Author: Джексон Д. Гульден Я.
Tags: комбинаторный анализ теория графов теория вероятностей математическая статистика математика комбинаторика
ISBN: 5-02-013967-Х
Year: 1990
Text
Я. ГУЛЬДЕН, Д. ДЖЕКСОН
ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
КОМБИНАТОРИКА
Перевод с английского
Ю. В. БОЛОТНИКОВА и А. Е. ЖУКОВА
Под редакцией В. Е. ТАРАКАНОВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ /^~~~ ~
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ( 777
1990 V^_
ББК 22.174
Г94
УДК 519.115
COMBINATORIAL
ENUMERATION
I. P. GOULDEN AND D. M. JACKSON
Department of Combinatorics and
Optimization
University of Waterloo
Ontario, Canada
With a Foreword by Gian-Garlo Rota
A Wiley-Inrescience Publication
John Wiley & Sons
New York • Chichester . Brisbane ¦ Toronto ¦
Singapore
Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика: Пер.
с аыгл./Под ред. В. Е. Тараканова.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1990.— 504 с— ISBN 5-02-013967-Х.
Охватывается ряд актуальных вопросов перечислительной комбинато-
комбинаторики, интенсивно развивающейся в последние годы. Стержнем книги яв-
является метод производящих функций, причем производящая функция рас-
рассматривается как формальный степенной ряд. Отражаются также такие
разделы комбинаторной математики, как комбинаторные последовательности,
геория обращения Лагранжа и др,
Для научных работников в области дискретной математики, информатики,
а также для студентов и аспирантов, обучающихся по специальностям
«Математика» и «Прикладная математика».
Ил. 65. Библиогр. 247 пазв.
1602100000—019
053@2)-90 15"89
ISBN 5-02-013967-Х
1983 by John Wiley & Sons Ltd.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы,
перевод на русский язык,
предисловие редактора перевода,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 4
Предисловие °
От авторов 9
Глава 1. Основные понятия и определения 11
§ 1,1. Кольцо формальных степенных рядов 11
§ 1.2. Теорема Лагранжа для неявных функций 24
Глава 2. Комбинаторика обыкновенных производящих функций . . 3?
§ 2.1. Введение 37
§ 2.2. Элементарные перечислителыше леммы 40
§ 2.3. Предварительные примеры 56
§ 2.4. Последовательности 69
§ 2.5. Разбиения целых чисел 85
5 2.6. Инверсии в перестановках и g-тождества 100
§ 2.7. Плоские деревья с висячим корнем 114
I 2.8. Последовательности с выделенными подцепями .... 132
§ 2.9. Корневые плоские карты и квадратичный метод . . . 141
Глава 3. Комбинаторика экспоненциальных производящих функций 161
§ 3.1. Введение 161
§ 3.2. Элементарные перечислительные леммы 163
§ 3.3. Деревья и циклы в перестановках и функциях .... 170
§ 3.4. 2-покрытия множества и гомеоморфно неприводимые по-
помеченные графы 195
§ 3.5. Нахождение коэффициентов симметрических функций . . 210
Глава 4. Комбинаторика последовательностей , 225
§ 4.1. Введение 225
§ 4.2. Теорема о максимальном цепном представлении .... 226
§ 4.3. Алгебра схем 237
§ 4.4. Логарифмическая связь для циклических перестановок . . 258
§ 4.5. Перманенты и безусловные проблемы 269
Глава 5. Комбинаторика путей 278
§ 5.1. Введение ! 278
§ 5.2. Взвешенные пути 279
§ 5.3. Пути на решетке . 299
§ 5.4. Упорядоченные множества путей 301
§ 5.5. g-аналог теоремы Лагранжа 314
Решения задач 322"
Список обозначений 493
Список литературы 495
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Общепризнано, что метод производящих функций был и оста-
остается наиболее эффективным средством решения перечислительных
комбинаторных задач. В самом деле, ъ таких задачах речь идет о
нахождении числа тех или иных конфигураций из элементов неко-
некоторого конечного множества. При этом мощность множества, как
правило, представляет собой основной параметр задачи, а конкрет-
конкретные ее условия обычно выражаются также через те или иные
числовые характеристики. Тем самым решение перечислительной
задачи естественным образом оказывается связанным с изучением
свойств числовых последовательностей, зависящих от нескольких
натуральных параметров. Рассмотрение производящей функции,
т. е. формального степенного ряда от одной или нескольких пере-
переменных, дает возможность представить в свернутом виде наиболее
существенную информацию о числовых последовательностях, свя-
связанных с данной перечислительной задачей.
Однако при всей его значимости метод производящих функций
долгое время не имел под собой достаточно широкой и надежной
основы. Слишком мало существовало общих приемов получения
производящих функций, а имевшиеся правила не носили система-
систематизированного характера. Это делало нахождение производящих
функций своего рода искусством, требующим специфических навы-
навыков и интуиции. Такое положение дел отражено в ряде известных
монографий по перечислительной комбинаторике. В числе лучших
подобных книг, имеющихся на русском языке, следует прежде все-
всего упомянуть «Введение в комбинаторный анализ» Дж. Риордана
(Riordan J.,1958). Появление в 1963 г. русского перевода этой мо-
монографии было заметным явлением, и книга надолго осталась од-
одним из наиболее авторитетных руководств по теории перечисления.
Но с тех пор в комбинаторике, в том числе и перечислительной,
произошли значительные изменения. Они выразились, с одной сто-
стороны, в получении большого числа новых конкретных перечисли-
перечислительных результатов, относящихся к разнообразным комбинаторным
объектам. С другой стороны, были развиты дальнейшие подходы
к перечислительным задачам, обогатившие комбинаторику, в том
числе и метод производящих функций, новыми связями с алгеброй,
анализом и теорией вероятностей. И, наконец, стали все более про-
проявляться принципиальные, логико-алгебраические основы теории
перечисления. Из них некоторые восходят еще к началу века,
к классической монографии Макмагона «Комбинаторный анализ»
(MacMahon, 1915). Другие стали отчетливо осознаваться лишь в
недавнее время.
Монографию Гульдена и Джексона Ложно рассматривать как
новую попытку систематического изложения перечислительной ком-
комбинаторики при опоре на метод производящих функций, которая
осуществляется на современном материале с привлечением весьма
оригинальных средств. Эта книга дает возможность оценить богат-
богатство современной перечислительной теории, разнообразие и силу
ее результатов. С другой стороны, авторы постарались поставить
вопросы о производящих функциях на возможно более прочный
фундамент. С помощью четких, систематизированных правил им
часто удается свести построение производящих функций к выводу
их из некоторого множества наиболее простых производящих функ-
функций. Эти правила осуществляются с помощью сравнительно не-
несложных операций с формальными степенными рядами: сложения,
умножения, подстановки одного ряда ,в другой (композиции) и диф-
дифференцирования. Упомянутые операции применяются как к обык-
обыкновенным (в гл. 2), так и к экспоненциальным (в гл. 3) произво-
производящим функциям. Ковкретпый выбор действий с формальными
стеленными рядами связан с тем, что конфигурации, которые нам
нужно перечислить, представляются через более простые конфигу-
конфигурации с помощью четырех специфических операций над конфигу-
конфигурациями, которые носят те же, по существу, названия, что и соот-
соответствующие им операции с рядами:, «непересекающееся объедине-
объединение», «произведение», «композиция», «дифференцирование». Фак-
Фактически мы имеем дело со стандартными способами, позволяю-
позволяющими из одних более простых конфигураций получать нужные нам
составные, причем тот или иной способ построения отражается в
соответствующих, перечисленных выше, действиях с формальными
степенными рядами. Такой подход к построению производящих
функций является «краеугольным камнем» методологии авторов и
весьма последовательно проводится на протяжении всей книги.
Касаясь общего характера книги, следует подчеркнуть, что она
рассчитана на весьма широкий круг читателей. Освоение первых
трех глав по силам фактически всем интересующимся дискретной
математикой и прошедшим подготовку в объеме курса высшей ма-
математики технических вузов. Эти главы дают возможность овладеть
техникой построения производящих функций, о которой говорилось
выше,— низводящей .«искусство» получения производящих функций
до не слишком сложных манипуляций с формальными степенными
рядами. Кроме того в этих главах и упражнениях к ним содер-
содержатся многочисленные конкретные результаты, классические и сов-
современные, по перечислению всевозможных комбинаторных конфи-
конфигураций — последовательностей, матриц, разбиений, графов и т. п.
Здесь будет уместно сказать об одной своеобразной черте изло-
изложения: ксе результаты принципиального характера авторы сосре-
сосредоточивают в основной части каждой из глав книги. Но кроме
итого в каждом параграфе имеется большое число задач, решения
Которых приведены в конце книги. Материал этих разделов отнюдь
вге является произвольным добавком, он составляет неотъемлемую
часть монографии. Едва ли авторы рассчитывали, что читатель
будет в состоянии решить самостоятельно каждую из приведенных
задач. В самом деле, наряду с традиционными упражнениями,
в разделах'«Задачи» мы можем встретить немалое число трудных
для решения конкретных перечислительных проблем. Таким обра-
образом, разделы «Задачи» служат не только целям закрепления у чи-
читателя определенных знаний и навыков, но и средством существен-
существенного обогащения основного текста - значимыми математическими
результатами, иллюстрирующими силу изложенных методов.
Вместе с традиционным материалом в книге содержится целый
ряд новых интересных результатов по теории перечисления. Они
сосредоточены, главным образом, в последних двух главах «Комби-
«Комбинаторика последовательностей» (гл. 4) и «Комбинаторика путей»
(гл. 5), хотя примеры новых результатов и новых подходов к из-
известным фактам появляются и раньше. Упомянем в этой связи
сжатое изложение вопросов, связанных с теоремой Лагранжа (§1.2,
гл. 1). Последние две главы обращены преимущественно к науч-
научным работникам, творчески занимающимся перечислительной ком-
комбинаторикой. Здесь систематически излагается целый ряд различ-
различных результатов (в том числе и самих авторов), бывших до сих
пор доступными лишь по журнальным публикациям.
Так в гл. 4 читатель найдет (впервые на русском языке) изло-
изложение проблем, связанных с комбинаторикой последовательностей,
в частности, о перестановках с условиями на возрастание я убыва-
убывание их элементов. Следует отметить, что последовательная и ори-
оригинальная трактовка возникающих ситуации с помощью матриц
инцидентности и алгебры схем позволила в едином виде предста-
представить многие сложные вопросы, относящиеся к последовательностям.
Среди результатов этой главы необходимо упомянуть теорему ав-
авторов о логарифмической связи, позволяющую ¦свести изучение
перестановок с отношением соседства между крайними элементами
к производящим функциям для соответствующих обычных пере-
перестановок. Немало нового и интересного содержится в гл. 5, посвя-
посвященной перечислению путей на целочисленной плоской решетке.
Здесь последовательно развивается подход, открытый в недавнее
время Флажоле, при котором обыкновенная производящая функция
выражается в виде цепной дроби. С его помощью, а также исполь-
используя полученные в последнее время алгоритмы, удается охватить
большое число интересных частных случаев перечисления путей
в зависимости от таких характеристик, как высоты, уровни, веса
¦(правда, при условии ограничения шагов лишь тремя типами). Ха-
Характерной особенностью этой главы является прослеживание связи
между путями на целочисленной решетке и перестановками. Эту
связь дает представление Франсона — Вьенно. Ряд перечислитель-
пых вопросов о путях более общего вида, путях с отражающим
экраном и, в связи с ними, о плоских разбиениях с ограничениями
6
на величину и расположение частей излагается на основе недавних
результатов Гессель и Вьенно.
Из вопросов, не нашедших отражения в книге, обращает на
себя внимание отсутствие теории перечисления с помощью цикло-
цикловых индексов групп, принадлежащей Редфилду — Пойа — де Брей-
ну, о которой имеются лишь беглые упоминания. Мало внимания
авторы уделяют асимптотическим методам. Не вошли в книгу так-
также интересные результаты по теневым операторам и последователь-
последовательностям биномиального типа, полученные в 70—80-х годах.
На русском языке имеется пока немного книг по перечисли-
перечислительной комбинаторике. Укажем здесь прежде всего книги
В. Н. Сачкова (Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискрет-
дискретной математики.—М.: Наука, 1977. Сачков В. Н. Вероятност-
Вероятностные методы в комбинаторном анализе.— М.; Наука, 197$). Ряд
перечислительных результатов можно найти в книге К. А. Рыбни-
Рыбникова (Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — М.:
Изд-во МГУ, 1985), а также в известных переводных монрграфиях
Дж. Райзера (Ра из ер Г. Дж. Комбинаторная математика.— М.:
Мир, 1966) и М.Холла (ХоллМ. Комбинаторика.—М.: Мир, 1970).
Перечисление графов подробно изложено в книге Харари и Палмег
pa (Harary F., Palmer E., 1973). Монография Гульдена и Джексо-
Джексона, без сомнения, существенно обогатит комбинаторную литературу
на русском языке. Последовательное, систематическое изложение,
основанное на едином общем принципе, широкий охват разнообраз-
разнообразного круга вопросов — от классических до самых современных, от
простейших до наиболее запутанных и сложных, от тех, что необ-
необходимы специалисту практику, до тех, что интересны пока лишь
«чистым» математикам — позволяют назвать ее подлинной энцик-
энциклопедией перечислительной комбинаторики. Она безусловно прине-
принесет пользу самым разным читателям — от студентов до высококва-
высококвалифицированных специалистов.
Отметим в заключение, что при цереводе и редактировании кни-
книги обнаружились некоторые неточности и опечатки. Соответствую-
Соответствующие исправления внесены в текст, как правило, без специальных
примечаний.
В. Е. Тараканов
ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие математики можно рассматривать как движение от
бесконечного к конечному. Вначале возможности какой-либо тео-
теории, например, теории перечисления, кая;утся безграничными. Од-
Однако способы перечисления множеств, подчиненных тем или иным
условиям (комбинаторных объектов, как их обычно называют),
приводят к необозримому множеству соотношений и к поистине
хаотическому разнообразию производящих функций. Можно даже
заподозрить, что класс объектов, которые могут быть перечислены
по отношению к некоторому общему свойству, в самом деле не
поддается описанию и классификации.
Вместе с тем по мере перехода от одного случая к другому мы
все чаще сталкиваемся с типичными моделями. Причудливые при-
примеры отбрасываются, неразрешимые задачи обособляются, а все
остальное упорядочивается по нескольким общим принципам.
Безусловно, нам хотелось бы свести все эти принципы к одно-
одному единственному, но в конечном счете мы вынуждены довольство-
довольствоваться небольшим их числом.
Именно так и обстоят дела с теорией перечисления, что показа-
показали Джексон и Гульден в своей книге. Имеются две основные схемы,
с которыми связаны обыкновенные и экспоненциальные производя-
производящие функции: первые используются при перечислении непомечен-
непомеченных или же линейно упорядоченных объектов, вторые — для пере-
перечисления помеченных объектов. Наиболее глубокие перечислитель-
перечислительные результаты получаются с помощью различных комбинаторных
интерпретаций формулы обращения Лагранжа. Характерным при-
примером служит перечисление перестановок, удовлетворяющих раз-
различным геометрическим условиям. А введение при перечислении
перестановок дополнительного параметра естественным образом
приводит к g-аналогам — все еще достаточно таинственным
объектаги.
Наконец, имеется связь между циклическим перечислением и
экспоненциальными производящими функциями. Как и другие во-
вопросы, она весьма подробно излагается авторами и иллюстрирует-
иллюстрируется большим количеством примеров. Книга Гульдена и Джексона,
несомненно, станет настольной книгой каждого специалиста по
комбинаторике.
Кембридж, Массачусетс
Апрель, 1983 Джан-Карло Рота
Нашим родителям
и профессору Г. Метъюзу
ОТ АВТОРОВ
На протяжении последнего столетия, по мере осознания роли
дискретных структур в математике, происходило бурное развитие
теории перечисления. Работа по математическому обоснованию этой
теории была начата монографией Макмагона «Combinatory Analy-
Analysis» A915 г.) и серией статей Рота «On the Foundations of Combi-
Combinatorial Theory», публиковавшихся с 1964 г., и проходила под их
идейным влиянием. Основной целью нашей книги является попыт-
попытка выработать единый взгляд на применение метода производящих
функций в перечислительных задачах, приведя при этом достаточ-
достаточно представительный набор конкретных результатов. Положения
теории мы старались проиллюстрировать целым рядом примеров,
позволяющих выявить степень общности и тонкости применяемых
методов. Книга рассчитана не только на специалистов по комбина-
комбинаторике, но и на математиков других специальностей, а также на
физиков д кибернетиков, в работе которых могут встречаться за-
задачи рассматриваемого здесь типа. Отметим, что значительную
часть материала, вошедшего в книгу, можно было найти лишь в
журнальных статьях.
В основе нашего подхода к перечислительным задачам лежит
следующий простой принцип. Вначале с помощью тех или иных
комбинаторных соображений устанавливаются взаимно однозначные
соответствия (называемые представлениями) между множествами
различных дискретных структур, откуда затем выводятся функцио-
функциональные соотношения между производящими функциями для со-
соответствующих множеств. При этом тип производящей функции
(обыкновенная в гл. 2 или экспоненциальная в гл. 3) выбирается
в зависимости от используемого представления. Оперируя с про-
производящими функциями, мы пользуемся результатами из анализа
и линейной алгебры, относящимися к кольцу формальных степену
ных рядов и рядов Лорана. Они приводятся в гл. 1.
В книге рассматриваются различные комбинаторные структуры,
такие "как перестановки, последовательности, разбиения целых чи-
чисел, деревья, карты, плоские разбиения, пути на решетках. Приме-
Примеры, которые приводятся после каждого представления, подобраны
так, чтобы проиллюстрировать все разнообразие перечислительных
результатов, получаемых из данного представления. Ко многим из
этих результатов можно прийти по-другому и при этом иногда да-
даже более просто, если воспользоваться методами, подходящими
9
именно к данной задаче. Однако такие методы бывает довольно
трудно обнаружить, не зная заранее конечного результата; при
этом, как правило, хуже выявляются связи между отдельными
задачами.
Раздел «Задачи» в каждом параграфе представляет собой свод-
сводку дополнительных результатов, не вошедших в основной текст.
В конце книги приводится детальное решение всех задач с целью
побудить читателя к дальнейшему освоению материала. В одних
задачах требуется найти новые представления, в других развива-
развиваются и обобщаются идеи, содержащиеся в основном тексте, а так-
также совершенствуются технические приемы — как комбинаторные,
так и алгебраические.
Мы не пытались дать полную библиографию по исследуемой
тематике и ограничились списком лишь тех работ, которые или
тесно связаны с ключевыми моментами изложения, или представ-
представляют собой более детальное исследование тех или иных частных
вопросов. В примечаниях к каждому параграфу ссылки этих двух
типов для краткости не различаются.
Неизбежно пришлось обойти вниманием целый ряд важных об-
областей перечислительной теории. В их число попали алгебры инци-
инцидентности', теоретико-кольцевые методы, теория хроматических мно-
•гочленов, асимптотики, корневые системы, перечисление графов.
Каждая из этих областей заслуживает специального исследования.
В процессе работы над книгой нам очень помогли, беседы
с друзьями и коллегами. В частности, мы хотим поблагодарить Джо-
тковича, Флажоле, Гессель, Ги, Лоуренса, Манделя, Стэнли и Уор-
молда. Один из авторов (Джексон) считает своим долгом выразить
свою признательность покойному доктору Миллеру за поддержку
проекта данной книги, а также благодарит факультет теоретиче-
теоретической математики и математической статистики Кембриджского уни-
университета, Вычислительную лабораторию того же университета и
Национальный институт исследований по информатике и автома-
автоматике (Париж) за гостеприимство и радушие, проявленные ими в
¦течение, целого ряда лет. Наконец, мы благодарим мисс Эмбро и
мисс Тамовски за долглй и — временами — нелегкий труд по под-
подготовке к печати рукописи книги, а Г. Д. Л. Найта — за иллюстра-
иллюстрации к ней.
Ватерлоо, Онтарио
Апрель, 1983 г. Гульден, Джексон
«Если имеется функция А от од-
яой переменной t, которую. можно
разложить в ряд по степеням этой
переменной, то-коэффициент, стоящий
при какой-либо из степеней, будет
функцией от соответствующего пока-
показателя степени или индекса. Тогда
функция А есть то, что я называю
производящей функцией этого коэф-
коэффициента или функцией индекса.»
Лаплас, 1795 г. Собрание
сочинений
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 1.1. Кольцо формальных степенных рядов
1.1.1. Формальные степенные ряды. Пусть R — кольцо с едини-
единицей. Характеристикой кольца R называется наименьшее положи-
положительное целое число п такое, что па = а+... + а = 0 для всех ае
е R. Характеристика кольца R равна нулю, если из равенства па = О
п eZ,asR) следует, что либо п = О, либо а = 0.
Пусть x = {a;i, x%, ...} — множество коммутирующих формаль-
формальных переменных и пусть
Элементы этого множества называются формальными степенными
рядами *),' а выражение х1 называется одночленом. Пусть симво-
символы + и ¦ обозначают операции сложения и, соответственно, умно-
умножения формальных степенных рядов. Тогда множество R[[x]j с опе-
операциями + и • является кольцом, единицей этого кольца будет
элемент х°. Это кольцо, которое .для краткости обычно обозначается
через R{j[x]], является кольцом без делителей нуля тогда и только
тогда, когда кольцо R не имеет делителей нуля. Если у s x, то
кольцо R[[y]] является подкольцом кольца R[[x]]; кольцо R также
является подкольцом R[[x]] в силу того, что каждый элемент rsR
можно отождествить с элементом rx eR[[x]].
1.1.2. Коэффициентный оператор. Пусть /(х) = 2 CiX!eR[[x]].
Тогда Ci называется коэффициентом при х1 в степенном ряде
/ (х), а кольцо R — кольцом коэффициентов для кольца R[[x]].
Рассмотрим для каких-либо i отображение
[х1]: R[[x]]-*R: f~ct.
Такое отображение [х ] называется коэффициентным оператором
*) Далее в книге формальные степенные ряды будут для краткости назы-
называться степенными рядами или даже просто рядами. (Примеч. пер.)
11
на R[[x]]. Постоянный член ряда / равняется [х ] / и часто обозна-
обозначается через /@). Пусть
R [[х]]х = l/e R[[x]] | существует (/(О))}.
Мы вскоре увидим, что эти два подмножества кольца R[[x]] чрез-
чрезвычайно важны. Многочленами называются элементы кольца R[[x]]
с конечным числом ненулевых коэффициентов. Множество всех
многочленов, содержащихся в кольце R [ [х] ], обозначается R [х].
Пусть х = у и z — разбиение множества х. Каждый степенной
ряд из кольца R{(xJ] можно единственным образом рассматривать
как формальный степенной ряд от переменных z с коэффициента-
коэффициентами из кольца R[[y]] и, таким образом, R[[x]] = (R[[y]])[{z]]. Ясно,
что коэффициент при z1 в степенном ряде /(х) зависит от кольца
коэффициентов. Мы условимся считать, что [z1] /(х) = [z1] F(х), где
F(x)e(R[[y]])[[z]] является образом элемента /(x)eR[[y, z]] при
естественном изоморфизме между кольцами R[[x]] и R{|y, z]j. Так,
например, в силу принятого соглашения
при любом п.
1.1.3. Бесконечные суммы и произведения. Множество &~ — if) e
е R[[x]], / 3* 0} называется суммируемым семейством, если каждый
одночлен из Ri[ [x] ] входит с ненулевым коэффициентом лишь в ко-
конечное число элементов множества 2F. Если 5F — суммируемое се-
семейство, то операции сложения и умножения степенных рядов
удовлетворяют дистрибутивному закону, кроме того, операция сло-
сложения является коммутативной и ассоциативной.
В этом случае по аналогии с конечным произведением можно
следующим образом определить бесконечное произведение
JJ A + /j) (/jsR{[x]]). Каждый одночлен weR[[x]]o имеет ко-
з>о
нечное число представлений в виде упорядоченного произведения
одночленов из R[ [х] ]0. Так как ff~ — суммируемое семейство, то
каждый одночлен, появляющийся в разложении w, встречается (с
ненулевым коэффициентом) лишь в конечном числе рядов /,-. Бес-
Бесконечное произведение определяется как ряд, каждый коэффици-
коэффициент которого есть результат суммирования по всем упорядоченным
разложениям соответствующего одночлена из R[{x]]o. При наших
условиях указанное суммирование определено корректно.
Так, например, можно определить произведения JJ* A + хг),
ЦA + zl), ЦA + Xi + у\). С другой стороны, не определены вы-
i>l i^l
п. п
ражения вида Ц аг4 или JJ (хг + г/4), хотя JJ xt или Ц (а;4 + г/4)
определены для всех «<оо.
12
1.1.4. Композиционный обратный и мультипликативный обрат-
обратный ряды. Пусть / = 2cix'e=R[[x]] и g = (gi, g2, • •.) (g,eR[[x]],
i
7^1). Композицией / и g (получаемой в результате подстановки
g вместо х) называется cyMMa2cig\ которая обозначается /(g(x))
i
или / (х) |x=g- Мы называем композицию (или, что то же самое,
подстановку) допустимой, если {cjg'li^O} является суммируемым
семейством. Композиция является ассоциативной операцией и удов-
удовлетворяет дистрибутивному закону относительно операций сложе-
сложения и умножения (при условии, что все промежуточные компози-
композиции являются допустимыми).
1. Если х — конечное множество переменных и если g?eR[[x]]o
для всех />1, то /(g(x)) допустимо для каждого /eR[[x]].
Если для /sR[[y, z]] выполняется /e(R{y])[M], то у называ-
называется отделенным множеством переменных для /.
2. Если у — отделенное множество для /eR[[x]] (ysx), то под-
подстановка в / вместо у набора g допустима для любого g.
Последний результат наиболее часто используется в тех случа-
случаях, когда вместо у подставляются элементы кольца R (чаще всего
1). Подстановка вместо у значения 0 допустима всегда.
Если f = xg (ge R[[x]]i), то существует единственный степенной
ряд frl}{x)<^R[[x]]o, называемый композиционным обратным к /,
таиой, что f(f[~u(x)) = f~u(f(x)) = х. Чтобы убедиться в этом, до-
достаточно сравнить коэффициенты в обеих частях равенства
f(fl~n(x)) = x, что приводит к множеству рекуррентных уравнений
для коэффициентов ряда f~u(x), которые выражают эти коэффи-
коэффициенты через коэффициенты ряда f(x). Ряд f~u(x) в явном виде
получается с помощью теоремы Лагранжа (ом. п. 1.2.4).
Если /eR[[x]]i, то существует единственный степенной ряд
/"'(x)gR[[x1i, называемый мультипликативным обратным для ря-
ряда /, такой, что /"'(х)/(х) =/(х)/-1(х)= 1. Более того, /~'(х) суще-
существует тогда и только тогда, когда /(x)eR[[x]]i, и в случае ком-
коммутативного кольца R задается равенством /-1(х) = /~х@) 2 U —
— / @)/(х)}г. Мультипликативный обратный ряд для /(х) обозна-
обозначается также /(х)~л.
1.1.5. Формальная производная и формальный интеграл. Пусть
1{х) = 2 Cjz'e R {[х]\, тогда формальной производной ряда f(x)
относительно переменной х называется формальный степенной ряд
1. Дс/(Ж) = 2 (i+l)Ci+1x\
i>0
Формальная производная обозначается также /' (х) или dfjdx. Если
/sR[[x]] и у = х — Ы, то предыдущее определение можно распро-
распространять и на зтот случай, если рассматривать / как элемент коль-
Ца (R[[y]l) НЫ1- В этом случае вместо Dx мы пишем д/дх. Прави-
Правила дифференцирования произведения, сложной функции и формула
Лейбница выполняются для формальных производных и доказыва-
13
ются с помощью сравнения коэффициентов при одинаковых сте-
степенях формальных переменных. Так, например, если f(x) = 2 с^*'
то
Ac (/ (х) g (x)) = • S (г + у) Cid,-*1-"-1 - S М^~Ж +
+ 2 /d^'~1+1 = g(*W(a?) + /(*)Acg(*),
т. е. для формальных производных справедливо обычное правило
дифференцирования произведений. Правило дифференцирования
сложной функции доказывается с помощью правила дифференциро-
дифференцирования произведений вначале для f(x) — xn (п5»1) индукцией по п,
а затем линейным образом переносится на произвольный ряд j{x).
Если /@)=1, то для всех м5»1 выполняется равенство Dxf~n{x) =
= —nj~n~x{x)Dxf(x). Оно доказывается с помощью взятия произ-
производной от обеих частей равенства f~n (х)/" (х) — 1 и применения
правила дифференцирования произведений.
Операторы DXi и Д^.-коммутируют в R[[x]]. Если характеристи-
характеристика R равна 0 и R содержит рациональные числа, то для всех
Это так называемая формула Тейлора, или теорема Тейлора, кото-
которая выражает коэффициентный оператор через оператор диффе-
дифференцирования.
Если /, geR[[x]] и характеристика кольца R равна 0, то
3. Dxf
Этот результат можно использовать для получения единственного
решения при решении формальных дифференциальных уравнений.
Пусть /(#) = 2 CiX1 eR[far]] и R — кольцо характеристики О,
содержащее рациональные числа, тогда формальным интегралом
для f{x) относительно переменной х называется формальный сте-
степенной ряд
4. /,/(*) = 2 rV-i*1.
X
Формальный интеграл обозначается также J / (t) dt. Понятие фор-
о
мального интеграла можно распространить на случай рядов от мно-
многих переменных, если воспользоваться естественным изоморфизмом
R![[x]]s(R[[y]])|[a;]]i где у = х — {х}. Для формального интегриро-
интегрирования справедливо правило интегрирования по частям; кроме того,
следует отметить, что операторы 1Х{ и 1Х. коммутируют в R[[x]].
14
Если {/} s r[ [x] ], 7 5» 0} — суммируемое семейство и если
для всех / 5» 0, то
5. А
а если характеристика кольца R равна 0, то
6.
2 Л/i
Кроме того, если /(^)eR[H], то справедливы равенства
7. Dx(hf(x)) = ttx), I*№(x)) = f(x)-f(O).
1.1.6. Логарифмический, экспоненциальный и биномиальный сте-
степенные ряды. Некоторые формальные степенные ряды будут
использоваться очень часто. Определим эти ряды, предполагая, что
R является коммутативным кольцом нулевой характеристики с еди-
единицей и содержит рациональные числа.
Пусть х — формальная переменная. Тогда экспоненциальным ря-
рядом называется ряд
1. ехр * = ^ IT^ KIMb
который обозначается также через ех. Логарифмическим рядом на-
называется ряд
2.
Если у — формальная переменная, то биномиальным рядом назы-
называется ряд
3. (\ + x? = 2dy{yi)...{y-1 + i)?L
Если /sR[M]o, то в силу 1.1.4A) композиция приведенных вы-
выше рядов с рядом / является допустимой, так что определены та-
такие функции, как exp/, log(l + /) и A + /)*. Так как у является
отделенным множеством для ряда A + х)у, то вместо у можно под-
подставить любой элемент кольца Rt [ar] ]. Эти степенные ряды, когда
они корректно определены, имеют те же свойства, что и аналогич-
аналогичные аналитические функции. Ниже мы нриведем доказательства
некоторых из этих свойств.
Применяя оператор формального дифференцирования к отдель-
отдельным слагаемым соответствующего ряда, мы сразу получаем:
Dxexpar= expar, Dxlog(l — x)~l =A — x)~l
и ДсA + x)y'= y(l +x)y~l. Совершенно ясно, как применять прави-
правило дифференцирования сложных функций ко всем этим «функци-
«функциям», кроме, быть может, логарифма. В этом случае мы делаем под-
15
становку ?=1 —/-1, где /@)=1. Тогда Dxlogf(Lx) = f(x)Dx{l —
— /"'(#)}, т. е. справедливо равенство
4. Dx\ogi{x)=*t'{x)Dxf{x).
В силу того же правила, Z)xlog(expar) = (expar)-' expar= I =Dxx.
Поэтому, из 1.1.5C) следует
5. log (exp х) = х,
так как и log(expar) и аг имеют производную, равную 1, и постоян-
постоянный член, равный 0.
Аналогично, используя правила дифференцирования произведе-
произведений и сложных функций получаем
Ac(l-:r)exp{log(l-*)-'} =
= -exp Oog(l - x)~l) + A -х) A - х)-1 exp 0og(l -x)-1} = 0,
откуда следует, что
(l-o:)exp{log(l-ar)-1} = l.
Тем самым доказано равенство
6. exp{log(l-ar)-1}=(l-ar)-1.
Этот результат есть следствие того, что A — ar)exp Oog(l — х)~1)
и 1 имеют производную, равную 0, и постоянный член, равный 1.
Рассмотрим теперь свойства биномиальных рядов. По индукции
нетрудно показать, что для любого натурального п имеет место ра-
равенство
7. A + *)п =
тем самым появление формальной переменной у в качестве пока-
показателя степени в биномиальном ряде получает свое объяснение в
случае у = п. Это так называемая биномиальная теорема (или би-
биномиальная формула) для положительных целых чисел. Если для
любых положительных целых чисел т и п к обеим частям равен-
равенства A + х)"A + х)т = A + х)п+т применить оператор [х*], то мы
получим формулу свертки Вандермонда:
Известно, что если многочлен f(x) имеет степень к, а уравнение
f(x) — 0 имеет более, чем к корней, то f(x) тождественно равен 0.
Тогда многочлен . I — 2л \ ¦ U .
\ К I {=0 *1' ^ — 1'
от переменных у и z дол-
жен тождественно равняться 0, так как он имеет бесконечное число
корней — все положительные целые числа. Отсюда мы получаем
следующее тождество для биномиальных степенных рядов:
9.
16
Подставляя (—у) вместо z, приходим к тождеству A + х)уХ
ХA + х)~у = (i + х)° = 1. Тем самым мы показали, что
10. {A + х)у}-1={1 + х)-у.
Отсюда можно получить равенство
И. log(l + ar)=' = ylog(l + a;).
В самом деле, применение оператора дифференцирования приводит
к равенству
причем
Объединяя полученные выше результаты, получаем
{A + х)у)г = exp {log( A + х)у)г) = exp {zlog(l + х)у)
= exp {zy log(l + х)} =ехр {log(l + х)уг),
откуда следует
12. {{1 + х)у)г = A + х)уг.
И, наконец, из биномиальной теоремы следует
и)-
У)-
п\
откуда получаем равенство
13. ехр(а;+у) = (ехрат) (ехру).
Подставляя (—х) вместо у, видим, что ехр@) == (expar) (exp —х),
т. е.
14. (ехраг)-' = ехр(—х).
Если теперь в установленные выше соотношения подставить х = f
к y = g, где /eR(M]o, geR[M], то получим многие результаты,
знакомые нам по свойствам соответствующих аналитических функ-
функций. Исключения составляют соотношения, к которым приводят
подстановки, не являющиеся допустимыми. Так, например, для
формальных степенных рядов не выполняется соотношение
exp {log х) = х, так как выражение log а: не существует как фор-
формальный степенной ряд.
1.1.7. Тригонометрические и гиперболические степенные ряды.
Полагаем
li
=2(-if
<2" + 1>!' „>o
sinh ar = Л ,o . .„ , cosh ar =
Эти степенные ряды являются аналогами соответствующих триго-
тригонометрических функций. Заметим, что exp (u;) = cos a: + isina; и
2 Я. Гульден, Д. Джексон 17
exp x = ccsh x + sinh x, где i2 = — 1, откуда получаем
sin г = (l/2i) (*te - e~iX)< cos a? = 1 (eiK + .«-*),
sinh ar = 1 (ex — e~K), cosh ж = j(ex'+ e~*).
Из этих соотношений, используя свойства экспоненциальных
степенных рядов, можно вывести все известные тригонометрические
тождества. Так, например,
sin* х + cos2 x = 1A/2/) {eix - e~ix)}2 + [±-(eix + e~ix)f =
= _ I (e2te _ 2ete~te + e~2ix} + 1 (e2te + 2eix~ix + e~2ix\ = 1.
Степенные ряды для tgar, ctga;, secar, cosecar можно получить
из степенных рядов для sin а; и cos а: по аналогии с определениями
этих функций как функций действительного аргумента. Степенные
ряды для соответствующих гиперболических функций определяются
аналогично.
1.1.8. Формальные дифференциальные уравнения. Многие клас-
классические методы решения дифференциальных уравнений остаются
в силе и при переходе к уравнениям в R![{x]]. Однако на каждом
шагу необходимо внимательно следить за тем, чтобы выражения,
появляющиеся в процессе решения, существовали в RfM]. В ка-
качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение
1. Dxf = af2 + bf с граничным условием /@) = а, где /sR{[ar]],
а, Ъ, aeR и существуют а~1 и b~l. Приведенное уравнение являет-
является уравнением Риккатн; дифференциальные уравнения такого типа
появляются в ряде перечислительных задач (см. [3.3.46]).
Линеаризуем это уравнение. Пусть /&eR([a;]] такой формальный
степенной ряд, что h@)= 1. Предположим, что / и h связаны соот-
соотношением / = — a~lDxlogh. Тогда h удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению Dx (Dxh) = bDxh.
Так как /@) = -arlhrl(Q) (Dxh(x)) U=o, то {DJi (ar)) |x_0 = -ace.
Теперь заметим, что Dx(—ааеЬх)= Ъ(—ааеЬх) и — aaetelx=o = — ««• От-
Отсюда, в силу 1.1.5C), следует, что DJi = — ааеЬх. Применяя опера-
оператор./» к обеим частям полученного равенства и учитывая 1Л.5G),
получаем h(x)-h@) = Ix{Dxh) =-aalx(e"x) = -baa(ebx- 1), отку-
откуда, в силу того, что А@)= 1, следует, что h(x)— 1 = —aab~l(ela— 1).
Поэтому h(x)=l-aab-l(ebx-l).
Таким образом, получен единственный формальный степенной
ряд h(x), который удовлетворяет линеаризованной форме исходного
дифференциального уравнения. Теперь f(x) однозначно определя-
определяется из соотношения f(x) — —a~lh~l(x)Dxh(x):
Способ, примененный выше, тот же самый, что используется для
получения решения в случае, когда f(x)—функция действительно-
18
го аргумента^ Разумеется, и полученное решение — такое же, как
и решение, получаемое в случае обыкновенных дифференциальных
уравнений. Подобное соответствие имеет место всегда, когда клас-
классическое решение является аналитическим в начале координат.
Однако существуют дифференциальные уравнения, имеющие реше-
решения в кольце формальных степенных рядов, но не имеющие реше-
решений, которые являются функциями, аналитическими в нуле (т. е.
соответствующий степенной ряд, рассматриваемый как функция,
имеет нулевой радиус сходимости). Например, степенной ряд
удовлетворяет дифференциальному уравнению
однако функция g(x) не аналитична в нуле.
1.1.9. Корни степенных рядов. Иногда требуется решать поли-
полиномиальные уравнения для степенных рядов, например, находить
корни п-й степени. Пусть R — коммутативное кольцо характеристи-
характеристики 0 без делителей нуля. Будем искать /eR[[x]] такой, что
1. f(x) = g(x) с начальным условием /@) = а, где g@) = an,
аеДи ее существует.
В силу того, что cr"g(x)-leR[[x]]o, единственным решением
/(х) зтого уравнения будет степенной ряд
2. /(x) = a(a-"gWI/n = «2
Ряд /(х) действительно является решением уравнения A), так как
в силу 1.1.6A2) и условия /@) = а справедливо равенство
f(x) = an{(a-n?(x)I/"}" = an(a-ng(x)I = g(x).
Чтобы показать единственность этого решения, предположим, что
два ряда / и h являются решениями уравнения A), тогда
Так
нуля,
Однако
как кольцо R, а следовательно, и R{{x]], не имеет делителей
, то либо (/-ft)=0, либо /"-' + fn~2h + ... + fhn~2,+ hn~l = 0.
ко
(f»-i + f-*h + ... + fl?-* + fe"-1) |x=0 = па?-1 ф 0,
так как a Ф 0, а кольцо R имеет характеристику 0 и не имеет де-
делителей нуля. Таким образом, f = h и, следовательно, B) является
единственным решением уравнения A). Наиболее часто этот ре-
результат используется в случае, когда /(х) удовлетворяет квадрат-
квадратному уравнению с заданным начальным условием.
1.1.10. Матрицы над кольцом формальных степенных рядов.
Матрицы над кольцом R [ [х] ] будем понимать как формальные сте-
степенные ряды, коэффициенты которых являются квадратными мат-
2* 19-
рицами порядка п над кольцом R. Это оказывается возможным
ввиду изоморфизма т|з (называемого тензорным произведением):
* : Лп (R [[х]]) -> (иГ„ (R)) [[х]] : [/у (х)]»хп - 2 А>х\
i
где [Ai]y = Lx1] /y(x). Таким образом, матрицы порядка п, эле-
элементами которых являются степенные ряды, можно рассматривать
как формальные степенные ряды с коэффициентами из Jtn(R) (за-
(заметим, что ^„(R) является кольцом с единицей). При этом конеч-
конечным суммам и произведениям элементов из *#n(R[{x]]) соответству-
соответствуют суммы и произведения их образов (относительно if) в кольце
(urn(R))[[x]].
Пусть /eR[[x]], Aeur«(RtW]o) и пусть /(*) = 2/**'. Эле-
мент /;eR можно отождествить с элементом /Д„ е jfn(R). Тогда
подстановка /(А) всегда является допустимой, так как Ш — конеч-
конечное множество формальных переменных. Это следует из соответ-
соответствующей модификации утверждения 1.1.4A). В частности,
1. A-АГ1 = 1> А\
2. log (I-A) = 2 *~1А*.
3. ехр(А) = 2 (t!)"^'
являются суммируемыми рядами. След, определитель и перманент
матрицы А определены, так как являются полиномиальными функ-
функциями элементов А, если только R коммутативно. Кроме того, если
Ae^Cn(R[[x]]0), то
(I-A)'-! = adj(I-A)/det(I-A),
и уравнение (I — А)с = В можно разрешить относительно вектора
с с помощью правила Крамера.
Сформулируем три утверждения об определителях, которые нам
понадобятся в дальнейшем.
Если A, Beurn(R[[x}J), то
4. det(A+B)= 2 (-l)a(a'|5)detA[a]p]detB(a|p),
где a (a, P) = 2 i +2 /• Это утверждение доказывается непо-
iea з'ер
средственным образом. Прямыми следствиями этого утверждения
являются формулы разложения определителя по строкам и по
столбцам.
Пусть A, W ^Жп,ft(RI[{x}]), тогда
5. Ц. + АВ1 = IIft + BAl.
Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве
упражнения (см. [1.1.14]). В частном случае, когда & = 1, из фор-
20
мулы E) следует, что |l + AI = l + trA, где матрица As
s«^n(Rl[x]]) и имеет единичный рант.
И, наконец, если А^Л[п{Щ.Ы]}о), то
6. trlog(I-A)-1=logdet(I-A)-1,
Доказательство этого утверждения требует использования свойств
оператора формального интегрирования:
trlogfl-Ar^trS Г^= ftrS ViAi+1dy =
1 1
= J tr A (I -, г/А) dy = j tr {A adj (I - у A)} 11 - yA f1 dy =
= J f
о
f i i ai} cof „• (I - yA)} 11 - yA Г1
Если вместо log(I — А)" подставить матрицу BeI,(R([x]]o) (эта
подстановка является допустимой) и применить к обеим частям
равенства F) оператор ехр, то мы получим тождество
7. exp(trB) = detexpB,
впервые полученное Якоби.
1.1.11. Формальные ряды Лорана. Пусть
qxi|cieR, card{i|Ci=f 0, i
Это множество называется множеством (формальных) рядов Ло-
Лорана. Оно является кольцом относительно операций сложения и
умножения формальных рядов. Как и в случае степенных рядов,
С\ называется коэффициентом, а х1 — одночленом. Если /eR((x)).
то порядком ряда / называется величина
(к, если /(х) = хк?(х) и ?(х)бК[[х1]„
val (/) = ,
4 [оо, в противном случае.
Ряд Лорана / имеет мультипликативный обратный тогда и только
тогда, когда val(/)<°°. Если val(/) = k, то / = xkg, где g^Rtfrllb
и тогда положим
2. Г = х-У.
Таким образом, степенной ряд хA — х)'1 имеет в кольце рядов Ло-
Лорана мультипликативный обратный, равный х~1A — х), однако в
кольце формальных степенных рядов обратного к нему элемента не
существует.
Формальная производная и формальный интеграл определяются
точно так же, как и для формальных степенных рядов, с той лишь
21
разницей, что не существует ряда /eR((x)) такого, что Dxf = x~l.
Этот факт используется в § 1.2, где будет доказана теорема Ла-
гранжа для неявных функций.
Примечания и ссылки.
Изложение свойств кольца формальных степенных рядов осно-
основывается па частном сообщении Манделя (Mandel); другие подхо-
подходы к этому вопросу можно найти в работах Henrici A974), Niven
A969) и Tutte A975). Работа Muir A960) является полезным
источником сведений об определителях. Другие тождества можно
найти в книгах Gould A972) и Riordan A968).
A.1.8.) Reid A972).
[1.1.5] Stanton, Sprott A962), Riordan A968); [1.1.6] Breach и др.
A976); [1.1.8] Riordan A958); [1.1.12] Ghihara A978); 11.1.13] Gar-
litz A962); [1.1.15] Sherman, Morrison A949); [1.1.18] Hadamard
A892).
ЗАДАЧИ
1.1.1. Пусть f(x), g(x)^H[{x]], причем /@) = g@) = 0. Пока-
Пока{'(О)}
зать, что если существует {^'(О)}, то
t(*)
t'(*)
g (X) x=0 g
1.1.2. Показать, что
— правило Лопиталя.
1.1.3. Доказать, что
ь-г
2 ix* = ха A - х)-2 {а + A-а)х- Ъхъ~а + (Ъ - 1) xb~a+1}.
i=a
1.1.4. Пусть последовательности ао,а1,... и Ьо, Ь1, ... таковы,
что Ъп = 2 [ ¦)аг Для всех re ^ 0. Введя формальные степенные ря-
ды ^@=2 antn/n\ и 5(i)=2 bntn/n\, показать, что ап =
= 2 (— 1)и~г(. &i при п^О. Такие соотношения между элемента-
г=0 \г '
ми пг и bi называются взаимно обратными.
1.1.5. Вывести следующие пары взаимно обратных соотноше-
соотношений:
(а) ап= o(pZn) o
(б) ап = 2 J К-и, К = 2 A - 2Й) , Un_s, тг>0.
22
(n\(m.y
1.1.6. Показать, что .2,2 (J(J = 2
1.1.7. Показать, что 2 Q cos (Ae) = 2" cos" (y 6) cos
ft:=0
• • о тт V /и ~W \ тт
l.l.e. Пусть eri — Zj Показать, что
2 cni" = Г A - if" {A - tf - th~l\~x.
1.1.9. (а) Пусть 0 = e2lIi/m. Показать, что
если m\n'
gT0 [Q, в противном случае,
(б) Пусть f(x) = 2 /Я^- Показать, что
m-l
Операция перехода к такому ряду называется мультисекциеи ря-
ряда. Операция мультисекции в случае т — 2 называется бисекцией.
1.1.10. Показать, что
k=0
m—1
(n — 21) Л)
m •*¦* V m
fc=Z(modm)
(б) у
1.1.11. Пусть Jm,h=
(а) Показать, что
A: \—1
) , где т>
(б) Вывести отсюда
1.1.12. Пусть многочлены Mq(x), M\(x), ... удовлетворяют ре-
рекуррентному соотношению Mh+\ = xMh — к2Мк-\ (к^О), причем
М-\ = О, Мо = 1. Показать, что
k (х) 4 = A + )/2 ехР {* tg[] (»)>•
Многочлены Mh(x) называются многочленами Мейкснера (Ме-
ixner).
23
1.1.13. Пусть t = (ti, .,., th), n = (wi, ..., nh). Показать, что
2 min (n) tn = A - t, ... h)-^ П к A - h)-\
1.1Л4. Доказать, что
|In + AB| = |Ift + BAI, A, BT<Bj[n,h(R[[x]]),
т. е. вывести формулу 1.1.10E).
1.1.15. Пусть Mejfn(flKx]]), rg(M)= 1 и tr(M)?=-l. Показать,
что
Это частный случай формулы Шермана — Моррисона (Sherman —
Morrison).
1.1.16. Пусть {M]ij = 1 — бпби {i, / = 1, . •., ra+1). Показать, что
2I(fcJ_1) ^ 1 />1 или /=1,
1.1.17. Циркулянтом порядка п называется матрица [а{}]пХп,
в которой ац = аы, если i — j = /с — Z(mod n). Обозначим circ(a;i, ...
..., хп) циркулянт порядка п, первая строка которого равна
(х\, ..., х„). Показать, что
п-1 1п-\ \
| circ (xu ...,х„)\ = Л 2 «fi'Xj ,
ft=o \i=o /
где со = е2ы/п.
1.1.18. Пусть а(х)^ Щ_{х]]\ и а@)= 1. Доказать, что
(а) \\{х^-<]а(х) Н,х, = (-1)"«[я'+'-Та-1 И »рхр;
(б) Ма-1 (я) = (-1)*11{;г1+'-!> (я) 11,х,.
Эти определители называются определителями Ганкеля. Соотноше-
Соотношение (а) известно как теорема Адамара.
§ 1.2. Теорема Лагранжа для неявных функций
Теорема Лагранжа — очень важный результат, используемый
для решения функциональных уравнений, появляющихся в пере-
перечислительных комбинаторных задачах. Докажем эту теорему для
кольца формальных степенных рядов, хотя аналогичный результат
справедлив и для аналитических функций. В этом параграфе да-
дается алгебраическое доказательство этой теоремы; чисто комбина-
комбинаторное доказательство приводится в гл. 5.
Рассмотрим свойства оператора [ж], действующего на R((a:)),
где R — коммутативное кольцо. Особая роль этого оператора состо-
24
ит в том, что с его помощью можно выразить любой коэффициент
ряда:
[V()
где f(x)^R((x)). Оператор [аг1] можно рассматривать как опера-
оператор формального вычета, так как [x~l]f(x) является формальным
вычетом для ряда Лорана f(x) в точке х = 0. Поэтому в ряде слу-
случаев [x~l]f (x) обозначается также Res f(x).
Основное свойство оператора формального вычета заключается
в том, что (как было отмечено в 1.1.11) одночлен х~х не может
появиться как результат применения оператора дифференцирова-
дифференцирования к одночлену вида хп (ни для какого п)..
1.2.1. Предложение. Пусть /, geR((i)). Тогда
1. [ж-1]/'(^) = 0,
2. [x-l]f'ng(x) = -[x-l]f(x)g'(x).
Следующий результат позволяет осуществлять замену перемен-
переменных при вычислении формальных вычетов. Это основной результат
параграфа, из которого можно вывести все последующие резуль-
результаты.
1.2.2. Теорема о композиции вычетов. Пусть f{x), r(x)
и пусть val(r) = a>0. Тогда
Доказательство. Докажем сначала теорему для случая,
когда f(x) = xn, где п — целое число.
Если пФ — 1, то в силу формулы A) предложения 1.2.1 и вви-
ввиду того, что r"+1B)eR((z)), получаем
Если п = —1, то [z~1]r"(z)r'(z) = tz]r'(z)r~1(z). Однако в силу
того, что val(r) = a, имеем r(z) = $zah(z) (Цг)е= R[[z]]i, A@)=l,
Р^О). Так как A(z)e R[[z]]i, то A~'(z) и logh(z) существуют, при-
причем logh(z)^ R[[z]]. Поэтому
[z-1]r'(z)r-1(z) = [z-1]{az-1 + A'(z)A-I(z)> =
= a + (z-1] (d/dz) (log h (z)) = a.
Таким образом, для всех целых п справедливо равенство
[z~i]rn(z)r'(z) = аб„,-1 = а[х-1]хп. Пусть теперь / (х) = 2 апхп, где
val(/) = к< °о. Так как val(r)>0, то /(r(z)) существует. Тргда
a [ar 1] / (х) = [z-i] 2 anr" (z) r' (z) = [z / (r (z)) r' (z). а^
В качестве примера использования теоремы о композиции вы-
вычетов докажем следующее биномиальное тождество.
1.2.3. Комбинаторное тождество. Найдем сумму
2*
25
?!)x2h = -s
Применяя бисекцию для разложения (l + xJn+l, получаем
п
2
Положим 2 [2k + l]x2h = f(x)' TaK как /(ж)еКПа:2]], то
п
Для того чтобы вычислить соответствующие коэффициенты,
произведем замену переменных, полагая y = z2{z2 — 2). Так как
z2-2eR([z]],, то val(y(z))==2 и A + уI/2= 1-z2. По теореме о
композиции вычетов имеем
= [Z-1] (Z2 — 1)«' Z-D"+D = [Z«n] (Z2 — IJ' = LM,
так как (z2-2)-B"+1) e=R[[z]].
Таким образом,
На первый взгляд подстановка y = z2(z2 —2), используемая вы-
выше, может показаться неоправданно сложной, более подходящей
кажется подстановка y = z2—l. Однако при замене у на z2 —1
имеем а = 0, что не допускается теоремой о композиции вычетов.
1.2.4. Теорема Лагранжа. Пусть ср(Х)е R[[X]]i. Тогда существу-
существует единственный формальный степенной ряд !»(t)sR[[t]]o такой,
что w = t(p(w). Далее,
1. Если /(X)eR((^)), то
n > val
[Я,0] / (X) + [К-1] f (X) log (Ф (X) ф-i @)), /г = 0.
2. ?ft««F(A,)e=Rlft,]], ro
cntn = F {w) {1 - ftp' (*)}-i, г9е с„ = [Г] F (Я,) ф" (Я,).
Доказательство. Полагаем Ф(и;)= w/q>(w)= t, тогда
уа1(Ф)=1 в силу того, что ф(Х)е Rf(A]]i. Таким образом, Ф11^)
существует и w = Ol~n(t) является единственным решением урав-
уравнения w = t(f{w).
1. Для любого целого числа п справедлива цепочка равенств
= [w-l]<t>-<n+u(w)J(w)Q>'(w), A)
26
где второе равенство после замены переменной ? = Ф(ц?) следует
из теоремы о композиции вычетов.
Если п?=0, то из A) следует, что
И /И = - 4 ["^Ч /
=4-1"'! /' и ф~" и=4-^п~ч f и фп и,
где второе равенство вытекает из предложения 1.2.1B).
Если п = 0, то продифференцировав Ф(ю) по частям, из A),
предложения 1.2.1B) и соотношения 1.1.5G) получаем
откуда и следует искомый результат.
2. Полагаем f(w) = J F (%) (p-^(K)d%. Ввиду того, что
о
sR[[>,]], a <p(X)eR[W]i, получаем f{w)^R[[w]]. Тогда из A) сле-
следует
2 4- *" [г~1] фИ
и>1
Дифференцируя обе части полученного равенства по ?, после соот-
соответствующих преобразований приходим к соотношению
Однако дифференцирование равенства w = t(f(w) показывает, что
dwjdt = <f(w)H — t(f>'(w)}~\ и искомый результат вытекает из того,
что f{w)(f(w) = F{w). ?
Приведенная теорема представляет собой аналог классической
теоремы Лагранжа — Бюрмана (Lagrange — Biirmann) для случая
формальных степенных рядов. Этот результат может быть исполь-
использован для вычисления f(w), где w(t) является решением функцио-
функционального уравнения w = tq>(w) в кольце формальных степенных
рядов. Заметим, что в случае, когда f(w)=w, мы получаем соот-
соотношение
Ф1-11 (t) = ft-1] log A - гФ-1 (X)}-',
где уа1(Ф)= 1.
1.2.5. Одно функциональное уравнение. Пусть w(t) удовлетво-
удовлетворяет функциональному уравнению w = te". Найдем w(t), w~'(f) и
w~2(t) с помощью теоремы Лагранжа, которую в данном случае
можно применять в силу того, что e'sR[p,]][,
27
1. Пусть f(X) = X. В этом случае val(/)= 1, и тогда
w (t) = [Х°] X + [Х-1] log е^ + 24 ** [Г~1] е
—. ^ yi"¦ — 1 ____
*^ n\
2. Пусть f(X) = X~\ В этом случае val(/) = —l, и тогда
3. Пусть /(А) = Я~2. В этом случав val(/) = —2 и тогда
Если u;~'(i) находить из A), разлагая выражение i/^ ("¦ +
+ l)ntn/{n + l)'.! в ряд Лорана по i (см. 1.1.11B)), то мы при-
придем к гораздо более громоздкому выражению, чем то, что приведено
в B). Таким образом, мы можем оценить полезность выражений
для коэффициентов рядов /(А), которые дает теорема Лагранжа.
В качестве примера использования утверждения B) теоремы
Лагранжа выведем производящую функцию для так называемых
центральных триномиальных чисел.
1.2.6. Центральные триномиальные числа. Центральные трино-
триномиальные числа определяются формулой с„ = [V](l +X + X2)". Таким
образом, Cn = [Xn]F(X)q>n(X) (здесь F(X)=l, а <р(Х)= 1 + Х + X2 ^
eR[[l]]i). Тогда из утверждения B) теоремы Лагранжа получаем
c(t) = 2 cntn = {1 — t A + 2w)}~1, где w удовлетворяет функцио-
нальному уравнению w = t(l + w + w2). Единственным формальным
степенным рядом i"(()eR[[(]]o, удовлетворяющим этому квадра-
квадратичному функциональному уравнению, является ряд w= i— (t — 1) —
-{l-2t-3t2I/2}/2t, откуда следует, что c(i) = (l - 2t- 3t2)~1/2.
Теорему Лагранжа можно также использовать для разложения
ряда f(x)*=R[[x]] по степеням tW^ RIMI гДе val(T|))=l. Это
можно сделать, если положить ¦ф(х) = хф~1(х), где cp(#)eR[M]i,
а затем произвести замену переменных ty(x)=y. Тогда х = уц>(х)у
после чего теорема Лагранжа дает представление f(x) в виде сте-
степенного ряда по у.
1.2.7. Абелево обобщение биномиальной теоремы. Для того что-
чтобы разложить еах по степеням хе~х при произвольном выборе па-
параметра а, положим у — хе~х. Тогда х = уе*,. Так как ехе= R [[х]]и
28
a val(eal1) = О, то из теоремы Лагранжа получаем
[X'1] {
а (а + п)п~1 хпе
Если [} — любой другой параметр, то разлагая еах, eSx и е(а+®)х
по степеням у = хе~х, как это было сделано выше, и применяя
оператор [уп] (п > 0) к обеим частям равенства еахе9х = e<a+p>xt
находим:
П I \
аР S L (« + fc)ft-1 (Р + » — /с)"-"-1 = (а + р) (а + р + n)»-i.
Многое из изложенного выше можно распространить на случай
нескольких переменных, введя очевидное обобщение понятия од-
одномерного оператора формального вычета. Таким путем мы полу-
получаем многомерные аналоги теоремы о композиции вычетов и тео-
теоремы Лагранжа.
1.2.8. Теорема о композиции многомерных вычетов. Пусть /(х),
gi(x), ..., gm(x)sR((x)) и пусть для каждого г=1, ..., тп поря-
порядок val(gi) = (pii, ..., pim)^0 конечен, причем рц + ... + pim > 0.
Тогда
Idg.
azj
, а Р =
mxm
iPJiX
Доказательство. Так как val (gt) > 0 и рЛ + ... + pim > 0
для всех 1 ^ i ^ m, тогда ряд Лорана /(g(x)) существует. Пусть
/ (х) = 2 с (к) хк е -R ((х)), и пусть через Ds обозначен оператор
Zj. Тогда
fz-1] {/ (g (z)) • /(g)} = [z-i] 2 с (к) gt (z) || Digi (z) || =
к
где Gk (z) = I $ (z) Djgi (z) ||. Обозначим val (gi (z)) = (pUi .. ., pim) че-
через pi и положим gi(z) = PiZPifei(z), где h^z) e Л [[z]]v hi@) = l,
h?0(i = l,...,m). Тогда
29
Отсюда получаем G^ (z) =
Pii
M
og hi {z), ^ = -1;
lt=(^ii, ¦ ¦., ^im)- Пользуясь линейностью определителя по каждой
строке, находим Gk (z) = 2 II -4у (а) |, где
-^Oftj,-!, ге^т-а;
Вновь воспользовавшись линейностью, разложим НЛу(ос)Н по стро-
строке г для каждого г е а, получаем
2...
la +--+1a,-1
ii liX
t
где
Zy,
i e a.
Ненулевой вклад в [z-1] Gk (z) дают лишь члены этой суммы с
'а + ... + 1(Х( = 0- Но в этом случае по теореме Лапласа имеем
m
Ду || = 0, если t ^= 0. Если же t = 0, то || 5у || = ||руIД \.-i =
i
i
= [z—1] Gt (z), откуда и следует искомый результат. ?
Сравнивая этот результат с одномерным случаем, замечаем, что
при переходе от одномерного случая к многомерному величина
¦val(/) заменяется на IPI—определитель, образованный многомер-
многомерными порядками для набора g\, ..., gm, a производная г'(х) заме-
заменяется якобианом J(g) набора gi(z), ..., gm(z) относительно пере-
переменных Zl, . . ., Zm.
1.2.9. Многомерная теорема Лагранжа. Пусть
<р 1 (Я), ..., фт(Х)е|*[[Щ, где А = (Аь -.., %т). Предположим, что
tVi = ti(ft{w) (i==l, ..., m) и пусть vr = (wu ..., wm), <p = (cpi, ...
...,<pm),t = (ti,...,tm). Тогда
30
2. EcAuF(X)^R[[X]], то
w=w(t)
Доказательство: 1. Как и в одномерном случае, можно
показать, что для каждого i = 1, ..., m существует единственный
ряд w((t)eR([t]]0 такой, что u>i = ^i(w). Так как ltk]/(w) =
= It] t~<k+1)/(w), то, произведя подстановку t{=WjCpi 1(w), по тео-
теореме о композиции многомерных вычетов получим
так как det([val(?j(w))]mxm) = UJ = 1. Однако имеет место ра-
равенство
J (t) = I Djtj || = I буф (w) - wwT2 (w) • Dm (w) || =
= <p~* (w) 18y — w^J1 (w) Dj<pi (w) I,
которое получится, если строку i умножить на мг , а столбец /
умножить на w, (I < i, j < m). Таким образом,
ltk] / (w) = tw"] / (w) фк (w) 16(j - wwT1 (w) ^p [.
j
2, Пусть / (w) = F (w) 16« - издГ1 (w) ~ ф, И j. Тогда / (w) e
eR[[w]], Утвернодоние B) теоремы следует теперь из соотноше-
соотношения A) ввиду того, что
|| 8Ц - щ^ W ^21 -1 •» - «*- (w) ^ 1 # О,
a fj = и^фГ1 (w). ?
Из установленного нами соотношения A) нельзя сразу полу-
получить соответствующее соотношение для одномерного случая, так
как выражение
нуждается в дальнейшем упрощении. В отличие от утверждения
A), из соотношения B) для многомерного случая соответствующее-
соотношение для одномерного случая следует немедленно. Систему
Щ — t{(ft(vf) (l<i<77i) можно рассматривать как систему из пг
функциональных уравнений относительно формальных степенных
рядов W\ (t), ..., u;m(t)e R[[t]]o, решение которой дает многомерная
теорема Лагранжа. Ниже приводится типичный пример такой си-
системы уравнений при т = 2.
1.2.10. Одно функциональное уравнение от двух переменных.
Поставим задачу — представить выражение uv(l — u — v) в виде-
31
степенного ряда от переменных х и у, где или удовлетворяют
системе уравнений
(lJ
Так как A-й), A — i?)~2e R[[w, v]]u то в нашем случае можно
применить многомерную теорему Лагранжа, при этом получаем:
A — и)~г A — v)~* = 2 *у*[\у]A — Х)-*-ЧA — ц)-'-2>Д,
где А = 1 — Аху A — ^)~3A— ц)~3 — соответствующий определитель.
Таким образом,
A — и)~г A — v)~' =
^ tt Я B/ + г)! B2
Но так как
„„/1 _ и _ »\ - У A *L B/ + <-2)» B* + /-2I
то
Воспользуемся теперь вторым утверждением многомерной тео-
теоремы Лагранжа для доказательства знаменитого результата Мак-
магона.
1.2.11. Главная теорема Макмагона. Пусть A = [a«]mXm и пусть
X = diag(zb ..., xm). Тогда
та
[ХЬ] П (аь.хх + ... + aimxm)"i = [х*] 11 - ХА \~\
где k = (fcb ..., fem).
Доказательство. Полагаем F(X)=i, а ф4(Х)= a^Xi + ...
. .. + aimkm- Тогда из второго утверждения многомерной теоремы
Лагранжа следует, что
г— 1 Sr i. II Зф.||-1
hk] П(аиК + • • • + aim^m)fti = [хЧ|6у -Xi-pl ,
i=l II j i
откуда, с учетом равенства dyjdxj = ai} и получается искомый ре-
результат. ?
В свете этого доказательства Главная теорема Макмагона мо-
может рассматриваться как частный случай многомерной теоремы
Лагранжа — когда функции ф<(^) линейны. В качестве примера
использования теоремы Макмагона рассмотрим следующее бино-
биномиальное тождество.
32
1.2.12. Тождество Диксона. Мы хотим вычислить сумму S —
= Zi (— 1L ь I • Для этого представим сначала S в виде коэффи-
ft=o \Л'
циента некоторого ряда. Каждое слагаемое является произведением
трех биномиальных коэффициентов с верхним индексом, равным п.
Рассмотрим выражение
2 (
Желая добиться того, чтобы и нижние индексы в произведении
биномиальных коэффициентов были равны между собой, применим
оператор [x°y°z0]. Тогда по главной теореме Макмагона
= [xnynzn] (у — х)п (z — у)п {х — z)n = [xnynzn] 11 — ХМ Г\
где X = diag(z, у, z), a
М = ( 1 0 -1 ).
\-1 1 0)
Отсюда получаем
S = [xnynz"] A + ху + yz + zz)-i = 2 (
r,s,t>0
где суммирование ведется по всем наборам (г, s, t), удовлетворя-
удовлетворяющим условиям t-\-r = r-\-s = s + t = n. Следовательно, г — s —
=.t = п/2 и при этом г, s и t являются целыми числами. Таким
образом,
j(_l)mCm)!(m!)-3, n = 2т,
10, противном случае.
В этом доказательстве можно было бы применить теорему Мак-
Макмагона, выбрав матрицу А, отличную от М. Возможные варианты
выбора появляются в результате перестановки строк матрицы М;
можно было бы, например, использовать матрицу
/—1 1 0\ /0 0 1\
В = 0-1 1 = 1 0 0 М.
\ 1 о — 1 у \о 1 о/
Для этой матрицы (в прежних обозначениях) получаем:
S = [xnynzn] 11 - ХВ|-> = [xnynzn] Н + {х+ y+z) + (xy + yz + zx) >-i.
Полученный ряд гораздо менее удобен для работы. Следует заме-
заметить, что в этом нет парадокса, так как из равенства
[xnynzn]{l + xy + yz + zx}-> =
= [xnynzn]{l+ (x + y + z) + {ху + yz + zx)}~\
справедливого для п > 0, отнюдь не следует совпадения этих рядов
как формальных степенных рядов (они, конечно, не совпадают).
3 Я. Гульден, Д. Джексон 33
В заключение зтого параграфа приведем частный случай мно-
многомерной теоремы Лагранжа, который важен для комбинаторных
приложений в последующих главах.
1.2.13. Следствие (теорема Лагранжа для одночленов). Пусть
Ф<еЯ[[Л,]]ь где i = l, ..., т. Предположим, что ю^ — Щ^-я) (i =
= 1, ..., тп), где %{vr) не зависит от ws для любой пары (i, /) из
некоторого фиксированного подмножества S^sJfm. Тогда для не-
неотрицательных целых чисел г\, ..., rm и положительных целых чи-
чисел к\, ..., кт справедливо равенство
m
[tk] wr = (к,... kn)~l 21! в«л* - ц« |] П {[<;i • • •
где г = (гь ..., rm), k = (fci, ..., km), а суммирование ведется по
всем матрицам и = Ыц]тхт, элементами которых являются неотри-
пг
цателъные целые числа, удовлетворяющие условиям: 2.1 \щ — kj—Tj
для всех 1 < / < m, и цу = 0 для всех (i, j)^^.
Доказательство. Из многомерной теоремы Лаграпжа
следует
Пусть Ь i ' = D^11 ... Ю^1т. Тогда, дифференцируя определитель по
столбцам, получаем
т
где сумма берется по всем М-= l^uWm, таким что 2 \lij — kj — г;-.
Однако по формуле Лейбница имеем
д
где Ц(; = 0, если (i, /)е^. Таким образом,
W w = 2 ^ | а« - к-^ | П (W)) I
откуда и следует искомый результат. ?
Необходимо отметить, что это следствие позволяет выразить
It J wr через определители целочисленных матрпц. Аналогичные
определители появляются в ряде классических результатов. При-
Примерами могут служить матричная теорема о деревьях и БЕСТ-тео-
рема (теорема де Брейна — ван Аардепне Эрепфеста — Стоуна —
Татта).
34
Примечания и ссылки.
A.2.2) Jacobi A830); A.2.3) Gessel (частное сообщение);
A.2.4) Henrici A964), Jacobi A830), Whittaker, Watson A927);
A.2.6) Polya, Szego A964); A.2.7) Riordan A968); A.2.8) Jacobi
A830); A.2.9) Garsia, Joni A977), Good A960), Hofbauer A979),
Jacobi A830), Tutte A975); A.2.10) Brown, Tutte A964); A.2.11)
Good A962a), MacMahon A915); A.2.12) Dixon A891); A.2.13)
Goulden, Jackson A981a).
[1.2.5] Jabotinsky A953); [1.2.6] Mullin, Stanton A969); [1.2.7,8]
Riordan A968); A.2.9] Watson A952); [1.2.10] Henrici A974);
[1.2.11] Polya, Szego A964); [1.2.12] Halphen A879); [1.2.13] Good
A962b); [1.2.14] Good A976).
ЗАДАЧИ
1.2.1. Показать, что
1.2.2. Показать, что
1.2.3. Показать, что решением фун1щионального уравнения
w = t + хи>2A — ш)
является
w =
1.2.4. Показать, что решение функционального уравнения w
:a + tq>(w), где <р(^ + а)е R [$,]](, имеет вид
w —
1.2.5. Пусть ^-^(A)eR[![A,]]b a [A]« = [%']OS(X,) для i,
Показать, что
[А->ь=г'1[л-ЧФ-т «,/>!.
1.2.6. Показать, что
an \ чс1 i [ ai
(б) {п — 1) л"-* = 2 ( ь J Л" (П — k)n-k~\
ft-l Vft —!/
1.2.7. Доказать справедливость взаимно обратных соотношений
вп= 2 (n)bn-ch,
3* 35
где п 5= 0, с — целое число. Эти соотношения называются взаимно
обратными соотношениями чебышевского типа.
1.2.8. Доказать справедливость взаимно обратных соотношений
h>l \ k1
где n > 0. Эти соотношения называются взаимно обратными соот-
соотношениями абелева типа.
1.2.9. П усть f{x)= 2 fnxn e- R [[а;]] и пусть
Формальный ряд Jn(x) называется функцией Бессел'я. Показать,
что f(x)= 2 unJn (х), где ао = /о, а при и > 0 —
on-2j (И - / - 1)! ,
^j ? Tj Jn—2i-
1.2.10. Показать, что
1.2.11. Пусть Pn{h) = -4- ^(h? ~l)n, n>0. Многочлены
2 n\ dh
Pn(h) называются многочленами Лежандра. Показать, что
2 Pn (h) tn = A — 2ht + f2)-i/2.
1.2.12. Обозначим через /(n) (x) и-ю производную для /(я).
Показать, что
— {a"-i/ (x-i)} = (— i)na;-*-i/(») (x-i).
dx
1.2.13. Показать, что
' B/)! (m— /)! (га — ])Цк — j
п ( n 1
1.2.14. Пусть /rej= j?jт^пц', щ=Хг exp|—^ аухЛ; Х = diag(xi,
..., xn); А = [ау]пхп- Показать, что
m. mn
i ' " « m 1 ... mn! '
m1,...,mn>o
36
ГЛАВА 2
КОМБИНАТОРИКА ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДЯЩИХ
ФУНКЦИЙ
§ 2.1. Введение
Далее на протяжении всей книги будет употребляться термип
конфигурация, которым будет обозначаться практически любой
математический объект, будь то перестановка, дерево, карта, мат-
матрица с целочисленными неотрицательными элементами, линейное
преобразование векторного пространства над полем GF(q) или
функция, заданная на конечном множестве.
Обыкновенной производящей функцией для множества 91 объек-
объектов с некоторыми структурными свойствами (т. е. комбинаторных
конфигураций) относительно весовой функции со, несущей нужную
нам перечислительную информацию, называется степенной ряд
ое.9
где х — формальная переменная, а (о(а) принимает целочислен-
целочисленные неотрицательные значения. В этой главе будет показано, на-
насколько велико значение этих функций в комбинаторике. Оно скон-
сконцентрировано в пяти доказанных здесь элементарных перечисли-
перечислительных леммах. Многие из идей и методов, возникающих в' этой
главе, в дальнейшем обобщаются, поэтому опа служит отправной
точкой для большей части исследований, развернутых в последую-
последующих главах. Сначала постараемся кратко охарактеризовать содер-
содержание второй главы в целом и роль каждого из ее параграфов
в развитии основных перечислительных идей.
2.1.1. Элементарные перечислительные леммы. В § 2.2 приво-
приводятся основные перечислительные леммы. Если У и $ — множе-
множества различных конфигураций, а / и, соответственно, g — их обык-
обыкновенные производящие функции, то элементарные перечислитель-
перечислительные леммы позволяют выразить через / и g производящие функции
для следующих множеств:
1. У U 9 — непересекающегося объединения;
2. У X & — прямого произведения;
3. У ° $ — композиции;
4. У — производного множества по отношению к некоторой
подконфигурации.
37
А именно, при соблюдении некоторых естественных условий, про-
производящие функции этих множеств равны соответственно / + g
(сумме), fg (произведению), /°g (композиции), /' (производной).
Указанные основные операции над множествами конфигураций
называются элементарными операциями. Еще одна перечислитель-
перечислительная лемма представляет собой известный принцип включения —
исключения.
2.1.2. Представления и весовые функции. Элементарные пере-
перечислительные леммы отражают взаимосвязь комбинаторного строе-
строения множества конфигураций с алгеброй производящих функций.
Комбинаторное строение выражается при этом в терминах неко-
некоторого представления. Последнее есть не что иное, как взаимно
однозначное соответствие, у которого область определения и об-
область значений задаются в терминах множества, которое нужно
перечислить, и, быть может, каких-лпбо других множеств, причем
это задание осуществляется только с помощью операций из списка,
приведенного в 2.1.1. Для того чтобы применение указанных опе-
операций было оправдано, представление, очевидно, должно «сохра-
«сохранять вес» в том смысле, что при соответствующем переходе от
одного множества к другому сохраняется требуемая перечислитель-
перечислительная информация. Более конкретно, для законности операций B)
и C) необходимо, чтобы перечислительная информация «аддитив-
по сохранялась» при соответствующем представлении. Преимуще-
Преимущества предлагаемого подхода ярко проявляются в том, что оказыва-
оказывается возможным находить весьма полезные представления, сохра-
сохраняющие вес, ограничиваясь при этом рамками четырех элементар-
элементарных операций над множествами.
При любом представлении мы легко можем распознать, какая
перечислительная информация сохраняется. Необходимая пам
перечислительная информация, выявленная при получении пред-
ставлеппя, фиксируется путем ее маркировки некоторой формаль-
формальной переменной. Одни представления позволяют сразу получить
выражение для искомой производящей функции. Такие представле-
представления называются прямыми. Другие представления требуют мульти-
мультипликативного или композиционного обращения и потому называ-
называются косвенными. В остальных случаях представления выражают
данное множество с помощью его самого и вследствие этого назы-
называются рекурсивными.
2.1.3. Прямые и косвенные представления, маркировка и про-
производящие функции от нескольких переменных. В $ 2.3 приво-
приводится ряд предварительных примеров, демонстрирующих исполь-
использование представленпй. В большинстве этих примеров получаем
соответствующую производящую функцию и показываем, как най-
найти явное выражение для ее коэффициентов, а также, как получить
для них рекуррентные соотношения. В этом параграфе все пред-
представления являются прямыми и включают лишь операции непе-
непересекающегося объединения и прямого произведения.
В § 2.4 начинается изучение вопросов перечисления последова-
последовательностей, при этом широко используются производящие функции
38
от пескольких переменных. Элементарные перечислительные лем-
леммы непосредственно обобщаются на этот многомерный случай.
Приводятся примеры применения операции композиции множеств
и косвенных представлений. В этом параграфе систематически ис-
используется прием маркировки нужной перечислительной информа-
информации, упомянутый в 2.1.2. Один из приводимых здесь результатов,
в его применении к перестановкам, дает пример так называемой
экспоненциальной производящей функции. Такие производящие
функции будут детально изучаться в гл. 3. Общая теория
перечисления последовательностей вместе с дальнейшими ее
приложениями развивается в гл. 4. В § 2.4 затрагивается
вопрос о представлениях с мультипликативно сохраняющимися
весами и об использовании в этой ситуации производящих
функций Дирихле. Для таких производящих функций спра-
справедливы аналоги элементарных перечислительных лемм, однако
это не будет предметом нашего рассмотрения, поскольку мульти-
мультипликативный случай можно формальным способом свести к адди-
аддитивному случаю.
2.1.4. Классическое приложение перечислительных подходов.
В § 2.5 и 2.6 рассматривается применение перечислительных под-
подходов к получению так называемых <][-тождеств. Все используемые
при этом представления являются прямыми. В § 2.5 рассматрива-
рассматривается перечисление разбиений целых чисел. Используемые здесь
представления получаются с помощью графов Феррера, соответ-
соответствующих разбиению. В § 2.6 приводятся тождества, аналогичные
тождествам из предыдущего параграфа, но получаемые путем рас-
рассмотрения инверсий в бимодальных перестановках. Основной ре-
результат этого параграфа называется q-аналогом биномиальной тео-
теоремы. Эти параграфы, по существу, связаны с теорией эйлеровых
производящих функций, которая более обстоятельно изучается
в гл. 4.
2.1.5. Рекурсивные представления и представления «по мень-
меньшей мере». В § 2.7 изучаются плоские деревья с висячим корнем,
а такн?е различные приложения основного рекурсивпого представ-
представления для множества этих объектов. При решении функциональных
уравпепий, связанных с этим представлением, широко применяется
теорема Лагранжа. Отметим, что указанное представление адди-
аддитивно сохраняет информацию о степенях вершин, хроматических
числах и высоте. Общее понятие высоты в деревьях и его связь
с цепными дробями будут рассмотрены позднее в § 5.2. В § 2.7
даются также примеры использования представлений, полученных
с помощью операции взятия производного множества, при решении
перечислительных задач.
В § 2.8 рассматривается перечисление последовательностей от-
относительно произвольного, но фиксированного множества различ-
различных подцепей. Хотя некоторые подобные задачи уже были решены
в" § 2.4 с помощью операции композиции, во многих случаях такой
подход не приводит к успеху. Доказывается общая теорема о пе-
перечислении последовательностей по отношению ко множеству вы-
39
деленных подцепей. При этом используется разложение «по мень-
меньшей мере» и принцип включения — исключения.
В § 2.9 изучаются корневые плоские карты. Представления для
этих конфигураций являются рекурсивными и часто приводят
к функциональным уравнениям, при решении которых возникает
некоторый дополнительный этап — приведение уравнений к виду,
допускающему применение теоремы Лагранжа. Предлагаемый под-
подход к решению функциональных уравнений называется квадратич-
квадратичным методом.
§ 2.2. Элементарные перечислительные леммы
Этот параграф посвящен элементарным перечислительным лем-
леммам для обычных производящих функций. Чтобы не усложнять
изложение, ограничимся рассмотрением одномерного случая, тем
более, что все результаты естественным образом можно перенести
па случай многомерный. Будем заниматься перечислением разли-
различимых конфигураций, в связи с чем введем следующее определение.
2.2.1. Определение (различимость). Пусть 91 — множество кон-
конфигураций, Е — отношение эквивалентности на 9*. Тогда
1. Конфигурации в\^-9> и O2S^ неразличимы тогда и только
тогда, когда <j]E02.
2. Конфигурации oj, а-г^ЗР называются различными тогда и
только тогда, когда они различимы.
Для того чтобы подсчитать число конфигураций из множества
91, обладающих теми или иными свойствами, необходимо ввести
понятие весовой функции,
2.2.2. Определение (весовая функция, вес). Пусть 91 — множе-
множество конфигураций, и пусть со: 91 -*¦ (О, 1, 2, ...}. Тогда
1. Функция со называется весовой функцией на 9".
2. Для каждой конфигурации oej1 число со (а) называется
весом а.
Теперь можно сформулировать достаточно общую задачу, кото-
которая охватывает большинство перечислительных задач.
2.2.3. Общая перечислительная задача. Пусть со — весовая функ-
функция на множестве различных конфигураций 91. Тогда общая пере-
перечислительная задача имеет следующую постановку:
Найти \{о
Иными словами, найти число различных конфигураций веса п.
Очевидно, что в каждом конкретном случае прежде всего тре-
требуется задать множество 91, весовую функцию со и отношение
эквивалентности Е, которое определяет неразличимость отдельных
конфигураций. Обычно мы имеем дело с ситуациями, когда отно-
отношение Е является отношением тождества. Следующие примеры по-
показывают, как при решении конкретных задач определяются 91,
Е и со.
40
2.2.4. Примеры (перечислительные задачи).
1. Найти число различных последовательностей заданной дли-
длины, образованных символами 0, 1 и 2. Здесь а) 9'= {О, 1, 2)*;
б) Е — отношение тождества на словах*) из S; в) для всех а ^9'
вес со (а) равен длине слова а.
2. Найти число подмножеств множества Jfn, У которых сумма
элементов равна заданному числу. Здесь а) 9" — 2 п; б) Е— отно-
Л3
шение тождества на 9"; в) для всех о = {ах, ..., ah) e2 n полагаем
со(а) = Oi + ... + аЛ.
Для того чтобы перечислять элементы множества 9* по отно-
отношению к весовой функции со, введем в рассмотрение формальные
степенные ряды специального вида.
2.2.5. Определение (обыкновенная производящая функция).
Обыкновенной производящей функцией множества различных
конфигураций 9' по отношению к весовой функции со называется
формальный степенной ряд Фд> (х) вида
При этом говорят, что формальная переменная х маркирует со и
что Ф^ (х) перечисляет 9* по отношению к со.
В тех случаях, когда со равняется числу появлений какой-либо
конкретной подконфигурации в конфигурации 9", говорят, что х
маркирует эту подконфигурацию.
2.2.6. Примечание («-объекты). В тех случаях, когда перечис-
перечисляются какие-либо конкретные подконфигурации, будем называть
эти подконфигурации s-объектами. Если ое^, то со,(а) обозначает
число s-объектов в а.
В следующем примере найдем обыкновенную производящую
функцию для одной простой перечислительной задачи.
2.2.7. Пример (производящая функция). Пусть 9* — множество
последовательностей из элементов @, 1, 2), а со (а) — длина после-
последовательности о е 93. В последовательности длины п каждый из ее
п членов может принимать любое из трех возможных значений.
Таким образом, имеется сп = Зп различных последовательностей а
с со (а) = га. Из определения 2.2.5 следует, что
= S
Однако 2 1 = с„ и, как только что установлено, с„ = 3". Та-
ае^,ш(а)=п
ким .образом,
Ф(|)(*)= S 3V = (l-3*)-*.
*) Слово — элемент свободного моноида ЭР. (Примеч. ред.)
41
Мы вывели производящую функцию Ф^'(х), зная последова-
последовательность (с„ I п> 0), в результате свертывания ряда 2 спхп. Од-
нако это прямо противоположно тому подходу, который вскоре
станет для нас обычным. Дело в том, что мы намереваемся раз-
развить теорию перечисления таким образом, чтобы иметь возмож-
возможность сначала определять производящую функцию Ф}р(х), а уже
потом получать сп, применяя к формальному степенному ряду
Ф(^(х) оператор [хп]. Следующее предложение формализует этот
подход,
2.2.8. Предложение. Пусть 9 — множество различных конфигу-
конфигураций, а (о — весовая функция на 9. Тогда
(т. е. равняется числу конфигураций веса к, содержащихся в 9).
Это предложение объясняет, в частности, причины, приводящие
к введению производящих функций. Оно дает метод решения ком-
комбинаторной задачи путем поиска некоторого «надмножества» $,
в котором нужные конфигурации содержатся в качестве конфигу-
конфигураций, имеющих заданный вес. Нам подойдет любое такое «над-
«надмножество» ^?, конечно, при условии, что производящая функция
для $ может быть фактически определена. Решая конкретную
задачу в общей форме, указанной в 2.2.3, мы стремимся выбрать
в качестве $ такое множество 9, для которого нахождение соот-
соответствующей производящей функции было бы наиболее простым.
Такой выбор 9, как правило, очевиден из общих комбинаторных
соображений.
Определим теперь понятие представления*). Это, в сущности,
комбинаторный прием в том смысле, что он связан только с ком-
комбинаторной структурой множеств конфигураций.
2.2.9. Определение (представление, «о-сохраняющее представле-
представление). Пусть 9* и &~ — множества различных конфигураций.
1. Если существует взаимно однозначное отображение Q: 9-*¦
-*¦#", то говорят, что Q есть представление 9 и обозначают это
2. Если на ST существует такая весовая функция со', что для
всех а<=9 выполняется со(а) = <o'(Q(a)), то Q называется пред-
представлением, сохраняющим вес, или ю-сохраняющим представлением
множества 9. Обозначается это 9> ^? 0~.
*) В оригинале — decomposition. По нашему мнению, данный перевод от-
отражает существо дела, которое заключается именно в представлении одних
комбинаторных объектов через другие, более удобные для перечисления. Под-
Подчеркнем также, что термин «представление» здесь всегда означает взаимно
однозначное соответствие. (Примеч. ред.)
42
Следующее предложение немедленно вытекает из определений.
2.2.10. Предложение. Если 9р=*-^~, где 9" и ZT — множества
различных конфигураций, а со — весовая функция на 91, то суще-
существует весовая функция со' на 0~ такая, что
Теперь для того, чтобы найти Ф^?' (х), будем стремиться подо-
подобрать такое ©-сохраняющее представление Q множества 9* и такую
весовую функцию со' на множестве 9~', чтобы было легче получить
производящую функцию Ф&-) (х). Этот момент является основным,
свое дальнейшее развитие он получит ниже, в рассуждениях, сле-
следующих за п. 2.2.16. А в примере 2.2.15 дается производящая
функция для множества, представление которого указано в 2.2.11.
2.2.11. Пример (проблема Терквема (представление)).
Задача. Найти число с(ге, к) различных подмножеств {oj, ...
..., а»,} «= Jfn таких, что Oi = г (mod 2) и О\ < ... < ak.
Множество конфигураций. Множество конфигураций,
которые надо подсчитать, имеет вид
9>h = {{<3i, ..., ajjoi <...<oft^re; n>0),
где нижний индекс If в ^ показывает, что в данной задаче пара-
параметр к фиксирован. Конфигурации fpi, .. .,* рЛ}„ ен g>h и {ои ..., оЛ}гое
е S^k неразличимы тогда и только тогда, когда т = п и р< = а,- для
всех i = l, ..., к (т. е. отношение эквивалентности, определяющее
неразличимость, является в дапном случае отношением тождества).
Если весовая функция <о: ^Д -»¦ @, 1, ...} имеет вид
со: {ах, ..., ак}п ¦-* п,
то с(ге, к) в точности равняется числу элементов множества 9"к, име-
имеющих вес п. Иными словами,
Представление. Обозначим через О множество всех поло-
положительных нечетных целых чисел и пусть
u:9>h->OhXJr :{ах, ..... ok}n* (olt ...,
где «; = а( — Oi-i для 1 *S i < к + 1, причем oq = 0, ok+i = re. Тогда
Oj = ai + ... + «j для 1^/^fe и re = «i + ... + «Л+1. Таким обра-
образом, Q является взаимно однозначным отображением. Из определе-
определения 2.2.9 следует, что Q является представлением множества 9*^
Определим весовую функцию со': С* X 7f -> Л° формулой
со':
Тогда очевидно, что если Q(o) = (ai, ..., ak+i), то для всех
co(a)= re = ai + ... + <x,h+i = co'(Q(o)).
Таким образом, Q является ©-сохраняющим представлением мно-
множества 9"к (в смысле 2.2.9) и из предложения 2.2.10 получаем
Наконец, из предложения 2.2.8 следует
Теперь резонно спросить: можно ли выразить производящую
функцию Ф «ft Лх) с помощью лишь производящих функций мно-
множеств О и .Л*? Более того, имеет смысл поставить этот вопрос в 06--
щем виде и спросить: имеются ли какие-либо теоретико-множе-
теоретико-множественные операции, отличные от прямого произведения, которые
можно использовать для построения представлений?
Далее мы увидим, что существуют четыре основные теоретико-
множественные операции, полезные в этом отношении, а именно:
объединение непересекающихся множеств, прямое произведение,
композиция и дифференцирование. Для тех читателей, которые,
возможно, не знакомы с двумя последними операциями, дадим
соответствующие определения. С этими операциями связаны четы-
четыре элементарные перечислительные леммы, которые выражают
искомую производящую функцию соответственно через сумму, про-
произведение, композицию и производную производящих функций тех
множеств, которые входят в соответствующее представление.
2.2.12. Лемма о сумме. Пусть со — весовая функция на множе-
множестве различных конфигураций 9*. Пусть бФ и $ — непересекающие-
непересекающиеся подмножества множества 9. Тогда
Доказательство. Из определения 2.2.5 и того, что А П В
0, получаем:
2.2.13. Пример (сумма). Пусть si-'— множество всех последова-
последовательностей, образованных из символов 0,1, 2 (будем называть его
множеством всех последовательностей над @,1,2}). Пусть s?o п
s&i — подмножества $4-, образованные последовательностями соответ-
соответственно четной и нечетной длины, а ю(о) обозначает длину после-
последовательности (jerf. Очевидно, что s?—S&0 и «s^i» и тогда по лем-
лемме о сумме
Аналогичный результат можно получить и для прямого произ-
произведения множеств.
44
2.2.14. Лемма о произведении. Пусть а, § и со — весовые функ-
функции соответственно па множествах s4-, Я и S&X3I, образованных
различными конфигурациями. Если для всех (a, b)^s4-X.!% выпол-
выполняется равенство
со((а, Ь)) — а(а)
то
Доказательство. Из определения 2.2.5 получаем
$> (х)=
(а,
Чтобы привести пример использования леммы о произведении,
вернемся к задаче, поставленной в примере 2.2.11, и закончим ее
решение.
2.2.15. Пример (проблема Терквема (производящая функция)).
Пусть с(п, к) обозначает число подмножеств {а\, ..., ак)п множе-
множества Л"п, удовлетворяющих условиям 1 *? а\ < ... < ah и а, *з
= i(mod 2) для всех 1 ^ i ^ к. Из 2.2.11 следует
где со': C'Y.Jf -*¦ Jf определяется формулой
со': (а1г ..., ak+1) «¦ ax + ... + ak+1.
Пусть г|) и ф — весовые функции соответственно на ?? и JF, опре-
определенные следующим образом: i|)(?) = ? (je.0) и ф(/) = / {j^Jf).
Тогда
co'(ai, ...,
Из леммы о произведении получаем
Производящие функции для множеств О и Jf относительно соот-
соответствующих весовых функций ф и ф имеют вид
= 2
= S ^ = A - ж)-
Отсюда следует
и, таким образом,
с(ге, k)*=[xn-h](l-x)-l(l-x2)-\
Чтобы «извлечь» искомый коэффициент, надо представить
A —ж) и A — х2)~к в виде степенных рядов и произвести двой-
45
ное суммирование. Но поскольку A — х)~1 = A +х) A — ж2), то
одного суммирования можно избежать. Тогда
в (в, л) = [*«-*] 2 2
i=0 r=o
Ненулевой вклад в с(п, к) получается при п — k = 2r+i
<2). Таким образом, г = -^-(га —Л?) , откуда следует
Для самопроверки рассмотрим подмножества множества Л°в, со-
состоящие из трех элементов и удовлетворяющие нашим условиям.
Таких подмножеств всего четыре: {1, 2, 3), {1, 2, 5), A, 4, 5) и
C, 4, 5). И в самом деле, с F, 3) = A9^) = 4.
Леммы о сумме и произведении, очевидно, знакомы более по
теории вероятностей, где они известны как теорема о вероятности
суммы попарно несовместимых событий и теорема о вероятности
произведения независимых событий. Нам важно понять комбина-
комбинаторную природу линейного соотношения между весовыми функ-
функциями, которое появляется в формулировке леммы о произведении.
Для этого введем следующее определение.
2.2.16. Определение (представление, аддитивно сохраняющее
вес). Пусть s4-, !Й и W — множества различных конфигураций и
пусть Q: ff ^Z J& X & является ©-сохраняющим представлением.
Если для всех c^ff
где Q(c) = (a, b), а а и ?5 — весовые функции соответственно на s4-
и ^f, то Q называется представлением множества %?, аддитивно
сохраняющим вес.
Для большинства изучаемых нами конфигураций проверка того,
является ли то или иное представление взаимно однозначным ото-
отображением, сохраняющим вес или аддитивно сохраняющим вес,
осуществляется без особых затруднений. Как правило, выполнение
этих свойств можно проверить на комбинаторном уровне.
Вернемся теперь к обсуждавшемуся после п. 2.2.10 вопросу об
использовании ©-сохраняющего представления Q:9'^*-&~ при ре-
решении задачи о перечислении 9". Ясно, что для этого нужно ис-
искать такое представление, аддитивно сохраняющее вес, чтобы Э~.
выражалось через непересекающиеся объединения и произведения
множеств, для которых легко получить производящие фупкции.
Пример такого подхода приведен в 2.2.11 и 2.2.15. Более того, ре-
решая конкретную задачу, мы стараемся свести ее к общей перечис-
перечислительной задаче (см. 2.2.3), для чего выбираем множество & и
46
весовую функцию и таким образом, чтобы интересующие пас кон-
конфигурации (и только они) имели заданный вес. При этом, конечно,
выбор 9> должен обеспечивать существование множества 0~ и пред-
представления Q : 5" ^ 3~ с указанными выше свойствами.
По построению производящая функция содержит интересующую
нас перечислительную информацию. В связи с этим уместно по-
поставить вопрос о ее практическом получении с помощью коэффи-
коэффициентных операторов. Для этого в нашем распоряжении имеются
теорема Тейлора, теорема Лагранжа и, конечно, методы, связанные
с получением рекуррентных соотношений. Для производящих
функций многих переменных, которые являются симметрическими,
существуют также и другие технические приемы, они будут опи-
описаны в § 3.5.
В примере 2.2.11 нами было использовано представление, со-
храпяющее вес. В общем случае, однако, не существует какого-
либо стандартного метода для получения таких представлений.
Для более или менее «заурядных» конфигураций таких, как по-
последовательности, деревья, размещения, отображения или @,1)-
матрицы соответствующее представление, как правило, найти лег-
легко. Для более сложных конфигураций, как, например, плоские
разбиения, найти подходящее представление гораздо труднее. Од-
Однако если представление уже найдено, оно обычно является и-со-
храняющим для нескольких весовых функций. Другими словами,
найденное представление можно использовать при решении целого
класса задач, а не только некоторой конкретной задачи.
В примере 2.2.11 мы показали, что «разложение» множества
9"h по О и И? позволяет с помощью элементарных перечислительных
лемм выразить производящую функцию Ф^>, (х) непосредственно
через известные производящие функции Фд (х) и Ф($(х). По-
Поэтому такие представления называются прямыми. В общем случае
область значений представления строится из некоторого числа раз-
различных множеств $i, ..., 31т с помощью операций непересекающе-
непересекающегося объединения и прямого произведения. Мы классифицируем
способы, какими исследуемое множество участвует в построении
представления, следующим образом.
2.2.17. Прямое, косвенное и рекурсивное представления. Пред-
Представление множества s4- с областью значений, построенной из раз-
различных множеств &i, ..., <%т, называется
1. прямым для s&, если не существует такого i, что ^ = .я?;
2. косвенным для всех S&j таких, что ^ Ф s4-\
3. рекурсивным для s4-, если существует такое i, что $7,- = зФ.
Ниже дается пример косвепного представления.
2.2.18. Пример (косвенное представление)- Найдем число @,1)-
последовательностей длины п, начинающихся с 1. Обозначим это
число с„. Пусть 5" — множество всех таких последовательностей
для п>0. Вес @, ^-последовательности а определим как длину
о и будем обозначать его и (о). Множество {0,1}* можно получить
из 91, если перед каждой последовательностью из 5" приписать по
47
очереди все последовательности из 0*. Тем самым, отображение
является, очевидно, представлением множества {0, 1}*, аддитивно
сохраняющим вес, так как со(с) = со(а)+со(Ь) для всех (а, Ь) =
= ?2(с). Ясно, что ?2 — это косвенное представление для множе-
множества 9*. Из лемм о сумме и произведении получаем
{o,i>* \х) = Фо* \х) ^др \х)-
Однако
fe^O /i>0
Следовательно Ф^Д)* (ж) = A —2л;) и, аналогично, Фо*'(а;)=A—х)-1.
Таким образом,
A - 2а:)-1 = A - ж) Ф^' (ж).
Отсюда следует, что Ф^ж) = A—х){1 — 2х)~1, откуда с„==2"~1.
С комбинаторной точки зрения появления косвенного представ-
представления можно ожидать в тех случаях, когда задача, которую мы
решаем, комбинируется с какой-либо другой задачей и в результа-
результате получается некоторая третья задача. При таких представлениях
для получения искомой производящей функции в заключение тре-
требуется применение некоторой операции обращения. В разобранном
выше примере этот заключительный шаг сводится к нахождению
мультипликативной обратной для функции {i — x)~x. Однако в об-
общем случае ситуация может оказаться значительно сложнее.
Завершим обсуждение примером рекурсивного представления,
которое приводит к другому решению задачи из примера 2.2.7.
2.2.19. Пример (рекурсивное представление). Найдем число сп
различных последовательностей длины п, образованных из сим-
символов {0, 1, 2).
Пусть 9* — множество всех таких последовательностей длипы
п > 0. Очевидно, что любую последовательность из 93, кроме пус-
пустой последовательности е, можно получить, если перед соответ-
соответствующей последовательностью из S? поставить знак 0,1 или 2.
Тогда отображение
является представлением 9*, аддитивно сохраняющим вес, где вес
со (а) элемента а<=9* равняется длине а. Из лемм о сумме и произ-
произведении получаем
ф<|> (X) = Ф\% (X) + ф?>112} (X) Ф$> (X).
48
Однако
<\.2> (X) = Ф<$ (X) + Ф&> (X) + Ф$ (X) = 3*.
так что
Таким образом, Ф(^} (х) = A — За;)—1, откуда с„ = 3".
В общем случае рекурсивное представление приводит к функ-
функциональному уравнению относительно искомой производящей функ-
функции. Если зто уравнение удовлетворяет условиям теоремы Лагран-
зка, то мы, как правило, можем получить явное решение в виде
степенного ряда. В остальных случаях удается получить лишь
рекуррентное соотношение для коэффициентов искомого степеп-
ного ряда.
Возьмем теперь на вооружение еще одну комбинаторную опе-
операцию, связанную с последовательным выполнением нескольких
операций непересекающегося объединения и прямого произведения.
Эта новая операция называется композицией. Она производится
путем замены некоторых подконфигураций (s-объектов, как мы их
называли в 2.2.6) в конфигурациях из первого множества все-
всеми возможными конфигурациями из второго множества. При
этом получается некоторое третье множество различных конфи-
конфигураций.
2.2.20. Определение (композиция). Пусть 9", 3) и 9$ — множе-
множества различных комбинаторных конфигураций. Тогда 9" называется
композицией множества 9* с множеством ЗУ, если существуют
s-объекты и операция, называемая замещением, такие, что
1. Замещение любого s-объекта в любом элементе 0^9* неко-
некоторым элементом из множества ЗУ дает элемент множества 9\
2. Этим способом каждый элемент множества 9* можно полу-
получить единственным образом.
Операция композиции 9* с ЗУ записывается как 93 = 9* ° ЗУ.
Важно отметить, что с помощью множеств 9" и ЗУ можно органи-
организовать много композиций в зависимости от конкретной реализации
операции замещения и выбора s-объектов.
2.2.21. Пример (композиция). Пусть 9° есть множество @,1)-
последовательностей, в которых нет расположенных по соседству
нулей, .2) — множество вида 3> = @, 00, 000, ...}=0@)*. Тогда
1. Если в произвольной последовательности из множества 93
каждвш нуль заменить каким-либо элементом множества 3), то
получим элемент множества @, О*.
2. Каждый элемент множества {0, 1)* этим способом может быть
получен единственным образом. Например, последовательность
0011100010^@,1}* можно получить только из последовательности
0111010 <=??. Для этого первый нуль в этой последовательности
надо заменить на 00 <= 3), второй — на 000 <= 3), а третий — на
0s2).
4 Я. Гульден, Д. Джексон 49
3. Как уже стало ясно, s-объектами являются нули, появляю-
появляющиеся в последовательностях из множества 9".
Таким образом {0,1}* = 9" ° 2Ь. Это — косвенное представление
для 9>.
Приведем теперь элементарную перечислительную лемму, свя-
занпую с операцией композиции.
2.2.22. Лемма о композиции. Пусть со' и со — весовые функции
соответственно на множествах различных конфигураций 9" ° 3) и ?).
Если элемент o's^»® получен из элемента а^9" веса со,(а) = к
и элементов а.\, ..., ак, где « = (ai, ..., ah)^?)h, и при этом
со' (а') = со (ai) + ... + со (ah),
то
при условии, что указанная подстановка допустима (см. 1.1.4).
Доказательство. Из определения 2.2.5, используя лемму
о сумме (при переходе ко второму равенству), получаем:
>(*) = 2 *•'«">= 2 2
= 2 2
2
= 22/2 x<*v\h= 2 B
as? \ps25 / oe^lpe® J
o(a)fe
откуда и следует искомый результат. П
Сохраняющее вес представление Q : %? ^ & ° 2) называется ад-
дитпвньш, если выполняется линейное соотношение для весов,
входящее в условия леммы о композиции. В сущности — это опре-
определение 2.2.16, перенесенное на случай непересекающегося объеди-
объединения прямых произведений множеств. Условие на то, что компо-
композиция производящих функций является допустимой как операция
над соответствующими степенными рядами (см. 1.1.4), обычно
легко проверяется, так как Фе$ @) = 0 в большинстве тех комби-
комбинаторных ситуаций, когда композиция появляется естественным
образом. Следующий пример иллюстрирует применение доказанной
выше леммы,
2.2.23. Пример (композиция). Найдем число @, ^-последова-
^-последовательностей длины п, не имеющих двух соседпих нулей. Обозначим
это число через сп.
Пусть 9" — множество всех таких последовательностей для
п ~5* 0. Для элемента as {0,1}* определим вес как со(а) = (г, /), где
г — число кулей, а / — число единиц в последовательности а. Если
50
^ @,1)*, положим
Это первый пример обыкновенной производящей функции от не-
нескольких переменных. Разумеется, каждая перечислительная лем-
лемма справедлива относительно любой переменной в обыкновенной
производящей функции. Очевидно, что сп = [хп)Ф(]р{х, х).
Из примера 2.2.21 и леммы о композиции получаем
Ф(<о,\>* (х, у) = ф?> (ФЙ&. (х, у), у).
Остается определить производящие функции относительно веса ш
для множеств {0,1}* и 0@)*. По леммам о сумме и о произведе-
произведении мы находим, что Ф{?\>* {х, у) = 2 O\f_1)h{x, у) =A—я—г/) и
ФоГо)* (*, У) = х A - x)-i. Тогда
A - х — у)-1 = Oj? (я A - я)-1, г/).
Для того чтобы получить Ф(^(а;, г/), положим жA — ж) = и.
Отсюда а; = иA + и) и поэтому
Ф^ («, у) = {1 - «A + и) - г/}.
Таким образом, Ф^(х, х) = A ¦+• х){1 — а; — ж2).
Мы предпочитаем найти рекуррентное соотношение для с„, хотя
теория цепных дробей или формула Тейлора позволяют получить
разложение A — х — х2)~1 в явном виде. Запишем
A - х — х2) У, с{х1 =1 + х.
Выделяя коэффициент при хп+2, получаем
Сп+2 = Cn+i + Сп, П> 0.
Кроме того, имеем Со = 1 и с\ — Со = 1, т. е. ci = 2. Число с„, опре-
определенное указанным выше способом, называется (п + 1)-м числом
Фибоначчи и обычно обозначается Fn+l.
В отличие от леммы о произведении, лемма о композиции сфор-
сформулирована в терминах комбинаторной операции, называемой
операцией замещения, применяя которую, приходим к некоторой
конфигурации, реализующей элементы композиции. Но операцию
композиции 9" ° S& для двух множеств различных конфигураций
можно определить и не прибегая к операции замещения. Например,
где ^ь"= (ое?11 <й„(о") = к). В этом случае для установления пред-
представления &~ =*¦ 9> о 'si', где 3~ — множество различных конфигура-
4* 51
ций, требуется соответствующая интерпретация элементов множе-
множества 9>'°si. Именно такой подход был использован для установле-
установления представления^4-^xi в лемме о произведении. Причина
другого подхода к композиции — путем реализации элементов мно-
множества 9" ° si посредством операции замены — состоит в том, что
с комбинаторной точки зрения лучше избегать каких-либо ссылок
на параметр к и соответствующее подмножество 97К. Взамен этого
мы рассматриваем подстановку произвольного элемента множества
si па место каждого s-объекта, содержащегося в каком-либо эле-
элементе ве^, и таким способом строим искомую конфигурацию,
причем единственным образом.
Последней комбинаторной операцией, которую мы собираемся
рассмотреть, является операция дифференцирования множества
относительно некоторого s-объекта.
2.2.24. Определение (s -производное). Пусть 9"— множество
различных конфигураций, в которых определены s-объекты. Тогда
«-производным множества 9* (обозначается 9*' или (d/ds)9>) назы-
называется множество
С комбинаторной точки зрения пару (о, i)^9>/ удобно представ-
представлять себе как конфигурацию о с выделенным г-м s-объектом. Для
этого над выделенным s-объектом помещается значок ~.
2.2.25. Пример («-производное для множества перестановок).
Пусть &*2 — множество перестановок на JCi, элементы множества
&i имеют вид ai02, где oi, Ог^И, 2), d Ф о2. Пусть г-м s-объектом
элемента О1О2 S ^2 будет в< (i = 1, 2). Тогда
(d/ds)<?2 = { A2,1), A2,2), B1,1), B1,2)}
или, в других обозначениях, {12, 12, 21, 21).
Следующая элементарная перечислительная лемма выражает
производящую функцию для s-производного множества 9" через
производящую функцию для 97.
2.2.26. Лемма о дифференцировании. Пусть 9° — множество раз-
различных конфигураций с выделенными s-объектами и пусть cos(o)
обозначает число s-объектов в о ^9°. Тогда
где со, (о, i) = со, (о), а переменная х маркирует s-объект.
Доказательство. Пусть Ф>р (х) = У, ОпХп, а Ф^> (х) =
= 2 Ъпхп. Тогда из определения 2.2.24 следует, что Ъп =¦ пап —
и лемма доказана. ?
52
В следующем примере приводится задача, которую можно ре-
решать различными способами; этот пример дает подходящую ил-
иллюстрацию понятия s-производного множества.
2.2.27. Пример («-производное). Найдем число различных по-
последовательностей длины р над Jfn. Обозначим это число через сР.
Положим 91 = Jfn- В каждой непустой последовательности р из &
выделим элемент на месте i, который будем считать ?-м s-объектом
(i = 1, 2, ..., Z(p), где Z(p) — длина р). Для того чтобы получить
какой-либо элемент р из множества (ff'—is})', где 8 обозначает
пустую последовательность, заметим, что последовательность р
можно единственным образом представить в виде alc$, где а, $ s 9,
а Ъ для к е Jfn — выделенный s-объект в р. Отсюда следует, что
{9 — {г})' ^ <? X Л*" X <?
— представление, аддитивно сохраняющее длину последовательно-
последовательности. Ясно, что в этом случае длина последовательности о совпадает
с весом со,(о).
Таким образом, по леммам о произведении и о дифференциро-
дифференцировании, имеем
где S(x)—производящая функция для множества 9> относительно
весовой функции со,. Начальным значением будет 5"@) = 1, так как
существует только одна последовательность над Л*п нулевой дли-
длины — пустая последовательность е. Применяя к нашему дифферен-
дифференциальному уравнению оператор интегрирования 1Х, определенный
в 1.1.5D), получаем
Из 1.1.5G) следует, что тогда
Таким образом, S(x) = (i — nx)~l, и сР=-пр.
Итак, мы взяли на вооружение операцию выделения s-объекта.
Это наиболее «ограниченная» из комбинаторных операций, тем не
менее она представляет интерес ввиду того, что иногда множество
9"' можно проще, чем само 9" разложить на объединения, произве-
произведения и композиции.
В принципе такой подход к перечислению множеств комбина-
комбинаторных конфигураций довольно прямолинеен. Сначала для нашего
множества мы ищем такое представление, сохраняющее вес, чтобы
входящие в него множества были связаны между собой четырьмя
основными операциями: непересекающегося объединения, прямого
произведения, композиции и взятия s-производного. Затем с по-
помощью этого представления устанавливаются соотношения между
производящими функциями исходного и остальных множеств, вхо-
53
дящих в представление. Переход от представления к такой функ-
функциональной зависимости осуществляется с помощью элементарных
перечислительных лемм, связанных с указанными комбинаторными
операциями. Эти леммы позволяют перейти от непересекающегося
объединения, прямого произведения, композиции и дифференциро-
дифференцирования множеств конфигураций соответственно к сумме, произведе-
произведению, композиции и производной соответствующих им производящих
функций.
По сказанному выше, соотношения, полученные из представле-
представления, в простейших случаях сразу дают выражение в явном виде
для искомой производящей функции. В более сложных случаях
приходим либо к некоторому функциональному уравнению, либо
к дифференциальному уравнению, либо (в многомерном случае)
к системам таких уравнений.
Рассмотрим одну разновидность производящей функции, кото-
которая используется для перечисления множества 9* различных кон-
конфигураций по отношению к некоторому множеству & его различ-
различных непустых подмножеств &\, ..., &ч. Подмножество ^,- будет
ассоциироваться с г-м свойством (которым обладают некоторые
элементы множества 9}). Определим теперь две производящие
функции в связи со множествами 9Р и &.
2.2.28. Определение (производящая функция «в точности» и
производящая функция «по меньшей мере»). Пусть a={«i, ...
1. Через е(ос) обозначим число элементов множества 9?, кото-
которые лежат в подмножествах^^» •••¦< &а.к и не лежат ни в каком
подмножестве ^,, i Ф а.
2. Через и (ос) обозначим число элементов множества 9", кото-
которые лежат в подмножествах ^ах» • • • > ^ah и, может быть, в неко-
некоторых других подмножествах ^\, i & ос. Тогда
3. Производящая функция «в точности» для множества 9Р от-
относительно множества & определяется как
Е (х) = S ehXh, где eh = У, е (а).
|a|=fe
4. Производящая функция «по меньшей мере» для множества
91 относительно множества 9 определяется как
N (х) = 2 nkx\ где Hfe= 2 »(«).
Так как eh — число элементов множества 9*, принадлежащих
в точности к элементам множества ^, то можно записать
где вес (о(о) равняется числу элементов множества &*, которым
принадлежит элемент оеу, С другой стороны, каждый элемент
множества 9РУ принадлежащий в точности т элементам множества
54
(m\
9>, учитывается при подсчете nk в точности 1.1 раз, а именно по
одному разу при всяком ft-наборе из т свойств. Этим объясняется
выбор терминов «в точности» и «по меньшей мере» в назвапиях
соответствующих производящих функций.
Следующая элементарная перечислительная лемма устанавли-
устанавливает связь между двумя производящими функциями, для множе-
множества 9° по отношению к 9*.
2.2.29. Лемма (принципвключения — исключения). ПустьЕ(х)и
N(x) — производящие функции «в точности» и «по меньшей мере»,
образованные для конечного множества 9° относительно множества
свойств 9* и \9>\ = q. Тогда
1. E(x)=-N{x-l);
2. ео= 2 (-i)mnm.
m=o
Доказательство. Очевидно, что Е (х) = 2 #м@), где
ю (о) — число элементов множества 9>, которым принадлежит эле-
элемент а ^9'. Функцию N(z) можно построить согласно определе-
определению 2.2.28, а именно беря все возможные ft-наборы свойств из 9*
и подсчитывая (с весом к) те из элементов це?1, которые облада-
обладают по меньшей мере этим набором к свойств. Но это эквивалентно
тому, что мы рассматриваем каждый элемент а <^ 9* ш учитываем
его 2о(а) раз, а именно с весом к по одному разу для каждого &-на-
бора, взятого из со (о) свойств, которым удовлетворяет элемент о.
Тогда
N(x) = 2 2 *|а1= 2 A+*)мСа).
Таким образом, N(x) = E(x+ 1), что и доказывает утвержде-
утверждение A). Заметим, что подстановка i + x в Е(х) является допусти-
допустимой (см. 1.1.4), так как 9? является конечным множеством, а вес
ш ограничен сверху числом q.
Утверждение B) следует из A) и того, что во =
[°]N{-l). ?
Имеется много комбинаторных задач, в которых значительно
проще определить числа пк или, что то же самое, N(x), чем Е(х).
Это происходит в тех случаях, когда мы умеем строить конфигура-
конфигурации, обладающие заданными к свойствами и, может быть, какими-
либо другими. Важен тот факт, что можно производить вычисления,
«игнорируя» наличие этих свойств.
2.2.30. Пример (беспорядки). Обозначим через dm число пере-
перестановок множества Jf-m, не имеющих неподвижных точек. Это чис-
число называется числом беспорядков.
Пусть 9° — множество всех перестановок m различных символов
и пусть 9>i обозначает подмножество, состоящее из перестановок,
в которых i является неподвижной точкой (t=l, 2, ..., m). Оче-
55
видно, что при таком выборе свойств ^ искомое число dm равно во.
Найдем числа nk. Для этого определим число перестановок, кото-
которые обладают к фиксированными свойствами, а затем возьмем сум-
сумму этих чисел по всем наборам из к различных свойств. Для каж-
каждого набора из к свойств имеется в точности (т — к)\ перестано-
(т\
вок, обладающих этими свойствами, а всего имеется ( , I таких
различных наборов. Следовательно, nh = I I (m — к)\ и по утверж-
\к I
дению B) принципа включения — исключения получаем
= m\
k\
fe=o
В разобранном примере числа nk мы определили прямым вы-
вычислением, не прибегая к предварительному построению функции
N(x). Принцип включения — исключения становится еще более
мощным средством, если удается найти саму производящую функ-
функцию N(x) с помощью элементарных перечислительных лемм.
Примечания и ссылки.
Другие подходы можно найти в работах Bender, Goldman A971),
Doubilet A972), Doubilet, Rota, Stanley A972), Henle A972),
Joyal A981), MacMahon A915).
B.2.11) Terquem A839); B.2.30) Montmort A708).
§ 2.3. Предварительные примеры
Посмотрим, как применяются элементарные перечислительпые
леммы при исследовании некоторых простых комбинаторных кон-
конфигураций. В каждом из разобранных примеров соответствующее
представление приводится в отдельном пункте, в результате чего
становится ясной чисто комбинаторная сторона исследования. Раз-
Разбор каждого примера завершается тем, что мы либо получаем
искомое число в явном виде — в виде выражения для коэффициен-
коэффициента соответствующей производящей функции, либо находим для не-
него рекуррентное соотношение. Большинство рассматриваемых при-
примеров связано с перечислением подмножеств, мультимножеств *)
и упорядоченных разбиений.
2.3.1. Представление (подмножества). Пусть 9" — множество
всех подмножеств множества Jfn. Тогда
{ }(l
где
A, г ее a,
10, i&o.
*) Под мультимножеством здесь и далее понимается множество, в кото-
котором некоторые элементы неразличимы. Например, {1, 1, 2}. (Примеч. пер.)
56
При этом представлении, например, набор A, 3), рассматривае-
рассматриваемый как подмножество Ль-, кодируется как A, 0, 1). Сумма ком-
компонент этой тройки равна двум — числу элементов кодируемого
подмножества. Ясно, что и вообще при нашем представлении мощ-
мощность подмножества «сохраняется», т. е. ему соответствует га-мер-
га-мерный вектор с числом единиц, равным числу его элементов. Если
тот же набор {1, 3} рассмотреть как подмножество множества Jfi,
то он будет кодироваться как A, 0, 1, 0). Найдем число различ-
различных r-подмножеств га-множества.
2.3.2. Подмножества. Обозначим через сп(г) число г-подмно-
жеств множества Jfn. Тогда
где & — множество всех подмножеств множества Jfn, а вес со (о) =
= loi для всех о е ЭР, Обозначим через Q представление, приве-
приведенное в 2.3.1. Тогда co(o) = /i + ...+/„, где (/ь ..., /n) = Q(o).
Отсюда следует, что Q является аддитивно со-сохраняющим пред-
представлением множества &. В обозначениях пункта 2.2.9 вес со' оп-
определяется, разумеется, как co'(?)=t для ie{0, 1). Тогда по лем-
леммам о сумме и о произведении получаем
Таким образом, сп (г) = [хг] A + х)п = ' )•
\r
Теперь на примере производящей функции A + х)п мы проде-
продемонстрируем общий способ получения рекуррентных соотношений
для искомых величин.
2.3.3. Рекуррентное уравнение для биномиальных коэффициен-
коэффициентов. Пусть /„(ж) = A + х)п. Дифференцируя по х, получаем
п
fn (х) = ге/п-! (х). Так как /„ (х) — 2 сп (г) хг, то, сравнивая коэф-
фициенты при хг, приходим к соотношению
(г+ l)cn(r+l)=recn-i(r), где г > 0.
Это и есть рекуррентное уравнение для сп(г). Если заменить п на
п — /, r — на г — /, а затем взять произведение по всем / от 0 до
г, то получим
Но с,@)= 1, следовательно, сп(г) = II
Другое рекуррентное уравнение для сп(г) можно получить из
равенства A + х)п =A + х) A + х)п~\ сравнивая коэффициенты
при хт в обеих его частях.
57
В результате для п > 1, г > 0 получаем
с„ (г) = с-, (г) + с„_1 (г — 1),
где с„(—1)= О, с„(О)= 1 при п > О.
Общее число различных подмножеств множества JCn равно
с„@)+ с„A)+ ... + с„(п). Его можно вычислить, если заметить,
что }„(х) = сп@)+ сяA)х1 + .. , + с„(п)хп. Таким образом, искомое
число равно /пA). Указанная подстановка допустима, так как для
/п(ж) переменная х является отделенным множеством (см. 1.1.4).
Но fn(x) = (i + х)п, так что /„A)=2П. Таким образом, общее чис-
число различных подмножеств множества JCn равно 2".
Очевидно, что представление 2.3.1 можно обобщить на случай
мультимножеств. Для этого нужно лишь в представлении 2.3.1
вместо единицы записывать каждый раз число появлений соответ-
соответствующего элемента в данном мультимножестве. Тогда получим
следующее представление.
2.3.4. Представлепие (мультимножества). Пусть 9" — множест-
множество всех мультимножеств, построенных из элементов множества Jfn.
Тогда
где ft означает число появлений элемента i e Jfn в мультимно-
мультимножестве о.
Например, набор {1, 1, 1, 2} можно рассматривать как мульти-
мультимножество на Jfi. При нашем представлении этому набору соот-
соответствует пара C, 1). Сумма компонент этой пары равна четы-
четырем, т. е. числу элементов в мультимножестве {1, 1, 1, 2}. Разу-
Разумеется, это свойство справедливо и в общем случае. Если набор
{1, 1, 1, 2} рассмотреть как мультимножество над Лъ, то ему бу-
будет соответствовать тройка C, 1, 0).
2.3.5. Мультимножества. Обозначим через dn(r) число различ-
различных мультимножеств мощности г, построенных из элементов мно-
множества Jfa. Тогда
где 9* — множество всех мультимножеств на JFn, а со(о)= 1о! —
число элементов в це?. Далее, со(о) = ]\ +... +/п, где
См, ..., /n)efi(o), a Q — представление из 2.3.4. По леммам
о сумме и о произведении получаем
/2П
Отсюда следует
Нетрудно заметить, что число всех мультимножеств, построен-
построенных из элементов множества Jfn, не может быть конечным, так
как каждый элемент множества Jfn может входить в мультимно-
мультимножество любое число раз. Это согласуется с тем обстоятельством,
58
что переменная х не является отделенной для соответствующей
производящей функции A — z)~n=:dn@) + dn{i)x + dnB)x2 +...,
и, таким образом, подстановка х = 1 не является допустимой.
2.3.6. Определение (упорядоченное разбиение целого числа или
композиция*)). Пусть a = (ai, ..., ar), где r>0, ai, ..., a,<=A*+
и ai +... + ar = re. Тогда a называется упорядоченным разбиени-
разбиением целого числа п на г частей (или композицией пег частями).
Пустой вектор е является разбиением 0.
Например, существует 8 различных упорядоченных разбиений
числа 4.. Они приводятся в таблице 2.3.1.
Таблица 2.3.1
Упорядоченные разбиения числа 4
Число частей
1
2
3
4
D)
A,
B,
A,
3)
1,
1,
, C
1),
1,
Упорядоченные разбиения
, 1)
A,
1)
B,2)
2,1), A,1,2)
Для композиций целых чисел имеется простое представление,
которое немедленно следует из определения 2.3.6 и которым мы
будем пользоваться неоднократно (используя различные весовые
функции).
2.3.7. Представление (упорядоченные разбиения целых чисел).
Пусть 9* — множество всех композиций. Тогда
9>= О Л°+-
Чтобы найти число композиций данного целого числа, посту-
поступим следующим образом.
2.3.8. Упорядоченные разбиения целых чисел. Пусть 9" — мно-
множество всех композиций, обозначим через с(п) число различных
композиций числа п. Тогда
где и (a) = ai + ... + а(, если а = (ai, ..., а;) е др.
По лемме о сумме и о произведении получаем
Фв)(а!)=51( 2 я*1" = A-я)A-2я)-1 = 1+яA-2я)-1,-
и, таким образом, с(ге)= [жп~!]A — 2а;) = 2" при п> 1.
В частности, с D)= 8, что согласуется с табл. 2.3.1.
*) В оригинале — composition. Мы будем использовать оба русских тер-
термина — «упорядоченное разбиение» и «композиция», соответствующие этому
понятию, но второй — лишь в тех случаях, когда нет опасности смешать его
с операцией композиции для комбинаторных конфигураций (см. 2.2.20)
(Примеч. ред.)
59
Изучая связи между теми или иными производящими функция-
функциями, иногда удается также установить соответствие между комбина-
комбинаторными конфигурациями, которые перечисляют наши производя-
производящие функции. И хотя на практике такие соответствия встречаются
достаточно редко, всегда имеет смысл попытаться их найти. Мы
приведем сейчас пример такого соответствия, которое обнаружива-
обнаруживается на базе даже того ограниченного материала, которым мы уже
располагаем. Оно лежит на поверхности, но, тем не менее, доста-
достаточно хорошо показывает суть дела.
2.3.9. Соответствие (мультимножества — композиции). Имеет
место взаимно однозначное соответствие между множеством ком-
композиций числа пек частями и мультимножествами на Jfh с п — к
элементами.
Доказательство. В силу представления 2.3.7, число раз-
различных разбиений числа п на к частей равно
[хп]{х + х2 + ...)*- [я1-*] (i—x) "*.
В то же время, из 2.3.5 следует, что [хп~к]A — х)-к равняется чис-
числу мультимножеств мощности п — А; на Jfk. Так как эти числа
между собой равны, то тем самым существует взаимно однознач-
однозначное соответствие между соответствующими множествами конфигу-
конфигураций. ?
Но заметим, что одно дело — установить факт взаимно одно-
однозначного соответствия между двумя множествами объектов, и сов-
совсем другое — получить его комбинаторное описание.
В нашем случае, однако, композиции числа п вида (h, ..., ih)
соответствует такое мультимножество на Jfh, что каждый элемент
/ появляется в нем ц — 1 раз (j = 1, ..., к).
Так, например, раз-биению числа 5 в виде A, 3, 1) соответству-
соответствует мультимножество {2, 2} на JCz-
Представление 2.3.7 можно, копечно, использовать и для пере-
перечисления упорядоченных разбиений числа п по отношению к чис-
числу частей, так как оно предоставляет в наше распоряжение соот-
соответствующие структурные свойства. Нам лишь нужно найти под-
подходящую весовую функцию для этого более тонкого перечисления.
После проверки того, что какое-либо представление аддитивно
сохраняет вес, мы, очевидно, «копируем» накопление весов с по-
помощью надлежащей маркировки переменными тех объектов, веса
которых следует сохранять. Ясно, что при этом мы всего лишь
используем уже установленные свойства, связанные с аддитивным
сохранением веса, однако таким путем, который ориентирован
«комбинаторно». Новая точка зрения представляет собой просто
смещение акцентов, но она перспективна с комбинаторных пози-
позиций. Проиллюстрируем сказанное выше на примере перечисления
упорядоченных разбиений целых чисел по числу частей.
2.3.10. Композиции и части. Пусть с(ге, к) —число упорядочен-
упорядоченных разбиений числа п ровно на к частей. Воспользуемся пред-
представлением 2.3.7.
60
Производящая функция для произвольной компоненты разбие-
разбиения имеет вид
где х маркирует величину компоненты разбиения, а у маркирует
наличие компоненты. Поэтому из леммы о произведении следует,
что с (га, к) = [х\ yh] h (х, у), где h (х, у) = 2
й>0
(n |\
к — 1/
Если в h(x, у) положить у = 1, то вновь приходим к менее
«тонкому» перечислению из 2.3.8.
Пример использования операции дифференцирования для полу-
получения рекуррентных соотношений был приведен в 2.3.3. В случае,
когда производящая функция является частным от деления много-
многочленов, мы можем применять простые технические приемы из
2.2.23. Проиллюстрируем сказанное.
2.3.11. Рекуррентное уравнение для композиций и частей.
Обыкновенная производящая функция для чисел с (га, к) — упоря-
упорядоченных разбиений числа п в точности на к частей — имеет вид:
с (га, к)'хпуь = A - х) {1 - A + у) х}-К
Таким образом, A —х — ху) 2 с (га, к) хпук = 1 — х. Применяя
к обеим частям этого равенства оператор [хруч], получаем рекуррент-
рекуррентное уравнение
при р, 9^1, с начальными условиями с(р, 0)=с@, q)=0 при
р, q>0 и с@, 0)=1.
Комбинаторные тождества можно получать, выводя двумя раз-
разными способами формулу для произвольного члена некоторого
формального степенного ряда.
В следующем примере определим производящую функцию для
одного множества упорядоченных разбиений, а затем получим не-
некоторое тождество, разлагая полученную производящую функцию
в степенной ряд двумя различными способами.
2.3.12, Одно комбинаторное тождество. Пусть с (га, I)—число
различных упорядоченных разбиений числа га в точности на I чет-
четных частей. Пусть х маркирует размер части, а у — появление
части четной величины. Тогда производящая функция для каждой
части имеет вид х + ух2 + хъ + ух4 + х5 + .... В силу представле-
представления 2.3.7 имеем
61
где
/(*, У) = 2 (х + У** + х* + У& + *5 + • • -У =
и, таким образом,
/(*, у)-A + *){1 - *2A'+ у) A - х)-1} =
= {1 — *A + жу) A — х2)-1}-1.
Применяя к двум этим разложениям сначала оператор [у1],
а затем оператор [хп], получаем тождество
)
k-2\] l
Оба эти выражения, очевидно, равны с (га,
Вернемся теперь к перечислению подмножеств данного
множества.
2.3.13. Определение (соседство в множестве). Пусть а —под-
—подмножество множества Jf. Соседством (в оригинале — succession)
в а называется подмножество вида ii, i + 1). Элементы i, i + 1 из
JC будем называть соседями.
Для того чтобы перечислять подмножества относительно име-
имеющихся в них соседств, можно воспользоваться следующим пред-
представлением, которое есть модификация представления 2.2.11.
2.3.14. Представление (подмножества). Пусть SP*. — множество
всех к-тгодмножеств множества Jfn при п S> 0. Тогда
9>h^-Jf\xJf: {аи ..., oh)n ~ (Л, -. -, /*-и).
где <V<a2<... <oh, Oi — Oi-\=U для всех ?=1, ..., к + 1; оо = 0
и оА+1 = га.
Для того чтобы перечислить ^-подмножества множества Jfn
по отношению к соседствам, заметим, что наличие соседства в под-
подмножестве {oi, ..., oft}n приводит к появлению 1 в наборе
(/2, ..., /*). Отметим также, что представление 2.3.1 нам не го-
годится, так как оно не содержит информацию о соседствах в до-
достаточно удобной форме.
2.3.15. Подмножества с соседствами. Обозначим с(пг, п, к) чис-
число /с-подмножеств множества Л*„, содержащих в точности m со-
соседств. Тогда n = j\ + ... + jh+i и пг равно числу единиц в наборе
(;2, ..., /*), где (л, ..., Д+1) = О(о), a Q — представление, опреде-
определенное в 2.3.14.
Пусть х маркирует число элемептов множества, /с-подмножест-
ва которого мы хотим перечислить, а у пусть маркирует наличие
соседства. Тогда с(т, п, к) = [xnym]f(х, у), где по лемме о про-
62
изведении
f(x, y) = (x + x2 + a? + ...)(yx + x2 + x3+...)h-1(l + x + x2 + ...) =
= хк{1 — х)-Цу + х{1 - х)-1)"-1.
Выделяя теперь обычным образом коэффициент при хпут,
получаем
(к-1\(п — к +
е{т,п,к) = [ т Д к_т
Отсюда следует, например, что число 2-подмножеств множества
JCb, не содержащих соседей, равно! 1=6. Эти 2-подмножества —
{1, 3>, {1, 4), {1, 5), {2, 4}, {2, 5), {3, 5}.
Займемся теперь нахождением числа подмножеств множества
Jfn, называемых сколемовскими.
2.3.16. Определение (сколемовское подмножество). Пусть под-
подмножество о = (oi, ..., ah) из Jfn удовлетворяет следующим
условиям:
1. О = Оо < Oi < 02 <... < ак «? оА+1 = га;
2. О; — Oi-i = 1 (mod р) для всех i = 1, ..., к.
Тогда о называется сколемовским /с-подмиожеством индекса р.
Для сколемовских подмножеств существует следующее пред-
представление, которое получается непосредственно из определения.
2.3.17. Представление (сколемовские подмножества). Пусть ^
обозначает множество всех сколемовских k-подмножеств индекса
р. Тогда
9>h =s. {i е= Л° \ i = 1 (mod/>)}ft х Л": {ах, ..., ah}n ^ {fv ..., fk+i),
где oi<...<ok, oj+i — Oi = /i+i для всех i = О, 1, ..., к, Оо = 0,
и Oa+i = га.
Воспользуемся теперь этим представлением для нахождения
числа всех сколемовских ^-подмножеств индекса р.
2.3.18. Проблема Сколема (Skolem). Обозначим через с (га, /с, р)
число сколемовских ^-подмножеств множества Jfn индекса р. Если
о s <?^ то о — сколемовское /с-подмножество множества Jfn, где
п = /i + ... + Д+1, (y'i, ..., ;b+i) = Q(o), a Q определено в 2.3.17.
Пусть х маркирует мощность множества, подмножествами которо-
которого являются рассматриваемые сколемовские /^-подмножества. Тог-
Тогда по лемме о произведении имеем с (га, к, р) = [xn]f (х), где
i=l(modp)
Чтобы найти нужный нам коэффициент, заметим, что /(#) =
... + хр~1) п, таким образом,
03
с(п,к,р) = \ ь у
Проблема Терквема B.2.15) является частным случаем пробле-
проблемы Сколема (при р = 2).
Последняя задача о свойствах подмножеств, которую мы раз-
разберем в этом параграфе, связана с небольшой модификацией по-
понятия соседства.
2.3.19. Определение (циклическое соседство). Циклическим со-
седсгвом на множестве Jfn называется либо просто соседство на
•Л°П) либо подмножество {1, п).
Представление 2.3.14 не позволяет нам распознавать цикличе-
циклическое соседство вида A, п) на JCn. Но следующее представление
дает такую возможность.
2.3.20. Представление (подмножества). Пусть 9*,, — множество
всех к-подмножеств множества JP+. Будем считать s-объектами
для {at, ..., ajn элементы множества JPn и полагаем ao = ск. Опре-
Определим отображение
-fiJt*+: (К, .. ., ah}n, 0~ (К, ..., о»), /),
где Oi < . .. < ak,
1. j = a,;
2. ar = о(,-+г)тоаг! ~ a(!+r-i)mocik +габг, ft-i+i (r = 1, ..., к).
Доказательство. Заметим, что
+ а1 + а2+ ... + ar_i, i + 1 < r < к.
