? D.19) Формулы D.18) и D.19) называются кинематическими формулами Эйлера; они устанавливают связь угловой ско- скорости со значениями углов Эйлера и их производными по вре- времени. Угловая скорость, так же как и вектор d% бесконечно малого поворота, в общем случае изменяется и по величине, и по направ- направлению. Приведем выражения модуля угловой скорости со = (<fJ + 02 + \jJ + 2<рф cos 0I/2 D.20) и одного из направляющих косинусов мгновенной оси вращения Фsinij)sin9 + 8 cosг|) /л vi\ ах'а>=—: : : т^ -—У**Ч Пример 4.1. Регулярная прецессия твердого тела. Углы Эйлера, определяющие положение твердого тела (систе- (системы S7) относительно системы 5, заданы как функции времени: ф = фо?, 6 = О, Определить законы движения оси О'г' и мгновенной оси враще- вращения твердого тела. Используя условие и формулы D.18), D.19) и D.20), полу- получим GV - ф0 sin 0О sin %t9 ®х = -фо si« % sin Фо^» в Зак 284
162 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV оу == ф0 sin 60 cos %t, ду = — ф0 sin 80 cos q>0*, со2, = ф0 cos 60 + \j?0, <°2 = Фо + я|H cos 0О. со2 = Фо + $) + 2фо^о cos 60 = (Оо. Отсюда ясно, что в рассматриваемом примере величина угловой скорости и ее проекции на оси O'z, O'z' сохраняются и, следова- следовательно, углы между со и этими осями постоянны. Кроме того, мгновенная ось вращения все время находится в плоскости O'zz' или, иначе говоря, со и ли- линия узлов все время перпенди- перпендикулярны друг " другу. Действи- Действительно, из определений углов Эй- Эйлера и линии узлов следует, что ri? = пх> cos г|) — щ> sin i|) (см. также рис. 4.2). Используя это разложение и разложение о> по осям системы S\ убедимся, что скалярное произведение <о rig равно нулю. Таким образом, система S' изменГяет свою ориентацию отно- относительно S с постоянной (по величине) угловой скоростью (рис. 4.9). Мгновенная ось вращения системы S7 сама вращается вокруг оси O'z с угловой скоростью фо будучи наклоненной под постоянным углом 01 к этой оси; косинус угла 0i равен (со с D.21)): F' Рис. 4.9 Фо + % cos Go COS §г = Ось OV также вращается с угловой скоростью <р0 вокруг оси O'z, так как она в любой момент времени находится в одной плоскости с вектором со и осью O'z. Описанное движение твердого тела (или системы отсчета, жестко связанной с ним) называется регу- регулярной прецессией, а угловая скорость ф0 — скоростью прецессии. § 4.3. Общий случай движения системы отсчета В случае произвольного движения твердого тела и жестко связанной с ним системы отсчета как радиус-вектор ее начала г<г.
§ 4.3 Общий случай движения системы отсчета 163 так и ее орты (косинусы а г/ и углы Эйлера) являются функция- функциями времени. Покажем, что любое перемещение твердого тела и жестко связанной с ним системы S' всегда можно представить как совокупность поступательного перемещения и изменения ориента- ориентации с осью поворота, проходящей через начало системы S'. Действительно, рассмотрим положения 1 и 2 системы S' в мо- моменты времени t и t + dt соответственно (см. рис. 4.1 и 4.10,а). Рис. 4.10 Перемещение системы из положения 1 в положение 2 мысленно* можно произвести двояким образом. Например, можно «сначала» совершить такой поворот d% вокруг оси, проходящей через О и в результате которого орты S' будут ориентированы так же, как и в положении 2 (такой поворот по теореме Эйлера всегда возмо- возможен); «затем» эту сориентированную систему следует перенести поступательно до совмещения с положением 2 (это перемещение характеризуется dvo> — перемещением начала системы S' — см. рис. 4.10,6). Изменяя последовательность этих операций, можно «сначала» поступательно перенести систему до совмещения О с О2, а «затем» совершить тот же поворот d% вокруг оси, парал- параллельной оси поворота в первое случае, но проходящей через О 2 (слова «сначала» и «затем» не имеют здесь временного смысла). Учтем далее, что при поступательном движении приращения dtix'—dtiy' = dnz' = 0 (см. D.8)). Поэтому из вышесказанного следует, что в общем случае изменение ортов системы S' относи- относительно системы 5 связано с вектором поворота &% так же, как в том случае, когда начало О' остается неподвижным относительно системы S. .Таким образом, выражения D.15) для производных от единичных векторов и разложения угловой скорости D.17), D.18) и D.19) имеют место и в общем случае. Указанное выше разложение движения тела на поступатель- поступательное и вращательное можно осуществить бесконечным числом способов: любую точку твердого тела можно взять за начало О\
164 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV а ортам системы S' можно задать любую ориентацию, лишь бы все эти «штрихованные» системы были жестко связаны с данным твердым телом. Однако у ,разных точек твердого тела различное положение и, вообще говоря, различные перемещения по отноще- нию к определенной системе S. Следовательно, функция гс@> характеризующая поступательное движение твердого тела, зависит 2 +-Z Рис. 4.11 от выбора начала системы S'\ что касается вектора поворота и угловой скорости со @» то эти функции для данного твердого тела в его движении относительно данной системы отсчета S не зависят от выбора системы S', жестко связанной с телом, причем ось поворота всегда будет проходить через выбранное начало «штрихованной» системы, т. е. г о' (t) т/Ьго" (t), <*>о' @ ~ юо*@- D.22) Проиллюстрируем D.22) на примере квадратной пластинки, перемещающейся параллельно своей плоскости из положения / в положение 2 (см.. рис. 4.11, на котором плоскость пластинки совпадает с плоскостью Оху). Это перемещение можно разложить на отличающиеся, друг от друга поступательные перемещения и, как убедимся, одно и то же вращение вокруг параллельных осей, проходящих через различные точки. В самом деле, введем системы S' и S", жестко связанные с пластинкой. Ориентация си- системы S" относительно S' неизменна. Следовательно, угол между осями O'xf и О"х" при любом положении пластинки остается по- * / № I II стоянным и, таким образом, ^.Х\Х\ = ^:х2х2 (рис. 4.11,в). Поэтому угол поворота -^ х[ х2 равен углу поворота ^х[хл Что касается осей поворота, то они совпадают с осями О'г' и О"г", т. е. параллельны между собой и проходят через О' и О"
§ 4.4 Скорость и ускорение точки в разных системах 165 соответственно. Итак, в частном случае свойство D.22) действи- действительно имеет место. Нетрудно провести и аналитическое доказа- доказательство D.22) в общем случае, основываясь на том, что все «штрихованные» системы, жестко связанные с данным твердым телом, сохраняют ориентацию по отношению друг к другу. § 4.4. Положение, скорость и ускорение материальной точки относительно разных систем отсчета Выводы последних трех параграфов позволяют ответить на вопрос: как связаны между собой положения, скорости и ускоре- ускорения материальной точки, рассматриваемые относительно различ- различных произвольных систем отсчета? В свою очередь ответ на этот вопрос необходим для вывода уравнений движения относительно неинерциальной системы. Пусть г является радиусом-вектором материальной точки от- относительно системы S, а г' — радиусом-вектором той же точки относительно системы S'. Зададим г в виде разложения A.1) по осям системы S. Вектор г0' также разложим по осям этой си- системы: г0' = хо>пх + уо> пу + zo> n2, D.23) аг' — по осям системы S': г' = х'п** + у'щ> + г'ть-. D.24) В классической механике между векторами гиг7 имеет место соотношение A.6), которое с учетом A.1), D.23) и D.24) можно записать в виде (х — хо>) пх + (у — у о^) пу +[{г — го>) п2 = х'пх> + у'пу> + г'пг>. D.25) Подставляя A.5") в D.25), получим выражения «штрихованных» координат через «нештрихованные», т. е. выражения вида A.4х) с матрицей коэффициентов А. Если же в D.25) выразить пх>, iv, п2' через пх, пу9 п2, то найдем преобразование х — хо> = аХ'Хх' + пу>ху' + аг'хг\ У — Уо>= ах>у х' + ау>у у' + агу г', г — 2(у = а^х' + пугу1 + пГгг\ D,26) определяемое матрицей А~\ обратной по отношению к матрице А. Теперь рассмотрим движение материальной точки. В общем случае точка движется как относительно системы 5, так и отно- относительно системы S\ причем сами системы S и S' также могут
166 Движение относительно неинерциальных систем, Гл. IV двигаться относительно друг друга. Для определенности будем рассматривать движение относительно S. Тогда орты системы S следует считать постоянными, т. е. не зависящими от времени, а радиус-вектор го' и] орты iv, ny>9 пг> следует считать функция- функциями времени. В связи с этим систему, относительно которой рас- рассматривается движение, часто называют «неподвижной», а движу- движущуюся относительно нее систему — «подвижной» (условность этой терминологии очевидна). Получим соотношение между скоростью точки, с которой она движется относительно системы 5, и скоростью той же точки, с ко- которой она движется относительно системы S'. Как известно, скорость точки относительно S равна производ- производной по времени от радиуса-вектора точки при постоянных ортах этой системы (см. A.9) и A.12)). Если же продифференцировать по времени г' при постоянных «штрихованных» ортах, то прлучим скорость той же точки, но относительно системы S': v' = -^- = х'пу, + у'пх> + г'пг>, D.27) at где at. Используемые в D.27) символы и означают производ- dt dt ные по времени при постоянных «штрихованных» и «нештрихован- ных» ортах соответственно. Дифференцируя соотношение A.6) по времени при постоянных ортах пх, пу, nZ; найдем Согласно A.9) — является скоростью точки относительно S, а dt скооостью начала системы S' относительно S. Производная at же —-— не является скоростью точки относительно системы S', так at как ее следует брать, учитывая зависимость пх>, ry, rv от времени, т. е. учитывая вращение S' относительно S: -*L— = x'hx> + y'hy + z'nz> + x'nx + у'пу + *z'nz>t D.29) Первые три ^члена правой части D.29) связаны с изменением ориентации системы S' относительно S. Используя D.15), их сум- сумму можно представить в виде
§ 4.4 Скорость и ускорение точки в разных системах» 167 [со (х'пх> + у'щ> + г'пж>)] = far']. D.30) Сумма вторых трех членов правой части D.29) согласно D.27) равна скорости точки относительно S'. Таким образом, «нештрихо- ванная» производная от г' по времени равна -*L = [m']+j*iLm D.31) dt J dt v ' Подставляя D.31) в D.28), получим интересующее нас соотноше- соотношение между v — скоростью материальной точки относительно систе- системы S и v7 — скоростью той же точки относительно системы S': v^vo' + far'J + v'. D.32) Здесь vo' и со — скорость начала и угловая скорость системы S' относительно системы S соответственно, аг' — радиус-вектор ма- материальной точки относительно системы S'. Сумму \о> + far'] называют переносной скоростью vh точки. Она представ- представляет собой скорость точки, жестко связанной с системой S' и сов- совпадающей в данный момент времени с рассматриваемой мате- материальной точкой. В самом деле, для такой скрепленной с S' точки скорость Vх=0, а скорость относительно S равна v - \<у + far']. D.33) В связи с этим соотношение D.32) можно представить в виде v = vb + v'. D.34) Если точка жестко скреплена с системой S', движущейся поступательно, то v'=0, co = O и, следовательно, D.32) перейдет в первое из соотношений D.9). Если точка жестко скреплена с системой S', начало которой покоится относительно системы S, то, полагая v' = 0 и vc = 0, из D.32) получим v - far'] D.35) (ср. с. D.13))." Найдем соотношение между ускорениями точки относительна систем 5 и S'. Ускорение w точки относительно системы 5 полу- получим, дифференцируя по времени скорость точки при постоянных «нештрихованных» ортах (см. A.10) и A.13)). Если же продиф- продифференцировать D.27) по времени при постоянных «штрихованных» ортах, то получим ускорение той же точки, но относительно си- системы S': w' - -^ - *Ч- + у'щ- + z'lV, D.36) dt
168 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV где * dt* ' У dt* ' * dt* ' Связь ускорений w и w' найдем, продифференцировав D.32) при постоянных ортах nx, ny, nz: *^ I ГХ] + J*l. D.37) dt J L Л J <# Ч ; Здесь согласно A.10) и есть ускорения точки и нача- dt dt ла Ог относительно системы 5. Теперь заметим, что для любого вектора а7, заданного в виде разложения по ортам системы S', вращающейся относительно сис- системы S, имеет место следующее соотношение между «штрихован- «штрихованной» и «нештрихованной» производными: JL 4- -^ D.38) dt v ; dt l J dt (вывод этого соотношения аналогичен выводу D.31), так как в D.31) не предполагалось, что г7 является именно радиусом-векто- радиусом-вектором точки) *. Полагая в D. 38) вектор г! равным <о и у', получим d(o __ d'ta dt ~~ dt * Наконец, из соотношения D.37); подставляя в него D.31), D.39) и используя определения dv , d'v' , d'vr W v = И w' = dt dt dt * Из D.38) следует, что различие «штрихованной» и «нештрихованной» производных исчезает при поступательном движении «штрихованной» системы. Действительно, если <о=0, то da' d'a' dt dt Отметим еще одно следствие, вытекающее из D.38): проекция производной век- вектора на подвижное направление не равна производной от проекции вектора на то же направление, например db! (-f"LeI"^ + " dt ' dt
§ 4.4 Скорость и ускорение точки в разных системах 169 найдем искомое соотношение между w и w' — ускорениями точки относительно систем отсчета S и S' соответственно: w = wo- + [tor'] + [<*> К']] + 2 [tov'J + w'; D.40) здесь. We, <о и со — ускорение начала О', угловая скорость и угло- угловое ускорение системы S' относительно системы 5 соответственно; г' и v/ — радиус-вектор и скорость материальной точки относи- относительно системы S'. Сумму первых трех членов правой части D.40) называют переносным ускорением wh точки. Оно пред- представляет собой ускорение точки, жестко 'связанной с системой S' и совпадающей в данный момент времени с рассматриваемой мате- материальной точкой. Действительно, для такой связанной с S' точки v/=0 и w' = 0, т. е. ее ускорение относительно S равно w = wo* + [<*>г'] + [со [tor']]. D.41) • Часть [юг'] переносного ускорения отлична от нуля лишь при не- неравномерном вращении, другая же часть [<о[<ог']] всегда направ- направлена перпендикулярно к мгновенной оси вращения и по величине равна со2р, где р — расстояние от оси вращения до точки. Итак, переносное ускорение связано с ускоренным движением системы S' относительно системы S, а ускорение w' связано с движением точки относительно S'. Что касается ускорения 2[cov/], то оно появляется в результате как изменения ориентации S7 от- относительно S, так и движения точки относительно S'. Это уско- ускорение называется кориолисовым (или поворотным) ускорением и обозначается wc. Оно исчезает в трех случаях: 1) при жестком скреплении точки с системой S' (v'=0); 2) при поступательном движении S' (со = 0) и 3) при движении точки па- параллельно угловой скорости (collv'). В заключение, используя введенные обозначения, представим соотношение D.40) в виде w = wh + wc + w', D.42) где wh = wo- + [wr'] + [to [eor']], wc = 2 [cov'J. Пример 4.2. Положение, скорость и ускорение точки относи- относительно движущейся системы отсчета. Относительно системы S материальная точка движется в пло- плоскости Оху по окружности радиуса а2 с угловой скоростью соь Определить закон движения точки относительно системы S'y если начало О' этой системы движется по окружности радиуса ах с постоянной угловой скоростью (Oi относительно системы 5 (пло- (плоскость окружности совпадает с плоскостью Оху, оси Ог и O'z*
170 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV параллельны), а угол <р между осями О'х' и О'х равняется со?, где со постоянно; см. рис. 4.12, а. Согласно условию движение системы S' относительно S описы- описывается функциями (см. D.17)) Х(у = аг (пх cos ®xt + ny sin ©^), to = conz, ф = ©?, 6 = 0, \|)=0, а законом движения точки относительно S является г = а2 (nx cos ©!* + n^ sin ©^). Рис. 4.12 Используя соотношение r = ro'+r', получим разложение вектора г' по ортам системы S: г' «= (а2 — ах) (n^ cos со^ + пу sin со^). Отсюда с помощью преобразования п^ = пх> cos at — щ> sin cot, пу = Пл;' sin coi + щ> cos со^ найдем разложение вектора г' по ортам системы S': где я' = (а2 — аг) cos (со1 — ©) ?, у' — (а2 — ах) sin (©х — со) t. Из этих формул видно, что относительно S' точка движется по окружности радиуса а2—п\ с постоянной угловой скоростью о/—© (рис. 4.12,6). Дифференцируя г' по времени при постоян- постоянных ортах iv и IV, получим скорость v' точки и ее ускорение w' относительно S':
§ 4.5 Силы инерции 17] Нетрудно убедиться, что скорости точки относительно S и S' и ее переносная скорость направлены по "линии, перпендикулярной ра- радиусу-вектору точки г, а ускорения точки относительно 5 и S\ ее переносное и кориолисово ускорения направлены вдоль радиуса- вектора (рис. 4.12,в). § 4.5. Уравнение движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета; силы инерции Пусть некоторая система отсчета S является инерциальной системой, а некоторая другая система S' движется относительно S произвольным, но известным образом. Получим уравнение дви- движения точки относительно системы S'. Относительно инерциальной системы 5 движение точки подчи- подчинено уравнению движения Ньютона: Векторы • o/h и q7c называются переносной и корио- лисовой силами инерции соответственно, а часть перенос- переносной силы, равная —т[со[юг']], называется центробежной силой инерции (о свойствах этого вектора см. с. 169). Уравнение D.43) является уравнением движения материальной точки относительно неинерциаль- ной системы отсчета S'. В самом деле, будем считать си-
172 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV лу F известной функцией радиуса-вектора и скорости точки отно- относительно системы S', а движение S' относительно S заданным. Следовательно, известны радиус-вектор г0' начала системы S' и ее угловая скорость to, a w<?' — ускорение начала %О' — и угловое ускорение со могут быть определены как функции времени дифференцированием. В этом случае вся правая часть уравне- уравнения D.43) является заданной функцией г', v' и t. Далее, пусть система S' движется ускоренно по отношению к инерциальной системе, т. е. выполняется хотя бы одно из условий ыфО. D.44) Тогда какая-либо из сил инерции oth или 3е или обе они вместе будут отличцы от нуля и, следовательно, будет отлично от нуля ускорение изолированной точки относительно S' (см. определение неинерциальной системы на с. 36). Таким образом, уравнение D.43) действительно является уравнением движения материаль- материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета. Ускорение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета возникает под действием силы F со стороны опре- определенного тела (»или тел), а также в результате ускоренного дви- движения системы S/ no отношению к инерциальной системе S. Уско- Ускорение материальной точки, связанное с ускорением неинерциаль- неинерциальной системы отсчета по отношению к инерциальной системе, мож- можно трактовать как результат действия сил инерции. Для этих сил нельзя указать источник в виде определенного тела, действующего на данную материальную точку. Поэтому данная сила инерции не имеет соответствующей ей противодействующей силы, иначе говоря, силы инерции, в отличие от сил взаимодействия, не под- подчинены третьему закону Ньютона. Рассматривая уравнение движения Ньютона, уравнение D.43) и принцип относительности Галилея, можно убедиться в том, что инерциальные системы являются преимущественными по сравне- сравнению с неинерциальнымьи системами. В самом деле, силы инерции определены, если известны векторы w0' и <&, характеризующие движение неинерциальной системы относительно инерциальной. Кроме того, уравнение движения точки под действием сил со сто- стороны определенных тел справедливо в любой инерциальной систе- системе отсчета, т. е. уравнения движения относительно инерциальной системы в указанном смысле имеют абсолютный характер. С дру- другой стороны, уравнения движения точки под действием сил со стороны определенных тел, вообще говоря, различны в разных неинерциальных системах отсчета (поскольку для этих систем различны ускорение начала w0' и угловая скорость со). Пример 4.3. Уравнение движения точки относительно Земли, Найти уравнение движения точки около поверхности Земли относительно Земли.
