Введение в теорию размерности - Александров П.С., Пасынков Б.А.

Author: Александров П.С. Пасынков Б.А.
Tags: математика топология
Year: 1973
Similar
Введение в теорию множеств и общую топологию
Топология
Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств
Мемуар о компактных топологических пространствах
Text
                    П. С. АЛЕКСАНДРОВ, Б. А. ПАСЫНКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ РАЗМЕРНОСТИ
Введение
в теорию топологических пространств
и общую теорию размерности
ИЗДАТЕЛЬСТВО <НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973

517.6
A 46
УДК 513.33
Введение в теорию размерности. Введение в те-
теорию топологических пространств и общую теорию
размерности. Александров П. С, Пасын-
Пасынков Б. А.
Книга вводит читателя в область топологии, из-
известную под названием «теория размерности». Эта
область посвящена нахождению и изучению доста-
достаточно простых и имеющих наглядный смысл законо-
закономерностей, связывающих весьма общие математиче-
математические объекты — топологические пространства — с
основными геометрическими образами—линиями,
поверхностями, многообразиями трех и больше
измерений.
Авторы не стремятся к изложению многочислен-
многочисленных, доказанных в последнее время теорем, относя-
относящихся к теории размерности; напротив, они выде-
выделяют из них те, которые являются достаточно
общими, чтобы требовать применения теоретико-мно-
теоретико-множественных методов, и достаточно содержатель-
содержательными, чтобы представлять общематематический ин-
интерес.
Книга начинается с изложения основных свойств
топологических пространств, поэтому она может слу-
служить и введением в общую топологию; она вполне
доступна студентам-математикам, начиная примерно
со второго курса. Книга может быть полезна всем
математикам, интересующимся общими вопросами
топологии.
[[jИздательство <Наука>, 1973
0223—1784 ,„ „„

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Вводные замечания 13
Глава первая
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ
§ 1. Топологические пространства и основные связанные с ними понятия 15
§ 2. Базы и вес топологических пространств 3!
§ 3. Метрические и метризуемые пространства 36
§ 4. Связность 46
§ 5. Аксиомы отделимости 63
§ 6. Системы множеств и покрытия . ^. . 66
§ 7. Бикомпактные, финально компактные, паракомпактные простран-
пространства. Совершенные отображения 76
§ 8; Топологические произведения. Теоремы А. Н. Тихонова. Локально
бикомпактные пространства 89
§ 9. Максимальное бикомпактное расширение 106
§ 10. Покрытия нормальных пространств 112
§ 11. Метризация и паракомпактность 122
Прибавление к главе первой 142
§ 1. Обратные спектры топологических пространств 142
§ 2. Веерные произведения топологических пространств 152
Глава вторая
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ
ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ
§ 1. Перегородки. Большая н малая индуктивные размерности .... 167
§ 2. Размерность dim X (определенная посредством покрытий) • • • .164
§ 3. Нульмерные пространства 170
§ 4. Малая индуктивная размерность. Формула Урысона — Меигера.
Примеры нульмерных и не нульмерных пространств 179
Глава третья
РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ
КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
Введение • 190
§ 1. Пространство Rn и его симплексы . 191
§ 2. Снмплициальные комплексы 201
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Равенство dimPn=n для «-мерных (в элементарном смысле)
полиэдров. Леммы Шпернера 211
§ 4. Некоторые дальнейшие следствия леммы Шпернера 218
§ 5. Существенные отображения на замкнутый симплекс 224
Прибавление к главе третьей 227
§ 1. Понятие гомотопии; существенные отображения на сферу .... 227
§ 2. Лемма о грибе 231
Глава четвертая
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I
Введение 236
§ 1. Канонические и барицентрические отображения 242
§ 2. Аппроксимационные теоремы 247
§ 3. Доказательство теоремы об со- и е-отображениях. Нульмерные ото-
отображения компактов в кубы той же размерности 254
§ 4. Теорема Нёбелинга — Понтрягина 259
§ 5. Усиления теоремы Нёбелинга — Понтрягина и их следствия . . . 262
§ 6. Доказательство теоремы о существенных отображениях .... 265
§ 7. Доказательство теоремы суммы 271
§ 8. Некоторые следствия теоремы суммы и окончание исследования
пространств со счетной базой 272
§ 9. Теорема суммы для локально конечных систем замкнутых множеств
нормального пространства; локальная размерность locdim X . . . 282
§ 10. Первая теорема Даукера 284
§ 11. Вторая теорема Даукера: dim X = dim» X = dim *Х 287
Глава пятая
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II
Введение 293
§ 1. Равенства A) dim Р Х = dim-Y, B) IndBX = IndX для нормаль-
нормальных пространств. Дискретная сумма пространств 29&
§ 2. Первая факторизационная теорема для бикомпактов и ее следствия 300
§ 3. Вторая (общая) факторизационная теорема для бикомпактов • . 304
§ 4. Универсальные бикомпакты данного веса и данной размерности.
Теорема Скляренко 308
§ 5. Случай компактов: теорема Фрейденталя 310
§ 6. Бикомпакты с несовпадающими размерностями dim X Ф ind X . . 314
§ 7. Анализ неравенства ind X ^ dim X; поиомаревские пространства.
Возвращение к пространствам со счетной базой 326
§ 8. Теорема о перегородках 338
§ 9. Размерность произведения. Канторовы многообразия 344
§ 10. Аксиоматика размерности компактов 355
Прибавление к главе пятой 358
§ 1. Доказательство специальной теоремы 358
§ 2. Несводимость аксиомы счетной суммы к аксиоме конечной суммы . 361
§ 3. Независимость введенной системы аксиом ... 364

ОГЛАВЛЕНИЕ б
Глава шестая
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III
Введение 366
§ 1. Малая факторизационная теорема для метрических пространств,
ш-дискретные отображения на пространства со счетной базой • . • 368
§ 2. Второе доказательство тождества Даукера dim*. X = dim X . . .371
§ 3. Тождество Катетова dim X = Ind X для метрического простран-
пространства X; другие характеристики размерности метрического про-
пространства .' 375
§ 4. Факторизационная теорема для метрических пространств. Универ-
Универсальные метрические пространства 388
Глава седьмая
НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ И СОВЕРШЕННО
НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Введение 396
§ 1. Неравенство Урысона — Менгера dim (P U Q) ^ dim/5 + dim Q + 1
для любых множеств Р и Q, лежащих в наследственно нормальном
пространстве 398
§ 2. Аддиционная теорема для большой индуктивной размерности • • • 401
§ 3. Теорема монотонности и теорема суммы для большой индуктивной
размерности в совершенно нормальных пространствах 406
§ 4. Некоторые следствия из теоремы суммы для большой индуктивной
размерности в совершенно нормальных пространствах 411
§ 5. Теорема Катетова: равенство dim X = Ind Л для метрических про-
пространств (доказательство Даукера — Гуревича) 416
Глава восьмая
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ,
ЛЕЖАЩИХ В Rm
Введение 422
§ 1. Множества размерности пг ъ Rm 425
§ 2. О разбиении пространства R" лежащими в нем замкнутыми мно-
множествами 428
§ 3. Теорема Куратовского и пример Ситникова 434
§ 4. Формула Катетова ц dim л ^ dim X ^ 2ц dim X 441
§ 5. Теорема Ситникова о метрических свойствах n-мерных замкнутых
множеств в Rm 445
Глава девятая
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ
И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ
Введение 449
§ 1. Замкнутые отображения, повышающие размерность 449
§ 2. Замкнутые отображения, понижающие размерность 452
§ 3. Счетнократные открытые отображения 456
§ 4. Нульмерные открытые отображения, повышающие размерность . . 462
Прибавление к главе девятой 473

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава десятая
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Введение 492
§ 1. Трансфинитные индуктивные размерности 494
§ 2. Счетномерные пространства 603
§ 3. Слабо счетномерные пространства • • 517
§ 4. Определение слабо и сильно бесконечномерных пространств, нх ха-
характеристика при помощи отображений в гильбертов кирпич • . • 528
§ б. Теоремы монотонности, сложения и суммы для слабо бесконечномер-
бесконечномерных пространств 634
§ 6. Строение 5-слабо бесконечномерных пространств 538
§ 7. Бикомпактные расширения слабо бесконечномерных пространств . • 613
§ 8. Бесконечномерные канторовы многообразия 550
ПРИЛОЖЕНИЕ
Факторизационная теорема для большой индуктивной размерности.
Теоремы об универсальном бикомпакте и бикомпактном расширении дан-
данного веса и данной большой индуктивной размерности 654
Литература 565
Предметный указатель 673

ПРЕДИСЛОВИЕ
«Топология (Analysis Situs) есть по определению ветвь гео*
метрии, которая изучает свойства множеств, инвариантные.от-
инвариантные.относительно всякого гомеоморфного, т. е. взаимно однозначного
и взаимно непрерывного, отображения. Из этого определения
следует, что такие фундаментальные понятия других ветвей гео-
геометрии, как прямая, плоскость и т. д., не имеют значения для
топологии: они не обладают инвариантностью в указанном смыс-
смысле. Поэтому их нужно заменить другими понятиями, такими,
как линия, поверхность и т. д.: таким образом, речь идет в пер-
первую очередь о том, чтобы определить, что под этим понимает-
понимается. Более точно, речь идет о том, чтобы определить, например,
класс множеств, который был бы топологически инвариантен,
содержал всякое множество, которое мы обычно называем «ли-
«линией», и не содержал никакого множества, которому мы не
могли бы дать этого названия».
Этими словами открывается «Мемуар о канторовых многооб-
многообразиях» П. С. Урысона [1], в котором он подробно изложил
созданную им теорию размерности, имевшую своей основной за-
задачей ответить во всей широте на поставленный выше вопрос.
Итак:
Какие «фигуры», т. е. какие «точечные множества» (лежа-
(лежащие в эвклидовых или гильбертовом пространствах), следует
называть линиями, поверхностями, ..., «-мерными телами?
Или в более общей постановке: когда и каким топологиче-
топологическим пространствам естественно приписать данное целое число
п^О в качестве их числа измерений, или «размерности»?
Однако вопрос, поставленный с такой широтой, мог и не
иметь удовлетворительного, математически точного ответа: нель-
нельзя было исключить гипотезу, что только простейшие геометриче-
геометрические фигуры (полиэдры) допускают естественную классифика-
классификацию по «числу их измерений», о чем в свою очередь стало
возможным говорить лишь после того, как Б р а у э р в 1911 г.
доказал [1] теорему об инвариантности числа измерений, ут-
утверждающую, что два гомеоморфных между собою полиэдра
имеют одно и то же число измерений.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Но скептицизм, с первого взгляда законный, оказался не-
необоснованным: теорию размерности построить удалось. А это, в
частности, фактически означало, что по крайней мере для всех
метризуемых пространств со счетной базой (т. е. для всех мно-
множеств, лежащих в эвклидовых или гильбертовом пространствах)
определена их размерность, и притом способом, бесспорность
которого не вызвала сомнений ни у кого из математиков.
Но это отнюдь не конец, это только начало развития теории
размерности. Дело в том, что уже на первых шагах построения
этой теории оказалось, что к понятию размерности можно под-
подходить с очень различных сторон и получать таким образом
свойства топологических пространств («топологические инва-
инварианты»), которые — по крайней мере в классе метризуемых
пространств со счетной базой — эквивалентны между собою
(т. е. имеют одно и то же значение для каждого такого про-
пространства) и которые в классе элементарных геометрических
фигур — скажем, в классе полиэдров — характеризуют различ-
различные аспекты присущего нам наглядного представления о «числе
измерений» геометрической фигуры.
Первый из этих подходов — это «индуктивный подход», веду-
ведущий от самых первых, еще очень неопределенных, высказыва-
высказываний Пуанкаре к точным определениям большой и малой ин-
индуктивных размерностей Ind X и ind X Брауэра, Урысона и
Менгера. Второй подход принадлежит Лебегу: размерность
й'\тХ фигуры X определяется наименьшей кратностью, которую
необходимо должны иметь делающиеся сколь угодно мелкими
покрытия («замощения») данной фигуры: кусок плоскости, на-
например квадрат, имеет размерность 2, потому что его можно по-
покрыть («замостить») сколь угодно мелкими «кирпичами» с
кратностью *) три (рис. 1) и нельзя достаточно мелко замостить
с кратностью два.
Эта теорема в ее общем виде **) — подлинная жемчужина
геометрической мысли и геометрической фантазии; бессмертной
заслугой Лебега является уже самая ее формулировка.
В то же время эта теорема — одна из многих теорем, харак-
характеризующих размерность «-мерного куба или вообще «-мерного
полиэдра, и каждая из них приводит к некоторому способу оп-
*) Кратностью данной (конечной) системы множеств называется наи-
наибольшее такое т, что существует точка, принадлежащая т множествам дан-
данной системы.
**) Речь идет о следующей общей теореме: n-мерный куб Q" при лю-
любом е > 0 может быть покрыт конечным числом своих замкнутых множеств
диаметра <е таким образом, что кратность этого покрытия будет и+ 1,
в то же время при достаточно малом е не существует покрытия куба Q",
которое имело бы кратность <п + 1 и состояло бы из замкнутых множеств
диаметра <е.

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
ределения размерности полиэдра (фактически даже гораздо бо-
более общих пространств). Одна из больших задач общей теории
размерности состоит в сравнительном исследовании получаемых
таким образом «размерностных инвариантов», т. е. топологиче-
топологических инвариантов, в элементарных случаях совпадающих с чис-
числом измерений фигуры, а для более общих пространств веду-
ведущих, так сказать, самостоятельное существование, подчиненное,
впрочем, тем или иным, часто интерес-
интересным, а порою и неожиданным, соотно-
соотношениям.
Так, например, если в метризуемых
пространствах со счетной базой мы имеем
тождество Урысона dim X = Ind X =
= ind X, то для любых метризуемых
пространств можно утверждать лишь
равенство Катетова dim X = Ind X, при-
причем (как показал впервые П. Рой) мо-
может быть indX < Ind X. Для бикомпак- рнс, |,
тов и даже сильно паракомпактных про-
пространств всегда dim X^ ind X (и, конечно, indX^IndX), но
может быть и dim X < ind X (Лунц и Локуциевский) и ind X <
< Ind Я (Филиппов). В то же время тождество dimX = indX =¦
= IndX имеет место для всех пространств, являющихся про-
пространствами (и даже фактор-пространствами) локально биком-
бикомпактных топологических групп (Пасынков). Оно справедливо и
в других случаях, допускающих довольно наглядное описание
(см., например, гл. 5, § 7).
Исследование основных размерностных инвариантов dim X,
Ind X, ind X за последние десятилетия продвинуто достаточно да-
далеко для того, чтобы можно было считать dim X главным среди
этих инвариантов: именно этот инвариант сохраняет большин-
большинство основных свойств размерности, имеющих место в случае
пространств со счетной базой. Поэтому мы будем, если не огово-
оговорено противное, под размерностью понимать именно dim X. Это
позволит нам в гл. 4, 5 построить вполне содержательную и ин-
интересную теорию размерности бикомпактных и даже просто нор-
нормальных пространств, имеющую, как нам кажется и как мы
надеемся убедить читателя, выраженный геометрический харак-
характер. Этот геометрический характер определяется в этих общих
и абстрактных предположениях возможностью сведения (редук-
(редукции) — посредством непрерывных отображений тех или иных
достаточно наглядных типов — явлений, происходящих в самых
общих пространствах, к аналогичным, но гораздо более нагляд-
наглядным явлениям, происходящим уже в полиэдрах. Таким образом,
мы доказываем, в частности, так называемые теоремы об <в-
и об е-отображениях (на нерв данного покрытия) и теорему

Ю ДРЕДИСЛОВИЕ
о существенных отображениях n-мерного нормального простран-
пространства на n-мерный шар. Эти теоремы и примыкающие к ним за-
занимают большое место в нашем изложении.
В этой книге мы вообще стараемся выделить теоремы, имею-
имеющие, как нам кажется, принципиальный познавательный интерес.
Таковы в классическом случае пространств со счетной базой,
например, уже неоднократно упоминавшаяся формула Урысона
dim X =» ind X = Ind X и теорема Нёбелинга — Понтрягина
(гл. 4, § 4), из которой следует, что класс конечномерных регу-
регулярных пространств со счетной базой топологически тождествен
с классом множеств, лежащих в эвклидовых пространствах Rn
(при всевозможных п).
В качестве принципиально важных теорем, касающихся более
общих пространств, упомянем хотя бы следующие:
1) Теорема Скляренко. Всякое нормальное простран-
пространство веса х и размерности п имеет бикомпактное расширение
того же веса х и той же размерности п.
2) Теорема Мардешича. Всякий бикомпакт размер-
размерности п является пределом обратного спектра, состоящего из
компактов той же размерности п.
Эта теорема Мардешича может рассматриваться как обоб-
обобщение теоремы Фрейденталя, утверждающей, что всякий п-
мерный компакт есть предел обратного спектра из n-мерных по-
полиэдров. Однако обобщение на случай бикомпактов потребовало
замены полиэдров компактами, и это существенно: можно по-
построить n-мерный бикомпакт, не являющийся пределом обрат*
ного спектра, составленного из полиэдров размерности п (Мар-
дешич, Пасынков, гл. 5, § 5).
3) Для любого целого п ^ 0 и любого бесконечного карди-
кардинального числа х можно построить бикомпакт П? веса х и раз-
размерности п, содержащий топологический образ всякого нормаль-
нормального пространства веса х и размерности п, — это обобщение из-
известной теоремы Гуревича о пространствах счетного веса. Оно
получено Зарелуа и Пасынковым-(см. гл. 5, § 4).
4) Всякий бикомпакт положительной размерности является
образом некоторого одномерного бикомпакта при некотором от-
открытом нульмерном отображении (Пасынков).
Эти примеры, число которых можно было бы умножить, мо-
могут помочь представить себе те направления, в которых лежат
основные теоремы общей теории размерности, как мы их пони-
понимаем. Этим теоремам и ряду других посвящены главы 4—б, в
значительной степени и глава 9. Мы считаем необходимым уже
сейчас обратить внимание читателя на то, что эта книга не яв-
является справочной книгой по теории размерности, тем более мы
были далеки от мысли излагать подряд теоремы, которые в тео-
теории размерности доказывались и доказываются. Напротив, мы

ПРЕДИСЛОВИЕ 11
стараемся делать — по нашему лучшему разумению — опреде-
определенный выбор среди этих теорем, выбор, идущий в тех направле-
направлениях, которые открывают, как нам кажется, наиболее глубокие
и вместе с тем наиболее простые и наглядные закономерности,
позволяющие говорить о геометрических свойствах даже таких
общих образовании, какими являются нормальные пространства
и во всяком случае бикомпакты, с одной стороны, и метризуе-
мые пространства — с другой. Оптимизм нашего математическо-
математического мировоззрения как раз и заключается в уверенности, что та-
такие закономерности действительно существуют.
Все определения и все классические элементарные теоремы
теории размерности изложены в главах 2 и 3. К ним в известной
степени примыкает глава 8.
Глава 7 по сравнению с главами 4—6 посвящена более спе-
специальному классу пространств, а именно наследственно и совер-
совершенно нормальным; в этой главе дается второе доказательство
замечательной формулы Катетова dim X = Ind X для метризуе-
мых пространств X (первое доказательство этой формулы дано
в главе б).
Глава девятая посвящена поведению размерностных инва-
инвариантов при непрерывных отображениях соответствующих про-
пространств.
В главе десятой исследуются некоторые основные вопросы
теории бесконечномерных пространств.
Мы уже говорили о том, что главным размерностным инва-
инвариантом, заслуживающим название размерности без всяких до-
дополнительных прилагательных, является dim X. Второе место
занимает большая индуктивная размерность IndX. Мы спе-
специально говорим о ней в главе 7. Кроме того, ей посвящено от-
отдельное Приложение в конце книги.
Что же касается малой индуктивной размерности ind X, то
она хороша, лишь когда совпадает с dim X или Ind X, т. е. в
основном, когда речь идет о пространствах со счетной базой.
Сведения о содержании отдельных глав, достаточно подроб-
подробные и снабженные всеми необходимыми формулировками опре-
определений и теорем, читатель найдет во введениях к этим главам.
Заметим, наконец, что в первой главе излагаются основные
факты из общей теории топологических пространств. Она могла
бы служить просто введением в общую топологию, если бы не
некоторая неравномерность в трактовке тех или иных вопросов,
неравномерность, вызванная именно потребностями самой тео-
теории размерности. Поэтому, если, например, паракомпактность и
связанные с ней вопросы излагаются, как нам кажется, с доста-
достаточной подробностью, то о таких фундаментальных достижениях
общей топологии за последние два десятилетия, какими являет-
является, например, теория диадических бикомпактов или общая

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
теория непрерывных отображений (включая теорию абсолютов),
не сказано ничего!
При окончательном редактировании этой книги очень боль-
большую помощь оказал нам В. В. Федорчук, который вниматель-
внимательнейшим образом прочитал всю рукопись и сделал множество по-
полезных замечаний. Мы приносим ему глубокую благодарность
за это. Мы обязаны ему и многими улучшениями наших перво-
первоначальных доказательств.
Мы сердечно благодарим также В. И. Зайцева, который много
помогал нам при написании первых четырех глав (в частности,
он составил указатель к этой книге). Полезные обсуждения мы
имели с О. В. Локуциевским, который также прочитал всю
рукопись. Благодарны мы также А. Г. Немцу, внимательно про-
прочитавшему последние четыре главы рукописи.
Москва, май 1973.

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. От читателя этой книги предполагается знание основных
фактов элементарной «наивной теории множеств» (как она из-
изложена, например, в первой главе книги П. С. Александрова
«Введение в общую теорию множеств и функций»*)), включая,
разумеется, владение операциями над множествами и понятием
отображения одного множества в (в частности, на) другое. Со-
Соответствующие обозначения также предполагаются известными.
Заметим, однако, что мы пишем A s В для того, чтобы сказать,
что каждый элемент множества А является и элементом множе-
множества В, сохраняя запись А с В для строгого включения: А а В,
когда A s В и при этом А Ф В.
2. Если дано отображение f: X-* Y множества X в множе-
множество Y, то прообраз /-'</, соответственно f~lB, для точки уеУ,
соответственно множества В s У, всегда понимается в смысле
полного прообраза точки у, соответственно множества В, т. е.
как множество всех точек х^Х, для которых fx = у, соответ-
соответственно fx e В.
Читатель заметил, что мы пишем fx и f~ly, а не f(x) и tl(y)r
так же как мы пишем sin*, а не sin (x). Так же образ мно-
множества М s X при отображении f: X —> У мы обозначаем через
fM= U fx<=Y.
х s M
Однако в тех случаях, когда это разумно и целесообразно, мы
не боимся употреблять скобки, например: f(A2\Ai).
Композицию (суперпозицию) двух отображений
f: Х->У, g: \X->Z
мы обозначаем через gf, так что для х е X
*) Или в любом другом учебнике, в котором сообщаются элементы тео-
теории множеств.

14 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В редких случаях мы пользуемся понятием «малого обра-
образа» f*A множества A s X при отображении f: X -*Y, понимая
под этим (вместе с В. И. Пономаревым) множество
f*A-{y\rlysiA}-Y\f(X\A).
Следовательно, f*AsfA, если f есть отображение X на все
множество Y.
Отображение f; X—> Y, рассматриваемое лишь на каком-либо
подмножестве А сг X, часто называется ограничением отображе-
отображения f и обозначается через f\A.
3. Понятие упорядоченного множества входит в те элемен-
элементарные познания по теории множеств, которые мы предполагаем
у читателя этой книги. Однако в довольно многих случаях от
читателя требуется и знакомство с вполне упорядоченными мно-
множествами и трансфинитными числами. Читателю, не знающему
этих вещей, ничего не остается, как или принять на веру те ут-
утверждения, для доказательства которых трансфинитные числа
применяются (в формулировки теорем они, как правило, не вхо-
входят), или, что предпочтительнее, ознакомиться с ними (напри-
(например, по третьей главе уже упомянутой книги «Введение в общую
теорию множеств и функций» или по гораздо более короткому
изложению в книге И. П. Натансона [1]).
4. Мы широко пользуемся понятием частично упорядочен-
упорядоченного, в частности направленного, множества. Напоминаем соот-
соответствующие определения.
Частично упорядоченное множество — это множество X, в ко-
котором для некоторых пар его элементов х, х' введено отношение
порядка: х' следует за х, что записывается так: х')>• х или
х -< х'\ при этом всегда х >- х, но одновременное выполнение ус-
условий х' )> х и х >- х' не исключается и при х ф х'. Отношение
порядка подчинено единственному условию транзитивности: если
х" > х' и х' > х, то х" > х'.
Частично упорядоченное множество X называется направ-
направленным, если для любой пары его элементов х, х' найдется эле-
элемент х", следующий как за х, так и за х'\
х" > х, х" > х\
б. В настоящее время элементарные сведения о метрических
пространствах входят в обязательную программу математиче-
математического анализа для младших курсов университетов; мы предпола-
предполагаем, что читатель владеет этими сведениями.

Глава первая
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Эта глава содержит начальные сведения по общей тополо-
топологии, которые в дальнейшем будут предполагаться известными.
В особенности это относится к параграфам о покрытиях про-
пространств, а также к параграфу о связности. Покрытия состав-
составляют основной инструмент современной теории размерности. Что
же касается понятия связности и примыкающего к нему понятия
отделения множеств друг от друга, то именно на почве анализа
и углубления этих понятий и возникли первые исследования по
теории размерности.
§ 1. Топологические пространства и основные
связанные с ними понятия
1. Определение топологического пространства, его открытых,
замкнутых и открыто-замкнутых множеств. Определение связ-
связности. Пусть X — произвольное множество. Элементы множе-
множества X будем называть точками. «Топология U в X» состоит, по
определению, из двух систем © и 3 подмножеств множества
X: Z = ®, %; причем множества, являющиеся элементами од-
одной из двух систем ©, Ъ, суть дополнения к множествам дру-
другой системы, так что достаточно задать в X одну какую-нибудь
из двух систем © или 3. тогда вторая система будет состоять
из дополнений к множествам, входящим в первую.
Множества Gg® называются открытыми, а множества
FeS — замкнутыми множествами топологического простран-
пространства {X, 1} = (Х, ®) = [Х, Щ.
Система © называется открытой топологической структурой,
а система Ъ — замкнутой топологической структурой топологи-
топологического пространства {X, ?}.
Предполагается, что система © (система 3) удовлетворяет
некоторым аксиомам — «аксиомам топологии», которые и будут
сейчас сформулированы. Таким образом, приходим к следующе-
следующему определению:

16 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Определение 1G. Ввести в множество X топологию Z
посредством открытых множеств или превратить множество X в
топологическое пространство (X, ©) = {X, Z) — значит опреде-
определить в X систему © = {G) подмножеств G = X, удовлетворяю-
удовлетворяющих следующим требованиям (аксиомам):
1в- Пустое множество Л и все множество X открыты, т. е. яв-
являются элементами системы ©.
IIG. Объединение любого числа и пересечение любого конеч-
конечного числа открытых множеств открыты.
Называя замкнутыми множествами множества F = X\G,
дополнительные к открытым множествам Ge®, видим, что сис-
система 3 всех замкнутых множеств пространства (X, ©) удовлет-
удовлетворяет следующим требованиям (аксиомам):
If- Все множество X и пустое множество Л замкнуты, т. е.
являются элементами системы $.
Ил-. Пересечение любого числа и объединение любого ко-
конечного числа замкнутых множеств замкнуты.
Определение lF. Ввести в множество X топологию или
превратить его в топологическое пространство [X, g] = {X, Z)
посредством замкнутых множеств — значит определить в X си-
систему подмножеств $ = {F}, удовлетворяющих требованиям If,
tip. Называя тогда открытыми множествами множества G =
= X \ F, дополнительные к замкнутым множествам Fe8,
видим, что система © всех открытых множеств удовлетворяет
требованиям Ig, По (и определяет ту же топологию Z = ©, S,
что и система §).
Итак, топологию Z всякого топологического пространства
можно ввести и посредством открытых, и посредством замкну-
замкнутых множеств. Обычно — и это стало общепринятым — мы бу-
будем пользоваться открытыми множествами*). Хотя (как мы
сейчас увидим) в одно и то же (непустое) множество можно
ввести много разных топологий, но в течение одного и того же
рассуждения мы в огромном большинстве случаев будем иметь
дело лишь с одной из них, что и позволит нам в дальнейшем
обозначать топологическое пространство {X, Z) = (X, ©) =
= [X, $] просто через X и этим избежать излишнего педан-
педантизма.
Замечание 1. Из условия Ic (If) следует, что системы ©
и 3 всегда непусты — они содержат в качестве элемента по
крайней мере пустое множество; при этом пустое множество яв-
является единственным элементом системы © (и системы §) в
том и только том случае, когда пусто само множество X. Пус-
Пустое множество Л вместе с топологической структурой © или g,
*) См. Александров [4], 1925, где введение топологии посредством
открытых множеств было осуществлено впервые.

5 ,] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 17
единственным элементом которой является пустое множество, на-
называется пустым топологическим пространством; иногда удобно
принимать во внимание его существование.
Замечание 2. Стандартными обозначениями для откры-
открытых множеств являются в первую очередь буквы G, О, также
Г, U, V, W. Эти буквы употребляются только для обозначения
открытых множеств.
Буква F, а также Ф являются стандартными для обозначе-
обозначения замкнутых множеств и употребляются только для этой цели.
Иногда, вместо того чтобы сказать: «всякое замкнутое (вся-
(всякое открытое) множество данного топологического пространства,
удовлетворяющее данным условиям...» — будем говорить: «всякое
FgX (всякое GsX), удовлетворяющее данным условиям...».
Буквы А, В, С также преимущественно употребляются для
обозначения замкнутых множеств, обычно подчиненных тем или
иным дополнительным требованиям.
Определение 2. Множество, являющееся одновременно
открытым и замкнутым, называется открыто-замкнутым.
Мы только что заметили, что во всяком непустом топологи-
топологическом пространстве X имеются по крайней мере два открыто-
замкнутых множества: пустое множество Л и все множество X;
эти множества называются тривиальными открыто-замкнутыми
множествами данного топологического пространства. Топологи-
Топологическое пространство X называется связным, если в нем нет дру-
других открыто-замкнутых множеств, кроме тривиальных — X и Л;
в противном случае оно называется несвязным.
Дополнение ко всякому открыто-замкнутому множеству А,
очевидно, есть открыто-замкнутое множество В = Х\А, при-
причем если А нетривиально, то нетривиально и В.
Поэтому имеет место
Предложение 1. Всякое несвязное пространство X допус-
допускает представление
A) Х=А{]В,
где А и В — дизъюнктные нетривиальные открыто-замкнутые
множества.
Обратно, если дано представление A), в котором А и В
суть непустые дизъюнктные множества, являющиеся (оба) или
замкнутыми или открытыми, то они будут и открыто-замкну-
открыто-замкнутыми и пространство X будет несвязным.
Замечание 3. Пустое топологическое пространство и пространство,
состоящее из одной точки, являются связными. Это — «тривиальные» связ-
ныо пространства.
В каждомиз них возможна лишь одна топология; но уже множество Д
состоящее из двух точек а и ft, можно превратить в каждое из следующих
трех топологических пространств: (D, @,), (D, @0), (D, ©), где

18 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ |ГЛ. Т
1) система ©i состоит из всех четырех подмножеств множества D,
а имеиио: Л, Д {а}, [Ь)\
2) система ©о состоит из трех множеств: Л, D, {а) (можно было бы, конечно,
ввести топологию, открытыми множествами которой являются множества Л,
D, {Ь), ио она отличается от предыдущей только тем, что в ней вместо одно-
одноточечного множества {а} открытым является одноточечное множество {Ь));
3) система © состоит лишь из двух, множеств: Л и D.
Топологическое пространство (Д ©i) ¦¦ D называется простым двоето-
двоеточием; все четыре множества, лежащие в этом пространстве, открыто-замкнуты.
Несмотря на всю простоту его структуры, пространство (Д ©j), как мы уви-
увидим дальше, входит в многие важные топологические построения.
Топологическое пространство (Д ®о) имеет, как мы видели, три откры-
открытых, а следовательно, и три замкнутых множества; только множества Л и D
являются открыто-замкнутыми в пространстве (Д ©о) ™ Do; следовательно,
это пространство связно, поэтому оно и называется связным двоеточием; это
пространство также занимает вполне существенное положение в общей топо-
топологии (см. гл. 2).
Наконец, пространство (Д ©) тоже, очевидно, связно. Его можно назвать
слипшимся двоеточием; ио никаких применений оно не имеет и упомянуто
нами лишь для полноты перечня возможных случаев.
Так как каждая топологическая структура (как ®; так и Ъ)
в данном множестве X есть система подмножеств множества X,
то множество всех (например, открытых) топологических струк-
структур частично упорядочено естественным образом, т. е. по вклю-
включению, а именно: ®[ )> ©2, если ®i гэ ®2, — топология тем
«больше», чем «больше» в ней элементов, т. е. открытых (соот-
(соответственно замкнутых) множеств. Наибольшая топология в X
получается, если все подмножества множества X объявить от-
открытыми.
Называя, как это общепринято, точку пространства X изоли-
изолированной, если множество, состоящее из одной этой точки, от»
крыто-замкнуто, естественно назвать наибольшую топологию в
каком-либо множестве X изолированной топологией. С этой то-
топологией постоянно приходится иметь дело, хотя она сама по
себе и малоинтересна.
Минимальной топологией в (непустом) множестве X яв-
является топология, состоящая из двух элементов: множества X
и пустого множества. Ее фактически никогда не приходится рас-
рассматривать.
2. Подпространства топологического пространства. Вполне
несвязные пространства. Всякое множество Хо s X — «множе-
«множество, лежащее в топологическом пространстве {X, Щ» — полу-
получает вполне определенную топологию ?о = ®о. Ъо, индуцирован"
ную (или порожденную) данной топологией 5Е = ®, $ простран-
пространства {X, Z); система (80, соответственно система $о, есть система
всевозможных множеств вида Go = Хо П G, соответственно
Fo = Хо П F, где G е ©, F e= g.
Другими словами: открытыми, соответственно замкнутыми, в
{Хо, $о) называются множества, являющиеся пересечениями мно-

§ ,] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 19
жества Хо с множествами, открытыми, соответственно замкну-
замкнутыми, в {X, ?}. Пространство {Хо, ?о} называется подпростран-
подпространством пространства {X, Z) (состоящим из точек множества Хо).
Когда мы говорим о множестве Хо s X как о топологиче-
топологическом пространстве, мы всегда имеем в виду только что опреде-
определенное подпространство {Хо, ?0} пространства {X, ?}.
Например, читателю хорошо известно топологическое про-
пространство R\ называемое числовой прямой. Точки этого про-
пространства суть действительные числа; открытые множества суть,
по определению, всевозможные множества, каждое из которых
есть сумма интервалов.
Теперь мы можем говорить о пространстве Ш1 всех рацио-
рациональных и о пространстве 3 всех иррациональных чисел как о
подпространствах пространства R1. Вообще, всякое множество
действительных чисел является топологическим пространством—
подпространством пространства R1.
Далее, часто говорят, что некоторое множество Хо, лежащее
в топологическом пространстве X, связно (или несвязно). Это
значит, что связным (или несвязным) является подпространство
Хо пространства X.
Определение 2о. Пространство X называется вполне не-
несвязным, если несвязно всякое его подпространство, содержащее
более одной точки.
Читатель уже сейчас может доказать самостоятельно, что
подпространство JH1 всех рациональных и пространство 3 -всех
иррациональных точек числовой прямой являются вполне не-
несвязными *).
Замечание 4. Из определения топологии в подпространстве Хо про-
пространства X вытекает, что для каждого открыто-замкнутого множества Ао
пространства Хо существует такое замкнутое в X множество F и такое откры-
открытое в X множество G, что Ао «= Хо П F = Хо П G; однако нельзя утверждать
существования открыто-замкнутого в X множества А, для которого Ао =
= Хо П А. Например, пусть X — связное пространство (как мы увидим в § 4,
связной является, например, числовая прямая R1), а Хо — несвязное подпро-
подпространство пространства X (например, при X = R1 можно взять Хо=В4').
Пусть Ао — нетривиальное открыто-замкнутое множество в Хо (например, при
Xq = SR1 множество всех рациональных точек, лежащих на интервале (а, р)
с иррациональными концами а, В). Тогда не существует в X открыто-замкну-
открыто-замкнутого Л, для которого Ао = Хо П А.
3. Замыкание и (открытое) ядро множества в топологиче-
топологическом пространстве. Определение 3. Пересечение всех'замк-
всех'замкнутых множеств пространства X, содержащих данное произволь-
произвольное множество MeJf, называется замыканием множества М в
пространстве X и обозначается через [М\х или просто через [М]:
[М] = П {Fe S|F = M}. Сумма всех открытых множеств,
*) Доказательства этих утверждений даны в гл. 2, § 4.

20 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
содержащихся в М, называется (открытым) ядром множества М
и обозначается через {М)х (также через 1хМ и Int^M), при-
причем, как и в случае замыкания, значок X обычно опускается*).
Из этого определения сразу следует свойство монотонности
операций замыкания и взятия открытого ядра:
Если Мх s М2, то [Л*,] s [М2] и <Л*,> г (М2).
Дальнейшими следствиями определения замыкания являются
предложения:
(A) Замыкание любого множества замкнуто (как пересече-
пересечение замкнутых множеств).
(Б) Всякое множество содержится в своем замыкании:
М s [M].
(B) Множество М тогда и только тогда замкнуто, когда оно
совпадает со своим замыканием.
В самом деле, если М замкнуто, то множество М есть одно
из F э М, следовательно, [М] s М, и, значит, в силу (Б) [М]=М.
Обратно, если М = [М], то М замкнуто (в силу предложе-
предложения (А)).
Так как для любого М s X множество [М] замкнуто, то из
(В) следует формула
(Г) [[М]] = [М].
Имеют место и аналогичные («двойственные») утверждения
для открытого ядра [М] множества М:
(А') {М) открыто для любого МдХ (как сумма открытых
множеств).
(Б') М = (М) для любого Msl
(В') М тогда и только тогда открыто, когда М = {М).
Предложение 2. Замыкание [М] есть наименьшее замк-
замкнутое множество, содержащее множество М (наименьшее в том
смысле, что всякое FeS, содержащее множество М, содержит
и [М]: из F = М следует F э [М]).
Аналогично, ядро (М) множества М есть наибольшее Ge®,
содержащееся в М (наибольшее в том смысле, что всякое
Ge®, содержащееся в М, содержится и в (М)). Наконец, из
определения множеств [М] и (М) и из взаимной дополнительно-
дополнительности открытых и замкнутых множеств в пространстве X легко
вытекают формулы
B) Х\[М] = (Х\М), [М] = Х\(Х\М),
¦) Надобность в нем возникает, если мы данное множество М рассматри-
рассматриваем как множество, лежащее в двух (или более) различных топологических
пространствах. Например, множество М, состоящее из действительных чисел,
мы можем рассматривать как лежащее на прямой R}, на плоскости R2 или
в трехмерном пространстве R*.

§ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 21
и {после замены М на X \ М)
C) (М) = Х\[Х\М].
Доказательство. Из^эМ следует Gzss X\Fs X\ M,
и обратно; поэтому
*\ (Vе U G>
4. Точки прикосновения. Аксиомы Куратовского. Опреде-
Определение 4. Окрестностью точки хеХ, соответственно множества
М<=Х пространства X называется всякое открытое множество,
содержащее точку х, соответственно множество М. Окрестности
точек х и множества М обозначаются соответственно через Ох
и ОМ (стандартное обозначение).
Определение 5. Пусть М s X; точка х называется вну-
внутренней точкой множества М (по отношению к пространству X),
если у нее имеется окрестность Ох, содержащаяся в М. Точка х
называется точкой прикосновения множества М, если Ох Л М ф
ф Л для любой окрестности Ох точки х, т. е. если х не является
внутренней точкой множества Х\М.
Предложение 3. Ядро (М) любого множества М совпа-
совпадает с множеством всех внутренних точек множества М, а за-
замыкание [М] — с множеством всех точек прикосновения множе-
множества М.
В самом деле, если х^(М), то (М) есть окрестность
точки х, содержащаяся в М. Обратно, если окрестность Ох ле-
лежит в М, то Ox s (М) и^е (М).
Для доказательства второго утверждения обратимся к фор-
формуле B): условие х ^ [М] =s Х\(Х\М), по только что дока-
доказанному, означает, что всякая окрестность Ох пересекается
с Я\ (Х\М) = М. Предложение 3 доказано.
Из предложения 3 сразу следует формула
D) [ЛГ, U ЛГа] — [ЛГ,] U [ЛГа].
В самом деле, так как М\ s Mt U M2, M2 s M\ U Af2, то
в силу монотонности замыкания имеем
Доказываем обратное включение. Предположим, чтох^[Мх (J М2],
но хф[Мх]. Достаточно доказать, что тогда *е[М2].
Пусть Ох — произвольная окрестность точки х. Требуется
доказать, что Ox f] М2 ф Л. Так как по предположению х ф ]
то существует окрестность 0{х такая, что М\{\Охх — к.

22 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Так как *e[M,UM2], то окрестность О* Л О1х = О2х пере-
пересекается с Mi\jM2', но O2x[\Mi—k, значит, O2xf[M2 =
= 02х(}(М1иМ2)фА ч. и т. д.
Наконец, очевидно,
E) 1Л] = Л, [Х] = Х.
Свойства, выражаемые формулами D), (Б), (Г), E), назы-
называются основными свойствами оператора замыкания или аксио-
аксиомами Куратовского. Они были впервые выделены в 1922 г.
К. Куратовским [1] и положены им в основу определе-
определения топологического пространства: в множестве X для каждого
М s X определено множество [М] так, что при этом выполнены
условия Куратовского D), (Б), (Г), E). Получим в X замкну-
замкнутую топологическую структуру 3, если назовем замкнутыми
множествами множества М s X, для которых [М] = М. Тогда
замыкание любого множества М в пространстве [X, 3] будет
совпадать с тем замыканием, которое мы ввели a priori.
С другой стороны, замыкание, как мы его определили в то-
топологическом пространстве, удовлетворяет аксиомам Куратов-
Куратовского. Из всего сказанного следует, что эти аксиомы опреде-
определяют в точности тот класс топологических пространств, с кото-
которого мы начали наше изложение; он был впервые определен
именно Куратовским *).
5. Дальнейшие элементарные определения и факты. Опера'
тор H(M,N). Граница множества. Всюду плотные и нигде не
плотные множества. Предложение 4. Если F — замкнутое,
a G — открытое множество в пространстве X, то F\G замкнуто,
a G\F открыто.
В самом деле, F\G = Ff\(X\G), a G\F = Gf\(X\F),
откуда и следует утверждение.
Определение 6. Если Х0?Хи [Хо] = X, то множество Хо
называется всюду плотным в пространстве X, а пространство X
называется расширением (под) пространства XosX,
Множество MsX называется плотным в открытом множе-
множестве GgX, если G s [M], т. е. если G f[ M всюду плотно в под-
подпространстве GsX; множество М называется нигде не плот-
плотным в X, если оно не плотно ни в каком непустом GgX, Легко
видеть, что М тогда и только тогда нигде не плотно в X, если
¦) Итак, мы умеем вводить в данное множество одну и ту же тополо-
топологию тремя способами: посредством открытых множеств, посредством замкну-
замкнутых множеств и посредством операции замыкания. В следующем параграфе
мы познакомимся еще и с четвертым способом: введением топологии посред-
посредством окрестностей. Он был предложен Хаусдорфом [1], [2] еще в 1914 г.
(правда, в применении к более узкому классу так называемых хаусдорфовых
пространств, см. § б).

j !] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 23
каждое непустое G содержит некоторое такое непустое G\, что
G, П М = Л.
Замечание 6. Легко доказать, что замыкание всякого
нигде не плотного множества нигде не плотно.
Замечание 7. Два взаимно дополнительных множества
pel и Qs^ могут оба быть всюду плотными в X — пример:
множество Р всех рациональных и множество Q всех иррацио-
иррациональных точек числовой прямой. Однако если замкнутое F всюду
плотно в X, то F = Х\ если открытое G всюду плотно в X, то
X\G нигде не плотно в X.
Всякое множество МеХ всюду плотно в подпростран-
подпространстве [М]х-
Определение 7. Пусть М s X; замкнутое множество
[М]\(М\ называется границей множества М и обозначается че-
через гр М.
Множество гр F нигде не плотно в X, хотя может быть всюду
плотно в F.
Множество гр G нигде не плотно в пространстве [G] = G U
U гр G, тем более во всем пространстве X.
Фактически мы будем рассматривать границы открытых мно-
множеств G и лишь иногда границы замкнутых множеств F, причем,
очевидно,
F) гр G = [G]\G, rpF=*F\{F).
Постоянно применяется следующее элементарное
Предложение 5. Если М czX, О czX—дизъюнктные мно-
множества, М произвольно, О открыто, то [M]f\O = Л.
В самом деле, X \ О есть замкнутое множество, содержа-
содержащее М; значит, оно содержит и [М], т. е. [M]f\O = A.
Особо важен случай, когда даны дизъюнктные откры-
открытые множества О] и О2. Тогда [О\][\ О2 = [О2] Г) Oi — A, т. е.
([О1]ПО2)и(О,П[О2]) = Л.
В связи с этим введем следующее
Определение 8. Для любых двух множеств М, ЛГ в топо-
топологическом пространстве X множество ([М] П Ы)\]Щ П [Щ) на-
называется хаусдорфовой производной пары множеств М, N и
обозначается через Н(М, N).
Множества М н N называются отделенными (по Хаусдорфу)
в пространстве X, если Н(М, N) = Л.
Итак, любые два дизъюнктных открытых множества в топо-
топологическом пространстве отделены (друг от друга).
Следствие предложения 5. Ядра замыканий дизъ-
дизъюнктных открытых множеств О] и Ог дизъюнктны (даже яд-
ядро замыкания любого из них не пересекается с замыканием
другого).

24 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
В самом деле, из О] П Ог = Л вытекает
[О.1П О2 = Л, <[0,]>П О2 = Л, ([01]>П[02] = Л,
ч. и т. д.
Замечание 8. Условие отделенности двух множеств, ле-
лежащих в каком-нибудь пространстве X, т. е. условие
H(M,N) = A,
означает, что множества М и N, во-первых, дизъюнктны и, во-
вторых, что каждое из них замкнуто в подпространстве Х\ =
= М U N пространства X; при этом, так как каждое из мно-
множеств М, N дополнительно к другому в пространстве Хи то
условие замкнутости этих множеств в пространстве Xi равно-
равносильно условию их открытости в Х\. Итак, — и это суще-
существенно— условие отделенности выражается в терминах тополо-
топологии пространства Х\ = М U N и не зависит от выбора того или
иного объемлющего пространства, подпространствами которого
являются и М и N.
Поэтому, если множества М н N отделены друг от друга
в каком-либо пространстве X, то они будут отделены друг от
друга и в любом другом пространстве X' э М U N, лишь бы
множество М \j N получило из обоих пространств X я X' одну
и ту же топологию, т. е. было бы подпространством обоих про-
пространств X и X'.
6. Канонические замкнутые и открытые множества (ха- и
ио-множества). Множество, являющееся замыканием открытого
множества, называется каноническим замкнутым или, кратко,
ха-множеством. Если А == [G], то G s {A) s А, значит, А =
= [G] Е [(А)] Е А, т. е. А = [{А)]; поэтому иа-множества могут
быть определены как множества, являющиеся замыканием
своего открытого ядра.
• В каждом замкнутом множестве F содержится максимальное
ка-множество А (быть может, пустое), именно
Очевидно, далее, что сумма двух иа-множеств А\ = [G]] и Ач, =
= [G2] есть иа-множество А = [Gi] U [G2] (однако пересечение
двух иа-множеств может не быть иа-множеством).
Множества, являющиеся открытым ядром какого-нибудь
замкнутого множества, называются каноническими открытыми
или ио-множествами *). Если G = (F), то G = ([G]), так что
ио-множества могут быть определены как открытые ядра своих
¦) Множества, являющиеся пересечением конечного числа ха-множеств,
называются яа-множествамн (обычно просто я-множествами). Термины хо-,
ка-, п-множества предложены В. И. Зайцевым; они имеют все основания по-
получить распространение.

§ I] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 26
замыканий. Из А = [{А)] по формуле B) следует, что Х\А —
=» {Х\(А)). Аналогичным образом, из формулы C) для множе-
множества G = ([G]) следует равенство X\G — [X\[G]j. Следователь-
Следовательно, канонические открытые множества могут быть определены
как дополнения к каноническим замкнутым, и наоборот.
Всякое открытое множество G содержится в наименьшем
ио-множестве: им является множество ([G]).
Предложение 6. Если А — произвольное %а-множество,
а р — произвольное замкнутое множество пространства X, то
[A\F]=*[{A)\F].
Достаточно доказать, что всякая окрестность Ох всякой
точки х е H\F] пересекается с множеством {A)\F. Положим
Ох = Ох П (X\F). Так как х <= [A\F], то
т. е. открытое множество О] = Ox\F пересекается с А = [(А)],
но тогда и О{ П {А) ф Л, т. е.
ч. и т. д.
7. Непрерывные отображения. Отображение /: X^-Y топо-
топологического пространства X в топологическое пространство У на-
называется непрерывным в точке Хо е X, если для него выполнено
следующее
Условие Кош и. Ко всякой окрестности Оу0 точки г/о =
= fx0 существует такая окрестность Ох0 точки *о е X, что
f Ox0 s Оу0.
Отображение f: X —* Y называется непрерывным отображе-
отображением пространства X в пространство Y, если оно непрерывно во
всякой точке xqgX.
Из этого определения легко следует
Предложение 7. Отображение f: X-+Y тогда и только
тогда непрерывно, когда прообраз каждого открытого множества
КдУ пространства Y есть открытое множество U = /"'V про-
пространства X.
В самом деле, пусть выполнено условие Коши для любой
точки <je^ и пусть V — произвольное открытое в Y множе-
множество. Для доказательства того, что f~lV открыто в X, достаточно
доказать, что любая точка xef-1V — внутренняя точка множе-
множества f~:V. Но открытое множество V есть окрестность точки у =
= fx; поэтому существует окрестность Ох точки х в X, для кото-
которой fOx ? V, а это и значит, что Ox s f~lV.
Пусть, обратно, прообраз любого открытого в У множества
открыт в X. Докажем, что тогда условие Коши выполнено для
любой точки Xq е X, Берем произвольную окрестность V = Оуй

26 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
точки Уо = fxo. Тогда f~l V есть окрестность Охй точки х0 и для
нее, очевидно, fOx0 s Оу0. Из предложения 7 непосредственно
следует
Предложение 8. Отображение f: X -*Y тогда и только
тогда непрерывно, когда прообраз f^F всякого замкнутого мно-
множества F в Y есть замкнутое множество в X.
Наконец, имеет место
Предложение 9. Отображение f: X -+Y тогда и только
тогда непрерывно, когда для любого множества МдХ имеем
f[M]x<=[fM]y.
Доказательство. 1°. Пусть отображение f: X-*¦ Y непре-
непрерывно. Тогда множество Г~'[/М] замкнуто и содержит множе-
множество М. Следовательно, [М] s f~] [fM], откуда f [M] s [fM].
2°. Пусть f [M]x s [fM]y для любого MsI Докажем, что
/: X~*-Y непрерывно.
Рассмотрим замкнутое в Y множество F. Тогда
откуда \f"lF] E f~]F, значит, f~*F замкнуто.
Предложение 9 доказано.
Докажем еще два важных утверждения, которые понадо-
понадобятся нам в дальнейшем.
Предложение 10. Пусть Fu F2 — два замкнутых множе-.
ства пространства X, дающих в сумме все X, и пусть fr: Fi -> Y,
Ы Fz-*Y — непрерывные отображения этих замкнутых мно-
множеств в пространство Y, совпадающие на пересечении F\ П F2.
Тогда отображение f: X —> Y, задаваемое равенствами
H(x)=*U{x), если x<=Fu
\f(x)=* ?2 (х), если х е F2,
непрерывно.
Доказательство. Достаточно доказать, что прообраз f ~'ф
всякого замкнутого в Y множества Ф замкнут в X. Но (как
легко проверить) f~IO = f~IOU /~'ф. Множество f^'O (соответ-
(соответственно f^'O) замкнуто в замкнутом множестве Fx (соответственно
в Fj) и, значит, во всем пространстве X; поэтому замкнуто и
Множество f~ Ф =* f~ Ф (J /7 Ф- Предложение 10 доказано.
Предложение 10'. Пусть система открытых в простран-
пространстве X множеств Оа, a s %, в сумме дает все пространство X.
Если отображение f: X-*-Y таково, что его ограничение
fa- Oa~*-Y на каждое множество Оа непрерывно, то непрерывно
и само отображение f.

$ IJ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 27
Доказательство. Рассмотрим произвольное, открытое
в У множество V. Его прообраз
открыт в X в силу предложения 7 и непрерывности отображе-
отображений fa. Но тогда, опять же в силу предложения 7, отображение f
непрерывно, ч. и т. д.
При непрерывном отображении f: X —¦ У образ открытого
множества GsX может не быть открытым в К, а образ замк-
замкнутого множества F s X может не быть замкнутым в У. Напри-
Например, рассмотрим в плоскости, снабженной прямоугольной си-
системой координат, окружность S радиуса 1 с центром в начале
координат и полуинтервал Х = [0^.х<2п) оси абсцисс. Для
любой точки ле! обозначим через fx точку окружности S, ра-
радиус-вектор которой наклонен к оси абсцисс под углом х.
Этим определено взаимно однозначное непрерывное отображение
f: X -+S полуинтервала X = [0, 2я) на окружность S, при котором
образ полуинтервала G = [0, 1), являющегося открытым мно-
множеством в пространстве X = [О, 2я), не есть открытое множе-
множество в S, а образ полуинтервала [я, 2я), являющегося замкну-
замкнутым множеством в X, не есть замкнутое множество в S.
Определение 9. Отображение f: X —* Y топологического
пространства X в топологическое пространство У называется от-
открытым, соответственно замкнутым, если для любого открытого
G s X, соответственно замкнутого F s X, образ fG, соответ-
соответственно fF, является открытым, соответственно замкнутым, мно-
множеством пространства Y.
Из определения сразу следует, что при замкнутом отображе-
отображении f: X—*¦ У малый образ f*G открытого множества открыт.
Мы будем рассматривать лишь такие открытые и замкнутые
отображения топологических пространств, которые вместе с тем
являются непрерывными. Следует заметить, что среди непрерыв-
непрерывных отображений открытые отображения образуют чрезвычайно
специальный класс. Для того чтобы убедиться в этом, доста-
достаточно рассмотреть непрерывные функции у = fx, 0 ^ х ^ 1,
О ^ у .g; 1, осуществляющие открытые отображения отрезка
X = [0 ^ х ss: 1] в себя. Эти функции имеют конечное число то-
точек максимума и минимума на отрезке [0, 1], причем принимают
в точках максимума значение 1, а в точках минимума значение 0;
в промежутках между двумя последовательными точками экс-
экстремума функция f монотонна.
Примером (в некотором смысле типичным) открытого ото-
отображения одной плоской области на другую могут служить ото-
отображения, осуществляемые аналитическими функциями ком-
комплексного переменного.

28 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ, |
Несмотря на такой специальный характер открытых отобра-
отображений, они представляют и для общей топологии большой инте-
интерес: оказывается, можно чрезвычайно широкие классы тополо-
топологических пространств получить, рассматривая образы гораздо
более простых пространств при открытых отображениях, — см.
по этому поводу § 3, п. 5 этой главы, в особенности же гл. 9.
Положение замкнутых отображений в топологии — совер-
совершенно другое: мы увидим, что для очень важного класса про-
пространств X и У всякое непрерывное отображение f: X -* У яв-
является замкнутым; в частности, это имеет место, если простран-
пространства X и У определены как множества, лежащие в «-мерном
эвклидовом пространстве Rn, причем X замкнуто и ограничено
в /?n, a Y s Rn совершенно произвольно.
Имеет место следующая характеристика замкнутых отобра-
отображений:
Предложение 11. Непрерывное отображение f: X —*Y то-
топологического пространства X замкнуто тогда и только тогда,
когда выполняется условие:
(С-1) Для любого множества MsFm любой окрестности О
множества f~lM существует такая окрестность V множества М,
что f V s О.
Доказательство. 1°. Предположим, что отображение f
замкнуто; рассмотрим множество МдУи окрестность О мно-
множества f-Ш. Множество F = Х\О замкнуто в X, и F П f~lM=A.
Поэтому множество fF замкнуто в Y и fF Л М = Л. Окрест-
Окрестность V = Y\fF обладает свойством /"' V Г) F = Л, следова-
следовательно, f V s О — условие (С) выполнено.
2°. Пусть для отображения f выполнено условие (С). Пред-
Предположим, что образ fF некоторого замкнутого в X множества F
не замкнут в У. Пусть у е \fF\\fF. Множество X\F является
окрестностью множества f~ly. Следовательно, существует такая
окрестность V точки у, что f~'V ^X\F. Но тогда V П /F = Л, и
поэтому у ф. \fF]. Полученное противоречие доказывает замкну-
замкнутость отображения /, ч. и т. д.
Замечание 9. Из приведенного доказательства следует,
что достаточно потребовать выполнения условия (С) для одно-
одноточечных множеств М э= у е У, — это влечет за собою замкну-
замкнутость отображения f: X -> У и, следовательно, выполнение усло-
условия (С) для любого М е У. Условие (С), потребованное для
одноточечных множеств М == у еУ, есть не что иное, как усло-
условие непрерывности многозначного отображения /-': Y ~* X (впер-
(впервые явно сформулированное Гуревичем в 1926 г. и подробно изу-
изученное В. И. Пономаревым [1]). Поэтому мы можем сказать
кратко:
Замкнутость отображения f: X -* У равносильна непрерыв-
непрерывности обратного многозначного отображения f~u. Y ->Х,

§ ,] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 29
Докажем относительно замкнутых (открытых) отображений
еще следующее
Утверждение 1. Если непрерывное отображение f: X —*¦ У
пространства X в пространство У замкнуто {открыто), то для
любого множества В <=, Y отображение f: /-' В -» В также замк-
замкнуто (открыто).
Доказательство. Рассмотрим замкнутое (открытое)
в f~lB множество Т. Тогда в X существует замкнутое (открытое)
множество F, в пересечении с f-'fl дающее множество Т. По ус-
условию множество fF замкнуто (открыто) в Y. Следовательно,
замкнуто (открыто) в В множество
ч. и т. д.
Рассмотрим случай взаимно однозначных отображений
f: X -*¦ Y пространства X на пространство Y. Тогда определено и
обратное отображение f-1: Y-* X. Рассмотренный выше пример
отображения полуинтервала X = [О, 2я) на окружность S пока-
показывает, что из непрерывности взаимно однозначного отображе-
отображения f, вообще говоря, не следует непрерывность обратного ото-
отображения f. Однако легко доказать
Предложение 12. Если взаимно однозначное непрерыв-
непрерывное отображение f пространства X на пространство Y замкнуто,
то обратное отображение f'1: Y —* X непрерывно (и замкнуто) *).
Это следует из того, что прообраз всякого замкнутого мно-
множества F^X при отображении /"': Y-+X есть множество
(f~l)-lF = fF е У, замкнутое в силу замкнутости отображения f.
Аналогично доказывается непрерывность отображения f~\ об-
обратного к взаимно однозначному, непрерывному и открытому
отображению.
Определение 10. Отображение f: X —* Y топологического
пространства X на топологическое пространство Y называется
топологическим (или гомеоморфным) отображением X на Y,
сели f взаимно однозначно и если при этом оба отображения
U X-* Y и f: У -*Х непрерывны**).
Другими словами: топологическое отображение простран-
пространства X на пространство У — это такое взаимно однозначное ото-
отображение множества X на множество У, при котором множество
всех открытых множеств пространства X отображается на мно-
множество всех открытых множеств пространства У или — что то
же — множество всех замкнутых множеств в X отображается на
множество всех замкнутых множеств в У.
*) Это частный случай предложения 11 (см. замечание 9 к нему).
**) Тогда каждое из отображений / и /-' одновременно является и замкну-
замкнутым и открытым.

30 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Топологическое отображение / пространства X на какое-ни-
какое-нибудь подпространство Уо пространства У называется топологи-
топологическим отображением пространства X в пространство У. Про-
Пространства X и У называются гомеоморфными между собою, если
одно из этих пространств можно топологически отобразить на
другое.
Введем еще один класс отображений, содержащий, как будет
показано ниже, и класс замкнутых, и класс открытых отобра-
отображений.
Определение 11 (Александров —Хопф [1]). Ото-
Отображение /: X -> У пространства X на пространство У называется
факторным, если
A) множество У=У открыто в У тогда и только тогда,
когда открыто в X множество г1 V.
Очевидно, условие A) эквивалентно условию
B) множество Ф s У замкнуто в У тогда и только тогда,
когда замкнуто в X множество /~'Ф.
Из определения факторных отображений сразу же следует их
непрерывность.
Докажем
Предложение 13о. Непрерывное открытое отображение
f: X -> У пространства X на пространство У является фак-
факторным.
Действительно, если множество V открыто в У, то в силу
непрерывности f множество f-[V открыто в X. Если же для
множества V ? У в пространстве X открыто множество
f~lV, то в силу открытости f множество V = ff~lV открыто
в У, ч. и т. д.
Аналогичным образом доказывается
Предложение \3F. Непрерывное замкнутое отображение
f: X —¦ У пространства X на пространство У факторно.
Факторные отображения естественно возникают при так на-
называемых факторизациях пространства X по некоторому его
разбиению. Под разбиением пространства X понимается система
Ш его дизъюнктных подмножеств М, объединение которых есть
все X.
Если определено разбиение 2Й, то определено и естественное
отображение ц: Х-+Ш, состоящее в том, что каждой точке jteJC
ставится в соответствие единственное содержащее х множе-
множество М е 9Й. Теперь множество ЗЛ превращаем в топологическое
пространство, объявляя открытым в пространстве 9Й всякое
множество ЙеЗИ, прообраз ц~'3? которого при естественном
отображении ц: Х-+Ш является открытым множеством про-
пространства X *). Очевидно, ту же самую топологию на 9Й мы
*) Проверка того, что на Ш задана топология, предоставляется читателю.

ВАЗЫ И ВЕС ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 31
получили бы, называя замкнутым в 9Й всякое множество
прообраз ц-'9? которого замкнут в X. Эта топология назы-
называется факторной топологией на множестве 9Й (дизъюнктных
подмножеств пространства X, дающих в сумме все X).
Очевидно, что при факторной топологии в Ш естественное
отображение ц: Х-+Ш является факторным и, следовательно,
непрерывным отображением пространства X в пространство 9Й.
Само пространство 9Й называется при этом пространством раз-
разбиения Ш или фактор-пространством X по разбиению ЗК *).
Очевидно также, что условие замкнутости в X всех Me Эй
равносильно условию замкнутости всех одноточечных множеств
пространства Ж; это последнее условие выражают, говоря,
что Ш есть 7>пространство (см. § 5, п. 1).
§ 2. Базы и вес топологических пространств
1. Определение сети, в частности базы, топологического про-
пространства. Определение 1. Система 2 = {М} каких-либо
множеств М, лежащих в топологическом пространстве X, назы-
называется сетью пространства X (в смысле Архангельского
[1]), если каждое открытое в X множество пространства X есть
объединение некоторых множеств МеИ. Сеть, элементы кото-
которой суть открытые множества пространства X, называется базой
этого пространства. .
Предложение 1. Для того чтобы данная система мно-
о/сеств 2 = {jfyf} была сетью пространства X, необходимо и до'
статочно, чтобы для любой точки х е X и любой ее окрестности
Ох существовало такое множество М е 2, что х е М s Ox.
Доказательство. Пусть 2 = {М} есть сеть. Берем про-
произвольно точку х е X и ее окрестность Ох. Множество Ох от-
открыто и, значит, является суммой некоторых М е 2; значит,
существует хотя бы одно слагаемое Мх е 2 этой суммы, содер-
содержащее точку х. Очевидно, х е Мх = Ох. Итак, необходимость
нашего условия доказана. Для доказательства достаточности бе-
берем произвольное открытое Csl Множество G есть окрест-
окрестность любой точки );eG; поэтому существует множество Мх,
удовлетворяющее условию ХЕЛ,дС; сумма всех этих Мх (по
всем х е G), очевидно, есть G.
Замечание 1. Очевидно, система всех одноточечных мно-
множеств пространства X есть сеть, а система © всех открытых мно-
множеств не только сеть, но и база пространства X.
*) Точнее, фактор-пространством пространства X, порожденным следую-
следующим отношением эквивалентности SW=!ft(s11): две точки хеХ, х'&.Х экви-
эквивалентны, если они принадлежат к одному и тому же множеству М е ЯЛ.
Теперь можно (и естественно) обозначить фактор-пространство Ш через

32 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Определен ие 2. Минимальное кардинальное число, яв-
являющееся мощностью какой-либо базы пространства X, обозна-
обозначается через wX и называется весом этого пространства.
Пространства счетного веса, или — как их обычно назы-
называют — пространства со счетной базой, образуют один из важ-
важнейших классов топологических пространств. В первый период
развития теории размерности в ней рассматривались исключи-
исключительно пространства со счетной базой. Требование, чтобы про-
пространство имело счетную базу, в те времена называлось
(а иногда называется и сейчас) второй аксиомой счетности
(Хаусдорф).
Определение 3. Система множеств 2^ = {М} назы-
называется сетью в данной точке х0 е X, если для каждой окрестно-
окрестности этой точки Ох0 имеется такое М е 2*0, что ^eMgOx0.
Особенно важен случай базы пространства в точке х — это сеть
в точке х, состоящая из открытых множеств, т. е. из окрестно-
окрестностей данной точки х\ поэтому база в точке х называется также
определяющей системой окрестностей точки х в пространстве X.
Пространства, в которых каждая точка имеет счетную (или ко-
конечную) определяющую систему окрестностей, Хаусдорф назвал
пространствами с первой аксиомой счетности. Наименьшее кар-
кардинальное число, являющееся мощностью какой-нибудь базы
пространства X в его точке х, называется характером простран-
пространства X в точке х и обозначается через %ХХ или через wxX.
Замечание 2. Если Хо cz X, то wxX0 s?T wxX для любой
точки хе^ои wX0 ^ wX. Отсюда, в частности, следует, что как
первая, так и вторая аксиомы счетности выражают наследствен-
наследственные свойства пространства.
Важнейшим предложением, касающимся баз и веса про-
пространств, является
Теорема 1 (Александров —Урысон [1]). Если вес
пространства X равен ш, то всякая база 93 пространства X со-
содержит подмножество S3' мощности ш, также являющееся базой
пространства X.
Доказательство. Возьмем какую-нибудь базу 23О про-
пространства X, имеющую мощность m = wX. Обозначим через U
элементы базы 23О- Пусть 33 — произвольная база простран-
пространства X. Нам надо выделить из базы 3 базу 93's23, имеющую
мощность т.
Начнем с того, что какую-нибудь пару (Ua, ?/р) элементов
базы S30 назовем отмеченной, если существует хотя бы одно
V s 33, удовлетворяющее включению
A) ?/а?УЕ?/р.
Множество всех отмеченных пар имеет мощность не большую,
чем мощность всех вообще пар базы 33О, т. е. мощность ^ га.

§ 2| ВАЗЫ II ВЕС ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 35
Для каждой отмеченной пары (Ua, U^) выберем по одному
элементу V е S3, удовлетворяющему условию A). Множество 93'
отмеченных таким образом элементов V базы 23 также имеет
мощность <! т. Поэтому достаточно доказать, что множество 23'
есть база пространства X.
Итак, пусть даны точка х е X и ее окрестность Ох. Тре-
Требуется найти такое V'eS3', чтобы было
B) jcgV'eOl
Так как 93О — база, то существует такое U~ e 23О, что
х е= f/p s Ox. Но базой является и 43; поэтому существует V,
удовлетворяющее включению
х е= V S ?/р.
1 [акоиец, можно найти такое Ua e 23О> что
Отсюда следует, что пара (Ua, ?/р) отмеченная; поэтому суще-
существует V е 33', удовлетворяющее условию f/jSl/'s^ и тем
более условию B), ч. и т. д.
Понятие базы позволяет выделить следующие важные клас-
классы пространств:
1) Полурегулярные' пространства — это пространства, в ко-
которых канонические открытые множества образуют базу.
2) Индуктивно нульмерные пространства, т. е. такие прост-
пространства, в которых (не только >со-множества, но даже) открыто-
замкнутые множества образуют базу.
В индуктивно нульмерных пространствах каждое открытое
множество есть сумма, а каждое замкнутое множество — пере-
пересечение открыто-замкнутых множеств.
2. Определение топологии в множестве X посредством ука-
указания системы подмножеств, являющейся базой. Определение
топологии посредством окрестностей. Определить топологию в
множестве X, т. е. превратить X в топологическое пространство
X, — значит определить, какие множества мы объявляем откры-
открытыми (при этом должны быть соблюдены условия Ig, По п. 1
§ 1)*). Однако указать все открытые множества часто бывает за-
затруднительно и неудобно, в многих конкретных случаях бывает
удобно непосредственно указывать не все открытые множества
подлежащего определению топологического пространства X, а
только некоторые из них, а именно множества, которые составят
*) Вместо этого можно было бы, конечно, указать систему множеств, ко-
которые будут замкнутыми в определяемом нами топологическом пространстве,
"ли определить для каждого множества М s X его замыкание — каждый раз
f соблюдением соответствующих аксиом.
2 П. С. Александров, Б. А. Пасынков

34 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
одну из баз этого пространства (остальные открытые множества
определятся как всевозможные суммы данных множеств).
Такой способ определения топологии основывается на сле-
следующем предложении:
Предложение 2. Пусть в множестве X, состоящем из
элементов любой природы, называемых точками, даны подмно-
подмножества Та, система которых, обозначаемая нами через S, обла-
обладает следующими свойствами:
(А) Каждая точка х е X содержится по крайней мере в од-
одном Та е S.
(Б) Если точка х содержится и в Га е S и в Гр е S, то
имеется некоторое FveS такое, что хеГуЕГ„П Гр.
Если назвать пустое множество А и всевозможные суммы
множеств Та открытыми множествами, то аксиомы Ig и По то-
топологического пространства окажутся выполненными и в полу-
полученном топологическом пространстве X система S будет базой.
В самом деле, из наших предположений сразу следует, что
сумма любого числа открытых множеств, а также все простран-
пространство X и пустое множество являются открытыми. Докажем, что
пересечение двух (а следовательно, и любого конечного числа)
открытых множеств открыто: этим будет доказано, что X — топо-
топологическое пространство, после чего уже не потребует никакого
доказательства утверждение, что S есть база пространства X.
Но если даны два открытых множества r = (Jra и Г'=
a
= U*V то ГГ)Г" есть сумма множеств вида ГаПГр; поэтому
Р
достаточно показать, что всякое множество этого вида открыто.
Последнее же утверждение следует из того, что, какова бы
ни была то чка хеГоП Гр, имеется множество FY e S такое,
что х е rv s Га П Гр (условие (Б)); поэтому множество Га(]Г
есть сумма всех содержащихся в нем множеств FYeS и, сле-
следовательно, открыто.
Часто, например в первом издании «Теории множеств» Хаус-
дорфа, дается не просто система 5 множеств Га, удовлетво-
удовлетворяющая условиям (А) и (Б), а система множеств 0(х), постав-
поставленных в соответствие точкам хе! и называемых окрестно-
окрестностями этих точек*), причем предписывается выполнение трех
условий:
А) Каждой точке х ^ X поставлено в соответствие по край-
крайней мере одно множество U(x) («каждая точка х е X имеет
*) Однозначность при этом не требуется ни в ту, ни в другую сторону:
одно и то же множество U может быть отнесено в качестве окрестности U(x)
различным точкам (например, всем х е U), и каждая точка имеет, вообще
говоря, бесконечно много окрестностей.

5 2] ВАЗЫ И ВЕС ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 85
хотя бы одну окрестность»), причем всегда
jcef/ (л;).
Б) Для любых двух окрестностей Ui(x) и U2(x) одной и
той же точки х^Х существует U3(x) s U{(x) П U2(x).
В) Каково бы ни было у е U(x), существует
U(y)sU(x).
Если назвать открытым всякое множество Г S X такое, что
для любой точки хеГ существует U(x) =Г, то получится то-
топологическое пространство, и система S всех множеств U(x)
(рассматриваемых независимо от того, каким точкам х они по-
поставлены в соответствие) есть база этого пространства.
Для доказательства этого утверждения заметим прежде
всего, что в силу условия В) всякое множество U(x) и сумма лю-
любого числа множеств U(x) открыты. Далее, если точка х содер-
содержится в пересечении Г = Fi П Гг открытых множеств 1\ и Гг, то
по условию Б) в Г содержится некоторая окрестность точки х,
следовательно, Г — открытое множество. Обратно, если дано
какое-нибудь открытое Г, то, беря для каждой точки *еГ неко-
некоторое U(x)cT, видим, что Г есть сумма некоторых множеств
U(x). Итак, непустые открытые множества могут быть просто
определены как суммы всевозможных множеств U(x) системы S;
другими словами, оказываются выполненными условия предло-
предложения 2, чем и доказывается наше утверждение.
Множества U(x), отнесенные точке х е X, при условии со-
соблюдения условии А), Б), В) образуют то, что Хаусдорф на-
называл системой окрестностей в пространстве X, а задание при
их помощи топологии называется заданием топологии при по-
помощи системы окрестностей.
Пример 1. На числовой прямой R1 топологию можно за-
задать, выделив для каждой точки х в качестве определяющих ее
окрестностей все интервалы вида (* — —, х-\—J.
Наряду с понятием базы часто удобно пользоваться поня-
понятием предбазы топологического пространства.
Определение 4. Система 2 открытых в топологическом
пространстве X множеств Оа называется предбазой простран-
пространства X, если множества, являющиеся пересечениями Оа (] ...
... П Оа всевозможных конечных подсистем системы 2, обра-
образуют базу пространства X. Очевидно, всякая база пространства
является и его предбазой.
Пример 2. На числовой прямой бесконечные интервалы
вида
(— оо, Ь), (а, + °°)
образуют предбазу, не образуя базы.

36 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Предложение 3. Отображение f: X~*Y пространства
X в пространство Y непрерывно, если прообразы /-10а элемен-
элементов некоторой предбазы 2 —{OJ, a e 91, пространства Y от-
открыты в пространстве X.
Доказательство. Положим
1,П|
По условию множества Oai-...as образуют базу 33 простран-
пространства У. Очевидно,
Поэтому прообразы элементов базы 93 открыты в X. Возьмем
открытое в У множество О. Оно является суммой элементов не-
некоторой подсистемы 93' системы S3, т. е.
O=-(JOa,...V
Но тогда множество
являясь суммой открытых в X множеств, открыто в X. Непре-
Непрерывность отображения f доказана.
Частным случаем предложения 3 является
Предложение 4. Для того чтобы взаимно однозначное
отображение f пространства X на пространство Y было гомео-
гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы при этом отобра-
отображении некоторая база пространства X отображалась на базу
пространства Y.
Доказательство предоставляется читателю.
§ 3. Метрические и метризуемые пространства*)
1. Основные определения. Пусть X — произвольное множе-
множество; его элементы х е X будем называть точками. Ввести в
множество X метрику — значит, определить на множестве всех
пар (х, х/), xg X, хг г X, неотрицательную функцию р(х, xf) —
«метрику», удовлетворяющую следующим условиям — «аксио-
«аксиомам» метрического пространства:
*) Введение в математику этих понятий составляет непреходящую за-
заслугу французского математика Фреше (Maurice Frechet).

§ 3] МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 37
1°. р(х, х') = О тогда и только тогда, когда х = х' (аксиома
тождества).
2°. р(х, х') = р{х', х) (аксиома симметрии).
3°. р(*, х') + р(хг, *")>р(х, х") для любых трех точек х,
х', х" (аксиома треугольника).
Множество X с введенной в нем метрикой р = р(*, х') на-
называется метрическим пространством и обозначается через
(X, р), обычно просто через X.
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными свой-
свойствами метрических пространств: они входят в настоящее время
в обязательную программу университетского курса по специаль-
специальности «математика». Поэтому ограничимся лишь самым кратким
напоминанием основных относящихся сюда понятий.
Если М s X, то величина
diam М = sup p (я, х') < °о
хеМ, х'тМ'
называется диаметром множества М в метрическом простран-
пространстве (X, р). Если diam М < оо, то множество М называется
ограниченным (в метрическом пространстве (X, р)).
Для любой точки Хо^Х определено расстояние р(*о, Щ
как
р(*о, М)= inf р(*0, х).
хеМ
Шаровой (сферической) окрестностью с центром х и радиу"
сом е > 0 (или сферической е-окрестностью точки хе.Х) назы-
называется множество О (х, е) (или Otx) всех точек х'^Х, для
которых р(х, х') < е. Если t'eO(*, е), то б == е — р(х, х') > О
и О(х', 6)еО(я, е)'. Отсюда следует, что если )teO(Jt|, е,.)П
П О (х2, е2), то существует такое е > 0, что О(х, b)sO(xu ъх) П
Л О {хъ е2).
Кроме того, очевидно, х^О(х, е) при любом е > 0. Зна-
Значит*), называя «открытыми» множествами в метрическом про-
пространстве (X, р) все множества, являющиеся суммами произ-
произвольного числа множеств вида О(х, г), а также множества X
и Л, мы введем в множество X топологию ©р и этим превратим
это множество в топологическое пространство (X, ©р.) (базой
которого является множество всех шаровых окрестностей).
Именно это топологическое пространство и только его имеют в
виду, когда говорят, что всякое метрическое пространство яв-
является в то же время и топологическим.
Последовательность хи *2, . •., **, ¦ • • точек метрического
пространства X называется сходящейся к точке х0, если число-
числовая последовательность р(*о, х*) сходится к нулю.
Легко проверяется
*) § 2, предложение 2.

38 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Предложение 1. Тогда и только тогда х0 е [М] (для
х0 е X и множества М в метрическом пространстве X), когда
р(*о, М) = 0 или, что то же, когда в М существует последова-
последовательность точек jtjeW, k = 1, 2, ..., сходящаяся к точке хо.
Применяя к случаю метрического пространства У общее оп-
определение непрерывности отображения f: X ~*Y топологического
пространства X в топологическое пространство Y, получаем
Предложение 2. Отображение топологического прост-
пространства X в метрическое пространство Y тогда и только тогда
непрерывно в точке х0 е X, когда ко всякому е > 0 существует
такая окрестность Оха г X, что для всех х е Ох0 имеем
p(fxa, fx) < е. Если и X—метрическое пространство, то непре-
непрерывность отображения f: X -* У в точке Хо означает, что ко
всякому е > 0 существует такое б > 0, что из р(х0, х) < б сле-
следует p(fxa, fx) < e.
Из предложений 1 и 2 следует
Предложение 3. Отображение х. X -> Y метрического
пространства X в метрическое пространство Y тогда и только
тогда непрерывно в точке Хо е X, когда всякая последователь-
последовательность xit X2, ..., Xh, ... точек Xh е X, сходящаяся к точке хо,
при отображении f переходит в последовательность точек fxh =
= г/й, сходящуюся к точке fx0.
Если D — произвольное множество, всюду плотное в мет-
метрическом пространстве X, а Р — множество положительных ра-
рациональных чисел (в качестве Р достаточно взять даже любую
последовательность положительных чисел, сходящуюся к нулю),
то совокупность всех шаровых окрестностей O(d, r), где d^D
и г е Р, образует базу пространства X; отсюда, в частности,
следует, что для того, чтобы метрическое пространство имело
счетную базу, не только необходимо, но и достаточно, чтобы в
нем было всюду плотным некоторое счетное множество точек.
Отметим еще одно утверждение: для того чтобы множество
93 (открытых) множеств метрического пространства X было
сетью, соответственно базой, необходимо и достаточно, чтобы
каждая точка х^Х содержалась в сколь угодно малом, по
диаметру множестве fieS,
2. Полные метрические пространства. Метрическое простран-
пространство (Яо, ро) называется подпространством метрического про-
пространства (X, р), если Хо = X и для любых двух точек х, х'
множества Хо имеем ро(х, х') = р(х, х').
Если X — метрическое пространство, то любое множество
Хо S X обычно рассматривается как подпространство простран-
пространства X.
Если в метрическом пространстве X последовательность

$ 3] МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39
сходится (к какой-нибудь точке х0), то она является фундамен-
фундаментальной, т. е. удовлетворяет условию Коши: ко всякому е > О
существует такое натуральное число ko, что для k > ko, k' > ka
всегда р (**, хк>) < e. Если верно и обратное утверждение, т. е.
если всякая последовательность, удовлетворяющая условию
Коши, сходится, то пространство X, как известно, называется
полным (Фреше).
Эквивалентное определение: метрическое пространство полно
тогда и только тогда, когда в нем убывающая последователь-
последовательность непустых замкнутых множеств, диаметры которых стре-
стремятся к нулю, имеет непустое пересечение. Предоставляем чита-
читателю доказательство эквивалентности этих двух определений
полноты метрического пространства.
Всякое метрическое пространство X является всюду плот-
плотным подмножеством некоторого полного метрического простран-
пространства—полного метрического расширения (пополнения) X про-
пространства X (Хаусдорф). Для построения пространства X назо-
назовем коифинальными (Хаусдорф) две фундаментальные после-
последовательности хи х2, ..., xh, ... и х\, х'2 х'к, ... в про-
пространстве X, еслир(*А, x'k)-*Q при ?->оо. Множество всех фун-
фундаментальных последовательностей распадается на классы кон-
финальных между собою последовательностей. В множество X
этих классов вводится метрика следующим образом: если 6 и
|' — два класса, то берем какие-нибудь фундаментальные после-
последовательности [xk] e i и {х?} е ?', являющиеся соответственно
элементами классов ? и ?', и полагаем
' рF, 60= Итр (*»,*;).
№—> ОО
Легко проверить, что предел в правой части существует и не
зависит от выбора последовательностей {xft} и {*?} соответст-
соответственно в классах 6 и |', так что число р(|, 60 определено. Легко
проверяется также, что расстояние рF, ?0 удовлетворяет всем
аксиомам метрического пространства, так что X есть метриче-
метрическое пространство. Отождествляя каждую точку х&Х с клас-
классом фундаментальных последовательностей, конфинальных по-
последовательности, состоящей из одной точки Xh = x для всех
k = 1, 2, 3, ..., можем считать, что X ^ X) при этом метрическое
пространство X является полным, а X — его всюду плотным под-
подпространством.
Следующее предложение имеет многочисленные примене-
применения (в частности, в гл. 4):
Теорема 2. Пусть G(, G2, ..., Gh, ... — открытые множе-
множества в непустом полном метрическом пространстве X. Если

40 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
каждое из множеств Gk всюду плотно в X, то их пересечение
оо
f} Gk = Д также всюду плотно в X (и, значит, непусто).
Доказательство. Требуется доказать, что при любом
выборе открытого в X множества Г ф А множество Г П Л не-
непусто. Так как d всюду плотно в X, то Г П Gi — непустое от-
открытое множество. Берем в нем точку Х\ н шаровую окрестность
О(х\, &i) столь малого радиуса ei, чтобы [О(хи е^] s Гf) G, и
е, < у. Так как G2 всюду плотно в X, то открытое множество
О(хи eij П G2 непусто. Берем в нем точку хг и такую шаровую
окрестность О(х2, е2), что [О(х2, е2)] s О (хи е,) и е2<-^-.
Продолжая рассуждать таким образом, получим последова-
последовательность шаровых окрестностей O(Xk, ел) = Uh, удовлетво-
удовлетворяющую условиям
[O(xh+U ek+l)]srf\Gk + {[)O(xk, гк), е*<-^-.
оо
Поэтому непустое пересечение f") [Uk] (состоящее из единствен-
00
ной точки) лежит в Г Г) f") Gk, ч. и т. д.
3. Метризуемые пространства. Топологическое пространство
(X, ©) называется нетризуемым, если во множество X можно
ввести такую метрику р, что топология ©р, порожденная во
множестве X метрикой р, совпадает с топологией ®, данной в
топологическом пространстве (X, О). Одна и та же топология
в данном множестве X может быть порождена различными
метриками.
Вероятно, важнейшим метрическим пространством является
эвклидова числовая прямая, т. е. множество всех действитель-
действительных чисел с естественной метрикой р:
A) р(х, х') —\х — х'\ для любых чисел х, х'.
Порожденная этой метрикой топология ® есть, очевидно,
топология числовой прямой, определенная нами в § 1, п. 2.
Но, рассматривая числовую прямую как ось абсцисс некото-
некоторой прямоугольной координатной системы OXY на плоскости,
можно взять, например, точку Мо = (О, 1) на плоскости и опре-
определить — для любых двух точек х, х' оси абсцисс — расстояние
ро(л:, х') как угол между лучами MqX и Mqx'. Легко проверить
что метрика р0, введенная таким образом в множество X всех
действительных чисел, превращает это множество в метриче-
метрическое пространство (X, р0), ограниченное (так как р(х, х')<п

5 з] МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 41
для любых х, х') и неполное (тогда как эвклидова прямая
с обычной метрикой A) есть полное метрическое пространство
в силу классической теоремы Кош и о сходимости числовых по-
последовательностей) . Итак, одна и та же топология О в данном
множестве может быть определена двумя различными метри-
метриками р и ро, причем может случиться, что одно из метрических
пространств (X, р), (X, р0) —полное, а другое — нет.
Метризуемое пространство, являющееся полным хотя бы в
одной метрике, порождающей его топологию, называется топо-
топологически полным метризуемым пространством*). Множество
всех иррациональных чисел, рассматриваемое как подпростран-
подпространство эвклидовой числовой прямой (т. е. в метрике, даваемой
формулой A)), не является полным метрическим пространством,
но оно является топологически полным, так как гомеоморфно
так называемому бэровскому пространству, точками которого
являются всевозможные последовательности | = (п\, «2, ...
..., Пк, . ¦ ¦) натуральных чисел с метрикой р, определенной для
ft —— (ft ft fl \ ft' ;—— (ft ft fl 1
формулой
где k(l, I') — наименьшее натуральное число k, для которого
n'k ф tik (диаметр бэровского пространства, очевидно, равен 1).
Замечание 1. Всякое метрическое пространство (X, р)
гомеоморфно метрическому пространству (X, р') диаметра <1.
Достаточно для любых двух точек ^е^, х?. е X положить
Р
Пространства (X, р) и (X, р') гомеоморфны между собою (этр
следует из того, что всякая последовательность точек {jo,}, схо-
сходящаяся к точке Хо в одной из двух метрик р, р', сходится к
этой точке и в другой метрике).
Подпространство SW1 числовой прямой может служить при-
примером топологически неполного метризуемого пространства: то-
топология в пространстве К1 не может быть порождена никакой
полной метрикой, что видно хотя бы из того, что в 5Я1 сущест-
существует счетная система всюду плотных открытых "множеств' G|,
G2, ..., Gk, ... с пустым пересечением: чтобы получить такую
*) Можно сказать и так: метрическое пространство X называется тополо-
топологически полным, если оно гомеоморфио полному метрическому простран-
пространству у.

42 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
систему, достаточно занумеровать каким-нибудь способом все
рациональные числа:
Г\, Г2, . . . , Г/,, . . .,
и положить Gft = Ш1\гк.
Замечание 2. Всякое метризуемое пространство (X, ®)
есть пространство с первой аксиомой счетности: если р — ка-
какая-нибудь метрика (порождающая в X заданную топологию
О), то в качестве определяющей системы окрестностей для
любой точки х ^ X можно взять систему всех шаровых окрест-
окрестностей О(х, г), где г пробегает все положительные рациональ-
рациональные числа или даже одни лишь числа вида г=—, л=1, 2, 3, ...
п
Сделаем еще следующее очевидное
Замечание 3. Если в какой-нибудь метрике р, задающей
топологию данного метризуемого пространства (X, О), последо-
последовательность {Xk}, k=\, 2, 3, . .., сходится в точке х^Х, то
она сходится к этой же точке и во всякой, метрике р', задаю-
задающей в множестве X ту же топологию ®.
4. Дальнейшие примеры метрических пространств. Вероятно,
читатель знает определение л-мерного эвклидова пространства
Rn как л-мерного линейного пространства, в котором для любых
двух элементов определено скалярное произведение, удовлетво-
удовлетворяющее обычным аксиомам; В предположении, что в простран-
пространстве выбран ортогональный базис, можно определить точки про-
пространства Rn как наборы (последовательности) (хи .... хп),
состоящие из п действительных чисел, а расстояние между двумя
точками х = (xi хп) и х' = {х\, ..., х'п) задать формулой
р (х, х') = /(*,-*;)'+ ... +{хп-х'пу *).
Проверка аксиомы треугольника для введенной таким образом
метрики производится легко при помощи так называемого нера-
неравенства Коши — Буняковского, а именно:
Определенное таким образом метрическое пространство ока-
оказывается полным.
Шаровые окрестности О (х, е) в пространстве Rn называются
открытыми л-мерными шарами радиуса е с центром в х; их
*) Можно, не пользуясь общими понятиями, рассматривать только что
сказанное как определение «арифметического n-мерного пространства> —
только с ним мы и будем дальше иметь дело. Заметим, что векторы п-мерного
пространства можно определить также как наборы {х\, ..., хЛ из п действи-
действительных чисел.

«!¦)]
Метрические И метризУемые пространства 43
замыкания [0(х, е)] называются замкнутыми шарами. Грани-
Граница Sn~l(x, е) =[0(х, е)]\ 0(х, е) называется (п — 1)-мерной
сферой с центром х и радиусом е.
Непосредственным обобщением л-мерного эвклидова прост-
рлиства Rn является гильбертово пространство R°°. Его точки
суть, по определению, бесконечные последовательности
X — \Хи At2> • • • > X/i, . . .)
действительных чисел, удовлетворяющие дополнительному усло-
нию: ряд 2 ** должен сходиться.
Посредством того же неравенства Коши — Буняковского;
обобщенного на случай бесконечных числовых последовательно-
последовательностей, т. е. неравенства *)
!л^-г ,
оо / оо
убеждаемся, что из сходимости рядов 2*? и 2 #* вытекает и
сходимость ряда 2 (хк — УнJ> так что для любых двух точек
гильбертова пространства определено расстояние по формуле
Р (х, У) = у 2 (хк - У к?-
Этим гильбертово пространство определено как метрическое
пространство. Снова переходом к пределу от л к оо доказывается
полнота гильбертова пространства.
С полным основанием гильбертово пространство иногда на-
называется счетномерным эвклидовым пространством.
Наконец, легко определить метрическое пространство R для
несчетного кардинального числа m — оно называется т-мерным
гильбертовым или эвклидовым пространством.
Для определения пространства Rm возьмем какое-нибудь
множество Л = {а) мощности т. Назовем его множеством ин-
индексов, а элементы а этого множества — индексами; при конеч-
конечном m = п или т= Ко множеством индексов было множество
чисел 1, 2, .... л, соответственно множество всех натуральных
чисел. Каждому а е А поставим в соответствие некоторое дей-
действительное число ха. Полученный набор х = {ха} есть не что
*) Его легко доказать, применяя переход к пределу в неравенстве

44 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ (ГЛ. 1
иное, как отображение х: А -* /?1 множества А = {а} в множе-
множество всех действительных чисел R' (это особенно ясно, если
вместо х = {ха} написать просто х = х(а)). Мы рассматриваем
наборы х = {ха}, подчиненные следующему дополнительному ус-
условию: множество тех а е А, для которых ха ф О, не более чем
счетно, и при этом сумма 2 х\ конечна. Наборы х = {ха},
аеД
подчиненные этому условию, называем точками х е Rm. Для
двух точек х = {*„} и у = {уа} снова определено число
где суммирование распространено на (не более чем счетное!)
множество тех «еА, для которых хотя бы одно из чисел ха
илн уа отлично от нуля.
Только что определенное расстояние удовлетворяет аксиоме
треугольника, что после всего сказанного легко проверяется;
две другие аксиомы метрического пространства, очевидно, так-
также выполнены. Итак, мы определили метрическое пространство
Rm, эвклидово (или гильбертово) m-мерное пространство для
любого кардинального числа т.
б. Пространства отображений. Определение 1. Последо-
Последовательность отображений
fit /2» • • •> fkt
какого-нибудь множества X в метрическое пространство Y на-
называется равномерно сходящейся к отображению f: X-*Y, если
для любого е > 0 существует такое натуральное &<>, что для
всех k ~^ k0 и для всех х е X имеет место неравенство
P(fx, Ых) < е.
Пусть С s C(X, Y) есть множество всех непрерывных ото-
отображений топологического пространства X в метрическое про-
пространство Y. Докажем, что множество С удовлетворяет следую-
следующему условию: .
(А) Если последовательность {fk} отображений fh'. X-*
-*Y(fh^C) равномерно сходится к отображению f, то / е С.
Другими словами, докажем
Предложение 4. Отображение f: X —*¦ Y, являющееся
пределом равномерно сходящейся последовательности непрерыв-
непрерывных отображений топологического пространства X в метрическое
пространство Y, есть непрерывное отображение.
Доказательство. Берем произвольно точку хо&Х и
точку yo = fxo^Y. Для доказательства непрерывности отобра-
отображения f в точке х0 выбираем произвольное е > 0 и определяем
натуральное число k0 так, чтобы было p(fx, /**)<ye для всех
х & Х-и k^Ss k0. Далее находим такую окрестность Ох0 точки *0>

§ ; МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 45
чтобы для всех х^Ох0 было p(fkx0, fkx)< е/3., Тогда для лю-
любого x<=0*o имеем
Р (/*>. М < Р (fro. /*•*«>) + Р (/*.*>• ^*.*) + Р V».*. fr) <
ч. и т. д.
Рассмотрим теперь какое-нибудь семейство С отображений
произвольного множества X в метрическое пространство У,
удовлетворяющее кроме условия (А) еще и условию
(Б) Каждое отображение f: X -* Y ограничено, т. е. диаметр
множества fX s У в метрическом пространстве У есть конечное
число.
В множество С при этих условиях можно ввести метрику
следующим образом: для f e С, g e С полагаем
Р (Л g) — su^ р (М
Аксиомы тождества и симметрии очевидно выполнены. Дока-
Докажем, что выполнена и аксиома треугольника. Пусть fx e С,
Ь <= С, f3 е С и p(/i, f2) = du p(f2, f3) = of2. Требуется доказать,
что p(fi, /з) < di + dz.
Для любой точки j;e^f имеем
Р (fix, f2x) < rf,, p (fax, fj*) < rf2;
значит,
f
P"(f i. fa) = sup p (f ,*, f3At) < of, + d2,
Ч. И Т. Д.
Итак, множество С с только что введенной в него метрикой
есть метрическое пространство. Докажем, что это пространство
полное, если полным является пространство У. Для этого прежде
всего заметим, что сходимость последовательности {fd} в про-
пространстве С есть, очевидно, равномерная сходимость отображе-
отображений fh: X — У.
Пусть теперь {fk} есть фундаментальная последовательность
в метрическом пространстве С. Тогда для любого х & X после-
последовательность {fh*} есть фундаментальная последовательность
точек полного метрического пространства У; следовательно, су-
существует точка fx = lim fkx^Y и определено отображение
/: X-*Y. Так как последовательность {fk} фундаментальна в
метрическом пространстве С, то для каждого е > 0 существует
такое k<>, что при k ^ ku, k' ^ k0 имеем p(fhX, f px) ^ e для
всех jtel Но тогда (переходя к пределу при к' -* оо) имеем и
v(fx, fhx) ^ е для всех х ^ X, т. е. последовательность отобра-

46 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
жений {/,,} равномерно сходится к отображению f: X -> Y и это
отображение ограничено; значит, согласно условию (А) имеем
feC и {fh} сходится в С к f. Полнота пространства С этим до-
доказана.
В частности, имеем
Предложение 5. Пространство С(X, Y) всех непрерыв-
непрерывных отображений топологического пространства X в ограничен-
ограниченное полное метрическое пространство Y (в частности, в любое
замкнутое ограниченное множество п-мерного эвклидова прост-
пространства) есть полное метрическое пространство.
В связи со сказанным в конце п. 7 § 1 сформулируем еще
следующую теорему Пономарева [2]:
Все топологические пространства Y, удовлетворяющие пер-
первой аксиоме счетности, — и только они — являются образами
метрических пространств X при непрерывных открытых отобра-
отображениях. При этом в качестве X всегда можно взять индуктивно
нульмерное метрическое пространство того же веса, что и Y.
§ 4. Связность
1. Определения связного, а также (вполне) несвязного и ин-
индуктивно нульмерного топологического пространства были даны
в § 1, пп. 1, 2 и в § 2, п. 1.
Там же, в § 1, п. 5, была определена и «хаусдорфова произ-
производная» Н(М, N) = ([М] П N) U (М П [N]) пары множеств М к N,
лежащих в топологическом пространстве X.
Имеет место
Предложение 1 (условие связности Хаусдорфа). Множе-
Множество Хй, лежащее в пространстве X, тогда и только тогда не-
несвязно, когда может быть представлено в виде суммы Х0=А U В,
где АфЛФВ и Н(А,В) = А.
В самом деле, условие Хаусдорфа означает в точности, что
непустые дизъюнктные множества Л и В замкнуты в Хо, следо-
следовательно, открыто-замкнуты.
2. Элементарные теоремы, касающиеся связности. Пред-
Предложение 2. Если в пространстве X дано открыто-замкнутое
множество С и связное подпространство Хо, пересекающееся с
С, то Хо ? С.
В самом деле, непустое множество Хо Л С открыто-замкнуто
в связном Хо, поэтому Хй П С = Хй, т. е. Хо s С.
Иногда это предложение формулируют и так:
Предложение 3. Если непустое связное подпространство
Хо пространства X лежит в сумме двух непустых дизъюнктных
замкнутых множеств С и С, то оно содержится в одном из них.
Для доказательства положим Хх = С U С. Дизъюнктные
замкнутые в Х\ множества С и С открыто-замкнуты в Хи а

5 4} СВЯЗНОСТЬ 47
множество Хо, содержась в С U С = X, пересекается по край-
крайней мере с одним из множеств С, С и, следовательно, по пред-
предложению 2 содержится в нем.
Предложение 4. Пусть в пространстве X содержится та-
такая точка Хо, что для всякой точки х е X имеется связное мно-
множество ZXl, х ? X, содержащее точки х0 и х. Тогда X связно.
Доказательство (от противного). Пусть X = Со U Си
где непустые дизъюнктные множества Со и Ci замкнуты, следо-
следовательно, открыто-замкнуты. Точка х0 лежит в одном из мно-
множеств Со, Ci; пусть Хо е Со. Тогда для любой точки х е X связ-
связное множество Zx,, х пересекается с Со и, следовательно (по
предложению 2), ZXlt х s Co. Так как х — любая точка в X, то
Хо s С, Ci = Л; полученное противоречие доказывает предло-
предложение 4.
Особенно часто приходится применять следующий частный
случай предложения 4:
Предложение 5. Если любые две точки х и х' простран-
пространства X содержатся в некотором связном множестве Zx> Х' ? X,
то X связно.
Применим предложение 5 к доказательству связности выпук-
выпуклых множеств (в эвклидовом пространстве /?"). Для этого сна-
сначала докажем
Предложение 6i. Прямолинейный отрезок есть связное
пространство.
Доказательство (от противного). Пусть отрезок
X = [0, 1] несвязен; значит, X = А [} В, где А и J5 — два непу-
непустых замкнутых множества без общих точек.
Для того чтобы получить противоречие, достаточно заметить,
что функция, равная 0 на А и 1 на В, очевидно, непрерывна на
всем отрезке [0, 1] и не принимает промежуточных между 0 и
1 значений.
Приведем и прямое доказательство. Разделим отрезок X по-
пополам, на два отрезка Xi и Yit и покажем, что по крайней мере
один из двух отрезков Х\ и Y\ имеет общие точки с обоими мно-
множествами А к В. Пусть это не так. Тогда каждый из отрезков
Xi, Yi содержится в одном из двух множеств А или В; пусть, на-
например, Xi ?= А; в этом случае второй отрезок Yi уже не может
содержаться в А (иначе В было бы пусто), значит, У\ содержится
в В. Поэтому общая точка -j двух отрезков Х\ и Y\ должна
содержаться в А Г) В — противоречие!
Итак, по крайней мере один из двух отрезков Xi и Y{ —
пусть Xi — содержит точки и множества А и множества В. От-
Отрезок Xi снова делим пополам, получаем два отрезка Х2 и Уг!
по крайней мере один из них — пусть это будет Х2 — содержит
точки множества А и множества В. Продолжая это рассуждение,

48 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
получаем последовательность отрезков Xi =э Х2 =э Х3 =э ..., каж-
каждый из которых есть половина предыдущего, причем таких, что
каждый из отрезков Хп содержит как точки множества А, так и
точки множества В.
Существует единственная точка g, общая всем отрезкам Хп,
и в любой близости от точки ? имеются как точки множества А,
так и точки множества В. Другими словами, точка | есть точка
прикосновения и множества А и множества В, а так как эти
множества замкнутые, то | е А П В. Полученное противоречие
доказывает предложение 6^
Из предложений 6i и 5 сразу следует
Предложение 6. Всякое выпуклое множество (в Rn или
в гильбертовом пространстве R°°) связно.
В частности, связными являются: замкнутый и открытый шар
(любого числа измерений), а также само пространство Rn (при
любом п).
Предложение 7. Сумма связных множеств Za, лежа-
лежащих в каком-нибудь пространстве X и имеющих непустое пере-
пересечение Р) Za Ф Л, есть связное множество.
а
В самом деле, пусть %ef*jza. Тогда для любой точки х
a
множества Хо = \JZa имеем связное Za, содержащее точки х0 и
a
х. По предложению 4 множество Хо связно.
Определение 1. Назовем цепью множеств всякую конеч-
конечную последовательность
Af0, М, , Ms
множеств*), обладающую тем свойством, что при любом
t = 0, I s — 1
Предложение 8. Если множества М{, i = 0,1, .'.., s,
образующие цепь, суть связные множества, лежащие в каком-
S
либо пространстве X, то, их сумма Хо= (J Mt—также связное
(=0
множество.
В самом деле, Мо U Mi связно по предложению 7. Тогда,
в силу того же предложения, связными являются множества
*) Они все являются подмножествами одного и того же множества, на-
пример множества М — \}М{.
1-0

<j 4] СВЯЗНОСТЬ 49
(Mo U Mf) U M2, (Mo U Mi U M2) U М3 и т. д. — вплоть до мно-
множества
Af0UAf,U ••• UM,.
Определение 2. Система 931 любой мощности множеств
М называется сцепленной, если для любых двух множеств
М е 2J2, М' е 931 этой системы существует цепь множеств сис-
системы WI
B) М„ М2 Ms,
первый элемент которой есть множество М = Ми а последний —
множество М' = Мв.
Цепь B) называется цепью между элементами М = М4 и
М' = Л4„ системы 931 (или цепью, связывающей множества М
и М').
Предложени'е 9. Ясли 931 = {М} есть сцепленная систе-
система, состоящая из связных множеств (лежащих в топологическом
пространстве X), то сумма [J М всех множеств системы 931
Afeffl»
также есть связное множество.
Доказательство. Если х к х'—две произвольные точки
множества \J М и х<=М<=Ш, х'еМ' е 931, а М,, ..., Ms—цепь,
связывающая множества М=МХ и M' = MS, то Z^, х> — Мх (J ...
... U М„ в силу предложения 8, есть связное множество, ле-
лежащее ъ X н содержащее точки х и х'; теперь связность про-
пространства X следует из предложения 5.
Предложение 10. Если Z—связное множество, лежащее
в пространстве X, и Z\ s X—любое множество, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию Z<=:ZX^ [Z], то Z, связно. В частности, замыка-
замыкание связного множества связно.
Доказательство. Из нашего условия вытекает, что Z
всюду плотно в Zb т. е. Z] = [Z]zt. Пусть С—непустое откры-
открыто-замкнутое множество в пространстве Z{. Так как Z всюду
плотно в Z, и С открыто в Z,, то C(]Z^A, следовательно,
согласно предложению 2 ZsC.
Но С и замкнуто в Zx; поэтому из ZsC вытекает, что и
\Z\Zl^C, т. е. ZX^C, Zf = C. Итак, всякое непустое открыто-
замкнутое С в пространстве Z, совпадает со всем пространст-
пространством Z\, так что Zi связно, ч. и т. д.
3. Компоненты в пространстве X. Определение 3. Не-
Непустое связное множество Z в пространстве X называется
максимальным связным множеством или компонентой в про-
пространстве X, если всякое связное множество Zx s X, содержа-
содержащее множество Z, совпадает с Z.

50 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Две различные компоненты Ki и Кг в пространстве X не мо-
могут иметь общих точек: если бы Ki(\ КгФ Л, то согласно пред-
предложению 7 множество К\ U Кг было бы связным и К\ U Кг ^э К\,
Ki\}Ki^Ki — вопреки максимальности связных множеств
Ki и Кг-
Из того же предложения 7 вытекает, далее, что сумма всех
связных множеств Za = X, содержащих данное связное Zo*),
есть (очевидно, максимальное) связное множество K^Zo, т. е.
единственная компонента К, содержащая связное множество Zo;
она называется компонентой связного множества в простран-
пространстве X. Если множество Zo состоит из единственной точки Zo,
то говорим о компоненте К точки Zo в пространстве X. Очевид-
Очевидно, каждая компонента К в пространстве X есть компонента
любой своей точки Zo e К-
В силу предложения 10 каждая компонента К в простран-
пространстве X есть замкнутое множество. Так как каждая точка Zo e X
содержится в своей компоненте и две различные компоненты не
пересекаются, то имеем
Предложение 11. Всякое топологическое пространство X
есть сумма попарно непересекающихся связных замкнутых мно-
множеств, каждое из которых является максимальным связным под-
подмножеством, т. е. компонентой в пространстве X.
Приведем простейшие примеры.
Во всяком вполне несвязном пространстве компоненты совпа-
совпадают с точками пространства. Это, в частности, имеет место,
если X есть подпространство числовой прямой, состоящее из
всех рациональных или всех иррациональных точек, а также
если X есть канторово совершенное множество.
Пусть X — множество всех точек плоскости /?2, абсциссы
которых рациональны. Компонентами в пространстве X яв-
являются прямые вида х = с, где с — произвольное рациональ-
рациональное число; пространство X распадается на счетное число ком-
компонент.
Если же X есть множество всех точек плоскости, абсциссы
которых иррациональны, то пространство X распадается на
некоторое множество (мощности с) компонент, каждая из кото-
которых есть прямая х = с, где с — произвольное иррациональное
число.
Итак, компоненты, на которые распадается какое-нибудь про-
пространство X, всегда являются замкнутыми множествами, но мо-
могут не быть открытыми множествами этого пространства.
Определение 4. Областью в топологическом простран-
пространстве X называется всякое связное открытое множество этого про-
пространства.
Такие 1ц существуют, например, само

5 4] СВЯЗНОСТЬ 51
Определение 5. Пространство X называется локально
связным, если множество его областей является базой этого про-
пространства.
Теорема 3. Пространство X тогда и только тогда локально
связно, когда компонентами его открытых множеств являются
области.
Доказательство. 1°. Для любой точки х и любой ее ок-
окрестности Ох в любом пространстве X имеем включение х е
<= Сх ? Ох, где Сх — компонента точки х в Ох. Итак, компо-
компоненты в открытых множествах (всякого) пространства X об-
образуют сеть в этом пространстве. Если эти компоненты сами
открыты, т. е. являются областями, то они образуют базу про-
пространства X и X локально связно.
2°. Пусть X локально связно,Т открыто в X и С—какая-
нибудь компонента в множестве Г. Берем произвольно точку
.геСеГ. Так как области пространства образуют в нем базу,
то существует такая область U, что х е U = Г. Но С есть ком-
компонента точки хеС в пространстве Г; так как U связно, то
хе(/еС = Г. Таким образом, каждая точка hgC есть внут-
внутренняя точка С, т. е. С открыто, что и требовалось доказать.
4. Квазикомпоненты. Пусть х — произвольная точка про-
пространства X. Замкнутое множество, являющееся пересечением
всех открыто-замкнутых множеств Аа = X, содержащих точку
х, называется квазикомпонентой точки х в пространстве X и
обозначается через Qx-
Предложение 12. Если г е Qx = |") Аа, то Qz = Qx. В са«
а
мом деле, всякое открыто-замкнутое множество Л, содержащее
точку z, содержит и точку х — в противном случае Х\ А было
бы открыто-замкнутым множеством, содержащим точку х, и,
следовательно, было бы Qx^ Х\ А, что противоречит тому,
что zeQjc, геА Итак, если Qx = |") Аа, Qz = |"| Ау, где пересе-
а V
чснне берется по всем открыто-замкнутым Аа э х, соответ-
соответственно Ау э г, то всякое Ау есть и некоторое Аа, так что
Пусть теперь А = Аа есть некоторое открыто-замкнутое
множество, содержащее точку х; тогда оно содержит все Qx,
следовательно, и точку г, значит, есть некоторое Ау. Итак, вся-
всякое Аа есть некоторое Ау, значит,
Равенство Qz = Q* доказано.

52 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Предложение 13. Если Qxf\ Qv"?= Л, то Qx = Qy-
В самом деле, достаточно взять zeQ,fl Qy. По только что
доказанному Qx = Qz = Qy. Итак, квазикомпоненты точек про-
пространства X образуют дизъюнктную систему замкнутых мно-
множеств, дающих в сумме все пространство X.
Наконец, компонента Сх любой точки х^Х содержится
в квазикомпоненте Qx точки, так что разбиение пространства X
на компоненты является более дробным, чем разбиение на ква-
квазикомпоненты *).
В самом деле, пусть Аа— какое-нибудь открыто-замкнутое
множество, содержащее точку х. Так как Сх содержит точку х,
пересекается с Аа, то по предложению 2 имеем Сх = Аа при
любом Аа э х, значит, #
х
Покажем на примере, что, действительно, компонента С
некоторой точки х может не совпадать с содержащей ее ква-
квазикомпонентой.
Пространство X состоит из двух параллельных прямых а, р
на плоскости OXY (а имеет уравнение х = О, р— уравнение
х= 1) и из контуров прямоугольников <7п, две стороны которых
имеют уравнения х= —, х=1— —, а две другие стороны
имеют уравнения у = п, у = —п.
Докажем, что объединение обеих прямых аир образуют
одну квазикомпоненту.
В самом деле, каждое открыто-замкнутое множество Фс1,
содержащее точку х прямой а, содержит всю эту прямую и кон-
контуры всех прямоугольников qn, начиная с достаточно боль-
большого п; поэтому пересечение всех этих открыто-замкнутых мно-
множеств Ф состоит из пары прямых а, р. Точно так же каждое
открыто-замкнутое множество, содержащее какую-нибудь точ-
точку у прямой р, содержит и эту прямую и все контуры прямо-
прямоугольников qn с достаточно большим номером п. Поэтому пе-
пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих ка-
какую-нибудь точку у прямой р, также состоит из двух прямых
аир.
Итак, любая точка х прямой а и любая точка у прямой р
имеют одну и ту же квазикомпоненту, состоящую из объедине-
объединения двух прямых аир. Между тем компонента любой точки х
прямой а есть сама эта прямая а, а компонента любой точки у
прямой р есть прямая Р; значит, компоненты Сх = а, Су = р
не совпадают с квазикомпонентами Qx = Qv — a U р.
*) Совпадение компоненты с содержащей ее квазикомпоиентой при
этом, конечно, не исключается.

,j s] АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 63
§ 5. Аксиомы отделимости
1. Одним из основных путей к постепенному сужению
класса рассматриваемых топологических пространств является
введение последовательно усиливающихся «аксиом отделимо-
отделимости», уже самая слабая из которых исключает то явление «сли-
«слипания», точек пространства, которое мы видели на примере мно-
множества X, снабженного минимальной топологией (состоящей
из двух элементов: X и Л), даже в том простейшем случае, ко-
когда множество X состояло лишь из двух точек.
Приводим аксиомы отделимости.
Аксиома То (аксиома Колмогорова). Из любых двух точек
пространства X по крайней мере одна имеет окрестность, не
содержащую вторую точку.
Аксиома Т\. Каждая из двух произвольных точек
пространства X имеет окрестность, не содержащую вторую
точку.
Читатель легко докажет, что аксиома Т\ эквивалентна сле-
следующему условию:
Т\. Все одноточечные множества в пространстве X замкнуты.
Аксиома Т2 (аксиома Хаусдорфа). Любые две точки про-
пространства X имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома Т3. Если х — произвольная точка пространства X
и F — не содержащее эту точку замкнутое множество, F =
s Х\{х}, то х и F имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома Г3 может быть сформулирована и так*):
T'v Какова бы, ни была точка х е X и ее окрестность Ох, су-
существует окрестность О\х точки х, удовлетворяющая условию
[О,х] <= Ох.
Аксиома 7. Всякие два дизъюнктных замкнутых множе-
множества пространства X имеют дизъюнктные окрестности.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам 7\, t = 0, 1,2,3,4,
называются соответственно ^-пространствами.
72-пространства называются также хаусдорфовыми про-
пространствами.
^-пространства, удовлетворяющие аксиомам Т3, соответ-
соответственно Тц, называются регулярными, соответственно нормаль-
нормальными, пространствами.
Во всей этой книге мы будем рассматривать лишь ^-про-
^-пространства, а начиная с четвертой главы — только нормальные
пространства; поэтому термины «7>пространство» и «регуляр-
«регулярное пространство», а также «7-пространство» и «нормальное
*) Доказательство аналогично доказательству «малой» леммы Урысоиа
(см. ниже).

54 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ (ГЛ. 1
пространство» будут для нас синонимами*). Однако определе-
определения, данные в §§ 4 и 5, имеют силу для любых топологических
пространств.
Имеет место следующая так называемая
Малая лемма Урысона. Пространство X тогда и только
тогда нормально, когда для любого замкнутого множества F =
с!и любой его окрестности OF можно найти окрестность O\F,
для которой [OiF] = OF.
В самом деле, если X нормально и даны множество F и его
окрестность OF, то замкнутые множества F и F, = X \ OF
имеют дизъюнктные окрестности O,F и O,F| эХ\ OF. Тогда
[OtF] П 0,F, = Л, т. е. [O,F] sX\ 0,/=", s X \ Ft = OF. Обратно,
пусть для любых F, OF существует такое 0,F, что [0,F] = OF.
Возьмем произвольно дизъюнктные F,, F2 и положим 0Ft =
= X\F2. Берем такое 0^^ что [0,F,] s OF,, и полагаем
OF2—X \ [OiF,]. Окрестности OtFi и OXF2 дизъюнктны,
ч. и т. д.
Из малой леммы Урысона вытекает
Следствие 1. В нормальном пространстве X два дизъ-
дизъюнктных замкнутых множества F, и F2 имеют окрестности 0Ft
и 0F2, для которых [OF]](][OF2] = А.
В самом деле, берем дизъюнктные OiFj, 0^2 и затем такие
OFU 0F2, что [OF^^O.Fu [OF2]^OXF2.
2. Наследственно нормальные и совершенно нормальные
пространства. Подпространство Х0^Х нормального простран-
пространства может не быть нормальным; пример—так называемая
«тихоновская плоскость» — будет приведен в § 8 этой главы.
Поэтому оправдано следующее
Определение 1. Пространство X называется наслед-
наследственно нормальным, если всякое его подпространство Хо = X
нормально.
Предложение 1 (Урысон [3]). Для того чтобы про-
пространство X было наследственно нормальным, необходимо и до-
достаточно, чтобы в нем всякие два отделенных друг от друга
множества Р и Q имели дизъюнктные окрестности**).
*) Это замечание вызвано тем, что из аксиом 7"з и Т^ вообще говоря,
не следует аксиома 7"i, ни даже аксиома То, так как одноточечные множества
могут не быть замкнутыми: пространство X с минимальной топологией есть
^-пространство, не будучи даже Го-пространством! Однако если X есть
/"[-пространство, то, удовлетворяя аксиоме 7"з, оно будет удовлетворять и
аксиоме Т2, а удовлетворяя аксиоме 7\|, будет удовлетворять н аксиоме Та,
тем более аксиоме Т2. Так что в ^-пространствах аксиомы Тг, Тг, Т4 образуют
усиливающуюся последовательность.
••) Напоминаем (см. § 1, п. 5), что множества Р и Q называются отде-
отделенными в пространстве X, если

§ 5] АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ . 55
Доказательство. Докажем необходимость высказанного
условия. Пусть X наследственно нормально, и пусть Р и Q — два
отделенных в нем множества. Рассмотрим подпространство
Xo = X\([P]f][Q})
пространства X. Так как по предположению Р П [Q] = Л, то и по-
подавно Р П ([/>] П [Q]) = Л, т. е. Р = Хо. Аналогично Q = Хо.
Рассмотрим теперь замкнутые в Хо множества А=Х0[][Р]
и В = Хо П [Q]. Они дизъюнктны, так как Л П 5 = Хо П [Р] П
П [Q] — А. Так как по предположению Хо — нормальное про-
пространство, то замкнутые в нем дизъюнктные множества А и В
имеют дизъюнктные окрестности ОА и OS (окрестности в про-
пространстве Хо).
Но Хо открыто в X, значит, множества ОА и OS, будучи
открытыми в Хо, открыты и в X. Остается доказать, что Р с=
sO-4, Q*~OB,— этим будет доказано, что множества ОА и
ОВ являются дизъюнктными окрестностями в X множеств Р и
Q, что нам и требовалось.
Мы уже видели, что Р = Хо; значит,
Аналогично Q s OB.
Итак, необходимость нашего условия доказана.
Достаточность доказывается в двух словах. Пусть Р и Q —
дизъюнктные замкнутые множества (произвольного) подпро-
подпространства Х0^Х. Тогда, очевидно, H(P,Q) = Л; в силу нашего
условия Р и Q имеют дизъюнктные окрестности ОА и OS в X;
значит, дизъюнктные окрестности о А = Хо П О А и оВ = Хо П
Г) ОВ в Хо, чем нормальность пространства Хо = X и наслед-
наследственная нормальность пространства X доказаны.
Предложение 2. Если нормальность данного простран-
пространства X наследуется по открытым множествам (т. е. все открытые
в X подпространства нормальны), то пространство X наслед-
наследственно нормально (т. е. нормальны все подпространства Хо s
= Х).
Доказательство. Пусть Хо — произвольное подпростран-
подпространство пространства X, в котором все открытые G*=X нормальны.
Пусть F] и F2—дизъюнктные замкнутые множества в Хо-
Требуется доказать, что они имеют в Хо дизъюнктные окрест-
окрестности. Пусть Ol=[F]]x, Ф2=[^2]х, \V = Ф1 П Фг- Множество
X \ W = G открыто в!и поэтому нормально. Множества Ф, f) G
и <P2f|G замкнуты в G и дизъюнктны, следовательно, имеют
дизъюнктные окрестности Оь О2 в G; так как /^еФ^О,
/ч^Ф2П0, то множества Oif\X0, 02 П ^о являются дизъюнкт-
дизъюнктными окрестностями множеств F(, F? B -Kg, ч. и т- Д-

56 ¦ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ (ГЛ. 1
Напомним
Определение 2 (Хаусдорф). Множеством типа Fa или
просто" F„-множеством пространства X называется всякое мно-
множество МдХ, являющееся суммой счетного числа замкнутых
(в X) множеств.
Множеством типа G6 или п6-множеством пространства X
называется всякое множество М = X, являющееся пересечением
счетного числа открытых множеств пространства X.
Весьма важным является
Предложение 3. Всякое F ^множество Хо, лежащее
в нормальном пространстве X, есть нормальное подпространство
пространства X.
Доказательство опирается на следующие леммы:
Лемма 1. Если Хо^Х есть Fg-множество в пространстве
X и Fo замкнуто в Хо, то Fo есть Fa-множество в пространстве X.
оо
В самом деле, пусть ^o = (JOft. где все Ф* замкнуты в X.
*—i
Так как Fo замкнуто в Хо, то Fo = Хо П F> где F замкнуто в X,
Значит,
и лемма доказана.
Следующая лемма в дальнейшем часто применяется:
Лемма 2 (нормализующая лемма). Пусть в топологиче-
топологическом пространстве X даны такие'множества М\ i = 1, 2, и та-
такие счетные системы открытых множеств
», —{О}} и @2 = 10/). /=1,2,3
что
A) Ml = \Jo) и M2 =
B) М'пГоЯ-Л и М2П[О}] = Л, /=1,2,3,...
Тогда множества М] и М2 имеют в X дизъюнктные окрестности
V1 и V2.
Добавление к лемме 2 (Веденисов[1]). Если, кроме
того, система со = щ U <о2 является покрытием пространства X,
то можно потребовать, чтобы
X\(V1\JV*)<= (J (Jrp Olr
W. 2 ^=1

$ ,| АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ . 57
Доказательство *). Положим
*-i
V\ = O\, Vk = Ok\\J[O2i\. fe = 2,3,4, ....
и
Vl=0l\\J\0)l fe=l, 2, 3, ...
Множества V{ и V\, очевидно, открыты. Следовательно, откры-
оо
ты и множества V1 = \J^L /=1,2. В силу условий A)и B)
имеем включения M'sV1 и М2 s У2.
Наконец, по построению при j^k имеем
а при )< k
т. е. Vlf)V2i = А для любых /г и /, следовательно, К1П^2
Лемма 2 доказана.
Перейдем к доказательству добавления к лемме 2.
Прежде всего заметим, что по построению
U грО/ и rpV*srpO|u UrpOj-
Поэтому включение
A-\(l/'UK2)s (J 0гР
f==l. 2 /==1
будет доказано, если докажем включение
X \ (
или, что то же, включение
xs^unu U UrP^/= U
Так как о есть покрытие пространства X, то последнее вклю-
включение вытекает из равенств
О) и 6ии UH
{—|, 2 /=1 f=I, 2 /=.1
которые сейчас и докажем.
*) Метод этого доказательства принадлежит Александрову (см. Уры-
сои [3]).

5& ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Для k= 1 равенство C) очевидно. Пусть равенство C) имеет
место для всех k^.s, а пусть ? —s + 1. Тогда
S+I S
U иИ1=К.]и1^+,]и и U
{si, 2 /=1 (=1,2 /=1
-fol+.\ и[оЯ1и[у;+.]и U
L l<s J i=i,2
S S + I
= U UH]u[oi+1]u[o=+1\ и Щ= U UH1-
Добавление к лемме 2 доказано.
Лемма 3. Пусть в нормальном пространстве X даны два
отделенных Fg-множества Р и Q. Тогда эти множества имеют
в X непересекающиеся окрестности.
Доказательство. Пусть множество Р является суммой
замкнутых множеств Ft, /=1,2,3,... Так как множества Р
и Q отделены, то Pf\[Q] = A, следовательно, ^/DlQl^A,
/—1,2,3, ... Из нормальности X вытекает существование та-
таких окрестностей О\ множеств Ft, что [о)\ (] [Q] = Л, / = 1,2,3,...
то
Ясно, что Ps {J О)- Аналогичным образом строится такая счет-
ная система открытых множеств О/, /=1,2,3,..., что Qs
— U О) и [О/] П [Р] = Л, /= 1, 2, 3, ... Существование дизъюнкт-
ных окрестностей у множеств Р и Q вытекает теперь из леммы 2.
Переходим собственно к доказательству предложения 3.
Пусть Хо = X — множество типа Fa в нормальном простран-
пространстве X; докажем, что Хо нормально. Пусть Fi^X0 и F2 s Ло —
два дизъюнктных множества, замкнутых в Хо. Тогда
H(FUF2) = Л; кроме того, по лемме 1 множества F\ и F2 суть
/^-множества пространства X. Следовательно, по лемме 3 они
имеют непересекающиеся окрестности в X, значит, и в Хо. Пред-
Предложение 3 доказано.
Определение 3 (Александров — Уры сон [2], гл. 2).
Нормальное пространство, в котором всякое открытое множе-
множество есть множество типа Fa, называется совершенно нор-
нормальным.
Замечание 1. Так как во всяком пространстве X множе-
множества типа Fa и множества типа G6 являются взаимнодополни-
тельными, то можно определить совершенно нормальные про-
пространства как нормальные пространства, в которых все зам-
замкнутые множества являются О4-множествами.

, 51 АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 59
Из определения совершенной нормальности и предложений 3
и 2 непосредственно следует, что всякое совершенно нормальное
пространство является наследственно нормальным.
Докажем, что если в каком-либо пространстве X всякое от-
открытое множество есть /^-множество, то тем же свойством об-
обладает и любое подпространство Х0^Х. В самом деле, пусть G
открыто в Хо. Тогда G = Хо О Г, где Г открыто в X, и, следова-
телыю, Г= (|Ф&> где все Фк замкнуты в X. Но тогда, полагая
Fh = ХоС\Фк, имеем G=\jFk; утверждение доказано. Из до-
казенного вытекает
Предложение 4. Если X — совершенно нормальное про-
пространство, то всякое подпространство Х0^Х совершенно нор-
нормально.
Замечание 2. Говорим, что данное свойство выполнено
в данном пространстве X наследственно (по всем множествам
или по множествам данного класса), если оно выполнено для
всякого подпространства Х0^Х (соответственно для XosX,
принадлежащего данному классу). Важнейший пример — на-
наследственно нормальные пространства (в них свойство нормаль-
нормальности выполнено наследственно). При этом, как показывает
предложение 3, свойство нормальности автоматически насле-
наследуется по множествам типа Fa, а свойство совершенной нор-
нормальности есть просто наследственное свойство — принадлежа
данному пространству X, оно принадлежит и всякому подпро-
подпространству Х0^Х; свойство полной несвязности наследуется по
множествам, содержащим более одной точки, а свойство индук-
индуктивной нульмерности наследуется по всем непустым подпро-
подпространствам Х0^Х. В дальнейшем мы получим и много других
примеров на эту тему.
Следующее утверждение выясняет поведение нормальности,
наследственной нормальности и совершенной нормальности при
замкнутых отображениях.
Предложение 5. Пусть дано непрерывное замкнутое ото-
отображение f:X-+Y нормального пространства X на простран-
пространство Y. Тогда пространство Y также нормально. Если простран-
пространство X наследственно (совершенно) нормально, то наслед-
наследственно (совершенно) нормальным будет и пространство Y.
Доказательство. Рассмотрим в Y дизъюнктную пару
замкнутых множеств Fx и F2. Множества Фг = f-lFit i = 1, 2,
также замкнуты и дизъюнктны. В силу нормальности X суще-
существуют дизъюнктные окрестности ОФ,-, i = 1, 2, этих множеств.
Из характеристики замкнутых отображений, данной в п. 7 § 1,

60 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
вытекает существование таких окрестностей Vt множеств Ft,
что f~*Vi s Оф{, t = 1, 2. Очевидно, окрестности Vj и V^ мно-
множеств Ft и F2 дизъюнктны. Нормальность пространства У уста-
установлена.
Пусть теперь пространство X наследственно нормально. Рас-
Рассмотрим подмножество М пространства У. Его прообраз f~lM s
= Х нормален, и отображение f :f-lM -*М замкнуто (см. § 1,
п. 7), следовательно, по доказанному, множество М также нор-
нормально. Наследственная нормальность У установлена.
Пусть, наконец, пространство X совершенно нормально. Рас-
Рассмотрим открытое в У множество О. Его прообраз'/-'О открыт
в X и поэтому является счетной суммой замкнутых в X мно-
множеств Фи i = 1, 2, 3. В силу замкнутости f множество О будет
счетной суммой замкнутых в У множеств /Ф(, i = 1, 2, 3, ... Со-
Совершенная нормальность У доказана. Доказано и предло-
предложение 5.
3. Функциональная отделимость. Теоремы Урысона. Вполне
регулярные пространства. Наряду с отделимостью множеств
посредством дизъюнктных окрестностей, У р ы с о н [3] определил
еще и другой внд отделимости, так называемую функциональ-
функциональную отделимость, которая скоро заняла в топологии столь же
важное положение, как и отделимость посредством окрестностей.
Определение 4. Два множества Р и Q, лежащие в топо-
топологическом пространстве X, называются функционально отде-
отделимыми, если существует определенная на всем X действитель-
действительная непрерывная функция f:X-+[a, р], принимающая во всех
точках одного из множеств Р, Q значение а, а во всех точках
другого множества значение р (так, что а ^ fx ^. p для всех
х е X и, например, fP = a, fQ = Р).
Обычно берут при этом а = 0, р = 1.
Почти очевидно
Предложение 6. Если два множества Р и Q функцио-
функционально отделимы, то они имеют дизъюнктные окрестности.
В самом деле, если /:Я-*[0, 1], fP>=0, fQ = 1, то, обозна-
обозначая через ОР, соответственно OQ, множество всех точек х,
в которых соответственно fх < у и/* >-i-, получим дизъ-
дизъюнктные окрестности множеств Р и Q. Поэтому, если в про-
пространстве X любые два дизъюнктных непустых замкнутых мно-
множества функционально отделимы, то пространство X нормально.
Урысон [3] доказал оказавшееся чрезвычайно важным об-
обратное предложение:
Большая лемма Урысона. Пусть Fo и Fx — dea зам-
замкнутых непересекающихся множества нормального простран-
пространства X. Для любых двух действительных чисел a, b, a < b, су-
существует действительная непрерывная функция f = /а, ь, опре-

§ г,] АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 61
деленная во всем пространстве X, принимающая значение а во
всех точках множества Fu значение b во всех точках множества
р2 и удовлетворяющая всюду в X неравенству
Доказательство. Если одно из двух множеств, скажем
Fo, пусто, то достаточно положить fx = b для любого хе!
Предположим, что ни одно из множеств Fo, F\ не пусто. При
этом можно предположить, что а = 0, b = 1, так как fa,b (для
любых а, Ь) получается из fo, 1 посредством формулы
Дальнейшие рассуждения и будут вестись в предположении
а = 0, 6 = 1. Они опираются на «малую» лемму Урысона (см.
конец п. 1).
Полагаем OF0 = Ft = X \ Ft и находим по малой лемме
Урысона окрестность OtF0 = Го такую, что [Го] ? П.
Предположим, что уже построены открытые множества Г р
(для данного натурального ли р = 0, 1, .... 2") так, что при
р < р' имеем ГГ р 1 = Г р' (для л = 0 это так). По малой лемме
можно построить открытое Г 2P-+-i так, чтобы
ГГ_р_1 s 14^ s= rr_3p±JLl s Г p+N
[ 2n\ 2n+l [ 2n+l J 2"
Отсюда следует, что для всех двоично-рациональных чисел г,
т. е. для всех чисел вида г = -ж, 0<Х1, можно построить
открытые в X множества Гг так, что F0^r0 и при г < г'
[Гг] = ГГ'.
Положим теперь для всех остальных /, 0</< 1,
Докажем, что всегда
[Г,] = Г,' при t<t'.
В самом деле, беря двоично-рациональные г, г' так, чтобы было
t<r<r'<t',
имеем
Г, = ГГ, значит, [Г,]?=[Гг]?Г/ = 1>,
чем утверждение доказано. Наконец, положим [\ = Л для / < 0
и Vt = X для /> 1.

62 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Построим теперь для каждой точки х^Х некоторое сечение
(Iх, II*) в множестве всех действительных чисел: именно, отне-
отнесем число / к нижнему классу I*, если х не содержится в ГЛ, и
к верхнему II*, если хеГ|. Это сечение определяет действи-
действительное число хх, причем, очевидно, 0 ^ хх ^ 1. Другими сло-
словами, определена функция
fo. 1 (х) = хх
во всем пространстве X. При этом /о, i(*) = 0 при JteFo и
fo, iM = 1 при x<^.F\. Докажем, наконец, непрерывность функ-
функции / = /о, 1 в каждой точке х^Х. Взяв произвольчое е 5> 0,
рассмотрим окрестность t
точки х. Тогда по самому определению этой окрестности имеем
для всех ее точек х' е Ох
т х — е < хх> < хх + е,
т. е. \f(x) — f(x') |<e, что и требовалось доказать.
Непосредственным следствием большой леммы является
Теорема 4 (теорема о продолжении непрерывных функ-
функций) *). Ко всякой ограниченной непрерывной функции <р, за-
заданной на замкнутом множестве Ф нормального пространства X,
существует непрерывная во всем пространстве X функция f, сов-
совпадающая с ф во всех точках множества Ф. При этом, если ц,
есть верхняя грань функции |<р| на Ф, то функцию f можно
подобрать так, что верхней гранью ее абсолютной величины (во
всем пространстве X) также будет число ц,.
Часто пользуются краткой формулировкой этой теоремы, го-
говоря, что всякая непрерывная функция, заданная на замкнутом
множестве нормального пространства X, может быть непре-
непрерывно продолжена на все пространство X.
Доказательство. Полагаем ф0{х) = ф(х); эта функция
определена лишь на множестве Ф. Пусть ц.=ц.0>0 есть верхняя
грань функции | q>(J . Обозначаем через Ро, соответственно Qo>
замкнутое (быть может, пустое) множество тех точек множе-
множества Ф, в которых ФоМ^а—у-, соответственно Фо(х)^-тг,
*) Эта теорема была доказана Бэром, Лебегом и Брауэром для случая
X = Rn, Титце (Н. Tietze) — для метрического пространства X и, наконец,
Урысоиом [3] в полной общности — для любого нормального простран-
пространства. Полученное Урысоном обобщение является окончательным — теорема
о продолжении непрерывных функций характеризует нормальные простран-
пространства (среди всех ^-пространств): если X не нормально, то, как мы знаем,
существуют два непересекающихся замкнутых множества Fo и Fi, не отдели-
отделимых функционально; полагаем ф(*) =0 иа Fo, ф(*) = 1 на /V, тогда
получаем непрерывную функцию ф, которая определена на замкнутом мно-
множестве F = Fo U Ft и не может быть продолжена на все пространство X.

АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
строим по лемме Урысона непрерывную во всем пространстве X
функцию fo> равную — у- на Ро, равную у1- на Qo и удовле-
удовлетворяющую всюду в X неравенству IM*)Ky. Полагаем
теперь на Ф
Функция ф) непрерывна на Ф, и верхняя грань ц., функции | ф, |
2
удовлетворяет неравенству \i{ < у ц0.
Совершенно так же, как мы перешли от ф0 к ф], переходим
от ер, к ф2: обозначаем через Ри Qt замкнутые множества тех
точек множества Ф, в которых ф] (а:) ^—^-, соответствен-
но Ц\{х)~^^-\ строим функцию fx, непрерывную во всем Л1,
равную — Щ- на Рх и равную -у- на Q,; полагаем на Ф
ф2 (х) = ф, (х) — f, (х).
Верхняя грань ц2 функции | ф21 удовлетворяет неравенству
Таким образом, шаг за шагом строим функции
Фо = ф. Фи Фг> •••> Фп
непрерывные на Ф, и функции
L fl, h fn, -...
непрерывные во всем X, причем на Ф имеем
D) q>n+i(x) = q>n(x) — fn(x)-
Далее, обозначая через ц,„ верхнюю грань функции | ф„ |, имеем
значит,
Положим теперь
*я \х/ — /0 \х) I • • • I In \л/'
В силу второго из неравенств E) последовательность

64 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
равномерно сходится к непрерывной в X функции f, причем
так что функция | f | ограничена в X тою же константой ц, что
и функция | ф | на Ф.
Далее, по формуле D) имеем в любой точке хеФ
Ы*) = Ф» (*) —
значит,
«»М = ФоМ —Фп+iM»
и так как в силу первого из неравенств E) функции <prt+i при
п-*оо стремятся к нулю, то для любого «еФ имеем
f (х) = llm sn (х) = ф0 (х) = ф (х),
чем все доказано.
На основе функциональной отделимости вводится чрезвы-
чрезвычайно важное
Определение 5 (Тихонов [2]*). Топологическое про-
пространство называется вполне регулярным**), если всякая его
точка функционально отделима от всякого не содержащего эту
точку замкнутого множества ***).
Замечание 3. Пусть дано непрерывное отображение
f:X-+ Q\ замкнутого множества F^X нормального простран-
пространства X в га-мерный куб Q". Тогда, записывая точку у = fx при
«sf в виде у= (у\, ..., уп) eQ", имеем систему ограничен-
ограниченных непрерывных функций У\=!\{х), ..., yn = fn(x), опреде-
определенных на замкнутом множестве F г X. Каждую из этих функ-
функций можно продолжить до непрерывной функции, определенной
на всем X. В результате получаем
Предложение 7. Пусть F — замкнутое множество в нор-
нормальном пространстве X; всякое непрерывное отображение
*) См. также Урысон [3], [5], т. 1, стр. 209.
**) Или тихоновским, или Г3у-, или Тр-пространством.
***) Задача прямого топологического определения вполне регулярных
пространств (без привлечения действительных чисел и функций) лишь не-
недавно получила окончательное решение: как показал Зайцев [1], ^-про-
^-пространство X тогда и только тогда вполне регулярно, когда оно имеет базу
$В = {?/}, удовлетворяющую следующим двум условиям:
1°. Каждое замкнутое множество F s X есть пересечение некоторых мно-
множеств, являющихся элементами базы $8.
2°. Если дизъюнктные замкнутые множества Fi и Fj таковы, что их до-
дополнения Х\ F\ = U\ и Х\ Fi = Ui являются элементами базы $В, то они
имеют дизъюнктные окрестности L/'1 = OF1 и U2 = OF.^, являющиеся элемен-
элементами базы S3.

§ 5] АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 66
I. р _» Qn (где Qn — п-мерный куб) можно продолжить до не-
непрерывного отображения g : X —*¦ Qn.
Предложение 8. Непрерывное отображение f:F-*Sn
замкнутого подмножества F нормального пространства X в
п-мерную сферу Sn можно продолжить на замыкание некоторой
окрестности множества F.
Доказательство. Очевидно, 5" можно рассматривать
как границу куба Qn+l e Rn+1. Отображение f, по предложе-
предложению 7, можно продолжить в непрерывное отображение g:X-~*
—»Qrt+I. Через Og обозначим е-окрестность центра С куба Qn+1,
где е меньше расстояния от С до S". Множество g-'(Qn+1\ Oe),
очевидно, содержит замыкание [V] некоторой окрестности V
множества F. Через я обозначим проектирование множества
Qft+i \ое из центра С на S". Ясно, что отображение ng:[V]-*
-*Sn является искомым продолжением отображения f.
Из предложения 6 вытекает, что всякое вполне регулярное
пространство регулярно, тогда, как с другой стороны, всякое
нормальное Г]-пространство вполне регулярно. Однако суще-
существуют примеры регулярных, но не вполне регулярных и вполне
регулярных, но не нормальных пространств.
Значение вполне регулярных пространств для топологии и ее
приложений чрезвычайно велико, однако для нужд собственно
теории размерности класс этих пространств оказывается слиш-
слишком широким — как уже упоминалось, мы не выйдем в этой
книге за пределы нормальных пространств; тем не менее в § 8
настоящей главы мы докажем несколько замечательных теорем,
касающихся вполне.регулярных пространств.
4. Совершенная нормальность метризуемых пространств.
Докажем прежде всего, что всякое метризуемое пространство X
нормально. Пусть р — какая-нибудь метрика пространства X,
и пусть F| и F2 — дизъюнктные замкнутые множества в X. Для
каждой точки xsFi положим rx = -jP(x> ^2). а для каждой
точки у е F2 положим ry = -j 9 {у, Fx). Пусть
OF, = U О (х, rx), OF2= [J О (у, гу).
Докажем, что окрестности OFt и OF2 дизъюнктны. В самом
деле, если бы существовала точка z e OF\ f) OF2, то существо-
существовали быи такие точки х0 е Fuy0 <= F2, что z<=O(x0,rXtH O(y0,ryt).
Обозначим через г наибольшее из двух чисел rXt, гу„ пусть,
например, r~rXt. Тогда
Р (*о. У о) < Р («о, г) + р (г, у0) < гх, + гу, < 2гХ) < р (*0, F2),
что противоречит тому, что г/о s F2.
3 П. С. Александров, В, А. Пасынков

6 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Для доказательства совершенной нормальности простран-
пространства X остается лишь показать, что всякое замкнутое множество
F ? X есть множество типа G6. Для этого положим (при любом
k= 1,2,3,...)
Тогда f")Gfc состоит из тех точек хеХ, для которых р(х, F) =
оо
= 0, т. е. х е [F] = F. Итак, F = f] Qk, ч. и т. д.
k=i
Итак:
Предл ожение 9. Всякое метризуемое пространство со-
совершенно нормально.
§ 6. Системы множеств и покрытия
1. Системы подмножеств данного множества X. Пусть X —
произвольное множество. Пусть а =» {М} — произвольная система
подмножеств множества X; объединение всех М е а называем
телом системы а и обозначаем через 5, так что а = 1 Если Е—
произвольное подмножество множества X, то через аЕ (иногда
через Еа) обозначаем подсистему системы а, состоящую из всех
элементов этой системы, пересекающихся с Е.
Множество 5В называется звездой множества Е относительно
системы о и обозначается часто через Зво?; если при этом Е
состоит из единственной точки х е л, то пишут Зволс и говорят
о звезде точки х относительно системы а; при этом Звох — Л,
если xeX\S.
Всякая система а = {М} определяет систему о* = {Звох},
элементами которой являются звезды всевозможных точек хе
е X относительно системы а.
Очевидно, системы а и а* имеют одно и то же тело
5 = 5*.
Система а называется покрытием множества Хо s X, если
Хо ? 5. Чаще всего мы будем рассматривать покрытия всего
множества X, т. е. системы а = {М} множеств М s X, для ко-
которых д=Х. В этом случае подпокрытием покрытия назы-
называется всякая подсистема оо S а, для которой 50 = X. Если а
есть покрытие множества X, то покрытием этого множества X
является и система а*.
¦Покрытие топологического пространства X открытыми (зам*
кнутыми) в нем множествами будет называться открытым (зам-
(замкнутым) покрытием.
Кратностью системы множеств а в данной точке х&Х —
коротко кр-са—называется мощность множества ах всех эле-
элементов системы а, содержащих точку х. Очевидно, кржа = О

§ 0]
СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ И ПОКРЫТИЯ 67
тогда и только тогда, когда хеХ\д. Во всех точках ле 5
имеем крха 5» 1.
Верхняя грань всех кардинальных чисел кр*а, взятых по
всем х^Х, называется кратностью системы а. В частности,
кратность системы а не превосходит счетной мощности Ко, если
система о конечнократна (т. е. для любого х е X число кр^а ко-
конечно) или счетнократна (т. е. крха^К0 для любого х^Х).
Счетнократные системы часто называют «точечно счетными»,
а коиечнократные — точечно конечными. Чаще всего мы будем
рассматривать в этой книге конечные системы, т. е. системы а,
состоящие из конечного числа множеств MsI
Определение 1. Система множеств а называется звездно
конечной, если каждый элемент системы а пересекается лишь
с конечным числом элементов этой системы.
Определение 2. Мы говорим, что система множеств а
вписана в систему множеств а\ или следует за ней, если каждый
элемент системы о является подмножеством хотя бы одного
элемента системы а\. В этом случае пишем a)>ai.
Замечание 1. Это понятие следования превращает любое
множество систем (состоящих из подмножеств данного множе-
множества X), в частности любое множество покрытий множества X,
в частично упорядоченное множество.
Определение 2*. Если система а* вписана в систему а,,
то система а называется звездно вписанной в систему аи
в этом случае пишут а*^>а\ (так что обозначения ог'^хт, и
а* )> ©! равносильны).
Очевидно, система а звездно вписана в систему аи если
звезда Звол: каждой точки х^Х относительно системы а со-
содержится в некотором (зависящем от точки х) элементе си-
системы <Т|. Очевидно, из а»^О\ следует а^аи так что звездная
вписанность является усилением обычной.
Система а называется сильно звездно вписанной в систему от,,
если звезда каждого элемента системы а содержится в неко-
некотором элементе системы ог. В этом случае пишем ai^x^.
Имеет место
Предложение 1. Если а •)> at •>- a2, то а :>- а2.
В самом деле, пусть а = {М}, a,={MA)}, or2 = {M<2)}. Вместо
Зв0) Зво„ 3bOj пишем соответственно Зв0, Зв,, Зв2.
Берем произвольно Afea, г/еЗв0М. Тогда у лежит в не-
некотором Му, пересекающемся с М; берем точку х^Му(]М.
Тогда у е Му Е Зв0 х. Итак,
A) Зв0Ме [J Звох.
Для каждой точки хеМ берем элемент Af^e©!, содержащий
множество Зв0 х. Ясно, что М*' эМ.

68 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Если точка хо^М фиксирована, то для любой точки *еЛ1
имеем включение M^s Зв, х0.
Выбираем элемент Мйеа2, содержащий 3Bt x0; тогда
M^sM® для любого х^М. Значит, 3bo*SMB) для любого
х eiM и, в силу A),
3BoAfsAfC>,
ч. и т. д.
Предложение 1 позволяет в большинстве случаев свести
сильную звездную вписанность к обычной.
Усилением обычной вписанности является и так называемая
комбинаторная вписанность: система а' комбинаторно вписана
в систему а, если элементы обеих систем можно таким образом
поставить во взаимно однозначное соответствие, что каждый
элемент системы а' содержится в соответствующем ему эле-
элементе системы а. Если обе системы </ и а конечны, то комби-
комбинаторная вписанность системы а' в систему о означает, что обе
системы состоят из одного и того же числа элементов s и что
элементы обеих систем можно так занумеровать:
о = {Аг As},
о' = {А\ A's),
что A's A A's<=l As. Вообще, если система о' комбина-
комбинаторно вписана в систему а, то кра'^кра.
Замечание 2. Иногда оказывается удобным понятие по-
подобия двух систем множеств: системы а и а' называются по-
подобными между собою, если между ними можно установить та-
такое взаимно однозначное соответствие, что из того, что какие-
нибудь, взятые в конечном числе, множества одной системы
имеют непустое пересечение, следует, что соответствующие им
множества другой системы также имеют непустое пересечение.
Замечание 3. Иногда приходится рассматривать си-
системы а, элементами которых являются множества Аа, обозна-
обозначенные при помощи индексов а, взятых из данного множества
индексов А = {а}, чаще всего множество индексов есть просто
множество, состоящее из натуральных (или трансфинитных) чи-
чисел, начиная с 0 или 1 и вплоть до некоторого а = ао. Дадим
точное определение этого понятия.
Предположим, что каждому индексу а (т. е. каждому эле-
элементу заданного множества индексов А) поставлено в соот-
соответствие некоторое множество Аа = X, причем двум различным
индексам может быть поставлено в соответствие одно и то же
множество. Обозначенное множество Аа есть пара, одним из
элементов которой является индекс а, а другим — соответ-
соответствующее этому индексу подмножество множества X. Таким

§ G] СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ И ПОКРЫТИЯ 69
образом, обозначенные множества Аа и Аа> считаются различ-
различными, если а ф а'. Все введенные выше понятия, очевидно,
применимы и к системам обозначенных множеств; в частности,
кратностью системы а в точке х будет число обозначенных
множеств —элементов системы а, содержащих точку х.
Введем, наконец, следующее
Определение 3. Произведением двух систем множеств
а = {А} и р = {В} называется система множеств у — а Л Р,
элементами которой являются все (обозначенные) множества
вида А П В, где А е= а, В <= р.
2. Укрупнение систем множеств. Определение 4. Пусть
дана система р подмножеств множества X. Систему у = {1\}
назовем укрупнением системы р, если
(а) каждое 1\ есть сумма некоторых Вер, причем каждое
Вер входит в качестве слагаемого ровно в одну сумму*
Очевидно, y = P- Следовательно, если система р была по-
покрытием множества X, то покрытием будет и укрупнение у.
Из условия (а) легко вытекает
Предложение 2. Для укрупнения у системы р подмно-
подмножеств X и любой точки х е X справедливо неравенство
Следовательно,
,кр у < кр р.
Предположим дополнительно, что система р вписана в си-
систему а. В этом предположении укрупн«ние у называется укруп-
укрупнением системы р относительно системы а, если в дополнение
к условию (а) выполнено условие
(б) система у комбинаторно вписана в систему а. :
Покажем, что укрупнения покрытия р относительно покры-
покрытия а всегда существуют, и дадим стандартный метод для по-
построения этих укрупнений.
Занумеруем элементы покрытия а порядковыми числами,
употребляя для этого все числа (начиная с нуля), мощность
которых меньше мощности покрытия а, так что
а = {Ло, А{ Аь ...}.
Обозначим через Го сумму всех элементов В покрытия р, сд*-
Держащихся в Ао, а для любого X ^ 1 обозначим через 1\
сумму всех Вер, содержащихся в А^, но не содержащихся ни
в каком Ах с к' < к. Легко видеть, что система у, состоящая
из всех построенных таким образом 1\, и будет иск.омы.м ук|*уП'
неыием покрытия р относительно покрытия о&,

70 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
3. Замечания о звездно конечных системах и покрытиях.
Пусть 2 — какая-нибудь система подмножеств данного множе-
множества X. Мы будем рассматривать сцепленные подсистемы оа
системы 2 (см. § 4, п. 2). Объединение <таи<тр ДВУХ сцепленных
подсистем, имеющих непустое пересечение аа П о^ Ф Л, есть,
как легко видеть, снова сцепленная система; отсюда сразу сле-
следует, что объединение \Jaa любого числа (конечного или, бес-
а
конечного) сцепленных систем аа, имеющих непустое пересече-
пересечение Р) аа = а<> ф Л, есть сцепленная система.
а
Поэтому всякая сцепленная подсистема ао системы 2
(в частности, всякая подсистема ао, состоящая из одного како-
какого-нибудь элемента системы 2) содержится в единственной
максимальной сцепленной подсистеме а системы 2, а именно
в системе а, являющейся объединением всех сцепленных под-
подсистем аа S 2, содержащих данную подсистему а0.
Максимальные сцепленные подсистемы системы 2 назы-
называются иначе компонентами сцепленности (или просто компо-
компонентами) системы 2.
Очевидно, две различные компоненты сцепленности не пе-
пересекаются и вся система 2 есть дизъюнктная сумма своих ком-
компонент сцепленности. Очевидно также, что тела различных ком-
компонент системы 2 дизъюнктны.
Замечание 4. Если система 2 является открытым покры-
покрытием пространства X, то тела ее компонент, очевидно, открыты
и образуют дизъюнктное покрытие пространства X. Таким об-
образом, дополнение до тела каждой компоненты покрытия 2
есть сумма тел остальных компонент этого покрытия. Поэтому
тело каждой компоненты открытого покрытия пространства X
открыто-замкнуто в X.
Предположим теперь, что система 2 = {М} является звездно
счетной (т. е. что каждый элемент системы 2 пересекается не
более чем со счетным числом элементов той же системы). До-
Докажем
Предложение 3 (Александров [2]). Каждая сцеп-
сцепленная подсистема (в частности, компонента) а звездно счетной
системы 2 состоит из конечного или счетного числа эле-
элементов.
Доказательство. Пусть Мо — какой-нибудь фиксирован-
фиксированный элемент системы а; обозначим через <т/, подсистему системы
о, состоящую из всех элементов Мее, которые могут быть свя-
связаны с элементом Мо цепочками «длины ^ к» («длиной цепоч-
цепочки» называется число составляющих ее элементов). Следующие
утверждения очевидны:
i . en состоит из одного элемента Мо. ...

5 «I ¦ системы множеств и покрытия ¦ . 71
2°. (Xfe+i состоит ИЗ' всех элементов М е а, пересекающихся
хотя бы с одним элементом системы аи (так- что* в частности,
)
3°. 0=0**-
ft—О
Остается доказать, что каждая система <sh не более чем
счетна. При k = 1 это очевидно. Предположим доказанным,
что система он не более чем счетна. Так как с каждым элемен-
элементом Meaj пересекается не более чем счетное число элементов
системы а и каждый элемент системы Oh+i пересекается с неко-
некоторым элементом счетной (или конечной) системы ак, то и
<Tii+j — не более чем счетная система, ч. и т. д.
4. Локально конечные и дискретные системы. Переходим
к рассмотрению любых систем у множеств, лежащих в про-
пространстве X. Одним из основных определений является
Определение 5 (Александров [1]). Система у мно-
множеств, лежащих в пространстве X, называется локально конеч-
конечной в X, если каждая точка хеЛ имеет окрестность Ох, пере-
пересекающуюся не более чем с конечным числом множеств —эле-
—элементов системы у-
Предложение 4. Если система у= [Аа} локально ко-
конечна в пространстве X, то локально конечна в X и система
М (И1} ¦
Действительно, если окрестность. Ох точки х е X пересе-
пересекается лишь с множествами Aat, ..-, i4as, то Oxfl[Aa] = A для
а Ф ct], ..., as. • .
Предложение 5. Произведение yiAy2 двух локально
конечных в пространстве X систем yi и Y2 есть локально конеч-
конечная в X система.
Действительно, если окрестность О,- точки х пересекает лишь
конечное число элементов системы y<» l = U 2, то окрестность
Oi Г) 02 этой точки пересекает лишь конечное число элементов
системы yi A Y2- . .
Предложен ие 6. Если отображение f: X'-+ Y\простран*
ства X в пространство Y непрерывно и система- v = {Аа) ло-
локально конечна в Y, то система f~lv = {/-]Ла} локально ' ко-
конечна в X. ¦ •.
Доказательство. Возьмем точку х^Х. Ее образ:'уа±
= (х обладает окрестностью О, пересекающей лишь конечное
число элементов системы v. Тогда окрестность f^O точ&я'х
пересекает лишь конечное число элементов системы fMy.; Ло-
Локальная конечность системы f~'v доказана. ;, ; ';
Очевидно, что всякая локально конечная система, множеств
является и точечно конечной (конечнократной), В то; же время
звездио конечная система может не быть локальна конечной!

?2 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
если X — числовая прямая, а у— система всех ее одноточечных
множеств, то у — звездно, но не локально конечная система
множеств.
Однако имеет место следующее очевидное утверждение:
Всякая звездно конечная система, состоящая из открытых
множеств данного топологического пространства X, является
локально конечной в своем теле. В частности, всякое звездно
конечное открытое покрытие является локально конечным.
Важный частный случай локально конечных систем мно-
множеств выделяет следующее "
Определение 6 (Бинг [1]). Система y подмножеств про-
пространства X называется дискретной в X, если каждая точка
хеХ обладает окрестностью Ох, пересекающейся не более чем
с одним из множеств системы у.
Так же, как предложение 4, устанавливается
Предложение 7. Если система у = {Аа} дискретна в про-
пространстве X, то дискретна в X и система [у] = {[Аа]}.
В § 11 нам понадобится
Определение 7. Система у подмножеств пространства X
называется а-локально конечной, соответственно а-дискретной,
если она представима в виде счетной суммы у = JJy< ло-
локально конечных, соответственно дискретных, систем у<» *=
= 1,2,3, ...
Очевидно, всякая счетная система сг-дискретна.
Определение 8. Система у множеств, лежащих в про-
пространстве X, называется консервативной, если, какова бы ни
была подсистема у0 <= у системы у, всякая точка прикосновения
множества у0 является точкой прикосновения по крайней мере
одного из элементов системы уо. т. е. если замыкание суммы
любого числа элементов системы у есть сумма замыканий этих
элементов.
Из этого определения явствует, что система у. состоящая
из замкнутых множеств топологического пространства X, кон-
консервативна тогда и только тогда, когда тело любой подсистемы
Yo системы у есть замкнутое множество.
Легко доказывается
Предложение 8. Всякая локально конечная, в частности
дискретная, система множеств в пространстве X консервативна.
В самом деле, пусть х— точка прикосновения тела у0 какой-
нибудь подсистемы у0 локально конечной системы у.
Возьмем произвольную окрестность Ох, пересекающуюся
лишь с конечным числом множеств А е у0, пусть с А А,.
Точка х, будучи точкой прикосновения множества Yo» яв
ляется и точкой прикосновения множества YoOO*, содержаще-
содержащегося в А\ U ... U Aa, и, значит, точкой прикосновения множества

$ 6] СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ И ПОКРЫТИЯ 73
Л1 U ... U Л,. Но тогда х есть точка прикосновения и одного по
крайней мере нз множеств Аи ..., А,.
Предложение 9. Дизъюнктная консервативная система
у = {Fa} замкнутых в пространстве X множеств дискретна.
Доказательство. Возьмем произвольную точку х^Х.
Если хфу, то в силу консервативности системы у множество
Х\у является окрестностью точки х, не пересекающейся ни
с одним Fa. Если же х е F<*,, то окрестность X \ {J Fa
а* а,
точки х пересекается лишь с ^а,- Дискретность-системы у до-
доказана.
В дальнейшем нам'понадобятся следующие два утвержде-
утверждения относительно укрупнений:
Предложение 10. Если система р подмножеств простран-
пространства X локально конечна, то локально конечно в X любое укруп'
нение у системы р.
Действительно, если окрестность Ох точки хеХ пересекает
лишь элементы fii, ..., В, системы р, то Ох пересекает лишь
те элементы укрупнения у. в которые в качестве слагаемых во-
вошли множества Ви ..., Bs.
Предложение 11. Если покрытие р пространства X впи-
вписано в локально конечное покрытие а этого пространства, то
любое укрупнение у покрытия р относительно а локально ко-
конечно в X.
Это утверждение вытекает из того, что в условиях предло-
предложения 11 покрытие у комбинаторно вписано в а и," следова-
следовательно, локально конечно.
Среди локально конечных покрытий пространства особенной
наглядностью обладают так называемые разбиения*): это —
локально конечные покрытия, элементами которых являются ка-
канонические замкнутые множества с дизъюнктными открытыми
ядрами. Конечные разбиения (с которыми нам главным обра-
образом и придется иметь дело) рассматривались уже давно (см.,
например, Александров [9], Курош [1] и др.). В частности,
мы докажем в § 10, что во всякое конечное открытое покрытие
нормального пространства вписано (даже комбинаторно!) не-
некоторое конечное разбиение.
Определение 9. Покрытие, состоящее из двух элементов,
называется бинарным.
Имеет место следующее
*) Общее понятие разбиения было впервые введено и исследовано По-
Пономаревым [3]. Обращаем внимание читателя на то, что слово «раз-
«разбиение» употребляется в этой книге в двух совершенно различных смыслах,
один из которых указан в § 1, п. 7, а другой — только что. Однако мы
надеемся, что это не сможет послужить источником каких-либо недо-
недоразумений.

74 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
• Предложение 12; Если а = {АиА2} — бинарное разбие-
ние пространства X, то
грА1 = грА2 = А1(]А2,
и, обозначая общую границу множеств Ai и А2 через В, имеем
b(i,)UflUD
До к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что
<Л,> = Х\Л2, (А2) = Х\А1.
В самом деле, так как {Аи Л2} — покрытие, открытое множество
Х\А2 содержится в Аи значит, X \ A2s(Ai). С другой сто-
стороны, если открытое множество пересекается с каноническим
замкнутым множеством, то оно пересекается и с его открытым
ядром. Поэтому (Л^еХХ А2. Таким образом, (Ai) = X\.A2.
Аналогично (Л2) — X \ Alt Следовательно, X \ (А{) => А2,
Х\(А2) — А{. Поэтому
гр Л, = А1 \ (А,) = А1 П (X \ (Л,)) = Л, П А2.
Аналогично гр Л2 = Ах [\ А2. Очевидно также, что X = (X \ Л2) (J
и(Л,ПЛ2)и(^\Л1), т. е. X = (Al)UBU(A2), где В = А1(]А2 =
= грЛ1^грЛ2, что и требовалось доказать.
Закончим этот параграф важным понятием измельчающейся
системы покрытий, которое понадобится, например, в § 7 гл. 5.
Определение 10 (Александров и Урысон [1]). Се-
Семейство 21 = {а} покрытий пространства X называется измель-
измельчающимся, если, какова бы ни была точка х ^ X а ее окрест-
окрестность Ох, найдется такое а е 21, что звезда точки х относи-
относительно покрытия а содержится в Ох.
Предложение 13. Во всяком регулярном пространстве X
со счетной базой имеется счетное измельчающееся семейство
бинарных открытых покрытий.
Доказательство. Пусть 93 = {t/ft}—счетная база про-
пространства X. Назовем пару элементов Up, Uq базы 23 канони-
канонической, если [Up] s Uq, и занумеруем как-нибудь все канони-
канонические пары: я1( я2, ..., яп, .... nn = (Up, Uq). Для каждой
канонической пары nn = (Up,Uq) построим покрытие ю„ =
= {Uq, .X \ [Up]} пространства X.
Утверждаем, что счетное семейство {соп} всех покрытий con
является измельчающимся. В самом деле, пусть точка х^Х к
ее окрестность Ох даны. Находим прежде всего такое t/ge53,
чтобы хе Ug^Ox. Так как пространство X по предположению
регулярно, то существует такая окрестность О\Х, что [О\Х] = Uq.
Берем теперь такое Up s 23, что х е Up s 0^. Тогда пп =»
= (Up, Uq) есть каноническая пара и точка х содержится в
элементе Uq соответствующего покрытия со„ = {Uq, X \ [Uр]},

§ 7] БИКОМПАКТНЫЕ И ПАРАКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 75
а во втором элементе X\[UP] этого покрытия, очевидно, не
содержится. Таким образом, звезда точки х относительно по-
покрытия со„ состоит из одного элемента Uq и этот элемент со-
содержится в заданной окрестности Ох.
Предложение 13 доказано.
§ 7. Бикомпактные, финально компактные, паракомпактные
пространства. Совершенные отображения
1. Определение 1. Топологическое пространство назы-
называется
(Л]) бикомпактным,
(А2) финально компактным,
(А3) паракомпактным,
(Л4) сильно паракомпактным,
если во всякое открытое покрытие Q этого пространства можно
вписать открытое покрытие со, являющееся соответственно
(d) конечным,
(а2) счетным,
(а3) локально конечным,
(а4) звездно конечным *). '
Таким образом всякое бикомпактное пространство являет-
является финально компактным, а также сильно паракомпактным, а
всякое сильно паракомпактное пространство паракомпактно.
При определении бикомпактных и финально компактных
пространств можно даже предположить, что конечное, соответ-
соответственно счетное, покрытие со, вписанное в Q, составлено из эле-
элементов самого Я, т. е. является подпокрытием покрытия Q.
В самом деле, если в покрытие Я вписано конечное, соответ-
соответственно счетное, покрытие со, то каждый элемент О\ е ю содер-
содержится в некотором элементе покрытия Я, который обозначим,
через Oj. При этом I в первом случае пробегает конечное множе-
множество значений i — 1, 2, ..., s, а во втором — все натуральные
значения f = 1,2,3, ... Тогда система {О<} образует подпокрытие
покрытия Я, конечное в первом, счетное во втором случае.
Таким образом, приходим к первоначальной форме определе-
определения бикомпактности, соответственно финальной компактности:
Определение 1о. Топологическое пространство X называ-
называется бикомпактным, соответственно финально компактным, если
каждое открытое покрытие пространства X содержит конечное,
соответственно счетное, подпокрытие этого пространства.
*) Бикомпактные пространства были систематически исследованы в ме-
муаре Александрова и Урысона [2]. . Паракомпактпые простран-
пространства были- определены в 1944 г. Дьедонне (Dieudonnfe) [1], после того
как еще 1924 г. были определены локально конечные покрытия (Алексан-
(Александров [1]). ¦ . . . .

