Титульный лист
Аннотация и выходные данные
Александров П. С. От редактора
Баладзе Д. О. Параметрические канонические группы гомологии и когомологий над парами копредпучков и предпучков соответственно
Бауэр Ф.В. Современное состояние двойственности Александера—Понтрягнна
Берикашвили И. А. Об аксиоматике теории гомологии Стиндрода—Ситникова на категории компактных хаусдорфовых пространств
Вайсала Ю. Топология Липшица
Вершинин В. В. О кольце симплектических кобордизмов
де Врис Я. Линеаризация действий локально компактных групп
Гарднер Р., Пфеффер В. Некоторые неразрешимые вопросы, касающиеся радоновских мер
Дольд А., Пуппе Д. Двойственность, след и трансфер
Зарелуа А. В. Пределы локальных систем пучков и нульмерные отображения
Зачепа В. Р., Сапронов Ю. И. О локальном анализе нелинейных фредгольмовых уравнений
Зервос С. П. О кардиналах как орбитах групп автоморфизмов упорядоченных множеств
Иллман С. Эквивариантные поглощения и распознавание линейных действий на сферах
Клингенберг Б., Шиката И. О теореме существования бесконечного множества замкнутых геодезических
Лахер Р. Разрешимость обобщенных многообразий
Мадсен Иб. Сферические пространственные формы в размерности, равной периоду. 1
Мдзинаришвили Л. Д. Функтор $\Ext^n$ и гомологии Колмогорова
Нагата Дж. Обзор теории размерности. III
Проданов И. Абстрактный подход к алгебраическому понятию спектра
Пыткеев Е. Г. О максимально разложимых пространствах
Терпе Ф. О новом применении топологии в теории суммирования
Трохимчук Ю. Ю., Зелинский Ю. Б., Жарко В. В. О некоторых результатах в топологии многообразий, теории многозначных отображений и теории Морса
Тураев В. Г. Фундаментальные группы трехмерных многообразий и двойственность Пуанкаре
Филиппов В. В. О нормально расположенных подпространствах
Флаксмайер Ю. Топологические полуполя и соответствующие им булевы алгебры
Хайдук Б. О построении гладких и PL структур на многообразии
Харатоник Я. Е. Некоторые обобщения однородности пространств
Хоменко Н. П. Метод $\phi$-преобразований и некоторые его применения в теории графов
Цишанг X. О подгруппах свободного произведения циклических групп
Чобан М. М. Отображения и размерностные свойства пространств
Шарко В. В. Минимальные резольвенты и функции Морса
СОДЕРЖАНИЕ
Рефераты
Выходные данные
Text
                    АКАДЕМИЯ НАУК
СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК
ТРУДЫ
ордена Ленина
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
имени В. А. СТЕКЛОВА
CLIV
ТОПОЛОГИЯ
СБОРНИК РАБОТ
под редакцией
академика
|П. С. АЛЕКСАНДРОВА I
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1983


УДК 513.83 Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). —М.: Наука, 1983. Работы, составляющие сборник, посвящены различным актуальным вопросам алгебраической и общей топологии и их приложениям к различным областям математики. Сборник рассчитан на математиков — студентов, аспирантов, научных работников. Редколлегия сборника: академик П.С. АЛЕКСАНДРОВ доктор физико-математических наук А. А. МАЛЬЦЕВ доктор физико-математических наук Е. В. ЩЕПИН кандидат физико-математических наук М. А. ШТАНЬКО Ответственный редактор Трудов МИАН академик С. М. НИКОЛЬСКИЙ Заместитель ответственного редактора доктор физико-математических наук Е. А. ВОЛКОВ Т : 134-83-11 © Издательство «Наука», 1983 042(02)-83 w :
ОТ РЕДАКТОРА С 25 по 29 июня 1979 г. в Москве проходила Международная топологическая конференция, организованная Академией наук СССР и проводившаяся Математическим институтом им. В. А. Стеклова АН СССР и Московским государственным университетом им. М. В. Ломоносова. В конференции приняли участие около 170 математиков, в том числе около 70 зарубежных, причем были представлены все основные направления современной топологии и ее применений. Оргкомитет конференции обратился с просьбой к авторам наиболее интересных докладов с предложением написать на базе этих докладов статьи, имея в виду последующую их публикацию в одном из советских журналов. Часть этих статей уже опубликована («Успехи математических наук», 1979,- т. 34, вып. 6; 1980, т. 35, вып. 3; там же содержится подробная информация о конференции), а часть составляет содержание настоящего тома. Ниже воспроизводится (с минимальными изменениями) моя речь, произнесенная на открытии конференции 25 июня 1979 г. (опубликованная в упомянутом выше выпуске журнала «Успехи математических наук» за 1979 г.). Первая когда-либо бывшая Международная топологическая конференция состоялась в августе 1935 г. в Москве. Это было действительно блистательное собрание многих из лучших топологов мира. Основным устремлением конференции 1935 г. было: представить топологию как целое, как единую математическую дисциплину, и содействовать активному взаимопроникновению двух основных направлений этой дисциплины — комбинаторно-алгебраического и теоретико-множественного. Периоды, когда такое взаимопроникновение было особенно интенсивным, периоды синтеза алгебраической и теоретико-множественной топологии относятся, по моему убеждению, к наиболее продуктивным в развитии нашей области математики. Именно этим периодам я хочу посвятить несколько слов, только изредка и слегка касаясь некоторых других важных моментов в развитии топологии. Первый из этих периодов — это период бессмертных топологических работ Брауэра, относящихся в основном к 1909—1913 гг. Поразительная геометрическая интуиция Брауэра, объединенная с его мощным теоретико- множественным мышлением и теоретико-множественным воображением, позволила ему посредством постоянного применения симплициальных приближений и впервые определенной им степени отображения создать в топологии новый метод, знаменитый брауэровский смешанный метод (methode mixte), этот метод и привел к первому синтезу комбинаторно-алгебраической и теоретико-множественной топологии. Брауэровские работы 1909—1913 гг. как бы обрамлены двумя выдающимися математическими произведениями, положившими начало общей топологии: это работа Фреше 1907 г., в которой определены метрические про- 3
странства,: их компактность и полнота, и книга Хаусдорфа 1914 г., в которой заложены основы теории топологических пространств. Кроме того, в 1913 г. была опубликована статья Янишевского о неприводимых континуумах, положившая начало большой главе топологии, так называемой топологии континуумов, расцвет которой мы наблюдаем в Польше и далее в США. Высшими достижениями этой ветви топологии, после построения Брауэром в 1909 г. первых неразложимых континуумов, я считаю построение Кнастером наследственно неразложимого континуума и доказательство Бингом топологической единственности таких континуумов («псевдодуга»). В 1921 г. топология континуумов сомкнулась с построенной в этом же году Урысоном и Менгером теорией размерности, ставшей на много лет одной из самых замечательных и популярных областей топологии. В 1922—1924 гг. общая топология достигла существенно нового уровня. Вследствие определения Кура- товским наиболее общих топологических пространств, построения теории бикомпактных пространств и доказательства первых основных метризационных теорем, а также примыкающих к ним предложений (например, леммы Урысона) 1922 г. ознаменован также доказательством одной из замечательнейших теорем в алгебраической топологии: знаменитого закона двойственности Александера, открывшего ряд теорем двойственности. Итак, к концу первой половины 20-х годов и в теоретико-множественной, и в комбинаторной топологии произошло достаточно событий, чтобы созрел вопрос о новом, втором синтезе двух основных направлений топологии. Началом этого нового синтеза было определение нерва покрытия топологического пространства, полученное в 1925 г. Конечные канонические покрытия (компактного метрического) пространства, рассматриваемые вместе с их естественным порядком, позволяют связать нервы этих покрытий сим- плициальными отображениями и получить таким образом так называемый проекционный спектр пространства. Проекционные спектры являются частным случаем обратных спектров, и именно в этом специальном частном случае впервые возникло одно из важнейших в современной теоретико-множественной математике понятий — понятие обратного спектра. Проекционный спектр пространства дал возможность редуцировать топологию данного пространства к свойствам симплициальных комплексов и их симплициальных отображений, имеющим по своему существу комбинаторный характер. Это позволило, в частности, определить гомологические инварианты (компактного метрического) пространства, сведя их к соответствующим инвариантам комплексов, являющихся нервами измельчающихся покрытий этого пространства. Этот метод определения гомологических инвариантов был перенесен на любые пространства Чехом в 1932 г. в его знаменитой работе «Theorie generale d'homologie». Примерно одновременно с определением гомологических инвариантов компактов при помощи нервов покрытий Вие- горис построил свою метрическую теорию гомологии в компактах, основанную на понятии е-цикла и е-гомологий и являющуюся далеко идущим развитием идей Брауэра, изложенных в его гениальной заметке «Invarianz der geschlos- senen Kurve». Теорема двойственности Александера и наличие определения гомологических инвариантов компактов позволили в 1927 г. доказать первую теорему двойственности типа Александера для всех компактов в евклидовых простран- 4
ствах. Однако первый действительно принципиальный успех после теоремы Александера в теории двойственности был достигнут лишь в 1932 г. доказательством знаменитого закона двойственности Понтрягина, создавшего эпоху и в топологии, и в топологической алгебре. В это же время (1930— 1932 гг.) была построена гомологическая теория размерности компактов. Сформировавшаяся в результате упомянутых исследований гомологическая и вообще комбинаторно-алгебраическая топология компактов и наполнила конкретным геометрическим содержанием работы, относящиеся ко второму периоду синтеза алгебраической и теоретико-множественной топологии. Завершением этого второго периода явились: с одной стороны, теория гомологических свойств расположения комплексов и замкнутых множеств (в бикомпактах), относящаяся к 1943 г., с другой — теория двойственности для незамкнутых множеств евклидовых пространств, разработанная в конце 40-х годов. Вся алгебраическая топология как полиэдров так и топологических пространств была поднята на существенно новый уровень созданием в 1934 г. Александером и А. Н. Колмогоровым понятия когомологий и последовавшим за тем построением теории когомологий и когомологических операций. Огромный прогресс в общей топологии был достигнут в 1928 и 1934— 1936 гг. в работах А. Н. Тихонова и соответственно Маршалла Стоуна и Чеха. Сразу же по окончании войны начинается период бурного развития как алгебраической и дифференциальной топологий, так и чисто теоретико- множественной топологии. Но обо всем этом я говорить не буду. Имел место и новый — третий период синтеза теоретико-множественной и алгебраической топологии. Этот период продолжается и сейчас. Началом этого периода было создание Борсуком теории ретрактов, а его продолжением — создание также Борсуком теории шейпов. И теория ретрактов, и теория шейпов относятся по своему предмету к общей топологии, но обе эти теории имеют явно выраженный геометрический характер. Теория шейпов есть по существу теоретико-множественная форма гомотопической топологии, и она связана с теорией когомологий, а следовательно, и с алгебраической топологией. Чрезвычайно тесными являются, с другой стороны, связи теории шейпов с одной из важнейших частей «бесконечномерной» топологии, а именно — с теорией так называемых Q-многообразий, т. е. компактов, локально гомеоморфных гильбертову кубу. Существенным образом проникла в теорию шейпов в ее нынешнем виде и теория обратных спектров, ставшая сегодня в топологии одним из самых мощных методов исследования и построения. Своим чрезвычайно существенным развитием в эти самые последние годы теория обратных спектров обязана в первую очередь работам Е. В. Щепина и прежде всего его спектральной теореме, утверждающей, что в разумных предположениях два несчетных обратных спектра лишь тогда имеют гомеоморфные предельные пространства, когда они содержат изоморфные конфинальные подспектры. Эта теорема позволяет решить вопрос о гомеоморфизме двух пространств в ряде важных конкретных случаев. Спектральная теорема позволила Щепину построить «несчетный» вариант теории бесконечномерных многообразий, а именно — теорию так называемых тихоновских многообразий, т. е. бикомпактов локально гомеоморфных тихоновскому кубу данного несчетного веса т. Эта теория в одних своих частях аналогична теории Q-многообразий, а в других — совсем не похожа на нее* 5
Теорема Щепина имеет существенно «несчетный» характер: никакой аналогичной теоремы для счетных спектров не существует. Из сказанного вытекает, что содержание синтетического взаимопроникновения основных направлений топологии в эти новейшие десятилетия ее развития и существования менялось со временем, но всегда было одним из основных условий действительного прогресса нашей области математики. Как математическая дисциплина, топология, несмотря на всю разнородность своего содержания, всегда была единой, и позвольте мне сегодня выразить уверенность, что именно в этом ее единстве заключается успех ее развития не только в настоящем, но и в будущем. Этому успеху способствуют конференции, подобные первой топологической конференции 1935 г. и нынешней конференции, потому что именно в единстве, т. е. в объединении различных течений внутри данной области, заключается основной смысл больших международных научных собраний. Позвольте в заключение выразить пожелание и надежду, что наша сегодняшняя конференция будет одним из значительных новых этапов в развитии нашей области знаний. П. С. Александров
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Д. О. БАЛАДЗЕ (Батуми, СССР) ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ НАД ПАРАМИ КОПРЕДПУЧКОВ И ПРЕДПУЧКОВ СООТВЕТСТВЕННО Пусть R — локально компактное метризуемое пространство, С — замкнутое подпространство пространства R, о) = {(С/"а, VJ) — направленная по вписанности система канонических покрытий пары пространств (R, С) (см. [1]). Известно (см. [1]), что вместо направленной по вписанности системы ш = = {([/а, Va)} пары пространств (Л, С) можно брать направленную по вписанности систему & = {(£7а, FJ} открытых покрытий (С/а, VJ пары пространств (Л, С), в которой замкнутые множества ua£Ua и v^fc Va в покрытиях (Ua, Fa) заменены мало отличающимися от них открытыми множествами (йа, vj; ua£Ua и va£ Fa, не нарушая при этом отношения вписанности покрытий и структуры нервов этих покрытий. Через Ка обозначим нерв покрытия U^ пространства Л, а через La — нерв покрытия Va подпространства С пространства Л. Пусть, далее, К — произвольный локально конечный комплекс, (А, А') и (В, В') — сопряженные пары копредпучков и предпучков соответственно с базой R (см. [2]) и р — целое число. Рассмотрим совокупность х = {хт} цепей xz комплекса Ка над парой копредпучков (А, А') (см. [2]), определенных для каждого симплекса х£ЛГ и обладающих тем свойством, что dim #т =/? 4-dim х. Такую совокупность цепей х={хт} мы будем называть /7-мерной параметрической цепью комплекса Кп над парой копредпучков (А, А'), если почти для всех симплексов х, х £ Кг коэффициенты цепей хт лежат в соответствующих подгруппах Л'(|£|), Л'(|£|)С^4(|*|). Множество всех /7-мерных параметрических цепей комплекса Ка над парой копредпучков (А, А') относительно операции сложения (х -f- y)z = хх -f- yz является группой, которую будем обозначать через С^ (Ка; А, А') и называть группой /7-мерных параметрических цепей комплекса Ка над парой копредпучков (А, А'). Обозначим через С* (La; А, А') группу /7-мерных параметрических цепей комплекса L% над парой копредпучков (А, А'). Фактор-группу С$(Ка; A, A')jC* (La; А, А') обозначим через С*(Ка, La; А, А') и будем называть группой относительных /7-мерных параметрических цепей комплекса Ка по модулю La над парой копредпучков (А, А'). Так как д-д = 0, то получается цепной комплекс [С^(Ка, La; А, А')), гомологическая группа которого обозначается через Н^(Ка9 La; А, А') и называется /?-мерной параметрической относительной группой гомологии комплекса Ка по модулю La над парой копредпучков (А, А'). Пусть теперь С*(Ка, La; Л, В') есть группа относительных параметрических /?-мерных коцепей комплекса Ка по модулю La над парой предпучков 7
(В, В') (см. [2]), т. е. она состоит из таких /?-мерных параметрических коцепей y = {Yx), значения которых на подкомплексе La тривиальны и почти для всех симплексов х, х £ К, коэффициенты коцепей у1 лежат в соответствующих подгруппах В' (11 |), В' (11 \) С В (11 |). И здесь, так как имеем равенство 8-8=0, то получается коцепной комплекс {Срк(Ка, La; В, В'), 8}? когомологическая группа которого обозначается через Нрк(Ка, Ьа; В, В') и называется /нмерной параметрической относительной группой когомологии комплекса Ка по модулю La над парой предпучков (В, В'). Доказывается следующая Теорема 1. Если пары копредпучков и предпучков (А, А') и (В, В') сопряжены, то относительные параметрические группы гомологии и когомологии Н^(Ка, La, А, А') и Нрк(Ка, La; В, В') комплекса Ка по модулю La над парами копредпучков и предпучков (А, А') и (В, В') соответственно двойственны, т. е. Н*(Ка, L- A, A')\H»(Ka,Lj В, В'). Если а <^ (3; а, р £ х, то локально конечное симплициальное отображение pi: KQ -+ Ка определяет гомоморфизмы Р? :#*(*„, Lf А, А')^Н$(К„ L- В, В') <?--Н*р(Ка, L- В, B')^H'r(Kf, L?; В, В'): Эти группы и гомоморфизмы образуют обратный спектр {Н* (Ка, La; А, А'), р**3} и прямой спектр !НРК (Ка, La; В, В'), ти*Л. Предельные группы этих спектров мы называем, по определению, каноническими относительными /?-мер- ными группами гомологии и когомологии пространств R по модулю С над ларами копредпучков (Л, А') и предпучков (В, В') соответственно. Эти группы будем обозначать через H%(R, С; А, А') и HPK(R, С; В, В'). Здесь доказывается следующая Теорема 2. Если пары (А, А') и (В, В') сопряжены, то относительные параметрические канонические р-мерные группы гомологии и когомологии H*(R, С; А, А') и HPK(R, С; В, В') пространства R по модулю С над парами копредпучков (А, А') и предпучков (В, В') соответственно двойственны, т. е. Я*(Д, С; A, A')\HpK(R, С; В, В'). Доказательство этой теоремы опирается на теорему 1 и на сопряженности гомоморфизмов р**3 и 7С*р. В том случае, когда параметр К состоит из одной точки е, т. е. К = е, тогда каноническая относительная параметрическая р-мерная группа гомологии H*(R, С; А, А') пространства R по модулю С над парой копредпучков (А, А') совпадает с относительной канонической /нмерной группой гомологии Н (R, С', А, А') пространства R по модулю С над парой копредпучков (А, А'), определенной нами в работе [3], а относительная каноническая параметрическая группа когомологии HPK(R, С; В, В') пространства Л по модулю С над парой предпучков (В, В') совпадает с относительной канонической группой когомологии Нр (R, С; В, В') пространства R по' модулю С над парой предпучков (В, В') (см. [3]). Пусть (Ка, La) есть опять пары нервов пары покрытий (Ua, Va), (Ua, Fa)£ 2, лары пространств (Л, С), С*(Ка, La; А, А') — группа относительных параме- 8
трических /?-мерных цепей комплекса Ка по модулю La над парой дискретных копредпучков (Л, Л'). Пусть., далее, / есть отображение пары (Л, А') на дискретную пару копредпучков (5, В'), при котором fu (А (и)) = В (и) и fu (А'(и)) = ~В'(и). Обозначим через F(u) = Kerfu и через F' {и) = Кег(/М/Л' (и)). В этом случае получается пара копредпучков (F, F;) с базой R. Далее, точная последовательность 0->(F, F')->(A9 А')->(В, Я')->0 определяет точную последовательность 0^Cf(K„ L-F, F')^CK(Ka> La; А, А')-+С*(К„ L,; В, В')-0 (1) групп относительных параметрических /ьмерных цепей комплекса Ка по модулю La над парами копредпучков. Пусть Н^(Ка, La; А, А') обозначает относительную параметрическую /?-мерную группу гомологии комплекса Ка по модулю La над парой копредпучков (Л, А'). Точная последовательность (1) и связывающий гомоморфизм Э:Я|+1(Я„, L- В, В')^Н*р{Ка, L- F, F') определяет точную гомологическую последовательность •••-*Н^(Ка, L- В, В')-+Н*(Ка, Ьл; F, F')^H*(K„ L- А, Л')- -» Я*(*в, Lu; В, В') - Н^ (Ка, L- F, F) -> ■ • ■ (2) относительных параметрических групп гомологии комплекса Ка по модулю La, взятых относительно пар копредпучков. Последовательность (2) называется относительной параметрической канонической гомологической последовательностью комплекса Ка по модулю La, порожденной эпиморфизмом f: (Л, А') -> -*(В, В'). Аналогично этому строится точная параметрическая когомологическая последовательность >H"£l{Ka, La; В, В')^Нрк(Ка, La; F, F')^HpK{Ka, La; А, А')-* -> El {Ка, \; В, В')-* ЯГ1 (К, La; F, F')^---, (3) порожденная эпиморфизмом /:(Л, А') -> (5, В'). Здесь предполагается, что пары (F, F'), (Л, А') и (5, В') являются парами предпучков. Система {(Ка, La)} пары нервов (Ка, La) определяет обратный спектр точных последовательностей (2) относительных параметрических групп гомологии. Предельная последовательность этого спектра >H*+1(R, С; В, B')^H«{R, С; F, F')^Hf(R, С; А, А') + -> Н* (R, С; В, В') - Hf_, (R, С; F, *")-»•• ., (4) состоящая из относительных канонических параметрических групп гомологии пространства R по модулю С, взятых над парами копредпучков, является полуточной (см. [4]). Последовательность (4) называется относительной канонической параметрической последовательностью пространства R по модулю С, порожденной эпиморфизмом / : (Л, Л')-> (5, В'). Далее, опять система {(Ка, La)} пары нервов (Ка, La) определяет прямой спектр точных последовательностей (3) относительных параметрических когомологических групп, предельная последовательность которого >Hpf1(R9 С; В, B')^HPK(R, С; F, F')^HPK(R, С; Л, Л')-> -+Hl(R, С; В, Bf)^HpK^(R9 С; F, F')^ . . . (5) 9
является точной (ср. [4]). Последовательность (5) называется относительной параметрической канонической когомологической последовательностью пространства R по модулю С, порожденной эпиморфизмом /: (A, A') ->(J5, В'). Возьмем теперь за В систему {А (11 \)/А' (\t\)} фактор-групп А (11 \)/А' {\t\), а за В' систему {Л'(|£|)} нулевых подгрупп фактор-групп А (| t\)/A' (| t\), тогда из (4) и (5) получим последовательности: *H*H(R, С; A/A', Л')-Я* (Я, С; A', A')^H*(R, С; А, Л')- ■+H*(R, С; A/A', Л')-*Я*Х(Д, С; А', А')-*--- (6) И >Hp£r1(R, С; А\А\ А')-+ H£(R, С; A', A')^HPK(R9 С; А, Л')-> ->#ЗД С; А\А\ A')->HPK+1(R, С; А', А')^ • • . (7) Из точной последовательности (7) получается следующая Теорема 3. Если пространство R имеет тривиальные (р — 1)-мер- ную относительную каноническую параметрическую группу когомологии по модулю С конечных параметрических коциклов и (р -f- \умерную относительную каноническую параметрическую группу когомологии по модулю С бесконечных параметрических коциклов над предпучками А/А' и А' соответственно, то р-мерная относительная каноническая параметрическая группа когомологии HPK{R, С; А, А') пространства R по модулю С над парой пред пучков (А, А') является расширением р-мерной относительной канонической параметрической группы когомологии HPK(R, С; А') пространства R по модулю С бесконечных параметрических коциклов над пред пучком А' = {Л' (| t\)} при помощи р-мерной относительной канонической параметрической группы когомологии Hk(R, С, А/А') конечных параметрических коциклов пространства R по модулю С над предпучком А/А'= [A(\t\)j ^(ИИ- ЛИТЕРАТУРА 1. Скляренко Е. Г. Теория гомологии и аксиома точности. — УМН, 1969, 24, № 5, с. 87—140. 2. Баладзе. Д. О. Группы гомологии и когомологии над парами копредпучков и предпучков соответственно. — Сообщ. АН ГССР, 1967, 46, N° 3, с. 545—551. 3. Баладзе Д. О. О канонических гомологических и когомологических группах над парой копредпучков и предпучков соответственно. — Сообщ. АН ГССР, 1975, 80, № 3, с. 529-532. 4. Стинрод #., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. М.: Физматгиз, 1958.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Ф. В. БАУЭР (Франкфурт-на-Майне, ФРГ) СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА—ПОНТРЯГИНА Введение Настоящий доклад имеет целью представить материалы о двойственности Александера—Понтрягина, которые почти полностью изложены в [6L Кроме того, мы пользуемся возможностью включить некоторые новые результаты, относящиеся к применению этой теории. Изучение этого предмета было начато 50 лет назад исследованиями П. С. Александрова и его учеников по топологии подпространств евклидовых пространств. В настоящее время работа в этой области сосредоточивается на теории шейпов и стабильной теории гомотопий в подходящей шейповой категории. Теория шейпов была открыта К. Борсуком [8] в 1968 г. В разделе 1 мы вводим необходимую для наших целей сильную категорию шейпов К. (Ко)гомологии с коэффициентами в спектре рассматриваются в разделе 2. Они наиболее подходят для рассмотрения различных проблем современной топологии. В разделе 3 мы формулируем теоремы двойственности 3.1—3.4, которые включают в себя все ранее известные теоремы двойственности этого типа (для компактных многообразий Мп). Следующий раздел 4 посвящен всевозможным применениям. Наше намерение — подтвердить важность двойственности Александера—Понтрягина для современной топологии и ее приложений. Доказательства не включены. Следует заметить, что мы не освещаем историю двойственности Александера—Понтрягина в этом докладе, поэтому мы не касаемся замечательных результатов в теории размерности, имеющих прямое отношение к (1) (см. раздел 4), а также многочисленных достижений Л. С. Понтрягина, Г. С. Чогошвили, К. Даукера и многих других, внесших важный вклад в эту область. 1. Сильная теория шейпов Пусть К — категория пунктированных метризуемых пространств и Р — категория пунктированных ANE-пространств, в качестве морфизмов в обеих категориях рассматриваются непрерывные отображения, сохраняющие отмеченные точки. Напомним, что пространство Р является ANE-пространством (для метрических пространств), если для любого метрического пространства X, замкнутого множества АаХ и непрерывного отображения /: А -> Р существует 11
продолжение F: U -> P отображения / на открытую окрестность Ul)A. Например, хорошо известно, что всякий GW-комплекс является ANE-простран- ством (см. [10]). Мы собираемся описать сильную категорию шейпов К, конструкция которой изложена в [5]. Однако, прежде чем приступить к этому, необходимо сделать два замечания о гомотопиях. В любой топологической категории, подобной К, вводится понятие гомотопий F: fo—fi- X ->Y. Это — такое отображение F: Хх [0, п] -> Y, п£ N, что Fi0=f0, Р1п=^, it: X -> XX [0, п], it (х)=(х, t). Мы определяем композицию гомотопий F: /0^/i и G: Д^/2 G: XX [0, т] -^ Y следующим образом: H=GoF: Хх[0, п+т] -> У, Кроме того, мы вводим следующие соотношения: 1) GoF = F (FoG=F) для постоянной (не зависящей от t) гомотопий 1=G: 1Х[0, 11 —Г; 2) F'1oF = l, FoF~1 = l. Здесь F~x(x, t)=F(x, n — t) и 1^ = 1: X X [0, /г] -> F—постоянная ro- мотопия 1^(ж, t)=f(x), f(x) = F(x, 0) (соответственно f(x) = F(x, п)). Го- мотопия jF: X X [0, 11 -> F называется элементарной. Так же как в теории групп, имеет место Лемма 1.1. Всякая гомотопия (o:fQc^f1 единственным образом разлагается в произведение элементарных гомотопий (0 = ^ ... ek, причем e.=fci, Элементарная гомотопия между элементарными гомотопиями I: со0 ~ шх: : /0 ~ /х — такое отображение £: X X / X / -> У, / = |_0, 1], что 6(ж, *, /)г=ш.(ж, г), S(s, i, *) = /,(*), * = 0, 1. (1) Пусть а)0: X X In-^ Y, сох: X X /w -> У — гомотопий, не являющиеся элементарными (/л = [0, &]). Без ограничения общности можно считать, что т — п (достаточно добавить необходимое количество постоянных гомотопий). Тогда элементарная гомотопия £: wQ ~ о)2 между гомотопиями — отображение i : X X /я X / -> F, определенное формулами (1), в которых сделаны очевидные изменения. Замечание. Такое понятие гомотопий превращает каждое множество К(Х, Y) в категорию, при этом индуцированные отображения Д.: К(Х, Y) -+ ->К{Х9 Г), £*: #(Х, Г)-*£(Х', F), f£K(Y, Г), ге£(Х',*Х) являются функторами. Это неверно для обычной гомотопий, поскольку в этом случае не существует единицы и композиция гомотопий неассоциативна. Категорию типа К мы называем 2-категорией (эта терминология немного отличается от обычной, ср. [5]). Аналогично мы пользуемся понятием 2-функтора, т. е. обычного функтора Т: К-+К', сохраняющего дополнительную структуру множества К(Х, Y) для любых фиксированных объектов X, Y £К- Гомотопий между гомотопиями называются 3-морфизмами; /г-категория определяется индуктивно: каждое множество К(Х, Y) естественным образом обладает структурой (п — 1 )-категории# 12
Для любого объекта Y £ К определим 2-категорию Ру следующим образом: 1) объектами PY являются непрерывные отображения g: Y->P£P', 2) 1-морфизмы — пары (г, со): g1->g2, где со: rgx~g2 — гомотопия в диаграмме: 3) 2-морфизмами являются пары (v, %)\ (rlf со2) ~ (r2, со2): g1 -> g2, где v: r1~r2 — гомотопия и %: со2о vg1 ~ сох — гомотопия между гомотопиями. Легко проверить, что PY—2-категория. Теперь мы определим щейповый морфизм / £К (X, Y) как 2-функтор /: Py -> Рх, удовлетворяющий следующим условиям: a) если g£PT9 g: У->Р, то f (g): X->P; b) если (г, со): g1^-g29 то /(r, co)=(r, cox) для соответствующего cox; c) если (v, £): (rlf cox) ~ (r2, co2), то /(v, £) = (v, Ex) для соответствующего lv Поскольку тождественный функтор 1: Рг->Ру удовлетворяет а) — с) и существует композиция /' о f £К (X, Z) функторов /£К (X, У), /' £К (У, Z)> получаем категорию К. Так же как в К, с помощью отображений F £К (Xxl, Y) можно определить гомотопическую категорию Rh. В качестве первого примера рассмотрим функтор h: К -+ К, определенный следующим образом: h(f)g=gf, g£PY, f£K(X, Y). Для Y^Kf]P имеем отображения h': К(Х, Y)^K(X, Y), />'(/) = /(lr), f£R(X, Y). Согласно [5] связь между h и h' дает следующее Предложение 1.2. а) Для f£K(X, У), Y£Pf)K имеем h'h(f) = f. h) Для f £ К (X, У), Y £ К П Р существует естественная гомотопия hh'(f)~f. Из предложения вытекает: Следствие 1.3. Для f£K(X, У), Y£PC\E> существует такое отображение f £ К (X, У), что h (/) ~ /. Другими словами, на гомотопическом уровне имеем биекцию h: Kh(X, Y)^Kh(X, Y). Замечание. Процесс построения категории К может быть осуществлен для любой абстрактной 2-категории К. Так как любую категорию L можно рассматривать как 2-категорию (с тривиальной категорной структурой во всех L(X, У), то, применяя предыдущие конструкции к Kh, получаем щейповую категорию Н. Категория Н, условно называемая «слабой щейповой категорией», изоморфна категории Борсука—Марденшча. Хотя в Kh больше морфизмов, чем в Н, справедлива Теорема 1.4. Два метрических компакта X, Y тогда и только тогда эквивалентны в Н {т.е. имеют одинаковый шейп в смысле Борсука — Марде- шича), когда X и Y гомотопически эквивалентны в Kh. Различие между сильной и слабой теорией шейпов сходно различию между гомологиями Стинрода — Ситникова и гомологиями Александрова — Чеха или Виеториса. То, что это не случайно, станет ясным при рассмотрении гомологии в К. На этой стадии изложения следует улучшить категории К ж К. 13
1) Поскольку не каждое ANE-пространство метризуемо, Р не является подкатегорией категории К, поэтому целесообразно вместо К рассмотреть полную подкатегорию категории Тор0, объекты которой — конечные приведенные произведения Хг Д . . . Д Хп пространств из Р (J Е- Здесь мы предполагаем, что все пространства являются ^-пространствами (в конечном счете можно применить хорошо известный функтор к: пространства -> ^-пространства, ср. [7]). Допуская некоторую вольность, мы обозначим исправленную категорию снова через К. 2) Для двух объектов Л', Y £ К мы определим новое приведенное произведение Px7\Py как полную подкатегорию категории Px/\y, объектами которой являются такие отображения g: X /\Y -> Р £ Р, что g с^.г(а1/\ а2)> «iGPx, c2GPf, г: Р1/\Р2-^Р, а{. X-+Pv а2: X-> Р2. Аналогично определяется подкатегория PYl Д . . . Д PYn С Р^д... л V Вместо PTl Д • • • Л Py„ мы пишем FjA ... Д Гй (это уже больше не пространство!). Морфизм /G£(*iA ... ЛХЛ, Yx Д ..'• Д Y,) — это функтор /: p7l Д . .. Л Р1% -> -> Pxt Д ••• 7\ Рхк, удовлетворяющий условиям подобным а)—с) (см. выше). Таким образом, мы получаем расширенную категорию К. Имеем естественное преобразование а: X Д Y -> X Д Y, являющееся эквивалентностью в случаях: 1) X, Y — метризуемые компакты; 2) X произвольно, Y — компактное ANR-пространство и наоборот; 3) X, Y£P. В частности, всегда определены надстройки ЕХ = S1 Д X » S1 Д X. Рассматривая аналогичные конструкции для X-произведения, получаем X -произведение. В частности, X X I и X X I эквивалентны. Замечание. Вместо сильных шейповых отображений можно эквивалентным образом использовать прообъекты (т. е. прогруппы и пропространства). Последнее, по мнению автора, невыгодно, так как по сравнению с добрыми старыми группами с элементами и в частности единицами прогруппы — преднамеренно метафизические объекты. То же самое относится и к пропростран- ствам в сравнении с пространствами. Но это, конечно, дело вкуса. 2. Гомологии и когомологии Хорошо известно, что подходящие для наших целей группы гомологии — гомологии Стинрода — Ситникова [3]. Для более общих применений нам необходимо ввести шейповые гомологии с коэффициентами в заданном спектре Е ={Ек}. Пусть Gom0 = h (Gom0) с К — подкатегория, определенная всеми метрическими компактами. Положим • Ep{X) = \imKh{S'+l, Е,КХ), р£Ъ. (1) I Получаем функтор Е^: Gom0-> {градуированные абелевы группы}, являющийся композицией функтора h и функтора (обозначаемого той же буквой) Е^ Gom0 -> -> (градуированные абелевы группы}. С помощью компактных носителей можно распространить (1) на категорию всех метрических пространств: Ep(X) = ]imEp(X)9 К — компакт. (2) ксх Следует заметить, что для построения индуцированных отображений Е*{/)'- E„(X)->E*(Y), /: (X, #0)->(У, у0) необходимо определить Д-произведение отображений 1 Д /: Ег Д X -> Ег Д Y. Мы не будем вдаваться в подробности. 14
В следующем утверждении собрано несколько приятных свойств гомологии (1). Теорема 2.1. 1) Пусть i: Ad В— вложение в Сот0, ;: В d B\JCA, тогда имеет место точная последовательность Е^(А) —+ Е*{В) —->Е^{В\^СА). 2) Пусть /0 с^. /х: X -> Y — гомотопные в Сот0 отображения, тогда имеем 3) Существует естественное преобразование о = оп:Еп(Х)^Еп+Л*Х). 4) Пусть X — компактный букет пространств Xi — (Х{, xi0) (i = 1, 2, ...) из Com0 (т. е. Х = lim (Х± \J . . . \/ Xk) — букет с сильной топологией), тогда к включения индуцируют изоморфизм Я. (*)=П £.(*«)• Доказательство теоремы 2.1 в основном стандартно. Следует лишь наметить доказательство последнего утверждения 4), поскольку оно имеет типичные черты рассуждений в теории шейпов. Мы работаем не с самой категорией X Л Ег, а с отображениями gi/\g2'- X" Л ^i ~> ^ Л Щ> гДе Sv X CI U можно считать вложением X в открытую (следовательно, ANR-) окрестность некоторого гильбертова куба Q, содержащего X, и g2: Ег-> Е[^Р — любое непрерывное отображение. Можно показать, что достаточно рассматривать лишь отображения этого специального вида. Существует стягиваемая открытая окрестность V С U отмеченной точки, содержащая все Х{, кроме конечного числа, поэтому для фиксированного отображения g1 Д g2 £ Рх /\ Pei достаточно вместо всего букета рассматривать букет Хг \/ . .. V Хк конечного числа пространств. Это соображение более или менее быстро приводит к требуемому результату. Из теоремы 2.1 можно вывести несколько интересных заключений, имеющих классические аналоги. Сперва напомним следующий важный факт (см. [4, 6]). Теорема 2.2. Всякое вложение в категории Сот0 (в действительности всякое замкнутое вложение метрических пространств) является корасслоением в Сот0 (в К). Так же как в классической теории гомотопий £7], получаем Следствие 2.3. Для любого вложения i: А С В в Сот0 имеет место гомотопическая эквивалентность в Сот0 (В U С А, *) ~ (В/А, *). (3) Если А стягиваемо, то (В/А, *) ~ (В, А). (4) В частности, для неприведенной надстройки ИХ и приведенной надстройки И(Х, ж0) = (ИХ, х0) существует гомотопическая эквивалентность (ИХ, х0 Х/)^ ~ (ИХ, *). Теперь можно переформулировать свойство точности теории Е^ 1') Для любого включения, такого же, как в утверждении 1) теоремы 2.1, точна последовательность Е,{А)ХЕЛВ)^Е,(В1А), где р: В -> В/А — проекция. Из свойства 2) теоремы 2.1 в качестве простого следствия вытекает 2') Пусть /о^/х—гомотопные в Сот0 отображения, тогда для Eji{f^ — = /<• имеем fo* = fu- 15
Вместо категории Gom0 можно рассмотреть категорию компактных пар Com2 и построить неприведенную теорию гомологии. Соотношения между обеими теориями гомологии хорошо известны, поэтому нет необходимости останавливаться на этом в настоящем докладе. Аналогично определяется контравариантный функтор Е*: К -> {градуированные абелевы группы} шейповых когомологий с коэффициентами в спектре Е. Для любого пространства Х£К положим E4X) = KnKkPkX, Eq+k), q£Z. (5) Эти когомологий обладают свойствами, дуальными к 1)—3) в теореме 2. 1. Мы не будем формулировать их явно. Имеет место Теорема 2.4. Пусть Е — GW-спектр (т. е. все Ек — объекты категории Р)9 тогда: a) существует естественный изоморфизм функторов Е* « Е*9 где Е9 (X) = = UmKh(X><X, Eg+k); b) пусть IcR — любое пространство, тогда для любой пары (X, А) имеет место изоморфизм Е*(Х, А)= lim£T(U, V), где предел берется по всем парам (£/, V) открытых множеств, таким, что (X, A)CZ{U, V). То же самое справедливо для любого метрического пространства М ZD X (вместо M = RN). Первое утверждение немедленно следует из следствия 1.3. Второе — лемма Ситникова, доказанная К. Ситниковым (см. [3] для дальнейших ссылок) для когомологий Чеха с коэффициентами в абелевой группе G. Его доказательство, разумеется, не проходит в нашей ситуации, однако при этом результат К. Ситникова является частным случаем наших рассмотрений для спектра Эйленберга—Маклейна К (G). Доказательство утверждения Ь) теоремы 2.4 проводится с помощью общей теоремы продолжения Дугунджи, поэтому предположение, что Ё является CW-спектром, для нас необходимо. Исторически лемма Ситникова — основной шаг в доказательстве его теоремы двойственности (изоморфизм (1) из раздела 4) для произвольных подпространств сферы Sn (случай компактных пространств был рассмотрен Стинродом [16], гомологии Стинрода—Ситникова он определил по-другому). Название «CW-спектр» для спектра \Е={Ек), состоящего из ANE-npo- странств Ек, оправдано сложившейся терминологией, хотя, конечно, не каждое ANE-пространство является CW-комплексом. Для того чтобы сформулировать теоремы двойственности следующего раздела, нам необходимо соответствующее /-произведение /: F* (X Д Y) <g> Ер (Y) -> Еп~р (X). Здесь предполагается, что Е — модуль над кольцевым CW-спектром F, т. е. существуют произведения Ег7\ Fr-> El+r, удовлетворяющие обычным условиям совместимости. Для получения такого /-произведения необходимо определить Д-произведение шейповых отображений. Мы не будем останавливаться на этом-(так же как и на определении Д-произведения отображений). 16
Для любого компактного /"-ориентируемого многообразия Мп с ориентирующим классом и классическим методом определяется гомоморфизм Тя: Ер(Y, В) -> Еп~р (М>\В, M-\Y), где (У, 5), Y CZ Мп — компактная пара. Согласно нашему определению гомологии (2) и благодаря «лемме Ситникова» имеем гомоморфизм ?«:2?„(Г, В)^Еп-р(Мп\В, Mn\Y) для любой пары (F, В), У С Мп и CW-спектра Е. Замечание. Легко видеть, что Е (X) и Е9 (X) ковариантно зависят от спектра Е по отношению к обычному определению отображения спектров (т. е. у\Е->Е' — семейство отображений {сря : Еп -> Е'п], совместимых с отображениями оп: ZEn -> Еп+1, о'п: Ш'п -> Е'п+1). 3. Теоремы двойственности Имеем следующие четыре теоремы двойственности. Теорема 3.1. Для любого спектра Е = {Ек) и любого пунктированного компакта Х = (Х, ж0), X С Sn имеет место естественный относительно включений изоморфизм t.:Ep(X, *0)«Я'(Я"\{*о>. S"\X), p + q = n, р, q£Z. (1) Теорема 3.2. Пусть Е — CW-спектр и Х = (Х, х0), X С Sn — любое пунктированное пространство. Тогда имеет место естественный по отношению к вложениям изоморфизм 1и:Ер(Х, xJttE4S'\{x0}, S'\X), p±q = n, р, q£Z. (2) Теорема 3.3. Пусть Мп — компактное F-ориентируемое многообразие с ориентирующим классом и, и Е — модуль над спектром F. Для любой пары компактов (X, -А), X С Мп имеет место изоморфизм 1и:Ер(Х, А)^Е*(М«\А, М»\Х), p + q = n,p,q£Z, (3) естественный по отношению к вложениям пар. Теорема 3.4. В тех же предположениях, что в теореме 3.3, пусть Е—CW-спектр. Тогда для любой пары (X, А), X С Мп, существует естественный относительно включений изоморфизм ЧЫ:ЕР(Х, А)^Е9(М"\А, М*\Х), p + q = n, p,q£Z. (4) Пусть S={Sn) — сферический спектр. Он, очевидно, ^-ориентируем. Кроме того, любой спектр Е является 5-модулем. Поэтому 3.1 и 3.2 — частные случаи 3.3 и 3.4 соответственно. Однако все действительные трудности заключены в доказательстве теоремы 3.1 (а именно, в построении обратного отображения к yj, а 3.2 —3.4 получаются из него с помощью техники последовательности Майера—Виеториса и леммы Ситникова (теорема 2.4, Ь). 4. Применения 1. Теорема двойственности Стинрода—Ситникова. Согласно этой теореме [3] существует изоморфизм Hf(X;G)&fr(S-\X;G), p + q*=n-l, р, q£K, (1) 17
где X a Sn — любое пространство, Hsp — приведенные гомологии Стинрода— Ситникова и Hq — приведенные когомологии Чеха с коэффициентами в абеле- вой группе G. Хорошо известно (ср. [13J), что Й*(;0)ъ*К(ву{) (2) по крайней мере для пространств, которые мы рассматриваем. Следовательно, из теоремы 3.1 и простых рассуждений о точных последовательностях имеем изоморфизм Н*р(Х; С)^КЩр{Х) (3) для любой группы коэффициентов G. Этот результат имеет непосредственное отношение к теореме 7.1 из [4], в которой фактически установлен изоморфизм Н*р(Х; Z)^Hp(\S(X)\; Z). (4) Здесь X.— связный метризуемый компакт и S (X) — его шейповый сингулярный комплекс. Последний определяется аналогично тому, как это делается при построении обычного сингулярного комплекса S (X). Сингулярными симплексами комплекса S (X) по определению являются все шейповые (а не только непрерывные) отображения оп\ Ln -> X. Имеет место (см. [6]) следующая Теорема 4.1. Пусть X — пунктированный связный метрический компакт, Y — односвязный пунктированный GW-комплекс, все т-мерные остовы которого компактны. Тогда существует гомотопическая эквивалентность \S(XAY)\^\S(X)\A\S(Y)\: (5) Следствие 4.2. Для конечнопорожденной абелевой группы G и связного метрического компакта X с отмеченной точкой существует изоморфизм КЩр(Х)**Нр(\5(Х)\; G). Если dimX<^oo, то эта группа изоморфна HS(X\ G). Доказательство. Пространства К(G, I) спектра К(G) = {K(G, Z)} имеют компактные m-мерные остовы при любом т и односвязны, если I ^ 2. Применяя теорему 4.1, получаем K<&p(X) = limKh(Sp+k, K(G, k)7\X)^ljmKh(Sr+\ | S(K(G, k) Д X)|)« «UmtfJS'**, K(G, k)A\S(X)\) = Hp(\S(X)\; G). Второе утверждение следует из (3). Из следствия 4.2 и (2) видно, что теорема двойственности Стинрода— Ситникова является частным случаем теоремы 3.1. Кроме того, следствие 4.2 содержит дополнительную информацию о группе Hsp. Для G и X таких же% как и в следствии 4.2, справедлива теорема об универсальных коэффициентах, т. е. точна расщепляющаяся (не функториально) последовательность О -> HI (X) ® G -*HI(X; G) -> Щ_у (X)*G^ 0. Это немедленно следует из следствия 4.2 и гомологической алгебры. Впервые этот результат был получен Е. Г. Скляренко [14]. Его доказательство отличается от нашего. Мне не известно, как получить изоморфизм (3) (возможно, для произвольного метрического пространства X, а не только для XciSn) без использования какой-нибудь теоремы двойственности. 18
Хорошо известно, что из (1) следуют все другие теоремы двойственности для (ко)гомологий с коэффициентами в абелевой группе G, а также многочисленные геометрические применения, например такие, как определение размерности пространства XaSn через инварианты расположения (по отношению к конкретному вложению). Интересующийся читатель отсылается к классическим трудам на эту тему. 2. Теорема двойственности для произвольного спектра. Впервые теорема этого типа была установлена Дж. У. Уайтхедом в [17] для конечного полиэдра, Случай компактных пространств рассмотрен в [1, с. 259, теорема 10.6]. В этой теореме многообразие Мп не обязательно компактно и может иметь непустой край дМп. Пусть Е — GW-спектр, являющийся F-модулем, и Мп ориентируемо над/7. Тогда для любой компактной пары {К, L), К С Мп такой, что Kf)dMn CZ L, имеет место изоморфизм D: sEp(Mn\L, Мп\К)^Ёп-Р(К, L), p£Z. (6) Здесь по определению *ЕР(Х, Y) = EP(X', Y1), (7) где (Х\ Y') — любая пара CW-комплексов слабо гомотопически эквивалентная (X, Y). Таким образом, 8Ер определяется с точностью до изоморфизма (который можно сделать каноническим). Аналогично можно определить и 8Eq* Теперь для произвольной пары компактов (X, Y), X С Мп, положим Ё*(Х, Y) = \im8E9(U, V), (8) где предел берется по всем парам открытых в Мп множеств (С/, V) ZD (X, Г). Можно показать, что Ёя не зависит от конкретного вложения X С Мп. Для компактного многообразия Мп и компактной пары (К, L) можно показать, что имеют место изоморфизмы 8EP(M*\L, Mn\K)^Ep(Mn\L, Мп\К), (9) Eq(K, L)^Eg(K, L), (10) поэтрму (6) — частный случай теоремы 3.4 для компактных многообразий. Однако заметим, что с помощью последовательности Майера—Виеториса изоморфизм (6) можно получить из 3.1—3.4 для произвольного многообразия М'\ (Указание: любая компактная пара (К, L) всегда содержится в компактном подмногообразии (с краем).) Замечание. Требование компактности многообразия Мп в теоремах 3.3, 3.4 можно значительно ослабить, по крайней мере для компактных пар (X, А). Мы наложили это ограничение лишь для удобства. 3. Отношение к jK-теории и функциональному анализу. Эта новая область приложения двойственности Александера—Понтрягина возникла и» совместной работы Л. Брауна, Р. Дугласа и П. Филмора (см. [9] для дальнейших ссылок) по теории операторов. В последующей работе Д. Кана, Д. Каминкера и К. Скочета [11 ] установлены более тесные связи с 7£-теорией. Прежде чем пройти весь путь от теории операторов к двойственности Александера—Понтрягина через if-теорию, мы рассмотрим теорему двойственности, содержащуюся в [11]. Для любого спектра Е и компакта XaSn имеет место изоморфизм Esp(X)ttE*(Sn\X), p + q = n-l. (И) 19
Здесь Е% — (приведенные) гомологии, называемые «гомологиями Стинрода с коэффициентами в спектре Е». Они определяются с помощью GW-спектра F (X), являющегося GW-заменой для функционального спектра {F(X, Sn)} = {S«x). По определению Е*(Х)=Е-'(?(Х)), где когомологии Е* ( ) для спектра — простое обобщение когомологий для пространств. В общем случае Е,(Х)*Е8Р(Х), но для CW-спектра Е имеется изоморфизм Е8,{Х)жЕр(Х). (12) Это следует из теорем 2.4, а), 3.2 и (11). Для произвольного Е можно легко описать гомоморфизм Esp (X) -> Ер (X), который, вообще говоря, ни сюръек- тивен, ни инъективен. В случае, когда спектр Е является спектром комплексной ЛГ-теории (т. е. E = BU), получаем наиболее важные приложения. В данном случае Е8(Х) = =Ер(Х) для X С Sn, BU является, очевидно, CW-спектром. Е8 (X) допускает следующее неожиданное описание (см. [9]). Пусть С (X) — С*-алгебра комплексно- значных непрерывных функций на X, ££ — ограниченные линейные операторы комплексного гильбертова пространства и о% — компактные операторы. Положим ЭД = Х\М- Эта алгебра называется алгеброй Калкина. Всякое ^-вложение г: С (X) -> ЭД называется расширением и может быть описано точной последовательностью 0->^->е^С(Х)->0; здесь е — С*-алгебра, содержащая единичный оператор. Введя понятие эквивалентности расширений, можно получить множество классов эквивалентности Ext(X), которое оказывается абелевой группой. Более того, возникает функтор из Com в категорию абелевых групп. Функтор Ext обладает следующими замечательными свойствами: 1) (Периодичность.) Существует изоморфизм Ext (X) « Ext (£2 X). 2) Пусть X и У имеют одинаковый шейп в смысле Борсука (согласно теореме 1.4 X и У эквивалентны в ComJ, тогда существует изоморфизм Ext (Х)« Ext (У). 3) Определим гомологии ея(Х), n^Z следующим образом: [ Ext (X), п нечетно, %(%) = [ Ext(EX), п четно. Тогда существует естественный изоморфизм вя(Х)^Кл(Х)(=Ви.(Х)), где X — конечный полиэдр. Однако наиболее важным достижением явилось установление изоморфизма вя(Х)ъВия(Х), (13) где X — любой метрический компакт (по крайней мере конечной размерности). 20
Изоморфизм (13) устанавливается с помощью результатов работы [1] и (12) (т. е. используются теоремы двойственности, отсюда — требование конечной размерности пространства X). Следовало бы найти прямое доказательство этого факта, основанное на теоретико-шейповых рассуждениях (и поэтому, возможно, справедливое не только для конечномерных X). Очевидно, что свойства 1)—3), а также функторртльность Ext следуют из (13). Первоначально функтор Ext был введен для нужд функционального анализа. Назовем оператор Т £ X существенно нормальным, если ТТ* — Т*Т £ о%. Скажем, что 7\, Т2£Х эквивалентны (Тг = Т2), если существуют унитарный оператор U и Компактный оператор К такие, что TX = UT2U* + K. (14) Другими словами, Тг с точностью до преобразования координат является компактным возмущением оператора Т2. Пусть т]: X -> Х\<Й = Я& — проекция. Спектр а7](Г)=ае(Г) с С называется существенным спектром оператора Т£Х- В 1935 г. Дж. фон Нейман доказал, что Т1 = Т2 тогда и только тогда, когда <*в(Т1) = ав(Т2). В 1971 г. Бергу удалось доказать это для нормальных операторов. Случай существенно нормальных операторов был изучен Л. Брауном, Р. Дугласом и П. Филмором. Оказалось, что для эквивалентности существенно нормальных операторов недостаточно совпадения их спектров (см. [9]). 7\=Г2 тогда и только тогда, когда 1) ае(Гх) = ае(Т2) и 2)ind(7\— X/) = ind(r2— X/) для любого X из ограниченной компоненты дополнения к ое (Т1) = ав (Т2). Не останавливаясь более на проблемах функционального анализа, наметим коротко связь между предыдущим утверждением и двойственностью Алексан- дера—Понтрягина. Через ет обозначим ^-подалгебру алгебры X, порожденную оператором 7', единичным оператором и М- Пусть [Т] £ Ext (X) = ег (X) — класс расширения 0 -* <й, -> ет -> гт\$1 я^ С (X) -> 0. Имеем изоморфизм Ext (X)« BU\ (X) ~ BU0 (С \ X) « #° (С \ X), (15) где ае(Т) = XcC = R2 и а — изоморфизм Александера—Понтрягина. Последний изоморфизм имеется лишь для компактного подмножества плоскости. С другой стороны, Н°(С\Х) — множество целочисленных локально постоянных функций ср на ограниченных компонентах пространства С\Х. Кроме того, можно показать, что при изоморфизме (15) классу \Т] соответствует функция ind(T— Х/) = ср(Х), поэтому если Тг=Т2, то ind(7\ — Х/) = = ind(T2—X/) и наоборот. Конечно, для тополога было бы очень желательным найти более прямое доказательство, чем то, которое мы наметили. Глядя на первоначальную задачу из функционального анализа, трудно было ожидать, что имеется столь тесная связь между нею и двойственностью Александера—Понтрягина. Я думаю, что очень приятно знать о существовании такого конкретного приложения этого довольно абстрактного материала. 4. 8-двойственность. Двойственность Александера—Понтрягина происходит из следующего вопроса: какие топологические свойства пространства Y = Sn\X определяются пространством X (а не спецификой вложения). Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что теоремы двойственности Александера—Понтрягина (начиная с первоначальных утверждений Александера и кончая, возможно, теоремами 3.1, 3.2) показывают, что гомологические свойства X определяют гомологические свойства Y и наоборот. 21
Хорошо известно, что слово «гомологические» нельзя заменить на слово «гомотопические». Например, фундаментальная группа ъг (S*\S1) — инвариант узла, т. е. инвариант конкретного вложения S^-dS3. Однако, стабильные гомотопические инварианты X определяют стабильные гомотопические инварианты Y и обратно. Поскольку гомологические инварианты a fortiori являются стабильными гомотопическими инвариантами (но не наоборот!), ^-двойственность, очевидно, сильнее двойственности Александера—Понтрягина. Однако -^-двойственность определена (см. [15]) Э. Спеньером и Дж. Г. Уайтхедом лишь для конечных полиэдров, тогда как двойственность Александера—Понтрягина согласно фундаментальным результатам К. Ситникова, П. С. Александрова и других применима к любым подпространствам X(zSn. Проблема распространения ^-двойственности на произвольные подпространства X(zSn, возможно через использование подходящей категории шейпов, очень сложна. Следует иметь в виду обескураживающие контрпримеры, принципиально исключающие наивное распространение 5-двойствен- ности на произвольные категории (например, на категорию Бордмана). Наша категория шейпов К недостаточно хороша для общей ^-двойствен- ности, однако мы можем переформулировать теорему 3.1 таким образом, что ее можно будет считать первым шагом к общей ^-двойственности. Рассмотрим категорию <#*, объектами которой являются пары X = (X, т)у X С Sn, ra£Z, а множество морфизмов {(X, т), (F, т)} из объекта (X, т) в (У, т) совпадает с lim Кh (Em+?X, £™+?7). я. Определяя д-произведения объектов (X, т) Д (Y, m) = (X7\Y9 т~\~т) и морфизмов, мы расширим категорию <^°. Имеем надстройку И (X, т) = (X, т --J- 1), которую мы, как обычно, отождествляем с (ЕХ, 'т). Вместо (X, 0) мы пишем коротко X. Пусть X = (X, х0), X С Sn. Положим D,X = (S'\{x0))[JC(S-\X), считая, что отмеченной точкой в DnX является вершина неприведенного конуса. Для каждого (X, т)£$* положим Е-!(Х, т) = (Х, т—1). Теорему 3.1 можно переформулировать следующим образом. Теорема 4.3. Пусть X С Sn — компакт с отмеченной точкой, p-\-q — ny р, q£Z, Z = (Z, 0)£(^\ Тогда имеет место изоморфизм {SP, X A Z) « {1ГЮПХ, Z), естественный по X и Z по отношению к вложениям. Доказательство. Имеем {Sp, X Д Z) =Ер (X), {Z~*Y, Z)^Eq(Y)y где E = {%lZ) — надстроечный спектр. Следовательно, из теоремы 3.1 вытекает теорема 4.3. 5. Заключительные замечания В центре предыдущих результатов стоят гомологии Стинрода—Ситникова во всех их разнообразных аспектах. Они были придуманы Н. Стинродом [161 в 1940 г., временно забыты и снова открыты в 1951 г. К. Ситниковым в другой, более приемлемой форме [3]. В 1960 г. Дж. Милнору удалось дать изящное аксиоматическое описание гомологии этого типа. После этого прошло более пятнадцати лет, пока несколько авторов более или менее одновременно 22