§ 4.5 Силы инерции 173 Пренебрегая воздействием планет солнечной системы на дви- движение Солнца (см. пример 2.9), примем в качестве инерциаль- ной системы отсчета систему 5 с началом О в центре инерции Солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды. Отно- Относительно этой системы центр инерции Земли движется по эллипсу под действием силы притяжения со стороны Солнца. Кроме того, Зехмля наменяет свою ориентацию относительно 5 с угловой ско- скоростью <о, которую можно считать практически постоянной и рав- равной по величине 2я/B4-3600) рад в звездную секунду или прибли- приближенно равной 7,3-10 с-1 [41, § 12, 16]. Введем жестко связанную с Землей систему S' с началом О' в центре инерции Земли. Уравнение движения точки относительно этой системы имеет вид msNf = F — mwo' — пг [со [tor']] — 2т [wv']. Теперь учтем, что на точку действуют силы притяжения со сто- стороны Земли и Солнца, а также другие силы, например сила со- сопротивления атмосферы Земли. Обозначим указанные силы через Fo', Fo и Ф. Тогда где силы притяжения Земли и Солнца соответственно равны ~ тто' , ~ тто F F (здесь то>—масса Земли, т0 — масса Солнца, г' и г — радиусы- векторы точки относительно S' и 5).' Учитывая, что ускорение центра инерции Земли относительно 5 равно т0 wo- =?= — Y —— Yoo> roof (здесь too— вектор, начало и конец которого находятся в точках О и О' соответственно), запишем уравнение движения относитель- относительно Sf в виде тт0 тт0 mw' = Fo- — Y —г~ г f Y -3— r°or ~ m [w lm'\\ — 2m [wv'l + ф- r rOO' Ограничиваясь случаем движения точки около поверхности Земли, можно считать, что г' порядка /?, где./? — радиус Земли. Тогда величина г' подчинена условию г' < гоо'> поскольку ра- радиусы-векторы гиг' связаны соотношением г = Too' -f г\ a R<^roo>. При таком ограничении часть переносной силы инер^ ции —mwo' и сила притяжения Солнца Fo компенсируют друг
174 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV друга и уравнение движения точки около поверхности Земли примет вид =-Fo--^m[(o[(or']] — 2m[wv'] + Ф. A) Заметим, что пренебрежение разницей между силой инерции —mw0' и силой притяжения Fo исключает объяснение приливных явлений, вызываемых Солнцем на поверхности Земли. Легко оценить влияние сил инерции, если сопоставить цент- центробежное и кориолисово ускорения с ускорением силы тяготения на поверхности Земли, по величине равным су .. то _п о М/С2в Отношения максимальных величин центробежного и кориолисова ускорений к- ускорению силы тяготения будут соответственно равны 0,003; -^ly'^ l,5.10-5i>' .(#^6,4-10е м) ут0, (здесь v' следует подставлять в м/с). Отсюда видно, что влияние кориолисовой силы по сравнению с центробежной мало, если скорость v' < -^— ^2,3-102 м/с. В свою очередь, центробежная сила мала по сравнению с силой тяготения. Однако несмотря на малую величину сил инерции от- относительно геоцентрической* системы отсчета, эти силы в ряде задач необходимо учитывать. . Например, рассмотрим движение точки около поверхности Земли в некоторой малой области по сравнению с радиусом Земли R. Для изучения такого движения удобно ввести систему отсчета S" с началом О" на поверхности Земли. Эта система так же жестко связана с Землей, как и система S'. Радиусы-векторы, скорости и ускорения точки относительно- систем S' и S" весьма просто выражаются друг через друга, поскольку система S" не движется относительно S'. Действительно, применяя соотноше- соотношения A.6), D.32) и D.40) к этим системам, найдем г' -го<о".+ г", v'=v", w'=w", где Тою" = RnR> a nR— единичный вектор, направленный от центра Земли к началу О". Используя эти соотношения и усло- условие малости области движения (г"<<^), приведем уравнение движения точки к виду mw" = Fo' — tnR [to [<опд]] — 2т [u>v"] + Ф,
§4.5 Силы инерции 175 где flrs, Два первых члена в правой части этого уравнения пропорцио- пропорциональны массе точки и не зависят от положения и скорости точки в системе S". Обозначим сумму этих членов вектором сР : $* = mg, B) где = — Y тг, @2/?СОЗв-Пр| tip—единичный вектор, перпендикулярный к оси вращения-Зем- вращения-Земли и направленный от этой оси; 0 — геоцентрическая ши- широта, т. е. угол между экваториальной плоскостью и направле- направлением от центра Земли на О" — начало системы S" (рис. 4.13). Используя обозначения B), придем к уравнению движения точ- точки около поверхности Земли mw" = mg — 2m [<ov"] ,+ Ф > C) справедливому в достаточно малой области на заданной широте. Отсюда видно, что сила, измеряемая при взвешивании тела, равна сумме силы притяжения Земли и центробежной силы инерции. Действительно, пусть взвешивание происходит с по- помощью динамометра. Тогда Ф является упругой силой, дейст- действующей на взвешиваемое тело со стороны пружины динамометра. Изменяя длину пружины и поло- положение прикрепленного к ней тела, можно достичь состояния покоя этого тела относительно Земли, т. е. состояния, в котором v7/=0 и w" = 0. С другой стороны, си- сила Ф, с которой пружина покоя- покоящегося динамометра действует на тело, по величине равна весу тела, т. е. силе, с которой по- покоящееся тело действует на пру- пружину динамометра. Следователь- Следовательно, если и веры, и взвешиваемое тело покоятся относительно Зем- Земли, то вес тела равняется &* — сумме силы тяжести и центро- центробежной силы инерции. Линия действия <&* называется верти- вертикалью, а угол между вертикалью и плоскостью экватора — географической широтой ф. Рис. 4.13
176 Движение относительно неинерциальннх систем Гл. IV Как мы видели, для достаточно мадых скоростей можно пре- пренебречь силой Кориолиса по сравнению с центробежной силой. Если же, кроме того, пренебречь и сопротивлением атмосферы, то ускорение любого свободно падающего тела относительно Земли будет одинаково на данной широте и равно вектору g. Следовательно, ускорение свободно падающего тела, как и вес тела (см. B)), зависит от географической широты г|э. Однако отношение веса к этому ускорению равно постоянной для данного тела величине, т. е, равно массе тела: =т. D) Отсюда, учитывая независимость ускорения, g(^) от свойств тела, получим, что отношение весов двух тел равно отношению масс этих тел: Это соотношение обычно используется в практике измерения масс*. Пример 4.4. Отклонение падающего (или взлетающего) тела от вертикали. Рассмотрим два случая движения свободной материальной точки относительно Земли: падение с нулевой начальной ско- скоростью и движение с начальной скоростью, ij_anpaiBленной вверх по вертикали. Будем считать, что движение в обоих случаях происходит в достаточно малой области на географической ши- широте ij?, а сопротивлением атмосферы можно пренебречь. Тогда уравнением движения точки является уравнение C) предыдуще- предыдущего примера, где Ф = 0. Начало системы S", жестко связанной с Землей, поместим на поверхности Земли на одной вертикали с материальной точкой в ее начальном положении; ось O'V на- направим вверх по вертикали, ось О"х" — на юг, а ось О"у" — на восток (рис. 4.13). В этой системе проекции постоянных век- векторов, входящих в уравнение движения, соответственно равны g = @, 0, — g), ю = (—©соаф, 0, со sin i|>). Опуская для удобства штрихи у переменных, из уравнения * Независимость ускорения свободного падения от свойств тела была экс- экспериментально установлена Галилеем [2, с. 158], а утверждение D), также основанное на опыте, было одним из важнейших утверждений, положенных Ньютоном в основу понятия о массе.
§ 4.5 Силы инерции 177* C) примера 4.3 получим уравнения движения точки относительна- системы S": х = 2o)*/si*i'i|>, и = — 2со(хsin oj; -j- zcosi))), A) z = — g + 2coy cos i|). Одно интегрирование системы A) после подстановки начальных условий дает х = *0 + 2со (у — t/0) sin \|), У = у0 — 2@ [(л; — *0) sin г|> + (z ~ z0) cos г|?], B) z = — ^ + г0 + 2@ (у — у0) cos г|?. Подставим решение B) в уравнения движения A) и пренебре- пренебрежем членами порядка со2. Тогда придем к системе уравнений, правые части которых являются либо постоянными, либо функ- функциями только времени: х = 2cot/osin я|?, у = — 2со [л:0 sin г|? + (— ^ + z0) cos *ф], 2 = — f§r -f 2@Г/0 COS 1|?. Отсюда нетрудно получить приближенное решение для проекций радиуса-вектора точки: — cos г|) — (о (х0 sin г|) + 20 cos ^) Р + yot, о (здесь учтено, что в силу выбора системы отсчета хо = уо = О). В случае падения точки с высоты z0 с нулевой начальной ско- скоростью х = 0, у =— 2 ° Эти функции определяют время падения точки на поверхность
178 Движение относительно неинсрциальных систем Гл. IV Земли и величину отклонения точки на восток: 2z0 \з/2 ~) В случае вертикального взлета точки с поверхности Земли {г0 = 0, xQ = у0 = О, z0 > 0) решение C) имеет вид Отсюда для полного времени полета точки и ее западного скло- склонения соответственно находим а^ 220 * 4 4 Рис. 4.14 Итак, в обоих случаях точка остается в плоскости, перпенди- перпендикулярной меридиану; однако в первом случае она отклоняется на восток, а во втором — на запад (имеется в виду движение в северном полушарии). Причи- Причиной отклонения с точки зрения земного наблюдателя является кориолисова сила инерции о7с (траектории точки и направления сил инерции изображены на рис. 4.14). Пример 4.5. Состояние невесомости. Рассмотрим поведение тела, находящегося в спутнике, кото- который движется под действием притяжения Земли вне ее атмо- атмосферы с выключенным двигателем. Допустим, что спутник изме-" няет ориентацию относительно инерциальной системы отсчета с постоянной угловой скоростью о (в качестве инерциальной си- системы с достаточной степенью точности можно принять систе- систему S, начало которой помещено в центр инерции Земли, а оси направлены на «неподвижные» звезды). Определить силу, с ко- которой стенка спутника действует на материальную точку, сопри- соприкасающуюся со стенкой.
§ 4.5 Силы инерции 179 На любую материальную точку, находящуюся в спутнике, дей- действует Fe — сила притяженця со стороны Земли и, кроме того, может отличаться от нуля R — сила, с которой на точку действует оболочка спутника или скрепленные с оболочкой тела. Уравнение движения точки массы т относительно системы S' с началом в центре масс спутника и осями, жестко связанными со спутником, имеет вид (см. D.43)) mw' =R f Fe — mwM — m[to [tor']] — 2m[tov']. Ускорение wM центра масс спутника нетрудно определить, учи- учитывая силу притяжения спутника Землей и пренебрегая воздей- воздействием материальной .точки на движение центра масс. Используя уравнение B.102), получим где т3 — масса Земли; г,-, т^ — радиус-вектор и масса у-той до- достаточно малой части спутника, аМ=2^т^ — масса спутника. / В уравнении A) векторы г,- можно заменить на радиус-век- радиус-вектор Тм центра масс спутника, поскольку размеры спутника ибче- зающе малы по сравнению с расстоянием от центра Земли до лю- любой точки спутника. Поэтому гм По той же причине сила притяжения Fe и сила инерции —mwM компенсируют друг друга: Fe — mwAf = утпгз I —Д — I -^ 0; \ Гм г I здесь г — радиус-вектор материальной точки относительно *!>. Таким образом, приходим к уравнению движения точки относи-, тельно спутника т\я' — R — m[w [wr']] — 2m [wv']. Если материальная точка, соприкасающаяся со стенкой спут- спутника или с поверхностью тела, скрепленного со спутником, нахо- находится в покое, то сила, с которой стенка или тело действует на точку, отлична от нуля и равна
180 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV Следовательно, и точка действует на стенку с силой, равной по величине тсо2р (р — расстояние точки до оси вращения, прохо- проходящей через центр масс спутника). Эта сила и является ©есом точки во вращающемся спутнике (ср. с определением веса на с. 175). Если точка соприкасается с Достаточно малым телом, скрепленным со спутником и размещенным на оси вращения, проходящей через центр масс спутника, то г'||<ю и вес точки рав- равняется нулю, т. е. точка невесома (она не давит на «под- «подставку»). Если же а) = 0 (т. е. спутник движется поступательно относи- относительно инерциальной системы отсчета), то в любом месте спут- спутника точка невесома. В состоянии невесомости точка либо покоит- покоится относительно спутника, либо движется равномерно и прямо- прямолинейно до столкновения с другими телами *. § 4.6. Законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс Система Sm или поступательно движущаяся система центра масс характеризуется тем, что ее начало О' находится в центре масс механической системы, а ее угловая скорость относительно инерциальной системы S равна нулю, т. е. г0' = г,п, (о = 0, D.45) где rm — радиус-вектор центра масс механической системы. Если ускорение центра масс отлично от нуля, то поступательно дви- движущаяся система центра масс является неинерциальной систе- системой (см. условие D.44)), однако по сравнению с другими не- инерциальными системами она обладает рядом особых свойств. Например, соотношения между положениями, скоростями и уско- ускорениями точек, взятыми относительно 5 и Sm, согласно A.6), D.32), D.40) и D.45) имеют вид г* = rm + ти \t = vm + vi, щ = wm + w- D,46) (здесь ?=1, 2, ..., N\ N — число точек механической системы). Отсюда видно, что все величины гг, v< и w* .являются суммами двух членов: один из них характеризует движение центра масс относительно инерциальной системы S, а другой* — движение точек относительно системы Sm. * «Инерциальность» невращающейся системы S' связана не с поведением точки в отсутствие прочих тел (см. определение на с. 35), а с тем, что грави- гравитационное поле в достаточно малой пространственной области одинаково уско- ускоряет все тела. Поэтому системы, подобные S', называются л о к а л ь н о-и н е р- диальными.
§ 4.6 Поступательно движущаяся система центра масс 18] Из первого условия D.45) вытекает, что радиус-вектор, ско- скорость и ускорение центра масс относительно системы Sm равны нулю: rm = 0, vm = 0, wm = 0. D.47) Следовательно, в системе центра масс существуют зависимости между радиусами-векторами, скоростями и ускорениями всех точек соответственно. Действительно, пользуясь определениями B.89), B.90), B.91) в системе Sm и учитывая D.47), найдем, что N N N ^ i 0, D.48) Второе из этих соотношений означает, что Р' — импульс механи- механической системы относительно Sm — равен нулю. Итак, импульсы механической системы относительно S и Sm соответственно равны (см. B.93)) Р = mv,rt, P' = 0. D.49) Используя определения кинетического момента и момента внешних сил (см. с. 103), а также используя соотношения D.46), получим М = ? mt [rmvm] + ? щ [г, vm] + ? щ [тту\\ + М', i i N где M' = V Щ [rWi] — кинетический момент системы относительно Sm, N (Le)' = V[r;F?l — сумма моментов внешних сил относительно Sm. "Отсюда, учитывая D.48), найдем M = [rmP] + M', D.50) Le - [rmFe] + (И\ D.51) где Fe — сумма всех внешних сил, действующих на точки систе- системы. Из D.50) видно, что кинетический момент механической системы относительно инерциальной системы отсчета- S равен сумме взятого относительно S момента импульса центра масс, в котором как бы сосредоточена вся масса системы, и кинетиче- кинетического момента системы относительно поступательно движущейся
182 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV системы центра масс Sm. Соотношение D.51) показывает, что векторы Le и (Le)' отличаются на момент суммы внешних сил, действующих на точки и мысленно приложенных к центру масс. Соотношения для кинетических энергий и мощностей получим аналогично, воспользовавшись определениями этих величин (см. с. 65, 107) и формулами D.46): 2 т = ЛЧп_ + т>9 D.52) dt m dt (J D.53) V4 mi (vt*J где T' = V кинетическая энергия в системе Sm, * + У] ^ Vi ~ мощность всех сил относительно Sn ————— ^ZZ Ъ Г ? У? —j— » Ж J V J IVXVJULJ^llVyV. i. Jb» JLJ\^V-.^V VI1V1 V/ 1 HWVyli t W1UUV <~'ГТХ f=l 1=1 (в соотношении D.53) учтено, что внутренние силы подчинены закону действия и противодействия). Следовательно, кинетиче- кинетическая энергия механической системы относительно инерциальной системы отсчета равна сумме кинетической энергии центра масс, в котором как бы сосредоточена вся масса системы, и кинетиче- кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс. В свою очередь, мощность всех сил относительно системы S равна сумме мощности всех внешних сил, мысленно приложенных к центру масс, и мощности всех сил относительно системы Sw*. Теперь найдем законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно системы 5т. Подставляя выра- выражения D.50) и D.51) в уравнение для кинетического момента относительно инерциальной системы (см. B.111)), получим fr pi 4- Гг Р1 4- ^М == Гг Fel -^ ^LeV Здесь член [гтР] равен нулю, поскольку он пропорционален век- векторному произведению скорости центра масс самой на себя, а [rmPJ = [rmFe], D.54) * Заметим, что соотношения D.46) и D.50)—D.53) справедливы при любом выборе системы S, относительно которой система Sm движется поступательно. Система 5 может быть как инерциальной, так и неинерциальной, поскольку со- соотношения A.6), D.32) и D.40) справедливы для любых двух систем отсчета.
§ 4.6 Поступательно движущаяся система центра масс 183 что вытекает из уравнения B.103). Следовательно, закон измене- изменения кинетического момента относительно поступательно движу- движущейся системы центра масс имеет вид -^-=(И'. D.55) Подставляя D.52) и D.53) в уравнение для кинетической энер- энергии относительно инерциально'й системы (см. B.116)), получим -га + dt '" dt Первые члены обеих частей этого уравнения равны друг другу, что следует из уравнения движения центра масс B. 102). Дейст- Действительно, скалярно умножая B.102) на vm, найдем л • - ' - - D-56) (см. вывод B.17) на с. 65). Учитывая D.56), придем к закону изменения кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс: D.57) dt dt dt ' (dAiny Ше)' где ~^ i- и —— мощности внутренних и внешних сил отно- dt dt сительно Sm. Итак, законы изменения кинетического момента и кинетиче- кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс по форме совпадают с соответствующими законами относительно инерциальной системы отсчета. Это свойство систе- системы Sm связано с тем, что сумма моментов и сумма мощностей сил инерции в рассматриваемой системе равны нулю. Действительно, в системе Sm могут отличаться от нуля только переносные силы инерции (о> = 0) $ = ^ m,wm (i = 1, 2, ... , ЛО, D.58) а сумма моментов и сумма мощностей этих сил с учетом D.47) равны нулю: D.59)
184 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV Пример 4.6. Система N точек в однородном поле тяжести. Найти закон движения системы N материальных точек, кото- которые движутся в однородном постоянном поле тяжести напря- напряженности g; внутренними силами системы являются силы притя- притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между точками и произведению масс соответствующих точек (коэффициент про- пропорциональности %). Уравнениями движения системы относительно инерциальной системы S являются уравнения m,ri = ? Fyi + F? (i=l, 2, ... , N), A) где Fyi = — wnimi (г, — г7), F• = tntg. Прежде всего найдем закон движения центра масс относи- относительно S, для чего используем уравнение (см. B.102)) N где m = V mit Отсюда rm = g-^ + vm0^ + rm0. B) Итак, относительно S центр масс движется по параболе с по- постоянным ускорением g и, следовательно, система Sm будет не- инерциальной. В этой системе единственными отличными от нуля силами инерции будут переносные силы = —m,g C) (t=l, 2, ..., N)y а уравнения движения имеют вид ? ? $ (i =1,2,..., N). Подставляя сюда выражения сил, (см. A) и C)) и имея в виду, что г^ — Г/ = r't — г/, найдем ^^-r)) (i=h 2,..., N).
§ 4.6 Поступательно движущаяся система центра масс 185 Правые части этих уравнений згависят только от радиуса-вектора соответствующей точки. Действительно, N N (т — тг) х\ — ? туг/ = тт\ — ? myr}, /•=1 /=i где последняя сумма равна нулю в силу D.48). Таким образом, уравнения движения сводятся к системе уравнений ^l, 2, ... , ЛГ).D) Отсюда видно, что каждая материальная точка движется так, как будто еа нее дейст- действует сила притяжения со сто- стороны точки, находящейся в центре масс и обладающей массой, равной массе всей си- системы. Эти силы центральны, и моменты импульса каждой точки относительно Sm сохра- сохраняются: Рис. 4.15 t=.l, 2, ... , а движение точек происходит по плоским траекториям. Общее решение Ti(t) каждого из уравнений D) в декарто- декартовых координатах имеет вид = at а,), - bt cos z't = c,cos(arf + yO, (t = 1, 2, ... э N), где амплитуды и фазы определяются начальными условиями. Из приведенных результатов следует, что центр масс механи- механической системы движется по параболе относительно инерциаль- ной системы отсчета; относительно системы Sm точки движутся по эллипсам с общим центром в центре масс и одинаковым перио- периодом, равным 2я/(хтI/2; орбиты точек лежат в плоскостях, про- проходящих через центр масс; ориентация этих плоскостей постоянна, но может быть различной для разных точек (только в случае N = 2 точки относительно Sm движутся в одной и той же плоскости, см. рис. 4.15).
186 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV Что касается законов изменения момента, то из уравнений B.111), D.55) вытекает M'=(Le)' =m[r;&]-0. Следовательно, момент М относительно инерциальной системы S не сохраняется, в то время как момент М' относительно Sm со- сохраняется. «Энергия системы относительно S, как видно из B.133) и B.134), сохраняется: 7 1 г Ип ¦ т те г? где rrin ж™1 AjfYi *у) r^-lO II* \^ m rtr шит i<i i Используя D.52), этот интеграл можно представить в виде mvm , rp, . rrin , rye = ? 2 i- i- i- о- Ввиду потенциальности суммы сил Fe из уравнения D.56) сле- следует сохранение «энергии центра масс», т. е. -~~ — т8Гт = COnst. Таким образом, из последних двух интегралов вытекает, что энергия Е' относительно системы Sm сохраняется: Г + Uln = Е'о (этот интеграл можно получить также из D.57)). § 4.7. Законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии относительно произвольных неинерциальных систем отсчета Рассмотрим соотношения важнейших динамических величин, характеризующих механическую систему и отнесенных к произ- произвольным системам отсчета S и S'. Пусть движение системы S' относительно 5 известно, т. е. г0, — радиус-вектор начала систе- системы S' и ш — ее угловая скорость заданы как .функции времени; будем также считать, что все векторы, характеризующие меха- механическую систему относительно S, заданы s виде разложений по ортам S, а векторы, характеризующие систему относитель- относительно S', — в виде разложения по ортам S'.