Таким образом, паше отображение обратимо, откуда и следует ис-
искомый результат. О
Полученное представление фактически устроено следующим
образом. Разности между соседними элементами в {ai, , ojn s
e^k) расположенные в циклическом порядке, начиная с некото-
некоторого выделенного места i e= JPk, вместе с разностью aft — О\ образу-
образуют набор (ai, ..., ал). Для того чтобы по этим разностям восста-
восстановить все множество {ai, ..., ajn, необходимо знать значение ка-
какого-либо элемента о*б=./УоП1 к которому уже можно будет прибав-
прибавлять разности. Считаем этот элемент выделенным s-объектом. Для
того чтобы получить (d/ds)^^ необходимо разрешить этому эле-
элементу принимать все возможные значения / е= Jfn.
2.3.21. Пример (циклические соседи). Рассмотрим подмножест-
подмножество о- = {1, 5, 6, 8, li}<=Jfu. Чтобы подчеркнуть его принадлеж-
принадлежность именно JPu, обозначим его как {1, 5, 6, 8, 11}ц- Ясно, что
оно является элементом Фь- Предположим, что мы выделили в а
третий элемент, а именно аз^-Л^п- Обозначим подмножество о^
— Jfn с выделенным третьим элементом ({1, 5, 6, 8, 11)ц, 3)е
s 5^5 X JTs- Таким образом, в обозначениях 2.3.20 к = 5, i = 3 и,
по условию A), / = 6.
Образом этого элемента из З^ь X Л"ь относительно представле-
представления 2.3.20 является ((cti, аг, аз, а4, as), 6), где, по условию B),
at = о4 — Оз = 2, а* = 02 — Oi = 4,
а2 = о5 — о4 = 3, а5 = о3 — о2 = 1,
а3 = 0i —
Таким образом, при указанном представлении паре ({1, 5, 6, 8,
11}и, 3) соответствует образ (B, 3, 1, 4, 1), 6). Следует отметить,
что число циклических соседств в а равняется числу единиц в на-
наборе (oci, аг, аз, а4, аь). Поэтому представление аддитивно сохра-
сохраняет число циклических соседств.
Чтобы обратить это представление, заметим, что га = ai + ...
... + as = 11 и
04 = 6 + ai = 8,
05 = 6 + ai + a2 = 11,
01 = 6 — 11 + ai + ... + a3 = 1,
02 = 6 — 11 + ai + ... + a4 = 5,
03 = 6 — 11 + ai + ... + a5 = 6.
Кроме того, из A) получается, что 6 = of, откуда i = 3. Таким
образом,
({о, ов>п, 0 = (И, 5, 6, 8, Юн, 3).
Перечислим теперь подмножества множества JCn относительно
содержащихся в них циклических соседей.
2.3.22. Подмножества и циклические соседства. Обозначим че-
через с (т, п, к) число й-подмножеств множества Jfn, содержащих в
точности т циклических соседств. Число циклических соседств в
подмножестве а = (oi, ..., (тА}п равно числу единиц в наборе a =
= (at, ..., ак), где (a, /)=Q(o, i), a. Q — представление, опреде-
определенное в 2.3.20. Число п восстанавливается по а, так как п =
«= ai +... + ak, поэтому Q аддитивно сохраняет мощность п «над-
«надмножества», содержащего (oi, ..., ак), и число циклических со-
соседств. Искомая величина есть с(т, п, k)=[xnym]fk(z, у), где по
лемме о дифференцировании
*/*(*, у) = х -^{ух + х2 + а* + .. .)*.
Заметим, что х маркирует s-объекты, а у маркирует циклические
соседства. Так как в кольце формальных степенных рядов [хп] х-^ =
= "[#"]« то получаем кс(т, га, к) = п[хпут]{ух + х2A — ж)}*,
откуда
5 Я, Гульден, Д. Джексон 65
Примечания и ссылки.
B.3.15) Kaplansky A943); B.3.18) Netto A927); B.3.22) Кар-
lansky A943).
[2.3.5] Ostrowsky A929); [2.3.6] Liu A968); [2.3.9] Lagrange
A963); [2.3.10] Moser, Abramson A969a); [2.3.11] Goulden, Jackson
A978), Moser, Abramson A969b); [2.3.12] Tanny A975); [2.3.13]
Moser, Abramson A969b); [2.3.14] Read A982); [2.3.15] Klar-
ner A967).
ЗАДАЧИ
2.3.1. (а) Для любых фиксированных I и /га таких, что 1«SZ<
=Si /га, получить рекуррентное соотношение для числа упорядочен-
упорядоченных разбиений натурального числа на части, каждая из которых
сравнима с I (mod /re).
(б) Показать, что число композиций числа п с частями нечет-
нечетного размера совпадает с Fn — ге-м числом Фибоначчи (см.
2.2.23).
2.3.2. Показать, что число способов получить п очков в резуль-
результате к бросаний игральной кости (с учетом порядка бросаний)
равно
2.3.3. (а) Показать, что число решений уравнения х\ +...
(п + к-1\
... + xh = п в неотрицательных целых числах равно
\ п 1
(б) Показать, что число решений уравнения х\ + ... + хк = п
в целых числах с дополнительным условием сц < х( < Ъи i = 1, ...
..., к равно
[*»] /»+-+в* A - *)-* Д A - xb~ai).
2.3.4. Показать, что число решений уравнения х\ + ... + хк +
+ 2zA+i + ... + 2ж2ь = п в неотрицательных целых -числах равно
у !к + { — 1\ fn + к — 2i\
ёо\ Л-1 )\ Л-1 Г
Вывести отсюда тождество
у /2fc+i-lWn + ft-l-l\, ,,n-i ^ /ft+i_1iwB + ft-2l-l\
itli , Л к-i J(-1} =|„1 *-i Д *-i )¦
2.3.5. (а) Показать, что для любых к, а\, ..., ак > 1 каждое
неотрицательное целое число, меньшее, чем Ц «*> можпо единст-
венным образом представить в виде
ft-l 3
Ч + S xi П «г. 0 < х} < aj+1 ~ 1.
3-1 t=l
66
(б) Показать, что любое неотрицательное целое число имеет
однозначное представление в Z-ичной системе счисления для лю-
любого I > 2.
(в) Показать, что любое неотрицательное целое число можно
единственным образом представить в виде 2 &Щ—ъ где 0 ^ х{-\ < i.
(г) Показать, что при любых заданных п и I всякое неотрица-
неотрицательное целое число, меньшее, чем га!/(га—1)\, можно единствен-
единственным образом представить в виде
V
i=0
2.3.6. Пусть
Индукцией по к показать, что?к,т = \1— z^h')/A — г).Вывести
отсюда утверждение о том, что любое неотрицательное целое чис-
число имеет однозначное представление в виде
(I1)
при каждом к>1.
2.3.7. Пусть население некоторой страны составляет гаB/с + 1)
человек, причем р человек национальности «альфа», а остальные —
«бета». Эти люди расселяются по га округам, и при этом в каждый
округ попадает 2к + 1 человек.
(а) Показать, что число вариантов расселения, при котором
«альфа» составляет большинство в q округах, равно
2 Г lxi + u »2 Г J*1 .
(б) Показать, что математическое ожидание числа округов,
в которых «альфа» составляют большинство, равняется
M» + l)\-i %* /2fc+iW(B-i)Bfc +
П( Р ) ДД t )[ P-t
2.3.8. Воспользовавшись представлением 2.3.14, показать, что
число ^-подмножеств множества Jfn с т циклическими соседства-
соседствами равно
(к\ (п — к —
(см. также 2.3.22).
2.3.9. (а) Показать, что число подмножеств {aj, ..., aJ^JPn,
где Oi <... < ah, причем а < о, - Oj-i < b (/ = 2, ..., к) и Ь > а > О,
5* 67
равно
(б) Показать, что число подмножеств {oi, ..., ah) ^ Л"„, где
<... < ой, причем a^Gj — Oj_i < b (/ = 2, ..., к) и а <
! (<Ji — Ok) mod га < Ь, равно
2.3.10. Показать, что число подмножеств {ои ..., ак} ^ Jfn, где
О\ < ... < ак, причем а ^ as — Oj_i < Ь (/ = 2, ..., га) и га — с <
< oft — Oi ^ га — d равно
[a;n-d-a"i-1)](l — а:6-11)*-^! — а:)"'*-*-1' X
X Ы - (d - 1) х - cx"-d + (с - 1) a;c-d+1}.
2.3.11. (I, q)-подмножеством множества Л7» называется подмно-
подмножество о = (oi, ..., о*}„ ^ Л7» такое, что
О\ < 02 < ... < ак, oi =A + h) (mod 5fi) и
aj~ai-i={iJrli){m.od.qi), / = 2,3,..., ft.
(а) Показать, что число (I, q)-подмножеств множества Jfn
равно
(б) Показать, что число (I, q)-подмножеств множества Л*„ с
g( = p (i = 1, ..., fc) равно
2.3.12. Рассмотрим подмножества o = {oi, ..., OftJ^^n с к =
= (a+P)Z + / такие, что Oi<...<ok, первые а элементов имеют
одинаковую четность, следующие ^ элементов имеют противополож-
противоположную четность и далее элементы располагаются блоками одинаковой
четности размера a, |i, a, {J, ... с разной четностью между сосед-
соседними блоками. Показать, что число таких подмножеств равно
/[(в + ij/2] + (ft- /)/(« + р)\ + р/2] + (Л-/)/(« + р)\ о< /<се;
/п/2]] + 1 + (ft- /)/(« + р)\ + /[(в + DI2] + (ft-;)/(« +
Подмножества с указанными свойствами называются альтерниро-
альтернированными подмножествами.
68
2.3.13. Показать, что число подмножеств a = {oi, ..., ak}^Jfn
таких, что 0i < ... < ок и а} = (o,-i + 1 + Zj) (mod р) для всех / =
= 2, ..., Л, равно
to + up + A; /u + к\
и + к [ к J'
где и = [(га — к — ^ — ... — lk)/p], v — п— к — l2 — . ,. — lh — ря.
2.3.14. Показать, что число способов покрытия шахматной дос-
доски размера 2 X га с помощью т прямоугольников размера 1X2
(домино) и к квадратов размера 1X1 равно
[xnyh](l-x){(l-x-x2)(l-x)-(l+x)y2}-\
где, разумеется, 2/га + к = 2га.
2.3.15. Конечное объединение единичных квадратов, располо-
расположенных на плоскости с вершинами в точках целочисленной решет-
решетки, такое, что квадраты, расположенные друг под другом, образу-
образуют сплошной вертикальный столбец, а соседние столбцы содержат
квадраты, имеющие общую сторону, называется полиомино. Две
фигуры полиомино считаем неразличимыми, если существует сдвиг
плоскости, переводящий одну из фигур в другую. Показать, что
число различных фигур полиомино, составленных из га квадратов,
равно
-^ [хп] E — 13ж + 7х2) A — 5х + 7ж2 — 4Х3)-!, га > 1.
§ 2.4. Последовательности
В этом параграфе мы начинаем более систематическое изуче-
изучение последовательностей. В предыдущих параграфах уже рассмат-
рассматривались некоторые задачи, связанные с ними. Наше дальнейшее
исследование будет опираться на новые представления этих ком-
комбинаторных структур.
2.4.1. Определение (подцепь, подпоследовательность, блок)*).
Пусть о—ах,. -., <Jj e Jfn. Тогда а называется последовательностью
над Лп.
1. Если о = а$ч, где а, р, у^Л**, то {! называется подцепью
(substring) последовательности о.
2. Если iU, ..., im} ^ J(*i, ii < .. .<im, тост^оч^... oim называет-
называется подпоследовательностью последовательности a.
3. Подцепь вида к\ где (/ ^ 1, fee Jfni называется блоком
длины /.
Чтобы получить новые представления, рассмотрим возможные
разложения последовательности на максимальные подконфи-
гурации.
*) Определения авторов, данные для последовательностей над Jfn, почти
дословно переносятся на последовательности над любым алфавитом, чем авто-
авторы фактически пользуются уже в следующих пунктах при рассмотрении
(О, 1)-последовательностей. (Примеч. ред.)
69
2.4.2. Определение (максимальный блок). Блок, содержащийся
в данной последовательности, называется максимальным, если он
строго не содержится в каком-либо другом блоке.
Любую @, ^-последовательность можно однозначно предста-
представить с помощью содержащихся в ней нулей. Например, последо-
последовательность 01011000111101 записывается в виде
A°) 0 (I1) 0 (I2) 0 A°) 0 A°) 0 (I4) 0 (I1).
В результате получаем следующее представление.
2.4.3. Представление (@, ^-последовательности). Справедливо
следующее представление:
{0, 1}* =A*0)* 1*.
Найдем теперь число @, ^-последовательностей с заданным
числом блоков, составленных из единиц.
2.4.4. @,1)-последовательности и максимальные блоки из еди-
единиц. Обозначим через с (га, к) число различных последовательно-
последовательностей длины га из @, 1}*, имеющих в точности к максимальных
блоков из единиц. Если о — одна из таких последовательностей,
то определим ее вес как со (о) = (га, к). Пусть х маркирует элемен-
элементы множества @, 1}, а у маркирует максимальные блоки из еди-
единиц. Тогда
Ф<м>* (*,*/) = 2 с(п,к)х-уК
п,й>0
В силу леммы о сумме, леммы о произведении и представления
2.4.3 получаем
<i>[Z)* (*. у) = <¦<»* (*. у) <№(*, у) = A - фA*о (х, у)}-1 ф[У (х, у) =
= {1 - ф$> (х, у) Ф<а> (х, у)}'1 Ф$> (х, у).
со
Однако O[V(х, у) = 2 Ф^'(х, у) = 1 + ху + х2у + ..., так как сло-
ft=0
во вида lfe для всех /с>0 само является единственным максималь-
максимальным блоком из единиц. Отсюда Ф$ (х, у) = 1 + ху A — х)-1. Так
как Ф(ош) (х, у) = х, то
Ф(о%* {х, У) = {1+(У- 1) х) {1-2х-(у- 1) г*}
отсюда получаем
/ге + 1\
c(ra'fc) = i 2* )¦
Например, с D, 2)=LJ = 5. Ив самом деле, имеется ровно 5
@, ^-последовательностей длины 4 с двумя максимальными бло-
блоками из единиц: 1011, 1101, 0101, 1010 и 1001.
Если надо сохранить информацию не только о максимальных
блоках из единиц, но также о максимальных блоках из пулей, то
70
можно воспользоваться тем, что любая @, ^-последовательность
однозначно представляется с помощью максимальных блоков из
нулей, которые чередуются с максимальными блоками из единиц.
Так, например, последовательность 01011000111101 записывается
в виде
@U1) (ОН2) @314)
Таким образом, приходим к следующему представлению.
2.4.5. Представление (@, ^-последовательности. Имеет место
представление
{0,1>* = 1*@0*11*)*0*.
Следующий пример показывает, как применяется это пред-
представление.
2.4.6. (О, ^-последовательности и максимальные блоки из ну-
нулей и единиц. Обозначим с(п) число таких @, ^-последователь-
^-последовательностей длины п, в которых вслед за максимальным блоком из ну-
нулей, имеющим нечетную длину, не стоит максимальный блок из
единиц, имеющий также нечетную длину. Вес ш(о) такой после-
последовательности о определим как ее длину.
Пусть 91 — множество всех описанных выше последовательно-
последовательностей для всех п^О. Рассмотрим моноид {0,1}*. По 2.4.5 он пред-
представляется как 1* @0*11*) *0*. Далее, 00*11* состоит из всех по-
последовательностей в 9", начинающихся нулем, у которых за мак-
максимальным блоком из нулей следует максимальный блок из еди-
единиц. Из множества таких последовательностей надо исключить
множество 0@2)*1 (I2)*, состоящее из «запрещенных» последова-
последовательностей. Таким образом,
9> = 1*@0*11* - 0@2)* 1A2)*)*0*.
Пусть х маркирует элемент множества {0, 1}. Тогда Ф<^) (х) =
= 2 с(п)хп. По леммам о сумме и о произведении получаем
п>0
<*•> (х) = Ф»> (х) {1 - фОД (х) ф?) (,) + Ф$>2), (х)
а так как Ф%1(х) = Ф<»1 (*) = *A - ху1 и Ф^И*) = <!©)•(*) =
= х A - х2)-1, то Ф(^) (х) = A + xf {1 - 2х2 A + х)}~\ Отсюда
следует
Подобный метод можно применить и к последовательностям
над алфавитом большей мощности, однако в этом случае придется
пользоваться таким представлением, которое учитывает уровень
рекурсии для каждого символа алфавита. Неудобство такого обра-
образа действий удается обойти с помощью методов, развиваемых
в гл. 4. Однако в некоторых простых случаях мы сможем уже сей-
сейчас перечислять последовательности из Jfn, при этом мы начнем
71
систематически обращаться к производящим функциям от многих
переменных. Далее, на протяжении всего параграфа, символ
i^JCn будет маркироваться формальной переменной хи а х будет
означать вектор (х\, ..., хп).
2.4.7. Определение (тип последовательности). Пусть в последо-
последовательности а е Я'п элемент / A</=?ге) встречается ц раз. Тогда
T(a) = (ii, ..., in) называется типом последовательности о.
Так как перестановки множества /Сп — это последовательности
типа A, ..., 1), мы можем получать результаты для подстановок
из соответствующих результатов для последовательностей. Для
этого следует к производящей функции для последовательностей
применить оператор [х\... хп]. Первый такого рода пример будет
дан в 2.4.21.
2.4.8. Последовательность и ее тип. Обозначим через c(i) чис-
число последовательностей над jfn, имеющих тип i = (i1? ..., in). По-
Положим вес последовательности a e JC* равным ю (а) = т (а). Тогда
c(i)= [x1] Фл»*(х). По леммам о сумме и о произведении получаем
ф!?() {
Отсюда следует, что
Рассмотрим последовательности с ограничениями на тип.
2.4.9. Последовательности и ограничения на тип. Пусть с(ге) —
число последовательностей над Jfi длины п с четным числом еди-
единиц. Чтобы найти с (л), определим с(ц, ..., U) как число таких
последовательностей типа (i\, ..., ?4). Пусть
G(x1,...,xJ= 2 c(i1,...,ijx\i...x{*,
h \>°
где X} маркирует появление элемента / (Kj'<4) в нашей по-
последовательности. Тогда искомое число с(п) есть [xn]G(x, ..., х),
где х маркирует появление любого элемента множества J?i. Пусть
F(x\, ..., Xi)—производящая функция для Jf4 относительно типа
последовательности. Тогда, используя бисекцию рядов, получаем
G (хи ..., ж4) = -|- {F (хх, х2, х3, х4) + F (— хг, х2, х3, х4)}.
Из 2.4.8 следует, что F(xu X2, хз, Xi) = {1 — (х\ +... + х^}~1.
Таким образом,
с (п) = [х«] G{x,...,x) = \ [*«] {A - 4x)-i + A - 2х)~%
откуда
с(гс) = 2"-1(
72
Упорядоченное разбиение целого числа п на части можно рас-
рассматривать как последовательность над Jfn, для которой сумма
всех ее элементов равна п.
Покажем преимущество такого подхода на следующем примере.
2.4.10. Композиции и ограничения на части. Обозначим через
d(n) число упорядоченных разбиений натурального числа п на ча-
части, величины 1, 2, 3 или 4 и с четным числом частей величи-
величины 1. Для того чтобы найти d(n), заметим сначала, что последова-
последовательность а = ог ... Oi^ Jft, имеющая тип (U, ..., ?4), представля-
представляет собой некоторую композицию числа ц + 2гг + Зг'з + 4?4. Таким
образом,
d (п) = [*»] 2 с Aи ..., i4) (*)*! (х*)** (я*)*» *
>0
В обозначениях п. 2.4.9 получаем
d (п) = [хп] G (х, х2, х9, х*) =
= 4" .[**] (* — х —^ —ж8—ж4)-1 + -|- [а*] A + х — хг — х9—*«)-».
Для того чтобы получить рекуррентное уравнение для d(n),
положим
2 а(п)хп = A — х — х* — х9 — я*)-\
П>0
тогда для всех п > 0
Сравнивая коэффициенты при хп, мы видим-, что а(п) удовлетво-
удовлетворяет рекуррентному уравнению
а(п + А) = а(п + 3) + а(п + 2)+а(п + 1) + а(п), п>0,
где а@) = аA)=1, аB) = 2, аC) = 4. Аналогично Ъ{п) удовлет-
удовлетворяет рекуррентному уравнению
Ь(гс + 4)=— Ъ(п + 3)+ Ь(п + 2)+ Ъ(п+ 1) + Ъ(п), п>0,
где 6@)=-1, 6A)=—1, 6B) = 2, 6C)--2.
Теперь становится очевидным следующее замечание.
2.4.11. Замечание (последовательности и композиции). Пусть
...)—производящая функция для множества 9" последова-
последовательностей, перечисляемых относительно типа последовательности.
Тогда число упорядоченных разбиений числа т, которые как по-
последовательности лежат в 9*, равно [хт] Ф(х, х2, ...).
Методы перечисления последовательностей можно также ис-
использовать для получения некоторых элементарных результатов о
факторизации (разложении на множители) целых чисел (с учетом
порядка сомножителей), т. е. об упорядоченных факторизациях.
Это, возможно, покажется неожиданным, так как факторизация
73
связана с мультипликативными свойствами целых чисел. Заметим,
что число 12 имеет единственное разложение на простые множи-
множители, но 8 упорядоченных факторизации, а именно: A2), B, 6),
F, 2), B, 2, 3), B, 3, 2), C, 2, 2), C, 4), D, 3).
2.4.12. Упорядоченные факторизации. Пусть 1< pi< р2< . ¦ ¦—
последовательность простых чисел. Обозначим через cm(i\, 12, ••¦)
число упорядоченных факторизации числа N = P^Pg2... ровно на
т сомножителей, больших единицы.
Пусть ?Г — множество целых чисел, больших 1. Так как каждое
целое положительное число однозначно разлагается на простые
множители, имеет место следующее представление:
Таким образом, производящая функция, соответствующая раз-
разложению элементов множества 8F на простые множители, име-
имеет вид
Ф (xPi, xPi, ...) = Щ A - ^Г1} - 1.
Но, очевидно, каждая упорядоченная факторизация произволь-
произвольного целого положительного числа может быть единственным об-
образом представлена некоторым элементом множества 2Г*. Тогда,
условившись, что формальная переменная и маркирует сомножи-
сомножитель в факторизации, находим
Cm (h, h, . . ¦) = [umi\xp\ • • •] A - ИФГ1.
Учитывая выражение для Ф, получаем
U442... 12 «h (i + «)-(i+ft) П A - xPi)-\
откуда
Точно так же, как упорядоченному разбиению целого числа на
части отвечает некоторая последовательность на JC+, упорядочен-
упорядоченную факторизацию целого числа можно рассматривать как после-
последовательность над JP+ -г- {1}. Несложное преобразование произво-
производящей функции для последовательности в производящую функцию
для композиции, приведенное в 2.4.11, имеет аналог для фактори-
факторизации. К этому мы вернемся в конце настоящего параграфа,
Рассмотрим последовательности над Jfn с условиями на пары
соседних элементов последовательности. Ограничимся пока ниже-
нижеследующими условиями — более общие будут рассмотрены в гл. 4.
2.4.13. Определение (подъем, уровень, спад). Пусть а е Л"*, тог-
тогда цепь Ц последовательности а называется
1. подъемом, если i<j;
2. уровнем, если i=j;
3. спадом, если ?>/.
74
До конца этого параграфа мы будем заниматься нахождением
числа последовательностей, удовлетворяющих определенным усло-
условиям на число подъемов, уровней или спадов. В дальнейшем для
построения различных представлений нам понадобятся последова-
последовательности следующего вида.
2.4.14. Определение (последовательность Смирнова). Последо-
Последовательностью Смирнова называется последовательность, в которой
нет уровней.
Для последовательностей Смирнова имеет место следующее
косвенное представление.
2.4.15. Представление (последовательности Смирнова). Пусть
3) — множество всех последовательностей Смирнова из Л*п- Тогда
Л"^2Ь{1A*)Х... Хп(п*)},
где • означает композицию множеств относительно Si-, ..., зп-объ-
ектов и i е= Jfn является Si-объектом (i — 1, ..., п).
Другими словами, любую последовательность из Jfn можно
единственным образом получить из некоторой последовательности
из SD, имеющей различные соседние элементы, если в этой после-
последовательности каждый элемент заменить некоторым блоком, обра-
образованным этим же элементом. В качестве примера рассмотрим
последовательность 441555444 е Jf\. Эту последовательность мож-
можно получить из последовательности 4154 е ^5, если первую 4 заме-
заменить блоком 44, 1 — блоком 1,5 — блоком 555, а последнюю 4 —
блоком 444. Заметим, что последовательность 44555444 нельзя
получить из последовательности 4154, так как 1 нельзя заменить
на пустое слово.
2.4.16. Проблема Смирнова. Пусть S(x) и D(x)—производя-
D(x)—производящие функции относительно типа последовательности соответствен-
соответственно для множеств Л*п и 2).
Производящая функция относительно типа последовательности
для множества г(г*) равна ж*A — х{)~1. Тогда из представления
2.4.15 и леммы о композиции получаем
S(xh ..,zn) = ?(*i(l-*i)-1, ..., «.A-«.)-»).
Для того чтобы получить D(x), положим Уг = Xi{{— х{)~1, тогда
Xi = г/4A + у()~1 для 1 < i < п. Отсюда следует, что
D(yh ..., y^
и, в силу 2.4.8,
D (*х, ..., хп) = |l - Л хк;A + Zi)
Таким образом, число последовательностей Смирнова, имею-
имеющих тип i, равно [xl]D(x).
Для того чтобы перечислять последовательности относительно
их типа и числа уровней, можно снова воспользоваться представ-
75
лением 2.4.15, но на этот раз как прямым представлением для
множества Jfn.
2.4.17. Последовательности и уровни. Обозначим через ct(i)
число последовательностей из Л*п типа i с I уровнями. Пусть у
маркирует уровни. Тогда производящая функция для множества
i(i*) относительно типа последовательности и числа содержащих-
содержащихся в ней уровней имеет вид
Щ + ух\ + fx\ + ... = хг A — yXif1,
ввиду того, что слово i" s i* содержит к — 1 уровней. Однако,
представляя последовательность по 2.4.15, мы видим, что все
уровни — это «внутренние» уровни множеств i(i*). Из представле-
представления 2.4.15 и леммы о композиции получаем
ci (i) = [у1хЦ D (хг A - yarj-i xn A - yxn)~i).
Отсюда, "в силу 2.4.16, следует
d (i) = feV
Ясно, что с помощью представления 2АЛЬ можно получать
также дополнительную информацию, например, о числе макси-
максимальных блоков длины 7^1. В этом случае мы снова пользуемся
представлением 2.4.15 как прямым представлением для Jfn~
2.4.18. Последовательности и максимальные блоки. Пусть
c(i,k) —число последовательностей из JCn типа i=(ii, ..., in),
имеющих kj максимальных блоков длины /, где j > 1, а к =
= (&i, ^2, ...). По 2.4.16 производящая функция для последова-
последовательностей Смирнова из Л'п относительно типа последовательно-
последовательности равна
Пусть /j — формальная переменная, маркирующая максималь-
максимальный блок длины /. Тогда производящая функция для множества
i(i*) относительно типа последовательности и размера максималь-
максимального блока имеет вид
Из представления 2.4.15 и леммы о композиции получаем
где G(x, i) = D(f1x1 + f2x\ + ...,..., ^хп + /2х1 +...), a f =
= (А. /2. • • •)• Пусть f(x) = 1 + jxx + 12з? + ..., тогда
76
где /-1 (x) = 1 + Ftx + F2x2 + ..., a sj = x[ + ... + x3n для / > 1. Для
того чтобы упростить выражение для G, положим s = (l, s\, ...).
Тогда c(i, к) = [х1^] (f ° s), где /"' ° s — теневая композиция
/"' (х) и s (см. список обозначений). П
Полученный результат является частным случаем более
общей теоремы, называемой теоремой о максимальном цепном
представлении, которая рассматривается в гл. 4. Заметим, что f(x)
является производящей функцией по отношению к длине блока
для максимальных блоков, образованных произвольным, но фикси-
фиксированным символом. Далее, s3- — это производящая функция для
максимальных блоков длины j, она, конечно, представляет собой
симметрическую функцию, являющуюся суммой степеней.
Применим некоторое косвенное представление для перечисле-
перечисления JC t по отношению к типу последовательности и числу спадов.
Эта задача называется проблемой Симона Ньюкомба.
2.4.19. Представление (последовательности и спады). Пусть 2Dn —
множество последовательностей из JPn, в которых нет спадов.
Тогда
(Зд+:+{./г;г <> ({0} х {е, о») о,
еде композиция берется относительно s\- и sz-объектов. Здесь st-
объектом является спад, а ь^-объектом является не спад.
Доказательство. Операцию замещения для Si-объектов и
«2-объектов (см. определение 2.2.20) определим следующим
образом:
ij о Ю) = ДО/, если ij является спадом;
ij о {е, 0} = {j/, ДО/}, если ij не является спадом.
Тем самым множество {JPn ° ({0} X {е, 0})} 0 есть множество
всех последовательностей из {0, ..., п}+, которые заканчиваются
нулем и для которых непустые неубывающие слова из Л*п стоят
перед первым нулем и разделяют последующие нули. Но это не
что иное, как множество B)„0)+. П
Так, например, {1322 -@ X {е, 0})}0 = {130220, 1030220, 1302020,
10302020}. Заметим, что 130220 е(^53ОJ; 1030220, 1302020 е
e(g>30K; 10302020 е= @3ОL.
Теперь можно найти производящую функцию для последова-
последовательностей относительно типа последовательности и числа спадов.
2.4.20. Проблема Симона Ньюкомба. Обозначим через c(m, i)
число последовательностей из Лп типа i=(ii, ..., in) cm спада-
спадами. Пусть z маркирует спад и пусть d(a) означает число спадов
в последовательности а е Jf „. Тогда
с (m, i) = [x'z™] Г (х, z), где Г (х, z) = 2 x^ah^a\
77
является производящей функцией для Jfn относительно типа
последовательности и числа спадов. Пусть у маркирует не спад.
Тогда производящая функция для Jfn относительно типа последо-
последовательности, числа спадов и числа не спадов равняется
G (X, Z,y)= 2 1
так как v(a) = (ii + ... + in)—d(c)—1 равно, очевидно, числу не
спадов в последовательности а.
Обозначим через Dn(x, z) производящую функцию для множе-
множества 3)п относительно типа и числа спадов. Перечислим множество
B)п0)+, считая, что t маркирует 0, а х( маркирует i для i — i, •••
..., п. Заметим, что производящие функции для {0} и {е, 0} равны,
соответственно t ж 1 + t. Тогда из представления 2.4.19 получаем
Ш„(х, t){l-tDn(x, t)}~1 = tG(x, t, 1 + t).
Из найденного выше соотношения между G и Г следует, что
t(l + t)-lT((l + t)x, t(l + t)~1)=tDn(x, t){l-tDn(x, t)}~K
Положим A + ?)х = у и ?A+ ?)-' = /, тогда t = f(l — f)~l, x =
~A~/)У и> следовательно,
Г (у, /) = ?>п(A-/)у, Hl-f)-l)U-f-lDnW
Но, очевидно, 3)п U {е} = 1*2* ... п*, так как элементы множества
3)п не имеют спадов; из леммы о произведении тогда получается,
п
что 1 + Dn (x, t) = U A — Xi)-1. Таким образом,
г=1
Г (У, /) = (fl {1 - A - /) Уг}-1 - 1) f 1 - /П {1 - A - /) Уг}-1) '-О
\г=1 I \ i=l I
Вернемся на короткое время к вопросу о конкретизации резуль-
результатов, полученных для последовательностей, в случае, если рас-
рассматриваются только перестановки.
2.4.21. Перестановки и спады. Обозначим через с(п, i) число
перестановок множества Jfn, содержащих ровно г спадов. Тогда из
2.4.20 следует
с(п, i) = [fXl...xn]T(x, f).
Коэффициенты, линейные по хи не изменятся, если положить
п
х\=0 для всех i = 1, ..., п. При этом условии JJ {1 — A — /) х,}-1 =
= еA-^ж, где х = xi + ... + хп. Отсюда следует
с(п, г) = [А,...хп]Р(/, х),
где Р (/, х) = (еж — е'ж) (efx — /е*)" = 2 Рь. (/) xh при некоторых
78
ph(/). Тогда [х1 ... xn]xh = re!6ft,n, откуда следует
с (n, i) = If] n\Pn (/) = [f -J] P (/, x) = [/* ?j] (e* -
Числа с (я, г) называются эйлеровыми числами.
Производящая функция, полученная в 2.4.21, называется экспо-
экспоненциальной по х. Элементарные перечислительные леммы, свя-
связанные с экспоненциальными производящими функциями, будут
рассмотрены в гл. 3.
Последнее представление, которое мы изучим в этом параграфе,
связано уже не с подцепями, а с подпоследовательностями.
2.4.22. Определение (последовательности со строго возрастаю-
возрастающим носителем). Последовательность из Jfn называется последо-
последовательностью со строго возрастающим носителем, если в ней най-
найдется хотя бы одна подпоследовательность вида 12... п.
Например, среди последовательностей типа B, 2), принадлежа-
принадлежащих Jf\, последовательности 1122, 1221, 1212, 2121 и 2112 явля-
являются последовательностями со строго возрастающим носителем,
а последовательность 2211 таковой не является.
2.4.23. Представление (последовательности со строго возрастаю-
возрастающим носителем). Пусть Уп означает множество последовательностей
из Jfn, имеющих строго возрастающий носитель. Тогда
9>п = (Jfn - {1})* 1 (Jfn - {2})* 2 ... (Jfn - {п})* njft
Доказательство. Если ое^П1 то в этой последовательно-
последовательности можно единственным образом выбрать такую подпоследователь-
подпоследовательность 12... п, что каждый ее элемент расположен так близко к ее
началу, как это только возможно.
Для этого выделим в а первую слева 1. Далее, для всех i =
= 1. ..., re —1 выделим элемент ? + 1, который первым появляется
вслед за выделенным элементом i. Рассмотрим теперь подцепь а,
заключенную между выделенными элементами i и i +1. По по-
построению, а — некоторая последовательность из Jfn, не содержа-
содержащая элемента i + i. Таким образом, ae^-O + l})*. Очевидно,
что вслед за выделенным элементом п может стоять любая после-
последовательность из Jfn- Тем самым наше утверждение доказано. П
2.4.24. Последовательности типа B, ..., 2) со строго возрастаю-
возрастающим носителем. Обозначим через сг(п) число последовательностей
из Jfn типа B, ..., 2) со строго возрастающим носителем. Из
представления 2.4.23 и леммы о произведении следует, что с2 (п) =
= Ix'i ... Хп) F fa, ..., Хп), где
п
Ffa, ...,xn) = fa... xn){{ — x)-i Д A —* + Xj)-\
3=1
а х = xi + ... + хп- Таким образом,
Ч (и) = К ¦ • • хп] A - *)-<" '-
79
Так как нас интересуют только члены, линейные по х\, ..., хп,
положим х\ = ... = Хп = 0. При этом условии
с(п) = К ... Хп] A - *рп+1'ехр [- х{1 - х)-1} =
(~ *>* rft Ц rr(n+ft+1) -
ft=0
Пользуясь полученной формулой, легко проверить, что СгB) = 5.
Это согласуется с приведенным в 2.4.22 списком допустимых по-
последовательностей из &ъ
Вернемся к задаче перечисления упорядоченных факторизации,
рассмотренной в 2.4.12. Для ее изучения введем новый тип про-
производящей функции.
2.4.25. Определение (производящая функция Дирихле). Пусть
9> — множество различных конфигураций, а ю — весовая функция
на 91. Производящая функция вида
А (и) /_\ V*
д> \Х) — ?д
называется производящей функцией Дирихле для множества SP
относительно весовой функции ю.
Для производящих функций Дирихле справедлива следующая
лемма о произведении.
2.4.26. Лемма о произведении. Пусть а, $ и а — весовые функ-
функции на множествах различных конфигураций соответственно S&, $
и зФХ!%. Если для всех (я, Ь)е^Х^ выполняется равенство
в>(а,Ъ)=а(а)$(Ъ),то A%g (x) = Д$(х) AJg» (*).
Доказательство. Из определения 2.4.25 следует
(а(а) ?(&))-*= S («И
Справедлива также аналогичная лемма о сумме для производя-
производящих функций Дирихле. Содержание полученной леммы подсказы-
подсказывает, что производящую функцию Дирихле следует использовать
при представлениях, сохраняющих вес «мультипликативно».
2.4.27. Определение (представление, мультипликативно сохра-
сохраняющее вес). Пусть $$-, 38 и в7 — множества различных конфигу-
конфигураций. Пусть Q: Я? =+¦?$¦ Х$ — представление, сохраняющее вес.
Если для всех с eg7, таких, что ?2(с) = (я, Ъ), выполняется равен-
равенство (о(с) = а(а)р(Ь) (где а, [1 и со — весовые функции соответст-
соответственно на .5$, ^ и 1?), то Q называется представлением множества
9, мультипликативно сохраняющим вес.
2.4.28. Упорядоченные факторизации и производящие функции
Дирихле. Воспользуемся представлением 2.4.12. Пусть $Г как и
прежде обозначает множество всех целых чисел, больших 1. Тогда
каждое разложение некоторого числа на множители (с учетом
порядка сомножителей) можно однозначно представить в виде по-
последовательности из @~*. Если а = в\... 0™ е <?"*, то положим
a)(c) = (co'(ci), ..., со'(от), ш), где ©'(о,) = 0(. Обозначим через
dm(n) число упорядоченных факторизации пет сомножителями.
Тогда из определения 2.4.25 и лемм о сумме и о произведении для
обыкновенных производящих функций и функций Дирихле по-
получаем
dm (п) = [итгГх\ А%\ (х) = [иттГх] {1 -
со
Однако, Д($г' (х) + 1 = 2 Я~х = ? ix) — дзета-функция Римана. Та-
9=1
ким образом,
dm(n) = [ипп-*\ {1 + и - ut (ж)}-'.
Заметим, что .общее число упорядоченных факторизации п получа-
получается из предыдущей формулы, если в ней положить и = 1, что дает
[/г-*] {2-?(*)>-'.
Не будем развивать далее теорию производящих функций Ди-
Дирихле ввиду следующего замечания.
2.4.29. Замечание (последовательности и упорядоченные факто-
факторизации). Пусть ^ — подмножество множества последовательностей
на JV+ — H} и пусть /(#2, #з, •••) — обыкновенная производящая
функция для 9>. Тогда число упорядоченных факторизации числа
п, которые лежат в SP, равно [n~x]fB~x, 3~~", ...).
Примечания и ссылки.
Дальнейшие результаты о производящих функциях Дирихле
можно найти в книге Hardy, Wright A938).
B.4.12) MacMahon A891); B.4.16) MacMahon A915), Смирнов,
Сарманов, Захаров A966); B.4.17) Carlitz A972), David, Barton
A962); B.4.19, 20) Gessel A977); B.4.20) Dillon, Roselle A969);
B.4.21) Riordan A958); B.4.24) Horton (частное сообщение).
[2.4.4] Feller A950); [2.4.6] Lovasz A979); [2.4.9, 10] Liu A968);
[2.4.131 Carlitz A979); [2.4.17] Carlitz A972); [2.4.18] Carlitz A977);
[2.4.19] Comtet A974); [2.4.20] Mnllin A964a); [2.4.21—23] Gonlden,
Jackson A981); [2.4.22] Good A965); [2.4.23] Hutchinson, Wilf
A975).
ЗАДАЧИ
2.4.1. (а) Показать, что число @, ^-последовательностей дли-
длины п с m максимальными блоками равно 2 (п ~__ ).
6 я. Гульден, Д. Джексон 81
(б) Показать, что среднее число максимальных блоков, содер-
содержащихся в @, ^-последовательности длины п, равно -^ (п + 1).
2.4.2. Показать, что число @, ^-последовательностей длины п,
имеющих г пар соседних единиц и не содержащих ни одной пары
соседних нулей, равно
[хпуг]A+х){1+{1-у)х)A-ух-х*)-\
2.4.3. Показать, что число @, ^-последовательностей, у кото-
которых все максимальные блоки из единиц имеют четную длину, а все
максимальные блоки из нулей имеют нечетную длину, равно
2.4.4. Будем бросать симметричную монету до тех пор, пока
герб не выпадет г раз подряд. Показать, что вероятность того, что
мы остановимся после к > г бросаний, равна
[г*"] B'+1 - 2'+1ж + ж'+1) -1 B - х).
2.4.5. Используя представления 2.3.1 и 2.4.5, показать, что чис-
до Л-подмножеств множества И?» с т соседствами равно I т ) X
in — k — i\
Х( к —т. ] (см. также 2.3.15).
2.4.6. Показать, что число последовательностей длины п над
Jfi, в которых элементы 1 и 2 не стоят рядом, равно
5 + У17 [3 + VVf\n 5-Vrf C - 1/I7ln
21/17 I 2 / 2yi7 I 2 J '
2.4.7. Показать, что число последовательностей длины п над
•rt"ft+2, содержащих четное число единиц и нечетное число двоек,
равно
2.4.8. Показать, что число последовательностей длины I над
vf2n, в которых ни одно четное число не может встречаться под-
подряд более одного раза, равно
[х1] A + х) I A - Bге - 1) х - пх*).
2.4.9. Показать, что число способов расположить в ряд In букв,
по 2 буквы каждого из п видов, таким образом, чтобы нигде не
встречались подряд 2 одинаковые буквы, равно
2.4.10. Возьмем по 5 экземпляров каждого элемента множества
Jfn. Показать, что число способов расположить в ряд выбранные
«2
5га элементов таким образом, чтобы нигде не встречались подряд 2
одинаковых элемента, равно
i=0
2.4.11. (а) Показать, что число последовательностей длины I
над JCn, в которых все максимальные блоки имеют длину не мень-
меньше, чем к, равно
[*']¦
1 - х + xh
_ х — (п —
(б) Показать, что число последовательностей длины I над Jfn,
в которых все максимальные блоки имеют длину, меньшую к,
равно
м—
i — nx + (n— i)xh'
2.4.12. Показать, что число последовательностей над Jfn, имею-
имеющих тип i и содержащих /{ блоков длины kh образованных элемен-
элементом I (I = 1, ..., п), равно
[ху] f 1 -
1=1 1 — Угхг — хг 1 A —
где y=(yi у»), a j=(/i, ...,/„)'.
2.4.13. Показать, что число таких упорядоченных разбиений
числа п, что соседние части не равны между собой по модулю р,
равно
2.4.14. Показать, что число последовательностей длины I над
JVn с к соседствами, т. е. содержащих ровно к подцепей вида
(г, i+ 1), равно
-1 пх -(п+1) х*A ~ °+^"+2 A ~t)n+1 Г1
2
2.4.15. (а) Показать, что число последовательностей длины I над
Nn с к циклическими соседствами (см. 2.3.19) равно
„('-')(„-,)--'.
(б) Получить предыдущий результат чисто комбинаторными
рассуждениями.
2.4.16. Используя принцип включения — исключения, получить
производящую функцию для последовательностей из Jfn относи-
6* 83
тельно уровней и типа (т. е. производящую функцию, указанную
в 2.4.17).
2.4.17. (а) Показать, что число последовательностей из Jf\
типа т, имеющих i подъемов, / уровней и к спадов, равно
lxmr4}fk] -=i !=i .
(б) Показать, что число последовательностей Смирнова типа i
с к подъемами равно
(в) Используя п. (б)', получить производящую функцию для
последовательностей Смирнова (ср. с 2.4.16).
2.4.18. (а) Показать, что число композиции числа т с частями,
не превосходящими п, для которых соответствующая последова-
последовательность содержит i подъемов, / уровней и к спадов, равно
(б) Показать, что число упорядоченных факторизации числа т
с множителями, не превосходящими п, для которых соответствую-
соответствующая последовательность содержит i подъемов, / уровней и к спа-
спадов, равно
П а + (г - о *-*) - д а + (/- о о
[YV] ? i
i=2
2.4.19. Перестановка <Ti...an элементов множества Jfn (ге>1)
называется неразложимой, если не существует такого га < п, что
01... от является перестановкой элементов множества Jfm. Пока-
Показать, что число неразложимых перестановок элементов множества
Jfn, п>1 равно
\i>0
2.4.20. Унитарным многочленом степени п над полем GF(pJ
та-1
называется многочлен вида хп + 2 1ix%i где /0, ..., fn-ieGF(p).
1=0
84
Неприводимый унитарный многочлен над полем GF(p) не имеет
собственных делителей степени п ^ 1.
(а) Пусть существует mt различных неприводимых унитарных
многочленов степени i над полем GF(p). Показать, что для всех
простых чисел р справедливо равенство
(б) Из п. (а) вывести, что т4>1 для i>l и показать тем са-
самым, что GF(p') существует для всех простых р и каждого ?>1.
2.4.21. Обозначим через са, ;(k, M) число последовательностей
над Л*п типа к, которые начинаются элементом а, заканчиваются
элементом I и Шц раз содержат подцепь вида у A ^ i, j < n), где
М = [mi}]nXn.
(а) Показать, что саЛ (к, М) = [хкАм] /«,; (х, А), где А = [ау]пХп, и
{п \
i-i J
(б) Из п. (а) вывести формулу
: (к, М) =
где 2 »гу = к, — 6«j, 2 "^ij = h — 6».
2.4.22. Обозначим через A(D) число гамильтоновых циклов в
орграфе, имеющем п вершин и матрицу смежности D = [di}]nXn.
(а) Показать, что fo(D) = [x ZJ/г_г(х, D), где /,,г определено
в задаче [2.4.21 (а)], а б( = (б,ь ..., бт) A = 1, ...,п).
(б) Из п. (а) получить равенство
h (D) = 2 (- 1IЙ (det D [р | pj) (per D (р | р)),
где сумма берется по всем р s Jfn — {1} для произвольного I e Jfn.
2.4.23. Обозначим через e(D) число замкнутых эйлеровых марш-
маршрутов в орграфе, имеющем матрицу смежности D. Пусть степень
захода и степень исхода каждой вершины i равняется bt (i =
= 1, ..., п). Показать, что для любого l^Nn
е (D) = (Ь - 1)! cof „ [6«&, - йЛ„х».
§ 2.5. Разбиения целых чисел
В этом параграфе мы используем перечислительный подход для
получения ряда классических тождеств, связанных с разбиениями
целых чисел. Интересно, что все появляющиеся при этом представ-
представления будут прямыми. В следующем параграфе для получения
дальнейших результатов будут использоваться и более сложные
методы.
85
2.5.1. Определение (разбиения). Пусть п—неотрицательное це-
целое число и пусть a = (ai, ..., ah) (к~>1)— набор к целых чисел
таких, что ai > аг > ... > ah > 0 и ai +... + ак = п. Тогда а назы-
называется разбиением числа п на к частей. Пустое разбиение будем
обозначать символом е.
В табл. 2.5.1 приводятся все одиннадцать различных разбиений
числа 6. Подчеркнем, что разбиения следует отличать от упорядо-
упорядоченных разбиений (композиций), определенных в 2.3.6.
Таблица 2.5.1
Разбиение числа 6
1-частные: F)
2-частные: E, 1), D, 2), C, 3)
3-частные: D, 1, 1), C, 2, 1), B, 2, 2)
4-частные: C,1, 1, 1), B, 2, 1,1)
5-частние: B,1, 1, 1, 1)
6-частные: A, 1, 1, 1, 1, 1)
Следующее представление устанавливает достаточно очевидную
связь между разбиениями и последовательностями.
2.5.2. Представление (разбиения). Пусть П означает множе-
множество всех разбиений. Тогда
Теперь можно найти число различных разбиений числа п.
2.5.3. Число разбиений. Пусть р(п) обозначает число разбие-
разбиений числа п и пусть q маркирует величину части разбиения. Тогда
из представления 2.5.2 получаем
так как A — qh)~l является производящей функцией для к*.
Это выражение — не что иное, как другая запись нашей задачи,
однако его можно использовать, чтобы убедиться, например, в том,
что для числа 6 действительно существует всего 11 различных
разбиений (см. табл. 2.5.1).
2.5.4. Пример (вычисление рF)). Из 2.5.3 получаем, что рF) =
= [<?6]A — q)~l(i — <?2)"'... Для того чтобы найти искомый коэф-
коэффициент, будем ограничиваться в разложении рядов вида A~ <?*)"'
лишь членами степени не более, чем 6:
= 2+[«ДО-«?)->...(l-gV(l + <74) =
= 4 + fo6] A - q) "I A - q2)-1 A + g» + g")
= 5+ ([<?*]+ [<?3])(l_(?)-i(l_g2)-i = lli
Полученный результат согласуется с табл. 2.5.1.
86
Представление 2.5.2 можно использовать для перечисления от-
отдельных подмножеств множества разбиений. Эти подмножества
играют роль в последующих рассмотрениях.
2.5.5. Различные части. Пусть @) означает множество разбиений
с различными частями. Тогда
0^(eU l)(eU2) ....
и, следовательно, число разбиений п на части различной величины
равно
{qn](l + q)(l + q2)...
2.5.6. Разбиения с наибольшими частями, равными т. Пусть
Жт означает множество разбиений, в которых наибольшая часть
равна в точности т. Тогда
Лп=>A*)B*)...(т*)т,
и, таким образом, число разбиений п на части, максимальная из
которых равна т, есть
[?"]A - <?)-> A _ ?2)-i.. .A - ?»)-'?» =
= [g-»](l - ?)-' A - g2)-'.. .A - Г)-
Первой операцией на разбиениях, которую мы рассмотрим, бу-
будет операция сопряжения.
2.5.7. Определение (сопряжение). Пусть а = (oti, .. ., ah) — раз-
разбиение числа п. Пусть $j — число частей разбиения а, имеющих
величину не менее, чем j (/ = 1, ..., ai = k'). Тогда разбиение а =
== (Pi» • • • > Pft') числа п называется сопряженным разбиению а. Если
а=а, то разбиение а называется самосопряженным.
Так, например, при га = 6 для разбиений D, 1, 1), C, 2, 1) и
B, 2, 2) сопряженными являются разбиения C, 1, 1, 1), C, 2, 1)
и C, 3) соответственно. Заметим, что разбиение C, 2, 1) является
самосопряженным.
Следующее представление немедленно получается с помощью
операции сопряжения в силу того, что число частей в разбиении
а равняется величине максимальной, части в сопряженном раз-
разбиении а.
2.5.8. Представление (разбиения с наибольшей частью заданной
величины). Пусть &*т — множество разбиений ровно на m частей,
a Mm — множество разбиений с наибольшей частью, равной в точ-
точности т. Тогда
Например, всего имеется три 3-частных разбиения числа 6,
а именно: D, 1, 1), C, 2, 1), B, 2, 2). Соответственно имеется
только три разбиения числа 6 на части, максимальная из которых
равна трем, а именно: C, 1, 1, 1), C, 2, 1), C, 3).
87
2.5.9. Теорема Эйлера (все разбиения). Из представления 2.5.2
получаем, что число различных разбиений числа п ровно на т ча-
частей равно
[rg-Kl-tg)-1^-*?8)-1...,
поэтому число разбиений числа п не более, чем на т частей, равно
(Г?"]A - О A - Ч)~1 A - tg2)...
С другой стороны, в силу представления 2.5.8 эта величина равна
также числу разбиений числа п на части, максимальная из кото-
которых не превосходит т. В силу представления 2.5.2 она равняется
что совпадает с Umqn] [ 1 + 2 *h (I — Я)'1 ... (l — в*)
I fc>i J
Приравнивая полученные выражения, приходим к тождеству
Эйлера:
п
Еще целый ряд представлений можно получить, связав с раз-
разбиением так называемый граф Феррера.
2.5.10. Определение (граф Феррера, квадрат Дёрфи). Пусть
a = (a,i, ..., ah) — некоторое разбиение. Тогда
1. Графом Феррера F(a) для разбиения а называется граф,
образованный множеством из к строк, /-я строка содержит щ точек,
при зтом в каждой строке расстояние между любыми двумя
1—1
•
•
• • •
г.—
•
"•I
•
,1) FC,2,1) FB,2,2)
Рис. 2.5.1. Графы Феррера для 3-частных разбиений числа 6
соседними точками одинаково и равно расстоянию между двумя
соседними строками; при этом самые левые точки этих к строк
образуют вертикальный столбец.
2. Квадратом Дёрфи (Durfee) в графе F(a) называется макси-
максимальный квадрат размера тХт, образованный в F(a) m2 точками
и содержащий самую левую точку первой строки.
Квадрат Дёрфи размера тХт обозначается Dm.
На рис. 2.5.1 изображены графы Феррера и соответствующие
квадраты Дёрфи для 3-частных разбиений числа 6.
Разбиение, сопряженное с разбиением а, получается, если под*
считать число точек в каждом из столбцов F(a) и зти числа взять
88
в качестве частей разбиения. Так, по рис. 2.5.1 легко убедиться,
что сопряженным к D, 1, 1) является разбиение C, 1, 1, 1).
Для представления графов Феррера мы будем использовать
следующую комбинаторную операцию.
2.5.11. Определение (сращивание). Пусть oc = (?i, ..., ip) и [J ==»
= (/ь • • •, U) — Два разбиения. Тогда
1. Сращиванием по строкам разбиений а и [} называется раз-
разбиение (h + ji, ..., ir + /r), где г = max(/>, q), ih = 0 для к>р и
7*= 0 для к > д.
2. Сращиванием по столбцам разбиений а и [} называется раз-
разбиение, сопряженное сращиванию по строкам разбиений аир.
Так, например, разбиение D, 1, 1) получается в результате
сращивания по строкам разбиений A) и C), а затем сращивания
по столбцам полученного разбиения с разбиением A, 1). Выбор
этих терминов мотивирован преобразованиями соответственно строк
и столбцов в графах Феррера, связанных с разбиениями (см.
рис. 2.5.1).
2.5.12. Представление (все разбиения). Пусть Qm — множество
всех разбиений, в которых наибольшая часть не превосходит т,
а &т — множество всех разбиений, имеющих не более пг частей.
Тогда, если П есть множество всех разбиений, то
Доказательство. Срастим по строкам Dm с некоторым эле-
элементом из 5?т. Затем полученное разбиение срастим по столбцам
с некоторым элементом из Qm. В результате получаем некоторое
разбиение из П. (Проследите, что происходит с соответствующими
Рис. 2.5.2. Представление для
разбиения (9, 6, 5, 4, 3, 2, 2)
• •
^E,2,1)
^C,2,2)
графами Феррера.) Взаимная однозначность, требуемая для су-
существования представления, следует из единственности квадрата
Дёрфи для произвольного разбиения. О
В качестве примера на рис. 2.5.2 показано, как разбиение (9, 6,
5, 4, 3, 2, 2) при указанном представлении, разлагается на
(DA, C, 2, 2), E, 2, l^eUVXt&X^
89
Следующий результат теперь очевиден.
2.5.13. g-аналог теоремы Куммера (все разбиения). Это тожде-
тождество мы получим путем перечисления множества П всех разбиений
по отношению к числу их частей. Пусть z маркирует появление
части в соответствующем разбиении. Тогда в силу представления
2.5.2 производящая функция для П равна П A — Щ )~1.
Другое выражение для той же производящей функции находим
с помощью представления 2.5.12. Производящая функция для Dm
2
равняется qm zm, так как Dm соответствует те-частному разбиению
числа т2. Производящая функция для Ш.т в силу представления
m
2.5.8 равна jj (l — ?г)-1. Эта производящая функция не содержит
z, так как элементы из 5?т не увеличивают числа частей при пред-
представлении 2.5.12. И, наконец, по представлению 2.5.2 производя-
щая функция для Qm равна Ц (l — Щ}1- Таким образом, в силу
г=1
представления 2.5.12 справедливо следующее тождество
П A — zql) =1+2 z™qm И (l — q%) (I —z?г)—1.
Заменяя z на zq~l, получаем
П A - ч1)-1 = 1 + Д А^'-^П A - в1) A - ч1)-1.
Это и есть g-аналог теоремы Куммера.
Как следствие, получим отсюда еще один классический ре-
результат.
2.5.14. Тождество Эйлера (все разбиения). Положим в 2.5.13
z = q. Тогда
П A - ,'Г1 = 1 + 2 qm\i - q)~2 ... A - ЧтГ2.
Полученная формула позволяет вычислять р(п) другим спосо-
способом. Проиллюстрируем это на примере рF) (ср. с 2.5.4):
Таким образом, /?F)= 11.
До сих пор в качестве источника для получения различных
тождеств мы рассматривали множество всех разбиений. Рассмотрим
теперь разбиения с различными частями.
2.5.15. Определение (максимальный треугольник). Пусть F —
граф Феррера некоторого разбиения. Обозначим через Th (к = 1,
2, ...) треугольник, получающийся, если в графе F взять первые
90
к — i+l точек на каждой ?-й (i = 1, ..., к) строке. Максимальным
треугольником графа F называется треугольник Тк с максимально
возможным значением к.
Понятие максимального треугольника приводит к следующему
представлению для множества разбиений с различными частями.
2.5.16. Представление (разбиения с различными частями). Пусть
2Е> — множество разбиений с различными частями; Ят — множество
разбиений не более, чем с тп частями. Тогда
3>^ О {Г»}ХЖЯ.
Доказательство. Срастим по строкам Тт с некоторым эле-
элементом множества Шт. В результате соответствующий граф Феррера
будет иметь т строк, никакие две из которых не содержат одина-
одинаковое число точек. Таким образом, полученный граф соответствует
5E,3,2) L Г3 ^B,1,1)
Рис. 2.5.3. Представление для разбиения E, 3, 2)
разбиению из множества 9Ь. Требуемая для представления взаим-
взаимная однозначность следует из единственности максимального тре-
треугольника для данного графа Феррера. П
Для примера на рис. 2.5.3 показано разложение разбиения E,
3,2) на (Ts, B,1, 1)).
С помощью найденного представления докажем следующее тож-
тождество.
2.5.17. Комбинаторное тождество (разбиения с различными ча-
частями). Тождество получим путем перечисления разбиений с раз-
различными частями по отношению к числу частей. Пусть z маркиру-
маркирует появление части в разбиении. По 2.5.5 соответствующая произ-
производящая функция равна Ц (l + zqh). С другой стороны, мы мо-
можем воспользоваться представлением 2.5.16. Производящая функция
для {Тт} равна gm<m+i>/2zm, так как Тт содержит -j m (т + 1) точек
и со'стоит из т строк. Производящая функция для 91т равна
го
II A — ЧI и не зависит от z, так как при представлении 2.5.16
добавление к Тт элемента из 91т не увеличивает числа строк графа
Феррера (т. е. частей разбиения).
91
Тем самым по представлению 2.5.16 и леммам о сумме и о
произведении получаем другое выражение для той же производя-
производящей функции:
/т+1\ т
Замена z на zq~l, приводит к следующему тождеству:
Как следствие получаем отсюда результат, принадлежащий
Эйлеру.
2.5.18. Тождество Эйлера (разбиения с различными частями)'.
В тождестве 2.5.17 положим z = q, тогда
/т+\\ т
Ш { ( ^Г
г=1
Для получения тождеств можно использовать самосопряженные
разбиения.
2.5.19. Представление (самосопряженные разбиения). Пусть
%? — множество самосопряженных разбиений, a 9tm — множество
разбиений не более, чем с m частями, каждая из которых четна.
Тогда
Доказательство. Пусть а^5?т, где 9lm — множество раз-
разбиений не более, чем с m частями. Тогда сращивание по столбцам
разбиения а с разбиением, полученным в результате сращивания
по строкам разбиений Dm и а дает некоторое самосопряженное раз-
разбиение. Легко заметить, что полученное соответствие обратимо.
Далее, сращивание по строкам а и а дает элемент множества &т .
В свою очередь, каждый элемент из Ж^ можно представить таким
образом с помощью единственного элемента из Шт. О
Например, разбиение G, 6, 4, 3, 2, 2, 1) является самосопря-
самосопряженным, его квадрат Дёрфи равен Dz. Это разбиение можно полу-
получить, сращивая сначала по строкам D% с разбиением D, 3, 1)е5?з,
а затем сращивая полученное разбиение по столбцам с разбиением,
сопряженным с D, 3, 1). В свою очередь, сращивание по строкам
разбиения D, 3, 1) с самим собой дает разбиение (8t 6, 2) е Й, .
Таким образом, по нашему представлению разбиению G, 6, 4, 3,
2, 2, 1) соответствует пара (D%, (8, 6, 2)). Сказанное выше проил-
проиллюстрировано на рис. 2.5.4.
Приведем другое представление для самосопряженных раз-
разбиений.
92
2.5.20. Представление (самосопряженные разбиения). Пусть
д)П) — множество разбиений с различными частями нечетной вели-
величины, а Ч? — множество самосопряженных разбиений. Тогда
Доказательство. Пусть разбиение osf имеет квадрат
Дёрфи Dm. С помощью а построим разбиение Р = (Рь •••» Р>») Сле~
дующим образом. Положим fr равным числу точек, лежащих в
• • •
• • •
• • •
• •
• • 1
•р(з,
• • • •
• /44,3/1)
2,2,1)
• • •
• •
Х>3 /Ч 8,6,2)
Рис. 2.5.4 Представление для разбиения G, 6, 4, 3, 2, 2, 1)
первой строке и первом столбце соответствующего графа F(a).
Если мы удалим зти точки, то получим разбиение аA) с квадратом
Дёрфи Dm-i. Разбиение ас1) снова является самосопряженным. По-
Пои а
B\
вторяя описанную выше процедуру, получаем
. . ., и,
Очевидно, что (j$i, ..., j$m) является разбиением. Более того,
б
[$i
j j)
представляют собой различные нечетные числа, так как
Рис.,2.5.5. Представление для разбиения G, 6, 4, 3, 2, 2, 1)
все разбиения а, аA\ ..., a(m~n являются самосопряженными. Та-
Таким образом, Р^^5Ш. Необходимая взаимная однозначность тако-
такого представления легко проверяется, что и завершает доказатель-
доказательство. П
Описанное построение иллюстрируется на рис. 2.5.5, где пока-
показано соответствие между разбиениями G, 6, 4, 3, 2, 2, 1) и
A3, 9, 3).
93
Воспользуемся двумя полученными представлениями и выведем
следующее тождестЛэ.
2.5.21. Самосопряженные разбиения — комбинаторное тождество.
Пусть G — производящая функция для самосопряженных разбие-
разбиений, перечисляемых по отношению к размеру квадрата Дёрфи.
Пусть z маркирует размер квадрата Дёрфи. Производящая функция
для Dm равна zmqm , а производящая функция для 5?т равна
т
Ц (l — ff2'). Поэтому из представления 2.5.19 получаем:
1=1
ll
1=1
С другой стороны, по представлению 2.5.20 и п. 2.5.5 находим
г>0
так как все части разбиения нечетны и никакие две не равны меж-
между собой. Приравнивание полученных выражений приводит к тож-
тождеству:
т
П A + zq*+X) = 1+2 «V П A - ff11).
Х >1 1=1
Заметим, что это тождество можно было бы вывести из тожде-
тождества 2.5.17 с помощью алгебраических преобразований, если заме-
заменить в последнем q на q2, а затем — z на zq. Как следствие из
2.5.21 можно получить еще один результат, принадлежащий Эйлеру.
2.5.22. Тождество Эйлера (самосопряженные разбиения). В тож-
тождестве из 2.5.21 положим z = l:
Следующее представление является более сложным, чем все
предыдущие. Оно используется для доказательства двух классиче-
классических тождеств.
2.5.23. Представление Сильвестра для всех разбиений. Пусть
ЗИ>г — множество разбиений, каждое из которых состоит из i раз-
различных частей. Тогда
П X {Th} ^ и &>k+j X (SDj U SDj-i), к>0,
если условиться, что 2H U @-\ =2)о.
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент
(Ч, Th) ^ П X {Tk}, где ^"(Ть •••» Кг) Для некоторого г>0. Если
треугольник Tk присоединить к верхней части графа F(y), то об-
образуется некоторая конфигурация, которую обозначим 9. Способ
присоединения и получающаяся при этом конфигурация показаны
на рис. 2.5.6, а, при этом соответствующие графы Феррера изобра-
изображены лишь внешними контурами.
94
Установим теперь, что конфигурацию 9 можно единственный
образом представить в виде упорядоченной пары ([$, а) разбиений
с помощью следующего построения, которое показано на
рис. 2.5.6,6. Продолжим гипотенузу h треугольника Тк далее, через
граф F(f). В результате 9 разбивается на две подконфигурации,
прямая h
V
!/i
>К
ч
03
за,
fA
Рис. 2.5.6. Представление Сильвестра для всех разбиений
а именно: точки, лежащие выше линии h и точки, лежащие
ниже h.
Точки, расположенные ниже h, лежат в к + j столбцах. Тем
самым однозначно определяется величина j 3* О и разбиение Р =
= (Рь ..., $k+i), где ^ — число точек нижней подконфигурации,
лежащих в столбце с номе-
номером i. Кроме того, Pi > ...
... > Pi+j > 0 и, таким обра-
образом, $^Dh+i.
Точки, лежащие выше
линии h, располагаются в
/ строках. Пусть сц — число
точек в строке с номером i
{1=1, •.., /)• По построе-
построению «1 > ... > <Zj-i > а, 3* 0.
Следует различать два слу-
случая: если >а3- = 0, то имеем
(cti, ..., <Х)-\)^3)]-\, а ес-
если а3-=И=0, то (ai, ..., щ-\,
Обратимость этой кон-
конструкции очевидна. ? 10 9 8
Рис. 2.5.7. Представление для разбиения
Для примера рассмотрим (9, 8, 8, 4, 3, 3) при к =4
разбиение f = (9, 8, 8, 4, 3,
3)sli и fc = 4. Применив представление Сильвестра, получаем, что
паре (^, Та) соответствует пара (A0, 9, 8, 5, 3, 2,1), D, 2, 1))<= JZ57X
Хй)з (см. рис. 2.5.7). В качестве второго примера рассмотрим
разбиение Y=(9, 8, 7, 4, 3, 3)е=п и Л = 4. Паре (^', Та) соответ-
соответствует пара (A0, 9, 8, 5, 3, 2, 1), D, 2)) е= S57 X S52. Этому случаю
95
\
•
•
•
•
•
•
•
•
\
•
•
•
•
•
•
\
1
«
*
ш
>
X
• ' •
• 1 •
.|з
5
^(9,8
—•—,
\- •
•\.
, \
2 1
,8,4,3,3)
•
•
2
1
соответствует конфигурация, получающаяся из той, что изображе-
изображена на рис. 2.5.7, удалением точки, отмеченной кружком. Приведен-
Приведенные примеры иллюстрируют для случая к = 4, / = 3 обе указанные
выше возможности: в построении области значений представлений
Сильвестра участвуют как S)h+)X3)}, так и <Z5ft+iX <Z5j_i.
Применим полученное представление для доказательства тож-
тождества, принадлежащего Якоби.
2.5.24. Тождество Якоби для тройного произведения. Пусть q
маркирует величину части в разбиении. Производящая функция
для П X {Тк) равна, таким образом,
С другой стороны, производящая функция для 2)н+} X (S)j U @j-i)
есть
[wh+i] П A + wqm)\[u4 П A + Щг) + У'1] П A +
так как все части разбиения из 30)} различны между собой. Это
выражение, в свою очередь, равняется
[wk+}uj] A + и) П A + wqn) A + Щп) =
= [wk+iuj\ П A + wqn){i + uqn-x).
В силу представления 2.5.23 имеем
9U ; П A - ?m) = S W+W П A + ivq
и, таким образом,
игу1) = ?U ; П A - г).
Суммирование по /с дает
П A + L9m) A + w-^-1) (l - ?m) = 2 ^h?( 2 ;,
где члены с отрицательным значением параметра к получаются из
соображений симметрии. Заменяя q на q2 и полагая затем wq = y,
находим
g2m-V-x)(l-?2m)= S
Этот результат известен как тождество Якоби для тройного произ-
произведения.
96
Как следствие этого результата, можно получить еще одно тож-
тождество, доказанное Эйлером.
2.5.25. Пентагональная теорема Эйлера. В тождестве Якоби для
тройного произведения заменим q на qzn, ay — на — q~1/2. Эта под-
подстановка допустима, так как в рассматриваемом степенном ряду
переменная у является отделенной. Тогда
ПA-<7т)= 2 (-l)™
Это тождество называется пентагональным тождеством Эйлера.
Этому результату можно дать следующую комбинаторную ин-
интерпретацию. Заметим, что
ПA-<Г) = { 2-2
m>i (.р—четно р—нечета
Пусть [?"] Ц A — qm) = v(w), тогда v(w) равняется числу раз-
т^Х
биений числа п на четное число попарно различных частей минус
число разбиений числа п на нечетное число попарно различных
частей.
Тогда из пентагонального тождества Эйлера получаем
((— l)m, при п = 4"т (Зте — 1) (я* е= Z),
I 0, в остальных случаях.
Примечания и ссылки.
Обстоятельное изложение теории разбиений дается в книге
Andrews A976), где можно найти подробные и полные ссылки по
всему материалу; из более ранней литературы представляют инте-
интерес книги Hardy, Wright A938) и MacMahon A915).
[2.5.1] Euler A748), Glaisher A883); [2.5.2] Andrews A976);
[2.5.3] Euler A748); [2.5.4] Andrews A976), MacMahon A915);
[2.5.5] Subbarao A971); [2.5.6] Andrews A976), MacMahon A915);
[2.5.7] Ramanujan A927); [2.5.8] Stanley (частное сообщение);
[2.5.12] MacMahon A886); [2.5.13] Franklin A881); [2.5.14] Rama-
Ramanujan A927); {2.5.15] Euler A748); [2.5.16-17] Cauchy A893);
[2.5.19] Bressoud A980), Rogers, Ramanujan A919).
ЗАДАЧИ
2.5.1. (а) Доказать, что число разбиений числа п с различными
частями равно числу разбиений п на части нечетной величины.
(б) Указать явным образом взаимно однозначное соответствие
между множествами из п. (а).
(в) Показать, что число разбиений числа п на части, не деля-
делящиеся на т, равно числу разбиений п, в которых ни одна часть
не встречается более, чем т— I раз.
2.5.2. Доказать, что число разбиений числа п, в которых более
одного раза могут встречаться только части нечетной величины,
7 Я. Гульден, Д. Джексон S7
совпадает с числом разбиений числа п, в которых ни одна часть
не встречается более трех раз.
2.5.3. Показать, что абсолютная величина разности между чис-
числом разбиений числа п на четное число частей и числом разбиений
п на нечетное число частей равняется числу разбиений п с раз-
различными частями нечетной величины.
2.5.4. Показать, что число разбиений числа п, в которых не
встречаются последовательные целые числа, равно числу разбиений
п, в которых ни одна часть не появляется лишь по одному разу.
2.5.5. (а) Показать, что число таких разбиений числа п, в ко-
которых каждая часть встречается 2, 3 или 5 раз, равно числу раз-
разбиений п на части, сравнимые с 2, 3, 6, 9 или 10 по модулю 12.
(б) Пусть а и Ъ — такие положительные целые числа, что в их
разложениях на простые множители число 2 встречается неодина-
неодинаковое количество раз. Показать, что число разбиений числа п, в ко-
которых каждая часть может встречаться а, Ъ или а+Ь раз, равня-
равняется числу разбиений п на части, сравнимые с а по модулю 2а
или с Ъ по модулю 2Ь.
2.5.6. Показать, что число разбиений числа п, в которых ни
одна часть не встречается лишь по одному разу, равняется числу
разбиений п, которые не имеют частей, сравнимых с 1 или 5 по
модулю 6.
2.5.7. Показать, что число разбиений числа п, в которых наи-
наименьшая часть встречается лишь один раз, а наибольшая часть не
более чем вдвое превосходит наименьшую, равняется числу раз-
разбиений п, в которых наибольшая часть нечетна, а наименьшая —
больше, чем половина наибольшей части.
2.5.8. Показать, что сумма числа частей, равных 1, по всем раз-
разбиениям числа п равна сумме числа различных частей также по
всем разбиениям п.
2.5.9. Перечисляя разбиения относительно числа частей и ве-
величины их наибольшей части, показать, что
¦у qmzwm v» • <?тУ"ц>т
2.5.10. Перечисляя разбиения с различными частями относи-
относительно числа частей и величины наибольшей части, показать, что
2.5.11. Доказать, что
2.5.12. Разбиение числа п называется совершенным, если любое
число, заключенное между 1 и п — 1 можно единственным образом
представить как сумму некоторых частей разбиения. Показать, что
число совершенных разбиений числа п равно числу упорядоченных
факторизации числа п+\ (т. е. представлений числа в+1 в виде
упорядоченного произведения сомножителей) путем установления
взаимно однозначного соответствия между этими двумя множе-
множествами.
2.5.13. Пусть a = (ai, ..., ar)—разбиение с различными частя-
частями, т. е. ai>...>ar>0. Положим s(a) = ar, и пусть d(a) рав-
равняется максимальному к, для которого ah = ai — к + 1. Получить
представление для разбиений с различными частями, используя
величины s(a) и d(a). Как следствие получить пентагональную
теорему Эйлера (см. 2.5.25).
2.5.14. (а) Из тождества Якоби для тройного произведения (см.
2.5.24) вывести тождество
ПA-<??=2(-1)"B* + 1)</2 ;.
(б) Используя пентагональную теорему Эйлера, получить из
тождества п. (а) разложение для F (q) — дЦ A — д1L. Заме-
ТИВ, ЧТО
вывести отсюда сравнение рEгс + 4) = 0 (mod5).
(в) Учитывая тождество
2(-i)fBi + i)^ 2;
и действуя аналогично п. (б), показать, что рGгс + 5)=0 (mod7).
2.5.15. Пусть F(t) = J[(l — tqi)~1= S с(*)**.
i i
(а) Показать, что F(tq) = (l-t)F(t).
(б) Решая рекуррентное уравнение для с(п), получающееся из
п
п. (а), показать, аналогично 2.5.9, что с(п) ~ JJ (l — g*)-I. Этот
г=1
метод получения коэффициентов разложения в степенной ряд не-
некоторого произведения известен как способ Эйлера.
2.5.16. С помощью способа Эйлера показать, что
n
2.5.17. С помощью способа Эйлера показать, что
пап
1=0 fe^l 1=1
7* 99
Вывести отсюда, что производящая функция для числа разбиений
не более, чем на к частей с наибольшей частью, не превосходящей
и, равняется П A - <f+i) A - ff')-
2.5.18. Вывести тождество Якоби для тройного произведения,
используя способ Эйлера.
2.5.19. (а) Из тождества Якоби для тройного произведения по-
получить следующие тождества:
1) n(i-s5m~3)(i-s5m~3)(i-<?5m)= 2 (-i)V№+1)/2;
т^х h=—°°
2) n(l-ffBm~*)(l-ffB"l)(l-!7Bm)= 2 (-l)V(Bft+s)/a.
ft=—oo
(б) Показать, что
П A - xqT1 f 1 + S (- 1)"х*VEn~lV2 (I - х<Г) X
(l)(ln)
(в) Используя пп, (а) и (б), доказать тождества Роджерса —
Рамануджана:
1) П A - в1"*1) A - з™)-1 = 1 + 2 /П A - в1);
2) П (i - <tm+t)-4i - ?5m+3)~1 = 1+2 /+П '
ft^l i=l
§ 2.6. Инверсии в перестановках и ^-тождества
Предметом рассмотрения предыдущего параграфа были тожде-
тождества, связанные с разбиениями целых чисел. Для их вывода ис-
использовались такие понятия, как графы Феррера, квадраты Дёрфи
и максимальные треугольники. Полученные тождества представля-
представляли собой разложения в степенной ряд некоторых бесконечных про-
произведений. В этом параграфе будет получен ряд сходных тождеств
для конечных произведений, однако в основе комбинаторного под-
подхода будут лежать не разбиения целых чисел, а перестановки, пе-
перечисляемые по отношению к числу инверсий.
2.6.1. Определение (инверсия). Пусть а = cii.. ,ок—последова-
,ок—последовательность над JCn. Инверсией в а называется пара (ot, а,) такая,
что i< j и ог> Oj. Число инверсий в последовательности а будем
обозначать 1(а).
Если 0 = 45231, то E,3) является инверсией, так как О2 = 5>
> 3 = 04. Другими инверсиями являются E, 2), E, 1), D, 2),
D, 3), D, 1), C, 1) и B, 1). Таким образом, /(о) = 8.
Число инверсий в перестановке можно определить с помощью
следующего алгоритма.
100
2.6.2. Алгоритм для нахождения числа инверсий. Пусть о =
= в\... вп — перестановка на Jfn и пусть / — значение индекса, для
которого Oj = n. Тогда
7(о) = п-/ + 7(о),
где о— перестановка на Jfn-\, которая получается из о после уда-
удаления элемента п.
Доказательство. Обозначим через кп число инверсий в а,
не содержащих элемент п, а через кп — число инверсий в а, содер-
содержащих элемент п. Тогда 1(а) = кп + к„. Однако кп = 1(а), а пара
(п, Ог) является инверсией лишь при j <1^п. Таких I имеется
ровно п — /, таким образом, кп = п — j. ?
Так, например, 7D5231) = 3 + 7D231)= 6 + 7B31)= 7+ 7B1)-=
= 8 + 7A) = 8. Список инверсий перестановки 45231 был приве-
приведен выше.
2.6.3. Предложение. Пусть <3\. . . ak — перестановка элементов
множества a<=Jf+, где \а\=к. Пусть отображение ф: а -*¦ Jf+ со-
сохраняет отношение порядка. Тогда
7(<p(ai)... ф(аА)) = 7(oi... ak).
Доказательство. Пусть i</, тогда пара (о;, Oj) является
инверсией, если и только если пара (<р (о,), ф (<jj)) является ин-
инверсией. ?
Алгоритм 2.6.2 можно применить для перечисления перестано-
перестановок по числу инверсий.
2.6.4. Лемма (инверсии). Число перестановок на множестве Jfn,
содержащих в точности г инверсий, равно [qr]n\q, где n\q =
г—1
Доказательство. Обозначим через /„(q) производящую
функцию для множества перестановок на Jfn относительно числа
инверсий. Каждую перестановку на множестве JCn+\ можно един-
единственным образом получить из некоторой перестановки о на JCn,
помещая элемент п+1 на одно из (ге + 1) возможных мест,
а именно: или на одно из п — 1 мест между элементами переста-
перестановки а, или в начало о, или в ее конец. В соответствии с алгорит-
алгоритмом 2.6.2, к числу инверсий в а при этом добавляется (за счет
вставки п + Л) одно из чисел: 0, 1, ..., п. Пусть q маркирует ин-
инверсию. Тогда
fn+Лч) = A + 9 + <f + • -. +qn)fn(q) = Ц^/гг (q).
Тем самым мы получили рекуррентное уравнение для /п(з)
с начальным условием /i(g)=l, откуда и следует искомый резуль-
результат. П
101
Рассмотрим, например, производящую функцию 3!, для пере-
перестановок на JC% по отношению к числу инверсий. Она равна 3!, =
= (l-g)(l-g2)(l-g3)(l-g)-3 = l + 2g + 2g2 + g3. Таким обра-
образом, на JC% существуют одна перестановка (а именно 123), не со-
содержащая ни одной инверсии, две перестановки A32 и 213) с од-
одной инверсией, две перестановки B31 и 312) с двумя инверсиями
и, наконец, одна перестановка C21) с тремя инверсиями.
Следует отметить, что n\q = п\ при q = 1. В самом деле, по
n-1 i
определению n!g = Д 2 Я.3-
i=0 )—Q
Рассмотрим некоторую перестановку о на Jfn и целочисленный
вектор i = (ti, ..., h), для которого ц + ... + ik = п, и, . .., ih>0.
Обозначим через Я1 такое подмножество множества Jfn, что его
элементы являются первыми i\ элементами перестановки о; под-
подмножество яг образуется следующими г2 элементами и т. д., нако-
наконец, подмножество яА образуется последними ih элементами а. Тог-
Тогда П = (Я1, ..., яА) называется упорядоченным разбиением типа i
для перестановки а. Например, для перестановки 45231 упорядо-
упорядоченное разбиение типа C,2) имеет вид ({2,4,5}, {1,3}).
Все инверсии в перестановке а можно теперь разбить на 2 клас-
класса в соответствии с упорядоченным разбиением П типа i. А имен-
именно, если некоторая инверсия в о образована элементами, лежащими
в разных блоках относительно разбиения П, то эта инверсия назы-
называется межблочной инверсией типа i. Если же инверсия образова-
образована элементами, лежащими в одном блоке относительно разбиения
II, то эта инверсия называется внутриблочной инверсией типа i*).
Проиллюстрируем введенные выше понятия на следующем
примере.
2.6.5. Пример (межблочные и внутриблочные инверсии). Рас-
Рассмотрим перестановку о = 45231 и связанное с ней разбиение
({2, 4, 5}, {1, 3}) типа C^ 2). При этом в а имеются три внутри-
блочные инверсии типа C,2), а именно: D,2), E,2) и C,1),
и пять межблочных инверсий того же типа: B,1), D,1), D,3),
E,1) и E,3). Суммарное число межблочных и внутриблочных
инверсий равно 8 — числу всех инверсий в перестановке 45231.
Следующая лемма дает возможность перечислять конкретные
конфигурации по числу внутриблочных и межблочных инверсий.
2.6.6. Лемма (внутриблочные и межблочные производящие
функции).Пусть П — заданное упорядоченное разбиение множества
Jfn типа i = (Ji, ..., ih). Тогда
1. Имеется всего
перестановок с разбиением П, у которых число внутриблочных ин-
инверсий типа i равно г.
*) Ясно, что число межблочных инверсий у любых двух перестановок
с одним и тем же разбиением П одинаково, в то время как число внутриблоч-
внутриблочных инверсий зависит от конкретной перестановки. (Примеч. ред.)
102
2. Имеется всего
% где
упорядоченных разбиений множества Jfn типа i, имеющих г меж-
межблочных инверсий.
Доказательство.
1. Обозначим через &а множество перестановок на йе/„,
Пусть ф: Jfm-*-<x задано таким образом, что <р(/) равен /-му
(в порядке возрастания величины) элементу множества ее. Таким
образом, ф является взаимно однозначным отображением, сохраня-
сохраняющим упорядоченность элементов. Производящей функцией для ^а
по отношению к числу инверсий будет тогда 2 q =
S Я. , где !Р{ — множество всех перестановок на Jft. Од-
i,
нако, в силу предложения 2.6.3 и леммы 2.6.4, эта производящая
функция равна
S 91(О>Ча|!9.
Обозначим через 9"П мпожество всех перестановок с упорядо-
упорядоченным разбиением П=(я1, ..., л.к) типа i. Тогда 5^п ^ &>п1 X ...
... X^nft: Pi • • • Рл >-*• (Pit • • •) Рь)- Применим теперь к этому пред-
представлению лемму о произведении. Учтя предыдущие рассмотрения,
гаходим, что производящая функция для 9"П по отношению к чис-
числу внутриблочных инверсий равна Uil!g... \nh\\q, т. е. получаем
утверждение п. 1 доказываемой леммы.
2. Обозначим через B(q) производящую функцию для числа
упорядоченных разбиений множества JPn типа i по отношению
к числу межблочных инверсий. Множество ^„ можно перечислять
по числу инверсий двумя разными способами. С одной стороны, из
леммы 2.6.4 следует, что производящая функция для &п равна n\q.
С другой стороны, множество ^„ можно получить следующим об-
образом: для каждого разбиения типа i элементы каждого блока
нашего упорядоченного разбиения расположим всеми возможными
способами. В силу леммы о произведении и п. 1 производящая
функция для ^„ равняется B(q) (ii\q... ihlg), так как общее число
инверсий равно сумме чисел межблочных и внутриблочных инвер-
инверсий. Таким образом,
откуда и следует утверждение п. 2. П
Производящая функция I . . обычно обозначается [. ) и
Г' П~1к V/q
называется гауссовым, или q -биномиальным коэффициентом. Дру-
Другие примеры его использования будут приведены в гл. 4.
103
В качестве примера применения леммы 2.6.6B) рассмотрим
задачу перечисления упорядоченных разбиений множества /С*
типа B,2) по числу межблочных инверсий. В левом столбце
табл. 2.6.1 дан список всех упорядоченных разбиений Jf^ этого
типа. Обратим еще раз внимание на то, что блоки в разбиении
являются упорядоченными, так что, например, ({1,2}, {3,4}) и
({3,4), {1,2}) являются различными разбиениями. Из данных, при-
приведенных в табл. 2.6.1, становится ясно, что производящая функ-
функция для 5*4 по числу межблочных инверсий равна в нашем случае
1 + q + 2q2 + qz 4- g4, т. е. имеется одно упорядоченное разбиение
типа B,2), не содержащее ни одной межблочной инверсии, одно
разбиение с одной, два разбиения с двумя и по одному разбиению
с тремя и четырьмя такими инверсиями.
С другой стороны, по лемме 2.6.6B) искомая производящая
функция должна равняться
21ч ~ 21,21,
= A + q + q*) A
что согласуется с табл. 2.6.1.
= 1 + я
Таблица 2.6.1
Упорядоченные
Упорядоченное
разбиение
(
(
(
(
(
(
1,4
9 Я
2,4
3,4,
, {2,
, {2,
, {1,
, {1.
- {1,
4})
4})
з>)
4})
3})
2})
0
C,
D,
B,
B,
C,
разбиения
Межблочные инверсии
2)
2),
1),
1),
1).
D,
C,
D,
C,
3)
1)
1),
2),
D,3)
D, 1), D, 2)
типа
Число
ных
1
B, 2)
межблоч-
инверсий
0
1
2
2
3
4
+ 9 + 2д
Вклад
в производящую
функцию
1
Я
ф
Я3
<74
2 + Я3 + 94
g-биыомиальные коэффициенты обладают многими свойствами,
аналогичными свойствам обычных биномиальных коэффициентов.
Приведем одно из таких свойств.
2.6.7. Рекуррентное уравнение для «^-биномиальных коэффици-
коэффициентов. Рассмотрим множество iA упорядоченных разбиений мно-
множества JPn типа (к, п — к). Производящая функция gh множества
9*\ по отношению к числу межблочных инверсий может быть по-
получена двумя способами. С одной стороны, из леммы 2.6.6 полу-
чаем, что gh = I/c I . Для нахождения другим способом рассмотрим
элемент п. Имеются две следующие возможности в расположении
элемента п.
Случай 1. Элемент п лежит в /с-множестве. В этом случае
пара (и, /) является межблочной инверсией для любого /, лежа-
104
щего в (п — к) -множестве. Эти инверсии дают вклад в производя-
производящую функцию, равный qn~h. По лемме 2.6.6 остальные к — 1 эле-
элементов й-множества дают вклад в производящую функцию, равный
|п, ~.) . Отсюда по лемме о произведении получаем, что общий
вклад в gk в этом случае равен qn~ki!c_i) .
Случай 2. Элемент п лежит в (п — к)-множестве. Тогда эле-
элемент п не вносит вклада в общее число межблочных инверсий. По
лемме 2.6.6 остальные п — к — 1 элементов (п — к) -множества дают
вклад в производящую функцию, равный I к I . Таким образом,
по лемме о сумме
n-h
„ ln\
дто тождество является g-аналогом известного тождества К I =
In — 1\ , In — 1\ .
= , I + L _ . I, которое можно получить из него, положив q = 1.
Введем две подконфигурации, которые служат здесь той же
цели, что и графы Феррера, квадраты Дёрфи и максимальные тре-
треугольники в § 2.5.
2.6.8. Определение (возрастающие, убывающие, вогнутые и вы-
выгнутые перестановки).
1. Обозначим через (ос)< и (ос)> последовательности, образован-
образованные элементами подмножества a s Jfn, если их расположить в воз-
возрастающем или, соответственно, в убывающем порядке. В этом
случае (ос)< называется возрастающей перестановкой на a, a (oc)>
называется убывающей перестановкой на ос.
2. Если (а, р) — упорядоченное разбиение множества Jfn типа
(i, ]'), то (ос) >([})< называется вогнутой перестановкой формы (г, /),
а (а)<([*)> называется выгнутой перестановкой формы (г, j).
Например, B56) G431) является выгнутой перестановкой формы
C, 4). Перестановка B567) D31) является выгнутой перестановкой
формы D, 3). Это разные выгнутые перестановки, хотя просто как
перестановки они совпадают. Найдем производящие функции для
числа вогнутых и выгнутых перестановок по числу инверсий.
2.6.9. Лемма (вогнутые и выгнутые перестановки). Существует
[zhxn~hqi]Qn(z, x) вогнутых и [zkxn-"qi]Qn(x, z) выгнутых перестано-
перестановок на множестве Jfn формы (к, п — к) с j инверсиями, где
п—1
1=0
г,
2 Qn (z x) = 3
z=o
Доказательство. 1. Будем строить все вогнутые переста-
перестановки на Jfn путем размещения элемента п слева или справа от
105
какой-нибудь вогнутой перестановки на Jfn-\- Если мы разместим
его на левом конце, то при этом появится дополнительно п — 1 ин-
инверсий, а левое множество увеличится на 1 элемент. Пусть z мар-
маркирует элементы в левом множестве. Тогда вклад в производящую
функцию элемента га при его размещении на левом конце переста-
перестановки равен zgn~'. С другой стороны, если мы разместим элемент
га на правом конце перестановки, то при этом новых инверсий не
появится* а правое множество увеличится на 1 элемент. Пусть х
маркирует элементы правого множества. В этом случае вклад в про-
производящую функцию равен х.
Таким образом, вклад в производящую функцию, получаемый
при добавлении к вогнутой перестановке на Jfn-\ элемента га, рав-
равняется x + zqn~l. По лемме о произведении получаем, что произво-
производящая функция Qn(z, х) удовлетворяет рекуррентному уравнению
Qn(z,x) = (x + zq^)Qn.i(z,x), п>2,
с начальным условием Q\ (z, x) = x + z. Таким образом, для вогну-
вогнутых перестановок производящая функция имеет вид, указанный
в п. 1.
2. С другой стороны, все вогнутые перестановки на Jfn можно
получить, если построить все вогнутые перестановки типа {к, га — к)
последовательно при к = 0, 1, ..., п. Рассмотрим упорядоченные
разбиения типа (к, п — к). По лемме 2.6.6 производящая функция
множества этих разбиений, по. отношению к числу межблочных ин-
инверсий равпа L | . На ^-множестве упорядоченного разбиения типа
(к, п — к) построим убывающую перестановку. По алгоритму 2.6.2
число инверсий в этой перестановке равно 1 + 2+ ••• +{к — 1) = ( ]•
Сама же перестановка имеет к элементов, поэтому ее вклад в об-
„ (*)
щую производящую функцию равен z q , так как элементы левого
множества маркируются с помощью z. Построим затем возрастаю-
возрастающую перестановку на (п — к)-множестве. Инверсий она не содер-
содержит, а ее вклад в общую производящую функцию равен хп~к, так
как элементы правого множества маркируются с помощью пере-
переменной х.
По лемме о произведении получаем далее, что производящая
функция для вогнутых перестановок типа {к, п — к) по отношению
к числу содержащихся в них инверсий равна
Отсюда, по лемме о сумме,
<?.(*, 4 = & (I)
h=0
Для выгнутых перестановок соответствующая формула B) по-
получается аналогичным образом. И, наконец, выражение A) для
106
выгнутых перестановок следует из B) и формулы A), полученной
при рассмотрении вогнутых перестановок. О
Доказапная лемма может быть использована для установления
более общего результата, из которого в качестве следствия можно
получать различные тождества, связанные с разбиениями. Для
этого рассмотрим перестановки вида (а1)>(а2)<(аз)>(а4)<» назы-
называемые бимодальными перестановками.
2.6.10. Теорема (бимодальные перестановки). Пустъ Qn(z, у) =
п—1
= JJ (у + qlx), тогда
г=0
2 A) Qk {х, у) Qn-k К *) = 2 (И Qh (w, у) Qn-u (x, z)
(здесь Qo(x, y)=\).
Доказательство. Рассмотрим бимодальную перестановку
вида (ai)>(a2)<(a3)>(a4)<, где (аь ..., а4) — упорядоченное раз-
разбиение множества Jfn. Пусть х, у, w, z маркируют соответственно
элементы множеств ai, «2, аз, он. Перечислим перестановки ука-
указанного вида двумя различными способами.
Заметим, во-первых, что (ai)>(a2)< и (аз)>(а4)< представляют
собой вогнутые перестановки соответственно на блоках Я1 и яг не-
некоторого упорядоченного разбиения (щ, Яг) множества Jfn. Пусть
это разбиение является разбиением типа (к, п — к) для некоторо-
некоторого к, заключенного в пределах 0 ^ к ^ п. По лемме 2.6.9 для каж-
каждого такого разбиения производящие функции для соответствующих
вогнутых перестановок по отношению к числу инверсий на ni и яг
равны соответственно <?*(.?, у) и Qn~k(w, z). В силу леммы 2.6.6
производящая функция для множества упорядоченных разбиений
типа (к, п — к) по отношению к числу межблочных инверсий равна
(. ] . Таким образом, производящая функция для бимодальных пе-
KK/q
рестаповок на JPn по отношению к числу инверсий равна
2л [k)qQii (x, у) Qn-h К z).
Чтобы пайти эту же производящую функцию другим способом,
заметим, что (ai)> является убывающей перестановкой, (аг)<
(«з)> — выгнутой перестановкой, а (а4)< — возрастающей переста-
перестановкой. Пусть эти перестановки заданы на блоках соответственно
Я], Яг и яз некоторого упорядоченного разбиения (я-i, Яг, яз) типа
(г, к, I) (где i, к, I > 0, i + к + I = п) множества Jfn. Производящая
функция для {(ai)>} по числу внутриблочных инверсий равна
x%q 2 . Производящая функция для {(а4)<) по числу внутриблоч-
ным инверсий равна z\ так как возрастающая перестановка не
содержит инверсий. Производящая функция для множества выгну-
выгнутых перестановок {(аг)< (аз)>), определенных на fc-множествё яг,
107
по числу инверсий равна Qh(w, у), так как переменная у марки-
маркирует элементы из а2, аи? — элементы из «з- И, наконец, произво-
производящая функция для множества упорядоченных разбиений типа
(i, к, I) по числу межблочных инверсий в силу леммы 2.6.6 равна
Г п 1
\if к, п ' По лемме о произведении получаем теперь, что вклад
в искомую производящую функцию, который вносят бимодальные
перестановки, связанные с упорядоченным разбиением типа (i,k,l),
равен
Таким образом, производящая функция для бимодальных пере-
перестановок на JCn равняется
i—ft—i
Однако, по лемме 2.6.9 это совпадает с
2> [к Qk{w,y)Qn-k(x, 2).
Искомый результат получается в результате приравнивания двух
полученных выражений для производящей функции множества би-
бимодальных перестановок. П
2.6.11. Следствие («/-аналог биномиальной теоремы). Пусть
п—1
Qn{x, У) = П(у + ЧКх), тогда
i
Qn (- х, z) = 2 I *) Qk (- x, у) Qn-k (- У, z).
Доказательство. В теореме 2.6.10 заменим х на —у и по-
положим w = —х. Искомый результат следует из теоремы 2.6.10 и
того, что Qi(—y, у) = 6г,о- п
Докажем несколько g-биномиальных тождеств для конечных
произведений.
2.6.12. Три тождества Коти с конечными произведениями.
Справедливы следующие три тождества:
1.
2.
108
п
JJ (z —
i=0
n
Z" = ft?o
п
q1) == ^
ft=0
,ns ft —1
n—1 n / . /h\ih—1 \ in—h—1
з. П(*-?М=2(-1)кЙ/''П(«-в') IKW+
i=0 h=0 ^ '' I i=o J I 1=0
Доказательство. 1. Положим в g-аналоге биномиальной
теоремы у = 0, х = 1.
2. Положим в g-аналоге биномиальной теоремы у = 1, х = 0.
3. Заменим в g-аналоге биномиальной теоремы z на zqn~l, у на
З". Левую часть полученного тождества обозначим а, а правую
часть обозначим (J. Тогда <x = Qn(—x, zqn~l), и следовательно,
(-1)"? {l)a=U{x-z<f).
i=o
С другой стороны, элементарными преобразованиями с заменой к
на п — к получаем:
(
= (- 1)пГа) S (I) <?*(-*, з") Qn-k (- в11, «Г) =
/п\ п /_\ (k—l 1 fn—ft— 1 ¦)
= (- 1)"<Г(г) 2 In С?" - ад1) П («Г-1 - в-1+<) =
й=о \ /в I, i=o I v i=o J
= 2(-1)кШ2)ПB-5!) П (*-в*+!).
h=0 \ /9 i=0 г=0
Так как а = р, то приходим к искомому результату. П
Для того чтобы получить тождества с бесконечными произве-
произведениями, нужно как-то интерпретировать выражение lim (™) . Осу-
ществим это комбинаторными средствами.
2.6.13. Предложение. Справедливо равенство
нш (J) = П A - вО.
П-*ж \Hlq j=l
Доказательство. Пусть ai, ..., ak ^ 1 таковы, что <Х\ + . ..
... + ah < и. Рассмотрим такое упорядоченное разбиение множества
Jfn типа (fc, п — к), для которого fc-множеством является множе-
множество {oci, oci +«2, . •., си +... + ссА}. В этом случае число межблочных
инверсий, включающих элемент си + ... + а{, равно oci + ... + а.{ — i.
Поэтому общее число межблочных инверсий для этого разбиения
равно
k h
2 К + ... + а, - i) = 2 (к - / + 1) (а,- - 1).
i=l j"=l
Производящая, функция для множества упорядоченных разбиений
109
по отношению к числу межблочных инверсий есть, таким образом,
а ,
,...
Однако, как следует из 2.6.6, производящая функция для мно-
множества упорядоченных разбиений по отношению к числу межблоч-
межблочных инверсий равна (Л . Таким образом, получаем:
(I) = 2 g<e* П
п-*ос \*/в otj-,,.., аь>1 1=1
В заключение этого параграфа докажем несколько тождеств
с бесконечными произведениями. Два из них уже были приведены
в § 2.5, но доказаны другим способом.
2.6.14. Четыре тождества с бесконечными произведениями.
з. П (i - ««в1) (i - ч'Г1 = i + S «ftn (i - -e1) A-е1).
4. ЦA_ад*) =
-1 + s (- 1)*Я in (* - я'-1) (i - e'H n (i - vh+l).
fe>i U=i J г^о
Доказательство. В g-аналоге биномиальной теоремы сде-
сделаем указанные ниже подстановки, а затем перейдем к пределу
при п -*¦ °° в соответствии с предложением 2.6.13:
1. z = I, y = 0, x = — t;
2.z = i,y = t,x = 0:
3. z— 1, у = t, x = at;
4. В 2.6.12 C) положим х= 1. ?
Примечания и ссылки.
Этот раздел основывается на работе Goulden, Jackson A982a),
другой подход можно найти в работе Goldman, Rota A970).
B.6.4) Rodrigues A839); B.6.6) Gessel A977); B.6.7) Gauss
A863); B.6.11) Goldman, Rota A970); B.6.12) Cauchy A893),
Goldman, Rota A970); B.6.14) Euler A748), Cauchy A893), Gold-
Goldman, Rota A970).
[2.6.1] Renyi A962); [2.6.5] Hermite A891); [2.6.6] Carlitz A956),
Szego A926), Rogers A893a,b); B.6.7] Foata A968); MacMahon
A915); [2.6.8], MacMahon A915); [2.6.9] Sylvester A882); [2.6.11]
Polya A970); [2.6.12-16] Goldman, Rota A970).
110
ЗАДАЧИ
2.6.1. Элемент / в перестановке а на Жп называется выдаю-
выдающимся, если С} > о4 для всех 1 ^ i < j. Элемент 1 — выдающийся
в любой перестановке о. Показать, что число перестановок на Jfn
п—1
с к выдающимися элементами равно lq J П (^ + ?)•
i=0
2.6.2. (а) Доказать комбинаторными методами, что
[п \ (п — т\
m'q\k — m)q
(б) Доказать, что
2.6.3. Доказать комбинаторными методами, чго
(а)
Последнее тождество называется q -тождеством Вандермонда.
2.6.4. Показать, что
п ,? . /2ft\ 2П—1
2 Ш2)= 11A + Л.
ft=0 \ <1 1=1
2.6.5. (а) Опираясь на тождество Коши 2.6.12 A), показать, что
п а + *r
i
(б) Вывести из тождества, полученного в п. (а), тождество
Якоби для тройного произведения B.5.24).
2.6.6. (а) Доказать, что
\2i кг\ ~
(б) Показать, что следующие два соотношения взаимно обра-
обратимы (т. е. образуют инверсную пару, см. задачу [1.1.4]):
Яп= 2 Ш bki
U(-irV ш)ак,
k=o \ >Ч
Ш
(в) Многочленами Роджерса — Сегё называются многочлены
вида
Доказать, что
1
J
(г) Вывести из п. (в), что
^-i), если п = 2т,
О, в противном случае.
2.6.7. Назовем старшим индексом перестановки о = Oi... о„ на
Jfn величину
п— 1
»г (а) = 2 *•
i—1
°1+г<°г
Число спадов в о будем обозначать через /(о). Перестановка о на
JF-n+x образуется из перестановки о, если элемент п +1 поместить
между двумя соседними элементами о или же в один из концов а.
(а) Показать, что если элемент п+1 помещен слева от о, то
m(a)=m(a) + f(a)+l.
(б) Показать, что если элемент п+1 помещен между элемен-
элементами, образующими i-й (считая справа) спад перестановки а, то
т(а) = т(а)+ L
(в) Показать, что если элемент п + 1 помещен между элемен-
элементами, образующими г-й (счит%я слева) подъем перестановки о, то
) () ()
(г) Показать, что если элемент п + 1 помещен справа от о, то
) = т(а).
(д) Показать, что число перестановок о на Жп, для которых
т(а)~к, равно [gk]n!,. Отметим, что если заданная на множестве
Jfn функция а(о) обладает свойством а(о)=к в точности для
[qh] n\q перестановок о, то а (о) называется статистикой МакМагона.
2.6.8. (а) Показать, что число @, ^-последовательностей с к
единицами, п — к нулями и т инверсиями равно [qm] Uj .
(б) Путем подсчета соответствующих @, ^-последовательностей
показать, что
(в) Путем подсчета соответствующих @,1)-последовательностей
доказать g-тождество Вандермонда из [2.6.3 (в)].
112
2.6.9. (а) Из доказательства предложения 2.6.13 вывести, что
число разбиений числа п не более, чем на i частей, каждая из
Г п\ (т + 1)
которых не превышает т, равно \q J I m J .
(б) Показать, что число разбиений числа п на (г + 1) частей
с наибольшей частью т+ 1, равно \.q \ q [ т J '
2.6.10. Путем подсчета соответствующих разбиений, дать комби-
комбинаторные доказательства следующих тождеств:
(+
(б) П A+ ***)= 2 ff(i
i=l fc=o
(в) 2 *V*(i+?*)...A+9*-^)= 2 «'V 2 ;^2 ^?'( i ¦
1 = 0
2.6.11. Рассмотрим множество @, ^-последовательностей, обра-
образованных к единицами и (га — к) нулями. С каждой такой после-
последовательностью свяжем путь на координатной плоскости, ведущий
из точки @,0) к точке (к, га — к): координата х увеличивается на
1 при каждом появлении 0 в нашей последовательности, а коорди-
координата у увеличивается на 1 при каждом появлении 1. Показать,
что число путей, для которых площадь, ограниченная графиком пу-
ти, осью х и прямой х = к, равна т, есть \q JI I .
2.6.12. Обозначим через Vn(g) векторное пространство размер-
размерности га над полем GF(q), где q — степень простого числа.
(а) Показать, что существует всего (qn — i)(qr' — q).-.(qn — qm~1)
различных наборов по т линейно независимых векторов простран-
пространства Vn(g).
(га \
т) m-мерных подпрост-
подпространств пространства Vn(g).
2.6.13. Рассматривая подпространства соответствующего вектор-
векторного пространства, показать, что
{ т
2.6.14. Рассматривая w-мерные подпространства пространства
Va+b(9), пересекающие a-мерное подпространство Vo(g) по /е-мер-
ному подпространству, доказать g-тождество Вандермонда из
[2.6.3 (в)].
2.6.15. Рассмотрим линейные отображения пространства V,(ra)
в линейное пространство Z, содержащее z > qn векторов. Найдя
число отображений ранга к (т. е. с ядром размерности п — к), по-
получить доказательство тождества Коши, см. 2.6.12 B)).
2.6.16. Рассмотрим векторные пространства Vn(g), X, Y, Z такие,
что X^YcZ и dimX > га = dim Vn(g). Предположим, что простран-
8 я. Гульден, Д. Джексон ИЗ
ства X, Y и Z содержат соответственно х, у и z векторов. Рассмат-
Рассматривая все такие взаимно однозначные линейные отображения
/: Vn-^Z, 4Todim(/(Vn)nX) = 0, a dim(/(V»)n Y) = ft, получить дру-
другое доказательство g-аналога биномиальной теоремы (см. 2.6.11).
§ 2.7. Плоские деревья с висячим корнем
Обратимся теперь к перечислению деревьев, обладающих теми
или иными свойствами. Они представляют собой конфигурации,
играющие существенную роль как в самой комбинаторике,* так и
в различных ее приложениях. Для нас они интересны еще и тем,
что их перечисление требует привлечения рекурсивных представле-
представлений. В предыдущих параграфах уже использовались разнообразные
представления, но они были либо прямыми, либо косвенными —
ситуации, требующей использования именно рекурсивного представ-
представления, еще не возникало. Для нахождения в виде степенного ряда
решений появляющихся функциональных уравнений будем систе-
систематически пользоваться теоремой Лагранжа.
Корневым деревом (или деревом с корнем) называется дерево,
в котором выделена некоторая вершина, называемая корневой вер-
вершиной, или просто корнем. Плоским корневым деревом называется
корпавое дерево, которое можно изобразить на плоскости. Два та-
таких дерева считаются изоморфными, если одно из них может быть
Рис. 2.7.1.
преобразовано в другое непрерывными движениями в плоскости.
Например, на рис. 2.7.1 деревья айв изоморфны, а деревья а п
б не изоморфны. Условимся корневую вершину на рисунках отме-
отмечать кружком.
В этом параграфе рассматриваются плоские корневые деревья
с одновалентной корневой вершиной (т. е. деревья, у которых из
корня выходит лишь одно ребро). Такие деревья мы будем, назы-
называть плоскими деревьями с висячим корнем. Если такое- дерево
состоит из одного ребра, то оно называется тривиальным плоским
деревом с висячим корнем; далее, на протяжении этого параграфа
мы будем обозначать его е. Кубическим деревом называется дерево,
у которого все вершины одновалентны или трехвалентны (т. е. из
каждой вершины выходит одно или три ребра). Для получения
114
представлений множества плоских деревьев с висячим корнем по-
потребуется следующее определение.
2.7.1. Определение (ветвь, список ветвей). Обозначим через 0*
множество всех плоских деревьев с висячим корнем. Пусть три-
тривиальное дерево uvo имеет корень в вершине и. И пусть t\, ..., ?&<=
е<р (к^\) — имеют корнями вершины v\, ..., vk соответственно.
Тогда строим дерево следующим образом: вершины Vo, Vi, ..., vk
отождествляем, и эту вершину обозначаем v, а корнем полученного
дерева объявляется вершина и; при этом деревья t\, ..., th, uvq
располагаем на плоскости по часовой стрелке вокруг вершины v
в указанном порядке и t] называем ;-й ветвью дерева t. Набор
(t\, ..., tb) называется списком ветвей дерева t и обозначается Л(?).
Положим также Л(е) = 0.
Рис. 2.7.2. Плоское дерево с висячим корпем и его ветви
На рис. 2.7.2 изображено плоское кубическое дерево с висячим
корнем и, по часовой стрелке расположены две его иетви ti и t2.
Начнем с перечисления плоских кубических деревьев с висячим
корнем, что даст возможность продемонстрировать использование
одного простого рекурсивного представления.
2.7.2. Представление (плоские кубические деревья с висячим
корнем). Пусть W — множество плоских кубических деревьев с ви-
висячим корнем. Тогда
Доказательство. Тривиальное дерево е исключено из об-
области определения, так как А(г) = 0. Результат непосредствен-
непосредственно следует из определения 2.7.1. О
Элементы множества 'S' можно перечислить следующим образом.
2.7.3. Плоские кубические деревья с висячим корнем и некор-
некорневые одновалентные вершины. Найдем число с(п) плоских куби-
кубических деревьев с висячим корнем и п некорневыми одновалент-
одновалентными вершинами.
Обозначим через С(х) производящую функцию для множества
*& по отношению к числу некорневых одновалентных вершин (ко-
(которые маркируются переменной х). Производящая функция для
множества ШХ'ё'2 равна С2(х), так как в соответствии с 2.7.2 при
переходе от дерева t к набору его ветвей дополнительных однова-
8* И5
лентных вершин не возникает. Производящая функция для мно-
множества {е} равна х, так как е содержит единственную некорневую
одновалентную вершину. Таким образом, из представления 2.7.2 и
лемм о сумме и о произведении получаем, что С удовлетворяет
уравнению
С2 _ С + х = О
с начальным условием С@) = 0 (в силу того, что с@) = 0).
Для того чтобы решить это функциональное уравнение, пере-
перепишем его в виде С = хA — С). Тогда по теореме Лагранжа
и, следовательно,
_, . „ 1 /2л
Числа вида . . ( 1 называются числами Каталана.
Идею, лежащую в основе представления 2.7.2, можно реализо-
реализовать и в более общем случае — для представления множества всех
плоских деревьев с висячим корнем.
2.7.4. Представление ветвями. Пусть 9* — множество плоских
деревьев с висячим корнем. Тогда
где через р +1 обозначена степень вершины дерева t смежной
с корнем, a A(t) = (t\, ..., tp) — список ветвей.
Доказательство. Утверждение следует непосредственно из
определения 2.7.1. О
В качестве непосредственного приложения этого представления
рассмотрим задачу перечисления плоских деревьев с висячим кор-
корнем относительно числа некорневых вершин.
2.7.5. Плоские деревья с висячим корнем и некорневые верши-
вершины. Пусть $Р по-прежнему означает множество плоских деревьев
с висячим корнем и пусть р(п) — число таких деревьев с п некор-
некорневыми вершинами. Через Р(х) обозначим производящую функцию
для & относительно числа некорневых вершин, которые маркиру-
маркируются переменной х. Тогда по представлению 2.7.4 имеем
Отсюда следует, что Р удовлетворяет функциональному уравнению
Р2 — Р + х — 0 с начальным условием Р@)=0 (в силу того, что
р@) = 0). Таким образом, по 2.7.3 имеем
у ^_ 12п
jU n + l
116
jU n + l[ n
Отметим, что из 2.7.3 и 2.7.5 следует, что р(п) = с(п), т. е. меж-
между множествами 0* и Я? существует взаимно однозначное соответ-
соответствие, сохраняющее вес. Вполне резонно попытаться найти комби-
комбинаторную интерпретацию этого соответствия, но это уже отдельный
вопрос, который решается в [2.7.9].
Пример более основательного использования представления 2.7.4
получается, если при решении предыдущей задачи мы захотим со-
сохранить также информацию о степенях вершин.
2.7.6. Определение (последовательность степеней вершин).
Пусть i = (ii, h, •••) — числовая последовательность, в которой ц
равно числу некорневых вершин степени /' 5s 1 в плоском дереве
t с висячим корнем. Тогда i называется последовательностью сте-
степеней вершин дерева t.
2.7.7. Плоские деревья с висячим корнем и последовательность
степеней вершин. Пусть с (i) — число деревьев из множества &*,
для которых последовательности степеней вершин совпадает с за-
заданной последовательностью i.
Пусть t маркирует некорневую вершину произвольной степени,
a Xj — некорневую вершину степени /' 5s 1. Положим
Тогда из представления ветвями получаем, что
k
так как при переходе от элемента из (е) X 9* к элементу из 9* — е
(в соответствии с 2.7.4) появляется дополнительно вершина, имею-
имеющая степень к + 1. Тем самым мы имеем для F функциональное
уравнение. По теореме Лагранжа
i 4hn-il/ J-i
. . . Xn J 1Л M^i "Г Kxi ~
Таким образом,
Л_ Г л 1 если ix -f г2 + ... + in = n
я Lfi' ••••««]' и ii + 2i2 + ... +nin=2n— 1,
О, в противном случае.
c(slt ..., гп) — .
Если нас интересует менее подробная информация о степенях
вершин, оказывается удобнее вернуться к первоначальному пред-
представлению, а не пытаться получить искомый результат с помощью
только что выведенной формулы. Проиллюстрируем это следующим
примером.
2.7.8. Плоские деревья с висячим корнем и двухвалентные вер-
вершины. Обозначим через 6(т, п) число плоских деревьев с висячим
корнем, с т двухвалентными вершинами и п некорневыми вер-
вершинами.
Пусть В(х, у) — производящая функция для множества 9 от-
относительно числа некорневых вершин (которые маркируются х) и
117
числа двухвалентных вершин (которые маркируются у). Из пред-
представления 2.7.4 получаем
В = х{1 + уВ + В2 + Я3 + ...},
так как при переходе от {гУХ!?к к &— е дополнительная двухва-
двухвалентная вершина возникает лишь при к = 1. Таким образом, В(х, у)
удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
В = х{A - В)-1 + (у - 1M}.
По теореме Лагранжа
^Г1 + (У-
Отсюда, в результате стандартных преобразований, получаем
Но
/п\ In — к
поэтому
т )-(т)( к )'
Когда т = 0, т. е. при отсутствии двухвалентных вершин, дерево
называется гомеоморфно неприводимым. Число таких деревьев с п
некорневыми вершинами, равно
Как мы только что видели, производящая функция В (х, у)
удовлетворяет функциональному уравнению
откуда В2 — В + х{1 — х(у — I)} = 0. Из 2.7.5 следует, что
B{xi У) = Р(х{1 — х(у — I)}"), где Р{х) — производящая функция
для множества деревьев с висячим корнем по отношению к числу
некорневых вершин. Комбинаторное объяснение этого соотношения
получим с помощью следующего представления.
2.7.9. Представление (плоские деревья с висячим корнем).
Пусть Ж — подмножество гомеоморфно неприводимых деревьев в
множестве & всех плоских деревьев с висячим корнем. Тогда
где ° означает операцию композиции (см. 2.2.20) относительно
некорневых вершин.
Доказательство. Пусть v — произвольная некорневая вер-
вершина дерева h <= Ж. Каждое ребро в h сделаем ориентированным,
118
направив его к корню. Обозначим через е то единственное ребро,
инцидентное вершине v, которое направлено к корню дерева h.
Пусть v°0p+l обозначает ребро е, «подразделенное» р вершинами
на р + 1 частей. Очевидно, что каждое дерево множества & можно
единственным образом получить из некоторого дерева Ь,<=Ж путем
подразделения ребер, откуда и следует искомый результат. ?
Полученное представление очень тесно связано с представле-
представлением 2.4.15 для последовательностей Смирнова.. Для Ж это пред-
представление является косвенным. Оно иллюстрируется на рис. 2.7.3.
2.7.10. Плоские деревья с висячим корнем и двухвалентные
вершины, представление с помощью композиции. Мы хотим полу-
получить производящую функцию В(х, у) для множества & по отно-
отношению к числу двухвалентных вершин (маркируемых у) и числу
о
Рподразделения
ребра __
9 9°
®
Рис. 2.7.3. Гомеоморфно неприводимое дерево и подразделение его ребер
некорневых вершин (маркируемых х). Пусть Н(х)—производящая
функция для множества Ж гомеоморфно неприводимых плоских
деревьев с висячим корнем по числу некорневых вершин. Тогда из
представления 2.7.9 и леммы о композиции B.2.22) следует, что
и
Рассмотрим эти соотношения как функциональные уравнения,
в которых неизвестные Н{х) и В(х, у) выражены через Р(я)-
Тогда
так как
Тем самым получена та связь между В(х, у) и Р(х), которая уже
была отмечена ранее (см. 2.7.9).
Заметим, что представление 2.7.9 сохрапяет информацию, кото-
которую было бы сложно получить, используя рекурсивное представле-
представление 2.7.4. Как пример применения 2.7.9 рассмотрим перечисление
плоских деревьев с висячим корнем, в которых нет изолированных
двухвалентных вершин. При этом изолированной двухвалентной
вершиной называется двухвалентная вершина, не смежная никакой
другой двухвалентной вершине.
119
2.7.11. Плоские деревья с висячим корнем, не содержащие изо-
изолированных двухвалентных вершин. Обозначим через с(п) число
плоских деревьев с висячим корнем, с п некорневыми вершинами
и без изолированных двухвалентных вершин. Пусть х маркирует
некорневую вершину. Тогда в силу представления 2.7.9,
где Н(х) — производящая функция для множества гомеоморфно не-
неприводимых деревьев из ИР по числу некорневых вершин. Кроме
того,
2 с{п)хп = Н(х + х3 + х* +...),
так как «деление» какого-либо ребра единственной вершиной при-
приводит к появлению изолированной двухвалентной вершины. Отсюда
следует, что
с (п) = [хп]Р (х A - х + х2) A - х2 + х3)-1),
2х™+1 /2т\
m,i I m )• Таким образом,
Отсюда можно получить формулу для с(п), включающую тройное
суммирование произведений биномиальных коэффициентов.
Для сохранения информации о раскраске графов можно также
использовать представление 2.7.4.
2.7.12. Определение B-хроматическое дерево). Дерево, вершины
которого можно окрасить двумя цветами, причем так, чтобы любые
смежные вершины имели разные цвета, называется 2-хрома-
тическим.
Для плоских 2-хроматических деревьев с висячим корнем имеет
место следующее представление, вытекающее из представления
ветвями.
2.7.13. Представление (плоские 2-хроматические деревья с ви-
висячим корнем). Пусть 9*\ и 9*% — множества плоских 2-хроматиче-
2-хроматических деревьев с висячим корнем, у которых корень окрашен соот-
соответственно в цвет 1 или 2. Тогда
U Ы X 9\. t - (г1г А @),
^2 - {е}} =Z U {е2} X 0»5: * ~ (в,, Л (*)),
где 6] и 62 - тривиальные деревья соответственно из 9*\ и &2-
Это представление иллюстрируется на рис. 2.7.4. Оно исполь-
используется для перечисления множества &\.
120
2.7.14. Плоские 2-хроматические деревья с висячим корнем.
Обозначим через d (m, п) — число плоских 2-хроматических де-
деревьев с висячим корнем, с т некорневыми вершинами цвета 1,
Рис. 2.7.4. Представление ветвями 2-хроматического дерева
п некорневыми вершинами цвета 2 и с корнем, окрашенным в цвет
i, где i = 1 или i = 2.
Пусть Xt маркирует некорневую вершину цвета i, где i = 1, 2.
Положим
hi{xlt *,)= 2 сг(т,п)х?хп2, i=l,2.
Тогда из представления 2.7.13 получаем, что
h1 = x2{l + h2 + hl+ ...} и ha = x1[l + Ъ + hi+...}.
Таким образом, hi и h<i удовлетворяют системе функциональных
уравнений
К = 1,A-
— h{)~l}~x, откуда
Исключая из нее h%, получаем h\ =
по теореме Лагранжа
сг (т, n) = i lx?] [kn~l] {1-^A- ЬГ1
Таким образом, имеем
т.п.
т— 1
aci@, 1)=1.
Представление 2.7.4 можно использовать и для перечисления
плоских деревьев с висячим корнем по отношению к их высоте.
Однако для этого механизм действия представления ветвями не-
необходимо изучить более детально.
2.7.15. Определение (высота вершины). Пусть v—некорневая
вершина плоского дерева t с висячим корнем. Высотой вершины v
в дереве t называется число, на 1 меньшее числа ребер в един-
единственном пути, ведущем из у в корень дерева t.
121
Пусть нам требуется найти число Сл(и, d) вершин степени d и
высоты h в множестве всех плоских деревьев с висячим корнем,
с п некорневыми вершинами. При га = 4 существует всего ~(з)=^
плоских .деревьев с висячим корнем (что следует, например, из
2.7.5). Эти деревья изображены на рис. 2.7.5, там же указаны
значения о, D, d) для О =S h =S 3.
Пусть s-объектами для деревьев из множества 3* будут некор-
некорневые вершины степени d и высоты h. Тогда в производной dlP/ds
высота h
3
2
1
О
общее число
вершин
: = 1 2
10 0 0
4 10 0
5 3 10
0 2 2 1
Рис. 2.7.5. Число вершин данной высоты и степени в плоских деревьях с ви-
висячим корнем и четырьмя некорневыми вершинами
каждое дерево из &, содержащее к таких вершин, будет учитывать-
учитываться к раз. Таким образом, по лемме о дифференцировании получаем
ch
(n, d) = [xn] Zj-2
z) |2
1,
где Ph,a{x, z) является производящей функцией для 3 относитель-
относительно числа некорневых вершин (которые маркируются переменной
х) и s-объектов (которые маркируются переменной z).
Числа Chin, d) можно получить двумя различными способами.
В 2.7.16, применив к ?Р представление ветвями, мы получим выра-
выражение для Ph,a{x, z), а затем, продифференцировав по г, найдем
ch(n, d). В 2.7.17 мы поступим по-другому, а именно: получим не-
некоторое представление непосредственно для d!?/ds, а из него —
выражение для clt(n, d) в качестве следствия.
2.7.16. Вершины заданной степени и высоты в плоских деревь-
деревьях с висячим корнем. (Первый метод). Из предыдущего имеем
сЛ (п, d) = [хп] z jz Phid (x, z) |2=1.
Далее, из представления 2.7.4 следует, что
где ф(Я)==жA — Я). Начальные условия получаем также из пред-
представления ветвями:
РоДз, z) = х{1 + Р(х) + ... + Р1-2 (х) + zP4-1 {х) + Р*(х)+...) =
122
где ip(K) = x{(i—X)-l+(z—l)Xi~1}, a Р (ж) —производящая функ-
функция для множества 3* по числу некорневых вершин, которая, в си-
силу 2.7.5, удовлетворяет соотношению
Отсюда следует, что
Таким образом, по правилу дифференцирования сложной функция
получаем
— Z(f уц,- -\ГУ- \")>>1 gz
Это в конечном итоге дает
*-? Phtd (x, z) = z (Д Ф' (ф[Л-|] М> (Р («))))} -^ {^Р (Р («))}•
Однако E/5г){^(Р(а;))} = а:Рл-1(ж), яр(О1«-1 = ф@» а
= Р(ж) (ft^O). Учитывая все это, получаем
h
В то же время <p'(t) = x(l —1)~2, следовательно,
), откуда
z ± Ph,d (х, z) |2=1 = Х1-*Р*ь+*-* (х).
Таким образом, ch(n, d) = [xn+h'y\P2h+i~l {x). По теореме Лагран-
жа находим, что
Ch(П| d) = в + 1&_1 [Г+л
= f+f-^ [к*-*-*] A -
откуда
*(»>*) = 2n-d- l[ н + h-ih
В качестве проверки подставим в полученную формулу п = 4,
Л = 2, тогда сЛD, 2) = -|-BЛ+ 1)C + А),т. е. соD, 2) = 2, ciD,2)-
= 3, сгD, 2) = 1, что согласуется с числами на рис. 2.7.5.
Можно, однако, построить комбинаторным способом само мно-
множества dlP/ds путем удаления в деревьях из d^/ds единственного
пути, ведущего от выделенной вершины к корню. Это приводит
к следующему представлению.
123
2.7.17. Представление (плоские деревья с висячим корнем с
одной выделенной вершиной степени d и высоты К). Пусть Q =
= U & > и пусть nt обозначает путь с i вершинами. Будем счи-
тать s-объектами вершины степени d и высоты h. Тогда
Это представление иллюстрируется на рис. 2.7.6. Выделенная вер-
вершина обозначена v, а путь яЛ+2 есть путь uvo...vh-iv, где и — кор-
корневая вершина. Плоские деревья с висячим корнем, выходящие из
Л-2
л-г
Рис. 2.7.6. Представление дерева из 5s, в котором выделена вершина степени 4
и высоты h
вершин v и Vj @<y<ft—1), берутся в порядке их расположения
по часовой стрелке.
2.7.18. Вершины в плоских деревьях с висячим корнем, имею-
имеющие заданную степень и высоту. (Второй метод.) Пусть х марки-
маркирует некорневые вершины в плоских деревьях с висячим корнем.
Мы знаем, что
ch {n, d) = [i»]j| Ph,d (x, z) |г=1.
124
Из представления 2.7.17 следует, что
2 cft (п, d)xn = Pd * (
так как производящие функции для 5s, яЛ+2 и Q равны соответ-
соответственно Р(х), xh+l и A — Р)~х. Однако, в силу 2.7.5, производящая
функция Р(х) удовлетворяет функциональному уравнению Р =
= хA — Р)-\ поэтому
что согласуется с 2.7.16.
Некоторыми особенностями представления множества 3* ветвя-
ветвями (см. 2.7.4) можно воспользоваться для получения других пред-
представлений. Напомним, что рекурсивный шаг в этом представлении
состоит в отождествлении корней для некоторого множества де-
деревьев из 3*. Степень возникающей при этом вершины мы, конеч-
конечно, всегда можем зарегистрировать.
Посмотрим теперь, каким способом можно было бы применить
представление ветвями к перечислению множества 3 по отношению
к последовательности степеней вершин. Будем искать рекурсивное
представление, при котором строится некоторая вершина. Эта вер-
вершина должна определяться однозначно — это необходимо для
взаимной однозначности представления. Наиболее естественно в ка-
качестве такой однозначно определяемой вершины взять вершину,
смежную с корнем. Удалим теперь зту вершину. Тогда исходное
дерево распадается на ветви, по которым его можно ознозначно
восстановить. Именно это и выражает представление 2.7.4.
2.7.19. Замечание (поиск представлений). Сформулируем спо-
способ нахождения представления, пригодного для перечисления мно-
множества & различных конфигураций по числу s-объектов.
1. Решаем, можно ли в произвольной конфигурации о е д> най-
найти однозначно определяемый s-объект.
2. Удаляем этот объект из а.
3. Если в результате этого а распадается на несколько непере-
непересекающихся конфигураций, по которым можно обратно восстано-
восстановить исходную конфигурацию а, то получено представление для
множества &.
Полезность сформулированного способа покажем на примере за-
задачи перечисления плоских деревьев с висячим корнем по отноше-
отношению к «самым левым» путям.
2.7.20. Определение (самый левый путь). Придадим всем реб-
ребрам дерева fs^1 направление от корня. Самым левым путем я
в дереве t называется путь, ведущий от корня к одновалентной
вершине и образованный самыми левыми ребрами дерева t, исхо-
исходящими из вершин, через которые он проходит.
Чтобы получить представление для i?, при котором регистри-
регистрируется информация о самых левых путях, попробуем применить
125
подход, описанный в замечании 2.7.19. Если действовать по ука-
указанному способу, то после удаления самого левого пути исходное
дерево распадется на упорядоченный набор плоских деревьев с
висячим корнем. В результате получаем следующее представление.
2.7.21. Представление (самый левый путь). Пусть Q = [} &"
и пусть яЛ обозначает путь, содержащий к вершин (путь «вершин-
«вершинной» длины к), с корнем в первой вершине. Тогда
&^ и Qhx{nk+2}.
Это представление иллюстрируется на рис. 2.7.7, где показаны
также самые левые пути в компонентах представления (принадле-
(принадлежащих Q).
Если на каждом рекурсивном шаге выделять самые левые пути
во всех возникающих при этом деревьях, то получается покрытие
Сзиый левый
путь
Рис. 2.7.7. Представление с помсщью самого левого пути
плоского дерева с висячим корнем самыми левыми путями. На
рис. 2.7.8 изображено покрытие самыми левыми путями для дере-
дерева, изображенного на рис. 2.7.7. Это покрытие содержит два самых
левых пути длины 2, два — длины 3, два — длины 4 и один — дли-
длины 5. Заметим, что у дерева не может быть самых левых путей
длины 1.
Применим теперь представление 2.7.21 к перечислению плоских
деревьев по отношению к последовательности степеней вершин и
длинам самых левых путей.
2.7.22. Плоские деревья с висячим корнем, самые левые пути
и последовательности степеней вершин. Пусть m = (m\, m,2, ...),
i = (ii, к, •••), и пусть c(m, i) обозначает число плоских деревьев
с висячим корнем, с nij некорневыми вершинами степени />1 и
ц самыми левыми путями длины у ^ 2.
Пусть Xi маркирует некорневую вершину степени i, a /* марки-
маркирует самый левый путь длины г, тогда производящая функция для
126
множества & равна
h (x, f) = 2 c imi *) xmf \
где x = («i, ...)> a f = (/2, /з, •••)• Воспользуемся представлением
2.7.21 и рассмотрим в начале компоненту {я^^Х^*, где ?? =
= у &*- Фактическое присутствие 9*' в каждом случае имеет след-
ствием построение в точности одной вершины степени ; + 2. Таким
Рис. 2.7.8. Покрытие са-
самыми левыми путями
плоского дерева с вися-
висячим корнем
образом, производящая функция для 3й равна х^Ь?, а, следователь-
следовательно, производящая функция для Q равна 2 Xj+ik}. К некорневому
концу пути Яь+г не присоединяется ни одного дерева, поэтому про-
производящая функция для этой одновалентной вершины равна Х\.
Производящая функция для nh+2 равна /А+2, так как длина этого
пути равна к + 2, а степени его вершин были уже учтены при
нахождении производящей функции для Qh. Таким образом, про-
производящая функция для {nk+2i X Qh есть
2j
l>0
I
откуда, в силу представления 2.7.21, имеем
k>2
Полученное функциональное уравнение можно разрешить относи-
относительно h с помощью теоремы Лагранжа:
127
и, следовательно,
2 U-2)ij
, V i
lft=2 — ¦
Отсюда получаем, что
где 2J ij = 1 + 2 (i-2)mi = mlt 2 тг = 2 (}-2)h-
Примечания и ссылки.
B.7.3) Euler A758); B.7.4,5) Good A965); B.7.7,14) Tutte
A964); B.7.16) Dershowitz, Zaks A980), Flajolet (частное сооб-
сообщение); B.7.18) Flajolet (частное сообщение)!
[2.7.6] Knuth A968a); [2.7.9] de Bruijn, Morselt A967), Harary,
Prins, Tutte A964), Klarner A970); [2.7.12] Catalan A838), Ethe-
rington A937), Schroder A970); [2.7.14] Cayley A890); [2.7.15]
Gordon, Torkington A980); [2.7.16] Jackson, Goulden A981a).
ЗАДАЧИ
2.7.1. (а) Показать, что число плоских деревьев с висячим кор-
корнем с тк + 1 некорневыми вершинами, каждая из которых имеет
степень, сравнимую с 1 по модулю к, равно
т (к + 1)
таЛ: -j- 1 \ та
(б) Показать, что число плоских деревьев с висячим корнем с
In некорневыми вершинами, из которых 2т + 1 имеют нечетную
степень, равно
2п \Bп-\-т
2.7.2. (а) Показать, что число плоских деревьев с висячим кор-
корнем с п некорневыми вершинами, к из которых имеют степень
s+ 1, равно
(б) Показать, что число плоских деревьев с висячим корнем с
п некорневыми вершинами, к из которых имеют степень s + ,1,
am — степень t + 1, где s Ф t, равно
— 2 \ п
1V— 1V+'—ь—т
ml '
128
2.7.3. (а) Показать, что число плоских деревьев с висячим кор-
корнем, с п некорневыми вершинами, у которых вершина, смежная
т— i Bп — т— 2\
с корнем, имеет степень т, равно п_ . I ге_2 Г
(б) Показать, что число плоских деревьев с висячим корнем
с п некорневыми вершинами, у которых вершина, смежная с кор-
корнем, имеет нечетную степень, равно
2.7.4. Доказать, что число плоских деревьев с висячим корнем,
с п некорневыми вершинами, у которых каждая двухвалентная
вершина является изолированной, равпо
п—1 п—т—1
п1 пт1 .
V V (-JT/2mW
2.7.Ъ. Доказать, что число вершин высоты h в плоских деревьях
с висячим корнем, имеющих п некорневых вершин, равно
2Л-
2/г + 1 / 2ге — 2 \
п -\- h \п — h — 1/
2.7.6. Пусть 1гп — среднее значение суммы высот всех трехва-
трехвалентных вершин дерева на множестве всех плоских кубических
деревьев с висячим корнем, с п трехвалентными вершинами. По-
Показать, что
2.7.7. Показать, что число плоских деревьев с висячим корнем
с ij самыми левыми путями длины ; (такое дерево содержит п =
= г-2 + ?з "Ь • • • некорневых одновалентных вершин и т = 2 (^ — 2) ?&
прочих некорневых вершин) равно
п-1 /
2.7.8. Пусть Р(х) — производящая функция для множества плос-
плоских деревьев с висячим корнем по числу некорневых вершин.
Пользуясь принципом включения — исключения, показать, что чис-
число плоских деревьев с висячим корнем, содержащих п некорневых
вершин, т из которых двухвалентны, равно [хпут]Р(х{1 — (у —
-l)*}-1) (см. 2.7.10).
2.7.9. (а) Пусть ffi — множество плоских кубических деревьев
с висячим корнем. Получить представление
^-W^ U К+2}Х^Й,
где nk+2 — путь, содержащий к + 2 вершин.
9 я. Гульден, Д. Джексон 129
(б) Пусть & — множество плоских деревьев с висячим корнем.