обнаружили тесные связи между Щ и теорией шейпов. В частности, в работе [4] было показано, что в сильной теории шейпов гомологии с целыми коэффициентами Щ (; Z) — не что иное, как сингулярные гомологии. Более того, много естественных функторов в различных областях топологии и ее приложений, частично давно известных, частично открытых недавно, выявили себя как шейповые гомологии (или когомологии) с коэффициентами в подходящем спектре. В этом контексте функторы Ер наиболее естественно подходят для формулирования многих теорем и одновременно проявляют себя как могущественный инструмент для решения отдельных проблем. В математике, как и вообще в жизни, естественно и обычно, что* идеи и темы исследований возникают мгновенно, овладевая умами многих математиков одного поколения, и уходят в забвение некоторое время спустя. Принимая это обычное явление жизни, приятно осознавать, что по отношению к гомологиям Стинрода—Ситникова природа имеет совсем другие планы, дающие своего рода возрождение, о котором никто ранее и не мечтал. Тесными узами связаны мы с нашей историей; поэтому мы не забываем, что все то, что мы теперь пытаемся осуществить с большим или меньшим успехом, так или иначе оцениваемым обществом, берет начало из фундаментальных геометрических идей П. С. Александрова и его выдающихся учеников, которые более 50 лет назад обратились к изучению геометрических структур таких, как размерность подпространств евклидовых пространств. Тесная связь между алгеброй и геометрией никогда не проявлялась столь ясно, как в этих результатах (например, в гомологической размерности). Вспомним в этом контексте знаменитую работу [2]. Говорят, что Ф. М. Достоевский сказал о «Шинели» Гоголя: «Мы все вышли из „Шинели"». Точно так же я могу сказать о всех нас, работающих в этой области алгебраической топологии: «Все мы вышли из „Gestalt und Lage"». ЛИТЕРАТУРА 1. Adams F. Stable homotopy and generalized homology: Chicago Lect. Not. in Math.: Univ. Chicago, 1974. 2. Alexandroff P. S. Untersuchungen tiber Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen be- liebiger Dimension. — Ann. Math., 1928, 30, p. 101—187. 3. Александров П. С. Топологические теоремы двойственности. II. — Труды МИ АН СССР, 1959, 54, с. 1-136. 4. Bauer F. W. A shape theory with singular homology. — Pacif. J. Math., 1976, 62, N 1, p. 25-65. 5. Bauer F. W. Some relations between shape constructions. — Cah. topol. et geom. different., 1978, 19, N 4, p. 337-367. 6. Bauer F. W. Duality in manifolds. 7. Bauer F. W. Homotopietheorie. Manheim, 1971. Hochschultaschenbucher. 8. Borsuk K. Theory of shape. Warszawa: PWN, 1975. (Monogr. mat., vol. 59). 9. Brown L.G., Douglas R. G., Fillmore P. A. Extentions of C*-algebras and /f-homology.— Ann. Math., 1977, 105, N 2, p. 265-324. 10. Dugundji J. Note on CW polytopes. — Portug. math., 1952, 1, p. 7—10. 11. Kahn D. £., Kaminker /., Schochet С Generalized homology theory on compact metric spaces. —Mich. Math. J., 1977, 24, p. 203—224. 12. Milnor J. On the Steenrod homology theory: Mimeographed notes. Berkeley, 1960. 13. Morita K. Cech cohomology and covering dimension for topological spaces. — Fund, math., 1975, 87, p. 31-52. 14. Скляренко E. Г. Теория гомологии и аксиома точности. — УМН, 1969, 24, № 5 (149), с. 87-140. 15. Spanier Е., Whitehead J. Н. С. Duality in homotopy theory. — Matematica, 1955, 2, p. 56-80. 16. Steenrod N. Regular cycles of compact metric spaces. — Ann.Math., 1940, 41, p. 833—851. 17. Whitehead G. W. Generalised homology theories. — Trans. Amer. Math. Soc, 1962, 102, p. 227—283.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Н. А. БЕРИКАШВИЛИ (Тбилиси, СССР) ОБ АКСИОМАТИКЕ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ СТИНРОДА-СИТНИКОВА НА КАТЕГОРИИ КОМПАКТНЫХ ХАУСДОРФОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Введение Теория гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных метрических пространств была аксиоматизирована Дж. Милнором [25] и Е. Г. Скляренко [12]. Существует ряд определений точных теорий гомологии на категории компактных пространств [25, 15, 16, 3, 6—9, 13, 17, 23], которые на категории компактных метрических пространств совпадают с теорией Стинрода—Ситникова. В работах [2, 6, 7, 13] устанавливается, что многие из возникших теорий гомологии изоморфны между собой и, более того, дается описание некоторых общих способов построения теорий гомологии, приводящих к изоморфным теориям. Мы в данной работе приводим несколько вариантов аксиоматики теории гомологии на категории компактных хаусдорфовых пространств, однозначно характеризующих теорию гомологии. Один из этих вариантов в качестве гипотезы высказывался в [2]. Подход, применяемый ниже, заключается в замене компактного хаусдорфова пространства пределом обратного однозначного симплициального спектра нервов его конечных покрытий, обладающего тем преимуществом, что он имеет естественную фильтрацию по остовам комплексов спектра. Выбираемые аксиомы призваны обеспечить проведение по этой фильтрации аналога стандартного доказательства теоремы единственности теории гомологии на полиэдрах (или, что то же самое, аналога построения спектральной последовательности Атьи—Хирцебруха). По этой необходимости по основной системе аксиом далее ищутся эквивалентные системы (теоремы 4.4, 4.8 и 4.6). Мы ниже для некоторого класса экстраординарных гомологии строим спектральную последовательность, аналогичную спектральной последовательности Атьи—Хирцебруха и начинающуюся в гомологиях Стинрода— Ситникова. Такая спектральная последовательность для так называемых экстраординарных гомологии Стинрода на конечномерных метризуемых компактных пространствах была построена в [21]. В разделе 1 собраны необходимые для дальнейшего сведения, в разделе 2, следуя [10], излагается теория гомологии Чогошвили. В разделе 3 доказывается основная теорема 3.1 и эквивалентное ей предложение 3.2, а также обратная к теореме 3.1 теорема 3.4. В разделе 4 даются аксиоматики теории гомологии Стинрода—Ситникова. 24
Внимание автора на интерес нахождения аксиоматики для теории гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных пространств было обращено В. И. Кузьминовым и Л. Д. Мдзинаришвили. Основные результаты анонсированы в заметке автора [1]. Основываясь на том же подходе, X. Н. Инасаридзе и Л. Д. Мдзинаришвили [28] дали еще одну аксиоматику теории гомологии Стинрода—Ситникова. 1. Предварительные замечания Теорема Нобелинга, в частности, утверждает [26]: если F — множество, то группа конечнозначных целочисленных функций на нем {т. е. функций f:F-+Z таких, что f (F) — конечное множество) — свободная абелева группа. Этот результат далее применяется через теорему Каупа—Киина о прямых спектрах свободных модулей. Именно верна Теорема 1.1 (Кауп—Киин [23]). Пусть дан обратный спектр {Fa, пЛ конечных множеств с отмеченными точками (*)a(:Fa и с сохраняющими отмеченные точки отображениями. Пусть далее {Са, sa^} — прямой спектр А-модулей с тем же множеством индексов. Тогда lim {Са, s») — свободный А-модуль, если выполняются два условия: (а) Са — свободный модуль, базис которого — множество Fa \ (*)а; (Ь) для любой пары а <^ [3 и ж £ F~\ (*)а имеем вф (х) = 2 е.у.9 где у. £ F^, ^у< = х и е. = ± 1. Заметим, что в первоначальной формулировке коэффициент е = —1 отсутствует, но доказательство остается почти без изменения: считая, что A = Z и G(F), F — limFa, означает группу из теоремы Нобелинга, строится (неоднозначно) вложение lim {Са, sa^} С G (F) и, следовательно, lim Са — свободная группа; общий случай получается тензорным умножением на Л. Следствие 1.2. Пусть {Са, sa^} — прямой спектр теоремы Каупа— Киина, удовлетворяющий условиям (а) и (Ь) теоремы, и пусть G — некоторый А-модуль. Тогда для обратного спектра A = {Ga, iz^}, Ga = Нот a (Ca, G) имеем \\mip)A = 0 при p^>0. Доказательство. В силу теоремы Рооса [27] существует сходящаяся спектральная последовательность Ef>* = limip)Exb'(Ca9 G) => Ext1** (lim Са9 G). Так как Са — свободные модули, то Е%> я = 0 при q=j£=0, поэтому Е$»° = Е^ ° = = Extp (lim Са, G). Так как модуль ИтСа свободен, то Extp (lim Са, G) = О при р>0; поэтому 0 = #£'° = limCp)Ga при />>0. Будем рассматривать обратный спектр ($? = {Ка, tz^} конечных симпли- циальных комплексов, где п^ :Ка^>К^ — симплициальные отображения. Если для каждого индекса ав^ задан подкомплекс La так, что rcapLp С La, a <[ (3, то X = {La, 7cap} является также спектром и будем писать X С Ж и говорить, что (о%Г, X) составляет пару симплициальных спектров. Если G — Л-модуль, то для пары (о/Г,' X) определяется проекционный модуль гомологии. Это — модуль гомологии цепного комплекса -* Cp+i -^Ср-* Ср-\ -* f Ср(Ж, X; G)=\un{Cp(Ka, L- G), ^} (1.1) 25
и д определен покоординатно. Для простоты мы под цепями симплициального комплекса понимаем ориентированные цепи. Аналогично определяется проекционный модуль когомологий. Именно пусть С*(сйГ, if; G) = lim{C*(tfe, La; G), ^}, (1.1') тогда Mp (о/Г, «5?; G) определяется как модуль гомологии коцепного комплекса {Ср(Ж, Х\ G), §}. Если G = A, то, как обычно, вместо С*> (off, %\ G) будем писать С*(оГ, £) и т. д. Имеем Ср(Ка, La; G) = H6fnA(Ср(Ка, La), G) и в силу (1.1) будем иметь Ср(Ж, Х\ G) = HomA{lhnC*(#a, LJ, G} = HomA {С (оГ, if), G}. (1.2) Следствие 1.2 теоремы Каупа—Киина немедленно дает Следствие 1.3. limCt) {Ср(Ка, La; G), тса;3}=0, /^>0. Так как имеем точную последовательность обратных спектров 0^{Cp(La, G), к)^{Ср(Ка, G), *}-+{Ср(Ка, L- G), п}^0, то имеем точную последовательность О -* lim {Ср (L„ G), к) -> lim {Ср (К„ G), к) -* -> lim {Ср (Ка, ЬЛ; G), *} -> Нт"> {Ср (La, G), *} -> ... ' В силу следствия 1.3 имеем, следовательно, Следствие 1.4. Точна последовательность цепных комплексов о->с,С5?, £)^б;(оГ, G)-*c,ffl, 2; G)-o. Теорема Каупа—Киина и формула (1.2) немедленно дают два следствия. Следствие 1.5. Модуль СР((Ж, if) свободен. Следствие 1.6. Если А— кольцо главных идеалов, то имеем точную последовательность ■ 0^ЕхЦЖи+1(о/Г, #), С)-»ЖЛо#\ if; С)^НотА(Жи(^ #), G) -> 0. Если (Ж — обратный спектр абстрактных симплициальных комплексов, то его реализацией будем называть топологическое пространство | о/Г |, являющееся обратным пределом реализаций комплексов и проекций спектра, т. е. le/fl^HmfltfJ, К3|}. Это пространство допускает естественную фильтрацию: определим ¥р\<Ж\ как Нт{|*>.|, |««,|}с|оП где Кр обозначает /?-остов комплекса Ка. Таким образом, F \ (Ж | = 0 при р<^0. Эту фильтрацию мы будем называть стандартной фильтрацией. Заметим, что, вообще говоря, фильтрация не покрывает все пространство |о/Г|, если только размерности комплексов спектра не ограничены в совокупности. Тривиально проверяются следующие два предложения. Предложение 1.7. Пусть {(Ха, FJ, тса3)—обратный спектр компактных пар и пусть (X, Y) его предел. Тогда (X/Y, *) = lim {(XJY^ *), тга3}. Предложение 1.8. Пусть {(Ха; XI, XI), тса3}—обратный спектр триад и пусть Z1 = lim{Z1, тс}, X2 = lim{X«, тс}. Тогда Пт {XI w XL п) — = Хг^Х2. *~ *~ *~ 26
Из этих предложений непосредственно следует Предложение 1.9. Пусть {<Ж, X) — пара симплициалъных спектров и F | оуГ | — стандартная фильтрация пространства \ Ж |. Тогда пара (Fp\^\^\^\/Fp_1\^\^\^\, *) гомеоморфна обратному пределу спектра пар {(£f, *), ^а?), где Si = \Ki\^\La\/\K{-^\LX и, следовательно, является букетом р-мерных сфер, по сфере для каждого р-симплекса из Ка \ La, а ^ индуцировано от тсаЭ и поэтому каждую сферу или отображает в отмеченную точку (если симплекс отображается в подкомплекс Ьа или размерность симплекса понижается), или переводит гомео- морфно на одну из сфер букета Spa. Ниже под сходимостью спектральной последовательности понимается строгая сходимость в терминологии [4], т. е. Ер,д=>А, если: (1) дана возрастающая р фильтрация F А градуированного модуля А; (2) \jFpA = A и естественный гомоморфизм А -+ lim A/FA является изоморфизмом (если E2Pt q = 0 при /?<^0, то это эквивалентно условию FpA = 0 при р<С0); (3) для каждого р дан гомоморфизм и : FpAp+q -+ Е^ q и точна последовательность Под £°° понимается, как обычно, прямой предел lim Хп модулей Хп, где Хп — обратный предел бесконечной диаграммы Jy Здесь ik — тождественное отображение циклов относительно дифференциала dk и / — естественное эпиморфное отображение. Под морфизмом одной сходящейся спектральной последовательности в другую понимается пара (/, ср), где / : {Ег} -^ {'Ег) — морфизм спектральных последовательностей, а ср : А -> 'А — сохраняющий фильтрацию гомоморфизм градуированных модулей такой, что /00огг = ггоср00. Далее для двух сходящихся спектральных последовательностей Е => А и '£ => 'А будем говорить, что гомоморфизмы ф: E2Ptq -> 'E2p_1}q и ^1\А->'А совместимы между собой, если для любой пары элементов (х, a), x^Ep>q, a^FpAp+q, такой, что х доживает до £°°, х£х£/?°°, и x=iu(a), пара (фж, фха) является такой же парой. 2. Теория гомологии Чогошвили; пространство |^>Г(^Г)[ Напомним в основных чертах теорию гомологии Чогошвили [15, 16, 9,10]. Пусть (X, А) — пара компактных хаусдорфовых пространств. Пусть а = = (ei> е2> • • •» ек) — конечное разбиение множества X, т. е. е. — произвольные подмножества X такие, что е{f|e. = 0, i=^j, и []е{ = Х. Пусть ё.— замыкание множества ег Обозначим через Na(X) нерв замкнутого покрытия (ev ё2, . .., ёк). Очевидно, егС\А, e2f]A, . . ., ekf]A — разбиение множества А; нерв замкнутого покрытия (ёгС\А, . . ,,ёкС\А) обозначим через Na(A). Имеем включение /Va (А) С Na (X). Если (3 = (е[, е'2, . . ., е'п) — другое разбиение множества X, то (В > а, если для каждого е'. найдется такое eJy что е'. С е\\ тогда е. однозначно определено и это соответствие определяет симплициальное 27 г" А к (ЕП) J/ Е , ZU /7 + 1 ' к Z>7 + 1 У с"", Е . / */ Z(E n + Z \ ln+z п+г
отображение нервов к^: Np(X)-> Na(X). Очевидно, tzN^(A) С Na(A). Так получается однозначный обратный спектр конечных симплициальных комплексов и симплициальных отображений (ШХ), Na(A)), V- С2-1) Проекционный модуль гомологии этого спектра относительно модуля G называется модулем гомологии Чогошвили пары (X, А) и ниже будет обозначаться через Нр (X, А\ G). Очевидным образом определяется индуцированный гомоморфизм этой теории. В силу следствия 1.4 определен и граничный гомоморфизм теории. Хорошо известно, что проекционный модуль когомологий спектра (2.1) изоморфен обычной теории когомологий Александрова—Чеха, поэтому в силу следствия 1.6 теория Чогошвили удовлетворяет функториальной точной последовательности 0->Ext(#w+1(X, Л), G)->Hn(X, A; G)^Eom{Hn{X, A), G)->0, (2.2) где Н* означает когомологий Александрова—Чеха с коэффициентами в А. Отсюда мгновенно следует [25, 10], что Нп удовлетворяет всем аксиомам Эйленберга—Стинрода и Милнора. Следовательно, в силу теоремы единственности Милнора теория Чогошвили на категории компактных метрических пространств изоморфна с теорией гомологии Стинрода—Ситни- кова [10]. Для компактного хаусдорфова пространства X пусть N (X) означает симплициальный спектр (2.1) для пары (Х,0) и пусть \N (Х)\ — его реализация (см. раздел 1), т. е. \N(X)\ = lim{\Na(X)\, К3|}. Это компактное пространство тесно связано с исходным пространством X (имеет, очевидно, те же группы когомологий Александрова—Чеха, что и X) и обладает тем преимуществом перед X, что имеет фильтрацию. Следуя [2, 22], определим отображение a):|/V(X)|->X (2.3) следующим образом. Если у = {у J £ | N (X) |, уа £ | Na |, то пусть аа — симплекс носитель элемента уа; тогда если oa={ei-i, et-2, . . .. eis), то обозначим |оа| = ё^П ••• П £** CZ X; система {|oJ} для данного у является центрированной, поэтому пересечение П I aa | непусто; так как пространство X хаус- дорфово, это пересечение содержит одну точку и по определению а) (у) — эта точка. Легко проверяется, что <о непрерывно. Далее со индуцирует изоморфизм групп когомологий Александрова—Чеха [2]. Мы используем ниже и более точный факт: Лемма 2.1. Для х£Х пространство со-1 (х) является пределом обратного симплициалъного спектра конечных ацикличных непустых подкомплексов нервов \Na(X)\. Доказательство. Пусть х0^Х; в Na(X) определим подкомплекс Fa так: если а = (е1? . . .,ek), то aa = (eii9 . . .,eia)£ Va тогда и только тогда, когда | оа | Э хо- Очевидно, Va является конусом. Далее если a < (В, то очевидно n*(Vp)a Va, т. е. {Fa, тсар} является спектром. Легко проверяется, что 28
Пусть для пространства X дан симплициальный спектр о/Г= {Ка, иар} такой, что: (1) Ка является нервом некоторого конечного открытого покрытия X; (2) если а <[ (3, то С/"р вписано в Ua; (3) тсар — одна из проекций нервов; (4) для каждого открытого покрытия существует вписанное в нем Ua. Тогда определено со : | q/Г | -* X, индуцирующее изоморфизм когомологий [2]. (При определении со в этом случае носители | оа | нужно замыкать.) Верно утверждение леммы 2.1. Этот спектр в [2] называется спектром над X. 3. Спектральная последовательность Мы в этом и следующих разделах будем рассматривать теории гомологии над категорией пар компактных хаусдорфовых пространств. Всегда будет предполагаться, что теория гомологии удовлетворяет всем аксиомам Стинрода— Эйленберга, а экстраординарная теория гомологии — всем аксиомам Стинрода— Эйленберга, кроме, возможно, аксиомы размерности. В этом разделе для теории п^(Х, А) дополнительно используются следующие аксиомы А, В и С. Аксиома А [14, 25, 12|. Проекция (X, А) -> {Х/А, *) индуцирует изоморфизм hn(X, A)=hn(X/A, *). Аксиома В. Для натурального числа п и обратного спектра пар {(S™, *), ттЛ, где 5^ — конечный букет n-мерных сфер, а тс- — отображение, переводящее каждую сферу букета либо в отмеченную точку, либо гомео- морфно на сферу букета, имеет место равенство ht(lba {(S;, *), «вр}) = 1ш1 {h,(S;, *), *„,}. Пусть (в обозначениях предыдущего раздела) ht (X, А) = lim {ht (Fp\N(X)\^\N (А) |, | N (А) |), ip> р_1), V где Fp\N(X)\ — стандартная фильтрация реализации спектра (см. раздел 1). Тогда функтор h точный и отображение со определяет преобразование функторов ht(X, A)-+ht(X9 А), совместимое с граничным гомоморфизмом. Аксиома С. Для любого X отображение hi (X) -> h. (X) — изоморфизм. Теорема 3.1. Если экстраординарная теория гомологии hn(X, А), определенная на категории компактных хаусдорфовых пространств, удовлетворяет аксиомам А, В и С, то: (а) существует функториалъная сходящаяся спектральная последовательность Е* =Нр(Х,А; hq(*))^hp+g(X,A), Р где Н — теория Чогошвили; (Ь) граничный гомоморфизм д: hn (X, А) —> hn_x (А) уменьшает фильтрацию на I и совместим с граничным гомоморфизмом теории Н; (с) если теория h не удовлетворяет аксиоме С, то предыдущие два пункта верны с заменой h на h. Доказательство. Очевидно, достаточно доказать пункт (с) теоремы, т. е. пункты (а) и (Ь) для h. Для спектра комплексов N (X) рассмотрим стандартную фильтрацию пространства \N(X)\: Fp\N(X)\ = lim{\Na(X)\P,^}. 29
Эта фильтрация дает сходящуюся спектральную последовательность гомологии E1P,q = K+q(Fp\K{X)\^\N{A)\, Fp_1\N(X)\^\N(A)\)^. ^lim{hp+q(Fs\N(X)\^\N(A)\, \N(A)\), j,^) = hp+q(X, A). * 1* Вычислим второй член этой спектральной последовательности. Аксиома А дает, что E],,g=hp+q(Fp\N(X)\^\N(A)\IFp_1\N(X)\^\N(A)\, *). Из предложения 1.9 следует равенство (Fp\N(X)\^\N (A)IF^ \N(X)\^\N (А) |, *) = lim {(S*, *), «}, где S? — букет /^-мерных сфер, взаимно однозначно соответствующих /ьмер- ным симплексам Na(X)\Na(A). Применяя аксиому В, отсюда получаем Elq = Yun{hp+q(SP, .)«}, т. е. Е1 _lim {аЕр д, тс}, где аЕр—1-член спектральной последовательности Атья—Хирцебруха комплекса (| Na (X) |, | Na (А) |). Следовательно, aEle = Cp(Na(X), Na(A); ht(*)) и поэтому" Ep>q = lun{Cp (N„ (X), N» (А); \ (*)), *} = = Cp~(N(X), N(A); hq{*)) = Cp{X, A; hq (.)). Так как в спектральной последовательности Атьи—Хирцебруха dx совпадает с граничным гомоморфизмом в комплексе, то dx в нашей спектральной последовательности совпадает с граничным гомоморфизмом в теории Чогошвили и, следовательно, Ept д = Нр (X, A; hq (*)). Если / : (X, А) -> (F, В) — непрерывное отображение, то естественно определено отображение f :(\N(X)\, j N (А) |)-> (| N (Г)|, |7V(J5)|); оно перестановочно с отображением со и сохраняет фильтрацию, поэтому спектральная последовательность функториальна. Пункт (а) доказан. Доказательство пункта (Ь) по существу повторяет доказательство теоремы 9.1 главы III из [14|, фильтрация Fph(X, А), участвующая в теореме, возникает из диаграмм hp+q (X, А) Д hp+q (Fp\N(X)\^\N (А) |, | N (А) |) X ^hp+q(Fp\N(X)\^\N(A)\, Fp_1\N(X)\^\N(A)\) = = Ср(Х, A;hq(*)) (3.1) как образ гомоморфизма s. Из этих же диаграмм, используя t, определяется естественное преобразование и в точной последовательности О -* F,Jin (X, А) -* Fphp+q (X, А) -1 E«q -* 0. Покажем сперва, что гомоморфизм j:h(Fp\N(X)\, Fp_1\N(A)\)-+h(Fp\N(X)\, F,\N(A)\) является эпиморфизмом. Для этого достаточно доказать (это видно из точной последовательности тройки (Fp\N (Х)\, Fp\N(A)\, Fp_x \ N (А) |), что h(F,\N(A)\, Fp_1\N(A)\)-^h(Fp\N(X)\, Fp_1\N(A)\) — мономорфизм. Но это так, ибо композиция h(Fp\N(A)\, Fp_1\N(A)\)^h(Fp\N(X)\, F ^ N (А)\)-+ -*h(Fp\N(X)\, F^NWl) совпадает с вложением Ср(А, hq(*)) с Ср (X, hq(*)). 30
Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму, где все гомоморфизмы, кроме граничных, индуцированы вложениями пространств: .*^ИВД|^1^М)|/И \JIT(X)\v\/if(A)\)^A(£\m№\*(A)U\MAld t , t- h(Fp\NtX)\,Fp.,\N(X)\)*—HFp\N(X)\,Fp.,\N(A)\) *Щ\Л/(Х)\,£№)\)-?-*Л(Х,А)^^ ]' J' \г g V i<^.,\^X)\,^.2\^X)\)*-^(^_l\M(A)\,F^z\mA)\) ^-^.JWH) —*4i(A) Так как j — эпиморфизм, то правая половина диаграммы показывает, что dFph(X, A)aFp_1h(A). Пусть теперь х£Е\ q = Hp{X, A; hq(*))f у£Fphp+q(X, А) и и(у)=£, где ("): Е2 -> Е™ определено на подмодуле из Е2 элементов, на которых все дифференциалы исчезают. Нужно показать, что и дх £ Нр_г (A, hq (*)) доживает до Е00 и и(ду) = дх. Из диаграммы (3.1) видно, что существует такой элемент у, что sy = y и ty(*x. Так как в диаграмме (3.2) /—эпиморфизм, то для у выберем z£h(Fp\N (Х)\, Fp_x \ N (А) \) такой, что jz = y. Левая половина диаграммы показывает, что dz, dz(*h(Fp\N (А)\, F^ |/V (Л) |) = = Ср_1(Л, Л9(*)), лежит в классе dx£h(A, hq(*)). Следовательно, в силу коммутативности треугольника дх доживает до Е™; в силу коммутативности правой половины диаграммы видим, что и(ду)-=дх. Доказательство теоремы 3.1 закончено. Доказательство теоремы проходит очевидным образом для следующего предложения. Предложение 3.2. Пусть h — экстраординарная теория гомологийу удовлетворяющая аксиомам А и В, Пусть {<Ж, ££) — пара симплициальных спектров. Возникающая из стандартной фильтрации пространства \ $С I сходящаяся спектральная последовательность имеет вид E*tq = XpW,2; \{*))=>l\m{hM{Fk\M\v\2\, \2\)) р Т и граничные гомоморфизмы в гомологиях спектра (о/Г, X) и в lim {hn (Fk \ q/C | w к ^у\3?\)} совместимы. В следующем разделе будет доказано, что теория гомологии Чогошвили удовлетворяет аксиомам А, В и С. Используем это для доказательства теоремы 3.4, обратной теоремы теореме 3.1. Понадобится Лемма 3.3. Пусть дан прямой спектр сходящихся спектральных последовательностей {аЕг , аА), aErPtq=>aA; пусть далее nE*tq = 0 при р<^0. v Тогда если Erpq = l\m aErpq, Л=НтаЛ, то ErPtq=>A. а а Доказательство. Предполагается, что фильтрация аА и естественные гомоморфизмы и: Fp(aA)-> Е™ сохраняются при отображении из спектра. Пара (Er = lim JEr , dr = lim adr) является спектральной последователь- а а ностью. Л = ПтаЛ фильтруется подмодулями F A = limFp аЛ. Очевидно, О -> F^A -* FpA -* lim aE™q -> О точна. Легко усмотреть, что а 31
и что, так как E^q = 0 при /><0, то здесь изоморфизм. Поэтому имеем точную последовательность 0-+Fp^LA-+FpA-+EZ9-+0. Далее, так как аЕ сходятся и E^q = 0 при /><0, то Fp ЛА = 0 при /><0, поэтому FpA = 0 при р<^0. Следовательно, имеем Ег =>А. р Теорема 3.4. Если для экстраординарной теории гомологии h(X, А) на категории компактных хаусдорфовых пространств существует функто- риалъная сходящаяся спектральная последовательность Ч„=Hi> (*> А> К (*)) => Кг (х> А)> то теория h удовлетворяет аксиомам А, В а С. Доказательство. Если / : (X, А) -> (F, В) — относительный гомеоморфизм, то так как теория гомологии Н р (X, A, hq(*)) удовлетворяет аксиоме А, то / индуцирует изоморфизм вторых членов спектральных последовательностей, следовательно, /# : h (X, А)-> h(Y, В) — изоморфизм, т. е. h удовлетворяет аксиоме А. Пусть {(££, *), я} — спектр аксиомы В. Пусть (F, *) = lim{(Sj, *), тс}, тогда, так как Нп удовлетворяет аксиоме В, имеем Н. (F, *; G) = 0, если i^n. Поэтому спектральная последовательность для пары (F, *) вырождается и К (F, *) = Нп (F, *; hm_n (*)). Таким же образом hm\S;9 *) = Яи (5«, *, Лм (*)). Следовательно, Ат(Г, .) = Я,(У, *; йи_я(*)) = Ит{Яя(^, .; />_(*), *} = Ит {*„($;, *), *}, т. е. выполняется аксиома В. Проверим аксиому С. Спектральные последовательности hE* q — H(Fk\N(X) |, hq (*)) => /гр+д (7^. | TV (X) |) определяют прямой спектр спектральных последова- р тельностей. Поэтому в силу леммы 3.3 определяется предельная сходящаяся спектральная последовательность Elq = l\mkElt^limhp+s(Fk\N(X)\) = hp+g(X), k Р к так как Нп удовлетворяет аксиоме С, то E*tq = Hp(X, hg(*)). Далее, для каждого к спектральная последовательность для Fk | N (X) | отображается в спектральную последовательность для X, поэтому предельная спектральная последовательность отображается в спектральную последовательность для X и имеем изоморфизм на вторых членах; следовательно, lim hn (Fk | N (X) |) к изоморфен с hn(X), т. е. выполнена аксиома С. Теорема доказана. Из теорем 3.1 и 3.4 непосредственно следует, что класс экстраординарных теорий гомологии, удовлетворяющих системе аксиом А, В, С, совпадает с классом экстраординарных теорий гомологии, для которых верно E*,t = Bp(X,A;ha(*))=>h(XtA), Р где Н — теория .Чогошвили (=теория гомологии Стинрода—Ситникова (см. раздел 4)). 32
4. Единственность теории гомологии Доказанная в предыдущем разделе теорема 3.1 имеет следствием два следующих предложения. Предложение 4.1. Если теория гомологии на категории компактных хаусдорфовых пространств удовлетворяет аксиомам А, В и С, то сна изоморфна теории Чогошвили. Доказательство. Так как /г?(*) = 0 при #=\=0, то спектральная последовательность теоремы 3.1 вырождается и в силу п. (а) теоремы имеем Я =h9 а в силу п. (Ь) этот изоморфизм перестановочен с граничным гомоморфизмом. Предложение 4.2. Если теория гомологии h(X, А) удовлетворяет аксиомам А и В, то существует гомоморфизм теорий гомологии Hn(X,A;h0(*))^hn(X,A), тождественный на группе коэффициентов. Доказательство. Как в предыдущем случае, показывается, что Я и h изоморфны. Но h-*>h — естественное преобразование функторов. Мы будем пользоваться следующими аксиомами. Аксиома Cv Если f : X -> У индуцирует изоморфизм Нп (У, Z) -> -> Нп (X, Z) групп когомологий Александрова—Чеха при п<^р, то f¥ : h. (X) -* -> h. (У) — изоморфизм при i<^P — 1. Аксиома С2. Если f: X —> Y сюръективно и для каждого у имеем h. (Z""1 (у), *) = 0 при i < р, то /# : h. (X) -> h. (Y) — изоморфизм при i <[ p. Аксиома D [2]. Существует функториалъная точная последовательность 0-^Ext(#n+1(X, A), G)-+hn(X, Л)-^ Horn (Я* (X, Л), G)-^0, где G = А0 (*) и Я* — теория когомологий Александрова—Чеха. В [2] ставится вопрос, характеризует ли аксиома D вместе с аксиомами Эйленберга—Стинрода теорию гомологии Бореля—Мура. Ниже, в теореме 4.4, дается положительный ответ (для метризуемых компактов это известно [25J). Лемма 4.3. Для экстраординарной теории гомологии h(X9 А): (1) если выполняется аксиома Gv то выполняется аксиома С; (2) если выполняется аксиома D, то выполняется аксиома размерности и аксиомы А, В, Сг и С; {3) если выполняются аксиомы А, В, С2 и если hq (*) = 0 при q <^ 0, то выполняется аксиома С. Доказательство. (1). Пусть выполняется аксиома Сг В силу леммы 2.1 0)1 (х) V\Fp I ^V (X) | является пределом симплициального обратного спектра комплексов, ацикличных до размерности р. В силу аксиомы Сг имеем изоморфизм hi (Fp | N {X) |)->/г. (X) для *</>— 1. Следовательно, lim h{ (Fp \ N (X) |) = = 1г.(Х) для любого i. (2). Пусть выполняется аксиома D, тогда выполняется аксиома размерности и с помощью леммы о пяти гомоморфизмах стандартно, очевидным образом, доказывается, что выполняются аксиомы А и Gr Проверим аксиому В. Пусть {(S£, *), тс}— спектр аксиомы В и (У, *) — его предел. В силу тооремы Каупа—КиинаЯ1+1(У, *) — свободный модуль. Поэтому из аксиомы D следует, что h. (У, *) = Нот (Я* (У, *), h0 (*)), но Нот (Я* (У, *), G) = Нот (Нт (Я* (5£, *), тс}, G) = = Ит {Нот (Я* (S-, "*£ G), тс} = = ШМЯ,(5в", *; G), тс}=Нт{/г,(^, *), тс). 33
Следовательно, h^Y, *) = lim {hi (S*, *), тс}, т. е. выполняется аксиома В„ (3). Пусть выполняются аксиомы А, В, С2 и /г?(*) = 0 при q<^0\ Нужно показать, что верна аксиома С. Достаточно установить, что шп :F \ N (х) | -> X индуцирует изоморфизм h. (Fn | N (X) \) -> ht (X) для i < п. Пространство* со"1 (ж) является согласно лемме 2.1 пределом обратного симплициального- спектра комплексов, ацикличных до размерности п. В спектральной последовательности предложения 3.1 для этого спектра E^q=>hp+q(to~1(x)) имеем* р в силу следствия 1.6 и ацикличности комплексов спектра равенства Е2 а — 0г /?</г. Это вместе с условием /гд(*) = 0, д<0 дает, что h{ (со-1 (х)) = 0 при i<^n. В силу аксиомы С2 имеем hi (Fn \ N (X) |) = hi (X) при i < п. Лемма доказана. Как известно, все теории гомологии, построенные в [25,15—17,3, 6—10г 13, 23], в частности теория Чогошвили, удовлетворяют аксиоме D. Следовательно, в силу леммы 4.3 для них выполняются аксиомы А, В, С и в силу предложения 4.1 все они изоморфны между собой. Эту однозначно с точностью до изоморфизма аксиомами А, В и С определенную теорию гомологии мы будем называть теорией Стинрода—Ситникова и обозначать #*» В силу леммы 4.3 и предыдущего замечания существуют теории гомологии, которые удовлетворяют одновременно аксиомам А, В, С, Сх и D. Если! группа коэффициентов — конечнопорожденная абелева группа, то Я* удовлетворяет и аксиоме С2: для G=Z это показано, например, в [18]; если G конечна, то она компактна, Hi совпадает с теорией гомологии «Александрова— Чеха с компактной группой коэффициентов и классическая теорема Вие- ториса—Бегла дает С2. Лемма 4.3 и предложение 4. 1, следовательно, дают нам четыре группы аксиом, которые однозначно характеризуют теорию гомологии Стинрода— Ситникова, т. е. верна Теорема 4.4. Теория гомологии Стинрода—Ситникова с коэффициентами в модуле G на категории компактных хаусдорфовых пространств' однозначно характеризуется каждой из следующих 4 систем аксиом вместе с аксиомами Стинрода—Эйленберга: (1) аксиомы А, В, С; (2) аксиома D; (3) аксиомы А, В, Сг; (4) аксиомы А, В, С2, если G — конечнопорожденная абелева группа. Пункт (2) теоремы дает положительный ответ на вопрос из [2]. Предложение 4.5. Если <Ж — обратный симплициальный спектр конечных комплексов, то Н\(\сЖ\, 0)^ЖЛ^, G). Доказательство. Пусть n^>i; тогда спектральная последовательность предложения 3.2, написанная для Fn\Q7C\, сходится к Н\ (Fn \ <Ж |, G) и вырождена. Поэтому Ж, (о%Г, G) = Щ (Fn | сЖ |, G). Далее, вложение Fn\<2£\c\<2£\ индуцирует изоморфизм когомологай Александрова—Чеха в размерностях <^ м~ Из аксиомы C-l следует, что Н*(Рп\0Ж\, G) = #*(|o/T|, G),i<^n. Следовательно, ЖДоГ, G)^H8.(\J?\, G). Пространство X будем называть ограниченным компактным пространством,, если существует обратный спектр конечных симплициальных комплексов и сим- плициальных отображений <Ж = {Ка, .тса?} такой, что X гомеоморфно \Ж\ и размерности Ка ограничены в совокупности. Пары (X, Y) ограниченных компактных пространств и их непрерывные отображения образуют категорию» ограниченных компактных пространств. 34
Теорема 4.6. Если теория гомологии удовлетворяет аксиомам А и В, то она на подкатегории ограниченных компактных пространств совпадает с теорией гомологии Стинрода—Ситникова {ибо на этой подкатегории гомоморфизм теорий гомологии предложения 4.2 — изоморфизм). Доказательство. Так как обе теории точные, достаточно рассмотреть абсолютный случай. Пусть X гомеоморфно |о/Г|, где ^ = {Ка, -гс^}—сим- плициальный обратный спектр комплексов, dim Ка <^ N. Спектральная последовательность предложения 3.2 для \(Ж\ и теорий гомологии Н^ и й# сходятся соответственно к #я(|о/Г|) и Лп(|о/Г|)> поскольку фильтрация конечна. Гомоморфизм теории гомологии Н^ —> h^ определяет гомоморфизм первой спектральной последовательности во вторую. Из аксиомы В следует, что Ер ~ = = Cp((&,\(*))^Ep,q = Cp{Qff>hq{*)) тождественно; следовательно, #.(Х)-^ -> hi (X) — изоморфизм. Теорема 4.7. Любой гомоморфизм теории гомологии Стинрода—Ситникова в себя Т: Н8 -> Н*, тождественный на Н*0 (*), является тождественным гомоморфизмом. Доказательство. Пусть (N (X), N (А)) — пара симплициальных спектров разбиений пары (X, А). Пусть а>: (Fn\N{X)\, Fn\ N {А) \) -> (X, А) — отображение, определенное в разделе 2. Аксиома С± показывает, что ш индуцирует изоморфизм гомологии Н*., i<^n. Поэтому достаточно доказать, что Т тождествен на (Fn\ N (X) |, Fn\ N (А) |). Рассмотрим на этой паре спектральную последовательность предложения 3.2 Е^д = Жр (FnN (X), FnN (A), H8q (*)) => р => H8p+q (Fn | N (X) I» Fn\ N (A) D- Трансформация Т индуцирует отображение этой р спектральной последовательности в себя, тождественное на Eptq — Cp(FnN(X), FnN (А), #*), следовательно, тождественное на E2pq. Так как спектральная последовательность вырождена, то E2Pi0 = H*(Fn\N (Х)\, Fn\N(A)\> G) и Т тождествен на Нр (Fn \ N (X) |, Fn\N(A)\, G). Теорию гомологии h будем называть ^кесткой, если выполняется утверждение теоремы 4.7. Аксиома С3. Теория гомологии h (X, А) жестка; если Ы — любая теория гомологии, удовлетворяющая аксиомам А и В, и h' (*) = /г(*), то суще- ствует гомоморфизм теорий гомологии h -+ Ы, для которого h (*) -> h! (*) тождествен. Теорема 4.8. Аксиомы А, В, С3 вместе с аксиомами Стинрода— Эйленберга характеризуют теорию гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных хаусдорфовых пространств. Доказательство. Как показывает теорема 4.7 и предложение 4.2, теория гомологии Я* удовлетворяет аксиоме С3. Если h, h' — теории, удовлетворяющие А, В и С3, то существует Т :h-+hr и Т':hr -> h, для которых ТТ' ж Т'Т тождественны. Наконец имеет место Предложение 4.9 [6]. Пусть X — хаусдорфово компактное пространство, a Q7£ = {К-а, т:ар} — симплициалъный спектр конечных симплициальных комплексов такой, что: (1) Ка является нервом некоторого открытого покрытия Ua пространства X, и если а <^ [3, то U„ вписано в Ua; (2) тс* является одной из проекций N (U0 в N(UJ; (3) для каждого открытого покрытия U существует вписанное в нем Ua. Тогда Н8.(Х, G) изоморфно проекционному модулю гомологии спектра о/Г, Щ(Х, G) ^ Ж{ (о/Г, G). 35
Доказательство. Рассмотрим непрерывное отображение со: |о/Г| -> XI из раздела 2. Тогда в силу леммы 2.1 и аксиомы Сх имеем изоморфизм ffKW, G)^H'{(X, G). С другой стороны, в силу предложения 4.5 имеем изоморфизм жло/f, G)->#j(|(an, с). Композиция этих двух изоморфизмов дает изоморфизм теоремы. Если теория гомологии задана на категории компактных метрических пространств, то формулировки аксиом В и С нужно изменить следующим образом- (В). В формулировке аксиомы В нужно считать, что множество индексов^ спектра — множество натуральных чисел. (С). В формулировке аксиомы С спектр комплексов N (X) = {7Va (X), па^} нужно заменить его любым подспектром {N4(X)9 ^}»=1,2,з,... таким, что мелкость разбиений а. стремится к нулю и ai+1 следует за а,.. Можно также брать любую последовательность конечных открытых егпокрытий, е{ -> 0Г и в качестве спектра N (X) брать спектр {N (f/t.), pn}n_i} с какими-либо проекциями рп я-1; отображение <о: | N (х) \ -> X определено в разделе 2. Верны все утверждения из разделов 3, 4 с заменой выражения «хаусдорфово компактное пространство» на выражение «компактное метрическое пространство» и под аксиомами подразумевая аксиомы модифицированные, как только что указали. В силу теоремы типа Виеториса—Бегла для теории гомологии Стин- рода—Ситникова, доказанной в [5], пункт (4) теоремы 4.4 можно усилить, так: (4) аксиомы А, В, С2 и аксиомы Стинрода—Эйленберга на категории метрических компактных пространств однозначно характеризуют теорию* гомологии Стинрода—Ситникова с коэффициентами в счетной абелевой. группе. Аксиоматика Милнора и аксиоматики Скляренко на категории компактных метрических пространств характеризуют однозначно теорию Стинрода— Ситникова; поэтому данные здесь аксиоматики для теории гомологии (удовлетворяющих и аксиоме размерности) на компактных метрических пространствах эквивалентны с этими аксиоматиками, хотя непосредственной связи между ними не видно. Однако для экстраординарных теорий система аксиом из [25] неэквивалентна системе аксиом: А, В, С вместе с аксиомами Стинрода—Эйленберга. Действительно известно, что функтор Ext^, построенный в [19] для компактных метрических пространств, удовлетворяет всем аксиомам Милнора, но в [21] указывается пример (бесконечномерного) компактного пространства Х0, для которого неверно предложение E2pq = H8p(X0, Extg (*))=> Exip+q(XQ). Это в силу теоремы 3.4 показывает, р что ЕхЦ не удовлетворяет одной из аксиом В и С. Легко показать, что аксиома В удовлетворяется (используя короткую точную последовательность- Милнора для обратного спектра аксиомы В). Следовательно, для ЕхЦ не удовлетворяется аксиома С. В работах [3, 20, 21] экстраординарные теории гомологии, удовлетворяющие аксиомам Милнора, называются экстраординарными теориями Стинрода. В [21 ] для таких теорий на конечномерных метризуемых компактах построена сходящаяся спектральная последовательность Е2 —Hs (X, hq (*))=> р => h (X) (в построении используется, как и в [25], фундаментальный ком- р плекс и указывается, что это неверно для всех X (приведенный выше пример Х0, ExtJ). 36
Это показывает, что аксиомы А, В, С с этой точки зрения имеют преимущество перед системой аксиом из [25]. В работе [20] все экстраординарные теории гомологии, определенные на категории конечных полиэдров, распространяются на категорию метризу- емых компактных пространств и проверяется, что полученные теории удовлетворяют аксиомам Милнора. Есть основания думать, что они удовлетворяют аксиоме С. Если это так, то для них существует в силу теоремы 4.1 спектральная последовательность Е1я = Н°р(Х, A; \{*))^hp+t{X, А). Р ЛИТЕРАТУРА 1. Берикашвили Н. А. Теория гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных пространств. — ДАН СССР, 1980, 254, № 6, с. 1289—1291. 2. Ботвинник Б. if., Кузъминов В. И. Условие эквивалентности гомологических теорий на категории бикомпактов. — Сиб. мат. журн., 1979, 20, № 6, с. 1233—1240. 3. Инасаридзе X. Н. О точной гомологии. — Труды Тбил. матем. ин-та, 1973, 41, с. 128—142. 4. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 5. Кинтишев Я. Ц. О теореме Виеториса—Бегла для точных гомологии. — Докл. Болг. АН, 1977, 30, № 1, с. 7-8. 6. Кузъминов В. И., Шведов И. А. Спектры покрытий в теории когомологии и гомологии топологических пространств. — Сиб. мат. журн., 1974, 15, № 5, с. 1083—1102. 7. Кузъминов В. Я. Об эквивалентности гомологических теорий на категории бикомпактов. — В кн.: Междунар. топологическая конф. Тезисы докл. М.: МИАН СССР, 1979, с. 53. 8. Мдзинаришвили Л. Д. О связи гомологических теорий Колмогорова и Стинрода. — ДАН СССР, 1972, 203, с. 528-531. 9. Мдзинаришвили Л. Д. Топологические и гомотопические приложения произведений и спектров объектов с выделенными подобъектами. — Сообщ. АН ГССР, 1967, 48г № 2, с. 281—286. 10. Мдзинаришвили Л. Д. Бифункторное исследование гомологии и гомотопий. Функциональные гомологии: Докт. дис. Тбилиси, 1978. И. Скляренко Е. Г. Теория гомологии и аксиома точности. — УМН, 1969, 24, № 5, с. 87—140. 12. Скляренко Е. Г. Теоремы единственности в теории гомологии. —Мат. сб., 1971 г 85, с. 201—223. 13, Скляренко Е. Г. К теории гомологии, ассоциированной с когомологнями Александрова—Чеха. — УМН, 1979, 34, № 6, с. 90—118. 14 Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. М.: Физматгиз, 1958. 15. Чогошвили Г. С. Об эквивалентности функциональной и спектральной теории гомологии. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1951, 15, № 3, с. 421-438. 16. Чогошвили Г. С. On the homology of topological spaces. — Сообщ. АН ГССР, 1940, 1, № 2, с 337-340. 17. Borel A., Moore /. C. Homology theory for locally compact spaces. — Mich. Math. J.r 1960, 7, N 2, p. 137-160. 18. Bredon G. E. Sheaf theory. N. Y.: McGraw-Hill, 1967. 19. Brown L. G., Douglas R. G., Fillmore P. A. Extensions of C*-algebras, operators with compact self-commutators, and К -homology. — Bull. Amer. Math. Soc, 1973, 79, p. 973—976. 20. Kahn D., Kaminker /., Schochet C. Generalized homology theory on compact metric spaces. — Mich. Math. J., 1977, 24, N 2, p. 203—224. 21. Kaminker /., Schochet С. К -theory and Steenrod homology; applications to Brown- Douglas—Fillmore theory of operator algebras. — Trans. Amer. Math. Soc, 1977r 227, N 1, p. 63—107. 22. Kaul S. K. A characterization of the Cech homology theory. — Colloq. math., 1970, 21, N 2, p. 222—237. 23. Каир L., Keane M. S. Induktive Limiten endlich erzeugter freier Moduln. — Man user, math., 1969, 1, p. 9—21. 24. Massey W. S. How to give an exposition of the Cech-Alexander-Spanier type homology theory. — Amer. Math. Month., 1978, 85, N 2, p. 75—83. 25. Milnor /. On the Steenrod homology theory: Mimeographed notes. Berkeley, 1960. 26. Nobeling G. Verallgemeinerung eines Satzes von Herrn E. Specker. — Invent, math., 1968, 6, N 1, p. 41-55. 27. Roos /. Д. Sur les functeurs derives de lim. Applications. — С. r. Acad. sci. Paris, 1961, 252, p. 3702-3704. ^~~ 28. Инасаридзе X. H., Мдзинаришвили Л. Д. О взаимосвязи непрерывности и точности в теории гомологии. — Сообщ. АН TCQP, 1980, 99, № 2, с. 317—320.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Э. X. БРАУН (мл.), Ф. П. ПЕТЕРСОН (США) СПЕКТР БРАУНА—ДЖИТЛЕРА* ПРОСТРАНСТВО Q2S3 И ЭЛЕМЕНТЫ rij £ П2у Браун и Пётерсон установили, что при изучении стабильного гомотопического типа пространства й253 возникают пространства С2 k (S1), гомото- пически 2-эквивалентные спектрам Брауна—Джитлера. В этой статье дается значительно более простое доказательство этого результата. На этом пути из существования спектров Брауна—Джитлера можно вывести теорему Ма- ховальда о существовании элементов т^., а также дать верхнюю оценку порядков этих элементов, именно порядок элемента iq. не превосходит 2J. 1. Введение В работе [3] мы доказали, что пространство Q25r+2 стабильно гомотопи- чески эквивалентно букету надстроек над пространствами вида С2 k (S1) = = ^2 k ^sA;(^1)fc- Кроме того, там же в теореме В было доказано, что пространство С2 к (S1) гомотопически 2-эквивалентно спектру И^ В ([к/2]), где В (к) — спектр Брауна—Джитлера [1]. Доказательство теоремы В содержало два трудных места. Во-первых, оно опиралось на данную в [1] первоначальную конструкцию спектра Брауна—Джитлера ввиду необходимости описания /^-инвариантов спектра В (к). Во-вторых, там строилось некоторое многообразие TV2*, для чего использовались аргументы, связанные со спектральной последовательностью Адамса и обобщающие аргументы Ма- ховальда [6], использованные им при доказательстве существования элементов т]у £ П2у = П^у(5°). В разделе 2 мы наметим доказательство теоремы Маховальда и сформулируем несколько сопутствующих результатов о порядках элементов группы II ^ (В (к)), исправив при этом ошибку из [3]. Эти результаты будут доказаны в разделе 5. Так как теорема Маховальда достаточно легко вытекает из теоремы В, то хотелось бы дать простое доказательство теоремы В, не использующее спектральной последовательности Адамса. Ранее Р. Л. Коэн [5] показал, что некоторые пространства Тома над фильтрациями пространства Q2S3 также 2-эквивалентны спектрам Брауна— Джитлера. В этой работе мы показываем, что, модифицировав доказательство Коэна, можно дать достаточно простое доказательство теоремы В. В разделе 3 мы напоминаем необходимые теоремы из [3], а в разделе 4 указываем изменения, которые необходимо произвести в данном Коэном доказательстве. Мы благодарим Р. Л. Коэна за советы и поддержку. 38
2. Теорема Маховальда об элементах rjj В работе [7] Маховальд для линейцо связанного пунктированного [пространства X определил пространство С2 (X), аппроксимирующее пространство 22Е2Х, 00 как С2 {Х)= YL ^2, j X ZjXj\~, где С2 . есть конфигурационное пространство для / различных точек плоскости R2, XJ есть /-я декартова степень пространства X, Ну есть симметрическая группа степени /, действующая на C2j. и XJ очевидным образом, и если х{ — отмеченная точка, то (uv . .., ир xv . . ., xj) ~ (uv . . ., щ, . . ., Uj, х1У .. ., £i9 . . ., Xj). 00 Устроим фильтрацию FkC2 (Х)= JJ C2f у X zjXJl~. Положим C2 k (X) = У—о = FkC2(X)/Fk^1C2(X). В работе [8J Снэйт доказал, что С2 (X) стабильно гомо- 00 топически эквивалентно пространству V С2 к(Х). В работе [6] Маховальд доказал следующий факт. 2.1. Теорема. Если 7^>3, то в спектральной последовательности Адамсаг для Щ (5°) элементы hxh. доживают до Е^ и тем самым определяют элементы ?]у £ П^-(5°). Для доказательства этой теоремы Маховальд установил существование (и дал построение) таких (2j~x— 1)-связных пространств Х- и таких стабильных отображений S2J-jXj-fS\ что Sqf (Sq2g (s)) =^= 0, где s £ Н° {S0) — образующая 2 и Sq* — функциональная операция Стинрода. Оказывается, что в качестве X. можно взять C2,2J~1{S1), а в качестве g— композицию С2>2У-1 {S1) -4 Q*S* = Q^S1 — ™ 22£20 Л О — S0, где ^ — стабильное отображение, возникающее из разложения Снэйта, g2: S1 -> -► 0 — образующая группы ^0 = Z2, отображение gs индуцируется структурой двукратного пространства петель на О, a g± — стабильное отображение, сопряженное включению Оп С QnSn. Рассмотрим Л-модуль Mk = А/А {х {Sql) | | i > к), где А — алгебра Стинрода mod 2. Маховальд доказал, что u*{C29k(S]))&L*Mim и что SqlJ(s)^0eH^l(C2^-i(S1))^Z2. Отображение / : S2J -> Xj с Sq2 =£ 0 строится на основе аргументов, использующих спектральную последовательность Адамса и включающих рассмотрение пространств X, для всех /. В следующих двух разделах мы докажем, что Xj гомотопически 2-эквива- лентно спектру %2J~lB (2J'~2), где В (к)— спектр Брауна—Джитлера [1]. В разделе 5 мы докажем следующую теорему. 2.2. Теорема. Существует такое отображение f : S2j~l -> В (2J~2) порядка 2, что Sq2f=^=0. Теперь 2<;_1-кратная надстройка над отображением /' дает другую конструкцию отображения /, нужного для теоремы Маховальда, и эта конструкция не использует спектральную последовательность Адамса. mod 2. — Примеч. пер. В работе все когомологии рассматриваются с коэффициентами в Z2. — Примеч. пер. 39
3. Спектр Брауна—Джитлера В работе [1] был построен спектр В (к), обладающий следующими свойствами. (1) Спектр В (к) имеет тривиальный р-гомотопический тип при р^>2, р — простое, и имеется Л-модульный изоморфизм Н* (В (к)) « Мк. (2) Для отображения а : В (к) -> К (Z2), представляющего 1 £ Мк, гомоморфизм о^: В (k)q (X) .-> Hq (X) эпиморфен при q < 2к -f- 2. Применяя 5-двойственность, из (2) можно получить (2') Любое п-мерное многообразие N с п^2к-\-1 является В (/^-ориентируемым, т. е. существует такое отображение h: Т (у) -> В (к), что ай есть класс Тома; здесь через Т (v) обозначен спектр Тома нормального расслоения v к многообразию N. Пусть 1к = С2 к X SfcRfc — ^-мерное векторное расслоение над С2Л/2А. Заметим, что C2k(S1) есть пространство Тома расслоения 1к. Мы дадим упрощенное доказательство следующего результата (теоремы В) работы [3]. 3.1. Теорема. Спектры Т (%2к) и В (к) 2-жвивалентны. Для этого мы используем следующий результат [3, 3.2]. 3.2. Теорема. Пусть Y — такой спектр, что H*(Y)>^Mk и что для какого-нибудь n-мерного многообразия N с n^2k-\-l найдется такое отображение h : Т (v#) -> У, что h* : Н* (Y) -> Н* (Т (vN)) — мономорфизм. Тогда спектры Y и В (к) 2-жвивалентны. Нам необходима также следующая лемма. 3.3. Лемма. Для любого к существует такое замкнутое 2к-мерное многообразие Q2k, что отображение ay-^aU, где а^А и U^H°(T(v \\ — класс Тома, индуцирует мономорфизм Mk->H*(T(vQ \\ Доказательство. Пусть Тк = {а £ А \ aUN = 0 для любого замкнутого 2/с-мерного многообразия N). В силу [2] имеем Тк = А {х{8°*) \ *'^>Щ- Пусть {v} — Z2-6a3Hc для А/Тк = Мк. Для каждого v выберем N (у) с vUx^y^O и положим Q2k = jfr N (v). v 4. Доказательство теоремы 3.1 Как уже отмечалось в разделе 2, имеется Л-модульный изоморфизм Н* (Т (%2к)) = М к. Следовательно, в силу теоремы 3.2 достаточно построить такие многообразия N2k, dim N2k ^ 2к -\-1, для которых существуют отображения hk : Т (vjv2A.) -> Т (£27с), индуцирующие мономорфизмы в когомологиях. Мы используем для этого метод Р. Л. Коэна. В силу [3, 5.1] при 1<^к = 21 диагональное отображение А -> А® А индуцирует вложение Мк+1 -> МꧧМ1л Мы построим N2k и hk посредством индукции по к. Пусть к — 21-\-1, где 7^2\ Предположим сначала, что /<^2\ Индуктивно считаем, что N2l и Ntf+i уже построены и, следовательно, что спектры Тома Т (£2/) и Г(£2*+1) 2-экви- валентны соответственно спектрам В (I) и В (2г). Положим N2k = Q2l X Q2i+i. Требуемое отображение hk определим как композицию где последнее отображение есть очевидное «спаривание» ^2, 21 (S1) Л ^2, 2*+г {S1) -> С2, 21+2^+1 (S1). Пусть теперь / = 2*. По теореме 3.2 работы [4] отображение—операция С2 2Х X z2C2,2i+l (S1) X C2y2i+i (S1) -> С2,2*+2 (S1) индуцирует эпиморфизм в когомологиях. 40
Заметим, что С2 2 эквивалентно окружности S1 и что С2>2ХбД2 есть просто iS1Xs2^2. Кроме того, для нормального расслоения v, вложенного в четно- мерное евклидово пространство многообразия N, имеем Т (v#>) = S1 IX %ZT (v) Д /\T(v), где N' = SX Xs2(/V X N) (см. теорему 3.2 работы [4]). Возвращаемся к многообразию N2k— Sl Xs2(<?2; X (?2/) при/= 2*. Требуемое отображение тогда имеет вид где последнее отображение дается описанным выше действием.. 5. Группы П* (В (к)) Напомним несколько фактов о Х-алгебре Л над полем Z2 (см. [1]). Итак; Л есть градуированная ассоциативная алгебра с единицей с образующими X., 1 = 0,1,,.., degX. = i, и соотношениями Х.Ху = ^ ( _!Г12 J Х<+'Х->-" где 2i<^j. Через /^ обозначается идеал, порожденный элементами \., 0^£<^ft. Последовательность I=:(iv . . ., гг) называется допустимой, если 2i.^i.+1. Элемент Х7 называется допустимым, если / допустима. Множество допустимых элементов образует аддитивный базис для Л, и множество допустимых элементов X/ с ii^k образует базис для AJJk. Назовем последовательность I строго допустимой, если 2ij_x ^ ^0> Ч ~М2 ~h • • • + ^_i ДДЯ всех /'. Имеется такая .4-свободная ацикличная резольвента Л-модуля М к, что член Е\>* соответствующей спектральной последовательности Адамса для П (В (ft)) порожден мономами ш (A/Jk)t_s с Z = s. Приведем основной результат этого раздела. 5.1. Теорема. Для ft>0 и 1^2к имеет место изоморфизм групп П. (В (к)) ^ (Л/1к){ при i<C2k и биещия множеств П. (В (к)) ^ (AjJk). при i = 2к. Пусть Xz £ IL (5 (к)) соответствует элементу Xz £ 2£*>*, £ — s ^ 2ft. Тогда элементы Х7, где / строго допустима, порождают группу И{(В(к)). Кроме того, элементы X2y-i £ П2^-> (5 (217-"2)) имеют порядок 2J и Sq\ . =^= 0. Сначала докажем лемму. 5.2. Лемма. Пусть /г = (1, 2, 4, . . ., 2r_1), /0 = ( ). Если I допустима, причем it^k и \ I | ^ 2ft, то Х7 = XjX| j\ Ir, где J — строго допустимая последовательность. Если \I \<^2к или J содержит нечетные члены, то Х0Х7 = 0. Если \1\ = 2к и J = 2J', то Х0Х/:= Xj,X| ,7, (Ir+i mod Jк. Следовательно, если I строго допустима и 2r_1 есть наибольшая степень двойки, делящая все члены последовательности I, то г есть наименьшее целое, для которого Х£Х7 = 0. Доказательство. Пусть / = (г1? . . ., г,), где it^k. Имеем /.— -&+...+ i^) = i±-\ (21, - у + (2i2 - у -f . . . + (2^ - ij)l при / = I получим 2Ьг — | / | = i± — [(2^ — i2) -\- . .. -f- {2il_1 — i^]. Следовательно, если | / |< 2ft или | / | = 2ft и ix > ft, то 2it — | / | > 0 и iJ — (i1+ ... -f ij_^j > 0 для всех /*. Следовательно, / строго допустима. Если же | / | = 2ft и il=ky то 21г — | / | = 0 и для некоторого t »,-<»l+-..+*,-J=|=0npiI,>t Отсюда следует, что / = (/, | / |/г) с некоторым г, где /—строго допустимая последовательность. Теперь представим / в виде / = (/1, /2), /х = = 0'i» • • " it)- Индукцией по t мы покажем, что Х0Х7 = 0, если Jx содержит