§ 4.7 Произвольные неинерциальные системы 187 Найдем, например, соотношение между Р — импульсом си- системы относительно S и Р' — импульсом той же системы относи- относительно S'. Для этого используем определение импульса и связь скоростей любой точки относительно систем S и S' (см. B.92) и D.32)). Тогда N N N р = ? miyo> + J] mi [wrj + ? щ\\. В первой и второй суммах этого выражения множители v0, и со не зависят от номера точки, а третья сумма является импуль- импульсом Р' относительно S'. Учитывая это, придем к соотношению между импульсами Р и Р' (одной и той же механической систе- системы) относительно систем отсчета S и S': Р = mvo, + m [<ог«] + Р', D.60) где m — масса системы, гт— радиус-вектор центра масс относи- относительно S'. Отсюда следует, что скорость центра масс системы относительно S равна (юм. B.90)) vm = VO' + [0>Гт] + Vm, D.61) где Vm— скорость центра масс относительно S'. Аналогично найдем соотношения кинетических моментов и мо- моментов внешних сил. В самом деле, используя определения кине- кинетического момента и момента внешних сил (см. с. 1.03), а также соотношения A.6) и D.32) для каждой точки системы, получим N М = [го*] + m [r'm vo'] + 2 щ \xt [(о v{\\ + М', D,62) Le-[r0'Fe] + (Le)', D.63) где М' и (L6)' — кинетический момент системы и сумма момен- моментов внешних сил относительно S'. Соотношения для ' кинетических энергий и мощностей всех сил, действующих на точки, найдем, используя определения этих величин (см. с. 107), формулы D.32) и третий закон Ньютона.» В результате получим 2 N И^ "у" W + ^ + Т > D.64) il = FeVo, + ш (L^ + -^р-, D.65)
188 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV N где Т' —кинетическая энергия относительно S', = у Fj— dt ( — dt N , , l~ о Id AY \л г dtt мощность сил относительно S, -—— = \ Ft мощность сил dt *шЛ dt относительно S'. Заметим, что соотношения D.60) — D.65) спра- справедливы для любых двух систем отсчета S и S'. Чтобы установить законы изменения Р', JVT и V относительно S', систему S будем считать инерциальной, а систему S' — неинер- циальной и исходить из уравнений движения относительно не- инерциальной системы отсчета (см. D.43)). Например, суммируя эти уравнения по всем точкам, найдем N N N N уг* ' ^ч р | ^Г1 <уЬ ¦ y44 (yc (л f\f\\ Левая часть этого уравнения согласно определению равна про- произведению mwm, а ускорение любой точки относительно S' со- согласно D.36) есть производная скорости этой точки относитель- относительно S', взятая при постоянных «штрихованных» ортах. Следова- тельно, wm = dt Сумма всех сил F^ из уравнения D.66) равна сумме только внешних сил Fe, поскольку внутренние силы взаимодействия под- подчинены третьему закону Ньютона. Суммируя переносные силы инерции, найдем N #? = - m {vtcy + [» rm] + [to [w'M]]}. D.67) Отсюда видно, что сумма переносных сил инерции, «приложен- «приложенных» к точкам системы, равна переносной силе инерции, «прило- «приложенной» к центру масс. Аналогично для суммы кориолисовых сил инерции получим N ? <{7? = -2m[»vm]. D.68)
§ 4.7 Произвольные неинерциальные системы 189 Таким образом, уравнение D.66) представляет собой закон из- изменения импульса относительно неинерциальной системы от- отсчета: JL*L = p oj $\ + $* D.69) dt ! ' где Как мы видим, вывод и содержание этого закона аналогичны выводу и содержанию закона изменения импульса относительно инерциальной системы отсчета B.103). Однако в неинерциальной системе кроме сил, действующих на точки со стороны различных тел, имеются силы инерции, которые не подчинены закону дей- действия и противодействия. Эти силы играют роль внешних сил и также изменяют импульс системы. Вывод закона изменения момента JVT аналогичен выводу урав- уравнения B.111) для момента М. Действительно, умножим обе части уравнения D.43), взятого для t-той точки, векторно слева на г{ и просуммируем полученные выражения по всем точкам. Затем учтем, что v/ — скорость t-той точки относительно S' — равна про- производной от г/ по времени при постоянных «штрихованных» ортах. Тогда, исключая внутренние силы взаимодействия с помощью третьего' закона, получим закон изменения кинетического момента относительно неинерциальной системы отсчета: N N DJ0> Умножая каждое из уравнений D.43), взятых для различных точек системы, скалярно на скорость соответствующей точки относительно системы S', в результате простых преобразований найдем закон изменения кинетической энергии относительно не- неинерциальной системы отсчета: N d'T' (dA)'l in <yh ' ,Л 71Ч dt dt Ad K r где ——-- мощность всех сил Fz- относительно S'. При выводе D.71) следует иметь в виду, что производная кинетической энер- энергии по времени при постоянных ортах системы S равна производ- производной той же функции при постоянных ортах системы S', т. е.
190 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV поскольку Кроме того, нужно также учитывать, что работа кориолисовых сил относительно S' равна нулю: — 2mi [fovj d' vt = 0 (? = 1,2, ... , Л^). D.73) Итак, согласно закону D.71) изменение кинетической энергии относительно S' определяется работой внутренних и внешних сил, а также работой переноснщх сил инерции. Рассмотрим подробнее этот закон, предполагая, что внешние силы заданы как функции положений и скоростей точек относительно S', а также предпо- предполагая, что среди этих сил есть потенциальные, диссипативные и гироскопические силы; относительно внутренних сил взаимодей- взаимодействия предположим, что среди них могут быть потенциальные и диссипативные силы. Указанные предположения аналогичны тем, которые были сде- сделаны при выводе закона B.132) изменения энергии относительно инерциальной системы отсчета (см. с. 107—109). Для потенциаль- потенциальной энергии U' относительно S' аналогично B.128) и B.129) по- получим U' = (U*)' + t/in, D.74) где N N а для гироскопических сил будем иметь (ср. с B.120)) F?*d'rt = O (i = l,2, ... ,Л0. D.75) Учитывая D.74), D.75) и соотношения типа B.117) — B.127), закон D.71) можно записать в виде, аналогичном B.132): -1_(Г + V) = -^- + Y?t у! + ^ у\. D.76) Изучим свойства переносных сил инерции, имея в виду, что эти силы заданы как функции времени и координат точек, по- поскольку wo' — ускорение начала системы S7 и о — ее угловая скорость считаются известными функциями времени. Вычисляя
§ 4.7 Произвольные неинерциальные системы НИ ротор от каждого из трех слагаемых переносной силы инерции, убеждаемся в потенциальности части сил: rot we = 0, rot [to [cor']] = 0, rot [cor'] = 2@ D.77> (здесь дифференцирование производится по координатам точки пространства в системе 5' при фиксированном времени). Таким образом, сила инерции, возникающая за счет поступательного ускорения, и центробежная сила являются потенциальными си- силами. Поэтому можно ввести tit — потенциальную энергию t-той точки, соответствующую указанным двум силам, и соглас- согласно B.122) записать эту функцию в виде = Щ J {wo- + [w К',]]} df rl D.78)' [to [tori]] = (о (со v'i) — со2 г'ь j Учитывая, i получим где и т. д. что Ifi Таким [w[(t = Ш/ J Wo' 1 f 2 образом, ; ш у\ Затем, используя векторное тождество окончательно получим {;^;} D.79) Суммируя это выражение по всем точкам, найдем потенциаль- потенциальную энергию Uh системы в поле переносных сил инерции: N ЦЪ = m rm wo- - (подчеркнем, что эта потенциальная энергия соответствует не всем переносным силам инерции, а только потенциальной ее части).
192 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV Учитывая свойства сил инерции оХ? (см. D.43) и D.77)), за- запишем мощность этих сил в виде, аналогичном B.123): ;. D.8i) Затем, используя D.80), найдем частную производную: N = тгт wo— 7 mi I*01**] lwi]' D.82) 3t JmmJ Наконец, из D.76), .учитывая D.81) и D.82), получим закон изменения полной энергии относительно неинерциальнои системы отсчета: N N d'E' _ д (U*)' dt dt D.83) где ?'=Г/+[/'+ Uh — полная механическая энергия относитель- относительно" неинерциальнои системы отсчета; ?/', Uh определены в D.74) и D.80), a w0' и со являются заданными функциями времени. Законы сохранения относительно неинерциальных систем от- отсчета аналогичны соответствующим законам для инерциальных систем; однако для сохранения какой-либо проекции импульса или момента необходимо большее число требований,' включаю- включающее в себя требования на соответствующие проекции сил инерции или момента сил инерции. Например, из D.69) следует: если Ft- = q7^ = 3mZ' = 0, D.84) то Рг> = Р^о; а из D.70) получим: если (LeV = ? [и <??]*' = J] [т\ &zi \Z' = 0, D.85) то Mz> = MZ'o. В случае изолированной механической системы (F? =0, i == = 1, 2, ..., N) ее импульс и кинетический момент относительно инерциальной системы отсчета сохраняются; если же движение механической системы отнесено к неинерциальнои системе отсче- отсчета, то импульс и кинетический момент механической системы
§ 4.7 Произвольные неинерциальные системы 193 сохраняться не будут, так как и в случае изолированной системы на нее «действуют» силы инерции. Наконец (см4. D.83)), если потенциальная энергия механиче- механической системы во внешних цолях стационарна, диссипативные си- силы (внутренние и внешние) отсутствуют, а неинерциальная систе- система отсчета движется относительно инерциальной с постоянной угловой скоростью и постоянным ускорением начала, то полная энергия механической системы относительно неинерциальной си- системы отснета будет сохраняться, т. е. если то dt = 0, F?d = 0 (t=l,2, ... 9N)9 (!) =<00, Wo- D.86) Пример 4.7. Задача двух тел в неинерцальной системе отсчета. Рассмотрим движение двух взаи- взаимодействующих точек относитель- относительно поступательно движущейся сис- системы S' с началом в одной из точек (рис. 4.16). Поместим начало этой системы в точку 1, т. е. потребуем, чтобы г1 = 0. Учитывая, что дви.- жение S' относительно инерциаль- инерциальной системы S поступательно, т. е. @ = 0, и что w'i = 0, получим из уравнений вида D.43) уравнения движения относительно S': = F12 — 0) Рис. 4.16 Первое из этих уравнений по существу является уравнением дви- движения начала системы §' относительно 5, а,второе — уравнением движения точки 2 относительно S'. Это движение точка 2 совер- совершает под действием силы F12 и силы инерции — т2гь Исклю- Исключая i*i из второго уравнения с помощью первого уравнения, по- получим уравнение* движения второй точки в виде |xfo = F12 (|гг|), B) где ц=^». m За к. 284
194 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV Сопоставляя B) с C.11), придем к выводу, что точка 2 дви- движется относительно неинерциалъной системы S' так же, как во- воображаемая «ii-точка» движется относительно инерцшглъной си- системы центра масс. Интересно рассмотреть законы сохранения относительно не- инерциальной системы S'. Закон изменения момента ^ D.70) в данной задаче принимает вид C) где М' = т2 [>2 Уг], 3\ = —щтг. Из первого уравнения A) следует, что переносная сила инерции равна #2=-^F12(|r;i) D) и является центральной силой; момент силы 3\ относительно точки 1 равен нулю, а значит, момент М' сохраняется: Щ[*2 V2J = Мо. E) Закон изменения энергии относительно S' используем в форме D.76), поскольку в рассматриваемом случае ускорение начала системы Sf является не заданной функцией времени, а заданной функцией координат. Тогда d(T'+U')=QyUr2, F) где T = Теперь учтем, что переносная сила инерции D) потенциальна, а соответствующая ей потенциальная энергия равна G) Таким образом, используя F) и G), придем к интегралу энергии Отметим также, что в предельном случае m2<^mi центр масс двух точек совпадает с точкой /, а система 57 становится инер- циальной.
§ 4.7 Произвольные неинерциальные системы 195 Пример 4.8. Возмущение эллиптической орбиты. Как известно, под действием силы гравитационного притяже- притяжения A.49) точка может двигаться по эллиптической орбите отно- относительно инерциальной системы отсчета. Определить центральную силу, которую необходимо добавить к силе A.49) с тем, чтобы орбита стала вращаться относительно инерциальной системы без изменения своего вида, т. е. чтобы точка в некоторой вращаю- вращающейся системе отсчета двигалась по эллиптической орбите с фо- фокусом в центре сил (центры добавочной и гравитационной сил совпадают). Начало О инерциальной системы 5 поместим в центр сил, а плоскость Оху совместим с плоскостью орбиты (орбита будет пло- плоской, так как и сила гравитационного притяжения F, и возмущаю- возмущающая сила Ф центральны). Введем также неинерциальную систе- систему S' с началом О', совпадающим с О, а координатную плоскость О'х'у' этой системы совместим с плоскостью Оху. Если на точку действует только сила F, то относительно S эта точка движется по эллипсу. Если же на точку действует сила F + Ф, то по условию задачи точка также будет двигаться по эллипсу, но относительно S'; причем относительно S точка будет двигаться, вообще говоря, по незамкнутой орбите между двумя концентрическими окружностями (см. рис. 2.6). Уравнение движения точки относительно S' получим (см. D.43)), учитывая, что w0' =0: mw' = ? + Ф + &ъ + &*; A) здесь d7h = — m [cor'] — m [o> [wr']], d7c - — 2m [cov']; кроме того, по условию mw' = F. Таким образом, для неизвестной силы Ф получаем уравнение Ф + 3h + &с = 0, B) в котором угловая скорость со также неизвестна. Векторы о>, г' и v', входящие в это уравнение, можно записать в виде С0=@П2', Г'=-ГПГ, V' =fnr-f Гф'Пф, C) поскольку система S' вращается относительно 5 только вокруг оси Oz, а движение точки происходит в плоскости О'х'у' (коор- (координаты г и q/ являются полярными координатами точки в этой плоскости). Используя C), найдем выражения для сил инерции: 7* -j- mr (о2пл, 2т со (гпф — rq/nr).
196 Движение относительно неинерциальных систем Гл. IV Учитывая D) и центральность силы Ф, из уравнения B) получим го)+ 2(о/ = 0, E) Ф (г) + тг со2 + 2т cor q/ = 0, F) Интегрируя E), найдем со как функцию г: со^-^. G) Так как сила F центральна, а сумма сил инерции и добавочной силы Ф равна нулю, имеет место сохранение момента импульса точки относительно S': /nr2q/=Mo. (8) Подставляя G) и (8) в уравнение F), получим Ф(г)=
Глава V УРАВНЕНИЯ ЛЛГРАНЖЛ § 5.1. Основная задача динамики несвободной системы и понятие о связях Многие задачи механики (например, такие, которые были рас- рассмотрены в гл. I—IV) сводятся к решению уравнений движения Щ г/ = Ft (rlt ... , rNi v1? ... , Viv, t) (i = 1,2, ... , N), где силы считаются известными функциями положений и скоро- скоростей точек, а также времени (такие силы будем для краткости называть заданными); при этом начальные условия можно задавать произвольно: на них никаких ограничений не налагается. Однако в механике существует и другой класс задач, в которых наряду с заданными силами рассматриваются силы, не известные нам как функции положений, скоростей точек и времени. Метод решения таких задач был намечен д'Аламбером в. 1743 г. в его трактате «Динамика» [5, с. 108—109] и окончательно сформули- сформулирован Лагранжем в 1788 г. в «Аналитической механике» [6, т. 1, отд. 1, 2 и 4]. Рассмотрим постановку задач такого класса на примере сфе- сферического маятника (рис. 5.1). Пусть тело весьма ма- малых размеров колеблется вблизи земной поверхности, будучи под- подвешенным на нерастяжимой нити длины /, а сопротивлением воз- воздуха можно пренебречь; тогда на материальную точку массы m действует заданная сила mg и неизвестное натяжение нити R. Следовательно, согласно A.58) уравнение движения маятника имеет вид Рис. 5.1 mv = mg + R.
198 Уравнения Лагранжа Гл. V Это векторное уравнение эквивалентно системе трех дифферен- дифференциальных уравнений в координатах и содержит шесть неизвест- неизвестных функций — проекции радиуса-вектора материальной точки и проекции натяжения нити; в декартовых координатах неизвест- неизвестными являются x(t), y(t), z(t), Rx(t), Ry(t), Rz{t). Для отыска- отыскания решения приведенного уравнения необходимы дополнитель- дополнительные сведения. В поставленной задаче такие сведения есть: во-первых, в любой момент времени материальная точк$ нахо- находится на сферической поверхности радиуса / (если нить натяну- натянута) и, следовательно, координаты точки должны удовлетворять условию г2 = /2; во-вторых, натяжение нити направлено вдоль нити, в связи с чем можно написать, что R = 2Ar, где Я — неиз- неизвестная скалярная функция. Таким образом, условия задачи приводят к системе ш = mg + 2hr, r2 — Г2 = О, т. е. к системе четырех дифференциальных уравнений в коорди- координатах с четырьмя неизвестными функциями, например функциями x(t)> У@> 2@ и!(/). С помощью приведенных уравнений можно найти закон движения точки по сфере и.натяжение нити, необхо- необходимое для того, чтобы точка двигалась именно по сфере. Началь- Начальные условия в этой задаче не произвольны: точка и в начальный момент времени должна находиться на поверхности сферы радиу- радиуса /, а вектор скорости — в плоскости, касательной к сфере. При этом допускается, что длина нити остается неизменной, т. е. допус- допускается, что жесткость нити бесконечно велика, изменение длины нити исчезающе мало, а ее натяжение конечно. Как видим, с рассматриваемой задаче положение точки и ее скорость удовлетворяют определенным условиям, не вытекаю- вытекающим из уравнений движения. В этом смысле говорят, что мате- материальная точка несвободна, на нее наложена связь. В общем случае под связями понимают не вытекающие из уравнений движения ограничения, налагаемые на положения, скорости и ускорения точек механической системы. Связи реали- реализуются посредством поверхностей различных тел, стержней, нитей и т. п.; аналитически связи выражаются уравнениями связей, т. е. соотношениями между радиусами-векторами то- точек, их скоростями и ускорениями. Силы, с которыми тела, осу- осуществляющие связи, действуют на точки системы, называются реакциями связей. Если на систему N точек наложено k связей, то, обозначая через Rai реакцию связи с номером а на i-тую точку, согласно A.39) получим, что реакция всех k свя- связей на i-тую точку равна
§5.1 Понятие о связях Ш9 k Rcrf. E.1) Различают следующие виды связей: голономные и неголоном- ные, удерживающие и неудерживающие, стационарные и неста- нестационарные. Голономными (или интегрируемыми) свя- связями называются связи, уравнения которых всегда можно свести к уравнениям вида /(гх, ... ,r*f 0 = 0, E.2) где f является функцией только координат точек и времени. Эти связи налагают ограничение не только на положение, но и на скорости и ускорения точек системы. Действительно, диффе- дифференцируя E.2) по времени, получим ограничение, налагаемое голономной связью на скорости: >/)v, + 2--0. E.3, а продифференцировав E.3) по времени, найдем ограничение на ускорения точек: 2[И' + -г:(-2-)-0- F-4) Однако характерным для голономиых связей является то, что ограничения на ускорения и скорости сводятся к ограничению только на положения точек; иначе говоря, уравнения связей, за- заданные в виде E.3) или E.4),^ могут быть проинтегрированы. Например, пусть одна точка движется на горизонтальной пло- плоскости, перемещающейся с постоянной скоростью и в вертикаль- вертикальном направлении (рис. 5.2, а). . Такая связь реализуется, если шарик исчезающих размеров движется между двумя жестко скрепленными друг с другом телами с параллельными поверх- поверхностями, причем расстояние между поверхностями исчезающе мало, а их деформациями можно пренебречь (рис. 5.2,6). На- Направляя ось Ог по вертикали, запишем уравнение связи в виде / = 2—И* = 0, откуда следует, что рассматриваемая связь голономна, а на по- положение точки, ее скорость и ускорение налагаются ограничения: г — ut, z = и> г = 0. Неголономными {или неинтегрируем ы ми) связями называются такие связи, уравнения которых нельзя свести к урав-
200 Уравнения Лагранжа Гл. V л- -л Y///////y////////////C///C/Z^///// Х//////////////////^ Рис 5.2 нениям, содержащим только координаты точек и время. Наиболее изученными являются неголономные связи первого порядка, ли- линейные относительно скоростей, т. е. неинтегрируемые связи вида Va,Vi-f 6 = 0, E.5) где &{ и Ь могут зависеть от положений точек и времени. Напри- Например, неголономной связью является, вообще говоря, связь, нала- налагаемая на шар, катящийся по шероховатой поверхности (см. с. 381). Большое практическое значение имеют неголономные усло- условия, встречающиеся в задачах об оптимальных траекториях раз- различных тел. В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом го- лономные сзязи, поскольку задачи о движении систем с неголо- номными связями, как правило, очень сложны в математическом отношении и редко встречаются в современных физических прило- приложениях механики *. Удерживающими связями называются связи, задавае- задаваемые равенствами. Соответственно неудерживающие связи задаются неравенствами; например, неудерживающую связь мож- можно реализовать с помощью гибкой нерастяжимой нити, соединяю- соединяющей две материальные точки. Однако в этом случае движение точек сводится либо к свободному движению (когда связь, как говорят, не напряжена), либо к движению несвободных точек (когда связь напряжена). Неудерживающие связи мы также рас- рассматривать не будем. ¦ Уравнения движения систем с линейными неголономными связями будут кратко рассмотрены в § 8.5 гл. VIII.
§ 5.2 Виртуальные перемещения; идеальные связи 20J Если уравнение связи явно от времени не зависит, то связь называется стационарной (например, связь, имеющая место в задаче о сферическом маятнике). В противном случае связь называется нестационарной (см. приведенный выше пример с движущейся плоскостью). Введение понятий о связях и их реакциях позволяет сформу- сформулировать основную задачу механики несвободной системы N точек с голономными связями как задачу об отыскании закона движения системы и реакций связей по заданным силам F* (i=l, 2, ..., N) и заданным k уравнениям голономных связей. Эта задача сводится к совместному решению уравнений движения и уравнений связей mivi = ?i + ^i (i=l, 2, ...,#), E.6) Мгх, ... ,г*, 0 = 0 (а-1,2, ... , А) с начальными условиями, заданными в соответствии с уравне- уравнениями связей. Система E.6) представляет собой систему 3N + k скалярных уравнений, содержащих 6N неизвестных функций — проекций векторов г*@ и Ri@ на координатные оси (i=l, 2, ..., N), при- причем наиболее интересным является случай, когда число связей k<C3N. Действительно, если k = 3Ny то уравнения связей Полностью определяют движение системы. С другой стороны, если k<3N, то рассматриваемая задача является определенной только в том случае, когда известны 6N—CN + k)=3N—k независимых соот- соотношений между положениями точек и реакциями связей. Забегая вперед, скажем, что основная задача динамики несвободной си- системы является определенной для так называемых идеальных связей. Однако введение этого понятия требует знакомства с неко- некоторыми свойствами связей. § 5.2. Действительные, возможные и виртуальные перемещения; идеальные связи Определим действительные, возможные и виртуальные пере- перемещения на примере одной точки, 'подчиненной одной голономной удерживающей связи /(г, 0 = 0. E.7) Действительным перемещением dv точки назы- называется бесконечно малое перемещение этой точки под действием как заданных сил, так п реакций связи; действительное переме- перемещение происходит за время dt в соответствии с уравнением дви- движения и уравнением связи.