Получить представление
(в) Указать в явном виде взаимно однозначное соответствие
между деревьями из !? с п некорневыми вершинами и деревьями
из Ч? с п некорневыми одновалентными вершинами.
2.7.10. (а) Пусть &\ — множество плоских 2-хроматических де-
деревьев с висячим корнем, окрашенным в цвет 1. Получить следую-
следующее представление:
где е* — тривиальное плоское дерево с висячим корнем, окрашен-
окрашенным в цвет i (? = 1, 2).
(б) Указать в явном виде взаимно однозначное соответствие
между 2-хроматическими плоскими деревьями с висячим корнем
цвета 1, т некорневыми вершинами цвета 1ип некорневыми вер-
вершинами цвета 2 и плоскими деревьями с висячим корнем, с п од-
одновалентными некорневыми вершинами и т вершинами степени,
большей 1. Существование такого соответствия следует из п. (а).
2.7.11. При дифференцировании уравнения Р = х{{ — Р)~1 из
2.7.5 мы получаем хР' = Р + Р2Р'. Указать представление для мно-
множества 3* плоских деревьев с висячим корнем, которое приводит
к этому дифференциальному уравнению непосредственно.
2.7.12. (а) Пусть Ъ(п) — число способов вычислить произведе-
произведение А\...Ап в неассоциативной, некоммутативной алгебре. Опо сов-
совпадает с числом способов такой расстановки скобок в А\...Ап, что
каждая пара скобок заключает в себе два объекта. Пусть В (х) =
= 2 Ь(п)хп (полагаем ЬA)=1). Показать, что В(х) = х + В2(ж),
>1
>1
и получить отсюда Ь(п) = —I п~~ . ) (ср. с 2.7.3).
(б) Показать, что число способов такой расстановки скобок в
произведении п элементов, что каждая скобка содержит не мень-
меньше двух объектов, равно
(в) Пусть с(п) — число способов вычислить произведение
А\...Ап в неассоциативной коммутативной алгебре. Показать, что
производящая функция С (х) = 2 е (R)ж™ удовлетворяет функцио-
нальному уравнению С (х) = х + -у {С2 (х) + С (ж2)}, где сA) = 1.
2.7.13. Обозначим через с(п) число последовательностей о =
= 0i...02n, содержащих п элементов, равных +1, и п элементов,
равных —1, таких, что частичные суммы st = a\ +... + О] положи-
положительны для всех К j < 2п — 1. Показать, что производящая функ-
130
ция С (х) = 2 с in)хП удовлетворяет функциональному уравнению
С(х) — х{1 — С(х)}~х и получить отсюда с{п) — —\ 1 л)
(ср. с 2.7.3).
2.7.14. Пусть на плоскости дан выпуклый n-угольник, в кото-
котором одна сторона выделена. Проведем в нем непересекающиеся
диагонали. Эта операция называется разрезанием выпуклого
га-угольника. Показать, что число различных разрезаний выпуклого
n-угольника с выделенной стороной, в результате которых по-
получается ц многоугольников с i сторонами, / ^ 3, равно
B + « + +)»
(n-\)\tb\iK\... •
2.7.15. Пусть t — плоское дерево с висячим корнем с последова-
последовательностью степеней вершин i. Предположим, что каждое ребро де-
дерева t разрезано пополам, в результате чего для каждого / > 1
приходим к конфигурации, состоящей из i} вершин, которым инци-
инцидентны по / полуребер. Она называется полуреберной структурой
степени /. Корень считаем инцидентным одному полуребру. Полу-
Получить результат 2.7.7 непосредственно путем нахождения числа спо-
способов восстановления плоского дерева с висячим корнем из задан-
заданной совокупности полуреберных структур.
2.7.16. Дерево, вершины которого окрашены в к цветов, причем
смежные вершины окрашены в разные цвета*), называется fe-xpo-
матическим. Хроматическим разбиением плоского /^-хроматического
дерева с висячим корнем называется таблица L = [^Дьх», в которой
наличие число 1ц указывает на то, что в дереве имеется ^некор-
^некорневых вершин степени /, окрашенных в цвет i. Обозначим через
cr(L, n) число плоских fc-хроматических деревьев с висячим кор-
корнем, окрашенным в цвет г, хроматическим разбиением L и Щ —
= 2 hi некорневыми вершинами, окрашенными в цвет i, где п =
i>i
= (ni, ..., nh).
(а) Показать, что
где W=[Wij]hxaa, х=(ж1, • • -, xk) и /4= 2 Sj&(/j), &(*¦)= 2
(б) Показать, что
где у{ = Xigi(y — yi)(i = l, ...,к), а у = ух + ... + ук.
*) Граф, вершины которого можно раскрасить к цветами таким образом,
что не будет одноцветных смежных вершин, часто называют ft-раскрашивае-
мымп, или it-цветным, оставляя термин «it-хроматический» для таких графов,
которые при этом не допускают подобной раскраски меньшим числом цветов.
Ясно, что для деревьев при к = 2 оба значения термина «it-хроматический»
совпадают (Примеч. ред.)
9* 131
(в) Показать, что
2 (N-i)\pu
i>0
где N =«! +...+%
§ 2.8. Последовательности с выделенными подцепями
В этом параграфе рассматривается общая задача перечисления
последовательностей над Jfn, содержащих предписанное число под-
подцепей из заданного множества si выделенных подцепей. Как зада-
задачу перечисления Л'* по отношению к некоторому множеству si,
можно представить целый ряд задач. Пусть, например, нам нужно
найти число последовательностей над JFn, содержащих ровно i стро-
строго возрастающих подцепей длины к, где к — некоторое фиксирован-
фиксированное число. Если взять последовательность 23572451, то она содер-
содержит ровно три таких подцепи длины р = 3, а именно 235, 357 и
245. В этом случае множество выделенных подцепей имеет вид
{ii...i*!Ki1<...<ift<re}.
При решении задач этого класса возникает специфическое
осложнение, связанное с тем, что последовательности, входящие в
множество $&, могут, вообще говоря, пересекаться, т. е. иметь общие
фрагменты. Например, пусть $$¦ = E721, 7215, 2572}. Тогда 2572,
5721, 7215 представляют собой попарно перекрывающиеся подцепи
для последовательности 257215. Мы будем в дальнейшем предпо-
предполагать, что множество последовательностей $$- = {А\, ..., Ар) обла-
обладает следующим свойством: последовательность А не является под-
подцепью последовательности В ни для какой пары А, В ^ М. В этом
случае множество si- называется редуцированным.
2.8.1. Определение (^-тип последовательности). Пусть si =
= {А\, ..., Ар) — редуцированное множество последовательностей
над Jfn. Если в последовательности а е= Jfn подцепь At встречается
mi (г = 1, ..., р) раз, то набор x(o) = (mi, ..., тр) называется
,5^-типом последовательности о.
Нашей основной целью является перечисление последователь-
последовательностей из Jfn по отношению к типу и «s^-типу с помощью пред-
представления «по меньшей мере» (см. 2.2.28). Для этого потребуется
следующее понятие.
2.8.2. Определение (fe-кластер). Пусть к~5? \, a si- — некоторое
редуцированное множество последовательностей над JTn. Тогда
k-кластером на JV„ по отношению к si называется тройка (oi... ог,
А\ ... А\п, (lv .. ., Zft)) e= Jfn X s?h X J?\, удовлетворяющая сле-
следующим условиям: если через г,- обозначить длину At. для / =
= 1, ..., к, то
132
1- °ij°i3+i • ¦ ¦ a'j+>-j-i = Aip / = L • • •. k (Aij начинается в по-
положении lj);
2. О < lj+i — lj< rjt / = 1, ..., k—1 (Aij и Ai.+1 перекрываются
как подцепи последовательности a);
3. r = lh + rh— 1 и Zi = 1 (A\ содержит ax, -4,ft содержит or).
Множество всех /с-кластеров на Jfn по отношению к .5$ для
всех к > 1 обозначается 5
На рис. 2.8.1 изображен 6-кластер на Л'ь по отношению Krf =
= {41323, 44, 234, 3454} в случае, когда 0=4132345441323454. Ри-
Рисунок иллюстрирует свойства кластеров: каждый элемент последо-
последовательности о принадлежит по крайней мере одному элементу мно-
множества S&, а соседние элементы в последовательности Лгх ... Aih
D 1 3 B (i) 4) 5 "ffi"D)j 3 2 ^Т^" 5 4")
t ¦ V м Т
1,= 1 12=4 15=5 Z4 = 8 15=9 i6 = 13
Рис. 2.8.1. 6-кластер (о, AiAiAiA^AiA^ A, 4, 5, 8, 9, 13))
перекрываются как подцепи о. Стрелками на рисунке отмечены
положения lj, которые занимают первые элементы выделенных под-
подцепей Л», при / = 1, • •., 6 (элементы, составляющие подцепь, об-
обведены). На рис. 2.8.2 таким же образом показан другой 6-кластер
для той же последовательности о.
(U.
Рис. 2.8.2. 6-кластер (о, А\А^2А\АъАь A, 5, 8, 9, 12, 13))
С множеством 3)(s&) всех кластеров можно связать следующую
функцию.
2.8.3. Определение (кластерная производящая функция). Пусть
x = {xi, ..., хп) и y = (j/i, ..., уР) — формальные переменные. Кла-
Кластерная производящая функция С(х, у) определяется формулой
где х(m-i) — тип последовательности ц\ (см. 2.4.7), a(|i2) = (/i, ...
• • -, /р)» 7* — число появлений At в jut2, i = 1, •.., р-
В связи с этим определением следует заметить, что a(|i.2) не
превосходит (покомпонентно) и (о)—.5$-тип последовательности о.
133
Например, для 6-кластеров, изображенных на рис. 2.8.1 и 2.8.2,
имеем a(|i.2) = B, 1, 1, 2). Однако, прцсматривая последователь-
последовательность о, мы видим, что ее ,2^-тип есть я (о) = B, 1, 2, 2). Единствен-
Единственный 7-кластер на о относительно s&, для которого а(ц2) = B, 1,
2, 2), показан на рис. 2.8.3. Чтобы построить все кластеры на a,
Аг
D 1 3 (JM(З) 4M DД4) 1 3 B CL) 5
t ft f 1 t I
Рис. 2.8.3. 7-кластер (с, А^А%А^АхАгА^ A, 4, 5, 8, 9, 12, 13))
нужно в качестве (Х2 выбирать подпоследовательности Ai ¦ • • Mh
последовательности А1А3А4А2А1А3А4, состоящие из перекрываю-
перекрывающихся подцепей, которые в совокупности покрывают последова-
последовательность о.
Для того, чтобы получить связь между производящей функцией
для Jfn по отношению к М и кластерной производящей функцией,
нам понадобится следующее определение.
2.8.4. Определение. Пусть & (М) обозначает объединение мно-
множества
{(о, е, 0)\а<=/Г*п\
и множества троек вида
(а,... а,-, \... Aih, (h, ..., к)) е Л°; х s?h X Л^, к, г > 1,
где
1. e{j ... eij+r—i = Мг 7 = 1, • •., к;
2. Kll<...<lh<r-rh+l,
если длина Ац равна rj (/ = 1, ..., к).
Элементы множества <В{s?) можно графически представить так
же, как и элементы множества ?D(s?), обведя подцепь А\. A^
.</^ft), начинающуюся с элемента, расположенного в последова-
последовательности о на U-m. месте. Однако в этом случае не требуется ни
того, чтобы каждый элемент последовательности о содержался внут-
внутри хотя бы одного овала, ни того, чтобы соседние овалы перекры-
перекрывались. На рис. 2.8.4 изображен элемент множества 8{s&).
Множество S'(M) можно построить следующим образом: выби-
выбираем элементы из множества 2)(s?), линейно упорядочиваем их,
а затем вставляем произвольные элементы из /fn между выбран-
выбранными кластерами, или же впереди или позади их. Так элемент ?о,
А1А3А4А3, A, 4, 8, 12) )€=<|?(,??), изображенный на рис. 2.8.4, мо-
может быть построен из трех кластеров D13234, А\А%, A, 4)), D4,
А4, A)) и B34, Аз, A)), расположенных в указанном порядке,
134
если между первым и вторым кластером поместить подцепь 5, меж-
между вторым и третьим — подцепь 13 и подцепь 54 —после третьего
кластера. Вставляемые элементы могут, разумеется, приводить к
образованию новых выделенных подцепей. Кроме того, сами класте-
кластеры могут содержать выделенные подцепи, которые не регистриру-
регистрируются кластерной производящей функцией. Фактически из каждой
D 1 3 B 3) 44) 5 D 4) 1 3
t t t t
i.,=i гг=4 z3=e z4 = iz
Рис. 2.8.4 Элемент (о, AlA3AtAi, A, 4, 8, 12))
последовательности а, имеющей .s^-тип т, можно получить конфигу-
конфигурацию из &{$&) в точности 2mi+"'+mP способами — а именно, по од-
одной для каждого выбора тх мест среди т\ подцепей А\, тп2 мест
среди ТП2 подцепей Ai, . ¦., тпр мест среди пгр подцепей Ар, 0 ^ m,j ^
^Щ О' = 1, ••-, р)- Это построение, таким образом, по отношению
к J^-типу есть конструкция «по меньшей мере», и мы приходим к
следующему результату.
2.8.5. Предложение. Производящая функция для множества Jfn
по отношению к s4-, которая является производящей функцией «по
меньшей мереъ относительно st-типа, имеет вид
?(*, у)= 2 х(н)«(Ы
(
Следующий результат связывает кластерную производящую
функцию и производящую функцию дляЛ%1 относительно типа и
•S^-типа последовательности.
2.8.6. Теорема (выделенные подцепи). Число последовательно-
последовательностей над Jfn, имеющих тип к и зФ-тип т, равно [хкут] Ф (х, у), где
Ф(х, у) = {1-(х, + ... + хп)
а С (х, у) — кластерная производящая функция для редуцирован-
редуцированного множества s4- выделенных последовательностей.
Доказательство. По принципу включения — исключения
(см. 2.2.29) пмеем
Ф(х, у)=^(х, у-1).
Однако по 2.8.4 имеет место представление
Таким образом, УР (х, у) = A — (х\ + ... + хп) — С(х, у)}~!, откуда и
следует искомый результат. ?
Довольно часто кластерную производящую функцию можно по-
получить чисто комбинаторными средствами. Ниже рассмотрим два
таких случая.
135
2.8.7. Последовательности, не содержащие р-х степеней цепей
длины к. Мы хотим найти число с{1, q) последовательностей из
Jfn длины I, которые содержат q подцепей вида wp, где w — по-
последовательность из Jfn длины к. Считаем, что к и р — заданные
положительные целые числа.
Очевидно, что &р = {wp\ we Jfn, \w\ = к} является редуциро-
редуцированным множеством выделенных последовательностей. Чтобы по-
получить кластерную производящую фупщию, построим сначала все
2-кластеры, а потом распространим эту конструкцию па любые кла-
кластеры. Пусть Wx = u?iS ЗВр, W2 = и>1<^. <%р и пусть х маркирует
длину последовательности. Производящая функция для множества
&р по отношению к длине последовательности равна
так как \3Sp\=nh и всякая последовательность из $р имеет дли-
длину рк.
Посмотрим теперь, каким образом цепи W\ и Wi могут пере-
перекрываться, образуя кластер. Различают два случая.
Случай 1. Последний блок Wi в цепи W\ и первый блок юч
в цепи W% перекрываются по подцепи В, длина которой равна числу
в интервале [1, к—1] (см. рис. 2.8.5). Пусть i#2 = Рт> где f имеет
w1 =
го.
р блоков
1
а | р
i
k(p-i)+j элементов
Ujtik-1 к
'if
го,
nJ способов выбора
р блоков
Рис. 2.8.5. Построение 2-кластера
длину ;. Имеется п? способов для выбора блока if, и, следовательно,
(так как В определена подцепью W\) — п' способов для выбора w%.
В результате цепь Wi определена. В силу того, что В не пусто,
длина неперекрывающейся части И^ равна k(p — i) + j (K/<
<&—1). Таким образом, производящая функция для неперекры-
неперекрывающейся части W2 равна 2
i
Случай 2. Цепи W\ и W% перекрываются по подцепи, длина
которой больше или равна к (см. рис. 2.8.6). Тогда подцепь W2
определяется полностью по w\. Если / — длина неперекрывающейся
части W%, то К/< fc(p—1), и, таким образом, производящая
функция для неперекрывающейся части Wz равна 2 xi-
136
Объединяя эти два случая, получаем производящую функцию
j(x) для неперекрываемой части цепи W%. Она равна
J кх) — ?i
-1
D} A — а;)
В случае (г+ 1)-кластеров мы имеем г+1 последовательностей
W\, ..., Wr+i. Для всех l^Si^r последовательности Wt и Wi+\
попарно перекрываются, причем каждое такое перекрытие перечис-
перечисляется с помощью производящей функции f(x). Производящая
р блоков
....
щ
—
1
••
аг
i
&¦* i
i
i
1 л
«2
1"-
-г
v один способ выбора
р блоков
Рис. 2.8.6. Построение 2-кластера
функция для множества &Р, состоящего из всех выделенных подце-
подцепей W\, равна ц>(х). Таким образом, число (г + 1)-кластеров дли-
длины т равно [хт] ф(х) f (x).
Пусть С(х, у) — кластерная производящая функция, и пусть у
маркирует выделенные подцепи. Тогда
С (х, у) =2 2/г+1Ф (х) f (х) = уф (х) {1 - у](х)}-К
Из теоремы 2.8.6 следует, что
После стандартных преобразований отсюда получаем, что
где
F = A- х) A - пх)-(у - 1){хA-xft("-'>)-
-пх2A -
G = A - пх) {A - х) A - пх)-(у - 1) (хA - х
х)},
В 2.4.18 уже рассматривалась задача перечисления последова-
последовательностей по числу максимальных блоков. При этом мы исполь-
использовали последовательности Смирнова и опирались на лемму о ком-
137
позиции. При перечислении последовательностей по числу строго
возрастающих подцепей подход, опирающийся лишь на операцию
композиции уже не срабатывает (под строго возрастающей под-
подцепью мы понимаем последовательность j\, ..., jp, где i^j\<...
... < jp =S n). Однако с помощью развитых методов, связанных с
выделенными последовательностями, можно решать задачи пере-
перечисления как по отношению к этим подконфигурациям, так и по
отношению к блокам.
2.8.8. Последовательности и строго возрастающие подцепи. Най-
Найдем число с (k, i) последовательностей из /Сп, имеющих тип к
и содержащих ровно i строго возрастающих подцепей длины р,
где р — некоторое заданное число.
Обозначим через $$¦ множество всех строго возрастающих под-
подцепей длины р, лежащих в Жп< Так как р фиксировано, то з&
является редуцированным множеством выделенных подцепей. Лю-
Любой fc-кластер (щ, ]xi, Цз) на множестве S4- с последовательностью
Hi длпны т можно построить следующим образом.
Пусть |i.i — строго возрастающая последовательность из
длины не меньше, чем р. Пусть цз = A\, ..., 1к) — множество мест,
которые занимают в Ц\ первые элементы подцепей из зФ, и пусть
Zi+i — h = di (i = l, ..., А; —1). Тогда h — 1, (di, ..., dft-i) — произ-
произвольный элемент множества /Ср~\ и d\ + .. . + dh-i +p = \\K\\, где
Ifxil—длина последовательности \i\. В свою очередь, зти условия
гарантируют, что в последовательности Hi выделенные подцепи
перекрываются и в совокупности покрывают уц. Поэтому для любой
возрастающей последовательности ц\ длины т число способов вы-
выбора |д.з для построения fc-кластера на последовательности |i.i равно
[хт]хр(х + .. . + xp~l)h~1 и Ц2 однозначно определяется заданием
Ц\ и цз.
Пусть у маркирует выделенные подцепи. Так как число возра-
возрастающих последовательностей длины т на JCn равно
ТО
С (X, у - 1) = 2 2,Ут(У~ 1)й [*т\ X* (X - *Р)*-1 A - «)-»"« -
где Р(х) = (у-1)хЧ1-(у)()( Tf(Tf )
а ° обозначает теневую композицию (см. список обозначений). Тог-
Тогда из теоремы 2.8.6 получаем
С (k, i) = [Xty] {I _(*!+...+ Хп) - F о V}-1.
В заключение рассмотрим метод нахождения кластерной про-
производящей функции для произвольного редуцированного множества
$4> = {А\, ..., Ар) выделенных последовательностей. В этом общем
случае мы не можем пользоваться какими-либо свойствами множе-
множества зФ, как это делалось в 2.8.7 и 2.8.8. Вместо того тщательно
138
учтем информацию о попарных перекрытиях элементов множе-
множества si>.
2.8.9. Определение (соединительная матрица). Пусть st>^
= Mi, ..., Ар} — редуцированное множество. Рассмотрим матрицу
V = [i>«]pxj>, где Vij = 2 хТ(а\ а сумма берется по всем непустым
а
цепям а таким, что At = сф и А} = $"{ для некоторых непустых це-
цепей р и ¦[, Матрица V называется соединительной матрицей мно-
множества st>.
Например, пусть 4i = 1213, Л2 = 13121 и Л3 = 333. Тогда соеди-
соединительная матрица для множества Mi, A2, Аз) будет иметь вид
Следующая лемма дает выражение для кластерной производя-
производящей функции через соответствующую соединительную матрицу.
2.8.10. Лемма (кластерная производящая функция для произ-
произвольного множества). Кластерная производящая функция для ре-
редуцированного множества M = {Ai, ..., Ар) с соединительной мат-
матрицей V равна
С(х, y) = tr(I-YV)-1YLJ,
(y,y), W, ...,xT(^)), a J=[P
Доказательство. Пусть /i(x, у) — кластерная производя-
производящая функция для кластеров, у которых последовательность начи-
начинается подцепью Ai. Получим множество кластеров, перечисляемых
функцией /j, из множества кластеров, перечисляемых функцией fjf
поместив впереди последних цепь А^ допуская при этом все воз-
возможные перекрытия с цепью А$. Соответствующая производящая
функция равна ytVafj. При этом остается неучтенной последова-
последовательность, равная самой цепи А^ соответствующая производящая
функция равна i/jXT(Ai). Такпм образом,
С(х, у)-/, + ... + /„
где
U = 1/гХт(а*) + 2 y^, i = 1, ..., p.
Полученную систему линейных уравнений относительно /i, ...
..., /р можно переписать в виде
р = LyT + YVF,
где f = (/1, ..., /р), a y = (yi, ..., уР). Отсюда следует, что
F = (I-YV)-1LyT,
и, таким образом, С(х, y) = tr(I- YV)-'LYJ. D
139
Приведем пример использования полученной леммы для пере-
перечисления @,1)-последовательностей, в которых не встречаются не-
некоторые выделенные подцепи. Методами из § 2.4 сделать это было
бы довольно трудно.
2.8.11. Пример. Пусть с(п) — число @,1)-последовательностей
длины га, в которых не встречаются подцепи вида Ai — 10101101
и Л2= 1110101.
По определению 2.8.9 соединительная матрица (учитывая лишь
длины последовательностей) равна в этом случае
V= " *
Х1
6 *
X J
Г хв 0 1
При этом L = , . Из леммы 2.8.10 и теоремы 2.8.6, полагая
I 0 х7 j
у = 0, получаем
с(га) = [хп] A - 2х + tr(I + VJ
= [хп] A - 2х + х7 A + х - х3) A + х5 + х6 + х1 - хэ) -1}.
Отсюда обычным методом можно найти линейное рекуррентное
уравнение для с (га).
Примечания и ссылки
Этот параграф основывается на работе Goulden, Jackson A979).
B.8.6) Kim, Putcha, Roush A977), Zeilberger A981); B.8.8) Jack-
Jackson, Aleliunas A977).
[2.8.8] Guibas, Odlyzko A981a, 1981b).
ЗАДАЧИ
2.8.1. Показать, что число @, ^-последовательностей длины п,
в которых не встречается подцепь 0100100, равно [хп]A +х3 + х6)Х
ХA2 *24 + 67I
)
2.8.2. Показать, что число последовательностей длины I над JTn,
в которых не встречается подцепь 22122, равно
2.8.3. Показать, что число /с-подмножества Jfn с т соседствами
(k — i\(n — k + i\
(см. 2.3.13) равно , I, что согласуется с результатом
\ т ; \ к — т /
из 2.3.15.
2.8.4. Показать, что число @, ^-последовательностей длины I,
в которых не встречаются подцепи 11101011 и 101111, равно
+ хъ + х6 - Xs- х9 - х10) A - 2х + х5 - 2х7 + х9 + хи)-\
2.8.5. Показать, что число последовательностей из JPn, имею-
имеющих тип i, с wij блоками (см. 2.4.1), равными /* (где /= 1, ..., п),
140
равно
{l - 2 (X} A - ZM) + (y; -l)x))(i- У& + (y} - 1) zj)-1}
2.8.6. (а) Получить результат задачи [2.4.14] с помощью выде-
выделенных подцепей.
(б) Получить результат задачи [2.4.15] с помощью выделенных
подцепей.
2.8.7. Получить результат задачи [2.4.17(а)] с помощью выде-
выделенных подцепей.
2.8.8. Доказать, что число последовательностей над Jfn, имею-
имеющих длину I и не содержащих подцепей из редуцированного мно-
множества М- = Mi, ..., Ар), равно
где [xW)ij = 2^' (?, / = 1) • • •» р), & сумма берется по всем
р
непустым цепям р таким, что А{ = а$, Aj = $y для некоторых a,7S
e./fn. Матрица %{х) называется корреляционной матрицей.
2.8.9. Доказать, что число циклических перестановок (см. 3.3.4)
на Jfn, имеющих «5^-тип т, равно
[увх*1 (log {1 - {хг + ... + хг.) - С (х, у - I)} +
где выделенные подцепи могут циклически перекрываться сами с
собой.
§ 2.9. Корневые плоские карты и квадратичный метод
В этом параграфе рассматривается перечисление комбинатор-
комбинаторных конфигураций, называемых корневыми плоскими картами. При-
этом, в отличие от случая плоских деревьев с висячим корнем,
к возникающим здесь функциональным уравнениям нельзя, вооб-
вообще говоря, применить теорему Лагранжа непосредственно. Эти
уравнения, как правило, зависят от двух переменных, содержат
две неизвестные функции и в большинстве случаев являются квад-
квадратными относительно этих функций. Однако для нахождения ре-
решения таких уравнений можно воспользоваться подходом, который
называется квадратичным методом. Этот метод заключается в вы-
выводе системы из двух уравнений, к которым можно уже непосред-
непосредственно применять теорему Лагранжа; он аналогичен методу раз-
разделения переменных в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений.
2.9.1. Квадратичный метод. Мы хотим найти формальные сте-
степенные ряды f(x, у) и h(y), которые удовлетворяют уравнению
141
где gi = gt(x, y)^Gi(x, у, h(y)), a G((x, y, z) {i = 1, 2, 3) явля-
является известной функцией от трех переменных х, у, г. Положим
D(x, y) = (gif-*r g2J = gz и пусть а = а(у)— такой степенной ряд,
для которого D(x, y)l*=o = 0 (разумеется, при этом необходимо
проверить, что данная подстановка является допустимой). Тогда
(gif + g2)\x-a = Q и, следовательно, (d/dx)D(x, y)\x=a = 0. Тем са-
самым приходим к системе из двух уравнений, включающих
а, у и h(y):
i = 0, A)
= 0. B)
дх
1. Находим h(y). Мы можем попытаться исключить а из
системы уравнений. Однако в конкретных случаях, возникающих
при перечислении плоских карт, это не всегда удается сделать.
Вместо того исключим h и получим некоторое уравнение, вклю-
включающее а и у. Оно, как правило, дает возможность выразить у
через а п тогда h(y) определяется с помощью теоремы Лагранжа.
2. Находим f(x, у). В большинстве конкретных задач нас
будет интересовать h(y), и тогда f(x, у) находить не нужно. Если
же такая необходимость появляется, то f(x, у) можно определить
из уравнения
U2
в котором выбор знака + или — зависит от начальных условий.
И здесь часто оказывается удобным выражать искомые функции
через ж и а, а затем находить f(x, у) с помощью теоремы Лаг-
Лагранжа.
В комбинаторных приложениях h(y) обычно определяется че-
через /(ж, у). Так в примерах, рассматриваемых в этом параграфе,
h(y)=[x2]f(x, у) илий(г/)=/A, у).
Дадим теперь определение плоской карты.
2.9.2. Определение (плоская карта). Плоской картой М назы-
называется вложенный в плоскость связный непустой граф G (допуска-
(допускаются петли и кратные ребра).
Плоская карта М разбивает плоскость на некоторое число изо-
изолированных связных областей, называемых гранями. Одна грань,
называемая внешней, является неограниченной и содержит беско-
бесконечно удаленные точки (если граф G является деревом, то в М
нет никаких других граней). Все остальные грани называются
внутренними гранями. Вершины и ребра графа G называются вер-
вершинами и ребрами карты М. Пример плоской карты приводится
на рис. 2.9.1.
Степенью вершины в М называется число ребер, инцидентных
данной вершине, при этом петли считаются дважды. Степенью гра-
грани в М называется число ребер, инцидентных данной грани. Если
граф G состоит из одной вершины без ребер, то в этом случае
142
Рис. 2.9.1. Плоская карта
степень внешней грани полагается равной нулю, а карта М на-
называется точечной картой. Перешейком*) называется ребро, при
удалении которого граф G перестанет быть связным. При опре-
определении степени грани такое ребро считается дважды для всех
граней, которым оно инцидентно. Если карту М можно предста-
представить в виде объединения двух карт, каждая из которых содержит
хотя бы одно ребро п которые имеют
лишь одну общую вершину, то эта
вершина называется точкой сочле-
сочленения карты М.
Так, например, для карты, изо-
изображенной на рис. 2.9.1, степень
вершины vs равна 4, вершины Vi —
также 4, а степень внешней грани
равна 10. Перешейками являются
ребра е4, е-а п е&. Вершпны v\, из, vs
и v-i являются точками сочленения.
Так как плоскость является ориентируемой поверхностью, то
для каждой вершины существует определяемая естественным об-
образом циклическая последовательность инцидентных ей ребер, по-
получаемая при обходе вокруг этой вершины в заданном направле-
направлении. Аналогично, с каждой гранью можно связать циклическую
последовательность ребер. Она получается путем обхода по пери-
периметру грани, совершаемому в заданном направлении. Например,
если ка карте, изображенной на рис. 2.9.1, обойти вокруг вершины
г;5 по направлению против часовой стрелки, начиная с ребра е^
то получим последовательность е^е\еье%. Если грань, инцидентную
вершинам v$, v&, vi, v&, обойдем по периметру по направлению
против часовой стрелки начиная с ребра е\, то получим последова-
последовательность е\, в4, б4, е%, ег.
Иногда будет удобно пользоваться следующим результатом (до-
(доказательство которого составляет содержание задачи [2.9.1]).
2.9.3. Предложение (формула Эйлера для многогранников).
Пусть п\, «2 и «з — число соответственно вершин, ребер и граней
в некоторой плоской карте М. Тогда
1. щ — «2 + «з = 2;
2. S deg(и) = 2 deg(f) = 2и2, где deg(и)— степень вершины
и 1
и, deg (/) — степень грани f, первая сумма берется по всем вер-
вершинам, а вторая — по всем граням карты М.
Например, для плоской карты, изображенной на рис. 2.9.1,
ni=8, «2 = 11, из = 5, что согласуется с формулой 2.9.3 A). Сум-
Сумма степеней вершин зтой карты равна 4+2 + 4+1 + 4 + 2 + 4 +
+ 1 = 22 = 2и2, это согласуется с формулой 2.9.3 B).
Далее в этом параграфе будут рассматриваться лишь корневые
плоские карты.
*) В отечественной литературе употребляется также термин «мост».
(Примеч. ред.)
143
2.9.4. Определение (корневая плоская карта, корневое ребро,
корневая грань, корневая вершина). Корневой плоское картой на-
называется плоская карта, в которой выделено одно ребро внешней
грани и ему приписано направление «против часовой стрелки».
Внешняя грань называется корневой гранью, выделенное ребро —
корневым ребром, а начальная вершина корневого ребра — корне-
корневой вершиной, или просто корнем.
Рассмотрим М\, Мч, Ms — корневые плоские карты, получаю-
получающиеся из плоской карты, изображенной на рис. 2.9.1, если в ка-
качестве корневого ребра выбрать соответственно ребра vtvz, v$v$ и
VoVt. Тогда М\ и Жз — различные корневые плоские карты, а М\
п М% как корневые плоские карты неразличимы.
Корневую карту, состоящую из единственного направленного
ребра будем обозначать б, а карту, состоящую из единственной
ориентированной петли — I. Точечную карту v можно рассматри-
рассматривать как корневую плоскую карту без корневого ребра, а лишь
с корневой вершиной. Плоская карта, не содержащая точек сочле-
сочленения, называется неразделимой плоской картой, или двусвязной
плоской картой. Так б, I и v являются неразделимыми корневыми
плоскими картами, причем I является единственной неразделимой
плоской картой, содержащей петлю. Плоская карта, не содержа-
содержащая перешейков, называется реберно-двусвязной плоской картой.
Например, I и v являются реберно-двусвязными корневыми пло-
плоскими картами, а б таковой не является.
Далее в этом параграфе будем рассматривать перечисление как
самого множества корневых плоских карт, так и различных его
подмножеств, а именно: подмножества неразделимых, подмноже-
подмножества реберно-двусвязных корневых плоских карт, а также множе-
множества корневых почти-триангуляний. Объекты для перечисления
располагаются в порядке возрастания сложности представления
соответствующего множества.
Сначала перечислим множество W корневых ночти-триангуля-
ций. Элементами множества W являются неразделимые корневые
плоские карты, в которых каждая некорневая грань имеет сте-
степень 3. Условимся в дальнейшем считать, что б является един-
единственным элементом множества 0~, не содержащим некорневых
граней. Будем рассматривать преобразование корневой почти-три-
ангуляции, заключающееся в удалении корневого ребра и выборе
затем в оставшейся плоской карте некоторого ребра в качестве кор-
корневого. Таким путем получим следующее представление для мно-
множества W.
2.9.5. Представление (корневая почти-триангуляция, корневое
ребро). Пусть 9* — множество корневых почти-триангуляций с кор-
корневой гранью степени 2. Тогда
9~=»{Ь) и {6} ХГи {6} X {Т-9>).
144
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент Т из
множества 0~ — (б). Пусть г — его корневое ребро и пусть щ и
U2 — соответственно начальная и конечная вершина г. Ребро г при-
принадлежит некоторой некорневой грани степени 3. Пусть щ — вер-
вершина этой грани, не инцидентная г. Тогда возможен один из двух
следующих случаев.
Случай 1. Если иг принадлежит корневой грани карты Т
(см. рис. 2.9.2, а), то после удаления ребра г вершина из становится
точкой сочленения, а карту Т — г можно представить в виде упо-
упорядоченной пары корневых почти-триангуляций Т\ и Т2, имеющих
a S
Fiic. 2.9.2. Представление корневой почти-триангуляции с помощью корневого
ребра
одну общую вершину щ. Корневыми ребрами в картах Т\ и Т%
считаем ребра щи% и и.3112 соответственно.
Случай 2. Если вершина щ не принадлежит корневой грани
карты Т (см. рис. 2.9.2,6), то после удаления ребра г мы полу-
получаем корневую почти-триангуляцию Т\, корневым ребром которой
считаем ребро щщ. Степень корневой грани карты Т\ на единицу
больше степени корневой грани карты Г, а в этой последней петли
не допускаются*). Следовательно, степень корневой грани карты Т\
отлична от 2. Отметим, что построения, проведенные в случаях 1
и 2, являются обратимыми,— это завершает доказательство. П
Воспользуемся полученным представлением при выводе функ-
функционального уравнения для производящей функции корневых поч-
почти-триангуляций по отношению к числу граней и числу ребер
внешней грани. Решение этого функционального уравнения полу-
получается с помощью квадратичного метода.
*) Так как петля в неразделимой карте не может определять внутренней
грани степени 3. (Примеч. ред.)
Ю я. Гульден, Д. Джексон 145
2.9.6. Корневые почтп-триангуляции и внутренние грани. Пусть
Т(х, у)—обыкновенная производящая функция для множества 0~,
причем х маркирует ребра внешней грани, а у маркирует внутрен-
внутренние грани. Аналогично, пусть S(y)—производящая функция для
множества Р7, в которой у маркирует внутренние грани. Тогда из
представления 2.9.5 для корневых почти-триангуляций, получаем
Т(х, у) = х2 + х-*уТЦх, y)+x-ly(T(x, y)-x2S(y)),
так как при удалении корневого ребра мы увеличиваем на едини-
единицу число ребер во внешней грани и уменьшаем на единицу число
внутренних граней.
Для нахождения S(y) воспользуемся подходом, изложенным в
2.9.1 A). Чтобы применить квадратичный метод, дополним, во-
первых, полученное равенство до полного квадрата, содержащего Т:
ByT + y-xJ = 4y2x2S + (y-xJ-4yx3 = D(x,y). A)
Введем затем а = а(у), для которого D\x=a =(d/dx)D\x=a. — 0.
В результате получаем систему уравнений
4y2a2S + (y-aJ-4ya3 = 0, B)
8гДх5+2(а-г/)-12г/а2 = 0. C)
Заметим, что подстановка х = а(у) допустима ввиду того, что
для D переменная х является отделенной. Исключая S из урав-
уравнений B), C), приходим к соотношению
(г/-аJ-сс(а-г/)+2г/а3 = 0.
Отсюда получаем, что
г/ = аA-2а2). D)
Подставляя D) в B), находим, что
S =Dа4A - 2а2)-(аA - 2а2)- аJ)/4а4A - 2а2J,
или
?=A-За2)A-2а2)-2. E)
Таким образом, нам удалось выразить S(y) через степенной
ряд а (у), который, в свою очередь, удовлетворяет функциональному
уравнению
а=г/A-2а2)
(см. D)). Теперь применим теорему Лагранжа:
2% A -
2n-i Щи +1\ / Зд \ (
п \[п — 1/ U —2/J nlBn+l)l
145
Полученное число равно числу корневых почтп-триангуляций
с 2и внутренними гранями и корневой гранью степени 2. (Заме-
(Заметим, что корневых почти-триангуляций с нечетным числом внут-
внутренних граней не существует.)
Например, при п = 2 существует всего четыре корневых почти-
триангуляции с четырьмя внутренними гранями и корневой гранью
Рпс. 2.9.3. Ксрпевые почти-триангуляппи с четырьмя внутренними гранями
и корневой гранью степени 2
степени 2, что согласуется с полученным результатом. Этп четыре
почти-триангуляции изображены на рис. 2.9.3.
Найдем теперь Т(х, у), следуя п. B) квадратичного метода.
2.9.7. Корневые почтн-триангуляцнц, внутренние грани и сте-
степень внешней грани. Для того, чтобы получпть Т(х, у), заметим,
во-первых, что функцию D можно выразить через а и х, пользу-
пользуясь полученными в 2.9.6 формулами. Так, если D) п E) подста-
впть в A), мы получаем
D = 4z2a2(l - За2) + (аA - 2а2)- жJ - 4^A - 2a2) =
= A - 2a2) (х - аJИ - 2а2 - Аах).
Отсюда имеем D1/2 = A - 2a2) (аг-а)И - 4ажA - 2а2)-1}. Ре-
Решаем относительно Т исходное квадратичное функциональное урав-
пепие A), как это предусмотрено в 2.9.1 B):
Т =¦ х~у -+- ^- - ах + х~а И - П - АахA - 2а2ГV/2
2у ± ly "~i2a2 2a U (l 40CX^ Z0C > >
2у ± ly "~i_2a2 2a
При этом был выбран знак минус, так как в противном случае в
выражении для Т(х, у) присутствуют отрицательные степени у,
что недопустимо по комбинаторным соображениям. Таким обра-
образом,
Т(х v) - «* 4- *~а У «n+V1+1 BдI
'Р'Я l-2»i+ « nf0 (l-2a2)"-in! (» + !)!'
откуда
\хп] Г (г «\ - Bn~W »n~2 Bii-2)I ап ^,
J { ' Ю ~ (п - 2)! (и - 1)! (! _ 2a2)»-i (и - 1)! n! (i _ 2*г)п ' ^ *
что является степенным рядом по у. Однако из формулы D) пунк-
пункта 2.9.6 следует, что a = г/A — 2а2), и, следовательно,
Г_ni т, * = Bп - 4I у" _ Bд-2I
^ ' у> (я - 2)! (п-1)! A 22J"-3 (я - 1I п!
_
(я - 2)! (п-1)! A _ 2а2J"-3 (я - 1I п! Ц _ 2а2)«~ *
10* 147
Если в почти-триангуляции внешняя грань содержит п ребер,
то из предложения 2.9.3 следует, что эта почти-триангуляния долж-
должна содержать n + 2j (у > — 1) внутренних граней. Таким образом,
нам нужно найти
Гг" П+2Л Т . v _ Bп — 4)! Г 2J+21 /, _ О 2Г>-3)
1х у U {х,у)- (B_2I(B_1)!L» Ц1 *х) -
Bя — 2)! г ал ,, п »-гп
- (д-1)!д! УУ i(l-^«) •
Применяя теорему Лагранжа при а = г/A — 2а2) (см. 2.9.6),
имеем
1г/ J(l-2a) -2^U J 4АЛ. A — 2Л. ) - mI(fc + 2m)I
2т
Подставляя найденное значение в предыдущую формулу для
Т(х, у), получаем
1хпуп+^]Т(х,у) =
_ Bn-4)! Bre+3J-l)!Bre-3Jj+1 Bв-2I
(я —2)!(п —1)! (/ + 1)! Bя + 2/ — 1)! (п ~ 1)!ге!Х
N, Bи + 3/-1I /o-voj..
Х ЯBп + 2/)! ^И>^
Эта формула остается справедливой также при ) = 0, —1. Итак,
мы нашли число корневых почти-триангуляций с п + 2) внутрен-
внутренними гранями и внешней гранью, имеющей п ребер.
Заметим, что здесь нам не понадобилось специально определять
ряд h(y) (см. 2.9.1), так как он находится из формулы для Т(х, у)
при п = 2.
Рассмотрим теперь множество Ж всех корневых плоских карт.
В 2.9.8 приведем четыре представления, которые связывают Ж
с тремя другими множествами корневых плоских карт: 52, &\ и
S^- Множество 31 является подмножеством Ж, состоящим из кор-
корневых плоских карт, у которых корневое ребро не является пере-
перешейком. Заметим, что I принадлежит 5?, а б и v — нет. Множе-
Множество 3?\ образовано всеми такими картами из Я, у которых кор-
корневая грань имеет степень 1, а множество Si образовано всеми
такими картами из Я, у которых внутренняя грань, инцидентная
корневому ребру, имеет степень 1. Впоследствии для вычисления
производящей функции множества Ж нам потребуется исключить
производящие функции для множеств 5?, 9?\ и Si из системы
функциональных уравнений, вытекающих из соответствующих
представлений. Таким образом, множества 31, S\ и S^
играют вспомогательную роль и введены лишь потому, что
четыре представления, связывающие Ж, 31, S\ и S%, существенно
проще, чем одно рекурсивное представление, которое может быть
получено для Ж.
В одном из указанных ниже представлений удаляем из корне-
корневой плоской карты корневое ребро, а затем в полученной таким
148
образом карте выбираем корневое ребро некоторым специальным
способом — с помощью оператора сдвига корня Д.
Пусть Jlfe^-S'i, и пусть корневое ребро г карты Ж направ-
направлено от вершины щ к вершине иг и пусть иг — вершина, которая
следует сразу же за иг при обходе внешней грани против часовой
стрелки. Тогда, если к Ж добавить некоторое ребро г\ = щиъ, при-
принадлежащее внешней грани и направленное против часовой стрел-
стрелки, а ребро г — удалить, то в результате получим карту с корне-
корневым ребром г\. Обозначим ее А (Ж). На рис. 2.9.4 приведено два
А(м)
Л(М)
а 6
Рис. 2.9.4. Действие оператора сдвига корня Д
примера действия оператора А. Заметим, что Ж и А (Ж) имеют
одно и то же число ребер, а степень корневой грани карты А (Ж)
на единицу меньше степени корневой грани карты Ж.
2.9.8. Представление (корневая плоская карта; корневое ребро).
Имеют место следующие представления:
2. 91 —
3.
4.
&gi— J27.,: М— А(М).
Доказательство. 1. Рассмотрим произвольную карту Же
^Ж — iv). Если корневое ребро не является перешейком, то
Ж е 01. В противном случае рассмотрим корневое ребро г, идущее
из вершины щ в вершину и% Если ребро г удалить, то Ж распа-
распадается на упорядоченную пару корневых плоских карт Ж] и Жг
с корневыми вершинами щ и и% соответственно. В карте M% корне-
корневое ребро Г2 определяется как ребро, которое следует за ребром
u\u2 при обходе внешней грани карты Ж. В карте М\ корневое
ребро Г] определяется как ребро, которое следует за ребром u$i\ при
обходе внешней грани карты М. Указанное соответствие является
взаимно однозначным. Оно иллюстрируется на рис. 2.9.5, а.
2. Это представление следует непосредственно из способа оп-
определения оператора сдвига корня А (см. абзац перед 2.9.8).
149
3. Рассмотрим произвольную карту из множества 3?i. Если
корневой вершиной этой карты является вершина щ, а г\ — ребро,
следующее за корневым ребром г при обходе против часовой стрел-
стрелки вокруг щ, то карта, получающаяся в результате удаления реб-
ребра г и выбора в качестве корневого ребра п, есть некоторый эле-
элемент множества Jt. Ясно, что это построение обратимо (указанное
соответствие иллюстрируется на рис. 2.9.5, б). Если исходной кар-
картой является петля I, то таким способом мы приходим к точечной
карте г;.
4: Возьмем произвольную карту из множества S'z, удалим из
нее корневое ребро — петлю г. В получающейся при этом карте
Рис. 2.9.5. Представление корневых плоских карт с помощью корневых ребер
в качестве корневого ребра выберем ребро г\, которое следует сра-
сразу же за ребром г при обходе внешней грани против часовой
стрелки. В результате получается некоторый определяемый одно-
однозначно элемент множества Ж. Это соответствие также обратило
(оно иллюстрируется на рис. 2.9.5, в). Если исходной картой яв-
является петля I, то в результате этой процедуры мы приходим к
точечной карте v. П
Полученные представления используются для нахождения чис-
числа корневых плоских карт, содержащих данное чпсло ребер.
2.9.9. Корневые плоские карты. Пусть М(х, у), R(x, у), 1ц(х, у)
и Li(x, у)—производящие функции соответственно для множеств
JC, 52, &). и i?2, причем у маркирует ребра, а х маркирует лишь
те ребра, которые принадлежат внешней грани. Тогда, учитывая
способ построения представлений 2.9.8, имеем:
М(х, у)-1 =
R(x, y)-Li(x,
х, у),
y)-L2(x, у)}
A)
B)
Li(x, y)*=xyM(l, у), L2(x, y) = xyM(x, у).
150
Подставляя в B) выражения для L\ и L%, получаем
R(x, y) = ry(l-x)-4M(l, у)-хМ(х, у)).
Исключим R(z, у) из предыдущего уравнения и уравнения A):
A-х)Ш(х, у)-1}=х2уA-х)МЦх, y)+zy{M(i, y)-xM(x, у)).
Это — квадратное функциональное уравнение относительно М(х, у).
Чтобы найти h(y)^ M(i, у), применим квадратичный метод. Для
этого сначала преобразуем уравнение так, чтобы в левой части
получился полный квадрат:
{2х2уA -х)М(х, у)-1 + х- ж2у>2 =
~(l-z + xzyJ-<ix2y({-x)z-4:X3y2{i-x)h(y) = D{x, у). C)
Рассмотрим затем ряд а^ а(у), Для которого D\x=a•= (d/dx)D\x=a =
— 0. Эта подстановка допустима, так как переменная х является
отделенной для М(х, у). Последнее справедливо, так как в силу
предложения 2.9.3 B) число ребер во внешней грани не превос-
превосходит удвоенного числа ребер карты. Далее, нам будет удобно
перейти к эквивалентной системе уравнений
A - х)-'DU» = (д/дх) A - x)~lD\*=a = 0,
т. е. к следующей системе:
1 - а + 2а2у + «У A -а) -4а2уA - а)-4аУМу) = 0, D)
-1 - 4ау + 12агу + 4а3у2A -а) +«УA -а)- 12аУМу)= 0.
E)'
Заметим, что из C) вытекает равенство а@)=»1, откуда сле-
следует, что A —а) как степенной ряд не существует. Однако, диф-
дифференцируя C) по у и сравнивая затем коэффициенты в обеих
частях равенства, находим что а'@)= 1, поэтому A — <х)~1у на
самом деле существует, так что уравнения D) и E) имеют смысл.
Исключая h(y) из системы D), E), получаем
3-2а-2а2у-аУA-а)-г = 0. F)
Решая это квадратное относительно у уравнение, приходим к ра-
равенству
2 2
выбор соответствующего корня продиктован условиями а@) =
= а'@)= 1. Таким образом, у можно выразить через а:
у = -а-2A-а)C-2а). G)
Подставляя это выражение для у в D), получаем
й = аD-3а)C-2а)-2. (8)
Положим теперь р = 1 — а. Уравнения G) и (8). дают сле-
следующую систему функциональных уравнений:
151
Найдем h (у) с помощью теоремы Лагранжа. Для п 5= 1 получаем
i_
re
2 fin—И /* ci\//i qi\—»—з 2 Bre)!3
yn]h(y) = -[r^'JI^-fl — 4Ш1 — 3>i)~2} {A —
Таким образом, найдено число корневых плоских карт с п ребра-
ребрами, где п > 0.
Заметим, что к появившемуся в процессе решения задачи урав-
уравнению у = — а~2A — а) C — 2а) нельзя непосредственно применить
теорему Лагранжа. Чтобы это можно было сделать, потребовалось
перейти к новому параметру {J, с помощью которого уравнение
приобретает подходящий вид. Подобный переход осуществим раз-
различными способами, однако методом проб и ошибок можно убе-
убедиться, что в результате подстановки [3 = 1 — ос и применения тео-
теоремы Лагранжа получается наиболее быстрое решение.
Хотя и существует теоретическая возможность получить спо-
способом, указанным в п. 2 квадратичного метода, выражение также
для М(х, у), но на практике не удалось найти какой-либо удоб-
удобной формулы для [хпут]М(х, у) — числа корневых плоских карт
с т ребрами и внешней гранью, имеющей п ребер.
Обратимся теперь к перечислению множества *& всех реберно-
двусвязных корневых плоских карт. Пусть Ж — подмножество это-
этого множества, состоящее из таких карт, которые после удаления
корневого ребра по-прежнему остаются реберно-двусвязными.
В 2.9.10 получим представление множества % с помощью Ж. По-
Последнее множество играет вспомогательную роль — оно затем
устраняется с помощью представлений, получаемых из представле-
представлений 2.9.8 путем наложения соответствующих ограничений.
2.9.10. Представление (реберно-двусвязная корневая плоская
карта). Имеет место следующее представление'.
Доказательство. Рассмотрим произвольную карту М е
е <& — 36 — iv). Пусть карта, получающаяся в результате удаления
из М корневого ребра г, содержит к (к > 1) перешейков. Все эти
перешейки должны лежать на внешней грани карты М. Обозна-
Обозначим их Г], ..., гк в том порядке, в каком они встречаются при
обходе внешней грани против часовой стрелки, начиная с ребра г.
Пусть ребро п, направлено из вершины щ в вершину ы>4 (i=l, ...
..., к), а ребро г направлено из вершины щ+\ в вершину wq. Если
из М удалить все ребра г, п, ..., rh, то останется некоторый упо-
упорядоченный набор реберно-двусвязных карт Mi, ..., Mh+i. Пусть,
далее, Mt (?=1, ..., к + 1)—корневая карта, получаемая из М(
путем добавления корневого ребра, направленного из ut в w(~i и по-
помещенного на внутренней грани М, инцидентной ребру г. (Ясно,
что Mi определяется по Mi однозначно.) Если и( = м7(-1, то корне-
152
вое ребро карты М{ — петля. Это представление иллюстрируется
на рис. 2.9.6. Набор (Ми ..., Мк+\), очевидно, является элементом
множества <9#*+1, так как удаление корневого ребра в любой карте
М{ приводит к реберно-двусвязной карте М{. Описанное преобра-
преобразование является обратимым. Сумма степеней внешних граней карт
го
и
/г-1-1
Рис. 2.9.6. Представление реберно-двусвязной карты
М\, ..., Мк+\ равна степени внешней грани карты М. Так как в
качестве к может встретиться любое целое положительное число,
то утверждение доказано. П
Применим полученное выше представление к задаче нахожде-
нахождения числа реберно-двусвязных корневых плоских карт с данным
числом ребер.
2.9.11. Реберно-двусвязные корневые плоские карты. Пусть
С(х, у) и Н(х, у)—производящие функции соответственно для
множеств *& и Зв, причем у маркирует ребра в картах, а ж — ребра
во внешних гранях. Тогда, по представлению 2.9.10, имеем
С(х, у)-Н(х, y)-i = FP{x, y)il-H(x, у)}~\ A)
Рассмотрим три представления, получаемые из представлений 2.9.8
B—4) путем ограничения областей определения (т.е. 91 — 3?\, 9?\ и
3?г соответственно) на подмножества содержащихся в этих областях
реберно-двусвязных карт из 36. Областями значений полученных
представлений будут подмножества реберно-двусвязных карт соот-
соответственно в 31 — S?2, И) X *& и Ш X *&. Применяя -к этим пред-
представлениям леммы о сумме и произведении и выражая через
С{х, у) производящие функции для подмножеств реберно-двусвяз-
реберно-двусвязных карт в множествах S'i и 9?ъ получаем
Н(х, у)-хуСA, у) = хШ{х, у)-хуС(х, у)}. B)
Нам нужно найти 6(г/)=СA, у). Выражая Н(х, у) через С(х, у)
по A) и подставляя это выражение в B), находим
(l-x)C(x, у)-хуС(х, у){Ъ{у)-хС{х, y)} = i-x. C)
Чтобы применить квадратичный метод, преобразуем C) к виду:
-x) = D(x, у), D)
153
где $ge$(x, у) = 1 — х — xyb(y). Если теперь произвести допусти-
допустимую подстановку ж = а(у) такую, что D\x=a:=(d/dx)D\ie~a = 0, то
приходим к следующим двум уравнениям:
а) = О, E)
Заменяя в F) а(—1 — yb(y)) на ^(а, у)—1 и исключая Р2(а, у)
из уравнений E), F), находим
P(a,y)~-2afy G)
Подстановка G) в E) дает
y~a-«(a-l). (8)
Учитывая, далее, что р(а, у)= 1 — а — ayb(y), и пользуясь равен-
равенствами G) и (8), получаем
уЪ(у)=а-Н1-а)(а-2). (9)
Положим а— 1 = ?, тогда (8) и (9) приводят к системе функцио-
функциональных уравнений
По теореме Лагранжа при и > 0 получаем
[уп] С A, ж) = [/] 6 (у) = [yn+1] yb {у) =
т {4
2Dп
Таким образом, найдено число реберно-двусвязных корневых пло-
плоских карт с и ребрами при п> 0.
В заключение рассмотрим задачу перечисления множества ZP
всех корневых неразделимых карт. Введем косвенное представле-
представление для ZP, имеющее вид композиции, в которой участвует множе-
множество JC всех корневых плоских карт. Это представление дает при-
пример того, что мы называем изменением связности. Другие подобные
примеры встретятся в упражнениях к этому параграфу.
2.9.12. Представление (неразделимая корневая плоская карта).
Имеет место представление
При этом s-объектами мы считаем ребра {вес карты — число ее
ребер).
Доказательство. Рассмотрим произвольную карту Мs
^Ф — {v}. Укажем для каждого элемента множества M — Kv) спо-
способ его получения из некоторой карты M^ZP— iv). С этой целью
преобразуем М следующим образом. Возьмем какую-либо грань /
154
этой карты. Совершим обход этой грани в направлении против
часовой стрелки, начиная с произвольно взятой ее вершины v\.
В результате получается некоторая последовательность, образован-
образованная попеременно вершинами и ребрами, инцидентными этой грани:
v\, в\, i>2, ег, ..., vk, ек (к>1). Затем для каждого i = 1, ..., к
«вставим» в / произвольную корневую плоскую карту Mi^JC,
отождествляя корневую вершину Л/< с вершиной v,. Если такую
процедуру выполнить для всех граней карты М, то мы получим
некоторую карту M'^JC — iv), при этом условимся в качестве
еъ/ Vz —-*
*>4\ At I W V
мг м3
м м
Рпс. 2.9.7. Построение корневых плоских карт из неразделимых корневых
плоских карт
корневого ребра М' брать корневое ребро исходной карты М. На
рпс. 2.9.7 показано, как преобразуется одна грань карты М.
Обратим внимание на то, что в приведенном примере Mz = v,
таким образом, к вершине V2 не «присоединяется» никакой карты,
так как в этом случае построение заключается просто в отожде-
отождествлении точечной карты v с вершиной vz. Далее, с каждым реб-
ребром карты М обязательно связываются два элемента множества М,
так как ребро либо инцидентно двум граням, либо является пере-
перешейком, и тогда учитывается дважды. Заметим, что число ребер
в М' равно сумме общего числа ребер в исходной карте М и во
всех «присоединенных» к М картах.
Таким образом, указанное представление аддитивно сохраняет
вес (число ребер). Граф, определяющий карту М, является тем
единственным максимальным неразделимым подграфом графа, оп-
определяющего М', который содержит корневое ребро этой карты.
Тем самым М восстанавливается однозначно по М', т. е. указан-
указанное построение обратимо. О
Используем теперь полученное выше представление для пере-
перечисления неразделимых корневых плоских карт. Так как представ-
представление включает в себя множество JC всех корневых плоских карт,
искомое перечисление возможно лишь благодаря тому, что произ-
производящая функция М(\, у) для множества М по числу ребер была
уже получена в 2.9.9.
2.9.13. Неразделимые корневые плоские карты. Пусть h(y) и
Р(и) обозначают производящие функции соответственно для мно-
множества JC всех корневых плоских карт и множества !Р всех не-
155
разделимых корневых плоских карт. Здесь у маркирует ребра в
картах. Мы хотим найти Р{у). По представлению 2.9.12 и лемме
о композиции для обыкновенных производящих функций имеем:
h(y) = P(yh*(y)). A)
Однако из 2.9.9 следует, что h(y) удовлетворяет следующей си-
системе уравнений:
1
называемых параметрическими уравнениями для h и у.
Для того чтобы найти степенной ряд Р(у), осуществим замену
переменных, положив х = yh2(y), и исключим h и у из B) и A).
Тогда система параметрических уравнений для Р и х принимает
вид:
s = a(l-4aJ(l-3a)-8,
Положим 0 = a(l-3a), тогда A - За) = 1 + 30 и
A - 4а) A - За) = 1 - 0. Из C) получаем:
0 = .гA-0)-2,
(А)
Р =A-0) A + 30). {}
Применяя теорему Лагранжа к этим уравнениям, получаем
U"]P(*)== ± [Г
= lU-4 B
Это число равняется числу неразделимых корневых плоских карт
с п ребрами для п > 1.
Существует всего 6 неразделимых корневых плоских карт с че-
четырьмя ребрами, что согласуется с полученным нами результа-
результатом при п = 4. Эти шесть карт приведены на рис. 2.9.8.
А А
Рис. 2.9.8. Неразделимые корневые плоские карты с четырьмя ребрами
Следует заметить, что в ходе решения предыдущей задачи тео-
теорему Лагранжа можно было применить уже к системе уравнений
C). Однако тогда решение свелось бы к биномиальной свертке:
этого удалось избежать путем введения параметра & = аA — За)
и перехода к системе уравнений D). Прием замены переменных
и введения параметров будет неоднократно использоваться в за-
задачах к этому параграфу.
156
Четыре разобранные в настоящем параграфе задачи демонстри-
демонстрируют типичные представления, встречающиеся при изучении кор-
корневых плоских карт. Каждый раз теорема Лагранжа использова-
использовалась нестандартно, в частности, в трех случаях был применен
квадратичный метод. В результате довольно кропотливых преоб-
преобразований получали в конечном счете систему из двух уравнений,
дающую решение в неявном виде, причем такую, которая допуска-
допускала использование теоремы Лагранжа. Действенность квадратичного
метода, применяемого к исходному уравнению, весьма существенно
зависит от возможности найти преобразования, позволяющие по-
получить подобную систему уравнений. В рассмотренных задачах нас
приводили к успеху преобразования весьма специфические, свои
для каждого частного случая, и потому полученные решения мо-
могут служить лишь иллюстрацией способов нахождения производя-
производящих функций, удовлетворяющих функциональным уравнениям из
2.9.1.
Примечания и ссылки.
Связь с хроматической теорией и проблемой четырех красок об-
обсуждается в работе Tutte A973b); задачи перечисления на поверх-
поверхностях более высокого рода — см. Walsh, Lehman A972a, 1972b,
1975) • перечисление некорневых плоских карт — см. Wormald
A981а,Ь).
B.9.1) Tutte A973a); B.9.3) Biggs, Lloyd, Wilson A976);
B.9.6, 7) Mullin A964b); B.9.9) Tutte A963); B.9.11) Wormald
(частное сообщение); B.9.13) Tutte A963);
[2.9.2] Tutte A962); [2.9.3] Brown A964); [2.9.4] Mullin A965);
[2.9.5] Tutte A962); [2.9.6] Wormald (частное сообщение); [2.9.7]
Brown A963); [2.9.8] Brown, Tutte A964); [2.9.9] Tutte A963).
ЗАДАЧИ
2.9.1. Доказать предложение 2.9.3:
2.9.2. (а) Плоской триангуляцией называется корневая почти-
триангуляция, в которой внешняя грань имеет степень 3. Пусть
S (у)—введенная в 2.9.6 производящая функция для корневых
почти-триангуляций с внешней гранью степени 2, где у марки-
маркирует внутренние грани. Показать, что S(y)~ 1 является произво-
производящей функцией для плоских триангуляции; здесь у маркирует
все грани.
(б) Строгой триангуляцией называется плоская триангуляция,
не имеющая кратных ребер. Пусть Г (у)—производящая функция
для строгих триангуляции по отношению к числу граней. Показать,
что S(y)— I = T(yS3/2(y)).
(в) Используя параметрические уравнения для S(у), получен-
полученные в 2.9.6, показать, что
2Dп —3I .an
157
тA)- л „Т<3,Г-1)Г
(г) Простой триангуляцией называется строгая триангуляция,
не содержащая разделяющих треугольников. Разделяющим тре-
треугольником называется треугольник, содержащий хотя бы по одной
вершине как в своей внутренней, так и во внешней области (та-
(таким треугольником является, например, треугольник У^г^з на
рис. 2.9.1). Показать, что число простых триангуляции с In (n^2)
гранями равно
1 "V /¦ <\n-i 12п "Г i — 1\ /2" — 2Л
»а() 1 * Д 2 У
2.9.3. (а} Строгой почти-триангуляцией называется корневая
почти-триангуляция, не содержащая кратных ребер. Пусть В (ж, у)—
производящая функция для строгих почти-триангуляций, в кото-
которой х маркирует ребра внешней грани, а у маркирует внутренние
грани. Показать, что Т(х, у) = В(xSu2(у), ySv2(y)), где Т(х, у) —
производящая функция для корневых почти-триангуляцпй по отно-
отношению к ребрам внешней гранп п внутренним граням, a S (у) —
производящая функция для корневых почти-триангуляций с внеш-
внешней гранью степени 2 по отношению к внутренним граням (опре-
(определены в 2.9.7 и 2.9.6).
(б) Используя результаты п. 2.9.7, показать, что число строгих
почти-триангуляций с п ребрами во внешней грани и п + 2/ внут-
внутренними гранями равно
2B»-3IB1+ 4/-1I
(„_1)!(й_3)!(У + 1)!Bге + 3/)!' ПрИ
Bге-4)! при / = -1, П>2.
(п — 1)!(п-2)!'
2.9.4. (а) Простой почти-триангуляцией называется строгая поч-
почти-триангуляция, не содержащая разделяющих треугольников (см.
[2.9.2]). Пусть U(x, у) — производящая функция для простых поч-
почти-триангуляцпп, в которой х маркирует ребра внешней грани, а у
маркирует внутренние грани. Показать, что В(х, у)—хъу —
= *7(ж, y-1T(y))-xiy-lT(y),-vjifi B(x, у) и Г (у)—определенные
соответственно в [2.9.3 (а)] и [2.9.2 (б)] производящие функции для
строгих почти-триангуляций по отношению к ребрам внешней гра-
грани и внутренним граням, и, соответственно, для строгих триангу-
триангуляции по отношению ко всем граням.
(б) Используя результаты [2.9.3 (б)], показать, что число про-
простых почти-триангуляций с п ребрами во внешней грани и п + 2/
внутренними гранями равно
-1I ,
О + 1I (и — 1I (и — 4I (п + 2Я1 '
2.9.5. (а) 2-разделителем плоской карты М называется такая
пара {и, v} различных вершин, что М можно представить как объ-
объединение двух плоских карт, пересечение которых совпадает с
{и, v). Сильной почти-триаитуляцией называется строгая почти-три-
почти-триангуляция, не содержащая 2-разделителей. Карта, состоящая из
158
единственного ребра б, не является сильной почти-триангуляцией.
Пусть А (х, у)—производящая функция для сильных почти-триан-
гуляций, причем х маркирует ребра внешней грани, а у маркирует
внутренние грани. Найти представление, приводящее к уравнению
B(z, w)-z2 = z2B-l(z, w)A(z~xB{z, w),w),
где B(z, w)—производящая функция для строгих почти-триангу-
ляций, введенная в [2.9.3 (б)].
(б) Из п. (а) и результатов о строгих почтп-триангуляций по-
получить что число сильных почти-триангуляцпй с и ребрами во
внешней грани и п + 2/ внутренними гранями равно
2 (-!)"-«(и + t-4ID/+ 2в + <-3I ., . -
i>i{i ~~ 1)! i[(n~i~ 1)! (/+ 1)! C/ + 2я + i - 2)! * ^' *' lh
где
f(n, i, j)-=(n-i
(в) Найти представление, которое непосредственно приводит к
функциональному уравнению (х2 — А(х, у))(А(х, у) — х3у +
+ хгТ(у)) — хуА(х, у), где Г (у)—производящая функция для
строгих триангуляции по отношению к числу всех граней, полу-
полученная в [2.9.2 (в)].
2.9.6. (а) Пусть Ъ (у) и Р (у) — производящие функции соответ-
соответственно для реберно-двусвязных и неразделимых корневых плоских
карт. Здесь у маркирует ребра. Показать, что b(y) — P(ybz(y)).
(б) Пользуясь параметрическими уравнениями для реберно-дву-
реберно-двусвязных карт, полученными в 2.9.11, найти число неразделимых
корневых плоских карт с п ребрами (сравнить с 2.9.13).
2.9.7. Пусть Р(х, у)—обыкновенная производящая функция для
Есех неразделимых корневых плоских карт, где у маркирует все
ребра, а х маркирует лишь ребра, инцидентные внешней грани.
Пусть Q (х, у) — производящая функция для таких неразделимых
корневых плоских карт, которые после удаления корневого ребра
остаются неразделимыми. Найти представления, аналогичные 2.9.8
и 2.9.10, и с их помощью показать, что
(a) Q(x,y)-xy-x*y(P(l,y)-l-y) =
= x{Q(x, у)-ху-у(Р(х, у)-1 -ху)).
(в) Получить квадратное уравнение для Р{х, у) и, применив
п. 1 квадратичного метода, найти число неразделимых корневых
плоских карт с п ребрами (сравнить с 2.9.13).
(г) Используя п. 2 квадратичного метода, показать, что число
неразделимых корневых плоских карт с m ребрами и внешней
гранью, инцидентной п ребрам, равно
min(m,2n)
п. чу B/ — га) (Зга — 2/ — 1) (/ — 2)! (Зт — п — / — 1)! ^ ^ „
\lm—п)\ *ш (] — п —(— 1I (/ ¦—геIBге — ])\(тп — /I ^
159
2.9.8. (а) Пусть yzP(x, у, z) — обыкновенная производящая
функция для неразделимых корневых плоских карт, где х марки-
маркирует грани, у — ребра, а % — вершины. Пользуясь представления-
представлениями, аналогичными 2.9.8 и 2.9.10 (которые использовались в
[2.9.7 (а), (б)]), показать, что
(Р(х, у, z)-x*z-l){P{x, y,z)-xP(l, у, z))=*xy{l-x).
(б) Применяя квадратичный метод, показать, что число нераз-
неразделимых корневых плоских карт с п + 1 гранями и т + 1 верши-
вершинами равно
Bи + т - 2I Bт + п - 2)!
1I
'
2-9.9. (а) Пусть Р(г/)—производящая функция для нераздели-
неразделимых корневых плоских карт по числу ребер, a Q{y)—производя-
Q{y)—производящая функция для таких неразделимых корневых плоских карт,
которые после удаления корневого ребра остаются неразделимыми.
Пользуясь результатом [2.9.7 (б)], показать, что
Q(y)=2y-y2(P(y)-y-l)-1.
(б) Рассмотрим совокупность всех неразделимых корневых пло-
плоских карт, обладающих следующим свойством: после удаления кор-
корневого ребра они становятся картами, у которых пара вершин, ин-
инцидентных удаленному корневому ребру, не является 2-разделите-
лем (см. [2.9.5]). Карта б включается в это множество, а карты I
и v — нет. Пусть D(у)— производящая функция (по числу ребер)
для таких карт. Показать, что D(y)= Q(y).
(в) Трехсвязной корневой плоской картой называется неразде-
неразделимая корневая плоская карта, которая не содержит 2-разделите-
лей. Пусть Е(у) — производящая функция (по числу ребер) для
трехсвязных корневых плоских карт, содержащих более трех ре-
ребер. Такие карты называются корневыми с-сетями. Показать, что
2-y-2(l +
(y) (y)y
(г) Используя параметрическое уравнение для Р(у), получен-
полученное в 2.9.13, вывести из результата п. (в) следующую формулу
для числа корневых с-сетей с п ребрами:
^* О'+ 4IB»-/-6I
-1)
ГЛАВА 3
КОМБИНАТОРИКА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ
ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
§ 3.1. Введение
Результаты гл. 2 можно расширить, введя еще один класс ком-
комбинаторных конфигураций, которые будем называть s-мечеными
(или просто мечеными) конфигурациями. Их можно себе предста-
представить как конфигурации в смысле гл. 2, но теперь каждому из п
s-объектов конфигурации в качестве метки сопоставлено целое число
из Jfn, причем все метки различны. Например, меченой конфигура-
конфигурацией является помеченный граф, если его вершины рассматривать
как меченые объекты. Любую матрицу также можно считать ме-
меченой конфигурацией с метками двух различных типов — индек-
индексами строк и столбцов.
Чтобы изучать меченые конфигурации, введем для заданного
множества 9? различных s-меченых конфигураций понятие экспо-
экспоненциальной производящей функции. Она определяется как
где cos (о) — число s-объектов в конфигурации о — называется ме-
меченым весом о. В этой главе будет показана роль таких степенных
рядов в комбинаторике.
3.1.1. Элементарные перечислительные леммы. Основные пере-
перечислительные леммы для экспоненциальных производящих функций
приводятся в § 3.2. Если &" и $ — множества s-меченых конфи-
конфигураций с экспоненциальными производящими функциями / и g
соответственно, то эти леммы показывают, что экспоненциальными
производящими функциями для
1) &" и 9 (объединение непересекающихся множеств);
2) <?~*& («-произведение);
3) З^ЩЗ («-композиция);
' ~1Г (*~пР°изв°Дн°е множество) являются, соответственно,
/ + ?м Ы, f"S (композиция) и /' (производная). Эти леммы служат
промежуточным звеном между комбинаторикой множеств меченых
конфигураций и алгеброй экспоненциальных производящих функ-
11 Я. Гульден, Д. Джексон 161
ций. Эта комбинаторика выражается в терминах представлений,
использующих упомянутые четыре операции, причем требуется,
чтобы рассматриваемые представления были аддитивно сохраняю-
сохраняющими меченый вес. Такие представления можно подразделить на
прямые, косвенные и рекурсивные.
3.1.2. Понятия «-произведения и «-композиции. Для мече-
меченых конфигураций можно ввести еще одну операцию умножения,
результат которой назовем «-произведением. Меченую конфигу-
конфигурацию, состоящую из п s-объектов, можно представлять себе как
конфигурацию, которая «построена» на множестве меченых s-
объектов с метками из Jfn. При «-произведении меченая конфи-
конфигурация распадается на две конфигурации, из которых одна по-
построена на меченых s-объектах с метками из а, а другая — на ме-
меченых s-объектах с метками из fj, где {а, [}} — разбиение мно-
множества Jfn.
В § 3.3 элементарные леммы из § 3.2 применяются к задачам
перечисления деревьев и функций. Некоторые из используемых там
представлений соответствуют аналогичным представлениям из гл. 2
для немеченых конфигураций, в других же случаях подобного
соответствия нет. Еще раз подчеркнем, что часто конфигурацию
удается представить несколькими способами; выбор того или друго-
другого способа зависит от перечислительной информации, которую нуж-
нужно сохранить. В качестве примера укажем, в дополнение к представ-
представлению из 2.2.30, также прямое, косвенное и рекурсивное представ-
представления для беспорядков.
В § 3.4 подробно разбираются две более сложные конфигура-
конфигурации. Цель этого рассмотрения — продемонстрировать возможности
предложенных методов также в тех случаях, когда используются
представления, требующие, в свою очередь, дальнейших представ-
представлений. Эти две конфигурации — собственные 2-покрытия конечного
множества и гомеоморфно неприводимые простые помеченные графы.
В последнем случае используется конструкция «по меньшей мере».
3.1.3. Понятие «-производной. Часто бывает удобно выделить
какой-нибудь меченый s-объект конфигурации либо удалить один
из меченых s-объектов. Это может быть осуществлено с помощью
операции, называемой «-дифференцированием. В § 3.4 приводятся
примеры дифференциальных уравнений, получающихся при выде-
выделении некоторого меченого s-объекта. Среди этих примеров — диф-
дифференциальное представление для собственных 2-покрытий. Диф-
Дифференциальное представление для простых 3-регулярных помечен-
помеченных графов дается в § 3.5.
3.1.4. Г-ряды. В § 3.5 указан общий метод вывода рекуррентных
уравнений для коэффициентов симметрических производящих функ-
функций нескольких переменных. Для симметрической производящей
функции нескольких переменных T(t), где t = (?i, h, ...), вводится
функция Г(Г) векторного аргумента y = (j/i, г/2, • •.) со следующим
свойством:
162
где j = (/i, /2, •••)> i = (ti, к, ¦¦•), причем i содержит jK компонент,
равных к, для любого к > 1. Функция Г (Г) называется Г-рядом
для T(t). Введение Г (Г) полезно, в частности, тогда, когда в векто-
векторе i все и = т при 1^/^ри1г = 0 при I > р. В этом случае ji = р
при I — т и /i = 0 при 1?= т, ш нам, следовательно, нужен коэф-
коэффициент тлриут/pl в Г (Г). Этот коэффициент называется регуляр-
регулярным членом степени т в Т.
Полезность Г-рядов показана при изучении простых 3-регуляр-
ных помеченных графов и неотрицательных целочисленных квад-
квадратных матриц со строчными и столбцевыми суммами, равными 2.
§ 3.2. Элементарные перечислительные леммы
В этом параграфе рассматриваются элементарные перечисли-
перечислительные леммы, связанные с экспоненциальными производящими
функциями.
Для простоты ограничимся случаем одной переменной. Начнем
с определения меченой конфигурации.
3.2.1. Определение (s-меченая конфигурация, множество меток,
меченый вес).
1. Назовем s-меченой конфигурацией о на Jfk конфигурацию,
состоящую из к s-объектов, которым сопоставлены различные чи-
числа из JCh. Эти числа называются метками.
2. Если а = {ai, ..., aj — Л"+, где а\ < ... < ak, то через аа обо-
обозначим конфигурацию, получающуюся заменой метки i на af
(? = 1, ..., к). Если П — некоторое множество s-меченых конфигу-
конфигураций, то ^
П = {о<Лае=П, a<=JP+).
3. Назовем а множеством меток конфигурации аа и будем обоз-
обозначать его Qs(oa). Число I осI называется меченым весом о и оя и
обозначается coe(o), cos(os), соответственно. В случае cos(a)=0 бу-
будем считать о s-меченой конфигурацией, при зтом о0 = о е П.
Чтобы показать, что конфигурация является s-меченой, необхо-
необходимо выявить меченые s-объекты. Проиллюстрируем это на сле-
следующем примере.
3.2.2. Примеры E-меченые конфигурации).
1. Пусть 2) — множество беспорядков B.2.30) о = О1О2О3О4 на
Jfi. Здесь s-объекты представляют собой 4 места в беспорядке,
а s-метка места i равна ct (i = 1, ..., 4). Итак, множество меток
конфигурации о есть Jf±, и 2Ь есть множество s-меченых конфигу-
конфигураций. Если о = 2413 е2),а = C, 5, 6, 8), то
оа = 2413{з, 5, б, 8) = 5836 е &.
2. Пусть °11 = {0, JP\, Jfi, . • ¦). Мечеными s-объектами конфигу-
конфигурации о = {1, ..., к) е <?/ являются сами ее элементы. Таким об-
образом, °U есть множество s-меченых конфигураций. Если а =
= {1, 2, 3}е^, a = {4, 7, 9}, то
<тд = {1, 2, 3}{4,7,9, = {4, 7, 9} е Ш.
И* 163
Множество Щ из второго примера часто будет встречаться в
дальнейшем, поскольку °U — не что иное, как множество всех под-
подмножеств Jf,+.
Свяжем теперь с каждым множеством меченых конфигураций
некоторую производящую функцию.
3.2.3. Определение (экспоненциальная производящая функция).
Пусть П — множество s-меченых конфигураций. Тогда производя-
производящей функцией для П, экспоненциальной относительно со*, назы-
называется функция
(когда это не приводит к недоразумению, будем обозначать ее
Waix)). Скажем, что х маркирует со, (экспоненциально).
Из этого определения непосредственно вытекает результат, по-
показывающий, какую перечислительную информацию ложно извлечь
из производящей функции.
3.2.4. Предложение. Число s-меченых конфигураций в П с ме-
меченым весом к равно
В дальнейшем нам понадобится следующий результат, непо-
непосредственно вытекающий из определений.
3.2.5. Предложение. Пусть s? и 38 — множества, соответственно,
s-меченых и t-меченых конфигураций. Если дано представление
сохраняющее меченый вес, то
Следующая перечислительная лемма также непосредственно вы-
вытекает из определений.
3.2.6. Лемма о сумме. Пусть S& и & непересекающиеся подмно-
подмножества множества s-меченых конфигураций П. Тогда
Применим лемму о сумме для нахождения экспоненциальных
производящих функций некоторых часто используемых множеств.
3.2.7. Примеры (экспоненциальные производящие функции).
1. Рассмотрим множество <М, определенное в примере 3.2.2B).
По определению 3.2.3 имеем
следовательно, W$ (x) = ех.
164
2. Пусть на каждом fj e <U задана некоторая перестановка и со-
совокупность всех этих перестановок составляет множество 9*. Пусть
!Рк — множество всех перестановок на JCh. Тогда по лемме о сумме
имеем
Однако, каждый элемепт ?Рк имеет меченый вес, равный к, и \№к\ =
= к\, поэтому
следовательно, XY{$ (х) = A — х)~г.
Функции ех и A — х)~1 часто встречаются в связи с мечеными
конфигурациями, поскольку в различных представлениях использу-
используются множества °U и 9* (неупорядоченных и упорядоченных под-
подмножеств множества Jf+ соответственно). В следующем примере
нам встретятся обе эти функции.
3.2.8. Пример (беспорядки). Множество беспорядков SD из при-
примера 3.2.2A) есть множество s-меченых конфигураций. Таким
образом,
где йп — число беспорядков. Из 2.2.30 известно, что
n\ 1! ' 2! ' * * ' re! •
Отсюда следует, что ^^{х) = е жA — х) 1.
Из примеров 3.2.7 и 3.2.8 следует:
Для обычных производящих функций такое мультипликативное со-
соотношение можно вывести непосредственно из представления с по-
помощью прямого произведения для немеченых конфигураций. Ре-
Резонно спросить, существует ли аналогичное комбинаторное произ-
произведение для меченых конфигураций, из которого следовало бы
некоторое мультипликативное соотношение для экспоненциальных
производящих функций. Вскоре мы убедимся, что таковым являет-
является «-произведение, которое будет введено в следующем пункте.
К проблеме беспорядков мы вернемся в § 3.3.
3.2.9. Определение («-произведение). Пусть зФ и $ — множе-
множества s-меченых конфигураций. Тогда «-произведением б4- на $
называется
= и {(в, Ь)е^Х^|Я.((«, Ь))=Л"Й},
165
где множество меток для (а, Ъ) определяется как
Q.((e, b)) = Q,(o)uQ,(b).
Следует подчеркнуть, что меченый вес (а, Ь) равен со,(а)+ (as(b).
Это непосредственно вытекает из определения.
3.2.10. Пример («-произведение). Пусть мечеными s-объектами
перестановки <з\О2 на Jf2 будут G\ и ог, ^ = {12}, .$ = {21}. Тогда
.$*•# = {A2, 43), A3, 42), A4, 32), B3, 41), B4, 31), C4, 21I.
С «-произведением связана следующая перечислительная
лемма.
3.2.11. Лемма о «-произведении. Пусть s4-, 9& — множества
s-меченых конфигураций. Тогда
Доказательство. По определению 3.2.3 имеем
Далее из определения 3.2.1B) получаем: если |а| = Ifil, то
1{ае^|Й,(а) = аI = \{а е f
где а, fi e <Л"+. Поэтому
так как cos((a, Ь)) = ю,(а)+ ю«(Ь). Отсюда следует, что
Применим эту лемму к примеру 3.2.10.
3.2.12. Пример (задача о перестановках). Пусть 9" — множество
таких перестановок k\k%kbki на Jf±, в которых k\ < k2, а кз > ^4, и
с =1^1. Тогда множеством меток перестановки к^кзк* является
множество {fei, fo, fea, /^4), поэтому 9? — множество s-меченых кон-
конфигураций. В обозначениях примера 3.2.10 получаем
&>cz.M*$!: к^к^ ->¦ (кгк2, к3к^.
Ясно, что при этом представлении меченый вес сохраняется, по-
поскольку меченый вес к\к\къ^ равен 4, что совпадает с а3(к1к2) +
+ (кк). По лемме 3.2.11 имеем
Так как М = {12}, а .$ = {21}, то по определению 3.2.3 имеем
2
= 5Г и
160
Из предложения 3.2.4 получаем
' rv! Iй-/! i.e. с — „ —•
Очевидно, что 9> = {1243, 1342, 1432, 2341, 2431, 3421).
В следующем примере используется более сложное представле-
представление (оно является прямым).
3.2.13. Пример (проблема последовательностей). Пусть 9" — мно-
множество всех таких последовательностей длины I над ЛРз, в которых
никакой символ не встречается точно р раз, и ci(p)= 194 (I =
= 0, 1, 2, ...). Объекты последовательности GiG2...at^9' — это
числа Oi, 02,..., О;, и меткой о< является i. Таким образом, 9" —
множество меченых конфигураций. Пусть М = °11 — {Jfp}, где °11 —
множество меченых объектов, определенное в 3.2.2B).. Тогда со-
соответствие
д> =i <& * si- * & : ох ... а, — ({»| о{ = 1}, {i \ аг = 2}, {I \ аг = 3})
— это представление, сохраняющее меченый вес. Из предложения
3.2.5 и леммы 3.2.11 получаем Т^ (х) = (ф^ (г)K. Но
(см. лемму о сумме и пример 3.2.7A)). Из 3.2.4 следует, что Ci(p) =
Ф7Щ [^3 т.е.
Следующая комбинаторная операция — это композиция двух ме-
меченых конфигураций.
3.2.14. Определение («-композиция относительно «-объектов).
Пусть 9" — множество s-меченых конфигураций, а 2) — множество
f-меченых конфигураций, в котором каждая конфигурация "имеет
непустое множество f-объектов. Тогда множество ff f-меченых кон-
конфигураций называется «-композицией 91 с SD, если существует
операция, называемая замещением и обозначаемая R, которая удов-
удовлетворяет следующим условиям.
1. Пусть 0^9" и Qs(<s) = JCh для некоторого к^О. Пусть
(oci, ..., aft)< — разбиение Jfn для некоторого п^О с непустыми
блоками, причем ai "< ... ¦< ah (< означает упорядочение блоков по
возрастанию их наименьших элементов). Тогда замещение s-объекта
вое меткой i конфигурацией df е Ю, с метками из at (i = 1, 2,..., к),
дает элемент множества 9. Этот элемент будем обозначать
Л (о, du .. ., dh).
2. Каждый элемент из Ф строится таким способом однозначно
и мы пишем $? = 9* ®S?D (или Ф®2), когда позволяет контекст).
В качестве примера укажем одно представление для множества
всех разбиений с к непустыми блоками.
1G7
3.2.15. Пример («-композиция). Пусть Ш^ — Щ — {е}, где Ш —
множество f-меченых конфигураций, определенное в примере
3.2.2B). Пусть Пк — множество всевозможных разбиений с к не-
непустыми блоками множества JCn для всех п ~> 0 (элементы ГЦ —
меченые f-объекты). Пусть элементы JCh — меченые s-объекты.
Определим теперь операцию замещения:
R{Jfh, ai, ...,ah)={au ¦., aj,
откуда непосредственно получаем, что Щ = А°ъ. ®аМ+, т. е. мно-
множество всех разбиений с непустыми блоками есть <U ®saU+.
Докажем теперь перечислительную лемму, связанную с «-компо-
«-композицией.
3.2.16. Лемма о «-композиции. Пусть 9" — множество s-меченых
конфигураций, а &~ — множество t-меченых конфигураций с не-
непустыми множествами t-объектов. Тогда
Доказательство. Из определений 3.2.3 и 3.2.14 имеем
где суммирование производится во всем c=(di, ..., dk)^ 3~ X...
...XT таким, что (Q, (di), ..., Q, {tk))< есть разбиение Jfn для
некоторого п ^ 0. Так как блоки Qt(d() не пусты, получаем
где Суммирование производится по всем c=(d\, ..., dft)e^"*j...
... *,?Г. Отсюда по лемме о «-произведении находим, что
'•>о as 5*
cos(a)=fe
ввиду того, что со,(с)= со * (c?i) -Ь ... + ait(dk) no 3.2.9. Таким обра-
образом, получаем
Вернемся к примеру 3.2.15.
3.2.17. Разбиения множества. Пусть рп, ь. — число разбиений JCn
с к непустыми блоками. Из примера 3.2.15 и леммы о «-композиции
имеем
1G8
Но из примера 3.2.7A) получаем1?^ (x) = xh/k\, а 4<ц (х)=--ех—
ft "f~
— 1. Следовательно, pn,k = [xn/n\](ex — l)k/k\, т. е.
л..-4-2 t-«rJ (J) л
3=0
Числа рп, h называются числами Стпрлинга второго рода. По лем-
лемме о сумме число всевозможных разбиений с непустыми блоками
множества Jfn равно рп, о + ... + Рп, ». Это число называется экспо-
экспоненциальным числом Белла.
Закончим этот параграф рассмотрением комбинаторной операции,
называемой меченым дифференцированием.
3.2.18. Определение («-дифференцирование). Пусть зФ, & —
множества s-меченых конфигураций. Если cos(a)>0 для всех as^
и существует такое взаимно однозначное соответствие /: s? -»- !М,
что со8(/(а)) = cos(a)— 1 для всех це^, то 9& называется «-про-
«-производным множеством для зФ и обозначается
а = ±*.
Отсюда вытекает следующая лемма.
3.2.19. Лемма (о «-дифференцировании). Пусть & —множество
s-меченых конфигураций с непустыми множествами меток. Тогда
Доказательство. По определению 3.2.3 имеем
сте 9>
(ввиду 3.2.18). ?
Возможность применения леммы о «-дифференцировании зави-
зависит от того, найдется ли взаимно однозначное соответствие /, о ко-
котором идет речь в определении 3.2.18. Следует заметить, что раз-
различным / могут соответствовать различные «-производные данного
множества. На практике часто используется следующее построение.
3.2.20. Замечание (способ построения «-производного). Часто
меченое дифференцирование осуществляется следующим образом.
1. В каждой s-мечепой конфигурации выбирается по одной метке.
Например, можно выбирать (а) наименьшую метку или (б) наи-
наибольшую метку.
2. С выбранной меткой можно поступить, например, одним из
следующих способов: или (а) снабдить ее во всех объектах спе-
специальным значком, или (б) удалить ее.
Как пример использования леммы о «-дифференцировании рас-
рассмотрим классическую задачу об альтернирующих перестановках.
109
3.2.21. Определение (альтернирующая перестановка). Переста-
Перестановка Oi ... оп на Jfn, п>1,. называется альтернирующей, если
Oi < 02 > о3 < .... Пустую последовательность е считаем альтер-
альтернирующей перестановкой длины нуль.
В этой задаче операция «-дифференцирования реализуется вы-
вычеркиванием наибольшей метки.
3.2.22. Проблема Андре. Пусть ап — число альтернирующих пе-
перестановок на JCn- Мечеными объектами являются элементы пере-
перестановок. Пусть ?Р и Q, обозначают, соответственно, множества
альтернирующих перестановок нечетной и четной длины. Если рп
и <7„ обозначают числа перестановок длины п соответственно в !Р
и Q, то ап = рп + qn-
Пусть о = ап$ е <р — {1} и имеет длину п. Тогда представление
сохраняет меченый вес. Тем же свойством обладает представление
Пусть р(х) — xYg>(x), q(x) = Wq (х). Тоща из лемм о сумме, «-про-
«-произведении и «-дифференцировании имеем
В d существует единственная альтернирующая перестановка нуле-
нулевой длины, а именно пустая последовательность, в & таких пере-
перестановок нет. Поэтому р и q удовлетворяют начальным условиям
р@)= О, <7@)= 1. Интегрируя приведенные выше уравнения, полу-
получаем р(х) = tgx, q (x) = sec x, следовательно,
tga:).
Указанные представления для & и Q являются рекурсивными.
Примечания и ссылки.
Другие подходы можно найти в работах: Bender and Goldman
A971), Cartier and Foata A969), Doubilet A972), Doubilet, Rota
and Stanley A972), Foata A974), Foata and Schutzenberger A970),
Henle A972), Joyal A981), Mullin and Rota A970).
C.2.17) Rota A964b); C.2.22) Andre A881).
§ 3.3. Деревья и циклы в перестановках и функциях
Рассмотрим применение элементарных перечислительных лемм
к меченым конфигурациям двух типов, а именно к циклам и дере-
деревьям. Наша цель — показать, что «-произведение, «-композиция и
«-дифференцирование меченых конфигураций — именно те комби-
комбинаторные операции, которые приспосабливают аппарат представле-
170
ний, сохраняющих вес, к задачам с мечеными объектами. Начнем
с вопроса о представлении для беспорядков, затронутого в 3.2,8.
В этом параграфе 9* будет обозначать множество, состоящее из всех
перестановок на множествах меток Jf\, N4, ... и пустой последова-
последовательности е. Пусть 35 — подмножество ^, состоящее из беспоряд-
беспорядков (см. 2.2.30). Как и прежде 41 будет обозначать множество
{0, ЛР\, JC2, •••)¦ Непосредственно из определения получается сле-
следующее косвенное представление для беспорядков.
3.3.1. Представление (беспорядки). Пусть f — {г} и {1 ... п\ п^
>1}. Тогда
д>~^?«ф; <г1 ... оп~ (ah ... oir, a^ ... aJn_T)t
где ain = г'™ (^= !' •••.r)' ог^ Ф /ft (&= 1. • • •. n—r), причем iг< ...
..- <U, /i< ... <jn-r-
При этом представлении, например, 7132564 >->¦ C56, 7124) е f X
Х2>, так как 356 = 123C 5 б>, 7124 = 4123,1 2 4 7>, причем 123 е/,
4123 sf).
3.3.2. Беспорядки (косвенное представление). Представление
3.3.1 сохраняет меченый вес, поэтому Wg> (х) = W^ (х) • Ч@ (х) по
лемме о «-произведении. Поскольку (см. пример 3.2.7) Ч*у (х) = ех,>
а Чд> (х) = A - ж)-1, то ?0 (ж) = е~х A - a:). Итак,
Представление 3.3.1 для 0 является косвенным, таким обра-
образом, необходимо получить мультипликативную обратную для функ-
функции Чр- (х). Это соответствует в 2.2.30 применению принципа вклю-
включения-исключения, который и представляет собой комбинаторное
обращение.
Теперь мы получим рекуррентное уравнение для коэффициентов
производящей функции конфигурации 2), приравнивая коэффи-
коэффициенты в обеих частях некоторого дифференциального уравнения.
3.3.3. Рекуррентное уравнение для числа беспорядков. По
3.3.2 имеем A — x)D(x) = e~x, где D(х) = 2 dnXn/n\, a dn —
число беспорядков на ЛР„. Дифференцируя это соотношение, полу-
получаем
(l — x)D{x) = —~{(l — x)D(x)}, откуда (х — 1) D' + xD = 0.
Приравнивая коэффициенты при хп/п\ в обеих частях, приходим
к рекуррентному уравнению
с начальными условиями do = 1, d-i = 0.
171
Беспорядок — это перестановка без единичных циклов. Теперь
мы обратимся к перечислению перестановок с другими ограниче-
ограничениями на длины циклов.
3.3.4. Определение (циклическая перестановка). Циклическая
перестановка есть последовательность о = h ... in, n > 1, взятых в
некотором порядке чисел 1, ..., п, причем последовательности, от-
отличающиеся лишь циклическим сдвигом, определяют одну и ту же
циклическую перестановку.
Условимся при записи циклической перестановки полагать
ii = 1. Например, различными циклическими перестановками на
Л являются 123 и 132. В этом параграфе множество всех цикли-
циклических перестановок на всевозможных меченых множествах JCi,
JP2, •¦• обозначается через W.
3.3.5. Представление (циклы для перестановок). Если {сь ...
..., ст) — множество непересекающихся циклов перестановки, о, то
Доказательство. Каждая перестановка однозначно выра-
выражается как произведение непустых непересекающихся циклов (без-
(безразлично в каком порядке), элементы которых, конечно, меченые
объекты. ?
В качестве примера такого представления рассмотрим а-—
= 5 1036187429^^. Эту перестановку можно представить под-
подстановкой
(i 23456789 10\
71 ~~ [5 10 3618742
а ее, в свою очередь,— с помощью непересекающихся циклов:
_ /1 5\ / 2 10 9\ /3\ /4 6 8\/7\
71 ~~ \5 1/ A0 9 2) I Зу (б 8 ij I Ту
Таким образом, с учетом принятого условия записи циклических
перестановок, имеем
от— A5, 2 10 9, 3, 4 6 8, 7),
что фактически равно
{12A,5}, 132B,9,10}, 1C}, 123D,6,8}, 1G}).
Приведем два примера использования этого представления.
3.3.6. Беспорядки (прямое представление). Рассматривая цнк-
ловое представление только на 2Е), имеем 2Е) ^-°U ®{W — {1}), так
как беспорядки не имеют единичных циклов. Это представление
сохраняет меченый вес и по лемме о «-композиции
где С (х) = Ч^ (х).
172
Вновь из циклового представления и леммы о «-композиции
получаем
(l_.z)-i
и поэтому
D{x) = e-x(i-x)-K
Конечно, функцию С (х) = W-g {x) можно было получить непо-
непосредственно, заметив, что всего имеется (га —1)! циклических
перестановок на JPn, так что
С(х) = х + ±х* + ±х*+ ... = log A-яГ1.
В качестве второго примера рассмотрим такой случай, в ко-
котором появляется производящая функция, экспоненциальная по
одной переменной и обычная по другой.
3.3.7. Инволюции. Инволюцией называется такая перестановка
g, что g2 — тождественная перестановка. Число инволюций на JCn
называется инволюционным числом и обозначается далее с„. Пусть
2f — множество всех инволюций на меченых множествах Jf\,
JP2, — вместе с пустой последовательностью е.
Чтобы получить число сп<% инволюций на ЛР„ с точно к цик-
циклами, рассмотрим цикловое представление только на Э'. Так как
инволюции содержат циклы только длин 1 и 2, получаем
У=?<и®{1, 12}.
Это представление сохраняет меченый вес и аддитивно сохраняет
вес Я, где Я (о) — число циклов в o^Sf. Пусть переменная х от-
относится к меченому весу, а переменная у — к X. Таким образом, из
представления для 2f по лемме о «-композиции получаем
В частности, сп = [хп/п\] exp la; + у
Отметим, что производящая функция f(x) = exp|;r+ у х*\ удов-
удовлетворяет дифференциальному уравнению f(x) = (i + x)f(x) с гра-
граничным условием /@)=1. Применяя оператор [хп/п\] к обеим ча-
частям, получаем для с„ рекуррентное уравнение
С„+1 = Сп + ПСп-\
с начальными условиями со = 1, c-i = 0.
Если записать explylx+^x2)] в виде Zt Нп(у)~, то Н„(у)
называются полиномами Эрмита. Далее, в частности в гл. 5, мы уви-
увидим, что и некоторые другие специальные функции допускают
комбинаторную интерпретацию.
173
Перейдем к перечислению корневых помеченных деревьев. При
изучении этого вопроса окажется возможным использовать идеи,
связанные с представлениями для соответствующих непомеченных
конфигураций, данными в гл. 2. У нас имеются две причины за-
заняться сейчас деревьями. Во-первых, их можно использовать для
демонстрации полезности произведения, композиции и дифференци-
дифференцирования меченых конфигураций в более сложной ситуации, чем
встречавшиеся раньше. Во-вторых, комбинируя результаты о цик-
циклах и деревьях, можно получить результаты о перечислении
функций.
3.3.8. Определение (помеченное дерево).
1. Помеченное дерево есть дерево с метками на вершинах.
2. Два помеченных дерева t\ и Ц неразличимы, если существует
взаимно однозначное соответствие между множествами вершин t\
и t2, сохраняющее соседство и метки.
На рис. 3.3.1 изображены три корневых помеченных дерева,
в которых корень выделен кружком. Деревья а и б неразличимы,
в то время как в отлично от а и б.
Пусть 3~ — множество корневых помеченных деревьев и пусть
меченые объекты дерева tej" — это помеченные вершины. Пусть
t\, ..., tP e ST (р > 0) — деревья, полученные из t e д~ удалением
a 6 6
Рис. 3.3.1. Помеченные деревья
корня и инцидентных ему ребер. Корневые вершины деревьев
U, ..., tp — не что иное, как вершины t, соседние с корнем. Если
A(?) = (?i, ..., tp), где tt размещены в порядке возрастания их наи-
наименьших меток, то в соответствии с определением 2.7.1 Л(?) назы-
называется списком помеченных ветвей дерева t. Справедливо следую-
следующее рекурсивное представление для 0~.
3.3.9. Представление (помеченные ветви). Пусть v обозначает
дерево в 3~, состоящее из единственной вершины. Тогда
Т ^ {v} * (<М ® Т): о н* (v, Л (а)).
Представление помеченными ветвями при изучении помечен-
помеченных деревьев столь же полезно, как представление в 2.7.4 для непо-
непомеченных деревьев. Это будет видно из приведенного ниже при-
примера. В конце параграфа это представление в сочетании с много-
многомерной теоремой Лагранжа используется для доказательства мат-
матричной теоремы о деревьях.
174
3.3.10. Корневые помеченные деревья. Число с (га) корневых
помеченных деревьев с п вершинами равно [а?/п\] Y$- (х), при этом
из представления помеченными ветвями и лемм о «-произведении
и «-композиции имеем
где Т — Wgr(x). Чтобы убедиться в этом, заметим, что Ч1" {v} (x) = х,
так как v имеет единственную вершину, а
Лагранжа получаем
х) = ех. По теореме
"-1] еп%
таким образом, с(п)= п
__ у,П-1
Так как каждое помеченное дерево может быть «укоренено» п
различными способами, отсюда непосредственно получается резуль-
результат Кэли: число помеченных деревьев на п вершинах равно пп~2.
Теперь обратимся к функциям, заданным на JCn, со значениями
в JCn. Для примера рассмотрим функцию из J?\$ в /Си, заданную
таблицей 3.3.1.
Таблица 3.3.1
/A) = 11
/B) = 5
/C) = 9
/D) = 10
Функция /
/E) =
/F) =
/G) =
= 8
= 9
= 5
«8)-
«9) =
/A0) =
f
11
3
= 11
1
/A1) =
/A2) =
/A3) =
5
11
10
Легко видеть, что /[m)(i)e {3,5,8, 9, 11} для всех i^/Ciz при
пг>2. Более того, /[№+я(ж) = /[л (х), если />2. Таким образом,
при итерациях функции / последовательность ее значений в ко-
конечном итоге становится периодической с периодом 6 на подмно-
подмножестве {3,5,8,9,11} множества .Л^з- Элементы этого подмножества
называются периодическими элементами функции /. Остальные эле-
элементы ./1^13 называются переходными элементами /.
Наша ближайшая цель — найти представление множества ?F
всех функций из JCn в JCn для каждого га > 1. Чтобы получить
представление, выявляющее периодические и переходные элемен-
элементы, рассмотрим следующий способ задания функции /. Постро-
Построим ориентированный граф на множестве вершин Jfn, в котором
ребро ij имеется тогда и только тогда, когда f(i) = j. Получающий-
Получающийся граф называется функциональным орграфом для /. На рис. 3.3.2
приведен функциональный орграф для функции, заданной таблицей
3.3.1. Ясно, что периодические элементы / — это в точности те, ко-
которые лежат на каком-либо ориентированном цикле, и что период
равняется ОНК длин циклов.
175
3.3.11. Предложение. Функциональный орграф есть помеченный
орграф, каждая из компонент которого представляет собой ориен-
ориентированный цикл (возможно длины 1) вместе с «насаженными» на
него деревьями, причем каждое дерево имеет ровно одну общую
вершину с циклом. Ребра каокдого дерева ориентированы в направ-
направлении соответствующей вершины цикла.
Следующее представление 2F в терминах &~ непосредственно
следует из предложения 3.3.11. Чтобы показать действие функции,
мы в деревьях t е <7~ ориентируем ребра в направлении корня.
12
Рис. 3.3.2. Функциональный орграф для табл. 3.3.1
3.3.12. Представление (циклы для функций). Имеет место сле-
следующее представление:
Следующий результат является приложением этого представле-
представления к перечислению функций с циклами заданной длины в соот-
соответствующем функциональном орграфе.
3.3.13. Функции и цикловой тип. Пусть cn(i) —число функций /
из ЛР„ в ЛР„ с ц циклами длины /. Вектор i=(si, S2, •••) называ-
называется цикловым типом /. Пусть циклам длины / соответствует пе-
переменная tj. Цикловое представление для функций (см. 3.3.12)
сохраняет вес и аддитивно сохраняет цикловой тип. Полагая
^?(х)= Т(х), по лемме о «-композиции получаем:
= [t'g-lexp B ^
так как 4<g = txx + -^ t2x* + ... Ho T = хет, и по теореме Лагран-
жа после несложных преобразований получаем:
где q =
176
Другое приложение требует более тонкого применения теоремы
Лагранжа.
3.3.14. Математическое ожидание числа циклов данной длины
у функций. Пусть с (г, п) — математическое ожидание числа циклов
длины г для случайно выбранной функции из JCn в Jfn в предпо-
предположении, что все эти пп функций равновероятны. Пусть dh(r, re) —
число функций с точно к циклами длины г. Из циклового пред-
представления для функций имеем
= exJr + 1 Г» + ... + 711ТГ~1 + Т Г + 7Т1 Г+1 +•••}•
^ Li I * J. II ~~Y~ 1 )
поэтому
с (г, ге) = -
Чтобы иметь возможность применить теорему Лагранжа, продиф-
продифференцируем равенство Т = хет по х, после чего, исключив ет, по-
получим хТ' = ТA — Г). Аналогично получаем ГгA — Г)-1 =
= х(Тт/г)'. Отсюда следует, что
c(r, re)= r-2n-nn\[xn'l]{Tr)'= r-2n-n+:n][xn]Tr.
Применение теоремы Лагранжа к полученному выражению дает
Обращаем внимание на то, что столь простое выражение для
с(г, п) удалось найти благодаря использованию функционального
уравнения Т = хет для упрощения ТгA — Т)~\
Применим теперь цикловое представление для функций к под-
подсчету идемпотентных функций индекса пг из JPn в JTn, т. е. таких
функций /, для которых fm+u = /.
3.3.15. Идемпотентные функции. Пусть Жт — множество пдем-
потентных функций индекса т в ^". Пусть &~\ — множество кор-
корневых помеченных деревьев с ребрами, ориентированными по на-
направлению к корню, у которых все некорневые вершины однова-
одновалентны и смежны с корнем. Рассматривая цикловое представленпе
из 3.3.12 на Жт, получаем:
Жп=^°и®{ и «
vft|m
где Фь — множество циклических перестановок длины к. Чтобы
убедиться в этом, заметим сначала, что каждая одновалентная вер-
вершина, помеченная переходным элементом функции / <= Жт, должна
в функциональном орграфе / быть смежной с вершиной некоторого
12 я. Гульден, Д. Джексон 177
цикла. Другими словами, f(i) является периодическим элементом
для любого i s JPn. С другой стороны, периодические элементы. дол-
должны быть метками вершин циклов, длины которых — делители т,
так как /[т1(/@) = /@ Для любого is/,.
Из леммы о «-композиции следует, что число с(п, т) функций,
определенных на JPn, со значениями из JCn и принадлежащих мно-
множеству Жт, равно
так как указанное представление сохраняет меченый вес. Для &~\
справедливо представление
&~1=>{l}*qt:e->-(i, а),
где i — метка корня дерева а, а а, равное /С%+\ — Ш s jfh для
некоторого к, есть множество меток некорневых одновалентных
вершин а. Так как при этом представлении меченый вес сохраня-
сохраняется, то по лемме о «-произведении Wgr (x) = хех, откуда сле-
следует, что
В этом параграфе, при выводе рекуррентных уравнений, мы ви-
видели, что многие производящие функции удовлетворяют диффе-
дифференциальным уравнениям. Мы воспользуемся леммой о «-дифферен-
«-дифференцировании, чтобы получить некоторые из этих уравнений комби-
комбинаторным способом. Другие приложения этой леммы даны в
§ 3.4. Начнем с рекурсивного представления для перестановок
с заданной цикловой структурой. В перестановке я s <р — (е) вы-
вычеркнем наибольшую метку. Это же можно сделать по-другому:
взять цикл с в я, содержащий наибольшую метку, и вычеркнуть ее
из этого цикла. Удаляя элементы цикла с из я, получаем некоторую
последовательность в §*. Таким способом получается следующее
представление.
3.3.16. Представление (рекурсивное цикловое; для перестано-
перестановок). Имеет место следующее представление:
Применим это представление к беспорядкам и инволюциям.
3.3.17. Беспорядки и инволюции (рекурсивное представление).
Рассматривая рекурсивное цикловое представление для беспоряд-
беспорядков, получаем:
?Ч*р-<*»)•«-
178
Так как оно сохраняет меченый вес, то по леммам о «-дифференци-
«-дифференцировании и «-произведении находим, что
где Я (ж) = ??)(«), a 4rw (х) = log (I - a:)-i (см. 3.3.6). Итак,
что согласуется с 3.3.3.
С другой стороны, рассматривая рекурсивное цикловое пред-
представление только на множестве Sf инволюций, получаем
поскольку инволюции содержат лишь циклы длин 1 и 2. Кроме
того, это представление сохраняет меченый вес, так что для
/ = ? у (х) справедливо
в полном согласии с 3.3.7.
В некоторых ситуациях удобно объединить дифференцирование
меченого множества с другой комбинаторной операцией. Получает-
Получается некоторый «меченый» аналог дифференцирования для немече-
немеченых множеств, о чем идет речь в следующем замечании.
3.3.18. Замечание (выделенные меченые s-объекты). Пусть SP —
множество s-меченых конфигураций с непустым множеством ме-
меток в каждой. Пусть (sd/ds)9' обозначает множество, полученное
выделением поочередно каждого s-объекта в каждом ие^, Тогда
^Ш<1*K> (*) = х 17 ^9> (*)•
Заметим, что (sd/ds)^ можно интерпретировать как {1} «(d/ds)*?,
где элемент г=1(^{1} является меткой s-объекта, выделенного в
{dlds)9?. Например, если рассмотреть множество 5? = {12, 21}
перестановок на множестве меток Jf%, то {sdjds)^ = {12, 12,21,21},
где выделенный меченый объект снабжен тильдой.
Как пример применения этой модификации леммы о «-диффе-
«-дифференцировании мы получим соответствие между двумя множествами
конфигураций, применяя правила, данные в 2.7.19.
3.3.19. Соответствие (функции из Jfn в Jfn — корневые помечен-
помеченные деревья). Существует взаимно однозначное соответствие между
1) множеством всех функций из Jfn в ЛР„;
2) множеством всех корневых помеченных деревьев на п вер-
вершинах с одной выделенной вершиной.
Доказательство. Рассмотрим te(sd/ds)?T. Существует един-
единственный путь от корня t до выделенной вершины. Каждую вер-
вершину пути можно считать корнем некоторого дерева в 9~, не имею-
имеющего с этим путем общих ребер. Таким образом, дереву t одно-
12* 179
значно соответствует некоторый элемент из ¦ 3"* ... *Э~ (число
сомножителей равно числу к (&>1) вершин в указанном пути).
Если выделена корневая вершина, то, конечно, к = 1. Представ-
Представление (sd/ds) ZT =*¦ §* ® &~ сохраняет меченый вес. Но из цикловых
представлений для функций C.3.12) и для перестановок C.3.5)
получаем, что
У^Ш^Ъ ®Т =*¦& %Т
сохраняет меченый
сохраняет меченый вес. Итак, (sd/ds)
вес, и утверждение доказано, а
На рис. 3.3.3, а полученное соответствие иллюстрируется для
дерева t^(sd/dsK". Выделена вершина 4, так что единственный
путь из корня есть 13 2 9 21 4. Деревья из 3~ с корнями в 13, 2,
Рис. 3.3.3. Дерево t в (sd/ds)&~ и соответствующий функциональный орграф d
9, 21, 4 и ребрами, отличными от ребер пути, приведены на
рис. 3.3.3,6. Последовательности 13 2 9 21 4 = 41352B,4,9,13,2i> e
Я /2 4 9 13 21^
^2Р соответствует подстановка I/io о q oj / I» равная произве-
B 13 21 4\/9\
дению непересекающихся циклов ,, „. , oilqj" *^ти Циклы с
180
соответствующими им деревьями даны на рис. 3.3.3, в. Они обра-
образуют функциональный орграф некоторой функции из JPzi в Jf?\.
Полученное соответствие является меченым аналогом представ-
представления 2.7.17, и с его помощью мы сейчас получпм результат Кэли
о помеченных корневых деревьях.
3.3.20. Корневые помеченные деревья (прямое представление).
Пусть сп обозначает число корневых помеченных деревьев на п
вершинах. Тогда из 3.3.19 имеем псп = и", так как пп равно числу
функций из Jfn в Jfn. Поэтому сп — пп~1, что согласуется с
3.3.10.
Дальнейшие примеры дифференциальных представлений и ис-
использования 3.3.18 даны в § 3.4. В заключение этого параграфа
возвратимся к перечислению деревьев. В частности, рассмотрим
остовыые деревья графа.
3.3.21. Определение (остовное дерево). Пусть g — граф с мно-
множеством вершин y°(g) и множеством ребер &(g)~ Пусть У°{Ь),
ё' (t)—множества вершин и ребер некоторого дерева t. Тогда t
называется остовным деревом графа g, если
При перечислении остовных деревьев помеченного графа нужно
сохранить информацию о нарах соседних вершин. Это достигается
раскрашиванием вершин графа. Пусть t — корневое помеченное
дерево, вершины которого раскрашены к цветами и в котором име-
имеется ровно da ребер из вершин цвета i в вершины цвета у, причем
ребра ориентированы в направлении от корня. Матрица D = {d^x*
называется реберным разбиением дерева t. Следующая лемма по-
позволяет перечислить деревья с заданным реберным разбиением.
Доказывается она с помощью представления 3.3.9, которое сохра-
сохраняет информацию о цветах.
3.3.22. Лемма (о деревьях со взвешенными ребрами). Пусть
GC(D) — число к-цветных помеченных корневых деревьев с (а) кор-
корнем цвета с; (б) реберным разбиением D; (в) щ вершинами цвета
/, n, = 8e, + (du + ... + dM) (/ = 1, ..., к); (г) N = ni + ... + nk вер-
вершинами. Если п=(пи ..., пк), х=(хи ..., xh) и А = [etjlftxk, то
где /i, ..., fk удовлетворяют следующей системе функциональных
уравнений:
Д = zxi exp fan/i +... + aihfh}, i = l, ..., к.
Доказательство. Будем ребро, направленное из вершины
цвета i в вершину цвета у, маркировать величиной ац (все ребра
считаем направленными от корня). Пусть далее вершипа цвета i
маркируется величиной ж,-, a z маркирует произвольную вершину.
Пусть &~i обозначает множество всех /с-цветных корпевых поме-
помеченных деревьев с корнем цвета i, a w обозначает дерево в &~{,
181
состоящее из одной вершины. Тогда из представления с помощью
помеченных ветвей имеем
Утверждение сразу же следует из элементарных перечислительных
лемм. ?
Следующая теорема перечисляет корневые остовные деревья
помеченного графа. Она называется матричной теоремой о деревьях.
Мы приведем ее в общей форме, при этом ребра ориентированы и
маркированы соответствующим образом.
3.3.23. Матричная теорема о деревьях. Число деревьев с корнем
с на множестве вершин {1, ..., к), имеющих т^ ребер ij (направ-
(направленных от корня), равно
[Ам] cofcc [буа{ —
где М = [ти] kXk есть (О, 1) -матрица, а а,- = а,ц + ... + аы (/ = 1,..., к).
Доказательство. Пусть Fi(A, х) = /<(А, х, 1). Из множест-
множества деревьев, перечисляемых функцией /с (А, х, z), выделим те, кото-
которые имеют ровно одну вершину цвета i(i = i, ..., к). Эти деревья,
безусловно, являются помеченными, что можно осуществить к\
способами. Если игнорировать метки, то производящая функция
для таких деревьев равна [zhx\.. .xjk\]fjk\. Но это равно [х1] Fc.
Таким образом, производящая функция для числа помеченных де-
деревьев на множестве вершин {1, ..., к) с корнем с и ребрами ij
(в направлении от корня), маркированными ац, равна [xl]Fc.
По лемме 3.3.22 получаем, что F\, ..., Fk удовлетворяют систе-
системе функциональных уравнений Ft = xt ехр {ФД, где Фг = aaFi + ...
... + aihFh (i = 1, ..., к). Следовательно, по многомерной теореме
Лагранжа (см. 1.2.9) имеем
[х»] Fc = [Т1] Fc (ехр {Ф1 + .. . + Ofe}) 1 «у - «i^j ||-
Но Oi + ... + Ф^ = cciFi +... + ahFh, так что ехр {Фг + . •. + Ф&} =
= JJ eajFj и потому
3=1
[х1] Fc = [F1] Fc 16yea^J - aaF^i || = [F1] Fc || 8y A + af,) - al}F} \\
(прп этом мы игнорируем члены второй и более высоких степеней
в Fj). Однако Fj встречается лишь в у-м столбце, поэтому ненуле-
ненулевой вклад в нужный нам коэффициент дают лишь линейные члены
Fj в столбце j при j ?= с. Таким образом,
[х»] Fc = [F1] Fc|| 8у (бС; + ajFj) - ai}F} I
Представим определитель в правой части в виде суммы двух
определителей, отличающихся лишь столбцом с:
Х1\ Г с = IT 1 Г c\\Oij<Xjr j —пЦГ j \\ +
. 'Tj1 I JP ll / f\ SV С ft JP \/<1 Л \ 1 Л Л If
182
Однако
[F1] Fc 1 Ььъ№ - a4Fj I = [F1] Fc{Fx ... Fk) \\ 6wa, - ow Ц = 0,
так как матрица имеет нулевые столбцевые суммы. Разложение
другого определителя по столбцу с дает
[X»] Fc = [F1] Fc C0fcc [(буОу - ву) Fj]kxh =
П
Полагая в лемме 3.3.22 к = 1, «и = 1, z = 1, Xi = х, вновь
получаем результат из 3.3.10: число корневых помеченных деревьев
на п вершинах равно [хп/п\]Т(х), где Т(х) удовлетворяет уравне-
уравнению Т = хет. На уровне функционального уравнения это выявля-
выявляет неожиданную связь между двумя, казалось бы, далекими друг
от друга классическими результатами, а именно между результа-
результатом Кэли и матричной теоремой о деревьях.
Приводимое ниже следствие дает матричную теорему о деревьях
в более знакомом виде — матрица неизвестных заменяется на мат-
матрицу смежности некоторого графа. Рассмотрим сначала ориентиро-
ориентированные графы и перечислим корневые остовные деревья, все ребра
которых ориентированы либо в направлении от корня, либо в нап-
направлении к корню. Дерево первого типа будем называть направлен-
направленной вовне остовной древесностью, а второго — направленной внутрь
остовной древесностью.
3.3.24. Направленные внутрь и направленные вовне остовные
древесности. Определим число направленных вовне остовных древес-
ностей с корнем с для орграфа на множестве вершин {1, ..., к) с
матрицей смежности Л = [Хц]ихь., где Хц — число ребер из вершины
i в вершину /. Пусть
cofcc [6ya{ — aijlftxft = 2 тс (М) Ам,
м
где по матричной теореме о деревьях тс(М} есть число помечен-
помеченных деревьев на множестве вершин {1, ..., к\ с корнем с и Шц реб-
ребрами ij\ направленными от корня (ягу = 0, 1). Для ребра г/, имею-
имеющегося в таком дереве (т. е. ребра, для которого ш{1=1), сущест-
существует точно Кц способов выбора соответствующего ребра в остовном
дереве графа с матрицей смежности Л. Поэтому искомое число
равно
2 ТС (М) ЛМ = СО1СС [бу (XV + ... + Kh}) - Ujhxh-
м
Для направленных внутрь остовных древесностей соответствующее
число равно
cofcc[6ij (Хп + ... + Xih) — X Дхь,
что получается совершенно аналогично, если вместо Л рассмотреть
транспонированную матрицу.
183
cof
11
Чтобы дать пример применения полученного результата, рас-
рассмотрим орграф на рис. 3.3.4 (рядом приведена матрица смежности
с ее строчными и столбцевыми суммами). По доказанному, число
направленных внутрь остовных древесностей с корнем в вершине,
помеченной меткой 1, равно
- з о — 1 — 1 — Г
— 1 1 О О О
-1—1 3-1 0 =5.
ООО1—1
0—1—1 0 2_
Все эти направленные внутрь остовные древесности изображены
на рис. 3.3.5.
Для неориентированных графов непосредственно получается сле-
следующая форма матричной теоремы о деревьях.
3.3.25. Матричная теорема о деревьях для неориентированных
графов. Число остовных деревьев графа g на множестве вершин
{1, ..., к} с матрицей смежности Л = [Я^ха равно
cof сс [б„ (%и + ... + *«)- Ы *х*. 1 < с < к,
где Хц — число ребер (неориентированных) между вершинами i и j.
Чтобы в этом убедиться, построим ориентированный граф g' с Хц
ребрами, идущими из вершины i в вершину /, и кц — Хц ребрами,
2A,,
\
1
2
7
4
5
1
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
3
1
0
0
0
1
4
1
0
1
0
0
5
1
0
0
1
0
z г г z 2
Рис. 3.3.4. Ориентированный граф п его матрица смежности
2 1
• 3 4*
Рис. 3.3.5. Направленные внутрь остовпые древесности графа из рис. 3.3.4
идущими из j в i. Тогда направленные вовне остовные древесности
орграфа g' с корнем в любой фиксированной вершине с находятся во
взаимно однозначном соответствии с остовными деревьями графа g.
Используя этот результат, вновь определим число помеченных
деревьев на п вершинах.
3.3.26. Помеченные деревья. Число помеченных деревьев на п
вершинах равно числу остовных деревьев полного графа на п вер-
184
шинах. Матрицей смежности этого графа служит Jn —1„. Таким
образом, по 3.3.25, число остовных деревьев равно
(см. 1.1.10E)).
Итак, всего имеется пп~2 помеченных деревьев и пп~г корневых
помеченных деревьев на п вершинах, как и было установлено в
3.3.10.
Примечания и ссылки.
Циклы. C.3.7), [3.3.11] Polya A937); [3.3.14] Chowla, Herstein
and Scott A952); [3.3.15] Blum A974); [3.3.16] Polya and Szego
A927); [3.3.17] Foata and Schiitzenberger A970), David and Bar-
Barton A962); [3.3.19] Lovasz A979); [3.3.20] Bognar et al. A970).
Деревья. C.3.10) Cayley A889); [3.3.21] Clarke A958); [3.3.22]
Meir and Moon A968); [3.3.23] Moon A964); дальнейшие резуль-
результаты о помеченных деревьях см. Moon A970).
Функции. [3.3.2] Tomescu A975), Lovasz A979); [3.3.28] Harris
A960); [3.3.32] Rubin and Sitgreaves A954); [3.3.33] Foata and
Riordan A974).
Матричная теорема о деревьях. C.3.23—25) Brooks et al. A940),
Good A965), Tutte A948); C.3.26), [3.3.39] Weinberg A958);
[3.3.37] Moon A970); [3.3.38] Lovasz A979), [3.3.41] Sedlacek A969);
[3.3.42] Goulden and Jackson A982c), Knuth A968b); {3.3.43] de
Bruijn and van Aardenne-Ehrenfest A951); [3.3.44] Renyi A970).
[3.3.1] Comtet A974); [3.3.4] Gilbert A956); [3.3.5], [3.3.7,8]
Farrell A979); [3.3.9] Fishburn A979); [3.3.10] Schroder A870);
[3.3.45] Gessel and Stanley A978); [3.3.46] Carlitz and Scoville
A974); [3.3.48,49] Gessel A980b), Mallows and Riordan A968).
ЗАДАЧИ
3.3.1. Пусть sn — число способов записи гс-кратной суммы (на-
(например, S2 = 3, поскольку различные способы записи двукратного
суммирования — это 22* 2 2> 2 ) • Показать, что
1 j 3 г И I
* = [?.] B-*-)-!.
3.3.2. (а) Пусть #"п — множество всевозможных функций из
т в Л°п для всех т > 0. Считая мечеными объектами функции
#"„ элементы области ее определепия, найти представление
сохраняющее меченый вес, в котором мечеными объектами Jf}L^-all
являются элементы Jfk.
(б) Показать, что число различных функций из Jfm в Jfn
равно пт.
185
(в) Показать, что число взаимно однозначных отображений из
Jfm на Jfn равно п\Ьп,т.
(г) Показать, что число взаимно однозначных отображений из
Jfm в Jfn равно
(д) Показать, что число всевозможных отображений из Jfm на
УСп равно
т. е. числу Стирлинга второго рода.
(е) Показать, что число функций из Jfm в Jfn таких, что для
каждого j^-Jfr f(i) = j для некоторого i^Jfn, равно
(ж) Показать, что число таких функций /: JCn^-Jfn, что если
/ принимает значение i, то она принимает и все значения мепь-
шие i, равно
[х«/п\\{2-е*)-\
3.3.3. (а) Пусть S(x, у)— экспоненциальная производящая функ-
функция для множества отображений из Jfm на Jfn (n, /пХ)), при
этом меченые s-объекты множества Jfm маркируются переменной
х, а меченые ^-объекты Jfn маркируются у. Показать, что S(x, y) =
= ехр{у(ех —1)} и, следовательно,
S yS + y^S
(б) Привести дифференциальное представление для отображо-
ний из п. (а), из которого указанное уравнение получается пе-
посредственно.
3.3.4. Пусть & — множество графов, причем мечеными объекта-
объектами являются помеченные вершины. Предположим, что связные
компоненты ^ берутся из 9&, где 9И — множество связных графов
с помеченными вершинами в качестве меченых объектов. Пусть
G(x) и В (х) — экспоненциальные производящие функции для ^ и
^, причем меченые объекты маркированы х; показать, что G(x) =
= exj){B(x)}. Это соотношение называется логарифмической связью
в вопросах перечисления помеченных графов.
3.3.5. (а) Показать, что число способов покрытия полного графа
Кп на п помеченных вершинах всевозможными полными графами
равно [х"/п\] ехр {е* — 1}.
(б) Показать, что число способов покрытия графа Кп полными
двудольными графами с непустыми долями равно
186
3.3.6. (а) Показать, что число способов покрытия Кп различными
путями с одной и более вершинами равно
[i-x)
(б) Показать, что число способов покрытия Кп циклами длины
не меньшей 3 равно
L _*)-!/* ехр Г~-2--Т.
3.3.7. Граф-звезда на к вершинах при к > 3 содержит к — 1 од-
одновалентную вершину, каждая из которых соединена с одной вер-
вершиной степени к — 1; при к = 2 — это единственное ребро, а при
к = 1 — единственная вершина. Показать, что число способов по-
покрытия Кп графами-звездами равно
[хп/п\] ехр \х \ех \- х) \.
3.3.8. Показать, что число способов покрытия полного двудоль-
двудольного графа Кп<т полными двудольными графами с непустыми до-
долями равно
[хпут/п\т\] ехр {(е" - 1) (е» - 1)).
3.3.9. Пусть R — бинарное отношение на Jfn. Положим
(a) R называется обобщенным слабым порядком, если отноше-
отношение caR транзитивно. Показать, что существует взаимно однознач-
однозначное соответствие между такими R и некоторым упорядоченным
разбиением Jfn, в котором на каждом блоке задано произвольное
симметричное отношение. Другими словами, показать, что число
обобщенных слабых порядков на Jfn равно
(б) Показать, что число транзитивных обобщенных слабых по-
порядков на Жп равно [хп/п\]B — е*ехр {ех— I}).
(в) Показать, что число асимметричных обобщенных слабых
порядков на Jfn равно [хп/п\]B — е*)'1.
3.3.10. Пусть & — конечное множество. Для некоторого целого
числа а ~5* 2 образуем новое множество, элементами которого явля-
являются некоторое подмножество а множества 9*, состоящее из а эле-
элементов, а также не вошедшие в а элементы 9'. С полученным йно-
жеством поступаем аналогично. Регулярная цепочка получается из
множества JPn последовательностью таких операций, приводящих
к одному множеству с а элементами (порядок операций несу-
несущественен).
(а) Пусть сп — число регулярных цепочек на Jfn и 2 Cntn/n\ =
. Показать, что C{t)=t + Ca(t)/a\.
187
(б) Показать, что
{а\~ъ (п — 1)! I а_А, если Ъ = п__ целое,
О в противном случае.
3.3.11. Показать, что число перестановок на Jfn с ц циклами
длины / равно
>(x,t1,t2, ...)=»! {ДМ/4~\
где п = U + 2i2 +..., а Р(х, tt, t2, ...) = expj^,, U-j-
3.3.12. (а) Показать, что число перестановок, у которых длины
всех циклов кратны d, равно
mi
П (id +!)> если п ~
т\ d i=o
(б) Показать, что число перестановок, у которых длины циклов
не делятся на d, равно
S
3.3.13. Показать, что число перестановок на Jfn с к циклами
четной длины п / нечетной равно
Lkvj ^
3.3.14. Показать, что число таких перестановок о на Л°„, для
которых а'" — тождественная перестановка, равно
d\m
3.3.15. Перестановка ре^1 называется квадратной, если р = а2
для некоторой а s 9*. Показать, что число квадратных перестановок
на Jfn равно
3.3.16. (а) Пусть A = [ai}]nxn. — симметрическая матрица неиз-
неизвестных. Показать, что число различных одночленов в разложении
|А| равно
[] - *)->/* ехр{-|- +4}.
(б) Показать, что Ьп+1 = (п + 1)Ь„ — {^Jbn^2 для п > 0, если
feo = 1, hi = 0 при i < 0.
188
3.3.17. (а) Показать, что число перестановок на Jfn с к циклами
равно
[и* ?](!-*)-
— числу Стерлинга первого рода.
(б) Точкой одностороннего максимума в перестановке а на Jfn
называется такой элемент i e Jfni что о,- < <?< для всех / < i. Пока-
Показать, что число перестановок на Жп с к точками одностороннего
максимума равно
(в) Найти взаимно однозначное соответствие между переста-
перестановками на Jfn с к циклами и перестановками на Jfn с к точками
одностороннего максимума. Для перестановки а = 539 614 287 с че-
четырьмя циклами указать соответствующую перестановку с четырьмя
точками одностороннего максимума.
3.3.18. (а) Пусть G(u, х)—производящая функция для переста-
перестановок, где х маркирует порядок перестановки, а и — число циклов.
Вывести из [3.3.17} уравнение для G:
дх дх '
(б) Указать дифференциальное представление, из которого это
уравнение получается непосредственно.
3.3.19. Показать, что число перестановок на Jfn, у которых
цикл, содержащий элемент п, имеет длину т, равно (и —1)! для
любого т = 1, 2, ..., п.
3.3.20. (а) Показать, что число перестановок на JFk+ш, каждый
цикл которых содержит по крайней мере один элемент из Jfk, рав-
равно к{к + т-\)\.
(б) Показать, что число перестановок на JFk+m, каждый цикл
которых содержит хотя бы по одному элементу из Jfk и ./Гл+т — УСь,
равно кт(к + т— 2)!.
(в) Показать, что число перестановок на Jfk+m, каждый цикл
которых содержит нечетное число элементов из Jfh и четное число
элементов из Jfk+m — Jfk, равно
к] ml
3.3.21. (а) Показать, что число помеченных корневых деревьев
на п вершинах с корневой вершиной степени т равно
(б) Показать, что число помеченных корневых деревьев, все
вершины которых имеют нечетные степени, равно
189
3.3.22. Показать, что число помеченных корневых деревьев,
у которых ни одна из п вершин не имеет степени d, равно
d-l
При d = 2 эти деревья называются гомеоморфно неприводимыми.
3.3.23. Доказать, что число помеченных корневых деревьев с по-
последовательностью степеней (i\, 12, ...) (т. е. is вершин имеют
степень / > 1) равно
где ц + J2 + ... = п, i 1 + 2t2 + Згз + ... = 2п — 2.
3.3.24. (а) Дифференцируя Г = яет, показать, что производящая
функция Т(х) для помеченных корневых деревьев удовлетворяет
дифференциальному уравнению
xT=TT
dx \ dx
(б) Дать дифференциальное представление, из которого это
уравнение получается непосредственно.
3.3.25. (а) Высотой вершины помеченного корневого дерева на-
называется длина единственного пути от этой вершины до корня.
Пусть Ahd(x, z)—производящая функция для помеченных корне-
корневых деревьев, причем помеченные вершины (меченые f-объекты)
маркируются переменной х, а вершины степени d и высоты h
(s-объекты) маркируются z. Показать, что
Ah,d{x, z) = xexp {Ah-.ijd(x, z)}, h> 2,
Aijd(x, z) = iexpWo,<i-iK z)},
4o.d-i(*, z) = х{еПх) + {z_ l)^g|}, T(x) =
Вывести утверждение о том, что общее число вершин степени d и
высоты h во всех помеченных корневых деревьях на п вершинах
равно
(б) Определить tn(h, d), найдя представление для (d/ds)?T,
с помощью множества 3~ помеченных корневых деревьев.
3.3.26. (а) Помеченное дерево с висячим корнем определим как
корневое помеченное дерево, у которого корневая вершина соеди-
соединена с некоторой непомеченной (немеченой) вершиной степени 1.
Пусть Н{х) — производящая функция для гомеоморфно неприво-
неприводимых помеченных деревьев с висячим корнем, где х маркирует
190
меченые вершины. Показать, что Н — х(ея — Н) и, следовательно,
dH тт . /л \ гт dH 9 dH
X -5- = Н + хA + Х)Н Х2^—.
dx v ' dx dx
(б) Найти дифференциальное представление, непосредственно
приводящее к этому дифференциальному уравнению.
3.3.27. Показать, что число таких функций /: Jfn ->¦ JVn, у ко-
которых все циклы имеют длину к, равно
3.3.28. Показать, что число функций /: JCn -*¦ JCn, имеющих точ-
точно к циклов, равно
S (п 7l) nn~1~i t2" ](* +1) •••(* + О-
3.3.29. Показать, что число функций /: Jfn -*¦ Jfn с циклами
только четной длины равно
3.3.30. Показать, что лг-й факториальный момент числа циклов
длины г у функции /: Jfn ->- Jfn равен
(rm)\r-mn-r
3.3.31. (а) Показать, что число функций /: Jfn -*¦ Л*„ таких, что
где Гл — экспоненциальная производящая функция для помеченных
корневых деревьев, в которых высота одновалентных вершин не
превосходит к.
(б) Показать, что Тк = х exp {?Vi}, к > 1, Го = ж.
3.3.32. Показать, что число функций /: Jfn -»- И°„ с /г периоди-
периодическими элементами равно к\ ("_ Ann~h.
3.3.33. Показать, что число функций /: Jfn -*¦ Jfn, имеющих цик-
циклы лишь длины 1, равно (га + 1)".