нечетные члены, и что Х0Х7 = \j/k\ Jt (Kj\\ j2\Irmod Jk, если Jx = 27'. Если 2i<J и j = 2t + e, e = 0 или e=l, то X,Xy = (1 — s) X,X/+, + 2 aA+A+;-,- *>o Следовательно, достаточно показать, что XzXL£/fc, если 21<^2к— \L\. Это легко доказывается индукцией по длине последовательности L. Доказательство теоремы 5.1. Пусть X7 £ Нот (A/Jkf Z2)— элементы базиса, двойственного к {X/}, и пусть Сг — свободный Л-модуль, порожденный элементами длины, меньшей I. Как и в [1], определим гомоморфизм d: С1->С1_1 формулой 5.3. dXJ = 2 X (SqJ+1) ^7(\;М ^'7> гДе сумма берется по / > —1 и по j,J допустимым /. Как доказано в [1], модули С1 и гомоморфизмы d формируют 4-свободную ацикличную резольвенту модуля Мк и В (к) строится как предельный член Хт обобщенной башни Постникова . . . -> Х1 -> Хг_х ->..., соответствующей этой резольвенте, т. е. Хг есть 2-спектр и Хг есть расслоение над Хг_х со слоем Ки где #*(#г) = С,. В обозначениях [1J Xl=x(Ei) и Kl=x(Ll), где х есть функтор двойственности Понтрягина (см. [1, 5.1]). Пусть hl:Xl_1->Kl есть /^-инвариант расслоения Хг (hl: Хг_^ t -> /Гг> /+1). Применяя % к Кг -> Хг -> А^_х, получим расслоение Е1_1 -> Ег -> Lu индуцированное гомоморфизмом у (hl): Ьг t-+Ex_xtM. В силу [1, 5.1(ii)J отображение Llf2k -> Et_lt 2k+1 тривиально, и, следовательно, индукцией по I получим Elf2k = JJ_LSt2k, s ^1. В [1] доказано, что П. (х (F)) « П^ (F). Следовательно, для i ^ 2& имеем И. (В (к)) = = п<(хсо)»п_<(ясо) = п^(ЕСОр2Л) « n2fc_, (П ^,2J « п, (П^)=(Л//д.. Здесь все отображения являются групповыми изоморфизмами для i <^ 2к и лишь биекциями множеств при г = 2/с, так как #оо>2£ и II^)2fc не суть эквивалентные Я-пространства и, следовательно, не индуцируют изоморфизмы на П0. Следовательно, в спектральной последовательности Адамса для П^ (#(&)) в полной размерности ^2к имеем #х= Еоэ = А/1к, и при переходе от Е^ к И2к (В (к)) в размерности 2к не возникает тривиальных расширений. Из 5.3 следует, что если X0X7 = Xj, то d\J содержит SqW, т. е. в обозначениях спектральной последовательности Адамса kQ = h0. По лемме 5.2 член Е^* при t — s ^ 2к порожден над h0 элементами X7, где I — строго допустимая последовательность. Кроме того, если 21"1 есть наибольшая степень двойки, делящая все члены из 7, то г есть наименьшее из тех целых, для которых hr0kI = 0. Хотелось бы считать, что при переходе от Ет к П. (В (к)) не возникает никаких расширений. Во всяком случае, легко проверить, что Х^Хг./-! имеет большую фильтрацию, чем остальные ненулевые элементы, и что Xg"X2y-i = 0. Следовательно, X2i/-i £ U2j-i(B (2J~2)) имеет порядок 2J'. Наконец, проверим, что для X2y-i f n2y-i(B(2;"2)) имеем Sq\ j-i=^=0. Для этого найдем такой элемент ц = Х2 '-\- 2 а^ б Ci> 217""1 ^> г ^ 2J,"25 что du = Sq2iv и что dw^H* (B(2j~2)) есть старший класс. Легко видеть, что x(Sq2J~*Sq2J~3- • • .. .Sq1) = Sq2^1'1 есть старший класс, и из соотношений Адема следует, что Sq2Sq2j-1~1 = х (Sq2j~1+l) + 2 a<X W+1), 2'"1 > i > 2У"2. Взяв и так, как раньше, и полагая w^^Sq2^1'1^^, получим желаемый результат. 42
ЛИТЕРАТУРА 1. Brown Е. Н. Jr., Gitler S. A spectrum whose cohomology is a certain cyclic module over- the Steenrod algebra. — Topology, 1973, 12, p. 283—295. 2. Brown E. #., Jr., Peterson F. P. Relations among characteristic classes. I. — Topology, 1964, 3, p. 39—52. 3. Brown E. #., Jr., Peterson F. P. On the stable decomposition of Q2Sr+2. — Trans. Amer. Math. Soc, 1978, 243, p. 287—298. 4. Cohen F. Д., Lada Г., May J. P. The homology of iterated loop spaces. — Lect. Not. Math., 1976, N 533. 5. Cohen R. L. The geometry of Q?S3 and braid orientations. — Invent, math., 1979, 54, N 1, p. 53-67. 6. Mahowald M. A new infinite family in 2Щ. — Topology, 1977, 16, p. 249—254. 7. May J. P. The geometry of iterated loop spaces. — Lect. Not. Math., 1972, N 271. 8. Snaith V. A stable decomposition of &nSnX. — J. London Math. Soc, 1974, 2, p. 577—583,
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Ю. ВАЙСАЛА (Хельсинки, Финляндия) ТОПОЛОГИЯ ЛИПШИЦА 1. Введение Всюду в этой статье символами X и У будем обозначать метрические пространства. Расстояние между точками х и у в любом метрическом пространстве обозначим через \х—у\. Отображение /: X -> У называется лип- шицевским (или, более точно, L-липшицевским), если существует константа L ^ 0 такая, что |/ (x)—f (у)\ ^ L \х—у\ для всех х, yt £ X* Если каждая точка в X имеет окрестность, в которой / является липшицевским, то / называют локальным отображением Липшица, сокращенно LIP-отображением, Для компакта X понятия липшицевского отображения и ЫР-отображения совпадают. К примеру, если G — открытое множество в евклидовом пространстве, то всякое ^-отображение / : G -> R* является LIP-отображением. Более того, для всякого полиэдра Р в Rw кусочно-линейное (PL) отображение / : Р -> Rk является ЫР-отображением. Категорию метрических пространств и LIP-отображений обозначим через LIP. Изоморфизмом в категории LIP является биективное отображение / : X -> У, при котором как /, так и /_1 являются LIP-отображениями. Сравним категорию LIP с тремя важными категориями: DIFF — гладкие многообразия и гладкие отображения, PL — конечномерные полиэдры и PL-отображения, ТОР — топологические пространства и непрерывные отображения. Будем считать, что каждый объект в DIFF и в PL вложен в некоторое евклидово пространство. Тогда каждый такой объект становится метрическим пространством и получаем следующие функторы пренебрежения: DIFF \^ LIP *■ ТОР. PL ^ Липшицевская топология изучает свойства метрических пространств, инвариантные относительно LIP-изоморфизмов. Она принадлежит к тому.же классуf что и дифференциальная и кусочно-линейная топология. Основная теория категории LIP дается в [5]. В настоящей работе предлагается обзор липшицевской топологии. В разделе 2 дано определение LIP-многообразия и это понятие иллюстрируется примерами LIP-1-многообразий (дуг). В разделе 3 приводятся наиболее интересные результаты о липшицевской топологии. Наиболее продвинутые и глубокие результаты получены Д. Сулливаном. Более простые принадлежат Д. Гоулду, Дж. Луукайнену, П. Тукиа и мне. В последнем, четвертом, разделе рассматривается еще одна категория, называемая LQS-категорией (локально квазисимметрические вложения). 44
2. LIP-многообразия 2.1. Определение. LlP-n-многообразием называется сепарабель- мое метрическое пространство М, каждая точка которого обладает окрестностью, LIF^-изоморфной Яп либо R+. LIP-многообразия можно определить иначе с помощью атласов, при этом •оба определения будут эквивалентны [5, 3.3]. 2.2. Примеры. Рассмотрим несколько примеров дуг, являющихся LIP-многообразиями, т. е. пространств, LIP-изоморфных отрезку [0, 1]. Буква С является гладкой поддугой в R2, буква М — PL-дугой. И та и другая являются LIP-дугами. Цифра 5 представляет собой LIP-дугу, но не принадлежит ни к категории DIFF, ни к категории PL. Русская буква 3 не является LIP-дугой из-за нулевого угла. Всякая LIP-дуга спрямляема. Следовательно, LIP-дуга в Rw имеет карательную почти в каждой точке. Однако поведение касательной в некоторых точках может быть достаточно сложным. Так, например, пусть/ : R2 -> R2 — гомеоморфизм, заданный в полярных координатах формулой / (г, у) = = (r, T+log(r)). Оказывается, что / — LIP-изоморфизм. Пусть / —сегмент, соединяющий точки (—1, 0) и (1, 0). Тогда / (/) является LIP-дугой, состоя-' щей из двух логарифмических спиралей и начала координат. Дуга Фокса—Артина в R3 [6, с. 65], построенная достаточно регулярным образом, является примером LIP-дуги. Следовательно, LIP-дуга в R3 не обязана быть ТОР-плоской. В этом отношении LIP существенно отличается и от DIFF, и от PL. Этот феномен не имеет места в размерности, большей чем три (теорема 3.8). П. Тукиа [10] построил ТОР-плоскую LIP-дугу в R3, не являющуюся LIP-плоской. Пространство X является LIP-p-клеткой или LIP-p-сферой, если оно LIP-изоморфно Р или Sp соответственно. 3. Обзор результатов 3.1. Перейдем к рассмотрению следующих четырех тем: вложение, спрямляемость, основные вопросы и гильбертов куб. LIP-вложение определяется каЕ< отображение /: X -> У, задающее LIP-изоморфизм X->f(X). 3.2. Теорема [5, 4.5]. Для всякого ЫР-п-многорбразия существует LIP-вложение в R*(*+l). 3.3. Замечания. В категории С = DIFF, PL и ТОР легко доказывается существование С-вложения в R2w+1 и, с некоторыми трудностями, в R2w. Возможность такого вложения в категории LIP является нерешенной проблемой. В достаточно широком классе категорий существуют вложения в R(w+1)2 (см. [14, 2.2]). 3.4. Спрямляемость. Говорят, что k-подмногообразие X LIP-n-много- образия М является локально LLP-плоским в М, если для каждой точки х£Х существует LIP-вложение f : Rn -> М такое, что / (0) = ж и /-1 (X) = R* либо Щ. 3.5. Теорема [1,3.6]. Пусть X — локально LIP-плоская LIP-k-сфера в Sn, k=^=n— 2. Тогда существует LIP-изоморфизм f : Sn-> Sn такой, что f (X) = Sk. Короче: X — LlP-плоско в S\ 3.6. Замечания. В случае к = п — 1 получаем теорему Шенфлиса ъ категории LIP [5, 7.8]. Интересно отметить, что PL-(n — 1)-сфера в R" 45
всегда ограничивает некоторую ЫР-/г-клетку [5, 7.10|. Ограничивает ли она PL-клетку — является классической нерешенной проблемой. Работа [1] содержит ряд других результатов о спрямляемости. 3.7. Теорема f 10]. Всякая LIP-1 -сфера и вся кая ЫР-дуга в Sz являются LlP-плоскими. 3.8. Теорема. Всякая LIP-p-клетка X в Rn является ТОР-плоской при п^Зр-\-1. В частности, LIP-дуга является ТОР-плоской е Rn для п^4. Доказательство. Докажем, более общо, что если / : Р ->Rn — инъек- тивное липшицевское отображение (/-1 не предполагается липшицевским), тогда f(Ip) является ТОР-плоским. Пусть Q = {(x, у)\х, у(«1р, х=£у}» Определим отображение g : Q -> S"'1 формулой g^> y)—\f{x)-f{y)\ • Так определенное g является LIP-отображением. Следовательно, хаусдорфова размерность g(Q) не превосходит 2р. Поскольку 2р<^п— 1, то существует точка Ъ £ Sn~1\g (Q). Не нарушая общности, можем предположить, что Ъ является базисным вектором еп. Пусть p1:Rn -> Rn-1, р2 : Rn -> R1 — проекции на первый и второй сомножители соответственно пространства R*=RW~1XR1- Тогда рг | X инъективно. Положим Х1 = р1Х и пусть q : Х± -> X — отображение, обратное к р1 \ X. Используя теорему Титце, продолжим отображение p2q до отображения ср : Rn-1 -> R1. Определим гомеоморфизм /гх: R11 -> Rn формулой hx (х, у) = (х, г/ — ср (ж)). Тогда hx (X) = Х1С К*"1. Заменяя / липшицевским отображением pj и повторяя изложенную выше конструкцию р раз, приходим к гомеоморфизму /&:R№->Rn такому, что A(I)cRB^. То, что X плоско, следует теперь из [6, теорема 2.5.1, с. 74]. 3.9. Нерешенная проблема. Является ли X из теоремы 3.8 LIP-плоским? 3.10. Теорема о кольце [8]. Пусть В — LlP-n-шар. Пусть A CZ С int В — локально ЫР-плоский ЫР-п-шар. Тогда множество S\int А ЫР-изоморфно стандартному кольцу 2In\intIn. 3.11. Замечания. Интересно заметить, что LIP-вариант теоремы о кольце справедлив для всех п, в то время как соответствующий результат в категории ТОР известен лишь для я=^=4. Решающий факт, благодаря которому возможно доказательство в размерности четыре, состоит в том, что всякий LIP-изоморфизм / : Rn -> Rn почти всюду дифференцируем с ненулевым якобиантом, следовательно, ТОР-стабилен. С другой стороны, трюк с тором нельзя использовать, поскольку он приводит к отображению, не являющемуся LIP-отображением. Поэтому Сулливан заменяет накрытие е : Rn -► Тп накрытием р : int Вп -> Мп, где Мп может быть названа многообразием Сулливана. Построение Мп и доказательство погружаемости ЛР\точка в Rn сложно. Другое доказательство теоремы 3.10 для п ^ 3 дано в [13]. 3.12. Основные вопросы. Это вопросы, касающиеся существования и единственности LIP-структур на ТОР-многообразиях. ЫР-струк- тура на многообразии М — это метрика d на М, совместимая с топологией на М и такая, что (М, d) — LIP-многообразие. Соответствующими вопросами в PL категории являются проблема триангулируемости и Hauptvermutung, обе из которых опровергнуты в высоких размерностях. Сулливан доказал, что при rc=j£4 оба вопроса в категории LIP решаются положительно. При 46
м ^ 3 первый результат следует из триангулируемости, а другое доказательство второго результата дано в [13] для п=2 и в [9] для п=3. 3.13. Теорема [8]. При n=^=i всякое ТОР-многообразие обладает LIF^-структурой* 3.14. Теорема [8]. Гомеоморфные ЫР-п-многообразия ЫР-изоморфны при п =т^= 4. 3.15. Гильбертов куб. Рассмотрим гильбертов куб (?=[—1, 1]^, N={1, 2, . . .}. Хорошо известно, что Q однородно, т. е. для каждой пары точек а, Ь £ Q существует гомеоморфизм f : Q-> Q такой, что / (а)=Ь. Возникает вопрос: можно ли выбрать / таким, чтобы оно стало ЫР-изомор- физмом? Если это возможно, то говорят, что Q — LIP-однородно. Оказывается, ответ на этот вопрос зависит от метрики на Q. Рассмотрим метрики вида \х— г/1 = sup р . | ж . — г/.|, где p1? p2, ... — убывающая последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. 3.16. Теорема [15]. При ру=1/у Q — LIP-однородно и не является таковым при sup у (р./р.+1) = оо, например при р. = 1//! 3.17. Дальнейшие результаты. Некоторые результаты в лишпицевской топологии, в особенности с точки зрения общей топологии и колец функций, получены Луукайненом [3, 4]. Зибенман и Сулливан [7] охарактеризовали симплициальные комплексы, являющиеся ЫР-много- образиями. К ним не относится двойная надстройка над гомологической сферой Пуанкаре. 4. Квазисимметрические вложения 4.1. Определение. Вложение /: X-> Y является квазисимметрическим (QS), если существует гомеоморфизм г\: [0, оо)->[0, оо) такой, что для любых трех точек а, Ъ, х^Х с Ь=^=х справедливо неравенство \t(a)-t(x)\< (\а-х\\ \f(b)-f(x)\^ l\\b-x\J- Если каждая точка вХ обладает окрестностью, в которой f является QS, тогда f называется локально квазисимметрическим (LQS). 4.2. Замечания. Если / и /-1 являются L-липшицевскими отображениями, то при y\(t)=L2t f принадлежит классу QS. Поэтому всякое ЫР-вло- жение принадлежит LQS. Гомеоморфизм /: Rw -> Rw, определенный формулой f (х)=\х\а х, —1<а<0, принадлежит QS, но не является ЫР-отображе- нием. Метрические пространства и LQS-вложения образуют категорию LQS. Существуют следующие функторы пренебрежения: ЫРя -> LQS -> ТОРЕ, тде индекс Е означает взятие подкатегории вложений. В случае X=Y=Rn класс QS-вложений, названных квазиконформными^ лпироко изучен (см., к примеру, монографии [2, 12]). Если G является областью в Rw, то QS-вложение / : G -> R^ является квазиконформным, но обратное неверно. Однако понятия LQS и локальной квазиконформности эквивалентны для вложений (и погружений) / : G -> Rw, где G открыто в R\ В случае X=Y='R1 наше определение эквивалентно обычному определению 1квазисимметрии [2, с, 88]. Основная теория QS-вложений дается в [11]. 47
По сравнению с LIP категория LQS имеет некоторые неприятные свойства. В частности, композиция двух LQS-вложений не обязательно снова такое же. Более того, при п ^ 4 неизвестно, можно ли продолжить LQS- вложение / : R" -> Яп до LQS-вложения F : Яп+1 -* Rw+1. 4.3. Обзор результатов. Теперь рассмотрим следующий вопрос: какие из результатов третьего раздела справедливы в категории LQS? Теорема 3.2 является нерешенной проблемой: неизвестно, можно ли вложить LQS-многообразие в какое-нибудь евклидово пространство. Теорема 3.5 о спрямляемости верна в несколько более слабой форме [1, 3.3 и 3-.4J. Теорема 3.7 следует из теории квазиконформных отображений [2, § 11.8]. Теорема 3.8 в LQS неверна: при п ^ 3 Ни содержит LQS-дугу, не являющуюся ТОР-плоской [16]. Следовательно, имеют место существенные различия между категориями LIP и LQS. Теорема 3.10 о кольце выполняется в LQS; этот факт доказан Сулливаном [8]. Поскольку всякая LIP-структура на многообразии является LQS-структурой, то ответ на первый основной вопрос 3.13 положителен для тг=^=4. Насколько мне известно, второй основной вопрос 3.14 открыт. Поскольку LIP-однородное пространство является LQS-однородным, то первая часть теоремы 3.16 верна ив LQS. То же верно и для второй части, как указано в [15, 3.6]. ЛИТЕРАТУРА 1. Gauld D. В., Vaisala /. Lipschitz and quasiconformal flattening of spheres and cells. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1979, 4, p. 371—382. 2. Lehto O., Virtanen K. I. Quasiconformal mappings in the plane. Berlin: Spring.-Verl.r 1973. 3. Luukkainen J. Extension of spaces, maps, and metrics in Lipschitz topology. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, Diss., 1978, 17, p. 1—62. 4. Luukkainen J. Rings of functions in Lipschitz topology. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1979, 4, p. 119-135. 5. Luukkainen X, Vaisala J. Elements on Lipschitz topology. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1977, 3, p. 85—122. 6. Ruching Т. B. Topological embeddings. London etc.: Acad, press, 1973. 7. Siebenmann L. C, Sullivan D. On complexes that are Lipschitz manifolds. — In: Geometric topology/ Ed. Cantrell J. C. London etc.: Acad, press, 1979, p. 503—525. 8. Sullivan D. Hyperbolic geometry and homeomorphisms. — In: Geometric topology. London: Acad, press, 1979, p. 543—555. 9. Tukia P. Lipschitz approximation of homeomorphisms. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1979, 4, p. 137-144. 10. Tukia P. The planar Schoenflies theorem for Lipschitz maps. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1980, 5, p. 49—72. 11. Tukia P., Vaisala J. Quasisymmetric embeddings of metric spaces. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1980, 5, p. 97—114. 12. Vaisala J. Lectures on ^-dimensional quasiconformal mappings. — Lect. Not. Math.r 1971, N 229. 13. Vaisala J. Piecewise linear approximation of lipeomorphisms. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1978, 3, p. 377—383. 14. Vaisala J. An axiomatic approach to the theory of manifolds. — Rev. roum. math, pures et appl., 1979, 24, p. 489—503. 15. Vaisala /. Lipschitz homeomorphisms of the Hilbert cube. — Topology and Appl.r 1980, 11, N 1, p. 103-110. 16. Vaisala J. Quasisymmetric embeddings in Euclidean spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1981, 264, N 1, p. 191-204.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 В. В. ВЕРШИНИН (Новосибирск, СССР) О КОЛЬЦЕ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ КОБОРДИЗМОВ Для изучения кольца симплектических кобордизмов мы используем спектральную последовательность Адамса—Новикова [1]. Эта спектральная последовательность для любого спектра X, целочисленные гомологии которого конечно порождены и не имеют р-кручения для некоторого простого р, существует, сходится к тс# (X) 0 Q и имеет начальный член, изоморфный Ext*'^ (ВР* (X), ВР*), где ВР* (X) — теория когомологий Брауна—Петерсона, через ВР* для краткости обозначено ВР* (S°), А — алгебра операций в этой теории когомологий (алгебра Квиллена). Для вычисления начального члена: этой последовательности применяется алгебраическая спектральная последовательность С. П. Новикова (АСП) [1], которая для любого спектра X, чьи. целочисленные когомологий конечно порождены и не имеют /?-кручения,. существует, сходится к Ext^'* (ВР* (X), ВР*) и имеет начальный член, изоморфный ExtqJi(Q0) (Н*(Х, Z ), ВР*), где о$ — алгебра Стинрода для простого ру ВР* — объект, присоединенный к ВР* по фильтрации, порожденной максимальным идеалом m кольца ВР\ ВР* = Qp [vv . . ., V., . . .], deg v. = —2 (p* — 1), BP* = Z [h0, h^, . . ,,h., ...], h0 есть класс p, a hi9 />0, есть класс v.y deg/г. = (1, —2(p* — 1)), алгебра c$l(Q0) действует на ВР* по формуле ( h. т, i = k, ^"k- = \ 0, «**. Пусть X = MSp, где MSp, как обычно, обозначает спектр Тома, гомотопии которого изоморфны кольцу симплектических кобордизмов. Из известных фактов о строении H*(MSp, Z ) как модуля над алгеброй Стинрода следует, что при р^>2 АСП для спектра MSp тривиальна и для спектральной последовательности Адамса—Новикова Ер*=0 при s>0; поэтому интерес представляет нетривиальный случай р=2, для которого имеет место Теорема 1. Член Е\>8>* АСП как алгебра имеет следующее строение: в ней содержатся две полиномиальные подалгебры Z2[h0, съ...,ск, ...], degfc0 = (l, 0, 0), degC)fc = (0, 0, Щ при кф2* — 1, degс2<_, = (2, 0, 4(2' —1)) и ZjK.,.,1;,, ...], degy; = (0, 1, 2(2'-1)), элементы которых удовлетворяют соотношениям V, = 0 (* = 1, 2, ...)• (1) 49
Далее, в ней имеются элементы oln, N = (п^, . . ., п±), v ^ 2, nv^> n^ ^> .., - • • ^> ni ^ 1> deg a^v = (v — 1, 1, 2 (2W* --f- . . . -f- 2Wl — v)), для которых hQoLN = 0 при всех N, 2*4a*Vt. = 0 при N:v(N)^3. (2) t Умножение этих элементов задается по формуле aM(^Nz=:^uvnia'M\j{N\ni), (3) г где положено а(я) = Уя, a(Wvf...t „, Я) ...,Wl) = c2w-ia(Wv? _? ^f>, _? Wi). Все соотношения между элементами hQ, ck, v., aN являются следствиями соотношений (1)—(3). Это позволяет выбрать следующий базис Ег, как Z2[cl9 . . .,сл, . . .]-модуля: 1, AJ(ai = 1, 2, ...), v, aN, v'aN, где у есть произвольный моном от vv . . ., v{J . . ., а у' — такой моном, что в него не входит v. при г <[ nv Кроме того, в Ег выполняется следующая формула: ocjvG<^, h0, а*2>, N = N1\JN2, N1HN2 = 0. Если v (A7X) и v (/V2) нечетные, то имеем дополнительно aN = <(aNi, hQ, aNo>, N = N1\JN2, N1f]N2 = 0. Заметим далее, что во всех членах А СП для спектра MSp определено действие симплектических операций Новикова—Ландвебера [1, 2]. Этот факт, а также результаты о кольце коэффициентов двузначной формальной группы [3, 4] и об АСП для спектра MSU [1] позволяют доказать следующую теорему. Теорема 2. Следующие образующие при надлежащем выборе будут циклами всех дифференциалов: v., являясь проекциями элементов Н. Рея Ф2;-2, h0, тройные произведения Шасси от них а(м2, n^ = (vnt>, hQ, yWi)>, c2l(l=jL2J), c2fc_i. Далее, циклами всех дифференциалов будут элементы с2 и hQcm (при надлежащем выборе ст). Элементы а# суть циклы первого дифференциала. Напротив, первый дифференциал от любой суммы мономов, в которые c2fc или с2п_г (n^2J) имеют вхождение с нечетной степенью, не равен нулю. Второй дифференциал не есть нулевой эндоморфизм члена Е2. На основании этой теоремы получена таблица кольца Е^8>* АСП при £<44, т- е- таблица объекта, присоединенного к Ext*'t (ВР* (MSp), ВР*) при t <^ 44. Далее проводятся вычисления в спектральной последовательности Адамса — Новикова для спектра MSp в размерностях до 32. В размерности до 20" эти вычисления описаны в работе автора [5]. Основным методом для вычисления дифференциалов является использование алгебраических структур и действия симплектических операций Новикова—Ландвебера в этой спектральной последовательности. В результате проделанных вычислений получены таблицы колец Ext**{ВР*(MSp), ВР*) и iz^(MSp) в размерностях до 32, из которых видно также вложение кольца MSpJTors MSp^ в кольцо Нот! (ВР* (MSp), ВР*) (TorsMSp^ обозначает идеал элементов конечного порядка кольца симплектических кобордизмов). Ниже приведена таблица кольца ^^(MSp), в которой для краткости допущена некоторая вольность в обозначениях и опущены очевидные соотношения. В размерностях до 19 50
эта таблица совпадает с таблицей Н. Рея [6]. В рамках приведенной таблицы мультипликативно неразложимыми элементами конечного порядка, кроме элементов Н. Рея, будут элементы тх £ MSp17, i2£MSp2b, ts£MSp29, для которых доказано, что х1С<в1, Ф|, Фх>, т2е<в1э Ф?, Ф2>, t8G<*i, Ф|, Ф2> Для тх это было доказано ранее Дж. Александером [7]. Выполняется следующее соотношение: 6^ = Ф2тх -\- Ф^2- Из таблицы видно также, что MSp91 = Z2 и образующим MSp31 является элемент Ф3Ф?. Таким образом, Ф3Ф? является первым элементом, противоречащим гипотезе Н. Рея [8]. Используя этот факт и действие симплектических операций Новикова— Ландвебера в кольце n¥(MSp), может быть доказана Теорема 3. В кольце симплектических кобордизмов все тройные произведения элементов Н. Рея Ф^Ф^.Ф^ (£, /, к независимо пробегают числа 1, 2, ...), кроме, возможно, Ф1Ф^. и Ф2Ф^, не равны нулю. Замечание. Произведения Ф?, Ф?Ф2 и Ф^ФХ действительно равны нулю. Кольцо я» (MSp) в размерностях до 32 п 012345678 9 10 11 %n(MSp) Z Z2 Z2 0 Z Z2 Z2 0 2Z Z2 2Z2 0 Образующие 1 6t 6f 2zi Ф1 6^i zf, 2z2 0lZl2 6fzf, Ф? tt 71Я(МЗД Образующие n izn (MSp) Образующие n %n (MSp) Образующие 12 3Z 2zJ, z±z2, 2z3 17 3Z2 13 2Z2 b1z2z1 = Ф^!, Ф2 elZf, elZ| = = е1Л1Л3 = Ф12221, TX 21 4Z2 6x3332 = Ф]г| = M?^» eiZ1Z4 = = Ф1г123, Ф2^2, Фз efzf, efzf, efz2z3, 14 2Z2 efz2zb e^2 18 4Z2 , 6iTb ФХФ2 22 5Z2 2, 81*1*4. 6^3, Ф^ 15 0 19 0 23 0 16 5Z 2?/4, 2z4, z|, 2z2zf, z\ (4*/4 + 4z4 = z2J-[-z1zs) 20 1Z 2z±, z^z2y z^z24 Z4Z1, 2z5, 2</4zb 2z|z, 24 HZ 2?, Z|, ZjZg, 2224 (2l/e = 2x25 + 2224), и 24 25 rcw (MS» HZ 6Z2 ОбраЗуЮЩИе zfzf, 2z2#4, 226, 2242f, ej2f, O^f^: Ф12322, O^Ze = 6iZ2Z4 = Ф22221 = У**! + zf, 2z\, 2z2z\ = Ф12124, 6izgzf, 61 (y4zf -I- zf), x2 и 26 27 28 Tzn(MSp) 8Z2 0 15Z Образующие 6^zf, 6fz|, в|212б, 2zJ, z2zf, 2zfzf, z\zu z4zf, z2z5, z4z3, 2z1z6, 2z5zf, ei(y4zi + z2). M2, У42221 + Ф1, 2z|zb 2y4z3r y(iz1(2y1 = z2z5-\-3z^zs), efzjzf, ФаФьФ1 2y4z?, 2z7 n 29 30 31 nn(MSp) 9Z2 10Z2 Z2 Образующие 6izfz2, в^гь 0iz4zf, 6^522= 6fzfz2, 0?z§zlT 6fz4zf, 0?z5z2r Ф3Ф? = 0iZ3Z4 = Ф2г1 =s Ф^! = Ф^б^ь efyezlf b\(y&%zx + z|zi)f ЬхФхг% hy^i, 6i (У1ЧЧ + *lzi), Ф]2|, Ф4, т3 0!Ф4, Ф2ть Ф^а (Мз = Ф2^1 + Ф^г) 51
ЛИТЕРАТУРА 1. Новиков С. П. Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1967, 31, № 4, с. 855—951. 2. Landweber P. S. Cobordism operations and Hopf algebras. — Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 129, N 1, p. 94—110. 3. Бухштабер В. M., Новиков С. П. Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса. — Мат. сб., 1971, 84, № 1, с. 81—118. 4. Бухштабер В. М. Топологические приложения теории двузначных формальных групп. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1978, 42, № 1, с. 130—184. 5. Вершинин В. В. О спектральной последовательности Адамса —Новикова для спектра MSp: Препринт Ин-та математики СО АН СССР. Новосибирск, 1977. 6. Ray N. The symplectic bordism ring.— Proc. Cambridge Philos, Soc, 1972, 71, N 2, p. 271—282. 7. Alexander J. С Cobordism Massey products. — Trans. Amer. Math. Soc, 1972, 166, p. 197—214. 8. Ray N. Some results in generalized homology, /f-theory and bordism. — Proc. Cambridge Philos. Soc, 1972, 71, N 2, p. 283—300.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 ЯН ДЕ ВРИО (Амстердам, Нидерланды) ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДЕЙСТВИЙ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ГРУПП 1. Введение В настоящей статье мы обсудим проблему линеаризации действий локально компактных топологических групп. Эта проблема, грубо говоря, состоит в следующем: дана некоторая группа гомеоморфизмов топологического пространства, можно ли это пространство вложить в некоторое топологическое векторное пространство так, чтобы гомеоморфизмы данной группы становились ограничениями линейных гомеоморфизмов этого векторного пространства? Если рассматриваемое топологическое пространство тихоновское, то ответ — «да». В литературе существует несколько конструкций доказательства последнего, и большинство из них оказывается модификацией одной единой конструкции. Это иллюстрируется в разделе 3 настоящей статьи. В разделе 2 раскрывается категория структуры этих основных конструкций. 1.1. Условные обозначения. Все обозначения болез или менее стандартны. Тождественное отображение множества X на себя обозначается через 1х- Если / — отображение, то прообразы обозначаются через f~1(A) Гг(х) и т. д. Выражения А:=В и Б = :Л означают, что А полагается равным В по определению. Если к: XxY -> Z— функция, то пху: = тс (ж, г/) = :тс^(ж) для каждого (х, y)£XxY. Таким образом, izx£ZY для любого х£Х и tc^£Zx для любого у £ Y. Отображения х н> тс* : X -> ZY и у н> тс : Y -> Zx обозначаются через тс и тс соответственно, т. е. тс (ж): = тс* и тс(г/): = тс для х£Х и у £ Y. Записью Gd указывается, что топологическая группа G рассматривается в своей дискретной топологии. Единичный элемент группы G всегда обозначается через е. Категорные понятия см.: Маклейн [25]. В частности, категория всех топологических пространств и их непрерывных отображений обозначается через ТОР. 1.2. Определения. Следующие понятия в настоящей статье — основные. Топологическая группа преобразований (ТГП) — это тройка <(G, X, тс^>, где G — топологическая группа, X — топологическое пространство; к : G X ХХ-+Х — такое непрерывное отображение, что тсв = 1х и тс* о тс* = тс** для всех s, t(*G. Таким образом, тс: t ь-> тс* является гомоморфизмом группы G в группу всех автогомеоморфизмов X. 53
Группа G и пространство X называются фазовой группой и фазовым пространством ТГП, а отображение к называется действием G на X. Как синоним для «фазового пространства ТГП с фазовой группой G» употребляется термин «G-пространство», но мы иногда G-пространством будем называть также- и ТГП (G, X, тс)>. Инвариантным подмножеством G-пространства <(G, X, ку называется такое подмножество Y пространства X, что- те (G X Y) С Y; инвариантная * точка — это такая точка х £ X, что {х} — инвариантное подмножество. Если Y — инвариантное подмножество <(G, X, тс)>, то izY: =тс| т: GX Y-* Y является действием G на Y; полученная ТГП <Y?, У, к¥у называется ограничением (G, X, тс)> на Y. Линейная ТГП или линейное G-пространство — это ТГП (G, V, тс)>, где V—топологическое векторное пространство и tc'£GL(F) для любого t£G9 т. е. каждое ъ. есть обратимый линейный непрерывный оператор на F с непрерывным обратным. В этой статье все линейные G-пространства предполагаются отделимыми и локально выпуклыми. 1.3. Примеры. 1. Если X — топологическое пространство, a G — подгруппа группы всех автогомеоморфизмов X, то <(Gd9 X, §)>, где 8 — отображение вычисления, 8(ф, x):=ty(x) для ф£С и х^Х, является ТГП. Если X — равномерное пространство, a Gu — группа G, наделенная топологией равномерной сходимости на X, то в следующих случаях ^Gu, X, by является ТГП: (a) G — равностепенно непрерывно и (Ь) X — компакт2. См.: Бурбаки [8, глава X] или де Врис [37, подраздел 1.2], где рассмотрены также другие топологии на группах гомеоморфизмов. 2. Пусть / : X -> Rn — такое непрерывное векторное поле на открытом подмножестве X в Пя, что для автономного дифференциального уравнения x = f(x) задача Коши имеет единственное решение и оно может быть продолжено на R. Если тс^ : R -> X — решение с начальным значением 7^(0) = — х (< X, то тс: (г, х) н-> ъх (t): R X -X" -> X непрерывно и (R, X, тс)> является ТГП (глобальная динамическая система). Топологическое изучение проблем, возникающих в качественной теории автономных дифференциальных уравнений в рамках ТГП (топологическая динамика), читатель может найти у Бха- тии и Gere [6] или у И. У. Бронштейна [7]. 3. Пусть С00 (R2, R): = {/ : R2 -> R | / бесконечно дифференцируемо и вместе со своими частными производными первого порядка ограничено}. Для каждого / : R2 -> R определим / (хъ х2): = f (хъ х2) ехр 1/2 (хг -\- х2) и пусть Cj°: = {<J>: R2-» R |$GC°°(R2, R)}. Тогда Cj° с равномерной нормой является банаховым пространством. Определим т : R X Cf -> Cjj° формулой т (t, и) (х19 х2):=и (хг + 1, х2 +1) ехр [(хг + х2) t -f12}, где t£ R, и £ С« и (xv #2)£R2. Тогда (Я, Cj°, т> является линейной ТГП (см.: Карлсон [11]). Легко заметить, что для каждого и £ С™ отображения т*: (t, хъ х2) ь> t-+ т (t, и) (хъ х2): R3 -> R является единственным решением дифференциального уравнения в частных производных ди . . ч , да . да удовлетворяющим начальному условию т*(0, xv x2) = u(xv х2) для всех (xl9 ^2) € R2- 1 Или неподвижная. — Примеч. пер. 2 В другой терминологии — «X — бикомпакт». — Примеч. пер. 54
4. Если G — топологическая группа, a Y — топологическое пространство, то обозначим через Ce(G9 Y) пространство всех непрерывных функций из G в У, наделенное компактно-открытой топологией. Определим p:GxCc(G, Y) -> -+Ce(G,Y) формулой pff(u):=:f{u,t), для f£Ca(G,Y) и t, u£G. Тогда <(Gd, CC(G, Y), p> является ТГП, и если G локально компактная, то р непрерывно на GxCc (G, Y) и в этом случае (G, Сс (G, Y), р> тоже является ТГП. Заметим, что если Y — тихоновское пространство, то таким является и CC(G, У). Если V — локально выпуклое топологическое векторное пространство, то с поточечно определенными линейными операциями CC(G, Y) тоже является локально выпуклым топологическим векторным пространством; оно полно по отношению к своей аддитивной равномерности (которая совпадает с равномерностью равномерной сходимости на компактах) при условии, что V полно, a G локально компактно (Келли [24, с. 231]). 5. Пусть Cc(GxG) обозначает пространство всех непрерывных функций из GxG в R, наделенное компактно открытой топологией. Если r*f (и, v): = = f(ut,v) для (t, f)£GxCc(GxG) и (u,v)^GxG, и если G локально компактно, то (G, Cc(GxG)9 г> является линейным G-пространством. Заметим, что в определенном смысле это линейное G-пространство связано с линейной ТГП из примера 3 (в случае G = R), так как (G, Cc(GxG), r> изоморфно линейному G-пространству (G, Ce(GxG), а>, где о*/(и, v) :=/(ut, vt) для (t, f)£GxCc(GxG) и (u9v)^GxG. Фактически изоморфизм задается отображением f^f:Cc(GxG)->Cc(GxG)9 где /' (и, v):=f(u, vie1) для /£ ^Cc(GxG) и (и, v)£GxG (определение изоморфизма см. в разделе 2). Подобным образом для всякого локально компактного хаусдорфова пространства Z мы можем определить линейную ТГП <G, Ce(GxZ),r>. 6. Пусть G — локально компактная хаусдорфова группа с фиксированной на ней правой мерой Хаара р (нормированной соотношением р (G) — 1, если G компактна). Пусть для 1^р<^оо, Lp(G) обозначает пространство таких (классов эквивалентности р-почти всюду совпадающих) р-измеримых функций / : G -> R, что | / \р — р-интегрируемо. Относительно обычной нормы || о || : / к> *-* | \ |/1р^М :Lp(G)-> R+, Lp(G) является банаховым пространством. Если определить р: GxLp (G) -> Lp (G)9 как в примере 4 (правый сдвиг), то р будет непрерывным, a <(G, Lp (G), р^> линейным G-пространством (см.: де Врио [37, подраздел 2.3]). В частности, (G, L2(G), р)> является гильбертовым унитарным G-пространством, т. е. G-пространством, чье фазовое пространство есть гильбертово пространство, а действие осуществляется унитарными операторами. В этом примере, конечно, можно R заменить на С и даже на (действительное или комплексное) гильбертово пространство Н. Таким образом, Lp (G, Н) есть пространство таких (классов эквивалентности) слабо р-измеримых функций /: G -> Я, что \|/|]pdp. существует и конечен, и тогда G LP(G, Н) является банаховым пространством (в случае р = 2 оно является гильбертовым пространством), a (G, Lp (G, Я), р> является линейным G-npo- странством. 55
7. Пусть G — локально компактная, сигма-компактная хаусдорфова топологическая группа. Используя результаты Палман-де Миранды [30] и де Вриса [35, 41], можно показать, что существует такая функция i#:G->R, что: (i) w(t)^>0 для каждого t£G; (и) w(st)^w(s)w (t) для каждого (s, t)£GxG; (iii) w£C0(G)Cl П V(G), т. е. w непрерывно, w (t) -> 0 при t -+ со в G к все степени w [i-интегрируемы (здесь р. означает правую меру Хаара на G). Функция с этими свойствами называется (непрерывной) весовой функцией. Для фиксированной весовой функции шнаб регулярная борелевская мера v может быть определена соотношением dv : =wd[x, т. е. \f(t)dv(t): = \f(t)w(t)dp(l), /eCoo(G). G G По указанному выше условию (i) носителем v является вся группа G. Пусть L2 (G, v) обозначает гильбертово пространство всех у-интегрируемых в квадрате (действительнозначных) функций на G. Для / £ L2 (G, v) и t £ G легко показать, что р*/ £ L2 (G, v); здесь plf определяется, как в примерах 4 и 6. Действительно, pt : L2 (G, v) -> L2 (G, v) является ограниченным линейным оператором с нормой ||р*|| ^ w (t)'1. Более того, р : GxL2 (6?, v) -> -> L2 (G, v) непрерывно, a <(G, L2 (G, v), p) является линейным G-простран- ством (даже гильбертовым G-пространством, но не унитарным гильбертовым G-пространством) (см.: де Врис [37, с. 74—77]). Подобным образом для любого гильбертова пространства Н мы можем определить гильбертово G-npo- странство (G, ЬЦО, v; Н), р>. Здесь L2(G, v; Н) — гильбертово пространство всех таких слабо измеримых по Борелю функций f :G -+ Н, что | /1|2: = / \ || / (t) f dv (t) \ " существует и конечна. 1.4. Теперь мы можем сформулировать нашу проблему более точно- Будем говорить, что ТГП (G, X, ку линеаризуема всякий раз, когда она может быть получена как ограничение некоторого линейного G-пространства <(G, V, °У на некоторое свое инвариантное подмножество,т. е. когда существует такое топологическое вложение i : X -> У, что для каждого t £ G следующая диаграмма коммутативна: V > V t t ''I ( г X —>x Вопрос в следующем: какие ТГП линеаризуемы? В такой форме проблема линеаризации была рассмотрена многими авторами, упомянем лишь некоторых из них: Вебутов, Немыцкий [29]; Мостов [28], Пале [31 ],де Гроот [17], Байен и де Гроот [5], Эделыптейн [15], Янос [21], Монес [26] (см. также раздел 3). Проблема была рассмотрена также в несколько иной форме: при ка~ ких условиях фазовое пространство X ТГП (G, X, ку может быть так вло- 56
жено в линейное пространство V, что если i — вложение, то {п*; t£G} — ={Г1 о ф о г, ф£Ф) для некоторой подгруппы Ф из GL (V), если это так, то будет ли диаграмма V —*—> V Ф t t I I I Г коммутативной, где R : Ф -> G — гомоморфизм? Эта точка зрения была разработана у Байена [4] и де Вриса [37, подразделы 6.1 и 6.8], и мы ее здесь рассматривать не будзм. В следующей теореме дается необходимое и достаточное условие линеари- зуемости G-пространства. Результат подробно изложен у Хайека [19], де Вриса [37] и Смирнова [33]; он неявно фигурирует почти во всех упомянутых в ссылках работах. В разделе 2 мы раскроем категорную структуру доказательства следующей теоремы, а в разделе 3 обсудим некоторые модификации этого доказательства, ведущие к различным результатам. 1.5. Теорема. Пусть G — локально компактная хаусдорфова группа. Тогда для G-пространства <(G, X, ку следующие условия эквивалентны: (i) существуют такие линейные G-пространства (G, те, ау и топологическое вложение i : X -> V, что а* о i—i о ъ* для всех t £ G; (ii) X может быть вложено в топологическое векторное пространство; v(iii) X — тихоновское пространство. Доказательство, (i) => (ii) о (iii): очевидны или хорошо известны. ((ii) z> (i): отображение n:x*nx:X^Ce(G,X) является топологическим вложением (см.: де Врис [37, 2.1.13]). Пусть /:Х-> -> V0 — вложение X в топологическое векторное пространство V0. Тогда hh-^foh : CC(G, X) -> CC(G, V0) — топологическое вложение (см. пример 4), таким является и i:x»fo«x:X + Ce(G, V0). Но <(G, CC(G, V0), ру — линейное G-пространство (см. пример 4) и легко проверить, что р* о i = i о тс* для всех t£ G. 2. Категории G -пространств В этом разделе G всегда будет обозначать локально компактную хаусдор- фову группу. 2.1. Если (G, X, ти)> и (G, Г, а>— G-пространства, то эквивариантным отображением из X в Y называется такое отображение / : X -> F, что / о тс* = = ^ о / для всех t£G3. Непрерывные эквивариантные отображения будем называть морфизмами (^-пространств. Очевидно, что эти морфизмы вместе с классом всех G-пространств образуют категорию, которую обозначим через TOPG. Два G-пространства изоморфны, если они изоморфны в этой категории (т. е. тогда и только тогда, когда существует некоторый эквивариантный гомеоморфизм между ними). 3 Если это условие имеет место только для t из некоторой подгруппы Н из G, то / называется Я-эквивариантным отображением. 57
Существует очевидный функтор SG : TOP6 -> TOP — функтор фазового» пространства, определенный соотношением ч , X, тс)> ь-> X на объектах, /ь>/ на морфизмах (забывая условие эквивариантности). Если К — подкатегория ТОР, то KG : = (S0)*1 [К]. Ясно, что KG — подкатегория ТОР6 и KG полно в ТОР6 тогда и только- тогда, когда К полно в ТОР. Мы будем рассматривать только следующие- подкатегории ТОР (которые не рассматривались у де Вриса [37]): CR — полная подкатегория ТОР, определенная классом всех тихоновских пространств; LCV — подкатегория, для которой: объекты — все локально выпуклые- хаусдорфовы топологические векторные пространства; морфизмы — все непрерывные линейные отображения между этими пространствами; CLCV — полная подкатегория LCV, определенная классом всех полных локально выпуклых хаусдорфовых топологических векторных пространств* Тем не менее мы особенно не заинтересованы категориями LCV6 и CLCV6: мы хотим рассматривать линейные G-пространства. Поэтому пусть 1 — LCV6 и 1—CLCV6 обозначают полные подкатегории LCV6 и CLCV6 соответственно, определенные классами всех линейных G-пространств и всех полных линейных G-пространств соответственно. 2.2. Сейчас мы дадим краткий обзор подходящих частей из монографии де Вриса [37, подразделы 3.2 и 6.3]. Результаты, формулируемые там для категории ТОР6, применимы также к ее подкатегории CR6, и мы сформулируем их только для последней. Функтор SG: CR6 -> CR имеет левый сопряженный. Фактически он является даже монадическим функтором. Следовательног SG порождает и сохраняет пределы и мономорфизмы. Так как CR полно, то отсюда следует, что CR6 является полной категорией. Например, произведения в CR6 — это декартовы произведения фазовых пространств, наделенные покоординатным действием группы G. Мономорфизмы в CR6 — это непрерывные эквивариантные инъекции. (Для этих результатов условие локальной компактности группы излишне.) Так как G локально компактна, то функтор SG имеет также и правый сопряженный MG: CR -> CR6. Он задается соотношением | X»-►<(<?, CC(G, X), рУ на объектах, ( /1-> / о - на морфизмах, где для /: X -> Y (в CR) морфизм /о - в CR определяется формулой / о -: h\-+f oh:Cc (G, X) -> CG (G, Y). Единица сопряжения между SG и MG задается универсальной стрелкой: <G, X, *>-^<G, C.(G, X), p> = /¥6S6<G, X, *> для объектов (G, X, тс> из CR6, а коединица задается стрелкой SGMGY = CC(G, Y) -^ Y для объектов Y из CR (Ье обозначает вычисление в е)4. Напомним, что характеристическим для коединицы является следующее свойство: для каждого 4 По поводу определений см.: де Врис [37, с. 12—23]. — Примеч. пер. 58 SG:
объекта <(G, X, тс)> из GRC и каждой непрерывной функции /: X -> У существует единственный морфизм / : (G, X, те)> -> (G, Сс (G, У), р)> такой, что S <G.Ce(S,Y),t> CCIG,Y) ^+Y t * i ' i i <С,Х,Л> X Фактически / определяется соотношением / : =/ о тс. Отсюда следует, что если / : X -> Y — топологическое вложение, то / : X -> Сс (G, Y) — тоже топологическое (и эквивариантное) вложение (см. доказательство теоремы 1.5). 2.3. Замечания. 1. Ю. М. Смирнов [33, теорема 5] показал, что при указанных выше условиях, если / замкнуто, a G компактна, то / является замкнутым вложением5. 2. Если обозначить множество всех морфизмов G-пространства (G, X, тс)> в (G, Сс (G, Y), р)> через MorG (X, Сс (G, Y)), то описанное выше сопряжение между SG и MG показывает, что /н*/ = /о«:С(Х, Г)^Мог*(Х, CC(G, Y)) является биекцией с обратным отображением f\-+beof. Из элементарных фактов о функциональных пространствах (см.: Дугунджи [13, XII.2.1]) следует, что оба эти отображения непрерывны, если пространства С (X, Y) и MorG (X, Сс (G, Y)) рассматривать в компактно-открытой топологии. Этот факт рассмотрен многими авторами, среди/ которых Максвелл [27] и Ю. М. Смирнов [33, теорема 7]. 3. Сопряжение между SG и MG связано также с результатами об экстензорах (или на более категорном языке — о кообразующих) G-пространств (см.: де Врис [37, подраздел 6.4], а также де Врис [41]). 4. Функтор SG имеет не только правого сопряженного, но и комонадичен. Таким образом, SG сохраняет и порождает копределы и эпиморфизмы. В частности, эпиморфизмами в CRG являются только эквивариантные непрерывные отображения с всюду плотным образом. 2.4. Лемма. Функтор MG переводит LCV в 1 — LCVG, a CLCV в 1—CLCVG. Более того, суженные функторы MG : LCV -> 1 — LCVG и MG : CLCV -> 1 — CLCV* сопряжены к суженным функторам SG : 1 — LCVG -> LCV и SG : 1 — CLC\TG -> CLCV соответственно. Доказательство. Первое утверждение легко проверить (см. также замечание к примеру 4 в разделе 1). Второе утверждение является непосредственным следствием первого утверждения и того, что если (G, X, тсу — линейная ТГП, а У — линейное пространство, то универсальные стрелки тс и Ье из 2.3 линейны. 2.5. Сейчас мы обсудим некий процесс линеаризации, который совершенно отличен от конструкции, предложенной в доказательстве теоремы 1.5, хотя для доказательства его корректности нам понадобится функтор Ма. ь В настоящий момент Ю. М. Смирновым то же самое доказано для любой локально компактной группы G. — Примеч. пер. X 59
Хорошо известно следующее. Категория LCV является рефлективной подкатегорией категории CR, рефлектором является «функтор свободного топологического векторного пространства» F : CR -> LCV. Для каждого объекта X из CR FX — свободное локально выпуклое хаусдорфово топологическое- векторное пространство, порожденное пространством X. Каноническое отображение ix■: X -> FX (рефлексия X в LCV) обладает следующими свойствами: (i) для любой непрерывной функции f:X->V, где V — произвольный объект из LGV, существует единственное линейное непрерывное отображение- /: FX -> V такое, что / = / о ix; (ii) ix: х-> FX является замкнутым вложением, а линейная оболочка ix[X] совпадает со всем пространством FX. Теперь заметим, что CLCV является рефлективной подкатегорией категории LCV, рефлектором LCV в CLCV является «функтор пополнения» (фактически CLGV является рефлективной подкатегорией LGV, порожденной полной подкатегорией всех банаховых пространств). Таким образом, если FX обозначает пополнение X, то сквозной функтор F : CR -> CLGV является рефлектором, а отображение ix : X -> FX (для удобства FX мы рассматриваем только как подпространство FX) обладает следующими свойствами: (in) то же свойство универсальности, описанное выше в (i), но только для объектов V из CLCV; (iV) ix: X ~> FX является топологическим вложением, а линейная оболочка ix[X] всюду плотна в FX. Теперь мы покажем, что подобные результаты имеют место и для соответствующих категорий G-пространств. 2.6. Лемма. Функторы включения 1 — CLCV* -^ 1 — LCV* -> CRG обладают левыми сопряженными, т. е. 1 — CLCR6 является рефлективной подкатегорией 1 — LCVff, а 1 — LCVG — рефлективной подкатегорией CRG. Доказательство. Непосредственное следствие общего критерия (см.: Херрлих и Стрекер [20, 37.1 J). Для применения этого критерия полезно описание произведений, мономорфизмов и эпиморфизмов в CRG, данное в 2.2 и 2.3 (4). |Р Наша следующая лемма является орудием для исследования рефлексии объектов CR* в 1 — LCVC и 1 — CLCV*. Это относится к доказательству того, что сопряженный к композиции функторов является композицией сопряженных (довольно непосредственное доказательство см. у де Вриса [37, 4.4.10]). 2.7. Лемма. Пусть Y и С — категории, Y0 и С0 — их рефлективные подкатегории соответственно. Пусть задан такой функтор Q : С -> У, обладающий левым сопряженным Р: Y -> С с единицей a:lF -+ QP и коединицей $:PQ-> 1с, что (i) P[Y0]C1C0 и для любого объекта С из С0 универсальная стрелка Рс: PQc "> С принадлежит С0; (ii) Q[C0](ZY0 и для каждого объекта у U3Y0 стрелка а^: у -> QPy принадлежит Y0. Тогда функтор Р сохраняет рефлексию, т. е. если у — объект из Y и р : у -> Fy — его рефлексия в Г0, то Р$у : Ру ~> PFy — рефлексия Ру в С0. 60
Следующая диаграмма иллюстрирует ситуацию: С г/—> у 2.8. Теорема. Пусть <(G, X, тг)> — объект из GRG. Тогда его рефлексия в 1 — LGVG имеет форму ix:<G, X, rc>-><G, FX, <>, где ix: X -> FX — каноническое замкнутое вложение X в свободное локальна выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство над X. Доказательство. Применим лемму 2.7 к следующей ситуации LCVC ^ CR sG mg \-av°c—> cr* и заметим, что в силу леммы 2.4 и ее доказательства выполняются условия (i) и (и) из леммы 2.7. 2.9. Следствие. Пусть (G, X, к)— ТГП с тихоновским фазовым пространством X и пусть ix : X -> FX — каноническое вложение X в свободное локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство над X. Если для каждого t£G каноническое линейное непрерывное продолжение отображения -к*: X -+ X из FX обозначить через к**: FX -*► FX, то п* : (t, £) -^ -* к**%: G X FX -* FX непрерывно и <(G, FX, тг*)> является линейным G-npo- странством, в котором эквивариантно вложено <(G, X, тс^> как замкнутое инвариантное подмножество. Доказательство. Это просто переформулировка теоремы 2.8. Замечание. Прямое доказательство следствия 2.9, не использующее категорные методы, можно дать, следуя Эйзенбергу [16]. Однако и в этом доказательстве некоторую роль играет линейное G-пространство (G, Сс (G, VQ), р^>, использованное в доказательстве теоремы 1.5. Подобные методы линеаризации отображений используются у Манеса [26]. 2.10. чТеорема. Пусть (G, V, •к} — объект из 1 — LCVG. Тогда его рефлексия в 1 — CLCVG имеет форму jY:<G, V, n>^<G, V, «>, где jY : V -> V — каноническое вложение V в его пополнение. Доказательство. Применим лемму 2.7 к следующей ситуации CLCVC ^LCV «ch MG 1- CLCV^C ^|-LCV^ 2.11. Следствие. Пусть (G, V, тс)> — линейное G-пространство, a j : V-> V — каноническое вложение V в его пополнение. Для каждого t£G 61
пусть fc*: V -> V обозначает линейное непрерывное продолжение отображения те': V -> V. Тогда %:(t9 £) -> %*%: G X V -> V непрерывно, и <G, V, к/ является полным линейным G-пространством, в котором эквивариантно вложено (G, V, v:y как всюду плотное инвариантное линейное подпространство. Доказательство ясно из'2.10. 2.12. Замечание. Наше доказательство следствия 2.11 фактически является «мистификацией» следующего простого аргумента, который очень близок к доказательству теоремы 1.5. Рассмотрим эквивариантное вложение £ -> ]у о ^: (G, V, тс> -> /G, Сс (G, V), р>. Здесь Се (G, V) полно, следовательно, замыкание V образа V в Сс (G, V) полно (и, конечно, локально выпукло). Так как V — инвариантное подпространство, то суженное G-npo- странство /G, V, р?\ является полным линейным G-пространством, в котором всюду плотно и эквивариантно вложено (G, V, т:)>. Так как каждое всюду плотное линейное вложение V в полное локально выпуклое векторное пространство изоморфно пополнению У, то этим 2.11 доказано. 2.13. Мы оставляем читателю комбинировать 2.8 и 2.10 для описания рефлексии объектов GRG в 1 — GLGVT(?. * 3. Некоторые частные линеаризации В 1.15 и 2.9 мы предположили две разные конструкции, которые доказывают, что при локально компактной группе G тихоновские G-пространства обладают линеаризацией. В этом разделе мы предложим некоторую модификацию нашей первой конструкции. На этом пути мы сумеем обозреть большинство линеаризующих конструкций, известных в литературе. Всюду в этом разделе (G, X, я)> будет обозначать G-пространство с локально компактным G и тихоновским X. Наша цель — не только построить линейное G-пространство для каждого G-пространства (G, X, пу в отдельности, но и найти «универсальное» G-пространство, в которое можно эквивариантно вложить любое G-пространство данного класса. 3.1. Нашим отправным пунктом является последнее замечание из 2.2: каждое вложение / : X -> V в локально выпуклое хаусдорфово векторное пространство индуцирует эквивариантное вложение (G, X, пу в некоторое линейное G-пространство, а именно ^/oirz:<G, X, *>^<G, CC(G, V), Р>. Напомним некоторые непосредственные применения этого замечания. 3.2. Если X — сепарабельное метрическое пространство, то X можно вложить в гильбертово пространство /2> следовательно, <(G, X, izy можно эквивариантно вложить в (G, Сс (С, /2), р)>. В частном случае, когда G^R, а X — сепарабельное метризуемое локально компактное пространство, этот результат появился в Тоадера [34] как следствие обобщения теоремы Бебутова—Какутани—Хайека [19] (см. ниже 3.11). Вест [42] применил упомянутый выше результат к компактному метри- зуемому G-пространству X для доказательства того, что любое действие G на Z-подмножестве гильбертова куба может быть продолжено до некоторого 62
действия G на Q. Так как каждое компактное метрическое пространство можно вложить в Q как Z-множество, то отсюда следует, что для каждого компактного метрического ^-пространства (G, X, пу существует такое действие п' группы G на Q, что (G, X, пу можно эквивариантно вложить в <(G, Q, к'у (как Z-множество). В действительности локальная компактность G не является необходимым условием для этого результата. «Универсальный» вариант этого результата см. ниже 3.6. 3.3. Если к— кардинальное число, а X имеет вес w(X)^k, то X можно вложить в Rfe, следовательно, (G, X, тс)> можно эквивариантно вложить в (G, CC(G, Rfe), р)>. Заметим, что это вложение можно реализовать отображением xv^(gOKx)geF:X-> CC(G, Rk)ttCe(G, R)fc, где F — семейство мощности к отделяющих точки и замкнутые подмножества X непрерывных функций из X в R. Де Врис [39] показал, что F можно выбрать так, что для каждого g £F семейство {g о ад х £ X) является равностепенно непрерывным множеством функций из G в [0, 1]. Тогда образ X в CC(G, R*) фактически является равностепенно непрерывным подмножеством CC(G, [£), 1]*). Следовательно, по теореме Асколи его замыкание Y компактно в CC(G, [0, l]fc). Ясно, что Y является инвариантным подмножеством Сс (G, R*), и, взяв в качестве а огра- ничение р на G X Y, мы получим 3.4. Теорема. Каждое G-пространство <(G, X, тг> с тихоновским X и локально компактным G можно эквивариантно вложить в G-пространство' <(G, F, а> с компактным хаусдорфовым Y веса w (Y) ^max {w(G)f w(X)}. В частности, если G и X сепарабелъны, то таким является и У6. Доказательство. Заметим, что в доказательстве, намеченном ранее,, мы имеем w (Y) < w (Сс (G, R*)) = max {w (Сс (G, R)), к) для каждого k^w(X). Более того, хорошо известно, что w(Cc(G, R)) = w(G).. Замечание. Эта теорема из работы де Вриса [39J. Она обобщает результаты де Гроота и Макдауеля [18J. Совершенно другое доказательство см.: де Врис [38]. 3.5. Следствие 1. Для любого кардинального числа k^w(G) существует такое компактное хаусдорфово G-проСтранство (G, У, а>, что w(Y) = k и каждое тихоновское G-пространство (G, X, ку веса w(X)^k можно эквивариантно вложить в <(G, У, а>. Доказательство. Применим 3.4 к G-пространству (G, CC(G, Rfc), р)>* 3.6. Следствие 2. Пусть G — сепарабельная метризуемая локально компактная группа. Тогда существует такое действие а группы G на гильбертовом кубе Q, что каждое G-пространство (G, X, тс)> с сепарабельным и метризуемым X можно эквивариантно вложить в (G, Q, <^> 7. Доказательство. Применим цитированный в 3.1 результат Веста к компактному G-пространству (G, Y, а)> из 3.5. 3.7. Замечание. Следствие 2 обобщает более ранние результаты, которые были применимы только к счетным группам (см.: Байен [5, раздел 3.4]; другие интересные действия групп на гильбертовом кубе см.: Андерсон [3]). 6 В настоящий момент доказано, что при компактной группе G компакт Y можно взять веса w (Y)—-w (X). — Примеч. пер. 7 В настоящее время доказано, что действие можно взять аффинным. — Примеч. пер, 63