76 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
В части, касающейся бикомпактных пространств, можно оп-
определению 10 придать и несколько другую форму; напомним
прежде всего, что:
Система а = {М} каких-то множеств MsX называется
центрированной, если всякая конечная подсистема о0 —
= {Мо, ..., Мп) системы а имеет непустое пересечение.
Имеет место
Предложение \. Пространство X тогда и только тогда
бикомпактно, когда всякая центрированная система а = {Ф}
замкнутых множеств пространства X имеет непустое пересе-
пересечение.
В самом деле, пусть X бикомпактно и а = {Ф} — центриро-
центрированная система замкнутых множеств Ф = X. Если бы пе-
пересечение Р) Ф было пусто, то дополнительные множества
Г = X \ Ф к множествам Фбо составляли бы (открытое) по-
покрытие со пространства X; пусть шо = {Гь ..., Г8} — конечное
подпокрытие coo S со пространства X (существующее ввиду би-
компактности X); тогда для (bt = X \ Г*, 1=1, ...,s,
Ф{ е <т, имели бы Ф4 Г) • • • П Ф« = Л вопреки центрированности
системы а.
Обратно, пусть в X всякая центрированная система замкну-
замкнутых множеств имеет непустое пересечение. Докажем, что X би-
бикомпактно. Пусть Q = {Г} — какое-нибудь открытое покрытие
пространства X. Тогда замкнутые множества Ф = X \ Г, где
Г пробегает все Q, имеют пустое пересечение. Следовательно,
система {Ф} этих замкнутых множеств не центрирована, т. е.
Ф[П • • ¦ П Ф4 = Л для некоторых Ф4 = X \ 1\, i = 1, 2, ..., s,
ti е Я. Тогда со = {Гь ..., Г,} есть конечное покрытие прост-
пространства X, являющееся подпокрытием покрытия Я.
Легким видоизменением предложения 1 является
Предложение 1'. Пространство X тогда и только тогда
бикомпактно, если для всякой центрированной системы (любых)
множеств а = {М\, М = X, множество |") [М ] непусто.
Меа
В самом деле, из центрированности системы а = {М) сле-
следует центрированность системы а= {[М]}; поэтому, если X би-
бикомпактно, то для любой центрированной системы имеем
П [М\ Ф Л в силу предложения 1. Обратно, из непустоты
Ме=О
множества Г\ [М] для любой центрированной системы
Мел
о =» {[Af]} следует непустота |") F для любой центрированной
Fea
системы а = {F} замкнутых множеств.

§ 7] БИКОМПАКТНЫЕ И ПАРАКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 77
Замечание 1. Не оговаривая этого особо, будем рассмат-
рассматривать лишь гакие системы множеств, все элементы которых
являются подмножествами одного и того же заранее данного
множества X. В этом предположении назовем центрированную
систему максимальной, если она не является подсистемой ни-
никакой отличной от нее центрированной системы. С помощью
трансфинитной индукции легко доказывается, что всякая цент-
центрированная система сг0 подмножеств множества X является под-
подсистемой некоторой максимальной центрированной системы а
(подмножеств того жемножества X).
В самом деле, если система ао не максимальна, то берем
какую-нибудь центрированную систему а =эао. Вообще, если
для данного порядкового числа а построена центрированная
система аа и она не максимальна, то берем центрированную
систему oa+i =э аа. Если для всех порядковых чисел а, мень-
меньших, чем некоторое предельное трансфинитное число X, построе-
построены центрированные системы аа так, что при а < а' < % имеем
аа сг аа', то полагаем ак = (J °а- Тогда система о\ также
а< \
центрирована. Построение обрывается на некоторой центриро-
центрированной системе аа, по необходимости максимальной (иначе су-
существовала бы aa+i :э аа).
Из только что сделанного замечания следует, что в фор-
формулировке предложения V можно ограничиться одними лишь
максимальными центрированными системами, так что полу-
получается
Предложение 1". Пространство X тогда и только тогда
бикомпактно, когда для всякой максимальной центрированной
системы а = {М} множеств MsJf пересечение f] [M] не-
пусто.
В следующем параграфе мы существенно воспользуемся
этим критерием бикомпактности.
2. Предложение 2. Всякое топологическое пространство,
являющееся непрерывным образом бикомпактного, соответст-
соответственно финально компактного, топологического пространства, би-
бикомпактно, соответственно финально компактно.
В самом деле, пусть f: X —*¦ Y — непрерывное отображение
бикомпактного (соответственно финально компактного) простран-
пространства X на пространство Y. Пусть Qy = {G} — произвольное от-
открытое покрытие пространства Y. Тогда множества f-JC? образуют
открытое покрытие Q^ = f~'?2y пространства X. Так как^ биком-
бикомпактно (соответственно финально компактно), то имеем конеч-
конечное (соответственно счетное) подпокрытие

>8 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
пространства X; тогда coy = {G*} есть конечное (соответствен-
(соответственно счетное) покрытие пространства Y, содержащееся в Яу.
Предложение 2 доказано.
Предложение 3. Пусть Ф = X — замкнутое множество в
пространстве X, и пусть Я = {Оа} — какое-нибудь открытое в
X покрытие множества Ф (т. е. покрытие, элементами которого
являются открытые в X множества). Если X — пространство,
входящее в один из классов (Ai), (Аг), (Аз), (Л*) (см. опреде-
определение \),то существует вписанное в Я открытое в X покрытие со
множества Ф, принадлежащее соответственно классу (а{), (а^),
(as), (а,)*).
Доказательство. Образуем открытое покрытие Я' все-
всего пространства X, состоящее из всех элементов Оаей и еще
из элемента Г = X \ Ф. Если пространство X принадлежит к
классу (Ai), i=l, 2, 3, 4, то существует вписанное в Q' по-'
крытие со' пространства X, принадлежащее к классу (а*); вы-
выбрасывая из него элементы, лежащие в Г = X \ Ф, получим
искомое открытое в X покрытие со множества Ф, принадлежа-
принадлежащее к тому же классу (aj).
Важнейшим следствием предложения 3 является
Предложение 4. Замкнутое подпространство ф = X
пространства X класса (At), ii = 1, 2, 3, 4, есть пространство
того же класса (Ai).
В самом деле, пусть ю = {оа} —какое-нибудь покрытие мно-
множества Ф открытыми в Ф множествами оа. Требуется найти
вписанное в ю и открытое в Ф покрытие ©о класса (а{). Для
этого для всякого оа е ю возьмем открытое в X множество Оа
с условием Ф(]Оа = оа. Множества Оа образуют открытое в X
покрытие Q множества Ф. Согласно предложению 3 существует
принадлежащее классу (at) открытое в X покрытие у = {Г\},
вписанное в Q; тогда множества ик=-Ф(]Г^ образуют вписан-
вписанное в ю открытое и принадлежащее классу (at) покрытие мно-
множества Ф, ч. и т. д.
Итак, все четыре свойства: бикомпактности, финальной ком-
компактности, паракомпактности и сильной паракомпактности —
наследственны по замкнутым множествам.
Утверждение предложения 4, касающееся случая i = 1, до-
допускает частичное обращение — им является следующее, так-
также очень важное
Предложение 5. Если бикомпактное пространство Хо
является подпрЬстранством хаусдорфова пространства X, то мно-
множество Хо замкнуто в пространстве X.
Доказательство. Возьмем произвольную точку | е
е X \ Хо. Так как X — хаусдорфово пространство, то для каж-
*) При I = 3 имеется в виду покрытие, локально конечное в X.

§ 7] БИКОМПАКТНЫЕ И ПАРАКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 79
дой точки х е Хо можно найти непересекающиеся, открытые в
X множества Ох% и Ох, содержащие соответственно точку g и
точку х. Когда х пробегает все точки множества Хо, то выделен-
выделенные множества Ох покрывают все Хо; так как подпространство
Хо бикомпактно, то из системы {Ох} можно выбрать конечную
подсистему Oxit ..., Ох„ также покрывающую все Хо. Окрест-
Окрестности
0X0=0*! U ... U Ох,
не пересекаются, значит, [ОХ0]х П 0? = Л, откуда следует, что
точка | не является точкой прикосновения множества Хо в про-
пространстве X, а так как § — произвольная точка множества
X \ Хо, то множество Хо замкнуто в X, ч. и т. д.
Из предложений 2, 4 и 5 вытекает
Предложение б. Всякое непрерывное отображение
f: X —> Y бикомпактного топологического пространства X . в
хаусдорфово пространство Y замкнуто.
В самом деле, пусть F замкнуто в X; в силу предложения 4
множество F есть бикомпактное подпространство пространства
X; по предложению 2 подпространство fF пространства Y би-
бикомпактно и, следовательно, в силу предложения 5 замкнуто в
хаусдорфовом пространстве Y.
Следствие 1. Всякое взаимно однозначное непрерывное
отображение бикомпактного топологического пространства X в
хаусдорфово пространство Y является топологическим.
В самом деле (§ 1, п. 7), топологическим является всякое
взаимно однозначное непрерывное замкнутое отображение. ' '
3. Паракомпактность н аксиомы отделимости. Определе-
Определение 2 (Б инг [I]). Топологическое пространство X называется
коллективно нормальным, если любая его дискретная система
замкнутых множеств Fa, a e 91, имеет дизъюнктную систему
окрестностей Оа э Fu.
Очевидно, коллективная нормальность является более силь-
сильным свойством, чем нормальность.
Предложение 7. В коллективно нормальном простран-
пространстве X для любой дискретной системы замкнутых множеств
Fa, a e 91, существует дискретная система окрестностей Va э
Э^ВЕ Я.
Доказательство. По условию в X существует дизъюнкт-
дизъюнктная система открытых множеств Оа э Fa, be 31. Пусть Ф =
= X \ (J Оа. Так как система множеств Fa дискретна, то
она консервативна. Поэтому множество F= (J Fa замкнуто
и, в силу нормальности X, существует окрестность Оф мцоже-

80 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
ства Ф, замыкание которой не пересекает F. Положим Va =
= Оа \ [ОФ]. Система {Va} дискретна. Действительно, если
х е (J Оа, то открытое множество Оа„ содержащее точку х,
ае=Я
не пересекает множеств Va Ф Va0. Если же неФ, то открытое
множество ОФ э л; не пересекается ни с одним Уа.
Предложение 7 доказано.
Предложение 8 (Бинг [1]). Всякое хаусдорфово пара-
компактное (значит, в частности, всякое хаусдорфово биком-
бикомпактное) пространство коллективно нормально (следователь-
(следовательно, и подавно нормально)*).
Доказательство. Пусть X — хаусдорфово паракомпакт-
ное пространство. Докажем сначала, что X регулярно.
Пусть даны: замкнутое множество Ф cz X и точка а е
еХ\Ф. Для каждой точки х е Ф существуют непересекаю-
непересекающиеся окрестности Оха и Оах — соответственно точки а и точ-
точки х. В покрытие {Оах} замкнутого множества Ф в силу пред-
предложения 3 можно вписать локальное конечное открытое в X по-
покрытие со = {о*}.
Каждое ок содержится в некотором Оах, причем Оах г
^Х\Оха, так что и [Оах] s X \ Оха s X \ {а}, поэтому и
J
Но © = {о^} есть локально конечная, следовательно, консер-
консервативная система множеств, поэтому
так. что Ua = X\ [5] есть окрестность точки а, с другой сто-
стороны, ?/Ф = 5 есть окрестность множества Ф и, очевидно,
UfUO A
Регулярность пространства X доказана.
Переходим к доказательству его коллективной нормаль-
нормальности. Рассмотрим дискретную в X систему замкнутых мно-
множеств Fa, asl, В силу регулярности X каждая точка х е X
обладает окрестностью Ох, замыкание которой пересекает не
более одного множества Fa. В покрытие {Ох} впишем локально
конечное открытое покрытие {t/jj. Покрытие {[?/,]} также ло-
локально конечно, и каждый его элемент пересекает не более
одного множества Fa. Поэтому система множеств
[J
n
открыта и дизъюнктна, ч. и т. д.
*) Нормальность хаусдорфовых бикомпактных, соответственно пара-
компактных, пространств была доказана Александровым и Урысо-
н о м [2] в 1923 г. и Д ь е Д о и н е [1] в 1944 г.

S 7] БИКОМПАКТНЫЕ И ПАРАКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81
Бикомпактные хаусдорфовы пространства называются для
краткости бикомпактами, а паракомпактные хаусдорфовы про-
пространства — паракомпактами. Мы доказали, в частности, что
все паракомпакты суть нормальные пространства. Мы увидим
(в § 8, п. 5), что все нормальные пространства со счетной
базой гомеоморфны множествам, лежащим в гильбертовом
кирпиче, и, значит, метризуемы и имеют мощность ^с,1 поэтому
метризуемы и все паракомпакты (в частности, все бикомпакты)
со счетной базой.
4. Компакты. Метризуемые бикомпакты называются ком-
компактами.
Мы предполагаем, что простейшие свойства компактов из-
известны читателю из курса математического анализа; в част-
частности, читатель, вероятно, знает, что во всяком компакте (мно-
(множество точек которого бесконечно) содержится счетное всюду
плотное множество и, следовательно (§ 3, конец п. 1), имеется
счетная база (Хаусдорф). Отсюда и из того, что все бикомпакты
со счетной базой метризуемы, вытекает, что компакты могут
быть определены как бикомпакты со счетной базой.
Бикомпактность метрического пространства эквивалентна
тому, что из всякой последовательности точек пространства
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Отсюда
сразу же следует, что всякий компакт X в любой своей метри-
метрике является полным метрическим пространством*). Он являет-
является, кроме того, и вполне ограниченным метрическим пространст-
пространством, что означает, что при любом е > 0 пространство X имеет
конечное е-покрытие **).
Имеет место и- обратная
Теорема Хаусдорф а. Всякое вполне ограниченное пол-
полное метрическое пространство есть компакт.
Все эти предложения о компактах можно найти в любом со-
современном курсе анализа, и мы будем предполагать, что чита-
читатель их знает.
Заметим еще, что подпространство вполне ограниченного
пространства (в частности, компакта) вполне ограничено.
*) Верна и обратная теорема (Немыцкий и Тихонов [1]).
**) Покрытие а метрического пространства X называется г-покрытием,
если все его элементы имеют диаметры <е. Если а = {М[, ..., М,} есть
е-покрытие пространства X какими угодно множествами М\ М,, то, за-
заменяя множества М( достаточно тесными их окрестностями ОМи получим
открытое е-покрытие {ОМ\ ОМ,}, а переходя к замыканиям [MJ, ...•
..., [М,] или [СШ J, ..., [ОМ,], получим замкнутое е-покрытие простран-
пространства X. Поэтому при определении полной ограниченности метрического про-
пространства е-покрытия а = {Mi, ..., М,} можно предполагать как совер-
совершенно произвольными, так и открытыми или замкнутыми — это не окажет
влияния на результат.

82 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
При помощи только что сформулированной теоремы Хаус-
дорфа легко доказывается, что гильбертов кирпич Q00 является
компактом.
В самом деле, как замкнутое множество полного метриче-
метрического пространства, а именно всего гильбертова пространства
R°°, подпространство Q°° является полным метрическим прост-
пространством.
Докажем, что Q°° вполне ограничено. Зафиксировав какое-
нибудь натуральное число N, поставим в соответствие каждой
точке х = (*i, ..., xN, ...) е= Q00 точку fNx = (хи .... xN)
N-мерного параллелепипеда QN s Q°°, состоящего из всех то-
точек х е Q00, у которых все координаты, начиная с (N -\- 1)-й,
равны нулю. При произвольном малом е > 0 и достаточно боль-
большом N отображение fN: Q°°-*QN обладает свойством
р(х, fx) < е, т. е. является так называемым е-сдвигом, и тогда,
очевидно, прообраз fjv'f всякого множества EczQN диаметра
<е имеет диаметр <3е. Но N-мерный параллелепипед QN
имеет конечное е-покрытие а = {Ей ..., ?,}; следовательно,
кирпич Q°° имеетЗе-покрытие, состоящее из множеств f~^xEv ...
.... f^lEs, Так как это верно при любом е > 0, то полная ог-
ограниченность, а следовательно, и бикомпактность кирпича Q*
доказаны.
В следующем параграфе мы дадим (основываясь на теоре-
теореме Тихонова) второе доказательство бикомпактности кирпи-
кирпича Q°°.
Теорема 5*). Несчетный компакт Ф имеет мощность >с.
Доказательство. Покажем, что в ф можно найти
дизъюнктную пару замкнутых несчетных множеств Фо и Ф\.
Сначала покажем существование такой точки xq e Ф, что
(а) любая окрестность точки х0 несчетна. Предположим, что
такой точки xq в Ф нет. Тогда для каждой точки *е Ф можно
выбрать счетную окрестность Ох. Из покрытия {Ох}, неф,
можно выбрать конечное подпокрытие {О*Л, / = 1, ..., s. Так
s
как Ф= (J Ох{ и множества Oxt счетны, то счетен и компакт
Ф, вопреки условию. Итак, требуемая точка х0 существует.
Покажем, что
(б) точка xq, удовлетворяющая условию (а), обладает ок-
окрестностью Ох0, дополнение до которой несчетно.
Предположим, что указанная окрестность Oxq не сущест-
существует. Тогда дополнение Fn = X\0[xo, — J до —-окрестности
точки Хо счетно для любого п = 1, 2, 3, ... Но тогда, вопреки
•) СМ- Александров и Урысон [2].

§ 7] БИКОМПАКТНЫЕ И ПАРАКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 83
условию, счетен и компакт 0 = a;oU (J Fn. Итак, требуемая ок-
рестность Охо существует.
Выберем окрестность Vxo точки Xq с замыканием, содержа1
щуюся в Oxq. Тогда множества Фо = [Vxo] и Oi = X \ Охо
дизъюнктны, замкнуты в Ф и несчетны.
Аналогичным образом, в Ф*,, <i = 0, 1, можно найти ди-
дизъюнктные несчетные замкнутые множества Ф*,*,, /г = 0> !•
Вообще, по индукции, для любого п = 1, 2, 3, ... можно по-
построить такие дизъюнктные замкнутые несчетные множества
Ф/..-Л (где /, = 0, 1; ...; /„ = 0, 1), что
Множества
П
№•1
очевидно, дизъюнктны для различных последовательностей
i'i ... in . ¦., in e 0, 1, п = 1, 2, 3, ..., и непусты в силу би-
компактности Ф. Система ф множеств Ф*(... /я ... континуальна,
так как континуальна система последовательностей U ... in ••-,
in = 0, 1, п = 1, 2, 3, ... Выбрав в каждом Ф^...^... по точке,
получим множество мощности с, содержащееся в Ф. Следова-
Следовательно, мощн. Ф > с, ч. и т. д. Но мощн. Ф ¦<! с — это будет дока-
доказано в следующем параграфе (теорема 9, стр. 100—101).
5. Финально компактные пространства. Существуют при-
примеры хаусдорфовых нерегулярных финально компактных про-
пространств. В то же время имеет место
Предложение 9 (Веденисов). Регулярное финально ком-
компактное пространство X нормально *).
Доказательство. Рассмотрим дизъюнктную пару замк-
замкнутых в X множеств Ft и F2. Для каждой точки лге/7, возь-
возьмем окрестность Ox s [Ох] ? X \ F2. Множество F{ замкнуто
в X, следовательно, оно финально компактно. Из его покрытия
{Ox}, jteFlP выделим счетное подпокрытие {О^Ол^}, /=1,
2, 3, ... Ясно, что [0}]п/г2 = Л, /=1, 2, 3, ... Аналогичным
образом строим такое открытое покрытие {О/}, /=1, 2, 3, ...,
множества F2, что /Г1П[О/] = Л, /=1, 2, 3, ... Существование
дизъюнктных окрестностей у множеств Ft и F2 вытекает теперь
из нормализующей леммы. Предложение 9 доказано.
*) Мы увидим в § 11, что регулярное финально компактное простран-
пространство даже сильно паракомпактно.

84 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ (ГЛ. 1
Дословно так же, как предложение 9, доказывается следую-
следующее принадлежащее Смирнову более общее утверждение:
Пусть Fi и F2 — два дизъюнктных замкнутых множества в
регулярном пространстве X; если эти множества являются фи-
финально компактными подпространствами пространства X, то они
имеют в X дизъюнктные окрестности.
Предложение 10. Всякое пространство X, имеющее счет-
счетную базу, финально компактно.
Мы докажем больше, а именно что пространство X со счет-
счетной базой удовлетворяет следующему условию:
Условие Линделёфа. В любой системе 2 открытых
множеств пространства X содержится счетная (или конечная)
подсистема а, сумма элементов которой равна сумме элементов
всей системы 2:
5=2.
Доказательство. Пусть 33 = {?/,, U2, •.., ?/*,...} —
счетная база пространства X. Множество Un e 33 назовем от-
отмеченным элементом базы 33, если оно содержится в некото-
некотором Ге2. Очевидно, тело системы 2 совпадает с суммой всех
отмеченных элементов Unx, Un2, •¦-, Unk, ... базы 23. Обозна.
чим через Гк какой-либо элемент системы Б, содержащий дан-
данный отмеченный элемент Unk базы 33. Система всех отобранных
таким образом Г4еЕ есть счетная (или конечная) подсистема а
системы 2, причем
т. е. S= а, ч. и т. д.
Замечание 2. Переходя в формулировке условия Линде-
Линделёфа к дополнениям фигурирующих в ней множеств, можем это
условие высказать и следующим образом:
Условие Линделёфа. Во всякой системе 2' замкнутых
множеств пространства X содержится подсистема а', пересече-
пересечение элементов которой совпадает с пересечением всех элемен-
элементов системы 2'.
Условие Линделёфа, очевидно, эквивалентно условию фи-
финальной компактности всякого открытого множества, лежащего
в данном пространстве X. Докажем, наконец, что последнее ус-
условие эквивалентно наследственной финальной компактности
пространства X (заключающейся, как известно, в том, что вся-
всякое подпространство XoSX финально компактно). В самом де-
деле, пусть всякое открытое Gsl финально компактно; дока-
докажем, что тогда финально компактно и всякое подпространство
Хо ? X. Пусть Q0 — какое-нибудь покрытие пространства Хо от-

§ 71 БИКОМПАКТНЫЕ И ПАРАКОМПАКТНЫЁ ПРОСТРАНСТВА 85
крытыми в нем множествами G°. Для каждого Gl e Q0 берем
такое открытое в X множество Ga, 47oXof\Ga = Ga. Тогда G =
= U^a — ^° открыто в X, следовательно, является финально
а
компактным подпространством пространства X. Поэтому суще-
существует счегная подсистема со = {0„} системы {Ga}, покрываю-
покрывающая все О. Но тогда множества Gn = Xof]Gn образуют счет-
счетную подсистему ©° системы Q0, покрывающую все пространство
л0. Мы доказали
Предложение 11. Для наследственной финальной ком-
компактности пространства X каждое из следующих условий яв-
является достаточным (и очевидно необходимым):
(а) условие Линделёфа;
(б) финальная компактность каждого открытого подпрост-
подпространства G пространства X.
Докажем, что всякое регулярное наследственно финально
компактное пространство не только (наследственно) нормаль-
нормально, но и совершенно нормально. Для этого достаточно доказать,
что всякое открытое CsX есть /^-множество. Для каждой точ-
точки х е С возьмем в X окрестность Ох с условием [Ox] s= О
(в силу предположенной регулярности пространства X такая
окрестность существует). Вследствие финальной компактности
подпространства G система {Ох} выделенных нами окрестностей
Ох содержит счетную подсистему а = {О„}, Оп = Охп, п = 1,
2, 3, ..., с телом а = G. Но каждое из отображенных нами
Оп удовлетворяет условию [О„] = О для любого п; значит,
G = [JOn<=[J[On}c=G,T. e. G=[j[On], ч. и т. д.
п п п
Докажем, наконец, чго, и обратно, всякое совершенно нор-
нормальное финально компактное пространство X наследственно
финально компактно. Достаточно доказать финальную ком-
компактность всякого открытого GeI Так как X совершенно
оо р
нормально, то С = (J ", где все Fn замкнуты в X и, следова-
тельно, финально компактны. Пусть Q — какое-либо открытое
покрытие подпространства Osl Так как Fn финально ком-
компактно, то существует счетная подсистема ©п системы Q, покры-
покрывающая множество Fn- Объединение © = (J©n есть счетная
п
подсистема системы Q, покрывающая все О, ч. и т. д.
Итак, доказано
Предложение 12. Класс регулярных наследственно фи-
финально компактных пространств совпадает с классом совершен-
совершенно нормалных финально компактных пространств.

86 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Частным случаем предложения 12 является
Предложение 13. Для бикомпактов свойства наследст-
наследственной финальной компактности и совершенной нормальности
эквивалентны между собой.
3 а м е ч а н и е 3. В гл. 5, § 9, нам понадобится следующее ут-
утверждение:
Пусть в совершенно нормальном финально компактном про-
пространстве X дана строго убывающая система замкнутых мно-
множеств Ф*,, занумерованных порядковыми числами К ^ ц *). Тог-
Тогда число ц счетно.
Доказательство. Предположим, что число \i несчетно.
Тогда Ф„,сФ1 для любого К < ©4. Из предложений 11, 12 и
замечания 2 вытекает существование такой последовательности
порядковых чисел h < ©b i = 1, 2, 3, ..., что
Существует такое порядковое число Ко < ©1? что Kt < Ко, г= 1,
2, 3, ... Тогда
00
*=Фхо+1 сФхоs П ф^= f) ф„.
J 1 ^<
Полученное противоречие доказывает счетность числа ц.
в. Совершенные отображения. В п. 2 было показано, что
свойства бикомпактности и финальной компактности при непре-
непрерывном отображении «переходят» от прообраза к образу. Сей-
Сейчас мы установим утверждение о «переходе» некоторых свойств
от образа к прообразу.
Сначала введем следующий важный класс отображений.
Определение 3. Непрерывное замкнутое отображение
f: X-+Y топологического пространства X в топологическое про-
пространство Y называется совершенным, если прообраз f-*y любой
точки уеУ является бикомпактным.
Любое непрерывное отображение бикомпакта на бикомпакт
является, очевидно, совершенным отображением (см. предло-
предложение 6).
Предложение 14. Пусть дано совершенное отображение
f: X —> Y топологического пространства X на топологическое
пространство Y. Если пространство Y
(а) бикомпактно,
(б) финально компактно,
(в) сильно компактно,
*) Строгое убывание системы множеств Ф^ означает! что Ф^:эФ.»при
V < Я".

<S 7) БИКОМПАКТНЫЕ И ПАРАКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 87
(г) паракомпактно, то таким же будет соответственно и
пространство X.
Доказательство. Сначала сделаем следующее простое
замечание. Пусть в пространстве X дано открытое покрытие
со = {Оа}, ojeI, и пусть система a>f получается из системы ©
заменой каждого множества Оа конечным набором открытых
множеств О1а О'а'а), в сумме дающих Оа. Тогда система
cof является, очевидно, открытым покрытием пространства X, и,
кроме того, если покрытие © было (а) конечным, (б) счетным,
(в) звездно конечным, (г) локально конечным, то соответственно
таким же будет и покрытие ©f.
Рассмотрим произвольное открытое покрытие v = {Fp} про-
пространства X. Так как множество f~ у, je Y, бикомпактно, то
существует такая конечная подсистема vu системы v, что
f-'t/Ev,,. Так как отображение f замкнуто, то существует
окрестность Оу точки у, прообраз /~ Оу которой содержится
в vy (см. § 1, п. 7). В покрытие {Оу} пространства Y впи-
впишем (а) конечное, (б) счетное, (в) звездио конечное, (г) локально
конечное открытое покрытие {Ua}, a e %. Каждый элемент по-
покрытия G> = fOa = /-|t/a} содержится хотя бы в одном множе-
множестве vy. Выберем для каждого а одно множество va = vy(a),
содержащее множество Оа.
Пусть va = {Fpl1, ..., Vls]. Положим
В силу сделанного в начале доказательства замечания покры-
покрытие ©f, состоящее из множеств 0^, /=1, ..., s(a), оеЯ,
является (а) конечным, (б) счетным, (в) звездно конечным, (г)
локально конечным. Кроме того, покрытие ©f вписано в по-
покрытие V.
Предложение 14 доказано.
Предложение 15. Пусть f: X-* Y — совершенное отобра-
отображение топологического пространства X на топологическое про-
пространство Y. Если пространство X имеет счетную базу, то про-
пространство Y также имеет счетную базу.
Доказательство. Пусть 33 = {Vu У2> • • ¦} — счетная база
открытых множеств пространства X. Обозначим через S3* си-
систему всех множеств W, являющихся конечными объединениями
элементов базы S3. Система S3*, очевидно, счетна. Обозначим
через /*33* систему всех малых образов множеств W s 93*.
Система /*23* счетна и состоит из открытых подмножеств

88 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
пространства Y. Покажем, что /*33* — база пространства Y. Пусть
у е Y и Оу — произвольная окрестность точки у. Так как
f~ly бикомпактно, то существует такое конечное покрытие
[Vi{, ¦••> Vin) множества f~ly элементами базы 33, что Vt. s
sf~lOy, i=l,...,n. Тогда y(=f*Ws=Oy, где W= (j Vt..
/-i
Предложение 15 доказано.
Теорема Вайиштейиа [1]. Замкнутое отображение /: X-+Y
метрического пространства X на регулярное пространство с 1-й аксиомой
счетности Y периферически бикомпактно в том смысле, что rp(X \ f-ly)
есть бикомпакт для любой точки у в У.
Доказательство. Рассмотрим точку у е У и множество Ф =
= гр(Х \ f"'(/). Если множество Ф пусто, то оно бикомпактно. Пусть
Ф ф Л. Выберем какую-нибудь последовательность точек «пеФ, п = 1, 2,
3 и покажем, что эта последовательность имеет в Ф предельную точку.
Так как Y обладает 1-й аксиомой счетности, то можно так выбрать
систему окрестностей Vn точки у, что Vn+t = Vn, n= 1, 2, 3 и для
любой окрестности Vy найдется такой номер п, что Vn ^ Vу.
Выберем числа е„>0 так, что Oenxnsf~lVn и еп->0 при п -> оо.
Так как *„<=Ф~гр(Х \f~ly), то для каждоРВ л можно выбрать точку
Последовательность yn=fx'n, п — \, 2, 3 очевидно, сходится
к точке у, и уп Ф у, п = 1, 2, 3, ... Следовательно, множество В = {уп |
л= 1, 2, 3, ...} не замкнуто в К. Так как множество А = \х'п ] п = 1, 2, 3, ...}
удовлетворяет соотношению fA — В, а отображение f замкнуто, то множе-
множество А также не замкнуто.
Из замкнутости отображения f следует, что f [А] Э [В] э у. Поэтому
существует точка х е [А], для которой fх = у, т. е.
Выберем такую подпоследовательность последовательности х'п,
2,3 что р(х'п, х\->0 при Л->оо. Тогда и
т. е. точка х является предельной для последовательности хп, п= 1, 2, 3, ...
Компактность, а в силу метризуемости X, и бикомпактность множества Ф
доказаны. Теорема доказана.
Замечание 4. В условиях теоремы для произвольной точки у е К
положим 4f(/ = rp(X\f~V). если гр U \f~'</) # Л, и 4ff/ = дс„ е f~ly,
если rp(jf \/~'у) = Л. Множество X' = \j Уу замкнуто в X, так как
его дополнение открыто в X и fX' = Y. Поэтому отображение f: Jf' —>¦ У
замкнуто и, очевидно, бикомпактно, т. е, совершенно,

§ 81 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА 89
§ 8. Топологические произведения. Теоремы А. Н. Тихонова.
Локально бикомпактные пространства
1. Произведение двух множеств (двух пространств) и гра-
график отображения. Произведение Xi X Х2 двух множеств Х\, Х2
было определено еще Г. Кантором как множество всех упоря-
упорядоченных пар (хих2), где X\^XU xse4 Это определение
позволило рассматривать в аналитической геометрии плоскость
как произведение двух прямых, а тор как произведение двух
окружностей. Топология в произведение W = Х\ X ^2 двух то-
топологических пространств Хи Х2 вводится посредством так на-
называемых прямоугольных окрестностей, т. е. базы, элементами
которой являются произведения U X V, где U и V пробегают
соответственно совокупность открытых множеств в Х\ и Х2.
Множество X] X ^2 с этой топологией называется топологиче-
топологическим произведением пространств Хи Х2. Очевидно, получим ту
же топологию в Х\ X ^2, если заставим U и V пробегать эле-
элементы какой-нибудь базы 93i, соответственно 93г, пространств
Xi и Х2 (если речь идет о произведении Xi X %2 двух прямых Xt
и Х2, в которых взяты базы 93j, S32, состоящие из интервалов,
то на плоскости Х\ X ^2 получим базу, элементами которой яв-
являются открытые прямоугольники).
Если w = (xuxi) e Хх Х^г, то Х\ и х2 называются (соответ-
(соответственно первой и второй) координатами точки w=(xi,X2).
Ставя в соответствие каждой точке w = (xit х2) е Х\ X Хг ее
йо координату, i= 1, 2, получим отображение щ: {Х{у^Х2) ->
->Хи i= 1,2, называемое проектированием или проекцией про-
произведения на его сомножитель Xt. Если Х\,Х2 — топологические
пространства и Х\У>Х2 — их топологическое произведение, то
отображения проектирования, очевидно, непрерывны (и открыты).
Заметим, что для открытых в X и У, соответственно, мно-
множеств U и V имеет место очевидное равенство
rp (U X V) = (гр U X [V]) U ([U] X гр V) *).
Пусть теперь f:X—*Y — какое-нибудь отображение произ-
произвольного множества X в произвольное множество Y. Графиком
этого отображения называется множество Zt г X X У, состоя-
состоящее из всех точек вида г =(х, fx)^XX У- Если Z\ = {хи fx\)
и г2 = (х2, fx2) — две различные точки графика Zf, то их первые
координаты Х\ и х2 различны; поэтому, рассматривая проек-
проектирование ni: X X У -+ X лишь на графике Zf, получим взаимно
однозначное отображение п: Zf~* X, обратное отображение
q: X —*¦ Zf к которому ставит в соответствие точке JteJf точку
дх = (*, fx) <= Zt.
*) Для -множеств A S X и В SY мы естественным образом отожде-
отождествляем произведение А X В и множество {(*, у) eXx Y\xgA, ye В).

90 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
.Пусть XX Y — топологическое произведение пространств
X, Y и f :X -*Y — непрерывное отображение.
Имеет место
Предложение 1. Отображение п : Z)-*X является гомео-
гомеоморфизмом между графиком Zf и пространством X.
Достаточно доказать непрерывность обратного отображения
q:X-*Zf в произвольной точке д:оеХ Для этого берем произ-
произвольную базисную окрестность Zf f] О (х0, у0) точки z0 =»
= (х0, Уо) е= Zf, где г/о = fx0, О (х0, у0) = U X V и U, V — окрест-
окрестности точек Хо и г/о соответственно в X, Y. Так как отображение
/: X -> Y непрерывно, то существует такая окрестность U' ? U
точки Хо в X, что fU' cz V. Тогда, очевидно,
чем непрерывность отображения q: X -> Zf в точке х0 доказана.
2. Топологическое произведение и произведения отображений.
А. Н. Тихонову [2] принадлежит большая заслуга распро-
распространения понятия топологического произведения на любое
(бесконечное) число сомножителей.
Пусть дано множество 91 любой мощности т, элементы ко-
которого будем называть «индексами» и обозначать греческими
буквами а, а', ... Пусть каждому индексу а отнесено некоторое
определенное множество Хл. Произведение Х= JJ Ха полу-
полученной системы множеств*), по определению, есть множество
X, элементами х = {ха} которого являются наборы точек хл,
получающиеся, если каждому индексу а е 91 отнести по одному
элементу ха е Ха.
Если дано х = {ха} & X, то ха е х называется а-й коорди-
координатой точки х^Х или проекцией этой точки в множество Ха.
Отображение, ставящее в соответствие произвольной точке
х&X ее а-ю координату хл, назовем проектированием произве-
произведения X на сомножитель Хл и будем обозначать, обычно, че-
через яй. ' ¦
• Если. MsZ, то вместо паМ часто пишут (М)а.
Пусть теперь дано некоторое подмножество %' s 91 множе-
множества индексов и для каждого, а е 91' дано некоторое множе-
множество Ра^Ха\ для <xe9t\9t' положим Ра = Ха. Тогда множе-
множество Р= П •Ра —^ называется цилиндром над основанием
*) Множества Ха и Ха/ нашей системы могут состоять из одних' и
тех же элементов; поэтому, строго говоря, мы имеем систему «обозначенных»
множеств Ха (понимая под обозначенным множеством пару, состоящую из'
данного множества и того индекса а, которому это множество отнесено).
См. § 6, замечание 3,

$ 81 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА 91
Р'= П Ра или просто цилиндром над множествами Р„, ссеЯ'.
aeff
Легко проверить, что
Р= П "«'Л,
аеИ'
Предположим теперь, что множества Х„ суть топологические
пространства. Следуя А. Н. Тихонову, введем в произведение
X = \\ Ха топологию следующим образом. Возьмем произволь-
а
ное конечное число индексов cti а, и в каждом Ха,
а = щ а3, возьмем открытое множество Ua; обозначим
через O(Uai, .... ?/aJ цилиндр над множествами t/aj s Xai, ...
s
..., t/ajsJ[aj, т. e. O((/aj ?/aJ == f}n^'(/aj. Эти мно-
множества О (?/<,, Uas) назовем элементарными открытыми мно-
множествами пространства X = Ц Ха (с его тихоновской тополо-
" a
гией); открытые множества в этом пространстве определяются
как всевозможные суммы элементарных открытых множеств;
аксиомы (А), (Б) предложения 2 из § 2 при этом, как легко
видеть, выполняются.
Если в каждом пространстве Ха выбрать по множеству Ра,
то произведение Р= П Ра множеств Ра естественным обра-
зом лежит в топологическом произведении X = J[ Ха про-
странегв Ха. Так как система всех элементарных открытых мно-
множеств произведения X высекает на множестве Р в точности си-
систему всех элементарных открытых множеств топологического
произведения пространств Рл, то индуцированная на Р про-
пространством X топология совпадает с топологией произведения
пространств Рл. Таким образом,
произведение подпространств является подпространством
произведения.
Из определения тихоновской топологии сразу следует, что
проектирование па'\ П *<« ->¦ AV, а' е 91, есть непрерывное
и открытое отображение.
Автоматически проверяется
Предложение 2. Произведение любого числа хаусдорфо-
вых пространств Ха есть хаусдорфово пространство*).
*) Сразу доказывается и что произведение ^-пространств есть Ti-npo-
странство. Можно доказать, что произведение регулярных пространств ре-
регулярно. Мы докажем ниже (п. 5) аналогичную теорему для вполне регу-
регулярных пространств. Однако произведение даже двух нормальных про-
пространств может не быть нормальным. .. . •. .

92 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Предложение 3. Если ЗЗа = {(/„} есть база простран-
пространства Ха, то, беря при определении элементарных открытых мно-
множеств O(Uai, ..., 0а^) лишь элементы ?/aje93ai, получим базу
пространства X.
Доказательство проводится автоматически и может быть
предоставлено читателю.
Из предложения 3 вытекает
Предложение 4. Произведение кардинального числа ^т
пространств Ха, каждое из которых имеет вес ^т, является про-
пространством веса -<т, где т> Ко.
В самом деле, в каждом из данных пространств Ха возьмем
базу $5а мощности <^т. Базой 93 пространства X Y[
a
является множество всевозможных O(Uai, ..., Uas), для кото-
которых ?/aje93aj. Так как мощность множества % всех индексов a
не превосходит числа т, то и множество всех конечных ком-
комбинаций он, ..., а, этих индексов не превосходит т. Но на
каждую комбинацию at, ..., as приходится не более т комби-
комбинаций вида ?/<,,, ..., Uas, значит, и не более т элементарных
открытых множеств О (Uui, ..., UU3), так что мощность множен
ства всех полученных элементарных открытых множеств <^т.
Следующее предложение, в сущности, очевидно, но часто
применяется и поэтому будет сейчас сформулировано явно:
Предложение 5. Если х° = {х°а} t= [M], M^X=f[Xa,
a
го ^е[яаАГ] при любом индексе aei
Это предложение сразу следует из непрерывности проекти-
проектирования па: Х-+Ха.
Важным следствием предложения 5 является
Предложение 6. Произведение. X = П Ха любого числа
as?t
индуктивно нульмерных пространств индуктивно нульмерно.
Доказательство. Возьмем в каждом Ха базу ЗЭ„, со-
состоящую из открыто-замкнутых множестз (/„; элементарные
открытые множества О(?/<,,, .... Ua$), где ?/a(eJ8a(, образуют
базу 93 пространства X и по определению открыты в X; по-
поэтому для доказательства предложения 6 достаточно убедиться
в том, что любое множество О (Ua , ..., Ua) замкнуто. Пусть
"-Wl^PC., "О]*-
Полагая в предложении 5 М = O(Uai, ..., Uas), видим, что
х°а е Wa ] = Ua >Так как 9ТО верно для любого/= 1, 2, ..., s, то
х°={х1}&0(иа^ .... ^в)~замкнутость множества O(Ua ,
)~замкнутость множества O(Ua , ...,Ua \,
значит и все предложение 6, доказаны.

§ 81 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА 93
Определение 1. Пусть дана система отображений
fa: X^Ya, a<=2t,
топологического пространства X в топологические пространства
Уа. Тогда отображение
h x^y= П ^а.
ае!1
ставящее в соответствие точке х^Х точку fx = {fax} e У, на-
называется диагональным произведением отображений /а.
Очевидно, диагональное произведение f: X -> Y = Д Уа
отображений fa:X—*Ya удовлетворяет для любого а соотно-
соотношению
fa = яа'>
где яа обозначает проектирование произведения У на сомножи-
сомножитель Уа.
Предложение 7. Диагональное произведение f непрерыв-
непрерывных отображений fa непрерывно.
Доказательство. Для каждого a e 91 отображение f
удовлетворяет соотношению
fa = «af •
Поэтому, в силу непрерывности отображений fa> для произволь-
произвольного элементарного открытого множества
прообраз
открыт в X. Так как элементарные открытые в У множества
образуют в У базу, то отображение f непрерывно (см. § 2,
предложение 3), ч. и т. д.
Определение 1'. Пусть дана система отображений fa: Xa -> Ya топо-
топологических пространств Ха в топологические пространства Ya, a s Щ,. Отоб-
Отображение
f: П ^
топологического произведения X = JJ Л"а в топологическое произведение
аёК
J' = JJ Уа. ставящее в соответствие точке х={ха) е X точку fx={faXq}& Y,
a"s«t
называется произведением отображений fa н пишется

94 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ, 1
Предложение Т. Произведение f =• JJ fa непрерывных отобра-
жений fa- Ха -* У а непрерывно. Если при этом все отображения fa открыты,
соответственно индуктивно нульмерны *), то открытым, соответственно
индуктивно нульмерным, будет и отображение /.
Доказательство. Рассмотрим точку х° «• [х°а) е X =¦ JJ Яа и возь-
мем окрестность Оу° точки
П
Не ограничивая общности рассуждений, окрестность Оу° можно считать
элементарной, т. е. можно считать, что существуют такие индексы с^ и такие
окрестности О„ точек f„ х„ , i =» 1, ..., s, что
Оуо =» {{</а}е Y | yai е ОО/, < - 1, 2 *}.
Из иепрерывиости отображений fa вытекает существование таких окрестно-
окрестностей Va точек ха , что
Тогда для окрестности
точки х° имеем включение
так как для произвольной точки х — {ха} с: Vx° имеем fa ха е Оа , f=»l s,
следовательно, fx — {faxa} e O(/°. Непрерывность отображения f доказана.
Предположим, что все отображения /а открыты.
Рассмотрим элементарное открытое подмножество O=sO(Uai ?/„ )
произведения X. Тогда, очевидно, {О =0(fO|?/ai, ..., fa t/a ). J
Следовательно, образы элементарных открытых в X множеств при ото-
отображении f открыты в X. Если О — произвольное открытое в X множество,
то оно является суммой элементарных открытых множеств Op, P e SB,
и образ fO — {I U О&\ — U fOa, очевидно, открыт в К.
Н
Наконец, если все отображения fa индуктивно нульмерны, то, в силу
предложения 6, для любой точки j = (jJ s У прообраз f~^y= TT V
индуктивно нульмерен, т. е. отображение f также индуктивно нульмерно.
Предложение 7' доказана
Следующее предложение является бесконечномерным обоб-
обобщением предложения 7 из § 5.
Предложение 8. Непрерывное отображение
f: F — f
*) Отображение /: X -+Y индуктивно нульмерно, если индуктивно нуль-
нульмерны все прообразы f~ly, y&Y.

% 81 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА 95
замкнутого в нормальном пространстве X множества F в тихо-
тихоновский кирпич /х = П 1а> Л» = [0> П» мощн. ЭД = т, можно про-
ае<(
должить в непрерывное отображение
J:X->l\
Доказательство. Для каждого оеЯ функция
непрерывна, как суперпозиция непрерывных отображений. По
теореме Урысона существует непрерывная функция
являющаяся продолжением функции fa. Диагональное произве-
произведение J'.X-*h является продолжением отображения f и не-
непрерывно в силу предложения 7, ч. и т. д.
3. Примеры топологических произведений. Произведение
прямых Хи ..., Х„ есть n-мерное эвклидово пространство Rn
(рассматриваемое как топологическое пространство) *).
Произведение счетного "числа простых двоеточий гомео*
морфно канторову совершенному множеству (доказательство
предоставляется читателю как упражнение).
Пусть множество индексов 21 = {а} имеет произвольную
бесконечную мощность т и Da есть, при любом aef, простое
двоеточие. Тогда произведение Ц Ц, обозначается через Dx
аеЯ
и называется канторовым дисконтинуумом веса т. Это — чрез-
чрезвычайно важное топологическое пространство. Как следует из
предыдущего, От есть индуктивно нульмерное хаусдорфово про-
пространство. Мы сейчас увидим, что оно бикомпактно.
Другим важнейшим, тоже хаусдорфовым, пространством
веса т является уже упоминавшийся тихоновский кирпич/* весат,
а именно произведение Iх = JI /„ отрезков /а = [0, 1]а, где
а
91 = {а} имеет мощность т.
Докажем, что пространство /*•, т. е. топологическое произ-
произведение счетного числа прямолинейных сегментов, есть (с точ-
точностью до гомеоморфизма) гильбертов кирпич Q00.
В самом деле, рассмотрим топологическое произведение X
сегментов Хп, п= 1, 2, 3, ... Так как топологическое произве-
произведение определено в чисто топологических терминах, то мы мо-
можем взять за Хп отрезок К), -^Н числовой прямой. В этом
• •) Упбрядочеииость координат *|, хг, .... х„ точки (xIt х„) e.Rn
является следствием упорядоченности множества 81 =• {1,2, ..., п} индексов.

96 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
предположении пространство X = Д Хп и гильбертов кирпич
п
Q°° состоят из одних и тех же точек
х = (хи х2, ...), 0<*„<-27г, п=1,2,3,...
Остается доказать, что тождественное отображение X на Q°°
является топологическим. Для этого достаточно доказать два
утверждения (а) и (б).
(а) Каковы бы ни были точка х = {хп) е X s=Q°° и число
е > 0, можно найти такую окрестность Ox s X, что для всех
точек х' е Ох имеем р(х, х') < е (расстояние в Q00).
(б) Каковы бы ни были точка x={xJsQ°°sX и ее
окрестность Ох^Х, можно найти такое е, что из р(х, х') < е
в Q00 следует х' е Ох
Доказательство утверждения (а). Берем N столь большим,
«- Y4 / 1 \2 e2
чтобы было V l-g^-j < ~y .
Окрестность Ох точки х в X определяем условиями (нала-
:мыми на координаты x'k точки х —{х'А^Х)
у' I -- е \ у г' I ¦С' .
гаемыми
она удовлетворяет высказанному требованию.
Доказательство утверждения (б). Можем предположить,
что Ох состоит из всех точек х/ = {х[, х'2, ..., х'к, ...), удовле-
удовлетворяющих при некоторых ti\, п2, ..., ns и в!, е2, ..., е, усло-
условиям |*„,-<(|<е«.
Если теперь е—наименьшее из чисел е,, е2, ..., е, и ^'—произ-
^'—произвольная точка, для которой р (х, х') < е, то для нее и подавно
I\ ~ Х'пi\ < 8^В' при i=l' 2 s*
Утверждение (б) доказано.
Замечание 1. Если предполагать известным, что Q°° —
компакт, то в силу следствия 1 § 7 достаточно доказать, что
тождественное отображение пространства Q00 на X непрерывно,
т. е. доказать одно лишь утверждение (б).
Обобщим полученный результат о гомеоморфизме /*• и Q00.
Предложение 9. Пусть даны метрические пространства
Хп с такими метриками р„, что
оо
для всех п= 1, 2, 3, ... Тогда топология произведения X— П Хп
№-1

$ g] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА 97
порождается метрикой р на X, принимающей на произвольной
паре точек х' = {х'п} и *" = {*"} из X значение
р (*',*") =
Доказательство, (а) Рассмотрим точку х = {х„) е X
и ее е-окрестность Оех, е > О, относительно метрики р. Номер N
выберем так, чтобы было
n>N
2"
Окрестность Ох точки х относительно топологии произведения
определим следующим образом:
' = {х'п\^ Х\рп(х'п, хп)< -уу , n=l
Очевидно,
Ox s Огх.
(б) Рассмотрим окрестность Ох точки х = {*«} s X относи-
относительно топологии произведения. Очевидно, можно считать
окрестность Ох элементарной, т. е. считать
Пусть е = min{^ ^=у Если р(*'={<}, дс) < е, то
Рп(х'п> хп) < е ]/2" <^е„ для д=1, ..., s. Следовательно,
Оъх S Оа:.
Предложение 9 доказано.
На любом метризуемом пространстве X можно ввести мет-
метрику, относительно которой diam X ^ 1 (см. § 3, п. 3). Поэтому
из доказанного предложения вытекает
Предложение 10. Топологическое произведение счетного
числа метризуемых пространств метризуемо.
Замечание 2. Так же, как предложение 9, доказы-
доказывается, что:
топология произведения X X У метрических пространств
(X, pi) и (У, pi) порождается метрикой
•р((*', у'), (х", у")) = [р](х', х") + р\(у', у»)]':
Следующее предложение — одно из важнейших во всей об-
общей топологии.
4 П, С. Александров, В. А. Пасынков

98 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
4. Первая теорема Тихонова [2]. Теорема 6. Топологи-
Топологическое произведение X любой системы {Ха} бикомпактных топо-
топологических пространств Ха бикомпактно.
Доказательство. В силу предложения 1" предыдущего
параграфа достаточно доказать, что всякая максимальная цен-
центрированная система {Мх} = а любых множеств МК^Х имеет
"общую точку прикосновения хо, т. е. имеется точка*ое f") \M ]•
Мхео
Сформулируем две простые леммы:
Лемма 1. Пересечение Мх> П • • • Л М%3 любого конечного
числа элементов максимальной центрированной системы о =¦
= {Мх} есть элемент системы а.
Утверждение следует из того, что, пополняя систему а эле-
элементом Af*i П • • • П М*», получаем снова центрированную си-
систему множеств.
Лемма 2. Если а = {Мх} есть максимальная центрирован-
центрированная система множеств Мх и множество N пересекается со всеми
Мх ^ а, то N <= о.
В самом деле, из леммы 1 следует, что все множества вида
N Л Мх> П • • • П А**"*
непусты, следовательно, пополняя ими систему а, получим снова
центрированную систему.
Положим Мх = паМх. Система всех множеств М\ (здесь а
постоянно, а Я, переменно) есть центрированная система в про-
пространстве Ха. Так как Ха бикомпактно, то множества Afa имеют
по крайней мере одну общую точку прикосновения ха е Ха.
Докажем, что точка х = {ха}^Х есть общая точка прикосно-
прикосновения Мк. Для этого надо показать, что всякая элементарная
окрестность точки х пересекается с любым Мк. Произвольная
элементарная окрестность O(f/a,» .... Uas) точки х получается
фиксированием некоторого конечного числа индексов ct|, ..., а,
и выбором окрестностей f/at точек xat в Ха( для /=1, ..., s.
Но для «одноиндексных» окрестностей О(/7а,) точки х утвер-
утверждение О (Uat) П Мк Ф Л равносильно утверждению (/а, П Afa^A,
истинность которого непосредственно следует из того, что
Итак, каждая одноиндексная окрестность точки Jc пересе-
пересекается со всеми М\ но система всех Мк — максимальная цен-
центрированная система, значит, по лемме 2 каждая одноиндекс-
одноиндексная окрестность точки х есть элемент системы {Мк}. Каждая эле-
элементарная окрестность произвольной точки пространства есть
пересечение конечного числа одноиндексных окрестностей, зна-

§ 8] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА 99
чит, в силу леммы 1 система {Мх}, содержа, как мы видели,
в числе своих элементов все одноиндексные окрестности точки
х, необходимо содержит и все вообще элементарные окрестно-
окрестности точки х, откуда следует, что любая окрестность точки х
пересекается с любым множеством М\ значит, х^[Мх] при
любом Afл е а — первая теорема Тихонова доказана.
Так как произведение хаусдорфовых пространств есть хаус-
дорфово.пространство, то из доказанного вытекает
Следствие 1. Произведение любой системы бикомпактов
есть бикомпакт.
В частности, бикомпактами являются канторовы дисконти-
дисконтинуумы От и тихоновские кирпичи Iх.
Замечание 3*). Пространство 0х является, при надлежа-
надлежащем определении в нем операции сложения, топологической груп-
группой. ПространствоFxs^D], т. е. произведение т экземпляров связ-
связного двоеточия Do, замечательно тем, что содержит топологиче-
топологический образ любого Го-пространства веса -«Ст. Далее, каждое
Го-пространство веса -^т является взаимно однозначным и в
одну сторону непрерывным образом некоторого множества, ле-
лежащего в От, а каждый бикомпакт веса <т является непрерыв-
непрерывным образом некоторого замкнутого множества, лежащего в Dx.
Однако не на всякий бикомпакт можно отобразить (какой-
либо) канторов дисконтинуум Dx (пример указан в конце п. 7).
Бикомпакт X называется диадическим, если он является непре-
непрерывным образом некоторого дисконтинуума От. Диадическими
бикомпактами являются, в частности, все метризуемые биком-
бикомпакты (компакты). Необходимым условием для диадичности
бикомпакта X является условие Суслина: всякая система дизъ-
дизъюнктных открытых в X множеств счетна (теорема Шпильрай-
па-Марчевского).
По поводу только что затронутых вопросов см., например,
статьи Александрова [15], [19].
Здесь же из предложений этого круга идей докажем лишь
одно, именно следующее:
Теорема 7 (вторая теорема Тихонова [2]). Всякое вполне
регулярное пространство бесконечного веса х гомеоморфно неко-
некоторому множеству, лежащему в тихоновском кирпиче веса т.
б. Следствия второй теоремы Тихонова. Прежде чем дока-
доказывать-эту теорему, сделаем по поводу нее некоторые замечания
и выведем из нее некоторые следствия. Прежде всего, из нее
следует, что тихоновский кирпич Iх «веса т» действительно
имеет вес т: в самом деле, будучи произведением т отрезков,
Iх имеет вес ^т, а содержа топологический образ любого
•) См. гл. 2, § 3,

100 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
вполне регулярного пространства веса т*), не может иметь вес
<т**).
Далее, легко доказывается, что
всякое подпространство Хо вполне регулярного простран-
пространства X само есть вполне регулярное пространство.
Отсюда, в частности, следует, что всякое подпространство
нормального пространства, значит, и всякое подпространство би-
бикомпакта вполне регулярны. С другой стороны, по второй тео-
теореме Тихонова вполне регулярные пространства (веса т) с точ-
точностью до гомеоморфизма являются подпространствами некото-
некоторого бикомпакта (веса т), именно тихоновского кирпича Iх (при
этом X является всюду плотным подпространством бикомпакта
)
)
Итак, имеет место предложение:
Теорема 8. Вполне регулярные пространства (веса г) мо-
гут быть определены как всюду плотные подпространства биком-
бикомпактов (веса т), или как подпространства нормальных про-
пространств (веса т), или, наконец (с точностью до гомеоморфиз-
гомеоморфизма), как подпространства тихоновского кирпича Iх.
Из этой теоремы вытекает
Следствие 2. Топологическое произведение X = JJХа
любого числа вполне регулярных пространств вполне регулярно.
В самом деле, обозначая через Ха бикомпакт, содержащий
пространство Ха, видим, что Х = Ц^а s П ^а! но простран-
пространство X = IJ Ха есть бикомпакт, значит, его подпространство X
вполне регулярно. Тихоновский кирпич /т при т= Ко превра-
превращается, как мы видели в п. 3, в гильбертов кирпич Q°°; следова-
следовательно, вторая теорема Тихонова является ***) обобщением сле-
следующей теоремы Урысона [2] о погружении ****).
Теорема 9. Всякое (вполне) регулярное пространство со
счетной базой гомеоморфно множеству, лежащему в гильберто-
гильбертовом кирпиче (и, следовательно, метризуемо).
Гильбертово пространство (значит, и кирпич Q°°), будучи ме-
тризуемым пространством со счетным всюду плотным множе-
множеством, есть пространство со счетной базой; поэтому теорема 9
может быть сформулирована и так:
Для того чтобы топологическое пространство X было гомео-
гомеоморфно множеству, лежащему в гильбертовом пространстве, не-
необходимо и достаточно, чтобы оно имело счетную базу и обла-
обладало любым из следующих свойств:
Например, пространства, состоящего из т изолированных точек.
Это легко доказать и непосредственно.
И по методу своего доказательства.
См. Тихонов [1]. Урысоном эта теорема доказана для нормаль-
нормальных пространств.

§ 8) ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА 101
1) нормальность,
2) полная регулярность,
3) регулярность*).
Принципиальное значение этой теоремы очень велико: она
полностью характеризует с топологической стороны множества,
лежащие в гильбертовом пространстве, указывая неожиданно
короткий путь, по которому можно прийти от самых общих то-
топологических построений—топологических пространств—к со-
совершенно конкретному объекту теории точечных множеств —
к множествам, расположенным в гильбертовом пространстве.
Из теоремы 9 и предложений 2 и 15 § 7 вытекает
Следствие 3. Непрерывный хаусдорфов образ компакта—
компакт.
Из теоремы 9, далее, вытекает
Теорема 10. Все метрические пространства, содержащие
счетные всюду плотные множества, и только такие метрические
пространства гомеоморфны множествам, лежащим в гильберто-
гильбертовом пространстве.
6. Доказательство второй теоремы Тихонова. Пусть X—
вполне регулярное пространство. Множество 2 = {/а} непре-
непрерывных функций fa: X-*[0, 1] назовем множеством функций,
расчленяющим пространство X, если для любой точки хо е X и
любой ее окрестности Охо в X можно найти такую функцию
fa <= 2, что faxQ = 0, fa(X\Ox0) ~ 1. Расчленяющие семейства
функций во вполне регулярном пространстве X заведомо суще-
существуют: таково во всяком случае семейство всех непрерывных
функций /: Я-*[0, 1].
Вторая теорема Тихонова будет доказана, как скоро мы до-
докажем следующие два предложения:
(А) Во вполне регулярном пространстве веса т существует
расчленяющее множество функций мощности т.
(Б) Если во вполне регулярном пространстве X существует
расчленяющее множество функций мощности т, то существует
и топологическое отображение <р пространства X в тихоновский
кирпич Iх.
Из утверждения (Б) следует, что мощность всякого расчле-
расчленяющего множества функций не меньше, чем вес пространства.
Лемма 3. Пусть хо — точка вполне регулярного простран-
пространства X. Ко всякой окрестности Ох0 точки Хо можно найти такую
окрестность OiX0 той же точки, что замкнутые множества
[0\Хо] и Х\Ох0 функционально отделимы в X (так что, в част-
частности, [0\Хо] ? Ох0).
*) Эквивалентность этих трех свойств для пространств со счетной ба-
базой следует из предложений 9 и 10 $ 7, п. 5.

102 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Для доказательства этой леммы возьмем какую-нибудь
функцию /: Х-*[0, 1], непрерывную в X, равную 0 в х0 и рав-
равную I в Х\ Охо. Обозначим через Oix0 множество всех точек
х ^ X, в которых fx<-^, определим, функцию так:
0, если fx<^-j<
[fx-\),
если !
Функция fix непрерывна (см. § 1, п. 7, предложение 10) и отде-
отделяет друг от друга множества О{х0 и X \ Ох0.
Доказательство утверждения (А). Возьмем теперь
базу 3) = {?/v} пространства X, имеющую мощность т; пару
па = (?/ц. Uv), где f/№e93, C/Ve93, назовем канонической, если
[0ц] = (/, и множества [t/J, X \UV являются функционально
отделимыми. Множество всех канонических пар обозначим
через а. Оно имеет мощность ^ т. Выберем теперь для каждой
канонической пары я„ = (U^, Uv) функцию fa: X-*[0, 1], непре-
непрерывную в X, равную 0 на [1/№] и 1 на X \ t/v. Множество 3
отобранных нами функций fa имеет мощность <т и есть мно-
множество, расчленяющее пространство X. В самом деле, каковы бы
ни были точка х0 и ее окрестность G в X, возьмем содержа-
содержащуюся в G окрестность Ox0 = Uv^^8, подберем к ней окрест-
окрестность О\Хй согласно лемме 3 и лежащую в О{х0 окрестность
ОзХ0 = Up, пара (U^, Uv) есть каноническая пара па, причем
faxo = O и fax= 1 для x^X\G. Утверждение (А) доказано.
Доказательство утверждения (Б). Пусть дано
множество
функций, расчленяющее пространство X, с индексами а, пробе-
пробегающими некоторое множество Я мощности т. Топологическое
отображение <р пространства X в Iх построим следующим обра-
образом. Пусть для каждого а е % взят сегмент
числовой прямой. Каждой точке х&Х поставим в соответ-
соответствие точку
fa* S 'а-
Получим точку <р* = {fax} е Iх — П U- Этим определено ото-
а
бражение ф пространства X на некоторое множество фХ=К = /т.
Отображение ф взаимно однозначно. В самом деле, пусть
х е X, х' г X, х Ф х'. К окрестности X \ {х') точки х подби-

i 81 Топологические произведения, теоремы Тихонова юз
раем, согласно определению расчленяющего множества функций,
функцию fc^S так, чтобы fалг = 0 и fax'= 1; тогда а-е коор-
координаты fax и fax' точек {/„*} и {fax'} различны, так что цхфух'.
В силу предложения 7 отображение q> непрерывно.
Отображение ф: Y-+X непрерывно. В самом деле, пусть
y — {t^^Y, ф-'у = л;е1 К произвольной окрестности Ох
точки х в X требуется подобрать такую окрестность Оу в Iх,
чтобы ф~'(Ог/П У) ^ Ох. Берем функцию faeS так, чтобы
было fax — O и fa(X \ Ох)—\. Тогда a-я координата ta точки
у = ух есть /а = /ал: = 0. Обозначаем через Оу множество всех
точек y'=[t'a} е /т, у которых /а < 1. Для любой точки у' е Y,
попавшей в Оу, имеем ф'УеО*. В самом деле, если бы
*' = Ф""'# е X \ Ох, то было бы fax'=l, т. е. a-я координата
точки х' равнялась бы 1, вопреки определению точки у'.
Утверждение (Б), а значит, и вторая теорема Тихонова до-
доказаны.
Докажем с помощью второй теоремы Тихонова следующее
Предложение П. Для топологического произведения
X X В вполне регулярного пространства X на бикомпакт В про-
проекция пх- ХХВ-+Х произведения X X В на сомножитель X
является замкнутым (и, следовательно, совершенным) отобра-
отображением.
Доказательство. По второй теореме Тихонова прост-
пространство X можно считать подмножеством тихоновского куба Iх
при некотором т. Проекция п: Iх X, В-*¦ Iх произведения
Iх У, В на сомножитель Iх замкнута (см. предложение б из § 7).
Кроме того, на множестве X У, В = п~1Х она совпадает с
отображением л*. В силу утверждения 1 из § 1 отображение
лх замкнуто, ч. и т. д.
Из доказанного предложения и предложения 14 из § 7 вы-
вытекает
Следствие 4. Топологическое произведение X X В пара-
компакта X, соответственно сильно паракомпактного (хаусдор-
фова) пространства X, на бикомпакт В паракомпактно, соответ-
соответственно сильно паракомпактно.
7. Бикомпактные расширения. Локально бикомпактные про-
пространства. Назовем бикомпактным расширением данного вполне
регулярного пространства X всякий бикомпакт Я = ЬХ, содер-
содержащий пространство X в качестве всюду плотного множества.
Из только что проведенных рассуждений следует, что всякое
расчленяющее семейство функций пространства X определяет
некоторое бикомпактное расширение этого пространства. В са-
самом деле, пусть т—мощность данного расчленяющего множе-
множества функций. Мы имели топологическое отображение ф про-
пространства X на некоторое множество Y = ц>Х г /*. Возьмем

Ю4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
замыкание [У] множества У (в Iх). Заменяя точки (/еУд[У]
взаимно однозначно соответствующими им точками к е X, мо-
можем считать, что само X лежит в бикомпакте [У] и является
всюду плотным множеством этого бикомпакта, который, таким
образом, становится бикомпактным расширением пространства
X. Особенно интересен случай, когда расчленяющее множество
функций есть максимальное множество этого рода, т. е. состоит
из всех непрерывных в X функций f: X ~*[0, 1]. Соответствующее
бикомпактное расширение X пространства X называется макси-
максимальным бикомпактным расширением этого пространства и
обозначается через рХ. Это расширение называется также рас-
расширением Сгоуна — Чеха тихоновского пространства X.
Бикомпактным расширениям вполне регулярных, в частности
нормальных, пространств, а среди них в особенности расшире-
расширению Стоуна — Чеха будет посвящен весь следующий параграф
этой главы.
Сейчас же мы скажем несколько слов о так называемых ми-
минимальных или «одноточечных» бикомпактных (хаусдорфовых)
расширениях пространства X—это бикомпакты X, получаю-
получающиеся из пространства X присоединением к ним единственной
неизолированной точки, г. е. расширения вида Я = X U \, где
X — бикомпакт, а \ — Х\Х—одна точка (неизолированная
в X). Разумеется, существование таких расширений предпола-
предполагает (как и существование всяких вообще хаусдорфовых биком-
бикомпактных расширений), что X — вполне регулярное пространство.
Однако это условие, будучи необходимым, далеко не достаточ-
достаточно: необходимое и достаточное условие для существования
одноточечного бикомпактного хаусдорфова расширения X =
= X U I пространства X заключается в том, чтобы X было
хаусдорфовым локально бикомпактным пространством (тогда
оно автоматически будет и вполне регулярным). При этом про-
пространство X называется локально бикомпактным (Александ-
(Александров, 1924, [2]), если каждая точка ле! имеет окрестность
Ox s X, замыкание которой [Ох] бикомпактно.
Предложение 12. Всякое открытое подпространство
G ^ X бикомпакта X локально бикомпактно.
В самом деле, вследствие нормальности бикомпакта X каж-
каждая точка jeO имеет окрестность Ох, замыкание [Ох] которой
лежит в G и, как замкнутое множество в бикомпакте X, само
есть бикомпакт.
Докажем предложение, обратное предложению 12, даже в
несколько усиленном виде:
Теорема И (Александров [2]). Ко всякому локально
бикомпактному хаусдорфову пространству X (и только к такому
пространству) можно присоединить одну точку | так, что по-
получится бикомпакт X = X U % (причем топология в X, как в

S 81 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА Ю5
подпространстве бикомпакта X, будет совпадать с топологией,
a priori данной в X); при этом топология в X однозначно опре-
определена топологией в X.
В самом деле, пусть X есть бикомпакт. Отсюда уже следует,
что X (как открытое множество в бикомпакте X) есть локально
бикомпактное пространство. Далее, все те и только те из мно-
множеств, лежащих в X, открыты в X, которые открыты в X (ина-
(иначе топология, данная в X a priori, не совпадала бы с топологией,
полученной из X). Если Г есть открытое множество в X, содер-
содержащее точку I, то Г = I U G, где О открыто в X, причем F =
==X\G = X\F, как замкнутое множество в бикомпакте X,
само бикомпактно. Обратно, всякое множество вида Г =
= % U G, где F = X\G есть бикомпакт, открыто в X, так как
его дополнение X \ Г = X \ G, будучи бикомпактом, замкну-
замкнуто в X.
Итак, если существует бикомпакт X = X [] |, содержащий
данное хаусдорфово пространство X, то это возможно во вся-
всяком случае лишь тогда, когда X локально бикомпактно, причем
топология в X однозначно определена тем, что открытые мно-
множества в X, не содержащие |, суть все открытые множества в X
и только они, а открытые множества в X, содержащие точку g,
суть не что иное, как множества вида | U G, где G s X и
X \ G есть бикомпакт. Докажем, что в том случае, когда
X — локально бикомпактное хаусдорфово пространство, про-
пространство X — X U g с только что описанной топологией дей-
действительно есть бикомпакт. Прежде всего, легко проверяется,
что в X выполнены аксиомы топологического пространства. До-
Докажем, далее, что хаусдорфова аксиома отделимости также вы-
выполнена в пространстве X. Это ясно для любых двух точек к
и к', лежащих в X; но для | и любой точки х <= X также мож-
можно найти непересекающиеся окрестности в X, для этого доста-
достаточно взять Ox cr X так, чтобы Ф = [Ох]х было бикомпактно, —<¦
тогда окрестности Ох и 0% = g U (Х\Ф) не пересекаются. На-
Наконец, X бикомпактно. В самом деле, пусть 2 — система
открытых в X множеств Га, покрывающих все X. Среди мно-
множеств Га е S имеется некоторое Го sa 0% = | U (X \ Ф), где
Фс! есть бикомпакт. Остальные множества Г„е2, а Ф О,
по всяком случае покрывают бикомпакт Ф; среди них можно
выбрать конечное число множеств Гь ..., Гв, покрывающих Ф.
Множества Го, Гь ..., Гв покрывают все пространство X, чем
бикомпактность этого пространства доказана.
Теорема 11 доказана.
Замечание 4. Любое множество X с максимальной (т. е.
изолированной) топологией (см. § 1, конец п. 1) в нем есть ло-
локально бикомпактное хаусдорфово (и притом метризуемое) про-
пространство. Если X несчетно, то его минимальное (одноточечное)

106 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
бикомпактное расширение X = X U | есть недиадический би-
бикомпакт.
Приведем в заключение один интересный пример произведе-
произведения двух пространств. Обозначим через W(a) множество всех
порядковых чисел, меньших, чем данное порядковое число а.
Это множество превращается в топологическое пространство,
если за базу открытых множеств взять систему всех открытых
интервалов множества W(a) (эта топология называется ин-
интервальной). Если а—изолированное порядковое число (а =
¦= р + 1),то множество W(a) имеет наибольший элемент р, и
поэтому упорядоченное множество W(a), как множество с наи-
наименьшим и наибольшим элементами, не имеющее щелей, будет
бикомпактом в интервальной топологии*).
Рассмотрим теперь произведение W(®o+ 1)X W(a>i + 1).
Это пространство, как произведение двух бикомпактов, яв-
является бикомпактом и, следовательно, нормальным простран-
пространством. Обозначим через Т пространство, получающееся из на-
нашего произведения выбрасыванием единственной точки (coo, coi).
Это локально бикомпактное пространство, называемое «тихо-
«тихоновской плоскостью», не нормально. Не отделимы множества
Fi = {(ct, (or)|a< со0} и F2 = {(а>0> Р) IP < °>iK верхняя и правая
грани «прямоугольника». Следовательно, бикомпакт №(со0-Ы)Х
X №(©! + 1) не наследственно нормален. Исторически первым
примером не наследственно нормального бикомпакта был би-
бикомпакт W((sn + 1) X W(o>2-+ 1) (см. Александров и Уры-
с о н [2]).
§ 9. Максимальное бикомпактное расширение
В этом параграфе пространство X всегда предполагается
вполне регулярным. Через ЬХ всегда обозначается бикомпактное
расширение пространства X. Определенное в предыдущем пара-
параграфе максимальное (стоун-чеховское) бикомпактное расшире-
расширение рХ обладает многими замечательными свойствами. Некото-
Некоторые из этих свойств мы сейчас установим.
Непрерывное отображение f: bX-*b'X бикомпактного рас-
расширения ЬХ пространства X в бикомпактное расширение Ь'Х
того же пространства X называется естественным, если fx = х
для любой точки хе!
Так как f(ЬХ) = X и образ бикомпакта ЬХ замкнут в Ь'Х,
то всегда (для естественного отображения f: ЬХ -* Ь'Х)
f(bX) = b'X,
т. е. естественное отображение является отображением «на».
•) См. Александров н Урысон [2], гл. 1. Читатель может и
сом доказать это утверждение в качестве нетрудного упражнения.

« 9] МАКСИМАЛЬНОЕ БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ 107
Теорема 12 (М. Стоун [1], Чех [4]). Каждое из следую-
следующих трех условий необходимо и достаточно для того, чтобы би-
бикомпактное расширение ЬХ было естественно гомеоморфно мак-
максимальному расширению $Х:
1°. Любая непрерывная функция
может быть продолжена в непрерывную функцию
}: ЬХ-+[0,1].
2°. Любое непрерывное отображение
ср: Х-+В
пространства. X в бикомпакт В может быть продолжено в не-
непрерывное отображение
ф: ЬХ->В.
3°. Расширение ЬХ обладает естественным отображением на
любое бикомпактное расширение пространства X.
Доказательство. Докажем, что $Х удовлетворяет усло-
условию Г. Пусть дана непрерывная функция
f: X->[0,\].
Так как расширение рХ строится при помощи расчленяющей
системы
всех непрерывных на X функций
fa: X-*Ia = [0,1],
то функция f совпадает с одной из функций fa. Пусть f = fa.
Обозначая мощность множества {fa} всех непрерывных функ-
функций fa: X -*¦ Ia (т. е. мощность Щ через т, полагаем
ги=/т.
Как было показано в § 8, отображение
ф: Х-> П /.-Л
ставящее в соответствие точке х ^ X точку ух = {fax}, являет-
является гомеоморфизмом. При этом для любого a e % справедливо
соотношение
fa —
где л„: lx-*Ia, как всегда, есть проекция.

108 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Если пространство X отождествить при помощи гомеомор-
гомеоморфизма ф с множеством <$Х = Ц / , то функция /а отожде-
ствится с отображением
Яа(: X = VfX —*¦ /а,.
Отображение
будет, очевидно, искомым продолжением f отображения f. Те-
Теперь покажем, что из утверждения Г следует утверждение 2°.
Сначала рассмотрим тривиальный случай, когда вес бикомпакта
В конечен. Тогда сам бикомпакт В конечен и может быть рас-
рассматриваем как подмножество отрезка / -¦= [0, 1].
По условию отображение
может быть продолжено в непрерывное отображение
ф: ЬХ-+1.
Так как
то утверждение 2° в случае конечного веса бикомпакта В спра-
справедливо.
Пусть вес В равен т^ Ко- По теореме Тихонова можно
считать бикомпакт В подмножеством тихоновского кирпича
/Т=П/а. /а = [0,1].
ае91
Каждая функция
непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций. Поэтому
для каждого a e 91 по предположению существует непрерыв-
непрерывное продолжение
Диагональное произведение ф: ЬХ —> /т отображений fa непре-
непрерывно (см. § 8, предложение 7); при этом, если ieZ, то
Ф* = (Fa*) = {/» = {ЛаФ-«} = фДС,
так что на X отображение ф совпадает с ф. Наконец, в силу
непрерывности отображения ф имеем включение
ф (ЬХ) = ф [Х\х s [<?Х],Х = [Ф*],, = В.
Итак, из утверждения 1° следуег утверждение 2°.

§ 9] МАКСИМАЛЬНОЕ БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ 109
Утверждение 3° вытекает из утверждения 2° очевидным обра-
образом. Итак, расширение рХ удовлетворяет всем условиям Г—3°.
Прежде чем выводить из утверждения 3° естественный го-
гомеоморфизм ЬХ = рХ, докажем следующую лемму:
Лемма 1. Если непрерывные отображения
U' X->Y и f2: X->Y
топологического пространства X в хаусдорфово пространство Y
совпадают на всюду плотном в X множестве X', то они совпа-
совпадают на всем пространстве X.
Доказательство. Предположим, что в X существует
такая точка х0, что
Hi = /i*o ^ Hi = /г^о-
Возьмем непересекающиеся окрестности О{ и О2 точек у{ и
Уг соответственно. В силу непрерывности отображений /ч и f%
должна существовать такая окрестность V точки х0, что fiVs
SO) и fzV ^ Ог. Так как множество X' всюду плотно в X, то
множество V = V Г\ X' непусто. Так как ]\У sO] и ]iV s O2,
то
Но так как на X' отображения fi и \г совпадают, то
Полученное противоречие доказывает лемму.
Из леммы 1 следует, что естественное отображение
f: ЬХ -* Ь'Х определено однозначно (тождественным отображе-
отображением Х-*Х). Теперь выведем из утверждения 3° существование
естественного гомеоморфизма расширений ЬХ и рХ.
Через h обозначим естественное отображение ЬХ на рХ (су-
(существующее в силу условия 3°).
Так как $Х удовлетворяет условию 3°, то существует есте-
естественное отображение
/г': $Х^ЬХ.
Суперпозиция h'h: ЬХ—*ЬХ является естественным отображе-
отображением, поэтому отображение h'h на всюду плотном в ЬХ множе-
множестве X совпадает с тождественным отображением бикомпакта
в ЬХ. Из леммы 1 следует, что отображение h'h вообще совпа-
совпадает с тождественным отображением бикомпакта ЬХ. Следова-
Следовательно, отображение h взаимно однозначно. Так как естествен-
естественное отображение есть отображение «на» и непрерывно, а ЬХ —
бикомпакт, то /г есть естественный гомеоморфизм в ЬХ на рХ.
Теорема 12 доказана.
В множестве 33^ всех бикомпактных расширений вполне ре-
регулярного пространства X можно ввести частичный порядок,

НО ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
считая ЬХ > Ь'Х, если существует естественное отображение ЬХ
на Ь'Х. Из теоремы 12 следует, что стоун-чеховское расширение
рХ является максимальным элементом частично упорядочен-
упорядоченного множества 93*, что и позволяет называть $Х максимальным
бикомпактным расширением пространства X.
Особенно хорошими свойствами обладает стоун-чеховское
расширение $Х в случае нормального пространства X.
Предложение 1. Для произвольного замкнутого подмно-
подмножества F нормального пространства X замыкание [Fhx гомео-
морфно максимальному бикомпактному расширению pf про-
пространства F.
Доказательство. В силу теоремы 12 достаточно по-
показать, что любое непрерывное отображение
f: F^[0,l]
можно продолжить в непрерывное отображение
Ь [/V-[o.i].
Фиксируем какое-нибудь непрерывное отображение
f: F->/ = [0, 1].
Так как X— нормальное пространство, то существует непрерыв-
непрерывное продолжение
q>: X-+I
отображения f. По гёореме 12 существует непрерывное продол-
продолжение
ф: рА"->/
отображения ф. Отображение
будет искомым продолжением J отображения f, ч. и т. д.
Предложение 2. Если замкнутые в нормальном про'
странстве X множества F[ и F2 дизъюнктны, то дизъюнктны и
их замыкания [Ffox и [F2]$x-
Так как пара замкнутых дизъюнктных подмножеств нор-
нормального пространства функционально отделима, то предложе-
предложение 2 вытекает из следующего утверждения:
Лемма 2. Если замкнутые подмножества Ft и F2 вполне
регулярного пространства X функционально отделимы, то
Доказательство. Из функциональной отделимости
множеств F\ и F2 вытекает существование непрерывной на X
функции
/ A[O1J

§91 МАКСИМАЛЬНОЕ БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ \\\
равной 0 на Fi и 1 на F2. Продолжим функцию / в непрерывную
функцию
Ь p*-[o,i].
Множества O| = f~'@) и O2 = f~'@ замкнуты в $Х и
дизъюнктны. Так как /^?Ф/, /=1, 2, то и [/''<]»* s (Dj,
j = 1, 2, откуда
ч. и т. д.
Предложение 2 можно усилить следующим образом:
Предложение 3. Для произвольной конечной системы
замкнутых в нормальном пространстве X множеств Fu I == I, ...
..., s, справедливо соотношение
(-1 U=*l
Доказательство. Включение
s
л
очевидно. Докажем противоположное включение.
Пусть сначала 5 = 2, и пусть существует точка
Тогда существует окрестность О точки х в $Х, замыкание кото-
которой не пересекается с множеством [F\ П F2]$x- Множества Ф1 =»
= [О] П ^i и Фг = [О] П F2 замкнуты в пространстве X, непусты
и дизъюнктны. В силу предложения 2
Но в то же время
Действительно, так как х е [Ft]^x s [Ft \ O]pX [) [Ф<]^ и так как
x^[Ft\O]fiX, то *е[Ф,]р;г, /=1, 2.
Итак, относительно множества [Ф^рхШФг]^^ мы получили
два противоречащих одно другому утверждения. Следовательно,
. для 5 = 2 имеет место включение
IfiX
Предположим, что это включение имеет место для всех s ^ г,
г ^ 2, и пусть s = г -j- 1. Тогда по доказанному для s = 2 и по

112 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
индуктивному предположению
(•=1 1=1
px
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Для произвольной конечной системы v =
= {Ft}, i = 1, ..., s, замкнутых в нормальном пространстве мно-
множеств система
М = {[F,]„*}, /=1, .... s,
подобна системе v. В частности, если система v имеет крат-
кратность *?: п -\- \, то и система [v] имеет кратность ^. п -\- ].
Для открытого во вполне регулярном пространстве X мно-
множества V положим O^V = $X \[X \ V]pX- Множество ОрК
открыто в $Х, и, очевидно,
О/ П * == 1/.
Из предложения 3 вытекает
Следствие 2. Для конечного открытого покрытия со = {1/(},
i = 1, ..., s, нормального пространства X система
рш = {Ор1/}, t=l, .... s,
является открытым покрытием расширения рХ.
Доказательство. В силу предложения 3 справедливо
соотношение
L *—i Jpx L <=i Jpx
ч. и т. д.
§ 10. Покрытия нормальных пространств
1. Раздутие и ужатие конечных систем и покрытий.
Теорема 13 (теорема о раздутии; Чех). Пусть
A) 0 = ^1 F.)
— произвольная конечная система замкнутых множеств нормаль-
нормального пространства X. Тогда окрестности Oi = OF] ..., OS = OFS
этих множеств могут быть выбраны таким образом, что системы о

§ 10] ПОКРЫТИЯ НОРМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 113
и ш = {0|, ..., 0$}{дажеа и [ю] = {[0,] [OS]} будут подобны
между собой *).
Доказательство. Обозначим через Ф, объединение все-
всевозможных множеств вида Ftif\ ... (] Ftk, где Ft^a, ..., Ftk gu
таковы, что F\(]Fi (] ••• n^<fe = A. Так как замкнутое множе-
множество Ф, не пересекается с Fu то Х\Ф, есть окрестность мно-
множества Z7,; следовательно, в силу малой леммы Урысона (см. § 5)
существует такое открытое множество Оь что F, s О, s [О]] ?
еЛАФ,.
Системы множеств а = {Fu F2, ..., Fs) и а, = {[Ot], F2, .. ., Fs)
подобны между собою. В самом деле, если F\ f| Ft f| ¦ • • П Fk^A
то тем более [d] fl Ftl П • • • П ^fe =#= Л. Обратно, из F, f| Fti f\
... П/Г^ = Л следует, что Fti{] ... nf^sOi, и, значит,
Предположим, что открытые множества О,, ..., О„, 1 <я<s,
построены таким образом, что Ft ^ О,, .. ., /•"„ s On и системы а и
..., [Оп], Fn+i, ..., Fs)
подобны между собою. Рассуждая о системе ап и о множе-
множестве Fn+l так же, как мы только что рассуждали о системе а
и множестве Fu получим такое открытое множество On+i=Fn+I,
а значит, и системы а и а„+! будут подобны между собой.
Построение заканчивается на системе <ri9 = {[01], ..., [Os]}, удо-
плетворяющей всем поставленным требованиям.
Теорема 14 (теорема об ужатии конечных покрытий; Чех).
Ко всякому конечному открытому покрытию
<й = {0, О,}
нормального пространства X существует комбинаторно вписан-
вписанное в него замкнутое покрытие
«^{F, Ft).
При этом можно предположить, что замкнутые множества Ft
являются каноническими (г. е. Ft = [Г\], где Г/ = (Fi)), а система
Y == {Г[, ..., Г^} есть покрытие пространства X.
Доказательство. К системе замкнутых множеств
о = {Х\01 X\Ot)
*) В данном случае это означает, что из ГО, If) ... П[О, 1 Ф Л всегда
FП Г) F Ф Л
следует F{ П • ¦ • Г) Ft Ф

114 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
применим предыдущую теорему и построим такие открытые
множества О\ O's, что
B) Х\01<=0\ X\OsglO's,
значит,
B') *\OfsOlt .... X\O'sz=O,
и система {[О[], ..., [OJ]} подобна системе а. Так как {О\, ..., О,}
есть покрытие пространства X, то
(*\О,)П ¦•• П(*\О,)«=А.
значит, и [Of]f| •¦• П[О«] = Л, т. е. множества
О'( = Х\[О\), .... Oi"X\[Oi]
образуют покрытие пространства X.
При этом для всех /=1, 2, s имеем
[07] = [* \ [0{]] t=[X\0',] = X\0'ts 0{,
т. е. покрытие
комбинаторно вписано вши состоит из канонических замкнутых
множеств. Так как-07 s ([07]) se I\ и {07, .... О?} есть покрытие
пространства X, то тем более покрытием этого пространства
является Y —{Гь ..., 1%}.
Теорема доказана.
Докажем следующее
Дополнение к теореме 14. Во всякое конечное откры-
открытое покрытие
© = {0 ол
комбинаторно вписано некоторое разбиение о = {Лр ..., As).
В самом деле, мы только что построили такое покрытие
у = {Г,, ..., Ts}, состоящее из канонических открытых множеств
Г„ .... Г„ что-
М = {[Г,' [Г,]}
комбинаторно вписано в ю = {0,, ..., Os).
Положим Л1 = [Г1] и для / = 2, ..., s
Тогда а = {Л,, ..., As) есть покрытие пространства X. Чтобы
убедиться в этом, возьмем произвольную точку х е X и первое
такое /, i«=l, 2, ..., s, что х е [07] s [Ft]. Тогда
... U[Г,-,])<=/!,.

§ 101 ПОКРЫТИЯ НОРМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 115
Докажем, Что каждое At есть ха-множество. В самом деле,
еще в § 1 было замечено, что для произвольного ха-множества А
и произвольного замкнутого множества В имеем [А \ В] =
= [(А)\В]. Значит, в нашем случае
^4i == ГЕГг] Ч (J [Гу]] = ГГ, \ U [Г,]"!
L i<i J L 1<1 \
есть ха-множество. Наконец (так как Г* есть хо-множество),
имеем (At) s I\, а если / < i, то (At) ЕГД Г/, поэтому
(Л,) П </!<> = Л при ]Ф1.
Итак, покрытие а — {А\, ..., As} есть действительно разбие-
разбиение пространства Я, комбинаторно вписанное в покрытие о.
2. Случай компактов. Вернемся к теореме о раздутии в слу-
случае, когда X — компакт. Сохраняем обозначения теоремы. Для
каждого i=l, .... s имеем Ft^Ot, значит, p(Ft, X \ О{) > 0.
Возьмем такое е, что е < р(/^, X \ Ot) для всех 1—\, 2, .... s.
Тогда система
(о' = {0(Л, е) O(Fs,e))
будет подобна системе
сг-{Л Fs}.
Если какое-нибудь множество М s X имеет диаметр < е и
пересекается с некоторыми элементами Ft, ..., Fik системы а, то
и, следовательно, •
О (Л,, е)П ... nO(F,ft,e)=^A.
Но тогда (ввиду подобия систем а и ю') и
FHП ... П^?=Л.
Итак, доказано следующее
Предложение 1 (лемма Лебега о системах замкнутых
множеств в компактах). Ко всякой конечной системе замкнутых
множеств
a = {F Fs}
компакта X можно найти такое число г, называемое лебеговым
числом для системы а, что система
О (Л. в), .... O(Fs,e)
подобна системе а. Тогда из того, что какое-нибудь множе-
множество М диаметра < в пересекается с данными элементами

116 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ.1
Fi , • • •. Fik системы а, следует, что эти элементы имеют непу-
непустое пересечение:
Ft, П • • • П Fth Ф Л.
Очевидно, если е — лебегово число системы а, то и всякое
положительное е' < е также является лебеговым числом си-
системы а.
В некотором смысле двойственным к предложению 1 яв-
является
Предложение 2 (лемма Лебега для открытых покрытий
компактов). Ко всякому конечному открытому покрытию
м = {0„ .... О,}
компакта X существует такое число е > б, называемое лебего-
лебеговым числом открытого покрытия ю, что всякое множество М
диаметра <Г е целиком лежит хотя бы в одном О, е ы.
В самом деле, за е достаточно взять лебегово число системы
замкнутых множеств а = {X\Oit ..., X\OS). Так как {О], ...
..., Os} есть покрытие пространства X, то (Х\О|)П ...
... П(-^\О«) = А; поэтому множество М диаметра < е не мо-
может пересекаться со всеми множествами Х\Ои ..., X\OS, зна-
значит, М содержится в дополнении Х\(Х\О{)= Ot хотя бы к од-
одному из них, т. е. М s Oit ч. и т. д.
3. Корректные покрытия нормальных пространств. Замкну-
Замкнутое множество называется корректным, если оно есть множество
типа Ga; открытое — если оно есть Fa. В совершенно нормаль-
нормальных, в частности в метризуемых, пространствах и все замкнутые
и все открытые множества корректны.
Очевидно, корректные открытые множества являются допол-
дополнениями к корректным замкнутым, и наоборот.
Предложение 3 (лемма Веденисова). Замкнутое множе-
множество F нормального пространства X тогда и только тогда кор-
корректно, когда имеется непрерывная функция /: X —* [0, 1], для
которой множество F есть множество всех ее нулей, т. е. F =
= f-'O.
Доказательство. Пусть F — корректное замкнутое мно-
жество в нормальном пространстве X, и пустьF = f*| Gn, где
все Gn открыты. Построим по большой лемме Урысона для ка-
каждого натурального числа п такую непрерывную функцию
/п: X - [0, 1], что fnF = 0, /n (X\Gn) =1.
Положим
оо
f V _L f
1% — ^l 2n 'n^*
л=1 ¦

§10] ПОКРЫТИЯ НОРМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 117
Как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций,
функция f непрерывна на всем X; она и отображает X в отрезок
[0, 1].
Для х е F имеем, очевидно, fx = 0. Если же х е X\F, то
при некотором п имеем хеХ\С„, следовательно,fn*= I, fx^
^¦гкг > 0 — одна половина леммы Веденисова доказана.
Вторая половина верна даже без предположения нормально-
нормальности пространства X. В самом деле, пусть F — множество всех
нулей некоторой непрерывной функции /: X —> [0, 1]. Докажем,
что F есть множество типа G&. Для этого положимО„ = | х \fx <
1 ) °°
< — >. Множества Gn открыты, и F= f\ Gn.
п п—\
Лемма Веденисова доказана.
Предложение 4. Для произвольного замкнутого множе-
множества F и его окрестности О в нормальном пространстве X можно
найти такое корректное замкнутое множество F] и такое кор-
корректное открытое множество О\, что F ^ F] ^ О и F <^ О\ <= О.
Для доказательства первого утверждения возьмем снова не-
непрерывную функцию /: X—*[0, 1], равную 0 на F и 1 на Х\О.
Тогда множество всех нулей функции f есть корректное замкну-
замкнутое множество Fi и F s Fi ^ О.
Второе утверждение предложения 4 легко выводится из пер-
первого: строим согласно первому утверждению,корректное замкну-
замкнутое множество F|, содержащее замкнутое множество Х\О и ле-
лежащее в открытом множестве X\F. Тогда Oi = X\F^ есть
корректное открытое • множество, содержащее множество
Х\ (X\F) = F и лежащее в Х\ (Х\О) = О.
Добавление к предложению 4. Можно даже потре-
потребовать от корректного открытого множества О\, чтобы было
FsO| s [О[] еО, — достаточно взять сначала открытое О' э F
под условием [О'] = О и построить для него корректное открытое
О',, для которого F s О', ^ О'; тогда F s Of s [О'] s [O'j s О.
Назовем покрытие корректным замкнутым, соответственно
корректным открытым, если его элементами являются коррект-
корректные замкнутые, соответственно корректные открытые, множе-
множества; имеем
Предложение 5. Во всякое конечное открытое покрытие
о == {Оь ..., Os} нормального пространства X можно комбина-
комбинаторно вписать корректное замкнутое покрытие ом и корректное
открытое покрытие ьц.
Доказательство. Пусть а = {^i, ..., Fs} — какое-ни-
какое-нибудь замкнутое покрытие пространства X, комбинаторно вписан-
вписанное в (о (такое существует по теореме об ужатии покрытий). Для

118 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
каждого I = 1, .... s строим корректное замкнутое множество
At под условием Ft s At s О* и корректное открытое множество
о{ под условием h\ soje О,-. Тогда
<х, = {Л„ ..., As)
и
©,=={0, oj
суть покрытия пространства X, комбинаторно вписанные в со,
причем ai является корректным замкнутым, а ол — корректным
открытым,
Это предложение понадобится в главе четвертой.
. 4. Ужатия бесконечных покрытий. Предложение 6 (лем-
(лемма об ужатии открытых точечно конечных покрытий; Лефшец
[1]). Для любого открытого точечно конечного покрытия со =
= {Оа}, аеЯ, нормального пространства X существует комби-
комбинаторно вписанное в со замкнутое покрытие v пространства X.
Более того,
v = {[Fa]}, аеЯ,
где все Va открыты и система {Va} также является покрытием
пространства X.
Доказательство. Пусть мощность покрытия со равна т
и множество индексов 91 состоит из всех порядковых чисел а,
О < а < ы(т). Множество Fo— X \ (J 0о замкнуто в X и со-
о>0
держится в Oq.
В силу нормальности пространства X существует окрест-
окрестность Vo множества Fo, замыкание Фо = [Ко1 которой содержится
в О0. Очевидно, система ©о —{Ко; Оа, a >0} является покрытием
пространства X.
Предположим, что для всех a < р уже построены открытые
множества Va, замыкания [Va] которых содержатся в Оа, и
системы ю0 = {Ко'|о'^а; Оо', a'> a} образуют покрытия про-
пространства Я.
Пусть сначала число р не предельное, т. е. существует такое
число р', что р=р'+ 1. Тогда множество
замкнуто в X и содержится в множестве Ор. Следовательно,
существует окрестность V- множества F^, замыкание [УЛ кото-
которой содержится в Ор. Система юр = {Ко [ <х ^ Р; О„, а > р}
является покрытием пространства X.
Пусть число р предельное. Покажем, что система w^ =
=={К„|а < Р; О„, а^р} является покрытием пространства X.

§ 10] ПОКРЫТИЯ НОРМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 119
Возьмем точку xel\ (J Оо. В силу выбора точки и точеч-
ной конечности покрытия © существует такой конечный набор
s
индексов ct! < ... < as<$, что хе f) 0o, \ (J О„. Так как
A
, J
(—1 а Ф а{
'1
s
система ©Oj по индуктивному предположению является покры-
покрытием пространства X и х ф (J 0о, то х е (J Ко. Тем более,
а>а3 a<as
х<= (J Va.
Итак, система ш^ является покрытием. Как и выше, можно
построить такое открытое множество Кр, что [Кр] ?Ори система
Шр = {Ко|а^Р; Оа, а > р} является покрытием пространства X.
. Продолжая построение, получим покрытие {Va, а < ш (т)},
удовлетворяющее условию [KJ ? Оа для всех а е 91.
Система {[Va]}, a e 91, является искомым замкнутым покры-
покрытием.
Предложение 7. В любое открытое покрытие параком-
пакта X можно комбинаторно вписать замкнутое локально
конечное покрытие.
Доказательство. В покрытие © впишем открытое
локально конечное покрытие со'. По предположению 6 суще-
существует замкнутое покрытие К пространства X, комбинаторно
вписанное в покрытие со' и поэтому локально конечное. Укруп-
Укрупнение покрытия К. относительно © комбинаторно вписано в ©,
локально конечно и замкнуто (в силу предложений 8 и 10 § 6),
ч. и т. д.
В гл. 4 и 6 нам существенно понадобится
Предложение 8. В любое открытое локально конечное покры-
покрытие <о = {Оа), а е Щ, нормального пространства X можно вписать а-дискрет-
нпе открытое корректное покрытие v. Если кратность покрытия <о < л + 1,
то можно считать, что покрытие v распадается в сумму не более чем п + 1
дискретных систем.
Доказательству предложения 8 предпошлем две леммы.
Лемма 1. Если покрытие топологического пространства X локально
конечно, то покрытие <о\ состоящее из пересечений Оа П...ГHо всевоз-
всевозможных конечных наборов различных элементов покрытия со, также ло-
локально конечно.
Действительно, если окрестность Ох точки х е X пересекает конечное
число элементов покрытия ш, то Ох пересекает лишь конечное число эле-
элементов покрытия ш', ч. и т. д.
Пусть ш — произвольное покрытие топологического пространства X; мно-
множество точек х е X, содержащихся ровно в k элементах покрытия ш, назо-
назовем множеством точек ft-кратиости покрытия ш.
Лемма 2. Для открытого точечно конечного покрытия ш =* {OJ,
a s Щ, топологического пространства X тожество А1 точек однократности

120 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. !
покрытия о) замкнуто в X и является телом дискретной системы Х\ замкну-
замкнутых в X множеств Аа = X \ (J O^sOa. Если пространство X нормально,
вчьа
а покрытие и локально конечно, то в X существует дискретная система
корректных открытых множеств Va, a e St, удовлетворяющая условиям
Доказательство. Замкнутость множеств Аа вытекает из откры-
открытости покрытия и. Дискретность системы %i вытекает из того, что любая
точка *бЛ содержится в некотором Оа^ а множество 0Oi пересекается
лишь с одним элементом Аа> системы \\.
Соотношение ^| = А1 очевидно. Замкнутость множества Л1 вытекает
из консервативности системы Х\.
Пусть теперь пространство X нормально, а покрытие и локально конечно.
Из предложения 6 вытекает существование комбинаторно вписанного
в и замкнутого покрытия ц = {Ftt\, ael, Из комбинаторной вписанно-
вписанности ц в и вытекает локальная конечность покрытия ц и, следовательно, его
консервативность. Поэтому множества Ua = X \ II F^ открыты в X.
Так как
U 0&<=Х\ (J F^Fa\ (J Fp,
Р
то имеют место включения
Поэтому система {f a}, a s St, локально конечна. Ясно также, что она
дизъюнктна.
В силу предложения 4 для каждого а можем взять такое корректное
открытое множество Va, что
Ла <= Va = [Va] s f/o.
Система V| = {[Val). «^91, замкнута, дизъюнктна и локально конечна.
В силу предложений 8 и 9 из § 6, п. 4, система v, дискретна. Следовательно,
дискретна и система Vi = {Va}, о е Я, q. и т. д.
Теперь докажем предложение 8.
Через Л* обозначим множество fe-кратности покрытия и и положим
Bk = (J A1, k = 1, 2, 3, ...
.Из леммы 2 вытекает существование такой вписанной в и дискретной
системы Vi корректных открытых множеств, что В\ = Л1 EV|.
Пусть для всех i ^ й уже построены вписанные в покрытие и дискретные
системы V; корректных открытых множеств, удовлетворяющие соотношениям
В* = U v/.
/<'
Пусть I = k + 1. Так как
(J
*) Индексы а(, ..., а1+1 различны.

i 10) ПОКРЫТИЯ НОРМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 121
то множества Bi замкнуты в X, 1= 1, 2, 3, ... В частности, в X замкнуто
множество Bft.
В силу нормальности X существует такая корректная окрестность U
замкнутого множества X \ [J V;, что
«ft
[U] = X \ Вк.
Замкнутое в X множество [U] нормально н покрывается системой wft+I =
= {Оа, Г) • ¦ • П Odft+1} состоящей из пересечений всевозможных наборов
из k + 1 различных элементов покрытия и. Пересечение Ak+l f] [U] совпа-
совпадает с множеством точек однократности покрытия иб+|—{Оа, !"]•••
... ПОа6+|П[^]} множества [U]. По лемме 1 система <o'k+[ локально ко-
конечна в X. Следовательно, локально конечно в [U] покрытие »ft+1 Из
леммы 2 вытекает существование такой вписанной в систему wft + 1 а сле-
следовательно и в покрытие со, дискретной в [U] системы vft+, корректных,
открытых в [U] множеств Vg, что
Система
вписана в покрытие <о и состоит из открытых во всем пространстве X мно-
множеств. Эта система, очевидно, дискретна во всем X. Так как
множества ]?1 имеют тип Fg в [U], а следовательно и в X, а множество С/
также имеет тип Fo в X, то множества Vq имеют тип Fa в X *). Наконец,
Продолжая построеине систем V(, получим искомое а-дискретное покрытие v.
n+i
Если кратность покрытия и<п+ 1, то X = В„+1 и уже система [J V;
i=i
будет покрытием пространства X, ч. и т. д.
Из предложения 8 вытекает
Предложение 9. В любое открытое локально конечное покрытие со
нормального пространства X можно вписать замкнутое а-дискретное по-
покрытие.
Доказательство. В покрытие со впишем открытое корректное по-
покрытие, распадающееся в сумму дискретных систем ^={Оа}, а,еЩ(>
/ = 1, 2, 3, ... Каждое множество Оа( представим в виде счетной суммы
•) Так как (J^U^-lIU

122 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
замкнутых в X множеств Fa(/, /«=1,2,3,... При фиксированных / и /система
Х;у =»{Fafi), очевидно, дискретна. Следовательно, система Я. =» (J А,;/ является
'. /
a-дискретным, замкнутым и вписанным в со покрытием пространства X.
Предложение доказано.
§11. Метризация и паракомпактность
1. Теорема А. Стоуна о паракомпактности метрических про-
пространств. Критерии метризуемости *). Теорема 15 (А. Стоун
[1]). Метризуемое топологическое пространство паракомпактно.
В любое открытое покрытие метризуемого пространства можно
вписать открытое а-дискретное покрытие.
Докажем сначала второе утверждение.
Лемма 1. В любое открытое покрытие со={Оа} метрического
пространства X можно вписать открытое покрытие v, распада-
распадающееся в сумму таких систем vn={ul), п=\, 2, 3, .... что
A) p(Ul Х\Оа)>гп>0,
B) .
для любых п, а и р Ф а.
Доказательство. Рассмотрим произвольное открытое
покрытие со = {Оа} пространства X. Предполагаем, что индексы a
пробегают все порядковые числа от нуля до первого порядко-
порядкового числа некоторой мощности т. Положим
Ana = Fna\ (J
a'<a
«=1,2,3,
Так как р(К, Х\Оа)>-$г, то
*) Возможен и следующий порядок чтения этого параграфа:
а) пункт 2 (большая теорема Стоуна (теорема 19) и паракомпактность
метрических пространств как ее следствие);
б) в теореме 16 ограничиться формулировкой Нагата — Смирнова — не-
необходимость условия (б) теоремы 16 сразу следует из уже доказанной
паракомпактности;
в) теоремы 17 и 18;
г) чтение остальных утверждений этого параграфа отложить до того
момента, когда в них возникнет надобность.

$ 111 МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 123
в частности,
ЙеОо
для любого п и любого а.
Таким образом, система v всех открытых множеств Ua впи-
вписана в покрытие со.
Систему всех мно кеств Ua при фиксированном п обозначим
оо
через vra. Очевидно, v= (J vrt.
Оценим расстояние между элементами Ua и ?/р системы vn.
Пусть для определенности а < р. Тогда по построению
Из аксиомы треугольника следуют нераченства
$, Fna)>p(X\Fa+\
, К) > —(т ~ ~^+r ~
Покач<ем, что v есть покрытие пространства X. Рассмотрим
точку хеХ Через cto обозначим наименьшее из тех чисел а,
для которых х е Оа. Так как существует такой номер п, что
х е Fa\, то х е= F20 \ (J Oa s Л5, = Ua,. Лемма доказана.
а<а0
Замечание 1. Пусть {Ua}, a e 21, — некоторая система под-
подмножеств метрического пространства X, для которой при лю-
любых а е 21, рей, а Ф р, расстояние р(?/а, ?/,,) больше неко-
некоторой положительной константы d. Тогда система {Ua} дискретна.
Действительно, -j -окрестность произвольной точки х е X пе-
пересекает не более одного множества Ua.
Из сделанного замечания и неравенства B) в лемме 1 следует
дискретность систем vn. Таким образом, в любое открытое покры-
покрытие метризуемого пространства можно вписать а-дискретное от-
открытое покрытие. Второе утверждение теоремы 15 доказано.
Докажем первое утверждение теоремы 15 — паракомпакт-
паракомпактность метрического пространства X.
В произвольным образом выбранное открытое покрытие
оо
о) = {Оа} пространства X впишем открытое покрытие v= (J vra.

124 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
удовлетворяющее неравенствам A) и B) леммы 1. Положим
Очевидно, множества V" открыты и
C) М <= К? S О„.
Из неравенства треугольника и неравенства B) следует нера-
неравенство
р(У2, Ур)>-^-. <х#р.
В силу сделанного выше замечания, для каждого п система
Tin^l^a} дискретна. Из включений C) вытекает дискретность,
а значит, и консервативность системы ця—Ц?/а]}- Поэтому
Положим
Wla=V1a И Wna=VZ\[J<bt При П>1.
Кп
Множества Wa открыты, и W?sVa^Oa (см. C)), следова-
следовательно, система ? = {№5} вписана в покрытие со.
Покажем, что % есть локально конечное покрытие прост-
пространства X.
Рассмотрим точку хе! Пусть п0 есть минимум тех но-
номеров п, для которых х е fjrt, и пусть х е Va°- Тогда
х е V? \ U Л» = У? \ (J Ф„ = Wna\
Таким образом, ? есть покрытие пространства X.
Через ti[ обозначим минимум тех номеров п, для которых
х е vn. Тогда для любого п> п{ имеем
<4> V Кп
s (Vi \ ФЯ1) П v«, ?= (yS \ vj П vn, = Л.
Системы т]п дискретны, поэтому существует окрестность Ох,
пересекающая не более одного элемента каждой из систем
т]| ц„г Так как Wa^Va, то Ох пересекается для каждого
фиксированного «= 1 nt не более чем с одним элементом
системы {Wa}- Следовательно, (см. D)) окрестность vnif\Ox
точки х пересекается лишь с конечным числом множеств W&.
Локальная конечность покрытия \ установлена. Теорема доказана.

§ 11] МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 125
Любая счетная система подмножеств топологического про-
пространства является и а-локально конечной и а-дискретной. По-
Поэтому следующий метризационный критерий является естествен-
естественным обобщением теоремы Урысона о метризуемости регулярных
пространств со счетной базой.
Теорема 16 (Бинг [1], Нагата [1], Смирнов [1]).
Каждое из следующих двух условий необходимо и достаточно
для метризуемости регулярного пространства:
(а) пространство X обладает а-дискретной базой, или,
кратко, В-базой (т. е. базой, являющейся а-дискретной си-
системой) ;
(б) пространство X обладает а-локально конечной базой,
или, кратко, NS-базой (т. е. базой, являющейся а-локально ко-
конечной системой).
Доказательство. Докажем сначала, что метризуемое
пространство X удовлетворяет условиям (а) и (б) теоремы.
Через со,- обозначим покрытие пространства X из —окрестно-
—окрестностей всех точек х е X, i — 1, 2, 3, ...
Пусть г|г — какое-нибудь а-дискретное открытое покрытие
оо
пространства X, вписанное в покрытие со,-. Система г|= \Jr\i,
очевидно, является ст-дискретной базой пространства X.
Таким образом, метризуемое пространство обладает ст-ди-
ст-дискретной, а следовательно, и а-локально конечной базой.
Необходимость условий (а) и (б) для метризуемости про-
пространства X установлена. Переходим к доказательству доста-
достаточности. Так как всякая 5-база является и /VS-базой, то до-
достаточно доказать, что регулярное пространство, имеющее
iVS-базу, метризуемо.
Лемма 2. 5 наших условиях пространство X совершенно
нормально.
Докажем сначала, что X нормально. Пусть А и В — два
дизъюнктных замкнутых множества в X. Для каждой точки
х <= А возьмем принадлежащую базе Ф = Aуя> гДе системы
Л
Y» = {Гпа}> л= 1,2,3 локально конечны, окрестность
l'«(s),oM точки х с условием [Гп(х), а(Х>] s Х\В. Вследствие регу-
регулярности пространства X такая окрестность существует. Точно
так же для каждой точки у^В возьмем окрестность Г„(У),а(У)
точки у под условием [ГП(И), а(У)] ? ^\Л. Для каждого п —
= 1, 2, 3, ... обозначим через Gn сумму (J rnW> о(х),
п(х)—п, хшА
взятую по всем х е А, для которых п(х) = п: Од= (J Г„, О(х).
хшА

126 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Точно так же положим
Нп == U ^п(у). <*W) ~ U ^п> °М*
п(у)*ап, уеВ у&В
Очевидно, A~[jGn, Bs(J#rt. Так как при любом п система
п п
Yn локально конечна, значит, консервативна, то
[On] = U 1°*. ¦(*)] s * \ В. [Я„] - (J [Я„, а<„>] sX\A.
х&А уев
Положим, далее,
Un = Gn\ (J [Hk], Vn = Hn\ (J [Ok], U={]Un, V=\JVn,
ft < n ft <rc n»I n»I
так что 4 = У, 3 = К При любых m, n имеем t/m П ^n = Л.
В самом деле, пусть, например, т > п. Тогда С/т П Уп ?
= ^\[ЯП] s X\[Kn], Umf]Vn = Л. Следовательно, (У П V = Л,
т. е. U и V' являются непересекающимися окрестностями соответ-
соответственно множеств А и В. Нормальность пространства X дока-
доказана.
Докажем, что всякое открытое в X множество G есть мно-
множество типа Fa. Для этого для каждой точки х е G находим
окрестность Г„(Ж), в(х) е 23 под условием [Г„(Ж), а(х>] <= G (что
возможно в силу регулярности пространства X) и обозначаем
снова через Г„ сумму \J Г„, а<х) по всем x^G, для которых
xefl
п(х)=п. В силу консервативности системы уп имеем
[Гп]53 U [Гц. о(х>] S G, а так как каждая точка х е G содер-
хеО
во
жится в некотором Г„, то (J [Г„] = G.
Лемма доказана.
Пусть пространство X имеет базу а, являющуюся объедине-
объединением локально конечных систем
<г(={Оа}, аеЯ„ /=1,2,3,..., «-(J91'-
По лемме Веденисова (§ 10) для каждого элемента Оа си-
системы Oi существует непрерывная функция
fa' X-*[0, 1],
равная нулю в точках множества Х\Оа и только в них,
j:= 1, 2, 3, ... Отсюда ч ИЗ локальной конечности системы <т<

§ 11] МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ. 127
следует, что произвольная точка х е X обладает окрестностью
Ох, на которой для каждого i лишь конечное число функций fa
может принимать значения, отличные от нуля. Поэтому на X
определена и непрерывна положительная функция
Следовательно, для каждого а е %i на X определена и непре-
непрерывна функция
Очевидно,
(*) 2 te.(*)]2<i
И
(•*) 2 \ga(x)-ga(yW< 2 [*a (*)]'+ 2 [
для любых * и у из X.
Для а е 21( положим ^aW^i/jIfaW» x^X. Тогда
аеи (—1 аеЯ( (-1
Следовательно, набор hx = {ta (x)}, as?, можно рассматри-
рассматривать как точку обобщенного гильбертова пространства Rx, где
т =• мощн. 51 (см. гл. 1, § 3).
Покажем, что полученное отображение
A: X-+R*
является гомеоморфизмом.
Если X и у — различные точки пространства X, то существует
такой элемент Оа базы а, что х е Оа и у ф. Оа. Тогда ta(x) > 0 -•
— ta(y)> следовательно, hx Ф hy. Таким образом, отображение
h: X-+hX взаимно однозначно.
Покажем его непрерывность. Возьмем произвольно точку
хоеХ и е > 0. Выберем натуральное п так, что-%г < —-. Ло-
Локальная конечность систем <т< позволяет выбрать окрестность
Uxq, пересекающую лишь конечное число элементов систем <у<
для всех i ^ п. Пусть ai, ..., а,— это все те индексы из
я
8В= [Jst,, для которых пересечения С/х0 П Оа непусты. Из
/1

128 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
непрерывности функций ta вытекает существование такой ок-
окрестности Vxq e Uxq, что
\taf (Хо) - ta, (У) | < -р=г , /= 1, 2 S, y<=VXo.
Так как пересечения Uxo[] Оа пусты при а <=23„ \ (а, U ... [Jas),
то для этих а имеем равенства ta (xQ) — ta (у) = 0, у е VxQ. Сле-
Следовательно,
E)
В силу выбора числа п и оценок (**) и (*) имеет место нера-
неравенство
['в (*о) - 'а (У)? - 2 ^Г S [*« ^ ~ ^« ^)J* <
Из неравенств E) и F) для любой точки y^Vx0 вытекает не-
неравенство
р (hXo, Ну) = ( S Ра Ы - 'а (У)]2)''' < 8-
Непрерывность отображения h доказана.
Докажем непрерывность обратного отображения
Л: hX^X.
Возьмем произвольно точку t e hX и окрестность Ох точки
x = h~lt. Найдется такой элемент Оа базы а, что *e0as0*.
Тогда е = гал:>0. Если t'<=hX, p(t, t') < е и y = h~lt', то
I ^af/ — ^а* I < е> следовательно, ^аг/ > 0, т. е. у е Ort. Итак,
Н~1О(г, /) s О„ ? 0^, Непрерывность отображения Л: hX^*-X
и теорема 16 доказаны.
Замечание 2. Только что проведенные рассуждения по-
позволяют легко доказать и следующее предложение, обобщающее
теорему Урысона (гл. 1, § 8, теорема 9).
Теорема 17 (Даукер [1]). Обобщенное гильбертово про-
пространство Rx, т ^ N о, содержит топологический образ любого
метризуемого пространства веса sg: т.
Лемма 3. Локально конечная система a = {М} подмно-
подмножеств топологического пространства X веса wX ^ т, т ^ X 0, со-
содержит не более чем х элементов.
Доказательство. Возьмем в, X базу 23 = {Oa},
мощн. {ajss^x. Обозначим через 23' множество всех тех эле-

$ 11] МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 129
ментов Оа> базы 33, каждый из которых пересекается лишь
с конечным числом множеств Меа, так что ka> — мощн^ аОа,
есть конечное число. Система а локально конечна, поэтому Ъ'—Х
и <т —Aо"оа, значит, мощн. о = 2 ka'\ так как мощн. {а'}^
а' ' «'
^ мощн. {а}^т, то и мощн. а^т. Лемма доказана.
Докажем теорему 17. При доказательстве теоремы 16 мы по-
показали, что пространство X, обладающее сг-локально конечной
базой мощности т, топологически отображается в Rx. Если вес
метрического пространства X не превосходит т, т^ Но, то по
лемме 3 любая сг-локально конечная база в X имеет мощность
т' ^ г и X топологически отображается в Rv ? Rx, что и требо-
требовалось доказать.
Понятие паракомпактности позволяет очень просто сформу-
сформулировать первый общий метризационный критерий.
Теорема 18 (Александров и Урысон [1]). Хаусдор-
фово пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда
оно паракомпактно и обладает счетной измельчающейся систе-
системой открытых покрытий *).
Доказательство. 1°. Если пространство X метризуемо,
то оно по теореме Стоуна паракомпактно и покрытия соп =
= {О(л:,— ),х е X), п — 1, 2, 3 образуют в нем измельчаю-
щуюся систему.
2°. Пусть пространство X паракомпактно и открытые покры-
покрытия со,-, i — 1, 2, 3, ..., образуют измельчающуюся в X систему.
Впишем в покрытие со* открытое локально конечное покрытие v*,
i= I, 2, 3, ... Тогда система покрытий Vi, очевидно, измель-
оо
чается, а поэтому система [J v< является ог-локально конечной
базой в X. Паракомпактность пространства X обеспечивает его
нормальность (см. § 7); поэтому по теореме 16 пространство X
метризуемо, что и требовалось доказать.
2. Большая теорема А. Стоуна и паракомпактность метри-
метрических пространств как ее следствие. С существующим с древ-
древних времен интуитивным представлением «непрерывного про-
пространства» связано интуитивное же представление о «бесконеч-
«бесконечной делимости» пространства, которому в мире общетопологи-
общетопологических идей соответствует идея о существовании для каждого
открытого покрытия а пространства X «более мелкого» покры-
покрытия р этого же пространства. Понятие вписанности покрытия р
в покрытие а еще не гарантирует того, что покрытие р является
существенно более мелким, чем покрытие а, — это следует уже
из того, что каждое покрытие вписано в себя самого. Гарантию
*) Определение измельчающейся системы покрытий даио в § 6 этой
главы (определение 10).
5 П, С, Александров, В. А. Пасынков

130 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
фактического измельчения, или «дробления», покрытия дает бо-
более сильное понятие звездной вписанности (см. § 6, определе-
определение 2*). Поэтому мы скажем, что данное открытое покрытие ю
пространства X допускает дробление, если существует открытое
покрытие со', звездно вписанное в со. И наконец, мы скажем, что
пространство X допускает дробление, если допускает дробление
каждое открытое покрытие этого пространства.
Естественно, возникает вопрос: каковы же те топологические
пространства, которые допускают дробление? Принципиальный
интерес этого вопроса определяется тем, что именно простран-
пространства, допускающие дробление, мы склонны считать наиболее от-
отвечающими нашим интуитивным представлениям о пространстве
как о некоторой «непрерывной среде». Полный ответ на постав-
поставленный вопрос дается глубокой и трудной теоремой А. Стоуна,
несомненно принадлежащей к значительнейшим достижениям
общей топологии, — в частности, и потому, что она связывает
между собою два совершенно различных круга топологических
понятий.
Теорема 19 (большая теорема А. Стоуна [1]). Среди
нормальных пространств все паракомпакты и только они допу-
допускают дробление.
Эта теорема, очевидно, содержит два утверждения. Первое
из них состоит в том, что всякий паракомпакт допускает дробле-
дробление. Это утверждение легко вытекает из следующего:
Предложение 1. Всякое открытое локально конечное по-
покрытие нормального пространства X допускает дробление.
Если предложение 1 доказано и X — паракомпакт, то во вся-
всякое открытое покрытие со пространства X можно вписать ло-
локально конечное открытое покрытие со', а в со' можно — в силу
предложения 1 — звездно вписать открытое покрытие со", кото-
которое, очевидно, звездно вписано и в со. Значит, со допускает дро-
дробление, а так как со — произвольное открытое покрытие про-
пространства X, то допускает дробление и пространство X.
Переходим к доказательству предложения 1.
Пусть со = {Оа}, а е 91, — локально конечное покрытие про-
пространства X. По предложению 6 из § 10 существует замкнутое
покрытие К — {Fa}, a e 91, комбинаторно вписанное в покры-
покрытие со, т. е. Fa Е Оа, а е 91. Из комбинаторной вписанности К
в со вытекает локальная конечность и, следовательно, консерва-
консервативность покрытия К.
Для произвольного конечного набора индексов он, ..,, а3 по-
положим
Va а = П Оа \ (I Fa.

§ 11] МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 131
Множества Va,... as, очевидно, открыты. Покажем, что система v
всевозможных множеств Va, ...as звездно вписана в покрытие ш
и сама является покрытием пространства X.
Рассмотрим произвольную точку хе! Так как покрытие К
локально конечно, то точка х содержится лишь в конечном
числе элементов этого покрытия. Пусть это будут множества
Fa ^а„. Тогда, оче&идно, neL ,..»,. Следовательно,
I S IS
система v есть покрытие пространства X. Покажем, что
3Bvxs0a|, покажем, другими словами, что из x<^Va> a> e v
следует, что Va> a' s Оц . Но если х е V а> а>, то х ф Fa
при а Ф а), /—1, ..., г. Между тем x^Fax, значит, cti = a/o
г
при некотором /„ = 1 г. Но V • > ? (*) Оа> s О > ,
1"' ' /=i / /о
а Оа> — Оа , т. е. Vа> а> s Оа , — и утверждение доказано.
/о ' 1 г 1
Итак, v есть искомое покрытие, звездно вписанное в покрытие <».
Первое утверждение теоремы 19 доказано.
Переходим к доказательству второго утверждения тео-
теоремы 19.
Предложение 2. Нормальное пространство X, допускаю-
допускающее дробление, паракомпактно.
Лемма 4. Пусть © = {Gn}, п = 1, 2, 3 есть счетное
открытое покрытие нормального пространства X, и пусть в ©
можно так комбинаторно вписать замкнутое покрытие § = {Fn},
что Fn <= Gn.
Тогда в © можно так комбинаторно вписать открытое ло-
локально конечное счетное покрытие ?> = {Нп}, что Нп = Gn.
Доказательство. Для каждого п = 1, 2, 3, ... берем
такое открытое множество G'n, что
Ря s Gn s [Gn] s О».
Очевидно, семейство открытых множеств ©' = {Gft} и тем более
семейство замкнутых множеств ®'={[Сп]} является покрытием
пространства X.
Полагаем Нп = Gn \ Г (J Gftl и доказываем, что Ф = {Я„}
U<n J
есть покрытие пространства X. В самом деле, для каждого
х е X берем такое наименьшее га, что х е [G^,]. Тогда «ее,
и JC^fQ Gftl, значит, х^Нп. Очевидно, Ф комбинаторно
вписано в ©. Остается доказать, что покрытие у локально
конечно.

132 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1ГЛ. I
Пусть к е X. Так как ©'—покрытие, то существует множе-
множество G'p, содержащее точку х. Множество Gp не может пересекаться
с Я„, п>р, так как Hn = Gn\ (J [Gn]sA'\[Gp] при п> р.
Следовательно, G'p есть окрестность точки х, не пересекаю-
пересекающаяся ни с одним из множеств Яр+1, Нр+2, ..., т. е. пересекаю-
пересекающаяся лишь с конечным числом элементов Нп покрытия ф.
.Лемма доказана.
Пусть пространство X допускает дробление. Докажем, что X
паракомпактно. Возьмем произвольное открытое покрытие y =
s=Y0 = {f/a} пространства X. Будем строить локально конечное
покрытие, вписанное в Y-
а) Возьмем открытое покрытие Yi = {^a}> звездно вписанное
.в Yo. и вообще открытое покрытие ynz={Ua}, звездно вписан-
вписанное в Yn-i^l^a}, «=1,2,3,... Для каждого п=0, 1, 2,...
индексы а пробегают все порядковые числа, меньшие чем
некоторое <»т = <»т(«), являющееся наименьшим порядковым
числом, мощность которого равна мощности покрытия уп.
Звезду какого-либо множества М ^ X относительно покры-
покрытия уп обозначим через Зв„Л1; звезду точки х е X относительно
покрытия уп обозначим через Зв„л;.
Каждое уп, п = 1, 2, 3, ..., звездно вписано во все предыду-
предыдущие покрытия Yft. О ^ k ^ п — 1.
Заметим, что из звездной вписанности какого-нибудь покры-
покрытия я' в покрытие я следует его так называемая «правильная»
вписанность, состоящая в том, что объединение всяких двух пе-
пересекающихся элементов покрытия я' содержится в некотором
элементе покрытия я.
б) Полагаем
F'na = {* е= Ua | Зв„ х s Ua)
и доказываем прежде всего тождество
G) F'na = X\3Bn(X\Ua).
В самом деле, пусть x&F'na. Тогда Звпх^иа, т. е.
Если бы х&Звп(Х\иа), то существовало бы некоторое
?/р е уп, пересекающееся с X\Ua и содержащее точку х, так
что Звпх (](Х\иа)ф А, тогда как Зв„л:=?/а. Итак, левая
часть равенства содержится в правой. Докажем, что правая со-
содержится в левой. Пусть х е Х\Звп(Х\иа). Тогда для всякого
.?/C е= у„ из. х е= ?/р. следует . Щ (] (X \ ра) = Л, т. е. f/p S t/a.
Другими словами, Зв„л; s f/a_ ихеС - :¦

$11] МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 133
Равенство G) доказано.
Так как покрытие Yn+i вписано в у„ (даже звездно), то для
любого М s X, в частности для М = X\Ua., имеем Звп+1.М =
? Зв„Л1; поэтому непосредственным следствием тождества G)
является включение F'nasF'n+i, а. Мы докажем больше, а именно:
(8) Зв„+1 F'na s F'n+l. „.
Пусть A:s3Bn+iF^a. Это значит, что существует такое [/р+1е
что j;et/J+I и Ufi+if\F'na ф Л. Отсюда надо вывести, что
Зв„+1 л s f/a.
Но покрытие Yn+i звездно вписано в уп; значит, существует такое
Vl e Y"» что
(9) Зв„+1 ж s I/J
(и, очевидно, f/Ц П Ко т41 Л). Из последнего неравенства выте-
вытекает, что ?/? не содержится в X \ Ка = Зв„ (X \ Ua), т. е.
и»()(Х\иа) = Л, а это значит, что ?/?s?/a. Отсюда и из (9)
следует, что х е F'n+l, a. Формула (8) доказана.
Так как звезда всякого множества М = X относительно от-
открытого покрытия есть открытое в X множество, то из G) сле-
.дует, что все F'na замкнуты, а из (8) вытекает, что множество
открыто в!
Докажем теперь, что при любом заданном п семейство
%n = {F'na) есть замкнутое покрытие пространства X, В самом
деле, пусть х^Х произвольно. Так как уп звездно вписано
в у, то Зв„л: содержится в некотором Ua, а тогда xeFJoeg,
ч. и т. д.
Положим (имея в виду, что индексы а суть порядковые
числа)
(\ (\\ F „ = Fir. \ I I V
Р < а
Так как множества Vp открыты, то Fna замкнуто. Из определе-
определения множеств Vp следует, далее, что тождество A0) можно за-
записать и так:
A00 Fna = Fna\ II I I Jpfep-
р<a *=i .. ; ... : ¦
Докажем, что совокупность &> всех Fna (где п пробегает все

134 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. t
натуральные числа, а а для каждого п — все порядковые числа
<Шт(«)) есть покрытие пространства X, очевидно, замкнутое.
Берем произвольно точку ле! Обозначим через а наи-
наименьшее порядковое число,а < а>т(я),удовлетворяющее условию:
существует такое натуральное п, что х е F'na; такое а суще-
существует, так как S' = {^a} есть покрытие, значит (при всяком п
точка х содержится в некотором F'na), мы ищем такое п, чтобы
а было при этом наименьшим.
Итак, х е F'na, но х ф Fip, каково бы ни было натуральное k
и Р < а. Но это и значит, что х е F'na \ (J \jF'kp, т. е. что x^Fna.
P<a к
в) Не существует такого f/^'^Yn+i- которое одновременно
пересекалось бы с какими-либо Fna и Fnp при а Ф р.
Доказательство. Пусть a > р. Очевидно, достаточно
доказать, что
Но (см. (8) и A0))
Зв„+1 F«p s Зв„+1 F'ne <= F'n+n s Kp s X \ F«a,
откуда утверждение следует.
Из только что доказанного выводим, далее, утверждение:
г) Не существует ?/"+3 е у„+3, одновременно пересекающе-
пересекающегося с Звп+3 Fna и Зв„+3 Fnb при р ф а.
Пусть существует f/v+3, пересекающееся с 3Bn+8Fna и 3Bn+3Fnp.
Тогда существуют такие Una+a и U^\ что F^fl^VA,
Fnpflf/p'+VA, f/?+3nf/S+3?=A, и"+г(\иргфК. Так как
f/;+3nt/S+3?=A и и1+3оир3фА, то объединение l^Ut/S^3
содержится в некотором U\+2, а объединение (У"+3 U f/p'+3 — в не-
некотором Ul+2. Но тогда ик+2Г\и»+2фА, а поэтому f/"+2U^+2
содержится в некотором U^+l, которое пересекается как с Fna,
так и с Fnp, вопреки доказанному в пункте в).
д) Положим Gna = Зв„+3 Fna. Из доказанного следует, что
семейство ®n = {Gna) есть дискретная система множеств. Сле-
Следовательно, дискретной будет и система Sn = {^na}-
Положим, наконец,
Очевидно, F„ = Gn.
Как тело дискретной системы замкнутых множеств, множе-
множество Fn замкнуто.

§ 11] МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 135
Далее, так как семейство %0 = {Fna} есть замкнутое покры-
покрытие пространства X, то замкнутым покрытием этого простран-
пространства является и семейство
Тем более семейство © = {Gn} есть (открытое) покрытие про-
пространства X. При этом Fn s Gn, так что мы находимся в усло-
условиях леммы 4. Из нее следует существование локально конеч-
конечного покрытия ф = {//„} пространства X, комбинаторно вписан-
вписанного в @, так что HnsGn, [jHn = X.
п
Положим
и докажем, что семейство у' всех множеств #„а (при любых п
и а) есть покрытие пространства X. В самом деле, для мно-
множества Нп ? дп имеем
п 1|(«ПСпа), т. е. Ни^[]Нпа,
а а
значит,
п., а па п
Далее, согласно формуле (8) имеем
Нпа Е Gna = Зв„+з Fna E Fn+\, а,
поэтому покрытие у' вписано в Y = {f/a}.
Остается доказать, что покрытие у' локально Конечно. Пусть
«е! Так как § = {//„} локально конечно, то существует ок-
окрестность Ох точки х, пересекающаяся лишь с конечным числом
множеств Нп (т. е. не пересекающаяся ни с одним Нп, номер п
которого больше некоторого числа п0). Так как система ©„ ди-
дискретна, то для каждого п sg п0 существует окрестность Опх =
Е Ох, пересекающаяся не более чем с одним Gna. Тогда окрест-
ность О'х= f] Onx не пересекается ни с каким Нпа = Я„ при
п=1
« > «о, а при п ^. п0 может пересекаться не более чем с одним
Н„а s Gna, значит, всего может пересекаться лишь с конечным
числом элементов покрытия у'.
Паракомпактность пространства X доказана.
Дадим второе доказательство паракомпактности метрических
пространств, выведя ее как простое следствие из теоремы 19.

136 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Пусть X — метрическое пространство. Будем считать
diam X < оо. Требуется доказать, что ко всякому открытому по-
покрытию у = {Га} имеется звездно вписанное в него открытое по-
покрытие у'- Относительно индексов а, которыми занумерованы
элементы покрытия \, вновь предполагаем, что они являются по-
порядковыми числами (пробегающими все значения, начиная с О
до наименьшего порядкового числа шт» мощность которого равна
мощности покрытия у, 0 <; а < сот).
Для каждой точки х^Х обозначаем через а{х) наименьшее
такое порядковое число а, что х е Га. Тогда через е{х) обозна-
обозначаем число
и полагаем
(И) U(x) = O(x,e(x)).
Замечание 3. Если для точки у е X имеем р (х, у) < 4е (х),
то р(л:, у)<р(х, Х\Та{х)) и, значит, уеГвA).
Этим замечанием мы существенно воспользуемся в конце на-
нашего доказательства; пока же заметим лишь, что из него сле-
следует включение
V{x)mmO (х, е (х)) S О (х, 4е (*)) s Г„ w.
Множество всех U(x), взятых для всех точек х^Х, образует
покрытие
пространства X. Докажем, что у' есть искомое покрытие, звездно
вписанное в у.
Берем произвольную точку вЕ^; полагаем
A2) Еа = {х: U (х) эй) = {х: е(х)>р (х, а)).
Положим
A3) d(a)= sup в (а:).
хека
Очевидно, d(a) есть положительное число (конечное в силу сде-
сделанного предположения о конечности диаметра пространства X)..
Берем точку
2
под условием е F) > у d (a),
т. е. под условием
(И)

5 И] МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 137
Наша цель будет достигнута, если мы докажем, что Зву (а),
т. е. множество |J U (х), содержится в элементе ro(j)'no-
(
крытия у.
Для этого в свою очередь достаточно доказать, что из
U(x) э а, т. е. из х е Еа, следует U(x) s Гада-
Итак, пусть х е Еа. Это значит, что
A5) г(х)>р(х,а).
Требуется доказать, что тогда для любой точки у е U(x) имеем
уеГаф). Но из сделанного выше замечания следует, что для
этого в свою очередь достаточно доказать, что
p(b,y)<4e(b).
Итак, нам даны: точка аеХ, точка be Еа и, значит, е F) >
>р{Ь, а) (по формуле A2)), точка хеЕа и, значит, р (х, а) <
<е(л:), точка yeU(x) и, значит, р(х, у) < е(х). Вычисляем
в этих условиях
A6) р(у, Ь)<р(у, х) + р(х, а) + р(а, Ь)< в(х) + е (*) + в F).
Но «еЯ,,, поэтому из A3) и A4) следует
Подставляя это в последнюю часть неравенства A6), получаем
р (у, Ь)< } е (Ь) + у е (Ь) + е F) = 4е (Ь),
что и требовалось доказать.
3. Критерии паракомпактности. Мы только что доказали,
что нормальное пространство X паракомпактно тогда и только
тогда, когда в любое его открытое покрытие ш можно сильно
звездно вписать некоторое открытое покрытие со'. Во многих
случаях полезны критерии паракомпактности, содержащиеся
в следующей теореме М а й к л а [1]:
Теорема 20. Для регулярного пространства X каждое из
следующих условий эквивалентно условию паракомпактности:
A) в любое открытое покрытие пространства X можно впи-
вписать открытое а-дискретное покрытие;
B) в любое открытое покрытие пространства X можно впи-
вписать открытое а-локально конечное покрытие;
C) в любое открытое покрытие пространства X можно впи-
вписать локально конечное покрытие (состоящее из множеств про-
произвольной природы);
D) в любое открытое покрытие пространства X можно впи-
вписать локально конечное замкнутое покрытие*

138 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. !
Доказательство. Утверждение A) вытекает из пара-
паракомпактности X на основании предложения 8 из § 10. Утвержде-
Утверждение B) вытекает из утверждения A) очевидным образом.
Выведем из утверждения B) утверждение C).
Лемма 5. В любое открытое счетное покрытие со = {О,},
i = 1, 2, 3, ..., топологического пространства X можно комби-
комбинаторно вписать локально конечное покрытие.
Доказательство. Пусть
Ki = O, и К, = О,\[)Ои / = 2,3,4,...
Так как, очевидно, |J Kt= \J Ot, /= 1, 2, 3 то система
Kl Kl
v = {Ki}, i = 1, 2, 3, ..., является покрытием пространства X,
комбинаторно вписанным в покрытие со. Выберем точку леА
и через t'o обозначим минимум тех i, для которых х е Ot. Тогда
множество Of0 является окрестностью точки х, пересекающей
множества К{ лишь для t ^ to. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь произвольное открытое покрытие со про-
пространства X и впишем в него открытое покрытие v, распадаю-
распадающееся в сумму локально конечных систем v* = {Оа}, осе 91»,
i = 1, 2, 3, ... В открытое счетное покрытие {v;}, i = 1, 2, 3, ...,
пространства X, по лемме 5, комбинаторно впишем локально ко-
конечное покрытие ц = {?>*}, i — 1, 2, 3, ... Так как каждая система
Лг = {Оа П Di), a e 91, локально конечна в X, вписана в покры-
покрытие v и покрывает множество Dit а покрытие tj локально конечно,
00
то система [J tij является локально конечным покрытием про-
• (=i
странства X, вписанным в покрытие со. Итак, утверждение B)
теоремы 20 влечет утверждение C).
Пусть дано утверждение C). Рассмотрим произвольное от-
открытое покрытие со пространства X. В силу регулярности X, для
каждой точки х & X существует окрестность Ох, замыкание ко-
которой содержится в одном из элементов покрытия со. Впишем
в покрытие {Ох} локально конечное покрытие {Ах}. Покрытие
{[А*]} замкнуто, вписано в покрытие со и локально конечно (см.
§ 6, п. 4). Итак, утверждение C) теоремы 20 влечет за собою
утверждение D).
Пусть имеет место утверждение D). Покажем, что простран-
пространство X паракомпактно.
Рассмотрим открытое покрытие со пространства X. В покры-
покрытие со впишем какое-нибудь локально конечное покрытие "К. Для
каждой точки х ^ X воэьмем окрестность Ох, пересекающую
лишь конечное число элементов покрытия К. В покрытие {Ох)

§ 11) МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 139
впишем замкнутое локально конечное покрытие ц = {Fa}. Для
каждого элемента D покрытия к рассмотрим окрестность
OD = X\ (J Fa.
Из построения окрестностей OD ясно, что соотношения
a = A и
равносильны для любых Dg^ иРаец. Следовательно, каж-
каждый элемент Fa покрытия ц пересекает лишь конечное число
элементов системы | = {OD}, DgA. Так как для произвольной
точки «еХ существует окрестность Vx, пересекающая лишь ко-
конечное число элементов покрытия ц, а каждый из этих элемен-
элементов пересекается лишь с конечным числом элементов системы |,
то система | локально конечна. Фиксируем для каждого эле-
элемента D покрытия % какой-нибудь содержащий его элемент UD
покрытия со. Тогда система {UD П 0D] является, очевидно, ло-
локально конечным открытым покрытием пространства X, вписан-
вписанным в "покрытие со. Паракомпактность пространства X установ-
установлена, и теорема 20 доказана.
4. Несколько предложений о сильно паракомпактных и фи-
финально компактных пространствах. Предложение 3.
Локально бикомпактное паракомпактное пространство X сильно
паракомпактно.
Лемма 6. Если замыкание каждого элемента локально ко-
конечного покрытия со топологического пространства X бикомпакт-
но, то покрытие со звездно конечно.
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент А
покрытия со и его замыкание [А]; каждая точка х е [А] обладает
в X окрестностью Ох, пересекающей лишь конечное число эле-
элементов покрытия со. Из покрытия {Ох}, х е [А], бикомпактного
множества [А] выделим конечное подпокрытие {Оде,-}, i= 1, ...
..., s. Так как каждое множество Ох{ пересекает лишь конечное
S
число элементов покрытия со, то их сумма O = [J Oxi обла-
дает тем же свойством. Но тогда и множество /isO пересекает
лишь конечное число элементов покрытия со, что и требовалось
доказать.
Докажем предложение 3.
Возьмем произвольное открытое покрытие со пространства X.
Для каждой точки х е X выберем окрестность Ох, замыкание
которой бикомпактно. По условию в пересечение со Л со' покры-
покрытий со и со' = {Ох}, х е X, можно вписать локально конечное от-
открытое покрытие со". Оно, очевидно, вписано и в со и в со'. Из
вписанности о" в и' следует, что замыкания элементов покрытия

140 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1ГЛ, 1
со" бикомпактны. Из леммы б следует, что покрытие со" звездно
конечно, что и требовалось доказать.
Так как метризуемые пространства паракомпактны, то спра-
справедливо
Следствие 1. Локально бикомпактное метризуемое про-
пространство сильно паракомпактно.
Предложение 4. Регулярное финально компактное про-
пространство X сильно паракомпактно.
Прежде чем доказать это предложение, докажем несколько
вспомогательных утверждений.
Лемма 7. Регулярное финально компактное пространство
паракомпактно.
Лемма сразу же следует из определения финальной компакт-
компактности и теоремы 20.
Из регулярности локально бикомпактного хаусдорфова про-
пространства, из леммы 7 и предложения 3 вытекает
Следствие 2. Локально бикомпактное хаусдорфово фи-
финально компактное пространство сильно паракомпактно.
Топологическое пространство X будем называть а-бикомпакт-
ным, если его можно представить в виде счетной суммы биком-
бикомпактных подмножеств.
Лемма 8. Любое а-бикомпактное пространство финально
компактно.
Доказательство. Пусть пространство X представлено
в виде суммы своих бикомпактных подмножеств Xt, i = 1, 2,
3, ..., и пусть со — произвольное открытое покрытие простран-
пространства X. Для каждого номера i из со выделим конечную подси-
стему ац, покрывающую множество Xt. Ясно, что система \J ©<
i—\
является счетным подпокрытием покрытия со, что и требовалось
доказать.
Лемма 9. В нормальном пространстве X в любой окрестно-
окрестности Fa-множества А содержится корректная окрестность, т. е. ок-
окрестность, являющаяся Ра-множеством.
Доказательство. Пусть множество А является суммой
замкнутых в X множеств Аи i == 1, 2, 3, .... и пусть О — окрест-
окрестность А. Так как для каждого номера i в окрестности О множе-
множества At содержится корректная окрестность V{ (см. § 10, пред-
оо
ложение 4), то множество V = JJ F{ является искомой окрест-
ностью множества А. Лемма доказана.
Следствие 3. В нормальном пространстве X в любой ок-
окрестности финально компактного множества В ? X содержится
корректная окрестность.

9 П] МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 141
• Доказательство. Пусть О— окрестность множества В.
Для каждой точки «efl возьмем окрестность Ох, с замыка-
замыканием содержащуюся в О. Из покрытия {Ох}, л: <= 5, множества В
выделим счетное подпокрытие {Oxt}, i = 1, 2, 3, ... Множество
оо
А = N [Oxt] имеет тип Fa в X, содержит множество В и содер-
жится в О. По лемме 9 существует корректная окрестность V
множества А, а следовательно, и множества В, содержащаяся
в О, что и требовалось доказать.
Докажем теперь предложение 4. Так как пространство X нор-
нормально (и даже по лемме 7 паракомпактно), то его можно,
в силу теоремы Тихонова, считать подмножеством бикомпакта
ЬХ. Рассмотрим какое-нибудь открытое покрытие со = {Оа},
а е 91, пространства X. Каждое множество Ол является пересе-
пересечением X с некоторым открытым в ЬХ множеством Ua. Сумма
аеИ
является окрестностью X в ЬХ. Из следствия 3 вытекает воз-
возможность выбрать корректную окрестность V множества X в ЬХ,
содержащуюся в V,
Так как множество V открыто в бикомпакте ЬХ, то оно ло-
локально бикомпактно. Так как множество V имеет тип Fa в би-
бикомпакте ЬХ, то оно является ст-бикомпактным. В силу леммы 8
и следствия 2 множество V сильно паракомпактно. Поэтому
в покрытие {V Г) Ua}, a e 21, множества V можно вписать от-
открытое звездно конечное покрытие {№»,}. Очевидно, покрытие
{W% П X) пространства X будет открытым, звездно конечным и
вписанным в покрытие со, что и требовалось доказать.
Следствие 4. Любое а-бикомпактное регулярное простран-
пространство сильно паракомпактно.
Следствие 5. Метрические пространства со счетной базой
сильно паракомпактны.
Следующее утверждение показывает, что для связных про-
пространств сильная паракомпактность и финальная компактность
эквивалентны (см. предложение 4):
Предложение 5. Если связное пространство X сильно па-
ракомпактно, то оно и финально компактно.
Действительно (см. § 6, п. 3), в силу открытости и замкну-
замкнутости тела любой компоненты звездно конечного открытого по-
покрытия со пространства X и в силу связности X, покрытие со
имеет всего лишь одну компоненту. Но так как каждая компо-
компонента звездно конечного покрытия счетна, то покрытие ш счетно.

142 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Таким образом, вписав в произвольное открытое покрытие v про-
пространства X звездно конечное открытое покрытие, мы впишем
в v открытое счетное покрытие. Предложение б доказано.
ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ
§ 1. Обратные спектры топологических пространств*)
Пусть дано направленное множество й, элементы a, р, у, ... которого
будем называть индексами. Пусть каждому а е $ поставлено в соответ-
соответствие топологическое пространство Хаи всякий раз, как только Р > а, опре-
определено непрерывное отображение
причем если v>P>a> to
(О аЯ-Ф?-
Тогда будем говорить, что дан обратный спектр S = [Ха, S^}, a e Щ. Про-
Пространства Ха будем называть элементами спектра S, а отображения S^ —
проекциями**). Условие A) называется условием транзитивности проекций
этого спектра.
Точка х = {ха1 топологического произведения П = JJ Ха называется
нитью спектра S, если жа = Э^Жр при р > а. Элемент ха нити х называется
а-й координатой иити х. Пределом спектра S называется множество
X S.U всех иитей спектра S, снабженное топологией, индуцированной про-
произведением П. В этом случае пишем:
X = llm S.
Из определения топологии в X сразу следует, что
«>Х < w 1 ТТ Яа\ < max (sup wXa, мощи. Щ.
\ае« / а
Проектирования яа: П -> Яа, рассматриваемые лишь иа пределе X
спектра S, будем называть проекциями предела X в элементы Яа спектра S
и обозначать через Sa: X -> Xa. Из определения нитей сразу же вытекают
равенства
B) 8„ = Фр
при Р > а.
Так как непрерывны проектирования яа: П ->• Ха, то непрерывны и про-
проекции Sa: X -> Xа.
*) Впервые для частного случая, когда Го-пространства Яа являются
комплексами, а множество индексов й = {а} счетио, введены Алексан-
Александровым [7], [9] («проекционные спектры»). Это были исторически первые
«обратные системы». Далее см. Курош [1], Фрейденталь [1], Але-
Александров [19], Стинрод [1].
**) Через Э„ будем обозначать тождественное отображение Ха.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ 143
По определению топологии в П и в X, базу в X образуют пересече-
пересечения X с элементарными открытыми в П множествами, т. е. множества вида
где множества Оа открыты в Ха, /=1, ..., s. Докажем более сильное
Предложение 1. Базу в X образуют всевозможные множества
вида Sj'Oa, где Оа — открытое в Ха множество, ael.
S
Действительно, пусть О = fjS^'O , где множества О„ открыты в Ха ,
I = 1, ..., s. Возьмем индекс a 1> а;, /=1, ..., s. Тогда множество
s
Oa= I] (ft"\ Oa открыто в пространстве Ха и, в силу соотношений B),
(=1 ' ' i=!
Предложение 1 доказано.
Прообразы S~'oa открытых в элементах Ха спектра S множеств Оа бу-
будем называть элементарными открытыми множествами предела X спектра S.
Так как при { = 0, 1, 2, 3, 3-у- подпространство ^-пространства яв-
является ^-пространством и так как произведение 7\-пространств является
^-пространством, то предел X спектра из Т(-пространств Ха, a e St.
является ^-пространством, ; = 0, 1, 2, 3, 3-j.
По тем же соображениям (см. гл. 1, § 8, предложение 6) предел обрат-
обратного спектра из индуктивно нульмерных пространств индуктивно нульмерен.
Предложение 2. Если элементы обратного спектра S = {ДГа, S^},
oel, хаусдорфовы, то предел X спектра S замкнут в произведении
п= П х*
Доказательство. Пусть у = {уа) еП\Х. Тогда существует такая
пара индексов а и Р>а, что
Sa?/f} = Уа ^ Уа-
Возьмем непересекающиеся окрестности Оуа и Оу'а точек уа а (/„•
Из непрерывности проекции S^ вытекает существование такой окрест-
окрестности Oi/p точки j/р, что S^O(/p = Оу'а. Ясно, что множество л~1Оуа[\п^'Оу^
является окрестностью точки у в П и содержится в П \ X. Таким образом,
множество П \ X открыто, а множество X замкнуто в П, что и требовалось
доказать.
Из доказанного предложения и из теоремы Тихонова о бикомпактиости
произведения бикомпактов вытекает
Предложение 3. Предел обратного спектра из бикомпактов*) яв-
является бикомпактом.
*) То есть спектра, элементы которого являются бикомпактами.

144 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Предел спектра из непустых пространств может быть, вообще говоря,
пустым. Однако имеет место
Предложение 4 (Курош[1], Стиирод[1]). Предел X обрат-
обратного спектра [ха, S^}, вей, из непустых бикомпактов Ха непуст.
Доказательство. Через Пр обозначим множество тех точек
» = {jta}ell, для которых ха = э?хр "при а<р. Так как бикомпакт Х$
непуст по условию, то непусто и множество Пр. Действительно, если х$ е Хр
то множество Пр содержит точку х, у которой ха = х^ при a = fj, xa = OJjxg
при a<p, а остальные координаты выбраны произвольно. Система мно-
s
жеств Пр, fsf, центрирована, так как || Пя Э П» при р >${, I = 1 s.
Наконец, множества Пр замкнуты в П, что доказывается так 'же, как
предложение 2. В силу бикомпактности произведения П пересечение J] П^
ре я
непусто и состоит, очевидно, из нитей спектра S, что и требовалось доказать.
Как было показано в предложении 7 из § 8 гл. 1, непрерывные отобра-
отображения пространства X в срмножители топологического произведения по-
порождают непрерывное отображение X в само произведение. Установим ана-
аналогичное утверждение для обратных спектров. Пусть дан обратный спектр
S = \Ya, S^}( аей, и пусть для каждого a e Я определено отображение
fa •" Х-*- Уaмножества X в пространство Уа, причем
C) fa-rfaf?
если р > а.
Тогда для любой точки х е X набор {fax} е П = JJ Ya является
a <=9i
нитью спектра S, т. е. определено отображение f: X-*-Y множества X в пре-
предел Y спектра S. Это отображение мы будем называть пределом отобра-
отображений fe, a e Я, и писать
f - lim fa.
Очевидно, отображение / для любого a e Я удовлетворяет условию
D) fa = Sef.
Предложение 5. Г. Пусть X есть топологическое пространство, а все
отображения fa непрерывны; тогда предел f отображений fa также непре-
непрерывен. 2°. Если, кроме того, множество faX всюду плотно в Ya для лю-
любого а, то множество fX всюду плотно в пределе Y спектра S. 3°. Если X —
бикомпакт, все элементы Ya спектра S хаусдорфовы и множества faX всюду
плотны в Ya, то fX = Y.
Доказательство. Г. Отображенне /: Х-*-УеП совпадает с диа-
диагональным произведением непрерывных отображений /a, a e й, и поэтому
непрерывно (см. гл. 1, § 8, предложение 7).
2е. Рассмотрим открытое в Ya множество Оа и его прообраз S^'oa.
Если [faX] = Ya, то faX П Оа ^ Л. Тогда, в силу соотношения D), и
Из предложения 1 следует, что [fX] <=• У, если [faX] = У« Для любого
ае St.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ 145
3°. Если все У а хаусдорфовы, то и предел Y спектра S хаусдорфов. По-
Поэтому, если X — бикомпакт, то его образ fX — также бикомпакт и, следова-
следовательно, замкнут в Y, откуда fX = [fX] = У, ч. и т. д.
Предложение 6. Пусть даны спектры S = [Ха, ?(?], а е Я,
и 2 = {Ка, я?}, а е Я, и (Эля все* а е Щ определены такие непрерывные
отображения
ga: Xa^-Ya,
что
C0 «?*p-*«»S
при р>а Тогда существует такое непрерывное отображение f: X -+Y пре-
предела X спектра S в предел Y спектра 2, что
D') naf
Доказательство. Отображения fa=sl8a^a' X->Ya непрерывны,
н при р>а имеем
fa м ?А = 8аФ*& ет «о?PSP M "afp-
По предложению 5 предел f отображеиий fa, as31, непрерывен и выпол-
выполнено условие D):
"af = f a = ga&fi-
Предложение 6 доказано.
Рассмотрим спектр S"« {JTa,Sj[], as Я, ив каждом Ха выберем под-
подпространство Аа таким образом, что Э^Лр = Ла при р>а. Тогда, очевидно,
определен спектр SA = [Аа, S^J *), аеЯ. Произведение JJ Аа естественно
вложено в произведение JJ ^а, и нити спектра SA являются, очевидно,
аеЯ
нитями спектра S. Поэтому предел А спектра S^" естественно вложен
в предел X спектра S. Покажем, что
E) л= П s;rX
НЕЙ
Действительно, если jf = |jfa}e J| S^"'y4a, то xBs^a для любого
аея
аей, Следовательно, иить х спектра S является и нитью спектра SA, т. е.
|) Э~'Ла=А Наоборот, если х&А, то S^e^, т. е. Ав (| Эц'Лц.
пеЯ a e Я
Равенство E) установлено. В частности, имеем
Предложение 7. Для множества F, замкнутого в пределе X
спектра S = {Яо, SJJ}, aeЩ, предел спектра SF = {SaF, S^}, asl, совпа-
совпадает с множеством F.
Доказательство. Как мы только что показали, достаточно устано-
установить равенство
F= fl Sa4^
*) Проекции Э^ рассматриваются теперь только на

146 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Включение Fs f| Sa'^V очевидно. Пусть x^F. Тогда существует
а<=И
(см. предложение I) такой индекс а и такое открытое в Ха множество Оа,
что xs&~lOasX\F. Следовательно, &aFf\Oa = \ и x^S^'SF. Тем
более хф f") S~'SaF. Итак, F2 |) S^'S,/. Предложение 7 доказано,
a <=9l os«
Предложение 7 позволяет переходить от спектра S = [ха, s?}, a s Я,
с проекциями S]![ и Sa, не являющимися, вообще говоря, отображениями
«на», к спектру с тем же пределом, что и исходный спектр, и с проекциями
3^ и Sa, являющимися отображениями «иа».
Действительно, в силу предложения 7 достаточно рассмотреть спектр
{ ?}
{a ?}
Подмножество W направленного множества 9t называется конфинальной
частью Щ, если для любого элемента oel существует элемент a'eЩ',
следующий за а: а']>а.
Пусть дан обратный спектр S = [A'a, S^], as91, и 9t' — конфинальная
часть множества ЭГ. Тогда W есть направленное множество и определен
обратный спектр S' => {Ха, s?}, asSt', называемый конфинальной частью
спектра S.
Предложение 8. Пусть обратный спектр s' = [xa, 8^}, аей',
является конфинальной частью обратного спектра S = {дГа, S^}, a s Я.
ГогЗа отображение S: Я -> ^' предела X спектра S в предел X' спектра S',
ставящее в соответствие нити х = {ха), a s ЭГ, спектра S нить х1 = {ха},
aef, спектра S', есть гомеоморфизм X на X'.
Доказательство. Построим отображение S': X' -> X, обратное к S.
Пусть х' = {жа}е^'. Для произвольного аеЯ положим
Точка жа от выбора индекса р<=2Р не зависит. Действительно, пусть
Р>а, у>а, р и уе9г. Возьмем индекс 6 s W, следующий и за р и за у.
Тогда (так как х' — иить спектра S')
Таким образом, мы имеем точку х = {ха], аеЯ, произведения JJ
Покажем, что это иить спектра S.
Пусть р>а. Возьмем Y^P. Ye^'- Тогда, по определению множе-
множества х, имеем
Итак, в соответствие произвольно выбранной нити х' е X' мы поставили
иить х — SV е ^.
Очевидно, SSV = ж', ж'е^Г' и S'S* = ж, «е! Поэтому отображение
S: X ^> X' является взаимно однозначным отображением X на X', а ото-
отображение S' обратно к S.
Пусть множество Оа открыто в Яа, аеЭГ. Возьмем индекс
Я' Тогда

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ ' 147
Поэтому базу в X образуют (см. предложение 1) всевозможные множества
вида S^'Op, где Og —открытое в Х^ множество,р е Ш'. Обозначая через Sg
проекцию предела X' в элемент Х$ спектра S', имеем
Поэтому
т. е, отображение S переводит базу пространства X в базу пространства X'
и потому является гомеоморфизмом (см. гл. 1, § 2 предложение 4), что и
требовалось доказать.
Предложение 9. Если в спектре S = \ха, s?}, a e Я, из биком-
пагтов Ха все проекции S^ являются отображениями <на», то и все
проекции Sa являются отображениями *на>.
Доказательство. Возьмем какой-нибудь индекс а0 и точку
ха е Ха>. Множество i'={osl: а>а0}, в силу направленности п,
является конфинальной частью Щ. Поэтому вместо спектра S, по предыду-
предыдущему предложению, достаточно рассмотреть спектр S' = {Яа, S^}, a e Я'.
По условию бикомпакты (SjfJ ха = Фа, ael', непусты и при p>a>a0
выполнено соотношение
- ^ («©"' К)"' *a0 - Sg И)"' Ф« = Ф«-
Но
К**. =№«)"' *«0 = Sa ' К)"' *«, =S«'Фа
для любого а :> а0, поэтому
Sa>a, = П Sa'Фа-
Из равенства E) следует, что множество S^'xa гомеоморфно пределу
Фа> S?}i ae Я', а этот предел, в силу предложения 4, непуст,
значит, непусто и множество S^'jc^. Следовательно, Э^Я э х^. Так как
точка jfa(j е ^^ бралась произвольно, то Ва)Х = Xai>. Индекс а0 взят произ-
произвольно, поэтому предложение 9 доказано.
Предложение 10. Если множества Pi и Рг замкнуты в пределе X
обратного спектра [Ха, 8^}, аеЩ, Fl[)P2 = A. и множество F, бикомпактно,
то существует такой индекс $ и в Ха существует такое открытое множе-
множество Ор, что
в частности,

148 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. 1
Доказательство. Для каждой точки х е F, существует такой
индекс а = а(х) и такое открытое в Ха множество Оа, что *eVa =
= S^'Oas X \F2. Из покрытия {Ка} бикомпактного множества F, выделим
конечное подпокрытие {KaJ, /= 1, .... s. Пусть р > а, и О, =(»? )~'оо •
/«I,..., ft Тогда
,.
Положим Og = U Ot. Множество V = Sjf'Op = [J Va есть окрестность
Множества Fit не пересекающаяся с множеством F2. Следовательно,
" = Л, что и требовалось доказать.
Предложение 11. Пусть дан обратный спектр S = {^a, s?}, a e Я,
из бикомпактов Ха с проекциями Sg, являющимися отображениями *на».
Тогда для любого открытого покрытия to предела X спектра S существует
такой индекс a=a(to) и такое конечное открытое покрытие {V{}, /= 1, ..., s,
бикомпакта Ха, что покрытие {S~lV{}, /«*¦ 1, .... s, вписано в покрытие to.
Доказательство. Представив элементы покрытия to в виде суммы
этементариых открытых множеств, получим открытое покрытие to' биком-
цакта Х- из элементарных множеств, вписанное в покрытие to. Из покры-
покрытия to' выделим конечное подпокрытие v = {О, = S~lOa }, l**l,..., s, би-
бикомпакта X /множество Oa открыто в Ха , 1=1, ..., sV Возьмем индекс
a > at, t= 1, .... s, и положим У^ = (Э2 ) Оа, i=\, ..,, s. Множества V(
открыты в Ха, и покрытие
вписано в покрытие to.
Из предложения 9 следует, что
(J к, э (J s0o,=аа (J о, = эах=ха,
т. е. система {F<}, i=l, ..., s, является покрытием бикомпакта ЛГа. Пред-
Предложение 11 доказано.
Предложение 12. Если в обратном спектре S = {яа, S^), as8,
из хаусдорфовйх пространств Ха все проекции S§ являются совершенными
отображениями, го совершенными отображениями будут все проекции
Sa: X -»• Ха предела X спектра S. Если для индекса а0 проекции S?o,
а>а0, являются отображениями «на», то отображением «на» будет и
проекция &а>.
Доказательство. Фиксируем какой-инбудь индекс а0 н покажем,
что проекция SL ивляетси совершенным отображением. Возьмем точку
•«a, e ха,- Очевидно,

' . ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ 149
Для бикомпактов Фа = (Эц()) ха) имеем (при р>а) соотношение
©"' К)"' Ч - («в) Фа-
О"'
Поэтому в силу формулы E) множество Ф — fS^x^ совпадает с пределои
спектра {Фа, S^], а > а0, а в силу предложения 3 Ф есть бикомпакт. Если
все проекции S^ являютси отображениями «иа», то бикомпакты Фа непусты,
а :> ао. и, по предложению 4, непуст бикомпакт Ф, т. е. S0(i есть отобра-
отображение «на».
Установим замкнутость проекции S0|).
Для каждого а>а0 рассмотрим множества Ka=[Sa^]. В силу непре-
непрерывности проекций s? и включений Э?эрЯ = &аХ s Ya имеем включения
psya, p>a>a0.
Из замкнутости множеств Ур в Х^ и замкнутости проекций О? следует, что
Э^Ур =• Ка и что отображение s?: Ур->Уа замкнуто. Ясно также, что
множества УрЛ(э?)~ #„ бикомпактны для любого уа s Уа- Итак1 отобра-
отображения SJJ: Ур-^Усц р'> a ^ ctg. являются совершенными Отображениями У»
на Уа.
По формуле E) и предложению 8 предел спектра S'= {Уа, SJJ}, а>а0>
совпадает с множеством J] Э^'Уа S ^, Но так как Уа a Sa^ для
a>a,
Любого а, то предел спектра S' совпадает с пределом X спектра S. Так как
множество У0A замкнуто в Хаа, то достаточно установить замкнутость ото-
отображения Эц^ X ->¦ Y^.
Рассмотрим замкнутое в X множество F и точку *„о s Ya> \ SajF.
Прообраз Ф = Э~'д;аA является, по доказанному, бикомпактом и ^ПФ = Д.
По предложению 10 существует такой индекс a>a0 и в Ха существует
такое открытое множество Оа, что
Так как все проекции в спектре S' являются отображениями «на», то,
по доказанному, отображением «на» будет и проекция Sa. Поэтому
фа
и, следовательно,
Фа = Оа-
Из замкнутости отображения SjJo: I'a^l'a, вытекает (см. гл. 1, § 1,
предложение 11) существование такой окрестности О*а| точки ха>, что
(K)~l0xats0a. Но тогда :
о-'о^о - »-' (s°o)-' o*ae s s-'oa s x \ л
следовательно, OaoF f| Ox^ ¦¦ Л. Так как точка х^ ф S0(iF выбиралась
произвольным образом, то множество &а/ замкнуто в У^. Предложение
доказано.