202 Уравнения Лагранжа Гл. V Возможным перемещением назовем «перемещение» dx точки, допускаемое связью)-в отличие от действительных пере- перемещений возможные перемещения удовлетворяют только уравне- уравнению связи. Действительное перемещение всегда является одним из возможных. Дифференциальное уравнение, которому подчине- подчинены возможные перемещения точки, получим, взяв дифференциал от левой части уравнения E.7) и приравняв его нулю*: d/ = v/dr + JLd/ = O. E.8) ot Наконец, виртуальным перемещением бг называется воображаемое бесконечно малое «перемещение» точки, допускае- допускаемое связью в данный фиксированный момент времени; в этот мо- момент времени связь «застывает», т. е. ее изменение со временем мысленно прекращается. Виртуальные перемещения не происхо- происходят под действием сил и не обладают длительностью. Представле- Представление о виртуальных перемещениях можно получить, если сделать мгновенную фотографию движущейся поверхности и рассмотреть возможные перемещения точки по изображению этой поверхности на фотографии. Дифференциальное уравнение, которому подчине- подчинены виртуальные перемещения точки, получим, вычисляя диффе- дифференциал левой части уравнения E.7) при фиксированном вре- времени, т. е. вычисляя вариацию f(r, t) и приравнивая ее нулю [46, гл. 6, § 1]: 6/ = у/6г = 0. E.9) Здесь приращение бг радиуса-вектора точки также «происходит» при фиксированном времени, т. е. является вариацией радиуса- вектора. Из E.8) и E.9) видно, что совокупность виртуальных -перемещений совпадает с возможными перемещениями только в случае стационарных связей, когда —— — 0. dt Проиллюстрируем уравнения E.8) и E.9) на примере точки, движущейся по горизонтальной плоскости (см. рис. 5.2). В этом случае уравнения для возможных и виртуальных перемещений точки имеют вид Легко обобщить рассмотренные определения на систему N то- точек, подчиненных k голономным связям fa(rl9 ... ,nv, 0-0 (а =1,2, .... , k\ E.10) * В силу равенства нулю функции f дифференциал любого порядка от этой функции равен нулю.
§ 5.2 Виртуальные перемещения; идеальные связи 203 и получить уравнения для механической системы, аналогичные, уравнениям. E.8) и E.9). В самом деле, вычисляя дифферен- дифференциалы и вариации левых частей уравнений E.10) и приравнивая их нулю, найдем N df tfadrl+-?-dt = O (a=l,2 Л), E.11) Ja8Ti = 0 (a-1,2, ... ,k). E.12) Понятие о виртуальных, перемещениях позволяет определить очень важный класс связей. Пусть сумма работ всех реакций свя- связей на виртуальных перемещениях точек системы равна нулю; иначе говоря, пусть 6AR — виртуальная работа реакций связей — равна нулю: 6ЛЛ= ? Мг, = 0, E.13) 1=1 где N— число точек системы. Связи, удовлетворяющие условию E.13), называются идеальными. Этот класс связей обладает достаточной общностью, причем физические причины идеальности связей могут быть различными. Убедимся в этом на двух при- примерах. Еще раз рассмотрим точку, движущуюся по горизонтальной плоскости, допуская, что плоскость абсолютно гладкая. Тогда реакция плоскости на точку в любой момент времени перпенди- перпендикулярна плоскости (рис. 5.2), т. е. Rx = Ry = 0y Я2ф0. Следова- Следовательно, виртуальная работа, совершаемая реакцией связи, равна нулю: поскольку для рассматриваемой связи 6г = 0. ПоэтОхМу гладкая плоскость, покоящаяся или движущаяся, является идеальной связью: и в том, и в другом случаях виртуальная работа равна нулю. Заметим, что работа clAR, совершаемая реакцией гладкой плоскости на действительных перемещениях, равна нулю только в том случае, когда плоскость покоится. Если же плоскость дви- движется, то действительная работа отлична от нуля: dAR = Rtdz = Rzii Таким образом, понятие виртуальной работы, «совершаемой» на воображаемых перемещениях, отражает физическое свойство по-
204 Уравнения Лагранжа Гл. V верхности — ее гладкость. Ясно, что любые гладкие поверхности и кривые (неподвижные и подвижные) также являются идеальными голономными связями. В качестве другого примера идеальной связи рассмотрим прямолинейный стержень длины I и исчезающей массы, который соединяет материальные то'ч'ки 1 и 2, движущиеся, например, по параболической поверхности (рис. 5.3,а). На точки действуют Рис. 5 3 заданные внешние силы m\g и m2g, реакции поверхности R? и R2, а также реакции стержня | R n Для системы «точки — стержень» силы тяжести и реакции поверхности являют- являются внешними силами (величина и направление реакций поверх- поверхности зависят от характера поверхности), а реакции стержня являются внутренними силами. Для системы «стержень» внеш- внешними силами являются силы —R|n и —R211, с которыми точки действуют на концы стержня, а также силы тяжести. Поэтому законы изменения импульса и кинетического момента стержня конечной массы имеют вид гстержня i dt ^стержня ___ I dt ~ где rrii — масса достаточно малой части стержня, а суммирова- суммирование ведется по всем его частям. Отсюда, устремляя все т* к нулю, для стержня исчезающей массы получим соотношения * RJn + R211 = 0, [riR!n] + = 0, * Этот предельный переход совершается в предположении, что ускорение центра масс стержня и его угловое ускорение остаются конечными ^величинами.
§ 5.2 Виртуальные перемещения; идеальные связи 205 из которых следует, что реакции Rln H^R2n равны по величине и направлены по стержню в противоположные стороны: (здесь к — некоторая скалярная функция). Используя эти выра- выражения, найдем, что виртуальная работа реакций стержня равна нулю: S4n = Я (г, - тг) б (г2 - гг) = А б (г2 - г,J = 0, поскольку длина стержня задана: |r2—ri|=/. К тому же результату можно прийти, замечая, что виртуаль- виртуальное перемещение 6ri2 перпендикулярно к 1*12 = Г2—гь так как дли- длина стержня задана (рис. 5.3,6). Следовательно, проекции векто- векторов 6ri и бг2 на направление стержня одинаковы, а работа- Ri6ri равна по величине и противоположна по знаку работе Кгбг2 (R21 = —Rin). Таким образом, стержень заданной длины и исче- исчезающей массы действительно является идеальной голономной связью. Кроме того, эта связь стационарна и, следовательно, со- совокупности виртуальных и возможных перемещений точек 1 и 2 совпадают. Учитывая также, что действительное перемещение всегда является одним из возможных, придем к выводу о равен- равенстве нулю работы реакций стержня и на действительных пере- перемещениях точек 1 и 2: dA% = R jn dr1 + Rindr2 = 0. E.14) Приведенные примеры показывают сравнительно большую общность класса идеальных связей. Например, любое сочетание гладких связей со связями, состоящими из тонких стержней исче- исчезающей массы и заданной длины, является идеальной связью, если в местах соединения связей отсутствует трение. Все абсо- абсолютно шероховатые поверхности, по которым происходит каче- качение тел без проскальзывания, также представляют собой идеаль- идеальные связи (как голономные, так и неголономные). Действитель- Действительно, поскольку в точке касания тела и поверхности отсутствует проскальзывание, виртуальное перемещение точки тела, совпа- совпадающей с точкой касания, равно нулю, в силу чего и виртуаль- виртуальная работа реакции поверхности равна нулю *. Подробнее см. пример о шаре на с. 381.
206 Уравнения Лагранжа Гл. V § 5.3. Уравнения Лагранжа с реакциями связей; законы изменения импульса, кинетического момента и энергии для систем со связями Выше отмечалось, что основная задача механики голономных систем становится определенной для класса идеальных связей. Действительно, пусть на систему из N точек наложено k голо- голономных идеальных связей. Число проекций виртуальных пере- перемещений точек на координатные оси, или, иначе говоря, число вариаций координат точек, равно 3N. Так как вариации коорди- координат подчинены уравнениям E.12), то k вариаций являются зави- зависимыми, a 3N—k вариаций — независимыми. Зависимые вариа- вариации могут быть единственным образом выражены через незави- независимые, поскольку детерминант из коэффициентов при зависимых вариациях в системе E.12) по предположению отличен от нуля (в противном случае среди связей будут такие, которые являют- являются следствием остальных). Учтем далее, что кроме требований голономности связей выполняется требование их идеальности (см. E.13)). В этом условии k зависимых вариаций с помощью E.12) можно выразить через 3N—k независимых вариаций. После такой подстановки (для того чтобы удовлетворить требо- требованию идеальности) следует приравнять нулю коэффициенты при независимых вариациях. Тем самым можно получить 3N—k соотношений между реакциями связей и радиусами-векторами точек. Таким образом, основная задача динамики несвободной системы с голономными идеальными связями является опреде- определенной, поскольку число уравнений и число неизвестных функ- функций в этом случае совпадают. Рассмотренное сейчас непосредственное исключение зависи- зависимых вариаций координат можно в общем случае провести м е- тодом неопределенных множителей Лагранжа. Изложим существо этого метода. В силу идеальности и голоном- голономности связей из условий E.13) и E.12) имеем i=\ (а =1,2, ... ,k). E.16) ?-=1 Умножая каждое из k последних соотношений на соответствую- щий неопределенный скалярный множитель — Яа(а=1, 2, ..., k), и складывая все полученные результаты с условием идеальности, придем к соотношению
§ 5.3 Уравнения Лагранжа с реакциями связей 207 r<=0; E.16) а= 1 в котором k вариаций координат являются зависимыми, а ЗА^—k — независимыми. Подберем k множителей ка так, чтобы коэффициенты при k зависимых вариациях в E.16) обратились в нуль. Этот подбор можно провести единственным образом, так как детерминант из коэффициентов при зависимых вариациях в системе E.12) отличен от нуля (по предположению о связях). С другой стороны, коэффициенты при независимых вариациях в E.16) должны равняться нулю в силу условия идеальности. Итак, коэффициенты при всех 8т{ должны быть приравнены нулю. В результате приходим, к заключению, что между реак- реакциями идеальных голономных связей и функциями fa, опреде- определяющими уравнения связей, имеют место соотношения R*= V KVif* (* = 1,2, ... ,N). E.17) a=l Соотношения E.17) являются необходимым условием обращения в нуль виртуальной работы реакций связей, т. е. необходимым условием идеальности голономных связей. Можно непосредст- непосредственно убедиться и в достаточности этого условия. Проиллюстрируем исключение зависимых вариаций координат на примере точки, движущейся по гладкой окружности, накло- наклоненной под углом а к горизонту. Эта кривая представляет собой пересечение сферы и наклонной плоскости. Следовательно, на точ- точку наложены две голономные связи (см. E.10)) /i-*2 + </2 + z2-/2 = 0, /2=z-i/tga = 0 (начало координат помещено в центр сфер-ы, ось Ог направлена по вертикали вверх, а плоскость проходит через центр сферы и ось Ох и наклонена к оси Оу под углом а). Так как кривая глад- гладкая, то условие идеальности E.13) выполняется: Rx8x-+ Ry8y + Rz8z = 0. Виртуальное перемещение точки подчинено системе двух уравне- уравнений (см. E.12)) V*/i •б* + Vyfi • % + Vzh • в* = .0, Vxfz-bx + V^2-Sy -f УгАг.бг = 0; поэтому одна из вариаций координат, например 8ху является независимой. Выразим зависимые вариации 8у и бг через неза- независимую 6х, что можно осуществить, поскольку соответствующий детерминант отличен от нуля:
208 Уравнения Лагранжа Гл. V Vyh Vz/г Используя полученные выражения 6у блг, 6г 8х y + ztga y + ztga и исключая из условия идеальности зависимые вариации, найдем (Rx *- Ry \ X + t} y y y y + ztga Отсюда видно, что между проекциями реакции связей и радиуса- вектора точки имеет место соотношение Это же соотношение можно получить методом неопределен- неопределенных множителей. Действительно, умножая уравнения для вариа- вариаций координат на —К\ и —^ соответственно и складывая ре- результаты умножения с условием идеальности связей, находим (см. E.16)) (R-^iV/i-^V/2)er = 0. Затем подберем множители К\ и Х2 так, чтобы коэффициенты этого уравнения при зависимых вариациях Ьу и 8z обратились в нуль; тогда Ry =-= h Vyh + К Vyh, R2 - h vzh +¦ К v*/*- Указанный подбор множителей можно осуществить единствен- единственным способом, так как два последних соотношения являются си- системой, которую можно разрешить относительно Xi я А,2, посколь- поскольку соответствующий детерминант отличен от нуля: V2/1 S/z (э!от детерминант равен детерминанту, использованному выше). После указанного подбора Х\ и ^2 следует приравнять нулю коэффициент при независимой вариации 6х, т. е. положить В результате придем к сдотношению (см. E.17)) R = ^iV/i + 4v/2» которое в декартовых координатах имеет вид Rx = 2^, Rg = 2\у — К tg a, Rz = 2Хгг + Я2.
§ 5.3 Уравнения Лагранжа с реакциями связей 209* Исключая отсюда %г и Я2, найдем ранее полученное соотношение между проекциями векторов R и г. Итак, реакции идеальных голономных связей являются линей- линейными формами относительно градиентов функций fa(a=l, 2, ... ..., k)9 определяющих уравнения связей E.10). Подставляя E.17) в E.6), получим уравнения движения механической системы с голономными идеальными связями, т. е. уравнения Лагран- Лагранжа с реакциями связей или уравнения Лагр-анжа первого ро д а *: Здесь силы Fi являются заданными функциями гг-, v* и t (i=l> ... ..., N). Неизвестными в этих уравнениях являются все радиусы- векторы точек Ti(t) и множители Лагранжа A,a@ (a=l, 2, ..., k). Число уравнений и число неизвестных функций совпадают и рав- равны W + k. Подчеркнем, что реакции связей определяются в результате решения уравнений E.18) и, следовательно, зависят от заданных сил, поэтому заданные силы часто называют активными силами, а реакции связей — пассивными. Такая зависи- зависимость одних сил от других появляется в результате упрощения представлений о реальном взаимодейртвии тел: само наложение связей на систему представляет собой по существу такое упро- упрощение (например, в задаче о сферическом маятнике мы прене- пренебрегаем упругими свойствами нити подвеса и тем самым нала- налагаем связь); При применении уравнений Лагранжа возникает также во- вопрос о выполнении условия идеальности связей. Выше мы виде- видели, что это требование связано с определенными физическими допущениями, которые не всегда выполняются, например нали- наличие сил трения на голономных связям делает их неидеальными. • Однако всегда можно выделить нормальные составляющие реак- реакций, которые будут удовлетворять условию идеальности E.13); тогда остальные составляющие реакций должны быть заданы как функции положений, скоростей точек и времени. Законы изменения импульса, кинетического момента и энер- энергии системы при наличии связей могут быть получены из урав- уравнений Лагранжа E.18) так же, как аналогичные законы для свободных систем были получены из уравнений движения Ньюто- * Вывод уравнений Лагранжа первого рода для систем с неголономными связями см. на с. 379—380.
210 Уравнения Лагранжа Гл. V на с помощью закона действия — противодействия. В самом деле, учитывая, что по отношению к исследуемой системе связи могут быть как внутренними, так и внешними, найдем P-Fe + R% E.19) M = Le + I^, E.20) где, Rj = Rjn + R; — сумма реакций внутренних и внешних связей на N N i-тую точку; Re = V Rf —сумма реакций внешних связей: L% ~ У\ \vi Rfj—сумма моментов реакций внешних связей.*По сравне- нию с законами изменения импульса, кинетического момента и энергии для свободных систем (см. B.103), B.111) и B.132)) здесь появились дополнительные члены: сумма внешних реакций и их моменты, а также мощность как внутренних, так и внешних реак- реакций. Мощность реакций можно представить и в другом виде, ис- лользуя идеальность и голономность связей. Действительно, имея в виду E.17) и E.11), получим t v, = 2 К (f](V/f«) v,) = -V Л«-^-. E.22) t=l а=--1 t=l а=1 Зто выражение позволяет записать уравнение E.21)^8 виде Законы 'сохранения имйульса и момента при наличии связей должны быть сформулированы в соответствии с законами для свободных систем (см. B.104) и B.112)), только к требованиям на заданные внешние силы добавятся аналогичные требования к реакциям внешних связей. Что касается закона сохранения энергии при наличии связей, то он имеет место при условиях B.133) и стационарности идеальных голономных связей, когда -%-=0 (а =1,2,.../А). E.24)
§ 5.3 Уравнения Лагранжа с реакциями связей 2П Во многих случаях применение законов сохранения упрощает решение задач о движении несвободных систем. В свою очередь, законы сохранения могут быть связаны с симметрией заданных силовых полей и связей. Поэтому выбор координат целесообраз- целесообразно осуществлять с учетом этой симметрии. Рассмотрим некоторые примеры • на составление и решение уравнений Лагранжа с реакциями связей. Пример 5.1. Точка на колеблющейся горизонтальной пло- плоскости. Точка массы m движется по колеблющейся горизонтальной гладкой плоскости. Найти положение точки и реакцию связи как функции времени, если плоскость колеблется в направлении,, перпендикулярном плоскости, с амплитудой а и частотой со, а напряженность поля тяжести равна g. Выберем систему координат так, как это показано на рис. 5.2, а, т. е. направим ось Oz коллинеарно вектору g; тогда систему урав- уравнений E.18) можно записать в виде nix = О, my = 0, mz = — mg + Rz, z — asinatf =~0. Здесь учтено, что плоскость является гладкой, поскольку состав- составляющие реакции Rx и Ry приравнены нулю. Из первых двух уравнений движения находим а из третьего уравнения движения и уравнения связи получим,, что z = a sin Ш, Rz =' m (g — aco2 sin со/). Проекции импульса точки на оси Ох, Оу сохраняются, так как проекции заданной силы и реакции связи на эти оси равны нулю; кроме того, сохраняется проекция момента импульса точки на ось Oz, поскольку проекции момента заданной силы и момента реак- реакции на эту ось равны нулю. Что касается энергии, то она изменяет- изменяется со временем согласно уравнению Ё = Rzz = ma со cos co? (g — aco2 sin arf). Обратим внимание на то, что Rz>0, если частота колебаний плоскости достаточно мала (aco2<g). Если же aco2>g, то Rz будет отрицательной на интервалах времени 2пя + arfj < со/ < B/1 + 1) jc — arflf где co^i = arcsin(g"/a<o2), а п — целые неотрицательные числа. Это связано с тем, что на указанных интервалах времени 2-я компо-
212 Уравнения Лагранжа Гл. V нента ускорения точки отрицательна и достигает большой вели- величины. Пример 5.2. Точка на расширяющейся цилиндрической поверх- поверхности. Точка массы m движется в поле тяжести по расширяющейся гладкой цилиндрической поверхности с вертикальной осью. Найти закон движения точки, если напряженность поля тяжести равна g, а радиус цилиндра увеличивается с постоянной скоростью ро. Учитывая симметрию связи, совместим ось Ог с осью цилинд- цилиндра, а ось Ох (или Оу) направим произвольно (рис. 5.4). Из тех Рис. 5.4 Рис. 5.5 ,же соображений симметрии будем использовать цилиндрические координаты. Тогда, разлагая обе части уравнения E.18) по ортам пр, пф и пг, получим mz = —mg, p = po* + Po. Здесь учтено, что реакция R перпендикулярна к цилиндрической поверхности и, следовательно, только Rp отлична от нуля. Используя второе из уравнений движения, найдем первый интеграл Р2Ф = РоФо, который по существу представляет собой интеграл площадей. Отсюда
§ 5.3 Уравнения Лагранжа с реакциями связей 21_3 • РоФо (p Интегрируя это уравнение, найдем <p(t): ф4%, Ро* + Ро а интегрируя третье уравнение движения, получим z(t): Наконец, подставляя функции р(/) и ф(/) в первое из уравнений движения, найдем реакцию связи Полная энергия точки Е не сохраняется вследствие нестационар- нестационарное™ связи. Пример 5.3. Точка на пересечении сферы и движущейся пло- плоскости. Точка массы m движется по пересечению неподвижной глад- гладкой сферы радиуса а и гладкой горизонтальной плоскости, дви- движущейся в вертикальном направлении по закону z = asinco^. Най- Найти закон движения точки и реакции связей для 0s?^<jt/2co. Учитывая симметрию связей, поместим начало координат в центр сферы, а ось Ох направим коллинеарно вектору g (рис. 5.5). Тогда систему E.18) с уравнениями связей можно записать в виде rnx = mg 'I- ^i^/i + ^2У/г> f V2 ! /,2 ' ~2 пЧ А ]± — х -г у -~ z а — и, * /2 = 2 —a Sin ddt ¦= 0. Замечая, что момент импульса точки относительно оси Ох постоянен и что от цилиндрической координаты ф уравнения свя- связей не зависят, спроектируем обе части уравнения Лагранжа на цилиндрические орты. В результате получим следующую систе- систему уравнений: пг(р — рф2) = 2А,,р, — (р2ф) = 0, mz = —mg + 2X,z -j- Я2, p at Из уравнений связей и второго уравнения движения найдем функции р(^) и ф(/):
214 Уравнения Лагранжа Гл. V (здесь учтено, что в начальный момент времени to = O, р = а). Интегрируя ф@» получим угол ср как функцию времени: Множители К\ и А,2 определим из первого и третьего уравнений движения: Отсюда с помощью соотношений R& = 2kxz, R2z = находим реакции связей Фо2 - /?ip = —та со cos4 со/ § 5.4. Уравнения Лагранжа в независимых координатах и общее уравнение механики; циклические координаты и симметрия силового поля и связей Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями-связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нуж- нужна столь «подробная» информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, кото- которые в качестве неизвестных содержат только независимые коор- координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения сущест- существуют и называются уравнениями Лагранжа в' неза- независимых координатах (или уравнениями Лаг- Лагранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчер- исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравне- уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения систе- системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода най- найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они
§ 5.4 Уравнения Лагранжа в независимых координатах 215 представляют собой уравнения движения в произвольных криво- криволинейных координатах (см. пример 5.7 на с. 227—228 и [15]). Ввиду большой общности этих уравнений выведем сначала дифференциальное уравнение, которому подчинена независимая координата какой-либо простейшей системы, например матема- математического маятника. Так называется тело достаточно малых размеров, подвешенное на стержне (или нити) исчезающе малой массы и постоянной длины / и совершающее движение в вертикальной плоскости (в точке подвеса трением пренебре- гается). Движение такого маятника описывается уравнением Лагран- Лагранжа с реакциями связей (см. E.18)) mr = mg 4- ^iV/i {начало координат помещено в точку подвеса, плоскость z=0 совмещена с плоскостью движения, а ось Ох найравлена по вер- вертикали вниз). Чтобы исключить из этих уравнений реакции связей, умножим уравнение движения маятника скалярно на виртуальное пере- перемещение бг; тогда, учитывая идеальность связей (см. E.13)), найдем гбг = g6r. Отсюда, используя декартовы координаты и учитывая уравнения связей, получим систему которая явно не содержит реакций связей, но учитывает их влия- влияние на движение материальной точки, поскольку вариации 8х и 8у соответствующим образом зависят друг от друга. Используя голономность связи, перейдем в найденной системе уравнений к независимой координате, в качестве которой удобно взять угол* ф отклонения маятника от вертикали. Выражая де- декартовы координаты маятника через ф х = / cos ф, у = I sin ф, найдем 6л; = —Ism фбф," х ==-— /(фэшф + ф2со8ф), 8у = / cos ф бф, у = / (ф cos ф — ф2sin ф). Наконец, используя эти выражения, придем к уравнению, содер- содержащему только независимую вариацию 6<р:
16 Уравнения Лагранжа Гл. V = О, где со? = gll. Приравнивая коэффициент при независимой ва- вариации нулю, получим одно дифференциальное уравнение, описы- описывающее движение математического маятника: Ф -f coo sin ф = 0. Это уравнение не содержит реакций связей в качестве неизвест- неизвестных, однако полностью учитывает их воздействие на точку, по- поскольку сама независимая координата выбрана с учетом связей. В самом деле, уравнение связи, выраженное через угол ф, удов- удовлетворяется тождественно: f = /2 (cos2 ф + sin2 ф) — /2 = 0. Теперь выведем уравнения Лагранжа второго рода для меха- механической системы, состоящей из N точек, на которые налагает- налагается k идеальных голономных связей. Движение такой системы подчинено уравнениям E.18). Чтобы исключить из этих уравне- уравнений реакции связей, умножим каждое из них скалярно на соот- соответствующее виртуальное перемещение бг* и' сложим результаты умножения; тогда ? mtrtbrt = ? F,6r? -f ? (? KVtfa) Sr,. E.25) i^=\ f=l {=1 a=l Двойная сумма в этом уравнении представляет собой виртуаль- виртуальную работу всех реакций связей и по условию идеальности свя- связей равна нулю (см. E.17)): ? ? ЬаЪЬ-Ъ = ? Ц? V</a-fir,) = 0. E.26) f=l a—1 a=l i=l Поэтому E.25) можно записать в виде уравнения й0, E.27) которое называется общим уравнением механики или уравнением д'Аламбера — Лагранжа. Заметим, что уравнения Лагранжа с реакциями связей могут быть получены из общего уравнения механики совместно с урав- уравнениями связей Ыг2, ....г*, 0 = 0 (a=l,2,...fft).