3.8. Следствие 3. Каждое тихоновское G-пространство <(£?, X, тс)> -можно эквивариантно вложить в G-пространство <(G, Y, сГ>, где Y — компакт- мое выпуклое подмножество некоторого локально выпуклого хаусдорфова топологического векторного пространства., а о — аффинное действие (т. е. каждое а* — аффинное отображение Y в себя) 8. Доказательство: В силу теоремы 3.4 можно предположить, что X — компактное инвариантное подмножество некоторого линейного С?-про- странства <(G, V, а>, где V — полное локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство (см. также замечание к примеру 4 из раздела 1). Отсюда следует, что замкнутая выпуклая оболочка Y множества X в V компактна 9. Так как У, как легко видеть, инвариантно, то сужение (Gt V, °у на У является желаемым компактным выпуклым аффинным G-npo- странством. 3.9. Замечание. Идея доказательства следствия 3 была использована Вестом [42]. Другое доказательство: пусть М (X) — пространство всех регулярных борелевских мер на X (X предполагается компактным в силу 3.4), и пусть Y — замкнутая выпуклая оболочка множества 8 [X] в М (X), где S : X -> М (X) — каноническое вложение X в М (X). В силу теоремы Алаоглу У компактно. Действие G на X индуцирует линейное действие Gd на М (X), и, как легко видеть, сужение этого действия на (компактном!) множестве У является действием G на У. Очевидно, что это действие аффинное. Если G компактное, а X сепарабельное метрическое, то в 3.8 можно предположить, что У — компактное выпуклое подмножество некоторого банахова пространства (например, Сс (G, l2)=Cu (G, Z2), см. 3.2). Родственный последнему результат получен Яворовским [22, предложение 4.1]. Оставшаяся часть этого раздела посвящена следующему вопросу: можно ли так видоизменить эквивариантное вложение <(£, X, пу в (G, Сс (G, R*), о у , чтобы получить вложение в «меньшее» или «тонкое» G-пространство? Проблема наилучшим образом иллюстрирована в ее решениях, некоторые из которых мы сейчас приведем. Первая из них — это хорошо известная теорема Бебутова—Какутани. Оригинальный результат Бебутова (см.: Немыцкий [29]) применим в случае, когда X — компактное метрическое R-пространство, в котором множество S всех инвариантных точек состоит самое большее из одной точки. Какутани [23] дал новое доказательство результата Бебутова, которое применимо к компактным метрическим R-npo- «странствам, в которых S гомеоморфно некоторому подмножеству R. Хайек [19] обобщил этот результат в форме, которую мы приведем ниже, хотя его результат все еще ограничивался случаем G=R. Чен [12] заметил, что R можно заменить произвольной связной группой Ли (он сделал свое замечание только к доказательству Какутани, но оно с таким же успехом применимо и к доказательству Хайека). 3.10. Теорема. Пусть <(G, X, тг)> — G-пространство, где G — нетривиальная связная группа Ли, а X — локально компактное сепарабельное В настоящий момент получен более общий результат — эквивариантный аналог классической теоремы Тихонова о вложении. Таким образом, для класса всех тихоновских ^-пространств веса ^ т существует «универсальное» аффинное ^-пространство (G, /т, а). — Примеч. пер. См., например, Бурбаки [9, гл. I, § 4, 1]. 64
метрическое пространства. Тогда <(G, X, к) можно эквивариантно вложить в линейное G-пространство <(G, CC(G, R), р)> в качестве замкнутого нигде не плотного инвариантного подмножества в том и только в том случае, когда множество S инвариантных точек в X гомеоморфно некоторому замкнутому подмножеству R. Доказательство. Вторая часть утверждения («только в том случае») очевидна, так как множество инвариантных точек в (G, Сс (G, R), р)> гомеоморфно R (оно состоит и из всех постоянных функций). Набросок доказательства первой части: («в том случае») достаточно построить такую непрерывную функцию /:X->R, что (i) для всех х, у£Х, х=^=у существует такое t£G, что f(^tx)=^=f(iziy)9 Т. е. foTZxy^foTZy', (ii) /(#)-> оо в R при х->аэ в X (т. е. для всех п £ R множество /_1[—и, п\ компактно в X). В самом деле, условие (i) влечет, что функция F : х ь->/отгх: X -> Cc(G, R) является непрерывной инъекцией, а из условия (ii) следует, что F — замкнутое вложение. Так как X локально компактно, то F[X] не может иметь внутренних точек в топологическом векторном пространстве CC(G, R), в противном случае Сс (G, R) будет локально компактным, а следовательно, согласно хорошо известному результату из функционального анализа и конечномерным. Но это противоречит связности и нетривиальности группы G. Для доказательства существования функции / : X ~> R со свойствами (i) и (ii) сначала построим непрерывное продолжение /0 : X -> R данного гомеоморфизма h множества S инвариантных точек X на некоторое замкнутое подмножество R; используя лемму Титце о продолжении, это можно сделать таким образом, чтобы /0 (х) -> оо при х -> оо (см.: Хайек [19, лемма 6]). Таким образом, множество F всех непрерывных продолжений гомеоморфизма /г, обладающих свойством (ii), является непустым замкнутым подмножеством Си (X, R) (С (X, R) наделено равномерной топологией). Тогда F — полное метрическое пространство и по теореме Бэра содержит элемент / со свойством (i). Подробности можно найти у Хайека [19] (лемма 17 Хай- €ка [19] впоследствии была дополнена Ченом [12]). 3.11. Замечания. Мы не можем применить теорему 3.4 для того, чтобы, не ограничивая общности, могли считать X компактным: у нас нет информации об инвариантных точках возможных компактификаций X. Даже при переходе от X к его одноточечной компактификаций, в случае когда X локально компактно (т. е. при добавлении одной инвариантной точки), размерность S может повыситься. Приведенное выше доказательство проходит и в случае, когда S гомеоморфно замкнутому подмножеству R^ для некоторого целого N; тогда <(G% X, тг;> можно эквивариантно вложить в (G, Сс (G, RA), р)> (см.: Хайек [19]). Для случая G=R и компактного метрического X Тоадер [34] показал, что R^ можно заменить произвольным банаховым пространством: доказательство с точностью до некоторых очевидных модификаций (т. е. с использованием теоремы Дугунджи о продолжении вместо леммы Титце) является дословным повторением доказательства Какутани [23]. Подобную модификацию, вероятно, можно проделать для теоремы 3.10 в ее общей форме, но следует признать, что результат, полученный таким образом (эквивариантное вложение в (G, Сс (G, У), р^>, если множество S инвариантных точек можно вложить в У), вряд ли можно предпочесть зна- 65
чительно более простой конструкции, указанной в начале этого ^ раздела в 3.1. Следующий представляемый нами результат получен Карлсоном [11]. Он использует линейное R-пространство <(R, CJ°, т)>, определенное некоторым уравнением в частных производных (см. раздел 1, пример 3). Он грубо говоря, утверждает, что действие R на сепарабельном метри- , ческом пространстве может быть получено как решение некоторого уравнения в частных производных. 3.12. Теорема. Каждое ^-пространство <(R, X, к) с сепарабелъным метрическим X можно эквивариантно вложить в линейное ^-пространство <Н, С?, т>. Доказательство. В силу теоремы 3.4 можно считать, что X — компактное метрическое пространство, так что мы построим только экви- вариантную непрерывную инъекцию X в С^°. Сначала, применяя 3.3, получим эквивариантное вложение X^(/,o«x),,eN:<R, X, *>-<R, C,(R, R*), P>, где отображения fn определяют вложения X в [0, 1]^. Функции fnonXl n£Nr склеим с отображением x\-+gx: X -> RRxR следующим образом: fn°Kx{2t — s), если Зп— 3^5 — t^3n — 2, g (s t): = x ' '' [ О в противном случае. Процесс усреднения, преобразующий функции gx в элементы gx £ С™+ читатель может найти у Карлсона [11]. Сквозное отображение х н> gx : X -> С^ш оказывается эквивариантной непрерывной инъекцией. Так как X предполагалось компактным, то это отображение фактически является вложением. 3.13. Замечание. До работы Карлсона [И] наша теорема 3.4 не была известна, а поэтому в его статье для того, чтобы гарантировать, что x^>gx является вложением, на действие тс группы R на X накладывается дополнительное условие. Сейчас мы приведем вариант обобщения, использованного в 3,12 метода для случая группы G, отличного от R (см. также: де Врис [36]). 3.14. Теорема. Пусть Z — бесконечное локально компактное топологическое пространство и пусть (G, X, гс)> — ТГП с тихоновским X веса w (X) ^L(Z), где L (Z) — число линделефова пространства Z. Тогда (G, X, тс)> можно эквивариантно вложить в линейное G-пространство (G, Cc(GxZ9 R), г)> (см. пример 5 из раздела 1). Доказательство. Хотя результат справедлив и для компактного Zt но мы для удобства будем предполагать, что Z некомпактно. Тогда существует такое семейство непрерывных функций (фг.: i £ /} из Z в интервал [0, 11* что / имеет мощность k = L (Z), и (i) для каждого i£I существует такое z. £ Z, что фД^) = 1; (ii) носители функций фг. для i £ / образуют дизъюнктное локально конечное семейство замкнутых подмножеств Z (см.: де Врис [36, с. 115]). Определим Г : RJ -> Rz формулой [ ф.(2)^., если zf носитель ф., Г(|)(2>:=(о если z (]« U носитель ф^.г для £={y.6ZGR' *z£Z. 66
Используя свойства (i) и (ii) семейства {фл *£/}, легко показать, что r(£)£C(Z., R) для каждого ££RJ, и что Г фактически является топологическим вложением RJ в Сс (Z, R) (довольно легкое, но отчасти затемненное другим аргументом доказательство содержится у де Вриса. [37, раздел 7.2]). Тогда Г индуцирует эквивариантное вложение <G, Ce(G, R'), Р> в -<G, Ct(G, C.(Z, R)), p>. Так как последнее G-пространство изоморфно (G, Сс (G X Z, R), ry (используем XII.5,3 из Дугунджи [13] и локальную компактность Z), то наша теорема непосредственно следует из 3.3. 3.15. Замечание. Если Z = [0, 1] и & = >J0, то доказанное выше редуцируется к хорошо известному факту о том, что гильбертов куб Q = [0, l]z можно вложить в пространство См([0, 1], R). Наряду с 3.3 этот результат влечет, что сепарабельное метрическое G-пространство <(G, X, те)> можно экви- вариантно вложить в линейное (^-пространство <G, Ce(G, Си([0, 1|, R)), P>«<G, CC(GX[0, 1], R), r>. Первоначально этот результат получен Рожко и Щербаковым [32]. Случай Z = R и к = $0 тесно связан с теоремой 2 Карлсона [11]. Для случая Z=G и k—L (G) приведенный выше результат встречается у де Вриса (см. [37, раздел 7.2]) в менее совершенной форме в [36]. Если G ^игма-компактно, то Сс (G, 12) является полным метрическим локально выпуклым топологическим векторным пространством (т. е. пространством Фреше). Значит, по теореме 3.2, если G сигма-компактна, то каждое сепарабельное метризуемое ^-пространство (G, X, пу можно эквивари- янтно вложить в линейное G-пространство Фреше. Тем не менее в этом случае можно получить эквивариантное вложение даже в гильбертово линейное (^-пространство. С этой целью нам понадобится гильбертово линейное ^-пространство (G, L2 (G, Я; v)^ pyi определенное в примере 7 из раздела 1. 3.16. Теорема. Пусть G — сигма-компактная группа, а Я— гильбертово пространство веса к. Тогда каждое G-пространство <(G, X, те)> с метри- зуемым фазовым пространством X веса w (X) ^ к можно жвивариантно вложить в гильбертово линейное G-пространство (G, L2(G, Я; v), р)>. Доказательство. Пространство X можно считать подмножеством единичного шара {££#; р||^1} гильбертова пространства Я. Это влечет эквивариантное вложение те : х «-> тех : <Х?, X, те>-><(С?, Cc(G, Я), р> (см. 3.1). Так как для каждого х^Х тех отображает G в единичный шар пространства Я, то тех££2((3^ Я; v), ибо v — ограниченная мера, а тех непрерывно. Так как носителем v является вся группа G, то ясно, что те: X -> L2 (G, Я, v) инъек- тивно. Непрерывность те показывается следующим образом. Пусть х £ X и е^> 0. В силу регулярности меры v в G существует такое компактное множество К, что v (G\K) <^ е2/81. Стандартная аргументация компактности показывает, что существует такая окрестность U точки х, что для всех tfc К и у £U. Далее, к-*,г< \ i«»w-%(<)pdv(«) + Sii«e(t)-%(*)iPA(t)< G\K К <4v(G\iK)+sSn-v(iK)<H 67
для всех y£U. Таким образом, тс является непрерывной эквивариантной инъекцией (G, X, тс)> в <(G, L2 (G, Н; v), р)>. Чтобы доказать, что тс — вложение,, рассмотрим такие х£Х и последовательность {#n}wFN в X, что пХп->пх в Z/2(G, Я; v), т. е. Нт\||тс^(£)— пх (t) f а\ (£) = 0. Тогда каждая последова- тельность (#Jw6N содержит такую подпоследовательность {#«,-}» с n> что" Нт||тс(£, xWt) — тс(£, ж)||2 = 0 для v-почти всех t£G. Так как каждое к* — »-*>со гомеоморфизм, то отсюда следует, что xni -> х. Следовательно, хп -> х при п -> оо. 3.17. Следствие. Если G компактно, то каждое метризуемое- G-пространство (G, X, пу можно эквивариантно вложить в гильбертово унитарное G-пространство. Доказательство. В данном случае можно положить v=fx=npa- вая мера Хаара. Унитарным G-пространством, в которое <(G, X, тс) можно эквивариантно вложить, является -(G, L2 (G, Н), р> (см. раздел 1, пример 6). 3.18. Замечания. Конструкции, вроде демонстрированной в доказательстве теоремы 3.16, можно найти в литературе в нескольких местах. Хитрость, конечно, в существовании меры v на G, т. е. в существовании весовой функции w на G, как это показано в примере 7 из раздела 1. Доказательство, данное выше, является модификацией работы де Вриса [35], которая в свою очередь опирается на результаты Байена и де Гроота [5]. Для G=Z подобный метод использован Вильямсом [43]. Следствие 3.17 является модификацией хорошо известного результата о том, что всякое представление компактной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представлению; оно есть также у де Гроота [17] и Пале [31]. В последней работе оно доказано довольно сложным методом, использующим так называемые ломтики (slices) (см. также ниже 3.19). Если G некомпактно, то возникает вопрос: можно ли метризуемое G-пространство <(G, X, ку эквивариантно вложить в некоторое гильбертово унитарное G-пространство? Кажутся необходимыми некоторые дополнительные условия, ибо положительный ответ влечет за собой существование на X инвариантной метрики 10. Наш последний результат является незначительным обобщением результата Пале [31], который доказан в случае, когда G — группа Ли. Нам нужны некоторые определения. Множество А в ТГП (G, X, ™у называется малым, если каждая точка х £ X имеет такую окрестность U, что множество (£/, A): = {t£G\ к*ипА^0) в G имеет компактное замыкание. ТГП (G, X, пу называется собственным, если каждая точка х £ X обладает малой окрестностью (определение отличается от данного в книге Бур- баки [8]; обсуждение различия см. в работе Абельса[1, 1.6]). Если J — подгруппа G, а <(7, X, тс>— ТГП, то действие х группы J на G X X можно определить формулой i* (s, х): = (sf1, к*х) для t^J и (s, х) ^G X X. Пространство орбит ТГП <7, G X X, т> (т. е. фактор-пространство пространства 10 Что существует не для всякой локально компактной группы G. — Примеч. пер.. 68
G X X, полученное отождествлением точек, лежащих на одинаковых орбитах) будет обозначаться через GXjX, а каноническое фактор-отображение GXX на GXjX — через (s, x)>-+[s, х]. Формулой ^[s, x]: = [ts, х], t£G n[s, x]£G XjX определяется такое действие ft-группы G на G XjX, что отображение жь>[е, х]: X ->G XjX — /-эквивариантно. Категорные свойства этой конструкции см.: де Врис [41]. 3.19. Теорема. Пусть (G, X, ку — собственная ТГП с сепарабелъ- ным метризуемым X. Тогда существует эквивариантное вложение <G, Х,к> в некоторое гильбертово унитарное G-npocmpaHcm,eo. Доказательство (набросок). Доказательство является модификацией раздела 4.3 статьи Пале [31]. Оно состоит из следующих этапов. 1. Если 7 — компактная подгруппа G, то всякое гильбертово унитарное /-пространство <7, #, оу допускает /-эквивариантное вложение в гильбертово унитарное G-пространство (G, Н', о'у. Это есть в точности лемма 1 раздела 4.3 из работы Пале [31]. Доказательство использует общую теорию представлений компактных групп и теорему Стоуна—Вейерштрасса. 2. Если / — компактная подгруппа G и Gb — подмножество G, то если /-пространство ^/, S, тс> можно /-эквивариантно вложить в унитарное G-npo- странство (G, Н\ а')>, то скрученное произведение (G, G XjS, я> можно G-эквивариантно вложить в гильбертово унитарное G-пространство L2(G) 0 //'. Это можно доказать, опираясь на идеи Пале [31, 2.1.4 и раздел 4.3]. 3. Если / — компактная подгруппа G и Gb — подмножество G, то для всякого метризуемого /-пространства <(/, S, тс)> существует эквивариантное вложение (G, G XjS, к} в гильбертово унитарное G-пространство. Это непосредственное следствие этапов 1, 2 и 3.17. 4. Для доказательства теоремы мы можем, не ограничивая общности, предположить, что G на X действует эффективно. Так как X сепарабельно и метризуемо, то отсюда следует, что G метри- зуемо и каждая ее компактная подгруппа является Gg-множеством в G. В силу результата Абельса [2] X можно покрыть инвариантными открытыми подмножествами, каждое из которых имеет форму (G, GXjS, тс>, для некоторой компактной подгруппы / группы G. Согласно этапу 3 каждое из них можно эквивариантно вложить в гильбертово унитарное G-пространство. Используя технику доказательства леммы 3 раздела 4.3 работы Пале [31], можно завершить доказательство. 3.20. Результаты о вложении некоторых систем в «системы переноса», которые фактически являются подсистемами <R, Сс (R), р)>, есть также в эргодической теории (см.: Эберлейн [14] и ссылки,|указанные там). ЛИТЕРАТУРА 1. Abels Н. Parallelizability of proper actions global Я-slices and maximal compact subgroups. — Math. Ann., 1974, 212, S. 1—19. 2. Abels H. A universal proper G-space. — Math. Ztschr., 1978, 159, S. 143—158. 3. Anderson B. D. Problems on group actions on (^-manifolds. — In: Transformation groups/ Ed. Kosniowski C: Proc. Gonf. Newcastle upon Tyne, 1976. Cambridge: Univ. press, 1977, p. 249—258. (London Math. Soc. Lect. Note Ser., vol. 26). 4. Baayen P. C. Universal morphisms. — Math. Gent. Tracts, 1964, N 9. 5. Baayen P. C, Groot J. de. Linearization of locally compact transformation groups in Hilbert space. — Math. Syst. Theory, 1968, 2, p. 363—379. 6. Bhatia N. P., Szego G. P. Stability theory of dynamical systems. Berlin etc.: Spring.- Verl., 1970. 69
7. Bronstein I. U. Extensions of minimal transformation groups. Noordhoff, 1979. 8. Bourbaki N. Topologie generale. Paris: Hermann, 1971. (Elements de mathematique. L. 3). 9. Bourbaki N. Espaces vectoriels topologiques. Paris: Hermann, 1953. (Elements de mathematique. L. 5). 10. Carlson D. H. A generalization of Vinigrad's theorem for dynamical systems. — J. Different. Equat., 1972, 11, p. 193—201. 11. Carlson D. H. Universal dynamical systems. — Math. Syst. Theory, 1972, 6, p. 90—95. 12. Chen S. S. An extension of the Kakutani—Bebutov system. — J. Different. Equat., 1975, 18, p. 275—276. 13. Dugundji J. Topology. Boston: Allyn and Bacon Inc., 1966. 14. Eberlein E. Einbettung von Stromungen in Funktionenraume durch Erzeuger vom endli- chten Тур. — Ztschr. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1973, 27, S. 277—291. 15. Edelstein M. On the representation of compact metrizable spaces as restrictions of linear mappings. — Ganad. J. Math., 1970, 22, p. 372—375. 16. Eisenberg M. Embedding a transformation groups in an automorphism group. — Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 23, p. 276—281. 17. Groot J. de. Linearization of mappings. — In: General topology and its relation to modern analysis and algebra: Proc. 1961 Prague Symp. Prague, 1962, p. 191—193. 18. Groot J. de, McDowell R. H. Extensions of mappings on metric spaces. — Fund, math., 1960, 48, p. 251—263. 19. Hajek O. Representations of dynamical systems. — Funkc. ekvacioj, 1971, 14, p. 25—34. 20. Herrlich H., Strecker G. E. Category theory. Boston: Allyn and Bacon Inc., 1973. 21. Janos L. On representations of selfmappings. — Proc. Amer. Math. Soc, 1970, 26, p. 529-533. 22. Jaworowski J. W. Extensions of G-maps and Euclidean G-retracts. — Math. Ztschr., 1976, 146, S. 143-148. 23. Kakutani S. A proof of Bebutov's theorem. — J. Different. Equat., 1968, 4, p. 194—201. 24. Kelley J. L. General topology. N. Y.: Van Nostrand, 1955. 25. Maclane S. Categories of the working mathematician. Berlin etc.: Spring.-Verl., 1971. 26. Manes E. G. С (X) as a dual space. — Canad. J. Math., 1972, 24, p. 485—491. 27. Maxwell C. N. Homomorphisms of topological transformation group into function spaces. — Duke Math. J., 1966, 33, p. 567—574. 28. Mostow G. D. Equivariant embedding in Euclidean space. — Ann. Math., 1957, 65, p. 432—446. 29. Немыцкий В. В. Топологические проблемы теории динамических систем. — УМН, 1949, 4, № 6 (34), с. 91—153; Engl, transl. in: Amer. Math. Soc, Transl. Ser. 1, 1949, 5, p. 414—497. 30. Paalman-de Miranda A. B. A note on ТУ-groups. —Math. Syst. Theory, 1971, 5, p. 168-171. 31. Palais R. S. On the existence of slices for actions of non-compact Lie groups. — Ann. Math., 1961, 73, p. 295—323. 32. Rozko V. F., Scerbakou B. A. An example of universal dynamical system. — Bull. Akad. Stiince RSS Moldoven, 1968, 1, p. 81—87. 33. Смирнов Ю. M. Об эквивариантных вложениях G-пространств. — УМН, 1976, 31, с. 137—147. Engl, transl. in: Russian Math. Surv., 1976, 31, p. 198—209. 34. loader G. H. A universal dynamical system. — Rev. anal, numer. theor. approxima- tici, 1974, 3, p. 215—223. 35 Vries J. de. A note on topological linearization of locally compact transformation groups in Hilbert space. — Math. Syst. Theory, 1972, 6, p. 49—59. 36. Vries J. de. Universal topological transformation groups. — Gen. Topol. and Appl., 1975, 5, p. 107-122. 37. Vries J. de. Topological transformation groups. I.—Math. Cent. Tracts, 1975, N65. 38. Vries J. de. Equivariant embeddings of G-spaces. — In: General topology and its relations to modern analysis and algebra/Ed. Novak J.: Proc. 4th Prague Topol. Symp., 1976. Prague, 1977, vol. 4, pt B, p. 485—493. 39. Vries J. de. On the existence of G-compactifications. — Bull. Acad, polon. sci. Ser. math., astron. et phys., 1978, 26, p. 275—280. 40. Vries J. de. A note on weight functions of locally compact groups: Preliminary note N 88'. Amsterdam: Math. Centrum, 1979. 41. Vries J. de. Topics in the theory of topological transformation groups. Amsterdam: Math. Centrum, 1979. 42. West J. E. Extending certain transformation group actions in separable, infinite dimensional Frechet spaces and the Hilbert cube. — Bull. Amer. Math. Soc, 1968, 74, p. 1015—1019. 43. Williams R. K. Linearization of expansive homeomorphisms. — Gen. Topol. and AppL, 1976, 6, p. 315—318.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Р. ГАРДНЕР, В. ПФЕФФЕР (США) НЕКОТОРЫЕ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ВОПРОСЫ, КАСАЮЩИЕСЯ РАДОНОВСКИХ МЕР Пусть X — локально бикомпактное пространство неизмеримой мощности. Мы показываем, что следующие утверждения не могут быть разрешены в рамках аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля,; включающей аксиому выбора.| 1) Если X — наследственно металинделёфово пространство, удовлетворяющее условию Суслина локально, то каждая конечная борелевская мера в X является радоновской. 2) Если пространство X металинделёфово, то каждая конечная радонов- ская мера в X регулярна. 3) Если пространство X наследственно сепарабельно, то каждая распределенная регулярная радоновская мера в X а-конечна. Введение Все пространства в этой работе хаусдорфовы. Для произвольного пространства X через § и ^ мы будем обозначать соответственно семейство всех открытых и семейство всех бикомпактных подмножеств X. Борелевская а-алгебра в X, т. е. наименьшая а-алгебра в X, содержащая $, будет обозначаться через М- Элементы $} будут называться борелевскими множествами. Борелевская мера в X — это такая мера р. на <^?, что каждая точка х £ X имеет окрестность U с р.(С/)<^-(-оо. Борелевская мера fx в X называется (1) радоновской, если pL(5) = sup{pL(C):CG«\ CczB) для каждого В£о%; (2) регулярной, если ^(5) = inf{pL(G):GG^ BczG) для каждого B£S3- Радоновское пространство — это пространство, в котором каждая конечная борелевская мера является радоновской. Настоящая работа разделяется на две части, каждая из которых имеет дело с одним из следующих вопросов. (а) Пусть X — локально бикомпактное наследственно металинделёфово пространство, удовлетворяющее условию Суслина. Будет ли X радоновским пространством? ((3) Пусть fx — а-конечная радоновская мера в металинделёфовом пространстве. Будет ли мера jx регулярна? 71
Мы покажем, что никакой из этих вопросов не может быть решен в рамках обычной аксиоматической теории множеств. Доказательства основаны на альтернативном применении аксиомы Мартина вместе с отрицанием континуум-гипотезы и аксиомы Йенсена [12]. Мы также отвечаем на вопрос Толла (см. [19], последний параграф в разделе 6). А именно, используя О, мы строим локально бикомпактное наследственно металинделёфово пространство, удовлетворяющее условию Суслина и не являющееся слабо 6-измель- чаемым. 1. Предварительные понятия и результаты Через \А\ мы обозначаем мощность множества А. Когда это удобно, мы будем отождествлять кардинальные числа с начальными порядковыми числами. Посредством о> и й мы будем обозначать первое бесконечное и первое несчетное кардинальное число соответственно. Пространство X называется метакомпактным (соответственно металин- делёфовым), если во всякое его открытое покрытие можно вписать открытое точечно конечное (соответственно точечно счетное) покрытие. Пространство X удовлетворяет условию Суслина, или, что то же самое, условию счетности цепей (сокращенно ССС), если каждое дизъюнктное семейство непустых открытых подмножеств X счетно. Континуум-гипотеза (сокращенно СН) означает, что 2M=Q. Аксиома Мартина (сокращенно МА) имеет несколько эквивалентных формулировок. Мы будем использовать следующую ее топологическую версию. МА: Пусть X — бикомпакт, удовлетворяющий условию Суслина и пусть Ж — семейство открытых плотных подмножеств пространства X. Если |Ж| <2Ю, то ПЖ^0. Аксиома Йенсена не будет применяться непосредственно. Мы будем использовать пространство Y (см. 2.2), построенное Осташевским [15] в пред^ положении предложенной им аксиомы и континуум-гипотезы. За формулировкой аксиомы Осташевского (сокращенно ОА) и доказательством совместимости ОА+СН с аксиоматической теорией множеств Цермело—Френкеля,; включая аксиому выбора, мы отсылаем к [15]. Затем Девлин доказал [3] эквивалентность ОА+СН и аксиомы Йенсена О х. Совместимость МА+ ПСН с аксиомами ZFC доказана в [18]. Кардинальное число х называется измеримым, если существует дискретное пространство X мощности х и такая борелевская мера vbX, что v(X) = 1 и v ({х}) = 1 для каждого х£Х. За свойствами измеримых кардинальных чисел мы отсылаем читателя к [20] или [4, глава 0, раздел 4]. Иногда мы будем упоминать (фактически без использования) 6-измель- чаемые и слабо 6-измельчаемые пространства. За их определениями и свойствами мы отсылаем читателя к [21] и [2]. 2. Радоновские пространства Свойство быть радоновским пространством является топологическим в том смысле, что оно инвариантно относительно гомеоморфизмов. Поэтому желательно было бы охарактеризовать это свойство без привлечения мер. В локально бикомпактных пространствах были найдены необходимые условия, 1 Пространство со свойствами пространства У независимо от Осташевского было построено также в [5, теорема 3] в предположении, эквивалентном аксиоме Йенсена. — Примеч. пер. 72
привлекающие такие свойства полноты, как а-веществённая компактность (см. [6, теорема 3.5]); значительный прогресс был достигнут также в получении достаточных условий в терминах покрытий. Достаточно легко увидеть, что если локально бикомпактное пространство X наследственно линделёфово, то оно радоновскоё (см. [10, раздел 52]). В [13, теорема 2] Катетов доказал, что если локально бикомпактное пространство X не содержит дискретных подмножеств измеримой мощности, то X радоновскоё всякий раз, когда оно наследственно паракомпактно. Паракомпактность была ослаблена до метакомпактности Хэйдоном (см. [11, предложение 3.2]) и затем до слабой О-измельчаемости Гарднером (см. [6, следствие теоремы 6.1]). С этими результатами на руках естественно исследовать наследственно металинделёфовы пространства. 2.1. Теорема. Предположим МА+ ~|СН. Пусть X — локально бикомпактное наследственно металинделёфово пространство. Если X удовлетворяет условию Суслина или если X удовлетворяет условию Суслина локально и не содержит дискретных подмножеств неизмеримой мощности, то X — радоновскоё пространство. Доказательство. Согласно [19, теорема 6.9 или 6.10] каждое открытое подмножество пространства X является соответственно линделё- фовым или паракомпактным. Тогда утверждение теоремы вытекает из [16, (18.15)] или [13, теорема 2] соответственно. Мы не знаем, останется ли эта теорема верной, если опустить локальное условие Суслина. Чтобы показать, что предположение МА+ ~}СН существенно, мы нуждаемся в примере Осташевского и в одном неопубликованном результате Кюнена, который любезно снабдил нас препринтом. 2.2. Предложение [15]. Предположим СН + ОА, тогда существует такое счетно-компактное небикомпактное пространство Y мощности Q, что оно совершенно нормально, локально счетно, локально бикомпактно и наследственно сепарабелъно. 2.3. Предложение [14]. Предположим СН. Тогда существует такое несепарабелъное бикомпактное пространство Z мощности Q, что оно наследственно линделёфово, тотально несвязно и не имеет изолированных точек. Более того, в Z существует такая радоновская мера v, что v (Z)=d и v (#)=0 тогда и только тогда, когда BaZ есть нигде не плотное борелев- ское множество. Ниже в этом разделе мы будем в предположении <0 строить пространство X0dYxZ. Пространство Y можно покрыть семейством {Ua : а <^ Щ непустых счетных открытых множеств. Поскольку Z наследственно линделёфово, оно удовлетворяет первой аксиоме счетности (см. [1, глава II, теоремы 6 и 4]). Согласно [19, теорема 3.27] существует точечно счетное несчетное семейство |Уа : а <^ Щ попарно различных непустых открытых подмножеств Z. Мы положим X0=\J{UaXVa:*<Q). Ясно, что Х0 — локально бикомпактное пространство с первой аксиомой счетности. Для А а Х0 и у £ Y положим Ay = {z£Z:{y, z)£A). 2.4. Предложение. Пространство Х0 наследственно металинделёфово и удовлетворяет условию Суслина. 73
Доказательство. Возьмем A CZ Х0. Если %-—открытое покрытие множества А, то обозначим через V" какое-нибудь открытое покрытие множества А, одновременно измельчающее % и {Ua X Va: а< 2}. Поскольку Ua счетно, a Z наследственно линделёфово, существует такое подпокрытие ffldty', что \{W£W:Wc:UaXVa}\^ для каждого а<^2. Из точечной счетности семейства {Va: а < 2} вытекает точечная счетность покрытия W*. Теперь предположим, что Ж — несчетное дизъюнктное семейство открытых подмножеств пространства Х0. Если D — счетное плотное в 7 множество, то для некоторого у £ D семейство [Н : Н £ Ж) несчетно. Однако это невозможно, так как Z наследственно линделёфово. Теперь мы определим конечную борелевскую меру в Х0, не являющуюся радоновской. Согласно [7, 1.4 и 5.9] пространство Y не вещественно компактно. Поскольку 7 совершенно нормально, существует такая двузначная борелевская мера X в Y, что Х(7)=1 и X ({#}) = О для каждого у £ 7. Для произвольных множеств А и В положим АкВ = (А\В) \J (В\А). Обозначим через оМ семейство тех М С Y X Z, для которых существуют такие борелевские множества My С Y и Mz С Z, что X (MY) = 1 и М' является борелевским подмножеством пространства Z и v (MykMz) = 0 для каждого у£ My- Для М £оМ положим р (М) = v (Mz). В нескольких леммах мы докажем, что оМ есть а-алгебра в Y X Z, содержащая замкнутые множества, и что р — мера на оМ. 2.5. Лемма. Семейство оМ является ^-алгеброй в Y X Z, ар есть .мера на е/^. Доказательство. Ясно, что FX Z^oM- Пусть Л£<2^ и пусть 5 = =Т X Z\4. Полагая By = Ay и J5z=Z\ylz, мы видим, что В£оЖ- Для Ап^пМ, п = 19 2, . . ., и Л= U Л положим AY= П (Л)у и Az= U (Л)*. Поскольку Х(Лу) = 1, то Л£е^. Более того, если Ап попарно не пересекаются, то v [{An)Y П (An)у] = 0, каковы бы ни были п=^=т. Следовательно, ft И) = v (Лу) = 2 v [(л„)г] =2 и- Ю- 2.6. Лемма. Пусть F — замкнутое подмножество произведения Y X Z. Тогда Ге = {у £ У : v (F ) ^ s} замкнуто в Y для каждого вещественного числа s. Доказательство. Пусть {г/J^ — последовательность в Ге, сходящаяся 00 00 к точке у £ Y. Возьмем точку z в множестве Н = U П ^„- Существует &—1 п=к такая подпоследовательность {г/и} последовательности {уп}9 что (^, zJ^F для всех п. Поскольку F замкнуто и (у'п, z) -> (y,z), мы имеем z^Fy. Значит, Н ClF и г/£Ге, поскольку v (Fy) J> v (Я) J> е. Но 7 с первой аксиомой счетности. Значит, Ге замкнуто. 2.7. Лемма. Пусть FczYxZ замкнуто. Тогда существуют такое r^Ow такое Г с 7, что X (Г) = 1 ц X (Fy) = г для каждого у £ Г. Доказательство. Пусть Ге — замкнутое подмножество пространства 7, определенное в лемме 2.6, и пусть r = sup{e:X(r.) = l}. 74
Имеем г J> О, так как Г0 = Y. Если 00 00 Г = П JV-1/Я \ U ^ Г+1/Я1 то Х(Г) = 1 и v(Fl/) = r для каждого г/£Г. 2.8. Лемма. Всякое замкнутое подмножество произведения Y X Z при- надлежит оМ* Доказательство. Пусть F замкнуто в Y X Z и пусть г и Г взяты из леммы 2.7. Для произвольного е>Ои для каждого у £ Г найдем такое бикомпактное множество С CZ Z\ F' , что v(Z\/g<v(C)+e/2. Для каждого z^Z\F существуют такие открытые окрестности U (z) и V (z) точек у и 2 соответственно, что U (z) X V(z)ciX\F. Поскольку множества V(z) покрывают Z\F , конечное число из них V (гг)9 . . ., V (zn) покры- v вают С. Полагая G(у) = П ^ (zj, мы имеем Fyt CZ Z\C для каждого у'' £G(у). k=i Если y'£G(y)riT, то v (Z \С) > v (^ U^) = 2v (/;) - v (^ П *» > 2 lv (Z \ С) - s/2] - v (Fy П *» и, следовательно, v (/-/*>) = v (Fy и*>) - v (^ n *V) < в. Поскольку Y наследственно сепарабельно, Г содержит счетное плотное подмножество {уп: п = 1, 2, . . .}. Множества 1;={</ег:</есо/„) или ^е^о/)} со открыты в Г и Г= (J Гя. Значит, Х(1\) = 1 для некоторого целого /V^l. Полагая Л8 = Г^ и He=F&N, мы получаем v(f ДЯб)^е для каждого #£А8, со Пусть теперь FY= П Л1/я. Тогда \(FY) = 1, и мы полагаем Fz = Fyo для некоим торого г/0 £ .Fy. Если г/ £ /"у, то v (^/^) < v (F,bHlln) + v (Я1/и^о) < 2/Л для /2 = 1, 2, ... Итак, v(FybFz) = 0 для каждого г/£^у и> значит, F ^vfl, Обозначая через X пополнение меры X в У, мы получаем следующее утверждение. 2.9. Следствие. Существует такая борелевская мера р. в Y X Z, что ц{В)=\*(Вг)&{у) Y для каждого борелевского множества В С Y X Z. Обозначим через [л0 ограничение меры [л из следствия 2.9 на борелевские подмножества пространства Х0. 2.10. Теорема. 0<[х0(Х0)^1 и [ifl(f/aX Va) = 0 для каждого ос<2. Доказательство. Ясно, что [а0(Х0) ^[л (7 X Z) = 1. Поскольку множества С/а счетны, [А0(С/аХ ^а)=0 для каждого ос<^&. Множества ^.= U{f/.:«<2, v(FJ>t/»}, 75
w = l, 2, ..., образуют открытое покрытие пространства Y. Значит, суще_ ствует целое N ^ 1 с X (AN) = 1. Полагая B=U{UaXVa:UuCA«}, ' мы имеем р,0 (Xq) ^> р0 (fi) ^ 1//V. 2.11. Следствие. Пространство Х0 не .является радоновским. 2.12. Следствие. Пространство Х0 не является слабо ^-измельчаемым. Доказательство. Поскольку | Х0 | = 2, пространство Х0 не содержит подмножеств измеримой мощности (см. [4, теорема 0.4.17]). Наше следствие вытекает теперь из [6] (см. теорему 4.1 и параграф после следствия к теореме 4.3). 2.13. Замечания, (а). Ясно, что мера р. из следствия 2.9 является продолжением произведения мер X X v. Мы утверждаем, что это продолжение собственное. В самом деле, поскольку семейство {Fa:a<^2} точечно-счетно, множество Xza = {y£Y:(y,z)eX0) счетно для каждого z£Z. Значит, \l(X*)dv(z)=0, Z в силу чего Х0 не является XX v-измеримым (см. [10, раздел 35, теорема А]). (Р) Примечательно то, что для построения меры р, мы использовали только следующие факты: (1) X — конечная двузначная борелевская мера в Y; (2) v — конечная радоновская мера в Z; (3) Y с первой аксиомой счетности и наследственно сепарабельно. Мы не знаем, существенна ли здесь двузначность меры X. (у) Применяя [8, лемма 4], мы можем построить меру р, и в случае, когда У — пространство всех счетных порядковых чисел, а X — мера Дьедонне в Y (см. [10, раздел 52, упражнение 10]). В этом случае мы нуждаемся только в континуум-гипотезе, но пространство будет удовлетворять условию Сус- лина лишь локально. 3. Регулярные меры Ясно, что каждая конечная радоновская мера регулярна, и легко построить нерегулярную радоновскую меру, которая не a-конечна (см. [9, пример 6]). Если радоновская мера в X a-конечна, то она регулярна, как только пространство X метакомпактно, и метакомпактность не может быть заменена 9-измельчаемостью (см. [9, теорема 1 и пример 7]). Итак, снова желательно было бы узнать, что будет, если пространство X металинделёфово. Мы начнем с того, что дадим значительно более простое и прозрачное доказательство теоремы 1 из [9]. Следуя [17, с. 43], мы будем называть борелевскую меру (хв! умеренной^ если существует счетное открытое покрытие пространства X множествами конечной меры. 3.1. Предложение. Радоновская ^-конечная мера р- в X регулярна тогда и только тогда, когда она умеренна. Доказательство. В силу a-конечности меры р существует счетное покрытие пространства X борелевскими множествами Хп конечной меры. Если 76
мера [i регулярна, то существуют такие открытые Gn, что XndGn и p. (Gn) <С <^-f-oo, и = 1,2, ... Следовательно, мера р. умеренна. Наоборот, если р. умеренна, мы можем считать, что Хп открыты. Возьмем произвольно борелевское множество А и е ^> 0. Мера в Хп, получающаяся ограничением р. на {В Г) Г\Хп: В (*<$}}, является конечной радоновской и, значит, регулярной. Следовательно, для п = 1, 2, ... существуют открытые подмножества GndXn с | р(С,)<^(ЛПХ,) + е.2- 00 Полагая G= U Gn, мы имеем w=l |*(С\Л)<^[и(С,\ЛПХ,)1<2^(С.\^ПХ,)<е. Lw=l J W=l Поскольку каждое Хя открыто в X, открыто и G, откуда и вытекает регулярность меры р, в X. 3.2. Лемма. Пусть (М, оМ, р.)— абстрактное пространство с мерой, причем мера р. а-конечна. Тогда, если 21 С е/^ — точечно-конечное семейство, то р. (Л) = 0 для всех А £ *21, за исключением, может быть, счетного их числа. Доказательство. Поскольку каждая а-конечная мера является счетной суммой конечных мер, достаточно доказать лемму для конечной меры р.. Если р.(Л)^>0 для несчетного числа А £21, то существует s^>0 и различав 00 ные Ап^^ такие, что р, (Ап) ^ в для /г = 1, 2, ... Полагая A=f) U Ап> k=ln=k мы имеем р.(Л)^е. В частности, Л=^=0, что противоречит точечной конечности семейства 21. 3.3. Теорема [9, теорема 1]. Всякая а-конечная радоновская мера р. в метакомпактном пространстве X регулярна. Доказательство. Для каждой точки х £ X возьмем ее открытую окрестность U (X) под условием р, [U (х)] < -f~°°- Пусть W* — открытое точечно- конечное измельчение покрытия {U(x):x£X}. По лемме 3.2 существует такое счетное семейство W0ClW, что p.(F) = 0 для каждого V£W\WJ0- Пусть W0 = {V19 V2, ...} и пусть V0=\J(W\W0). Ясно, что pi(FJ<+^, /2 = 1, 2, . . ., и, поскольку р. — радоновская мера, p.(F0) = 0. Итак, мера р. умеренна и согласно предложению 3.1 регулярна. Если р. — радоновская мера в X, то положим suppp. = Х\ |J {G£$ : p. (G)=0\ и будем называть это множество носителем меры р.. Ясно, что множество suppp. замкнуто и p-(G)^>0 для каждого открытого множества G, пересекающегося с supp р.. Поскольку мера р. радоновская, мы имеем также p. (X4\suppp.)=0. Для изучения регулярности радоновских мер в металинделёфовых простран_ ствах мы будем нуждаться в лемме, аналогичной [17, с. 46, теорема 13]. 3.4. Лемма. Если р. — радоновская мера в X, то существует такое дизъюнктное семейство &7) непустых бикомпактных множеств, что (1) Если D£@) и DC)G=£0 для G^$, то р.(/?П^)>0; (2) Если B£S3, то ц {В) = Е {jjl (В ПО): D £&}. Доказательство. По лемме Цорна существует максимальное дизъюнктное семейство <2$ непустых бикомпактных множеств, удовлетворяющее условию (1). Поскольку &/) дизъюнктно, 1ЧД)>ЕМЯПЯ):Яе^} для каждого В £ <$. Предположим, что B£(03hBC\\J&)— 0. Если р. (В) > О то существует С £$ с С (Z В и р (С) ^> 0. Пусть DQ — носитель меры р., огра' 77
ничейной на {Af]C: Л£<Й?}. Добавляя D0 к @)у мы получаем противоречие с максимальностью 0$. Если С £ ^, то мы можем покрыть С конечным числом множеств G£$ с p(G)<C+°°- По построению jg7 каждое открытое множество конечной меры пересекается лишь со счетным числом элементов семейства @). Значит, существует такое счетное семейство j^0 С <^, что (С\ Ui^o) П П U^ = 0. Поэтому [х(С) = [х(СП \J@0)=Z{p(CnD):D€@}.EcjmB£($f то для каждого С £ ^ с С а В. Поскольку мера [л радоновскаяу 1«(5)<Е^(£П5):Д6®}. Любое семейство ^, удовлетворяющее условиям леммы 3.4, будем называть кассой меры [а. 3.5. Следствие. Пусть р. — радоновская мера в X и пусть £$ — касса меры [х. Тогда если [х о-конечна, то SS счетна. 3.6. Теорема. Предположим МА -\- ) СН. Всякая ^-конечная радоновская мера в металинделёфобом пространстве X регулярна. Доказательство. Для каждой точки х£X возьмем ее открытую окрестность U (х) конечной меры. Пусть ^ — открытое точечно-счетное измельчение покрытия {U (х): х£Х}. По лемме 3.4 и следствию 3-5 существует счетная касса <$ меры р.. Пусть Если семейство (f}J1 несчетно, то существует такое D £ ^)у что также несчетно. Значит, {V f]D : V £??\}— не счетное, но точечно-счетное се мейство открытых подмножеств бикомпакта D. Поскольку D £ J5, то D удовлетворяет условию Суслина. Применяя следствие 3.7 из [19],. мы получаем противоречие. Следовательно, семейство ЧУХ счетно. Ясно, что \х (V) <^ -|~°° Для каждого V^^i и по лемме 3.4 имеем \)<(V0) = 0. Теперь утверждение нашей теоремы вытекает из предложения 3.1. 3.7. Теорема. Предположим СН. Тогда существует вполне несвязное с первой аксиомой счетности локально бикомпактное пространство X мощности | X | = 2, которое наследственно металинделёфово, наследственно Ь-измельчаемо и не имеет изолированных точек. Более того, существует з-конечная нерегулярная радоновская мера в X такаяг что supp \х = X и р, ({#}) — 0 для каждого х £ X. Доказательство. Возьмем пространство Z и меру v в Z из предложения 2.3. Для неотрицательных целых к и п положим qk п = (к2~п, 2~п). Пусть Q = {qktU:k = 09 ...,2W; п = 0, 1, ...} i Х = [0, 1]U((? X Z). Обозначим {qktK} X Z через Zktn и зададим топологию в X посредством базы окрестностей. Если х = (qk^ п, z) принадлежит У X Z, то базу окрестностей точки х образуют множества вида {qktn} X Vr ^де V—окрестность точки z в Z. Сложнее определить базу окрестностей $ точке #£[0, 1]. Как мы уже показали во втором разделе, существует ючечно-счетное семейство Ж непустых открытых подмножеств пространства Z, гмеющее мощность. Q. Поскольку Z вполне несвязно, мы можем предположить,, то Ж состоит из открыто-замкнутых множеств. В самом делег для этого до- 78
статочно взять непустое открыто-замкнутое множество в каждом из Н £ Ж. Мы можем также предположить существование такого г > О, что v (Н) ^ г для каждого Н £ Ж. Согласно континуум-гипотезе существует биекция х -> -> Н (х) между [0, 1] и Ж. Обозначим {qkf J X Н (х) через Нкп(х). Теперь база окрестностей точки ж£|0, 1] определяется множествами U (х, е) = = {.}UU{ffMW:gM^H|K-»-x|<2-1<^ где е>0. Чтобы облегчить геометрическую интерпретацию множества U (х, е), мы заметим, что проекция множества U (х, &)\{х) на Q состоит из тех точек qkfn, которые лежат внутри открытого клина в [0, 1] X [0, 1] с вершиной в точке (ж, 0), высоты е/2 и с крутизной сторон, равной +2. Легко проверить, что с этой топологией X является локально бикомпактным вполне несвязным хаусдорфо- вым пространством с первой аксиомой счетности, не имеющим изолированных точек. Покажем, что произвольное подпространство Е пространства X мета- линделёфово и б-измельчаемо. Поскольку произведение Q X Z наследственно линделёфово, оно наследственно паракомпактно. Значит, каждое открытое покрытие пространства Е имеет открытое измельчение вида lt = WU{U(x, О:^[0.1]ПЯ}. тде ?/ — точечно-счетное семейство открытых подмножеств пространства Q X Z. Предположим, что некоторое х0 £ X содержится в несчетном числе множеств U (х, гх). Тогда существуют такие целые кип, 0 ^к^2п, что х0 содержится в Нк п(х) для несчетного числа #£10, 1]. Однако это невозможно, поскольку [Нкп(х):х£[0,1]} является точечно-счетным семейством в Zk я. Следовательно, % точечно-счетно. Полагая СО ,л = 1, 2, . .., мы сразу же видим, что (J °$'п есть 6-измельчение покрытия U. п=1 Обозначим через vfe п радоновскую меру в Zk я, индуцированную мерой v посредством естественного гомеоморфизма между Zkn и Z. Если В — борелев- ское подмножество пространства X, то положим 2й к=0 ц (Я) = 2 2"* 2 Ч „(*№,.). Поскольку для каждого целого п ^ 0 множество U (х, е) пересекается не более чем с одним Zk я, мы имеем fi [U (х, е)] ^ 2. Поэтому \х — борелевская мера в X. Поскольку каждое vfe является конечной радоновской мерой в Zk я, легко видеть, что [х есть а-конечная радоновская мера в X. Далее, supp [i = X, поскольку Q X Z плотно в X и supp vfcj п = Zki п, к = 0, . ..,2W, /г = 0, 1, ... Ясно, что р. ({#}) = 0 для каждого ж£Х. Пусть G — открытое подмножество пространства X, содержащее [0,1]. Для каждого х^[0, 1] существует U (х, ex)czU. Рассмотрим естественную топологию на [0, 1]. По теореме Бэра о категориях существуют непустой открытый интервал о7 С [0, 1] и такое е^>0, что множество {х £ J : ех > 2е} плотно в 3. Итак, Нкп(х) ciG, как только qk^ п £ J X [0, е]. Возьмем целое /V ^ 1 так, что l{fc:?*.»€^X[0, «]}|>2. 79
Тогда |{*:?*.Ач„е^Х[0, в]}|>2\ « = 0, 1, ..., и поэтому ^(6)>2 2-(Л'+и)(2вг) = +оо. Поскольку р<([0, 1])—. О, мера р, нерегулярна. ЛИТЕРАТУРА 1. Alexandroff P. S., Urysohn P. S. Memoire sur les espaces topologique compacts. — Verhandel. Koninkl. Akad. wet. Amsterdam. Afd. natuurkunde, 1929, 14, biz. 1—96. Рус. пер.: Александров П. С, крысой П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука, 1971. 2. Bennett Н. R., Lutzer D. J. A note of weak 6-refinability — Gen. Topol. and Appl.,. 1972, 2, N 1, p. 49-54. 3. Devlin K. J. Variations on 0. — J. Symbol. Log., 1979, 44, 1, p. 51—58. 4. AmDickmann M. Large infinitary languages. Amsterdam: North-Holland, 1975. 5. Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств. — Мат. сб., 1976, 99, № 1, с. 3—33- Engl, transl. in: Math. USSR Sb., 1976, 28, N 1, p. 1-26. 6. Gardner R. /. The regularity of Borel measures and Borel measures-compactness. — Proc. London Math. Soc, 1975, 30, p. 95—113. 7. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N. Y.: Van Nostrand, 1960. 8. Gruenhage G., Pfeffer W. F. When inner regularity of Borel measures implies regularity.— J. London Math. Soc. Ser. 2, 1978, 17, N 1, p. 165—171. 9. Gruenhage G., Gardner R. J. Completeness and weak covering properties, and measure- compactness. — J. London Math. Soc. Ser. 2, 1978, 18, N 2, p. 316—324. 10. Halmos P. R. Measure theory. N. Y.: Van Nostrand, 1950. 11. Hay don R. On compactness in spaces of measures and measure-compact spaces. — Proc. London Math. Soc, 1974, 29, p. 1 — 16. 12. Jensen R. B. The fine structure of the constructible hierarchy. — Ann. Math. Log., 1972r 4, p. 229—308. 13. Katetov M. Measures in fully normal spaces. — Fund, math., 1951, 38, p. 73—84. 14. Kunen K. Paracompactness of box products of compact spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1978, 240, p. 307—316. 15. Ostaszewski A. J. On countably compact, perfectly normal spaces. — J. London Math. Soc Ser. 2, 1976, 14, N 3, p. 505—516. 16. Pfeffer W. F. Integrals and measures. N. Y.: Marcel Dekker, 1977. 17. Schwartz L. Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. London: Oxford Univ. press, 1973. 18. Solovay R. M., Tennenbaum S. Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. — Amu Math., 1971, 94, p. 201—245. 19. Tall F. D. The countable chain condition versus separability applications of Martin's axiom. — Gen. Topol. and Appl., 1974, 4, p. 315—339. 20. Ulam S. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre. — Fund, math., 1930, 16r p. 140—150. 21. Wicke H. H., Worrel J. M. Characterizations of developpable topological spaces. — Canad. J. Math., 1965, 17, p. 820-830.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 А. ДОЛЬД, Д. ПУППЕ (ФРГ) ДВОЙСТВЕННОСТЬ, СЛЕД И ТРАНСФЕР Введение Имея в виду топологические приложения, мы рассмотрим понятия «сильной двойственности» (разделы 1,2), «следа» (раздел 4) и «трансфера» (раздел 5) в моноидальных категориях. Прежде всего мы имеем в виду следующие моно- идалъные категории: 1. Mod/? — категория модулей над некоторым коммутативным кольцом R (см. 1.4). 2. d-Modfi — категория цепных комплексов (см. 1.5, 1.8). 3. Stab — стабильная гомотопическая категория (см. раздел 3). 4. Stab^ — стабильная гомотопическая категория над некоторым пространством параметров В (см. раздел 6). 5. StabG — стабильная G-эквивариантная гомотопическая категория, где G — некоторая группа (см. раздел 7). 6. Стабильная теория шейпов (см. раздел 8). Сильная двойственность в категории Stab есть /^-двойственность в смысле Спеньера—Уайтхеда [19]. Мы даем прямое геометрическое доказательство ^-двойственности между корсами г и их дополнениями (3.1), которое легко обобщается на случай категорий Stab5 (6.1), StabG (7.1), а также на случай стабильной теории шейпов (8.1). В доказательстве теоремы 3.1 не используется двойственность Александера, являющаяся следствием этой теоремы (см. 3.3). Другим следствием является теорема Лефшеца—Хопфа о неподвижной точке (4.6). Результаты раздела 6 о категории Stab# тесно связаны с результатами Дольда [2—4] и Беккера—Готтлиба [1]. Изучая последнюю работу, мы заметили, что в круге ее идей и методов весьма мощным орудием оказываются некоторые простые абстрактные понятия. Введение последних не только дало возможность заменить некоторые специальные вычисления концептуальными доказательствами (ср., например, с. 4.4 и 4.5), но позволило также усилить некоторые результаты: расширяя категорию Stab# до категории спектров, удается избавиться от предположения Беккера—Готлиба конечномерности базового пространства В. В частности, наша теорема 6.2 сильнее теоремы 1.1 Готтлиба—Беккера [1]. В работе отсутствуют некоторые доказательства. Полное и подробное изложение будет опубликовано. 1 Следуя Рохлину и Фуксу, мы используем термин «коре» для компактных окрестност- ных ретрактов сферы. — Примеч. пер. 81
1. Двойственность в моноидальных категориях Пусть ^ — симметричная моноидальная категория с умножением 0 и нейтральным объектом /. Это означает, что 0 есть бифунктор (А, В) <-> А 0 В из ^ в ^ и что имеются согласованные естественные эквивалентности А®(В®С)д*{А®В)®С, I®Ag^A^A(g)I, т = Т^: А® В^> В 0 А. Опыт подсказывает нам, что первые две эквивалентности можно заменить равенствами. С третьей же эквивалентностью надо действовать осторожнее, так как, вообще говоря, уАА : А®А -> А®А не есть тождественное отображение. Объект В из <$ называется {слабо) двойственным, или дуальным, объекту Л, если он является представляющим объектом для функтора X ь-> ^ (Х0Л, I), т. е. если имеется естественная по X биекция 1.1. ?(Х®4, /)^?(Х, В). Полагая Х = 5, получаем соответствующий морфизму ids £^(5, В) морфизм е = еА : В 0 А -^ /, называемый эвалюацией. Пусть ^* — такая полная подкатегория категории <$, объекты которой обладают двойственными объектами. Сопоставляя каждому объекту А какой-нибудь двойственный 2 объект DA, получаем функтор D: ^* -> ^. Для /£^*(Л, Л') двойственный (или транспонированный) морф-изм Df^W(DAf, DA) определяется требованием коммутативности диаграммы £>Л'0 Л —^£МГ0Л' 2>/(8)id I I еА, £>Л (g) А ——> / Объект /, очевидно, двойствен сам себе. Поэтому можно положить DI = I. В силу 1.1 морфизм X->DA задается морфизмом Х0Л->/. Если существуют объекты DA и DDA, то, используя это обстоятельство, зададим морфизм 8 = ЬА : А -^ DBA композицией А 0 ZM -^ />Л 0 А —> /. Если 8^ — изоморфизм, то А называется рефлексивным объектом. Аналогично для дуализируемых А и В с дуализируемым В 0 Л зададим р. = р4Д :DA(g)DB->D(B(g) А) композицией £>Л 0 £>£ 0 £ 0 Л -——U> -* £Л07 0Л = £Л0 Л —-> /. 1.2. Определение. Объект Л называется сильно дуализируемым, если он рефлексивен и \s.A DA (или, эквивалентно, композиция DA 0 Л > DA 0 0 2)£)4 —> D (DA 0 А)) есть изоморфизм. Последнее означает, что DA 0 Л (канонически) автодуален. В случае, когда А сильно дуализируем, говорят, что А и DA сильно двойственны или что DA есть объект, сильно двойственный к А (это отношение, очевидно, симметрично). Для сильно дуализируемого А определим коэвалюацию t\ = t\A : / -> А 0 ZM композиций / = /)/ —- D(DA(g)A) -^ DA&DDA -^|i~l DA 0 Л -i> 4®Ш. 2 Заметим, что двойственный объект определен однозначно с точностью до изоморфизма. — Примеч. пер. 82