150 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ (ГЛ. 1
Важным частным случаем обратных спектров являются спектры, для
которых множество Щ является множеством натуральных чисел (или мно-
множеством неотрицательных целых чисел), т. е. спектры вида
S = {Xn, S™}, « = @), 1, 2, 3
Для таких спектров достаточно указать лишь проекцииЭ?+1,я=@), 1,2,3, ...,
считая
Очевидно, если все пространства Хп непусты, а проекции S^+1 яв-
являются отображениями «на», то проекции Э„: Х-*-Хп предела X в эле-
элемент Хп спектра S также являются отображениями «на» и, в частности,
ХФА.
Следующие утверждения, выясняющие связь обратных спектров с топо-
топологическими произведениями, понадобятся нам лишь в гл. 9.
Предложение 13. Гильбертов кирпич Q°° еомеоморфен пределу
спектра S = {Qn, S?+I}, л =1,2,3,..., элементами которого являются
п-мерные кубы Qn (рассматриваемые при п > 1 как произведения
Q"~1XQ1), о проекции S?+1 которого совпадают с проекциями произве-
произведения Qn+]= Qnx Q1 на сомножитель Qn.
Доказательство. Гильбертов кирпич Q00 будем рассматривать
как произведение JJ Q\ счетной системы отрезков Q\={xi'- 0 ^ х{ ^ 1),
i=l, 2 3,... (см. гл. 1, § 8). Элемент Q" спектра S будем рассматривать
п
как произведение J\Q\ отрезков Q\ = {xt: 0< *, < 1}, ;=! п а
(=1 '
проекцию S"+1 — как отображение, ставящее в соответствие точке
(*,. .... хп, *„+,)<= Q"+1 точку [хх xn)eQn.
Через рп: Q°°-*-Qn обозначим отображение, ставящее в соответствие
точке (*ь ..., хи ...) е Q" точку (хи ..., х„) &Qn. Это отображение,
очевидно, непрерывно, н
при 1 ^ п ^ т. Следовательно, определен предел
р: Q°°-+Y
отображений рп, где Y—предел спектра S. Как уже отмечалось выше,
отображение р непрерывно и
F) р„ •= рЭ„,
где Sn — проекция предела Y спектра S в элемент Q" этого спектра,
я = 1, 2, 3, ...
Если точки *' ¦=¦(*(, .... х\, ...) s Q°° и *"=(*", ...,х'{, ...)eQ°°
различны, то существует такой номер п, что хпФ хп. Тогда рпх Ф рпх"
и, в силу соотношения F), рх' Ф рх", т. е. отображение р: Q°° -> pQ°°
взаимно однозначно.
Рассмотрим иить у«= («/«}, я= 1,2,3,..., спектра S. Пусть «/„ =
= (*i хп), л=1, 2, 3, ... Тогда набор (xt *„,...) есть точка
х е Q00, лля которой рпх = уп, т. е. рх = у. Следовательно, отображение
р: Q°° -> У есть отображение на весь предел Y. Так как Q00 — бикомпакт,

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ 151
то (см. гл. 1, § 7, следствие 1) р есть топологическое отображение Q00 на Y.
Предложение 13 доказано.
Мы сейчас докажем предложение, являющееся обобщением только что
полученного.
Начнем с предварительных рассмотрений.
Множество всех непредельных порядковых чисел, меньших предельного
порядкового числа 0 бесконечной мощности т, обозначим через St.
Рассмотрим систему бикомпактов Ха, занумерованных всеми числами
осе а.
Положим Я, = Xi. Предположим, что для всех чисел P<v. у<® уже
построены: бикомпакты Яр и при {$'<р непрерывные отображения Щ, би-
бикомпактов Яр на бикомпакты Яр/, удовлетворяющие при Р"<Р'<р соот-
соотношениям
Если число у непредельное, то положим Ру = Яу_( X^v н через S^_j
обозначим проекцию произведения Яу_[ X ^у на сомножитель Ру-\. При
Р<\—1 положим S^( = 5J^—1 • S^_j. Ясно, что Щ есть отображение «на».
Пусть Р' < р < у. Тогда
Щ. = Sjfr'fflV., = $ • Щ-'Щ., = Sg, • Щ.
Если число у предельное, то через Ру обозначим предел спектра SY =
= {я», SJJ,}, р < у, а через Щ — проекцию этого предела в элемент Яр
спектра Sy. Соотношение Щ, = S^SjSj при P'<p<v сразу же следует из
определения проекций Щ, и Щ. То, что проекции Щ являются отображе-
отображениями «иа», следует из предложения 12.
Бикомпакт, являющийся пределом спектра S = S(Xa, аей)= {Яр, Щ>],
Р<6, обозначим через Я, его проекции на элементы Яр спектра S обозна-
обозначим через Эр.
Теперь докажем
Предложение 14. Бикомпакт Р гомеоморфен произведению
Х- П Х«-
Через qa обозначим проекцию произведения Яа = Яа-|Хла на сомно-
сомножитель Х,ве1. Возьмем ннть у = (у } eP,j,e Я ,- спектра S. Через hy
обозначим набор {qaya}< a e St. Ясно, что hy e X.
Итак, мы имеем отображение
А: Я -> X.
Покажем, что h есть отображение «на». Возьмем точку х — {ха) е X.
Положим «/] =q~1Xy Пусть для всех чисел P<v> Y<6, уже построены
точки }. е Р., удовлетворяющие при Р'<Р соотношениям S^,y^ = y^. Если
число у непредельное, то полагаем Уу=(Уу-\, *у) е Ру. Если число v
предельное, то через j/Y обозначим нить {«/pj, P<v> спектра Sv. Ясно, что
и в первом и во втором случае Щуу = у^ прн P<v- Построив указанным
способом точки j/р для всех р < в, получим точку у = fj/p} e Я, для которой
hu=>x. Итак,

152 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Покажем, что отображение А взаимно однозначно. Пусть «/' = {«/я}>
1= 1, 2, и у1 Ф у2. Тогда существует такое наименьшее у<в, что ух ФуЪ
Число у не может быть предельным. В самом деле, если бы оно было
предельным, то нити у1у »¦ {j/р} и j/y = {i/jj}, Р<у. имели бы различные коор-
координаты j/р и j/jj для некоторого Р<у. что противоречит минимальности у.
Итак, число v непредельное.
В силу минимальности у справедливо соотношение q у1 Ф qvyl. Следова-
Следовательно, Aj/1 Ф Ну2. Взаимная однозначность А установлена.
Докажем непрерывность А. Фиксируем в бикомпакте Х^ открытое
множество О0о. Через Va( обозначим множество тех точек х = {*a} e X
для которых х^еО^. Ясно, что А^ = S^'i/^'O^. В силу непрерыв-
непрерывности отображений SO( и qa> множество А~'Оао открыто.
Так как всевозможные конечные пересечения множеств вида Va> обра-
образуют базу в X и прообраз пересечения равен пересечению прообразов, то
прообразы элементов некоторой базы произведения X открыты в Р. Сле-
Следовательно, отображение А непрерывно. В силу бикомпактности Р отобра-
отображение А является гомеоморфизмом. Итак, предел спектра S гомеоморфен
произведению JJ Ха, что и требовалось доказать.
Так как мощность множества непредельных чисел а, меньших числа в
мощности т > »о. равна т, то имеем
Следствие 1. Предел спектра S (Ха, а е Я), где все Ха являются
отрезками, гомеоморфен тихоновскому кубу Iх при т>»о и гильбертову
кирпичу при т = »о-
§ 2. Веерные произведения топологических пространств
Пусть дана система непрерывных отображений /а: Ха-+Х0, ,
топологических пространств Ха в топологическое пространство Хо. Через X
обозначим множество тех точек х = {*„} е JJ Ха, для каждой из которых
аея
существует такая точка х0 = х0 (х) е Хо, что fa*a==JCo для любого a e St.
Множество X, снабженное топологией, индуцированной топологией произве'
дения JJ Ха, назовем веерным произведением пространств Ха относи-
тельно отображений fa: Ха -> Хо, as Ж, И будем обозначать через
П (f* А-„->Х0)-
аея
Очевидно,
а>Я<а> ТТ Xa<max(supo!»Xa, мощн. Я).
аея а
Ограничения ра: X ->Ха проекций па: JJ Jfa -> ДГа будем называть проек-
аеЯ
циими веерного произведения X в сомножители Ха.
s
Таким образом, множества вида [| Pa'Oa. где alt ..., a. — произ-
вольный конечный набор индексов а, а Оа — произвольные открытые под-

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ 153
множества сомножителей Ха , 1=1, ..., s, образуют в X базу. Элементы
этой базы будем называть элементарными открытыми в X множествами.
Так как
для любых а и р из Ж, то отображение
Ро = faPa- X-+Xo, аеЯ,
определено однозначно. Его мы также будем называть проекцией веерного
произведения X. Так как проекции ра непрерывны (см. гл. 1, § 8), то не-
непрерывна и проекция ро.
Элементы ха набора х = {ха} е X г JJ Ха будем называть координа-
j
тами точки х.
Так как топология в X индуцируется топологией произведения JJ Ха,
то имеет место
Предложение 1. Для любой точки xQ e Хо множество р^ххй сов-
совпадает с произведением "Q f~'xos JJ Х„. Для любой точки *а eL
as я а«=и '
множество Ра^х^ совпадает с множеством xatX JJ Falfa,xa,-
Отсюда вытекает
Первая лемма «о параллельных». Пусть дано веерное произ-
произведение X пространств Хх и Хг относительно отображений ft: Xi-*X0 и
/ц: Хг -> Хо.
Если Xi e Х\ и Ха —¦ fiX\, то проекция рг гомеоморфно отображает
множество pj"'*j ™ *i X fг"'*о "а множество felx0.
Первая лемма «о параллельных» утверждает, таким образом, в част-
частности, и следующее: ¦
если прообразы всех точек пространства Хо при отображении fi обла-
обладают каким-либо общим топологическим свойством (например, все оии би-
бикомпактны, или индуктивно нульмерны, или связны, или конечны, или
счетны и т. д.), то тем же свойством обладают и прообразы всех точек про-
пространства Х\ при («параллельном j^») отображении р\.
¦ Прежде чем перейти ко второй лемме «о параллельных», докажем сле-
следующее утверждение:
Лемма 1. Пусть дано веерное произведение X пространств Xt и Xi
относительно отображений ft: Xi-*-X0 и fi: Хг-*-Х0. Тогда для любого мно-
множества А г Xi справедливо соотношение

154 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
Действительно, по первой лемме «о параллельных»
[J
откуда нужное включение следует. Лемма доказана.
Вторая лемма «о параллельных». Пусть дано веерное про-
произведение X пространств Х\ и Хз относительно отображений (i\ X[-*-Xo и
f3: Х2-*-Хо. Тогда:
(а) если отображение fa открыто, то открыто и отображение р\\
(б) если отображение fc совершенно, то совершенно и отображение р\.
Доказательство. Докажем утверждение (а). Возьмем открытое
в X множество О н точку х = (х\, дсг) еО. Из определения топологии в X
вытекает существование таких окрестностей Vt точек xt в Xt, « = 1,2, что
рГ'^1 Прг"'^2 s О. По условию множество U = foVi открыто. Следовательно,
открыты в Xi множества /f't/ =Ui и С/,П^р Так как f\X\ = /2X2 е U, то
ДГ| е ?/i П V|. Поэтому
Так как fi (C/i (] V|) e ?/ = ^2. то для любой точки ж, ^ С/[ П V] найдется
такая точка х'2 е V2, что f^= f\x'y Следовательно, {х\, х'2)& p~lVtr\
О p2~W2^O и Pl(x'v х'2) = х\. Таким образом, р,0 = С/, n^i э дг,, т.е.
точка *,=pi* является внутренней точкой множества pfi. В силу произ-
произвольности точки хеО множество рх0 открыто. Пункт (а) леммы доказан.
Докажем утверждение (б). Из того, что отображение fi совершенно, и
из первой леммы «о параллельных» вытекает бикомпактность всех прообра-
прообразов р*!, *i e Х{. Осталось показать замкнутость отображения р\.
Рассмотрим замкнутое в X множество F и точку х\ ф p\F. Множество
Ф = р~1х1, по доказанному, бикомпактно и не пересекаетси с F. В окрест-
окрестности X \ F произвольной точки х = (*°, х2) е Ф содержится элементарная
окрестность Ох = p~^Ox\{\pJxOx2- Из покрытия {Ох}, х е Ф, множества Ф
выделим конечное подпокрытие [О( =p~x0ix\{\p2~^0xi^, « = l, ..., s. Пусть
(=1
A) Ф
(=1
Если jc0 = fi>c?» то по первой лемме «о параллельных» множество }~1х0
совпадает с множеством р2Ф и поэтому содержится в множестве V2.
Предложение 11 из § 1 гл. 1 обеспечивает существование такой окрест-,
ности О*о точки Хо, что
B) /2-'Oa:0sK2.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ 155
Непрерывность отображении f, позволяет найти такую окрестность Ox® S Vj
точки х®, что
C) ffixi в Ох0.
Из леммы 1 и соотношений A), B), C) следует, что
=
т. е. Ох°г П p\F = Л. Таким образом, любая точка множества Xt \ p{F
является для него внутренней, т. е. множество p:F замкнуто. Пункт (б),
а вместе с ним и лемма доказаны.
В гл. 9 нам понадобится следующая лемма (примыкающая к уже дока-
доказанным утверждениям о веерных произведениях):
Лемма 2. Пусть дано веерное произведение
*- П (^ Ха->Х0).
а ей
Тогда проекции
р0: Х->Х0 и ра: Х->Ха, а <= й,
являются (а) открытыми, соответственно (б) индуктивно нульмерными,
если (а) открытыми и отображениями «на», соответственно (б) индуктивно
нульмерными, являются все отображения fa.
Доказательство, (а) Возьмем открытое в X множество О и
точку х е О. Пусть *а = ра* и дсо = ро*-
Фиксируем какой-нибудь индекс a = a0. Из определения топологии в X
вытекает существование таких индексов а(, ..., as и таких окрестностей О/
s
точек ха, 1 = 0, 1 s, что x^\]pal0i S О.
1 (—0 '
s
Пусть Vo = |) fa О(. Если отображения fa открыты, то Vo есть окрест-
ность точки х0. Положим Va BS'O0[]f^Vo. Ясно, что Va) есть окрестность
точки ха. Покажем, что
p0O=>V0 и pap=>Va>.
Так как
то достаточно установить включение ра0 э Va<. Пусть
' ' f '
Так как |а О, s Vo, то в О( существует такая точка ха , что {аха <™ х0,
<—»1, ..., s. Так как /а являются отображениями на Хо, то в Ха суще-
существуют такие точки х'а, что ^а*ц = #д, а Ф а0, а,, ..., ots. Ясно, что точка
х = [дГц} принадлежит множеству О и рав* = дГцо, следовательно,
а Vа>. Открытость проекций р0 н ра, а е Щ, установлена.

186 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ [ГЛ. I
(б) Индуктивная нульмерность проекций р0 и ра, ое ST, следует из
•предложения 1 этого параграфа и предложения 6 из § 8 гл. 1. Лемма доказана.
Следующее утверждение касается отображении в веерное произведение:
Лемма 3. Пусть дано веерное произведение
и пусть определены такие непрерывные отображения fa- X -> Ya, a e Ж,
что для любых двух индексов а и а' из St выполняется соотношение
D) gJa^SJa'.
Тогда диагональное произведение f: X -> JJ Ка отображений /а есть ото-
а<=я
брожение в веерное произведение Y S JJ Ко.
ае«
Доказательство. Достаточно показать, что для любой точки * е Jf
выполняется включение {fax} s 7. Но это так в силу условия D). Лемма
доказана.
Замечание 1. Из предложения 7 § 8 гл. 1 сразу же следует, что
отображение f в лемме 3 непрерывно, если непрерывны все отображе-
отображения fa, и удовлетворяет условиям
E) paf = fa>
где />„ есть проекция Y в Ко, а е Ж,

Глава вторая
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ
ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ
§ 1. Перегородки. Большая и малая индуктивные размерности
1. Перегородки. «Прикосновение составляет отличительную
принадлежность тел и дает им название геометрических, когда
в них удерживаем это свойство, не при-
принимая в рассуждение все другие, сущест-
существенные ли то будут, или случайные».
Этими словами Н. И. Лобачевский
начинает первую главу своего сочинения
«Новые начала геометрии».
Пояснив только что приведенные сло-
слова чертежом (рис. 2), Лобачевский про-
продолжает:
€Два тела А, В, касаясь друг друга, составляют одно геоме-
геометрическое тело С ... Обратно, всякое тело С произвольным се-
сечением S разделяется на две части А, В».
Взятое во всей общности представление о рассечении геоме-
геометрического тела на две части на современном математическом
языке находит свое адекватное выражение в следующем опре-
определении:
Определение 1. Скажем, что множество Е разбивает то-
топологическое пространство X, если Х\Е несвязно,
Замкнутое множество В, разбивающее пространство, назы-
называется перегородкой в этом пространстве. Тогда
где Oi и О2 — непустые дизъюнктные открытые множества*)
пространства X.
Определение V. Говорим, что множество Е разбивает
пространство X между данными множествами Р и Q или что оно
*) Напоминаем, что-через О, о, а также через О, U, V, Г в этой книге
обозначаются только открытые множества, через F, Ф--только замкнутые.

158 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
отделяет множества Р и Q пространства X, если Х\Е = Н{ (J Я2,
где Н\, #2 дизъюнктны и открыты в Х\Е и Р <= Ни Q = Н2.
Если Е замкнуто в X, оно называется перегородкой между Р и
Q в X, и тогда множества Яь Я2 открыты во всем X*).
В дальнейшем мы среди множеств, разбивающих данное про-
пространство, будем почти во всех случаях рассматривать лишь
замкнутые множества (перегородки). Этому, в частности, содей-
содействует следующее
Предложение 1. Если в наследственно нормальном про-
пространстве X множество Е отделяет множества Р и Q, то суще-
существует содержащаяся в Е перегородка В между Р и Q.
Доказательство. Так как X наследственно нормально
и, очевидно, Н(Ни Н2) = Л, то в силу предложения 1, гл. 1, § 5,
п. 2, имеются дизъюнктные открытые в X множества О\ Э Ни
О2 Э Н2. Множество В = Х\(О\\} О2) замкнуто в X и содер-
содержится в Е. Очевидно, X \ В = Oi U О2, Oi э Р, О2 = Q, так
что В есть искомая перегородка между Р и Q.
Замечание 1. Если
где множества Х{ и Х2 замкнуты в X и ни одно из них
не совпадает со всем пространством X, то В = Х\ Г) Х2
есть перегородка в X (достаточно положить Ot~ X\ X2=s
—X, \ (Jfi Л Х2), О2=Х \ Х{=Х2 \ (Xi П Х2); тогда X \ В=ОХ U О2,
О,ПО2 = Л).
Обратно, если 5 — перегородка в пространстве X и
X\B = Ol[jO2, О1ПО2 = Л,
то, полагая -Yi = Oi (J fi, X2 = Ог (J fi, получаем представление
пространства X в виде суммы X = Xi U Х2 замкнутых мно-
множеств Хи Х2, причем Х\ [] Х2 = В (очевидно).
Определение 1а. Перегородка В (в пространстве X) на-
называется тонкой, если E) = Л.
Предложение 2. Всякое бинарное (т. е. состоящее из
двух элементов) разбиение **) а = {Аи 'А2) пространства X оп-
определяет в X тонкую перегородку
B = rpAl = rpA2,
причем (гл. 1, § 6, п. 4, предложение 12)
X\B = Oi{)Ob
где Oi = (Л,), О2 = {А2).
*) В этом определении множества Р и Q могут быть н пустыми!
••) См. гл. 1, § 6, п. 4.

§ 1] ПЕРЕГОРОДКИ. БОЛЬШАЯ И МАЛАЯ ИНДУКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ 159
Обратно, для всякой тонкой перегородки В существует по
крайней мере одно такое бинарное разбиение а = (Аи Л2}, что
определяемая им перегородка Ва = гр Л4 = гр Аг содержит-
содержится в В.
В самом деле, пусть В — тонкая перегородка в X и Х\ В =
= О4 U О2 (где открытые в X множества Oi и О2 непусты и
дизъюнктны). Тогда, полагая Ai = [Oi], А2 = [О2], имеем X —
= А1[]Аг — в противном случае X\(j4iU<42) было бы непу-
непустым открытым множеством, лежащим в В, и перегородка В не
была бы тонкой. Пара {Ль Аг} = а есть бинарное разбиение,
для которого множество Ва = грА\ = грЛ2 содержится в В.
Предложение 2 доказано.
Предложение 3. Любая перегородка В (между данными
множествами Р и Q) содержит тонкую перегородку (между
теми же множествами).
Доказательство. Пусть X\5 = OiUo2, ot Л о2 = Л,
Oi а Р, о2 э Q. Полагаем Oi = X \ [о2]. Тогда Ot открыто,
Oi = oi, Oi Л о2 = Л.
Далее, 0\ U [о2] = X. Тем более [Oi] U [02] = X. Поэтому
« = flPi], [02]} есть разбиение пространства X, причем Ва =
= гр [Oi] = гр [о2] = 5, ч. и т. д.
В силу предложения 3 мы в дальнейшем практически всег-
всегда будем рассматривать лишь тонкие перегородки.
Замечание 2. Определение 1 сводит понятие перегород-
перегородки между непустыми множествами к понятию связности. Но, и
обратно, можно сказать, что пространство X несвязно, если пу-
пустое множество образует в нем перегородку между непустыми
множествами: тогда в пространстве X существует разбиение, со-
состоящее из двух непустых открыто-замкнутых множеств.
Заметим также, что множества Р и Q в пространстве X тогда
и только тогда имеют дизъюнктные окрестности ОР и 0Q, когда
между Р и Q в X существует перегородка: если ОР Л 0Q = Л,
то такой перегородкой является Х\ (OP UOQ). Обратное ут-
утверждение очевидно. Наконец, мы помним, что в наследственно
нормальном пространстве X наличие у множеств Р и Q
дизъюнктных окрестностей ОР и 0Q эквивалентно тому, что эти
множества отделены, т. е. что Н (Р, Q) = Л.
Итак, в наследственно нормальном пространстве отделен-
ность двух множеств эквивалентна существованию перегород-
перегородки между ними.
На протяжении всей этой книги мы будем иметь много по*
водов убедиться в том, что в основе всей теории размерности
лежат два понятия, применяемые в различной обстановке и в
различных вариантах, а именно понятие перегородки и понятие
покрытия. Мы будем по большей части рассматривать конечные

160 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
покрытия — как открытые, так и замкнутые; при этом последние
всегда можно свести к одним лишь разбиениям. Что касается
перегородок, то можно обойтись одними лишь тонкими перего-
перегородками, рассмотрение которых, по существу, эквивалентно рас-
рассмотрению бинарных разбиений.
2. Индуктивные размерности Ind-Y и indX. Полагаем по
определению IndX = —1 в том и только том случае, когда про-
пространство X пусто.
Предположим, что класс пространств X, для которых
Ind X ^ п — 1, уже определен.
Для данного пространства X Ф Л полагаем Ind X ^ п,
если между любыми двумя дизъюнктными замкнутыми множе-
множествами Р и Q пространства X имеется перегородка В, для ко-
которой Indfl s^ n — 1.
Если Ind I ^ л и в то же время имеется хотя бы одна
пара дизъюнктных замкнутых множеств Р, Q, между которыми
нет ни одной перегородки В, удовлетворяющей условию
Ind В ^ п — 2, то говорят, что Ind X = п. Это последнее ра-
равенство означает, следовательно, что условие Ind X ^ п выпол-
выполнено, но условие IndX-<rt— 1 уже не выполнено. Наконец, если
условие IndX^n не выполнено ни при каком натуральном чис-
числе п, то говорим, что \ndX- оо, причем принимаем соглашение,
что п<оо при любом п — —1,0,1,2, .;. Определенный таким
образом топологический инвариант Ind X называется большой
индуктивной размерностью.пространства X.
Из самого определения Ind X вытекает
Предложение 4. Если размерность Ind X конечна, то
пространство X нормально.
В самом деле, из конечности IndX следует, что между лю-
любыми двумя дизъюнктными замкнутыми множествами Р и Q в
X существует перегородка В, но тогда X \ В = О4 U Ог,
Ot П Ог = Л, Р Е Ои Q = Ог, т. е. О и Ог суть дизъюнктные ок-
окрестности множеств Р и Q.
Переходим к определению малой индуктивной размерности
ind X (оно аналогично определению IndX): полагаем ind X =
= —1 в том и только том случае, когда X = Л. Полагаем
indX «^ п, если для любой точки р пространства X и для лю-
любого не содержащего эту точку замкнутого множества Q суще-
существует перегородка В между р и Q, удовлетворяющая условию
ind В ^ п — 1; полагаем ind X = п, если ind л^пи если при
этом точку р и замкнутое множество Q = X \ р можно выбрать
так, что между р и Q не существует никакой перегородки В,
для которой было бы ind В ^ п — 2. Если же неравенство
ind X ^ п не имеет места ни при каком натуральном п, то по-
полагаем ind X =5 оо.

§ I] ПЕРЕГОРОДКИ. БОЛЬШАЯ И МАЛАЯ ИНДУКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ 161
Замечание 3. Если для данной фиксированной точки р
и любого замкнутого Q^X\p существует (между р и Q)
перегородка В, для которой ind В ^ п— 1, то пишем indpX ^
^ п; при этом равенство indpX = п означает, что неравенство
indpX ^ п имеет место, а неравенство indpX ^ п — 1 уже не
выполнено. Как и прежде, полагаем indpX = оо, если неравен-
неравенство ind РХ ^ п не выполнено ни при каком п. Определенный
таким образом инвариант indp X называется малой индуктив-
индуктивной размерностью пространства X в данной точке р. Очевидно,
indX = sup indpX.
Предложение 5. Если в данной точке реХ малая ин-
индуктивная размерность indpX конечна, то пространство X регу-
регулярно в точке р. Если же indpX = 0, то точка р функционально
отделима от всякого замкнутого Q ^ Х\ р, так что всякое про-
пространство X, нульмерное в смысле ind X = 0, вполне регу-
регулярно.
Первое утверждение следует из существования перегородки
между точкой р и любым замкнутым Q S Х\р. Если же
эта перегородка пуста, то X = О\ U Ог, где peOi, Q = Ог,
Oi П О2 = А. Тогда функция /, равная 0 на О\ и 1 на Ог, отде-
отделяет точку р от множества Q.
Следующее замечание нам сейчас же понадобится:
Предложение 6. Если В — перегородка в пространстве
X между замкнутыми множествами Р и Q и Хо = X — замкнутое
подпространство, пересекающееся как с Р, так и с Q, то Во =
= Хо П В есть перегородка в Хо между Ро = Хо[\ Р и Qo =
= Хо П Q.
Доказательство предоставляется читателю.
Для любого ^-пространства X имеет место формула
A) indX^IndX.
В самом деле, надо доказать, что при любом п из Ind X ^
^ п следует ind X ^ п. Это утверждение верно, если Ind X =
= —1. Предполагая наше утверждение верным при Ind X ^
^ п — 1, докажем его для Ind X ^ п.
Но если Ind X ^ п, то (в частности) между любой точкой
р е X и любым замкнутым в X множеством Q = X \ р суще-
существует перегородка В, для которой Ind В < п — 1, и, следова-
следовательно (согласно предположению индукции), ind В ^ Ind В ^
^ п — 1, так что ind X < л, ч. и т. д.
6 П. С. Александров, Б. А. Пасынков

162 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
3. Монотонность большой и малой индуктивной размерности
соответственно по замкнутым и любым подмножествам. Пред-
Предложение 7. Если множество Xocz X замкнуто в X, то
1пО„< Ind A.
Предложение очевидно, если Ind X — оо.
Пусть Ind X = k < оо; требуется доказать, что тогда
Ind Хо ^ k. Это так, если k = —1; предположим, что утвержде*
ние доказано для k sg: n— 1, докажем его для k = п. Итак,
Ind X = п. Требуется доказать, что между любыми двумя
дизъюнктными, замкнутыми в Хо множествами Ро и Qo имеет-
имеется перегородка Во сг Хо, для которой IndBo-^я—1. Но так
как Хо замкнуто в X, то Ро и Qo также замкнуты в X, зна-
значит, между ними в X существует перегородка, для которой
Ind Б ^ п — 1. Тогда Во = Хо П В есть перегородка между Ро
и Qo в X, и так как Во = В, то по предположению индукции
имеем и Ind Во ^ п — 1. Предложение доказано.
Предложение 70. Если Хо — любое подпространство про-
пространства X, то ind Хо ^ ind X.
Аналогично предыдущему надо доказать, что из ind X = k
следует ind Хо ^ k. При k = — 1 утверждение тривиально; до-
докажем его для k = п в предположении, что оно верно прн
k-*Cn—1. Пусть реХ0 и замкнутое в Хо множество Qo вы-
выбраны произвольно при единственном условии: Qo S Х\р. Тре-
Требуется найти в Хо перегородку Во между р и Qo, для которой
ind Во ^ п— 1. Для этого берем в X такое замкнутое Q, что
Хо П Q = Qo- Тогда pe!\Q, и, следовательно, в X суще-
существует перегородка В между р и Q, для которой ind В ^ п — 1.
Тогда Хо П В = Во есть перегородка в Хо между р и Qo. Так как
ind В ^ п — 1 и Во ^ В, то по индукционному предположению
и ind Во ^ п— 1. Предложение доказано.
Замечание 4. Пусть в пространстве X дана перегородка В
(между точкой р и замкнутым множеством Q или между двумя
дизъюнктными замкнутыми множествами Р и Q), удовлетво-
удовлетворяющая условию ind В ^ п — 1, соответственно Ind В ^ п — 1;
тогда в силу предложения 3 существует тонкая перегородка
В' е В (между теми же объектами р и Q, соответственно Р и
Q), а в силу предложений 7, 7о эта перегородка также удовлет-
удовлетворяет условию indB'-^n—1, соответственно IndB'-^n—1.
Поэтому при определении большой и малой индуктивных раз-
размерностей можно было ограничиться одними лишь тонкими пере-
перегородками.
4. Другая форма определения Ind X и ind X. Можно при-
придать определениям инвариантов Ind X и ind X следующую
форму:
1. Для пустого пространства X = Л и только для него по-
полагаем Ind X = —1, ind X = —1.

i 1] ПЕРЕГОРОДКИ. БОЛЬШАЯ И МАЛАЯ ИНДУКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ 163
2. Полагаем Ind X <; п, если для любого замкнутого F сг X
и любой его окрестности OF имеется окрестность O4F, для ко-
которой [OiF] s OF и Ind гр OiF < n — 1.
Аналогично полагаем indpX ^ n, если для каждой окре-
окрестности Ор точки р & X найдется окрестность Оф, для кото-
которой [Oip] = Op и ind гр Oip ^ п—1. Как и раньше, полагаем
ind X = sup indp X.
Эквивалентность этого второго определения индуктивных
размерностей Ind X и ind X первоначально данному («первому»)
определению легко вытекает из следующей леммы, доказатель-
доказательство которой может быть предоставлено читателю:
Лемма. Если Р и Q — два дизъюнктных замкнутых мно-
множества в пространстве X и окрестность ОР множества Р удов-
удовлетворяет условию [OP]^X\Q, то гр ОР есть перегородка
между Р и Q; обратно, если В есть такая перегородка между
Р и Q, что Х\В = О, U О2, Р г О,, Q^O2 и множества Ои
0% открыты и дизъюнктны, то гр О4 = В.
Замечание 5. Определение малой индуктивной размер-
размерности можно теперь сформулировать и так: indA =—1; пола-
полагаем ind X <; п, если в пространстве X имеется база S3, для
всех элементов U которой ind гр U ^ п—I. В частности,
имеем тогда и только тогда ind X = 0, если X Ф Л и в про-
пространстве X имеется база, состоящая из открыто-замкнутых
множеств*). Аналогично Ind Ж 0 означает, что в любой ок-
окрестности OF любого замкнутого множества F содержится от-
открыто-замкнутая окрестность OiF.
Историческая справка. Большая индуктивная размерность была
определена в 1913 г. Б pay эр ом [4] (L. E. J. Brouwer, 1881—1966) для
класса всех локально связных полных метрических пространств. Брауэр
(в той же работе [4]) доказал для п-мерного эвклидова пространства Rn ра-
равенство Ind R" = п **). Этой работе Брауэра предшествовала опубликован-
опубликованная в 1912 г. статья Пуанкаре [1] (Н. Poincare 1854—1912), в которой
в научно-популярной форме (без каких-либо строгих математических опре-
определений и тем более доказательств) излагалась идея о возможности индук-
индуктивного определения числа измерений (эвклидова) пространства посредством
«рассечения» пространства, т. е., как мы теперь говорим, посредством пере-
перегородок. Эта идея Пуанкаре, восходящая, может быть, еще к Больцано и
даже к Лобачевскому, получила точный математический смысл впервые в уже
упомянутой работе Брауэра [4], давшего определение инварианта Ind X и
доказавшего равенство Ind Rn — п.
В 1921 г., независимо от Брауэра и друг от друга, Урысон [1] и
Менгер [1] пришли к понятию малой индуктивной размерности и поло-
положили его в основу систематического построения теории размерности. Даль-
Дальнейшие подробности по этому поводу см. Александров [22].
*) Итак, определенные нами в гл. 1, § 2, «индуктивно нульмерные»
пространства суть не что иное, как пространства X, для которых ind Л = 0.
**) Фактически и равенство dim R" —¦ п — см. следующий параграф.
6*

164 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
§ 2. Размерность dim X
(определенная посредством покрытий)
1. Определение размерности dim А!. Во всем этом параграфе
под покрытием понимается всегда конечное покрытие.
Следуя Урысону ([4], гл. 5)*), мы определяем размер-
размерность dim X сначала для компактов X.
Мы говорим, что компакт X имеет размерность dim X ^ п,
если для любого е > 0 существует замкнутое е-покрытие **)
кратности -<л + 1.
Если при этом для некоторого е > 0 компакт X не имеет
замкнутого е-покрытия кратности ^п, то мы говорим, что
dim X = п.
Из этого определения сразу следует, что dim Л = —1 (так
как кратность покрытия, состоящего из одного пустого множе-
множества, равна нулю), а также что для любого компакта X, состоя-
состоящего из конечного числа точек, dimX = 0.
Предложение 1. Если в этом определении dim X для
компактов заменим замкнутые покрытия открытыми, то полу-
получим определение, эквивалентное первоначальному.
В самом деле, пусть компакт X при всяком е > 0 имеет
замкнутое е-покрытие а кратности <л + 1: а = {А\, ..., As),
максимум диаметров всех А< <= а меньше е и, следовательно,
меньше некоторого е' < е. Чтобы получить открытое покрытие
со кратности п + 1, достаточно заменить каждое Аи i = 1, 2, ...
..., s, столь тесной окрестностью ОАи чтобы диаметры всех
OAi были по-прежнему меньше е и чтобы кратность покрытия
со = {ОАи ..., ОАа) равнялась кратности а (это возможно по
теореме о раздутии покрытий — гл. 1, § 10).
Обратно, пусть при всяком е > 0 существует открытое е-по-
е-покрытие со = [Ои ..., О„} кратности <in + 1. Тогда по теореме
об ужатии покрытий (гл. 1, § 10) существует такое замкнутое
покрытие а = {Аи ..., As} (являющееся даже разбиением),
что Л<еО<; следовательно, кр. а-<кр. аКп +\.
Теперь переходим к определению основного объекта, изучае-
изучаемого в этой книге.
Основное определение. Для любого топологического
пространства X полагаем dim X ^ п, если в любое конечное
*) Одна из самых больших заслуг Урысона в теории размерности со-
состоит в том, что он впервые выделил A921) размерность dimX в качестве
самостоятельного топологического инварианта и доказал (для компактов X)
тождество dim X = ind X = Ind X. Это равенство верно и для всех про-
пространств со счетной базой (см. гл. 4, § 8). О роли Лебега в определении
размерности dimX см. гл. 3, § 3, подстрочное примечание на стр. 212.
**) Покрытие метрического пространства называется е-покрытием, если
все его элементы имеют диаметр <е (см. стр. 81, сноска **)).

§ 2] РАЗМЕРНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСРЕДСТВОМ ПОКРЫТИЙ 165
открытое покрытие Q пространства X можно вписать конечное
открытое покрытие со кратности ^п -f- 1.
Замечание 1. (а) В этом определении требование конеч-
конечности покрытия со несущественно.
В самом деле, если открытое покрытие со имеет кратность
<п+1 и вписано в покрытие Q, то укрупнение покрытия со
относительно Q *) будет конечным открытым покрытием крат-
кратности ^ п + 1, вписанным в покрытие Q.
(б) В основном определении всегда можно потребовать,
чтобы покрытие со было комбинаторно вписано в покрытие Q
и потому конечно: если со вписано в Q и имеет кратность
^ п+ 1, то укрупнение*) покрытия со относительно Q также
имеет кратность <п + 1 и комбинаторно вписано в п.
Дадим следующее общее
Определение 1. Скажем, что топологическое простран-
пространство X имеет сколь угодно мелкие покрытия данного класса 91,
если во всякое открытое покрытие Q пространства X можно
вписать покрытие класса 91.
Предложение 2. Если X — компакт, то определение 1 оз-
означает, что для каждого е > 0 компакт X имеет ъ-покрытия
класса 91.
В самом деле, пусть во всякое открытое покрытие п ком-
компакта X можно вписать покрытие а класса 51.
Возьмем при произвольном е открытое е-покрытие Q ком-
компакта X (для этого достаточно для каждой точки леХ взять
окрестность Ох диаметра <е и выделить из системы {Ох} всех
этих Ох конечное покрытие й = {Ох\, ..., Oxs} компакта X).
Впишем в Q покрытие а е 91. Очевидно, а есть е-покрытие
класса 91.
Обратно, предположим, что при любом е > 0 существует
е-покрытие а компакта X, принадлежащее к классу 91. Пусть
Я= {О\ Os) — произвольное открытое покрытие компакта X.
Возьмем в качестве е лебегово число **) покрытия Q и рас-
рассмотрим какое-нибудь е-покрытие а компакта X, принадлежа-
принадлежащее к классу 91. Оно вписано в покрытие Q.
Теперь мы можем сказать кратко: неравенство dimX^Cn оз-
означает, что пространство X имеет сколь угодно мелкие открытые
покрытия кратности ^п+ 1.
Если пространство X удовлетворяет неравенству dim X ^ п,
но не удовлетворяет неравенству dim X ^ п — 1 (т. е. если
dim X ^ п и в то же время для некоторого открытого покрытия
Я всякое вписанное в него открытое покрытие со имеет крат-
кратность >п + 1), то dim X = п.
*) См. гл. 1, § 6, п. 2.
**) Гл. 1, § 10.

166 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
Наконец, если ни для какого натурального п неравенство
dim X ^ п не оказывается выполненным (т. е. если ко вся-
всякому п существует такое открытое покрытие й, что всякое впи-
вписанное в него открытое покрытие со имеет кратность >п + 1),
то говорим, что пространство X бесконечномерно, и пишем
dim X = оо.
Замечание 2. Из предложения 1 следует, что для ком-
компактов X только что приведенное определение размерности
dim X эквивалентно данному в начале параграфа первоначаль-
первоначальному урысоновскому «е-определению».
Замечание 3. (Топологическая инвариантность размер-
размерности dimX.) Общее определение размерности dim X сформу-
сформулировано в топологических терминах (открытого покрытия, его
кратности, вписанности одного покрытия в другое), т. е. в тер-
терминах, сохраняющихся при топологических отображениях: если
дано топологическое отображение / пространства X на прост-
пространство У, то в силу этого отображения открытые покрытия од-
одного из этих пространств — с сохранением их кратности и впи-
вписанности одного покрытия в другое — взаимно однозначно со-
соответствуют открытым покрытиям другого пространства. По-
Поэтому для двух гомеоморфных между собою пространств X и У
имеем dim X = dim У.
Этот факт и имеют в виду, когда говорят о топологической
инвариантности размерности dim X. Пока размерность dim У
была определена лишь для компактов при помощи метрического
понятия е-покрытия, то равенство dim X = dim У для двух го-
гомеоморфных между собою компактов X и У было теоремой
(хотя и очень простой), которую нужно было доказать. После
того как мы убедились, что размерность dim X для компактов
может быть определена в чисто топологических терминах, дока-
доказывать уже нечего!
Во всем дальнейшем под размерностью пространства X
всегда понимается размерность dim X; когда мы имеем в виду
ту или иную индуктивную размерность Ind.Y или ind X, то это
будет всякий раз оговорено.
2. Простейшие свойства размерности dimX Хотя размер-
размерность dim X формально определена для любого пространства X,
но изучаться она будет лишь, в предположении, что X — нор-
нормальное пространство. Однако следующие две теоремы верны
и без этого предположения.
Теорема 1 (монотонность размерности dim X по замкну-
замкнутым множествам). Если dimX = n и Хо замкнуто в X, то и
dim Хо ^ п.
Для доказательства возьмем произвольное открытое покры-
покрытие Qo = {Oi, ...,O°ti пространства Хо. Надо доказать, что в Qo
можно вписать покрытие со0 кратности ^n-f- 1,

§ 2] РАЗМЕРНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСРЕДСТВОМ ПОКРЫТИЙ (б7
Для каждого 0° берем открытое в X множество Oi так,
чтобы Xof\Ot = 0°i, 1=1,2 s. Кроме того, берем Os+i =>
= X \ Хо- Множества
A) Oi, Oi Os, Os+i
образуют покрытие пространства X. Так как dimX = n, то су-
существует покрытие (о кратности ^п+1 пространства X
@ = {0„ Ог, .. ., Ov},
вписанное в покрытие A). Множества
Хо Г\ои ..., X0flov
образуют покрытие ш0 подпространства Хо, очевидно, имеющее
кратность ^п+ 1. Остается доказать, что покрытие со0 вписано
в покрытие Qoi т. е. что каждое ЛП °/ содержится в некото-
некотором О?. Но каждое о/ содержится в некотором Oit следова-
следовательно, каждое X0f\O/ содержится в некотором Xo(]Ot. Если
f = s+l. то Oi = X\X0, и поэтому X0[\Ot пусто. Поэтому
каждое непустое Хо П о/ содер «ится в некотором О, с /^ s,
следовательно, содержится и в Xo[\Oi = 0°, ч. и т. д.
Теорема 2. Если топологическое пространство X нульмерно:
dim X = 0, то X нормально и Ind X = 0.
3 самом деле, пусть Р и Q—два дизъюнктных замкнутых
множества в X. Тогда множества Oi = X\Q и 02 = Х\Р об-
образуют открытое покрытие
a={Oi, o2}
пространства X, причем P?Olt Q^02. Так как dimX = 0, то
существует дизъюнктное открытое покрытие ю = {о,, ..., о,},
вписанное в Q. Обозначим через 0\ объединение всех о, е ю,
лежащих в О,, а через Ог — объединение всех остальных
элементов покрытия (о. Тогда 0\ и Ог—дизъюнктные откры-
открытые множества и й' = {Оь Ог} есть покрытие пространства Я
(укрупнение покрытия (о относительно Q). Если ot e а пересе-
пересекается с Р, то оно не может лежать в Х\Р = О2 и потому
лежит в 0\, значит, и в 0\\ точно так же всякое Oi e ©, пере-
пересекающееся с Q, не может лежать в 0\ = X \ Р и лежит в Or
Отсюда следует, что 0\ и Ог являются (дизъюнктными) окрест-
окрестностями множеств Р и Q. Так как при этом X = 0\ U Ог, то
пустое множество есть перегородка между Р и Q, так что
IndX = O (и Jf нормально). Теорема 2 доказана.
Теперь предполагаем, что X — нормальное пространство.
Предложение 3. Следующие три свойства нормального
пространства X эквивалентны между собою:

168 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
(A) В X имеются сколь угодно мелкие открытые покрытия
кратности ^.п + 1.
(Б) В X имеются сколь угодно мелкие замкнутые покры-
покрытия кратности ^.п + !.
(B) В X имеются сколь угодно мелкие конечные разбиения
кратности ^.п + 1.
Таким образом, каждое из свойств (А), (Б), (В) характе-
характеризует класс нормальных пространств X, для которых
dim X ^ п.
Для доказательства достаточно проверить правильность
логической схемы
(А)-* (В)-(Б)-* (А).
Доказываем (А) —*¦ (В). Пусть Q — произвольное открытое по-
покрытие пространства X. В силу свойства (А) в п можно впи-
вписать открытое покрытие со кратности ^n-fl. Согласно до-
дополнению к теореме 14 гл. 1, § 10, в со можно комбинаторно
вписать разбиение а; очевидно, кр а ^ кр со ^ п + 1, и а впи-
вписано в Q.
Следование (В)-» (Б) очевидно.
Докажем, что (Б)-* (А). Пусть Q = {Оь ..., Os) — про-
произвольное конечное открытое покрытие пространства X. Из (Б)
вытекает, что в Q вписано замкнутое покрытие а = {Аи ...
..., As} кратности ^n-f 1. Согласно теореме о раздутии по-
покрытий существуют окрестности ОА] множеств А$ е а, обра-
образующие покрытие соа, подобное покрытию а и, следовательно,
имеющее ту же кратность ^ п + 1, что и а. Так как а вписано
в Q, то каждое Aj e а лежит в некотором Оад е Q. Положим
для каждого / = 1, 2,..., s
Тогда (о = {oi, ..., о„} есть покрытие кратности ^п + 1, впи-
вписанное в Q, и предложение 3 доказано.
Замечание 4. Из предложения 3 и замечания 1 следует,
что размерность dim X может быть определена каждым из сле-
следующих способов:
dim X ^ п означает, что в каждое конечное открытое покры-
покрытие пространства X может быть комбинаторно вписано некото-
некоторое конечное
(а) открытое покрытие,
(б) замкнутое покрытие
(в) разбиение
кратности ^п + 1.
3. Определение канторовых многообразий (континуумов U").
Урысон считал одним из самых основных понятий теории раз-
размерности введенное им понятие канторова многообразия:

§2]
РАЗМЕРНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСРЕДСТВОМ ПОКРЫТИЙ
169
п-мерным канторовым многообразием называется *) всякий
«-мерный бикомпакт X, dimX = «, в котором любая перегородка
В между непустыми множествами имеет размерность dimB>
> п— 1. В частности, одномерные канторовы многообразия суть,
очевидно, просто одномерные континуумы (т. е. связные одно-
одномерные бикомпакты). Урысон назвал их «канторовыми кривы-
кривыми»**) и посвятил им вторую часть своего «Мемуара о канто-
ровых многообразиях».
На основании замечания 1 в предыдущем параграфе мы мо-
можем определить л-мерное канторово многообразие как /г-мерный
бикомпакт X, обладающий тем свой-
свойством, что при всяком представлении
его в виде суммы двух непустых и от- \-^-\ 9,
личных от всего пространства X зам-
замкнутых множеств Х\ и Х2 пересечение
Xi П Х2 имеет размерность dim (X4 П
Л12)>л-1.
Таким образом, двумерный конти-
континуум, состоящий из двух замкнутых
треугольников, с общей вершиной и
не имеющих других общих точек, не является канторовым много-
многообразием, так же как объединение двух сфер, касающихся друг
друга. Мы докажем в гл. 4, что всякий замкнутый /г-мерный
симплекс есть «-мерное канторово многообразие (теорема, дока-
доказанная Урысоном лишь для л -О; доказательство для любого «
было дано П. С. Александровым [6] в 1926 г., см. также
[9] и [12]). Примером двумерного канторова многообразия яв-
является, однако, и. изображенный на рис. 3 континуум, являю-
являющийся суммой прямоугольников Со, С\, С2, ..., Ck, ..., отрезка
C«, и прямоугольников qh, k = 0,1,2, ..., связывающих прямо-
прямоугольники Cft и Cft+i; диаметры этих «перемычек» qh стремятся к
нулю при k -*¦ со.
Со
%
Рис
с,
3
*) Урысон рассматривал лишь бикомпакты со счетной базой, т. е.
метризуемые бикомпакты (компакты). Для них, как мы увидим в гл. 4, имеет
место формула Урысона dim X = ind X = Ind X, так что в определении метри-
зуемого канторова многообразия можно вместо dim брать ind или Ind.
В общем случае это уже не так (см. гл. 5, § 6).
¦*) Название имеет следующее происхождение. Г. Кантору принадле-
принадлежит* определение общей плоской кривой как лежащего в плоскости кон-
континуума без внутренних точек. Д. Ф. Егоров поставил в 1921 г. перед
П. С. Урысоном проблему (впервые сформулированную им еще в 1911 г.):
найти внутреннюю характеристику этих кривых, независимую от их распо-
расположения на плоскости. Урысон решил эту проблему, доказав, что плоский
континуум тогда и только тогда не имеет внутренних точек, когда его раз-
размерность равна 1. Дальнейшей задачей было определение наиболее общих
поверхностей («двумерных канторовых многообразий») и вообще «канторо-
вых многообразий» любой размерности п.

170 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
Важность, которую Урысон придавал понятию канторова
многообразия, видна уже из того, что свою основную работу по
теории размерности он назвал «Мемуаром о канторовых мно-
многообразиях». В дальнейшем для краткости будем п-мерные
канторовы многообразия часто называть «континуумами Un».
Мы будем заниматься ими в главе пятой, § 9, и в главе вось-
восьмой, § 2.
§ 3. Нульмерные пространства
1. Предложение 1. Для любого пространства X свой-
свойства dimX = 0 и Ind X — 0 эквивалентны между собою (и
имеют своим следствием нормальность пространства X, а также
и равенство ind X = 0).
Доказательство. Мы уже видели (§ 2, теорема 2), что
из dim X = 0 вытекает Ind X = 0 (и, значит, и ind X = 0), а
также нормальность пространства X.
Пусть IndX = 0; тогда X нормально (§ 1, предложение 4).
Возьмем произвольное открытое покрытие Q = {Ои ..., О,}.
На основании теоремы об ужатии покрытий существует ком-
комбинаторно вписанное в Q замкнутое покрытие а = {Аи ...
..., А,). Так как Ind X = 0, то для каждого А{ е= а существует
такое открыто-замкнутое Uit что Ai = С/< = Ои т. е. в Q вписано
покрытие у = Wu • • ¦. U>), состоящее из открыто-замкнутых
множеств. Полагая Oi = tA, 02 = V% \ Ut, вообще ot =
— Ui\\JUh f = 3, ...,s, получаем, вписанное в Q дизъюнкт-
/«
ное открыто-замкнутое покрытие со = {о\, ..., о8}, чем равен-
равенство dim X = 0 доказано. Так как всегда ind X ^ Ind X, то из
dim X = Ind X = 0 всегда следует ind X = 0.
Предложение 2. Из равенства indX = 0, значит, и по-
подавно из равенства Ind X = 0 или, что то же, dim X = 0 выте-
вытекает, что X вполне несвязно.
Доказательство. Пусть ind^ = 0 и Хй<=Х — множе-
множество, содержащее более одной точки. Требуется доказать, что
Хо несвязно. Берем в Хо две точки р и q. Из ind X = 0 выте-
вытекает, что пустое множество образует перегородку между р и
q в X; но тогда оно образует перегородку и в Хо, ч. и т. д.
Предложение 3. Если X финально компактно, то из
ind X = 0 следует dim X = 0, значит, и Ind X =s 0.
Доказательство. Пусть indX = 0. Дано покрытие
пространства X. Требуется найти вписанное в него дизъюнкт-
дизъюнктное открытое покрытие. Каждая точка х ^ X содержится в не-
некотором Ot e Q. По предположению ind X = 0. Поэтому су-

S 3] НУЛЬМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 171
ществует открыто-замкнутая окрестность Ux, содержащаяся в
выбранном нами О< э х. Так как X финально компактно, то из
множества взятых нами Ux можно выделить счетное покрытие
= Uk\\JU,,
1к
очевидно, вписанное в й.
Положим теперь
Так как все Uh открыто-замкнуты, то открыто-замкнутыми бу-
будут и множества Oh- Кроме того, они дизъюнктны и образуют
покрытие
©' = {0,, о2, ..., ok, ...},
вписанное в Q. Равенство dim X = 0 доказано.
Из всего сказанного вытекает
Теорема 3. Для финально компактного пространства X —
в частности для бикомпактного пространства X и для простран-
пространства X со счетной базой — все три равенства
dim X = О, IndX = O, indX = O
эквивалентны между собою.
2. Нульмерные бикомпакты. Определение 1. Пространство
называется вполне разрывным, если оно не содержит никакого
собственного континуума (т. е. связного бикомпакта, состоящего
более чем из одной точки).
Всякое вполне несвязное пространство, очевидно, и вполне
разрывно.
Если бикомпакт X вполне разрывен, то он и вполне несвя-
несвязен — в противном случае в нем содержалось бы связное мно-
множество Хо, состоящее более чем из одной точки, и множество
[Хо] было бы лежащим в X собственным континуумом.
Основной теоремой о связности бикомпактов является
Теорема 4. В бикомпакте X компонента Сх любой точки
х е X совпадает с ее квазикомпонентой Qx.
Доказательство основывается на важном замечании, извест-
известном под названием леммы Шуры-Буры.
Лемма Шуры-Буры. Пусть в бикомпакте X дана сово-
совокупность замкнутых множеств а = {Фа} с непустым пересече-
пересечением Ф = ЛФа. Пусть ОФ — произвольная окрестность мно-
множества Ф. Тогда существует конечное число множеств Фа е а
с пересечением, лежащим в ОФ.
Доказательство. Рассмотрим семейство {Fa} всех мно-
множеств вида Fa = Фа \ ОФ. Множества Fa замкнуты в биком-
бикомпакте X. Поэтому, если бы семейство {Fa} было центрирован-

172 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
ным, то пересечение всех его элементов было бы непусто, т. е.
Л Ф ("|/га = ("|Фа\ОФ = Ф\ОФ, что очевидно, неверно.
а а
Итак, имеем конечное число множеств Fa—пусть /у, ...,Fas—
с пустым пересечением. Но тогда
т. е. Фа,Л ••• ПФа.еОФ, ч. и т. д.
Следствие 1. Если семейство непустых замкнутых мно-.
жесте сг = {Фа} бикомпакта X направлено по включению (г. е.
для любых Фа, е а, Фа2 е а имеется Фа3 s Фа, П Фа2)> Т° каждая
окрестность ОФ непустого множества Ф = Р^Фа содержит не-
а
которое Фа е а.
В самом деле, находим по лемме Шуры-Буры множества
Фа,, ••-, Фа4 ПОД условием Фа, Л •¦• Л ®as S ОФ. В Силу НЭ-
правленности по включению семейства а имеется Ф„е(г, ле
жащее в Фа, Л • • • Л Фоу — оно и является искомым Фа s ОФ.
Это следствие, в частности, применимо к так называемым
мультипликативным семействам а непустых замкнутых мно-
множеств (т. е. семействам, которые вместе с любыми двумя эле-
элементами Фа,, Фа2 содержат их пересечение).
Переходим к доказательству теоремы 4. Так как всегда
Сх ? Qx, то достаточно доказать, что квазикомпонента Qx точки
х бикомпакта X содержится в компоненте Сх этой точки. Для
этого в свою очередь надо лишь доказать, что Qx связно: в са-
самом деле, если мы это докажем, то Qx, как связное множество,
содержащее точку х, будет лежать в максимальном связном
множестве, содержащем эту точку, т. е. в множестве Сх, — и
наша цель будет достигнута.
Итак, доказываем связность замкнутого в X множества Q*.
Доказываем снова от противного: пусть, Qx = Л U /"г, где /ч
и F2 — два непустых дизъюнктных замкнутых множества. Так
как Fi и F2 — замкнутые множества бикомпакта X, а всякий би-
бикомпакт есть нормальное пространство, то множества Ft и F2
имеют в X непересекающиеся окрестности OFX и OF2, которые
в своей сумме образуют окрестность OQX = О/ч U OFZ множе-
множества Qx. Имеем по определению квазикомпоненты
где {Аа} — семейство всех открыто-замкнутых множеств биком-
бикомпакта X, содержащих точку х. Так как пересечение двух открыто-
замкнутых множеств открыто-замкнуто, то семейство всех Аа
мультипликативно, так что мы находимся в условиях следствия

J 3] НУЛЬМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 173
леммы Шуры-Буры. Поэтому существует Аа, лежащее в
OQX = OFi U OF2. Так как Сх = Qx, то
Сх = OFX U OF2.
Но Сх связно и потому, содержась в OFt U OF2, лежит в од-
одном из множеств OFt или OF2- Пусть Сж <= OFt. Открыто-замк-
Открыто-замкнутое /4а по предположению лежит в OFi U OF2. Отсюда сле-
следует, что Аа Г) OF\ = Aa\OF2, т. е. Ла (") ОЛ замкнуто.
Кроме того, множество Аа П OFb очевидно, открыто. Итак,
Аа П OFi есть открыто-замкнутое множество, содержащее точ-
точку х. Поэтому Q*S/4a П OFi, что противоречит тому, что
^ г Qx.
Теорема 4 доказана.
Из доказанного легко следует основная
Теорема 5. Для бикомпактов свойство нульмерности эк-
эквивалентно полной несвязности и полной разрывности.
Доказательство. Как мы знаем (предложение 2), из
нульмерности любого пространства следует его полная несвяз-
несвязность и тем более его полная разрывность.
Нам надо доказать, что из полной разрывности бикомпакта
уже следует его нульмерность.
Уже упоминалось, что всякий вполне разрывный бикомпакт
вполне несвязен. Итак, компоненты вполне разрывного биком-
бикомпакта совпадают с его точками. Но компоненты бикомпакта яв-
являются и его квазикомпонентами, так что каждая точка х
вполне разрывного бикомпакта X есть пересечение всех содер-
содержащих ее открыто-замкнутых множеств. Отсюда по лемме
Шуры-Буры следует, что открыто-замкнутые множества, содер-
содержащие точку х, образуют базу этой точки в пространстве X.
Этим доказано равенство ind*X = 0 для каждой точки j;gI,
значит, и равенства ind X = 0, Ind X = dim X = 0.
Теорема 6 (Александров, 1936, [15], [19]). Для того
чтобы топологическое пространство X веса т было индуктивно
нульмерно (т. е. чтобы было ind X — 0), необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы оно было гомеоморфно (непустому) множеству, лежа-
лежащему в канторовом дисконтинууме Dx веса т.
Доказательство. Так как тихоновская база простран-
пространства Dx (как произведения простых двоеточий) состоит из от-
открыто-замкнутых множеств, то ind?)T = 0; значит, и для вся-
всякого непустого X. s Dx имеем ind X = 0 — одно утверждение
теоремы (достаточность) доказано.
Переходим ко второму утверждению: пусть ind X = 0,
wX = т; построим топологическое отображение f пространства
X на некоторое Y = fX s Dx.
Так как вес пространства X равен т, то во всякой базе этого
пространства содержится база мощности т; содержится она

[74 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
и в базе, состоящей из всех открыто-замкнутых множеств про-
пространства X. Итак, пусть 93 = {Va} есть база мощности т, со-
состоящая из открыто-замкнутых множеств Va; они занумерова-
занумерованы индексами а, пробегающими какое-нибудь множество 91 зна-
значений мощности т.
Пусть Da = {l(a), 2(a)}—изолированное (простое) двоеточие.
Положим FaVa=l(a) и fa(X \ Va) = 2<a>. Очевидно, функ-
функция fa непрерывна на X. Через f: X-+Dx= П Dao6o-
значим диагональное произведение отображений fo. Оче-
Очевидно, /a = Jta/> где яа—проекция ?)т на ?)„. Множества
я~Ч(а) и я~'2(а) образуют псевдобазу в Dx, а их прообразы
f-i (Я-Ч<а)) = f-1 1«*> = Va и f (я-'2(а)) = f-'2(«) = X \ Vaоткрыты
в X. Следовательно (см. гл. 1, § 2, предложение 3), отображе-
отображение f непрерывно. Так как для любых двух точек х е X, jt'eX
существует такое а, что х е Va, л'еД Va, то fax ф fax\ от-
откуда fx ф fx'. Таким образом, f взаимно однозначно отобра-
отображает X на Y = fX. Наконец, fVa— ]КПя~Ч(а), т. е. образы эле-
элементов базы S3 открыты в Y, следовательно, отображение f: X-+Y
открыто и поэтому является гомеоморфизмом. Теорема 6 до-
доказана.
Следствие 2. Нульмерные пространства со счетной базой
и только они гомеоморфны подмножествам канторова совершен-
совершенного множества.
С теоремой 6 интересно сопоставить следующее предло-
предложение:
Теорема 7 (Александров, 1936, [15], [19]). Всякое
То-пространство X веса х есть взаимно однозначный и (в одну
сторону) непрерывный образ некоторого подпространства Z би-
бикомпакта Dx.
Доказательство. Возьмем в пространстве X базу 33 =
= {Va} мощности т; элементы Va базы S3 занумерованы индек-
индексами а, за которые примем хотя бы все порядковые числа мощ-
мощности <т.
Лемма 1. Пусть для каждого а определено множество Еа,
причем либо Еа = Va, либо Еа = X\Va. Пересечение всех Еа
(а в случае хаусдорфова X и пересечение всех [Еа]) состоит не
более чем из одной точки.
В самом деле, если р и q — две различные точки простран-
пространства X, то по аксиоме Колмогорова по крайней мере у одной
из двух точек р, q существует окрестность, не содержащая
вторую точку. Пусть, например, Каэр, q е X \ Va. Точки р
и q не могут одновременно принадлежать множеству Еа, тем бо-
более пересечению всех Еа. Если же X — хаусдорфово простран-

S 31 НУЛЬМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 175
ство, то для двух данных точек можно выбрать Va так, что
PG=Va,qe=X\[Va).
Отсюда следует, что в хаусдорфовом X пересечение всех
[Еа] не может содержать обеих точек р и q. В самом деле, если
Еа = Va, то ре?а, цф [Еа]. Если же Еа = X \ Va, то [Еа] =
— Ea = X\Va и р & [Еа]. Лемма доказана.
Пусть теперь г = {га}—произвольная точка пространства Dx,
za = 0 и ли 1. Полагаем Еа (г) = Va> если za = 0, и Еа (г) = Х\ Va,
если 2в= 1. Обозначим через Z множество тех ге/)т, для ко-
которых множество f*)?o(z) непусто и, следовательно*), состоит
a
из одной точки, которую обозначим через ф(г). Таким обра-
образом, определено отображение <р: Z-*-X.
Докажем, что отображение q>: Z -* X есть отображение на
все X, — этим будет доказана и непустота множества ZsDT.
Пусть х — произвольная точка пространства X. Если для дан-
данного а имеем *е Va, то полагаем га = 0; если же x^X\Va,
то полагаем za = 1.
Получаем точку г = {га}, для которой Еа(г) = Va, если
га = 0, и ?a(z) = A\ Va, если га = 1, причем f)Ea(z) =
= q>(z) = x.
Итак, отображение ф: Z->A" на А" определено. Доказываем,
что оно взаимно однозначно. В самом деле, если z = {za) и
z' = [zQ—две различные точки множества Z, то для некоторого
а имеем za Ф z'a\ предположим, что га = 0, z'a= 1; тогда ?аB) =
= Vo=><p(z), ?аB') = Х\У«ЭфB') И фB)=И=фB').
Доказываем, наконец, непрерывность отображения ф: Z -> X.
Пусть 2° = {2°}—произвольная точка множества Z, и пусть Va,,—
произвольная окрестность точки х° = фг°, так что х° е 7о0 =
= Еао(г°). Берем одноиндексную окрестность Ua0 точки 20 = {г°}.
Тогда для всех точек г = (га)Е(/(,) имеем 2а0 = 2„0, ^ (г) =
=?а0B°)=Ка0, фг е 7а0; непрерывность отображения ф в про-
произвольной точке г0 е Z и вся теорема 7 доказаны.
Из теоремы 7 легко выводится
Теорема 8 (Александров [15], [16]). Всякий биком-
бикомпакт X веса х есть непрерывный образ некоторого замкнутого
множества Ф s Dx.
Доказательство. Строим, как при доказательстве пре-
предыдущей теоремы, взаимно однозначное непрерывное отобра-
отображение ф некоторогомножества Z s D1 на пространство X. Тео-
Теорема 8 будет доказана, если мы продолжим отображение
ф: Z-+X до однозначного (но, вообще говоря, уже не взаимно
*) В силу только что доказанной леммы.

176 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
однозначного) непрерывного отображения ф: Ф—*-Х, где Ф =
= [Z]Dt. Для этого берем произвольную точку z={za] e (f)=[Z].
Определяем Еа(г), как выше при доказательстве теоремы 7, и
доказываем, что f\[Ea(z)]=? А. Для этого в силу бикомпакт-
а
ности пространства X достаточно доказать, что для любого ко-
конечного набора индексов а as имеем [/ЦСгНЛ •¦• П [Еа${г)]фЛ.
Берем тихоновскую окрестность ?/а, as(z) s Dx точки z={za},
состоящую из всех точек z = {za}, для которых 2ai = zai, ...
.... Zas = Zas. Для всех точек z ef/a, as(z) П Z имеем ?(,, (z)=
— ?e,(z) Eas (z) = Е%(г), и, значит, фг*е= ?„_ (г) П ••• D?as(z).
Итак, непустота пересечения f*)[?a(z)] доказана для любой
a
точки геФ. В силу леммы это пересечение не может содер-
содержать более одной точки, значит, определено однозначное ото-
отображение ф: Ф-+Х формулой <pz = [4\Ea(z) для любого геФ.
a
Остается доказать, что это отображение непрерывно в лю-
любой точке го = {га } е Ф.
Так как бикомпакт X есть регулярное пространство, то до-
достаточно для любой окрестности Vat> точки х° = фг°еХ найти
такую окрестность Ог° точки г° е Ф, что ф(ФП Ог°) = [Ко,].
В качестве окрестности Oz0 достаточно взять одноиндексную
тихоновскую окрестность Oaoz°. В самом деле, при z = {za)^
еФ П U%z° будет Zao=z?o, значит Е% (z)=Eao (z°)=Vv ф (z)e= V*o,
ч. и т. д.
Пользуясь тем, что всякий бикомпакт X веса т можно рас-
рассматривать как замкнутое множество, лежащее в тихоновском
кирпиче Iх, теорему 8 можно доказать в двух словах.
Легко видеть, что произведение ПСа канторовых совершен-
a
ных множеств Са, взятых в числе т, есть бикомпакт Dx. Суще-
Существует стандартное непрерывное отображение фа: Ca->/a кан-
торова совершенного множества на отрезок*). Беря произведе-
произведение**) ф: ПСа-»-/т отображений фа, получим непрерывное ото-
a
бражение бикомпакта DT на Iх. Предполагая, что бикомпакт X
лежит в Iх, берем прообраз Ф = y-lX s Dx при отображении
ф: DT->/T. Тогда отображение ф отображает замкнутое множе-
множество Ф на бикомпакт X, ч. и т. д.
Рассмотрим доказательство теоремы 7. Назовем тихоновскую
окрестность C/a,, ...,osz Точки г = {га} е Dx и (при z e Z) со-
*) Склеивающее попарно концы смежных к канторову совершенному
множеству Са интервалов (считая Саа [0,1]).
»*) См. гл. 1, § 8.

§ 3] НУЛЬМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 177
ответствующую окрестность Z (] Uul asz точки 2 относительно
Z окрестностью первого рода, если za = ... —Zas = 0. Из
приведенного доказательства теоремы 7 вытекает, что при ото-
отображении ф множество всех окрестностей первого рода про-
пространства Z (взаимно однозначно) переходит в базу.
Назовем теперь пространством Fx пространство, получаемое
из Dx, если в нем в качестве окрестностей его точек оставить
лишь окрестности первого рода. Легко проверить, что опреде-
определенное этой системой окрестностей пространство Fx есть топо-
топологическое, и притом Го-пространство; более того, пространство
Fx есть не что иное, как топологическое произведение связных
двоеточий Z)o = (Oa, la), в которых одноточечное множество, со-
состоящее из точки 0°, открыто, а одноточечное множество la
замкнуто, но не открыто. Поэтому Fx есть бикомпактное Го-про-
Го-пространство, а лежащее в нем множество Z есть Го-пространство,
гомеоморфное (посредством отображения <р) пространству X.
Итак, доказана следующая
Теорема 9 (Александров, 1936, [15], [19]). Бикомпакт-
Бикомпактное То-пространство Fx, определенное как топологическое про-
произведение х штук связных двоеточий, является универсальным в
классе всех Тй-пространств веса х в том смысле, что всякое
То-пространство веса х гомеоморфно некоторому подпростран-
подпространству пространства Fx.
Нам понадобится в следующем параграфе
Предложение 4 (теорема суммы для нульмерных мно-
множеств). Пусть пространство X представлено в виде суммы
00
X = U Xk своих замкнутых подмножеств Xk размерности
*=i
Ind Xh — 0 (или, что то же, dim Xh = 0), k = 1, 2, 3, ... Тог-
Тогда IndX = 0, а следовательно, и dim Я = 0.
Доказательство. Пусть Р и Q — дизъюнктные, замк-
замкнутые в X множества. Нам надо доказать, что пустое множе-
множество есть перегородка между Р и Q.
Найдем такие дизъюнктные, открыто-замкнутые в Xt мно-
множества /4i и В и что
Множества Р\}А\ и Q U В\ дизъюнктны и замкнуты в нор-
нормальном X; поэтому имеются в X окрестности Gi, #1 соответ-
соответственно множеств Р U Au Q [) St с дизъюнктными замыкания-
замыканиями в X.
Итак,
(замыкания здесь и далее в X).

178 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
Заменяя в предыдущем рассуждении множества Р и Q че-
через множества [G\] и [Hi], строим открытые в X множества Gj и
Я2, удовлетворяющие условиям
О21)Я2эХ2, [О,]П[Я2]-Л, [G,]sG2,
Продолжая рассуждать таким образом, получим две возрас-
возрастающие последовательности открытых в X множеств
Я, s Я2 s ... s Я* s ..., [Я*] s
¦мкие, что ОЛиЯЛэХ,и ... U**,
оо
Полагаем G = [J G*. Я = (J Я*. Так как X = \J Xk, то G U Я=Х.
fc-I ft—1 ft
Так как О*ЛЯ* = Л и G*sG*+i> Hk^Hk+\ для любого &, то
и ОПЯ = Л.
Наконец, PsG, QsH.
Предложение 4 доказано.
Замечание 1. Предложение 4 остается, очевидно, вер-
верным, если в его формулировке предполагать, что слагаемые
множества Xh суть любые /^-множества в X.
Из предложения 4 и предложения 7 из § 1 вытекает
Следствие 3. Если множество Хо имеет тип Fa в X и
Ind*<0, то и IndX0<0.
Следствие 4. Если совершенно нормальное пространство
X есть сумма двух множеств X =» Х\ U X2 размерности Ind X\ -<!
^ 0, Ind Х2 ^ 0, из которых одно (например, Х4) замкнуто, а
другое произвольно, то Ind X ^ 0.
Доказательство. Множество X \ Xi s X2 открыто в X,
следовательно, имеет в X и тем более в Xz тип Fa. По преды-
предыдущему следствию Ind(X\Xi) ^ Ind X2 ^ 0. Из замечания к
предложению 4 следует неравенство Ind X ^ 0, ч. и т. д.
Предложение 5. Пусть финально компактное простран-
пространно
ство X представлено в виде суммы Х = \\Хь своих замкну-
тых подмножеств Xk размерности ind Xk ^ 0, k = 1, 2, 3,...
Тогда и ind X s^ 0.
Доказательство. По предложению 3 имеем IndX*-^
< ind Xh < 0, & = 1, 2,3, ... Тогда из предложения 4 следует, что
ind X К Ind X < 0, ч. и т. д.
Из предложения 5 и следствия 3 вытекает
Следствие 5. Если совершенно нормальное финально
компактное пространство X есть сумма двух индуктивно нуль-

5 4] МАЛАЯ ИНДУКТИВН. РАЗМЕРНОСТЬ. ФОРМУЛА УРЫСОНА-МЕНГЕРА 179
мерных подпространств, X = Xi U Х2, из которых одно (например,
Xi) замкнуто, а другое произвольно, то ind X = 0.
В частности, это следствие имеет место, если X — метризуе-
мое пространство со счетной базой.
Предполагая, что Xi состоит из одной точки, получаем
Следствие 6. Если метризуемое пространство X со счет-
счетной базой есть сумма нульмерного множества и одной точки,
то оно нульмерно.
§ 4. Малая индуктивная размерность. Формула Урысона —
Менгера. Примеры нульмерных и не нульмерных пространств
t. Если пространство X состоит из изолированных точек, то,
очевидно, indX = 0. Все множества в X открыто-замкнуты, от-
откуда сразу следует, что и dim X = Ind X = 0: в любое покры-
покрытие {О\ О„} можно вписать покрытие из отдельных точек.
В частности, нульмерны все пространства, состоящие из ко-
конечного числа точек. Из предложений 4 и 5 предыдущего пара-
параграфа вытекает
Предложение 1. Для метрического пространства X, со-
состоящего из счетного числа точек, ind X = Ind X — dim X = 0.
Из этого предложения, в частности, вытекает, что множество
всех рациональных точек пространства *) Rn нульмерно. Но
нульмерно и множество / всех иррациональных точек числовой
прямой, а также и всякое нигде не плотное множество на чис-
числовой прямой, в частности канторово совершенное множество.
Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать
Предложение 2. Множество М с R1, соответственно М cz
с S1, нульмерно,, если его дополнение N всюду плотно.
В самом деле, если N всюду плотно, то любая точка леМ
при любом е > 0 содержится в интервале (у', у") диаметра < в
с концами у', у", принадлежащими множеству N. Тогда М П
П (у', у") есть окрестность точки х в пространстве М диаметра
<е, граница которой в М пуста.
Мы видели (гл. 1, § 8, предложение 6), что топологическое
произведение пространств Ха, индуктивно нульмерных (в смыс-
смысле ind Xa = 0), индуктивно нульмерно.
Отсюда и из теоремы 3 следует, что для любого кардиналь-
кардинального числа т канторов дисконтинуум Dx есть нульмерный би-
бикомпакт: dim Dx = Ind DT = ind Dx = 0.
Далее, множество JRT всех рациональных точек тихоновского
кирпича /т (в частности, гильбертова кирпича Q00 = /*<>) есть
произведение т экземпляров пространства эт, состоящего из всех
*) Точка х— (xi *п) е/?я называется рациональной, если рацио-
рациональны все ее координаты Х\, ..., хЛ.

180 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ |ГЛ. 2
рациональных точек отрезка [0;1] числовой прямой, поэтому
ind 9?т = 0. В частности (при т— Но) множество !К*° рациональ-
рациональных точек гильбертова кирпича является пространством со счет-
счетной базой; поэтому из теоремы 3 следует, что
0 = ind SR*° = Ind sJt*° = dim SR*°-
Множество Jn (соответственно Jx) всех точек пространства
Rn (соответственно пространства Iх), все координаты которых
иррациональны, нульмерно (как произведение соответствующего
числа экземпляров пространства / всех иррациональных чисел
числовой прямой) *).
Пусть Nx есть пространство мощности т, состоящее из изо-
изолированных точек. Произведение счетного числа экземпляров
пространства Nx есть индуктивно нульмерное хаусдорфово
(даже метризуемое!) пространство, называемое бэровским про-
пространством веса т. При т = No получаем классическое бэров-
ское пространство; оно гомеоморфно множеству всех иррацио-
иррациональных чисел числовой прямой.
2. Из того, что числовая прямая R1 связна, следует (§ 3, пред-
предложение 2), что ind Rl > 1.
С другой стороны, каждая точка прямой имеет сколь угодно
тесную окрестность (интервал), граница которой состоит из
двух точек и, следовательно, нульмерна, так что indft'^l.
Значит, ind Ri = 1. Точно так же и для окружности 51 имеем
ind S1 = 1. В случае, когда X есть прямая или окружность, легко
доказываются и равенства Ind X = 1, dim X = 1.
Так как каждая точка плоскости R2 и двумерной сферы S2
имеет сколь угодно тесную окрестность, граница которой есть
окружность, то ind R2 ^2, а также и ind S2 «g: 2. Продолжая
таким образом рассуждать по индукции, мы убеждаемся в том,
что при любом п
ind #"<«, indS"<n.
Равенство ind Rn = ind Sn = n будет доказано лишь в гл. 4,
после того как мы докажем в § 3 следующей главы, что раз-
размерность dim Тп для п-мерного замкнутого симплекса Тп равна
и, а в гл. 4, что dim Tn < ind Tn.
3. Формула Урысона — Менгера. Самым замечательным фак-
фактом, касающимся малой индуктивной размерности, является
бесспорно, формула Урысона — Менгера
A) ind(M
*) В то же время множество всех рациональных точек всего гильбер-
гильбертова пространства Я~ имеет положительную размерность (Гуревнч —
Волмэн[1]),а именно размерность 1, как доказал Э р д ё ш [1].

§ 4] МАЛАЯ ИНДУКТИВН. РАЗМЕРНОСТЬ. ФОРМУЛА УРЫСОНА-МЕНГЕРА 181
для любых множеств М и N в произвольном наследственно нор-
нормальном пространстве X.
Непосредственным и очевидным ее обобщением является не-
неравенство
B) ind (Mo U М, U ... U Мп) < ind Мо + ... + ind Мп + п
для любых множеств в наследственно нормальном простран-
пространстве.
В частности, если наследственно нормальное пространство X
есть сумма п -f 1 индуктивно нульмерных множеств Мо, Ми ...
.... Мп, то
B0) ind X < п.
Для доказательства формулы A) нужна
Лемма 1. Пусть в наследственно нормальном простран-
пространстве X дано множество Хо и в нем точка х0:
«oe^s X.
Для того чтобы было indXcX0Kn, необходимо и достаточно,
чтобы в любой окрестности Ох0 (точки хо относительно X) со-
содержалась окрестность OiXo (относительно X), для которой
Достаточность условия очевидна: полагая OiX0 = Хо(] 0{хо,
находим такую окрестность точки х0 относительно Хо (лежа-
(лежащую в произвольно заданной окрестности охо = Хо (] Ох0), для
которой гр^о^о ? Хо П гр О{х0 и, следовательно, ind гр^0 <
1
Переходим к доказательству необходимости высказанного
условия. Берем произвольную окрестность Ох0 точки *о относи-
относительно пространства X. Так как по предположению ind*0Xo^n,
то в Хо существует окрестность о#о точки #о, для которой имеем
охо s Хо П Охо nindrp^cwo^tt — 1. Множества ох0 и Хо\
\[ол;0] лежат в Хо и отделены друг от друга; поэтому они имеют
в пространстве X дизъюнктные окрестности ?А и U2 (гл. 1, § 5,
предложение 1). Так как rpxUi = [Ul]x\Ul не содержит точек
ни 0и ни U2, значит, и подавно не содержит ни точек ох0, ни
точек Хо \ [ох0]*.. то
и, следовательно, ind (Xo f] гр ?Л) <я-1,ч. ит, д.
Переходим к доказательству формулы A). Эта формула
очевидна, если имеет место хотя бы одно из равенств ind М =
= оо, ind N = оо. Поэтому предположим, что ind М = m и
ind N = п суть целые числа ^ —1.

182 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
Требуется доказать, что
Доказательство будем вести индукцией относительно числа т -\-
+ п. При т-\-п = —2 неравенство A') выполнено, так как то-
тогда m = — 1, и = — 1,т. е. M = N = M\JN = A; значит, левая
часть неравенства (Г) есть — 1, правая (—2) + 1 = — 1 и само
неравенство (Г) верно.
Предположим, что неравенство A') доказано при т-{-п^.
^ k — 1, и доказываем его при т -\- п = к. Берем произвольную
точку х е М U N и произвольную ее окрестность Ох относитель-
относительно пространства М U N. Без ограничения общности можно пред-
предположить, что леМ. Тогда ind* М ^ т и, в силу только что
доказанной леммы, можно найти такую окрестность О\Х = Ох
точки х (относительно пространства М[] N), что *)
3 то же время
ind (N П гр О,*) < ind N < п.
Применяя к
М, = М П гр 0{х, indM!<m—1,
#i = N П гр 0{х, indiV,<n
неравенство A') (что законно, так как ind M{ -f ind N{ ^ m —
— 1-+¦«<?— 1), имеем ind (Af, U ^Vi) < (m— 1) +и = т-\-
+ n. Ho Mi \J Ni = гр О\Х, так что мы доказали неравенство
indrp Oxx ^.m -\-п.
Так как О\Х — произвольно малая (т. е. содержащаяся в про-
произвольно заданной Ох) окрестность произвольной точки х е
eMUJV (относительно М U Щ, то ind (M U ^V) < т + я + 1,
ч. и т. д.
4. Множество У^т). Пусть яг>и>0. Обозначим через Y^
множество всех точек х— (хи ..., хт) пространства Rm, ка-
каждая из которых имеет не более чем п рациональных коорди-
координат, и докажем неравенство
C) indK<,m)<n,
которое понадобится нам в гл. 4 при воспроизведении (принад-
(принадлежащего Гуревичу) элементарного доказательства формулы
Урысона dim X = ind X = Ind X для всех пространств со счет-
счетной базой.
*) гр О[Х до конца доказательства означает границу множества
bJMUJV,

$ 4] МАЛАЯ ИНДУКТИВН. РАЗМЕРНОСТЬ. ФОРМУЛА УРЫСОНА-МЕНГЕРА 183
Переходим к доказательству неравенства C).
Обозначим через R\ "' '") множество всех тех точек
Vi ... rj
х = (х\, ..., хт) пространства Rm, для которых
где гь г2, ..., гп — произвольно заданные рациональные числа.
Очевидно, R\ l " 1 есть (т — я)-мерное подпространство эв-
Vri • • • гл1
клидова пространства Rm. Обозначим через С = С\
vi • • • ''п/
_/i n\
множество всех тех точек множества R[ , все коор-
\г,...г„/
динаты х{ которых, кроме xti = rb ..., xin = rn, иррациональны.
Очевидно, при взаимно однозначном (конгруэнтном) соответствии
между R\ ) и обычным пространством R (точки ко-
Vi • • • rnl
торого суть всевозможные наборы уи ..., ут-п из т — п дей-
действительных чисел) множеству С " ) соответствует мно-
Vi • • • Тп)
жество Jm~n тех точек пространства РГ~п, все координаты
уи ..., ут-п которых иррациональны. Мы видели, что ind ]m~n=0,
следовательно, ind С ' " ' " =0. Обозначим теперь через Лт)
• vi • •• гп1
множество тех точек пространства /г\ число рациональных
координат каждой из которых равно п (так что Jo = /m):
Am)
г • n '
Мы помним, кроме того, что С " Is R ( " )• До-
Vi • • • rn/ \ri • • • гп/
кажем, что С[ п замкнуто в J^K Действительно, пусть
¦ • • г
(h .- n\
х — точка прикосновения множества С I, лежащая
в /W Так как cf'1 "'' '') = R ('' "'" '") и /' '" '") замк-
VI • • • гп/ \г\ • • • гп/ VI • • • "п/
нуто во всем #т, то х е R ( ' " . Но по предположению
vi • • • гп,1

184 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ (ГЛ. 2
х е ]{™\ значит, х имеет ровно п рациональных координат,
а так как *е# " I, то х уже имеет рациональные ко-
\ri ••• rnl
ординаты xix=rx, ..., xtn = rn и остальные координаты точки х
flt ... ia\
иррациональны, а это значит, что ^еС . Итак,
\ г\ • • • гп I
г ) есть замкнутое в /!im) множество, причем
indCl " =0. Но, очевидно,
/г- и
(суммирование берется по всем комбинациям i\, ..., ln из п на-
натуральных чисел, не превосходящих числа т, и по всем комби-
комбинациям ги ..., лп рациональных чисел). Значит, множество
/яШ> есть сумма счетного числа своих замкнутых подмножеств
' " I для каждого из которых indCl " 1 = 0.
^ \rx...ral
Согласно предложению 4 из § 3 отсюда следует, что ind /(„т) = 0.
Наконец,
n
г(т) | | r(m) i , и
= Jo li J\ U ••• U
откуда (по следствию из неравенства Урысона, цитированному
в начале этого параграфа) заключаем, что
ind KJT1 < я.
5. Веер Кнастера и Куратовского*). Кнастером и Куратов-
ским построен пример вполне несвязного одномерного множе-
множества Хо. Этот пример, принадлежащий к числу самых замеча-
замечательных примеров в теоретико-множественной топологии, по-
построен в 1921 г. (еще до возникновения общей теории размер-
размерности) .
Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат и
построим на отрезке [0; 1] оси абсцисс канторово совершенное
множество П. Возьмем точку с = (у, у) и рассмотрим всевоз-
всевозможные прямолинейные отрезки [с, р], где р пробегает все
точки множества П. Сумму всех этих отрезков обозначим че-
через С и назовем конусом над множеством П (с вершиной с).
¦) Кнастер и Куратовский [1], §5, пример а.

§4) МАЛАЯ ИНДУКТИВН. РАЗМЕРНОСТЬ. ФОРМУЛА УРЫСОНА-МЕНГЕРА 185
Каждая отличная от с точка |еС определяется содержа-
содержащим ее отрезком [с, р] и своей ординатой у, так что имеем одно-
однозначную запись | = (р, у).
Легко видеть, что множество С замкнуто на плоскости; бу-
будучи ограниченным, оно является компактом. Наконец, С связно
(как объединение отрезков, имеющих общую точку — верши-
вершину с). Итак, С — плоский континуум, следовательно, 1^
< ind С < 2.
Докажем, что indC=l. Сферическая окрестность о(|, е)
произвольной точки ?еС есть пересечение СП 0A, г), где
0A, е) —открытый круг с центром | и радиусом е. Граница se
множества о(|, е) в С есть пересечение множества С с окруж-
окружностью Se = S(|, e), и se, как легко видеть, нигде не плотно на
Se, откуда следует, что ind se = О (см. предложение 2).
Итак, ind $С ^ 1 для любой точки |еС — неравенство
ind С ^ 1 доказано.
Назовем отрезок [с,р], реП, отрезком первого (соответ-
(соответственно второго) рода, если его конец р есть точка первого (со-
(соответственно второго) рода канторова множества П.
Если [с, р] — отрезок первого рода, то обозначим через Ср
множество всех тех лежащих на нем точек (р, у), ординаты
у которых рациональны; если же [с, р] — отрезок второго рода,
то через Ср обозначается множество его точек с иррациональ-
иррациональными ординами. Объединение
Х= (J Ср
,.* п
всех множеств Ср и называется веером Кнастера — Куратов-
ского.
Очевидно, что се! Очевидно также, что пересечение мно-
множества X с осью абсцисс состоит из всех точек первого рода
множества П. Наконец, полагаем
Х0 = Х\с.
Так как Хо с X с С, то
D) indXo<Ind*<IndC=1.
Мы докажем утверждения:
1°. ind*0= indX= 1.
2°. X связно.
3°. Хо вполне несвязно.
Из 2° и формулы D) уже следует, что ind X = 1 (даже
\п&хХ=- 1 для любой точки х^Х). Но тогда и \пйХ0= 1, так
как для любой точки х е Хо имеем, очевидно, indx^o = ind^AT.
Итак, требуется лишь доказать утверждения 2° и 3°.
Доказательство утверждения 3°. Надо привести к противо-
противоречию предположение, что существует содержащее более чем

186 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
одну точку связное множество Z = Хо. Множество Z заведомо
не может лежать в одном Ср, так как каждое Ср, будучи го-
меоморфным или множеству всех рациональных, или множе-
множеству всех иррациональных чисел, вполне несвязно.
Итак, существуют две точки г е Z ("| Ср, г' е Z ("| Ср>, где р
и р' — различные точки множества П. Возьмем какую-нибудь
точку х0, лежащую на интервале (p,j/) оси абсцисс и не при-
принадлежащую множеству П. Прямая схо не имеет общих точек с
множеством Хо, значит, и с Z и делит плоскость на две полу-
полуплоскости Q и Q', г е Q, / е Q'. Итак, множества Z [) Q = Ог
и Z(]Q'=Oz' дизъюнктны и открыты в Z, г е Ог, г'^Ог',
что противоречит связности множества Z.
Доказательство утверждения 2° ведем также от противного.
Пусть X несвязно; тогда
где 0i и 0% — дизъюнктные непустые открыто-замкнутые в X
множества. Точка с принадлежит одному из множеств О\, Ог.
Пусть, например, с е 0i.
Так как Ot открыто в X, то некоторая сферическая окрест-
окрестность (относительно X) точки с содержится в О4. Поэтому для
любого рЕП нижняя грань Ьр ординат у всех точек | =¦
= (р, У) i Для которых пересечение отрезка [1, с] (соединяющего
точки i и с) с множеством Ср содержится в Ot: [|, с] Л Ср g Oi,
удовлетворяет неравенству
где а — положительное число, не зависящее от р.
Точки р, для которых Ьр = 0, ие могут составлять всюду
плотного подмножества множества П, так как в этом случае
имели бы Ьр = 0 для всех точек р е П и X s Oit т. е. X = Oit
О2 = Л.
Итак, имеется отрезок [а; В] ? [0; 1] такой, что для всех то-
точек р «куска» Пор = ПП[а, р\ множества*) П имеем Ър > 0.
Вместо множества П будем теперь рассматривать множест*
во Пор. Если точка реП- второго рода, то Ьр непременно
рационально, так как при иррациональном Ьр точка (р, Ьр), имею-
имеющая ординату Ьр, принадлежала бы множеству Ср, т. е. одному
*) При определении куска Пар множества П всегда предполагается,
что точка а есть правый, ар — левый конец некоторого смежного интер-
интервала ^о. соответственно Ag, к множеству П, так что кусок Пар гомео-
морфен (и подобен) всему множеству П (конус Сор над Пор гомеомор-
феи —и даже аффинно эквивалентен — конусу С над всем множеством П).

i 41 МАЛАЯ ИНДУКТИВН. РАЗМЕРНОСТЬ. ФОРМУЛА УРЫСОНА-МЕНГЕРА 187
из дизъюнктных открыто-замкнутых множеств О\, О2, и в то же
время была бы точкой прикосновения каждого из них, что, оче-
очевидно, невозможно.
Обозначим через Е множество всех точек второго рода мно-
множества Пай и рассмотрим теперь все рациональные числа
/ 1 \
fu гг, .... гп, ... интервала ^0; у ; пусть Еп — множество
00
всех тех точек ре?, для которых Ьр = г„. Тогда Е= (J Еп.
л=»1
Так как Е = Пор \ D, где D счетно, то множество Е не может
быть суммой счетного числа нигде не плотных на Пар мно-
множеств*). Поэтому существует такое п, что множество Еп плот-
плотно на некотором куске П0'р' множества Пор. Для всех точек
р е Е П По'р' имеем
Ьр = гп.
Возьмем какую-нибудь точку р первого рода в куске П0'р'
и рассмотрим точку г= (р, гп). Тогда ге Cpcz X, так что г
лежит в одном из двух множеств Ои 0% В любой близости от
точки г лежат точки множества Oj, а именно точки г' =
— (р'*У')> Для которых числа \р — р'\, р'&Е, и у' — гп положи-
положительны и достаточно малы. Значит, z e 0\, так как 0\ замкнуто
в X. Но в любой близости от точки «лежат и точки множества Ог,
а именно точки z' = {р',у/), где р'е?, и числа \р — р'\, гп — у'
достаточно малы и положительны. Из замкнутости 0-г. следует,
что z е 02. Итак, г е 04 П Ог — мы получили противоречие.
Утверждение 2° доказано.
Замечание 1. Кнастер и Куратовский построили свой
замечательный пример как пример вполне несвязного прост-
пространства Хо, превращающегося в связное пространство X после
присоединения одной-единственной точки г. Мы знаем, с другой
стороны, что после присоединения единственной точки к нуль-
нульмерному пространству (по крайней мере при условии существо-
существования счетной базы) мы снова всегда получаем нульмерное
пространство, откуда вытекает невозможность сведения поня-
понятия положительной размерности к понятию связности. С дру-
другой стороны, одной из фундаментальных теорем всей теории
размерности является теорема, утверждающая, что в каждом
и-мерном (би)компакте содержится n-мерное канторово много-
многообразие (Гуревич и Тумаркин — для компактов). Веер Кнасте-
Кнастера — Куратовского показывает безнадежность попыток пере-
перенести эту теорему на случай ие бикомпактных пространств (по
*) В противном случае суммой счетного числа своих нигде не плотных
подмножеств был бы и весь компакт Пар (Т. е. канторово совершенное
множество), что, как нзрестно, невозможно,

188 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. 2
крайней мере в пределах теоретико-множественной топо-
топологии) *).
6 **). Размерное ядро. В годы первых работ Урысона и Мен-
гера по теории размерности, когда в центре внимания стояла
малая индуктивная размерность, значительный интерес при-
привлекало к себе так называемое размерное ядро и-мерного про-
пространства X: это множество N(X) всех точек х е X, в которых
indarAT = ind X = п. Урысон, высказав в качестве гипотезы ут-
утверждение о наличии в каждом и-мерном компакте подмноже-
подмножества, являющегося и-мерным канторовым многообразием,
хорошо понимал, что доказательство этого утверждения позволи-
позволило бы ответить на все основные вопросы, касающиеся размер-
размерного ядра компакта. Однако после теоремы Гуревича — Тумар-
кина оставался вопрос о размерном ядре некомпактного
пространства и в первую очередь вопрос о размерности ind N(X)
размерного ядра. В случае компакта X
indN(X)==indX,
что доказано еще Урысоном и Менгером и сразу следует из
теоремы Гуревича — Тумаркина. Менгер доказал интересную
теорему, что для любого пространства X (метризуемого, со счет-
счетной базой)
indN(X)>— 1 + indX.
Результат оказался окончательным, что следует из построенных
Серпинским и Куратовским примеров плоских одномерных мно-
множеств, размерные ядра которых счетны.
Особенно просто множество, построенное Куратовским и из-
известное под названием «графика Куратовского» ***).
Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат; на
отрезке [0; 1] оси абсцисс строим канторово совершенное мно-
множество П. На этом множестве определяем функцию f следую-
следующим образом. Берем произвольно точку хеП. Она может
быть записана в виде бесконечной троичной дроби, троичные
знаки (цифры) в которой равны 0 или 2. Это значит, что число
х может быть записано в виде ряда
*) Комбинаторный подход к этому вопросу, а именно подход со сто-
стороны проекционных спектров, делает тем не менее такое перенесение воз-
возможным. См. Александров [20].
**) В этом пункте мы рассматриваем лишь метризуемые пространства
со счетной базой.
***) К у р а т о в с к н й [6] т. 1, § 27, стр. 308.

§ 4] МАЛАЯ ИНДУКТИВН. РАЗМЕРНОСТЬ. ФОРМУЛА УРЫСОНА-МЕНГЕРА 189
Тогда значение функции f в точке х определяем как
График этой функции, т. е. множество всех точек (х, f(x)) плос-
плоскости, где х е П, и есть «график Куратовского» К.
Пусть z = (x, f(x)). Оказывается, если х— правый конец
какого-либо смежного к П интервала (и, следовательно, ряд
E) конечен), то indzK = 1. Для всякой другой точки 2Е К имеем
ШгК= 1.
В основе (элементарного, но довольно кропотливого) дока-
доказательства, которое приводить не будем, лежит следующая
Лемма 2. Во всех точках хеП, не являющихся правыми
концами смежных к П интервалов, функция Куратовского не-
непрерывна. Если же х — правый конец смежного интервала и
2 2 2
х = г —z г • • • i—г~>
3 ' З*2 3**
то функция f имеет в точке х разрыв с колебанием -=j-.

Глава третья
РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ
КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
Введение
В § 1 этой главы мы напоминаем элементарные предложе-
предложения аналитической геометрии, касающиеся симплексов и бари-
барицентрических координат *).
В § 2 вводятся понятия симплициального комплекса (как
геометрического, так и абстрактного) и полиэдра, а также по-
понятие нерва конечной системы множеств, с простейшими отно-
относящимися сюда предложениями.
В § 3 доказывается знаменитая лемма Шпернера и при по-
помощи нее выводится основная формула dim Рп = п для л-мер-
ного полиэдра.
В § 4 лемма Шпернера прилагается к доказательству эле-
элементарных классических теорем Брауэра: о существовании не-
неподвижной точки для непрерывного отображения замкнутого
симплекса в себя и об инвариантности внутренних точек мно-
множества МеЛ" при топологических отображениях /: M-*Rn.
В § 5 определяются существенные отображения /: X—*fn
на замкнутый симплекс и доказывается существенность тожде-
тождественного отображения
f: f«_>r.
В Прибавлении к гл. 3 в связи с только что введенным по-
понятием существенного отображения вводится понятие гомото-
пии и доказывается «лемма о грибе» (лемма Борсука), которая
понадобится, однако, лишь в § 8 гл. 4 (и далее в этом томе
применяться не будет).
*) Предполагается, что читатель знаком с элементарным курсом ли-
линейной алгебры. Здесь мы только напоминаем некоторые известные факты
из этого курса и выводим нужные нам следствия из них. См., например,
Александров [24], гл. 14 или П о н т р я г и н [2].

$ I] ПРОСТРАНСТВО Rn И ЕГО СИМПЛЕКСЫ 191
§ I. Пространство Rn и его симплексы
1. Геометрическая независимость и общее расположение
точек пространства Rn. В пространстве Rn предполагается раз
навсегда данной некоторая прямоугольная система координат.
В этом предположении точки пространства Rn обозначаем (на-
(например) через х = (хи ..., хп), векторы — через х={хи ..., хп},
где х\, ..., хп — действительные числа. Расстояние между точ-
точками х = (*ь .... хп) и у = (t/f yn) есть
Р(*. У)=
Приложить к точке х= (хи ..., хп) вектор у=[у\, ¦ ¦ ¦,Уп} —
значит построить точку х + у = (*i + уи ..., хп + у п.), называе-
называемую концом приложенного к точке х вектора у; точка х назы-
называется началом приложенного к ней вектора у. Любая (упоря-
(упорядоченная) пара точек л:=(*|, ..., хп) и у=(у\, •••> Уп) в свою
очередь определяет вектор ху = {у\ — хи ..., уп —хп}.
Взвешенной суммой точек al = (a\, ..., а^) ак =
= (af а*) с весами (if, ..., \ih называется точка х =
= (xit ..., хп), для которой при i = 1, 2, ..., п имеем
В этих условиях точка х обозначается так:
Плоскостью размерности k, 0 ^ k ^ п, в пространстве /?¦'
называется множество точек л:, получаемых приложением к ка-
какой-нибудь точке а = (аь ..., ап) всевозможных векторов
и = %\и\ + ... +^AUft, являющихся линейными комбинациями
данных k линейно независимых векторов щ, ...,и^.
Любые k + 1 точек пространства Rn лежат хотя бы в одной
ft-мерной плоскости. Пусть а0, а1, ..., а* — какие-нибудь k + 1
точек пространства R". Обозначом через V(a°, ..., а*) линей-
линейное подпространство, порожденное всеми векторами вида а1а!,
где t и / принимают все значения 0, 1, ..., k. Так как а'а> =
= а1а° + аоа>, то векторы их = а°а1, и2 = а°а2 ик = a°ak
составляют систему образующих пространства V(a°, ..., а*),
размерность которого, таким образом, ^ k. Если она равна k,
т. е. если векторы щ, ••¦, и* линейно независимы, то точки
а0, а1 а* называются геометрически независимыми; иногда
удобно говорить, что множество {а0, а1 а*} геометрически
независимо.

192
РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ
[ГЛ. 3
Итак, всякие k + 1 точек а0, а1 ак пространства Rn ле-
лежат в некоторой плоскости размерности ^ k пространства Rn,
а именно в плоскости R(a°, ..., ак), полученной приложением
к одной из точек а0, а1, ..., ak — например к точке а0 — всех
векторов не V(a°, ..., ак), т.е. всех линейных комбинаций век-
векторов ыь ..., Uft. Если точки а0, а1, ..., ак геометрически неза-
независимы (и только в этом случае), они принадлежат к /г-мерной
плоскости R (а0, ..., ак) и не лежат ни в какой плоскости
меньшего числа измерений. Плоскость /?(а°, ..., а*), очевидно,
однозначно определенную точками а0, .... а*, будем называть
плоскостью, натянутой на точки а°, ..., ак.
Если al = {x\ х§ при t = 0, I k, то щ = а°а' =
= \х\ — *°, ..., х'п — *°] и для линейной независимости векторов
«1, ..., uft, т. е. для геометрической независимости точек а0,
а', ..., а*, необходимо и достаточно, чтобы матрица
!-*°
U (а0 а*) =
л2 .
. vO
2 * '
Л| Л. Лп '
имела ранг k. Докажем, что это условие равносильно тому, что-
чтобы матрица
- х° х°
л, л2
X»
Л (а'' а*) = |
хк
х2
имела ранг /г+1. В самом деле, если ранг матрицы
U(а0, ..., ак) равен k, то в ней лежит невырождающаяся квад-
квадратная матрица порядка k.
Обозначения можно выбрать так, чтобы этой матрицей была
матрица порядка k, лежащая в верхнем левом углу матрицы
U(а0, ,.., ак), т. е. чтобы детерминант
Do =
у!
Х\
X2 —
Х\
хк —
х\
х°
х\
х°
х\
уО
л,
у!
х2
X2
Х2
Хк
х2
-А
— х°
Х2
— Х°
Х2
у!
•¦ * Xk
X2
хк
• • • xk
— х°
xk
— х°
xk
— х°
хк

4 If "" ПРОСТРАНСТВО Rn И ЕГО СИМПЛЕКСЫ 193
был отличен от нуля. Но этот детерминант равен детерминанту.
*? 4 ••• 4 *
у! у! rl 1
At Лп ••¦ At I
?> =
в чем убеждаемся непосредственно, вычитая в детерминанте D
первую строку из всех.остальных (и разлагая полученный де-
детерминант по элементам последнего столбца). Из того, что
ОФО, следует, что ранг матрицы А (а0, ..., ah) равен к-{-\.
Аналогично, из того, что ранг матрицы А (а0, ..., ah) равен
ft-fl, следует, что ранг матрицы U(а0, ..., а'') равен k.
Итак:
Предложение 1. Для геометрической независимости
точек а0, а1, ..., ah необходимо и достаточно, чтобы ранг мат-
матрицы А (а0, ..., ah) был равен k+ Л.
Предложению 1 можно придать и следующую форму:
Предложение 1'. Точки
а0, а*, ..., а*
геометрически независимы в Rn тогда и только тогда, когда
единственной системой чисел
удовлетворяющей двум условиям:
является система
В самом деле, совокупность двух условий A), очевидно, рав-
равносильна тому, что равна нулю линейная комбинация строк
матрицы Л (а0, ..., ak), имеющая своими коэффициентами числа
Ко, Xi, ...., А*.
Выводим отсюда важное для иас
Предложение 2'. Пусть а0, а1, ..., ah —какие-нибудь
точки пространства /?п, причем k ^ п. Тогда в любой заданной
близости соответственно от точек а0, а1,..., ак можно найти гео-
геометрически независимые точки Ь°, б1, ..., bh.
В самом деле, возьмем какую-нибудь систему геометрически
независимых точек (Р,с\ ..., с*, например
с° = @,0, .,.,0), с1 —A,0 0) с* = @ 1 0),
7 П. С, Александров, Б, А. Пасынков

194 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ " !ГЛ. 3
и рассмотрим Для любого t, О < t ^ 1, точку
t)a', t = 0, I k.
Легко видеть, что матрица A(z°(t), zl(t), ..., zh(t)) мо-
может быть записана в виде
A(z°(t), .... z4t)) = tA(c\ .... с*) + A-/)Л(а° а*).
Так как точки с0, ..., ск геометрически независимы, то ранг
матрицы А(с°, ..., ch) равен /г + 1, так что некоторый лежащий
в ней детерминант (/г —f— 1) -го порядка D\ отличен от нуля.
Соответствующий детерминант в матрице A(z°(t), ...
..., zh(t)) обозначим через Dt (при t= 1 получаем ?>A)=Z?|).
Так как D{ Ф О, то детерминант D(i) не равен нулю тожде-
тождественно и, будучи многочленом от переменной t, обращается
в нуль лишь для конечного числа значений t, пусть для
t = to, .... t = th, а для всех остальных значений — в том чис-
числе и для сколь угодно малых — этот детерминант отличен от
нуля; значит, при t ф t0, ..., h матрица A(z°(t), ..., zk(t))
имеет ранг fc-f 1 и точки z°(t), ..., zh(t) геометрически неза-
независимы; при достаточно малых значениях t эти точки сколь
угодно близки соответственно к точкам а0, а1, ..., ah (соответ-
(соответствующим значению t = 0). Предложение 2' доказано.
Предложение 2". Пусть точки a0,..., ak, а1 = (а\,..., а'п),
t = 0, 1, ..., k, геометрически независимы в R". Тогда суще-
существует такое е > 0, что геометрически независимы и любые
точки Ь°, Ь\ ..., bh, для которых p(fti,a<)<e (при / = 0, 1, ...
...,k).
В самом деле, из геометрической независимости точек
a0 ah следует, что матрица А(а°, ..., ак) имеет ранг /г+1,
так что в ней лежит некоторый отличный от нуля детерминант
D порядка /г'+ 1. Но этот детерминант является непрерывной
функцией от координат точек а°, ..., ак; поэтому, если он.от-
он.отличен от нуля для точек а0, ..., ак, то он будет отличен от
нуля и если заменить эти точки достаточно близкими к ним
точками Ь° Ьк.
Предложения 2' и 2" можно следующим образом объеди-
объединить в одно:
Предложение 2. Всякую систему из k + 1 точек про-
пространства Rn можно при k^.n сколь угодно малым сдвигом
перевести в геометрически независимую; всякая геометрически
независимая система точек после достаточно малого, в осталь-
остальном произвольного, сдвига остается геометрически независимой.
Введем теперь следующее фундаментальное
Определение 1. Множество точек пространства Rn на-
находится в общем положении, если всякое подмножество этого

S !] ПРОСТРАНСТВО Л" И ЕГО СИМПЛЕКСЫ 195
множества, состоящее из п+1 (или меньшего числа) точек,
геометрически независимо.
Из предложения 2 легко вытекает
Предложение 3. Пусть дано конечное или счетное мно-
множество точек
М = {а>, а2 а*, ...},
лежащих в пространстве Rn, и последовательность положитель-
ных чисел 8|, 82, ... Сдвигая каждую точку а1 меньше чем на
ги можно перевести множество М в множество N = {ft1, ft2, ...
..., ft', ...}, находящееся в общем положении. Если при этом
точки а1, ... ,ак находятся в общем положении, то можно счи-
считать, что Ь1 = а1, ..., bh = ак.
В самом деле, положим ft' = a', 1=\, ..., k. Пусть для
^ точки ft', находящиеся в общем положении, уже по-
построены под условием p(al,bl)<et. Тогда выбираем точку
ftm+l ее O(am+l, em+1), не лежащую ни в одной из плоскостей
Rib'1, .... ft'"), натянутых на какие-либо из п построенных
ранее точек bx bm. Если бы точки b\ ..., ftm+1 не были
в общем положении, то при каких-то ti^.tn, ..., in^.m точки
ft'1, ..., ft'", bm+l не были бы геометрически независимы и
лежали бы в (я - 1)-мерной плоскости, которая, в силу геоме-
геометрической независимости точек b ', ..., b n, совпадает с пло-
плоскостью Rip'1, ..., bl"). Тогда точка bm+l лежала бы в пло-
плоскости Rib'1, ..., ft'") —вопреки построению.
В § 2 гл. 4 нам понадобится
Замечание 1. Пусть в пространстве R2n+l дана л-мер-
ная плоскость Rn и конечная система точек М = {а1 а8}.
Тогда для любого е > 0, сдвигая каждую точку а1 в точку Ь1
меньше чем на е, можно перевести множество М в такое нахо-
находящееся в общем положении множество N = [Ь1, ..., Ьа}, что
/г-мерная плоскость Rk, k^.n, натянутая на любые /г-f-l то-
точек ft'0, ft'1 ft'*, не имеет общих точек с Rn.
Доказательство. Выберем в плоскости Rn геометри-
геометрически независимую систему из л + 1 точек с0, с1, ..., с".
По предложению 3 существует такая находящаяся в общем
положении система W точек с0, с1, ..., С, ft1 ft8, что
р(а', ft')<e, *=1 s.
Возьмем 6+1 точек ft'0, ft'1, ..., ft'*, fc<n, и плоскость Rk,
на них натянутую. Предположим, что существует точка
d<=Rn()Rk. Выберем в Rn и Rk базисы еи .... еп и е„+
• • •» вп+к соответственно. Тогда плоскость, определенная точкой d

leg размерность полиэдров [гл. s
и векторами еь .... еп+к, имеет размерность <п + 6 и содер-
содержит n+k+2 точек с0, ..., с", b'° &'* находящейся в общем
положении в R2n+l системы N'. Полученное противоречие дока-
доказывает справедливость сделанного замечания.
Предложение 4. Конечное множество М, находящееся
в общем положении, сохраняет это свойство при достаточно
малом сдвиге.
В самом деле, рассмотрим все подмножества М\, ..., Ма
данного множества М, состоящие из л+1 точек. Каждое из
множеств Mi, ..., Ма состоит из геометрически независимых
точек. Обозначим через е<, I = 1, 2, ..., s, столь малое число,
что всякое множество М\, получающееся из Mi посредством
егсдвига, все еще геометрически независимо. Пусть е—наи-
е—наименьшее из чисел еь ..., е». Всякое множество ЛГ, получаю-
получающееся из М посредством е-сдвига, очевидно, находится в об-
общем положении.
Лишь немного сложнее доказывается
Предложение 4<х). Если счетное множество М={а1, а2,...
..., а\ ...} находится в Rn в общем положении, то существуют
такие положительные числа ei, ea, ..., ел, ..., что всякое множе-
множество М' •= {b\b2, ..., bh, ...}, в котором p(bh,ah)< th, нахо-
находится также в общем положении.
2. Барицентрические координаты. Симплексы. Пусть в Rn
даны геометрически независимые точки
а0, а1, .... а*
(так что 6<л). Векторы щ =а°а1, ..., «ja# линейно не-
независимы. Прилагая всевозможные их линейные комбинации
и = Ц|«1 ¦+¦... + цьИь к точке а0, получим все точки х плоскости
Rh =* R (а0, ..., ak) и только точки этой плоскости, которые, та-
таким образом, записываются в виде
B) л: = а°
= а
— A —Hi — H,—... - цл) а0 + Hi**1 + ... +цла*
или
C) .. .x = noao+vnal+ ... + ц*аЛ,
где цо= 1 — Ц[ —ц2— ••• — И*-
Итак, плоскость R(а°, ..., ан) есть множество всех точек х,
записывающихся в виде «взвешенной. суммы» C) точек
а0, а1, ..., ah, где числа цо, щ, .... \ih («веса») связаны един-
единственным условием
D) m» + Hi+ .,.+p*=l.

§ 1] ПРОСТРАНСТВО Rn И ЕГО СИМПЛЕКСЫ 197
При этом дополнительном условии числа \ю, ць .,., ц*
определены однозначно.
В самом деле, пусть
х = iiocfi + ц.а1 + ... + На>* = ц'оа° + ц^1 + ... + '*
Тогда, полагая
К = ^о ~ IV • • •» Ч = И* — Hft>
имеем
Так как точки а0, а1, ..., а* геометрически независимы, то от-
отсюда в силу предложения 1 вытекает, что
Лд = %ц = ... = А,? = 0,
т. е.
Далее, коэффициенты цо, |хь ..., цл в формуле C), как легко
вывести из самого их определения, являются непрерывными
функциями координат точки х (в данной фиксированной си-
системе координат пространства Rn) и, следовательно, непрерыв-
непрерывными функциями точки х метрического пространства Rn.
Определение 2. Коэффициенты ц0. Ць ¦ • ¦. ць, одно-
однозначно определенные точкой хе Rn (посредством равенств C),
D)) и однозначно определяющие эту точку, называются ее
барицентрическими координатами (в барицентрической коорди-
координатной системе, состоящей из точек а0, а1, ..., ah).
Таким образом, барицентрическая координатная система
(или базис барицентрических координат) данной /г-мерной пло-
плоскости есть, по определению, любая совокупность, состоящая
из k + 1 геометрически независимых точек а0, .... ак этой пло-
плоскости.
Замечание 2. Любая подсистема а'0, ...» аА геомет-
геометрически независимой системы а0, ..., ah также геометрически
независима, причем RheaR(a'<>, ..., a'*)s/?* = R(a0 ak) и
точки х е Rh имеют в системе барицентрических координат
а0, ..., а* нулевые координаты щ для всех ] ф k, ..., h, а
остальные координаты (т. е. \ij при / = /о. ¦ • •. ^л) те же, что и
в системе а'0, ..., а'А (в плоскости Rh). Проверка предостав-
предоставляется читателю.
Определение 3. Пусть в Rn дана совокупность геомет-
геометрически независимых точек а0, а1, ..., ah, kKn. Множество всех
точек х е Rn, все барицентрические координаты которых в си-
системе а0, .<., ак положительны, называется открытым п-мерным,

108 размерность полиэдров [гл. а
симплексом с вершинами a0,..., ak и обозначается через Г* =
= \а°, ..., ак\, а совокупность всех точек, барицентрические
координаты которых в системе а0, ..., ah неотрицательны^на-
неотрицательны^называется замкнутым п-мерным симплексом Th = а0 ... ah с
вершинами а0, ..., ah.
Множество всех вершин данного симплекса (открытого или
замкнутого) называется его остовом.
Без большого труда доказываются следующие предложе-
предложения*): _
1. Замкнутый симплекс Tk=a° ... ak есть замыкание от-
открытого симплекса Тн = \а° ... ah\, а открытый симплекс Tk
есть открытое ядро замкнутого симплекса Th (относительно под-
подпространства Rk = R(a°, ..., ah) пространства Rn).
2. И открытый и замкнутый симплексы с вершинами
а0, ..., ah суть выпуклые множества пространства Rn, причем
замкнутый симплекс Th есть пересечение всех выпуклых мно-
множеств, содержащих данные точки.а0, ..., а*.
Принципиально важным для нас является
Предложение 5. Симплекс**) однозначно определяет
свой остов.
Так как, с другой стороны, остов какого-либо симплекса
(т. е. всякое множество геометрически независимых точек про-
пространства Rn) однозначно определяет симплекс, остовом кото-
которого является, то из предложения 5 следует, что соответствие
между симплексами пространства Rn и их остовами является
взаимно однозначным.
Предложение 5 непосредственно вытекает из следующего
утверждения:
Предложение 5'. Для того чтобы точка х = цоа0 + ...
... -f \ihdk^Tkбыла вершиной симплекса Th=\a° ... ah\, необ-
необходимо и достаточно, чтобы эта точка не была серединой ни-
никакого отрезка Ь'Ь", концы Ъ' ф Ъ" которого принадлежат зам-
замкнутому симплексу Tk = a° ... ak. При этом серединой отрезка
Ь'Ь" называется точка с = -jb' + -z b".
Доказательство предложения 5'. Предположим
сначала, что точка
отлична от всех вершин а0, ..., ah\ тогда среди чисел ц0, ..., цк
по крайней мере два отличны от нуля (и, следовательно, поло-
положительны). Пусть цо>О, m >0. Возьмем положительное е,
•) См., например, Александров [21], Прибавление 2, §§ 2, 3.
**) Под симплексом мы можем понимать здесь как открытый, так и
замкнутый симплекс (поскольку они однозначно определяют друг друга).

» И ПРОСТРАНСТВО Л" И ЕГО СИМПЛЕКСЫ '
меньшее каждого из чисел цо. Hi. и положим
*'= (Но + е) а0 + (ц, - е) а1 + ц2а2 + .. • + Ц*а\
ц»а*.
Так как ц0 — е > 0, ц,-е>0, (цо + е) + (ц, — е) = (ц0- е
( 1. то 6'sJ1', Ь"е=Г*; кроме того,
т. е. точка х есть середина отрезка Ь'Ь".
Пусть теперь х — какая-нибудь вершина симплекса Тк
= |а° ... а*|, например, х = а0. Предположим, что
Так как 6' ^ Ь", то всегда существуют такие / Ф /, что ц^ > О,
\к'; > 0 *).
Из 1Ф\ следует, что i и / не могут быть одновременно
равны нулю; пусть, например, i Ф 0.
По предположению an = у Ь' + у Ь'Л, но тогда /-я бари-
барицентрическая координата точки а0, равная по определению нулю,
равна jn'[ + jn't'>-j^'i>Q~ противоречие!
3. Грани симплекса. Пусть а'0, ..., ат — некоторые из вершин
данного /г-мерного симплекса Тк = \ а° ... а*|. Тогда эти вер-
вершины а'0, ..., а'' геометрически независимы и определяют в пло-
плоскости R(al°, ..., a'0s/?(a°, ..., afe) открытый симплекс
Tr = \al<> ... a'r| и замкнутый симплекс Тг = а1° ... а1', назы-
называемые соответственно открытой и замкнутой r-мерной гранью
симплекса Тк (с вершинами а'0, .... а1). При этом Тг, соответ-
соответственно Тт, состоит из всех точек л:е Rk(a°, .... а*), у которых
при }=io, ...,ir барицентрические координаты ц/ положительны,
соответственно неотрицательны, а все остальные барицентри-
барицентрические координаты в системе а0, а1 ак равны нулю.
¦) В самом деле, так как 2^ = 2^/'='• т0 паРа чИСел И>/ >0,
у >0 существует. Если бы при этом всегда было / =» /, то тогда ц( = piy =1
и

200 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
Поэтому имеет место
Пр е д л ож е н и е 6. При 0<!г<h<!k замкнутая грань
Тг = а'0 ... а1* тогда и только тогда содержится в замкнутой
грани Тн — а/о ..'. а'л, когда остов грани Тг содержится
в' остове грани Th, другими словами, когда множество индек-
индексов t'o, ..., ir является подмножеством множества индексов
/о, ..., jh.
Особенно важен случай (k—1)-мерной грани П симп-
симплекса Tk = \a° ... ah\: по определению остов грани Тк~1 со-
состоит из всех вершин симплекса Тк, кроме одной вершины ¦¦ ah,
грань Тк~х называется (k—1)-мерной гранью симплекса Тк,
противоположной вершине а1, и записывается в виде
Tt = |а ... а ... а \;
«домик» над а* означает,, что именно эта вершина не является
вершиной грани Г*.
Из предложения б при ft = k — 1 следует _
Предложение 6»_1. Замкнутая .грань Т симплекса Г*
тогда и только тогда содержится в замкнутой грани Т)~х,
когда вершина а', противоположная грани Г*, не является
вершиной грани V'.
Удобна в некоторых случаях и такая формулировка только
что сделанного утверждения: _ .
Предложение 6*_i. Замкнутая грань Тг_ тогда и, только
тогда не содержится в (k — I)-мерной грани Г*, когда вер-
вершина а\ противоположная грани Г*~\ есть одна из вершин
грани Тг. . _
Среди всех точек замкнутого симплекса Тк = а° ... ак точки
его (k — 1)-мерной грани Г* характеризуются тем, что равна
нулю i-я барицентрическая координата ц( этих точек.
Поэтому имеем
Предложение 7. Пересечение всех (k—I)-мерных зам-
замкнутых граней k-мерного симплекса Тк пусто.
ft
В самом деле, если бы точка х е f) Тк~х существовала, то
/—о
все ее барицентрические координаты |л0, .... ц* должны были
бы равняться нулю, что невозможно, так как jjto —f—... —f- |x* *= 1.
Сделаем в связи с этим следующее .
Замечание 3. Пусть е — леб_егово_число системы всех
(k— 1)-мерных замкнутых граней То, Т\~\ ..., Г* симПт
лекса Гл = |а° ... ак\ (оно существует, так как эти грани суть

$ Z] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 201
компакты). Тогда никакое множество М с: Rn диаметра <е
не может пересекаться со всеми То~\ Т\~\ ..., Т\~\ Отсюда
следует: если множество Mcz Rn диаметра < е содержит дан-
данную вершину а* е 1*, то оно не пересекается с гранью ТкГх,
противоположной этой вершине. _
В самом деле, вершина а1 содержится во всех гранях Т%~\,
кроме грани ТкГ\ противоположной вершине а'. Если бы мно-
множество М, содержа вершину а1, пересекалось с 71*, то оио
пересекалось бы со всеми (k— 1)-мерными замкнутыми гранями
То, Tf, ..., fl~\ что противоречит тому,_что diamM < e и
г — лебегово число системы Т*~\ Г? 71*.
§ 2. Симплициальные комплексы
1. Геометрические комплексы. Симплициальные (геометриче-
(геометрические) комплексы — это множества открытых симплексов (дан-
(данного пространства Rn). Они могут быть подчинены тем или
иным дополнительным условиям, и тогда слово «комплекс» со-
сопровождается соответствующим прилагательным. Так, напри-
например, мы будем в большинстве случаев иметь в этой книге дело
с конечными комплексами, т. е. с конечными множествами сим-
симплексов; можно, далее, требовать, чтобы симплексы, являю-
являющиеся элементами данного комплекса, были дизъюнктными.
Комплекс К называется п-мерным, если все его симплексы
имеют размерность ^ п и среди них имеется хотя бы один
размерности п. Основное требование, которое мы предъявляем
к рассматриваемым нами комплексам, — это требование пол-
полноты: комплекс К называется полным, если каждый симплекс,
являющийся гранью какого-либо симплекса комплекса /С, сам
является элементом этого комплекса. Полный конечный ком-
комплекс /С, элементами которого являются дизъюнктные (откры-
(открытые) симплексы данного пространства Rn, называется триангу-
триангуляцией (лежащей в этом R"). Легко видеть, что замкнутые
симплексы Т, являющиеся замыканиями элементов Т данной
триангуляции /С, удовлетворяют следующему условию: любые
два из этих замкнутых симплексов либо вовсе не пересекаются,
либо их пересечением является общая замкнутая грань обоих
данных симплексов.
Замечание 1. Если не оговорено противное, мы под
симплексом всегда понимаем открытый симплекс.
В соответствии с общей терминологией, принятой в этой
книге, мы называем телом какого-либо комплекса К объеди-
объединение (теоретико-множественную сумму) всех симплексов, яв-
являющихся элементами комплекса /С- Тело комплекса К обозн§-

202 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
чается через К*). Тело всякой триангуляции совпадает с сум-
суммой замыканий всех симплексов этой триангуляции и (как
сумма конечного числа компактов, лежащих в данном Rn) есть
компакт. Всякий компакт, являющийся телом некоторой три-
триангуляции, называется полиэдром; если Р = К, то триангуля-
триангуляция К называется триангуляцией полиэдра Р. Итак, каждая
триангуляция есть триангуляция своего тела, но один и тот же
полиэдр имеет (кроме тривиальных случаев нульмерных поли-
полиэдров) бесконечно много триангуляции.
Подкомплексом комплекса К называется, разумеется, всякий
комплекс Ко, все элементы которого являются и элементами
комплекса К- Если не оговорено противное, мы под комплек-
комплексом К будем всегда предполагать полный комплекс; однако мы
в полных комплексах К постоянно будем рассматривать и не-
неполные подкомплексы Ко-
Для всякого неполного комплекса Ко определено его ком-
комбинаторное замыкание, а именно полный комплекс [/<о], состоя-
состоящий из всех симплексов Г е /Со и из всех граней этих симплек-
симплексов. В частности, можно говорить о комбинаторном замыкании
симплекса Т, понимая под этим полный комплекс [Т], состоящий
из симплекса Т и всех его граней.
Полный комплекс аТ = [Т] \ Т, состоящий из всех собствен-
собственных граней симплекса Т, называется его комбинаторной гра-
границей.
2. Абстрактные симплексы и комплексы. Нервы. Мы видели,
что в пространстве Rn симплексы взаимно однозначно соответ-
соответствуют их остовам. Поэтому во многих вопросах удобно рас-
рассматривать вместо данного полного комплекса К множество
остовов всех составляющих его симплексов Ге/(. Эти остовы
тогда называются абстрактными симплексами, а их множе-
множества — абстрактными комплексами. Общее определение таково.
Вообразим себе какое-нибудь произвольно заданное множе-
множество Е, элементы которого условно будем называть вершинами.
Всякое непустое конечное множество Тs E будем называть
остовом или (абстрактным) симплексом данного поля вершин Е;
непустые подмножества симплекса Т называем гранями этого
симплекса.
.Числом измерений или размерностью симплекса будем на-
.зывать. уменьшенное на 1 число составляющих его вершин.
. Всякое -множество К абстрактных симплексов поля вер-
вершин Е называется • (абстрактным) комплексом этого поля вер-
вершин. Условие полноты гко^плекйа .формулируется так же, как
раньше: оно состоит ;в том, что вяявдягррйдь симплекса, являю-
*) Если комплекс К состоит из одного (открытогр) сдаэдекда/Г^то его
тело К = Т будем часто обозначать просто через, Т. ' ' '

I 2] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 203
щегося элементом комплекса К, также есть элемент ком-
комплекса К-
Понятие комбинаторного замыкания неполного комплекса
сохраняет свою силу и для абстрактных комплексов. В частно*
сти, можно говорить о комбинаторном замыкании [Т] и ком-
комбинаторной границе [Т] \ Т абстрактного симплекса.
Размерность комплекса К определяется как верхняя грань
размерностей симплексов Ге/С.
Отождествляя, когда это удобно, обычные, «геометрические»
симплексы с их остовами, можем считать геометрические ком-
комплексы частным случаем абстрактных.
Важнейшим примером абстрактных комплексов являются
нервы конечных систем множеств. Пусть а = {Ми ..., М3} —
такая система; каждому ее элементу М{ ставим в соответствие
некоторую вершину а (проще всего, но не всегда удобнее счи-
считать за вершину ^'само множество М(еа); несколько вершин
образуют «остов» (симплекс), если соответствующие им мно-
множества имеют непустое пересечение. Полученный таким обра-
образом абстрактный комплекс и называется нервом данной си-
системы множеств. Понятие нерва будет основным понятием во
многих частях этой книги.
3. Звезды. Открытые и замкнутые подкомплексы. Назовем
комбинаторной звездой какого-либо симплекса Т комплекса К
множество ОкТ всех симплексов комплекса /С, имеющих симп-
симплекс Т своей собственной или несобственной (т. е. совпадающей
с Т) гранью. Комбинаторной звездой главного симплекса являет-
является он сам *).
Подкомплекс /Со комплекса К называется открытым в К,
если со всяким симплексом Т е /Со в /Со содержится и вся (ком-
(комбинаторная) звезда этого симплекса. Открытые подкомплексы три-
триангуляции образуют важнейший пример неполных комплексов.
Подкомплекс /Со комплекса /С, дополнение /С \ /Со к кото-
которому открыто, называется замкнутым; если К—полный ком-
комплекс, то его замкнутые подкомплексы совпадают с полными.
Предложение 1. Комбинаторные звезды ОКТ
„.., ОкТг полного симплициального комплекса тогда и только
*) Остовы симплициальиого комплекса К образуют частично упорядо-
упорядоченное по включению множество; этот порядок, естественно, переносится и
па симплексы нашего комплекса; поэтому для двух симплексов Т и Т' ком-
комплекса К мы пишем 7" ;> Т, если Т есть грань (может быть, и несобствен-
несобственная) симплекса Т'\ Г > Т означает, что Т — собственная грань сим-
симплекса 7". Комбинаторная звезда симплекса Т е К состоит из всех сим-
симплексов V > Т комплекса К. Очевидно, звезды суть, вообще говоря,
неполные комплексы.
Симплекс Т е.К называется главным, если в К не существует симплекса
Г > Т, т. е. если в К нет симплекса, имеющего симплекс Т своею собствен-
собственной гранью.

204 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
тогда имеют непустое пересечение, когда симплексы Т\ Тг
являются гранями некоторого симплекса комплекса К, т. е.
когда объединение остовов симплексов Ти ..., Тг есть остов не-
некоторого симплекса Т е К (этот симплекс называется комби-
комбинаторной суммой симплексов Ти ..., Тг). В этом случае
Доказательство состоит из автоматической проверки того,
что каждый симплекс, входящий в одну половину этого равен-
равенства, входит и в другую.
В частности, комбинаторные звезды Окео, ¦ • ¦, Оквг вершин
во, . • ¦, ег комплекса /С имеют непустое пересечение тогда и
только тогда, когда эти вершины образуют остов некоторого
симплекса комплекса К. Другими словами, комплекс /С есть
нерв системы звезд своих вершин.
Если /С— триангуляция, то в большинстве случаев мы будем
рассматривать не комбинаторные звезды комплекса /С, а их
тела, которые будем называть открытыми звездами и обозна-
обозначать через ОТ; открытые звезды вершин для краткости назы-
называются главными звездами (данной триангуляции). Пересече-
Пересечение тел каких-либо подкомплексов триангуляции /С есть тело
пересечения этих подкомплексов*); поэтому открытые звезды
Ое0, ..., Оет каких-либо вершин во, ..., ет триангуляции К
имеют непустое пересечение тогда и только тогда, когда эти
вершины образуют остов некоторого симплекса комплекса К,—
мы имеем основное предложение.
Теорема 1. Триангуляция К является нервом системы
своих главных звезд.
Следствие 1. Система б»к — {Ое{} открытых звезЗ три-
триангуляции К полиэдра Р = К является открытым покрытием
полиэдра Р, кратность которого равна л+1, где п — размер-
размерность комплекса К.
Как мы уже упоминали, замкнутые подкомплексы триангу-
триангуляции (и вообще полного комплекса) К совпадают с полными
подкомплексами комплекса /С. Поэтому тело Ко замкнутого под-
подкомплекса /Со триангуляции К есть компакт (подполиэдр
?о ? К) и, следовательно, замкнутое в R множество. Обратное
предложение очевидно: если тело Ко подкомплекса Ко^К зам-
замкнуто в К, то все грани любого симплекса Ге/Со должны при-
принадлежать комплексу /Со, т. е. /Со есть полный, следовательно,
замкнутый подкомплекс комплекса /С. Итак, имеем
Предложение 2. Для того чтобы тело Ко подкомплекса
/СоЭЕ/С триангуляции К было замкнутым множеством в К, не-
*) Это вытекает из того, что триангуляция есть система дизъюнктных
множеств (симплексов).

$ 21 СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 206
обходимо и достаточно, чтобы Ко был замкнутым подкомплек-
подкомплексом комплекса К-
Так как открытые подкомплексы комплекса К суть допол-
дополнения к замкнутым подкомплексам, то из предложения 2 сле-
следует
Предложение 2'. Для того чтобы тело Ко подкомплекса
/CoS/C триангуляции К было открытым в R, необходимо и до-
достаточно, чтобы Ко был открытым подкомплексом комплекса К.
4. Симплициальиые отображения. Пусть каждой вершине а
симплициального комплекса X поставлена в соответствие неко-
некоторая вершина b = fa симплициального комплекса У, причем
выполнено условие: если какие-нибудь вершины at(t, ..., а*
комплекса X образуют в X остов некоторого симплекса, то и
вершины faio, ..., faif, среди которых могут быть и совпадаю-
совпадающие, образуют остов некоторого симплекса комплекса У («ото-
(«отображение не разрывает остовов»).
В силу этого условия каждому остову, а следовательно, и
каждому симплексу Т -»| а<0 ... atf | комплекса X соответствует
некоторый симплекс 7" «= fT комплекса У, и мы получаем ото-
отображение f комплекса X в комплекс У; определенное таким
образом отображение f: X-+Y называется симплициальным ото-
отображением комплекса X в комплекс У.
Если симплициальное отображение комплекса X на ком-
комплекс У взаимно однозначно, то оно называется изоморфным
отображением (изоморфизмом), а комплексы X и У, допускаю-
допускающие изоморфное отображение друг на друга, называются изо-
изоморфными между собой. Легко доказывается
Теорема 2. Всякий конечный п-мерный полный симпли-
циальный комплекс Р изоморфен некоторой триангуляции Q,
лежащей в Rm при любом гп^2п-\-\.
В самом деле, пусть а„ ..., а,— все вершины комплекса Р.
Берем какие-либо точки ft,,..., bs в Rm в общем положении,
т. е. так, что никакие пг+ 1 из них не лежат в (пг— 1)-мерной
плоскости пространства R. На точки bto bif, r^.n, натя-
натягиваем в Rm симплекс в том и лишь в том случае, когда
aio, ..., aif образуют остов комплекса Р. Точки 6<о, ..., bi гео-
геометрически независимы в Rm, так что симплекс | blo ... btJczR
существует *). Полученные таким образом симплексы в R™ по-
попарно не имеют общих точек; в самом деле, рассмотрим
симплексы
*) Для справедливости последнего, очевидно, достаточно требования
m > п.

206 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
соответствующие различным симплексам
а, ... а. и \а, ... а,\
I 'о 'л1 I 'о 'к\
комплекса Р. Так как размерность комплекса X равна п,. то
h^.n и k^.n; поэтому объединение остовов симплексов
l^'o •" ^lh\ и l^'o "• ^'t |состоит не более чем из (h-\- 1) + (& +1)^
< (п + 1) + (п + 1) = 2/1 + 2 < m + 1 точек и, значит, будучи
множеством геометрически независимых точек в Rm, является
остовом некоторого симплекса пространства Rm, имеющего
в качестве своих граней как 16/0 ... bjk I, так и | bio ... bth\; эти
симплексы, таким образом, не имеют общих точек.
Итак, построенные нами симплексы в Rm образуют триан-
триангуляцию Q, очевидно, изоморфную комплексу Р.
При т^п приведенное выше доказательство теоремы 2 пе-
переходит в доказательство следующего предложения:
Теорема 2'. Всякий конечный п-мерный симплициальный
комплекс изоморфен при т ^ п комплексу Q, состоящему из
симплексов пространства Rm. Всякий такой комплекс Q на-
называется геометрической реализацией в Rm (абстрактного)
комплекса Р. Комплекс Q при этом, вообще говоря, не является
триангуляцией, так как симплексы его могут пере-
пересекаться.
Понятие геометрической реализации Q данного абстракт-
абстрактного комплекса Р понадобится нам в основном для случая,
когда Р является нервом некоторой системы множеств, в част-
частности некоторого покрытия а какого-либо пространства X. От-
Отметим в особенности случай, когда а = {Mi, ..., М3} есть по-
покрытие некоторого пространства X, определенного как множе-
множество, лежащее в гильбертовом пространстве Rm (при этом
обычно ш< «о).
Пусть при этом дано некоторое е >0 и вершины Ьи ..., Ь,
комплекса Q выбраны в Rm так, что p(Mj, й,)<е для / =
= 1, 2, ..., s. Тогда комплекс Q называется реализацией
нерва Р покрытия а, взятой «вблизи» (точнее, «в е-близости»)
к покрытию- а.
Пусть / — симплициальное отображение триангуляции X на
комплекс Y. Тогда вершины каждого симплекса Т комплекса X
отображены на вершины некоторого симплекса Т комплекса У;
но тогда определено и аффинное отображение симплекса Т на
симплекс Т'\ можно доказать, что эти аффинные отображения,
определенные на каждом симплексе комплекса X, в своей со-
совокупности образуют единое непрерывное («кусочно аффинное»)
отображение полиэдра К в полиэдр ?, которое будем обозна-
обозначать через J (часто и просто через /).

$ Z] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 207
Итак:
Предложение 3. Симплициальное отображение f три-
триангуляции X в триангуляцию Y порождает непрерывное ото-
отображение 1 полиэдра К в полиэдр F; отображение J также на-
называется симплициальным отображением.
5. Следование триангуляции и подразделения их. Опреде-
Определение 1. Триангуляция К' следует за триангуляцией К, если
каждый симплекс Т е К' содержится в некотором (очевидно,
единственном) симплексе Т е /С; симплекс Т е К называется
носителем симплекса Т е К! в триангуляции К.
Если К' следует за К, то, очевидно, К' s К; если при этом
R' = ?, т. е. если каждый симплекс Т е К есть сумма лежа-
лежащих в нем симплексов триангуляции V е К', то К' называется
подразделением *) триангуляции К-
6. Барицентрическое подразделение. Одним из простейших
и важнейших подразделений данной триангуляции К является
барицентрическое подразделение. Возьмем в каждом симплексе
ГеХ точку, которую назовем центром симплекса Т. Барицент-
Барицентрическое подразделение комплекса К определяется как некото-
некоторая триангуляция Ки вершинами которой являются центры
симплексов комплекса К (так что вершины комплекса /Ci на-
находятся во взаимно однозначном соответствии с симплексами
комплекса К); при этом несколько вершин комплекса К\ обра-
образуют, по определению, остов эгого комплекса, если они могут
быть записаны в таком порядке
^о> в]| ¦ • •, ег,
что соответствующие им симплексы Го, Ти .... Тг образуют
убывающую цепочку
A) То > Г, > ... > Тг
(неравенство 7Vm < 7\ означает, что Ti+\ есть собственная
грань симплекса Г,).
Из A) следует, что симплекс \е0 ... er|e/Ci лежит ,в сим-
симплексе То е К; поэтому триангуляция /Ci следует за К. Доказа-
Доказательство того, что /Ci есть подразделение комплекса У*С, легче
всего получить, дав несколько другую формулировку определе-
определения барицентрического подразделения. Эта вторая формули-
формулировка (непосредственно эквивалентная первоначальной) осно-
основывается на важном понятии пирамиды над комплексом. Пира-
Пирамидой с вершиной о над абстрактным полным комплексом X
*) Для дальнейшего важно заметить, что подразделение неполного ком-
комплекса К определяется как множество лежащих на симплексах комплекса К
симплексов некоторого подразделения комбинаторного замыкания [К] ком-
комплекса Ц.

208 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
называется абстрактный комплекс оХ, симплексами которого
является сама вершина о и все симплексы вида
/ = | of Н| oal ... аг\, где t' = \al ... aT\mX\
r= 1, 2, ..., /i + l и п — размерность комплекса X. При этом
мы рассматриваем обычные геометрические комплексы как част-
частные случаи абстрактных.
В частности, комбинаторная звезда Ое любой вершины е
полного комплекса К является пирамидой над ее комбинатор-
комбинаторной границей [Ое] \ Ое (эта граница, очевидно, состоит из всех
симплексов, не входящих в звезду Ое, но являющихся гранями
симплексов Т е Ое).
Непосредственно нужен нам будет следующий пример. Пусть
Т — обычный открытый геометрический симплекс. Пусть а'Т—
какое-нибудь подразделение комбинаторной границы аТ =
= [Т] \ Т симплекса Т. Очевидно, множество S — Т\Т яв-
является телом комплексов аТ и а'Т. Пусть оеТ — точка внутри
симплекса Г («центр»). Тогда пирамида оа'Т есть подразделе-
подразделение открытого симплекса Т, т. е. неполный комплекс, состоящий
из дизъюнктных симплексов и имеющий своим телом симп-
симплекс Т.
В самом деле, пусть дана отличная от точки о произволь-
произвольная точка хеТ. Проводим через нее луч ох до его пересечения
с S = Т\Т в точке *'. Точка х' содержится в единственном
симплексе t'ma'T, следовательно, xs|of'|, чем доказано, что
тело комплекса оо'Т есть симплекс Т. Если бы точка х принад-
принадлежала дв.ум симплексам \ot\ \moa'T и |о^|еоо'Г, то (ввиду
выпуклости этих симплексов) этим симплексам принадлежал
бы и открытый отрезок ох'. Значит, точка х' принадлежит сим-
симплексам t[ и /г комплекса а'Т, вопреки дизъюнктности этих
симплексов. Итак, пирамида оа'Т есть действительно подраз-
подразделение симплекса Т, а полный комплекс оа'Т U а'Т — подраз-
подразделение комплекса [Г]. Эти подразделения называются централь-
центральными, подразделениями с центром о относительно подразделе-
подразделения а'Т комплекса аТ.
Пусть теперь дан n-мерный комплекс К, п > 0. Через Кп~1
обозначим его подкомплекс, состоящий из всех симплексов раз-
размерности в^п— 1. Пусть дано какое-нибудь подразделение
(Кп~1)' комплекса Кп~1 и в каждом n-мерном симплексе Т{
комплекса К выбрана точка («центр») о*. Тогда для каж-
каждого I определено подразделение а'Т{ границы симплекса Т{
и, следовательно, комплекс o'TtU Oio'Ti. Комплекс
К' — {J(o'T{[j oto'Tt) назовем центральным подразделением с
центрами о< комплекса К относительно подразделения (Кп~1)'
подкомплекса Кп~1,

S'SJ СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 209
Теперь барицентрическое подразделение любой триангуля-
триангуляции К размерности п может быть — по индукции относительно
числа п — определено следующим образом. Барицентрическое
(как и всякое вообще) подразделение нульмерного комплекса К
совпадает с комплексом К. Предположим, мы определили ба-
барицентрическое подразделение любой триангуляции размерности
^п—1, так что выполняется следующее условие: барицентри-
барицентрическое подразделение К' комплекса К размерности т^.п—1
есть центральное подразделение комплекса К с центрами о<
внутри симплексов 7\ размерности т комплекса К относительно
барицентрического подразделения (/С)' подкомплекса Кт~1
комплекса /С, состоящего из всех симплексов размерности
^ т — 1. Определим барицентрическое подразделение п-мерной
триангуляции К следующим образом. Возьмем комплекс
/С"-1 с: К, состоящий из всех симплексов комплекса К, имею-
имеющих размерность ^и—1. Для него барицентрическое подраз-
подразделение уже определено. В каждом Г? е К берем точку о< и
центральное подразделение с центрами о< относительно бари-
барицентрического подразделения комплекса /С" считаем бари-
барицентрическим подразделением комплекса К.
Обычно под центром симплекса fn = |a° ... ап\ понимают
его геометрический центр тяжести, т. е. точку о, являющуюся
взвешенной суммой
с равными весами.. Тогда имеет место следующая элементарно-
геометрическая теорема: наибольшее из расстояний р(о,а{),
t = 0, 1, .... п, не превосходит числа п " { fl, где б есть диа-
диаметр симплекса Гп = |а° ... ап\, т. е. наибольшее из расстоя-
расстояний между двумя какими-нибудь его вершинами*). Отсюда
следует: если при переходе от данного n-мерного полного ком-
комплекса К к его барицентрическому подразделению Ki под цент-
центрами симплексов Ге/С понимать их геометрические центры
тяжести и обозначить через d, соответственно dh мелкость ком-
комплекса К, соответственно /Сь т. е. наибольшее число, являющееся
диаметром какого-либо симплекса данного комплекса, то
B) 4
Отсюда в свою очередь вытекает, что, производя последо-
последовательно операцию барицентрического подразделения, можно
*) Доказательство см., например, Александров [21], стр. 656,

210 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
от данной триангуляции К перейти к сколь угодно мелкому ее
подразделению Кн-
Замечание 2. Все сказанное о барицентрическом под-
подразделении триангуляции К дословно применимо и к более об-
общему случаю полного конечного комплекса, состоящего из (во-
(вообще говоря, не дизъюнктных) симплексов, лежащих в дан-
данном Rn.
Замечание 3. Иногда (например, в гл. 8) приходится
вместо триангуляции рассматривать так называемые комплексы
выпуклых многогранников, определение которых отличается от
определения триангуляции только тем, что элементами комп-
комплекса могут быть любые лежащие в данном Rn выпуклые мно-
многогранники (не непременно являющиеся симплексами). Суще-
Существенно заметить, что барицентрические подразделения таких
комплексов определяются совершенно так же, как для триан-
триангуляции (в частности, барицентрическое подразделение любого
комплекса выпуклых многогранников всегда является триангу-
триангуляцией). Как известно, пространство Rn может быть разбито
на конгруэнтные кубы, диаметры которых меньше любого задан-
заданного е > 0, образующие так называемый кубильяж We. Возь-
Возьмем всевозможные пересечения элементов данной триангуля-
триангуляции К (лежащей в Rn) с кубами кубильяжа We; мы получаем
комплекс выпуклых многогранников К', образующих подразде-
подразделение триангуляции К, состоящий из элементов, меньших е по
диаметру. Переходя затем к барицентрическому подразделению
К" комплекса К', получим триангуляцию мелкости е, состоящую
из симплексов и являющуюся подразделением исходной триан-
триангуляции К. Таким образом, важный факт существования у дан-
данной триангуляции сколь угодно мелких подразделений доказы-
доказывается и без приведенной выше оценки диаметров симплексов
барицентрического подразделения.
Замечание 4. Барицентрическое подразделение Ki три-
триангуляции К имеет, как видно на примерах, весьма наглядный
геометрический смысл; но комплекс К\ очень удобно восприни-
воспринимается и как абстрактный комплекс; за вершины этого абстракт-
абстрактного комплекса можно взять симплексы комплекса К; тогда
убывающие последовательности A) симплексов 7\е/<С объяв-
объявляются остовами комплекса К\. Таким образом, единственной
основой определения барицентрического подразделения ком-
комплекса является то обстоятельство, что всякий комплекс есть
частично упорядоченное множество.
Это замечание сохраняет силу и для барицентрического под-
подразделения комплекса выпуклых многогранников.
7. Связность комплекса. Симплициальный комплекс К назы-
называется связным, если в нем нет отличного от всего К непустого
подкомплекса Ко с К, одновременно замкнутого и открытого,

§3] РАЗМЕРНОСТЬ я-МЕРНЫХ ПОЛИЭДРОВ. ЛЕММЫ ШПЕРНЕРА 211
Назовем «ломаной» данного полного комплекса К, связы-
связывающей вершины е\ и es комплекса К, всякую конечную после-
последовательность его одномерных симплексов вида
le^l, |e2e3|, ..., |es_,es|
(каждые два последовательных звена |^-1б*| и |eje,+i| имеют
общую вершину е*).
Легко доказывается
Предложение 4. Полный комплекс связен тогда и только
тогда, когда любые две его вершины могут быть связаны ло-
ломаной.
Далее, «-мерный комплекс К называется размерно однород-
однородным, если каждый его симплекс является собственной или не-
несобственной гранью некоторого «-мерного симплекса. Размерно
однородный комплекс Кп (размерности «) называется сильно
связным, если при всяком его представлении в виде объедине-
объединения двух замкнутых «-мерных подкомплексов Ki и Kb
пересечение /("Поесть комплекс размерности >/i—1.
§ 3. Равенство dim Р" = л для л-мерных (в элементарном
смысле) полиэдров. Леммы Шпернера
1. Докажем прежде всего неравенство
(la) .
Для этого достаточно показать (см. гл. 2, § 2), что полиэдр
имеет при любом е > 0 открытое е-покрытие кратности ^« + 1.
Для получения такого покрытия возьмем триангуляцию К по-
полиэдра, симплексы которой по диаметру меньше е/3; открытые
звезды Oei вершин этой триангуляции имеют диаметр <е и об-
образуют, согласно следствию теоремы 1 (§ 2 этой главы), откры-
открытое покрытие кратности « + 1 полиэдра К = Рп. Неравенство
Aа) доказано. Из него следует
Предложение 1. Всякий компакт Ф, лежащий в п-мер-
ном эвклидовом пространстве Rn, имеет размерность dimO ^ п.
В самом деле, компакт Ф с Rn, будучи ограниченным замк-
замкнутым множеством, лежит в некотором замкнутом симплексе
Г" и образует замкнутое подпространство этого симплекса. По-
Поэтому, в силу теоремы о монотонности размерности dim по
замкнутым множествам (гл. 2, § 2) и формулы Aа), имеем

212 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. »
Для доказательства основного равенства
A) dim Pn = /i
остается доказать неравенство
A6) dim Pn>n,
которое в свою очередь достаточно доказать для случая, когда
полиэдр Рп является n-мерным замкнутым симплексом Тп. В са-
самом деле, всякий n-мерный полиэдр Рп содержит п-мерный
замкнутый симплекс Тп. Поэтому dim Pn ^ dim Tn, и нужно
только доказать основное
Предложение 2 (Лебег)*). Пусть Тп — замкнутый сим-
симплекс. Тогда существует такое е > 0, что всякое замкнутое г-по-
крытие симплекса Тп имеет кратность >п + 1.
Прежде чем доказывать это предложение, выведем из него,
т. е. из равенства dim Tn = п, знаменитую теорему Брауэра об
инвариантности числа измерений n-мерного эвклидова прост-
пространства:
Предложение 3. При шфп пространства Rm и Rn не
еомеомррфны между собою.
Мы докажем несколько более сильное предложение, а
именно:
Предложение 4. При tn> n никакое множество Е s Rm,
содержащее внутренние (относительно Rm) точки, не может
быть топологически отображено в Rn.
В самом деле, пусть такое отображение f: E~*Rn суще-
существует. Так как Е содержит внутренние точки относительно Rm,
то в Е лежит m-мерный замкнутый симплекс Т™, переходящий
при топологическом отображении f в компакт Ф cr Rn.
Так как Тт и Ф гомеоморфны между собою, то dim Ф =
е= dim Тт = т, т. е. uimQ) = т> п (мы предполагаем равен-
равенство A) доказанным). В то же время из Фсг/?п следует, что
dim Ф ^ п. Противоречие!
Итак, все свелось к предложению 2. Мы выведем его из так
называемой леммы Шпернера [1], к которой и переходим. .
2. Леммы Шпернера. Первая лемма Шпернера (ос-
новная). Пусть дана триангуляция К замкнутого симплекса
Tn — aoai... ап.
•) Эту замечательную теорему высказал впервые Лебег в 1911 г. Лебег,
таким образом, был первым математиком, который понял связь между раз-
размерностью и кратностью покрытий. Однако доказательство, данное Лебе-
Лебегом в его работе [1], содержало пробелы. Первое безупречное доказатель-
доказательство теоремы Лебега было дано Брауэрои в 1913 г. в работе [4]. Саи
Лебег дал безупречное доказательство своей теоремы лишь в 1921 г. в
работе [2].

S 3] РАЗМЕРНОСТЬ «МЕРНЫХ ПОЛИЭДРОВ. ЛЕММЫ ШПЁРНЕРА 213
Предположим, что каждой вершине е триангуляции К по-
поставлена в соответствие некоторая вершина fe симплекса Тп,
причем выполнено условие:
если вершина е триангуляции К лежит на какой-нибудь
грани Тг симплекса Тп, то поставленная ей в соответствие вер-
вершина fe симплекса Тп есть вершина этой грани Тг.
Тогда найдется по крайней мере один симплекс т" триангу-
триангуляции К, вершинам которого поставлены в соответствие сплошь
различные (и, следовательно, все) вершины симплекса Тп.
Доказательство. Назовем симплекс т" е К нормаль-
нормальным, если в силу нашего соответствия вершинам симплекса тп
соответствуют сплошь различные и, следовательно, все вершины
симплекса Г". Наша задача состоит в том, чтобы доказать су-
существование хотя бы одного нормального симплекса т" е К- Но
мы сейчас докажем больше, а именно что число нормальных
симплексов в К всегда нечетно.
Доказательство будем вести индукцией по числу измерений
п симплекса Тп. При п = 0 предложение очевидно.
Предполагая утверждение доказанным для я.— 1, доказы-
доказываем его для п. _
Грань, противоположную вершине а^, обозначим через Г»;
ее вершинами являются все вершины симплекса Тп, кроме вер-
вершины ah.
Триангуляция К симплекса Тп порождает и определенную
триангуляцию Кн грани Т»,
В частности, нас будет интересовать триангуляция Ко грани
х2 п
Назовем (л— .1)-мерный симплекс т"-1 е К отмеченным,
если его вершинам поставлены в соответствие все вершины
аи .... ап грани То~1. _
Следовательно, лежащие на Г" отмеченные симплексы
Т7~' суть не что иное, как нормальные симплексы триангуля-
триангуляции Ко', значит, по индукционному предположению их число не-
нечетно. Подсчитаем, сколько может быть отмеченных граней
у какого-нибудь симплекса тп триангуляции К.
Пусть сначала симплекс тп нормален; обозначим его вер-
вершины через во, ..., еп, причем нумерацию этих вершин сделаем
такой, чтобы вершине ей i = О, 1, ..., п, соответствовала вер-
вершина flj симплекса Тп, так что feo = ао> • • •» fen = Яп. Тогда
очевидно, что у симплекса тп имеется единственная отмеченная
грань, а именно грань |е|...еп|. Пусть теперь симплекс тп =
= \eoei...en\ не нормален, но имеет все же отмеченную грань
т"~' = \в\ ...еп\, причем обозначения снова выбраны так, что
вершине в<, /=¦ 1, 2, ..., п, поставлена в соответствие вершина
at. Так как симплекс не нормален, то вершине во симплекса tn

214 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
не может соответствовать вершина а0 симплекса 7", так что
вершине во поставлена в соответствие одна из вершин ai, a^, ...
..., ап, пусть, например, вершина а^ Тогда симплекс т" имеет
ровно две отмеченные грани, а именно \е\в2...еп\ и \е0в2 ...еп\.
Итак, число отмеченных граней симплекса тп триангуляции
К равно 1, если тп — нормальный симплекс, и равно нулю или
2, если симплекс тп не нормален.
Обозначим через а* число отмеченных граней симплекса
xi e К и положим а = 2 а/ (суммирование по всем «-мерным
симплексам т? триангуляции К).
Из только что сказанного следует, что каждому нормаль-
нормальному симплексу т" е К соответствует в сумме а=2°/ нечет-
нечеткое слагаемое (а именно о^ = 1), а каждому не нормальному —
«четное (а* = О или 2). Вся сумма а = 2 "/будет четным или
i
щечетным числом в соответствии с тем, будет ли четным или
юечетным число нечетных слагаемых аи т. е. число нормальных
симплексов триангуляции К.
Итак, нам надо доказать, что число a — нечетное.
!. Займемся вычислением числа а. Пусть
l[, Ij» • • •, Ijj
— все n-мерные, а
— все (п—1)-мерные симплексы триангуляции К. Обозна-
Обозначим через e*j число, равное 1, если т/~' есть отмеченная
грань симплекса т", и равное нулю в противном случае. Тогда
*a.i = 2 е// и a = 2 a/ = 2 2 в//, и мы можем написать
О === ^ ^ в(/ == j?j ?j &Ц == ^J pit
till I
n
гд« P/= 2 e*/. Число Р/ равно, очевидно, числу /i-мерных сим-
ллексов %Ч е К, имеющих данный (л — 1)-мерный симплекс т?
•своей отмеченной гранью. Посмотрим, какие значения может
принимать Р/.
Предположим сначала, что симплекс тр1 лежит внутри
симплекса Тп. Если тр1 — отмеченный симплекс, то он является
отмеченной гранью обоих прилегающих к нему n-мерных сим-
симплексов т? и %1 триангуляции К, и тогда 0/ = 2. Если же сим-
симплекс tj1 не отмеченный, то §у = 0. Итак, четность суммы

$ 3] РАЗМЕРНОСТЬ n-МЕРНЫХ ПОЛИЭДРОВ. ЛЕММЫ ШПЕРНЕРА 215
а = 2Р/ не изменится, если мы выкинем из нее все слагае-
слагаемые Р/, соответствующие симплексам т", лежащим внутри
симплекса Тп, т. е. оставим лишь те ру1 для которых т"-1 лежит
на какой-нибудь (п — 1)-мер_ной замкнутой грани 7Т сим-
симплекса Г". Но если эта грань Г*" не есть грань Го = а.\ ... ап,
то лежащий на ней симплекс т?-1 по основному условию леммы
Шпернера не может быть отмеченным. Итак, для симплекса ту1,
лежащего на границе симплекса Г\ но не на грани То"' = а{ ... ап,
имеем Р/ = 0. Значит, не меняя четности числа а = 2Р/> можно
в сумме 2 Р/ оставить лишь те слагаемые р/( которые соот-
соответствуют симплексам ту1, лежащим на грани Г" = а\ ... ап.
Но каждый такой симплекс т" s Г" является гранью един-
единственного прилегающего к нему симплекса т^(/) и сумма р, = 2 е„
совпадает с единственным слагаемым е/ </), /, которое отлично
от нуля (и тогда равно 1) в том и только в том случае, когда т?~'
есть отмеченный симплекс. Поэтому сумма 2 Р/ (распространен-
(распространенная на все слагаемые р;, для которых тр1 лежит на Г") равна
числу отмеченных симплексов т" s Го~' или, что то же, числу
нормальных симплексов триангуляции Ко замкнутого сим-
симплекса 71". По индуктивному предположению это число не-
нечетно, значит, нечетна и вся сумма 2 Р/ = а. чем основная
лемма Шпернера доказана.
Вторая лемма Шпернера. Если покрытие п-мерного
замкнутого симплекса Г" состоит из п + 1 замкнутых множеств
Ао> "ii • • • > ™п> *
поставленных в соответствие вершинам
а0, аи ..., ап
симплекса Тп таким образом, что каждая грань V = ai at ... at
этого симплекса покрыта множествами AiQ, Ati, ..., Л, ,
соответствующими ее вершинам, то существует точка, принад-
принадлежащая всем множествам Ао, Ль ..., Ап.
Для доказательства сначала убедимся в том, что в любой
триангуляции К замкнутого симплекса Г" найдется симплекс,
остов которого пфесекает-ся .со всеми множествами Ао, Аи ...

216 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 4
Поставим в соответствие каждой вершине е триангуляции К
вершину ah симплекса Г", выбранную так, чтобы множество
Ah, соответствующее этой вершине, содержало точку е\ при
этом, если вершина е лежит на грани ato ... aif симплекса Тп,
то ставим ей в соответствие вершину этой грани. Мы видим, что
условия основной леммы Шпернера осуществлены, откуда
утверждение и следует.
Теперь докажем, что
П
j-o ¦ •
-По доказанному и в силу неравенства B) § 2 для каждого
А = 1, 2, 3, ... можно выбрать такие точки хк e At, / = 0, I, ...
•.. ., п, что
Последовательности хк, k — 1, 2, 3, ..., не ограничивая общ-
общности рассуждений, можно считать сходящимися. Тогда их об-
общий предел будет принадлежать всем множествам А( (в силу
их замкнутости). Лемма доказана.
Непосредственным следствием второй леммы Щпернера яв-
является
Третья лемма Шпернера. Пусть
0, .... Ап)
— такое замкнутое покрытие замкнутого симплекса Тп =
= а0 ... ап, что множество At (при t = 0, 1, п) не имев!
общих точек с замкнутой гранью Т?~\ противоположной вер-
вершине ai. Тогда
Достаточно доказать, что для любой грани Тг ==¦ | а/в ... at I
имеем Tr s Ato\J ... U At ( и применить вторую лемму.
Итак, рассмотрим грань Tr = \ato ... щ \.
Включение
будет доказано, если мы покажем, что из всех элементов по-
покрытия а только элементы Aio, .... Air могут иметь общие
точки с гранью Tr = ai ... at . Итак, возьмем какое-нибудь А/,

Ц 3J РАЗМЕРНОСТЬ n-МЕРНЫХ ПОЛИЭДРОВ. ЛЕММЫ ШПЕРНЕРА 217
Грань Г", противоположная вершине а/, содержит все вер-
вершины симплекса Тп, кроме вершины а/, значит, в частности,
все вершины ato, .... air, а потому содержит и грань V =
— а*0 ... atr, образованную этими вершинами. По условию мно-
множество Aj не пересекается с гранью Г"""', поэтому оно не имеет
общих точек с гранью Tr = aio ... а^еГ", ч. и т. д.
Доказательство предложения 2. Пусть е — лебе-
лебегово число системы [Т"~\ Т\~\ ..., ГЦ} всех (п— 1)-мерных
замкнутых граней симплекса Тп (см. гл. 1, § 10). Возьмем какое-
нибудь е-покрытие
а = {Л0, Л, As)
симплекса Тп. Тогда покрытие а обладает следующим основ-
основным свойством:
(*) никакой элемент _покрытия а не пересекается со всеми
гранями П, ГГ1 ТГ \
Отсюда следует (как уже отмечалось выше, в § 1, п. 3), что
множество Aj, содержащее какую-нибудь вершину aj симплекса
Тп, не может пересекаться с гранью Г?, противоположной
этой вершине, а так как из двух различных вершин аи Дь лю-
любая содержится в (п— 1)-мерной замкнутой грани, противопо-
противоположной другой, то никакое множество Aj не может содержать
двух вершин симплекса Тп.
Предположим, что нумерация элементов покрытия выбрана
так, что
Если 5 > п, то возьмем какое-нибудь целое / ^ п и поступим
следующим образом: отыщем замкнутую грань Т"~1, не пере-
пересекающуюся с множеством Aj (такая грань Г? заведомо су-
существует), вычеркнем из покрытия а элемент Aj, a элемент Af
заменим элементом А\ — Ai\] Aj. Полученное покрытие обозна-
обозначим через ai. Элемент At = At U Aj s сц, _заменивший собою
элемент Аи по-прежнему не пересекается с Г" (так как ни Аи
Ни Aj с Г" не пересекались). Поэтому покрытие а< обладает
основным свойством (*), но число его элементов на 1 меньше
числа-элементов, покрытия а. Покажем, что
B) кр а, < кр а.
Если среди- элементов' покрытия а, содержащих точку х, не
имеется ни одного или только одно из множеств Аи Aj, то
Kp*ai = кржа. Если же точка х содержится и в А( и в Aj, то
кря ai = кря a f-.l. Формула B) доказана.,,

218 • размерность полиэдров [гл. з
Повторим описанную операцию конечное число раз — до тех
пор, пока не придем к покрытию ал, состоящему из п + 1 эле-
элементов, обладающему свойством (*) и удовлетворяющему, сле-
следовательно, основному условию третьей леммы Шпернера; по-
поэтому существует точка, принадлежащая всем п + 1 элементам
покрытия ад, т. е. кратность покрытия аи равняется п+1. Но
при переходе от а к ал кратность покрытий не возрастала. Зна-
Значит, так как кр. ал = п _+_ 1, то кр. а ^ п + 1, что и требовалось
доказать.
§ 4. Некоторые дальнейшие следствия
леммы Шпернера
Теорема 3 (Брауэр [2]). При всяком непрерывном ото-
отображении f замкнутого симплекса Г" в себя имеется по крайней
мере одна неподвижная точка (т. е. такая точка х е Тп, что
fx = x).
Пусть
Г |
и пусть при непрерывном отображении
точка х с барицентрическими координатами цо, .. •, Цп перехо-
переходит в точку fx с барицентрическими координатами \i'o, ..., ц?
(барицентрические координаты берутся в системе {по, ..., ап}).
Обозначим через At множество всех тех точек х е Тп, для
которых f*J ^ цг Ясно, что все At суть замкнутые множества.
Докажем, что они образуют покрытие а, удовлетворяющее
условиям второй леммы Шпернера, т. е. что произвольная замк-
нутая (собственная или несобственная) грань Tr = ai ... ai
симплекса Тп покрыта множествами Aio, ..., Aif. Пусть х —
произвольная точка замкнутой грани aio ... aif. Тогда що + ...
• • • + Vi —\~^V-\ + ... + V-'i . откуда следует, что по крайней
мере для одного ik имеем ц', < ц, и, значит, х е А, . Итак,
условия второй леммы Шпернера выполнены, так что имеется
точка х, принадлежащая всем Ait, /=1, 2, ..., п. Для этой
точки х выполнены неравенства
которые в силу условий

$ 4] НЕКОТОРЫЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШПЕРНЕРА 219
переходят в равенства
Другими словами, fx = х, что и требовалось доказать*).
Замечание 1. Очевидно, теорема остается верной, если
заменить замкнутый симплекс Тп любым гомеоморфным ему
множеством.
В качестве последнего применения (второй) леммы Шпер-
нера докажем следующее фундаментальное предложение**):
Теорема 4 (Брауэр [2]) (об инвариантности внутренних
точек множеств Е s Rn при топологических отображениях
f:E-+Rn). При всяком топологическом отображении какого-
нибудь множества Е s Rn на какое-нибудь множество Е' =
= fE ?= Рп всякая внутренняя точка множества Е переходит во
внутреннюю точку множества Е', всякая невнутренняя точка
р е Ё переходит в невнутреннюю точку р' е Е'.
При этом «внутренняя точка» (соответственно «невнутрен-
«невнутренняя точка») значит: «внутренняя точка» (соответственно «не-
«невнутренняя») относительно Rn.
В основе доказательства лежит следующее
Определение 1. Пусть а = {Ai,...,Aa}— какая-нибудь
система множеств, лежащих в пространстве Rn. Под измене-
изменением системы а «лишь в данном открытом множестве U с /?"»
понимается переход от системы а к системе а' = {Л' A's},
удовлетворяющей условиям А\ \ U «== At \ U для всех i = 1,
2 5.
Лемм a 1. Пусть
а. = {Аи ..., As)
— замкнутое покрытие кратности п + 1 компакта Ф с: Rn, об-
обладающее тем свойством, что существует лишь одна точка р,
принадлежащая п + 1 элементам покрытия а. Тогда, если р
есть невнутренняя точка Ф, то, изменив покрытие а лишь в про-
произвольно малой окрестности точки р, можно, преобразовать по-
покрытие а в покрытие а' кратности ^и.
., Доказательство леммы. Возьмем произвольно малый
/i-мерный симплекс Тп, содержащий внутри себя точку р. Вся-
Всякая точка границы Sn-1 симплекса Тп принадлежит не более
чем к п элементам покрытия а. Поэтому существует такое е>0,
что е-окрестность каждой точки из Sn~' пересекается не более
чем с п элементами покрытия а.
*) Только что приведенное замечательное доказательство теоремы 3
принадлежит Кнастеру, Куратовскому и Мазуркевнчу [1],
*•) Другое доказательство (основанное на понятии гомотопии) этой
теоремы помещено в гл. 5, § 9, замечание 4. . : i . :

220 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ, S
Возьмем теперь какое-нибудь замкнутое е-покрытие
кратности п множества Sn-K
Для каждого множества Bj s р определяем некоторое един-
единственное множество Лад е а следующим образом:
1. Если Bj не пересекается с Ф, то берем в качестве Лад
произвольное множество At e а, пересекающееся с Тп.
2. Если множество В; пересекается с компактом Ф, то обо-
обозначаем через Лад любое из пересекающихся с ним множеств
Л< (в силу выбора числа е таких А{ может быть не больше я).
Замечание 2. Различным Bje р может соответствовать
одно и то же Лад, т. е. для /i ф \% может оказаться i(ji)= i(/2).
Построим теперь систему а" замкнутых множеств А'[ сле-
следующим образом.
Всякое Ai e а, не являющееся множеством Лад ни для ка-
какого Bj, есть, по определению, элемент А'[\ системы а"; если же
Ai есть множество Л1(Л для одного или нескольких Bit то опре-
определяем А" как объединение всех этих В} и множества At. Из
этого построения следует, что для каждого i= \, 2, .,., s имеем
A) At s АЬ
поэтому
B) ф—ил,= ил7—ous".
Кроме того, A"sA{\)Sn~l (каждое множество А" есть сумма
множества Л< с некоторым, быть может, пустым множеством,
лежащим в Sn~l).
Поэтому точка q, принадлежащая каким-то данным мно-
множествам А1,...., А"т, или принадлежит множествам Att,..., Atr,
или лежит на S""' (оба случая не исключают друг друга). Мы
теперь хотим доказать, что точка р есть единственная точка
компакта OlIS", принадлежащая п + 1 множествам АЬ На
основании только что сказанного для этого достаточно пока-
показать, что любая точка q в S""' принадлежит не более чем п
множествам А".
Если q не принадлежит Ф, то q принадлежит не более чем
к п множествам 5/, пусть к В/„ .... 5/г; соответствующие Лд/>
пусть будут Att, ..., Air, числом не более п; точка q принад-
принадлежит лишь элементам Л",, ..., А'1т системна"» т. е. не более
чем п элементам.
Пусть теперь qesSn~l[)<t> и 4...,4 fl,,..., Bk суть
все элементы покрытий аир» содержащие точку q. Все мна-

§ 4] НЕКОТОРЫЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШПЕРНЕРА 221
жества 5„ ..., Вк лежат в е-окрестности O(q, e) точки q. Среди
всех не более чем п элементов покрытия а, пересекающихся
с О(<7. е), несомненно, имеются и множества Аи ..., Ah. Итак,
пусть все элементы а, пересекающиеся с O(q, e), суть
А[, ..., Лд, .. •, Лг, г ^ п.
Среди них находятся и все Ащ) для /= 1, 2, ..., k; поэтому
среди всех элементов системы а" содержать точку q могут
лишь А'{, ..., А'г, числом не более г, г<«, чем наше утвер-
утверждение и доказано.
Возьмем теперь внутри симплекса Тп какую-либо точку х,
не принадлежащую множеству Ф (так как р — невнутренняя
точка Ф, лежащая внутри Тп, то найти нужную нам точку х
всегда можно). . ¦ ¦
Рассмотрим те элементы системы а", которые пересекаются
с Sn~l; пусть это будут
А'[ At
Обозначая через (х, А'() объединение всех замкнутых отрезков
вида xq, где q e S"~' (] А", положим
A't"=*(A'!\(Af;()Tn))U(x,A'!) для /-1,2 v
A't" = A'!\Tn для *>v.
Множество A'i" может отличаться от множества А" лишь на
точки, принадлежащие к Тп; поэтому точка, не принадлежащая
к Тп, не может содержаться более чем в п множествах А"'. Что
же касается точек Тп, то из них лишь точка х может принадле-
принадлежать к я+1 множествам А\" (так как в противном случае
проекция такой точки q на Sn~l из точки х принадлежала бы
к «+1 множествам А" вопреки доказанному выше). Так как
х ф Ф, то, полагая для всех t
получаем покрытие
а'-{Д{, ...,А'.}
множества Ф кратности ^.п.
Очевидно, каждое А\ может отличаться от соответствую-
соответствующего Ai лишь на точки, принадлежащие Тп, а так как сим-
симплекс Тп можно было взять произвольно малым, то мы вправе
сказать, что покрытие а' произошло из покрытия а видоизмене-
видоизменением этого последнего в произвольно малой окрестности точки
р. Лемма» таким образом, доказана. . .