3.3.34. Рассмотрим множество из п прямых в общем положении,
т. е. любые две из них пересекаются, но никакие три не имеют
общей точки. Пусть из B) точек пересечения выбраны п таких,
что никакие три из них не лежат на одной из этих прямых.
191
Показать, что число таких наборов равно
3.3.35. Показать, что для любого га 5» 2 как математическое ожи-
ожидание, так и дисперсия числа единичных циклов случайной под-
подстановки на Jfn равны 1.
3.3.36. (а) Показать, что число последовательностей длины т
на JCn, содержащих к различных элементов, равно
(б) Показать, что среднее число различных элементов в слу-
случайно выбранной последовательности длины т на Jfn равно
( ( 1 \т\
га 1— 1 1 ), где все пт последовательностей считаются равно-
вероятными.
3.3.37. Показать, что число остовных деревьев полного графа Кп
с i ребрами в фиксированном подграфе Кп равно
3.3.38. Показать, что число остовных деревьев полного двудоль-
двудольного графа Кп, т равно п™™".
3.3.39. Показать, что число остовных деревьев графа, получен-
полученного из Кп удалением т ребер, инцидентных с одной и той же
вершиной, равно
(га- т- 1) (га- i)«-in»-">-2-
3.3.40. Колесом Wn на га +1 вершинах называется граф, состоя-
состоящий из цикла на га вершинах, каждая из которых соединена с од-
одной и той же вершиной, не лежащей на цикле. Пусть tn — число
остовных деревьев колеса Wn. Используя результат [1.1.17] об опре-
определителе циркулянта, показать, что для га ^ 3
(а) tn = 2-п {C + Vbf + C - /5)п] - 2;
(б) *„=П A+4 sin2 (fat/га)).
3.3.41. Обозначим g — е граф, полученный из графа g удалением
ребра е. Если же удалить е и отождествить инцидентные с ним
вершины, то полученный граф обозначим g • е. Пусть t(g) — число
остовных деревьев графа g.
(а) Показать, что t(g)= t(g — e)+ t(g • е) для любого е из g.
Такое представление называется алгоритмом удаления-сжатия.
(б) Если е — единственное ребро в графе g, соединяющее вер-
вершины i и /, a g\ — граф, получающийся из g повторением % раз
ребра е, показать, что
192
(в) Пусть Wn — колесо, определенное в [3.3.40]. Используя ре-
результаты пп. (а) и (б), показать, что t(Wn+z) =At(Wn+2) —
-4t(Wn+l) + t(Wn) для п>1 и i(^t)=l, t(Wa) = 5, t(W3)=16.
(г) Лестницей называется граф Ln, получающийся в результате
соединения соответствующих вершин двух путей, как показано на
рисунке:
Доказать, что
t(L2) = 4.
(д) Вывести из п. (г) соотношение
t (Ln) = ^= (B + /ЗГ - B - /з)я),
— t(Ln) для п> 1 и ?(Zq)=l,
1.
3.3.42. (а) Показать, что число корневых помеченных А-раскра-
шиваемых деревьев с корнем цвета с и реберным разбиением D
равно
9С (D) = N\ пч-i (D!)-1 cofcc [8ищ - rfylftx%,
где п{ = 6ic + (du + ...+ dhi), qt = dtl + ... + dih для i = 1, ..., k,
(б) Пусть Kc(n, T) — число помеченных /с-раскрашиваемых де-
деревьев с корнем в некоторой вершине цвета с и щ некорневыми
вершинами цвета i (i= I, ..., к), причем ребра из вершин цвета i
в вершины цвета / (в направлении от корня) имеются лишь в слу-
случае Тц = 1 и таковых нет при Тц = 0. Показать, что
Г/ft \ I fe/ft \n,—1
Я.с(п, Т) = NX (n!)-i cofcc I 6Ц ( 2 niTU )—ЩТц\ П I 2
ftXftj=l
3.3.43. Пусть g — орграф на множестве вершин {1, ..., к) такой,
= od(?)= dt, i — l,...,k,
что
где id (г) и od(i) обозначают соответственно полустепень захода и
полустепень исхода вершины i. Предположим, что g имеет а ориен-
ориентированных замкнутых эйлеровых путей и рс направленных внутрь
остовных древесностей с корнем с. Сопоставляя [2.4.23] с матричной
теоремой о деревьях, вывести, что a = (d — 1)фс (с = 1, ..., к), где
d = (d\, ..., dh). Этот результат называется теоремой де Брейна —
ван Аарденна-Эренфеста — Смита — Татта (БЭСТ-теоремой).
3.3.44. Пусть T(xi, ..., хп)—производящая функция для поме-
помеченных деревьев на вершинах {1, ..., га), где xt маркирует степень
вершины L Показать, что Т(х\, ..., хп) = Х\ ... хп{х^ + ... + хп)п~2.
3.3.45. Пусть $ — множество всех последовательностей ai . .. аг„
на Jfn типа B, . .., 2) для пХ), у которых а^>о\, если i<j<k и
л« == aft. Пусть В (х, /) — производящая функция для .$, обычная по
13 я. Гульден, Д. Джексон 193
/ и экспоненциальная по х, где / маркирует спады (см. 2.4.13),
& х — величину алфавита.
(а) С помощью дифференциального представления показать, что
(д/дх) (В- 1) = (/(В- 1)+ 1J5.
(б) Показать, что число последовательностей в & с элементами
из Jfh, имеющих т спадов, равно
[/»] A _ /J*+l Sf'SfB+i,»),
где 5(i, /) = [ar'/i!J(ea! —1)V/'! есть число Стирлинга второго рода.
3.3.46. (а) Пусть g{x, ^ — производящая функция для переста-
перестановок на JPn, л ^ 1, экспоненциальная по а; и обычная по /, где х
маркирует степени, а /—спады (см. 2.4.13). Указать дифферен-
дифференциальное представление, приводящее к уравнению (д/дх) (g — х) =
= /?2 + A + /) g, причем g(О, /) = 0.
(б) Решив это уравнение Рикатти (см. 1.1.8), показать, что чис-
число перестановок на Jfn с к спадами равно
что согласуется с 2.4.21.
(в) В перестановке о\... сп будем называть а; (г = 1, ..., п):
двойным подъемом, если a4_i < a;< ai+i; двойным спадом, если a4_i >
> a;> a1+i; локальным максимумом, если a4-i < a{> ai+i; локальным
минимумом, если af-i > a{< ai+i. При этом полагаем ао = ап+\ = 0.
Показать, что число перестановок на JCn с U локальными миниму-
минимумами, J2 локальными максимумами, h двойными подъемами и и
двойными спадами равно
„ I а,х а.х
где ai0C2 = щи2, ai + аг = м3 + щ.
3.3.47. (а) Пусть Мп и 38„ — множества всевозможных альтерни-
альтернирующих последовательностей на Jfn (т. е. ai < a2^ q%<q^ ...)
соответственно нечетной и четной длины; An(xi, ..., хп) и В„(х\, ...
..., хп) — обычные производящие функции для зФп и $п, а VCn =
= С„ — С„_1 для произвольной последовательности {Со, Ci, ...}. По-
Показать, что
где Sn@)=l, А„@) = 0 при га
(б) Показать, что
4CnDn = C
Оператор V называется обратным разностным оператором.
194
(в) Пусть An = — (VHn+i)/xnHn, где #„@) = 1. Показать, что
Я„(х)= 2 (—1)й7пB&) и, следовательно,
2 (-1)*7
где v« (О = W] Д A + «j) = S «a,
j=i I<a<<a<n 1
(г) Показать, что
3.3.48. Пусть s4- — множество помеченных корневых деревьев в
корень помечен 1. Если 1 <?'</, то (г, у) называется древесной
инверсией в дереве t^M всякий раз, когда вершина, помеченная /,
лежпт в t на пути, ведущем из корня в вершину, помеченную i.
Пусть 9И — множество деревьев в М с корнем степени i. ж А(х, q),
Щх, q) — производящие функции соответственно для М и $, экспо-
экспоненциальные по а; и обычные по q, причем х маркирует вершины,
а q — древесные инверсии.
(а) Показать, что
1) (д/дх)А(х, q) = exp{(d/dx)B(x, q)};
2) (д/дх)В(х, q)-q-lA(xq, q)=q-4(d/dx)B(x, q)-A(x, q)h
(б) Вывести из (а) соотношение
3.3.49. Пусть A (z, q) = ^ Ап (q) xn/n\ — производящая функция
помеченных деревьев из [3.3.48F)]. Доказать, что
(а) An(q) является многочленом степени \T/'t
(б) Л„@) = (в-1)!;
(в) ЛпA)=п-2;
(г) 2 Ап+Л~ 1)хп/п\ = seca:+ tgж. (Таким образом, Л„(—1)
равно числу альтернирующих перестановок па /Р„, полученному
в 3.2.22.)
§ 3.4. 2-покрытия множества и гомеоморфно
неприводимые помеченные графы
В этом параграфе рассматриваются две меченые конфигурация,
а именно 2-покрытия множества и гомеоморфно неприводимые гра-
графы. При рассмотрении каждой из них, в особенности второй, приме-
применяются последовательно представления для некоторых меченых под-
конфигураций, таким образом, ситуация оказывается значительно
более сложной, чем в § 3.3. Нашей целью является полное и
13* 195
подробное изучение этих конфигураций, что выявит возможности
наших методов. Кроме того, будет показано, что можно подобрать
подходящие способы вычислений для получения числовой инфор-
информации об этих конфигурациях.
При необходимости будем использовать конфигурации, имеющие
не одно множество меченых объектов. Перечислительные леммы
из § 3.2 легко распространяются на этот случай, и мы будем ими
пользоваться без дополнительных оговорок. Предварительно рас-
рассмотрим вкратце задачу о нахождении числа @, 1)-матриц, не со-
содержащих нулевых строк или столбцов. Пусть 2?, 0&, Ж обозначают
соответственно множества нулевых матриц, @, 1)-матриц без ну-
нулевых строк и столбцов, всех @,1)-матриц на множестве 91 ин-
индексов строк в качестве s-меток и на множестве ЯЗ индексов столб-
столбцов в качестве ?-меток, при этом E2, 4?)<^aUXaU. В данном па-
параграфе: °Ы = {&, JP\, Jfi, ¦ • .), 3*ъ. — множество всех перестановок
на Jfh, а & — множество всевозможных перестановок, включая пус-
пустую последовательность е. Для Mel пусть а(М), |3(М) обозна-
обозначают соответственно множества индексов нулевых строк и нулевых
столбцов, а а'(М) и |3'(М)—множества индексов ненулевых строк
и столбцов.
Найдем представление для Ж. При этом условимся считать,
что «матрицы» размеров ОХ к и к X О включены в Ж и «2> при
любых к 3* 0, а в 9& — лишь при к = 0. Матрицы являются как
s-объектами, так и f-объектами, поэтому «-произведение можно
рассматривать независимо по s-объектам и ^-объектам.
3.4.1. Представление (@,1)-матрицы). Имеет место следующее
представление:
Жс+%*®;Ж~(Ъ, Т),
где Sel на (а(М), Р(М)), а Те| на (а'(М), р'(М)).
Доказательство. Пусть М имеет размер рХ q. Отображе-
Отображение обратимо, так как
[М]« = 0 для всех (г,/)е^рХ^3-а(М)Хр(М)-а/(М)Хр'(м)- D
Проиллюстрируем это представление.
3.4.2. Пример. Пусть
Г1 0 1 0 0 0~\
0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 1
М=
0 0 0 0 0 0
_1 0 .1 0 0 0_
Строки 2 и 4, а также столбцы 2, 4 и 5 состоят из нулей. Таким
образом, а(М)={2, 4}, р(М)={2, 4, 5}, а'(М)={1, 3, 5}, §'(№)¦=
= A, 3, 6). Пусть А — подматрица М с множествами индексов строк
{2, 4} и столбцов B, 4, 5), а В — подматрица М с соответствующи-
соответствующими множествами индексов {1, 3, 5} и {1, 3, 6). Тогда
А-ГИеЯ В
Г1101
hoi
|_i 1 oj
196
Кроме того, если Мь+ (S, Т) в представлении 3.4.1, то
S = А(B, 4}, B, 4, 5)) е <2?, Т = В({1| з, 5), A, 3, 6)) е •$•
Используем теперь полученное представление для подсчета чис-
числа @, 1)-матриц без нулевых строк и столбцов.
3.4.3. @,1)-матрицы без нулевых строк и столбцов. Пусть
с(т, п, р) — число @, 1)-матриц размера тХп без нулевых строк
и столбцов, имеющих ровно р единиц.
Элементы множеств Ж, 9& и ZZ представляют собой меченые
конфигурации на строках, называемых s-объектами, и столбцах,
называемых f-объектами. Очевидно, что представление 3.4.1 сохра-
сохраняет как s-меченый вес, так и ^-меченый вес. Пусть со (а) обозна-
обозначает число единиц в @, 1)-матрице. Представление 3.4.1 аддитивно
сохраняет вес со. Пусть х, у, z маркируют строки, столбцы и еди-
единицы соответственно. Обозначим производящие функции множеств
М, Z, @ через %M{x,y,z), v (¦*, У, z), %g{x, у, z). Эти функции
являются экспоненциальными относительно s-меченого и f-меченого
весов и обыкновенными относительно со. Из представления 3.4.1 и
леммы о произведении получаем, что
У. z) = 1% С2". У. z)'
1гт = ^ а ^= 2 тт^ + ^' так как на
каждом из ij мест матрицы размера iXj находится 0 или 1. Итак,
После несложных вычислении находим, что
c(m,n,p) = \-r-rz\x(x,y,z) = (-l) 2 (-1) Mi f
Теперь мы выведем рекуррентное уравнение для с(т, п, р). Это
можно сделать, как в § 3.3, путем нахождения дифференциального
уравнения для производящей функции чисел с(т, п, р).
ЗАЛ. Рекуррентное уравнение. Пусть
2 771 .71
т,п,
где по 3.4.3 имеем
e г =
2 m .pi
Применяя к обеим частям оператор A + z)d/dz, получим
197
Однако можно вывести выражение для правой части этого уравне-
уравнения, беря частные производные функции ex+"F no x и у. Тогда
xv -°!—(ex+yF) - У П + z)mn —^ у-
Ху дхду^6 >~ ** U + z; (m_i)! (и-1)!«
следовательно,
I , dF , dF д-F
+ + +
Приравнивая коэффициенты при xmynzp/m\n\ в обеих частях,
получим линейное рекуррентное уравнение для с(т, п, р):
(р + 1)с(т, п, р+1) = -рс(т, п, р)+тпс(т-1, п—1, р) +
+ тпс(т, п — 1, р)+ тпс(т— 1, п, р) + тпс(т, п, р)
с начальными условиями
с(т, п, 0) = 8т,обп,о, т, п> 0,
с(т, 0, р)= бт,обр,о, т, р>0,
с@, га, р)== б„,обР, о, п, р>0,
так как F @, у, z) = F (х, 0, z) = F (х, у, 0) = 1.
Фактически дифференциальное уравнение для F(;r, у, z) можно
получить непосредственно с помощью некоторого дифференциаль-
дифференциального представления. Это будет более тонким примером использова-
использования «-дифференцирования по сравнению с примерами из § 3.3.
3.4.5. Дифференциальное представление для матриц без нуле-
нулевых строк и столбцов. Пусть У — множество всех @, 1)-матриц,
имеющих не более одной нулевой строки и не более одного нуле-
нулевого столбца. Выделим в каждой такой матрице одно место: на
пересечении нулевой строки и нулевого столбца, если таковые
имеются; в любой строке, если нет нулевой строки; в любом столб-
столбце, если нет нулевого столбца. Пусть V(x, у, z) — производящая
функция для У, экспоненциальная по х и у, маркирующих соот-
соответственно строки и столбцы, и обыкновенная по z, маркирующему
единицы. Выразим V двумя различными способами, используя диф-
дифференциальные представления.
Способ 1. Рассмотрим по отдельности те элементы из У,
у которых на выделенном месте стоит 1, и те, у которых стоит 0.
1. Матрицы из У с 1 на выделенном месте получаются выделе-
выделением 1 в соответствующем элементе множества .$, поэтому их
вклад в V есть zdF/dz.
2. Матрицы из У с 0 на выделенном месте получаются вычер-
вычеркиванием 1 в соответствующем элементе 0& и заменой ее выделен-
выделенным 0. Вклад этого множества — (d/dz)F. Таким образом,
V{x, у, z) = (l + z)(d/dz)F(x, у, z).
Способ 2. Будем выделять некоторое место, указывая номера
его строки и столбца. Если имеется нулевая строка, то ее и выде-
выделяем, в противном случае выделяем любую строку. Аналогично
поступаем со столбцамп. Рассмотрим все возможные случаи.
198
1. Матрицы из У без нулевых строк и столбцов получаются
выделением некоторой строки и некоторого столбца в элементе 9&,
поэтому вклад этой части У в V есть x(d/dx)y(d/dy)F.
2. Элементы У без нулевых строк и с единственным нулевым
столбцом мы образуем из соответствующих элементов &&, добавляя
к ним (выделенный) нулевой столбец,— производящая функция
этого множества равна yF,— а затем выделяя в полученной матри-
матрице некоторую строку. Вклад этой части У в V—x(d/dx)yF.
3. Вклад элементов У с единственной нулевой строкой и без
нулевых столбцов равен ху dFJdy.
4. Вклад элементов У с нулевыми строкой и столбцом равен xyF,
Таким образом, V(x, у, z) — xy(l + d/dx)(l + d/dy)F(x, у, z).
Приравнивая два выражения для V, получим дифференциальное
уравнение 3.4.4.
Теперь займемся перечислением конфигураций, называемых
2-покрытиями. Это более сложные структуры, нежели @,1)-матри-
@,1)-матрицы без нулевых строк и столбцов, в том смысле, что при их пред-
представлении используется больше комбинаторных операций.
3.4.6. Определение (собственное Л-покрытие, ограниченные соб-
собственные fc-покрытия). Пусть 38 — {3§i, ..., 38Т)— множество раз-
различных непустых подмножеств множества JCn такое, что каждый
элемент JCn принадлежит точно к элементам множества 38. Тогда
38 называется собственным А-покрытием Jfn порядка г, при этом
покрытие называется ограниченным, если пересечение любых к
подмножеств $( содержит не более одного элемента.
Если Жк обозначает множество @, 1)-матриц с различными и
ненулевыми строками, все столбцевые суммы которых равны к, то
ясно, что собственному /с-покрытию порядка г соответствует точ-
точно г! матриц из Жк. Эти матрицы получаются перестановкой г строк
матрицы размера гХп, в которой на месте (i, j) стоит 1, если
] е {%и и 0 в противном случае. Поэтому для перечисления соб-
собственных 2-покрытий достаточно перечислить Ж2, для которого
имеется приводимое ниже косвенное представление. Однако в об-
общем случае нужен другой подход (см. [3.5.7]).
3.4.7. Представление (собственные 2-покрытия). Яг/сгь Жч обо-
обозначает множество всевозможных (О, I)-матриц, у которых столб-
столбцевые суммы равны 2. Пусть <?г — Мъ обозначает множество матриц
с двумя строками и по крайней мере одним столбцом, причем столб-
столбцевые суммы равны 2. Пусть W — множество «матриц» с нулевым
числом столбцов. Пусть строки являются мечеными s-объектами,
а столбцы — мечеными t-объектами. Тогда
М%^Ж'*(%L ® ё) • X\,
где *-произведение и *-композиция берутся относительно s-объек-
тов и t-объектов.
Доказательство. Произвольной матрице из Мг могут быть
однозначно сопоставлены следующие объекты: A) элемент из W,
199
у которого множество s-меток есть множество номеров нулевых
строк, а множество f-меток пусто; B) неупорядоченная совокуп-
совокупность элементов из <Sz, у каждого из которых множество s-меток
есть пара номеров одинаковых строк, а множество ?-меток есть
множество номеров тех столбцов, у которых в этих совпадающих
строках стоят 1; C) элемент Л%, имеющий различные и ненулевые
строки, т. е. принадлежащий Жч. Очевидно, что это соответствие
обратимо. О
На риге. 3.4.1,6 приведена матрица, получающаяся из 3.4.1, а
перестановкой строк и столбцов, в результате чего выявляются
0 0 10 10
0 0 0 10 0
i о о
ооо
0 0 0 0 0 0
1 О I О 0 0
0 10 0 0 1
0 0 0 10 0
О
! I
! I
о
0 I I
1 0 1
I I 0
2 в I ? 5
5
Рис. 3.4.1. Матрица из М2
соответствующие элементы множеств Ж, Si
таковы:
и Ж?.- Эти элементы
Используем найденное представление для определения числа
собственных 2-покрытий.
3.4.8. Собственные 2-покрытия. Пусть х маркирует строки, а у —
столбцы. Так как представление 3.4.7 сохраняет s-меченый и t-ме-
ченый веса, имеем
ЧЖ2 {х, у) = ех ехр{4V2 (x, у)} К2 (х, у),
где К2(х, у) = Wyp (x, у). Но поскольку в Мг имеется /™) матриц
размера т X п, то
^?г = 2- ^ГехР 2 М
ш>0
С другой стороны, Чг#2 (х, у) = у х2 (еу — 1), так как для каждого
к 3* 1 существует только одна матрица размера 2 X А, все элементы
которой равны 1. Отсюда следует, что
К2(х, у) =
-z-^V- 1)} 2 Sr
200
Поэтому число собственных 2-покрытий Jfn порядка т равно
Г п 1
* <* •») = IхП k\к* <*' у)-
Ограниченные собственные /с-покрытия соответствуют тем мат-
матрицам из множества Жк, которые имеют различные столбцы, и мы
используем этот факт при выводе соответствующей производящей
функции.
3.4.9. Ограниченные собственные 2-покрытия. Пусть -5Ф2 обозна-
обозначает подмножество матриц из Ж2 с различными столбцами. Каж-
Каждая матрица <5\ е Ж\ может быть образована из соответствующей
матрицы О2 <= ^2, если повторить каждый столбец а2 нужное число
раз и расставить эти столбцы так, чтобы подматрица, составленная
из крайних левых представителей различных столбцов G\, совпада-
совпадала с 02. Напомним, что для «-композиции требуется каноническое
упорядочение. Таким образом, представление
сохраняет s-меченый и i-меченый веса. Из леммы о «-композиции
следует, что
А2(х, e*-l) = K2(z, у),
где А2 (х, у) =- У^> (х, у) и а (т, п)= [хтуп/п\] Ч'^ (х, у) есть число
ограниченных собственных 2-покрытий Jfn порядка т. Итак,
3.4.10. Дифференциальное уравнение для ограниченных соб-
собственных 2-покрытий. Пусть Н (х, у) — ехр|а;+ -^ х2у\ и F (х, у) =
/т\
= 2j хтA + уу-2'/т\, так что HA2 = F no 3.4.9. Сначала получив
дифференциальное уравнение для F, а из него выведем уравнение
для А2, используя связь между А2 и F. Замечая, что F удовлетво-
ряет уравнению A + у) -щ; = j x1 -^j, получаем A + у) - (НА2) =
= j х2 ^-г (НА2). Но дН/ду = 1 х2Н, а дН/дх = A+ху)Н, поэтому
A + у)д-^- = 1 х2 д-^ + х2 A + ху) ^- + 1 х*у B + ху) А2.
Приравнивая коэффициенты при хтуп/п\ в обеих частях этого
уравнения, мы можем получить линейное рекуррентное уравнение
для а(т, п). Вывод этого уравнения достаточно элементарен и мы
его опускаем. Следующий результат дает комбинаторную интерпре-
интерпретацию дифференциального уравнения для А2.
201
3.4.11. Дифференциальное представление для ограниченных соб-
собственных 2-покрытий. Пусть .s/2c) — множество матриц с двумя вы-
выделенными строками, получающееся из s4-2 следующим образом.
В каждой матрице из s&2 выделим строки, содержащие 1 в послед-
последнем столбце, а затем удалим этот столбец. Пусть х и у маркируют
экспоненциально строки и столбцы соответственно. Производящая
функция для S&2 равна дА2/ду. Мы получим различные выраже-
выражения для этой производящей функции, рассматривая пять случаев
для произвольной g e s4-*?\
Случай 1. Пусть g— ограниченное собственное 2-покрытие
с двумя выделенными строками, не содержащее столбца, совпада-
совпадающего с удаленным. Вклад всех ограниченных собственных 2-по-
2-покрытий с двумя выделенными строками есть ¦тгхгдгАг1дх1, Те по-
покрытия, которые содержат дубликат удаленного столбца, перечис-
перечисляются функцией удА2/ду, причем этот дубликат и рассматривается
в качестве выделенного столбца. Две строки, которые выделяются
в этом случае, содержат 1 в выделенном столбце. Таким образом,
окончательный вклад равен
2! дх2 У ду '
Случай 2. Пусть g содержит одну нулевую строку, а осталь-
остальные строки образуют некоторую матрицу с е ^ф2 с одной выделен-
выделенной строкой. Строка из нулей также должна быть выделена, так
как удаленный столбец содержит 1 в этой строке. Таким образом,
вклад этого случая равен х2дА2/дх, так как хдА2/дх перечисляет
элементы с с одной выделенной строкой, а х перечисляет строку
из нулей.
Случай 3. Пусть g содержит две одинаковые строки, одна
из которых выделена, а остальные строки образуют элемент с е ^ф2
с одной выделенной строкой. Так как столбцы должны быть раз-
различны, то совпадающие строки содержат ровно по одной 1. Эти
две единицы находятся в одном столбце, который может быть
вставлен куда-либо в матрицу с, чтобы получить g. Вклад этого
случая равен х3удА2/дх, так как x(d/dx)x'z/2\ = x2 перечисляет две
совпадающие строки, одна из которых выделена, у перечисляет
столбец с 1 в этих строках, а хдА2/дх перечисляет с с одной выде-
выделенной строкой.
Случай 4. Пусть g содержит нулевую строку, которая выде-
выделена, две одинаковых строки, одна из которых выделена, а осталь-
остальные строки образуют с е ^ф2. Как и в предыдущих случаях, нуле-
нулевую строку перечисляет х, пару одинаковых строк, одна из кото-
которых выделена, перечисляет х2, а столбец, содержащий 1 в совпа-
совпадающих строках, перечисляет у. Вклад с есть А2, следовательно,
©бщий вклад этого случая равен 3?yA2.
Случай 5. Пусть g содержит две пары одинаковых строк,
в каждой из которых одна строка выделена, а остальные строки об-
202
разуют с е stf-2. Вклад каждой из этих пар строк равен х2, а вклад
пары столбцов, содержащих 1 в одинаковых строках, равен у2/2\.
Общий вклад этого случая равен у х*у"'Л2, поскольку элементы с
перечисляются функцией А2.
Объединяя все эти случаи и приравнивая два выражения для
производящей функции множества S&1, получаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение для А2, данное в 3.4.10.
Вторая конфигурация, которая будет подробно исследована,—¦
гомеоморфно неприводимые простые помеченные графы. Граф назы-
называется простым, если он не содержит ни петель, ни кратных ре-
ребер, и гомеоморфно неприводимым, если у него нет вершин сте-
степени 2. Такие графы называются простыми помеченными /г-графа-
ми. Для рассмотрения этих конфигураций потребуются некоторые
представления, причем, как интересно заметить, приходится поль-
пользоваться конструкцией «по меньшей мере».
Такого рода представления для вершин степени 2 основываются
на следующей идее. Мы строим все простые помеченные графы,
в которых некоторые / верншн, называемые начальными вершина-
вершинами, могут иметь любую степень, в то время как остальные верши-
вершины, называелше неначальными, должны иметь степень 2. Послед-
Последние классифицируются следующим образом.
1. Вершины, подразделяющие ребра между начальными вер-
вершинами.
2. Вершины, подразделяющие петли в начальных вершинах.
3. Вершины па простых циклах, содержащих только начальные
вершины.
Пусть эФ — множество всех помеченных графов, построенных
таким образом. Элементы М- имеют немеченые s-объекты — ребра,
меченые i-объекты — помеченные вершины и немеченые и-объек-
ты — неначальные вершины степени 2.
В дальнейших представлениях будут использоваться следующие
обозначения. Они связаны с тремя упомянутыми выше классами
вершин. Множество всех помеченных графов, состоящих из петель
в некоторой начальной вершине, каждая из которых подразделена
двумя или более неначальными вершинами, обозначим 3?. Такие
графы обязательно простые. Множество *& — множество всех поме-
помеченных циклов не менее, чем с тремя вершинами, которые мы
считаем неначальными. Эти графы тоже простые. Множество Ж —
множество всех помеченных графов, состоящих из кратных ребер
между двумя начальными вершинами, каждое из которых, за иск-
исключением, быть может, одного, подразделено неначальиыми вер-
вершинами. И эти графы простые.
Пусть 0 обозначает отсутствие ребра между двумя начальными
вершинами, е обозпачает ребро между двумя начальными верши-
вершинами, а М\ — множество, полученное всевозможными подразделе-
подразделениями ребра между двумя начальными вершипами ненулевым чис-
числом неначальных вершин.
203
3.4.12. Представление (простые помеченные h-графы). Имеют
место следующие представления:
1. s4-^ и
2.
Доказательство. Компоненты представления таковы.
JC%. Мечеными ^-объектами считаем элементы из неупорядочен-
неупорядоченной совокупности к начальных вершин.
@>h®cM® 3?' Множество 3? состоит из подразделенных петель,
содержащих: а) неначальные вершины степени 2, являющиеся од-
одновременно и-объектами (немечеными) и мечеными f-объектами;
б) ребра, принимаемые за s-объекты. Единственную немеченую
вершину в петле принимаем за корень. Элемент <U® 3? получается
из неупорядоченной совокупности петель из 3?, если отождествить
корневые вершины всех петель и принять эту вершину за корень.
В каждую из к начальных вершин, которые мы полагаем уже по-
помеченными метками из Jfk, помещаем некоторый элемент из
41 ® 2?, отождествляя его корень с этой помеченной вершиной.
&(h\ ® ({0> z}*{aU ® Ж^): Множество Ж\ состоит из всевоз-
можных некратных ребер, каждое из которых соединяет пару не-
немеченых вершин, называемых в данном случае «левой» и «правой»,
и, кроме того, подразделено хотя бы одной неначальной вершиной.
Неначальные вершины степени 2 являются одновременно немече-
немечеными и-объектами и мечеными ^-объектами, а ребра — немечеными
s-объектами. Некратное ребро е между двумя начальными вер-
вершинами считаем s-объектом. Элемент Щ ® Жх получается из не-
неупорядоченной совокупности ребер в Ж\ путем объединения всех
левых вершин этих ребер в одну вершину, а всех правых — в дру-
другую. Полученные две вершины будем считать соответственно левой
и правой немечеными вершинами этого элемента. Элементы мно-
множества {0, е}*(*Ы ®Ж\) образуем из элементов °U ® Жг, либо
соединяя левую и правую вершины этих элементов единственным
ребром, либо оставляя их несоединенными. Полученное множество
конфигураций совпадает с Ж. Наконец, в множестве из к началь-
ных вершин можно образовать L) неупорядоченных пар. С каж-
каждой парой свяжем элемент из Ж, отождествляя его левую вершину
с вершиной, имеющей меньшую метку, а правую — с вершиной,
имеющей большую метку.
°И © %?: Каждый элемент этого множества представляет собой
граф на неначальных вершинах, все компоненты которого — циклы.
С помощью такого построения каждая конфигурация из зФ по-
получается однозначно. ?
Пусть ef6 обозначает множество простых помеченных графов
с ребрами в качестве s-объектов, помеченными вершинами в каче-
качестве меченых f-объектов и вершинами степени 2 в качестве и-объ-
ектов. Важно отметить, что графы из 36 могут входить в зФ не-
204
сколько раз. Если h ^ Ж имеет т вершин степени 2, то h может
быть вложен в s& 2m способами, по числу подмножеств тех его
вершин степени 2, которые приняты за u-объекты одного из эле-
элементов М'.
Пусть Н(х, у, z), А(х, у, z)—производящие функции множеств
36 и $Ф соответственно, где х маркирует s-объекты, у — меченые
^-объекты, a z — ц-объекты (в Ш это вершины степени 2, а в s& —
неначальные вершины).
3.4.13. Предложение. Справедливо равенство
H(x,y,z) = A(x,y,z~l).
Доказательство. Из замечаний в конце предыдущего
пункта ясно, что А (х, у, z) является производящей функцией для
с/в в смысле «по меньшей мере» относительно вершин степени 2 и
точной относительно ребер и всех помеченных вершин. Утвержде-
Утверждение следует из принципа включения-исключения, так как вершины
степени 2 считаются немечеными объектами. ?
Производящая функция для числа простых помеченных /г-гра-
фов равна, конечно, Н(х, у, 0) и может быть получена с помощью
представления 3.4.12 и предложения 3.4.13.
3.4.14. Простые помеченные Л-графы. Начнем с вывода произво-
производящих функций для Ф, 2 и Ж, поскольку А(х, у, z) может быть
получена из них с помощью представления 3.4.12 и лемм о «-про-
«-произведении и «-композиции.
1. Для (S: Имеется -к{1—1)! способов пометить цикл на i3*3
вершинах. Каждая вершина является как меченым i-объектом, так
и м-объектом. Такие циклы содержат i s-объектов, а именно ребер.
Поэтому
Ч^ (х, y,z) = \ (i {xyzf + 1 {xyzf +...) =
- | log A - xyz)-1 -1 [xyz + 1
Условие i ~3* 3 налагается ввиду того, что граф простой.
2. Для 3?'. Имеется U/2 способов пометить элемент из & на
i 3* 2 неначальных вершинах, так как эти вершины «укоренены»
в некоторой начальной вершине и имеется 2 способа обхода этих
вершин. Условие i ^ 2 необходимо, так как графы простые. Каж-
Каждая подразделенная петля с i 5= 2 неначальными вершинами содер-
содержит i+l ребро (s-объекты). Неначальные вершины являются как
м-объектами, так и мечеными ^-объектами. Таким образом,
У, z) = у (*?*2 + *Vz3 +)
3. Для Ж: Из представления 3.4.12B) по леммам о «-произве-
«-произведении и «-композиции имеем
У. г) = ^{0.в) & У, z) ехр [ЧЖ1 (х, y,z)).
205
Но ни 0, ни е не содержат немеченых вершин, кроме того, 0 не
имеет ребер, а е содержит одно ребро. Поэтому Ч^, е)(ж, у, z) =
•= 1 + ж. Для J?] заметим, что любое ребро из левой вершины в
правую, подразделенное i неначальными вершинами, может быть
помечено i! способами. Такое подразделенное ребро содержит i +1
ребро (s-объекты) и каждая из i неначальных вершин является
одновременно и меченым i-объектом, и u-объектом. Поэтому
следовательно, ^Pjj (ж, у, z) = A + я)ехр {Л/гA — жуг)}. Используя
теперь представление 3.4.12A), получаем:
Но из предложения 3.4.13 имеем Я(ж, у, 0) = А{х, у, —1), следо-
следовательно,
Н(х,у,0) = A+ хуГ^ехр^ху - i^i/2J X
2
Таким образом, число простых помеченных /t-графов с р ребрами и
q вершинами равно
Дополним исследование простых помеченных /t-графов выводом
рекуррентного уравнения. Хотя это и кажется более сложной за-
задачей, нежели в случае ограниченных собственных 2-покрытий (см.
3.4.10), можно применить тот же метод.
3.4.15. Рекуррентное уравнение для простых помеченных А-гра-
А-графов. Пусть hp — число простых помеченных Л-графов на р вер-
вершинах. Полагая х = 1 в 3.4.14, получаем hp = [yF/p\]h(y), где
4^
>0
gi (у) = ехр |- 1 log A + у) + 1 A + г) у - 1 у2 - i- i*y A + у)'1}.
Поэтому 2 A + уJ ft + {A + у) у2 + i2 - i (I + уJ} ft = 0. Обозначая
gi (у) = 2 «4 J^ и сравнивая коэффициенты, получаем
где 2 (й + 1) a$1= (i - i2 - 4&)а(^+ 2 A +i_A;)a(ft52i + (I - 1)а(Д2
— а(й113(А;^0), с начальными условиями a(ol) = 1, a\l) == 0 (i-<0).
206
Примечания и ссылки.
C.4.8) Comtet A968), Bender A974); C.4.14, 15), [3.4.11] Jack-
Jackson and Reilly A975); [3.4.1] Everett and Stein A973); [3.4.4] Com-
Comtet A966); [3.4.7] Gilbert A956); [3.4.8] Goulden and Vanstone
A983); [3.4.9] Harary and Palmer A973); [3.4.10] Gessel and Wang
A979).
ЗАДАЧИ
3.4.1. Показать, что число @,1)-матриц размера тХп, содер-
содержащих точно р единиц, к нулевых строк и I нулевых столбцов,
равно
3.4.2. Показать, что число @,1)-матриц размера тХп, у кото-
которых все строки различные и ненулевые, к из п столбцов различны
и все столбцевые суммы равны 2, равно
-i-2j)\
3.4.3. Показать, что число @,1)-матриц размера гоХв с нену-
ненулевыми строками и столбцевыми суммами 2, имеющих I различных
строк и к различных столбцов, равно
fi(-ir'
3.4.4. Покрытием Jfn называется множество различных непустых
подмножеств Jfn, объединение которых равно Jfn. Показать, что
число покрытий Jfn с ij подмножествами мощности / для / 3* 1,
равно
3.4.5. Показать, что число матриц размера т X к с элементами
из /fn и различными строками и столбцами равно
где s(m, 1) = [и*хт/т\]A + х)и — числа Стирлинга первого рода.
3.4.6. Пусть с(т, к) — число матриц размера тХк с элемента-
элементами из Jfn, у которых нет строк или столбцов, все элементы кото-
которых равны i (f = l, 2, ..., п). Используя конструкцию «по мень-
меньшей мере», показать, что
с(т, k)=nmk + n 2 (-1
ijsl
4- У У I
i>U>l \ "I \> 1
207
3.4.7. (а) Показать, что число простых связных графов на п
помеченных вершинах и с i ребрами равно
(б) Показать, что число простых графов с п помеченными вер-
вершинами, i ребрами и состоящих из к компонент, равно
})
3.4.8. (а) Показать, что число простых графов на п помеченных
вершинах с к ребрами и i связными компонентами равно
(б) Показать, что число решений {х\, хъ, ..., хк) уравнения
ТП\Х\ +... + ткхк = 0 в GF(p) для к > 1 равно рк, если mj = mi = ...
... = т1 = 0и р*-1 в противном случае.
(в) Пусть iV(m)—число решений (х\, ..., хп) с различными
Xi уравнения тп\хх +... + тппхп = 0 в GF(p), причем m,i + ... + тпп —
— О, но ни одна сумма меньшего числа слагаемых не равна нулю.
Используя принцип включения-исключения, показать, что
(г) Вывести из пп. (а) и (в), что
iV(m) = (п- 1)!^~ J) + (-l)"-1^- !)(»- 1)!
3.4.9. (а) Блок—это связный простой граф с не менее чем
двумя вершинами, удаление любой из которых нарушает связность
графа. Пусть В (х)—экспоненциальная производящая функция для
помеченных блоков (х маркирует помеченные вершины), а С(х) —
экспоненциальная производящая функция для всех связных про-
простых помеченных графов. Показать, что число связных простых
графов на п вершинах с некоторой выделенной вершиной («кор-
(«корнем»), которая инцидентна с к блоками, равно
(б) Показать, что хС (х) = х ехр {В' (хС (х))} и, следовательно,
что B'(xC'(x))=logC'(x).
3.4.10. Из [3.3.48F)] мы знаем, что
208
Правая часть этого равенства есть производящая функция множе-
множества ^ простых связных помеченных графов, причем q маркирует
ребра, а х — вершины (см. [3.4.7]). Найти комбинаторное пред-
представление, связывающее помеченные деревья из зФ с графами из
*??, и использовать его для получения предыдущего уравнения.
3.4.11. Показать, что число гомеоморфно неприводимых графов
на п вершинах с т ребрами равно
ехр {-4^ + 4 *VJ X
3.4.12. Показать, что число гомеоморфно неприводимых графов
на п вершинах с т ребрами, но без петель, равно
[хт g] A + ху)-1" ехр {4 ху + 1
X
X Z 71A ~ Х)
3.4.13. Показать, что число гомеоморфно неприводимых графов
на п помеченных вершинах с т ребрами, не имеющих кратных
ребер и у которых в каждой вершине допускается одна петля,,
равно
- 1*„ - А*у} X
3.4.14. Пусть f(n)—число гомеоморфно неприводимых графов
на п помеченных вершинах, у которых допускаются простые петли
в каждой вершине и нет кратных ребер. Показать, что
/(n) = n! S2V2 Jbj(n
3=0
где
2 (m + 1) Ь; (m + 1) = (/- 2 -/2 - 4m) ЬДm) +
и Ь;-@)= 1, Ь,@= 0 при i < 0.
3.4.15. Показать, что число матриц размера (mi + т2)Х(щ + и2)
с элементами из Jf, у которых т< строчных сумм и и4 столбцевых
сумм равны i (i = 1, 2), равно
X ехр \jx2y2 + A — ^i/j)-1 ^i/i + i-a;^ + -|- jfei) J.
Я. Гульден, Д. Джексон 209'
§ 3.5. Нахождение коэффициентов симметрических функции
Рассмотрим ситуацию, в которой оказывается возможным вы-
выразить результат перечисления в виде некоторого коэффициента
симметрической производящей функции нескольких переменных.
Часто такая производящая функция — зто всего лишь другая запись
исходной задачи, и все, по существу, сводится к нахождению соот-
соответствующего коэффициента.
Основные идеи этого параграфа можно проследить, рассматри-
рассматривая некоторую специальную комбинаторную конфигурацию — прос-
простой 3-регулярный помеченный граф.
3.5.1. Определение (р-регулярный граф). Граф называется
р-регулярным, если все его вершины имеют степень р.
Получим обыкновенную производящую функцию для простых
помеченных графов.
3.5.2. Обыкновенная производящая функция для простых поме-
помеченных графов. Пусть tj маркирует степень вершины / (/ = 1, 2,...
..., п). Производящая функция для пары вершин {i, /} (i<j) рав-
равна 1 + tttj, поэтому производящая функция для всех пар вершин
Пусть гр(п) — число простых р-регулярных графов на п вер-
вершинах. Ясно, что
Гр (Л) = [*?...
Небольшое видоизменение предыдущего рассуждения позволяет
охватить также случай петель и кратных ребер. Для петли у вер-
вершины i производящая функция равна ti, так как "вклад петли
в степень i равен 2. Поскольку у вершины i может быть произ-
произвольное число петель, то общий взнос в производящую функцию
равен 1 + t} + t* + ... = (l — ti/1. Аналогично, общий вклад в
производящую функцию кратных ребер между вершинами i и / ра-
равен 1 + tit) + (tit}J +... = A — ttt})-'. Поэтому число р-регулярных
помеченных графов на п вершинах равно
Главная задача этого параграфа — вычисление [t]r(t), где
i = (ii, i2, ...)>0, a T(t)— заданная функция векторного аргумента
t = \t\, t2, ...). Это достигается построением некоторой новой функ-
функции g(y), где у = (уи У2, •••), с тем свойством, что
где t(i) есть тип i (см. 2.4.7). Ясно, что полезность такой проце-
процедуры заключается в том, что ly /t(i)!Jg(y) иногда определить
легче, чем It1] T (t). Например, мы не без основания можем ожи-
210
дать этого в случае 3-регулярных графов, для которых i = C 3,
О, 0, ...),ax(i) = @, 0, в, 0, ...).
3.5.3. Определение (одночленные симметрические функции).
Пусть t = (*b t2, ...), j=(/i, h, •••), a i = (»i, «2, •••)¦ Тогда
Ai (t) - StJ= [x'J П A + Xltm + X2t2m + ...)
t(j)=i
называется одночленной симметрической функцией.
Пусть Т (t) — произвольная симметрическая функция от t. Тогда
Т может быть однозначно записана в виде
где c(i) не зависят от t. Это замечание мы используем для по-
построения подходящей функции ?(у) = (Г(Г)) (у), которая называ-
называется Г-рядом для T(t).
3.5.4. Предложение. Пусть T(t) = '?c (i) Ai (t) и пусть Г (Т) =
-= S с (I) у*/И- Тогда
i
Доказательство. W] T(t) = 2c(i)ft1]^j(t). Но по опреде-
определению 3.5.3 имеем [tJ] ^s (t) == ^<Л)>1. Поэтому [tJ] T = c{i(})) и ут-
утверждение доказано, q
При нахождении (Г(Г))(у) полезно иметь в виду, что произво-
производящие функции T(t) обычно легко выражаются через следующие
симметрические функции:
sh(t) = *? + *?+ ••• Для &> 1.
Такое выражение, обозначаемое G(s), где s = (si, S2, ...), един-
единственно. Но теорема о Г-рядах (см. 3.5.7) позволяет преобразовать
систему дифференциальных уравнений для G(s) в систему диф-
дифференциальных уравнений для Г (Г). Поэтому мы постараемся по-
получить систему дифференциальных уравнений для G(s), s =
= (si, s2, •••)• Проиллюстрируем все это на примере перечисления
простых 3-регулярных помеченных графов.
3.5.5. Дифференциальное уравнение для простых помеченных
графов в терминах сумм степеней. По 3.5.2 производящей функ-
функцией для простых помеченных графов является
Поэтому
Т (t) = exp flog П A + Ш] = exp f 2 (- I)* 2 {W
14* 2H
Но
т. e.
2 (wh = k 1B tf V -
Ясно, что G(s) удовлетворяет следующей системе дифференциаль-
дифференциальных уравнений:
Для р-регулярных графов следует, конечно, положить Sj = 0 при
Рассмотрение expUogr(t)} при определении G(s) no T(t) осо-
особенно эффективно тогда, когда T(t) является произведением до-
достаточно простых сомножителей. Чтобы получить систему диффе-
дифференциальных уравнений для Г (Г) из системы для G(s), выразим
T(dG{s)/dsk) и T(skG(s)) через Т(Т) и dTJdy{ (i>l). Для этой
цели нам потребуется следующее ниже предложение. Будем для
удобства писать (F(/(s)))(y) вместо (F(/(s(t)))) (у).
3.5.6. Предложение. Пусть
Еп(х) = [zn]log(l + Za;i + z% +...)= S (— 1)*"—x(wi
i+
где m = i\ + i2 + ..., i = (ii, ?2, • • •) u x = (xi, X2, • • ¦)• Тогда
1. 2 A, (t) x1 = exp f 2 En (x) sn (t)];
i>o U^i J
2. 4^i(t)== 2
j
Доказательство. 1. Из определения 3.5.3 имеем
2 хЧ (t) = П (i + xji + xtt2i + ...) =
= expJ2 log(l + xjj + x2t] + ...)] =
- exp f 2 № (x)) = exp f 2 Яn (x) 2 $
откуда и следует утверждение.
212
2. Используя A), получаем
= ?„ (х) ехр ( 2 ?„ (х) «Л = Еп (х) 2 ^J (t) xJ.
Поэтому
¦jL At (t) = [x1] En (x) 2 ^j (t) xJ = 2 ^J
откуда и следует утверждение. D
Докажем теорему, которая позволит из системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений для G(s) вывести систему дифференциальных
уравнений для Г(Т).
3.5.7. Теорема о Г-рядах. Пусть Т — симметрическая функция
t, пусть r(t)«=G(e(t)) и СП(У, д/ду) = уп + 2 Уп+гд/ду{. Тогда
где д/ду обозначает (д/дуи д/ду2, ...).
Доказательство. 1. Пусть Т(t) = 2е(>) &i(t)- Тогда
поэтому из предложения 3.5.6 следует, что
[§-) = 2 с (I) ^ {txj-j] ?n (x)! Г (A, (t)) =
Поскольку i > j, то i — j = k > 0. Отсюда имеем
и утверждение 1 доказано.
213
2. Пусть 6П = (О, ...О, 1, О, ...), где 1 стоит на га-м месте.
Тогда из определения 3.5.3 получаем
\тA)=6„ ) t(j;=i T(i)=6nT(j)=i
где l = (Zi, h, ...), i=(/b J, •••)• Ясно, что воздействие 1 заклю-
заключается в изменении какой-либо одной к-й степени в векторе j на
'(& + га)-ую для всех к. К каждому из получающихся одночленов
можно прийти ii+i + 1 способами. Если обозначить m = (mi, m2,...),
то
2 771.. fTln . , ^СП fft+ ^e
6fe T(m)=i+6ft
откуда и следует утверждение. О
Из теоремы о Г-рядах следует, что
...G ^С\Чу,^- ...Е[Ч^г ...
Таким образом, по любому дифференциальному уравнению для
G(s) мы можем написать дифференциальное уравнение для T(G),
используя теорему о Г-рядах. Проиллюстрируем это на примере
перечисления простых 3-регулярных помеченных графов.
3.5.8. Г-ряды для простых 3-регулярных помеченных графов.
По 3.5.2 число простых 3-регулярных помеченных графов нз
п вершинах равно
rs (и) = [*;... t3n] t(t), где ТЦ)
Пусть T(t)= G(s(t)). Из примера 3.5.5 мы знаем, что G(s), где
$i — 0 при i > 4, удовлетворяет системе дифференциальных урав-
уравнений
' A-U, 1,
dG _ ( 1) s2h
a,2h~ 2k <*, к-i.
Применяя Г, получаем
214
По предложению 3.5.6 имеем Ег = хг, Е2 = х2 — х\/2, Е3 = х3 —
г— хгх2 + я'/З. Из теоремы о Г-рядах следует, что Г (G) удовлетво-
удовлетворяет системе уравнений
Г(G) = У1Г(G) + у2±Т(G) + Уз-^
dT(G) q д2Т (G) д3Т (G) _
где по предложению 3.5.4 г3(и)= ly*/n\] Г (G).
Из этой системы дифференциальных уравнений в частных про-
производных мы можем получить обыкновенное дифференциальное
уравнение для (Г(С)) @, 0, уз).
3.5.9. Рекуррентное уравнение для простых 3-регулярных по-
помеченных графов. Пусть V(y\, у2, уг) есть Г-ряд для простых 3-ре-
3-регулярных помеченных графов, выведенный в 3.5.8. Пусть /< обозна-
обозначает df/дуь а /ц = (/<Ь, где f = f(y\, Уг, Уз)- Тогда по 3.5.8 имеем
r3(n)= I -jj- I V(yi, у2, у3),
где V удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
A)
B)
3Fs-3F,a+F,,,-y,F. C)
Наша цель — исключив у\ и уг, получить дифференциальное
уравнение, содержащее только уз. Исключая V2 из A) и B), по-
получаем .
УзУц - (yl + 2 A - у,)) V, + BVl - у3 A + i/2)) F = 0.
Теперь продифференцируем A) по у\ и исключим V\2 из полу-
полученного уравнения и C), тогда
23 - 3) F.
Исключим уг, положив в последних двух уравнениях у2 = 0 и
обозначив F(i/i, 0, уз) через U(yi, y3). Тогда получим
+ ЗС7Х1 - 3^17, + (у* -3) С/.
Исключая U\\i из последнего уравнения и результата дифферен-
дифференцирования D) по у\, получим
3*/з^з= (i-yl) Uu - (У1 + у3) U, + (у\ - 1) С/.
215
Исключая U\\ отсюда и из D), получим
3ylU3 = B-2y23-yt-y1y3)U1 + 2y1(yl-i)U. E)
Полагая у\ = 0 в D) и E), получим
ysU11-(yl + 2)U1-y3U = 0, F)
Zy%Uz = B-2y\-y\)L\, G)
где теперь U{ означает dU/dyt при yi = 0, a U означает U(О, уз).
Продифференцируем E) по уг и положим z/i=0. Тогда
3*/2зЕ/3з+ б^з + 4у,A + у|) ^ = B - 2у\~ yt) U13.
Продифференцируем E) по у\ и положим у\=0. Это дает
3yS^i8 = B - 2i/23 - yj) 17П - y3U, + 2 (у\ - 1) U.
Исключая f/i3 из двух последних уравнений, получим
9y$U33 + 18y33U3 = 2(yl- 1) B - 2у\ -y\)U-
-УзB + 10yl + ilyt) U, + B - 2yl - yifUu.
Исключая U\\ из этого уравнения и F), получим
%53*733 + 18^^тз + 2/з B - 2i/2 - у\) U =
= 1Ы + 2) B- 2yJ -y\f- y\ B + lOyl + Uy\)) иг.
Наконец, исключая U\ из этого уравнения и G), получим
9yi B - 2у% - у*) г733 - 3*/з (8 - 26г/1 - б^4 + Ч + 6у| + yj°) 17, +
Пусть W{x)=U@, уз), где а; = у23. Теперь
2i
x—vt. "" i ax ¦ -- л„<- i |_ .2
так что W удовлетворяет дифференциальному уравнению
6х2 B - 2х — х2)^ - (8 - 32* + 6я3 + 6а;4 + а;5)^ +
2х й;г
где ta:"/Bn)!]W(a!)-r8Bn).
Так как сумма степеней всех вершин графа четна, то не суще-
существует простых 3-регулярных помеченных графов на нечетном
числе вершин. Сравнивая коэффициенты, мы можем получить ли-
линейное рекуррентное уравнение для ГзBп). Детали достаточно оче-
очевидны и опускаются.
В некоторых случаях целесообразно рассматривать два множе-
множества переменных, и производящая функция может быть симмет-
216
рической по каждому из этих множеств в отдельности. Теорема о
Г-рядах распространяется на этот случай очевидным образом. Эта
ситуация иллюстрируется на примере перечисления целочисленных
матриц с заданными линейными суммами, где под линейной сум-
суммой мы понимаем как строчные, так и столбцевые суммы.
3.5.10. Неотрицательные целочисленные матрицы с линейной
суммой, равной 2. Пусть 1к(т)— число матриц размера тХт с
неотрицательными целыми элементами, у которых все линейные
суммы равны к. Мы хотим вывести рекуррентное уравнение
для him).
Пусть г( и с, — переменные, маркирующие соответственно сум-
сумму элементов строки i и столбца i, iS*l. Если на месте (i, /)
стоит число к, то оно входит одновременно в строчную сумму стро-
строки i и в столбцевую сумму столбца /. Поэтому вклад места (i, j)
в производящую функцию равен (г,с^)*. Таким образом, производя-
производящая функция места (i, /) равна 1 + ггС) + (ГгС}J + ... =A — r(cs)~l,
поскольку к может быть любым неотрицательным числом. По лем-
лемме о произведении имеем
где Г (г, с)= П A — г4е,-)-\ а г = (п, г2, ...), c = (ci, с2, ...).
Но Г (г, с) есть симметрическая функция как по г, так и по с,
следовательно, применима теорема о Г-рядах. Пусть sh (г) = гх +
+ г\ + ..., a tk (с) = с\ + с\ + ... для к S* 1. Выразим Г (г, с) через
s и t, где s = (s!(r), s2(r), ...), a t = (*i(c), <2(c), ...), следующим
образом:
Т (г, с) = ехр ( ^ l°g A - т)-Л = ехр B х *
U J \
Для матриц с линейной суммой 2 следует положить S* = U = 0 при
i>3. Пусть Г (г, c) = G(si(r), s2(r); *i(c), fc(e)), тогда G ==
у (
^ + -j s2t2\
и удовлетворяет системе
dG r dG r
dG _ 1 r dG _ 1 r
Пусть F(G)=F(a;i, x2; у и Уъ) ¦ Тогда из предложения 3.5.4
имеем
[xmum
где Х2, У2 маркируют соответственно строки и столбцы с суммами
элементов, равными 2. Из теоремы о Г-рядах следует, что V
217
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
-^ = yiV + y2lfi, A)
av l d2v
Чтобы получить рекуррентное уравнение для {^(w) lw=^0}, выве-
выведем дифференциальное уравнение для W{x%, yi)=V{0, хч\ 0, г/г).
Из A) и A') получим
SL -1^. C)
Дифференцируя B') по х%, получим
Используя B), исключаем dV/dx2 из правой части этого уравнения.
Тогда
Остается выразить правую часть этого уравнения через хг и у%. Для
этого заметим, что ввиду C)
Из (Г) п C) получим
Подстановка этих выражений в D) и очевидные упрощения дают
D - 8хал + 4хЫ) 0- = D- 1х\у\ + х\у\) W.
Но матрица с линейной суммой к должна быть квадратной, поэто-
поэтому W(x2, y2) = F(x2y2), где F(x)= 2j h {Щ xhl(k\f. Таким образом,
F(x) удовлетворяет уравнению
АхA- xJF" +4A- а;J/" - D - 2z2 + x*)F = 0,
причем F@)=l. Если положить G{x) = 2{l-x)F' -B-x)F, то
можно записать:
218
Легко убедиться, что единственный формальный степенной ряд
G(x), удовлетворяющий последнему уравнению, есть G(x) = 0, сле-
следовательно, F(x) удовлетворяет уравнению
2(i-x)F'-B-x)F = 0.
Поэтому для {12(т)\т&*0} справедливо рекуррентное уравнение
12(т + i) = (m + lJl2(m)-±m*(m + l)l,(jn-l),
причем /г@) = 1, h{—1) = 0. Функцию F можно выписать в явном
виде: F(x) = (l-x)-U2e*'2.
Для матриц размера т X т с линейной суммой 2 нам удалось
получить производящую функцию F(x) в явном виде как алгебраи-
алгебраическим методом (см. 3.5.10), так и с помощью комбинаторного пред-
представления (см. [3.4.15]). Однако для матриц с линейной суммой 3
аналогичное комбинаторное представление найти сложно, в то вре-
время как алгебраический метод позволяет вывести рекуррентное
уравнение и для {k(m)\mX)} (см. [3.5.5]).
В заключение параграфа мы выведем систему уравнений для
простых 3-регулярных помеченных графов (см. 3.5.8) непосред-
непосредственно, используя следующее дифференциальное представление.
3.5.11. Дифференциальное представление для простых 3-регу-
3-регулярных помеченных графов. Пусть V(y\, у2, уз) — производящая
функция для множества Т простых помеченных графов со степе-
степенями вершин, не превосходящими 3, причем меченые вершины сте-
степени i маркируются (экспоненциально) переменными^ (i = 1,2,3).
Мы найдем три дифференциальных представления, выделяя в гра-
графах из У сначала одну одновалентную вершину, затем две различ-
различные одновалентные вершины и, наконец, три различные однова-
одновалентные вершины.
Случай 1. Выделим в каждом элементе из У точно одну одно-
одновалентную вершину. Это дает производящую функцию yi dVldyu
Получим это же другим способом, рассматривая три подслучая.
1. Выделенная одновалентная вершина смежна с другой верши-
вершиной степени 1, т. е. в графе имеется компонента, состоящая из
единственного ребра, соединяющего две вершины. Производящая
функция в этом случае равна y\V.
2. Выделенная одновалентная вершина смежна с вершиной сте-
степени 2. Такие графы можно построить, выделяя некоторую одно-
одновалентную вершину v и соединяя ее затем ребром с новой однова-
одновалентной вершиной и. Эта вершина и и есть выделенная одновалент-
одновалентная вершина, смежная с вершиной v степени 2. Производящая
функция в этом случае равна у\УгдУ1ду\. Заметим, что оператор
уч d/dyt появляется ввиду того, что сначала выделяется одновалент-
одновалентная вершина, а затем она соединяется с другой вершиной, стано-
становясь тем самым вершиной степени 2.
3. Выделенная одновалентная вершина смежна с вершиной сте-
степени 3. Производящая функция в этом случае равна у1УздУ/ду2
(рассуждения аналогичны п. 2).
219
Окончательно получаем
dV Т7 . dV dV
Случай 2. В каждом элементе из У выделим две различные
одновалентные вершины. Производящая функция в этом случае
равна -j y\d2V/dyl. Получим это же другим способом, рассматри-
рассматривая три подслучая.
1. Выделенные вершины соединены путем длины 1, образую-
образующим компоненту, состоящую из одного ребра. Производящая функ-
функция в этом случае равна -у у-ьУ-
2. Две выделенные вершины соединены путем длины 2. Имеют-
Имеются две возможности.
а) Путь содержит вершпну степени 2. Производящая функция
в этом случае есть -j у\у?У, так как -у У^Уъ является производящей
функцией для компоненты, состоящей из пути длины 2.
б) Путь содержит вершину степени 3. Такие графы могут быть
получены соединением выделенной одновалентной вершины в не-
некотором элементе из У с двумя новыми одновалентными вершина-
вершинами, которые сами становятся выделенными одновалентными вер-
вершинами в получающемся графе. Производящая функция равна
3. Оставшиеся графы можно получить следующим образом. Вы-
Выберем в У граф с двумя выделенными изолированными вершинами
а' и V и вершиной и степени 2, соединенной ребрами с вершина-
вершинами а и Ь. Удалим вершину и и соединим а' с а, а V с Ъ. Таким
образом можно получить любой граф из У, у которого длина пути
между выделенными одновалентными вершинами а' и Ъ' не мень-
меньше 3. Производящая функция равна yldV/dy2.
Окончательно имеем
-f==2W2 + V + y2V + y3~,
Случай 3. Выделим в каждом элементе из У три различные
одновалентные вершины. Производящая функция тогда равна
-g- y\ d3V/dyl. Вновь получим это же самое, рассматривая три под-
подслучая.
1. Ровно 2 из выделенных вершин соединены путем длины 1.
Такие графы можно построить, соединяя ребром две изолированные
вершины и и v и выделяя одну одновалентную вершину w в соот-
соответствующем графе из У. Производящая функция равна
2. По крайней мере одна пара выделенных вершин соединена
путем длины 2. Имеются три возможности.
220
а) Любые две из выделенных вершин соединены путем дли-
длины 2. Это возможно лишь в том случае, когда выделенные вершины
являются одновалентными вершинами компоненты графа, содержа-
содержащей кроме них еще лишь одну вершину степени 3. Производящая
функция в этом случае равна -у у\удУ, так как такую компоненту
можно присоединить к любому элементу из Т.
б) Только две из выделенных вершин соединены путем дли-
длины 2, причем этот путь проходит через вершину степени 2. Такие
графы состоят из компоненты, являющейся путем длины 2, и не-
некоторого графа из У с одной выделенной одновалентной вершиной.
Производящая функция ^yly^iyidV/dy^).
в) Только две из выделенных вершин соединены путем дли-
длины 2, и этот путь проходит через вершину степени 3. Мы можем
построить такие графы, рассматривая некоторый путь uvw длины 2
и граф g e V с двумя различными выделенными одновалентными
вершинами а и Ь, разделенными более, чем одним ребром. Отож-
Отождествляя затем вершины у и а, получаем в результате искомый
граф с тремя выделенными вершинами и, w ж Ь. Если в качестве g
брать любой граф из Т с двумя выделенными одновалентными вер-
вершинами, то производящая функция для получающегося множества
графов равна -^-yXiyiyaid^V/dyl)). Однако следует исключить те
графы g, которые содержат компоненту, представляющую собой
две выделенные вершины, соединенные ребром. Графы, получаемые
с помощью таких g, перечисляются производящей функцией
-у,- у\ {УзУ^У)- Поэтому производящая функция интересующего нас
множества равна -^уЪзИ^^/ду^)— V).
3. Ни одна пара выделенных одновалентных вершин не соеди-
соединена путем длины 1 или 2. Такие графы мы можем построить, вы-
вычеркивая из соответствующего графа в У вершину степени 3, свя-
связанную с вершинами а, & и с, и соединяя затем а с а', Ъ с У, с с с',
где а', Ъ', с' — изолированные вершины. В полученном графе счи-
считаем вершины а', Ъ', с' выделенными. Производящая функция в
зтом случае равна у\ dV/dys.
Таким образом, учитывая случай 2, получаем
d*v о /а , \ 9V , о d*V „ lr , a dV
-^¦ = оA + ,2)_ +3,3^-2^7+6- =
. „ av
Отсюда
= ,1*^1 dv
221
Объединяя полученные результаты, приходим к следующей си-
системе дифференциальных уравнений в частных производных для V:
dV т/ dV . дГ
dV дг\г v v dV
У У
dV о Э2У
Зта система совпадает с системой из 3.5.8.
Заметим, что теорема о Г-рядах позволяет получить системы
рекуррентных уравнений для любых простых помеченных графов.
Но для этого понадобился бы весьма сложный анализ, если поль-
пользоваться дифференциальным построением.
Примечания и ссылки.
Этот параграф основывается на работе: Goulden, Jackson and
Reilly A983); некоторые использованные дифференциальные опе-
операторы встречались в работах: Hammond A883), MacMahon A915);
о свойствах линейных рекуррентных уравнений с полиномиальными
коэффициентами см. Stanley A980).
C.5.9) Read A960); C.5.10) Anand, Dumir and Gupta A966).
[3.5.3—5] Goulden, Jackson and Reilly A983); [3.5.4] Read and
Wormald A980); [3.5.6] Reilly (личное сообщение); [3.5.7,8] Devitt
and Jackson A982).
ЗАДАЧИ
3.5.1. По 2.4.16 число последовательностей Смирнова типа i равно
e(i) = [х*] Т(х), где Т (х) = fl — 2 *i(l + ^i)! Вывести из тео-
I « I '
ремы о Г-рядах, что
c(i)= S m
(«)/ \ / л\г V (~ i — OL—l\xk -
г '(x) = (— 1) 2j \ ТГ есть полином Лагерра, а
ft>J \ i — к I k]
где
I ~ (/i> hi ¦ • •)= T(i) есть тип вектора i.
3.5.2. (а) Показать, что число последовательностей типа i над
-W+> в которых все максимальные блоки имеют длину не мень-
меньше 2, равно
/1+ 2A)(*з*-1
1 k>i
где х =• (xi, х2, ...), i = (ii, i2, ...), Sj = x{ + x{ + ...
222
(б) Показать, что число последовательностей из п. (а) может
быть представлено в виде
т\[хт]Р[Цх)Р{*(х)...,
где Рг(х)= 2 (~Л(. «I о,)тГ' а (/ь /2. •••) = t(i) есть тип i.
k,i>o v ' \г — t-ь — ы} ¦
3.5.3. Пусть дзBп) — число 3-регулярных помеченных графов
на 2ге вершинах, a W (х) = 2 q3Bn)xn/Bn)\. Показать, что W(x)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
ЪхЧх2 - 2х - 2)^? - (ж5 - 6х* + 6;гз + 24^2 + 16д: —8)^ +
их ах
+ _*_ (Ж5 _ 1Ох4 + 24ж3 — 4z2 — 44а: - 48)И7 = 0.
3.5.4. Пусть RA(x) = У, гА(п)хп/п\, где Г4(ге) — число простых
4-регулярных графов на п вершинах. Пусть V{y\, ..., yi)^
г/4, 0, ...), где Т = IJ A + Щ) — производящая
функция для простых помеченных графов. Дать схематическое опи-
описание вывода обыкновенного дифференциального уравнения для Rn,
исходя из системы дифференциальных уравнений в частных произ-
производных для V, получаемой с помощью теоремы о Г-рядах.
3.5.5. Пусть F(x)= 2 ^з(m)zm/(m\J, где h(m) — число пеот-
рицательных целочисленных квадратных матриц порядка m с ли-
линейной суммой 3, а
V = Г (Г) (хи х2, хь 0,...; у и 1/2, ft, 0, ...),
где 7 = JJ A — riCj)-1— производящая функция для неотрица-
тельных целочисленных матриц. Дать схематическое описание вы-
вывода обыкновенного дифференциального уравнения для F, исходя
из системы дифференциальных уравнений в частных производных
для V, получаемой с помощью теоремы о Г-рядах.
3.5.6. (а) Показать, что число собственных А;-покрытий множе-
множества Л'п равно
lx1 ... xn\ \\ JJ A + xa .. .xa,\.
a1<...<aj
(б) Показать, что производящую функцию из п. (а) можно вы-
выразить следующим образом через суммы степеней:
223
(в) Пусть V{yu j/2) = r(G(s))|vs=v4=--<b где G(s) дана в
п. (б). Показать, что
где [i/"/^!] V есть число собственных 2-покрытий Jfn.
3.5.7. Показать, что число собственных /с-покрытий И°п поряд-
порядка t дается формулой
2w»...fcu
3.5.8. Показать, что число ограниченных собственных 3-покры-
тий И^п порядка t дается формулой
[xt ?] ехр{~ " ~ Т х* + Т ^} 2 7Г
ГЛАВА 4
КОМБИНАТОРИКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
§ 4.1. Введение
В этой главе дается общая теория перечисления последователь-
последовательностей над Jf+ по отношению к заданному блоку некоторого двух-
двухчастного разбиения {яь я2} множества JP+, при котором каждая
пара соседних элементов последовательности принадлежит тому или
другому блоку. Упорядоченная цепь, составленная из символов
блоков я,-, которым принадлежат последовательные пары соседних
элементов, называется схемой последовательности. В терминах схем
можно сформулировать некоторые задачи гл. 2. Например,
1. Проблема Андрэ (см. 3.2.22): перестановки, задаваемые схе-
схемой из (<^)*U(<^)*< (здесь Я1 — множество подъемов (см.
2.4.13), обозначаемых знаком <).
2. Проблема Симона Ньюкомба (см. 2.4.20): последовательности
со схемой иэ {<, >}* (т. е. все последовательности), в каждой из
которых имеется к подъемов.
3. Проблема Смирнова (см. 2.4.16): последовательности со схе-
схемой ИЗ (=5^)*.
В отличие от предыдущих глав в этой главе не вводится новых
представлений, поэтому она является «наименее комбинаторной».
В основном будут использоваться следующие представления для
множества схем:
4. {я15 я2}* =
5. {itlt я2}* = я2 (я]я1я2я2) jij.
Они в точности совпадают с представлениями из § 2.4, использо-
использованными при изучении бинарных последовательностей.
Чтобы компенсировать нехватку представлений, мы в § 4.3
разработаем некоторую совокупность процедур, называемую алгеб-
алгеброй схем, для нахождения фундаментальных производящих функ-
функций *Fi и 4^2, связанных с множеством схем. Эти функции сохра-
сохраняют комбинаторную информацию о схеме, и, кроме того, *F i —
обыкновенная производящая функция относительно типа последо-
последовательности, а Фг, определенная лишь для п\ = <, является эйле-
эйлеровой (см. [2.6.6]) по отношению к инверсиям (см. 2.6.1). Леммы
15 я. Гульден, Д. Джексон 225
0 сумме и произведении для Wi и 4^2 получаются путем рассмот-
рассмотрения соответственно объединения и сочленения схем. Основной ре-
результат, называемый теоремой об исключении, получен с помощью-
этих элементарных лемм, а также того факта, что соотношение
я2 = Ж+ — ftL позволяет обойтись в схемах без использования зхг.
Эта теорема дает возможность выразить Wi и х?^ для произволь-
произвольных множеств схем в терминах энумераторов последовательностей,
называемых я^цепями, схемы которых лежат в л,1.
Еще до введения алгебры схем мы воспользуемся представле-
представлением 4, включающим максимальные щ-цепи, чтобы получить тео-
теорему о максимальном цепном представлении для перечисления по-
последовательностей с точки зрения длин их максимальных sxi-цепей.
Этот результат сначала формулируется в § 4.2 без доказательства.
Там же показывается, что частные случаи этой теоремы приводят
к многочисленным результатам по перечислению различных после-
последовательностей, в том числе вида 1, 2, 3. Для последовательностей
типа 1, представляющих собой перестановки, удается без труда
получить результат в явном виде с помощью лемм о преобразова-
преобразованиях, которые позволяют находить [х1] в х?\ для трех специаль-
специальных двухчастных разбиений.
В § 4.4 даются методы перечисления циклических перестановок
с точки зрения схем. При этом опираемся на теорему о логариф-
логарифмической связи, с помощью которой получаем «циклически "i» ана-
аналог теоремы о максимальном цепном представлении, что позволяет,
например, без труда распространить многие результаты § 4.2 о по-
последовательностях на задачи о циклах перестановок.
В конце главы, используя теорему о логарифмической свк.п и
Главную теорему Макмагона, мы вычисляем перманенты некоторых
матриц комбинаторного происхождения.
§ 4.2. Теорема о максимальном цепном представлении
Перечисление последовательностей по их схемам начнем с про-
простейшего случая, а именно с перечисления последовательноста: в
зависимости от длин их максимальных jii-цепей. Разбиение множе-
множества на т частей будем называть т-разбиением.
4.2.1. Определение (л.-цень, д;-цепной тип).Пусть П =(jti, :xo) —
произвольное 2-разбиенне множества JC\.
1) Если 1~>2 и а = а1 .. . аг е УГ^такоЕа, что (а(, ai+\)^ ni для
1 =?1 ? =?1Z — 1, то а называется зтгцепью длины I. Любая последова-
последовательность длины 1 есть гн-цепь длины 1.
2) Если as^V+имеет /г- максимальных я^цепей длины i, то
кк1 (a) = (/j, /2, .. .) называется Я1-цепньш типом последователь-
последовательности а.
Например, если блок т порожден отношением <, т. е. п\ есть
множество подъемов, то последовательность р = 2 157 881 624 734
можно однозначно выразить в виде сочленения B) A578) (8)
A6) B47) C4) ее максимальных <-цепей. Такое представление
226
р называется максимальным <-цепным представлением. Ясно, что
1578 — максимальная <-цепь, так как она есть <-цепь, поскольку
1<5<7<8, а никакая из подцепей 21578, 15788 последователь-
последовательности р не является <-цепью, ибо 21 и 88 — не подъемы.
Пусть 9* — множество последовательностей на Jf+. Свяжем с
9 производящую функцию
относительно их типов т (см. 2.4.7) и ягцепных типов к, где I —
= (/ь ...), a fi — переменная, маркирующая максимальные ярцепи
длины i. В рассмотренном примере эта производящая функция
представляет собой одночлен
xx(p)fk<(p) = {Х\х\х^\хьх^\х\) (flflhh).
Цель зтого параграфа — сформулировать теорему 4.2.3 для нахож-
нахождения указанной производящей функции и применить ее к различ-
различным задачам о последовательностях. Производящая функция вклю-
включает в себя некоторые комбинаторно определенные функции, ука-
указанные ниже.
4.2.2. Определение (энумератор Ярцепей, эиумератор длин мак-
максимальных ярцепей).
1) Энумератором Ягцепей (ярцепным энумерагором) для цепей
длины к > 0 называется
T(i)S Vo(i)
о
где суммирование производится по всем ярцепям длины к. Обозна-
Обозначаем (ifo(ni), Tfi(^i), ...) через ч(т).
2) Энумератором длин максимальных я i -цепей пазывается
Теперь можно сформулировать основную перечислительную теоре-
теорему зтого параграфа. Ее доказательство будет дано в 4.3.12. Инвер-
Инверсии и числа /с!, определены соответственно в 2.6.1 и 2.6.4.
4.2.3. Теорема о максимальном цепном представлении. Всего
имеется:
1) Lx1!*] (F о 7(^i))-1 последовательностей на JP+ типа i с
Лтцепным типом к;
2) [q'ikxn/n\q] (F'1 о цч)~1 перестановок на Jfn с <-цепным
типом к и i инверсиями, где
Обе композиции теневые.
Мы будем иметь дело, главным образом, с 2-разбиепиями
(я1, яг) общего вида, но некоторые из таких разбиений встреча-
15* 227
ются на практике особенно часто. Наиболее употребительные из
них нам уже встречались, однако для удобства приведем их
еще раз.
4.2.4. Определение (подъемы, соседи, с-соседи).
1) {(г, )') s Jf\ | i < )} называется множеством подъемов.
2) {(i, j) s Jf\ \j — i + 1} называется множеством соседей.
3) {(г, /)<= Л"%\ (г + l) = /modre} называется множеством с-сосе-
дей на Jfn.
Эти множества обозначаются <, + и © соответственно.
Например, последовательность 12346923434 можно следующим
образом представить с помощью ее максимальных +-цепей:
A234) F) (9) B34) C4).
Пусть ФAу(я1))—производящая функция множества 9" после-
последовательностей, которая перечисляет последовательности из 9" по
их типу и по щ-цепному типу. Такая форма производящей функ-
функции обеспечивается теоремой о максимальном цепном представле-
представлении. В частности, производящая функция относительно Jti-цепного
типа для перестановок на JPn из 9? равна
где Oe(Q[f])[[x]]. Таким образом, результаты о перестановках
и их щ-цепном типе можно получить, если удастся применить опе-
оператор [х\... хп]. Вообще говоря, это сложная задача, однако сле-
следующая лемма, доказательство которой предоставляется читателю
(см. [4.2.1]), показывает, что она может быть решена для подъемов,
соседей и с-соседей.
4.2.5. Лемма (<-нреобразование, -{--преобразование, © -преобра-
-преобразование). Пусть Ф(г/о, г/ь ...)—формальный степенной ряд от
(i/o, г/i, ...). Тогда
2. К... *„]ФG (+)) = М 2 к\[уЬ]ФA,ху,х*у, ...);
3. [*1 ... хп] ФG(©)) = №] 2 (*- I)' *fo*]-^ ФA. «У. х*У, ¦¦¦)¦
Эта лемма показывает в явном виде, как производящая функ-
функция нескольких переменных для последовательностей преобразует-
преобразуется в производящую функцию одной переменной для перестановок.
Заметим, что п. 1 леммы 4.2.5 дает экспоненциальную производя-
производящую функцию для длин перестановок.
В качестве примера применения теоремы о максимальном цеп-
цепном представлении рассмотрим вначале щ-альтернирующие после-
последовательности. Они представляют собой естественное обобщение
альтернирующих перестановок, определенных в 3.2.21.
228
4.2.6. Определение (яральтернирующая последовательность).
Последовательность а = О\О2... над JC+ называется л\-альтерниру-
л\-альтернирующей, еСЛИ (О1,О2)еЯ1, @2, Оз)еЯ2, (Оз, 04) ЕЩ, ....
Последовательность четной длины является Ягальтернирующей
тогда и только тогда, когда все ее максимальные я^цепи имеют
длину 2, и мы можем пользоваться теоремой о максимальном цеп-
цепном представлении. С другой стороны, в ягальтернирующих по-
последовательностях нечетной длины последняя максимальная iti-
цепь имеет длину 1, поэтому такие последовательности нельзя оха-
охарактеризовать неупорядоченной совокупностью длин максимальных
ярцепей. Усиленная форма упомянутой теоремы, учитывающая
также последнюю максимальную ягцепь, дается в 4.2.19.
4.2.7. Следствие (ягальтернирующие последовательности четной
длины). Имеется
п\-альтернирующих последовательностей типа i четной длины.
Доказательство. Энумератор длин максимальных Я1-цепей
для ягальтернирующих последовательностей четной длины равен
F (х) = 1 + х2, так как такие последовательности имеют максималь-
максимальные Я1-цепи только длины 2. Утверждение непосредственно сле-
следует из теоремы о максимальном цепном представлении. ?
Применим этот результат к частным видам разбиений.
4.2.8. <-альтернирующие перестановки четной длины. По 4.2.7
и лемме о <-преобразовании существует всего
альтернирующих перестановок четной длины на Jfn.
Это согласуется с 3.2.22, где было использовано дифференциаль-
дифференциальное представление.
4.2.9. +-альтернирующие перестановки четной длины. По 4.2.7
и лемме о +-преобразовании имеется
- з*у A + *V}-i
+-альтернирующих перестановок четной длины па Jfn- После не-
несложных преобразований получаем, что это число при п = 2тп
равно 2(-1)"-*А . )М.
При п = 4 имеется только одна допустимая перестановка,
а именно 3412, как и следует из формулы.
229
4.2.10. ®-альтернирующие перестановки четной длины. По 4.2.7
и лемме о ©-преобразовании имеется
, (к- 1)! х[yh]-± {1 - х*у A + ^2)-i}-i
©-альтернирующих перестановок четной длины на Jfn. Легко ви-
деть, что это число при ге = 2т равно 2т 2j (к — 1)! h , (— l)m~h.
ft=i \« — i/
При re = 6 имеется шесть допустимых перестановок, а именно,
125634, 341256, 563412, 614523, 236145, 452361, что согласуется с
формулой.
4.2.11. <-альтерлирующие перестановки четной длины, инвер-
инверсии. По теореме о максимальном цепном представлении и 4.2.7
имеется
jih i-г
\h . x
B^)!,
<-альтернирующих перестановок четной длины на Jfn с i инвер-
инверсиями (см. 2.6.4).
Приведенная здесь производящая функция обозначается sec, ж
и называется g-аналогом секанса. По этой формуле число <-аль-
тернирующнх перестановок на Jf% точно с двумя инверсиями равно
Эта единственная перестановка есть 132546 с двумя инверсиями —
C,2) и E,4).
Следующая группа примеров относится к перечислению после-
последовательностей по числу появлений л,\ в их схемах.
4.2.12. Следствие (последовательности, тип, появления л\). Чис-
Число последовательностей типа i, в которых пары соседних элементов
из Л1 появляются ровно р раз, равно
f 1 — s (« — iM"-1 yj («
Доказательство. Максимальная ярцепь длины к > 1 содер-
содержит к — 1 соседних пар из я^ поэтому fh = u", где и маркирует
появления Я[ в схеме. Поэтому энумератор длин максимальных
Jti-цепей равен F(x) — {1 — (и — 1)я}/A — их). Искомый результат
легко получается из теоремы о максимальном цепном представ-
представлении. О
Приведем несколько частных случаев этого утверждения. Они
были получены ранее другими методами.
4.2.13. Последовательности и подъемы (проблема Симона Нью-
комба). Мы хотим найти число последовательностей типа i с к
230
подъемами. Так как 7j'(<) = \х'\ ПA + ххд> то п0 4.2.12 иско-
мое число равно
[и"хЦ (и - 1) (и - П A + (« - 1) а
В приведенной здесь производящей функции свободный член 1
соответствует пустой последовательности. Если его отбросить, то
приходим к производящей функции из 2.4.20, полученной для спа-
спадов. Эквивалентность этих результатов следует из того, что подъ-
подъемы можно, не изменяя типа последовательности, превратить в сла-
ды, читая последовательность в обратном порядке.
4.2.14. Последовательности и уровни (проблема Смирнова). Рас-
Рассмотрим 2-разбиение (=, Ф). Первый блок Jti соответствует мно-
множеству уровней (см. 2.4.13). Но по 4.2.2A) fj(=) равно s, — сум-
сумме степеней. Полагая в = 0 в формуле 4.2.12, получаем, что число
последовательностей типа i, не имеющих уровней, равно
что согласуется с 2.4.16.
Конечно, следствие 4.2.12 можно применять к другим частным
случаям, например, к перечислению перестановок с заданным чис-
числом подъемов и инверсий, соседей и с-соседей. Эти и другие част-
частные случаи предлагаются в качестве задач.
Третье следствие относится к перечислению последовательностей
с заданным числом ярцепей длины р. Этот результат был получен
для Я1 = < в 2.8.8 с помощью выделенных подцепей.
4.2.15. Следствие (последовательности, Ярцепи длины р). Число
последовательностей типа i, имеющих точно j п\-цепей длины р,
равно
[м'х1] {A — х) A — их) {1 — их + {и — 1) хру-г о 7 (л^}.
Доказательство. Максимальная ярцепь длины к содержит
к — р + 1 ярцепей длины р, если к&*р, и ни одной такой цепи в
противном случае. Поэтому fk = uk~p+l + 1 при к > р и /й=1 при
к<р, где и маркирует Ярцепи длины р. Таким образом, F(x) =
= A — ж)~'A — их)~1{1 — их + (и— 1)хр), и искомый результат сле-
следует из теоремы о максимальном цепном представлении. ?
Отсюда вытекают следующие частные случаи.
4.2.16. Последовательности с Ярцепями длины 3. По 4.2.15
имеется
h
2 (— l)h (I — U)h 2
го г=о
последовательностей типа i с / ярцепями длины 3.
231
4.2.17. Перестановки с <-цепями длины 3, инверсии. Из 4.2.16
и теоремы о максимальном цепном представлении следует, что
всего имеется
k
'9
перестановок на JCn с / <-цепями длины 3 и г инверсиями.
В последнем примере из этой группы встретится мультиплика-
мультипликативный вес.
4.2.18. Перестановки с заданным произведением длин макси-
максимальных <-цепей. Пусть с(т, п) — число перестановок на Jfn,
в которых произведение длин максимальных <-цепей равно /п.
Принимая во внимание замечание 2.4.29, положим в теореме о мак-
максимальном цепном представлении Д = i~s, где s — переменная.
Тогда по лемме о <-преобразовании
где F(x) = 1 + ж/1' + x2/2s + ж3/38 + ... . Производящая функция для
с(т, п) экспоненциальна по ? и является функцией Дирихле по s
(ем. 2.4.25).
Как уже отмечалось в случае с яi-альтернирующими последо-
последовательностями нечетной длины, иногда бывает необходимо рассмат-
рассматривать последнюю максимальную Ярцепь отдельно от остальных.
В этих случаях используется теорема о максимальном цепном пред-
представлении в следующей усиленной форме (ее доказательство пред-
предлагается в качестве задачи D.3.1]).
4.2.19. Теорема о максимальном цепном представлении с выде-
выделенной последней цепью. Пусть F (х) = 1 + j\X + fix2 + ..., a G (х) =
= g\% + gz%2 + ... . Тогда _ _
1. Существует [xjfkg-m] (GF~X о 7(ях)) (F~l ° "^(^l)) последова-
последовательностей типа i из JP+, у которых последняя максимальная пг
цепъ имеет длину m > 1, а ее отбрасывание приводит к последова-
последовательности щ-цепного типа к.
2. Существует [gigmfk^n/ra!g] (GF~X ° т)д) (F~x« rig) перестано-
перестановок па Jfn с i инверсиями, у которых последняя максимальная
<-цепъ имеет длину т>1, а ее отбрасывание приводит к пере-
перестановке <-цепного типа к. Как и ранее ti« = A, xll\q, x2l2\q, ...).
Производящие функции F(x) и G(x) называются соответствен-
соответственно нефинальным и финальным энумераторами длин максимальных
Jti-цепей, Степенной ряд G(x) не содержит свободного члена, так
как считается, что всякая непустая последовательность оканчива-
оканчивается некоторой максимальной цепью. Чтобы получить теоре-
теорему 4.2.3, положим в теореме 4.2.19 gt = fi для ?5= 1, т. е. G = F — 1.
Отсюда следует, что
232
Это согласуется с теоремой 4.2.3, так как пустая последователь-
последовательность, производящая функция которой равна 1, не имеет непустой
финальной цепи и потому не учитывается теоремой 4.2.19. В силу
этого мы можем называть и теорему 4.2.3, и теорему 4.2.19 теоре-
теоремой о максимальном цепном представлении.
В заключение мы используем эту теорему, чтобы завершить
изучение щ-альтернирующих последовательностей.
4.2.20. Следствие (ли-альтернирующие последовательности не-
нечетной длины). Всего имеется
[xi] B (-1)" Ък+1 (п,)) B (- i)fe 42k (я) у1
\k>0 I \Ь>
sii-алътернирующих последовательностей нечетной длины и типа i.
Доказательство. Любая ni-альтернирующая последователь-
последовательность нечетной длины оканчивается максимальной ягцепью длины
1, поэтому G(x) = x. Остальные максимальные ni-цепи имеют дли-
длину 2, поэтому F{x)=' 1 + х2. Искомый результат следует из теоремы
о максимальном цепном представлении D.2.19). ?
Приведем два частных случая этого утверждения.
4.2.21. <-альтернирующие перестановки нечетной длины, с ин-
инверсиями. По 4.2.20 и теореме о максимальном цепном представ-
представлении число <-альтернирующих перестановок нечетной длины с i
инверсиями равно
Производящая функция в этой формуле обозначается tgqx и на-
называется g-аналогом тангенса.
4.2.22. <-альтернирующие перестановки нечетной длины. Из
леммы о <-преобразовании и 4.2.20 (или же из 4.2.21 при д = 1)
следует, что всего имеется
<-альтернирующих перестановок нечетной длины га, что согласу-
согласуется с 3.2.22.
Примечания и ссылки
D.2.3) Gessel A977), Jackson and Aleliunas A979); D.2.11)
Gessel A977), Stanley A976); D.2.19) Jackson and Aleliunas
A979); D.2.21) Gessel A977), Stanley A976).
[4.2.5] Riordan A958); [4.2.6] Gessel A977), Stanley A976);
[4.2.9] Carlitz A973b); [4.2.10, 11] Carlitz A978); [4.2.12] Carlitz
and Scoville A974); [4.2.13] Salie A963); [4.2.14] Tanny A976);
[4.2.15] Stanley A976); [4.2.16] Carlitz, Scoville and Vaughan A976);
[4.2.17] Reilly and Tanny A980).
233
ЗАДАЧИ
4.2.1. Доказать лемму 4.2.5.
4.2.2. (а) Пусть Ф(уо, \)\, •¦•) — формальный степенной ряд от
переменных (j/о, У\, •••)• Доказать, что
i (;)[f (?л^1 . «г.. • о,
где
7Г 7Г=Л
для
(б) Показать, что число <-альтернирующих последовательно-
последовательностей, содержащих каждый элемент г (i=l, ..., п) дважды, равно
и — О
4.2.3. Показать, что число последовательностей типа i, в кото-
которых все максимальные ягцепи имеют длину к, равно
U>o
4.2.4. (а) Используя теорему о максимальном цепном представ-
iiii. показать, что число перестановок на А°пъ с т инверсиями,
в которых каждая максимальная <-цепь имеет длину jk при неко-
некотором ; >¦ 1, равно [qm](nk)\q(k\q)-n.
(б) Получить результат п. (а) методами § 2.6.
4.2.5. Показать, что чпело перестановок на Jfn с к максималь-
максимальными я:-цепями равно
(а) [^ -^-] A-й) {1 - ue<i-«>*}-i для я, =
(б) [ик] 1\ и"; A - и)"-« (п ~ 1) для лх =
(в) [и'<] njj (i —1)!и*A — и)п^(п-Л для лх = е.
4.2.6. (а) Показать, что число последовательностей типа i с к
максимальными <-цепями равно
- и){ 1 - u]J
(б) Показать, что число упорядоченных разбиений числа т на
п частей с к максимальными Оцепями равно
[и':утхп] A — u)\l — цП A + A — и
234
(в) Показать, что число перестановок на JCn с т инверсиями
и к максимальными <-цепями равно
*<r 5-1 а -«) (i -«п
4.2.7. Показать, что число последовательностей типа i, в кото-
которых длина любой максимальной лi-Цепи больше р, равно
2 Г.) (- IM (Ург+т (ЯО - ypi+m+1 (Я,))
4.2.8. (а) Показать, что число перестановок на Jfn с т инвер-
инверсиями, у которых к максимальных <-цепей имеют длину не мень-
меньше, чем р, равно
д! 1^, / ,-Pt „p»+i N \-i
(б) Показать, что число перестановок на ИСП, у которых к мак-
максимальных <-цепей имеют длину не меньше, чем 2, равно
[uhxn/nl](chzx — z~x shzz)", где z = (l —иI/2.
4.2.9. Показать, что число <-альтернирующих последовательно-
последовательностей типа i равно
И (г - рП A + р^-) + рП A - р^)](П A+р^-) + П A-р^
где р2 = —1.
4.2.10. Показать, что число перестановок на Jfn с к максималь-
максимальными <-цепями, причем последняя максимальная цепь пмеет дли-
длину Z = (i —/) (modi), а все остальные имеют длину Z = 0 (modf),
равно
[ ] (xz) [ 1 - »ф^0) (xz) Г\
где фDг)(а;)= 2 xtl+i/(tl + i)\ называется функцией Оливье, a z —
4.2.11. Показать, что число перестановок на ЛР„ с к максималь-
максимальными <-цепями, из которых последняя максимальная <-цепь не
короче s, а все остальные не короче t, равно
( t t—s aix 1 f * a-v 1 —1
I у a- ae l !'„ .*,* 1
где cti, ..., ccj — корни уравнения z1 — z' + ц = 0, a t > s.
4.2.12. Элемент о; в перестановке oi... о„ на ЛС, называется
максимумом, если o,-i < о; > oi+i B < i < га — 1). Показать, что чис-
число перестановок на Jfn с к максимумами и ? подъемами равно
где ai + «2 = г + 1, ai«2 = ги.
235
4.2.13. Показать, что число перестановок на JC*, у которых по-
последняя максимальная <-цепь имеет четную длину, а все осталь-
лые максимальные <-цепи имеют длину 2, равно с„/2 (га ^= 0), где
с„ = [хп/п\](сЪ xlcosx) есть число Салье.
4.2.14. Показать, что число перестановок на JCn
(а) с / подъемами равно
u-> —j-\(u — 1) {u — e*"-1^}-1 (см. также 2.4.21);
(б) с / соседями равно
[uixn] 2 A;! xh A-х (и— l))~h;
(в) с / с-соседями равно
2 klxk{l-x(u— 1);
4.2.15. (а) Рассматривая последовательности над алфавитом
JC%, показать, что число наборов по к последовательностей одина-
одинаковой длины с / появлениями Я[ па определенном месте, причем
последовательность I имеет тип U = (in, in, ¦•¦)¦, равно
где X; = (хп, Xi2, ...), a Ym(nl5 X;) = 2ХТ°\ и суммирование про-
производится по всем Я]-цепям длины пг.
(б) Показать, что число наборов по к перестановок на Jfn с j
появлениями
1) подъема па определенном месте в каждой перестановке равно
2) соседей па определенном месте равно
3) с-соседеп на определенном месте равно
\uhn] га" X (i - 1I" г* {1 - (и - 1) г}-*.
4.2.16. Показать, что число пар последовательностей одинаковой
длины над JF+, причем первая последовательность в каждой паре
имеет тип ib а вторая — тип i2, с t подъемами в первой последова-
последовательности и t уровнями во второй последовательности на опреде-
определенных местах равно
2] f i
J I
[] f + (i - «)-1 s f п (* + (»-
236
4.2.17. Пусть
М- = {а, + 1, ..., а, + iu а2 + 1, ..., а2 + ?г, .. ., ат + 1, ..., ат + ?т},
где ii, ..., im3*l, ai^O и aj+i>a,+ jj G = 1, •.., т—1). Пока-
Показать, что число перестановок элементов М- с / соседями равно
где k = (Ai, ..., кт), i=(ii, ..., im), s(k) = fa + ... + km, a
§ 4.3. Алгебра схем
В § 4.2 мы видели, что последовательности и перестановки
можно перечислять по отношению к их максимальным Я1-цепям.
Далее будем рассматривать перечисление последовательностей при
более общих условиях на их схемы.
4.3.1. Определение (схема). Пусть П=(яь Яг) — произвольное
2-разбиение множества Jf+ = я0 и пусть у, = яго ... ят(_1 е {я0,
1. Будем говорить, что о1 ... a( s JP+ имеет схему ц, если
(a,-, Oj+1) s Jimj для у = 1, ..., I — 1, и что эта схема имеет длину l|xi,
равную Z. Пусть е —• нулевая цепь в Qn. Множество последователь-
последовательностей, имеющих схему 8, есть JP+.
2. Пусть <]л> обозначает множество всех последовательностей
над Л"+, имеющих схему \х. Если \ц, \Х2 е Qn, то положим
<|X1 U (Х2> = <|ii> U <(Х2>.
3. Пусть а е йп. Тогда «а» обозначает множество тех последо-
последовательностей из <а>, которые являются перестановками множества
Jfh для некоторого к > 0. Для удобства положим Jf\ = w.
Например, 3642 715 е «я^го^ягла», где щ = <., так как
3 642 715 —это перестановка со схемой Я1Я2<й2я2Я1. Подчеркнем, что
каждой последовательности можно приписать не одну схему. На-
Например, та же 3 642 715^ <<я,Я2(я2Я1J», т. е. она является также
перестановкой со схемой Я)Я2(я2Я1J, где Я) = <. Однако в {Я1Я2}*
схема любой последовательности определяется однозначно.
Чтобы связать со схемами некоторую производящую функцию,
рассмотрим вначале множество кодирований.
4.3.2. Определение (матрица инцидентности, множество коди-
кодирований).
1. Матрицей инцидентности для схемы \i длины I называется
„ ха .
1
237
2. Множество кодирований для Йп определяется как
где йп = {'tii\i> 1), а у = (г/ь . •.) — множество коммутирующих пе-
переменных. Будем обозначать I(ni) через А, а Ця2) через В.
Коэффициенты с((у) можно рассматривать как полиномы, коди-
кодирующие комбинаторную информацию о схеме ц(.
Каждой перечислительной задаче о последовательностях с за-
заданными схемами можно сопоставить элемент из 8'. Например, эле-
элементом из е>, соответствующим перечислению яральтернирующих
последовательностей нечетной длины, является
S Г(и).
^=(л1лг)*
Теперь можно определить производящие функции, связанные с
элементами из е>, которые заключают в себе информацию о типах
т(о) последовательностей о и о числе /(р) инверсий в перестанов-
перестановках р, а также информацию об их схемах щ, кодируемую с по-
помощью Cj(y).
4.3.3. Определение (фундаментальные производящие функции).
Пусть U = 2 СД (И*г) — произвольный элемент множества 8'. Фун-
даментальными производящими функциями для U называются
2- ,() 2 1 T^q
где I o| обозначает длину о.
Например, [х1]'[?1A((п1л2)*)) есть число пгальтернирующих по-
последовательностей нечетной длины и типа i, в то время как
[qkxn/n\q] Чг2A((я1Я2)*)), где п\ = <, есть число <-альтернирую-
щих перестановок нечетной длины пек инверсиями. Далее в этом
параграфе будут рассмотрены нахождение и применение фундамен-
фундаментальных производящих функций ^1D) и ^(U) для U eg". Нач-
Начнем с рассмотрения матриц инцидентности для объединений не-
непересекающихся множеств схем и для произведений (т. е. сочленений)
схем.
4.3.4. Предложение (матрицы инцидентности для объединения
и произведения). Если jxi, Ц2 е ^п, то
1. 1(,1и и |i2) = 1(щ) + I(ii2) при <(Х!>п<ц2> = 0;
2.
3.
где X = diag(x). Будем обозначать XJ через W.
238
Теперь можно сформулировать леммы о сумме и произведении
для фундаментальных производящих функций.
4.3.5. Лемма (о сумме, произведении для фундаментальных про-
производящих функций). Пусть U, Ve^. Тогда для i = l, 2 имеем
(
2. a) 1Fi(UWV)=4f1(ULr,(V),
fi) ?2(UWV)=?2(ULr2(V) для m = <;
3. ^(си) = с?Ди) для csQ[y].
Кроме того, справедливо 4ri(U) = trUW.
Доказательство.
1. Это утверждение следует из определения 4.3.3.
2. Случай i = 1. Из определения 4.3.2 получаем, что 4fi(U)
= tr UW. Поэтому Т1 (UWV) = tr UWVW = (tr UW) (tr VW)
{){)
Случай i = 2. Пусть U = S йГ(цО, a V = 2 ЙД Ы- Tor«a
7I@)
Но т\о ле.;ме 2.6.6 имеем
m{ /до'с=«р,{» a»s«Hj»
где |(Х;1 = ?Иг, 1 jh-jI = 7?ij, a iu.jGHij| =mt + my Поэтому
'l) gI(CW(a'') =
ЛЯП* i I I U I —Г" I U IJi_ I \ \J I ,—
=i2Ci >: *'«"'¦
¦кТь
2*
>
9
Ко") '
2
Се«ц;->>
откуда следует требуемый результат.
3. Этот результат очевиден. П
Тот факт, что 4fi(U) = trUW для и^*?, в этом параграфе не
используется, по он будет иметь существенное значение для рас-
рассмотрений в § 4.4 и § 4.5. Следующая теорема устанавлипает
связь между фундаментальными производящими функциями и пг
цепными энумераторами.
4.3.6. Предложение (лгцеппой энумератор). Пусть f(x) — co +
+ с{х + с2х2 + .... Тогда
2. V(/(() ))(/) л.
239
Доказательство.
1. Используя лемму 4.3.5C), определение 4.3.3A) и предложе-
предложение 4.3.4B), получаем
Yi (/ (А)) = 2 а^ (А1) = 2 сф+1 К) = B Ci**+1) ° V(«i).
откуда следует требуемый результат.
2. Доказывается аналогично п. 1. П
Рассмотрим некоторые непосредственные приложения этих
эультатов.
4.3.7. я 1-альтернирующие последовательности нечетной длины..
Множество всех яi-альтернирующих последовательностей нечетной
длины есть <(тЯ2)*>. Свяжем с рассматриваемой задачей элемент
U= 2 %)е^,
)»
тогда число яральтернирующих последовательностей нечетной дли-
длины и типа i равно [х1] Ч^ (U). Но по 4.3.4
U = 2 1((я1я2)") = 2 (Ifon,))* = (I - Ця^Ця,))-! = (I
Теперь необходимо выразить Vf^U) через 4ri(A"~1) = f()
Пусть Н = АВ; тогда, исключая В и учитывая, что B = W —А, по-
получаем
I - Н = I - A(W - А) = I + А2 - AW = I - (К - L,WR,),
где К = —A2, Li = —A, Ri = I. Умножая обе части справа па U =
= A — Н)~', а слева на (I —К), получаем
(I-K)-| = U + (I-K)-|L,WR,U.
Используя лемму 4.3.5, получаем
для I = 1, а также для 1 = 2 при условии Я( = <. Это линейное
уравнение относительно 4ri(U) можно записать в виде
4f,(U)={l-4f(((I + A2)-1A)}'-14fi((I + A2)-1), Z = 1,2.
Но по 4.3.6
W, ((I + А2)"*) = X A + Я*)"! о 'у (Я,) = 2 (- 1
fe>0
1 - Vt ((I + A2)-i A) = 2 (- l)fe Уы ("г),
следовательно,
^(U) = {2 (- i)fcT«ft+i("i))f 2 (- 1)*?2*(Я1
что согласуется с 4.2.20. Аналогичным способом, используя
240
4.3.6B), получаем
Таким образом, нашли ^((I — H)), где Н = АВ, решая ли-
линейное уравнение, связанное с соотношением Н = —А2 + AW. В об-
общем случае 4ri(C(I — H)~'D) определяется из системы s линейных
уравнений, связанной с разложением
Н = К - 2 LjWRi,
называемым факторным разложением Н.
4.3.8. Теорема об исключении. Пусть К, Н, С, D, L,-, R,- e jg для
S
i = l, ..., s и пусть Lo = О, Ro = С. Если Н = К — 2 L*WR.t, mo
для Z = 1, 2 имеем
4
где
( )
Доказательство. Пусть Те^1. Умножим обе части равен-
равенства
слева на ТA —К), а справа на (I —H)~'D. Тогда по леммам
о сумме и произведении для х?{ имеем
Yi (Т (I - K)-i D) = V, (Т (I - H)-i D) +
+ 2 ?, (Т (I - K)-i U) ^ j(Rfc (I - H)-i D).
ft=l
Полагая поочередно Т = С, Ri, ..., Rs, получаем систему из s + 1
линейных уравнений для функций у = Wi (Rj (I — Н) D) @ ^
^/ ^ s). Нас интересует функция l[l) = ?< (Ro (I — Н)-1 D) =
= 4?i (С (I — H)-1D). Полученную систему уравнений запишем
в виде
til) + 2 У г (^ (I - К)-1 h) If = 4°, 0 < i < s.
i=i
Искомый результат получается по правилу Крамера. Е
Теорема об исключении сводит нахождение производящих функ-
функций 4r,(C(I — H)~'D) к соответствующей задачео 4fi(Ri(I — K)~'Lj),
16 я. Гульден, Д. Джексон 241
а эти функции определяются по 4.3.6, если К зависит только от А,
т. е. В уже исключено. Отсюда и название теоремы. В дальнейших
рассмотрениях R;, L, и D достаточно просто выражаются через А.
Поэтому элементы М(/> и d(/> можно выразить в терминах ()
4.3.9. Определение (левое, правое разложения). Пусть
Предположим, что Н можно представить в форме
Н = К - 2
где К, Lft, I^ e <§ для 1 ^ к < s. Если К, LA (соответствешю RJ не
зависят от 1(лг) для 1 < к < s, то тайое факторное разложение на-
зыкаотся левым (соответственно правым) разложением Н.
Левое и правое разложения получаются с помощью следующего
алгоритма.
m
4.3.10. Алгоритм (факторное разложение). Пусть Н = 3
где c;eQ[y], и.(^?2п Для l^iKm. Мы говорим, что А, = (
приведено слева, если А; либо не содержит W, либо не содержит
В левее первого появления W (считая слева).
Если А,- не является приведенным слева, то заменим в нем са-
самое первое В на W — А, что приводит к разложению А; на два сла-
слагаемых, из которых по крайней мере одно приведено слева. Повто-
Повторяем этот процесс до тех пор, пока все члены по станут приведен-
приведенными слеп?.. Ясно, что этот процесс в конечное число шагов приво-
приводит к левому разложению. Если «левое» всюду заменить на «пра-
«правое», то получим правое разложение.
Сформулируем общую стратегию в задачах Ееречислеппя после-
последовательностей с точки зрения их схем.
4.3.11. Замечание (общая стратегия). Пусть ^ейп — множе-
множество схем.
1. Образуем элемент U = C(I — H)~1De^', соответствующий
множеству °И. Это достигается с помощью лемм о сумме и произ-
произведении для матриц ипцидентиости (предложение 4.3.4).
2. Используем алгоритм факторного разложения для получения
левого (соответственно правого) разложения Н в следующей форме:
Н = К- S
В результате К и L{ (соответственно R*) не зависят от В для
Ki<s.
3. Используем теорему об исключении, чтобы выразить xFi(U)
через 4^^,A-К)-'Ц) для К i, / < s.
4. Находим ^(R.^I — K)~'Ly), для чего выразим Rf(I — K)~'Lj
только через А, исключив В из Ri или LJt а затем воспользуемся
242
соотношениями
если я, =
Применим общую стратегию и теорему об исключении для до-
доказательства теоремы о максимальном цепном представлении (см.
42.3).
4.3.12. Доказательство теоремы о максимальном цепном пред-
представлении. Любая последовательность из Л*+ имеет единственную
схему в {Я1Я2}*. Воспользуемся представлением
которое выявляет максимальные Ягцепи. Пусть переменные f, мар-
маркируют максимальные Ягцепи длины j. Тогда по замечанию 4.3.11
элемент из S", соответствующий перечислению J? + с точки зрения
длин максимальных ярцепей, есть
и = S B /W
поскольку л^л2 показывает наличие максимальной ni-цепи длины
7 + 1. Поэтому
и = fi - 2 fi+jfrinj}-12 /«+№!)¦
Пусть F(;r) = 1 + /1Ж + /га;2 + ... — энумератор длин максималь-
максимальных п,-пеней и f(x) = U + f2x + fsx2 + .... Тогда U = C(I-H)D,
где С = 1, И = /(А)-В, a D = /(A). Теперь H = K-LiWRb где
К = — А/(А), Li = — /(A), Ri=I, есть факторное разложение И.
Из теоремы об исключении (при s=l) следует, что для i=l, 2
так как I — К = I + A/(A) = F(A) и степенные ряды от А комму-
коммутируют. Таким образом, по 4.3.6
1 + 4^A1)= {1 -{xfF-1" Y(ni))}-1 = (F-1 «^(ni)}-1,
а 1 + 1i)-2(U) = G?'~1 о rjg). Это зазершает доказательство. ?
Обратимся теперь к задачам с повторяющимися схемами.
4.3.13. Определение (последовательность с повторяющейся схе-
схемой). Если ц, ц'е?2п = {я1, Яг, ю}*, то ое<ц*|х'> называется по-
последовательностью с повторяющейся схемой ц.
Очевидно, что задача об Ягальтернирующих последовательно-
последовательностях — это задача о последовательностях с повторяющейся схемой
я 1^2. Мы смогли решить эту задачу в 4.2.7, воспользовавшись тео-
теоремой о максимальном цепном представлении, так как такие по-
последовательности вполне характеризуются длинами максимальных
16* 243
я [-цепей. С другой стороны, последовательности с повторяющейся
схемой %\п\ нельзя перечислить с помощью теоремы о максималь-
максимальном цепном представлении, поскольку такие последовательности
нельзя охарактеризовать с помощью неупорядоченного множества
длин максимальных лгцепей. Однако к общим задачам о последо-
последовательностях с повторяющимися схемами можно применять теоре-
теорему об исключении.
4.3.14. Последовательности с повторяющейся схемой я\л1. Рас-
Рассмотрим перечисление множества Цл1п1) я^), где к равно 0 или 1.
Следуя общей стратегии (замечание 4.3.11), находим, что согласно
леммам о сумме и произведении для матриц инцидентности U =
= A —А^2)"^* является элементом множества кодирований <%,
соответствующим этой задаче. Искомая производящая функция рав-
равна поэтому ^((I — A2B2)-'Ak). Пусть Н = А2В2. Факторное разло-
разложение для I — Н получается из левого разложения:
I-H = I-A2(W-A)B = I- A2WB + A3B =
= I - A2WB + A3 (W - А) = I - А4 - A2WB + A3W.
В обозначениях теоремы об исключении
I - Н = I - К + L.WR, + L2WR2,
где I - К = I - A4, Lo = О, Ro = I, L, = - A2, R, = B, L2 = A3, R2 =
= I. Из теоремы об исключении следует, что
1
0
0
V
p
1 —4
!<(!-
азить
((I — K)
\ (B (I —
h ((i - к
K)-»Aft)
- K)~JA
K)-1Aft)
M(l) n
lA
кг
—
ft)
d@
2)
-Ч2)
A2)
.
через
?; ((I - K)-JA
ЧГ, (B (I - K)~
1 + Yj ((I — К)~^А
1f(ni), когда Z =
3)
'A3)
3)
1
= 1. Имеем
так как I — К = 1 — А4. Обозначая эту функцию через Gr+i и заме-
заменяя В на W — А, получаем
1
0 1 —'
0
Но
"f (щ) = Go,
244
поэтому 1 М@1 = G% — GjGg. Итак,
0
~Gh+2
Gk+l
0
Go
~G3
— 1
— G
С
.
т. e. I [M<" : d<"]o I = G0Gh+1 - G3Gh+2.
Таким образом, число последовательностей типа i со схемой
(п\п\)*п\ равно [х1]С(^(я1)), где
-G.G,)-1, a Gr= 2()
Этот результат может быть, в частности, применен к переста-
перестановкам.
4.3.15. Перестановки с повторяющейся схемой Я1Я2, для подъ-
подъф
р р
емов. Мы воспользуемся производящей функцией ^(U), получен-
полученной в 4.3.14. По лемме о <-преобразовании для перестановок с
Я1 = < имеем С, = ^A - z4)-1 ° ц, гдеТ| = A, ж/1! х2/2\, ...). Но
A — х)~1 о ц = ех, поэтому для 0 < к ^ 3
1{е + Г'"егх + i~2
111
т. е. Go = — (ch x + cos я), Gr = -^ (sh a; + sin #), G2 = -^(Л х — cos x),
G3 = -^(sha; — sin x). Поэтому из 4.3.14 следует, что число переста-
новок на ./Гп со схемами из {п\п\)*п\, где я5 = <;, равно
-^j- Utgx + thz) A+ sec a; sech ж)" при к = 0,
—71 tg a; thx(l + sec^sechx) при /b = 1.
Ясно, что 4.3.14 можно, в частности, применить к перестанов-
перестановкам с соседями или с-соседями, воспользовавшись леммами о
+-преобразовании и ©-преобразовании.
4.3.16. Последовательности с фиксированной схемой. Перечис-
Перечислим последовательности с фиксированной схемой
pt—1 р2—1 рт~ 1
ур
ющий элемент из & есть U = А В ... ВА m . Пусть
где т, р\, ..., рт — произвольные натуральные числа. Соответству-
Соответствусть U = А В ... ВА m . Пусть
Pi Дяя i = 1, ...,т; at = 0.
245
Чтобы получить систему линейных уравнений для 4^A1), приме-
применим левое разложение к V$ = А В ..
лучается следующее выражение для \{:
ним левое разложение к Vf = А ' В ... ВА т . В результате' по-
1 < i < т.
Пусть i? = Wi (VO (Z = 1, 2). Тогда применение Ч1", к обеим
частям дает, если воспользоваться леммами о сумме и произведе-
произведении для Wi и 4^2,
т
^И-Г1!,!^-)! 2 (-1/-<-1й'>*|(Ав'-1-в1-1-1),
Получили систему линейных уравнений для производящих функ-
функций $\ ..., ?го, в KOTopoii нам нужна лишь функция %л , так как
она равна 4ri(Vi)= Y^U). По правилу Крамера получаем
где <Г" ={&{', ...,d)n')*, dV' = (—1) Yam-ai_i(n1) (ls^is^m), а
[М(% = Г . ' ^-i-^-i i - ^ ^
[ 0 в противном случае.
Очевидно, что 1М( = 1, и поэтому искомая производящая функ-
функция равна
Если л\ = < и рассматриваются перестановки, то это выраже-
выражение можно существешю упростить.
4.3.17. Перестановки с фиксированной схемой и инверсиями.
Найдем число перестановок на Jfn с к инверсиями и со схемой
Pj—I pm—i , ,
Искомое число есть [qkxn/nlg] gj2', где
\т—1
что получается по 4.3.6 после перестановки столбцов определителя
из 4.3.16. Таким образом,
где ат = п в соответствии с обозначениями из 4.3.16. Следовательно,
246
До сих пор мы имели дело исключительно с задачами, связан-
связанными с произвольными 2-разбиениями Ы\, Яг) множества Jf%. Под-
Подход состоял в исключении одного из блоков, скажем яг, чтобы вы-
выразить искомую производящую функцию в терминах Ягцепных эну-
мераторов ч(п\) или xh/k\q. Понятие схемы можно обобщить на
3-разбиения Ы\, яг, яз) множества Jf%. Однако при этом могут воз-
возникнуть трудности, так как развитая выше теория допускает
исключение только одного из блоков 3-разбиения, например ац.
После этого возникают задачи определения производящих функций
Wi и Ч'г от различных выражений, включающих 1(яг) и 1(яз). Но
некоторые 3-разбиения имеют специальные свойства, которыми
можно воспользоваться, давая упомянутым задачам комбинаторную
интерпретацию. При этом важно то обстоятельство, что построен-
построенная теория допускает комбинаторную интерпретацию элементов
множества &, а также позволяет связать с интересующей нас за-
задачей некоторый элемент пз &'. Таким образом, при нахождении
4^A1) для Ue^ можно использовать как комбинаторные, так и
алгебраические средства. Рассмотрим одну задачу для перестано-
перестановок, связанную с 3-разбиеиием.
4.3.18. Задача с 3-разбиенисм. Мы определим число с (га, t, и)
перестановок на Jfn с t соседями н и подъемами. Пусть Я1 обозна-
обозначает множество подъемов, яо — множество иеподъемов, а яз — мно-
множество соседей. Но Яз ^ я.\, поэтому Ы\ — Яз, Яг, Яз) есть 3-разбие-
ние JP+. Таким образом, мы хотим перечислить множество (({я1 —
— яг. яг, яз)*)), причем переменные г и s будут маркировать, соот-
соответственно, подъемы и соседей. Элементы щ — яз являются подъ-
подъемами, но не соседями, поэтому они маркируются г. Элементы яз
одновременно и подъемы, и соседи, поэтому они маркируются rs.
Следовательно, по лемме о сумме и произведении для матриц ин-
инцидентности нашей задаче соответствует элемент из Ж:
U = (I - (г(А - С) + В + rsC) }-\
где А = I (лi), В = I(я2), С = I (яз).
Чтобы найти производящую функцию соответствующей последо-
последовательности — 4/i(U), положим H = r(A — C)+ B + rsC. Так как
В = W — А, то факторным разложением I — Н будет I — Н= I — К +
+ L,WRb где K = r(s-l)C + (r-l)A, Г., = —I, R, = I. Из теоремы
об исключении при s== 1 следует:
Нам остается лишь найти ^[({I — r(s— 1)С — (г— 1)А}~1) и при-
применить полученный результат к перестановкам. Для этого положим
r(s — 1) = у, r—i — y. Тогда
Но правая часть этого соотношения может быть интерпретирована
комбинаторно как производящая функция для всех <-цепей, со-
247
стоящих из к (не обязательно максимальных) +-цепей при некото-
некотором к>1, так как А = 1(<), а С = 1(+). Соседи внутри +-путей
маркируются v, а подъемы между+-цепями маркируются у. Ис-
Используем далее следующее построение.
Энумератор для всех +-цепей длины не менее 1 равев
2 v'~1yj( + )- Но <-цепи с к +-путями состоят из множества к
расположенных в определенном порядке +-цепей на различных эле-
элементах Jf+. А энумераторы этих последних встречаются ровна
к\ раз каждый в качестве членов, свободных от квадратов (отно-
(относительно х\, ...) в ( 2 v'~1Vj( + ))h- Так как остальные члены н&
уз>1
являются линейными по xt, они не дают вклада в соответствующий
коэффициент для перестановок. Таким образом, суммируя по всем
к^ 1, получаем
*>i [isn П
Это является вкладом последовательностей с неповторяющимися
символами в
поэтому
с (га, t, и) =
= [rVx1J|l - (г - 1)-V- 1 + ехр |(г-
1J|l - (г
Применяя лемму о +-преобразовании, получим:
с (re, i, u) =
= [ги8*хп\ 2 А! [у*Г(г-1)/-! I-/- ехр[(г- 1)а:у{1 - r(s - l^}) I,
откуда
с (га, *, и) = [ги5^п] S (г - I)*4!--'-1/*** {1 _ г (s - 1) 4~'J-
Нахождение нужного коэффициента в этой производящей функции
производится стандартным способом.
Закончим этот параграф некоторыми примерами g-тождеств, ко-
которые можно получить, рассматривая перестановки с повторяю-
повторяющейся схемой, перечисляемые по отношению к инверсиям. Хотя
можно было бы сформулировать и общий результат, характер по-
получаемых тождеств, пожалуй, более попятен в частных случаях.
Такие тождества выводятся с помощью двух разложений — левого
разложения с исключением В и правого разложения с исключени-
исключением А. Полученные при этом производящие функции затем прирав-
приравниваются, причем учитывается, что
(k+l\ ft+l
Первое тождество относится к двум g-аналогам тангенса.
248
4.3.19. q-тождество для тангенса. Производящая функция для
числа <-альтернирующих перестановок нечетной длины по отно-
отношению к длине и числу инверсий равна гР2(A — АВ)-1). В 4.3.7,
используя левое разложение для I — АВ и исключение В, получили,
что
¦¦B<-i)' *!№
B*)!,
B*+1I,
С другой стороны, правое разложение для I —АВ и исключение
А дают
I-AB = I + B2-WB = I-K + L1WR1,
где К = -В2, Li = 1, R! = -B; С
по теореме об исключении имеем
W2 ((I - АВГ1) = {1 - W2 (В (I +
Ro
¦¦ I, Lo = О, D = I. Поэтому
Г1ч'2(A + в2г1) =
Приравнивая два выражения для Чгг(A — АВ)), получаем
r2ft+l ^-, . Bh+l\ r2ft+l
B*+l)L
2 (-
\*а\" 21).
Bfc
r2k
; Bft)!e
Обе части этого тождества можно рассматривать как д-аналог
тангенса, так как при q — 1 обе они сводятся к tg х.
4.3.20. q-тождество для перестановок с повторяющейся схемой.
Рассмотрим перестановки с повторяющейся схемой п1п2, где П\ = <,
а яг = >, которые будем перечислять с точки зрения длин и инвер-
инверсий. Искомая производящая функция — это 4r2((l — A3B2)-1). Ле-
Левое разложение I — А3В2 и исключение В дают
I _ А3В2 = I - А5 - A3WB + A4W.
Из теоремы об исключении следует, что
((I -
F
4 1
F F
го 1
F F
Г 4 Г0
\ где F} = 2
xhk+i
Аналогично, правое разложение и исключение А дают
I - А3В2 = I + В5 - A2WB2 + AWB3 - WB4.
Из теоремы об исключении после несложных преобразований полу-
получаем
-1
249
Gl
3
G4
~G3
0
Gl
~ G2
-G4
Go
Go
G!
G2
~Gi
0
Gl
3
-G4
Go
где
, = 2 (-
(bh+j)
Приравнивая два выражения для Чгг(A — А3В2) '), получаем
д-тождество
F F
F F
Г4 Г 1
F F
F F
г 4 О
G0 -
Gn -(
-в,
Примечания и ссылки.
Этот параграф основывается на работах авторов A981b) и
A979); другие подходы см. Jackson and Aleliunas A977), Gessel
A977), Stanley A976), Viennot A978).
D.3.15) Carlitz and Scoville A975); D.3.17) MacMahon A915),
Stanley A976); D.3.18) Boselle A968).
[4.3.8] Abramson and Moser A967), Reilly A977); [4.3.10] Car-
Carlitz and Scoville A972); [4.3.11] Abramson A975); [43.13] Andrews
A975a), Jackson and Aleliunas A977); [4.3.14] Carlitz and Scoville
A973); [4.3.16-18] Jackson, Jeffcott and Spears A980); [4.3.20J
Stanley A976); [4.3.2Ц Carlitz, Scoville and Vaughan A973); [4.3.24]
Garsia and Gessel A979); [4.3.25] Andrews A971); [4.3.26] Gessel
A977), MacMahon A915); [4.3.28-30] Jackson and Goulden A981b);
[4.3.29] Carlitz A973a); [4.3.30] Spears, Jeffcott and Jackson A980).
ЗАДАЧИ
4.3.1. Доказать теорему о максимальном цепном представлении
при выделенной конечной цепи.
4.3.2. Пусть Е (х) = ^j eix1— энумератор длин начальных мак-
симальных я 1-цепей. Доказать, что число последовательностей типа
i с начальной максимальной Я)-цепью длины т, конечной макси-
максимальной Ягцепью длины I и к} неконцевыми максимальными л^це-
пями длины 7, 7^1, равно
где F и G — энумераторы длин нефинальиой и фипальной макси-
максимальной ягцени, k = (fcb k2, ...).
4.3.3. (а) Показать, что число перестановок на «/Г„ с i подъема-
подъемами и к локальными максимумами (см. [3.3.46 (в)]) равно
где
250
+ а2 = г + 1,
= ги.
(б) Получить результат [3.3.46 (в)] с помощью [4.3.2].
4.3.4. (а) Доказать, что в условиях теоремы об исключении
справедливо
где [№»]„ = 6„+ЧГ,(Щ1-К)-%) (?, /=1, ..., *), а 4° =
= Wi (R| (I — К) D) (? = 1, ..., s). Заметим, что строки и столб-
столбцы нумеруются с 1.
(б) Показать, что T,((S-TW)-1U)= ^(S-'UJd- ^(S-'T)}
(Z = 1, 2) для произвольных матриц инцидентности S, T, U при ус-
условии, что S обратима.
(в) Показать, что 1 + 4f!((S-TW)-'T) = A - ^(S-'T)} (l =
= 1, 2) для произвольных матриц инцидентности S, Т при условии,
что S обратима.
4.3.5. (а) Рассматривая <-альтернирующие перестановки, пока-
показать, что
(б) Показать, что
V / i)t ^Ц-1 =\(k(n-l
4.3.6. Предположим, что щх щп^ я2 .. . jtxm = я2г jtx X
' i
X л'' 1п1 ... л1г я,Яг1 \ Пусть а{ = Л /?j, а0 = 0, а Ъг = 2 9ii
= 0. Показать, что
я — ъ,
4.3.7. (а) Пусть с(/, fr, m, i) — число последовательностей типа
I с / подъемами, А; спадами и т уровнями. Показать, что если
А = Г(<), то
с (/, к, т, i) = [г^Гх»] Yt ((I - {гА + IX + f (W - X - А)})-*).
(б) Вывести отсюда [2.4.17 (а)].
4.3.^. Пусть &т — множество последовательностей над алфави-
алфавитом {яь ..., пт).
(а) Показать, что &т = %т-\ (птПт (&m-i — S'o))* ят, т>1,
^о = {е}, а 8 — пустая последовательность.
(б) Показать, что число перестановок на Jf* с ? возрастающими
4--цепями длины р и j убывающими +-цепями длины s равно
г {G (I - (V - I) (G -1))-* V},
251
где
a A = f(+), B = AT, C = W-A-B.
(в) Вывести отсюда, что искомое число равно
&\ У. к\ ** ii-ux+(u-i)xv-i + 1-те + (,-1)х^ _ Л\
?$0 [i-ux+(u-l)xp l-vx+(v-l)xs J
(г) Заменяя в п. (б) +-цепи на ©-цепи, показать, что соответ-
соответствующее число равно
4.3.9. (а) Пусть яз — множество уровней, а П = (я1, яг) — тако&
2-разбиение JFn, что яз ^ я2. Показать, что число последовательно-
последовательностей типа i с / появлениями яз и к появлениями Я1 равно
г>1
где z(l-(Z-l)z)-'=(z1(l-(Z-l)z1)-1, z2(l-(Z-l)z2)-1, ...), а
(б) Получить результат задачи [4.3.7 (б)] как частный случай
п. (а) при Я[= <.
4.3.10. Показать, что число последовательностей О1О2... типа i
таких, что oi < 02 > аз < ..., равно
где fj = 2л ^а, • ¦ • ^-а^! ^о = *¦•
4.3.11. Показать, что число перестановок на Л?„ с к инверсиями
„ Р.-1 Р,-1 Pm-l ,
и схемой яг я2Я! я2 ... Я! , где Я[ = < и р\ + ... + рт = п,
равно
2
где суммирование производится по упорядоченным подмножествам
a = {ai, ..., ajs^m, ai <...<% = m, s,- = aaj — ао;-_а, a at =
= S Рг. а«0 = 0.
4.3.12. (a) Показать, что число последовательностей типа i с
т.] (к,) появлениями числа / в качестве окончания (начала) макси-
максимальных Я1-цепей равно
[ymzV] tr Z (I - A - YBZJ^YW, где Y = diag (y,, y2, ...),
Z = diag(zi, z2, ...), У = (г/1, г/2, ...)» z =(zb z2, ...),
m = (mb m2, ...), k = (ku k2, ...).
252
(б) Показать, что число последовательностей типа i с т} по-
появлениями числа / в качестве окончания максимальных я^цепей
равно
[у"У] {1 - tr (I - (I - Y) AJ^YW}.
4.3.13. (а) Показать, что число последовательностей типа i с тгег
появлениями числа I в качестве окончания максимальных <-цепей
при I > 1 равно
[ymx4 ll _ 2 хт П A + хк A - yh))\ \
(б) Показать, что если цепи неубывающие, то искомое число
равно
[утх4 {1 - 2 хт П A - хк A - Ы
4.3.14. Показать, что число перестановок на Jfu с h, i\ подъема-
подъемами на местах с четными, соответственно нечетными, номерами и
/г, /1 спадами на местах с номерами соответствующей четности
равно \rW}fcUxnln\\ F, где
F = (ash(aa;) + (ri + /i) (ch(aa;)- 1)} X
X {г1Г2 + Ufa - {hr2 + n/2) ch (ax) }-\
(/)(/)
4.3.i5. Показать, что число перестановок на Jfn с т инверсия-
/ Р,—1 Ps— 1 \* г—1 ^,
ми и схемами из \ni я2 ... л1 к2) л1 , где Я[ = <, равно
Hlll1, где
d = {dlt ..., d,)T, dt = ф|+1а*-а| (ж), i = 1, ..., s,
tp(aj— aj)moda1 Wi ') 7 — -I) • • •; si
если
если
4.3.16. Назовем (nh яг)-структурой типа (i, j) (i, j>l) после-
последовательность со схемой Я1Я2.
(а) Показать, что число последовательностей типа i с началь-
начальной максимальной яг-цепью длины г>1, с финальной максималь-
максимальной ягцепью длины »>1 ис^ максимальными (я[, яг)-структу-
яг)-структурами типа (г, /) равно
Ci<*\ I J \r>i
где p( .)
253
(б) Показать, что 4f1(Fr)= l[M:d]r_il • |М|-\ где
d-(do, du ...), dt = (xi+l(l-Q(x))-iD(x))
<? И = 2 (- l)^i (*)**. a ? (i, 7) =
(в) Показать, что производящая функция в п. (б) может быть
выражена как отношение двух определителей порядка к, если г < к,
а ад = о (/>*).
4.3.17. (а) Показать, что число последовательностей типа i с
/ максимальными JTi-ценями длины р и т максимальными Лг-цепя-
ми длины s при р, s ^ 2 равно
{(I - zB + (z -1) Bs) (I - 2
-l) Ap)},
где
d = (z + 1I - (yz + у + z) A + z/zA2 + (y - 1) A",
Gs=(z-l)A-j/(z-l)A2 + (z/-l)(z-l)Ap, все остальные G,= 0.
(б) Показать, что предшествующая производящая функция мо-
может быть представлена в виде суммы трех определителей порядка
s+1. поделенной на еще один определитель того же порядка.
4,3.18. Показать, что число последовательностей типа i, не со-
содержащих максимальной (ati, Лг) -структуры типа B, 2), равно
['UMJIMJ-i, где
М.,=
xf Or3-
-x^f-x (x«-x&)f+i
/- {xZ~xb)f {x*-
a / = (l + «4-a:e)-1.
'13.19. Пусть Ф — производящая функция для последователь-
последовательностей, в которой /; маркируют максимальные Ягцепи длины i,
a Xj маркируют появление элемента j. Показать, что если перемен-
переменные ft не коммутируют друг с другом и то же верно для xit но ft
КОММУТИРУЮТ С Xj, ТО
254
где F{x)=
= 2 xo • ¦ • #ог. Следовательно,- теорема о максимальном
o1...ois(nl~1)
цепном представлении верна в некоммутативном случае.
4.3.20. Рассмотрим перестановки (оц, . •., Ои), • ¦., (оы, • •., акп)
на Л"п такие, что a(j < о;, ]+i для всех г = 1, ..., А; и всех /, за
исключением j = сц, аг, ..., От-\, где 0 = ао< ai < ... <Om-i <am =
= тг. Показать, что число таких множеств перестановок с ti инвер-
инверсиями в l-oii перестановке для I = 1, ..., к равно
тпх.т
?.3.21. Показать, что число последовательностей Oi...O2m на
2„ типа i с s подъемами, t уровнями и и спадами таких, что
-i-o^+i-i =- 2п + 1 A = 1, ..., т), равно
п п
4.3.22. Пусть цеЦ >}*, а Ф(ж) = Чг2A(М'))- Показать, что
число упорядоченных разбиений т па ге частей, имеющих схему \аг
равно [цтхп]Ф(цхA —q)~x), а число перестановок на JCn с т ин-
инверсиями и схемой [л равно [gmar"/re!q] Ф(х).
4.3.23. (а) Пусть &, 9*\, &ч — мпол;ества перестановок такие,
что
& = WaCrp|a'e ^j, a"e ^2, a 0 P = -^ь. Для некоторого fc^O},
в соответствии с обозначениями § 3.2. Для множества перестановок
$}> определим
Показать, что
Ф,(*, ^)=Ф,(а:, ^1)Ф,(«, ^2).
Это лемма о произведении для эйлеровых производящих функций,
(б) Из представления 2.4.19 и п. (а) вывести, что число пере-
перестановок на JCn с к инверсиями и I спадами равно
— 11
я». U- <П
9 W5l q
4.3.2-i. (а) Пусть ^ — множество всех последовательностей в
JF + без спадов. В обозначениях представления 2.4.19 показать, что
(<U - {е}) 0 B/0)* ^ (Jf% о @0* X 0*)} 00*.
255
(б) Если в последовательности а = аг ... 041+...+ift спады нахо-
находятся на местах U, ц + i2, ..., ii + ... + Sb-i для i\, ..., 1*^1,-пока-
1*^1,-показать, что показатель мажорирования перестановки а (см. [2.6.7])
равен т (а) = (к - 1) h + (к - 2) ?2 +. • • + i*-i-
(в) Показать, что число перестановок на Jfn с к инверсиями,
I спадами и показателем мажорирования и равно
[q4lPuz"/n\q]i[(l-tpi) 2 t" SVetoO-ej.m-i).
il >i jl
где ?¦, (x) = 2
4.3.25. (а) Пусть P(x) = V2((I-AB)), a (?(^)= 1 + ((
-AB)-lA). Вывести из [4.3.23 (а)], что 8q{P{x)-x) = P(x)P(qx),
g{Q\ P{Q)
^P, называется формальным эйлеровым дифференциальным опера-
оператором.
(б) Показать, что
(в) Пусть P{x) = -H{x)-x$qH{x), где Я@)=1. Показать, что
Л (х) --= S (- l)fta:^/BA;)!g и поэтому
(г) Показать, что Q(x) = JL (— 1)*щг •
4.3.26. (а) Пусть L, > ... > L» > 1 н tfi > ... > tfk ^ 1. Показать,
что число последовательностей а = аг ... опт типа i со схемой
it!1 Л2...Я! , где Я1 = <, a Lt^Oi^Ut (i = l, ..., am), равно
2J/ ||mXm'
V
если a{ = 2 ft, a0 = °. 9ft (^. t7) = tzft] П A — ^i) (это частный
случай 5.4.5).
(б) Показать, что число последовательностей а = at ... апт с
•"¦ я2...я , где Я[ = <, а LjSSaiSStA (i=l, ..., От) равно
||mXm
256
t
4.3.27. (а) Показать, что если Н = К — 2 LfWRi, то
HJ-'LO-IINrchl-INl-1, где [N]
) (i, / = 1, ..., *);с-(с, с2, ..., с()т, с< =
XL,) A = 1, ...,*)•
(б) Показать, что число перестановок на -fn с т инверсиями
и схемой из я" (ftjft2* ... я^1 j , где iti = <, равно
где с = (ci, ..., с,)т, с{ =
J I 1 •
»i= 2 rj, f=l, ...,
I, если
), если i ^ /.