§ 5.4 Уравнения Лагранжа в независимых координатах 217 Действительно, используя уравнения связей в виде /«6гг = 0 (а = 1,2 К). умножим левур часть каждого из этих уравнений на соответ- соответствующий неопределенный множитель —Яа (а=1, 2, ..., k)y a все результаты умножения сложим с левой частью E.27). Тогда N k - Fj — у ^ccVf/aj Sri = 0. сс=1 Далее, применяя к этому уравнению последующую процедуру метода неопределенных множителей, изложенного на с. 206, при- придем к уравнениям Лагранжа с реакциями связей. Таким образом, система, состоящая из уравнения E.27) и уравнений связей E.10), эквивалентна системе E.18). Более того, можно утвер- утверждать, что общее уравнение механики и уравнения движения с реакциями любых идеальных связей эквивалентны*.. Прежде чем продолжить'вывод уравнений Лагранжа второго рода, остановимся на понятии независимых обобщенных координат. Такими координатами по определению являются любые 3N—k величины, однозначно определяющие положение системы (N и k — числа точек системы и голономных связей соот- соответственно). Число независимых обобщенных координат, равное s = 3N—k, в случае систем с голономными связями называется числом степеней свободы. Независимые обобщенные ко- координаты будем обозначать qu q2, ..., q8, а всю эту совокупность для краткости будем в дальнейшем обозначать символом q. Из определения независимых координат следует, что они долж- должны удовлетворять двум требованиям. Действительно, система с идеальными связями подчинена уравнениям N R*6rf = 0, (a) из которых вытекает, что N Если же исходить из последнего уравнения, то, полагая Rt = miu — F;, придем к системе (а).
218 Уравнения Лагранжа Гл. V Во-первых, радиусы-векторы точек системы должны быть одно- однозначными функциями а: r, = r,(<7i, ?2, ...,<7S, t) (i= 1,2, ...,#), E.28) причем из 3Af функций — проекций радиусов-векторов — 5 каких- либо функций должны быть независимыми, что обеспечивается' требованием: ранг матрицы dx 3N E.29) должен равняться числу s степеней свободы (здесь проекции ра- радиусов-векторов точе^ обозначены символом х\ с общей для всех точек нумерацией, например проекции вектора г4 обозначаются #i, X2, Хз, а проекции вектора г2 обозначаются Хь, хъ, #6 и т. д.) [44, с. 520]. Во-вторых, координаты q должны быть выбраны в соответствии с уравнениями связей, т. е. функции E.28) должны обращать в тождество уравнения связей E.10): = 0 (а =1,2,...,*). E.30) Л О Г. Обратим внимание на то, что в случае стационарных связей уравнения связей явно от времени не зависят; поэтому и функ- функции E.28) можно подобрать явно не зависящими от времени. В дальнейшем это условие для стационарных связей будем счи- считать выполненным. Ввиду важности понятий о независимых обобщенных коор- координатах и числе степеней свободы рассмотрим несколько при- примеров. Пусть точка движется по эллипсу с полуосями а и Ь. В систе- системе координат с началом в центре эллипса и осями Ох, Оу, направ- направленными по осям эллипса, уравнениями связей являются Первое из этих уравнений обращается в тождество, если поло- положить, что х = a cos а, у = Ь sin а. Таким образом, в качестве независимой координаты можно выбрать параметр а, а число s степеней свободы в этом случае равно единице.
§ 5.4 Уравнения Лагранжа в независимых координатах 219 Если точка движется по сфере радиуса I с центром в начале координат, то уравнением связи является уравнение которое обращается в тождество подстановкой х = I sin 6 cos ф, у = 1 sin 6 sin ф, г = I cos 6, где 8 и ф — углы сферических координат (см. рис. 5.1). Следо- Следовательно, эти углы могут служить независимыми координатами, а число степеней свободы 5 = 2. Наконец, в случае свободной точки 5 = 3, а в качестве неза- независимых координат можно взять различные криволинейные коор- координаты, например цилиндрические; эти координаты связаны с декартовыми координатами точки соотношениями вида E.28) х = р cos ф, у — р sin ф, z =-"z. Используя формулы преобразования E.28), представим общее уравнение механики в форме уравнения относительно независи- независимых координат и их производных по времени. Для этого прежде всего найдем виртуальные перемещения 6i\ всех точек как функ- функции q: Подставляя E.31) в общее уравнение механики и изменяя поря- порядок суммирования, получим Здесь все суммы по индексу i имеют размерность энергии, делен- деленной на размерность соответствующей координаты qj. При этом те суммы по i, в которые входят ускорения точек, определяются кинетической энергией как функцией обобщенных координат и их производных по времени. Действительно, преобразуем i'-тый член одной из таких сумм: JL ('t *L\ Г{ Л. I *L\. E.33) dt \ dq ) K ' dq, dt \ dqj } dt \ dqj ). Затем, используя E.28), найдем скорости точек как функции обобщенных координат
220 Уравнения Лагранжа ^ Гл. V *Lj,+ *L (l=\,2,...,N). E.34) Отсюда видно, что скорости материальных точек являются ли- линейными функциями величин q^ (/=1, ..., 5), называемых обоб- обобщенными скоростями. Из E.34) также видно, что в общем случае имеет место равенство частной производной от ско- скорости точки по обобщенной скорости и частной производной радиуса-вектора той же точки по соответствующей обобщенной координате, т. е. **_**_ /( = 1,2 N; д<7/ д<>1 \j = li 2, ... ,S Используя E.35) и изменяя порядок дифференцирования по t и <7j, вместо E.33) получим iAJ\f(i?L. E.36) dq, Применяя эти соотношения, все зависящие от ускорений «суммы по точкам системы» можно представить в виде \\m}t iL^^fV^A^-y^A E.37) Далее, пользуясь E.34), зададим кинетическую энергию систе- системы как функцию обобщенных скоростей и координат: N ^J 2 E.38) (здесь и в дальнейшем под q понимается совокупность обобщен- обобщенных скоростей, так же как под q понимается совокупность всех обобщенных координат). Дифференцируя эту функцию по обоб- обобщенным скоростям и координатам, найдем N N Щг.^- (/=lf2,...fs). E.39) Сопоставляя E.37) и E.39), получим N т^ iEL =-А-/ДЛ _ iZL (/= 1,2, ... ,s). E.40) =i
§ 5.4 Уравнения Лагранжа в независимых координатах 221 «Суммы по точкам системы» (см. E.32)), зависящие от задан- заданных (активных) сил, обозначим символами N ?i^t tf=1'2'••"*)• E'41> Величины Q являются заданными функциями обобщенных координат, скоростей и времени. Действительно, все F* определе- определены как функции гг-, v^ и t (i=l, 2, ..., N), а все векторы тг и V; согласно E.28) и E.34) являются функциями q, q и t. Используя введенные обозначения, виртуальную работу всех заданных сил F? можно представить в виде N s Следовательно, величина Qj. играет по отношению к вариации б^- независимой координаты ту же роль, которую сила F* играет по отношению к виртуальному перемещению 6г; точки. Поэтому величину Qj называют обобщенной силой, соответствую- соответствующей координате qj. Размерность обобщенной силы Qj равна раз- размерности работы, деленной на размерность соответствующей координаты qj. Используя E.32), E.40) и определение обобщенной силы, придем к общему уравнению ' механики в обобщенных коорди- координатах: ^(^)fQ,}4 , E.43) где все вариации 8qj независимы друг от друга. Поэтому из об- общего уравнения механики вытекают дифференциальные уравне- уравнения движения, а именно уравнения Лагранжа в независимых координатах M%)% E-44) Эти уравнения, как и уравнения Лагранжа с реакциями связей E.18), справедливы для систем с голономными идеальными свя- связями. Итак, уравнения Лагранжа в независимых координатах не содержат реакций связей в качестве неизвестных функций, хотя полностью учитывают влияние связей на движение механической системы. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные
222 Уравнения Лагранжа Гл. V независимые координаты как функции времени. Число неизвест- неизвестных и число уравнений равно'числу степеней свободы. Если заданные силы потенциальны, а потенциальная энергия системы равна U (гь ..., rNi t), то, воспользовавшись формулами и определением E.41), получим N / ~ — 7 \№ \У == *> ^> • • * >^/# ^o.rtOj Таким образом, уравнения Лагранжа для случая потенциальных сил приобретают вид <« V fy / ' dqj dqj W ; V ' Подчеркнем, что рациональный выбор независимых коорди- координат может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа и т-ем самым облегчить решение задачи. Лагранж по этому поводу писал: «Так как эти уравнения могут иметь раз- различные более или менее простые формы и, в частности, более или менее удобные для интегрирования, является не безразлич- безразличным, в каком виде они представлены с самого начала; пожалуй, одно из главных преимуществ нашего метода заключается в том, что он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее простой •форме по отношению к примененным при этом переменным и дает нам возможность наперед судить о том, каковы те перемен- переменные, пользование которыми может нам максимально облегчить интегрирование» [6, т. I, с. 403]. Действительно, пусть обобщен- обобщенная координата q$ выбрана так, что кинетическая энергия Т явно не зависит от нее, а соответствующая этой координате обобщен- обобщенная сила Qj равна нулю, т. е. -^ = 0, Q/ = 0. E.47) Тогда уравнение Лагранжа, соответствующее координате qh сразу приведет к первому интегралу ^L^t(q9q9 t) = const. E.48) dqj Если заданные силы потенциальны, то условия E.47) приобре- приобретают вид • -^--0, -^- = .0. E.49)
§54 Уравнения Лагранжа в независимых координатах 223 Координаты, от которых кинетическая и потенциальная энер- энергии системы явно не зависят, называются циклическими координатами. Цикличность координат во многих случаях связана с симметрией заданного силового поля и связей, поэтому рациональный выбор обобщенных координат должен отражать эту симметрию. Выбирая независимые координаты так, чтобы число цикли- циклических координат было максимальным, и интегрируя уравнения Лагранжа, можно найти общее решение уравнений E.44) (или .E.46)) в виде qt = q,(t,Cl9C2,...,Cu) (/«1,2,... ,s) . E.50) (здесь С а— постоянные интегрирования). Это решение позволяет определить закон движения системы и реакции связей как функ- функции времени. Действительно, используя E.28), найдем гг-@ (/=1, 2, ..., N). Затем, дифференцируя тг(г) по времени, получим векторы скоростей и ускорений всех точек: Vi{t), vf%{t) (i=l, 2, ... ..., N)\ И наконец, используя найденные функции и уравнения Лагранжа E.18), получим реакции связей как функции времени: Ri @=^^@-^@ (*=l,2,...,tf), E.51) где F* @ - F, (гх @, . .. , г* @, vx @; . • • , Viv (i), t). В заключение этого параграфа рассмотрим принцип виртуаль- виртуальных перемещений, являющийся основой статики — большого раздела механики, в котором .изучается равновесие механических систем (этот принцип играет важную роль во многих инженерных расчетах). Пусть в начальный момент времени система находится в положении r^0 (i=l, 2, ..., N), а скорости всех ее точек равны- нулю; если система и в любой другой момент времени остается в положении гг-0 (*=1, 2, ..., N), то это положение называется положением равновесия системы. Из общего уравне- уравнения механики следует, что в положении равновесия виртуальная работа заданных сил должна равняться нулю, т. е. N бл =SFi бг' = °- E-52> 1=1 Это необходимое и достаточное условие равновесия системы на- называется принципом виртуальных перемещений (необходимость и достаточность E.52) следует из эквивалент- эквивалентности уравнений Лагранжа с реакциями связей и общего уравне- уравнения механики (см. с. 217)). Записывая принцип виртуальных пе- перемещений в независимых координатах с помощью E.42), получим
224 Уравнения Лагранжа Гл. V E.53) откуда ввиду независимости всех вариаций 8qj следует, что необ- необходимым и достаточным условием равновесия механической си- системы с голономными идеальными связями является обращение в нуль всех обобщенных сил в рассматриваемом положении си- системы. Таким образом, положение равновесия системы опреде- определяется s уравнениями: Q/==0 (/= 1,2 s). E.54) Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений Лагранжа в независимых координатах. Пример 5.4. Циклоидальный маятник. - Точка массы пг движется в однородном поле тяжести по гладкой циклоиде, рас- расположенной .в вертикальной плоскости (см. рис. 5.6). Найти закон движения точ- точки, если напряженность по- поля тяжести g, а радиус ок- окружности, производящей циклоиду, равен R. Рис 5 6 Выберем декартовы оси так, чтобы одна из осей бы- была коллинеарна g, а одна из координатных плоскостей совпадала с плоскостью циклоиды. За независимую координату возьмем угол Ф — угол поворота производящей окружности, отсчитываемый от оси Оу (производящая окружность катится без скольжения по штрихованной прямой, параллельной оси Ох). Тогда уравнение связи запишется в виде -slncp), f/ = /?(l—созф). Используя эти функции, легко найти Т и U как функции <р и <р: Т = 2mR2 cos2 (SA ф2, U = 2mgR sin2 L$- Отсюда видно, что уравнение Лагран^а d / дТ \ _ дТ_ д?_ dt \ дф / дф дф ' соответствующее координате ф, будет достаточно сложным. Одна- Однако из тех же выражений можно усмотреть, что Т и U принимают весьма простой вид, если в качестве переменной взять величину,
§ 5.4 Уравнения Лагранжа в независимых координатах 225 пропорциональную sin(cp/2). Действительно, производная от sin(cp/2) по t пропорциональна cos(cp/2)(p. В связи с этим Вхместо ф выберем обобщенную координату s = 4#sin(<p/2) (s является дли- длиной дуги циклоиды, отсчитываемой от начала координат до мате- материальной точки). Выражая Т и U через переменную s: Т — m с Г! — т& с2 получим уравнение Лагранжа, соответствующее этой переменной: d \ds ) ds ~~ ds ' dt т. е. s + co2s = 0, где со2=^/4/?. Отсюда находим закон движения точки по циклоиде s = a cos (со^ 4-а). Здесь а и а — амплитуда и фаза гармонического колебания соот- соответственно; их можно выразить через s0 и v0 — величины дуги и скорости точки в начальный момент времени: В частности, если ио = О, то решение принимает вид , S~SQ COS (dt, откуда следует, что при любом начальном отклонении So<Smax = 4/? точка придет в наинизшее положение за один и тот же промежуток времени (это свойство движения называется изо- хронностью). Пример 5.5. Точка на колеблющейся горизонтальной плоско- плоскости. Рассмотрим решение примера 5.1 с помощью уравнений Лаг- Лагранжа в независимых координатах. Поскольку на одну точку налагается одна связь, то число сте- степеней свободы точки будет равно двум. В качестве независимых координат можно выбрать декартовы координаты х и у (см. рис. 5.2,а), а используя уравнение связи, найти кинетическую энер- энергию Т как функцию обобщенных скоростей хну Т - -— (?- -j- f + flV cos2 8 Зак 284
226 Уравнения Лагранжа Гл. V и потенциальную энергию U = mga sin со/. Эти выражения для Т и U дают возможность составить уравне- уравнения Лагранжа E.46) для рассматриваемой задачи: d [ дТ \ дТ ди • А dt \ дх J дх дх ' d ( дТ \ дТ dU л —г- = , т. е. ту = 0. dt \ду ) ду . &/ В настоящем примере обе координаты л: и у циклические, так как ни Г, ни [/ явно от них не зависят (см. E.49)). Поэтому для решения задачи не обязательно выписывать уравнения Лагранжа; можно сразу получить интегралы вида E.48) дТ дТ ' --,- = тх = тх0, —г- = ту = ту0, дх ду с помощью которых найти окончательное решение (см. пример 5.1). Заметим, что сохранение проекций скорости х я у здесь свя- связано с цикличностью координат х и у. Пример 5.6. Точка на расширяющейся цилиндрической поверх- поверхности. Рассмотрим решение примера 5.2, используя независимые ко- координаты. Согласно условию связь, налагаемая на точку,, обладает ци- цилиндрической симметрией, а ось цилиндра направлена вдоль век- вектора g (рис. 5.4). Поэтому выберем в качестве независимых пере- переменных цилиндрические координаты ф, z (число степеней свободы точки равно двум) и запишем уравнения E.46) в этих перемен- переменных в общей форме: d ( дТ \ дТ _ dU dt \ dqp / дф дф d / дТ \ дТ_ ^ dU dt \дг ) дг "" дг ' Используя выражение для скорости в цилиндрических коорди- координатах (см. A.17)) и уравнение связи найдем кинетическую и потенциальную энергии как функции обоб- обобщенных скоростей и координат:
§54 Уравнения Лагранжа в независимых координатах 227 U = mgz. Отсюда видно, что координата ф является циклической. .Это приво- приводит к интегралу m((V + py2p c который дает возможность найти w(t). Нетрудно убедиться, что частная производная —— равна Mz — проекции момента им- дф пульса на ось Oz, а ее сохранение связано с цикличностью коор- координаты ф. Независимая координата z не является циклической, так как Ф 0. Поэтому закон изменения этой координаты получим из dz соответствующего уравнения Лагранжа Пример 5.7. Уравнение движения свободной точки в цилинд- цилиндрических и сферических координатах. Поскольку свободная точка обладает тремя степенями свобо- свободы, то в качестве независимых координат можно взять любые три независимые координаты точки, в частности цилиндрические коор- координаты р, ф, z. Приращение радиуса-вектора в этих координатах равно dx = прф + Следовательно, кинетическая энергия точки имеет вид T = f(p*+p\* + J), A) а частные производные, необходимые 'для получения обобщенных сил, соответственно равны Используя эти выражения, найдем (см. E.41)) QP = F^-=FP! Q, = F-fL=pF,- Q^F.f- = F2) B) где Fp, Fq>9 ^ — проекции силы F на цилиндрические орты. Таким образом, обобщенные силы Qp и Qz являются проекциями силы F на координатные оси (р) и (г), а обобщенная сила <2Ф равна Lz — проекции момента силы на ось (г).