222 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ5 3
Из леммы выведем
Предложение 1. При топологическом отображении f
замкнутого п-мерного симплекса Тп в п-мерное эвклидово про-
пространство /?-" всякая внутренняя точка р симплекса Тп перехо-
переходит во внутреннюю точку множества Ф = /Т".
Доказательство. Пусть Тп = \ео...еп\- Возьмем бари-
барицентрическое подразделение границы Sn~l симплекса Тп и по-
построим пирамиду над этим подразделением с вершиной в точке
р. Получим триангуляцию К замкнутого симплекса Тп, отли-
отличающуюся от барицентрического подразделения только тем, что
«центром тяжести» симплекса Тп является точка р. Обозначим
через А{ объединение замыканий всех симплексов комплекса К,
имеющих е< своей вершиной.
Точка р является единственной общей точкой множеств
До. ••<. Ап; при этом как само покрытие
а = {Ао, .... Ап)
замкнутого симплекса Тп, так и всякое покрытие, которое по-
получится из а видоизменением множества Л< в достаточно малой
окрестности точки р, удовлетворяет условиям второй леммы
Шпернера.
Отсюда следует:
При достаточно малом е > 0 всякое покрытие а', полученное
из а видоизменением множеств At в е-окрестности точки р, есть
покрытие кратности ^я+ 1.
Пусть теперь точка q=*f(.p) есть невнутренняя точка мно-
множества Ф. Возьмем б > 0 столь малым, чтобы образ б-окрест-
ности точки <7 (относительно Ф) при отображении /-' лежал в
е-окрестности точки р.
Пользуясь леммой 1, видоизменим множества fAt в б-окре-
стности точки <7 так, чтобы получилось покрытие |3' кратности
^.п множества Ф. При отображении /-' покрытие |3' переходит
в покрытие а' той же кратности ^п, являющееся видоизмене-
видоизменением покрытия а в е-окрестности точки р, что невозможно.
Предложение 1 этим доказано.
Теорема 4 доказывается теперь в нескольких словах. Пусть
р — внутренняя точка множества Е s Rn; точка р является
внутренней точкой некоторого «-мерного симплекса Тп s E и
поэтому при данном топологическом отображении / множества
Е в Rn переходит в точку q, являющуюся внутренней точкой
множества fTn и тем более внутренней точкой множества
Е' = fE.
Всякая невнутренняя точка р множества Е переходит при то-
топологическом отображении f в невнутреннюю точку множества
fE, так как в противном случае внутренняя точка fp множества

§ 4] НЕКОТОРЫЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШПЕРНЕРА 223
{Е перешла бы при топологическом отображении f~l в невнут-
невнутреннюю точку р множества Е, чего не может быть.
Теорема 4 этим полностью доказана.
Из теоремы 4 непосредственно вытекает следующее лишь
формально более общее утверждение, которое, однако, нам по-
понадобится в этом же параграфе.
Теорема 4'. Пусть Un и V" — топологические простран-
пространства, гомеоморфные Rn\ пусть дано топологическое отображе-
отображение f множества Е s Un на множество Е' s Vn; тогда всякая
внутренняя точка множества Е относительно Un переходит при
отображении f во внутреннюю точку множества Е относи-
относительно V".
В теореме 4' содержится
Предложение 2. Пусть Vй и Vй гомеоморфны Rn; пусть
f — топологическое отображение открытого в Un множества Е
в пространство V". Тогда множество fE открыто в V". В част-
частности, всякий топологический образ всего пространства Un в Vn
есть открытое множество пространства V".
Так как при m < n мы можем рассматривать Rm как нигде
не плотное множество пространства. Rn, то топологическое ото-
отображение Rn на Rm невозможно. Мы получили, таким образом,
новое доказательство предложения 3 § 3.
Определение 2. Компакт, гомеоморфный я-мерному
замкнутому симплексу, называется п-мерным элементом.
Так как размерность топологически инвариантна и размер-
размерность симплекса равна числу его измерений, то число п в опре-
определении 2 действительно есть размерность я-мерного элемента
и потому определено однозначно (т. е. никакое топологическое
пространство не может быть при пф m одновременно п-мер-
п-мерным и tfi-мерным элементом).
Докажем следующее важное
Предложение 3. При всех топологических отображениях
замкнутого п-мерного симплекса Тп на п-мерный элемент Еп
граница Тп\Тп симплекса Т переходит в одно и то же множе-
множество Sn~l, называемое границей п-мерного элемента Еп\ откры-
открытое множество En\Sn~l плотно в Еп и обозначается через
(ЕпУ, оно называется внутренностью элемента Еп.
Доказательство. Пусть fi и /г — два топологических
отображения Тп на Еп. Если бы, например, для точки х г
е= Тп\Тп было
то было бы f~'f2* ф Тп \ Тп; между тем /~'f2 есть топологиче-
топологическое отображение fn на себя, при котором, в силу предложе-
предложения 1, множество Тп\Тп отображается на себя. Полученное

224 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. S
противоречие доказывает, что
fa (Tn \ Tn) <= f I (Тп \ Г).
Таким же образом доказывается, что
fl(fh\Ta)sfa(Ta\Tn).
т. е. что _
f,(f \Tn) =
Так как множество Тп открыто и плотно в Тп, то множество
Bn\Sn~l, будучи образом множества Тп при топологическом
отображении Тп на Еп, открыто и плотно в Еп. Предложение 3
этим доказано.
Из предложения 2 без труда выводится следующая теорема,
представляющая собою обобщение теоремы 4':
Теорема 4". При всяком топологическом отображении ка-
какого-нибудь множества Ви лежащего в п-мерном топологиче-
ском многообразии*) М", на какое-нибудь множество Е2, ле-
лежащее в п-мерном топологическом многообразии М%, всякая
внутренняя точка множества Е\ {относительно Мл) переходит
во внутреннюю точку множества ?а (относительно М"), всякая
невнутренняя точка Ei (относительно М") переходит в невнут-
невнутреннюю точку Е2 (относительно М").
Доказательство можно предоставить читателю.
§ 5. Существенные отображения на замкнутый симплекс
В этом параграфе мы обозначаем через Тп замкнутый «-мер-
«-мерный симплекс или любое гомеоморфное ему множество, лежащее
в Rn (чаще всего шар или куб); через Гп, соответственно S",
обозначается открытое ядро множества Тп сг Rn, соответственно
его граница (относительно Rn):
Как бьпю показано в § 4, при топологическом отображении
множества Тп на Т1} с: /?" множества Тп и Sn-I отображаются
соответственно на Т" и S"~\
: Под X понимаем любое нормальное пространство.
Фундаментальное значение в этой книге имеет
Определение 1 (Александров [11], [12]). Непрерыв-
Непрерывное отображение /: X -*¦ Тп называется существенным, если вся-
*) n-мерным топологическим многообразием называется топологическое
пространство, имеющее. базу, все элементы которой гомеоморфны про-
пространству Rn. -

§ 5] СУЩЕСТВЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА СИМПЛЕКС 225
кое непрерывное отображение fu X—*Tn, совпадающее с f во
всех точках множества
есть отображение на все Г".
Согласно этому определению всякое существенное отображе-
отображение /: X —*Тп есть отображение на Г".
Очевидно, определение 1 означает, что непрерывное отобра-
отображение f: X —* Тп несущественно тогда и только тогда, когда
имеется такое отображение fi пространства X на некоторое соб-
собственное подмножество Y сг Г", что >
A) fiX = fx для всех х <= Ф = f-'S"-1.
Предложение 1. Для того чтобы непрерывное отображе-
отображение f: Х-* Тп было несущественно, необходимо (и, очевидно, до-
достаточно), чтобы существовало удовлетворяющее условию A)
непрерывное отображение fi\ X-^S™-1.
При доказательстве этого предложения мы вправе заменить
данное множество Г" любым гомеоморфным ему множеством,
например, предположить, что Тп есть замкнутый шар (с вну-
внутренностью Тп и границей Sn~').
Пусть /: X —* Т" — несущественное отображение. Тогда имеет-
имеется удовлетворяющее условию A) отображение
f,: X^Yc:Tn.
Берем какую-нибудь точку г/о е Tn\Y и обозначим через
я: fn\y0-*Sn~l
центральную проекцию множества Тп\у0 в Sn~l, т. е. отобра-
отображение, ставящее в соответствие каждой точке у^Тп\у0 точку
пересечения луча уоу со сферой Sn~K Очевидно, на Sn~[ отобра-
отображение я является тождественным. Рассматривая отображение я
на множестве Y s fiX^ Tn\y0, получаем отображение
совпадающее на Ф = f-]Sn~l с отображением fi и с отображе-
отображением f, что и требовалось доказать.
Очевидной перефразировкой предложения 1 является сле-
следующее
Предложение 1'. Для того чтобы непрерывное отображе-
отображение /: Х-*Тп было несущественным, необходимо и достаточно,
чтобы отображение
8 П, С, Александров, Б, А, Пасынке»

226 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. J
допускало продолжение до некоторого непрерывного отобра-
отображения
f: X-+S"-1.
Доказательство предоставляется читателю.
Теперь в качестве последнего приложения леммы Шпернера
мы докажем следующее
Предложение 2 (Брауэр). Тождественное отображение
замкнутого симплекса на себя есть существенное отображение.
Другими словами:
Не существует непрерывного отображения замкнутого сим-
симплекса Тп в его границу Sn~', оставляющего неподвижными все
точки границы.
Предположим, что такое отображение ф: Тп -* Sn~l суще-
существует. Совокупность всех собственных граней симплекса Тп об-
образует триангуляцию S" = [Г^ХГ" его границы Sn~l. Для
каждой вершины aft, k = 0, I, ..., п, симплекса Тп определена
противоположная этой вершине грань Г*", и открытой звездой
вершины ah относительно триангуляции 2П~' является (открытое
в Sn~l) множество Оан = Sn~l \ Г*. Эти звезды образуют по-
покрытие п = {Оа0, ..., Оап} границы Sn~l. При этом пересечение
всех Oah пусто (так как каждая точка х е S"^1 принадлежит
хотя бы одной замкнутой (я— 1)-мерной грани Г?~' и, следова-
следовательно, не принадлежит соответствующей звезде Oah).
Пусть е — лебегово число открытого покрытия Q компакта
S", так что всякое множество EczSn~l, имеющее диаметр <е,
целиком лежит хотя бы в одном Oah. Возьмем столь мелкую
триашуляцию К замкнутого симплекса Г", чтобы для звезды ое^
любой вершины ej этой триангуляции диаметр множества ф(ое;)
был меньше е. Тогда каждой вершине ej e К можно поставить
в соответствие вершину ah = fej симплекса Тп под условием
Ф (ое/) ? Oak.
Покажем, что при этом соответствии выполнено условие основ-
основной леммы Шпернера, а именно: если et лежит на грани V =
«=|а<о ... air\ симплекса Тп, то вершина ak = fe/ есть одна из
вершин этой грани. В самом деле, так как е; е Г' с S", то
е/, и мы имеем
Г =э е, = <ре/ е ф (о*/) = Оак = Sn~l \
Г;
так что грань Тг не содержится в замкнутой грани Г*; а это
значит, что вершина ак, противоположная грани Т%~1, есть одна
из вершин грани Тг.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ 227
Игак, отображение ej-*fe} = ah множества всех вершин три-
триангуляции К симплекса Г" на множество вершин этого сим-
симплекса удовлетворяет условию основной леммы Шпернера; зна-
значит, существует я-мерный симплекс хп триангуляции К, верши-
вершинам е/о, ...,е/п которого поставлены в соответствие сплошь
различные и, следовательно, все вершины симплекса Тп, так
что, выбрав надлежащим образом нумерацию е/0, .... е/п вер-
вершин симплекса тп, имеем
Ф (ое,о) <=Оа0, ф (oetl) <==Оаи .... <р (oetn) s Oan.
Но открытый симплекс тп содержится в звезде каждой из его
вершин ое/о> ое^, ..., ое/п, так что
г фое/о П •.. Л фое/п s Осю П ... П Оап = Л.
Противоречие получено, предложение доказано.
ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ
§ 1. Понятие гомотопии; существенные отображения на сферу
Понятие существенного отображения f: X ~*Тп на замкнутый
симплекс подвело нас вплотную к одному из важнейших поня-
понятий топологии — понятию гомотопии и непрерывной деформации
отображения.
Определение 1 (Брауэр [3]). Два непрерывных отобра-
отображения /о и /i пространства X в пространство Y называются гомо-
топными между собой, если существует такое непрерывное ото-
бращение /: X X / -» Y, I = [а, Ь], что f(x, a) = fox, f(x, b) = flX
для всех <б!
Очевидно, что отрезок / = [а, Ь] можно заменить любым дру-
другим отрезком / = [о', Ь'\, в частности отрезком / = [0, 1].
Гомотопия между отображениями fo'. X -*¦ Y и /ь X -> Y на-
называется связанной данным множеством Ф г X, если требуется
выполнение дополнительного условия
f(x,t) = f(x,a)=f(x,b) для всех леф, t'e[a,b].
Разберемся в интуитивном смысле определения гомотопии.
Если отображения fa: X-*-Y, fb: X-*~Y гомотопны между собой,
то, полагая
ftx = f(x, t)<=Y
(для данного /, а ^ t ^ Ь, для всех х&Х), получаем семей-
семейство отображений ft пространства X в У, определенных для всех
значений t, a^Ct<^.b, параметра t, связывающее между собою
8*

228 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
два данных отображения fa: X -> У и fb'. Х-> У и непрерывно за-
зависящее от параметра t в том смысле, что, каковы бы ни были
|<=Х, те[й,||]э/ и окрестность О/т? точки /т?еУ, найдется
такая окрестность О? точки ^еХ и такая окрестность От s /
точки т, что для всех * е О? и / е От будем иметь
Очевидно, возможность связать два заданных отображения fa и
fb семейством отображений ft, в указанном смысле непрерывно
зависящих о г параметра t, в точности эквивалентна тому, что
отображения fa и fb гомотопны между собою. Рассматривая па-
параметр / как время, говорят, что отображение fa непрерывно пе-
переходит или непрерывно деформируется в течение промежутка
времени а ^ t ^ b в отображение fb, пробегая при этом через
всю (упорядоченную по t) совокупность отображений ft. При
этом (упорядоченную по /) совокупность отображений ft, a ^
< i ^ Ь, часто называют деформацией отображения fa в ото-
отображение fb. Если естественный порядок на отрезке а ^ / ^ b
заменить на обратный, получим деформацию отображения f&
в отображение fa — совершенно все равно, сказать ли, что ото-
отображения fa и fb гомотопны между собою или что одно из этих
отображений (все равно, какое) допускает деформацию («может
быть деформировано») в другое.
Замечание 1. Иногда называют само отображение /: X X
X / -> У гомотопией между отображениями f0: X -> У и
fb: *->У.
Из самого определения гомотопии следует, что отношение го-
мотопии между двумя отображениями f0 и fi симметрично. От-
Отношение гомотопии транзитивно. В самом деле, пусть f0, fu fi
суть три отображения пространства X в пространство У, причем
даны гомотопии f: X X Л ~* У» f"' X X h~* У соответственно
между f0, fi и между fltf2, где Л = [0</< 1], /2 = [1</<2].
Тогда, полагая / = [0 ^ t ^ 2], получим гомотопию f: X X I ~* У
между fo и f2, считая f(x, t) = f'(x,t) при 0-</-<1 и /(*,/) =
= f"(x,t) при Kt<2.
Наконец, отношение гомотопии рефлексивно: каждое отобра-
отображение f гомотопно самому себе: достаточно для всех/, 0</-^1,
положить f(x, t)= fx, чтобы получить искомую гомотопию (тож-
(тождественную деформацию).
Итак, отношение гомотопии порождает разбиение множества
С(Х, У) всех непрерывных отображений пространства X в про-
пространство У на классы гомотопных между собой отображений,
или на гомотопические классы (Б р а у э р [3]).
В дальнейшем пространство У будет метрическим простран-
пространством, и притом весьма простой структуры (в большинстве слу-
случаев просто я-мерной сферой или я-мерным замкнутым сим-

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ 229
плексом), а отображение f(x, t) будет равномерно непрерывным
по t в том смысле, что ко всякому е > 0 существует такое
6 > 0, что при \? —1"\< б для всех х^Х выполняется нера-
неравенство p(f(x, t'), f(x, t"))< e. В этом случае говорят о равно-
равномерной гомотопии.
Пример 1. Следующий пример, при всей своей простоте,
выражает факт первостепенного значения.
Пусть fQ и U — Два непрерывных отображения пространства X
в сферу Sn, обладающих тем свойством, что ни для какой точки
х е X точки fox и f\X не являются диаметрально противополож-
противоположными на сфере S". Тогда отображения /о и fi гомотопны между
собою.
В самом деле, при произвольном х е X точки fox и fix, не бу-
будучи диаметрально противоположными, однозначно определяют
связывающую их в Sn кратчайшую дугу большого круга (на-
(направленную от fox к fix). Обозначая при любом /, 0 < t ^ 1,
через ftx точку, делящую эту (направленную) дугу в отноше-
отношении /:A—t), получаем искомую деформацию отображения f0
в отображение fi. (Деформация эта, говоря наглядно, состоит
в том, что мы заставляем в течение отрезка времени 0 < t ^ 1
всякую точку fox равномерно скользить по дуге, связывающей
fo* с fix, в точку fix.)
Совершенно аналогичен предыдущему, но еще проще
Пример 2. Пусть f0 и fi — два непрерывных отображения
пространства X в границу я-мерного куба Q". причем для любой
точки х е X имеется грань куба, содержащая обе точки fox и
fix. Тогда отображения fo и fi гомотопны между собою.
В самом деле, из наших предположений следует, что при
любом х е X точки /о* и fix являются концами (единственного)
прямолинейного отрезка А (я), лежащего в границе куба Q".
Обозначая снова при любом t, 0 ^ t ^ 1, через ftx точку от-
отрезка А(х), делящую его в отношении ^:A — t), получаем де-
деформацию ft отображения fo в отображение fi.
Этот пример понадобится нам при доказательстве так назы-
называемой теоремы «о перегородках» (гл. 5, § 8).
Очевидно, куб Q" можно здесь заменить любым другим вы-
выпуклым многогранником.
В качестве первого приложения понятия гомотопии введем
понятие существенного отображения пространства X на
сферу Sn.
Прежде всего, назовем нуль-отображением (или «постоян-
«постоянным» отображением пространства X в сферу S") отображение
пространства X на одну какую-нибудь точку у0 <= S". Очевидно,
всякие два нуль-отображения fo: X -*Sn и ft: X-*Sn гомотопны
между собою; если f0X =* у0 е Sn, fiX == ух е Sn, то, взяв дугу
Оо, i большого круга, соединяющую точки у0 и ух в 5"

230 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ (ГЛ. 3
(и направленную от у0 к у,), и обозначив для любой точки х
через ftx точку, делящую дугу Do, i в отношении t :A —t), полу-
получим искомую деформацию отображения fo в f|.
Определение 2. Непрерывное отображение f простран-
пространства X в сферу S" называется несущественным, если оно гомо-
гомотопно нуль-отображению. В противном случае отображение f
называется существенным.
Заметим: если при отображении f: X -* Sn хотя бы одна точ-
точка у0 е Sn «остается непокрытой» (т. е. уо е Sn\fX), то отобра-
отображение f несущественно. В самом деле, обозначим через у\ точку,
диаметрально противоположную точке уо\ тогда через каждую
точку j/eS" проходит единственная дуга меридиана, т. е. дуга
J/oi У> У\ большого круга. Для любой точки х & X обозначим
(при любом t, 0 <; t s^ 1) через ftx ту точку дуги fx, у{ мери-
меридиана #о, fx, Уи которая делит дугу fx, yi в отношении t: (l—t).
Этим определяется деформация отображения / на /0 в отобра-
отображение ft, ставящее в соответствие всем точкам х е X точку
г/1 е= 5".
Итак, всякое существенное отображение пространства X
в сферу Sn есть отображение на всю эту сферу.
Очевидно, всякое отображение f: X—*Sn, гомотопное несу-
несущественному отображению, само несущественно — все несуще-
несущественные отображения f: X -* Sn образуют один гомотопический
класс.
Отметим два утверждения о существенных отображениях на
сферу, которые нам понадобятся в гл. 8.
Предложение 1. Если при отображении f: X -* Sn под-
подпространство А а X существенно отображается на сферу Sn, то
отображение f: X -* Sn существенно.
Доказательство. Предположим, что отображение
f: X~*-Sn несущественно. Следовательно, существует гомотопия
(р: XXI-*-5", связывающая отображение / с нуль-отображением.
Тогда гомотопия <p\Axi'- AX.I —*Sn связывает отображение f\A
с нуль-отображением, что противоречит существенности отобра-
отображения f: A -+Sn. Предположение 1 доказано.
Предложение 2. Шар Оп нельзя существенно отобразить
на сферу Sn~l.
Доказательство. Пусть f: Пп -* S"-1 — какое-нибудь не-
непрерывное отображение. Покажем, что оно гомотопно постоян-
постоянному отображению. Считаем, что радиус Пп равен 1, а центр ле-
лежит в начале координат. Точки шара Оп отождествляем с их ра-
радиус-векторами. Тогда для любой точки х е Оп и любого числа
t, 0<f< 1, однозначно определена точка tx 6= Vn (точка tx
делит otpe3OK [0, х] в отношении t).

ПРИВАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ
231
Рассмотрим теперь отображение q>: Оп У. I-*¦ Sn~], задавае-
задаваемое равенством ф(х, t)=f(tx). Отображение ф, очевидно, не-
непрерывно. На верхнем основании цилиндра Сп XI отображе-
отображение ф совпадает с f, а нижнее основание цилиндра Оп X ' ото'
бражение ф переводит в точку ДО) е S"-1. Таким образом,
отображение ф: Оп УС I-*¦ Sn~l осуществляет гомотопию между
отображением / и некоторым постоянным отображением, ч. и т. д.
Важнейшим применением связанных гомотопий являются для
нас существенные отображения на замкнутый симплекс Тп с гра-
границей S". Пусть дано непрерывное отображение /: X -* Тп
нормального пространства X. Пусть Ф = {~] Sn'1.
Очевидно, отображение f: л —¦ Тп тогда и только тогда не-
несущественно, когда посредством гомотопий, связанной множе-
множеством Ф, отображение f можно перевести в некоторое непрерыв-
непрерывное отображение f\\ X -* S".
Таким образом, в соответствии с геометрической обстановкой
существенные отображения f: X —¦ Sn в сферу и существенные
отображения f: X -* Т" в (замкнутый) симплекс (или шар) от-
отличаются между собою в основном тем, что в первом случае речь
идет о «свободных», а во втором — о связанных гомотопиях.
§ 2. Лемма о грибе
Нижеследующая лемма имеет многочисленные применения
во всех вопросах, связанных с понятием гомотопий. Для част-
частного случая полиэдров она была доказана Хопфом (Н. Hopf) *),
в более общих предположениях
— Борсуком (К. Borsuk) [2]
и, наконец, в полной общности — д
Даукером (С. Н. Dowker) [2].
Мы будем называть эту лемму
леммой о грибе.
Лемма о грибе. Пусть /
X — нормальное пространство,
Ф — замкнутое множество в X, f0 - - рис ф_
и U — два гомотопных между
собою отображения множества Ф в сферу 5". Если отображе-
отображение U может быть продолжено в непрерывное отображение Fo
всего пространства X в Sn, то и f\ может быть продолжено в ото-
отображение F\ всего X в Sn, и притом так, что отображения Fo и
F{ гомотопны между собою.
Изобразим наглядно стоящую перед нами задачу. На рис. 4
изображено все произведение X X I («большой» цилиндр, здесь
/ = [0-<rf-< 1], при этом (X X 0) нарисовано в виде верхнего,
X
Х-0
КЧ
*) См. А л е к с а н д р о в — X о п ф [1], гл. 13, § 1, лемма 1.

232 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
а (X X 1) в виде нижнего основания). В этом «большом» ци-
цилиндре содержится «малый» цилиндр — произведение Ф X I-
Отображение /0: Ф->5П записываем в виде F: (Ф X 0)->5п,
причем F: (X ><0)-*5п, где F(x, 0)= F0(x) есть (по предполо-
предположению существующее) продолжение отображения f0: Ф —¦ Sn на
все X. С другой стороны, f\: X —*Sn, записываем в виде f\X =
<ssF(x, 1) для всех «еФ. Но f0: Ф->5П и ft: Ф-vS" связаны
между собою гомотопией f: ФХ/->5". Таким образом, на
«грибе» (X X 0) U (Ф X /) определено отображение
F: (JfX0)U(OX')-S*.
Задача заключается в том, чтобы, во-первых, продолжить ото-
отображение F: (ФХ1)-»5П до отображения F: (XXl)-*Sn и
после этого распространить отображение F: (^ХОH(ФХ^)и
U (X X 1)—*5П на весь большой цилиндр.
Переходим к решению поставленной задачи.
Сделаем прежде всего следующую редукцию этой задачи
к ее частному случаю: предположим, что лемма о грибе дока-
доказана для любых отображений fo: <D-+Sn и ft: <D-*Sn, отличаю-
отличающихся друг от друга меньше чем на некоторое фиксированное
е > 0, т. е. для отображений fo и /ь для которых
Ptfo. M = supp(fox, fix)< e.
х
Сделав это предположение, докажем лемму о грибе в общем
случае. Для этого вспомним, что данная нам гомотетия ft ме-
между отображениями /о и /i (на Ф) есть гомотопия, равномерная
относительно t; поэтому для данного нам е > 0 можно найти
такое б > 0, что при \? — t"\ < б для всех х е X будет
Разобьем отрезок / = [0, 1] на отрезки /^==[0*, ak+1], k = 0, ...
..., s— 1, ао = О, as=l длины < б. Тогда fak и fak+l, во-пер-
во-первых, гомотопны между собою, а во-вторых, отличаются друг
от друга меньше чем на е; поэтому (в силу предположенного
доказанным частного случая леммы) из того, что отображе-
отображение fak может быть продолжено в отображение Fak: X-+S",
следует, что Uk+i может быть продолжено в отображение
Fak+l: X-+S", гомотопное отображению Fak. Давая k после-
последовательно значения 0, 1, ..., s—\ и помня, что ао=О, а,= 1,
получим последовательно гомотопные между собою (и началь-
начальному отображению Fo = Fa,) отображения Fat, .... Fas^Fu
где Fak есть продолжение fOft, и, значит, F{ есть искомое про-
продолжение отображения fx.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ 233
Итак, при доказательстве леммы о грибе мы вправе пред-
предположить, что p(f0, fi)< e при некотором произвольно заданном
е>0.
Приступаем к доказательству в этом частном случае.
Берем сферу Sn с: Rn+l радиуса 1 и фиксируем раз навсегда
некоторое (произвольное) положительное е< 1.
Рассматривая отображение fi множества ф в Sn как отобра--
жение этого множества в куб Qn+1, продолжаем отображение /i
по обобщенной лемме Урысона в отображение g{: X-+Qn4~\ так
что
A) glX = fiX, если х<=Ф.
Определяем открытое в X множество
B) U = {x\p(FoX, gxxXe).
Так как на Ф имеем gxx = f{x, sup p(fi*, fox) < e, то
Ф?[/,
т. e. U есть окрестность (относительно X) множества Ф. Далее,
так как FQU s FQX s Sn, то по самому определению множе-
множества U имеем
C) glUs0(Sn, e).
Определяем теперь отображение hi: Xy,I~*Qn+l следующим
образом.
>-
Точка hi(x, t) делит отрезок [FQx, g{x] в отношении
t:(l — t). Из этого определения следует, что h{: XXt[-*Qn+>
осуществляет гомотопию между отображениями Fo: X -> Qn+! и
gi: X->Q"+1.
Утверждаем, что
D) A,(?/X/)SO(SB, в).
В самом деле, пусть (х, ?)е?/ХЛ тогда хе(/ и, значит,
в силу C)
giXeOiS", г).
Так как Fox e S» (даже для любого хеХ), то весь отрезок
l/o#, gix] лежит в 0E", е); но для любого t и х е U точка-
h\(x, t) есть точка этого отрезка; итак, включение D) доказано.
Теперь по большой лемме Урысона определяем на всем X не-
непрерывную функцию s: X -* [О, 1] так, чтобы s(X\U) =0, яФ= I.
Полагаем для всех (x,t)&XXI, т.е. во всем большом цилиндре.

234 РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ [ГЛ. 3
Доказываем последовательно утверждения.
Во-первых,
F) H2(XXI)^O(Sn, e).
В самом деле, если х е U, то имеем (опираясь на D))
h2 (х, t) = Л, (х, s (х) 0 е= О (Sn, в);
если же x^X\U, то (вспоминая определение функции s и
отображения /ii) имеем даже
Итак, включение F) доказано.
Во-вторых, Л2(я, 0 равномерно непрерывно по rf (это непо-
непосредственно вытекает из определения Л2 и из того, что h\ равно-
равномерно непрерывно по t).
ti,tz,s<x)t^ ^ В-третьих, для всех леА имеем
G) Л2 (*, 0) = Л, (х, 0) = Fo (x) е S".
Для всех *е<Х> имеем s(x) = 1 и, сле-
следовательно,
Л2 (лг, 1) = hx (x, s(x)l) = Л, (л;, 1) = ^,л;,
т. е. для всех х е Ф имеем
(8) h»(x, l)=f{x.
Рис. б. Наконец, так как h2(X X /) s OEn, e)
и е меньше радиуса сферы 5", то центр
сферы S" не содержится в h2(Xy_ I). Поэтому на отображениеh2
можно наложить центральную проекцию л из центра сферы 5"
на эту сферу. Таким образом, получается отображение
(9) F(x, t) = nh2(x, t) для всех (х, t)e=XXI
всего большого цилиндра X X / в сферу Sn (рис. 5).
Из G) и (8) следует, что h2(x, t)^Sn при / = 0 и всех
ие^и при / = 1 и всех х е Ф; значит, проекция л оставляет
точку h2(x, t) на месте, так что
(90 F(x, 1) = Л2(*. 0 = fi* для хе=Ф,
A0) F(x, 0) = h2(x, 0) = F0(x,0) для x<=X.
Из (9') следует, что, полагая F\X = /*"(*, I), получим отображе-
отображение Fi: X~*-Sn, являющееся продолжением отображения
Из A0) следует, что F: XX ^ -*Sn осуществляет искомую
гомотопию *) между найденным продолжением Fi: X -*Sn ото-
*) Равномерную, так как отображение л равномерно непрерывно,

ПРИВАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ " 235
бражения ft: Ф-+5" и заданным с самого начала продолже-
продолжением FQ: X -*Sn отображения fo: Ф-*5П.
Лемма о грибе полностью доказана.
Непосредственным ее приложением является следующее
Предложение 1. Пусть f ea f{ — существенное отображе-
отображение нормального пространства X на замкнутый шар Тп с грани-
границей 5" цф = f~l Sn~l. Пусть fo есть непрерывное отображение
пространства X в Тп, при котором ^"^""'аФ. Если отображе-
отображения /|<р и /о|ф являются гомотопными между собою отображе-
отображениями множества Ф в сферу Sn~l, то fa: X -v Tn есть существен-
существенное отображение на Тп.
В самом деле, если бы f0: X-*Tn было несущественным, то
отображение /о|ф можно, было бы продолжить в отображение
Fo: X-*Sn'1. Но тогда в силу леммы о грибе отображение fi\q>
также можно было бы продолжить в отображение F4: Х~*-8п^
вопреки существенности отображения /j.
Предложение 2. Если отображение f: X-*Tn нормаль-
нормального пространства X на п-мерный симплекс Тп существенно, то
тогда для любой грани Т" симплекса Г" отображение. /: f~lTh —*¦
—» Th также существенно.
Доказательство. При п—l утверждение очевидно.
Пусть я > 1. Рассмотрим какую-нибудь (п — 1)-мерную грань
Тп~1 симплекса Тп и предположим, что отображение g — f:(F sss
ss f-ifn-i)^ fn-i несущественно.
Ограничивающие Тп и fn~x сферы обозначим соответственно
через 5"'1 и 5П'2.
Положим Q"-1 = (S"-1\ Г™) U Sn~2. По предположению су-
существует непрерывное отображение ф': F -* Sn~2, совпадающее
с g на g~lSn~2. Отображение q>: f~lSn~l -> Qn~\ совпадающее с f
на f~[Qn'1 и с ф' на F, непрерывно (см. гл. 1, § 1, предложе-
предложение 10). В силу примера 2 из § I Прибавления к гл. 3 отобра-
отображения
гомотопны. Так как множество Qn~l гомеоморфно (п— 1)-мер-
1)-мерному кубу, то (по предложению 7 из § 5 гл. 1) отображение ф
можно продолжить в отображение \|э: X -*¦ Q"-1. Из предложе-
предложения 1 следует, что отображение $: X -* Q" г Тп должно быть
существенным, а это, очевидно, не так. Полученное противоре-
противоречие доказывает, что отображение f: /-'Т" —¦ Г" для любой
(я— 1)-мерной грани Тп"' симплекса Тп существенно. Так как
любая (k—1)-мерная грань Г" является гранью А-мерной гра-
грани Тп, то очевидной индукцией получаем нужное нам утвержде-
утверждение. Предложение доказано.

Глава четвертая
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ
ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I
Введение
1. В нашем понимании общая теория размерности в основ-
основном слагается из свойств инварианта dim X, не предполагающих
ни метризуемости пространства X, ни наличия в нем счетной
базы; в большинстве случаев речь идет о свойствах, имеющих
место для любых нормальных пространств или для бикомпактов.
Эти свойства излагаются в гл. 4 и 5. В соответствии с этим
в этих двух главах мы понимаем, если не сказано противное,
под пространством всегда нормальное пространство. Спешим,
однако, заметить, что §§ 4 и 5 и отчасти § 8 настоящей главы
посвящены в основном теоремам, касающимся пространств со
счетной базой. В этих параграфах доказывается прежде всего
теорема Нёбелинга — Понтрягина о возможности топологиче-
топологического включения всякого л-мерного (в смысле й\тХ = п) про-
пространства со счетной базой в эвклидово пространство #2«+| (см.
§ 4), ее усиления и следствия (§ 5) и формула Урысона
A) dimX = indX = IndX
(§§5 и 8).
2. Но возвратимся к общей теории, касающейся произволь-
произвольных нормальных пространств. Среди предложений, составляю-
составляющих содержание этой теории, назовем прежде всего так назы-
называемую теорему об ю-отображениях. Формулировке этой тео-
теоремы и определению ю-отображений предпошлем небольшое
вступление, которое начнем издалека.
Пусть X — множество, лежащее в метрическом простран-
пространстве R (в дальнейшем R будет или эвклидовым пространством
Rn, или гильбертовым пространством R°°). Непрерывное отобра-
отображение f множества X на множество У, лежащее в том же про-
пространстве R, назовем е-сдвигом, если при данном положитель-
положительном е имеем для каждой точки х&Х неравенство
р (х, fx) < e.

ВВЕДЕНИЕ 237
Понятие е-сдвига было фактически введено Брауэром, дока-
доказавшим в 1911 г. в своей гениальной работе [1], что единичный
куб Qn .нельзя при е < -=- отобразить посредством е-сдвига ни
на какое лежащее в кубе Qn нигде не плотное в нем множество
(общая форма этого предложения будет в § 3 доказана под на-
названием «брауэровского принципа инвариантности»).
Назовем теперь отображение f метрического пространства X
на какое-нибудь множество У е-отображением, если прообраз
f~ly каждой точки у ^ Y при этом отображении имеет диа-
диаметр < е.
В дальнейшем мы будем рассматривать, не оговаривая этого
особо, лишь непрерывные е-отображения, так что множество У
в определении е-отображений всегда будет топологическим
(даже метрическим) пространством. При помощи очевидного
применения аксиомы треугольника мы сразу убеждаемся в том,
что каждый е-сдвиг является Зе-отображением (даже Bе-|-б)-
ртображением при любом б > 0). Интуитивный смысл е-сдвигов
и е-отображений заключается в том, что е-сдвиг при «малом» е
«мало» отличается от тождественного отображения, а е-отобра-
жение — от взаимно однозначного отображения. В частности,
это означает, что е-отображение f: X-* Y компакта X на ком-
компакт Y «мало» отличается от гомеоморфизма.
Следующая теорема, известная под названием теоремы об
е-отображениях, была началом нового направления в теории
размерности, которое можно назвать «геометрическим»:
Теорема об е-отображениях (Александров,
1926, [5]). Всякий п-мерный компакт X при любом е > 0 допу-
допускает е-отображение на некоторый п-мерный полиэдр; с другой
стороны, имеется такое е = ех, что не возможно никакое г-ото-
бражение данного п-мерного компакта X на полиэдр (вообще
в компакт) размерности < п. Если при этом компакт X дан как
множество, лежащее в эвклидовом или гильбертовом простран-
пространстве, то в предыдущей формулировке е-отображения могут быть
заменены е-сдвигами — теорема «.об е-отображениях» переходит
в теорему «.об е-сдвигахъ.
Итак, размерность компакта X может быть определена
как наименьшее такое целое число п ^ 0, для которого при
любом е > 0 существует е-отображение, соответственно е-сдвиг,
на п-мерный полиэдр; если такого п не существует, то
dim X = оо.
Существенно заметить, что для некомпактных метрических
пространств (даже являющихся ограниченными множествами
трехмерного эвклидова пространства) это определение теряет
силу: в гл. 8 читатель найдет построенный К. Ситниковым при-
пример ограниченного множества X cz R3, для которого dim X = 2

238 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОВЩЕП ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
и которое тем не менее при любом е < 0 может быть посред-
посредством е-сдвига переведено в одномерный полиэдр.
Заметим, что если f:X-*Y есть е-отображение компакта X
на компакт Y, то каждая точка j/еУ имеет окрестность Оу,
для которой
Мы сейчас увидим, что это следует из замкнутости всякого непрерыв-
непрерывного отображения компакта (в любое хаусдорфово У) и из предложения 11
§ 1 гл. 1. В самом деле, пусть дана точка у0 е У; так как diam /-'j/0 < e,
то при достаточно малом й > 0 окрестность 0(/-'j/o, U) все еще имеет диа-
диаметр <е; по предложению 11 из § 1 гл. 1 существует такая окрестность
Oj/osV, что для любой точки j/sOi/o имеем /-'j/s 0(/-'i/o. й), значит,
f-Юуо s O(f-'j/o, о) и потому diam /-'j/0 < e.
Теперь ясно, что следующее общее определение является то-
топологическим аналогом определения е-отображения компакта:
Определение ю-отображения. Пусть со — открытое
покрытие топологического пространства X и /: X -* Y — непре-
непрерывное отображение пространства X в топологическое про-
пространство У. Отображение / называется ^-отображением, если
всякая точка j/еУ имеет окрестность Оу, прообраз f~{Oy ко-
которой содержится хотя бы в одном элементе покрытия со*).
. Докажем следующее элементарное
Предложение 1. Для того чтобы компакт X при всяком
е > О допускал е-отображение в (на) компакт Y, принадлежа-
принадлежащий данному классу fR (например, в п-мерный полиэдр), необ-
необходимо и достаточно, чтобы для каждого конечного открытого
покрытия со компакта X существовало ^-отображение f : X -* Y
в (на) компакт Y этого класса.
В самом деле, пусть для каждого е > 0 существует е-отображе-
нне /: Х-*- У в (на) компакт У е й. Докажем, что тогда для каждого конеч-
конечного открытого покрытия ш компакта X существует ш-отображение в (на)
компакт fs9t. Пусть в — лебегово число данного открытого покрытия ш.
Берем такое У е Ш, что существует е-отображение /: X -*¦ У, и для каждого
у s У берем окрестность Оу так, чтобы diam /-' Оу < е; тогда f~Wy содер-
содержится в некотором элементе покрытия ш — первое утверждение предложе-
предложения 1 доказано.
Пусть теперь при любом конечном открытом ш существует ш-отображе-
нне f: X -*¦ У, где У е Ш; берем произвольное в > 0 и какое-нибудь открытое
конечное покрытие ш компакта X, элементы которого имеют диаметры <в.
Тогда всякое ш-отображение f: X -*¦ У является и е-отображением; предложе-
предложение 1 доказано.
Из предложения 1 вытекает, что теорема об е-отображениях
для компактов является частным случаем следующей общей
теоремы:
и f: 1-
Важно с самого начала сделать следующее замечание: если Уо <= У
Уо есть ш-отображенне пространства X на У о, то оно может и не
быть ш-отображеннем пространства X в У.

ВВЕДЕНИЕ 239
Теорема об ю-оюбражениях. Если dimХ—п, то для
всякого конечного открытого покрытия со существует ыготобра-
жение пространства X на п-мерный полиэдр; с другой стороны,
имеется такое конечное открытое покрытие а, что не - суще-
существует никакого а-отображения f:X-+P в полиэдр Р размер-
размерности <п.
Другими словами, неравенство dimA'^n означает, что для
любого конечного открытого покрытия со существует ю-отображе-
ние f:X -*¦ Р в (или, что равносильно, на) полиэдр Р размерности
^ п. Так как dim X = оо есть отрицание условия dim X ^ п
для любого п, то равенство dim X = оо означает, что для лю-
любого п имеется такое покрытие юп. Для которого не существует
никакого Юп-отображения пространства X в полиэдр размерно-
размерности <п.
Теорема об ю-отображениях доказана в § 3 при помощи ре-
результатов, изложенных в § I *). Эти результаты позволяют в
§ 2 доказать и так называемые аппроксимационные теоремы
для отображений f:-X—*Rn, простейшие из которых приме-
применяются в § 4 к доказательству теоремы Нёбелинга — Понтря-
гина, а более сложные находят многочисленные дальнейшие
приложения.
В основе поименованных теорем и всего вообще принятого
в этой книге геометрического направления теории размерности
лежит понятие нерва системы множеств (см. гл. 3, § 2, п. 2) —
в частности, полиэдры, являющиеся образами рассматриваемых
пространств при их ю- и е-отображениях, оказываются телами
нервов соответствующих покрытий этих пространств (см. § 3,
п. I, теорема 5).
3. Теорема Нёбелинга — Понтрягина имеет большое позна-
познавательное значение: эта теорема дает топологическую ха-
рактеризацию множеств, лежащих в эвклидовых простран-
пространствах:
Для того чтобы топологическое пространство X было гомео-
морфно множеству, лежащему в каком-нибудь эвклидовом про-
пространстве Rn, необходимо и достаточно, чтобы X было регуляр-
регулярным **) пространством, имеющим счетную базу и конечную раз-
размерность.
*) Переход от исходной теоремы об е-отображениях к доказательству
общей теоремы об м-отображениях был осуществлен в работах Алексан-
Александрова [17], [20] на основе результата Куратовского, который, введя
в работе [3] понятие так называемого барицентрического отображения, до-
доказал возможность м-отображения любого нормального пространства в
тело нерва произвольного его покрытия. Баринцентрнческнм и более общим
каноническим отображениям посвящен § 1, составляющий фундамент всей
главы.
**) Или — что э данном случае равносильно — нормальны»?-

240 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
Принадлежащее В. Гуревичу (W. Hurewicz) усиление тео-
теоремы Нёбелинга — Понтрягина позволяет нам, в частности, до-
доказать в § 5 неравенство ind X ^ dim X для всех пространств *)
со счетной базой и редуцировать таким образом доказатель-
доказательство основного урысоновского тождества A) к неравенствам
dim X <; ind X, Ind X sg; ind X, которые и доказываются
в§8**).
4. Теорема об е-отображениях (и обобщающая ее теорема
об ш-отображениях) является исторически первой реализацией
следующей общей точки зрения, плодотворность которой под-
подтверждена дальнейшим развитием теоретико-множественной
топологии: свойства общих теоретико-множественных образова-
образований (начиная с компактов и переходя к значительно более об-
общим топологическим пространствам) возможно и целесообразно
сводить к наглядным геометрическим свойствам элементарных
геометрических фигур (полиэдров, в частности симплексов и
сфер) посредством тех или иных более или менее простых и на-
наглядных непрерывных отображений.
Следующей иллюстрацией этой общей точки зрения является
(доказанная в § 6) вторая основная теорема, а именно:
Теорема о существенных отображениях для
компактов (Александров, [11], [12] 1930)***), Если
dimX—n, то пространство X можно существенно отобразить
на п-мерный замкнутый симплекс (и на любой замкнутый сим-
симплекс размерности -<п****); в то же время при т>п всякое
отображение п-мерного пространства X на пг-мерный симплекс
несущественно.
Другими словами, неравенство dimX ^ n эквивалентно воз-
возможности существенного отображения пространства X на зам-
замкнутый n-мерный симплекс; равенство dim X = оо эквивалентно
*) Напоминаем, что рассматриваются лишь нормальные пространства.
**) Неравенство dim К ^ ind X, доказанное для бикомпактов Але-
Александровым, 1940, [18], доказывается в § 8 для финально компактных
(Морита [1], Смирнов [2]) и даже для сильно паракомпактных про-
пространств (Морита [2]); этим достигнут, по-видимому, «естественный пре-
предел общности», так как для паракомпактов и даже для метризуемых про-
пространств X это неравенство может уже не выполняться (Рой [1]). В § 8
доказывается также неравенство Веденисова dim X ^ Ind X для нормаль-
нормальных X.
***) Теорема о существенных отображениях, первоначально доказанная
(как и теорема об ш-отображениях) для компактов, последовательно осво-
освобождалась от излишних ограничений А. А. Марковым и Н. Б. Ведеписовым,
пока не была доказана во всей общности Александровым [20] и
Хемингсеном [1]. Впоследствии она перефразировалась (например,
в книге Гуревича—Волмэна [1]) без каких-либо изменений в ее со-
содержании, приобретая, однако, видимость нового результата.
****) См. Прибавление к гл. 3, § 2, предложение g,

ВВЕДЕНИЕ 241
возможности существенного отображения на симплекс любого
числа измерений *).
Из только что сказанного вытекает, что теорема об ш-ото-
бражениях характеризует пространства размерности <|п, а тео-
теорема о существенных отображениях — пространства размерно-
размерности ~^п.
б. В качестве третьей теоремы общей теории размерности
в этой главе (§ 7) будет доказана
Теорема суммы (Менгер —Урысон) **). Если простран-
пространство X есть сумма счетного {или конечного) числа своих зам-
замкнутых множеств, каждое из которых имеет размерность ^п,
то и само пространство X имеет размерность ^.п.
6. В конце § 3 вводится понятие нульмерного отображения
f:X—*Y (т. е. такого отображения, при котором все точки г/е
е Y имеют нульмерные прообразы /~'г/).
Оказывается, имеет место следующая характеристика раз-
размерности компактов (Г у р е в и ч [4]):
Для компакта X размерность dim X есть наименьшее целое
число п, для которого существует нульмерное непрерывное ото-
отображение f:X•-»¦ Qn компакта X в п-мерный куб Qn ***).'
Если считать известным доказываемое в § 8 неравенство
dimX ^ indX для компактов X, то доказать эту теорему можно
уже в § 3. Она также является подтверждением тезиса, сфор-
сформулированного в начале п. 4.
7. К числу основных теорем о пространствах со счетной ба-
базой, доказываемых в § 8, мы можем присоединить еще следую-
следующие две:
1. Теорему Менгера — Урысона, утверждающую, что нера-
неравенство dimX^n эквивалентно возможности представить про-
пространство X в виде суммы п + 1 нульмерных подпространств.
2. Теорему Гуревича — Нёбелинга об «универсальном п-мер-
ном компакте», представляющую собой (вероятно, окончатель-
окончательное) усиление теоремы Нёбелинга — Понтрягина, а именно:
В Bп + 1) -мерном кубе Q2n+l существует п-мерный компакт,
содержащий топологический образ всякого п-мерного простран-
пространства со счетной базой.
*) Разумеется, в этой формулировке замкнутый симплекс можно заме-
заменить любым гомеоморфкым ему пространством, в частности любым замкну-
замкнутым выпуклым телом — шаром, кубом и т. п. (см. гл. 3, § 5).
**) Теорема суммы была первоначально доказана Урысоном и Менгером
в 1921—1922 гг. для компактов и а-компактных пространств (пространство
называется а-компактным, если оно есть объединение счетного числа под-
подпространств, каждое из которых является компактом). Для любых про-
пространств со счетной базой теорема суммы была в 1925—1926 гг. доказана
Гуревичем и Тумаркипым; в общем случае она доказана Чехом [3]
п 1933 г., У о л л е с о м [1] в 1945 г. и Хеммиигсеном [1] в 1946 г.
***) Дальнейшее развитие эта теорема найдет в § 3 гл. 6, посвященном
размерности метрических пространств.

242 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. i
В пятой главе эта последняя теорема будет обобщена для лю-
любых пространств данного веса т{3арелуа [4], Пасынков [9]).
В § 9 доказывается теорема суммы для локально конечных
систем: если данное пространство есть тело локально конечной
системы замкнутых множеств размерности ^п, то и dim-Y^/i.
Последние параграфы главы, т. е. §§ 10 и 11, посвящены
двум результатам Даукера: в § 10 теорема об м-отображениях
обобщается на случай любого локально конечного покрытия ш;
в § 11 доказывается, что из неравенства dim X sg; n вытекает
возможность вписать во всякое локально конечное открытое по-
покрытие пространства X (локально конечное открытое) покры-
покрытие кратности ^п+ 1.
§ 1. Канонические и барицентрические отображения
В §§ 1—9 под покрытием пространства X всегда понимается
(если не сказано противное) конечное открытое покрытие.
Пусть триангуляция N = Ыа есть геометрически реализован-
реализованный в Rm нерв *) покрытия <в = {Ои ..., О,} пространства X. Че-
Через ei обозначаем вершину нерва N, соответствующую элементу
Ot покрытия а.
Отображение f пространства X в полиэдр А? называется ка-
каноническим (по отношению к покрытию ш), если прообраз
f-lOet каждой звезды Ое< содержится в О{. Очевидно, канони-
канонические отображения образуют частный случай оэ-отображений.
Наконец, мы скажем, что при отображении f: X-*ft симплекс
Т <= N покрыт существенно, если существенно отображение
f: f~lT~*-T; при этом, как всегда, Т есть замкнутый симплекс с
тем же остовом, что и Т. Основой всего принятого в этой книге
подхода к теории размерности является следующая
Теорема 1 (теорема о канонических отображениях). Пусть
с» =а {Oi, ...,О,} — произвольное покрытие пространства X с нер-
нервом N, реализованным в виде триангуляции; можно найти та-
такой подкомплекс N' нерва N и такое каноническое относительно
ш отображение f. X -у Ff, при котором образ fX есть полиэдр
f}' s f} и каждый главный симплекс **) комплекса N' покрыт
существенно.
Доказательство. Первый шаг. Построение барицентри-
барицентрического отображения. Пусть N — какая-нибудь геометрическая
реализация нерва***) покрытия <в. Берем корректное покрытие
*) Определение иерва и его геометрической реализации см. гл. 3, § 2.
**) Симплекс комплекса N называется главным, если в N нет сим-
симплекса Г >Т (гл. 3, § 2).
***) Для дальнейших приложений существенно, что изложенное ниже
построение барицентрического отображения годится для любой геометриче-
геометрической реализации нерва W, ие предполагающей, что (открытые) симплексы
Геометрически реализованного нерва N непременно дизъюнктны.

§ 1] КАНОНИЧЕСКИЕ И БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 243
а,' = {О'и ..., O's), комбинаторно вписанное в ш; для каждого
( = 1,2, ..., s строим на X непрерывную функцию fu рав-
равную нулю на X \ O't и положительную во всех точках х е O't;
если X — метрическое пространство, то всякое покрытие ш кор-
корректно, и мы полагаем просто fi{x) = min{l,p(.x:,X\Oi)}. Пос-
После того, как функции fi определены, строим отображение f
пространства X в полиэдр N, называемое барицентрическим.
Для каждой точки лсеХ рассматриваем все содержащие ее
элементы O'i покрытия ш'; пусть это будут О'*о, .... О\т. Тогда
среди функций ft(x) только функции /<0, ..., ftf принимают в
х положительные значения, а остальные равны в точке х нулю.
Поэтому, помещая в вершины нерва ei, ..., е„ соответственно
массы fi(x), ..., fa(x), мы положительные массы поместим
лишь в вершины eio, ...,eir, соответствующие элементам
О@, ..., O'tr, содержащим точку х. Центр тяжести j этих масс,
т. е. точка с барицентрическими координатами
ft Ax) f,M
» — » Ь=П 1 г
г — s > к — "»•»•••»'»
в барицентрической координатной системе, состоящей из точек
eik, k — 0, I г (см. определение 2, § 1,гл. 3), есть точка (откры-
(открытого) симплекса | е1й... eif | s N (этот симплекс существует, так как
О/0 Л • • • Л O'if э х). Эту точку у мы и определяем в качестве точки
f(x) — образа точки х при отображении f. Итак, если O't , ...
..., O't —все элементы покрытия <в', содержащие точку х, то
f(.jc)e|e,0 ... eir\. Так как функции ft(x) непрерывны, то и
точка f(x) непрерывно зависит от точки х, т. е. отображение
f: X-+N непрерывно.
Второй шаг. Теперь предполагаем, что нерв JV реализован
в качестве триангуляции.
Докажем включение
f~lOet <= О,.
Пусть х <= Г Oet и Т — единственный симплекс триангуля-
триангуляции N, содержащий точку fx. Тогда непременно et < Т, значит,
ихфО, x^O'i^Oi. Включение f~lOeiSO'i^Oi доказано.
Легко доказать и больше, именно равенство
A) Г10е{ = 0'1.
В самом деле, если fx e Г, то среди функций ft отличные
от нуля значения в точке х принимают лишь f,o, ..., ft , что
означает, что среди всех множеств O'i все множества О<0 O\t

244 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I (ГЛ. 4
и только они содержат точку х. Другими словами, f~lT совпа-
совпадает с множеством ?*<,.../, тех точек х^Х, каждая из кото-
которых принадлежит всем множествам O't0, ..., О\ и только этим
множествам O'i e со':
B) Г1К...*,,ИО{вП...ПО{,)\ U О',»*!....!,.
I* 'о 'г
Звезда Ое{ есть сумма дизъюнктных симплексов вида
|е<е/ ... е/ |, имеющих е{ в числе своих вершин (при г = 0 по-
получаем самое вершину et <= Ое*). Множество О\ есть сумма
дизъюнктных подмножеств вида ?*/,.../г (при г = 0 получаем
множество Ei, состоящее из тех точек х, которые принадлежат
множеству О\ и никакому другому О/ е ш'). Разумеется, неко-
некоторые из слагаемых этой суммы могут оказаться пустыми. Но
согласно равенству B)
... e,f\ = ?</,.../,;
суммируя (при данном I) все равенства этого вида (по всевоз-
всевозможным /,, ..., /г), получаем слева f~ Oe{, а справа О\, т. е.
получаем искомое равенство A).
Третий шаг. Леммы о спуске. Пусть даны отображения
/: X->-fit и fi: X-*-Sfi, где Ni — подкомплекс комплекса N. Гово-
Говорим, что отображение f{ получается из / посредством спуска
(или выметания), если из f(x)^T^N и f\(x)&T\ всегда сле-
следует, что Т\ ^.Т. ¦
Лемма 1. Если f\ получается из f посредством спуска, то
f~xOe^f~xOe для любой вершины e^N.
Действительно, пусть fi(x) e^sOe, т. е. fi(jc)eTi> e.
Тогда /(*)s Т^- Т\ ^е, т. е. Дх)еГ?Ое, чем утверждение и
доказано.
Из леммы 1 сразу следует основная
Лемма 2. Если f есть каноническое отображение простран-
пространства X в тело нерва N^ и fi получается из f посредством спуска,
то и f\ есть каноническое отображение ft: Х-*/7ш.
Переходим к последней лемме о спуске.
Лемма 3. Пусть при отображении f: X-*K пространства
X в триангулированный полиэдр R имеется главный симплекс
Т е К, не покрытый существенно. Тогда существует замкнутый
(собственный) подкомплекс К\ = (К\Т) с К и отображение
/i: X-*• Ri, получающееся из f посредством спуска.
Доказательство. Пусть главный симплекс Т^К не по-
покрыт существенно. Положим в = /~'Г. Обозначая, как всегда,
через S = Т\Т границу симплекса Т, рассмотрим отображение
f\: Q-+S, совпадающее на f~'S с отображением f. Такое fi

i U КАНОНИЧЕСКИЕ И БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 245
можно найти, так как по предположению /: в-»-Г несуще-
несущественно. Так как на f~l(K\T) П f~lT = f~]S отображения f я fi
совпадают, то, полагая fa=fx для xef-' (R\T), получим не-
непрерывное отображение fr.X-*• R, отличающееся от f только
тем, что точки ле1, отображавшиеся посредством f в сим-
симплекс Т, теперь отображаются в границу этого симплекса. Дру-
Другими словами, f] получается из f посредством спуска. Лемма 3
доказана.
Окончание доказательства теоремы 1. Предпо-
Предположим, что какой-то главный симплекс Т\ комплекса N при
отображении f не покрыт существенно. Тогда мы можем приме-
применить лемму 3 о спуске и преобразовать посредством спуска ото-
отображение /: X-*N в отображение /i: X-*ftu где полиэдр ft\
есть тело комплекса N\ — N\T\CZ N. Отображение /i есть (в
силу леммы 2) снова каноническое (относительно ш) отображе-
отображение. Если при отображении f\: X—*-ft\^fit некоторый главный
симплекс T2^Ni не покрыт существенно, то по лемме 3 суще-
существует отображение f2' X-*¦ fit2, полученное из f\, а следовательно
и из f, посредством спуска, причем полиэдр R2 есть тело ком-
комплекса N2 — Ni\T2c:NiCzN.
Так как комплекс N конечен, то, продолжая описанный про-
процесс («спуска»), мы получим такое отображение /&: Х-*Яь про-
пространства X в тело ^подкомплекса Nk нерва Л/, что все глав-
главные симплексы комплекса Л/& будут покрыты существенно,
а отображение fk получено из / посредством спуска и поэтому
(см. лемму 2) является каноническим (относительно ш). Тео-
Теорема 1 доказана.
Замечание I. Если при отображении f: X—*R все глав-
главные симплексы комплекса К покрыты существенно, то f есть
отображение на весь полиэдр R.
В самом деле, пусть отображение f: X—*R не есть отобра-
отображение на R и у е R\fX. Пусть Гу <= К есть носитель точки у
в комплексе К и T~^TV — главный симплекс. Тогда (см. гл. 3,
§ 5, определение 1) симплекс Т не может быть при отображении
f покрыт существенно.
Следующее предложение, как нам кажется, существенно до-
дополняет теорему 1:
Предложение 1. Пусть со — покрытие бикомпакта X и ср:
X-+-R есть ^-отображение на полиэдр R данной триангуляции К.
Тогда всякое достаточно мелкое подразделение К' триангуля-
триангуляции К есть нерв некоторого вписанного в ш покрытия ш' биком-
бикомпакта X.
Доказательство. Обозначим через y — {Ui,-..,Ua) по-
покрытие компакта R, обладающее тем свойством, что покрытие

246 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ- РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
вписано в покрытие ш. Пусть К' — произвольное подразделение
комплекса К, столь мелкое, что покрытие у', состоящее из от-
открытых звезд комплекса К', вписано в Y- Тогда покрытие
ф-Y = ш', очевидно, вписано в <о. Но нерв покрытия о/, совпа-
совпадая с нервом покрытия y'. есть комплекс К', ч. и т. д.
Замечание 2. С только что доказанной теоремой 1 тесно
связано следующее понятие:
Покрытие и = {Oj,..., О«} пространства X называется не-
неприводимым, если никакой собственный подкомплекс N' нерва
iVu, не является нервом покрытия «более мелкого», чем <а (т. е.
покрытия, вписанного в покрытие ш).
Предложение 2. Существуют сколь угодно мелкие непри-
неприводимые покрытия. Более подробно: каково бы ни было покры-
покрытие со, существует неприводимое покрытие, вписанное в ш.
В самом деле, если данное покрытие ш приводимо, то суще-
существует комплекс N'aNu, являющийся нервом покрытия о/ бо-
более мелкого, чем покрытие со; если это покрытие ш' все еще
приводимо, то находим комплекс Л'" с N', являющийся нервом
покрытия ш" более мелкого, чем о/, и т. д. Так как комплекс
N = Мш конечен, то убывающая последовательность
конечна, т. е. обрывается на некотором Mv> с: М, являющемся
нервом неприводимого покрытия (o<v>( вписанного в первона-
первоначальное покрытие ш. Предложение 2 доказано.
Привлечение неприводимых покрытий позволяет доказать
следующее
Предложение 3 (Пономарев). Пусть <в — неприводимое
покрытие пространства X и Nw — его нерв, реализованный в
виде триангуляции. Тогда при всяком каноническом отображе-
отображении f пространства X в полиэдр #ш все главные симплексы
Т е Л/ш существенно покрыты.
Доказательство. Если бы предложение 3 было неверно,
то, применив лемму 3 о спуске, можно было бы посредством
спуска из отображения / получить отображение fx\ X-*¦ ftlt где
полиэдр fti есть тело комплекса Ni = N\T, a T — главный сим-
симплекс комплекса N.
Отображение f\ есть- (в силу леммы 2) снова каноническое
(относительно ш), и прообразы /Г Oei главных звезд комплекса
Л^1 образуют покрытие wi, вписанное в ш, так что нерв покры-
покрытия оI есть (собственный или несобственный) подкомплекс ком-
комплекса N\ а Л/ш, что противоречит неприводимости покрытия ш.
Предложение 3 доказано.
Естественность рассмотрения неприводимых покрытий а тео-
теории размерности подчеркивается и следующим предложением:

§ 2] АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ 247
Предложение 4 (Пономарев). Всякое неприводимое по-
покрытие п-мерного пространства X есть покрытие кратности
В самом деле, пусть покрытие ш пространства А' неприво-
димо. Вписываем в покрытие со покрытие y кратности ^п+1
и через о/ обозначаем укрупнение y относительно ш (см. гл. 1,
§ 6, п. 2). Нерв покрытия ш' является (собственным или несоб-
несобственным) подкомплексом нерва N@. В силу неприводимости ш
непременно Na=N&. Так как кратность ю'^п+1 (см. гл. 1,
§ 6, п. 2), то и кратность ш <; п + 1, что и требовалось доказать.
§ 2. Аппроксимациоиные теоремы
1. Первая аппроксимационная теорема. Непосредственным
следствием теоремы о канонических отображениях являются
так называемые аппроксимационные теоремы (для непрерыв-
непрерывных отображений <р: X-*Rn).
Теорема 2 (первая аппроксимационная теорема)*). Пусть
Ф — произвольное непрерывное отображение п-мерного нормаль-
нормального пространства X в m-мерный куб Qm с Rm, m ;> п. При лю-
любом е существует аппроксимирующее отображение f простран-
пространства X в п-мерный полиэдр ft cz Qm, отличающееся от ср меньше
чем на в в смысле
A) р (cpx, fx) < е для всех л:<=Х.
Если же m ^ 2п + 1 и дано произвольное покрытие а про-
пространства X, то можно, кроме того, предположить, что f есть ка-
каноническое ^-отображение в ft = Яш (и существует такой под-
подкомплекс N' нерва N, что fX = #').
Далее, пусть при т~^2п-\-\ в Rm произвольно выбрана
плоскость /?". Тогда от аппроксимирующего отображения f
можно дополнительно потребовать, чтобы множество \fX] нахо-
находилось от плоскости /?" на положительном расстоянии**).
Очевидно, первая аппроксимационная теорема может быть
сформулирована и следующим образом:
Теорема 2'. Пусть С sb C(X,Qm) — пространство всех не-
непрерывных отображений ср: X -*• Qm. Тогда множество С") тех
отображений ф <= С, при которых образы фХ содержатся в
п-мерных полиэдрах, лежащих в Qm, всюду плотно в простран-
пространстве С. Если m ^ 2л + 1 и дано открытое покрытие ш прост-
пространства X, то в пространстве С всюду плотно множество Сш<"
*) Она понадобится нам уже в § 6 этой главы при доказательстве
теоремы о существенных отображениях.
**) Выполнение этого дополнительного условия существенно понадо-
понадобится нам в § 3 этор

248 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
тех а-отображений qr. X-*Qm, при которых образы уХ лежат
в п-мерных полиэдрах.
Наконец, если кроме покрытия а пространства X задана
еще п-мерная плоскость R\ пространства Rm, m^2n+l, то
всюду плотно в пространстве С и множество Сш тех ^-отобра-
^-отображений <р: X—*Qm, при которых множество [уХ] лежит в конеч-
конечном п-мерном полиэдре и на положительном расстоянии от
плоскости R".
Доказательство теоремы 2. Куб Qm покрываем ко-
конечным числом шаров {Vj}, /= 1, 2, ..., v, диаметра <~-
Прообразы cp-'Vj = Uj этих шаров образуют покрытие wi =
= {Uj} пространства X. Берем корректное, кратности я+ 1, по-
покрытие
пространства X, более мелкое, чем o)i (и чем ш, если дано это
последнее). Берем для каждого i = 1, ..., s точку pi e Of е шо
и выбираем точки еь ..., е„ внутри куба Qm в общем положении
в Rm zd Qm так, чтобы было
B) Р(е<, PK
Если при этом m ^ 2п + 1 и в Rm дана n-мерная плоскость
Ri, то подчиняем выбор точек еи е2, ..., ея дополнительному
условию, чтобы никакая из n-мерных плоскостей, натянутых
на какие-нибудь п + 1 из точек еи е2, ..., е„ не пересекалась
с плоскостью R1 (это возможно в силу замечания 1 § 1 гл. 3).
Точки в\, е2, ..., е3 делаем вершинами нерва /V покрытия ©о-
Так как dim R = п и m > п, то каждый остов нерва N состоит
из геометрически независимых точек в Rm (мы ведь брали
точки ей ..., es в общем положении); поэтому симплексы нерва
N суть геометрические (открытые) симплексы*); если же m ^
^2n-f-l, то эти симплексы дизъюнктны и нерв N является
триангуляцией.
Кроме того, если пг ^ 2п + 1 и в Rm выделена плоскость R",
то в силу дополнительного условия, которому в любом случае
подчинен выбор точек е, es, замыкание ни одного из сим-
симплексов нерва N не пересекается с плоскостью Rf, так что и
тело N нерва N, будучи компактом, не пересекающим пло-
плоскость Ra, находится на положительном расстоянии от этой
плоскости: p(A/, /?") > 0.
*) Которые, однако (если требуется дищ(> пг^п), могут иметь общие
и

§ 2] АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ 249
Строим теперь барицентрическое отображение f: X —* ft; в
частном случае, когда m^2n+ 1 и N является триангуляцией,
отображение / является каноническим и, значит, юо-отображе-
нием. По теореме 1 и замечанию 1 § 1 можно считать, что
fX = ft! для некоторого подкомплекса N' нерва N.
Если при этом в Rm выделена плоскость /?", то по построе-
построению p(N, R'[)>0, и, значит, p([fX], /?") > 0. Остается дока-
доказать, что в случае любого т^п выполнено неравенство A).
Пусть х—произвольная точка пространства X; пусть все со-
содержащие ее элементы покрытия со0 суть 0<о, ..., Olf. Тогда
(если f есть барицентрическое отображение) среди всех чисел
ft (х) только fiQ (х), ..., flf (x) положительны, так что / (х) содер-
содержится в симплексе |е<0 ... е<г|еЛ/. Если же f получено из
барицентрического отображения посредством спуска (при
/и>2п— 1), то fxmeit...etf. С другой стороны, каждое О<
содержится в некотором Ui = <f~lVj, так что
diam фО/ ^ diam фС// < -|-.
Поэтому, помня, что p,sO,, р(фРь е<) <у. имеем р(фл;, фр,)<
< — , р(ух, е,)<в при i = i0 tr.
Значит, все точки е*0, ..., etr лежат в шаре О(флс, е), но
тогда в этом же шаре лежит и весь симплекс eio ... etr , со-
содержащий точку fx. Неравенство A) и вся теорема 2 доказаны.
Замечание I. Теорема 2' содержит, в сущности, два пред-
предложения 2А и 2Б.
Теорема 2А. Пусть X — нормальное пространство размер-
размерности dim X = num>2n+1. Пусть Qm — куб размерности ш
«со — произвольное покрытие пространства X. Тогда множество
Cm (X, Qm) всех (о-отображений пространства X в Qm всюду
плотно в пространстве С(Х, Qm) всех непрерывных отображе-
отображений f: X -* Qm.
В частности, пусть X — компакт, е > 0 и ш является е-по-
крытием пространства X. Тогда непосредственным следствием
теоремы 2А является
Теорема 2а. Пусть X — компакт размерности п и пг ^
^2п+1. При любом е>0 множество Ct(X,Qm) всех е-ото-
бражений компакта X в Qm всюду плотно в пространстве
C(X,Q™).
Теорема 2б- Пусть X — нормальное пространство, dim X =
= п и m ;> п. Тогда в множестве С(Х, Qm) всюду плотно мно-
множество C(ni(X,Qm) всех отображений y.X-+Qm, при которых
образы фХ содержатся в п-мерных полиэдрах, лежащих в Qm.

250 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОВЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. ! [ГЛ. 4
2. Добавление к первой аппроксимационной теореме. В § 3
этой главы нам понадобится следующая
Теорема 3. Для любого отображения <р нормального п-мер-
ного пространства X в п-мерный куб Qn cRn, любого покры-
покрытия со пространства X и любого е > 0 существует такое ото-
отображение ty:X->Qn, что р(ф, тр) < е и отображение г)з пред-
представляется в виде суперпозиции г|з = я/, в которой первое
отображение f есть ^-отображение f : Х-*-Яш d Qm, m >- In + 1,
а второе отображение n:fX-*-Qn конечнократно.
В частности, если X. — компакт, то для любого фиксирован-
фиксированного б > в отображение f можно считать Ъ-отображением.
То же самое утверждение можно (для случая компактов)
переформулировать и так:
В пространстве C(X,Qn) всех непрерывных отображений
п-мерного компакта X в п-мерный куб Q" для любого б > 0
плотно множество таких отображений г|з, для которых прообраз
i|r' (у) = f~ln~ly каждой точки у е г|зЯ распадается в конечную
дизъюнктную сумму компактов диаметра <;б*).
В самом деле, если множество п~1у с: Qn состоит из точек
2i, .... Zfc полиэдра #щ, то г|з~'у есть дизъюнктная сумма
прообразов f~lZ{, i=\, .... k, каждый из которых имеет диа-
диаметр <б.
Доказательство теоремы 3 основывается на следующей
лемме:
Лемма 1. Пусть в m-мерном эвклидовом пространстве Rm
дана п-мерная плоскость Rn. Обозначим через я оператор орто-
ортогонального проектирования пространства Rm на Rn. Пусть в Rm
дана произвольная система точек
ц = {хи х2, .... xs}.
Тогда для любого у > 0 существует такой у-сдвиг g системы
ц в систему
2 gxa},
находящуюся в общем положении в Rm, что система
= {ngxit ngx2 ngx,}
находится в общем положении в Rn.
Заметим, кроме того, что (по теореме Пифагора) для любых
двух точек х, х! пространства Rm имеем
р(пх,
*) Такие отображения называются 6-дискретными (см, § 3, п. 3).

§ S) АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ 251
так что в условии леммы имеем и
р (ngXh ПХ{) < Р (gXh Xi)<y
для всех i = 1, 2, ..., s.
Доказательство. Переводим систему точек пи, =
= {пхи ..., пха) посредством -| -сдвига h в систему Аяц =
= {hnxu ..., hnxs}, имеющую общее положение в Rn. Так как
при достаточно малом сдвиге общее положение данной конеч-
конечной системы точек сохраняется, то существует такое e<-j, что
при всяком е-сдвиге системы hn\i в Rn эта система сохраняет
свое общее положение в Rn. При каждом i= 1,2, ..., s
вся (m — п) -мерная плоскость л'^яд^) переходит в (т — п)-
мерную плоскость я (hnxi) посредством у-сдвига (на вектор
, hnxi). Поэтому в плоскости я (hnxi) можно найти точку yt под
условием p(xi, tjt)<-iy, /=1, 2, ..., s. Подвергнем теперь си-
систему точек
V ="{»!, «/2. •••• Уз)
е-сдвигу g', переводящему ее в общее положение в Rm. Тогда
будем иметь
p(nyt, ng'yiXt, т.е.
По определению числа е точки ng'yu отстоя от точек hnx{ мень-
меньше чем на е, будут образовывать систему
находящуюся в общем положении в Rn. Мы утверждаем, что
переход от точек xt к точкам g'yit i= I, 2, .... s, осуществляет
искомый у-сдвиг
g- xl->gfyi
В самом деле, точки gxt = g'yf находятся в общем положении —
так был выбран сдвиг g\ Далее,
P(xi, ?*<) = р(*ь g'yi)<p(Xi, yi) + p(yt, ^)<| + | = Y.
Наконец, мы видели, что точки ngxit т. е. точки ng'y{, лежат
в Rn в общем положении. Лемма доказана.
Для доказательства теоремы 3 возвратимся к теореме 2, в
которой будем считать Rn с Rm, т ^ 2м + 1.
Даны: «-мерное пространство X, его покрытие <о, непрерыв-
непрерывное отображение (p:X-*QH с: Rn a Rm и число е > 0. Строим
вписанное в со покрытие щ (как при доказательстве теоремы 2)

252 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I (ГЛ. 4
и реализуем его нерв в виде триангуляции N, лежащей в Rm,
выбирая вершины е\, ..., е6 этой триангуляции, как указано при
доказательстве теоремы 2.
При этом, в силу только что доказанной леммы, мы не
только можем предполагать, что вершины ех еа триангу-
триангуляции N находятся в общем положении, но что и ортогональ-
ортогональные проекции леь ..., ле„ этих вершин в подпространство
Rn с: R™ находятся в общем положении в Rn, так что при ор-
ортогональном проектировании n:Rm-*Rn симплексы триангуля-
триангуляции N не будут вырождаться*), и, значит, отображение л, рас-
рассматриваемое на R, является конечнократным. Мы видели при
доказательстве теоремы 2, что каноническое отображение
f: X->N
удовлетворяет неравенству р(<р, /) •< е и является со-отображе-
нием. В частном случае, когда X— компакт, вместо покрытия со
можно было задать число б > 0 и потребовать, чтобы f было
б-отображением.
Отображение л: Rm—*R" есть оператор ортогонального про-
проектирования, а ф есть отображение пространства X в Rn, так
что яф = ф, поэтому
р (ф, л/) = р (лф, л/) < р (ф, f) < г.
Наконец, отображение л, рассматриваемое на ft и тем более
на fX s fit, конечнократно.
Отображение ip = nf удовлетворяет всем условиям тео-
теоремы 3, которая, таким образом, доказана.
3. Вторая аппроксимационная теорема. Частичным обобще-
обобщением теоремы 2 является
Теорема 4 (вторая аппроксимационная теорема**); М а р-
дешич [1]). Пусть (f.X-yR есть отображение нормального
пространства X в триангулированный полиэдр Р = К. Пусть
со — произвольное достаточно мелкое***) корректное покрытие
пространства X, N^ — его нерв, реализованный в виде триангу-
триангуляции. Существует такое симплициальное отображение л:#ш->
-*¦ R, что при каноническом отображении fm-.X-^R^ (и любом
х&Х) носитель точки nf^x в комплексе /(****) есть грань носи-
носителя точки (рх в комплексе К, т. е. отображение nfa, получено из
отображения ф посредством спуска.
То есть их размерность не будет понижаться.
Эта теорема понадобится нам в гл. 5, § 5.
Под достаточно мелким покрытием всегда понимаем всякое покры-
покрытие более мелкое, чем некоторое данное покрытие соо («задающее мелкость»);
в данном случае, как мы сейчас увидим, можно положить со0 = {ф Obi),
где Obi — главные звезды триангуляции К.
****) То есть симплекс комплекса К, содержащий точку л/шх.

» 2] АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ 253
Доказательство. Пусть {Ob}} = у есть покрытие поли-
полиэдра R, состоящее из главных звезд Obj комплекса К. Положим
мо = bfx0bj}. Пусть со = {О,} — любое покрытие, вписанное
в соо. Для каждой вершины е{ нерва N = N^ выберем вершину
bj e К, под условием
фО,еОЬ/( /=/@.
и положим nei = b/a) (для любого i=l, ...,s). Этим опреде-
определено симплициальное отображение л: ?}-*R. В самом деле,
если | б(о... е*г | есть симплекс нерва N, то О*0 П • • • П О(г Ф Л;
значит, непусто и множество <рО(о П • • • П фО<г и подавно
Obl(to)f\ ... П ОЬ/(,г) =И= Л;
но тогда вершины Ь/(*о), ..., Ь/(* ) образуют остов некоторого
симплекса в К.
Пусть хе! — произвольная точк а, и пусть все содержа-
содержащие ее Ot e © суть
Тогда носитель точки fax есть симплекс |е<0 ... в(г| е # и симп-
симплекс я(|б@ ... б(г | )=\bi(i0)... Ьц!г)\ есть носитель точки nfa,x',
при этом, по определению отображения я, имеем <рО@ г
ОЬ фОгг s Obj(iry так что
<р(*)е=фО,оП ... ПфОггг06/(,о)П ... [\Ob,(ir) =
Другими словами, носитель точки Ф* в комплексе К принад-
принадлежит звезде симплекса |Ь/(*0) • • • b/(ir)| e/(» являющегося но-
носителем точки nfa,x, а это значит, что носитель точки я/ш* есть
грань носителя точки Ф*.
Замечание 2. Утверждение второй аппроксимационнои
теоремы, очевидно, остается верным, если заменить отображе-
отображение /ш любым отображением %: Х->ЙШ> получающимся из
fa посредством спуска.
Замечание 3. Беря триангуляцию К полиэдра Р доста-
достаточно мелкой, получаем во второй аппроксимационнои теореме
для всякого заданного е оценку р(ф*, nfa,x) < e. Чтобы получить
из второй аппроксимационнои теоремы первую половину первой
аппроксимационнои теоремы, заметим, что симплициальное ото-
отображение я, о котором идет речь во второй аппроксимационнои
теореме, и есть не что иное, как реализация нерва Ыф вблизи
множества ц>Х.

254 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I ЩЛ. 4
§ 3. Доказательство теоремы об ©- и е-отображениях.
Нульмерные отображения компактов в кубы той же размерности
1. Брауэровский принцип инвариантности. Начнем со второго
утверждения теоремы об со-отображениях *) (Теорема 5);
доказываем более сильное предложение, а именно:
Теорема 5' (брауэровский принцип инвариантности).
Пусть dim X = п; тогда имеется такое конечное открытое по-
покрытие соо пространства X, что не возможно никакое шп-отобра-
жение пространства X в нормальное пространство размерно-
размерности <п.
Доказательство (от противного). Пусть для данного
n-мерного пространства X и любого покрытия со этого простран-
пространства имеется со-отображение пространства X в нормальное про-
пространство У размерности dim Y ¦< п. Приведем это предложение
к противоречию. Для этого возьмем такое покрытие со ss щ =
= {Ои ..., О,}, что в него нельзя вписать никакого покрытия
кратности <м + 1; такое соо существует, так как dim X = п. По
предположению при этом соо существует coo-отображение fo: X —*
—•• Y в нормальное пространство У„ dim Y < п. Согласно опре-
определению со-отображения каждая точка jeF имеет окрест-
окрестность Оу, прообраз /о~'0# которой содержится в некотором эле-
элементе покрытия соо.
Обозначим через Wt объединение тех Оу, для которых
fol0ys0tf=<uo. Тогда
{Wlt...,Ws}
есть конечное покрытие пространства Y. Вписываем в него по-
покрытие
{К, V,)
кратности <п. Тогда {fc[Vlt ..., fclVs) есть покрытие кратно-
кратности ^ п пространства X, вписанное в юо.
Полученное противоречие доказывает брауэровский принцип
инвариантности, а значит, и второе утверждение теоремы об
со-отображениях.
Доказываем первое утверждение теоремы об со-отображе-
со-отображениях. Пусть со — произвольное покрытие n-мерного простран-
пространства X; требуется построить со-отображение пространства на
n-мерный полиэдр. Заменяя, если нужно, покрытие со более мел-
мелким, можем, без ограничения общности, предположить, что оно
имеет кратность n-fl и что не существует никакого со-отобра-
со-отображения пространства X в полиэдр размерности <[п. Пусть три-
*) См. введение, п. 2, где, в частности, дана ссылка на работу
Брауэра [1].

§ 81 ТЕОРЕМЫ ОВ <в- И е-ОТОБРАЖЕНИЯХ 255
ангуляция N есть нерв покрытия со. Согласно теореме о канони-
канонических отображениях существуют подкомплекс iV'sJV и кано-
каноническое отображение / пространства X на полиэдр Я'. Так как
Я' s Я, то dim Я ^ п; в силу выбора покрытия со имеем, с дру-
другой стороны, dim Я' ^ п. Итак, dim Я' — п, ч. и т. д.
2. Случай компактов; теорема об е-отображениях. Из пред-
предложения 1, доказанного во введении (п. 2), вытекает, что в тео-
теореме 5 содержится
Теорема 5о (теорема об е-отображениях). Пусть п-мерное
пространство X является компактом. Тогда при всяком е > О
имеется г-отображение f пространства X на п-мерный полиэдр
и в то же время существует такое ео > 0, что не возможно ни-
никакое го-отображение в полиэдр (и даже в бикомпакт) размер-
размерности <п.
Далее, имеет место
Теорема 6. Пусть X — компакт размерности п, лежащий
в эвклидовом (или в гильбертовом) пространстве Rm, n ¦< m ¦<
^ оо. При любом е > О можно посредством г-сдвига превратить
компакт X в п-мерный полиэдр Я с Rm. Существует такое ео >
> О, 470 невозможен го-сдвиг компакта X в полиэдр размерно-
размерности <п.
Доказательство. Второе утверждение вытекает из того,
что всякий е-сдвиг компакта есть 2е-отображение. Первое утвер-
утверждение получим, если в первой аппроксимационной теореме
(случай m ^ п) возьмем в качестве <р тождественное отображе-
отображение; тогда отображение f, удовлетворяющее неравенству A)
(из § 2), есть е-сдвиг в п-мерный полиэдр Я.
Берем этот полиэдр в достаточно мелкой триангуляции К.
Если / не есть отображение на Я = R, то по крайней мере в од-
одном главном симплексе Т^К имеется точка Xo^T\fX. Про-
Производим «спуск» («выметание» симплекса 7"), налагая на ото-
отображение / отображение g:R—*(R\T), тождественное на
R\T = R\ и определенное в Т как проекция из *о на границу
Т\Т.
Посредством конечного числа таких выметаний приходим
к отображению /v пространства X на полиэдр Rv, все еще яв-
являющемуся е-сдвигом.
Как показывает упомянутый еще во введении пример Сит-
никова, содержащееся в теореме 6 определение размерности
компактов посредством е-сдвигов к некомпактным метрическим
пространствам (даже счетного веса) неприменимо (см. гл. 8,
введение и § 3).
В связи с теоремой 6 сформулируем следующее утверждение,
доказанное Г. С. Ч о г о ш в и л и [1]:
Теорема Чогошвили. Компакт X, лежащий в ш-мерном
эвклидовом пространстве Rm, имеет размерность п ^ пг тогда

256 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. ! [ГЛ. 4
и только тогда, когда для любого е>0 и любой (т — п—1)-
мерной плоскости Rm~n~i^Rm существует такой е-сдвиг f:X—*
—* Rm компакта X, что
Замечание 1. Утверждение теоремы Чогошвили останется
верным, если в нем компакт X заменить произвольным подмно-
подмножеством пространства Rm, а размерность — метрической раз-
размерностью*) (Ч о гош вил и [1]).
3. Нульмерные отображения компактов в кубы той же раз-
размерности. Неравенство indA'^dimA' для компактов. Опре-
Определение 1. Мы говорим, что отображение f:X-*Y имеет раз-
размерность ^k, и пишем dim { ^ k, если для каждой точки jeF
верно неравенство
если при этом хотя бы для одной точки jeF предыдущее не-
неравенство переходит в равенство
't/ = k,
то пишем dimf = k — отображение f в этом случае называется
fe-мерным.
Докажем следующую теорему:
Теорема 7 (Гуревич [4]). Для любого п-мерного ком-
компакта X множество его нульмерных отображений в п-мерный
куб Q" является в пространстве С(Х, Qn) всех отображений X
в Q" всюду плотным множеством типа Gfl.
Определение 2. Отображение f:X—*Y компакта X на-
назовем е-дискретным, если прообраз f~'y каждой точки y^fX
разлагается в конечную дизъюнктную сумму компактов диа-
диаметра <е.
В § 2 (теорема 3) было показано, что множество е-дискрет-
ных отображений n-мерного компакта X в n-мерный куб Q™ для
любого е > 0 всюду плотно в пространстве С(Х, Qn).
Лемма I. Пусть X — произвольный компакт. Для любого
г > 0 множество С\ всех е-дискретных отображений компак-
компакта X в куб Q" открыто в пространстве С(Х, Q").
Доказательство. Нам надо доказать, что для любого
е-дискретного отображения f:X—*Qn существует такое б > О,
что всякое отображение g:X-*Qn, удовлетворяющее условию
p(f. 8) < б. будет е-дискретным.
Докажем сначала существование числа ц > 0, удовлетво-
удовлетворяющего следующему условию: для любого множества ЛдД,
•J См. гл. 8,

§ 3] ТЕОРЕМЫ ОВ со- И е-ОТОБРАЖЕНИЯХ , 257
диаметр которого меньше т), прообраз f~lA распадается в конеч-
конечную дизъюнктную сумму открытых в f~lA множеств диаметра
,<[е. Возьмем произвольную точку yefX. Ее прообраз f~ly
распадается в дизъюнктную сумму замкнутых множеств F\, ...
..., Fs диаметра <е. Заключим множества F{ в дизъюнктные
окрестности У{ диаметра <е, / = 1, ..., s. В силу замкнутости \
s
существует такая окрестность Оу точки у, что f~lOy s \J V[.
Окрестности Оу, взятые для всех точек у е fX, образуют откры-
открытое покрытие со компакта fX. Через ц обозначим лебегово число
покрытия со. Если множество А имеет диаметр <г), то оно
содержится в одном из множеств Оу, т. е. множество f~lA со-
содержится в сумме соответствующих множеств Vit с= 1, ..., s,
и, следовательно, распадается на открытые в f~lA множества
Vt П /~М, i=U ..-, s, диаметра <е. Существование числа т)
доказано.
Рассмотрим теперь такое отображение g: X-*-Qn, что p(f,g) <
< ¦?. Пусть у s gX и х г g~]y. Тогда р (fx, y) = p (fx, gx)< ^ ,
т.е. компакт fg~{y^fX содержится в 4-окрестности точки у
и имеет диаметр < х\. По доказанному выше множество f~xfg~xy,
а значит и содержащееся в нем множество g~ly, распадается
в конечную дизъюнктную сумму открытых, а значит, и замкну-
замкнутых в f~xfg~xy (соответственно в g~ly) множеств диаметра < е.
Лемма доказана.
Таким образом, для любого е > 0 множество С\ открыто и
всюду плотно в пространстве C(X,Qn). В силу полноты этого
пространства пересечение С* множеств С\ц, i=l, 2, 3, ...,
есть всюду плотное в нем Св-множество; в частности, множество
С* непусто. Отображения, принадлежащие множеству f e С*,
нульмерны. Действительно, если f e С*, то для любой точки
yefX и любого е > 0 множество f~ly = F разлагается в конеч-
конечную дизъюнктную сумму замкнутых множеств диаметра -<е.
Если со — произвольное покрытие F, а г\ — лебегово число этого
покрытия, то, взяв е < т], получим дизъюнктное замкнутое по-
покрытие множества F, вписанное в покрытие со. Нульмерность
отображения f и теорема 7, таким образом, доказаны.
Большое принципиальное значение теоремы 7 заключается
в том, что эта теорема во многих случаях позволяет свести изу-
изучение n-мерных компактов к изучению замкнутых множеств
n-мерного куба. Примером может служить доказательство фор-
формулы
A) lndX<dlm^ для всех компактов X.
9 П. С. Александров, Б. А. Пасынков

258 . ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. ! [ГЛ. 4
Неравенство A) очевидно, если dim X = оо. Если же
dim X = п < оо, то неравенство A) вытекает из неравенства
ind Qn s^ п, теоремы 7 и следующей теоремы 8, представляющей
и самостоятельный интерес.
Теорема 8. Если компакт X обладает нульмерным отобра-
отображением f: X -> У в компакт У, то ind X <! ind У.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
размерность ind У конечна. Если ind У = — 1, то ind X = — 1 ^
^ ind У. Предположим, что доказываемое равенство справед-
справедливо для ind У < п, п ^ 0, и пусть ind У = п.
Рассмотрим произвольную точку хо^Х н произвольную ее
окрестность Охо. Положим у0 = fx0. Так как dim /"'г/о = 0, то
и ind/~1#o = O (см. гл. 2, § 3, предложение 1). Поэтому суще-
существует открыто-замкнутое в f~lyo (и, следовательно, замкнутое
в X) множество Fu содержащее точку Хо и лежащее в множестве
OxoOf'iyo^ Ох0. Множество F% = f~lyo\Fi также открыто-
замкнуто в f-'t/o. Множества Fi и F2 дизъюнктны и замкнуты
в X; поэтому они обладают окрестностями Vi и V2 с дизъюнкт-
дизъюнктными замыканиями. Можно при этом считать, что V\ <~ Ох0. Мно-
Множество V=KiUF2 является окрестностью множества f"'#o.
В силу замкнутости отображения f существует такая окре-
окрестность U точки уо, что f"'f/s V. При этом, очевидно, можно
предположить, что ind rp U ^ п — 1.
Рассматривая нульмерное отображение /: X-+-Y на замкну-
замкнутом множестве f~[rpU, получим снова нульмерное отображение,
так что из индуктивного предположения вытекает неравенство
indr'rp?/<indrp?/<ra- 1. -Пусть Wl = f-[U(]Vl, /«-1,2.
Тогда
Xo^WiGVi^Oxo
и
гр Wx s rp Wt U гр W2 — гр (Г, U W2) = гр Г' U ?=Г' гр U.
В силу монотонности размерности ind (гл. 2, § 1, предложе-
предложение 70) имеем
откуда indX-<« — ind У. Теорема 8 и неравенство A) доказаны.
В § 8 этой главы, а также в § 2 гл. 5 неравенство A) будет
доказано для произвольных пространств со счетной базой.
В § 8 мы докажем для всех компактов (и даже для всех
сильно паракомпактных пространств) формулу dim X ^ ind X,
после чего мы будем иметь равенство dim X = ind X. Эта фор-
формула позволяет нам вывести из теоремы 8
Следствие 1. Если существует нульмерное отображение
f: X -> Qn компакта X в п-мерный куб Qn, то dim X < п.

«41 ТЕОРЕМА НЁБЕЛИНГА - ПОНТРЯГИНА 259
Это следствие вместе с теоремой 7 дает следующую новую
характеристику размерности компактов:
Теорема 9. Для того чтобы компакт X имел размерность
dim X = п, необходимо и достаточно, чтобы существовало нуль-
нульмерное отображение f: X -* Qn в п-мерный куб Qn и не суще-
существовало нульмерного отображения компакта X в куб меньшего
числа измерений *).
§ 4. Теорема Нёбелинга — Понтрягина
Начинаем с доказательства теоремы Нёбелинга — Понтря-
Понтрягина в ее первоначальном виде (как гипотеза она была сформу-
сформулирована еще Урысоном, в частном случае эта теорема была
доказана Менгером [2]).
Теорема 100**). Всякий компакт X размерности dim X =
= п гомеоморфен некоторому {очевидно, замкнутому) множе-
множеству, лежащему в Bп + 1) -мерном кубе Q2n+1.
Доказательство основывается на двух леммах.
Первая лемма есть теорема 2д § 2, утверждающая, что при
всяком е > 0 множество Св всех е-отображений компакта X
размерности dim X = п в куб Q2n+I размерности In + 1 всюду
плотно в пространстве С всех отображений компакта X в куб
Вторая лемма утверждает, что множество Сг всех е-отобра-
е-отображений (любого) компакта X в куб Q любой размерности от-
открыто в пространстве С всех непрерывных отображений f: X -»>
—* Q. Доказываем эту вторую лемму.
Берем какое-нибудь f0eСе. Для каждой точки jeQ суще-
существует окрестность Оу, для которой f^Oy имеет диаметр < е
(см. введение, п. 2). Эти Оу образуют покрытие куба Q, в ко-
котором можно выбрать конечное подпокрытие ©Q. Пусть ц —
лебегово число покрытия ©Q. Тогда для всякого множества
М eQ, диаметра < т), прообраз f^[M имеет в X диаметр < е.
Вторая лемма будет доказана, если мы убедимся в том, что
¦^--окрестность о(Ро»у) отображения fQ в пространстве С со-
содержится в Се. Итак, пусть f(=O [f0, -3.), т. е. p{f0, f)<j- До-
Докажем, что f^Ce. Для этого достаточно доказать, что для
всякой точки yo^Q прообраз /~'#о имеет в X диаметр < е,
т. е. что из *i<=X, x2<=X, fx{=fx2 = y0 следует р{хи х2) < е.
•) Мы помним, что для завершения доказательства этой теоремы нам
осталось доказать неравенство dim X < ind X для компактов, что и будет
сделано в § 8.
**) См. Нёбелинг [1], Понтрягин и Голстова [1].

260 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
Но р (Л,./)<¦$. поэтому
р(/о*;. !оХ2)<р(!оХи fxi) + p{fxu fx2)+p{fx2, foX2) < -J -f 0 -f -J «T|;
следовательно, по определению числа tj имеем p(xlt x2)< e, что
и требовалось доказать.
Выведем из двух только что сформулированных лемм тео-
теорему Юо. Надо доказать, что множество Со всех топологических
отображений компакта X в Bм -+¦ 1)-мерный куб Q2n+1 непусто.
Мы докажем больше, а именно что множество Со всюду плотно
в пространстве С всех непрерывных отображений простран-
пространства X в куб Q2n+'.
Пусть в? = -г. кж= 1,2,3,... Обозначим через № множе-
множество всех eft-отображений f: X—*-Q2n+l. В силу наших лемм мно-
множество CW при любом k открыто и всюду плотно в простран-
пространстве С. Так как С — полное метрическое пространство, то мно-
множество pIC*** также всюду плотно в С, но оно состоит из
k
непрерывных отображений, каждое из которых есть е^-отображе-
ние при любом k\ значит, p|C(ft) состоит из взаимно однознач-
h
ных отображений компакта X в куб Q2n+1, т. е. из топологиче-
топологических отображений. Итак, р| C(ft) г Со — множество всех тополо*
к
гических отображений /: X-*Qin+l — всюду плотно в С, что и
требовалось доказать.
Замечание 1. Очевидно, CQaf]C{k), т.е. C0==f|C(W
к h
еоть всюду плотное (?в-множество в пространстве С.
Переходим к доказательству общей теоремы Нёбелинга —
Понтрягина:
Теорема 10. Всякое пространство X со счетной базой,
имеющее размерность dim X =ж п, гомеоморфно множеству, ле-
лежащему в кубе Q2n+' размерности 2м + 1.
Доказательство совершенно аналогично доказательству тео-
теоремы Юо.
Снова имеем две леммы, из которых первая есть теорема 2А
§ 2, а вторая лемма утверждает, что для любого покрытия а
Произвольного нормального пространства X множество №> всех
со-отображений пространства X в куб Q произвольного числа
измерений открыто в пространстве С всех непрерывных отобра-
отображений /: Х-> Q.
Доказываем эту лемму.

i 4] ТЕОРЕМА НЕБЕЛИНГА - ПОНТРЯГИНА 261
Пусть а — произвольное покрытие пространства X и fо «
е С*®). Требуется найти такое е > 0, чтобы е-окрестность
О (jo, e) точки fo пространства С содержалась в СИ.
Чтобы найти такое е, выбираем для каждой точки у е Q
окрестность Vy так, чтобы множество f^lVy содержалось в не-
некотором элементе покрытия со. Из покрытия {Vy} куба Q выби-
выбираем конечное покрытие
У = {УУ1 Vy,}.-
Берем е > 0 столь малым, чтобы 5е было лебеговым числом
покрытия у. и докажем, что всякое отображение f: X -> Q, от-
отличающееся от f0 меньше чем на е, есть оз-отображение.
Итак, пусть отображение f: X -> Q удовлетворяет условию
p(fo, f) < e. Докажем, что f есть ^-отображение. Для этого
в свою очередь достаточно показать, что для любой точки уо е
eQ множество f~lO(yo,z) содержится в некотором элементе
покрытия а.
Пусть х е f"'O(«/0. e), значит, fx e О(г/0, е), следовательно
(так как p(fo,/) < е), имеем
fox s О (t/o, 2e),
а потому для любых двух точек х, х' из ]~хО(уйу е) будет
Р (fo*, fо*0 < 4е,
т. е. diamf0f~'O (г/0, е)^4е<5е. Но 5е есть лебегово число по-
покрытия у. поэтому из последнего неравенства следует, что все
множество fof'lO(y0,e.) содержится хотя бы в одном элементе
покрытия у, а следовательно, прообраз этого множества при ото-
отображении fo, т. е. множество
содержится в некотором элементе покрытия а:
folforlO(y0,E)^Ot.
Но тогда и
r10(jfo,e)sf0~7or10(tt>,e)s0,.
Итак, мы доказали, что всякое f: X -> Q, для которого p(f0, f) <
< е, есть оз-отображение. Лемма доказана *).
Переходим к доказательству общей теоремы 10. Пусть
A) ©„ Ю2, .... ©ft, ...
*) При этом доказательстве мы нигде не предполагали, что в про-
пространстве X имеется счетная база.

262 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4\
— измельчающаяся последовательность покрытий простран-
пространства X (в силу предложения 13 § 6 гл. 1 во всяком пространстве'
со счетной базой существует такая, последовательность). Обо-
Обозначим через Ch множество всех шь-отображений простран-
пространства X в куб Q2n+!. В силу нашей первой леммы (теорема 2А);
множество СА всюду плотно в полном метрическом простран-
пространстве С всех непрерывных отображений f: X—»Q2n+'; в силу вто-
второй леммы множество Ch открыто в пространстве С. Значит,,
множество f\Ck всюду плотно в пространстве С.
k
Остается доказать, что всякое отображение fefjC* есть
k
топологическое отображение /: X->Q2n+1. Для этого берем про-
произвольно точку Хо е X и окрестность Oxq cz X; полагаем г/о =
= fx0 и определяем k так, чтобы звезда OkXa точки Хо относитель-
относительно покрытия «ид содержалась в Ох0 (это возможно, так как по-
последовательность A) измельчающаяся).
Отображение f есть соь-отображение; поэтому существует та-
такая окрестность Оуо, что f~lOyo содержится в некотором эле-
элементе О? покрытия ah', так как Xo^f-Юуо, то О? содержится
в звезде Окх0, значит, и подавно f~lOyo г OhXo = Ox0. Отсюда
сразу выводим, что f — взаимно однозначное отображение: если
бы fx0 = fxi = уо при Хо ф хи то для дизъюнктных Охо, Ох\ мы
нашли бы Оуо, удовлетворяющее невозможному включению
f-'Oj/o^ Oxq П Ох\. Так как для каждого Охо мы построили
Оу0 под условием !~Юуо s Ox0, то отображение /"' не только
однозначно, но и непрерывно, и, значит, f есть гомеоморфизм,
чем общая теорема Нёбелинга — Понтрягина доказана.
§ 5. Усиления теоремы Нёбелинга — Понтрягина
и их следствия
Предыдущими рассуждениями доказана не только теорема
Нёбелинга — Понтрягина, но и ее усиление:
Теорема 11. Если X — пространство размерности п со
счетной базой, ю в пространстве С = C(X,Q) всех непрерыв-
непрерывных отображений пространства X в Bn -f 1) -мерный куб Q
множество всех топологических отображений образует всюду
плотное множество.
Однако и эта теорема допускает дальнейшее усиление. При
формулировке первой аппроксимационной теоремы мы уже
отметили тот факт, что для любого покрытия а пространства X
всюду плотным в пространстве C(X,Q) является не только мно-
множество Си всех со-отображений, но и множество С^ = Сш тех
©-отображений f: X -> Q, при которых множество [JX] не пере-
пересекается с заданной и-мерной плоскостью Rn с: R2n+1 и, следо-

§51 УСИЛЕНИЯ ТЕОРЕМЫ НЕБЕЛИНГА - ПОНТРЯГИНА 263
вательно, будучи компактом, находится от нее на положитель-
положительном расстоянии. Из этого последнего обстоятельства (и из на-
нашей второй леммы в § 4) вытекает, что множество Cj>, кроме
того, является открытым в.пространстве С(Х, Q),
Пусть теперь X — пространство со счетной базой и
A) И,, С02, .... (Oft,
— какая-нибудь измельчающаяся последовательность его по-
покрытий. Пусть, с другой стороны,
B) Я, RS ВЦ, ...
— какое-нибудь счетное множество n-мерных плоскостей в
R2n+K Через С\ обозначаем множество тех сол-отображений
f: X -> Q, при которых [fX] cr Q \ /?/}. Все эти С* всюду плот-
плотны и открыты в C(X,Q); значит, множество С0 = f*)C* также
fc./i
всюду плотно в C(X,Q) и оно, по доказанному, состоит из то-
топологических отображений /: X -> Q, при которых компакт [fX]
не пересекается ни с одной из плоскостей B).
Возьмем в качестве счетного множества B) множество всех
плоскостей К*[г'и "^ г"+1 ] (см. гл. 2, § 4). Плоскость
состоит из всех точек 5=(^i. •••» %2n+i) ^ R2n+l, удовлетво-
удовлетворяющих п -|-1 уравнениям
где г\, ..., гп+! — произвольные рациональные числа. Те точки
куба Q, которые принадлежат хотя бы одной из этих плоско-
плоскостей, — это в точности те точки |, у которых имеется по край-
крайней мере п + 1 рациональных координат. Поэтому множество
точек | s Q, не принадлежащих ни одной из плоскостей B), —
это множество Qnn+l) тех точек Bм4- 1)-мерного (единичного)
куба Q = Q2n+1, у которых имеется не более чем
рациональных координат.
Другими словами,
п
I I
где Ynn+l) есть множество всех точек * = (* , Ar2n+t)e Z?2""*,
имеющих не более чем п рациональных координат. Мы видели,

264 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. 1 [ГЛ. 4
что в множестве Q^"+1) лежит компакт — замыкание [fX]
образа fX пространства X при любом топологическом отобра-
отображении /еС°. Но мы видели в § 4 гл. 2, что ind yj,2n+1) </г,
значит, и indQ^^n, а так как [fX] s QL2n+1) и f: X-»Q%n+l)-
топологическое отображение, то и indX^/г.
Итак, мы доказали, что из dim X ^ п следует ind X ^ п;
другими словами, мы доказали неравенство
C) ind X ^ dim X для всех X со счетной базой.
Кроме того, доказана следующая
Теорема 12 (обобщенная теорема Нёбелинга [1] — Гу-
ревича [4] — Куратовского [5]). Пусть X — пространство
со счетной базой и dim X = м; пусть Q = Q2r>+1 — единичный
Bм-f \)-мерный куб. В пространстве С = C(X,Q) всех непре-
непрерывных отображений f: X-+Q содержится всюду плотное
множество *) топологических отображений пространства X в
компакты, лежащие в множестве Q(^"+l) (состоящем из всех
точек куба Q2n+l, имеющих не более п рациональных коор-
координат).
В § 4 гл. 2 мы видели, что
В § 8 этой главы мы докажем, что для всякого пространства со
счетной базой имеет место неравенство
D)
так что_ dimQS2;i+I><rt. Но для замкнутого n-мерного сим-
симплекса Тп имеем dim Тп = п (гл. 3, § 3), и, значит, топологи-
топологический образ симплекса Тп содержится (по только что доказан-
доказанному) в <Э(„2п+1). Поэтому dimQ(n2n+1) = n. Следовательно, в Q(n2n+I)
лежит компакт С, содержащий топологический образ самого
QB"+1), значит, и всякого пространства X со счетной базой раз-
размерности uimX = n (в частности, симплекса Тп). Отсюда выте-
вытекает, что dim С" > м; с другой стороны, С с: Qnn+1), значит,
dim С" < п. Итак, dim С" = п.
Таким образом, неравенство
D) dimX<indX,
которое будет доказано в § 8, — это единственное, что нам
остается для того, чтобы была доказана следующая основная
*) Даже второй катерии (это означает, что дополнение к нему есть
сумма счетного числа нигде не плотных в С множеств).

S 6] ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 265
Теорема 13 (Гуревич [1], Нёбелинг [1]). Для всякого
целого числа и ^ 0 имеется п-мерный компакт Сп cr Qn"+l), со-
содержащий топологический образ Z всякого пространства X со
счетной базой размерности dim X < п. Беря замыкание [Z] s С",
получим п-мерный компакт, содержащий всюду плотное мно-
множество, гомеоморфное пространству X.
Наконец, из (уже доказанного) неравенства C) и (подле-
(подлежащего доказательству в § 8) неравенства D) вытекает, что
E) dim.Y = indX для всех X со счетной базой.
§ 6. Доказательство теоремы о существенных отображениях
Теорема 14 (теорема о существенных отображениях) со-
состоит из двух утверждений:
а) Всякое п-мерное пространство X может быть существенно
отображено на п-мерный замкнутый симплекс Тп.
б) Всякое отображение п-мерного пространства в т-мерный
симплекс (или шар) при т> п несущественно.
Доказательство утверждения а) Пусть dim X = м;
выбираем покрытие оз пространства X так, что не существует
никакого со-отображения пространства X в полиэдр размерно-
размерности <м.
Заменяя, если нужно, покрытие оз более мелким, можем
предположить его кратность равной п + 1.
По теореме о канонических отображениях (§ 2, теорема 1)
можно найти такой подкомплекс N' нерва Na и такое канониче-
каноническое отображение f пространства X на полиэдр #', что всякий
главный симплекс комплекса N' покрыт существенно. В силу вы-
выбора покрытия оз среди этих главных симплексов имеется п-мер-
п-мерный симплекс Г"_= I ео ... еп |. Положим 3 = f~'Го; тогда ото-
отображение f: S-¦Г" существенно.
Пусть вершины комплекса N', не являющиеся вершинами
симплекса То, суть
еп+Ь • • •> es'
Построим симплициальное отображение g комплекса N' на
симплекс Го, полагая
eo, .-., g(en) = en, g(en+l) = ... =g(es) = e0.
На симплексе Г? и его гранях отображение g тождественно,
а все остальные симплексы комплекса N' оно переводит на ту
или иную грань (возмо кно, собственную) симплекса Го. В ре-
результате образ полиэдра N' при отображении g есть замкну-

266 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. 1 [ГЛ. 4
тый симплекс То. Наложив отображение g на отображение f,
получим непрерывное отображение
t\ = gt- X-*To,
при котором все точки х е X, для которых fx&N' \ То, т. е. все
множество f~l(N'\To), значит (так как SsNf\To) и множе-
множество f~lSczf~]{N'\To), отобразятся в S. Итак,
Докажем, что отображение U есть существенное отображение
пространства X на То. В противном случае существовало бы
отображение ср: X -* S, совпадающее с f: во всех точках мно-
множества fTlS, значит, и подавно во всех точках множества f~lS.
Рассмотрим отображение <р: S-»-S; оно совпадает с j_ на f~'S,
что противоречит существенности отображения f: S -> Г?. Утвер-
Утверждение а) доказано.
Ниже Q обозначает замкнутый шар, Q—открытый шар в /?т.
Основная лемма. Пусть <р — существенное отображение
пространства X (произвольной размерности) на m-мерный шар
QcR™. Пусть QoCzQ — меньший шар (размерности пг), кон-
концентричный шару Q. Тогда существует такое е > О, что при
всяком отображении f пространства X в Rm, отличающемся от ф
меньше чем *) на е, весь шар Qo содержится в fX.
Добавление к лемме. В условиях леммы шар Qo суще-
существенно покрыт при отображении f.
Прежде чем доказать эту лемму, покажем, как из нее и из
ранее установленных результатов следует утверждение б) тео-
теоремы о существенных отображениях.
Пусть при п < m дано существенное отображение <р: X -* Q
пространства X размерности п на m-мерный шар Q. Согласно
лемме определяем для отображения <р шар Qo cr Q и число
е > 0. По первой аппроксимационной теореме (§ 2, теорема 2)
существует такое отображение / пространства X в и-мерньгй по-
полиэдр П г Rm, что p(<p*, fx)< e для всех лтеХ. Так как по-
полиэдр П г Rm, имея размерность п < т, нигде не плотен в про-
пространстве Rm, то он не может содержать в себе m-мерный
шар Qo —вопреки требованию Qo^fXsU нашей леммы. Про-
Противоречие!
Итак, надо доказать лишь лемму.
Пусть Q cr R™ (замкнутый шар радиуса г); центр этого шара
обозначим через с. Пусть 'Qo-—шар радиуса г0 с тем же цен-
центром с. Нам дано существенное отображение ф: X -* Q. Выберем
*) В обычном смысле,р(jp*,,/*) < е,для .всех.*

§ 0) ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 267
положительное е < —j-1 и докажем, что при всяком отобра-
отображении f: X-*Rm, отличающемся от <р меньше чем на е, будет
QosfX.
Этим лемма будет доказана. *
Обозначим через Q' (замкнутый) шар с тем же центром с и
радиусом г', г — е_< г_' <_г, так что г' — го> е. Сферы, ограни-
ограничивающие шары Q, Qo, Q', обозначим соответственно через S,
So, S'. Положим (р~^ = А\ q>-1(Q\Q') = A". Тогда
А'[)А" = Х, 4TM" = qr'S'.
Определим вспомогательное отображение g пространства X
в Q следующим образом:
1) Пусть xsA". Тогда <pX^Q\Q'. Проводим прямую че-
[рез точки с и <рл; и рассмотрим на ней отрезок, лежащий между
двумя сферами S и S'. Этот отрезок, ориентированный по на-
направлению к центру с, обозначим через А.
Определяем gx как точку, делящую направленный отрезок
<q>x fx в том же отношении, в каком точка <р* делит отрезок А.
Очевидно,
gx = q>x, если лге<р~'5,
gx = fx, если xeqr'S'.
2) Пусть х s А'. Тогда qpx e Q' и мы полагаем gx = fx. Так
как и на А' и на А" отображение g определено как непрерывное
.отображение и в точках х^А'ПА" = qr'S' оба отображения
совпадают, то мы получили непрерывное отображение g всего
пространства X в Q. При этом на qr'S отображение g совпадает
с существенным отображением <р, а потому g есть отображение
пространства X на весь шар Q. В частности,
QocQ = gX.
Если х е А", т. е. ф# е Q\Q', то весь отрезок [фХ, fx], имея
длину <. г <. г' — /"о, лежит вне Qo, так что и точка gx, принад-
принадлежа этому отрезку, лежит вне Qo.
Итак, если х е Л", то gx ф. Qo. Поэтому, если gx e Qo, то не-
непременно х s Л'. Но так как Qo s gX, то Qo г gA'. По опреде-
определению для л; е А' имеем g* = fx, значит, Qo s gA' = /А', что
и требовалось доказать.
Лемма, а значит и теорема о существенных отображениях до-
доказаны.
Докажем добавление к основной лемме.
Начнем со следующих двух простых замечаний.
Зам€ча.ние (А). Если ср: X—* Q существенно и отображе-
отображение g: X -* Q совпадает с ф на ф~'5, то и g существенно.

268 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. 1 [ГЛ. 4
В самом деле, заметим прежде всего, что в наших условиях
из фл; е S следует gx e S, т. е. qr'S s g~lS. Поэтому, если бы g
не было существенно, т. е. имелось бы отображение gi. X->S,
совпадающее с g на g~'S, то и на qr'S отображение g\ совпадало
бы с g, значит, и с ф — вопрек-и существенности отображе-
отображения ф *).
Замечание (Б). Если ф: X -> Q существенно и Хо = ф-'Фо,
то и отображение ф: Хо -* Qo существенно.
Для доказательства предположим противное. Тогда суще-
существует отображение <pi: Xo-+So = Qo\Qo такое, что qnx = <рх
для х е ф"'5о. Распространяем отображение фГ. Xq-*Socz Q\Qq
до отображения ф: X—*¦ Q\Qd, полагая ф!* = фх в точках
(так как для точек л;еф^'5о уже имеем щх = ф#, то отобра-
отображение ф1: X-+Q\QQ непрерывно на всем X). Очевидно, ф1Х = фл;
и на ф-'S, а так как ф]Х s Q\Qo, то получаем противоречие с
существенностью отображения q>.
Теперь добавление к основной лемме доказывается в двух
словах. Заметим прежде всего, что для любой точки х е X
имеем
A) р(флг, gx)<e.
Докажем теперь, что
B) Xo = r% = g-lQo.
В самом деле, пусть сначала x&f~lQ0. Тогда fx^Q0, значит,.
фл;eQ' и gx = fx^.Q0. Итак, f^Qo^ g~lQo- Докажем обратное
включение. Пусть #eg~'Q0, т. е. gx&Qo- Тогда (в силу не-
неравенства A))
q>x<=Q', gx = fx, fx<==Q0, x<=f~lQo-
Равенство B) доказано. _
Требуется доказать, что отображение f множества XQ = f~lQ0
на Qo существенно. Но в силу замечания (А) отображение
g: X -> Q существенно, значит, в силу замечания (Б) существен-
существенно и отображение g: Xo-*Qo- Но на Хо = g~]Qo = f~lQo отобра-
отображения g и f совпадают; значит, отображение f: Хо -> Qq суще-
существенно и добавление к лемме доказано.
Замечание 1. Приведенное доказательство основной лем-
леммы к теореме 14 (и добавления к этой лемме) опирается лишь
на самые элементарные соображения; если воспользоваться
*) Замечание (А) также является простым следствием предложения 1
из § 2 Прибавления к гл. 3.

§ 6) ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 269
Прибавлением к гл. 3 (лемма о грибе), то можно дать более
короткое доказательство:
Пусть снова радиусы шаров Q и Qo равны г и г0, О < е <
< min(r — ro,ro); пусть для отображения f: X-+Qo имеем
p(fx, <px)< е при всех «еХ,
Предположим, что отображение /: f~'Qo-*Qo несуществен-
несущественно. Тогда существует отображение f\i f~IQo-*50, совпадающее
с /_на f-lS0. Отображение ft: X —*¦ Q\Qo, совпадающее с /' на
f~'Qo и с f на f~1(Q\Q0), непрерывно (см. гл. 1, § 1, пред-
предложение 10). Спроектируем теперь из центра шара Q множе-
множество Q\Qo на сферу S, обозначив это проектирование через я.
Ясно, что отображение
Ф1»=я/1[ X-+S
непрерывно.
Если х s <p~'S, то р (<px, fx) < е < г — г0. Поэтому р (S, fx) < в
и fx^Q\Qo. Следовательно, р(флг, ф!л;) = р(фл;, nf{x) «=
«=р(ф*, nfaX p (qwc, fx) -f р (fx, nfx) < 2е < 2г, т. е. точки <рх
и ф!л; не являются диаметрально противоположными точками
сферы S, и поэтому (см. пример 1 из § 1 Прибавления к гл. 3)
отображения
ф: y-lS-+S и ф^ tp-lS-*-S
гомотопны. Но тогда (по предложению 1 из § 2 Прибавления
к гл. 3) отображение <pi: X-+S g Q должно было бы быть су-
существенным, а это не так. Полученное противоречие доказывает
лемму и добавление к ней.
Замечание 2. Теорема о существенных отображениях по-
позволяет по-новому доказать, что для /г-мерного (в элементарном
смысле слова) замкнутого симплекса Тп имеем dim Tn = п: для
этого достаточно найти какое-либо существенное отображение
n-мерного симплекса Тп на себя. Но, как показано в гл. 3, та-
таким отображением является тождественное отображение.
Обратно, если каким-нибудь образом доказано, что dim Tn =
= п, то из теоремы о существенных отображениях сразу выво-
выводится существенность тождественного отображения замкнутого
симплекса 7" на себя. В самом деле, пусть f — какое-нибудь су-
существенное отображение Тп на себя (оно имеется в силу тео-
теоремы о существенных отображениях и равенства dim Тп = п).
Если бы тождественное отображение т: Тп -> Тп было бы несу-
несущественным, то имелось бы отображение х' замкнутого сим-
симплекса Тп в его границу S"-1, тождественное на Sn~l. Но тогда
f =» fx' было бы отображением в Sn~l, совпадающим с f на
f-lSn~l, что противоречит предположению существенности ото-
отображения f.

270 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
Иногда теорему о существенных отображениях удобно фор-
формулировать в следующем виде:
Теорема 14'. Неравенство дхтХ^п для нормального
пространства X осуществляется тогда и только тогда, когда
всякое непрерывное отображение fA любого замкнутого множе-
множества А = X в сферу Sn может быть продолжено до непрерыв-
непрерывного отображения fx- X -* Sn.
В самом деле, пусть выполнено последнее условие, и пусть f~.
какое-либо непрерывное отображение пространства X в (п + 1)-
мерный замкнутый симплекс Гп+1 с границей S". Положим А =
= f~*Sn. По предположению отображение /, рассматриваемое
на А, может быть продолжено до отображения fx: X—* Sn, от-
откуда следует, что отображение f несущественно. Итак, всякое
непрерывное отображение {: X -> Тп*х несущественно, а потому
dim X ^ п. Одна половина теоремы-доказана.
Доказываем вторую половину. Пусть dim X sg; n, и пусть
дано какое-нибудь непрерывное отображение fA: A-*Sn. Дока-
Докажем, что отображение fA можно продолжить до непрерывного
fx' X -*Sn. Предполагая, что Sn есть граница замкнутого шара
Тп+\ рассматриваем fA: A-*Sn как отображение в Tn+l и про-
продолжаем его, по предложению 7 § 5 гл. 1, до отображения
f: X^*-Tn+l. При этом Ф = f-'5 э i4. Так как dim^-<n, то ото-
отображение f несущественно. Так что имеется отображение
fx: X-*Sn, совпадающее с f на Ф =7Sn2 А и, следовательно,
являющееся продолжением отображения fA. Теорема 14' дока-
доказана.
Определение (Александров [20]). Для подмноже-
подмножества А нормального пространства X будем писать
rdxA^n
{относительная размерность А в X ^ п), если для любого ле-
лежащего в А и замкнутого в X множества F справедливо нера-
неравенство dim F ^п,п = —1, 0, 1, 2,...
Теорема 14' позволяет доказать следующее утверждение:
Теорема 15 (Даукер [6]). Если в нормальном простран-
пространстве X существует такое замкнутое множество F, что
dimf<n и rdxX\ F^.n,
то и dim X ^ п.
Лемма 1. Пусть дано непрерывное отображение f: F —> Sn
замкнутого подмножества F нормального пространства X. Если
rix X\F ^ n, то существует непрерывное продолжение
<р: X-+S"
отображения f.
Доказательство. Отображение f можно продолжить
в непрерывное отображение {': [0]->Sn замыкания некоторой

t П ТЕОРЕМА СУММЫ 271
окрестности О множества F (см. гл. 1, § 5, предложение 8). По
условию dim (Х\О) ^ п. Следовательно, отображение /': гр О-*
-*Sn можно продолжить (по теореме 14') в непрерывное ото-
отображение ур: Х\О -*Sn. Отображение <р: X-*Sn, равное f' на
[О] и ty на Х\О, непрерывно (см. гл. 1, § 1, предложение 10) и
является продолжением f, ч. и т. д.
Доказательство теоремы 15. Рассмотрим замкнутое
в X множество Ф и его непрерывное отображение f: Ф —¦ Sn. По
теореме 14' существует непрерывное продолжение g: F-*Sn
отображения f: <b[)F-+Sn. Отображение ft: <b[JF-*Sn, рав-
равное f на Ф и g на F, непрерывно. Так как ЛГ\ (FU Ф) ? X\F, то
rd* X\ (F U Ф) ^ rd^ X\F ^ п. По лемме 1 существует непре-
непрерывное продолжение ф: X —*• Sn отображения Л, а следовательно,
и отображения f. По теореме 14' dim X sg; n, что и требовалось
доказать.
Так как для нормального подпространства А пространства Л",
очевидно, выполнено неравенство
то имеем
Следствие 1. Если в наследственно нормальном про-
пространстве X существует такое замкнутое множество F, что
dimf<n и dim (X\F)<n,
го и
§ 7. Доказательство теоремы суммы
Теорема 16. Пусть X — нормальное пространство, Х =
оо
= (J Ait каждое Ai замкнуто в X и dimA(-^.n. Тогда и
dim X < п.
Доказательство (см. Хеммингсен [1]). Рассмотрим
замкнутое в X множество F и его непрерывное отображение
f: F-+Sn. Так как Tdx(Ai\F)^ dini/4, < п, то по лемме 1 § 6
отображение f можно непрерывно продолжить в отображение
fi- AiDF-^-S4. По предложению 8 из § 5 гл. 1 существует та-
такая окрестность О\ множества А{ U F, что отображение ft
можно непрерывно продолжить в отображение
Предположим, что для всех I < k, k > 1, уже построены такие
непрерывные отображения
A) ft: [О,]-^",
что А( U [Ot-{\ ? Oi и f( есть продолжение f(-u i = 2, ..., k — I,

272 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
Пусть i = k. Так как rAxAk \ [O*_i]<dim Ak<я, то, по
лемме 1 § 6 и по предложению 8 из § 5 гл. 1, отображение fk-{
можно непрерывно продолжить в отображение
замыкания окрестности Oft множества Ak U [Oft_i]. Продолжая
построение, получим отображения A) для всех i = 1, 2, 3, ...
Для точки х^Х через i(x) обозначим минимум тех i, для
00 00
которых х е 0{. Положим флr=f^ (Х)Х. Так как X — (J А{ = \JO{,
то отображение ф: X-+S" определено на всем X. Так как
ф \Fssf{ \p*af, то отображение ф: X-+Sn является продолжением
отображения f. Наконец, так как отображение ft является про-
продолжением отображения ft~u 1 = 2, 3, 4, ... , то фЬе = Ыс>(>
1=1, 2, 3, ... ; следовательно, отображение ф непрерывно на
каждом множестве О,, а значит, и на их сумме \JOi = X. По
i
теореме 14' имеем dlm^^n, что и требовалось доказать.
§ 8. Некоторые следствия теоремы суммы и окончание
исследования пространств со счетной базой
1. Неравенство dimX<indX для финально компактных и
сильно паракомпактных пространств*). Доказательство этого
неравенства опирается на две леммы, первая из которых пона-
понадобится нам и при доказательстве равенства ind X = Ind X для
пространств со счетной базой.
Лемма 1. Пусть X — финально компактное пространство,
ind X sg; n и со — произвольное (быть может, бесконечное) от-
открытое покрытие пространства X.
Тогда существуют: счетная система дизъюнктных открытых
множеств
Г/7 77 77 \
и счетная система замкнутых множеств
21 = {Аи А2 Ak, ...},
удовлетворяющие следующим условиям:
1°. Системы 2 и % вписаны в покрытие а.
2°. indAk^.n— 1 для любого k=\, 2, 3, ...
/ k
*) В частности, для пространств со счетной базой.

§ SI СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ СУММЫ; ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТН. ВАЗОЙ 273
Доказательство. По предположению для каждой точки
XG.Y существует окрестность Ох, удовлетворяющая следую-
следующим условиям:
а) [Ох] содержится в некотором элементе покрытия со;
б) ind гр Ох^.п— 1.
В силу финальной компактности пространства X система всех
этих окрестностей Ох содержит счетную подсистему
Ои О2 Оь...; indrpOft<n-l,
покрывающую все пространство X. Положим теперь У1^ = гр Ог,
и, значит, ind^ft^rt — 1,
U{ = 0{ *У* = Ог\Ги°/1. ' = 2' 3'4' •••
Множества Ui открыты и попарно не пересекаются.
Докажем равенство 3°. Пусть х0 — произвольная точка про-
пространства X. Обозначим через i0 наименьшее такое I, что х0 е= О;.
Тогда хйф. (JO/. Если при этом яо^Г_| 0/1, то при не-
котором / имеем хо е [О,] \ O/=rp 0,=А,. Если же *09e[(J 0/1,
L/<fo J
то Хо е U{,. Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть в нормальном пространстве X для всех
замкнутых в X множеств F, удовлетворяющих неравенству
ind F sg; n — 1, выполнено и неравенство dim F ^ п — 1. Пусть,
кроме того, для данного конечного покрытия со = {Fi Г.,}
пространства X построены:
счетная дизъюнктная система открытых множеств
2={гу„ ut ut,...}
и счетная система замкнутых множеств
К = {Аи А2 Ak, ...},
удовлетворяющие условиям Г—3° леммы 1. Тогда в покрытие
© можно вписать открытое покрытие кратности ^ п + 1.
Доказательство. Положим A = [jAk- Так как А есть
k
множество типа Fa в нормальном X, то А — нормальное про-
пространство. Так как ind/U^n— 1, то по условию dim Ak ^
sg: n — 1, а тогда по теореме суммы dim А ^ п — 1.
00
Множество Ф = Х\ \}Ut замкнуто в X и (по формуле 3°)
содержится в А, так что dim Ф ^ п — 1. Поэтому в покрытие *)
<оф={ФЛГ1, .... ФЛГ,}
•) Нас не смущает, что здесь и в аналогичных случаях ниже некоторые
элементы покрытия могут оказаться пустыми.

274 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
пространства Ф можно вписать замкнутое покрытие <р =
= {Ф|, .... Ф„} кратности -^л того же подпространства Ф с X.
По теореме о раздутии (гл. 1, § 10) можно каждое <bj заменить
некоторой его окрестностью Vj — 0<bj в X так, что образованное
этими Vj покрытие
\ = {Vu V2 Vs}
окрестности 0Ф = ^0Ф/ множества Ф будет все еще иметь
/
кратность ^ли останется вписанным в покрытие <о (в которое,
как мы помним, была вписана система множеств <р). Объедине-
Объединение системы у =¦ {Vi, ..., V,} кратности -^л и дизъюнктной си-
системы 2 = {?/<} есть система о/ кратности ^ п -\- 1, вписанная
в со и, очевидно, являющаяся счетным открытым покрытием про-
пространства X. Лемма 2 доказана.
Переходим к доказательству неравенства
A) dim X < Ы JT
для финально компактного пространства X.
При ind X = —1 оно верно. Предположим, что оно доказано
для всех X, для которых ind X •< п. Пусть ind X = п. Докажем,
что тогда dim X ^ п.
Пусть со = {Oi Os} — произвольное (конечное открытое)
покрытие пространства X. Тогда, по леммам 1 и 2, в покрытие со
можно вписать открытое покрытие кратности ^ п + 1. Следо-
Следовательно, dim X ^ п. Неравенство A) доказано.
Согласно сказанному в конце § 5, теперь — для пространств X
со счетной базой — полностью доказаны и основная теорема 13
и равенство
dim X = i
Докажем теперь неравенство A) для всякого сильно пара-
компактного пространства X.
Доказательство. Если indX=—1, то dim^=— l^indX.
Пусть доказываемое неравенство справедливо в случае, когда
indX = k<n, и пусть indX = n.
Возьмем конечное открытое покрытие а пространства X. Для
каждой точки х е X возьмем окрестность Ох, с замыканием
содержащуюся в одном из элементов покрытия ю и с indrp Ox^.
<; п — 1. В полученное покрытие к = {Од;}, х^ X, пространства X
впишем звездно конечное покрытие v. Рассмотрим произвольную
компоненту v^ покрытия v (см. гл. 1, § 6). Тело vx компо-
компоненты vj, открыто-замкнуто в X и не пересекается с телами других
компонент покрытия v (см. гл. 1, § 6, п. 3). Пусть Vu ..., Vk, ¦ ¦ •—
элементы компоненты v^: V^ ^ v^ s v для любого k = 1, 2, 3, ..,

§ s] СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ СУММЫ; ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТН. БАЗОЙ 275
Для каждого k обозначим через Ox (k) один из элементов по-
покрытия х, содержащий множество Vk. Положим Ok O{k){W
оо
оо
k— 1, 2, 3, ... Очевидно, v>,= (JOft и гр Ок s гр Ox (k) U гр vx
= гр Ox(k), откуда ind гр Oft^ind гр Ox{k) ^n — 1. Положим
f=2> 3' 4- •••
Тогда ind Лй<п— 1, k = l, 2, 3, ...
Как в лемме 1, можно показать, что V). = \JUt\J[jAk.
I к
Кроме того, так как замыкания элементов покрытия х содер-
содержатся в элементах покрытия <о, то и система % множеств Ah,
k = 1, 2, 3, ..., и система 2 множеств Uu i = 1, 2, 3, ..., впи-
вписаны в покрытие со.
По лемме 2 и в силу индуктивного предположения существует
открытое покрытие ц^ множества v*., вписанное в покрытие со и
кратности ^ п + 1.
Так как система множеств v\ дизъюнктна, а сами они от-
открыты в X, то объединение всех систем ц* даст открытое покры-
покрытие ц, пространства X, вписанное в покрытие со и кратности
sgn+1. Следовательно, dim X ^ п. Неравенство A) установ-
установлено.
2. Равенство Ind X = Ind X для пространств со счетной
базой *). Неравенство dim X X У -^ dim X + dim У для про-
пространств со счетной базой. Для любого нормального простран-
пространства X имеем ind X sg; Ind-Y (гл. 2, § 1). Надо доказать нера-
неравенство
B) Ind X< ind X
для пространства X со счегной базой.
При ind X = —1 неравенство B) верно. Предположим, что
оно доказано для всех X, для которых ind.X < п. Пусть ind X =
= п. Докажем, что тогда и Ind X ^ п.
Берем произвольное замкнутое множество Ф cz X и произ-
произвольную его окрестность ОФ. Требуется найти такую окрест-
окрестность Oi<D s ОФ, что Ind гр О]Ф ^ п — 1.
Возьмем прежде всего окрестность V множества Ф, удовле-
удовлетворяющую условию
[V] г ОФ,
*) Для компактов и с-компактмых пространств это равенство факти-
фактически доказано еще Урысоном и Менгером в их работах [Г], [2],
а в общем случае — Гуревичем |2J и Тумаркииым [1]—[3J.

278 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
и применим лемму 1 из п. 1 к покрытию
пространства X, т. е. построим вписанные в ю:
счетную систему дизъюктных открытых множеств
счетную систему замкнутых множеств 91 = {Ak}, ind Ak^n— 1,
так, чтобы выполнилось равенство
Систему 2 разобьем на две подсистемы без общих элемен-
элементов 2' и 2": 2' состоит из всех Uu пересекающихся с [V],
а 2" — из всех остальных Ut. Тела систем 2' и 2" обозначим
соответственно через U', U", так что /полагая A«-=(J/4^ имеем
V А /
а) X = U'\)U"\}A,
б) U' П U" = Л,
в) [У]ПС/"*=Л.
Так как система 2 ¦= 2' U 2" вписана в со и ни один элемент
подсистемы 2', очевидно, не может содержаться в A"\[V], то все
элементы U{ а 2' лежат в ОФ, так что U' = ОФ. Так как в силу
б) и в) U'\JV и V" — дизъюнктные открытые множества, то
граница множества U' [) V не пересекается с U" и, следова-
следовательно (очевидно, не пересекаясь и с V U V), лежит в А. Но
для пространства X со счетной базой доказано равенство
dim X = ind X. Значит, dim Ak «= ind Ak ^ n — 1, а по теореме
суммы и ind Л = dim Л ^ п— 1. По индуктивному предполо-
предположению Ind Л < п— 1. Так как rp(?/' U К)Е/4, то и Ind rp(t/' U
U V) ^ п — 1. Итак, открытое множество О|Ф = U' U V есть ле-
лежащая в ОФ окрестность множества Ф, для которой
Неравенство B) доказано. Вместе с тем доказано и основное
тождество Урысона
для всех пространств со счетной базой.
Теорема 17*). Всякое п-мерное пространство со счетной
базой может быть представлено как сумма п + 1 попарно не-
*) Первая часть этой теоремы была доказана Урысоном и Менгером
для компактов и их счетных сумм, т. е. для абсолютных /^-пространств;
в общем случае доказательство дано впервые Гуревичем и Тумаркиным в их
цитированных выше работах. Вторая часть теоремы доказана Урысоиом и
Менгером во всей общности.

§ 8] СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ СУММЫ; ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТН. БАЗОЙ 277
пересекающихся нульмерных множеств. Обратно, всякое про-
пространство, являющееся суммой п + 1 нульмерных множеств, не
более чем п-мерно.
Таким образом, если считать понятие нульмерного множества
известным (см. гл. 2, § 3), то размерность пространства X со
счетной базой может быть определена так: она по определению
бесконечна, если пространство не может быть представлено
в виде суммы конечного числа нульмерных множеств. Если же
пространство А может быть представлено как сумма конечного
числа нульмерных множеств, то оно называется конечномерным,
и тогда существует такое п, что А может быть представлено как
сумма п -\- 1, но не может быть представлено как сумма мень-
меньшего числа нульмерных слагаемых. В этом случае размерность А
полагается равной п.
Доказательство теоремы 17. Первое утверждение
теоремы вытекает из следующего вспомогательного утвер-
утверждения:
Если dim А = п, то существуют множества А0, А', А = A0 U
U А', А0 П X' = Л, такие, что dim А0 = 0, dim А' = п — 1.
Доказываем это вспомогательное утверждение. Возьмем
базу 93 = {С/}, dim гр U-^-п— 1. Так как в А имеется счетная
база, то счетная база содержится и в базе 93, так что без огра-
ограничения общности можно принять, что сама база 93 счетная:
ЯЗ = {?М, * = 1, 2, 3, ... ; dimrp[/ft<n- 1.
оо
Положим A'=(Jrp?/ft, A° = A\ А'. Среди множеств Uk имеются
такие, у которых dimrpUk — n— 1; в противном случае граница
каждого Uk имела бы размерность ^ п — 2 и, следовательно,
так как Uk образуют базу пространства А, было бы dimA^ n — 1.
Поэтому по теореме суммы dimA' = n— 1. С другой стороны,
множества и\ = A0 f) Uk образуют, очевидно, базу множества А0,
и надо лишь доказать, что все и\ не только открыты, но и
замкнуты в А0. Но
значит [C/ft ]^. == ?/ft, откуда утверждение и следует.
Вспомогательное утверждение, а значит, и первое утвержде-
утверждение теоремы 17 доказаны.
Второе утверждение, очевидно, вытекает из равенства
dim A = indA и из ранее доказанного неравенства Урысона —
Менгера для малой индуктивной размерности, которое теперь

278 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
может быть переписано в виде
C) dim (A (J В) < dim A + dim В + 1
для любых двух множеств А к В, лежащих в пространстве X
со счетной базой.
Тождество Урысона ind X = dim X позволяет легко доказать
для пространств со счетной базой X и У неравенство
D) dim(A'X>')<dimA' + dimr.
Так как произведение X X У обладает счетной базой, то нера-
неравенство D) эквивалентно неравенству
D') ind (X X 10 < ind X + ind У.
Достаточно рассмотреть лишь случай ind X < оо и
ind Y < оо. Неравенство D') очевидно для ind X -\- ind У = —1.
Предположим, что оно верно при ind X -f ind Y < n, n > —1, и
пусть ind X + ind Y = n.
Возьмем точку (*0, y0)^ XX.Y и ее окрестность О. Можно,
очевидно, считать, что О = ОхоХ.Оу0, где Ох0 и Оуо — окрест-
окрестности точек х0 и у0. Выберем такие окрестности U = Ох и
V S Оу0 точек х0 и у0 соответственно, что
ind гр U < ind X, indrpK<indy.
Так как
гр (U X V) = (гр U X [V]) U ([С/] X гр V)
(см. гл. 1, § 8, п. 1), то по теореме суммы и по индуктивному
предположению
ind гр (t/X^)=dim гр UXV-~max (dim гр UX[V], dim [С/]Хгр У)<
<max(indX- 1 + ind У, indX+ind/-1)<п-1.
Следовательно, ind (Я X П^в п- Итак, неравенство D') верно.
Поэтому верно и неравенство D).
Этими результатами мы заканчиваем наш экскурс в теорию
пространств со счетной базой.
3. Неравенство Веденисова. Возвращаясь к общей теории,
докажем неравенство Веденисова [2]
E)
для любого нормального пространства X.
Мы будем вести это доказательство индукцией по числу
Ind X.
1. При Ind Я = —1 неравенство E) очевидно.
2. Предположим, что для пространств X, удовлетворяющих
условию Ind X < п, неравенство E) верно. Докажем, что оно

5 8] СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ СУММЫ; ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТН. БАЗОЙ 279
выполнено и для пространств X, удовлетворяющих условию
Ind X = п. Докажем, другими словами, что из lndX = n сле-
следует dim X sg n.
Пусть © = {Oi, ..., О,} — произвольное открытое покрытие
пространства X. Требуется найти вписанное в со покрытие со'
кратности <л + 1. По теореме об ужатии существует зам-
замкнутое покрытие {Аи ..., As), комбинаторно вписанное в со,
т. е. Д( ?= О(, t — 1, ..., s. Далее, так как X — нормальное про-
пространство и Ind Я = п, то для каждого At можно найти такую
окрестность OAi=Vi, i = 1, 2, ..., s, что [Vi] = О4 и
Ind гр V,- sg; n — 1. По индуктивному предположению dim гр У,-^
^ Ind гр Vi <~ n — 1. Полагая F = {JrpVt, получаем по тео-
реме суммы dim F ^ п — 1.
Рассмотрим теперь множества
U{ = VU U2=V2\[V]], .... Uk = Vk\\J[V,] для *<s.
l<k
Тогда, очевидно, система множеств *) {Ux Ua} дизъюнктна,
вписана всои X = [J UtUF-
{—1
я
Рассмотрим множество Ф=Я\ |J Ut. Множество Ф замк-
нуто в X. Так как, кроме того, Ф s F, то dim Ф sg: п— 1. По-
Поэтому в покрытие <о'= {Oi П Ф, •¦•, О, П Ф} можно вписать
замкнутое покрытие <р =? {Ф] Ф/е} кратности ^ п. Очевидно,
Ф вписано в со. По теореме о раздутии каждое <Dj, / = 1, ..., k,
можно заменить его окрестностью Я) так, что кратность полу-
полученного семейства у = {Ни ..., Нь} будет равна кратности ф
и, следовательно, ^ п. При этом, очевидно, можно предполо-
предположить, что семейство у вписано в со.
Рассмотрим, наконец, покрытие со' = {Ult..., Us, Hu .. .,ЯЛ}
пространства X. Оно вписано в со и имеет кратность ^ п + 1,
ч. и т. д.
4. Монотонность размерности dim X в совершенно нормаль-
нормальных (в частности, в метрических) пространствах и монотон-
монотонность по сильно паракомпактным подмножествам. Предло-
Предложение 1. Если подмножество А нормального пространства X
имеет в X тип Fg, то для нормального**) подпространства А
имеем
dim A < dim X.
*) Среди множеств At, Vu Ut могут быть и пустые.
**) В силу предложения 3 ,из § б гл. 1.

280 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
Доказательство. Пусть А представлено в виде счетной
суммы замкнутых в X множеств Ait i = 1, 2, 3, ... Тогда
dim А{ < dim X, t = 1, 2, 3, ...
В силу теоремы суммы
dim A < sup dim At < dim X,
что и требовалось доказать.
Лемма 3. Если окрестность О подмножества Хо простран-
пространства X покрыта открытыми в X множествами О{, I = 1, 2, ..., s,
и существует такое нормальное подпространство Х\ простран-
пространства X, что Xq^Xi^O и AimXi^n, то в покрытие v =
= {Oi Л Хо}, i = 1, ..., s, множества Хо можно вписать откры-
открытое (в Хо) покрытие кратности ^ п + 1.
Доказательство. Впишем в открытое покрытие {О{ П ^i},
I = 1, ..., s, конечное открытое покрытие {6Л, /= 1 k,
кратности < л + 1. Тогда покрытие {Gj U Хо\, / = 1, .... k,
множества Хо будет открытым, вписанным в v и кратности
<; п + 1- Лемма 3 доказана.
Из леммы 3 вытекает
Предложение 2 (Лифанов*)). Пусть Хо — нормальное
подпространство нормального пространства X. Для неравен-
неравенства
достаточно (и, очевидно, необходимо), чтобы для любой окрест-
окрестности О множества Хо существовало нормальное подпростран-
подпространство Xi = Xi(O) пространства X, для которого Хо<=Хх<=0 и
dim X\ ^ dim X.
Доказательство. Рассмотрим конечное открытое покры-
покрытие v = {G,}, I = 1, ..., s, множества Хо. Выберем такие откры-
открытые в X множества Ot, что Gt = О{ Г) Хо, i = 1, ..., s. Тогда
S
система {ОД покрывает окрестность 0= \J Ot множества Хо.
Из леммы 3 следует, что в покрытие можно вписать открытое по-
покрытие кратности <:dimX+l, следовательно, dim Xo ^ dim X,
что и требовалось доказать.
Подпространство Хо нормального пространства X назовем,
следуя Смирнову [3], нормально расположенным в X, если
в любой окрестности О множества Хо найдется множество
Xi э Хо типа Fa в X.
Из предложений 1 и 2 сразу же вытекает
Предложение 3 (Смирнов [3]). Если подпростран-
подпространство Хо нормально расположено в нормальном пространстве X,
*) См- Лифанов и Пасынков [1].

§ К] СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ СУММЫ; ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТН. БАЗОЙ 281
ТО
Так как в совершенно нормальном пространстве X произ-
произвольная окрестность О произвольного множества Хо Е X имеет
тип Fa, то любое подпространство совершенно нормального про-
пространства X нормально расположено в X. Поэтому доказана
Теорема 18 (монотонность dim X в совершенно нормаль-
нормальных пространствах X; Чех). Для произвольного подпростран-
подпространства Хо совершенно нормального (в частности, метрического)
пространства X имеем
F) dim Хо < dim X.
Теорема 19 (Смирнов [3]). Неравенство F) верно для
любого финально компактного подпространства Хо нормального
пространства X.
Доказательство. В силу предложения 3 достаточно по-
показать, что Xq нормально расположено в X. Возьмем произволь-
произвольно окрестность О множества Хо и для каждой точки х е= Хо вы-
выберем такую окрестность Ох, что [Ох] е О. Из покрытия {Ох},
х е= Хо, множества Хо выберем счетное подпокрытие {О*,-}, i =
00
= 1, 2, 3, ... Тогда /^-множество \J [Oxt] содержит Хо и содер-
содержится в О. Нормальная расположенность Хо, а значит, и нужное
неравенство доказаны.
Докажем более общее утверждение:
Теорема 19' (Морита [3]). Неравенство F) верно для
любого сильно паракомпактного подпространства Хо нормаль-
нормального пространства X.
Доказательство. Рассмотрим открытое покрытие v =
= {Gi}, t==li •••. s> множества Хо. Выберем такие открытые
S
в X множества Ои что Gt = 0{ П Хо. Тогда сумма О = [J Ot
является окрестностью Хо в X. Для каждой точки хе^о возь-
возьмем такую окрестность Ох, что [Ох] е О. В покрытие {Ox f] Хо},
х е Хо, множества Хо впишем открытое (в Хо) звездно конечное
покрытие у = {Га}. Рассмотрим какую-нибудь компоненту уе по-
покрытия у*)- Она состоит из счетного числа элементов Га., /=¦
= 1, 2, 3 покрытия у- Замыкания [Г0/] содержатся в за-
замыканиях окрестностей Ох, следовательно, содержатся в О.
00
Итак, мы нашли /^-множество \J [Га.], содержащее тело Ye
¦) См. гл. 1, § 6, п. 3.

282 основные теоремы общей теории размерности, i [гл. 4
компоненты Ye и содержащееся в О. По лемме 3 и предложе-
предложению 1 в покрытие {\q(]Oi}, i=l, ..., s, тела Ye можно впи-
вписать открытое (в \е) покрытие сое кратности ^ dim X + 1. Так
как тело \в компоненты ув открыто в Хо *), то система ш0 открыта
в Хо. Так как Ye П Yei==-^ ПРИ 6^=01, то объединение систем ш9,
построенных для всех компонент покрытия y. Дает открытое по-
покрытие иножества Хо кратности ^dimX-f-1, вписанное в ис-
исходное покрытие v, чем неравенство F) установлено.
§ 9. Теорема суммы для локально конечных систем замкнутых
множеств нормального пространства;
локальная размерность loc dim X
Теорема 20 (Катетов [3], Морита [2]). Если множе-
множество F, лежащее в нормальном пространстве X, является телом
локально конечной в X системы Э замкнутых в X множеств Fa
размерности dim fa4/!,asa, то оно замкнуто в X и dim F<Сп.
Доказательство. Замкнутость множества F вытекает из
консервативности локально конечной системы 0, доказанной
в гл. 1, § 6.
Множество F = X, будучи замкнутым в X, является нор-
нормальным подпространством пространства X. Для доказатель-
доказательства неравенства dim F < п, в силу теоремы 14' (в § 6), доста-
достаточно показать, что любое непрерывное отображение / замкну-
замкнутого в F множества Ф в «-мерную сферу 5" можно продолжить
на все множество F.
Обозначим через т мощность множества % = {а} и через
со(т) —наименьшее порядковое число мощности т. Индексы а
считаем порядковыми числами от 1 до со(т) включительно. Про-
Продолжение отображения f будем строить по индукции. Так как
dim Fi ^ п, то по теореме 14' отображение f: 4>C\Fi-*Sn
можно продолжить в непрерывное отображение gi\ F\ —* Sn. Ото-
Отображение /у. Фи/71-*5", равное / на Ф и g\ на Fh очевидно,
непрерывно.
Пусть фа = Фи U Fa>. Предположим, что для всех чисел
а'<а
а<Р уже построены непрерывные отображения fa: Фа->-5п,
совпадающие с / на Ф и с fa' на Фа' для любого а' < а. По-
Построим отображение f&: Фр-^S".
Рассмотрим сначала случай, когда число р<ш(т) не пре-
предельное, т. е. р = оо+ 1. Система множеств Fa, a^ao, локально
конечна, следовательно, множество Фа, замкнуто. Так как
ditnFp<«, то по теореме 14' отображение fao: ^рПФа,-*^"
можно продолжить в непрерывное отображение gp: F~-+Sn.
*) См. гл. 1, § 6, п. 3.

% Я] ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНАЯ ТЕОРЕМА СУММЫ 283
Отображение fp: Фр-*-5", равное gp на F& и fa> на ФП), оче-
очевидно, непрерывно. По индуктивному предположению отобра-
отображение f0( совпадает с f на Ф и с fa на Фа для всех а < а0.
Поэтому /& совпадает с f на Ф и с fa на Фа для всех а<а0,
т. е. для всех а < р.
Рассмотрим случай предельного числа р<ш(т). Система
множеств Fa, a < Р, локально конечна, следовательно, мно-
множество Фр = Фи (J Fa замкнуто. Очевидно, Фр= (J0a. Для
a<fl a<p
произвольной точки хеФр через а(х) обозначим наименьшее
из таких чисел а, что хеФа. Отображение fjj: Ф?->5" опре-
определим, положив f'fi(x) = faW(x), яеФр.
Рассмотрим произвольный индекс a < р и точку х е Фа.
Если а(*) = а, то f'&(x) = fa(x). Если же а(*)<а, то, во-первых,
по предположению индукции fa(X)(x) = fa(x) и, во-вторых,
fa (ж) (*) = f ii М по определению /?, откуда f? = /„(*). Таким
образом, отображение f^ совпадает с отображением fa на Ф„
для любого a < р.
Докажем непрерывность отображения /?. Произвольная точка
х s Фр обладает окрестностью О*, пересекающейся лишь с эле-
элементами Fa,, ..., F<xk некоторой конечной подсистемы системы Э
и еще, быть может, с множеством Ф. Пусть ao = max(a1, ..., ак).
Тогда, по предположению индукции, отображение f^ непре-
ft
рывно на множестве ФаоэФП \jFa{^Ox. Так как отображе-
г=1
ние fp совпадает с отображением fa на Фао э Ох, то отобра-
отображение f? непрерывно в точке х. Непрерывность отображения К
доказана.
В силу замкнутости множества Фр и неравенства dimFp^rt
отображение fpi Fp fl Фр -* Sn, по теореме 14', можно продол-
продолжить в непрерывное отображение g^ F^-*-Sn. Отображение/.,
равное gp на Fp и f'^ на Ф, непрерывно. Оно совпадает с f
на Ф и с fa на Ф„ для любого a < р, так как этим свойством
обладает отображение fg\
Итак, для любого р^ш(т) существует непрерывное ото-
отображение fp: Фр->5", совпадающее с f на Ф. Так как фш(т) = ^
то отображение /ш(т) будет искомым продолжением отображе-
отображения /. Теорема 20 доказана.
Следствие 1 (теорема суммы для сг-локально конечных
систем множеств). Если подмножество F нормального про-
пространства X является телом а-локально конечной в X системы Q

284 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
замкнутых множеств Fa размерности dimFa^n, аей, то и
dim F <; п.
Доказательство. Пусть система Э распадается в сумму
локально конечных систем В{, i = 1, 2, 3, ... Тогда, по предыду-
предыдущей теореме, множества 04 замкнуты в X и dimSi^n, i =
оо
= 1, 2, 3, ... Множество Э = (J Ьг, имея тип Fa, нормально, и,
по теореме суммы, dim 6^ п, что и требовалось доказать.
Одним из важных приложений основной теоремы этого па-
параграфа является возможность «локализации» определения раз-
размерности dim X посредством следующего определения.
Определение 1 (Даукер [6], На га ми [1]). Для нор-
нормального пространства X считаем loc dim X ^ п, если для любой
точки х & X существует окрестность Ох, для которой dim [Ох] ^
<;«, п = О, 1, 2, ... (для пустого X полагаем loc dim Х = — 1).
Теорема 21 (Даукер [6], Н а г а м и [1]). Для параком-
пакта X всегда
loc dim X = dim X.
Доказательство. Неравенство loc dim ^ dim X следует
из монотонности размерности dim X по замкнутым подмноже-
подмножествам.
Докажем неравенство loc dim X ^ dim X. Пусть loc dim X =
= п < оо. Возьмем для каждой точки х & X такую окрестность
Ох, что dim [Ох] <; п. В покрытие {Ох}, х е X, впишем замкнутое
локально конечное покрытие {Fa}, ael, Так как каждое мно-
множество Fa содержится в некотором множестве Ох(а), то
dimfa-<dim[OA;(a)]-<rt. По теореме 20 имеем dimX-^n. Тео-
Теорема 21 доказана.
§ 10. Первая теорема Даукера*)
1. Бесконечные комплексы. Их геометрическая реализация
в гильбертовом пространстве Rm. Определение абстрактного сим-
плициального комплекса над данным полем вершин Е было
дано в гл. 3, § 2, п. 2. В этом параграфе будут рассматриваться
бесконечные (главным образом полные) комплексы. Так же,
как и конечный комплекс, бесконечный комплекс К = {Т} яв-
является частично упорядоченным множеством симплексов (с по-
порядком V < Т, если V — собственная грань симплекса Г).
Типичным примером полного комплекса является нерв JVu>
подмножеств данного множества X.
*) В этом и следующем параграфах рассматриваемые вопросы излагаются
менее тщательно, чем раньше. Еще одно доказательство второй теоремы Дау-
Даукера (основного результата § И) можно найти в гл. S.

§ 10] ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ДАУКВРА 285
Понятие симплекса Т cr Rn и его основные свойства (см.
гл. 3, § 1) не зависят от конечномерности пространства Rn и
потому дословно переносятся в гильбертово пространство Rm
при любом кардинальном числе т.
Определение. Полный комплекс К, элементами которого
являются дизъюнктные (открытые) симплексы гильбертова про-
пространства Rm, называется триангуляцией в гильбвр^вом про-
пространстве Rm, если множество вершин комплекса К является
метрически дискретной системой одноточечных множеств в про-
пространстве Rm, т. е. если вершины еа s К при некотором е имеют
е-окрестности, образующие дизъюнктную систему (Ова}.
Следующее предложение, по существу восходящее к Дау-
керу, является обобщением теоремы 2 гл. 3:
Теорема 22. Всякий полный комплекс К над полем вер-
вершин Е бесконечной мощности m изоморфен триангуляции в гиль-
гильбертовом пространстве Rm.
Доказательство. Каждой вершине ва(яБ поставим
в соответствие точку ха ш Rm следующим образом: ха={л:р},
*а = 1, *{}•¦= 0 при р Ф а. На точки я, ..., х"г натягиваем в Rm
симплекс в том и только том случае, когда вершины вао, ..., ваг
образуют остов комплекса К,. Так как точки ха находятся
в Rm в общем положении (любые п точек не лежат ни в какой
(п — 2)-мерной плоскости), полученные таким образом открытые
симплексы |*a° ,..'хаг\ попарно не имеют общих точек. Итак,
построенные нами симплексы в Rm образуют комплекс X, изо-
изоморфный комплексу К,. Очевидно также, что множество вер-
вершин {ха} комплекса К, является дискретной системой в про-
пространстве Rm, так как различные вершины находятся на рас-
расстоянии |/2" друг от друга. Таким образом, комплекс X является
триангуляцией в гильбертовом пространстве Rm. Теорема до-
доказана.
Только что построенную и всякую изоморфную ей триангу-
триангуляцию X, называемую геометрической реализацией комплекса К,
будем также обозначать через /С. Тело геометрической реализа-
реализации комплекса К будем для краткости называть телом ком-
комплекса К и обозначать через R.
Таким образом, тело любого полного комплекса К над полем
вершин (бесконечной) мощности m является подмножеством об-
обобщенного гильбертова пространства /?т. В частности, если а> —
система мощности m подмножеств пространства X, то Nac:Rm.
Замечание 1. Можно доказать следующее утверждение:
если размерность комплекса К не превосходит числа п (все его
симплексы имеют размерности ^:п),то множество симплексов гео-
геометрической реализации комплекса К является консервативной

286 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
системой множеств (см. гл. 1, § 6) в пространстве Rm. Сле-
Следовательно, для произвольного полного комплекса К симплексы
триангуляции К образуют сг-консервативную систему в про-
пространстве Rm.
2. Первая теорема Даукера. Предметом этого параграфа
является
Теорема 23 (Даукер [2], [3]). Если (о есть локально ко-
конечное открытое покрытие нормального пространства X, то су-
существует каноническое отображение пространства X в тело #«,
нерва Ыа покрытия ш.
- Доказательство*). Так как в любое локально конеч-
конечное открытое покрытие (о нормального пространства X можно
вписать локально конечное корректное покрытие, без ограниче-
ограничения общности можно считать (о == {Оа}, а е 21, корректным по-
покрытием. Обозначим через еа вершину триангуляцию JVa>, соот-
соответствующую Оа. Будем считать еа точкой пространства Rm, все
координаты которой равны нулю, кроме а-й, которая равна 1.
Для каждого а строим такую непрерывную функцию fa, что
О ^ fa 00 <; 1 во всем пространстве X, причем fa (x) = 0 тогда
и только тогда, когда х е Х\Оа.
Рассмотрим все Оа, которые содержат произвольно задан-
заданную точку х е X. Пусть это будут Оа0, .... 0<у Тогда среди
функций fa только функции /а0, ..., fa принимают в точке х
положительные значения. Полагаем
Для каждой точки х набор {ца (х)} определяет точку f (x) =*
={\ia (x)} s Rm. Если Оа0, ..., Оаг суть все элементы покрытия а>,
содержащие точку х, т. е. х е f") Оп{ \ \J O&> то существует
симплекс [ ва0 ... ear \ S N^ и / (х) есть точка этого (открытого)
симплекса.
Переходим к доказательству непрерывности отображения f.
Пусть хо^Х и </0 = f (x0) е^«; пусть Оеу0 есть произвольная
е-окрестность точки у0. Подберем такую окрестность Ux0 точки х0,
чтобы было fUx0 E Огу0. Так как ш есть локально конечное
покрытие, то существует такая окрестность Ох0 точки х0, что
с Ох0 пересекается лишь конечное число элементов покрытия ш;
пусть это будут Оа , ..., Оа . Рассмотрим теперь множество
Olx0 = i[xeX\\Viai(x0)-[iai(x)\<yJ=r, 1 = 0 sj
•) Мы воспроизводим доказательство Федорчука [1].

§ ill ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ДАУКЕРА 287
и положим Ux0=Ox0[) OiX0. Тогда при x^Ux0 имеем
= 2 К <*>> - Ы WJ + p2a ft*» Ы- Up WJ < в,
так как 2 (щ (*о) — Hft (*)J = О- Таким образом, fUx0<=O.yQ
$ + ai
и непрерывность отображения / доказана. .
Чтобы доказать, что f есть каноническое отображение, доста-
достаточно показать, что прообраз любой главной звезды Оеа содер-
содержится в элементе Оа покрытия о.
Проверка этого факта состоит в дословном повторении ана-
аналогичного рассуждения в теореме 1.
Так как гильбертово пространство Rm имеет вес m (для бес-
бесконечного тп), справедливо
Следствие 1. Если ш есть локально конечное открытое
покрытие бесконечной мощности m нормального пространства X,
то существует ^-отображение пространства X в метрическое про-
странство веса т.
Мощность всякого локально конечного покрытия простран-
пространства X бесконечного веса m не превосходит т. Поэтому имеет
место
Следствие 2. Для всякого открытого покрытия со пара-
компактного пространства X веса m существует ^-отображение
пространства X в метрическое пространство веса т.
§ 11. Вторая теорема Даукера: dim X = dim,,,, X = dim* X
Говорят, что dirrioo X <; п, если во всякое локально конечное
открытое покрытие а пространства X можно вписать открытое
покрытие р кратности ^ п + !• При этом dimoo^ = «, если
dimoaX <n и не выполняется неравенство diiruX <; п— 1.
Аналогично определяется размерность dim *X с заменой ло-
локально конечных покрытий звездно конечными.
Лемма 1. В любое счетное локально конечное открытое по-
покрытие у — {Гь} нормального пространства X можно вписать
счетное звездно конечное открытое покрытие.
Ввиду элементарного характера этой важной леммы мы сна-
сначала даем ей более длинное, но зато совершенно элементарное
доказательство, а затем — короткое, но опирающееся на первую
теорему Даукера (и на следствие 5 из § 11 первой главы).
Первое доказательство. Пусть б = {Fk} — замкну-
замкнутое покрытие пространства X, комбинаторно вписанное в у«

288 Основные теоремы общей теории размерности, i [гл. 4
По лемме Урысона строим для каждого k= 1, 2, 3, ... непре-
непрерывную функцию (fk' X—>[0; 1], равную 1 на Fk, равную нулю
на Х\Гк- Положим
Gk = X\Ak.
Тогда
Fkc=Gkc=rk.
Каждое Gh есть открытое Fa-множество, и система ® = {Gk}
есть локально конечное покрытие пространства, комбинаторно
вписанное в у. Каждая точка х е X принадлежит некоторому Fk,
значит, некоторая функция ф& в этой точке равна 1. Поэтому
оо
непрерывная функция ф (х) = \, ~Щ (х) положительна в каж-
каждой точке х&Х и ф(*)^1. Отсюда вытекает, что счетная сово-
совокупность открытых множеств
A) Нк
является покрытием пространства X. Кроме того, для каждого
k = 1, 2, 3,... мы полагаем
B) Фк =
так что
Докажем, что для любого k имеет место включение
C) o^U6'-
В самом деле, если
то <ft(x) = 0 при t<fc и <f{x)= ^
n>k+l
< -j, значит, х §Ё Фк — включение C) доказано.
Положим
D) ?/*/ = О/П(Я*+1\Ф*-,),
где /=1, 2, .... k, а /г=1, 2, 3, ... Покажем, что система
(B = {f/ft/}— искомая. Очевидно, что система ш вписана в покры-
покрытие © и, следовательно, в покрытие Y- Пусть х ^ X. Так }сак
Ф(я) > 0, то существует такое k, что ^еФ4\Фд-i*

§ 11] ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ДАУКЕРА 289
Вследствие включения C) существует такое / ^ k, что
х <= Gj, значит, х <= G, Л (Oft\Oft_i).
Из B) и A) вытекает, что
jc s G/ П (//*+i \ Ф*-1> =« С/*/.
Итак, со является покрытием пространства X. Остается до-
доказать, что со — звездно конечное покрытие. Пусть Uni —•
произвольный элемент покрытия со. Имеем Uni = Нп+1\
\Ф„_1 =Ф„+1\Ф„-1, так что Uni не пересекается ни с ка-
каким О*} при k > п + 2. Это значит, что ?/п1 может пере-
пересекаться лишь с такими Uhj, у которых k s?L n -f- 1, значит, и
/ <л + 1, а таких Uhj в со только конечное число. Лемма 1 до-
доказана.
Второе доказательство. По первой теореме Даукера
существует ш-отображение f: X —> У пространства X на подмно-
подмножество У гильбертова пространства. Пространство У обладает
счетной базой, следовательно, оно финально компактно и сильно
паракомпактно (см. гл. 1, § 11, п. 4). Для каждой точки уеУ
выберем окрестность Оу, прообраз f'lOy которой содержится
в одном из элементов покрытия со. В покрытие {Оу} впишем от-
открытое звездно конечное покрытие К, а из покрытия X выберем
счетное подпокрытие v = {V{}, t = 1, 2, 3, ... Покрытие v1 =
= {f-lVi}, i = 1, 2, 3, ..., будет счетным открытым, звездно ко-
конечным и вписанным в со. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть у — звездно конечное покрытие нормаль-
нормального пространства X. Тогда в покрытие у можно вписать звездно
конечное покрытие со, для которого существует ^-отображение f
пространства X в тело f}a нерва JVa покрытия со, существенное
на прообразе каждого симплекса комплекса Ыш.
Доказательство. Положим yi = Y и обозначим через Ni
нерв покрытия yi- Пусть fi — какое-нибудь каноническое отобра-
отображение X в fJi. Так как покрытие yi звездно конечно, то в звезде
каждой вершины имеются симплексы старшей размерности. По-
Поэтому, пользуясь процессом спуска, аналогичным примененному
в § 1, получаем замкнутый подкомплекс N2 s N\ и отображе-
отображение ft. X —> N2 (комплекс N2 получается из Ni, если выбросить
из Ni все симплексы старшей размерности, несущественно по-
покрытые отображением fi). Отображение f2 получается из fi со-
соответствующим спуском (происходит одновременное выметание
всех главных симплексов, не покрытых существенно).
Докажем, что отображение f2 непрерывно. В самом деле, си-
система симплексов триангуляции #i локально конечна. Поэтому
в малой окрестности любой точки из fill отображение f2 яв-
является композицией конечного числа непрерывных отображе-
отображений, каждое из которых состоит в выметании лишь одного
10 П. С. Александров, В. А. Пасынков

290 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ, t (ГЛ. 4
симплекса. В этих условиях непрерывность отображения /г не-
непосредственно следует из леммы 2 § 1.
Продолжая этот процесс, получаем последовательность
комплексов iVj zd N2 гэ ... -nNh гэ ... и последовательность ото-
отображений fi:X-*f}i,f2:X-*R2 fh-X-*Rh, ...
00
Пересечение Na= f*)^V* есть непустой комплекс. В самом
деле, отправляясь от произвольного симплекса Т\ е Nu мы
после конечной цепочки симплексов Т\~^ .. .^Th, из которых
каждый (начиная с Т2) есть грань предыдущего, придем к сим-
симплексу Th, содержащемуся во всех комплексах Nh, Nh+i, ....
значит, и в []Nk.
k
Если х — произвольная точка пространства X, то, начиная
с некоторого (зависящего от этой точки) натурального числа k,
будем иметь fk(x) = fh+i(x) =..., так что, полагая (для дан-
данной точки х)
f (*) = М*) = Лм.1 (*)-••¦.
получим предельное отображение
f = \imfk: X-*Na,
h-*oo
являющееся, как легко видеть, непрерывным отображением, су-
существенно покрывающим каждый симплекс комплекса N^.
Теперь определяем покрытие <о как покрытие, элементами
которого являются прообразы звезд вершин комплекса Nu при
отображении /. Лемма 2 доказана.
Теорема 24 (Даукер [2]). Для нормального простран-
пространства X имеем
Доказательство. А. Неравенства dim«, X > dim* X ^
^ dim X очевидны.
Б*. Пусть dimX-<n; докажем, что dtm*X-<n. Пусть у —
звездно конечное покрытие пространства X. В силу леммы 2
в покрытие у можно вписать звездно конечное покрытие <о, для
которого имеется ©-отображение f'.X—*^}^, существенно покры-
покрывающее каждый симплекс Ге N. Так как dim X ^ п, то отсюда
следует, что все симплексы Ге N имеют размерность ^п. Зна-
Значит, кратность покрытия <о<п+1 и dim* X ^ п.
Б00. Пусть dimX-<n; докажем, что dim«,X-<n.
Лемма 3. В любое покрытие со метрического пространства
X можно вписать локально конечное а-дискретное покрытие.