(в) Предположим, что я^ я2 ... я/ я2 = л1л2 ... я^Яа1
Сопоставляя п. (б) и [4.3.15], показать, что |[М: d]il • IMI
= I[N : c]il • |N|~l, где
d = (du ..., d,)T, c = (cb ..., ct)T,
[M]y = (-1)
(l)), i, / = 1, ..., t,
причем
fe = ai = bi, a ?(i, у) определена в п. (б).
4.3.28. Показать, что число перестановок Oi... G2n+i на ^2n+i с
s подъемами, в которых t раз выполняется соотношение O2i-i <O2j+i,
равно
[ Й] ! - SiJ ~(*
17 Я. Гульден, Д. Джексон 257
где
gm(
=
х) =
(г — l)m
k
У У
4.3.29. Показать, что число >-альтернирующих перестановок
oi... 02n+i на Л? 2n+i с т инверсиями, в которых к раз выполняется
неравенство Qzt-i < 02i+i, равно
harn
4.3.30. Показать, что число <-альтернирующих перестановок
О]. .. О4п+з на ^4n+3 с то инверсиями, в которых, кроме того, стг <
< ст4 > Стб < ... > <Т4п+2, равно
-1-1
i>0
где
1 Ml 1ч
§ 4.4. Логарифмическая связь для циклических перестановок
До сих пор в этой главе рассматривались линейно упорядочен-
упорядоченные последовательности. Теперь перейдем к перечислению цикли-
циклических последовательностей.
4.4.1. Определение (циклическая последовательность). Пусть
\i = Я{ ... Я(р е {я15 я2}*. Последовательность а = в\... аР над JPn на-
называется циклической последовательностью с циклической схемой
ц, если (alt a2) s я^^ (a2, а3) е Я{2, ..., (ap_i, ap) e Я{р_1, (стр, ax) e
е Ягр. Две циклические схемы (а также две циклические последо-
последовательности) неразличимы, если одна из них может быть получена
из другой циклической перестановкой символов.
Например, циклическая последовательность a = 1253169 имеет
(циклическую) схему \i = я^я^я^Яз, где Я] = <, а яг = =**• Цикли-
Циклическая последовательность а' = 316912& неразличима с а. Очевидно,
что мы можем разложить на максимальные ягцепи любую цикли-
циклическую последовательность, за исключением последовательностей с
циклической схемой в я^. Циклические последовательности со схе-
схемой из я^ называются ягциклами. Так A25), C), A69) —макси-
—максимальные <-цепи циклической последовательности 3169125. Цикли-
Циклическая последовательность 1234 является ?=-циклом. Если ni-цик-
лов над Л*+ не существует, то Я] называется свободным от циклов.
258
Например, отношение < свободно от циклов (в противополож-
противоположность отношению Ф).
В этом параграфе изучается связь между перечислением линей-
линейно упорядоченных последовательностей, которые были предметом
изучения в предыдущих параграфах этой главы, и перечислением
циклических последовательностей. Эта связь называется логариф-
логарифмической связью. С ее помощью все перечислительные теоремы
предшествующих параграфов можно распространить на цикличе-
циклические последовательности.
Мы хотим перечислить циклические перестановки со схемой из
ц*, где цеМщ, яг)*. Очевидно, что число таких перестановок на
Jfn равно
[хЧ2 2 [f(a)]i,|auta|-i,
i=i сгец*
так как каждая перестановка начинается с некоторого i<^Jfn
(auta— это совокупность всех вращений, не изменяющих ос). Пред-
Предположим теперь, что схему ц, нельзя перевести в себя нетожде-
нетождественным вращением, т. е. laut |xl == 1. Такие схемы называются
простыми. Для простой схемы jx справедливо !aut(u*) I = к, поэто-
поэтому предыдущее выражение можно записать в виде
t=l
»•]„ = [xi] tr log{I -
Если lautjil — g, то lautц*! = kg, и в этом случае нужно лишь
разделить последнее выражение на g, чтобы получить число пере-
перестановок со схемой из ц*. В более общем случае циклических по-
последовательностей а с заданной схемой необходимо учесть допол-
дополнительные автоморфизмы, множество которых обозначается auta.
Это осуществляется с помощью теоремы Пойа (в дополнение к
предыдущему); соответствующий пример дается в [4.4.16]. Если
a — циклическая перестановка, то, конечно, lautal = l, и дополни-
дополнительных трудностей не возникает.
Первичным множеством схем Ж называется такое множество
простых схем, что каждый элемент из Ж* однозначно выражается
в виде сочленения схем из Ж. Очевидно, если Ж — первичное мно-
множество, то число перестановок на Jf „ со схемой из Ж* равно
-i
[x»]trlog(I-fE&))
Поэтому основной задачей данного параграфа будет нахождение
trlog(I — \{Ж))~Х, что достигается в теореме 4.4.2 с помощью фак-
факторного разложения для Н = 1E^). Эту теорему можно рассмат-
рассматривать как циклический аналог теоремы об исключении. Действи-
Действительно, мы можем считать trlog(I —H)-1 циклическим вариантом
4;i(C(I — H)"~'D) для перестановок, когда Ж есть первичное мно-
множество схем.
17* 259
4.4.2. Теорема (о логарифмической связи). Пусть Н,
r[[]]LR^([[]]) (/- 1, .... s). Если Н = К
- 2 LftWRft, mo
2.
где [М]« = 6« + toR,(I-K)"'L/W (Ki,/<i).
Доказательство. Из факторного разложения для Н имеем
1-Н = 1-К+ 2 LhWRh = (I — К)(i + (I — K)
поэтому
H| =
K|-
LbWR,
Пусть 1
обозначает вектор-столбец из п единиц. Пусть D = [Dil ... IDJ, где
D, = (I-K)-4«X1 (Kj^s); F = [Fil...lFs], где F{ = R[ 1 (К
<i^s); a X = diag(:ri, ..., xn). Тогда
(I - K)-i LftWRh =
= DFr.
Кроме того,
[F D]w = FfDj = 1TR{ (I - K)-i L,X1 =
= tr 1TR{ (I - K)-iLjXl = tr Ri (I - K)-i LjW.
Поэтому по 1.1.10 E) имеем
(I-KJ-iSUWR*
откуда следует утверждение 1. Наконец, по 1.1.10 F)
trlog(I-H)-1=loglI-H|-1=log|M|-l + trlog(I-K)-1,
тем самым доказано и утверждение 2. П
У матрицы М, определенной в 4.4.2, и у МП), определенной в
теореме об исключении в связи с 4^@A — H)~'D), определители
одинаковы. Это объясняется тем, что первый столбец МA) состоит
из нулей, за исключением 1 на первом месте. Алгебраическое до-
дополнение этого элемента есть как раз |М|. Отсюда и название
теоремы 4.4.2.
В дальнейшем в этом параграфе I(fti) по-прежнему обозначает-
обозначается через А,-а 1(пг) через В. Если К в факторном разложении Н
выражается только с помощью А, то теорема о логарифмической
связи позволяет выразить искомую производящую функцию в тер-
терминах Я1-цепных энумераторов ^(хи) и энумераторов Ярциклов. Это
объясняется тем, что T^U^trUW для Us^f. Так как инверсии
не обобщаются на циклические перестановки, то не имеет смысла
говорить в этом контексте о Тг.
260
В качестве первого применения теоремы о логарифмической
связи докажем циклический аналог теоремы о максимальном цеп-
цепном представлении.
4.4.3. Теорема (о максимальном цепном представлении для цик-
циклических перестановок).Пусть g{ маркирует щ-циклы длины i> 1,
a fj маркирует максимальные ПгЦепи длины j ~> 1. Пусть I =*
= (/i, ...), m = (mi, ...), a F(x) = 1 + fix + J2X2 + ... — энумератор
длин максимальных Л\-цепей. Тогда
1. число циклических перестановок на Jfn с ПгЦепным типом
m и t тц-циклами длины I (t = 0, 1) равно
где -ф == tr log (F (A))-1 + 2 Г 1gi tr А*;
2. если Я1 свободно от циклов, то ф = 0.
Доказательство. 1. Каждая циклическая перестановка, не
являющаяся jti-циклом, имеет по крайней мере одну максимальную
JTi-цепь. Предположим, что она имеет к максимальных Я1-цепей,
которые линейно упорядочены. Соседние максимальные Ярцепи
разделены тц. Множество схем для максимальных Ярцепей (окан-
(оканчивающихся яг) есть Я!Я2, оно является первичным множеством
схем. Поэтому производящая функция для перестановок на Jfn по
отношению к максимальным ягцепям равна
где f{x) = fi + J2X + fzx2+ ... . Вклад ягциклов длины г, которые
являются перестановками на Jfn, равен [х!] r~lgr tr Ar, так как такие
циклы маркируются gr.
Искомое число получается суммированием по г и равно lxiimgl ] Фл
где
Ф = tr log {I - / (A) B}-i + 2 г- gr tr Ar.
Но /(А)В = —/(A)A + /(A)W есть факторное разложение, поэтому
по теореме о логарифмической связи
tr log {I - / (А) В}-1 = tr log F-* (A) + log {1 - tr F-" (A)/(A) W}~\
так как F (x) = 1 + xf (x). Далее
откуда и следует утверждение.
2. Если jti свободно от циклов, то [х1] tr A =0, откуда следует
доказываемое утверждение. П
Сходство между линейной и циклической формами теоремы о
максимальном цепном представлении поразительно. Для обычных
261
перестановок производящая функция равна
в то время, как для циклических перестановок производящая функ-
функция равна
log^-'o^i)}-1,
если jti свободно от циклов.
В качестве примера использования теоремы о максимальном
цепном представлении для циклических перестановок рассмотрим
задачу о перечислении циклических перестановок с точки зрения
максимумов, когда jti = <. Максимум имеет место в конце макси-
максимального Jti-пути длины по крайней мере 2. Например, максимумы
циклической перестановки 3169125 — это 9 и 5.
4.4.4. Циклические перестановки и максимумы. Мы определим
число с(п, к) циклических перестановок на Jfn с к максимумами
для 2-разбиепия (<, ». Пусть z маркирует максимум. Так как
максимум может быть лишь в конце <-цепи длины не менее 2, то
энумератор длин максимальных <-цепей равен
F(x) = 1 + х + zx2 + zx3 + ... - {1 - A - z) х2} A - х) ~\
a F (х) = 2 A — z)» {х*> — ж«"+1}. Поскольку отношение < сво-
бодно от циклов, из теоремы о максимальном цепном представлении
для циклических последовательностей и леммы о <-преобразовании
получаем:
с (/г, к) = [zW] log B A - z)! Ь,- «) - 72/+1 «)})~1 =
= i "^г Jlog ^ch ху ~ у~г
Перейдем к задаче Эрдеша о гамильтоновых циклах полного
графа на п вершинах, имеющих заданное число ребер, общих с
фиксированным гамильтоновым циклом. Вначале рассмотрим ана-
аналогичную задачу для полного ориентированного графа.
4.4.5. Ориентированные гамильтоновы циклы в полном орграфе
с выделенными гамильтоновыми циклами. Пусть d(n, к, I) — число
ориентированных гамильтоновых циклов полного орграфа на п вер-
шпнах, имеющих к ребер в гамильтоновом цикле A 2... (га —1) га)
и I ребер в гамильтоновом цикле (га (га—1)...2 1). Пусть и мар-
маркирует ребра в {A, 2), ..., (га, 1)} = яь v маркирует ребра в
{A, п), ..., (п, п — 1)} = я2 и пусть я3 = Jfn — л, — я2, так что
(зть Я2, Яз) есть 3-разбкение Jf%. Пусть С = 1(яз). Тогда
d (п, к, I) = [uVx1] tr log (I — H)-i,
где Н = uA + уВ + С — X и А + В + С = W, так что факторным раз-
разложением для Н является Н = — Х + (« — 1)А + (у — 1)В + W. Та-
262
ким образом, по теореме о логарифмической связи
где Fi =
Тем самым мы исключили из 3-разбиения один блок. Чтобы
применить оператор [х1], заметим, что каждый элемент в ABD и
BAD целиком состоит из членов по крайней мере второй степени
относительно х{, если D — матрица инцидентности для любой не-
непустой схемы. Действительно, эти матрицы перечисляют последо-
последовательности, содержащие подцепи вида i(i + l)i и i(i— l)i, дающие
вклад Х{, Следовательно, мы можем заменить АВ, ВА так же, как
и X2, на 0, когда .находим [х1], так что
(» —i)B —xy=»
= 2 Г1 ((и — IK" tr А;' + {v - iy tr Bj} — tr X + (м - 1) (v — 1) tr AB.
3>1
Ho tr A3'= ^„6^ = tr Bj, a trAB = f2, где "fi= Tj (®) • Эти величины
не равны нулю, так как ни jti, ни яг не являются свободными от
циклов. Таким образом,
^ = ±{(и - 1)" + (v - 1)"} Vn - Vi + (» ~ 1) (Р - 1) V2-
Аналогично,
Ft = log(l - tr W - 2 tr {(и - 1У Aj + (i?- \У B;)
= log f 1 - Vi - S {(« - 1)J + (v- 1У}
так как tr AW = trB'W = ч,+ь Поэтому по лемме о ©-преобразова-
©-преобразовании при п > 2 имеем
[иМх1] /^ = [ukvlxn] х -?- -L {(ц — i)n жп + (р _ i^n хп} =
= [M*i;^] Я! -^ (log {1 - (И - 1) Ж} + bg {1 - (У -
а
[и?х'] ^2 = [м*1?1аг«] х^-УA —1)! X
X
{] log f I - *ir - 2 {(и - 1У + (i; - I)'} a:i
^
= [MV*»] г ^- У Г1 (<- 1)! x* {., \~(и
1 J dx ** v ' \ {1 — (u —
263
Комбинируя эти выражения, получаем d(n, к, l) = n[uhvlxn]O(xr
и, v) при п > 2, где
Ф = log {1 — {и - 1) ж} + bg {1 - (v — 1) ж} +
Этот результат можно применить в случае неориентированных
циклов.
4.4.6. Гамильтоновы циклы в полном графе с выделенным га»
мильтоновым циклом. Мы хотим найти число h(n, к) гамильтоно-
вых циклов полного неориентированного графа на га вершинах, со-
содержащих ровно к ребер из произвольного выделенного гамильто-
нова цикла, который обозначим, например, A 2 ...(га—1) га).
Каждый неориентированный гамильтонов цикл учитывался в
4.4.5 дважды, поэтому h (п, к) = -к- п [uhxn] Ф (х, и, и). Но
Ф(х, и, u) =
+ 2 Г1 G - 1)! & {1 + (м - 1) ху {1 - (и - 1) x)-it
откуда следует, что
к (в, /<) = (- D"-'(j) +
Как и в теореме о максимальном цепном представлении для
циклических перестановок, так и в задаче о гамильтоновых циклах
D.4.5) использовалась теорема о логарифмической связи при s==l.
Закончим этот параграф примером, в котором s = 2.
4.4.7. Задача о супружеских парах. Пусть тп — число таких
размещений п супружеских пар за круглым столом, чтобы жена не
сидела рядом со своим мужем и два лица одного пола не оказались
бы соседями. Это число называется числом супружеских пар.
Пусть переменные х,, у{ маркируют соответственно мужчину и
женщину в i-й (г = 1, ..-, п) супружеской паре. Пусть х = (ж], ...
..., хя), у = (у\, -.., Уп), X = diagx, Y = diagy, a D = J-I. Так
как такое циклическое размещение может начинаться как с муж-
мужчины, так и с женщины, то имеем
тп = [xV] {tr (XDYD)" + tr (YDXD)"}.
Применение оператора [xJyJ] объясняется тем, что должны быть
размещены все присутствующие. Отделение X от Y с помощью D
гарантирует, что ни один муж не окажется рядом со своей женой.
Чередование X и Y в выражении (XDYD)" обеспечивает такие раз-
размещения, при которых лица одного пола не оказываются рядом.
264
Далее имеем
тп = 2 [х*у*] tr (XDYD)" = 2п [х*у*] «-1 tr (XDYD)™ =
= 2га [х'у1] 2 у tr (XDYDy = 2га [xV] tr log (I — XDYD)-i.
Факторным разложением для XDYD является XDYD == XY —
— XJY + XDYJ, поэтому по теореме о логарифмической связи
trlog(I-XDYD)-1==trlog(I-XY)-i + log|M!-1,
где
1 + tr Y (I — XY) XJ — tr Y (I — XY)-1 XDYJ
tr (I — XY)" XJ 1 —tr(I —XY)-1XDYJ
Так как нас интересует коэффициент, линейный по х{ и у{, по-
положим х\ = 0 и у\ = 0, откуда X2 = 0, Y2 = 0. Кроме того, X и Y
коммутируют. Таким образом,
1 -\~ w — vw
и 1 -f- w — uv '
где w = trXY = xiyi +... +хпуп, v = trY = yi + ... + yn, M = trX =
= x\ + ... + xn, и поэтому
mn = In [xiy1] {w + log {A + wf - mi;}-i) =
= 4ra [xlyl] log A + u?)-i + 2га [хгу*] log {1 — uv(l + ю)-2}-1 для ге>1.
Рассмотрим теперь [х4у4] (wy)j wh для произвольных целых / и А;.
Этот коэффициент можно следующим образом интерпретировать
комбинаторно. Из xiyi + ... + х„уп можно выбрать к различных
(п\
слагаемых I k I способами. В wh произведение этих к слагаемых
войдет с коэффициентом к\. Теперь рассмотрим в произведении
{uvy члены, не содержащие выбранных переменных. Вклад таких
членов в [xJy1] (uvK wh равен (/!J6n_ft,;-. Поэтому
[х1уЦ (uvy и* = ( * ) ft! (/!J бп_Й1?- = га! (п - ft)!
что дает
(— 1)" и wn + 2га 2 1~х (~ 2Л [х^1] (mi;)j wk =
>1 к )
n-i
= 4(—lfra! + 2ra-ra! 2 I
ft=O
Многие результаты для перестановок, которые были получены
ранее с помощью факторного разложения, можно, используя теоре-
теорему о логарифмической связи, преобразовать в результаты для со-
соответствующих задач о циклических перестановках. Мы оставляем
это читателю в качестве упражнений.
265
Примечания и ссылки.
Этот параграф основывается на работе авторов A984).
D.4.4) Entringer A969); D.4.5, 6) Nemetz A970), Wright
A973); D.4.7) Touchard A934).
[4.4.4] Tanny A976); [4.4.10] Moon A972); [4.4.19] Djokovic
'(личное сообщение).
ЗАДАЧИ
4.4.1. Показать, что 2 7ft (ni)zk = 11 + zB [ • [ I — zA [-1, где А =
ft>
(), B = W-A.
4.4.2. Пусть A-T(<), B = W-A. Показать, что JI — AP—1B | =
== 2 (- 1У aip, где a} = [«*] П A - (te,)") A - Щ~х-
4.4.3. Показать, что число ягальтернирующих циклических пе-
перестановок на Jf2n равно
(а) [я2"/Bn)!] log sec ж, если jti = <;
(б) 2 (I - 1)! fn - !) (- I)", если щ = +;
(в) 2 (- 1)" + 2га S (i- 1)! f*-1) (- 1)«-Vi, если ях = ф.
4.4.4. Показать, что число циклических перестановок на Jfn с
к появлениями п\ равно
(а) [ukxnln\\\og{(u-i){u-e^-"x)-x}, если щ = <;
(б) [м''жп] 2 (i — 1)! ^ A — (м — 1) ж)-*, если ях = +;
(в) [ufta;n] [2 (i — 1)! xl (l — (u — 1) z)-*-i + ж" (« — 1Й, если я^ =
= ф.
4.4.5. Показать, что число циклических перестановок на Jfn с
к максимальными ягЦепями длины не меньшей, чем р равно
(а) | «Л -^\ log {^ A - «)«(^ - (JFTW^ , если ях = <;
Л _-. / / \(m + lp — I — i + (n— m)/p\
(б) МД<;-1I2Ц,Д + f_7( )(-D'—"X
X A — w)-
если m = + и п = m (modp), 0 ^ т< р;
(в) [«*] {-1 + вторA-«)«/"¦+п^|(/-1I/-iS(m+ lp) X
+ lp_ i_i + {п_ „,
если Я1 =• Ф и циклическая перестановка не является ©-циклом.
266
4.4.6. Показать, что число циклических перестановок на Л"„, не
являющихся Ягциклами и имеющих к, k^i, максимальных ярце-
пей, равно
(а) [икхп/п\] log {A — и) A — «е*1-")*)-1} при пг= <;
(б) .?(/- l)l(*I J)Ql J.)(- l)ft"' при я1= +;
(в) (— 1)*(*) + и^1 С/ — 1I /—хG — l}(* — /)(—1>ft~i °РИ Л1=Ф-
4.4.7. Показать, что число циклических перестановок на JFnVt
не являющихся ягциклами и у которых длины всех максимальных
Jti-цепей делятся на р, равно
(а) rrl(p\)~n(np)l при jti = <;
(б) (п — 1)! при jti = +;
(в) р{(п— 1)! — 1} при п\ = ®.
4.4.8. Показать, что число fc-наборов циклических перестановок
на Jfn с j появлениями
(а) подъемов на одинаковых местах во всех к перестановках
равно
lui-^ь] log {(и - 1) (и - 2 (« - 1)*
(б) соседей на одинаковых местах равно
(в) с-соседей па одинаковых местах равно
nh 2 t ((г — 1H* xl A — (и — 1) ж)"* + М и* (и — 1)п-
4.4.9. Показать, что число циклических перестановок на Jfn с t\
максимумами, j2 минимумами, гз двойными подъемами и ii двойны-
двойными спадами равно
[i ... и[* ?\ log {{а2 - а,) (а*** - а
если мы условимся, что единственная циклическая перестановка на
JC\ имеет двойной спад, a ai + «2 = Щ + М4, «ia2 — ^2.
4.4.10. Показать, что еще одно выражение для h(n, к) из 4.4.6
равно
4.4.11. (а) Пусть <I>i (ж) — экспоненциальная производящая функ-
функция для циклических <-альтернирующих перестановок, а Фг(#) —
экспоненциальная производящая функция для <-альтернирующих
267
перестановок нечетной длины. Путем удаления максимального эле-
элемента показать, что (d/dx)<t>i(x) = <f>2(x).
(б) Из <I>2(a;) = tg3; вывести, что <Di(;r) = logsec;r. Следователь-
Следовательно, мы можем получать циклические результаты как частный слу-
случай линейных результатов.
4.4.12. Показать, что число циклических перестановок на Jfn
с t соседями и и подъемами равно
[rV*»] 2 2 (- \y~i i-4k (r - 1)*"' а* A - г (s- 1) х)-*.
4.4.13. Показать, что число циклических перестановок на Jfn
(п>2) с i возрастающими +-цепями длины р и / убывающими
+-цепями длины s равно
У (к- 1)! z" fl-ax+f»-!)^ +
^ \ 1-иж+(и-1)жр
4.4.14. Пусть iV(rj, ..., rft) — число перестановок на Jfn со схе-
схемой nri~~1ni ... я^, где п + ... + rh = п. Пусть М (ри ..., рт) — число
циклических перестановок на Jfn с циклической схемой п^1^...
... я^т"я2, где pi + ... + рт — п и циклическая схема не имеет цик-
циклических автоморфизмов, за исключением тождественного. Показать,
что
+ 2
если П\ свободно от циклов.
4.4.15. Показать, что число циклических >-альтернирующих пе-
перестановок на JTin, имеющих к подъемов между соседними мак-
максимумами, равно
4,4.1.6. Показать, что число циклических последовательностей
типа icm подъемами равно
2 пг l°s A - (^ - i)-1 (П A + (^ -1) 4) -1)}.
где ф — теоретико-числовая функция Эйлера.
4.4.17. Показать, что число циклических перестановок на Jfn с
циклической схемой из (л1л1)+, п\ = <, равно [a:n/n!]log IMI, где
i,f= 1, ...,s,
268
^.4.18. Пусть а = {с^, ..., а«} = JCk, а* = (а*, ..., а*_,} = Jfk—
— а, «!<...< а,, «*<...< сс*_„ а q>} (х) = 2 хМЩМ + /)!. Ес-
t>0
ли рг = «!, pi = а4 — а{_! (i = 2, ..., s), a (p1? ..., ps) не имеет цик-
циклических автоморфизмов, кроме тождественного, то показать, что
(- X) ||,х, =
(X) 1_$)ш_$
рассматривая циклические перестановки с циклической схемой из
(я^1 "я2я^2~1я2 ... п^*~1п2)+ для п± = <•
4.4.19. (а) Пусть М —квадратная матрица порядка к, а ф3-(я) =
= 2 xhi+J 1(Ы + /)!. Теорема Якоби утверждает, что
1 (adj М) [а(И 1 = (— 1)°I М('«'-1-1М [а* I p"*] U
где а = {«!, ..., as), р = {|315 ..., р,}, а, р"= Лк\ а* =
.... «:_«} = Jfk -а, Р* = (Pi, ..., Р*_*1 = ^fe - Р, a a =
Используя этот результат, доказать, что
(б) Пусть далее
Опираясь на результат Якоби, показать, что
? ^-* ^7i " !! ^(а~
§ 4.5. Перманенты и безусловные проблемы
В § 4.3, 4.4 было показано, что trC(I — H)-1DW и trlog(I —
—Н) = logdet(I — Н) появляются как производящие функции
в классах задач о линейных последовательностях и о циклических
перестановках. В этом параграфе рассматриваются комбинаторные
ситуации, в которым сам det(I —Н)~' появляется как производя-
производящая функция. Первая подобная ситуация возникает при вычисле-
вычислении перманентов. Следующий результат, являющийся частным
случаем Главной теоремы Макмагона A.2.11), устанавливает связь
между перманентом и определителем.
269
4.5.1. Предложение (о перманенте). Пусть Р = [рц]пхп, Х =
= diag(a:i, ..., ж„),
per Р = 2 Р1ФA) • • • Рп<р(п).
Тогда
rerP=[x1]det(I-XP)~i.
В предыдущих параграфах этой главы каждый блок разбиения
множества Л*+ задавал некоторое отношение на множестве пар
смежных элементов в последовательностях или в перестановках.
Рассмотрим случай, когда каждый блок связывается с позиционной
информацией.
4.5.2. Определение (безусловное разбиение для перестановок).
Пусть ci... с„ — перестановка на Jfn и пусть (яь я2) — 2-разбие-
ние ¦/!"«. Тогда d... о„ имеет безусловное nf на месте /, если
Например, перестановка 643251 имеет безусловные подъемы н.\
местах 1 и 2, безусловные уровни на местах 3 и 5, безусловные
спады в позициях 4 и 6.
Задача о беспорядках есть пример безусловной задачи, так как
беспорядок — это перестановка без безусловных уровней. Следу-
Следующий результат показывает связь между перманентами и безус-
безусловными задачами.
4.5.3. Лемма (о безусловном разбиении). Имеется [zft]per(V +
+ zU) перестановок на JPn с к безусловными яи где XU = I(ni),
а ХУ = Г(я2).
Предложение 4.5.1 дает возможность применить теорему о ло-
логарифмической связи к безусловным задачам. Как и прежде, W
будет обозначать матрицу XJ.
4.5.4. Беспорядки. По лемме о безусловном разбиении и пред-
предложению 4.5.1 число dn беспорядков на Jfn равно
dn = per (J -1) = [x1] det (I + X - W)-i,
а по теореме о логарифмической связи оно равно
[х1] det (I + X)-i {1 - tr (I + X)-i W}~i.
Так как нас интересуют лишь линейные члены относительно
х\, ..., хп, то можно положить X2 = 0. Используя тождество Яко-
би A.1.10 F)), получаем
Точно так же 1 - ^(I + XJ-'W = 1 -trW — 1 - fi(<). Применив
лемму о <-преобразовании, получим
270
Задача о супружеских парах была рассмотрена в 4.4.7 как за-
задача о циклических перестановках. Теперь подойдем к ней как к
безусловной задаче.
4.5.5. Задача о супружеских парах (безусловная). Пусть тп —
число размещений п супружеских пар, как в 4.4.7. Воспользуемся
следующим построением. Предположим, что п мужчин, которым
присвоены номера от 1 до п, располагаются за круглым столом по
часовой стрелке в порядке возрастания своих номеров, причем
между соседями оставляется свободное кресло. Далее перенумеру-
перенумеруем свободные кресла также в направлении по часовой стрелке, на-
начиная с мужчины номер 1. Супруга m-го мужчины не должна по-
попасть в кресло т или т — 1 (номер 0 мы отождествляем с п).
Пусть C = circ(O, 0, 1, ..., 1) имеет порядок п, тогда по лемме
о безусловном разбиении тп = 2 • п\ per С, так как число размеще-
размещений женщин на свободных местах равно per С, мужчины могут
быть размещены га! способами, а любое кресло может быть занято
как мужчиной, так и женщиной.
По предложению 4.5.1 мы имеем регС = [х1] 11 — Н|-х, где Н =
= W —X —А, а А = 1(©). Полагая в 4.4.5 « = 0, a v = 1, и, кроме
того, fk = ^(©), a X2 =0, получаем
log|1 — H|-i = — Tl+ K—-L-yn + log 1— 2i (-l^Tft '
I ft>l J
поэтому
per С = (- 1)" + [x*] e~Ti /1 - 2 (— I)*'
{ h>l
Из леммы о ©-преобразовании следует, что
per С = (— If + п [хп] 2 {к — 1)! [yh] е~*У{1 — хуA+ х)'1}-1 =
ft—m
Положив к — m — j и произведя соответствующие преобразования,
запишем это выражение в следующем виде:
2.(-1)" + /г[^]2(/-1)!(т^-У 2(~Г
3=1
Рассмотрим некоторые конфигурации, родствепные беспорядкам
и перестановкам супружеских пар.
4.5.6. Определение (ft-диссонирующая перестановка). Фиксиру-
Фиксируем целое число к > 1, и пусть si- — множество к перестановок
, 2, .... п), (п, 1, 2, ..., и-1), .... (п-к + 2, ..., л-Л+1)}.
271
Если перестановка а = Oi ... ап на Jfn обладает тем свойством, что
о,- отлично от элементов, стоящих на месте / (j = 1, ..., п) в лю-
любой перестановке из S4-, то о называется ^-диссонирующей.
Беспорядок является 1-диссонирующей перестановкой, а пере-
перестановка супружеских пар — это 2-диосонирующая перестановка.
4.5.7. 3-диссонирующие перестановки. По лемме о безусловном
разбиении, а также по 4.5.1 число 3-диссонирующих перестановок
на И?» равно
d3 (/г) = per circ @, 0, 0, 1, ..., 1) = per circ @, 0, 1, ..., 1, 0) =
где H = W-X-A-B, A = I(©), а В=АТ. Полагая в 4.4.5
= v = 0, получаем
log 11 - Н |-i= у2 - У1 +2(-l)nyn/n+ logf 1 - У1 - 2 2 (_
где 4k = 4k(®)i a X2 = 0. Таким образом,
d3 (п) = 2 (- 1)« + [Xi] е^-Ь A —Yi —2 S (-
и по лемме о ©-преобразовании <1з(п) равно
2 (- 1)" + п [хп] S (к - 1)
= 2 (— 1)" + п [л«] 2 (^ — 1)! 2 (— IL (** — *)к A + ж)-*/(Л — 01 =
г
В качестве примера применения теоремы о логарифмической
связи с s = 2 к безусловной задаче рассмотрим перечисление ла-
латинских прямоугольников размера 3 X п.
4.5.8. Определение (латинский прямоугольник). Пусть М —мат-
—матрица над Jfn размера к X п такая, что каждая ее строка есть пере-
перестановка на Jfn, а каждый столбец состоит из к различных целых
чисел. Тогда М называется латинским прямоугольником размера
кХп.
Мы будем использовать следующее представление для латин-
латинских прямоугольников размера 3 X п.
4.5.9. Представление (латинские прямоугольники размера
ЗХтг). Пусть 3?ъ,п—множество латинских прямоугольников раз-
размера 3 X п с первой строкой A, 2, ..., п). Пусть Жп — множество
матриц [гу]пХп порядка п над @, 1, ..., п) с нулевой диагональю,
у которых все ненулевые элементы различны, в каждой строке и
каждом столбце имеется ровно один ненулевой элемент и, кроме
272
того, элемент гй не равен i или j. Тогда
*Х? з,п—*¦ X п-
Доказательство. Пусть [г«]„хп s У^п. Если г« — ненулевой
элемент ?-й строки, то г'-й столбец соответствующего латинского
прямоугольника есть [i, j, г*,]7 (г = 1, ..., п). ?
Например, по этому представлению
"О 0 5 0 0~1
0 0 0 0 4
0 0 0 10
2 0 0 0 0
0 3 0 0 0
[1 2 3 4 51
3 5 4 12-
5 4 1 2 3J
4.5.10. Латинские прямоугольники размера ЗХтг. Пусть h{n) —
число латинских прямоугольников размера ЗХге, а Ъъ (и) — число
таких же прямоугольников с первой строкой A, ..., п), так что
h(n) = п\Ъг(п). Пусть х = Х\ + ... + х„, а
[ ]ij~l0,
еСЛИ
если
i = f,
для г, / = 1, ..., п, т. е. Е = хТ) — XD — DX, где D = J — I. Полагая
у — (у\, ..., уп), Y = diag(y), из представления 4.5.9 и леммы
о безусловном разбиении получаем, что bs (п) = [х1] per E =
= [xVJ 11 - YE |-i (no 4.5.1). Но YE = K + Y(a;I-X)J-YjX,
где К = —Y(a;I —2X). По теореме о логарифмической связи
где
1 — tr Y (xl - X) J tr YJ
- x tr XY J 1 + tr XYJ
= A + wf — xy,
а У = Уi + •.. + yn, w = xiyi + ... + х„уп. Можно положить X2 =
= Y2 = О, так как нас интересуют лишь члены, линейные по х\, ...
..., хп, Уи ..., уп. Из тождества Якоби (см. 1.1.10 F)) получаем
II-KI = exp trlog {1 + Y(xl - 2Х)Н =
= exp tr {-Y(xl - 2XJ) = eZw-xv.
Далее, используя 4.4.7, находим
b3 (n) = [х1у1] e2w~x«{(l + wf — ху}~г =
(— 2к — 2\
Р
2\ [xiyi
2
+h+l+
k+j<n P+I=n—k-t
18 я. Гульден, Д. Джексон
273
откуда
В предшествующих пунктах мы перечисляли перестановки по
отношению к безусловным я,-, если {jxi, яг) — разбиение Jf\. Эту
идею можно распространить также на последовательности. Пусть
а = а1 . .. сгг е Jfn, а о' = cjj . ,. Oi — последовательность того же ти-
типа, что и о, в которой сг!<; ... =?^0;. Последовательность о имеет
безусловное я,- на месте /, если (о3-, о3) е я,. Например, последова-
последовательность 2321311 не имеет безусловных уровней и поэтому назы-
называется обобщенным беспорядком.
4.5.11. Соответствие для последовательностей и безусловных по-
последовательностей. Найдем c(s, к)— число последовательностей
типа к из Л'п с s безусловными п\. Пусть XG = wA+B, где А =
= 1(я1), В = 1(яг), G = [gi,]nxn, а о' = о[... at имеет тип к, при-
причем CTi<l ... <!о*. Тогда по Главной теореме Макмагона
с (s, к)=[И«хЬ] п f i g' я) = ["sxkj п fi T
Но по теореме о логарифмической связи получаем
I — XG И = 11 — (и — 1) АI {1 — tr (I — (и — 1) A)-i W}-i =
если Я] свободно от циклов, так как в этом случае из тождества
Якоби (см. 1.1.10 F)) следует, что
II -(и - 1)А|-' = exp tr log(I -(и - 1)А)-' = 1.
Сравнивая полученное выражение для c(s, к) со следствием 4.2.12,
убеждаемся, что для последовательностей типа к из Jfn существу-
существует взаимно однозначное соответствие между последовательностями
с s безусловными п\ и последовательностями с s появлениями щ,
если п\ свободно от циклов.
В заключение этого параграфа отметим, что из соотношения
II — HI = exp tr log |I~-H|~' следует, что |1 —Н|~' перечисляет
те перестановки, циклы которых (рассматриваемые как цикличе-
циклические перестановки) перечисляются энумератором tr log II —HI.
Как пример такой связи рассмотрим следующую задачу о пере-
перестановках.
4.5.12. Перестановки с циклами, имеющими повторяющуюся
схемуя^Яг- Пусть с(п)—число перестановок на Jfn, циклы кото-
которых имеют повторяющуюся цикловую схему Я1Я2, где Я1 = <. Тог-
274
да, если А = 1(я1), В = 1(яг), то по 4.3.14 и теореме о логариф-
логарифмической связи получаем:
с (п) = [х1] 11 — А2В21-1 = [х1] 11 — A4 hi (Gl — Gfi,)'1,
\/i-JI ( I J | I \ U А. О/ *
где Gi= 2 ?4fe+i(<)-Но II —A4| =1, так как ni свободно от цик-
циклов, и по лемме о <-преобразовании имеем
с (/г) = 2 —т- A + cos х ch х)~г.
Примечания и ссылки.
D.5.7) Touchard A953); D.5.10) Riordan A944).
[4.5.8—11, 13] Riordan A958); [4.5.12] Aleliunas and Anst.ee
(личное сообщение); [4.5.14] Foata and ScMtzenberger A970).
ЗАДАЧИ
4.5.1. Показать, что число перестановок па Jfn с к безуслов-
безусловными Я1 равно
(а) [uhxnjnl](u- 1) (и- eCu-1)sc)-', если Я1 = <;
(б) [uhxn] 2 г\х1A — {и — i)x)-\ если ях = +;
(в) [ик] (ип Ч- (и — 1)п — 1) + [uhxn] 2 *!ж*{1 — {и — l)^}-*-1,
если Я] = ©.
4.5.2. Показать, что число перестановок на Jfn, в которых все
циклы являются ягальтернирующими циклическими последова-
последовательностями, равно
(а) [жпМ!] sec x, если Я] = <;
(б) 2 (— l)m~ft(T~ J -у. если Л1= +. п = 2т;
(в) 2(—1)т+2т S (—l)m-fer~" J№—1)!, если ях=ф,ге=2те.
fc=l \ft ~ Х/
4.5.3. Показать, что число перестановок на Jfn, каждый цикл
которых имеет циклическую схему из (я? п%) , л\ — <, равно
[хп/п\] IMI, где
I, если i</,
), если i ^ /.
4.5.4. (а) Показать, что число последовательностей над Jf+ ти-
типа m с i безусловными подъемами, / безусловными уровнями и к
18* 27 &
безусловными спадами равно
[r4jfxm] (г - /) (г Д A + (/ - I) *t) ~ i П A + (г ~
(б) Пусть а — число <-альтернирующих последовательностей
типа m и четной длины X. Если Р, Tf — числа последовательностей
типа m без безусловных уровней и с четным (соответственно не-
нечетным) числом безусловных спадов, то показать, что
4.5.5. Показать, что число обобщенных беспорядков типа m
равно [хш] П A + Ъ)-1 f I - 2 Xi A + хг)-1 I.
4.5.6. Заметив, что число латинских прямоугольников размера
3 X п есть 1Я (п) — [x1y1z1] B ^ij/jZfe)n, где суммирование ведется
по 1 < г, /, к<п {i=?j, j=?k, k^i), вывести результат 4.5.10.
4.5.7. (а) Пусть С, D — произвольные матрицы порядка п. По-
Показать, что
per(C + D)= 2 perC[a|p]perD[a|Cj.
(б) Используя п. (а), найти число беспорядков на Jfn непо-
непосредственно.
4.5.8. Пусть С—(О, 1)-матрица размера тХп. Пусть rh — чис-
число способов такой расстановки к ладей на клетках С, занятых
единицами, чтобы ладьи не били друг друга. Тогда Rc (x) = 2 rhxh
называется ладейным многочленом матрицы С.
(а) Предположим, что [С]Р?=1, а D—@, 1)-матрица с един-
единственной единицей, стоящей на месте (р, q). Показать, что
jn-C\X) — l*-flC({p>|{g}) \l*'j "Т~ -"С—D v*7-
(б) Показать, что i?Clec2(^) = Rct (X)-Rc2 (х), где Ci, C2—
(О, 1)-матрицы, а Ci © С2 — их прямая сумма.
4.5.9. (а) Пусть n\^-JPnXJfn, а [C]i3-= 1 тогда н только тогда,
когда (г, /)^я1 (г, / = 1, ..., п). Показать, что число перестановок
на Jfn с к безусловными zi\ равно
п
№ .2 (п ~ О' П (х ~ Ч> где Rc (x) = ]
(б) Пусть Rjn—C(x) = 2 qixK Показать, что
4.5.10. Используя ладейный многочлен, найти число беспоряд-
беспорядков dn.
276
4.5.11. (а) Показать, что «j (ж)= Zi " I .
i=0 *
(б) Показать, что число обобщенных беспорядков типа к ={кх,...
п
,..,кт) есть 2 (га — г)! (— 1)*гг, где га = кх + ... + кт, 2 ^ж* =
го
= П pkj (x), a -Pft И = k\xkL{0) (— ж-1); здесь Z#° (ж) — полиномы
Лагерра, определенные в задаче [3.5.1].
4.5.12. (а) Пусть [А„]« = 1 (i, j = 1, ..., и) тогда и только тог-
тогда, когда у — i = 0, 1, и [An],j = О в остальных случаях, а [С„]^ = 1
тогда и только тогда, когда / — i = 0, 1 (mod /г) и [С„]« = 0 в ос-
остальных случаях. Пусть {Вп]« = 1 тогда и только тогда, когда
j — г = 0, 1 (г = 1, ..., ге + 1; 7 = 1, ..., п). Используя [4.5.8 (а)],
показать, что U(х, у) = 2 ^вп(х)У2п + 2 -^А^Иг/2"" удовлетво-
удовлетворяет уравнению A — у — г/2ж) С/ (х, у) = 1 + жг/, и следовательно,
'2n —i>
(б) Вывести из п. (а) формулу числа супружеских пар:
4.5.13. (а) Пусть Т„ — матрица порядка п, в которой [Т„]« = 1
для К/ и [Т„]ц = 0 в противном случае. Многочлен Rin(x) обо-
обозначим Тп(х) и положим 7то(ж)= 1. Показать, что
Тп+1 (х) =
2
(б) Пусть Г (*, у) = 2 Тп (х) уп1п\. Показать, что (д/ду)Т(х, г/) =
= (ж + ещ)Т(ж, у) и что [a;ft]rn(a;) = i?n+iin^i-k, где pn+i,n+i-k — число
Стирлинга второго рода (см. 3.2.17).
4.5.14. Пусть Y = {уь ..., vk} — множество <-цепей на Jfn, где
Щ = Щ\ • • - Ущ и U> 1 (г = 1, •. •, к), причем все vi} различны,
уи > У21 > ... > vki, и каждый элемент из JCn входит в одну из
цепей. Пусть s(T)—число перестановок на jfn, для которых У
является множеством максимальных <-цепей, а с (У)—число пе-
перестановок на Jfn, для которых Y есть множество максимальных
<-цепей в множестве последовательностей, образующих перестанов-
перестановки в виде произведения непересекающихся циклов.
(а) Показать, что s(F) = perC и c(F)=perC, где С = [сц]кХк,
Cij = 1, если Гщ > Vjx и Сц = 0 в противном случае.
(б) Показать, что s(T)= с(У), найдя взаимно однозначное со-
соответствие между подходящими множествами подстановок.
4.5.15. Вывести 4.5.1, рассматривая перечисление перестановок,
при котором pi3 маркируют появления / на месте i (i, />1).
4.5.16. Вывести Главную теорему Макмагона A.2.11) из пред-
предложения 4.5.1.
ГЛАВА 5
КОМБИНАТОРИКА ПУТЕЙ
§ 5.1. Введение
В этой главе подробно рассматривается перечисление путей на
решетках. Такие пути, начинающиеся обычно в начале координат,
являются последовательностями точек целочисленной решетки на
плоскости с некоторыми ограничениями на приращения координат
при переходе от одной точки к следующей. Другими словами, рас-
рассматривается последовательность шагов, связанных с путем, при-
причем под шагом понимается упорядоченная пара чисел, показыва-
показывающая взаимное расположение соседних точек пути. Методы, при-
применявшиеся в предыдущих главах для изучения последовательно-
последовательностей, здесь не подходят, так как мы будем интересоваться суммар-
суммарными характеристиками последовательностей шагов, в частности,
высотой (т. е. ординатой) точек решетки в этих путях. Такого ро-
рода проблемы возникают, например, в задачах баллотировки или
при изучении путей с шагами лишь @, 1), A, 0). В значительной
части комбинаторной и статистической литературы под путями на
решетке понимаются именно такие пути.
В отличие от предыдущих эта глава не начинается с общих
перечислительных методов, используемых далее. Напротив, в каж-
каждом параграфе рассматриваются конкретные типы путей на решет-
решетках, а также представления, сохраняющие интересующую нас ком-
комбинаторную информацию с помощью обычных производящих функ-
функций. Поскольку здесь не вводится специальной алгебры, как это
было в гл. 4, то эту главу можно считать продолжением гл. 2.
5.1.1. Цепные дроби. Вначале, в § 5.2, рассмотрим перечисле-
перечисление путей с шагами A, 1), A, 0) и A, —1) при условии, что
каждая точка пути не может иметь отрицательной высоты. Ис-
Используя одно простое представление, покажем, что энумератором
таких путей относительно типов шагов и высоты является цепная
дробь Якоби (назовем ее /-дробью). Тем самым получим комби-
комбинаторное доказательство теоремы Стилтьеса — Роджерса (Stiel-
tjes — Rogers), а затем более сложное представление Франсона —
Вьенно (Frangon — Viennot) позволит нам кодировать перестанов-
перестановки на JCn как пути описанного выше типа. Таким образом, срав-
сравнивая результаты гл. 3 и § 5.2, установим несколько классических
тождеств, в которых различные экспоненциальные производящие
функции представляются как обыкновенные производящие функ-
278
ции, записанные в виде /-дробей. Одно из этих тождеств включает
эллиптические функции Якоби.
5.1.2. Произвольные шаги и непересекающиеся пути. Если за-
задано некоторое множество шагов, в котором допускаются любые
упорядоченные пары целых чисел (исключая @, 0)), то путь на
решетке можно представить как совокупность трех путей: минус-
пути, нуль-пути и плюс-пути. В § 5.3 отождествим обыкновенную
производящую функцию для каждого из этих трех подмножеств
путей с компонентой некоторого однозначного разложения произ-
производящей функции для всех путей на решетках с заданным мно-
множеством шагов. В случае, когда отрицательные скачки по ордина-
ординате могут быть равны лишь —1, найдем эти компоненты с помощью
теоремы Лагранжа.
В § 5.4 мы рассмотрим множества тг-наборов путей с ограни-
ограничениями на шаги и концы путей. Будет найден энумератор для
подмножества тех тг-наборов, в которых пути попарно не пересе-
пересекаются. Это позволит нам перечислить косые плоские разбиения
с убыванием по столбцам, удовлетворяющие различным ограниче-
ограничениям, так как плоское разбиение с п строками можно закодиро-
закодировать как множество из п непересекающихся путей. Теорема о до-
доминировании Кревераса (Kreweras) является следствием этого ре-
результата.
5.1.3. q -аналог теоремы Лагранжа. В § 5.5 обратимся к путям
с шагами из множества {A, ?)|?>— 1}. Для таких путей будет
найдено несколько представлений и выведен ^-аналог теоремы
Лагранжа, где q маркирует площадь под путем на решетке. С по-
помощью этого ^-аналога получится некоторое разложение для цеп-
цепных дробей специального вида.
§ 5.2. Взвешенные пути
В этом параграфе рассматриваются цепные дроби с комбина-
комбинаторной точки зрения.
5.2.1. Определение (/-дроби, S-дроби). Пусть Я4) и4, х (i>0) —
коммутирующие переменные. Пусть т, п @<т<п)— целые
числа. Тогда
1. Jx [x/t, К ¦ (т, п)] =
называется *) /-дробью (по Якоби);
1 bi h
*) Авторы используют запись -. — -л — ; ... для обозначе-
1 — ах — 1— а2 — 1 — а3—
иия выражения ^ . {Примеч. пер.)
А ш
2~1 — в3 —
279
2. bx[Xh: (m, /г)]= — _ —_j__..._—_ —
называется 5-дробью (по Стилтьесу).
Многочлен 1 — илаг — Ккх2 назовем к-ж знаменателем
Jx&k, Кк:@, оо)]. Заметим, что
Jx [О, Kh :(т,п + 1)] = Sx2 [Хк: (т, л)].
В действительности /-дробь может быть формально превращена
в 5-дробь, и наоборот, с помощью некоторых операций с последо-
последовательными парами смежных знаменателей. Превращение 5-дробис
в /-дробь называется сжатием.
5.2.2. Предложение (сжатие). Пусть X-i = 0. Тогда
SXK : @, оо)] = /„{a,a»_i + %2к, Х2кХ2Ш : @, оо)].
Следующее предложение дает выражение 5-дроби в виде сте-
степенного ряда по х, коэффициенты которого являются полиномами
от переменных Ко, h, •¦¦ Этот результат вытекает из рассмотре-
рассмотрения плоских деревьев с висячим корнем и заданной высотой, оп-
определяемой ниже.
5.2.3. Определение (высота плоского дерева с висячим корнем).
Высотой плоского дерева с висячим корнем называется максимум
высот его вершин (см. определение 2.7.15).
5.2.4. Предложение (многочлены Стилтьеса — Роджерса). Пустъ
Sx lh : @, оо)] = 1 + 2j Snxn. Тогда
o j=0
no+...+nh=n
Назовем Sn многочленом Стилтьеса — Роджерса.
Доказательство. Подсчитаем плоские деревья с висячим
корнем по отношению к их высоте двумя способами.
1. Пусть Xt маркирует некорневые вершины высоты i и пусть
Фн(х\, ..., хк) — производящая функция для плоских деревьев с
висячим корнем и высотой, не превышающей к. Тогда Фга (х)
(где x=(ari, аг2, ...)) есть производящая функция всех плоских
деревьев с висячим корнем по отношению к (ненулевой) высоте
их вершин. Каждое дерево высоты не более к + 1 может быть од-
однозначно получено из единственного дерева с высотой на единицу
меньшей, если соединить каждую вершину высоты к этого дере-
дерева с соответствующим числом вершин высоты &+1. По лемме о
композиции
Oh(xu ..., хк-и аг»A-жА+1у-1)", к>0,
где Oi(ari) = (l — Xi)~l. Отсюда следует, что OM(zx) = Sz[xi: A, оо)].
280
2. Предположим, что в плоском дереве с висячим корнем име-
имеется щ вершин высоты / и т^.\ вершин высоты ;' + 1. Каждое та-
такое дерево определяет неубывающую функцию из т,+]-множества
ти- — 1 J'/s^**
То же самое рассуждение можно независимо применить к любой
паре последовательных уровней, следовательно, число плоских де-
деревьев с висячим корнем и высотой к, имеющих т{ ^ 1 вершин
высоты i (i = 1, ..., к), равно
i:{i, oo)] =
\1 \ ' л . еслИ »»!+... +»»ft = Я,
О, в противном случае.
Утверждение будет доказано, если положить х( = "Kt-x, т( = щ-\,
а затем к — 1 заменить на /с. ?
Аналогично определяются многочлены Якоби — Роджерса Jn:
Jx [ль., К ¦¦ @, оо)] = 1 + 2 Jnxn.
Явное выражение для них указано в [5.2.2].
Рассмотрим связь между цепными дробями и перечислением
путей.
5.2.5. Определение (высота точки, путь, высота пути).
1. Пусть и = (i, f) e Z2- Тогда / называется высотой (the altitude)"
точки и и обозначается / = alt(u).
2. Пусть мо, • • •, М| — такая последовательность точек из Z2i что
1) ио = A, /о);
2) ы»+1 = и» + A, ofc),o»s (-1,0, l),0<ft<Z;
3) alt(uO^O, O^ft^Z.
Тогда щ.. .щ называется путем с началом и0 и концом щ и
обозначается (а0 ... o"^-i)jo-
3. Высотой пути (а0 ... 0;_x)j называется max alt(u&).
0 /i
Если re (—1, 0, 1), то (г);- называется шагом на высоте /, ко-
который мы будем считать спадом, уровнем или подъемом, если
г равно — 1, 0 или 1 соответственно. Таким образом, путь есть
последовательность шагов, причем конец одного шага является на-
началом следующего и высоты всех точек неотрицательны.
Если p = (pi .. .рг),-, a o" = (o"i.. .вк){ оканчивается на высоте /,
ТО Op = (ffi . . . CTftpi . . . pi)t.
Приведем рекурсивное представление для Жг — множества всех
путей 0, у которых высоты конца и начала равны i, a alt(v)^ i
для любой точки v e а.
5.2.6. Представление (для путей). Пусть е, обозначает точку с
высотой i. Тогда
2%i^?ii) (@)t и (l)t 5?i+i (- l)i+i) Зви i > 0.
281
Доказательство. Рассмотрим произвольный непустой путь
я е 2№и Пусть п = сф, где конец пути а является точкой с наи*
меньшей абсциссой из всех точек высоты i, но не совпадает в
началом пути. Ясно, что a, ^s 3@t, причем высоты всех внутрен-
внутренних точек а больше i. Таким образом,
откуда следует утверждение. Е
Пусть а = (сс0, ai, ...),!'= (Pi, h, ¦¦¦), Т=(То, fi, ••¦) — мно-
множества переменных, где а( маркируют подъемы на высоте i > О,
Р,- маркируют спады на высоте i > 1, а "f* маркируют уровни на
высоте i>0. Пусть i=(i0, м, ...), j=(/i, /2, ...), k=(&o, &i, •••)•
Если путь a имеет ?Л подъемов, jh спадов и АЛ уровней на высоте к,
то (i, j, k) называется шаговым типом а. Докажем основную пере-
перечислительную лемму для путей.
5.2.7. Лемма о путях. Число путей с п шагами и шаговым ти-
типом (i, j, k), начало и конец которых имеют высоту 0, равно
[a^a'p^J Jx [yh, a$h+1: @, оо)].
Доказательство. Пусть Нг(х, а, $, у) — производящая
функция для Жц по отношению к шаговому типу, маркированному
(a, p, y), и числу шагов, маркированному х. Из представления
5.2.6 получаем
откуда
Я,- = A - хЪ - x2a$i+lHi+l)-\
следовательно,
Я0 = /«[Т», a*p»+i:(O, «)],
и лемма доказана. ?
В качестве примера использования леммы 5.2.7 дадим комби-
комбинаторное доказательство теоремы Стилтьеса — Роджерса о /-дро-
/-дробях. Для этого потребуется следующее определение.
5.2.8. Определение (формула сложения). Пусть а(х) = 2 агх{/Н,
а а (х) = 2 aixi — формальный степенной ряд. Если а (х) обладает
i>0
тем свойством, что
а (X + у) = 2 Pmfm (x) fm (у),
где рт не зависят от х и г/, а
то мы говорим, что для а(х) справедлива формула сложения с па-
параметрами {(рт, qm+\) \m>0}.
282
Выражение для формального степенного ряда а (х) в виде J-
дроби получается из формулы сложения для а (х) с помощью сле-
следующего представления.
5.2.9. Представление (д-л тг7тт"-;. Пусть Эвц — множество пу-
путей, у которых начало имеет высоту i, а конец — высоту /, и вы-
высоты всех внутренних точек не меньше min(i, /). Пусть a@ij,n —
подмножество путей из Ж^ с п шагами. Тогда справедливы пред-
представления:
где тип — любые натуральные числа;
2. 3? ^(l)^ (l)&
3.
Доказательство. 1. Рассмотрим путь я^5^о,о,т+п и пусть
(m+l, /с)—точка этого пути с абсциссой x = m + i. Эта точка
является концом некоторого пути из 2ёо,н,т и одновременно нача-
началом пути из 5^ft,o,n.
2. Пусть п — путь из Ж-,ь (i<k). Пусть а^<Ж—самый длин-
длинный подпуть с тем же началом, что ж п. Тогда я — сф, где [3 —
путь из 5^f,ft, имеющий только одну вершину высоты i, а именно
начало.
Таким образом, [$ = A)$', где §'^Ж1+\,и, так что Ж,* =
= 5^(A)E^й-ц @<i<&—1). Утверждение доказывается по-
повторным применением этого соотношения.
3. Доказывается аналогично п. 2. ?
5.2.10. Теорема Стилтьеса — Роджерса о J-дробях. Для фор-
формального степенного ряда f(x) формула сложения с параметрами
{(/>m, qm+i)\m^0} справедлива тогда и только тогда, когда
7 ix) = Jx Um+l — 1m, Pm + lPm1 ¦ @, °o)].
Доказательство. 1. (*f=): Пусть H{, Hht, Hhi^r — произво-
производящие функции для Set, ЖК1, дёь.г,г, в которых fi и а.) маркируют
соответственно уровни и подъемы на высоте / 5= 0. Если fh (z) =
= S Hh,o,ixi/Jli то по лемме 5.2.7
Из пп. 2, 3 в представлении 5.2.9 имеем
Нол = «о • •. &ъ.-\Но... Hh = phHk,o,
где pk~a0.. ,ah-\, и следовательно, IhXn = р*#»,о,п. Но из п. 1 в
представлении 5.2.9 следует
" 0,0,m+n — .Zj "оЛ,п"h,o,m — ^j
ft>0 Й>0
283
Умножая обе части на хпут/п\т\ и суммируя по т, п>0, по-
получаем
/„(* + */) = 2 Р*М*)/*(?)•
Далее, #t,o,j = 0 при / < к, а #fc,o,fc = 1, так как множество
*,о,* состоит из единственного пути (—l)ft(—l)fe-i... (—1) ь По-
Поэтому
где qh+i = Hkfl,h+i- Так как первый шаг в путях, перечисляемых
функцией Нк$л+1, может быть подъемом, уровнем или же спадом
на высоте к, то
Найдя из соотношений рк = ао ... at-i и qh+1 = fh+ qk, что ccfe =
= Pk+iPl1, Ук — ?fe+i — ?г» получаем нужный результат.
2. (=>): Обратно, если для f(x) справедлива формула сложе-
сложения, то получаем, что
f ix) —
где .ЕГо.о.п — производящая функция относительно подъемов и уров-
уровней для путей длины п с началом и концом высоты 0. О
С помощью теоремы Стилтьеса — Роджерса о /-дробях выведем
следующий результат Эйлера.
5.2.11. Цепная дробь, связанная с факториалами. Пусть f{x) —
^lx71, тогда по определению 5.2.8 имеем /(ж) = A — х)~1. Что-
бы получить формулу сложения для f(x), заметим, что
f(x + y) = {l-x- 0-1 = {A -х){1-у)-
Таким образом, рк = (к\J и
поэтому gt+1 =(к + IJ. Отсюда следует, что qk+i — qk = 2к + 1,
'а pft+iPfe =(&+lJ, и по теореме Стилтьеса — Роджерса о /-дробях
получаем
2 »! я" = /«[2ft + 1, (ft + IJ: @, оо)].
Для многих задач гл. 3 о перестановках и разбиениях обычные-
производящие функции можно представить /-дробями простого ви-
вида. Примеры таких представлений можно пайти в задачах данного
284
параграфа. Это достигается применением различных алгебраических
средств, включая теорему Стилтьеса — Роджерса. Например, для
множества всех разбиений экспоненциальная производящая функ-
функция по 3.2.17 равна 1{х) = ехр {ех — 1}, а в [5.2.6] показано, что
f(x)— Jx[k+ I, A; + 1 : @, <»)]. Для множества беспорядков /(#) =
= е~*A -х)-\ a f(x)=Jx[2k, (к+1J:@, <»)] (см. 3.2.8 и [5.2.5]).
Так как /-дроби перечисляют пути, то естественно возникает
вопрос: нельзя ли находить выражение для экспоненциальной про-
производящей функции в виде /-дроби непосредственно, интерпрети-
интерпретируя перестановки и разбиения как некоторые пути? Для переста-
перестановок этот вопрос решается с помощью представления 5.2.15
Франсона — Вьенно, а для разбиений — с помощью представления
Флажоле (Flajolet), данного в задаче [5.2.19]. При этом понадо-
понадобится понятие взвешенного пути.
Пусть w{(r)i)^Jf обозначает вес шага (г),-. Взвешенным пу-
путем (Ро • • • Pi—х. то • • • mi-i)i0 называется путь (р0 .. . Pj-i)j0 вместе
с весами то, ¦ •., mi-г, где mi — вес шага р,-. При изображении
взвешенного пути в плоскости Z3 будем ставить звездочку в точке
2345678
Рис. 5.2.1. Взвешенный путь A10—111—1 —10—1, 0102013100)
(i, к), если шаг, начинающийся в (i, j) имеет вес к. Например,,
рис. 5.2.1 изображает взвешенный путь
A 1 0 -1 1 1 -1 -1 0 -1, 0 1 0 2 0 1 3 1 0 0H.
Взвешенные пути имеют функции возможностей if-i, if>o, il'i, ес-
если на вес w((k)i) накладывается единственное ограничение, со-
состоящее в том, что он выбирается из фиксированного подмноже-
подмножества мощности i|)ft(i) множества Jf. Лемма 5.2.7 распространяется
на взвешенные пути.
5.2.12. Лемма о взвешенных путях. Число взвешенных путей
с п шагами, начало и конец которых находятся на высоте 0, равно-
где \p-i, t|jo, ifi — заданные функции возможностей.
Применим взвешенные пути к перечислению перестановок от-
относительно подконфигураций, определяемых ниже (см. также
[3.3.46]).
285
5.2.13. Определение (двойной подъем, двойной спад, локальный
максимум, локальный минимум). Пусть о == Oi... о„ — перестанов-
перестановка на Jfn и пусть оо = on+i = 0. Тогда о,- будем называть
1) двойным подъемом, если cr,-i < сг,- < oj+i;
2) двойным спадом, если aj-i > as > Of+i;
3) локальным максимумом, если Oj_i < cjj > oJ+i;
4) локальным минимумом, если Oj_i > a,-< Oj+i.
Каждой перестановке о можно сопоставить ассоциированное де-
дерево ?(о), получаемое с помощью следующего рекурсивного ал-
алгоритма.
5.2.14. Алгоритм (ассоциированное дерево). Пусть a = $if —
последовательность над Jfn, все символы которой попарно различ-
различны, причем i — наименьшее из чисел последовательности. Тогда
t(a) зададим следующим образом:
1. / \ , если i — локальный минимум ($Фе,
, если i — двойной подъем ([5 = е, j Ф е);
3. / , если i — двойной спад (f5^e, ^ =
t(J3)
4. (Т) , если i — локальный максимум ([5 = е, 1f = s)-
Отсюда следует, что «самая левая» и «самая правая» вершины
построенного таким образом дерева t(a) соответствуют начальному
г, конечному символам перестановки о. Рис. 5.2.2 изображает ас-
ассоциированное дерево перестановки 829613547.
Следующее представление дает взаимно однозначное соответ-
соответствие между взвешенными путями и перестановками.
5.2.15. Представление Франсона — Вьенно (Francon — Viennot).
Существует взаимно однозначное соответствие между перестанов-
перестановками на Jfn и взвешенными путями с началом и концом на высоте
0, с п — 1 шагами и с функциями возможностей
Доказательство. Конфигурации пп. 1—4 из 5.2.14 назовем
элементарными фрагментами при вершине i, а инцидентные ей реб-
ребра назовем открытыми ребрами. Пусть а((а)—элементарный фраг-
фрагмент в дереве t(a), содержащий вершину i (i = 1, 2, ..., re), где
286
t(o)—ассоциированное дерево для перестановки о на Jfn, полу-
полученное по алгоритму 5.2.14.
Свяжем с (в](о), ..., а„(ю)) веса (Wi(c), ..., Wn(a)). По-
Построим для этого набор конфигураций (/]? ..., /„), которые назо-
назовем фрагментами. Пусть fn = t(c). Для i = n, и—1, ..., 2 фраг-
фрагмент /,_] образуется из f( удалением элементарного фрагмента а{(о).
б«= 8 2961 354- 7
Рнс. 5.2.2. Ассоциированное дерево для перестановки 829613547
В каждой конфигурации /,• открытые ребра перенумеруем слева
направо числами 0, 1, 2, ... Вес W<(o) положим равным номеру
того открытого ребра в /,_i, которое примыкает к а,(о). Ясно, что
/i — это элементарный фрагмент а\ (о) и мы полагаем W\ (о) = 0.
Из построения t(a) видно, что /< связна и имеет вершины, поме-
помеченные 1, ..., i (i=l, 2, ..., и), так что указанное построение
корректно. Более того, t(o) однозначно восстанавливается по набору
я=((а,(о) ап(о)), (JF,(o),..., Wn(a)),
если начать с /i = ai (о) и последовательно строить /г, ..., fn = t (о).
По п строим взвешенный путь (Si... Sn~\, W\(a).. .Wn-X(g)),
где Si= 1, — 1, Op, Ox, если i — локальный минимум, локальный мак-
максимум, двойной подъем или двойной спад. Как двойному подъему,
так и двойному спаду в перестановке отвечает уровень в пути.
Поэтому мы будем различать два типа уровней, 0р и 0»., которые
маркируются переменными р и X и называются соответственно пра-
правыми и левыми уровнями, а для их функций возможностей 1]зр и
¦ф* должно выполняться соотношение ifo = т^р + ^л- В любой пере-
перестановке о на Jfn элемент п — локальный максимум, а /„-] имеет
единственное открытое ребро, поэтому Wn (о) = 0 и п однозначно
восстанавливается по построенному пути.
Высота начальной точки для шага St на единицу меньше числа
открытых ребер в /t_i, а высоты начальной и конечной точек взве-
взвешенного пути равны нулю. Кроме того, построенный взвешенный
путь не имеет точек с отрицательной высотой. Далее, если St —
шаг на высоте к, то Wi(a) принимает любое значение от 0 до к,
так что функции возможностей для построенных взвешенных путей
равны
, i),o (к) = 2 (к +1).
287
Остается лишь отметить, что это построение обратимо. Доказатель-
Доказательство завершено. О
На рис. 5.2.3 показан взвешенный путь, представляющий по
методу Франсона— Вьенно перестановку 829613547. Ассоцииро-
Ассоциированное дерево этой перестановки приведено на рис. 5.2.2.
Отсюда вытекает следующий результат Эйлера.
5.2.16. Все перестановки. Рассматривая все перестановки на
Jfn, из представления Франсона — Вьенно и леммы о взвешенных
путях получаем, что
2 п\ z»-i = Jx [2 (к + 1), (к + 1)(к + 2): @, оо)].
Полученное утверждение о перестановках объясняет с комбина-
комбинаторной точки зрения представление суммы 2j (п -\- 1I хп в виде
/-дроби. Алгебраически это соотношение выводится в [5.2.3].
При дальнейших применениях представления Франсона — Вьен-
яо следует помнить, что локальным минимумам, двойным спадам,
Рис. 5.2.3. Взвешенный
путь, соответствующий
перестановке 829613547
двойным подъемам и локальным максимумам в перестановке от-
отвечают подъемы, левые уровни, правые уровни и спады в соот-
соответствующем пути. Эта связь используется при нахождении функ-
функций возможностей для подмножеств перестановок специального ви-
вида. Напомним, что первый и последний элементы перестановки
можно считать локальным максимумом, двойным подъемом или
двойным спадом, добавляя условно 0 в оба конца перестановки.
5.2.17. >-альтернирующие перестановки нечетной длины. Пере-
Перестановка является >-альтернирующей (см. 4.2.6) и имеет нечетную
длину тогда и только тогда, когда у нее нет двойных подъемов
и двойных спадов. Таким образом, i|)o(fc)= i|)P(&)+i|)x(ft)= О,
a api(/c)= ap_i(A;)= k+ 1 по-прежнему. Поэтому из леммы о взве-
взвешенных путях и представления Франсона — Вьенно вытекает, что
число >-альтернирующих перестановок на Л'гп+х равно
[г8"]/«[О, '(А+ 1) (ft+ 2): @, °°)].
По 3,2.22 это число равно [x2n+i/Bn + I) !]tg?. Алгебраический вы-
вывод представления tg х в виде /-дроби дается в [5.2.4].
288
Перестановка о четной длины 2и является >-альтернирующей
тогда и только тогда, когда перестановка аBп + 1) является ^аль-
^альтернирующей. Чтобы получить соответствующий результат для пе-
перестановок четной длины, сформулируем одно следствие из алго-
алгоритма 5.2.14.
5.2.18. Следствие (самый правый элемент перестановки). Пусть
а — перестановка на Jfn. Если алгоритм об ассоциированном де-
дереве для перестановки о приводит к присоединению одного из эле-
элементарных фрагментов
или
где 1 < i < п, к самому правому открытому ребру предыдущего
фрагмента, то i является последним элементом о, и наоборот.
5.2.19. >-альтернирующие перестановки четной длины. Рассмот-
Рассмотрим множество S& всевозможных >-альтернирующих перестановок
нечетной длины, оканчивающихся своим наибольшим элементом.
Для взвешенных путей, соответствующих элементам множества s&,
имеем г|:о(&)=0, как в 5.2.17. Пусть a^s& имеет длину 2и + 1.
По следствию 5.2.18, для того чтобы число 2га+1 оказалось
последним элементом а, мы при построении t(a) не должны до
последнего шага присоединять к самому правому открытому реб-
ребру элементарный фрагмент, соответствующий локальному макси-
максимуму. Таким образом, значение функции возможностей для спадов
в путях, соответствующих элементам si-, на единицу меньше, чем
в 5.2.17, т. е. ty-i(k)= к. Функция возможностей для локальных
минимумов (для подъемов в путях) не изменяется, т. е. \|)i(&) =
= к + 1. Поэтому число >-альтернирующих перестановок длины
2га, равное числу перестановок длины 2га + 1 в s?, по лемме о взве-
взвешенных путях есть [ж2п]/Л0, (к+1J:@, «>)]. Но из 3.2.22 нам
известно, что это число равно [х2п/Bп)\] sec х.
В [5.2.3] дается алгебраический вывод представления sec ж в ви-
виде /-дроби.
Предыдущий результат (решение проблемы Андре) оказывается
связанным с комбинаторной интерпретацией эллиптической функ-
функции Якоби cn(z, а), что обнаруживается при рассмотрении локаль-
локальных минимумов.
5.2.20. >-альтернирующие перестановки четной длины с чет-
четными минимумами. Эллиптическая функция Якоби сп (х,а). Пусть
аBп, I)—число >-альтернирующих перестановок на Jfin с I чет-
четными локальными минимумами. Для >-альтернирующих переста-
перестановок нечетной длины четные локальные минимумы соответствуют
подъемам на нечетной высоте в соответствующем пути. Поэтому,
маркируя переменной а подъемы на нечетной высоте в путях из
5.2.19, получаем
аBп, l) = [alx2n]Jx[0, (к + l)
я. Гульден, Д. Джексон 289.
или по [5.2.8]
Выражение для а Bга, V) в явном виде получается с помощью
полиномов Стилтьеса — Роджерса (см. 5.2.4):
а Bга, I) = И 2 1г71°2271132... (к + ifh X
no+...+nfe=n
Например, аD, 1) = 4. Выпишем эти четыре перестановки: 4231,
3142, 3241, 4132 (подчеркнут единственный четный локальный ми-
минимум).
До сих пор в этом параграфе мы интересовались комбинаторной
интерпретацией /-дробей вида h [кк, А*: @, <»)]. Теперь рассмотрим
комбинаторное применение /г-конвергента/<'1>(а;)= /* [nk, Хк : @, «)]
и «-усечения /(M(a:) = /«[xt, Kh:(h, °°)] таких дробей. Следующее
предложение, являющееся классическим, связывает «-конвергент и
Л-усечение с некоторыми полиномами Ph(x) и Qh{x), а также дает
ряд свойств этих полиномов.
5.2.21. Предложение (рекуррентное уравнение, тождества).
Пусть J(x) = Jx[Kh, А*: @, «,)], где %k^Q,k>Q. Тогда
1. /<л>(х) = Ph{x)/Qh(x) для h>0, где Ph(x) и Qh{x) удовлетво-
удовлетворяют рекуррентному уравнению
с начальными условиями Р-\ =0, Ро = 1 и Q-i = 1, ^0 — 1 —
2. Многочлены Ph и Qh являются многочленами от х степени
не выше h и h + 1 соответственно.
3. Рк<?к-1-Рь-1<?к = (Ьо.. .K-i)x№, k>l.
4.
Принимая во внимание лемму о путях (см. 5.2.7), усечениям
и конвергентам можно дать комбинаторную интерпретацию, со-
содержащую условия на высоту путей, перечисляемых относительно
их шагового типа. Эта интерпретация содержится в следующем
результате, обобщающем лемму о путях (включенную как п. 1).
5.2.22. Теорема о перечислении путей. Производящая функция
относительно шагового типа для множества всех путей от точки
на высоте а до точйи на высоте Ъ {при соответствующих ограни-
ограничениях на высоту Н этих путей) равна
1. / = /«[Ъ, a(fr+i : @, »)], если Н>0,а = Ъ = 0.
2. (^l...^hxh)-1(Q^iJ-P,-i), если Н>0, а = О, Ь-Л.
3. PhIQh, если Н< h, а = Ь = 0.
4. (ao...ab-1)($l...$k)x2h/QhQh-u если Н = h, a=b = O.
290
5. (осо.. ,ah-i) xhJQh, если Н = h, a = О, Ъ = h.
6. (an-tfnx2)-1 (Qk-iJ-iVi)/((W - Рн-2), если H>h,a = b = h.
Здесь Ph и Qh — многочлены, определяемые по / (см.
5.2.21 A)).
Доказательство. 1. Это — лемма о путях.
2. По представлению 5.2.9 множество таких путей есть
5#оA)о 26\{\)\...(\)ъ-хЖк. Но производящая функция для Ж( рав-
равна Jm(x), а производящая функция для A){ равна atx. Поэтому
искомая производящая функция равна /(O>aoa;/(Uaia;...afc_ia;/i''>.
Требуемый результат следует из предложения 5.2.21D).
3. По лемме 5.2.7 производящая функция равна Jin>(x), так как
подъем на высоте h не допустим. Результат следует из предложе-
предложения 5.2.21.
4. По предыдущему пункту искомая производящая функция
равна JOl)(x) — Ji-h~n(x). Но по 5.2.21A,3) это выражение равно
5. Производящая функция получается заменой / в п. 2 на /<Л>
и поэтому равна (pi... ^hXh)~1(Qh-\Jm — Ph-i). Результат следует
из 5.2.21.
6. Производящая функция равна Jlh)(x), и требуемый результат
следует из 5.2.21D). ?
Назовем высотой перестановки высоту соответствующего ей пу-
пути. Еще одна модификация проблемы Андре получается, если вве-
ввести ограничение на высоту. Эта задача решается с помощью преды-
предыдущей теоремы.
5.2.23. >-альтернирующие перестановки четной длины с задан-
заданной высотой. Полиномы Мейкснера. Из теоремы о перечпслении
путей, учитывая 5.2.19, получаем, что число >-альтернирующих
перестановок длины 2га и высоты h равно
сBга, h) = [x2n]
где Qh — многочлен в знаменателе для fe-конвергента дроби
-МО, (к + 1J:@, <»)]. По предложению 5.2.21 Qh при к > 1 удов-
удовлетворяет уравнению Qk = Qh-\ — №x2Qh-i с условием- Qo(x) =
= <?_i(a;)== 1. Обозначим M0(x)=l, Mi{x) = x, Mh+i{x) = xkQk{x-1)
для к 5* 1. Тогда предыдущее рекуррентное уравнение запишется
в виде
Таким образом, xhQh(x~l) есть полином Мейкснера (см. [1.1.12]).
Примечания и ссылки.
Этот параграф основывается на работе Flajolet A980); о клас-
классических результатах для цепных дробей см. Perron A929) и Wall
A948); о специальных функциях, встречающихся в связи с ре-
рекуррентными уравнениями в 5.2^21, см. Chihara A978).
19* 291
E.2.4) Flajolet A980), Rogers A907); E.2.7) Flajolet A980),
Good A969), Jackson A978), Read A979), Touchard A952);
E.2.10) Rogers A907), Stieltjes A889); E.2.15) Francon and Vien-
Viennot A979); E.2.17, 19, 20) Flajolet A980); E.2.21) Perron A929),
Wall A948); E.2.22, 23) Flajolet A980).
[5.2.1] Renyi and Szekeres A967); [5.2.2] Flajolet A980);
[5.2.3] Gauss; Flajolet A980), Stieltjes A889); [5.2.4] Stieltjes
A889); [5.2.5] Flajolet A980); [5.2.6] Flajolet A980), Stieltjes
A889); [5.2.8] Rogers A907); [5.2.9] Heine A846, 1847), Gauss
A813); {5.2.11] Jackson A978), Rosen A976); [5.2.13] Carlitz
A974); [5.2.14] Francon and Viennot A979); {5.2.15] Flajolet A980);
[5.2.17] Flajolet (личное сообщение, 1982); [5.2.18—20] Flajolet
A980); [5.2.21-23] Flajolet A982), Gessel A981); {5.2.24] Dumont
A979), Flajolet and Francon A981), Viennot A980).
ЗАДАЧИ
5.2.1. (а) Показать, что число помеченных корневых деревьев
на га вершинах, среди которых га4 имеют высоту i (i=l, .. ., к),
равно
п\ п2 п nh
—\ —^ Щ пгл ... raft_lt где пг + ... + nh = п ~— 1.
(б) Показать, что ехр {хкг ехр {хк2 ехр {•••}}}= 1 + ^А.тхт, где
П. rifr
*^ _ пЛ пЛ
1
5.2.2. Пусть Jx [xi, Хг: @, оо)] = 1 + 2 Jr^n. Доказать, что
J Р — «0 + ^J Zj \^0 • • • Л& ) \ К0 • • • Kh
ft>0 ™ть + >0
где ra_i = 1, а внутреннее суммирование подчинено условию
2(гао + ... + nh) + (mo + ,.. + mh+i) = p. (Jp называется полиномом
Якоби — Роджерса).
5.2.3. Получить соответствующие формулы сложения для дока-
доказательства тождеств:
(а) 1+2 1-3-....Bв—1)ж»» = /х[0, А + 1: @, оо)];
(б) 1 + 2 г (г + 1)... (г + п- l)xn = Jx[r + 2к, (к + 1) (к +
+ г):@,оо)];
(в) 2 Emx*» = Jx [0, (к + IJ: @, оо)],
п>0
где Е2п = [х2п/ Bга)!] sec x — число Эйлера.
292
5.2.4. (а) Доказать, что если /(ж) —формальный степенной ряд
и/@) = 0, ioT(x) = xj'(x).
(б) Используя п. (а), доказать, что
2 ?2n+i*2n+1 = xJx [0, (ft + 1) (ft + 2): @, оо)],
где E2nH = [x2n+l/Bn+ i)\]tgx— _число Эйлера.
5.2.5. (а) Показать, что если / = /х[хл, А*:@, <»)], то
f-/«[o + x», Я»: @, »)], где tf(s) = e«/(a:).
(б) Используя п. (а), доказать 2 ^«^ = Jx [2&, (к +1J: @, оо)],
где dn = [xn/n\]e-x(l — х)~1 — число беспорядков.
5.2.6. Принимая во внимание соотношение Q(x + y) = Q(x)Q(y) +
+ Q(x) + Q(y) для функции В(х)=ес—1, доказать, что
(а) 2 S(га, к)ukxn = Jx[u + к, иA + к): @, оо)], где
v ' n,h>0
S (га, к) — uk-^j ехр {и (ех — l)} — числа Стирлинга второго рода;
(б) S An,hukxn = Jx[k + u(l + к), и(к+ IJ: @, оо)], где
An,h= \uh~\ ~""_„, —эйлерово число (см. 2.4.21).
L J 1 — ие u '
5.2.7. (а) Доказать, что если j{x) — формальный степенной ряд,
то
/(*) = х-^ f(t)e~ix W
о
00
(б) Пусть tn(x)=x~i^(tgnt)e~ix dt. Показать, что tn = nx(tn-i +
+ tn+i) и таким образом получить [5.2.4 (б)].
5.2.8. Пусть
ф
С dQ
х = \ ~, 'о—
•' A — m"si
29I/2
!9>
и пусть
en (я, тп) = cos ц>, sn(;r, ?re) = sin<p, dn(x, m) = (l — 7re2sin2(pI/2.
Эти функции называются эллиптическими функциями Якоби, для
краткости будем обозначать их спя, snz и dnx; m называется
амплитудой.
(а) Доказать, что cn@) = dn@)= I, sn@) = 0.
(б) Доказать, что
1) т- сп х = — sn х dn x:
' ах
293
2) r- sn x = en x dn x\
3) -г- dn a; = — тга2 sn a; en ж.
00
(в) Пусть f(x) = snx, &gn(x) = x~l ^ snnte~tx dt. Найдя рекур-
о __
рентное уравнение для gn, доказать, что / (х) = xJ _хг [щ, kj: @, оо)],
где
х, = A + /га2) A + 2/J, kt- тга2A + 2/) B + 2/JC + 2/).
ОО
(г) Пусть / (х) = сп я, a gn {%) =¦ х~х \ snni en te~tx dt.
о
Доказать, что
1) f(x) =J_X2 [x;, h : @, оо)], где
2) f(x) = S_x* [(/ + IJ Щ : @,оо)], где
{1, если / четно,
{
т-, если / нечетно.
5.2.9. (а) Пусть
Доказать теорему Гейне:
.Ф1 (в; +1[1 :^. *)/8Ф1 (V :?,*) = 5.[^ : @, оо)],
где
a (n)q = (l-q")(l-q)-K
(б) Вывести из теоремы Гейне следующие соотношения:
1) 1 + S A),C), . • • B/ - 1)^ = 5Я [?fe (ft + 1)9: @, оо)];
2) 1 + 2 n\qxn = 5Я [^:@, оо)], где K2j = q} (j
l
5.2.10. (а) Показать, что
2С„^ = 5,[1: @, оо)],
где Сп = —гт | ге) — число Каталана, и следовательно, показать,
п-\-\уп I
что С„ есть число путей длины 2п +1, не имеющих уровней, между
двумя точками с высотой 0.
294
(б) Показать, что
Мпхп =Л-{1-х-{1-2х- 3s*I/f] = Jx [1,1: @, оо)],
2х
где Мп — число Моцкина, и следовательно, показать, что Мп есть
число путей длины га + 1 между точками с высотой 0.
5.2.11. Назовем ступенчатым кодом последовательность неотри-
неотрицательных целых чисел, начинающуюся и оканчивающуюся нулем,
в которой соседние элементы отличаются на 1.
(а) Показать, что число ступенчатых кодов длины 2га + 1 и ти-
типа i = (to, ?i, ...) равно
[х х0 хх ... lxx0Sxz [XkXk+i '¦ @, оо)].
1 /2га\
(б) Показать, что существует „ , (( „ I ступенчатых кодов дли-
длины 2л+1 (см. [2.7.13]).
2П+1
(в) Для ступенчатого кода о = oi... огп+1 пусть W (о) = Ц (о;- +
+ 1). Показать, что
где сумма берется по всем ступенчатым кодам длины 2п +1.
5.2.12. Определим площадь пути uo...uh где alt(uo) = alt(Ui) = O,
как 2
i
2 (О
i=0
(а) Доказать, что число путей между точками с высотами 0,
имеющих п шагов и площадь т, равно
(б) Доказать, что число ступенчатых кодов длины 2га + 1, сум-
сумма элементов которых равна т, есть
(в) Рассматривая Sx[qh:{0, °<=)] = N{x, q)/D(x, q), где D{0, q)--
= 1, показать, что
1 + 2 (-*)VBn+1)II (i - г2*)
:@, oo)J = .
i+ 2 (-*)"<
(S-x[qh: @, °°)] — цепная дробь Рамануджана).
5.2.13. (а) Найти взаимно однозначное соответствие между сту-
ступенчатыми кодами длины In + 3 и множеством $Фп таких целочис-
целочисленных последовательностей (oi, ..., ап), что O=?Sai ^...^а„, при-
причем п) < ] (/ = 1, ., ., П.).
295
(б) Пусть Ъ(п, т) — число последовательностей из М„, для ко-
которых й] + ... + an = Г 2 )~ т- Показать, что Ъ(п, т) =
= [x"+lqm]Sx[tf:@, »)].
(в) Доказать, что
5.2.14. Пусть яг, ..., Я4 — множества локальных максимумов,
двойных подъемов, двойных спадов и локальных минимумов в пере-
перестановке на Jfn, т. е. Jfn = яг и ... U ли и пусть
1, если /е яг,
О, если /ел2ия3,
1—1, если /ея4.
Доказать, что число перестановок на Jfn с фиксированными Л\, ...
..., Я4 равно
п" '-
5.2.15. Вывести 5.2.11 и [5.2.5 (б)] с помощью представления
Франсона — Вьенно.
5.2.16. (а) Доказать, что число перестановок на Jfn, в которых
локальные максимумы монотонно возрастают (слева направо),
равно
[ж—1] /«[2Л + 2, Л + 1: @, оо)].
1 /2п\
(б) Доказать, что существует ^zfj I „ I >-альтернирующих пере-
перестановок на Л°2п+ь У которых как локальные максимумы, так и ло-
локальные минимумы монотонно возрастают слева направо.
5.2.17. (а) Пусть С (ж) —экспоненциальная производящая функ-
функция для перестановок на Jfn, не имеющих <-цепей длины 3. Вы-
Вывести из 4.2.15 и леммы о <-преобразовании, что
(б) Используя представление Франсона — Вьенно, показать, что
С(х) = .
(в) Показать непосредственно, что для С(х) справедлива фор-
формула сложения с параметрами jl^' » у(^+ 1)(к-\-2)\ п^и> и тем
самым получить результат п. (б) из теоремы Стилтьеса — Роджерса
о /-дробях.
5.2.18. Назовем дублированной перестановкой такую перестанов-
перестановку на Jfn, в которой 2/ + 1 и 2/ + 2 одновременно являются либо
296
локальными максимумами, либо локальными минимумами, либо
двойными подъемами, либо двойными спадами для всех у, удовлет-
удовлетворяющих условию 2j + 2 =? п. Доказать, что число дублированных
перестановок с i подъемами равно
(а) (-1)"[ж2п|-|тД_т(а!1 т) для JTu+i;
(б) {-1)п[а?пт*\сп(х, m) для Jf2n,
где sn(a;, т) и сп(ж, тга) — эллиптические функции Якоби (см.
[5.2.8]).
5.2.19. Пусть П={лA), ..., nw) — разбиение Jfn на блоки я(г)=
= W0 41), причем я<'> < ... < я?> и п[» < ... < 4к) A <
^ i ^ А;). Слоистая диаграмма для П состоит из к горизонтальных
отрезков плоскости. Сегмент 1-г с номером i соединяет точку (jXi*\ i)
с (пщ, 0 и проходит через вершины (я^, г), (яBг), i), ..., (я(рг?, i)
(i = 1, ..., &). Пусть г/j, высота я(г), есть число горизонтальных от-
отрезков, включая сам lh которые пересекаются вертикальным отрез-
отрезком ИЗ (я(!г), О В (я(!г), 1).
Например, слоистой диаграммой для П = {{1, 6}, {2, 4}, {3, 8),
{5, 7}} будет
(а) Считая начальный элемент г отрезка слоистой диаграммы
подъемом, а конечный элемент s — спадом, доказать, что сущест-
существует взаимно однозначное соответствие между разбиениями Jfn на
блоки размера 2 и взвешенными путями, имеющими п шагов и
функции возможностей
(б) Рассматривая слоистые диаграммы, доказать, что сущест-
существует взаимно однозначное соответствие между разбиениями Jfn и
взвешенными путями с п шагами и функциями возможностей
(в) Показать, что число разбиений Jfn с i подмножествами мощ-
мощности 1 и / подмножествами мощности не менее 2 равно
luVs"]7Х[А; + и, (k+l)v:@, «)].
(г) Показать, что число разбиений Jfn, имеющих только i бло-
блоков мощности 1 и /' блоков мощности 2, равно
[uV*"]/,[b, (ft + 1)v:@, оо)].
297
5.2.20. Рассмотрим слоистую диаграмму, определенную в [5.2.19].
Пунктирная линия в столбце i идет от «нулевой» строки до отрезка,
соответствующего блоку, содержащему i. Число пересечений этих
пунктирных линий с отрезками слоистой диаграммы (исключая ко-
конечные точки) называется индексом пересечения рассматриваемого
разбиения. Для П из [5.2.19] точки пересечения обведены кружка-
кружками, и индекс пересечения равен 7.
(а) Доказать, что число разбиений Jfzn с индексом пересечения
/ и с блоками лишь мощности 2 равно
(б) Дать комбинаторное доказательство формулы [5.2.9 (б) п. 2].
5.2.21. Пусть И;, ki — целые числа при всех IX) и пусть
А + 1
2 Jnxn = Jx [xi, %i: @, oo)], a Qh (x) = ? с (i, h) хг для h > 0
n>0 i=0
(Qh(x) — многочлен в знаменателе fe-конвергента /-дроби, см. 5.2.21).
Показать, что для любого т^О:
(а) 2 с (i, m) Jn-i = 0 mod (^.0 ... Хт) при п > т;
т
(б) |/i+;-2 i|(m+i)x(m+i) = II hm-i (детерминант Ганкеля);
(в) последовательность {/„ mod(^o •..кт) \п ~> 0} периодична, на-
начиная с некоторого га.
5.2.22. Пусть Вп = [хп/п\]еху(ех— 1). Это — экспоненциальные
числа Белла. Вывести из [5.2.6 (а)] и [5.2.21] соотношения:
(а) Вп - 10Bn-i + 55„-2 + Я»-4 = 0 mod 24 для п > 4;
(б) последовательность {В„ mod к I n ^= 0} становится с некоторо-
некоторого момента периодической для любого к > 1.
5.2.23. (а) Вывести из 5.2.11 и [5.2.21] соотношение
=1.
mxm
(б) Вывести из [5.2.3 (в)] и [5.2.21] соотношение
E2n = 5n~l mod 36, raSM,
где Еъп = [х2п/Bп)!] secx — число Эйлера.
5.2.24. Пусть а — перестановка. Рассмотрим ребра дерева t(a),
выходящие из корня. Левым путем в о пазовем подпоследователь-
подпоследовательность перестановки о, элементы которой образуют путь с ребрами,
направленными влево в t(o). Стратифицированной перестановкой
назовем непустую перестановку, у которой максимальные левый и
правый путл, имеют нечетную длину (по вершинам); г-стратифици-
рованные и /-стратифицированные перестановки определяются ана-
аналогично, с той лишь разницей, что самый правый максимальный
правый путь и соответственно самый левый максимальный левый
?98
путь имеют четную длину, а пустая последовательность е принад-
принадлежит обоим множествам. Показать, что
(а) число стратифицированных перестановок на Jf2n+i с 2к
подъемами равно
(б) число r-стратифицпрованных перестановок на Jfin с 2к — I
подъемами равно
(в) число Z-стратифицировапных перестановок на /Счп с 2к
подъемами равно
где sn, en и dn — эллиптические функции Якоби (см. [5.2.8]).
§ 5.3. Пути на решетке
В § 5.2 рассматривалось перечисление взвешенных путей на
плоскости. При этом разрешались шаги лишь трех типов, а именно
подъемы, уровни и спады, что соответствовало упорядоченным па-
парам A, 1), A, 0) и A, —1) сдвигов по осям жиг/, причем все точ-
точки путей имели неотрицательную высоту. Теперь мы перейдем к
перечислению путей на решетке, или просто путей, с более ши-
широким набором шагов и без ограничений на высоту. Следующее
определение обобщает определение 5.2.5.
5.3.1. Определение (высота, путь, шаг).
1. Пусть и = (г, /) е Z2. Тогда / называется высотой точки и и
обозначается alt (а).
2. Пусть щ...щ — последовательность точек, принадлежащих
решетке Z2 такая, что
где at^^, а 9*— фиксированное подмножество множества {..., —2,
-1, 0, 1, 2, ...}Х{-1, 0, 1, 2, ...} —@, 0). Тогда ио...и, называет-
называется путем (на решетке) с множеством шагов 91 и обозначается
я = (а0 ... ai-Ou,,.
3. Путь п имеет начало щ, конец и( и длину I. Упорядоченная
пара а*.называется шагом.
Помимо отказа от принятого в § 5.2 требования неотрицатель-
неотрицательности высоты мы также допускаем в качестве шагов произвольные
пары целых чисел, с тем лишь ограничением, что сдвиг по ординате
шшз не может быть больше 1. Последнее ограничение принято из
алгебраических соображений (см. формулировку теоремы 5.3.4).
299
Условимся, что путь всегда имеет начало @, 0), если не ого-
оговорено противное. Если axi =(ао. •. а*)(О,о> и Яг = (Ро... Рш)(о,О) — два
пути, то, как и в § 5.2, можно определить путь Я1Я2 = (ао...
... а»$о • • • Рш) @,0). Таким образом, л^яг получается переносом пути
лг так, чтобы его начало совпало с концом Яь Если !Р, $Р\, $Рг —
множества путей, причем
то будем писать & = &1<?2.
Обыкновенная производящая функция для множества путей, ис-
используемая в этом параграфе, называется производящей функцией
путей. Производящая функция путей для множества путей $Р обо-
обозначается Ф^> (х, г/, z), где хну маркируют соответствующие коор-
координаты конца, a z — длину пути. Таким образом, если ^, 9*\, &г —
множества путей, и !Р = &\&% то по лемме о произведении для
обыкновенных производящих функций Фд>(х, у, z) = Ф<р^(х, у, z)x
ХФ^2(ж, у, z).
Например, производящая функция путей для 9>* — множества
всех путей с началом @, 0) и множеством шагов 9> — равна
Фд,*(х, у, г) = {1 — Фд,(х, у, z)} \
(Шаг мы интерпретируем как путь длины 1, а произвольный путь —
как произведение шагов из 5?). Конечно, производящую функцию
Фд> легко найти для каждого данного 9>. Например, для SP =
= {(-1, 0), A, 2), C, -1)} имеем
Ф^ (х, у, z) = аГ]г + xy2z + x3y~xz.
Основная задача — перечислить некоторые подмножества путей
из 5?*, естественно возникающие при наложении некоторых ограни-
ограничений на высоту. Определим эти подмножества.
5.3.2. Определение (минус-, нуль-, плюс-путь). Пусть п — путь
Uo...ut (где ао = (О, 0) по условию).
1. Если alt(u,)> alt(a() @^ i<Z), то л называется минус-путем.
2. Если alt(Ui)SsO @< i<l) и alt(u() = 0, то я называется нуль-
путем.
3. Если alt(Uj)>alt(uo) = O @<i^l), то я называется плюс-
путем.
Множества всех минус-, нуль- и плюс-путей из 91* обозначаются
соответственно ??_, ^0 и SP+.
Таким образом 5?о есть множество всех путей с множеством ша-
шагов 5?, с началом @, 0), оканчивающихся на высоте 0 и не имею-
имеющих точек отрицательной высоты. Если ^ = {A, —1), A, 0), A, 1)},
то 9*о совпадает с множеством путей, рассматривавшихся в § 5.2.
Множество 91- состоит из всех путей с множеством шагов 9" и на-
началом в @, 0), оканчивающихся на высоте строго меньшей, чем
$00
высота всех остальных точек пути. В 3?+ входят пути, все точки ко-
которых, кроме начала @, 0), имеют положительную высоту.
Единственный путь длины 0, представляющий собой саму точку
@, 0), входит в каждое из множеств 91-, 9>о и 9'+. На рис. 5.3.1
изображены четыре пути Р\, Рг, Рз, Pi из 9'* для ^ = {A, 1),
(-1,3)
@,-2)
(-5,1)
@,0)
(-4,0) @,0)
Рис. 5.3.1. Четыре пути из^* для 9> = {A, 1), A, -1), (-1, 1), (—1, -1)}
A, -1), (-1, 1), (-1, -1)}. Путь Pi принадлежит 9>-,
Рз s 9*+, а Р4 не входит ни в одно из этих множеств. Ввиду того,
что мы допускаем отрицательные сдвиги по оси абсцисс, пути могут
быть самопересекающимися и повторять пройденные ранее участки.
Найдем представление для путей, дающее однозначное разло-
разложение любого пути из 93* на минус-путь, нуль-путь и плюс-путь.
5.3.3. Представление (путь на решетке), пусть 9* — множество
шагов. Тогда 9* = 9>-9>а9'+.
. < ih
Доказательство. Пусть л'
= щ ... щ. Предположим, что щ^, ,
минимальную высоту, причем i\ <
где
/ \
Л^ = I OLq . . . (Х{ i \, i
я0 = (а^ ... aift-i)@>0)
91* и пусть л =(ао... a;_i) (о, о> =
., щк — точки пути я, имеющие
(к ~> 1). Тогда я = я-Лоя+,
Пути л_, ло и nf по построению однозначно определены, так как
i\ и ih определяются однозначно (они могут совпадать). Утвержде-
Утверждение вытекает из обратимости построения. О
Припер такого представления дает рис. 5.3.1, где Р4 = Р1Р2Р3,
a Pi, Р4, Рз — соответствующие минус-, нуль- и плюс-пути. Следую-
Следующий результат позволяет выразить производящие функции путей
Для 9"-, 9*а и 9*+ через производящую функцию множества шагов 9*.
5.3.4. Теорема (пути на решетке). Пусть 9" — множество шагов
(г, /), где ?<0 для конечного числа, а / = —1 хотя бы для одной
пары, так что Ф^, = у~1г/(у) для /(i/)e (Q ((х))) [[у]]г. Тогда Фу*=
—1 ,.
301
2. O^ = z-1w
з. «v+ = «v.(«v_<ivor\
где w = zf(w).
Доказательство. Рассмотрим множество степенных рядов
вида 1 + 2 2 «и (х) У*?, где ay (х) e Q ((ж)). Пусть G-, Go, G+ —
множества всех таких рядов, в которых второе суммирование про-
производится соответственно по i < 0, i = 0, г > 0.
Шаг 1. Сначала докажем, что Фд* однозначно представима в ви-
виде Фд* = g_gog+, где g\_ е= G_, ^0 s Go, g+ e G+. Действительно,
ф , = {1 _ у-^/(у)] = 1 + 2 Ъ{(х, у)z\ где 6,(*, j)eQ ((*, у)).
Поэтому log Фу* существует в (Q ((х, у))) [[z]]0 и
log Фу* = 2 2 су (*) г/У - 2 2 су (х) j/1^ +
j>l —oo<t<oo j>l i<0
Таким образом, Ф^* = g-gog+, где
2 c0iCr)
)>i
ff+ = exp f 2 2 су (ж
a g-, go, g+ принадлежат соответственно G-, Go, G+.
Шаг 2. Из представления 5.3.3 следует, что Ф^* = Ф^ Ф^, Ф^ #
По определению минус-пути Фд, должна содержать только отри-
отрицательные степени у, следовательно, Фд, е G Аналогично Ф^ е
s Go, Фд, е G+. Но по доказанному выше разложение такого вида
единственно. Таким образом, Фд, , Фд , Фд совпадают соответст-
соответственно с g_, g0, g+, определенными выше.
Шаг 3. Теперь воспользуемся первой частью доказательства, что-
чтобы по очереди найти Фд , Фд , Фд .
f2
По теореме Лагранжа [^i]wi = ik~l[u'>~i]{f(u)}h, где w = zf(w), по-
поэтому
и п. 1 доказан.
302
2. Поскольку Ф^Д =(®д>_®91'0®91'+) \ то из п. 1 получаем
1 - jrV Ы = A - у (*)) Ф^Ф*1.,
откуда у — zf (у) — (у — w (z)) ф^Ф^,1 . Положим теперь у = 0 и за-
заметим, что Ф^1 (х, 0, z) = 1. Таким образом,
Т
&) (Т 77 2^= (I) ^J* 0 2^ = Z IV (z\ (i (ViS\
3. Утверждение следует непосредственно из представления для
путей на решетке. П
В доказанной теореме производящие функции путей из 9"-, 9"о
и 9"+ найдены с помощью соотношения Ф^* — Ф<?_Ф<7>0Ф<7> и иден-
идентификации компонент в однозначном разложении. Эта процедура
совершенно не похожа на применявшиеся ранее способы, при кото-
которых мы стремились получить еще два уравнения, чтобы иметь си-
систему из трех уравнений относительно трех интересующих нас
функций. Полученное нами разложение можно рассматривать как
дискретный вариант факторизационной теоремы Винера — Хопфа
для случайных путей (Prabhu A980)). Следующий пример иллюст-
иллюстрирует применение доказанной теоремы.
5.3.5. Пример. Пусть ^ = {(-1, 1), A, 1), @, -1)} — множест-
множество шагов. Тогда
гДе 1(у)= 1 +(я~1 + х)у2. По теореме о путях на решетке
Фу_ = A - у* (*)Г\ Ф<?0 = z-'w (z) Г1 @) = z-'w (z),
где w — zj(w), поэтому по теореме Лаграижа
ф^_ = 1 + 2 г\? 4^1 Ф
*
Полагая п — i = 2/, получаем
303
Также по теореме Лагранжа
/2* +1\ , х
i=0
1\ (k
Отсюда, например, следует, что число путей в 9"о из @, 0) в
A, 0) длины 6 с множеством шагов ^ = {(—1, 1), A, 1), @, —1))
ИИ
@,0) A,0)
@,0) A,0)
@,0) A,0)
Рис. 5.3.2. Некоторые пу-
пути в 9"(, длины 6 из @, 0)
в A, 0) для 9> = {(-1,
4), A, 1), @, -1)}
@,0) A,0)
@,0) A,0)
равно у (A LJ = 15. На рис. 5.3.2 приведены 5 из этих 15 путей —
среди них есть самопересекающиеся пути и пути с повторяющими-
повторяющимися участками.
Основной результат этого параграфа относится, по сути дела, к
путям, для которых прямая у = 0 является экраном. Так в 9}о пути
никогда не могут опускаться ниже этой прямой, а в 9"+ пути долж-
должны оставаться выше у — 0, за исключением начальной точки. Ана-
Аналогично для любого целого числа т можно рассматривать пути, для
которых экраном является прямая у — тх.
Назовем m-сдвигом преобразование, при котором каждый шаг
(i, j) некоторого пути заменяется шагом (i, j — im). Предположим
теперь, что я есть путь с множеством шагов 9" и началом @, 0),
который никогда не опускается ниже прямой у = тх и заканчива-
заканчивается на этой прямой. Тогда, если л подвергнуть m-сдвигу, то полу-
получится путь, являющийся нуль-путем для множества шагов, полу-
полученного m-сдвигами шагов из 9". Если я — путь на множестве ша-
шагов 9" с началом @, 0), все остальные точки которого лежат выше
прямой у = тх, то при то-сдвиге л получим плюс-путь для т-сдви-
нутого множества шагов. Наконец, если л — путь с множеством
шагов 9", начинающийся в @, 0), оканчивающийся на прямой у =
= тх — Ъ для некоторого Ъ 5* 0, причем все его неконечные точки
находятся выше этой прямой, то в результате m-сдвига я получим
минус-путь с соответствующим множеством шагов. Определенные
таким образом множества путей, для которых у = тх является экра-
экраном, можно перечислить, рассматривая минус-, нуль- и плюс-пути
304
для преобразованного множества шагов, как это делается в следую-
следующем примере.
5.3.6. Пути с наклонным экраном. Рассмотрим пути с множест-
множеством шагов ^ = {@, 1), @, —1), A, 0)}, которые заканчиваются на
прямой у = х и не опускаются ниже этой прямой. По предыдущему
такие пути эквивалентны нуль-путям с множеством шагов 9*т =
= {@, 1), @, —1), A, —1)}, получающимся в результате 1-сдвига.
Но
где /(*/) = I + х + у2. Поэтому по теореме о путях на решетке
[П~~
k>0 i=O
Таким образом, имеется ->к4-\ к )\il пУтеи длины 1к из
@, 0) в (г, г) с заданным множеством шагов &, не опускающихся
ниже прямой у = х.
На рис. 5.3.3 приведены пути длины 4 из предыдущего примера.
В согласии с результатом этого примера два пути оканчиваются в
@, 0), два —в B, 2) и четыре —в A, 1).
ш/
@,0)
( лГ
@,0)
1L
@,0)
, г
(о,о)
п
/ой)
@,0)
B,2)
@,0)
Рис. 5.3.3. Пути длины 4 на множестве шагов {@, 1), @, —1), A, 0)}, окан-
оканчивающиеся на прямой у = х и не опускающиеся ниже нее
Второе преобразование, которое может быть использовано,— это
обращение пути, т. е. изменение порядка шагов на обратный (на«
правление же шагов сохраняется). Таким образом, обращением пу-
пути п = (ао.. ¦«*)@,0) является путь («*.. .<Хо)(О,о>. При таком пре-
преобразовании нуль-пути получается путь, оканчивающийся на оси х
20 я. Гульден, Д. Джексон
305
и никогда не поднимающийся выше оси х. Оба преобразования —
m-сдвиг и обращение — можно комбинировать для перечисления,
например, путей, которые оканчиваются на прямой у = х и не под-
поднимаются выше нее. Для множества шагов {@, 1), @, —1), A, 0)}
такие пути длины 4 можно получить из путей, приведенных на
рис. 5.3.3, обращением порядка шагов.
Примечания и ссылки.
Этот параграф основывается на работе Gessel A980a); о других
работах по путям на решетке см. Mohanty A979) и Narayana A979).
[5.3.2] Aeppli A923); E.3.4), [5.3.3,4] Gessel A980a); [5.3.5] Feller
A950), Gessel A980a), MacMahon A915), Takacs A967); [5.3.7]
Andre A887).
ЗАДАЧИ
5.3.1. Пусть ^ = {A, -1), B, 2)}. Показать, что
(а) Фд,_ (х, у, z) = 1 + 2 -?-2 (п ~ 3*) (Т) *n+V~(n-3i);
(в)
5.3.2. Если ^ = {A, -1), (я + 1, Ь-1)}, где Ъ > 1, то показать,
что существует Ък | ( J' \ нуль-путей из @, 0) в ({а+Ь)к, 0).
5.3.3. Пусть 9>= {@, 1), @,-1), A, 0)}, Показать, что
5.3.4. Пусть ^ = {(i, /) U, / Зз= 0, г + у Ф 0) — множество шагов.
Пусть сп — число путей из @, 0) в (и, п) с шагами из 9", все точ-
точки которых лежат на прямой у = х или ниже нее. Доказать, что
5.3.5. (а) Показать, что имеется mn,i [п ' ) путей из @, 0)
в (п, (т—1)п) с множеством шагов {@, 1), A, 0)}, все точки ко-
которых лежат на прямой у = (т— 1)х или ниже нее.
(о) Показать, что имеется —г?— путей с множеством
х/ т -\- п \ п j J
шагов {A, 0), @, 1)} из @, 0) в (иг, п), где т > цп, никогда не
касающихся линии х — цу, исключая начало пути.
306
(в) Показать, что имеется
го —[irc Г тта+гс — г
т + п — г j^r, n — г, т —
путей с множеством шагов {A, 0), @, 1), A, 1)} из @, 0) в
(т, ге), где т>цп, которые никогда не касаются прямой x = \iy,
эа исключением @, 0), и содержат ровно г шагов A, 1).
1 /2 \
5.3.6. Показать, что существует —г—. п ступенчатых кодов
длины 2ге + 1 (см. [5.2.11]).
5.3.7. Поскольку —j-il I — I"") — ( "А то из [5.3.6] следует,
n-\-l\nj \п I \n-lj
что число путей из @, 0) в (п, ге), расположенных не выше пря-
прямой у = х, равно числу всех путей из @, 0) в (ге, и) минус число
путей из (—1, 1) в (п, п), если все рассматриваемые пути имеют
множество шагов {A, 0), @, 1)}. Найти комбинаторное представле-
представление, из которого это соотношение следует непосредственно.
§ 5.4. Упорядоченные множества путей
В этом параграфе речь пойдет о перечислении упорядоченных
множеств из п путей на множестве шагов ^ = {@, —1), A, 0)} с
тем свойством, что никакая пара путей не имеет общей вершины.
Такие пути назовем непересекающимися и-путями. Мы воспользу-
воспользуемся ими при перечислении плоских разбиений. Наша цель — пере-
перечислить непересекающиеся re-пути по отношению к числу шагов
каждого вида на каждой высоте.
Пусть Si = (l, 0), a S2 = @, —1). Если в и-пути w имеется тц
шагов Sj на высоте /, то s(w) = [/гец]2х« называется шаговым типом
w. Пусть Y = [i/ij2x« — матрица переменных, а Ф^ (Y) — обыкно-
обыкновенная производящая функция для множества S4- и-путей по отно-
отношению к шаговому типу.
Пусть !P = (Pi, ..., Р„), ?? = ((?i, ..., Qn) — упорядоченные мно-
множества точек на плоскости, а 3?ц — множество всех путей из Pt в
Qj с шагами из 9". Тогда w <^ 3>\<4i)X .. .X З^пощ), где о — переста-
перестановка на Jfn, называется и-путем с ассоциированной перестановкой
р(и?) =а и концевым типом (^, Q). Пусть 3? {9s, Q)= \}o&wU)X ...
... X 3?па(п), где объединение берется по всем перестановкам а на
JCn. Таким образом, & (fP, Q) — множество всех и-путей с конце-
концевым типом (й9, ф. Обозначим 3? (?Р, феЗ7^, Q) — множество
всех непересекающихся re-путей с концевым типом (^ Q). Если
p(w)— тождественная перестановка для каждого ю^9?{&, Q), то
концевой тип (^, Q) называется собственным. Например, конце-
концевой тип {9ю, ??°) = ((@, 3), A,_1)), (C, 1), D, 0))) не является
собственным, так как w, w''<=g'(9*°, Q°), a p(w)?'p(w'), где w и
w' даны на рис. 5.4.1.
20* 307
По лемме о произведении производящая функция для &(&, Q),
очевидно, равна &g?tg>tQ) = регГФ^7,.! . С другой стороны, в тео-
теореме 5.4.2 будет показано, что если {0*, Q) — собственный концевой
тип, то Ф-^йэ ^ = det ГФо> 1 • Таким образом, комбинаторное
iC\ir,Q.) у гз]пхп
свойство отсутствия пересечений выражается алгебраически чере-
чередованием знаков в определителе.
я, =@,3)
Р., =(о,3) •-
• » P.,=@,3)« • «
Рис. 5.4.1. 2-пути с несобственным копцсвым; типом
5.4.1. Представление (пересекающийся n-путь). Существует та-
такое представление
что sgnp(w) = —sgnp(w*), a s(w) = s(w*),sde w* — образ w в этом
представлении.
Доказательство. Пусть w = (wl, ..., wn)^-S? — 3?, где
S? = SE{2P, Q), S? = 3?{2P, Q), и пусть o = p(w). Запишем путь w,
как последовательность точек up ... Umr, где и(ог) = Рг — начало,;
a u(mr = Qr — конец пути (г = 1, ..., п). Пусть
(я, Ь, с, d) = min rain min min {(i, ]', k, l)\ и{^ = u\h\ i=?k],
a w* = (w*, ..., w*n), где
u[a) i
wr =i
если r = a,
u[b)... i#>i4& ¦ ¦ ¦ itil если r = b,
wr, если тфа, Ъ.
Рассмотрим отображение ij): 2 — 3?'->¦ 2 — 3?: w<-*w*. Тогда
tf(w*)= w, следовательно, if взаимно однозначно. Кроме того,
s(w*) = s(w), а sgnp(w*) = — sgnp(w;). ?
Пример такого представления дан на рис. 5.4.2.
Сформулируем основную перечислительную теорему для непере-
непересекающихся ?г-путей.
308
5.4.2. Теорема о непересекающихся n-путях. Если концевой тип
{9>, Q) собственен, то Ф^ Q){Y) = ^..(Y)^.
Доказательство. Для s4- ^ 3? (?P, Q) положим
По представлению 5.4.1 Y^^g
W , Q). Далее, Ф^ =
= — ^-^ =0' где 9? = 9? (&, Q),
^, так как E*, Q) собственен.
Рис. 5.4.2. Пересекающийся 3-путь w и его образ w* при представлении 5.4.1
Таким образом, используя лемму о произведении, получаем:
И
7
1оС1)
так как {w^2'\p(w) = a) =2>i0(i) X... Х3?п<цпу Отсюда следует
утверждение теоремы. ?
Доказанный результат является комбинаторным вариантом тео-
теоремы Карлина — Макгрегора(Каг1т and McGregor A959)) для мно-
многомерных стохастических процессов с непересекающимися компо-
компонентами.
Применим теперь теорему об и-путях к перечислению плоских
разбиений с убыванием по столбцам. Они представляют собой дву-
двумерное обобщение разбиений целых чисел, рассмотренных в § 2.5.
Пусть a = (ai, ..., а„), f = (Pi, ..., Р„), Т = (Ть •••, Tfn), 6=Fi, ...
..., б„) — невозрастающие последовательности целых неотрицатель-
неотрицательных чисел, причем а > ^, р„ = 1, а ч > б > 1.
5.4.3. Определение (плоское разбиение с убыванием по столб-
столбцам, форма, размер). Плоским разбиением р числа М с убыванием
по столбцам, имеющим форму (а, [}) и размер (if, б), называется
таблица из положительных целых чисел р$, для которых
309
1. Ti > Pifii > Pi.Pi+i > • • • > Pi«i > 6i (i = 1, ..., re);
2. Ptj>Pi+i,j» если оба числа имеются в таблице;
з. 2рц = м.
Типом плоского разбиения р с убыванием по столбцам назы-
называется т(р) = (&1, &2, ...), если в р число г появляется к( (г 3* 1) раз.
Если в условии 2 знак > заменим на_^, то р будем называть ор-
ординарным плоским разбиением. Если [5 Ф 1, то р иногда называют
косым.
Например, разбиение
4 4 2
3
1
является косым плоским разбиением числа 14 с убыванием по
столбцам, имеющим форму (D, 2, 1), B, 2, 1)), размер (E, 3, 1),
B, 1, 1)) и тип A, 1, 1, 2, 0, ...). Очевидно, что размер разбиения
определен неоднозначно. Так, в приведенном примере в качестве
размера можно было взять, например, (D, 3, 1), B, 2, 1)). Мно-
Множество всех ?г-строчных плоских разбиений с убыванием по столб-
столбцам^ имеющих форму (а, Р) и размер (ч, б), обозначим ^„(а, р.-
: if, б). Справедливо следующее представление.
5.4.4. Представление (n-путь для плоских разбиений с убывани-
убыванием по столбцам). Пустъ Р4 = (р\-+га—i, чО, Qi — (at + re— i+ 1, 6f)
для i = l, ..., га, и пусть & = (Ри .... Рп), ? = (<?i, • ¦ ¦, Qn). Тогда
1. концевой тип (!Р, Q) является собственным;
2. У„ (а, р: v, б) =Р 2 {$>, ф\ v~ (wv ..., wn),
где в wf шаги A, 0) начинаются только в точках (n + j — i, рц)
для j = ^, ..., а{. (Ясно, что начальные точки шагов @, —1) в каж-
каждом и>г определяются тогда однозначно).
На рис. 5.4.3 приведено 4-строчное плоское разбиение с убыва-
убыванием по столбцам числа 34 и соответствующий этому разбиению
непересекающийся 4-путь.
5.4.5. Теорема (плоское разбиение с убыванием по столбцам:
форма, размер, тип). Пусть Щ : 1, i) = \xl] JJ A — хх^~г. Тогда
число п-строчных плоских разбиений с убыванием по столбцам фор-
формы (а, р), размера (у, б) и типа m равно
[хт] |16 (а} - pi + i - j +1: Vi, bj) \\nxn.
Доказательство. Пусть Уц — Xj, уц=1 для />1, ую~
= 2/2о = О, и пусть Р4=(^ + ге — i, ^), Qt =(a<+ n — i+ I, 6f) для
i = l, ..., re, ^ = (Pi, ..., Pn), Q={Qi, ..., Qn). Если по представ-
представлению 5.4.4 разбиению р соответствует ге-путь w, то t(p) = ([s(«?)]h,
[s(u>)]12, ...). Таким образом, по 5.4.4 и теореме 5.4.2 искомое чи-
310
ело равно [xm] <D?(*,(Z) № = Ixm] | Ф^.. (Y)^. Но Ф^. (Y) =
= Э (ocj — ^ + i — / +1: Y« ^j)» так как высоты A,0)-шагов в путях
из 3?ц образуют неубывающую последовательность длины (<х3- + п —
—/ + 1)— ($t + n — i), ограниченную сверху уи а снизу б;-. ?
Этот результат справедлив также ^для разбиений с несколько
видоизмененными условиями на а, (}, ¦у, б. Например, условия
D, В) ,
Щ
B,5) C,5)
6 4 4 3
4 3 2 2
3 2
1
G,2)
D,1)
Рис. 5.4.3. 4-строчиое плоское разбиение с убыванием по столбцам формй
(D,4,2,1), A,1,1,1)) размера (F,5,5,1), B,2,1,1)) и соответствующий ему
непересекающийся 4-путь
6i 5s... S* б„ и ai > ... S* an можно заменить на 6i > ... > бп, a4 ^
^aj+i — j для всех 1 ^у «? ?< ге, при этом концевой тип (?Р, Q)
в представлении 5.4.4 остается собственным. Для п = 5 примером
такого разбиения с формой (D, 5, 6, 5, 6), B, 2, 1, 1, 1)) и раз-
размером ((8, 8, 7, 5, 5), F, 5, 3, 2, 1)) является
8 8 6
8 7 5 5
7 6 6 4 3 3
5 5 3 3 2
5 3 2 2 11.
Число таких разбиений типа m также дается доказанной нами
теоремой.
В качестве первого применения теоремы 5.4.5 приведем теоре-
теорему Кревераса (Kreweras) для доминирующих систем.
5.4.6. Теорема Кревераса для доминирующих систем. Пусть
а = (аи ..., ат), Ъ = (Ъ\, ..., &,), где ах 5=... 5= ог, а Ъ\ > ... 3* Ьг 3* 1.
Пусть D = [dij]nXr, г5е d4 — положительные целые числа. Тогда D
называется п X г- доминирующей системой размера (а, Ь), если
da>...>d{r (i=l, ..., п) и Oj>di,>... >dnj> bs (/ = 1, ..., r).
Пусть 3)n,r (a, b) — множество всех п X r-доминпрующих сис-
систем и пусть a'i = ai-j-r — i, b\ = biJrr — i, a' = (a[, .. ., a^), b'=:
= (b[, ..., б,). Тогда
@>n,r (a, b) =? <&r (relr, lr: a', b'): [dy]nXr "* №i + r — i]rXn.
311
Если х = 1, то 6 (к + i — у. аи bj) = ( * j\. следовательно, по
\ п + i — i )
теореме 5.4.5 число п X r-доминирующих систем размера (а, Ь)
равно
В заключение приведем два частных случая теоремы 5.4.5.
5.4.7. Плоское разбиение с убыванием по столбцам фиксирован-
фиксированной формы. Число_/М5трочных плоских разбиений с убыванием по
столбцам формы (а, Р) и типа m по теореме 5.4.5 равно
где
7 = оо, 6 = 1, М*) = Ь1 П A - xxh)~\
Функция К(х) называется вполне симметрической функцией.
Производящая функция для плоских разбиений с убыванием по
столбцам формы (а, 1) часто принимается в качестве комбинатор-
комбинаторного определения функции Шура е-. Обычно функция Шура опре-
определяется как е- = \х^ '[пхя/Ц^^Цпхп. Эквивалентность этих
определепий устанавливается с помощью 5.4.7 при p = i и тождест-
тождества Якоби — Труди: |haj-j+ilnxn = ||Щх " *\пХп /xnj~~l|nxn.
5.4.8. Таблицы Юнга фиксированной формы. Плоское разбиение
с iV ячейками такое, что каждый элемент JTn встречается ровно
один раз, называется таблицей Юнга. Пусть с (а, [}) — число п-
— _ п
строчных таблиц Юнга формы (а, [}). Положим N = п + 2(аг— Р0>
Тогда по 5.4.7 и лемме 4.2.5 имеем
так как hh = ¦ул(<).
Примечания и ссылки.
Этот параграф основывается на работе Gessel and Viennot A983);
другие результаты о плоских разбиениях и симметрических функ-
функциях см. MacDonald A979) и Stanley A971a).
E.4.2,4,5) Gessel and Viennot A983); E.4.6) Kreweras A965);
E.4.7) Littlewood A950).
[5.4.1, 2] Stanley A971, 1972); {5.4.3] Frame, Robinson and Thrall
A954); [5.4.4, 5} MacMahon A915); {5.4.6] Glaz A979); [5.4.7]
Polya A969).
ЗАДАЧИ
5.4.1. Доказать, что число «-строчных плоских разбиений числа
N с убыванием по столбцам, с наибольшей частью, не превосходя-
312
щей т, и формой (а, 1) равно [qN]Hm(n), где
1 )
\, т — 1 Jq l
5.4.2. Пусть р — плоское разбиение. Назовем крюковой длиной
клетки (?,;') в р сумму чисел клеток, расположенных правее и ни-
ниже клетки (г, /), плюс 1, а емкостью (i, /) —число j — i. Пусть
р — общее число клеток n-строчного плоского разбиения с убыва-
убыванием по столбцам формы (а, 1), где a=(ai, ..., а„), и пусть с<,
d, — емкость и крюковая длина клетки i(i = 1, ..., р). Доказать, что
n
где а = 2 iau a #m(a) определена в задаче [5.4.1].
5.4.3. Пусть a = (ai, ..., а„)^_ где ai > ... > <х„ > 0. Доказать,
что число таблиц Юнга формы (а, 1) равно
^ _ р\
где d\, ..., dp — крюковые длины, соответствующие форме (а, 1).
5.4.4. (а) Показать, что число ординарных плоских разбиений
числа М с наибольшей частью, не превышающей т, и не более,
чем г строками и с столбцами, равно [qM] Gm(r, с), где
Gm (r,c) = q 2 'Hm+r(a), a=(alT ...,ar) = (c, ..., с),
а Нт+Г(а) определена в задаче [5.4.1].
(б) Вывести отсюда, что
5.4.5. (а) Доказать, что число ординарных плоских разбиений
числа Ж сне более чем г строками равно
(б) Доказать, что общее число ординарных плоских разбиений
М равно
u
5.4.6. Доказать, что число бинарных последовательностей в\ ...
• -. omn, в которых каждая подцепь длины т содержит не менее к
единиц а a(m-i)*+i... am< содержит точно bt+k — I (i = 1, ..., re)
единиц, равно
где sj = bi + ... + bt, i = 1, ..., re, a so = 0.
313
5.4.7. Пусть jii с начальным шагом @, 1) и яг с начальным
шагом A, 0)—пути одинаковой длины с общим началом @, 0),
общим концом и множеством шагов {A, 0), @, 1)}. Если jii и яг
не имеют пересечений кроме начала и конца, то получающаяся
замкнутая фигура называется решеточным многоугольником и обо-
обозначается (яь яг).
(а) Доказать, что число решеточных многоугольников с полу-
полупериметром п + 2 и конечной абсциссой к + 1 равно
к
Это число называется числом Рюньона (Runyon).
(б) Доказать, что число решеточных многоугольников с полу-
полупериметром п + 2 равно числу Каталана
1 /2и + 2\
{ j
5.4.8. Плоское га-строчное разбиение с убыванием по столбцам
формы (а, Р) и размера (f, б) называется га-строчным плоским
разбиением с убыванием по столбцам, с ограничением по столбцам,
формы (а, Р) и размера (ч, б; со, \i), если дополнительно потребо-
потребовать, чтобы выполнялись условия: ри<со;- для_/= fli,. ...cci и pnj>
>\i3 для 7' = Р„, ..., а„, где« = ((оР1, ..., (oaj, ц = (ИР„. •••, На„) —
неубывающие последовательности неотрицательных целых чисел.
Пусть
где суммирование производится по ьсем 1$г+п—{, ¦ ¦ • > laj+n—j таким,
что v» > Zpi+n-i > • • • > Ц+n-j > 6j, a \im<lm<(am-n+i, при-
причем ^ = 0 для i > а„, а ю{ = °о для i < ^t.
Доказать, что число n-строчных плоских разбиений с^ убывапи-
ем по ?то_лбцам, с ограничением по столбцам, формы (а, ^), размера
(Ч, б; со, ц) и типа m равно
§ 5.5. q-аналог теоремы Лагранжа
В этом параграфе будет выведен g-аналог теоремы Лагранжа
с помощью рассмотрения' путей на решетке с множеством шагов
{A, i)\i>—1>. Так как каждый шаг в таком пути увеличивает
абсциссу ровно на 1, будем обозначать путь (A, Si), A, ?2),...
..., A, in))@.0) последовательностью ц12..Лп приращений ординат.
Таким образом, рассматриваем последовательности над Ж = {—1,
0, 1,2,...}, истолковывая элемент ij в последовательности w =
= Si ... in как шаг A, ц) и вершину (у, Si + ... + Sj) с высотой
Si + ... + ij. Рангом w назовем высоту конечной вершины и обозна-
314
чим его r(iv). Последовательность w = in...i\ называется обраще-
обращением w, a s? обозначает множество обращений элементов множе-
множества последовательностей з4>.
Следующее представление для М* является основным результа-
результатом этого параграфа.
5.5.1. Аддитивное представление для последовательностей.
1. Пусть $ — множество всех последовательностей из М* ранга
нуль без элементов с положительной высотой, а ?Г = {—1}$
Тогда
2. Пусть Ф — множество всех последовательностей из М* ран-
ранга нуль и без вершин с нулевой высотой, исключая начальную и
конечную вершины. Тогда
где 9* — множество всех последовательностей из М* с положитель-
положительным рангом.
Доказательство. Пусть $?t (f^O) — множество всех после-
последовательностей в Jt* ранга —i, в которых любая вершина, исклю-
исключая начало, имеет отрицательную высоту. Если w = I\... U е $п,
где ге > 1, то w должна иметь спады на любой высоте —m для
m = О, 1, ..., п — 1, так как высота вершины может убывать за
один шаг только на 1. Пусть i-Jm обозначает самый правый спад на
высоте — тп (пг = 0, 1, ..., ге —1). Тогда 1 =/o </i < ... <jfn-i < I
и ijk ... ijk+1—i^ &~ для к = 0, ..., и — 1, где ;'„ = I + 1. Таким об-
образом, &п = ?Г" для п > 0, поскольку So = {е> = ^"°, где е — пу-
пустая последовательность, означающая путь, состоящий из един-
единственной вершины @, 0).
1. Если последний шаг некоторого элемента из 2Г равен ге, то
он должен произойти на высоте —ге— 1, где ге >—1, так что по
предыдущему &~ = и ^n+iW= U &~п+1{п}-
>1 >
2. Пусть w = U •¦¦ к <^М* —9* и r{w) — s, так что s < 0. Пред-
Предположим, что 7о, ..., ]п — номера вершин в w с высотой 0, так что
0 = /о < jfi <... < /„ < I и ге > 0. Тогда ijk+1 ... ijh+1^ 3) (к = 0,...
... п —1), a ijn ... ii s $ — s = ST~S по вышесказанному. Отсюда
Ж*-9= и 0 ?>п&—*
так как проведенное построение обратимо.
Получим выражение для S5. Пусть w = i\... ii s S) и пусть
im (m<l)—номер самой правой вершины в w с неположительной
высотой. Тогда im имеет высоту —/, a fm+i имеет высоту к при не-
некоторых /, кS*0, следовательно, w = w\(/ + к)W2, где w\ — i\... im-u
W2 = im+i .. .U, причем r(w\)— — ]', r(u?2)= — к. Внутренние вер-
вершины wi по построению имеют высоту не меньшую, чем — Л+1,
315
поэтому и?2е^ь- Кроме того, все вершины в v>\, исключая начало,
имеют отрицательную высоту, так как если бы в wi была вершина
с положительной высотой, то путь wi проходил бы через вершину
с нулевой высотой (что запрещено в 3)). Таким образом, ц^е^
и, следовательно,
так как построение обратимо. ?
Чтобы показать, что из представления 5.5.1 следует теорема
Лагранжа, свяжем с каждым подмножеством $$- из Ж* производя-
производящую функцию
^(z,q,t)= 2 W(w),
t
где W(w)= q~a{v>)z>'{wHrWG{w); %(w) = n — длина последователь-
последовательности w = ii ...in\ a(w)=nii+(n — I)i2 + ... + in — площадь соот-
соответствующего пути; G (w) = gh+1 ... gin+1 (g0, gx, ... — коммутирую-
коммутирующие переменные). Так как при g = l W(uv)= W(u)W(v) для и,
v e= Jl*, то
где j&i, st-2 e Ж*. Заметим, что tTgr(z, q, t) не зависит от t, посколь-
поскольку г(ц)= — 1 для uef. Поэтому можно обозначить
5.5.2. Доказательство теоремы Лагранжа. Из представления
5.5.1 A) имеем
?*-(*, 1,0= 2 «n+1gn+i1^1(». 1.0.
>1
так что /(z) = F(z, 1) удовлетворяет функциональному уравнению
, где g(y) = 2 gnyn- Из 5.5.1 B) следует, что
{ 1 - Wjr (Z, 1, О} = {1 - ?^ (Z, I, *)}-* { 1 - Y^ (Z, 1, О} +
+ ?*(*, l, 0.
а поскольку ^(z, 1, i) = ?^(z, 1, f), то
Чз>(*, 1.0 = 2 TW+WB, l, о ^ft(z, i, о =
= 2.2 ^+ft+l/j+ft (Z) = Z 2 (« + 1) gn+rf (Z) = Z?' (/ (Z)).
Ho1
Y^(z, 1, *)= 2
n>—1
поэтому
{1 - zr1 g (t)}-1 = {1 - zg' (/ (г))} {1 - ГV (z)} + ?^ (л, 1, i).
316
Так как $? содержит лишь последовательности строго положитель-
положительного ранга, tolznt~k] Wp (z, 1, t) = 0 (re, к^О). Таким образом, при-
применяя оператор [znt~h] к последнему уравнению, получаем:
[r-h]g-4ty=[z"]f(z){l-zg'(f(z))}-1, re, к>0,
где, по предыдущему, f = zg(j). Это в точности утверждение теоре-
теоремы Лагранжа (см. 1.2.4B)). ?
Чтобы получить g-аналог теоремы Лагранжа, надо провести ана-
аналогичные рассмотрения при произвольном q. Для этого потребует-
потребуется следующий результат.
5.5.3. Предложение. Пусть u,!)gЖ*. Тогда
1. a(uv) = a(u) + a(v)+,r(u)K(v);
2. W()WW(MW
3. если r(u)= — i, a r(v)= — j, то
W(u{i + j)v) = WXB)g*feV('>+If(")+'+i#+J+iG {v).
Доказательство. 1. Площадь a(uv) равна сумме высот всех
вершин uv. Для вершин и в пути uv сумма высот равняется а(и).
Высота каждой вершины v в uv увеличивается на конечную высо-
высоту г(и) пути и, так как в uv окончание и совпадает с началом v.
Таким образом, имеем дополнительный вклад в площадь a(v) пути
v, равный r(u)K(v). Поэтому общая площадь равна а(и) + a(v) +
+ г(в)Я(у).
2. Непосредственно из п. 1.
3. Пусть v = &i ... кп. Тогда a(v) + a(v) = (nki +(re— 1)/с2 + ...
... + А;„) + (геА;п + (ге —l)A;n_i + ... + A;i) = (re + l)r(y), так что a(v) =
= {1 + %(v))r(v) — a(v). Применяя п. 1 к последовательности u{i +
+ j)v дважды, получаем
= а{и)- a{v) + {l + h(v)){r(u)+ i + j+ r(v)} =a(u)- a(v).
Отсюда следует требуемый результат, поскольку G(u{i + j}v) =
= G(u)gt+3+lG{v), K(u{i + j)v) = 'k(u)+l+%(v), a r{u{i + j}v) =
= r(n)+i + / + r(y) = 0. ?
Для удобства обозначаем в формулировке g-аналога теоремы
Лагранжа произведение вида ф(х, у)у(хд, у)... y{xqn~l, у) через
фы(х, у), а произведение вида <р(х, y)(f(xq-{, у)... у (xq~{n-l), у)
через ф(п)(х, у).
5.5.4. дг-аналог теоремы Лагранжа. Функциональное уравнение
F (z, q) = zq 2 grJ^n) (z> Ч) имеет единственное решение F(z, q).
j0
Кроме того, если g (x, q) = 2 gnXn, mo
/n+l\
1. [zn] FW (z, q){l-d (z, q)}-1 = qK 2 > [tn~h] g(n) {q~\ q),
где d(z, q) = z 2 gi+j+i^(z, q)Fa)(z, g);
317
F (z a\ — n>0
-• L (,z> 4)—
Доказательство. 1. Выведем производящие функции для
множеств З2"", Л* и ^{i + ^iir5.