228 Уравнения Лагранжа Гл. V Подставляя A) и B) в E.44), найдем уравнения движения точки в цилиндрических координатах: m(p-p(p2)=Fp, т-4-(р?ф)-РРф, mz=Fz. C) at По определению сферических координат приращение радиуса- вектора свободной точки равно rfr = nrdr + nerdO + пфг sin 0dcp. Следовательно, кинетическая энергия в сферических координатах имеет вид Т = — (г'2 -f г262 -г г2 sin2 6. ф2); D) нетрудно также получить А- = п„ ±- = я1в, -^^rsinb-щ. дг дд ^ф Используя эти частные производные, найдем обобщенные силы Qr = Fn Qe^rFe, Qv = rein 6-,Рф, E) где Fr, Fe9 Fq> — проекции заданной силы F на сферические орты. Подставляя D) и E) в уравнения E.44), где в качестве независимых координат взяты г, 0 и ф, получим уравнения движе- ния*точки в сферических координатах: т {г — г (б2 + sin2 в. ф2)} = Frt т I— (г2б) — г2Bin6 cos в-ф2] = rF0, F) 1 dt ч ; Y J ' v ; m —^(r2sin2 в-ф) = г sin Q-F9. dt Отсюда легко найти проекции ускорения точки на орты сфериче- сферических координат: wr = r — r (б2 + sin2 б • ф2), wQ=— — (г2б) — rsin6cos6-cp2, G) г dt Wr, — —(Г S -ф).
§ 5.5 Функция Лагранжа 229 § 5.5. Структура уравнений движения в независимых координатах и функция Лагранжа В предыдущем параграфе было выяснено, насколько важен выбор независимых обобщенных координат при составлении урав- уравнений Лагранжа. В свою очередь, вопрос о выборе координат требует более тщательного изучения структуры этих уравнений. С этой целью прежде всего рассмотрим структуру кинетической энергии. Кинетическая энергия является однородной положительно-оп- положительно-определенной квадратичной формой от скоростей точек. Положи- Положительная определенность этой формы означает, что Г>0 при лю- любых значениях проекций скоростей, одновременно4 не равных нулю, а Т=0 только в том случае, если все Vi = 0 (i=l, 2, ..., Лт) (освой- (освойствах квадратичных форм см. [48, гл. 1, § 4—7]). Однако кине- кинетическая энергия как функция обобщенных скоростей в общем случае будет неоднородной квадратичной формой. Убедимся в этом непосредственно, подставляя в кинетическую энергию скорости точек, выраженные через обобщенные переменные, т. е. подстав- подставляя Изменяя порядок суммирования, найдем, что где Т&\ TW и 7<°) являются однородными формами соответствен- соответственно второй, первой и нулевой степени относительно обобщенных скоростей: »^А.. E.56) 2 jL Как видно, все коэффициенты а#, а;- и форма нулевой степени 74°) зависят только от обобщенных координат и времени, а неодно- неоднородность кинетической энергии как функции обобщенных скоро-
230 Уравнения Лагранжа Гл. V стей имеет место только в том случае, если преобразование E.28) явно зависит от времени (например, в случае системы с нестацио- нестационарными связями). Если же преобразование E.28) подчиняется условиям -^L=0 (*=l,2,...,tf). E-57) ot то кинетическая энергия будет однородной формой обобщенных скоростей, т. е. Т = ТB\ Условия E.57) выполняются, в частности, для случая стационарных связей. Рассматривая свойства Т<2>, прежде всего заметим, что все коэффициенты а^ симметричны по индексам, т. е. ajk = akI (/, А= 1,2, ... ,s). E.58)* Далее можно убедиться, что Г<2) является положительно-опреде- положительно-определенной формой обобщенных скоростей. Положительная определен- определенность TW относительно q означает, что Г^Г^О, причем Г<2) = 0 только в том случае, если все ^ = 0 (/=1, 2, ..., 5). Для доказательства этого утверждения запишем TW в виде /--1 Отсюда следует, что Г<2) является положительно-определенной формой относительно сумм Иначе говоря, при любых значениях этих сумм ГB)^0, причем 7B) = о только в том случае, если все эти суммы равны нулю: 4/ = 0 (*=1,2,...,Л0. E,59) "'' Матрица, составленная из коэффициентов вида '—-, представ- ляет собой функциональную матрицу системы функций E.28). Согласно предположению о независимости s этих функций (см. E.29)) ранг этой матрицы равен s. Если же ранг матрицы равен числу неизвестных в линейной однородной системе E.59), то нулевое решение такой системы является единственным [47, с. 83]. Таким образом, TW действительно обращается в нуль
§ 5.5 Функция Лагранжа 23]_ только в случае, когда все qj = O (/=1, 2, ..., s). С другой сторо- стороны, если хотя бы одна из этих скоростей отлична от нуля, то Г<2)>0. Итак, форма Т<2) является положительно-определенной формой от обобщенных скоростей. Следовательно, детерминант, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля [48, гл. 1, §6, теорема 3]: an ... als #22 • • • a2s E.60) as2 ... и, Основываясь на этом свойстве, можно убедиться, что уравне- уравнения Лагранжа E.44) однозначно определяют движение механи- механической системы, если заданы начальные значения обобщенных ко- координат и скоростей. Действительно, из E.55) и E.56) найдем ijkVk + aj (/- 1, 2, ... ,s), E.61) откуда следует, что dt х aL / / ,-/«-/« . , , -iKiK . --/ (/ = 1, 2, ... ,s) E.62) (величины вида q называются обобщенными ускорения- ускорениями). С другой стороны, члены —г- не зависят от обобщенных ускорений, не зависят от них и обобщенные силы, так как все заданные силы F* являются функциями только положений, скоро- скоростей точек и времени. Поэтому уравнения E.44) представляют собой систему 7= 1, 2, ... ,s), которую в силу E.60) можно разрешить относительно ускоре- ускорений q и представить в виде 41 = §/ (<7> i 0 (/=1,2,..., s). E.63) На основании известной теоремы из теории обыкновенных диффе- дифференциальных уравнений [46, с. 86] система E.63) с заданными функциями Qj (qy qy t) имеет единственное решение, удовлетворяю- удовлетворяющее начальным условиям
232 Уравнения Лагранжа Гл. V ?/ = <7/о, 41=410 (/= 1, 2, ... ,5). Переходя к изучению структуры обобщенных сил, вспомним, что эти силы согласно E.41) определяются известными вектор- векторными силами, а в случае потенциальных сил — потенциальной энергией или потенциалом U как функцией^ положения точек и времени. Рассмотрим обобщенно-потенциальные силы, ко- которые могут быть заданы с помощью скалярной функции %1, зави- зависящей не только от положений точек и времени, но и от скоро- скоростей точен (такая функция называется обобщенным потен- потенциалом). Например, сила Лоренца, с которой электромагнитное поле действует на движущийся заряд, является обобщенно-потен- обобщенно-потенциальной и, как будет показано ниже, вможет быть представлена в виде J(M)*L E.64) dt \ дг ) дг где % = — — Ar + *F, E.65) с а А и ф — векторный и скалярный потенциалы электромагнитно- электромагнитного поля, заданные как функции точки пространства и времени и определяющие напряженности поля [40, с. 431]: fi = _V4>--L-^-, 3^-fvAJ; E.66) в формуле E.64) символом обозначен градиент, а символом дг — дифференциальный оператор дг п д ¦ п -^- : п -?- А дх ' у ду " dz Подставляя E,65) в E.64), получим d ( Ш \ dU е 2 е dt — \ = ___д_ у(Аг) \ дг ) дг с с ук ) Затем, используя полную производную векторного потенциала по времени А = -^- + (гу)А E.68) (здесь к вектору А применяется оператор — скалярное произведе- произведение rV), убедимся, что правая часть равенства E.67) имеет вид
§ 5.5 Функция Лагранжа 233 E.69) Наконец, подставляя сюда E.66), придем к известному выраже- выражению силы Лоренца. Эта сила слагается из потенциальной силы т-, u e дА —?V(p, непотенциальнои силы — , зависящей от положения с Ы и времени, а также из гироскопической силы —[у Ж]. с Обобщенные силы, соответствующие силе вида E.64), всегда можно представить в форме q *(МЛ-^~. E.70) Ч/ dt \ dq} ) dqj K } Действительно, пользуясь E.64) и определением обобщенной си- силы, получим Q. = _*_ («L \ _* 11. E.71) ^' dt \ дг ) dqj dr dqj V ; Затем, учитывая, что —=——, E.71) можно привести к виду дЯ) дд) Qj?= — — -T—-^i- . E.72) ^ \ dr d<fr / dr dqj dr dqj Отсюда, принимая во внимание очевидные равенства Ш __ dU dr dU Ш dr dU dr dqj dr dqj dqj dr dqj dr dqj * убеждаемся в справедливости E.70). Обобщенный потенциал, определяющий силы вида E.70), дол- должен быть линейной формой относительно скоростей точек (в про- противном случае мы получим силы, зависящие от ускорений). Например, обобщенный потенциал системы зарядов во внешних электромагнитных полях согласно E.65) имеет вид N N ei A * 1=1 Выражая здесь скорости точек и их радиусы-векторы через обоб- обобщенные переменные (см. E.28) и E.34)), получим, что U = ПA) + U@\ E.75)
234 Уравнения Лагранжа Гл. V s где %A) = \) Ujqj — линейная однородная форма- обобщенных сксрос- тей, %т — форма нулевой степени (Uf и U{0) являются функциями только координат и времени). Нетрудно убедиться, что силы Q/, соот- соответствующие обобщенному потенциалу E.75), равны: dUk dUj , , где yik = — коэффициенты, антисимметричные по ин- dq; dqk дексам. Отсюда видно, что гироскопическая часть обобщенной си- силы может быть задана с помощью антисимметричной матрицы (см. определение гироскопической силы на с. 70). При наличии обобщенно-потенциальных и ^диссипативных сил уравнения Лагранжа в независимых координатах можно записать в виде где J? = Т — % — разность кинетической энергии и обобщенного по- потенциала, a QJ — обобщенные диссщштивные силы. Подчеркнем, что j? и все Q/ являются функциями обобщенных координат и обобщен- обобщенных скоростей. Функция Jz? называется функцией Лагранжа, или лагранжианом. Она является неоднородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей (см. E.55) и E.75)) ср нпB) | /tW cil^\ ! /Т1^) QI@K /К 1Q\ еХ 1 | \1 Us ) Г \ * Us /•• \DttOf Когда диссипативные силы линейно зависят от скоростей то- точек, они также могут быть выражены через скалярную функцию. В самом деле, если F? = — ktviy kt>0 (i == 1, 2, ... , N)t E.79) то, подставляя E.79) в определение N dqj и используя равенства —— = , получим dq) дЯ) (/=1,2, ...,s), E.80)
§ 5.5 Функция Лагранжа 235 N где D N D = V — (rt-J— диссипативная функция Рэлея. il Структура этой функции аналогична структуре кинетической энер- энергии, так как формально диссипативная функция может быть по- получена из кинетической энергии заменой каждой массы гщ на со- соответствующий коэффициент ki. Производя такую замену, из E.55) и E.56) найдем E.81) где N 2 i~J \ a* (здесь все коэффициенты bjh симметричны относительно переста- перестановок индексов). Пример 5.8. Теорема Лармора. Пусть электрон (заряда е и массы ш) движется в электро- электростатическом поле ядра (порядковый номер ядра равен Z, его мас- масса значительно больше массы электрона, а начальная скорость ядра равна нулю). Эта система помещается в достаточно слабое однородное и постоянное магнитное поле напряженности Ж- По- Показать, что при этом орбита электрона будет прецессировать вокруг оси, параллельной напряженности Ж с угловой скоростью, равной частоте Лармора со = —— . Поскольку масса ядра значительно больше массы электрона, введем систему, отсчета с началом в ядре (эта система отсчетд будет весьма близка к инерциальной — см. замечание на с. 194). Ось Oz направим вдоль вектора Ж\ тогда, используя цилиндри- цилиндрические координаты, получим уравнение для определения вектор- потенциала А (см. E.66)): Пф + — ( —— ) п2. р V ар д<? ) z
236 Уравнения Лагранжа Гл. V Полагая здесь, что ЛР = Л: = О и что проекция Лф не зависит от г, найдем и, следовательно, (определение А по заданной напряженности Ж неоднозначно, од- однако эта неоднозначность не сказывается на значении силы, так как сила зависит от напряженности Ж). Таким образом, обобщенный потенциал рассматриваемых по- полей равен (см. E.65)) где U — е потенциал электростатического поля. Исполь- /р» + г» зуя это выражение 11, получим лагранжиан заряда Jg = ^-(p*-pV + z*)- Ul2f 9\-V. A) Чтобы убедиться в справедливости теоремы Лармора, введем вращающуюся с угловой скоростью оз систему отсчета с началом в ядре и перейдем от переменных р, ф, г к переменным р, а, г, где а=ф—o)f. Функция Лагранжа в новых переменных будет рав- равна & = HL (р« + р W + г*) - — р2со2 - U. Так как по условию напряженность магнитного поля мала, то, пренебрегая членом, пропорциональным о2, получим X' 5г — (р2 -^ р V + г*) — U. B) С другой стороны, функция A) в отсутствие магнитного поля равна Хж=ъ - -? (Р2 + Р V + *2) - Ь\ C) Совпадение вида функций B) и C) говорит о том, что при наличии магнитного поля электрон движется относительно систе- системы, вращающейся с частотой Лармора, так же, как он движется в отсутствие магнитного поля относительно инерциальной систе-
§ 5.6 Обобщенный импульс и обобщенная энергия 237 мы. Это свидетельствует о прецессии орбиты электрона с угло- угловой скоростью о. § 5.6. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии В главе II были рассмотрены законы сохранения импульса, кинетического момента и энергии, вытекающие из уравнений Нью- Ньютона; соответственно законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии являются следствием уравнений Лагранжа. Запишем уравнения E.77) в виде J ?? Q? (/ -1,2,..., s), E.82) dt dq,- 'где величина pj =] * называется обобщенным, импуль- dqf сом, соответствующим координате </j. Из E.82) следует, что обобщенный импульс р?- сохраняется, если функция Лагранжа явно от координаты Qj не зависит и если соответствующая этой координате диссипативная обобщенная сила равна нулю. Таким образом, Р/ = -Ц- = Р/о. E.83) d если*" =0 и Q/ = 0. Если же все диссипативные силы равны dqf нулю, то закон E.83) сохранения обобщенного им- импульса принимает вид Pl - р/0, если -f^- = 0. E.84) °Ql Приведем ряд небольших примеров. Функция Лагранжа для пространственного осциллятора в декартовых координатах имеет вид (см. B.46)) ^ = у (*' + У" + ^~~f(Х* + У% + Z%)> а обобщенные импульсы Рх = -Щ- = тх, ру=: -Щ- = ту, рг = ^ д д Щ ру Щ у, рг ^ дх ду dz являются декартовыми проекциями импульса точки. Ни одна из координат х, у, z в данном случае не является циклической, соот-
238 Уравнения Лаграижа Гл. V ветственно ни один из обобщенных импульсов pXi py, Pz не сохра- сохраняется. Теперь запишем лагранжиан пространственного осциллятора в сферических координатах (см. формулу D) -в примере 5.7): <? = -2L(r2 + гФ + Г28Ш20.ф2) — — Г2. Обобщенными импульсами точки в этих координатах являются рг = Щ- = тг, ре = -Щ- = тг26, рф = -Ц- = тг2в1п26.ф, дг дб ду причем обобщенный импульс рф равен Mz — проекции момен- момента импульса точки на ось Ог. Поскольку координата ср цикличе- циклическая, то Рф сохраняется, т. е. mr2 sin2 6-ф = рф0. Лагранжиан циклоидального маятника равен (см. пример 5.4) здесь координата s нециклическая и обобщенный импульс рв = —=- == ms не сохраняется. Наконец, возьмем заряд, движущийся в электростатическом поле неподвижного ядра и постоянном однородном магнитном по- поле (см. пример 5.8). В этом случае координаты р и z не цикли- циклические, а ф — циклическая. Поэтому закон сохранения E.84) при- приводит к интегралу рф = —^— = тр2 (ф — (О) = рф0. ^Ф Установим структуру обобщенного импульса в общем случае. Принимая во внимание определение обобщенного импульса и форму лагранжиана E.78), находим S /tf* + fl/ —ty. E.85) где щи, a>j — коэффициенты однородных форм Г<2) и Г<!> кинети- кинетической энергии, Uj — коэффициенты однородной формы Uil> обобщенного потенциала. Отсюда видно, что обобщенные им-
§ 5.6 Обобщенный импульс и обобщенная энергия 239 пульсы являются неоднородными линейными формами обобщен- обобщенных скоростей. Закон изменения обобщенной энергии получим из уравнений Лагранжа в независимых координатах аналогично тому, как из уравнений Ньютона был получен закон изменения энергии B.132). Умножая каждое из уравнений E.77) на соот- соответствующую обобщенную скорость q} и складывая полученные выражения по всем степеням свободы, найдем -? <*«¦ «>•«> Как оказывается, в этом уравнении можно выделить полную про- производную по времени от такой функции, которая в частном слу- случае будет совпадать с энергией системы. Действительно, исполь- используя очевидное соотношение _____ [Щ-ц] ) —-М-<7/> E-87) dt \ dq}- I dqj представим левую часть уравнения E.86) в виде S S л / V~l г\ Ф • N К~"~1 / гЪ Ф • ri Ф •• \ / ^к ' о*-* \ ^ « / j ! с/' \ /С QQ\ ___^__ I m ________ п. \ — m I Q . , _________ Q , j ^ I jj,O0) dt \--i dq; I ^-f\ ^/ dq) I Затем, учитывая, что функция Лагранжа является функцией обобщенных координат, скоростей и времени и, следовательно, ее полная производная по времени равна E.89) вместо E.86) получим уравнение S ^Г = —eT^LQl^ E-90) где H Эту функцию обобщенных координат, скоростей и времени будем называть обобщенной энергией системы, а уравнение E.90) — законом изменения обобщенной энергии.
240 Уравнения Лагранжа Гл. V Функция Н в частном случае совпадает с полной энергией системы Е, в чем можно убедиться, рассматривая структуру Н. В самом деле, используя E.85), а также E.56) и E.75), найдем, что s Подставляя это выражение в E.91) и учитывая структуру лаг- лагранжиана (см. E.78))^, получим И = 7B) _ 7@) -j- %цо\ E.92) Отсюда видно, что обобщенная энергия не содержит линейных форм обобщенных скоростей, в то время как полная энергия вклю- включает в себя форму ГО) (см. B.130), E.55)) Е == 7B) + ТЫ + Г<°> + I/ E.93) (здесь U — обычная потенциальная энергия). Из сравнения E.92) и E.93) следует, что обобщенная энер- энергия- системы и ее полная энергия совпадают в тех случаях, когда радиусы-векторы точек системы как функции независимых коор- координат явно от времени не зависят, поскольку в этом случае 7 = 7B) (ГО) = Г<°) = 0), а %@) =?/; в частности, это имеет место для , систем со стационарными связями [—— = 0, i = 1, 2, ... , N). \ dt I Закон сохранения обобщенной энергии непо- непосредственно вытекает из уравнения E.90): обобщенная энергия системы сохраняется, если функция Лагранжа явно от времени не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, т. е. Я = 7B) — Т<°> + Ш» - Яо E.94) при условии, что —— = 0 и Qj = 0 (/ = 1, 2, ... , s). Первое из dt этих условий не обязательно связано с условием—^- =0 (i = 1, 2,..., N). dt Может случиться, что—^-=^=0 (f=l, 2, ... , N), а —— = 0; тогда в dt dt отсутствие диссипативных сил уравнение E.90) приводит к интегралу движения, не совпадающему с интегралом энергии. Если же наряду с условиями сохранения обобщенной энергии выполняются требования —?i- =0 (t = 1, 2, ... , N), то законы сохранения обобщенной и dt полной энергий системы совпадают, т. е. Н = Е = ?0. В заключение отметим достаточно распространенный случай механической системы со стационарными связями и диссипа-
§ 5.6 Обобщенный импульс и обобщенная энергия 241 тивными силами, линейными относительно скоростей точек. Для такой системы мощность обобщенных диссипативных сил равна (см. E.80) и E.81)) Jf E'.95> Учитывая, что кинетическая энергия системы со стационарными связями явно от времени не зависит, из уравнения E.90) найдем ^L E.96) dt Пример 5.9. Сферический маятник. Точка массы m движется в однородном поле тяжести напря- напряженности g по гладкой неподвижной и твердой сфере радиуса /, причем диссипатавными силами можно пренебречь. Найти общее решение в независимых координатах. Учитывая однородность поля тяжести и сферическую симмет- симметрию связи, совместим начало координат с центром сферы, ось Ог направим вдоль вектора g, а за независимые координаты возьмем сферические углы 6 и ф (рис. 5.1). Тогда, функцию Лагранжа можно записать в биде & = -^ (ё2 + sin2 6-qJ) + mg7 cos 9. Отсюда следует, что координата ф является циклической, а ——=0» т. е. имеют место два интеграла движения (см. E.84) и E.94)) рф= —Ц- = m/2sin20-q) = Мг09 дф Н С помощью этих интегралов решение задачи можно довести до квадратур. В самом деле, из интеграла момента следует, что Y m/2 sin26 Подставляя это выражение в интеграл энергии, получим
242 Уравнения Лагранжа Гл. V откуда найдем закон движения точки по траектории в виде t = | ' —Ь const, C) m/2 где м2 1 t/eff = —^ mg/ COS 9. 2m/2 sin29 б Исключая из уравнения B) элемент времени получим уравнение траектории * Ф= f M*>dQ + const. D) ml* sin* Q Область изменения координаты 8 определяется неравенством ?o^?/eff@)> аналогичным неравенству B.64). При этом гранич- граничные значения координаты 6 можно найти, используя уравнение ?1o=^effF), которое в случае Mz0=^=0 является уравнением третьей степени относительно cos 6 (рис. 5.7). Функция t/effF) прини- принимает бесконечные значения в точках 0 и я, а при 6 = я/2 равна (M2z0/2ml2) > 0; минимум этой функции достигается в точке 0 = 9eq, определяемой из уравнения ¦ cos 9eq __ Sin4 Geq M2z E) z0 Из графика видно, что область изменения угла 8 ограничена зна- значениями 0min И бтах, Причем тах<я- F) Это означает, что траектория точки расположена на поверхности сферы между двумя горизонтальными плоскостями, пересекаю- пересекающими сферу, а угловая скорость ф изменяется в конечных преде- пределах (см. A)). Обобщенное ускорение 8 положительно, если 8<6eq, отрица- отрицательно, если 8>8eq, и равно нулю, если 8 = 8eq. Это вытекает из уравнения Лагранжа, соответствующего углу 8 и записанного с помощью A) в виде * Квадратуры t(Q) и ср(9) сводятся к эллиптическим интегралам, которые подробно исследованы, например, в [8, т. 1, с. 433].