5 11] ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ДАУКЕРА 291
В самом деле, в покрытие со можно вписать о-дискретное по-
00
крытие v = U V* (например, состоящее из элементов а-дис-
кретной базы). Затем в покрытие у впишем локально конечное
покрытие б и возьмем его укрупнение 6Y относительно у.
Покрытие 6Y (как укрупнение локально конечного покры-
покрытия б) локально конечно (см. гл. 1, § 6); оно, кроме того, ком-
комбинаторно вписано в а-дискретное покрытие у и поэтому а-дис-
кретно. Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Во всякое локально конечное покрытие у = {Га}
нормального пространства X можно вписать локально конечное
а-дискретное покрытие.
В самом деле, берем каноническое уотображение f: X-+ffy
в (бесконечный полиэдр) Ny — тело нерва Ny покрытия у. Тогда
главные звезды триангуляции Ny образуют покрытие б поли-
полиэдра Nv прообраз f-'fl которого вписан в у- В покрытие б
вписываем (согласно лемме 3) локально конечное а-дискретное
покрытие б'. Прообраз f~l6' есть а-дискретное локально конеч-
конечное покрытие пространства X, вписанное в покрытие у, что и
требовалось доказать.
Переходим к доказательству утверждения Б00.
Пусть у = {^а}~локально конечное покрытие пространства X.
По лемме 4 существует a-дискретное локально конечное покры-
покрытие р, вписанное в у.
Пусть
где Рб = {Оа} — дискретная система открытых множеств в X;
тогда
По лемме 1 в счетное локально конечное покрытие
пространства X, являющееся укрупнением покрытия р, можно
вписать звездно конечное покрытие Q*.
Уже доказано, что из dimX^n следует, что dim'X^n,
поэтому в Q" можно вписать звездно конечное покрытие со*
кратности ^я + 1. Укрупнив покрытие со* относительно счет-
счетного покрытия Q, получаем такое счетное покрытие а>' = {0?}
кратности <л+ 1, что OftSpft = (jGS. Положим Co = G?flO*
10*

292 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I [ГЛ. 4
и flft = {c?}, d = (Jdft. Очевидно, что система б комбина-
k
торно вписана ври, следовательно, вписана в у. Телом системы 6ft
является множество OL Значит, система б является покры-
покрытием пространства X. Кроме того, покрытие б локально
конечно, как покрытие, комбинаторно вписанное в локально
конечное покрытие р. Докажем, что кратность покрытия б не
превосходит п-\- 1. В самом деле, элементы Са и С% системы 6ft
не пересекаются. В то же время Со Е Oj, и, следовательно,
пересекающихся множеств с? (с различными k) может быть
не больше, чем элементов О? покрытия со', т. е. ^л+ 1. Тео-
Теорема 24 доказана.
Следствие 1. В любое открытое покрытие паракомпакта
(в частности, метрического пространства) X размерности
dim X ^ п можно вписать открытое покрытие кратности
<1

Глава пятая
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
РАЗМЕРНОСТИ. II
Введение
Эта глава является непосредственным продолжением преды-
предыдущей; три различных круга вопросов составляют ее содер-
содержание.
Первый —самый значительный — сосредоточен вокруг так
называемой факторизационной теоремы для бикомпактов. Этому
кругу вопросов посвящены пять первых параграфов (из общего
числа десяти), включая, однако, вспомогательный § 1, в кото-
котором доказывается необходимая для дальнейшего формула
dim р X = dim X (а заодно и формула Ind р X = Ind X).
Факторизационные теоремы утверждают, что в определен-
определенных условиях для отображения f:X—*Z существуют: такое про-
пространство У и такие отображения g : X-*Y и h-.Y—*Z, что / =
= hg, dim У ^ dim X, wY ^ wZ, и если Z принадлежит некото-
некоторому классу пространств ЭК, то и У е 2К.
Можно выделить два основных случая, когда факторизацион-
факторизационные теоремы доказаны:
. 1) X, У и Z — бикомпакты (Ма рдеш и ч, 1960, [1]).
2) X — нормальное пространство, У и Z — метрические про-
пространства (Пасынков, 1963—1964, [6], [9]*)).
В этой главе мы будем иметь дело лишь с факторизационной
теоремой для бикомпактов. При этом надо иметь в виду сле-
следующее. Заслуживает особого внимания частный случай на-
названной теоремы, а именно тот, в котором бикомпакт Z (а сле-
следовательно, и У) предполагается метрйзуемым. Этот частный
случай мы и называем первой или «специальной» факториза-
факторизационной теоремой для бикомпактов. Дело в том, что эта «спе-
«специальная» теорема в дальнейшем как бы раздваивается, при-
приводя и к общей факторизационной теореме для бикомпактов и
к факторизационной теореме «для нормальных и метрических
•) Доказательства см. Пасынков [11], [14].

294 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОВЩЕИ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
пространств», в которой X— нормальное пространство, а У и
Z —метрические. Эта последняя теорема будет доказана в гл. 6.
После того, как в § 1 будут доказаны равенства dim р X =
= dim X (и IndpX = IndX), мы доказываем в § 2 первую
факторизационную теорему для бикомпактов. Из нее в том же
параграфе выводится прямое доказательство теоремы о суще-
существовании для всех л-мерных пространств со счетной базой
л-мерного универсального компакта (теорема 13 гл. 4).
В § 3 доказывается вторая, т. е; общая, факторизационная
теорема для бикомпактов. Параллельно с нею в том же пара-
параграфе доказывается аппроксимационная теорема Мардешича:
всякий «-мерный бикомпакт есть предел обратного спектра из
«-мерных компактов.
В § 4 при помощи факторизационной теоремы доказывается
существование универсального бикомпакта данного веса и дан-
данной размерности, т. е. строится бикомпакт П?, содержащий
топологический образ всякого л-мерного*) нормального про-
пространства X веса т.
Эта теорема (доказанная в 1963 г. — совершенно различ-
различными методами —А. В. Зарелуа и Б. А. Пасынковым) выво-
выводится при нашем способе изложения из более общей тео-
теоремы, в которой от тихоновского пространства X тре-
требуется лишь, чтобы было dim f$ X = л («-мерные нормальные
пространства X этому требованию удовлетворяют).
В качестве следствия получается теорема (Скляренко,
1958, [1]: всякое л-мерное нормальное пространство веса т имеет
л-мерное бикомпактное расширение того же веса.
Пятый параграф посвящен теореме Фрейденталя (всякий
«-мерный компакт есть предел счетного обратного спектра из
«-мерных полиэдров). В том же параграфе показывается, что
«-мерный бикомпакт может и не быть пределом никакого об-
обратного спектра из л-мерных полиэдров.
Второй круг вопросов касается взаимоотношений между
тремя основными размерностными инвариантами: dim X% ind X,
IndX. После (отнюдь не полного!) обзора того, что мы по этому
вопросу знаем, мы приводим в § 6 примеры бикомпактов X,
для которых dim X < ind X.
В § 7 мы возвращаемся к фундаментальному тождеству
Урысона dim X = ind X для пространств со счетной базой, есте-
естественно расчленяющемуся на два неравенства:
dimX<ind* и ind *< dim X.
Положение этих неравенств в нашем изложении теории раз-
размерности оказывается неодинаковым: для неравенства ind X ^
*) Во всей этой главе пространство X, называется я-мерным, если
dim X = п.

Введение 295
<5 dim X мы имеем хотя и короткое (принадлежащее В. Гуре-
внчу), но довольно искусственное доказательство, изложенное
в § 5 гл. 4. Это доказательство не выходит за рамки пространств
со счетной базой и не дает нам понимания тех более общих
топологических закономерностей, от которых выполнение нера-
неравенства ind X ^ dim X могло бы зависеть. В отличие от этого
обстановка, в которой доказывается неравенство dimX < ind X,
гораздо более удовлетворительна: в § 8 гл. 4 это неравенство
было получено как следствие тех или иных условий типа ком-
компактности, налагаемых на пространство X (бикомпактность, фи-
финальная компактность, наконец, сильная паракомпактность —
это последнее условие может быть еще немного ослаблено). Но
здесь мы подходим и к концу пути возможных ослаблений усло-
условий типа компактности: для паракомпактов (и даже для метри-
зуемых пространств без счетной базы) неравенство dim X ^
^ ind X может уже не иметь места (как и указывается спе-
специально в § 6). В то же время для всех метризуемых про-
пространств имеет место равенство dim X = Ind X, доказанное
Катетовым [2] *) (а также Морит а [4]).
Таким образом, можно считать, что неравенство dim X <;
^ ind X практически довольно полно проанализировано, и ана-
аналогичная задача естественно ставится для неравенства indX sS
^ dim X. В. И. Пономарев дал один из удовлетворительных ва-
вариантов решения этой задачи, введя весьма широкий класс
пространств, для которых неравенство ind X <: dim X имеет
место. Мы называем эти пространства пономаревскими; они, во
всяком случае, охватывают все метризуемые пространства (зна-
(значит, и подавно все нормальные пространства со счетной базой),
все нульмерные пространства, да и вообще более или менее
все известные в настоящее время пространства, для которых
неравенство ind X ^ dim X установлено. Достаточное условие
Пономарева, естественно, совсем другой природы, чем условия
типа компактности. Это условие может быть, пожалуй, охарак-
охарактеризовано как требование достаточно правильного измельчения
покрытий кратности п-\-1 (в данном n-мерном пространстве X).
Исследованию этого условия и связанных с ним вопросов и по-
посвящен § 7 настоящей главы. Заметим, что совершенно анало-
аналогичному исследованию подвергается и неравенство Ind X ^
^ dim X.
В следующих двух параграфах мы возвращаемся к класси-
классической проблематике теории размерности, восходящей еще к ее
основателям — Брауэру и Урысону. Это — проблематика, касаю-
касающаяся понятия перегородки в данном пространстве и связанного
с ним понятия канторова многообразия (которое, как известно.
•) Мы даем два различных доказательства этой теоремы в гл. 6 и 7.

296 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
Урысон считал центральным во всей теории размерности). В со-
соответствии со сказанным § 8 посвящен так называемой теореме
о перегородках, сформулированной в самом начале § 8, а § 9 —
канторовым многообразиям. Доказывается — в обобщенном
виде — гипотеза Урысона, что всякий л-мерный бикомпакт со-
содержит «-мерное канторово многообразие; вводится понятие
размерной компоненты ( = максимального канторова многооб-
многообразия, лежащего в данном бикомпакте), и доказывается тео-
теорема о существовании и единственности представления «-мер-
«-мерного (размерно однородного) бикомпакта в виде суммы его
размерных компонент.
Наконец, дается аксиоматическое определение размерности
в классе компактов, обобщаемое в Прибавлении к гл. 5 на
класс пространств со счетной базой.
Замечание. Во всей этой главе под «покрытием» пони-
понимается конечное открытое покрытие; покрытия других видов
(в частности, замкнутые) всегда соответственно квалифици-
квалифицируются. Кроме того, приняты следующие соглашения:
а) Вес wX всех рассматриваемых пространств X предпола-
предполагается бесконечным.
б) Под произведением двух покрытий аир (одного и того же
пространства X) понимается покрытие (того же пространства X),
элементами которого являются все непустые среди пересечений
какого-либо А е= а с каким-либо Вер,
в) Если даны отображение f:X^>-Y и покрытие р = {fly}
пространства У, то /~'р есть, по определению, прообраз покры-
покрытия р, т. е. покрытие {/"'fl;} пространства X.
г) Если дан обратный, спектр 5 = {Ха, э?} с пределом X,
то под Эа: Х->Ха всегда понимаем определенную в § 1 При-
Прибавления к гл. 1 проекцию предела X в Ха..
§ 1. Равенства A) dim РХ = dim X, B) Ind рХ = Ind X
для нормальных пространств.. Дискретная сумма
пространств
1. Доказательство равенства dim РХ = dim X *). Докажем
сначала, что dim pX ^ dim X. Для этого достаточно из dim рДГ^п
вывести dim^^n. Напомним, что для любого открытого в X
множества Я через О^Н обозначается наибольшее открытое
в $Х множество, дающее в пересечении с X множество Н.
Пусть ®=г{Н\ Hs}— произвольное открытое покрытие
пространства X. По следствию 2 § 9 гл. 1 система множеств
ОрЯ, ОрЯ, образует покрытие Q пространства рЛ\ Если
/г, то в покрытие Q можно вписать открытое покры-
•) См. Волм эн [1J.

§ I] РАВЕНСТВА dim P* - dim X, Ind $X - Ind X 297
тие Y = {ri, ..., Гг} пространства pX, имеющее кратность
s^tt+ 1. Тогда множества XflFi, ..., X{\Yr образуют покры-
покрытие кратности s^tt+1 пространства X, вписанное в со. Так
как © — произвольное открытое покрытие пространства X, то
йЛГ<
Докажем теперь, что dim pXs^dimX; для этого достаточно
из dimX^/г вывести dimpX^n.
Пусть дано открытое покрытие Q = {0,, ..., Os} биком-
бикомпакта $Х. В покрытие Q можно комбинаторно вписать (гл. 1,
§ 10) замкнутое покрытие {Flt ..., Fs} пространства $Х. Для
каждого t = l, ..., s возьмем окрестность Vt множества F{
под условием
В открытое покрытие y = {Xf\V Xf\Vs} пространства X
впишем конечное замкнутое покрытие v = {O,, ..., Ф^} крат-
кратности ^л+ 1 (см. гл. 2, § 2, замечание 4).
В силу следствия 1 из § 9 гл. 1 система М={[Ф|]рх> •••
•••> [ОДрх) имеет ту же кратность ^/г+ 1, что и система v.
Так как
то система [v] является покрытием бикомпакта рх. Наконец,
каждый элемент покрытия [v] содержится в одном из множеств
[Vi Г)Я]рх — [Vt]pX ^ O(i поэтому покрытие [v] вписано в покры-
покрытие (о. Неравенство dim px ^.п доказано.
2. Доказательство равенства Веденисова [2] Indpx =
= IndX для нормального пространства X.
Лемма 1. Если замкнутое в нормальном пространстве X
множество Ф является перегородкой между замкнутыми (и дизъ-
дизъюнктными) в X множествами Fi и F2, то [Ф]рХ есть перегородка
в рХ между [F,]pX и [F2]px.
Доказательство. Из определения перегородки следует,
что Х\Ф = 1/1111/2. V, П V2 = A, Vt=>Fh i—1,2, и множе-
множества Vt открыты в X.
Пусть
Множества Wt замкнуты в X, и
4f.n/='2 = xF2n^=A.
Поэтому (см. гл. 1, § 9, предложение 2)
= Р* \ №]рх = OtVu [F^x S pX \

298 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
Так как V, U ^2 = V, UOU Vt, то
ОрV, П ОрУ2 = $Х \ ([W,]pX U [ Ч>2]рХ) = ft* \ № U Ч^х = Л.
Поэтому множество
№ \ (OpV, U ОрУ2) = [ЧМцх П [?2]&х = *)
есть перегородка в рХ между множествами [Л]рл, '¦ = 1. 2.
Лемма доказана.
Лемма 2. Если множество О открыто в максимальном би-
бикомпактном расширении рл" вполне регулярного пространства
Х,ю
Доказательство. Достаточно показать, что
Os[O
Очевидно,
откуда нужное включение следует. Лемма доказана.
Докажем равенство Веденисова. Очевидно, соотношения
Ind AT = —1 и IndpX = — 1 равносильны. Предположим, что
соотношения Ind X ^ пг и Ind р X ^ пг равносильны для всех
m < п. Покажем их равносильность для m = п.
Пусть Ind X ^ п. Рассмотрим в f>X дизъюнктную пару зам-
замкнутых множеств F\ и Рг. Возьмем такие их окрестности OF\
и 0^2, что
Множества [0F{] П X, i= 1, 2, замкнуты в X и дизъюнктны.
Поэтому между ними в X существует перегородка Ф размер-
размерности
Из индуктивного предположения, предложения 1 § 9 гл. 1 и
леммы 1 следует, что замыкание [Ф]зХзярф является перего-
перегородкой в рХ между множествами [[0F{] П Я]рл-, i = 1, 2, и имеет
размерность
Из леммы 2 следует, что
F, s [OF,] s [OF, П *]„х = [[Of,] П *]px. i = 1, 2,
*) См. гл. 1, § 9, предложение З.

§ I] РАВЕНСТВА dim &X - dim X, lndft*-tndX 2dd
Поэтому [Ф]$х есть перегородка в рХ между F\ и Fa. Мы
установили неравенство Ind p X <: п (исходя из неравенства
idX)
)
Пусть теперь IndpX^n. Докажем, что IndX^n. Рас-
Рассмотрим в X дизъюнктную пару замкнутых множеств F\ н Fa.
Их замыкания /w = [/Мрх дизъюнктны (см. гл. 1, § 9, предло-
предложение 2), поэтому между F\ и Fa в рХ существует перегородка
Ф размерности
Тогда Ф = Ф П X есть перегородка в X между F, и F2 и
Поэтому
Ind [Ф]рХ <IпdФ < л.
Из индуктивного предположения .и из предложения 1 § 9 гл. 1
имеем
Ind Ф = Ind рФ = Ind [Ф]рХ < п,
т. е.
Равенство Веденисова доказано.
Замечание!. Ю. М. Смирнов [2] показал, что суще-
существует нормальное пространство X, для которого
ind pX ф ind X.
В то же время мы покажем в гл. 7 (также следуя Ю. М. Смир-
Смирнову), что для совершенного нормального пространства имеет
место равенство indpX = IndX (и, значит, id IdX
IdpX)
3. Дискретная сумма пространств. Уже в следующем пара-
параграфе нам понадобится понятие дискретной суммы пространств.
Определим его.
Пусть дана система топологических пространств Ха, а е 91.
Дискретной суммой d\J Xa пространств Ха будем называть
дизъюнктную сумму U Ха множеств Ха, снабженную следую-
щей топологией:
множество О открыто в d\J Xa тогда и только тогда, когда
открыто каждое множество О[\Хав топологии пространства Ха,
об!
Очевидно, естественно возникающее при каждом а0 е 21 тожде-
тождественное отображение множеств fa,: Ха, -*¦ Ха„ ? d (j Xa
ОбП

300 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
есть гомеоморфизм пространства Ха„ на открыто-замкнутое
в d\JXa множество, которое естественно отождествить с про-
странством Ха,- Для нормальных Ха легко доказываются сле-
следующие формулы:
C) dim d И Ха < sup dim Xa,
D) Indd(JJfe.<supIndXe.
Сначала докажем формулу C). Пусть dim*0<«, aeSl. Рас-
Рассмотрим конечное открытое покрытие со = {0^}, /=1, ..., s,
пространства X = d \J Xa. Для каждого а в покрытие
Я
{Oi(]Xa}, i=*l, ..., s, впишем открытое и кратности ^п+1
покрытие v0 открытого в X множества Ха. Очевидно, система
v= U va есть открытое покрытие пространства X, вписанное
в покрытие со и кратности ^ п + 1 (в силу дизъюнктности
множеств Ха при различных а). Следовательно (см. гл. 2, § 2,
замечание 1), dim (J Ха^п. Неравенство C) доказано.
Перейдем к неравенству D). Оно верно, если IndX0=— 1,
ое! Предположим, что оно верно в случае IndX0^A, as31,
k — —\, 0, ..., п— 1, и пусть k = n.
Возьмем в X — d \J Xa пару дизъюнктных замкнутых мно-
аеЯ
жеств F, и F2. Тогда для каждого а в открыто-замкнутом
в X множестве Ха между Fx и F2 (т. е. между F, П *„ и F2 П ^0)
найдется перегородка Фо размерности IndO0^n— 1. Мно-
Множество Ф= (J Ф„ есть, очевидно, перегородка между F, и F2
в X, и, кроме того, оно гомеоморфно пространству d \J Фо.
По индуктивному предположению Ind<D^/i—1. Следова-
Следовательно, Ind X ^ я. Неравенство D) доказано.
§ 2. Первая факторизационная теорема
для бикомпактов и ее следствия
Теорема 1 (Мардешич [1]). Для отображения f биком-
бикомпакта X на компакт Ф существуют: такой компакт W раз-
размерности dim *P s^ dim X и такие непрерывные отображения
g: Х—+Ч и п: Ч — Ф, что f = hg.
Доказательство. При dimX=oo можно, очевидно,
положить ? = 0, g — f, взяв за h тождественное отображение.

§ 2] ПЕРВАЯ ФАК.ТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ БИКОМПАКТОВ 301
Итак, пусть dimX = r<oo. Положим
Ро = Ф, go = f: Х->Ф.
Будем считать также diamO^l (см. гл. 1, § 3, замечание 1).
Возьмем какое-нибудь -^-покрытие р,00 компакта Ро и по-
положим [Лад = ^V00-
Впишем в цм покрытие со, кратности ^r-f- 1. Через g. обо-
обозначим ©^отображение бикомпакта X на r-мерный полиэдр Р,.
Будем рассматривать Р, в такой метрике р,, что в ней
P^l
Предположим, что для всех n^.j—1 уже построен^: по-
покрытия ©„ кратности ^ft + 1 бикомпакта X и ©„-отображения
gn: Х-*Р„ в r-мерные полиэдры Р„ с метрикой р„, в которой
cliamPn<l, при этом для каждого «<;/—1 и каждого
k = 0, 1 п —1 в Р„ существуют такие -^-покрытия цй„,
что покрытие ©„ вписано в произведение прообразов Ц^„ = gZlHk
этих покрытий.
Пусть ft = /. Для каждого k < j ¦ возьмем -у-покрытие цА/
компакта Рк и положим ц?/ — 8"к1^кг ^ произведение покрытий
1*о/ Л Ни Л • • • А Ц/_1, / впишем покрытие ©/ кратности ^г + 1.
Через gj обозначим ©/-отображение бикомпакта X в г-мерный
полиэдр Р/, рассматриваемый в такой метрике р/, что в ней
diamP,<l.
Полиэдры Рп' и отображения gn построим для всех п=\,
оо
2, 3, ... В произведении Р = Ц Р„ введем метрику р, опре-
деляя для двух каких-нибудь точек
У — (Уъ*У\ Упл •••) и У' = {Уг y'v •••' ^' •••)
расстояние
Отображения gn:^-*^ определяют непрерывное отобра-
отображение g: Х-*Р по формуле gx = {gnx} (см. гл. 1, § 8, предло-
предложение 7). Компакт gX обозначим через *P. Естественное проек-
проектирование произведения Р на сомножитель Р„ обозначим
п„ : Р-+ Рп, ft = 0, 1,2, ... Тогда, очевидно,
(a) gn = *ng, л = 0, 1, 2, ...
Для отображения h — щ: х? —>Ро = Ф имеем f — gQ — nog = hg.

302 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 8
Покажем, что dim W ^ г, для чего достаточно показать,
что *Р обладает сколь угодно мелкими покрытиями кратности
+1
<+
Мы сейчас построим для каждого натурального числа /' не-
некоторое покрытие Y/ = {^i» •••> #*/} компакта \Р, которое бу-
будет иметь кратность ^;г+ 1 и при достаточно большом / будет
сколь угодно мелким.
Заметим прежде всего, что для любого множества М«> = Рп
имеем равенство
(б) ВВ?Мш = п?МмПЧ,
являющееся очевидным следствием соотношений (а) и равен-
равенства gX = *Р.
Так как gj-.X-*Pj есть со3-отображение, /= 1, 2, 3 то
существует такое покрытие
полиэдра Pjf что каждое gJ^U^ содержится в некотором эле-
элементе ПОКРЫТИЯ СО/.
Так как dimPj<>, то — заменяя, если нужно, покрытие т]
вписанным в него покрытием — можем считать, что кратность
покрытия т) не превосходит г-\- I.
Положим теперь
н1 =
Тогда
V,-{//{. .... //у
есть покрытие компакта W, также кратности ^г+ 1, причем —
в силу формулы (б) — имеем
(в) н
Покажем, что при достаточно большом / элементы покрытия yt
имеют сколь угодно малый диаметр; неравенство dim^P^r
этим будет доказано. Каждое множество gJlU{, содержась
в некотором элементе покрытия со/, содержится и в некотором
элементе каждого из покрытий
^/-1
следовательно, каждое из множеств
содержится в некотором элементе покрытия

§ J] ПЕРВАЯ ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ БИКОМПАКТОВ 303
и, значит, имеет диаметр < —j. Поэтому (см. (в))
(г) diamn /// = diamnmgg7{UL — diamg grlU
±
для к— 1, ..., $/; т — 0,1,..., /— 1.
Так как для любого множества М s P, очевидно,
[оо —|'/»
J] -^г (diam я„МJ
n=o J
и так как
diamPB<l, n —0, 1, 2, ....
то в силу неравенства (г) имеем
что при достаточно большом / достаточно мало. Теорема 1
доказана.
Следствие 1. Для счетной (или конечной) системы ото-
отображений fi бикомпакта X на компакты Ф(, t=l, 2, 3, ...,
существуют: такой компакт W с dim *P ^ dim X и такие непре-
непрерывные отображения g: X-^~Ф и hi'. ЧГ->Ф<, что fi — hig,
t=l, 2, ...
Доказательство. Отображения ft определяют непре-
00
рывное отображение f бикомпакта X в произведение Ф = Д Ф<
по правилу fx = {fix}. Проекцию компакта fX = Ф = П Ф4
в компакт Ф* обозначим через я<( /=1, 2, 3, ... По преды-
предыдущей теореме существуют такой компакт У, dim W ^ dim X,
и такие отображенияg: Х-^Ч на Л: Ч^-fX, что f — hg. Ком-
Компакт У, отображения g и А( = п^А, очевидно, являются иско-
искомыми.
Выведем из теоремы 1 теорему о существовании универ-
универсального «-мерного компакта и теорему о включении я-мерного
пространства со счетной базой в компакт той же размерности.
Теорема 2 (Нёбелинг [1], Гуревич[1]). Существует
такой компакт П»„ размерности dim П5, = п, что любое про-
пространство X со счетной базой размерности dim^ = n еомео-
морфно некоторому подмножеству компакта Пйв.
Доказательство. Класс пространств со счетной базой
и с dimX = n разбивается на подклассы абЛ попарно гомео-
морфных между собой пространств. Выберем из каждого

304 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I! [ГЛ. 5
класса а пространство Ха. Тогда (см. § 1) p0
Рассмотрим пространство У = d (J $Ха, являющееся дискретной
о
суммой максимальных бикомпактных расширений $Ха про-
пространств Ха; бикомпакты $Ха попарно не пересекаются и
открыто-замкнуты в У. Пространство У, очевидно, локально
бикомпактно и нормально (даже паракомпактно). Так как
dim рХ0 = я, то (см. § 1) и dim У = я, а в силу нормальности У
имеем и dimpy = ra (см. § 1). По теореме Урысона для ка-
каждого а существует гомеоморфизм /а: Jfa-W° пространства Ха
в гильбертов кирпич /°°. Отображение /„ можно продолжить
в непрерывное отображение fa: $Ха-*-1°°, оёЛ (см. гл. 1, § 9,
теорема 12). Отображение пространства У в /°°, совпадающее
на каждом бикомпакте $Ха с f0, обозначим через f. Продол-
Продолжение f на рУ обозначим через F. Из построения отображе-
отображения F: рУ -*1°в следует, что оно будет топологическим на каждом
множестве Xas$Xa^$Y. По первой факторизацйонной теореме
существуют: такой компакт П», и такие отображения g: рУ-*П30
и я: П«,->/°°, что F=hg и dim П»,^ га. Отображение F
является топологическим на множествах Ха, поэтому тополо-
топологическим на этих множествах будет и отображение g. Итак,
каждое пространство Ха гомеоморфно некоторому подмножеству
компакта П«о с dimll5o^ra. Компакт П», является, очевидно,
искомым. Теорема 2 доказана.
Следствие 2 (Гуревич [1]). Для всякого пространства X
со счетной базой размерности dim X — га существует компакт сХ
размерности dim сХ ^ га, являющийся расширением простран-
пространства X.
Действительно, если считать ZsIIJJ,, то сХ получается взя-
взятием замыкания X в П»,.
В силу монотонности малой индуктивной размерности по
лю.бым подмножествам, из следствия 2 и из неравенства
ind X ^ dim X для компактов (гл. 4, § 3, п. 3) вытекает
Следствие 3. Для произвольного пространства со счет-
счетной базой X всегда
ind X< dim X.
§ 3. Вторая (общая) факторизациоиная теорема
для бикомпактов
Теорема 3 (Мардешич [1]). Для непрерывного ото-
отображения f: X-+Z бикомпакта X на бикомпакт Z суще-
существуют; такой бикомпакт У и такие непрерывные отображения

§ 3] ОБЩАЯ ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ БИКОМПАКТОВ 305
g: X-+Y и h: Y-+Z, что f = hg,
f
\
h
У '
dim Y< dimX,
Лемма 1. Если бикомпакт X является пределом спектра
= {xa, S)o} из бикомпактов Ха, dim^a^r для любого а, то и
i*<
Доказательство. Как всегда, обозначаем через
S50: X-*Xa проекцию предела X в Ха.
В силу предложения 7 § 1 Прибавления к гл. 1 и неравенств
dim ЭД < dim *
можно считать, что Ха = &аХ, a e 31. Поэтому проекции Эа
являются отображениями «на».
Возьмем теперь произвольное конечное открытое покрытие а
пространства X. В силу предложения 11 из § 1 Прибавления
к гл. 1 существует такой индекс а = а((о) и такое конечное
открытое покрытие v0 бикомпакта Ха, что покрытие n~'va
вписано в покрытие со.
Впишем в v0 покрытие ца кратности ^г + 1. Тогда Ц = Э^1ц0
есть покрытие кратности s^r + 1 бикомпакта X, вписанное
в покрытие со. Лемма доказана.
Следующая лемма является основной и представляет само-
самостоятельный интерес.
Основная лемма (лемма 2). Для отображения f биком-
бикомпакта X на бикомпакт Z существуют: такой бикомпакт Y и
такие отображения g: X-^+Y и h: Y—+Z, что f — hg, a Y
является пределом обратного спектра S == {Wa, Э(П, РеВ, из
компактов Wo размерности dim *?„ ^ dim X, с проекциями ««а»,
мощн. В ^ wZ.
Доказательство. Бикомпакт Z будем считать подмно-
подмножеством тихоновского кирпича Iх = Л 1а веса x — wZ, где
А
а [0, ]„
Множество В всевозможных конечных наборов р = (оц, ...
..., as) попарно различных индексов a c= А имеет мощность т и
распадается в дизъюнктную сумму множеств Ви элементами ко-
которых являются наборы в точности из i индексов a, i = 1,2,3, ...

306
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II
[ГЛ.5
В множестве В введем порядок, считая р' > р, если р' г> р. Оче-
Очевидно, относительно этого порядка множество В направлено.
Естественную проекцию множества Zc/tb сомножитель /а обо-
обозначим через ла, а?/1. Возьмем произвольное р ss (a)e В\ и
применим теорему 1 к отображению naf:X-*Ia. Тогда имеет ме-
место диаграмма
т.е. существуют такой компакт
отображения gp: X——-^^а и A*:
dimVps^dimX, и такие
что
Теперь будем-строить спектр S по индукции.
Предположим, что • для всех номеров i^.n—1 уже по-
построены такие компакты
такие отображения g^:
что
vFp, dir
цг н
ft
^ dim
Ч: х
х,
Fp,
ре
Н?
и
...Ufin-
(при р' >
1.И
Р).
B)
при Р' > р.
Пусть Ро е Вп. Возьмем все р < Ро- Их конечное число. По
следствию 1 теоремы 1, примененному к отображениям
?р: ^->4rp, р<Ро, существуют такой компакт vFp0, dim Wp,^dimX,
и такие отображения g^: X——*^^ и Э^>: W^-*^, что
8^ — Щ*8^ Р<Ро- Так как ПРИ Р < Ро отображения g^ X-*W^
являются отображениями «на», то и SJH'p,, = Ч'р.
Продолжая описанный процесс, получим для всех реВ
компакты Ч'р, dim *Рр s^ dim X, и отображения gp: X——+Ч$ и
Щ: Ч'у -^* W-, P'>p, удовлетворяющие условиям B).
ft* A' ft*
Рассмотрим индексы р" > р' > р и покажем, что щ —щЩ'.
Возьмем точку у*» е Ч^,,». Отображение go» является отображе-
отображением «на», поэтому существует точка х е X, для которой
g^x = у р. Из B) следует, что

§ 31 ОБЩАЯ ФАКТОРИЗАЦИОИНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ БИКОМПАКТОВ 307
Итак, построен спектр S == {w$, S$'}, р e В, из компактов Wp
с проекциями «на», причем dim Wp ^ dim X и мощн. В = х = wX.
Бикомпакт, являющийся пределом спектра S, обозначим через Y.
В силу соотношений B) можно, определить непрерывное ото-
отображение g: X-^ Y, полагая gx = {g^x} (см. Прибавление
к гл. 1, § 1, предложение 5). Это отображение удовлетворяет
соотношениям
Определим теперь отображение
как диагональное произведение отображений А^й»: Y-*Ia,
p=a(ct) e B\, т.е. полагая
hy = {Л^Эр^} ёП/j, у е Y, р е Вх.
о. е Л
Отображение А непрерывно и удовлетворяет соотношениям
D) А^Эр = п0А для оеД ps=(a)e5[
(см. гл. 1, § 8, п. 2). Итак, бикомпакт Y и отображения
g: X-+Y и А: У->/т построены.
Докажем равенство •
E) hg = f.
Оно означает, что для любой точки х ^Х точки fх е JJ /0 и
a
^g* ^ П /а имеют — при любом а — совпадающие a-е коорди-
а
наты njx и njigx.
Итак, доказать равенство E) — значит доказать, что
F) ' nahg — nj для любого о?/1,
Но из D) и C) следует, что
тогда как по формуле A) имеем
значит,
nahg — nj
для любого а.
Формула E) доказана. Из нее следует, что
hY =
Лемма 2 доказана.

308 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
Для доказательства теоремы 3 остается доказать, что из при-
приведенного способа построения бикомпакта Y вытекают неравен-
неравенства
G) dim Y < dim X,
(8) . wY^wZ.
Неравенство G) непосредственно следует из леммы 1, так
как dim Y$ ^ dim X для всех fsB.
Неравенство (8) вытекает из того, что одЧгр= No для всех р
и мощность множества В = {р} не превосходит кардинального
числа wZ.
Теорема 3 доказана.
Возьмем в лемме 2 в качестве отображения f тождественный
гомеоморфизм пространства X; тогда гомеоморфизмом будет и
отображение g.
Таким образом, имеет место
Теорема 4 (аппроксимационная теорема, Мардешич
[1]). Произвольный бикомпакт X можно представить в виде
предела обратного спектра S = {Ч^, Э^'}, psB, из компактов
Ур с dim ?в < dim X.
Замечание 1. Из леммы 1 вытекает, что «-мерный биком-
бикомпакт X нельзя представить в виде предела обратного спектра
{Ч'р, Щ} из "компактов Ур, размерность которых <п. Таким
образом, имеет место
Теорема 5 (Мардешич [1]), Для того чтобы биком-
бикомпакт X имел размерность dim X ^ п, необходимо и достаточно,
чтобы X был пределом спектра {Ч'р, Э{Ц'}, составленного из
компактов *Рр размерности ^Ln.
В § 5 мы увидим, что в формулировке теоремы 5 нельзя
потребовать, чтобы компакты Wp были полиэдрами, — теорема
Фрейденталя (см. § 5) не может быть обобщена на случай би-
бикомпактов.
Те (я-мерные) бикомпакты, которые являются пределами
спектров, составленных из (я-мерных) полиэдров, заслуживают,
как нам кажется, специального изучения.
§ 4. Универсальные бикомпакты данного веса
и данной размерности. Теорема Скляренко
Теорема 6 (Зарелуа [4], Пасынков [9]). Для любой
мощности х и любого целого числа п ^ 0 существует биком-
бикомпакт П? веса х и размерности dimn? = «, содержащий тополо-
топологический образ всякого нормального пространства X веса х и

§ A УНИВЕРСАЛЬНЫЕ БИКОМПАКТЫ 309
размерности dim X ^ п. Более того*), пространство II? содер-
содержит топологический образ всякого вполне регулярного про-
пространства X веса х, для которого dim р X ^ п.
Доказательство. Класс вполне регулярных пространств
веса <т с dimpX-<n разбивается на подклассы ое-4 по-
попарно гомеоморфных между собой пространств. Выберем из
каждого класса а пространство Ха и рассмотрим пространство
У = d\J$Xa, являющееся дискретной суммой максимальных
бикомпактных расширений $Ха пространств Ха; бикомпакты
$Ха попарно не пересекаются и открыто-замкнуты в У (см. § 1).
Пространство У, очевидно, локально бикомпактно и нормально
(даже паракомпактно). Так как dim р Ха ^ п для любого а е
е/1, то и dim Y ^.п (см. § 1). В силу нормальности простран-
пространства У имеем и dim р У < п (см. § 1).
Вес каждого пространства Ха не превосходит т, поэтому
для любого а существует топологическое отображение fa: Xa-*I"C.
Топологическое отображение fa: Ха-*1Х можно продолжить
в непрерывное отображение f0: рДГа->/т, а е А (см. гл. 1, § 9).
Отображение пространства У в Iх, совпадающее на каждом
бикомпакте $Ха с fa, обозначим через f. Продолжение f на рУ
обозначим через F. Из построения отображения F: рУ->/т сле-
следует, что оно будет топологическим на каждом множестве
Xasp^ospy. По теореме 3 существуют такой бикомпакт П?
и такие отображения g: рУ-*П? и п: П?-»-/*, что F = hg,
сНтП?г^я и wUx^x = wIx. Отображение F является тополо-
топологическим на множествах Ха, поэтому топологическим на этих
множествах будет и отображение g.
Итак, пространство X а= Ха топологически отображено в би-
бикомпакт П?, dimll?<n, даП?^т. Так как П? содержит, на-
например, топологический образ n-мерного куба, то dimll? = «.
Теорема 6 доказана.
Непосредственным ее следствием является
Теорема 7 (Скляренко **)). Для всякого вполне регуляр-
регулярного пространства X веса х с dimpA^rt, в частности*) для
всякого нормального пространства X веса х и размерности
сПтЖ/г, существует бикомпактное расширение ЬХ веса т
и размерности dim ЬХ -^ п.
Действительно, если считать X = П?, то ЬХ получается взя-
взятием замыкания X в П?.
*) См. равенство A) § 1.
**) Для нормальных пространств в работе [1].

310 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II (*"Л. 8
§ 5. Случай компактов: теорема Фрейденталя
1. Теорема Фрейденталя. В этом параграфе прежде всего
будет доказана
Теорема 8(Фрейденталь [1]). Любой п-мерный ком-
компакт X является пределом спектра S = {к(, я{+1}, i = 1, 2, 3
составленного из п-мерных полиэдров Kt, при этом проекция я|+|
является непрерывным отображением полиэдра Kt+i на поли-
полиэдр Kt- Более того, полиэдры Ki даны в фиксированных триан-
гуляциях Ki и каждое л'+| есть симплициальное отображение
триангуляции Kt+i на некоторое многократное барицентрическое
подразделение K't триангуляции Kt, а каждая проекция я(: X->Kt
существенна относительно Kt, т. е. существенно покрывает
каждый главный симплекс T&Ki-
Доказательство. Искомый спектр будем строить по ин-
индукции. Возьмем какое-нибудь неприводимое и, следовательно
(см. § 1 гл. 4), (л.+ 1)-кратное у покрытие иц компакта X;
пусть f\ является каноническим отображением X в тело R{
нерва К\ покрытия щ. Тогда, как уже было выяснено в § 1
гл. 4, отображение f\ будет существенно покрывать главные сим-
симплексы триангуляции К\ (и, значит, будет отображением на Ki).
Предположим, что мы для всех номеров i < h уже построили
A) «-мерные полиэдры Ки взятые в триангуляциях Ки яв-
являющихся нервами неприводимых покрытии ш<;
B) отображения f,: X -*¦ Ki, являющиеся —^-отображениями,
существенно, покрывающими главные симплексы триангуля-
триангуляции Kt, и
C) отображения л'-i: Kt-*-Kt-u I < i < h, каждое из кото-
которых симплициально относительно триангуляции Ki и некоторого
(многократного) барицентрического подразделения К*-\ триан-
триангуляции Ki-u причем
D) отображение л{_^; получается из ft_{ спуском относи-
относительно K't-[ (см. § 1 гл. 4).
Отображения л| = л{+| ... л{_, п\, j < I, удовлетворяют не-
неравенствам
E) p(«rv..*jf»)<^-
Пусть теперь / = А. Подразделим триангуляцию Kh-i бари-
барицентрически столько раз, чтобы и сами симплексы полученного
подразделения Kh-\ и их образы в полиэдрах К] при отобра-
отображениях я*~', j ^.i^.h — 2, имели диаметр <~7«

§5] ТЕОРЕМА ФРЕИДЕНТАЛЯ 311
Возьмем неприводимое -у-покрытие юА компакта X, вписан-
вписанное в покрытие Фй-i, состоящее из прообразов главных звезд
триангуляции Кк*-\ при отображении fh-u
Нерв покрытия щ обозначим через Kh, а через fh: X->Kk
обозначим какое-нибудь каноническое отображение. По второй
апггроксимационной теореме (гл. 4, § 2, теорема 4) существует
такое еимплициальное относительно триангуляции K'h-i и Kh
отображение пи-Г. Kh-^Kh-u что отображение тй-\!и является
спуском отображения fA_, относительно триангуляции KL так
что точки /,,_,(*) и n^_,fft(x), x^X, лежат в одном замкнутом
симплексе триангуляции К\-\ и, значит,
F) p(fh.1,^_1fft)<^T. P K-'fA-,. "?М < -^Г - / < А - 1.
В силу неприводимости покрытия сол и предложений 3 и 4 § 1
гл. 4 отображение fh существенно покрывает главные симплексы
триангуляции Kh и dim &,¦< п.
Продолжая построение n-мерных полиэдров Ki и отображе-
отображений я{_,, получим спектр S = {AT,, л{_,}, /=1, 2, 3 удо-
удовлетворяющий всем условиям теоремы. Докажем, что пределом 5
спектра 5 является компакт X. Это доказательство расчленим
па несколько шагов.
Рассмотрим для каждого данного i = 1, 2, 3, ... последова-
последовательность отображений
G) fr
компакта X в полиэдр Ki. Отображение ft существенно покры-
покрывает главные симплексы триангуляции Ki (и потому, в частности,
является отображением на Ki). Покажем, что все дальнейшие
отображения последовательности G) получаются из ft спуском
относительно Kt-
Сначала докажем утверждение
Ао. Если в триангуляции Kt+k носитель точки у" является
(собственной или несобственной) гранью носителя точки у', то
носитель точки л'1+к(у") также будет гранью носителя точки
л'+*(</')• ?=1, 2, 3, ..., в триангуляции Ki- :
Если &=1, то утверждение Ао вытекает из симплициаль-
симплициальности проекции я{+1 относительно триангуляции К1+1 и К\
(напомним, что К* является подразделением Ki). Пусть утвер-
утверждение Ао доказано для всех k < /. Докажем его для k = /.
В силу симплициальности проекции nj+j_, (относительно
триангуляции Ki+i и K'tfi-i) и из того; что носитель точки у"

312 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. 11 [ГЛ. 5
в триангуляции Kt+i является гранью носителя точки у',
следует, что носитель точки я,'+^_,(«/") в триангуляции
Кt+i-\ будет гранью носителя точки я;'+'_, (у'). Но тогда, по
индуктивному предположению, носитель точки п\+> (у") =
=nj+/~1(n{+j_1 (</")) будет гранью носителя точки п\+1 (у') =
=nil+l~l(nlt+ij_l {у')). Утверждение Ао доказано.
Переходим к доказательству утверждения
А. Для любого натурального k отображение n\+kfi+k полу-
получается из ft спуском относительно Kt-
Если k=l, то, по построению, л|+1/ж получается из ft
спуском относительно триангуляции K*t, а значит, и относи-
относительно более крупной триангуляции Kt- Предположим теперь,
что для всех k < / отображения nll+kf{+k получаются из ft
спуском относительно Kt- Пусть k = /.
По построению, n{+{_,f,+/ получается из ft+l_i спуском отно-
относительно K*+i-i и, значит, как уже отмечалось, относительно
Kt+i-i, т. е. для любой точки х^Х точка у" = nii\.lj_xfi+j(x)
лежит на грани носителя точки у'= ft+t-\ (x) в триангуляции
Kt+i-i- Но тогда, в силу утверждения Ао, точка nli+ift+j(x) =
=nlt+i~lnll+ll_lft+l(x) лежит награни носителя точки я|+/~7/+/_|(*)
в триангуляции Ki, т. е. отображение n\+ift получается из
я|+/-'/(+/_1 спуском относительно Кг Из индуктивного пред-
предположения следует, что n'{+lfl+j получается спуском уже из f,
относительно Kt- Утверждение А доказано.
Б. Построение отображений gt: X->Kt и окончание доказа-
доказательства теоремы 8.
По второму из неравенств F) имеем
поэтому для любой точки х^Х последовательность Mfh(x)},
/j = i+l, i + 2, i + 3 фундаментальна, т. е. сходится
к некоторой точке g{ (x). Возникающее таким образом отобра-
отображение g{: X^*-Kt непрерывно, ибо последовательность отобра-
отображений nhjh, h—i+\, f + 2, i + 3, ..., сходится к gt равно-
равномерно. Так как все отображения я^А получаются из f{ спуском
относительно Ki, то этим свойством обладает и отображение gt.
Отсюда следует, что gt существенно покрывает главные сим-
симплексы триангуляции Ki, в частности, является отобра-
отображением на Ki.

t. Г,] ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ • 3!3
Пусть / < /, покажем, что gt = n\gr Действительно,
gt (х) = lim n[n>}gh (x) = я/ lim rfg (x) = n{g. (x).
Таким образом, каждой точке х^Х соответствует нить
{giix)} спектра 5, т. е. точка g(x) предела S спектра 5. Так
кяк все отображения g{, i = 1, 2, 3. ..., непрерывны, то непре-
непрерывно и отображение g (см. предложение 5 из § 1 Прибавления
к гл. 1). Так как все отображения gt являются отображениями
«на», то пересечение любой базисной окрестности простран-
пространства 5 с множеством gX непусто, т. е. множество gX всюду
плотно в 5 и, следовательно, в силу компактности gX, совпа-
совпадает с 5. Остается доказать, что отображение g взаимно одно-
однозначно (отсюда, ввиду компактности X, уже будет следовать,
что g — гомеоморфизм). Рассмотрим две точки х и xf из X.
Возьмем столь большой номер i, чтобы звезды точек х и х'
относительно покрытий со* не пересекались. Тогда в силу кано-
каноничности отображения /< не будут пересекаться и замыкания
носителей точек fi(x) и ft(x') в триангуляции К{. Так как gi
получается из U спуском, то gt(x) ф gi(x')-
Для проекции щ: S-+Kt имеем
i= 1. 2, 3, ...;
поэтому, если бы точки gx и gx' совпадали между собою, то
совпадали бы и точки
gtx = n(gx, giX' = n(gxf
— вопреки только что доказанному.
Итак, отображение g: X -* 5 есть топологическое отображе-
отображение пространства X на 5. Заметим, наконец, что при отождеств-
отождествлении точек х е X и gx e 5 проекции л< отождествляются с су-
существенно покрывающими главные симплексы триангуляции Kt
отображениями g,-. Теорема 8 доказана.
2. Случай бикомпактов. В конце § 3 мы уже указывали на
невозможность усилить теорему 4 в смысле замены в ее фор-
формулировке аппроксимирующих компактов полиэдрами. Сейчас
мы докажем эту невозможность, и притом уже в одномерном
случае.
Лемма 1. Если бикомпакт X является пределом спектра
S = [Ра, Щ, а <= А, из одномерных полиэдров Ра, то ind X <
Доказательство. Достаточно показать, что в X суще-
существует база, границы элементов которой нульмерны. Такой
базой будет система всевозможных множеств вида Эа'Оа, где
*) Можно показать, что и Ind X < 1.

314 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. 11 [ГЛ. 8
Оа — открытое в Ра множество, аеА Возьмем открытое в Ра
множество Оа, положим О = Эа'Оа, /г = грО. Для любого
Р>а положим Ор = (а^)~'Оа. Тогда O==ajF'Op и а^ПОр = Л.
В силу непрерывности проекций Эр имеем включение SpF s [Ор].
Следовательно,
Fp = rpOp = Sp/;i Для любого
и, таким образом,
В силу предложения 7 § 1 Прибавления к гл. 1 множество Ф
совпадает с пределом спектра {/-р, SJJ'}, р ^ а. Нигде не плот-
плотное подмножество отрезка, а следовательно и одномерного
полиэдра, нульмерно. Следовательно, dim Fg ^ 0, а ^ р, и, по
лемме 1 из § 3, имеем dim Ф ^ О, откуда dim F ^ 0. Но в этом
случае и ind F ^ 0 (см. гл. 2, § 3, предложение 1). Лемма до-
доказана.
Из леммы 1 сразу же вытекает
Теорема 9 (Мардешич [1}, Пасынков [1]). Если для
бикомпакта X имеем dim^=l, но ind X > 1, например, если
X — построенный в следующем § 6 бикомпакт Локуциевскоео,
то X не может быть пределом обратного спектра из одномерных
полиэдров.
Можно в некотором смысле усилить теорему 7 (см. Пасын-
Пасынков [5]). Оказывается:
существует бикомпакт В с dim В = ind В = Ind В = 1, не
являющийся пределом никакого обратного спектра из одномер-
одномерных полиэдров. Таким бикомпактом будет «половина» В только
что упомянутого бикомпакта Локуциевского L.
Замечание 1 (Пасынков [5]). Существуют бикомпакты,
не являющиеся пределами спектров из полиэдров и даже из
локально связных компактов с проекциями «на».
§ 6. Бикомпакты с несовпадающими размерностями
Вопрос о взаимоотношениях между основными размерност-
ными инвариантами dim X, ind-К, indX — один из центральных
вопросов всей теории размерности. Мы слегка коснулись этого
вопроса во введении к этой главе и будем заниматься им и
в этом и в следующем параграфе, а также в гл. 6 и 7.
В общем случае нормальных пространств мы, кроме очевид-
очевидного неравенства ind X sg Ind X и неравенства Веденисова
dim X <С Ind X, не имеем ничего. Фундаментальное равенство

§ 6] БИКОМПАКТЫ С НЕСОВПАДАЮЩИМИ РАЗМЕРНОСТЯМИ 315
Катетова dimX = Ind X для метризуемых пространств X, как
уже упоминалось, будет доказано дважды — в гл. 6 и 7. В то
же время Рой [1] построил пример метрического пространства,
для которого
ind X < Ind X.
Большие успехи в исследовании интересующего нас вопроса
получены, как и следовало ожидать, для бикомпактов. Длинный
ряд относящихся сюда результатов начинается с работы Лунца
A949, [1]), впервые построившего бикомпакт X, для которого
dim X = 1 < ind X = 2. Вскоре, также в 1949 г., Локуциев-
ский [1] построил значительно более простой бикомпакт X, для
которого не только dim X = 1 < ind X = 2, но который, кроме
того, очень просто представляется в виде объединения биком-
бикомпактов Х\, Х2, удовлетворяющих условиям (при i = 1, 2)
Пример Локуциевского приобрел широкую известность и будет
изложен в этом параграфе.
В опенка [1] построил в 1958 г. для любых целых чисел
/1>1ит>/1 бикомпакты Хпт и Ynm, удовлетворяющие усло-
условиям
dim Xnm = dim Yam = n, ШХпт=т, lndYnm=m.
Бикомпакт в с несовпадающими размерностями dim в ф ind 0,
удовлетворяющий первой аксиоме счетности, построил в 1968 г.
Федорчук [2]. Этот пример имеет принципиальный интерес
ввиду его применения к вопросам аксиоматики теории размер-
размерности, поэтому он изложен в этом параграфе: дело в том, что
бикомпакт в (для которого dim 0 = 2, 3^ind0-<4) вообще
не содержит никакой перегородки Ф размерности dimOs^l.
Кроме того, бикомпакт Федорчука содержит счетное всюду
плотное множество.
Дальнейшие задачи в этом круге вопросов связаны с тем,
что Пасынков [2], [3], [4] доказал тождество УрысЧэна
dim X = ind X = Ind X ¦
для всех бикомпактов X, являющихся фактор-пространствами
локально бикомпактных топологических групп, поставив этим
самым на очередь вопрос, будет ли это тождество иметь место
для всех вообще алгебраически однородных бикомпактов X,
т. е. для бикомпактов, являющихся '.фактор-пространствами ка-
каких бы то ни было топологических групп*). В связи с этим
особенно интересно отметить, что Федорчук [4] построил би-
бикомпакт X размерности dim X = 1 < ind X = 2, топологически
•) См. по этому поводу Пасынков [13].

316 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
однородный в том смысле, что любую его точку х можно топо-
топологическим отображением пространства X на себя перевести
в любую другую точку х' е X.
Первый бикомпакт с несовпадающими индуктивными раз-
размерностями был построен Филипповым [1] в 1969 г.; он
вскоре усилил свой результат [2], построив для каждого це-
целого п> 1 бикомпакт Хп с первой аксиомой счетности, удов-
удовлетворяющий равенствам
dimA'n=l> lndXn — n, Ind *„ = 2л — 1.
Остается неизвестным, существуют ли для любых целых
п > 1 и т > п бикомпакты Хпт, для которых
1. Бикомпакт Локуциевского. Возьмем так называемую
трансфинитную полупрямую, т. е. множество пар х = (a, t), где
а есть произвольное конечное или счетное порядковое число,
0<a<@i и 0Kt<i, причем это множество {х) упорядочено
естественно, а именно по следующему правилу:
| (а, /) < (а', V), если а < а' (при любых / и t'),
\ (а, t) < (а, О. если / < /'.
Пополним трансфинитную полупрямую еще одной точкой coi =
= (AI,0), которую будем считать следующей за всеми х =
= («,0-
Полученное таким образом упорядоченное множество обо-
обозначим через А. Это множество вместе с его естественной (или
«порядковой») топологией *) является (связным) бикомпактом,
который тоже будем обозначать через А.
Через С обозначим канторово совершенное множество (опре-
(определенное, как обычно, на отрезке [0, 1] числовой прямой) и рас-
рассмотрим бикомпакт АХ. С, являющийся топологическим про-
произведением бикомпактов А и С.
Точки бикомпакта А X С суть пары
(х, у), х<=А, уе=С.
Если М<=С и лгоеЛ, то через хаМ будем обозначать множе-
множество всех точек (х0, у) е А X С, где у пробегает все множе-
множество М.
В частности, через coiC обозначаем множество всех точек
((О\,у), где у пробегает все канторово множество С. Топология
в А X С есть обычная топология топологического произведения,
*) Открытая база пространства А состоит из всех интервалов (*', х"),
х' < х", в А и из полуинтервалов [х0, х), где х0 = @, 0), и (х, со,].

; 61 БИКОМПАКТЫ С НЕСОВПАДАЮЩИМИ РАЗМЕРНОСТЯМИ 317
имеющая своей (открытой) базой все открытые прямоуголь-
прямоугольники
U = {(*, у)\х'<х< х", у'<у< у"),
соответственно для точек (coi, у) е А X С — прямоугольники
вида
U = {{x,y)\x>x', у'<у<у").
Легко видеть, что ind Л X С = 1. В самом деле, пространство
Л X С содержит прямолинейные отрезки; поэтому достаточно
убедиться, что incMXCs^l, а именно что каждая точка | =
= (jcOl(/o)eJ4XC имеет сколь угодно тесные прямоугольные
окрестности
U = {{х, у) \х' < х < х", у' <у< </"} (при х0 < ш,),
соответственно при хо = (л1 — окрестности
U = {(x, у)\х'<х, у'<у<у")
с нульмерной границей.
Чтобы получить эти окрестности, достаточно взять в каче-
качестве у' левый конец у\ какого-либо смежного к С интервала
Д, = (г/р у") (лежащего слева от |/оеС), а в качестве у" — пра-
правый конец у" смежного интервала А^^, y'f} (лежащего справа
от г/о). Такие окрестности мы назовем правильными. Склеим
теперь пару концов у\, у''{ любого смежного интервала А, =
— (У'г У") к множеству со,С. Получим естественное непрерывное
отображение я бикомпакта А X С на бикомпакт, который обо-
обозначим через й = я(ЛХС), причем множество а>{С отобра-
отображается на отрезок, который будем обозначать через со1/ = жо1С.
Точки бикомпакта В будем по-прежнему обозначать через
(х, у), лге А, у^С, помня при этом, что теперь пары (со,, y't)
и (со,, у") обозначают одну и ту же точку
1 = (ю,, #) — («,, У'П^В, /=1, 2 п, ...
При отображении л правильные окрестности точек (х, у) е
еЛХС, где х < со,, остаются неизменными (как и их границы);
если же лг = со,, то в этих окрестностях естественно происходит
отождествление точек (со,, yf;) и (со,, у") (где у\ и у", как всегда,
суть концы смежного интервала АЛ. В результате мы получаем
правильные окрестности я#?/ точек бикомпакта В, причем гра-
граница окрестности В \ л (А \ U) = я*?/ точки |есо1/ = псо1С
отличается от границы U = {(х, у) \х > xv y\ < у < у"} лишь

318 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
тем, что к rpU присоединились точки ny't = щ" и пу" = лу'г
так что граница n*U во всяком случае остается нульмерным
бикомпактом (даже нульмерным компактом). Отсюда следует,
что ind B= 1.
Замечание 1. Точки 1 = (со1, у^) = (colt ^)go,/, получив-
получившиеся от склеивания двух концов какого-либо смежного к «С
интервала А, = (у\, у"}, назовем точками первого рода отрезка щ1\
все остальные точки этого отрезка назовем точками второго
рода.
Докажем теперь следующую основную лемму:
Лемма 1. Обозначим через V окрестность точки (со1( 0),
лежащую в V = I(х, у) \ у < -у> и обладающую тем свойством,
что верхняя грань у0 множества V П ю,/ (на отрезке со,/) есть
точка второго рода. Тогда indrpV=l.
Доказательство. Множество V открыто в В, поэтому
для каждой точки ? е V П ®J найдется правильная окрестность
Vt - {(х, у) \х > av y't < у < у'{} s V.
Из покрытия множества V (")«,/ окрестностями V\ выделяем
счетное покрытие {V$J, /=1, 2, ...
По определению множеств V^ == Vt каждому из них соот-
соответствует порядковое число а{ =заь /=1, 2, ... Берем транс-
трансфинитное число do < со,, превосходящее все числа alt i=l, 2, ...
Обозначим через W множество, состоящее из всех таких точек
(х, у) <= В, что х > оо, а (со1( у) <= V. Тогда
WszV,
причем множество
F = {(x,yo)\x>ao}
состоит из предельных точек множества W, так что Fs[V].
Теперь Легко доказать равенство
A) indrpl/=l.
Оно очевидно, если какой-нибудь прямолинейный отрезок, со-
содержащийся в F, содержится и в границе множества V. Пред-
Предположим, что никакой отрезок, лежащий в F, не содержится
в гр V, и докажем, что в этом случае *) в гр V содержится неко-
некоторый отрезок, лежащий на coi/. В самом деле, из нашего пред-
предположения следует, что в каждом лежащем на F отрезке вида
/<* = {(*. «/о) |а<х<а+1}
•) Ведь у0 (точнее, (ш,,уа)) есть лишь sup(VПа>1 /); отсюда вовсе не
следует, что п V нет точек (х,у), для которых у > уа\ поэтому некоторые
точки (х, j)ef могут принадлежать самому множеству V, а не его границе.

§ 6] БИКОМПАКТЫ С НЕСОВПАДАЮЩИМИ РАЗМЕРНОСТЯМИ 3)9
содержится точка множества V вместе с некоторой своей пря-
прямоугольной окрестностью
Ua={(x, у) \а < х'а < х < < < а + 1, у'а < У < <}.
При этом у'а < i/0 < y'l и числа у'а и у"а мы можем предпола-
предполагать рациональными. Ввиду несчетности множества всех поряд-
порядковых чисел а и счетности множества всех рациональных
чисел, существует несчетное множество порядковых чисел а,
для которых одновременно все у'а совпадают с некоторым
у' и все у"а совпадают с некоторым у". Но отсюда следует, что
все точки ? = ((oi, у), для которых у' < у < у", будут предель-
предельными для множества (J Ua s V, т. е. для множества V, так
а
что, в частности, весь отрезок [г/о. </"]> лежащий на ац1, содер-
содержится в [И]; но ни одна точка этого отрезка не содержится в V,
следовательно, весь этот отрезок содержится в гр V, чем наше
утверждение, а с ним и равенство A) доказаны.
Переходим к построению бикомпакта Локуциевского L. Мно-
Множество D всех точек первого рода отрезка цц1, как счетное
всюду плотное подмножество этого отрезка (не содержащее ни
первого, ни последнего элемента), подобно всякому другому
счетному всюду плотному подмножеству отрезка mj (также не
содержащему ни первого, ни последнего элемента) *). Всякое
подобное отображение множества D на D' при этом можно
продолжить в подобное (и следовательно топологическое) ото-
отображение ф всего отрезка (oi/ на себя *).
Выберем при этом множество D' таким образом, чтобы оно
целиком состояло из точек второго рода отрезка иц1, и потре-
потребуем, чтобы при отображении ф концевые точки отрезка щ\1
(т. е. точки ((oi,0) и (a>i, 1)) оставались неподвижными.
Возьмем теперь два дизъюнктных экземпляра В\, Вг би-
бикомпакта В. Множества mj, D, D', рассматриваемые на Bit
i = 1,2, обозначим соответственно через (o)i/)<( Dt, D\. Склеим
бикомпакты В\ и В2, отождествляя каждую точку |e((oi/)i
с точкой ф| = (<oi/)a. В результате этого склеивания получится
бикомпакт L, который и есть искомый бикомпакт Локуциевского.
Бикомпакт L, очевидно, можно определить следующим обра-
образом: берется разбиение j бикомпакта X = fli U Вг, являющегося
дискретной суммой бикомпактов В\ и В2, на следующие эле-
элементы:
1) точки множества В, \ (a>i/)i,
2) точки множества В2 \ (toi/J.
3) пары точек |,, |2, где !,€=(((>,/)! и |2 = ф^ <= (o»i/J.
*) См., например, Александре в [23].

320 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ.5
Бикомпакт L и есть пространство разбиения J. Ставим
в соответствие каждой точке | бикомпакта Х = ВХ\}В2 элемент
разбиения J, ее содержащий (т. е. точке | = \{ е= {щ1){ с Ви
соответственно | = |2 ^= (а>)/J с: В2> ставим в соответствие эле-
элемент разбиения, состоящий из пары точек ?1( |2, а точке
| е= Bi \ (cuj/X или \ е= В2 \ (a>i/J — элемент разбиения, состоя-
состоящий из этой точки |). Получаем, таким образом, непрерывное
отображение g бикомпакта X = Bi\JB2 на бикомпакт L. Ото-
Отображение g, рассматриваемое лишь иа Вх (лишь на В2),
является топологическим, так что множество gBi = B'iCzL,
i=l, 2, гомеоморфно бикомпакту Bi (т. е. В) и L = В\ (J В2,
причем В\[\ВГ2 есть отрезок ?' = g((u1/I = g((u1/J e L. Так как
dim?= 1 и, значит, dimBf = dimB2= 1, то по теореме суммы
dimL= 1.
Докажем, что indL^2 (доказательство неравенства indL^2
может быть предоставлено читателю).
Рассмотрим точку ^gL, полученную от склеива! ия точек
(со,, 0), е=В, и (со,, 0Jе=В2-
Докажем, что indg L = 2, т. е. что граница всякой доста-
достаточно тесной окрестности U = О| этой точки имеет размер-
размерность indrpt/=l. При этом от окрестности U достаточно
только потребовать, чтобы верхняя грань у0 пересечения этой
окрестности с отрезком ? = g(cu1/)i = g(cui/Jc: L была, напри-
например, < -к ¦ Точка у0 есть элемент разбиения $, являющийся
парой точек |'?=(©,/),, |" е= (<о,/J. При этом или ?'<^?>,, или
|' е= ?>, и |" е= D'2. Следовательно, по крайней мере одна из
компонент пары (?', |") является точкой второго рода. Пусть,
например, %'ф D^. Положим U\ = U {\В\. Тогда U\ есть окрест-
окрестность точки (со,, 0), бикомпакта Ви удовлетворяющая условиям
леммы 1. Следовательно, indrpi/i = l.
Но гр Ui = [?/,] \Uid[U]\U (так как если бы какая-нибудь
точка Ti e= [f/]] \ f/, лежала в С/,то, содержась в В[, оиа содер-
содержалась бы и в B'("|t/ = ?/i).
Итак, rpi/iSrpi/ и, значит,
ind гр U ^ ind гр i/i = 1,
что и требовалось доказать.
Замечание 2. Бикомпакт L есть сумма замкнутых мно-
множеств В\ и В'2, причем, как мы видели,
a indL = 2; поэтому пример Локуциевского показывает, что
теорема суммы для малой индуктивной размерности биком-
бикомпактов неверна даже в случае двух слагаемых. Неверна она
и для большой индуктивной размерности: легко видеть, что и

5 6] БИКОМПАКТЫ С НЕСОВПАДАЮЩИМИ РАЗМЕРНОСТЯМИ 321
Ind?=l, значит, и IndBi = IndB2= 1, тогда как
dL
2. Бикомпакт Федорчука. Обозначим через / полуинтервал
@,1] числовой прямой. Пусть #:/->• С2— такое непрерывное
отображение полуинтервала J в тор С2*), что каждый полу-
полуинтервал Jn = @, — посредством отображения g отобра-
отображается на всюду плотное подмножество Ап тора С2.
Пусть теперь S2 — сфера радиуса -^ в трехмерном эвклидо-
эвклидовом пространстве R3. Центр сферы S2 обозначим через о (на-
(начало координат в R3). Берем какую-нибудь точку х е S2. Опре-
Определим отображение hx:S2\{x}—*C2 равенством hx{x') =*
= 8(р(х>*')) (как всегда, через р(х,х') обозначается расстоя-
расстояние от точки х до точки х'). Функция р непрерывно отображает
множество 52\{х} (сферу с выколотой точкой) на полуинтер-
полуинтервал /, и отображение hx непрерывно, как суперпозиция двух не-
непрерывных отображений р и g.
Основное свойство отображения hx. Для всякого
непустого открытого множества W сг С2 и всякой окрестности U
точки х множество U[\h^W содержит замкнутое множество/7,
разбивающее сферу S2 на такие открытые множества D и Е,
что x^DczU. В самом деле, прообраз любой точки уеАл П
П W с С2 при отображении кх содержит окружность радиуса
<—, лежащую иа сфере 52 с центром на диаметре, проходя-
проходящем через точку х. Окружности эти сходятся к точке х. По-
Поэтому в качестве множества F можно взять любую из упомяну-
упомянутых окружностей, попавшую в —окрестность О (х, — j точки х
(при о(х, j)?(/j.
Пусть В = S2 X С2. Точки множества В будем обозначать
парами (х, у), где х «= 52, у «= С2.
Переходим к определению топологии на множестве В; она
задается посредством базы, элементы которой будем обозначать
через O(U, х, W), где U, соответственно W, — открытое под-
подмножество сферы 52, соответственно тора С2, причем хё(/,
Полагаем
О (U, х, W) = ({*} X W) U [(U П fhlW) X С2}.
Положим для краткости {4XW = Wx, {и f| h?W) XC2*=C/ {W*).
Тогда O(U, x, W) = Wx[jU(Wx).
*) Вместо тора С2 можно взять любой двумерный локально связный
континуум.
11 П, С. Александров, Б. А, Пасынков

322 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
, Проверим, что всевозможные множества О (U, x, W) обра-
образуют базу некоторой топологии т на В. Надо показать, что
для любых двух элементов О! и О2 базы и для любой точки
г е О! П О2 существует такой элемент базы О, что г е О s
= о, п о2.
Пусть Ot = O(Ut, Xt, Wi) и z = (x, у). Имеем
О, П О2 = [W? U Ux (W?)} П [W? U U2 (W?)) =
= {wv n wx2') и {wv п ?/2(wt)) и (ел Op*1) п у?) и
Если z e W*x П W21, то jci = лг2 = JC и в качестве О можно взять
множество О (?/, f] f/2, x, Wx П ^г). Если z<=W*l[\ U2 {W2l\
то дс, = х Ф х2 и в качестве О можно взять множество
О (?/i П ?/2 П Л7,'И72, х, Wi). Случай zet/, (tt^f1) f| W? аналогичен
предыдущему. Если же zg U\{Wx\){\U2{w2l), то в качестве О
можно взять множество
О (?/, П f/2 П h^Wi П ЛГ>2, ж, С2).
Таким образом, семейство {О(?/, Af, W)) является базой некото-
некоторой топологии т.
Очевидно, что топология т отлична от топологии прямого
произведения S2 на С2. В то же время топология т индуцирует
на каждом слое {х} X С2 обычную топологию тора С2. Про-
Пространство (В, т), как мы сейчас увидим, и есть искомый би-
бикомпакт 0.
Обозначим через я проекцию произведения В = S2 X С2 на
первый сомножитель. Проекция я является непрерывным ото-
отображением пространства 0 иа сферу S2. В самом деле, для
произвольного открытого множества f/ = SJ имеем я~'(?/) =
*=O(U,x,C2), где * —произвольная точка множества U. Обо-
Обозначим, как всегда, через п*А «малый образ» множества 'А =?
при отображении я, т. е. п*А = {х е S21 я (х) s A}.
1°. Основное свойство отображения я. Пусть со = {Оь ...
.... On} — произвольное конечное семейство открытых множеств
пространства В, покрывающих прообраз я* некоторой точки
х е S2. Тогда множество *.U n*O{ U • • • U я*О„ = О,,,* содер-
содержит некоторую окрестность точки х (фактически множество
Оих открыто и поэтому само есть окрестность точки х).
Доказательство. Без ограничения общности множе-
множества Ot можно считать базисными множествами вида O(Ui,
х, W-t) (этого всегда можно добиться в силу бикомпактности
тора л~1х, перейдя к более мелкой системе открытых множеств,

§ 6] БИКОМПАКТЫ С НЕСОВПАДАЮЩИМИ РАЗМЕРНОСТЯМИ 323
покрывающих я*). В этом случае п*О{ =¦ п*О (Ult x, Wt)z3
п
^> U{f\ hx Wi. Множество U = ("*) Ut является окрестностью
точки х. В силу того, что множества О (Ut, x, Wt) покрывают
множество п~1х = {х)ХС2, система {WJ является покрытием
тора С2. Поэтому
х U (U n*°i) => х U (U &' П fclWt)) => х U (U (U П fclW
4=1 / N.?=i / v=i
- х U (U П Л7'С2) = л: U (U П E2 \ *)) = ^ U (?/ \ х) - ?/,
что и требовалось доказать.
2°. Отображение я совершенно и неприводимо. Для замкну-?
тости отображения я, в силу предложения 11 из § 1 гл. 1, до-
достаточно доказать, что для любой точки х в любой окрестности О
ее прообраза я* найдется окрестность О\, являющаяся прооб-
прообразом некоторой окрестности 0 точки х. Это равносильно тому,
что малый образ п*О окрестности О содержит окрестность
точки х, а последнее вытекает из основного свойства отображе-
отображения я (берем систему О\, ..., Оп, состоящую из одного множе-
множества О). Таким образом, отображение я непрерывно, замкнуто
и бикомпактно (прообраз любой точки есть тор), т. е. совер-
совершенно.
Теперь покажем, что отображение я неприводимо*); для
этого достаточно доказать, что малый образ п*О любого непу-
непустого открытого подмножества О = В является непустым
открытым подмножеством 52. В силу замкнутости отображения
л множество я*О открыто, как дополнение до образа п(В\О)
замкнутого множества В\О. Множество п*О непусто, так как
для всякого базисного множества O(U,x,W) имеем
n*O(U,х, W) гэ U П hxlW (последнее множество непусто всилу
основного свойства отображения кх).
3°. Пространство 0 является бикомпактом. Докажем, что 0 —
хаусдорфово пространство. Пусть ги г2 е В и Z\ ф гг. Если
яг, Ф nz2, то, взяв у точек nZi и яг2 сферы S2 непересекающиеся
окрестности 1)\ и ?/г, получим непересекающиеся окрестности
ir't/i и я~'?/2 точек Z\ и г2. Если же nz\ = лг?, т. е. Z\ ^x{x, у{),
z2 *= (х, у2), то, взяв непересекающиеся окрестности W\ и W2
*) Отображение f: X -*¦ Y пространства X на Y называется неприводи-
неприводимым, если не существует собственного замкнутого подмножества Ф с: X, для
которого fO = Y. Неприводимость отображения / равносильна тому, что
малый образ непустого открытого в X множества непуст (Пономарев [1Ц.
11*

324 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II 1ГЛ. 5
точек у\ и у2 тора С2, получим непересекающиеся окрестности
O(S2,x, W\) и O(S2,x, W2) точек Z\ и z2 соответственно.
Бикомпактность пространства 0 вытекает из того, что 0 яв-
является прообразом бикомпакта S2 при совершенном отображе-
отображении я (см. гл. 1, § 7, предложение 14).
4°. Бикомпакт 0 содержит счетное всюду плотное множество
и удовлетворяет 1-й аксиоме счетности. Счетное всюду плотное
множество существует в бикомпакте 0, так как он неприводимо
отображается на сепарабельное пространство S2. Взяв счетное
всюду плотное на S2 множество {*ь ..., хп, ...} и выбрав по
точке гп из каждого прообраза п~1х„, получим счетное всюду
плотное в 0 множество {z\ г„, ...}. В самом деле, для
произвольного непустого открытого множества О а В непустое
открытое множество п*О содержит некоторую точку хп. Тогда
гп ея-'(*п) с: О.
Счетной базой окрестностей в точке г = (х, у) является се-
семейство {O(Um,х, Wn)}, где {Um} — счетная база в точке х,
{Wn} — счетная база в точке у.
5°. Бикомпакт 0 нельзя разбить никаким множеством Ф
размерности dimO^l. Пусть множество Ф разбивает биком-
бикомпакт 0; тогда 0 \ Ф = О, U О2, ОхфКф- О2, О, ("I О2 = Л. В силу
неприводимости отображения я, множества я*О, и п*О2 яв-
являются непустыми непересекающимися открытыми подмно-
подмножествами сферы S2. Следовательно, множество F = S2 \ (n*0j U
\Jn#O2) разбивает сферу S2, значит, dimF=indF^l, так как
сфера является канторовым многообразием *).
Пусть х—произвольная точка множества F, в которой
ind^F^l. Покажем, что п~'лг^Ф. Предположим противное:
пусть лг1* П (Oi U О2) Ф Л. Например, пусть (х, у) е О,. Суще-
Существует базисная окрестность О (U, x, W) точки (х, у), содержа-
содержащаяся в О\. Пусть теперь V—произвольная окрестность
точки х. Тогда, в силу основного свойства отображения hx,
множество U(\U f\h7lW содержит замкнутое множество F',
разбивающее сферу S2 на такие открытые множества D и Е,
что х е= D с U П U\ Тогда гр D <= F' s U (] U' A h»lW s U f] A* lW г
Sn*O(U, x, W)sn*Oy. Таким образом, в произвольной
окрестности U' точки х мы нашли меньшую окрестность D, гра-
граница которой не пересекается с множеством F. Это противо-
противоречит тому, что ind^F^l. Полученное противоречие показы-
показывает, что лг'ясгФ. Следовательно, множество Ф, содержа тор
{*}ХС2. по крайней мере двумерно, ч. и т. д.
6°. dim 0 = 2. Из предыдущего пункта следует, что dim 0!>2.
Докажем, что dim0^2. Пусть co = {Oi, ..., О„} — конечное
*) Доказательство этого последнего факта читатель может уже сейчас
прочесть в § 2 гл. 8. .

§ 6] БИКОМПАКТЫ С НЕСОВПАДАЮЩИМИ РАЗМЕРНОСТЯМИ 325
открытое покрытие бикомпакта в. В силу основного свойства
отображения я существует такой конечный набор точек
х Xk сферы S2, что прообраз п~1х всякой точки хфхи
/==1, ..., k, содержится в некотором элементе покрытия а.
I п \
В самом деле, обозначим через Ux множество x[)l[J n*Oi).
Множество Ux является окрестностью точки х. Из покрытия
{Ux \x e S2} сферы выберем конечное подпокрытие {Uxu ..., Uxk}.
п
Тогда, если хфхи 1=1,..., k, имеем x^\Jn*Ot, т. е.
t—i
прообраз п~1х содержится в некотором элементе покры-
покрытия со.
Рассмотрим следующее отношение эквивалентности 9* на
пространстве в: если пгфхь /=1, ..., к, то Щг) = п~1пг;
если nz = xit t=l, ..., k, то 9t(z) = z. Данное отношение
эквивалентности 9t определяет фактор-пространство 0/9t и фак-
факторное отображение / бикомпакта 0 на пространство 0/Й (см.
гл. 1, § 1, п. 7).
Пространство 0/SR хаусдорфово. В самом деле, пусть
ift(z,) ф^Я{г2). Если пг{Фпг2, то, взяв непересекающиеся
окрестности U{ и U2 точек nzx и пг2, видим, что множества
п~Ю{ и п~Ю2 являются непересекающимися окрестностями
множеств 9t(zi) и 9t(z2). Если же nzi = nz2, то точка nzi = nz2
совпадает с одной из точек xt, i=\, .... k. Поэтому 9^B]) = zr,
SH (z2) = z2. Тогда непересекающиеся базисные окрестности
О (S2, xh Wi) и О (S2, xt, W2) точек z{ и z2 будут отмеченными
относительно отображения f.
Пространство 0/С?, бикомпактное в силу непрерывности ото-
отображения f, обладает естественной проекцией g на сферу
S*: gfz = яг.
Так как отображение / факторно и я = gf, то g — непрерыв-
непрерывное отображение. Для всех точек х е S2, исключая точки Х\, ...
..., xh, прообразы g~lx одноточечны, а прообразы g~lXu i =
= 1, ..., k, гомеоморфны тору С2. Таким образом, бикомпакт
в/91 представляется в виде объединения сферы S2 с выколо-
выколотыми точками хь ..., х» и конечного числа торов С2, соответ-
соответствующих прообразам g~lx(, i = 1, ..., k.
Так как пространство 0/Я является суммой счетного числа
замкнутых двумерных компактов, то dim0/!R = 2.
В силу выбора точек *,, ..., xk отображение /: 0->-0/!R
является w-отображением. Таким образом, для любого конеч-
конечного открытого покрытия со пространства 0 существует со-ото-
бражение пространства 0 на некоторый двумерный бикомпакт,
откуда следует, что dim 0^2. - .

326 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 6
Замечание 3. Почти дословным повторением рассуждений, проведен-
проведенных в п. 6°, можно доказать более общее утверждение. Для этого примем за
определение основное свойство отображения я.
Определение (Федорчук [3]). Непрерывное отображение {¦ Х-*-У
называется вполне замкнутым, если для любой точки у е У и любого покры-
покрытия ш = {О\, ..., О„} прообраза f~'y точки у открытыми в X множествами
множество y[)f^O2[) ... \jf*On является окрестностью точки у.
Всякое вполне замкнутое отображение, очевидно, замкнуто. Имеет место
Предложение 1 (Федорчук [3]). Пусть f: Х-*-У — вполне
замкнутое отображение нормального пространства X на паракомпактное про-
пространство У. Тогда dim X ^ max {dim /, dim У}.
Интересно сравнить это утверждение с формулой Гуревича
dim X s? dim f + dim У
(см. гл. 9, § 2).
§ 7. Анализ неравенства Jnd X <dim X; пономаревские
пространства. Возвращение к пространствам со счетной базой
1. Вводные замечания. Нам понадобятся следующие уси-
усиления ранее введенных понятий.
Г. Усиление понятия измельчающейся системы покрытий.
Определение 1. Система % = {а} конечных покрытий про-
пространства X называется сильно1 измельчающейся, если для
любого замкнутого F с X и любой окрестности OF найдется
такое а е 91, что 3boFsOF. Система 51 = {а} называется кон-
финально измельчающейся (относительно конечных покрытий),
если ко всякому (конечному) открытому покрытию со найдется
вписанное в него покрытие а е 51.
2°. Усиление понятия следования.
Определение 2. Покрытие а' называется правильно вписан-
вписанным в покрытие а (или правильно следующим за ним) *), если а'
вписано в а и, кроме того, каждый элемент покрытия а есть
сумма содержащихся в нем элементов покрытия а'.
Замечание 1. Очевидно, понятие правильного следования
удовлетворяет аксиоме транзитивности: если а" правильно сле-
следует за а', а а' за а, то а" правильно следует за а. Мы будем
применять понятие правильного следования лишь к замкнутым
покрытиям.
Важно также с самого начала заметить: если покрытия а
и а' суть так называемые (конечные) разбиения пространства X
(гл. 1, § 6), то правильное следование покрытия а' за покры-
покрытием а, очевидно, тождественное обычным следованием (т. е. озна-
означает просто, что а' вписано в а).
•) Это понятие, впервые введенное, по-видимому, Проскуряко-
Проскуряковым [1], получило многочисленные применения в работах Зайцева [2]
о проекционных спектрах.

§71 АНАЛИЗ НЕРАВЕНСТВА Ind X< dim X 327
Определение 3. Семейство 91 = {а} конечных замкнутых
покрытий называется правильно направленным, если оно напра-
направлено по отношению к правильному следованию как отношению
порядка, т. е. к любым двум покрытиям а и а' существует
покрытие а", правильно следующее как за а, так и за а'.
Этот параграф посвящен найденным В. И. Пономаревым *)
достаточным условиям для неравенств ind A" < dim А" и Ind А" <
<dimA". Пусть dim А" = п. Тогда в пространстве А" имеются
сколь угодно мелкие замкнутые покрытия кратности п + 1;
оказывается, что для неравенства ind A" ^ dim A" = n достаточно,
чтобы в А" существовало измельчающееся правильно напра-
направленное семейство замкутых конечных покрытий кратности
^я+ 1. Класс пространств, выделенный таким образом Поно-
Пономаревым, весьма обширен и естествен: мы тут же докажем,
что пространства со счетной базой в него входят, а так как
пространства со счетной базой финально компактны, то для них
и получается равенство dim A" = ind А" и даже dim A" = ind А" =
= IndA\ В гл. 6 этот результат будет усилен: будет показано,
что все конечномерные метризуемые пространства являются
пономаревскими. Заметим, что в классе пономаревских про-
пространств содержатся все конечномерные фактор-пространства
локально бикомпактных групп (С к л яренко [6]) и для них
dirn X = ind A" = Ind А" (Пасынков [4]).
2. Первая теорема Пономарева. Теорема 10. Если в про-
пространстве X имеется измельчающаяся, соответственно сильно
измельчающаяся, правильно направленная система 91 = {а} замк-
замкнутых покрытий а = {At Asj кратности<гс + 1, то indX<п,
соответственно Ind X ^ п. ¦
Доказательство обоих утверждений этой теоремы (т. е. нера-
неравенств indX^/i в случае измельчающейся и Ind А" ^я в случае
сильно измельчающейся системы покрытий), по существу, одно
и то же; мы будем вести его по индукции. При п = 0 покрытия
а = {Л?, ..., А$ } имеют кратность 1, т. е. состоят из дизъюнкт-
дизъюнктных замкнутых—очевидно (вследствие дизъюиктности), открыто-
замкнутых — множеств. Поэтому, если для даииой точки х е X
и ее окрестности Ох (соответствеино для данного замкну-
замкнутого F czX и его окрестности OF) мы возьмем такое а е 91,
что Зв0* = Ох (соответствеино 3b0F s OF), то и получим окрест-
окрестность О1* = 3ва* (соответственно O,F = 3boF) с пустой гра-
границей, лежащую в заданной окрестности Ох (соответствеино OF).
Следовательно, будем иметь ind X = 0 (соответствеино Ind X = 0).
Итак, при я = 0 оба утверждения теоремы верны. Пред-
Предположим теперь, что утверждения нашей теоремы верны для
я— 1. Докажем их для п.
*) См. Александров н Пономарев [1] и Поио м а ре в [3].

328 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. б
Будем доказывать второе неравенство IndAT^/i: в предпо-
предположении, что система 91 = {а}, состоящая из покрытий крат-
кратности ^я + 1, сильно измельчается, будем строить для каждого
замкнутого РсХи его произвольной окрестности OF меньшую
окрестность OXF, удовлетворяющую условию Indrp 0{F ^.n—1.
Доказательство неравенства indX^/i получим, предпо-
предполагая, что множество F состоит из одной лишь точки х, а си-
система 91 просто измельчающаяся.
Итак, возьмем такое а0 е 91, что Зва„Р s OF. Так как по-
покрытие а0 замкнутое, то [3b0|)F] = 3Ba0F s OF.
Множество Л?'е о^назовем синим, если А?" (} F Ф А, красным,
если A(}°(]F = A.. Обозначим через Ф объединение всех красиых
множеств. Множество Ф замкнуто, множество V = X \ Ф открыто
и является окрестностью множества F. Докажем, что эта
окрестность искомая.
Прежде всего, очевидно, что
Остается доказать, что Indrp V <п— 1. Для этого —на
основании индуктивного предположения — в свою очередь доста-
достаточно показать, что в гр V имеется сильно измельчающаяся пра-
правильно направленная система замкнутых покрытий кратности ^я.
Заметим прежде всего, что
гр V = X \ V = Ф.
Пусть покрытие а правильно следует за а0 (мы записываем
это так: а )>• а0); возьмем какую-либо точку у е гр V. Она со-
содержится в некотором Л™. Так как уеФ, то у содержится
в некотором красном Л™', которое — в силу правильного следо-
следования а )>ао — есть сумма содержащихся в нем Af. Итак, всякая
точка у е гр V содержится в некотором Л/, которое в свою
очередь содержится в некотором красном Л?°. Поэтому, если мы
|при данном а >> а0) рассмотрим все те Л/, которые содер-
содержатся в Ф, то, полагая для каждого из них
Я? = Л?ПгрК, Л^сгФ, а>а0,
получим замкнутое покрытие Р0 = {в"} множества гр V. Легко
видеть, что {ро} — правильно направленная система покрытий.
Докажем, что {Ро}— сильно измельчающаяся система покры-
покрытий. Пусть даны замкнутое множество F' Е гр V и произвольная
его окрестность UF' в пространстве Х' = грК. Тогда UF' =
=¦ OF'f)rp V, где OF'—некоторая окрестность, множества F'
в пространстве X. Существует такое а, е 91, что Зв0, F' E OF'.

§ 7) АНАЛИЗ НЕРАВЕНСТВА Ind X < dim X 329
Возьмем а, правильно следующее и за а0 и за щ. Тогда
Зва F ? Зва, F <= OF'.
Покрытие ро определено, причем
F' s ЗвРо F' = Зва F' П гр V <= OF' П гр V = С/Г.
Этим утверждение о сильном измельчении покрытий ра дока-
доказано. Остается доказать, что кратность покрытия ро не пре-
превосходит п. Пусть какая-нибудь точка у е гр V, пусть содер-
содержащие ее элементы покрытия р0 суть Б", ..., ?". Надо дока-
доказать, что г ^ п.
Положим г|50 = ЗваУ; множество а|)а замкнуто в X, поэтому
из очевидного включения V S г|5а вытекает включение [У] ? г|50 и,
значит, г/ е гр V S гE0. Следовательно, существует такое Л" е а,
что у е Л™, У П Л™ ?fc Л. С другой стороны, так как ^
... П Впт> то у <= i4?j П • • ¦ П Л?г, где все А^, ..., Л?г содержатся
в Ф = Х\ V и, значит, заведомо отличны от Л"; итак, у содер-
содержится в г+1 элементах покрытия а, так что г + 1 «^я + 1,
г^п. Теорема доказана.
Сделаем несколько замечаний по поводу доказанной теоремы.
Предложение 1. Пусть в пространстве X имеется направ-
направленная (сильно) измельчающаяся система конечных разбиений
кратности п + 1 •
Тогда в каждом подпространстве В cz X, являющемся пере-
пересечением каких-либо р + 1 элементов произвольно фиксирован-
фиксированного разбиения а0 е 21, имеется правильно направленная (сильно)
измельчающаяся система замкнутых покрытий кратности
<! п — р + 1 и, следовательно, ind B^.n — p, соответственно
IndB<[n — p.
В самом деле, г.улъ а0 = {Л0 As} пВ = А0{] ... (]АР.
Возьмем произвольное а е 21, а > а0( и обозначим через
Л", ..., Л"г(а) все те элементы покрытия а, которые содер-
содержатся в Ло; положим
оР ()
Семейство S3 = {ра} есть правильно направлениое (сильно) измель-
измельчающееся семейство покрытий пространства В.
Докажем, что кратность каждого покрытия ро не превосхо-
превосходит п — р-\- 1. Действительно, пусть xefiff] ... f\B^. Так как

330 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
х е At при /=1, 2, ..., р, то для каждого из этих I можно
выбрать содержащий точку х определенный элемент Al^sAt
покрытия а. Так как Аи ..., Ар суть различные элементы раз-
разбиения ао, то все отобранное нами Л?<о суть различные эле-
элементы покрытия а. Кроме того, имеется q элементов Л°'еа,
также содержащих точку х. Значит, точка х принадлежит
к р + q различным элементам покрытия а, кратность которого
^п + 1. так что p-\-q^n-\- \, q^.n — р-\-\, что и требова-
требовалось доказать.
Замечание 2. Так как правильное следование и правиль-
правильная направленность совпадают в случае разбиений с обычным
следованием и обычной направленностью, то утверждение
indXs^n, соответственно IndJf^n, имеет место во всяком
пространстве X, в котором существует направленная измель-
измельчающаяся, соответственно сильно измельчающаяся, система
разбиений кратности =^« + 1. Если при этом X есть п-мерный
бикомпакт или хотя бы n-мерное сильно паракомпактное про-
пространство, то будем иметь dimX = ind X = lndX = n.
Требование (правильной) направленности семейства покры-
покрытий 91 = {а} в теореме 10 совершенно существенно. В самом
деле, рассмотрим бикомпакт X, для которого dimX = n< indX
(например, бикомпакт Локуциевского, построенный в § 6 для
п = 1). В любое открытое покрытие любого n-мерного биком-
бикомпакта можно вписать разбиение кратности п-\-\, так что заве-
заведомо существуют даже сильно измельчающиеся системы раз-
разбиений кратности л+ 1. Однако ни одна из таких систем не
является в случае dimX = n<indX направленной. Нет ничего
легче, как дополнить данную систему разбиений до напра-
направленной системы разбиений. Однако из первой теоремы Поно-
Пономарева следует, что в нашем случае, какую бы измельчаю-
измельчающуюся систему разбиений кратности =^п+ 1 мы ни взяли, при
любом пополнении ее до направленной неизбежно появятся
разбиения кратности >п-\- I. Этот «отрицательный» результат
-является, может быть, самым интересным следствием первой
теоремы Пономарева.
3. Случай пространств со счетной базой. Как мы знаем
(гл. 1, § 6, предложение 13), во всяком пространстве X со счет-
счетной базой имеется счетная измельчающаяся последовательность
конечных открытых покрытий.
Лемма 1. (Проскуряков [1]). Во всяком п-мерном про-
пространстве X со счетной базой существует такая счетная измель-
измельчающаяся последовательность
0) а,, а2, .... а„, ...
замкнутых покрытий ат кратности ^ п + 1, что при любом пг
покрытие ат+1 вписано в покрытие ат.

§Я АНАЛИЗ НЕРАВЕНСТВА IndX< dim X 331
Доказательство. Пусть
B) а ап, ...
— какая-нибудь измельчающаяся последовательность открытых
покрытий пространства X. Берем произвольное вписанное в at
замкнутое покрытие р, кратности s^n-fl (такое покрытие р,
существует потому, что dimX^n). Слегка «раздуваем» покры-
покрытие ft, превращая его в открытое покрытие coi = {oj, ..., OvJ,
элементы которого суть столь тесные окрестности элементов
покрытия р,, что покрытие ai = {[o!], ..., [Olv]}, имея ту же
кратность, что и рь вписано в ох.
Пусть уже построены такие открытые покрытия со* == {о[, ...
..., Otj, /=1, 2, ..., т, что
1) покрытие (Hi вписано как в покрытие oi, так и в по-
покрытие ©г-,;
2) покрытие сц = {[о{], .... [oJJ} имеет кратность <я+1.
Берем замкнутое покрытие рт+, кратности ^п + 1, вписан-
вписанное в покрытие Ovn+i Л сот. и раздуваем его в такое ©m+,=
= {ОГ1 О^;,}, чтобы am+I = {[0?+l] [OZ+IJI все еще
имело кратность ^«+1 и оставалось вписанным в ат+\ Л ®т-
Последовательность ai, a2, ..., am, ..., очевидно, есть иско-
искомая. Лемма 1 доказана.
Предложение 2(Куратовский[2]). Всякое п-мерное
пространство X со счетной базой является образом некоторого
нульмерного пространства Во со счетной базой при непрерывном
замкнутом неприводимом отображении f: BQ-+X, имеющем
кратность =^п + 1.
Доказательство. Пусть а,, а2 ат, ... — последова-
тельность замкнутых покрытий пространства X из леммы 1,
ат = [FT, ..., F%J. Положим еще ao = {X}, rf — X, yo= 1 и по-
построим счетную последовательность пространств X = Xq, Xu ...
..., Хт, ... со счетной базой. Каждое из пространств Хт мы
следующим образом определим как множество, лежащее в про-
произведении А"Х{1> • • •! vm} пространства X на отрезок {1, ..., vm}
натурального ряда: мы определяем Хт равенством A'm =
ХШ, т. е. (х, j)z=Xm4=$x(=F?. Заметим, что множества
открыто-замкнуты в Хт.
Построим теперь непрерывное замкнутое отображение
К Xm+l-*Xm ДЛЯ ВСЯКОГО Ш =0,1,2,... ПуСТЬ (х, /) S
' Через /о обозначим наименьшее из таких

332 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОВ1ЦЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 8
чисел, что множество Ff+l содержится в элементе Ff, покры-
покрытия ат, наконец, положим
Построенное отображение /^+I гомеоморфно отображает от-
открыто-замкнутое подмножество Ff+i XU) пространства Xm+i
на замкнутое подмножество Ff+l X{/o}c: Ff, X{/o) простран-
пространства Хт. Так как пространство Xm+i является дизъюнктной
суммой таких открыто-замкнутых подмножеств, то отображе-
отображение /™+| замкнуто и непрерывно.
Последовательность
C) X=sXq<—^i"*"—^2'*—••
определяет обратный спектр (см. Прибавление к гл. 1, § 1)
fm fk+l ст-\ cm
Обозначим через Z предел этого обратного спектра и через
fт: Z -> Хт — его проекции в элементы спектра 5, т = 0, 1, 2, ...
Заметим, что отображение f?+l: ^m+i->^m не меняет пер-
первой координаты точки (x,/)elm+|. Этим же свойством обла-
обладают, следовательно, и все отображения fm, в частности
fo- Xm->X. Таким образом, в точку яеХ при отображении f™
отображаются лишь точки (х, /,),..., (x,js)^Xm, где хе
eF/|, ..., x^Ffs. Значит, кратность отображения f": Хп-*-Х
в точке х е X совпадает с кратностью покрытия ат в этой
точке и поэтому не превосходит п + 1.
Так как все отображения f? замкнуты, непрерывны и ко-
нечнократны (следовательно, совершенны), а отображения
f™: Xm->X суть отображения на X, то отображение f0: Z-+X
также замкнуто (см. Прибавление к гл. 1, § 1, предложение 12).
Кратность проекции f0: Z-+X также не превосходит п+1.
Действительно, пусть для некоторой точки х е X множество f^x
содержит по крайней мере п + 2 точек zlt /=1, ..., га+ 2.
Из предложения 10 § 1 Прибавления к гл. 1 вытекает суще-
существование такого номера т, что точки fmzlt i=\, ..., га+ 2,
попарно различны. Так как
Z х, I = 1, ..., га + 2,
то отображение f™ имеет кратность ^ га + 2. Полученное про-
противоречие доказывает, что кратность fo^«+ 1«

§71 АНАЛИЗ НЕРАВЕНСТВА Ind X<dImX 333
Таким образом, отображение /0 — непрерывное, замкнутое
и (« + 1)-кратное отображение пространства Z на простран-
пространство X; пространство Z, как предел счетного спектра из про-
пространств со счетной базой, имеет счетную базу. Покажем, что
пространство Z нульмерно. Базу окрестностей точки 2eZ обра-
образуют множества вида /~'O/mz> где Ofmz — окрестность точки fmz
в пространстве Хт. Пусть f m2 <= Ff X {/}. Тогда существует
такая окрестность U точки x = foz в пространстве X, что Ofmz =
= (и П Ff) X {/}• Так как последовательность а,, <х2, ..., ат, ...
измельчающаяся, то существует такой номер mQ ^ т, что
3Bxam, с- ^* Возьмем точку /^г. Существует такое множество
С е «.,' чт0 f *.* е С X {/о}- Тогда fm * - (х, /0) и F* с= Звхат,
Так как f%fmz = fm*^F™X{i}, to по определению отображе-
отображения fl' имеем f^ifl' X {/0}) <= FJ X {/}. Сопоставляя это с вклю-
включениями F"j° с Звхато с: U, получаем
Тогда ^' X {/о} с= (f^)"' 0fm2 и тем более
f z
Таким образом, в базисной окрестности fml0fmz точки z содержит-
содержится открыто-замкнутая окрестность f~^ (р X {/0}) (множество
f™'X[/0) открыто-замкнуто в XmJ. Следовательно, indZ = 0.
Отображение f — fo может не быть неприводимым. Однако,
так как всякое конечнократное отображение, очевидно, биком-
бикомпактно, то существование замкнутого Во с: Z, которое посред-
посредством f неприводимо отображается на X, вытекает из следую-
следующей общей леммы, доказательство которой и завершает дока-
доказательство предложения 2:
Лемма о существовании неприводимых ото-
отображений. Пусть f: Z -*¦ X — произвольное бикомпактное ото-
отображение произвольного пространства Z на пространство X.
Тогда существует такое замкнутое в Z множество, которое по-
посредством f неприводимо отображается на X.
Доказательство леммы. Полагаем ZQ = Z и предпо-
предположим, что для всех порядковых чисел ц < Я определено замк-
замкнутое Z^, так что fZ^ — X и при ц" > ц' имеем Z^olZ^. Если
к — непредельное число, Я = ц+ 1, и f неприводимо на Z^, то
построение закончено и лемма доказана.
Если же f на Z^ не является неприводимым, то существует
замкнутое Z^crZ^, которое посредством / отображается на все X.

334 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. It 1ГЛ. »
Пусть А, — предельное трансфинитное число. Тогда полагаем
ZK = |~) Z^ и доказываем, что Z% непусто. Более того, дока-
зываем, что для любой точки х^ X непусто множество f*!")Z\.
Это вытекает из того, что f~'*nZji= f") if~l (x)(]Zv), а множе-
множена
ства /~'jc П -^ц образуют вполне упорядоченную убывающую
систему непустых замкнутых множеств бикомпакта f~lx. Итак,
Zx не только непусто, но отображается посредством f на все
пространство X. Индукция идет дальше и заканчивается лишь
на таком Zx, которое посредством f неприводимо отображается
на X. Лемма доказана.
Из предложения 2 легко выводится, что во всяком п-мериом
пространстве X со счетной базой имеется сильно измельчаю-
измельчающаяся правильно направленная система замкнутых покрытий
кратности s^n+1, откуда в свою очередь вытекает, что
IndX^n = dimX. Однако мы тот же результат получим из
более общего предложения, доказательство которого ничуть не
сложнее.
Предложение 3 (вторая теорема Пономарева). Всякое
пространство X, являющееся образом нульмерного вполне регу'
лярного пространства*) Z при (п + \)-кратном замкнутом не-
непрерывном отображении f: Z-+X, имеет сильно измельчающееся
направленное множество разбиений кратности ^ п + 1, и, сле-
следовательно, для него indX^n.
Доказательство. Без ограничения общности можем
считать отображение f неприводимым. В противном случае мы
заменили бы (на основании только что доказанной леммы) про-
пространство Z его замкнутым подпространством, на котором f
неприводимо.
Берем семейство 21 = {а} всех конечных дизъюнктных раз-
разбиений
пространства Z. Покрытие а состоит из открыто-замкнутых
множеств Л", /= 1, 2, ..., sa. Семейство 21 = {а}, направленное
обычным образом (считая а' > а, если а' вписано в а), является
конфинально измельчающимся (в силу нульмерности простран-
пространства Z).
Положим
h - (М? M?J •
*) При этом мы вполне регулярное пространство Z называем нульмер-
нульмерным, если во всякое его конечное открытое покрытие можно вписать (ко-
(конечное) дизъюнктное (открыто-замкнутое) покрытие. В этом случае про-
пространство Z автоматически нормально.

« TI АНАЛИЗ НЕРАВЕНСТВА IndX<dlmX 335
Тогда fa имеет кратность <п+1. В самом деле, если хе
еМ?,Г) ... ПМ?,, то в каждом Л°А, k=l, ..., г, имеется
точка zse^, для которой x = fz\= ... =fzr, поэтому
Лемма 2 (Пономарев [3]). Если f: Z->X — замкнутое
неприводимое отображение и F — канонически замкнутое под-
подмножество пространства Z, то множество fF канонически замк-
замкнуто, а множество f*{F) всюду плотно в fF и является его
ядром.
Доказательство. Предположим, что f (F) не всюду
плотно в fF. Тогда существует такое открытое в X множество U,
что f*(F)(]U = A, U[)fF=?A, следовательно, и rlf/fl F ф А.
Но открытое множество f~lU, пересекаясь с канонически замк-
замкнутым множеством F, пересекается также с его ядром (F).
Поэтому можество f*({F)[\f~l (?/)) непусто, как малый образ
непустого открытого множества при неприводимом отображении.
Это противоречит тому, что f* (F) |"| U = Л. Таким образом,
открытое множество f*(F) всюду плотно в замкнутом множе-
множестве fF, которое в силу этого канонически замкнуто. Тогда
малый образ канонически открытого множества канонически
открыт, и поэтому канонически открытое множество f {F),
будучи плотным в fF, является его ядром. Лемма доказана.
Непосредственным следствием леммы 2 является
Лемма 3 (Пономарев [3]). Если f: Z->X — неприво-
неприводимое замкнутое отображение, то образ fa = {f A", ..., f Л"} раз-
разбиения а = [А?, .'.., Л?} пространства Z есть разбиение про-
пространства X.
Заканчиваем доказательство предложения 3. Если а' > а,
то и fa' > fa, так что семейство f2l = {fa} является направлен-
направленным. Оно конфинально измельчающееся относительно конечных
покрытий (следовательно, сильно измельчающееся).
В самом деле, пусть co = {Oi О$} — произвольное откры-
открытое покрытие пространства X. Берем его прообраз f~'co =
— [f~lOu ..., f~lOs). Существует вписанное в покрытие f~'co
пространства Z разбиение а. Тогда fa вписано в со. Предло-
Предложение 3 доказано.
Вернемся к пространствам X со счетной базой. Из первой
теоремы Пономарева, предложений 2 и 3 и из ранее доказан-
доказанного для этих пространств неравенства dim X «^ ind Я" следует
равенство dim A"=ind A" = IndX для всех пространств со счет-
счетной базой.
Далее, мы доказали (предложение 2), что всякое п-мерное
пространство со счетной базой размерности ^« есть образ

336 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
некоторого нульмерного пространства Во со счетной базой при
некотором непрерывном замкнутом отображении кратности
^п+ 1, тогда как из предложения 3 следует, что всякое про-
пространство X со счетной базой, являющееся (п + 1)-кратным
замкнутым образом нульмерного пространства со счетной базой,
имеет размерность dimX^n.
Итак, доказана
Теорема 11 (Куратовский [2], Гуревич[3]). Раз-
Размерность пространства со счетной базой X есть наименьшее
такое целое п^О, что X может быть представлено как образ
некоторого нульмерного пространства Bq со счетной базой (т. е.
множества, лежащего в канторовом совершенном множестве) при
замкнутом непрерывном отображении f кратности п+ 1.
Из предложений 1, 2 и 3 вытекает также
Теорема 12 (Менгер [3]). В п-мерном пространстве X
со счетной базой существует измельчающаяся последователь-
последовательность разбиений 23 = {рт}, обладающих свойством (Р):
(Р) Пересечение любых р элементов каждого рт имеет раз-
размерность ^ п — р + 1 (так что все рт суть покрытия кратности
<л+1).
Если X — компакт, то последовательность S3 является кон-
финально (значит, и сильно) измельчающейся. Если же X — не
компактное пространство со счетной базой, то в X имеется
направленная (но необходимо несчетная) конфинально измель-
измельчающаяся система разбиений, обладающая свойством (Р) и,
следовательно, состоящая из покрытий кратности ^п+1.
4. Общий случай. Теорема 13 (третья теорема Понома-
Пономарева). Если в пространстве X имеется измельчающаяся напра-
направленная система разбиений кратности ^п-\- 1, то X является
образом тихоновского пространства ZQ, имеющего размерность
indZ0=0 и, следовательно, лежащего в некотором дисконти-
дисконтинууме Dx, при некотором неприводимом непрерывном замкнутом
отображении f: Zo->-X кратности =^« + 1.
Доказательство этой теоремы, по существу, аналогично до-
доказательству предложения 2. Пусть
« = {„}, а=М?,....Л?в},
— измельчающаяся направленная система разбиений простран-
пространства X. Будем считать, что система Я содержит разбиение oq,
состоящее из одного элемента X. Для каждого разбиения а е 21
следующим образом определим пространство Ха как замкнутое
подмножество произведения 1Х{1, ..., sa} пространства X
на отрезок {1, ..., sj натурального ряда:

АНАЛИЗ НЕРАВЕНСТВА Ind X < dim X 337
т. е. (х, /)еХ„^д;еЛ". Заметим, что множества Л"Х{/}
открыто-замкнуты в Ха.
Построим теперь непрерывные отображения fa'. Ха'-*Ха
для всех пар а, а' таких, что а < а'. Пусть (х, /') е Af' X
X {/'} s Ха>- Существует единственный элемент Af разбиения а,
содержащий множество Л"'. Положим
Непрерывность отображения f% очевидна (она доказывается
так же, как в предложении 2 доказывается непрерывность
отображения fm+I)- Покажем, что fl" = ftfa" для а < а' < а".
Пусть (х, /")еЛ?:Х{|"} = ^. Тогда ?"(*, /") = (*, !) и
fa fa' (x, j") = fa (x,j') = (x, /). Таким образом, определен обрат-
обратный спектр 5 -- {Ха, f2'}.
Обозначим через Z предел этого обратного спектра и че-
через fa: Z~*Xa — его проекцию в элемент Ха спектра 5, a e %.
Пространство Z вполне регулярно, как предел обратного спектра
из вполне регулярных пространств (см. § 1 Прибавления
к гл. 1). Доказательство того, что indZ = 0, и того, что
fa,: Z-+Xat> = X есть не более чем (п + 1)-кратное замкнутое
отображение на X, дословно повторяет доказательство анало-
аналогичных утверждений в предложении 2. Далее так же, как и
при доказательстве предложения 2, выбирается замкнутое под-
подмножество Zo s Z, на котором отображение fa<, неприводимо.
Теорема 13 доказ-ана.
Замечание 3. Если X — бикомпакт, то пространство Zo
бикомпактно, как совершенный прообраз бикомпакта (см. пред-
предложение 14 из § 7 гл. 1). Таким образом, Zo нульмерно во
всех смыслах (dim Z0 = mdZ0= IndZ0 = 0). Сопоставляя вто-
вторую и третью теоремы Пономарева, попучаем следующий окон-
окончательный результат:
Теорема 14. Если в бикомпакте X, dim^ = n, имеется
измельчающееся множество разбиений кратности ^п+ 1. тоX
является образом нульмерного бикомпакта Zo при неприводи-
неприводимом непрерывном отображении f кратности ^ п + 1 • Обратно,
если бикомпакт X есть образ нульмерного бикомпакта при не-
непрерывном отображении кратности s^n-fl, то вХ имеется
даже конфинально измельчающееся направленное семейство
разбиений кратности ^п+1 и, значит, dimX^.n, indX^
^X ^п. Если при этом dimX = n, то п = dim X = ind X =
Теперь читателю, вероятно, не покажется немотивирован-
немотивированным следующее

338 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
Определение 4. Пространство X конечной размерности
dimX = n называется пономаревским пространством размер-
размерности п (или совершенно п-мерным пространством), если в X
имеется сильно измельчающаяся направленная система разбие-
разбиений кратности п+ 1.
Из доказанного следует, что для всякого пономаревского
сильно паракомпактного пространства имеет место равенство
dim X = ind X = Ind X (см. гл. 4, § 8, п. 1). Пономаревские
бикомпакты размерности п характеризуются среди всех биком-
бикомпактов X размерности п тем, что они и только они являются
образами нульмерных бикомпактов прн непрерывных непри-
неприводимых отображениях кратности ^п+1-
§ 8. Теорема о перегородках
Мы будем в этом параграфе обозначать через (А, В) пару
непустых дизъюнктных замкнутых множеств нормального про-
пространства X. Перегородку между множествами А и В назы-
называем перегородкой для пары (А, В).
Теорема 15 (теорема о перегородках)*). Пусть dimX=n.
Тогда, каковы ?ы ни были пары
перегородки Cif ..., Сп+1 для этих пар всегда можно выбрать
так, чтобы f*)Cft = A. В то же время всегда существует п та-
ких пар
(Аи В,). •••• (At. ЯД
что при любом выборе для них перегородок Си ..., Сп пере-
п
сечение (*\Ck непусто.
Пример. (Аи 5,), (Л2, В2) — пары противоположных сто-
сторон квадрата. При любом выборе перегородок С,, С2 их пере-
пересечение непусто (элементарное доказательство нетрудно, но
нетривиально).
Очевидно, теорему о перегородках можно формулировать
и так:
Для того чтобы было dim X ^ п, необходимо и достаточно
следующее условие:
*) См. Отто и Эйленберг [1] для пространств со счетной базой я
Хеммингсви [1] для нормальных пространств.

§ ej Теорема о перегородках 339
A) для любых п+1 пар (Аи В,), ..., (Ап+и Bn+i) суще-
существуют перегородки Си ..., Сп+1 с пустым пересечением
п+1
fci
В этой формулировке мы и будем доказывать теорему.
Лемма 1 •). Если для пар A) существуют перегородки
Си ..., Cn+i с пустым пересечением, то существуют и пере-
перегородки
C'i=>Ct,
являющиеся замкнутыми G&множествами и также имеющие
пустое пересечение.
Доказательство леммы 1. Пусть для пар A) выбраны
перегородки С , С„+1 с пустым пересечением. По теореме
о раздутии (гл. 1, § 10) существуют такие окрестности ОСи ...
..., ОСп+{ этих перегородок, что система {ОСи ..., ОСп+1)
подобна системе {С,, ..., С„+1}. В частности, []OCt = A. При
этом всегда можно предполагать, что
OCi{\(Ai\}Bt) = A, i=l я+1.
В качестве множества С\ берем произвольное замкнутое Ge-MHo-
жество, для которого CtsC't^. OCt. Такие множества С{ су-
существуют в силу предложения 4 § 10 гл. 1. Очевидно, что
пересечение всех множеств С\ пусто. Остается доказать, что
каждое С\ является перегородкой для пары (А(, В{).
Но Ct есть перегородка, поэтому
значит, так как С* s C\ s X, имеем
X = ОА{ U Ct U ОВс,
Так как С\ замкнуто и не пересекается ни с Alt ни с Ви то
множества OAi \ d и OBi \ С\ открыты и содержат соответ-
соответственно Ai и Bi, т. е. являются (очевидно, дизъюнктными)
окрестностями О'А{ и O'Bt этих множеств, так что мы имеем
разбиение
X\Ct = O'Al\J.O'Bt.
Итак, С\ есть перегородка для пары (At, B{), и лемма 1
доказана.
*) В случае метрнзуемого X эта лемма тривиальна (т. е. в метрическом
пространстве X всякое замкнутое множество есть С)

340 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИЙ РАЗМЕРНОСТИ. It [ГЛ. S
Переходим собственно к доказательству теоремы о перего-
перегородках.
Условие A) достаточно. Пусть оно выполнено; докажем, что
dim-Y^rt, т. е. что всякое непрерывное отображение f про-
пространства X в (п + 1)-мерный куб
Q"+'={-l</f<l}, *=1, 2, .... я+1,
несущественно.
Записываем отображение f в виде системы непрерывных
функций fx = {flx, ..., fn+lx), — 1</,л;<1, при 1 = 1, 2, ...
.... п-\- 1. Обозначаем через Sn границу куба Qn+\ т. е. мно-
множество всех точек (tu t2, •••, tn.+\)> Для которых хотя бы для
одного i=\, 2, ..., п + 1 имеем /4— ±1, и полагаем O = f~1Sn,
' '1) (при i=l, 2 n+l). Тогда
Согласно условию A) мы можем найти для всех пар (Ait Bi)
такие перегородки d, что f^Q=A; при этом, согласно лемме 1,
мы можем предположить, что эти перегородки являются замк-
замкнутыми Gj-множествами. Итак,
Так как множество OA([)Ci = X \ОВ( замкнуто в нормаль-
нормальном X, то оно само является нормальным пространством,
в котором даны замкнутое Ов-множество Сг и замкнутое А(,
не пересекающееся с Ct. Поэтому, по лемме Веденисова, можем
построить (для всех i= 1, 2, ..., п+ 1) непрерывную на
OAt UС, функцию g't(x), -Kg^W^O, имеющую множе-
множество С( множеством всех своих нулей и равную — 1 на At.
Точно так же на нормальном пространстве OBi \JC{ строим
для каждого /=1, 2 п-\- 1 непрерывную функцию g'( (x),
Q^g"(х)^.1, имеющую множество Ct множеством всех своих
нулей и обращающуюся в I на множестве Bt.
Так как (ОА(UС,)f] (OB(UС,) = Ct и на С, функции ц\(х)
и g" (х) совпадают, то, полагая
»(*)-$»(*) на OAt[)Ct,
№ = g"t(x) на

$ 81 ТЕОРЕМА О ПЕРЕГОРОДКАХ 341
получаем непрерывную во всем пространстве X функцию gt(x),
¦—l^>8t{x)^\, обращающуюся в нуль во всех точках мно-
множества Ct и только в них. Функции gi (х) определены для всех
/=1, 2, ..., л+ 1.
Полагая
получаем непрерывное отображение g пространства Хвкуб Qn+l.
При этом отображении центр @, 0 0) куба не является
образом никакой точки х0 е X; в самом деле, если бы было
gx0 = @, 0 0), то для х0 были бы
т. е.
*osC,f| ••• С\Сп+и
что невозможно, так как по предположению С, (] • • • П Cn+i=A.
Поэтому на отображение g можно наложить проекцию я из
центра куба на его границу и получить отображение
G = ng: X-+Sn.
Посмотрим, как ведут себя отображения g и G на множе-
«+1
стве Ф = f~1Sn — U (At U Bt).
Если *еФ и, например, хеД, (соответственно x^Bt),
то
fiX = — 1 (соответственно ftX= 1).
Но тогда и
giX=— 1 (соответственно gix= 1).
Другими словами: если хеФ, то \х и gx принадлежат одной
и той же грани куба Qn+1; следовательно, отображения
f<t> = f: Ф-»• S и go = g: Ф-»• S" гомотопны между собою.
Далее, при «еФ имеем gx e Sn, так что
Gx = ngx — gx для всех JteO,
Другими словами: отображение G совпадает с g на Ф и по-
поэтому является продолжением отображения ?ф. Итак, отобра-
отображение ?ф допускает продолжение на все X. Поэтому и гомо-
гомотопное ему отображение /о, по лемме о грибе, -также может
быть продолжено в отображение всего пространства X в Sn.
А это и значит, что отображение f (пространства X в куб Qn+l)
несущественно.
Первая половина теоремы о перегородках доказана.

342 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
Доказываем вторую половину: необходимость условия A)
для того, чтобы dim X ^ п.
Итак,
Пусть даны произвольные пары
Mi» Bi) (Л/t+ii Bn+i).
Требуется найти такие перегородки
С[, ..., Сп+\,
п+1
чтобы было f]Ct = A.
(=1
Для каждой из заданных пар (Ah Bt) строим, по лемме
Урысона, непрерывные на всем X функции f,x, — 1 </,*<!:
f 1 на А(,
на В( <'-' Л+!)'
Этим определено непрерывное отображение
/* = (/,*, .... /я+1дс)
пространства X в куб Qn+l; пои этом все множества At, Bt
отображаются в границу куба (так как если, например, хе At,
то fix = — 1, а если JteB(l то ftx= 1).
Отображение f несущественно, так как dim X ^ п. Поэтому
существует отображение gx = (glx, .... gn+\X) пространства X
в границу Sn куба Qn+1, совпадающее с f на множестве <&=f~lSn.
В частности, на любых А(, Bi (которые как мы только что ви-
видели, содержатся в Ф) имеем gx = fx, т. е. имеем
giX — fiX для хеД(, x^Bi и любого 1=1, 2, ..., п-\-\.
Положим C, = g-'@), /—1, 2,..., n+l (другими сло-
словами, С( есть множество всех нулей функции g(), множество Ct
замкнуто в X. Докажем, что оно является перегородкой для
пары {Аг, Bi). Так как giX= ± 1 на At, соответственно на Bt,
то открытые множества
= {x\g(x<0},
являются — очевидно, дизъюнктными — окрестностями мно-
множеств А( и В(\ а так как X \ Ct — OAt [} OBh то С, действи-
действительно отделяет А( от Bt, т. е. является для пары {Ait Bt) пе-
перегородкой.

§ R] ТЕОРЕМА О ПЕРЕГОРОДКАХ 343
п+1
Остается доказать, что f]C( — A. Но если бы существовала
точка
п+1
хое= f]Ch
то, по определению множеств С{, было бы
= 0, .... ?„+1*о = 0,
т. е. точка gx0 была бы центром @, .... 0) куба Qn+i, что про-
противоречит тому, что отображение g есть отображение про-
пространства X в границу куба Qn+1.
Теорема о перегородках полностью доказана.
Доказывая теорему о перегородках, мы доказали следующие
два утверждения, которые будут нам полезны в дальнейшем:
Лемма 2. Пусть дано непрерывное отображение f: X-^Qn+l
пространства X в {п-\- 1)-мерный куб
Если для пар множеств
можно выбрать перегородки С/, /=1 «+1, с пустым пе-
п+1
ресечением f"| С/ = Л, го отображение f несущественно.
/=i
Лемма 3. Пусть в пространстве X дана система пар (А/, В/),
]=1, ..., га+1, ы дано такое непрерывное отображение f: X-*-Qn+]
пространства X в (п-\- Х)-мерный куб
Qn+l = {t = {ti)l-l
что
М/s {/-{<,} |<, = -1} и fB,s {t = {tt} |//=
Ясли отображение f несущественно, то для пар (At, В/), j —
= 1, ..., п-\-\, можно выбрать перегородки с пустым пересе-
пересечением.

344 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ. ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. б
§ 9. Размерность произведения. Канторовы многообразия
Этот параграф состоит из трех частей. Первая посвящена
доказательству неравенства *)
A) dim (X X К)< dim X + dim Y
для любых двух бикомпактов X и Y **); во второй (для любых
бикомпактов) доказывается теорема Гуревича — Тумаркина:
Теорема 16***). Всякий п-мерный бикомпакт содержит
п-мерное канторово многообразие****).
Наконец, в третьей части вводится и исследуется понятие
размерностной компоненты.
Эти части связаны между собою лишь тем, что доказа-
доказательство теоремы 16 опирается на формулу A) (при том лишь
в частном ее случае, когда Y есть отрезок). В то же время
сама эта формула настолько важна и интересна, что низводить
ее в ранг простой леммы к теореме 16 нам казалось неподхо-
неподходящим.
1. Доказательство неравенства A). Произведение двух дан-
данных бикомпактов X и Y будем все время обозначать через Z.
Предложение 1. Для любого конечного открытого по-
покрытия со бикомпакта Z = X X Y существуют такие конечные
открытые покрытия |={С/*} 1=1, ..., s, бикомпакта X, и л=={^/}»
/==1 г, бикомпакта Y, что покрытие ? X Л — Wi X V/},
/= 1, ..., s, /= 1 г, вписано в покрытие со.
Доказательство. Для произвольной фиксированной
точки х е X и для каждого ^еУ выберем такую окрестность Оху
точки у в Y и такую окрестность Оух точки х в X, что окре-
окрестность Оух X Оху точки (х, у) содержится в одном из эле-
элементов покрытия со. Из покрытия {Оху}, у еК, бикомпакта Y
*) Как известно, неравенство A) —это все, что можно сказать о раз-
размерности произведения даже в случае компактов. В рамках гомологической
теории размерности Понтрягин [1] построил пример двумерных компак-
компактов X, Y, лежащих в R4, произведение которых Z —(X X.Y) имеет размер-
размерность 3, и доказал, что для компактов X и Y, лежащих в R3, всегда
di()
)
**) Неравенство A) имеет место н в том случае, когда X—паракомпакт,
a Y—локально бикомпактный паракомпакт (см. М о р и т а [3]). В рассматривае-
рассматриваемом случае неравенство A) установлено X е м м ииг с ено м [1]. Наиболее
общие результаты получены недавно Филипповым [4] и Пасынко-
Пасынковым [19].
***) Теорема 16 доказана для компактов Гуревнчем н Тумаркиным,
в общем случае Александровым [20].
****) Напомним (см. гл. 2, § 2, п. 3), что я-мерное каиторово многообразие
(«континуум» U") может быть определено как бикомпакт л, dlmX^n, удо»
влетворяющий условию: каково бы ни было представление Х'^Ф|Г)Фг би-
бикомпакта X в виде суммы двух непустых замкнутых множеств Ф4 и Фг,
всегда имеем dim(Oj ПФг)>п —2.

§ 9] РАЗМЕРНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. КАНТОРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 345
выберем конечное подпокрытие r\x = {Oxyk}, k=l, ..., г. По-
Положим
г
Система со* = {Ох X Oxyk}, k=\, ...,r, вписана в покрытие со, и
&х = Ох X Y.
Построим для каждой точки х е X окрестность Ох, получим
покрытие {Ох} бикомпакта X. Из этого покрытия выберем ко-
конечное подпокрытие | == {Ut — Oxi), i=l, .... s. Через ti = {V/},
/= 1, ..., г, обозначим пересечение тцЛ • ¦ • АПх3 покрытий тц.
Покрытия | н tj будут, очевидно, искомыми. Предложение до-
доказано.
Докажем неравенство A). Рассмотрим произвольное конеч-
конечное открытое покрытие со бикомпакта Z = Xy^Y.
По предложению 1 существуют такие открытые покрытия
/=1 г,
бикомпактов X и Y соответственно, что покрытие |Хт) =
= {f/(X^/} вписано в со. По теореме об со-отображениях суще-
существуют: ^-отображение f: X->Pi и ^-отображение g: Y-t-P^
пространств X, и К на полиэдры Р\ и Рп размерности
dimP5<dim* и dimP^^dimK.
По формуле D) из п. 2 § 8 гл. 4
dim (Pi X Рп) < dim X + dim Y.
Покажем, что произведение
Л: XXY->PiXPn
отображений fug есть со-отображение. Достаточно показать,
что h есть | X ^-отображение.
Возьмем точку (р, ^) е Pj X Pv По построению существуют
такие окрестности Ор и 0^, что f~'Op s[/( и g~xOq s F/ для
некоторых i и /. Но тогда из определения произведения ото-
отображений следует, что
h-l@pX0q)<=UiXV,.
Таким образом, g есть ш-отображение. Так как покрытие <а
произвольно, то из брауэровского принципа инвариантности
(теорема 5', § 3, гл. 4) следует, что dim X X У < dim X + dim Y,
ч. и т. д.

34ft ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. И [ГЛ. в
2. Доказательство теоремы 16. Это доказательство оказы-
оказывается возможным провести по схеме Гуревича, если приме-
применить понятие «относительной размерности» rdR X, определенное
в гл. 4, § 6, для подпространсгва X нормального пространства R
как максимум размерностей dim А замкнутых в R множеств
AsX. Если этого максимума нет, то rdRX = oo.
Замечание 1. Из этого определения сразу следует, что
rdaX ^dimX (для нормального X). В самом деле, всякое замк-
замкнутое в R множество A S X будет и подавно замкнутым в нор-
нормальном пространстве X, так что dim A ^ dim X, значит, и
rdo X = max dim A < dim X.
АяХ
Замечание 2. Если R — бикомпакт, то понятие замкну-
замкнутого в R "множества А ? X совпадает с понятием бикомпакта
AsX и rARX есть максимум размерностей лежащих в X би-
бикомпактов.
В дальнейшем мы будем рассматривать вполне регулярные
(фактически нормальные) пространства X как подпространства
бикомпактов R (например, тихоновского кирпича соответству-
соответствующего веса), поэтому будем писать вместо rd^ просто
где максимум взят по всем бикомпактам A S X.
Предложение 2. Пусть для вполне регулярного прост-
пространства X имеем rdX^n.
Тогда для топологического произведения X' пространства X
на отрезок I выполнено неравенство
В самом деле, пусть А' — какой-нибудь бикомпакт, лежащий
в X', и Л —его проекция из Х' = ХХ,1 в X, Тогда А есть би-
бикомпакт и бикомпакт А' есть замкнутое подмножество биком-
бикомпакта А XI, так что
dim A' < dim (A XI).
В силу неравенства A) имеем
dim (A X /)< dim A + 1.
Кроме того, dim.d^rd.X'^n, так что dim Л'^л-f- 1, что и
требовалось доказать.
Предложение 3. Пусть fug — два непрерывных ото-
отображения бикомпакта X в сферу Sn~l и пусть открытое мно-
множество Г s X всех тех точек х е X, в которых fx Ф gx, имеет
rd Г ^ п — 2. Тогда отображения fug гомотопны между собою.
Доказательство. В «цилиндре»

$ 9] РАЗМЕРНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. КАНТОРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 347
рассматриваем множество А, состоящее из обоих оснований
*о = {(*. t)\x<=X, / = 0} и *,={(*, t)\xe=X, /=1} цилиндра
и из всех точек (х, t), где х^Х\1\ 0</<1 (цилиндр над
замкнутым множеством X \ Г).
Множество А, очевидно, замкнуто в бикомпакте S. Опре-
Определяем отображение fA — fix, t) множества А в сферу Sn~l
следующим образом:
I (дг, t) = f ix) == g (х) для х s X \ Г,
fix, 0)= fix),
Множество S \ А содержится в цилиндре Г X / над множе*
ством Г.
Поэтому в силу предложения 2 имеем
rdsC\ 4)=rd (S \ Л)< rd (Г X /)<rd Г + 1 <« - 2 + 1=я-1,
и в силу леммы 1 из § 6 гл. 4 отображение fA: A->Sn~l мо-
может быть продолжено до отображения fa всего цилиндра В
в сферу S".. Это отображение /а и осуществляет, очевидно,.
гомотопию между отображениями / и g.
Предложение 4. Пусть бикомпакт X' есть сумма двух
замкнутых множеств А\ и А2. Пусть даны два непрерывных
отображения Д: Ai->Sn~l и f2: i42->S't~1, и пусть точки
х е Л] П Л2, в которых fi (*) Ф f2 ix), образуют {открытое в А{[\Аг)
множество Н, для которого rd Н ^ п — 2. Тогда отображение fx
i<x также и /2) может быть продолжено до непрерывного отобра-
отображения f: X'-+Sn~\
Доказательство. Отображения fi и f2, рассматриваемые
лишь на Л, П А2, гомотопны между собою в силу предложения 3.
Так как отображение f2: (Л] П A^-^-S11'1 продолжаемо до ото-
отображения f2: A2-*Sn~l, то, по лемме о грибе, гомотопное ему
(на Л^ПДг) отображение ft: iAt (\ А2)-+Sn~* продолжаемо до не-
некоторого отображения fU2: A2-*Sn~l. Полагая f(*) —М*) Для
х^А{, fix) = f\,2{x) для хеД2, получаем искомое продолжение
отображения f{: Л,-^-5'1~| до непрерывного отображения
f: Z'-vS" (см. гл. 1, § 1, предложение 10), чем предложе-
предложение 4 доказано.
Предложение 5. Пусть в бикомпакте X дано замкну-
замкнутое множество А и непрерывное отображение f:A -*¦ S, где S —
сфера любой положительной размерности. Пусть, кроме того,
в X дана вполне упорядоченная убывающая система замкнутых

348 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. в
множеств Фд, (индексы Я пробегают множество всех порядковых
чисел, меньших, чем некоторое порядковое число со) *).
Предположим, что отображение f: A-^-S не может быть,
продолжено ни на одно из множеств A U Ф\. Тогда оно не может
быть продолжено и на множество A U Ф^, где Ф^ = (**) Фх.
Доказательство (от противного). Пусть/ продолжаемо
на ЛиФо,- Тогда, по многократно цитированному следствию
теоремы Брауэра — Урысона (гл. 1, § 5, предложение 8), ото-
отображение f может быть продолжено и на некоторую окрест-
окрестность О(ЛиФ«>) множества Л11Фоо- Но в силу бикомпактности
пространства X (по лемме Шуры-Буры из § 3 гл. 2) все мно-
множества Фх, начиная с некоторого Я, лежат в любой заданной
окрестности множества Фю, значит, и в О(А[]ФЖ), так что
отображение / оказывается продолжаемым на А[]ФК при всяком
достаточно большом Я — вопреки предположению.
Предложение 6. Пусть в бикомпакте X дано замкнутое
множество А и непрерывное отображение f: A-^-S в какую-ни-
какую-нибудь сферу S. Если отображение f не может быть продолжено
на все пространство X, то существует такое замкнутое множе-
множество Ф, что f не может быть продолжено на A U Ф, но может
быть продолжено на A U Ф' при всяком замкнутом Ф' cz Ф.
Доказательство предложения 6 осуществляется автомати-
автоматически трансфинитной индукцией. В самом деле, положим Ф0 = Х.
Тогда по предположению / не может быть продолжено на
ЛиФо- Предположим, что для всех порядковых чисел Я'< Я
мы построили такие замкнутые Фк', что f не может быть про-
продолжено на Л U Фа/ и Фя,»с:Фх' при X' <Х" <Х. Пусть сначала
Я— непредельное порядковое число, тогда Х = Хй-\- 1. Возможны
два случая:
1. Каково бы ни было замкнутое Ф'сгФя,,,, отображение f
может быть продолжено на ЛиФ'; тогда Фа,, есть искомое
множество Ф, и предложение 6 доказано.
2. Существует такое замкнутое Ф'сгФя,,, что f не может
быть продолжено на ЛиФ'. Тогда берем какое-нибудь Ф', удо-
удовлетворяющее этому условию, и полагаем ФХ = Ф'. Индукция
идет дальше.
Пусть Я—предельное трансфинитное число. Тогда полагаем
Фд,= Р) Ф\>. В силу предложения 5 отображение не может
быть продолжено на Ф^, и мы идем дальше!
Итак, наш процесс индуктивного построения множеств Фх
может остановиться лишь при переходе от некоторого поряд-
порядкового числа Яо к непосредственно следующему за ним Я = Яо + 1
*) То есть Фу, S<DV при V<

РАЗМЕРНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. КАНТОРОБЫ МНОГООБРАЗИЯ 849
и лишь в том случае, когда Фх, является искомым множеством,
существование которого утверждается предложение 6. Но про-
процесс когда-нибудь (а именно при каком-то А^сот, где <от— наи-
наименьшее порядковое число, мощность которого равна мощности
всех точек пространства X) должен остановиться — и предло-
предложение 6 доказано.
Переходим собственно к доказательству теоремы 16. Пусть
X — бикомпакт размерности dimA'=n. По теореме 14 из § 6
гл. 4 существует замкнутое множество АаХ и такое непре-
непрерывное отображение fA: A-+Sn~\ которое не может быть про-
продолжено ни до какого непрерывного отображения fx- X-*-Sn~'.
По предложению 6 существует такое замкнутое Ф, что fA не
может быть продолжено наЛЦФ, но может быть продолжено
на всякое ЛиФ'. где Ф'-с:Ф замкнуто. Докажем, что Ф есть
n-мерное канторово многообразие.
Докажем прежде всего, что dim<& — n. В самом деле, оче-
очевидно, сНтФ</г. Пусть сПтФ</г— 1. Так как {А (}Ф)\А^Ф, то
и, значит, по лемме 1 из § 6 гл. 4 отображение fA: Л->5"~1
может быть продолжено до отображения /: А[]Ф-*Зп~\
вопреки определению множества Ф.
Остается доказать, что, каково бы ни было представление
множества Ф в виде суммы двух замкнутых множеств Ф1 и Ф2,
размерность сИт(Ф,ПФ2) пересечения этих множеств прево-
превосходит п — 2.
Предположим противное, пусть Ф=Ф, (J Ф2, dim (Ф! f| Ф2Х«—2
и, следовательно, ни одно из множеств Ф1( Ф2 не совпадает
со всем Ф. По определению множества Ф отображение f может
быть продолжено до отображения ft: A \JOl-^-Sn~\ а также
до отображения f2: A \JQ>2^-Sn~l.
Положим Ai — A[j^i, А2 = А{]Ф2, Х' = А{ [} А2= A [JO.
Точки x^AiC\A2, в которых f\(x)?=f2(x), все лежат в Ф^Фг-
и, следовательно, для множества Н этих точек
rdЯ <dim (Ф, П Ф2)<« - 2.
Мы находимся в условиях предложения 4, в силу которого
отображение f, может быть продолжено до отображения
/: X'-+Sn~l, что противоречит тому, что Х' = А[]Ф (и опре-
определению множества Ф). Теорема 16 доказана.
Замечание 3. Если X — наследственно нормальное
(в частности, метризуемое) пространство, то, в силу след-
следствия 1 из § 6 гл. 4, в формулировках предложений 3 и 4
во всех условиях, налагаемых на инвариант rd (а лменно

350 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ, II [ГЛ. 5
^ —2 в предложении 3 и rdH^.n — 2 в предложении 4),
можно rd заменить на dim.
Дополним эти предложения (восходящие к Гуревичу) еще
одним предложением (также принадлежащим Гуревичу) — оно
понадобится нам в гл. 8, § 2.
Предложение 7. Пусть f и g — два непрерывных ото-
отображения компакта X в сферу S". Пусть X==Ai(jA2, где А\
и А2 замкнуты, и dim04if] А%) ^п — 2. Если при i=l, 2 ото-
отображения fug, рассматриваемые на А{, гомотопны между
собою, то они гомотопны между собою и на X = А{ (J А2.
Доказательство. Рассмотрим цилиндр XXI = Z.
По предположению в цилиндрах Zj = 4jXA / = 1, 2, опре-
определены отображения <р*: Zi-*Sn под условиями
<f,(x,0) = f(x), y,(x, l)=*g(x), лее Л,, /=1,2.
Продолжаем отображение ф! на множества всех точек вида
(х, 0), соответственно (х, 1), где хеЛ2, полагая
Ф, (дг, 0) = f (лг),
Теперь отображение ф! определено на замкнутом множестве Z\,
состоящем из цилиндра Zl = (Ax X/) и из обоих оснований
цилиндра Z, и отображение фг по-прежнему определено на
цилиндре Z2 = 042X/)f причем Z{f\Z2 есть цилиндр 212 =
= ((i4i f]i42)X/) и только на нем ф2 может отличаться от
<Pi: Z'i-*Sn. Так как по формуле A) dimZJ^n— 1, то, в силу
предложения 4, в этих условиях отображение ф^ Z\-*Sn может
быть продолжено до отображения ф: Z-*Sn, и мы будем
иметь
<р(лс, 0)-f(*), Ф(х, \) = g(x), .
чем и доказано, что отображения f: X-+Sn и g: X-+Sn гомо-
гомотопны между собою.
Следствие из предложения 7. Пусть f — непрерывное
отображение компакта X в Sn, причем Х = АХ\}А2, где А\ и А2
замкнуты в X, и отображения f: A{-*Sn и f: A2-*S" несу-
несущественны. Если dim Ax f] A2^n — 2, то несущественно и ото-
отображение f: X-*Sn.
В самом деле, мы получаем это следсгвие, если в предло-
предложении 7 возьмем в качестве g отображение всего компакта X
на какую-нибудь точку сферы Sn.
В связи с утверждениями, касающимися продолжения ото-
отображений в сферы, докажем следующее утверждение:
Теорема 17 (теорема Гуревича о характеризации внутрен-
внутренних точек множеств, лежащих в Я!1). Пусть X — произвольное

$ 9] РАЗМЕРНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. КАНТОРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 351
множество, лежащее в /?". Для того чтобы точка хо^Х была вну-
внутренней точкой множества X (относительно пространства R1*),
необходимо и достаточно, чтобы для всякой достаточно малой
окрестности Ох0 точки х0 (относительно X) существовало ото-
отображение fo: (X\Oxu)~*Sn~\ не продолжаемое до отображе-
отображения f всего X в S".
Доказательство. Необходимость. Пусть хй — внут-
внутренняя точка множества X. Возьмем замкнутый шар ~0п
с центром хо, целиком лежащий в X. Границу шара {/" обозна-
обозначим через S"".
Докажем, что, какова бы ни была окрестность Охо точки
хо&Х, лежащая в открытом шаре Un = Un\Sn~\ существует
отображение /0: (X\Ox9)->-S'l~1, не продолжаемое на все X.
В самом деле, в качестве-отображения fo можно взять проекцию
множества Х\ Oxq на сферу S" из ее центра дг0; если бы эту
проекцию можно было продолжить до отображения f: X-*Sn~\
то отображение f, рассматриваемое на шаре UnsX, было
бы отображением этого шара в его границу, продолжаю-
продолжающим тождественное отображение границы (предложение 2
§ 5 гл. 3).
Достаточность. Чтобы убедиться в достаточности условия
Гуревича, надо только показать, что оно не выполнено ни
в какой невнутренней точке множества X. Итак, пусть хо^Х —
граничная точка множества X. Покажем, что существует сколь
угодно малая окрестность Ox0sX, обладающая тем свойством,
что всякое отображение множества X \ Охй может быть про-
продолжено на все X. Окрестность Ох0 строим следующим образом.
Берем (сколь угодно) малый шар с центром Хо и границей
Sn~l — Un\ Un. Полагаем Ох0=Х Л Un, и пусть f0 — произволь-
произвольное отображение множества X \ Охй в S", Нам нужно про-
продолжить это отображение на все X. Для этого берем точку
o^Un\X и обозначаем через л: [Ox0]-*Sn~l проекцию мно-
множества [Ох0] из о в Sn~ (так что для х^Х точка п(х) есть
пересечение луча ох со сферой S"). Так как dim Sn~'=n—I,
то, в силу леммы 1 § 6 гл.4, отображение^: (X\Ox0)~*Sn~l
может быть продолжено до отображения fi'(X\ Ох0) [} Sn~l-+Sn~l*
Полагаем теперь1,
f (*) =" fi^ (х) для х е= [Ох0],
f(x) = fo(x) для хе=Х\Ох0.
Отображение f: X-*Sn~l есть искомое продолжение отобра-
отображения /о. Теорема Гуревича доказана.

352 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. 11 [ГЛ. Б
Замечание 4. Из теоремы 17, очевидно, следует второе
доказательство теоремы Брауэра об инвариантности внутренних
точек множеств, лежащих в Rn (или в Мп), — первое доказа-
доказательство было дано в гл. 3, § 4 (теорема 4).
3. Размерностные компоненты. Пусть 2 = {Фа} — вполне
упорядоченное возрастающее семейство n-мерных канторовых
многообразий, лежащих в п-мерном бикомпакте X; элементы Фа
семейства S занумерованы порядковыми числами а (так что
фасгФа', если а < а'), причем предполагается, что среди
чисел а нет наибольшего. Тогда
также есть n-мерное канторово многообразие.
В самом деле, так как Ф замкнуто в п-мерном бикомпакте X
и все Фа также n-мерны, то сНтФ = п.
Остается доказать, что при всяком представлении Ф=Ф'11Ф"
бикомпакта Ф в виде суммы двух замкнутых множеств Ф'
и Ф", ни одно из которых не содержится в другом, имеем
сНт(Ф'ЛФ") ^п— 1. Предположим противное и пусть имеем
ф = ф'иФ" и dim (Ф'П Ф"Х « — 2. Так как ни одно из двух
множеств Ф', Ф" не содержится в другом, то множества
Н' = Ф' \ Ф" = Ф \ Ф", Н" = Ф" \ Ф' = Ф \ Ф' непусты и от-
открыты в Ф. Каждое из них пересекается с некоторым элемен-
элементом Фа', соответственно Фа», семейства S. Пусть а есть наи-
наибольшее из чисел а', а". Тогда
причем ни одно из слагаемых справа не пусто и не содер-
содержится в другом. Но Фа — канторово многообразие размер-
размерности п; значит,
сИт(ФаЛФ')П(ФаПФ")>«-1
и подавно dim (Ф'П Ф") ^ « — *•
Из только что доказанного предложения посредством оче-
очевидной трансфиннтной индукции следует:
Если X есть п-мерный бикомпакт, то всякое лежащее в X
канторово многообразие Ф размерности п содержится в макси-
максимальном п-мерном канторовом многообразии (т. е. в таком
п-мерном канторовом многообразии С э Ф, что всякое лежащее
в X и содержащее бикомпакт Ф канторово многообразие С
размерности п содержится в С).
Определение. Всякое лежащее в п-мерном бикомпакте X
максимальное n-мерное канторово многообразие называется
размерностной компонентой бикомпакта X.

§ 9) размерность Произведения, канторовы многообразия 3S3
Легко видеть, что объединение двух n-мерных канторовых
многообразий, имеющих пересечение размерности ~^п—1
(и лежащих в некотором бикомпакте X), само является п-мер-
ним канторовым многообразием. Поэтому пересечение двух
различных размерностных компонент n-мерного бикомпакта X
имеет размерность s^.n — 2.
Обозначим через Кх объединение всех размерностных ком-
компонент n-мерного бикомпакта X. Множество Кх совпадает
с объединением всех лежащих в X канторовых многообразий
размерности п. Очевидно, что множество Х\Кх не содержит
никакого /1-мерного бикомпакта. Что же касается размерно-
размерностей dimKx и dim(Z\/Cx)> то в общем случае любого (на-
(наследственно нормального) бикомпакта X мы о них ничего не
знаем.
Множество Кх можно назвать внутренним размерностным
ядром бикомпакта X в отличие от определенного еще Урысо-
ном индуктивного ядра, т. е. множества Nx всех тех точек
х&Х, в которых indxX^n (мы все время предполагаем, что
dimX = n).
Очевидно, Кх — Nx; большего не скажешь, даже когда X
есть n-мерный компакт и, следовательно, dimZ = indX.
Понятие размерностной компоненты лишь тогда можно счи-
считать вполне удовлетворительным, когда никакая размерностная
компонента (произвольного данного n-мерного бикомпакта X)
не содержится в сумме остальных размерностных компонент
этого бикомпакта. Это верно для совершенно нормальных биком-
бикомпактов X и, как недавно показал В. В. Федорчук, может быть
неверным уже для бикомпактов с первой аксиомой счетности.
Итак, докажем следующее предложение:
Теорема 18 (Александров). Пусть X — совершенно нор-
нормальный п-мерный бикомпакт. Пусть А — какая-нибудь раз-
размерностная компонента бикомпакта X. Обозначим через В
объединение всех размерностных компонент бикомпакта X,
отличных от А. Тогда А[\ВфА и
Доказательство. Положим Ф0 = Х и предположим, что
лежащие в X бикомпакты Фр а А построены для всех поряд-
порядковых чисел р, меньших, чем данное порядковое число а, под
условием Фр+,с=Фр и dim(Op+i П [% \ Фр+ilX"—2. Построим Фа.
Если а — число второго рода (т. е. предельное трансфинит-
иое число), то полагаем Фа == П Фр- Если же а — первого рода,
а = р+ 1, то возможны два случая:
12 П, С, Александров, Б, А, Пасынков

354 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. It [ГЛ. Б
Во-первых Фр = Л; тогда полагаем н Фа = Л.
Во-вторых, Фр=?^Л, ФрГэ Л. В этом случае, по определению
множества Л как размерностной компоненты, n-мерный биком-
бикомпакт Фр не может быть канторовым многообразием и, следо-
следовательно, представим в виде
Тогда А содержится в одном и только в одном из бикомпак-
бикомпактов Фр, Фр, пусть в Фр, н мы полагаем
Процесс построения бикомпактов Фа обрывается на неко-
некотором (не более чем счетном) порядковом числе К (см. заме-
замечание 3 § 7 гл. 1), для которого
Поэтому все пространство Х = Ф0 разлагается в не более чем
счетную сумму дизъюнктных слагаемых:
(J
причем для любого а < Я, имеем Фа+1 ф Фа.
Пусть теперь х — произвольная точка множества В. Тогда
существует содержащая эту точку размерностная компонента А',
отличная от А. Так как А' не содержится в Л==Ф^, то суще-
существует и первое порядковое число а^А, такое, что Л' не со-
содержится в Фа. Прн этом а — непременно число первого рода,
так что
а Л'еФр. Так как по построению Фр+1==Фа = Фр, то Фр э
э[Фр\Фр+1],
и, значит,
Поэтому Л', содержась в Фр, содержится в одном из слагаемых
фр+ь [фр \ Фр+i]. а потому, в силу определения числа а = р -f 1,
имеем

$ 101 АКСИОМАТИКА РАЗМЕРНОСТИ КОМПАКТОВ . 356
Все это верно для любой точки лей. Поэтому
В<= U [Фр\Фр+1]
3<А
для всех р < к, следовательно,
А()В<= U
По теореме суммы для множества
с- U (фр+1п[ф0\фэ+,])
з<х
имеем dim С ^ п — 2.
В силу монотонности размерности в совершенно нормальных
пространствах (гл. 4, § 8, теорема 18) имеем
dim А П В < dim С < п — 2.
Так как dim Л = /г, то Л f| В ф А. Теорема доказана.
Замечание 5. Приведенное доказательство теоремы 18
п основном принадлежит С. Мазуркевичу (который и доказал
теорему 18 для компактов); кроме того, Мазуркевнч доказал,
что множество размерностных компонент конечномерного ком-
компакта или конечно, или счетно, или имеет мощность с.
§ 10. Аксиоматика размерности компактов
Мы будем рассматривать различные функции dX, опреде-
определенные на том или ином классе Х = {Х} топологических про-
пространств и удовлетворяющие условию топологнчности, заклю-
заключающемуся в том, что для любых двух гомеоморфных между
собою пространств
х,е=эе, х2<=эе
всегда dX^d^-
Относительно класса X мы будем всегда предполагать, что
для любого замкнутого подпространства Х{ пространства Х^Ж
имеем Xi e X.
Фактически мы будем рассматривать лишь следующие классы
пространств:
1) Класс S всевозможных конечномерных бикомпактов (на-
(напоминаем, что пространство X называется конечномерным,
если dimX < оо).
2) Класс 2 конечномерных компактов.
12*

356 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. Б
3) Класс Ш всевозможных конечномерных метризуемых про-
пространств.
4) Класс ?> конечномерных метризуемых пространств со
счетной базой.
На этих классах X = {.?} = 93, 2, Ш, ?> мы будем задавать
функции dX, удовлетворяющие всем или некоторым из следую-
следующих условии («аксиом»):
Г. Аксиома целочисленности и нормировки. Значение функ-
функции dX на любом Хе$ есть целое число ^—1, причем
dQ" = rt, если Q" есть n-мерный замкнутый шар (и Q0 есть
одноточечное, a Q — пустое пространство).
2|. Аксиома конечной суммы. Если Х\ и Х2 — два замкнутых
подпространства пространства Хе$ и Х*=Х{\}Х2, то йХ =
(d)f dZ)
2°. Аксиома счетной суммы. Если Xk, k=l, 2 суть
оо
замкнутые подпространства пространства ХеХ и Х= (J Xk,
то dX = sup dXk.
3°. Аксиома Брауэра. Если dX = n, то существует такое
конечное открытое покрытие а пространства X, что для всякого
пространства Xa, являющегося образом пространства X при
каком-либо ©-отображении f: X-*Xa пространства X, всегда
Замечание 1. Из условия 2} вытекает, что для любого
замкнутого Х{сХ имеем d^^dX.
В самом деле, Х = Я| IJ [Я \-X,], dX = Tmx(dXu d[Z\X,])
и d^s^dX. Из условий 1°, 2| следует, что для всякого п-мер-
ного (конечного) полиэдра Рп имеем dPn — n. Очевидно, функ-
функция dimX на любом из классов Х = ЯЗ, й, 9Й, 55 удовлетворяет
всем перечисленным аксиомам.
Легко доказывается следующее предложение:
Предложение 1. Функция dim Я есть наибольшая среди
всех функций, удовлетворяющих (на соответствующем классе X)
аксиомам 1°, 2|, 3°.
В самом деле, пусть дана на классе Ж = {Х} размерностная
функция АХ.
Требуется доказать, что dX^ dimX для любого Хе$.
Пусть dimX = n < оо. Берем покрытие а согласно условию 3°
и n-мерный полиэдр Р, на который пространство X может быть
а-отображено. Тогда dX ^.dP = dim P = dim X, что и требова-
требовалось доказать.
Теорема 19 (Александров [24]). Пусть функция АХ,
определенная на классе конечномерных компактов, удовлетво-
удовлетворяет условиям 1°, 2?, 3° и, кроме того, еще условию 4°:

§ 10] АКСИОМАТИКА РАЗМЕРНОСТИ КОМПАКТОВ 357
4°. Аксиома Пуанкаре. Во всяком неодноточечном X суще-
существует замкнутое X', для которого dX' < dX и которое разби-
разбивает пространство X (т. е. X \ X' несвязно).
В этих предположениях dX = dimAT (и, следовательно, вы-
выполнена и аксиома 2°).
Доказательство. Пусть dX удовлетворяет условиям 1°,
2f, 3°, 4° и определена для любого конечномерного компакта X.
Докажем, что тогда dim X ^ dX.
Если dX = —1, то и dim X = —1; предположим, что ра-
равенство dX = dim X доказано для всех компактов X, удовлет-
удовлетворяющих неравенству dX^k — 1. Докажем его для компак-
компактов X, для которых dX = k. Пусть X — такой компакт, и пусть
d\mX = r > k. Компакт X содержит г-мерное канторово много-
многообразие X', и dX'^.dX = k. В силу условия 4° существует
замкнутое X" с X', которое разбивает пространство X' и для
которого dX" < dX' ^ k и, значит, dX" ^ k — 1 < г — 1. В силу
индукционного предположения dimX" — dX"<r — 1. Но X'—
канторово многообразие размерности г, а множество X" с: X'
его разбивает — получили противоречие.
Теорема доказана. Те же рассуждения доказывают и
Предложение Л. Если dX есть функция, удовлетво-
удовлетворяющая условиям Г, 2f, 3°, 4° и определенная на классе В
конечномерных бикомпактов X, то необходимо dZ = dimX. Но
на классе 93 функция dimX не удовлетворяет условию 4°.
В самом деле, мы видели, что бикомпакт в Федорчука
этому условию не удовлетворяет.
Следовательно, имеет место
Теорема 20. (Александров [24]). Не существует ни-
никакой определенной на классе конечномерных бикомпактов
функции, удовлетворяющей условиям 1°, 2), 3°, 4°.
Итак, аксиомы Брауэра н Пуанкаре, кажущиеся одинаково
естественными при аксиоматическом введении понятия размер-
размерности (и действительно определяющие размерность компактов),
в классе бикомпактов оказываются уже несовместимыми.
Вместе с тем, в связи с только что сказанным, возникают
задачи аксиоматического описания размерности dim X, во-пер-
во-первых, на классе 93 конечномерных бикомпактов, во-вторых, на
классе Ш всех конечномерных метризуемых или хотя бы на
классе ?> метризуемых пространств со счетной базой.
Решение первой из этих двух задач дал Локуциевский;
решение второй задачи (для всего класса Щ только что дано
Е. Щепиным [1], доказавшим следующую теорему:
Общая теорема Щепина. Функция dimX есть
единственная определенная на классе WI всех метризуе-
метризуемых пространств функция, удовлетворяющая условиям Г
2°, 3°, 4°.
о

358 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОВЩЕИ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. »
Мы даем в Прибавлении, непосредственно следующем за
этим параграфом, доказательство «специальной» теоремы
Щепина, отличающейся от общей тем, что в ее формулировке
класс Ш заменен подклассом 3) метризуемых пространств со
счетной базой.
, Доказательство специальной теоремы Щепина значительно
проще, чем доказательство общей теоремы*), которое читатель
может найтн в работах Щепина, однако идея доказательства
остается прежней.
ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЯТОЙ
Мы воспроизводим в § 1 этого прибавления доказательство
следующей теоремы:
Специальная теорема Щепина. Пусть d — функция,
ставящая в соответствие каждому конечномерному метризуемому
пространству X со счетной базой (г. е. каждому множеству X,
лежащему в каком-либо эвклидовом пространстве Rm) целое
число dX, удовлетворяющее условиям 1°, 2°, 3°, 4°. Тогда для
каждого такого X имеем dX = dim X.
Кроме этого основного результата в § 2 данного прибавле-
прибавления доказывается несводимость аксиомы 2° к аксиоме 2J, а в § 3
излагаются примеры (также построенные Щепиным), устана-
устанавливающие независимость перечисленных выше аксиом раз-
размерности.
§ 1. Доказательство специальной теоремы Щепииа
Приводимое доказательство (воспроизводящее рассуждения
Щепнна) существенно опирается на следующее предложение:
Вспомогательная теорема. Для всякого простран-
пространства X существует пространство Ха, удовлетворяющее следую-
следующим условиям:
а) Пространство X" есть объединение дизъюнктных замкнутых
подпространств, каждое из которых гомеоморфно пространству X.
б) При dimX = n пространство Ха нельзя разбить никаким
замкнутым множеством, размерность которого <п—\.
Лемма**). Пусть XgJ), d\m.X=*n, a Y — любое подпро-
00
странство гильбертова кирпича Я = П h> h = [Q> !]*• Пусть хо,
*) При этом стоит заметить, что специальная теорема ие является
следствием общей.
**) В этой лемме мы допускаем к рассмотрению любые метризуемые
пространства со счетной базой, т.е. любые множестрл Y, лежащие в гиль-
гильбертовом кирпиче.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЯТОЙ 359
у0 — пара различных точек из Y. Тргда существует подмноже-
подмножество Z = Z(X, Y, Н, (х0, й))сЯХ/ (где I—единичный от резок),
обладающее следующими свойствами:
z#{o}r{o}
) nx{}x{}
2) Z \ (Y X {0}) представимо в виде объединения счетного
числа дизъюнктных замкнутых в Z множеств, каждое из кото-
которых гомеоморф но X.
3) Точки (хо, 0), (у0, 0) не отделимы в Z никакой перегород-
перегородкой размерности < п — 1.
Доказательство леммы. Зафиксируем два дизъюнкт-
дизъюнктных множества АсХ и ВсХ, которые не отделимы перего-
перегородкой размерности <п— 1. Покажем, что для всякого нату-
00
рального п найдется вложение /„: Х~*Н = П^ь Для которого
inA содержится в окрестности радиуса 1/п точки хо, а 1пВ —
в окрестности радиуса 1/п точки у0 Действительно, пусть /:
Х-*Н—какое-нибудь вложение. Пусть f: Я ->/—функция Урысона
для пары множеств А, В, т.е. fA = Q, a fB=l; тогда отобра-
отображение f*i: X^-Hy^I, определенное равенством f*i(x)= \i(x),
f(x)), переводит множества А н В в противоположные грани
куба Н X /. Поэтому достаточно доказать, что для всякого
натурального п существует вложение куба ЯХЛ переводящее
его противоположные грани — Я X {0} н Я X {0 — в окрестности
радиусов 1/п некоторых точек х0 и у0 соответственно.
А этот факт геометрически очевиден. Пояснить его можно так:
это очевидно для пары точек хй, у0, у которых отличается только
одна координата; например, для точек (у, у, ..., ^-,.. .1 =» х{,
(т'Т'Т Т1 •••)—#1- Любые Две Другие точки х, у,
которые не имеют координатами ни нулей, ни единиц, тополо-
топологически не отличаются от точек *,, уи т. е. существует гомео-
гомеоморфизм гильбертова кирпича на себя, переводящий л: в я, и
у в у\. И наконец, случай произвольной пары точек х, у ре-
редуцируется к предыдущему случаю, ибо точки, не имеющие
координатами ни нулей, ни единиц, плотны в гильбертовом
кирпиче.
Зафиксируем теперь вложения in: X-+H, существование
которых мы только что докавали.
Рассмотрим ЯХ/. Пусть <р„: Н-* Н х{7г}~еСтественнЬ1Й
гомеоморфизм: <р*(*) = (*> -%) Для любого хеЯ; тогда иско-
00
мое 2 = (УХ{0}I1 U Фп'пШ- Свойства 1) и 2) выполнены оче-
1

360 основные теоремы общей теории размерности, п [гл. 6
видным образом. Докажем, что выполнено свойство 3). Пред-
Предположим противное, т. е. что существует такое замкнутое мно-
множество CdZ, что Z\C = Ui[}U2, где U\ и U2 открыты в Z,
U\ Л^2=л и xo<=Uu a yo<^U2, причем dim С < я — 1. Но для
достаточно большого п, очевидно, (fninAdUu a (fJnB crf/2- И,
как легко видеть,yninX открыто-замкнуто в Z; поэтому C(]<fJnX
является перегородкой между yninA и фп/„В и dim (С f) 4>JnX) <
<п— 1. А так как ф„/„ — гомеоморфизм, то мы приходим
к противоречию с предположением о выборе А и В.
Лемма доказана.
Следствие леммы. Для всякой тройки X, Y, Я, где
X — пространство размерности dim X = п, Y—подпространство Я,
Я гомеоморфно произведению счетного числа отрезков, сущест-
существует такое подмножество Z = Z(X, Y, Я) с: Я X Я, которое
обладает следующими свойствами:
1) Z П (Я X {0}) = Y X {0} (ОеЯ- точка, все координаты
которой — нули при некотором фиксированном гомеоморфизме
<р: Я-*/"').
2) Z\(YX, {0}) представимо в виде объединения счетного
числа замкнутых в Z дизъюнктных множеств, каждое из
которых гомеоморфно X.
3) Для всякой перегородки С в Z размерности < п — 1
(Z = С U Ux U U2, С замкнуто, V', « ?/2 открыты и все они
дизъюнктны) одно из множеств Ut П (Y X {0}), С/2 Л (^ X {0}) пусто.
То есть никакая перегородка в Z размерности < п — 1 не раз-
разбивает YX{0).
Доказательство следствия. Выберем счетное мно-
множество пар точек Y — {(xt, yt)}, которое плотно в У X Y \ Д (Д—
диагональ произведения Y X Y), и применим счетное число раз
построение леммы.
Первый шаг. Применим лемму к четверке X, Y, Н, (хиj/j),
получим ZX=*Z{X, Y, И, (х„ у,))<=# X/.
Будем считать, что Н X 1п <=- Н X /*' для п ^ 0, т. е. точка
хеЯХ/" вида (*', /, tn) будет отождествляться с точкой
(*', <, *„, 0,0 0, ...)еЯХЛ
и-й шаг. Применим лемму к четверке .У, Zn_i, ЯХ/""'»
(•«п, ^п), получим
Zn = Z(*. Zn.,, ЯХ/""', (жя, */п))сЯХ/".
оо
Искомое Z= [J Zn <= Я X /л « ИX Я.
п—1
Свойства 1) и 2) выполнены очевидным образом. Покажем,
что выполнено свойство 3). Действительно, предположим про-
противное: Z = С (J Ui U Uг, dim С < и — 1, С, ?/, и (/2 дизъюнктны,

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЯТОЙ 361
U\ и U2 открыты, и С/, П (Y X {0}) и ?/2 П (Г X {0}) непусты. Тогда
в силу плотности множества пар (xh yt) в Y X Y \ Д для не-
некоторого i будет *, е= С/, П (Y X {0}), у, е= С/2 П (К X {0}) (или на-
наоборот), и, следовательно, СП 2, будет разделять xt и yt в Z<
и dim (СП 2,) < и— 1, что противоречит построению Zt.
Следствие установлено.
Доказательство вспомогательной теоремы проводится теперь
выполнением счетного числа построений, проведенных при до-
доказательстве следствия. Будем считать, что Н аН \Н cz ...
... с: Я" с:... сг //««, точка (хи ..., хп) е Нп отождествляется
с точкой (я, хп, 0, 0 0, ...)бЯя'@е Н).
Первый шаг. Пусть У — подмножество // = /*•, гомео-
морфное X. Применим следствие к тройке X, Y, Н, получим
Zi = Z(X, Y, H)czHXH.
и-й шаг. Применим следствие к тройке X, Zn_,, Hn, полу-
получим Zn = z{X, Zn_,, Я")сЯ"+1. Искомое Ха = \J Zn с: //"• « Я.
п=1
Доказательство специальной теоре мы. В силу ак-
аксиом нормировки и суммы для и-мерного полиэдра Рп будет
dP"=tt. Но если dim X=n, то для всякого конечного открытого по-
покрытия © пространства X, как известно, имеется ©-отображение
f: X-*Pn в полиэдр Рп размерности и. Поэтому в силу аксиомы
Брауэра dZ^dim^f. Докажем теперь равенство AX = AimX.
Доказательство проводим индукцией по dX. Если dX = —\,
то из аксиом нормировки и Пуанкаре вытекает, что X = Л, и,
следовательно, A\mX = dX. Пусть если dX^.n, где п"^—1,
то dX = dimA'. Докажем это равенство для случая АХ = п+ \.
Предположим противное, т. е. что для некоторого пространства X
будет АХ = п+1 и dX<dimA'. Рассмотрим пространство Ха,
определенное во вспомогательной теореме; в силу аксиомы счет-
счетной суммы dZ° = dZ. Поэтому АХ° = п+1 и dZ°<dim*0.
В силу аксиомы Пуанкаре существует такое замкнутое множе-
множество А сг Ха, что АА < АХа и X \ А несвязно. Но по предпо-
предположению индукции d A = dim А ^ п. С другой стороны, dim Xa>
> АХа — п+ 1. Но это противоречит тому, что пространство Ха
нельзя разбить множеством размерности меньшей, чем
dimZ- \>n+ 1.
Специальная теорема Щепина доказана.
§ 2. Несводимость аксиомы счетной суммы
к аксиоме конечной суммы
Для последующего нам понадобится следующее
Определение. Топологическое пространство X назовем
^-пространством, если всякое подпространство пространства X.