(а) Для 2Гп. Из предложения 5.5.3B) имеем
V» (*, g, *) = 2 W (и) S W (i;) g
так как г(и) = 1 — п для всех к^^""-1, если учесть, что последо-
последовательности в 2Г имеют ранг, равный —1. Итерируя, получаем
поскольку F (z, q) = i?^- (г, q, t). Аналогично из 5.5.3B)' получаем
? n+1(n} (z, q,t)= 2 W (и) W (n) q~r(u)Un)= gn+ir*qzF<n+i) (Z) q)r
поскольку r(»)= — (п+ 1), Я,(»)=1, a PF(«)= q~ntnzgn+i,
(б) Для &~'{i + ))&~К Из предложения 5.5.3C), используя (а),
находим
Ччл^(«, в, *) = rf
w
}(z, q~\ t) = zgi+j+1F(i\z, q)Fa)(z, q-1)
(в) Для *#". Поскольку Х,(у)=1 для DeJf, то из 5.5.3B)
находим
Y „(*,g,t)= 2 ^(u)g-Ku) 2
= «З*? (г *, Я.) ^»-i(z, g,
Последовательные итерации этого равенства дают:
Теперь можно применить основное представление, чтобы полу-
получить соотношение между производящими функциями для 3r, Jt,
3) и 3>. Из представления 5.5.1A) имеем
Ч"> (z, q, t) = 2
318
следовательно, учитывая (а), имеем F (z, q) = zq 2 g%F(l) iz, Ч)- Из
представления 5.5.1B), используя предложение 5.5.3B), получаем
Wjr* (Z, q, t) = Чдт* (z, g, *) + Vp (z, <?, t) =
= {1 - 4^(z, g, г^Чу* (z, q, t) + Vp (z, q, t),
так как r(n) = 0 для ае2). Но
г, q, t)=t S V
поэтому иэ (в) и (а) следует, что
= {1 - d(z, д)Гг 2 t-kF(k)(z, q) + W? (z, q, t).
Применим к этому равенству оператор [znt~*] (re, k>0).
Учитывая, 4Tolt"k] W^>(z, q, t)—0, поскольку все последователь-
последовательности в 9* имеют положительный ранг, получаем
/п-И\
rX q) = [zn]{l - d(z, g)r^wB, г).
Отсюда следует требуемый результат, поскольку уравнение, ко-
которому удовлетворяет F(z, q), имеет единственное решение.
2. Чтобы завершить доказательство, заметим, что Fm (г, q) = 1,
a Fn)(z, q) = F(z, q). Таким образом,
j
l-d(z,q)
и утверждение следует из п. 1. О
Рассмотрим частный случай применения доказанной теоремы,
связанный с цепными дробями. Найдем выражение цепной дроби
в виде отношения двух степенных рядов.
5.5.5. Следствие. Пусть F(z, q) = zqJt\giqh, g2q2h+l: A, <»)],
s(y, q) = i + giy + g2y2, a
Gk(z,q)=2q{ 2 }zn+h\tn) gin+k)(q-4, q).
Тогда
1. F(z, ?)-G,(z, q)/G0(z, q);
2. glz + g2z{F(z, q) + F(z, q-1)} = 1 -G^, ?).
Доказательство. 1. Очевидно, что
F(z, q)=zq{l-glzq-g2zqF(zq, q)}~\
319
откуда F(z, q)=zq{F™{z, q) + giFn)(z, q)+g2Fi2)(z, q)}. Искомы^
результат следует из п. 2 в g-аналоге теоремы Лагранжа прц
g(У, q)=l + giy + g2y2.
2. Полагая к = О в п. 1 g-аналога теоремы Лагранжа, получаец
{1 — d(z, q)}-l = G0(z, q), откудаd(z, q) = 1 — G^1 (z, q). Утвержде-
Утверждение получается путем непосредственного вычисления d(z, q). О
Соотношение для производящей функции F(z, q), указанное
в п. 2 следствия 5.5.5, не менее полезно, чем формула A), так каК
F(z, q) не содержит членов с отрицательными степенями q. Поэ-
Поэтому [qh]F(z, <jn')=O (/е>0), и коэффициенты ряда F(z, q) можно
определить, зная g\Z + giz {F(z, q) + F(z, g~')K
Применение полученного следствия рассмотрим на примере пе-
перечисления ступенчатых кодов, которые представляют собой упо-
упорядоченные разбиения заданного целого числа. При этом получим
более простой вид производящей функции, чем в [5.2.12].
5.5.6. Ступенчатые коды. Пусть Ь (I, к) — число ступенчатых ко-
кодов (см. [5.2.11]) длины I с суммой элементов к — 1. По [5.2.12F)]
искомая производящая функция равна В (z, q) = 2 ^ (^ &) z'(Zft =
l,hX>
= qzjz [0, g^'+i; A, оо)], поэтому мы можем воспользоваться след-
следствием 5.5.5 с g(y, q)= 1 + у2. Таким образом,
n+ft
[tn] П (l + q~*m?) =
m=l
n+k /И_1_М
n Un) 2 g"m(m+1) i ) J2m
(использована формула 2.6.12A)).Поскольку коэффициенты при не-
нечетных степенях t во внутренней сумме равны нулю, то
/2m+ft+l\
1 7.\
"
Искомая производящая функция по следствию 5.5.5A) равна
в <«, 9)=zq B 9-' Bт+') г)\ 2 ?-m2 B;) /-.
Можно получить более простое выражение по 5.5.5B):
zB(z, q) + zB(z, Г1) = 1 -
следовательно,
hi] Ь\ Г„г —l_fei f V» __m2 /2m\ _9m~l—1
m jq2
320
Примечания и ссылки.
Этот параграф основывается на работе Gessel A980b); другие
^-аналоги теоремы Лагранжа даны в работах: Andrews A975b) и
Garsia A983).
E.5.1,2) Gessel A980b); E.5.4) Garsia A983), Gessel A980b);
E.5.5, 6) Gessel A980b). [5.5.1] Gessel A980b), Raney A960);
[5.5.2] Gessel A980b), Polya A969); [5.5.3] Levine A959), Narayana
A959); E.5.4] Gessel A980b).
ЗАДАЧИ
5.5.1. (а) Пусть 9* — множество всех последовательностей из
Ж* с положительным рангом. Доказать, что Ж* =(е U ?Р)ЗЙ&'*, где
$! — множество всех последовательностей из Ж* с нулевым рангом
и без элементов с положительной высотой, а &~ ={—1).$. Это пред-
представление называется мультипликативным представлением (для
последовательностей).
(б) Используя (а), доказать теорему Лагранжа о том, что если
/(z)—единственное решение уравнения f = zg(f) в виде формаль-
формального степенного ряда, то [tn-k]gn(t)/n = [zn]f(z)/k.
5.5.2. Площадь решеточного многоугольника (jit, я2) есть число
содержащихся в нем единичных квадратов, она обозначается
area(jti, яг). Пусть p(i, j, к)— число решеточных многоугольников
с полупериметром i, площадью / и конечной абсциссой к. Пусть
Р (z, q, s) = 2 Р (*» 7. fy zty'sfe. Доказать, что
(а) Р (z, q, s) = z\sJz [(I + s) q\ sg«+i: A, oo)];
2 2 г
(в) p (i, j, k) = - [*W] ( 2 2 9-m~ ( \ )
5.5.3. Доказать, что число решеточных многоугольников с полу-
полупериметром п + 2 и конечной абсциссой Л + 1 равно
5.5.4. Пусть /(z, ?) = z(9/9zL(z, q), где Л(ж, g) определена в
[3.3.48]. (а) Показать, что J{x, q) = x 2 (i!)/J) (^, ?)•
(б) Вывести из п. (а) соотношение
J{x,q)
21 я. гульден, Д. Джексон 321
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
К главе 1.
1.1.1. Пусть / (х) = 2 /i*\ a g (x) = 2 *i*J- Тогда
откуда получаем f(x) g~* (x) |x=0 = f^1- В то же время /' (х) {g' (ж)} =»
= ( 2 Vi**'1) ( 2 fci*1}-1. откуда /' (х) {g' («)>-i |я=0 = f g~\ что и
доказывает искомый результат.
что и требовалось доказать;
/ л\—ft Bk)\ ь /2^\
J——i— ^г-^= (—4) , , что и требовалось доказать.
&! А! V к I
1.1.3. По правилу дифференцирования произведения получаем
= x A - z)~2 {(a*0 - Ъхь~Ч A - х) + (ха - хь)},
откуда и следует искомый результат.
1.1.4. Для каждого га ^ О домножим обе части равенства Ьп = 2 (
на tn/n\, и просуммируем полученные равенства по всем га. Тем самым при*
ходим к соотношению
У ь *п - У V а*'п
At п га! ^ JUi\{n—
i\{n— j)!
или, что то же самое, В(*)=ехр(*)Л(«). Искомый результат получается
теперь, если обе части полученного равенства домнояшть на ехр (—t) и срав-
сравнить коэффициенты при tn/nl
322
1.1.5. (а) Пусть Л @ = 2 (Р ~ »I V". в (О = 2 (Р ~ »)' *п^. ПРИ-
чем Л(«)=е'В(«).ТогдаВ(«)=е-'Л({) и искомый результат получается после
применения к этим выражениям оператора [(р — n)! tn].
(б) Пусть А @ = 2 V". -8@= 2 V".°PmeM Л(«) = A-4«)-1/2В(«).
>0 >О
Тогда B(t) = (l — 4*I'2 Л(*) и искомый результат получается после примене-
применения к этим выражениям оператора [<"].
1.1.6. Результат получается после применения оператора [х°] к обеим
частям равенства
{1 +A + х) A + ух-') A + JT')}" = {1 + JT>A + х)}»{1 + уA +*-«)}•.
1.1.7. Обозначим через Re (со) действительную часть комплексного числа со.
Тогда получаем
2
A=o
= Re A + е*)п = Re {exp |m |.} (exp [- j -|-} + exp || ^-jj"J =
= B cos D)) Re {exp {**!-
где i2 =r — 1, откуда и следует искомый результат.
1.1.8.
4))" Re {e
2 Ы- 2 2 (п+1) *п= 2 2 ( п+" Л *" =
n>o i>o n>o \»» + «fe/ i>on>o\« — m-\-i(l — k)j
и V fm+i(fe-0 у
= tm A - f)-(m+1) {l _ th~l A - t)-*},
откуда следует искомый результат.
1.1.9. (а) Из определения со следует, что <втп = «*«'* = 1, т. е. <втп — 1 = 0.
Разлагая последнее равенство, получаем
т—1
При этом шп — 1 Ф 0 кроме тех случаев, когда т | я. Отсюда следует, что если
т—1^ т—1 т 1
те-f га, то 2 » wfen=0. Если же т\п, то ©п = 1 и тогда 2 ^ = 2 1 = /Л-
fe—о fe»o fe=o
m—1 m—1
(б) jl 2 / (*»*) »-й=4-2 ^ft 2 cui(ft~° = — 2 '***» =
2 /*•*.
(d
где второе равенство следует из п. (а).
21* 323
1.1.10. (а) Пусть со = e2iIt/3, тогда пз [1.1.9J получаем
2
2[ ) = J_ У A + со'K" = J- {2ЗП + (- со2K" + (- ш
l3fe/ 3 ^ ' З1 ^ ' v
ft=o j=o
прп этом второе равенство следует пз соотношения 1 + со + ш2 = 0, а третье ¦
из соотношения со3 = 1.
(б) Пусть со = е2<я/т, тогда из [1.1.9] получаем
т—1 тп—1
JL У A + coj)n аГу = — У
тп 4d m +*1
}=0 3=0
т-1 . .
= Л У BсовШ.)] \совЦ"-"""] +tain
771 ^* \ \ Ш J J
Так как это выражение является действительным числом, то его мнимая
часть должна равняться нулю. Тем самым приходим к искомому результату.
1.1.11. (а) Интегрируя по частям, для к ^ 1 получаем /„,,* =
= (к/(т + l)Om+i,ft_i. Продолжая дальше, получаем равенство Jmk =
, | ^mj-fti0. откуда искомый результат следует в силу того, что
\1г = (т + к + I)
(б) Из части (а) следует, что
S f ГI = <ге + *> 2~<п+1) f 21
fe=O ^ Л / _! fc=0
= (в +1) г-'^1) Г J_ {A + ХГ+1 - A -
(при переходе к предпоследнему равенству мы использовали бисекцию ряда).
1.1.12. Домножим обе части рекуррентного соотношения на ик/к\ и про-
просуммируем по всем k^sO:
fc>0 ' k^o
324
Положим М (х, и) = 2 Mh (х) и^/к], тогда предыдущее равенство прини-
мает вид
JLlU (х, и) = хМ(х,и)~иУ(к-1 + 1) Mk_1 (х) ^—L
ди jjw (А-1I
д 2д
-^ М (х, и) = хМ (х, и) — и j^M (x, и) — иМ (х, и)
д х — и
1? log ДГ (*tB) = ^5.
Интегрируя, получаем
log M (х, и) =
= х | A + t2)-1 dt ~ j * A + t2) df = x tgt-U («) - 4 log A + u2).
о о
Применяя теперь оператор ехр к обеим частям этого равенства, получаем
искомый результат.
1.1.13.
2 min(n)t»= 2 2 tn= 2 П'ТA-^Г1 =
что и требовалось доказать.
1.1.14. Пусть С= I " ], a D =
CD '
откуда
1.1.15. Предположим, что (I + М) -1 = I + аМ, где а — скаляр. Тогда
(I+ М)A + аМ) =1, отсюда A + а)М = — аМ2. Однако в силу того, что
матрица М имеет единичный ранг, М = uvT, где u, v — некоторые вектор-столб-
вектор-столбцы. Тогда М2 = uvTuvT = (vru)uvT, так как уги является скаляром. С другой
стороны, trM = tr(uvT)= tr(vru)= vru и, таким образом, М2= (trM)M. Тогда
если существует (I + M), то скаляр а должен удовлетворять соотношению
1 + а = —а tr M, т. е.
а = —(
Если же trM == —1, то |1 + М|= 1 + trM = 0 и (I + М)-1 не существует.
1.1.16. Пусть [С]и = б„би (г,/==1 га+ 1). Тогда M* = [z*]/(z), где
/ (z) = 2 2ftM h = (I - zM)-1 = (D - zj)~\
если D = I + zC. Далее
(D - z J)-> = (I — z D-'J)-'D-i = D-> + z{l — z tr D-'JJ-'D-'JD-1
325
"(последнее равенство следует из [1.1.15]). При этом D 1= 2 (—1)*2*С*=1—
гA -\- г)~гС, так как С* = С для всех i ~^ 1. Таким образом, имеем
1 - z trD-'J = 1 - г{(ге + 1)- гA + г)} = {1 - гегA + г)}A + г)-'.
Кроме того CJC = С. Если теперь подставить полученные выше выражения
для D и 1 — ztrD-'J в формулу для /(z), то получим
/(«) = I - гA + г)-'С + 2A + г) {1 - ru(l + «)}-« X
X {!-*(! + 2)-'(CJ + JC)+ *»A + «)-*С>.
Таким образом, для к > 1 получим
[М*]п = И {1 - z A + г) + z (I +i){l - пг A + г)} A - z A + г)"*J} =
= [«*] {A + г) + 2 A + 2) {1 - «2 A + 2)}} =
=><_!)*+ [«*-!] 21|.'«I(i+<)'-1= S^
г=о г=1
При А; > 1 и <, / > 1 получим
[М»]й = [MfeJu = [Zft] Z A + 2) A - «2 A + Z)} A - I A + 2Г1) =
= [2ft-l] {1 - nz A + г)}1 ! ( \
И, наконец, при А; > 1, и i, / > 1 получим
[м*]0. = uk) 2 (i+*) {i - m (l+i)}-1- 21
n—1
1.1.17. Пусть С = 0^0C:, г„), zf =A, со', ..., co<»-'")r а Я,, = 2 »У^
j=o
B = О, 1, ..., и — 1), тогда Czj == Xjzf. Таким образом, ко, %и ..., hn-i представ-
n—i
ляют собой различные собственные значения матрицы С и 1 С \ = JJ Я?, что
i=o
ц требовалось.
1.1.18. (а) Пусть в (г) = 2 eia;i' b (x) — S Ьгж1> пРичем во = Ьо = 1. Пусть,
далее, А = [ej-«](p+e)X(P+«), В == [bj-<](P+«)X(p+«). He теряя общности будем
считать, что q ^ р. Предположим, что матрицы А и В разбиты на блоки
(ft _ \__
7fp+, — тГ,. Тогда для i>/ матрицы AfJ и В<; являются нулевыми мат-
матрицами, а матрицы Аи и В» являются верхними треугольными матрицами
с единицами на главной диагонали. Пусть
Тогда
IQI =
1.
р =
откуда
IP I
1 = 1 И
/А12 А18\
\А22 А2з/
Г\ I 1 П/Л 1
Q =
А12В22
А22В22
(*»
А12
А22
BJ
В23 +
В23 +
13 33
А23В33
326
Однако AB = IP+, в силу того, что а(х)а~1(х)= 1, отсюда следует, что
А22В22 = Ij_p, АцВ,3 + А12В23 + А13В3з = О, А22В23 + А23В3з = 0. Далее, разлагая
определитель по последним g—р строкам и учитывая, что р2 —р EsO(mod2),
получаем
А12В22 -А11В13
I 0
Приходим к искомому результату, так как [P]<j = [as*+'~']a(as) и [Bislu =
(б) Результат следует из п. (а), если положить р = 1.
1.2.1. Нам нужно найти с (f) = 2 cntn, где сп=( 2п )=[[kn]F(b)X
n>o \n — kj
X{<V(h)}n,F(%)=№, ф(Я,) = A + Я,J. По утверждению B) теоремы Лагранжа
имеем: c(f) = u>*{1 — 2f(l + w)}, где u)=t(l + wJ. Единственное решение
w(t)&R[[t]]0 этого функционального уравнения имеет внд w(t)={l—2t —
— A — 4«I/2}/2«. Таким образом, 1 — 2f(l + w) = (l — 4гI'2, поэтому с(«) =
=яA _ it)-l/2wk, откуда н следует искомый результат.
1.2.2. Пусть F(X)*=ea\ a a: = y<p(a:), где <р(г)=е* Тогда из утверждения
B) теоремы Лагранжа получаем
i - Уф' (х)
Гл mi (а+т)Я V1 (а + т)т т
41 ~Й1
)т
Так как в нашем случае <р'(г) = <р(г), а у = хе~х, то f(a) {1 — уф'(ж)}-1 =»
= еа1A — ж)-1, откуда следует искомый результат.
1.2.3. Пусть x'~[t=y, тогда наше функциональное уравнение принимает
вид
U) = «{1+J/U)*A — I»)}.
Из утверждения A) теоремы Лагранжа получаем
П
где ге — А = г.
1.2.4. Положим р = w — о, тогда р удовлетворяет функциональному урав-
уравнению v = ty(v + а). Из утверждения A) теоремы Лагранжа получаем
v = ^ — t^" X] Фп
откуда (с учетом того, что v — w —а) следует искомый результат.
1.2.5. Положим ?(*,) = Ф1-Ч(Х) и [В]и = №?'(*.), где i, j > 1. Тогда
(Л) Ш*] YJ (Х)}= [%г] Ч> (Ф (Х>) = [X1] %} = бу,
327
т. е. В = А. В то же время если <D(w)= t, то w = ^(f), и тогда в силу ут-
утверждения A) теоремы Лагранжа при Ф(w) = w<p~l(w) получаем
[А-Чу = И J = 4" [Г-Ч д'-у U) = -f t^~ji ф~{ (М-
1.2.6. (а) Пусть G(t)= 2 ( "^ ) *". F(\)=*\, ф(Х)= A + к)<*. Тогда
n>i \п — 1/
в силу утверждения B) теоремы Лагранжа имеем
В то же время из утверждений A) и B) теоремы Лагранжа мы соответствен-
соответственно получаем
Сравнивая коэффициенты при tn в обеих частях равенства G(t) =
= гс{1 — ^'(ю)}, получаем искомое тождество.
(б) Положим Н (t) = 2 ,*__.*". /"(^)=А,, ф(Я) =е\ Тогда из утверж-
*¦ '¦
дения B) теоремы Лагранжа получаем
#@=2 *" М ^ (W Ф" (Я.) = ю A - *Ф' (ю)Г1-
Но из утверждений A) и B) той же теоремы получаем соответственно
Фй (W = 2у
Сравнивая теперь коэффициенты при tn/(n — 1)! в обеих частях равенства
H(t) — w = wH(t), приходим к искомому тождеству.
1.2.7. Положим Л(*)-2 V". ¦в(')= 2г«*"- ТогДа а«= 2 fn\6»-cft
можно представить в виде а„ =[Я,"]фп(Я,)В(!\,), где <р(Я) = 1 + ЯЛ Полагар
теперь и» = *ф(ш), из утверждения B) теоремы Лагранжа получаем
A(t) =B(w){i — ctw<'-i}-\
так что
откуда, в силу того, что t = w(i + ш0)-1, находим
Ьп = [юп] {! _ сги,с-1} л (t) = 2 6i {[»"] fi
= 2 «4 {^n-{] (i + ^с)~{ - с[^й-с-{] (i
328
Так как с должно быть делителем п — I, положим i = п — ск, и наше утверж-
утверждение доказано.
1.2.8. Пусть А(у)= 2 апуп/п\, В(у) = 2 М™/"' и ПРИ эт°м
0 2
= еогаВ(у), где 1 = 2/6*. Тогда В(у) = е~ахА(у). Теперь искомый результат
следует из 1.2.7, если в предыдущих уравнениях приравнять коэффициенты
при уп/п\.
1.2.9. Пусть Л (я) = 2 «„*"• а /„ = [>"]/(*). Если /(i)=2«AW.
>0
то, приравнивая коэффициенты при хп, получаем
Если положить u? = t(l — и?2), то в силу утверждения B) теоремы Лагранжа
получаем
n!2"/n =
Пусть теперь g (х) — 2 п'^» Bя)"« Тогда g ({) = Л (w) {I + 2f w}-1, следовательно,
= 2 «г*/» f^"-1'] (i + u?) (i - «'Г'-1 =
где n — 2/ = i, откуда и вытекает искомый результат.
1.2.10. Обозначим через В выражение в левой части доказываемого равен-
равенства. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, полагая
% = х — 1, получаем
у
-1/
где <р(Я) = ——— —. Полагая теперь w=ty(w) и используя утвержде-
A + л) — 1
ние A) теоремы Лагранжа находим В = n! [tn]w. Решая последнее функцио-
функциональное уравнение, получаем w = A + t)l'a — 1. Таким образом, В = п\ [ I,
\ п j
что и доказывает утверждение задачи.
1.2.11. Непосредственно из определения следует, что
= [%п] F (%) <р" (X),
Х«=о
где F(K)= 1, «р(Х)=4"{(А+^J — 0- Тогда из Утверждения B) теоремы
Лагранжа получаем "^ Pn(h) tn = {i — t (h -\- иг)}", где ш = *ф(ш). Решая
последнее квадратичное функциональное уравнение относительно w, получаем
329
h + w =={-'{1 — A — 2fet + *2)I/2}, причем был выбран отрицательный корень,
так как ide? [[*J]o. Таким образом,
{1 — t(h + w)}~1 = A — 2ht + t2)-1'*,
что и доказывает наше утверждение.
1.2.12. Обозначим через А левую часть уравнения. Тогда
л=51 {{х+^)И~1'((ж+*г1)* |х~°—л! hn] фП+1 (w ^
где ф(Я,)=ж + %, а g'(z) =/(ж). Если w = *ф(ш), то (ж+ ш)-1 = A — t)x~l,
и тогда из утверждения A) теоремы Лагранжа получаем
А = - (и + 1)! [«"
так как ^'(г) = /(г).
1.2.13. (а) Обозначим через S левую часть доказываемого тождества.
Тогда, аналогично 1.2.12, получаем
5 = (— \)m+n+h [xm+nyn+bzh+m] (у—~z)m+n (z — x)n+h (x — y)h+m =
= (_ ir+v+k [xm+nyn+kzk+m] {i+yy + yz + zx)-l = (m + ; + *)'.
(б) Положим T = 2 (m + n) ln + k) (k + m) um+n+*+3 {. Тогда по Глав-
i \m+ ij \n+ ij\k + ij
ной теореме Макмагона имеем
Т = (—ijm+n+SJ-j.m+nyn+SjS+mj^ ZB)m+n(z — хи)п+к(х — yu)k+m =
где X = diag(x, у, z), a
/ 0 1 -м
A= — m 0 1
V 1 -u 0
Отсюда
T = (- l)m+»+* [*m+V+V+m] {1 + (*» + yz + zx) и + xyz (u3 - I)} =
(„3 _ 4Jj
^o I 2/ J U- /,«-/, ft- /J
Искомый результат можно получить, если обе части полученного тождества
разделить на am+n+*, а затем положить * = и3.
1.2.14. Пусть хг = г,<р<(х), где ф{(х) = expj 2 «ij^j (» = 1, ...,»)• Если
1, то из утверждения B) многомерной теоремы Лагранжа получаем
II в« - *1в«Ф| (х) И = S
т,>0
330
С другой стороны,
—т. — тп
Искомый результат получается, если вспомнить, что ?<ср« (х) = х« и обе части
полученного тождества выразить через переменные х<.
К главе 2.
2.3.1. (а) Соответствующая производящая функция получается из пред-
представления 2.3.7 и имеет вид
2 сп*п = 2 (*г+*т+г+*2т+г +•••)*¦= 2 *!fe (* - *ra)~ft =
- {1 -х1 A - ж)-1} = A - хт) A-х1- хт)-\
Таким образом,
A _««_»•») 2 cn*"-=i-*m.
откуда
{1, если п = 0,
-1, если ге = т,
О, в других случаях,
и сп = 0 при п < 0.
(б) Из части (а) следует, что
[*»]A - х") A - х - х3)-1 = [х*-1]A - х - s*)-1 = fn
(см. 2.2.23).
2.3.2. Очевидно, что искомое число равно числу композиций числа п на к
частей, каждая из которых меньше либо равна шести, т. е. (см. 2.3.9)
[хп] (х + х2 + ... + х*)к = [хп~к] A - х*)к A - х)~к =
2.3.3. (а) Множество решений нашего уравнения при п, пробегающем все
возможные значения, совпадает, очевидно, с Л**. Поэтому искомое число равно
коэффициенту при хп в производящей функции для Jfh:
(б) Множество решений нашего уравнения при п, пробегающем все воз-
h
можные значения, имеет вид X (-^ь._,~Jfa._-,). Поэтому искомое число
равно
ип\ П (*н+*°i+1+• • •+жЬ4"х) = г**] П (*"* - *ь<) a - *гх=
1=1 Г=1
331
2.3.4. Множество решений исходного уравнения при п, пробегающем все
возможные значения, получается из Jfh X Л^*, если брать ft-членные суммы
компонент для первого и удвоенные fc-членные суммы для второго сомножи-
сомножителя этого произведения, т. е. число решений равняется
[*"] A + х + х2 + ...)* A + х2 + х* + ...)* = [хп] A - *)-" A - х2)~к =
_yi{k+i — l\(n + k—2i — l\
Другое разложение того же степенного ряда дает:
[хп] A - х)~к A - *2)-* = [хп] A - »)-»* A + х)~к =
«>о\ г А А —1
2.3.5. (а) Каждому представлению числа в указанном виде, определяемому
h
набором (хо, ..., Xh-i), можно сопоставить элемент множества X /0,1,...
i=i l
• • •, а{ — 1}. При этом число / в i-м сомножителе дает вклад, равный /а«,
i—1
где ai = JJ а>1 при t > 1, и вклад, равный / при i = 1. Тогда число указанных
г=1
представлений для числа m равно
1) Д
= 1 при 0<m<JJa;.
JJ
(б), (в) Решение получается из пункта (а), если положить к =, оо и flj = I
в случае (б), а^ =/ + 1 в случае (в), где / = 1, ..., fc.
(г) Этот пункт следует из п. (а), если положить ai = re — Z + / и fc = г.
2.3.6. Доказательство проводится по индукции. Имеем
Предположим, что S lm = |l — z^ г' / A — г) г для всех I < к, тогда для всех
к ^s 2 имеем
v zli / +U-i)_
S32
и, по предположению индукции,
(Xh+
что и требовалось.
Таким образом, число представлений числа ге в виде I * ) + I 2 ) + ...
• • • + I k I, где 0 ^ xi < Х2 < ... < хи при фиксированном к^1, равняется
\ к J
И 2
= [zn] lim
для re > 0.
2.3.7. (а) Пусть выбор человека не зависит от его национальности. Тогда
выбор 2к + 1 человек («населения округа»), при котором в округе оказывается
Bк+1\
i человек национальности «альфа», можно осуществить I I способами
(если i ^.р). Пусть переменная х маркирует человека национальности «альфа»,
а в маркирует округ, в котором «альфа» составляют большинство (т. е. их не
мепее к-\-\). Тогда производящая функция для каждого округа имеет вид
Таким образом, искомое число есть [xPuq]F(x,u), где
(б) Если считать, что все способы расселения р человек национальности
«альфа» равновероятны, то математическое ожидание числа округов, в кото-
которых «альфа» составляют большинство, равно
Однако
[х*>] F (х, 1) = [яр
[яр] —- F (ж, и) | . = [жр] ге
откуда и следует искомый результат.
333
2.3.8. Возьмем производящую функцию из 2.3.15. Будем переменной у мар-
маркировать появление пары {1, п}. Эта пара появляется лишь в тех случаях,
когда при представлении 2.3.14 первый элемент множества JF+ в Jf^_ X Jf
равняется 1, а соответствующий элемент множества Jf равняется 0. Тогда
искомое число есть
/fc-l\j7n-fc+l\_/n-fc-iyi ,((
\ т ){[ к —т. ) \k~m-2)j't\m-i)\k~m-l
к [ml [k—m —
2.3.9. (а) Воспользуемся представлением 2.3.14. Тогда множество подмно-
подмножеств можно представить в виде JF+ Х(Л°ь-1 —JCa-\)K~l YJf, используя усло-
условия на величины компонент в 2.3.14. Искомое число, таким образом, равно
[хп] (х+ *>+...) (х° + Ж«+1 + ... +*6-1)"-1 A + х + х2 +...) =
- ,)-tt+D A - хЬ-«)*-1 =
(б) Следуя 2.3.22, получаем, что искомое число равно
[ХП] (Х° + Xa+1 + . . . + ХЪ-*)к = -J- [ХП] Хпк A - Х)~к A - ХЬ~а
/А\/я-(а-1)*-*(Ь-а)-1\
\ ' / \ k — i }
2.3.10. Из представления, полученного в [2.3.9 (а)], следует, что число ука-
указанных подмножеств с о*—Oi = т равно (п—т)[ят](га+жа+1-1- ... + жь~1)*,
так как для выбора Oi существует п — т возможностей. Таким образом, иско-
искомое число равно
" (n-m) *"-*(*"-а*)* (!-*)-<*-"»
= [xnj a:0^-1) A - xb-a)k-* (I - x)-(h-» 2 teJ-
e-1
Окончательный результат получается, если 2 '** записать как в [1.1.3].
i=d
334
2.3.11. (а) Пусть 9>(l, q) — множество A, q)-подмножеств на Jfn для
всех п. Тогда из представления 2.3.14 получаем
9 A, Ч) =* Ы {/ | / - A + h) (mod3i)}J X X,
если п — это сумма (к + 1) компонент в представлении. Таким образом, число
A, q)-подмножеств есть
откуда и следует искомый результат.
(б) Из части (а) следует, что искомое число равно
[хп] xh+ll+-+lh A _ж)-1A -xV)-h в[х"-A1+
Но это — не что иное, как число сколемовских подмножеств индекса р (см.
2.3.16) на множестве ^п-п -Ь>.-Вь)? Искомый результат следует теперь
из 2.3.18.
2.3.12. В [2.3.11 (б)] положим р == 2. Кроме того, если множества первого
блока имеют нечетную мощность, то положим U = 0 для I еэ 1 или
(а + 1) mod (а + Р) и U = 1 в противном случае. Если же мощность множеств
первого блока четна, то пусть U = 1, а не 0.
2.3.13. Если oi еэ i(mod/>) @ < t < р — 1), то из [2.3.11 (б)] следует, что
чпсло рассматриваемых подмножеств равно
Таким образом, общее число подмножеств равно
Так как
(и, если t ^ о,
то искомое число равняется
t=»+l
_ to + ри + fe Iй + *
у
2.3.14. Предположим, что доска размера 2 X п покрывается плитками ука-
указанного размера, причем укладываются они следующим образом: на частично
покрытую доску кладется плитка (домино или квадрат) такии образом, чтобы
закрыть самый левый из еще не закрытых квадратов доски. Если слева имеет-
имеется два незакрытых квадрата, расположенных в одном столбце, то сначала
335
покрывается квадрат, лежащий сверху. Если следовать указанной процедуре,
то на каждом из промежуточных этапов граница между покрытой и не покры-
покрытой областями может выглядеть только так, как это показано на рисунке.
А В CD
Пусть А(х, у), В(х, у), С(х, у) и D(x, у) — производящие функции для множеств
покрытий с границей типа sf, &, Ч? и ф соответственно, при этом х маркирует
домино, а у маркирует квадраты. Единственное покрытие 8 пустой доски раз-
размера 2X0 принадлежит множеству $&, так что А @, 0) = 1. Обозначим через
d и s соответственно домино и квадрат.
Посмотрим, какого типа покрытия возникают из данного покрытия в ре-
результате добавления к нему (по указанным правилам) ровно одной плитки.
Приходим тогда к следующим представлениям:
st — {е} qs {d} X si (j {d} X & \j {s} X <g> j {«} X ?D,
&~{d}X&, <B q: {s} X St у {*} X M и {d} X 3>, 2)=z {d) X <&.
Откуда сразу же получаем следующую систему линейных уравнений:
А — 1 = хА + хВ + уС + yD, В = хА,
С =уА + уВ + xD, D = хС.
Искомое число равно [xnyh] A(x, у). Решая систему относительно А, получаем
требуемый результат.
2.3.15. Полиомино образовано столбцами единичных квадратов, при этом
соседние столбцы имеют хотя бы по одному квадрату с общей стороной. Пусть
F(x,y)—производящая функция для полиомино, в которой х маркирует по-
покрываемую площадь, а у маркирует площадь, покрываемую самым правым
столбцом.
Посмотрим теперь, что произойдет, если к полиомино, имеющему в самом
правом столбце к квадратов, присоединить справа еще один столбец, содержа-
содержащий т квадратов, при условии, что вновь образуется полиомино. Это можно
сделать т + к — 1 различными способами. Заметим, что таким образом можно
получить все полиомино кроме тех, которые состоят из единственного столбца.
Таким образом,
F (х, у) - \ (ху)т = J W \У
Однако v(dldy)y™-iF(x, y)\v^ = (m-\)F(x, 1) + G(x), где G(x) =
= (d/dy)F(x, у) |у=ь поэтому
F(x, у) = гУ A _ xy)-*F(x, 1) + xy(l -ху)-Ц.1 + G(x)}. A)
Положим в A) y = i:
F(x, 1)= **(i - *)-»F(*, 1)+ *A - *)-' {1 + G(x)}.
Применяя к A) оператор д/ду и полагая затем у = 1, находим G(x) —
= 2i2(l — x)~3F(x, l)+i(l — x)-2{l + G(x)}. Исключим теперь G(x) из полу-
336
ченной системы уравнений:
F (х, 1) = Jq {- 5 + 4х + E - 13* + 7х2) (l - 5х + 7я2 - 4л:3)-1}.
Отсюда следует искомый результат.
2.4.1. (а) Из представления 2.4.5 получаем, что искомое число равняется
WKi + УХ + ^2 + ...) {1 - (ух + ух' + . ..f}-1 A + УХ + УХ2 +...) =
(б) Пусть f (ж, г/) —производящая функция, полученная в п. (а). Тогда
считая, что все рассматриваемые последовательности равновероятны, получаем,
что искомое число равно
= 2~п [хп] {х A - 2*)~»
2.4.2. Множество @, ^-последовательностей, не имеющих стоящих рядом
нулей, можно представить как 1*@11*)*(е LJO). Так как максимальный блок
из к единиц дает к — 1 пар соседних единиц, искомое число равно
[*»?'](! + х + ух* + yV + ...) {1 - х(х
откуда и следует искомый результат.
2.4.3. Множество последовательностей, в которых все максимальные блоки
из единиц имеют четную длину, а все максимальные блоки из нулей имеют
нечетную длину, можно представить в виде
A2)*@@2)*12A2)*)*(е U 0@2)*).
Пусть х маркирует длину последовательности. Тогда искомое число равно
[*»] A - Xя)-1 A - ** A - г3)} A+ * A - х2)-1) =
Так как в разложении A — ж2) встречаются лишь четные степени х, мы
можем положить п — i = 2/ в первом слагаемом и п — i = 2/ + 1 во втором.
Тогда наше число равно
22 я. Гульден, Д. Джексон 337
2.4.4. Последовательность выпадений герба или решетки представляет
собой @, ^-последовательность (если нулем обозначать выпадение герба,
а единицей—выпадение решетки). Нас интересуют последовательности, у ко-
которых в конце стоит максимальный блок из нулей длины г и перед которым
нет ни одного максимального блока из нулей длины, не меньшей г. Множество
этих последовательностей можно представить в виде 1*({0, ..., О*"} 1*1)*0г.
Число таких последовательностей, имеющих длину к, равно
[«*] A — х)~1{1 — (ж — *г) A — х)~1хA — ж)-1}-1*' =
= [«*"'] A — *) A - 2* + ж14) -'.
Так как вероятность появлении каждой такой последовательности равна 2~\
искомая вероятность равна
*-Ч A - .) A - 2х + .4-1)-! = 2'[**-Ч (l - -J.) (l - х
= [xh~r] B - x)
2.4.5. В силу представления 2.3.1, каждое ^-подмножество множества JCn
можно представить как @, ^-последовательность длины п, содержащую к еди-
единиц, при этом отношению соседства элементов соответствует появление в
последовательности пары стоящих рядом единиц. Ясно, что максимальному
блоку из к единиц соответствует к — 1 соседств. Пусть х маркирует длину
последовательности, у маркирует единицы, a z маркирует соседства, тогда из
представления 2.4.5 получаем, что искомое число равно
V**} {1
- * A - хг1 2 «^W
[xnyhzm] (I + yx(i — zj/x)-1) {l - ух" A - x)-1^ - xyz)-1}-1 A
= [xnykzm] {{ + xy(l- xyz)-1}-1 {{ - x {l + xy A -
l 0 + *V A -
т] 2 ))y()(
так как I = « — к, р = fe — m, q = m.
2.4.6. Множество интересующих нас последовательностей можно предста-
представить в виде
(8 U И* U 22*){{3, 4}{3, 4}*A1* U 22*)}*C, 4}*.
Еслп х маркирует длину последовательности, то искомое число равно
= [*"] A + *) A - Зх - 2Х2)-1 = [хп] (Аг A - aj*)-1 + А2 A - а,,*)-1),
где ai,a2=C±V17)/2, АиАг =E±>17)/2, откуда и следует искомый ре-
вультат.
338
2.4.7. Обозначим через F(xh хг, ..., хн+г) производящую функцию
{1— (zi + ...Ч-^+г)} для последовательностей над JPh+г. Используя биеек-
цию рядов (см. [1.1.9]), получаем, что последовательности с четным числом
единиц перечисляются производящей функцией
G(XVX2 Xh+2)=T{F{*1'X2 Xh+2)+F{-XVX2> •'•'Xh+2)},
а те из них, которые содержат нечетное число двоек, — производящей функ-
функцией l/2{G(zi, X2, ..., Xk+i)—G(xi, —хг, ..., аъ+г)}. Пусть х маркирует длину
последовательности. Тогда искомое число равняется
X Г**] {A - (* + 2) хГ1 + A - кхГ1 - A - кх)-1 - A - (А - 2) я)} =
2.4.8. В силу 2.4.16 производящая функция для последовательностей над
Л?2п, в которых нет пар соседних одинаковых элементов, равна
I 271
II — 2 *4
. Последовательности, в которых нечетные числа могут стоять ря-
рядом, получаются из описанных выше последовательностей путем замены каж-
каждого отдельного нечетного числа блоком, образованным этим же числом. Тогда
производящая функция рассматриваемого множества по отношению к типу
{п п \—1
1 — 2 Z2i A + х2г)~Х — 2 ж2г-1| • Искомое чис-
число получается, если в производящей функции сохранить лишь информацию о
длине последовательности; оно равно
2.4.9. Согласно 2.4.14, ним требуется найти число последовательностей
Смирнова типа B, ..., 2). Поэтому в силу 2.4.16, искомое число равно
— [x1...xn\ll Zixi+2jxi\ — 1*1 • • • xni 2j (si ¦
2 9 1 ¦^^ n-n gb h t
(— 1)"-, где *, =
Однако
z, если а-
в противном случае,
откуда и получается искомый результат.
2.4.10. Мы фактически запрещаем появление максимальных блоков дли-
длины 1. Искомое число получается, таким образом, из 2.4.18, если положить
22* 339
/i = 0, ft = 1 для i 5s 2, и равно поэтому
2 (-
1=0
n
24
1=1
Однако
г I п \
с!а!Ы, если а = Ь, 2а + 36 + Ъс = 5ге,
I О
и....
О в противном случае,
откуда и получаем искомый результат.
2.4.11. (а) Последовательности, в которых максимальные блоки имеют
длину, не меньшую к, перечисляются по 2.4.18, если в соответствующей фор-
формуле положить /< = О для всех I < к и ft = 1 для i ^ к. Если х маркирует
длину последовательности, то искомое число равно
(б) Последовательности, в которых максимальные блоки имеют длину,
меньшую к, перечисляются по 2.4.18, если в соответствующей формуле поло-
положить ft = 1 для всех i <к и ft = 0 для I > fc. Если а: маркирует длину
последовательности, то искомое число равно
[ж']A — «(ж — з*) A — ж*)-1)-1 = [ж']A — ж") A — «ж + (га — 1)ж*)-1.
2.4.12. Воспользуемся 2.4.18. При этом заметим, что максимальный блок
длины t^fc;, образованный элементом /, содержит t — кг +1 блоков длины
&j (I = 1, ,.м ге). Если г/; маркирует такой блок, то искомое число равно
D (^ «гв), где gl =Х1+х\+...+ х]1-1 + у$ + y]x)l+1 + ... -
A — у,*,) — *** A — we)} (I — «i)" A — yz*i)—1 "(* = 1. ...,»). что и
дает нужный результат.
2.4.13. Последовательности, в которых соседние элементы являются раз-
различными по mod p, получаются из последовательностей Смирнова над Jfv,
если в последних каждый отдельный элемент i заменить произвольным эле-
элементом из множества {i, i + p, i + 2p, ...}. Тогда по 2.4.16 находим, что произ-
производящая функция для множества последовательностей над Л*+, в которых
соседние элементы являются различными по mod p, равно
- .2 (*t + xi+p +..•) (i + *i + *i+p + • • -)
Отсюда, принимая во внимание замечание 2.4.11, получаем, что число
композиций числа га, у которых величины соседних частей не сравнимы по
340
mod p, равно
i
откуда и следует искомый результат.
2.4.14. Применим представление 2.4.19, заменяя спад несоседством, а не-
неспад — соседством. Последовательность длины I с к соседствами имеет I — А: — 1
несоседств, поэтому, в силу 2.4.20, получаем, что искомое число равно
[*'*'-*-'] С(*,«), где
a ?> (ж) — производящая функция для последовательностей над Jfn, которые
не содержат несоседств. Такие последовательности длины к имеют вид
i, i + 1, ..., I + к — 1, их всего п — к +1. Таким образом,
п
D(x) = V (п-к + 1)хк = {пх-(п + 1)х2+хп+г}A-хГ*.
fe=l
Положим z — x(l + t), u = t(l-\-t)-\ тогда < = цA — и)-1, x=(i — u)z,
так что
nz - (п + 1) A - В) s2 - A - u)tt+VH-2 | -1
. j
откуда и следует искомый результат.
2.4.15. (а) Задача решается аналогично задаче [2,4.14] с той лишь разни-
разницей, что имеется всего п последовательностей длины & ^ 1, которые состоят
только из циклических соседей. Поэтому D (х) = ^ nxh = пх A — я)-1и, сле-
ft>i
довательно, искомое число равно
[zlul~H (l - -JL- »(*-") z I =
1 1— Ml— A— M)z/
= U?U!-ft] {1 — A — И) 2} {1 - Z A + (й -1) U)} =
= lul-k] {A + (Fl - 1) UI - A - U) A + (II - 1) и)'} =»
= [u1-") nu {1 + (n - 1) и}' = n(' ~ Л (п- II'4-1.
(б) Данная последовательность содержит I — 1 пар стоящих рядом эле-
элементов. Выберем какое-либо fe-подмножество положений, которые будут зани-
занимать первые элементы в парах циклических соседей. Это можно сделать
(I способами. Второй элемент в паре соседних элементов определяется
к J
первым, поэтому последовательность длины I с к циклическими соседями опре-
определяется заданием I — к элементов. Ясно, что первый элемент можно выбрать
п способами, а каждый из остальных I — к —1 элементов — лишь п — 1 спо-
способами, так как он не должен образовывать циклического соседства с элемен-
элементом, стоящим перед ним. Отсюда следует искомый результат.
2.4.16. Рассмотрим множество всех последовательностей Jfn. Производя-
( п \~1
щая функция этого множества равна S(x) = <1 — 2 ч • Если каждый
I г=1 )
341
элемент в последовательности из ./Г* заменить некоторым блоком, образован-
образованным этим же элементом, а затем пометить уровни, соответствующие каждому
блоку, формальной переменной у, то получим производящую функцию
S(xi(l — yxi)'1, ..., xn(l — yx-n)*1). По построению ясно, что эта производя-
производящая функция является производящей функцией «по меньшей мере» относи^
тельно уровней. Из принципа включения — исключения тогда получаем, что
число последовательностей типа i с к уровнями есть
[хУЧ S (х1 A-(у- 1) Xj)-1, ..., хп A - (у - •
п 1—1
2.4.17. (а) Будем поступать аналогично 2.4.17, применяя представление
2.4.15. Тогда если Г(х, /) перечисляет последовательности по отношению к их
типу и числу спадов, то Г(ж1 A + zi)-1, ..., xn(i + яп),/) перечисляет
такие последовательности, не имеющие уровней. Если I маркирует уровни,
то G(x, I, /)= Т(х]A — (I — 1H:1)-', ..., х„A —(I — l)^)-1, /) перечисляет
последовательности по отношению к типу последовательности, числу уровней
и спадов. Если е(а)—число уровней, a d(a)—число спадов в последователь-
последовательности а, то из 2.4.20 получаем
G (х, I, /) =
П {1 - (I - /) -,}-1 - ПI1 -«-1) -i}
Если теперь с (а)—число подъемов в последовательности а, то
с(а) =*, + ... +*„-е(а)-<2(а)-1,
и, таким образом, искомое число равно
[хтгФ/&] г-Ч? (гх, г/, г/),
откуда и следует искомый результат.
(б) Положить в п. (а) 1 = 0и/ = 1.
(в) Так как нас не интересует число подъемов, положим в п. (б) г = 1.
Эта подстановка допустима, так как переменная г является отделенной в на-
нашей производящей функции. Однако при этом возникает неопределенность
типа 0/0. Применяя правило Лопиталя (см. [1.1.1]), получаем
lim
Г-»оо
п
п
-1,
2.4.18. (а) Применить замечание 2.4.11 к результату задачи [2.4.17 (а)],
(б) Применить замечание 2.4.29 к результату задачи [2.4.17 (а)].
342
2.4.19. Обозначим через & множество всех перестановок на •/$*„ для всех
в^Ои пусть У — множество всех неразложимых перестановок на Jfn для всех
re^l. Компонентой перестановки О\ ... ап назовем подцепь oj ... Oj, i ^ /,
которая сама является перестановкой на множестве {г, ..., ;}. Тогда представ-
представление
9> .. plfi,..., РА1... pfcifc)
является представлением, сохраняющим длину, где
ai ••• %¦ °ун • • • %+v '••' or*1+-+*ft-i+1'" or*i+-+ift
— минимальные компоненты перестановки ai ... crn, a
P» = CTi1+...+i;_1+;-D+--- + ^-i)' r«e * = L •¦¦,*. / = 1, ...,*,.
Пусть Р(ж) и 1(х)—обыкновенные производящие функции для множеств
0* и Sf соответственно, причем х маркирует длину перестановки как последо-
последовательности. В сплу указанного представления, Р(х) ={1 — 1(х)}~1, т. е. 1{х) вш
«1—Р~1 (х). Однако Р (х) = ~^Цхг, откуда и следует искомый результат.
2.4.20. (а) Пусть Л — множество унитарных многочленов над полем GF(p)
и пусть Г1, гг, ... — неприводимые многочлены из множества Л. Ввиду того,
что каждый унитарный многочлен единственным образом разлагается в произ-
произведение неприводимых унитарных многочленов, мы получаем представление
с^С^г*г*г* ..., при этом пустой последовательности в правой части этого со-
соотношения соответствует единственный унитарный многочлен нулевой степени
в левой части. Пусть М(г) —производящая функция для множества Ж по от-
отношению к степени многочлена и пусть степень многочлена п равняется du
Тогда из указанного представления получаем:
Так как коэффициент при каждой из степеней х", ..., хп~1 в унитарном
многочлене степени п можно выбрать р различными способами, имеем .flf(z)=s
= A—р*), откуда и следует искомый результат.
(б) Логарифмируя обе части равенства из п. (а), получаем
vw/« = S рп*п/п-
Сравнение коэффициентов при z"/re приводит к соотношению 2 imi ~ РП>
откуда следует птп ^ ра, п ^ 1. Таким образом,
птп> рп _ imt ^Рп- ^ Р{ = Рп - (Рп -р)(р- I) =
= р {рп~2 0» - 2) +1} 0» -1) > о,
так как р ^ 2. Следовательно, т„ > 0 и тп ^ 1, так как тп — целое число.
Известно, что поле GF(p') с р* элементами строится исходя из неприводимого
унитарного многочлена степени i над полем GF(p). Таким образом, получили
комбинаторное доказательство теоремы о существовании полей Галуа GF(p*)
любого порядка р* {р — простое).
343
2.4.21. (а) Обозначим через 9*ал множество последовательностей над JPn,
которые начинаются элементом а и заканчиваются элементом I. Пусть
/а,((х, А)—производящая функция для множества 9*а,1, при этом xt маркирует
появление элемента i в качестве члена последовательности, a chj маркирует
появление в последовательности подцепи ij (i, /=1, ..., re). Тогда, выделяя
первый элемент в каждой последовательности, получаем представления
п
^ii= U Wj i. / = 1, ...,ге, 1ф1,
3=1
из которых следует система функциональных уравнений
п
i=i
Ясно, что
г Ск Ml — ГткАм1 / (тг А1
ссс I * ' ' — I* Л J /сс,? * ' '*
(б) Систему функциональных уравнений из п. (а) можно разрешить
с иомощью многомерной теоремы Лагранжа для одночленов (см. 1.2.13). Для
этого рассмотрим неизвестные функции /и, ..., fn,i как степенные ряды от
переменных xh ..., хп с коэффициентами, которые являются многочленами
от aij. Тогда
C(M(k, M) = [AM]([xk]/ai;(x,A)) =
n
ц i—1
n
где ф1 = б1г+ 2 aijfj,i (г" — Д> •••> ге)> а 2 означает суммирование по мат-
i=i ' ц
рицам (i = [n«j]nxn таким, что
1=1 гз ' ia'
Отсюда получаем
ca,(k, М) =
п
,Hl „V-in с * j=l w"
i=l ^il' Pin1
где ненулевой вклад дают члены с 2 IхЦ ~ *i» ПРИ ' ^ '• Из ограничений,
i=i
накладываемых на столбцевые суммы матрицы \i (см. выше) следует, что
п п
2 2^4 = *i+ •" +*п — !• Таким образом, 2 ^г,-= ^г— 1' поэтому
;=i i=i j=i
матрица р. удовлетворяет следующим ограничениям на строчные суммы:
344
в
V ц,у = ki—64г. В то же время матрица М удовлетворяет тем же рграниче-
ниям на строки и столбцы, что и ц, в чем можно убедиться, подсчитывая число
появлений каждого элемента в качестве начального или в качестве конеч-
конечного в подцепях длины 2. Отсюда получаем искомый результат.
2.4.22. (а) Гамильтонов цикл в помеченном орграфе можно представить в
виде последовательности, если указать по порядку номера вершин, через ко-
которые проходит такой цикл. Пусть он начинается (и соответственно заканчи-
заканчивается) в некоторой произвольной вершине I. Тогда такая последовательность
начинается и заканчивается числом I (и больше оно в ней не встречается),
а каждый из остальных элементов множества Jfn в ней встречается в точности
по одному разу. Искомый результат следует из того, что для каждой подцепи
вида ij нашей последовательности имеется dij вариантов выбора ребра графа,
которое может войти в гамильтонов цикл.
(б) Из многомерной теоремы Лагранжа A.2.9) и п. (а) получаем
n
где ф, = 6,-j + if,-, a tp{ = 2^ii'i для г == *> •••> n- Тогда, разлагая определи-
тель по строке I, находим
h(T>) = [fu i... fn, i](fi{\\bi^i- didiW + coUi[&iiti + dafi]nxn}.
В то же время все строчные суммы в [бц^{ + d{jfj]nxn равны нулю, так что
= [/l, J.../n
так как cofccfSij^t — dafj\nxn является однородным многочленом степени п — 1
от /i,;, •••. in, i, а степень f\,i...fn,i равна п. Разлагая алгебраическое до-
дополнение по формуле для определителя суммы матриц (см. 1.1.10 D)), получаем
Ц
откуда и следует искомый результат.
2.4.23. Замкнутый эйлеров маршрут в помеченном орграфе можно пред-
представить в виде последовательности, получающейся в результате перечисления
по порядку номеров вершин, через которые проходит такой маршрут. Пусть
его начальной и соответственно конечной вершиной будет некоторая верши-
вершина I. Тогда последовательность будет начинаться и заканчиваться элементом -I,
каждая подцепь вида ij в ней будет встречаться ровно dij раз, а каждый эле-
элемент i в ней будет встречаться Ъг +бп раз (i, / = 1, ..., и). Таким образом,
в обозначениях задачи [2.4.21], имеется ci,j(b + 6j, D) таких последовательно-
последовательностей, где б; =, Fк, ..., б„,).
Но так как все ребра в маршруте различны, а представляющая его после»
довательность может начинаться с любого из bi возможных появлений вер-
вершины I, то из [2.4.21F)] получаем
Раеложение определителя по 1-й строке дает:
e(D) = (b — iy.iWisbi-di
Однако в матрице [Stjbt— <2<j]nxn строчные и столбцовые суммы равны
нулю, следовательно, \\8tjbi — dtj\\ = 0, откуда и следует искомый результат.
2.5.1. (а) Из 2.5.5. получаем, что число разбиений числа п на части разлрч-
ной величины равно
Un] П A - ?2i) П d - Л = t*ni П (i
Однако из представления 2.5.2 следует, что это же выражение определяет
ло разбиений числа га на части нечетной величины.
(б) Пусть а е=» (аь ..., а*) является разбиением числа п на части различ-
различной величины, где а3- = of?\ tj > 0, Oj — нечетно (/ >== 1, ..., к). Если р — раз-
разбиение, содержащее 2 3 частей, равных oj (/ ,=¦ 1, ..., к), то р является разбие-
разбиением числа га на части нечетной величины. Хотя все о; не обязаны быть раз-
различными, указанная конструкция является обратимой, так как число по-
появлений в разбиении каждой из различных частей разбиения можно единст-
фннын образом представить в виде суммы различных степеней числа 2. Теи
фмым устанавливается искомое взаимно однозначное соответствие.
(в) Число разбиений числа га на части, не делящиеся на т, задается сле-
следующей формулой:
№ Ц A - ч*)-1 = кп] П A - tmi) П A ~ з') =
= un\ n (i - ?mi) (i - з4)=un] ПA+«ч?2ч...+9(m-ni)-
Из этой формулы ясно, что полученное число совпадает с числом разбиений п,
в которых ни одна часть не встречается более, чем т — 1 раз.
2.5.2. Множество разбиений, в которых более одного раза могут встречать-
встречаться лишь части нечетной величины, можно представить в виде A*){е, 2}C*) X
X {е, 4}... Тогда число разбиений числа га, имеющих указанное свойство, 8а-
дается формулой
= [9я] Д A ~ 5"j) A - Л = [^ П ^ + 9* +
346
Из формулы ясно, что полученное число совпадает с числом разбиений п, в ко-
которых ни одна часть не встречается более трех раз.
2.5.3. Разность между числом разбиений п на четное число частей и числом"
разбиений п на нечетное число частей равна
S (№2i) - unt2i-4) п (i - 'в*)-1=ш п A - (-1) 9й)'1 =
i>l fe^l й>1
= Г?"] П d - «*> <* - 92") = Г?
В то же время число разбиений числа п на m различных частей нечетной ве-
личипы равно [qntm] JJ (l + tjM'—1). Если теперь число п четио, то и го долж-
но быть четным, а если п нечетно, то и т нечетно. Следовательно, число раз-
разбиений п на различные части нечетной величины определяется формулой
(— 1)п [зп] ТТ (l — g2^). Очевидно, что найденные величины могут раЗЛИ-
чаться только знаком и, следовательно, их абсолютные величины совпадают.
2.5.4. Пусть а — разбиение числа п, в котором не встречаются последова-
последовательные целые числа. Тогда сопряженное разбиение а является разбиением чи-
числа п, в котором ни одна часть не появляется лишь по одному разу. Так как
это соответствие обратимо, получаем искомый результат.'
2.5.5. (а) Число разбиений п, в которых каждая часть встречается 2, 3
или 5 раз, равно
ип] П A + 92i+i3i+*&i) = tenJ П d+
= Un] П A - 94i) A - 92*)-1 A - 96i) A - I3')-1 =
= kn] П A ~ 4i?) П A - 22?') П d - в6") П A - 93') =
= un\ n (* - s4^2) П
Однако эта же величина дает число разбиений п на части, сравнимые с 2, 3,
6, 9 или 10 по модулю 12.
(б) Число разбиений п, в которых каждая часть может встретиться а, Ь
или а + b раз, равно
= И П <* + в") A + 2М) =
i
Заметим однако, что для а и & из условия задачи равенство а Bк + 1) =
= 6B/ + 1) не выполняется ни для каких значений параметров / и к. Отсюда
сразу следует искомый результат.
347
2.5.6. Число разбиений ге, в которых ни одна часть не встречаетси лишь
по одному разу, равно
[fln] П A - ** + 92i> (* ~ «О = Г?"! П A + «*> d +
1
Это совпадает с числом разбиений re, которые не имеют частей, сравнимых с
1 или 5 по модулю 6.
2.5.7. Число разбиений ге, в которых наименьшая часть встречается лишь
один раз, а наибольшая часть не более чем вдвое превосходит наименьшую,
равно
2т
2m
- з)-1 - О П d - з') =
i+
2m—i 2m
П * П
{2i 2 1
2 П (I-?*)'1- 2 П (i-?1) =
^ i >l j J
П
i=m
{2m—i гг—г
S П d-9i)-1-2I
{2m—2 1
A ~ «Г1 + 2 {A - S2™-1)-1 - 1} П (! - 91) =
m>2 i=m j
{2m-i 4
i+Sff11" П d-лЧ
Последнее выражение дает число разбиений ге, в которых наибольшая часть не-
нечетна, а наименьшая — больше, чем половина наибольшей части.
2.5.8. Пусть F (q, у) =2/ (г> ") 9*У* = A — У?)" Ц(* — 97")» гДе 1(h ») —
г,П 3>2
число разбиений числа ге с i частями, равными 1. Тогда сумма числа ча-
частей, равных 1, по всем разбиениями числа п равна
if (i, n) = [дп] _ F (д, у) | , = [qn] д A — 9) ТТ (l — ?г)~1.
Аналогично, положим G (д, у) — 2 ? (г> ге) ^г9п = Ц (l + УЧ^ A — З3'))»
i,n>o j,>i
где g(i, и)—число разбиений ге, имеющих i различных частей. Тогда сумма
348
числа различных частей по всем разбиениям числа п равна
Таким образом, эти две величины равны между собой.
2.5.9. Воспользуемся представлением 2.5.12, маркируя части переменной z,
а величину наибольшей части — переменной w. Квадрат Дёрфи Dm содержит
т2 точек и соответствует разбиению на то частей с наибольшей частью, рав-
равной то. Таким образом, производящая функции длн Dm равна<гт 'zmwm. До-
Добавление к квадрату элемента пз Qm не увеличивает наибольшую часть, а влия-
влияет лишь на число частей, поэтому производящая функция для Qm равна
т
JJ (l — zg1)". Добавление к квадрату элемента из Шт не увеличивает чпсло
1=1
частей, а влияет лишь на величину наибольшей части. При этом если к вели-
величине наибольшей части разбиения из 9Lm прибавить то, то получается величи-
величина наибольшей части исходного разбиения. Таким образом, производящая функ-
т
ция длн S?m равна JJ (l —i»gl)—1. В результате получаем, что число разбие-
г=1
ний п на I частей с наибольшей частью, равной к, равно
A ~zq) ... A - zqm) (I - wq) ... (l-wqm)
Найдем другое выражение для этой же производящей функции. Для этого
рассмотрим разбиения с наибольшей частью, равной т, и применим представ-
представление 2.5.6. В производящую функцию наибольшая часть дает вклад, равный
zqmwm. Остальные части не влияют, разумеется, на величину наибольшей ча-
часта, поэтому соответствующий им вклад в производящую функцию равен
т
JJ A — гдг; Ч Поэтому число разбиений числа п на I частей с наибольшей
г=1
частью, равной к, есть
Сравнение этого выражения с предыдущим дает искомый результат.
2.5.10. Воспользуемсн представлением 2.5.16, маркируя число частей раз-
разбиения с помощью переменной z, а величину наибольшей части — с помощью н\
/ire + l\
Треугольник Тт содержит I I точек, и соответствующее разбиение имеет
то частей, наибольшая из которых равна т. Таким образом, производящая
функция для Тт есть q^ 2 ^zmwm. Добавление к треугольнику элемента из
множества S?m не изменяет число частей разбиения, а влияет лишь на величину
349
наибольшей части. Соответствующий вклад в производящую функцию поэтому
т
равен Ц (l — wql)~l. В результате получаем, что число разбиений числа п на
I различных частей, с наибольшей частью, равной к, определяется формулой:
(т+1\
(i — wq) ,..{i-wqm)
Найдем другое выражение для этой же производящей функции. Для этого pac-j
смотрим разбиение с различными частями, наибольшая из которых равна т.
Вклад в производящую функцию, соответствующий наибольшей части, равен
qmzwm. Остальные части разбиения на величину наибольшей части не влия-
влияют и, следовательно, соответствующий им вклад в производящую функцию
т-1
равен Ц (l + zg1). Таким образом, число разбиений п на I различных частей
с наибольшей частью, равной к, задается формулой
[qnwkzl] У, qmzwm A + zq) ... (l + z?).
Сравнение этой формулы с полученной выше дает искомый результат.
2.5.11. Пусть F(x) = 11 A — xqk)~l. Тогда из 2.5.9 получаем
*(*) = !+ Ц ^ П A - Я'Г1.
3>1 1-1
а из 2.5.17 следует, что
П d - ?г)~1-
Применяя теперь бисекцию рядов, устанавливаем, что левая часть рассмат-
рассматриваемого тождества равна
в то время как правая его часть равна
r'tf-'t-»*) -F-^UtfiiF-H-tx) +F~1(ix)}-\
где г2 = —1.
Однако последнее выражение можно получить из предыдущего, если до-
множить его числитель и знаменатель на Р~1(гх)Р~1(—ix). Отсюда следует
искомый результат.
2.5.12. Если в нашем разбиении имеется а\ частей, равных 1, то в нем не
должно быть ни одной части меньшей, чем а\ + 1, и при этом обязательно
должна встретиться хотя бы одна часть, равная а! + 1. Далее, если имеется аг
частей, равных at + 1, то не должно быть никаких частей, меньших («и + 1) X
X («2+l)i кроме, разумеется, уже упомянутых. Продолжая эти рассуждения
дальше, получаем, что если в нашем разбиении имеется ai частей, равных 1,
350
й2 частей, равных (а\ + 1), и т. д. ат частей, равных (oi + 1)- ... "(om-i + 1),
то следующая по величине часть должна равняться (ai + 1) •... • (ат + 1).
Таких частей можно взять ат+и где om+i — произвольное целое число, не мень-
меньшее 1. Таким образом, совершенное разбиение числа п должно содержать по
i-l k
щ — i частей, равных JJ«j (г = 1, ..., к), где TJ п. — 1 = п и п{ = а-г +1 >2,
i=i з=1
2.5.13. Пусть 3) множество разбиений с различными частями и пусть 41 —
множество разбиений («i, ..., аг), для которых или s(a) = d{a) = г, или
s(а) — 1 = d(а) = г для г^ 1. С разбиением ae2> —^ свяжем разбиение
а' е й5 — ^ следующим образом.
Случай 1. Пусть s(a) <d(a). Тогда а' получается из а, если удалить
наименьшую часть разбиения а, равную s(a), а затем увеличить на 1 первые
s(a) частей этого разбиения.
Случай 2. Пусть s(a) > d(a). Тогда а' получается из а, если умень-
уменьшить на 1 первые d(a) частей разбиения а и добавить затем новую (наимень-
(наименьшую) часть, равную d(a).
Полученное в результате представление 2) — °и^ф — <2?:a>-*a' назы-
называется представлением Франклина. Пусть F (Р") — производящая функция для
множества разбиений SP, в которой сумма частей разбиения маркируется с по-
помощью д, а число частей — с помощью (—1). У разбиений а и а' суммы частей
одинаковы, а четность числа частей у а и а' — «противоположна». Тогда по
представлению Франклина получаем F(?E) — 1С) = —F{2D — <Щ, откуда следует,
что FC> — <Щ = 0, т. е. F(&) =F{°U). Однако
Ш
= 2 (- I)*"
так как для принадлежащих Ш разбиений а с г частями суммы частей равны:
2Г-1
'=4-г<3г-1)' если
2Г
2) "V i=_LrCr+l), если «(а) — 1 = d (а) = г.
2.5.14. (а) Из тождества Якоби для тройного произведения получаем:
п
= (i - w)-1 {i + 2 «({2) ((
351
где М= \^/т\. Положим у = q~\ тогда
м
{
М
{
с м м-i
2 2(-dV('+1)+2
^l U=l k=l
Заменяя теперь g2 на q, получаем искомый результат.
(б) Из п. (а) получаем
Ненулевой вклад в [qn]F(q) при n = 0(mod 5) получается лишь при том ус-
ловип, что
1 + — т (Зт — 1) + — к (к + 1) в 2 (т — IJ + Bfc + IJ = 0 (mod 5).
Но для этого необходимо, чтобы т —1 = 0(mod 5) и 2к +1 = 0 (mod 5). Следова-
Следовательно, число (—1)*+тB& + 1) (соответствующий вклад в [qn]F(q)) кратно 5.
Таким образом, [qn]F(g) делится на 5 для всякого rc==0(mod5). Далее,
q JJ (l — ?г)~х = F (q) JJ (l — gfe)~5. Однако, в силу свойств полиномиаль-
ных коэффициентов, все коэффициенты ряда f JJ (l — З^)"!5 делятся на 5,
\ J
кроме тех, которые стоят при д5М/^0). Таким образом, коэффициент
gJJ(l — g1) = р E/ — 1) должен делиться на 5, т. е. рEгс + 4)н=
l(mod 5).
(в) Воспользовавшись тождеством из п. (а), находим, что
G (9) =д
2 2 (- l)*+i B* + 1) B/
Ненулевой вклад в [qn]G(q) получается лишь при
2 + -гг * (А + 1) + \ I 0 + 1) » B* + IJ + B/ + IJ « 0 (mod 7),
а следовательно, при 2к + 1 = 0(mod 7) и 2/ + 1 = 0(mod 7). Но сам вклад ра-
равен (—l)ft+*Bfc+ 1)B/+ 1), и он, как мы видим, должен делиться на 7,
352
Поэтому число 7 является делителем числа [q7i]G(q) (i^O). В то же время
q2 JJ (l — g1)" = G (q) (JJ (l — qr)~lX'', откуда аналогично п. (б) заключаем,
что Wl] q2 JJ (l — ?г)—1 = р Gг — 2) делится на 7. Таким образом, р Gге + 5) =
7).
2.5.15. (а)
f (*?) = П ^ - *?i+1)=Д (* - 'г1) = (* -
(б) Из п. (а) следует, что 2 с (г) 'V = (* ~ ') 2 с (г) '*• Сравнивая ко-
эффициенты при tn, получаем с(ге)д™ = с(ге)—с(ге—1) (re^l) и, следова-
следовательно, с(ге) = A — 5п)-'с(ге— 1) (п ^ 1), с@) = 1. Таким образом,
IV IV
c(n) = c @) JJ A - q1)-1 = П A - ?')~\ n>l-
2.5.16. Положим F (t) = Д (l - atq1) (l - tq1)-1 = 2 c @ '*• ТогДа
F (г?) = JJ (l — o«gi+1) (l — tq**-1)~1 = (i — i) (i — агр1 f (г),
i>0
откуда A — at)F(tq) = A — t)F(t). Применяя теперь способ Эйлера, получаем
с (re) = A — aqn-*)(l — qn) -'с (re — 1), re Js 1,
и с@),= 1. Таким образом,
с (и) = с @) JJ A - о?*-1) A - 9*)-1,
откуда и следует искомый результат.
п
2.5.17. Положим Fn (t) = JJ (l — tq1)-1 = 2 cn (*)г?1# ТогДа
Fn (tq) = JJ (l — tq^1)—1 = A — i)(l~'9n"')~1 ^"n (')¦
откуда A — гд"-+1)^п(<?) = A — t)Fn(t). Применяя теперь способ Эйлера, по-
получаем
сп(т) = A — qn+m) A — qm)~lcn(in — 1), т ^ 1, с„@) = 1,
откуда сп (к) = JJ (I - qn+i) A - в1)-
В то же время сп (к) = [tk] Fn (t) = Д] U3] J[(i- tq1)-1, т. е. с„(А)
j=O i=l
совпадает с производящей функцией для множества разбиений не более, чем
на к частей с наибольшей частью, не превосходящей ге. Многочлен сп(к) на-
называется гауссовым коэффициентом. Более подробно он будет изучен в § 2.6.
23 я. Гульден, Д. Джексон 353
2.5.18. Положим
—oo
f (fl = П d + чгп~ч) A + г2*) A - з2т) =
m>l
Тогда
* (*32) = П A + 32m+1') d + З27"-3') A ~ ?2m) =
= A + gi) A + 9" 1<~1) * @ = g* * (*)•
Применяя способ Эйлера, получаем с(ге + 1) = c(n)g2n+1, n^sO. Кроме того,
в силу симметрии с(—п) = с(п). Тогда
с (и) = с @) П g2i+1 = с @) <?(п2), ге>0.
i = 0
Далее, учитывая 2.5.17 и 2.5.14, находим, что
с (о) = [f°] f (t) = Ц A - ,*•) ^ Я*'] П A + ч21-^) X =
= П D - ?2m) fi + S ?2i2 Д D - ?2i)-2) = П D - ?2т)ПA - ?2/)-J=i.
Таким образом, с (re) = q^ при ге > 0, а с (— л) = д(п^= g^~nJ\ т. е. с(г) =
= д^* ' для всех i, что и требовалось.
2.5.19. (а) Результат непосредственно следует из 2.5.24, если в тождестве
Якоби заменить q на qa и положить у = — <Д где
1) а = -тр, р = -g-; 2) а = -тр, Р = —.
(б) Положим Р (х) = JJ (l—ждг) и пусть G(x) обозначает левую
часть доказываемого тождества. Тогда
Р (х) G (х) =
D)
Представим 1 — гд2п в виде A —g")+g"(l — xqn); полагая т = ге + 1,
получим
G (*) = 1 + У (- 1)т Ж2т mEm-i)/2 (*-*<?) •••(!-У1"
4f A-Й...d-ff"
f— i\n а.2П п(БП+1)/2 A—gg) ••• (l — a?") _
( <1)<1Л
Положим, далее, D — P(x){G(x)—G(xq)}. Пользуясь выражением B) для
354
P(x)G{x) и выражением A) с заменой х на хд для P(xq)G(xq),находим
D = У (- 1)»я2пдпEп+1)/2 (*-*<?) •••(! —*9") {l_a:Vn+2-Sn(l-a:S2n+1)}.
A)(!")
Однако
и тогда, полагая т = п-\-1 и вновь используя A), получаем
Г)— V /— П"» ,-2т„тEт + 1)/2 A — Xg) ... (l — Ж?) ^
f_ i\n гп nEn+7)/2 A — хд) ... A — ж?пн
Таким образом, G(x) = G(a;g) +ждС(жз2) и G@) = 1. Пусть С(ж)
применяя способ Эйлера, находим
с„ = ?*»-'(l-9n)-'c»-i, »^1; со = 1.
а п
Таким образом, сп = д^п ' JJ (l — g1)"! откуда и следует искомый результат.
1=г
(в) 1) Подставляем в формулу из п. (б) ж=1; тогда
1 l
= П A - З') /1 + S (~ «* 3П(бП-1)/2 A ~ 92") A ~ 9")-11 =
11
J
-ei)~1{ S (-i
n силу того, что A — g2") A — g")~!=l + gn. Искомый результат следует те-
теперь из тождества 1) п. (а).
2) Положим в п. (б) х = q; тогда
ЙA - gj)-x /I + 2 (~ D" ?nEn+3)/2 A - ?2n+1) A - q)'1] =
= Д A - g') /l - Q + 2 (~ !)" 3ПEП+3)/2 A - 32n+1)
Т» U--00 J
Искомый результат следует теперь из тождества 2) части (а).
2.6.1. Если, как в алгоритме 2.6.2, перестановки а = Q\... an+i наХп+| полу-
получать из перестановок а на Jfn, вставляя в а элемент п + 1, то можно заметить,
23* 355
что п + 1 оказывается выдающимся лишь в том случае, когда п + 1 вставляет-
вставляется после Я т. е. при an+i = п + 1. Если /„(?) —производящая функция для
множества перестановок на Я'п, где q маркирует выдающиеся элементы, то из
нашего замечания следует, что
/„+,(?) = (n+q)fn(q).
n-l
Так как fi(q) = q, то fn(q) =IJ (i + i), откуда и получается результат.
2.6.2. (а) Перечислим упорядоченные разбиения множества JTn типа
(то, к—то, п — к) относительно числа межблочных инверсий. Это можно сде-
сделать двумя способами. С одной стороны, межблочные инверсии, образованные
элементами (ге—к) -множества с остальными элементами, перечисляются с по-
помощью производящей функции I I , а межблочные инверсии, образованные
\ к I q
элементами то-множества и (к — то)-множества, перечисляются с помощью про-
(к \
) . Таким образом, производящая функция для меж-
mjq
(п\ (к\
блочных инверсий равна I . С другой стороны, инверсии, образован-
V к/q\mfq
ные элементами то-множества с остальными элементами перечисляются про-
(п\
изводящей функцией , а инверсии, образованные элементами (к — т)-
\rnjq
(п — то\
множества и (п — &)-множества,— производящей функцией . Таким
\к — ТО/д
образом,
1п\ 1к\ (п\ (п-т\
\kjq\mjq \m)q\k — mjq'
(б) Из п. (а), используя лемму 2.6.9, получаем
, \ п-т-Л
-С), й A-Л=
2.6.3. (а) Подсчитаем число упорядоченных разбиений Jfn типа {п — к, к)
по отношению к межблочным инверсиям. Соответствующая производящая
фупкция равна I 1 = I I . Получим для нее другое выражение. Для
\ге — к I q \к /q
го рассмотрим положение, которое занимает элемент п. Если п лежит в (п— к)-
множестве, то это дает к межблочных инверсий, так как п больше любого
/ п — 1
элемента из й-множества. Вклад остальных элементов равен I
это-
I
\п — к—
In — 1\
= I I . Таким образом, общий вклад в нашу производящую функцию в
\ к jq
ь fn—i\
этом случае равен q \ I . Если же элемент п лежит в й-множестве, то
\ к J q
межблочные инверсии, включающие этот элемент, отсутствуют. Остальные же
356
элементы
/ге-1\ (n—i\
дают в производящую функцию вклад, равный = I .
\П — к I q \к — l/q
Тем самым приходим к искомому результату.
(б) Подсчитаем число упорядоченных разбиений Jfn+m+\ типа (то+1, га)
по отношению к межблочным инверсиям. Соответствующая производящая функ-
/ге +то +1\
ция равна I I . Чтобы получить другое выражение, для этой функции
V то + i Jq
рассмотрим максимальный элемент (то + 1)-множества. Этот элемент равен
то + &+1, где к может принимать любое из значений 0, 1 га. Если т +
+ к + 1 — максимальный элемент (то + 1)-множества, то ге— к элементов, а
именно то + & + 2, m + fc + 3, ..., то + га + 1 лежат в re-множестве. Эти эле-
элементы не дают вклада в производящую функцию для межблочных инверсий,
так как они превосходят любой элемент (т + 1)-множества. Элемент т + к + 1
входит в к межблочных инверсий, так как он больше любого из к остальных
элементов га-множества. Далее, элементы 1, 2, ..., то + к образуют упорядочен-
упорядоченное разбиение множества Л"т+ь типа (то, к), и соответствующий вклад в нашу
(т+к\ „
производящую функцию равняется I , т. е. при данном к общий вклад
\ к Jq
k(m-\-k\
равняется д I I . Суммируя по к, приходим к искомому результату.
V к Jq
(в) Подсчитаем число упорядоченных разбиений Л°а+ь типа (п, а + Ь — п)
по отношению к межблочным инверсиям. Пусть re-множество содержит к эле-
элементов множества Jfa и п — к элементов множества Л*0+ь — Jfa. Тогда (а + Ь —
— ге)-множество содержит а — к элементов множества Jfa и Ь + к — п элемен-
элементов множества JVа+ь — Jfa. Так как любой элемент из Л"а+ь —fa больше лю-
любого элемента из jTa, то соответствующие элементы fc-подмножества в «-мно-
«-множестве и (Ъ + к — ге)-подмножества в (а + Ъ — ге)-множестве не образуют ни
одной пары межблочных инверсий. В то же время элементы (ге — ^-подмно-
^-подмножества и (а — к)-подмножества в соответствующих множествах образуют
(п— к) (а — к) таких инверсий. При этом fc-подмножество и (а — к)-подмно-
к)-подмножество образуют упорядоченное разбиение Jfa типа (к, а — к), что дает в нашу
I а\
производящую функцию вклад, равный 1,1, а (п — к)-подмножество и
\ к Jq
(b + к —ге)-подмножество образуют упорядоченное разбиение Л"а+ь — Л"а ти-
типа (га— к, Ъ + к — га), и соответствующий вклад в нашу производящую функ-
Ь
цию равен , . Таким образом, в случае, когда в re-множестве содержится
\n-kjq
к элементов множества Jfa, общий вклад в производящую функцию равен
q(a—hKn—h) I \ I \ Суммируя теперь по всем значениям к, получаем
\к lq\n — kjq
искомый результат.
2.6.4. Если в 2.6.11 положить г = 1, у = 0 и х = —и, то получим
2п /От /t\ 21—1
2 * »l*(t)=n<i + -A
Теперь бисекцией по в находим
гп— г
Отсюда, положив и = 1, получаем искомый результат.
357
2.6.5. (а) Из 2.6.12 A) получаем
+l\ n f п \ /п
2 ' У 0(n-iX»+ft-i) / п | I n
a
где к = т — I, J = п — I. В силу [2.6.3 (в)], это равняется
Заменяя в полученном выражении д на д1, а затем х на xq~\ приходим к
искомому результату.
(б) Переходя в п. (а) к пределу при ге-»-оо и используя результат 2.6.13,
получаем
откуда и следует искомый результат.
2.6.6. (а) Положим G(t) = Ц{1 — t A — ?) ?*}. Из тождеств 2.6.14 A, 2)
получаем
откуда и следует искомый результат.
(б) Положим A (t) = 2 V^'g. B @ = 2 bkth/k{q- Из п- (а) следует,
f ГМ 1
что если A(t)=B (t) 2 <Vf!g, то В (t) = 2 (~ 4)* ? *Vi!g Л (г). Ис-
комый результат получается теперь, если применить оператор [tnln\q] к обеим
частям этого равенства. Функция A (t) называется эйлеровой производящей
функцией для последовательности {о0, аи ...}; комбинаторные свойства этой
функции будут изучены в гл. 4
F()tn
= JJA—tql) J(l — xtg1)*1, где пос-
леднее равенство следует из п. (а).
П \
(г) В обозначениях п. (в) 2 ( (~ ^У sa^n (~ *)• Однако
rl f*(~r ^=п(i - 9it)"x (i+^~'=п (i - ^2^2)-! -
A — 9) • • • A — 1 ) 1>о г>й
т
= 2 '
г=1
358
где первое равенство следует из п. (в), а последнее — из п. (а)'. Сравнивая
коэффициенты при tn, находим
j«i i=i i=i
и F2m+i(—1) = 0 при m > 0.
2.6.7. Пусть (/ь /2, ..., /до)), где 1 < /« < /г < ... < //«,) < ге,— множество
эначений индекса i, для которых а< > at+i. Назовем это множество множест-
множеством спадов перестановки а. Заметим, что /i + /2 + ... +/до) = т{а).
(а) Если элемент ге + 1 помещен слева от а, то множество спадов пере-
перестановки ~а есть A, /, + 1, ..., //(а) + 1), поэтому тE) = 1 + (]{ + 1) + ...
(б) Если элемент ге+ 1 помещен между элементами, образующими г-й (счи-
(считая справа) спад перестановки а, то множество спадов перестановки а равня-
равняется Qi, U, ¦¦¦, //с)-*, hm-t+i + l, ¦¦¦, //(о) + 1), поэтому to(o)=/i + ...
... + /,«,)_< + (//(<.)-<+! + 1) + • • • + (//(«) + 1) = m (а) + «, где г = 1, 2, ...
..../(а).
(в) Если элемент ге +1 помещен между элементами аг и аг+ь образующи-
образующими г-й (считая слева) подъем перестановки а, то множество спадов перестанов-
перестановки а имеет вид (/i, ..., /г, I + I + 1, /г+i + !,••-, /до) + 1), где I = г— г —число
спадов слева от ar @<Z</(a)). Тогда то(а) = и + ...+/« +(? + г + 1) +
+ (/i+i + l)+ ... + (//(.>+1)-»»(о) +(» + 1+1) + (/(о)-I) = т(а) +
+ f(o) + i + l дляг = 1, ..., ге-/(а)-1.
(г) Если элемент ге + 1 помещен справа от перестановки о, то множество
спадов перестановки а совпадает со множеством спадов а, т. е. т(а) = т(а).
(д) Пусть gn(q)—обыкновенная производящая функция для множества
перестановок на JCп по отношению к старшему индексу. Из пунктов (а) — (г)
следует, что для перестановки о, получаемой вставкой в а элемента п + 1 спра-
справедливо равенство то (а) = т(а) + i (i = 0, 1, ..., ге). Тогда
*»+l(fl= S 5m(°>= 2 2
Так как gi(g) = 1, то в результате получаем
2.6.8. (а) Пусть a — одна из наших последовательностей и пусть a s JVn —
номера мест, на которых в последовательности о стоят элементы, равные 1.
Тогда число инверсий в о равно числу межблочных инверсий в упорядочен-
упорядоченном разбиении (a, Jfn — а), имеющем тип (к, п—к). Таким образом, число
'«О,-
последовательностей с то инверсиями равно \q \\ ] —числу упорядоченных
v * I q
разбиений Jfn типа (ft, ге — к) сто межблочными инверсиями (см. [2.6.6 (г)]).
(б) В силу п. (а), производящая функция для @, ^-последовательностей
/ п \
с к единицами иге — к нулями по отношению к инверсиям равна I . Если
\К /q
359
последний элемент такой последовательности о равен 0, то он входит в к ин-
инверсий (по одной для каждой из к единиц, содержащихся в о). Если отбросить
этот элемент, то оставшаяся последовательность будет содержать к единиц и
(п — к — 1) нулей, и се вклад в производящую функцию для инверсий равен
) . С другой стороны, если последний элемент о равен 1, то он не образу-
к /д
ет инверсий ни с одним из оставшихся элементов о. Вклад в производящую
(n-i\ _
функцию, вносимый этими оставшимися элементами, равен I I . Таким
\к — 1/д
образом,
к
' — i/<7
(в) Производящая функция для @, ^-последовательностей длины i + б с
(а+Ъ\
п единицами по отношению к инверсиям равна . Предположим, что
\ П Iq
среди последних а членов такой последовательности имеется к единиц и о — к
нулей. Тогда среди остальных 6 членов этой же последовательности содержат-
содержатся ге — к единиц и 6 -\- к — п нулей. Инверсии среди последних а членов пе-
перечисляются производящей функцией ,а инверсии среди первых Ъ чле-
\ к Iq
нов —функцией I I . Кроме того, имеется еще (а — к) (п — к) инверсий,
\ ге — kjq
так как каждая из re — fr единиц, содержащихся среди первых 6 членов по-
последовательности образует инверсию с каждым из о — к нулей, содержащимся
среди последних а членов. Таким образом, при данном к общий вклад в про-
производящую функцию равен q<-a~h'>l-n~h'> ( I I ] . Суммируя по к, при-
\к Jq\n — k/q
ходим к искомому результату.
2.6.9. (а) В доказательстве предложения 2.6.13 было получено число упо-
упорядоченных разбиений A'm+i типа (то, i) с п межблочными инверсиями:
т U ?! Pm»o
P1+...+pm<t
где Pj = otj — 1 (/ = 1, ..., m). Однако, если pm + 2?Sm_, + ... + m^ = n, то
набор (Pi, ..., pm) можно связать с разбиением числа re, содержащим р< частей
величины т+1 — i (j = 1, ..., т). Таким образом, паибольшая часть этого
разбиения не превосходит т. Кроме того, так как Pi + ... + Pm s? f, наше раз-
разбиение содержит не более I частей. Из сказанного легко следует искомый ре-
результат, который согласуется с [2.5.17].
(б) Пусть а — разбиение, содержащее i + 1 частей, с наибольшей частью,
равной т+1. Если у соответствующего графа Феррера F(a) удалить первый
столбец и первую строку, то оставшемуся графу соответствует некоторое раз-
разбиение, содержащее не более i частей, наибольшая из которых не превосходит
т. Так как в удаленных строке и столбце F(a) содержится всего то + i -\- 1
точек, то искомый результат следует из п. (а).
2.6.10. (а) Из [2.6.9 (а)] следует, что разбиения, содержащие не более п — к
частей, каждая из которых не превосходит к, перечисляются производящей
360
функцией ( ] . Если наибольшая часть разбиения равпа в точпости к, то дру-
гих частей не больше, чем п — к — 1, и каждая из них не превосходит к.
В этом случае разбиения перечисляются функцией qk{ • Остальные раз-
V к Jq
биения содержат не более га — к частей, каждая из которых не превосходит
/га — 1\
I
/га 1\
к — 1, и им соответствует производящая функция I I • Таким образом,
\к -— 1/о
О.-'Ст1
» —1
(б) Рассмотрим разбиения с различными частями, каждая из которых не
превосходит га. Производящая функция для множества этих разбиений равна
п
(l + ?t;c)> гДе х маркирует число частей. Если разбиение содержит ровно
i l
к частей, то его можно получить в результате сращивания по строкам макси-
максимального треугольника Тк и некоторого разбиения, содвржащего не более к
частей, каждая из которых не превосходит га — к.
/fe+l\
Так как Тн представляет собой граф разбпсния числа I 9 I, производя-
щая функция для рассматриваемых разбиений с к частями равпа <р
Суммируя по к, получаем искомое тождество.
(в) Вновь рассмотрим разбиения, в которых все части различны н не
превосходят п. Если х маркирует число частей, a w маркирует величину наи-
наибольшей частп, то производящая функция для таких разбиений с наибольшей
i-l
частью, равной i, имеет вид u>''qix Jj (l -J- q3x). Суммируя по i, получаем про-
3-1 п . . К1
лзводнщую функцию для всех таких разбиеппй: 2 u>lg*a: j? ^ "Ь?^)- Если
разбиение из рассматриваемого множества содержит ровно к частей, то его
можно получить в результате сращивания по строкам Т\ и некоторого разбие-
разбиения, содержащего не более /; частей, наибольшая из которых равна I (I при-
принимает одно из значений 0, 1, ..., п—к). Разбиениям с числом частей не бо-
более к, у которых наибольшая часть равна I, отвечает производящая функция
• — 1\
(см. [2.6.9 (а)] и решение [2.6.10 (а)]), а треугольнику Г& —
. !ч
функция wh I I xh. Суммируя вначале по I, а затем по к, приходим к ис-
комому результату.
2.6.11. Пусть <x,j — число единиц, которые в пашей последовательности сле-
следуют за /-м нулем (; = 1, 2, ..., п—к). Тогда к ^ cti ^ а2 ^ ... ^ Kn-ft ^ 0,
и, таким образом, (аи а2, ..., <Хп-ь) является разбиением числа «i + а2 +...
... + an_ft не более, чем на га — к частей (так как а„_я и несколько предыду-
предыдущих частей могут равняться нулю). Каждая часть не превосходит к. С дрзтой
стороны, «1 + а2 +... + ап-к представляет собой площадь, ограниченную гра-
графиком пути, осью х и прямой х = к. Таким образом, пути, ограничивающему
площадь, равную тп, соответствует разбиение числа m не более, чем нага — к
361
частей, каждая из которых не превосходит к. По [2.6.9(а)] число таких путей
равняется lq
2.6.12. Элементы векторного пространства Vn(<7) размерности га над полем
GF(q) можно записывать в виде (х\, х2, ..., х„), где х\, ..., xn^GF(q).
(а) Обозначим через fm,n(q) число различных наборов по т линейно не-
вависимых векторов пространства Vn(g). Если задано множество из т линейно
независимых векторов, то в Vn(g) имеется qm векторов, которые можно предста-
представить как линейные комбинации т заданных векторов и, следовательно, имеет-
имеется дп — qm векторов, которые не представляются в таком виде. Таким образом,
/m+i,n(g) = (qn — qm)fm,n(g), и при этом fi,n(q) = qn — 1. Отсюда следует,
что число различных наборов по т линейно независимых векторов равно
/».»(?) = (qn-1)(?"-q) ¦•• (qn-qm)-
(б) Каждое m-мерное подпространство определяется набором из т линейно
независимых векторов (базисом), а всего таких наборов в нем имеется /m,m(q)
(в обозначениях п. (а)). Поэтому число m-мерных подпространств пространст-
/ п\
ва \n(q) в силу п. (а) равно f n (q)Hm<m (?) = •
\rnjq
2.6.13. По [2.6.12F)] число А:-мерных подпространств пространства Vn(g)
равно I I . Перечислим эти подпространства по-другому. Зафиксируем нену-
\ к I q
левой вектор v. Пусть (i»i, ..., vn-i, v) — некоторый базис пространства Vn
и пусть (pi, ..., Pn-i)—базис пространства Xn-i — (га — 1)-мерного подпрост-
подпространства пространства Vn. Все fc-мерные подпространства \и, содержащие век-
вектор v, обладают тем свойством, что V& f| VB-i является подпространством прост-
пространства Vn-i размерности (к — 1). Из [2.6.12F)] следует, что имеется всего
/п-1\
таких подпространств. Рассмотрим теперь те подпространства >*,
(
\к — jq
которые не содержат вектора и. Пусть е\, ..., eh — базис такого подпространст-
ва, где si = 2 xijvjJrxiv ('~ ^ • • •' /;)- ТогДа векторые\ = ег — хрпринад-
лежат Vn-i и также линейно независимы. Следовательно, они образуют базис
й-мерпого подпространства в Vn_i. С другой стороны, ссли^, ¦•-,e'k—базис
(п— 1л
одного нз fc-мерных подпространств Vn-i, то для любых элементов
\ k }q
х\, ..., Хк из GF(q) векторы е{ + xtv, i = 1, ..., к линейно независимы и опре-
определяют А.-мерпое подпространство в Vn, причем все такие подпространства
различны между собой и не содержат вектора и. Таким образом, существует
hin — l
всего q { j /с-мерных подпространств, не содержащих вектора v. Следо-
\ к Jq
вательно,
является полиномиальным тождеством для всех q, равных степени простого
числа, а значит, Оно остается справедливым, если q — неизвестная величина.
2.6.14. Пусть Vn — га-мерное подпространство пространства Va+ъ. Всего
/«-г- Ь\
имеется таких подпространств. Пусть Vo — фиксированное а-мерноэ
V га у
362
подпространство пространства \а+ь с фиксированным (упорядоченным) бази-
базисом (vh ..., va), a Vn П Va — ft-мерное подпространство с базисом (t>i, ..., Vk).
Если Va © V& = Va+ь, то Vn П V& является (га—й)-мерным подпространством.
Пусть (и,, ..., un-h) — базис Vn П Vb и {и,, ..., иъ) — базис V». Существует,
очевидно, всего ( I возможностей выбора ft-мерного подпространства Vn П Vo
\ к Jq
и возможностей выбора (га—ft)-мерного подпространства Vn П Vb. Мы
\ га — к] q
можем построить базис Vn, беря векторы vi, ..., Vk и затем векторы uv ...
• •м ип—ft' гДе каждый и^ есть сумма щ и какой-либо из qa~h линейных комби-
комбинаций векторов 1>ц+|, ..., г;„ (г = 1, . •., » — ft). В соответствии с этим построе-
построением можем (аналогично [2.6.13]) заключить, что имеется всего q<-a~h^n~h>x
I а\ I Ъ \
X различных подпространств V», которые пересекают Vn по неко-
\к Jq\n — kjq
торому й-мерному подпространству. Суммируя по к, получаем искомый ре-
результат.
2.6.15. Пусть (vt, ..., vn) — (упорядоченный) базис пространства Vn(<?).
Линейное отображение V, в Z однозначно определяется своим действием на
векторах базиса. Образ каждого из п векторов vu ..., vn можно выбрать z спо-
способами, таким образом, имеется zn различных линейных отображений Vn ->¦ Z.
Пусть \-n-h—(га — ft)-мерное подпространство пространства Vn и пусть базис
(vi, ..., vn) выбран таким образом, что (vk+i, ¦ ¦ ¦, vn) является базисом Л'к-л.
Если Уп-к является ядром линейного отображения, то все векторы i>n+i, ..., vn
отображаются в нулевой вектор пространства Z. Тогда образами остальных
базисных векторов v\, ..., v\ должны быть к линейно независимых векторов
пространства Z. В [2.6.12(а)] показано, что имеется (г —1) ... (z — qk~l) таких
цабороз по к линейно независимых векторов и число их равно числу линейных
отображений с ядром, равным Уп-ь.. Так как выбор \n-k можно осуществить
/ п \ !п\
1=11 способами, то суммируя по к, получаем искомый результат.
\га — Kjq \ к ' -
2.6.16. Пусть (У], ..., vn) — (упорядоченный) базис пространства Vn. Тогда
взаимно однозначное линейное отображение /: Vn->-Z, для которого /(Vn) П X
имеет нулевую размерность, определяется набором п линейно независимых век-
векторов пространства Z — X, которые являются образами базисных векторов
vu ..., vn. Используя обозначения пп. 2.6.10 и 2.6.11 из [2.6.12(а)] получаем,
что имеется всего (?п(—х, z) таких га-наборов, т. е. Qn(—x, z) линейных ото-
отображений указанного вида. Пусть U — Д:-мерное подпространство пространст-
пространства Vn такое, что /(U) = (Y — X) U {0}, а /(Vn — U)=Z — Y, ц базис
(vi, ..., vn) выбран таким образом, что ь-ь ..., vk образуют базис пространст-
пространства U. Число линейных отображений для каждого такого U определяется чис-
числом линейно независимых образов (vh ..., Vk) в Y — X и (i>*+i, ..., vn) в Z — Y.
Всего имеется Qk(—x, у) наборов по к линейно независимых векторов для об-
образов (vt, ..., Vk) и Qn-k(—у, z) наборов по га — к линейно независимых век-
векторов для образов (Pfc+i, ..., vn). Суммируя по ft и учитывая, что для выбора
U существует I j возможностей, получаем искомое тождество.
\ A Jq
2.7.1. (а) Искомое число равняется [жт'1+!].4(а;), где, в силу представления
ветвями (см. 2.7.4) производящая функция А (я) удовлетворяет функциональ-
363
ному уравнению А = x(l —Ah)~l. Тогда по теореме Лагранжа получаем
(*
А (х) = _i_ [Xmh] (I - ь*)-<"*+1> = \ /« (* + 1) \_
тк -\-1 тк +1 \ т )
(б) Пусть F(x, у) —производящая функция для плоских деревьев с ви-
висячим корнем, в которой х маркирует некорневые вершины, а у маркирует
некорневые вершины нечетной степени. Из представления ветвями получаем,
что F(x, у) удовлетворяет функциональному уравнению F = х(у + F + yF2 +
-+• F3-{-...) = х(у + F) A — F2). Применяя теорему Лагранжа, находим ис-
искомое число:
[*«Vm+1J F {х, у)=~
у + X) A - Х2)~1}гп =
2n
2п
2п+т)
2.7.2. (а) Пусть F(x, и) — производящая функция для плоских деревьев
с висячим корпем, в которой х маркирует некорпевые вершины, а к — некор-
некорневые вершины степени s + 1. Тогда из представления ветвями получаем, что
F(х, и) удовлетворяет функциональному уравнению
В силу теоремы Лагранжа искомое число равно
[ukxn] F (*, и) = ^- [лп-V] {A - ХГ1 + («-!) Я'}Я =
t=0
n—l
(б) Пусть F(x, u, v) —производящая функция для плоских деревьев с ви-
висячим корнем, в которой х маркирует некорневые вершины, и — некорневые
вершины степени s + 1, a v — некорневые вершины степени t-\- i. Из представ-
представления ветвями получаем, что F(x, и, и) удовлетворяет функциональному урав-
уравнению F — х{A — F)~l + (u —1)FS+ (i> — 1)F1}. Тогда по теореме Лагранжа
число указанных деревьев равно
[uhvmxn] F (*, и, v) = 4" Ы^Х11-1] {A - ХГ1 + (u-l)Xs+(v~ I) XT =
= 4 ["'Л"-Ч У. [. и ,1 (» - DJ' (^ - 1)г A - X)-1 я"+".
откуда следует искомый результат.
2.7.3. (а) Пусть Р(х) —производящая функция для плоских деревьев с ви-
висячим корнем по отношению к некорневым вершинам. Тогда из представления
ветвями получаем, что Р(х) удовлетворяет функциональному уравнению Р =
364
= x(l —P)~l, следовательно, искомое число равпо
[хп] хРт~г (х) = [хп~Ц Рт-1 (х) = ~-{ [Хп~2] (т - 1) Хт~2 A -
т — 1 /2га — m — 2
— m — 2\
га-2 Г
(б) Из представления ветвями и теоремы Лагранжа получаем
откуда и следует искомый результат.
2.7.4. Из 2.7.10, следуя 2.7.11, получаем, что искомое число равно
[хп] Н(х + х2) = [хя] Р ((х + х2) A + х + X2)) =
откуда следует искомый результат.
2.7.5. Из 2.7.18, учитывая, что Р = хA—Р)~1 и используя теорему Лаг-
рашка, получаем искомое число:
2 ch (n, d) = [xn+h~l] 2 P^+d-1 (x) = [xn+h] P*h+l (x) =
2.7.6. Пусть Ь(т, га) —число плоских кубических деревьев с висячим кор-
корнем с га трехвалентными вершинами, в которых сумма высот всех трехвалент-
трехвалентных вершин равна т. Для производящей функции В (г, х) = 2 & (m> n) zma:n
из представления 2.7.2 получаем, что B(z, x) = l + xB2(z, zx). Пусть А (х) =
= 5(l,s), a D(x) ={(d/dz)B(z, s)}|,_,, тогда fcB«-{[х»]В(*)}/{[х»]4(х)}.
В функциональном уравнении для S(z, ж) полагаем z = 1, и затем, решая по-
получающееся при этом квадратное уравнение, находим: А (х) = A — yi —4х)/2х;
таким образом, [хп] А (х) = I / (га + 1).
V п! I
Если то же уравнение для B(z, x) продифференцировать по z, а затем по-
положить z = 1, то мы получим уравнение D(x) = 2хА(х){хА'(х) -\-D(x)}, от-
откуда следует, что
D(x) = 2x4(x)A'(x){i —2xA(x)}-K
В то же время из уравнения для ВA, х) находим А'(х) = 42(ж){1 — 2хА(х)}~1,
а из полученного выражения для А(х) следует, что {1 —2хА(х)У — 1 — &х, и,
365
таким образом, D(x) = 2A— 4х)-*а?А*{х). Наконец, из уравнения для B(z, x)
вытекает
xU3(x) =хА(х)(А(х) — 1) = (i — x)A(x) — 1,
откуда получаем
[хп] D (х) =[хп] {х-1 + A - Ах)-1- х-1 A - Ах)-М»+ A - 4*Г<1/2>} =
Разделив полученное выражение на I )/(п + ,1), приходим к искомому
результату.
2.7.7. Искомое число равно [i"fs] h (t, i), где h(t, f) — производящая
функция для плоских деревьев с висячим корнем, в которой tfj маркирует са-
самый левый путь длины /, a f = (/2, /3, ...). Из представления 2.7.21 следует,
что h удовлетворяет функциональному уравнению
откуда по теореме Лагранжа
U
U>2 J V
2.7.8. К множеству плоских деревьев с висячим корнем применим опера-
операцию «разбиения ребер», использовавшуюся при получении представления 2.7.9.
Пусть Р(х) —производящая функция для плоских деревьев с висячим корпем,
в которой х маркирует некорневые вершины. Если двухвалентные вершины,
появляющиеся в процессе «разбиения ребер», маркировать с помощью произ-
произведения ху, то в результате (аналогично 2.7.10) придем к производящей функ-
функции Р(хA — ху)~1). Это есть производящая функция «по меньшей мере» для
двухвалентных вершин, так как при нашем построении плоские деревья с ви-
висячим корнем учитываются по нескольку раз — для каждого подмножества
двухвалентных вершин, появляющихся при «разбиении ребер». По принципу
включения — исключения (см. 2.2.29) число плоских деревьев с висячим корнем,
содержащих п некорневых вершин, т из которых двухвалентны, равно
[х*ут]Р(х{1-(у-1)х}-').
2.7.9. (а) Искомое представление является ограничением представления
2.7.21 на множество <В. Действительно, после того, как из кубического дерева
мы удалим самый левый путь длины к + 2, у нас остается упорядоченный на-
набор к элементов множества <В.
Соответствующее фушщиональное уравнение можно получить следующим
образом. Единственной одновалентной вершиной в правой части представления
является конечная вершина самого левого пути. Таким образом, если С (х) —
производящая функция для плоских кубических деревьев с висячим корпем,
то С(х) — х = х 2 CR (х), откуда получаем С(х) = хA — С(х))~\
(б) Каждое отличное от 8 плоское дерево t с висячим корнем имеет не-
непустой список ветвей A(t) = (ti, ..., ip-i, tp). Представим это дерево с по-
мощью пары плоских деревьев с висячим корнем: (A-1(fi, ..., fp_i),fp). Оче-
Очевидно, что это соответствие взаимно однозначно. Более того, в правой части
этого представления не может появиться какая-либо некорневая вершина, от-
отличная от вершин, содержащихся в этих двух деревьях. Таким образом, если
Р(х) —производящая функция для плоских деревьев с висячим корнем по чи-
числу некорневых вершин, то справедливо функциональное уравнение Р(х) —
— х = Р2(х).
(в) Сравнивая представление для f, полученное в п. (а), и представление
ветвями для множества ?, можно вывести следующее соответствие. Пусть
се?. Тогда одновалентной вершине самого левого пути в с сопоставим вер-
вершину, смежную с корнем, некоторого дерева ре?. Упорядоченный набор
ветвей pi, ..., рч дерева р получается путем повторения этой процедуры для
каждого дерева из упорядоченного набора ci, ..., Ch элементов множества ^,
получающихся после удаления из с самого левого пути. Это построение про-
продолжается до тех пор, пока не будут использованы все одновалентные верши-
вершины дерева с. Полученное соответствие показано на приводимом рисунке:
2.7.10. (а) Каждое отличное от 8i плоское 2-хроматическое дерево с вися-
висячим корнем, окрашенным в цвет 1 имеет непустой список ветвей A(t) =
= {th ..., tp_i, tp). Это дерево можно представить с помощью пары деревьев
(Л-'(*!, ..., fp_i), tp), где Л-'(*!, ..., tp_i) es^i, a tp имеет корень цвета 2.
Тогда A(tp) —список ветвей дерева tp — является упорядоченным набором эле-
элементов из !?i. Таким образом, отображение t>-* (\—l(tv ..., tp_х), 82, Л(гр))
приводит к искомому представлению. Если ht («i, хг) — производящая функция
для ЗРи в которой Xi маркирует некорневые вершины цвета i (i = 1, 2), то нз
полученного представления находим
(так как ei и ег содержат по одной некорневой вершине цвета 2 и, соответст-
соответственно, 1), откуда получаем
Если М(х, у) —производящая функция для плоских деревьев с висячим
корнем, в которой х маркирует одновалентные некорневые вершины, а у мар-
маркирует все остальные некорневые вершины, то из представления ветвями по-
получаем, что М (х, у) удовлетворяет функциональному уравнению М = х +
+ уМA—М)~1. Таким образом, М(х, у) — h\(y, x). Тем самым установлено
существование искомого взаимно однозначного соответствия.
367
(б) Представление ветвями для множеств 9>\ и ^2 (см. 2.7.13) дает:
В то же время по представлению множества & плоских деревьев с висячим
корнем с помощью самого левого пути (см. 2.7.21) имеем
3>=*й [и
и {.и
Сопоставляя два этих представления, приходим к выводу о возможности
установления взаимно однозначного соответствия между одновалентными вер-
вершинами в деревьях из 9" и вершинами цвета 2 в деревьях из 3*\, а также меж-
между прочими некорневыми вершинами (внутренними для самых левых путей)
в деревьях из 9* и вершинами цвета 1 в деревьях из 0>\. Это взаимно одно-
однозначное соответствие иллюстрируется на приводимом здесь рисунке для конк-
конкретной пары деревьев t e 9> и t\ s 9>\.
2.7.11. Будем считать s-объектами в деревьях из множества 3* некорневые
вершины. Тогда элементы множества &' можно разбить на два следующих
класса. К первому классу отнесем те элементы, у которых выделенной верши-
вершиной является та единственная вершина, которая смежна с корнем, и, таким
образом, этот класс тривиально представляется с помощью самого множест-
множества &. Ко второму классу относятся элементы, в которых выделенные верши-
вершины — остальные некорневые вершипы, т. е. они принадлежат какому-либо из
деревьев, входящих в список ветвей. Если удалить это дерево t, а также де-
деревья, стоящие в списке ветвей справа От него, то остапется некоторое дере-
дерево из 9. Аналогично, если удалить дерево t, а также деревья, стоящие в списке
ветвей слева от него, то оставшееся дерево также лежит в множестве &. Таким
образом, второй класс можно представить как прямое произведение &* X &'•
Если маркировать некорневые вершины с помощью переменной х, то мы при-
приходим к соотношению хР' = Р + х~'Р2(хР').
2.7.12. (а) Пусть $ — множество способов расстановки скобок в строке
из п элементов для всех п ^ 1. Пусть {е} —пустое множество способов расста-
расстановки скобок в строке, состоящей из одного единственного элемента. Если те-
теперь Ь — последовательность из п ^ 2 элементов с произвольной заданной рас-
расстановкой скобок, то Ъ можно однозначно представить в виде Ъ = {Ь\Ь^), где Ь\ и
&2 — некоторые пепустые последовательности элементов с соответствующими
расстановками скобок. Таким образом, получаем представление 3S — {е} r^ 3S X
X ^. Если х маркирует число элементов в строке, то производящая функция
для {е} равна х, а так как в правой части полученного представления никаких
дополнительных элементов появиться не может, то справедливо равенство
368
B(x) — х = B2(z), т. е. В(х) = х + В1^). Следуя 2.7.3, получаем
!-2\
(б) Если через si- обозначить соответствующее множество способов расста-
расстановки скобок, то каждую последовательность Ь из га ^ 2 элементов с заданной:
расстановкой скобок можно однозначно представить в виде Ь = (b\...bk), где
к ^2, a bi, ..., bk — некоторые последовательности с соответствующей расста-
расстановкой скобок. Таким образом, получаем представление st-— {s}-* и s4- . Если
х маркирует число элементов в строке, то производящая функция А (х) мно-
множества s4- удовлетворяет уравнению А (х) — х = 2 4 (а:), откуда следует, что
Л(х) = хA — А(х)) A — 2А(х))~'. Применяя теорему Лагранжа, получаем ис-
искомое число:
|» А Ы _ i [«,»-•] A _ X)" A - 2АГ" -
- т 2 (Г)«- »' ь--1 с - »»-* - т 2 <- ""-1- (Г) ("Г)-
i=0 i=0
В силу представления ветвями для множества плоских деревьев с вися-
висячим корнем найденное число совпадает с числом гомеоморфио пеприводимых
1П0СКИХ деревьев с висячим корнем с га некорневыми одновалентными вер-
вершинами.
(в) Пусть W — множество способов расстановки скобок в нашем пронзве-
ruiin;i. Тогда при га ^ 2 каждое произведение b = А\.. .Ап, в котором произ-
произвольно расставлены скобки, можно однозначно представить в виде b = F162),
где й| и 6г—неупорядоченная пара, состоящая из двух последовательностей,
в которых скобки расставлены соответствующим образом. Производящая фуик-
Д!1я для пар одинаковых расстановок скобок равна С(х2), а для упорядоченных
пар различных способов расстановки скобок — равна С2(х) —С(х2). Однако при
этом каждая упорядоченная пара различных расстановок скобок учитывается
дважды, поэтолу производящая функция для неупорядоченных пар различных.
расстановок скобок равна -у (С2 (х) — С (х2)). Таким образом, имеем
С (х) - х = 4" (С2 (х) - С (х2)) + С {х2) = 4" (С2 (х) + С (а;2)).
Укажем также другой способ доказательства. Имеет место представление-
Я — {г} -^» <%2/S'а, где S2 — симметрическая группа порядка 2. Искомый резуль-
результат следует теперь из теоремы Попа, так как цикловой индекс для группы S2
равен многочлену -g- (ж| + *2) •
2.7.13. Обозначим через 9> множество описанных в условии задачи после-
последовательностей для всех га ^= 1. Тогда последовательность аеУ должна на-
начинаться элементом 1 и закапчиваться элементом (—1), т. е. а = 1а(—1), где
о — последовательность, образованная одинаковым числом элементов 1 и (—1),
в которой все частичные суммы неотрицательны. Последовательность а явля-
24 Я. Гульден, Д. Джексон 369
«тся или пустой последовательностью, или может быть единственным образом
представлена в виде а = «i ... он, где аь ..., a,k <= & (k^l). Таким образом,
получаем представление д> ~ 1 ($>)* (— 1), откуда следует, что С(х) =
1 /2га — 2\
= х{1 — С(х)}-К Но по 2.7.3 имеем с (га) = — I t )•
2.7.14. Пусть й> — множество разрезанных га-угольников. Возьмем йей
Пусть е — выделенная сторона, принадлежащая внешнему контуру d, назовем
се корневым ребром многоугольника d. Сторона е или является единственной
стороной в d или принадлежит одному из многоугольников р, на которые раз-
разрезан d; р пмеет / + 1 (/ ^ 2) сторон. Пусть е, еь ..., ej — стороны многоугольни-
многоугольника р, перечисленные по часовой стрелке. Каждая из е\, ..., ej, очевидно, может
быть взята в качестве корневого ребра в соответствующем разрезанпом много-
многоугольнике di, ..., dj. Таким образом, имеет место представление
2)^ О ЗУ-
Пусть Т)(х\, х%, ха, ...) —производящая функция для 2), причем х\ маркирует
внешние некорневые стороны, a xj маркирует внутренние /-угольники. Ясно, что
при нашем представлении внутренний (/ + 1)-угольник р многоугольника d
не входит в набор dh ..., dj. Если di состоит из одной единственной стороны
et, то е, является внешней стороной как для dj, так и для d, а корневым реб-
ребром — только для di. В противном случае ei является внешней стороной для
di, но не для d. Таким образом, D — 1 + 2 ^j+i {^i + (^ ~ Щ3- Пусть те-
перь Е(хи х3, ...) = D(x\, х$, ...) + х\ — 1, тогда Е удовлетворяет уравнению
E = xt-\- 2 Xj+yE1. Однако, в силу представления ветвями, производящая
функция Е(х\, яз, ...) должна перечислять гомеоморфно неприводимые плоские
деревья с висячим корнем, если xj маркирует некорневые вершины степени
у = 1, 3, 4, ... Искомый результат следует теперь из 2.7.7.
2.7.15. В каждой полуреберпой структуре одно инцидентное ей полуребро
будем считать «нижним», а все остальные —«верхними». Так как и + ii + . .. =
= п и i\ + 2iz + • • • = 2га — 1, то все наши полуреберные структуры в сово-
совокупности содержат п «нижних» и га — 1 «верхних» полуребер. Произвольным
образом пометим нижние полуребра числами от 1 до в, а верхние — числами
от 1 до га — 1. Построим плоское дерево с висячим корнем следующим образом.
В качестве первого шага возьмем какую-либо из п — 1 полуреберных структур,
не содержащих верхнего полуребра, помеченного числом 1, и соединим ее ниж-
нижнее полуребро с верхним полуребром, помеченным числом 1. При этом обра-
образуется некоторая единая конфигурация, содержащая две вершины (ее также
называем «полуреберной структурой»); соединяющие эти вершины два полу-
полуребра составят ребро строящегося дерева. У нас теперь имеется га — 1 полу-
ребериых структур, га — 1 неприсоединенных нижних полуребер и га — 2 не-
неприсоединенных верхних полуребер. Продолжаем построение, делая шаги 2, ...
..., п — 1; при этом на шаге i нижпее полуребро любой из п—i «полуребер-
«полуреберных структур», не содержащей верхнего полуребра, помеченного числом i,
соединяется с верхним полуребром, помеченпым числом i. После га — 1 шагов
получается единственная «полуреберная структура» с одним свободным ниж-
нижним полуребром и не имеющая неприсоединенных верхних полуребер. Плос-
370
кое дерево с висячим корнем с последовательностью степеней вершин i полу-
получается теперь в результате присоединения свободного нижнего полуребра к
корневой вершине.
п-1
С помощью описанного выше процесса можно построить JJ (и — i) =
i=l
= (и — 1)! плоских деревьев с висячим корнем. При этом каждое дерево с по-
последовательностью степеней вершин i встречается в этом списке JJ l'jl Раз>
так как при построении все исходные полуреберные структуры считаются раз-
различными (хотя фактически полуреберные структуры с одинаковой степенью
вершины неразличимы). Таким образом, имеется (и — l)!(i!)~' плоских де-
деревьев с висячим корнем и с последовательностью степеней вершин, равной i.
2.7.16. (а) Пусть ^"< — множество А-хроматических плоских деревьев с ви-
висячим корнем, окрашенным в цвет i (i =. 1, ..., к). Обобщая представление 2.7.13
на случай к цветов, получаем систему представлений
^i-N^ U U NX^f, i = l,...,k,
v ' .7=1 v
где 8i обозначает тривиальное дерево из множества S'i. Пусть /t(W, x) —про-
—производящая функция для множества &i, при этом пусть XjWim маркирует вер-
вершину степени т, окрашенпую в цвет /. Тогда cr (L, n) = IW xn] fr и, в силу
указанного выше представления, /i, ..., fk удовлетворяют приведенной в усло-
условиях системе уравнений.
(б) Полагаем у, = Xjgi(fj) (j = 1, ..., к). Тогда из п. (а) получаем /г —
= У — У и и, таким образом, уи ..., ук удовлетворяют системе уравнений yt =
= xigi(y-yi) (i — 1, ••-, к).
(в) Применяя теорему Лагранжа для одночленов (см. 1.2.13) к системе
уравнений, полученных в п. (б), получаем
к
,т , __ / . — 1 Х1 V1 II g „ т || у
a=i M
cr (L, п) = (п - 1)! (L!) 2 21! в«п*" ту«П ^ • • • У?*) (У ~ У if
a=l M г=1 L J
h
где сумма берется по всем матрицам М = [т.ц]кхк таким, что 2 тц ~ п)
г=1
и itijj = 0 (/ = 1, ..., к). Тогда
SSlVi-^-in,
a=l M г=1 '
Где qi = 2 (/ — 1) 1ц (i = 1) • • ч А). Если q = (q^, ..., qk), то
а=1 М Ч * г;
24* 371
k
где сумма берется по всем матрицам М таким, что 2 mij= nj — ^ai>
k
Пусть р = q!(n—1)!(L!)-', а и = (щ, ..., uh), v = (vh ..., vh). Тогда
<V (L, n) =
oi j—j 11 i^' \ lj ~' '' ' ~' kj "^ Ov^'z i^ U _LJ. т.-У *
a=l >o
tr(M)=o
Однако, если h полилинейна, то 2 * (•) х1/'! = * (х) ехР {xi + • • • + хп\, где
i = (ii, ..., г„), х = (xh ..., Хп), поэтому
Ik \ к
cr (L, п) = р [ИЧуп] ехр ^ Kiu; 2 II dV (viu + 6aj) ~ uivj II "a-
i,j==i a=i
где и = щ + ... + uh, v = v\ + ... + u^ Разлагая определитель по строке а и
пользуясь 1.1.10E), получаем
II дИ (vju + 6a;) - uivj || = I "Vj" - "iuj I + cofaa [dHvju ~ uivj]hXh =
v ... vh v . . . v.
"
Подставляя полученное выражение в формулу для cr(L, n), находим:
еТ (L, в) = р [иЧ—1] (В - иг) и" ехр ( 2 иЛ =
U,i=i
1
i,3=l
Г " I f h )
= (LI) q! (n - 1 + 6r)! lu4vn-1+6'-J_uh~2 exp luv — 2 Vj}«
где 6r = Fri, ..., бг*). Полагаем m = (ть ..., m») и представляем
f ft I ft
«xp luv — 2 u^uj[ в ВиДе ехР iuv} UexP{~ ujvj}- Тогда
cr(L, n) =
2
m>0
372
где N = щ + ... + n* — 1, г = то, + ... + тик. Таким образом,
cr (L, n) = (L!)-1 2 (N ~ *>! t*ft] P (*).
где
'w-U 2
что и требовалось доказать.
2.8.1. В данном случае число выделенных подцепей р ,= 1, при этом нас
интересует лишь длина последовательностей. Таким образом, С (х, у) =,
= A — 2/(^ + xS))~lyx7- По теореме 2.8.6 искомое число равно
[хп] {1 - 2х + *7A + х3 + х6)-1}-1 =
=[*"]( 1 + х* + *6){1 — 2х + х» — 2х* + х6 — *7}-».
2.8.2. Соответствующая кластерная производящая функция равна
С(х, у) = A — у(з? + х*))~1ух5, поэтому искомое число равно
[х1] {1-пх + хь A + х3 A + х))-1}-! =
откуда и следует результат.
2.8.3. В силу представления 2.3.1 й-подмножество множества /Сп можно
закодировать с помощью @, ^-последовательности длины га, содержащей к
единиц. Тогда соседству соответствует подцепь И. Если х маркирует нули,
z маркирует единицы, а у появление выделенной подцепи 11, то соответ-
соответствующая кластерная производящая функция равна A — yz)~lyz2. По тео-
теореме 2.8.6 искомое число равно
= [zV] A - z -(у - I)z2(l -(у - l)z)->}-(n-»+O =
= [zh~m(zy)m] {1 + z(l — yz)~l}n~k+l,
откуда и следует искомый результат.
2.8.4. Если 4, = 11101011, Аг = ЮПИ, то
¦откуда
где
W =
По теореме 2.8.6 и лемме 2.8.10 искомое число равно тогда
откуда и следует искомый результат.
373
2.8.5. В нашем случае выделенными подцепями являются цепи Ai = {*.
Следовательно, элементы соединительной матрицы — это vu = 2 Ц (» =
;=i
¦el, ..., га)и vij = 0 при f>yfe/- Таким образом, если положить Х==
.=.diag (xj, ..., хп), то
&-1
V = 2 X3' = (X - Xft) (I - X)-1, L = Xfe.
3 = 1
По лемме 2.8.10 получаем, что кластерная производящая функция равна
С(х, у) = tr(I _ Y(X - X") (I _ X)-')-'YXftJ.
Из теоремы 2.8.6 следует, что искомое число равно
откуда и следует искомый результат.
2.8.6. (а) В нашем случае множество выделенных подцепей имеет вид
{12, 23, ..., (га —1)и}. Поэтому А:-кластер образуется последовательностью
вида /(/ + 1)...(/ + к) (/ = 1,..., п — к). Таким образом, для любого к = 1,...
..., п — 1 имеется га — к таких fc-кластеров, каждый на некоторой последо-
последовательности длины к + 1. Следовательно,
С (х, у) = *2 / (п - к) хь+1 = {(в - 1) х2у - nxV + z"+V+1} A - ху)~\
fe=i
По теореме 2.8.6 искомое число равно [х1]{1 — пх — С(х,у — I)}, откуда,
после замены х на xt, а у — на ?~' получаем искомый результат.
(б) В нашем случае множество выделенных подцепей — это {12, 23, ...
..., (и—1)и, я1}. Поэтому имеется га ft-кластеров, длины к +1 вида 12 ...
...(&+1), ..., ral ... к. Так как к — произвольное натуральное число, отсю-
отсюда получаем
с (*- у)=Ъ nyhxh+1 = "у*2 A - ухг1-
По теореме 2.8.6 искомое число равно
Wyh] {i-nx-n(y-l)x*(l-(y-l) x)-1)-1 =
= [xlyk] A - (у - 1) х) {1 - (у - 1) х - пх}-1 =
= 1ук] {(У ~ 1 + пI - (у - 1) (у - 1 + л)'-1} = » (' ~ * ) (n - II"*-1.
2.8.7. Пусть ^ = {//|1^ i </< га}— множество подъемов, a J^2 =
.='{u|l ^ i ^ я}—множество уровней. Тогда -s#i U ^2 является редуцирован-
редуцированным множеством выделенных подцепей. В нашем случае fc-кластеры — это не-
неубывающие последовательности длины к + 1 для к 13= 1, иными словами —
элементы множества A*) B*) ... (га*) — (е U 1 U • - • U п). Если г маркирует
374
элементы множества Аи а I — элементы множества А2, то
С (х, I, Г) = Г {П A + ГХ, + rlz* + . . .) - A + ГХХ + . . . +ГхА =
= Г {Й A+ (»— Z) *l) A - Ч)-1 - A + «х + ... + гхА
По теореме 2.8.6 получаем чнсло последовательностей типа i с А-
подъемами и т уровнями:
[х1г4т] {1 - (xt + ... + хп) - С (х, I - 1, г - I)} = ЫгНт\ ф (х, г, I),
I n )~1
где Ф(х,г,0 = (г-1) г-ПA+(г-0^)A + A-0д;г)-1 -1. Вто
I i=i I
же время сумма общего числа подъемов, уровней и спадов на единицу
меньше длины последовательности. Таким образом, число последовательно-
последовательностей типа i с к подъемами, т уровнями и р спадами равно [х1Лт/р] X
X/~1(I>(/x, /~V, f~1l), откуда и следует искомый результат.
2.8.8. Если Xi заменить на х для всех i = 1, ..., п, матрица L принимает
вид Л (х) = diag \х' х', ...,д;' р'), a I+V принимает вид А(х)%(х~1). Из
теоремы 2.8.6 и леммы 2.8.10 следует, что искомое число равно
[х1] {1 - (хг + ... + хп)¦+ tr (I + V)-i LJ}-1 |х=я1 =
= W] {{ - пх + tr х (я-1) Л (^-^(x) J} =
= H{l-»x+tr(x(x-»))-4}-1.
2.8.9. Будем следовать методу доказательства теоремы 2.8.6. Построим
производящую функцию «по меньшей мере» с помощью кластерной произ-
зодащей функции. Наши циклические перестановки состоят из элементов
множества ./У*, разделенных элементами множества SD($$-) и перечисляются
производящей функцией 2 *-1 (^ + • • • + хп + ^ (х> У))к' Появление мно-
к^1
жителя к~1 объясняется тем, что вращение приводит к эквивалентным переста-
перестановкам, а также тем, что мы ищем коэффициенты при х\ ... хп, где все
Xi — различны между собой. Другими возможными перестановками являются
циклические кластеры, представляющие собой элементы множества ?D(s$-),
в которых конец последней выделенной подцепи перекрывает начальный
срг.пент первой выделенной подцепи кластера. Вклад этих перестановок в
производящую функцию «по меньшей мере» равен 2 *~1 zj Н^^)к]ц~
= tr log (I — YV)"- Искомый результат следует теперь из принципа включе-
включения — исключения.
2.9.1. 1. Докажем сначала предложение для случая, когда граф, задаю-
задающий карту, является деревом. В этом случае карта имеет только одну грань,
так что из = 1. Если дерево содержит п\ вершин, то оно имеет иг = п, — 1
ребер. Это доказывается индукцией по щ следующим образом. Для щ = 1
375
утверждение очевидно. Далее, любое дерево, содержащее щ + 1 вершин,
можно получить из некоторого дерева, содержащего щ вершин, путем при-
присоединения к этому дереву еще одной одновалентной вершины с помощью
нового ребра. Таким образом, если деревья с П\ вершинами имеют П\ — 1
ребер, то деревья с п\ + 1 вершинами имеют щ ребер, и исходное утвержде-
утверждение следует теперь по индукции. Итак, в случае, когда граф, задающий карту,
является деревом, имеем
И] _ и2 + га3 = п\ — («1 — 1) +1 = 2.
Покажем теперь, что равенство иг — Щ = п\ — 2 выполняется для всех
плоских карт с п\ вершинами. Доказательство проведем индукцией по п2.
При т = «1 — 1 это справедливо в силу доказанного выше. Далее, любую
плоскую карту, содержащую и2 + 1 ^ П\ ребер, можно получить из некото-
некоторой карты, содержащей иг ребер, если в ней соединить ребром две (не обяза-
обязательно различные) вершины. Новое ребро разбивает одну из граней карты
на две грани. Таким образом, плоская карта, содержащая п2 + 1 ребер,
должна содержать из + 1 граней при условии, что карты, содержащие п%
ребер, имеют га3 граней. Тем самым мы показали, что для всех п2 ^ щ — 1
величина «2 — щ является константой. Наше утверждение доказано.
2. В обеих суммах каждое из щ ребер учитывается дважды. Действитель-
Действительно, в сумме по вершинам каждое ребро учитывается по одному разу для
каждого из его копцов, а в сумме по граням — по одному разу для каждой
из двух граней, которые оно разделяет.
2.9.2. (а) Из корневой почти-триапгуляции Ж, у которой корневая грань
имеет степень 2, удалим некорневое ребро, инцпдонтное корневой грани
(считаем, что Мф8). Получающаяся в результате карта М' является пло-
плоской триангуляцией. Далее, число граней карты М' равняется чпелу внут-
внутренних граней карты М. Описанная конструкция является обратимой. Таким
образом, S(y)— 1 является искомой производящей функцией (так как
1 является производящей функцией по числу внутренних гранен для
карты 8).
(б) Рассмотрим произвольную строгую триангуляцию М и пусть
е\, ..., езч — ее ребра (см. предложение 2.9.3 B)). Предположим, что в каж-
каждом пз этих ребер выделено его «начало» и его «конец». Построим по М не-
некоторую плоскую триангуляцию М. Для этого к каждому ребру е, <= М при-
применим следующую операцию. Удалим ребро ег- и отождествим вершину в
«начале» ребра е, с корневой вершиной некоторой произвольно выбранной
корневой почти-триангуляции Mi, у которой внешняя грань имеет степень 2.
Другую вершину корневой грани карты М, отождествим с вершиной в «кон-
«конце» ребра е,-. Разумеется, карта Mi может равняться 8, в этом случае описан-
описанная операция оставляет ребро е» без изменения. Если в{ является корневым
ребром карты М, то в качестве корневого ребра карты М берем то ребро
внешней грани карты Mi, которое в результате описанной операции стано-
становится инцидентным внешней грани карты М.
Если теперь М содержит Зп ребер (см. выше), то у нее должно быть In
граней. Из описанпои нами конструкции, лемме о композиции и п. (а)
непосредственно получаем
376
(в) Система параметрических уравнений для S(y) получена в 2.9.6, она
имеет вид
2/ = аA-2а2),
) = (l-3a2)(l-2a2)-2.
Осуществляя замену переменной t = yS3/2(y), приходим к системе
р == «2A _ За2KA — 2а2)-4,
T(t) = S(y)— 1 =A - За2) A - 2а2)-2 - 1.
Положим теперь 6 = а2A -2а2)-1, тогда а2 = 6A + 26)-', A-2а2)-',=
= 1 + 29 и 1 — За2= A — 0) A +20). Система параметрических уравне-
уравнений принимает теперь вид
Р =,6A —вK,
Г ,= 6A — 20),
откуда по теореме Лагранжа получаем
U2n] *¦(«) = -?" \хп-Ч {А х A - 2
Тем самым мы нашли число строгих триангуляции с 2и гранями для п ^ 1.
При этом заметим, что строгих триангуляции с нечетным числом граней не
существует.
(г) Рассмотрим произвольную простую триангуляцию М, имеющую бо-
более одной некорневой грани, и пусть эти некорневые грани обозначаются
через /i, ..., /гп-i- В каждой из этих граней выделим по одному ребру из
числа инцидентных ей ребер. Построим по М некоторую строгую триангуля-
триангуляцию М. Для этого с каждой некорневой гранью U карты М проделаем сле-
следующее преобразование. Возьмем произвольную строгую триангуляцию М{
и поместим ее внутри грани fi. Вершины и ребра внешней грани карты М,
отождествляются с вершинами и ребрами грани /,, причем таким образом,
чтобы корневое ребро карты М{ совпало с выделенным ребром грани ft.
Если Mi — строгая триангуляция с единственной внутренней гранью, то в
результате этого преобразования f{ не изменяется. Корневым ребром карты
Ш, получающейся в результате, считаем корневое ребро карты М, С по-
помощью описанного процесса можно получить, притом единственным обра-
образом, все строгие триангуляции, содержащие более одной внутренней грани
(наше построение обратимо).
Пусть U(у)—производящая функция для простых триапгуляцин, при
этом у маркирует грани. Из приведенной выше конструкции получаем
Т(у) - у2 = y(y-1T(y))-1{U(y-lT(y)) - (г/-'Г(!/)J}, (*)
где Т(у) входит в систему параметрических уравнений
г/2 = 8A-0)=,
Г = 0A — 20)
377
(см. решение п. (в)). Сделаем замену переменных, положив z = у~1Т(у);
тогда уравнение (*) принимает вид
откуда следует, что [z2n] U(z) — — [z2n] T(z) (и>1). В результате произве-
произведенной замены переменных система параметрических уравнений приводится
к виду
Г = 9A —29),
9=.z2(l-29)-2(l-9K.
Решая ее с помощью теоремы Лагранжа, получаем
[z2n] U (ж) = - _L [\n~l] f4- X A - 2Х)] A - Х)зп A - 2ХГ2П =
п ( аХ )
f2n + i —
Тем самым получено число простых триангуляции с 2и гранями, где ге > 1.
Заметим, что имеется одна простая триангуляция с двумя гранями и не
существует простых триангуляции с нечетным числом граней.
2.9.3. (а) Воспользуемся представлением, полученным при решении за-
задачи [2.9.2 (б)]. Очевидно, что при этом представлении число ребер во
внешней грани почти-триангуляции не изменяется. Далее, в силу предложе-
предложения 2.9.3B), число ребер в строгой почти-триангуляции вычисляется по
формуле:
2 X (число ребер) = 3 X (число внутренних граней)+
+ (число ребер во внешней грани).
Отсюда следует, что Т(х, у) = B(xSx'2(y), yS3/2(y)).
(б) Из 2.9.6 и 2.9.7 получаем, что
t.
2)|(ra_i)| A_2а2J«-з (n-l)U! (l - 2a2J" '
где y = a(l — 2a2), a S(y) = (l — 3a2) A — 2a2)-2. Искомое число равно
[znwn+2i]B(z, w). Произведем замену переменных, полагая z =xSi/2(y),
w = yS3'2(y). Тогда B(z, w) = T(zS~1'i(y), wS-*'2(y)) и, в силу предыду-
предыдущего,
[zn] B(z, w) = cn_2u?n-2S-<2n-3> (y) A — 2a2)-<2n-3' — cn-iwnS~2n(y) A — 2a2)n,
1 (Щ
где с = I. Из системы параметрических уравнении для у и S(y),
и+1\ п I
пользуясь равенством w = yS*'2(y) и произведя подстановку 9 =
= а2A — 2а2)-' (аналогично решению задачи [2.9.2 (в)]), приходим к спсте-
378
ме уравнений
шг = 9A-9K,
A — 2a2)S(y) =1 — 9.
Таким образом,
[zn]B(z, w) = cn_2a>n-2(l — 9)-<2n-3» — cn_lU>"(l — 9)-2n,
и искомое число равно
z, w) = сп-2[и>^'1+Щ A — 9)-<2п-3> — с„_,[и>«] A — 9)-2п,
где 9 удовлетворяет функциональному уравнению 9 = ш2A— 9)~3. Приме-
Применяя теорему Лагранжа, находим
[znwn+2i]B(z, w) =
+ l)-4xi]Bn-3) A-^)-B"+«+г)-С„гЧ^-1]2ПA
2Bn-3)lBn+4/-l)I
~ (в - 1)! (и - 3)! (/ + 1)! Bи + 3/)! •
Если / = 0, то искомое число равпо
Bи —3)!
cBre3)C
что согласуется с предыдущей формулой. Если / = — 1, то искомое число рав-
равно ся_2(и > 2).