§ 5.6 Обобщенный импульс и обобщенная энергия 243 6 = cos 9 m2/4 sin40 / —-?- | Sine. Для вычисления реакции сферы воспользуемся тем, что реакция направлена по норма- нормали к сфере. Проектируя обе части уравнения Лагранжа первого рода на орт пг, найдем mwr = m§cos0 -f Rr. (8) Проекцию wr ускорения сфе- сферического маятника определим с помощью формулы G) при- примера 5.7 при г=1. Тогда из уравнения (8) получим (см. A) и B)) Rr = — — Ео — 3mgcos 9. (9) -mglcosS Рис. 5.7 Рассмотрим частный случай, когда 9тах=я/2, а в начальный момент времени угол Оо наклона маятника по отношению к вер- тикали равен Этах. Тогда под действием силы тяжести маятник начнет опускаться; соответственно угловая скорость маятника бу- будет возрастать, кинетическая энергия увеличиваться, а потенци- потенциальная убывать. Одновременно возрастет реакция сферы, причем у реакции появится вертикальная составляющая. Это в конце концов приводит к подъему маятника, который сопровождается уменьшением кинетической энергии, угловой скорости и реакции сферы, а также увеличением потенциальной энергии. Рассмотрим еще один частный случай, когда начальные усло- условия подобраны так, что ?о= (^eff)mm, т. е. прямая Ео и кривая ^eff(fl) пересекаются в одной точке, которой соответствует посто- постоянный угол 0min=6 = 8max (см. рис. 5.7). Учитывая это, из закона сохранения энергии, записанного в виде v* = — (E0 + mgl cos в), т найдем (см. B) и E)) sin2 Qp cos 0о (Ю)
244 Уравнения Лагранжа Гл. V Отсюда Ф5 / cos Go Итак, если начальная скорость точки направлена по горизонталь- горизонтальной касательной к сфере, а величина начальной скорости опре- определяется формулой A0), то точка будет двигаться по горизон- горизонтальной окружности радиуса po = /sin9o. Пример 5.10. Точка на вращающейся прямой. Достаточно малое тело массы т дви- движется в однородном поле тяжести по гладкому абсолютно твердому стержню, который вращается с постоянной угло- угловой скоростью со вокруг вертикали, про- проходящей через закрепленную точку О стержня. Угол между стержнем и верти- вертикалью постоянен и равен 9b. Найти об- общее решение в независимых координатах. В ткачестве независимой координаты выберем г — расстояйие материальной точки от точки О (рис. 5.8), а* уравнения связи запишем в виде 9 = 9о, ср = о>?; тогда —Ш?СО8б0-/\ Рис. 5.8 Интегрируя уравнение Лагранжа г — co2sin29o-r = — gcos90, получим общее решение coa sin2 Go to sin 60 g cos Qp со2 sin2 Go Анализ этого решения облегчается, если воспользоваться инте- интегралом обобщенной энергии (см. E.94)) Я = — га — — (D2sin290.r2 -г mgcoB%-r = = Н0 =— Го— —
§ 5-6 Обобщенный импульс и обобщенная энергия 245 Переписывая его в виде где (г) = mg cos 60 • г — — со2 sifl2 90 • г2, найдем, что область измене- изменения координаты г опреде- определяется требованием Если 0о<я/2 (рис. 5.9), то Uett имеет максимальное значение, равное т со sin 80 в связи с чем можно рас- рассмотреть три случая: #0 > Рис. 5.9 В первом случае движение может происходить в неограниченной области; осуществляется этот случай, если начальная радиаль- радиальная скорость удовлетворяет условию, которое вытекает из нера- неравенства #o>(?4ff)max: Во втором случае движение возможно в двух областях 0<r<rlf г2<г<сю. Границы этих областей определяются корнями (f— \ 2#о 11/2 g COS 8q со2 sin2 0o ' Ц со2 sin2 0O ) mco2 sin2 0O квадратного уравнения HQ = Geff = - m — -у о2 sin2 0О- г2.
246 Уравнений Лагранжа Гл. V Этот случай осуществляется, если начальная радиальная скорость сравнительно мала, В третьем случае область изменения г ограничена снизу: f*2^rs?:cx>? а начальные условия должны удовлетворять неравен- неравенству ^<oJsin20o-^-2^cos9o.ro (#0<0). Если 0o^jt/2, то, рассматривая соответствующий график ?/eff, легко прийти к выводу об инфинитности движения точки в обла- областях: Os?r^oo(#o>0), гшШ<г<оо(Я0<0). Пример 5.11. Движение заряда вблизи магнитного полюса. Точка массы m ,и заряда е движется около одного из полюсов длинного магнитного стержня. Найти закон движения заряда. Напряженность магнитного поля в рассматриваемом случае равна (в сферических координатах) &=-^пг> A) где постоянная \к — так называемый «магнитный заряд», а нача- начало координат помещено в полюсе магнита. Кинетическая энергия точки в сферических координатах явно не содержит только угол ср. Поэтому попытаемся выбрать вектор-потенциал А магнитного по- поля так, чтобы он тоже не зависел от ф. С этой целью запишем со- соотношение 3^=rotA в сферических координатах с учетом A): *— 0. D, Отсюда видно, что можно положить Лг = Ле = О, гЛф=/(8). Тогда отличная от нуля компонента вектор-потенциала равна J E) Учитывая E), найдем лагранжиан заряда (см. E.65)) (^+гв + гБ1пвф) юзф. F)
§ 5,6 Обобщенный импульс и обобщенная энергия 247 Поскольку -^- = 0 и -^- - 0, получим (см. E.84) и E.94)): дф dt рч = Щ- = тг°~ slnae-<j> — -^-cosO = рфо, G) дф с Я = Г») = То. (8) Теперь запишем G) в виде м ?Я. (пг) = const (9) с и обратим внимание на то, что интеграл (9) имеет место при лю- любом направлении оси Oz. Это возможно только в том случае, если М-^пг-С, A0) с где С — постоянный вектор, зависящий от начальных условий. Направим ось Oz по этому вектору и умножим затем обе части A0) скалярно на пг. Тогда, поскольку Мпг=0, = Ссо8 0. A1) с Таким образом, 0 = 0О и, следовательно, заряд движется по поверхности конуса с осью, направленной по вектору С. При этом интегралы G) и (8) ввиду 0 = 0 упрощаются и принимают вид A2) г2 + /V sin2 0О = го + гофо sin2 60. A3) Интегрирование этой системы приводит к закону движения г2 = у2 (t — ?0J + а2 A4) и уравнению траектории (на поверхности конуса) — = cos [(ф — ф0) sin 0O] A5) (постоянные v и а могут быть выражены через начальные усло- условия, а момент времени ?о является моментом, когда заряд нахо- находится на минимальном расстоянии от полюса). Итак, заряд дви- движется по спирали A5), навивающейся на поверхность конуса 0=0о согласно закону движения A4).
248 Уравнения Лагранжа Гл. V § 5.7. Ковариантность уравнений Лагранжа в независимых координатах Уравнения Лагранжа E.44) в независимых координатах были получены из общего уравнения механики E.27) с помощью преобразования E.28),-представляющего собой преобразование от радиусов-векторов г* всех точек к обобщенным независимым коор- координатам q. Однако выбор этих координат неоднозначен: в самом деле, координаты q всегда можно задать с помощью произволь- произвольных однозначных функций других 5 переменных q' и времени Я] = Я]{Я1 Я» 0 (/=1, 2,..., s). E.97) Подставляя E.97) в E.28), найдем однозначные выражения ра- радиусов-векторов точек через величины q'\ г, = rtfob ..., q's, t) (Г=1, 2, .... N). E.98) Эти функции, как и функции E.28), обращают в тождество урав- уравнения связей (см. E.30)), и, следовательно, величины q' также являются обобщенными координатами механической-. системы. Преобразование E.97), т. е. преобразование от одной системы обобщенных координат к другой системе, называется точечным преобразованием. Если исходить из общего уравнения механики E.27), а в ка- качестве независимых переменных взять координаты q\ то, исполь- используя E.98) и проводя вычисления, аналогичные E.31) — E.43), получим уравнения Лагранжа в новых переменных дт' — л) (j—l 2 s) E 99) где кинетическая энергия Г' и обобщенные силы Q' являются функциями q\ qf и t. Сопоставляя уравнения E.44) и E.99), при- приходим к выводу, что общая форма уравнений Лагранжа в неза- независимых координатах не зависит от выбора этих координат; дру- другими словами/ уравнения Лагранжа в независимых координатах ковариантны относительно точечных преобразований. Это свой- свойство уравнений Лагранжа является отражением того," что при любом выборе независимых переменных между обобщенными координатами, скоростями и ускорениями существует взаимо- взаимосвязь. Точечные преобразования независимых координат включают в себя ряд важных случаев; например, для свободных систем то- точечные преобразования могут представлять собой преобразования между различными криволинейными координатами в данной си- системе отсчета, а также преобразования между координатами в различных системах отсчета, в том числе и в неинерциальных.
§ 5.7 Ковариантность уравнений Лагранжа 249 •Убедимся з этом, показав, что уравнения движения свободной точки относительно неинерциальной системы отсчета можно запи- записать в форме уравнений Лагранжа. Действительно, поступательная и центробежная части перенос- переносной силы инерции могут быть выражены через потенциальную энергию Uh точки в поле этих сил (см. D.80)); сила инерции, определяемая угловым ускорением со, является непотенциальной силой, зависящей от положения точки и времени, а кориолисова сила гироскопйчна. Таким образом, сумму всех сил инерции мож- можно записать в форме $ = — v?/h — т [<ог'] + 2/и [\'ь>], аналогичной силе Лоренца: г, е д\ е г 1 а 1 г = — еуф 1 - — [v rot A]. С 01 С Сопоставляя эти выражения, видим, что скалярным потенциалом сил инерции является функция C/h, а вектор-потенциал этих сил; равный \# — m[(or'], можно найти из уравнений = т [W], rot Ку = 2т<о. dt Итак, силы инерции являются обобщенно-потенциальными си- силами с потенциалом у; = _ m [wf] v' + uh, E. mo) где Uh = mw&r* — -у [tor']2 (в случае системы Л" точек потенциал %' будет равен сумме чле- членов зида E.100), каждый из которых относится к г-точке). Из вы- вышесказанного вытекает, что уравнения движения относительно неинерциальной системы отсчета (см. D.43)) могут быть пред- представлены в виде следующих уравнений Лагранжа: EЛ01) здесь У = Т'—%', Т' — кинетическая энергия относительно не- неинерциальной системы, %' — обобщенный потенциал сил инерции, a Q' — обобщенные силы, соответствующие векторным силам F^ с которыми различные тела действуют на точки механической си- системы.
250 Уравнения Лагранжа Гл. V Пример 5Л2. Преобразование лагранжиана свободной точки. Свободная точка массы m движется в центрально-симметрич- центрально-симметричном поле U(r) с центром силы в начале координат О. Найти функцию Лагранжа этой точки относительно системы отсчета S', начало которой О' и ось Orzr совпадают соответственно с нача- началом О и осью Oz инерциальной системы отсчета S, предполагая, что система S' вращается относительно 5 с постоянной угловой скоростью со. Если в качестве независимых координат выбрать декартовы координаты точкд относительно системы S, то функция Лагранжа имеет вид = JHL (х2 + у2 -rZ2) — U {]/х2 + if + г2). Координаты х, у, z связаны с координатами точки относитель- относительно S' формулами: х = х' cos ad — у' sin ®t, у •= х[ sin orf + У' cos cof, Поэтому в новых переменных функция Лагранжа равна: где _ HL (Х>* + у>* + г>% Т^У = mco(x't/ - yfx')t Подставляя функцию «S?/ в E.101), получим уравнения движе- движения точки относительно системы Sr (*V n't 9 t \ OLJ x — 2coy — aflx) = , dU' tnz = — dz' ' Поскольку &' явно от времени не зависит, то обобщенная энер- энергия точки сохраняется:
§ 5.7 Ковариантность уравнений Лагранжа 251 Нетрудно видеть, что в данном случае функция Я является пол- полной энергией точки относительно неинерциальной системы отсче- отсчета (см. D.86)). Пример 5.13. Движение точки по вращающейся окружности^ Точка массы m движется по < гладкой окружности радиуса а, вращающейся с постоянной уг- угловой скоростью со вокруг верти- вертикальной оси, проходящей через некоторую точку окружности (плоскость окружности перпен- перпендикулярна оси вращения). Найти уравнение движения точки. Выберем системы координат S HfS' так, как это показано, на рис. 5.10, а в качестве независи- независимой переменной возьмем угол ср между г' и осью О'х'. Выражая через ф проекции радиуса-векто- радиуса-вектора точки на оси системы х = a cos tot + a cos (со/ + <р), у = a sin Ы + а sin (со/ + ф), получим кинетическую энергию точки в виде о Рис. 5.10 Т = {со2 А- (со + фJ f 2со (со -f ф) cos ф}. Для данной задачи эта функция является функцией Лагранжа; она приводит к уравнению движения ф-f со2 sin ф = 0. Отсюда следует, что относительно неинерциальной системы S' точка движется так же, как математический маятник в однород- однородном поле тяжести движется относительно инерциальной систе- системы S. Записывая кинетическую энергию в виде E.55), где tvo\ та2- •» = та2со2 A f cos ф), нетрудно получить интеграл обобщенной энергии та2 Ф2 — ша2со2 cos ф = #0.
252 Уравнения Лагранжа Гл. V Здесь та2ф2/2 — кинетическая энергия точки относительно S', а —ma2oJ cos ф — потенциальная энергия точки в поле перенос- переносной силы инерции —mwo'. Что касается центробежной силы инерции, равной moV, то она не совершает работы на перемеще- перемещениях точки относительно S' и поэтому не дает вклада в Яо. Таким образом, функция Н является полной энергией Е' точки относи- относительно S' (см. D.86)).
Глава VI ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В этой главе изучается движение механической системы с до- достаточно малыми скоростями в достаточно малой пространствен- пространственной области около положений равновесия точек системы. Если при этом диссипативные силы малы, то система будет совершать, как говорят, малые колебания; если же диссипативные си- силы значительны, то будет иметь место апериодическое движение. Теория малых колебаний широко применяется для изучения как механических, так и немеханических систем. Например, с по- помощью этой теории можно описать колебания математического маятника и колебания напряжения в электрическом контуре. По- Поэтому излагаемая ниже теория играет большую роль в различных областях физики. § 6.1. Собственные одномерные колебания Пусть на систему с одной степенью свободы наложены ста- стационарные голономные связи. Тогда кинетическая энергия как функция независимой координаты q и обобщенной скорости q равна (см. E.55)) T = \<hx(q)& F.1) (здесь коэффициент аи явно от времени не зависит, так как связи стационарны). Пусть также на систему действуют стационарные потенциальные силы и диссипативные силы, пропорциональные первой степени скоростей точек системы. В этом случае потенци- потенциальная энергия и диссипативная функция D системы имеют вид (см. E.81)) U = U{q), D=±bn(q)q2. F.2) Предположим, что наложенные связи и заданные силы таковы, что существует хотя бы одно положение равновесия системы (для
254 Линейные колебания Гл. VI обозначения положения равновесия будем использовать символ •eq). Согласно E.54) обобщенная сила, прилагаемая к системе, покоящейся в положении равновесия, равна нулю: bnq G=0 = 0. F.3) eq Отсюда следует, что потенциальная энергия в положении равно- равновесия должна обладать экстремумом, т. е. dU 0 F.4) = 0. Это уравнение определяет положения равновесия системы. Рассмотрим свойства до- достаточно малой окрестности таких положений. Пусть, на- например, система имеет два по- положения равновесия (qeq)i и (qeqJ> причем в первом поло- положении потенциальная энергия достигает минимума, а во вто- втором— максимума (рис. 6.1). Тогда в окрестности положе- положения (<7eq)i имеем Q<0, • если <7>(<7eq)i, и Q>0, если <7<(<7eq)l (Здесь (<7eq)l—&<q< <(<7eq)l + 8, а 6 — СКОЛЬ УГОД- УГОДНО малая положительная ве- величина), В окрестности поло- положения (<?eqb наоборот: Q>0, если q>(qeqJ, и Q<0, если <7<(<7eqh (Здесь (^eqJ—6<^< < (<7eqb + e)« Следовательно, вблизи максимума потенциаль- потенциальной энергии возникает сила, стремящаяся отклонить систему от положения равновесия, а вблизи минимума возникает сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия. В этом последнем случае система, обла- обладающая достаточно малым "начальным отклонением #b—qeq от по- положения равновесия и достаточно малой начальной скоростью #Ь, при любом t^U не выйдет за пределы наперед заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия, причем обоб- обобщенная скорость также будет сколь угодно мала *. Положения * В справедливости этого утверждения можно Цедиться с помощью закона изменения энергии (доказательство признака устойчивости системы в общем случае см. в § 6.2). Рис. 6.1
§ .6,1 Собственные одномерные колебания 255 равновесия, окрестности которых имеют описанные свойства, на- называются у с т о й ч и*в ы м и. Учитывая эти свойства, кинетическую и потенциальную энер- энергии системы, а также ее диссипативную функцию можно разло- разложить в положении устойчивого равновесия [в ряд по степеням от- отклонения 'E) = q—^eq 0T этого положения и степеням скорости g=g. С точностью до величин второго порядка малости включи- включительно эти разложения имеют вид (здесь в разложении потенциальной энергии опущена несущест- несущественная постоянная U(qeq) и* учтено F.4)). Используя F.5), най- найдем приближенное уравнение Лагранжа, справедливое в малой окрестности положения устойчивого равновесия: аи1 + bnl + сп1 = °> vb-b) где а11 — all Weq/> и1\ — ui\ Weq/» сц — ( , 9 I • \ dq* } eq Уравнение,F.6) является линейным дифференциальным урав- уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если ко- коэффициент fon равен нулю или сравнительно мал, то это уравне- уравнение описывает колебания системы, называемые линейными. Стационарность сил и связей, рассматриваемых в данной задаче, приводит не только к постоянству коэффициентов уравнения F.6), но и к его однородности-, поэтому описываемые этим уравнением колебания называют собственными (или свободны- м и). Решение уравнения F.6) разыскивается, как известно, в виде F.7) Подставляя F.7) в F.6) и сокращая на общий множитель e%t, получим СД(Л) = 0, F.8) где А(к)=ац№ + Ьик+Сп. Поскольку интерес представляет нетри- нетривиальное решение (т. е. решение при С=^0), то уравнение F.8) эквивалентно следующему уравнению относительно К: а. F.9) Это уравнение называется характеристическим урав- уравнением (или уравнением частот). Вводя обозначе- обозначения 6ц/ац = 2(|х, Сп/ац = соо, запишем его в виде
256 Линейные колебания Гл. VI V + 2цХ+<й§ = 0. F,10) Значения К, удовлетворяющие характеристическому уравнению, называются собственными значениями. В одномер- одномерном случае имеем два собственных значения К: где со = у озо — И-2. Вид A,i,2 соответствует известной алгебраической теореме о том, что корни всякого многочлена с вещественными коэф- коэффициентами либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. Действительно, если соо > \i, то Хх = Я^, а если \х > соо, то Xi,2 = —M, F.12) где |Ai#2 == Ц ± V ц2 — соо (случай кратных корней, когда соо = ц-, мы рассматривать не будем). Наличие двух собственных значений X соответствует двум ча- частным независимым решениям где Ль >w2, О1) и ОТ могут быть комплексными. Если в качестве обобщенных координат выбираются действительные величины *, то в ^качестве общего решения уравнения F.6) следует взять дей- действительную часть суммы частных независимых решений |A) и ?B^: | = Re {COW + CVW}, F.13) где С^> и О2) — постоянные интегрирования, а ^ и Л2 определе- определены характеристическим уравнением F.10) **. Заметим, что двум комплексным постоянным соответствуют четыре действительные постоянные. Однако после отделения действительной части з F.13) фактически остаются две произвольные постоянные, как и должно быть в общем решении дифференциального уравнения второго порядка. Например, записывая решение F.13) в случае <оо>4и в виде | = e-^t ^ {CWe?®* + (?%-***} F.14) и учитывая, что постоянные СМ и С® всегда можно представить в форме а<2> + №, F.15) * Здесь и в дальнейшем мы будем использовать только вещественные не- независимые координаты. ** Мнимая часть суммы |п> и ?B) также будет общим решением уравнения F.6) — см. [46, с. 95]. :
§6.1 Собственные одномерные колебания 257 после отделения вещественной части найдем 6 = ?г-^(Сх coscd/ + C2sln со/), F.16) где Cj и С2 — действительные произвольные постоянные, опреде- определяемые начальными условиями. Решение F.16) легко также представить в виде I = ое-"'cos (Ы + а), F.17) где постоянные а и а связаны с постоянными С{ и С% соотноше- соотношениями а= V С\ + С\, tga = —. F.18) Решение F.17) или F.16) описывает затухающее гармоническое колебание системы. Величина мнимой части X называется собственной частотой колеба- колебаний ш, а величина действительной части X называется коэффи- коэффициентом затухания р,. В случае |л><оо общее решение F.13) «с учетом F.12) прини- принимает вид F.19) где Ci и С2 — действительные постоянные. В этом случае имеем апериодическое движение, характеризующееся двумя коэффициентами затухания. Из решений F.17) и F.19) видно, что в линейной теории соб- собственные частоты и коэффициенты затухания не зависят от на- начальных условий. Отметим еще две характерные черты линейной теории малых колебаний: в решении F.17) отсутствуют «оберто- «обертоны», т. е. частоты, кратные собственной частоте; кроме того, в силу линейности уравнения F.6) его общее решение является суммой частных решений, т. е. имеет место, как говорят, прин- принцип суперпозиции. Независимость собственной частоты и коэффициента затуха- затухания от начальных условий приводит к интересному свойству ли- нейных одномерных колебаний — к свойству изохронности. Оно заключается в том, что при равной нулю начальной скорости (|=0) время, за которое система переходит из начального поло- положения в положение равновесия, не зависит от величины началь- начального отклонения |0. Действительно, подставляя в F.17) /=0, по- получим lo = acosa, |0 = — [iacosa — coasina, откуда fl* = ^ + Jk±i^L tg«- 9 Зак. 884