362 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II [ГЛ. 5
обладает я-базой *) из открыто-замкнутых множеств. Тогда,
каково бы ни было множество Хо ? X и открытое в Хо мно-
множество Go, имеется открыто-замкнутое в XQ множество UQ, ле-
лежащее в Go.
Определим следующую размерностную функцию:
А\тХ, если
О, если dim X = 1 и X — я-пространство,
1 в остальных случаях.
о
Утверждение. Функция d удовлетворяет условиям 1
2f, 3°, 4°, но не удовлетворяет аксиоме счетной суммы.
Доказательство этого утверждения естественно распадается
на несколько этапов.
Лемма 1. Если пространство X представимо в виде объе-
объединения двух замкнутых множеств X = Л U В, которые являются
л-пространствами, то X — тоже ^.-пространство.
Доказательство. Любое подпространство Y сХ также
представимо в виде объединения двух замкнутых множеств
Y = (Af\Y)[](Bf\Y), которые являются я-пространствами. По-
Поэтому достаточно доказать, что X имеет я-базу из открыто-
замкнутых множеств. Пусть U — непустое открытое в X мно-
множество; тогда либо U s Л, либо U \ А непусто и содержится
в В. Если U s А, то существует открыто-замкнутое в А непу-
непустое F s U; тогда, как легко видеть, F будет также открыто-
замкнуто в X. Если U \ А непусто, то существует непустое
открыто-замкнутое в В множество F s С/ \ AczU, которое также
будет открыто-замкнуто, в X.
Лемма доказана.
Следствие. Функция d удовлетворяет аксиоме конечной
суммы 2f.
Доказательство. Пусть X = A\JB, где Л и В замкнуты
в X; очевидно, что dX <! dim X для любого X. Пусть dim X > 1
и dim Л ^ dim В; тогда
dX = dim X = max (dim Л, dim В) = dim Л = dЛ.
Монотонность d очевидна; поэтому в этом случае dX =
= тах^Л, dB). Пусть теперь dimZ<l; тогда dimZ = dZ, и
dirrM==dA, и dimB — dB, поэтому
dB).
*) Система K°={U} открытых множеств пространства X называется его
я-базой (Пономарев), если во всяком непустом открытом в X множестве
содержится некоторое непустое U в К-

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЯТОЙ 363
Заметим, что если некоторое пространство X не является
п-пространством, то АХ > 0, ибо всякое нульмерное простран-
пространство является п-пространством. Если dimA* —dA* = 1, то в силу
леммы 1 либо А, либо В не л-пространство, и поэтому либо dA,
либо dB равно 1. Тогда dX = max (dA, dB). И наконец, пусть
dim X = 1 и dX = 0, т. е. X есть я-пространство. Тогда А и
В суть я-пространства размерности, не большей 1; поэтому
d/l=d?=O, если Аи В непусты. Итак, формула dAT=max (dA, dB)
верна всегда.
Лемма 2. Функция d удовлетворяет аксиоме Брауэра.
Доказательство. Так как функция dim удовлетворяет
аксиоме Брауэра, достаточно доказать следующее: если прост-
пространство X для любого конечного открытого покрытия со допу-
допускает ©-отображение в я-пространство, то X само является
я-пространством. Пусть Y czX и U — открытое в Y множество.
Тогда для некоторого открытого в X множества ?/' будет
U'f\Y = U. Пусть *е=С/.
Рассмотрим следующее покрытие пространства X: со =
— {U',X\x}. По предположению существует со-отображение
f: X-*Z, где Z есть я-пространство. В силу определения
со-отображения существует окрестность Of (х) точки f (х), про-
прообраз которой содержится в одном из элементов покрытия со,
а следовательно, в V, ибо в X \ х он не содержится. Далее,
существует открыто-замкнутое в fY множество F, содержащееся
в fY(]Of(x). Тогда f~lF— искомое непустое открыто-замкну-
открыто-замкнутое в Y множество, содержащееся в U. Лемма доказана.
Очевидно, что d удовлетворяет аксиоме 1°. Осталось про-
проверить выполнение аксиомы Пуанкаре. Если dX = dimA", то
существует замкнутое множество А, разбивающее X размерно-
размерности dim A < dim X; но d A <! dim A < dim X = dA'. Следовательно,
dA < dX. Если dimZ^dX, то dimX=l и пространство X
есть я-пространство н dA" = 0. Но я-пространство несвязно,
если оно состоит более чем из одной точки; поэтому пустое
множество Л разбивает X, a dA = — 1 <dA" —0.
Итак, d удовлетворяет всем аксиомам 1 , 2f, 3 , 4°. Пока-
Покажем, что d не удовлетворяет аксиоме 2°. Известно, что суще-
существуют одномерные пространства X, для которых равенство
tod* X = 1 выполнено лишь в счетном числе точек х е X (таково,
например, пространство, известное под названием «графика
Куратовского»).
Возьмем одно такое пространство X. Очевидно, что X
является я-пространством, и, следовательно, dX = 0. В то же
время dimX== 1.
Мы доказали, что аксиомы 1 , 2^, 3 , 4 не определяют раз-
размерности в классе метризуемых пространств со счетной базой.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II 1ГЛ. 5
§ 3. Независимость введенной системы аксиом
1. Независимость аксиомы Брауэра от остальных аксиом
размерности в классе ? конечномерных компактов. Пусть
X — конечномерный компакт. Положим imhX = \nl{m\X =
=j4i U Л2и • • • U Ак, где At — компакты, вкладывающиеся в /?"*};
при этом обозначаем через /?° одноточечное, а через /?"' — пустое
пространство.
Таким образом, мы определили некоторый целочисленный
инвариант для всякого конечномерного компакта. Покажем, что
этот инвариант удовлетворяет аксиомам 1°, 2°, 4°, ио не удо-
удовлетворяет аксиоме Брауэра 3°.
Аксиома нормировки, очевидно, выполнена. Далее, как легко
видеть, imb удовлетворяет и аксиоме конечной суммы. Осталось
проверить выполнение аксиомы Пуанкаре.
п
Пусть X = (J Alt где At замкнуты в X и вкладываются
в #Imb*. Найдется такое х^Х, что *е(Л,) для некоторого i.
Будем считать, что А{ является подпространством /?lmb x; тогда
некоторая е-окрестность точки х не пересекается с грх At и ее
граница 5 разбивает At (если Ai состоит более чем из одной
точки). Отсюда легко вывести, что 5 разбивает и X. Но 5
вкладывается в сферу s[mbX~l, поэтому imbS^imbX—1.
Если At состоит из одной точки х, то эта точка изолирована,
ибо по условию x^(At), и поэтому X разбивается пустым
множеством. Итак, аксиомы 1°, 2°, 4° (но не аксиома Брауэра)
выполнены; в то же время равенство imbZ = dim^ выполнено
не всегда. Независимость аксиомы Брауэра доказана.
2. Нецелочислеииая функция I, определенная на классе й
и удовлетворяющая всем аксиомам 2°, 3°, 4° и условию
1Q" —п. Пусть X — конечномерный компакт. Положим
IdimZ, если dim X =?М0,
10, если dimX=10 и X содержит дугу,
9,5 в остальных случаях.
Очевидно, условие iQn = n выполнено. Проверим выполнение
аксиомы конечной суммы. Нам достаточно показать, что если
iX = 10, то ХфА\ U А2, где \Ak = 9,5 (при k=\, 2), и что если
LY = 9,5, то не существует AczX с М=10.
Второе утверждение очевидно; первое также верно, ибо если
X содержит дугу, то по крайней мере одно из множеств Ли А2
содержит отрезок этой дуги.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ПЯТОЙ 366
Для проверки аксиомы Пуанкаре достаточно заметить, что
если iA" = 10 или iX = 9,5, то X можно разбить девятимерным
компактом.
Наконец, проверим выполнение аксиомы Брауэра. Доста-
Достаточно убедиться, что если iX=10, то для достаточно малого
е > 0 не существует е-отображення X на компакт У, для кото-
которого iK = 9,5. Но для этого достаточно взять е меньшее, чем
диаметр некоторой дуги, содержащейся в X.
Таким образом, функция i удовлетворяет всем требованиям
1°, 2°, 3°, 4°, кроме требования целочисленности.
3. Независимость остальных аксиом.
а) Аксиома нормировки. Вот тривиальный пример целочис-
целочисленной функции, удовлетворяющей всем аксиомам, кроме
аксиомы нормировки: &Х = й\тХ + 1.
б) Независимость аксиомы Пуанкаре *). Простой пример
инварианта, удовлетворяющего всем нашим аксиомам, кроме
аксиомы Пуанкаре, можно получить из предыдущего примера,
если положить VX — [\Х\ ([х] — целая часть х).
в) Аксиома суммы. Положим
dim Л", если X связно, а также если dimZ< 1,
dX
f dii
'11,
если dim.K^l в то же время X несвязно.
Проверим аксиому Брауэра. Функция dX удовлетворяет
аксиоме Брауэра, что вытекает из следующих соображений:
во-первых, непрерывный образ связного пространства связен;
во-вторых, если X = A U В, где А и В — дизъюнктные замкну-
замкнутые множества,. е < р(Л, В), то при всяком е-отображении
множества fA и fB дизъюнктны.
¦) Она общеизвестна, так как так называемая гомологическая размер-
размерность (mod 2) конечномерных компактов, удовлетворяя условиям Iе—3°, ие
удовлетворяет (не совпадая с dim X = ind X) аксиоме Пуанкаре.

Глава шестая
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
РАЗМЕРНОСТИ. III
Введение
Эта глава концентрируется вокруг небольшого числа основ-
основных теорем, имеющих довольно многочисленные и важные след-
следствия; она объединена одной общей точкой зрения: последова-
последовательным применением нульмерных и близких к ним отображе-
отображений, позволяющим свести исследование данного пространства
к изучению другого, более простого, получающегося из данного
с помощью того или иного варианта нульмерных отображений.
Мы уже говорили во введении к четвертой главе, что эта точка
зрения является особой — и притом теоретико-множественной —
формой еще более общей: перехода посредством некоторого
отображения / от данного пространства к более простому про-
пространству Y = f.X, похожему в некотором смысле на первона-
первоначальное пространство X. Весь вопрос в том, каков класс тех
отображений f, которые обеспечивают это «сходство» между
первоначальным пространством X и его образом fX. Раньше
(в гл. 4) это сходство было непосредственно геометрическим,
когда отображение f было последовательно е-сдвигом, е-ото-
бражением, ©-отображением. Потом мы перешли к существен-
существенным отображениям — сходство при этом перестало быть непо-
непосредственно ощущаемым, но оно продолжало существовать
в более глубоком и при этом все же наглядно геометрическом
смысле. Наконец, при нульмерных отображениях о каком-либо
геометрическом сходстве говорить уже затруднительно (ведь
любой конечномерный компакт без изолированных точек можно
получить из канторова множества даже конечнократным ото-
отображением). И тем не менее при нульмерных и близких
к ним отображениях /: X-+Y многие размерностные свой-
свойства переходят от X к У или, еще чаще, от Y к X. Демон-
Демонстрацией этого удивительного факта должна отчасти служить
и эта глава.

ВВЕДЕНИЕ 367
Примером могут служить:
Теорема 3. Всякое нормальное пространство X размер-
размерности dimX^n при всяком своем локально конечном покры-
покрытии со допускает так называемое ^-дискретное отображение *)
на пространство Y со счетной базой, для которого также
dim Y < п.
Теорема 8. Всякое метрическое пространство X размер-
размерности dimX^n допускает вполне нульмерное отображение **)
в пространство Y со счетной базой, также размерности dim К<л.
Центральное место в этой главе занимает факторизационная
теорема для метрических пространств (уже сформулированная
в пятой главе) и ее частный случай — малая факторизационная
теорема для метрических пространств (теорема 1 в § 1):
Пусть X — нормальное, Z — метризуемое пространство со счет-
счетной базой, отображение f: X->Z непрерывно. Тогда существует
такое . метризуемое со счетной базой пространство Y и такие
непрерывные отображения g: X-+Y, h: Y-+Z, что
f — hg, dim Y < dim X
(общую факторизационную теорему получаем, отказавшись от
наличия счетной базы в пространстве Z и заменив это условие
для пространства Y условием wY^.wZ).
Теорема 1 позволяет по-новому доказать равенство Даукера
dimX = dim^X для всех нормальных пространств (исходя из
его справедливости для пространств со счетной базой). Далее
следует доказательство ряда других основных тождеств для
размерности метрических пространств, в частности формулы
Катетова dim X = Ind Л\
Все это делается в §§ 1, 2, 3.
Общая факторизационная теорема доказывается в § 4. Из
нее очень просто выводится теорема Нагата о существовании
универсального пространства в классе всех метризуемых про-
пространств данного веса и данной размерности, равно как и до-
дополняющая ее теорема 18.
Наконец, — и это представляется нам особенно убедительной
иллюстрацией к сказанному вначале —на основе общей факто-
ризационной теоремы теорема Катетова получает большое и
неожиданное обобщение:
Равенство dim X = Ind X верно для всех нормальных про-
пространств X, допускающих замкнутое нульмерное (dimf = 0)
отображение f: X-+Y на метрическое пространство у***).
*) См. определение 1 § 1 стр. 369.
**) См. определение 1 на стр. 375.
; ъм. определение i на стр. о/и.
***) К числу таких пространств относятся, например, все конечномерна
локально бикомпактные группы и их фактор-пространства.

368 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ. в
§ 1. Малая факторизациоииая теорема для метрических
пространств, со-дискретные отображения
на пространства со счетной базой
Следующая теорема (малая факторизационная теорема для
метрических пространств) в некоторых случаях позволяет сво-
сводить рассмотрение общих я-мерных пространств к рассмотре-
рассмотрению и-мерных пространств со счетной базой, теория размер-
размерности которых уже была построена в предыдущих главах.
Теорема 1 (Пасынков [11]). Пусть дано непрерывное
отображение f: X -> Z нормального пространства X в метри-
зуемое пространство со счетной базой Z. Тогда существуют:
такое метриэуемое пространство со счетной базой Y и такие
непрерывные отображения g: X-+Y и h: Y-*Z, что
f — hg и dim Y < dim X.
Доказательство. Пространство Z можно считать мно-
множеством, лежащим в гильбертовом кирпиче Q°°. По теореме 12
из § 9 гл. 1 отображение / можно продолжить в непрерывное
отображение f: {JX->Q°°.
По первой факторизационной теореме для бикомпактов (см.
гл. 5, § 2) можно найти такой компакт Ф и такие непрерыв-
непрерывные отображения g: рХ->Фи h: <D->Q°°, что f=*Ag и
<dimp>==dimA' (см. гл. 5, § 1).
Положим Y = gX и g = g: X-*Y, h = h: Y->Z.
Очевидно, f = hg. По теореме 18 из § 8 гл. 4
^dimO^dimX. Теорема доказана.
В качестве первого применения малой факторизационной
теоремы для метрических пространств докажем следующую
теорему (Александров [17]), обобщающую теорему Нёбе-
линга — Понтрягина:
Для любой счетной системы конечных открытых покрытий <ог,
i=\, 2, 3, ..., нормального пространства X размерности
dim X ^ п существует непрерывное отображение в Bп + ^-мер-
^-мерный куб Q (на не более чем п-мерное множество Y = Y (X)sQ),
являющееся аи-отображением для каждого i—l, 2, 3, ...
Доказательство. Нам потребуется следующее замеча-
замечание. Пусть отображение /: X-+Z есть суперпозиция непрерыв-
непрерывных отображений g: X-+Y и Л: K-+Z и является ©-отобра-
©-отображением относительно покрытия со пространства X. Тогда и g
есть со-отображение.
Действительно, пусть уеТ и x = hy. Возьмем окрестность
Ох, прообраз f~lOx которой содержится в одном из элементов
покрытия со. Но тем же свойством обладает и окрестность
h~xOx точки у, так как g~lh~*Ox — f~lOx. Перейдем к основ-
основной части доказательства. Длч каждого со^ построим канониче-

$ 1] МАЛАЯ ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА 369
ское отображение ft: X-*Nt в тело нерва Nt покрытия сог.
оо
Диагональное произведение /: X->Z = ]jNl отображений ft
непрерывно (гл. 1, § 8, предложение 7) и является со^-отобра-
жением для любого /, так как fi=Ptf, где pt — проекция Z на Nt.
По малой факторизационной теореме (теорема 1) существует такое
пространство со счетной базой У размерности dim У<!сИт.У<л
и такие непрерывные отображения g: X-*Y и h: Y-*Z, что
f = hg. Отображение g есть (по замечанию) coj-отображе-
ние для каждого /= 1, 2, 3, ... По теореме Нёбелинга — Пон-
трягина можно считать KsQ, следовательно, отображение
g—искомое. Теорема доказана.
Введем теперь следующее обобщение понятия ©-отображения.
Определение 1. Пусть дано открытое покрытие со про-
пространства X. Отображение f: X-+Y назовем са-дискретным ото-
отображением, если любая точка у &fX обладает окрестностью Оу
в Y, прообраз f~*Oy которой распадается в дискретную в X
систему открытых множеств, вписанную в покрытие со.
Теорема 2. Нормальное пространство X для любого своего
открытого локально конечного покрытия со обладает а-дискрет-
ным отображением в гильбертов кирпич Q°°.
В частности, имеем
Следствие 1. Паракомпакт X для любого своего откры-
открытого покрытия со обладает са-дискретным отображением в гиль-
гильбертов кирпич.
Сначала докажем следующее вспомогательное утверждение:
Лемма 1. Для любого счетного открытого корректного по-
покрытия co = {OJ, i=l, 2, 3 нормального пространства X
существует ^-отображение f: X -*¦ Q°° на подмножество гильбер-
гильбертова кирпича Q°°.
Доказательство. Гильбертов кирпич Q°° будем рассма-
рассматривать как произведение счетной системы отрезков Qt =
= {*, |0<*,<1}, /=1,2,3,... (см. гл. 1, § 8, п. 3). По
лемме Веденисова для каждого i построим такую непрерывную
функцию ft: X->Qi, что Oi — fTl@, lj-
оо
Диагональное произведение (гл. 1, § 8, п. 2) f: X-*Qoa=Yi Qt
отображений ft удовлетворяет для каждого / условию ft = prf,
где Pt обозначает проекцию произведения Q°° на сомножитель Qt.
Для каждого i множество V, = pj"l(O, 1] открыто в Q°° и
V >
Так как fXsQ°°\ @, 0, 0, ...) = [JVt, то лемма доказан^,
м

370 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ. в
Докажем теорему 2.
Рассмотрим произвольное локально конечное открытое по-
покрытие (о пространства X. Впишем в это покрытие ст-дискрет-
ное открытое корректное покрытие v (см. гл. 1, § 10, предло-
предложение 7).
Пусть \{ = {Оа}, ае$г, г=1, 2, 3 — дискретные си-
системы, на которые распадается покрытие v. Представим каждое
множество О„ в виде суммы замкнутых множеств Fla, /=1,
2, 3, ... Очевидно, при произвольных фиксированных i и у
система Xi/ = {F$, ael|, дискретна. Следовательно, каждое
множество Кц замкнуто в X, а каждое открытое в X множе-
00
ство \{= \Jkti имеет тип Fa в X.
оо
Таким образом, по покрытию v= (Jv; мы построили счет-
i=\
ное покрытие v' из открытых типа Fa в X множеств v*, i= I,
2, 3, ... По лемме 1 существует v'-отображение f: X-*Q°° про-
пространства X в гильбертов кирпич Q°°. Покажем, что f есть
(о-дискретное отображение.
Возьмем произвольно точку у е fX и такую окрестность Оу
этой точки, прообраз f~lOy которой содержится в одном из
элементов vu покрытия v'. Тогда система f~lOy(]Oa, a e 5tb,
дискретна и вписана в систему vits, а следовательно, и в по-
покрытие о. Теорема 2 доказана.
В доказанной теореме ничего не говорится о размерности
образа пространства X в Q°°. Факторизационная теорема 1
позволяет следующим образом уточнить теорему 2.
Теорема 3. Нормальное пространство X размерности
dim X = п < оо для любого своего открытого локально конечного
покрытия о обладает а-дискретным отображением на простран-
пространство со счетной базой Y размерности dim Y < п.
Следствие 2. Паракомпакт X размерности dimX = n для
любого своего открытого покрытия ю обладает (^дискретным
отображением на пространство Y со счетной базой размерности
dim Y < п.
Теорема 3 очевидным образом вытекает из теорем 1, 2 и
следующего вспомогательного утверждения:
Лемма 2. Пусть даны такие непрерывные отображения
f: X^-Z, g: X^Y u h: Y^Z,
Чтр f = hg. Если отображение f является (^-дискретным отобра-
отображением относительно открытого покрытия со пространства X,
то тем же свойством обладает и отображение g.

I 2] ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВА ДАУКЕРА 371
Доказательство. Возьмем произвольным образом точку
у е gX. По условию точка z-= hy ^fX обладает такой окрест-
окрестностью V, что ее прообраз f~lV распадается в дискретную в X
систему v открытых множеств, вписанную в покрытие <о. Но
тогда и прообраз g~i{h~iV)= f~lV окрестности h~lV точки у
распадается в дискретную в X систему v открытых множеств,
вписанную в покрытие <о.
Лемма доказана.
§ 2. Второе доказательство тождества
Даукера dimo0X = dimX
Теорема 4(Даукер [2]). Для нормального пространства X
всегда
A) dim X = dim., X.
Другими словами, неравенство dimZ^rc имеет место тогда
и только тогда, когда в любое открытое локально конечное
покрытие пространства можно вписать открытое покрытие
кратности ^п+ 1.
Следствие 1. Для паракомпакта X тогда и только тогда
имеем dim X ^ п, когда в любое его открытое покрытие можно
вписать открытое покрытие кратности <п+ 1.
Сначала теорему Даукера докажем в случае, когда прост-
пространство X обладает счетной базой.
Лемма 1. Пусть дано наследственно нормальное простран-
пространство X, его подмножество А и дизъюнктные открытые в А мно-
множества Нх и Н2. Тогда существует такая дизъюнктная пара
открытых в X множеств V\ и V2, что
VX[\A = HX и V2(]A = H2.
Доказательство. Так как множества Н{ и Н2, оче-
очевидно, отделены по Хаусдорфу (см. гл. 1, § 1), то утверждение
леммы сразу же вытекает из предложения 1 § 5 гл. 1.
Обобщим доказанную лемму.
Лемма 2. Пусть дано наследственно нормальное простран-
пространство X и его открытое покрытие <о. Пусть еще дано дизъюнкт-
дизъюнктное и вписанное в <о конечное или счетное покрытие т| мно-
множества А ? X открытыми в А множествами Ht, i= 1, 2, 3, .. .
Тогда существует такая конечная или счетная дизъюнктная
и вписанная в покрытие <о система открытых в X множеств Vi, что
Vi[\A = Hh /=1,2,3,...
Доказательство. Обозначим через Ot какой-нибудь из эле-
элементов покрытия со, содержащий множество Hh i= I, 2, 3, ...

372 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ, в
По предыдущей лемме существуют такие открытые в X мно-
множества 6/, и U's, что ?/,П?/2 = А, U\^\A—H\ и U'2f[A = [JHi.
Положим Vl = Uif\Ol. Очевидно, множество V\ открыто в X,
Vi[] A = H\, V\ s O\ и V\[\U'i — h..
Предположим, что для всех i<k, k>l, уже построены
такие дизъюнктные открытые в X множества V\ и открытое
в X множество Uk, что Uk П Vi — Л, V { f| A = Hit Vt s Oit i < k,
i>k ,
Построим множества V* и ?/*+(.
В силу наследственной нормальности пространства X пре-
предыдущая лемма применима к пространству Uk, его подмно-
подмножеству U Hi и покрытию / Нк, U Ht) этого множества.
г>* I о* J
Поэтому существуют такие открытые в Uk, а следовательно
ив^, множества Uk и Uk+i, что t/ft П t/ft+i = &, Hk = Uk(]\JHt=
=?/* П А и U Яг=6/*+1 П (J ^'=^*+i П Л. Положим Vk=Ok П ?/*.
Множество Vk открыто в X, Vk[\A = Hk, VftSO*, Vkf\Uk+i = A
и Vt{\VkS=Vt(\U'h = A, i<k.
Продолжая процесс построения множеств Vt, получим иско-
искомую систему. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть пространство X наследственно нормально,
а множество А^Х финально компактно и dim A = 0. Тогда
для любого открытого покрытия а пространства X существует
вписанное в а дизъюнктное открытое покрытие некоторой окрест-
окрестности множества А.
Доказательство. Каждая точка х&А обладает в А
открыто-замкнутой окрестностью Gx, содержащейся в некотором
элементе покрытия <о. Выделим из покрытия множества А
окрестностями Gx счетное подпокрытие {GJ, /= 1, 2, 3, ...,
обозначив через О{ один из элементов покрытия ш, содер-
содержащий Gt. Так как множества G< открыто-замкнуты в А, то
такими же будут и множества HX = GU Hk = Gk\\jGl,
Kk
k = 2, 3, 4, ... Множества Ht образуют дизъюнктное открытое
покрытие множества А и Ht s O{, i= I, 2, 3, ... Утверждение
леммы теперь вытекает из предыдущей леммы.
Докажем теорему 4 для произвольного пространства со
счетной базой X. Пусть dim^^O, т. е. в любое локально
конечное (в частности, конечное) открытое покрытие простран-
пространства X можно вписать открытое покрытие кратности ^п+ 1.
Тогда, очевидно, diZ^

§ 21 ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВА ДАУКЕРА 373
Наоборот, пусть dimZ<n. Тогда по теореме 17 из § 8
гл. 4 пространство X можно представить в виде суммы г+1 нуль-
нульмерных множеств Xit i = 0, 1, ..., г ^ п. Если <о — произвольное
открытое покрытие пространства X, то, по предыдущей лемме,
для каждого i существует дизъюнктное открытое покрытие ю< не-
некоторой окрестности множества Х{, вписанное в покрытие ш.
г
Система (J <ог есть открытое покрытие пространства X крат-
кратко
ности <> -f- 1^п + 1, вписанное в ш. Таким образом, dim
Равенство A) для пространств со счетной базой доказано.
Докажем теорему Даукера (теорему 4) в общем случае.
Неравенство dim X < dim^ X очевидно. Ясно также, что
dim X ^ dim,» X, если dim X = оо. Пусть теперь dim X = п < оо.
Рассмотрим локально конечное открытое покрытие ш про-
пространства X. По теореме 3 существует со-дискретное отображе-
отображение f: X-+Y пространства X на пространство со счетной базой Y
размерности dim Y ^ п.
Дальнейшее вытекает из следующей леммы:
Лемма 4. Если нормальное пространство X для своего
открытого покрытия ю обладает со-дискретным отображением f
на пространство со счетной базой Y размерности dimY^n,
то в покрытие о можно вписать открытое покрытие кратности
Доказательство. Выберем для каждой точки jeF
такую окрестность Оу, прообраз которой распадается в дискрет-
дискретную в X систему vy = {Ua}, a&%y, открытых множеств, впи-
вписанную в покрытие о.
В покрытие {Оу}, у еК, по доказанному, можно вписать
открытое покрытие т| = {Ур}, р е 23, кратности ^/г+ 1. Так как
каждый элемент Ур покрытия т| содержится в некотором мно-
множестве Оу = Оу (р), то его прообраз f~Vp распадается в дискрет-
дискретную в X систему vp= {6/anf""Vp}, ae9li,(p), открытых мно-
множеств, вписанную в покрытие <о. В силу дизъюнктности систем vB
их объединение v= \J vp имеет кратность, равную кратности
|
покрытия т|. Следовательно, кратность v^n+1. Очевидно,
система v является открытым покрытием пространства X, впи-
вписанным в покрытие о. Лемма 4, а с ней и теорема 4 доказаны.
Опираясь на полученные результаты, дадим еще одну характе-
характеристику размерности dim X нормального пространства X.
Теорема 5@странд[1] *)). Нормальное пространство X
имеет размерность AimX^.n тогда и только тогда, когда
*) Для метрических пространств.

374 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ, в
(¦) в любое открытое локально конечное покрытие простран-
пространства X можно вписать покрытие, представимое в виде суммы
не более чем п + 1 дискретных в X систем корректных откры-
открытых множеств.
Доказательство. Достаточность условия (•) для выпол-
выполнения неравенства dimZ^n очевидна. Необходимость усло-
условия (*) вытекает из теоремы 4 этого параграфа, предложений 11
и 2 из § 6 гл. 1 и предложения 8 из § 10 гл. 1.
Теорема 6. Нормальное пространство X имеет размерность
^n тогда и только тогда, когда
(**) для любого открытого локально конечного покрытия со
пространства X существует а-дискретное отображение простран-
пространства X в п-мерный симплекс Тп.
Доказательство. Пусть dimZ^n. Рассмотрим открытое
локально конечное покрытие со пространства X. По теореме 5
в со можно вписать открытое покрытие v, распадающееся
в сумму дискретных в X систем vt открытых множеств О„,
as5t(, / = 0, I r<n.
Для открытого покрытия v' = {v(}, i = 0, I, ..., г, простран-
пространства X существует (см. гл. 4, § 1, теорема 1) каноническое
отображение f: X->Nv в тело нерва покрытия v'. Очевидно,
JVV' sf's fn.
Прообраз f~xOej звезды Ое} вершины е/ нерва Nvr содер-
содержится в v*. Поэтому система
дискретна и вписана в покрытие со.
Так как главные звезды (т. е. звезды вершин) покрывают
весь полиэдр Nv>, то отображение f является со-дискретным
отображением в AV s Tn. Итак, необходимость условия (**)
для выполнения неравенства dimX^rc доказана.
Из утверждения (**) соотношение dimZ^n вытекает в силу
леммы 4. Теорема доказана.
Следствие 2. Для паракомпакта X следующие утвер-
утверждения эквивалентны:
A) dimZ<n;
B) в любое открытое покрытие пространства X можно
вписать покрытие, являющееся суммой не более чем п -f- 1
дискретных в X систем корректных открытых множеств;
C) для любого открытого покрытия со пространства X суще-
существует (и-дискретное отображение X в п-мерный симплекс.

§ 3] ТОЖДЕСТВО КАТЕТОВА 376
§ 3. Тождество Катетова dlm.Y = Ind.Y для метрического
пространства X; другие характеристики размерности
метрического пространства
Первоначальное катетовское доказательство равенства
dimX=IndX для метрического пространства X основывалось
на существовании для метрического пространства X размер-
размерности dimX^n равномерно нульмерного (Катетов [2]) ото-
отображения в n-мерный куб. Применение малой факторизационной
теоремы для метрических пространств позволяет исходить лишь
из существования вполне нульмерного (см. ниже) отображения
пространства X в гильбертов кирпич, причем требование полной
нульмерности отображения формально слабее требования его
равномерной нульмерности.
Перейдем к определениям и доказательствам. .
Определение 1. Непрерывное отображение f:X-*Y
метрического пространства X в пространстве Y назовем вполне
нульмерным, если для любого е > 0 и любой точки у ^fX
существует окрестность Оу в Y, прообраз f~lOy которой рас-
распадается в дискретную в X систему открытых в X множеств
диаметра < е *).
Теорема 7 (Катетов [3]). Любое метрическое простран-
пространство X обладает вполне нульмерным отображением в гильбертов
кирпич Q°°.
Доказательство. Обозначим через ю* покрытие про-
пространства X, состоящее из сферических окрестностей О (к, —А
всех точек из X', /=1, 2, 3, ... По следствию 2 § 2 для
каждого i существует <ог-дискретное отображение U простран-
пространства X в гильбертов кирпич Qj°.
00
Диагональное произведение /: X->Q°° = JJ Q™ отображений/{
будет искомым. Действительно, фиксируем какое-нибудь е > О,
точку yo^fX и выберем номер /, для которого -у <—. Через
Pi обозначим проекцию произведения Q00 на сомножитель
Q~. Очевидно, ft = ptf- По построению точка р(у0 обладает окре-
окрестностью О, прообраз fj О которой распадается в дискретную
в X систему открытых множеств, вписанных в со* и имеющих по-
поэтому диаметры ^— < е. Но тогда и прообраз f {p{ O)=f{ О
*) Если пространство Y метризуемо, то вполне нульмерное отображе-
отображение /: X -> Y можно посредством надлежащей метризации пространства Y
превратить в равномерно нульмерное в смысле Катетова [2] отображение.

376 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ. в
окрестности ру'О точки у0 также распадается в дискретную в X
систему открытых множеств диаметра < е. Теорема доказана.
Для конечномерных метрических пространств теорема 7
допускает следующее усиление:
Теорема 8 (Катетов [2], [3]). Метрическое простран-
пространство X размерности dim X ^ п обладает вполне нульмерным
отображением в пространство со счетной базой Y размерности
dim Y ^.п.
В самом деле, теорема 8 вытекает из теоремы 7, теоремы 1
и следующей леммы:
Лемма 1. Пусть даны такие непрерывные отображения
f: X-+Z, g: X-+Y и h: Y ->Z, что f — hg. Если пространство X
метрическое, а отображение f вполне нульмерно, то вполне
нульмерным будет и отображение g.
Доказательство. Возьмем е>0 и точку y^gX. По
условию точка z = hy обладает окрестностью О, прообраз f"lO
которой распадается в дискретную в X систему открытых
множеств диаметра < е. Но тогда тем же свойством обладает
и прообраз g~'(/j~'o) = f~1O окрестности h~xO точки у. Лемма,
а с нею и теорема 8 доказаны.
Теперь мы можем установить одно из самых фундаменталь-
фундаментальных утверждений теории размерности вообще и теории метри-
метрических пространств в частности.
Теорема 9. Для метрического пространства X и любого
п = 0, 1, 2, ... следующие утверждения эквивалентны:
A) dim*<n;
B) Ind*<n;
C) пространство X является суммой не более чем п + 1
множеств Х{ размерности dimXj<0;
D) пространство X является образом метрического про-
пространства Xй размерности dim Х° ^ 0 и веса wX° ^ wX при
замкнутом отображении кратности ^п+ 1;
E) метрическое пространство X обладает вполне нульмерным
отображением на пространство со счетной базой Y размер-
размерности dim Y < п.
Эквивалентность пунктов (I) —C) и E)*) установлена Ка-
тетовым[2], [3]**), пунктов A) и D) — Mo p ита [5].
Доказательство теоремы 9 опирается на несколько утвер-
утверждений, имеющих и самостоятельный интерес.
Следующая лемма показывает, что вполне нульмерные
отображения являются нульмерными, так что термин «вполне
нульмерные отображения» оправдан.
*) С заменой в пункте E) вполне нульмерных отображений равномерно
нульмерными и пространства Y кубом Qn.
*•) См- также М о р и т а [4].

§ 3) ТОЖДЕСТВО КАТЕТОВА 377
Лемма 2. Если метрическое пространство X для любого
е > О представляется в виде суммы дизъюнктных открытых
множеств диаметра < е, то Ind X ^ 0.
Доказательство. Положим г{= —, 1=1, 2,3,...
По условию для каждого i существует покрытие цг простран-
пространства X из дизъюнктных открыто-замкнутых множеств диа-
диаметра < ег. Можно считать, что цг+, вписано в ць иначе
вместо цг+i можно взять произведение покрытий ць ..., цг, Ц(+!.
Рассмотрим произвольное замкнутое в X множество F и
какую-нибудь его окрестность OF.
Обозначим через А{ сумму тех элементов покрытия щ,
которые содержатся в OF, а через В{ — сумму тех элементов
покрытия Hi, которые лежат в X\F и в то же время не со-
содержатся в OF. Ясно, что множества Аи В\ и С, = X \ (Л, U В,)
открыто-замкнуты, дизъюнктны и целиком состоят из элемен-
элементов покрытия Hi.
Предположим, что для всех i < s дизъюнктные, открыто-
замкнутые и целиком состоящие из элементов покрытия цг
множества At, Bt и С( уже построены (при этом At состоит из
точек, всех тех элементов покрытия цг, которые содержатся
в OFflCi-i', далее, Bt состоит из точек всех тех элементов по-
покрытия цг, которые содержатся в (X \ F) П Q-i. но не содержатся
в OFflCi-i; наконец, Ci = Ci-l \(A[\JBi)). Обозначим через А,
сумму тел тех элементов покрытия \is, которые содержатся
в OFf\Cs-u через Bs обозначим сумму тел тех элементов
покрытия ц3, которые лежат в (Х\ F)f\Cs~l и ие содержатся
в OFf\Cs-{. Очевидно, множества As, Bs и Cs = Cs-l \ (AS[)BS)
дизъюнктны, открыто-замкнуты и целиком состоят из элементов
покрытия ц3. (Напомним, что покрытие \is вписано в покры-
покрытие ц,_1 и поэтому множество Cs^{ целиком состоит не только
из элементов покрытия ц*-1. но и из элементов покрытия ц*0
Продолжая построение, получим последовательности множеств
оо
А{ и В(. Из построения ясно, что множества А ¦= (J At
(—1
00
и В= \J Bi не пересекаются и открыты, причем A^OF.
2—1
Покажем, что F s А. Действительно, так как е^-^-О при
*-*оо, то для любой точки j;ef определен наименьший номер
/ = /<)» Для которого элемент покрытия ц<0» содержащий точку х,
содержится в OF. Ясно, что х е Аи s A.
Покажем теперь, что Х = А{]В. Уже показано, что FsA.
Если хё OF \ F, то существует такой номер /,, для которого
элемент покрытия ц{, содержащий точку х, будет лежать в OF.

378 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ, Ш [ГЛ.6
Если точка х еще не попала в одно из множеств At или В\
для / < /[, то она будет содержаться в множестве Л;,. Наконец,
если леХ\ OF, то существует такой номер t2, для которого
элемент покрытия ц{, содержащий точку х, не пересекается
с F. Если точка к еще не попала в одно из множеств В{ для
/ < 12, то она попадет в множество Bi,.
Соотношение X = A U В доказано. Из него следует, что мно-
множества А и В не только открыты, но и замкнуты, следова-
следовательно, Ind Я = О, ч. и т. д.
Лемма 3. Если метрическое пространство X обладает
вполне нульмерным отображением f на пространство Y со счет-
счетной базой размерности dim Y = 0, то Ind X = 0.
Доказательство. Возьмем е > 0. Для каждой точки
1/е!Г выберем окрестность Оу, прообраз f~^Oy которой рас-
распадается в дискретную в X систему открытых в X множеств Va,
а е %у, диаметра < е. Впишем в покрытие пространства Y
окрестностями Оу открытое, счетное, однократное покрытие
множествами О<, »=1, 2, 3, ... (возможность этого вытекает
из следствия 1 § 2). Для каждого номера / фиксируем какое-
нибудь из множеств Oy^=Oy(i), содержащее Ot. Тогда мно-
множества rl0if\Va, а<=21у((), 1=1, 2, 3 дадут разложение
пространства X в сумму дизъюнктных открытых множеств
диаметра < е, откуда, по лемме 2, IndZ^O. Лемма доказана.
Приступим к доказательству эквивалентности утвержде-
утверждений A), B), C) и E) теоремы 9.
Утверждение (б) вытекает из утверждения A) в силу тео-
теоремы 8. Выведем теперь из утверждения E) утверждение C).
Пусть существует вполне нульмерное отображение f: X^>Y
пространства X на пространство со счетной базой Y размер-
размерности dim У < п. По теореме 17 из § 8 гл. 4 пространство Y
можно представить в виде суммы не более чем п+1 множеств Yt
размерности dim У* < 0, / = 0, 1, . ..,/¦< я. Так как отобра-
отображения f: f~xYt -> Ylt очевидно, вполне нульмерны, то, по лемме 3
и по неравенству Веденисова (гл. 4, § 8, п. 3), dimf^^
г
<Indr'y<<0, / = 0, 1 г, г<п, и X = [)r1Yt- Итак,
2—0
утверждение C) теоремы 9 следует из утверждения E) этой
теоремы.
Так как неравенство dim ^^ Ind X справедливо для любых
нормальных, в частности метрических, пространств (см. гл. 4,
§ 8, п. 3), то утверждение A) вытекает из утверждения B).
'. Для доказательства эквивалентности утверждений (I) — C)
и E) достаточно теперь показать, что из утверждения C) выте-
вытекает утверждение B). Но это следует из эквивалентности

§ 3) ТОЖДЕСТВО КАТЕТОВА 379
утверждений dimX = 0 и Ind.X = 0 для произвольных нор-
нормальных пространств (гл. 2, § 3, предложение 1) и следующего
общего утверждения:
Теорема 10 (Катетов [2]). Если наследственно нормальное
пространство X представляется в виде суммы п + 1 множеств Xi
размерности IndX^O, / = 0, 1 п, то IndZ<n.
Доказательство проведем по индукции. Для п = 0 утвер-
утверждение верно. Предположим его доказанным для всех п < k,
k > 0, и пусть п = к.
Рассмотрим два замкнутых непересекающихся подмноже-
подмножества F\ и F2 пространства X. Окружим их соответственно
окрестностями О{ и О2 с непересекающимися замыканиями [OJ
и [О2]. Пересечения [0^ П ^о = Ф1 и [О2] Г) Хо = Ф2 являются
замкнутыми непересекающимися подмножествами множества Хо;
поэтому существует такое представление Хо в виде суммы
двух непересекающихся открытых в Хо множеств Хо и Хо, что
Ф1 s Хо и Ф2 ? .Хо- По лемме 1 из § 2 существуют дизъюнкт-
дизъюнктные открытые в X множества V\ и У2> дающие в пересечении
с Хо соответственно Хо и Х\. Можно считать, что V\[\[O^ = A.,
иначе вместо V\ мы взяли бы разностьУ! \ [О2]. По той же при-
причине можно считать, что К2 Л [^i] = А. Множества C^UVi и
О2 U V2 являются непересекающимися окрестностями множеств
Fi и F2, а Хо содержится в сумме этих окрестностей. Следова-
Следовательно, перегородка F — X\ (O[ U ViUO2U V2) между F{ и F2
содержится в сумме множеств Х{, ..., Хк и, по индуктивному
предположению, имеет размерность IndF^fe— 1. Таким обра-
образом, Ind^^/s, что и требовалось доказать.
Эквивалентность утверждений A) — C) и E) теоремы 9,
таким образом, установлена.
Заметим также, что доказывая теорему 10, мы получили
следующее
Предложение 1. Пусть в наследственно нормальном про-
пространстве X дано подмножество Хо размерности dim Хо ^ 0 *).
Тогда в X между любыми двумя дизъюнктными замкнутыми
множествами F{ и F2 существует перегородка Ф, удовлетворяю-
удовлетворяющая соотношению
Докажем эквивалентность утверждения D) теоремы 9 осталь-
остальным утверждениям этой теоремы.
Лемма 4. Пусть даны непрерывные отображения f: X-+Y
и ф: У°->К метрических пространств X и Y0 на пространство Y,
причем отображение f вполне нульмерно. Тогда в веерном
*) Напомним, что соотношения сНтЯ0<0 и Ind^p^O равносильны
(предложение 1, § 3, гл. 2).

380 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ, Ш [ГЛ. в
произведении Х° пространств X и Y0 относительно отображе-
отображений f и ф
Х^Х'У"
(см. Прибавление к главе 1, § 2) можно так ввести метрику, что
проекция р: Х° -*¦ У0 будет вполне нульмерным отображением.
Доказательство. Для любых двух точек x°l = (xl, yfy
и х% = (х2, у°2) из Xy.Y° положим
где pi и р2 — соответственно метрики в X и К0. Покажем, что
относительно введенной в X X Y°, а значит и в Х° s X X У°,
метрики проекция р: X°-*Y° является вполне нульмерным ото-
отображением. Возьмем е > 0 и точку у0 е У0. По условию точка
у = уу° обладает такой окрестностью Оу, прообраз V = f~lOy
которой распадается в дискретную в X систему v открытых
множеств Va, bgI, диаметра <-^. Так как <р— непрерыв-
непрерывное отображение, то у точки у0 существует б-окрестность О,
26 < —%^, для которой фО s Оу. Проекцию Х° на X обозна-
обозначим через л.
Множество р~1О совпадает с множеством р~Ю(]л~1У.
В самом деле, по лемме 1 из § 2 Прибавления к гл. 1 имеем
lllll l
p0snr<f0snr0y nV.
Множество U = p~lO распадается (в силу дискретности си-
системы v) в дискретную в Х° систему открытых множеств
p-lOf\n"lVa, «еЯ. Диаметр каждого множества p~lOf\n~lVa
меньше е, так как для любых двух точек д^ = (д;,, у°) и
х% = (х2, у1*) из множества p~lOC\n~lVa выполнено неравенство
, л:°) < [(diam ОJ + (diam Vaf]^ <
Лемма доказана.
Выведем теперь из утверждения A) теоремы 9 утвержде-
утверждение D) этой теоремы.
Пусть dimX^n. Тогда, по теореме 8, пространство X
обладает вполне нульмерным отображением /: X-+Y на про-
пространство со счетной базой У размерности dim У < п. По тео-
теореме 11 из § 7 гл. 5 существует непрерывное, замкнутое,

§ 3] ТОЖДЕСТВО КАТЕТОВ А 381
кратности ^п+ 1 отображение <р: Y°-*Y пространства со счет-
счетной базой У0 размерности dim У0 ^ 0 на пространство У. По
предыдущей лемме проекция р: Х° -*¦ У0 веерного произведе-
произведения Х° пространств X и Y0 относительно отображений f и <р
будет относительно надлежащей метрики на Х° вполне нуль-
нульмерным отображением. Следовательно, по лемме 3 имеем
dim Х° < Ind Х° < 0. Так как Х° s X X Y°, то
wX° < max (wX, wY°) = wX *).
Наконец, по леммам о «параллельных» из § 2 Прибавления
к гл. 1 проекция я: Х°-*-Х будет совершенным и, следова-
следовательно, замкнутым отображением кратности ^л+1. Итак,
из утверждения A) теоремы 9 утверждение D) этой теоремы
следует.
Для полного доказательства теоремы 9 достаточно показать,
что из ее утверждения D) вытекает, например, ее утвержде-
утверждение B). Но это так в силу следующей теоремы:
Теорема 11 (Морита [5], Нагами [3]). Если нормаль-
нормальное пространство У является образом нормального простран-
пространства X размерности dimX = 0 при непрерывном, замкнутом,
кратности =^п+ 1 отображении f: X-*Y, то Ind У ^ п.
Доказательство. Если п = 0, то отображение / является
гомеоморфизмом, и тогда Ind У = IndX = dimX = 0 (см. пред-
предложение 1 из § 3 гл. 2). Предположим, что утверждение тео-
теоремы имеет место для всех п < k, k > 0, и пусть n = k.
Рассмотрим два замкнутых непересекающихся подмноже-
подмножества F, и F2 пространства У и их прообразы Ф| = /~'^, и
Ф2 = Г/?2- Так как IndX = ditnX = 0, то существует разбиение
пространства X на два таких непересекающихся открыто-зам-
открыто-замкнутых множества О\ и О2, что 0|ЭФ| и О2эФ2. Образ W
множества О2 замкнут в У и не пересекается с F,. Поэтому
множество ?/ = У\Чг является окрестностью множества F,.
Граница множества U содержится и в образе множества О2,
и в образе множества Ot (так как образ множества О] замкнут
в У и содержит множество U). Но в таком случае отображе-
отображение f на замкнутом в X множестве /~'гр Uf\Ot является зам-
замкнутым и имеет кратность заведомо меньшую, чем & + 1. По
индуктивному предположению Indrp U < k, откуда Indy^fc.
Теорема 11 доказана. Доказана также и теорема 9.
Равносильность для метрических пространств неравенств
dimX<n и IndX<n, л=0, 1, 2, ..., означает, что
для метрических пространств всегда
•) Считаем шХ>но> так как Для w% < "о доказываемое утверждение
очевидно.

382 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ. в
Как уже отмечалось в гл. 4, П. Рой построил пример метри-
метрического пространства R, для которого
ind # = 0 < 1 = dim R = Ind R.
Из неравенств ind X^ Ind X (для произвольных нормальных
пространств) и dimZ^indZ (для сильно паракомпактных
пространств — см. гл. 4, § 8) следует
Теорема 12(Морита [4]). Для произвольного сильно
паракомпактного метрического пространства X справедливы
равенства
Если в сильно паракомпактном метрическом пространстве X
в покрытия vn, состоящие из —окрестностей всех точек про-
пространства X, вписать открытые звездно конечные покрытия со„,
я=1, 2, 3, ..., то элементы всех покрытий со„ образуют, оче-
очевидно, базу пространства X.
База пространства X, распадающаяся в счетную систему
звездно конечных покрытий, называется а-звездно конечной.
В силу метризационного критерия (гл. 1, § 11) регулярные про-
пространства с а-звездно конечной базой метризуемы. По доказан-
доказанному выше сильно паракомпактные метрические пространства
обладают а-звездно конечной базой. Следовательно, и любые их
подмножества обладают а-звездно конечной базой. В то же время
можно указать сильно паракомпактные метрические простран-
пространства, не каждое подпространство которых сильно паракомпактно.
Таким образом, класс пространств с а-зведно конечной базой
(ниже они будут называться сильно метризуемыми) существенно
шире класса сильно паракомпактных метрических пространств.
Поэтому следующая теорема обобщает теорему 12:
Теорема 13 C аре л у а [1]). Для произвольного сильно
метризуемого пространства X справедливы равенства
Сначала докажем несколько лемм.
Лемма 5. Пусть нормальное пространство X разлагается
в дискретную сумму своих замкнутых подмножеств Ха размер-
размерности dim Ха <; п, а е 21. Тогда и dim X ^ п.
Эта лемма есть частный случай теоремы 20 из § 9 гл. 4.
Лемма 6. Пусть в конечное открытое покрытие со нормаль-
нормального пространства X можно вписать а-дискретное покрытие ц
из таких открытых множеств Оа, что dimrpOa<n—1 для
всех а. Тогда в со можно вписать открытое покрытие кратности
<п+1.
Доказательство. Обозначим дискретные системы, на
которые распадается покрытие ц, через jij, i=l, 2, 3, ...

$ Si ТОЖДЕСТВО КАТЕТОВА 383
В силу дискретности системы щ граница гр р,{ ее тела ^t со-
совпадает с суммой границ ее элементов. Но так как система
границ элементов дискретной системы \it также дискретна, то,
по предыдущей лемме, dim гр ?14 <п — 1. По предложению 3
оо
из § 5 гл. 1 множество ^ = ljrpjl< нормально. По теореме
суммы dim F^.n — 1.
Положим v1==ni. Через vi( i — 2, 3, 4, ..., обозначим си-
систему открытых множеств Oa\(J[|I/], Oo e ц,. Очевидно,
l<i
система v = (J v^ состоит из открытых множеств, дизъюнктна
и вписана в покрытие со. Покажем, что замкнутое множество
ф = Х\\ содержится в множестве F.
Пусть *еФ, Тогда хф\ьу =vi, но существует номер
го>1 такой, что *ejlio и *<?(JjI{. Так как x&vh =
= (г4 \ (Jjjijsv, т0 из способа построения системы v, сле-
дует, что х е (J [рц] \ (J ?ц, откуда х е (J гр Д,,. Таким образом,
0sF, и поэтому dimCD^n— 1. В покрытие, высекаемое на
множестве F покрытием со, можно вписать конечное замкнутое
покрытие к кратности ^п. Систему % можно подобно раздуть
в открытое покрытие г\ некоторой окрестности множества F
(см. гл. 1, § 10), вписанное в покрытие со. Объединение си-
системы v кратности 1 и системы г\ кратности ^п дает откры-
открытое покрытие пространства X кратности ^п+1, вписанное
в со. Лемма доказана.
Лемма 7. В любое открытое покрытие со сильно метризуе-
мого пространства X размерности ind X ^ п можно вписать
такое а-дискретное открытое покрытие у, что ind гр W ^ п — 1
для любого fev.
Доказательство, Для каждой точки х е X возьмем
окрестность Ох, содержащуюся в одном из элементов покры-
покрытия со и удовлетворяющую условию indrp Ox^.n — 1.
По условию некоторая база ? пространства X распадается
в сумму звездно конечных покрытий &, /=1, 2, 3, ... Для
каждого элемента Ua системы t,i выберем, если это возможно,
такую точку * = *(a), что Ua^Ox(a). Через Wal обозначим
пересечение окрестности Ох (а) с телом той компоненты t,tx
звездно конечного покрытия & (см. гл. 1, § 6, п. 3), в которую
входит элемент Ua. Так как граница тела ?,t компоненты Ztx
пуста (см. гл. 1, § 6, замечание 4), то гр Wat S гр Ох(а), откуда,
ind гр Wai < ind гр Ох («X п -г 1.

384 ОСНОВНЫЕ tEOPEMbl ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. Ill [ГЛ. 6
Тела компонент звездно конечного покрытия Zt открыты и
дизъюнктны, а сами компоненты состоят из не более чем счет-
счетного числа элементов покрытия Zt (см. гл. 1, § б, замечание 4
и предложение 3). Поэтому в теле каждой компоненты покры-
покрытия Zt содержится не более чем счетная система множеств Wa{.
Выбрав для каждой компоненты Ztx покрытия Zt по одному
множеству Wai s Ztx, получим, очевидно, дискретную систему
множеств Wai. Из сказанного ясно, что при фиксированном
номере i система множеств Wai является а-дискретной. Следо-
Следовательно, система v всех множеств Wai также а-дискретна.
Так как любое подпространство сильно метризуемого про-
пространства, очевидно, сильно метризуемо, то, по индуктивному
предположению, dimrp Wai ^indrp Wai ^.n — 1 для любого
множества Wai.
По построению система v вписана в покрытие со.
Осталось еще показать, что v является покрытием про-
пространства X.
Возьмем произвольную точку *еХ и выбранную выше ее
окрестность Ох. Существует элемент Ua e Zt базы Z такой, что
х е Ua s Ох. Тогда ясно, что *Gf/as Wal. Итак, система ц
является покрытием пространства X. Лемма доказана.
Докажем теорему 13.
Достаточно доказать неравенство dim X ^ ind X, так как
всегда ind X^ Ind X и равенство dimX=IndX уже уста-
установлено.
Если indX= — 1, то и dimX=— 1. Предположим, что
неравенство dim X^ ind X имеет место в случае mdX<n, и
пусть indX = n, л>0.
Рассмотрим произвольное конечное открытое покрытие ©
пространства X. По лемме 7 в со можно вписать такое откры-
открытое а-дискретное покрытие v, что indrpW^n— 1 для любого
f sv. По индуктивному предположению и dimrp W^n—l
для любого tt^ev. Но тогда, по лемме 6, в покрытие со можно
вписать открытое покрытие кратности ^«+1. Следовательно,
dimX<« = indX. Теорема доказана.
Следствие 1. Если метрическое пространство X обладает
а-дискретной предбазой 93 (г. е. предбазой, распадающейся
в счетную сумму дискретных систем) из открыто-замкнутых
множеств, то
i
Доказательство. Очевидно, indX^O. Для доказа-
доказательства нужного неравенства осталось показать сильную метри-
метризуемость пространства X.
Пусть дискретные в X системы v< = {Ka}, a e Щ, 1=1, 2,
3, ..., открыто-замкнутых множеств Va образуют в X предбазу.

<S 3] ТОЖДЕСТВО KATETOBA 888
Рассмотрим систему vi(... is= vi( Л ... Л v^ и точку лее X.
Для каждого i=l, ..., s выберем окрестность Oi точки х,
пересекающуюся не более чем с одним элементом системы v*.
Тогда окрестность Ot f\ ... f\Os точки х пересекается не более
чем с одним элементом системы v^... ts. Мы доказали дискрет-
дискретность этой системы. Так как элементы системы v^...^ открыто-
замкнуты, то множество Uit... is = X\\it... is также открыто-
замкнуто, а система \4t...ts, состоящая из множества Ut t
и элементов системы vjt...<g, является открытым и дизъюнкт-
дизъюнктным (следовательно, и звездно конечным) покрытием про-
пространства X. Из определения предбазы следует, что система
v= (J v< ... is образует базу в X. Так как vSf*= (J цг -##, f
«,...«, '1 •••'«
то ц есть сг-звездно конечная база пространства X. Сильная
метризуемость X, а потому неравенство dimX^O доказано.
Теорема 9 позволяет показать, что конечномерное мно-
множество М, лежащее в' метрическом пространстве X, часто
Можно погрузить в существенно_ более обширное множество
М = X той же размерности dim М = dim M.
Теорема 14 (теорема Тумаркина *)). Пусть дано метри-
метрическое пространство X и его подмножество М. Тогда существует
такое множество М типа Ge в X, что Ms M и
dim M = dim M.
Доказательство. Предположим сначала, что dimAf = 0.
Для произвольного натурального числа п через Опх обозна-
обозначим —-окрестность точки jsAI в I По следствию 1 из -§ 2
в покрытие {Onxf\M}, х е М, множества М можно вписать
открытое покрытие vn = {Ma}, ae51n, кратности 1. Система vn,
таким образом, дизъюнктна и состоит из открытых в М мно-
множеств. В X существуют такие открытые множества ?/„, что
2
Ua[\M<**Ma, а е 21„. Можно считать diamf/0^ —, так как
в противном случае вместо множеств Ua можно взять мно-
множество Uaf\Onx, где Опх^Ма.
Множество Un= (J ?/„ открыто в X, и система ц =
It
a e 2ln, является его покрытием. По построению для любого
as5ln множество Ма содержится в замкнутом в Un множестве
*) Первоначально эта теорема была доказана Тумаркиным [3] для
пространств со счетной базой. На произвольные метрические простран-
пространства ее распространили Катетов [3] и Мори та [4J.
13 П. С. Александров, Б. А. Пасынков

386 ЬСНОВНЫЁ ТЕОРЕМЫ 66ЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. lit [ГЛ. в
Ma = Un\ [J Uа'. Множество точек однократности покрытия ц
множества [/„, т. е. множество Мп= (J Ma=Un \ (J (Uaf\ Ua>),
" а, а'(вэтп
также замкнуто в множестве Un и, следовательно, имеет
тип О6 в пространстве X. Множества Ма = Мп f| ?/а открыты
в Мп, очевидно, дизъюнктны, и diam Ma ^ diam Ua^. — , a e 21„.
Таким образом, для каждого натурального л мы нашли
множество Мп типа Ge в X, содержащее множество М и пред-
ставимое в виде суммы дизъюнктных открытых в Мп мно-
2
жеств Ма, ае91„, диаметра ^ —. Очевидно, множество
М = Р| Мп имеет тип Ge в X, содержит множество М и для
п—1
любого натурального п представляется в виде суммы дизъюнкт-
дизъюнктных открытых в М множеств Ма[\М, а е %п, диаметра ^ —»
По лемме 2 dimM<0, а по теореме 18 из § 8 гл. 4 dimM^
^dimМ = 0, откуда dimM = O==dimM.
Пусть теперь dimM = « < оо. Тогда, по теореме 9, мно-
множество М можно представить в виде суммы множеств М{ раз-
размерности dimMf = O, / = 0, 1 п. По доказанному суще-
существуют множества Mt э Mt типа G6 в X и размерности
< = 0, i = О, 1 п.
_ п
Множество М = (J Af; имеет тип G9 в X, а по теореме 9
io
_
n. Но по теореме 18 из § 8 гл. 4 dim M ^ dim М = п,
откуда
dim М = п = dim M.
В случае dim М = оо в качестве множества М можно взять
все пространство X. Теорема доказана.
Следствие 2 (Катетов [3], Морит а [4]). На любом
метризуемом пространстве X можно так ввести метрику, чтобы
пополнение X пространства X по этой метрике имело размер'
ность
Доказательство. Возьмем пополнение Х{ простран*
ства X по какой-нибудь метрике на_Х. По предыдущей тео-
теореме существует такое множество X э X типа Ge в Х1г что

« 3] ТОЖДЕСТВО КАТЕТОВА 887
dim X = dim X. Но множество X, имея тип Ge в полном метри-
метрическом пространстве, обладает метрикой р, относительно кото-
которой само является полным пространством *). Метрика р будет
искомой.
Теорема 15 (Катетов [3], Морит а [4]). Для метри-
метрических пространств X и Y имеем неравенство
dim (X X У) < dim X + dim У.
Доказательство. Утверждение верно, если dimX = oo
или dimy = oo. Пусть dimX = ra<oo и dimK = m<oo. По
теореме 8 существуют вполне нульмерные отображения/: Х-*Х'
и g: Y-+Y' пространств X и У на пространства со счетной
базой X' и Y' соответственно, и при этом dim X' ^ п, dim Y' ^ т.
Через <р: X X Y -*• X' X Y' обозначим отображение, ставящее
в соответствие точке (*, у) е X X У точку (fx, gy) еГХ Y'.
В X X У введем метрику, считая
где Pi и р2—метрики в X и У**). Покажем, что относительно
метрики р отображение <р вполне нульмерно ***).
Возьмем е > 0 и точку (*?, у'^ еГХ У- По условию суще-
существуют такие окрестности О = Ох'0 я V = Vy'o точек x'Q и г/ц,
что прообразы f~lO и ^~V распадаются, соответственно,
в дискретные в X и в У системы открытых множеств Оа,
aei, и Кр, Р^S3, диаметра <тр=-« Тогда множество ОХ^
является окрестностью точки (jfg, г/g) и ее прообраз
распадается в дискретную в X X У систему открытых множеств
OoXVp, as^. Р^ЗЗ, диаметра <у у + -у =г- Итак» ото"
бражение ф вполне нульмерно.
В силу неравенства D) из § 8 гл. 4
dim X'XY'<n + tn,
а по теореме 9
dim X X Y < dim X' X У < я + m — dim X + dim У,
что и требовалось доказать.
*J См. А л ек са н д ров [1].
*) О
J С д р []
**) Относительно согласоваииости метрики р с топологией произведе-
произведения ХХУ см. гл. 1, § 8, замечание 2.
***) Непрерывность q> вытекает из п. 2 § 8 гл. 1, .
13*

388 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. Ш [ГЛ. в
§ 4. Факторизационная теорема для метрических пространств.
Универсальные метрические пространства
Факторизационная теорема для метрических
пространств (Пасынков [9], [14]). Пусть f — непрерыв-
непрерывное отображение нормального пространства X на метрическое
пространство Z *). Тогда существует такое метрическое про-
пространство Y и такие непрерывные отображения g: X -*¦ Y и
Л: Y->Zr что
B) dim Y < dim X,
C) wY^wZ.
Доказательство. Для dimJT=oo утверждение теоремы
очевидно. Пусть dimX = n<oo.
По теореме 8 существует вполне нульмерное отображение
<р: Z-*Т пространства Z на пространство со счетной базой Т.
По малой факторизационной теореме 1 можно найти такое
пространство со счетной базой S размерности dim 5 ^ dim X ^ п
и такие непрерывные отображения *ф: X-+S и %: S-*T, чтр
ф/! = Х'Ф- По замечанию клемме 3 из § 2 Прибавления к гл. 1
определено непрерывное отображение g: X-+Y пространства X
в веерное произведение Y пространств Z и 5 относительно
отображений ф и % по правилу gx = (Jх, ух), х&Х.
При этом f = hg и ty = pg, где Л и р — проекции веерного
произведения Y в сомножители Z и S соответственно.
По лемме 4 из § 3 в У можно ввести такую метрику, что
проекция р: Y-*S будет вполне нульмерным отображением.
В силу теоремы 9
Наконец, так как К s 2 X S, то вес пространства У не
превосходит наибольшего из весов Z и 5, т. е. не превосходит
веса Z.
Пространство К и отображения g и А, очевидно, искомые.
Теорема доказана.
Перейдем к доказательству существования универсальных
метрических пространств данного веса и данной размерности.
•) Вес Z предполагаем бесконечным (в противном случае утверждение
теоремы тривиально). - . .

§ 4] ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 389
Теорема 16 (Н агат а [4]). Для любой мощности, х и
любого числа п = О, 1, 2, ... существует метрическое простран-
пространство Snx веса х и размерности dimSnt = n, содержащее топо-
топологический образ любого метрического пространства X, имею-
имеющего вес wX^tu размерность dimX^п.
Доказательство. Класс метрических пространств X
веса ^т и размерности dim^f^n можно разбить на под-
подклассы а е % попарно гомеоморфных между собой пространств.
Выберем из каждого класса а некоторое пространство Ха и рас-
рассмотрим пространство X, являющееся дискретной суммой про-
пространств Ха (см. § 1 гл. 5). Пространство X, очевидно, является
метризуемым, и dimX=:n. . ;
Так как вес каждого пространства Ха не превосходит т,
то для каждого а определен гомеоморфизм /0 в обобщенное
гильбертово пространство Rx веса т (см. гл. 1, § 11, теорема 17).
Отображение X в Rx, совпадающее с /0 на каждом Х^, обозна-
обозначим через f. Очевидно, отображение f непрерывно и является
топологическим на каждом множестве Ха. По факторизацион-
ной теореме существует такое метрическое пространство SnX
веса ^т и размерности dimSnT^ra и такие отображения
g: X-*SnX и h: Snx-*RX, что f=hg. Так как отображение f-
является топологическим на каждом множестве Ха, то отобра-.
жение g также будет топологически отображать каждое мно-
множество Ха в Snx. Но это означает, что Snx является искомым
универсальным пространством. Теорема доказана.
Применение факторизационной теоремы, как мы видим,
позволяет дать весьма простое доказательство существования
универсального метрического пространства данного веса и дан-
данной размерности, однако это доказательство мало говорит о'
строении самого универсального пространства. ¦
Построение универсальных метрических пространств данного
веса и данной размерности можно найти в статьях Нагат а [5]
и П а с ы н к о в а [10], мы же здесь опишем универсальное «-мер-
«-мерное пространство веса т лишь для сильно метризуемых про-
пространств. В этом случае универсальное пространство имеет со-.'
всем простую структуру.
Теорема 17 (Морита [4]). Любое сильно метризуемое'
пространство X веса ^ т можно топологически отобразить
в произведение Q°° X В (т) гильбертова кирпича Q00 «а обобщен-,
ное бэровское пространство В (т) веса т *).
*) В (т) есть произведение счетной системы пространств, состоящих'
из т изолированных точек, . { - • ¦

390 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ. в
Т е о ре м а 18 (Н а г ат а [2]). Любое сильно метризуемое про-
пространство X веса <т« размерности dimX^n можно тополо-
топологически отобразить в произведение Ф"Х5(т) универсального
п-мерного компакта Ф" на 5(т).
Доказательству теорем 17 и 18 предпошлем две леммы.
Лемма 1. Сильна метризуемое пространство обладает из-
измельчающейся счетной системой звездно конечных открытых по-
покрытий *).
Доказательство. Пусть элементы звездно конечных
открытых покрытий ©„ = {Oj, п = 1, 2, 3, ..., образуют базу в X.
Через \ink обозначим систему тех элементов покрытия ю„,
диаметр которых <-r» k—l, 2, 3, ... Так как элементы всех
покрытий со„ образуют базу в X, то при фиксированном k
множества р,„ь п=1, 2, 3 образуют счетное покрытие X.
Из совершенной нормальности X вытекает существование таких
00
замкнутых в X множеств Fnkh i= I, 2, 3, ..., что \}Fnki = yi,nk.
Обозначим через ®nki покрытие пространства X, состоящее иэ
всех элементов системы \ink и из множеств Оа \ Fnki при Оа е
е со„ \ ц„ь. Покрытия ©„« звездно конечны, и их счетное число'.
Покажем, что система покрытий <апы, п=\, 2, 3, ..., k =
= 1, 2, 3, ..., i— I, 2, 3, ..., измельчается. Пусть Ох является
-г--окрестностью точки х&Х. Тогда существуют такие но-
номера п и I, что x^Fnki. Из построения покрытий ank{ следует»
что х е 3Bo)nfcr*:= Звй kx s Ox. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть система открытых покрытий соа, а е 51,
пространства X является измельчающейся, и пусть для каж-
каждого а дано непрерывное ^-отображение fa: X -> Ya простран-
пространства X на подмножество пространства Ya. Тогда диагональное
произведение f: X -> Y = П ^о отображений /а является топо-
топологическим отображением.
Доказательство. Непрерывность отображения f уста*
новлена в предложении 7 из § 8 гл. 1. Докажем Открытость
отображения f: X->fX. Возьмем открытое в X множество О
и точку *еО, Так как система покрытий соа измельчается, то
существует такой индекс а0, для которого Звш х s О. Но fa
является ©^-отображением. Следовательно, точка f^x обладает
окрестностью V, прообраз которой f~!V = U содержится в од-
одном из элементов покрытия <o<v В то же время U э х, откуда
*) Верно, очевидно, и обратное утверждение.

^ 4) ФАКТОРЙЗАЦЙОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ftPOCTPAHCfВ 391
U S Зв^л: s О. Так как f „, = /»„/, где ра> обозначает проекцию Y
на Уа>, то /а; е p-'V П fX s fO. Следовательно, отображение f:
X->fX открыто. °
Взаимная однозначность f доказывается так же, как откры-
открытость. Действительно, если точки х и х' различны, то для ин-
индекса по, найденного по множеству О =* X \ х' так же, как и
при доказательстве открытости отображения f: X->fX, будем
иметь неравенство fax Ф fax'. Но тогда и fx Ф fx'. Лемма до-
доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 17.
По лемме 1 в X можно выбрать счетную измельчающуюся
систему открытых звездно конечных покрытий соп, п— 1, 2, 3, ...
Каждая компонента ©„а покрытия со„ является не более чем
счетным открытым покрытием своего тела й„а (см. гл. 1, § 6,
п. 3). Так как пространство X метризуемо, то любое его от-
открытое подмножество корректно. В силу леммы 1 из § 1 су-
существует непрерывное (о„а-отображение fna: 5na->Qmi прост-
пространства й„а в гильбертов кирпич Q"a. Так как при фиксиро-
фиксированном номере п система множеств б„а дизъюнктна, а сами
множества ©«, открыты в X (см. гл. 1, § 6, п. 3), то мно-
множество 2tn индексов па имеет мощность ^.x = wX. Следова-
Следовательно, дискретную сумму гильбертовых кирпичей Q7?a, na e 2tn,
можно рассматривать как подпространство произведения Q"X^n
гильбертова куба Q" на пространство Nn, состоящее из т штук
изолированных точек. Отображение fn: X->Q™X>Nn, совпадаю-
совпадающее с fna на й„а, очевидно, непрерывно и является со„-ото-
бражением на множество fnX. Отображения fn, по лемме 2,
определяют гомеоморфизм пространства X в произведение
И (QnXNn)^f[ QnXUNn^QMXB(x).
Теорема 17 доказана.
Из нее следует, что сильно метризуемые пространства в не-
некотором роде близки к пространствам со счетной базой. Заме-
Заметим, что произведение Q°° X В (т) сильно паракомпактно (см.
следствие 4 § 8 гл. 1).
Докажем теорему 18.
По теореме 17 пространство X обладает гомеоморфизмом /
в произведение Q°°XB(x). Обозначим проекции этого произ-
произведения на сомножители Q00 и В (т) через пир соответственно.
По факторизационной теореме 1 для отображения nf: X->Q°°
существует такое пространство со счетной базой Y размерности
diinK^n и такие отображения g: X->Y и h: Y->Q°°, что
hg = nf.

392 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ. »
Отображения pf: Х->В{%) и g: X-+Y определяют непре-
непрерывное отображение (диагональное произведение pf и g) cp: X-+YX
ХВ(т) по правилу yx = (gx, pfx). Отображение h: Y-+Q00 и
тождественное отображение I: В{х)~*В(х) определяют отобра-
отображение (произведение отображений h и I) г|>: Y X В (т) -> Q00 X В (т)
по правилу г|э{у, b) = (hy, lb), где yeF, 6eB(т). Ясно, что
f = г|>ф. Но так как f: .? -> Q00 X 5 (т) — топологическое отобра-
отображение, то топологическим будет и отображение ср: X -> Y X 5 (t).
Существование универсального л-мерного компакта Ф" уже
установлено в гл. 4. Поэтому можно считать, что Y X В (т) s
?ф"Х?(т). Теорема 18 доказана.
Из теоремы Нёбелинга — Понтрягина (см. гл. 4, § 4) и из
теоремы 18 вытекает
Следствие 1. Произведение Bп + 1)-мерного куба Q2n+I
на обобщенное бэровское пространство В(х) веса т универсально
для всех сильно метризуемых пространств X веса <ти размер-
размерности dim X ^ п.
¦ Дадим еще одно применение факторизационной теоремы для
метрических пространств, устанавливающее равенство dimX=
*= Ind X в классе пространств, «похожих» в некотором роде на
метрические.
. Именно, имеет место
Теорема 19 (Пасынков 18]). Если нормальное простран'
ство X обладает непрерывным замкнутым отображением f: X->Y
размерности dim f = 0 на метрическое пространство Y, то dim X =*
— Ind*.
- Следствие 2 (Катетов [1], Зарелуа [2], Пасын-
Пасынков [8]). Если бикомпакт X допускает непрерывное нульмер-
нульмерное отображение f: X->Y на компакт Y, то
Это следствие вытекает из неравенств dim X ^ ind X ^ Ind X
для бикомпактов (см. гл. 4, § 8, п. 1) и замкнутости непре-
непрерывного отображения бикомпакта в нормальное пространство.
Теорему 19 мы получим как частный случай более общего
утверждения, к формулировке и доказательству которого мы
и приступим.
Определение 1. Пусть в пространстве X фиксирована
система Q его открытых покрытий. Непрерывное отображение
f: X-> Y назовем Q-дискретным отображением, если отображе-
отображение f является ©-дискретным отображением для любого покры-
покрытия со из системы Q (см. определение 1 в § 1).
Очевидно, вполне нульмерные отображения, рассмотренные
выше, являются разновидностью Q-дискретных отображений
(при < Q = {©,},¦ о», = [О (х, \) | х € X}-, i = 1, 2, 3, ;..).

$ 4] ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 393
Всюду ниже в этом параграфе, если специально не будет
оговорено противное, через Q мы будем обозначать систему
всех конечных открытых покрытий рассматриваемого про-
пространства.
Лемма 3. Непрерывное замкнутое отображение f: X-+Y
нормального пространства X размерности dimf = 0 является
Q-дискретным отображением.
Доказательство. Рассмотрим конечное открытое по-
покрытие © = {О<}, /=1, ..., г, пространства X и точку y^fX.
По условию множество F = f~ly имеет размерность dim^^O.
Поэтому в покрытие {Oi(]F}, i=l, .... г, множества F можно
вписать конечное замкнутое покрытие ^ = {Ф/}, 7=1, ..., s,
кратности ^ 1. Систему X можно подобно раздуть до системы
открытых в X множеств U/ эФ/, /= 1, •.., s (см. гл. 1, § 10).
Таким образом, система множеств Ut дизъюнктна. Можно,
очевидно, считать, что она вписана в покрытие со. Возьмем
для каждого ] такое открытое в X множество У/, что Ф/ •=
s V/ ? [Vt] E Uj. Очевидно, система {Vj), j= I, ..., s, ди-
дискретна и вписана в покрытие со. В силу замкнутости отобра-
S S
жения / и включения F = (J Ф/ •= (J Vj существует такая
окрестность W точки у, прообраз f W которой содержится
в [J Vj. Ясно, что система {f~lWfl Vj}, /=1, ..., s, дискретна
/-I
и вписана в покрытие со. Лемма доказана.
Лемма 4. Если непрерывное отображение f: X-+Y нор-
нормального пространства X на паракомпакт Y является Q-ди-
Q-дискретным отображением, то
dim Y.
Доказательство. Утверждение очевидно, если dim Y—oo.
В случае dim Y = п < оо доказательство того факта, что в любое
конечное открытое покрытие со пространства X можно вписать
открытое покрытие кратности =^л+ 1, совпадает с доказатель-
доказательством леммы 4 из § 2 (нужно еще только вспомнить след-
следствие 1 из § 2).
Из лемм 3 и 4 вытекает
Следствие 3. Для непрерывного замкнутого отображения
f: X->Y нормального пространства X на паракомпакт Y раз-
размерности dimf^O справедливо неравенство
dim X < dim Y = dim Y + dim f *).
•) Общее утверждение будет доказанр в гл, 9, § 2,

394 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОВЩЕИ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III [ГЛ. в
Л е м м а 5. Пусть даны такие отображения f: X->Z, g: X-+Y
и h: Y ->Z нормальных пространств X и Y, что f = hg и
f является Q-дискретным отображением. Тогда и g будет Q-du-
скретным отображением.
Доказательство. Возьмем покрытие coeQ и точку
у е gX. По условию точка z — hy имеет окрестность Oz, про-
прообраз f~lOz которой распадается в дискретную в X систему
открытых множеств, вписанную в покрытие ю. Но тогда тем же
свойством обладает и прообраз g~l(h~iOz) = f~lOz окрест-
окрестности h~lOz точки у. Лемма доказана.
Лемма 6. Если отображение f: X->Y нормального про-
пространства X является Q-дискретным отображением, то ограни-
ограничение f \F: F->Y отображения f на любое замкнутое подпро-
подпространство F пространства X также будет Q-дискретным
отображением.
Доказательство. Рассмотрим конечное открытое по-
покрытие со = {0(}, 1=1, 2, ..., s, множества F. Система со'
открытых в X множеств Vt = X \ (F \ О{), 1=1, ..., s, обра-
образует конечное открытое покрытие пространства X. По условию
для любой точки у &fF существует окрестность Uy, прообраз
f~lUy которой распадается в дискретную в X систему откры-
открытых множеств Wa, a e 2t, вписанную в покрытие со'. Но тогда
прообраз {f\p)~xUy распадается в дискретную в F систему
открытых в F множеств Wa f] F, a e 2t, вписанную в покры-
покрытие со. Лемма доказана.
Докажем теперь утверждение, частным случаем которого,
в силу леммы 3, является теорема 19.
Теорема 19' (Пасынков [8]). Если нормальное про-
пространство X обладает Q-дискретным отображением на метри-
метрическое пространство, то
dim X = Ind X.
Доказательство. В силу неравенства Веденисова dim
s^IndX (см. § 8 гл. 4) достаточно установить неравенство
dim Xj> Ind X. Если dimX=oo, то это так. Пусть dimX< оо.
Если dimX = — 1, то и IndX=— 1.
Предположим, что доказываемое неравенство справедливо
в случае dimX<?, k>.— l, и пусть dimX = ?.
Рассмотрим два непересекающихся замкнутых в X мно-
множества Fo и F,. Через f обозначим непрерывное отображение
пространства X в отрезок Q = [0, 1], равное 0 на Fo и 1 на ^i-
По условию существует непрерывное Q-дискретное отобра-
отображение )": X-+R пространства^ на метрическое пространство R.
Диагональное произведение /: X -> Q X R отображений f и f"
непрерывно (см. .гл. 1, § 8), и при этом f"=p"f, где р" —

§ 4] ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 395
проекция произведения Q X R на сомножитель R. По лемме 5
/ является Q-дискретным отображением.
Произведение QXR метризуемо, поэтому из факториза-
ционной теоремы для метрических пространств вытекает су-
существование такого метрического пространства Y и таких не-
непрерывных отображений g: X->Y и h: Y->QXR, что f — hg
и dim Y < dim X = k. Так как f'F0 = 0, f'F{ =1 и f' = p'f = p'hg,
где p' — проекция произведения Q X R на сомножитель Q, то
множества gF0 и g/^i содержатся в непересекающихся и замк-
замкнутых в Y множествах Ф0 = (р'Л)~'@) и Ф{ = (p'h)~] A) соот-
соответственно. По теореме 9 имеем Ind Y = dim Y ^ k. Следо-
Следовательно, между множествами Фо и Ф{ существует перегород-
перегородка Ф размерности 1г^Ф<?.
По лемме 5 отображение g Q-дискретно. Следовательно,
по лемме 6 его ограничение g \F на замкнутое в X мно-
множество Р = ?~'Ф также будет Q-дискретным отображением.
По лемме 4 dimF< dimФ= Indф < А, и по индуктивному
предположению IndFs^dimF < ?. Так как F есть, очевидно,
перегородка между Fo и F{ в X, то Ind^^ft = dimX. Тео-
Теорема 19', а с ней и теорема 19 доказаны.
Из теоремы 19' вытекает
Следствие 4. Пусть Q — система всех конечных открытых
покрытий нормального пространства X. Если X допускает Q-dw
скретное отображение на метрическое пространство, то
Можно показать (Пасынков [8]), что приведенное следствие оста-
останется верным, если под системой Й понимать произвольную измельчающуюся
систему открытых покрытий пространства X *). В частности, неравенство
ind X < dim X
выполнено для нормального пространства X, обладающего непрерывным
замкнутым отображением f: X ->У размерности ind / < 0 на метрическое
пространство У.
•) Соответствующие отображения совпадают с введенными Зарелуа [2]
развивающими отображениями, так что указанный результат содержится и
у Зарелуа [2].

Глава седьмая
НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ И СОВЕРШЕННО
НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Введение
Место, занимаемое в общей теории размерности наслед-
наследственно нормальными пространствами, в значительной степени
определяется тем, что именно в этих пространствах и (если
не делать специальных оговорок) только в них вместе с раз-
размерностью (dim X и IndX) всего пространства X определена
и размерность любого подпространства Хо ? X. В связи с этим
мы считаем одной из самых основных среди еше не решенных
проблем общей теории размерности следующую, поставленную
¦Э. Чехом, проблему монотонности размерности *):
Проблема. Пусть X — наследственно нормальное про-
пространство; можно ли утверждать, что для любого подпростран-
подпространства XosX имеет место неравенство
(Аналогичный вопрос возникает и в применении к indX, Дау-
кер [5]**).)
В связи с этим заметим, что, как показал Даукер [6],
в нормальном пространстве X может содержаться такое нор-
нормальное подпространство Хо, что dim Хо > dim X.
•) Мы говорим, что свойство топологического пространства X, выра-
выражаемое числом / (X) (числовой топологический инвариант), удовлетворяет
условию полной монотонности, соответственно моиотониости относительно
данного класса множеств Хо s X, если для всех Хо s X, соответственно
для всех множеств Хо s X, принадлежащих данному классу, выполнено
неравенство 1(Х0)^ЦХ). Таким образом, проблема Чеха действительно
есть проблема монотонности для размерности dim X в наследственно нор-
нормальных пространствах. Мы видели, что малая индуктивная размерность
ind X обладает свойством полной монотонности, тогда как для Ind X и dim X
мы можем утверждать лишь монотонность по замкнутым множествам.
**) В самое последнее время В. В. Филиппов доказал, что из отрица-
отрицательного решения известной проблемы Суслииа (совместимого, как известно,
с аксиомами теории множеств) следует отрицательное решение проблемы
Чеха.

¦ ' ' введение 397
Одним из основных результатов в теории размерности на-
наследственно нормальных пространств является формула Уры-
сона — Менгера
dim (P U Q) < dim Р + dim Q -f I,
доказанная Смирновым [2] для любых множеств Р, Q на-
наследственно нормального пространства X *).
Этому результату посвящен § 1 настоящей главы.
В § 2 для наследственно нормального пространства X и
лежащего в нем замкнутого множества А доказывается тео-
теорема:
Если
Ind/l<rtf lnd(X\A)^n, то IndX<n.
Среди наследственно нормальных пространств важнейший
подкласс, все еще содержащий все метризуемые пространства,
образуют совершенно нормальные пространства (см. гл. 1,
§ 5, п. 2).
В различных отделах общей топологии, в частности в тео-
теории размерности, совершенно нормальные пространства приоб-
приобрели первостепенное значение, и им посвящена обширная лите-
литература.
Мы занимаемся этими пространствами с точки зрения тео-
теории размерности, доказывая (§ 3) в применении к ним теорему
монотонности и теорему суммы для большой индуктивной раз-
размерности. Результаты этого параграфа принадлежат в основном
Чеху и Даукеру.-
В § 4 выводятся некоторые следствия из теоремы суммы
для большой индуктивной размерности в совершенно нормаль-
нормальных пространствах. В частности, доказывается равенство
indJf = Ind X для совершенно нормальных финально компакт-
компактных JC и формула indpX = IndX=IndpX для совершенно
нормальных X.
В последнем, пятом параграфе этой главы снова доказы-
доказывается теорема Катетова, утверждающая равенство dim-ЛГ = Ind X
для всех метрических пространств. Здесь дается доказательство,
принадлежащее Даукеру и Гуревичу**).
•) Для пространств со счетной базой формула Урысона — Менгера
была доказана в § 7 гл. 4.
*•) Доказательство того же равенства dfm Л" ¦= Ind JT (даже в более-
широких предположениях) было даио в гл. 6, §§ 3, 4. Однако доказательство
Даукера — Гуревича представляется нам интересным потому, что оно дает
еще одну очень естественную характеристику размерности метрических про-
пространств при помощи понятия так называемой секвенциальной размер»
ности ds X.

398 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
§ 1. Неравенство Урысона—Менгера
dim(PUQ)<dimP+dimQ+ 1
для любых множеств Р н Q, лежащих
в наследственно нормальном пространстве
До конца этого параграфа пространство X предполагается
наследственно нормальным.
Лемма 1. Пусть М S X и в М даны открытые множе-
множества Г{ и Гг, П П П = Л. Тогда существуют такие открытые
в X множества Fi и Г2, что
Г1Г)Г2 = Л и Tkf\M = T'k, ?=1,2.
Доказательство. Множества П и Гг, очевидно, отде-
отделены в X по Хаусдорфу (см. гл. 1, § 1, п. 5). Следовательно
(см. гл. 1, § 5, предложение 1), существуют такие открытые
в X множества Ok, что
Ok=>Fk, k=l, 2, и О,ПО2 = Л.
Берем открытые в X множества Vk под условием
Множества Vl = Ol[\Vl, T2=O2PiV2 являются, очевидно, иско-
искомыми. Лемма доказана.
Основная лемма 2*) (Чех [2]). Пусть М S X и
— произвольная система открытых в М множеств. Тогда система
открытых в X множеств
\> = (Т, Г)
может быть выбрана так, чтобы системы у и у' были подобны
между собою {в смысле замечания 2 из § 6 гл. 1) и что„ТГ1==
*=Л1ПГ( для любого i — \, ..., s.
Доказательство. При s=l лемма, очевидно, верна.
Предполагая ее доказанной для s < n, докажем ее для s — n > 1.
S
Если ("I П -ф Л, то существование требуемых множеств Г<
очевидно. Пусть ("| П = Л. По индуктивному предположению
*) Эта лемма выражает не только необходимое, но и достаточное усло-
условие для наследственной нормальности пространства К; если К ие является
наследственно нормальным, то существуют два открыто-замкнутых в своей
сумме множества Af[ и М^ всякие две окрестности которых (в простран-
пространстве X) пересекаются

§ I] НЕРАВЕНСТВО УРЫСОНА - МЕНГЕРА 399
для каждого k—\ s существуют такие открытые в X
множества 1\, что
и система {г*} подобна системе {Г*}, 1 ^ i «^ s, I Ф к. Поло-
Положим Г'== С") П. Согласно лемме 1 существуют такие открытые
в X множества G и Gs, что
= T', Gs(\M = rs и
По индуктивному предположению существуют такие открытые
в Х° ^ X \ G множества <??, что
, и f)
Множества Gt = G U G? открыты в Х, так как разности
замкнуты в Х°, а следовательно и в X, i < s. Для множеств Gt
имеем
= Г' U (П \ G) = Г' U (Г^ \ Г') = Г' U Г', = П, * < s.
Кроме того,
П G{ = Gs(\f\(G°i[)G) = Gs(\Gr\ f| G?=A.
Положим
П
Система \ = {Г(} i—l, ..., s, — искомая. Действительно, соот-
соотношения Г(Л^ = Гь i—l, •.., s, выполнены. Кроме того,
Если же Р) П =Л и г < s, то существует k^s, отличное от
всех i[, /=1, ..., г. Тогда по построению
Подобие между системами у и у' отсюда следует очевидным
образом. Лемма доказана.

400 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Из только что доказанной основной леммы вытекает сле-
следующая, представляющая и самостоятельный интерес
Теорема 1 (Смирнов [2]). Пусть множество М лежит
в наследственно нормальном пространстве X. Для того чтобы
было dim М^.п, необходимо и достаточно, чтобы в любую
конечную систему
О) ' «-{О, Gs}
открытых в X множеств, покрывающую множество М, можно
было (комбинаторно) вписать систему {Ти ••-, Г,} кратности
^ п + 1 открытых в X множеств, также покрывающую множе-
множество М.
Доказательство. Необходимость. Система A) дана.
Рассматриваем систему
,, .... M[\GS.
Вписываем в нее (комбинаторно) покрытие
/-{П, .... ГЭ
кратности ^ п + 1 множества М, состоящее из открытых в М
множеств Г{ П (существование такого покрытия у' сле-
следует из предположения dim М^.п (см. гл. 2, § 2, замечание 1)).
В силу основной леммы строим подобную системе у' систему
? = {Г! Г,}, МПГ, = П,
открытых в X множеств; система у имеет кратность ^л+ !•
Система
имеет кратнбсть ^л+ 1, вписана (комбинаторно) в систему ©
И покрывает множество М.
Достаточность. Пусть
<*' = {G[ G's), G'tSM,
— произвольное открытое покрытие множества М. Берем про-
произвольное открытое в X множество G/ под условием М f) Gt = G\
для любого i=!=\, ..., s.
Согласно условию теоремы Смирнова вписываем в систему
<o = {G, Gs},
покрывающую множество М, систему {Гг} кратности < п + 1
открытых в X множеств. Множества М ("| Yt образуют вписан-
вписанное в ©' покрытие кратности ^ п. -f-1, чем неравенство dim/И ^ п
доказано,

§ 2] АДДИЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 401
Доказательство неравенства Урысона — Менгера
dim (P (J Q) < dim Р + dim Q + 1
проводится теперь в немногих словах.
Пусть Р и Q лежат в наследственно нормальном простран-
пространстве X, причем dimP = p, dimQ = <7. Требуется доказать, что
dim (P U Q)^p 4- <7+ !• Без ограничения общности можно пред-
предположить X = Р U Q.
Берем произвольное конечное покрытие
пространства X.
В силу теоремы Смирнова в © можно вписать систему
P = {G1> .... Gk}
открытых в X множеств, покрывающую множество Р и имею-
имеющую кратность ^р+ 1.
Точно так же в © можно вписать систему
Y = {tf,,..... Нг)
открытых в X множеств, покрывающую множество Q и имею-
имеющую кратность ^<7+1.
Система р (J Y покрывает все пространство X, имеет, как
легко видеть, кратность < (р + 1) + (<7 + 1) = Р + Ц + 2 и впи-
вписана в (произвольное) покрытие ©.Неравенство dim^^p-f
+ q -f 1 этим доказано *).
§ 2. Аддициониая теорема для большой индуктивной
размерности .
Предметом этого параграфа является доказательство ана-
аналога следствия 1 из § 6 гл. 4.
Теорема 2 (Даукер [5]). Если А замкнуто в наслед-
наследственно нормальном пространстве X и Ind А ^ п, Ind (X \ А) ^ п,
то и IndX<n.
Эта теорема легко выводится из следующего предложения:
Теорема 3 (аддиционная теорема Даукер а [5]). Пусть
наследственно нормальное пространство X есть сумма счетного
числа дизъюнктных множеств Ьг:
*) В случае произвольных нормальных пространств неравенство Уры-
Урысона — Менгера установлено 3 а р е л у а [2].

402 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 1
обладающих тем свойством, что все «частные суммы» Ft =
= \J Dk, 1=1, 2, 3 замкнуты в X. Если при этом
/г для всех 1=1, 2, 3 то и
Этой теореме равносильна
Теорема 3'. Пусть Xt для всех /=1, 2, 3, ...—откры-
...—открытые множества в наследственно нормальном пространстве X,
00
причем Xi^Xi+i, Хх = Х и f]X{ = A. Если для всех 1=1,
2 3 ...
то и lndX^.n.
Для того чтобы перейти от теоремы 3 к теореме 3', до-
достаточно положить Xi — X\ \J Dk; обратно, для того чтобы
перейти от теоремы 3' к теореме 3, достаточно положить
Итак, докажем теорему 3'. При п = — 1 она, очевидно,
верна. Предполагая ее верной для — 1, О, 1 л— 1, дока-
докажем теорему 3' для п.
Нам нужно для любых двух дизъюнктных замкнутых в X
множеств А и В построить перегородку С между ними, раз-
размерность которой IndC^n— 1. Так как X нормально, то су-
существуют окрестности ?/0 = ОЛ, VU = OB с непересекающимися
замыканиями
Полагаем (как уже говорилось только что выше)
Построим прежде всего тройку дизъюнктных множеств (UuCltVi),
в которой Ui и Vi открыты (в Х\ = X), С] s Д замкнуто в Du
IdC,^n— 1 и выполнены условия
Множества [С/о] ПА и [^о]ПА дизъюнктны и замкнуты в D,.
Так как Ind Д ^ п, то между [Uq] f) А и [Fo] П А существует
в А перегородка С: размерности IndC^n— 1; следовательно,
существуют такие дизъюнктные открытые в А множества G\
и Я], что

§ 21 АДДИЦИОИНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 403
Множество С! замкнуто в Dx == Х\ \ Х2, т. е. замкнуто в Х{
(так что Ху \ С] открыто в Х{ = X).
Множества G, и Я, замкнуты в D, \ С,, а так как D, = Хх \ Х2
замкнуто в Хи то G, и Я, замкнуты в Xt \ С,. Поэтому замк-
замкнутыми в Xi \ С, являются и множества
Ах = ([f/o] U G,) П (X, \ С,), 5, = ([ Fo] U Я,) П № \ С,).
Множества Ах и Б: дизъюнктны. В самом деле, [?/0] П [Vo]
по построению; так как Я,е/?1, то
По той же причине [V0]f\G1 = A. Следовательно, и Aif]B1 = A.
В силу наследственной нормальности пространства X простран-
пространство Х{ \ С} нормально; значит, замкнутые множества Л, и 5,
пространства Xi \ С\ имеют в Хх \ С, окрестности 1^ и Vx,
замыкания которых (в Х\ \ Ci) дизъюнктны, т. е.
fl(A'1\C1) = A, или [f/.l
Так как C1^D1 = Xi\ X2, то это значит, что
Множества Uu V\ открыты в ^,\ Сь значит, открыты и в X.
Далее, D1 = Gi\JCiUHl, G1s/l1si71, Я^Б^Кь так что
?>,<=: ?Л U С, U V,.
Докажем, наконец, что
¦ [UQ]s=Uu [F0] = F,.
Так как [?/0] f) ?>i ^ <?i> то [г/0]ЛС,==Л, т. е.
Точно так же [Fol^^^Fi.
Итак, для i= 1 мы построили тройку дизъюнктных мно-
множеств
(U,, Cit Vt),
удовлетворяющую следующим условиям:
1/. Ui и Vi лежат в Xi н открыты в X;
2?. С< лежит в Di — Xi\Xt+i и замкнуто в Dt;
31 Di^UUCUV
[]n[ln
5?. [?/,_!]Л*<s, [in
6?. IndC,<n-l.
Предполагая, что такая тройка построена для 1, ...,/— I, по-
построим ее для /. Построение будет почти дословным повторе-
повторением рассуждений, сделанных в случае /=1.

404 Р НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 7
Условие 4?_i гласит:
так как Di^Xiy то отсюда следует, что множества [U{-i](]D(
и [^i-ilDA дизъюнктны. Они замкнуты в Dt, и по предполо-
предположению IndDj<tt, Значит, в Dt между [?/j_,]flZ), и [Vt-i]f\Dt
существует перегородка С, размерности IndC/^n—1. Этой
перегородке соответствуют дизъюнктные множества G,, Ht,
открытые в Dlt так что
D, = G,[) Ct U Я,, [?/,_,] П D, = G,, [Vt-J П А = ^.
Так как Cf=*.Dj \ (Gj 11Я,) замкнуто в Z), = ^{\Х<+1, которое
в свою очередь замкнуто в JG, то С{ замкнуто в Xit так что
Xi \ Cj открыто в Zj и, значит, открыто в X.
Множества Gt и Яj замкнуты в D/ \ С{ и, следовательно,
Замкнуты в Xt \ Cf, Поэтому замкнутыми в Xt\Ct будут и
множества
At- ([I/,-,] U GO П (Xt \ С,) = ([^_,] П № \ С,)) U Gh
В, = ([V,_,] U Hi) П (А", \ С,) - ([V,_,] П № \ С,)) U Я,.
Докажем, что они дизъюнктны. Это вытекает из соотношений
i
Дизъюнктные замкнутые в Xt \ Ct множества At, Bt имеют
в X{\Ct окрестности Ut и Vlt которые не только сами-
дизъюнктны, но имеют в Х{\С{ непересекающиеся замы-
замыкания. Другими словами,
A{s;U{, B,sVt, [Ut]n[Vt](](X,\C{) = A,
или [Ui]Xiu[Vi\xt^Ct. Так как CtsDi = Xt \ Xi+l, то имеет
М6СТО
Кроме того, множества Ut и Vit будучи, открытыми в Xt \ Ct,
будут открыты и в X, так как Xt \ С{ открыто в X. Итак,
условия 1/, 2?, 4? и 6? выполнены. .
Далее,
• G,s Л,
так что ,
?>,?=?/, U С, U
— выполнено и условие 3<.

$21 АДДИЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 405
Остается 51
Но [Ut.i](]D,sG,t значит, [?/,_,]рС, = Л, т. е.
[?/,.,] П *{ = [С/|-,] A № \ С,) сл, = С/,.
Аналогично [V,_i]fl^, = 5, = V<.
Итак, мы шаг за шагом строим тройки (Uh Ch Vt), удо-
удовлетворяющие всем условиям 1? — 6?.
00
Теперь полагаем C=\JCi и доказываем, что С имеет раз-
1—1
мерность IndC^n—1.
Полагаем для любого /= 1, 2, 3, ...
2»= U С/,
l-t
так что, в частности, Zx = С. Так как множества Dt дизъюнктны,
оо
X{=\jDt, C{Sbtt то дизъюнктны множества Cf\Dl = C{ и
C[\X{*=Z{. Поэтому Zt открыто в С; кроме того, ZjsZ<+1
00 ОО
и [) Zt s (™| Xi «=» Л. Наконец,
C{ = Z{\Z{+1 и Ind(Z{\Z{+l)=lndCt<!n—l.
Таким образом, мы находимся в условиях теоремы 3' для
п— 1; но в этих условиях мы предполагаем ее доказанной,
так что IndC<«— 1.
Доказываем теперь, что С содержит перегородку между А
.оо оо
и В. Для этого полагаем U = (J Uh V = N V{. Множества U
i-\ . j-i - .
и К, как суммы открытых в X множеств, открыты в X. Из
условия 5? следует, что
AsUosU и o
Равенство X = U\)C\)V следует из того, что
J
t-i
i i
Докажем, что множества U и V дизъюнктны. Для этого
достаточно доказать, что при t^.j имеем

406 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 7
Прежде всего заметим, что при г^/
и, п v, s ut n х, <= (с/, п *<+1) n ^/ s г/,+1 п х,
и, значит (пересекаем обе части неравенства с V/),
Продолжая это рассуждение, получим
Точно также доказываем, что Vtf\Ut — A и, значит, U [\ V — Л.
Следовательно, множество F = X \ (U U V) есть перегородка
в X между А и В. Так как FsC и множество Z7 замкнуто
в X, а следовательно и в С, то IndF^IndC^n— 1.
Теоремы 3 и 3' доказаны.
Теорема 2 — простое следствие теоремы 3'. В самом деле,
полагаем Xi = X, Х2 = Х\ А, Х3 = Хц— ... =Л. Тогда усло-
условия теоремы 3' выполнены и IdX^
§ 3. Теорема монотонности и теорема суммы для большой
индуктивной размерности в совершенно нормальных
пространствах
Начнем со следующего усиления понятия монотонности:
скажем, что числовой инвариант 1(Х) обладает в данном про-
пространстве X свойством наследственной монотонности или, ко-
короче, свойством (М), если выполнено следующее условие:
(М) Каковы бы ни были множества Хо^Х и Е^Х0, имеем
Если в формулировке этого условия ограничиться лишь
открытыми в Хо множествами Е (сохраняя предположение, что
Хо — любое подпространство пространства X), то скажем, что
X обладает свойством наследственной монотонности по открытым
множествам — свойством (Мо). Очевидно, условие (М) обеспе-
обеспечивает полную монотонность инварианта /.
Мы скажем, далее, что инвариант I в данном простран-
пространстве X наследственно удовлетворяет теореме суммы, если вы-
выполнено условие:
B) Каковы бы ни были подпространство XoSX и замкнутые
00
в Хо множества Ah /=1, 2, 3 такие, что X0=\jAh
всегда
(

$ 3] ТЕОРЕМЫ СУММЫ ДЛЯ БОЛЬШОЙ ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 407
у
В качестве примера можно напомнить, что размерность indA"
монотонна в любом топологическом пространстве, что даже
в нормальном пространстве X размерности dimX и IndX
могут не быть монотонными даже по открытым множествам.
С другой стороны, размерность dim X наследственно удовле-
удовлетворяет теореме суммы в любом наследственно нормальном X,
тогда как Ind X и ind X могут не удовлетворять этой теореме
даже для двух слагаемых и даже в бикомпакте X (см. гл. 5, § 6).
В основе всех результатов этого параграфа лежит
Теорема 4 (редукционная теорема Даукера [5]). Если
в данном наследственно нормальном пространстве X размер-
размерность IndX наследственно монотонна по открытым множествам,
то она обладает свойством наследственной монотонности и на-
наследственно удовлетворяет теореме суммы. В этом случае ока-
зывается выполненным еще и следующее условие:
(Сп) Если Хо — какое-нибудь подпространство пространства X,
причем Х0 = А[)В, А замкнуто в Хо и Ind A ^ n, Ind 5^ п,
то и Ind^o^ra.
Доказательство. Наряду с условиями (М), (Мо) для
I(X)=lndX и (С) введем еще условия:
(Мп) для любого Х0^Х размерности IndX0^n и любого
Е^Х0 имеем Idf^
(Mq) для любого Х0^Х размерности IndX0^n и любого
открытого в Хо множества Е имеем Ind?^n;
Bя) если какое-нибудь Хо s X представлено в виде Хо =
= \jAlt где все At замкнуты в Хо и Ind At < n для любого
t
i— I, 2, 3, .... то и lndX0<.n.
Так как условие (Мо), по предположению теоремы, выпол-
выполнено для любого п = — 1, 0, 1 а при п = — 1 условия
(Мп), (S"), (С) также, очевидно, выполнены, то теорема 4 бу-
будет доказана, если мы докажем следующие предложения:
I. Если в пространстве X выполнены условия (Мо) и (Мп~1),
то выполнено и условие (АР).
II. Из условия (Мо) следует как условие B"), так и усло-
условие (С), п = 0, 1, 2, ...
Доказательство предложения I. Итак, условия (Мп~)
и (Мо) выполнены в пространстве X. Докажем, что выпол-
выполнено и условие (Мп).
Берем произвольное Хо^Х размерности IndX0<n и в про-
пространстве Хо произвольное Е s Xq.
Требуется доказать, что и indE^n. Пусть А с Е — произ-
произвольное множество, замкнутое в Е; берем какую-нибудь окрест-
окрестность G этого множества в Е; требуется найти окрестность U

408 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 7
множества А в Е, лежащую в G и имеющую в Е границу раз-
размерности IndrpE?/^n— 1. Берем в Xq замкнутое Ах и откры-
открытое G] под условием
Полагаем
H = (Xo\A1)[}Gl.
Очевидно, Я открыто в Хо и
Я э Я П Е = (Е \ A) U G = Е.
Так как по предположению IndXo^n, множество
открыто в .Ко и условие (м?) выполнено, то
Множество Я (") At замкнуто в Я; множество Gx открыто в Я,
так как оно открыто в Xq. Поэтому существует окрестность
U\S Gi множества ЯП Ах в Я, для которой
^.n — 1.
Полагаем ?/ = ?0^1. Тогда А = Е(] Ах s ЯП Л S 17„
значит, v4s?>nf/i = i7s?>nG1 =G и
=[и]Б л (я \ и) = ([г/]в п Е) \ (ut n ?) <=
т. е. rpE f/Srptff/]. Значит (так как условие (Мп~1) предпо-
предположено выполненным и IndrpH U^n— 1), IndrpE J7<n— li
чем предложение I доказано.
Переходим к доказательству предложения II. Итак, наслед-
наследственно нормальное пространство X удовлетворяет усло-
условию (Мо); доказываем, что оно удовлетворяет и условию B").
00
Итак, пусть Х0^Х, X0 = \JAt, причем все At замкнуты
I—«
в .Ко и IncM^rt для всех /= 1, 2, 3, ... Надо доказать, что
IndXo<n.
Полагаем Л7, = Л, \ \J А{.
Множества Dt дизъюнктны, их частичные суммы UjDj =
- . . . . Ki
00
= (J/lj замкнуты в Хо, и Х0 = М Dt. Так как множество Dt
открыто в А{, то в силу условия (Мо) имеем IndD^n, и мы
находимся в условиях аддиционной теоремы Даукера, так что
{d^^rc, чем первое утверждение предложения IJ доказано.

D 3] ТЕОРЕМЫ СУММЫ ДЛЯ БОЛЬШОЙ ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 409
Доказываем второе утверждение предложения II. Наслед-
Наследственно нормальное X удовлетворяет условию (Мо). Дано
Xq^X, X0 — A\JB, Ind Л < га, Ind В < я, причем Л замкнуто
в Хо, значит, Хо\ А открыто'в Хо и тем более открыто в В.
В силу условия (М?) имеем Ind (Xo\ 4)<Ind 5<л. Мы нахо-
находимся в условиях следствия даукеровской аддиционной теоремы»
откуда и вытекает, что IndXo^i- ...... . :¦¦
Редукционная теорема полностью доказана.
Переходим к доказательству основных результатов этого
параграфа.
Теорема 5 (теорема монотонности, Чех [1]). Если X—со-
X—совершенно нормальное пространство и Е s X — произвольное мно-
множество, лежащее в X, то Ind E ^ Ind X.
Теорема 6 (теорема суммы, Чех [1]). Если X — совер-
оо
шенно нормальное пространство и X = \jAt, где А{ — замкну-
тые множества, Ind А{^.п, то и lndX^.n.
Наконец,
Теорема 7 (Чех [1]). Если совершенно нормйльное про*
странство X есть сумма двух множеств А и В; из которых
одно замкнуто и Ind A ^n, Ind В^п,. то и indX^n.
Прежде всего будет доказана
Основная лемма Даукера. Пусть X — нормальное
пространство, удовлетворяющее условию (S"). Пусть в X даны
две последовательности замкнутых множеств: At и Oj, /= 1, 2,
.00
3, ..., такие, что Ф, s (At), X = [J<&t, Ind At^.n для всех
t = l, 2, 3, ... Тогда и
Доказательство. Пусть F — произвольное замкнутое
множество в X, OF — его произвольная окрестность. Требуется
найти лежащую в OF окрестность U множества F, для кото-
которой Ind гр U ^. п— 1. , .
Так как X нормально, то существует замкнутое Gj-mho-
жество С, содержащее множество F и лежащее в OF,
так что
где Wi — открытые множества, которые можно выбрать так,
что [Wi+1] ^Wt^OF при любом L
Множества Ф<П С замкнуты, причем : . .. ¦

410 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Так как Ind^^/i, то существует такая окрестность ?/( мно-
множества Ф(Г)С в Аи что
(Ф, Л С) s Ut я (A,) ftWi, Ind rp AtUt < n - 1.
Так как множество ?/, лежит в (Л() и открыто в Л,, то оно
открыто в X и его граница в (замкнутом) At совпадает с его
границей в X. Итак,
Ind трх Ut < п — 1.
Положим
u=\Jut.
Очевидно, U открыто в X и
J
(-1
так что U есть окрестность множества F в пространстве X,
лежащая в OF. Остается доказать, что Indrpt/^я— 1. Дока-
Докажем сначала, что
00
Так как С ? С/, то точка х0 е гр ?/ не может принадлежать
множеству С и, следовательно, может принадлежать лишь
конечному числу убывающих замкнутых множеств [№(] (пере-
(пересечение которых есть С). Пусть k таково, что х0 е X \ [Wk].
В произвольной окрестности Ох0 s X \ [Wk\ точки Xq лежат
точки U, и эти точки могут принадлежать лишь множествам Ut
с i < к\ отсюда сразу следует, что х0 <=[?/;] для некоторого
i<k, и, значит (так как х0 ф. ?/(), непременно х0 е гр [?/<].
оо
Итак, rp?/e(Jrp?/,.
Но Ind гр ?/<<«— 1 для всех / и условие (Sn~') выполнено,
00 ОО
значит, Ind(J гр Ut ^ п — 1. Множество гр U лежит в (J гр Ut
и замкнуто, значит, и Indrpt/^/t— 1, чем основная лемма
доказана.
. Так как условие (S~') выполнено во всяком пространстве,
то, в силу редукционной теоремы Даукера, для доказатель-
доказательства теорем 5, 6, 7 достаточно доказать, что во всяком совер-
совершенно нормальном пространстве X из условия (S"~') следует
условие (MS) для любого « = 0, 1, 2, ...

§4] СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ СУММЫ ДЛЯ ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 411
Пусть X — совершенно нормальное (значит, и наследственно
нормальное) пространство, удовлетворяющее условию (Б")*
Пусть Zo —произвольное подпространство пространства X, для
которого IndAo^srt и Г открыто в Хо. Требуется доказать,
что Ind Г < л.
Так как Хо совершенно нормально (см. гл. 1, § Б, предло-
оо
жение 4), то r = {JO*, где все Ф, s Г замкнуты в Хо (значит,
тем более в Г). Так как Хо нормально, то существуют такие
открытые Vt, что
Так как At замкнуто в Хо и IndZ0^«, то и Ind Л/^ я и,
очевидно, Ф( = {At)u
Мы находимся в условиях основной леммы (в которой надо
положить Х = Г), откуда Ind Г ^ я, чем все доказано.
Замечание 1. Теоремы Б, 6, 7 имеют место, в частности,
для всех метризуемых пространств; это обстоятельство (точ-
(точнее, теорема суммы для размерности Ind метризуемых про-
пространств) существенно понадобится нам в следующем пара-
параграфе при доказательстве равенства dimJf=Ind^ для метри-
метризуемых пространств.
Замечание 2. Теоремы Б, 6, 7 доказаны Даукером [5]
для более широкого класса пространств, чем совершенно нор-
нормальные, а именно для всех нормальных пространств X, удо-
удовлетворяющих следующему условию:
(TN) Каждое открытое множество ГеХ имеет локально
конечное покрытие, элементами которого являются корректные
открытые множества (пространства X) *).
§ 4. Некоторые следствия из теоремы суммы для большой
индуктивной размерности в совершенно нормальных
пространствах
Теорема 8 (Веденисов [1]). Если пространство X со-
совершенно нормально и финально компактно, то
ind X== Ind X.
Доказательство. Утверждение верно для indZ = — 1.
Пусть оно верно в случае mdX<n, и пусть indX = n. Так
как всегда indZ<IndX, то надо показать только, что
Ind Я < п.
*) Условию {TN) удовлетворяют, в частности, все наследственно пара-
компактные пространства. . ¦ i ..' ¦:• V

412 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 7
Рассмотрим в X дизъюнктную пару замкнутых множеств
F, иF2. Для каждой точки х^Х выберем такую окрестность Ох,
что ее замыкание [Ох] пересекается не более чем с одним из
множеств F,, F2 и indrpO*<n.
Из покрытия {О*}, х <= X, пространства X выделим счетное
подпокрытие {Oi — Oxt}, i= I, 2, 3, ... По индуктивному пред-
предположению
IndrpO, = indrpO, <n, /=1,2,3,...
В силу нормализующей леммы и добавления к ней (гл. 1,.
§ б, лемма 2) между Fx и F2 существует перегородка
' . <Ds(JrP°" .
. По теореме суммы (теорема-6 из § 3)
• ¦¦¦¦¦•¦ IndO<Ind(JrpO/<n.
Следовательно, Ind X ^ п. Теорема доказана.
Теорема 9. Если непрерывное отображение /; X-+Y со-
совершенно нормального бикомпакта X на бикомпакт Y нуль-
нульмерно (т. е. dim/,<0), го
Так как замкнутый образ совершенно нормального про-
пространства совершенно нормален (гл. 1, § б, предложение 5),
то.утверждение теоремы 9 вытекает из теоремы 8 и следую-
следующего, предложения: .. . .'......
Предложение 1. Если непрерывное отображение /: X-*Y
бикомпакта X в бикомпакт Y нульмерно (т. е. dim/^0 или,
что то же, ind/^0*)), то
Доказательство. Утверждение очевидно в случае
kid Г==—1. Предположим., что; оно. верно в случае indy<fe,
и пусть ind К =/г, /i>0.. . ¦ . .
Возьмем точку х&Х и ее окрестность Ох. По условию для
бикомпакта F — f~lfx справедливо соотношение
{. Выберем'- такую; открыто-замкнутую в F окрестность V{.
точки х в F, что
v\ sox. ¦ . .:
*> См. гл 2, § 3, теорема 3.

§ 4] СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ СУММЫ ДЛЯ ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ '413
Множества V\ и V'2 = F\V\ замкнуты в X и дизъюнктны.
Поэтому они обладают в X дизъюнктными окрестностями
Vi э Vi и Vi э У'ъ Можно, очевидно, считать
У\s Ох-
Множество V = Vx (J V2 является окрестностью множества
F~f~xfx, поэтому (см. гл. 1, § 1, предложение 11) существует
такая окрестность U точки fx в У, что
В силу равенства ind Y = k можно считать
ind гр С/ < Jfe.
Из непрерывности f следует, чта
frpr'tfsrpC/.
Но тогда из индуктивного предположентия" вытекает неравенство
ind гр f"'?/ < ind гр t/ < *.
Множества Wt = f~1Uf\Vi, /=1,2, открыты, дизъюнктны и
Поэтому
' грГ,=грГ'?/ и
Так как, очевидно, х е Wx s Vt s Ox, то
Предложение доказано.
Какй в случае размерности dim X, понятие размерности Ind X
можно локализовать следующим образом.
Будем писать для точки х^Х ...
X ^п,
если точка х обладает такой окрестностью Ох, для которой
Ind[O*]</t, . л = 0, 1, 2, ..., о». ..¦.;.:
Полагаем
loc Ind X == sup Ind^ X. j ¦•"¦-. :. - -
X
Теорема 10 (Даукер [6]). Если паракомпакт X совер-
совершенно нормален, то

414 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 7
Доказательство. Неравенство
Ind Я > loc Ind X
очевидно. Установим неравенство Ind X ^ loc Ind X. Его доста-
достаточно доказать лишь в случае lodndZ<oo. Итак, пусть
locIndX = rt< оо.
Для каждой точки х е X выберем окрестность Ох так, что
Ind[Oje]<«.
В покрытие {Ох}, х&Х, паракомпакта X впишем (см. гл. 1,
§ 10, п. 4, предложение 9) замкнутое а-дискретное покрытие v,
распадающееся в сумму дискретных систем vj={Fa}, as%,
1=1, 2, 3, ... Так как каждое множество Fa содержится
в одном из замыканий [Ох], то lnAFa^.n, а так как каждая
система v, дискретна, то и Indv/<rt, /= 1, 2, 3, ... Но тогда,
по теореме 6 из § 3,
оо
Ind X = Ind И v< = sup Ind v<
<1 i
п.
Теорема доказана.
Введем понятие относительной большой индуктивной раз-
размерности.
Для подмножества А нормального пространства X будем
считать rlxA = sup{lnAF\ Fs A, F замкнуто в X}. Из тео-
теоремы 10 вытекает следующее утверждение, аналогичное тео-
теореме 15 из § 6 гл. 4:
Теорема 11 (Чех [1]). Если пространство X совершенно
нормально, F — его замкнутое подпространство и Ind F ^ п,
Tlx(X\F)^n, то
Ind Я < л.
Доказательство. Представим разность X\F в виде
счетной суммы замкнутых в X множеств Ф*, 1=1, 2, 3, ...
Тогда, по условию,
Ind<D,</*, /—1, 2, 3, ...
Из теоремы 6 § 3 следует, что
Ind X = Ind \F U [)Ф ] = max {Ind F, sup Ind Ф,} < n,
что и требовалось доказать.
Теперь докажем равенство
ind р* = Ind X = Ind $X
для совершенно нормальных X (Смирнов [21).

i 4] следствия теоремы суммы для индуктивной размерности 415
Так как 1п&$Х = 1пАХ даже для всех нормальных X и
indpX^IndpX, то достаточно для совершенно нормальных X
доказать неравенство
A)
Доказательство. Если indpj=— 1, то и IndX = — 1.
Предположим, что неравенство A) справедливо при in&fiX <п,
и пусть ind$X = n. Докажем, что IndX^n.
Рассмотрим дизъюнктную пару замкнутых в X множеств
F, и F2 и положим
Множества Fit /=1, 2, не пересекаются (см. гл. 1, § 9, пред*
ложение 2); поэтому для каждой точки х е Ft существует
такая окрестность Ох, что
indrpO*<rt и [Ox](]F2 = A.
Из покрытия {Ox}, x<^.Fu бикомпакта F, выделим конечное
подпокрытие {Oj = O*,}, t"=l, ..., s. Для каждого множества
имеет место включение грх Ot s rp Oit поэтому
Значит,
ind р гря О, = ind [rp* Ot\x < ind гр О, < п.
Из индуктивного предположения следует, что
Ind гр я О{ < ind р грх О, < п.
Из совершенной нормальности X и теоремы 6 § 3 следует, что
s
lnd\Jrpx Ot <n.
i—i
Сумма
йй
(=1 1—1
есть окрестность множества Fu и
•) См. гл. 1, § 9, предложение 1.

416 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 7
Поэтому трх0 есть перегородка между Ft и Fa в X. Так как
то
Ind гр* О < Ind{J грх О) < /г,
т. е.
что и требовалось доказать.
§ 5. Теорема Катетова: равенство
для метрических пространств
(доказательство Даукера—Гуревича)
Равенство dim X = Ind X выражает одно из самых глубоких
и замечательных топологических свойств метрических про-
пространств; оно было доказано впервые Катетовым[2]в 1961 г.
и затем (другим методом) Морита[4] в 1964 г. В 1956 г.
Даукером и Гуревичем [1] было дано еще одно дока-
доказательство, которое и будет сейчас воспроизведено.
В нем показывается, что и AimX и IndX в случае метри-
метрического пространства X совпадают с так называемой секвен-
секвенциальной размерностью ds X, причем Даукер и Гуревич называют
секвенциальной размерностью метрического пространства X наи-
наименьшее целое число п, удовлетворяющее следующему условию:
Существует метрически измельчающаяся *) последователь-
последовательность .¦.:..
A) . ©о, ю и,, ...
локально конечных открытых покрытий щ кратности ^-/г+1,
обладающих тем свойством, что замыкание каждого элемента
покрытия cfy+i содержится хотя бы в одном элементе покры-
покрытия (at (и это для любого 1= 1, 2, 3, ...) **).
*) Пусть а — какое-нибудь покрытие метрического пространства X.
Назовем мерой мелкости покрытия а верхнюю грань ц (а) диаметров эле-
элементов покрытия а. Последовательность покрытий {ап}, п—\, 2, 3, ..;, назы-
называется метрически измельчающейся, если мера • мелкости покрытия ап стре-
стремится к 0 при п->"оо. Аналогично метрическое измельчение определяется и
для произвольного направленного множества покрытий {cijj: требуется, чтобы
для любого е>0 существовал такой индекс Ле, чтобы для всех Л>Ле
было it (ctjj < e.
**) Покрытие, элемейтами которого являются замыкания элементов покры-
покрытия (р;. обозначается через б». Мы требуем, таким образом, чтобы для
каждого I покрытие ш^.было вписано в оо^. П. Во пенка [2] показал, что
при определении ds можио отказаться от требования вписанности ш/+| в со<(..
заменив его более слабым требованием, чтобы coj+1 было вписаио в а>^

§ 51 ТЁОЙЁМА КАТЕТОВА (ДОКАЗАТ ЕЛЬСТВО ДАУкЁРА - ГУРЁВИЧА) 4l7
Следуя работе Даукера и Гуревича, мы докажем для любого
метрического пространства X равенство
Это равенство содержится в совокупности следующих утвер-
утверждений:
1°.
2°.
3°.
из которых третье доказано в гл. 4 даже для любого нормаль-
нормального пространства (неравенство Веденисова).
Первое из этих неравенств доказывается очень просто.
Пусть dim-Y^/r, надо доказать, что и dsZ^/г, т. е. построить
метрически измельчающуюся последовательность
A) соо, и, щ, ...
локально конечных покрытий кратности ^я+1, удовлетво-
удовлетворяющих условию вписанности: ю/+1 вписано в щ.
Пусть (в0—какое-нибудь локально конечное открытое по-
покрытие мелкости ^1 и кратности ^я+1. По теореме Дау-
Даукера из § 11 гл. 4 (или гл. 6, § 2) такое покрытие существует,
так как dim Я ^я. Предполагая, что первые I элементов после-
последовательности A), т. е. покрытия (В/, / = 0 i— 1, крат-
кратности ^я+1 построены, так что ц(©/)<^—j и й/ вписано
в (B/_i, построим покрытие щ следующим образом. Для каждой
точки х^Х возьмем окрестность Oe(X>, e(*)<—j-, с замыка-
замыканием содержащуюся в одном из элементов покрытия щ-i.
По теореме Даукера (гл. 4, § 11) существует открытое
локально конечное покрытие а>{ кратности ^я+1, вписанное
в покрытие {Oe(X)}, х^Х; наша цель достигнута: ю< и есть
нужный нам (/+ 1)-й элемент последовательности A).
Переходим к последнему и основному шагу доказатель-
доказательства — неравенству 2°.
Надо из
B)
в ывести
C)
При п = — 1 эквивалентность обоих неравенств очевидна, так
как каждое из них означает, что X пусто.
Предположим доказанным, что из AsX^.n— 1 вытекает
IdZ<rt— 1; докажем, что из B) вытекает C).
14 П, С. Александров, В. А, Пасынков

418 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 7
Итак, пусть dsJs^rt; надо доказать, что между любыми
двумя дизъюнктными множествами Ф[ и Ф2 в X существует
перегородка С размерности IndCs^/г— 1, так что
X = ОФ, U С U ОФ2) С = X \ (ОФ, U ОФ2)
и окрестности ОФ[ и ОФ2 множеств Ф] и Ф2 дизъюнктны.
Так как по предположению dsX^n, то существует после-
последовательность локально конечных открытых покрытий A), удо-
удовлетворяющая условиям вписанности (wi+1 вписано в оа{) и метри-
метрического измельчения. Мы будем теперь по индукции строить
дизъюнктные тройки множеств At, Bit С(, так что X — At (J Cf \JBi,
причем At и Bi замкнуты (значит, Ct открыто) и At s {Al+l), Bt S
s(B*+i) при любом 1=1, 2, 3, ...; таким образом, множества
\J Ai и \jBi дизъюнктны и открыты, и мы увидим! что они
i i
содержат соответственно множестваФ, и Ф2. Поэтому ОФ! = {jAt
i
и ОФ2 = иВ< будут дизъюнктными окрестностями множеств Ф,
и Ф2, а замкнутое множество С =Х\ @<Ьх иОФ2) = Р)С/ будет
i
Перегородкой между ними. После этого мы докажем, что
IndC<«— 1.
Приступаем к выполнению намеченного плана. Для начала
индукции полагаем Ао = Во = Л, Со =*= X.
Предположим теперь, что дизъюнктные замкнутые множе-
множества At-i и B(-i уже построены и С,_, = Х \ (Л,_, {] Bt-{).
Множество всех элементов покрытия ©^ разобьем на три
подмножества без общих элементов:
со, состоит из всех V е ю<; замыкания которых не пересе-
пересекаются с Ф2{]В{-1\
ю" состоит из всех V е ©i( замыкания которых пересекаются
с Ф2и^(-1> но не пересекаются с Ф^Л-ь
aflt состоит из всех V е шр замыкания которых пересекаются
и с Ф2 U ^4i-i и с Ф211В/-1.
Полагаем
Al = X\(&'{\j&^, Bi=*X\(8>'l\)<b<D, Cl«*X\(Al\}Bl).
Очевидно, Ai и Bi замкнуты, следовательно, Ct открыто, причем
Л, П Ct = Bt П Ct = Л. Кроме того, Л, П Bt = Л, так как Ai[\Bt =
•=-Х\«ий°и^) = Х\б, = Л. Заметим еще, что X\At =
= Sf US?, X\Bl = &'l[)S>4, так что
D) Ct = (X\ At)t)(X\ В) =-(SJПS?) US».

В] ТЕОРЕМА КАТЕТОВА (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДАУКЕРА — ГУРЕВИЧА) 419
Пусть теперь [/ — какой-нибудь элемент покрытия со/+1,
Уеш, выбрано так, что [U] = V.
Докажем следующие утверждения:
(а) Если V е= <й'{, то [U]f[Bl = A и [U] Л Ф2 = Л.
(б) Если V г ш7, то [С/] П Л, = Л и [?/] П Oj = Л.
(в) Если Кев» то [?/]ПЛ=»Л, [?/]ПВ| = Л.
Начнем с (в): если V е ш°, то К S й° и по определению Л4
и В/ имеем К П Л{ = Л, К П Bt = Л, а так как [U] s У, то [U] П
Г|Л/ = Л, [С/]AВ^=Л. Утверждения (а) и (б) доказываются
совершенно одинаково; докажем, например, (а). Если V е а>(,
то Уей! и, значит, V (]Bi==A; и подавно [U] Q В/ = Л. Далее,
так как К е соь то даже [У] Q (Ф2 U Bt-{) = Л, значит, [V] П Фг = Л,
п подавно [и]С\Ф2 = Л.
Из доказанных утверждений следует, что если [U] f| Bt ф Л,
то непременно Кем", и, значит, в силу (б) имеем [U]f\ At=A,
[и][]Ф1==А. Аналогично, если [U] A At Ф Л, то Ksai и [С/]A
ПВ, = Л, [С/]ПФ2 = Л.
Пусть теперь C/sco°+1. Тогда по определению имеем прежде
всего [U] П (Ф1 U Л*) Ф Л, [U] П (Ф2 U Bt) Ф Л. Докажем, что тогда
непременно [U](]At = A и [U](]Bi = A и, следовательно, [C/]Q
ПФ1ФА, [и](]Ф2фА. В самом деле, если бы было [f/](l А^Л,
то, как мы только что видели, Veioi и, следовательно, в силу (б)
попреки тому, что С/е©^+1. Аналогично доказывается и что
[U] П Bt = Л. Итак, утверждения (а), (б), (в) можно дополнить
еще утверждением:
(г) Если U е со»+1, то [U] Л В, - Л, [С/] П Л, = Л, [U] П Ф, =^ Л,
]ПФ2^=Л.
Из локальной конечности покрытия (Bi+1 следует, что сумма
замыканий элементов множества©^,, соответственно (a'i+i, co"+1,
есть замыкание множества S>°t+l, соответственно й^+1, &"+г По-
Поэтому из (г) вытекает, что [&°+1]П Л, = Л и [ю°+1] П Bt — Л.
Далее, замыкание каждого из элементов системы ф'{+1 по
самому определению этой системы не пересекается с Bi', по-
поэтому [u^+I]nB/ = A. Аналогично [й7+[]П At>=A. Итак,
т. е.
At s (Аш), Bi ss
14*

420 НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 7
Поэтому множества
й1М j
открыты; они дизъюнктны, так как если бы существовала точка
х е /(J А{\ Л /(J Bt) , то при некоторых i и ] было бы х е Л, f) Я/.
и если бы, например, /</, то было бы хеЛ/П^ь что про-
противоречит дизъюнктности множеств At и Bt.
Докажем, что OjsJJ^/, (DuSjjB,.
Докажем, например, первое из этих включений. Если х^Фи
то р(х, Ф2) > 0, значит, при некотором / будет р(х, Ф2) > (i ("><)•
Для любого О е со<( содержащего точку х, мы тогда имеем
[и][\а>1фА, [U]f\Q>2 = A; так как [ЦЩФ^Л, то f/^co7; так
как [?/] Г) Фг = Л, то (см. (г)) U ф. coj. Итак, каков бы ни был
элемент ?/ е со^, содержащий точку х, он ив может содержаться
ни в <ь", ни в со^. Поэтому х не может содержаться ни в &", ни
в а}, т. е. *еЛ(. Итак, всякая точка хеФ] содержится в не-
некотором Ait значит, <S>i^\jAi. Аналогично <b2^{jBt.
i i
Итак, {jAi = OQ>u \jBi = OQ>2 суть дизъюнктные окрест-
ности соответственно множеств Ф! и Ф2. Следовательно,
С = О С{ = X \ (ОФ! U ОФ2)
есть замкнутое множество, являющееся перегородкой между Ф]
и Ф2.
Остается доказать, что IndC^re—1.
Начнем с доказательства включения й° э Sj+1. Возьмем
какое-нибудь U s coj+1 и V s сор Кэ [С/]. Из (г) следует, что
[?/]ПФ,=И=Л, [С/.]ПФ2^=Л, тем более УПФ^Л, УПФ2^=Л,
так что V е со^. Итак, всякое ?/есо°+1 содержится в некотором
V е coj, и включение й°+1 s й° доказано.
Докажем теперь, что P)uJ = A. Пусть х— произвольная
i
точка пространства X. Из двух чисел р(х, Ф,), р(д;, Ф2) по край-
крайней мере одно положительно и превосходит меру мелкости
некоторого со4. Если {/—произвольный, содержащий точку х
элемент этого (о{, то по крайней мере одно из двух пересечений
{С/]Г)Ф1. [^ЛЛФг пусто, и, значит, в силу (г) множество U не
может принадлежать системе SJ. Так как U — произвольный

5 5] ТЕОРЕМЫ КАТЕТОВ А (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДАУКЕРА-ГУРЕВИЧ А) 421
элемент со<( содержащий точку х, то х ф 5? — и равенство
Р|й° = Л доказано.
t
Положим теперь Dt = С \ й°. Так как {й°} есть убывающая
последовательность открытых множеств с пустым пересечением,
то {Dt} есть возрастающая последовательность замкнутых под-
подмножеств множества С с суммой, равной С:
j
t
Если мы докажем, что lndDt <n— I для любого i, то, по тео-
теореме суммы для большой индуктивной размерности (§ 3, тео-
теорема 6), будет доказано и неравенство IndC^re— 1.
Но так как по индукционному предположению из ds Dt ^
<!л — 1 следовало бы IndD, «^л — 1, то достаточно доказать
неравенство dsD, s^/г— 1 для любого /.
Переходим к этому доказательству.
Обозначим через б/ систему множеств, элементами которой
являются пересечения с множеством Dt элементов системы <в"+/-
Так как D,?Cs Ct+, - (&'t+, П fif+/) U S?+/ и Dt <= ?>,+/ = C \ fflj+/,
то /)|Я*;+/Пв;+/.
Другими словами, каждая точка хе/)( содержится по край-
крайней мере в одном V е со?+/ и по крайней мере в одном U" e «oj+/
и, следовательно, по крайней мере в одном элементе системы б/.
Другими словами, система б/ есть открытое покрытие множе-
множества Dt. Оно локально конечно, так как локально конечным
является со<+/. Так как кратность покрытия со<+/ не превосходит
л+ 1, а точка х, кроме элементов a>Y+i, содержится по крайней
мере в одном элементе со<+/. то кратность покрытия б/ не пре-
превосходит п. Так как последовательность {б/}, очевидно, метри-
метрически измельчается, то для доказательства неравенства dsD(^
^л— 1 остается убедиться в том, что б/+| вписано в б/. Для
достижения этой последней' цели возьмем какое-нибудь
U e co7+/+i» иОйсФА, так что U f) Dt e б/+1. Тогда в покрытии
®t+i имеется элемент V^[U]. Докажем, что Feco7+/. Но если бы
было V е a>°i+r то было бы V s &°l+l и, значит, F П Dt s V f\
[}Dl + i = A (см. определение множеств Di+!), тогда как
V П А э f/ П ^ ^ Л. Если бы было F е со'г+/, то в силу (а) мы
имели бы [?/] П (Фг U 5{+/) = Л, а тогда было бы f/ea'+z+i.
вопреки предположению. Итак, V е со7+/ и [f/ П Д] s [U] f) A s
sVf|^<s*<i так чт0 условие вписанности, а вместе с ним
и неравенство ds Dt ^ л — 1 доказаны.
Задача, поставлеииая перед нами в этом параграфе, решена.

Глава восьмая
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
О МНОЖЕСТВАХ, ЛЕЖАЩИХ В Rm
Введение
1. Мы знаем (гл. 4, § 4), что множества, лежащие в эвкли-
эвклидовых пространствах, топологически тождественны с конечно-
конечномерными пространствами- со счетной базой. Поэтому, занимаясь
множествами, лежащими в Rm, мы, по существу, занимаемся
дальнейшим изучением конечномерных пространств — правда,
с несколько особой точки зрения: мы изучаем множества, ле-
лежащие в данном Rm, т. е. сортируем конечномерные простран-
пространства по числу измерений тех эвклидовых пространств, в ко-
которых они лежат.
В § 1 мы докажем (теорема 1), что множество М s Rm тогда
и только тогда m-мерно, когда оно содержит внутренние точки
(относительно пространства Rm).
К сожалению, этой теоремой исчерпывается все, что мы
можем сказать в нашей книге по поводу поставленной еще
Урысоном общей задачи характеризации любых «-мерных мно-
множеств, п^т, свойствами их расположения в пространстве Rm.
Сам Урысон дал решение этой проблемы лишь для замкнутых
множеств, лежащих в плоскости. Полное решение проблемы
Урысона для замкнутых множеств любого пространства Rm
читатель найдет во второй части этого сочинения; оно дается
так называемой «теоремой о препятствиях», являющейся одной
из основных теорем гомологической теории размерности. От-
Отметим (без доказательства) уже сейчас следующий частный
случай теоремы о препятствиях: компакт Фс/? тогда и только
тогда имеет размерность т— 1, когда он, не содержа внутрен-
внутренних точек, разбивает некоторый шар Um с: Rm.
Решение общей проблемы Урысона (для любых, а не только
для замкнутых множеств) требует еще гораздо более сложного
аппарата гомологической теории размерности незамкнутых мно-
множеств, построенного К. А. Ситниковым в его работе [2],
Мы не * состоянии изложить здесь «ту теорию,

ВВЕДЕНИЕ 423
2. Продолжаем обзор содержания этой главы.
Второй параграф в основном посвящен решению некоторых
классических задач, связанных с разбиением пространства Rm
лежащими в нем множествами. Речь идет в первую очередь
о теоремах 3 и 4; первая из них утверждает, что компакт тогда
и только тогда разбивает пространство Rm, когда он может
быть существенно отображен на (т — 1)-мерную сферу *); тео-
теорема 4 доказывает гипотезу Урысона: всякий компакт, являю-
являющийся совместной границей двух или более областей в Rm,
есть (т — 1)-мерное канторово многообразие. Кроме того, в на-
начале § 2 сообщаются некоторые элементарные предложения
из того же круга вопросов.
В § 3 доказывается теорема Куратовского[4]**) о том,
что пространство Rm не только не разбивается, но даже не
разрезается никаким множеством размерности ^.т — 2***).
С другой стороны, Ситников [3] построил замечательный
пример двумерного множества М с R3, не разрезающего ника-
никакой области G s R3. Эти результаты дополняются построенным
Витушкиным [1] примером одномерного множества М с: R3,
обладающего тем свойством, что в R3 \ М имеются две точки,
которые не могут быть соединены в R3\M никакой простои
дугой, т. е. континуумом, гомеоморфным отрезку *¦**).
" *) Эта теорема впервые доказана Александровым в работе [12]>
стр. 226 (королларий 2 к основной теореме б), в рамках гомологической раз-
размерности; в работе [1] Борсук дал другое доказательство этой теоремы,
в слегка измененном виде взятое Гуревичем в книгу: Гуревич, Вол*
мэи [1]. Здесь воспроизводится доказательство Борсука, как не опираю*
щееся явно иа теорию гомологии.
**) См. также Куратовский [6], т. 1, стр. 321, теорема 8.
***) Множество Mc=Rm разбивает область OsRm, если У\М несвязно;
множество М разрезает область G, если О \ М не является семикоитину*
умом (пространство X называется семиконтинуумом, если любые две его
точки принадлежат некоторому содержащемуся в X континууму). Всякое
множество М, разбивающее область О, подавно разрезает ее; обратное,
вообще говоря, неверно. Однако если М — компакт, то оба свойства (разь
бивать и разрезать данную область пространства Rm) эквивалентны между
собою. Доказательство может быть предоставлено читателю; оио основано
лишь на свойстве локальной связности пространства Rm (так что утвержде-
утверждение остается верным, если заменить в ием пространство Rm .любым ло-
локально с.вязиым пространством).
***¦) Таким образом, в рамках теоретико-множественной топологии не
представляется возможным характеризовать (т— 1)-мерные множества про*
страиства Rm какими бы то ни было свойствами типа разбиения или раз-
резаиия пространства. В то же время доказанная Ситниковым общая гомо-
гомологическая теорема о препятствиях позволяет полиостью охарактеризовать
(для любых т и п<т) любые я-мерные множества М с=Д . Для rt = m— 1
эта теорема означает, что шар Um может быть выбран так, чтобы (при
dlmAf-m/n— 1) в Um\M лежал нульмерный цикл (в смысле Ситннкова),
не гомологичный нулю в Um \ M. При обрисованном выше положении вещей
этот результат является подлинным триумфом гомологических методов
в теории размерности и в теоретике множественной топологии вообще.

424 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. 8
Теорема Куратовского применяется (в том же § 3) к иссле-
исследованию построенного Ситниковым [2], [4] примера двумер-
двумерного множества М с R3, которое при любом е > 0 допускает
е-сдвиг в одномерный полиэдр и, следовательно, имеет е-покры-
тие кратности 2. Таким образом, оказывается поставленным
на очередь определение и исследование нового метрического
инварианта, введенного Александровым (см. Смирнов [4])
под названием метрической размерности.
Определение 1. Метрической размерностью jidimA'
метрического пространства X называется наименьшее из целых
чисел /г^О, обладающих тем свойством, что в пространстве X
при любом е > 0 имеется открытое локально конечное е-покры-
тие кратности /г+ 1- Если такого числа п нет, то метрическая
размерность jidimA' по определению равна оо.
Замечание 1. Как доказал В. И. Егоров, для вполне
ограниченного метрического пространства X (в частности, для
пространства X, определенного как ограниченное множество,
лежащее в эвклидовом пространстве /?т) получим то же зна-
значение числа A dim X, если в определении 1 будем допускать
лишь конечные покрытия.
Легко доказывается (Смирнов [4]), что метрическая раз-
размерность множества X, лежащего в /?т, может быть опреде-
определена как наименьшее целое п, обладающее тем свойством, что
множество X может быть при любом е посредством е-сдвига
отображено в /г-мерный полиэдр *) (конечный для ограничен-
ограниченных М и бесконечный для неограниченных **)). Поэтому упомя-
упомянутый выше пример Ситникова является примером двумерного
множества (лежащего в R3), метрическая размерность которого
равна 1. Из следствия 1 в § 11 гл. 4 вытекает, что для любого
метрического пространства X имеем
ц dim X < dim X,
Катетов [4] дополнил это неравенство до замечательной
формулы
ц dim X < dim X < 2ц dim X.
Мы доказываем ее в § 4.
Внимания заслуживает и следующая теорема Ситни-
Ситникова [4], которую приводим без доказательства: если MczR!"
и dim М = dim [М], то н ц dim М « dim M.
*) Это свойство было первоначальным (предложенным Александровым)
определением метрической размерности.
**) Под бесконечным полиэдром (лежащим в Rm) мы понимаем здесь
тело бесконечного полного геометрического комплекса, т. е. локально конеч-
конечной системы К симплексов Г, удовлетворяющей обычному условию полноты:
из Тв К, Т'<Т следует Г е К.

425
Ю. М. Смирнов и В. И. Егоров построили довольно.далеко
продвинутую теорию метрической размерности.
В частности, в ней доказываются аналоги таких фундамен-
фундаментальных предложений, как формула Урысона—Менгера, теоремы
о перегородках и о существенных отображениях, а на этой
основе осуществляется и гомологический подход к метрической
размерности. Мы не можем в этой книге излагать теорию
метрической размерности; читатель может ознакомиться с ней
по работам В. И. Егорова и Ю. М. Смирнова.
3. Размерность dim М множеств М cz Rm допускает инте-
интересные и разнообразные метрические характеристики; им посвя-
посвящены многочисленные работы, принадлежащие Гуревичу, На-
гата, Ситникову и др. В частности, интересны результаты
Нагата, подробно изложенные в его книге [6], к которой и
отсылаем читателя. Большого внимания заслуживает, как нам
кажется, теорема Ситникова, изложенная в § 5 этой главы.
§ 1. Множества размерности т в Rm
Теорема 1 (Урысон, Менгер). Множество Ms/? тогда
и только тогда имеет размерность tn, когда М содержит вну-
внутренние точки (относительно R).
Доказательство. Равенство dimM = tn для всех мно-
множеств М s /?m, содержащих внутренние точки, вытекает из того,
что во всяком таком М лежит некоторый замкнутый симплекс Тт
и, следовательно,
m = dim Tm < dim M < dim Rm = т.
Остается доказать, что всякое множество М cz R, не содер-
содержащее внутренних точек, т. е. обладающее всюду плотным
дополнением Rm\M, имеет размерность dimAf<m— 1. При
этом (в силу теоремы суммы) достаточно рассмотреть случай
ограниченного множества М (всякое неограниченное М есть
сумма счетного числа своих ограниченных замкнутых подмно-
подмножеств). Итак, для доказательства теоремы 1 достаточно (см.
гл. 4, § 3, теорема 5') доказать следующее предложение:
Пусть М — множество, лежащее в m-мерном кубе Qm и
имеющее всюду плотное дополнение; тогда при любом открытом
покрытии со=={«| и,} множества М существует со-отобра-
жение f множества М в (т — 1)-мерное множество Р cz Rm.
Доказательство. Для каждого щ е со берем открытое и
ограниченное в /?т множество Ut, удовлетворяющее условию.
Affl Ul = ut.
Положим

426- НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rт [ГЛ, в
Множества [Vk] замкнуты и ограничены и поэтому являются
компактами. Они содержатся в U, следовательно, определены
лебеговы числа ък > О покрытий а>к = {?/, Г) [Vk] ^Г)[У*]},
k = 1, 2, 3, ... Очевидно, можно считать, что eft+|^eft. Ясно
также, что [Fft]sV^+i, k = l, 2, 3, ... Кубом ранга А=1, 2,
3, ... назовем куб вида
i=l
>2> ••" m}>
где pi — целые числа
Н
Диаметр dh куба ранга h равен -^—?-. поэтому rfA->0 при
Выберем А! так, что
и через A,j обозначим (очевидно, конечную в силу ограничен-
ограниченности множества М) систему всех кубов ранга hlt пересечение
которых с [Vi] непусто.
По индукции для каждого k — 2, 3, ... строим такие макси-
максимальные конечные системы Кк попарно различных кубов Q
ранга lib, что
A) Л*>А*-|,
B) rf*fc<min(-^i. уР([Ы Rm\Vk+1)),
C) QniVk]?-A,
D) Q^ U ^'*)-
Из построения систем Kk вытекают следующие включения:
E) [Vk] s ( U I*) s U ^ s
V
оо
Положим X — И Aft. Тогда
fci
т. е. система Я, покрывает множество U.
*) кь> обозцачает> как всегда, тело системы Л,

f 1] МНОЖВСТВА РАЗМЕРНОСТИ т В Нт 427
Покажем, что система А локально конечна в U.
По построению (см. условие D))
(U
2, 3,
Следовательно, и
F) (U v)n U
V<s k'>
Для произвольно выбранной точки *s(/ найдется такой номер
k = k (x), что (см. E))
xm[Vk]s(\J АЛ
Поэтому множество / (J А\Л есть окрестность точки х, пере-
пересекающаяся лишь с кубами конечной подсистемы (J А*- си-
системы А. Локальная конечность системы А в U установлена.
Через Р обозначим сумму границ кубов Q s А. По теореме
суммы dim P<!m — 1.
Покажем, что множество М обладает со-отображением в Р.
Так как множество Rm\M всюду плотно в /?т, то внутри
каждого куба Q s А найдется точка xQ s Rm \ Af. Через
fQ\ Aff)Q->rpQ обозначим проекцию из точки xQ множества
М П Q в rp Q. Отображение fQ является тождественным на мно-
множестве М П гр Q, Для любых двух различных кубов Q и Q'
из А справедливо, по построению (см. D)), включение
QflQ'srpQnrpQ',
так что определено однозначное отображение
/: ЛГ-*Р= (J rpQ,
совпадающее на М П Q с fQ для каждого Q s А.
Покажем, что отображение f непрерывно, для чего доста-
достаточно показать его непрерывность в некоторой окрестности
произвольной точки леМ. Итак, пусть хs M.
По доказанному существует окрестность Ox s U, пересекаю-
пересекающая лишь кубы конечной подсистемы А' системы А. Для
каждого куба Q е А' отображение
fmmfQ:
непрерывно и множества (QГ) М) П Ох замкнуты в М(]

428 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Пп [ГЛ, в
Непрерывность отображения f: М(]Ох-+Р следует теперь
из предложения 10 § 1 гл. 1. Непрерывность отображения f
доказана.
Покажем, наконец, что f есть со-отображение.
Возьмем точку х е fM ? P. Через Кх обозначим систему
тех кубов QeA, которые содержат точку х. В силу локальной
конечности системы X множество Я \ Хх замкнуто в U н
есть окрестность точки х в U (а значит, и в /?"*), пересекающая
лишь те кубы системы X, которые входят в систему Кх.
Из определения отображения f сразу же следует, что
G)
Предположим, что хе [V*]\ [Vk-\] (считая [Fo] = A); тогда
(см. E) и F))
Л, ах* U А*-»
(при этом система Кй пуста).
Следовательно (см. G) и B)),
diam f^Wx < diam hx < 2dAft_i ¦)
Из включений E) следует, что
f~lWxsl,s U i,E Vk+i s
Ho eft+| есть лебегово число покрытия coft+1; поэтому найдется
такой элемент f/jfH^fc+i] этого покрытия, что
т. е. f есть со-отображение, ч. и т. д.
§ 2. О разбиении пространства R" лежащими в нем
замкнутыми множествами
1. Несколько элементарных фактов. Начнем со следующего
предложения, принадлежащего к самым первым результатам
теории размерности, доказанным (при индуктивном определе-
определении размерности) еще Урысоном и Менгером:
Теорема 2. Топологическое п-мерное многообразие**) V",
в частности пространство Rn, не разбивается никаким лежащим
в нем множеством М размерности ^ п — 2.
•) Для любой точки уеКх имеем р(х,
**) То есть связное прост
гомеоморфны пространству R
**) То есть связное пространство со счетной базой, все элементы которой
орфы рсву R'K

§ Z] О РАЗБИЕНИИ Rn ЗАМКНУТЫМИ МНОЖЕСТВАМИ 429
Так как всякое множество, разбивающее какое-нибудь на-
наследственно нормальное пространство, в силу предложения 1
из § 1 гл. 2, содержит замкнутое множество, также разби-
разбивающее это пространство, то с самого начала можно предпо-
предположить, что множество М замкнуто.
Лемма 1. Пространство Rn не разбивается никаким ком-
компактом размерности ^ п — 2.
В самом деле, пусть компакт Ф с /?", dim Ф^.п — 2, раз-
разбивает пространство Rn. Обозначим через Г ограниченную
компоненту множества Rn \ Ф (такая всегда имеется) *) и возьмем
вокруг какой-нибудь точки реГ шар Un столь большого ра-
радиуса, чтобы множество Ф U Г лежало внутри этого шара.
Возьмем, с другой стороны, произвольное е > 0 и шар пп
диаметра < е с центром в начале координат о. Подобным
преобразованием отобразим шар 0п на шар пп. Тогда область Г
перейдет в некоторую область у ^ «"> точка р пойдет в точку о,
компакт Ф — в компакт q>, лежащий в «". Область у является
окрестностью диаметра < е точки \о в Rn, граница которой
лежит в ф и, следовательно, имеет размерность ^ п — 2, что
противоречит тому, что dim Rn = ind Rn = /г._
Лемма 2. Замкнутый п-мерный шар Un не разбивается
никаким компактом размерности ^ п — 2.
Предположим, что компакт Ф, din^<« — 2, разбивает
шар Un. Можно с самого начала предположить, что Ф не со-
содержит центр о шара ?/". (Это следует из того, что Ф нигде
не плотно в Rn и что существует топологическое отображение
шара С/* на себя, переводящее любую точку ре{/"\Фв центр о
шара ?/".)
В силу наших предположений имеем
где_10, Ф и Н дизъюнктны, G и Я —непустые открытые
в Un множества. Пусть для определенности оеО. Инверсия
пространства Rn относительно сферы S"~' = Un\Un оставляет
все точки сферы S" неподвижными и отображает открытые
множества G\o и Я соответственно в множества Gx и Ни
открытые в Rn\ Un.
•) В самом деле, множество /?"\Ф, будучи несвязным, содержит более
одной компоненты; докажем, что все они, кроме одной, ограничены. Дей-
Действительно, компакт Ф есть ограниченное множество и, следовательно,
лежит в некотором шаре ?/". Множество /?"\ Un (как легко видеть) связно,
значит, лежит в одной компоненте множества /?"\Ф; все остальные ком-
компоненты ограничены.

430 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. в
Компакт Ф переходит при этом в компакт G>xaRn\ Un, и
Легко видеть, что множества GUG,, Ф[]Фи Н {]Я{ дизъюнктны.
При этом G U G, и Я U Я, открыты в Rn, так что компакт Ф U Ф,
разбивает пространство Rn, что противоречит лемме 1, так как
(по теореме суммы) размерность множества ФиФ1 не пре-
превосходит п — 2 *).
Переходим собственно к доказательству теоремы 2.
Для каждой точки хеГ берем окрестность Ох, замыкание
которой [Ох] в V" гомеоморфно замкнутому шару. Счетное
множество этих окрестностей
Oi=sOxu 02яз0х2, ..., 0кез0хк, ...
покрывает все Vn. Пусть F — замкнутое в Vn множество раз-
размерности <[/г — 2, разбивающее пространство V. Тогда
ff\[°k\ — Pk есть компакт размерности <п-2н, по лемме 2,
множества Hk = [Ok] \Fk связны {k=l, 2, 3, ...). Так как
V"" связно, то система множеств а = {Ои О2, ..., Ok, ...}
является сцепленной (в противном случае было бы cr = cTj U cr2,
где системы о^ и сг2 непусты и таковы, что никакой элемент
одной из этих систем не пересекается ни с каким элементом
другой; значит, о{[\а2 = Л, что противоречит связности V").
Так как F нигде не плотно в V", то сцепленной является и
система всех Hk'=Oll\F и тем более система всех [Ok] \ F.
Множество Vn \ F, как тело сцепленной системы связных мно-
множеств [Ой] \ F, связно (по предложению 9 из § 4 гл. 1) — мно-
множество F не разбивает многообразие У, и теорема 2 доказана.
Из теоремы 2 вытекает
Следствие 1. Всякое замкнутое п-мерное многообразие**)
есть и п-мерное канторово многообразие.
К этому же кругу элементарных предложений относится и
Теорема 2'. Конечный полиэдр Ф является канторовым
многообразием тогда и только тогда, когда одна какая-нибудь
(и тогда — любая) его триангуляция есть сильно связный
комплекс.
Доказательство. Пусть полиэдр Ф = К имеет сильно
связную rt-мерную трианголяцию К\ докажем, что Ф — канто-
канторово многообразие размерности п.
Пусть Т\ Т1 — вс$ n-мерныв симплексы триангуля-
триангуляции К- Тогда К. = ^i U ... U Ts, где Ти ..., fs — соответствующие
замкнутые симплексы (замыкания симплексов Т{).
*) Это утверждение — в форме ind (ФиФО^л — 2 — легко доказать
и непосредственно, не опираясь на теорему суммы.
**) Всякое многообразие, очевидно, локально бикомпактно; бикомпактное
многообразие называется «замкнутым».

$ 2J О РАЗБИЕНИИ Rn ЗАМКНУТЫМИ МНОЖЕСТВАМИ 431
Пусть F — компакт размерности t^.n — 2, лежащий в Фэ^.
Требуется доказать, что множество Ф \ F связно. Для этого
заметим, чтоЛ каков бы ни был (п— 1)-мерный симплекс Г^'е/С,
множество Tn~l \ F непусто. Отсюда и из сильной связности
комплекса К следует, что система множеств
f?\F, fn2\F fns\F
является сцепленной, а так как множества f"\F связны
(по лемме 2), то связной является и их сумма K\F, откуда
следует, что множество F не разбивает полиэдра Ф = К-
Обратное утверждение теоремы 2' очевидно: если Ф — по-
полиэдр, являющийся /г-мерным канторовым многообразием, то
всякая его триангуляция К есть сильно связный комплекс;
в противном случае мы имели бы равенство К = K1UK2, где
/Ci и /С2 — замкнутые «-мерные подкомплексы комплекса К.
с пересечением /Ci Л -^Сг = /С'» являющимся комплексом размер-
размерности =ё^я — 2. Переходя к телам этих комплексов, получим
равенства
R
— невозможные, если К — канторово многообразие размер-
размерности п.
Теорема 2' доказана.
2. Основные результаты. Переходим к основным результатам
этого параграфа.
Теорема 3 (Александров [12], Борсук [1]). Для
того чтобы компакт Ф a Rn разбивал пространство R", необхо-
необходимо и достаточно, чтобы этот компакт можно было суще-
существенно отобразить на сферу Sn~ .
Доказательство. Пусть р—произвольная точка про-
пространства /?". Обозначим через пр: Rn\p-+Sn~ «сдвинутую»
центральную проекцию множества Rn\ p на единичную сфе-
сферу S" (с центром в начале координат о), состоящую в том,
что каждой точке х е Rn \ p ставится в соответствие точка
пересечения единичной сферы S"" с исходящим из ее центра о
лучом, несущим вектор, равный вектору рх. Если р = о, то п0
есть, очевидно, просто проекция множества R" \ о на сферу Sn~
из центра этой сферы.
Лемма 3. Пусть Г — ограниченное открытое множество
пространства R" и реГ. Отображение яр, рассматриваемое
на границе [Г] \ Г множества Т, не может быть продолжено
на множество [Т],

432 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. 8
Доказываем лемму 3. Возьмем систему координат с нача-
началом о = р. Без ограничения общности можно считать, что все [Г]
содержится в единичном шаре U". Отображение п0 определено
в /?" \ о гэ Rf1 \ Г; если бы его можно было продолжить на [Г],
то продолженное отображение, рассматриваемое на U", было бы
отображением шара Un в его границу Sn~ , тождественным
на Sn~\ что невозможно (гл. 3, § 5, предложение 2).
Лемма 4. Компакт Фс/Г тогда и только тогда разделяет
точки р и q {лежащие в Цп\Ф) *), когда отображенияяр: O->S"~'
и яц: Ф-^S" не гомотопны между собою.
Доказываем лемму 4. Пусть компакт Ф разделяет точки
р и q, так что ре Р, q eQ, где Р и Q суть различные ком-
компоненты открытого множества Rn \ Ф. По крайней мере одна
из областей Р, Q, например Р, ограничена. Отображение
я,: O-*S""' можно продолжить на Rn \ q => Ф U Р; если бы
отображения пч и яр компакта Ф в S" были гомотопны
между собою, то по лемме о грибе отображение яр: O-*-Sn~1
тоже можно было бы продолжить в отображение компакта
ФиЛ что невозможно в силу леммы 3.
Пусть компакт Ф не разделяет точки р и q. Тогда их можно
соединить простой ломаной pq, лежащей вне компакта Ф.
Если точка t скользит по этой ломаной, пробегая ее от конца
to — p до конца tl = q, то семейство отображений я^: Ф-^S"
непрерывно переводит отображение яр: Ф-^S" в отображе-
отображение nq: Ф-^S"", и эти отображения оказываются гомо-
гомотопными.
Из доказанного уже следует одна половина теоремы 3: если
компакт Ф разбивает пространство /?", то он разделяет неко-
некоторые две точки р м. q (принадлежащие к различным компонен-
компонентам Р и Q множества /?"\ф); тогда отображения яр: Ф-^S"
и я„: Ф-vS" не гомотопны между собою, значит, по крайней
мере одно из них существенно (все несущественные отображе-
отображения f: Ф-^S" гомотопны между собою).
Остается доказать вторую половину теоремы 3: если имеется
существенное отображение компакта Фа Rn в Sn~\ то ком-
компакт Ф разбивает пространство /?" или, что то же, разделяет
некоторые две его_точки р и q.
Возьмем шар 0п с границей S"~], содержащий внутри себя
компакт Ф, и пусть f0: Ф-j-S" — существенное отображение.
•) То есть точки р и q тогда и только тогда принадлежат к разным
компонентам множества %п\<$

§8] О РАЗБИЕНИИ Rn ЗАМКНУТЫМИ МНОЖЕСТВАМИ 433
Отображение f0 не может быть продолжено до отображения
всего замкнутого шара 0я в S" (см. предложения 1 и 2
из § 1 Прибавления к гл. 3). Чтобы провести доказательство
теоремы до конца, остается доказать лишь следующую лемму:
Лемма 5. Пусть в Rn даны компакты Фа ?:
и пусть дано отображение f0: O-*Sn~\ не продолжаемое
на W. Тогда существует открытое в Rn множество ГсЧ'\Ф
с границей, лежащей в Ф.
Действительно, если лемма 5 доказана, то, взяв точку р
в Г, а точку q в Rn \Ч*, получим, очевидно, две точки, раз-
разделенные компактом Ф.
Итак, доказываем лемму 5.
Раз отображение f0: Ф->5Л~' не может быть продолжено
на Чг==ФиЧ/'» то, в силу предложения 6 § 9 гл. 5, существует
такой компакт VFO, что f0 не может быть продолжено на Фи1Р0,
но может быть продолжено на всякое Ф U Ч?\ где компакт V
есть собственное подмножество компакта Ч?о.
Докажем, что множество Ч^ЧФ (очевидно, непустое) от-
открыто в /?". Для этого, в силу теоремы 17 гл. 5, достаточно
показать, что для каждой точки «еЧ'цЧФ и для каждой
достаточно малой окрестности Ох ? Wo \ Ф (относительно Wo),
а именно для каждой окрестности Ох, удовлетворяющей усло-
условию [Ox] s Yg \ Ф, существует непрерывное отображение
g: ((W0\<b)\Ox)-*Sn-\
не продолжаемое' на все Wo \ Ф.
Чтобы построить такое g, вспомним, что из самого опре-
определения ЧГ0 следует, что данное нам отображение f0: Ф^S""
б Фи(Ч^ О)
0 у р f0
может быть продолжено на Фи(Ч^ \ Ох) до отображения
f: (Ф\]х?0 \ Ox)-*Sn~l. Если бы отображение/ можно было
продолжить на Ч^ \ Ф, то тем самым отображение f0: <$>-+Sn~l
оказалось бы продолженным на всеФ1)Ч'о. Итак, отображение f,
рассматриваемое на 0Р0\Ф)\Оа:, не может быть продолжено
на Чг0 \ Ф, чем и доказано, что каждая точка х е Ч^ \ Ф есть
внутренняя точка (относительно /?"), т. е. что Ч'оЧФ открыто
в /?" и тем более открыто в Wo; его граничные точки относи-
относительно R", очевидно, лежат в Wq, но не могут лежать в VFO \ Ф,
значит, гр(Чг0 \ф)сф, и лемма 5 доказана.
Вместе с нею доказана и основная теорема 3.
Доказываем следующее предложение:
Теорема 4 (Александров [9], [12]). Если множество
Ф с: R* есть совместная .граница по крайней мере двух обла-
областей Fj и Гд в Rn} из которых по крайней мере одна — пцстц

434 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. 8
Г] — ограничена, то Ф есть (п — 1)-мерное канторово много-
многообразие.
Эквивалентная формулировка:
Теорема 4'. Если компакт Фс/?" неприводимо разде-
разделяет *) две точки р и q, ре/?"\Ф, qе /?" \ Ф, то он есть
(п — \)-мерное канторово многообразие.
Из предпосылок теоремы следует,- что компакт Ф не со-
содержит внутренних точек и поэтому A1тФ^/г— 1, в то время
как из теоремы 3 вытекает, что (ИтФ^/г— 1.
Поэтому теорема 4 будет доказана, если мы докажем сле-
следующее предложение:
Теорема 4". Пусть компакт Ф = ф, U Ф2 разделяет точки
ре/?"\Ф и ? е /?" \ Ф, причем ни один из компактов ф1( ф2
этих точек не разделяет. Тогда
dim (Ф, П Фд) ^ 1 — 2.
Доказательство. Из леммы 4 следует, что отобра-
отображения
гомотопны между собою. Если бы было dim (Ф! П Фг) ^ « — 3,
то, в силу предложения 7 из § 9 гл. 5, были бы между собою
гомотопны и отображения
яр: Ф1\]Ф2-*8п-\ я,: Ф.иФг-^-1,
что противоречит (вследствие леммы 4) тому, что Ф,иФг раз-
разделяет точки р и q.
§ 3. Теорема Куратовского и пример Ситникова
1. Теорема Куратовского. Повторяем формулировку теоремы
Куратовского.
Теорема 5. Если M<=.Rm, dimM<m —2 и Um — какой-
нибудь tn-мерный шар пространства Rm, то всякие две точки
a^Um \ M, b^Um\ M содержатся в некотором континууме,
лежащем в Um\ M. _
Лемма 1. Пусть в пг-мерном замкнутом симплексе Тт =
= е0... ет даны открытые (в Тт) множества Г,, ..., Гт, причем
множество Т{ (при I = 1, ..., т) не имеет общих точек
с гранью Т?~ , противоположной вершине et. Пусть, кроме
того, открытое (в Тт) множество Г = Г, U ... U Гт отделяет
*) Компакт Ф с Rn, разделяющий точки р и q, по определению непри-
неприводимо разделяет нх, если никакой собственный подкомпакт Ф' точек р н q
не разделяет.

§ 3] ТЕОРЕМА КУРАТОВСКОГО И ПРИМЕР СИТНИКОВА 436
вершину е0 от грани Т?~1 = ех ... ет (противоположной этой
вершине), т. е. пусть Tm\T = A\JB, где А и В — компакты,
Тогда Г,П ¦•• ПГт?=Л.
Доказательство леммы 1. Обозначим через Но такое
открытое в Тт множество, что
А сНо, [Но] sfm\B.
Положим при 1=1, ..., т
Hi = T,{]{(fm\[Ho])\ff-1).
Тогда Ht(\Tf-l — A и
=яоиг!и ... игти
U l(fm \ [Но]) \ П ТГ') = Но U Г, U ... U Гт U ((Г" \ [Но]) \ во).
Но е0еа Л еЯо, Bafm\ [Яо], Г = Г, U ... UГт, поэтому
fm —лигидеяоия,и ... \}Нт.
Итак, v = {^o» ^i Нт} есть открытое покрытие сим-
симплекса Т1*.
Возьмем замкнутое покрытие
а=»{Л0, Ai Am},
комбинаторно вписанное в Y-
Так как Atf\T?~l = A при / = 0, 1, ..., т, то выполнены
условия второй леммы Шпернера и существует точка
Так как je/f0, то х&Тт\[Н0]; поэтому из х&Н{, /=¦ 1,..., т,
вытекает х е Г* и д: е Г, П • • • П Гт т^ Л.
Лемма 1 доказана.
Л е_м м а 2. Пусть по-прежнему fm = ефх ... ет. Обозначим
\
?~
через Т?~\ / = 0, 1 пг, замкнутую грань, противополож-
противоположную вершине е{. Дано множество
M^Tm\(eolifon~l), dimM<m-2.
Тогда в Tm\M существует континуум С, содержащий точку е0
и имеющий общие точки с Г^ (континуум, «связывающий»
в Тт\М вершину е0 с противоположной ей гранью Г™).