1.3. Теорема. Пусть А и В — объекты симметричной моноидальпой категории ^ и пусть е:В£>§А->1 — некоторый морфизм. Следующие три утверждения эквивалентны: (a) Объекты А и В сильно двойственны, и е есть эвалюация* (b) Существует такое отображение г\: / -> А (g) В, что нижеследующие композиции суть тождественные морфизмы соответственно для А и В: icL : А = I <g) A -> A(g)B<g)A ■> -A(g)I = A, \dB:B = B®I ■> B(g)A(g)B > I(g)B = B. (c) Отображение срху:^(Х, 7 (g) B) -> ^(X (g) Л, 7), переводящее f : X -**• -> 7 (g) J5 в композицию /®idj idv®e X (g) Л 7 ® 5 (g) Л -> 7 (g) / = Y, есть биекция для любых X, 7 аз ^. Кроме того, при выполнении хотя бы одного (а значит, и всех) из этих* трех условий морфизм т\ из (Ь) заведомо является коэвалюацией, и биекция ср/4 из (с) переводит его в I (g) А=А > А. Доказательство. Утверждения (Ь) и (с) эквивалентны потому, что- оба они являются хорошо известными выражениями того факта, что функторы X i-* X (g) Л и 7 !-► 7 (g) 5 сопряжены, где морфизмы сопряжения суть id у ®£ idjf'gT] коединица У0В®4 > 7 (g) / = 7 и единица X = X (g) / —: > X (g) ® Л (g) 5 (см.: Маклейн [11, § IV. 1]). Так как (Ь), очевидно, симметрично относительно А и В, то это же верно и для (с). После этого наблюдения импликация (с) => (а) почти тривиальна. Нетрудно показать, что (а) => (Ь), если выписать соответствующую диаграмму, но эти детали мы опустим. Идеей этой теоремы мы обязаны работе Линднера [10], где мы впервые обнаружили утверждение (Ь). Сильно дуализируемые объекты в моноидалъ- ных категориях изучалц также Парегис [13] и Лигон [9], называвшие их «конечными объектами», но их цели существенно отличаются от наших целей. 1.4. Пример. Модули. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим категорию ^ = Mod/? унитарных /?-модулей. Обычное тензорное произведение превращает ^ в моноидальную категориюу где кольцо R, рассматриваемое как модуль над самим собой, есть единица /. Любой модуль А обладает (слабо) двойственным модулем £М = Нотя(Л, R), при этом е есть обычная эвалюация. Ясно, что любой конечнопорожденный проективный модуль сильно дуализируем. Верно и обратное3. Действительно, пусть т](1) = п = ^а(.® Ъ{, где r\: R -> A (g) Hom^ (A, R) — коэвалюация. Тогда отображения п А-> Rn вида а ь-> (е (6. 0 а) | i = 1, . . ., п) и Rn -> А вида х ь-> 2 xiai устанав- ливают изоморфизм между А и прямым слагаемым Л-модуля Rn. Если R — поле, то А строго дуализируем тогда и только тогда, когда он рефлексивен. В общем случае это неверно: если R = Z, то бесконечное счетное прямое про- 3 Т. е. конечнопорожденный сильно дуализируемый модуль проективен. — Примеч. пер^ 83
ятзведение и бесконечная счетная прямая сумма экземпляров кольца Z — двойственные друг другу модули. Следовательно, каждый из них рефлексивен. Но ни один из них не является сильно дуализируемым. п Если модуль А имеет конечный базис av . . ., ап, то г\ (1) = 2 ai £§) at', где а[, , . ., ап есть двойственный базис модуля Нот^Л, R). 1.5. Пример. Цепные комплексы и цепные отображения. Пусть R такое же, как и в 1.4. Рассмотрим категорию ^ = d-Mod7? цепных комплексов Л = = {Aq, д: Aq-> Aq_! | q £Z}, состоящих из /?-модулей и «граничных операторов» д. Морфизмами этой категории являются цепные отображение f = {fq:Aq-> ->J5g|g£Z), состоящие из линейных отображений /д, коммутирующих с д. Тензорное произведение цепных комплексов задает в ^ моноидальнуъэ структуру вида (А®В)Я= 0 Ар <g) В, <Э (a <g) 6) = да <g)6 + (—1)1«1а ® 96, ,где |а| = /? при а£Ар. Нейтральный объект / есть I = {Iq\q(*Z}, где /0 = # и Iq = 0 при д=т^0. Легко видеть, что 0 ассоциативно и что / — действительно нейтральный объект, в то время как коммутативность умножения 0 дается эквивалентностью y:4®5->J5®i вида а £§) Ъ н-> (—1)|а| |6|6 ® а, так что ^ — моноидальная категория. Любой цепной комплекс А обладает а (слабо) двойственным объектом DA, где (DA)q = HomR(A_q, R), где (£М)д —* —> (ZM) х имеет вид I дн>(—1)5-'&Э I R R и эвалюация определяется очевидным образом. Цепной комплекс Л называется конечнопорожденным, если А — конечно- порожденные модули для всех q и если Aq =^= 0 лишь для конечного числа q9 Мы называем А проективным, если Aq — проективные модули для всех q, хотя отсюда вовсе не следует, что А есть проективный объект в d-Mod/?. 1.6. Предложение. Цепной комплекс А сильно дуализируем е д-Мос1д тогда и только тогда, когда он конечнопорожден и проективен. Мы отложим (легкое) доказательство до 2.4, где оно в то же время будет иллюстрировать взаимосвязь двойственности и моноидальных функторов. Даже в случае, когда R — поле, рефлексивный цепной комплекс А не обязан быть сильно дуализируемым, так как А рефлексивен тогда и только тогда, когда Aq есть конечнопорожденные векторные пространства для всех q. В этом случае может оказаться бесконечно много таких q% что Aq=^=0. Если цепной комплекс А имеет конечный базис ах, . . ., ^(под последним мы понимаем объединение базисов модулей А для всех д), то, как и в случае модулей, коэвалюация т]: / -> A XDA имеет вид 1.7. 1(1)=2«<®<, где а{, . . ., а'п есть двойственный базис для DA, характеризуемый условиями lflil = —lfl»l» a,-(a») = 1> ai(aj)z=Q Для всех * и Для тех /т4*» чт0 \aj\ = = \аЛ. 84
Формулу 1.7 можно доказать либо вычислением отображения, двойственного к е, либо, более просто, проверкой того, что условие (Ь) из 1.3 выполняется, если определить т] равенством 1.7. 1.8. Пример. Цепные комплексы и гомотопические классы цепных отображений. Эта категория аналогична моноидальной категории предыдущего примера, с той лишь разницей, что морфизмами являются не сами по себе цепные отображения, а гомотопические классы последних. Эту категорию мы обозначаем через Но (d-Mod/г). 1.9. Предложение. Цепной комплекс А сильно дуализируем в Но (d-Modfi) тогда и только тогда, когда он гомотопически эквивалентен цепному комплексу, сильно дуализируемому в d-Mod.R. Доказательство. Достаточность очевидна. Мы опускаем доказательство необходимости, которая в этой статье использоваться не будет. 2. Моноидальные функторы Пусть ^ и ^' — две моноидальные категории с нейтральными объектами соответственно /и/'. В обеих категориях умножение обозначается через 0. Моноидальный функтор Т : ^ -> сё' есть функтор с заданными естественными преобразованиями % = ^Ав - ТА§§ТВ -> Т {А§§В), Г -> TI, согласованными с естественными эквивалентностями, описывающими ассоциативность и коммутативность умножения (£) и «нейтральность» объектов /и/'. Кроме того, здесь мы считаем /' -> TI эквивалентностью, так как это имеет место во всех iHanmx приложениях. Следовательно, можно даже считать, что Т1—Г. 2.1. Примеры моноидальных функторов: (a) Пусть ^ — моноидальная категория, в которой каждый объект А обладает двойственным объектом DA. Тогда D : ^ -> ^ есть (контравари- лнтный) моноидальный функтор (см. раздел 1). (b) Канонический функтор д-Мо&п -> Но (d-Mod/?) (см. 1.5, 1.8). (c) Пусть Gr-Mod/г — категория градуированных Л-модулей, т. е. полная подкатегория категории d-Mod/?, состоящая из цепных комплексов € нулевыми граничными операторами. Тогда имеем моноидальные функторы Gr-Mod/г С дМо&к -> Gr-Mod/?, где последний функтор заменяет граничные операторы нулевыми операторами. (d) Функтор гомологии Н : Но (d-Mod7?) -> Gr-Mod/?. (e) Функтор Gi— Mod7l> -> Mod/? вида А ь^ © А . qez В разделе 3 мы рассмотрим моноидальные функторы в стабильной гомотопической категории, особенно интересные для нас из-за подразумеваемых в дальнейшем приложений. Назовем моноидальный функтор Т согласованным с умножениями, или сохраняющим умножения, если естественное преобразование т есть эквивалентность. Это имеет место в примерах (Ь), (с), (е), но, вообще говоря, неверно в (a), (d). Исследование ситуаций, в которых %АВ есть изоморфизм для конкретных А и В, проводить нецелесообразно. 2.2. Теорема. Пусть Т : ^ -> ^"—моноидальный функтор и А — сильно дуализируемый объект категории ^. Тогда следующие условия эквивалентны', (а) т : ТА 0 ТХ -> Т (A (g) X) есть изоморфизм для всех X из %. 85
(b) т : ТА <g) TDA -> T {A (g) Z>4) — изоморфизм. (c) Имеется морфизм f, превращающий диаграмму TI —^ T{A®DA) II * I Г г »•-> гл ® гол в коммутативную. Доказательство. Импликации (а) =>(Ь) =>(с) очевидны. Для дока- зательства импликации (с) => (а) предположим, что имеет место (с), и рассмотрим композицию Т(А®Х) = Г($Т(А<£)Х) —Л TA®TDA®T(A®X) -^ -+TA(g)T(DA<g)A<g)X) Ы®Т{*®1Я ГЛ®Г(/®Х) = = ТА ® ЗГА". Из 1.3 (Ь) легко следует, что она обратна морфизму х : ТА (§) ГХ -* Г (А ® Z). 2.3. Определение. Пусть Т :с&-><$'—моноидальный, функтор. Объект А категории ^ называется, Т-плоским, если он строго дуализируем и удовлетворяет одному из эквивалентных условий (а)—(с) из теоремы 2.2. Если Т сохраняет тензорные произведения, то понятия «Г-плоского» и «сильно дуализируемого» объекта совпадают. 2.4. Следствие. Для любого Т-плоского модуля А модули ТА и TDA сильно двойственны, причем эвалюация есть TDA <g) ТА -^> Т (DA <g) А) -^ TI = Г, а коэвалюация Г = Т1 —+ Т(А& DA) —-> ТА ® 77)Л. Доказательство. Примените Т к условию (Ь) из 1.3 и используйте 2.2 (а). Доказательство предложения 1.6. Пусть Т : d-Mod/г -> Gr-Mod/г -> Мос1я ^^ 0 Aq qez есть композиция функторов 2.1 (с) и 2.1 (е). Тогда Т сохраняет тензорные произведения. Если А сильно дуализируем, то в силу следствия 2.4 таков же и ТА. Следовательно, ТА — конечнопорожденный проективный модуль в силу 1.4. Но это, очевидно, равносильно тому, что А — конечнопорожденный цепной комплекс в смысле 1.5. Обратно, считая А конечнопорожденным и проективным, увидим, что канонические отображения A -+DDA, DA&) §§А -> D (DA0A) переводятся функтором Т в соответствующие отображения с ТА вместо А. Если, кроме того, А проективен, то эти последние преобразования суть изоморфизмы. Но Т переводит в изоморфизмы лишь изоморфизмы. Следовательно, А сильно дуализируем в силу 1.3 (а). Мы закончим этот раздел исследованием понятия Г-плоскоети для примеров (а) и (d) из 2.1. Рассмотрим функтор (§): ^Х^ -> ^, где ^ — некоторая моноидальная категория. В очевидной моноидальной структуре на fxff этот функтор есть моноидальный функтор, сохраняющий тензорные произ- 86
ведения. Из п. 2.4 следует теперь, что тензорное произведение сильно дуализируемых объектов есть сильно дуализируемый объект. Это означает, что полная подкатегория ^ категории ^, состоящая из сильно дуализируемых объектов, есть моноидальная подкатегория категории ^ и что функтор D: ^ -> ^ сохраняет тензорные произведения. Следовательно, понятия «Г-плос- кий» и «сильно дуализируемый» равносильны. Применительно # примеру (d) мы имеем 2.5. Предложение. Пусть Н : d-ModR-> Gr-ModR — функтор гомологии и пусть А — такой цепной комплекс, что Aq — плоский R-модуль для любого q£Z. Рассмотрим следующие утверждения: (a) Для любого q £ Z Н (А) есть плоский R-модуль. (b) Для любого цепного комплекса X т : НА (§) НХ -^ Н (A (g) X) есть изоморфизм. Тогда (Ь)=>(а). Обратное (т. е. (а) => (Ь)) верно при выполнении одного из следующих условий: (1) А гомотопически эквивалентен цепному комплексу В, ограниченному снизу {т. е. для некоторого q0£Z имеем Bq — 0 при q <^q0). (2) Глобальная гомологическая размерность кольца R конечна. Доказательство. Утверждение (Ь) =>(а) очевидно. Обратное легко свести к случаю, когда X есть просто модуль М, используя короткую точную последовательность цепных комплексов 0 -> ZX -> X -> ВХ -+ 0. Теперь можно написать проективную резольвенту Р для М и сравнить 4®М с двойным комплексом А ® Р. В общем случае импликация (а) => (Ь) ложна. Например, R — Z/4Z, А = = Z/4Z для всех g£Z, оператор д есть умножение на 2 и Х = Х0 = М = = Z/2Z. 3, Стабильная гомотопическая категория Определим стабильную гомотопическую категорию Stab следующим образом: ее объекты суть пары (X, п), где X — хорошо пунктированное компактно- порожденное пространство (не обязательно хаусдорфово) и п — целое число. Множество морфизмов из (X, п) в (У, т) есть Stab ((X, п), (У, яг)) = = colim [Sn+k Д X, Sm+k Д У], где Д есть смаш-умножение (т. е. А /\В = /с->со = А X В/А\/ В), скобки [ , ] обозначают множество гомотопических классов и отображения стабилизации [SlX, SJY] -> [St+1X, SJ+1Y] задаются смаш-про- изведением с S1. Определение композиции морфизмов очевидно. Моноидальная структура в Stab задается формулой (X, n)®(Y, m) = (X/\Y, п+т). Чтобы сделать ее функториальной, мы должны быть несколько внимательнее и ввести знак. Если два морфизма (X, п)->(Х', п') и (У, т) -> (У, т') представлены соответственно отображениями / : Sn+k Д X -> Sn'+k Д Х\ g : Sm+l AY^ Sm'+l Д У, fAg- sn*k Л * Л sm+l AY^ sn'+k Л *' Л sm'v l A Y', то их тензорное произведение ((^-произведение) надо преобразовать в морфизм sn+m+k+i д х д у _^ 5п'+т>м+1 д х' Д У, поменяв средние сомножители и 87
умножив (гомотопический класс) на (—\^п+пГ)\ После этого конструкция: станет согласованной с отображениями стабилизации. Нейтральный объект есть I = (S°, 0). Эквивалентности, описывающие ассоциативность для 0 и нейтральность для /, строятся очевидным образом. Коммутативность умножения £§) дается эквивалентностью у : (А, п) 0 (У, т) -> ->(Y, т) £§) (А, /г), представляющей собой (—1)г'ш-кратный Гохмотопический класс отображения X /\Y -> Y Д X (знак необходим, так как иначе не получится естественного преобразования). Функтор £§) (5°, р) обозначается через Ия : Slab -> Stab, при этом Ир (X, п) = — (£°ДА, /г-(-/?) = (А, п-\~р). Функторы Lp определены для всех /?£Z, причем Лр о И9 = Т>р+д и И° есть тождественный функтор. Вместо (X, 0) мы иногда будем писать просто X, так что вместо (А, п) можно писать IPX. Если р ^ 0, то имеется очевидный изоморфизм (S°, p)^(Sp, 0), являющийся тождественным морфизмом сферы Sp. Отсюда следует, что Ipv эквивалентен смаш-умножению на Sp, т. е. обычной р-кратной надстройке. Иногда бывает удобным представлять пунктированное пространства парой пространств. Имея отображение i : X' -> X одного (непунктирован- ного) пространства в другое, условимся через (А, X') обозначать объект С{ = (С{, 0) категории Stab, где С{ есть конус отображения /, отмеченная точка которого есть вершина. Обычно из контекста будет ясно, о каком отображении i идет речь. Как правило, i будет включением А'сА. Заметиму что (X, 0) есть Х+, т. е. несвязное объединение X и отмеченной точки. 3.1. Теорема. Пусть К — некоторый коре, f С R". Тогда (К, £) и S~W(RW, R" — К) — сильно двойственные объекты категории Stab. Сильная двойственность в категории Stab не отличается от двойственности Спеньера—Уайтхеда (см. Спеньер и Уайтхед [19], Спеньер [18], Свитцер [20] 4). Если К — подразбиение в некотором симплициалыюм разбиении пространства Rw, то эта теорема сводится к лемме 5.1 работы Спеньера [18 L Откладывая в сторону доказательство более общей теоремы, заметим, что предложенное нами доказательство не зависит и сильно отличается от предшествующих доказательств. Оно состоит в точном описании эвалюацииико- эвалюации в категории Stab и проверки условия (Ь) из 1.3 геометрическими методами. В частности, мы не пользуемся двойственностью Александера. Напротив, двойственность Александера есть следствие теоремы 3.1, что мы и собираемся показать. Для /?-модуля М обозначим через (М, п) такой цепной комплекс, что (М9 n)q = M при q = n и (М, лг)д = 0 при q=^n. Для пунктированного пространства А' с отмеченной точкой х0 обозначим через SX сингулярный комплекс пары (А, х0) с коэффициентами в R. «Продолжим» эту конструкцию до функтора S: Stab -> Н0 (d-Mod7?) следующим образом: объект (А, п) из Stab переведем в (R, ri)®SX. Морфизм f:(X, п) -> (Y\ т) из Stab представим пунктированным отображением fk : Sn+k Д А -> Sm+k Д Y с некоторым Свитцер определил ^-двойственность, потребовав биективности некоторых отображений,, обозначенных им D„ и ^D. Как следует из нашей теоремы ЗЛ, биективность одного иа этих отображений влечет биективность другого. 88
ifc£Z. Рассмотрим диаграмму (Д, n + k)(g>SX -* (Д, m-+-k)<g)SY I I SS"+k (g) 5X ^5"*+fc <g> 5 F I I ^ ^»+л д X) _*> £ (Sw+* Л Y) Вертикальные стрелки суть цепные гомотопические эквивалентности, верхние из них индуцированы эквивалентностью SSl о^. (/?, Z), а нижние стрелки суть отображения Эйленберга—Зильбера. Верхняя горизонтальная стрелка есть морфизм категории Но (d-Mod/?), делающий диаграмму коммутативной, вдвигая градуировку на к, мы превратим его в морфизм Sf:(R, n)<g>SX-+(R, m)(g)SY. Но теореме Эйленберга—Зильбера, имеются естественные эквивалентности S(X, л)® .У (Г, m) = (R, n)($SX(${R, m)(g)SY^ ^{R, n^rm)($SX(g)SY->{R, n-\- m) <g) S {X /\Y) = = S(X/\Y, ?i + m) = S[(X, n)®(Y, m)]. ^Следовательно, имеем 3.2. IT p e д л о ж e н и е. Функтор S : Stab -> Но (d-Mod/?) есть моноидалъ- ный функтор, сохраняющий тензорные произведения. Применяя следствие 2.4 к этому функтору S, из теоремы 3.1 получаем 3.3. Следствие. Для лежащего в Rn корса К цепные комплексы SK и (R, — n)(g>S(n\ Rn—K)^(R, I —„,)($,§ (Rn—К) сильно двойственны -ff'Ho(tf-ModA>). Отсюда очевидным образом следует двойственность Александера между К и R" — К (здесь SK обозначает сингулярный комплекс корса К, a S (RM> R'— К) есть SIV/S {Пп — К). Оставшаяся часть этого раздела посвящена доказательству теоремы 3.1. Прежде сообщим дополнительную информацию о представлении пунктированных пространств парами пространств. Отображение пар (/, /') : (X, X') -> —>(У, Y'), т. е. коммутативная диаграмма Х—-> Y 'I V х' —-+ г индуцирует пунктированное отображение С. -> С . одного конуса в другой, т. е. морфизм категории Stab, обозначаемый через (/, /') или просто через /. Если как / : X -> Y, так и /' : X' -> Y' — гомотопические эквивалентности, то таково же и индуцированное отображение С. -> С ., так что / есть изоморфизм категории Stab. Следующая лемма утверждает, что вырезание есть изоморфизм категории Stab. Чтобы избежать дискуссии о понятии подпространства в категории компактнопорожденных пространств, мы будем считать все пространства метрпзуемыми, хотя лемма справедлива и в гораздо более общей ситуации, чем она формулируется. 89
3.4. Лемма. Пусть X — метризуемое пространство и пусть X' и U — такие его подпространства, внутренности которых покрывают X. Положим U'' = UОХ''. Тогда включение (С/, U')d(X, X') есть изоморфизм категории Stab. Доказательство. Пусть v : X -> [0, 1] — такая непрерывная функцияг что С1 {х | v (ж)< 1} С X', С1 {х | v (х) >0}сР (где С1 обозначает замыкание). Для конуса включения X' С X используем запись X\JCX'. Рассмотрим коммутативную диаграмму (U—U')\J{(x, t)\x£U'9 t^v(x)} -^ U\JCU' \ h \g \ \ (X-X')\J{{x, t)\x£X'f t^v{x)} —-+ ХЦСХ', где g индуцировано включением (С/, U') С (X, X'). (При этом g не обязана быть топологическим вложением.) Горизонтальные включения суть гомотопические эквивалентности, так как имеются очевидные деформационные ретракции на подпространства. Легко проверить, что h есть гомеоморфизм, поэтому g есть гомотопическая эквивалентность. Пусть теперь X' С X и У (Z Y. Как обычно, положим (X, X') X (У У) = = (X X Y, X' X Y U X X У), хотя это не есть произведение в смысле теории категорий. Снова для простоты считаем X и Y метризуемыми. 3.5. Лемма. В категории Stab имеется канонический морфизм (X, X') ® (У, Y') -> (X, Хг) X (У, У). £^сла X' и X открыты соответственно в X и Y, то он есть изоморфизм. Доказательство. Пусть Z = X' X ГХ0и*'ХУХ/11ХХУХ1 — э с двойной цилиндр отображений Z' X F ^ Г X F —> X X У. Имеем очевидное отображение Z —* X' X У U ^ X У С X X У. Нетрудно проверить, что- (X, Х')®(У y) = (zUCX')A(^UCT') канонически гомеоморфно конусу этображения Z -> X X У- Отображение /? индуцирует отображение из этого тространства в конус отображения X' X Y \J X X Y' —> X X Y, т. е. в пространство (X, X') X (У У). Это отображение есть гомотопическая эквивалентность, если таковой является р. Но если X' и У открыты, то X' X Y и X X У тоже открыты в X X У а в этом случае, как хорошо известно, р зсть гомотопическая эквивалентность. Заметим также, что в категории Stab мы имеем Sn^Rn/{x\\\x\\^l}c^(Rn, {я|||ж||>1})^(1Г, 1Г — 0). Теперь мы можем устроить в категории Stab морфизмы е и г\, которые жажутся эвалюацией и коэвалюацией для сильно двойственных пар (К, 0) i E"*(RW, Яп— К). Для построения е : Е-м(Rw, Я1 — К)® (К, 0) -> S0 можно считать К произвольным подпространством в R". Достаточно определить ото- >ражение Е^е. Оно задается диаграммой 3.6. (П\ Яп - К) ® (Z, 0) —"-^ 2И£° I U (R", R- —ЛГ)х(ЛГ, 0) ^" U U (RWX#, (Rw —#)Х#)-^ (Rw, Rw —0} (ж, &) I > x — k 90
Для определения морфизма т\: S0 -> (К, 0) 0 E~W(RW, Rn — К) мы нуждаемся в дополнительных предположениях о компактности К и существовании такой 'окрестности V компакта К в Rw, что имеется ретракция г: V -> if. Выберем в Rn такой замкнутый шар В (с центром в начале координат), что К а В* Определим Лп1\ из коммутативности диаграммы 3.7. 2"5° .-5 -> (К, 0)0 (Rw, Rw — if) (R", R" - 0) (K, 0) X (R", R" - K) ми г (Rw, Rw —£)c(Rw, Rw — #) (#xRw, #X(Rn — if)) j \KJ r x id (F, y~/iC)--(FxRw, VX(R*-#)) Морфизм i есть изоморфизм в Stab, так как он представим парой гомотопических эквивалентностей. Морфизмы / и р есть изоморфизмы в Stab по леммам 3.4 и 3.5 соответственно. Для завершения доказательства достаточно проверить два тождества теоремы 1.3 (Ь). Для проверки первого из них рассмотрим морфизм (ids: 0 е) X X(^0idir), гДе (^> 0) сокращено до К. Взяв /г-кратную надстройку, получим композицию Xwr У id idxE^e (R», R«_o)xff ——- #X(RW, Rn — K)xK——- -> #x(RM, Rw — 0) —-> (Rw, Rw —0)X#, где мы, используя лемму 3.5, заменили 0 умножением Х- (Переставляющий сомножители морфизм у получается преобразованием Hn(idK(S)e) в и/* 0 Ейе.) Расписав Ewiq и Lne в соответствии с их определениями 3.7, 3.6, получим композицию морфизмов (RB, RB — 0)XK t ixid s= (RB, R" — B)X.K(Z(Rn, Rn — K)xK jX id s (V, V-K)XK- (y, A) 1- (R", R" —0)X# Г #X(R", Rn —0) rxid —*FX(R", R" —0) —»■ (у, у — k) Как и в доказательстве леммы 6.12 работы До льда [4], можно показать, что замена отображения (v, k) *-+(v, v — к) отображением (v, к) н> (к, v — к) не меняет морфизма категории Stab. Но после этой замены морфизм композиции примет вид (R-, R»_0)Xff TxV (Rn> ЪП-В)ХК > (П\ R*_0)X# (ж, /с) I > (х — к, к) и станет гомотопным тождественному отображению посредством гомотопии {х, к, t)*->(x — tk, к). Доказательство второго тождества теоремы 1.3 (Ь) делается аналогично- 91
4. След 4.1. Определение. Пусть ^ — моноидальная категория и А — ее сильно дуализируемый объект с эвалюацией е и коэвалюацией г\. Пусть, далее, / — эндоморфизм объекта А. Определим след of эндоморфизма / как композицию* 4.2. of:I-^A(g)DA-:^DA<g)A — ^i DA ® А -^ /. 4.3. Примеры, (а) ^ = Мо(1д. Здесь/ = Л, и поэтому of : R-> R можно* отождествить с а/(1). При этом а/ есть обычный след. Если модуль А конечно порожден, то а/ есть сумма диагональных элементов матрицы эндоморфизма /. (b) ? = d-Modfl или ? = Но(д-Мос1я). Отождествим / = (Я, 0) с 7?, а/ снова отождествим с of (1). След а/ называется числом Лефшеца эндоморфизма /. Если цепной комплекс А конечнопорожден и проективен, то °/=2(-l)Vg, qez где fq: Aq-> Aq — однородная компонента. Знак возникает из-за меняющего сомножителя отображения у. (c) ^^Stab. Имеем а/ £ Stab (5°, 5°) = Z, где отождествление таково, что тождественному отображению сферы отвечает 1 ^ Z. 4.4. Предложение. Пусть Т : ^ -> ^'— моноидалъный функтор и А—Т-плоский объект из <% (см. 2.3). Тогда aTf = Tof для любого f : А-* А. Доказательство. Примените Т к строчке 4.2 и используйте следствие 2.4. 4.5. Следствие. Пусть f : А-* А — эндоморфизм. (a) Если Н : Но (d-MocU) -> Gr-Mod/? — гомология и А гомотопически эквивалентен такому конечнопорожденному проективному цепному комплексу^ что HqA — плоские R-модули для всех # £ Z, то f и Hf имеют равные числа Лефшеца. (b) Если S : Slab -> Но (d-Mod/?) — определенный после 3.1 функтор сингулярного цепного комплекса и А сильно дуализируем в категории Slab, то число Лефшеца aSf^R есть канонический образ числа a/£Z. (c) Если Н : Stab -> Gr-Mod/г — функтор приведенных гомологии (т. е. Н = Н о S, где S такое, как в (Ь), и Н такое, как в (а)), объект А сильно* дуализируем в Stab и Hq (А) суть плоские R-модули для всех q, то числа Лефшеца aHf^R есть канонический образ числа а/ ^ Z, Доказательство. Утверждение (а) следует из 4.4 и 2.5. Заметим, что НА есть конечнопорожденный проективный модуль (см. 2.4 и 1.6). Утверждение (Ь) следует из 4.4 и 3.2. Утверждение (с) следует из (а) и (Ь). (Ср. это доказательство с доказательством леммы 2.1 работы Беккера—Готтлиба [1].) Теперь мы выведем теорему Лефшеца о неподвижной точке как следствие из теоремы 3.1 и предложения 4.4. Пусть К — компактное подмножество- в Rw, V есть окрестность К в R" и г : V -+ К — ретракция. Рассмотрим непрерывное отображение f: К -+ К с множеством неподвижных точек F, и пусть /+ — соответствующее отображение К+ -> К+. Вводя определения 3.6 и 3.7 морфизмов соответственно е и у\ф в определение 4.2 следа, получим коммутативную диаграмму в категории Stab 92
%ns° -2ws° t (R«? R«_0) (Rw, Rw — 0) г; — /гу (R»9 Rw —5)C(RW, Rw — K) Двигаясь по нижней части диаграммы и применяя функтор Нп( • ; Ъу получим гомоморфизм, являющийся умножением на алгебраическое число неподвижных точек5 отображения /. Следовательно, /(/) = Яя(£ва/+; Z) = #„(<,/*; Z) = #(af; Q) = atf/. 4.6. Следствие (Лефшец—Хопф). Если f — отображение корса К в себя, то алгебраическое число неподвижных точек отображения f равно- числу Лефшеца гомоморфизма Hf : НК -> НК. Мы завершим этот раздел списком нескольких формальных свойств следа. 4.7. Предложение. Пусть *$ — некоторая моноидалъная категория- (a) Для любого f : I -*> I имеем а/ = /. (b) Если А — сильно дуализируемый объект, то для любого f : А -*> А имеем aDf = af. (c) Если объекты At, г=1, 2, сильно дуализируемы, то для любых /. : А. -> А. имеем a (fx ® /2) = аД (g) а/2 = а/х о а/2. (d) jEc/ш А и В сильно дуализируемы, то для любых f : А -+ В и g : В -+ А имеем a (fg) = a (gf) = о (Т о (/ (g) g)). Доказательство. Утверждение (а) тривиально. Утверждения (Ь) и (с) следуют из предложения 4.4 и того факта, что моноидальные функторы D :$ -+с$ и 0-^Х^^^ сохраняют тензорные произведения (ср. с рассуждениями перед предложением 2.5). Доказательство утверждения (d) оставляется читателю; с использованием (Ь) оно превращается в простой диаграммный поиск. 5. Трансфер Пусть ? — моноидальная категория. Объект А с -фиксированным «диагональным» морфизмом (/:i^i0i называется коалгеброй. Морфизм с : А -> 1 называется коединицей коалгебры (A, d), если диаграмма А ® А коммутативна. Эти понятия очевидным образом двойственны понятиям алгебры и единицы, и для последних можно построить теорию, аналогичную изложенной ниже. Мы предпочитаем случай коалгебр, так как хотим применять их в следующем разделе к категории ^=81аЬ5. В оставшейся части этого раздела (A, d) обозначает коалгебру с сильно дуализируемым 4 из? и /есть, некоторый эндоморфизм объекта А. 5 См.: Долъд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976, с. 249. 93
5Л * Определение. Определим трансфер х/ отображения / композицией 5.2. zf:l ^> A&DA -i DA®A^^-d-> DA(g)A(g)A —+ I®А. 5.3. Предложение. Морфизм х/ не изменится, если в его определении 5.2 заменить морфизм Df &) d одним из следующих трех морфизмов: (Ь)#Л® А2^ DA&A -^4- £Л®Л®Л; (с) ZL4 ® л^- /м <g> 4(g) л^^дл <8>л®л ?г/щ условии, что в случае (с) / есть морфизм коалгебр. Легкое доказательство мы опускаем. Тот факт, что / есть морфизм коал- тебр, означает коммутативность диаграммы А —-+ А® А /I I/®/ А > А® А 5.4. Предложение. Если f: А -+ А есть морфизм коалгебр, то диаграмма жоммутативна* Грубо говоря, это означает, что образ трансфера х/ лежит в «множестве неподвижных точек» отображения /. Доказательство легко вытекает из 5.5 (с). Морфизм х : А -> / называется коэлементом коалгебры А. Определим пра- *вый сдвиг коэлементом х как морфизм rx:A > Л® А —^ А($1 = А. 5.5. Предложение, хо (х/) = a (frx) = о (rj). Доказывается непосредственной проверкой. 5.6. Следствие. Если (A, d) обладает коединицей с, то со(х/)=а/. 6. Параметризованные стабильные гомотопические категории Как и в разделе 3, мы рассматриваем компактнопорожденные (не обязательно хаусдорфовы) пространства. Фиксируем пространство В и рассмотрим «пространства над В», т. е. непрерывные отображения р : Е -> J5. Их можно мыслить как семейства {Еь \ Ъ £ В) «слоев» Е^р'1 (Ь), параметризованные пространством J5. Топология в Е как раз такая, что можно говорить о том, что нечто, происходящее в семействе {Еь}, непрерывно зависит от Ъ. Следуя этим принципам, мы перенесем результаты раздела 3 на случай параметризованных категорий. В частности, мы построим моноидальную категорию Stab^ — стабиль. ную гомотопическую категорию над В. Ее объекты есть (с точностью формальных надстроек и денадстроек 2W, п £ Z) пространства над В «с хорощим сечением», т. е. диаграммы вида 94
i\ /p • В где s — корасслоение в категории пространств над В. Отображение Е' -> Е пространств над В можно трактовать как пару (Е, £"), т. е. объект категории Stabfl, если взять послойный конус отображения. Дословные переформулировки теоремы 3.1 и ее доказательства влекут: 6.1. Теорема. Пусть В — метризуемое пространство и К — такое подмножество в В X R", что проекция К -> В — собственное отображение.. Пусть, далее, К обладает в В X Rw такой окрестностью V, что имеется ретракция r:V->K, являющаяся послойной, т. е. г (Vf) (b X R")) С Ь X Rw для всех Ъ£В. Тогда (К, 0) и Е_я(ЯхК\ {В X Rw) — К) сильно двойственны в Stabjs. Применяя нашу общую теорию следа (см. раздел 4) и трансфера (см. раздел 5) к этой двойственной паре, можно получить большую часть работы Дольда [4]. Аналогичные результаты можно получить для всех сильно двойственных объектов категории Stab^. В работе Беккера—Готтлиба [1] было доказано, что пространство р : Е -> В над В с хорошим сечением сильно дуализируемо* в Stab#, если: (a) р есть расслоение в смысле Гуревича\ (b) Еь имеет стабильный гомотопический тип конечного клеточного пространства', (c) В имеет гомотопический тип конечномерного клеточного пространства. Условие конечномерности (с) можно снять. С этой целью сначала расширим категорию Stab5 до некоторой большей категории, именно категории спектров над В. Это можно сделать, перенеся конструкцию категории Sch (см.: Пуппе [14]) на случай параметризации, и получить категорию Sch5. Используя теорему представимости (см.: Шён [15]) 6, Моника Прието доказала 7, что пространство р : Е -> В над В с хорошим сечением сильно дуализируемо в Schjs при выполнении условий (а), (Ь) и условия (с') В имеет гомотопический тип клеточного пространства. Это позволило дать следующее усиление теоремы 1.1 работы Беккера— Готтлиба [1]. 6.2. Теорема. Пусть р : Е -> В — пространство над В (сечения может не быть), удовлетворяющее условиям (а), (Ь) и (с'). Пусть имеется коммутативная диаграмма В Выберем отмеченную точку Ь0£В и предположим, что слой F=p~1(b0} связан. Тогда отображение QB -> F из резольвенты расслоения р, рассма- 6 См. также: Piacenza P. J. Gohomology of fiber spaces is representable. III. — J. Math.r 1979, 23, N 2, p. 334—343. — Примеч. пер. 7 Этот результат содержится в диссертации М. Прието, подготовленной ею в Гейдель- бе pre. 95
триваемого как элемент группы Stab#(2j5, F), аннулируется умножением на число Лефшеца отображения f\F:F->F. Мы думаем, что условия (а) и (с') в теореме 6.2 и в теореме М. Прието о дуализируемости в Scb-я можно заменить условием (а') Существует такое нумеруемое покрытие (C/J пространства Б, что р послойно гомотопически тривиально над каждым Ur 7. Эквивариантная стабильная гомотопическая категория Пусть G — компактная группа. По аналогии с категорией Stab можно построить моноидальную категорию StabG, объектами которой являются пары (X", а), где X — хорошо G-пунктированное компактнопорожденное G-простран- ство и а — элемент кольца вещественных представлений группы G. Множество морфизмов из (X, а) в (У, р) есть StabG((X, а), (Y, p)) = colim [S«®w/\ X, W S ' Д F]G, где W пробегает некоторое кофинальное подмножество множества ортогональных представлений группы G, упорядоченного по включению. Если W достаточно велико, то а 0 W можно рассматривать как представление и £аф есть его одноточечная компактификация. (Ср. с работами: Г. Сегал [17], Косниовский [8], Хаушильд [6] и Уонер [21].) Как и в разделе 3, пара G-пространств определяет объект категории Stab*? и имеется семейство функторов Иа, являющихся автоморфизмами категории StabG. 7.1. Теорема. Пусть W ~ Rn — ортогональное представление компактной группы G и пусть К — компактное G-эквивариантное подмножество в W, являющееся также эквивариантным окрестностным ретрактом (т. е. К есть G-корс). Тогда {К, 0) и П~" (.РГ, W — К) сильно двойственны в Stab . Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 3. 1. Сильная двойственность в StabG совпадает с эквивариантной 5-двой- ственностью Виртмюллера [22]. Для компактных групп Ли G Яворовский [7] охарактеризовал G-корсы и, в частности, доказал, что конечное клеточное G-пространство есть G-корс. Ясно, что методы раздела 3 применимы и к случаю параметризованной эквивариантной стабильной гомотопической категории, т. е. к G-простран- ютвам над В. Поэтому имеется одновременное обобщение теорем 6. 1 и 7. 1 на G-корсы над В. В частности, в этом случае имеется трансфер, что включает в себя изученный в работе Нишиды случай эквивариантных расслоений. В развитие идей Беккера—Готтлиба [1 ] двойственность и трансфер для G-расслоений построил Уонер [21]. Это тоже укладывается в нашу общую схему. Весьма правдоподобно, что существование сильной двойственности для G-расслоений можно установить так же, как указано во второй части раздела 6 для тривиальной группы G. 8. Стабильная теория шейпов Пусть Shape — категория пунктированных шейпов компактных пространств (см.: Дидак—Сегал [5]). Обычное смаш-умножение индуцирует бифунктор из Shape в себя. (Это не совсем очевидно, если не ограничиваться компактными пространствами.) Так же как в разделе 3 мы построили категорию Stab по категории хорошо пунктированных пространств, можно по- 96
строить по категории Shape категорию Stab — Shape. Моноидальная структура индуцируется смаш-умножением. 8.1. Теорема. Пусть К — такое компактное подмножество в Rw, все чеховские когомологические группы которого (с целыми коэффициентами) конечнопорожденные. Тогда (К, 0} и E"",l(Rw, Rw — К) сильно двойственны в Stab—Shape. Сначала объясним, как здесь надо понимать пару (Rw, Rw — К). Конус С включения Rw — К С Rn не является компактным. Но С имеет гомотопический тип клеточного пространства, поэтому в силу двойственности Александера его целочисленные гомологии конечнопорожденные. Отсюда следует, что С имеет стабильный гомотопический тип конечного клеточного пространства. Следовательно, он определяет объект категории Stab—Shape однозначно с точностью до эквивалентности. Доказательство теоремы 8.1 опять-таки аналогично доказательству теоремы 3.1. Единственное отличие состоит в том, что у нас нет ретракции г : V -> К диаграммы 3.7. Однако имеется система согласованных гомотопических классов ЕИ5°->(У, 0)®(R\ Rw — К), где V пробегает все окрестности компакта К в Rw, и этого достаточно для определения морфизма шейпов E'V^°->(Z, 0)0 (Rn, RM — К). Можно применить теорему 8.1 к теории неподвижных точек, но мы уже не будем этого делать. ЛИТЕРАТУРА 1. Becker J. С, Gottlieb D. Н. Transfer maps for fibrations and duality. — Compos, math., 1976, 33, p. 107-13? 2. Dold A. The fixed point index of fibre-preserving maps. — Invent, math., 1974, 25, p. 281—297. 3. Dold A. Transfert des points fixes d'une famille continue d'applications. — C. r. Acad, sci. Paris. Ser. A, 1974, 278, p. 1291—1293. 4. Dold A. The fixed point transfer of fibre-preserving maps. — Math. Ztschr., 1976, 148, S. 215—244. 5. Dydak /., Segal J. Shape theory: An Introduction. — Lect. Not. Math., 1978, N 688. 6. Hauschild H. Zerspaltvng aquivarianter Homotopiemengen. — Math. Ann., 1977, 230, S. 279—292. 7. Jaworowski J. W. Extension of G-maps and Euclidean G-retracts. — Math. Ztschr., 1976, J46, S. 143-148. 8. Kosniowski С Equivariant cohomology and stable cohomotopy. — Math. Ann., 1974, 210, S. 83-104. 9. Ligon T. S. Galois-Theorie in monoidalen Kategorien. — Algebra-Ber., N 35. Uni- Druck, Munchen, 1978. 10. Lindner H. Adjuctions in monoidal categories. — Manuscr. math., 1978, 26, p. 123—139. 11. McLane S. Categories for the working mathematician. — Grad. Texts Math., 1971, 5. 12. Nishida G. The transfer homomorphism in equivariant generalized cohomology theories: Prepr. Kyoto Univ., 1978. 13. Pareigis B. Non-additive ring and module theory. IV. The Brauer group of a symmetric monoidal category. — In: Brauer groups: Proc. Conf. held at Evanston, Oct. 11—15, 1975/Ed. Zelinsky D.; Lect. Not. Math., 1976, N 549* p. 112—133. 14. Puppe D. Smash products in stable homotopy and the ring structure of Thorn spectra. Heidelberg, 1975. Mimeographed. 15. Schon R. Kohomologie iiber В und die Differentiate der Spektralsequenz einer Faserung: Diss. Heidelberg, 1974. 16. Schon R. Cohomology theories over В are representable. — In press. 17. Segal G. Equivariant stable homotopy theory. — In: Proc. Intern. Congr. Math. Nice, 1970. Paris: Gauthier-Villars, 1971, vol. 2, p. 59—63. 18. Spanier E. H. Function spaces and duality. — Ann. Math., 1959, 70, p. 338—378. ^19. Spanier E. #., Whitehead J. H. С Duality in homotopy theory. — Mathematika, 1955, 2, p. 56—80. 20. Switzer R. M. Algebraic Topology-Homotopy and Homology. Berlin: Spring.-Verl., 1975. 21. Waner S. Equivariant classifying spaces and fibrations. — Trans. Amer. Math. Soc, 1980, 258, N 2, p. 385—405. 22. Wirthmuller K. Equivariant ^-duality. — Arch. Math., 1975, 26, p. 427—431*
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 А. В. ЗАРЕЛУА (Москва, СССР) ПРЕДЕЛЫ ЛОКАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПУЧКОВ И НУЛЬМЕРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Статья посвящена развернутому изложению ряда результатов автора, доложенных на Московской международной топологической конференции 1979 г. Эти результаты группируются вокруг свойств пределов локальных систем пространств и локальных систем пучков, многим из которых ныне дана категорная трактовка в рамках понятия локальной системы на категории со значениями в функторе. Впервые эта трактовка была предложена в докладе автора [2] на конференции по приложениям теории пучков в Дареме. Там же в беседе с Дж. Греем было выяснено, что понятие, сходное с нашим понятием локальной системы на категории, было в замаскированной форме использовано в статье Дж. Грея [1]. Наше понятие локальной системы на категории является далеко идущим обобщением понятия локальной системы коэффициентов и хорошо приспособлено для решения ряда задач теории пучков. После основных свойств локальных систем на категории и их пределов, полученных в разделе 1, мы уделяем там же серьезное внимание разбору примеров, показывающих широкую применимость введенных нами понятий. В разделе 2 изучаются локальные системы пространств, локальные системы пучков и их пределы; упор здесь делается на результаты, показывающие, как свойства локальных систем пространств отражаются на свойствах порожденных ими локальных систем пучков. Специальный интерес, проявляемый здесь к нульмерным отображениям, диктуется определяющие значением именно нульмерной составляющей отображения, если рассматривать резольвенты и соответствующие им спектральные последовательности, связанные с непрерывными отображениями [6, 7]; этот факт замечен автором и Р. Дикхоффом [10]. Приложения относятся к доказательству ацикличности некоторых типов пучков» В разделе 3 анализ резольвент, связанных с непрерывным отображением, проводится с помощью представления пространств в виде предела локальной системы пространств и двойственного представления пучков в виде предела локальной системы пучков. Доказательства изоморфизмов [резольвент, полученные ранее, строились на основе прямых и зачастую громоздких конструкций. Развитая в разделе 3 техника позволяет делать заключения об изоморфизме пучков и резольвент; надо проверить факт изоморфизма лишь для практически тривиальных ситуаций. В разделе 3 мы обсуждаем также алгебраический аналог резольвенты, связанной с непрерывным отображением. 98
В разделе 4 техника представления пространств в виде предела локальной системы пространств и пучков в виде предела локальной системы пучков прилагается к построению суммирующего гомоморфизма пучков о: /#/* g^->g^. В качестве частных случаев приводятся суммирующие гомоморфизмы для нульмерных совершенных отображений ориентированного тг-мерного многообразия на ориентированное тг-мерное многообразие, для конечных групп преобразований, для конечнократных открыто-замкнутых отображений когомологических многообразий. 1. Локальные системы на категории со значениями в функторе и их пределы Определение 1. Пусть дан функтор F : "21 -> Cat из заданной категории *21 в категорию категорий Cat. Локальной системой L на категории *21 со значениями в F назовем указание для каждого А £ Obty объекта LA £ ObFA и для каждрго морфизма f £ "21 (А, В) — морфизма L (/): F (/) LA -> LB таких, что для любых /^"21(^4, В), g^ql\(B, С) имеет место равенство L(g)o о F (g)L (/) — L(go f). Морфизмом (или преобразованием) ср : L -> L* локальной системы L в локальную систему L' назовем набор морфизмов у А : LA -> L' А таких, что <?В о L (/) = V (/) о F (/) срА для каждого морфизма f £ ЭД (^4, В). В силу этого определения локальные системы образуют категорию, которую мы будем обозначать L(<21, F). Пример 1. Пусть F — постоянный функтор, т. е. F(A) = C3 для всех A^Ob^l и F(g)=l(£ для всех g£Mor(s2l). Тогда локальную систему L на "21 со значениями в F можно отождествить с функтором L : "21 -> 03. Мы довольно часто будем иметь дело с категорией (Top, Y) — категорией пар (X, /), состоящих из пространства X и непрерывного отображения /:Х-*У. Морфизмом пары (X, /) в пару (Z, g) называется непрерывное отображение <р : X -+ Z такое, что g-y=f. Эта категория является обобщением категории топологических пространств Тор: категория Тор совпадает с категорией (Тор, Y), если Y есть точка. Для нас важным оказывается тот факт, что категория (Top, Y) обладает прямыми произведениями и прямыми суммами. Если прямая сумма JJ_Xa пространств (Ха, /J £ (Top, Y) совпадает со свободной суммой пространств Ха, то прямое произведение JJ Ха в кате- Y гории (Top, Y) представляет собой гораздо более интересный объект: JJ_ Ха 7 есть подмножество произведения ЦДа> состоящее из наборов {ха} £ £ХХа таких, что fnxa = f^ для всех ха и жр. Конструкции следующего определения будут иметь для нас большое значение в дальнейшем. Определение 2. Пусть 2 = {£/х}хел — семейство открытых множеств пространства Y с частично упорядоченным множеством индексов Afl причем из X ^ fx следует, что £7Х С U^ Сопоставим каждому X £ Л категорию F (Х) = (Тор, С/х). Будем рассматривать частично упорядоченное множество А как категорию обычным образом. Если X ^ p., mo UXQ. U и категорию (Тор, £7Х) можно рассматривать как подкатегорию категории (Top, [7 ). Таким образом, F есть функтор из А в Cat. Л окольная система на Y с коэффициентами в F будет называться локальной системой пространств на Y с множеством индексов А и покрытием Q={Ux}\eA. 99
Определение 3. Множество индексов А из определения 2 назовем Y-направленным, если для каждой точки у £ Uxf]U существует v ^ 1, р. такое г что у £ t/v. Такого рода направленность частично упорядоченного множества индексов Л, связанного с покрытием пространства, была впервые рассмотрена в [4] без специального названия. Если множество индексов F-направленно, то прямое сравнение с определением Р. Дикхоффа приводит к следующему результату. Лемма 1. Локальная система пространств наУ с множеством индексов А и покрытием Q={Ux}\eA в случае Y-направленного множества индексов А есть частичная обратная система отображений в смысле Р. Дик- хофра [9]. Пример 2. Если каждый элемент Ux покрытия Я равен Y, то понятие локальной системы с У-направленным множеством индексов Л и таким покрытием 2 совпадает с обратным спектром в категории (Top, Y). Таким образом, обратный спектр в категории (Top, Y), в частности в категории Тор, можно рассматривать как локальную систему пространств на Y. Определение 4. Пусть 2 = {£/х}хеЛ, А — те же, что в определении 2. Рассмотрим функтор на категории A, F (X)=Ash (Ux), а если X ^ \х и / £ А (1, fx) — соответствующий морфизм, то для А £ Ash (U ) положим F (/) q$ £ Ash (Ux) равным пучку F (/) q^=q^\ Ur Здесь и далее через Ash (X) обозначается категория абелевых пучков на пространстве X. Локальную систему на двойственной категории Л° со значениями в функторе F будем называть локальной системой пучков на Y с множеством индексов А и покрытием 2 (ср. [4, 5]). Если множество индексов Y-направленно, то локальную систему пучков будем называть направленной локальной системой пучков. Уместно заметить, что основные для нас примеры локальных систем пучков были как раз направленными локальными системами пучков (см. [4, 5]). Определение 5. Локальную систему L на ^ со значениями в F будем называть ординарной, если все морфизмы L (/) являются тождественными морфизмами. Ординарная локальная система L на ЗД со значениями в F называется пределом (соответственно копределом) локальной системы L £ L (ЗД, F, если: 1) существует преобразование a: L -> L {соответственно а : L -> L) и 2) для любого преобразования Ь\ К -► L (соответственно b:L -> К) с ординарной системой К £ L (Ql, F) существует и единственно преобразование с: К -+ L (соответственно с: L -+ К) такое, что Ъ—асс (соответственно Ь = соа). Пример 3. Ее ли F — постоянный функтор на s2l, F (s2l) = 95, то локальная система L со значениями в F есть, как мы знаем, просто функтор L : *21 -> 93- Предел (копредел) этой локальной системы есть предел (копредел) функтора L в обычном смысле. Пример 4. Для любого множества индексов и покрытия 2={£/х}>бЛ пространства Y каждое пространство (X, /) категории (Top, Y) можно отождествить с вполне определенной локальной системой пространств, полагая Хх равным f~xUx и fx:Xx-> Ux равным /X=/|/_1?7X. Эта локальная система ординарна, и таким образом строится вложение категории (Top, Y) в категорию ординарных локальных систем пространств на Y с множеством индексов А и покрытием 2={£/х}Х6Д. Пример 5. С учетом конструкции примера 4 предел направленной 100
локальной системы пространств на пространстве Y есть предел частичной обратной системы отображений в смысле Р. Дикхоффа [9]. Сделаем некоторые указания на то, как можно доказать существование предела направленной локальной системы пространств (см. [9]). По определению направленности множество индексов Л ={Х} таких, что у £ Ux, образует направленное множество в обычном смысле. Пусть Ху = = lim (Хх}хелу. Топологизируя множество X = U Ху подходящим образом, мы по- *— г/eY лучаем пространство X вместе с естественным отображением / : X -> F, которое и будет пределом направленной локальной системы пространств {(Хх, /х), Ux, ^}ХбА. Эта же идея применима к доказательству существования пределов локальных систем пространств. Не останавливаясь на деталях, отметим Пример 6. Частичные топологические произведения Б. А. Пасын- кова [11] являются примерами пределов локальных систем пространств. Поскольку понятия локальной системы пучков на У и копредела такой системы являются для нас в особенности важными, мы дадим явное определение, хотя и по необходимости громоздкое. Локальная система пучков на Y состоит из частично упорядоченного множества индексов Л, соответствия 0: X -> £/х, сохраняющего порядок, где {Ux} — открытое покрытие пространства F, пучков с^х£ Ash(£/X) и гомоморфизмов Tf£ : е^х I Up -* g^, существующих для р^Х и таких, что у£ о у* = т* на U^ если v^p^X. Ординарную локальную систему пучков, соответствующую паре (Л°, 0), можно отождествить с пучком на Y, так как {Ux} есть покрытие пространства Y и, таким образом, копредел локальной системы пучков {g^x, С/х, T^Kfa есть пУчок rf на F такой, что для каждого X существует гомоморфизм <рх:е^х->с^| Ux с условием <р oif£ = cpx на U при р^Х, причем если qS3 — пучок на Y и фх: Sx -+ cW\Ux удовлетворяют равенству ф^ о у* = фх на U^ при [а^Х, то существует единственный гомоморфизм со:^-^^, для которого фх = (со | Ux) о срх для всех Х£Л. Пример 7. Каждый пучок есть копредел локальной системы постоянных пучков. Доказательство. Для данного пучка & и любой направленной системы {Ux}x определим локальную систему пучков, полагая g^x равным постоянному пучку, порожденному множеством S (U}). Копредел этой локальной системы есть пучок &. В самом деле, по определению копредела существуют гомоморфизмы срх:е^х-> ^ | Ux, т. е. срх: § (Ux) -> <М \ Ux, и, в частности, гомоморфизмы сечений над Ux срх: &(UX) -> q${Ux). Легко видеть, что эти гомоморфизмы срх согласованы с проекциями и потому определен гомоморфизм пучков & -+ ?$. Этот гомоморфизм в стеблях является изоморфизмом, и потому гомоморфизм <§ -> с# — изоморфизм. Пример 8. Если {е^х, Т^Кед — индуктивная система пучков, то ее можно рассматривать как локальную, систему, если положить С/х= Y для всех Х£Л. Предел этой локальной системы есть обычный индуктивный предел системы limind{c$x, Та)хел- Используя введенную нами терминологию, мы можем придать более совершенную и компактную форму некоторым ранее доказанным утверждениям статьи [4] в виде следующей теоремы, содержащей основные свойства копределов локальных систем пучков. 101
Теорема 1. Для каждой направленной локальной системы пучков% соответствующей Y-направленному открытому покрытию ^ = {UX}\^, существует копредел этой системы. Копредел является точным функтором на категории L (Л°, 8)=L ((Л°, 8): F), перестановочным с тензорным произведением. 2. Локальные системы пространств, пучков и ацикличнность некоторых пучков В доказательстве ацикличности некоторых конкретных типов пучков в статье [4] важную роль играло понятие регулярности рассматриваемых систем пучков. Сейчас мы имеем основания дополнить его понятием регулярности локальных систем пространств и, немного спустя, связать оба эти понятия между собой. Определение 6. Локальная система пространств {(Хх, /х), Ux, те^}хел на Y называется регулярной, если (a) система {Ux}x д—Y-направленна', (b) для каждой пары индексов X, р. с Uxf)U =£ 0 существует v^X, р. такое, что U^ = Ux f] U ; (c) все отображения тс*: Хх -> f^Ux являются отображениями «на». Локальная система пучков {о$х, Ux, ^}ХА называется регулярной, если выполнены условия (а) и (Ъ) и все гомоморфизмы у*: q$x \ U^ -> с$а являются мономорфизмами. Основным техническим утверждением, оправдывающим введение понятия регулярной локальной системы пучков является следующая теорема, доказанная в [4]. Теорема 2. Копредел регулярной локальной системы относительно мягких пучков на паракомпактном пространстве Y является мягким пучком. При этом пучок q$x, заданный на Ux, называется относительно мягким, если для каждого замкнутого в Y множества F(ZUX пучок q$x \ F является мягким. В следующем разделе мы будем обсуждать некоторые вопросы, касающиеся спектральных последовательностей, связанных с непрерывными отображениями. Существенным там является возможность указать для каждого пучка q$ на пространстве Y и каждого непрерывного отображения / : X -> Y некоторый канонический гомоморфизм -гк : ^ -> /#/* q$. Нам понадобится одно свойство естественности этого канонического гомоморфизма. Лемма 2. Если g : Z -> X и / : X -> У суть непрерывные отображения^ Доказательство. Вспомним, что сечения <р £ Г (U, fJ*o$) пучка fJ*o$ есть отображения ср*-/"1^-* U <МУ такие, что ? (я) £ gJ#/(*) и для каждой точки x^f^U существуют окрестность Wx и сечение sx над f(Wx) такие, что y(x') = (sx of)(x') для всех х' £WX. Образ r\f(s) при каноническом отображении 7]jr есть отображение, определяемое равенством -r[f(s)(x) = (sof)(x)y х £ /-1£/. Аналогично t\g (t) (z) = (tog) (z) для каждого t £ /W {f~xU) и каждого z^S~1{f~1U)=1{f о gy1 U. Беря в этих равенствах вместо t сечение t = sof, получаем i\ff(sof)(z) = sofog(z) для всех z£(fog)~1U, т. е. т];(5о/) = = y]/0^(s). Но, как замечалось, при отождествлении fJ*Q$(U) = f*Q$(f~1U) сечение т\^(s) отождествляется с отображением so/, и полученное выше 102
равенство можно переписать в виде /д,/*о yi^(s) = fif0g(s), что и доказывает лемму в силу произвольности сечения s^q^(U). Теорема 3. Каждой локальной системе пространств на Y, {(Xv /х), £/х, я* }х с л и кажоЛ°мУ пУчкУ о$ на Y соответствует локальная система пучков {(f.Jl)W\Ux), Uv <р?}хед, где tf: (/^ (erf | ff^) | ffx ^ (/*0(е* I #х) возникает из коммутативного четырехугольника как композиция ±= (О. /^ (Кг1 t?v)=/^ (/г1^)=fj& (V) для каждого открытого V С Ux С С/ . Доказательство. Достаточно проверить, что для каждой тройки индексов v ^ X ^ [J. на Ux имеет место равенство <р? = ?i о <р£г Для доказательства воспользуемся более коротким, но зато и более формальным определением гомоморфизма <рх как композиции / и \f* 1Л ш i и j | их -^^ «.</; W i ^) i их= = (/.,<») «О И I ^ I # х = /xJI ИI Ц> Если ограничить этот гомоморфизм на U4 и применить <р* не к последнему пучку в предыдущих равенствах, а к стоящему перед ним, то на U4 получим композицию гомоморфизмов /^j/Jo/^v/J» равную (/^о^^х^оти^о °f^\^l и равную /^тсх0^/*, т. е. /^v/* в силу леммы 2. Теорема доказана. Выделим формальное определение гомоморфизма <р£, использованное в доказательстве теоремы 3. Следствие 1. Гомоморфизм y^:f^№\Uv)\Ux-+fxJl(Qtf\U}) есть гомоморфизм f^x^fl: /^ -> /^«^Г^» ограниченный на *7Х, где /^тех* X Следующая теорема продолжает изучение свойств локальной системы пучков, порожденной локальной системой пространств в силу теоремы 3. Теорема 4. ; Пусть пара (X, /), где f :X->Y — совершенное нульмерное отображение, есть предел направленной локальной системы пространств {(Хх, /х), Uv ^}ХбА на F, причем каждое отображение /х также совершенное и нульмерное. Тогда пучок fJ*otf есть копредел направленной локальной системы пучков {(/х*/х) (е^ | Ux), Uv ?£}ХбЛ, где гомоморфизмы <рх определены в теореме 3 или в ее следствии. Доказательству теоремы предпошлем вспомогательное утверждение, являющееся обобщением леммы 3 из статьи [8]. Лемма 3. Пусть f : X •-» F — совершенное нульмерное отображение хаусдорфовых пространств, В — замкнутое подмножество пространства Y, A = f~1B, g = f\A. Тогда для любого пучка q$ на пространстве Y имеет место естественный изоморфизм пучков (fJ*o$) \ В ^> g¥g* (А\В). 103