2.9.4. (а) Воспользуемся представлением, полученным при решении зада-
задачи [2.9.2(г)], заметив при этом, что описанное в ней построение не изменяет
числа ребер во внешней грани.
(б) Требуется найти [xnzn+21] U(x, z). В соотношении, полученном в
п. (а), произведем замену переменной, положив z = у~1Т(у). Тогда U(x, z) =
= B(z, у) — xsy + x3z. Из решения задачи [2.9.3F)] следует, что
[х»]В(х, у) = с„_2!/»-яA - 9)-<2"-3> - е_,»-A - 9)-2».
Таким образом, для п > 3 имеем
х, z) = е«_2Г--*(»)«-<—*>A - 9)-B"-3» - с_,Г»(»J—A - 9)-2п,
где, в силу [2.9.2(в)], Т(у) удовлетворяет системе параметрических уравне-
уравнении
7".= 9 A — 29),
!/2 = 9A-9K.
Выразим z через 9:
z2 =¦ 9 A — 29JA — 9)-3.
Произведя теперь подстановку а=9A — 9)~', получим 1 — 9 = A + «)"',
Т = оA — а) A + а)-2, z2<= аA — аJ.
Отсюда
[*»] г7(лг, 2) = cn_2z»-2(l + а) A - а)-(»-2> - cn_,z»(l - а)-».
Искомое число равно, таким образом,
[x«z*+*i]U(x, z) = cn-2[z2(J+4] A + а) A - а)-<"-2> — cn_![z2J] (I - а)-»,
379
где а удовлетворяет функциональному уравнению а = z2(l — а)~2. Приме-
Применяя теорему Лагранжа, получаем
л»+^] и (х, z) = сп_2 -j^ Ы] {_*.
- cn_t _L Ы-ц {-1 A - х)-"} A -
1 \ /-1 / (/+1)!(п-1)!(я-4)!(» + 2/)Г
Если / = 0, то имеем
\пплТ11 . Bя-4)| Bл-2I Bл-4I
[х z \и [х, z)— (n_i)] („_2)|1И ^ (п—1)]п! ~в1(п—4)!' п^*»
что совпадает с числом, получающимся, если в предыдущую формулу под-
подставить / = 0. Простые почти-триангуляции с / = —1 совпадают со строгими
почти-триангуляцнямн с / = —1, которые были перечислены в [2.9.3F)].
Если п. = 3, то мы имеем дело с простыми триангуляциями, которые были
перечислены в [2.9.2 (г)]. И, наконец, б является единственной простой
почти-триангуляцией с п = 2.
2.9.5. (а) Рассмотрим произвольную сильную почти-триангуляцию М и
предположим, что ее внешняя грань содержит к ребер. Будем считать эти
ребра ориентированными, причем таким способом, что ориентация задаег
обход внешней грани против часовой стрелки. Все эти ребра, за исключением'
корневого, перенумеруем, обозначая их е\, ..., ец-i. Проделаем далее следую-
следующую процедуру. Берем произвольную строгую почти-триангуляцию Mi (i =
= 1, ..., к — 1) и отождествляем ее корневое ребро с ребром е<, а саму
карту Mi при этом помещаем на внешней грани карты М. Разумеется, в
случае, когда Mi = б, никаких изменений с исходной картой не происходит.
Корневым ребром получающейся в результате карты М' будем считать кор-
корневое ребро исходной карты М. Таким способом можно получить любую
строгую почти-триангуляцию, отличную от б. Описанная процедура обратима,
при этом число внутренних граней в карте М' совпадает с суммой чпеел
внутренних граней в картах М, М\, ..., Мк-i- Число ребер у внешней грани
карты М' на к — 2 меньше суммы чисел ребер у внешних граней карт
М\, ..., Mk-\. Искомое равенство получается теперь непосредственно.
(б) Для того чтобы получить искомую производящую функцию A (t, w),
произведем в п. (а) замену переменных, положив z~xB(z, w) = t. В результате
получаем
A(t, w)=t2 — tz. A)
Из 2.9.6 следует, что
а из [2.9.3 (а)] следует, что
T(x,y) = B(z,w),
где z = xSU2(y), w = yS3'2(y). Исключай из уравнений Т(х, у), получаем
wz~1S-1(y)Bi(z, w) + (wz-lS~l(y) —i)B(z, w) +z*S-l(y)-zwS-l(y) =0.
380
Однако B(z, w)=zt, поэтому, умножая последнее уравнение на w2S(y), по-
получаем
(wzJ + (wz)((wtJ — (wt)S(y) — w2) + (tw)w2 = 0.
Так как S(y) можно выразить параметрически через w и 9 с помощью
системы уравнений S(y) ==, A — 6) A +20), и>2 = 6A — бK, полученной в
[2.9.3 (б)], то имеет место равенство
(wzJ + (wz){(wt)' — wt(l — 6) A + 26) — 9A - 9K} + wt&(l — 9K = 0.
B)
Это — квадратное уравнение относительно wz, и его дискриминант D име-
имеет вид:
D = {wtJ — wt(\ — 6) A + 26) — 6A — бK}2 — 4wtQ(l — 9K.
Чтобы упростить это выражение, положим v = wt(i — в); тогда
D = A — 0L{(р2- v(i + 29) — 0A - б)J —4у9} =
= A - 6L(р — 6)аA - 9 + vJ{l — 4уA — 6 + v)-2},
откуда
= A - 9K (wt (I - б) - 9) (l + wt A — 9)~2) X
х {i - iwt (i - 9)~3 (l + wt (i - ер2)-2}1'2 =
= (wt (i - ep1 - e) {(l - 9K (l + wt (i - 9Г2) -
- 2 ^c^wU1 (i - e)"-1' (i + wt(i- эг2)-*21-
= (wt (i — er1 - e) {(i - 9K (i + wt(i — 6)~2) —
- 2 2 <4_x 2 (~ 1) fm + 2' ~ 2) wi+mti+m A - Q)~^m+3i-3)}
1 /2«\
где cn = . Решение уравнения B) имеет вид
n-г 1 V " /
2wz=— {(wtJ— wt(i — в) A + 26) -6(l-6K}+i51/2 C)
(мы выбрали корень со знаком +, чтобы получить положительное решение
задачи). Таким образом, искомое число равно [tnwn+2i] A(t, w), что, в силу
A) и C), равно
i+m=n—l
+m=n—2
(m + 2i-2)9(ierBm+3i-3)l re>2,
где 9 удовлетворяет функциональному уравнению 6 =i ш2A — 6)~3. Тогда
по теореме Лагранжа
dX" "' Г "' к \ k-i
381
и решение принимает вид
т
*)-
откуда следует результат.
(в) Рассмотрим произвольную сильную почти-триангуляцию М, отлич-
отличную от треугольника с выделенным корневым ребром. Пусть v — вершина,
не принадлежащая корневому ребру карты М и лежащая на некорневой
грани, содержащей корневое ребро. Пусть е\, ..., еь — ребра, соединяющие
вершину v соответственно с вершинами v\, ..., v%, лежащими на внешней
грапи карты М, причем вершина рх является корнем карты М, а ребра
еь ..., ел перечислены в том порядке, в каком они встречаются при обходе
вокруг вершины v в направлении против часовой стрелки. Тогда корневое
ребро карты М направлено из vx в v% и к 5з 2. Удалим из карты М корневое
ребро; в получившейся при этом карте М' корневым ребром будем считать
ребро, идущее из v в Уг. Производящая функция для всех М', полученных
«писанным выше образом, равна тогда ху~1(А(х, у)—xsy), так как треуголь-
треугольник, дающей вклад, равный х3у, в качестве М нами не допускается, а карта
М' по сравнению с М имеет на одну грань меньше и больше на одно ребро,
ипцидептное впешней грани.
Теперь можно однозначно «разложить» М' на к — 1 сильных триангуля-
триангуляции произвольного вида М2, ..., Mh, корневые ребра которых отождествляют-
отождествляются соответственно с ребрами vv2, ..., vv^ (это представление показано на
приводимом ядесь рисунке).
Заметим, что сумма чисел ребер во внешних гранях карт Л/г, ..., Мн на
2к — 4 больше числа ребер во внешней грани карты М'. Наконец, если
к = 2, то Мг = М' не может иметь три ребра в своей внешней грани; произ-
производящая функция для таких карт равна х3у~1Т(у). Таким образом, мы нашли
другое выражение для полученной выше производящей функции
2 х-
1 (х, у) - хъу~хТ (у) = А (х, у) {1 - х-2А (х, у)}'1 - х^Т (у).
Отсюда получаем функциональное уравнение
которое приводит к искомому результату.
2.9.6. (а) Применим представление 2.9.12, ограничив его на множество
реберно двусвязных карт.
382
Заменяя тогда множество Ж всех корневых плоских карт множеством
'В всех реберно двусвязных корневых плоских карт, приходим к пред-
представлению
где через & обозначено множество неразделимых корневых плоских карт. От-
Отсюда получаем функциональное уравнение Ъ(у) = Р(уЪ2(у)).
(б) В 2.9.11 получили систему параметрических уравнений:
Положим теперь t = уЪ2(у). Выразив t через параметр ?, приходим к системе-
функциональных уравнений
P(t) =г»Ы = A — 5) A+ ?J.
Применяя к этой системе теорему Лагранжа, получаем для п 5з 1:
Un] P(t) = -L [\n-i] \jL A - я) A + кА A - кг2п =
I г/Зв-2\ /Зя-3\ /Зя-4У1 2Cя-3)|
п{\п-1) \п-2] \n-3jj n!Bn-l)i/
что и требовалось.
2.9.7. (а) Пусть & — множество неразделимых корневых плоских карт и
пусть Q состоит из таких карт М е &, которые после удаления корневого ребра
остаются неразделимыми плоскими картами. Таким образом, I e Q, а и, б ф. Q.
Карта I — единственная карта нз Q, для которой внешняя грань имеет сте-
степень 1. Обозначим через <?2 подмножество, состоящее из всех таких карт, при-
принадлежащих <?, у которых внешняя грань имеет степень 2. Тогда все карты
пз Q, у которых степень корневой грани не меньше трех, составляют множество
Q — {1} — Qi. Если к этим картам применить оператор сдвига корня Д, то по-
получим карты из Q, у которых внутренняя грань, инцидентная корневому ребру,
имеет степень не меньше 3 (причем каждая такая карта получается единствен-
единственным образом). Единственной картой в Q, у которой эта внутренняя грань име-
имеет степень 1, является карта I. Таким образом, имеет место представление
где через ЗГ2 обозначено множество карт в <?, у которых внутренняя грань, ин-
инцидентная корневому ребру, имеет степень 2.
В корневой плоской карте М удалим корневое ребро. В получающейся прп
этом карте М' в качестве корневого ребра выберем ребро, которое в М следо-
следовало за удаленным при обходе по часовой стрелке вокруг корневой вершины.
Тогда
<22=? {6} X {0> - {v} - {I}): Мк М',
ЗГг ~ {8} X (& - {v} - {I}): М >-. М'.
Пусть у маркирует ребра, а х маркирует ребра корневой грани. Искомое ра-
равенство следует из трех полученных выше представлений, если вычесть нз
383
производящей функции для Q — {1} производящие функции соответственно для
•<?2 И #.
(б) Пусть карта М принадлежит 3> — Q — {6} — {и}. Если из М удалить
корневое ребро г, то получающаяся при этом карта содержит к (к ^ 1) точек
сочленения. Эти вершины должны лежать на внешней грани карты М. Обозна-
Обозначим их через v\, ..., vh — в том порядке, в каком они встречаются при обхо-
обходе внешней грани против часовой стрелки, начиная с корневого ребра г. Пусть,
далее, ребро г направлено из вершины vh+i в вершину v0. Возьмем теперь внут-
внутреннюю грань карты М, инцидентную ребру г, добавим к ней направленные реб-
ребра гь ..., гн+и где ребро г< ведет из вершины vt в вершину vi-\ (i = 1, ...
..., /„• + 1), а затем удалим корневое ребро г. Полученный результат предста-
представим себе как последовательность корневых плоских карт Mi, ..., Mh+i, где кор-
корневым ребром карты Л/,- является ребро п (i = 1, ..., к + 1). Эти карты соеди-
соединены между собой путем отождествления корня карты Mi с некорневой верши-
вершиной, инцидентной корневому ребру карты Д/j+i, в результате чего образуется
вершина vt (i = 1, ..., к). Описанная процедура иллюстрируется на приводи-
приводимом здесь рисунке.
М
А+1
Заметим, что Mi является однозначно определяемым элементом множества
<? — V} и что описанная выше процедура является обратимой. Таким образом,
имеет место представление
- Q - {6} -
- ЩJ (Q - {I})*
При этом представлении у карты М число ребер на к меньше суммы чисел
ребер карт М\, ..., Mk+i. Аналогично, число ребер во внешней грани карты М
на к меньше суммы чисел ребер во внешних гранях карт Ми ..., Mk+i. Будем
маркировать ребра в карте с помощью у, а ребра, принадлежащие внешней
грани,— с помощью х. Тогда из найденного представления получаем функцио-
функциональное уравнение:
Р (х, y)-Q (x, y)-xiy-i=
(Q (*, у) _
откуда и следует искомый результат.
(в) Исключая Q(x, у) из уравнений, полученных в пп. (а) и (б), имеем
(Р(х, у) - х>у - 1) (Р(х, у) - хРA, у)) =,xy(i - х).
Для нахождения РA, у) применим квадратичный метод B.9.1A)). Для этого
дополним предыдущее равенство до полного квадрата в левой части, тогда
BР(х, у) - xh - х2у - IJ = 4*^A - х) + (xh~x2y-lJ = D(x, у),
384
где h = P(i, у). Сделаем подстановку х = а (г/) такую, чтобы
(Я/*2) |х=а = (д/вх) (Dlx*) |х=а = 0.
В результате приходим к системе уравнений
4y(a-1-l) + (fc-ai/-a-'J = 0) A)
4ya-2 + 2(A-ay-a-')(a2-y)=0. B)
Из B) следует, что
h — ay — a-1 = 2^A — a2y)~l. C)
Исключая с помощью C) функцию h из уравнения A), имеем
у= (l-a->)(l-a2^J.
Преобразуем это квадратное уравнение к виду
а«A - а) {*/ + «-• A-«)-•}{;/+ а-3A-а) } = 0.
Здесь следует выбрать корень y = a~3(a — 1), так как из C) вытекает, что
а@) =1. Наконец, исключая у из C), получаем A = a~2Da — 3). Положим
9 = 1— а~1 и приходим в итоге к системе уравнений
j, = e(i-eJ,
h= A-9) A + 39).
Однако эта система уравнений в точности совпадает с системой параметриче-
параметрических уравнений, которые решались в 2.9.13 для того, чтобы найти число нераз-
неразделимых корневых плоских карт с п ребрами, поэтому
Г ni. 2 (Зп - 3I
klfe = n!B»-l)!' п>1'
(г) Для того чтобы найти Р(х, у), применим 2.9.1B). Сначала выразим D
через а: и 9, в результате получим:
Я = 4яA-;г)9A-9J+ (а;A-9)A + 39) -а:29A - 9J — IJ =
= A— A — 9)а;J{A — 9A — 9)аJ — 492A — 9)а;}.
Таким образом,
= A — A - 9) х) A - 9 A — 9) х) X
X (l - 2 У /.2;~ ?' «* A - e)j 62i A - 9 A - 9) хГ21\ =
1 $1"(|1Л
Решая квадратное уравнение из п. (в) относительно Р(а:, у), находим
) {i +
39) A - 9)+ х-у ±
(/—)!(/-»-1IB»-/)! +
2П-2
(/ - 2I хп A - 9)"
, V V (/
25 я. Гульден, Д. Джексон 385
Заметим, что при зтом было взято выражение со знаком +, а при суммирова-
пии были сделаны замены п = i + /, / = 2i + I и п = i + I + 1, / = 2i + l. Та-
Таким образом, при п, т ^ 2 искомое число равно
2П
где 9 удовлетворяет функциональному уравпепию 9 = г/A — 9)~2.
По теореме Лагранжа при т^ j получаем
откуда и следует решение пашен задачи.
2.9.8. (а) Пусть yzQ(x, у, z) —обыкновенная производящая функция по от-
пошеппю к числу ребер во внешней грани, числу граней и числу вершил для
множества всех неразделимых корневых плоскпх карт, удовлетворяющих сле-
следующему условию: если из карты удалить корпевое ребро, то она остапется
плоской неразделимой картой. Из представлений, полученных при решепии за-
задач [2.9.7(а), (б)], следует, что
yzQ(x, у, z) — хуЧ — x2(yzP(l, у, z)—yz — y2z) ==
= x{yzQ(x, у, z) —xi/z — y(yzP(x, у, z) — yz — xyh)},
yzP(x, y, z) - x*yz* - yz = xyh{i - {xy4)-i{yzQ{x, y, z)-xyh)}-\
Исключая из этих функциональных уравиеппй Q(x, у, z), получаем искомый
результат.
(б) Для того чтобы найти РA, у, z), применим квадратичный метод (см.
2.9.1A)). Для этого сначала дополним левую часть равенства до полпого
квадрата:
BР(х, у, z) -xh-xh-iJ = ixy(l — x) + (xh — хЧ — IJ = D{x, y, z),
где h = P(l, у, z). Аналогично решению задачи [2.9.7(в)] сделаем замену пе-
переменных, положив х равным такому степенному ряду а(г/, z), чтобы выпол-
выполнялось
что приведет к системе уравнений
4» (а-1 — 1) + (h — az— а-'J = 0, A)
—4уа~г + 2 (/г — az — а) (а~2 — г) = 0. B)
Исключая отсюда /г, получаем равенство
»= (i-o-«)(i-(A)»f C)
а исключая из B) и C) у, находим, что
A = az + a-I + 2(l-a-I)(l— a2z). D)
Положим теперь в C) и D) 9 = 1 — а~'. В результате приходим к сле-
следующей системе функциональных уравнений дли РA, у, z) = h:
9 = „(i_«(l- 9)-2)-2,
РA, у, г) = l_9 + z(l-9)-I
386
Будем рассматривать РA, у, z) как степенной ряд относительно переменной у
с коэффициентами, являющимися степенными рядами относительно пере-
переменной z.
Для получения искомого числа, равного [yn+lzm+l]yzP(i, у, z), применим
теорему Лагранжа. Тогда
hnzm] P(i,y,z) [lh] f
п [дк
+ -A- [%n-*zm] { * (l - , A _ X)-2)) (l - z A -
= - 4 [я"-^] A - * A - лг2)-*2"-1» + ^ [я"-2^] х
/ оч or. Bп + т — 2)! Bт + я — 2)!
Кроме того, [yzm]P(l, у, z) = — [zm] (I — z)~l + 2 = 1, что совпадает со зиа-
чеииями, получаемыми из общей формулы при п = 1.
2.9.9. (а) Если в [2.9.7F)] положить х = 1, то получим уравнение
Р(у) -у-1 = y(l-jr'(C0/) -У)).
откуда следует искомый результат.
(б) Карту М назовем плоской двойственной картой по отношению к корпе-
вой плоской карте М, если она получена следующим образом: вершины кар-
карты М взаимно однозначно соответствуют граням карты М, при этом двум вер-
вершинам карты М инцидентно ребро тогда и только тогда, когда имеется ребро,
инцидентное двум соответствующим граням карты М. Корневое ребро карты М
направлено из вершины, соответствующей грани, расположенной слева от кор-
певого ребра карты М, в вершину, соответствующую грани, расположенной
справа от него. Двойственной к одновершинной карте v является она сама.
Таким образом, карты М и М имеют одинаковое количество ребер и картой,
двойственной к М, является карта М с корневым ребром, направленным в про-
противоположную сторону. Пример пары двойственных друг другу карт приво-
приводится на рисунке.
М
Заметим теперь, что карты, перечисляемые производящей функцией Q(y),
являются просто плоскими двойственными по отношению к картам, перечис-
перечисляемым производящей функцией D(у). Так как М и Ы имеют одинаковое чис-
число ребер, то D(y) = Q(y).
Другой подход к решению задачи состоит в следующем. Укажем способ
однозначного построения для всех карт, перечисляемых производящей функ-
функцией Р(у) (кроме карт и и I). Для этого рассмотрим корневую карту М с дву-
двумя вершинами и к + 1 ребрами, соединяющими эти вершины (к ^ 0). Пусть
ei, ..., вк — некорневые ребра карты М, направленные из корпя карты М в
25* 387
Другую вершину. Возьмем теперь произвольную карту Mi, отличную от б и ле-
лежащую в множестве, перечисляемом производящей функцией D(у). Отождест-
Отождествим корневое ребро карты Ms с ребром е{, а затем удалим а. Повторим эту про-
процедуру для всех i = 1, ..., к. В результате получим неразделимую карту М',
которая имеет на к — 1 ребер меньше, чем общее число ребер в картах Mi, ...
..., Мк. Эта процедура является обратимой. Для к = 2 она проиллюстрирована
па приводимом здесь рисунке.
О
м
Таким образом,
Однако по п. (а) имеем
Р(у)
(у) - у)}'1-
у -1 = v(i - y-
</)}
Сравнивая эти выражения, приходим к искомому равенству D(y) = Q(y).
(в) Рассмотрим произвольную корневую с-сеть М. Каждому некорневому
ребру карты М однозначным образом придадим направление, после чего отож-
отождествим с корневым ребром некоторой произвольно выбранной неразделимой
корневой плоской карты, отличной от и, I и б, а затем удалим это ребро. Про-
Производящая функция для множества карт, построенных таким способом, имеет
вид y(y~1F(y))~1^(y~1F(y)), где F(y) =P{y)—2y~\. С помощью описанно-
описанного построения можно, причем единственным путем, представить любую карту
из совокупности неразделимых корневых плоских карт, если только она не вхо-
входит ни в один из следующих трех классов.
1. Первый класс состоит из неразделимых карт, содержащих менее трех ре-
ребер. Это карты v, I, б, а также карта, образованная двумя ребрами, соединяю-
соединяющими две вершины. Производящая функция для карт этого класса равна.
1 + 2у + у\
2. Второй класс образован такими картами, которые после удаления корне-
корневого ребра содержат хотя бы одну точку сочленения. Из а. (а) следует, что
производящая функция для этого множества равна Р(у) —Q(y) —у—1.
3. В третий класс входят такие карты, у которых после удаления корнево-
корневого ребра пара вершин, инцидентных корневому ребру, является 2-разделите-
лем. Из п. (б) следует, что производящая функция этого множества равна
Р(у)-Щу)-у-\.
Отсюда получаем следующее функциональное уравнение:
y(y-lF(y))->E(y-iF(у)) = Р(у) -Ц1 + 2у + у*) + (Р(у) - Q(y) - у - 1) +
+ (Р(у) -D(y) -y-i)} = Q(y) + D(y) -F(y) -у2- 2у.
Используя результаты пп.(а), (б), исключим из этого уравнения Q(y) и D(y).
В результате находим
откуда следует искомое функциональное уравнение.
388
(г) Искомое число равно [zn]E(z), Если в уравнении из п. (в) сделать за-
замену переменных z = y~1F(y), то получим
E(z) =22 — 2z*(l + z)-l — xy,
откуда следует, что
[*»]?(*) =2(-1) »-[*"-«]», ге^4.
Однако в 2.9.13 были получены параметрические уравнения
Р(у) = A-9) A + 39),
^=9A-9J,
следовательно,
z = у-*(Р(у) - 2» - 1) = 6A - 29) A - в)"*.
Полагая а— 6A — 8)~', приходим к системе уравнений
а = 2A-а)-1,
у = аA + а)-К
Отсюда по теореме Лагранжа получаем, что искомое число равно
И Е (г) = 2 (- 1)" - -^7 Г*П~21 {lT^l + Ы
= 2 (- «Г - 1г=Т [^nJ V + w~4 ^A - ^)"(
Полагая теперь / = i — 1, получаем требуемый результат.
К главе 3.
3.3.1. 'Каждому способу записи суммирования соответствует упорядоченное
разбиение множества ¦Л'п па к непустых блоков, т. е. элемент множества
& ® ЭД+> где мечеными объектами являются индексы 1, 2, ..., п. Поэтому ис-
искомое чиезго равно
~ *ГМ^-!) = [?] B-**)-!.
3.3.2. (а) Соответствующим представлением будет такое, при котором a.i =
= Jfm считаем прообразом элемента i e JCn для всех i = 1, 2, ..., re.
(б) Если х маркирует меченые объекты, то, учитывая п. (а), получаем, что
ЧИСЛО функций ИЗ Jfm 8 ¦Л'п рЭВНО
(в) Взаимно одиозпачное отображение из Jfm на Jfn есть функция, для ко-
которой прообраз каждого элемента области значений имеет мощность 1. Поэто-
Поэтому, используя д. (а), находим искомое число:
.389
(г) Взаимно однозначное отображение из Л?т в Л"п есть функцвя, для ко-
которой прообраз каждого элемента области значений имеет мощность не боль-
больше 1. Поэтому, используя п. (а), получаем, что искомое число равно
(д) Отображение из Jfm на Л?„ есть функция, для которой прообраз каждого
элемента области значений имеет мощпость пе меньше 1. Следовательно, по
п. (а) искомое число равно
(е) Прообразы чисел 1, 2, ..., г должны иметь мощность не меньше 1,
а чисел г -)- 1, ..., и — любую мощность. Следовательно, по п. (а) искомое чис-
число равно
- 1)' («*)"- = 2 (- D*( [) <»
( [) к)т.
(ж) Если к — максимальное значение функции /, то число таких фупкций
(см. п. (е)) дается формулой [хп/п\] (ех —1)\ Но к может принимать любое
значение, поэтому искомое число равно
3.3.3. (а) Бели S* — множество отображении из Jfm на /С„, то
где at— прообраз i (i = 1,2,..., n), а с^ у ... и an = JCm для некоторого пфт.
Далее, число меченых s-объектов в / равно т, а число меченых i-объектов в
/ равно и, и указанное представление не изменяет этих чисел. Экспоненциаль-
Экспоненциальная производящая функция для (Л*1, Л"ь) равна ухк/к\, а для и (#v ^h)
равна 2 Vxh/kl = y(ex— i). Таким образом, искомая производящая функция
S(x, у) равна expfj^e*— 1)}, и число отображений из Л?га на А°„ есть
[*"y*lm\n\]S(x, у).
(б) Для каждого элемента из & будем поочередно выделять каждый ме-
меченый s-объект. Получающееся множестве (sd/ds)? перечисляется функцией
x(dSjdx) (см. 3.3.18). Это множество может быть построено и другим способом.
Если выделенный «-объект, скажем к, является единственным элементом про-
прообраза некоторого i-объекта I, то рассматриваемое отображение на остальпых
элементах есть отображение «на». Совокупности таких отображений соответ-
соответствует множество (./Pi, Л"])*?, перечисляемое функцией xyS. С другой стороны,
мы можем построить функцию, добавляя к прообразу выделенного t-объекта
еще один элемент, который будем считать выделенным. Это множество есть
@, Jf\) * (td/dt)!? и перечисляется функцией ху dS/dy. Итак, получаем
х dS/дх ^xyS + xy dS/dy, или dS/дх = yS+y dS/ду.
390
3.3.4. Граф из 3 можно себе представить как неупорядоченную совокуп-
совокупность связных компонент, следовательно, справедливо представление 9 "^"
~Ш ®.30, сохраняющее вес. Отсюда получаем, что G(x) = ехрВ(ж).
3.3.5. (а) Покрытие полного графа полными графами есть граф, компонен-
компоненты которого — полные графы. Существует точно один полный граф на к поме-
помеченных вершинах для любого к 5= 1, следовательно, по [3.3.4] исиомое число
равно
(б) Сохраняющее меченый вес представление для полных двудольных гра-
графов есть Jf'2 ® <2?+, если мечеными объектами считать помеченные вершины.
Экспоненциальная производящая фупкция этого множества равна -я- (е* i)*f
.поэтому искомое число равно
3:3.6. (а) Число путей, которые можно построить на к помеченных верши-
вершинах, равно — к\ для к 5= 2 и 1 для к — 1, так как пути неориентированы. По»
этому экспоненцпальная пронзводящая функция для путей равна
п искомое число есть
(б) 'Число различных неориентированных циклов на к помеченных верши-
вершинах раппо — (Д; _ 1)| для к ^ 3 и равно нулю при к < 3, так как полный граф
.является простым. Поэтому экспоненциальная производящая функция для
циклов равна
и искомое число есть
3.3.7. При к Ф 2 имеется всего /с звезд на к помеченных вершинах, а при
2 толывэ одна звезда. Поэтому экспоненциальная производящая функция
ззд раа
к
для звезд равна
таким образом, искомое число есть
3.3.8. В качестве меченых s-объектов и (-объектов возьмем помеченные
вершины в re-множестве и то-множестве соответственно. Тогда производящая
функция для полных двудольных графов равна
где ж маркирует s-объекты, а у — i-объекты (существует единственный полный
двудольный граф Кц). Поэтому искомое число равно
! го!
так как покрытие графа К„,т полными двудольными графами представляет
собой граф, связные компоненты которого являются в свою очередь полными
двудольными графами.
3.3.9. (а) Обобщенный слабый порядок должен соответствовать упорядо-
упорядоченному разбиению (&t, ..., 6») множества Jfn при некотором к ^ 1, где i, / е=
е= &i (I = 1, 2, ..., к), если (i, /) и (/, i) либо 'одновременно вхбдят в R, либо
одновременно не входят в Д; более того, (?, /) ей,а (/, i) &.R для всех ie Ьг,
/ е 6m A^Z< го^Л). Легко видеть, что транзитивность в caR нарушается
при любой несимметричности внутри блока, либо при отсутствии соответствую-
соответствующего отношения между блоками, либо при перестановке блоков. Таким образом,
интересующее нас множество имеет представление & ® &, где 93 — симметрич-
симметричное отношение на множестве меченых объектов. Всего на множестве из i объ-
ектов существует 2 симметричных отношений. Действительно, для каждой
из I J пар различных элементов а, Ь Либо (а, 6)ей и (Ь, а) ей, либо
(a, b) f§Д и (Ь, а) §ЁД. Кроме того, для каждой из i пар (а, а) либо (а, а) ей,
либо (а, в) ф Д. Таким образом, существуют две возможности в каждом из
f_ 1 + 1 = 1 „ I случаев. Из указанного представления следует, что искомое
число равно
откуда следует требуемый результат.
(б) Если обобщенный слабый порядок транзитивен, то на каждом из бло-
блоков задано транзитивное и симметричное отношение. Эти отношения могут
быть представлены как & ® sf, где st- — множество всевозможных транзи-
транзитивных симметричных отношений на множестве из i меченых объектов для
всех t ^ 1. При этом st должно составляться из множества (возможно пустого)
элементов, которые не связаны ни с какими другими элементами, и множества
непустых блоков, на каждом из которых задано отношение эквивалентности.
Таким образом,
a^<U*{U®<U+} — {e}
и перечисляется функцией ех ехр{е*— 1} —1. Поэтому искомое число есть
откуда следует требуемый результат.
(в) Если обобщенный слабый порядок асимметричен, то на каждом из бло-
блоков в упорядоченпом разбиении задано пустое отношение. Поэтому асиммет-
асимметричные обобщенные слабые порядки соответствуют упорядоченным разбиениям
и их число равно
3.3.10. (а) Пусть мечеными объектами для регулярной цепочки ее^ на
Jf п являются элементы множества Jfn. Тогда при п > 1 с есть множество мощ-
мощности а, элементы которого сами являются регулярными цепочками на попарно
непересекающихся подмножествах множества Jfn. На Jfi существует единст-
единственная цепочка cj, таким образом, мы имеем рекурсивное представление, со-
сохраняющее мечепый вес:
следовательно,
(б) Из (а) следует, что
С(*)
и по теореме Лагранжа имеем
откуда получается искомый результат.
3.3.11. Пусть Р(х, *i, *2, ...) —производящая функция для 9>, в которой
х маркирует меченые объекты, а *;- при / ^ 1 маркируют (немеченые) циклы
длины ;. Тогда из циклового представления C.3.5) для перестановок получаем
Р (*. *г*ш> • • 0 = ехР j 2 « - «• *} "у} = ех
так как существует (/ — 1)! циклических перестановок на Jfj для / ^ 1, и каж-
каждая такая перестановка соответствует циклу длины / в элементе из 9>. Таким
образом, число перестановок на Jfn с с,- циклами длины / при / ^ 1 равно
Й ?*.••]
где п = i'1 + 2j2 + ...
Функция Р называется производящей функцией цикловых иидексов сим-
симметрических групп.
3.3.12. (а) Искомая производящая функция получается из [3.3.11], если в
Р(х, tu h, ...) положить tj — 1 при d\f и (>.== 0 в противном случае. Искомо*
число равно
l(md)l( )(— i)m,
= j \ m I
[о
если n = md,
в противном случае,
откуда следует требуемый результат.
(б) Искомая производящая функция получается из [3.3.11], если
в Р(х, th tj,...) положить tj = О при d\j и tj = 1 в противном случае. Искомое
число равно
[•—] exp (log A - *)"! - -j log (I - х*)-1} =
I' A/") (- 1)'.
3.3.13. Если в маркирует циклы нечетной, at- циклы четной длины, то
по [3.3.11] искомое число равно «V' ~fT\ Р(х, и, v, и, v, ...). Но
Pipe, и, v, и, v, ...) = ехр|и ^ ^~ + v 2 1~ 1 =
I гнечетн. {четн. J
= exp i\ (log (I - хГ1 - log A + хГ1) + у (log A - x)-1 + log A + x)-1)},
откуда следует требуемый результат.
3.3.14. Перестановки о, для которых от есть тождественная перестанов-
перестановка,— это те перестановки, у которых длина каждого цикла — делитель т. По-
Поэтому из циклового представления искомое число получается, если положить
tt = 1 при d\ т и U — 0 в противном случае, т. е. оно равно
3.3.15. Если а2 = р, то циклы перестановки р получаются из элементов со-
соответствующих циклов перестановни а, взятых через один. Поэтому цикл дли-
длины 2к +¦ 1 в а порождает цикл такой же длины в р, а цикл длины 2к в о по-
порождает в р два непересекающихся цикла длины к. Поэтому р должна иметь
четное число циклов длины 2т для любого т 5= 1. Более того, это условие яв-
является и достаточным, так как для каждой такой перестановки р можно подо-
подобрать такую о, что о2 = р. Таким образом, число квадратных церестаяовои
аа Л"п есть
откуда следует искомый результат.
?94
3.3.16. (а) Общим членом разложения \А.\ является одночлен aig aig ...
...ano , где ое?, Если записать циклы перестановки а в виде l^n'ia'"'
•••hi > *2i*22 •' • hi > • • •} = {cv • • •' cft}' то Указанный одночлен равен
ft
Но этот одночлен получается с помощью таких и только таких перестановок
ре^1, у которых каждый цикл входит либо в {с\, ..., с*}, либо в {clt ..., с*},
где ё{ есть цикл с<, проходимый в противоположной нанравлении. Таким обра-
образом,
поскольку существует ровно — («— 1)! различных циклических перестановок
на Jfi для i 5s 3 (циклы, проходимые в противоположных направлениях, не
различаем). При i = 1 и г = 2 имеется по одной такой перестановке.
2 ж™
"иГ1 т0 и3 части (а) слеДУет1 что
и, сравнивая коэффициенты при хп[п\ для п :> 0, получаем
1
Ь„+1 - пЬ„ == Ьп - ~2 п (п - 1) Ьп_2,
откуда следует требуемый результат.
3.3.17. (а) Бели и маркирует циклы, то искомое число по [3.3.11] равно
откуда следует результат.
(б) Предположим, что в перестановке о = oi... ап на Л*„ имеется к то-
точек односторонних максимумов, а именно 1 = it < h <...<** ^ п. Сопоста-
Сопоставим ей к последовательностей о,о ... о- _,, a, at j.,... о- _,, ..., <J4
1 ' J2 2 2~х 'з я
... оп, каждая из которых принадлежит &, где ^ — множество циклических
перестановок, и первый элемент в каждой последовательности — наибольший.
Более того, для первых элементов этих последовательностей справедливы нера-
неравенства о^ <С Oj •<...< Oj . Ввиду обратимости этого соответствия приходим
к представлению
& ^ 41 ® ^ : о «. (Cj, с2, ..., cft},
сохраняющему меченый вес. Если х маркирует точки одностороннего макси-
максимума, то из леммы о «-композиции получаем, что число перестановок на Л*«
с к точками одностороннего максимума равно
395
как и в п. (а). Это представление называется представлением Фоата — Шут-
ценберже.
(в) Нужное нам соответствие получается, если сопоставить решения задач
пп. (а) и (б). Используя цикловое представление, находим, что перестановке
о = 539614287 соответствует совокупность {15, 2397, 46, 8} четырех непересе-
непересекающихся циклов. Беря наибольшие элементы циклов первыми, запишем эту
совокупность как {51, 9723, 64, 8}. Используя представление из п. (б), получаем
единственную перестановку с четырьмя точками одностороннего максимума
О' = 516489723, которая соответствует данной неупорядоченной совокупно-
совокупности циклов.
3.3.18. (а) По [3.3.17] G= (I — х) ~и, поэтому дв[дх= и A-х) -«->, откуда
A — x)dGjdx=uG.
(б) Можно воспользоваться представлением 3.3.16. Так как вклад d&lds
равен u(i + x +хг +...) = u(i—x)~l, то dG/dx = цA — х)~Ю. Можно по-
поступить иначе, найдя следующее представление:
В Этом представлении (d/ds) {3> — {е}) соответствует вычеркиванию наиболь-
наибольшей метки в каждой ое? — {е}. Таким образом, dG/dx есть производящая
функция левой части. Если наибольшая метка находится в цикле длины 1, то
после вычеркивания получаем элемент из 3>, имеющий одним циклом меньше.
Поэтому S? в правой части дает вклад uG. В противном случае наибольшая мет-
метка находится в цикле, содержащем еще хотя бы один элемент. После удале-
удаления наибольшей метки мы образуем новую перестановку с тем же числом
циклов, присоединяя в соответствующем цикле элемент, следовавший за уда-
удаленной меткой, к элементу, предшествовавшему ей, и оставляя остальные цик-
циклы без изменения. Чтобы запомнить положение удаленной метки, мы выделим
Элемент, Который ей предшествовал. Получающиеся таким образом переста-
перестановки образуют множество (sdlds)C>— {е}). Его вклад в правую часть равен
х dGfdx, и мы получаем
д д
— G-x-^
3.3.19. Из представления 3.3.16 видно, что если обозначить искомое число
On,, ТО-
i {2 v?l-{*?¦}»-•>-•
vn>l )
Сравнивая коэффициенты при хп~11(п — 1)!, получаем
ап— Цге— 1)!]ж х) —(п.
3.3.20. (а) Рассмотрим перестановки на множестве {аи ..., а*, Ь|, ..., Ьт}
для к, т ^0. Пусть х маркирует меченые s-объекты <ц, ..., й,а} маркирует
меченые «-объекты Ьи ..., Ьт. Если иц маркирует циклы перестановок на
{«1, ..., ак, bi, ..., Ьт}, содержащие i элементов ои; элементов 6, то из цик-
аового представления дли перестановок получается следующая производящая
функция:
так как число циклических перестановок на i +; элементах равно (i + / — 1)!.
Поэтому число искомых перестановок, в которых каждый цикл содержит хотя
бы один ai, равно
Ответ на поставленный вопрос получается, если отождествить а, с i для i
= 1, 2, ..., к, а Ь> с А: + / для / = 1, 2, ..., т.
(б) Согласно п. (а) искомое число равно
=[iri\ ] ^+ху A -х ~
(в) Согласно п. (а) искомое число равно
R?H 2 .2
нечетн. ;четн.
[xk vm~\ ft
ir 4rJexp It
2
нечетн.
+ log (l - x A + у))-1 - log A + x A + У)))},
откуда следует требуемый результат.
3.3.21. (а) Согласно представлению помеченными ветвями искомое число
равно [xn/n\]x(Tmlm\), где Т = хег. По теореме Лагранжа находим ответ:
¦й-
(б) Представление помеченными ветвями показывает, что искомое число
.равно
xn V
n\ J ЛЛ(
397
где F = x ^ /o u = ,?-(eF4- e ^.Используя теорему Лагранжа, находим:
F) = п(п~ 2I [кп~2
= n(n~2)! 2-71 [Xn~2] enX(l + е*-)» = n-2~n У\ (") (n- 2
ft=o W
3.3.22. Из представления помеченными ветвями получаем, что искомое чис-
число равно
где Н = х(еа — Hd~ll(d — 1)!). По теореме Лагранжа это равно
п\ [ж"] (ен — Hd/d\) = п[п — 2)![Ьп~2] (е>- — №~Ч(с1 — 1)!)п,
откуда следует требуемый результат.
3.3.23. Из представления помеченными ветвями находим, что искомое чис-
число равно
[**•¦•?]•('
где F = ж I fx -f- <2-f + <3 j- + •.. J — производящая функция, в которой ж мар-
маркирует помеченные вершины (меченые объекты), a tj маркирует вершины сте-
степени / для / ^ 1. По теореме Лагранжа это число равно
= п (п - 2)!
откуда следует результат. Заметим, что при п = 1 существует лишь одно по-
помеченное дерево с единственной вершиной степени 0.
3.3.24. (а) Дифференцируя Т = хет по х, получаем dTfdx = ет + xeTdT/dx.
Умножая обе части на ж и учитывая, что Т = хет, приходим к искомому
уравнению.
(б) Пусть х в Т(х) маркирует меченые s-объекты — помеченные вершины
дерева (еУ. Рассмотрим множество (sdlds)&~, полученное выделением всеми
возможными способами одной вершины в каждом (е?". Это же множество
можно получить другим способом, рассмотрев два случая. Если выделенная -
вершина является в t корневой, то получаем само множество &~. Если выделен-
выделенная вершина — не корневая, то она должна лежать в некотором корневом де-
дереве t0 e= T из списка помеченных ветвей для t. В этом случае «о является од-
однозначно определенным помеченным корневым деревом с выделенной верши-
вершиной, а дерево, получающееся после удаления *о и соответствующего ребра,
вновь является корневым деревом из ЗГ. Таким образом, в этом случае мы при-
398
ходим к множеству 3" # (sd[ds)ZT. В итоге получаем представление
сохраняющее меченый вес. Соответствующее дифференциальное уравнение лег-
легко выписывается.
3.3.25. (а) Уравнения Ah, d(x, z) =xexpAh-\,d(x, z) (h > 2) и
Ao.d-i(x, z) •= x{eT™ + (z — l)T(x)d-4(d — 1)!}, где Т(х) —производящая
фупкцня помеченных корневых деревьев, Т(х) = жег<*>, получаются непосред-
непосредственно из представления помеченными ветвями. Уравнение
Ai,d(x, z) =;rexp{.4o,d-i(s, z)}
следует из того же представления с учетом того, что вершины степени d и вы-
высоты 1 в дереве t соответствуют корневым вершинам деревьев из списка по-
помеченных ветвей для t, т. е. вершинам степени d — 1 и высоты 0. По 2.7.16
искомое число равно
Пусть ф@ =хе*, ф@ = ж(е'+ (z — l)*«-7(e* — 1)!). Тогда
Ah,d(x, z)
Действуя, как в 2.7.16, получаем
Но ф'@ = (р(«), т. е. ф'(Г(ж)) = ф(Г(ж)) = Г(ж), следовательно,
и tn(h, d)= ы_1\| [*n-1] F/l+d~1 (ж).Применяя теорему Лагранжа, получаем
откуда следует искомый результат.
(б) В корневом помеченном дереве с выделенной вершиной степени d и
высоты h существует единственный путь из корня в эту вершину. Если теперь
удалить этот путь (замечание 2.7.19), то каждая из h его вершин, отличных
от выделенной вершины, будет корнем некоторого элемента из ?Г. Выделенная
вершина является корнем некоторого дерева в 9~, причем степень этого корня
равна d — 1, поэтому список ветвей этого дерева содержит d — 1 помеченных
корневых деревьев. Итак,
d
— ff-=g j
— ff=g jT » ... » У"»
h раз
откуда
где Г = хет. Это согласуется1 с п. (а).
339
3.3.26. (а) Это уравнение получим с помощью представления помеченными
ветвями. В этом случае список помеченных ветвей состоит из помеченных де-
деревьев с висячим корнем, немеченые одновалентные вершины которых отож-
отождествляются в представлении с мечеными вершинами, соседними с корнем.
Поэтому, если 36— множество помеченных гомеоморфно неприводимых де-
деревьев с висячим корнем, то 36 ^ {v} • @6—If^ ® 3?, так как если список по-
помеченных ветвей содержит лишь одно дерево, то в исходном дереве име-
имеется вершина степени 2. Здесь v обозначает одновершинное дерево. Ука-
Указанное представление сохраняет меченый вес и Н = х(еп— Н). Требуемый
результат получается после применения к этому уравнению операто-
оператора x(d[dx).
(б) Рассмотрим множество, получающееся поочередным выделением каж-
каждой меченой вершины в каждом дереве t^.36. Это множество есть (sd/dsK6,
где мечеными «-объектами являются помеченные вершины. Его можно полу-
получить по-другому, рассматривая два случая.
Бели выделенная вершина соседствует с немеченой одновалентной верши-
вершиной, то искомое множество взаимно однозначно соответствует 36. Если выде-
выделенная вершина не соседствует с немеченой одновалентной вершиной, то она
лежит в некотором дереве t\ из списка ветвей t. Таким образом, t\ — некоторый
элемент из (sd/dsK@. Дерево, которое остается, если из t удалить t\ и соответ-
соответствующее ребро, есть либо A) некоторый элемент из 36, за исключением {v},
либо B) помеченное дерево с единственной вершиной степени 2, которая со-
соседствует с немеченой одновалентной вершиной. Множество деревьев B) пред-
представляется как {v}*36. Окончательно имеем представление
^зе+зе 0 (-g зе) *{зб- м О (М *
сохраняющее меченый вес. Из него непосредственно следует дифференциаль-
дифференциальное уравнение п. (а).
3.3.27. Из циклового представления для функций получаем, что искомое
число равно [хп/п\] ехр (Тк/к), где Т = хет. По теореме Лагранжа оно
равно
п\ ± [Я"] к4-1 ехр f-АЦ *пХ = (п - 1)! hn~h] У 2^-[еп\
n Ik <bd м|
откуда следует искомый результат.
3.3.28. Из циклового представления для функций и теоремы Лагранжа сле-
следует, что искомое число равно
= n\ i-
откуда следует требуемый результат. Здесь Т = хет.
400-
3.3.29. Из циклового представлепия для фупкций и теоремы Лагранжа по-
получаем, что искомое число равно
[—1
f~ 3/2\ „П-2-21
i=0
откуда следует искомый результат. Здесь Т = хет.
3.3.30. По 3.3.14 искомое число равно
1 V
rm (г, п) = —- ^j к (к — 1) ... (к — 771 + 1) dh (г, п) =
1
так как > dft (г, га) zkxn/n\ = ехр | Г + -у Г + ... + — Гг + ... |. Но Г =
= жег и хТ'=ТA — Т)~\ поэтому Trm A — Г) = х (T^'/rm. Применяя
теорему Лагранжа, получаем
п-Ц (тгт
откуда следует искомый результат.
3.3.31. (а) Если /[т+*]A) = /[*]@ Для всех г, то fw(i) является периодиче-
периодическим элементом при всех i. Таким образом, каждая переходная вершина нахо-
находится на расстоянии не более к от соответствующего корня. Длины всех цик-
циклов—делители т. поэтому /[m](/[*]@) =/tft]@- Искомый результат следует
из циклового представления для функций.
(б) Из представления помеченными ветвями для помеченных корневых
деревьев непосредственно получается, что Тк = я exp Tk-t (k^i). Следует
иметь в виду, что Т0(х) = х, так как Т0{х) перечисляет помеченное дерево,
состоящее из единственной вершины.
3.3.32. Из циклового представления для функций и теоремы Лагранжа по-
получаем, что искомое число равно
= (п- 1)! [Хп
откуда следует искомый результат. Здесь Т = хет.
3.3.33. Из циклового представления для функций и теоремы Лагранжа по-
получаем, что искомое число равно
?] ехр {Т (х)} = 4 I*"-1] е* И" = (и + D",
где Т = хет. Это число, конечно, совпадает с числом лесов из корневых поме-
помеченных деревьев с общим числом вершин, равный п.
26 я. Гульден, Д. Джексон 401'
3.3.34. С каждым из интересующих нас наборов свяжем некоторый неори-
неориентированный граф на множестве вершин {1, 2, ..., га}. В этом графе вершины
i и / соединены ребром в том и только том случае, если точка пересечения
прямых h и 1} входит в набор. Получающийся граф содержит га ребер, не со-
содержит петель, является простым, и каждая его вершина имеет степень не
больше, чем 2. Но поскольку сумма степеней всех вершин равна удвоенному
числу ребер, то степень каждой вершины равна 2. Следовательно, графы, соот-
соответствующие нашим наборам, образуют покрытия полного графа Кп циклами.
Но такие покрытия были перечислены в [3.3.6F)], откуда получается иско-
искомое число.
3.3.35. Экспоненциальная производящая функция для перестановок равна
(по цикловому представлению) е(и~1K[A— ж), где и маркирует единичные
циклы (не экспоненциально). Поэтому математическое ожидание числа циклов
длины 1 при га ^ 1 равно
u=i
- ¦»•=[хП] *2 A ~xrl -
,1 e_L[l
H ral L n\ \ {du
Дисперсия при га ^ 2 равна
¦h- [?] {й {e(u~1)x A -xrl)
3.3.36. (а) По 3.2.13 искомое число равпо
(б) Из п. (а) следует, что искомое число равпо
откуда получаем нужный результат.
3.3.37. По матричной теореме о деревьях производящая функция для остов-
ных деревьев графа Кп, в которой и маркирует рэбра в Кт, равна
cofnn ({(m(B - 1) + га) Im ф Шп_т) - {(и - 1) Зт ф 0n_m} - Jn) =
= а
—
АГВ
где
A =
a a = (m(u — 1) + n)mnri~m~1. Но no 1.1.10 E) это равно
1
а
1„ —В
т (и —
га
т »
(и
:—1
= (т(и—
(ы — 1)+га х га т(и—1) + га
Искомое число равно коэффициенту при и{ в полученном многочлене.
402
3.3.38. По матричной теореме о деревьях искомое число равно
где
Г т1п |-Jn,m]
C°Wm,n+m — 1 „j = I (mln .
_г) _ Атв |f
_ГО...О 1...Л Г1 ... 1 0 ... 07
[l ... 1 0 ... 0j2X(n+m-l)' L° • • • ° 1 • • • lj
j2X(n+m-l)'
Тогда по 1.1.10 E) число остовных деревьев равно
1 —1
„п„т-1
1—771
т
3.3.39. По матричной теореме о деревьях искомое число, с учетом 1.1.10 E),
равно
-1
coL
— 1 ... —1 0 ... 0
п—т—1 т
— 1
0
П —771—1
= „n-m-2 (n _ цт-l (n _
3.3.40. (а) По матричной теореме о деревьях имеем
— Г
circC, —1,0, ...,0, —1) ...
= cof
n+l,n+l
— 1 ... —1
-1
= icirc C, - 1, 0, ..., 0, - 1) | = Д C-0)" -
где со = е2"*/" (см. [1.1.17]). Таким образом,
'»=ПC - шЬ - 0)~ft) = а~пU (а - aft) (а - Ю~Л)-
ft=0
где а=C —
5). Ho
Д (a - со*) = Д (a - со"") = an - 1,
ft=0 fe"=0
так как {со0, ш1, ..., ш"-'} = {со0, со, ..., ш-'"'} есть множество
многочлена хп — 1. Поэтому („ = а-"A — апJ = ап + а~п — 2, откуда
дует требуемый результат.
26*
корней
и сле-
403
(б) Из и. (а) получаем, что
tn = if (з - ш* - ш-*) = nff C - e2feni/n - e-ikni'n) = Д1 C - 2 cos Щ.
Ho cos Bкп/п) = 1 — 2 sin2 (knjn), и утверждение доказано.
3.3.41. (а) Остовные деревья графа g, не содержащие ребра е — это ос-
товные деревья g — е. Те же остовные деревья, которые содержат е, как
легко видеть, однозначно получаются из остовных деревьев графа g • е.
Отсюда и следует искомый результат.
(б) Число остовных деревьев графа g^ равно
t(g-e)+K(t(g)-t(g-e)),
где первое слагаемое дает число деревьев, не содержащих ребра е, а второе
слагаемое — число деревьев, содержащих копии е. Окончательно,
*(«*¦) = М («) - (Л-1) *(*-«)•
(в) Пусть Vn — граф, получающийся соединением отдельной вершины с
каждой из п вершин некоторого пути, как показано на рисунке.
п
Аналогично определим следующие графы:
п ' ' п
Пусть юп, vn, ип, хп, уп — числа остовных деревьев графов, обозначенных
соответствующими прописными буквами.
Сначала рассмотрим ребро на внешнем цикле Wn. Применяя п. (а),
получаем
ш„ = vn + Уп-i-
Используя п. (б) при К = 2, получаем
Исключение yn-i Дает
Шп — 2lPn-l + Ип-! = !>я — ^п-2 ДЛЯ П > 3. A)'
Далее рассмотрим «спицу» колеса. Применяя п. (а), получим
Wn = (»я-1 + Vn-i) + «n-i.
Используя дважды п. (б) при К = 2, получаем
*„_1 = 2мп_, — м„_2 = 2Bу„_, — i;n-2) — Bvn-2 — Уп-з) = 4o»-i- — 4fn-i+ »я-з.
404
Подставляя это значение хп-\ в предыдущее выражение для шп, приходим к
уравнению
ш„ —ш„_] = 5у„_1—4уп-2+Уп-з для га>4. B)
Наконец, используя пп. (а) и (б), получаем
Vn = Vn-l + Un-h Ип-I = 2l>n-I — Vn-2,
а после исключения Kn-i получаем уравнение
vn — Зуп-1 + Vn-2 = 0 для га > 3. C)
Используя C), исключаем из A) vn, а из B) уп-з (заменив в C) п на
ге — 1). Это дает
ш„ — 2шп-1 + w-я-г вт Зуп-i — 2гп-2, ,
и>п — ю»-1 = 4rn-i — г>„_2,
откуда, исключив уп-2, приходим к уравнению
н>п — н>п-2 = 5уп-ь E)
Наконец, с помощью E) исключаем из D) i>n-i, а затем уп-г (заменив в
E) п на п — 1). В результате получаем
5ш„ — 5шп_1 = 4(ш„ — шп-г) — (н>п-1 — »п-з) для га > 4,
откуда следует искомое соотношение.
Решение этого рекуррентного уравнения дает ответ на [3.3.40 (а)]. Рекур-
Рекуррентное уравнение задачи этого пункта можно также получить, разлагая оп-
определитель в матричной теореме о деревьях.
(г) Пусть Нп обозначает следующий граф:
п
Применяя п. (а) к Ln, получаем
t(Ln) = t{Ln-i) + t{Hn-l).
Применяя затем п. (а) и п. (б) для X = 2, приходим к соотношению
Подставляя это значение t(Hn-i) в предыдущее соотношение, приходим к ис-
искомому результату.
(д) Искомое число t (Ln) равно аа™ -(- ^а^» гДе aii <*j — корни уравнения
х2 — 4г + 1 = 0 (ai = 2 + УЗ, ссг = 2 — УЗ), при этом а, Ь должны быть выбра-
выбраны так, что t(L\) = 1, t(L2) = 4Поэтому aai + ba2 = l,aaj + ba| = 4, откуда
6~ «,(«!-«,) — 2УЗ-
3.3.42. (а) По лемме 3.3.22 искомое число равно
405
где /4 = zxt exp {aufi + ... + aikfk) (s = 1, 2, ..., к). Из многомерпой теоремы
Лагранжа для одночленов (см. 1.2.13) получаем
/VI (^ ... nh)-i 216 4Л - Ц01| X
h
где 2 Ич;= nj~Sjc. Поэтому ненулевой вклад в эту сумму дает лишь член
с ц = D, что приводит к требуемому результату.
(б) По п. (а) искомое число %с(п, Т) равно 2ec(D)> г«е суммирование
D
ft
производится по всем таким D, что 2 ^у = nj ~ fyc и ^<s = ^, когда Тц = 0.
Если 6С = F1с, ..., б*с), то
(в, Т) = TV! (Я1... Ял)-1 [х-8с] 2 (И П ("PiTtiWty ) X
D^O U=lj=l J
i=i
= N\ (Bl ... „ft)-i [Xn-6C1 exp f 2 2
X cofcc 6y ( 2 »^ГН ) - niX-Ti}
L w=i / Jfexft
так как 2 x* («О8 («) = S (x) exP {2 xj\ если g (x) полилинейна. Таким
образом,
р,
Xc (в, T) = TV! („ ... nft)"» cofcc Гбу f 2 «jro) - «{Гу 1
X
X [x*-1] exp 2 *i S niTy '
lj=l i=l J
откуда следует искомый результат.
3.3.43. Это фактически утверждение [2.4.21], в котором по матричной тео-
теореме о деревьях определитель есть не что иное, как число направленных внутрь
остовных древеспостей.
3.3.44. По 3.3.25 искомая производящая функция получается заменой в мат-
матричной теореме о деревьях ац на x&j, так как ребро a,j дает вклад, равный 1,
в степени обеих вершин i и /. Поэтому, если х = х\ +... + хп, то
Г (*1Э ..., хп) = cofn [*{я6у- xiXj]nxn=
= х\ ... *« det {М
учитывая 1.1.10 E).
406
3.3.45. (а) Для a e # — {e} пусть CTi — последовательность, предшествую-
предшествующая первому появлению 1 в а, Стг — последовательность между первой 1 и вто-
второй, а Ста — последовательность после второй 1. Тогда CTi, a2, Стзе#, так как
любой элемент i > 1 принадлежит только одной из О], Стг, Стз- Принимая за s-
объект элемент алфавита, получаем, следовательно, представление
-? (Я - {8})=? Я3: о ~ (o1? ст2, 03).
Очевидно, что при непустой в\ на месте первого появления 1 в а имеем спад,
а при непустой сг2 спад имеем и при втором появлении 1, поэтому
-^E-1) = (/(В-1) + 1JВ, где ?@,/) = 1.
(б) Разлагая левую часть равенства B'(f(B— 1) + i)~2B~l = 1 на простые
дроби, получаем
/ + /B)-2} - (i-/)».
Интегрируя и используя начальное условие 5@, /) = 1, приходим к соотно-
соотношению
или
lo
Обозначим log{B(l —/ + /S)-'} через Н(х, /), тогда Я=а + /ф(Я), где а
= A — f)\ a ф(Я) = ен—-1. Используй [1.2.4], получаем
! + /(!- /Г1 В = {1 -
откуда следует искомый результат.
3.3.46. (а) Пусть 9s + обозначает множество всех перестановок на множестве
«-меток УГП для в > 1, а е — пустую последовательность. Тогда имеем
~ (?+ - {!}) =* ({8} • <^) и (*+ • *+.) й (*+ * W) : CTilCT2 ^ (°1- °.)'
Члены {е}«^+ и ^"+«{8} соответствуют случаям, когда 1 находится в пере-
перестановке иа первом и последнем местах. Но 1 всегда означает спад в Oilo2, ес-
если Oi ф е, поэтому
-?¦ (е - ж) = g +/g2 + /g, где g@,/)=0.
(б) Пусть h = 1 + g, тогда ft удовлетворяет уравнению дй/дж = /g2 +
+ (!—/)?. где й@, /) =1. Это—частный случай уравнения 1.1.8A) при
а = /, 6 = 1 —/, а = 1, и из 1.1.8 B) получаем его решение:
h(x, z) = е('-/>*{1— /A— /)-i(e(W>*— 1)}-'.
Приходим к искомому результату, так как g = h — 1.
407
(в) Пусть F — F(x, bi, u2, u3, u4) —производящая функция для непустых
перестановок, где щ маркирует локальные минимумы, иг — локальные максиму-
максимумы, из — двойные подъемы, и4 — двойные спады, а х маркирует экспоненциаль-
экспоненциально длину перестановки. Тогда из представления в п. (а) получаем
или
Это — уравнение Риккати, и мы решаем его, полагая F= (—l/uiG)(dG/dx),
где G@, щ, иг, м3, и4) = 1. Приходим к уравнению
( + )+C °
Решение этого уравнения имеет вид G = Ае l -f- Be 2 , где c^oSj = f
а Ki + с&2 = u3 + в4. Поскольку G@, bi, иг, u3, u4) = 1, a F@, щ, вг, из, и4) = 0,
то 4 + В = 1 и
uxG дх
Поэтому
ж=о
следовательно,
Л'У dG
и задача решена.
3.3.47. (а) Множества последовательностей в зФп, 38п, содержащих га,— это
зФп—J^n-i, Яп—31 n-i. Получаем следующие представления, фиксируя первое
появление га в таких последовательностях:
* -л. X {"} X «*п»
X {") х Лп-
Первое представление получается ввиду того, что первому появлению га доляша
предшествовать альтернирующая последовательность нечетной длины, не со-
содержащая га, а после га должна следовать альтернирующая последовательность
нечетной длины, которая может содержать п. Из этого имеется лишь одно
исключение — последовательность {га}. Второе представление получается ана-
аналогично. Так как производящая функция для {га} есть хп, то
Вп — Bn-i = ХпАп-\Вп, га ^ 1.
Полагаем, что пустая последовательность входит в 3Sn, так что ?п@) = I, а
Л„@)=0, га>0.
408
(б) По определению имеем
Dn = CnDn-Cn_,Dn_, = Cn(Dn-Dn-i)+Dn-i(Cn-Cn-i) =
= CnVDn
M\_ J_ _1 Cn-i~Cn ~VCn
(в) Из пп. (а) и (б) имеем
уяп+1 уяп
+
Но
V I '— ~ '
поэтому
хпНп-1
ХПНП-1
( -1 )
xn+l"nxn"n—i
+
xnxn+lHn-i
-( { )
*+l)V{x«+lHnl
ХПНП-1
xnxn+i"n"n—i
следовательно, o;n+1V2//n+1 - Vffn+1 (яп+1 - xn) + ^n+i^n-i = °- TaK KaK
VvB+I(A)=xB+,Yn(A —1),
TO
^n+lV'Yn+i (*) = VYn+1 (*) K+i - *») + 4^+iVn-i (* - 2)-
Сравнивая полученные формулы, приходим к
я»= 2 {~i)k{c1ynBk) + c2y
>
Так как ffn@) = 1, то а = 1; так как Л„@) = 0, то(УЯп+1)/жп+1 jx=o = 0.
Следовательно, с2 = 0 и Яп = 2 (— l)ft Yn B*)- Учитывая, что 4„ = (УЯ„+1)/
/(—a;n+iffn), получаем искомый результат,
(г) По предыдущему
Так как VBn = a;nBn4n-i, то Вп =с1Нп, где с определяется условием 2?„@)
=i 1. Но Яп@) = 1, поэтому
3.3.48. (а) Представление помеченными ветвями (см. 3.3.9) непосредст-
пенно дает A).
409
Пусть теперь 98% и 98м— подмножества 98, в которых соседняя с корнем
вершина имеет метку 2 и максимальную метку соответственно. Пусть в дере-г
ве t е 98 — 98м соседпяя с корнем вершина имеет метку i. Рассмотрим дере-
дерево *i, получающееся из t переменой местоположения меток i и i + 1. Ясно, что
t\ e 98 — 982. Поэтому
1я — -Я м —*¦** — '"а- 1 'х'
причем t\ имеет на одну древесную ипверсию больше, чем I. Таким образом,
В(х, q)-BM(x, q) = д~ЧВ{х, q) - Вф, q)}, (•)
где Вг(х, д) и Вм(х, д) —производящие функции множеств 98% н 98ы.
Рассмотрим дерево t2, получающееся из t e &2, если удалить его корень,
а вес оставшиеся метки уменьшить на 1. Очевидно, что t2 e ¦&. Наконец, дерево
(Зе^ получается из t e 98М удалением корпя п замепой максимальной метки
па 1. Тогда
где дифференцирование соответствует удалепию корня. Легко видеть, что tj
имеет с t одипаковое число инверсий, а гз имеет па п — 2 инверсии мепьше
(га — максимальная метка в t). Таким образом,
й Я
-fte В* (х' «) = А (х' Я), -fa BM (x, q) = д-гА (хд, д).
Дифференцируя (*) по х и заменяя дВ^/Ох и дВ^/дх полученными выражепия-
ми, получаем B).
(б) Выразим (д/дх)В(х, д) в B) из п. (а):
— В (х, д) = A - д)~г {А (х, д) - А (хд, д)}
и подставпм в правую часть A) из п. (а). Получим
-^ А (х, д) = ехр {A - ?)-1 (А (х, д)~А(хд, д))}
или
(q_ 3 fzz*(^l} = ехр I' \ <**' ^ }. (*¦)
дх { I — д } [ 1 — д J
Положим ехр{— А(х, q)/(l — g)}— ^ ап(ч)хП/п" Сравнивая коэффициенты
при хп/п\ в обеих частях (**) для га ^ 0, находим, что (д—l)an+i(?) =
/п\
= дпа„(д), откуда %(?)=(?—1)—"дчг^ поскольку ao(g) = 1. Задача решена.
3.3.-50. (а) Рассмотрим дерево, являющееся путем Т, вершины которого по-
мечепы по порядку 1, га, га — 1, ..., 3, 2 (начиная с корня). Тогда каждая из
| Т ) пар i, j для 2 ^ i < / ^ га дает точно одну инверсию. Таким образом, Т
является графом на га вершинах с максимальным числом древесных инверсий,
410
I I
поэтому An{q) есть многочлен степени I I от q, так как имеется лишь ко-
конечное число помеченных деревьев на п вершинах,
(б) Из [3.3.48 (б)] получаем
Ап @) = й 1 (~ l°S A ~ *)) ¦= (» ~ D1
(в) АпA) есть число помеченных деревьев на п вершинах. По теореме Кэ-
ли (см. 3.3.10) оно равно пп~2.
(г) По [3.3.48 (б)] имеем
X X
cos -я- + sin -z-
2
— = sec x + tg x.
cos -7Г — sm -5-
3.4.1. Рассмотрим представление 3.4.1 и пусть х и у маркируют меченые
строки и столбцы, г маркирует единицы, а и и у маркируют нулевые строки
я столбцы. Так как Я не содержит матриц с нулевыми строками или столбца-
столбцами, то по 3.4.3 оно перечисляется функцией е~х~у 2) *V A + z)^/i\]\. Любые
строка и столбец в матрицах из множества Z состоят из нулей, поэтому Z пе-
перечисляется функцией еи1+"». Из представления 3.4.1 следует, что искомое чис-
число равно
[zW — ?*!_1 ,*(u-i)*v(»-i> V *х_ У*.
ml .! J _4 II /I
il>0
откуда следует требуемый результат.
3.4.2. По 3.4.9 производящая функция для ^2 равна
а производящая функция для Ж?, равна Кг(х, у, и) = Лг(а:, и(е»—1)), где
а: и j/ маркируют меченые строки и столбцы, а и маркирует несовпадающие
столбцы. Искомое число равно
откуда следует требуемый результат.
411
3.4.3. Используем представление 3.4.7, при этом пусть х и у маркируют-
строки и столбцы, и маркирует несовпадающие строки, a v — несовпадающие-
столбцы. По [3.4.2] производящая функция для Жг равна
так как в данном случае все строки различны. Производящая функция донг
^ ® «Р2 равна
B
Поскольку в рассматриваемом случае строки не пусты, то «сомножитель» W
в представлении 3.4.7 следует опустить. Поэтому искомое число равно
= IV х- ill {eV-ife-™ У ("(l-P)**)*' V ^1 f B) ) =
L ml re!j ,>o 2;Я «Й l! U-/j
=f i f;)tn (- ^H -! 2
откуда следует искомый результат.
3.4.4. Производящая функция для множества всех подмножеств Л"ь равна
ТТ A -)- х,\" , где xj маркирует подмножества мощности /. Это следует из
(к\
того, что любое из I I подмножеств мощности / может либо принадлежать по-
покрытию, либо нет, поэтому его производящая функция равна 1 + xj. Рассмат-
Рассматривая всевозможные значения к, получаем производящую функцию
*. *i. *,.•¦•) = 2 -?П
где z маркирует меченые элементы Jfh. Однако множество &~, для которого F
является производящей функцией, однозначно представпмо как совокупность
множеств, состоящая из покрытия некоторого подмножества ос е Jfk и одно-
одноэлементных подмножеств Jfk — а, не входящих пи в одно множество покрытия.
Поэтому &' р? S'*&', где б'—искомое множество покрытий с производящей
функцией C(z, an, X2, ...), a «F — множество, содержащее элементы, не покры-
покрываемые элементы из ST. Производящая функция Ж равна ez, следовательно,
C(Z, Xl, X2, ...)= e~zF{z, Xi, X2, . ¦ ¦).
Искомое число равно
412
3.4.5. Пусть М(х, у) — производящая функция для множества всевозмож-
всевозможных матриц над Л*„, a D(x, у) — для матриц с различными строками и раз-
различными столбцами, причем х и у маркируют экспоненциально строки и столб-
столбцы соответственно. Тогда
i>0J»0 ' 1>О
Поскольку произвольную матрицу можно однозначно получить из матрицы о
различными строками и столбцами, повторяя нужные строки или столбцы, то
1, e*-l) -ЛГ(ж, у),
следовательно, D(z, w) = M(log (I + z), log A + w)). Отсюда можно найти ис-
искомое число:
3.4.6. Пусть М(х, у) — производящая функция для множества матриц над
Jfn, где х и у маркируют экспоненциально строки и столбцы соответственно.
Тогда
Пусть D(u, x, у) —производящая функция для тех же матриц, где и марки-
маркирует в смысле «по меньшей мере» строки и столбцы, все элементы которых
равны i (J = 1, 2, ..., п). Присоединение к некоторой матрице строк и столбг
цов, состоящих из одинаковых элементов, приводит к соотношению
D = {1 + п{еих — 1) + п(еиУ — 1) + (епих — 1) (е»»» — 1)}М{х, у).
По принципу включения-исключения искомое число равно
откуда следует нужный результат.
3.4.7. (а) Пусть х маркирует меченые объекты — помеченные вершины гра-
графа, а у маркирует немеченые объекты — его ребра. Тогда производящая функ-
функция для всех простых графов равна
G (х, у) = ^ ^ A + у№.
так как при каждом т любую из I ™ 1 различных пар вершин можно соединить
ребром, производящая функция которого равна A + j/). Пусть В(х, у)— про-
производящая функция для связных простых графов. Каждый граф можно одно-
однозначно представить как неупорядоченное множество связных компонент,
413
поэтому G(x, у) = охр В (а;, у) И
т™ l\ I „Л 2 )
(б) По п. (а) граф с к компонентами однозпачпо представляется как не-
неупорядоченная совокупность к компонент, каждая из которых перечисляется'
функцией В{х, у). Следовательно, искомая производящая функция равна
3.4.8. (а) Пусть z маркирует компоненты, тогда по [3.4.7 (б)] искомая
производящая функция равна
2#h 2
-2
ft>0 ' \ lm>o
(б) Если rai = га2 = ... = mt = 0, то га^ + ... + mfca;fc == 0, каждое из
Х[, ..., Xk может принимать любое из 1, ..., р значений в GF(p), и число ре-
решений равно рк. В противном случае пусть raj Ф 0 для некоторого I. Каковы
бы ни были теперь значения величин х\, ..., xt-i, zj+i, ..., хк, величина xi
определяется однозначно:
xi= mi2 mfv
Так как т~~х существует (га( ФО). В этом случае имеется ph~l решений.
(в) Рассмотрим п 1 свойств решений: xi = xj, I «S t < / < п. Нас инте-
ресуют решения, не обладающие ни одним из этих свойств. Решениям,
обладающим заданными к свойствами х^ = xj , ...,xi = х- (а возможно,
и другими), сопоставим граф на п помеченных вершинах с множеством ребер
(<i, ;'i), ...., (гЧ, /ь). Если атот граф состоит из i компонент, то решения, обла-
обладающие отмеченными к свойствами, должны содержать точно i групп равных
неизвестных. Перейдем теперь к новому уравнению с i неизвестными, коэф-
коэффициенты которого равны суммам первоначальных коэффициентов при со-
совпадающих неизвестных, соответствующих вершинам одной и той же компо-
компоненты графа. Ясно, что новые коэффициенты могут быть равны 0 только при
l = 1. По п. (б) имеется р г1 решенвй для каждого рассматриваемого
множества свойств.
Примоняя принцип включения — исключения, получаем
(г)
где in = (mb ..., га„).
414
(г) Из п. (а) известно, что
Поэтому
(") n (")
N (m) = p 2 (- l)h 2 pVn С *) + (P - 1) 2 (~ «* *n A. *)
= Kjfp A + *)P + (P - 1) log A + *)},
откуда н следует требуемый результат.
3.4.9. (а) Рассматриваемые графы можно получить следующим образом.
В каждом блоке выделяем одпу вершпну и, отождествляя затем эти верши-
вершины, образуем выделенную вершипу, инцидентную к блокам. Чтобы построить
вез такие помеченные графы, пужпо отождествить каждую из некорневых
вершин полученного графа с корневой вершипой произвольного связного
простого корневого графа. Первая стадия этого процесса перечисляется с
помощью функции х(В'(х))к/к\, где х маркирует корневую вершину. На вто-
второй стадии переменные, маркирующие некорневые вершины, заменяются на
хС'(х)—производящую функцию связных простых графов, укоренепных в
выделенной вершине. Искомая производящая функция получается теперь по
лемме о «-композиции.
(б) Корневой связный простой граф либо представляет собой одиночную
вершину, либо имеет корневую вершину, связанную с к блоками, где к 5= 1 —
пекоторое число. Поэтому производящая функция таких графов равна хС'(х).
С другой стороны, по п. (а) эта функция равна
х+^х(В' (хС (*))*/*! = * ехр {В' (хС (*))}.
Таким образом, хС'(х) = х ехр В'{хС'(х)), откуда В'{хС'(х)) = log С(х).
3.4.10. Каждому графу g из множества 9? всех связных графов сопоста-
сопоставим дерево fs^no следующему алгоритму.
Обозначим через п число вершин графа. При 1 = 0 полагаем Уо=1, а Е<> =»0.
Пусть N(vi) обозначает множество вершин, смежных с у,-. Если N(vi) cr
с {v0, ..., Vi), то возвращаемся к предыдущей вершине. В противном случае
в качество ?><+i выбираем вершину из N(vi) — {v0, ..., fj} о наибольшей мет-
меткой. Положим Ej+i =Ej U {viVi+\}, где vtvi+\ обозначает ребро, соединяющее
Vi с Р|+ь Тогда Еп — множество ребер однозначно определенного остовного
дерева Т графа g.
Пусть (к, I) -~ древесная инверсия в Т и к < I. Если V — вершина, смеж-
смежная о I на пути от I к 1 в Т, то образуем ребро Ы'. Через Ет обозначим мно-
множество всех таких ребер для данного Т. Обозначим E(g), \{g) множество
ребер и множество вершип графа g соответственно. Если \(g') =Л'п и
сгЕG') и ЕТ) то Т является основным деревом, получаемым из g'
415
с помощью описанного алгоритма. Таким образом,
g& Т
|V(g)|=n |V(Dl=n
где ЦТ) обозначает число древесных инверсий в Т. Далее
? 2
что и требовалось доказать.
Приведем пример использования указанного алгоритма. Остовное дерево,
связанное с графом
есть
2
1
где пунктирные линии — это ребра в Ег. Заметим, что древесные инверсии Т —
это C, 5), D, 5), а вершиной, смежной с 5 на пути из 5 в 1, является 2.
3.4.11. Модифицируем 3.4.12 и 3.4.14 следующим образом.
1) Для ЧР. Циклы могут содержать одно ребро или больше. Существует
-2-(t— 1)! циклов на I вершинах при i>3 и 1 цикл при i — 1, 2. Поэтому
=4" f^2+4
4"(xyz)i
4~ ***+4"(xyzJ
i ii
= -j- log A — xyz) ~x -\--j-xyz +-?- (xyzf.
2) Для 3?. Подразделенные петли могут содержать одну начальную вер-
вершину. Имеется t!/2 элементов 2? на i неначалышх вершинах для i^2 и 1
элемент нри i = 1. Мы допускаем также любое число петель в каждой на-
начальной вершине. Таким образом,
=& -а;) ехр {4"
{
= A - ^)-] ехр J-L x2yz A + A - «J»))}.
3) Для .#. Допускаем любое число неподразделенных ребер между лю-
любой парой вершин, они перечисляются функцией A — х)~1. При этом Jfi не
изменяется, следовательно,
Чл (*. У, $ = A - яГ1 ехр {
Таким образом, в обозначениях 3.4.14, имеем
416
я искомая производящая функция равна
Н (*, у,0) = А (х, у, - 1) = A + ху)-1'2 exp f- _L ху + _|- *У }
откуда следует нужный результат.
3.4.12. Следуем решению задачи [3.4.11] с двумя изменениями.
1) Циклы не могут состоять из одной вершины, поэтому Ч^ равна
4 (*»¦>'+4 {т(xj/2K+• • •} ^ i"log A ~ хуг)~1 ~~тху2+т{xyz)i-
2) Мы не размещаем теперь петель в начальных вершинах, поэтому
4 * ( 1)
ехр {4"
{ )
Таким образом, искомая производящая фупкция равна
II (*, У, 0) = А (х, j/, - 1) - A + хуГ1'2 ехр J-L ху + _|_xV} X
откуда и следует требуемый результат.
3.4.13. Будем следовать решению примера [3.4.11] с некоторыми измене-
изменениями. Мы не будем далее предполагать, что в Ж имеется любое число не-
подразделенных ребер, так что теперь Ч^ = A -\-х) exp{z2y2 A — жуа)"},
как в 3.4.14. Любая подразделенная петли при какой-либо вершине должна
содержать не менее двух неначальных вершин, при этом в каждой вершине
помещена хотя бы одна петля, так что ^qx&g = A + ж) ехР \-х- *8У8
Ч. Наконец, в Я2 не содержится циклов с двумя ребрами, поэтому
У _ теперь равна
*ys+4" {"г{xyzK+4"(xyz)l+• • •}=
= -у log A — xyz)~l + -^ xyz — -j- (xyzJ.
Таким образом, искомая функция равна
Я (», у, 0) = А (х, у, - 1) = A + Ху)-1'* ехр (- -L "V - 4" ^у2} Х
х 2 т ^A+х) ехр ^~l2y A + ху)~^ {A+х) ехр
откуда следует требуемый реаультат.
27 я. Гульден, Д. Джексон
3.4.14. По [3.413] имеем
где
j (у) = - — log A + у) - — у - -4- у2 - 2A+»)/2 + ~f~ >
Дифференцируя по j/, получаем
Умножая обе части на 2A + yJgj(y), приходим к уравнению
2 A + yf g'j (У) + {2 - / + f + (* - 2/) У + C - /) J/2 + у3} *,- (</) = 0.
Положим теперь gj (у) = 2 *j (^) У* и приравняем нулю коэффициент
прн у в левой части полученного уравнения:
+ D-27)b,(m-l)+C-/)Mm-2)+Mm-3)-QL
Отсюда следует искомый результат.
3.4.15. Пусть JC, JCao, Jtu-2, Лы, Jfn, 2Г—множества матриц, в которых
мечеными «-объектами и {-объектами являются соответствепно строки и столб*
цы. Рассмотрим @, 1)-матрицы, у которых i строчных сумм и ; столбцовых
сумм равны 1, а все остальные строчные и столбцевые суммы равны 2. Пусть
Jdj есть множество всех таких матриц, не содержащих собственных подмат-
подматриц с теми же свойствами. Множество Э~ содержит лишь матрицу размера
1X1 с элементом 2, а Л — это множество матриц над {0, 1, 2}, все строч-
строчные и столбцевые суммы которых равны 1 или 2. Если °U = {0, Jf\, Л°а, ...},
то справедливо представление
и л00 и ^02 О л20 и <*
которое получается с помощью перестановки строк и столбцов матрицы из Uf,
приводящей ее к прямой сумме матриц из &~, J[0o, -Лог. •Л'го- -^н- Операция
«-композиции относится как к «-объектам, так и к f-объектам. Пусть xit y<
маркируют строки и столбцы с суммой элементов, равной i, для i = 1, 2,
а * и у маркируют экспоненциально строки н столбцы. Тогда искомое число
равно
где Т и Mi) — производящие функции множеств 2Г и JCij, соответственно,—
определены ниже.
1) Очевидно, что Т — хх%уу*.
2) По двум перестановкам pi .. f р„ и Oi ... о„ на Jfn строим матрицу
размера и X и из JCW С единицами на местах (pj, О}) и (pj, oJ+i) (/ = 1, 2, ...
..., и), причем On+i = аи Но если мы проделаем это для всех (nlJ пар все-
всевозможных перестановок, то при и ^ 2 каждый элемент ЛГоо получится ровно
2п раз. Поэтому
ST -Ц! п\ 2" l0g ^ «W») X
3) По перестановкам pi ... рп на Л"п и Oi ... an+i на ./Pn+i строим мат-
матрицу размера «X (» + 1) из .#02 с единицами на местах (pj, o"j) и (pj, Oj+i)
G = 1, 2, ..., и). Если мы проделаем это для всех и!(и + 1)! пар всевозмож-
всевозможных перестановок, то при п ^ 1 каждый элемент Jttn получится дважды.
Таким образом,
4 2п] {п+1)! ж" ^ ^~х еття - 4- *** <wiJ (* - «.w»)-
4) Матрицы в Uf2o—это не что иное, как транспонированные матрицы из
i, поэтому
^го = "Г w« (xxif С1 - «.w»)-
5) Аналогичное построение приводит к
Полагая х = у = 1, получаем искомый результат.
3.5.1. Имеем Г(х) = G(s(x)), где G (в) = (l — 2 (~ 1)i~1 ^l! откуда
Тогда
и по теореме о Г-рядах получаем
Щ Г (б) = (- l)«+t Ег Щ г (б) .. (_ 4,1+1 -L Г
Следовательно,
и по 3.5,6 имеем
Таким образом,
27« 4«
a / Я \
Сравнивая коэффициенты при zf, получаем ^г* Г (С) = Pi ( ^— 1 Г (С), где
/». (Л) = (_ if ?,<.-!> (х), поэтому
Но [j/™/ml] Г (б) равен числу последовательностей Смирнова, содержащих
один из каждых т различных объектов. Имеется т\ таких последовательно-
последовательностей, так как в любой перестановке т объектов соседние элементы не совпа-
совпадают. Утверждение доказано.
3.5.2. (а) По 2.4.18 искомое число есть [х1] A + 2 ^М"*1 где i +
+ 2 4*ft = (l + ж2 + ж3 + .. О = A — ж2) A + ж3), так как максималь-
ные блоки не могут иметь длину 1.
(б) Имеем производящую функцию
G (s) =
откуда д— = Т =, (- I)* G~\ т = 0 для fc> 1.
Же* »ти производные можно выразить через (djds2)G(s):
Умножая на соответствующую степень г и суммируя, получаем
^ 1+J *
Теперь, если f == (/,, /2, ...) = %(i) есть тип i, то [х1] б (s) = [yf/f!] Г (G),
и, применяя теорему о Г-рядах к выведенному дифференциальному уравне-
таю, получаем
Не 2 г"^п (х> = l°S (!+««! + г2х2 +...), а 06/0^ = 0, поэтому
X Г (G) - 0 и
420
Потенцируя, приходим к уравнению
Приравнивая коэффициенты при zi в обеих частях, получаем
Пусть теперь
тогда
\уг]
r (G) - fe:Г@)
=2
=0 т>0
Однако
так как каждый из т типов объектов появляется в соседних парах, п все т\
перестановок этих пар дают множество допустимых последовательностей.
Утверждение доказано.
3.5.3. Производящая функция для помеченных графов (петли и кратные
ребра допускаются), в которой U маркирует степень вершины г, равна
П (i-w1=<*(>(»)),
где G(s)=expf2 (*й + *2ft)/^l' Таким образрм, G удовлетворяет системе
6G
s2h+iG'
Пусть F(y,, у2, Уз) =T(G)(yu у2, уз, 0, 0, ...). Применяя теорему о Г-ря-
дах к предыдущей системе, получаем систему
2Fj-7,,- (l
где F< означает dVjdyi. Искомый результат получается по той же схеме, что
и в 3.5.9.
421
3.5.4. По теореме о Г-рядах получаем:
A)
C)
4F4 - 4F1S - 27a + 4F112 - 71Ш = A - у,) V, D)
где 7t обозначает d7/dut.
Уравнения A), B), C) образуют систему линейных уравнений, из кото-
которой мы исключим Vn, F2 и F3 и получим линейное уравнение E) относитель-
относительно V, 7и 7ц, Fin. Затем выразим каждую из функций Fm, F2 и V3 через
F, Fi, FM с помощью уравнений E), B) и A) соответственно. Используя
полученные уравнения, выразим Fi3, F22, Fn2, Fim через F, Fi, Vn, после чего,
исключая Fis, F», Vm, Fmi из D), получим выражение для F4 через 7ц,
7и V. Далее, выразим Vtt через те же функции. Если yi — уг = 2/з = О, то
коэффициент при V\ в обоих этих выражениях равен нулю, и мы, исключая
F1( из этих выражений, получим уравнение, связывающее V, F4 и F44. Функ-
Функцию 7 при условии yi = у2 = Уз = 0, yt = x обозначим /?*(?). Тогда упомя-
упомянутое только что уравнение имеет вид
i^o dx%
где
ф2(а;) = 16a;2(a: — 1J(г + 2J(a;5 + 2a:4 + 2a;2 + 8a; — 4),
ф, (a;) = —4(a:13 + 4a:12 — 16a;10 — 10a;9 — 36a;8 — 220a;7 —
—348a:8 — 48a;5 + 200a:4 — 336a:3 — 240a;2 + 416a: — 96).
Это уравнение было получено с помощью ЭВМ.
3.5.5. По теореме о Г-рядах получаем
7l. = yl7 + ya7.l +
A)
(!')
B)
B')
C)
3F.3-3F.I2+F.111 = a:3F, C')
где 7t. = dVldxt, 7.s = d7/dys, V(j. = d2Vjdx(dxj и т. д., a F«,j обозначает в
дальнейшем d^Vjdxidyj.
Исключая F2. из A') и B), получим линейное уравнение D) относитель-
относительно 7\\., 7.и 7\., V. Аналогично, исключая F.j из A) и B'), получаем линейное
уравнение D') относительно F.n, F.,, FH F. После этого с помощью A), A'),
D), D') выразим V* 7«, V.,,, 7„. через 9> = {7, 7,.,7.и 7,,,}.
Используя полученные соотношения, выразим Fi2-, F.i2, Fm., F.nl через &
и подставим в C) и C'). Это позволит выразить F.3 и F3., а затем F3,3 и F3S, зэ
линейно через 9>. При хх = а;2 = ух = г/2 г= 0 функции F., и VY. входят в по-
последние два выражения с нулевым коэффициентом, что позволяет исключить
из них 7\, 1 и получить уравнение, связывающее F33,3$ F3> 3 и F. Полагая
422
F@, 0, x3; О, О, уз) =F(x3y3), приходим к дифференциальному уравнению
4
?о dx
где ф4 (я) =81*5 (a:4 — *2+а: + 4); q>s(x) =Шх*(х* — ж* + ж + 4);
<рг(а:) = —9а: (а:10 — 4а;9 + 22а;8 — 8а;7 — 22а:" + 8а;5 + 106а;4 +
+ 234а;3 + 48а:2 — 320а: + 64);
ф1 (я) == —9 (а;1» — 4а:" + 22а;3 — 8а;7 — 4а* + 8а* + 88х* +
+ 252а;3 + 120а;2 — 320а: + 64);
фо(я) = а:'1 — 7я10 + 30а:9 — 16а;3 - 43а;7 + 51а;6 + 238x5 +
+ 630а;4 + 36а;3 — 1944s2 — 1152а; + 576.
Это уравнение было получено с помощью ЭВМ.
3.S.6. (а) Собственное fe-покрытне Лап есть множество различных подмно-
подмножеств, которые все вместе содержат к раз каждый элемент Jfn. Любое под-
подмножество {a,i, ..., at) может либо входить, либо не входить в данное &-по-
крытие. Если Xj маркирует присутствие элемента j e Jfn, то производящая
функция для а = {«ь ..., о^} равна 1 + ха ••• ха., а для всех подмножеств
равна JJ JJA +ха •••ха-) Нам нужен коэффициент при х^...а:^ так как
по условию каждый элемент из Jfn должен присутствовать к раз.
(б) Записывая производящую функцию из п. (а) в виде exp log, получаем
V "V У1 С \ \ГП—Х тт т I
i>i {aсц)с/Г m>i
= ехр
откуда следует искомый результат,
(в) Из п. (б) получаем
1
2
>i
2 dsx 2
Применяя к обеим частям теорему о Г-рядах и полагая у3 = у( = ... = О,
получаем
д i д2 \ 1 6V 1 у
ду~ 2 Qifi J 2 9у 2 '
423
что и требовалось, так как
Таким образом,
Из п. (а) следует, что \х[ ... х^\ G (s) = [y"/n|] 7 есть число собственных
2-покрытий Jfn.
3.5.7. По [3.5.6 (а)] искомое число равно
п
}
Следуя [3.5.6 (б)], получаем
[А* ... ,J] ехр
х*] ехр ( 2 (- I)™-1 ^т
U=i
l (
,*] exp ( J (- ,)-/ml exp ( 2 \Ы?И ,- Д A + *Г)} j =
lm=l J lm= ^ ^1 " J
exp B (-.)-/») n 2
J v^ft5*o «L! ... ufe!2"^ ... kU
X П Г41 A + *;Л •••(! + 4)"" = И exp j ? (- x)m/m) X
j=l tm=l J
ufe>0
и^ ... ufe!2 23 3 ...к к
откуда и следует требуемый результат.
3.5.8. По [3.5.7] число собственных 3-покрытий Jfn порядка t равно
X ехр {у U3] A + Z)l + г2) A + з3)}.
424
Ho [zs] A -f- z) i (l + z2) (l + z8) = u3 + + ( о1), поэтому искомое чис-
число равно
Заменяя щ на г, после очевидных преобразований получаем
^0
Но по построению из 3.4.9 производящая функция для ограниченных собствен-
собственных 3-покрытий получается, если в найденном выражении заменить у на
log A + У), что и дает требуемый результат.
К главе 4.
4.2.1. (а) Пусть Yj обозначает Yj (<)• Если Ф (у) = 2aiV'> гДе » = (*i»
i
г2, ...), то [хг ... zn] Ф (у) = 2 ei lxi ¦•¦ хп] V1- Рассмотрим [г1 ... ж„] у1 =
i
= [х1... хп] ij1 ... Yn™. Этот коэффициент, очевидно, равен нулю, если п Ф
=f= i± + 2^2 + ... -{- ntn. Далее, Yj есть обыкновенная производящая функция
для подмножеств мощности г. Таким образом, если п = гг + 2^2 + ... + nin,
то {х% ... sn] у*1 ... у^правен п\ (l!ll2!12 ... п\%п) х, т. е. полиномиальному
коэффициенту. Используя это, получаем
Iх! • • • хп] Ф (Y) = 2 ain! (l!il2'i2 - "I*") =
i
i1+2i2+...+nin=n
(б) Пусть tj обозначает Yj (+)¦ а Ф(у) = 2aiY!> Тогда уз есть энумера-
i
тор для подмножеств множества Jfn, состоящих из / последовательных эле-
ментов. Поэтому [х1 ... яп] у* ... уп = 0, если п ф i\ + 2h + ... + nin. С дру-
другой стороны, [хх ... хп] уг* ... Уп I it\ ... in\ равняется числу разбиений Jfn на
t = ix + •»• + % подмножеств, состоящих из последовательных чисел, причем
имеется ij подмножеств с / (/ = 1, 2,..., п) элементами.
Такое разбиение можно осуществить й(ц\ ... in\)~l способами, каждый
из которых соответствует некоторой последовательности, содержащей ц еди-
единиц, г2 двоек, ..., sn чисел п. Разбиение, соответствующее последовательности
Oio2 ... at, есть {{1, ..., О\), {о\ + 1, • •., <Ji + 02}, • - •, {01 + • •. 01-1 + 1, • • -
...» а, + ... + ot}}, где ai + ¦ ¦ • + о* = и-
425
Таким образом, [х% ... хп] у\* ... ynn= t\, если п = г, + 2i2 + • • • + nin, no-,
атому
... (*")*" («!+... + gi =
fe>0
Где мы рассматриваем ФA, ху, хгу, ...) как степенной ряд по у, коэффициент
ты которого являются степенными рядами по х.
(в) Пусть "fj обозначает Yj(©)> а Ф (?) = 2 ai V1- Теперь ^ — энумера-
тор для подмножеств множества JCn, состоящих из / с-соседних элементов.
Опять [хг ... хп] у^ ... у„ = 0, если ге т^ f'i + 2г + • • • + ^^п. С другой стороны,
[а^ ... хп] У]1 ... уг™ \ix\ ... in\ есть число разбиений Jfn на t = i\ + h +
+ • •. + in подмножеств, состоящих из с-соседних элементов, причем имеется
1} подмножеств мощности / (/ = 1, 2, ..., п). Каждой из (i— l)!(*i! ... in!)
различных циклических последовательностей с ц единицами, :.., in числами п
соответствует п таких разбиений. (Две циклические последовательности раз-
различны, если нельзя перевести одну из них в другую циклической переста-
перестановкой элементов). Выпишем разбиения, соответствующие циклической пере-
перестановке о*)... о*:
{{imo&n + 1, ..., (»i + 0 modn + 1},
{(ai +1 + i) modn + 1,..., (<Ji + 02 + 0 modn + i},...
{(ai+ ... + ot-i + l + l) mod re+ 1, ,.., (a,+ ... + ot + i) mod n + 1}}
для t = 0, 1, ..., n — 1. Таким образом, [xx ... xn] у[г ... y^ = n (t — 1)|, если
n = ?i + 2s2 + • • • + Шп, причем t — h + i2 +...+ in; поэтому
[xt ... *„] Ф (Y) = [xn] 2 «i» (»! + ••.+ «¦„ - 1)! (x1)*1 • •
i
i
где мы рассматриваем ФA, ху, х*у,...) как степенной ряд по у, коэффициен-
коэффициенты которого являются степенными рядами по х.
4.2.2. (а) Если обозначить
426
то [х\ ... **] Ф (у «)) = 2~n [v1w1 ... vnwn] Ф (i0, tv ...), так как [ур.] х\ =>
= 2 при ж{ = у. -{- иь. Таким образом,
п
h = f"ftl П К1 + viu) (! + ю*в) - ул} =
}>0 i=l
п
где pj = [и;] JJ A + "i^i"). а каждый член в d0 содержит vt или w{ в
квадрате. Тогда
где х = и^! + ... + у„и»„, z = у, + .„ +у„ +1л,+ ... +ц»„, а каждый член
di содержит у« или zoi в квадрате. Далее находим
) Я [^"i • • • "n-^n-i] * (
Кроме того, di не дает вклада в [^1^1.. .vnwn]tk. Полагая dt = 0, получаем
[*« ... *«] Ф (т «)) = 2-" | (" ) Я Bл - 2/)! [Л»-«] Ф («0, tr ...)
(б) По п. (а) и следствию 4.2.7 искомое число равно
Используя соотношение
V t „2ft I
~ Г .11. —•-
получаем, что 2 (~" 1) {tk ~ е% cos z ПРИ и* = —*• Таким образом, искомое
число равно
п
где к = п — /.
4.2.3. По теореме о максимальном цепном представлении имеем F(x)
= 1 + х\ так что F(z)-l= %(~iyxhi и {F-
Поэтому число последовательностей типа i, в которых все максимальные
427
Ягцепи имеют длину к, равно
Гх»] {F-1 о у} = [х1] Г 2 (- i)k yki (я,)}.
4.2.4. (а) По теореме о максимальном цепном представлении имеем
F (х) = 1 + 2 xik = (* — х^~1' так чт0 *"(*)"' = 1 - г* и F-1 о тГз = 1 - г"/*!».
Поэтому искомое число равно
(б) Перестановки в п. (а) состоят из упорядоченных размещений возрас-
возрастающих последовательностей длины к. Но эти цепи могут не быть максималь-
максимальными. Искомый результат вытекает из выражения для ^-полиномиального
коэффициента в лемме 2.6.6.
4.2.5. Энумератор длин максимальных Jii-цепей, в котором в маркирует
максимальные ягпепи, есть F (х) = 1 + и 2 х* = {1 — A — и) х) A — я)
Поэтому
f (*)-i = A - х) 2 A - и)* ** = 1 +
= 1 - м 2 *J" A - и)^1 = A - «г1 A - м 2 **' а - и)'},
{
так что (F <» у) = A — и) fl — и 2 t1 ~ U)J Vj ("i)!-
I J>° 1
(а) По лемме о <-преобразовании искомое число равно
_ и) {1 -
(б) По лемме о -[—преобразовании искомое число равно
[ukxn] 2 и Ь1] fi -» 2 с1 - u)i ^T1 =
«2 (* - «^ г'Т =
= [ukxn] 2 П {^ A - A - и) *) J}4 = [uh] 2 «»* A - ")"~4 f" ~ * V
(в) По лемме о ©-преобразовании искомое число равно
[ukxn] ^ (i - 1)! Iv4 Х-^Ь- иУх A ~ A - ц) ^)}~1 =
г>1
= [икхп] п 2 (« — 1)! "^ A — A — и) ж) ~{ =
428
4.2.6. (а) По [4.2.5] искомое число равно
[Bfcxf] A _ в) fi _ в 2 A - иI Y, (О) =
1 '><• J
_ « Д A
Д
так как Д A + *х}) = 2 Y; (О *'•
(б) Результат следует из п. (а) и 2.4.11.
(в) По [4.2.5] и теореме о максимальном цепном представлении искомое
число равно
Но из 2.6.14B) вытекает, что 2 К1 — ц) *)'//!,= Д (l — A — и) а: A — д) д1)»
ледует требуемый резу
. Энумератор длин мак
F(x)<= 2 ** = 1 + xP+1
i
откуда следует требуемый результат.
4.2.7. Энумератор длин максимальных лгцепей равен
так что
F (х)-1 = A - *) A - х A - хР))-1 == A _ х) 2
Искомое число по теореме о максимальном цепном представлении равно!
И (р-г. й-1 = [ж«] ( 2 2G) (-
где Tf<
4.2.8. (а) Энумератор длин максимальных ярцепей равеп
f {х) = 2 **+" Sxi = 0 - (* -«) жР> (* - *тг'
где в маркирует максимальные ягцепи длины не меньше, чем р. Поэтому
так что
По теореме о максимальном цепном представлении искомое число равно
[ukqmx"fn\q] (F~l о rig), откуда следует требуемый результат.
429
(б) Если в п. (а) положить р = 2 и воспользоваться леммой о Опреоб-
разовании, то получаем, что искомое число равно
где г = A — вI/2.
4.2.9. По 4.2.7 и 4.2.20 искомое число равно
2
Но очевидно, что
2 (- Dft v2fe«) = 2
ft>0
-f [П c1+p*i)+Д c1 - p^
(используем бисекцию степенного ряда; см. [1.1.9]).
Аналогично получаем
2 +) = _L fДA + P*i)-IK1 -p*i)|-
Поэтому искомое число равно
\А B - р д A+р*,-)+р П с1 - р^I (II (* + р^)+П с1 - р
4.2.10. По теореме о максимальном цепном представлении с выделенной
последней цепью имеем
* (*) = i + и 2 *" = (* - 0- в> **) (* - **)~1«
G (г) = и 2 xit4 = их*~* A — «О,
где / < t, а в маркирует максимальные цепи. Тогда
^ (х)-1 G (г) = и 2 <! — иУ
По лемме о -^-преобразовании искомое число равно
= I a" ill A - в)»/* ф<*-Л (* A - и)Ш) {1 - и(р<») (х A - аI")].
4.2.11. По теореме о максимальном цепном представлении с выделенной
последней цепью искомое число равно
430
где
F {x) = 1 + и 2 xl = (l — x + их1) A — жр1, a G (x) == и 2 ** = их1 A —
— ж). Поэтому F(x)~1 = (l — x)(l — x + uxt)-i, a F (хр1 G (г) = их' (l —
-x + ux*)-1-
Пусть pi, ..., pt — корни уравнения P(x)= 1— х + вх'=0. Все они
различны. Чтобы убедиться в этом, предположим, например, что Pt = рг.
Тогда pt является корнем Р'(х)= 0, т. е. «иР* = 1 и tu$[ = $у Но /)(Р1) =
= мР'—Рх + 1 = 0, следовательно, tu$\ — P1t + ' = O и p! = t/('—!)•
Но легко убедиться, что P(t[(t — 1)) =5^0, следовательно, корни должны быть
различны.
Пусть а1 = PJ, ..., at = Р^ — корни уравнения z* — z'-1 + в = 0. Все
они различны. Тогда P{x) = (i — ац). ..A — atx), F(x)~l =A — х) A —
—ctiz) ... A — ostip1, i?(x)~IG(x) =s вх"A — atx)-' ... A — ajx)-'. Разлагая
эти выражения на простые дроби, запишем
По лемме о <-преобразовании, поскольку Ai, B< не зависят от х, искомое
число равно
¦ 1—1
к1 о "ix
Чтобы определить At, Bt для всех i от 1 до t, умножим обе части выра-
выражения для F~lG на Р(х):
t
их" = 2 Af (х) A _ af)-1.
i=i
Полагая х = а^, находим:
pw Г1 ^(«Г1)
= - ua («ио7 -1) = at («Г" ~ О-
Аналогично получаем, что
В, = (а, -1) аН («J-i _ ut)~i = (t - B-'««-i)-»f
так как (ах — 1) а' = — и вследствие того, что а* — корень уравнения
z* — z*-I + tt = 0.
Таким образом, искомое число равно
J U=X ai u Ц ti=l J u ai I
4.2.12. Максимумы представляют собой последние элементы в нефи-
нефинальных, максимальных iti-цепях длины не менее 2. Поэтому искомое число
431
равно
[г'в»«, ... xn](F^G
где и маркирует максимумы, г маркирует подъемы, а
F(x) = l + x + u 2 г{~гх{ = A — (г — 1) х + (и — 1) гх2) A — г*),
G (я) = 2 ri-V = а: A — гаг).
Отсюда находим
*¦(*)-« = (l-r*)(l-(i—1)* + (и-1)гхг)-',
F(x)-'6(a:) =жA —(г—1)а:+ (a—ljne2)-1.
Если pi, р2 — корни уравнения z2— (r— l)z + (и— 1)г == 0, то pi и р»
различны и 1—(г—1)х + (и—1)га;2 =A —р[а;)A —р2г). Снова рассмотрим
разложение на простые дроби:
Отсюда
-AiPa + ЛаР, =— 1, Л, + Л2 = 0, Ср» + С& = г, С,
Решая эту систему, получаем: Аг =—(р2 —pi), -4г=(Рг — Pi), C\ =
= (г— pi)(p2— pi)"', С2= (рг — г)(р2— Pi), так что, применив лемму
о <-преобразовании, находим, что искомое число равно
где р,р2 = г(и— 1), р1 + р2 = г —1. Пусть теперь ai = r —Pi, a2 = r — fb,
тогда искомое число будет равно
[г Ь г™
u n\
(r—a2)x i Л-—06t\xi—l
~a2e +«xel ' =
[г Ь хП\( «,ж Я*х\ ( a2x aix\~!
где a, + O2= (г-р,) + (г-р2)=2г-(р1 + р2) = г+1, a,a2 = (г—р,) (г —
—p2)= r2- r(p, + p2)+ p,p2 = m.
4.2.13. Энумераторы максимальных лгцепей равны
G(x)= а? + х* + ... = *2A - х2)-1
Тогда по теореме 4.2.19 искомое число равно
B+401 .^(-1O2ог
откуда следует требуемый результат.
432
4.2.14. (а) Лемма о <-преобразовании и следствие 4.2.12 дают нам иско-
искомое число:
(б) Лемма о -f-преобразовании и 4.2.12 дают нам искомое число:
'хп] У A;! [yk] (l 51 (u — l)i—1 Ух*\~1 = [Лп] 5j k\xk A — (и i)x)~~h.
(в) По лемме о ©-преобразовании и следствию 4.2.12 искомое число есть
-1)! и * ж (i - 2(м - 1)f~x
= [в»*я] 2 (* - i)ix i ix и - (»-1) г)~1)й =
= [Лл] 2 *l*k {1 - (и - 1) ^}~ft {1 + (и - 1) * A - (и -
4.2.15. (а) Рассмотрим разбиение (oti, а2) множества Ху^Ж, Ж = Jf\,
в котором ((ib ..., it)r, (/i, ..., /j)r)eai, если (i;, jijen, для J = 1, ..., ft.
Далее предположим, что элемент i= (ib ..., h)T маркируется z.. Мы можем
теперь воспользоваться полученными ранее результатами, если заменим
алфавит JT+ на Ж, jit на at, a xi на zs. Тогда энумераторы агцепей на
Ж, if«(ai)i равны 2 zT^°^ где z есть вектор с компонентами zit
расположенными в некотором каноническом порядке, а г (а) состоит из
частот появления соответствующих векторов i в а. Теперь, если zi =
— ХН ха •••хЫг, маркирует появление вектора i == (h, ..., ?*)г, то if«(ai) =
12 и
= у(щ, Xi) ... "(i (Я], Xi), где zjj маркирует появление элемента /s.f+ в
последовательности ?-х компонент элементов из Ж. Таким образом, искомое
число равно
что непосредственно следует из 42.12.
(б) В каждом случае нам нужен коэффициент при и'хц.. ,хщХ2\.. .х2п- •.
.. .xhi.. ,х\п в функции
f 1
\
- 2 (» ~ I) Ут К, *!)... Тт («!,
1) Если лемму о <-преобразовании применить одновременно ко всем
векторам х\, ..., х», то получим искомое число:
„т т) -1
[7п .л] {
28 я. Гульден, Д. Джексон 433
Если положить ziz2.. .zj, = х, то это выражение будет равно
2) Применяя лемму о -{—преобразовании, находим коэффициент при
2 «1» • • • и № • • • <k] Ii - 2 (и~1)т~1 »1«Г • • • wZT1.
который сводится к
[и3>] 2 (*!)* [И] f 1 - S (и - l)
i>0 \ $
3) Применяя лемму о ©-преобразовании, получаем
h
x(i-
2
= »* l«j (f! • • • Zfe)nJ 2 «' - «О* (Zl • • • 'j A ~ (« ~ i) «! • • . *k)
= nh [Лп] 2 ((J - l)I)fe xl A - (и
4.2.16. По [4.2.15] и следствию 4.2.12 искомое число равно
f u<xi1X22] I1 + A - Mpl 2 (» -
так как ут (=, x2) = a:™ + a:™ + ... Ho
2
поэтому, изменяя порядок суммирования и полагая z=(b—1);г2< поочеред-
поочередно для i =. 1, 2,..., получаем решение:
Wixb] /1 + A - «г* 2 Щ (* + (»-
4.2.17. Пусть xl = (xai+v...,xai+il)(l = l1 ..., /га), а х=(хь ..., Xm).
По следствию 4.2.12 искомое число равно
Ух1] г 1 - 2(» - ц1-'ъ (+. «Л.
I «» J
но в обозначениях [4.2.15] имеем fi(+> x)=Yi(+» х0 + -•• + "M+i х> TaK
как вй+i > Uh+ik (к — 1, 2, ..., т — 1). Применяя лемму о -{--преобразовании
434
одновременно к т алфавитам последовательных целых чисел, получаем
У г}] 2 к! [у*] A - 2 (и - I)' (у А +...+ Vi
где z=(zi, ..., zm). Этот коэффициент нетрудно преобразовать к виду
У г1] 2 * (k)! zk A - (и - 1) zj'^... A - (и - 1) гт)~"Ч
к>0
откуда следует требуемый результат.
43.1. Пусть g} и f] маркируют соответственно финальные и нефинальные
максимальные ЯрЦепи длины / ^ 1. Тогда из 4.3.12 следует, что искомы©
производящие функции имеют вид
- 2 /i+i^'B)-1 S ^+iA'V г = !•2-
Таким образом, пам нужны ^«@A —H)-"D), где С=Л, H = /(A)B,D =
f(x) = /] + /2г + ..., g(z) = gi + ^2^ + • •. Факторным разложением является
Н = К — LiWRi, где К==— /(A)A, L[=—/(A), Rr = I. Поэтому по теореме
об исключении (при s = 1) искомые производящие функции равны
и, аналогично,
4.3.2. Пусть ej, gj и /j маркируют соответственно начальные, финальные
и остальные максимальные Jit-цепи длины / ^ 1. Тогда из 4.3.12 следует, что
искомая производящая функция равна
Она имеет вид Vi(C(I — H)-'D), где С = е(А)В, Н = /(А)В, D =. g(A),
e(x)=ei + e2x+..., f{x) = ft + /2ж+..., ^г(г) = gt + ^2г + Факторное
разложение для Н, полученное в 4.3.12, имеет вид Н = К — LiWRi, где
К = —/(А)А, 1ц = —/(A), Ri=I. Поэтому I —К=/"(А) и по теореме об
исключении
ЧГг (С (I - И) D) =
, V. (е (A) BF (Ар1 g (А)) - ^ (« (А) ВУ (А) / (А))
11 ' V^F (A)-^(A)) l-^(f (Ар1/(А))
Полагая В == W — А, выразим элементы определителя:
V,(e(A)BF(A)-'f (А)) =(? . f) (F~lG о 4)~ ^
(Я о^){1 - (F-1 . т)} -
28* 435
Искомая производящая функция равна
жак и утверждалось. Конечно, для перестановок и инверсий следует
заменить на %.
4.3.3. (а) Пусть г маркирует подъемы, аи — локальные максимумы. На-
Начальная цепь длины i содержит единственный локальный максимум и (г — 1)
подъемов. Любая другая максимальная <-цепь длины i не содержит подъ-
подъемов и локальных максимумов при i = 1, а при i ^ 2 имеет единственный
локальный максимум и (i—1) подъемов.
Таким образом, пользуясь обозначениями задачи [4.3.2], имеем Е(х) =¦
= и ^ г1** = их A — га), af(i)=l + G(i) = (l-(r- l)x+r(u — 1)х!) X
ХA — гх)~К Используя эти соотношения, из [4.3.2] получаем искомую про-
производящую функцию:
тде F(ar)-1 = A - га) A - (г- 1)* + г(в- 1)х2)~\
•Сравнивая эти выражения с аналогичными из [4.2.12], получаем решение:
х
где ai + (х.2 = г + 1, aia2 = ги.
(б) Как и в п. (а), ? (*) = 2 ^и*** = и^х A - в^), а
(в4 - и3) х + («^в, - V4
F (*) =
Пусть Pi, р2 —корни уравнения 22+(и4—k3)z + (»i»2 — изи«) = 0, тогда
F-'=(l-tt3a:)(l — р,аг)-'A — ргаг), а ?F~' = щхA — pii)-'(l — М- Ис-
Искомый результат следует из разложения F и .EF" на простые дроби, как
в [4.2.12], если полошить aj = в3 — Pi, аа = из — р2.
4.3.4. (а) Полагая поочередно Т = Rb ..., R, в доказательстве теоремы
4.3.8, получаем линейную систему
S(i° + S ^ (Ri (I - К) Lm) 1(т} = 4°. * = 1, ...,«,
где |^> = Тг (Rm (I — H)-1 D). Нас интересуют $\ которые получаем по
правилу Крамера.
(б) Результат следует непосредственно из п. (а) при s = 1, так как
R, = I, L, = —Т, D = U, I — К = S.
¦4 36
(в) Из п. (б) получаем
Vi ((S — TW)~'T) = Ti (S-'T){1 — V; (S-'T)}-1 = {1 - Vi (S-'T)}-1 —1.
4.3.5. (а) По 42.8 число <-алыернирующих перестановок на Л"а„ равно
[a:2n/Bra)!]sec x. Но такие перестановки имеют фиксированную схему
(П\Пг)п~1П\, поэтому мы можем применить 4.3.17, полагая т = п, Р) — 2
i
(/ = 1, ..., га), а аг= 2^j —2' (г = 0, 1, ..., га). Таким образом, число
i—i
перестановок с фиксированной схемой {п\Яг)п~хП\ по 4.3.17 при д = 1 равно
I2га — 2 (i— 1)\||
I . Приравнивая наиденные два выражения, приходим
2] — 2 (г — l)/||nxn
к искомому результату.
б) По [4.2.3] производящая функция (с точки зрения инверсий) для тех
перестановок на JPnh, в которых все максимальные Оцепи имеют длину к,
равна
V i xih I
it {~i] w
Но такие перестановки имеют схему (Я1~1л;2)п~1 Я1—1» так что Мы можем
применить 4.3.17, положив от = п, р; =к (/ = 1, ..., и), а о{ = 2Pj = fa
(г =ж 0, 1, ..., п). Таким образом, производящая функция (по числу инвер-
инверсий) для перестановок с фиксированной схемой (л^~1я2)п~1 я^—1 по 4.3.17
Сравнение этих двух выражений дает тре-
чс^щ
буемый результат.
4.3.6. Число перестановок со схемой л^ я^2 я2 ... я1т , где п^ =
| / п — а{_г \ |
<, равно t если в 4.3.17 положить д = 1. Число пере-
ставовок со схемой п''~ ях ... я22 Jtjnj1 равно числу перестановок со
схемой jtj1 ^2ni~ Я2 '•' "i' ' если записать перестановки в обратном по-
1
следует искомый результат.
4.3.7. (а) Каждая последовательность из Jf4^ имеет единственную схему
в {Я1, Яг, Яз}*| где Я( — множество подъемов, я2 — множество уровней,
Яз — множество спадов. Если г маркирует подъемы, / — спады, а I — уровни,
то искомое число равно
[iJ/*l"x'J ^ ((I - (гГ(Я1) + /I (я2) + /Г(Яз)))-1).
Если обозначить I(ni)=*A, а1(я2) = Х, то 1(я5) ==W~I(«i) — 1(яг) =
= W — А — X, откуда и следует требуемый результат.
437
(б) Нас интересует 4S((I — Н)-'), где Н = К —LiWRb а К= (г — /)А +
+ (I — /)Х, Li = —/I, Ri = I. Поэтому из [4.3.4 (в) ] получаем
Но 4ri((I—(г — /)А—(I — /)Х)-') есть обыкновенная производящая функ-
функция для неубывающих последовательностей, если г — / маркирует подъемы,
& I — / маркирует уровни. Очевидно, что производящая функция для строго
возрастающих последовательностей этого тяпа равна
Теперь, чтобы учесть уровни, заменим каждый элемент i на непустой блок
И... U Производящая функция при такой замене будет равна 2 хЬ (I —
— /)fe—1 = ж^ A — (' — /) гг)—11 так как блок из к элементов г содержит к — 1
уровней. Поэтому производящая функция для неубывающих последователь-
последовательностей равна
(Г - Л Ш (* + ('— /) *ч (*-(*- /) Zi)'1) - А=
= (г - /Г1 f П A + (г - I) хг) A + (/ - I) хг)~* - 1
Подставляя это в выражение для ^((I — Н)~'), получаем
1 + f? ((I - И)) = (г - /) (г - / Л A + (г - I) х{) A + (/ - I)
I *^
Упрощение этого выражения приводит к требуемому результату.
4.3.8. (а) В каждой последовательности пад {л\, ..., ят} максимальные
блоки вида ЯтЯт... ят в птлт разделены непустыми последовательностями
над {Я[, ..., ят_1}, т. е. из &m-i — So- Требуемый результат непосредственно
следует из этого замечания.
(б) Пусть Яг — множество возрастающих соседей, Яз — множество убы-
убывающих соседей, а Я1 = ш — Яг — яз- Тогда каждая последовательность из
Jfn имеет единственную схему в {яь яг, я3}*, и по п. (а) имеем
{"V Я2' Лз}*= ^2(Л3Я3(^2- $о)У<
где ^2 = я*(я2л*л1я*)*я* = (л*я1)*я*. Это представление выявляет
максимальные ЯгЦепи и Яз-цепи. Но максимальная Яг-цепь длины I содержит
I — р + 1 ЯгЦепей длины р, если I ^ р, а максимальная Яз-цепь длины I
содержит I — s + 1 Яз-цепей длины s при I ^ s. Поэтому, если в маркирует
максимальные Яг-цепи длины р, a v маркирует максимальпые яз-цепи дли-
длины s, то искомое число равно
где V= 2 Bm+ 2 f
т=0 m>s—1
X В3}, a G = (I - UC)-^, причем
p-2
2
2 2
m->0 m>p— 1
438
(в) Если производящую функцию из п. (б) обозначить Ф, to
— (V — I)(G — I))-'V)=4r,(G(G— V(G — I))-'V) =
Это можно записать в виде ?i((I —Н)-1), где Н =(I — V-') + (I — U-')+C.
Полагая С = VV — В — А, получаем факторное разложение Н = К — LiWRi,
где K=(I — V-') + (I — U-') — (А + В), Li=—I, Ri = I. Поэтому, применяя
теорему об исключении при s = 1, получаем
Заметим, что поскольку решением задачи является [х^ ... х„]Ф, следует
рассматривать лишь члены, не содержащие х\. Но все элементы в матри-
матрицах инцидентности АВТ и ВАТ содержат лишь члены с х\, где Т — матрица
инцидентности для непустой схемы. Это объясняется тем, что АВ и ВА—мат-
ВА—матрицы инцидентности для последовательностей соответственно вида г, i + 1,
i ж i, i — 1, ». Поэтому мы можем игнорировать появление АВ и ВА при вы-
вычислении ^((V-1 + U-1 — 1 + А+ В)-'). Таким образом,
Пусть U = /(А), V = g(B). Тогда по лемме о ^—преобразовании, посколь-
поскольку энумераторы возрастающих +-цепей и убывающих +~пепей совпадают,
искомое число равно
A + */ (г)) - V*g (х) A + *8 i.*))'1 + V*}'1 =
®*h if (*) (i + */ wr
Но так как
1 + xf{x)= 1 + x(l — их +(a — I)!?-1) A — i)-'(l — Щ~х =
= A — их + (а — l)xP) A — x)~lA — nx)-\
то
/(*) A + */(*))-« =A - в* +(в - l)x*~t) A - их +(B -
Аналогично получаем
*(*) A + *?(;r))-l = (l - pc + (p - l)*-i) A - p* +(»-!)*•)->,
откуда следует искомый результат.
(г) В этом случае мы просто положим А = 1(Ф), В =ж Ат, С = W — А — В
и продолжим, как в пп. (б) и (в). Используя лемму о ©-преобразовании,
439
получаем следующий ответ:
- 1)! Ьк) х-^
- УЗД (x) A + x* (г)) + ух}'1 =
= [иУхп] л 2 (к~ 1)! ж" (/ И A + */ С*)) + ё (*) A + ЗД WF1 - 1}к,
откуда, как в п. (в), следует искомый результат.
4.3.9. (а) Предположим, что G(u, I, xh x2, ¦¦¦)— производящая функция
для последовательностей, в которой I маркирует уровни, и маркирует появле-
появления Jti, a Xi —появление элемента i (i ^ 1). Пусть F(u, хи х\& ...) — соответ-
соответствующая производящая функции для последовательностей без уровней.
Тогда последовательности, перечисляемые функцией G, можно построить из
последовательностей, перечисляемых функцией F, с помощью представления
2.4.14, в котором каждый элемент последовательности заменяется непустым
блоком из таких элементов.
Если такой блок П. .Л имеет длину к (i, k^i), то появляется к—1
уровней, число элементов i увеличивается на к — 1, а число пар, находящих-
находящихся в отношении Яь не изменяется. Следовательно, мы можем в F заменить
Xi на zi ^ AгЛк~1 = zi (i — Ц)", чтобы получить G, т. е.
G(b, I, ж,, ж* ...)-*"(
Если положить {»1, а у{ — i<(l — *<)-', так что i< « у<A + у*)—', то
jf,, у* ...)=G(b, 1, jfitl + Vi)-1, Wtl + W), •••)•
Если же y< =Zi(l —iz!)-1, то y< A + y*)-1 — z<(l— (l —1)ж<)-1.
Из этих соотношений получаем
G(a, i, ж,, н, ...)=G(u, 1, „
Но G(u, I, *i, х^ ...) —это производящая функция для последовательностей в
точки зрении появления jii, поэтому по следствию 4.2.12 имеем
G {и, 1, xv * ...)
Искомый результат получается заменой г< на z<(l — (I — 1)-г<)~1 в
(б) Если F(r, I, x)— производящей функция дли последовательностей,
в которой г маркирует подъемы, I — уровни, а х\ маркирует элементы г, то
из п. (а) и 4.2.13 получаем
F (г, I, х) - (г - 1) (г - Ц A - (г - 1) *, A - (I - 1)
= (г - 1) П A + A - I) х.) (г П A + A - I) х.) - П'A + (»¦-')
Пусть G(r, Z, /, х)—производящая функция для тех же последовательностей,
но в ней дополнительно / маркирует спады. Тогда
G(r, I, /, x) = /if(r/-', lf~\ /x)-l},
440
так как сумма чисел подъемов, уровней и спадов на 1 меньше длины после-
последовательности. Требуемый результат получается после проведения соответ-
соответствующих замен в полученном выражении для F.
4.3.10. Искомое число последовательностей равно [х>] ч^ ((I — АВ)—1 X
Х(А + 1)), где А=Т(<), а В = 1(>). Но Н = АВ = A(W —X —А) =,
= К —L,WRi, где К = — А(Х + А), L,=—A, Ri=I, D = A+I. Таким обра-
образом, требуемая производящая функция равна
Далее, ^ ((I + А (X + А)) А) = 2 (- I)* tsh, a Y, ((I + А (X + А)))-
ft>i
= 2 (~ l)ft 1;2Ь—1' г^е h — 2 хт'а), а суммирование производится по всем
k>l о
последовательностям а = ога2 ... oit в которых о^ < аа <! а3 < а4 <!... Отсю-
Отсюда получаем ответ:
2 (- и*-1 (*,к-1 + »,*)} B <-
4.3.11. Число, которое нас интересует, есть
где А = 1(<). Заменяя В на W — А, получаем
АР1-1 (W - A) A1 (W - А) ... (W - А) А":
m
= V (_ l)m-i V A'l'W" V ... WA8*,
i=l
о
где а = {а,, ..., а,} = JPm, щ < ... < а4 = го, «;- = аа^. — л^.^ a ад =
ft
= 2 Р|. аа = 0- Получаем для Tg следующее выражение:
i °
... а"--
1) = у (-1)»-*
Так как si + ... + s; = р^ + ... + pm = га, искомое число равно
m t
4.3.12. (а) Каждая последовательность из Л + имеет единственную схему
в {щ, Ла) *• Элемент, с которого начинается максимальная л2-Цепь, является
последним в jti-цепи, а элемент, которым заканчивается лг-цепь, является
первым в максимальной jti-цепи. Поэтому, если г/i и zj маркируют элемент i
29
я. Гудьдеи, Д. Джексон
в качестве соответственно окончания и начала максимального jti-пути, то
матрицами инцидентности для Я) служит А, а для я2 — YBZ. Кроме того,
начальный элемент последовательности начинает максимальную ni-цепь,
а последний элемент оканчивает максимальную ЯгЦепь. Таким образом, по
лемме 4.3.5 искомое число равно
[ymzkx1] tr Z (I — А — YBZ)-1 YW.
(б) Если в п. (а) положить Z = I, то искомое число равно
[Ух1] tr (I - А - YB) YW.
Подставляя В = W — А, получаем, что производящая функция равна
tr (I— (I —Y)A —YW)-'YW.
Но по [4.3.4 (в)], или по теореме об исключении, это выражение равно
{1 - tr (I - (I - Y) AJ-'YW}-1 - 1.
Поэтому искомое число равно [ymx'] {l — tr (I — (I — Y) A) YW}.
4.3.13. (а) По [4.3.12] мы должны найти tr((I —(I — Y)A)-]YW) при
A = I(<). Это — производящая функция для <-цепей, в которой элемент i
в качестве финального элемента маркируется ytx,, а в качестве любого дру-
другого элемента маркируется A — yi)xi. Таким образом, последовательности,
оканчивающиеся элементом /, перечисляются функцией
а так как / — любое натуральное число, то получаем ответ:
- 2 *Л- П A + A - Vh) хА \
(б) Энумератор неубывающих цепей, в котором i как заключительный
элемент маркируется xiyit а как любой другой элемент маркируется
j
A — yi)xi, равен ^ Х]У] JJ A — A — yh) xil)~'1- Поэтому искомое число есть
- 2 *& 2 С1 - С1 -»»
4.3.14. Искомое число равно, очевидно, I г1\гг^^\^х ... х Ф, где
Ф=Ч'1(A-(г1А+/,В)(г2А + /2В))-1A
а А = 1(<). Используя правое разложение при osi = п—/i, аг = гг — /г,
получаем
= а2А2 + U (П А + /,В) W + /.OaWA =, К - LjWR, — L2WR2,
442
где К = а2А2, L,=-/2(r,A + /iB), R, = I, L2 =-/,a2l, R2 = А. Далее,
D = I -j- nA + /[В, а С = Ri = I, поэтому по [4.3.4 (а)] имеем
4^ ((I - КГ1 D) -/^^((I-K)-1)
|M
i-i
где
- /24ri((i - к)0-iA -:- /,»)) - /ia2Ti ft1 ~ K)~1)
- f^1 (A (I - K)-1 (rxA + fJS)) 1 - /1oaT1 (A (I - K)-1)
Положим В = W — А в числителе п в знаменателе. Прибавляя в числите-
числителе второй столбец к первому a-i (у^ «) _f. /~')раз, получаем
о1ЧГ1 ((I - K)-i A) - f1aj?1 ((I - К))
Вычитая в знаменателе из первого столбца второй f2<*^~iy1 (<) раз, получаем
При <-преобразовании fj(<) становятся равными x^/jl, так что ^^(I —
— К)-1), У,(A —Kj-'A^YitAfl —К)-1) и Ti(A(I— K)-'A) заменяются
соответственно на oc'shaz, a~2(chax — 1) и a~3(shaz — ах). Таким образом,
числитель равен a-2(shaz+(г, + /,) (chax — I)), a |M| = a-2(nr2 + /1/2 —
— (ri/2 + /i^Jch аг), откуда следует требуемый результат.
4.3.15. Искомая производящая функция — ^((I — H)-'D), где Н =
= А1"^ ... АР<~1В, D = Аг-', А =!(<), В = W — А. Получаем для Н ле-
левое разложение
Н =
1 В ...
так что К = (—i)sAai, L{=(—1)8+'-'Аа1 \ Ri = AP'~i+2 1В...АР' *В
(i = 1, 2, ..., s), где Ri = I. Таким образом, по [4.3.4 (а)] производящая
функция равна |[М : d],| • |М|-', где [M]<j= 6ц + 4'2(R*(I — K)-'Lj), d =
= (db ..., ds)T, di = 4/12(R*(I — K)-'D). Заменим теперь строку i в числителе
и знаменателе на сумму:
(строка 0 + V (— 1){-> Ч2(Аа>~а{~1) X (строка /)
3=1
для всех i, начиная с i= s, до i = 2. После этого di становится равным
(— II V (Aai~ai (I - К)-1 А7"-1), а [M],-j - равным
После умножения строки i на (—I)'-' (i = 1, ..., s) в числителе и знамена-
29* 443
теле, что не влияет на результат, d< становится равным
Y2 (A°i-ai (I - К) А') =
a [M]jj — равным
H +i+iY2 (a0!-0*^-1 (I - К)) +
+ (l - с (t, /) - вц) (- D1+> т2 (А0'""'
Но при i > / имеем
Аа3-аг-1 + (_ 1)в ^-Hj-aj-i A _ кр1 = А«у-«4-1
Поэтому
[М]у = (-i)i+'+'«'.«vp.'X)mouai П, «, / =
4.3.16. (а) Пусть tj маркирует начальную максимальную Пг-цепь дли-
длины i, щ маркирует конечную максимальную ПгЦепь длины t, a gtf маркирует
максимальную (яь п2)-структуру типа (i, /). Каждая последовательность
имеет единственную схему в {nv л2}* = л2 {я^я^} nlt поэтому иско-
искомая производящая функция равна
где F, = В*-1 (I — H)-'D для «> 1, a
(б) Положим Gj = 2 й'уА*. Тогда, используя левое разложение, полу-
чаем
i—1
= (- IK AJ + 2
H = 2 GJBi = K + 2 2 (~ I)'"* GjA^-fe-1WBft,
)>1 fe>0 J>fe+1
так что
где К = 2 (~ IK GjA-7. Это является факторным разложением, и из доказа-
доказательства теоремы 4.3.8, положив Т = А™, получаем
у?1 (А (I - К) D) = 1F1 (Am(I- Hp1 D) - 2 ^ К Щ lh,
где g* = 4'](B'l(I-H)-1D) для ft > 0, а
S (го, ft) = 2 (— I)''"* Yj (Am (I — K)-1 GjA^'-^-1) для го, к > 0.
Но
m—l
Am _ ^_ ^m Bm _j_ 2 (— l)fe Am~'
ft=0
444
поэтому
m—1
V± (A™ (I - H)-1 D) = (- l)m lm + 2 (- 1)" Yx (A—*^1) 6k.
fe=0
Подставляя это значение в найденное выше выражение для 4Fi(Am(I — K)~'D),
получаем
^ (А™ (I - К) D) = т% {(- i)h ЧГХ (А-") - S (m, k)}lh +
(и», fcNk дляи>0.
Решая эту систему уравнений по правилу Крамера, находим 4*1^,-) = |r-i.
(в) При данных условиях [М]ц = 0 и [[М : й]г-\]ц = 0 для i < / и / > к,
а диагональные элементы равны 1 для / ^ к. Поэтому знаменатели равны оп-
определителям подматриц, состоящих из строк и столбцов с номерами 0, 1, ...
4.3.17. (а) Максимальная ЯгЦепь длины I содержит I — р + 1 ягцепей дли-
длины р при 1^ р, а максимальная Лг-цепь длины I содержит I — s + 1 яг-цепей
длины s при l^ s. Пусть у маркирует Я1-цепи длины р, a z — Яг-цепи длины s.
Тогда, в обозначениях [4.3.16], имеем
для i>p — 1, />s-l,
Для t>p-l, У<«-1,
для f < jo — 1, )>s-i,
для г<р—1, ;<s —1;
для /<s; г \l для i<p.
Искомая производящая функция равна
Ф =,?,(/(*, z, B){I-A/(p-l, », А)В/(«-1, z, В)}-'/(р, », А)),
где /(г, а, С) = (I — С)-'(I — аС)-'(I — аС + (а — 1)СГ). Таким образом,
Ф = Vj_ ((I - iB + (« - 1) Bs) {(I - »A) (I - A) (I - sB)(I-B) -
-VAP-1) -Bd-zB+lz-lJB8-1)}-1 A-yA-f-
(y - 1) A")) = W(I - *B + (* - 1) Bs) |l - 2 G^B'} D]-
где D = I — ^A + (y — 1)A*.
(б) Модифицируем задачу [4.3.16], чтобы учесть также ненулевые значе-
значения goi и gio, требуемые в данной задаче. Теперь Q (х) = 2 (— 1)* Gi (х) х%у а
Gj (x) = 2 ^tj2*- ^ы можем записать
(г —
где U == (I — SjssoGjB^-'D. Так как Gj(x) = 0 для / ^ s + 1, каждая из трех
производящих функций может быть записана в виде отношения определителей
порядка s + 1. Знаменатель во всех трех отношениях общий.
445
4.3.18. Вместо того, чтобы воспользоваться [4.3.1G] с gn = 1 — бц&н (что
привело бы к отношению определителей бесконечного порядка), запишем про-
производящую функцию в виде
Ф = Чг,(A-В)-1{1 — АA — А)-'ВA — В)-ЧА2В2}-'A- А.)-1) =
= V, ({(I - А) (I - В) - АВ + А*A - А)В*A - В)}-1) =
= Ч', ({I — А - В + А*В2 - А'В2 — A2BS + А'В3}-1).
Модифицируем [4.3.16], как в [4.3.17 (б)], и получим
Go(*)=*, G,(*) = l, Gi(x)=3»-a», G3(x)=x*-x\
D(x) = 1, Q(x) = x — x + (z3 — x2)x2—(x2 — x*)xi = xe — x\
Так как Gi (x) = 0 при i > 3, мы можем записать решение в виде отноше-
отношения определителей четвертого порядка, если не учитывать строки и столбцы с
номерами большими, чем 4. Рассматривая первый столбец, преобразуем эти оп-
определители в определители третьего порядка.