258 Линейные колебания Гл. VI Полагая здесь ?0 = 0, найдем где tga=—[i/(o. Следовательно, интервал времени, за который система переходит в положение равновесия ?eq=0, равен . td = — Этот интервал не зависит от .величины отклонения go- В отсутствие затухания энер- энергия системы пропорциональна произведению квадратов ампли- амплитуды и частоты колебания. В этом нетрудно убедиться, если учесть, что при fi=0 решение F.17) описывает незатухающее гармоническое колебание Рис. 6.2 где cuo= — • Подставляя эту функцию в выражения F.5) для Т и ап и, получим F.20) Пример 6.1. Движение точки по эллипсу в среде с «линейным» сопротивлением вблизи положения устойчивого равновесия. Точка массы пг движется по гладкому эллипсу в среде с соп- сопротивлением. Полуоси эллипса равны соответственно а и Ь9 при- причем первая полуось направлена по вертикали (рис. 6.2). Найти собственную частоту и коэффициент затухания линейных колеба- колебаний точки. Согласно условию точка подчинена двум стационарным свя- связям Выберем в качестве независимой переменной параметр г|), с кото- которым декартовы координаты точки связаны соотношениями
§ 6.1 Собственные одномерные колебания 259 тогда для кинетжческой и потенциальной энергий точки получим выражения Т = — a2 (sin21|) •+ Ь2 cos2 -ф) V, U = — mgacosip, где g — напряженность поля тяжести. Предполагая, что сопро- сопротивление среды пропорционально первой степени скорости точки, выразим диссипатнвную функцию через \|э и if: D^—la2 sin* \b + b2 cos2 ib) \b2. Учитывая, что согласно F.3) и F.4) положения равновесия определяются уравнением = tnga sin i|) = 0, находим две точки равновесия: t|?eq=O и \feq=jt. В первом поло- положении потенциальная энергия минимальна, так как (—¦—) >0, а во втором положении она обладает максимумом, так как ( ] <^ о. Следовательно, первое положение равновесия \ d\f>2 /%q=n устойчиво, а второе неустойчиво. Разлагая в положении устойчивого равновесия кинетическую и потенциальную энергии, а также диссипативную функцию в ряд по степеням г|з и \|э с точностью до величины второго порядка ма- малости включительно, получим Используя эти функции, найдем линеаризованное уравнение Лаг- ранжа mb2 ij) + kb2 q> + tnga i|) = 0, представляющее собой уравнение затухающих гармонических ко- колебаний (или апериодического движения). Собственная частота и коэффициент затухания колебаний точки соответственно равны 2т В случае алериодического движения коэффициенты затухания равны 9*
260 Линейные колебания Гл. VI f 1,2 = 2m JL-V ?5Ll 2m ) Ьа J 1/2 Пример 6.2. Колебания тонки по наклонному эллипсу. Точка массы m движется по гладкому эллипсу с полуосями, равными а и Ь. Плоскость эллипса вертикальна, а полуось а от- отклонена от вертикали на угол фо. Найти собственную частоту ли- линейных колебаний точки (сопротивлением среды пренебречь). Выберем систему координат так, как это показано на рис. 6.3. Тогда уравнения связей совпадут с аналогичными уравнениями предыдущего примера, а за не- независимую переменную можно будет взять параметр г|). В таком случае кинетическая и потен- потенциальная энергии точки будут соответственно равны Т = — (a2sin2\|5 + 62со82 2$ [/== —mgr = = — mg(acos фо cos ty 4- где g — напряженность поля тя* жести. Для исследования U на экстремум находим ее первую и вторую производные. Приравни- ис" ' вая первую производную нулю, получаем уравнение ь tg^eq = tgфo, а определяющее положение равновесия i|)eq. Выбирая положение ус- устойчивого равновесия и учитывая, что вблизи этого положения БШ \|3 =5= Sltl (здесь ?=ф— сти получим 5 C0Si|5eq — , с точностью до величин второго порядка мало- малот
§ 6.1 Собственные одномерные колебания 261 Отсюда находим уравнение линейных колебаний т (a2 sin2 ^ + б2 cos2 г|)еч) % 4- и квадрат собственной частоты 6=0 Пример 6.3. Колебания точки, нахо- находящейся на горизонтальном стержне, под действием пружины. Точка массы т, движущаяся по глад- гладкому горизонтальному стержню, соедине- соединена пружиной с неподвижной точкой О, находящейся на расстоянии / от стержня. Найти частоту линейных колебаний точ- точки (жесткость и длина пружины в не- ненапряженном состоянии соответственно равны х и а, см. A.42)); пружина навита на гладкий стержень, шарнирно закреп- Рис. 6.4 ленный в точке О). Выберем систему координат так, как это показано на рис. 6.4, тогда Чтобы определить положение устойчивого равновесия, рассмотрим первую и вторую производные от U: ду = и - a) Приравнивая нулю dU получим три положения равновесия: Первое положение будет устойчивым, если
262 Линейные колебания Гл. VI т. е. будет устойчивым, если 1>а (пружина в положении равнове- равновесия растянута). Два других положения равновесия существуют, если а>/, причем эти положения устойчивы, поскольку Разлагая U в положении устойчивого равновесия yeq=0t получим U = f (l-a? + -f- (l - -*-) у'(I >a), а в двух других положениях где i^y Используя эти выражения для ?/, найдем квадраты частот ли- линейных колебаний точки в окрестностях указанных выше положе- положений: Как видно, при разных соотношениях а и / возможны различные положения устойчивого равновесия и соответственно различные частоты колебаний. § 6.2. Положение устойчивого равновесия Теория собственных линейных колебаний системы с 5 степе- степенями свободы во многом аналогична теории одномерных колеба- колебаний. В этой теории предполагается, что связи, наложенные на си- систему, идеальны, голономны и стационарны, а заданные силы явно от времени не зависят; кроме того, предполагается, что система обладает по крайней мере одним положением устойчивого равно- весия. Существо этой теории сводится к линеаризации уравнений Ла- гранжа в окрестности положения устойчивого равновесия. Поэто- Поэтому исследование, собственных колебаний нужно начинать с оты- отыскания таких положений, Прежде всего напомним, что необходи- необходимым и достаточным условием равновесия механической системы с голономными идеальными связями является обращение в нуль всех обобщенных сил в некотором положении — положении рав- равновесия (<7j)eq (/=^1, 2, ..., s) (см. E.54)). Приведем это условие
§ 6.2 Положение устойчивого равновесия 263 в более общем случае, когда обобщенные силы зависят не толь- только от координат q, но. и от скоростей q: <,=(,,)eq ?s=(,s)eq;;,=...4=o =0 (/=1,2,..., s). F.21) Таким образом, состояние равновесия характеризуется 25 вели- величинами: <7j=(<7j)eq и <7j==0 (/=1, 2,...,5). Это состояние может быть представлено в виде точки 25-мерного пространства обоб- обобщенных координат и скоростей. Определим положение устойчивого равновесия. Пусть для сколь угодно малых наперед заданных положительных величин eq и е* можно найти такие положительные величины 6q ud'Q, что для любого момента времени t^U отклонения q—( от положения равновесия и скорости q будут удовлетворять не- неравенствам I Qi - (<7/)eq|< V \q, |< e*. (/ = 1, 2, ... f s)9* F.22) если только отклонения и скорости в начальный момент времени удовлетворяют неравенствам I<7/o-(<7/)eqI < б,., | qj01< 6-^ (/ = 1, 2, ... , 8) F.23) (величины &q и 8gt конечно, зависят от наперед заданных вели- величин sq к Eg) *. Тогда положение равновесия (q)eq называется устойчивым. (Для краткости окрестность состояния равновесия в 25-мерном пространстве, определяемую условием F.22), назовем г-окрестностью «точки» qeqt а окрестность, определяемую F.23), д-окрестностью этой «точки»). Достаточный признак устойчивости положе- положения равновесия механической системы относи- относительно инерциальной системы отсчета устанав- устанавливается следующей теоремой. Пусть идеальные голономные свя- связи, наложенные на систему, стационарны, заданные силы явно от времени не зависят, а потенциальная энергия системы в некотором положении обладает изолированным минимумом; тогда это поло- положение будет положением устойчивого равновесия. Минимум по- потенциальной энергии U называется изолированным, если в неко- некоторой окрестности положения qeq, в котором энергия минимальна, нет других экстремальных «точек» функции 1). Иначе говоря, ми- минимум будет изолированным, если при * Здесь» символом гЙ обозначена совокупность величин е^, е^, ... , zq : сим- символом z-q — совокупность е^, е^2> ... , 8^ и т. д. В дальнейшем везде сово- совокупность s величин будем обозначать соответствующим символом без индекса /.
264 Линейные колебания Гл. VI . |<7/-(<7/Ы<Д/ (/=1,2 s) (положительные величины Д определяют окрестность минимума), потенциальная энергия удовлетворяет условию а равенство имеет место только в том случае, когда qj—{qj)eq (/=1,2, ..., s). Сначала докажем сформулированную теорему, предполагая, что диссипативные силы отсутствуют, т. е. предполагая, что пол- полная энергия системы сохраняется (Е=Ео). Положение qeq, в ко- котором потенциальная энергия системы минимальна, является по- положением равновесия. В самом деле, обобщенные силы, прило- приложенные к системе, покоящейся в этом положении, равны нулю (см. E.76) и F.21)): Так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной, то, полагая ?/(<7ieq, ..., <7seq)=0, из условия теоремы получим У foi. -...*.)> О, F.24) если \q$—<7jeq|<Aj (/=1, 2,..., s) (здесь равенство имеет место только в том случае, если все <7j=<7jeq). Из условия стационарно- стационарности связей вытекает, что кинетическая энергия является положи- положительно определенной формой обобщенных скоростей (см. E.55) и E.56)), т. е. Т = 7<2> > 0, F.25) причем Т равняется нулю только в том случае, если все qj=O. Из F.24) и F.25) следует, что в А-окрестности E^T + U>0, F,26) а равенство имеет место только в том случае, когда все отклоне- отклонения от положения равновесия и скорости равны нулю, т. е. ^ = = ^jeq и #j=0 (/=1, 2, ..., s). Итак, из условия теоремы (в от- отсутствие диосипативных сил) вытекает, что полная энергия систе-' мы при ее перемещениях сохраняется, а как функция обобщенных координат и скоростей имеет изолированный минимум в 25-мер- 25-мерной точке q=qeq, q=0. . Зададим некоторую е-окрестность состояния равновесия, т. е. зададим сколь угодно малые величины eq и ej:
§ 6.2 Положение устойчивого равновесия 265 Д/>в„>0, е;7>0 (/=1,2 s). F.27) Точки, лежащие на границе этой окрестности, определяются таки- такими значениями отклонений и скоростей, когда по крайней мере одно отклонение q$—(qj)eq равняется eq. или хотя бы одна ско- скорость <7/ равна Вд, а остальные отклонения и скорости удовлет- удовлетворяют условиям Полную энергию как функцию «точки», лежащей на указанной границе, обозначим символом Ее. В силу непрерывности эта функ- функция имеет как максимальное значение max EB) так и минималь- минимальное значение min Ее [44, с. 246—247]. Теперь выберем такую 6-окрестность состояния равновесия, чтобы выполнялось неравенство тах?б< min?e, F.28) где Eq — значения полной энергии на границе б-окрестности. Та- Такой выбор возможен, так как непрерывная функция Е обращает- обращается в нуль только при Qj=(qj)eq, <7/ = 0 (/=1, 2, ..., s), а другие экстремальные «точки» в рассматриваемой Д-окрестности отсутст- отсутствуют. Наконец, подчиним начальные условия неравенствам F.23), где совокупность величин 6д и б^ удовлетворяет требованию F.28). Тогда ?о<тах Е& (такой выбор начальных условий воз- возможен в,силу тех же причин). Таким образом, для заданной сколь угодно малой е-окрестности положения qeq всегда может быть найдена такая б-окрестность и такие начальные условия, чтобы Е = ?0 < max E6 < minEe. F.29) Следовательно, в любой момент времени ?<min E8. Это озна- означает., что ни одна из обобщенных координат и скоростей системы с течением времени не достигает границ 8-окрестности, так как на границе E=Ee^min Ee, что и доказывает теорему в отсутствие диссипативных сил. Для иллюстрации рассмотрим доказательство теоремы на ча- частном примере циклоидального маятника (см. пример 5.4). Энер« гия такого маятника равна
266 Линейные колебания Гл. VI где oJ=g"/4/?, as — длина пути точки, отсчитываемая от положе- положения равновесия 5=0. Зададимся е-окрестностью состояния равно- равновесия, т. е. возьмем сколь угодно малые величины е, удовлетво- удовлетворяющие неравенствам 4i?>es>0, es- >0 (для определенности бу- будем считать, что е| < co28s). Поскольку движение в данном слу- случае одномерное, состояние маятника можно изобразить на плос- плоскости, откладывая по одной оси координату s, а по другой — обобщенную скорость s. Тогда границей е-окрестности будет гра- граница прямоугольника (рис. 6.5). В точках 1 этой границы функ- функция Ег достигает своего максимального значения а в точ- В точках 2 функция ?8 принимает значение (m/2)co28s ках 3 ?еимеет минимальное значение т . г, т пип?8= — Аналогично максимальное значение энергии на границе б-окрестности равно max?e = —F? +co26s2). Подберем 8S и 8's так, чтобы выпол- выполнялось неравенство F.28): Рис. 6.5 Очевидно, что этот подбор б-окрестности можно осуществить при любом сколь угодно малом %. При этом «траектория» точки (эллипс) в плоскости (s, 5) будет лежать внутри эллипса, соот- соответствующего max ?б, если в начальный, момент времени точка находится внутри б-окрестности. Доказательство достаточного признака устойчивости положе- положения равновесия было проверено без учета диссипативных сил. Ес- Если эти силы присутствуют, то полная энергия системы убывает. Следовательно, повторяя доказательство, вместо F.29) получим
§ 6.2 Положение устойчивого равновесия 267 Е < Ео < max E6 F.30) откуда и вытекает справедливость теоремы. Можно также сформулировать достаточный признак устойчи- устойчивости относительно неинерциальной системы отсчета. В этом слу- случае к условию теоремы нужно добавить требования постоянства vfcy — ускорения начала неинерциальной системы и со — ее угло- угловой скорости. Такое заключение вытекает из закона изменения энергии относительно неинерциальной системы отсчета, который в рассматриваемом случае по форме совпадает с уравнением D.83), полученным для свободных систем (совпадение имеет ме- место, поскольку мощность реакций идеальных стационарных свя- связей равна нулю). Заметим, что наряду с признаком устойчивости положения рав- равновесия большое значение имеют признаки неустойчивости; они в ряде важных случаев устанавливаются теоремами Ляпунова и Четаева [30, 23]. Пример 6.4. Положение устойчивого равновесия материальной точки, подвешенной на пружине. Точка массы m подвешена на пружине жесткости % и длины а в ненапряженном состоянии. Определим положение устойчиво- устойчивого равновесия точки (напряжен- (напряженность поля тяготения равна g). Выберем систему координат так, как. это показано на рис. 6.6, а в качестве независимых коорди- координат возьмем полярные координа- координаты р и ф. Тогда потенциальная энергия, равная сумме энергии точки в поле тяготения и энер- энергии упругой деформации пружи- пружины, имеет вид рис> е.6 U = — rng p cos ф + — (р - аJ. Для отыскания положения устойчивого равновесия найдем пер- первые и вторые производные от U по р и ф: JMJ- = —mg cos q> + и (р — а), dp дер 6U дф d2U =-nig р sin у,
268 Линейные колебания Гл. VI Приравнивая первые производные нулю, определим положения равновесия. Одно из них, а именно положение Peq = а + -2?-f q>eq = 0, является устойчивым. Действительно, в этом положении вторые производные равны eq \вф» jeq и удовлетворяют неравенствам >о eq \ ар" /eq \ df» /eq что свидетельствует о наличии изолированного минимума потен- потенциальной энергии [44, гл. 14, § 6]. Другое положение равновесия peq = п как нетрудно убедиться, является неустойчивым. Пример 6.5. Колебания точки на вращающемся стержне. Точка массы m движется по гладкому тонкому стержню, вра- вращающемуся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через неподвижную точку стержня О. Ось и материальная точка соединены между собой пружиной жесткости к и длины а в ненапряженном состоянии (см. .A.42)). Определить собственную частоту колебаний точки около положения устойчивого равновесия. Напишем обобщенный потенциал в неинерциальной системе отсчета Ох'у' (см. рис. 1.14, в и формулу E.100)). Bi рассматри- рассматриваемом случае векторы [cor'] и v' перпендикулярны, следовательно, обобщенный потенциал сводится к потенциальной энергии в поле упругой силы и центробежной силы инерции: U' =*-(х'—а)* — —со2 ж'2. 2 Ч ; 2 Отсюда, приравнивая первую производную от V по хг нулю, по- получим положение равновесия '~ ка eQ к — тсо2 Это положение существует и будет устойчивым, если угловая ско- скорость удовлетворяет условию со2<к/m. Выражая U' через откло- отклонение \=xf—x'eq и отбрасывая несущественную постоянную, по- получим
§6.2 Положение устойчивого равновесия 269 Используя это выражение и выражение кинетической энергии от* носительно Ох'у' найдем уравнение Лагранжа (см. E.101)) tni + (n — mco2)?-=0. При оJ<х/т решение этого уравнения описывает гармоническое колебание точки с частотой, равной Пример 6.6. Колебания точки на вращающемся эллипсе. Точка массы m движется по гладкому эллипсу с полуося- полуосями а и Ь. Эллипс вращается с постоянной угловой ско- скоростью' со вокруг вертикальной оси, совпадающей с одной из его полуосей (рис. 6.7). Най- Найти частоту линейных колеба- колебаний точки. Выберем инерциальную систему Oxyz и неинерциаль- У ную систему Oxryrzr так, как это показано на рис. 6.7. В ка- качестве независимой перемен- переменной используем безразмерный параметр v|), определяемый функциями х z z Рис. 6.7 х' = a sin \|), z = &cos\|). Тогда кинетическая энергия относительно системы S' Т' = —( равна а обобщенный потенциал сводится к потенциальной энергии точ- точки в поле тяжести и в поле центробежной силы инерции: ?/' = — mgbcos ^ — — со2 a2 sin2 \|>. Приравнивая нулю первую производную от U' по г]), найдем положения равновесия
270Линейные колебанияГл. VI -феч = о, я Рассматривая в этих точках значения второй производной от V по -ф, получим, что положение i|)eq=0 устойчиво, если gb>co2a2 (в противном случае оно неустойчиво); положения, определяемые равенством cos 11^ = ——, устойчивы, если ?&<ю2а2, если же ©ааа gb>(u2a2, то этих положений равновесия не существует; что ка- касается положения \|)eq=:rc, то оно в любом случае неустойчиво. Предполагая, что gb>(o2a2y разложим Т и U' в положении устойчивого равновесия \|?eq=0. В результате с точностью до чле- членов второго порядка малости включительно получим (см. F.5)) Г = — a2aj>?, [/' = — (gb — со2 a2) f>. Далее, используя и F.6) — F.11), найдем частоту соо колебаний около положения $eq=0: соо = Если же gb<co2a2, то Т и U' следует разлагать в точках, опре- определяемых равенством cos\|)eq=gb/oJa2. Тогда Г = — (a2 COS2 \J?eq + Ь2 Sitl2 l|?eq)i2, где |=г|з—\peq. Частота колебаний около рассматриваемого поло- положения равновесия будет равна а Г }-cos^eq -11/2 (здесь cos ipeq определен выше). § 6.3. Собственные и главные колебания системы под действием потенциальных сил Рассмотрим несвободную систему с идеальными "голономными стационарными связями и 5 степенями свободы, предполагая, что заданные силы, действующие на точки системы, потенциальны и стационарны, а у системы есть хотя бы одно положение устойчи- устойчивого равновесия. Покажем, что в достаточно малой окрестности
§ 6.3 Собственные и главные колебания системы 271 такого положения каждая независимая координата системы как функция времени может быть представлена в виде суммы гармо- гармонических функций, изменяющихся во времени с частотами, кото- которые определяются свойствами системы, связей и заданных сил. В силу стационарности связей s где ajk = akj (см. E.55) — E.57)), а в силу стационарности задан- з