Доказательство. Дословно такое же, как доказательство леммы 3 из статьи [8], так как наиболее существенный для доказательства факт точности функтора /# продолжает иметь место в силу нульмерности и замкнутости отображения / (см. [4]). Беря в лемме в качестве В точку у £ У, получаем Следствие 2. Если f : X ->Y — совершенное нульмерное отображение хаусдорфовых пространств, то для любого пучка q$ на пространстве Y имеет место естественный изоморфизм пучков fJ*o$\y = g¥g*(o$\y), где g есть ограничение g = / | /_1г/. Доказательство теоремы 4. Пусть $} есть предел направленной локальной системы пучков, существующий в силу теоремы 1. Согласно определению предела локальной системы пространств существуют отображения п^: /_1С^ -> Х^ такие, что /^отс^ = / на /_1С^, и согласованные с отображениями ттЛ на общей области определения. Используя отображения те , мы можем определить гомоморфизмы /^^ /* : /^/* (q$ \ £/J -+ fj*o$ | С/ , согласованные с ср£ в силу сказанного выше и леммы 2. Тогда из определения копредела локальной системы пучков вытекает существование естественного гомоморфизма пучков SB -* fJ*o$. Для доказательства того, что этот гомоморфизм является изоморфизмом, достаточно это проверить на стеблях, <Шу ^ (fJ*o$)y для каждого y£Y. Используя следствие леммы 3 и условия теоремы, мы редуцируем доказательство теоремы 4 к ее весьма частному случаю, когда / есть отображение в точку, X — нульмерный бикомпакт. В самом деле, $3 есть копредел системы {/ */* (о$ \ U^), U , ?£}ХбЛ и следствие 2 применимо к каждому допредельному пространству X , рассматриваемому вместе с отображением / : Х^ -> U . Итак, пусть X — нульмерный бикомпакт, являющийся пределом обратной системы нульмерных бикомпактов X=lim {Ха, со"}. Пучки /*g$, fo$ суть в нашем случае пучки ростков локально постоянных функций на соотг ветствующих бикомпактах со значениями в G=2^. В силу бикомпактности прообразы со"1 (Я) открытых множеств Н бикомпактов Ха образуют базис окрестностей бикомпакта X, если соо — канонические проекции соа:Х->Ха. Отсюда сразу вытекает эпиморфность гомоморфизма S3y ^ (fJ*o$)y- Росток ненулевого сечения может перейти в нуль при отображении ша, только если соответствующая точка ха£ХЛ не лежит в образе соо(Х). В силу непустоты обратного предела непустых бикомпактов отсюда вытекает, что существует индекс -у ^ а такой, что ха (£ о^Х . Но тогда росток обращается в нуль уже при переходе от ХЛ к X , что и доказывает мономорфность гомоморфизма <$у -* (fj*etf)p Для нашего случая. Теорема 4 доказана. Лемма 4. Если система пространств {(Xv /х), Uv иЧ А была регулярной, то и связанная с ней локальная система пучков {(/и/*) (о$ \ Ux), Ux, <?х}\е* РегУляРна- Доказательство. Нам необходимо доказать только мономорфность гомоморфизмов ср£. Но гомоморфизм 9х есть в силу следствия 1 ср£ = / тг]ях/!, а так как гомоморфизм т\^ есть мономорфизм, если отображение / было отображением «на», то в силу точности слева функтора / и точности функтора f мы можем утверждать, что ср£ е°ть мономорфизм. Чтобы применять теорему 4, необходимо иметь интересные представления нульмерных совершенных отображений в виде предела более простых отображений, например конечнократных отображений. Такие представления нульмерных совершенных отображений есть [8, 10, 11]. Мы сформулируем 104
и наметим доказательство еще одной теоремы такого рода. С одной стороныс эта теорема дает небольшое усиление теоремы Р. Дикхоффа [9], а именно добавляет условие регулярности, что важно для нас в силу теоремы 4 и леммы 4. С другой — конструкция допредельных пространств проста и наглядна, обладает хорошими функториальными свойствами и фактически использовалась при построении резольвент работ [4, 5]. Теорема 5. Для того чтобы отображение / :X —> Y было нульмерным совершенным отображением, необходимо и достаточно, чтобы пара (X, /) была пределом регулярной локальной системы пространств на Y со значениями в функторе U -> Sm (Top, U), где Sm (Top, U) — категория пар (Zt h) из пространства Z и его простого отображения h: Z -> U. При этом отображение h: Z -> U называется простым в смысле Р. Дикхоффа, если его можно представить как композицию некоторого замкнутого вложения i'.Z-> -> U X D, D — конечное дискретное пространство, и проекции U X D -> U. Доказательство. Мы рассмотрим только более интересный случай необходимости условий теоремы. Рассмотрим множество X = {(?/, о)} всевозможных пар, состоящих из открытого множества £/СУ ги разбиения о его прообраза /_1С/ на конечное число попарно не пересекающихся открытых множеств Uv . .., Uka, a = {Uv . . ., Uk<j). Множество пар частично упорядочено если считать, что (U, о) ^ (£/"', а'), если U С U' и разбиение а вписано в разбиение о'. Пусть D(U,a)— конечное дискретное пространство, состоящее из ка элементов, и пусть X(U, o)(ZUxD(U, о) есть замкнутое подмно жество, определяемое условием (у, i)^X(U, о), если y£f(U.). Отображения ir^»ff] определяются естественным образом, система {X(U, с), f(U, о), гсК»,а> } регулярна, и пределом этой системы служит, как можно показать, пространство X вместе с отображением /, «склееным» из отображений f(U, о). Доказательство закончено. Теперь мы в состоянии доказать один из центральных результатов статьи . Теорема 6. Если j : X -> Y есть нульмерное совершенное {например, замкнутое конечнократное) отображение, то для произвольного мягкого пучка q$ на паракомпакте Y пучок fJ*otf также есть мягкий пучок. В частности, если 0 -> е^ -> {Мп}^0 есть мягкая резольвента пучка о$> то 0-+ -> fJ*otf -> {fJ*Mn}^L0 есть мягкая резольвента пучка fJ*o$* Доказательство. Соединяя теорему 5, теорему 4, лемму 4 и теорему 2 вместе, мы видим, что, для того чтобы получить доказательство теоремы 6, достаточно проверить, что для каждого простого отображения h: Z-+U пучок hji* (q$ I U) относительно мягок на U. По условию Z есть замкнутое подмножество произведения U X D, где D конечно и дискретно, a h есть ограничение проекции U X D -> U на Z. Таким образом, Z состоит из конечного числа попарно не пересекающихся множеств Z4,' каждое из которых проектируется отображением h взаимно однозначно на некоторое замкнутое множество F4 пространства У. Поэтому hJi*(o$\U) есть конечная прямая сумма, hh*(o$\U) = Q) o$Fi, а, как легко видеть (см. также [4 J), каждый пучок q$f., а с ним и сумма ф q$f. =zhh*(o$ \ U) являются относительно мягкими пучками. Теорема доказана. 3. Резольвента пучка, связанная с непрерывным отображением, и ее алгебраические аналоги В наших работах [7, 8] было показано, что предшествующие спектральные последовательности автора, спектральные последовательности Картана—Гро- 105
тендика, спектральные последовательности Лере покрытий укладываются в одну общую схему, основой которой является теорема 7. Теорема 7. Для любого непрерывного отображения f\X^XY и любого пучка о$ на Y ассоциированный комплекс косимплициалъного пучка с аугментацией {(fj*)n+1 e^}£L_! образует резольвенту с гомототопически тривиальными стеблями. '~Л Косимплициальный пучок {(fj*)n+1 о$}%-1 строился в соответствии с некоторой общей процедурой построения косимплициалъного объекта с аугментацией {Т1^1^}^-! по зададной тройке (Г, т\, р.), роль которой в нашем случае играл функтор Т = fj*, T\f\<d-> fJ*otf уже описывалось; р.: fJ*fj*o$ -+ fj*<4 описывать нет необходимости, так как для описания граничных операторов дифференциала резольвенты нужны только преобразования т]. Итерируя конструкции теорем 3 и 4, мы без труда получаем следующие результаты. Теорема 8. Каждой локальной системе пространств на F, {(Хх, /х), Uv ТСм}ХбА и каждому пучку &# на Y соответствует локальная система резольвент пучков {(fxJl){Q$\Ux), Е/х, ?х)хел' г^е гомоморфизмы ср£ определяются в соответствии с теоремой 3. Теорема 9. Пусть пара (X, /), где f: X -> Y — совершенное нульмерное отображение, есть предел направленной локальной системы пространств {(Xv /х), Е/х, тс«}х на Y, причем каждое отображение /х также совершенное и нульмерное. Тогда косимплициальный пучок с аугментацией {{fj*)n+1 q$)^-i есть копредел направленной локальной системы косимплициальных пучков с аугментацией {(f\Jl)n+1{o$ \UX), Е/х, 9х)хел» г^е гомоморфизмы cpf определены в теореме 3 или в ее следствии. В частности, резольвента <$ -> -* {(/*/Т+1 ^)п=о естъ копредел резольвент cd\Ux-+ {(fj{)n+1 (<d\ Ux)}Zo-. Для составляющих резольвенты теоремы 7 в настоящее время существует около десяти различных описаний (см. [4—6, 12, 13]). Однако доказательство изоморфизма соответствующих пучков чаще всего достаточно громоздко. Теоремы 4 и 9 позволяют свести доказательство изоморфизма указанных типов пучков к разбору существенно более простых случаев, действуя в духе доказательства теоремы 6. Остановимся, например, на доказательстве изоморфизма пучков (f,L)ep+1 (§) q$ и (fJ*)p+1o$ для случая, когда пучок q$ есть пучок L-модулей. Теорема 10. Для каждого пучка q$ L-модулей на пространстве Y и непрерывного отображения f: X -> Y существует канонический гомоморфизм (f^L)®^1 ® (М -> (fJ*)P+1 о$> который является изоморфизмом, если отображение f естъ нульмерное совершенное отображение хаусдорфовых пространств. Доказательство. Теорему достаточно доказать для случая р = 0, т. е. для fJL 0 q$ -> fJ*o$; общий случай можно будет рассмотреть тогда ь по индукции. Сечение s^f^L(U) есть локально постоянная функция на /_1С/, т. е. существует разбиение прообраза f~xU = Е/х \J ... \J Uk на попарно не пересекающиеся открытые множества ЕЛ и элементы s^L такие, что значение s на ЕЛ равно s{. Для произвольного t£o$(U) положим so£(#) = s^(:r), если ж£ЕЛ; sot можно рассматривать как сечение пучка /W на /_1Е/ или как сечение 106
пучка fJ*o$ на U. Мы построили отображение предпучков, которое и порождает канонический гомоморфизм f¥L (g> cd -> fj*Q$> Используя теорему 5, перестановочность копредела локальной системы пучков с тензорным произведением (теорема 1) и теорему 4, мы можем свести доказательство теоремы 10 к случаю простого отображения h: Z -> U. Как следует из доказательства теоремы 6, пучок hJL есть 0 LFv а пучок fJ*o$ есть пучок ©c#F., где Ft — некоторые замкнутые подмножества U. Гомоморфизм [0 ЬРЛ ® od-+ 0 erfF. есть изоморфизм, что и доказывает теорему. L * Следствие 3. Если f : X -+Y — нульмерное совершенное отображение хаусдорфовых пространств, то канонический гомоморфизм косимплициалъных пучков с аугментацией {{fJL)®n+1 (g) c^^Li -> {{fj*)n+1 o$)n=-i есть изоморфизм. L Существует много связей между коммутативной алгеброй и нульмерными отображениями, в особенности бикомпактов [8]. В связи с рассмотренными в статье вопросами нам хотелось бы привлечь внимание к любопытным связям с коммутативной алгеброй также в следующем направлении. Рассмотрим произвольный морфизм схем /: (X, Ох) -> {Y, 0Y). Следуя конструкции резольвенты теоремы 7, можно попытаться выписать резольвенту о$ -^ fJ*o$ -* (/X)2 g#? -> • . • Для квазикогерентного пучка (?г-модулей <$# на Y. Однако в алгебраическом случае функтор /*, хотя и сопряжен с функтором /#, отличен от обычного функтора /*. Поэтому рассуждения [7J, приводящие к доказательству точности,последовательности пучков q$ -> fj*o$ -> {fj*)2 о$ -> • .. в топологическом случае, уже недостаточны и точность аналогичной последовательности для алгебраического случая доказать не удается. Если повторить эти построения в частном случае аффинных схем, то для гомоморфизма колец ср: А -> В с единицей соответствующая последовательность для Л-модуля М выглядит так: M^M(g)B^M(g)B(g)B->...-+M(g)B®n-+... AAA А Естественно возникают вопросы о точности этой последовательности и о гомотопической тривиальности этой последовательности. Еще более интересной задачей представляется выяснение алгебраического смысла соответствующих групп когомологий. Пока известны весьма неполные ответы на эти вопросы. Например, если А — дедекиндова область, В — целое замыкание в конечном расширении поля частных области А, то для вложения ср: А -> В соответствующая последовательность гомотопически тривиальна. 4. Суммирующий гомоморфизм Для гомотопической тривиальности резольвенты q$ -> {{fj*)n+1 g^}£10 достаточно, чтобы существовал гомоморфизм пучков а: fJ*o$ -> q$ такой, что композиция о$ —-> fJ*o$ -^> ?$ есть тождественное отображение. Постараемся выяснить, хотя бы для частных случаев, когда существует . гомоморфизм fJ*o$ -> q$, безотносительно к свойствам композиции q$ -^ Д/W -> о$- Если такой гомоморфизм можно определить для каждого пучка ^ так, чтобы а было преобразованием функторов, то, в частности, мы имели бы гомоморфизм о : f¥Z -^ Z. Интересной особенностью нульмерных совершенных отображений является то, что такого гомоморфизма а: fJZ -> Z уже достаточно для опре- дележмя функториального гомоморфизма а : /,/W -> оА: это следует из равен- 107
ства fj*Qyf = f4Z<&<&$ (см. теорему 10). Именно для широкого класса нульмерных совершенных отображений мы в состоянии дать ответ на вопрос о существовании гомоморфизма о: fJZ -> Z. Теорема 11. Для того чтобы для открытого нульмерного совершенного отображения f: X -> F, где Y локально связно, существовал гомоморфизм 0 : /* Z -> Z, необходимо и достаточно, чтобы для каждого открытого связного U (ZY и каждого открыто-замкнутого подмножества V (Zf^U пространства /-1С/ были указаны целые числа n0(V), удовлетворяющие условиям: 1) если U'QU, то nu(V) = nu,(V nf'W); 2) если V = V± U ... U Vk, где V. — открыто-замкнутые попарно не пересекающиеся подмножества прообраза f^U, то nu(V) = nu(V1)+... + nb(Vk). Задание чисел с такими свойствами назовем суммирующей функцией, а число пу (X) для связного пространства Y степенью суммирующей функции. Доказательство. Необходимость. С каждым открыто-замкнутым подмножеством V множества f'1 U свяжем сечение %Y пучка Z на/_1С/, равное 1 на V и 0 на f~1U\V. Тогда a(vY\£Z(U) = Z в силу связности U. Положим nn(V)=ahy\. Если U'£ZU, то, очевидно, Xvnf-w есть ограничение сечения Ху на /-Ч7', откуда °(ХуПГ*а') = а{Ху)> т- е- nlt(v) = nu'(Vnf'1U'). Если V=VX\J ... U Vk, где V. открыты и замкнуты в f~xU и попарно не пересекаются, то, очевидно, %Y = xYi + Xv2 + • • • + Xvk> откуда пц(У) = nu(V1)-[-. . . ... -f- nv (Vh), или a hy\ =a(x7)-{- ... -f-a (Xy )• Необходимость доказана. Достаточность. Пусть U — связное открытое подмножество пространства Y. Для каждой точки y£U прообраз f~ly пересекается лишь с конечным числом элементов любого открытого покрытия кратности 1. В частности, если для сечения s^Z(f~1U) покрытие {Vt} прообраза f~~lV таково, что s постоянно на каждом элементе V., то f~xy пересекается с конечным числом элементов Vr Но в силу открыто-замкнутости отображения / и связности U каждое V\ отображается на все U. Итак, число элементов любого покрытия прообраза f~xU открыто-замкнутыми подмножествами конечно, в частности, конечно число (FJ и мы можем положить a {s) — ^Пу (VJ sv где s. — значения сечения s на Vt. Число a(s) зависит только от сечения s и не зависит от выбора разбиения (FJ, на каждом элементе которого сечение s постоянно. Достаточно доказать это для случая, когда другое такое разбиение {Wj) вписано в {V4}. Для каждого i пусть /. есть множество индексов / таких, что Wj С Vv По выбору разбиений сечение s постоянно на каждом W • и V{\ пусть эти значения есть соответственно s'. и s.. Согласно определению о (s) = 2 пи O^j) */ = 2 2 пи (Wj) sj = (так как sj = st Для каждого 7 £ J д = 2 Г 2 ^ (wj)\ si = (в СИЛУ 2)) = 2 М^*) **> чт0 Доказывает корректность определения отображения а. Возможность, только что проверенная, измельчать разбиения без влияния на результат суммы ^nu{Vi)si, позволяет считать, что любая пара сечений s, t^Z(f~1U) связана с одним и тем же разбиением. Для этого случая очевидно, что c(s -f-1) =o(s) -f- a(t). Таким образом, a есть гомоморфизм a: Z (f^U)-+Z (U). Если U'CZU, U' связно, сечение s^Z(f~1U) ассоциировано с покрытием {V.}, то сечение sl/'W будет ассоциировано с покрытием (FJ. Тогда условие 1) обеспечивает нам равенство a (s \ f^U') = a (s) \ U'. 108
Итак, мы определили гомоморфизмы а : fJZ (U) -> Z (U) для каждого связ-\ ного открытого U С F, причем эти гомоморфизмы перестановочны с гомоморфизмами ограничения для каждой пары связных открытых подмножеств [/', U, U' С С/. Для произвольного'открытого ЯСГи сечения s^Z{f~1H) поступаем следующим образом. В силу локальной связности существует разбиение Н на открыто-замкнутые связные множества Ua, Н = (J Ua. Положим а($) равным <з(5|/_1С/а) на каждом Ua. Ясно, что таким образом мы определим гомоморфизмы a: Z^""1//) -> Z(H) уже для всех открытых Н Q.Y. Эти гомоморфизмы перестановочны с гомоморфизмами ограничений, так как связные множества образуют базис в У, а для связных множеств перестановочность с гомоморфизмами ограничений проверена. Теорема доказана. Разберем теперь несколько важных примеров суммирующих функций. 1. Конечные группы преобразований. Пусть конечная группа G действует на X и / : X -> Y=X/G — каноническое отображение на фактор-пространство X/G. Беря сдвиги {gV}ffeG открыто-замкнутого в /-1С/ множества V С С/-1 U и рассматривая всевозможные пересечения этих открыто-замкнутых в f'1!! множеств, мы получим разбиение прообраза f~1U=\JVi на открыто- замкнутые в нем подмножества, инвариантное относительно сдвига при действии группы G. Это разбиение, кроме того, будет обладать следующим свойством: каждый элемент V. или не пересекается с V, или содержится в V. Каждое инвариантное относительно сдвигов при действии группы G разбиение прообраза j"xU с последним свойством назовем инвариантным разбиением, подчиненным V. Мы заметили, что инвариантные разбиения, подчиненные открыто-замкнутому в /_1С/ множеству V всегда существуют. С каждым инвариантным разбиением Е свяжем его индекс: п (Е) = | G\/\Щ где |Е[— число элементов в разбиении Е. Положим nv(V) = к • /г(Е), где к— число элементов разбиения Е, лежащих в V. Проверим, что числа nu(V) определены корректно и удовлетворяют свойствам 1) и 2) суммирующей функций. Так как пересечение двух инвариантных разбиений есть снова инвариантное разбиение, то при проверке независимости числа nv(V) от разбиения мы можем предположить, что из двух инвариантны^ разбиений Е, Е1? подчиненных V, одно разбиение, например Ех, вписано в другое, Е. Инвариантное разбиение Е имеет вид Е = {gW}9£G-> где W открыто-замкнуто в /_1£/. Пусть Е = {g\V}g£G и Ех = {gW-^gzo', можно считать, что W± С W. Легко сообразить, что |Е|=индексу подгруппы Н группы G, состоящей из элементов /г, оставляющих W на месте, hW~W. Поэтому индекс /г(Е)=|/7| и индекс п(Е1) = |Я1|. h> силу инвариантности разбиений £ и Г1 относительно сдвигов в каждом элементе разбиения Е содержится одно и то же число, а, элементов разбиения Ег В частности, |Е1|=а-|Е| или а::=| Ех |/| Е |, а число элементов разбиения Ех, содержащихся в W, равно а • к. Поэтому мы должны сравнить два числа к • п (Е) и а • к • п (Е^. Имеем а • к • п (Ех) = к - п (Ех) . | Ех |/| Е | = = к • \G |/[ Е | = к • п (Е), что и доказывает независимость числа пц(V) от инва - риантного разбиения Е, подчиненного V. Если U' С U и Е есть инвариантное разбиение прообраза f^U, подчиненное F, то Efl/^C/' есть инвариантное разбиение прообраза jf""1?/', подчиненное Ffl/-1^7'' Каждый элемент разбиения Е, лежащий в F, пересекается с Vdf^U', так как образ каждого открыто-замкнутого в f"xU подмножества 109
равен U в силу связности U и открыто-замкнутости отображения /. Поэтому число элементов разбиения Ер)/"1^', пересекающих и, следовательно, лежащих в Vflf^U1, равно числу элементов разбиения пересекающих и, следовательно, лежащих в V. Поэтому nv (V) = nur(V П f~lUr) , что и доказывает свойство 1) суммирующей функции. Если V. — открыто-замкнутые в f^U множества, попарно не пересекающиеся, то, беря пересечение инвариантных разбиений, подчиненных Vv можно найти инвариантное разбиение, подчиненное каждому V.. Если 1{ — число элементов этого разбиения £, лежащих в Vv I — число элементов этого раз- к биения, лежащих в V = U V\, то пи (V) = I • п (£) = (1г -(- . . . -\- 1к) • п (£) = t=i = l1n(L)-\- . . . -\-lk- п (£) = nu{V\)-\- • • • + пи(Ук)> что доказывает свойство 2) суммирующей функции. Построение суммирующей функции для действия конечной группы преобразований закончено. Заметим дополнительно, что степень суммирующей функции равна пу(Х) = = ft.|G|/|E|, где к — число элементов разбиения Е, лежащих в У, т. е. & = |£| и потому степень построенной суммирующей функции равна \G\ — порядку группы G. 2. Конечнократные открыто-замкнутые отображения связных когомологических многообразий. Как доказано в нашей статье [4], в этом случае множество точек максимальной кратности всюду плотно (и открыто) в X. Для любого открыто-замкнутого F С /-1f/ положим пц(У) = кратности данного отображения / на V. Из упомянутого выше свойства плотности следует, что кратность отображения / на V равна кратности / на открытом насыщенном в V множестве V {\f~lU\ т. е. nv (V) = nur (V{\f~lU), что доказывает свойство 1) суммирующей функции. Из того же свойства плотности вытекает, что для открыто-замкнутых в f~lU множеств V. образ fMi точек максимальной кратности отображения / на Vi открыт и всюду плотен в U. Для каждой точки к У б Г) fMt будем иметь: кратность / на У. равна | /_1г/П Vt I- Поэтому кратность/ •=i H&V=V1\J...\jVk не меньше 2| ГуГ\Г(\, т.е. nc(V) >2 \Гу П Vt\. *=1 t'=l к Но кратность / на V не может быть больше 2 If'1 У П ^* I» так как иначе для к=\ к y0^U такого, что | f~lyQC\ V I ^> 2 I /_1# П Vс I нашлось по крайней мере одно i0> *=1 для которого |/_1г/0 П Уг01 > | f~xy П Vi0\> что противоречило бы определению числа | f~xy П ViQ | как максимальной кратности отображения / на Ft-o. Итак, к пи (V) = ^ | /_1г/ П Т7» I > что доказывает свойство 2) суммирующей функции. Построение суммирующей функции для конечнократного открыто-замкнутого отображения когомологического многообразия закончено. Степень построенной в этом разделе суммирующей функции равна кратности отображения /. 3. Нульмерные совершенные отображения ориентированного п-мерного многообразия на ориентированное n-мерное многообразие. Если / : X -> Y есть указанное отображение, положим для каждого открыто-замкнутого V С f~xU, nv {V) есть степень отображения / | V : V ~> С/, если V связно, и пи (V) есть сумма степеней отображений компонент связности, если V ПО
не связно. Известные свойства степени отображения показывают, что для таким образом определенных чисел пи (V) выполняются свойства 1) и 2) суммирующей функции. Степень этой суммирующей функции равна для связных X и Y степени отображения /. Если Y связно, а X — нет, то степень суммирующей функции равна сумме степеней отображения компонент связности. Теорема 12. Для заданной суммирующей функции а композиция о$ —> fj*o4 —> <М есть умножение пучка Qy$ на степень суммирующей функции а, т. В частности, если рассматриваемые пучки суть пучки L-модулей и число т обратимо в L, то существует гомоморфизм тг = (1/га)а такой, что композиция есть тождественное отображение, кого- мологии пучка о$ есть прямое слагаемое когомологий Н*(Х; f*o$), резольвента теоремы 7 гомотопически тривиальна, а соответствующая ей спектральная последовательность непрерывного отображения тривиальна. Доказательство. В силу теоремы 10 первое утверждение теоремы 12 достаточно проверить для пучка q$=:Z. Возьмем s£Z(U). Сечение r\f(s)(< £fj*Z(U) — Z(f~1U) есть отображение /_1£/ -^ Z. В силу локальной связности пространства Y открытое множество U можно считать связным. В этом случае сечение s можно отождествить с числом l£Z. Тогда -r\.(s)=^t есть постоянная функция на f~xU, принимающая на /_1С/ значение L Согласно конструкции суммирующего гомоморфизма а, изложенной при доказательстве к теоремы 11, надо взять разбиение /_1С/= (J V. прообраза /-1£/ на попарно не пересекающиеся открыто-замкнутые в f~lU множества V. такое, что функция t постоянна на каждом V.. В нашем случае постоянной функции t любое к разбиение прообраза f~lU = \J V. будет удовлетворять последнему условию. =i к Сечение of\f (s) есть ot\j (s) = 2 пи (Vt) I = к 2»Л^) I, и все свелось к доказательству того, что ^inu(Vi) = nY(X) для связного У, —факт, интересный i=i и сам по себе. Рассмотрим сечение, равное 1 на Y; обозначим его 1. Полагая U = Y в предыдущем рассуждении, мы видим, что cr\f(l) = nY(X) • 1. Но а есть гомоморфизм пучков, поэтому а (т]^(1 | U)) = nY(X) • 1 | U. С другой стороны, [к 1 Г к Hnu(Vi) Г !• Итак> nY(X) ' * = 2^(Ft) *=i J L*-=i 1, откуда nY(X) = y£inu(Vi). i=i Вторая часть теоремы 12 есть следствие, получаемое обычными рассуждениями, того, что композиция q$ —^/^/*е^-^-> о$ есть тождественное отображение. ЛИТЕРАТУРА 1. Gray /. W. Fibred and cofibred categories. — In: Proc. Gonf. Categorical Algebra. La Jolla (Cal.), 1965. Berlin: Spring.-Verl., 1966, p. 21—85. 2. Zarelua A. V. Sheaf theory and zero-dimensional mappings, in applications of Sheaves. — Lect. Not. Math., 1979, N 753, p. 768—779. 3. Зарелуа А. В. Нульмерные отображения в общей и алгебраической топологии.— В кн.: Междунар. топологическая конф., Москва, 25—29 июня 1979. Тезисы, с. 43. 4. Зарелуа А. В. Конечнократные отображения топологических пространств и когомологических многообразий. — Сиб. мат. журн., 1969, 10, № 1, с. 64—92. 111
5. Зарелуа А. В. Когомологическая структура конечнократных отображений. — Труды Тбил. Мат. ин-та, 1971, 41, с. 100—127. 6. Зарелуа А. В. О резольвенте непрерывного отображения и связанной с ней спектральной последовательности. — Труды Тбил. мат. ин-та, 1977, 56, с. 99—117. 7. Зарелуа А. В. Об одной спектральной последовательности, связанной с непрерывным отображением. — Мат. заметки, 1978, 23, № 3, с. 435—446. 8. Зарелуа А. В. Алгебраическая характеристика некоторых классов отображений и совершенность расширений Винера гармонических пространств. — Сиб. мат. журн., 1978, 19, № 6, с. 1283—1299. 9. Dyckhoff R. Perfect light maps as inverse limits. — Quart. J. Math. Oxford (2), 1974, 25, p. 441—449. 10. Dyckhoff i?. Categorical methods in dimension theory. — Lect. Not. Math., 1976, N 540, p. 220—242. 11. Пасынков Б, А. Частичные топологические произведения. — Труды Моск. мат. об-ва, 1965, 13, с. 136—245. 12. Скорбев Г. С. О резольвентах непрерывного отображения. — Мат. сб., 1970, 82, с. 532—550. 13. Скорбев Г. С. О резольвентах замкнутого отображения. — Мат. сб., 1971, 86, с. 234— 247. 14. Скорбев Г. С, Резольвенты Зарелуа. — УМН, 1980, 35, JSS 3, с. 221—224.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 В. Р. ЗАЧЕПА, Ю. И. САПРОНОВ (Воронеж, СССР) О ЛОКАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФРЕДГОЛЬМОВЫХ УРАВНЕНИЙ 1. В последние годы наблюдается устойчивый интерес топологов, специалистов по нелинейному функциональному анализу и прикладников к теории нелинейных фредгольмовых уравнений. Объясняется это тем, что нелинейные фредгольмовы уравнения представляют собой объект, который, во-первых, естественным образом возникает (см. [4, 5, 11)] в различных вопросах механики и физики, геометрии и анализа ц, во-вторых, представляет собой превосходный полигон для применения имеющихся мощных накоплений в арсенале топологии и функционального анализа (см. [4, 5, 11, 12, 14]). Одна из целей настоящей работы продиктована желанием показать (в рамках локального анализа нелинейных фредгольмовых уравнений) возможность эффективного использования некоторых идей и методов современной теории особенностей гладких отображений в ставшей уже классической проблеме ветвления малых решений нелинейных операторных уравнений. 2. Под нелинейным фредгольмовым уравнением понимается уравнение f(x) = b9 b£N$ х£М% (1) где /: М ~> N — фредгольмово положительного индекса С^-отображение банаховых Сг-многообразий М и Nx моделируемых линейными банаховыми пространствами Е и F. Пусть х0 — особое (сингулярное) решение уравнения (1), т. е. х0 £ /~1(fe) П П2(/), где 2 (/) = {# £ М | dim Ker df (х) > ind /} — множество особых точек. Основная задача локального анализа состоит в том, чтобы описать топологическую структуру ростка множества /_1 (Ь) в точке xQ. К этой же задаче примыкают вопросы асимптотической устойчивости (конечной определенности) уравнения в х0 и вопрос о нормальной локальной форме уравнения разветвления, отвечающего (1). Так как росток любого компакта, лежащего в конечномерном подмногообразии, является ростком /_1 (Ь) в х0 для соответствующим образом подобранного фредгольмова Сг-отображения (даже в случае г=оо), то для получения содержательной информации об f'1 (Ь) необходимы дополнительные ограничения на /. Например, можно потребовать одно из следующих часто встречаемых ограничений: (A) г=а (т. е. все структуры являются аналитическими); (B) х0 — изолированное сингулярное решение уравнения (1) (при этом на / или f'1 (Ь) могут быть наложены дополнительные дифференциально- топологические условия); (C) уравнение (1) задает полное пересечение с изолированной особенностью (см. [2, 17]); 113
(D) уравнение (1) конечнократно (см. [9, 12]) относительно некоторого подмногообразия L с М, codim L=ind /. Одновременное выполнение условий (А) и (D) отвечает так называемому грубому случаю в [5] или квазирегулярному случаю в [4]. Ограничения типа (В) и (D) встречаются в работах по теории особенностей гладких отображений [12, 13] и в работах по качественной теории бифуркаций [10, 16, 18]. Ограничение (С) используется в теории идеалов гладких функций [2, 17]. 3. Определение. Росток /_1 (Ь) в точке х0 называется коноидом, если существует такое отображение (параметризация) а: Кх [0, 1] -> f'1 (Ь) (К —компактное многообразие без края), что а(КХ0)=х0 и а: (Кх [0, 1])\ \ЛГхО-> (f~x (Ь)\#о)П U — гомеоморфизм, где U — некоторая окрестность точки х0. Предложение 1. Если выполнено условие (С) или одновременно условия (А) и (В), то росток /_1 (Ь) в х0 является коноидом. Доказательство следует для условия (А) Д (В) из теоремы о трансверсальности алгебраических множеств малым сферам (с центрами в изолированной особой точке) [7], а для условия (С) — из теоремы Тужрона — Мазера о конечной контактной определенности полного пересечения с изолированной особенностью [2, 17]. Замечание. Теорема неверна для условия (В) без условия (А), о чем свидетельствует следующий пример скалярного уравнения на плоскости: exp(-^)cos(^) = 0. Множество решений этого уравнения представляет собой совокупность концентрических окружностей радиусов гп = (пп)-Ч*(п=19 2, ...). Уравнение *2 + [у* — ехр(—1/z2) (1 + sin (1/z))]2 — exp (—2/z2) = 0 доставляет пример уравнения с условием (В) Д (D), в котором множество решений связно и локально связно, но не является коноидом в нуле. Определение. Фредгольмовы уравнения f1(x1)=b1 и /2 (х2) =fe2, порожденные отображениями f1\ Мх-> N1 и /2: М2-> N2- назовем эквисингуляр- ными в точках ах и а2, если ростки f~l (Ьг) и /^1(Ь2) в ах и а2 гомеоморфны. Определение. Уравнение f (х)=Ь назовем г-определенным в х0, если для любого Сг+1-отображения g: М -> 'TV, имеющего в х0 касание r-го порядка с /: &(/) = &(*), (2) уравнения / {х) = Ъ и g (х) = Ъ эквисингулярны в х0. Имеет место следующий общий критерий г-определенности. Теорема 2. Уравнение (1) r-определено в х0 тогда и только тогда, когда для каждого g £ Cr+1, удовлетворяющего соотношению (2), выполняется требование (В). Доказательство использует в начальной стадии одну конструкцию Тома [2] и в дальнейшем некоторые оценки, связанные с анализом возникающих в этой конструкции алгебраических множеств. Замечание. В случае конечной определенности уравнения (1) в точке хь росток /_1 (Ь) является коноидом (см. теорему 1). Из последней теоремы можно получить ряд удобных для приложений признаков конечной определенности. Сформулируем простейший из них, установленный ранее Бухнером, Марсденом и Шехтером [18]. 114
Теорема 3. Пусть уравнение V,f{h) = 0, (3) где blj: Кег df (х0) -> Coker df (х0) — внутренний квадратичный дифференциал Портеуса [1, 2], имеет единственное (нулевое) сингулярное решение. Тогда уравнение (1) 2-определено и эквисингулярно уравнению (3). 4. В дальнейшем будем предполагать, что г=оо, М = L X R?, q = indf. Следовательно, отображение/ можно рассматривать как семейство /х(и) — = /(и, X), u^L, Х(^ R9, которое будем называть гладкой фредгольмовой деформацией отображения /0 .* к -> / (и, 0). Потребуем условие конечной кратности /о в точке и0, #0 = (м0, 0): существует такое положительное число /с, что для любой гладкой деформации g^ отображения /0, [j.£R9, уравнение g (и)=0 имеет при малых фиксированных р. не более /с решений, сходящихся к а0 при р.->0. Если к— точная верхняя грань (по всевозможным гладким деформациям) количеств таких решений, то назовем к бифуркационной кратностью и обозначим через b (/0, и0). Теорема 4. Пусть X £ R1 и пусть уравнение /(и, Х)=Ь (4) имеет ровно к = b(/0, и0) различных (а значит, и простых) решений и.(X), гг.(0) = к0(& = 1, 2, . . ., /с). Пусть, далее, семейство операторов {^li(dufX X (&; (X), X))-1} ограничено в сильной операторной топологии. Тогда для любой фредгольмовой деформации g (и, X), X £ R1 отображения /0, удовлетворяющей по совокупности переменных соотношению (2), уравнение g(u, X) = fe эява- сингулярно (4) в (гг0, 0), вела r>max{rt.}, где т\. = 2Zt. max {5т1, 1} — 1, a s.— порядок ui (X) при X = 0 (первый ненулевой показатель ряда Пьюизо). Бифуркационную кратность можно оценивать алгебраически. G этой целью рассмотрим кольцо ёщ(Ц ростков в и0 гладких функций на L и идеал *21 этого кольца, порожденный функциями вида ф(/0(и)), где ф(г/) — гладкая функция на N. Фактор-кольцо Qu (f0) =z Su (L)I%1 называется локальным коль- цом особенности отображения /0 в нуле, а его размерность — локальной крат^ ностью, обозначаемой m(f0, и0). Справедливо следующее утверждение, установленное в работах [9, 12], Теорема 5. Имеет место неравенство Ь (/0, щ) ^.т (/0, щ). Следует отметить, что в голоморфной ситуации имеет место равенство [8]. 5. Для исследования фредгольмовых уравнений с параметром обычно применяется метод конечномерной редукции, позволяющий сводить гладкое фредгольмово уравнение к аналитически эквивалентному ему конечномерному уравнению разветвления Ляпунова—Шмидта [4, 5]. Уравнение разветвления определяется неоднозначно, но все они порождают одно и то же (с точностью до изоморфизма) локальное кольцо особенности, совпадающее с локальным кольцом особенности уравнения (1) в точке х0. По-видимому л последнее свойство можно положить в основу инвариантного определения уравнения разветвления (при условии (А) или (С) точно можно вследствие результатов Тужрона—Мазера [2, 13, 17]). В предположениях предыдущего пункта можно обратиться к следующему неинвариантному определению уравнения разветвления. Определение. Уравнение ?(t, Х) = 0, (5) 115
порожденное С°°-отображением ср : (R* X R9, 0) -^ (R*, 0), к =zdim Кетdf0(x0), называется уравнением разветвления для уравнения (4) в точке х0 = (и0, 0), если существуют гладкие ростки диффеоморфизмов а : (L X R*, К 0)) -> (Е X R* X R*, (0, 0, 0)), Р:(ЛГ, Ь)^(ЕХК\ (0, 0)), а (ж, X) = (о^ (ж, X), а2(я, X), X), и гладкий росток А:: (В X R* X R', (0, 0, 0)) -> (GL (В X R*), /) такие, что справедливо тождество A (s, *, X).iQ(/(a-1(5, *, X))) = (s, <р(*, X)), где s£Ef t£R\ XgR*. Рассмотрим cp (£, X) как одну из гладких деформаций отображения ср0 и рассмотрим также следующую деформацию: т a (t, I) = То (t) + 2 |Л («), 5, £ R*. S = &, .... U, (6) где o)x, . . ., о)ш задают базис Q0(<p0). Деформацию (6) назовем главной. Теорема 6. Уравнение (5) подчинено уравнению (6) в следующем смысле: существует (в некоторой окрестности нуля) такое С^-отображе- ние 6: R^ -* Т\т7с и такое гладкое семейство A (t, р.) обратимых матриц порядка к, что верно равенство <?(t, p) = A(t, ,i)o(i, 6 ([*)). (7) Доказательство основано главным образом на использовании подготовительной теоремы Мальгранжа — Вейерштрасса [2, 3]. Таким образом, уравнение a (£, £) = 0 представляет собой версальную деформацию (см. [10]), если ввести правило подчинения деформаций формулой (7). 6. Неоднозначность аналитической формы уравнения разветвления приводит к проблеме выбора нормальной в том или ином смысле формы. Если в качестве со1, . . ., и>т выбрать мономы, а в качестве компонент отображения ср0 выбрать такие полиномы, которые не содержат слагаемых, входящих в произведение 9)?210(<р0), где (ЗЯ — максимальный идеал в §0(Rk), то получим главную деформацию c(t, I) в нормальной форме, а з(£, б (р.)) задает нормальную форму уравнения разветвления. Проиллюстрируем сказанное на примере нормальных форм главных деформаций простейших особенностей. 1) Пусть dimKerd/0(tt0) = l, т. е. Q (f0) ^ ЩЩГ). Тогда уравнение (6) в нормальной форме состоит из одного скалярного уравнения т—1 *=0 2) Пусть dim Ker d/0(w0) = 2, m(f0, и0) = 4. Тогда Qu (/0) изоморфно [13] одному из двух колец: R['i> У/('?-*!> *&)> Rt'i> «/(*! + '!■ ht2). Нормальные формы выглядят для этих случаев следующим образом: Ч + Щ + iu+Wi+ЪА+ем С! ± 1)=о. КЧ + 6д + Wl + ^2 + ^24 И\ ± il) = 0. 116
Так как то вместо последней можно рассмотреть другой вариант нормальной формы: '? + Ец + EiA + *iA + Eu'A = О, *2 П ^21 + Wl ~f" ^23^2 + ^24^2 = ®' ЛИТЕРАТУРА 1. Арнольд В. И. Особенности гладких отображений. — УМН, 1968, 23, № 1, с. 3—44. 2. Особенности дифференцируемых отображений: Сб. статей. М.: Мир, 1968. 3. Малъгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. М.: Мир, 1968. 4. Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 5. Красносельский М. А., Вайникко' Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Сте- цепко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 6. Маьер Дж. Конечная определенность гладких отображений. — Математика, 1970, 14, № 1, с. 145—175. 7. Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.: Мир, 1971. 8. Паламодов В. П. О кратности голоморфного отображения. —*Функц. анализ, 1967, 1, № 3, с. 54—65. 9. Паламодов В. П. Замечания о конечнократных дифференцируемых отображениях. — Функц. анализ, 1972, 6, № 2, с. 52—61. 10. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. — УМН, 1972, 27, № 5, с. 119—184. 11. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения: Сб. статей. М.: Мир, 1974. 12. Химшиашвили Г. Я. О малых решениях нелинейных фредгольмовых уравнений. — Вестн. МГУ. Сер. мат., мех., 1977, № 2, с. 27—31. 13. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. 14. Борисович Ю. Г., Звягин В. Г., Сапронов Ю. И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере—Шаудера. — УМН, 1977, 32, № 4, с. 3—54. 15. Зачепа В. Р. О конечной определенности решений нелинейных фредгольмовых уравнений. — В кн.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докл. Минск, 1978, с. 53. 16. Сапронов Ю. И. О версальных деформациях фредгольмовых уравнений. — В кн.: VII Всесоюз. топологическая конф.: Тезисы докл. и сообщ. Минск, 1977, с. 169. 17. Tougeron J. С. Ideaux de Fonctions Differentiables: Ergebnisse. N. Y.: Spring.-Verl., 1972. Bd. 71. 18. Marsden J. Qualitative methods in Bifurcation theory. — Bull. Amer. Math. Soc, 1978, 84, N 6, p. 1125—1148.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 С. П. ЗЕРВОС (Афины, Греция) О КАРДИНАЛАХ КАК ОРБИТАХ ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ Пусть X — непустое множество, наделенное некоторой структурой и Г — группа автоморфизмов этой структуры. Рассмотрим множество всех орбит группы Г, орбитаж содержащая а£Х, будет обозначаться Т (а). Булеан множества X, т. е. множество всех подмножеств, обозначается через Р (X). Если L — полная решетка, то G (L) обозначает группу всех автоморфизмов L. Для пары элементов а, Ъ решетки L таких, что а ^ &, множество [a, b] = {x(<L\a ^ х ^ 6} называется замкнутым интервалом; подмножество К частично упорядоченного множества X называется выпуклым* если из а, Ъ^К следует, что [а, Ь]аК. Через | X | обозначается мощность множества X. Пусть Р = Р (Е), где Е — непустое множество, и М — множество всех элементов Р, эквиполлентных Е, как подмножества Е. Любое продолжение перестановки множества Е на Р является элементом G (Р) и обратно. Следовательно, симметрическая группа Se всех перестановок Е и группа G (Р) канонически изоморфны. Лемма 1. Разбиение Р—М на орбиты G (Р) совпадает с разбиением Р—М на классы эквиполлентных элементов, где М — множество всех элементов Р9 которые переводятся в Е инъективными полными эндоморфизмами Р, сохраняющими 0. Доказательство, а) Продолжение на Р некоторой инъекции Е -> Е является сохраняющим 0 инъективным полным эндоморфизмом; обратное [очевидно. Ь) Группа G (Р) состоит из продолжений на Р перестановок Е. Следовательно, если А и В — эквиполлентные подмножества Е, не лежащие в Мж биекция А -> J5, устанавливающая эту эквиполлентность, может быть продолжена до перестановки Е. Поскольку множества Е—А и Е—В также эквиполлентны, они, если Е бесконечно, эквиполлентны Е, а если Е конечно, имеют одно и то же число элементов. Если L — полная решетка, fc£L, то через Lb будет обозначаться замкнутый интервал [х01 Ь], где х0 — наименьший элемент в L. Следствие 1. Два элемента А, В £ Р—М лежат в одной орбите G (Р) тогда и только тогда, когда Рн и Рв изоморфны; С £М тогда и только тогда, когда Р^ изоморфно Р. Доказательство. Предположим, что РА и Рв изоморфны. Тогда* существует биекция <р между множеством атомов РА и множеством атомов Рв, следовательно, А ж В лежат в одной орбите; обратное очевидно. Последнее утверждение непосредственно следует из леммы 1. Рассмотрим Р—Р (R). Поскольку все верхние грани счетных множеств 118
атомов имеют изоморфные полные подрешетки, то из следствия 1 получается следующая формулировка континуум-гипотезы: полная решетка Р всех подмножеств R, рассматриваемая как абстрактная решетка, не содержит трех неизоморфных бесконечных полных подрешеток. Другими словами: бесконечная полная подрешетка решетки Р (R) изоморфна или Р (R), или Р (N). Проблема 1. Какие факты, касающиеся кардиналов, отражают факты, касающиеся орбит групп автоморфизмов частично упорядоченных множеств, более общих, чем булеаны? Первый шаг в изучении этой проблемы состоит в формулировке ее в терминах, касающихся кардиналов и орбит в Р—М9 и в установлении общих фактов об орбитах групп автоморфизмов частично упорядоченных множеств. 1. Различие между конечным и бесконечным (Р.1) Кардинал конечен о в соответствующей орбите любые два различные элемента несравнимы. Эквивалентная формулировка: [кардинал бесконечный о в соответствующей орбите существует по меньшей мере два различных сравнимых элемента. (Р.2а) (соответственно (Р.2Ь)) Кардинал бесконечен о соответствующая орбита не имеет минимальных (соответственно максимальных) элементов. Эквивалентная формулировка: кардинал конечен о соответствующая орбита имеет по меньшей мере один минимальный (соответственно максимальный) элемент. (Р.1), (Р.2а), (Р.2Ь) следуют из леммы 1 и следующей леммы 2. Лемма 2. Если X — частично упорядоченное множество иТ — группа автоморфизмов X, то каждая орбита Т удовлетворяет одному из следующих двух условий. 1) Любые два различные элемента Т несравнимы. 2) Т не содержит минимальных и максимальных элементов. Доказательство. Предположим, что а — минимальный элемент в орбите Т. Тогда для любого о£Г а (а) 'является минимальным элементом в а (Г); но а (Т)=Т9] поэтому все элементы в орбите Т минимальны и Т удовлетворяет условию 1). Аналогично разбирается случай, когда а — максимальный элемент в Т. Следствие 2. Если в предположениях леммы 2 орбита имеет конечное число элементов, то любые два ее элемента Несравнимы. Обратное верно не всегда; но выполнено для Р. 2. О сравнении кардиналов. Упорядочивание орбит (Р.З) Для любых двух различных орбит Т и Т' таких, что существует (а, Ь)£ТхТ\ а < 6, и для любого с£Т существует е'£Г', что с < с'. (Р.4) (Аксиома выпуклости). Все орбиты выпуклы. (Р.5) Для любых различных орбит Т и Т' все пары (а, Ь)(<ТхТ' сравнимых элементов удовлетворяют одному и тому же из неравенств а <^Ь, Ь<а. (Р.6) (Аксиома порядка). Следующее отношение <^ на множестве орбит является частичным порядком: для двух орбит Т и Т'% Т ^ Т' о существует (а, Ь)£ТхТ' такая, что а ^ Ъ. Функция с н> Т (с) неубывающая. На языке кардинальной арифметики аксиома (Р.6) может быть выражена 119
так: для любых множеств Ау В, С, |Л|^|Л|, из |Л|^|Б| и |Д|^|Л| следует, что \ А \=\ В \ (теорема Кантора—Бернштейна); из \ А | ^ | В\, | В | ^ | С | следует^ что \ А | ^ | С j. Аналогично (Р.4): для произвольных множеств А, 5, С из А ^ В ^ С и | Л |= j С | следует, что \А\=\В\. Соотношения между (P.3)t (Р.4), (Р.5) и (Р.6) могут быть описаны в очень простых и общих терминах. Сформулируем сначала некоторое обобщение понятия выпуклости. Если X — множество и В — бинарное отношение на нем, то подмножество К d X называем Л-выпуклым, если а, Ь£К, х£Х, В (а, fe), В (а, x)f В (яг, Ь) одновременно влекут х£ К. Пусть Мг с X nQ — разбиение Х—Мг. Обозначим через «t. s.» элементы Q и «(P. v)» (v=3, 4, 5) утверждения, получающиеся из (P. v), если мы заменим Р на X, М на Мг, х' ^ х" на В (х', х") (х\ х"£Х) и слово орбита на «t. s.». Предложение 1. «(Р.З)» и «(Р.4)» => «(Р.5)». Если В — порядок на X, то «(Р.З)» и «(Р.4)» => «(Р.6)»; «(Р.З)» и «(Р.5)» => «(Р.6)» и «(Р.4)». Доказательство. 1) Предположим, что «(Р.З)» и «(Р.4)» имеют место; пусть Т и Т' — различные «орбиты», такие, что для некоторой (а, Ъ)£ТхТ', В (а, Ъ) и что для некоторой другой пары (е, d)£TxT', В (с, d). Тогда, по «(Р.З)», существует с' £Т', что В (с, с'); по «(Р.4)», из В (d, с) и В (с, с') следует, что с£Т', что противоречит предположению,; что с £ Т и Tf)T' = 0. Следовательно, «(Р.З)» и «(Р.4)» => «(Р.5)». 2) Предположим, что В есть некоторый частичный порядок ^ на X. Для каждого (а, а) £ Г2, а ^ а, следовательно, по определению ^ в «(Р.6)»г Т ^ Т' (рефлексивность). Т ^ Т' и Г' ^ Г, по определению тогда существует (a, fe) £ Гх Г с а < Ъ и (с, d) £ Гх Г с d < с; если Г =^= Т', последние два неравенства имеют вид а < fe и d < с, что невозможно по «(Р.5)»г так что Т=Т' (антисимметрия). Возьмем три различные «орбиты» Г, Т' иГ, удовлетворяющие Г < Г и Г < Г'. Тогда существует (а, Ъ)£ТхТ' такая, что а < fe, и (е, d) £ Г'х Г" такая, что с < d; но из «(Р.З)» существует fc" £ Г" такой, что Ъ < fe"; a <^b и Ъ <^Ъ" дают а < fe", следовательно,, Г ^ Г" (транзитивность). По определению ^,; с ^ d влечет Т (с) ^ Т (d\ так, что а ^ х ^ fe, и Г (а)=Т (Ь) влекут, по «(Р.5)», Т (а)=Т (х . Применяем предположения предыдущего предложения 1, когда: В — порядок на X, Мг=0; Q — разбиение X, реализующее орбиты группы Г,: т. е. «орбиты»=орбиты. - Замечание. В этом случае мы снова пишем (P. v) вместо «(P. v)». В этом контексте пусть Т и Т' — две различные орбиты такие, что a£Tf feg Т' и а < Ь; если с£ Г, то Т=Т (а), существует а£Г такой, что с=о(а); следовательно, а (а) <С G (Ь) влечет fc<a (fe), пока а (b) £ Г (fe), т. е. <*(&)£ Г'; так что достаточно положить d=o (fe) для того, чтобы увидеть выполнение (Р.З), и мы имеем лемму 3. Лемма 3. Если X — частично упорядоченное множесто и Г- группа автоморфизмов X, то орбиты Г удовлетворяют (Р.З), и если все орбиты выпуклы, то также выполняются (Р.5) и (Р.6). Замечание. Интересно, что при столь сильных предположениях для частичной упорядоченности множества орбит отношением ^ достаточно лишь условия выпуклости. 120
3. Линейно упорядоченные орбиты Если X — частично упорядоченное множество и Г — группа автоморфизмов X, то два элемента а и Ъ из X будем называть Г-сравнимыми, если существует а £ Г такое, что а (а) и Ъ сравнимы. (Р.7) Любые два элемента множества Р являются G (Р)-сравнимыми. (Р.8) Порядок ^в определенный в аксиоме (Р.6), является линейным. Лемма 3'. Относительно предположений леммы 3: если все орбиты выпуклы и если любые два элемента X Т-сравнимы9 mo ^ (определенный в (Р.6)) является линейным порядком на X. Замечание. Аксиома выбора не использовалась в леммах 2, 3 и 3'. 4. О сложении двух кардиналов Ниже мы продолжаем формулировать (P. v) свойства множества Р относительно G (Р). (Р.9) Любая орбита без минимальных (соответственно максимальных) элементов является джойн-решеткой. В терминах кардинальной арифметики (Р.9) гласит: для каждого бесконечного кардинала т$ т-\-т=т. В решеточной формулировке эта важная лемма кардинальной арифметики имеет место также для орбит полной группы автоморфизмов полных решеток, т. е. в более широком классе, чем Р (X). Это видно из следующих рассуждений: a) Общее положение: пусть х принимает ординальные значения, Ят — различные копии действительной прямой R и ах — различные элементы, не лежащие в каком-нибудь Ят. Положим Нг = {%) U Rx U {а,}, Нп = {а0} (J R, (J {а,} ... U Д. U «} («>!). Нш= Ы U № U Ы) U (Д8 U {a*}) U • • • U {aJ U Яш U K+i} и для произвольного ординала х ^> 0 определим Яt по трансфинитной индукции. Для произвольного ненулевого ординала v ^ х обозначим #v типичный элемент i?v и распространим на Ят линейный порядок в каждом i?v, полагая: ао <С xi <С av av <С х^+\ <С a,+i» когда v -j-1 <[ х является не предельным ординалом, и а <^ ж,, а: <1 av для любого предельного ординала v и произвольного ординала р. <^ v. Теперь пусть Я~ есть копия Ят, снабженная противоположным порядком. Для произвольных ненулевых ординалов р. [и v пусть Н — = Н~ (J Я^ где Я~ П Н^ есть первый элемент Ят, и линейный порядок на Я продолжает линейный порядок на Я~ и Я^ Пусть Я — произвольное линейное упорядоченное множество одного из видов Нп (п конечное, >0), Ят, Я~ (х — бесконечный ординал), Я (р. и v — ненулевые ординалы).Шегко доказывается, что Я удовлетворяет (Р. 9), а также что R инвариантно относительно группы преобразований и что любое линейно упорядоченное множество является джойн-полурешеткой. В Я , Ят и Я" орбитами без минимальных элементов являются R^ в Я являются i?v и в некоторых случаях также линейно упорядоченные множества вида Я" |J Ят, без первого и последнего элементов (например, ... а"2, Rr2, а[, R[, a0, Rv av Я2, a2...). b) Берем в а) произвольное Я и заменяем каждое R^ некоторой бесконечной аддитивной группой F^ при условии, что, если у±=^=у2, F4f)F<»t===0> 121
продолжая очевидным образом так же, как в а), мы получим то, что мы назовем линейно упорядоченным множеством F. Для того, чтобы увидеть, насколько понятие F более общо, чем тпоня- тие Я, рассмотрим следующий пример: Fv являются линейно упорядоченными полями такими, что если \y^=v2> то 1^т | =тН^Ч1- с) Сеть, изображенная на рис. 1, нигде не ограничивается. Она может быть интерпретирована как решетка, которую мы будем обозначать Л. Заменим в Н из а) частично или полностью i?v различными копиями Л^ решетки Л. Если объединение бесконечного семейства элементов из Л, не определено в Av (как в случае, когда множество элементов семейства вполне упорядочено и имеется наибольший элемент в Av), то мы полагаем его равным av, когда v — не предельный ординал, и av+1, когда v — предельный ординал. Аналогично для пересечения. Обозначим так полученную соответствующую Н полную решетку через в. Так же как и в случае Н и с аналогичными обозначениями, мы видимж Рис. 1 /\ Рис. 2 что орбиты без минимальных элементов в в есть Av и иногда также в~и ©т- Следовательно, (Р.9) выполняется в в. Это также имеет место в случае,, когда Ь) и с) соединены очевидным образом. Этот случай содержит как частные случаи а), jb) и с). Будем называть этот случай случаем с) в широком смысле. d) Мы опишем простой метод «замены»,; который позволяет получать новые полные решетки из данных. Пусть А — произвольно выбранная решетка и <£?0 — произвольно выбранный класс полных решеток, среди которых имеются,, в частности, все {a}f, а^А. Пусть / — произвольная инъекция А -> i?0 такая, что: 1) если для некоторого а£А f {а) = {а'}9 а'£А? то а'=а; 2) если аг =^= «2> то / (ai) П / («2) = 0« Обозначим полную решетку / (а) через L (а) и множество UL (а)г (а£А) через В. Распространим на В частичный порядок в каждой L (а)г положив: если x(*L (аг) и y£L (а2), где ах=^= а2, то х < у о аг < аг. При этом В наделяется структурой частично упорядоченного множества и даже полной решетки. Последнее легко доказать, заметив, что для любого непустого семейства {х.) элементов x.£L (а.) наибольший [элемент L (Aat) есть нижняя грань всех х{ и, более того, их наибольшая общая нижняя грань; аналогично наименьшей элемент в L (Va^) есть sup (at). Этот метод применяется с целью получения класса полных решеток, удовлетворяющих (Р.9), более обширного, чем класс, заданный выше в с), и чем класс {Р (Е)}. Возьмем: 1) в качестве А произвольную полную решетку, не допускающую автоморфизмов, отличных от тождественного; 2) в качестве L0 класс, содержащий, помимо одноточечных множеств {а} (а £А), полную решетку, заданную условием с) (в широком смысле) над множеством всех подмножеств; 122 ь