4.3.19. Леммы о произведении для матриц инцидентности и для Ч^, Ч'г, оче-
очевидно, справедливы и в некоммутативном случае, если хт@> в Ч^ заменить па
ха ... ха..Таким образом, по [4.3.12] имеем Ф = 4ri((I — /(A)B)-V(A)), так
что
Наконец,
o = 4'1(V (-!)*(/(A) A)'/(A)V
\1>о I
1 + Ф = S f' 1
Но Ч',((/(А)АO(А)) = A/)'+'о7(я,), поэтому
4.3.20. Будем следовать [4.2.15] и 4.3.17. Если мы заменим Ч'г на произво-
производящую функцию для А-наборов перестановок, в которой qi маркирует инвер-
I h
сии в перестановке I, a ilai/|o|'« заменим па^'а'1]Г[ \а |!_ , то леммы о про-
изведении и сумме охватывают и вндоп.чмепеппую ^2, где W является теперь
матрицей инцидентности для Л"*^_ X Л'*_. Таким образом, следуя 4.3.17, полу-
получаем искомое число:
-[«:¦••¦ *]|п(;::*-) I
4.3.21. Рассмотрим такую последовательность а = аг... о2т- Эту последо-
последовательность можно однозначно восстановить, рассматривая начальный ее от-
446
резок о' = Oi ..., om. Появление i в о' будем маркировать я< = ZjZ2n+i-<, где
z,- маркирует появление i в о. Подъем, уровень или спад (о,-, a<+i) в о' при-
приводят к еще одному соответственно подъему, уровню или спаду в о. Поэтому
подъемы, уровни и спады в о' будем маркировать г2, I* и f. Наконец, (om, am+i)
является подъемом в о, если от ^ п, и спадом, если от > п. Матрицы инци-
инцидентности в данном случае имеют порядок 2д и М = diag(r, ..., г, /, ..., /),
где г и / встречаются по п раз. Тогда искомая производящая функция равна
ф = tr{I - (r2A + Z2B + ЯС)}-'М\У,
где А = ?(<), В = Ц = ), C = W—А —В. Поэтому, согласно [4.3.4F)],
ф = tr{I — (г2 — /2) А — (Z2 — /2)В — /2W}-'MW =
,==, tr {I — vX — i/B}-'MW{l — f tr (I — vA — z/B
где v = r2 — f, у = P — /2. Ho tr(I — vA. — i/B)~'W — это производящая функ-
функция для неубывающих последовательностей, если v маркирует подъемы, & у —
уровни. Она была найдена в решении задачи [4.3.7 (б)] и равна FBn), где
F (к) = „-1 (П {1 + vxi A - ух<)-*) - 1 j =
= (г" - f2)-1 (Р (г, А) - Р (/, к)) Р (/, Л)"»,
а Р (g, к) = П A + (g2 - г2) «AtH-i-O-
i=l
Чтобы найти энумератор Ф, заметим, что он является энумератором для
неубывающих последовательностей над Л'ги, в котором v маркирует подъемы,
у — уровни, а последний элемент маркируется г, если он не превосходит п,
и / в противном случае. Таким образом, этот энумератор равен
rF(n)+f(FBn)-F(n))= (r-f)F(n)+fFBn).
Но P(g, 2n) = P(g, n)\ поэтому
Ф = {P(r, n) -PU, n)}{rP(f, n) -fP(r, n)}-1,
что и требовалось доказать.
4.3.22. Если ^(ц) = F(fj{^), ^(г^), •••), т° число перестановок на Jfn
с т инверсиями п схемой ц равно
где )^
Но Vft (^) = I^**J JJ A — zz^—i, а для упорядоченных разбиений, когда в со-
ответствии с замечанием 2.4.11 xt = xq1, имеем
если использовать 2.5.9. Таким образом, число упорядочеппых разбиений т на
п частей со схемой ц равно [qmxn]O(qx(I — 9))-
447
4.3.23. (а) По определению Ф, имеел!
2 2
где последнее суммирование ведется по всем парам непересекающихся подмно-
подмножеств (а, Р): а U Р = Л"П, |а| = |о'|, |E| = | о"|. Далее, по лемме 2.6.6, по-
получаем
Конечно, в частном случае, когда IP, 9*i, SPi являются множествами переста-
перестановок со схемами ц, ць Цге{<, ^}*, этот результат есть не что иное, как
лемма о произведении для Ч'г, поскольку ц = (XiCO(x2.
(б) Пусть F(:r, 9, 0 —производящая функция для перестановок на JC\
(к > 0), в которой г маркирует длину, q — инверсии, а ( маркирует спады. Ес-
Если в представлении 2.4.19 заменить последовательности над JCn последователь-
последовательностями над Л"+ и рассмотреть случай перестановок, то из п. (а) получаем, что
4~\ fh =/ A + /Г1 F (z A + /), <7, / A + Л),
где z маркирует длину, q — инверсии, а / маркирует нули (действуем анало-
аналогично 2.4.20). Положим « = /A+/)""', а x = z(l + f), тогда / = гA —1)~\
z = хA—t). Подставляя эти выражения в предшествующее равенство, по-
получаем
4.3.24. (а) Объекты в обеих частях — это последовательности над Jf? с
некоторой непустой цепью из нулей на месте каждого спада и с некоторой (воз-
(возможно пустой) цепью из нулей в других местах и на конце последовательности.
к— 1 j fe—1
(б) По определению, т (о) = 2 S г/ = 2 (к ~ l) li-
(в) Пусть 5*71 — множество перестановок на Jfn- Пусть в п. (а) z марки-
маркирует длину перестановки, д маркирует инверсии, а tp* маркирует каждый нуль,
расположенный между о,- и о<+1, наконец, tpn маркирует каждый нуль, находя-
находящийся в конце элемента из 2Рп. Тогда из пп. (а) и (б) получаем
где /(о) —число спадов в о. Таким образом,
J (l - tpi) V t«-l jf]
448
4.3.25. (а) Имеем /(Oireo2) = 7(oi) + I(a2) + I(a, 0) + |o2|, где а1 = aa'
°2 — °p, о и а' — перестановки и a (J p4 = Л"п — {1}. Мы следуем 3.2.22, ис-
используя [4.3.23 (а)] и записывая вклад элемента п в число инверсий, равный
|ог|, с помощью аргумента qx.
(б) Если F (х) = ^ /г*7?!9' то
откуда
Поэтому
gq(F(x)G(x))=,(x-qx)-4F(x)G(x)-F[qx)G{qx)) =
= F(x)Sfi(x) + {&qF(x))G(qx),
= (х- qx)-l(F(qx) -F
(в) Из п. (б) получаем
SqP (x) = -eq{H (x)-1 ZqH (*)) = -{*, (Я (х
- \S\H (х)} Л (Я)~1 = Я (х)-1 Я (g«)-i {^Л (х)} 8qU (qx) - Л (хГ* 8%Л (*).
Подставляя это выражение в п. (а), получаем
Я (х)-1 Я (gzp1 {&qH (x)} <SqH (qx) - Я (zp1 ^Я («) =
= Я (г) Я (дя)-1 {&дЛ(х)} <SqH (qx) + 1,
что приводит к соотношению <??^Я (х) = — Я (г). Ыо 8^ (xl/i\q) = xl~2/(i — 2)!9
для i ^ 2, поэтому
Так как Я@) = 1, то а = 1, а так как Р@) =0, то {^5Я(г)}|х=о=.О иЬ=й
Таким образом,
(г) В предыдущем решении
*,(Я(*)-») =-Я(г)-1я(9г)-'аг,я(г) =Р(*)Я(г*)-«.
449
Сопоставляя это с п. (а), получаем
так как <?@) = Я(О)-1 = 1.
4.3.26. (а) Определим производящую функцию
где суммирование производится по всем о е <ц> таким, что sj ^ ог- ^ ij для
i = 1, ..., |ц|. Очевидно, лемма о сумме для \Pi справедлива и для F, но лемму
о произведении следует изменить, а именно:
= * (Т
Положим, в соответствии с обозначениями 4.3.16,
?i = ^(vi: La._i+V ..., Lam; Ua._i+V ..., Uam), t= 1, ..., m.
Следуя 4.3.16 и используя лемлту о сумме и видоизмепенную лемму о произве-
произведении для F, получаем
--**-*; Lai_i+1, ..., Lan, UH_i+l Uj +
m
4- V (—\ V-i-l Г F\ \aJ-l~ai-l~1- T L ¦ TJ TJ I
Jj
Но так как ^a._ +1^ ••• ^ ^a_i' ^o-_i+i^ "" ^^o-_i> то коэффициенты
в этой линейной системе равны
a
где суммирование производится по всем о = о ... аа. _а е
е <A«i-i-t-i-i)i Я1 = <f Ьа^+1 < Ol <... < oa._1_ai_1 < Va._t. Итак,
предшествующая производящая функция равна 9О. _а. (La. v
Ua. \, и искомое число, если учесть 4.3.16 и 4.3.17, равно
(б) Если ц = х для i > 1, то
9ft (L, ?0 = Г«*1 A - ^
откуда следует искомый результат.
450
t
4.3.27. (а) Умножая обе части соотиэшешш I — Н = I — K-f 2 LjWR^
на C(I — H)-1 слева и на (I —K)~'Li справа, получаем
С (I - КГ1 Lj = С (I - ЛГ% + ^ С (I - Н)-1 L^VRj (I - К) Ц,
Рассмотрим функцию Ч'г от обеих частей этого выражения и обозначим
Ч'2(СA — H)-'Li) = |« (j = 1, ..., t). Приходим к системе уравнений
Y2 (С A - КГ1 Ц) = 2 Is [Sy + *2 (Rj (J ~ КГ1 Lj)], « == 1 t.
j=i
Искомый результат получается по правилу Крамера.
(б) Искомая производящая функция —ЧГ2(СA-—Н)), где Н =АВ '
... АВ 1 , С = В"-1, A = I(<),B = W—А. Для Н справедливо правое раз-
разложение
н = (-
так что К = (-1)'в\ Lj = ABr'1... АВ1'-**21, Ri = (- 1I+1~{ В41
(г = 1, ..., ?), где Li = I. Следовательно, по п. (а) требуемая производящая
функция равна | [N : с],| ¦ IN]-1, где [N]«, = б4,- + 4f2(R,(I-K)-1Lj), а С =
= (ci, ..., C()r, a = TF2(C(I — K)-1Li). Замеипы теперь строку i в числителе
и знаменателе на сумму:
i j
(строка i) + V (— iy~j У, (bbj~bi~1) X (строка ;)
для всех г, начиная от i = t и до 1 = 2. После этого с; станут равными
(_1)i-nir2(B«-i(I_K)-1Bbi"bi). a [N]{j равными
+•A - С (t, i) - вц) (- D^^Cb6'-*1) + etf •
После умножения i-й строки в числителе и в знаменателе на (—l)i-1 (i = I, ...
..., t), что не влияет на результат, ct принимают вид
у2 (в"-1 (I - кг1 в6*-6*) = *ЭД_Ь. (*), * = 1, ....*,
a [N]«j теперь равны
Ь*-Х (I - К) +
( - С (*, Л - j+1 F"*) '^
Но если i > /, то
451
и поэтому [N] ц становятся равными
Abi' *)
^lbj-bi)mod
,х\ t i — \ t
(в) При заданных условиях имеем:
Т2 ((I - А^-'В ... А^-'В)-1) = *„ ((i - АВ"* ... АВ"*-1)-1).
Эти производящие функции совпадают с функциями из [4.3.15] при г = 1 и
из п. (б) при и = 1. Множитель (—1)^+1 в [М],-,- и [Щц может быть отброшен,
так как он встречается одновременно и в числителе, и в знаменателе обеих
частей.
4.3.28. Пусть Mi (s = 1, ..., 6) — матрицы инцидентности для последова-
последовательностей OiO2o3 над /Сп со следующими ограничениями:
Mi: oi ^э о% Ог < Оз, 0\ < Оз',
М2: oi < о2 < оу,
М3: oi < 02, 02 > Оз, oi < оз;
М4: oi ^ о2, о2 < аз, oi ^ о3;
М5: oi ^ о2 ^ а3;
М6: oi < о2, а2 > Оз, oi ^ о3.
Так, например, [Mi],3- = 0 при i ^/ и
при i < /. Приведен-
ные шесть множеств ограничений — это единственные схемы, при которых по-
последовательность может содержать три идущих подряд элемента. Если теперь
г маркирует подъемы между соседними элементами, а и маркирует подъемы
между элементами на соседних нечетных местах, то искомое число равно
[г»и<*, ... ^n+^Tia-H)-1), где
Н = reMi + г2иМ2 + гвМз + гМ4 + М5 + гМ6.
Далее, справедливы следующие соотношения между М<:
Mi + М4 = ВА, М3 + М6 = АВ, М2 = А2, М5 = В2,
М, + М2 + Мз= АТ,(<), где А = Ц<), В = Ц^).
Иеключая Mi, ..., М6, получаем
Н = г(и — 1) {AYi + (г — 1) А2} + г2А2 + гАВ + гВА + В2.
Поэтому правое разложение Н после исключения В имеет вид Н = К—'
— L,WR,-L2WR2, где L, = I, R, = -(г— 1)А, L2 = rA + В, R2 = -I, а К =
= г(в —l)Aii + (г—1)(гв — 1)А2. Мы вновь можем применить теорему об
исключении. Положим Fh= (r—i)kW](Ak(I — K)-1). Тогда ?,(A — Н)-1)
равно
1 — F —F i—F — fr—¦
—l
—1
о
_p
_ F
452
Ho Fm равно
(r — i) 2j 2j . Иг(и~ W {(ru — i)(r — i)}
fc>0 1=0 \l I
Применяя найденные соотношения в случае перестановок и используя лемму о
Опреобразовании, получаем искомый результат.
4.3.29. Искомое число равно
[
где Ф = ^((I — вМ, — М4)-'), aMi zM, даны в решении задачи [4.3.28].
Но Mi + М< = ВА = WA —А2, где А = Т(<). Поэтому
где К = (и — 1)М! — А2 (по теореме об исключении), а
Рассматривая последовательно расположение локальных максимумов, на-
начиная с конца последовательности, получаем
+1 —1\
для s ^ 1, с0 = 1, откуда и следует результат.
4.3.30. Искомое число равно
,.4П+3
где Н = MiM4, A=I(<), a Mi, M4 даны в решении задачи [4.3.28]. Далее,
Н = —Mj — MjA^ + MjWA, поэтому по теореме об исключении имеем
V,(A(I-H)-'B) =Ч'2(АA-К)-'В){1-Ч'2(АA-К)-1М1)}-', A)
где К=—Mi(
Находим
(— \)гсг~ , B)
где
если (как в 4.3.29) рассмотреть последовательно максимумы, начиная с конца
последовательности. Мы можем упростить это выражение, заметив, что
453
Таким образом,
e*=ff<+irt2)egrt2)gD'T5)e-
Далее находим
? fA (I — К) М.) = "V (— 1)* с. _
и, подставляя B) и C) в A), получаем искомый результат.
4.4.1. Из леммы 4.3.5 и предложения 4.3.6, используя 1.1.10E), получаем
2 Vft (ях) zh = 1 + z tr (I — zAp1 W = ] I + 2 (I — zA)-1 W | =
ft>o
= 11 — zX + 2\V H I — zA Г1 = 11 + 2B |-11 — 2A Г1.
4.4.2. По 1.1.10E) имеем
| I - AP-IB | = 11 + Ap - Ap-4V | = 11 + Ap |-{l - tr (I + A35) A35-^} =
= П 0+ *?)¦( 2 (-*)'^ П^-^ГЬ
n(i - uxty)} / 2 (- *y ujp] TK1 - ^i)] =
где г = m+j. При этом учитывается, что [tk] JJ (l — (^г)р) =0, если к не
делится на />.
4.4.3. (а) По теореме о максимальном цепном представлении для цикличе-
циклических перестановок н следствию 4.2.7 искомое число равно
[х, ... z2n] flog / ? (- i)k У2к (я,)) + Л
где ф = trlog (I + А2)-1, А = I(ji!). Если Я1 = <, то i|) = 0, и по лемме о
<-преобразовании искомое число равно
(б) Если jii = +, то т|) = 0, п по лемме о -(—преобразовании искомое чис-
число равно
i>o \ ft>l
(в) Если Я1 = Ф, то Я1 не свободно от циклов и
454
По лемме о Ф-преобразовании искомое число равно
2 (- 1)" + [х2п] 2п 2 (* -1)! l?l] log (l-?2 (~ 1
= 2 (- l)n + In У. (- 1)п-* (i -:
-l
4.4.4. (а) Пусть в маркирует появления яь Тогда в максимальном цепном
представлении для циклических перестановок мы имеем /< = в*-', g* = в*
(i > 1). Поэтому F (ж) = 1 + 2 и1*1 = A — (и — 1) я) A — «z)"~\ и по след-
ствию 4.2.12 искомое число равно
gfl-2(»-l)i~1Vi(n
где
i|> = tr log (I - иА) + tr log (I - (и — 1) A) + 2 i tr A* =
= 2 ~1(wi + (w-l)i-ui)trAi, A=T(nj).
Если П\ = <, то Jti свободно от циклов, и ф = 0. Поэтому по лемме о <-пре-
<-преобразовании искомое число равно
(б) Если Jti = +, то Я1 свободно от циклов, и по лемме о +-преобразова-
нии искомое чпсло равно
hhxn] 2 я I»1}logfi -у 2 («-l)^
> I >
i>0
= [uhxn] 2 (« - 1)! x* A - (и - 1) «)-*.
(в) Если Я1 = Ф, то Я1 не свободно от циклов и [zi... xn]tr A} = гебпз-. По-
Поэтому [в*а:1... 2>„]ф = [в*] (в" — (в — 1)" — вп) и по лемме о Ф-преобразова-
Ф-преобразовании искомое число равно
[и**п] {2 « - 1)! г -^ У] log A - ух A - (и - 1) г))-1 + *и (и - 1)"} =
-1)! ^ "|г ** A - (» -1) *)-i + *п (» -1)"} =
J
= [BV] /2 (^ - 1)! *' A - (и - 1) г)-1 + *и (и - 1)"}.
4.4.5. (а) Пусть в маркирует появление максимальных ягцепей длины не
меньше, чем р. Тогда в теореме о максимальном цепном представлении для
циклических перестановок мы имеем щ = <, a U = в для i>?i/i = l для
455
i < p. Отсюда получаем
p-i
F (x) = 2 x* + » 2 *' = И " ж)~111 - A - и) **}•
i=0 i>P
Так как Яг свободно от циклов, по лемме о Опреобразовании искомое число
равно
[ и\... хп) log B A - иI (vip ю - w К
= uft?_ log У (i~u)% — _—
(б) По п. (а) с Я[ = + искомое число равно
U\... хп] log f 2 A - ^)f (vip (+) - vip+1
так как Яг свободно от циклов. Применяя лемму о ^-преобразовании, получаем
Ukxn] 2 я У] bg fi - у 2 (A - a)' *<
>
= Ukxn] JJ у _ 1I {(* - A - и) *P) (l - A - и) я35)-1}3' =
— iu x j 2j и — 'л Zj I , Iх
откуда следует требуемый результат.
(в) По п. (а) с Яг = Ф искомое число равно
где, при А=1(Ф) имеем 1)> = trlogF(A)-' = trlog(I — А) +
+ tr log(I — A — и) А?)-'. Таким образом,
г ft ,. I Ык] (- 1 + P A - и)п/р), если p | n
1 I luh] (—1), в противном случае.
Из п. (б) и леммы о ©-преобразовании получаем
[uhx1... xj log fi - 2 (V - "У'1 Y(f_i)p+i (©) - (i - ^)f vip (
l
= [uhxn] n 2 (J - 1)! h1] log f 1 - У 2 (С1 - "Г ^Ci-1)p+1 - A - ^){ x
}>1 { i>l
откуда и следует требуемый результат.
4.4.6. Положить в [4.4.5] р = 1, m = 0.
4.4.7. (а) Так как все максимальные Ягцепп имеют длину, кратную р, то
энумератор длин максимальных ягцепей равеи F (х) = 1 + 2^PI = ^ ~~ хР)~1-
По теореме о максимальном цепном представлении для циклических переста-
456
новок искомое число циклических перестановок равно
[xi... хпр\ {i)> + log(l — 1fp(Ili))~1},
где ¦ф =tr log (i — Ap) = — 2 *~ltr Api, A = Цяг). Если яг =. <, то ф = 0, и
по лемме о <-преобразовании получаем ответ:
Г хпр 1 / хр \~1
1ШС\log I1 ~ ~рТ) =п '^«""(«рI-
(б) Если Яг = +, то -ф == 0, п по лемме о -(--преобразовании получаем
ответ
Unp] 2 *! Ьк] log A - у*?)'1 = пЫ-1 = (и - 1)!.
(в) Если Яг = Ф, то Я1 не свободно от циклов, и
[xi... хпр] i|) = — n~l (пр) = —p.
Поэтому по лемме о ©-преобразовании искомое число равно
-р + Г*пр] пр 2 (к - 1)! hh] log (I - ух") =
= _ р + Пр (п ~ 1)! га = р {(га - 1)! - 1}.
4.4.8. (а) Используя теорему о максимальном цепном представлении для
циклических перестановок с F{x) = 1 + х(\ — их)*1, а также решение зада-
задачи [4.2.15], получаем, что искомое число равно коэффициенту при и'хп ...
... хщ ... хм ... хнп в функции
log fl _
если Я1 свободно от циклов. Применяя теперь лемму о <-преобразовании од-
одновременно ко всем векторам xi, ..., х&, находим, что искомое число равно
(б) Применяя лемму о -(--преобразовании, получаем
xiogfi- 2 («-D^-Vr---^
[ т>1
= t«^Ti] 2 (^ i-1*1 A - (« - 1) *)"*.
так как отношение + свободно от циклов.
30 Я. Гульден, Д. Джексон 457
(в) Применяя лемму о ©-преобразовании, получаем
х ГЛ... УЧ log(l - 2 (»- D у1*? ¦ ¦ ¦ fk
L l h J | m>l
= [uV] nh 2 (» - l)!ft Г»* A - (« - 1) *Г*-
Имеется еще дополнительный вклад, поскольку отношепие Ф не свободно от
циклов. Этот вклад обусловлен наличием Ягциклов и равен
[Ли ... хт ... xhl ... xji ~ (и - 1)" tr Аи,
где А — матрица инцидентности для лрциклов в алфавите • й-наборов. Таким
образом, [хц ... хщ... Xh\... xkn\iv An = nh, так как любой из к Ф-циклов на-
набора может быть записан п. различными способами. Из этих двух слагаемых
получается искомый результат.
4.4.9. Пусть максимумы, минимумы, двойные подъемы и двойные спады
маркируются соответственно щ, вг, вз, Щ- Кроме того, учтем, что <-цепь дли-
длины 1 есть двойной спад, а максимальная <-цепь длины i ^ 2 содержит один
максимум, один минимум и i — 2 двойных подъемов. Таким образом, мы можем
воспользоваться теоремой о максимальном цепном представлении для цикличе-
циклических перестановок с
F (х) = 1 + и4* + «!«„ 2 из~V =
= A - ид*) {1 + К - иа) х + («л _ и3%) х%
Из решения задачи [4.3.3 (б)] имеем
F(x)~l= (a2-ai)-|{a2(l-a2^)-1-a,(l-a1a;)-1},
где ai + a2 = щ + «4, а aia2 = щиг. Искомое решение получается по лемме о
Опреобразованни.
4.4.10. Проведем следующие преобразования:
h (», к) =
=, (_1)«-^»U » [„^] У f 1 (/-1)| ^{ц-2(»-1)хA-(в-1),)-ф=
\ le I 2 *"*
\ I 7^*1
откуда следует нужный результат.
4.4.11. (а) Когда мы удалим максимальный элемент из циклической <-аль-
тернирующей перестановки, то получим единственную <-альтернирующую пе-
458
рестаиовку, если начнем с элемента, следующего за максимальным, и будем
двигаться по часовой стрелке до элемента, предшествующего максимальпому.
Это построение обратимо, поэтому (dldx)<X>\(x) = Ф2(х).
(б) В 4.2.22 мы получили Фг(х) = tg х. Следовательно, (й1йх)Ф1(х) = tg ж,
откуда <Di (х) = log sec х, так как <T>i @) = 0.
4.4.12. Из 4.3.18 следует, что искомое число равно
где H = r(A — C)+B + wC, А = 1(<), С = !(+), В = W - А. Так как <
и + свободны от циклов, то по теореме о логарифмической связи и по 4.3.18
это выражение равпо
- tr({I - r(s - 1)C — (r -
Поскольку trUW= ^iCU), а лас интересуют лишь члены, линейные по
xi, ..., х„, то в силу 4.3.18 можно изменить tr({I — r(s — 1)С— (г—1)A}-'W)
на
(г - I) {- 1 + ехр {(г - 1) J (г (« - DK' tj (+)))•
Тогда по лемме о +-преобразовашш получаем
[rV*n] 2 *l bh] log (l-(r-l)-» (- 1 + ехр{(г
откуда следует требуемый результат.
4.4.13. В обозначениях задачи [4.3.8] искомое число равпо [u^v^xi... хп]Ф,
где
Ф = trlog(I— (G — I)(V — I))-1 +trlog(I — UC)-' + trlog(I — A)-1 =
= tr log (V-1 + U-1 — I — С) -1 + tr log U-1 + tr log V-1 + tr log (I — A) -'.
Мы вновь следуем [4.3.8], так как пас интересуют перестановки, и получаем
[uV^ ... xj tr log (V-1 + U-1 - I - С)-1 =
= [в*Лп] 2 k\ [yh] log {l - yxf (x) A + xj (x))-1 - yxg(x)(i+xg{x)r1+yx}-1=s
-ux + (u-l)xp i-vx + (v-l)x*
Чтобы пайтп остальпые слагаемые, воспользуемся тем, что отношение + сво-
свободно от циклов, поэтому
trlogU-' = trlogV = trlog(I —A)-1 = 0.
4.4.14. Имеем М (рг рт) = tr (APl~]B ... А35"^), где А = Ця,),
В = W — А. Применяя к А ? В ... А т В правое разложепие, получаем, что
3 0 * 459
M(pu ..., рт) равно
(- 1Г tr APi+-+Pra + 2 (~ *Г""* tr (а^В ... APi-1WAPi+1+-+P"t) =
i=l
поскольку Jii свободно от циклов и trCD = trDC. HoN(rv ...,''A) =
= tr (аГ1-1В ... АГ/1 Iw), поэтому получаем
m
М (PV • • • > Рт) = 2 (~ 1)-г ^1 + ^г+1 + • • • + Рт> Р2' * " "' PiI
1=1
4.4.15. Эта задача является циклическим аналогом задачи [4.3.29], так что
в обозначениях [4.3.29] решение таково:
[в**,... х2п] tr log (I — иМ, — М<)-' =
= [и**, ... a:2n] {tr log (I - К)-'+ log {1 - tr (A(I - K)-'W)}-'}.
Ho trlog(I — K)-'=0. Теперь на основании леммы о <-преобразовании
можно заменить tr (A(I — K)-'W) на
oi i
после чего получаем искомый результат.
4.4.16. По [4.4.4] число циклических перестановок па Jfn с т. подъемами
равно [rmznxi...xn]Q{r, {xi}, z), где
(г, {*.}, z) = log A - 2 (r - I)' Yj «) I:
= lOg f 1 - (r - I) lJ\(i + (r-'.
Пусть теперь %(r, {a:,}, z) = zC/3z)Q(r, {x,}, z). Тогда по теореме Пойа имеем
где Ф(г, {»{}, 1) —искомая производящая функция, так как автоморфизмы в
данном случае принадлежат циклической группе, цикловой индекс которой —
многочлен 2 Ф № z • После интегрирования получаем
ф (г, {*i}, 1) = 2 к~1(е (*)Q (r*. D). О =
й>1
= 2 *-ч w log r i - (rft -1)-1 m C1 + o* -
4.4.17. Нас интересует trlog (I — H)-1, где H = A^B», A = I(<). Можно
записать Н = APl~1BAI>2~1B ... APs~1B, где Pi = p + 1, a p2 = ... = p, =1.
q+i-i
В обозначениях задачи [4.3.15] мы имеем а{ = 2 Pj == Р + 1 + * — '• Так как
j=i
460
ni = < свободно от циклов, из теоремы о логарифмической связи и задачи
[4.3.15] при 5 = 1 получаем
<Ч~ Н „ h(p+s)+aj—ал
(м]у = r^i—d -с а, /)) + У (- i)Hp+s) —JL-—1—_,
«,7 = 0,1 s.
Но а.) — а,- = i — /, откуда и получаем требуемый результат.
4.4.18. По [4.3.15] для д = 1 ¦ теореме о' логарифмической связи число
циклических перестановок с циклической схемой из \пхх 3t2 ••• ^i пЛ
равно [хп/п\] log |M|-', где
aj—аЛ modfe
i
2
Но по [4.3.15] для д = 1 можно получить, записывая перестановки в обрат-
обратном порядке, число циклических перестановок с циклической схемой из
(rtj1 я2...я^8 п2) =(n1nr^ ...n^.J- ) , равное [хп/п\] log |N[-', где
' ; (fon + to-tymodft)! '
t+l-i
a b{ = ^ r,, Ho s + f = J:, и
так что можно положить a* = as+i-,-, a a4 = к + 1 — Ь{.
Тогда
0
а
[М]у = (_ ^
{(— l)t/h (—
+i-j - aH-i-0 mod ft)!
Ho [M| = |N|, поэтому, транспонируя М, меняя порядок строк и столбцов на
обратный и сокращая степени (—1), получаем требуемое тождество.
4.4.19. (а) Пусть С = [сц]кхк, где c2i¦=¦ сз2 = • ¦ - = сщ = 1, а остальные
ец = 0. Тогда ехр{зС} =М(з), где [М(я)]о- = ф((_я moih (x), поэтому
|М (я) | = | ехр (хС) | = exp tr (xC) = 1,
поскольку tr С = 0. Отсюда следует
adjM(«) =М(ж)-1|М(а:)| =М(а:)-1 = (ехряС) = ехр (-хС) = М(-х),
461
и по теореме Якоби |М(—ж) [се|р] | = (—1)а|М(х) [се* | р*] |. Но
[М (- х) [а | р]]у = (p(ai-p_,.)modft (— г),
[М(х)[а*|И1ц=Ф/ * *х (*),
" ( щ —рj jmod ft
откуда получаем требуемый результат, который является обобщением задачи
[4.4.18].
(б) Определим С как и в п. (а), и пусть М (х) = 2 (xQVMg, поэтому
[M(x)]ij = cp(j_j) moriftfa;). Тогда, поскольку Ш(х) является степенным рядом
только от матрицы С и коммутирующих переменных х, q, то по [2.6.7 (а)]
имеем
т. е. [М(г)],^- = ijj(j-j) modft(—г). Но по 2.5.9 имеем
М (x)=J[(l-x (I - q) qiC)~\
|М(х)|=Д \l-x(i-q)qiC\-1.
Далее, используя 1.1.10F), получаем
|I — zC p1 = exp tr log (I — zC) = expV il tr C! = exp^ J_ = A — z*).
Таким образом, снова используя 2.5.9, получаем
1 м (х) 1=д A - *h A - я)к я**)-1 = У. {;к A -q)h}i.
Тождество Якоби может быть записано в следующем виде:
откуда следует, что
ф II
(Pjodft |ft_,)x(ft_,)
4.5.1. (а) Применить к 4.5.11 лемму о <-преобразовании,
(б) Применить к 4.5.11 лемму о +-преобразовании, с учетом того, что
= + свободно от циклов.
462
(в) Применяя к 4.5.11 лемму о ©-преобразовании и следуя задаче
[4.4.7(в)], получаем решение в следующем виде:
[uhxn] У (i - 1)! * JL [у1] A - ух A - (и - 1) хГ1}-^
^•т ОХ
X es
== [uh] {un + (и - 1)п - 1) + [икхп] 2 (* - 1)! * X
X -д? [У1] (l — yx(i — (U — 1) Ж)-1},
откуда требуемый результат получается аналогично [4.2.14 (в)].
4.5.2. Утверждения пп. (а) и (б) вытекают непосредственно из замечания,
предшествующего 4.5.12, и из 4.2.8, 4.2.9.
(в) Следуя [4.4.3(в)] и используя 4.2.10, получаем решение:
[~ т 1 отп (") I *Пт т -г ^ ( V I 4\Ь л> /<йО~1
1 • •' 2т] " V '— *¦' 1 *" * 2тп/ J ^_| \— ' '2fe *w >\ ~
= 2(-l)m+2m 2 (— I)"* ( ЛtJ (*
так как F~l 07= 2 (— l)ftV2ft (Ф).
4.5.3. Результат непосредственно следует из замечания, предшествующего
45.12, и [4.4.17], поскольку п\ = < свободно от циклов.
4.5.4. (а) По лемме о безусловном разбиении и предложению 4.5.1 иско-
искомое число равно [r1Pfkxm] ф (г, I, /; х), где
aA=iI(<), Х = 1(=). По теореме о логарифмической связи и [4.3.7 (б)]
получаем:
=Ш D - V - /) "чГ1! (г - Л {г - / П
\*> J I
откуда следует искомый результат,
(б) По [4.2.9] имеем
а = [*ml 2 Щ A + р
\t>i
где р2 = —1. Таким образом, в обозначениях п. (а) получим
а = Гхт] Ф (р, 0, - р; х).
Пусть теперь с (г, /, к; т) обозначает число последовательностей типа m
с г безусловными подъемами, ; безусловными уровнями и к безусловными
463
спадами. Тогда
[xm] Ф (р, 0, - р; х) = 2 c(i,O,k;m)pU~P)h =
= (-l)V2; 2 с (г, 0, ft; m) (-l)ft = (-1)^ (р _ v).
4.5.5. Мы можем либо положить в [4.5.4(а)] I = 0, а г устремить к /, либо
воспользоваться леммой о безусловном разбиении и 4.5.1. В результате полу-
получим решение:
[хга] | I + X - W р1 = [хт] | I + X Г1 A - ?1 (I + X)-1 j-1 =
= [хю] П A + *«г * I* - 2 *< A + ««
4.5.6. Если элементы строк 1, 2 и 3 маркируются соответственно Xi, yj и 2s,
то энумератором любого из п столбцов является 2 x^fjzk' г"е ' "^ ^ ' ^ *»
кфЬ. Нам нужен коэффициент при zij/iZi... xnynzn в ге-й степени этой сум-
суммы, чтобы обеспечить появление всех элементов Jfn в каждой строке. Запишем
сумму в следующем виде:
ГДва1 = 2*4, «2 = 2*/г. «3=22i. «12=2^г- а18=2*Л' «23 =
= 2 ^izi' ai23 = 2 хгУ^г- Теперь воспользуемся полиномиальным разло-
разложением:
*3 (») = b V »*1 («х«2аз - а12 + 2Г
= 2 (-Di2+i3+
Последний коэффициент равен
Таким образом, искомое число 1г(п) равно
2 ' 3
Но внутренняя сумма совпадает с
464
поэтому
что согласуется с 4.5.10.
4.5.7. (а) Каждый член рассматриваемого перманента можно записать в
виде суммы 2" слагаемых, причем каждое слагаемое имеет в качестве сомно-
сомножителя либо элемент из С, либо элемент из D для любого номера строки и
любого номера столбца. Если теперь аир- подмножества строк и столбцов,
из которых выбраны элементы матрицы С, то, очевидно, |а| = |Р[; тогда
элементы из D должны быть выбраны из строк в Jfn — а и столбцов в Jfn — Р-
Отсюда следует искомый результат. Следствием этого соотношения являются
формулы разложения перманента по строкам или столбцам.
(б) По 4.5.3 число перестановок на Jfn, не имеющих безусловных уров-
уровней, равно dn = per (Jn — 1„). По п. (а) имеем
Но perJn(a[E) = (re— |a|)l для всех таких a, р = Л*п, что |a| = [P|. Далее,
per (—In)[aIP] равен (—l)la|, если a = p, и равен нулю в противном случае.
Поэтому
„= 2 (»-M)'(-i)la|=2 (»-*>!(-я" 2 1=
4.5.8. (а) Рассмотрим клетку (р, q) матрицы С. Если на этом месте ладья
стоит, мы будем маркировать его х. Остальные ладьи должны размещаться в
С({р}|{д})—подматрице С, получающейся удалением строки р и столбца q.
Если же ладья не стоит на месте (р, q), то заменяем единицу нулем.
(б) Ладьи могут располагаться независимо па С| и С2, так как Ci и С2
занимают непересекающиеся множества строк и столбцов в Ci Ф С2 и С| Ф С2
не содержит других единиц кроме тех, что имеются в Ci или С^.
4.5.9. (а) По лемме о безусловном разбиении искомое число есть
[xh] per (Jn + (ж —1)С). По [4.5.7(а)] это выражение равно
Но per С [а |Р] —это число способов такого расположения i ладей на подмно-
подмножествах аир строк и столбцов матрицы С, при котором ладьи не бьют друг
друга. Таким образом, по определению,
откуда следует результат.
465
(б) Если перестановка на JCn содержит к безусловных п\, то она должна
также содержать п — к безусловных Яг, где я1ия8 = ш. Таким образом, по
п. (а) имеем
[*"-*] 2 (я - 0! Яг (* - II = [xh\ Д] (п - у)! г, (х - l)i, ft = 0, i, .... в.
i=o j=o
Поэтому
= 2 (n - /)! О' (~!)' *n~i (* ~ 1>i-
j=o
Положив теперь у = x — 1, получаем
2 (»- oi з/ = 2 (»- /)i о (- Dj (i + v)n~> v}-
i=o i=o
Наконец, приравнивая коэффициенты при j/(, находим, что
(п - i)! ?, = 2 (" ~ /» Г; (~ *)J f" ~ !)-
откуда следует требуемый результат.
4.5.10. По [4.5.9(а)] искомое число равно
i=0
где 2ri^= Л1„ (г)- Но по I4-5-8 (б)' имеем Rln(x) = (Л1!(ж))П = (! + г)П> поэ"
тому
г, = 1*4A+*)' ' =
Таким образом, dn= n\ 2 (~~ 1O*!.
г=о
4.5.11. (а) Мы можем разместить i ладей так, чтобы они не били друг
друга, следующим образом: выберем подмножество из i строк и i столбцов и
разместим ладьи в получившейся подматрице J< всевозможными г! способа-
способами. Таким образом, гг— ill j и
п
(б) По [4.5.9(а)] искомое число равно с (к) = 2 (и — 0' (— l)lri' где
i=o
466
Но из [4.5.8F)] и п. (а) получаем
4.5.12. (а) Пусть Ап (х) = RAn (х), Вп(х) = ЯВп(х), Сп(х) = RcJx). Рас-
Рассматривая клетку («, 1) и используя задачу [4.5.8(а)], получаем
Сп{х) = хАп^(х)+Ап(х).
Далее, рассматривая клетку A,1), паходпм
Ап(х) =хАп_1(х)+Вп^(х), и>2,
В„(х) =хВп-х(х) + Ап(х), и>1.
Пусть теперь игп(х) =В„(х), Е/2„_,(я) = Ап(х), &U(x,y) = ^ Un(x)yn.
Так как С/о(х) = Вп(х) = 1, U\{x) = Л^я) = г + 1, то
(я) + U2n-2(x), n > 2,
(г) + ?/2n-i(a;), n > 1.
Умножим первое из этих уравнений на j/2n~' и просуммируем по всем п
умножим второе уравнение на г/2п и просуммируем по re ^ 1. Сложив получен-
полученные два уравнения, приходим к следующему уравнению:
U(x, у) - yU, (х) - Uo(x) = xy'U(x, у) + y{U(x, у) - U0(x)},
откуда
U (х, у) = A + ху) {1 - у A + яг/)} = 2 ** A + **)*+1.
Таким образом,
Наконец,
Сп (х) = хАп_х (х) + Ап (х) = *[72П_3 (х) + С72П_1 (х) =
2П—3 /о„ О ;\ 2П—1 /9„ ,Л
j=0 V ^ I г=о V 1 '
откуда следует требуемый результат.
(б) По 4.4.7 и [4.5.9(а)] искомое число равно
п
тп = 2-п\ ^ (и-0! (—1L.
i=o
где коэффициенты ряда 2гггг = ^с № пайдены в п. (а).
4.5.13. (а) Если ладьи занимают целиком главную диагональ матрицы
Тп+!, то вклад такого расположепия равен хп+1. Если же на диагонали рас-
расположено ровно к (ft = 0, 1, ..., п) ладей (это можно осуществить! |спо-
\ к j
собами), то, вычеркнув соответствующие к строк и к столбцов, а также диаго-
диагональ, приходим к исходной задаче для матрицы Tn-d.
467
(б) Если мы умножим обе части равенства в п. (а) на уп+1/(«+ 1I и про-
просуммируем по всем п ^ 0, то получим
Т (х, у) - 1 = e*V- 1 + e*V >? Тг (х) _?
i>0
ИЛИ
yi+1
Дифференцирование по у дает
т (х, у) = •-*» JJL г (г, г/) - *г (г, г/)j
или
-щ {log Г (х, у)} = г + в*»,
откуда Г (ж, г/) =ехр {гг/ + г-1(е3[1' —1)}, так как Т{х, 0) — Т0(х) =1. По-
Поэтому е~хуТ(х, у) =ехр {ж (в3*)}, а из уравнения A) имеем
следовательно,
, И - [»' J^j] «p{«-> (•¦• -1» -
И"
4.5.14. (а) Пусть х=(гь ..., г^), a X=diag-(x). Если VtVj является
подцепью в перестановке а, то должно выполняться неравенство v^ > i>-lf
так как V{, v, должны быть максимальными Оцепими в о. Таким образом,
s (Г) = [х1] tr (I - ХС)-1 XJ, а по 1.1.10 E)
l+tr(I —XC)-'XJ= |I+ (I —XC)-'XJ| = |I-XC|-' • |I + X(J —C)|.
Так как в матрице J — С на главной диагонали и ниже стоит нули, то
|1 — X(J — С) [ = 1, и следовательно,
* (Г) = [х1] 1 I - ХС [-1 = per С.
Аналогично.
с {Г) = [х1] ехр {tr log (I — ХС)-1} = [х1] 11 - ХС Г1 = per С.
(б) Если а ивлиетси перестановкой на JPn, то пусть а' обозначает ту пе-
перестановку на Jfn, в которой каждый элемент получается вычитанием соот-
соответствующего элемента а из п + 1. Пусть o'->-{ci, ..., сн) в представлении
Фоата — Шютценберже, приведенном в [3.3.17F)], и пусть {с\, ..., с*} —
множество непересекающихси циклов перестановки т на Жп- Тогда макси-
максимальные Оцепи о ивлиются в точности максимальными <-цепими непере-
непересекающихси циклов г', и так как соответствие обратимо, то с (Т) = s(T).
468
4.5.15. Пусть Ф — производящая функция для перестановок на Jfn, в ко-
которой pij маркирует появление / на i-м месте (i, / = 1, ..., п). Тогда, по опре-
определению, Ф = per P. С другой стороны, производящая функция для циклов,
содержащих {аь ..., tu) s УР„ равна [*а ... zaj г tr (ХР)Г = [ха ...
• •' хаЛ tr ^°S (I ~ ^Р)", а так как перестановка состоит из неупорядочен-
неупорядоченной совокупности непересекающихся циклов, то
Ф = [х1] exp {tr log (I - ХРр1} = [х1] 11 - ХР Г1.
Тем самым 4.5.1 доказано.
4.5.16. Пусть zi — zu + ... + 2jft. Для 1 ^ i ^ п. Тогда
П
1=1
n
= (ЫГ1 [ziyzlz ... znhj Ц (Р{1*п +¦¦¦ +Pilhk1 +¦•¦ +Pin*nkn)ki =
по предложению 4.5.1. Здесь Z = diag /zn, ...,zlfe , ...,znl, ..., 2nfen), a
H
Ho |I — ZB| есть многочлен от {z^}, симметричный относительно \ziv ..., zih.\
при любом i и обладающий тем свойством, что [z«|Z{m]|I — ZB| =0 для 1 ^
^ I, го ^ hi. Заменяя каждое гц на z,-, a z,-3- на 0 для / ^ 2, получаем
|I —ZB| = 11 — ЛРI, где Л = diag (zb ..., zn). Таким образом,
откуда следует требуемый результат.
К главе 5.
5.2.1. (а) Существует. способов выбора метки для корня и
L1' nv ¦••> VI
щ меток для вершин на высоте i (i= 1, ..., к). Ребра, соединяющие вершины
на высотах i и i + 1, могут быть заданы некоторой функцией, действующей на
множестве мощности re,+i со значениями в множестве мощности щ
(i = l, ..., к — 1). Так как имеется nJ^1 таких функций, то искомое число
деревьев равно
(б) Будем искать производящую функцию для помеченных корневых де-
деревьев, в которой х маркирует экспоненциально вершины, a %t маркирует вер-
вершины на высоте i для i ^ 0. Во-первых, по представлению помеченными вет-
469
вями (см. 3.3.9) эта производящая фупкция равна х%а exp {xXt exp {хХ2 X
X ехР {¦••}}}• Но по п. (а) эта же производящая функция равна жЯ,0~ jl-f-
_|_ 2 ^тж г1 если т — п — !• Отсюда следует искомый результат. Полино-
т>г J
мы Ат можно считать «меченым» вариантом полиномов Стилтьеса — Роджерса
(см. 5.2.4), так как последние перечисляют плоские деревья с висячим корнем
относительно вершин данной высоты. Далее, 5-дробь в 5.2.4 представляет
собой итерированную геометрическую прогрессию, а в полученном результате
она заменяется итерированпой экспопептои.
5.2.2. Подсчитаем пути, начинающиеся и окончивающиеся на высоте О,
двумя различными способами. Во-первых, по лемме о путях производящей
функцией для таких путей относительно подъемов и уровней является
Jx["(i, ai: @, оо)]. Для нахождения этой же производящей функции другим
способом будем строить все пути рассматриваемого типа, отталкиваясь от пу-
путей без уровней и вставляя уровни на каждой высоте всеми возможными
способами.
Рассмотрим сначала пути без уровней. Заменяя х на ж2, а Х{ на а,- в пред-
предложении 5.2.4, получаем
no+...+nft=n
Таким образом, имеется JJ ' 3~^~l ]путей без уровней, начинающихся
и оканчивающихся на высоте 0, имеющих длину 2(гео+— + гец) и высоту
к + 1, а также га3 подъемов на высоте / @^/^й + 1). Любой такой путь
имеет rij + rij-\ вершин на высоте / для каждого / = 0, 1, ..., к + 1, причем
л_| кз 1, а пн+\ =0. Это следует из того, что вершина на высоте / является
началом подъема ге3- раз и началом спада rij-t раз.
Теперь мы вставляем уровни всевозможными способами, заменяя каждую
вершину на высоте / некоторым путем, целиком состоящим из уровней на
высоте /. Число способов вставить m,j уровней на высоте / в путь без уров-
уровней, содержащий п$ -\- rej_i вершин на высоте /, равно
Отсюда следует, что имеется
fc-i
^
путей высоты ft + 1 и длины 2(п0 + ... + nk) + ("io+ ... + mk+]), начинаю-
начинающихся и оканчивающихся на высоте 0, имеющих m.j уровней на высоте /
для О^/^ft + l и п.) подъемов на высоте / для 0 ^ j ^ к. Это произведение
можно привести к виду:
470
Это есть коэффициент в производящей функции при одночлене ^ао° ... а"*1 х
*(*:•¦•• да-1)-
Мы исключили лишь случай путей высоты 0. Для любой длины, большей
или равной 1, имеется ровно один такой путь, начинающийся и оканчиваю-
оканчивающийся на высоте 0. Искомый результат получается, если заменить О{ на Я(,
a f,- на у.1.
5.2.3. (а) Мы ищем f(x) для / (х) = ех '2, для которой
/(* + »)= е^е^ЧУ^ = У к\ IJ- хке*ЧЛ (JL »М
Так как хкех '2/к\ = xh/k\ + О (ж&+3), то мы получили для /(ж) формулу сло-
сложения с параметрами {(Ы, 0)|/с^0}. Теперь искомый результат следует из
теоремы Стилтьеса — Роджерса о J-дробях.
(б) Нас интересует Т(х), где /(ж) = A — х)~т. Следуя 5.2.11, получаек
/(* + ») = (!- *ГГ A - уГт U - A - *Тг A - уГ1 ху}~г =
Но
и искомый результат следует из теоремы Стилтьеса — Роджерса,
(в) Нас интересует /(ж), где f{x) = sec ж. Но
= V /fcn
a /sec ж'tgh a;
{
{ k\ ){ k\
Далее, sec a; tg* ж/fc! =xhjkl J[-O(xh+2), и искомый результат следует из теоре-
теоремы Стилтьеса — Роджерса.
5.2.4. (а) Пусть /(ж) = в,а;/1! + агх^2\ + ... Так как /'(ж) = а, + a2x[i\ +
+ ..., то /'(ж) = а, + а2я + ..., откуда и следует искомый результат,
(б) Если /(ж) = tg а;, то /'(а;) = sec2 ж и
/' {х-\- у)~ sec2 ж sec2 у A — tg ж tg i/)~2 =
Но sec2 ж tg* ж/fc! = ж*/А! +О(ж*+2), и искомый результат следуот из п. (а) и
теоремы Стилтьеса — Роджерса о /-дробях.
5.2.5. (а) Поскольку / = /х[кь, Хь: @, «>)], то по теореме Стплтьеса — Род-
Роджерса о /-дробях для /(ж) справедлива формула сложения с параметрами
«**• Як+i) I * 2* 0}, т. е. / (Х + у) = 2 PAfft (х) / (у), причем
й>0
471
Таким образом, g(x + y)= У} ph (eaxfk (z)) (eayfk (#)),
a (ft + 1)}
так что для g{x) справедлива формула сложения с параметрами
{(Pi,
и требуемый результат следует из теоремы Стилтьеса — Роджерса.
(б) По 5.2.11 имеем Г(х) = Тх[2к + 1, (ft + IJ: @, °о)], где /(*)
= A — х)~1. Искомый результат следует из п. (а) при а = —1.
5.2.6. (а) Пусть 9 (х) =e* — l, a f(x) = ехр {и(е* — 1)}. Тогда
/ (х + у) = ^ «**! f jr б" (*) «ие(Я)) f jr 6ft (У) еиМ,
причем
-^ eft w .««*) = ^ + 4 (ft +1) B« + ft) ^L + о
в результат следует из теоремы Стилтьеса — Роджерса о 7-дробях.
(б) Пусть
а 0 (ж) = е*!1-"» — 1, так что
0 (Ж
L2i— i 1 — —*L- Q (x
k\ A - u)h I l-«
-.ft 4 -yft4-l
= _ + _ _ {ft A — u) + 2u A + ft)} (ft •
ft! 2 (*+ 1)! v 7
Результат следует из теоремы Стилтьеса — Роджерса.
оо
5.2.7. (а) Пусть / (х) = 2 ahxh/k\. Замечая, что I tke~tx dt = k\xh'b~1,
ft 2^0 n
получаем искомый результат.
(б) Интегрирование по частям дает:
= хп («п_1 + *п+1).
гкуда
-fcc
+
tgn«)
а;га«„+1
1" + J я 1
0
= 0 или
(п _
*П-1
tgn-
1-
-1 t sec2 te"'*
па;
— их —т
n
472
Ho t0 = 1, поэтому ty = xS^ [{к + 1) (к + 2) : @, оо)] и требуемый результат
следует из п. (а).
5.2.8. (а) Если х = О, то ф = 0, и получаем нужный результат.
(б) 1) (спж)'=—sincp (d(fldx)=~ snz (dyjdx). Hoda/^=A—m2 sin2 ф)-1/2,
следовательно, dy/dx = A — m2 sin2 ф)'/2 = dn ж. Таким образом, (en i)' =
= -sni dna;.
2) Аналогично п. 1).
3) (dna;)' = — m2 sin ф cos ф A — m2 sin!y)~i/2dy/dx, откуда и следует тре-
требуемый результат.
(в) Пусть п > 2. Интегрируя gn по частям, получаем
'о
Но из п. (а) мы знаем, что sn 0 = 0, поэтому, еще раз интегрируя по частям,
получаем
о
Из п. (б) следует, что
\ sn" t = п (п — 1) sn"~2 t cn2 t dn2 t — n dn2 t sn" t — nm2 cn2 t sn" t.
Из определений следует, что cn21 = 1 — sn21, a dn21 = 1 — m2 sn21, поэтому
gn = re(n-l)a:2?M_2 — n2(l
пли
п(п — 1) х2
Интегрируя теперь по частям исходное выражение для gu получаем
ОО ОО
gi = х-1 f sn te-ixrldt = [ cn t dn te~Xx~Xdt =
оо
= - x cn f dn ге-'301~ - J {A + m2) sn t - 2m2 sn3 (} e'^
Таким образом,
7 (*) = ^
; —4
1 + A + mл) х'
и результат следует пз полученного рекуррентного уравнения для gn/gn-t-
(г) 1) Будем следовать п. (в). Интегрируя gn дважды по частям, получаем
gn = x\e-tx ** (an11 teat) dt, n>2.
J dt*
о
31 я. Гульден, Д. Джексон 473
Ho d2/dt2(mnt cnt) = n(n — i)snn-2t cnt — {m2ra2+(ra + lJ}sn"t
+ m2(re + 1) (re + 2) sn n+2t en t, поэтому
gn = re(re - i)x*gn-2 — {m2n2 + A + hJ)x2gn + m2{n + 1) (re + 2)x2gn+2
или
n (n — 1) x2
p I p — —
для и ^ 2. Интегрируя g0 по частям дважды, получаем
00
n 2
0 •' dt2
о
Так как d2 en?/dB = 2m2en t sn2t — en t, то
?(*)=ga=. . . *
и результат следует из полученного рекуррентного уравнения для gjgn-z-
2) Результат непосредственно следует из предыдущего пункта с помощью
сжатия (см. предложение 5.2.2).
5.2.9. (а) Пусть Ф (в, Ъ, с) = 2ФХ (Д Ъ : q, x), a
Тогда
= Ф^ (в, Ь + 1, с + 1) - ур;_х (в + 1, Ъ + 1, с + 2),
поэтому Ф(в, Ь, с) =Ф(в, 6 + 1, с + 1)—Хоа;Ф(в + 1, 6 + 1, с+ 2), откуда
следует
Ф(а, 6 + 1, с + 1) = f ь (а)9 (с ~ b)g Ф (а + 1, Ь + 1, с + 2) \-1
Ф(в, 6, с) \ (с), (с + 1),. Ф(в, 6+1, с + 1) j
Используя очевидную симметричность: Ф(о, 6, с)=ФF, о, с), поменяет»
местами в и 6 и заменим затем 6 на 6 + 1, а с на с + 1. Тогда получим
Ф(а + 1, 6+1, c + 2)L _ о(Ь + 1)9(с-а + 1)?Ф(«+1, & + 2, }
ф(в, 6 + 1, с + 1) \ (с+1.)?(с + 2)д Ф (в+ 1,6 + 1, с+ 2)}
Искомый результат получается теперь, если написать разложение исходной
функции в цепную дробь, используя поочередно найденные два соотношения.
Он является g-аналогом теоремы Гаусса для гипергеометрической функ-
функции 2Fi.
474
(б) 1) Заменим в теореме Гейне д на д2, затем х на жA— д)" и поло-
положим а = 1/2, 6 = 0, с = оо. Тогда
2фг A/2' * : Л * A - ЧГ1) =1 + 2 A), C), • • • B/ - 1), **.
A f^0: Л. A-е))-*.
*»- A- 3K^B/ + 1)* Х«_,=
откуда и следует искомый результат.
2) Заменим в теореме Гейне х па жA — д)~' и положим в = 1, 6=10,
с = оо. Тогда
1 + 2 /'•/• 2ф
откуда и следует результат.
5.2.10. (а) По 2.7.3 имеем
С (х) = 2 С„*п = JL {1 - A
поэтому жС2(ж) —С(ж)+1 = 0 и С(ж) = {1 —жС(ж)}-1, так как обращение
осуществимо. Таким образом, С(х) =Sx[i : @, оо)]. Поскольку S 2[1: @, °о)] =
= /,.[0,1: @, оо)], то по лемме о путях Сп равно числу путей длины 2и+ 1,
начинающихся и оканчивающихся на высоте 0 и не имеющих уровней.
(б) Пусть М (ж) = ^ Мпхп, так что х*АР(х) — A — х)М(х) + 1 =0 и
М(х) = {1 — х — хШ(х)}-1. Тогда if (ж) =Jx[i, 1: @, оо)], и по лемме о пу-
путях Мп есть число путей длины га +1, начинающихся и оканчивающихся на
высоте 0.
5.2.11. (а) Ясно, что ступенчатые коды находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с путями без уровней, начинающимися ы оканчивающимися
на высоте 0. По этому соответствию ступенчатый код есть последовательность
высот вершин пути, считая слева направо.
По лемме о путях производящей функцией таких путей является
Jx[0, «fcjijH-i :@, оо)]. Так как соответствующая последовательность получается
выписыванием высот и последний ее элемент равен нулю, то, положив a.h — xh,
pft = Xh, получим производящую функцию для ступенчатых кодов:
*V* [°. жА+1: (Р. °°>] = xxoSx* [*
(б) Из п. (а) ясно, что нас интересует число путей с 2га шагами, не
имеющих уровней, начинающихся и оканчивающихся па высоте 0. Непосред-
Непосредственно по [5.2.10 (а)] это число равно ——г [ п I.
п + 1\га/
(в) Учитывая п. (а) и 5.2.17, получаем искомое число:
Г х2п+1 1
^ [(к + 1) (ft + 2) : @, oo)l = [B*ra + 1)ij tg x.
31* 473
5.2.12. (а) Шаги на высоте i дают вклад в площадь пути, равный L Пусть
q маркирует единицу площади. Тогда искомый результат следует из леммы
о путях при at = Pi = fj = з*.
(б) Требуемый результат получается заменой ц в [5.2.11 (а)] на q*.
(в) Имеем 5х[в*:@, °о)] = {1 — xSgx[qk :@, оо)]}, так что
N(x, q)/D{x, q)={D{qx, q)-xN{qx, q))-*D{qx, q).
Сравнивая числители и знаменатели, видим, что должны выполняться соот-
соотношения: N(x, q) =D(qx, q) и
D(x, q) = D{qx, q)-xD(q*x, q).
Пусть D {x, q) = 2 dn (?) *"> тогда сравнение коэффициентов при хп дает:
поэтому dn(q) = {—1)п5и(и-"A — q)~l...(i — qn)~l для п ^ 0, так как do(g)
= Z)@, g)= 1. Таким образом,
D (х, q) = 1 + 2 (- 1)" sV(n-X) П A - в1)
)
и требуемый результат получится, если учесть, что
Sx[q^:(O, оо)]=Д(Жд31 q2)/D(xq, g2).
5.2.13. (а) Пусть а = at... Огп+з — ступенчатый код и пусть 1 = i\ < г2 <
<... < |"я+1^2в + 1 таковы, что а{.<0{.+1 для / = 1, ..., га+1. Таким
образом, i\, ..., in+\ — это места подъемов в ступенчатом коде, и он однознач-
однозначно определяется множеством этих мест.
Далее должны быть выполнены неравенства
</-1, / = 1, ...,п+1, A)
так как /-й подъем должен появиться на высоте / — 1 или меньшей. Более
того,
aij+1<%+1' /-1, ••¦,*, B)
так как два последовательных подъема могут быть разделены лишь последо-
последовательностью (возможно пустой) спадов. Определим о0, «i, ..., ап следующим
образом: ^_х = / — 1 — ai. (/ = 1, ..., п+1). Тогда из A) следует, что
0<ej_! </ — 1, а из B) следует, что в;-_1 = / — 1 — <т{.</— аг = aj, так
что 0 = а0 ^ а, ^ ... sg ап и aj ^ / G=0, ..., п). Мы можем однозначно
определить iu ..., („+i по оь ..., ви+ь так как A) и B) являются не только
необходимыми, но и достаточными условиями, дающими искомое соответ-
соответствие.
(б) В пути без уровней, соответствующем ступенчатому коду, будем
маркировать подъем на высоте к величиной xqh, а спад — единицей. Тогда по
лемме о путях число ступенчатых кодов длины 2га + 3, в которых ог^ -\- ...
• • • + °гп+1 = т' Равно
[xn±lqm]Sx[qh : @, оо)].
476
Но имеется только одна такая последовательность «i, ..., ап, что 0 sg a\ sg
< ... < ап, aj < / (/ = 1, ..., п) и
2 aj = 2 (/ - %+1) = (п t4) ~ щ так как %=°-
(в) Из [5.2.12 (в)] и тождества Роджерса —Рамануджана (см. [2.5.19])
получаем
-ТТ A - g5"+1) A - g5"+4)
откуда следует требуемый результат.
5.2.14. Путь, который соответствует такой перестановке в представлении
Франсона — Вьенно, имеет в точке {к, аь) подъем, правый уровень, левый
уровень или спад в зависимости от того, принадлежит ли к соответственно
п—1
Jii, Яг, Яз или Я4 (к = 1, ..., п — 1). Поэтому искомое число равно JJ A + ceft)—
числу возможных способов «взвешивания» такого пути. Но ai =0, aft =
ft-i
= 2 tji откуда получаем нужный результат.
i=i
5.2.15. (а) Рассмотрим множество JC перестановок, оканчивающихся
наибольшим элементом. Предположим, что oeJf имеет длину и + 1. По
следствию 5.2.18 мы заставим п + 1 быть последним элементом о, если в
построении t(a) до последнего момента не будем присоединять к самому
правому открытому ребру элементарный фрагмент, соответствующий локаль-
локальному максимуму или двойному спаду. Таким образом, как и в 5.2.19,
¦ф_!(/с) = ¦фя.('с) = к, а tyi(k) = 4|>p(fc) = к + 1, так как функции возможностей
для локальных минимумов и двойных подъемов не изменяются. По лемме
о взвешенных путях число перестановок в Ж длины и + 1 равно
[xn]Jx[2k + 1, (к + IJ: @, оо)], откуда следует искомый результат, поскольку
всего в Ж имеется п\ таких перестановок.
(б) Предположим, что р — перестановка на Jfn с к циклами, к ^ 1,
а о = 0i... On — перестановка с к односторонними максимумами, соответствую-
соответствующая р в представлении Фоата — Шутценберже (см. [3.3.17 (в)]). Пусть
о'=(ге+1) (ге+1 — Oi).. .(га+1 — ап) и пусть в перестановке р имеется
цикл длины 1, состоящий из элемента п + 1 — i. В этом случае при построе-
построении t(a') мы должны на г-м шаге присоединить элементарный фрагмент,
соответствующий левому уровню, к самому левому открытому ребру. Таким
образом, если перестановка р — беспорядок, то ей соответствует взвешенный
путь для о' с функциями возможностей i|>i(fc) = к + 1, г|H(/с) = 2к, i|)-i(&) = к.
Это следует из того, что правые уровни и спады не могут иметь веса, равного
0, поскольку п + 1 является самым левым элементом в а' (см. следствие
5.2.18). Поэтому имеется только к различных возможностей для значений
весов в случае спадов и правых уровней. Более того, ввиду вышесказанного
477
левым уровням не могут соответствовать самые левые открытые ребра, так
что для весов левых уровней тоже имеется лишь к возможностей. Отсюда
следует искомый результат.
5.2.16. (а) Используем представление Франсона — Вьенно, учитывая, что
в нашем случае элементарные фрагменты, соответствующие локальным мак-
максимумам, должны присоединяться к самому левому открытому ребру, следо-
следовательно, ф_1 (к) = 1. Это гарантирует появление локальных максимумов в
возрастающем порядке, а ограничений для других элементарных фрагментов
нет, так что Фо(&) = 2(к + 1), a tyi(k) = к + 1. Таким образом, по лемме о
взвешенных путях искомое число равно
[*"-»]/,[2(fc+l), ft+l:@, со)].
(б) Так как перестановка альтернирующая, то в представлении Франсо-
Франсона— Вьенно г|зо(/с)=О. Чтобы локальные максимумы следовали в возрастаю-
возрастающем порядке, мы должны присоединять соответствующие пм элементарные
фрагменты к самому левому открытому ребру, тг е. ^-i(fc) =1. Чтобы ло-
локальные минимумы также следовали в возрастающем порядке, нужно соот-
соответствующие им элеменатарные фрагменты присоединять к самому правому
открытому ребру (при этом учитывается, что нет правых и левых уровней,
а фрагменты, соответствующие локальным максимумам, присоединяются к
самому левому открытому ребру). Таким образом, $i(&)=l и искомое
число, если учесть [5.2.10 (а)], равно
Wn] Jx [0, 1 : @, со)] = [хп] Sx [1 : @, «)] = * М.
п-\- \\п I
5.2.17. (а) Положим в 4.2.15 и = 0, чтобы получить производящую функ-
функцию для последовательностей, не имеющих jii-цепей длины 3:
{A _ *) A _ х3)-1 - Т К)) = {2 (Vai (ni) -
Применяя лемму о <-преобразовании, получаем
(б) Если о — перестановка па Jfn без <-цепей длины 3, то о' = (ге + 1) о —
перестановка на JCn+u начинающаяся с п +1 и не имеющая двойных подъе-
подъемов. Так как п + 1 является самым левым элементом, то мы можем рассуж-
рассуждать аналогично [5.2.15 (б)]. Таким образом, функциями возможностей для
перестановок о' будут ty-\{k) = к, tyo(k) = к + 1, ^i(fc) = к + 1, так что по
лемме о взвешенных путях и представлению Франсона — Вьенно получаем
1, (fc + lJ:@, во)],
(в) Пусть
A(x) =
478
Используя мультисекцию ех, получаем
4(*)=4-<
где и = eini/s. Отсюда
1„ I22I/2
Л / \ Л / \ *яйХ (НУ й х.й J/ I I ИХ (О II t
Л (ж) Л (#) = — -Q- и е еш" — -д— сое е * + -д- V е е " + i
1 / 2 \ / 2 \
D /я«\ & / \ ^_^ I .ИХ @X11 Ш« —Ш U 1
JO \х) Я (У) = — ~з~^ ~~ /\е е /»
так как 1 + и + со2 = 0. Далее получаем
А (х) А (у)— В (х) В (у) = -я- A — И2) еюхе<В1' + -5- A — и) е№\а*у
О О
следовательно,
А (х) А(у){ А (х
_B(y)h
ft>0
причем
Искомый результат следует из теоремы Стилтьеса — Роджерса о /-дробях.
5.2.18. (а) Воспользуемся представлением Франсона—Вьенно. Рассмот-
Рассмотрим дублированную перестановку нечетной длины 2и+ 1. Ей соответствует
взвешенный путь Р с 2л шагами. Так как перестановка дублированная, то
B/ + 1)-й шаг S2j+i и B/ + 2)-й шаг s2j+2 одновременно являются либо
подъемами, либо спадами, либо левыми уровнями, либо правыми уровнями.
Поэтому взвешенному пути Р можно сопоставить взвешенный путь Р' с п
шагами, в котором /-и шаг s^ совпадает с «2j—i и s#. При этом весом s,
будем считать упорядоченную пару весов для шагов s2j—i и s2j. Пусть т
маркирует подъемы в рассматриваемой перестановке (но не в соответствую-
соответствующем взвешенном пути). Рассмотрим функции возможностей для шагов в Р'.
Напомним, что подъемом в перестановке о = Oi.. .а„ называется подцепь
OiOi+i, если at < о<+1. Ясно, что OiOi+i является подъемом в том и только
том случае, когда O{+i — либо двойной подъем (см. [3.3.46]), либо локальный
ликсимум (при этом Oo=0n+i = O). Таким образом, число подъемов в пере-
перестановке на 1 мепьше, чем сумма числа локальных максимумов и числа
двойных подъемов (так как начальный элемент перестановки является либо
локальным максимумом, либо двойным подъемом, которому в перестановке
479
не соответствует подъем). Эта сумма равна сумме чисел правых уровней
и спадов в соответствующем пути Р, поскольку максимальный элемент 2ге + 1
всегда является локальным максимумом и ему в пути не соответствует ребре.
Шаг s2j-i начинается на четной высоте, скажем 2ft. Тогда s'j— такой же
шаг на высоте ft. Если s2i-i = A)», то s2j = A)г*+1, поэтому tyt(k) =
= Bft + 1) Bft + 2) есть число упорядоченных пар весов, которые можно
сопоставить подъему на высоте к в Р'. Если s2j-i =(—1JА, то s2j=(— 1)гА-1
и *|>_,(fc) = Bfc+lJfc. Если же s2(,-_1==@Ji, то s2i=@Jk и r|)p(ft)= фх(*) =
«= Bft+ 1J. Чтобы найти число подъемов в дублированной перестановке,
будем маркировать подъемы и правые уровни в Р величиной т, а в Р'~~
величиной т2. Тогда по лемме о путях искомое число равно
[х»т*] Jx[{2k + 1)Цт2 + 1), Bft + 1) Bft + 2JBft + 3) m2:@, oo)] =
= (—1)п[х2п+Ы*]т(х, т)
(см. [5.2.8 (в)]).
(б) Если о — дублированная перестановка на Jf2n с i подъемами, то
Bге+1)о также является дублированной перестановкой на ./Ргп-ц с i подъе-
подъемами, в которой 2ге + 1 есть самый левый элемент. Перечислим эти последние
перестановки, надлежащим образом модифицируя п. (а). Аналогично реше-
решению задачи [5.2.15 (б)], этого можно достичь, уменьшая на 1 функции
возможностей для спадов и для правых уровней в Р. Таким образом, функ-
функции возможностей для Р' равны:
ф| (ft) = Bft + 1) Bft + 2), ^(ft) = Bft + IJ,
^p(ft) = BftJ, t_,(ft)
Маркируя теперь каждый правый уровень и спад в Р' величиной то2, полу-
получаем искомое число:
[xnm<]Jx[{2k + iJ + BкJт2, Bft + lJBft + 2Jm2 :@, 00)] =
= (—1)[х*пт*]сп(х, т)
(см. [5.2.8 (r)]).
5.2.19. (а) Пусть П — разбиение Jfn на блоки величины 2. Элементы
множества Jfn будем рассматривать последовательно от 1 до п, и с помощью
приведенного ниже алгоритма будем строить отрезки слоистой диаграммы
в направлении слева направо. При этом наименьший элемент в каждом от-
отрезке называем открывающим, а наибольший — закрывающим этот отрезок.
Предположим, что к моменту рассмотрения элемента i e Jfn уже открыто
т отрезков. Если i открывает еще один отрезок (т. е. принадлежит новому
блоку, не содержащему элементов из Jfi-i), то i соответствует подъему на
высоте т с весом, равным 0. Если I закрывает некоторый отрезок (т. е. i при-
принадлежит блоку, содержащему элемент из Jfi-i), то i соответствует спаду на
высоте т с весом / (Osg/sgm — 1), и закрывшийся сегмент имеет (/+ 1)-ю
в порядке возрастания ординату из т ординат уже открытых сегментов.
Таким образом, получаем взвешенный путь без уровней, и это построение
обратимо, следовательно, существует взаимно однозначное соответствие меж-
между рассматриваемыми разбиениями и взвешенными путями с i|)i (ft) = 1,
г|H(&)=0, r|)-,(ft) = ft.
480
Например, взвешенный путь, соответствующий указанному в задаче раз-
разбиению, есть
(A11 — 11-1-1 — 1), @0010010)H.
(б) В терминах слоистых диаграмм рассмотрим теперь новые типы эле-
элементов, а именно элементы множеств мощности 1 и внутренние элементы
множеств мощности большей, чем 2. Будем их изображать соответственно
изолированными вершинами и внутренними вершинами сегментов. Назовем
такие вершины переходными и изменим конструкцию п. (а), чтобы учесть
эти вершины.
Переходные элементы можно представить взвешенными уровнями, при
этом вес внутренней вершины определяется так же, как для спадов в п. (а),
следовательно, он принимает значения от 0 до к — 1, если уже имеется к
открытых сегментов. Изолированная вершина одновременно открывает и за-
закрывает новый сегмент, состоящий из этой единственной точки. Таким обра-
образом, при изолированной вершине имеется лишь одна возможность придать
вес соответствующему ей уровню, и мы полагаем этот вес равным высоте
уровня, т. е. tyo(k) = к + 1. Кроме того, \|>i(&) = 1, a r|3_i(fc) = к, как в п. (а).
Этот алгоритм называется представлением Флажоле (Flajolet).
В качестве примера приведем слоистую диаграмму и соответствующий
взвешенный путь для следующего разбиения множества Л*13:
{{1, 7, 11}, {2, 4, 6, 9}, {3}, {5, 10}, {8}, {12, 13}}.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(в) Уровни веса А в п. (б) соответствуют подмножествам мощности 1
и маркируются и. Подъемы соответствуют подмножествам мощности не мень-
меньшей, чем 2, и они маркируются переменной vj
(г) Уровни веса А в п. (б) маркируем переменной и, других же уровней
нет, так как рассматриваются лишь подмножества мощности не большей, чем
2, которые не могут иметь внутренних элементов. Подъемы маркируем пере-
переменной V.
5.2.20. (а) Воспользуемся соответствием из [5.2.19 (а)], и пусть q марки-
маркирует индекс пересечения. Число точек пересечения в i-й пунктирной линии
равно к — числу открытых сегментов, если i открывает новый сегмент. Это
соответствует подъему на высоте к во взвешенном пути, и этот подъем
481
кируется величиной qh. Если i закрывает сегмент, и соответствующий спад
имеет вес /, то имеется / точек пересечения в г-й пунктирной линии, и спад
ft-i
на высоте к маркируется величиной ^ q3 = (k)q. Таким образом, по лемме
j=o
о путях искомое число равно
(* +1),:@, со)].
(б) Будем строить разбиения из и. (а) следующим образом. В первый
блок включим наименьший и (/i + 1)-й по порядку элементы (т. е. 1 и ]г + 1).
В произвольный i-й блок включим наименьший и (/«+ 1)-й по порядку
элементы из не вошедших в предыдущие блоки. Ясно, что 1 ^ /< ^ 2(ге — г)+ 1
и горизонтальный отрезок, соответствующий i-му (i = 1, ..., п) блоку дает
вклад /< — 1 в индекс пересечения. Следовательно, производящая функция
относительно индекса пересечения для разбиений Л*2п на блоки мощности 2
п 2(n—i)+l _ п
равна JJ ТТ q*~x = JJ Bг -1)г- Искомый результат следует пз п. (а).
5.2.21. Если Pk и ^к — многочлены в числителе и знаменателе Л-конвер-
гента цепной дроби, то для любого т ^з= 0, учитывая 5.2.21 C), имеем
следовательно,
Но степень Pm не превышает та, a @m@)= 1 при т ^ 0. Сравнивая коэффи-
коэффициенты при хт в обеих частях полученного соотношения, при п> т получаем
непосредственно п. (а), а также следующую систему из та+ 2 линейных урав-
уравнений с т + 2 неизвестными сA, та):
Если определитель этой системы ||/m+i+i-jll(m+2)X(m+2) обозначим Dm, то по
правилу Крамера получим
Перемножая эти равенства для т. = 0, 1, ..., к и заменяя затем к на та — 1,
приходим к п. (б), так как D-\ = 1, а
(если переставить столбцы в обратном порядке).
(в) Пусть /'"*' (ж) = 2 ^k m1^- Тогда из полученного выше соотношения
для 2 JK^ следует, что /i, s /k,m(mod Яо..,. %т) для fc > 0. Но Qm/<m> = Рт,
поэтому {/»,то | к ^ 0} удовлетворяет линейному рекуррентному уравнению
482
с характеристическим многочленом Qm. Пусть «ц == Л (mod ко- • Am) • Тогда
{а* | к ~?i 0} удовлетворяет той же рекурренте, и an+i однозначно определяет-
определяется по Оп-т, . • -1 «п при га > та, так как степень <?т равна та + 1. Поэтому
{«„ | га >5 0} периодична, если существуют две одинаковые последовательности
cti-m, ai_m+i, ••-, «.- и a,_m, aj-m+i, •••, а* при i=?&/. Всего имеется
(Хо...Ят)т+1 различных последовательностей длины та +1, следовательно, по
принципу Дирихле набор из та + 1 последовательных элементов обязательно
повторится, и последовательность {an | га 5э= 0} становится периодической после
первого же такого повторения.
5.2.22. Полагая в [5.2.6 (а)] н=1 получаем: 2 ВпхП~ Jxlk + *>
+ 1:@, оо)]. Для этой /-дроби Хо.. Ат=(та+ 1)!, а <?з(*)= 1 — 10i + 29z2 —
—24г3+г4. Искомые результаты следуют из [5.2.21 (а)] прн та = 3 и из
[5.2.21 (в)] при та = к — 1 соответственно.
5.2.23. (а) По 5.2.11 имеем % п\ хп = Jx[2fc+i, (te+lf : @, со)],
поэтому II(J + / — 2)!||(m+i)X(m+i) = A! ... та!J. Требуемый результат полу-
получается, если s-ю строку разделить на (*— 1)!, а /-й столбец — на (/ — 1)!.
(б) По [5.2.3 (в)] имеем 2 ^гп*2" = Jx t°. Vе + *? : (°. °°I- Поэтому из
доказательства [5.2.21 (в)] при т = 2 получаем
f- 2 5"-Vn]mod36.
5.2.24. Пусть Л(х, т), В(х, т), С(х, т)—производящие функции мпо-
жеств S&, Я, 9 стратифицированных, r-стратифицированных, г-стратифици-
рованных перестановок, соответственно, где х маркирует экспоненциально
длину перестановок, а т маркирует число подъемов. Если удалить минималь-
минимальный элемент в перестановке а и вычеркнуть соответствующую вершину
в t(a), то остается упорядоченная пара деревьев такого же типа. Таким
образом, получаем
где дифференцирование реализуется вычеркиванием минимального элемента
(см. 3.2.20). Но минимальный элемент приводит к единственному подъему,
если правое поддерево не пусто, поэтому из указанных представлений сле-
следует, что
-^A = C{m(B~l) + i}, wB = mCA, gj- С = А {т (В- 1) + 1}.
Полагая теперь D{x, та) = т(В(х, т) — 1) + 1, получаем
где Л @, та)=0, C@, m) = D@, та)=1. Сопоставляя это с [5.2.8 (а), (б)] и
используя 1.1.5 C), находим
А(х, та) = —isn(ix, m), C(x, m) = cn(ix, та), D{x, m)=dn(ix, m),
откуда следуют искомые результаты.
483
5.3.1. (а) Ф^, (ж, у, z) = zy 1 f (у), где f(y)= x(i + ху3). Таким образом,
по теореме о путях на решетке имеем
Ф (х, у, z) = {1 - у-^т (z)} = 1+2 У
где w = zf(w). Воспользовавшись теоремой Лагранжа, получаем
Фд) {х, у, z) = 1 + 2 у~т 2 ~ *П №~П] *П A +
откуда при т = га — 3* следует искомый результат.
(б) Из теоремы о путях на решетке и теоремы Лагранжа получаем
Ф (х, у, z) = z-^-w B) Г1 @) = x~xz~^w (z) =
?1 -Х] хт A + гХз)т = 2-гг-1 V
m
откуда следует результат.
(в) По теореме о путях на решетке имеем
Но
(х, у, *) =» {1 - y^zf (у)}'1 {«-1*-1» (г)} {1 - у~х w (*)} =
0 - it1,/ (г/)}-1 =
/ЗА; + 2\ xi(h + 1)
= 1-
J
(по теореме Лагранжа). Отсюда следует искомый результат.
5.3.2. Поскольку Ф~ (х, у, z) = zy"xx (l + хауь), то в обозначениях теоре-
теоремы о путях на решетке имеем 1(у)= гA + хауь). Таким образом,
Ф^, (х, у, 2) = z-^w (z) Г1 @) = z-^x-^w (z) =
=s*-12 -г [хП;| гП A+хп%Ь)п "= 2 йтт (ь*+*)
Откуда и следует результат.
5.3.3. Фд, A, jr, z) = zy-1 (l + jr + у2), так что Ф^, A, у, z) = z-1u; (z),
где ш = z (l -f- u? + ш2). Таким образом,
Ф_ A, у, ,) = {1 - , - A - 2, -
^,
где радикал берется с отрицательным знаком вследствие того, что
®д> A| У< z) s Q [[«]]• Коэффициенты этого ряда —числа Моцкина (см.
[5.2.%]).
484
5.3.4. Рассматривая 1-сдвиг и обращение этих путей, получим нуль-пути
на множестве шагов 9>w> = {(i, i — j) | i, j ^s 0, i + j ФО), для которого
= A - zjT1) A - у) {1 - у B* - 2
Пусть теперь Ф^-„ (г, у, 1) = {l — jT1 Bх — 2zjr + 2у2)}-1. Тогда
поскольку разложение на множители в теореме о путях единственно. Приме-
Применим теперь эту теорему при j{y) —2{x — xy + jr2). Тогда
«V (*, У, *) = Г1 » (г) /~] @) = 4- г~1г~1" (г>.
о *
где ц> = 2г(г — xw + гг?2). Решив это квадратное уравнение, получим
» A) = 4" 0 + 2* - 0 - 12* + 4**I'2},
причем отрицательный знак перед радикалом выбран потому, что ряд Ф^-
о
не должен содержать отрицательных степеней х. Отсюда следует искомый ре-
результат.
5.3.5. (а) Применив (та—1)-сдвиг к интересующим нас путям, получим
пути из @, 0) в (га, 0) на множестве шагов {@, 1), A, — (та—1))}, которые
никогда не поднимаются выше прямой у = 0. Применение операции обраще-
обращения к этим путям ничего не дает, так как множество шагов удовлетворяет
условиям основной теоремы лишь при та = 2. Однако если мы отразим эти
пути относительно оси х, то придем к нуль-путям из @, 0) в (га, 0) на мно-
множестве шагов {@, —1), A, та — 1)}, которые можно перечислить по теореме о
путях на решетке. Имеем Ф~ = z (г/—1+ хут—1)_ Zy~1 f(y)y где /(г/) = 1 + хут.
Затем, полагая w=zf(w) и применил теорему Лагранжа, получаем
фа, =z~1w (z) Г1 @) = г w (z) =
r=2
к
откуда следует искомый результат.
(б) Произведем следующие операции: 1) отразим рассматриваемые пути
относительно прямой у = х; 2) произведем jx-сдвиг полученного множества
шагов; 3) отразим еще раз пути относительно оси х; 4) обратим полученные
пути. В результате получим минус-пути из @, 0) в (re, \t,n — m) на множестве
шагов {@, —1), A, ц.)}. Тогда искомое число равно
[zm+nxny»n-m] {I — y-lw(z)}~* = [zm+nxn] wm~*n,
где w г= z(l + хи>*+1). По теореме Лагранжа это выражение равно
+ п
+ \ п
что и требовалось показать.
4S5
(в) Как и в п. (б), пам нужно подсчитать минус-пути из @, 0) в
(га, \т — т), но на множестве шагов {@, —1), A, ц), A, ц —1)}, причем
в каждом пути имеется г шагов A, ц — 1) и, следовательно, длина каждого
пути равна т + га — г. Искомое число равно
где w = z(l + xtw* + xw*+l). По теореме Лагранжа это выражение равно
откуда следует искомый результат.
Пункты (а), (б) и (в) являются обобщениями задачи о баллотировке.
5.3.6. Представим ступенчатый код путем на решетке с мпожеством ша-
шагов {A, 0}, @, 1)} и началом @, 0), при этом возрастанию па 1 между сосед-
соседними элементами кода соответствует шаг @, 1). Тогда пути, соответствующие
ступенчатым кодам длины 2га + 1, — не что иное, как пути из @, 0) в (га, га),
не поднимающиеся выше прямой у = х. По [5.3.5 (а)] число таких путей
равно
1 Bn + i)_ 1 Bn\
2га + 1 V га / n+l\ nj
5.3.7. Ясно, что число путей из @, 0) в (га, га}, расположенных пе выше пря-
прямой у = х, равно N\ — N2, где N\ — число всех путей из @, 0) в (га, п), a N2—
число тех из них, которые имеют точки на прямой у = х + 1. Очевидно, что
N. = [ п ). С другой стороны, любой из путей второго типа когда-то впер-
1 \ га/
вые попадет на прямую у = х + 1. Если мы отразим начальный участок такого
пути (до первого попадания на прямую у = х + 1) относительно этой пря-
прямой, то получим путь из (—1, 1) в (га, га), и это построение обратимо. Таким
/ 2га \
образом, N2 равно числу путей из (—1, 1) в (га, га), следовательно, N^ = I п __ ^ I.
Такой метод доказательства называется принципом отражения.
5.4.1. Так как наибольшая часть разбиений не превышает т, то поло-
положим в 5.4.7 xm+i = хт+2 = ... = 0, Xj = q'(i ^ i <; т). Тогда искомое число
равно
где по [2.5.17]
Ш
Отсюда следует искомый результат.
5.4.2. Доказательство проведем индукцией по «i (числу столбцов разбие-
разбиения). При a.i = \ утверждение проверяется непосредственно. Пусть (а*, 1) —
форма плоских разбиений с убыванием по столбцам, получаемых вычеркива-
вычеркиванием первых столбцов в каждом разбиении формы (ее, 1). Предположим, что
486
результат справедлив для всех плоских разбиений с убыванием по столбцам
формы (а', 1), где а'<а, тогда он справедлив и для разбиений фор-
формы (а*, 1).
Ясно, что а* = аг — 1 для ai > 0. Если крюковые длины ячеек разбие-
разбиения с формой (а*, 1) равны d*, ..., d*_n, то крюковые длины для формы (а,
1) равны d*, ...,d*_n, a1+_« —1, a2 + ra —2, ..., an (всего их р). Кроме
того, если емкости ячеек в (а*, 1) равны с*, ..., с*_п, то емкости в (а, 1)
равны с* + 1, ..., с*_х + 1, 0, — 1, .... — п + 1 (нх тоже р).
Нам нужно доказать, что
" _ --i*4 (» + * + c?)g • • • 0я + * + С1-п)д И)? ¦ ¦ ¦ (Д - n + l)g
По предположению индукции это равносильно доказательству соотношения
где
xri
(мы транспонировали матрицу из [5.4.1]).
Чтобы доказать это соотношение, разделим /-й столбец определителя
Нт(а) на gn~i+I(m — тг + у'),, а i-ую строку умножим на (а< —г+/г)?
A<г, /<тг). Тогда
(an),
1^ |
m -1 }q(m-n+i)q |nxn-
Далее вычтем поочередно из столбца с номером ?г — / столбец с номером
(/), -
/г + 1 — у, умноженный на ~ТГГ~, (/ = га — 1, га — 2, ..., 1). Тогда
Ч (и — /)д
предыдущий определитель равен
/та + a. - i + ; - 1
Цпхп
т. е. равен ffm+i(a*). Утверждение доказано.
5.4.3. По 5.4.8 имеем fa = Р' || 1/(°{ ~ г + /)' |пХп> где р = а, +... + а„
есть число ячеек в таблице Юнга формы (а, 1). Мы вычислим этот определи-
определитель следующим образом. Заметим сначала, что по [5.4.1]
i+i)\l v «{(*- I)" lim Hm («I1 •
¦ Т^ /;' ЦпХп I m-»oo j |?=i
487
поскольку из предложения 2.6.13 следует, что
та — 1 jq (а;- — / -f- i)\q
Но по [5.4.2] имеем
n{m + ci)q ••• (m + cp)q qa(l — g)~p
так что (A — д)р lim Hm(a)l| = 1/d ...d, откуда следует требуемый
результат.
5.4.4. (а) Пусть sf-™^ — множество плоских разбиений с убыванием по
столбцами формы (а, 1), где а = (аь ..., <и) '= (с,..., с) и наибольшей частью,
не превышающей т. Пусть О^ — множество ординарных плоских разбие-
разбиений, имеющих не более г строк, не более с столбцов и с наибольшей частью,
не превышающей т. Тогда справедливо представление:
Более того, если р — плоское разбиение числа п, то р' — плоское разбиение
п — с[ ^Г ], где р' есть образ р в этом представлении, Таким образом, иско-
искомое число равно [qM]Gm(r, с), где
_ _,/г+1>> _ -c(r+1)
Hm(a)q V 2 ' = Gm_r (г, с) или Gm (г, с) = Hm+r (a) q v 2 '.
(б) По [5.4.2] имеем
г
где о = 2 iccj, а с*, di — емкость и крюковая длина ячейки i (i = 1, ..., р).
Выпишем крюковые длины и емкости для каждой ячейки при a = (с, ..., с):
с + г-1, с + г-2, ..., г+1, г О, 1, 2,...,с-1
с + г-2, с + г-3, ...,г, г-1 -1, О, 1, ...,в-2
с, с-1, ..., 2, 1 -r+1, -r + 2,' ...,с-г.
Таким образом,
) IIn+r («) = П П ^tlt-
j=l г=1 ^ "Г /
откуда следует требуемый результат.
488
5.4.5. (а) Искомое число равно [qM\FT(q), где по [5.4.4 (б)]
FT (q) = lim Gm (г, С) = П П <4 ~ Я**1-1)-1 = П С1 - gk)-mln{k'ry
(по предложению 2.6.13).
(б) Искомое число равно [дт] /lim Fr(g)\ и результат следует из п. (а).
5.4.6. Пусть Ь= (Ь„ ..., Ь„), где lsg&isStfi — ft+1 (?=1, ..., га).
Пусть Й?П(Ь)—множество бинарных последовательностей ai...amn, в которых
каждая подцепь длины т содержит по крайней мере к единиц, а сг(тп—i)i+i • • •
... ami содержит точно bt + к — 1 единиц для i — i, ..., п. Положим
&= (Р,, ..., Р„), <2 = (<?ь .••,<?*)> где Pi =(s4-,, s4-,), a 9«=(s4 + fc —1,
Я + Л —1 —та) (i = l, ..., п). Тогда Рь ..., Рп и <?i (?п расположены
в возрастающем порядке па прямых у ==х и у = х — т соответственно,
следовательно, концевой тип {&, Q) собственен. Кроме того,
^п{Ь)^?C>, Q):G1...amn~(wl wn),
где шаги A, 0) и @, —1) в wt отвечают соответственно единицам и нулям
в o(m-i)i+i ¦¦¦ami (г = 1, ..., п). Но число путей в 2?ц равно
ф Ш = (
S \ Sj + Л — i — s4
где I т I = 0 при 1> т или Z < 0. Искомый результат следует теперь из теоре-
теоремы о непересекающихся гс-путях.
5.4.7. Концом такого решеточного многоугольника (Л|, Яг) является точка
(к -f-1, гс — к + 1). Кроме того, начальный шаг iti равен @, 1), а последний —
A, 0); в Яг первый шаг— A, 0), а последний— @, 1). Таким боразом, если
эти начальные и конечные шаги удалить, то множество решеточных много-
многоугольников превращается в множество всех непересекающихся 2-путей на
множестве шагов {@, 1), A, 0)} с концевым типом ({@, 1), A, 0)},
{(к, гс—& + 1), (к + 1, гс —&)}). Теорема о непересекающихся га-путях, оче-
очевидно, справедлива для этого измененного множества шагов, а концевой тип
является собственным. Но число путей на множестве шагов {@, 1), A, 0)}
(I i I т Л
. 1 для I ^ i, rri^j, так что искомо»
( — i J
(п\ I гс \
\к) \k + l)
число равно
(б) Из п. (а) и 1.1.6 (8) следует, что искомое число равно
2 1 (n + i)(n+i\_ 1 у (n + i\(n + i\_
hJon + i\ к )\k+l) « + 1^01 к )\п-к)
= _!_ Bп + 2) = _1_ Bп +2)
п + 1\ гс / п + 2\п + 1Г
32 я. Гульден, Д. Джексон 489
5.4.8. Мы будем следовать доказательству теоремы 5.4.5, по в нашем
случае на множество шагов 3?ц накладывается еще дополнительное ограни-
ограничение: высота, на которой возможен шаг A, 0) при абсциссе i, ограничена
сверху числом а),-_п+1, а снизу — числом ц,,-. Непересекающиеся «-пути в
точности соответствуют плоским разбиениям с ограничением на столбцы и
Фд, =0у-, откуда следует требуемый результат.
5.5.1. (а) Это представление аналогично представлению 5.3.3, но теперь
мы выявляем первое и последнее появления вершин не с минимальной,
а с максимальной высотой. Множество плюс-путей совпадает с (« U &), а мно-
множество нуль-путей — с 3$. Из доказательства 5.5.1 ясно, что множество минус-
аутей есть SF*.
(б) По 5.5.2 имеем: / (z) = №g- (z, I, t) удовлетворяет функциональному
уравнению f = zg(f), где g (у) = ^ gny\ далее Ч^ (z, I, t) = zt~lg{t),
a T^(z, 1, t) = (zg-0)-i /(z). Из п. (а) следует, что
{1 - *t-«*(t))-1 = {1 + S(«
где S (z, t) = f (z, 1, i). Логарифмируя обе части и раскладывая в ряд,
получаем
V -?. {г? (t)}n = log A + S) + log {(^0)-i / (z)} + 2 ^~L
Ho 5 содержит лшпь положительные степени t, а (zgo)~l/(z) от t не зависит.
Применяя оператор [znt~ft], где п, к ^ 0, получаем
Это и есть теорема Лагранжа (для одной переменной).
Отметим еще, что если применить оператор [zn] при п ^ 0, то получим
И log {(чго)-1 / (г)} = 4" [<°] {? @/0" = 4" ['
Это — хорошо известный результат Лагранжа.
5.5.2. (а) Рассмотрим решеточный многоугольник
(U, V) = ((UO. . .В„_|)(о, 0), (Wo-..l>n-l)@, 0))
с полупериметром га. Сопоставим ему единственный путь р = Ро ••• Pn-ъ где
Р< (г = 0, 1, ..., п — 1) является
1) подъемом, если (щ, vt) = (@, 1), A, 0)),
2) левым уровнем, если (вд, р<) = (A, 0), A, 0)),
3) правым уровнем, если (щ, у<) = (@, 1), @, 1)),
4) спадом, если (н4, у4) = (A, 0), @, 1)).
Тогда в терминах § 5.2 р' = Pi ... рп-2 является путем от высоты 1 до высо-
высоты 1. В этом легко убедиться, если положить к{ = alt (р<) = alt (и,-) — alt (p<).
В этом случае fci = fcn-i = 1, *i ^ 1 (t =» 1, >.., га — 1) и fet+i равно fc,-, fe* + 1
или к{ — 1 в зависимости от того, будут ли шаги н< и р* параллельными,
490
расходящимися или сходящимися. Ясно, что
71— 1 71—1 71—1 71—1
area (в, t>)= 2 alt (щ) - 2 alt (»,) = 2 a» (Pi) = 1 + 2 alt (p,),
j=O i=0 i=0 i=l
а конечная абсцпсса многоугольника (a, t>) на 1 больше общего числа подъе-
подъемов и левых уровней в р\ Полупериметр (a, v) на 2 больше длины у'.
Таким образом, если z маркирует полупериметр, q маркирует площадь, a s
маркирует конечную абсциссу, то подъем на высоте к в р' маркируется szqk,
спад на высоте к маркируется zqk, а уровни на высоте к маркируются
szqh + zqk = (s + l)zg\ Из леммы о путях E.2.7) следует, что
P(z, q, ж) = qsz*Jz[(l + s)q\ tg«+> : A, oo)].
(б) В обозначениях следствия 5.5.5 g\ = i + s, g2 = s, так что g(i/. g) =
= A + y) A + sy), откуда, если учесть 2.6.12 A), следует, что
/n+ft+l\ n+ft /i+l\ /j+l\ / , ,\ / i i\
2
После стандартных упрощений получаем
Но по следствию 5.5.5A) имеем zqjz[(i -\- s)q\ sg2*+1:(l, oo)] = Gi(z, q)/
/G0(z, q), откуда и получаем требуемый результат,
(в) Из 5.5.5 B) и п. (б) получаем
A + •) z + Р (z, <Г\ •) + Р (z, q, ж) = 1 + С («, 9) =
откуда и следует требуемый результат.
5.5.3. По [5.5.2] искомое число равно
где / = zJz [s + 1, s :A, oo)], так что / удовлетворяет уравнению / == z(l + s/)X
X A + /) • По теореме Лагранжа имеем
[zn+V]/ =
ьч] {A+1) а+st)}^ ui 2
откуда следует требуемый результат.
5.5.4. (а) Из [3.3.48 (б)] следует, что
где
32* 491
Но
поэтому
Положив и = g, получаем
ВО
следовательно, J(x, q) удовлетворяет функциональному уравнению
(б) Функциональное уравнение, полученное в п. (а), можно решить с
помощью g-аналога теоремы Лагранжа при g(t, д)=д~1е'. Действительно,
Un) g(n+h) (д-\ д) = [*»] *-<»+» exp {f (g-i + ... +
и по теореме 5.5.4 B) получаем искомый результат.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Множества как правило обозначаются рукописными буквами, а матрицы
и векторы — полужирным шрифтом. Запись в тексте i.j.k. означает ссылку
на гл. i, параграф /, пункт к, а [г./.к.] — ссылку на задачу к из параграфа /
главы i.
Ж {0, 1, 2, ...}
Jf* {1, 2, ...}
Лъ {1, 2, ..., п)
\9'\ мощность множества 91
91 * свободный моноид на &
SP+ SP* — {е}, где е — пустая последовательность
Q множество всех рациональных чисел
Z множество всех целых чисел
Мт. nE?) множество всевозможных матриц размера т X и с элемента-
элементами из Я
[К] целая часть к
f I i = ;
6jj символ Кронекера: o-- = J ' "
3 Ю, I Ф j
»-* поэлементное действие отображения
•i li 2 я где х = (х . х \ i = (i i \
полиномиальный коэффициент ml/il, где ц + ... + in = m
где / = 1 + /(а: + /2а:2 +..., a f = (f0, fi, f2, • • •)
[Tl
(теневое произведение)
матрица размера т X « с элементами 6^
II «ij llmxm определитель матрицы порядка т с элементами a,ij
coitjX алгебраическое дополнение элемента a,j матрицы А
diag(x) диагональная матрица с элементами по диагонали х\, х%, ..., хп
B[a|{S] подматрица матрицы В с элементами из строк с номерами
в a s Jfm и столбцов с номерами в {S е УГп
B(a|P) B[^m-o|^»-P]
[B|b]< матрица, получающаяся из В заменой г-го столбца на т-мер-
ный вектор-столбец Ь
adj А матрица из алгебраических дополнений к элементам мат-
матрицы А
493
К! ТТ *„!, где К = |
n\q
Ак JJ а{Р, где А = [ац]тХп
• m, n [ljmXn
• n Jn, п
tr А «и + «22 + ... + йпп для А = [«jj]nxn (след матрицы А)
rg А ранг матрицы А
tA 1-9
п\
m\q(n — m)\q
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Abramson, M. A975). A note on permutations with fixed pattern., J. Comb. Theo-
Theory (A) 19, 237—239.
Abramson, т., and W. 0. J. Moser A967). Permutations without rising or falling
^-sequences, Ann. Math. Statist. 38, 1245—1254.
Aeppli, A. A923). A propos de Interpretation geometrique du probleme du scru-
tin, Enseignement Math. 23, 328—329.
Anand, #., V. C. Dumir, and H. Gupta A966). A combinatorial distribution prob-
problem, Duke Math. J. 33, 757—770.
Andre, D. A881). M&moire sur les permutations alternees. J. Math. 7, 167—184.
Andre, D. A887). Solution directe du probleme resolu par M. Bertrand, C. R. Acad.
Sci. Paris 105, 436-437.
Andrews, G. E. A967). A generalization of a partition theorem of MacMahon.
J. Comb. Theory 3, 100-101.
Andrews, G. E. A971). On the foundations of combinatorial theory; V: Eulerian
differential operators, Studies Appl. Math. 50, 345—375.
Andrews, G. E. A975a). The theory of compositions, II: Simon Newcomb's prob-
problem. Utilitas Math. 7, 33—54.
Andrews, G. E. A975b). Identities in combinatorics, II: A g-analog of the Lag-
range inversion theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 53, 240—245.
Andrews, G. E. A976). The theory of partitions, in Encyclopedia of Mathematics
and Its Applications, Vol. 2, G.-C. Rota, Ed., Addison — Wesley, Reading,
Mass. [Рус. п е р.: Эндрюс Т. Теория разбиений.— М.: Наука, 1982.]
Bender, E. А. A974). Partitions of multisets, Discrete Math. 9, 301—312.
Bender, E. A., and 1. R. Goldman A971). Enumerative uses of generating functi-
functions, Indiana Univ. Math. J. 20, 753—764.
Biggs, N. L., E. K. Lloyd, and R. J. Wilson A976). Graph Theory 1736—1936, Ox-
Oxford University Press, Oxford.
Blum, J. A974). Enumeration of the square permutations in Sn, J. Comb. Theo-
Theory (A) 17, 156-161.
Bognar, J., J. Mogyorodi, A. Prekopa, A. Renyi, and D. Szasz A970). Problem Book
on Probability (in Hungarian), Tankonyvkiado, Budapest.
Breach, D. R., et al. A976). Solution to problem 75—4, SIAM Rev. 18, 303—304.
Bondy, J. A., and U. S. R. Marty A976). Graph Theory with Applications, Macmil-
lan, London.
Bressoud, D. M. A980). Analytic and combinatorial generalizations of the Ro-
Rogers — Ramanujan identities, Amer. Math. Soc. Mem. 227.
Brooks, R. L., С A. B. Smith, A. H. Stone, and W. T. Tutte A940). The dissection
of rectangles into squares, Duke Math. J. 7, 312—340.
Brown, W. G. A963). Enumerication of non-separable planar maps, Canad. J.
Math. 15, 526—545.
Brown, W. G. A964). Enumerication of triangulations of the disk, Proc. Lond.
Math. Soc. C) 14, 746-768.
Brown, W. G.., and W. T. Tutte A964). On the enumeration of rooted non-se-
non-separable planar maps, Canad. J. Math. 16, 572—579.
de Bruijn, N. G., and T. van Aardenne-Ehrenfest A951). Circuits and trees in
oriented linear graphs, Simon Stevin 28, 203—217.
495
de Bruijn N. G., and B. J. M. Morselt A967). A note on plane trees, J. Comb.
Theory 2, 27-34.
Carlitz, L A956). Some polynomials related to thela functions, Ann. Math, Рига
Appl. D) 41, 359-373.
Carlitz, L. A962). The generating function for max (nu ..., п&), Portugaliae Math.
21, 201—207.
Carlitz, L. A972). Enumeration of sequences by rises and falls a refinement of
the Simon Newcomb problem, Duke Math. J. 39, 267—280.
Carlitz, A973a). Enumeration of up-down permutations by number of rises,
Pacific. J. Math. 45, 49—58.
Carlitz, L. A973b). Enumeration of up-down sequences, Discrete Math. 4, 273—
286.
Carlitz, L. A974). g-Analog of the Lagrange expansion, Eulerian Series and Appli-
Applications, Pennsylvania State University, Middletown, Pennsylvania.
Carlitz, L, A977). Enumeration of compositions by rises, falls and levels, Math.
Nachrichten 77, 361—371.
Carlitz, L. A978). Permutations with prescribed pattern, II: Applications, Math.
Nachrichten 83, 101—126.
Carlitz, L. A979). Restricted compositions, II, Fib. Quart. 17. 321—328.
Carlitz, L., andfl. Scoville A972). Up-down sequences, Duke Math. J. 39, 583—598.
Carlitz, L., and R. Scoville A973). Enumeration of rises and falls by position,
Discrete Math. 5, 45—59.
Carlitz, L., and R. Scoville A974). Generalized Eulerian numbers: combinatorial
applications, J. reine, angew. Math. 265, 110—137.
Carlitz, L. and R. Scoville A975). Generating functions for certain types of per-
permutations, J. Comb. Theory (A) 18, 262—275.
Carlitz, L., R. Scoville, and T. Vaughan A973). Enumeration of permutations and
sequences with restrictions, Duke Math. J. 40, 723—741.
Carlitz, L., R. Scoville, and T. Vaughan A976). Enumeration of pairs of sequen-
sequences by rises, falls and levels, Manuscripta Math. 19, 211—243.
Cartier, P., and D. Foata A969). Problemes combinatoires de commutation
et rearrangements, Lecture Notes in Mathematics 85, Springer — Verlag,
Berlin.
Catalan, E. A838). Note sur une equation aux differences finies, J. M. Pures Appl.
3, 508—516.
Cauchy, A. A893). Oeuvres Ser. 1, Vol. 8, Gauthier — Villars, Paris.
Cayley, A. A889). A theorem on trees, Quart. J. Math. Oxford 23, 376—378.
Cayley, A. A890). On the partitions of a polygon, Phil. Mag. D) 22, 237—262.
Chihara, T. S. A978). An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and
Breach, New York.
Chowla, S. I. N. Herstein, and W. S. Scott A952). The solutions of Xd = 1 in sym-
symmetric groups, Norske Vid. Selsk. 25, 29—31.
Clarke, I. E. A958). On Cayley's formula for counting trees, J. Lond. Math. Soc.
33, 471-474.
Comtet, L. A966). Recouvrements, bases de filtre et topologies d'un ensemble
fini, С R. Acad. Sci. Paris (A) 262, 1091—1094.
Comtet, L. A968). Birecouvrements et birevetements d'un ensemble fini, Studia
Sci. Math. Hungar. 3, 137—152.
Comtet, L. A974). Advanced Combinatorics, D. Reidel, Dordrecht, Holland.
David, F. N, and D. E. Barton A962). Combinatorial Chance, Griffin, London.
Dershowiz, N., and S. Zaks A980). Enumerations of ordered trees, Discrete Math.,
31,9-28.
Devitt. J. S. and D. M. Jackson A982). The enumeration of covers of a finite set.
J. Lond. Math. Soc; B), 25, 1-6.
Dillon, J. F., and D. P. Roselle A969). Simon Newcomb's problem. SIAM J. Appl.
Math. 17, 1086-1093.
Dixon, A. C. A891). On the sum of the cubes of the coefficients in a certain
expansion by the binomial theorem, Manuscripta Math. 20, 79—80.
Doubilet, P. A972). On the foundations of combinatorial theory, VII: Symmet-
Symmetric functions through the theory of distribution and occupancy, Studies
Appl. Math. 51, 377—396.
496
Doubilet, P., G. C. Rota, and Д. P. Stanley A972). On the foundations of combi-
combinatorial theory, VI: The idea of generating function, 6th Berkely Syrap.
Math. Statist. Prob. 2, 267—318. [Рус. пер.: Дубиле П., Рота Дж,— К.,
Стенли Р. Об основах комбинаторной теории / Перечислительные зада-
задачи комбинаторного анализа.— М.: Мир, 1979.— С. 160—228.]
Dumont, D. A979). A combinatorial interpretation for the Schett recurrence on
the Jacobian elliptic functions, Math. Сотр. 33, 1293—1297.
Entringer, R. C. A969). Enumeration of permutations of A, ..., n) by number
of maxima. Duke Math. J. 36, 575—579.
Etherington, I. M. H. A937). Non-associate powers and a functional equation,
Math. Gaz. 21, 36—39.
Euler, L. A748). Introductio In Analysin Infinitorum, Marcum — Michaelem
Bousquet, Lausannae, Chap. 16. [Рус. пер.: Эйлер Л. Введение в ана-
анализ бесконечных. Т. 1, 2.—М.: Физматгиз, 1961.]
Euler, L. A758, 59). Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 7,
13-14
Everett, C. L, and P. R. Stein A973). The asymptotic number of @, l)-matricea
with zero permanent, Discrete Math. 6, 29—34.
Farrell, E. A979). On a class of polynomials associated with the stars of a graph
and its application to node-disjoint decompositions of complete graphs
and complete bipartite graphs into stars, Canad. B. Math. 22, 35—46.
Feller, W. A950). An Introduction to Probability Theory and Its Applications,
Vols 1 and 2, Wiley, New York. [Рус. п е р.: Феллер В. Введение в тео-
теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2.—М.: Мир, 1984.]
Fishburn, P. С. A979). Transitivity, Rev. Economic Studies 46, 163—173.
Flajolet, P. A980). Combinatorial aspects of continued fractions, Discrete Math.
32, 99-216.
Flajolet, P. A982). On congruences and continued fractions for some classical
combinatorial quantities, Discrete Math. 42, 145—153.
Flajolet, P. and Л Frangon A981). Interpretation combinatoire des coefficients
des developments en serie de Taylor des fonctions elliptiques de Jacobi
(preprint).
Foata, D. A968). On the Netto inversion number of a sequence, Proc. Amer.
Math. Soc; 19, 236—240.
Foata, D. A974). La serie generatrice exponentielle dans les problemes d'enume-
d'enumeration, Les Presses de l'Universite de Montreal.
Foata, D. and J. Riordan A974). Mappings of acyclic and parking functions,
Aequationes Math. 10, 10—22.
Foata, D., and M. P. Schutzenberger A970). Theorie geometrique des polynomies
Euleriens, Lecture notes in Mathematics 138, Springer — Verlag, Berlin.
Frame, J. S., G. de B. Robinson, and R. M. Thrall A954). The book graphs of the
symmetric group, Canad. J. Math. 6, 316—324.
Frangon, J., and G. Viennot A979). Permutations selon les pics, creux, doubles
montees, doubles descentes, nombres d'Euler et nombres de Genocchi,
Discrete Math. 28, 21—35.
Franklin, F. A881). Sur Ie developpement du produit infinit A — x) A — x2) X
X A — x3)..., С R. Acad. Sci. Paris 82, 448—45Q.
Garsia, A. M. A983). A g-analogue of the Lagrange inversion formula (preprint).
Garsia, A. M. and /. Gessel A979). Permutation statistics and partitions, Adv.
Math. 31, 288-305.
Garsia, A. M., and S. A. Joni A977). A new expression for umbral operators and
power series inversion, Proc. Amer. Math. Soc. 64, 179—185.
Gauss, C. F. A813). Disquisitiones generates circa seriem infinitam
2) „
И t(T + ) t(y + )(Y + ) * +"c"
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores.
Gauss, C. F. A863). Werke, Vol. 2, Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften,
Gottingen.
Gessel, I. M. A977). «Generating Functions and Enumeration of Sequences»,
Doctoral thesis, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massa-
chussetts.
497
Gessel, I. A980a). A factorization for formal Laurent series and lattice path enu-
enumeration. J. Comb. Theory (A) 28, 321—337.
Gessel, I. A980b). A noncommutative generalization and g-analog of the Lagran-
ge inversion formula, Trans. Amer. Math. Soc. 257, 455—481.
Gessel, I. A981). Congruences for Bell and tangent numbers. Fib. Quart. 19,
137—143.
Gessel, I., and Й. Stanley A978). Stirling polynomials, J. Comb. Theory (A) 24,
24-33.
Gessel, I., and G. Viennot A983). Determinants and plane partitions (preprint).
Gessel, /., and D. Wang A979). Depth-first search as a combinatorial correspon-
correspondence, J. Comb. Theory (A) 26, 308—315.
Gilbert, E. N. A956). Enumeration of labelled graphs, Canad. J. Math. 8, 405—
411.
Glaisher, J. W. L. A883). A theorem in partitions, Messenger Math. 12, 158—170.
Glaz, J. A979). The number of dense arrangements, J. Comb. Theoyr (A) 27, 367—
370.
Goldman, J. Д., and G. C. Rota A970). On the foundations of combinatorial theo-
theory, IV: Finite vector spaces and Eulerian generating functions, Studies
Appl. Math. 49, 239—258.
Good, I. J. A960). Generalizations to several variables of Lagrange's expansion,
with applications to stochastic processes, Proc. Cambridge Philos. Soc. 56,
367-380.
Good, I. J. A963a). A short proof of MacMahon's «Master Theorem», Proc. Camb-
Cambridge Philos. Soc. 58, 160.
Good, I. J. A963b). Proofs of some «binomial» identities by means of MacMahon's
«Master Theorem», Proc. Cambridge Philos. Soc. 58, 161—162.
Good, I. J. A865). The generalization of Lagrange's expansion and the enumera-
enumeration of trees, Proc. Cambridge Philos. Soc. 61, 499—517. See Correction 64
A968), 489.
Good, I. J. A969). Legendre polynomials and trinomial random walks, Proc. Camb-
Cambridge Philos. Soc. 54, 39—42.
Good, I. J. A976). The relationship of a formula of Carlitz to the generalized
Lagrange expansion, SIAM J. Appl. Math. 30, 103.
Gordon, M., and J. A. Torkington A980). Enumeration of coloured plane trees
with a given type partition, Discrete Appl. Math. 2, 207—224.
Gould H. W. A972). Combinatorial Identities. A Standardized Set of Tables Lis-
Listing 500 Binomial Coefficient Summations, West Virginia University.
Morgantown, W. V.
Goulden, I, P., and D. M. Jackson A978). The enumeration of generalized alter-
alternating subsets with congruences. Discrete Math. 22, 99—104.
Goulden, I. P., and D. M. Jackson A979). An inversion theorem for cluster decom-
decompositions of sequences with distinguished subsequences, J. Lond. Math.
Soc. B) 20, 567—576.
Goulden, I. P., and D. M. Jackson A981). The enumeration of directed closed
Euler trails and directed Hamiltonian circuits by Lagrangian methods,
Eur. J. Comb. 2, 131—135.
Goulden, I. P., and D. M. Jackson A982a). An inversion model for g-identities
(preprint).
Goulden, I. P., and D. M. Jackson A984). A logarithmic connection for circular
permutations, Studies Appl. Math. 70, 121—139.
Goulden, I. P., and D. M. Jackson A982c). The application of Lagrangian methods
to the enumeration of labelled trees with respect to edge partition, Canad.
J. Math. 34, 513—518.
Goulden, I. P., D. M. Jackson, and /. W. Reilly A983). The Hammond series of a
symmetric function and its application to ^-recursiveness, SIAM J. Discre-
Discrete and Algebraic Methods (to appear).
Goulden, I. P. and S. A. Vanstone A983). The number of solutions of an equa-
equation arising from the problem on 1аЩп squares, J. Austral. Math. Soc. 34.
138-142.
Guibas, L. J., and A. M. Odlyzko A981a). Periods in strings, J. Comb. Theory (A)
30, 19—42.
498
Guibas, L. J., and A. M. Odlyzko A981b). String overlaps, pattern matching and
nontransitive games, J. Comb. Theory (A) 30, 183—208.
IJadamard, J. S. A892). Essai sur l'etude des functions donnees par leur deve-
loppement de Taylor, J. Mathe. D) 8, 1—86.
Harary, F., G. Prins, and W. T. Tutte A964). The number of plane trees, Indag.
Hammond, J. A883). On the use of certain differential operators in the theory
of equations, Proc. Lond. Math. Soc. 14, 119—129.
Harary, F., G. Prins, and W. T. Tutte A964). The number of plane trees, Indag.
Math. 26, 319-329.
Harary, F., and E. M. Palmer A973). Graphical Enumeration, Academic Press, New
York. [Рус. п е р.: Харарн Ф., Палмер Э. Перечисление графов.— М.:
Мир, 1976.]
Hardy, G. И., and Е. M. Wright A938). An Introduction to the Theory of Num-
Numbers, 4th ed. Clarendon Press, Oxford.
Harris, B. A960). Probability distributions related to random mappings, Ann.
Math. Stat. 31, 1045-1062.
(„<*
Heine, E. A846, 1947). Uber dei Reihe 1+—
(,)(в)(,)(,) * + ••- J- Math- 32' 34'
Henle, M. A972). Dissection of generating functions, Studies Appl. Math. 51,
397—410
Henrlci, P. A964). An algebraic proof of the Lagrange— Burmann formula. J.
Math. Anal. Appl. 8, 218—224.
Henrlci, P. A974). Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 1, Wiley,
New York.
Hermite, С A891). Oeuvres, Vol. 2, Gauthier — Villars, Paris.
Hofbauer, J. A979). A short proof of the Lagrange — Good formula, Discrete
Math. 25, 135-140.
Hutchinson, J. P., and H. S. Wilf A975). On Eulearian circuits and words with
preseribed adjacency patterns, J. Comb. Theory (A) 18, 80—87.
Jabotinsky, E. A953). Representation of functions by matrices: application to
Faber polynomials, Proc. Amer. Math. Soc. 4, 546—553.
Jackson, D. M. A978). Some results on product-weighted lead codes. J. Comb.
Theory (A) 25, 181-187.
Jackson, D. M., and R. Aleliunas A977). Decomposition based generating functions
for sequences, Canad. J. Math. 29, 971—1009.
Jackson, D. M., and /. P. Goulden A979, 1980). A formal calculus for the enume-
rative system of sequences, I, II, III. Studies Appl. Math. 61, 141—178,
245-277; 62, 113-142.
Jackson, D. M., and /. P. Goulden A981a). The generalization of Tutte's re-
result for chromatic trees, by Lagrangian methods, Canad. J. Math. 33,
12—19.
Jackson, D. M., and /. P. Goulden A981b). Algebraic methods for permutations
with prescribed patterns, Adv. Math. 42, 113—135.
Jackson, D. M., B. Jeffcott, and W. T. Spears A980). Enumeration of sequen-
sequences with respect to structures on a bipartition, Discrete Math. 30,
133—149.
Jackson, D. M., and /. W. Reilly A975). The enumeration of homeomorphically
irreducibel labelled graphs. J. Comb. Theory (B) 19, 272—286.
Jacobi, C. G. J. A830). De resolutione aequationum per series infinitas, J. reine
angew. Math. 6, 257—286.
Joyal, A. A981). Une theorie combinatorie des series formelles, Adv. Math. 42,
1-82.
Kaplansky, I, A943). Solution of the «probleme des menages», Bull. Amer. Math.
Soc. 49, 784-785.
Karlin, S. and G. McGregor A959). Coincidence probabilities, Pacific J. Math. 9,
1141-1164.
Kim, K. H., M. S. Putcha, and F. W. Roush A977). Some combinatorial properties
of free semigroups, J. Lond. Math. Soc. B) 16, 397—402.
499
Klarner, D. A. A967). Cell growth problem, Canad. J. Math. 19, 851—863.
Klarner, D. A. A970). Correspondences between plane trees and binary sequen-
sequences, J. Comb. Theory 9, 401—411.
Knuth, D. E. A968a). The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental
Algorithms, Addison — Wesley, Reading, Mass. [Рус. пер.: Кнут Д. Э.
Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1: Основные алгоритмы,—М.:
Мир, 1976.]
Knuth, D. Е. A986b). Another enumeration of trees, Canad. J. Math. 20, 1077—
1086.
Kreweras, G. A965). Sur une classe de problemes do denombrement lies au treil-
lis de partitions d'entiers, Gahiers Buro 6, 2—107.
Lagranee, R. A963). Sur les combinaisons d'objets numerotes, Bull. Sci. Math.
87, 29-42.
Levlne, 1. A959). Note on the number of pairs of non-intersecting routes, Scripta
Math. 24, 335—338.
Litthwood, D. E. A950). The Theory of Group Characters, Clarendon Press,
Oxford.
Liu, С L. A968). Introduction to Combinatorial Mathematics, McGraw — Hill,
New York.
Lovasz, L. A979). Combinatorial Problems and Exercises, North — Holland, New
York.
Macdonald, I. G. A979). Symmetric Functions and Hall Polynomials, Clarendon
Press, Oxford.
MacMahon, P. A. A886). Certain special partitions of numbers, Quart. J. Math.
Oxford 21, 367-373.
MacMahon, P. A. A891). The theory of perfect partitions and the compositions
of multipartite numbers, Messenger Math. 35, 103—119.
MacMahon, P. A. A915). Combinatory Ana'vsis, 2 vols, Cambridge University
Press, London, 1915—1916. ReT>rinted Chelsea, New York, 1960.
Mallows, C. L., and J. Riordan A968). The inversion enumerator for labelled
trees, Bull. Amer. Math. Soc. 74, 92—94.
Meir, A., and /. W. Moon A968). On nodes of degree two in random trees, Mathe-
matika 15, 188—192.
Mohanty, S. G. A979). Lattice Path Counting and Applications, Academic Press,
New York.
Montmort, P. R. A708). Essai d'Analyse sur les Jeux de Hazard, Paris.
Moon, J. W. A964). The second moment of the complexity of a graph, Mathe-
matika 11, 95—98.
Moon, J. W. A970). Counting labelled trees, Canad. Math. Monographs, No. 1.
Moon, J. W. A972). The variance of the number of spanning cycles in a random
graph, Stud. Sci. Math. Hungar. 7, 281—283.
Moser, W. O. J., and M. Abramson A969a). Enumeration of combinations with
restricted differences and cospan, J. Comb. Theory 7, 162—170.
Moser, W. O. J.. and M. Abramson A969b). Generalizations of Terquem's problem,
J. Comb. Theory 7, 171—180.
Muir, T. A960). A Treatise on the Theory of Determinants (revised by W. H. Metz-
ler), Dover, New York.
Mullin, R. C. A964a). A combinatorial proof of the existence of Galois fields,
Amer. Math. Monthly 71, 901—902.
Mullin, R. С A964b). Enumeration of rooted triangular maps, Amer. Math. Month-
Monthly 71, 1007-1010.
Mullin, R. C. A965). On counting rooted triangular maps, Canad. J. Math. 17,
373—382.
Mullin, R. C, and G. C. Rota A970). On the foundations of combinatorial theory,
III: Theory of binomial enumeration, in Graph Theory and Its Applications
(B. Harris, Ed.) Academic Press, New York, 167—213.
Mullin, R. C, and Й. G. Stanton A969). Identities from graphs, Duke Math. J. 36,
605-608.
Narayana, T. V. A959). A partial order and its applications to probability theo-
theory, Sankhya 21, 91—98.
500
Narayana, T. V. A979). Lattice Path Combinatorics with Statistical Applications,
University of Toronto Press, Toronto.
Nemetz, T. A970). On the number of Hamilton cycles having common, edges on a
given number with a fixed Hamilton cycle, Mat. Lapok. 21, 65—81.
Netto, E. A927). Lehrbuch der Combinatorik, Teubner (reprinted by Chelsea, New
York, 1958).
Niven, I. A969). Formal power series, Amer. Math. Monthly 76, 871—889.
Ostrowski, A. A929). Ueber einige Verallgemeinerungen des Eulerschen Pro-
oo
dukts A — x)*1 = JI (l + x2v), Verh. Naturf. Ges. Basel 11, 153—214.
v=o
Perron, 0. A929). Die Lehre von den Kettenbruchen, Leipzig and Berlin.
Polya, G. A937). Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen,
und chemische Verbindungen, Acta Math. 68, 145—254. [Рус. пер.:
Пойа Д. Комбинаторные вычисления для групп, графов, и химических
соединений // Перечислительные задачи комбинаторного анализа.— М.:
Мир, 1979.-С. 36-138.]
Polya, G. A969). On the number of certain lattice polygons, J. Comb. Theo-
Theory 6, 102—105.
Polya, G. A970). Gaussian binomial coefficients and the enumeration of inver-
inversions, Proc. 2nd Chapel Hill Conf. Combinatorial Mathematics and Its
Applications, Univ. of North Carolina at Chapel Hill, 381—384.
Polya G., and G. Szego A964). Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis, 3rd
ed., Vols 1 and 2, Springer — Verlag, New York. [Руг- пер.: Пойа Г.,
Cere Г. Задачи и теоремы из анализа.— М.: Наука, 1978.]
Prabhu, N. U. A980). Stochastic Storage Processes, Springer — Verlag, New
York.
Ramanujan, S. A927). Collected Papers of S. Ramanujan, Cambridge Univer-
University Press, London (Preprinted by Chelsea, New York).
Raney, G. N. A960). Functional composition patterns and power series rever-
reversion. Trans. Amer. Math. Soc. 94, 441—451.
Read, R. С A960). The enumeration of locally restricted graphs (II). J. Lond.
Math. Soc. 35, 344—351.
Read, R. С A979). The chord intersection problem, Ann. New York Acad.
Sci. 319, 444-454.
Read, R. C. A982). The dimer problem for narrow rectangular arrays: a uni-
unified method of solution and some extensions, Aeq. Math. 24, 47—65.
Read, R. C, and N. C. Wormald A980). Number of lahelled 4-regular graphs,
J. Graph. Theory 4, 203—212.
Reid, W. Г. A972). Riccati Differential Equations, Academic Press, London.
Reilly, J. W. A977). «An Enumerative Combinatorial Theory of Formal Po-
Power Series», Doctoral thesis, University of Waterloo, Waterloo, Ontario.
Reilly, J. W., and S. M. Tanny A980). Counting permutations by successions
and other figures, Discrete Math. 32, 69—76.
Renyi, A. A962). Theorie des elements saillants d'une suite d'observations,
in Colloguium Aarhus, 104—117.
Renyi, A. A970). On the enumeration of trees, in Combinatorial structures
and their application, Gordon Breach, New York, 355—360.
Renyi, A., and G. Szekeres A967). On the height of trees. J. Austral. Math.
Soc. 7, 497—507.
Riordan, J. A944). Three — line latin rectangles, Amer. Math. Monthly 51,
450—452.
Riordan, J. A958). An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley, New
York. [Рус. пер.: Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ.—
М.: ИЛ, 1963.]
Riordan, J. A968). Combinatorial Identities, Wiley, New York. [Рус. пер.:
Риордан Дж. Комбинаторные тождества.— М.: Наука, 1982.]
Rodrigues, О. A839). Notes sur les inversions ou derangement produit dans les
permutations, J. Math. Puies Appl. 4, 236—246.
Rogers, L. J. A893a). On a three-fold symmetry in the elements of Heine's
series, Proc. Lond. Math. Soc. 24, 171—179.
501
Rogers, L. J. A893b). On the expansion of certain infinite products, Proc. Lond.
Math. Soc. 24, 337—352.
Rogers, L. J. A907). On the representation of certain asymptotic series as conti-
continued fractions, Proc. Lond. Math. Soc. B) 4, 72—89.
Rogers, L. J., and S. Ramanujan A919). Proof of certain identities in combina-
tory analysis, Proc. Cambridge Philos. Soc. 19, 211—216.
Roselle, D. P. A968). Permutations by number of rises and successions, Proc.
Amer. Math. Soc. 19, 8—16.
Rosen. J. A976). The number of product-weighted lead codes for ballots and
its relation to the Ursell functions of the linear Ising model, J. Comb. Theo-
Theory (A) 19, 377-384.
Rota, G. C. A964a). On the foundations of combinatorial theory, I: Theory of
Mobius functions, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete 2,
340-368.
Rota, G. C. A964b). The number of partitions of a sot, Amer. Math. Monthly 71,
498-504.
Rubin, II. and R. Sitgreaves A954). «Probability Distributions Related to Ran-
Random Transformations on a Finite Set», Tech. Report ф 19А, Applied Math,
and Stat. Lab., Stanford University, Cal.
Salie, II. A963). Arithmetische Eigenschaften der Koeffizienten einer spezieller
Hurwitzschen Potenzreihe, Wiss. Z. der Karl-Marx-Univ. Leipzig
Math.-Natur. Reihe 12, 617—618.
Schroder, E. A870). Vier kombinatorische probleme, Z. Math. Phys. 15, 361—376.
Sedlacek, J. A969). On the number of spanning trees of finite graphs, Casopis
pro pestovani matematiky 94, 217—221.
Sherman, J., and W. J. Morrison A949). Adjustments of an inverse matrix cor-
corresponding to changes in the elements of a given row or a given column
of the original matrix, Ann. Math. Stat. 20, 621.
Smirnov, N. V., O. V. Sarmanov, and V. K. Zaharov A966). [Смирнов Н. В., Cap-
манов О. В., Захаров В. К. Локальная предельная теорема для числа
переходов в цепи Маркова и ее применения // ДАН СССР.—1966.—
Т. 167, №6.-С. 1238-1241.]
Spears, W. Т., R. Jeffcott, and D. M. Jackson A980). An algebraic theory of se-
sequence enumeration, J. Comb. Theory (A) 28, 191—218.
Stieltjes, T. J. A889). Sur la reduction en fraction continue d'une serie procedant
suivant les puissances descendantes d'une variable, Ann. Fac. Sci. Toulou-
Toulouse 3, 1—17.
Stanley, R. P. A971). Theory and applications of plane partitions; Part I, II,
Studies Appl. Math. 50, 167—188, 259—279.
Stanley, R. P. A972). Ordered structures and partitions, Mem. Amer. Math. Soc.
119, 1-102.
Stanley, R. P. A976). Binomial posets, Mobius inversion and permutation enu-
enumeration, J. Comb. Theory (A) 20, 336—356.
Stanley, R. P. A980). Differentiably finite power series, Eur. J. Comb. 1, 175—188.
Stanton, R. G., and D. A. Sprott A962). Some finite inversion formulae, Math.
Gazette 46, 197—202.
Subbarao, M. V. A971). On a partition theorem of MacMahon — Andrecos, Proc.
Amer. Math. Soc; 27, 449—450.
Sylvester, J. J. A882, 1884). A constructive theory of partitions in three acts, an
interact, and an exodion, Amer. J. Math. 5, 251—330; 6, 334—336 (or
pp. 1—83 of the Collected Papers of J. J. Sylvester, Vo. 4, Cambridge Univ.
Press, London, 1912; reprinted by Chelsea, New York, 1974).
Szego, G. A926). Ein Beitrag zur Theorie der Thetafunktionen, S. B. Preuss,
Akad. Wiss. Phys-Math. Kl., 242—252.
Takacs, L. A967). Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes,
Wiley, New York. [Рус. пер.: Такач Л. Комбинаторные методы в тео-
теории случайных процессов.— М.: Мир, 1971.]
Таппу, S. М. A975). Generating functions and generalized alternating subsets,
Discrete Math. 13, 55—65.
Tanny, S. M. A976). Permutations and successions, J. Comb. Theory (A) 21,196—202.
502
Terquem, О. A839). Sur un symbole combinatoire d'Euler et son utilite dans
l'analyse, J. Math. Pures Appl. 4, 177—134.
Tomescu, I. A975). Introduction to Combinatorics, Collet's Wellingborough,
England.
Touchard, J. A934). Sur un prohleme de permutations, C. R. Acad. Sci. Paris 198,
631—633.
Touchard, J. A952). Sur un probleme de configurations et sur les fractions con-
continues, Canad. J. Math. 4, 2—25.
Touchard, J. A953). Permutations discordant with two given permutations Scrip-
ta Math. 19, 109—119.
Tutte, W. T. A948). The dissection of equilateral triangles into equilateral tria-
angles, Proc. Cambridge Philos. Soc. 44, 463—482.
Tutte, W. T. A962). A census of planar triangulations, Canad. J. Math. 14, 21—38.
[P у с. п е р.: Татт У. Т. Перечисление плоских триангуляции, Кибер-
Кибернетический сборник. Нов. сер.— 1977.—Вып. 14.—С. 25—45.]
Tutte, W. Т. A963). A census of planar maps, Canad. J. Math. 15, 249—271.
Tutte, W. T. A964). The number of planted plane trees with a given partition,
Amer. Math. Monthly 71, 272—277.
Tutte, W. T. A973a). The enumerative theory of planar maps, in a Survey of
Combinatorial Theory (J. N. Srivastava, Ed.) North — Holland, New York,
437—448.
Tutte, W. T. A973b). Chromatic sums for rooted planar triangulations, IV: The-
case % = oo, Canad. J. Math. 25, 929—940.
Tutte, W. T. A975). On elementary calculus and the Good formula, J. Comh.
Theory (B) 18, 97-137.
Vtennot, G. A978). Algebres de Lie libres et monoides libres, Lecture Notes in
Mathematics, 691, Springer — Verlag, Berlin.
Viennot, G. A980). Une interpretation combinatoire des developpements en serie-
entiere des fonctions elliptiques de Jacobi, J. Comb. Theory (A) 29, 121—
133
Wall, H. S. A967). Analytic Theory of Continued Fractions, Chelsea, New York.
Walsh, T. R. S., and A. B. Lehman A972a). Counting rooted maps by genus, I.,.
J. Comb. Theory (B) 13, 192—218.
Walsh, T. R. S., and A. B. Lehman A972b). Counting rooted maps by genus, II.
J. Comb. Theory (B) 13, 122—141.
Walsh, T. R. S., and A. B. Lehman A975). Counting rooted maps by genus, III:
Nonseparable maps, J. Comb. Theory (B) 18, 222—259.
Watson, G. N. A952). Bessell Functions, Cambridge University Press, Londor
[Рус. п е р.: Ватсон Дж. Н. Теория бесселевых функций.— М.: ИЛ, 1949.5
Weinberg, L. A958). Number of trees in a graph, Proc. IRE 46, 1954—1955.
Whittaker, E. Т., and G. N. Watson A927). A course in Modern Analysis, Camb-
Cambridge University Press, New York. [Рус. пер.: Упттекер Э. Т., Ват-
Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. 1, 2.— М.: Физматгиз, 1963.]
Wormald, N. A981а). On the number of planar maps, Canad. J. Math. 33, 1—11.
Wormald, N. A981b). Counting unrooted planar maps, Discrete Math. 36, 205—
226.
Wright, E. M. A973). For how many edges is a digraph almost certainly Hamil-
tonian? Proc. Amer. Math. Soc. 41, 384—388.
Zeilberger, D. A981). Enumeration of words by their number of mistakes, Disc-
Discrete Math. 34. 89—92.
Научное издание
ГУЛЬДЕН Ян П., ДЖЕКСОН Дэвид
ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНАЯ КОМБИНАТОРИКА
Заведующий редакцией Е. 10. X о д а н
Редакторы Т. В. Шароватова, Л. Г. Полякова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор С. Я. Ш к л я р
Корректоры: М. В. Петанов, И. Я. Кришталь
ИБ № 12818
Сдано в набор 11.08.88. Подписано к печати 30.01.90. Фор-
Формат G0X90/16. Бумага типографская N5 1. Гарнитура обык-
обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 31,5. Усл. кр.-
отт. 31.5. Уч.-изд. л. 36,49. Тираж 3450 экз. Заказ № 309.
Цена 6 р. 50 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск, 77, Станиславского, 25