436 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ТП. 8
Доказательство. Положим
и{ = Тт\{тТ~1\)Т$-1), 1=1 т.
Очевидно, М cs [/, U ... .U Um. Поэтому существует комбина-
комбинаторно вписанное в покрытие
<о = {[/, Um)
множества М покрытие y = {Г1, ..., Гт} открытыми в Тт
множествами кратности <[(т — 2) + 1 = tn — 1. Следовательно,
Г,Л ••• ПГ„, = Л._ _
Так как П П Т? ' = Л, то из леммы 1 следует, что
]Г = Ft U ¦•• L)rm не может_ отделять точку е0 °т множества
Го1; следовательно, ео_ и ^"^принадлежат одной и той же
компоненте С компакта Tm\T czTm\ M. Континуум С является
искомым континуумом, связывающим в Тп\М вершину е0
с гранью То~\
Лемма 2 доказана.
Переходим, наконец, к доказательству теоремы 5.
(а) Предположим сначала, что множество М cRm огра-
ограничено.
Берем две произвольные точки р и q множества Rm \ M и
симплекс Тт, содержащий внутри себя все множество М и обе
точки р и q. Обозначим через Тт~х какую-нибудь (т — ^-мер-
^-мерную грань симплекса Тт и возьмем два симплекса Т™ = \pTm~x \
и T% = \qTm~l\. В замкнутых симплексах Т™ и Т% существуют
континуумы Ср и С„, связывающие в Трп\М, соответственно
в Т%\М, вершину р, соответственно q, с гранью Tm~l. Тогда
континуум C = Cp{]Tm~l\JC(l лежит в Rm\M и содержит обе
точки р и q.
(б) Предположим теперь, что множество М не ограничено,
но не является всюду плотным в Rm. Тогда существует такая
точка Хо s Rm и такое е > 0, что
A) О (х0, е) s Rm \ M.
Граница шара О (*0. е) есть (т — 1)-мерная сфера. Пусть
f: (Rn\x0)^(Rm\x0)
—инверсия относительно этой сферы. Мы положим
B) p' = fp, q' = fq, M' =
и, наконец,

i Si ТЕОРЕМА КУРАТОВСКОГО И ПРИМЕР СИТНИКОВА 437
Из A) следует включение
М' с [О (х0, г)}.
Кроме того, dim M* ^ т — 2. Поэтому, согласно (а), сущест-
существует такой континуум С*, что
Этот континуум не содержит точки х0 (так как х0 е ЛР). Сле-
Следовательно, определен континуум
Из B) вытекает, что
реС, i/eC, М П С = Л.
(в) Пусть, наконец, множество М a Rm — произвольное мно-
множество размерности ^ m — 2. Обозначим через д;0 произволь-
произвольную точку пространства Rm, отличную от точек р и q и не
принадлежащую множеству М:
xo<=Rm\(M\Jp[)q).
Рассмотрим шары
G O()
Н = О(х0, 2).
Гомеоморфное отображение
g: (Rm\xQ)-*Rm\[G]
определим следующим образом:
если x^Rm\ И, то gx = х;
в противном случае gx определяется как точка, лежащая
на луче [лг0, л;) и находящаяся от точки х0 на расстоянии, рав-
равном 1 +jp(xo,x).
Имеем
Rfn\[G], dimM'<m-2,
Прэтому из пункта (б) следует существование континуума
С* cR"* ч ЛГ, содержащего точки р' и q*.
Определим отображение Л: Rm->Rm следующим образом:
hx = g-% если x<=Rm\[G];
hx = дсо, если х s [G].

438 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРВМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. «
Легко видеть, что это отображение непрерывно. Ясно также,
что
hp* = р, hq* = q, hM' ¦ М
и что
C = hC
есть континуум, лежащий в Rm \ M и содержащий точки р и q.
Теорема 5 доказана; из нее вытекает
Следствие 1. Открытый шар Um пространства Rm не раз-
разрезается никаким множеством Ms/? размерности dimM<[
<m-2.
В самом деле, предположим, что шар Um разрезается мно-
множеством М размерности ^ пг — 2. Тогда он разрезается и ле-
лежащим в этом шаре множеством Um f) М. При топологическом
отображении шара U на все пространство Rm множество
Um[)M перейдет в некоторое множество М*,. dim М* «^ пг — 2,
разрезающее пространство Rm, — вопреки теореме 5.
И наконец, основное
Следствие 2. Множество М с Rm, dim M ^ пг — 2, не
разрезает никакую область G s Rm.
В самом деле, пусть р и q — две точки множества G\ M.
Область G есть объединение счетной системы 2 открытых пг-
мерных шаров. Так как О — связное множество, то система 2
есть сцепленная система. Пусть
ре- ?/(%eJ, i/e^e2.
Существует конечная цепочка шаров
[/?, = ?/,, ?/2, ..., Us&Ufi), C/,s2 при «=1,2 я,
в которой любые два соседних элемента U{, U{+1 суть пересе-
пересекающиеся шары. Берем точки
и соединяем их последовательно континуумами
(по только что доказанному такие континуумы существуют).
Тогда
с=с,и ... ucs+I
есть лежащий в О континуум, содержащий точки р s p0 и
(/вр,+|, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Утверждение следствия 2 остается верным,
если под О понимать любое m-мерное топологическое много-
многообразие. Очевидно, что в доказанном таким образом предло-
предложении содержится теорема 2 этой главы (§ 2).

$ SI ТЕОРЕМА КУРАТОВСКОГО И ПРИМЕР СИТНИКОВА 439
2. Пример Ситникова. В качестве приложения только что
доказанной теоремы сейчас построим (следуя Ситникову) мно-
множество М типа G6, лежащее в R3 и обладающее следующими
двумя свойствами:
Г. Оно имеет размерность 2.
2°. При любом е > 0 оно может быть переведено посредст-
пом е-сдвига в одномерный полиэдр.
Переходим к построению множества М.
Возьмем в трехмерном пространстве R3 систему прямоуголь-
прямоугольных координат и рассмотрим для k=l, 2, 3, ... кубильяж
с ребром длины -?¦• т-е> совокупность кубов, на которые про-
пространство R3 разбивается плоскостями * = -?¦, У = ^> Z==X'
где р, q, r пробегают независимо друг от друга все целые зна-
значения. Сумму всех ребер и вершин этих кубов обозначим
через Кк- Положим теперь Q, = К.\ и сдвинем бесконечный
одномерный полиэдр Кг (как твердое тело) так, чтобы он стал
в общее положение к Qu т. е. чтобы сдвинутый полиэдр Кг—
обозначим его через Q2 —не имел общих точек с Q,. Точно
так же сдвинем полиэдр /С3 как твердое тело в полиэдр Q3, не
пересекающийся с Q, U Q2, и т.д. Получим последовательность
дизъюнктных одномерных полиэдров Qi, Q2, ..., Qt, ¦ ¦ ¦, причем
сумма этих полиэдров есть всюду плотное в пространстве R3
множество типа Fa, которое обозначим через В.
Дополнительное множество М = R3 \ В есть множество
типа G6. Докажем, что оно обладает свойствами 1° и 2°.
Докажем сначала свойство 2°. Для этого рассмотрим одно-
одномерный полиэдр QI, «взаимный» к Qk,— он получается из Qk,
если сдвинуть весь одномерный полиэдр Qk на вектор, идущий
из какой-либо вершины а е Qk в центр произвольного, но раз
и навсегда выбранного куба (нашего кубильяжа Qk), инцидент-
инцидентного вершине а.
Утверждение 2° следует из того, что множество Mk —
о
= R3 \ Qk ^ М можно перевести в QI посредством -^-деформа-
-^-деформации. Для того чтобы построить эту деформацию, заметим,
что QI определяет разбиение пространства Я3 на замкнутые
кубы с ребрами длины -^ . Пусть F— один из этих кубов.
Ясно, что отрезки, соединяющие центры его противоположных
граней, не пересекаются с Mk. Тем более центр о куба F не
принадлежит Mk. Пусть а—произвольная точка множества
Mk П F. Обозначим через а0 ту точку пересечения прямой оа
с границей куба F, которая лежит по ту же сторону от точки о,
Что и а. Заставим точку а равномерно двигаться (в течение

440 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. 8
единицы времени) вдоль отрезка [а, а0] в точку а0. Осуществив
такое движение применительно ко всем точкам множества Мь
одновременно, получим -^-деформацию множества Mk в двумер-
двумерный остов кубильяжа Я\ определяемого одномерным полиэд-
полиэдром Q%. Пусть Mk — образ множества Mk, полученный в ре-
результате этой деформации. Легко видеть, что центры двумер-
двумерных граней кубильяжа Л* не принадлежат множеству Мк.
Поэтому в течение следующей единицы времени мы можем
осуществить -т-деформацию множества Мк в полиэдр Q% вполне
аналогично тому, что мы делали применительно к множеству Мк.
2
В результате получим -т-деформацию множества Мк в одно-
одномерный полиэдр Q*k.
Свойство Г вытекает из следующего предложения, пред-
представляющего и некоторый самостоятельный интерес:
Предложение 1. Пусть в п-мерном пространстве Rn дана
счетная совокупность непустых дизъюнктных замкнутых множеств
?>!, ?>2 Dk, ..., сумма которых есть всюду плотное мно-
множество D. Тогда дополнительное множество C — Rn\D имеет
размерность п— 1.
В самом деле, так как D всюду плотно, то С не содержит
внутренних точек и, значит, dimC^n— 1. Если бы было
dim С ^ п — 2, то, в силу теоремы 5, всякие две точки^, d2
в D принадлежали бы лежащему в D континууму d,d2 с D.
Взяв теперь, например, ^ e ?>,, d2e ?>2> мы представим кон-
континуум d\d2 в виде суммы попарно непересекающихся замкну-
замкнутых множеств:
из которых по крайней мере два непусты и общее число кото-
которых счетно. Но это противоречит известной теореме Серпин-
ского, в силу которой никакой континуум не может быть пред-
представлен в виде суммы (конечного или) счетного числа дизъюнкт-
дизъюнктных непустых замкнутых множеств *).
Замечание 2. Взяв пересечение построенного выше
множества М, например, с единичным кубом пространства R3,
получим ограниченное множество размерности 2, допускающее
сколь угодно малые сдвиги в конечные одномерные полиэдры,
чем поставленная цель достигнута.
Замечание 3. Аналогичное построение, проведенное в п-
мерном пространстве Rn, приводит к такому (п — 1)-мерному
*) Доказательство этой теоремы можно найти, например, в кнцг?
Курато&сднй F], т. 2, § 47, III, теорема 6 (стр. 18?).

$4] ФОРМУЛА KATEfOBA 441
множеству М, для которого ц dim М = |—1. Из формулы Ка-
Катетова следует, что дальнейшее понижение числа \idimM
невозможно.
Замечание 4. Своеобразным аналогом теоремы об е-сдви-
гах (гл. 4, § 3, теорема 6) для любых множеств, лежащих
в данном Rn, является следующая очень глубокая
Теорема Ситникова [4]. Пусть в пространстве Rn
дано произвольное множество А размерности г. Тогда, каково
бы ни было открытое множество U с Rn, множество U (] А
можно внутри U продеформировать в бесконечный г-мерный
полиэдр так, что эта деформация затухает при приближении
к границе*) множества U. С другой стороны, существует такое
открытое Uo a Rn (за которое можно даже взять некоторый
открытый шар), что множество U0(]A нельзя внутри Uo проде-
продеформировать в полиэдр размерности < г таким образом, чтобы
эта деформация затухала при приближении к границе Uo.
Доказательство теоремы выходит за пределы нашей книги.
§ 4. Формула Катетова ц dim Я < dim Д < 2ц dfm Я
Пусть ц dim Х=*п. Надо доказать, что dim X < 2л, т. е. что
во всякое конечное открытое покрытие ® — {Gl GJ прост-
пространства X можно вписать покрытие кратности ^2пЦ- 1.
В силу условия \>.dimX = n при любом натуральном k су-
существует открытое —-покрытие ak кратности л+1. .
Обозначим теперь через pft совокупность (быть может, пу-
пустую) тех элементов i/еоц, для которых О(^» — I содер-
содержится хотя бы в одном элементе покрытия а.
Очевидно, система pft вписана в а.
Докажем о счетной системе y = {$k}> k***\, 2, 3, ..., два
утверждения.
Г. Система у есть (очевидно, открытое) покрытие простран-
пространства X. В самом деле, берем произвольно х^Х и какое-нибудь
Gt е а, содержащее точку х. Так как р (х, Х\ Gj) > 0, то су-
существует такое k, что р(х, X\Gt)>—^r- Выбрав это k, на-
3
ходим такое Usak, чтобы было *е?/. Докажем, что тогда
*) Это значит, что, каковы бы ни были е > 0 и точка а границы V, су*
ществует такое б > 0, что все точки множества U(]A, отстоящие от точки а
на расстояние < б, сдвигаются во все время деформации меньше, чем иа в

442 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. в
В самом деле, для всякой точки у & О (U, —] имеем (так
как х е U, diam U < -j J
так что Го (и, -?-)] sGt и U е= 0*. Значит, * е= jjjt, что и тре-
требовалось доказать.
2°. Для всякого k имеем
В самом деле, предположим, что имеется точка х е [р4], не
содержащаяся в Р/,+1. Берем содержащее точку х множество
!/eow. Так как по предположению хф>$к+1, то U ф$к+\ и,
значит, для любого Gjsa
следовательно,
Так как д; е [^], то (/ f) Р* ^ л- Берем точку ^ е (/ П Ра- Так как
diam (/ < -j^-. то
2 1
A) р (^/, X \ Ot) < -?pf < —щ- ДЛЯ ЛЮбОГО O<S0.
3 О
С другой стороны, у е р^, и, значит, точка г/ содержится в не-
некотором (/|ept? ak, причем для некоторого О*„ ею лмеем
p((/i, Х\Ог„)>—г-; следовательно,
3s
B) P(y,^\O0>-i.
Противоречие между неравенствами A) и B) доказывает
утверждение 2°.
Обозначим теперь через Ck множество всех точек х^Х,
содержащихся в п + 1 элементах системы Р*, и положим
Для k^2 положим

f «J ФОРМУЛА КАТЕТОВА 448
Обозначим через ak совокупность всех (открытых) множеств
вида U\Fk-u где C/eps. Очевидно, а1 = р, и ak вписано в а
при любом к. Положим, наконец,
оо
о = (J or*.
Наша цель — доказательство формулы Катетова — будет дости-
достигнута, если мы покажем, что система а есть (открытое) покры-
покрытие пространства X, вписанное в а и имеющее кратность
<2+1
Для этого докажем прежде всего включение
C) [С*]?=Р*.
Пусть х е [Ck]. Приведем к противоречию предположение, что
хф$к.
Берем множество U e ak, содержащее точку х. Из нашего
предположения следует, что U ф р^.
Так как х е [С*] и ак — открытое покрытие, то
Берем точку у е U (] С*. Так как у е Ск, то точка у принад-
принадлежит каким-то п + 1 элементам системы $k. Кроме того,
у принадлежит множеству U e ctft, заведомо не являющемуся
элементом системы р*. Значит, число элементов покрытия сц,
содержащих точку у, по меньшей мере равно п -J- 2, чего не
может быть, так как покрытие ak+l имеет кратность п-\- 1.
Формула C) доказана.
оо
Доказываем теперь, что [J дк = Х, — этим будет доказано,
оо
что система a=[J ak есть покрытие пространства X.
Имеем
(мы помним, что при k ^2 было положено Fk = [Ck] ЩРй-i]),
причем по формуле C) имеем [Ck] s Рь а согласно 2°
Значит, Fk^fa, fj-iE^-i и д*эрл\рй_, при ft*»2, 3, ...
Кроме того, а, = р,. Значит,

444 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. »
Итак, a = \Jak есть покрытие пространства X. Так как каждый
элемент системы от*, содержится в некотором множестве ?/epft,
a pft вписано в а, то покрытие а вписано в а.
Остается доказать, что кратность покрытия а не превосходит
2л+1."
Берем произвольную точку х^Х и наименьшее такое q,
что х е aq. По самому определению открытых множеств ак и
замкнутых множеств Fk имеем crft = pft\Fft_, и Fh^ э[рА_2],
6 = 3, 4, ...; значит,
Поэтому (см. 2°) при k > q + 2 имеем
5* Г) сг? = Л,
и, следовательно, х ф ak. Таким образом, точка х, содержась
в каких-то элементах системы aq, может еще содержаться
в некоторых элементах системы aq+l, но не может содержаться
ни в одном элементе какого-либо ak, где k^q-\-2 или k^.q—\
(последнее — в силу выбора q).
Итак, пусть х содержится в каких-то элементах
D) Ut\Fq.le~oqt ?/,ep,So,
и, может быть, еще в элементах
E) U,\Fqe=oq+u U,ep,+|So,+l.
Но так как покрытие а,, имеет кратность п-\-\, то число мно-
множеств вида D) не превосходит «+1; значит, если множества
вида E) отсутствуют, то общее число элементов покрытия а,
содержащих точку х, не превосходит п+ 1.
Пусть теперь имеются множества вида E), содержащие
точку х. Так как покрытие aq+l имеет кратность л-J-l, то
число содержащих точку х множеств вида E) не превосходит
п+1. Сосчитаем, сколько множеств вида D) могут в этом
случае содержать точку х. Так как точка х, принадлежа
хотя бы одному множеству Uj \ Fq e ог?+1) не может лежать в
то она и подавно не может принадлежать множеству Cq, т. е.
она содержится не более чем в п элементах U{ e р9, значит,
не более чем в п множествах вида D). Таким образом, общее
число элементов систем orq и aq+i, т. е. элементов покрытия а,
в которых может лежать точка х, в любом случае не больше,
чем (л+1) + п. Следовательно, кратность покрытия а не больше,
чем 2п-\-1, и формула Катетов а доказана.

5 S| ТЕОРЕМА СИТНИКОВА 446
§ 5. Теорема Ситникова о метрических свойствах
л-мерных замкнутых множеств в Rm
1. Определения и предварительные предложения. Без даль-
дальнейших оговорок будем рассматривать лишь компакты X, рас-
расположенные в том или ином эвклидовом пространстве Rm.
Пусть А = {а1 aj —конечное множество, лежащее в X.
Порядком точки х е X относительно множества А называем
число ближайших к точке х точек множества А, т. е. число тех
ai e А, для которых р (х, ai) = p (х, А). Говорим, что простран-
пространство X имеет относительно множества А порядок п, если суще-
существует точка х е X, порядок которой относительно А равен п,
и нет точки х, порядок которой относительно А больше п.
Это понятие было введено в работе П. С. Александрова [9]
(стр. 123—125), где было замечено, что «-мерный компакт X
имеет при достаточно малом е > 0 относительно любой своей
е-сети А порядок !>я+1. Докажем это утверждение. Пусть
А = {ах. ..., а,} есть е-сеть компакта X, и пусть порядок X
относительно А есть г-J- 1. Обозначим через At множество всех
точек х е X, для которых р (х, at) = р (х, А). Тогда а = {А1 As}
есть замкнутое 2е-покрытие кратности г + 1 компакта X — и наше
утверждение доказано. В той же работе [9] был поставлен
вопрос, существует ли во всяком n-мерном компакте при любом
8 >0 е-сеть порядка п-\- 1. Сейчас будет дано решение этого
вопроса.
Назовем, прежде всего, л-мерный компакт X метрически
правильным или, для краткости, просто правильным, если при
любом е > 0 он имеет порядок п -J- 1 относительно некоторой
своей е-сети. Мы покажем, что все полиэдры суть правильные
компакты и что всякий компакт гомеоморфен некоторому пра-
правильному компакту. В то же время даже в /?3 существуют
нульмерные компакты, не являющиеся правильными.
Предложение 1. Всякий полиэдр есть правильный компакт.
Это предложение, очевидно, вытекает из следующего:
Предложение V. Всякая г-сеть п-мерного полиэдра
Р a Rm, не содержащего изолированных точек, сколь угодно
малым сдвигом может быть переведена в е-сеть того же поли-
полиэдра Р, относительно которой Р имеет порядок s^/i-J- 1.
Докажем предложение 1'. В основе доказательства леэкит
Лемма 1. Пусть а®, а\ ап+{ — какие-нибудь точки
п-мерного полиэдра Р, а Тр — произвольный симплекс раз на-
навсегда выбранной триангуляции этого полиэдра.
Тогда сколь угодно малым сдвигом можно точки а0, а1г ...
..., ап+1 перевести соответственно в точки а'о, a'v..., a'n+l
полиэдра Р, обладающие тем свойством, что в Тр нет ни одной
точки, отстоящей от всех точек а\ на одно и то же расстояние.

446 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ В Rm [ГЛ. 8
Доказательство леммы 1 начнем со следующего замечания:
сколь угодно малым сдвигом можно точку п[ перевести в точку
ajsf таким образом, чтобы данный ^-мерный выпуклый много-
многогранник в содержал точку х, для которой р{х, а'^фр^х, а0):
достаточно выбрать произвольно точку х е 0, а точку а\, про-
произвольно близкую к точке ah взять вне нигде не плотного
в Р пересечения этого полиэдра с (т— 1)-мерной сферой
с центром х и радиусом р (х, а0). При этом пересечение много-
многогранника в с плоскостью L'm~l, проходящей перпендикулярно
к отрезку aQa'{ через его середину, будет выпуклым многогран-
многогранником размерности ^.q—\*).
Через L'im~l обозначим (т — 1)-мерную плоскость, прохо-
проходящую через середину отрезка аоа\ перпендикулярно к этому
отрезку: предположим, что точки аи а2, ..., ak уже переве-
переведены произвольно малым сдвигом в такие точки а[, а[, ...,a'k,
что Тр0L\m-1 (] ...(]L'km~l имеет размерность <р — k. Сдви-
Сдвинем (если это нужно) произвольно мало точку ak+y в точку a'k+l
таким образом, чтобы в выпуклом многограннике {Тр Л L'\m~x П • • •
... OLk"'1) существовала точка, имеющая неравные расстояния
от аои от a'k+v Тогда пересечение (T"[}L[m-1 (]...(] 1Г~')П U+71
будет иметь размерность ^.p — k—l. При k = n+\ полу-
получим, что пересечение Тр [) Lim~' Г) ... П^п+Т1 пусто. Лемма 1
доказана.
Лемма 2. Если точки а0, ах а„+1 полиэдра Р размер-
размерности п таковы, что в замкнутых симплексах Ти ..., Ts фик-
фиксированной триангуляции полиэдра Р нет точки, отстоящей
от всех at на одно и то же расстояние, то таковы же точки
а'о, а\ ah+i» полученные любым достаточно малым сдвигом
точек а0, а,, ...,ап+1.
S
В самом деле, для х е (J Tt обозначим через ах наибольшее
/-1
из положительных чисел \р(х, ai) — p(x, ak)\, i ф k, i, k = \,
2 п+1; нижняя грань а всех ах положительна, откуда
леМ!ма 2 и вытекает (годится любой -^--сдвип.
Если теперь дана какая-нибудь конечная е-сеть А полиэдра Р,
то, перебирая по очереди все замкнутые симплексы фикси-
фиксированной триангуляции полиэдра Р и все подмножества А,
*) Т« как это пересечение содержит все течки из 9, одинаково удален-
удаленные от Чщ и а\.

§ 5] ТЕОРЕМА СИТНИКОВА 447
содержащие по п -J- 2 точек, и применяя к ним леммы 1 и 2,
можно сколь угодно малым сдвигом перевести множество А
в множество А' с: Р, также являющееся е-сетью нашего полиэдра
и имеющее по отношению к нему порядок ^л+ 1. Предложе-
Предложение Г, а значит, и предложение 1 этим доказаны.
2. Доказательство теоремы Ситникова.
Теорема 6 (Ситников [1]). Всякий компакт X Е Rm
гомеоморфен метрически правильному компакту. Более того,
если dimX = n и m^2n-j- 1, то существует топологическое
отображение f: X-+Rm, сколь угодно мало отличающееся от
тождественного и переводящее X в метрически правильный
компакт.
Теорема 6 содержится в более сильном предложении:
Теорема 6'. В полном метрическом пространстве С всех
непрерывных отображений п-мерного компакта X в простран-
пространство Rm, m~^2n-\- 1, множество всех топологических отображе-
отображений на метрически правильные компакты есть всюду плотное
в С множество типа Ge.
Теорема 6' легко вытекает из следующей леммы:
Лемма 3. Пусть е >0 дано произвольно и т^ 2/1+1,
n—dimX. Обозначим через С8 множество всех г-отображений
компакта X на компакты Y с: Rm, содержащие е-сети порядка
<! п + 1 в Y. Множество Се открыто и всюду плотно в С.
Предположим, что лемма 3 доказана. Тогда множество Со=я
00 ¦ 1
= Р) Cek, eft = -r, k = 1, 2, 3 есть всюду плотное в С мно*
жество типа Ge, состоящее из топологических отображений
компакта X на правильные компакты, лежащие в Rm.
Итак, остается доказать лемму 3. Эта лемма вытекает из
следующих двух утверждений, из которых первое, в силу пред-
предложения 1, гарантирует, что Се всюду плотно в С, а второе —
что Се открыто в С.
Утверждение 1°. Всякое непрерывное отображение п-мер-
п-мерного компакта X в пространство Rm, m^2n-\- 1, можно как
угодно хорошо аппроксимировать е-отображением на некоторый
не более чем п-мерный полиэдр.
Утверждение 2°. Если компакт XaRm содержит г-сеть А
порядка ^ п -J- 1, то такую же сеть содержит и всякий компакт
X'a Rm, отклонение *) п(Х', X) которого от компакта X доста-
достаточно мало.
*) Если Х{ н Х2 — два компакта» являющиеся МноЖеСчваМИ, Лежащими
и метрическом пространстве R, то отклонением одного нз этих компактов
от другого (нлн «хаусдорфовым расстоянием» между инмн) называется
нижняя грань множества всех чисел е ^ 0, одновременно удовлетворяю*
щих условиям О (Xit е) = Х2, О (Х2, е) S Jfj.

448 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ f ЕОРЁМЫ О МНОЖЕСТВАХ BS* (ГЛ. 8
Утверждение 1° доказано в гл. 4 (§ 2, теорема 2), поэтому
все сводится к доказательству утверждения 2°.
Для достижения этой последней цели сначала доказываем
(автоматическим рассуждением от противного), что при доста-
достаточно малом 6 >0 множество А сохраняет порядок ^л-j-l и
в [О (X, б)]. Выбрав б, удовлетворяющее этому условию, на-
находим такое б' > 0, что всякое множество А' сг О (X, б), полу-
полученное из А посредством б'-сдвига, также имеет в [О (X, б)]
порядок ^л+ 1 (существование такого б' в свою очередь легко
доказывается от противного). Если теперь отклонение h (X, X')
достаточно мало, то X' не только лежит в О (X, б), но и со-
содержит е-сеть А', получающуюся из А посредством б'-сдвига,
и эта сеть имеет в О (X, б), значит и подавно в X', порядок
<л-Н.
Теоремы 6 и 6' полностью доказаны.
3. Существование метрически неправильных компактов.
Даже в трехмерном пространстве Р? существуют компакты,
не являющиеся метрически правильными. Примером такого
компакта может служить нульмерное замкнутое множество Ф
Антуана—Урысона (см. Урысон [5], т. 1, стр. 121), обла-
обладающее тем свойством, что всякий достаточно малый по диа-
диаметру выпуклый многогранник, содержащий внутри себя точки
множества Ф, содержит их и на границе. Покажем, что с этим
последним свойством не совместима метрическая правильность
компакта Ф. Действительно, предположим, что для 'данного
произвольно малого е в Ф существует e-сеть А = {а\, а2, ..., as},
имеющая в Ф порядок 1 (ведь (НтФ = 0). Обозначим через В{, k
множество всех точек *е#3, для которых р(х, а*)^р(*, ak).
Множество Bti k есть, очевидно, полупространство; поэтому мно-
множество Bif состоящее из всех точек x^R3, удовлетворяющих
неравенствам р(х, at)^.p(x, ak) для всех k — \, 2, ..., s, есть
пересечение конечного числа полупространств, т. е. выпуклый
многогранник (в собственном смысле слова или в обобщенном,
когда допускаются бесконечные многогранники). Так как гра-
граница каждого Bt состоит из точек х, для которых имеются по
крайней мере две ближайшие точки множества Л, и Л по пред-
предположению имеет в Ф порядок 1, то ни одна точка Ф не лежит
на границе какого-либо Bt. Далее, все точки множества Ф|~|5<
отстоят от точки at на расстояние < е; поэтому куб Q* сто-
стороны 2е с центром в at и ребрами, параллельными осям ко-
координат, не содержит на своей границе ни одной точки мно-
множества ФГ)Я*- Положим Di = Bt(]Qi. На границах выпуклых
(собственных) многогранников Dt не лежит ни одной точки
множества Ф, вопреки основному свойству множества Анту-
Анту— Урысона.

Глава девятая
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ
И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ
Введение
В §§ 1 и 2 соответственно доказываются в достаточно ши-
широких (хотя и не в самых широких) предположениях класси-
классические теоремы В. Гуревича о повышении и понижении раз-
размерности при замкнутых отображениях.
Два остальных параграфа посвящены открытым отображе-
отображениям. В § 3 изучаются счетнократные открытые отображения:
доказывается в общем случае (локально) бикомпактных про-
пространств X и Y, что при названных отображениях f: X —¦> Y
всегда dim Y = dim X и отображение f имеет всюду плотное
в X множество точек локальной топологичности.
В § 4 доказывается, что всякий бикомпакт У положительной
размерности (конечной или бесконечной) является образом не-
некоторого одномерного бикомпакта X при некотором открытом
нульмерном непрерывном отображении; для случая, когда Y —
квадрат, этот факт был впервые доказан Л. В. Келдыш; этот
частный случай вынесен в Прибавление к этой главе.
§ 1. Замкнутые отображения, повышающие размерность
В этом параграфе будут доказаны следующие две теоремы,
являющиеся обобщением классической теоремы Гуревича [3],
доказанной им для пространств со счетной базой:
Теорема 1 (Морита [6]). Если непрерывное замкнутое
отображение f: X-+Y нормального пространства на нормальное
пространство Y имеет кратность ^ k -J- 1, то
Теорема 2 (Морита [6] *)). Если непрерывное замкнутое
отображение f:.X-*Y нормального пространства X на нор'
*) Для совершенно нормального X.
15 П, С. Александров, Б. А. Пасынков

450 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
мальное пространство Y имеет кратность ^ k + 1 и хотя бы
одно из пространств X или Y совершенно нормально, то
Из теоремы 2, в силу совершенной нормальности метричес-
метрического пространства X и равенства dimX = IndX (теорема 9 из
§ 3 гл. 6), вытекает
Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 пространство X
метризуемо, то
Замечание. Зарелуа [5] показал, что в условиях тео-
теоремы 1 верно более точное неравенство
Лемма 1. Пусть X и У—нормальные пространства и
f: X —> Y — непрерывное замкнутое отображение кратности
^? + 1, k^O. Рассмотрим непересекающиеся замкнутые в Y
множества /•", и F2 и перегородку С между множествами f~[F{,
/=1,2, в X. Если замкнутые в X множества Ф< таковы, что
f-'/^sO),, г = 1,2, Ф,ПФ2 = С и Ф,иФ2 = Х,
ч
то
(а) множество D = fф1 fj f<&2 является перегородкой между
Fy и F2 в Y;
(б) D\fCsf(O,\C)l / = 1,2;
(в) на множестве f~l (Z) \/С) f) Ф/, /=1,2, отображение f
имеет кратность ^ k.
Доказательство. Утверждение (а) следует из того, что
множества У^Ф2 и У^Ф] открыты, дизъюнктны и содержат
соответственно F, и F2. Утверждение (б) следует из того, что
ЛЧ/С^Ф^Фг^Се/ФЛ/С, «=1,2.
Утверждение (в) непосредственно следует из утверждения (б).
Предложение 1. Если в нормальном пространстве X для
произвольной дизъюнктной пары замкнутых множеств А и В
существует перегородка С размерности dim С ^ п, то
+ I, n = - 1,0, 1, ...
Доказательство. Рассмотрим конечное открытое по-
покрытие (й = {0! Os} пространства X. Возьмем замкнутое
покрытие \ = {FU ..., Fs) пространства X, комбинаторно вписан-
вписанное в со. По условию для каждого i между Ft и X \О1 су-
существует перегородка Ct размерности dim С/ ^ п. Для каждого
i множество X \ С/, по определению перегородки, представимо
в виде суммы открытых в X дизъюнктных множеств Ui^Fi
и U'i^X\O{. Ясно, что Ui^Oi, t=l, ...,s.

5 I] ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ 451
Положим Vi — Ui и Vt = Ut\[J[Ui] для 1>1.
Система v открытых множеств Vt дизъюнктна, т. е. одно-
однократна, и вписана в покрытие со. Нетрудно видеть, что
i=l «=.1 t=l
s
Следовательно, dimO^dimJJCj ^ п. Впишем в покрытие
{ФГ)О*}, 1=1 s, конечное замкнутое кратности ^л+1
покрытие [I множества Ф.
Систему ц подобно раздуем до открытой в X системы v",
все еще вписанной в со (см. гл. 1, § 10). Тогда кратность v"<
Система v = v'[Jv" является открытым покрытием прост-
пространства X кратности <и + 2, вписанным в со.
Следовательно, dimX^n+ 1, ч. и т. д.
Докажем теорему 1. Утверждение теоремы очевидно для
k — Q. Случай любого ft^O и IndX = 0 уже был рассмотрен
в теореме 11 § 3 гл. 6.
Предположим, что утверждение теоремы справедливо, если
' + k < п — 1, и пусть
Для IndX = 0 доказываемая формула, как уже отмечалось,
верна. Пусть она верна при IndX<r—I, r^l, и пусть
lndX = r (т. е. r-\-k = n).
В пространстве Y рассмотрим дизъюнктную пару замкну-
замкнутых множеств F, и F2. Между множествами f~lFt, г = 1,2, в X
возьмем перегородку С размерности IndC^r— 1. Выберем
замкнутые в X множества <&[^f~[Ft, i =1,2, так, чтобы
Ф,["|Ф2 = С и Ф|иФ2==:^- Тогда, по лемме 1, множество D=
==f<Dinf(IJ является перегородкой в Y между F{ и F2.
Так как Ind С + k<r — 1 + k < n, то, по индуктивному
предположению,
Докажем, что
rdD D \ fC < я—1.
Рассмотрим замкнутое в О множество Ч? s D\fC. Мно-
Множество X = f-|4rfl(Oi \C) = f-'4rnOi замкнуто в X. Поэтому
отображение f: X-»^ замкнуто и, в силу утверждения (в)
леммы 1, имеет кратность ^fe. Так как IndX + (fe— I) ^
< Ind X + k — 1 <n — 1, то, по индуктивному предположению,
dim W < Ind X + k — 1 < п - 1.
1Б»

452 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
По теореме 15 из § 6 гл. 4 dimD^n — 1. Следовательно, по
предложению 1
Таким образом, теорема верна при Ind X-|-& ^ «, а следова-
следовательно, верна и вообще. Теорема доказана.
Теорема 2 доказывается дословно так же, как теорема 1,
только в конце вместо теоремы 15 из § 6 гл. 4 надо применить
теорему 11 из § 3 гл 7. Кроме того, напомним, что замкнутый
образ совершенно нормального пространства есть, совершенно
нормальное-пространство (гл. 1, § 5, предложение 5).
§ 2. Замкнутые отображения, понижающие размерность
В этом параграфе доказывается формула Гуревича *)
dimX<dimf -f dim У,
полученная им для замкнутого отображения f: X-+Y прост-
пространства со счетной базой X на пространство со счетной базой У.
Теорема 3 (Морита [6]). Если непрерывное отображение
f: X -> У нормального пространства X на паракомпакт У замк-
замкнуто, то t
A) dimX<dimf+Indy.
Из равенства dim У = Ind У для метрического пространства У
(гл. 6), его паракомпактности (гл. 1, § 11) и из сформулиро-
сформулированной теоремы вытекает
Следствие 1. Для замкнутого отображения f: X-*¦ Y
нормального пространства X на метрическое пространство У
имеет место неравенство
B)
Замечание. Скляренко [5] доказал неравенство B)
для паракомпактных X и У. Затем Пасынков [12] показал,
что пространство X можно предположить нормальным (остав-
(оставляя У паракомпактным). Филиппов [3] построил пример
замкнутого отображения f: X—>Y нормального пространства X
на нормальное пространство У, для которого
1 = dim X > (dim Y = 0) + (dim f = 0).
Относительно близких и, в частности, более общих результа-
результатов см. также работы Вайнштейна [2], Скляренко [5],
Федорчука [3] (см. замечание 3 из § 6 гл. 5), П а с ы н к о в а
[18], Филиппова [3].
*) См. Г у р» вич и Во л мэн [1].

§ 2] ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ 453
Доказательству теоремы 3 предпошлем несколько вспомо-
вспомогательных утверждений. Прежде всего докажем аналог пред-
предложения 4 из § 9 гл. 5 для случая произвольных нормальных
пространств.
Лемма 1. Пусть нормальное пространство X является сум-
суммой двух замкнутых множеств F, и F2. Пусть непрерывные
отображения
f,: Fl-^Sn и f2: F2-*Sn
таковы, что множество Н тех точек х е F = F, П F2, в которых
f\X Ф hx> имеет относительную размерность rdp H < п — 1 (гл. 4,
§ 6). Тогда каждое из отображений f, и f2 может быть продол-
продолжено до непрерывного отображения X в 5".
Доказательство. Рассмотрим максимальное бикомпакт-
бикомпактное расширение рх пространства X.
Замыкания [F\]$x, [F?\x и [F]$x отождествим соответственно
с pF,, pF2 и pF (см. гл. 1, § 9, предложение 1). По предложе-
предложению 3 из § 9 гл. 1 pF = pF,npF2. Кроме того, очевидно, РХ=
Непрерывное продолжение отображения ft с F{ на pF( обо-
обозначим через f'r i= 1,2. Множество тех точек лгерх, в кото-
которых f[x Ф 1'^с, обозначим через Н', Оно, очевидно, содержится
в пересечении $Fl[\$F2 = $F. Покажем, что множество Я' от-
открыто в pF и имеет в pF тип Fc. Действительно, функция gx=
оо
=p(f\х, f'jc) непрерывна на pF и H'=g~* @, + °°)=U g~' (-?, + °°) •
Множества H'k = g~l i-j-, + °°). очевидно, удовлетворяют ус-
условиям
оо
ijf с; FW'l cz Hf сг h =^ 1 2 Я и I I Mf = //'
Точки множества Н'к являются точками прикосновения множе-
множества Нк — Н'к[\ F. Действительно, точки х из Н'к являются точ-
точками прикосновения множества F н в окрестности Н'к этих то-
точек х содержатся лишь те точки из F, которые содержатся
в Нк. Поэтому Н'к<=[Нк\р = [[Нк\р\р, откуда [Н'к] = [[Нк]р]№.
Следовательно, в силу нормальности пространства F множе-
множество [Нк] гомеоморфно максимальному бикомпактному рас-
расширению р [Hk]F замкнутого в F множества [Hk]p. По равен-
равенству A) из п. 1 § 1 гл. 5 dim [//?] = dim [//fe]F. Но так как
H = H'(\F и \НЛр^[Н'к\^Н\ то [Я^с//. По условию

454 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ {ГЛ. 9
rdf#<n—1, откуда dim[#fe]F ^ п — 1, следовательно, и
[;) 1
Множество Н', имея тип Fa в бикомпакте р/\ нормально
(см. гл. 1, § 5, предложение 3). По теореме суммы dim#'<
<supdim[#?j< n — 1, откуда и rd//'<n — 1.
Предложение 4 из § 9 гл. 5 позволяет непрерывно продол-
продолжить отображения /[ и f2 с р/-", и pf2 на РХ. Но тогда отобра-
отображения fj и f2 с F, и F2 будут непрерывно продолжены на X.
Лемма 1 доказана.
Нам понадобится еще одна лемма.
Лемма 2. Пусть дано непрерывное отображение g замкну-
замкнутого подмножества F нормального пространства X в п-мерную
сферу Sn. Предположим, что существует такая счетная система
открытых в X множеств V{, i=\, 2, 3, ..., что
{JV, = X и dimrpl/i<n-1, 1=1, 2
i=\
й отображение g может быть непрерывно продолжено на ка-
каждое из множеств F\j[Vi]. Тогда отображение g может быть
непрерывно продолжено на все пространство X.
Доказательство. Продолжение отображения g с F
на FUt^iI обозначим через g,. Предположим, что для всех
i < k, k > 1, уже построены такие непрерывные отображения
gh P U (J [Vi\ -*¦ Sn, что gi+i является продолжением gt.
Нормальное пространство F [) \J [Vi] разлагается в сумму
Kk
двух замкнутых множеств F[)\J [1Л]=Л и (^U[^fe]) \ \J Vt=F2.
t<k i<k
По условию существует продолжение g' отображения g на F2.
Множество Н тех точек х, для которых gk-\X?= g'x, принад-
принадлежит множеству (F, П ^2) \ Р — ГР (J Vi — (J ГР ^'- Следова-
Следовали Kk
тельно, любое подмножество множества Н, замкнутое в F, П ^2.
также принадлежит множеству (J гр V';. По теореме суммы
Kk
dim (J гр Vt < п — 1. Поэтому
Kk
rdf,nF2^< dim (J гр 1/,<п— 1.
Kk
Лемма 1 позволяет теперь построить продолжение gk отобра-
отображения gft_, на множество Ft UF2=FU (J [Vt]. Отображения gk
i<k
можно, таким образом, построить для всех fc=»l, 2, 3, ...

§ 21 ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ 455
Для произвольной точки х^Х через k{x) обозначим такой
наименьший номер k, что x^Vk. Положим G{x) = gk{x) x =
— gk(x)+ix — ёых)+2Х— ••• Отображение G является, очевидно,
продолжением отображения g на все пространство X. Так как
отображение G совпадает на Vk с непрерывным отображе-
отображением gk, а множества Vk образуют открытое покрытие про-
пространства X, то отображение G непрерывно (см. гл. 1, § 1,
предложение 10'). Лемма доказана.
Приступим к доказательству теоремы 3. В случае dimf=oo
неравенство A) очевидно.
Пусть dimf = n. Сначала докажем неравенство A) в случае
Indy = 0. Заметим, что в этом случае и dim7 = 0 (см.
гл. 2, § 3).
Возьмем произвольное конечное открытое покрытие со про-
пространства X. Так как dimf~'*/<n для каждого j/eF, то
в покрытие со для каждого yeF можно вписать конечное
замкнутое покрытие Ку множества f~[y кратности <!«-г-1.
Систему Ку можно подобно раздуть с сохранением вписанности
в (о до открытой системы vy (гл. 1, § 10). Таким образом,
каждая система vy имеет кратность ^л+1. Множество \у
является окрестностью прообраза f~ly. Поэтому (см. гл. 1,
§ 1, предложение 11) существует такая окрестность О у точки у,
что fX0y^vy. В покрытие {Оу} пространства Y впишем одно-
однократное покрытие {?/„}, ое! (см. гл. 4, § И или гл. 6, § 2,
теорема 4). Для каждого а фиксируем такую точку у = у(а), что
(У„еО(/(о), и, следовательно,
Через т]а обозначим систему пересечений множества f~ Ua
с элементами системы Vj,(a). Ясно, что rja = f~'f/a. Поэтому
система ii = (jTia является открытым покрытием простран-
a
ства X. Так как система ^„комбинаторно вписана в систему Vj,(a),
то KpTia^n+l и система т],, вписана в и. Следовательно, и
покрытие г\ вписано в со. Наконец, так как множества f~'Ua
дизъюнктны, то элементы систем т]а для различных а дизъюнктны.
Поэтому кратность г\ не превосходит верхней грани кратностей
систем т]а, следовательно, крт)^«+1- Таким образом,
+ Ind Y.
Неравенство A) в случае IndK = 0 установлено.
Предположим, что неравенство A) верно в случае Ind Y < m,
tn > 0, и пусть Ind Y — m.

456 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ ГГЛ. 9
Рассмотрим в X произвольное замкнутое подмножество F
и непрерывное отображение g: F-+Sn+m. Для доказательства
соотношения dim X ^ п + пг достаточно доказать, что g можно
непрерывно продолжить на все пространство X (см. гл. 4, § 6,
теорема 14'). Так как dimf~'y^n < п-\- m для любой точки
j/еУ, то отображение g можно непрерывно продолжить на
каждое множество F\}f~ly и даже на некоторую окрестность U
{
f~{
y
множества F\]f~{y, У^У, до отображения gy (см. гл. 4, § 6,
лемма 1 и гл. 1, § 5, предложение 8). Из замкнутости ото-
отображения f вытекает существование у каждой точки у такой
окрестности Оу, что f~lOy^Uу. Так как Y — паракомпакт, то
в покрытие {Оу} можно вписать ст-дискретное замкнутое по-
покрытие v, распадающееся в сумму дискретных систем v{ = {Фа;},
i—l, 2, 3, ... (см. гл. 1, § 10, предложение 9). Системы v~'
замкнутых множеств f~'<Da< также дискретны, и каждое мно-
множество Г"'фаг содержится в одном из множеств Uu. Следова-
Следовательно, отображение' g непрерывно продолжается на каждое
множество FUvj"' (до отображения g{, равного на f~'oai одному
из таких отображений gu, для которых /~'Фаг ?{/„), Но тогда
отображение g продолжается и на некоторые окрестности Ut
множеств F\Jv~l, t=l, 2, 3, ... Отображение f замкнуто, и
vr' = f~'vi; поэтому множества v< обладают такими окрестно-
окрестностями Oit что f~lOiSU{. Так как IndK = m, то можно взять
такие окрестности Wt множеств v*, что [Wt]s0i и IndrpW{<
<m—1. Тогда f~l[Wt] = Ulf t=l, 2, 3, ... Мы получили
систему открытых в X множеств Vi — f~lWt3\Т\ i= Ь 2, 3,...,
являющуюся покрытием пространства X; отображение g непре-
непрерывно продолжается на замыкание [F(]sf~' [W^sf/^ каждого
из этих множеств; наконец, в силу непрерывности f имеем
/ гр Vi E гр Wt; отсюда, по индуктивному предположению, сле-
следует, что
Из леммы 2 следует, что отображение g можно продолжить
на X. Поэтому dimX^n + m. Теорема 3 доказана.
§ 3. Счетнократные открытые отображения
Напомним, что отображение /: X -*¦ Y называется счетно-
кратным, если прообраз f~xy каждой точки уеУ не более
чем счетен.
Точка х пространства X называется точкой локальной топо-
логичности отображения f: X -*¦ Y, если существует такая

$ 3] СЧЕТНОКРАТНЫЕ ОТКРЫТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 457
окрестность Ох точки л:,, на которой отображение f: Ox-^-fOx
является гомеоморфизмом. Очевидно, множество точек локаль-
локальной топологичности отображения f открыто в X.
Теорема 4*). Множество точек локальной топологич-
топологичности непрерывного, открытого и счетнократного отображения
f: X->Y локально бикомпактного пространства X всюду плот-
плотно в X **).
Лемма 1. Пусть отображение f\ Х-^yY пространства X
в пространство Y непрерывно и открыто. Пусть еще в X дана
дизъюнктная система открытых множеств О", i= 1, 2,..., 2я,
не содержащих точек локальной топологичности отображения f
и fOi~x — Vя"' д-ля любого i. Тогда существуют такие открытые
в X множества О", /= 1, ..., 2", и такое открытое в Y множе-
множество Vя, что
A) [02Vi
B) [ОЯПИ'1-А, }ф(.
C) fO?=Vn, /=1 2", I/'сГ1;
D) множества 0я не содержат точек локальной топологич-
топологичности отображения f, }= 1, ..., 2я.
Доказательство. Положим Vя = Vn~\ Так как открытое
множество 0я""' не содержит точек локальной топологичности
отображения f, то в 01~1 найдутся две такие различные точки
л:, н Х2, что fx1=fx2. Возьмем окрестности 0\ и O'i точек х\
и лг2, удовлетворяющие соотношениям \о\ U O^s О?, \о\{\
П[О'2\ = А, и положим V"=*fO'(\fOa()Vo.
Предположим, что для любого i < k уже построены такие
открытые множества OU-i и О'ы, что
[O'u-i U O2J S 0Г\ [Ой-,] П [О'а] = Л,
и множество V? = fO^-rfl f0^ П Vi-\ непусто. Пусть l=k.
Множество f~Vfe_iflO"~', очевидно, непусто и не содержит
точек локальной топологичности отображения f. Поэтому в нем
можно выбрать такие различные точки Ar2fe-i и x2k, что
fx2k_l=fx2h. Возьмем окрестности 0'2к_х и 0'2k точек х2к_{ и x2k,
*) Доказана Колмогоровым [2] для компактов и Пасынко-
Пасынковым [15] в общем случае.
**) Сформулированное утверждение имеет место и при замене локальной
бнкомпактностн пространства л на его гполноту в смысле Чеха (см. Дв-
оынков [15] )•

458 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
удовлетворяющие соотношениям [O^-i U O^j S Ot~\ [O^-ilfl
n[O2ft] = A, и положим
Продолжая описанный процесс, получим множества Оы-и
On и VI для всех i=\ 2""'.
Ясно, что множества 0,=-- О^ПГ'^-ь /=1 2", и
Vn = Vln-\ являются искомыми.
Доказательство теоремы 4. Предположим, что мно-
множество точек локальной топологичности отображения f не
является всюду плотным в X. Тогда в X существует открытое
множество О, не содержащее точек локальной топологичности
отображения f. В силу локальной бикомпактности простран-
пространства X можно считать, что замыкание [О] бикомпактно.
Положим О°\ = О и V° = fO. Применяя предыдущую лемму,
по индукции можно для любого л=1, 2, 3, ... построить си-
систему открытых в X множеств О", у=1 2", и открытое
в У множество Vn, удовлетворяющие условиям A) — D) леммы 1.
Из непрерывности отображения f и бикомпактности мно-
множеств [О"] вытекают равенства
E) [r] = f[O?], /=1, .... 2", я = 0, 1, 2, ...
Из соотношения C) леммы 1 вытекают включения
[r]s[r-'], я=1, 2, 3, ...
Из бикомпактности множества [V°] = f[O] вытекает непустота
множества •
Для каждого набора 9 = (/0> /,, ...,/„,...), где /0= 1 и /п+1
равно или 2/„ — 1, или 2/„, определено (в силу бикомпактности
замыкания [О] и соотношения A) леммы 1) непустое замкнутое
множество
'w-ПК]-
Из соотношения B) леммы 1 следует соотношение
F(Q)(]F(Q') = A при ЪФ&.
Фиксируем набор Э = (/о, у,, ..., jn, ...) и точку уеФ.
Покажем, что

$ 3] СЧЕТНОКРАТНЫЕ ОТКРЫТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 469
Из соотношения E) вытекает непустота пересечения P'^/
для любого п = 0, 1, 2, ... Но
«-о, 1,2,...
(см. соотношение A) леммы 1), и множества [O"J бикомпактны,
поэтому
П
Таким образом, прообраз f~[y точки г/ пересекается с любым
множеством F(Q). Но система множеств ^(б) дизъюнктна и
имеет мощность с. Поэтому мощность f~ly^t. Полученное
соотношение противоречит счетнократности отображения f,
следовательно, множество точек локальной топологичности f
всюду плотно в X. Теорема доказана.
Теорема 5*). Если непрерывное и открытое отображение
f: X-+Y бикомпакта X на бикомпакт Y счетнократно, то
dim Y = ЛшХ.
При дополнительном требовании совершенной нормальности
хотя бы одного из бикомпактов X или Y справедливо равенство
Лемма 2. Если в локально бикомпактном пространстве X
существует такое замкнутое подмножество F, что locdimF^n
и loc dim X \ F <.п, го и loc dim X < п.
Доказательство. Очевидно,
loc dim* X ^.п
для любой точки j;eX\f,
Пусть JteF. Возьмем такую окрестность О точки х, что
ее замыкание [О] в пространстве X бикомпактно и dim Z7 П
П[О]^*/г. Любое замкнутое в [О] множество Ф, содержащееся
в [О] \(F П[О]) = [О] \ F, является бикомпактом и содержится
в X\F. По теореме 21 из § 9 гл. 4
dim Ф = loc dim Ф < loc dim X \ F < n,
т. e. rd[0] ([О] \ F) ^n. Неравенство вытекает теперь из тео-
теоремы 15 § 6 гл. 4. Итак,
loc dim
Лемма доказана.
*) Доказана Александровым [16] для компактов и Пасынко-
Пасынковым [15] в общем случае.

460 ОТОБРАЖЕНИЯ. ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
Доказательство теоремы 5. Рассмотрим множество 21
всех порядковых чисел а мощности т, где т = мощн. Y *). Для
каждого а построим такое открытое в Y множество Оа, что
(а) loc dim Oa ^ dim X;
(б) Оа<=Оа+1;
(в) Оа+1 \ Оа Ф Л, если Y \ Оа Ф Л.
Через V\ обозначим множество точек локальной топологич-
ности отображения f. По теореме 4 это множество всюду
плотно и открыто в X. В силу непрерывности и открытости
отображения f множество О,=/У| открыто и всюду плотно
(в частности, непусто) в пространстве Y и
loc dim О! = loc dim Vx ^ dim X.
Предположим, что для всех порядковых чисел а < р, ре 91,
множества Оа уже построены.
Построим множество Оц. Если р — предельное число, то
положим
а<р
Так как
loc dim О~ ^ sup loc dim О„ ^ dim X,
9 а<Ь
то условия (а) — (в) для множеств Оа, а^р, очевидно, выпол-
выполняются.
Если число р не предельное, то существует предшествующее
число р— 1. Множество Х^ = X \f~'Op_| замкнуто в X и, сле-
следовательно, бикомпактно, а отображение f& = f: Хр —»• К \ Op_t
счетнократно и открыто (см. гл. 1„ § 1, утверждение 1). По
теореме 4 множество Ур точек локальной топологичности ото-
отображения fp всюду плотно и открыто в Х^. Множество К» ие-
пусто, если непусто множество Х^. Положим
Ясно, что множество Ор открыто в Y, O^-{ s О» н
Следовательно, разность Ор \ О^: непуста, если непусто мно-
множество Я».
*} Считаем т > н0.

i 3] СЧЕТНОКРАТНЫЕ ОТКРЫТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 461
По индуктивному предположению loc dim Op_, < dim Я.
Кроме того, в силу локальной топологичности и открытости
на Vp отображения fp, имеем неравенство
loc dim f Vp = loc dim Vp < dim X^ < dim X.
Лемма 2 позволяет заключить, что
¦ loc dim Op ^ dim X.
Таким образом, и для непредельного числа р множества Оа,
а<[р, удовлетворяют условиям (а) — (в).
Продолжая описанный процесс, получим множества Оа,
удовлетворяющие условиям (а) — (в) для всех ае31. Так как
мощность множества 31 больше мощности-множества Y, то су-
существует по крайней мере один такой индекс с^еЯ, что
Oa0+i \ 0а, = Л.. Но в силу условия (в) это означает, что
К = Оа,. Так как Y — бикомпакт, то (см. теорему 21 из § 9
гл. 4)
dim Y = loc dim Y = loc dim О„0 < dim X.
Из нульмерности отображения / следует (см. следствие 3
из § 4 гл. 6), что
dim X < dim Y,
откуда
dim X = dim Y.
Первое утверждение теоремы 5 доказано.
Перейдем ко второму утверждению.
Лемма 2'. Пусть в локально бикомпактном совершенно нор-
нормальном пространстве X дано такое замкнутое множество F, что
loc Ind/="<«, loc Ind(X \ /=¦)<«;
тогда и
Доказательство. Достаточно, очевидно, показать, что
для xef. Возьмем такую окрестность О точки х в X, что за-
замыкание [О] бикомпактно и
Открытое в [О] множество [О] \ Р имеет тип Fa, следова-
следовательно, множество [0]\F является счетной суммой бикомпак-
бикомпактов Ф,, 1=1, 2, 3, ... Так как Ф1<=Х\Р, то
loc Ind Ф, < loc Ind (X\F)^. n.
*) Определение loc Ind X см. в § 4 гл. 7.

462 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
По теореме 10 из § 4 гл. 7
Ind Ф, = loc Ind Ф, < п, i = 1,2,3,...
По теореме суммы (см. гл. 7, § 3, теорема 6)
Ind [О] = max (Ind ([О] Л F)> SUP Ind ФЛ < «•
i
Лемма доказана.
Докажем второе утверждение теоремы 5.
Так как бикомпакт Y, являющийся непрерывным образом
совершенно нормального бикомпакта X, сам будет совершенно
нормальным, то второе утверждение теоремы 5 достаточно уста-
установить лишь в случае совершенной нормальности бикомпакта Y.
Дословно так же, как при доказательстве первого утверждения
этой теоремы, можно установить неравенство
loc Ind Y < Ind X.
Но по теореме 10 из § 4 гл. 7 для совершенно нормального
бикомпакта Y имеем равенство
Ind Y = loc Ind Y,
откуда
Ind Y < Ind X.
Отображение / нульмерно. Поэтому (см. гл. 7, § 4, теорема 9)
Ind *< Ind Y.
Следовательно,
Ind X = Ind Y.
Теорема 5 доказана.
§ 4. Нульмерные открытые отображения, повышающие
размерность
В предыдущем параграфе было показано, что открытые
счетнократные отображения не повышают размерность биком-
бикомпакта. Укажем еще один случай, когда при открытом отобра-
отображении /: Х->Y имеем неравенство dim Y ^ dim X.
Предложение 1. Если отображение f: X —* Y индуктивно
нульмерного пространства X непрерывно, открыто и замкнуто,
то и пространство Y индуктивно нульмерно. В частности, если
X и Y — бикомпакты, dim^ = 0 и отображение f: X-^-*Y не-
непрерывно и открыто, то и dim Y = 0.
Доказательство. Возьмем точку уеУ и ее окрестность Оу.
Для произвольной точки х е /~ у выберем так окрестность Ох,
чтобы jOx s Оу. Из индуктивной нульмерности X вытекает су-

$ 4] НУЛЬМЕРН. ОТКРЫТ. ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮШ. РАЗМЕРНОСТЬ 463
ществование открыто-замкнутой окрестности Vx ^ Ох. Тогда
образ fVx s Оу будет открыто-замкнутой окрестностью точки у.
Таким образом, indy = 0.
В случае бикомпактов X a Y отображение f автоматически
замкнуто и соотношения (НтЛГ = 0 и indX = 0 равносильны.
Предложение доказано.
Первый пример открытого, более того, открытого и нуль-
нульмерного, отображения компакта X на компакт Y размерности
dim Y > dim X был построен Колмогоровым [1] в 1936 г.
В этом примере одномерный компакт отображается на дву-
двумерную (но в некотором смысле «размерно неполноценную»)
поверхность Понтрягина [1].
Затем было получено много различных примеров открытых
отображений, повышающих размерность (в частности, Келдыш
[1], [2] построила замечательный пример открытого монотонного
отображения трехмерного куба на куб любой размерности п > 3,
а Локуциевский [2] открыто отобразил одномерный компакт
на гильбертов кирпич). Однако все эти отображения не были
нульмерными, за исключением построенного Келдыш [3] при-
примера открытого и нульмерного отображения одномерного ком-
компакта на квадрат. Оказывается, имеет место следующая общая
Теорема 6(Пасынков[10], [7]). Любой ненульмерный би-
бикомпакт Y веса х является образом бикомпакта X = X(Y) раз-
размерности dim X = 1 и веса ^ х при непрерывном, открытом и
нульмерном отображении f: X—*Y.
Из теоремы 6 легко получаем следующие утверждения:
Теорема 6'(Пасынков [7]). Сильно паракомпактное (со-
(соответственно финально компактное) пространство Y веса х и
размерности dim Y > 0 является образом сильно паракомпакт-
ного (соответственно финально компактного) пространства X
веса х и размерности dim X = 1 при непрерывном, совершенном,
открытом и нульмерном отображении /: X-+Y.
Теорема 6" (Пасынков [7]). Любое вполне регулярное
пространство Y веса т является образом вполне регулярного
пространства X, содержащегося в бикомпакте ЪХ веса ^х и
размерности dimbX=l, при непрерывном, совершенном, откры-
открытом и нульмерном отображении f: X -+ Y.
Приводимое ниже доказательство теоремы 6 опирается на
следующий факт (впервые, как уже отмечалось, установленный
Келдыш [3]):
Квадрат является открытым и нульмерным образом некото-
некоторого одномерного компакта.
Доказательство этого факта дается в Прибавлении к этой
главе.
Переходим теперь к доказательству частного случая тео-
теоремы 6, а именно:

464 ОТОБРАЖЕНИЯ. ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
Теорема 60." Всякий компакт Ф, имеющий конечную поло-
положительную размерность, есть образ некоторого одномерного
компакта при некотором нульмерном, непрерывном, открытом
отображении.
Доказательство теоремы 6о- Пусть сначала dim<I> = 2.
По теореме Гуревича из § 3 гл. 4 существует непрерывное
нульмерное отображение g: O->Q2 компакта Ф в квадрат Q2.
По теореме Келдыш существует также открытое, нульмерное
(и непрерывное) отображение /: N-^-Q2 одномерного компакта
N на Q2.
Пусть VF является веерным произведением *) компактов Ф
и N относительно отображений g и f, и пусть
р: ?->-Ф, я: V-*N
— проекции произведения Ч? в сомножители Ф и N. По леммам
«о параллельных» (см. Прибавление к гл. 1, § 2) отображение р
открыто и нульмерно (и непрерывно), а отображение я нуль-
нульмерно (и непрерывно). По следствию 3 из § 4 гл. 6
Так как / есть отображение «на», то и р есть отображение «на».
Так как открытые отображения не повышают размерности нуль-
нульмерных компактов (см. предложение 1), а сНтФ=2, то dim 4^1.
Таким образом, отображение р: Ч^-^Ф является искомым.
Предположим, что утверждение теоремы 60 доказано для
всех кубов Qk размерности k, 2 ^ k < п, и пусть k = n.
Куб Qn разлагается в произведение отрезка Q1 и куба Q"~'.
По индуктивному предположению существует открытое, нуль-
нульмерное и непрерывное отображение
A: X->Qn~l
одномерного компакта X на Q". Отображение
h': ^ll n
ставящее в соответствие точке (x,t) е X X Q'> х е X, fe Q1'
точку (hx, t) e Qn~* X Ql непрерывно, открыто и нульмерно (см.
предложение 7' § 8 гл. 1). Так как 1 ^dim^ XQ1 ^2 (см. не-
неравенство A) из § 9 гл. 5), то, по доказанному, существует
открытое, нульмерное и непрерывное отображение
р:
*) См- прибавление к гл. 1, § 2.

§ 4] НУЛЬМЕРН. ОТКРЫТ. ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩ. РАЗМЕРНОСТЬ 465
одномерного компакта W на компакт XXQ1- Суперпозиция
нульмерных замкнутых отображений нульмерна (см. следст-
следствие 3 из § 4 гл. 6), а суперпозиция открытых отображений от-
открыта; поэтому отображение
q = h'p: V^Q"
нульмерно, открыто и непрерывно.
Итак, любой fe-мерный куб Q* является образом одно-
одномерного компакта Ч^ при открытом, нульмерном и непрерыв-
непрерывном, отображении
qk: ?*-Q\ k=l, 2, 3, ...
Пусть теперь Ф — произвольный fe-мерный компакт, fej>l. По
теореме Нёбелинга —Понтрягина можно считать Ф s Q2*+'.
Тогда отображение
будет, очевидно, открытым, нульмерным и непрерывным й
По предложению 1 имеем A\mq~^ {Ф~^ 1.
Теорема 60 доказана.
При доказательстве теоремы 6 нам потребуется несколько
вспомогательных предложений.
Определение. Пусть даны такие отображения fx: Хх->¦ Ylt
/,: X2->Y2, п\: Х2^ХХ и S^: Ya-*Ylt что
т. е. коммутативна диаграмма
X»
Будем говорить, что отображение f2 заполняет отображение /;
(или что отображение f\ заполняется отображением /г), если
чЛ1
для любой точки Xj e Xt.
Лемма 1. Пусть X и Y являются соответственно пределами
спектров

466 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
причем пространства Ха и Ya суть бикомпакты, а проекции Ла
и Эа непрерывны и являются отображениями ««а». Пусть для
каждого а дано такое непрерывное отображение fa: Xa-^-Ya
пространства Ха на пространство Ya, что при любом р > а
выполнено соотношение
а
Пусть, кроме того, отображение f: X-+Y является пределом
отображений /а (см. Прибавление к гл. 1, § 1) и, следовательно,
удовлетворяет соотношениям Эа/ = /аяа для любого а, где Э
и яа суть соответственно проекции пределов X и Y.
Тогда:
(а) если для любых р и а < р отображение fp заполняет ото-
отображение fa, то отображение f заполняет любое отображение fa;
(б) если, кроме того, все отображения fa открыты, то открыто
и отображение f.
Доказательство, (а) Возьмем точки ха^Ха, ya — faxa
и г/еЭа'#а. Для любого р>а отображение fp заполняет, по
условию, отображение fa и Э„г/ е (Э^)~: &ау. Поэтому при р^а
бикомпакт
непуст. Так как проекции лр: Х->Х^ являются отображениями
«на» (см. Прибавление к гл. 1, § 1, предложение 9), то биком-
бикомпакты
Ха П ffi%y) = П^1 (яРа)' Ха П
непусты. Далее, при р' > р имеем включение
1 1% S Яа 1Ха П Г*^' W ^
а множество 21 направлено, поэтому система {F^}, p^a, цен-
центрирована и имеет, следовательно, непустое пересечение. Ясно,
что f I f\ Fa\ = у. Утверждение (а) доказано.
(б) Предположим теперь, что все отображения fa открыты.
Возьмем открытое в Ха множество Va; тогда множество faVa
открыто в Ya. В силу непрерывности проекции Эа множество
®а faVa открыто в Y. Но отображение f заполняет отобра-
отображение f0. Поэтому

§ 4] НУЛЬМЕРН. ОТКРЫТ. ОТОБРАЖЕНИЯ. ПОВЫШАЮЩ. РАЗМЕРНОСТЬ 407
Так как множества вида n~[Va образуют базу в X, а их образы
fn~]Va, как установлено, открыты в Y, то отображение f от-
открыто.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть даны непрерывные отображения Щ: Y2-*YV
/,: Л", —»-К, и f2: X2^Y2 бикомпактов Y2, Хх, Х2 на биком-
бикомпакты Y\ и Y2. Тогда существует такой бикомпакт Х2 веса
wX2^max(wX\, wXb) и такие его отображения р2: Х2—>Х2 и
п]: Х2-*Х{ на Х2 и Л",, что при f2 = f'2P2 имеем /,^ = 8^ и ото-
отображение /2 заполняет отображение f{.
Если отображения f, и f2 являются (а) открытыми, (б) нуль-
нульмерными, то соответственно таким же является отображение f2.
Если отображения f, и f2 нульмерны, то нульмерно и отобра-
отображение р2.
Доказательство. Рассмотрим отображение f 12: Х1 X Х2 -*¦
-* Y\ X Y2, ставящее в соответствие точке (*,, х'2) точку (f\X]t f'2x'2).
Это отображение, очевидно, непрерывно. Прообраз f~2F гра-
графика F отображения Щ обозначим через Х2. Ясно, что wX2^.
^max (wXi, wX2). Проекции произведений ^ X ^'г, Yt X Y2 на
сомножители Xt, Yt обозначим через р( и q(, i=\, 2, соот-
соответственно. Ограничение проекции рх на Х2 обозначим через п2.
Пусть (xvx'2)<=X2. Так как X2 = f~2F, то /,jc, = Щ2х2. По-
Поэтому
Соотношение
установлено:
f."?-8Jf:
1'2
Покажем, что f2 заполняет fj.
Возьмем точки ^g^,,
Тогда
{у{> у2) е F. Так как/? является отображением «на», то существует

468 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
точка х2^Х2, для которой f'^c'2 = у2. Ясно, что (xv *2)<=Я2 и
h (xi> К) = ffa (*v К) = t'A = Ут
Так как n](xt, х'2) — рх{хх, 4) = *i> т0 (хр *г)е КГ' *г Следо-
Следовательно, /2 заполняет ft.
Пусть теперь отображения /, и f2 являются (а) открытыми,
(б) нульмерными. Тогда (см. гл. 1, § 8, предложение Т) от-
открытым и нульмерным будет и fl2: Хх X Х'2-* Yy X Y2, а следо-
следовательно, и отображение g: X2->F, являющееся ограничением f12
на X2 = f~]F.
Так как для любой точки (х\, х'2) е Х\ X ХЬ выполнено соот-
соотношение
^l2{xvx'2) = f[p2{xvx'2),
то для любой точки (зс\, х2) е Х2 имеем соотношение
|. 4) = <7af и (*!» *г) = fiP2 (xv К) = U (*i. хг)'
Но проекция q2 гомеоморфно отображает график F на У2,
а отображение- g (а) открыто, (б) нульмерно; поэтому и f2
будет открытым и нульмерным отображением. Из нульмерно-
нульмерности отображения f2;=f'2p2, очевидно, следует нульмерность ото-
отображения р2.
Лемма 2 доказана.
Из нульмерности отображения р2\ Х2-+Х2 и следствия 3 из
§ 4 гл. 6 вытекает
Следствие 1. В условиях леммы 2
Лемма 3. Пусть дан обратный.спектр 5 = {Ка, Щ,), ае91,
составленный из бикомпактов Ya с непрерывными проекциями,
являющимися отображениями ««а», причем множество 21 со-
состоит из всех порядковых чисел, меньших некоторого числа 0
мощности т. Пусть, кроме того, для любого предельного числа
р < 0 пространство Ya является пределом спектра
St={Ya, 8°}, а<р,
а проекция Эа совпадает с проекцией предела спектра S в эле-
элемент Ya этого спектра. Если для каждого непредельного числа
а<=21 существует бикомпакт Х'а размерности сНтЯа^1 и веса
wX'a^x, обладающий непрерывным открытым и нульмерным
отображением fa: Х'а -> Ya на Ya, то предел Y спектра S является
непрерывным, открытым и нульмерным образом бикомпакта X
размерности dirn^^l и веса X^

$ 41 НУЛЬМЁРН. OfKPblf. ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩ. PA3MEPHOCfb 469
Доказательство. Построим новый спектр Sit «парал-
«параллельный спектру S».
Положим Х\ = Х\н fi = f\. Предположим, что для всех
чисел а'<а<р<6 уже построены бикомпакты Ха размерно-
размерности dimХаг^1 и веса wXa^.x, а также непрерывные отобра-
отображения fa: Xa-+Ya, л?,: Ха^Ха„ удовлетворяющие условиям:
(а) отображения fa открыты и нульмерны; (б) Э«,/а = /а,л«,;
(в) я?» = л$л?, (при а > а' > а"); (г) отображение fa заполняет
отображения fa, (для любого а' < а).
Пусть сначала число р не предельное, p = p'-f 1. Тогда из
леммы 2 и следствия из нее вытекает существование биком-
бикомпакта Х$ размерности dim Яр г^ dim Яр г^ 1 и веса юХр^т и
существование таких непрерывных отображений
f • У на - у и ттв • У на ¦ V
'р- лр Ь р" Р ">лрч
что отображение fp открыто и нульмерно,
и отображение fp заполняет отображение fp-. Для а<р' поло-
положим пР = л?'л$,. Тогда по индуктивному предположению,
во-первых, при а' < а < р имеем
и, во-вторых,
Возьмем точки xaeJ[ai ya^faxa и #р е (Э?) уа. Пусть
1/^=8^. По индуктивному предположению.отображение fp,
заполняет отображение fa; поэтому существует такая точка
Хр е (л^у1 ха, что ^др, = ур. Но отображение fp заполняет
отображение fa. Поэтому существует такая точка х~ е (п§,)~ хр, s
s("8)"'*a. что ^р = ^р-
Следовательно, отображение fp заполняет отображение fa.
Пусть теперь число р предельное. Спектры
S*={Ya, Sfi'}, Sf = Ua,nS'}, a<p,
и отображения fa удовлетворяют условиям леммы I. Поэтому
предел fp отображений fa, a < p, отображает предел Х^ спек-
спектра Sf на предел Y^ спектра Sp открыто и для любого a < р
выполняются соотношения

470 ОТОБРАЖЕНИЯ. ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
где я? обозначает проекцию предела Х~ спектра Sf на его эле-
элемент Ха, причем отображение /р заполняет все отображения /а.
Выполнение соотношений я?,я& = я?,- при а' < а < р оче-
очевидно.
Из леммы 1 § 3 гл. 5 следует, что
Кроме того,
wX* < w ( П Ха) < max (x, sup wXa) = т.
р \а<3 / \ а<Э /
Покажем нульмерность отображения /р. Пусть ^еУ, и
Уа — ^аУу Из соотношений ЭР/р = /аяР, а<р, следует, что
Но множество F — f\ (я„) /~'(/агомеоморфно пределу спектра
а <р
{/"'#(,, я„,}, а < р (см. равенство E) из § 1 Прибавления к гл. 1).
Так как бикомпакты f^ya, по индуктивному предположению,
нульмерны, то нульмерен и бикомпакт F (см. лемму 1 из
гл. 5, § 3). Нульмерность отображения /р установлена.
При р = Э получаем утверждение леммы 3, которая, таким
образом, доказана.
В § 1 Прибавления к гл. 1 было доказано (предложение 13),
что гильбертов кирпич Q00 является пределом обратного спектра
{Qn, Э?+1}, п=\, 2, 3, .... из rt-мерных кубов с проекциями
Qrt+i. Q«+l_i2>Q«_ g теореме 60 мы показали существование
компактов Ч*п размерности dim ?„= 1, обладающих непре-
непрерывными открытыми отображениями gn: yVn-*Qn на кубы Qn,
n=l, 2, 3, ... Из леммы 3 сразу же вытекает
Теорема 6«0. Гильбертов кирпич Q00 является образом ком-
компакта Ф«,, размерности dim4rHll=l при непрерывном открытом
и нульмерном отображении /я: }?^-*-Qeo.
Действительно, в силу предложения 1 не может быть
dimV», < 1, поэтому dim4r«l)=l.
Теорема 6«0 и теорема Урысона о вложении любого про-
пространства со счетной базой, в частности компакта, в Q°° поз-
позволяют доказать следующие утверждения:
Теорема 6«„. Любой компакт Ф положительной размерности
является образом компакта Ч'ф размерности dim4ra>=l при
непрерывном открытом нульмерном отображении g: хРф-*Ф.

$ 4] НУЛЬМЕРН. ОТКРЫТ. ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩ. РАЗМЕРНОСТЬ 471
Теорема 7»,. Любое пространство со счетной базой Y раз-
размерности dimy^l является образом некоторого (зависящего
от Y) одномерного пространства X со счетной базой при не-
непрерывном, совершенном, открытом и нульмерном отображе-
отображении g: X-+Y.
Доказательства теорем б», и 7*0 протекают одинаково.
Поэтому- докажем лишь теорему 7«а. Будем считать Y S Q00.
Ограничение/у: f~W-*Y отображения /я из теоремы 6„о
является непрерывным, совершенным, открытым и нульмерным.
Из предложения 1 для X — f^Y следует неравенство dimX =
= indX^l. А из монотонности размерности (гл. 4, § 8, п. 4)
получаем dimX< dim 4^= 1. Следовательно, dimX = l.
Теорема 7«„ (и теорема 6»,) доказана.
Докажем, наконец, следующее предложение, легким след-
следствием которого будет основная теорема 6.
Теорема бт. Тихоновский кирпич Iх, т^ Ко. является
образом бикомпакта у?х размерности dim Wx = 1 и веса т при
непрерывном, открытом и нульмерном отображении fx: 4fx-+Ix.
Доказательство. Для т = Ко теорема доказана. Пред-
Предположим, что теорема верна для всех т < То, и пусть т = т0.
Через Э обозначим первое порядковое число мощности т0.
Через 91 обозначим множество всех непредельных чисел а < Э.
Для каждого а в качестве Ха возьмем отрезок. Тогда предел
спектра S = S(Xa, а е 91) (см. Прибавление к гл. 1, § 1, след-
следствие 1 из предложения 14) гомеоморфен тихоновскому кубу /т\
а элементы Р~ этого спектра для предельных р < Э гомео-
морфны Г, где х = мощн. р < т0. Но тогда и вообще для всех
бесконечных р < 9 элементы Р„ спектра S (по построению
этого спектра) гомеоморфны тихоновским кубам /и, где х =
= мощн. р < т0.
В силу теоремы 60 и индуктивного предположения каждый
элемент Р~ спектра S является открытым, нульмерным и непре-
непрерывным образом бикомпакта ^?~ размерности dim 4^= 1 и веса
ш>чРр <; а>Рр < т. В силу леммы 3 куб Iх" является открытым,
нульмерным и непрерывным образом бикомпакта ЧЧ, размер-
размерности dim^t.^ 1 и веса доЧ^,, < т0. Из предложения 1 следует,
что dim4rT(l=l. Теорема 6Т доказана.
Теперь легко доказать и теоремы б, б' и 6".
По теореме Тихонова любое вполне регулярное пространство Y
веса т, в частности любой бикомпакт Y веса т, является под-
подпространством тихоновского кирпича Iх. Если непрерывное
отображение fx: Чгт-*-/т открыто и нульмерно и

472 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. ?
<;т, то непрерывное отображение
также открыто, нульмерно и совершенно, кроме того, wf
Если ind Y > О, то и indf~lY > 0 (см. предложение 1). Если Y
является бикомпактом, то /~'У —также бикомпакт, и тогда
dimf71y<dim4r.t. Таким образом, если Y — бикомпакт и
dim Y > О, то dimf~lX =1. Заметим еще, что из сильной пара-
паракомпактности (соответственно финальной компактности) Y выте-
вытекает сильная паракомпактность (соответственно финальная ком-
компактность) f~xY (см. п. 6 § 7 гл. 1) и, следовательно (см. тео-
теоремы 19 и 19' из § 8 гл. 4), соотношение
dimf~lY< dim4^=1.
Если dim Y > 0, то ind К > dim У > 0 (см. п. 1 и п. 2
из § 8 гл. 4), откуда (см. предложение 1 § 3 гл. 2) dimf~lY= 1.
Теорема 6, а также теоремы 6' и 6" доказаны.
Полученная в процессе доказательства теоремы 6 теорема 7«,
позволяет при помощи веерных произведений получить сле-
следующее общее утверждение:
Теорема 7 (Пасынков [10], [7]). Любое метрическое про-
пространство S веса х и размерности dim S> 0 является непре-
непрерывным, совершенным, открытым и нульмерным образом метри-
метрического пространства R = R(S) веса ^.х и размерности dim R^ 1.
Доказательство. Возьмем какое-нибудь вполне нуль-
нульмерное отображение /: S->S0 пространства S на пространство
со счетной базой So (см. гл. 6, § 3, теорема 7). Тогда dimS0> 0
(см. теорему 9 из § 3 гл. 6). По теореме 7«0 существует непре-
непрерывное, открытое, совершенное и нульмерное отображение
g: /?o->So пространства со счетной базой Ro размерности
dim Rq — 1 на So. В веерном произведении R пространств S
и Ro относительно отображений / и g можно так выбрать мет-
метрику, что проекция р: R-*-Ro будет вполне нульмерным ото-
отображением (см. гл. 6, § 3, лемма 4). По теореме 9 из § 3 гл. 6
dim #< dim Ro=\.
По леммам «о параллельных» из § 2 Прибавления к гл. 1 проек-
проекция я: R-+S непрерывна, открыта, совершенна и нульмерна.
Так как wR s-J w (S X Ro) — wS> то теорема доказана,

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ 473
ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ
Теорема (Келдыш [3]). Существует непрерывное открытое и нуль-
нульмерное отображение некоторого одномерного компакта на квадрат.
Для того чтобы в дальнейшем не отвлекаться непосредственно от дока-
доказательства теоремы, докажем сначала несколько вспомогательных утвер-
утверждений.
Лемм а 1. Пусть дано факторное отображение f: X -*Y бикомпакта X
s
. «а пространство Y и X ¦= (J Х{, где Xi замкнуты в X и на каждом из
них отображение {является гомеоморфизмом. Если множества fX{ замкнуты
в Y, то пространство Y является бикомпактом.
Доказательство. В силу факторности и, следовательно, непрерыв-
непрерывности отображения / пространство Y бикомпактно.
В силу факторности и конечнократности отображения / пространство У
является ^-пространством.
Докажем замкнутость отображения f. Пусть множество F замкнуто в X.
s
Тогда F= (J Ft, где F1 = X{(\F, и множества fFi замкнуты в fX{, / = 1,
s
2 s, а следовательно, и в К. Поэтому множество fF— \]fF{ замкнуто
в У. Замкнутость отображения / доказана. Из нормальности X и замкну-
замкнутости f вытекает нормальность У. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть отображение f: X -*Y компакта X на компакт Y
является гомеоморфизмом на замкнутых множествах FiSX, /=1, ..., s,
s s
и Хй е jl Fi. Если сумма [J fF{ содержит окрестность U точки уо = /*о,
то отображение f от.крыто в точке х0, т. е. образ fO любой окрестности О
точки х0 содержит окрестность точки уо-
a
Действительно, множество ?/\ Lf/(^\O) содержит точку у0, открыто
в У и содержится в /О.
Лемма 3. Пусть дан счетный спектр S=*[Xn, SJ|+I}, я = 0, 1, 2, ....
и в каждом его элементе Хп выделено такое множество Ln, что
SJ5+lZ,n+1 г Ln и отображение ?„ = 8": Ln->XQ открыто, л=1, 2,3, ...
Тогда и проекция So предела X спектра S в элемент Хй этого спектра,
00 ОО
рассматриваемая лишь на множестве ^оо= (J П ®^'^ft' явЛяется от~
крытым отображением.
Доказательство. Возьмем точку x°^Loo и ее окрестность У относи-
относительно !„,. В силу определения 1те и топологии в пределе спектра, существует
такой номер п > 1 и такая окрестность Оп в Хп точки хп =• &пх , что
/neLBKS;'OnntMsF. Тогда для Vn = LnПОп также S"'v^„ПL^sV.
Покажем, что Э„У = Vn. Действительно, пусть хп е Vп. Так как.
13Ln, то в Ln+l существует такая точка х„+1, что а^+|х„+1- хп.

474 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. в
По индукции для любого й= 1, 2, 3, ... можно построить такую точку
xn+k <= Ln+k> что Sn+fc xn+k+l — xn+k-
Пополнив множество {xn+k)< k = Q, 1, 2, ..., проекциями точки хп в про-
пространства Xt, 1<п, получим нить х спектра S. Ясно, что х е Э~'хп [~l Lx s V.
Итак, &пУ э Vn- По условию множество ЭцVn открыто и поэтому содержит
окрестность точки х$ = Щх®п = Эодс°. Следовательно, и множество Эоу =
= ЗцЭпК э S"Vn содержит окрестность точки х$. Лемма доказана.
Из доказанной леммы вытекает
Следствие 1 (Локуциевский [2]). Если в счетном спектре
S = [хп, S^+l}, п == 0, 1,2, ..., все проекции Э^+| являются отображениями
««а», а все проекции (Ь" открыты, то и проекция So: X -> Хо предела X
спектра S также открыта.
Лемма 4. Пусть непрерывные отображения ]а: Ха~*Хо бикомпактов Ха
на бикомпакт Хо нульмерны, аеЯ , и I есть веерное произведение про-
пространств Ха относительно отображений fa. Пусть е це для любой точки х&Х
и любой окрестности О0 точки х$ = Зох *) существует такой индекс ао и
такая окрестность Обточки хао = S3a(|x, что Оа> s f^'Og u ind гр Ов(> ^ 0.
Тогда
ind X < 1.
Доказательство. Возьмем точку х s X и ее окрестность О, По
лемме .3 нз § 2 Прибавления к гл. 1 бикомпакт р = &^1х0 нульмерен.
Следовательно, существует такое разложение F в дизъгонктную сумму двух
открыто-замкнутых в F множеств Ft и F2, что х е Ft s О. Систему замкну-
замкнутых в X множеств /^ и F2 так раздуем до открытых в X множеств О{ э F{,
1=1, 2, что Ох0О2 = А и О, S О (см. гл. 1, § 10). Так как отображение So
замкнуто и так как F = Fx \JF2 s Ox \]Oit то существует окрестность О0
точки х0, удовлетворяющая соотношению S^'OgSOj иОг*
По условию существует такой индекс <х0 и такая окрестность Оа точки
Oa.s^a0'Oo « indrpOan<0.
Положим V = а^'Оц^. Тогда
л: г V s= S"Va.'^o = ао"'Оо = О| U О2.
Так как отображение Sae нульмерно по лемме 2 из § 2 Прибавления к гл. 1,
то (см. гл. 7, § 4, предложение 1) indS rpOO(i<0. Но гр VsS~' гр Оа,
id V<JO
следовательно, ind гр J
Положим Vt = Oi(]V, / = 1, 2. Ясно, что х е Vi s Ox S О. Так как
У\пУг = А., то rpKiSrpV, откуда indrpV^O. Следовательно,
что и требовалось доказать.
I. Рассмотрим единичный квадрат
' /=-1,2}
на плоскости переменных tl и t2. Открытые квадраты вида
*) So и Sa — проекции веерного произведения X.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ 475
где г и s целые и 0<г<4*-1, 0<Js<J4*— 1, будем называть квадра-
квадратами ранга k, k=\, 2, 3,...
Очевидно, любые два квадрата ранга k или совпадают, или дизъюнктны.
В последнем случае пересечение замыканий этих квадратов или пусто, или
состоит из их общей вершины, или состоит из их общей стороны. Если
теперь квадрат Qi имеет ранг k, а квадрат Q2 имеет ранг k + i, i^O, то
рассматривая единственный квадрат Q2 ранга k, содержащий Q,, легко
доказать следующее
Утверждение 1. Если квадрат Q\ имеет ранг k, а квадрат Q2
имеет ранг k + <", />0, то или Q, 2 Q2, или Qx [\Q2 = A.. Ее ш Q, П Q2 = A,
то или
(а) [Qi]n[Q2]=A, и тогда Q{ и Q2 лежат по разные стороны от гори-
горизонтальной или вертикальной полосы ширины fe ( , или
(б) пересечение [Qi] П [Q2] состоит из общей вершины квадратов Qx
и Q2, или
(в) это пересечение состоит из стороны квадрата Q2 (г. е. одна
из сторон Q2 лежит на одной из сторон Qi).
При этом в случае (б), соответственно в случае (в) и / > 0, замыка-
замыкание [Q2] содержит не более одной вершины квадрата Q{ и расстояние
от Q2 до вершин Q,, не содержащихся в [Q2],«e меньше, чем k+i".
Для квадрата Q ранга k (с длиной стороны d) обозначим через Q*
открытый квадрат, центр которого совпадает с центром Q, а стороны
/ 2\ 1 / 2\
параллельны сторонам Q и имеют длину A-1 ) - —г- =» 11 H Id. (Если
\ 3/4* \ 3/
Q"\7" ф Л, то под Q* будем понимать прямоугольник Q'ftT.) Из утвер-
утверждения 1 непосредственно вытекает
Утверждение 2. Если квадраты Q\ и Qi имеют ранг k и
[Qi]n[Q2]=A, то [Q*] П [Q2] =Л- Есл" квадрат Q, имеет ранг k, a
квадрат Q2 имеет ранг k + t, />0, и [Qi]fl[Q2] — К то [Q,] П^г] = л-
11. Система A,00 (Q).
Фиксируем какой-нибудь квадрат Q ранга k. Для чисел / = 0, 1, 2, ...
построим системы А.' = Л.' (Q) кнадратов ранга k + i, удовлетворяющие
следующим условиям:
@) Система А," состоит из одного квадрата Q.
A) Для любого квадрата Q, е А,', ;>0, и любого /, 0</<<', опре-
определен единственный квадрат Qt>Q\, Q2 e Я,А Если при этом Q3>Q2 и
Q2>Qi, то Qs>Q,.
B, а) Если Q2 > Qi, то Q2 П Qi = Л.
B,6) Если Q2e=A.'-\ Q, e A.', Qj e A,', Q2>Q,, Q2>Q, и Q^Q^, то
C, а) Если Q2>Qi, Q2 е A,', Q,eA,', />0, то одна из сторон Q,
лежит на одной из сторон Qj.
C, б) Если сторона квадрата Ql ранга k + t лежит на стороне квадрата
Q2eA,'""' и QjSrX (J Q3, то в А,' существует квадрат Qi<Q2» совпа-
дающий с Ql как множество.
Систему А,0 положим состоящей из одного квадрата Q. Предположим,
что для всех /<п, п>0, системы А,', удовлетворяющие условиям A)—C, б),
уже построены. Построим систему Х"Н

476 ОТОБРАЖЕНИЯ. ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ (ГЛ. 9
Пусть Q,eV. Через MQi> Q) обозначим систему всех таких квадра-
квадратов Q' ранга k + n+ 1, что
Q'sT\ (J Q*
и одна из сторон Q' лежит на одной из сторон Qt.
Положим
где системы X(Q\, Q) для различных Qi считаются состоящими из «обозна-
«обозначенных множеств» и потому дизъюнктны *).
Положим Q2>Q', Q'e=A,"+l, если Q'e=A,(Qi. Q) и Q2>Qi.
Условия A) —C,б) для сястем А,', / = 0, 1, ..., п + 1, очевидно, вы-
выполнены. Положим
Установим некоторые свойства системы Я.00.
оо
Из условия C, а) и из равенства ^—— =»— вытекает свойство
i=i 4 3
D) Q SQ,, если (
Сторону квадрата Q,e^°° будем называть, закрепленной, если оиа
лежит на стороне какого-нибудь квадрата Q2 > Qi или на стороне квад-
квадрата Т. Сторона Qb не являющаяся закрепленной, будет называться
свободной.
Из определения закрепленной стороны сразу же
вытекает следующее утверждение:
E, а) Если *о является некоицевой точкой закреп-
I Xg I ленной стороны АВ квадрата Q, и сторона АВ содер-
л жится в стороне EF квадрата Q2>Qi, то в сумме
^ окрестностей точки х0 относительно [Q,] и [Q2] содер-
п | жится окрестность точки х0 относительно квадрата Т
Рис- '• (см. рис 1)**).
Перейдем к случаю свободиой стороны квадрата Q\.
F) Пусть сторона АВ квадрата Q( ранга г является свободной. Через Q\
обозначим квадрат ранга г, имеющий с Qi общую сторону АВ. Тогда
Q[s=T\ (J Q2.
Действительно, если Q'\0Q2?= Л, Q2>Q{, то Q[sQ2 (см. утверждение 1).
Так как QiflQ2 = A (см. условие B, а)), то сторона АВ квадрата Q, лежит
на стороне Q2 и, следовательно, вопреки условию, является закрепленной.
Утверждение F) доказано.
Из условия C, б) и утверждения F) вытекают следующие два утвер-
утверждения:
*) См. гл. 1, § 6. замечание 3.
••) В этом прибавлении нумерация рисунков дается независимо от об-
общей нумерации.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ , 477
E, б) Некоицевая точка х0 свободной стороны АВ квадрата Q, ранга г
является или неконцевой точкой стороны А'В' квадрата Q' < Q\ ранга /"+ 1,
или общим концом С лежащих на АВ сторон А'С н СВ' двух различных
квадратов Q'<Qi и Q"<Q\ ранга г + 1.
При этом сумма любых окрестностей точки х0 относительно [QJ и [Q'J,
соответственно относительно [Q,], [Q'] и [Q"], содержит некоторую окрест-
окрестность точки х0 относительно 7" (см. рис. 2).
и.
А А' Х,В' В A A' xt-C В' В
Рис. 2.
G) Концевая точка свободной сторйны АВ квадрата Qt ранга г является
вершиной квадрата Q'<Qi ранга /•+ 1, одна нз сторон которого лежит
на АВ.
Точку А, являющуюся вершиной хотя бы одного из квадратов си-
системы А,00, назовем вершиной ранга г, если А является вершиной квадрата
Qi е А,00 ранга г и не является вершиной никакого квадрата Q2 e А,00 ранга
(8) Если вершина А ранга г является вершиной квадрата Q\ e А,00
ранга s>r, то И является также вершиной некоторого квадрата Q2>Qi
ранга г.
Действительно, так как А есть вершина некоторого квадрата ранга г,
то р (A, Q3) ^ -jjr для любого квадрата Q3 ранга г, не имеющего среди
1 /11 1 \
своих вершин точку А Но тогда, очевидно, р {Q\, <2з)^~Тг ~ ("о" "I7" "^"Р'г "¦
В силу утверждения D), если Q3>Qi н Q3 имеет -
ранг г, то А является вершиной Q3. Утверждение (8)
доказано.
Вершину А ранга г квадрата Qi е А,00 ранга г на- . . .
ювем закрепленной, если А является концом закреп- 1 . Т"
лепной стороны квадрата Qit и назовем свободной ' '
в противном случае. рис 3
E, в) Пусть вершина А ранга г квадрата Q\ ранга г
является закрепленной и сторона АВ квадрата Q\ ле-
лежит на стороне EF квадрата Q2>Qi или квадрата Т. Тогда существует
такой квадрат Q3<Qi ранга г+ 1, что одной его вершиной является точ-
точка Л.одна из сторон лежит на стороне EF и сумма окрестностей точки А
относительно [Q{\, [Q3] и [Q2], соответственно относительно [Q\\ и [Q3], со-
содержит окрестность этой точки относительно 7" (см. рис. 3).
Доказательство. Так как А есть вершина ранга г, то А ие яв-
является концом стороны EF. Сторона АС квадрата Q\ (перпендикулярная
к стороне АВ н примыкающая к нершине А) не может быть закрепленной.
Действительно, если АС лежит на стороне квадрата <?4>Qi. то или
Qi>C?2i или Qi>Q4 (см. свойство A)), и, следовательно, Q2nQ4==^- (по
свойству B, а)). Но тогда А есть вершина Q4, что противоречит тому, что
Л — вершина ранга г.
Из незакрепленности стороны АС и утверждения F) вытекает сущест-
вопание нужного квадрата Q3.
E, г) Пусть нершина А ранга k + n квадрата Qt e А," является свобод-
свободной, а АВ и АС — стороны квадрата Qu примыкающие к А Тогда суще-
существуют такие квадраты Qt е А/1"'""', /=»2, 3, 4, Qi>Q2>Q8>Q4, что А

478 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ (ГЛ. 9
является их общей вершиной, одна из сторон Q2 лежит на АВ, одна нз
сторон Q, лежит на АС и сумма окрестностей точки А относительно [Qi],
(=1,2,3,4, содержит ее окрестность отно-
относительно Т (см. рис 4).
Доказательство. На основании
утверждения G) в Xn+i существует квадрат
Q2< Qi> одна из сторон которого лежит на АВ,
а одна нз вершин совпадает с точкой А. Так
как Qi P Q2 = -Л-, то вторая сторона Q2, при-
примыкающая к вершине А (обозначим ее че-
через АС), является продолжением стороны АС
квадрата Q,.
Сторона АС' квадрата Q2 является сво-
д бодной.
Предположим, что это не так. Тогда она
Рис. 4. лежит на стороне EF квадрата Q'>Q^. В си-
силу свойства A) Q'>Q\. Вершина А имеет
ранг k + n и поэтому не является концом стороны EF. Из утверждения 1
следует, что сторона АС квадрата Qi обязана лежать на стороне EF. Но
это противоречит тому, что вершина А свободна. Итак, сторона АС сво-
свободна. Существование нужных квадратов Q, и Q4 доказывается так же, как
существование Q2.
III. Множество Г = Г(<Э).
Для квадрата Qi е Хп, л = 0,1,2,..., через Г' (Qi) обозначим множе-
множество тех точек х е Т, любая окрестность которых пересекается с квадра-
квадратами Q'<Qi, Q' е Хп+Р для сколь угодно больших р. Ясно, что Г'(Qi) ^
(9, а) Если вершина А квадрата Qi ранга г принадлежит замыканию [Q2]
квадрата Q2 >Qi, то А является концом закрепленной стороны квадрата Qt.
Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда (см. утвер-
утверждение 1) [Qi] Г) [Q2] = А. Следовательно (см. свойство C, а)), ранг Q2<
< г — 2. Если Q3 — квадрат ранга г — 1 н Q3 > Qlt то на сторонах Q3 могут
лежать лишь стороны Q\, не являющиеся свободными, следовательно, не
примыкающие к вершине А, а тогда 0<p(Q3, Q2X-4T, что противоречит
утверждению 1 (а). Аналогичным образом доказывается и следующее утвер-
утверждение:
(9, б) Квадрат Qt e Х°° ранга г не может иметь двух противоположных
закрепленных сторон.
(9, в) Пусть сторона АС квадрата Qo ранга г лежит на стороне EF
квадрата Qi>Qo ранга г— 1 и точки Л и С не являются концами сто-
стороны EF. Тогда у Qo нет закрепленных сторон, отличных от АС.
Доказательство. Через АВ и CD обозначим стороны Qo, перпен-
перпендикулярные стороне АС. Предположим, что сторона АВ закреплена, т. е.
лежит на стороне квадрата Q2>Qo- Из условия A) следует, что Q2>Q|.
Так как Qa П Qi = Л (с,м. условие B, а)), то точка А есть вершина квад-
квадрата Q2. Поэтому сторона EF квадрата Q\ лишь частично лежит на стороне
квадрата Q2, что противоречит утверждению 1. Итак, сторона АВ свободна.
Аналогично доказывается, что свободна и сторона CD. Наконец, из утвер-
утверждения (9,6) следует, что и сторона BD квадрата Qo свободна. Утвержде-
Утверждение (9, в) доказано.
Нам понадобится еще несколько утверждений относительно множества
Y(Qo)-r'(Qo)n/rp7"U (J

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ
479
A0) Пусть сторона АВ квадрата Qo ранга г свободна и сторона АС
этого квадрата перпендикулярна стороне АВ. Через Qo обозначим квадрат
ранга г, имеющий с Qo общую сторону АВ. Через АС обозначим сторону Q'o,
являющуюся продолжением АС. Тогда
множеству Г' (Qo) принадлежит точка А',
лежащая на АС на расстоянии -j • -рг- от
точки А. Ни одна точка полуинтервала
[С, А') *) не принадлежит Г' (Qo). Если
отрезок [А, С] содержится в стороне ква-
квадрата Q' > Qo (или в стороне квадрата 7"),
то Г' (Qo) П [А, С] = А' (см. рис. 5).
Доказательство. Из утвержде-
утверждения F) и условий C, а) и C, б) сразу f
же следует существование таких квадратов Q{^Q0 ранга г + t, Qt<Qo>
что одна их сторона At-iAt лежит на АС, Ай = А и р {А{, А) Jj
7+7'
( = 1, 2, 3, ... Так как
1/~"\'' т° Т0Чка А' Действительно
держится в Г' (Qo). Так как Г' (Qo) s= [q'o], to точки полуинтервала [С, А')
не содержатся в Г' (Qo). _, _
Пусть теперь отрезок [С, ^содержится в стороне ?F квадрата Q >Q0
(см. рис. 5а).
с
Рис. 5а.
Рассмотрим сначала случай, когда А является вершиной Q'. В силу
утверждения (9, а) существует квадрат Q" > Qo. на стороне которого лежит
сторона АС.
Из свойств B, а) и B, б) следует, что ни один из двух прямоуголь-
прямоугольников, основанием которых служит отрезок [С, С], а высота равна -j^-,
не пересекается с отличными от Ql элементами Q[< Qo ранга г+1 си-
системы Л00. Отсюда следует, что
*) Для точек А н В квадрата Т через [А, В] обозначается соединяю-
соединяющий их отрезок; (А, В) = [А, В]\* И, В) - [А, В]\В; (А, В) = [Л, В)\А.

480 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
для любого Q't < Qo ранга г + 1, $ХФ Q,. Но так как Q2 Г) (Q, U Qo U Q' U Q") = Л
для любого Q2< Qi (см. свойство B, а)), то полуинтервал (Л,, Ло] не со-
содержит точек нз Г' (Qo).
Индукцией доказывается также, что
Следовательно, и
00
r(Qe)n(/*'./*o]-r'(Qo)nU<^' 4-,]-Л. .
{—I
В случае, когда точка А не есть вершина Q', сторона АС квадрата Qo
лежит на той же стороне квадрата Q', что и АС (см. утверждение 1).
Дальнейшие рассуждения повторяют рассуждения, проведенные выше.
Аналогичным образом рассматривается случай, когда отрезок [С, А]
содержится в стороне квадрата Т.
A1) Пусть сторона АС квадрата Qo ранга г лежит на стороне EF
квадрата Qi>Q0 ранга г—1 и точки А и С не являются концами сто-
стороны EF. Тогда множество y(Qo) состоит нз двух точек Лу и Су, лежащих
на стороне EF вне отрезка [АС], и
p(/4v, /4)-p(CY. C)--g—у-.
Доказательство. На основании условия B, а) и утверждений
(9, в), (9, а) и 1 заключаем, что р/q0, M Q'\>0. Тогда в силу утвержде-
\ Q'>Oi /
ния 2 имеем [Qq] Г) (J [Q'] = A.
Q'>Q!
Следовательно,
№ (J [Q/]-[QS]n[Qi]Hr/(Qo)c:rpQI.
Q'>Qe
Через АВ и CD обозначим стороны Qo, перпендикулярные стороне АС.
Из утверждения 1 следует, что одна нз сторон квадрата, симметричного
квадрату Qo относительно его стороны АВ, соответственно CD, лежит
на EF. Нужное утверждение вытекает теперь из утверждения A0).
A2) Пусть сторона АС квадрата Qo ранга г лежит на стороне AF
квадрата Qi>Qo ранга г — \, точка А является общей вершиной Qo и Qb
перпендикулярная стороне АС сторона АВ квалрата Qo является незакре-
незакрепленной и или (а) А является вершиной квадрата Q2>Qi, или (б)
А не являетси вершиной никакого квадрата Q2>Qi- Тогда множество y(Qo)
состоит из двух точек Лу и Су. Точка Су лежит на стороне AF вне
отрезка [А, С], и р (Су, С)™-^---^-. Точка Ау в случае (а) лежит на сто-
стороне АС квадрата Q2, являющейся продолжением стороны АС квад-
квадрата Qo, и р (Лу, А)=>— '-гг. В случае (б) точка Ау лежит на стороне АВ'
квадрата Q\, являющейся продолжением стороны АВ квадрата Qo, н
р(Ау, Л)=—•—— (см. рис. 6).

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ
481
Доказательство. Рассмотрим случай (а). Через Qo обозначим
квадрат ранга г, имеющий с Qo общую сторону АВ. На основании утвер-
утверждения F) заключаем, что QgDQ =Л для любого квадрата Q >Q0*
В частности, Q2nQo
Через АС" обозначим сторону Q2, лежащую на продолжении сто-
стороны АС. Из утверждения 1 следует, что сторона АС' квадрата Qq, лежа-
лежащая на продолжении АС, лежит на АС".
в
С А
В
к
А
Ау
Qo
L
0,
D
>
-1
п\
СУ
F
Рис. 6.
На основании утверждения A0) заключаем, что пересечение Г' (Qo) f| [Яг]
состоит из одной точки Лу, лежащей на АС', н р(Лу, А)шя — '-^у-,
Покажем, что сторона CD квадрата Qo, противоположная стороне АВ,
не является закрепленной.
Действительно, если бы CD содержалась в стороне квадрата Q' > Qo,
то тогда точка С была бы вершиной ранга < г — 1 и для вершин А и С
ранга <г—1 выполнялось бы невозможное соотношение р (А, В) = — < -jzri-
4 4
На основании утверждения A0) заключаем, что пересечение Г' (Qo) П [Qi] со-
состоит из одной точки Су, лежащей на AF, и р (Су, С) = ir*"ТГ- Так как Qo
имеет только одну закрепленную сторону (см. (9,6)), то для любого.
Q'>Qo, Q' ?• Qi, Q' ?¦ Q2. в силу утверждения (9, а) и свойства B, а),
имеем [Qo]n[Q'] = A. и, следовательно, [qJ] П [о'1 = л (см. утвержде-
утверждение 2). Таким образом, y(Qo) = ^y U Cy.
Рассмотрим случай (б). Через Q3 обозначим квадрат ранга г + 1, имею-
имеющий среди своих вершин точку А и удовлетворяющий соотношению Qa< Q<>
Через АС обозначим сторону Q3, являющуюся продолжением стороны АС
квадрата Qo Так как А не является вершиной квадратов Q' > Qo ранга < г — 1,
то сторона АС квадрата Q3 являетси свободной. Через АВ' обозначим
сторону Qi, являющуюся продолжением АВ.
На основании утверждения A0) заключаем, что на АВ' содержится
единственная точка Ау нз Г' (Q3) и р(А, А^) — — • +1 . Как и выше,
можно показать, что сторона CD квадрата Qo, противоположная его сто-
стороне АВ, является незакрепленной, на AF лежит единственная точка Cv
из Г'(Qo) и р (С,
16 П, С. Александров, В, А, Пасынков
-^- '-7Г- Так как расстояние от отрезка [Л, В']

482 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ 1ГЛ, 9
до любого квадрата
),то[Л, В']ПГ'
ранга г + 1, Q3 ф Q3, достаточно велико
¦ Л. Но так как г' (Qo) = (J {г' (q") | q" < Q,,,
ранг У" =r+ 1}, то r(Q0)n[Qi]«* Ay[)Cy. Как и в случае (а), можно пока-
показать, что [Qj]n[Q'] = A для любого Q'>Q0, Qr Ф Q,.
Следовательно, у (Qo) = Ay (J Су. Утверждение A2) доказано.
A3) Пусть сторона АС квадрата Qo ранга г лежит на стороне AF
квадрата Qi>Q0 ранга г — 1, точка А является общей вершиной Qo и Qt
и перпендикулярная АС сторона АВ квадрата Qo является закрепленной,
т. е. лежит на стороне GH или квадрата Qi>Qa, нли квадрата Т. Тогда
Рис. 7.
множество y(Qo) состоит из двух точек SY и Су. Точка Ву лежит на ОН
вне отрезка [А, В], точка Су лежит на Л./7 вне отрезка [А, С], и р (By, В) =
- р (Су, С)=>-?-'-?г (см. рис. 7).
Доказательство утверждения A3) опирается на утверждение A0) и про-
проводится аналогично доказательствам утверждений A1) и A2)
A4) Если квадраты Qi и Q2 ф Qt имеют ранг /•+ 1 н Q(< Qo, Q2< Qo
для квадрата Qo ранга г, г=1, 2,3, ..., то Y (Qi) П Y (Ог) =Л. (см., напри-
например, рис. 8).
Доказательство. Если [Qi] ГКСг] =Л> то
У (Qi) П Y (Q2) = Г' (Q,) П Г' (Q2) a [QJ] П Щ - Л
(см. утверждение 2).
Пусть [Q,] П [Q2] vb Л.
Рассмотрим сначала случай, когда Q, и Q2 имеют общую сторону АА .
Ясно, что один из концов отрезка [А, А'] лежит на стороне EF квадрата Qo
и стороны ВА и АС квадратов Qi HQ2, соответственно, также лежат на EF.
Из утверждений A1) —A3) следует, что одна нз точек множества y(Q)
лежит на интервале (-4, С), а другая расположена вне множества [Q^]
И, аналогичным образом, одна из точек множества у (Q2) лежит на интер-
интервале (В, А), а вторая — вне множества [о[у Следовательно, у (Q\) П V (вг)=^-
Рассмотрим случай, когда пересечение [Qi] П [Q2] состоит из общей
вершины квадратов Qi и Q2. Это возможно в случае, когда стороны АЕ
н AF квадрата Qo, исходящие из вершины А, свободны и сторона АВ квад-
квадрата Q, лежит на АЕ, а сторона АС квадрата Q2 лежит на AF. Стороны

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ
483
AF' и АЕ' квадратов Q, и Q2, являющиеся продолжением сторон AF и АЕ
квадрата Qo соответственно, не могут быть закрепленными в силу утвер-
утверждения (9, а). Утверждение A2) (случай (б)) позволяет заключить, что одна
из точек множества у (Q,) лежит на интервале (А, С), а другая —на
стороне АЕ вне множества [q^]. Аналогичным образом, одна из точек
A
Q,
В
вг
E
A'r
Иг
С
Oo
f
Cy
Рис. 8.
множества y{Qi) лежит на (А, В), а другая — на стороне AF вне мно-
множества [qJ]. Следовательно, Y(Qi)f1 Y (Ог) ==л-
Утверждение A4) доказано.
Из утверждения A4) вытекает утверждение
A5) Если квадраты Q, и Q2 Ф Q, имеют ранг г+ 1 и Qi<Q0, Qt<Qo
для квадрата Qo ранга г, г = 1, 2, 3, .... то
(J [
Q'>Qo
IV. Спектр S (Q), его предел К (Q) и множества L(Q) и T(Q).
Поставим в соответствие каждому элементу Q, системы V0 экземпляр
(Qi) квадрата Та через n(Qt) обозначим тождественное отображение
T(Q,) на Т. Через Хгп — Х'п (q) обозначим дискретную сумму квадратов Т (Q,)(
п
Q, е М Я'. Будем считать х'о в 7"(Q) в Г. Через я" обозначим отображе-
отображено
ние компакта х'п на Т ^ Хг0, совпадающее на 7"(Q[) с n(Q,). Через ю„
обозначим следующее разбиение пространства Хп, п=\, 2, 3, ... Пусть
/), Q/ е Я°°, /= 1, 2. Пусть, кроме того, выполняются условия:
¦¦• >Qt,l
/-1 s,,
\, 2, Q\=*Q2{ для /«0, 1,..., /Q,
<min(s1, s2) и если /Q<mln(s1, Sg), то QJ|+1 ¦?*¦

484 ОТОБРАЖЕНИЯ. ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
Точки Х\ и хг тогда и только тогда входят в один элемент разбие-
разбиения ш„, когда
Через Я„ = Я„(B) обозначим пространство разбиения а>„. Естественное
отображение Хп на Яп обозначим, как и соответствующее разбиение, через шп-
Очевидно, существует непрерывное отображение Щ: Хп -> Т s Xq s Jf0,
удовлетворяющее соотношению
A6) «li-SiXi-
Отображение S" открыто, так как открыто отображенне я".
п
Для квадрата Q[^ [J X1 положим
В силу соотношения A6) и топологичности отображения я" иа Г (Q,), имеет
место утверждение
A7) Отображения
являются гомеоморфизмами «на».
Из определения разбиения шп ясна справедливость такого утверждения:
A8) Пусть квадраты Q, и Q2?= Q\ принадлежат системе X" н суще-
существует такой квадрат Qosl", что Q0>Qi, Qo>Q* Тогда
Из леммы 1 следует, что пространство Хп является компактом.
Через я", « = 0, 1,..., т, обозначим отображение Х^, на Х'п, ставящее
в соответствие точке хеГ (Q') г JC^,, Q s Я , эту же точку, если / < я,
и точку (яо")яотжП7'((г"), где в"еГ, Q">Q', если />л. Ясно, что
при 1>т>п7^0 справедливо соотношение
A9) <-«¦
Покажем, что для любого п^О и любого т^п существует отображе-
отображение ЭЦ*: Хт -*¦ JTrt, удовлетворяющее соотношению
B0) S>m=a>Xl.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ 485
т. е. коммутативна следующая диаграмма:
(От
Покажем сначала, что для любой точки х s Хт множество (йпп'%<й'^х
одноточечно.
Пусть *! и XjE тт1}Сщ Пусть еще Ху s Г (Q*) и выполняются условия (•),
/=1, 2. Из определения разбиения тт следует, что выполняется и усло-
условие (••) (с заменой п на т).
Если /0>я, то уже я^х, =я^х2 и тем более а>пп'?х1 =»аля^х2.
Пусть /0<я. Рассмотрнм лншь случай s(>« н s2 < я (остальные случаи
рассматриваются аналогичным образом). Тогда (по определению проекции я?)
;(^)< ?(у?. Так как /0< min (*,,«2) =
= s2 = min (я, *2), то для точек х{ и ж2 выполняется условие (»). Но так
как еще (см. соотношение A9)) п*х\ = п^п"х{ = п™х = я™ж2 "* яоя *
=• п%х'2 и п*х[ >=- я"«2 ™ яо*^1 s L/ [О*] U гр У, то для точек х\ и ж2 выпол-
(-0
няется н условие (••). Следовательно, <опх[ = ©„ж^
Таким образом, множество ©„jiJJ'a)* одноточечно и отображение
однозначно.
Справедливость соотношения B0) сразу же следует из определения
отображения &%.
Непрерывность отображения 8% вытекает нз факторности отображе-
отображения ит, непрерывности отображений ю„ и п™ и соотношения B0). Действи-
Действительно, если множество О открыто в Хп, то множество а>~'(Э?) 0 =
= (я") co^"J0 открыто в х'т и, следовательно, множество (&%) О
открыто в Хт.
Докажем справедливость соотношения
"п т
для ; > m > п > 0.
Действительно,
S ^ ft) Я ft), =» CO Jl^Jt О, ssa [ Cfl^Jl,/U)«, I f СЭ.иЯ^СЭ* I зя» S_ S •
ft rtftt ftftfTlt \ЛПГП/\ГЛГП1/ П ГП
Обратный спектр {Xn, S^}, « = 0,1, 2, ....обозначим через S = S(Q). Пре-
Предел спектра S обозначим через /С =» ЛГ (Q).

486 ОТОБРАЖЕНИЯ. ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
Выясним некоторые свойства спектра S. Так как проекции S" открыты,
я=1, 2, 3 то проекция
S0 = S(Q): /С->Г = Х0
также открыта (см. следствие I).
Рассмотрим квадрат Q, s А,', /<«. Квадрат 7" (Q,) входит н в про-
пространство х'п и в пространства Хт, т>п. Очевидно, п™ отображает
T(Q})sX'm на T(Q{)sXfn гомеоморфно. Отсюда н из утверждений A7)
и B0) следует, что
B2) проекция Sjj1 гомеоморфно отображает Тт (Q5) на Тп (Q,).
Если для квадрата Qt положить
то нз B2) следует, что
B3) проекция SJJ1 гомеоморфно отображает множества Q, {m) и JQ( (m)\
на множества Qt (n) н [Qi(«)] соответственно.
В частности, гомеоморфизмами являются отображения
Множество Qi(«) можно, таким образом, отождествить с квадратом Qt
и также называть квадратом надлежащего ранга.
Из определения разбиения <% заключаем, что
B4) (S?)~'[Q] = [Q(«)], « = 1,2,3,...
Череэ L1 (п) обозначим сумму квадратов Qt{n), Qi e [J А,', /==0,
/-о
1, .... п.
Разбиения и>т и <%, 0<«<т, на множестве Х\ как подмножестве
пространств х'т и х'п индуцируют одно н то же разбиение, совпадающее
с разбиением со^. Из соотношения B0) и из того, что п% гомеоморфио ото-
отображает X\ s Х'т на X\ г Х'п, следует, что отображение
является гомеоморфизмом «на». Так как S^ [Ь{ (m)] s [/.' (я)] (ом. B3)) и
W (m)] s тт^ то
B5) проекция SJJ1 гомеоморфно отображает множество [l' (m)] на мно-
множество [/,'(«)], / = 0, 1, ..., п, п<т.
Таким образом, можно считать, что множество [Ln+l (n+ 1)] получается
из множества [/." («)] s [Ln (« + 1I «подкленванием» замыканий квадратов
системы Яя+1.
Через i|)rt обозначим отображение
S?: [L" (я)] -> Т.
(^ Отображение if, открыто ч трчка}( множества (Л"~3(«)], п
4t б, ,,,

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ 487
Достаточно доказать открытость ф,, в точках замыкания [Qt («)] для
любого элемента Qt е V° ранга /¦<& + « — 3.
Так как Sj гомеоморфно отображает [Q[(«)] на [Q,], то открытость
отображения tyn в точках множества Q, (л) очевидна.
Пусть х е [Q, («)] \ Q, («) и х0 => S?*.
(а) Рассмотрим случай, когда х0 является неконцевой точкой закреплен-
закрепленной стороны АВ квадрата Qi н г</г + «. Пусть сторона АВ лежит на
стороне EF некоторого квадрата Q2 > Qi. Из определения разбиения <%
следует, что же [Q, (я)]П[Q2(«)]• Так как S" гомеоморфно отображает
[Qi (")] на IQ<1> '=1> 2i то, в силу леммы 2 и утверждения E, а), отобра-
отображение i|>rt открыто в точке х.
Если сторона АВ лежит на стороне квадрата Г, то открытость tyn
в точке х следует из того, что (SJ) *<>"¦*• и из гомеоморфности отображе-
отображения 1|>п на [Qi(n)].
(б) Пусть теперь ха является неконцевой точкой свободной стороны АВ
квадрата Q, и г < /г + я — 1.
Если точка х0 лежит на стороне А'В' квадрата Q'<Qi ранга г+1 и
не является концевой точкой стороны А'В', то мы находимся в условиях
предыдущего пункта (а) и, следовательно, отображение tyn в точке х
открыто.
Если точка Хц является вершиной А' квадрата Q'<Qi ранга г+1,
то (см. E, б)) она является вершиной еще одного квадрата Q < Q, ранга
г+1. Из определения разбиения (о„ следует, что xs[Q,(«)J f| [Q'(«)] П [Q («)]•
Открытость отображения i|)rt в точке х вытекает теперь (так же как и
в пункте (а)) из леммы 2 и утверждения E, б).
(в) Пусть х0 является закрепленной ранга г вершиной квадрата Qj,
г < k + п — 1. Возьмем такие, как в пункте E, в), квадраты Q2 и Q3 (соот-
(соответственно Q3). Тогда, в силу определения разбиения «>„, справедливо
3
включение х в (| [Qi (я)] (соответственно х 6 [Qi («)] f| [Qa («)] )•
Открытость 1|>п в точке х доказывается теперь так же, как в пунктах
(а) и (б).
(г) Пусть х0 является свободной ранга г вершиной квадрата Q,, г<
=^ k + п — 3. Рассмотрим такие, как в утверждении E, г), квадраты. Откры-
Открытость ibrt в точке х доказывается так же, как и в предыдущих пунктах
(а)-(в).
(д) Пусть, наконец, точка х0 является вершиной ранга q<r квадрата Q,
(ранг которого, напомним, равен г).
Тогда (см. (8)) существует квадрат Qz>Qi ранга q, для которого х0
является вершиной. Из определения разбиения <% следует, что х е [Q2 («)].
Открытость 1|>п в точке х следует теперь из пунктов (в) и (г).
Утверждение B6) доказано.
Положим
[Ln(°o,Q)]-lLni*>)]- П Яй'и.'Ч»)! « = 0,1,2,...
По соотношению (б) из § 1 Прибавления к гл. 1 множество [Ln (oo)]
гомеоморфно пределу спектра {[bn(т.)], &1т],
В силу утверждения B5) верно утверждение
B7) Отображения
Sm: [Ln (oo)l-> [Ln (m)],
являются гомеоморфизмами.

488 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
Положим
Ив утверждений B6) и B7) следует, что
B8) отображение
S(Q)«.S0: L(Q)->T
открыто.
Так как V(п) — Q(п), «=1,2,3, ..., то из B4) следует соотношение
B9) №(*>)]-S?l[Q].
Для квадрата QteXn, я=*0, 1, 2, ..., положим
Из B7) следует, что Srt гомеоморфно отображает Q, (оо) и [Q, (оо)] соответ-
соответственно иа Qi (п) и [Q, («)]. Из B3) заключаем, что
C0) проекция Эо гомеоморфно отображает Qi(oo) и [Qi(oo)] соответст-
соответственно на Qi и [Q}].
Поэтому можно считать (см. B7) и B6)), что множество [Ln+l (oo)] a
— [Ln+1(n + 1)] получается из множества [L"(oo)] в [Ln(n)]sa[Ln(п + 1)]
«подклеиванием» замыканий квадратов системы A,rt+1.
Покажем, что множество [L"(oo)] является суммой множеств [Qi (оо)]
¦ п
для Q,e= (J Я,'.
Действительно, утверждение справедливо при « = 0 (см. B9)). Предпо-
Предположим, что оно справедливо при я < т + 1, и пусть п =• т + I. В силу
утверждения B7) проекция гомеоморфно отображает [Lm+1 (оо)] на
[Lm+l(m+\)] и [Z/"(oo)] на \lm (m + 1)]. Нужное утверждение следует
теперь из того,.что Lm+' (m + \)=>Lm (m + 1)U \J Q,(m+.l).
.Из доказанного утверждения мо^кно заключить, что
C1) MQ)~ U IQi(oo)].
Через T(Qi), Qi e Я", обозначим множество тех точек из К, любая
окрестность которых пересекается с квадратами [Q' (оо)] ранга г, Q'<Qi
для сколь угодно больших г.
Ясно, что множества F(Qi) замкнуты. Докажем, что
C2) dimr(Q)<0.
Достаточно показать, что компакт Г (Q) вполне несвязен, т. е. что все
его компоненты одноточечны (см. гл. 2, § 3, теорема б).
Прежде всего, ясно, что
= (J T(Qt), л-0,1.% ..., ir(Q,)sr(Q,) при
Покажем, что множества T(Qi) и Г((?2) не пересекаются, если квад-
квадраты Qx и Qi имеют одинаковый ранг k + г и Q, ^ Q2.

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ 489
Для г==0 утверждение очевидно (в этом случае всегда Qi = Q2)-
Предположим, что оно верно для всех г<«— 1, п— 1 > О, и пусть г — п.
Если Q{<Q',, о'^Я", /=1,2, н Q[ Ф Qf2, to, по индуктивному пред-
предположению, Г (Q,) П Г (Q2) s Г (q')П Г (Q'2) = Л.
Пусть теперь Qt < Qo> / = 1, 2. Qo s %п~1. Так как (см. 30)) ЭоГ (Q,) s
"(Q) /=1, 2, то, в силу утверждения A5),
Следовательно, множество Srt (Г (Q,) П Г (Q2)) содержится в открытом мно-
множестве
Так как при Qf{ e %m, Q^ < Q<( имеем n%T(Qft) = Г (Q,), то (см. B0))
Следовательно, SrtF (Q<) s Гп (Q;)> /=»1, 2. Из утверждения A8) выводим,
что Srt(r(Q,)nr(Q2))sf/nrrt(Q1)nrrt(Q2) = A,OTKyAar(Q1)nr(Q2)==A.
Итак, для любого rt = 0, 1, 2, ... множество Г (Q) представимо в виде
дизъюнктной суммы замкнутых, а следовательно и открытых, в Г (Q) мно-
множеств Г «?<), Qt e V.
Таким образом, любая компонента множества Г (Q) содержится в одном
ао
из множеств вида v= P)r(Qrt), 0«^Я", Qrt+1<Qrt, « = 0, 1, 2 являю-
щемся пересечением открыто-замкнутых в Г (Q) множеств. Так как S0Y S
00 ОО
S Р) Г'(Qrt) E ^*| [Q*] и diam[Q']->0 при я->оо, .то множество SoY
п=-0 п—О
одноточечно.
Все проекции SJJ+P спектра S конечнократны, следовательно (см. При-
Прибавление к гл. 1, § 1, равенство E) и гл. 5, § 3, лемму 1),
C3) проекция S(Q)=S0: K->T нульмерна.
Таким образом, множество у сз SJ"'Sov нульмерно, и уже отсюда можно
заключить, что все компоненты компакта T(Q) одноточечны.
Однако можно показать, что множество у не только нульмерно, но даже
одноточечно.
Действительно, множество Э„у содержится в множестве Тп (Q«), кото-
которое проекцией S{J гомеоморфно отображается на Г (см. A7)). Следовательно,
множество Siny='Tn (Qrt)n(So)~ Soy, n—\, 2, 3 одноточечно.
Но тогда одноточечно и множество у => lim {Srtv> SJJ1}, « = 0, 1, 2, ... (см.
Прибавление к гл. 1, § 1, предложение 7).
Итак, dim Г (Q) = 0.
V. Пространства К. (п) а N («).
Рассмотрим систему ц («) всех квадратов ранга п. Для каждого квад-
квадрата Q е ц (п) возьмем предел К (Q) спектра S (Q). Проекции S (Q): К (Q)-+T
являются, как уже отмечалось, открытыми нульмерными (и непрерывными)
отображениями.

490 ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ [ГЛ. 9
Через К (га) обозначим веерное произведение пространств К, (Q) отно-
относительно отображений S (Q), Q е ц (л). Проекции произведения К. (га) на Т
и К (Q) обозначим соответственно через рп и р~
Из леммы 2 § 2 Прибавления к гл. 1 следует, что
C4) проекции рп и pQ, Q е \х (га), открыты и нульмерны.
Положим
M(Q) = pJHQ), Qe|t(n).
Ив открытости проекций р. вытекает открытость отображений
pQ: M(Q)-»L(Q).
Но тогда из утверждения B8) вытекает справедливость утверждения
C5) Отображение pn«=S(Q)p_: M(Q)-+T, Q«=n(ra), открыто.
Покажем, что
C6) /Г (я)- (J M(Q).
Действительно, если рпх — х0 е [Q], Q е ц (я), то (см. B9))
pQ* - xQ e (S (Q)) [Q] - [L° (со)] s L (Q).
Заметим еще, что из утверждений C2), C3), леммы 2 из § 2 Приба-
Прибавления к гл. 1 и следствия 3 из § 4 гл. 6 вытекает утверждение
C7) Компакты р (Q) «=р^'Г (Q) нульмерны.
Построим пространства W (п) и отображения fn: W (n) -> 7". Так как
множество i(Q)Ur(Q)=« [L (Q)] замкнуто в /С (Q), то множество P(Q) =
= M(Q)UP(Q) замкнуто в К (п).
Пространство N' (л) положим равным дискретной сумме компактов Р (Q),
Q е ц (п). Через g'n обозначим, очевидно, непрерывное отображение N' (п)
на К (п), ставящее в соответствие точке х& P{Q)s N' (п) эту же точку
множества P(Q)s./C(n). Ясно, что g'n есть гомеоморфизм на каждом мно-
множестве P(Q)sN' (га).
Через Af (га) обозначим пространство следующего разбиения vn про-
пространства N' (га).
Будем считать точки д:, и х2 из N' (га) входящими в один элемент раз-
разбиения vn тогда и только тогда, когда
Естественное отображение N' (га) на N (га) обозначим, как и соответ-
соответствующее разбиение, через vn-
Очевидно, определено отображение gn: N(n)->K(n), удовлетворяющее
соотношению g'n = gnvn. Из этого соотношения, из непрерывности отображе-
отображения g'n и из факторности отображения vn следует непрерыввость отображе-
отображения gn. Из гомеоморфности отображения g'n на множествах P(Q)^N'(n)
следует, что vn гомеоморфио отображает множество P(Q)sN'(n) на
множество vn(P(Q))=i P(Q)sN{n), a gn гомеоморфио отображает мно-
множество P(Q)sW (га) на множество Р (Q) S /С (га).
Из леммы [ следует, что пространство N (га) является компактом.
Так как отображение gre коиечнокоатно, а <>тображение ря нульмерно,
то (см- § 4 гл. 6, следствие 3.)

ПРИБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ ДЕВЯТОЙ 491
C8) отображение /„ = pngn: N (п)->Т нульмерно.
Покажем, что
C9) отображение fn: N (п) ->Т открыто.
Рассмотрим точку xeN(n) и ее окрестность Ох. Из соотношения C6)
следует, что gnx sM(Q) для некоторого Qs|i (л).
Так как gn гомеоморфно отображает множество P(Q)sN(n) на мно-
множество P(Q)s/C(n). то множество gn0x содержит окрестность точки gnx
относительно множества М (Q) s P (Q). Но тогда (см. C5)) множество
fn0x — pngnOx содержит окрестность точки fnx относительно Т. Утвержде-
Утверждение C9) доказано.
VI. Через N обозначим веерное произведение компактов N (п) отно-
относительно отображений fn: N {п)->Т, п = 1, 2, 3, ...
Проекции N иа 7" и иа N (п) обозначим соответственно через f и А„.
Из утверждений C8), C9) и леммы 2 из § 2 Прибавления к гл. 1 сле-
следует, что
отображение f: N -> 7* открыто и нульмерно.
Покажем, что dim N ^ 1. Для этого достаточно установить выполнение
условий леммы 4.
Возьмем точку х s N, точку х0 = fx и окрестность О точки х0.
Через ?' (п) обозначим систему всех квадратов ранга п, замыкания которых
содержат точку *0. Через ? (п) обозначим систему тех квадратов ранга п,
замыкания которых пересекают замыкание хотя бы одного квадрата из
системы J' (п). Ясно, что
D0) [Q*] ф *0 Для любого квадрата Q е ц (п) \ ? (п).
Очевидно, существует такой номер т, что
D1) U [(?'] = О.
Q в S (m)
Пусть *т =» Ат*. Фиксируем произвольно выбранный квадрат Q е ц (т).
Из соотношений C0) и C1) получаем (S(Q))[L (Q)] s [Q*\. Следовательно,
для множества Р (Q) s /С (т) справедливо включение
Так как при отображении gm: N (т) -+ К (т) множество P(Q)sN(m)
переходит в множество P(Q)^K(m) и fm=pmgm, то fmP(Q)s[Q].
Отсюда и из соотношений D1) и D0) следует, что
F- U P(Q)sf~lO
и что
xm^V = N(m)\ U pW-
Так как N (m) является суммой множеств P(Q), QE|i (m), то V г F г f ~ХО.
Из определения разбиения vm следует, что любые два множества Р (Q)
пересекаются лишь по точкам из множества g~lp (/n). Поэтому гр V г g~'fi (m).
Так как (по теореме суммы и C7)) множество Р (т) нульмерно, а отобра-
отображение gm коиечнократио, то (см. § 4 гл. 6, следствие 3) dim гр V <
< dimg~1p(m)<0, т. е. в indrpV<0.
Условия леммы 4 выполнены, следовательно, dim N =• ind N < 1. Так
как открытым отображением размерность нульмерного бикомпакта повысить
нельзя (см. гл. 9, § 4, предложение 1), то dim N ^ 1.
Итак, мы построили открытое нульмерное (и непрерывное) отображе-
"ие f:N->T одномерного компакта N иа квадрат Т.

Глава десятая
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Введение
Возникновение и быстрое развитие теории бесконечномерных
пространств принадлежат к числу значительных событий в то-
топологии последних лет. Первые понятия, лежащие в основе
этой увлекательной главы теории размерности, и некоторые
основные относящиеся к ней проблемы были известны еще
Урысону. В частности, в первой главе его «Мемуара о канто-
ровых многообразиях» ([1], стр. 269) читаем:
«Замечание. Вместо бесконечной размерности можно было бы
ввести трансфинитные размерности для всех чисел второго
класса и, может быть, даже дальше, потому что размерность
(согласно ее определению) есть порядковое число. Впрочем,
это распространение, по крайней мере в данный момент, ка-
кажется мне лишенным интереса, тем более, что даже в этом
случае останутся, по-видимому, множества, не укладывающиеся
в классификацию (области гильбертова пространства)».
- Это было написано летом 1922 г. В последний год своей
жизни A924) Урысон владел понятиями счетномерного простран-
пространства (т. е. пространства, являющегося суммой счетного числа
конечномерных, значит и нульмерных, множеств), равно как и
понятием слабо счетномерного пространства (т. е. пространства,
представимого как сумма счетного числа своих конечномерных
замкнутых множеств). Он ставнл вопрос о связи этих понятий
с трансфинитной размерностью, а также интересовался дока-
доказательством несчетномерности гильбертова кирпича (в которой
был твердо уверен). Урысон не успел доказать ни одной из
своих гипотез, относящихся к бесконечномерным пространствам,
и он ничего не опубликовал о них (даже доказанного им факта,
что трансфинитная размерность есть порядковое число второго
класса).
В настоящее время положение существенно изменилось.
Мы имеем достаточно далеко продвинутую теорию счетномер-
ных пространств, равно как пространств, допускающих транс-

ВВЕДЕНИЕ 493
финитную размерность (§§ 1—4). На основе теоремы о пере-
перегородках дано, по-видимому, окончательное положительное опре-
определение сильно бесконечномерных компактов.
Это определение может быть сформулировано и посредством
аналога теоремы о существенных отображениях. Исследуются
вопросы о непрерывных отображениях слабо бесконечномерных
(т. е. не сильно бесконечномерных) пространств на сильно
бесконечномерные н вопросы существования универсальных про-
пространств для различных классов бесконечномерных пространств.
Определяется понятие бесконечномерного канторова много-
многообразия, и доказывается теорема о существовании бесконечно-
бесконечномерного канторова многообразия во всяком сильно бесконечно-
бесконечномерном компакте.
Однако остается нерешенной следующая центральная проблема:
совпадает ли класс слабо бесконечномерных компактов с клас-
классом счетномерных?
Большой интерес в теории бесконечномерных пространств
вызывала проблема, поставленная Тумаркиным еще в 1926 г.,
а именно:
Существует ли бесконечномерный компакт, размерность вся-
всякого непустого замкнутого подмножества которого или равна
нулю, или бесконечна?
Эта проблема решена лишь в последние годы Хендер-
соном [1], [2]: он построил компакт с только что сформулиро-
сформулированными свойствами н даже показал, что эти «тумаркинские
компакты» составляют в некотором смысле «большинство» среди
бесконечномерных компактов, а именно — всюду плотное Gs-mho-
жество в пространстве всех бесконечномерных компактов (рас-
(рассматриваемом как подпространство пространства замкнутых под-
подмножеств гильбертова кирпича).
К сожалению, эти сенсационные результаты должны были
остаться за пределами нашей книги, равно как и не менее
интересные результаты Андерсона (R. D. Anderson) и других
авторов по вопросам, связанным с понятием бесконечномерного
многообразия и примыкающими к нему понятиями.
Ниже через \jQn будет обозначаться пространство, являю-
являющееся дискретной суммой /i-мерных кубов Q", гильбертов кир-
оо
пич Q°° будет рассматриваться как произведение Ц Q{ отрезков
Q( = {xi 10 ^ xt ^ 1}. Через Qa будет обозначаться множество тех
точек гильбертова кирпича, лишь конечное число координат
которых отлично от нуля. Ясно, что множество Qa является
суммой я-мерных кубов Q" = {* .= {* J \xn+i — xn+2*= ••• =0},
/i=l, 2, 3, ...

404 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
§ 1. Трансфиннтные индуктивные размерности
Размерности ind-Y и Ind А" пространства X были при помощи
индукции определены в гл. 2 для всех чисел п — — 1, 0, 1, 2, ...
Продолжим эти определения на трансфинитные числа.
Определение 1. Для пустого множества Л и только
для него считается ind Л = — 1. Предположим, что для поряд-
порядкового числа р (быть может, бесконечного) уже определен класс
регулярных пространств X, каждое из которых удовлетворяет
неравенству indX^a хотя бы для одного порядкового числа
a < р, a = a(Z). Для регулярного пространства X будем счи-
считать ind X ^ р, если
(а) для любой точки х е X и любого замкнутого в X мно-
множества F ф х между х и F в X существует перегородка Ф, удо-
удовлетворяющая неравенству ind Ф ^ а для некоторого a—a (Ф) < р.
Как и в конечномерном случае, условие (а) равносильно
следующему условию:
(б) для любой точки х е X н любой ее окрестности Ох суще-
существует такая окрестность Vx^[Vx]sOx, что indrpVx^a для
некоторого a = a (Vx) < p.
Считаем ind X — a, если a = min {a' | ind X ^ a'}. Соотношение
ind X < p означает, что существует a, для которого ind X ^ a, < p.
He для всякого регулярного пространства X размерность indZ
определена. Например, как будет показано ниже, она не опре-
определена для гильбертова кирпича Q°°.
Автоматически трансфинитной индукцией доказывается сле-
следующее утверждение:
A) если для регулярного пространства X определена раз-
размерность ind ^Г, то для любого его подпространства А также
определена размерность ind А и
ind A < ind X.
Перейдем к большой индуктивной трансфинитной размер-
размерности. Впервые она была рассмотрена Смирновым в [б].
Определение 2. Для пустого множества Л н только для
него считается IndA= — 1. Пусть для порядкового числа р
(возможно, бесконечного) уже определен класс нормальных
пространств X, каждое из которых удовлетворяет неравенству
Ind X ^a хотя бы для одного порядкового числа a < p, a=a(X).
Для нормального пространства X полагаем IndZ^p, если
(в) для любой дизъюнктной пары замкнутых в X множеств
F\ и F2 между Ft и F2 в X существует перегородка Ф, удовлетво-
удовлетворяющая неравенству Ind<P^a для некоторого а = а(Ф)<р.
Очевидно, условие (в) определения 2 равносильно условию
(г) для любого замкнутого в X множества F и любой его
окрестности OF найдется такая окрестность VF s [VF] ? OF,
что IndrpVf s^a для некоторого a = a{VF) < §.

S 1] ТРАНСФИНИТНЫЕ ИНДУКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ 496
Считаем IndZ = ct, если а = min {а' | Ind X < а'}. Соотноше-
Соотношение IndZ < р означает, что существует а, для которого Ind АГ<
<а<р.
Как и indZ, размерность Ind А" определена не для любого
нормального пространства X (см. ниже).
При помощи трансфинитной индукции читатель легко до-
докажет следующие два утверждения:
B) если для нормального пространства X определена раз-
размерность Ind X, то для любого замкнутого в X множества F
также определена размерность Ind/\ причем
C) если для нормального пространства X определена раз-
размерность IndZ, то определена также и размерность indZ и
indZ<IndZ.
Заметим, что для пространства \jQn размерность ind(jQ"
определена н равна, очевидно, со0) в то время как размерность
Ind(jQre не определена (это будет показано несколько позже).
Оценим значения indZ и IndZ сверху (в зависимости от
мощностных характеристик пространства X).
Система 23 открытых множеств пространства X называется
большой базой пространства X, если для любого замкнутого
в X множества F и любой его окрестности OF найдется такой
элемент V системы S3, что F s V s OF. Наименьшую мощность
большнх баз пространства X обозначим через WX. Как и ранее,
через wX обозначаем вес пространства X. Очевидно, всегда
X^WX
Легко видеть также, что для замкнутого подпространства F
пространства X пересечения элементов большой базы простран-
пространства X с множеством F образуют большую базу в F. Поэтому
WF < WX.
Теорема 1 (Гуревич и Волмэн [I], Тулмин [1],
Смирнов [5]). Если для нормального, соответственно регуляр-
регулярного, пространства X определена размерность Ind X, соответ-
соответственно ind X, и WX^. Ц а, соответственно wX^. N а, а=0,1,2 то
indX <соа+1,
соответственно
ind J<coa+1.
Доказательство обоих неравенств протекает одинаково, по-
поэтому докажем лишь первое неравенство. Фиксируем какое-
нибудь ч,

496 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
Если размерность Ind X конечна, то Ind X < со0 < юа+1. Пред-
Предположим, что для всех порядковых чисел р < у соотношение
Ind X ^ р влечет соотношение Ind X < соа+1.
Пусть Ind X ^ Y- Возьмем произвольную большую базу
23 —{?/} пространства X мощности <Na. Пару Я, = {?/', U")
элементов этой базы назовем отмеченной, если существует
хотя бы одно такое открытое в X множество V, что [?/'] —
sKs[F]?(/ff и IndrpF^p<Y- Для каждой отмеченной
пары А, = {?/', ?/"} выберем одно такое открытое в X множе-
множество Vx, что
[?/']?= VX?=[VJS[/" и
Так как система отмеченных пар имеет, очевидно, мощность
^ Na, то и мощность системы v множеств V%. также ^ Na.
Множества гр V% замкнуты в пространстве X, поэтому №гр Vx^.
< WX^. Ца. По индуктивному предположению имеем Ind гр V\ <
< coa+i для любого Я. Так как мощность системы v не прево-
превосходит Na, то существует такое число Ро < <оа+1, что Ind гр Кх<
^Ро для любого Я,.
Покажем, что IndZ^Po+ 1. Рассмотрим произвольное зам-
замкнутое в X множество F и его окрестность OF. Существует
элемент U" большой базы 93, содержащий множество F и со-
содержащийся в OF. Так как IndZ^\> T0 существует такое
открытое в X множество V, что [F]^C/" и Indrp7^p<\-
Так как пространство X нормально и 93 — его большая база,
то существует такой ее элемент U', что f s[/'s [?/'] s V.
Пара А, = {?/', ?/"}, таким образом, отмеченная. Ясно, что
F<=VX<=[VX]<=U"<=OF и IndrpKx<p0. Итак, IndZ<po+ 1.
Но тогда Ind X < coa+I. Таким образом, для любого порядкового
числа у соотношение Ind X ^ y влечет соотношение Ind X < coa+I.
Следовательно, не существует пространства X с U^Z^Ka н
Ind X ^coa+I.
Теорема доказана.
Следствие 1. Если для пространства X со счетной базой
определена размерность ind X, то
indZ < щ.
Предложение 1. Для бесконечного бикомпакта X спра-
справедливо равенство
WX = WX.
Доказательство. Выберем в X базу 95' = {Оа} мощ-
мощности x — wX. В силу бесконечности бикомпакта X число т
бесконечно, поэтому система 23—{Oa[(J ... U Oa,} всевозмож-
всевозможных конечных сумм элементов базы 93' имеет мощность т.
Система 23 является большой базой в Х- Действительно, врзь-

* Л ТРАНСФИНИТНЫЕ ИНДУКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ 497
мем замкнутое в X множество F и его окрестность OF. Для
каждой точки xef выберем такой элемент Оа{х) базы 93', что
хеО„ (х) ? OF. Из покрытия {Оа {х)}, x^F, множества F
выберем конечное подпокрытие {Ot — Oa^X[^,i=l «.Ясно,
что
Итак, WX = доХ, что и требовалось доказать.
Из теоремы 1 и предложения 1 вытекает
Следствие 2. Если для бесконечного бикомпакта X веса
< »а определена размерность Ind X, то
Ind X <соа+1.
В частности, если для компакта X опргделена размерность
Ind X, то
Ind X < со, *).
Легко указать класс пространств X, для которых определена
размерность indZ и не определена размерность IndX. Таким
классом является, например, класс а пространств X со счетной
базой, представимых в виде дизъюнктной суммы открытых в X
множеств Хп размерности indХп = IndХп = п, я —0, 1, 2, ...
Ясно, что ind X = со0 для любого такого пространства X.
Предположим, что для некоторых пространств X указанного
класса а определена размерность Ind X. Среди этих пространств
можно найти такое пространство Х°, для которого значение
Ind Х° будет минимальным. Пусть IndX0 —{i. Так как Х°еи,
то Х° является дискретной суммой открытых множеств Хп раз-
размерности IndJn = rt, rt —0, 1, 2, ... В каждом слагаемом Хп
возьмем такую дизъюнктную пару замкнутых множеств Ап и Вп,
чтобы любая перегородка С„ между ними в Хп имела размер-
размерность IndCn>n— 1.
00 00
Множества A — \jAn и B = \jBn замкнуты в Х° н не пере-
ге=>1 п=>1
секаются. Возьмем между А и В перегородку С размерности
IndC = a < р. Замкнутое в Х° множество С является дизъюнкт-
дизъюнктной суммой открытых в С множеств Сп — С[)Хп. Множе-
Множества С„ являются перегородками между Ап и Вп в Хп, поэтому
п — 1 ^ IndCn5^rt. В каждом С„ можно выбрать замкнутое
подмножество Dn размерности IndDn = n— 1. Множество
*) В § 4 будет доказано следующее общее утверждение: если для
метрического пространства X определена размерность Ind X, то Ind X < (Oj.

498 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
оо
D= (J Dn замкнуто в С, следовательно, Ind D < Ind C = a < р.
п—1
Но пространство С принадлежит классу а, поэтому (в силу
выбора пространства Х°) имеем Ind С ^ Ind Х° = р. Полученное
противоречие показывает, что ни для одного пространства X
класса а, в частности для {jQn, размерность Ind X не опре-
определена.
Оказывается, имеется тесная связь между следующими двумя
свойствами пространства X:
А. Для пространства X определена размерность ind X или
Ind-У.
Б. Пространство X можно разложить в счетную сумму
нульмерных подпространств.
Определение 3. Нормальное пространство X называется
счетномерньш, если оно представимо в виде счетной суммы
оо
X={JX{ своих подпространств Xi размерности dimZ/^0,
(=1
/=1, 2, 3, ...
Теорема 2(Гуревнч и Волмэн [1]). Если полное метри-
метрическое пространство X счвтномерно, то для него определена раз-
размерность ind X.
Доказательство (от противного). Считаем X =
оо
= (J Xt, dimZ, <0. Положим Yx — X и предположим, что
размерность ind X не определена. Это означает существование
такой точки yi&Yi н такой ее окрестности О,, что для любой
окрестности Vt этой точки, удовлетворяющей соотношениям
размерность ind rp V{ не определена. Очевидно, можно считать
diam О, <-%• По предложению 1 из § 3 гл. 6 существует такая
окрестность ?/, точки уи что U{ S [Ut] S 0\ и гр ?/, f) Xi = A.
В силу выбора окрестности Ои для пространства Y2 = rpUl
не определена размерность ind Г2 и diam Y2 < -у •
По индукции можно, очевидно, построить систему замкну-
замкнутых в X множеств У/, для которых не определена размерность
ind Yi,
и di8mY<
В силу полноты пространства X пересечение р)Уг непусто,

$ I] ТРАНСФИНИТНЫЕ ИНДУКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ 499
00 СО
но в то же время fJ^sZ \Мя, = Л. Противоречие! Теорема
доказана.
В теореме 2 размерность ind X нельзя заменить размер-
размерностью Ind X. Действительно, пространство \jQn обладает,
очевидно, полной метрикой, разлагается в счетную сумму нуль-
нульмерных множеств, но, как показано выше, для него не опре-
определена размерность IndJjQ".
Теорема 3 (Гуревич и Волмэн [1]*), Смирнов [6]).
Если для сильно метризуемого пространства X определена раз-
размерность indZ, го пространство X счетномерно.
Доказательство. В случае indX = О утверждение тео-
теоремы следует из теоремы 13 § 3 гл. 6. Предположим, что
утверждение теоремы верно в случае ind X < а для любого
а<р. Пусть indZ<p. Возьмем е„ — ~, п—\, 2, 3, ... До-
Дословно так же, как в лемме 7 нз § 3 гл. 6, можно пока-
показать следующее: в покрытие пространства X, составленное
из —окрестностей всех точек пространства X, можно вписать
такое сг-дискретное открытое покрытие vn~[J4ni> что
vn< = {Ve> бебД 1=1, 2, 3, ....
где все vni дискретны и ind гр Ve < а = а F) < р для всех
Veevn. Система v = (Jvn образует базу пространства X. Мно-
жество Zo = -XA'(J гр Уе обладает базой из открыто-замкну-
тых в Хо множеств Ve[)X0, Ve^v. Поэтому indX0<0. Но
пространство Xq сильно метрнзуемо, следовательно (см. гл. 6,
§ 3, теорема 13), и dimZ0<0.
Так как система vn/ дискретна, то дискретна и система
{грУе}, yeevn(, для каждой пары значений п н / (см. гл. 1,
§ 6, предложение 7). По индуктивному предположенню каждое
множество гр Уе разлагается в сумму множеств Ав1 размерности
сПтЛе/<0, / = 1, 2, 3, ... Но тогда и dim [j Ле/<0. Таким
ee
образом, множество (J rp V6 разлагается в счетную сумму
в
*) Для пространств со счетной базой.

600 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
нульмерных множеств (J Ле/. Следовательно, множество
(J гр Ve — (J (J гр Ve, а значит и все пространство X =
= -XoU (J гр Ve, разлагается в счетную сумму нульмерных
множеств. Теорема доказана.
Из теорем 2 и 3 вытекает
Следствие 3. Для полного метрического пространства X
со счетной базой тогда и только тогда определена размерность
indZ, когда пространство X счетномерно.
Перейдем к большой индуктивной трансфинитной размер-
размерности.
Теорема 4 (Смирнов [6]). Если для метрического про-
пространства X определена размерность Ind X, то пространство X
счетномерно.
Доказательство. Если IndZ^O, то dimZ^O (по
предложению 1 из § 3 гл. 2) и утверждение теоремы выпол-
выполняется. Предположим, что утверждение теоремы имеет место
для всех чисел о<р в случае IndX^a. Пусть IndZ^p.
Возьмем базу пространства X, распадающуюся в счетную сумму
дискретных в X систем oat открытых в X множеств Ов, В е вг,
i=l, 2, 3, ...
Каждое множество Ое представим в виде счетной суммы
замкнутых в X множеств Fej, /=1, 2, 3, ...
В силу дискретности системы ©г дискретной будет и каждая
система Хц = {Fe!, 9евг}, /== 1, 2, 3, ... Следовательно,
тела Kij систем Кц будут замкнуты в пространстве X. Тело G>t
системы ©J является окрестностью множества kit. Поэтому
существует такая окрестность Уц множества ki/, что У4/ = 54
и IndrpFt/^a^a^", /)< р.
Множества Ve/ = Уц П Ов открыты и являются окрестностями
множеств Fq}, 9ев,-, /=1, 2, 3, ... Докажем, что система v
всех множеств Vel, 6ев(, / = 1, 2, 3 t=l, 2, 3
есть база пространства X.
Действительно, возьмем точку х е X и ее окрестность Ох.
Тогда существует такое множество Ов, В е вь что х е Ое s Ox.
оо
Но так как Oe = (jFe/) то x^F%! для некоторого номера /,
откуда х е Fel s Fe/ s Oe s Ox. Итак, система v является базой
пространства X. В силу включений Уе/ ? Ое> 9 е 0г и дискрет-
дискретности системы (at дискретной будет и система vjy = {V6/, 0i

« 1] ТРАНСФИНИТНЫЕ ИНДУКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ 601
для каждой пары значений i и у. Отсюда следует, что под-
подпространство
Х0 = Х\ (J (J грУе/
1,1 бее,
пространства X обладает а-дискретной базой из открыто-зам-
открыто-замкнутых в Хо множеств Хо П Vqj. По следствию 1 из § 3 гл. 6
отсюда вытекает, что dim .Хо ^ 0.
В силу дискретности систем \ц имеем равенства
грк„=х!
Поэтому
вев,
х\хо=и U rpFe/=UrP^/-
I. I вев, I, 1
Но по индуктивному предположению каждое множество rpVtj
представимо в виде счетной суммы нульмерных мкожеств,
следовательно, и все пространство X представимо в виде счет-
счетной суммы нульмерных, множеств. Теорема доказаиа.
Докажем следующее частичное обращение теоремы 4:
Теорема 5 (Смирнов [5]). Для счетномерного ком-
компакта X определена размерность Ind X.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2 и
00
проводится от противного. Пусть X={JXi, dimXj<0,
t=l, 2, 3, ... [Предположим, что для компакта X не опре-
определена размерность Ind X. Тогда в пространстве X существует
такое замкнутое множество F, и такая его окрестность О1( что
для границы гр V{ любой окрестности V\ s [Vi\ = О\ множе-
множества F, также не определена размерность Indrp^!. По пред-
предложению 1 из § 3 гл. 6 существует такая окрестность t/, мно-
множества F,, что ?/, = [?/,] = О, и т^ихГ\Х1=К. Тогда, в силу
выбора окрестности У,, для компакта К2 = гр С/д не определена
размерность Ind Y2. По индукции можно построить систему
компактов Yi = X, для которых не определена размерность
Indy(, Г,+1?7, и Yi+lftXt = &, i=l, 2, 3, ... В силу ком-
пактности пространства X пересечение f) Yi непусто, но в то же
оо оо
время Р) YtsX\\J Xi = A. Противоречие!
Теорема доказана.

602 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
Из доказанной теоремы и следствия 3 вытекает
Следствие 4. Для компакта X следующие утверждения
равносильны:
A) определена размерность indX;
B) определена размерность Ind X;
C) компакт X счетномерен.
Замечание 1. Существуют компакты любой конечной
размерности (например, n-мерные кубы). Аналогичным образом
обстоит дело и в случае трансфинитных индуктивных размер-
размерностей. Оказывается (Смирнов [б], Левшенко [3]):
Для любого порядкового числа а < щ существуют ком-
компакты S° и L° размерности
A) IndS° = a и indLa = a*).
Компакты S° строятся по индукции: S0 есть точка. Пред-
Предположим, что для всех чисел a < Р (Р < щ) компакты S° уже
построены. Тогда:
(а) Sfi = Sa'XQ, если р = ао+1, где Q = [0, 1], и
(б) Sp есть одноточечная компактификация дискретной суммы
всех компактов S° для a < Р, если р — предельное число.
Доказательство равенств A) мы приводить не будем.
Замечание 2. Левшенко [2] показал, что компакт Sa°+i
можно представить в виде суммы двух гомеоморфных компак-
компактов Ф[ и Ф2 размерности
ind Ф( = Ind <&i = ©о, /=1,2.
Таким образом, уже конечная теорема суммы для трансфинит-
трансфинитных размерностей неверна даже в классе компактов **).
Замечание 3. В классе пространств со счетной базой X,
для которых определена размерность indZ, не существует
универсального пространства U.
В самом деле, если бы такое пространство U существовало,
то оно обладало бы двумя противоречащими друг другу свой-
свойствами:
1) ind U < ©! (по теореме 1) и
2) indi/^a для любого a < о)] (так как L°sC/ для любого
а < coj).
По той же причине не существует универсального простран-
пространства в классе пространств X со счетной базой, для которых
определена размерность Ind X.
*) Недавно Л. Люксембург построил компакт Ф размерности ind Ф
= ©о 4-1 < Ind Ф = ш0 4- 2.
**) См. также Тулмии[1].

S 2] СЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 603
§ 2. Счетномерные пространства
В предыдущем параграфе мы уже фактически начали изу-
изучение счетномерных пространств. Как было показано в § 3 гл. 6,
соотношение dim X ^ п для метрического пространства X рав-
равносильно возможности представления X в виде суммы не более
чем п + 1 нульмерных множеств. Таким образом, по крайней
мере в классе метрических пространств понятие счетномерного
п-ространства обобщает понятие конечномерного пространства.
Сделаем несколько очевидных замечаний:
1) подпространство счетномерного совершенно нормального
¦ пространства счетномерно (см. теорему 18 из § 8 гл. 4);
2) если пространство X представлено в виде счетной суммы
оо
X=={JXt счетномерных подпространств Х{, то пространство X
счетномерно, в частности, счетномерно пространство, являю-
являющееся счетной суммой конечномерных метрических пространств;
3) если пространство X представлено в виде дизъюнктной
суммы своих открытых счетномерных множеств Ха, оеЯ, то
пространство X счетномерно.
оо
Действительно, если Ха= \Jx'a, dimXi<0, ( = 1,2,3, ...,
oe?t, то dim [J j?<0 и X= \J(\J Xi).
Некоторые свойства счетномерных пространств аналогичны
соответствующим .свойствам конечномерных пространств.
В § 3 гл. 6 было показано, что для метрического простран-
пространства X соотношение dim X ^п равносильно тому, что X является
образом нульмерного метрического пространства при непрерыв-
непрерывном замкнутом отображении кратности ^л+1- Подобным
образом можно охарактеризовать и счетномерные метрические
пространства (см. теорему 6 и следствие 1 теоремы 7 этого
параграфа).
Теорема 6 (Нагата [3]). Для метрического простран-
пространства X следующие утверждения эквивалентны:
(а) пространство X счетномерно;
(б) пространство X обладает такой в-дискретной базой {Va},
что кратность системы {гр Va} конечна в каждой точке про-
пространства X;
(в) существует непрерывное замкнутое конечнократное ото-
отображение метрического пространства Х° размерности dimZ°^0
«а пространство X *).
*) Отображение f: X->Y конечнократно, если множество f~xy конечнр
для любой точки ц щ у.

504 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
Докажем сначала, что из утверждения (а) следует утвер-
утверждение (б).
Лемма 1. Пусть в метрическом пространстве X даны: си-
система множеств Хп размерности dimZn^0, n =1,2,3 си-
система открытых множеств Ot и система замкнутых множеств
Fts=Ot, *= 1,2,3,...
Тогда существует такая система открытых множеств Vi, что
A) FtsV,sOt, /=1,2,3, ...;
B) крх{гр7() i= 1,2,3, .. .}^п — 1 в любой точке х мно-
множества Хп, п = 1,2,3, ...
Доказательство. Множества Хп можно считать дизъюнкт-•
ными, иначе достаточно рассмотреть множества Хи Х2\Хи ...
..... Хп\ \JXr, ...
В силу наследственной нормальности пространства X суще-
существует (см. гл. 6, § 3, предложение 1) такое открытое множе-
множество V\, что F, Е 7, s (?! и грУ1П-^1 = Л. Таким'образом,
множество 1^! удовлетворяет условию A) и для /=1 система
{V{} удовлетворяет условию
B)/ крх{гр Vi | i=l /}^/г—1 в любой точке множе-
множества Хп, п= 1, 2, 3, .;.
Предположим, что для номеров i^k уже построены от-
открытые множества Vt, удовлетворяющие условиям A) и B)А.
Построим так множество Vk+i, чтобы удовлетворялись условия
A) и B)k+i- Положим
для п = 2, ..., k, k + 1, так что множества Л„ дизъюнктны,
так как дизъюнктны множества Хп. Пусть
Bk+i — U Л»
р
Покажем, что множества |J Ап, Р= 1, ..., k, открыты в Вк+1.
Заметим, прежде всего, что
C) (J AnsF^ у U (rpVi.n ... Пгр/,„_,),
п=-Р+1 п=-р+1 (,<*...., („_,<*
кроме того,
UU
*) Индексы /,,..., 1п-} попарно различны-

$ 2] СЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 505
Множество F замкнуто (как сумма конечного числа замкнутых
множеств) и состоит из точек хеХ, в которых
Дополнительное к F множество X \ F открыто и состоит
из точек пространства X, в которых
Kpx{rpVt\i= 1, ..., k}<p.
Из условия B)к вытекает включение
Из включений C), C'), D) и из дизъюнктности множеств Ап
следует равенство
{jAn=Bk+l()(X\F),
р
т. е. открытость множества (J Ап в ZJft+1 установлена.
п=-1
р+1 р
Но тогда множества Л, и Лр+1 = [jAn\[jAn,p=l,...,k,
l
имеют тип Fa в fift+!. Так как dim Лп<сИтХп<0, п—\, ...
..., ?+1» то по теореме суммы и dim ZJft+! < 0.
Возьмем теперь, как и выше, такое открытое в X множе-
множество Vk+U что Fk+1<=Vk+i^Ok+l и гр Vk+i П Вк+1 = Л. Оче-
Очевидно, система {гр V( | t = l k + 1} удовлетворяет усло-
условиям A) и B)А+1.
Продолжая это построение, получим искомую систему мно-
множеств Vi. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть метрическое пространство X предста-
представляется в виде суммы множеств Хп размерности dimXn
л= 1, 2, 3, ... Тоеда существует такая а-дискретная база
аеЯ, пространства X, что
- 1 для х(=Хп, п = 1,2,3,...
Доказательство. Для каждого k= 1, 2, 3, ... возьмем
or-дискретное -г-покрытие % пространства X. Пусть a>kj = {Oa},
as %kj, /= 1, 2, 3 — дискретные системы, в сумму которых
распадается покрытие %. Тела G»kj систем ©&/ при фиксиро-
фиксированном k образуют счетное открытое покрытие Q*. По пред-
предложению 7 из § 10 гл. 1 в покрытие Qk можно вписать такое
замкнутое покрытие Цй={/7й/}, что Fki^&kh /=1,2,3,...
По предыдущей лемме существует система таких открытых

<$06 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
множеств Vk!, что
A0 FklsVk,c=<bkh /=1,2,3 ? = 1,2,3
B') кр,{грК„|/=.1,2,3, .... ? = 1,2,3, ...}<«- 1
для любой точки jc е Х„, п =» 1, 2, 3, ...
В силу дискретности системы о)А/ система множеств Va =
= Ffc/ П <Эа, о s 2tft/, также дискретна для каждой пары значе-
значений k и /. Таким образом, система v всех множеств Va
является сг-дискретной.
Покажем, что система v является базой пространства X.
Возьмем точку х е X и ее -r-окрестность Ох. Существует
элемент Fkl покрытия \ik, содержащий точку х. Так как Fk{ s
— Vbi = \J Va, то для некоторого индекса а е %ki точка х co-
держится в множестве Va =* Oa {] Kfc/. Ho diara Oa < I/A, так как О„
является элементом -т-"П°кРытия соА. Следовательно, diam Va <
< 1/fe, откуда Va s Од?. Итак, система v является а-дискретной
базой пространства X.
Осталось показать, что для любой точки х^Хп
B") KPx{rpFo|Fae
В силу дискретности системы {VJ, а е Йл/, дискретной будет
и система {гр 1/о}, a e %kj. Поэтому
Таким образом, если точка х е Хп содержится в гр Vkj, то она со-
содержится ровно в одном элементе системы {гр Vo}, a e %kj. Отсюда
и из утверждения B ) следует утверждение B"). Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что утверждение (б) тео-
теоремы 6 вытекает из утверждения (а) этой теоремы.
Покажем, что из утверждения (б) теоремы 6 вытекает утвер-
утверждение (в) этой теоремы. Пусть база 33 метрического простран-
пространства X распадается в счетную сумму дискретных систем
23* = {Va}, а е 21,, I = 1, 2, 3 и кратность системы {гр Va},
оо
ae?t = (J %, в каждой точке пространства X конечна.
Через Ft обозначим разность X \ (J Va, /=1,2,3,...
Для каждого номера I возьмем произведение XY,Dt простран-
пространства X на пару изолированных точек ?), = {0, 1}. Подпростран-
Подпространство произведения X X Dt, состоящее из точек множества F\ =
= Fi X 1 и множеств [^^[^ХО. oelj, обозначим через Xt.

* 2] вЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 607
Естественную проекцию пространства Х{ на X обозначим
через р{. В силу дискретности в XXDt системы {VaXfy> «еЯ,,
а следовательно и системы {[Vo]'}, ae5tb множество Xt замк-
замкнуто в XXDt. Так как проекция произведения X X А на со-
сомножитель X замкнута, то и проекция pt'. Xt-*-X является
замкнутым отображением. Она, очевидно, осуществляет гомео-
гомеоморфизм F'i на Ft и [VaY на [Va], oel(. По построению проек-
проекция pi не более чем двукратна. Ясно, что прообраз pjxx со-
состоит из двух точек тогда и только тогда, когда х е (J гр Va.
Через Х° обозначим веерное произведение пространств Xt
относительно отображений р(: Xi-*X. Проекции Х° на X и
на Xi обозначим соответственно через я и nit /= 1, 2, 3, ...
Пространство Х°, очевидно, метризуемо, а отображение
я: Х°—>Х является отображением на все пространство X. Так
как для точки jce X прообраз я* гомеоморфен произведению
оо
ПрГ1* (см- Прибавление к гл. 1, § 2) и так как включение
х е гр Va осуществляется лишь для конечного набора индек-
индексов а, то лишь для конечного набора номеров 1и •••» is ПР°"
образы PYlx, k = \ s, состоят из двух точек. Для осталь-
остальных i прообразы pjxx одноточечны. Поэтому множество я~'х
конечно для любой точки х^Х. Итак, отображение я: Х^-*-Х
конечнократно. Докажем совершенность проекции я. Простран-
Пространство Х° естественным образом отождествляется с замкнутым
подмножеством произведения X X П Di- ПРИ этом проекция я
00
отождествится с проектированием произведения X X П А на
сомножитель X, которое совершенно (гл. 1, § 8, предложе-
предложение 11). Отсюда следует совершенность я.
Осталось показать, что dimX°<0. Для этого достаточно
показать, что пространство X обладает a-дискретной предбазой
из открыто-замкнутых множеств (см. гл. 6, § 3, следствие 1).
Система {F'{, [Va]'}, oe2t,, является, очевидно, дискретным,
открытым и замкнутым покрытием пространства Xt. Следова-
Следовательно, система со, = {njlF\, я~! [Fo]'}, aeStj, является дис-
дискретным, открытым и замкнутым покрытием пространства Xй. По-
кажем, что система © = (J oat является предбазой пространства Х°.
Возьмем точку х°еХ° и ее базисную окрестность 0 =

508 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. 10
=nj"'O, fl ...(]п^*О{ , гдеО, —окрестностькоординаты xt = я, х°
точки х°, /= 1, .... k.
Можно, очевидно, считать *), что pjxpt xt = *<, для j = 1, ...
..., г и рт]р. х, =х. \}хг, , х\ фх, , для / = г + 1, ••., k, где
Через Ф/ обозначим множество [Va]', если jc4 . e [KJ', и мно-
множество ^ь, если xi.&F'i, j= I, ..., k.
Множество Ф/ открыто-замкнуто в Xt , поэтому можно, не
ограничивая общности, считать О4 ^Ф/, /= 1, ..., k. Так как
x?t ф. Ф/( то можно взять окрестность О\ точки х'1 , не пересе-
пересекающуюся с Ф/, / = г+1, ..., к. Таким образом, pjxptxt =
= xt \}х\ sO, UOJ, / = r+l, .... k.
В силу замкнутости отображений pt существует такой эле-
элемент Va , аое21,, базы 93, что ях°э^а и р-1 IVа 1 г О, для
/= 1, ..., г, pjl Wа | S O/ U Oj для / = г + 1, ..., k. Ясно,
что рг1 Г^„ 1 ПФ/ s О, для всех /== 1 &. Поэтому открыто-
'/ l oj ' 7
замкнутое в Х° множество
к
Л
П
содержится в окрестности О точки дс°. Так как множество V
является окрестностью точки х°, то система а является пред-
базой пространства X. Неравенство dimX°<0 установлено.
Итак, из утверждения (б) теоремы 6 вытекает утвержде-
утверждение (в) этой теоремы.
Теорема 6 будет доказана, если мы докажем, что из утвер-
утверждения (в) этой теоремы вытекает утверждение (а).
Пусть метрическое пространство X является образом метри-
метрического пространства Х° размерности dim Х° = 0 при замкнутом
конечнократном отображении f: X°-*X,
*) В силу двукратности pt.