3) в качестве / выберем инъекцию, такую что орбиты группы G (В) без минимальных элементов, являются также орбитами группы G (L (а)) без минимальных элементов принадлежащие L (а), а(*А. Достаточное условие для выполнения этого свойства состоит в том, что G (В) действует только в каждой L (а) (а £А) и, кроме того, оставляет В инвариантным (то, что это условие ни в какой мере не является необходимым, показывает очень простой пример, когда А есть пятиугольник, afi — шестиугольник; последняя решетка имеет симметрию — нетривиальный автоморфизм, хотя ее орбиты тривиальным образом обладают свойством (Р.9)). Пример, в котором описанное выше достаточное условие имеет место: А — произвольная полная решетка с тривиальной группой автоморфизмов, ее наименьший элемент заменяется произвольным булеаном$ а все другие элементы заменяются линейно упорядоченными полями таким образом, что если аг =^= а2, то \ L (аг) |=т^= \ L (а2)\ (см. также последний пример в в), выше). С другой стороны,; пример, обобщающий шестиугольную решетку и тривиально удовлетворяющий (Р.9), представляется любой конечной решеткой. (Р.10) Для произвольной орбиты Т' без минимальных элементов и произвольной орбиты Т^Т'9} если а£Т и Ь£Т', то a\Jb£T'. На языке кардинальной арифметики (Р.10) гласит: для произвольных кардиналов m и п, из которых хотя бы один бесконечен, ra+rc=max (т, п)» (Р.10) отражает наиболее общий решеточный факт, аналогичный предложению 1. Некоторое менее непосредственное обобщение делается ниже. 5. Расширенная аксиома Архимеда (Р.И) Если Ъ и а < fe — элементы из Р и а — не минимальный элемент Р, то существует семейство (а.) элементов Т (а) таких, что Ъ < Var Простой пример, для которого эта аксиома не выполняется, доставляется решеткой на рис. 2. Когда (Р.И) имеет место, выполняется также (Р.12) Все орбиты,} не содержащие минимального элемента Р, покрыты максимальным элементом Р. (Р.10), (Р.И), (Р.12), так же как и различные другие свойства орбит^ будут изучены в статьях, опубликованных в «ЕАЕГ6ЕР1А». В частности,, будут изучены возможные связи между классической «Cardinal Algebras» А. Тарского и настоящей работой. ЛИТЕРАТУРА 1. Birkhoff G. Lattice theory. R. I.: Providence, 1967. 2. Kuratowski K., Mostowski Л. Set theory. Warszawa: PWN, 1976.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 С. ИЛЛМАН (Хельсинки, Финляндия) ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ПОГЛОЩЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДЕЙСТВИЙ НА СФЕРАХ Пусть G — конечная группа, гладко действующая на сфере Sn. Зададимся вопросом: при каких условиях данное G-действие на Sn топологически эквивалентно линейному действию? Т. е. ищется G-гомеоморфизм между данным G-пространством Sn и пространством Sn(p), где Sn(p) С Rw+1(p) обозначает единичную сферу в ортогональном для G пространстве представления Rn+1 (р)» Для топологической эквивалентности данного G-действия на Sn некоторому ^линейному действию, очевидно, необходимо выполнение следующих двух требований: (i) Для каждой подгруппы И с G множество (Sn)H неподвижных относительно действия Н точек на Sn гомеоморфно сфере. (п) Если И и Н С^ Н., i=l, 2, . . ., к,—подгруппы в G, то подпро- к странство U (Sn)Hi топологически незаузлено в (Sn)H. *=i Предварительно примем некоторые обозначения. Если М — гладкое многообразие и Н — подгруппа в G, то Мя — множество неподвижных относительно действия Н точек на М. Соответственно этому положим М>н = \JMH'. Далее, обозначим М(>н>2) = (J МЙ', где объединение берется по всем тем подгруп- пам Н' группы G, для которых НС^Н' и dim МЕ' — dim Мп — 2. В случае гладкости G-действия на Sn и гомеоморфности (Sn)H и Sk мы говорим, что подпространство (Sn)(>H>2) топологически незаузлено в (Sn)H, если существует гомеоморфизм а : (Sn)H -> Sk такой, что a ((Sny>H>2>) есть объединение стандартных подсфер (размерности к — 2) в Sk. (Под стандартной подсферой в Sk d RA+1 мы понимаем пересечение сферы Sk с некоторым линейным подпространством пространства R*+1.) Мы говорим, что Мн имеет подмножества неподвижных точек в коразмерности два, если М(>н>2) =^= 0, и в этом случае скажем, что для пары (Мн, М(>н>2)) имеет место ситуация неподвижной точки в коразмерности два. Более того, мы говорим, что подгруппа Н с G наблюдается в М, если существует точка х£М, группа Gx изотропии которой совпадает с Н. В дальнейшем под «сферой» всегда будем понимать «непуотую сферу». Сформулируем наш основной результат. Теорема А. Пусть G — конечная группа, гладко действующая на Sn, причем: 1. всякое множество вида (Sn)H гомеоморфно сфере, а в случае dim (Sn)G = 4, мы, более того, предположим, что (Sn)G диффеоморфно 54; 2. для каждой подгруппы H=^G, наблюдаемой в М, dim (Sn)s ^ 5 и dim (Snf > dim (Sn)>H -f 2; 124
3. (Sny>H>2) топологически незаузлено в {Sn)R всякий раз, когда для пары {(Sn)H, (Sny>H>2)) имеет место ситуация неподвижной точки в коразмерности два. Тогда G — действие на Sn топологически эквивалентно линейному действию. Эквивариантная модификация теоремы Столлингса [7] играет в доказательстве теоремы А важную роль. Хорошо известный результат Коннэла, Монтгомери и Янга, полученный в 1964 г., гласит, что если компактная трупа Ли гладко действует на Snfi причем множество (Sn)G неподвижных точек диффеоморфно Sk, где 0 ^ k ^ ^ п—3, а все другие орбиты имеют один и тот же тип и размерность, равную г, п—г ^ 5, тогда действие G топологически эквивалентно некоторому линейному действию на Sn. Фактически этот результат Коннэла, Монтгомери и Янга является следствием из их соответствующего более сильного результата о гладкой эквивалентности действия на евклидовом пространстве некоторому линейному действию (см. [2, 3], ср. также [6]). Таким образом, в случае действий на сферах конечных групп наш результат обобщает имеющийся результат Коннэла—Монтгомери—Янга на тот случай, когда имеется более двух типов орбит и наблюдаются множества неподвижных точек в коразмерности два (ср. задачу С.2 в [1]). Критической является ситуация неподвижной точки в коразмерности два, и именно она порождает основные проблемы. Обобщение результата Коннэла—Монтгомери—Янга на случай действия компактной группы Ли без предположения о существовании ситуаций неподвижных точек в коразмерности два имеется (без доказательства) у Ротенберга [5, теорма 3.14 и следствие 3.15]. Мы говорим, что ситуация неподвижной точки в коразмерности два для пары (Мн, М(>н>2)) проста, если существует подгруппа H1dG такая, что д/(>#, 2) _ мнК jj3 нашего основного результата вытекает следующее Следствие. Пусть G — гладко действующая на Sn конечная группа такая, что выполняются условия 1 и 2 теоремы А. Предположим, что всякая ситуация неподвижной точки в коразмерности два проста и для каждой пары ((Sn)H, (Sny>ff>2)), для которой имеет место ситуация неподвижной точки в коразмерности два, подпространство (Sn)H\(Sny>H>2)) гомотопи- ески эквивалентно S1. Тогда G-действие, топологически эквивалентно некоторому линейному действию. Этот факт следует из теоремы А и из следствия 9.3 работы Столлинга [8]. Условие гомотопической эквивалентности подпространства (Sn)H\(Sny>ff>2)) сфере S1 можно переформулировать следующим образом: *i {(Snf\(Sn)(>H>2)) ^ Z, izq ({Sn)H\{Sn)(>H>2)) = о для всех q ^>2. Перейдем теперь к нашей теореме об эквивариантном поглощении. Нижеследующий результат об эквивариантном поглощении более чем достаточен для доказательства теоремы А, но ради других целей мы дадим ее формулировку в наиболее общем виде. Мы будем пользоваться следующими обозначениями. Если X — G-пространство, то положим Хн — {х £ X | Gx = Н), т. е. ХН = ХН\Х>Я. Эквивариантное ^/.-многообразие М определяется тем, что любая допустимая эквивариантная триангуляция на М превращает М в эквивариантное комбинаторное многообразие (см. [4, ч. 1]). Пусть М — экви- 125
вариантное PL-многообразие и пусть Мн — компонента Л/#. Для произвольного G-подмножества X а М положим [Х#]а = Хя Г) Л/#. Теорема В. Пусть М — некоторое эквивариантное PL-многообразие без края. Пусть U — открытое G-nodмножество М и La К — эквивариант- ные подполиэдры в М такие, что L С U, K\L компактно и dim [КвТ ^ <^dimil/#— 3, для всякой подгруппы Н Q.G и компоненты М% пространства Л/#, для которых [(K\L)ff]a =7^= 0. Предположим, что пара (Л/я, \UHf) — г(Н, а) связна и dim [(K\L)Hf ^ г (//, а) для каждой подгруппы ЯсС, наблюдаемой в М, и любой компоненты Мн пространства Мн- Тогда суще, ствует компактное G-nod множество Е с Л/ и кусочно-линейная G-изотопия ht на М, неподвижная на (M\E)\JL и такая, что /^(£7)3 К. Полное изложение упомянутых выше результатов будет опубликовано позже. ЛИТЕРАТУРА 1. Browder W., Hsiang W. С. Some problems on homotopy theory, manifolds and transformation groups. — In: Proc. Symp. Pure Math. R. I.: Amer. Math. Soc. Providence, 1978, vol. 32, pt 2 (Algebraic and Geometric Topology), p. 251—267. 2. Connell E. H., Montgomery D., Yang С. Т. Compact groups in En. — Ann. Math., 1964, 80, p. 94—103. 3. Connel E. #., Montgomery £>., Yang С. Т. — Ann. Math., 1965, 81, p. 194. (Correction to [2]). 4. Illman S. Smooth equivariant triangulations of G-manifolds for G a finite group. — Math. Ann., 1978, 233, S. 199—220. 5. Rothenberg M. Torsion invariants and finite transformation groups. — In: Proc. Symp. Pure Math. R. I.: Amer. Math. Soc. Providence, 1978, vol. 32, pt 1, p. 267—311. 6. Siebenmann L. C. On detecting open collars. — Trans. Amer. Math. Soc, 1969, 142, p. 201—227. 7. Stallings J. The piecewise-linear structure of Euclidean space. — Proc. Cambridge Phi- los. Soc, 1962, 58, p. 481—488. 8. Stallings J. On topologically unknotted spheres. — Ann. Math., 1963, 77, p. 490—503.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 В. КЛИНГЕНБЕРГ (Бонн, ФРГ), И. ШИКАТА (Нагоя, Япония) О ТЕОРЕМЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА ЗАМКНУТЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ В этой работе мы разъясним при некоторых предположениях доказательство теоремы о существовании бесконечного множества замкнутых геодезических на компактных, односвязных многообразиях, ср. [1]. Необходимые топологические предпосылки легко проверяются для случая, когда М имеет гомотопический тип нечетномерной сферы, ср. конец этой работы. Хотя мы предполагаем выполнение свойств (1.1)—(1.3) для интеграла энергии, мы можем отказаться от некоторых из них при «общих рассмотрениях». К этому мы надеемся вернуться в ближайшем будущем. 1. Пусть AM есть гильбертово многообразие замкнутых [/Р-кривых на компактном римановом многообразии М, dim М ^> 2, и пусть E:AM->R есть интеграл энергии. Кривые, вырождающиеся в точки и замкнутые геодезические,; являются критическими точками отображения Е. На AM каноническим образом действует ортогональная группа О (2). Действие О (2) определяется действием на окружности, так что E(g.x) = E(x) (g£0(2), х£АМ). В соответствии с разложением группы О (2) на группу вращений S = SO (2) и группу порядка 2, порожденную инволюцией б, определены фактор-пространства пМ9 %М, фактор-отображения тс, %t р и диаграмма f I т ЛМ/[Ь) ^Л/И =AMI0(Z) коммутативна. (1.1) Мы сначала предположим, что Е удовлетворяет условиям: (1.1.1) Для всякого к >0 все отличные от констант критические точки на Е~г ([0, к]) не вырождены, так что ^-орбита S -с критической точней с% О < Е (с) ^ к, является невырожденным критическим подмногообразием. (1.1.2) Всякие две критические орбиты О (2)-с, О (2)-с' имеют различные значения Е. Пусть с — невырожденная критическая точка. Размерность векторного пространства N_ (с), порожденного собственными векторами гессиана 127
D2E (с), соответствующими отрицательным собственным значениям , называется индексом с. Определено вложение W (c)=Wuu(c) векторного пространства N_ (с) в AM около с так, что образ полупрямой {t£ \t >0, ££iV_ (с), | £ 1 = 1} описывает градиентный поток Е. Образ W (с) обозначается также через W (с) и называется (в сильном смысле) неустойчивым многообразием точки с. Определим множества Sn, Тп как Sn = (критические точки индекса п такие что 0<#(с)<й;}, Тп = {[а, Ъ) • с, где c£S^19 [a, b]dS, (а<Ъ)}. Говорят что элементы из Sn \J Тп имеют индекс п или размерность п; элементы из Т иногда называют туннельными кусками. Неустойчивое многообразие W ([а, Ъ] -c)=Wu ([а, Ъ]-с) множества [а, Ъ]-с£Тп есть [a, b]-W (с), и геометрическая размерность этого множества согласована с размерностью, определенной выше. Мы предполагаем выполненными следующие предположения (1.2), (1.3): (1.2) Теоретико-множественная граница Bd W (х) неустойчивого многообразия S (х) точки х £ Sn разлагается единственным (с точностью до порядка) образом в объединение непересекающихся многообразий строго меньшей размерности: и—1 ( Bd (W (х)) = U W (yt (х)), yt (х) £ U (5/ U Tj). • (1.3) Для членов максимальной размерности этого разложения выполнено: (1.3.1) {j/,.Or)}n?V1=0; (1.3.2) существует конечное множество единичных векторов %. в N_(x) таких, что для всякой окрестности V(%.) вектора %. в единичной сфере пространства N_ (с) где индексы у{(х) не больше чем (п — 2): уЛ*)£ n\J(St\jTk); (1.3.3) Ориентация W (с) около точки х определяет ориентацию около у £ {yt (х)} Г) Sn_x на W (у) каноническим образом через градиентный поток Е- Из предположения (1.3) следует, что для всякого x^Sn и данной ориентации определена функция sgn(£t., у) на множестве векторов из (1.3.2) и множестве критических точек индекса (п — 1) из ориентируемой границы W (х). При предположениях (1.1), (1.3) мы можем определить комплекс Морса (Сп, Д) над Sn\jTn с действием на нем группы О(2). Для точки х £ Sn зафиксируем некоторую ориентацию около х на W (х) и обозначим через Sn множество ориентируемых критических точек. Определим Тп как f. = {[a,b]'x\x£§^, [a,b]c:S,a<b}. Пусть Sn, Тп и Сп обозначают свободные абелевы группы, порожденные над множествами Sn, Тп и Sn \J Тп соответственно. Тогда, используя функцию sgn(^> У)> определим гомоморфизм А группы Sn как продолжение отображения *(s) = 2(2sgn(6„ у)ху x£Sn. 128
Гомоморфизм Л на Sn продолжается на группы Тп, Сп следующим образом: А ([а, Ъ] • х) = Ъ • х — а • х — [а, Ъ] • Дж. Легко видеть, что Л фактически является граничным оператором Д. Д=0, так как его определение на Sn, данное выше, согласовано с определением граничного оператора в точной последовательности тройки (Хп, Хп_1У Хп__2)1 п | где Хп= (J U I S • W (х) | и | S • W (х) \ — носитель S • W (х). Так как градиентный поток эквивариантен относительно О (2)-действия, то векторы %ч = %.(х) в (1.3.2) также эквивариантны: (1.4) g-it(x) = i{(g.x)t g£0(2). Также из (1.3.3) следует (l.b)g.(bx) = &(g.x), g£0(2). Таким образом, (С, А) является комплексом с О (2)-действием. Он будет называться комплексом Морса над А (М). Очевидно, что комплекс Морса над А(М) определяет гомологии гильбертова многообразия А(М): (1.6) Н,(С, Д) = Я,(ЛМ). 2. Пусть L есть конечный симплициальный комплекс, вложенный в Л (М) кусочно-дифференцируемым образом. Мы построим цепное отображение1 К комплекса L в комплекс Морса С пространства Л(М), так что выполнено (2.1) Кд = ЬК, (2.2) КЬ = Ш, (2.3) Если 2а, = ИЧс), то К(%<*<) = с Построение ведется индукцией по размерности L. Детальное описание конструкции и обобщения будут даны в работе, которая должна вскоре появиться. Здесь мы кратко скажем о случае dimL=l. Рассмотрим деформацию комплекса L под действием градиентного потока ср*- Так как L конечен, конечно число критических точек и многообразий, которые лежат в замыкании Г (\J yt{L)\ множества \J yt(L), т. е. *{r(y?<(£))n(U(S,Urj)}<oo. Возьмем самую большую размерность &, для которой IV U yt(L)\ имеет непустое пересечение с Sk \J Tk, и, если &>1, положим {**, ..., **}=5кПГ(у ?*№))• Тогда имеются векторы tj* в отрицательном пучке N_(s*) точек s%, так что нестандартная деформация ф (следующая за ср,) вдоль т\* около каждого s* отталкивает s* от yt(L) и переводит их в Bd (W (s1?)), которое, как предполагалось, состоит из неустойчивых многообразий индекса, меньшего чем &. Можно выбрать т$ так, что 7)? = 6«т)*, если sj = 6 • sj. Поэтому мы можем предполагать, что ф коммутирует с действием G. Аналогично можно предполагать, что каждая следующая Г нестандартная деформация коммутирует с 6. Таким образом, в Г / |J Фср/ (L)\ нет точек из Sk: (£* и t.y (Sk+i и Тм)) Г) Г (п <И>, (£)) = 0. 1 По мнению второго автора, буква К должна быть поставлена в честь первого автора. 129
Если все еще к — 1 > 1, пусть № .-•.£} = 7* П г (у <M^)). суть критические точки, туннельные куски в Г / |J фср/ (L)\ и их представления. Возьмем ненулевое трансверсальное сечение С* отрицательного пучка на каждой орбите S • о*-1* так что нестандартная деформапия % вдоль С? около S • а*-1 отталкивает t\ от фср, (L) вместе с некоторыми s*.-1, лежащими на S • о*-*. Таким образом, из Т (\J y#<pt(L)\ уходит Тк и часть 5л-1 П г (U хФ?/ W) • Мы можем повторить процедуру до & = 1. В результате получим деформацию L комплекса L, причем граница L состоит только из критических точек Sly Tv Т2. Теперь рассмотрим деформацию L0 нульмерного остова комплекса L и построим ф и 5с для L0, как это было сделано для L в описанном выше процессе, допуская нулевое значение для трансверсальных сечений CJ в нескольких точках на S • 3 из-за размерностных соображений. Эта может привести к возникновению некоторых точек в 5^ вместо исчезновения их в Г2. Мы получили деформацию L комплекса L; определив для каждого fc-сим- плекса комплекса L критические точки индекса к, которые являются препятствующими для деформации его преобразованием ср, в часть более низкой размерности, мы получили преобразование К комплекса L в С, Исходя из конструкции К и Д и подходящим образом выбрав векторное поле, мы можем заключить, что К есть цепное отображение с требуемыми свойствами. Также из конструкции мы видим (взяв соответствующие неустойчивые многообразия), что существует отображение / комплекса С в клеточный комплекс из Л(М), так что (2.4) Jg = gJ, g£0 (2), / О KL ~ idi (цепная гомотопия), Kl о / ~ idc (цепная гомотопия). Пусть рп = рп(х), qn = qn(х) есть проекции х£Спв Sn, Тп соответственно. Запишем рп, qn в виде (при фиксированном базисе в С). Так как ортогональная группа 0(2) действует на Sn, определены факторгруппы и отображения тс, тс, р, при этом диаграмма К —* SJSOU^ 14 I sn№)—* sn/ou) ■s„/s • коммутативна. Далее мы будем обозначать SO (2) просто через S. Продолжим отображения тс, тс на Ся, определив их нулем на Tnf т. е. тс (х) = 130
= %(р(х)), tz(x) = iz(p(x)). Тогда из (1. 3. 1) и из определения следует, что А коммутирует с фактор-отображением. Таким образом, определены граничные операторы в фактор-пространствах, обозначаемые просто через А, удовлетворяющие свойствам (2.5) Атг = 7гД на CJO(2), Aft = 7iA на €JS. Следующее утверждение выводится из (2. 1)—(2. 5): (2. 6) Если цикл w в Л (М) имеет ненулевой тс# образ в Н^ (теМ, Z2), тогда ftp'К (w) + ftp"К (w) = 0 (mod 2). Действительно, выбрав с. £ Сп так, что (ftcj образуют базис в CJS, мы можем записать p'K(w), p"K{w) в виде р'к (w) = 2 at/ifi (z'{. б 5), /я (w) = 2 ь,7<:/С,. «:у б S). Если сравнение й//ЛГ (а;) -["-гс/ЛК^и?) = 0 (mod 2) выполнено, мы получим 2а.7+ь.7 = 2|> С ДРУгой стороны, из (2.4) w=j к (w) = 2 «,у</ (с,)+Vy6/ (с,) + /«* и. Тогда для цепей тс#и; = 2 (а*/~f~Ъ^)к#1 (с.) -j-вырожденные и граничные элементы = 22 г^#^ (ct) + вырожденные и граничные элементы, что является i противоречием. Из (2. 5) просто следует (2. 7) Если х £ С такое, что гсДх =£ 0 (mod /?), тогда й (ж) ф (mod ^), другими словами, х содержит элементы в С, отличные от туннельных кусков даже по модулю р. Замечание. Хотя отображение К, вообще говоря, не коммутирует с действием О (2) из-за нестандартных деформаций, мы видим, что если L находится в определенном общем положении, тогда по крайней мере члены К (L) самой большой размерности коммутируют с SO (2)-действием. 3. Если дана цепь х £ Ся, мы реализуем ее в виде тела с ручками Их в Л (М), которое является циклом, если х — цикл. Конструкция проводится по индукции. Сначала пусть х имеет вид х = с (c£Sn) и различные fc-точки {fj из BdDn диска Dn соответствуют векторам {SJ из 0.3.2). Построим Нх следующим образом: если критическая точка d{%x) из ?t(^i) уничтожается некоторой d(Et-) (i £ /0 = {1, . . ., &}, т. е. то соединим %г и %. (1) кривой, лежащей вне Dn, где г(1) есть наименьшее целое число в /0, для которого d(l1)-{-d$i) = 0. Положим J1 = (l, . . ,,i(l), ...,k). Если d(lx) не уничтожается, положим /х = (1, . . ., А). Мы можем повторять этот процесс, взяв /1Э /2, ... вместо /0, то тех пор, пока множество индексов / не станет пустым. После заключения кривых в трубки полученное пространство является телом с ручками Нх при # = с. Определим погружение f = fx Нх в Л (М) следующим образом: на диске Dn f задается нестабильным многообразием около с£АМ и на дуге, соединяющей I. с %j, f будет дугой, состоящей из двух потоков из <р*> один из %. к d(lt) и другой из d(lt) к Еу. 131
Используя определение Д, легко видеть, что из Дж = 0 следует: (3. 1) f(BdHx) преобразуется потоком <р* в низшие размерности я(/(ваях))е2Ч+2г<; i=0 *=о (3. 2) / (Нх) порождает неустойчивое многообразие с, для некоторого х £ Ся, удовлетворяющего условию %х = теж; в этом случае х=с, описание х будет дано несколько ниже. Пусть далее х имеет вид х = ас -\- bzc (z £ S, с £ Сп) и возьмем а копий Н{с (i = 1, . . ., а), fe копий Ha+Jc (/' = 1, . . ., Ъ) тела с ручками Не, полученного для х = с. Пусть {lk} будут точками с Не, оставшимися несвязанными в конструкции, данной выше. Обозначим через {%ы} соответствующие точки в Нгс (/ = 1, . . .,a-j-fe). Тело Нх тогда строится также, как и выше, при помощи введения лексикографического порядка на множестве {lkl}. Начав с точки £п, мы возьмем несвязанную точку \ы и свяжем ее со следующей ближайшей уничтожающей точкой или оставим ее несвязанной согласно тому, существует или нет точка \тп такая, что *&,|)+ <*(&»,.)= 0 (k,l)<(m,n), где Погружение / = f{ac+bze^ определяется так же, как продолжение f0, т. е. на Не f есть fe и на кривой, соединяющей lkl с £ш> я, / есть объединение двух кривых: если Z, п^а или a-f-l^Z, п, то поток <р/ от lkfl к d(lktl), поток <р, от d(S^z) к ЕЛрЯ; если 1^а<^п, то поток ер* от lkl к d (lki z), [0, 2] 1к^ t — дуга, полученная при 5-действии, поток <р, от z-d(lktl) к \т%п. Построенное таким образом тело с ручками Нх и отображение / удовлетворяют (3.1), (3.2) с х = (а-\-Ь)с при условии, что Д# = 0. Аналогично строится тело с ручками Нх и погружение / для х = а0с-\- axzx • с -f- ... ... -f~ anzn -с (z.£ S), для которого (3.1), (3. 2) выполнено с x = (a0-\-a1Jr ... ... -f-aj-c при условии Дж = 0. Также строится тело с ручками Нх для х £ ^я» тг^ = ^с. Мы также можем продолжить аналогичный процесс, начав с тел с ручками Нх, Ну с различными точками, построенными для х = а0с-\- ... -\-anznc, У = а'0с' + . . . + anzy (tzc =£ тсс'), чтобы получить тело с ручками Hv для v = x-\-y, объединяя подходящие пары различных точек так, чтобы выполнялось (3.1), (3.2) при 0=(2«Ос+(2«.')с. Также в общем случае мы получим тело с ручками Hv для 'к* 132
для которых (3 1), (3. 2) выполнены при Отталкиваясь от конструкции тела с ручками Нх9 мы построим ## посредством убивающего процесса. Сначала мы уничтожим Sn_29 Tn__v которые появятся на границе приклеиванием ручек обычным образом. Единственная характерная особенность заключается в уничтожении ручек Sn__2 5-действием для того, чтобы уничтожить элементы Tn_v Заметим, что оператор К коммутирует с 5-действием в этой конструкции. Продолжая этот процесс, мы построим тело с ручками Нх, которое есть цикл в Л(М), если х есть цикл в Сп (в силу (3.1)). 4. В [1] построено подмногообразие w в Л (М), представляющее класс Сулливана и подмногообразие w', ограничивающее w-\-Qw, dw'=w-\-Qw Пусть dim w = n. Для подмножества X С А (М) пусть Е (X) — max Е (х) и Ак = {к £ £Л(Д/)| Е(\) ^к}. Из конструкции п. 3 мы видим, что существует подмногообразие в AE(W'\ ограничивающее w — Нк{ю)ч поэтому справедливо (4.1) Имеется подмногообразие v' такое, что dv' = HK{W) + ШЩго), Е(и')^Е (w'). Возьмем устойчивое (в сильном смысле) многообразие V (с) = W99 (с) точки с £ Sn и предположим, что и' находится в общем положении относительно S • V (с). Тогда туннельная часть К (v')9 записанная как [а, Ь] • с, соответствуе т пересечению v' f| S • V (с). Обозначим через / (с) подмножество в S такое, что J„(c) = {zGS\v'nz.V(c)^0}. (4. 2) Туннельный кусок типа [а, Ь] • с имеется в К (v') тогда и только тогда, когда / (с) = Jvr (с) содержит интервал. С другой стороны, из (4. 1) легко следует (4. 3) Цикл Нщго) можно протянуть назад к v в Л^С«0 — (5 — / (с)) • V (с) так, что К (v) — K (HK(w)), v-\-bv ограничена в AEW — (S — / (с)) • V (с). В туннельном куске К (vf) мы соберем куски типа [а, Ъ] • с для фиксированного с б К (w). (4.4) Предположим, что S—J{c)=^=0. Тогда для конечного множества точек Q(c)d S v протягивается в и, и £ АЕ^^ — (S — Q (с)) • V (с) так, чт о и + ец— О, Действительно, из S — / (с) =^= 0 следует, что / (с) имеет гомотопический тип дискретного множества точек Q (с): поэтому из предположений о невырожденности следует, что Я, (Л*е> - (S - J (с)) • V (с)) = В, (Л*С) -(S-Q (с)) • V (с)). Согласно работе Сулливана [2] всякая цепь высокой коразмерности в многообразии может быть реализована подмногообразием с особенностями коразмерности по меньшей мере 2» Хотя мы не можем здесь вдаваться в детали, цикл и и граничная цепь и' между щ —Ьи могут быть реализованы подмного- 133
образиями в Л^Ю — (S — Q (с)) • V(c), находящимися в общем положении по отношению к S • V (с). Тогда из (4.2) мы можем заключить, что выполнено (4. 5) Если S — / (с) =т^= 0, тогда существуют и, и'£ А (М) такие, что w ~ щ К(и)=К (#*(»)), и -f Ьи = да', Е {и') < Е (м?'), К {и') не имеет туннельных кусков типа [а, Ъ] • с. Так как по предположению с появляется в К(Нщи>)) с ненулевым коэффициентом, мы видим, что для некоторых целых т, п, ^-разложение v'1 = mv' -\-n(S • w) (т=^=0) не имеет полных 5-орбит с, даже если / (с) покрывает S. Таким образом, после подходящей конструкции приклеивания ручек, если это необходимо, мы можем применить (4» 5)к v[ и получить (4. 6) Для с £ К (Hk{w)) существуют иг, и[ с Л (М) такие, что mwc^u^, К (и[) = тК (HK(w))) (т =£ 0), и± -f- 6^ = du'v Е (а[) ^ Е (wf), К (и[) не имеет туннельного куска типа [а, Ь] • с. 5. Для с £ Sn пусть / (с) обозначает группу изотропии с и пусть т(с) будет кратностью с, т (с) = ord / (с). Каждая точка х из S • с может быть записана единственным образом в виде х = 2 (х) • с, 2 £ [0, 1/га (с)]. Отображение ] = ]е S - с в комплексную плоскость С определяется формулой ; (ж) = ехр (2к1т (с) 2 (ж)) для х — z (х) • с, z(#)£[0, 1/га(с)]. Определим гомоморфизм X—Хс Ся в 5Я как линейное продолжение следующего отображения X на Sn \J Тп: Х(ж)=ж, если x£Sn\J Тп лежит в S • с, Х(ж) = 0 в противоположном случае. Композиция / = / о X дает гомоморфизм С„ в С такой, что выполнено (5.1) Для конечной группы G в S выполнено 0, если G ф / (с), ordG, если G С / (с). Так как фактор-группа G/I(c) циклична, (5.1) есть прямое следствие хорошо известного факта о корнях п-й степени из единицы. 2 (корней /г-й степени из единицы) = 0 (/г=^=0). Следовательно, мы имеем (5.2) Если для конечных групп Gk в S и целых nk, т=£0 выполнено равенство \ к \geGk J) тогда существует к = к0 такое, что GkoClI(c). Действительно, применение / к этому равенству дает ^пк(1к=^т9 где dk=0 или ordG^ в зависимости от к того, Gk<X.I (с) или Gkdl (с). Отсюда немедленно следует (5.2). Назовем множество А С Sn инвариантным относительно G С S, если Очевидно, что инвариантное множество А разлагается в непересекающееся объединение инвариантных подмножеств 5(cJ, порожденных ci£Sn:B{ct)=G-ct = {g-ci\g£G}. Возьмем с'£5я+1 и рассмотрим векторы {£z} из (1.3.2) около с'. Тогда подмножество А—А (с') из Sn, определяемое формулой 134 \део J [
А = {с£Su\c = lim ?,&)), t-+CD инвариантно относительно группы изотропии I {с') вследствие (1.4). Разложим А=А{с') в объединение непересекающихся множеств Bi:Bi = B{ci) = I{c').ci, c(eSn, и расширим границу Ас' в членах В{ дс'=2^ .gfc.c. (gk-cieBi). к, i Инвариантность (1.5) Ас' относительно I {с') дает, что nkf . постоянны на компоненте В{ для каждого I: К, t i, г г Отсюда видно, что Ас' может быть записано как (5.3) Дс' = 2*,(2 ь) в членах / (с')-инвариантных множеств В.. Сочетая (5.2) и (5.3), мы имеем (5.4) Если цепь х = ^а.сг. (а{=^=0) удовлетворяет равенству X (Дж) = тс (m=j£= 0), тогда существует i = i0 такое, что / (ct'o) действует тривиально на с и Дс»о содержит с. Очевидно, что если G С S действует тривиально на с £ Sn, где G С / (с) — подгруппа, то из (5.4) следует (5.5) При тех же предложениях, как и в (5.4), найдется i = i0 такое, что Дс»-0 содержит с и т (c'io) = ord (/ (ct'o)) делит т (с) = ord / (с), кратко т (ct'o) \т(с). 6. Рассмотрим класс Сулливана w£H¥(A(M)) такой, что n9(w)r^0 в Н^(ъМ, Z2). Тогда из (2.6) следует, что т {К (НЩю)) + ЪК (Я*м)) ^ 0 для всякого гпу£=0. Без ограничения общности рассуждений мы можем предположить: приходит из К(НщЮ)). Применяем (4.6) для с£ К (Н&(„,)) для того, чтобы получить и, bJcA(М) так, чтобы Д# («О = к к+Ч)=тК (Нкю + вя4(в)) э с, и ЛГ(ю[) не содержит туннельных кусков типа [а,Ь]-с. Пусть c,j^Sn+1 — критические точки, появившиеся в К (и[) так, что Дс;,Г)5.с^0, и пусть х = 2 njc'j £ Sn+i есть часть К(и^), порожденная только с^. Так как ./ ЛГ^) не имеет туннельных кусков типа [а, Ь] • с, Дж и ДЯ"(гг^) должны быть теми же самыми на 5-орбите с. Итак, мы видим, что Дж содержит только тс из ^-орбиты с. Поэтому из (5.5) мы можем получить следующую форму леммы о делимости [1J: 135
(6.1) Если класс Сулливана w£Hn(AM) удовлетворяет условию 0=^ ^=^zjfw^Hn('izMj Z2), тогда существует пара критических точек (с, с') (c£Sw, c'£Sn+1) таких, что т(с')\т(с), E(c)^E(c')^E(w'). ' С другой стороны, легко видеть, что справедливость (6.2) 0^nju>£H9(nMf Z2) следует из 0 =^= р (S . w) £Н„ (ЛМ/6, Z2). Наконец, в случае сферы нечетной размерности неравенство р (S • w) =^= 0 получается вычислениями, использующими описание Н^(ЛМ), данное Албером и Шварцом [3]. Итак, мы заключаем, что справедливо (6.3) При предположениях о невырожденности, сделанных в п. 1, «лемма о делимости» выполнена по крайней мере для сферы нечетной размерности. Теперь мы следуем [1] почти слово в слово и получаем бесконечное множество замкнутых геодезических из «леммы о делимости». Итак, мы получили (6.4) При предположениях п. 1 существует бесконечное множество замкнутых геодезических на сферах нечетной размерности. ЛИТЕРАТУРА 1. Klingehberg W. Lectures on closed geodesies. Berlin: Spring.-VerL, 1978. 2. Sullivan D. Singularities in spaces. — Spring. Lect. Not., 1971, N 209, p. 196—206. 3* Шварц А. С. Гомологии пространств замкнутых кривых. — Труды Моск. мат. об-ва, 1960, 9, с. 3-44.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Р. ЛАХЕР (Флорида, США) РАЗРЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ 1. Обобщенные многообразия: определения Евклидовым окрестностным ретрактом (кратко ENR) называется пространство, которое является ретрактом открытого подмножества некоторого евклидова пространства. Используя стандартные рассуждения, легко доказать, что пространство есть ENR тогда и только тогда, когда оно сепара- бельно, локально компактно и является конечномерным метрическим ANR (см. [6]). Гомологическое ^-многообразие есть пространство X такое, что для любой точки х£Х группы сингулярных гомологии Hj (X, X—-{#}; Z) являются изоморфными группам Нj (Rn, Rn— {0}; Z), где Rn обозначает евклидово га-мерное пространство с началом 0 и Z — кольцо целых чисел. Обобщенное га-многообразие есть ENR, у которого такие же группы гомологии, как и у гомологического га-многообразия. Конечно, действительное га-многообразие (т. е. сепарабельное метрическое пространство^ локально гомеоморфное Rn) является обобщенным га-многообразием, и обобщенное га-многообразие может быть евклидовым в некоторых точках и не быть — в других точках. По этой причине удобно называть точку х обобщенного га-многообразия X многообразной точкой, или несингулярной точкой,, если х имеет окрестность, гомеоморфную Rn\ в противном случае точка х называется сингулярной точкой, или сингулярностью, многообразия X. Мы обозначаем множество точек сингулярности многообразия X через S (X) и множество многообразных точек многообразия X через М (X). Эти определения даются с точки зрения геометрического тополога. Алгебраист позаботится о более слабом условия, что X будет ENR с некоторым условием локальной связности (см., например: Уайльдер [40] или Борель [5]). Также существует предположение нелокальной ориентируемости, которое часто встречалось в прошлом, однако Бредон [7] показал его зависимость от наших других предположений. 2. Обобщенные многообразия: примеры Существует четыре класса примеров обобщенных многообразий, каждый из которых возникает вполне естественно в некоторых контекстах. Первый класс возникает в теории верхних полунепрерывных разложений. Напомним, что компакт называется клеточно-подобным, если он имеет шейп точки (ср. [26, 21]). Если G есть сверху полунепрерывное разложение га-многообразия Мп на клеточно-подобные множества, тогда фактор-пространство Mn/G есть гомологическое га-многообразие, и оно есть ENR вся- 137
кий раз, когда оно конечномерно. Более общо, если X есть обобщенное тг-многообразие и / есть собственное клеточно-подобное отображение X на конечномерное метрическое пространство Y$ тогда Y есть обобщенное я-многообразие. Основные факты, достаточные для доказательства последнего утверждения, могут быть найдены в § 2—4 работы [28], приложение II которой также объясняет соотношение между сверху полунепрерывными разложениями и собственными клеточно-подобными отображениями. Первый нетривиальный пример второго класса был открыт Р. Бингом [4] с использованием пространства разложения: этот класс состоит из множителей многообразий, т. е. пространств X, для которых X X Y есть (действительное) многообразие для некоторого пространства У. Более общо, можно легко доказать, что оба пространства X и Y являются обобщенными многообразиями всякий раз, когда XxY есть обобщенное многообразие. Третий широкий класс примеров состоит из факторов по действиям групп. Предположим, что L есть йнмерная группа Лиж действующая без неподвижных точек на (действительном) (гс+/с)-мерном многообразии Мп+к. Тогда пространство орбит Mn+k/L является локальным множителем многообразия, следовательно, оно является обобщенным ^-многообразием. Существуют замечательные перекрытия среди этих трех классов примеров. Например, нетривиальный множитель многообразия Бинга X является фактором клеточно-подобного сверху полунепрерывного разложения Л3; кроме того, Бинг показал, что XxR гомеоморфно Л4, так что X является орбит-пространством действия R на Л4. В действительности может оказаться, что только различия среди этих классов примеров являются соответствующими контексту, в котором они встречаются, или точке зрения наблюдателя. Четвертый класс возникает чисто феноменологически. Например, надстройки над гомологическими сферами являются обобщенными ^-многообразиями. В действительности, если X — компактное обобщение ^-многообразие с (глобальными) гомологиями я-мерной сферы Sn, то /с-кратная надстройка 2* (X) является обобщенным (гс+/с)-многообразием. Если взять в качестве X действительное многообразие, проблема двойной надстройки обнаруживает, когда Е2 (X) является действительным многообразием (это было недавно решено Дж. Кенноном в [17]). Более общо можно спросить: когда обобщенное многообразие является многообразием или, по крайней мере, когда обобщенное многообразие принадлежит одному из первых трех классов, и поскольку дело касается того, как продолжить перекрытие первых трех классов. Имеются некоторые ответы на эти вопросы и существуют некоторые интересные следствия из этих ответов, это будет обсуждаться ниже. 3. Обобщенные многообразия: основные факты Предположим на протяжении этого раздела, что X является обобщенным тг-многообразием. Бредон [7] показал, что X является локально ориентируемым. Другими словами, для каждой точки х £ X существует окрестность U точки х такая,: что Нп (X,X\U; Z) -> Нп (X, Х\у; Z) является изоморфизмом для каждой точки y£U. Комбинируя этот факт со стандартными рассуждениями для топологических многообразий, как изложено, скажем, в работе Гринберга [24], все стандартные теоремы об ориентируемости и двойственности можно 138
доказать для обобщенных многообразий. (Результат Бредона — лемма о локальной константе Гринберга (22.4). Все другие доказательства в § 22 работы Гринберга проходят без существенных изменений для обобщенных многообразий, исключая шаг 2 в доказательстве (22.24). Этот последний пробел сможет быть заполнен, если употребить классическую технику^КО].) Все это приводит к следующим теоремам ориентируемости и двойственности, в которых X является обобщенным ^-многообразием» Теорема ориентируемости 1. Предположим, что X компактно. Тогда X является R-ориентируемым тогда и только тогда£ когда Нп(Х; R) ~ R. Теорема ориентируемости 2. Если U — открытое подмножество X и гомоморфизм, индуцируемый включением Нг{и- Х2)->Нг(Х; Z2) является нулевым, тогда U Ъ-ориентируемо. Теорема двойственности 1. Предположим, что X компактно и R-ориентируемо. Тогда #у(Х; R)^Hn-'(X; R) для]всех^целых /. Теорема двойственности 2. Предположим, что X R-ориен- тируемо и А замкнуто в X. Тогда Н^Х,\А; R)^H«-J{A; R) для всех целых j\ Приведенные выше факты вместе с основными знаниями об ANR [6] и клеточно-подобных отображениях [28, § 2—5] образуют фундамент для остающейся части этой статьи. 4. Обобщенные многообразия: исторические замечания Существуют пока три периода, интересных для обобщенных многообразий. (В этом разделе «обобщенное многообразие» имеет различное значение в зависимости от исторического периода и точки зрения, Во|всех случаях обобщенные многообразия являются гомологическими многообразиями с некоторого вида аксиомой[ локальной связности.) «Классический период» (приблизительно 1930—1945 гг£) содержит большей частью основные работы по алгебраической топологии обобщенных многообразий, работы, которые были мотивированы желанием лучшего понимания (алгебраической) топологии многообразий. (Хотя Р. Уайльдер в вопросе: когда некоторые обобщенные многообразия являются действительными многообразиями — положил начало геометрической теории.) Книга Уайльдера [40] содержит описание многих из этих ранних работ, включая работы П. Александрова, Э. Чеха, С. Лефшеца, Р. Уайльдера, П. А. Смита и Е. Бегля. Второй период главного развития, «Алгебраический период» (приблизительно 1955—1960 гг.), был стимулирован большей частью теорией действий группы Ли. Введение теории пучков сделало возможным глубокое понимание (алгебраической) топологии обобщенных многообразий. Книга А. Бореля [5] является типичной работой этого периода. Результаты Бредона [7] могут быть также включены сюда. 139
«Геометрический период», начавшийся приблизительно в 1970 г., стимулирован большей частью работами Р. Бинга и Р. Д. Эдвардса. НадеюсьЛ этот период не будет иметь конца до тех пор, пока некоторые главные геометрические гипотезы все еще имеют место. Статьи [10,; 12—14, 16—20, 35] являются теми недавними работами, которые посвящены в целом или частично точному изучению обобщенных многообразий^ и общий упор этих исследований состоит в том, чтобы определить,; когда обобщенные многообразия являются действительными многообразиями. 5. Свойство Кеннона непересекаемости диска и теорема Эдвардса о стягивании Весной 1977 г. Дж. Кеннон утвердительно решил проблему двойной надстройки [17]. Доказательство состоит из двух главных шагов. На первом шаге показывается, что двойная надстройка Х=22 (М3) над гомологической 3-сферой является фактором сферы Sb до клеточно-подобному сверху полунепрерывному разложению G. (Это было сделано ранее Кенноном и Эдвардсом независимо). Во-вторых, Кеннон показал,; что если X=S5/G удовлетворяет свойству непересекаемости диска с dim S (X) ^ 1, то G является стягиваемым (в смысле Бинга; см. [3, 23]). Не уменьшая значения окончательного решения проблемы Милнора [33], мы вводим и используем свойство непересекаемости диска, которое есть наиболее ценный вклад работы [17]: Определение (Дж. Кеннон). Пространство X имеет свойство непересекаемости диска (кратко DDP) при условии, что для любого е > 0 и любых отображений /х, /2: В2 -> X существуют отображения gx, g2 : В2 -* X такие, что Л (/,, &)< в и gl (В2) Г) ft (В2) = 0. Здесь В2 - единичный диск в Я2 и d — равномерная метрика. Короткое время спустя (июль 1977 г.) Р. Д. Эдварде [23] дал окончательную высокомерную теорему стягивания. Теорема (Р. Д. Эдварде). Предположим, что G — сверху полунепрерывное плеточно-подобное разложение {действительного) n-мерного много- образия Мп, п ^ 5. Если MnjG конечномерно и имеет свойство непересекаемости диска, то G стягиваемо. В частности, предположим, что G — сверху полунепрерывное клеточно- подобное разложение многообразия Mnf п ^ 5, и что MnjG конечномерно; тогда MnjG является действительным многообразием (гомеоморфным Мп) тогда и только тогда, когда Mn\G имеет свойство DDP. Среди многих волнующих применений этих идей есть идея характериза- ции (действительных) я-многообразий (п ^ 5), как в точности таких пространств X, которые удовлетворяют условиям: 1. X есть ENR; 2. X есть гомологическое я-мерное многообразие; 3. X удовлетворяет свойству непересекаемости диска; 4. X имеет разрешение, т. е. X—MnIG, где G — клеточно-подобное сверху полунепрерывное разложение я-многообразия Мп. Из этих четырех условий первые два дают X как обобщенное я-многооб- разие, третье — это красивое свойство DDP. Четвертое условие является таким, которое было бы хорошо удалить. Используя тот факт (доказанный Р. Даверманом), что XxR2 всегда имеет свойство DDP, мы получаем из 140
теоремы Эдвардса о стягивании, что обобщенное многообразие с разрешением является множителем многообразия. Снова было бы хорошо удалить гипотезу, что X имеет разрешение. Таким образом,; мы имеем три гипотезы: Гипотеза 1(тг^5). Обобщенное я-многообразие является многообразием тогда и только тогда, когда оно имеет свойство непересекаемости диска. Гипотеза 2. Любое обобщенное многообразие является множителем многообразия. Гипотеза 3(я^5). Любое обобщенное я-многообразие допускает разрешение. Третья гипотеза влечет каждую из двух первых. 6. Разрешения Разрешение пространства X есть пара (Мп? f)fj где Мп (действительное) я-многообразие, и / — собственное клеточно-подобное отображение Мп на X. Как было указано в разделе 2, любое конечномерное пространство, имеющее разрешение,; должно быть обобщенным многообразием. Обратно,; интересно спросить: будет ли любое обобщенное многообразие иметь разрешение? Частичный ответ на этот вопрос был дан в [16, 13], более сильный ответ заключается в следующем (доказано лет^м 1977 г. Дж. Брайентом и мной и независимо Кенноном, см. [19]): Теорема разрешения. Предположим, что X — обобщенное п-многообразие, п ^ 5, S (X)czZ, где Z — некоторое замкнутое множество ZC.X, dim Z=&. Тогда X допускает разрешение при любом одном из следующих условий: R 1. 2/Н-2<л; R 2. кфп—2 и Z — действительное к-мпогообразие; R 3. к ^ /г—-3 и Z — действительный полиэдр. Доказательство разбивается естественно на две части, которые мы теперь опишем. Применения даны в следующем разделе. Для утверждений А и В, даваемых ниже, пустьX — обобщенное тг-много- образие, п ^ 5, S (X)czZ, множество Z замкнуто в X, dim Z=k. Теорема А. Предположим, что выполнено одно из следующих двух условий: А1. к+3 О; А2. к=п—1 и Z — обобщенное многообразие. Тогда существует обобщенное п-многообъазие Yt собственное клеточно-подобное отображение f:Y-^Xu вложение a: Z -> Y таюе, что S (Y)a° (Z), множество а (Z) является 1—LGG в Y, и /o=Id,. Теорема В. Предположим^ что выполнено одно из следующих тюех условий: 81. 2к+2 <л; 82. Z — действительное к-многообразш; 83. Z — действительный к-полиэдр. Если множество Z локально гомотопически незаузлено в X, то X — действительное п-многообразие. (См. [11] для обсуждения локальной гомотопической незаузленности. Теорема В2 имеет место благодаря Т. Чапману [20] и Ф. Куайну [35], независимо.) 141
Заметим, что теорема разрешения следует немедленно из теорем А и Ву если применить В к У, построенному в А. Дальнейшие применения даются в следующем разделе. 7. Применения Следующий результат был впервые доказан М. А. Штанько [37]. Аппроксимационная теорема Штанько. Пусть Z — к-мерный компакт в топологическом п-многообразии Мп, 2k-\-2 ^ п, п^ 5. Для каждого е > О существует вложение h: Z -> Мп такое, что d (h, idz) < г и h(Z) имеет свойство 1—LCC в Мп. Доказательство. Применяем теорему А, где Х=Мп. По теореме В Y является многообразием и по теореме Эдвардса о стягивании (или ап- проксимационной теореме Зибенмана [32]) /: Y -> Мп может быть равномерно аппроксимировано гомеоморфизмом g: Y -> Мп таким, что d (/, g) < s. Пусть h=ga : Z -> Мп. Тогда h (Z) имеет свойство 1 — LCC в Мп, и d{h9 idz) = d(get, idz) — d{ga1 /a)<d(£, /)<e. Замечания. Общая техника, использованная в доказательстве теоремы А, имеет свои корни в работе Штанько, так что не является неожиданностью, что некоторые его результаты переоткрываются. По существу те же самые рассуждения влекут доказательство аппроксимационной теоремы Анцеля и Кеннона [2] и Штанько [37]. Аппроксимационная теорема [Анцеля—Кеннона—Штанько. Предположим, что Мп — п-многооб разие, содержащее k-многообразие Zk как замкнутое подмножество, k=j£= п — 2, п^Ъ. Если е : Z —> R+ — положительная непрерывная функция, то существует локально плоское вложение h: Z-*> Мп такое, что d(h, idz)<CQ- В действительности приведенные выше рассуждения приводят только к такому отображению h, для которого h (Z) обладает свойством 1—LCC в Мп. Даверман [21] (соответственно Брайент и Зибек [15]) доказал, что 1—LCG подмногообразия коразмерности один (соответственно коразмерности ^ 3) являются локально плоскими. Аналогичные рассуждения Брайента [9] и Миллера [32] доказывают аппроксимационную теорему для полиэдров в коразмерности три. Доказательства в действительности обладают более сильными (однако более техническими) утверждениями, которые имеют применение высокомерных теорем Хосей—-Линингера [25, 30]. Наконец, мы устанавливаем следующее частичное решение гипотез из раздела 5. Теорема. Пусть X — обобщенное п-многооб разие с dim S (X)=k. Если 2k-\-2 ^ п, или если S (Х)аш-многообразииаХ, т=^п—2, или если S (Х)ат-полиэдресМп, m+3 ^ nf то XxR — многообразие (п^ 4) и X — многообразие тогда и только тогда, когда X обладает свойством DDP (п > 5). Второе заключение следует немедленно из теоремы разрешения (раздел 6) и теоремы Эдвардса о стягивании (раздел 5). Первое заключение следует из второго и наблюдения Давермана, что XxR имеет свойство DDP при условии, что dim S (X) < п. 142
8. Бесконечномерные аналоги Ситуация, аналогичная описанной в первых шести разделах для (?-мно- гообразий (Q — гильбертов куб) представляется много более полной. Например, теорема Эдвардса об ANR [22], что любой локально компактный (метрический) ANR является множителем ^-многообразия (XxQ есть Q- многообразие), имеет следующее следствие. Любой локально компактный ANR является собственным клеточно-подобным образом ^-многообразия (именно отображение XxQ на X). Таким образом,; проблема «разрешения» решена, и Торунчик [38] доказал гипотезу, аналогичную первой среди тех,: которые даны в конце раздела 5, следующим образом. Локально компактный ANR X есть (^-многообразие тогда и только тогда, когда X имеет «свойство непересекаемости ^-клетки» для &=1, 2, . . . Можно спросить, почему нет условия, аналогичного тому, что X есть «гомологическое многообразие» в этих бесконечномерных результатах. Ответ состоит в том, что свойство непересекаемости ^-клетки, /с=1, 2, . . ., влечет, что единственная точка х(*Х является Z-множеством (т. е. X — xciX есть гомотопическая эквивалентность), и это — аналог условия гомологического многообразия. Для многообразий Ма, моделированных на гильбертовом пространстве веса а, Торунчик [39] показал, что собственный клеточно-подобный образ М* гомеоморфен М*. Таким образом, только многообразия являются пространствами с разрешением. Комбинируя эти результаты с результатами Торунчика о характеризации гильбертовых многообразий, используя полные ANR (используя условия, аналогичные DDP [39]), увидим, что мы обращаемся только к конечномерному случаю. 9. Маломерные случаи Разрешение /: Мп -^ X называется консервативным, если f"1 (х) является единственной точкой для каждой точки х£М (X). Для п ^ 5 любое разрешение псевдоизотопно консервативному по теореме Эдвардса о стягивании (или аппроксимационной теореме Зибенмана). В размерности 4 ситуация далека от ясности. Предположим^ например, что X — надстройка над гомологической 3-сферой Пуанкаре Н*. Тогда X допускает консервативное разрешение тогда и только тогда, когда Hs ограничивает стягиваемое (топологическое) 4-многообразие, последнее интенсивно изучалось. Таким образом, мы не знаем, будет ли X допускать (консервативное) разрешение, или каково соотношение между консервативным и неконсервативным разрешениями. Мне кажется^ что 4-мерная топология не готова извлечь пользу из введения таких абстракций, как разрешение или обобщенное 4-многообразие. Много основательной работы необходимо еще сделать здесь. Аналоги гипотез 1 и 3 (см. раздел 5) могут быть неверными в этой размерности. В размерности 3 может быть сделано больше. Например, если Xs допускает разрешение, то оно допускает консервативное разрешение, хотя не обязательно с помощью некоторого 3-многообразия. Если X3 компактно и допускает разрешение, то Xs содержит не более конечного множества фальшивых 3-клеток; с другой стороны, если Я3 — фальшивая 37сфера и X — одноточечная компактификация бесконечной связной суммы IP#HS#. . . то X — обобщенное 3-многообразие баз разрешения. 143
Предполагая тогда подходящее условие конечности, мы видим, что, вероятно, обобщенное 3-многообразие допускает разрешение. Если предположить, что dim S (Х)=0, некоторые результаты могут быть выполненными (например, верна теорема В). Детали этих и других результатов в размерности три будут напечатаны в другом месте [14]. 10. Доказательство теоремы В Теорема В2 доказана Чапманом в [20], где получается более сильное условие, что Z является локально плоским в X. Теорема ВЗ следует иг|тео- ремы В2, если использовать индукцию по размерности Z. Следовательно, мы нуждаемся только в доказательстве В1: Теорема В1. Предположим, что X — обобщенное п-многообразие, п ^ 5, с S (X) С Z с X, где Z — некоторое замкнутое множество в X, dim Z—k, 2&+2]^ п. Если Z обладает свойством 1-LCC в X, то X — (действительное) многообразие.^ Мы будем давать доказательство, предполагая, что 2/с+З^ п\ это результат несколько слабее. Этот оолее слабый результат достаточен для проблемы двойной надстройки и иллюстрирует технику доказательства. Детали для остающегося случая 2к-\-2—п можно прочитать в [19]. Таким образом, мы предполагаем в оставшейся части этого раздела выполненными условия теоремы В1 и 2&+3 <^ п. Мы будем также рассматривать множество Z компактным, предполагая это только для простоты понятий и изложения. Читатель не будет иметь затруднений для обобщения на некомпактный, случай. Вместо того чтобы говорить, что Z обладает свойством /?-LCC (или р —1сс, или LCC^, или 1сср соответственно), мы будем говорить иначе, что X обладает свойством p-LG mod Z (или p-lc mod Z, или LC^ mod Z, или lcp mod Z соответственно). См. табл. [28, с. 504] для этих определений. Следует немедленно из двойственности (примененной локально в X, см. раздел 3), что вложение Z с X обладает свойством \ссп~к~2. Применяя в этой ситуации локальную теорему Гуревича [34], мы получаем, что Z с X обладает свойством LCC""^"2 Мы будем применять этот факт к вложению некоторых ииъектов, к построению которых мы теперь переходим. Начнем с представления Z как обратного предела полиэдров Р. размерности <^к и симплициальных связывающих отображений $.: Приведенная выше диаграмма коммутативна, и отображения iz. имеют то свойство, что diam тс"1 (х) < 2~*' для каждой точки х£ Р.. Теперь пусть с,=сф()Р{+1 и сф^)Р{+1 и сф<+2) и • • •, где С ф) обозначает цилиндр симплициального отображения, и определим Т;,.:С(Юи...1)Сф,)-Л как ретракцию вдоль слоев цилиндров отображений (/^ 1). Мы хотим найти вложение <р полиэдра Сг в X, удовлетворяющее условиям: 144
(1) для каждого x£Z, d(x, ук.(х)Х2 '; (2) для каждого х^Р0 diam (срут^ (ж)) < 2~\* (3) ср(С1)П^=0; (4) cp(^i) является локально ручным. Так как Z обладает свойством LCCfc+I в X (согласно нашим предположениям, к -f-1 ^ п — к— 2), отображение <р, удовлетворяющее (1) и (2), может быть*прогомотопировано во вложении ср, удовлетворяющее условиям (1)— (4). (Используем свойство LCGfc+1 для того, чтобы сдвинуть у(Сг) с Z и тогда использовать общее положение в X\Z.) Отображение ср может быть построено следующим образом. Так как X есть ENR, существует ретракция г : U -> X, где U — открытое множество в RNу N большое. Пусть U1=U X Б (0, 1), где [i§ (0, 1) — открытый единичный шар в Л2к+3 с центром в начале координат. Пусть е. ^> О выбрано так, чтобы множество диаметра меньше чем г. и U1 отображалось в множество диаметра меньше чем 2~г при гг — г X проекция. Тогда получим отображение срх: Сг -> U19 удовлетворяющее (1) и (2) (с 2~1 замененным на е.); ®=г1®1 есть описываемое отображение. Вложение ср определяет компактификацию С\ множества С{\ c+ = ct\jz, где последовательность {х.} в Ci сходится к z £ Z тогда и только тогда, когда ср (xj) сходится к z. (Эта компактификация может быть сделана in vitro для любого компактного конечномерного пространства Z, см. [19].) Мы хотим определить некоторое клеточно-подобное разложение G{ пространства X. Пусть гд*)=11т7М*) J и пусть Г+(ж) будет замыкание Т. (х) в Ct. Множество Г}(ж) очень похоже на конус над тс"1 (ж); в действительности Г*(ж) является клеточно-подобным пространством. Мы полагаем G{ разложение пространства X состоящим из множеств <р(Г1"(ж)) и одноточечных множеств. Мы имеем коммутативную диаграмму ^ I ^\А XIG, ^- X/Gz +— • - • в которой отображения р{ являются фактор-отображениями стягивания разложения G{ и о. сжимают конусы цилиндров отображений $. в точки. Таким образом, р{ и fe. являются клеточно-подобными отображениями. Теперь р{ превращает Z в полиэдр, лежащий в XjG^X^ гомеоморфный Р., и S (X.) с р{ (Z). Кроме того, р{ (Z) обладает свойством 1 — LGG в X.. Из теоремы ВЗ следует, что X. — многообразие. Так как отображения Ъ. клеточно-подобны, они близки гомеоморфизмам по теореме Эдвардса о стягивании. Теорема М. Брауна [8] теперь показывает, что Z^lim Х{ гомео- морфен каждому Хг Замечания. Гомотопирование отображения ср к вложению может быть сделано, хотя и с некоторыми трудностями, когда 2к+2=п (см.[19]). Точно здесь и нигде больше доказательство теоремы разрешимости неверно. 145