§ 2} СЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 609
Через Ха обозначим множество тех точек пространства X,
прообраз которых состоит ровно из п + 1 точек пространства Х°.
do
Так как отображение f конечнократно, то X = (J Xn.
да=0
Из замкнутости отображения f; X°^>-X вытекает замкну-
замкнутость отображений f: f~xXn^*-Xn, n=\, 2, 3, ... Так как
dimf~1Xns^dimX° = O, то, по теореме 9 из гл. 6, множество Хп
можно представить в виде суммы множеств Xnj размерности
/ = 0, 1, 2, ..., п. Но тогда пространство
п
X =[J Xn = {J [JXni счетномерно. Теорема 6 доказана.
я=»0 п=0 /=-0
Можно дать еще и следующую характеристику метризуемых
счетномерных пространств:
Теорема 7. Метрическое пространство X тогда и только
тогда счетномерно, когда
(г) существует такое непрерывное замкнутое отображение
f: Х°-+Х метрического пространства Х° размерности dim Х° ^ О
на пространство X, что для любой точки х s X мощность мно-
множества f~ х меньше с *).
Доказательство. Утверждение (г) следует из счетно-
мерности пространства X в силу эквивалентности утвержде-
утверждений (а) и (в) теоремы 6.
Пусть теперь выполнено утверждение (г). Покажем, что
тогда пространство X счетномерно.
По теореме Вайнштейна из § 7 гл. 1 отображение пери-
периферически компактно. Выбросив из Х° для каждого хе X вну-
внутренность множества f~lx, получим замкнутое в Х° множе-
множество X'. Отображение f: Х'-*Х, очевидно, совершенно,
a dimX'^0. Таким образом, не ограничивая общности рас-
рассуждений, можно считать отображение f: X^^-X совершенным.
Так -как компакт мощности < с не более чем счетен (гл. 1,
§ 7, теорема б), то отображение f можно считать счетнократным.
Возьмем базу 93 пространства Х°, распадающуюся в сумму
локально конечных систем 93г = {Уа}, ое 91(, 1= 1, 2, 3, ... Для
каждого а через Ла обозначим множество тех точек хеХ, для
которых пересечение f~'xfl [Va] одноточечно. Так как на множе-
множестве [Va] отображение f замкнуто, а на множестве 5О =
= /~Man[Ka] оно взаимно однозначно, то множество ?о гомео-
морфно отображается на множество Аа. Для каждого / = 1,2,3,...
*) Тот факт, что из утверждения (г) вытекает счетномериость про-
пространства X, впервые для компактного X установил Скляренко [2],
затем для полного X — Смирнов [6], в общем случае — Архангель>
с кий [2] и Н агами [2].

510 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
система Я/ = {Л„}, ае!,, локально конечна. Действительно,
возьмем точку ле! Ее прообраз f~lx является компактом и
поэтому пересекается лишь с конечным набором [VaJ , . •., [VOj]
элементов локально конечной системы 23j={[Vo]}, aelj.
В силу локальной конечности системы 23j и замкнутости ее
элементов, сумма F тех элементов системы Э5<, которые не пере-
пересекаются с f~lx, замкнута и не пересекается с f~lx. Раз-
Разность X \ F является окрестностью множества f~xx и содер-
s
жится в сумме (J[^aft]. ^3 замкнутости отображения f выте-
кает существование такой окрестности Ох точки х, что
f~lOx s X \ F. Ясно, что окрестность Ох может пересекаться
лишь с элементами ЛО( Aag системы Aj. Локальная конеч-
конечность системы Ki установлена.
со
Покажем, что a-локально конечная система X = \Jht является
i—i
покрытием пространства X.
Возьмем произвольную точку хs X. Ее прообраз /~ х
является счетным компактом н поэтому содержит по крайней
мере одну изолированную точку х°. Так как множество f~lx \ х°
является замкнутым в f~lx, то найдется такой элемент Va
базы 33, что *°eVo н [Уа][\Г1х = ха, откуда хеАа. Итак,
тело Я системы Я совпадает со всем пространством X.
00
Докажем счетномерность пространства X. Так как Я = (J%i,
то для доказательства счетномерности пространства X доста-
достаточно доказать счетномерность каждого множества Я^. При
любом oeSl; элемент Аа системы Я4 гомеоморфен множе-
множеству Ва, поэтому dim Ло= dim5o<dimZ° <0.
В силу локальной конечности системы Я( и теоремы 9 из § 3
гл. 6 пространство Я/ локально конечномерно.
Возьмем для каждой точки х е Я( конечномерную окрест-
окрестность Ох. В покрытие {Ох} пространства Я/ впишем покрытие ю,
распадающееся в счетную сумму дискретных систем а>] = {0Y},
Y е Г/, / = 1,2,3, ... Так как Оу ? Ох для некоторого хе!,, то
все элементы Ov дискретной системы в>/ конечномерны, тем более
счетномерны. Следовательно, тело йу этой системы со/ счетномерно.
оо
Так как Я, = (J S/, то пространство Я^, / = 1, 2, 3, ..., также

I 2] СЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 611
счетномерно, а потому счетномерно и пространство Х = К=*
оо
— U ^'- Теорема доказана.
/—1
Следствие 1. Метрическое пространство X счетномерно
тогда и только тогда, когда оно является образом метрического
пространства Х° размерности dimZ°^0 при непрерывном зам-
замкнутом счетнократном отображении.
Из характеристики счетномерных метрических пространств,
содержащейся в теореме 7, вытекает следующее утверждение:
Теорема 8 (Архангельский [2], Н агами [2]). Пусть
дано непрерывное замкнутое отображение f: X-+Y счетномер-
ного метрического пространства X на несчетно мерное метрическое
пространство У. Тогда несчетномерно и множество К, тех точек
y&Y, прообраз f~ly которых имеет мощность ^с.
Доказательство. Рассмотрим множества У2 = Y\Yi
и X2 = f~lY2. Отображение f: X2-+Y2 замкнуто, и мощность
каждого множества/"'г/, у е У2, меньше с. По теореме 6, в силу
счетномерности пространства Х2, существует непрерывное зам-
замкнутое и конечнократное отображение g: X°-*-X2 метрического
пространства Х° размерности dlmX°^0 на пространство^-
Очевидно, отображение fg: XQ-*-Y2 является замкнутым. Кроме
того, в силу конечнократности отображения g, мощность любого
множества (fg)*1 у, y&Y2, меньше с. По теореме 7 простран-
пространство У2 счетномерно. Отсюда следует, что множество У, не
может быть счетномерным, иначе счетномерным было бы все
пространство У = У1иУг- Теорема доказана.
Как и в классе ft-мерных метрических пространств веса г^т,
в классе счетномерных метрических пространств веса ^т суще-
существует универсальное пространство. Для доказательства этого
утверждения* нам потребуется следующая факторизационная
теорема:
Теорема 9 (Пасынков [18]). Пусть дано непрерывное
отображение f- X—*-Z совершенно нормального пространства X
в метрическое пространство Z. Пусть, кроме того, в простран-
пространстве X дана счетная система подпространств At размерности
сПтЛ^г^О, /=1, 2, 3, ... Тогда существует такое метрическое
пространство У, такие его подпространства Ви < = 1, 2, 3
и такие непрерывные отображения g: X-*-Y и h: Y-+Z, что
B) gAi^Bi, dimfi,<0, 1=1, 2, 3, ...;
C) wY < wZ *).
*) Вес пространства Z предполагается бесконечным (для конечного Z
утверждение теоремы очевидно).

512 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
Пусть в нормальном пространстве X дана конечная дизъ-
дизъюнктная система со открытых ^„-множеств О, Os. По лемме
Веденисова существуют такие непрерывные отображения /( про-
пространства X в отрезки Qj = [O, 1], 4TofJ1ri==Ol, где Г, обозна-
обозначает полуинтервал @, 1] отрезка Q(, /=1, ..., s.
S
Пусть отображение f: X -> Qs в куб Q* = П Q/ есть днаго-
нальное произведение отображений //. Проекцию куба Qs на
сомножитель Qt обозначим через pt. Отождествим при помощи
проекции pt отрезок Qt с ребром
S
куба Qs. Через К* обозначим подпространство (J Qt куба Qs,
т. е. сумму всех ребер куба Qs, выходящих из точки @ 0).
Ясно, что fX<=Ks и Г'г^О,, i=l s.
Непрерывное отображение f: X->KS, удовлетворяющее
условию
назовем стандартным относительно системы со отображением
пространства X в /(s. Теперь докажем следующую факториза-
ционную лемму:
Лемма 3. Пусть дано непрерывное отображение f: X-+Z
совершенно нормального пространства X в пространство со счет-
счетной базой Z и в пространстве X дано подпространство А раз-
размерности dim A ^ 0. Тогда существует такое пространство со
счетной базой Y, такое его подпространство В и такие непре-
непрерывные отображения g: X-+Y и h: Y ->Z, что
A) f = hg;
B) gA<=B, dimfi<0.
Доказательство аналогично доказательству первой фактори-
зацнонной теоремы из § 2 гл. 5.
Метрику пространства Z предполагаем вполне ограниченной
(например, можно считать Z s Q00) *).
Для каждого номера п возьмем конечное открытое -оп-по-
крытие vn пространства Z и его прообраз v^ = f~'vn.
Пусть система v" состоит из пересечений элементов покры-
покрытия v, с множеством А. Так как множество А нульмерно, то
•) См. гл. 1, § 7, п. 4.

S 2] СЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 513
существует конечное дизъюнктное открытое покрытие со[ =
= {О[, ..., O's,} множества А, вписанное в покрытие v" этого
множества. В силу наследственной нормальности простран-
пространства X существует (см. гл. 7, § 1, лемма 2) такое дизъюнктное
открытое покрытие ©[ = {О1( ..., OSl} некоторой окрестности
множества А в X, что Ot(]A = O'i, 1=1, ..., s,. Можно, оче-
очевидно, считать, что система ©, вписана в покрытие v{. Через gl
обозначим стандартное относительно системы со, отображение
пространства X в компакт К*1-
Предположим, что для любого п ^ / — 1 уже построены:
дизъюнктное покрытие con = {Oj OSn) некоторой окрестности
множества А в X и стандартное относительно системы ©„ ото-
отображение gn: Х-+К*п.
Пусть n = j. Для каждого k<j возьмем конечное открытое
-j-покрытие \хк] компакта /Cs* и положим \x'ki = g-l\xkJ.
Через \" обозначим покрытие множества А, состоящее из
пересечений множества А с элементами произведения покры-
покрытий \'} Л р'ц Л ..• Л Цу_1, /. В покрытие \"t впишем конечное
открытое дизъюнктное покрытие ©^ множества А и затем, как
и выше, продолжим систему ©^ в конечное дизъюнктное откры-
открытое покрытие ©/ = {0,, ..., О«у} некоторой окрестности множе-
множества А в X. Можно, очевидно, считать систему coy вписанной
в покрытие v'j Л \х'и Л ... Л ^/_i,/- Через gy: X-+K,SJ обозначим
стандартное относительно системы со/ отображение X в К*1.
Компакты К*п и отображения gn построим для всех
/1=1, 2, 3, ... Положим /CS" = Z и go = f. В произведении
OQ
У = П /Cs" введем метрику р, полагая для произвольных
ге-=о
двух точек
У = {Уп) и У' = {У'п) из Y
расстояние
Р (У, У')'
n=0 J
где р„ — метрика в /Cs».
Пространство У обладает счетной базой (см. гл. 1, § 8, пред-
предложение 4).
Диагональное произведение отображений gn обозначим че-
через g: X->Y и положим B=*gA.
17 П< С. Александров, Б, А, Пасынков

514 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 10
Проектирование произведения Y на сомножитель /С*" обо-
обозначим через пп. Очевидно, gn = nng для любого я = 0, 1,-2, ...
В частности, f = g0 = nog. Обозначив п0 через h, получим соот-
соотношение f = hg.
Для доказательства соотношения dim В ^ О достаточно до-
доказать неравенство indfi^O (см. гл. 2, § 3, предложение 3),
т. е. достаточно доказать существование в В базы из открыто-
замкнутых множеств.
Возьмем компакт /С*", я = 2, 3, 4 и в нем открытые
дизъюнктные множества Г\, .... TS/l (см. стр. 512). По построе-
построению отображения gn имеем равенства Ot = g~lTt, i=U .-..,$„•
Так как тело й„ системы (о„ = {01( ..., OS/j является окрест-
окрестностью множества А и так как gn = nng, то множество
n
t=gX (]n~l{J Г{ является окрестностью множества В в gX.
i—i
Система открытых множеств Г< дизъюнктна, поэтому дизъюнктна
и система открытых в gX множеств Vt=tg0i=gX(]n~1ri,
/=1 sn. Ясно, что Bs\JVi = g&n- Оценим сверху диа-
<~i
метр множеств V{.
По построению система со„ вписана в произведение покры:
тий v^A^nA ... /\К-\,п- Так как enOt = nngOi = nnVi, то
образ каждого множества Vi при проектировании я0, соответ-
соответственно %k, k=\, ..., п— 1, содержится в некотором эле-
элементе покрытия \п, соответственно Hkn> k = \, ..., п— 1, и
поэтому имеет диаметр <-мг\ диаметр каждого компакта /С*л
равен У2, л=»1, 2, 3, ..., поэтому
It-1 00 > l/l
5" 2 V/f
2
Ясно, что с ростом п диаметр множеств V< становится
сколь угодно малым. Итак, для любого п = 2, 3, 4, ... мно-
множество В обладает конечными открытыми дизъюнктными по-
покрытиями ln={ViО В), i=l sn, диаметр элементов кото-
которых стремится к нулю с ростом п. Таким образом, существо-
существование базы из открыт о-замкнутых множеств в пространстве В
доказано. Следовательно, dim В = ind В < 0. Лемма доказана.
Докажем теперь теорему 9 в случае mZ= к0.

$ 2] СЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 616
Положим Уо = Z и go = f• По предыдущей лемме существует
такое пространство со счетной базой Уь такое его подпростран-
подпространство В\ размерности dim B\ ^ 0 и такие непрерывные отобра-
отображения g,: X-yYi и Л,: У1-+У0, что go = h1gl и gi/li s fi}.
Предположим, что для всех номеров }^п— 1, п> 1, уже
построены такие пространства со счетной базой У/ и непрерыв-
непрерывные отображения g]-. X-+Yj и Л/: К/->//_], что g/-i = A/g/.
Пусть / = rt. Число м единственным образом представляется
в виде п= *<*+'> +/, где ft—1, 2, 3, ... и 0</<А+ 1*).
По лемме 3 существует такое пространство со счетной базой У„,
его подпространство В? и такие непрерывные отображения
gn: X-+Yn и Л„: Yn-+Yn-U что
Построив для каждого номера и=1, 2, 3, ... пространство
со счетной базой Yп и непрерывные отображения gn> Л„, полу-
получим счетный обратный спектр
S = {yn, А„}, л = 0, 1,2, ...
ео
Предел спектра S обозначим через К. Так как Y = Ц Yn (см.
п«-0
Прибавление к гл. 1, § 1), то пространство У обладает счет-
счетной базой. Через я„ обозначим проекцию предела У в эле-
элемент У„ спектра S.
Отображения gn определяют (см. Прибавление к гл. 1, § 1)
такое непрерывное отображение g: X->Y, что
gn = nng, я = 0, 1, 2, ...
В частности, положив яо = Л, получим
Покажем, что dimg/^^O, t = l, 2, 3, ...
Действительно, множество gAi является подмножеством
предела В(= П"^1^, спектра Si = {gnAi = nngAi, hn), n = 0,
1, 2, ... (см. Прибавление к гл. 1, § 1, равенство E)).
Рассмотрим только номера
Спектр S't = {gnhAt, h"nkk+l=-hnk+l ... hnk+l] является конфиналь-
ной частью спектра Sh поэтому пространство 5j является
*) Напомним, что - -—- есть сумма первых k натуральных чисел.
17*

516 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
пределом спектра Sj (см. Прибавление к гл. 1, § 1). По по-
построению gnkAi — в"к> поэтому
ind gnhAt = dim g4 At < dim Bik < 0.
Так как предел спектра из индуктивно нульмерных пространств
индуктивно нульмерен (см. Прибавление к гл. 1, § 1), то
indB/^О. Так как Bi обладает счетной базой, то dim5j =
= indfi(<0, t=l, 2, 3, ... Теорема 9 в случае wZ*=bt0 до-
доказана.
Докажем теперь теорему 9 полностью *). По теореме 8 из
гл. 6 существует вполне нульмерное отображение q>: Z-+T
пространства Z на пространство со счетной базой Т. По только
что доказанному можно найти такое пространство со счетной
базой S, такие его подпространства Ci размерности dimCj^O
и такие непрерывные отображения if>: X-+S и %: S->T, что
<tf=4rt> и $A,sCt, 1=1, 2, 3, ...
По замечанию к лемме 3 из § 2 Прибавления к гл. 1 опреде-
определено непрерывное отображение g: X-+Y пространства X в веер-
веерное произведение Y пространств Z и S относительно отображе-
отображений ф и % по правилу gx = (fx, if*), x^X. При этом f = hgn
¦ф = pg, где hup — проекции веерного произведения Y на
сомножители Z и S соответственно:
По лемме 4 из § 3 гл. 6 в У можно ввести такую метрику,
что проекция р будет вполне нульмерным отображением. По-
Положим Bi = p~1Ci, i=\, 2, 3, ... В силу эквивалентности
утверждения A) теоремы 9 из § 3 гл. 6 утверждению E) из
§ 3 гл. 6 справедливы неравенства
^O, i = l, 2, 3, ...
Так как ty = pg, то gAt = Bi = p-1C!, i=l, 2, 3, ... Соотно-
Соотношение wY^.wZ следует из включения KsZXS и неравен-
неравенства wS^Ho*)- Теорема 9 доказана; она позволяет получить
факторизацнонную теорему для счетномерных пространств:
Теорема 9' (Пасынков [18]). Пусть дано непрерывное
отображение f: X-+Z счет номерного совершенно нормального
*) Приводимое ниже доказательство копирует доказательство факториза-
ционной теоремы для метрических пространств из гл. 6.
**) Напомним, что Z>

* 3] СЛАБО СЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА б 17
пространства X в метрическое пространство Z. Тогда сущест-
существует такое счетномерное метрическое пространство Y и такие
непрерывные отображения g: X->Y и h: Y~>Z, что f = hg и
wY < wZ.
oo
Доказательство. Пусть X = {jA{ и <МтЛ,<0, t=l,
2, 3, ... По предыдущей теореме существуют: такое метриче-
метрическое пространство У, такие его подмножества Bt размерности
dimBi ^0, i = I, 2, 3, ..., и такие непрерывные отображения
g: X-*Yf и h:Y'-*Z, что f = hg, gAt s Bt, i= 1, 2, 3
и Y'^Z
oo
Очевидно, пространство Y = [}Bi^Y' и отображения g: X-+Y
и h: Y -+Z — искомые.
Из теоремы 9' выводится
Теорема 10 (Н агата [5]). В классе счетномерных метри-
метрических пространств веса г^т существует универсальное про-
пространство S**x.
Доказательство теоремы 10 полностью повторяет доказа-
доказательство теоремы 16 из § 4 гл. 6, поэтому его проведение мы
предоставим читателю;
Укажем на следующую специализацию теоремы 10:
Теорема 11 (Н агат а [3]). Произведение B(t)XS*°^
обобщенного бэровского пространства 5(т) веса т на универ-
универсальное счетномерное со счетной базой пространство S"n"»
является универсальным пространством в классе счетномерных
сильно метризуемых пространств веса ^т.
Доказательство теоремы 11 мы также предоставим чита-
читателю, так как оно вполне аналогично доказательству теоремы 18
из § 4 гл. 6.
§ 3. Слабо счетномерные пространства
Естественным сужением класса счетномерных пространств
(в классе метрических пространств) является класс слабо счетно-
счетномерных пространств.
Определение 1. Нормальное пространство X называется
слабо счетномерным, если оно представимо в виде счетной
суммы своих замкнутых подпространств Х{ размерности
(НтЛГ,<оо, 1=\, 2, 3, ...
Если в определении 1 пространство X метризуемо, то ка-
каждое подпространство Xt можно представить в виде конечной
суммы нульмерных множеств (см. гл. 6, § 3, теорема 9). По-
Поэтому все пространство X представляется в виде счетной
суммы нульмерных множеств, т. е. оио счетномерно.

518 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. №
Итак, слабо счетномерное метрическое пространство счетно-
мерно.
Однако существуют даже компакты, которые счетномерны,
но не слабо счетномерны.
Приведем пример счетномерного, но не слабо счетномер-
(оо оо \
4 !—2 /=2 /
назовем интервалом первого ранга. Интервал с концами в точ-
точках
оо
Pi I I Pn-i ¦ 0 | у _2_
3 З" 3" Zji з'
где числа р,, ..., /?„_, (независимо друг от Друга) принимают
значения 0 или 2, назовем интервалом ранга п, п = 2, 3, Л, ...
Всего интервалов ранга п, очевидно, 2""', п=1,2, 3, ...
Если из отрезка [О, 1] вычесть сумму всех интервалов все-
всевозможных рангов п = 1, 2, 3 то остаток, очевидно, сов-
совпадет с канторовым совершенным множеством С. Любая точка
*еС может быть единственным образом представлена в виде
00
x=»V—f, где pi (независимо друг от друга) принимают зна-
чения 0 или 2. Точку хеС, не являющуюся концом никакого
интервала ранга п, я==1, 2, 3 назовем двусторонней.
00
Двусторонние точки х=*^—у, очевидно, характеризуются
тем, что среди чисел pt сколь угодно далеко встречаются и 0 и 2.
Отображение
f: C->Q = [O, I]
определим, положив
Читатель может самостоятельно проверить, что отображе-
отображение f непрерывно и обладает следующими свойствами!
*) Первый пример такого рода построил Смирнов [б].

4 3) ЙЛАЁО СЧЕТНОМЕ*>НЫЁ ПРОСТРАНСТВА Ш
fC =¦ Q, т. е. f есть отображение «на»; отображение / дву-
двукратно; концы &-го (если считать слева) интервала ранга п
отображение f переводит в точку -^-, k — l, 3, .... 2" — 1;
двусторонние точки *еС являются точками однократности
отображения /, т. е. f~lfx = x; функция / монотонно возра-
возрастает.
со
Рассмотрим произведение С°° = П С{ счетной системы кан-
торовых совершенных множеств Ct — {xt}. Назовем m-й гранью
произведения С°° его подмножество
С" = {х = (х<): *, = (), i>m}, m = l, 2, 3, ...
00
Положим Cw= (J Cm. Естественную проекцию произведения'*?00
на сомножитель Ci обозначим через pt. Искомый компакт Ф
строится как пространство следующего разбиения т произве-
произведения С".
Во-первых, элементами разбиения т считаем отдельные точки
множества СХС*.
Во-вторых, каждое множество Ст \ Ст~\ где С° = Л, т = 1,
2, 3 является суммой элементов разбиения т. А именно,
точки x' = {x'i) и *" = (*?) из Ст\Ст~1 считаем принадлежа-
принадлежащими одному элементу разбиения т тогда и только тогда, когда
и
(б) (при m>l) f«) = f«)^^r. ft-1, 3 2--I,
п— 1, ..., т — 1, для Ж(^= *7, /= 1, ..., т— 1.
Из двукратности отображения f следует, что каждый эле-
элемент разбиения т, содержащийся в Ст \ Cm~l, m= 1, 2, 3
состоит из конечного числа точек. Следовательно, конечным
(и, значит, замкнутым в С") множеством является вообще
каждый элемент разбиения т.
Как непрерывный образ компакта, пространство Ф биком-
бикомпактно. Докажем его хаусдорфовость.
Естественное отображение С°° на Ф обозначим, как и со-
соответствующее разбиение, через т.
Рассмотрим точки Ц\ и у2 Ф У\ из Ф. Пусть сначала
A) у^хСт, у2фхСт.
Тогда x~lyi^Cm и т~1г/2ПС" = Л. Следовательно, сущест-
существует такая двусторонняя точка /еС, t > 0, что множества
O { ()\<t} и 02 = {x = {xt)\>t}

520 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ю
являются непересекающимися окрестностями множеств т-1^
н т~'г/г соответственно. Из определения разбиения т следует,
что x~]x0k=0k, k=l, 2. Следовательно, множества tOi и tOjj
являются непересекающимися окрестностями точек «/, и у2.
Пусть
B) у, и у2е=т(Ст\Ст-1).
Тогда T«/1UT~V2sCm\Cm. Выберем точки x=(x'i)s
ег'у, и х" = (х'[)е=х-1уг Так как у{Ф у2, то или не вы-
выполняется условие (а), т. е.
(а) существует такой номер /0. 1 ^ 'о ^ т, что
или выполняется условие (а), но не выполняется условие (б),
т. е._
(в) f{x't) — f{x")> i==\> •••> m> но (ПРИ т>1) существует
такой номер i0, \^.io^.m— 1, что
для некоторого л =» 1, ..., т— 1и некоторого А = 1, 3, ..., 2".
Для определенности будем считать х'^ < х^.
Рассмотрим случай (а). Из определения отображения f вы-
вытекает существование такой двусторонней точки t e С, что
x'h<t <x"i(. Как н в случае A), можно показать, что мно-
множества т{х==(Х() \xt,< t) и i{x = (xi)\xit>t} являются непе-
непересекающимися окрестностями точек у\ и у2.
Рассмотрим случай (б). Множества
о2 = {* = (*,) !*<,><} \с'«
открыты и не пересекаются. Из определения разбиения т вы-
вытекают равенства т-ЧОк = Ок, k=l, 2. Таким образом, tOi
н тО2 являются непересекающимися окрестностями точек у\ и у2-
Пусть, наконец,
C) у, иуает(С-\С*), т. е. /
Из определения отображения f и неравенства х' Ф х" сле-
следует, что нли
(в) существует номер /„ такой, что Цх'^

S 3] СЛАБО СЧЕТНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 621
ИЛИ
(в) f (x't) — f (x'[), I— 1, 2, 3 но существует такой номер /0,
что х'^Фх'^, f{x'i)==f{x'i) — -yr Для некоторого л=1, 2, 3, ...
и некоторого k=\, 3 2я—1.
Доказательство существования непересекающихся окрест-
окрестностей у точек «/! н у2 проводится так же, как в пункте B).
Хаусдорфовость пространства Ф установлена. Следовательно,
ф —бикомпакт, а по следствию 3 из § 8 гл. 1 Ф—компакт.
Конечность элементов разбиения т означает, что отображе-
отображение т: С°°-*Ф конечнократно. Следовательно, компакт Ф счетно-
мерен. Покажем, что он не слабо счетномерен.
Из определения разбиения т следует, что множества
2m
где kt = 0, 1, ..., 2 — 1, гомеоморфны m-мерным парал-
параллелепипедам. При этом любая точка из множества гСт~1
будет лежать на грани одного из этих параллелепипедов,
т=1, 2, 3, ... Из сказанного следует, что любая окре-
окрестность любой точки множества Фш = хСа пересекается
с m-мерными параллелепипедами для сколь угодно больших т.
Таким образом, никакое конечномерное подмножество про-
пространства Фш не содержит открытого в Ф® подмножества. Так
как множество С® плотно в С°°, то множество Фш плотно в Ф.
Покажем, что всякое конечномерное замкнутое в Ф мно-
множество F нигде не плотно в Ф. Действительно, если бы мно-
множество F содержало открытое в Ф множество О, то мно-
множество О[\Фа было бы непустым, открытым и конечномерным
подмножеством пространства Фш, но этого, как мы видели,
быть не может. Так как никакой компакт нельзя представить
в виде счетной суммы нигде не плотных в нем замкнутых мно-
множеств, то компакт Ф не является слабо счетномерным. Итак,
компакт Ф обладает искомыми свойствами.
Перейдем к вопросу о существовании универсальных слабо
счетномерных пространств.
Теорема 12 (Зарелуа [3]). Пусть дано непрерывное
отображение f: X->Z бикомпакта X на бикомпакт Z, и пусть
в бикомпакте X выделена счетная система замкнутых множеств
Х{, 1=1, 2, 3, ... Тогда существует такой бикомпакт Y и
такие непрерывные отображения g: X-*Y и h: Y-*Z, что
(О f = hgi

522 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
B) dim gX, < dim J,, *=1, 2, 3, ...;
¦ C) wY^wZ*).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 9. По-
Положим Y0 = Z и go = f. Предположим, что уже построены
бикомпакты У/ и непрерывные отображения gt: X-*Yj для
0</<п— 1, а также непрерывные отображения я|_,: Y^Yj^
для 1</<л— 1, удовлетворяющие соотношениям
Построим бикомпакт Yn и отображения gn: X-*Yn и
nn-i" Уд—*"У„_1- Число п едннственным образом представляется
)
в виде n=k(k+l) +/, где /г = 1, 2, 3, ... и 0</<Л+ 1.
По теореме 3 нз § 3 гл. 5 для отображения g?_, = ?„_!: A",-*/^,
существует такой бикомпакт У? и такие непрерывные отобра-
отображения Ф;: Xt -=*> Y1 и г^: У»-> Уя_„ что ^_, = г|>л • q>'n, dim У» <
<dimJ< и шУ"<шУ„_1. Бикомпакт У? можно считать под-
подпространством тихоновского Qx, где т = шУп_1. Тогда отобра-
отображение q?: Xt-*QX можно (см. гл. 1, § 8, предложение 8) про-
продолжить в непрерывное отображение ф„: X->QX. Диагональное
произведение отображений #л_1 и фл обозначим через ga. Если
естественные проекции произведения yn_iXQT на сомножи-
сомножители Уп_1 и QT обозначить соответственно через я?_, и рп и по-
положить Yn = Yn-iXQx, то, очевидно, Kyyn<T = Kyyn_! и ^я_1 =
^"nn-i8n- Кроме того, нетрудно заметить, что множество gnXt
посредством проекции рп отображается на множество У" s Qx
гомеоморфно. Поэтому dim gnXi ^ dim Xt.
Построив указанным образом для каждого номера п биком-
бикомпакт У„ и непрерывные отображения gn: X-*Yn\i яЯ-i: Ул->Уц-1,
получим счетный обратный спектр
' . 5 = {Уг1,я»+1}, п-0, 1, 2
а также непрерывное отображение
g: X->Y
бикомпакта X в предел У спектра S, удовлетворяющее соот-
соотношениям
gn = nng, n=0, 1, 2
где я„ — проекция предела спектра S в элемент У„ этого
спектра (см. Прибавление к гл. 1, § 1). В частности, f = g0
Положив h = Яо, получим соотношение f = hg.
*) 3 а р е л у a [3J доказал и более общее утверждение.

i 31 СЛАБО СЧЕТНОМЕРНЫВ ПРОСТРАНСТВА 623
Пространство У является бикомпактом (см. "Прибавление
00
к гл 1, § 1), и а>У<а>П Уп- Но по построению
п—О
П
п—О
откуда
Покажем, что gXi<^dimXit /=1, 2, 3, ... Действительно,
множество gXt является пределом спектра
3,-К**,-*Л.*!:+1}. «-0, 1.2,...
(см. Прибавление к гл. 1, § 1).
Рассмотрим только номера nk— ^+ --И, k = i—l, t,
/+ 1, • ¦ • Спектр
является конфинальной частью спектра S{, поэтому биком-
бикомпакт gXt является пределом спектра S\ (см. Прибавление
к гл. 1, § 1). Так как по построению Aimgn X, <dimJi, то из
леммы 1 § 3 гл. 5 следует, что и dim gXt < dim Xt. Теорема 12
доказана.
Теорема 13 (Пасынков [18]). В классе слабо счетно-
мерных нормальных пространств веса ^т существует универ-
универсальное пространство Их, являющееся счетной суммой биком-
бикомпактов И" размерности dimlT^n, л=1, 2, 3, ...
Доказательство аналогично доказательству теоремы б
из § 4 гл. 5.
Класс нормальных слабо счетномерных пространств веса
^т разбивается на подклассы аеА попарно гомеоморфных
между собой пространств. Выберем из каждого класса а про-
пространство Ха и рассмотрим пространство Y = \JXa, являющееся
а
дискретной суммой пространств Ха (т. е. пространства Ха по-
попарно не пересекаются и открыто-замкнуты в Y). Пространство Y,
очевидно, нормально. Каждое пространство Ха представляется
в виде суммы свонх замкнутых подпространств Ха размерности
dimХа^п, л = 1, 2, 3, ... Тогда пространство Y представляется
в виде счетной суммы своих замкнутых подпространств Уп=»
= U^« размерности dim У" < л. Замыкания В" = [УЛ] мно-
а
жеств У" в максимальном бикомпактном расширении рУ про-
пространства У имеют размерность dimB^^n (см. гл. 5, § 1 и
гл. 1, § 9, предложение 1).

524 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
Для каждого а фиксируем какой-нибудь гомеоморфизм
fa- Xo.-*Q% пространства Ха в тихоновский куб QT. Через f
обозначим непрерывное отображение пространства Y в QT,
совпадающее на каждом пространстве Ха с /а.
Продолжение отображения f на бикомпакт рК обозначим
через F. Из построения отображения F следует, что оно является
топологическим на каждом множестве Ха s рк. По теореме 10
существует такой бикомпакт Z и такие непрерывные отобра-
отображения g: pK->Z и Л: Z->QT, что F = hg, wZ<wQt = t и
оо
dimgfln<n, п=\, 2, 3, ... Положим gBn = nn HlI? = (Jn".
n=l
Пространство II? является искомым, так как из топологичностн
отображения F на множествах Ха следует топологичность ото-
отображения g на этих множествах и
Теорема доказана.
Следствие 1. В классе слабо счетномерных пространств
со счетной базой существует универсальное пространство П«в,
являющееся счетной суммой п-мерных компактов 11", п== 1,2,3, ...
Нагата [3] н Смирнов [5] доказали следующий более
сильный результат:
Теорема 14. Любое слабо счет номерное пространство со
счетной базой вкладывается в Q®.
Лемма 1. Пусть в компакте Ф дана система замкнутых
подмножеств Fn, Fn s Fn+U размерности dim Fn = n, n—0, 1,2, ...
Тогда существует такое непрерывное отображение Я: <D->Q°°
компакта Ф в гильбертов кирпич Q00, что на множестве F® =
оо
= U Fn отображение К является гомеоморфизмом и
XFasQa, К (Ф \ F*) s Q°° \ Q".
Доказательство. Через F_, обозначим какую-нибудь
точку из Fo. Для каждого я = 0, 1, 2, ... рассмотрим раз-
разбиение т„ компакта Ф, элементами которого являются отдельные
точки множества Ф\^„_! и компакт Fn_lm Компакт, являю-
являющийся пространством разбиения т„, обозначим через Ф„; есте-
естественное отображение Ф на Ф„—через /„; компакт /„Fn—через Wn;
точку /„Fn_! —через an_,. Так как множество Fn\Fn_!
гомеоморфно отображается на множество Ч7,, \ art_h то
dimD/n \ an_!)^n, следовательно (см. гл. 4, § 6, следствие 1),

S 3) СЛАБО СЧЕТНОМЕРНЫЁ ПРОСТРАНСТВА . 525
n^n, л = 0, 1, 2,... По теореме Нёбелинга — Понтря-
гина для каждого л компакт Wn обладает гомеоморфным ото-
отображением в открытый куб Q2n+1, которое можно продолжить
в непрерывное отображение gn всего компакта Ф„ в Q2n+1.
Определим на Ф„ непрерывную функцию g'n: On->Q' = [0, 1],
равную 0 в точках V и только в них и принимающую зна-
значения < 1. Диагональное произведение Л„: <Drt->Q2rt+2 =
= Q2«+'XQ1 отображений gn и g'n переводит множество Wn
гомеоморфно в_сферу S2n+1 = ф2л+2 \ Q2«+2, а множество Ф„ \ \Р„
в множество Q2n+2 \ S2n+1. Таким образом,
hjn (Ф \ Г) s «J „ (Ф \ Fn) s Q2n+2 \ S2n+1.
Можно считать, что hnan-l = @, ..., 0). В противном случае
топологическим отображением куба Q2n+2 на себя точку Лпа„_1
можно перевести в точку @ 0).
Отрезки Q, дающие в произведении куб Q2«+2, занумеруем
числами j = n(n+ 1)+ l,njn+ 1) + 2 (п+ 1)(п + 2), л = 0,
1, 2, ... Проекцию куба Q2n+2 на сомножитель Q^ обозначим
через р,. Очевидно, функция Kt = p,hnfn, } — п(п-\- 1) + 1, .. .
...,'(«+ 1)(п + 2), равна 0 на множестве/?„_1а/:'л_2Э...а^_1.
Пусть Я: Ф-*ССО = 11С/ есть диагональное произведение ото-
отображений Я/, /= 1, 2, 3, ... Отображение Я является искомым.
Действительно, если х е f,,, то для любого / > (п + 1) (п + 2)
существует такое п' > п, что п' (п' + 1) + 1 < /<(«' + 1) (л' + 2),
и тогда, как отмечалось выше,
h W = P,hJn'X = PlhJn'Fn = P,h'an'-l = °-
Таким образом, ifsQ* Если хеФЧ^**, то для любого
1=1, 2, 3, ... и надлежащим образом выбранного л имеем
B (Ф \ Г) s р, (Q2n+2 \ S2n+') s @, 1) ф 0.
Таким образом, htx=fc 0 для всех /, следовательно,
s Q°° \ Qa. В силу доказанного включения н в силу замкну-
замкнутости отображения Я: Ф-vQ00 замкнутым будет и отображение
Я: /r<*->Q<*. Для доказательства того, что отображение Я: Fe>->Q(a
является топологическим, осталось доказать лишь взаимную
однозначность этого отображения. Пусть х' е Fn> \ Fnr-i,
x"eF,« \ Fn»_i и х'фх", где /v_i = Л, соответственно Fn"_i = Л,
если п'= — \, соответственно п" = —1.

626 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 10
Пусть сначала п' ф п". Можно считать п' < п". Тогда *'e/v
и х"e<D\/v. По построению
ЛЛ'*"е KL' (ф \ Fn) = Q2n'+2 \ S2n'+1-
Следовательно, К^'фХ^" хотя бы для одного j=n' {п'-\-1)+1,...
..., (п'+l) (п' + 2), откуда %х' Ф %х".
Пусть теперь п' = п" = п. Тогда пф— 1. По построению
]пх'Ф\„х" и fnX'e^P,,, f/e?,,, В силу топологичности ото-
отображения Л„ на Wn имеет место неравенство Ь.^пх'фН^пх".
Следовательно, Xfx'^Xtx" хотя бы для одного /=п(п+1)+1,.. .
.... (п + 1) (п + 2), откуда Лх' =?? %х".
Взаимная однозначность, а следовательно и топологичность
отображения %: F®->Q<a, значит, и лемма 1 доказаны.
Если теперь считать n$osQ°°, то, по лемме 1, существует
непрерывное отображение К: QOO->QCO, являющееся гомеомор-
гомеоморфизмом на множестве П^, и для которого Ш$„ ? Qa. Так как
пространство Пя, содержит топологический образ любого слабо
счетномерного пространства со счетной базой, то тем же свой-
свойством обладает и пространство Q®. Теорема 14 доказана.
Установим существование универсального слабо счетномер-
счетномерного метрического пространства произвольного веса т. Схема
доказательства этого утверждения вполне аналогична схеме
доказательства существования универсального n-мерного^ метри-
метрического пространства веса т. Сначала докажем соответствующую
факторизационную теорему.
Теорема 15 (Пасынков [16]). Пусть дано непрерывное
отображение f: X-*Z нормального пространства X на метри-
метрическое пространство Z, и пусть в пространстве X выделена
счетная система замкнутых подпространств Xi, /=1, 2, 3, ...
Тогда существуют: такое метрическое пространство Y, такие
его замкнутые подпространства Yt, i=\, 2, 3 и такие
непрерывные отображения g: X-+Y и hi Y-*Z, что
V)f = hg;
B) gXiSYt, dim Yt < dim Xt, /=1, 2, 3, ...{
C) wY ^ wZ *).
Доказательство. Пусть сначала wZ—H0. Тогда про-
пространство Z можно считать всюду плотным подмножеством
*) Считаем wZ ^ Ид.

* 31 СЛАБО СЧВТНОМЕРНЫВ ПРОСТРАНСТВА 627
компакта cZ. Отображение f можно продолжить в непрерыв-
непрерывное отображение J: pJ->cZ, где $Х, как всегда, обозначает
максимальное бикомпактное расширение пространства X. Так
как dim[J,]pJf = dimpJ, = dimJ,, /=1, 2, 3,... (см. гл.5,
§ 1), то, по теореме 12, существуют такой компакт Ф и такие
непрерывные отображения g: &Х-+Ф и Л: Ф-^cZ, что f = hg
и dimg[^/]p^^dim^, /=1, 2, 3, ... Ясно, что пространство
Y=*gX, отображения g: X-+Y, h:Y-*-Z и множества Yt =
= Yng[Xi](iX будут искомыми. Итак, в случае wZ=* «0 тео-
теорема 15 доказана.
Пусть теперь syZ = T> Ко*).
По теореме 7 из гл. 6 существует вполне нульмерное ото-
отображение <р: Z->T пространства Z на пространство со счетной
базой Т. По доказанному выше можно найти такое простран-
пространство со счетной базой S, такие его замкнутые подпространства S{
размерности dimS/< dimXi, i=\, 2, 3,..., и такие непре-
непрерывные отображения г|э: X-+S и %: S-+T, что ч^ = зсФ и
tyXiSSt, 1=1, 2, 3, —
По замечанию к лемме 3 из § 2 Прибавления к гл. 1
определено непрерывное отображение g: X-*Y пространства X
в веерное произведение Y пространств Z и S относительно
отображений <р и % по формуле gx = (fx, tyx). При этом f = hg
и ty = Pg, где Л и р — проекции веерного произведения на со-
сомножители Z и S соответственно. По лемме 4 из § 3 гл. 6
в Y можно ввести такую метрику, что проекция р будет
вполне нульмерным отображением. Положим Yt = p~lSt. Тогда
(см. теорему 9 нз § 3 гл. 6)
dimy^dimS^dim*,, /=1,2,3,...
Так как if> = pg, то gXt ? Yt, i=\, 2, 3,... Кроме того,
wY s^max(o>Z, wS) = wZ. Теорема 15 доказана. Из доказанной
теоремы очевидным образом вытекает
Следствие 2 (Пасынков [16]). Пусть дано непрерыв-
непрерывное отображение f: X-+Z слабо счет номерного нормального
пространства X на метрическое пространство Z. Тогда суще-
существует такое слабо счетномерное метрическое пространство Y
а такие непрерывные отображения g: X-*Y и h: Y->Z, что
f = hg и wYf^wZ.
Доказательства следующих теорем вполне аналогичны дока-
доказательствам теорем 16 и 18 из § 4 гл. 6, поэтому проведение
этих доказательств предоставляется читателю.
*) Проводимое ниже доказательство является почти дословным повто-
повторением последней части доказательства теоремы 9.

528 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 10
Теорема 16 (Архангельский [3])*). В классе слабо
счетномерных метрических пространств веса ^т существует
универсальное пространство.
Теорема 17 (Нагата [3]). В классе сильно метризуемых
слабо счетномерных пространств веса ^т универсальным будет
произведение В (т) X Qe.
§ 4. Определение слабо и сильно бесконечномерных
пространств, их характеристика при помощи
отображений в гильбертов кирпич
К изучению бесконечномерных пространств можно подойти
с других точек зрения, чем в предыдущих параграфах, а именно
исходя из определения размерности dim^ при помощи пере-
перегородок.
Определение 1 (Александров). Пространство X назы-
называется слабо бесконечномерным, если для любой счетной (бес-
(бесконечной!) системы пар замкнутых множеств
(At, В,). At(]Bt = A, i=l, 2, 3
00
найдутся перегородки С{ (между At и Bt) такие, что ("| Ct = A.
Пространство, не являющееся слабо бесконечномерным, назы-
называется сильно бесконечномерным. Другими словами, простран-
пространство X является сильно бесконечномерным, если в нем можно
найти такую счетную систему дизъюнктных пар замкнутых
множеств
(At, Bt), /=1, 2, 3, ....
что для любых перегородок Ct (между At и Bt) всегда
(-1
В дальнейшем, пространства слабо (соответственно сильно)
бесконечномерные в этом смысле будем называть А-слабо
(соответственно А-сильно) бесконечномерными.
Смирнов предложил следующее видоизменение определения 1:
Определение 2. Пространство X называем S-слабо
бесконечномерным, если для любой счетной (бесконечной) си-
системы дизъюнктных пар замкнутых множеств
(At, В,), /=1,2,3
*) См. также Пасынков A6], подстрочное примечание на стр. 263.

$ 4] СЛАБО И СИЛЬНО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 529
найдутся такие перегородки Ct (между At и Bt) и такой
N
номер N, что Р) Ct = A. Другими словами, для любой счетной
<—i
системы дизъюнктных пар замкнутых множеств
(At,Bt), /=1,2,3
можно найти нецентрированную систему перегородок Ct,
/=1, 2, 3, ...
Пространство, не являющееся S-слабо бесконечномерным,
называем S-сильно бесконечномерным. S-сильная бесконечно-
бесконечномерность пространства X означает, что в X можно найти такую
счетную систему дизъюнктных пар замкнутых множеств (Ait Bt),
/=1, 2, 3, ..., что для любой системы перегородок С* и
любого номера JV всегда f] Ct Ф Л. Так как любая счетная
центрированная система замкнутых подмножеств бикомпакта
имеет непустое пересечение, то класс Л-слабо (соответственно
Л-сильно) бесконечномерных бикомпактов совпадает с классом
S-слабо (соответственно S-сильно) бесконечномерных биком-
бикомпактов. Поэтому в случае бикомпактов будем говорить просто
о слабой и сильной бесконечномерностн, опуская аттрибуты
А- и S-.
Перейдем к характеристике S- и Л-сильно бесконечномерных
пространств при помощи отображений в гильбертов кирпич.
Проекцию гильбертова кирпича Q°° на n-мерную «грань»
Q" = {(«/(): г/( = 0 при / > п) обозначим через пп, п= 1, 2, 3,.. .
Непрерывное отображение f: X->Q°° называется существен-
существенным (см. Левшенко [1]), если существенно каждое отображение
nj: X->Q", n=l, 2, 3, ...
Через Q/й будем обозначать подмножество {(yt) | yt — k),
k = 0, 1, гильбертова кирпича Q°°.
Теорема 18 (Левшенко [1]). Нормальное простран-
пространство X является S-сильно бесконечномерным тогда и только
тогда, когда оно обладает существенным отображением в гиль-
гильбертов кирпич.
Доказательство, а) Пусть X есть S-сильно бесконечно-
бесконечномерное пространство. Выберем в X такую счетную систему
дизъюнктных пар замкнутых множеств
(Ah Bt), /=1,2,3
что любая система перегородок С, (между At н Bt) центриро-
центрирована. Для каждого / рассмотрим непрерывную на X функ-
функцию f(, принимающую значения между 0 и 1 и равную 0 на At

530 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
и 1 на В(. Функции ft определяют отображение f: X-+Q°° no
правилу fx = (ftx), i=l, 2, 3, ..., х^Х. Так как nnfx = (ftx),
i=l, 2, ..., п, то, по лемме 3 из § 8 гл. 5, отображение
nj: X-+Q!* существенно для любого п. Существенность ото-
отображения f доказана.
б) Пусть пространство X обладает существенным отобра-
отображением f в гильбертов кирпич Q°°. Множества Л/ =/"~'Qjo и
Я/ = /~'ф/! замкнуты и не пересекаются, j — 1, 2, 3, ...
Рассмотрим номера /<?п. Множества
, = 0 при i = l и 1>п)
=i и У|~о при i>n)
являются противоположными (п — 1)-мерными гранями куба Q",
/=1, .... п. Очевидно, Qil = nn]Qik, k = 0, 1, откуда Л/ =
"^Г'пп^Чо и Bi^f'^n'Qu. Так как отображение nnf суще-
существенно, то, по лемме 2 из § 8 гл. 5, любая система перего-
перегородок Cj между А] и В/, /= 1, ..., п, имеет непустое пересе-
пересечение. Таким образом, любая система перегородок С/ между
А/ и Bj, /=1, 2, 3, ..., центрирована, т. е. пространство Я"
является S-сильно бесконечномерным. Теорема доказана.
Охарактеризуем теперь при помощи отображений в гиль-
гильбертов кирпич Л-сильно бесконечномерные пространства.
Непрерывное отображение g: X-*-Q°° назовем допустимым
изменением непрерывного отображения f: X-+QT, если
— 1/-VOO . f—1/->ОО — |л» .«""'Л00
g- Q/оЭГ Q/o и g Qn^l 4?/i
для любого /=1, 2, 3, ...
Точки разности G°o = Qbo\[J (Q~ U Q~). t- e- точки, у ко-
/-i
торых все координаты отличны от 0 и 1, назовем некраевыми
точками *). Очевидно, множество G°° имеет тип Ge и всюду
плотно в Q°°.
Непрерывное отображение f: Л" —> Q00 назовем А-существен-
ным, если для любого допустимого изменения g отображения /
множество gX содержит все некраевые точки гильбертова кир-
кирпича, %т. е. gX Э G°°.
Легко показать, что Л-существенное отображение является
существенным.
*) Это ч определение вводим как временное, рабочее определение: оно
не обладает свойством топологической инвариантности.

§ 4] СЛАБО И СИЛЬНО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 631
.Действительно, пусть отображение /: X-+Q°° несущественно.
Тогда для некоторого п несущественно отображение л„/: X-+Qn,
т. е. определено непрерывное отображение gn: X -* Sn~l, совпа-
совпадающее с л„/ на прообразе (nnf)~l Sn~' границы Sn~l куба Qn.
Через я? обозначим проекцию куба Q" на сомножитель Qt.
Тогда отображение g: X-+Q°° — Q"y<, П Qt, ставящее в соот-
1>
ветствие -точке х&Х точку y^Q°° с координатами nfgnx,
1=1, ..., п, и Pifx, 1>п (где pt обозначает проекцию Q°° на
i-Pi сомножитель Qt), есть допустимое изменение отображения f
и gXC[G°°==A. Следовательно, отображение f не является
Л-существенным, ч. и т. д.
Ниже под счетно нормальным пространством будет пони-
пониматься Г,-пространство X, в котором для любой конечной или
счетной системы замкнутых множеств Fit имеющих пустое пе-
ресечение: f] Ft = Л, найдется система открытых множеств
(—1
00
|, также имеющих пустое пересечение: f)Oi*=A*).
Очевидно, всякое счетно нормальное пространство нормально.
Лемма 1. Любой паракомпакт счетно нормален.
Рассмотрим в паракомпакте X счетную систему замкнутых
множеств С{, 1=1, 2, 3, ..., с пустым пересечением. Тогда
система а> = {0{ = Х\С{) является открытым покрытием про-
пространства X. Впишем в ю замкнутое локально конечное по-
покрытие X. После укрупнения покрытия X относительно покры-
покрытия © (см. гл. 1, § 6) получим локально конечное, замкнутое,
комбинаторно вписанное в а покрытие ц =-{Ф|}. Тогда система
открытых множеств Vi = X\Q>t имеет пустое пересечение и
C,sVt, i—l, 2, 3 ч. и т. д.
Теорема 19. а) А-сильно бесконечномерное пространство
обладает А-существенным отображением в гильбертов кирпич;
б) счетно нормальное пространство, обладающее А-суще-
А-существенным отображением в гильбертов кирпич, А-сильно беско-
бесконечномерно.
Доказательство, а) Предположим, что пространство X
является Л-сильно бесконечномерным. Выберем в X такую
счетную систему дизъюнктных пар замкнутых множеств
(Л,, В{), ¦ /-1, 2, 3
что для любой системы перегородок С< между At и Bt пере-
*) Класс счетно нормальных пространств совпадает с классом нормальных
счетно паракомпактных пространств. См. Д а у к е р [4].

632 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ю
сечение f) Ct непусто. Для каждого I рассмотрим непрерывную
на X функцию fi, принимающую значения между 0 и 1 и рав-
равную 0 на At и 1 на Bt. Покажем, что диагональное произведе-
оо
ние /: X-*Q°°=Yl[O, 1] отображений Ь является Л-суще-
ственным. Предположим, что существует такое допустимое
изменение g отображения f и такая некраевая точка t/° = (t/°)e Q°°,
что gX-фуО. Пусть Q00 = {(^)eQ00|^ = ^} и Ct = g^Qf,
i=l, 2, 3, ... Пересечение множеств Q" состоит из одной
точки у0, следовательно, пересечение множеств Ct пусто. Мно-
Множества С{ являются перегородками между множествами g~'QTo
и g~'QTi- Но так как отображение g является допустимым
изменением отображения f, то множества С{ являются перего-
перегородками и между множествами At и В{, /=1, 2, 3, ... Полу-
Полученное противоречие доказывает, что отображение / является
Л-существенным.
Доказательству пункта б) предпошлем следующую лемму:
Лемма 2. Пусть в нормальном пространстве X дана си-
система дизъюнктных пар замкнутых множеств
(А„В,), /=1, 2, 3, ...
Если система перегородок С{ между множествами At и Bh
t=l, 2, 3, ..., такова, что, соответственно,
A) Р) С{ = А для некоторого номера N\
оо
B) P)Ct==A и пространство X счетно нормально,
то можно всегда предполагать, что перегородки Cit i= I, 2,...,
имеют тип Ge в X.
Доказательство. A) В силу нормальности X суще-
существуют такие окрестности 0С{ s X \ (Л{ U В А множеств С{,
N
t=l N, что f|OC, = A (см. гл. 1, § 10). Для I > N счи-
таем OCt = X\(Ai\JBi).
B) В силу счетной нормальности X существуют такие окре-
0
00
стности 0Ct s. X \ (At U ВА множеств С,, что f\ 0Ct = Л.
Если рассмотреть теперь для каждого i непрерывную функ-
функцию ft, равную 0 на С( и 1 на X \ 0С{, то множества
Dt =/"'(— оо, —\ являются перегородками между Ai и Bt и

§ 4] СЛАБО И СИЛЬНО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 633
имеют тип G6 в X, причем f\ Dt s f\ OCt = A в случае A)
OO 00
и f] Di s f\ 0C{ = Л в случае B). Заменив перегородки С{ на
перегородки Dit получим нужное утверждение.
Приступим к доказательству пункта б) теоремы 19.
б) Пусть пространство X обладает Л-существенным отобра-
отображением / в гильбертов кирпич. Множества At—f~lQ™0 и
Bl = fiQA замкнуты и не пересекаются, t=l, 2, 3, ... Пред-
Предположим, что в X можно найти перегородки Ct между At и Bt,
пересечение которых пусто. В силу предыдущей леммы можно
считать, что перегородки С, имеют тип G6 в X. Поэтому,
в силу нормальности X, на X существуют непрерывные функ-
функции g(, принимающие значения между 0 и 1, равные 0 на Ait
1 на Bt и равные '/2 в точках Ct и только в них. Функции gt
определяют непрерывное отображение g: X-+Q°° по правилу
gx==(g{X). Очевидно, отображение g является допустимым
изменением /, но gX не содержит некраевую точку, все коор-
оо
динаты которой равны '/г. так как Р) Ct = Л. Полученное
противоречие доказывает Л-сильную бесконечномерность про-
пространства X. Теорема доказана.
Следствие 1. Для бикомпактах существенное отобра-
отображение f: X—*-Q°° является А-существенным отображением на Q°°.
(Таким образом, для бикомпактов понятия существенного и
Л-существенного отображения на Q°° совпадают между собой.)
Доказательство. Как в пункте б) доказательства тео-
теоремы 18, можно показать, что любая система перегородок Ct
между множествами Л^/"^^ и 5, = f~'Q~ центрирована.
оо
Следовательно (в силу бикомпактности X), f) Ct ф Л. Но тогда,
как в пункте а) доказательства теоремы 19, можно показать,
что отображение / является Л-существенным. Так как множе-
множество некраевых точек всюду плотно в Q°° и содержится в fX,
а X — бикомпакт, то fX = Q0". Следствие доказано.
Скляренко [4] показал, что следствие 1 можно усилить
следующим образом:
Теорема 20. Если отображение f бикомпакта X в гиль-
гильбертов кирпич Q°° существенно, то для любой грани Q" гиль-
гильбертова кирпича отображение f: f~'Qn-+Qn также существенно.
Доказательство. Отображение X в отрезок Qt, являю-
являющееся суперпозицией отображения /и проектирования pt: Q°°-*Qi,
обозначим через fh i=l, 2, 3, ... Предположим, что для не-

534 ВЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЁ ПРОСТРАНСТВА {ГЛ. 10
которого п на множестве F = f~lQn отображение f: F-*Qn =
= Ц Qi несущественно. Тогда существует отображение
q>: F-*-Qn, совпадающее с f на прообразе Ф границы S куба Q"
и переводящее F в S. Отображение ф задается набором п функ-
функций ф{: F-+Q{ по правилу ух*=((р{х), /=1 п. Очевидно,
на множестве Ф функции ф< совпадают с функциями /,. По-
Поэтому функция ф, равна 0 на ФП/~'<3^ и равна 1 на ФП^"^^.
/=1 п. Следовательно, каждую функцию ф{ можно про-
продолжить с F на X в функцию git принимающую значения
между 0 и 1 и равную 0 на f'Q," и 1 на f~[Q™, 1=1, ..., п.
Положим gt:=ft при i>n. Диагональное произведение g: A"—>Q°°
отображений gt, 1=1, 2, 3 является, очевидно, допу-
допустимым изменением f. Следовательно, множество gX содержит
все некраевые, а значит (в силу бикомпактности X), и все
вообще точки гильбертова кирпича Q°°. Но в то же время
множество gX ^не содержит внутренних точек куба Q" (т. е.
точек множества Q" \ S). Полученное противоречие доказывает
теорему.
§ 5. Теоремы монотонности, сложения и суммы
для слабо бесконечномерных пространств
Прежде всего сделаем следующее очевидное замечание:
Замкнутое подпространство 5-слабо бесконечномерного, со-
соответственно Л-слабо бесконечномерного, пространства является
S-слабо бесконечномерным, соответственно Л-слабо бесконечно-
бесконечномерным.
Следующая теорема получена Левшенко [1]:
Т»еорема 21 (теорема сложения для Л-слабо бесконечно-
бесконечномерных пространств). Наследственно нормальное пространство X,
являющееся суммой счетной (или конечной) системы А-слабо
бесконечномерных множеств Хп, л=1, 2, 3 является
А-слабо бесконечномерным.
Доказательство. Рассмотрим произвольную счетную
систему © дизъюнктных пар замкнутых множеств простран-
пространства X.
Систему © представим в виде дизъюнктной суммы беско-
бесконечных подсистем а>„, п=\, 2, 3 дизъюнктных пар замк-
замкнутых множеств (Atn, Btn), /=1, 2, 3, ... Для каждого п и
каждого / рассмотрим такие окрестности Uin и Vtn множеств
Аы и ?*„, замыкания A'tn = [Utn] и B'in — [Vin] которых не пе-
пересекаются. Для системы пар (A'tn(]Xn, B'inf\Xn) в Х„, по
условию, можно найти систему перегородок Dtn, i= I, 2, 3,...,
с пустым пересечением. Дополнение в Хп к каждой перего-
перегородке Dln распадается в дизъюнктную сумму открытых в Хп

ТЕОРЕМЫ МОНОТОННОСТИ, СЛОЖЕНИЯ И СУММЫ 635
множеств Н\п э A'in f) Х„ и G'tn а В{„ f) ^"n. В силу наследственной
нормальности X (см. гл. 6, § 2, лемма 1) существуют такие
открытые в X множества Я,„ и Gin, что
Множества Cin = X\ (Uin [} Hin U Gin U Vtn) являются перегород-
00 Об
ками между множествами А1п и Bin, и пересечение f] f]Cln
]
л—1
пусто, так как f\CtnsX\Xn для каждого п. Теорема дока-
доказана.
Следствие 1. Наследственно нормальное, в частности
метризуемое, счетномерное пространство является А-слабо бес-
бесконе чномерным.
Так как тождественное отображение гильбертова кирпича
является существенным (см. гл. 3, § 5, предложение 2), то
гильбертов кирпич является сильно бесконечномерным *) про-
пространством. Поэтому имеем предположенное еще П. С. Урысо-
иом и установленное Гуревичем и Волмэном в [1]
Следствие 2. Гильбертов кирпич не является счетно-
мерным.
Для доказательства следующей теоремы нам потребуется
Лемма 1. Пусть в пространстве X дана система дизъюнкт-
дизъюнктных пар замкнутых множеств (Ait B{), i== 1, 2, 3, ..., и пусть,
соответственно,
A) замкнутое в X множество F является S-слабо бесконеч-
бесконечномерным;
B) замкнутое в X множество F является А-слабо бесконеч-
бесконечномерным и счетно нормальным.
Тогда существуют такие перегородки С< между At и Bt,
I = 1, 2, 3, ..., что, соответственно,
A) ^Л П Ct=A для некоторого N;
оо
Доказательство. Для системы пар замкнутых в F
множеств AiftF, Bl(]F, 1=1, 2, 3, ..., в F существуют такие
перегородки D). что, соответственно,
*) Напомним, что для бикомпактов 5-сильная бесконечномерность экви-
эквивалентна Л-сильной бесконечномерности.

536 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
A) Р) Dt = A для некоторого N;
оо
B) [)Dt=A.
По лемме 2 из § 4 множества Dt можно считать имеющими
тип Ge в F. Поэтому на F существуют такие непрерывные
функции git что gt равна -% в точках множества Di и только
в них, gi равна 0 на Л, f| F и 1 на Bt П F. Каждую функцию gt
продолжим на Jf в непрерывную функцию ft так, чтобы f{
равнялась 0 на Л, и 1 на В{. Множества /-4-lj = C< будут
перегородками между множествами At и Bit и, соответственно,
A) ^n nci-n^nc,)-n ь-
оо
B) Ff\ f) С,«=
Лемма доказана.
Следующая теорема доказана Левшенко [1];
Теорема 22 (теорема суммы для Л-слабо бесконечномер-
бесконечномерных пространств). Если в счетно нормальном пространстве X'
множество X можно представить в виде суммы счетной системы
замкнутых в X' и А-слабо бесконечномерных подпространств
Хп, п=\, 2, 3 то множество X является А-слабо беско-
бесконечномерным.
Доказательство. Рассмотрим произвольную счетную
систему дизъюнктных пар замкнутых в X множеств
(Atn> 5in), i = 1, 2, 3, ..., п = 1, 2, 3, . ..
Множества Хп замкнуты в Xf и поэтому счетно нормальны.
Подпространство X, имея тип Fa в нормальном пространстве
X', само нормально. По лемме 1 для каждого п существуют
такие перегородки Cin между множествами Ain и Bin в X, что
оо . оо оо оо
xnf\ C\Ctn = A. Так как X— \J Х„, то f] f]Cin = A. Teo-
imnl П=\ П=\ ( = 1
рема доказана.
Следствие 3 (Левшенко [1]). Если счетно нормаль-
нормальное, в частности паракомпактное, пространство X является
А-слабо бесконечномерным, то А-слабо бесконечномерным бу-
будет и любое его подмножество типа Fa.
Следствие 4. Слабо счетномерный паракомпакт является
А-слабо бесконечномерным.
Для S-слабо бесконечномерных пространств утверждения,
аналогичные теореме 22 (счетная теорема суммы) и следствию 3

$ 8) ТЕОРЕМЫ МОНОТОННОСТИ, СЛОЖЕНИЯ И СУММЫ 63?
(монотонность по подмножествам типа Fa), уже, вообще говоря,
не имеют места.
Рассмотрим пространство [jQn. Оно является счетной сум-
суммой даже конечномерных замкнутых множеств Q", однако, как
показывает следующая лемма, пространство \jQn является
S-сильно бесконечномерным.
Лемма 2. Пространство X, являющееся дискретной суммой
замкнутых в X множеств Fn, n=l, 2, 3 с dimFn^n,
всегда S-сильно бесконечномерно.
Доказательство. Для каждого п возьмем какое-нибудь
существенное отображение /„ множества Fn на грань Q" гиль-
гильбертова кирпича Q°°. Отображение /: X-+Qn, совпадающее
с }п на Fn, п=\, 2, 3 будет, очевидно, существенным.
По теореме 18 пространство S-сильно бесконечномерно. Лемма
доказана.
Таким образом, пространство [J Q" является S-сильно беско-
бесконечномерным и в то же время, по теореме 22, оно Л-слабо
бесконечномерно. Одноточечная компактификация пространства
[jQn (по той же теореме 22) Л-слабо бесконечномерна, т. е.,
в силу ее бикомпактности, S-слабо бесконечномерна. Таким
образом, S-слабая бесконечномерность не монотонна по под-
подмножествам типа Fa (даже в классе пространств со счетной
базой).
Однако конечная теорема суммы для слабо бесконечномерных
пространств вое же имеет место.
Теорема 23 (Скляренко[3]). Пространство X, являю-
являющееся суммой конечного числа замкнутых и S-слабо беско-
бесконечномерных множеств, само S-слабо бесконечномерно.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 22. Рас-
Рассмотрим произвольную счетную систему дизъюнктных пар
замкнутых множеств
(Atn, Bin), i*= 1,2,3,..., л=1 s.
По лемме 1 для каждого п существуют такие перегородки С<„
между множествами Ain и Btn, 1= 1, 2, 3,..., что ^„П f| С,„=Л.
'<*„
Так как X = (J Хп, то Р) f] Cln = Л. Теорема доказана.
и=1 n=l t<kn
Выведем из леммы 1 еще следующие два утверждения,
аналогичные соответствующему утверждению в конечномерном
случае (теорема 15 из § 6 гл. 4).
Предложение 1. Пусть пространство X счетно нормально,
замкнутое в X множество Ф является А-слабо бесконечномерным

538 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 10
и любое замкнутое в X множество FsX\Q> также является
А-слабо бесконечномерным. Тогда А-слабо бесконечномерным
является все пространство X.
Доказательство. Рассмотрим произвольную счетную
систему дизъюнктных пар замкнутых в X множеств (Atn, Bin),
/—1, 2, п=1, 2, 3, ...
По лемме 1 существуют такие перегородки С,„ между мно-
оо
жествами А1п и Вы, п—\, 2, 3, ..., что Ф{\[>\С1п = А. Мно"
оо
жество Р) Сы лежит в дополнении к множеству Ф и, следо-
вательно, Л-слабо бесконечномерно. По той же лемме 1 суще-
существуют такие перегородки С^ между множествами А2п и В2п
/00 \ / 00 \
в X, что I f\ Cln)(]lf\ С2„) = Л. Предложение доказано.
Предложение 2 (Скляренко[3]). Пусть в простран-
пространстве X дано такое замкнутое S-слабо бесконечномерное множе-
множество ф, что любое замкнутое в X и лежащее в X \ Ф множе-
множество F также S-слабо бесконечномерно. Тогда S-слабо беско-
бесконечномерно все пространство X.
Доказательство. Рассмотрим произвольную счетную
систему дизъюнктных пар замкнутых в X множеств
(Аы, Bin), i=l, 2, n=l, 2, 3, ...
По лемме 1 существуют такие перегородки С1п между мно-
множествами Аы и В1п в X, п= 1, 2, 3 что ФЛ П С1»==л
для некоторого JV. Множество f] CIn лежит в дополнении
<
к множеству Ф и, следовательно, S-слабо бесконечномерно.
По лемме 1 существуют такие перегородки С2„ между мно-
множествами Агп и В2п, п = 1, 2, 3,..., что / П сш) П ( П С2п) = Л
для некоторого М. Предложение доказано.
§ в. Строение S-слабо бесконечномерных пространств
Следующие ниже теоремы показывают, что изучение про-
произвольных S-слабо бесконечномерных пространств сводится,
в определенном смысле, к изучению счетно компактных S-слабо
бесконечномерных пространств.
Счетная система открытых множеств Г„, п=1, 2, 3
пространства X называется сходящейся, если для любой диск-
дискретной в X последовательности точек xit i—1, 2, 3, ..., су-

f в) СТРОЕНИЕ S-СЛАБО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 539
ществует номер (зависящий от последовательности), начиная
с которого все точки xt содержатся в одном из множеств Г„.
Если система открытых множеств Г„ сходится, то множество
00
Ф = X \ (J Г„ называется пределом этой системы.
и— 1
Теорема 24 (С к л я р е и к о [3]). Во всяком S-слабо беско-
бесконечномерном нормальном пространстве X существует сходящаяся
система открытых множеств Г„, удовлетворяющих соотношениям
1оссИтГ„^п, п= 1, 2, 3,..., со счетно компактным S-слабо
бесконечномерным пределом Ф.
Теорема 25 (Скляренко[4]). Если в пространстве X
существует сходящаяся система S-слабо бесконечномерных от-
открытых 'множеств Г„, «=1,2,3 с S-слабо бесконечно-
бесконечномерным пределом Ф, то пространство X является S-слабо беско-
бесконечномерным.
Для доказательства сформулированных теорем нам потре-
потребуется несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Для любой дискретной в нормальном простран-
пространстве X последовательности точек xt, i=l, 2, 3,...., существует
дискретная в X система окрестностей 0{ точек х{, 1=1, 2, 3,...
Доказательство. Функция fx( = / непрерывна на замк-
оо
нутом в X множестве (J xt. Если F— непрерывное продолже-
(-1
ние f на I, то система окрестностей Ot = F~4i — у, t + -o)>
/= 1, 2, 3 — искомая. Лемма доказана.
Множество тех точек х нормального пространства X, в ко-
которых loc dim* X ^ п *), обозначим через Ln. Каждое множе-
множество Ln, очевидно, открыто.
Лемма 2. Система открытых множеств Ln, n=l, 2, 3,...,
S-слабо бесконечномерного нормального пространства X схо-
сходится.
Доказательство. Предположим, что система мно-
множеств Ln не является сходящейся. Тогда существует такая
дискретная в X последовательность точек xt, /=1, 2, 3, ...,
оо
что множества (J xt \ Ln бесконечны для каждого п. Из по-
следовательности точек х{ можно выбрать подпоследовательность
таких точек х1п, что xin&Ln, n= 1, 2, 3, ... Система точек х1п
дискретна в X. По лемме 1 возьмем дискретную в X систему
окрестностей 0„ точек xlfl. Тогда дискретной в X будет и си-
система замыканий [0„], причем dim[OJ>n, так как хгпф.1п.
*) То есть точек х&Х, обладающих окрестностями Ох с dim Ox < п.

540 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
По лемме 2 из § 5 замкнутое в X множество (J [Оп] является
«=i
S-сильно бесконечномерным. Следовательно, S-сильно беско-
бесконечномерным должно быть и пространство X, вопреки условию
леммы. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 24 заканчивает
Лемма 3. Предел Ф сходящейся системы открытых мно-
множеств Г„, /г=1, 2, 3, .... является замкнутым счетно ком-
компактным (например, пустым) множеством *), S-слабо бесконечно-
бесконечномерным, если S-слабо бесконечномерно пространство X.
Доказательство. Замкнутость множества Ф очевидна.
Рассмотрим последовательность точек ягеф, i=\, 2, 3, ...
Эта последовательность не может быть дискретной, так как ни
одна ее точка не содержится ни в одном Ln. Если же после-
последовательность точек xi не дискретна, то она имеет в X хотя бы
одну предельную точку, эта точка обязана содержаться в Ф
в силу замкнутости Ф. Счетная компактность Ф установлена.
S-слабая бесконечномерность Ф следует из S-слабой беско-
бесконечномерности X и замкнутости Ф. Лемма доказана.
Теорема 24 также доказана. Перейдем к теореме 25.
Прежде всего, из леммы об ужатии (гл. 1, § 10) и из тео-
теоремы 23 вытекает
Лемма 4. Нормальное пространство, являющееся конечной
суммой открытых 'S-слабо бесконечномерных множеств, само
S-слабо бесконечномерно.
Лемма 5. Если система открытых в пространстве X мно-
множеств Г„, п=1, 2, 3, ..., сходится и замкнутое в X множе-
множество F содержится в сумме всех множеств Г„, го множество F
содержится в сумме конечного числа множеств" Г„.
Доказательство. Предположим, что F не содержится
ни в одной конечной сумме множеств Г„. Тогда можно взять
последовательность точек xt ^F\ (J Г„, (=1, 2, 3, ... Из
<1
<
сходимости системы множеств Г„ следует, что последователь-
последовательность точек xi не может быть дискретной в X, т. е. имеет
в X хотя бы одну предельную точку х0. Точка х0 содержится
оо
в F s (J Г„ в силу замкнутости F. В то же время точка х0
п—1
не может содержаться ни в одном множестве Г„ в силу выбора
точек xt и открытости множеств Г„. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 25. В силу предложения 2
§ 5 достаточно доказать, что любое замкнутое в X множество
*) Напомним, что пространство X счетно компактно, если любая после-
последовательность его точек имеет в X хотя бы одну предельную точку.

§ 6] СТРОЕНИЕ S-СЛАВО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 641
Fs \J Г„ S-слабо бесконечномерно. Но это так в силу лемм 4
и 5. Теорема 25 доказана *).
Из доказанной теоремы, из лемм 2, 5 и теоремы 21 из § 9
гл. 4 вытекает
Следствие 1. Если система множеств Ln, /г=1, 2, 3, ...,
покрывает все S-слабо бесконечномерное пространство X, то
loc dim X < оо. Если еще X — паракомпакт, то и dim X < оо.
Теоремы 24 и 25 позволяют сформулировать следующую
теорему:
Теорема 26 (Скляренко [3]). Наследственно параком-
пактное (в частности, метризуемое) пространство X тогда и
только тогда S-слабо бесконечномерно, когда в нем существует
сходящаяся система открытых конечномерных множеств Г„,
п— 1, 2, 3 со слабо бесконечномерным бикомпактным пре-
пределом Ф.
Эта теорема вытекает из теорем 24 и 25, из соотношения
Iocdimr,,= diml\, (см. теорему 21 из § 9 гл. 4) и из того
факта, что счетно компактный паракомпакт является биком-
бикомпактом **).
Применим теорему 26 к доказательству следующего факта:
Теорема 27 (Смирнов [6]). Если для метрического про-
пространства X определена размерность Ind X, то
ШХ<щ.
Предварительно докажем еще несколько утверждений.
Теорема 28 (Смирнов [6]). Если для метрического про-
пространства X определена размерность Ind X, то пространство X
является S-слабо бесконечномерным.
Доказательство. Если IndX = — 1, то утверждение
теоремы выполняется. Пусть оно выполняется в случае Ind X^
для всех а < р, и пусть Ind X <
*) Совершенно аналогичным образом можно доказать теорему, полу-
получаемую из теоремы 25 заменой 5-слабой бесконечномерностн на Л-слабую
бесконечномерность.
**) Заметим прежде всего, что любая дискретная система открытых
в счетно компактном пространстве X множеств Оа конечна. (Действительно,
если это не так, то, выбрав в каждом множестве Оа по точке ха, можно
получить бесконечное дискретное в X множество.) Если ш — произвольное
покрытие паракомпакта X, то в ш можно вписать открытое а-дискретное
локально конечное покрытие a>i (см. гл. 4, § II, лемма 4) которое, в силу
сделанного замечания, будет счетным. Если из покрытия g>i = {F<}, /=I.
2, 3, ..., нельзя выбрать конечное подпокрытие, то можно считать, что из
каждого элемента Vt можно так выбрать точку xt, что xt Ф Xj при / Ф j.
Из локальной конечности a>i вытекает локальная конечность, а следовательно,
дискретность системы {«J, i=l, 2, 3, ... Но это противоречит счетной
компактности X. Итак, из покрытия a>i можно выбрать конечное подпокры-
подпокрытие. Бикомпактность X доказана.

542 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
В пространстве X рассмотрим систему дизъюнктных пар
замкнутых множеств (Ah Bt), i=\, 2, 3, ... Так как IndX^p,
то между множествами А{ и В, существует перегородка С,
размерности Ind С{ < а < р. По индуктивному предположению
множество Ci является S-слабо бесконечномерным. По лемме 1
из § 5 существуют такие перегородки Ct между множествами А,
N
N
и Bt, />2, и такой номер N, что [) Ct = С{ Л fjC, = Л.
t<ff
t<ff де
Таким образом, пространство X является S-слабо бесконечно-
бесконечномерным. Теорема доказана.
На множестве порядковых чисел а < <»[ определим функ-
функцию Р(а), значениями которой являются также порядковые
числа.
Положим р(— 1) = <о0. Если числа р(а) уже определены для
всех чисел а < а' (а' < а{), то
p(cO=supP(a)+l.
а<а'
Очевидны следующие свойства функции р(а):
A) если а < а', то и р (а) < р (а');
B) р(а)<ю, для всех а < Юь
C) а^Р(а) для всех а < coL.
Приступим к доказательству теоремы 27. Пусть для прост-
пространства X определена размерность Ind X. Тогда, по теореме 28,
пространство X является S-слабо бесконечномерным, а по тео-
теореме 26, в пространстве X существует сходящаяся система
открытых множеств Ln размерности dimLn^.n, n=\, 2, 3, ...,
с компактным пределом Ф. Компакт Ф является замкнутым
подмножеством пространства X, поэтому для него также опре-
определена размерность IndФ. Теорема будет доказана (см. § 1,
следствие 2), если мы докажем следующую формулу:
Ind Х< р(IndФ).
Если 1пбФ=—-1, т. е. компакт Ф пуст, то, по следствию 1,
Ind X ^ щ = р (Ind ф). Предположим, что доказываемая формула
справедлива в случае ^Ф^адля всеха<а', и пусть 1пс1Ф^а'.
Рассмотрим дизъюнктную пару замкнутых в пространстве X
множеств А и В. Тогда в компакте Ф между множествами А П Ф
и В[)Ф существует перегородка С размерности IndC'^a<a'.
В силу наследственной нормальности пространства X суще-
существует такая перегородка С между множествами А и В в X,
что С[\Ф = С. По индуктивному предположению
Ind С < р (Ind С) < р (a) < p (а').
Следовательно, IndX<P(a'). Теорема 27 доказана.

§ П БИКОМПАКТНЫЙ РАСШИРЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 643
§ 7. Бикомпактные расширения слабо бесконечномерных
пространств
По. теореме Скляренко из § 4 гл. 5 нормальное п-мер-
ное пространство X обладает n-мерным бикомпактным расшире-
расширением того же веса, что и X. Оказывается, аналогичным образом
обстоит дело и в случае 5-слабо бесконечномерных нормальных
пространств.
Сначала покажем, что любое 5-слабо бесконечномерное нор-
нормальное пространство обладает некоторым слабо бесконечно-
бесконечномерным бикомпактным расширением.
Более точно, имеет место
Предложение 1 (Левше'нко [1], Скляренко). Макси-
Максимальное бикомпактное расширение $Х нормального S-слабо
бесконечномерного пространства X слабо бесконечномерно.
Доказательство. Рассмотрим счетную систему дизъюнкт-
дизъюнктных пар (At, Bi), /=1, 2, 3, ..., замкнутых в рх множеств.
Возьмем такие окрестности OAt и OBt, что [OAt](][OBt] = A.
Множества A'i = X[) [ОАД, В\=Х Л [OBt] непусты, и[^]рХ=[ОЛ<],
[B'i]&x = [OBi] (см. гл. 5, § 1, лемма 2), /-=1, 2, 3, ... Выберем
такие перегородки С\ между Л* и В'и что |") С\ = Л для HeKO-
^
торого номера N. Тогда множества Сг = [С/]рх будут перего-
перегородками между [Лг]рХ = [ОЛ(]эЛ( и [fli]3X=[OflJ]2flJ (см. гл. 5,
§ 1, лемма 1) и
(см. гл. 1, § 9, предложение 3). Предложение 1 доказано.
Скляренко, исходя из установленной им в теореме 26
структуры S-слабо бесконечномерных метрических пространств,
показал [3], что S-слабо бесконечномерное метрическое про-
пространство веса ^т обладает слабо бесконечномерным биком-
бикомпактным расширением веса ^т. Имеет место следующее общее
утверждение:
Теорема 29 (Пасынков [17]). Для любого вполне регу-
регулярного пространства X веса г$^т, максимальное бикомпактное
расширение рх которого слабо бесконечномерно, существует
слабо бесконечномерное бикомпактное расширение ЬХ веса ^т.
В частности, любое S-слабо бесконечномерное нормальное
пространство X веса ^ т обладает (S-) слабо бесконечномерным
бикомпактным расширением веса <!т.
Для доказательства этой теоремы нам потребуются неко-
некоторые дополнительные рассмотрения.
Пусть дано непрерывное отображение f: X-*Z бикомпакта X
на бесконечный бикомпакт Z, и пусть в бикомпакте Z выбрана

544 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
система X дизъюнктных пар замкнутых в Z множеств (Аа, Ва),
аеЭД, причем мощн. Ms^nuZ.
Через 23 = 23(/: X-+Z, X) обозначим систему таких конечных
наборов р = (а, as) индексов а( «= 2t, /= 1 s, что в X
между множествами /~'Ла, и /"'fia, можно выбрать перего-
родки Са<(Р) с пустым пересечением: [)Са(ф) = А. Через
Y = Y(J\ X-+Z.K), 8 = 8Ф X-+Y,X) и Л = h(f: X-*Y, X) обо-
обозначим соответственно такой бикомпакт и такие непрерывные
отображения X на Y и Y на Z, что f = hg, wYt^wZ и для
любого р = (а1, ..., а5)е23 в Y между множествами h~lAat.
и h~lBa существуют перегородки Dt, а{ <= р, /=1 s,
S
с пустым пересечением: f\Dt = A.
1=1
Имеет место
Лемма 1. Если бикомпакт X слабо бесконечномерен, то
бикомпакт Y = Y(f: X-+Y,X) и отображения g — g(f: X-+Y, X),
h = h(f: X->Y,X) существуют.
Доказательство. Возьмем произвольный набор р =
«= (о,, ..., as) из S3. Выберем перегородки С, = Са, (р) между Г'Л^
и Г'^а, так, что
По лемме 1 из '§4 можно считать, что перегородки Ct имеют
в X тип Ge. Для каждого г=1 « строим непрерывную
на X функцию <р?: X-*Qt = [0, 1], равную 0 на Г Лв|> 1 на Г'Вв|
и — в точках множества С, и только в них. Диагональное
произведение
отображений срй как мы знаем (см. гл. 1, § 8), непрерывно.
Через pi обозначим проекцию произведения Qp на сомножи-
сомножитель Qi. Очевидно, <р, = pigfi, « = 1 s. Поэтому
П

§ 7] БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 543
Таким образом, между множествами gJ~lAa и gJ~lBa в g~X
существуют перегородки D^(р) = g^Xf\PTl\j)' l~l> • • •» s,
с пустым пересечением.
Рассмотрим теперь диагональное произведение
g:-X-+ZX.U QB
отображений f и gp. Положим K = gX и через Л: К->?,
Рй: ^~*"Qp обозначим.проектирования бикомпакта Y в сомножи-
сомножители Z и Qp произведения Z X П Qp- Ясно, что gp =
ре 23, и
Так как бикомпакт Z бесконечен, т. е. wZ^&0, и wQR= Цо
р е= », то р
wY < tiy (Z X П Qq) < max (©Z, мощн. 53) = wZ.
Рассмотрим произвольно выбранный индекс р = (а1, ..., а^
и пары (h~lAai, Л~'5а,), i=l, ..., s.
Так как A~Mat = ^(g~V^ai) — ^Г'Л,, то
•=> P$gf~lAai — g^~lAat- Аналогично и
~lA и Ph~l
Поэтому в gpX между множествами p^h~lAa и P^h~lBa суще-
s
ствуют перегородки Da, (Р) с пустым пересечением: f) Dul (Р)=Л.
Но тогда множества Dl = p~lDa (р) будут перегородками в Y
между А"Мв|Ер~'/;рА"Мв| и h~lBa s р^1р^~1Ва с пустым
пересечением: f) D,^рг1 Г) /)„ (р) = Л. Требуемые бикомпакт
и отображения построены. Лемма доказана.
Докажем теперь факторизационную теорему для слабо
бесконечномерных бикомпактов.
Теорема 30 (Пасынков [17]). Для непрерывного отобра-
отображения /: X-+Z слабо бесконечномерного бикомпакта X на
бикомпакт Z веса iiuZ = t^Ko существует такой слабо бес-
бесконечномерный бикомпакт Y и такие непрерывные отображения
g: X-+Y и h: Y-+Z, что
(О t = hg;
B) wY
18 П, С, Александров, Б. А, Пасынков

546 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |ГЛ. 10
Лемма 2. В бесконечном бикомпакте Z веса т существует
такая система дизъюнктных пар замкнутых множеств (Аа, Ва),
ае!, что мощн. 91 ^т и
(*) для любой дизъюнктной пары замкнутых в Z множеств
(А, В) найдется такой индекс a s Я, что A s Aa, В s Ba.
Доказательство. Выберем в Z большую базу в = {Ов}
мощности т (см. § 1, предложение 1). Рассмотрим систему <Й
таких пар а = (Ое„ Ое2) элементов базы в, что Ое,э[Ое2], и по-
положим Аа = X \ Ое„ Ва = [OeJ. Ясно, что мощн. Я < т. Пусть пара
(А, В) замкнутых в Z множеств дизъюнктна. Из определения
большой базы вытекает существование таких элементов О%> и Ое»
базы в, что
Х\А^Ов'3 [Ое»] = Ое»эВ.
Ясно, что A s Аа, В s fla для a = (Oe', CV). Требуемая система
пар (Д,, fla) построена. Лемма доказана.
Систему дизъюнктных пар (Л„, Ва), а е 2t, замкнутых под-
подмножеств пространства Z, удовлетворяющих условию (*), будем
называть разделяющей.
Доказательство теоремы 30. Положим Yo = Z и
go = f. По лемме 2 в бикомпакте Yo существует разделяющая
система Ао пар (Л„, Во), ae9tOl мощн. Я0<т. Построим си-
систему i80 = 93 (g0: X -»¦ Yq), бикомпакт Yl = Y (g0: X -> Ко, Ло) и
отображения
gi °* 8 (go'- X -> Yo, Хо): X -+ У„ Ai = /г (g0: ^ -> Ко, ^о): К, -> Уо.
Для всех номеров / по индукции построим бикомпакты Y(
веса wYi ^тс разделяющими системами Xt пар (Аа, Ва), а е Qtj,
мощн. 314 ^т и непрерывные отображения g(: Z-*-Kj, /}{_,: К(->
—»- У4_|,, ПОЛОЖИВ
(а) Y, = Y(8t-i: X^Yt-u Я,,.,);
и выбрав систему Я< так, чтобы выполнялось условие
(в) для любой пары (Аа, Ва), a e Sl^.,, пара \(ft'-i) Aa,
(Л'-i) Ва) входит в систему ht.
Последнего можно достичь, взяв в Yt какую-нибудь разде-
разделяющую систему пар h't мощности wYi и пополнив ее системой
А.ГЛ = {((Ai-i)"' Аа, (Л'-.)"' Ва)}, a s Я,.,.
Так как мощн. A./_i^t, то и мощн. Я,A!|^т. Но в силу опре-
определения пространства Yi = Y(g(-l: X-+Yi-U A,^) справедливо
соотношение wYt ^.wYi^{ ^т. Следовательно, мощн. kt ^
<мощн. {%\ U ЯГ-10<т. Предел спектра S—{Yi,h'i-i},i = O, 1,2

S Л БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 547
обозначим через У. Это бикомпакт веса и>У<т (см. Прибавле-
Прибавление к гл. 1, § 1). Так как ?,_,=/*{_,?,, 1=1, 2, 3 то
(см. Прибавление к гл. 1, § 1) определено непрерывное отобра-
отображение g: X-*Y, удовлетворяющее соотношениям gi = hig,
где hi обозначает проекцию предела У спектра S в элемент У,
этого спектра, / = 0, 1, 2,... Положив Л = Ло: Y-+Z = Y0,
получим соотношение
f h
Осталось показать слабую бесконечномерность бикомпакта Y.
Рассмотрим счетную систему дизъюнктных пар (Ак, Вк),
k—\, 2, 3, ..., замкнутых в У множеств. В силу предложе-
предложения 10 из § 1 Прибавления к гл. 1 находим такие номера i (k),
что ht(k)Ak[)hnk)Bk = A: Так как система Xi(k) разделяющая,
то можно найти такой индекс а (?) е 9t, (ft), что hi (к)А1к) s Aa щ
и hi(k)Bk s Ba(*), следовательно, и^Е^ = hT(k)Aa(к), BksBk =
— h~(k)Ba(k)- В силу слабой бесконечномерности X существуют
такие перегородки Ск между g~lAk и g~lB'k, k=\, 2, 3
и существует такой номер k0, что f) Ск = А. Пусть п =
(^). Положим A»t —(А?(*>) Аа{к), Buk = {h't(k))~l Sa(Jk)
ft<0
(если i{k)=n, то hnn есть тождественное отображение У„),
k = l k0. В силу условия (в) пары (ЛаА, Bak), k^.ko,
входят в систему Хп. Так как
и аналогично
то множества Ск являются перегородками между g~lAa и
g~lB , k^kQ, и f| С4 = Л, т. е. набор p = (a, ak)
a
4 , р p (, k) вхо-
*<fto
дит в S(g-n: X-+Yn, Xn). Но тогда, в силу определения про-
пространства Yn+i = Y (gn: X-+Yn, Xn), в бикомпакте У„+1 между
множествами (Л?+1) Aak и (Л^+1) BOft существуют перего-
перегородки D'k, k^.ko, с пустым пересечением: f") Dfc = A. Мно-
fefe
жества Dk = hZ+\Dk будут перегородками в У между мно-
множествами
Л»+1 (Л»+')~' ^afc == Л;Г' (A?w)"' Л„(А) - h7mAa (*) = ЛА а Ак
18*

548 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
hn+i \hn ) Bak
Пересечение
k<k0 k<,k<, \ktZh,
этих перегородок пусто. Взяв какие-нибудь перегородки Dk
между множествами Аи и Вк при k > k0, получим систему
перегородок Dk между Ak и Bk для всех k с пустым пересече-
пересечением. Слабая бесконечномерность бикомпакта Y установлена.
Теорема 30 доказана.
Докажем теорему 29.
Пусть вполне регулярное пространство X имеет вес т^К0
и его максимальное бикомпактное расширение рХ слабо бес-
бесконечномерно. По теореме Тихонова существует топологическое
отображение /': Х-+1Х пространства X в тихоновский куб веса т.
По теореме 12 из § 9 гл. 1 существует продолжение f: $X-+IX
отображения f. По теореме 30 существует слабо бесконечно-
бесконечномерный бикомпакт Y веса виК^т и такие отображения g: рХ-*У
и Л: У->/т, что f — hg. Отображение g, как и /, на множе-
множестве X является топологическим, поэтому можно считать
X^ssgX. Ясно, что бикомпакт [gX]Y является искомым биком-
бикомпактным расширением пространства X. В случае нормального
пространства утверждение теоремы вытекает из предложения 1.
Теорема 29 доказана.
Как показывает следующее ниже утверждение, в формули-
формулировке теоремы 29 нельзя, вообще говоря, S-слабо бесконечно-
бесконечномерные пространства заменить Л-слабо бесконечномерными.
Рассмотрим пространство Q®. Его тождественное вложение
в гильбертов кирпич Q°° является существенным отображением,
поэтому пространство Q® является 5-сильно бесконечномерным.
В то же время, являясь слабо счетномерным, пространство Q®
является Л-слабо бесконечномерным (см. следствие 4 из § 5).
Однако, как утверждает следующая теорема, пространство Q®
не имеет слабо бесконечномерных бикомпактных расширений.
Теорема 31 (Скляренко [3]). Все бикомпактные-рас-
бикомпактные-расширения пространства Q® сильно бесконечномерны.
Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь бикомпакт-
бикомпактное расширение В пространства Q®. Нульмерные параллелепи-
параллелепипеды а{={@, 0, ..... 0, ...)} и bi={(\, 0, ..., 0, ...)} имеют
в В окрестности Oai и ОЬи замыкания которых не пересекаются.
Положим е, = 1. Натуральное число Л, и число е2 > 0, е2<е,,
можно выбрать так, чтобы осуществлялись включения
Л,— {(*,)€= Qa| Xi = 0, Х{ <е2 при 1 </<?,} sOai

S 7] БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 549
И
Qi х1 = в1 = 1, Xi^b2 при 1 </<*i}sO6,.
Предположим, что для всех номеров / < п уже построены
такие числа kjt в1+1 и замкнутые в Q® множества Лу, Bjt что
Л/ < Л/' И 8/+1 > 8/'+, ПрИ )< ]',
при
(!) ""-
' ПрИ I </, Xj=Bh Xt^Bj + i
при }<i-.
Найдем числа ?„, е„+1 и множества Л„ и Sn, удовлетво-
удовлетворяющие аналогичным условиям. Заметим, что (п—1)-мерные
параллелепипеды
an = {(xi)^(T'- Xi^bi при i<n, xt = 0 при
bn = {(xt) e= Q": дг^е, при t < n, лг„ = е„, ^ = 0 при i > n}
не пересекаются. Поэтому они обладают в В окрестностями Оап
и ОЬп, замыкания которых не пересекаются.
Каждая точка х е ап содержится в Оап П Qa вместе с не-
некоторой окрестностью вида
Ox={(xt) <= Ош: к{ < х{ < iit при 1<п, хь<в (х) < вп
при п ^.t^k (х)}.
Из покрытия {Ох} компакта ап можно выделить конечное
подпокрытие {Ох/}, / = 1, ..., s, и положить
е(а„) = у min e (x,), k (а„) = 1 + max (fcn_lf /г (ati), ..., Л (atJ).
Аналогичным образом находятся числа в(Ьп) и Л(Ь„). Если по-
положить е„+1 = ггнп(е(ап), в(Ьп)) и kn = max (fe (ал), ?(Ь„)). то
множества Л„ и Вп, получаемые по формулам A) при j — n,
будут содержаться соответственно в Оап и ОЪп. Следовательно,
И„]ВЛ[ЯП]В = Л-
Продолжая построение, получим числа kn, вп и множества
Ап, Вп для всех п.
Предположим, что существуют такие перегородки С„ между
множествами Ап и Вп и номер N, что f*^ С„ = Л. Тогда

550 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 10
в УУ-мерном параллелепипеде
Qv={fa)eQ*|*J<«» при /<#, х, = 0 при t>N]
множества Сп П Qn являются перегородками между множествами
Ап П QN и Вп П Q", я<#, с пустым пересечением: f\(Cn П QN)=&.
<
Но множества Л„ П QN и В„ f| Qw являются, очевидно, (N — 1)-
мерными противоположными гранями параллелепипеда Qv, и,
следовательно, пересечение f*| (Cn (] QN) пустым быть не может
л<ЛГ
(см. гл. 5, § 8). Полученное противоречие доказывает, что
любая система перегородок между множествами [Ап]в и [Вп]в,
п=\, 2, 3, ..., центрирована.
Следовательно, бикомпакт В сильно бесконечномерен.
§ 8. Бесконечномерные канторовы многообразия
Бикомпакт X называется бесконечномерным канторовым
многообразием, если его нельзя разбить никаким слабо бес-
бесконечномерным замкнутым подмножеством (П. С. Александров).
Следующая теорема аналогична теореме Гуревича—Тумар-
кина (гл. 5, § 9):
Теорема 32(Скляренко [3]). Во всяком сильно бесконечно-
бесконечномерном бикомпакте содержится бесконечномерное канторово
многообразие.
Сформулированная теорема является следствием доказывае-
доказываемых ниже лемм.
Лемма 1. Пусть пространство Ф представлено в виде суммы
двух замкнутых множеств Ф{ и Ф2. Пусть замкнутые в Ф мно-
множества А и В не пересекаются иС} — перегородка между А П Ф/
и ВГ)Ф/ в Ф/, /= 1, 2. Тогда существует такая перегородка С
между А и В в Ф, что С \Ф2 = С1\Ф2 и С\Ф1=С2\фи
другими словами, перегородка С совпадает вне пересечения
^1 П Фг с С] и С2 соответственно.
Доказательство. Дополнение к Ct в Ф/ разлагается
в сумму двух открытых в Ф/ и непересекающихся множеств
G) а А П Ф/ и G/ а В ft Ф/, / = 1, 2. Множество [G\] [) [G2] [) d U
[)C2 — FU замкнутое в Ф, содержит множество Л и не пересе-
пересекается с В, так как [G)]<=G)l)Ch а В(](О)[)С,) = {В(]Ф1) (]
d(G)[)Ct)sG2i(](G)[)C,) = A, /=1, 2. Следовательно, множе-
множество О2 — Ф\Р{ является окрестностью множества В в Ф.
Аналогичным образом, окрестностью множества А является
множество Ох чв Ф \ ([G|j U [Gl] U C\ U С2). Множества О( и О2

$ 8) БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ КАНТОРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 551
не пересекаются, так как
о,по2=ф\(с,ис2и и
еФ\((с!иС1
Кроме того,
= ((С. U G\) U (C2 U G2)) Л ((С, U G?) U (Ca U <$) =
=((с, и о!) п (с, и с?)) и ((с, и о!) п (са и <ф) и
U ((Ca U G2) П (С, U Off) U ((Ca U G2) П (Са U <Й)) с
s С, U (Ф, П Фа) U (Ф2 П ФО U C2 s Ci U C2 U (Ф1П Ф2).
Множество С = Ф \ (О, U Ог) является искомой перегородкой,
так какС,иС2и(Ф1 ПФ2)эСэС, аС2, откуда С \Ф1 = С2 \Ф,
и С \ Ф2 = С[ \ Ф2. Лемма доказана.
Л е м м а 2. Пусть в бикомпакте Ф существует такая счетная си-
система пар дизъюнктных замкнутых множеств (А{, Bi), i= 1,2, 3
что для любой системы перегородок С{ между At и Bt всегда
оо
QCi^A, но в то же время в любом собственном замкнутом
подмножестве Ф' бикомпакта Ф существуют перегородки С\
между множествами At П Ф' ы Bt П Ф' с пустым пересечением:
оо
["| С\ = Л. Тогда бикомпакт Ф является бесконечномерным
t—\
канторовым многообразием.
Доказательство. Предположим, что Ф не является
бесконечномерным канторовым многообразием. Тогда Ф можно
разбить слабо бесконечномерным бикомпактом С, т. е. разность
ф \ С можно представить в виде суммы двух непустых откры-
открытых непересекающихся множеств Ох и О2. Бикомпакты Ф] =
= Ф\О2 и Ф2 = Ф\О] являются собственными подмножест-
подмножествами Ф, и Ф111Ф2 = Ф> Ф1ПФ2 = С. По условию в бикомпактах
Ф/ существуют такие перегородки Сц между множествами
оо
Л<ПФ/ и В<ПФ/. что f]C,{ = Л, у = 1,2. В силу бикомпакт-
ности множеств Ф] и Ф2 существует такой номер Л^, что
р| Сц = &, /=1, 2. В соответствии с леммой 1 существуют
такие перегородки С< между множествами At и Bit что Ct \Ф2=»

552 БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, 10
щ=Си \Ф2 и Cl\<bi = C2l\a>1, i= I N. Но тогда
П «с< \ ф2) U (Ф. П Ф2)) U П «с< \ ф>) U (Ф. Л Ф2)) s
= П (сн U (Ф, П Ф2)) U П (с* U (Ф, П Фа)) s
По лемме 1 § 5 существуют такие перегородки Ct между мно-
множествами At и Blt i> N, что СП П Ci — Л. Тогда
что противоречит условию. Лемма доказана.
Для доказательства теоремы 32 осталось доказать следую-
следующую лемму:
Лемма 3. В любом сильно бесконечномерном бикомпакте X
содержится замкнутое множество Ф, удовлетворяющее условиям
леммы 2.
Доказательство. Если бикомпакт X удовлетворяет усло-
условиям леммы 2, то он и является искомым. Предположим, что X
не удовлетворяет условиям леммы 2, и возьмем такую систему пар
дизъюнктных замкнутых в X множеств {Ah Bt), i = 1, 2, 3
00
что Р) Ct Ф А. для любой системы перегородок Ct между А{ и
В{, 1=1, 2, 8, ...
Положим Фг = Х. Предположим, что для всех порядковых
чисел V < К мы построили такие бикомпакты Фк>, что
(а) Фк» s Фу и Фк> \ Фк» ф Л при V < X",
(б) для любой системы перегородок CV в Фк> между мно-
00
жествами Л^ПФ^' и ?<Г)Ф;/ пересечение (]Са> непусто.
Пусть сначала К — непредельное порядковое число, т. е.
Я=А0+ 1. Тогда возможны два случая:
1. В любом собственном замкнутом подмножестве Ф' мно-
множества Фл, существуют такие перегородки Dt в Ф' между мно-
00
жествами А( Г) Ф' и В{(] Ф', что f*| Dt = Л. Тогда множество
Фа, является искомым.

§ S] БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ КАНТОРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 553
2. Существует такое собственное замкнутое подмножество
Ф'сФ, что для любой системы перегородок Dt в Ф' между множе-
ствами Л^ПФ'и В/ПФ' имеем f] Dt=?A. Тогда полагаем ФХ=Ф'.
Предположим, что число К предельное. Тогда полагаем
Фд,1 = С*| Фд/. Очевидно, бикомпакт Фк удовлетворяет условию (а).
Покажем, что он удовлетворяет и условию (б). Предположим,
что существуют такие перегородки Са между множествами
Л,Г|Ф\ и В, [\ФК в Фк, что f\Cih = A. В силу счетной нор-
мальности X можно считать, что перегородки Cix имеют тип
G6 в Ф^ (см. лемму 2 § 4). На Фк для каждого i определим
функции gt, равные 0 на Л, ПФ*. 1 на В, ПФ\ и -^ в точках Cth
и только в них. Функции gi продолжим в функции ft, опреде-
определенные на всем пространстве X и равные 0 на At и 1 на Bt.
Множества С' = /Г1(-у) являются перегородками в X между
At и Bj. Бикомпакт 4=f]Ct не пересекается с бикомпак-
00 ОО
том Фъ так как ["|С/Г)Ф\= Р|Сд = Л. Поэтому множество
Ь=\ (=1
О = X \ Ч является окрестностью множества Фд,. В силу вклю-
включений (а) и бикомпактности пространства X все множества Фд/,
начиная с некоторого Ф^, лежат в О. Но тогда множества
С '=С*ПФ,' являются перегородками в Ф' между множест-
множество о Ло
вами Л(ПФ,' и В{(]Ф > с пустым пересечением:
о Ло
Полученное противоречие индуктивному предположению пока-
показывает, что множество Фд, удовлетворяет условию (б).
Итак, процесс получения бикомпактов ФЛ может прерваться
лишь при переходе от некоторого порядкового числа Ко к числу
Xq-\- 1, причем в этом случае бикомпакт Ф^ является искомым.
Но процесс должен прерваться при некотором X < сот, где сот—
наименьшее порядковое число, мощность которого больше
мощности множества X. Лемма доказана.
Доказана также и теорема 32.

Приложение
ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ БОЛЬШОЙ
ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ.
ТЕОРЕМЫ ОБ УНИВЕРСАЛЬНОМ БИКОМПАКТЕ И БИКОМПАКТНОМ
РАСШИРЕНИИ ДАННОГО ВЕСА И ДАННОЙ БОЛЬШОЙ
ИНДУКТИВНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Будут доказаны следующие аналоги соответствующих теорем
для размерности dimX (гл. 5, § 4):
Теорема 1 (Пасынков [17]). Для любого я = 0, 1, 2,...
и любой мощности т существует бикомпакт ЧпХ веса wx?nX = x
и размерности Ind х?пХ = п, содержащий топологический образ
любого вполне регулярного пространства X веса wX^.x, удо-
удовлетворяющего соотношению \nd$X^.n. В частности, Ч;ПХ со-
содержит топологический образ любого нормального простран-
пространства X веса wX ^ т и размерности Ind X ^ п.
Теорема 2 (Пасынков [17]). Если максимальное биком-
бикомпактное расширение $Х вполне регулярного пространства X удо-
удовлетворяет соотношению
то существует такое бикомпактное расширение ЬХ простран-
пространства X, для которого
wbX=wX, Ind ЬХ^п.
В частности, для нормального пространства X веса wX — r и
размерности Ind X ^ п существует бикомпактное расширение ЬХ
веса wbX=x и размерности \пАЬХ^.п*).
Так как для бикомпактов dimX ^indX^IndX и для
«-мерных кубов Q" имеем dimQ"= IndQ" = «, то из теоремы 1
вытекает
Следствие 1. Бикомпакт xVnx является универсальным
в классе бикомпактов X веса wX ^т и размерности
*) Можно показать, что теорема 2 справедлива и для трансфинитных
значений IdfLf

ПРИЛОЖЕНИЕ 665
Так как размерность dim X монотонна по сильно параком-
пактным подпространствам (см. гл. 4, § 8, п. 4), то из теоремы
2 вытекает
Следствие 2. Если для сильно паракомпактного простран-
пространства X справедливо равенство
dimX = indX = п,
то существует бикомпактное расширение ЬХ пространства X,
удовлетворяющее равенствам
wbX = wX и dim ЬХ = Ш ЬХ = Ш ЬХ = п.
В гл. 6 показано, что dim X = Ind X для любого метриче-
метрического пространства. Поэтому из следствия 2 можно вывести
Следствие 3. Для сильно паракомпактного метрического
пространства X существует такое бикомпактное расшире-
расширение ЬХ, что
wbX = wX и dim Wf = ind Wf = Ind Wf = dim X.
Сформулированные теоремы 1 и 2 вытекают из следующей
факторизационной теоремы для большой индуктивной размер-
размерности:
Теорема 3 (Пасынков [17]). Пусть дано непрерывное ото-
отображение f: X-*-Z бикомпакта X в бикомпакт Z и в X дано
замкнутое подмножество F размерности IndF = Ti. Тогда суще-
существует такой бикомпакт Y и такие непрерывные отображения
g: X-+Y и A: Y->Z, что
(l)f h
()
B) w
C) Indff<T) —Indf.
Доказательство теоремы требует некоторых предварительных
рассмотрений.
Лемма 1. Пусть дано непрерывное отображение f: X->Z
нормального пространства X в топологическое пространство Z
веса wZ^.t, т!> Ко- Пусть еще для замкнутого в X множе-
множества F дано такое вполне регулярное пространство Ф веса ^т
и такие непрерывные отображения g': F-><& и h'\ 0>->Z,
что g' является отображением ««а» и h'g'-=\: F->Z. Тогда
существует такое вполне регулярное пространство У,эФ веса ^т
и такие непрерывные отображения g: X-*-Y и h: Y->Z, что
f = hg и отображение g является продолжением отображения g\
а отображение h является продолжением отображения W.
Доказательство. По теореме Тихонова пространство Ф
можно считать подмножеством тихоновского куба Iх. Тогда ото-
отображение g'\ Р->Фе/' можно продолжить в непрерывное ото-
отображение gx: Х->Г (см. гл. 1, § 8, предложение 8). Через g

666 ПРИЛОЖЕНИЕ
обозначим отображение X в Iх X Z, ставящее в соответствие
точке х^Х точку (g\X, fx). Отображение g непрерывно (см.
гл. 1, § 8, предложение 7). Положим Y = gX.
Рассмотрим график r = {(t, h't): t(=G>}s(?>XZsrxZ ото-
отображения h'. Так как по условию g'F — <b, то для любой точки
/еФ существует хотя бы одна точка x^F такая, что g'x = t.
Тогда (/, h't) = (g'x, h'g'x) = (gxx, fx)eY. Следовательно, Ts
sgfsK. Если же JteF, то (gxx, fx)=(g'x, h'g'x)=(t, Л7)е=Г,
где / = ^еФ, следовательно,
Через р и h обозначим, соответственно, проекции простран-
пространства Y в сомножители Iх и Z произведения Iх X Z. Так как
отображение р: Г-*Ф является гомеоморфизмом (см. гл. 1, § 8,
предложение 1), то график T = gF можно отождествить с про-
пространством ф при помощи гомеоморфизма р: Г-*Ф. Так
как pg \P = gi \F=g', то после отождествления Г с Ф отображе-
отображение g' отождествится с отображением g \F и g будет продолже-
продолжением gf.
Соотношение f = hg сразу же следует из определения ото-
отображения g. Возьмем точку у = (t, h't) as t e gF = Г =э ф. Тогда
hy = h't, т. е. при Гзф отображение h является продолже-
продолжением отображения Л'.
Наконец, wY < w{lx X Z) < т. Лемма доказана.
Пусть дано непрерывное отображение f: X-+Z топологиче-
топологического пространства X в топологическое пространство Z, и пусть
в пространстве X фиксированы: дизъюнктная пара замкнутых
множеств (А1, А2); замкнутое множество F; перегородка Фв f
между множествами FflAk, 6=1,2; такие открытые в F мно-
множества О*, 6=1,2, что О'ПО2 = Л, /7\Ф = О1иО2, F[)Ak<=Ok,
6 = 1,2. Тройку (Y,g,h), состоящую из пространства Y и не-
непрерывных отображений g: X->Yuh: Y-+ Z, назовем (F, О*, Ak,
6 = 1, 2)-факторизацией отображения f, если
()f h
()
(б) wY^;
(в) gF \g(X> = V1[)V!i, множества Vk, 6=1, 2, открыты
в gF\g<& n F(]Ak^F{].g-lVk^Ok, 6=1,2.
Лемма 2. ?а/ш X « Z —бикомпакты и wZ^ Ко. го (F,
О*, Л*, 6 = 1, 2)-факторизация отображения f существует.
Доказательство. Не ограничивая общности рассужде-
рассуждений, можно считать, что /ФA/ И11М2) = Л. (В противном слу-
случае нужно построить непрерывную функцию f: Х->1 — [0, 1],
равную 0 на Ф и 1 на A1 \JA2, а затем вместо отображения f рас-
рассмотреть диагональное произведение /": X-*Zy^l отображе-

ПРИЛОЖЕНИЕ 557
ний / и f.) Множества Fk = Ok[)U> являются бикомпактами,
и fF = fFt[)fF2.
Через Q обозначим дискретную сумму бикомпактов Wi==fF1
и Ч?2 = fF2, а через р — естественное отображение Q на fF.
Через со обозначим разбиение Q на двуточечные множества
вида р~ху, г/е/Ф, и отдельные точки множества Q \ р-'/Ф.
Пространство разбиения со обозначим через W, а естественное
отображение й на Т обозначим, как и соответствующее раз-
разбиение, через со. Очевидно, существует такое непрерывное
отображение Л': W-+fF, что р = Л'со. Ясно, что пространство 4f
есть бикомпакт веса
wZ.
Определим отображение g': F->W, положив g'x — (h')~[ fxf\
при x^Fk, k=\, 2. Ясно, что
h'g' = U F-*fF.
Следовательно (см. предположение в начале доказательства),
(•) g'<3>()g'((Al[)A2)()F) = A.
Очевидно, g'Fk — a4?k, k=\, 2, поэтому
(,*) g'F = V и ё'Ф = a>W, Псо^\ = g'Fx[\g'Fb
Отображение g' непрерывно, так как оно непрерывно на
множествах Fk, k=l, 2 (см. гл. 1, § 1, предложение 10). Мно-
Множества V1 = g'F\g'F2 и V2 = g'F\g'F{ открыты в g'F, не
пересекаются и (см. соотношение (**))
g'F \ в'ф = g'F \ (g'F, П g'F2) = К1 U V2.
Из соотношений (*) и (**) следует, что
Следовательно, g'(Fn Л1) ^ ^' и, аналогично, g' (F П A2) s V2,
откуда
F[\Ak^F{\{gr)-xV\ Л-1,2.
Так как
g'F = g'F, U g'F2 = g'O' U Я'Ф U g'O2 = g'O1 U g'F2,
то F'sg'O1 и, аналогично, l/2sg'O2, откуда
lVksOk, k = 1,2.
В соответствии с леммой 1 строим вполне регулярное про-
пространство F'2? веса ^т и непрерывные отображения g: X-+Y'
и Л: Y'-*-Z, являющиеся продолжениями отображений g' и Л'.
Бикомпакт Y — gX и отображения g: Z-*T, h: Y-+Z будут,
очевидно, искомыми. Лемма доказана.

558 ПРИЛОЖЕНИЕ
Система 91 дизъюнктных пар (Ala, Al), a e 91, замкнутых
в топологическом пространстве X множеств называется раз-
разделяющей, если для любой дизъюнктной пары (Л1, Л2) замк-
замкнутых в X множеств найдется такой индекс а, что Ак s Аа,
k=l, 2.
Лемма 3. В бикомпакте X бесконечного веса т существует
разделяющая система пар мощности ^т.
Сформулированное утверждение, очевидно, совпадает с лем-
леммой 2 из § 7 гл. 10.
Лемма 4. Пусть дан обратный спектр S — {Xa, S?], a e 91,
из бикомпактов Ха и в каждом Ха выбрана разделяющая си-
система ха пар (А$, Al), р е93а. Тогда система пар (йа'Лр, Эа'Лр),
Р е 99а, а е 91, будет разделяющей в пределе X спектра S.
Доказательство. В X рассмотрим дизъюнктную пару
замкнутых множеств (А1, А2). Существует такой индекс а, что
®aAlf\$laA2 = А (см. Прибавление к гл. 1, § 1, предложение 10).
Выберем такой индекс Р е 23а, что ЭаЛ* s Лр, А: = 1,2. Ясно,
что 8а'ЛрэЛ*, k=l, 2. Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть дан обратный спектр S — [Хп, Sj}+1}, n =
= 1, 2, 3, ..., «з бикомпактов Хп. Пусть в пределе X спек-
спектра S даны замкнутые множества Ф, Ч*1 s Ф, Л1 и Л2. Если
для любого «=1, 2, 3, ... существует такой бикомпакт Тп
и такие непрерывные отображения gn: Х„+1-*Г„ и hn: Tn-+Xn,
что
(б) ?А+>ф\ ёЛ+1х? = V\\}V\ и множества Vkn, *=1, 2,
открыты в gn®n+\F;
(в) (фп й *%1*:1у1Мфп U
\ 1 / 1
ks8?lg?Vhn, Л-1,2, «=1,2,3
го множество *? является перегородкой в Ф между множе-
множествами Ak, k—l, 2 *).
оо
Доказательство. Множества О* = ФП (J Э~-н?~1И*,
Л= 1, 2, открыты в Ф и, по условию (в), не пересекаются. Из
условия (г) следует, что ФГ|Л*еО\ Таким образом, разность
Ф\(О'иО2) есть перегородка в Ф между Л1 и Л2. Покажем,
что эта разность совпадает с Ч?.
*) То есть ? есть перегородка в Ф между множествами Д*Г|Ф> ft== U 2,

ПРИЛОЖЕНИЕ 559
Пусть хеф\?, Тогда существует номер п такой, что
г (см. Прибавление к гл. 1, § 1, предложение 10). Из
условий (а) и (б) следует что gn®n+iX ^ W. U Vl, откуда х е
eO'U О2. Лемма доказана.
1. Пусть дано топологическое пространство X, его замкну-
замкнутое подмножество F и непустая система к дизъюнктных пар
замкнутых в X множеств (,4а, А2а), а е 21. Через ф = ф (к, F)
будем обозначать любую такую систему замкнутых в X мно-
множеств Faoal...aa*aFMl...as, s = 0, 1,2, ..., а, е= 21, i = 1 s*),
что
A) Fa> = Fx = F;
B) если множество ^„а,... as^FWl... as определено и
faoa,... а, П Л5,+1 # Л, А> = 1, 2 **), ТО МНОЖвСТВО ^„„а,... аЛ+, яя
s^^xa, ...a a ., определено и является перегородкой в Fa a ...а
между множествами Aas+l, k=l, 2, размерности
Ind F%ai... аЛ+, < Ind Л,оа,... а„',
C) если множество Faoai...aii не определено или Faoa,...aen
0^5 — Л хотя бы для одного из k = l, 2, то множество
Faoal...asas+l не определено ***).
Если размерность Ind/7 определена, то система ty(x,F)
легко строится (индукцией по s).
Для системы -ф == г|> («, F) через Я. = Л. (ф) обозначим любую
такую систему множеств Oa0al...asas+l, k = l, 2, открытых
в Faoltl...as (определенных всякий раз, когда определено мно-
множество F%ai...asas+i), S = 0, I, 2 ЧТО
(Б) f.,,., ...«/\ U 0„(
F) V^.^nA+.sOv,¦•-.+,. *el'2.
Для систем -ф и Я. через -ф^о и ^.„о, о}еЯ, будем обозна-
обозначать их подсистемы ff 0„ _ 1, «>1. и /О* о I
\ «оа^г---01*} I aoaia2"-M>
As==l, 2, s^2, соответственно. Ясно, что
*) Индекс а0 не есть элемент множества Я и пишется чля удобства
(заменяя к).
**) Следовательно, f a a ,,,a ф Л и Ind Fa a ...a >".
***) Таким образом, если множество f a a ..,„, s>0, определено, то
индексы aj as попарно различны,

660 ПРИЛОЖЕНИЕ
Пусть система у, является подсистемой системы 9 пар
(В1р BJ), р е= S3 (следовательно, % s S3).
Систему ч|5 (F, 9), соответственно ЯAф(/7, 0)), будем называть
продолжением системы \\>(F, к), соответственно, X(ty(F,x,)), если
(8) (FePl... Bs в FpoPi... ps) = (F Vl... as si Fxa(... as),
соответственно
(9) Opfto3i...^ = o50aI...v fc=l,2, s>l,
для любого набора индексов рг = а*е91, i=l, ..., s (всякий
раз, когда хотя бы одно из участвующих в равенстве (8), соот-
соответственно (9), множеств определено).
Очевидно, при к?б любую систему вида ty(F, к), соответ-
соответственно Я (ч|з (F, х)), можно достроить до продолжения ty(F, 8),
соответственно Я (чр (F, 0)) (индукцией по s).
2. Пусть дано непрерывное отображение f: X-+Z и в Z
дана система к дизъюнктных пар замкнутых множеств (А1а, Ла),
ае! Через f~'x будем обозначать систему пар (f~lAla, р'Ла),
а ей.
Пусть для замкнутого в X множества F определена размер-
размерность Ind F и построены системы -ф = -ф (Т7, f~'x) = {FaoaI... as}
и Я = Я (*ф) = {0^0,... a,, k = \, 2). Пространство Y веса wY <
^max(a>Z, мощн.х) и непрерывные отображения g: X-+Y,
h: Y-+Z назовем (ip, Я,)-факторизацией отображения f, если
(Ю) f = hg
и для каждого множества Faoa, ...as ^ 'Ф, s^l*), существует
такое пространство Ка,... as и такие непрерывные отображения
что
A2) тройка (Tai...v Pat...ag, \...,,) есть
^
=1, 2)-факторизация отображения f.
t, если множество F 0 определено,
aoa,
пространство У и отображения hug, являющиеся 0ф, Я)-фак-
Очевидно (см. G)), что
A3) для любого a?e9t, если множество F 0 определено,
1 aoa,
*) Если таковое имеется,

ПРИЛОЖЕНИЕ ' 561
торизацией отображения f, будут и (tyao, Я,аоуфакторизацией
отображения f.
Покажем, что (г|), Я,)-факторизация отображения / всегда
существует.
Если г|) = {Fat = F), то положим FaZ, g =s f и пусть Л—тож-
Л—тождественное отображение пространства Z.
Пусть система \|э состоит не из одного элемента Fail = F.
По лемме 2 для каждого множества Faoa,... ose -ф = -ф(/-", f~'x),
S > 1, Существует (f^a, ... as_,, Oa0a, ... as, T'^V k — \, 2)-фак-
торизация отображения f, состоящая из пространства Yul...as
веса wYul... as^wZ и непрерывных отображений
Следовательно,
A4)/ = \...a/a,...v
Через g обозначим диагональное произведение отображе-
отображений ёа а И ПОЛОЖИМ
1 S
Y = gXsU= П Ya as.
ч«.-«.в*
Через pa a обозначим проекцию пространства У в сомно-
сомножитель Yat...as произведения П. Так как
О5) 8al...a'=Pal...as-e ДЛЯ Любого F^ ... ^ S ф,
то (см. A4)) отображение
AГ) h = ha a -pa .a: 7->Z не зависит от выбора на-
бора СЦ ... as и
A')f A
()f g
Заметим, что мощность ip^ мощности % и wYul... as
ДЛЯ ЛЮбОГО Faoa, ... as ^'Ф- ПОЭТОМУ
A6) wY ^тах(мощн.х, wZ).
Существование (i|), Я,)-факторизации (Y, g, h) отображения f
установлено.
3. Пусть дан обратный спектр S = {Yn, Э^+1}, п= 1, 2, 3, ...,
из бикомпактов К„ с непрерывными проекциями. Пусть непре-
непрерывные отображения /„: X-*Yn бикомпакта X удовлетворяют
соотношениям
A7) fn = K+%+i> «=1, 2, 3, ...
Следовательно (см. Прибавление к гл. 1, § 1, предложе-
предложение 5), определено непрерывное отображение g: X -> Y биком-
бикомпакта X в предел Y спектра S, удовлетворяющее соотношениям

Б62 ПРИЛОЖЕНИЕ
A8) fn = &ngt n=l, 2, 3 где Sn —проекция предела У
в элемент Yn спектра S.
Пусть в каждом У„ выбрана разделяющая система х„
пар (аЪ, Al), ае!л, и
A9) ^,=(8^')-'^.
Тогда из соотношений A7) и A9) следует, что
Пусть в X фиксировано замкнутое множество F размер-
размерности \n&F = r\. Пусть системы
=1, .... s,
-1,2},
таковы, что
B0) \\>п+1 и Я,п+1 суть продолжения 1|зЛ и ЯЛ соответственно,
п=\, 2, 3, ...;
пусть еще
B1) тройка (УЛ+1, f№+l, SJ+1) есть (г!)^ Я^-факторизация ото-
отображения /„, п=\, 2, 3, ...
Тогда
(***)
Доказательство. Если т)= —1, то IndgF^ — 1 = г\.
Предположим, что утверждение справедливо для всех поряд-
порядковых чисел т)<%, и пусть IndF = |, |>0.
Если множество gF одноточечно, то IndgF = 0^|.
Пусть множество gF не одноточечно.
Рассмотрим в gF дизъюнктную пару непустых замкнутых
множеств Ф1 и Ф2.
По лемме 4 система пар (э^'л!,, Эп'Ла), не ЯЛ, п= 1,
2, 3 является для У разделяющей. Поэтому существует
такой номер п = р и такой индекс ape9tp, что Ф*еЭ~'Л*р,
k=\, 2.
Множество F р из системы typ определено, так как
1k ^lk%k^A, Л = 1. 2.
По построению (см. B))
Ind FmP = Г < 1 = Ind F.
Из G), B0), B1), A3) и из индуктивного предположения
следует неравенство
Id F^ <|'<$.

ПРИЛОЖЕНИЕ 563
Осталось показать, что gF^p есть перегородка в gF^sgF^
между множествами Э~'Л*р, &=1,2.
Для индекса <хр через а", п> р, обозначим тот индекс а
из Шп, для которого Лц = (9р) Akap, k=l, 2. Существование
такого индекса вытекает из условия A9). Из соотношения B0)
следует, что
<22) ;
k=l, 2, «р
Из условия B1) вытекает существование таких пространств Тп
и таких непрерывных отображений
gn: 'n+i~*Tn, hn: Tn—*-Yn,
что
B3) а»+1=-ЛввГл, п>р;
B4) gJn+lF \ g.U/^P = вЛ+Л \ «Л+/ад» = К U ^2„.
множества К), и V\ открыты в gnfn+iF;
B5) F nC^Vlc О^-О^. A-l, 2;
B6) Fnf;1<P=^nc1^sf;;lg;V*, * = i, 2, «>р.
Из условий A8) и B4) следует, что множества ф = ^^
и xF = gFaaap удовлетворяют условию (б) леммы 5.
Положим
п>р
Из условий A8) и B5) следует, что
^=1, 2.
Так как множества О^р и 0^ар не пересекаются (см. D)), то и
F П g~' (Ul П f/2) = F П g-'t/1 П g-'C/2 = Л.
Но тогда
Ф П (Ul П f/2) = g (F П Г' (^' П f/2)) = Л,
т. е. выполнено условие (в) леммы 5.
Наконец, из соотношения B6) вытекает включение
О;1^, л-1,2, п>р.

664 ПРИЛОЖЕНИЕ
В самом деле,
v;=
Следовательно, выполнено условие (г) леммы 5.
Так как условие (а) этой леммы также выполнено (см. B3)),
то мы доказали, что gF^p есть перегородка в gF между мно-
множествами 8J1 Akap, 6=1,2. Таким образом, IndgF = IndgF^^.%.
Следовательно, неравенство (***) доказано для любых т). •
4. Докажем теорему 3. Положим YX=Z и fi=f. В У!
выберем какую-нибудь разделяющую систему щ мощности
^.wY{ = wZ (см. лемму 3). Построим системы
и \ =
По доказанному в п. 2 существует бикомпакт У2 и непре-
непрерывные отображения f2: X->У2, Щ: Y2-*Yl, являющиеся (г|),, А,,)-
факторизацией отображения ft. При этом (см. A6)) о>У2^
^( Y) Y
^( {)
В У2 выберем разделяющую систему х2 мощности ^ шУ2
и содержащую систему (S^)~'»e,. В X построим системы ч|э2 =
= ^(Л/г"'^) и ^2==^('Ф2)' являющиеся продолжениями систем i|),
и ^! соответственно.
Аналогичным образом по индукции можно построить обрат-
обратный спектр S = {yn> Э?+1}, «=1, 2, 3, ..., удовлетворяющий
условиям A7), A9), B0), B1) и условию
= wZ, ra= 1,2,3,...
Если У — предел спектра S, то предел g: X -*¦ У отображе-
отображений /„ удовлетворяет соотношениям A8). Следовательно, если
проекцию Э^ Y-*Yi обозначить через h, то
По доказанному в п. 3
Кроме того,
оо
wY < w И У„ < wZ.
1
оо
И
№=1
Теорема 3 доказана.
Доказательство теорем 1 и 2 полностью повторяет доказа-
доказательство теорем 6 и 7 из § 4 гл. 5.

ЛИТЕРАТУРА
Александров П. С.
[1] Sur les espaces de la premiere classe et les espaces abstraits, С. г, Acad.
Sci. Paris 178 A924), 185—187.
[2] Ueber die Metrisation der im Kleinen kompakten Raume, Math. Ann. 92
A924), 294—301.
[3] Ueber stetige Abbildungen kompakterRaume, Proc. Koninkl. Acad. Amster-
Amsterdam 28 A925), 997—999; Math. Ann. 96 A927), 555—571.
[4] Zur Begriindung der n-dimensionale mengentheoretischen Topologie, Math.
Ann. 94 A925), 296—308.
[5] Sur la dimension des ensembles fermes, С. г. Acad. Sci. Paris 183 A926),
640—643.
[6] Sur les multiplicites cantoriennes et le theoreme de Phragmen — Brouwer
generalise, там же, 722—724.
[7] Une definition des nombres de Betti pour un ensemble ferme quel-
conque, там же 184 A927), 317—319.
[8] Zum allgemeine Dimensionsproblem, Nachr. Gesellsch. Wiss. Gottlngen,
1928, 25—44.
[9] Untersuchungen iiber Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen, Ann.
Math. 30 A928—1929), 101—187.
[10] Analyse geometrique de la dimension des ensembles ferme, С. г. Acad.
Sci. Paris 190 A930), 475—477.
11] Sur la theorie de la dimension, там же, 1102—1104.
12] Dimensionstheorie, Math. Ann. 106 A932), 161—238.
i3] Ueber die Urysohnschen Konstanten, Fundam. Math. 20 A933), 140—150.
14] Sur les suites des espaces topologiques, С. г. Acad. Sci. Paris 200 A935),
1708—1711.
[15] К теории топологических пространств, ДАН СССР 2 A936), 51—54.
[16] О счетнократных открытых отображениях, там же 4, № 7 A936),
283—286.
[17] О размерности бикомпактных пространств, там же 26 A940), 627—630.
[18] Теорема сложения в теории размерности бикомпактных пространств, Со-
общ. Груз, филиала АН СССР 2 A941), 1—6.
[19] О понятии пространства в топологии, УМН 2, № 1 A947), 5—57.
[20] On the dimension of normal spaces, Proc. Roy. Soc. London, A, 189
A947), 11—39.
[211 Комбинаторная топология, Гостехиздат, 1947.
[22] Предисловие к книге Гуревича и Волмэна «Теория размерности», ИЛ,
1948.
[23] Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат, 1948.
[24] О некоторых старых задачах гомологической теории размерности, Тру-
Труды международного симпозиума по топологии и ее применениям, Хер-
цег-Нови (Югославия), 1968, 38—42.
Александров П. С. и Пономарев В. И.
[1] О некоторых классах n-мерных пространств, Сиб. матем. ж. 1, № 1
A960), 3—13.

566 ЛИТЕРАТУРА
Александров П. С. иУрысон П. С.
[1] Une condition necessaire et suffisante pour qu'une classe (L) soit une
classe (D), С. г. Acad. Sci. Paris 177 A923), 1274—1276.
[2] Memoire sur les espaces topologiques compacts, Verh. Koninkl. Akad. We-
tensh. Amsterdam 14 A929), 1—96. [Русский перевод: Александ-
Александров П. С. и У р ы с о н П. С, Мемуар о компактных топологических
пространствах, «Наука», 1971.]
Александров П. С. и Хопф X. (Alexandroff P., Hopf H.)
[1] Topologie, I, Berlin, Springer, 1935.
Архангельский А. В.
[1] Аддиционная теорема для веса множеств, лежащих в бикомпактах,
ДАН СССР 126, № 2 A959), 239—241.
[2] О замкнутых отображениях, бикомпактных множествах и одной задаче
П. С. Александрова, Матем. сб. 69, № 1 A966), 13—34.
[3] О факторизации отображений по весу и размерности, ДАН СССР 174,
№ 6 A967), 1243—1246.
Б инг (В ing R. Н.)
[1] Metrisation of topological spaces, Canad. Math. J. 3 A951), 175—186.
Борсук (BorsukK.)
[1] Ober Schnitte der я-dimensionalen Euklidischen RSume, Math. Ann. 106
A932), 239—248.
[2] Sur le prolongement des transformations continues, Fundam. Math. 28
A937), 99—110.
Б р а у э р (В г о u w e r L. E. J.)
[1] Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl,Math. Ann. 70 A911), 161—165.
[2] Ober Abbildung von Mannigfaltigkeiten, там же 71 A912), 97.
[3] Sur la notion de classe de transformations d'une multiplicite, Proc. In-
Intern. Congress of Math., Cambridge, 1912, 2—9.
[4] Ober den natiirlichen Dimensionsbegriff, J. reine angew. Math. 142 A913),
146—152.
ВайиштейнИ. A.
[1] О замкнутых отображениях, Уч. зап. МГУ 155, матем. № 5 A952), 3—53.
[2] Об одномерных отображениях, ДАН СССР 83, № 2 A952), 175—178.
ВеденисовН. Б.
[1] Замечания о размерности топологических пространств, Уч. зап. МГУ,
сер. матем. 30 A939), 131—140.
[2] О размерности в смысле Чеха, ИАН СССР, сер. матем. 5 A941),
211—216.
Витушкии А. Г.
[1] Замечания к данному К. Ситниковым решению одной задачи Урысона,
ДАН СССР 100 A955), 5—8.
Волмэн (WallmanH.)
[1] Lattices and topological spaces, Ann. Math. 39 A938), 112—126.
Вопенка (VopenkaP.)
[I] О размерности компактных пространств, Czechoslov. Math. J. 8, № 3
A958), 319—327.
[2] Замечание о размерности метрических пространств, там же 9, № 4
A959), 519-522.
Гуревич (Hurewicz W.)
[1] Ober das Verhaltniss separabler Raume zu kompakten Raumen, Proc.
Koninkl. Akad. Amsterdam, Ser. A, 30, № 1 A927), 425—430.
[2] Normalbereiche und Dimensionstheorie, Math. Ann. 96 A927).
[3] Ober dimensionserhohende stetige Abbildungen, J. reine angew. Math.
169 A932), 71—78.
[4] Ober Abbildungen von endlichdimensionalen Raumen auf Teilmengen Car-
tesischer Raume, Sitzungsber. Preuss, Akad. Wiss. 34 A933), 754—765.

ЛИТЕРАТУРА 567
[5] Ober Abbildungen topologischer Raume auf die я-dimensionale Sphere,
Fundam. Math. 24 A935), 144—150.
ГуревичиВолмэн (Hurewicz W., WallmanH.)
[lj Теория размерности, ИЛ, 1948.
Даукер (Dowker С. Н.)
[1] An imbedding theorem for paracompact metric spaces, Duke Math. J. 14,
№3 A947), 639—645.
[2] Mapping theorem for non-compact spaces, Amer. J. Math. 69, № 2 A947),
200—242.
[3] An extension of Alexandroff's mapping theorem, Bull. Amer. Math. Soc.
54, № 4 A948), 386—391.
[4] On countably paracompact spaces, Canad. J. Math. 3, № 2 A951), 219—
224.
[5] Inductive dimension of completely normal spaces, Quart. J. Math., ser. 2,
4, № 16 A953), 267—281.
[6] Local dimension of normal spaces, там же в, № 22 A955), 101—120.
ДаукериГуревич (Dowker С. H., Hurewicz W.)
[1] Dimension of metric spaces, Fundam. Math. 43 A956), 83—88.
Дьедоине (DieudonneJ.)
[1] Une generalisation des espaces compacts, J. Math. Pures Appl. 23 A944),
65—76.
Зайцев В. И.
[1] К теории тихоновских пространств, Вести. МГУ, сер. матем. 3 A967),
48—57.
[2] Проекционные спектры, Тр. Моск. матем. о-ва 27 A972), 129—193.
Зарелуа А. В.
[11 О теореме Гуревича, Матем. сб. 60, № 1 A963), 18—28:
[2] О равенстве размерностей, там же 62, № 3 A963), 295—319.
[3] О продолжении отображений на расширения, обладающие некоторыми
специальными свойствами, Сиб. матем. ж. 5, № 3 A964), 532—548.
[4] Универсальный бикомпакт данного веса и данной размерности, ДАН
СССР 154, №5 A964).
[5] Коиечнократные отображения топологических пространств и когомоло-
когомологических многообразий, Сиб. матем. ж. 10, № 1 A969), 64—92.
Катетов (КatetovM.)
[1] A theorem on the Lebesgue dimension, Casopis pro pest. mat. fys. 75,
№ 2 A950), 79—87.
[2] О размерности метрических пространств, ДАН СССР 79, № 2 A951),
189—191.
[3] О размерности иесепарабельных пространств, I, Чехослов. матем. ж. 2,
№ 4 A952), 333—368.
[4] О соотношении между метрической и топологической размерностью,
Czechoslov. Math. J. 8, № 2 A958), 163—166.
Келдыш Л. В.
[1] Монотонное отображение куба на куб большей размерности, Матем. сб.
41, № 2 A957), 129—158.
[2] Преобразование монотонно-неприводимого отображения в монотонно-
открытое и монотонно-открытые отображения куба, повышающие раз-
размерность, там же 43, № 2 A957), 187—226.
[3] Нульмерные открытые отображения, ИАН СССР, сер. матем. 23 A959),
165—184.
Кнастер и Куратовский (Knaster В., Kuratowski K-)
[1] Sur les ensembles convexes, Fundam. Math. 2 A921), 206—256.
Кнастер, Куратовский и Мазуркевич (Knaster В., Kura-
Kuratowski К-, Mazurkiewicz S.)
[lj Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur и-dimensionale Simplexe, Fundam.
Math. 14 A929), 132—137.

668 ЛИТЕРАТУРА
Колмогоров А. Н.
[1] Ober offene Abbildungen, Ann. Math. 38, № 1 A937), 36—38.
[2] Точки локальной топологичности счетнократных открытых отображений
компактов, ДАН СССР 30, № 6 A941), 477—479.
Куратовский (KuratowskiK.)
[1.1 Sur l'operation Д de l'Analysis Situs, Fundam. Math. 3 A922), 182—199.
[2] Sur l'appllcation des espaces fonctionnels a la Thebrie de la dimension,
там же 18 A931), 285—292.
[3] Sur un theoreme fondamental concernant le nerf d'un systeme d'ensembles,
там же 20 (933), 191—196.
[4] Ann. Soc. Pol. Math. 16 A937), 220.
[5] Sur les theoremes du «plongemenb dans la theorle de la dimension,
Fundam. Math. 28 A937), 336—342.
[6] Топология, т. I, «Мир», 1966, т. 2, «Мир», 1969.
К У Р о ш А. Г.
[I] Kombinatorischer Aufbau der bikompacten topologischen Raumen, Compo-
sitio Math. 2 A935), 471—476.
Лебег (LebesgueH.)
[1] Sur la non applicability de deux domaines appartenant a deux espaces
de n et n + p dimensions, Math. Ann. 70 A911), 166—168.
[2] Sur les correspondances entre les points de deux espaces, Fundam. Math.
2 A921), 256—285.
ЛевшенкоБ. Т.
[1] О сильно-бесконечномерных пространствах, Вестн. МГУ, сер. матем.,
№5 A959), 219—228.
[2] О бесконечномерных пространствах, ДАН СССР 139, № 2 A961), 286—
289.
[3] Пространства трансфинитной размерности, Матем. сб. 67, № 2 A965),
255—266.
Л е ф ш е ц (L e f s с h e t z S.)
[1] Алгебраическая топология, ИЛ, 1949.
Л и ф а н о в И. К., Пасынков Б. А.
[1] О двух классах пространств и размерности, Вестн. МГУ, сер. матем.,
№3 A970), 33—37.
Локуцневский О. В.
[1] О размерности бикомпактов, ДАН СССР 67, № 2 A949), 217—
219.
[2] Пример открытого отображения одномерного компакта на гильбертов
параллелепипед, Уч. зап. МГУ 165, матем. № 7 A954), 118—130.
Лунц А. Л.
[1] Бикомпакт, индуктивная размерность которого больше, чем размерность,
определенная с помощью покрытий, ДАН СССР 66, № 5 A949), 801—
803.
Майкл (Michael E.)
[1] A note on paracompact spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 4 A953), 831—838.
Мардешич (Mardes'ic'S.)
[1] On covering dimension and inverse limits of compact spaces, 111. J. Math.
4, № 2 П960), 278—291. '
Менгер (MengerK.)
[I] Ober die Dimensionality von Punktmengen, I, Monatsh. Math. Phys. 23
П923), 148—160.
[2] Ober unfassendste n-dimensionale Mengen, Proc. Koninkl. Akad. Amster-
Amsterdam 29 A926), 1125.
[3] Dimensionstheorie, Berlin—Leipzig, B. G. Teubner, 1928.
M о р нта (Мог i t а К.)
[1] On the dimension of normal spaces, I, Japanese J. Math. 20 A950),
5—36.

ЛИТЕРАТУРА 569
[2] On the dimension of normal spaces, II, J. Math. Soc. Japan 2, № 1—2
A950), 16—33.
[3] On the dimension of product spaces, Amer. J. Math. 75, № 2 A953),
205—223.
[41 Normal families and dimension theory in metric spaces, Math. Ann. 128,
№ 4 A954), 350—362.
[5] A condition for the metrizability of topological spaces and for /i-dlmen-
sionality, Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daiyaku, Sec. A, 5 A955), 33—36.
[6] On closed mappings and dimension, Proc. Japan Acad. 32 A956), 161 —
165.
Нагами (NagamiK.)
[1] On the dimension of paracompact Hausdorff spaces, Nagoya Math. J. 8
A955), 69—70.
[2] Closed images of countable-dimensional spaces, J. Math. Soc. Japan 19,
№ 4 A967), 457—459.
[3] Mappings defined on 0-dimensional spaces and dimension theory, там же
' 14, № 1 A962), 101—118.
Нагата (NagataJ.)
[1] On a necessary and sufficient condition of metrisability, J. Inst. Poly-
techn., Osaca City University 1 A950), 93—100.
[2] Note on dimension theory for metric spaces, Fundam. Math. 45, № 2
A958), 143—181.
[3] On the countable sum of zero-dimensional metric spaces, там же 48, № 1
A959), 1—14.
[4] On universal и-dimensional set for metric spaces, J. reine angew. Math.
204, № 1—4 A960), 132—138.
[5] A remark on general imbedding theorems in dimension theory, Proc. Japan
Acad. 39, № 4 A963), 197—199.
[6] Modern dimension theory, Amsterdam, North-Holland Publishing Co.,
1965.
НатаисоиИ. П.
[1] Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1957.
Нёбелинг (Nobeling G.)
[1] Ober eine n-dimensionale Universalmenge im R2n+l, Math. Ann. 104
A930), 71—80.
Немыцкий В. В., Тихонов А. Н.
[1] Beweis des Satzes, dass ein metrisierbarer Raum dann und nur dann
kompact ist, wenn er in jeder Metrik vollstandig ist, Fundam. Math. 12
A928), 118—120.
О с T P а н д (O s t r a n d P. A.)
[I] Dimension of metric spaces and Hllbert's problem 13, Bull. Amer. Math.
Soc. 71 A965), 619—622.
ОттоиЭйленберг(ОМоЕ., EilenbergS.)
[1] Quelques proprietes caracteristiques de la dimension, Fundam. Math. 31
A938), 149—153.
Пасынков Б. А.
[1] О полиэдральных спектрах и размерности бикомпактов, в частности
бикомпактных групп, ДАН СССР 121, № 1 A958), 45—48.
[2] О совпадении различных определений размерности для локально би-
бикомпактных групп, там же 132, № 5 A960), 1035—1037.
ГЗ] Об обратных спектрах и размерности, там же 138, № 5 A961),
1013—1015.
[4] О совпадении различных определений размерности для фактор-про-
фактор-пространств локально бикомпактных групп, УМН 17, № 5 A962), 129—135.
[5] О спектрах и размерности топологических пространств, Матем. сб. 57,
Ni 4 A962), 449-476.

570 ЛИТЕРАТУРА
[6] Об ш-отображениях и обратных спектрах, ДАН СССР ISO, Ks 3 A963),
488—491.
[7] Нульмерные открытые отображения, повышающие размерность, УМН
18, № 5 A963), 183—190.
[8] Об одном классе отображений и о размерности нормальных пространств,
Сиб. матем. ж. б, № 2 A964), 356—376.
[9] Об универсальных бикомпактах данного веса и данной размерности,
ДАН СССР 154, № 5 A964), 1042—1043.
[10] Частичные топологические произведения, Тр. Моск. матем. о-ва 13
A965), 136—245.
[11] О спектральной разложимости топологических пространств, Матем.
сб. 66, № 1 A965), 35—79.
[12] О формуле В. Гуревича, Вестн. МГУ, сер. матем., № 4 A965), 3—5.
[13] Почти метризуемые топологические группы, ДАН СССР 161, № 2
A965), 281—284.
[14] Об универсальных бикомпактных и метрических пространствах данной
размерности, Fundam. Math. 60 A967), 285—308.
[15] Об открытых отображениях, ДАН СССР 175, № 2 A967), 292—295.
[16] Факторизация отображений иа метрические пространства, там же 182,
№ 2 A968), 268—271.
[17] О размерности нормальных пространств, там же 201, № 5 A971),
1049—1052.
[18] Факторизационная теорема для незамкнутых множеств, там же 202,
№ 6 A972), 1274—1276.
[19] О размерности произведений нормальных пространств, там же 209, № 4
A973), 792—794.
Пономарев В. И.
[1] Новое пространство замкнутых множеств и непрерывные многозначные
отображения бикомпактов, Матем. сб. 48 A959), 191—212.
[2] Аксиомы счетности и непрерывные отображения, Bull. Acad. Polon. Sci.,
Ser. Math. 8, № 3 A960), 127—133.
[3] Паракомпакты, их проекционные спектры и непрерывные отображения,
Матем. сб. 60, № 1 A963), 89—119.
Понтрягин Л. С.
[1] Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension, С. г. Acad.
Sci. Paris 190 A930), 1105—1107.
[2] Основы комбинаторной топологии, Гостехиздат, 1947.
ПоитрягииЛ. С, Толстова Г. В.
[1] Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes, Math. Ann. 105 A931), 734—747.
Проскуряков И. В.
[1] К теории размерности топологических пространств, Уч. зап. МГУ 148,
матем. № 4 A951), 219—223.
г а н к а р е (Р о i n с а г ё Н.)
Pourquoi l'espace a trois dimensions, Revue de Metaphysique et de Morale
20 A912), 484 (перепечатано: Dernieres pensees, Paris, 1926, стр. 65).
Рой (Roy P.)
[1] Nonequality of dimensions for metric spaces, Trans. Amer. Math. Soc.
134, № 1 A968), 117—132.
Ситников К. А.
[1] О некоторых метрических свойствах замкнутых множеств, ДАН СССР
67 A949), 229—232..
[2] Пример двумерного множества в трехмерном пространстве, допускаю-
допускающего сколь угодно малые деформации в одномерный полиэдр, там же
88 A953), 21—24.
[3] Пример двумерного множества в трехмерном пространстве, не разре-
разрезающего никакой области этого пространства, там же 94 A954),
. 1007—1010.
Пуа
Ш

ЛИТЕРАТУРА 57!
[4] Комбинаторная топология незамкнутых множеств, II, Размерность, Ма-
тем. сб. 37 A955), 385—434.
Скляренко Е. Г.
[!] О вложении нормальных пространств в бикомпакты того же веса и той
же размерности, ДАН СССР 123, № ! A958), 36—39.
[2] Несколько замечаний о бесконечномерных пространствах, там же 126,
№6 A959), 1203—1206.
[3] О размерностных свойствах бесконечномерных пространств, ИАН СССР
сер. матем. 23 A959), 197—212.
[4] Две теоремы о бесконечномерных пространствах, ДАН СССР 143, № 5
A962), 1053—1056.
[5] Теорема об отображениях, понижающих размерность, Bull. Acad. Polon.
Sci., Ser. math. 10, № 8 A962), 429—432.
[6] О топологическом строении локально бикомпактных групп и их фак-
торпространств, Матем. сб. 60, № 1 A963), 64—88.
Смирнов Ю. М.
[1] О метризации топологических пространств, УМН 6, № 6 A951), 100—111.
[2] Некоторые соотношения в теории размерности, Матем. сб. 29 A951),
157-172.
[3] О нормально расположенных множествах нормальных пространств, там
же, 173—176.
[4] О метрической размерности в смысле П. С. Александрова, ИАН СССР,
сер. матем. 20, № 5 A956), 679—684.
[5] Об универсальных пространствах для некоторых классов пространств,
там же 23 A959), 185—196.
[6] О трансфиннтной размерности, Матем. сб. 58, № 4 A962), 415—422.
Стинрод (Steenrod N. Е.)
[I] Universal Homology Groups, Amer. J. Math. 48 A936), 661—701.
Стоун A. (Stone A. H.)
[I] Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 54 A948),
977—982.
С т о у н M. (S t о n e M. H.)
[1] Applications of the theory of Boolean rings to general topology, Trans.
Amer. Math. Soc. 41 A937), 375—481.
Тихонова. Н.
[1] Ueber einen Metrisationssatz von P. Urysohn, Math. Ann. 95 A925),
139—142.
[2] Uber die topologische Erweiterung von Raumen, Math. Ann. 102 A930),
544—561.
Тулмин (Toulmin С. Н.)
[1] Shuffling ordinals and transfinite dimension, Proc. London Math. Soc.
4, №4 A954), 177—196.
Тумаркин Л. А.
[1] Zur allgemeinen Dimensionstheorie, Proc. Koninkl. Akad. Amsterdam 28,
№ 10 A925).
[2] Beitrag zur allgemeinen Dimensionstheorie, Матем. сб. 33 A926), 57—86.
[3] Uber die Dimension nicht abgeschlossener Mengen, Math. Ann. 98 A928),
637—656.
[41 Sur la strukture dimensionelle des ensembles fermes, C. r. Acad. Sci.
Paris 186 A929), 420—422.
Уоллес (W a 11 а с e A. D.)
[1] Dimensional types, Bull. Amer. Math. Soc. 51 A945), 679—681.
У р ысои П. С
[1] Les multipliers cantoriennes, С. г. Acad. Sci. Paris 175 A922), 440—442.
[2| Zum Metrisationsproblem, Math. Ann. 94 A925), 309—315.
C) Uber die Machtigkeit der zusammenhangenden Mengen, там же, 262—295,

572 ' ЛИТЕРАТУРА
[4] Memoire sur les multipliers cantoriennes, Fundam. Math. 7 A925), 30—
139; 8 A926), 225—359.
[5] Труды по топологии и другим областям математики, тт. 1 и 2, Гостех-
издат, 1951.
Фе дорчу к В. В.
[1] Об ш-отображениях паракомпактных пространств, Веста. МГУ, сер.
матем. 2 A963), 20—24.
[2] О бикомпактах с несовпадающими размерностями, ДАН СССР 182,
№ 2 A968), 275—277.
[3] Об отображениях, не понижающих размерность, там же 185, № ! A969),
54-57.
[4] Пример однородного бикомпакта с несовпадающими размерностями,
там же 198, № 6 A971), 1283—1286.
Филиппов В. В.
[1] Бикомпакт с несовпадающими индуктивными размерностями, ДАН СССР
184, № 5 A969), 1050—1053.
[2] О бикомпактах с несовпадающими индуктивными размерностями, там
же 192, № 2 A970), 284—292.
[3] О размерности замкнутых отображений, там же 205, № 1 A972),
40—43.
[4] О размерности нормальных пространств, там же 209, №4 A973), 805—807.
Фрейденталь (Fr eu d е п t h a I H.)
[1] Entwicklungen von Raumen und ihren Gruppen, Composltio Math. 4
A937), 154—234.
Xaycflop<j>(HausdorffF.)
П] Grundztige der Mengenlehre, Leipzig, 1914.
[2] Теория множеств, ОНТИ, 1934.
Хеммингсен (HemmingsenE.)
[1] Some theorems on dimension theory for normal Hausdorff spaces, Duke
Math. J. 13 A946), 495—504.
Хендерсон (Henderson D. W.)
[1] An infinite-dimensional compactum with no positive-dimensional compact
subsets —a simpler construction, Amer. J. Math. 89, № ! П967К 105—121.
[2] Each strongly infinite-dimensional compactum contains a nereditarily infi-
infinite-dimensional compact subset, Amer. J. Math. 89, № 1 A967), 122—123.
Чех (Cech E.)
[1] Sur la dimension des espaces parfaitement normaux, Bull. Int. Acad. Sci.
de Bohfime 33 A932), 38—55.
[2] Theorie generale de l'homologie dans un espace quelconque, Fundam.
Math. 19 A932), 149—183.
[3] Prispevek k theorii dimense, Cas. pro pest. mat. fys. 62 A933), 277—292.
[4] On bicompact spaces, Ann. Math. 38 A937), 823—844.
Чогошвнли Г. С.
[1] On a theorem in theory of dimensionality, Compositio Math. 5 A937),
292—298.
Шпернер (SpernerE.)
[1] Abh. Math. Seminar Hamburg 6 A928), 265-272.
Ще пин.Е.
[1] Аксиоматика размерности метрических пространств, ДАН СССР 206, № 1
A972), 31—32.
Энгелькннг (EngelkingR.)
[1] Outline of general topology, North-Holland Publishing Co., Amsterdam,
PWN — Polish Sci. Publ, 1968.
Эрдёш (Erdos P.)
[1] The dimension of the rational points in Hiibert space, Ann. Math. 41
A940), 734—736.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома отделимости Го (аксиома Колмо-
Колмогорова) 53
Г, 53
— — Г2 (аксиома Хаусдорфа) 53
Тз (аксиома регулярности) 53
— — Г, (аксиома нормальности) 53
Аксиомы Куратовского 22
База пространства 31
— — большая 495
— — в точке 32
Базис барицентрических координат 197
Бикомпакт 81
— диаднческий 99
Веер Кнастера и Куратовского 184
Беерное произведение 152
Вес пространства 32
Вписанность 67
— звездная 67
— комбинаторная 68
Гомотопия 227
—, связанная множеством 227
Граница комбинаторная 202
абстрактного симплекса 203
— множества 23
Грань симплекса 199
График Куратовского 188
— отображения 89
Деформация отображения 228
Диаметр множества 37
Дисконтинуум каиторов 95
Замыкание множества 19
Звезда множества (точки) 66
— симплекса главная 204
— — комбинаторная 203
— — открытая 204
Комплекс абстрактный 202
— конечный 201
— полный 201
— размерно однородный 211
— связный 210
— сильно связный 211
— симплнцнальный 201
— п-мерный 201
Компонента пространства 49
— размерностная 352
— сцепленности 70
— точки 60
Континуум(ш связный бикомпакт) 16D
— Un 169
Координаты барицентрические 197
Кратность системы множеств 67
в точке 66
Кривая каиторова 169
Лебегово число замкнутой системы 115
— — открытого покрытия 116
Лемма Лебега для открытых покрытий
компактов 116
— — о системах замкнутых множеств
в компактах 115
— нормализующая 56
— об ужатин открытых точечно конечных
покрытий 118
— о грнбе 231
— — существовании неприводимых отоб-
отображений 333
— Урысона большая 60
— — малая 54
Леммы «о параллельных» 1БЗ, 154
— о спуске 244
Мелкость комплекса 209
— покрытия 252
Метрика 36
Многообразие канторово бесконечномерное
550
п-мериое 169
— топологическое гс-мериое 224
Множества отделенные (по-Хаусдорфу) 23
— функционально отделимые 60
Множество всюду плотное 22
— замкнутое 15
— каноническое замкнутое Ыа-множество)
2<
открытое (Хо-миожество) 24
— корректное замкнутое 116
открытое 116
— нигде не плотное 22
— обозначенное 68
— открытое 15
— открыто-замкнутое 17
— типа F^ 56
— - О6 56
— функций расчленяющее 101
Монотонность большой индуктивной рвэ-
мерности (по замкнутым множествам) 162
— малой индуктивной размерности 162
— наследственная числового инварианта
ЦХ) 406
— размерности dim (по замкнутым мно-
множествам) 166
Неравенство Ведеинсова 278
— Кошн — Буняковского 42
— Урысонв — Менгера 398
— dim {X X У)< dim X + dim Y 344, 387

574
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Нерв системы множеств 203
Нормальность коллективная 79
— наследственная 54
— совершенная 58
Носитель точки в комплексе 252
Область простраиства 50
Общее положение множества точек 194
Окрестность множества 21
— точки 21
сферическая (шаровая) 37
Остов симплекса 198
Отображение вполне нульмерное 375
— замкнутое 27
— каноническое 242
— непрерывное 25
— открытое 27
— — счетиократное 458
— «постоянное» (нуль-отображение) 229
— симплицнальное 205
• изоморфное 205
— совершенное 86
— существенное иа гильбертов кирпич 520
симплекс 224
• — сферу 230
— топологическое 29
— факторное 30
— 4-существеннов 530
— ft-мерное 256
— е-дискретиое 256
— со-дискретное 369
— Однскретное 392
Отображения гомотопные 227
Паракомпакт 81
Перегородка (в пространстве) 157
— между двумя множествами 157. 15м
— тонкая 158
Пирамида над комплексом 207, 208
Подкомплекс 202
— замкнутый 203
— открытый 203
Подобие систем множеств 68
Подпокрытие 66
Подпространство метрического проспан
ства 38
— топологического пространства 10
Подразделение барицентрическое »:,7
— триангуляции 207
Покрытие 66
— бинарное 73
— замкнутое 66
— звездно конечное 67
• счетное 70
— консервативное 72
— корректное замкнутое II/
открытое 117
— локально конечное 71
— открытое 66
— точечно конечное (конечнократноя 67
Покрытия сколь угодно мелкие 165
Полиэдр 202
Полурегулярность 33
Последовательность фундаментальная 3;i
Предбаза пространства 35
Пример Локуциевского 316
— Снтникова 439
— Федорчука 321
Проекция произведения 89, 90
Произведение веерное 152
— двух множеств 89
— отображений 93
-*• — диагональное 93
Произведение пространств топологическое
90
— систем множеств 69
Производная хаусдорфова 23
Пространство бикомпактное 75
— вполне несвязное 19
— — разрывное 171
— — регулярное 64
— гильбертово (классическое) R°° •)
Rm 43
— индуктивно нульмерное 33
— коллективно нормальное 79
— локально бикомпактное 104
— — связное 51
— метрнзуемое 40
• топологически полное 41
— метрическое 37
— — вполне ограниченное 81
— — полное 39
— наследственно нормальное 54
— несвязное 17
— нормальное 53
— паракомпактное 75
— полурегулярное 33
— пономаревское 338
— регулярное 53
— связное 17
— сильно метрнзуемое 382
— — паракомпактное 75
— слабо счетномериое 617
— совершенно нормальное 58
— счетгюмерное 498
— топологическое 16
— финально компактное 75
— эвклидово п-мерное R 42
— А -сильно бесконечномерное 528
— Л-слабо бесконечномерное 528
— S-сильно бесконечномерное 5Й
— S-слабо бесконечномерное 528-
— UQ" 493
Равенство dim fW - dim X 296
— Ind 8*- Ind* 297
Разбиение (во втором смысле) 73
— (в первом смысле) 30
— бинарное 158
Размерность индуктивная большая Ind V
160
• малая ind X 160
— комплекса (число измерений) 201
— локальная loc dim X 284
• индуктивная большая loc Ind X 413
— метрическая ц dim X V2A
— относительная rd;f А 270
— — индуктивная большая rlx A 414
— симплекса (число измерений) 202
— трансфинитная индуктивная большая 494
— — — малая 494
— dim* 164
Рачрезание пространства 423
Расстояние от точки до множества 37
Расширение пространства 22
— — бикомпактное 103
максимальное (Стоуна — Чеха) 104,
— — одноточечное (Александрова) 104
Связность 17
Семейство множеств мультипликативное
— покрытий измельчающееся 74
конфинальио 326
— — — сильно 326
— — правильно направленное 327

предметный указатель
575
Семейство точек геометрически независи-
независимое 191
Сеть в точке 32
— пространства (Архангельский) 31
Симплекс 197, 198
-- абстрактный 202
— главный 203
— замкнутый 198
— открытый 197
Система дизъюнктных пар разделяющая
553
— координатная барицентрическая 197
— множеств звездно конечная 67
— счетная 67
консервативная 72
локально конечная 71
— — сцепленная 49
¦ счетнократиая (точечно счетная) 67
— — центрированная 76
максимальная 77
— подмножеств дискретная 72
— — о-дискретная 72
— — о-локально конечная 72
Следование 67
— правильное 326
Сумма точек взвешенная 191
Тело комплекса 201
— системы множеств 66
Теорема аппроксииацноииая вторая 252
— — Мардешича 308
— — первая 247
— Ведеиисова 411
— Гуревича о непрерывных отображениях,
понижающих размерность 452
погружении в л мерный компакт
304
• — характеризации внутренних точек
350
— Гуревича — Тумаркина 344
— Даукера аддициоиная 401
вторая 287, 371
• о совпадении индуктивной и локаль-
локально индуктивной размерностей 413
первая 286
— Зарелуа 382
— Зарелуа — Пасыикова 308
— Куратовского 434
— Майкла 137
— метризационная Александрова — Урысо-
на 129
— — Бинга — Нагата — Смирнова 125
— монотонности для большой индуктив-
индуктивной размерности (Чех) 409
— Нагата об универсальном метрическом
пространстве веса г и размерности я 389
— Немыцкого — Тихонова 81
— Нёбелннга — Гуревича 264, 303
— Нёбелинга — Понтрягина 259
— об ужатни конечных покрытий 113
— — m-мерном множестве в т-мерном
эвклидовом пространстве 425
— — со-дискретных отображениях 374
со-отображеннях 239
— о замкнутых отображениях, повышаю-
повышающих размерность 449
— , понижающих размерность 482
канонических отображениях 242
перегородках 338
продолжении непрерывных функций
62
Теорема о разбиении п-мериого многооб-
многообразия замкнутым множеством 428
раздутии 112
совместной границе нескольких об-
областей 433, 434
существенных отображениях для ком-
компактов 240
счетнократных открытых отображе-
отображениях 457
— Снтннкова об л-мерных замкнутых мно-
множествах в R 447
— Скляренко о вложении 309
— Смирнова о размерности множества
в наследственно нормальном простран-
пространстве 400
— Стоуна А. большая 130
о паракомпактности метрических
пространств 122
— суммы 241
для нульмерных множеств 177
Ind X (Чех) 409
— Тихонова вторая 99
первая 98
— Тумаркииа 385
— факторизационная для метрических про-
пространств 388
общая (Мардешнч) 304
— — первая 300
— Фрейдеиталя 310
Теоремы о вполне нульмерных отображе-
отображениях 375, 378
размерности произведения 344, 387
— Пономарева (первая, вторая, третья)
327, 334, 336
— факторизационные 293
Топология в множестве X 15
— индуцированная 18
— интервальная 106
— максимальная (изолированная) 18
— минимальная 18
Точка внутренняя 21
— изолированная 18
— прикосновения 21
Триангуляция 201
— в гильбертовом пространстве 285
Укрупнение системы множеств 69
Условие Линделёфа 84
— связности Хаусдорфа 46
Формула Гуревнча dim X < dim f + dim Y
452
— Катетова р. dimJT< dim Jt<2p. dim X 441
— Смирнова Ind PX - Ind X - Ind PX для
совершенно нормального X 414
— Урысоиа — Менгера 160
Характер пространства в точке 32
Центр симплекса 209
Цеитрироваиность системы множестп 76
Цепь множеств 48
Ядро (открытое) множества 20
— размерное 188
е-окрестность 37
Е-отображение 237
е-покрытие 81
е-сдвиг 236
©"-отображение 238

Павел Сергеевич Александров,
Борис Алексеевич Пасынков
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ РАЗМЕРНОСТИ
М., 1973 г., 576 стр. с илл.
Редакторы В. В. Фвдорчук, В. В. Донченко.
Техн. редактор С. #. Шкляр.
Корректор Н. Б. Румянцева.
Сдаио в набор 17/1 1973 г. Подписано к печати
28/VI 1973 г. Бумага бОХЭО'/щ, тип. N» 1. Физ. печ.
л. 36. Условн. печ. л. 36. Уч.-изд. л. 37,34.
Тираж 7700 экз. Т-11109. Цена кинги 2 р. 59 к.
Заказ М> 483
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
прн Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств,
полиграфии н книжной торговли
г. Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29