если предположить &+3 ^ п. Трудность может быть обойдена рассуждением^ использующим индукцию по сингулярности отображения <р. И. Часть доказательства теоремы А Мы имеем данное обобщенное я-многообразие X и замкнутое ^-мерное множество* Z с X такое, что S (X) С Z; при различных обстоятельствах мы будем иметь петли, которые нуль-гомологичны в дополнении к Z и которые ограничивают малые сингулярные диски а: В2 -► X в X. Вообще говоря, да = а | дБ2 не будут стягиваться в дополнении к Z. Мы будем строить новое обобщенное многообразие Ха с S (Ха) С Z аХ вместе с клеточно-подобным отображением fa:Xa->X таким, что fa\Z = id, и, таким, что для любого е > 0 существует пет^ля у в /fav\ Z со свойствами: (1) у обходит невырожденные точки-прообразы отображения /а; (2) у ограничивает малые сингулярные диски в Xa\Z; (3) / о у е-гомотопно да в X \ Z. Интуитивно мы раздуваем X до нового обобщенного многообразия, в котором да ограничивает малые сингулярные диски в дополнении к Z. Последовательность таких раздуваний-шагов, определенных для счетного плотного множества сингулярных дисков в X, может быть сделана сходящейся к раздутию У", в котором все малые петли в X\Z ограничивают малые сингулярные диски в X\Z. Детали этого предельного процесса будут даны в следующем разделе. Мы ограничиваемся здесь конструкцией и свойствами /а. Первый шаг есть переделывание а в а[ (вне от дВ2) так, что а'^1 (Z) есть 0-мерное множество в В2. Предполагая к ^ п—2, легко употребить тот факт, что Z локально не разбивает X (см. [27]). Когда к=п—1 и Z — обобщенное многообразие, мы можем предположить а (В2) лежащим в замыкании дополнительной области к Z (работая в малом, Z разбивает X). Таким образом, нелокальность разбиения этого замыкания множеством Z снова позволяет нам употребить подходящее переделывание а. Так как \X\Z есть действительное многообразие, мы можем предположить, что a*1 (Z) есть (компактное) 0-мерное множество внутри В2 и что а[ | [В2 — a[-l(Z)] есть локально ручное вложение. Пусть Ni — малая окрестность множества a[_1 (Z) в 52, N± состоит из конечного объединения попарно не пересекающихся дисков в int В2. N± выбрано достаточно малым так, что образ каждой компоненты N± при а[ очень мал. (Напомним, что а[ (В2) является только «малым».) Теперь, когда к ^ лг—3 или Z — обобщенное (я—1)-многообразиеж каждая компонента а[ (N{) ограничивает очень малый диск с ручками в X\Z% так как X\Z обладает свойством 1-1cq. (Диск с ручками есть в точности компактное связное ориентируемое 2-многообразие со связной непустой границей.) Таким образом, мы можем удалить внутренность N± из В2 и приклеить диски с ручками (различных родов) к результату вдоль каждой компоненты dNx, получаются диск с ручками D1 и продолжение ах отображения а'2 \ В2 — int Ni на D1 такое, что ах {Dx) с X\Z. Заметим,: что ах переводит различные ручки D1 в очень малые множества в X\Z. Последнее предложение предыдущего раздела не имеет смысла вне контекста. Ясно, что оно ссылается на ручки различных дисков с ручками, которые приклеиваются в 52\int Nlt образуя D1# Для того чтобы устранить эту двусмысленность, мы отведем время для обсуждения дисков с ручками. 146
Диски с ручками. Пусть Н2 будет диск с ручками, скажем, рода g. Тогда существуют простые замкнутые кривые А19 . . ., А2 в int#2 такие, что A2i_1C\A2i есть единственная точка для г = 1, 2, . . ., g, такие, что совокупность {Wi:^A2i_x\J A2i}{ есть совокупность попарно не пересекающихся фигур восьмерок, и такие, что пространство разложения H2/{WV . .., Wj) есть диск с ручками рода g — /. Такая совокупность кривых представляет полное множество образующих гомологии Я2, и объединение W1 U • • • U Wg = = / называется полной системой кривых для ручек Я2. Возвращаясь к нашей конструкции, пусть J1 = A1 X\J ... \J А12д будет полной системой кривых для ручек D19 полученных как объединение полной системой кривых для дисков с ручками, приклеенных к B2\intNv Тогда ах превращает любую замкнутую кривую в Jx в множество, которое очень мало в X \ Z. По локальной стягиваемости каждое ах (Аг t.) ограничивает очень малый диск в X. Мы можем повторить указанный выше процесс для каждого отображения Яч\А1г{, получаются диски с ручками D2f . с dD2i=Alti и отображения аг\А1г1 расширяются до а2 ., превращающие D2 { в очень малые множества в X \ Z и превращающие кривые дисков с ручками D2 . в очень- очень малые множества. Диски с ручками D2 { попарно не пересекаются, тогда мы можем положить В2 как объединение Dx и D2 i и получить отображение а2: D2 в X\Z как объединение отображений а2 .. Этот процесс может быть продолжен бесконечно и дает следующее: (4') 2-комплекс D=B2 -\- (1-ручки) -f- (малые 1-ручки) -f- (еще меньшие 1-ручки)+ .. .; (4") локально ручное вложение |3: D в X \ Z, которое продолжается до отображения (3+ : D+ -> X," где D+ обозначает компактификацию по Фрейденталю (концевыми точками) 2-комплекса D такую, что (P+)~1(Z)=Z)+\Z). Объект D+ называется обобщенным 2-диском, понятие, введенное Кенно- ном в [17]. Статьи [17—19] содержат подробное обсуждение обобщенных 2-дисков, и читатель, который желает более детально узнать о введенных выше объектах, отсылается к этим статьям, специально [18]. Мы продолжаем кратко обсуждать эти объекты. Обобщенные 2-диски. Пусть D+ — обобщенный 2-диск. Тогда D+ — ком- пактификация Фрейденталя 2-комплекса Z), где D = D2 (J D2 (J . . . и каждое D{ есть конечное объединение дисков с ручками D^ .. Множество D1\J . . . . .. (J D. называется £-й стадией 2-комплекса D, и D называется бесконечным коммутатором. Объединение 1)[дО{ . есть полная система кривых для ручек Di_1(i'^2)j однако не существует ненужных пересечений среди Bij. Комплекс D имеет «стандартное» вложение в Я3, полученное простой конструкцией последовательных стадий полиэдрально в Rs с diam (D.j) ^ 2"*; этот процесс сходится, и получается вложение D+ в Я3. Основным наблюдением Кеннона об обобщенных 2-диск ах было то, что эта конструкция существенно та же, что и конструкция «рогатой сферы Александера» [1]: Если Ns — замкнутая регулярная окрестность комплекса D в R3\(D+\D)j то QS = NS\J (D+\D) является компактификацией Фрейденталя комплекса Ns и ()3 есть «сморщенный куб», т. е. frQs есть топологическая 2-сфера в Я* и Qs есть замыкание ограниченной дополнительной области к frQs. Заметим, что frQs является локально плоской, исключая, возможно, точки D+\D. Далее, теорема Хосей—Линингера [25, 30] утверждает, что Q3 (J 147
у Collar—Б3, следовательно, можно стянугь замкнутую нульмерную совокупность колларных слоев (дуг), чтобы получить клеточно-подобное отображение В3 на Q3. Мы хотим сделать аналогичную конструкцию в размерности п J> 5 и ключевой результат, необходимый для этого, состоит в том, что любое отображение комплекса D в BpL является нуль-гомотопным,-отсюда следует, что D имеет единственную регулярную окрестность в PL — га-многообразии (содержащем D как замкнутое подмножество) (см. [29] для соотношения между отображениями D -► BpL и «утолщениями»). Утверждение о том, что отображение D -> Врь нуль-гомотопно, следует |из теории препятствий и наблюдения, что комплекс D является ацикличным. Так как N3 X Вч~3 является утолщением комплекса D, оно должно быть типичной регулярной окрестностью комплекса D в Мп. Пусть Qn = Q3XBn-3l{xXBn-3\x£D+\D}. Тогда Qn — компакти|шкация Фрэйденталя комплекса /V3 X В1~3 к существует естественным образом 0-мерная совокупность G(n — 2)-клеток в Вп =zB3 X Вп~~3 такая, что фактор-пространство Bn/G есть Qn. Теперь снова возвращаемся к нашей конструкции. Для заданного а : В2 ~> X мы имеем обобщенный 2-диск Z)+ и отображение ft* : D*-* X такое, что (4) [3|д£>+ = а|дЯ2, ft+)-1(Z) = D+\D и [3=[3+| £>:£>-> (X\Z) является локально ручным вложением. Используя приведенные выше факты об ^обобщенных 2-дисках, п ^ 5, мы можем продолжить (3+ до отображения j?+: Qa -> X такого, что (5) §r4Z) = D+\D; (6) $*\{Qn\{D*\D)) является локально ручным вложением. Пусть Ха = [X \ (5+ (Qn)] (J Вп. Ха является обобщенным многообразием, интуитивно это следует из того, что гомологии не могут обнаружить различие между сморщенным кубом и действительным кубом. (См. [19] для строгого доказательства.) Разложзние G, упомянутое выше, определяемое отображением р+, является клеточно-подобным 0-мерным разложением Ga пространства Ха таким, что XjGa~X. Невырожденные элементы разложения Ga являются букетами (п — 2)-клеток, и в отличие от Z эти элементы являются (п — 2)-мерными. [Следовательно, мы имеем клеточно-подобное отображение }в: Ха-> X такое, что dim [Г1 (Z)\Z] = n — 2. Петля да лежит одновременно в X и в Ха, однако в Хл петля да лежит в га-клетке, в которой она может быть стянута в точку, минуя Z. Так как dim да = 1 и f'1 (Z) \ Z локально не разбивает Ха \ Z, мы можем приспособить петлю да, слегка обойдя f~1(Z)s\Z так, чтобы получить петлю у в Xa\Z, удовлетворяющую условиям (1)—(3), указанным в начале этого пункта. 12. Доказательство теоремы А Пусть olv а2, ... — последовательность отображений В2 в X, которая •образует плотное подмножество пространства отображений В2 -> X (в компактно открытой топологии), переводящих дБ2 в X\Z. Пусть е. — нуль-последовательность положительных чисел. Используя идеи, обсуждаемые в первой части раздела 11, мы можем построить обобщенные 2-диски (3+: D\ -> X со следующими свойствами: (1) pt(Z)+) лежит в егокрестности множества <*.(В2); 148
(2)|3+|<Ш! = а.|йВ2; (Z)WT1(Z) = Dj\Di; (4) р, = (3+ 1ZK есть локально ручное вложение; (5) ${(В{) попарно не пересекаются. Пусть Е.— стадия D. такая, что каждая компонента $i(Di\E.) имеет диаметр <С8*» и пусть Ог .9 . . ., Din{i) будут компоненты множества D.\E., каждое из этих множеств есть бесконечный коммутатор. Мы продолжаем конструкцию раздела И на ассоциированных обобщенных 2-дисках Dff j С Df так, чтобы сделать их сходящимися. Таким образом, существуют сморщенные га-клетки Q. v . . ., Q. п (П, ассоциированные с Dff ,., и продолжения pt ^ : Q.^ . -> -> X отображений (3+|2)+ , удовлетворяющие (7) ($itj\Qit j\(D'itjS\Dit j)) является локально ручным вложением. Мы можем также обеспечить, чтобы P*t у ((?,-, j) имело диаметр <^е. и чтобы пересечения заданного $t9j(Qi,j) с ЛК)бым его собратом $$k(Qitk)j k=^=j\ или предшественником $+к (Q^), I <С U встречалось только в Z. Напомним, что Qtj является фактором п-клетки 5?, у по 0-мерной совокупности (п — 2)-кле- ток, где мы полагаем J5?fy стандартной га-клеткой диаметра е.. Определим множество Y = (X-CTP}t/int<?<y)Uff«,y, где dBniyj отождествляется с р+ . (fr^. j) с помощью р+ j. Существует кле- точно-подобное отображение / : Y -> X такое, что dim (/_1 (Z) \Z) ^.п — 2. Утверждение. Y является обобщенным многообразием. Интуитивно, Y является обобщенным многообразием [потому, что гомологии не могут обнаружить различия между действительным и сморщенным кубами. Строгая конструкция пространства Y и доказательство этого утверждения даны в [19]. Утверждение. S (Y) С Z CZ Y и Z обладает свойством 1 — LCC е У. Первая часть этого утвержденияя очевидно,; следует из конструкции YM так что остается показать, что Z обладает свойством 1 — LCC в Y. Пусть у — малая петля в Y\Z. Тогда, так как dim (/_1 / (Z)—Z) ^ п—2fi петля у гомотопна (в малом) петле в Y\f~1 f (Z). Таким образом, мы можем предполагать,; что отображение / взаимно однозначно на образе у. Теперь / | у ограничивает сингулярный диск в X, потому что у мало, и,; делая другую очень малую гомотопию, мы можем предполагать / | у ограничивающей сингулярные диски а{. Мы имеем гомотопию j и это может быть поднято (очень малой) гомотопией в У — Z, потому что это делается на месте вне mlQ^. Следовательно, нам необходимо только заметить, что поднятия р^ j\dD.^j ограничивают малые сингулярные диски в Y\Z (которые они делают внутри intJ5?fy). Добавление 29 августа 1978 г. Эта статья была написана до того времени, когда я присутствовал на Международном конгрессе математиков в Хельсинки. Здесь Ф. Куинн анонсировал положительное решение гипотезы 3 из раздела 5. 149
ЛИТЕРАТУРА 1. Alexander J. W. An example of a simply connected surface bounding a region whicb is not simply connected. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1924, 10, p. 6—8. 2. Ancel F. D., Cannon J. W. The locally flat approximation of cell-like embedding relations. — Ann. Math., 1979, 109, p. 61—86. 3. Bing R. H. A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solid horned spheres. — Ann. Math., 1952, 56, N 2, p. 354—362. 4. Bing R. H. The cartesian product of a certain nonmanifold and a line is £4. — Ann. Math., 1959, 70, N 2, p. 399—412. 5. Borel A. Seminar on transformation groups. — Ann. Math. Studies, 1960, N 46. 6. Borsuk K. Theory of retracts. Warszawa: PWN, 1967, s. 251 (Monogr. mat., vol. 44). 7. Bredon G. E. Wilder manifolds are locally orientable. — Proc. Nat. Acad. Sci. USAr 1969, 63, p. 1079—1081. 8. Brown M. Some applications of an approximation theorem for inverse I^h.q. — Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, p. 478—483. 9. Bryant J. L. Approximating embeddings of polyhedra in codimension three. — Trans. Amer. Math. Soc, 1972, 170, p. 85—95. 10. Bryant J. L., Hollingsworth J. Manifold factors that are manifold quotients. — Topology, 1974, 13, p. 19—24. 11. Bryant J. L., Lacker R. С Embeddings with mapping cylinder neighborhoods. — Topology, 1975, 14, p. 191—201. 12. Bryant J. L. Elowing up homology manifolds. — J. London Math. Soc, 1977, 16, N 2, p. 372-376. 13. Bryant J. L. Resolving O-dimensional singularities in generalized manifolds. — Proc. Cambridge Philos. Soc, 1978, 83, p. 403—413. 14. Bryant J. L. Generalized 3-manifolds and resolutions. — In press. 15. Bryant J. L., Seebeck С L. III. Locally nice embeddings in codimension three. — Quart. J. Math. Oxford (2), 1970, 21, N 83, p. 265—272. 16. Cannon J. W. Taming codimension-one generalized submanifolds of Sn. — Topology, 1977, 16, p. 323—334. 17. Cannon J. W. Shrinking cell-like decompositions of manifolds: codimension three. — Ann. Math., 1979, 110, p. 83—112, 18. Cannon J. W. The recognition problem: What is at topological manifold? — Bull. Amer, Math. Soc, 1978, 84, N 5, p. 832—866. 19. Cannon J. W., Bryant J. L., Lacher R. С The structure of generalized manifolds having non-manifold set of trivial dimension. — In: Proc. 1977 Georgia Topology Gonf./Ed. Gantrell T. G. London etc.: Acad, press, 1979, p. 261—300. 20. Chapman T. A. Carving up manifolds into block bundles. — In press. 21. Daverman R. J. Locally nice codimension one manifolds are locally flat. — Bull. Amer» Math. Soc, 19, 73, 79, p. 410—413. 22. Edwards R. D. Locally compact metric ANR's are Q-manifolds factors:!Prepr, 23. Edwards R. D. Approximating certain cell-like maps by homeomorphisms:^Prepr. 24. Greenberg M. Lecture on algebraic topology. N. Y.: Benjamin, 1967. 25. Hosay N. The sum of a real cube a crumpled cube is S3. — Not. Amer. Math. Soc, 1963, 10, p. 666. 26. Lacher R. C. Cell-like spaces. — Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 20, p. 598—602. 27. Lacher R. C. A cellularity criterion based on codimension. — Glas. mat., 1976, 11, s. 135—140. 28. Lacher R. C. Cell-like mappings and their generalizations. — Bull. Amer. Math. Soc, 1977, 83, p. 495—552. 29. Lickorish W. B. i?., Siebemann L. C. Regular neighbourhoods and the stable range. — Trans. Amer. Math. Soc, 1969, 139, p. 207—230. 30. Lininger L. L. Some results on crumpled cubes. — Trans. Amer. Math. Soc, 1965, 118, p. 534—549. 31. Mardesic S. Decreasing sequences of cubes and compacts of trivial shape. — Gen. To- poL and Appl., 1972, 2, p. 17-23. 32. Miller R. J. Approximating codimension three embeddings. — Ann. Math., 1972, 95, p. 406-416. 33. Milnor J. Problems in differential and algebraic topology. — Ann. Math., 1965, 81, p. 565—591. 34. Newman M. H. A. Local connection in locally compact spaces. — Proc. Amer. Math. Soc, 1950, 1, p. 44—53. 35. Quinn F. Ends of maps, and applications. — Bull. Amer. Math. Soc. New Ser., 1979, 1, N 1, p. 270-272. 36. Siebenmann L. C. Approximating cellular maps with homeomorphisms. — Topology, 1972, 11, p. 271-294. 37. Штанъко M. А. Аппроксимация вложений компактов в коразмерности большей двух. — ДАН СССР, 1971, 198, № 4, с. 783—786. 38. Torunczyk Н. On CE-images of the Hilbert cube and characterizations of ^-manifolds. — Fund, math., 1980, 106, N 1, p. 31—40. 39. Torunczyk H. Characterizing Hilbert space topology. — Fund, math., 1981, 111, N 3, p. 247—262. 40. Wilder R. L. Topology of manifolds. Amer. Math. Soc. Golloq. Publ. Vol. 32. R. I.: Providence, 1963.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 ИБ МАДСЕН (Аархус, Дания) СФЕРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ В РАЗМЕРНОСТИ, РАВНОЙ ПЕРИОДУ. I 1Ф Введение Если конечная группа тс действует свободно на (п—1)-мерной сфере как группа гомеоморфизмов, то целочисленные группы когомологий тс периодичны, а всякий ее элемент порядка 2 лежит в центре. Более того, если d= =d (тс) обозначает когомологический период, то п делится на d. Таковы результаты Картана, Эйленберга и Милнора. Обратно, в [8] было доказано, что группы с периодическими когомоло- гиями и центральными инволюциями могут свободно действовать на некоторой сфере S*'1, но размерность ее не уточнялась. В настоящей работе мы сведем вопрос о свободных действиях на S**'1 (т. е. в|размерности периода без 1) к теоретико-числовым задачам.] Мы начнем с обсуждения уже известных оценок для размерности. Рассматриваемые группы разделяются на шесть типов I—VI. Наилучшая оценка имеет место для групп всех типов, кроме II. Это вытекает из следующего результата. Теорема [16]. Если все 2-гиперэлементпарные подгруппы тс действуют свободно в размерности п—1, то это же верно и для тс. Можно проверить, что условие теоремы выполняется при n = d(n) для групп всех типов, кроме II. В действительности всякая 2-гиперэлементар- ная подгруппа в группе тс типа I, III—VI действует свободно и даже ортогонально в размерности d (тс)—1. Поэтому все группы, кроме второго типа,; свободно действуют в размерности периода.] Нам осталось изучить 2-гиперэлементарные группы типа II, т. е. полупрямые произведения циклической группы нечетного порядка с кватерни- онной группой порядка 2к. Такие группы имеют период 4 и допускают свободные ортогональные действия в размерностях 81—1. Спрашивается, действуют ли они свободно в размерностях 8Z+3. Наличие свободных действий установлено в [6], кроме случая к=3; т. е. TC=Z/mX#8, для которых централизатор Z^ (Z/m) — циклическая группа порядка 2т. Эти особые группы будут называться группами типа ИМ. Они не могут действовать ортогонально в размерностях 8Z+3. |Таким образом, возникает Проблема. Пусть тс имеет тип ИМ. Допускает ли тс свободное топологическое действие на S8l+39 1^0? Для изучения этой проблемы привлекается техника перестроек. Пусть л = 8/-{-4. Имеется взаимно однозначное соответствие между образующими е£#п(тс, Z) и гомотопическими классами свободных клеточных 151
действий группы тс на [(возможно бесконечных) клеточных комплексах Е с Е ~ S"'1, при этом б = б(Е, тс) есть первый инвариант Постникова пространства Е/тс. Имеются два препятствия к получению из (Е, тс) топологического действия (а?"""1, тс) с e(Sn"19 тс)=е(Е, тс). Во-первых, препятствие к конечности [14]: о,(Е, «)6^e(Z«), лежащее в приведенной группе классов проективных модулей. Во-вторых, препятствие к перестройке [17]: М£. *)€£*-!(«). (Здесь мы злоупотребляем обозначениями: препятствие к перестройке зависит от выбора соответствующей задачи над 2/тс. В нашем случае, однако, оно определено корректно по модулю L\_x (тс(2)), где тс(2) — силовская 2- подгруппа в тс. Верно ли это в общем случае — небезынтересный нерешенный вопрос.) Оба препятствия периодичны. Поэтому решение проблемы не зависит от I при больших Z. Результаты Мильграма [10] сводят вычисление °п (2, тс) к классической теории чисел, связанной со структурой единиц в некоторых дедекиндовых кольцах. Поэтому не представляется возможным дать единообразное решение проблемы; приходится обращаться к частным случаям. Пусть тс — группа типа ИМ порядка 8pq, где р и q — различные нечетные простые числа. Теорема [10]. (i) Если р = 3 и д = 13(24), то а4(Е, тс)=0 для подходящих Е. (и) Если р = 3 и д = 5,7 или 11, то а4 (Е, тс) =^= 0 для всех Е. Пусть Z (Cw) обозначает кольцо целых чисел в поле деления круга (;да = _ e2Kiimy9 рассмотрим Z (Ст -(- С"1) = Z (£т) Г) R. Пусть А+ — порядок приведенной группы классов К0 (Z (^-f-C"1)); А+ является также числом классов поля (?(Cm + ^). Мы докажем следующий результат. Теорема А. Пусть р = 3, g = 13 (mod 24). Если h+ и h\ нечетны, то Х4 (Е, тс) =т^= 0 для всех Е. Условие на число классов сильно ограничивает применимость этого результата. Из таблиц в [9] мы знаем,-что h*2 нечетно (а /г^3 = 0). Отсюда получаем Следствие В. Группа *типа ИМ порядка 312 не может действовать свободно ни на какой сфере Ssl+3 как группа гомеоморфизмов, но действует свободно на конечном клеточном комплексе, гомотопически эквивалентном S8l+S. Настоящая работа разделяется на пять частей. Краткое содержание их таково. Пусть тс — группа типа II М порядка 24 q, где q простое. Для некоторых q (например, д=13 (24)) и для подходящей тс-«гомотопи- ческой сферы» а4 (2, тс)=0 (результат из [10]). Поэтому найдется конечная тс-гомотопическая сфера (20, тс) в тс-гомотопическом типе (2, тс). У нее имеется кручение Рейдемейстера: т(Е0, Tz)£Wh(Qiz), которое определяет (слабый) простой гомотопический тип 20 /тс. Целочисленная группа Уайтхеда Wh (Ztc) транзитивно действует на простых типах, отвечающих данному гомотопическому типу, поэтому образ т (20, тс) в Wh (Qk)'/WJi (Ztc) является инвариантом тс-гомотопического типа. Мы обозначаем его через 152
т(2, n)£Wh(Qiz)IWh(Zn). В разделе 2 мы вычисляем т(2, тс) в некоторых случаях. Кручение Рейде- мейстера определяет /с-инвариант е (2, тс), так что т (2, тс) однозначно определяет тс-гомотопический тип 2. В разделе 3 мы используем технику, развитую Уоллом в серии работ,, чтобы вычислить так называемые промежуточные L-группы для тс и трех ее подгрупп: хг = Z/3 X Я8Э т2 = Zjq 5< Я8, т3 = Z/3q >< Я8. Промежуточные ^-группы^ обозначаемые Z^, — это группы препятствий к превращению задачи перестройки в (слабую) простую гомотопическую эквивалентность. Мы доказываем следующий результат. Теорема С. Если hq нечетно, то трансферы дают включение Обычные Zr-группы и промежуточные L-группы можно сравнить, используя точную последовательность Ротенберга, в которой третий член связан с Wh' (тс) = Image (Wh (Ztc) -> Wh ((?тс)). Это рассматривается в разделе 4, где мы вычисляем диаграмму точных последовательностей: Wh' (тс) 0 Z/2 *—> 1!ъ (тс) —* Ц (тс) > О I I У I Jh eww (т..) о z/2 —■U ф l; (т.) -> ©l*^) —> о. Это приводит к теореме D. Теорема D. Если д = 13 (mod24) и h+ нечетно, то отображение Бок- штейна 8 : Кег f -> Imaged//' (Imagek) ненулевое. Результаты раздела 4 могут иметь некоторый самостоятельный интерес, поскольку они показывают, как сводить вычисление Lfdd (тс) к задачам теории чисел. В разделе 5 мы доказываем теорему А. Доказательство происходит так. Пусть 2 —конечная тс-«гомотопическая сфера», которая строится в разделе 2. Имеются свободные ортогональные представления V. для) ъ. и S (У{) I %.~ ~2/Tt., но гомотопические эквивалентности не являются простыми. На самом деле 6(*(S(V.), т,))-т(£, т,))^0 в Image «//'(Image Л). Теоремы индукции, примененные к классам кобордизмов задач перестройки, дают возможность получить задачу перестройки над 2/тс с Х4(2, тс)££д(тс), удовлетворяющим условию /'(х;(Е, n))=£(t(S(Vt), x,.)-x(s, х,.))бФ^Ы- Это дает 8(Х4(2, тс)), и, следовательно, Х4(£, тс), если А+ нечетно. Наконец условие нечетности h\ используется, чтобы доказать, что для гомотопических типов (2, тс), у которых накрывающие (2, т.) не гомотопически эквивалентны ортогональным свободным действиям, а4(£, тс)=^0. Имеются примеры групп порядка 24#, у которых и о4(£, тс) = 0, и 8(Х4(2, тс)) = 0 для подходящих (2, тс). На самом деле, это имеет место для д=89. Е. Куммер показал, что Лад нечетно, так что мы получаем 153
Теорема Е. Группа типа ИМ порядка 2136 может действовать свободно на S8l+3y 1^>0У как группа гомеоморфизмов. Замечание. Во второй части данной работы мы изучим образ ^(Е, тс} под действием естественного гомоморфизма р : L!3 (тс) = L'3 (Ztc) -> L!3 (Ztc), где Ztz обозначает пополненное групповое кольцо. Оказывается, что ^(И, тс)£Кегр. Так как 8 отображает группу Ker р мономорфно, этот результат дает возможность обойти ограничение на число классов и сделать возможным рассмотрение большего количества примеров. Я хотел бы поблагодарить Е. Педерсена, который указал мне на серьезную ошибку в предыдущих попытках рассмотрения размерностных оценок. Мне также приятно поблагодарить И. Хэмблтона, Э. Лейтинена и Р. Д. Миль- грама за полезные обсуждения. 2. Кручение Рейдемейстера для примеров Мильграма В [10] Мильграм вычислил препятствия Суона для некоторых групп. К сожалению, эти результаты не вполне достаточны для нас. Настоящий раздел содержит результаты Мильграма в измененном виде и с некоторыми уточнениями. Напомним вкратце построение суоновского препятствия. Пусть тс — группа с [периодическими когомологиями: Н{ (Btz; Z) ^ Hi+d (Вк; Z) для i^>0, где Вк = К(к, 1) — ее классифицирующее пространство. Тогда Hd (Вку Z)==Z/|tcI и w-произведение с любой образующей этой группы дает изоморфизм периодичности. Пусть п кратно d. Напомним,, что поляризованное (тс, п)- пространство (или тс-гомотопическая сфера размерности лг—1) — это (лг—1)- мерный клеточный комплекс 2 ориентированного гомотопического типа Sn~lr снабженный свободным клеточным действием тс. Простейшие примеры доставляют сферы S (V) свободных ортогональныхшредставлений V группы тс. Накрытие Е -> Е/тс классифицируется гомотопическим классом отображений Е/тс -> 5тс, и имеется расслоение Е -> Е/тс -> Btz. У нас имеется выделенная образующая в Нп~х (Е, Z); ее трансгрессия е(Е, tc)£#w(J5tc, Z)=r#n(Tc, Z) есть /^-инвариант Е/тс, е (Е, тс) — образующая группы #w(tc, Z) = Z/|tc| и, более того, ориентированные тс-гомотопические типы поляризованных (тс, ^-пространств находятся во взаимно однозначном соответствир! с образующими Яп(тс, Z). Если L = S(V), то е(Е, тс) есть эйлеров класс свободного представления V. Пусть GHn (тс, Z) — множество образующих #я(тс, Z). Суон определяет отображение 2.1. on:GHn (тс; Z)-> iT0 (Ztc), так что оп (е (Е, тс)) = 0 тогда и только тогда, когда Е содержит в своем гомотопическом типе конечное поляризованное (тс, ^-пространство. Здесь конечное пространство означает конечный клеточный комплекс с клеточным действием тс. Отображение Суона удовлетворяет соотношению 2.2. oh(rel) = d(r) + hf,(e)> где г £ (Z/| тс |х, а д : (Z/| тс |)х -> К0 (Ztc) — это гомоморфизм, переводящий г в проективный идеал <V, Ny С Ztc /где /V=2 g\ В частности, видно, что ап постоянно как отображение в К0 (ZTc)/Im д; его значение там обозначается ап(тс). Заметим, что оя(тс)г=0 эквивалентно существованию конечного поляризованного (тс, ^-пространства. 154
Теперь мы напомним определение крунения Рейдемейстера—Франца—де Рама. Пусть Е — поле характеристики, взаимно простой со|тс|, и Еп — Е@ &)1 (к, Е) — естественное ортогональное разложение. Рассмотрим периодическую резольвенту базированных Етс-модулей1 конечного ранга: 2.3. О-^Е-^С^-* ... ->С0 -^>Е->0. Тогда C*ns (£)е% Е и С^ Q)e% I (л, Е) — базированные ацикличные комплексы Е- и соответственно / (тг, Д)-модулей. Их инварианты кручения ^1^К1(Е) и х2 £ К2 (/ (тс, Е)) вместе дают кручение комплекса С# (ср. [12, 15]): 2.4. т(С„ «) = (ъ 'h)eK1(^) = K1(E)®K1(I(n9 Е)). Если Е — конечное поляризованное (тс, ^-пространство, тогда его клеточный цепной комплекс С#(Е) дает резольвенту 2.3 и кручение Рейдемейстера т(Е, ти) определяется как х(С#(Е), ти). Обратно, если есть базированная периодическая резольвента С^ Zru-модулей, то существует и единствен конечный гомотопический тип (Е, ти) с х (С^ тс) = х(С#(Е), ти). Пусть X — подгруппа тс, и С¥ — базированная периодическая резольвента над Etc. Тогда она является также базированной периодической резольвентой над Е\ и х (С^, X) = i* (т (С#, тс)), где г* : ЛГХ (2?я) -> ^ (Е\) — естественное отображение. Если Е — локальное или глобальное числовое поле, то Ш*: Кг {Etz) -> П {Кг (Е\) | X с те циклическая} х инъективно, а поэтому х(С#, те) определяется по т^(С#, X), когда X пробегает все циклические подгруппы. Группа Кг (Ztc) = Кег (Кг (Ztc) -> ЛГХ (Z)) действует на конечных поляризованных (те, /г)-пространствах, сохраняя (ориентированный) гомотопический тип. Поэтому имеем отображение » 2.5. х : Кег {GHn (те, Z) ^> К0 (Ztc)} -> Кг ((b)/j^ (Ztc). Прежде чем начать вычисление х, напомним некоторые хорошо известные результаты о Kx(Etz) и t(CJ. Первая компонента хх легко вычислима: если Х^ — базированная периодическая резольвента над Z те периода 2п и С#== = ^®^ то Поэтому, если Х^ — базированная периодическая резольвента над Ztc и С^ = = X,®Q, то 2.6. х1(С.,.«)=±П|Я»(«; Z)r <см. [15, § 8]). Вторая компонента х2 (С#, те) более замысловата; ее обычно вычисляют через приведенную норму. Пусть Е — некоторое числовое поле, локальное или глобальное, т. е. E=Qp или E — Q. Пусть {5\}—множество простых компонент тюлупростой алгебры Етс. Для центров имеем Z (Qn) =ILZ (St), a Z(S4)— конечное расширение поля Е. Если Е глобально, тогда и Z{Si) глобальны. Обозначим через Z(Si)* подгруппу элементов, положительных при всех вложениях Z (5\) С R с разветвленными St ® R (= Л/я (Н), где Н — кватернионы). 1 Базированный А -модуль (где А — кольцо) — это свободный А -модуль с фиксированным базисом; базированная А -резольвента (комплекс) — это резольвента (комплекс), «состоящая из базированных А -модулей, и т. д. — Примеч. пер. 155
Обратимые элементы в Z(S.) обозначаются Z{Si)x> Тогда мы имеем следующий фундаментальный результат (см., например, [1]). Теорема. Приведенная норма Nrd:K1(E7z)->Z(E7z)x является изоморфизмом, когда Е локально, и инъективна с образом Z(Eiz)*r когда Е глобально. Рассмотрим диэдральную группу D2p = Ъ\р X Z/2. Ее представление образующими и соотношениями имеет вид D2p = (A, Х\Ар — 1> ХАХ~1 = А~1, X2=iy. Рациональная групповая алгебра QD2p разлагается так: QD2p = Q [Z/2] ф Q (С/ [Z/2] = Q+ ф Q_ ф М2 (Q (С, + С"1)). Здесь индекс t указывает, что берется скрученное групповое кольцо: Ж X'1 — = t1. Приведенная норма отображает K1(QD2p) изоморфно на Q* ф Q* 0 е<?(^ + С-1)х (по теореме). В некоторых случаях нам будет нужен явный вид Nrd (X) для \(^Qtzx. Это легко сделать когда групповое кольцо разложено в произведение скрученных групповых колец (или нормальных алгебр): Nrd (X) есть детерминант правого умножения на X. Например, если X = ХХ -\-\2X£QD2p, то Nrd(X) = (e(X1 + X2), е(Х1-Х2), Х^-Х^), где е : Q [Z/p] -> Q — аугментация, а в третьей компоненте мы опустили обозначение естественной проекции Q [Z/p] -> Q (С^), которая отправляет образующую А в £ . Введем обозначение 2.7. Д(С„ те) = Nrd т (С,, k)£Z(Etz)x и разложим Д==(Д1, Д2). Из [7, § 2] имеем: 2.8. Лемма. Существует базированная периодическая резольвента Х^ периода 4 над ZD2p такаяу что в Z (QD2p) верно Доказательство. [В [7, § 2] мы построили базированную периодическую резольвенту периода 4 с Д(С^, те).= (1//?2, 2 — ^р— С"1). Далее,. i*: Nrd Кх {QD2p) -> Nrd Кг {Q {Zip)) отображает (х, у; 6) в (ху; 8) и, так как Дх (С^ D2p) = 1/4/?, то лемма доказана. Для кватернионной группы И (8) мы имеем Nrd (К, (Q [Н (8)])) = £>х+ ф £>_х+ Ф <?*_ ф <?*_ © <?*, где -j-и —относятся к действию образующих X, Y^H(8), a Q*—группа положительных рациональных чисел. Стандартная базированная периодическая резольвента периода 4 (по Картану и Эйленбергу) имеет кручение 2.9. Д(Х„ *) = (1/г2; 2, 2, 2, 2). Теперь обратимся к группам типа 1Ш. На самом деле мы будем рассматривать только группы типа ИМ порядка 8pq, где р, q — нечетные простые. Эти группы обозначаются в [И] Q (8р, q, 1) и являются расширениями 2.10. l^Z/pxZ/q^Q(8p; q, l)-tf(8)-l, где Я (8) —группа кватернионов, #(8) = <Х, Y\X2=Y\ YXY~1 = Xy, а характеристический гомоморфизм <р : Н (8) -> Aut (Zjp X Zjq) имеет ядро Z/2. Пусть А и J5 — образующие Z//? и Z/g; {Л*'} = Z//>, {Б*} = Z/g. В (2 (8/?; gr, 1) мы имеем соотношения ХАХ-г = А'\ XB=BXf YBY~1 = B~\ YA = AY. 156
Группы iz = Q(8p; q, 1) имеют когомологический период 4 ;и а8/(тт:)=0 для всех L В самом деле, если % — примитивный характер подгруппы С = = (АВХ2) индекса 4, то индуцированное представление V = IndJ; (%) свободна (-f-1 не является собственным значением никакого g£n—{1}). Поэтому S (V) — конечное поляризованное ^(ти, 8)-пространство и а8(тс) = 0. Из 2.2 теперь следует, что о8/(ти)=0 и что а8,+4 (Q (8р; q, 1)) = о4«?(8# 9, 1)) имеет порядок 2. Далее мы будем обозначать 7zz=zQ(8p; q, 1). Мы используем 2.8 и 2.9, чтобы построить базированные периодические резольвенты периода 4 над ади- ческим групповым кольцом Ък и над рациональным групповым кольцом Qiz. Потом мы склеим их над Qn2. Мы имеем разложения групповых колец: Ърп=ърв2р е вр, \ъ=zqD2q е вя, ъ2к=ъ2н (8) е в29 <?« = q++@i«?, d2p)е/«?, D2q)e <?„ e н «?) e50. Разложение Qiz индуцирует разложение Z(Q, тс)* = Nrd (ЛГХ (Qtc)) и, следовательно, разложение каждого из Nrd А^ ((^тс). Мы выбираем базированную периодическую резольвенту У# над фтс периода 4 с кручением 2.11. Д,(Г„ *) = (-3^; (f 2-С.-С;1), (|, 2-^-С"1), 2, 2, l). Если Z — простое и отличное от 2, р и #, то имеется резольвента X (Z)¥ над ZjTc с Д(Х(/)^, тс) = A(F^, тс) в Nrd ЛГХ (@jtc). Это имеет место потому, что Zztu расщепляется «так же», как Qn.Z^ — максимальный порядок в Qp. Если 1 = 2, р или q, мы можем использовать резольвенты из леммы 2.8 и 2.9,. снабженные подходящей тривиальной точной последовательностью базированных 5гмодулей, чтобы получить базированную резольвенту Х(1)^ над Zztc с кручением3 2.12. Д(Х(/>)., «) = (1/64рв8; (4/т», 2-^-С;1), (1, 1), 1, 1, 1), Д (*(?)., «) = (l/64«* (1, 1), (4/д, 2-С,-С"1), 1, 1, 1), Д(Х(2)„ гс) = (1/32; (2, 1), (2, 1), 2, 2, 1). Все периодические резольвенты над Qiz одинакового периода 4 гомотопически эквивалентны в том смысле, что имеется коммутативная диаграмма О ->Q Д> X3®Q — X2®Q — X^Q — X0®Q ^ Q — 0 ь 4, /1 I /0 На самом деле можно считать без ограничения общности, что каждое fi есть изоморфизм. Тогда можно образовать «комплекс пересечений» Z^ где Zi = {(x, у)£Х(Х¥;\}{(х®1) = у®1}. В общем случае так получается периодическая резольвента над Ztc из конечно- порожденных проективных ZTC-модулей. (Ср. [7, 15].) Кручение Уайтхеда ^ (/J £ i£x ($тс) есть разность абсолютных инвариантов * (/.) = t (У., я) - х (Х„ гс) б К, (<?гс) Склейка (?тс- и ZTt-резольвевт вроизводится с вомощью универсального квадрата. В результате получается Z л-резольвента Z-+Q Z-+Q. — Примеч. пер. :Мы изменили первую компоненту в дх (X {р)%) в 1/16д2 раз по причинам, которые будут ясны позднее. Замена возможна, поскольку 1/16g2 £ Z*. 157
и может быть вычислена исходя из 2.11 и 2.12. Напомним точную последовательность в алгебраической ЛГ-теории: 2.13. Кг (Ztc) -> Кг (Qn) © Кг (Zrz) —U Zx (фи) -^> i?0 (Z«) -> 0. Для комплекса пересечений Z^ имеем 2.14. Лемма, (i) Препятствие Су она задается равенством (ii) Если x(fj = j(у) — j(х) в 2.13, то мооюно выбрать базированную резольвенту Z^ такой, что t(Z^, тс) = т(У#, ти) — у. Заметим, что в лемме 2.14 пара (у, х) не единственна. Но из 2.13 видно, что (у, х) определен по модулю K1(Ziz). Таким образом, i(Z^, тс) корректно определен как элемент K1(Qtz)IK1(Ztz) (см. 2.5). Можно интерпретировать лемму 2.14, используя приведенную норму. Во-первых, из 2.11 и 2.12 следует, что т(/J £Кг (Qpn) ф Кг {Qqn) 0 Кг (&те), или, что то же самое, Каждое Z ((^тс) есть произведение Z-локальных полей Рг Имеется Z-адическое нормирование ordz: F* -> Z с ядром А* (единицы Р*) и соответственно получаем гомоморфизм: ordj: Z (Qi^)x -> ZN, где N — число полей в разложении Z{Qliz). Ядро ord/ обозначается Ax(Qliz). Из 2.11 и 2.12 вытекает, что А (/.) 6 ЛХ «?,*) 0 Лх (<?,«) фЛх (&*). Композиция ^(Z^tc) —-> K1(Q1tz) > Z((^tc)x, снова обозначаемая /, отображает K1(Zliz) в Лх((?/тс) для всех I и сюръективна, кроме Z, делящих 2/?д. Коядро / обозначается Е1 (тс). Определим, наконец, 4* (Qtz) как ядро отображения I Ясно, что A* (Qtz) есть произведение групп единиц (или вполне положительных единиц) в некоторых глобальных полях и имеется естественный гомоморфизм / : A* (Q*) -> Ер («) 0 Ef («) 0 Ег («). Тогда А (/J определяет элемент A (/J £ Е^ (тс) ф Е? (тс) 0 Е2 (тс), и мы имеем следующий вариант леммы 2.14. 2.15. Лемма, (i) a4(Z^, тс)=0 тогда и только тогда, когда A (/J £ Image (у). (ii) .Бела A (/J = /(#), то при подходящем выборе базиса A(Z^, тс) = = Д(Г„ «)/и. Оставшаяся часть раздела является чисто вычислительной. Наши вычисле- дия вполне аналогичны вычислениям в [10], поэтому мы опишем их вкратце. Мы начинаем с разложения Ъгъ на неразложимые блоки для 1 = 2, р и q, * = Q(8p; q, 1): 2.16. ZpK = ZplD2p]T=1®Zp[D2p]Y=_1®2p[Zlp]£g)t[X, F|Xa = l]© ®Z,[Zlp]'[X, Y\X*=-l]®Zp[Zlp]£gy[X, Y\X*=-l]. Здесь и везде далее мы не пишем (но подразумеваем) соотношения X2 = Y2 ш YXY-1 = X~1. Заметим, что Zp[D2p] = Zp[Zlp]* [X \ Х2 = 1]. 158
Каждое из слагаемых в 2.16 разлагается на простые алгебры над Qpr QP Wpf [X, Y I X2 = -1] = H (Qp) ф Qp (jy< [X | X2 = -1], х(й:,)х-1=-й:;1, QP \VP\ (С,)' [X, Y | X2 = 1] = Qp (y' [Г | Г2 = l]x=1 0 Qp (y' [Г | Г2 = 1]х=-1 ф e<?„(cp, g'tx, y|x2=i], <?, [Z//>] (У [X, У | X2 = -1] = Qp (jy* [Y I Y2 = -1] 0 ©<?„(!>, У'[Х, Y|X2=-1]. Простые компоненты с X2=l (У2=1) — это кольца матриц над полями (совпадающими с их центрами); но компоненты с X2 — —1 (Y2 = —1) есть матричные кольца над некоммутативными алгебрами с делением. Переходя к простому числу 2, имеем 2.17. Z2* = Z2 [Н (8)] ф Z2 (С/ [Н (8)] ф Z2 (у' [Я (8)] ф Z2 (С,, С,)' [Я (8)]. Последние три слагаемых являются кольцами матриц. В самом деле, Z2 (С )> Z2 (£ ) и Z2 (£ , у — неразветвленные расширения Z2 и соответствующие слагаемые суть алгебры Азумайя (см., например, [16]). Поэтому 2.18. 2лу'[Я(8)]=м2(г2(д[у|г*=1р>),. где <(Х)> обозначает переход к подкольцу элементов, коммутирующих с X. Используя 2.18, можно продолжить расщепление 2.17 группового кольца над Q2. Например, имеем & (у< [Н (8)] = м2 (& (с, + с;1))т_, ф м2 (<?2 (с, + с;1))^ ф м2 (Q2 (кр - гс;1)). Замечание по поводу обозначений. Мы используем символ <?/(^ + ^1) как обозначение для Q\ (g) Q (Zq -f С"1) и аналогично Z1 (£? + ^д1)== = Z, ® Z (С, + С"1) и F, <Ь + С;1) = F,® Z (cg + С"1). Поэтому & (Сд + С"1) - не поле, а произведение g; изоморфных полей, где gt = | (Z/g)x/<^—1, Z)>|—число простых чисел в Q (С? + С"1), лежащих над рациональным простым Z. То же замечание имеет силу и для Fz (С? -f- С"1). Разложение на блоки, указанное в 2.16 и 2.17, Х1п=ИС. индуцирует разложение Ах ((2^) = НА? (С{). В самом деле, каждый Z-блок разбивается на простые компоненты над Qt и каждое А? (С{) есть произведение групп единиц в соответствующих центрах. Более того, так как каждая простая компонента Qt 0 С. является пополнением простого слагаемого в Qiz, мы имеем для каждого I разложение A* (Qn) = TLA* (С.), причем (А (С.) (g) Zz)>< = Af (С.). И, наконец, разложение A*(Q1tz) совместимо с разложением K^(btTz), так что- Е,(*) = ПЕЕ{С{). 2.19. Пример. Пусть С = Z p[Z//?]'[X, Y |Х2=—1]. Мы покажем, что Е (C)"=Fp. Рассуждения ниже немедленно обобщаются; читатель легко- проделает соответствующие вычисления с другими блоками. Пусть J = (l—Ау — идеал, порожденный 1—А, где A^Z/p — образующая. Тогда С — полно в 7-адической топологии и мы имеем диаграмму точных последовательностей (см. [18, § 1]) 159
(1 + /)х - Кг{С) -^Кг{Ъ [X, Г|Х»=-1])-*0 ^i(^(^)'[X|X»=- s Nrd !-»<?, (*,-«?) -1]) - KAQP®C) Nrd| ss -»&(я:,-<:;1)х®3 ^(H(<?J) ->o ^ I Nrd Хорошо известно, что ЯДХ, Y\X2 =— 1] = M2(Zp), так что правое вертикальное отображение имеет образ Z% (ZQ%* Слева есть задача вычисления образа 2.20. 1 + (1 - у Ър (КрУ [Х\ Х2 =-1] —-» Qp (1С, - й?). Пусть X = (1 -f— Хх) -f— \2Х. Nrd (X) можно вычислить как детерминант правого умножения на X в Qp (Кр) © Qp (Лр) • X. Отсюда Nrd (X) = N (1 + Хх) + N (Х2), где /V: Qp (i^p) -> (^ (fcp — iC1) есть обычная норма. Пусть / и 1ге обозначают максимальные идеалы для Q (1^р) и Qp (Кр — гС"1). Из формулы, приведенной выше, следует, что Nrd (1 + /) С 1 + 1ге- Более того, Nrd (1 -f /) ID N (1 + Л> а так как 7V : 1 -(- / -> 1 -f- /re является сюръективным (факт из локальной теории полей классов) Nrd(l -f- /)= 1 +/re* Мы имеем А* (С) = Z * © Z^C, - К?) *Я,(С) s Z,(«, - fi^/l + /„=F*. (Расширение Qp(Kp— ^)IQP является вполне разветвленным.) Теперь вся нужная информация может быть сведена в следующие табл. 1 и 2. В первом столбце выписаны блоки прямого разложения. Второй столбец представляет соответствующее разложение A* (Qk). В третьем столбце мы выписываем АР (Ос £ А* (С) = (А (С) ® Zz)x, а четвертый столбец — это Ер (С) (см. [10, § 4]). Для того чтобы производить вычисления, нужно знать не только абстрактную структуру Ег (С), но также гомоморфизм 2.21. срг (С): Л/Х (С) -> jE'/ (С), т. е. соотношения в Л* (С), определяющие Ег(С). 2.22. Дополнение, (i). Блоки 1—4 в табл. 1: Е (С) есть «поле» вычетов каждого из слагаемых А^ (С) и ср (ж1, ж2, xs)—(xv х2)~1х3 в первых трех блоках. В блоке 4 yp(xv х2)=х^1х2. Здесь х обозначает образ ж в «поле» вычетов. (ii) Блок 5 в табл. 1: Норма N : Zp(Kq — iC"1)x -> ^(С^ + С"1)* является изоморфизмом, и F^ (Cff + С"1) — «поле» вычетов для Ър (С? + С"1) и Ър (£р -f- С"1, С^+С?1). Имеем: <pp(xv х2) = (N (х^1. х2. (Ш) Блок 1 в табл. 2: <p2(#i, х2, ж3, ж4, ж5) = П^.. (iV) Блок 4 в табл. 2: <р2(ж1» жг) = (^i)_1 ^2- (V) Блоки 2 и 3 в табл. 2: Соотношения здесь более замысловатые. Мы будем использовать только (2 - С, - С71, 2 + С, ^ С71, 2 + К, - «71) G Ker %. Доказательство. Все пункты доказываются вычислениями с приведенной нормой. Например, в 2.19 нужно проследить композицию /\ /v Nrd Кх{Ър[Х, Y\X^ = -l))-^K1(Zp[Zlp]t[X, Y\X* = -t]) > ^QZ@QPW-K;Y- 160
Таблица 1 р-блок: С 2р-["зр]у=1 Zp [^2р]у=_1 ZP [Z/pJ (С,)' IX, Y|X» = 1] Z,[Z/p]«[X, Y|X» = -i]. Z, [Z/pJ (С,)'[X, Y|X» = -1] Л* (С) С A* (Qn) z£.©z^.©z (с,+ <£»)£_! ZX_©Zl©Z(Sp + ^i)y = _i Z (С, + t ji)*:.i © Z (С, + ^)z._i © Z (С, + С,», C, + Cj J)X Z* © Z («C, - ^С"1)* Z (it, - i^)* © Z (t, + £-1, C, + ^)* A* (/.)„ (2?; 1/2, i) (2/g, 2, 1) (2-C-Cg1, 1,1) (2,1) (1.1) EP (C) Fx Fx p Fi,(C, + ^1)x Fx p *,(С, + ^)Х Таблица 2 2-блок: С Z2 [Я8] Z,(W'[ff8] Z2 (С,)' [H8] Z,K,. Сг)'[Я8]. Л* (С) с Л* (<?*) zx+ © zx+ © zx_ © zx_ © z* z (C, +1;1)^.! © z (c, +1;1)^-! © z (*t„ - «?)• Z (C, + C-i)M © Z (C, + C?1)^..! © Z (iC, - «J"1)* z(t,+c?. ?г + ^1)х©г(сР + ^1, с, + ^)* Д2 (/*)c (i/рв; 1/?, i/p. i, i) (2-Cp-Cj1. 1,1) (2-C-tj1, 1,1) (1.1) #2 (?) F* 2 •F.tC + C^eF,^ + £-i)+ j-F.ic + c.YeMc+t,-1)* F,(C, + C?. C, + C?1)x
Мы оставим читателю проверку всех случаев, кроме (V). Здесь 2-блок есть Z2£p?[H8] = M2{Z2£p)[Y\Y*==l]<x>), поэтому образ Nrd совпадает с группой единиц центра. Далее, u = (2 — Zp — С"1, 2 -f Zp -f Cj1, 2 -f Кр — &р1). есть образ 2 — С"1 У — ^pY~x при естественном отображении (К (У [Y | г*=1]<*>)х -> z2 (с,+с;1)^ е z2 (t,+с;1)* _у ® 22 де, - «?)*_,. Это доказывает (V). 2.23. Замечание. Указаный в табл. 2 изоморфизм Е2(Z2(£р/ [Я8])« « 2 • F2 (С -f- С~1)х © F2 (С^ -(- Ср1)4" легко получается из точной последовательности 1 -* 1 + 2Z2 («с, - к;1) - (Z2 (R, - i^) [Y | У4 = 1]<*>)х -^ ->22(^ + ^)[Г|Г»=1]х^1 и того, что Q2№p — K^V&C^-f-Cj1) разветвлено в 2. Значения 4*(()тс) выписаны во вторых столбцах табл. 1 и 2. Рассмотрим следующие элементы, лежащие в различных компонентах A* (Qtz): 2.24. 2 + «., - V б Z (К, - Й^Г, 2 + ^ - JC-16 Z (^ - i^f, S1 (2 + с,+с;1) е z (С, + с;1)^, е- (2 + с,+С"1) б z (с, + с-)*.,, Пусть Х£4*(@тс) есть произведение единиц из 2.24. Используя 2.22, имеем 2.25. ?8(Д(/.)Х) = 0 в Я2(*); <Р»(д(/.)*)о = 0 в е;(С)' с из строчек 1, 2 и 4 (/ = />, g); ?,(Д(/*)'^Ь = -(Ч-^Г2е]Рр(^ + ^1)х. ^ из строчки 3; ^(M/J^^ + C-VeF^ + q1)*, С из строчки 5; ?в(Д(/.)Х)<7 = -(^-^1ГбРв(С, + ^1)х, С из строчки 3; ?в(Д(/.)^=(^ + ^1)-а6Рг(С, + ^1)х, С из строчки 5. Простые элементы в Z (Ср -f- С~\ ^ + С"1), лежащие над ри q, суть 2 — 1,р — ~,~ и 2-^-С"1. «Поля» вычетов суть F^ + С^1) и Fq(С, + С;1). 2.26. Предположение. Найдутся единицы ^, г6Z(С^,-)-С"1, С?-f-s~')x и ^.j£z(^ + ^1. S? + ^T "гакие, что (i) Ъ, s = (^ - С"1)2, ty 4 = (Сг + С"1)2 mod (2 - Ср - С;1), (и) ^ ^(с^-с;1)2. ?;,д=(t,+с;1)2mod(2-с,-с-1), (ш) Р„. s = ^,sm°d2. Это предположение выполнено для р = 3 и g = 13. В самом деле, пусть 2.27. ?.Pi д = -(1 + с? + с-2) (св + с-1)78, pi;, , = (С, + с-1)-24. Эти элементы удовлетворяют (i) и (ii), и, кроме того, ^Z1 q^*p q является третьей степенью в F8(CJ + ^1)X- Но Ker {Z (^-f-A~Y -* F3(^+V)x 0 F><} отображается на F2(Cg-j-C~1)x3; поэтому можно перевыбрать, скажем, ру 5, чтобы удовлетворить и (Ш). Кажется вероятным, что предположение 2.26 выполняется для /?— 3 и всех д = 13 (mod 24). Предположим, что 2.26 выполнено. Мы хотим найти /^-инвариант e(Z^ п) получающейся базированной периодической резольвенты Z^. Во-первых, заметим, что 162
где А(У^, тс) определено в 2.11, и X есть произведение элементов из 2.24. Мы используем разложение А* (Qtz) = IL4* (С.) (см. табл. 2) и из 2.11, 2.15, 2.24 и 2.26 получаем 2.28. a(Z„ ^) = (1!S2pq; 21 р; 2/g, 2, 2, (2 - С, - С;1) в,' (2 + ^ + ^)3- 2 + ^-^V(2-^-^)V (2 + ^ + ^)e^ Когомологические инварианты достаточно определить на силовских подгруппах. В нашем случае Z-примарная часть е (Z^, тс) есть е (Z^ Z/Z), а 2-примарная часть есть e(Z^, Н (8)). Далее, йхинвариенты определяются кручением, поэтому мы должны вычислить b(Z¥, Z/Z)=i*A(Z^, ти) и Д (Z#, Я (8)) = J*A (Z^, те). Здесь /*: Z ((?ти)* -> Z (QZ/lf — отображение, которое делает следующую диаграмму коммутативной: ^ I Nrd ~ I Nrd то же для £*. Легкое вычисление дает 2.29. A(Z„ Z/Z) = (l/Z2; (2 - CJ - С"4) /V (^ ?)2 /V (^ ,)»), Z = p, 9, A(Z„ Я(8)) = (1/32; 2, 2, 2, 2), где /V — гомоморфизм нормы из Q(^p-\-^>~1, ^ + ^) в (М^ + ^71)- Замечание. В доказательстве 2.29 следует разложить Qk в ортогональную сумму нормальных алгебр и использовать результаты о приведенной норме для нормальных алгебр. Пусть N {Е/К, /) — нормальная алгебра, где Е/К — расширение Галуа с группой G и / : G X G -» Ех есть 2-коцикл (см. [13]). Пусть L с Е есть подполе. Тогда имеется коммутативная диаграмма: Nl£lK,ff | Nrd J Nrd Коммутативность легко доказать, заметив, что для X £ N (Е/К, /)х, Nrd(X) есть детерминант #-линейного отображения \L : N (Е/К, f)-+ N (Е/К, /) (kL есть левое умножение на X). В разделе, следующем за 2.10, мы ввели образующие А, В, X и Y для iz = Q(8p; q, 1). А есть образующая Z/p, В — образующая Z/q и X, Y порождают Н (8). Пусть Xi: Z/Z -> S1 — характер, который переводит образующую (А или В) в элемент e2Ki/l, и пусть Н—стандартное представление Н (8) в SC/^r^rS3. Положим ej = <i(Xf)t Г = с2(#)- 2.30. Теорема, Zfo/ш предположение 2.26 выполнено, то найдется периодическая базированная резольвента Z^ для Ztc периода 4 и в (Z„ Zip) = -(bqf е*. е (Z„ Z/g) = -(V)2 е|, в (Z., Я (8)) = т. Кручение Z^ выписано в 2.28. 163
Доказательство. Хорошо известно, что имеется Z/Z — эквивариантное клеточное разбиение сферы S {уг 0 Хг) с кручением MSibQXi), Z/Z) = (l/Z2; (C-l)2). Из [15] мы знаем, что e(Z^, Z/l) = re2p где г £ F,x — приведение Д2(2„, Z/Z)| /(Cj-lfeZHyx. Из 2.29 Д2 (Z„ Z/0/(Cf - 1 )2 = -(2 + С,2 + С72) (2 + С, + С71) iV (tv / /V (,£ /. Рассмотрим коммутативную диаграмму, связывающую различные нормен- ные гомоморфизмы Z^ + C"1, С. + С-1) > F^C. + C-1) > Z^ + C"1) Z(C, + C?) > F, > Z Из 2.26 (i) в F>< имеем N {y.p, g) =ЛГ(((^ — q1)2). Ho (Cg — С"1)2 есть простой элемент, лежащий над g в Z (Cg-|-С"1), поэтому iV"((Cg— ^)2)= +?. Аналогично Л^(р* )=+1. Это завершает доказательство. Такие же по существу рассуждения дают 2.31. Дополнение. Пусть е £ Я4 (тс, Z) — образующая, указанная в 2.30. Препятствие Суона а4(е) есть образ элемента, выписанного в 2.25 при естественном отображении Ер (ти) х Eq (ти) X Е2 (ти) -*► j?0 (Ztc). Как уже отмечалось в разделе 1, а4(()(23; q, 1)) = 0, если # = 13(24)* Мы заключим настоящий раздел усилением этого результата. 2.32. Следствие. Пусть q—нечетное простое число, такое что отображение приведения р : Z (С, + фх - F3 (^ + ^)х X F* содержит (1, —1) в своел* образе. Пусть е — образующая #4(@(24;g, 1); Z) такая, что ее нечетно-примарная компонента есть квадрат, а 2-примарная компонента равна —у. Тогда о4( + е) = 0, если ((^-j-^1)2» 1) имеет-нечетный порядок в (F.C^ + C,-1)* X Fx)/p(Z(Cs + ^T). Доказательство. Единица а = ^ — ^g3/^g — ^ в Z (Сг -(- С~1)х отобра_ жается р в ((Сд — С"1)2, 3). Пусть v £ Z (Сд + ^д1)х — элемент, приводящийся в (—1, 1) в F3(Cg4-^1)x X Fgx. Тогда по 2.25 Д(/,)Хш> обращается в нуль в ^(тг) и равно (C^ + C"1)-2 в строчке 5 для Ер(п) и в строчке 4 для #2(тс) (табл. 1 и 2). Отсюда следует, что а4(е) имеет нечетный порядок. Ноа4(е2) = = 2а4 (б) = 0, поскольку е2 есть /^-инвариант свободного представления. Поэтому а4(е) = 0. В рассмотренной общей ситуации мы не следили за инвариантом '*(*)€*! №*)/*! (Z*) (см. 2.5). Однако для дальнейшего использования мы воспроизведем здесь частичный результат, касающийся вычисления т (e2N+1) для подходящего N > 0- 2.33. Следствие. Пусть q — нечетное простое число, удовлетворяю" щее предположениям 2.32. Пусть v£ +Z (Cff -f- С~х)х2 таково, что p(v) = = (—1, 1). Для подходящего N существует периодическая базированная резольвента Z^ периода 87V-f-4 такая, что A(Z^, тс) есть (27V -f- 1)-л степень элемента, выписанного в 2.28, где V-Ptq—$>1— ^3/£g— ^V- Если, далее, (Сг —(— С"1)2 имеет нечетный порядок в F3(C?-f- С~1)х, wo можно взять а* = 1. 164
Заметим, что следствия 2.32 и 2.33 можно применять, если д = 13(24) и если д = 89, ИЗ. 3. Промежуточные i-группы Как в [21], мы обозначим через L\ (X) промежуточные ^-группы, связанные с классификацией квадратичных форм, у которых дискриминант имеет конечный порядок в Кх (ZX). В геометрии они возникают как группы препятствий к превращению нормального отображения в слабую простую гомотопическую эквивалентность перестройками. Мы будем оценивать L'3 для группы Q (8р; q, 1) и для ее подгрупп. Ради краткости мы будем писать тс вместо Q (8р; q, 1) на протяжении раздела 3. Эта группа была задана образующими и соотношениями в 2.10. У нее есть три замечательные подгруппы: 3.1. \ = <А, X, Г>, т2 = <Я, X, У>, т=<Л, В, АТ>. Гомоморфизмы переноса (или трансферы) определяют отображение 3.2. *; 0 ** © f: Ц («) - Ц (тх) © Ц (х2) ф Ц (т), и нас интересует его ядро. Разложение Q [Z/pq] на четыре поля индуцирует разложение Qn и разложение любого функтора от Qn. На самом деле такое разложение существует для любого ковариантного функтора К (к), действующего из конечных групп в абелевы. Пусть / и / : Z/pq -> Z/pq — эндоморфизмы, которые проектируют Z/pq на Z/p и Zjq соответственно. Они расширяются до эндоморфизмов / и fq всей группы тс, а именно / | Н (8) = fq \ Н{8) = id. Мы получаем идемпо- тентные эндоморфизмы Fp—(fp)¥ и Fq = (fq)Jfi группы К (к) и соответствующее разложение 3.3. К{ъ) = К («) (1) © К («) (р) ф К («) (д) © К («) (рд), где Я(*)(1)= FpFq{К(«)), К(«) (p)=Fp(l- Fq) {К («)), *(*)(g)=/yi-F,) (*(*)), ^WW = (l-ff)(l-^)(^(4 Мы будем использовать это разложение применительно к функтору Ь'ъ (тс). Опишем в терминах этого разложения отображения переноса. 3.4. Лемма. Ядро i*®^®/* в 3.2 совпадает с ядром i* : L'z (тс) (pq) -> Доказательство. Из соображений естественности имеем IinjP = = Im(*i)* и ^m^g = Im(^)*- Более того, К («) (1) = /^з (я (8)), l; («) (р) = (у. ил {zip * я (8)) до, ^(«)(?) = (У,^з(2/?^Я(8))(г), где / : Я (8) С^с — включение. Достаточно доказать, что эндоморфизмы i\ о г\* и t* о /2* суть изоморфизмы. Для этого мы используем формулу двойных смежных классов (см. [2, 6]). Разложение тс на двойные ^-классы есть тс = 0Z-O/2 = II \В\ и Для *>0 T1ni541J5-t' = Z//?xZ/4 = <yl, Х>. *=о Поэтому ^)/2 i{oi1*(x) = x+ Z (ki)*°ki(x)> где kx — включение Z/p % Z/4 в тг Так как Z/p 5< Z/4 — нормальная подгруппа в тх, второе применение формулы двойных смежных классов дает /с* о ki*(y)=y-\-cY{y), где cY индуцировано сопряжением с Г. Поэтому kl*k*lk1*k*1(y)=:2kl*(y). Так как L3 (тс) — конечная 2-группа, мы получаем, что 165
оператор (q — 1)/2 (кг)щ о к\ нильпотентен и г* о (/х)# — изоморфизм, что и доказывает лемму. Остаток раздела посвящен вычислению Ы3 (тс) (pq) и L'3 (т) (pq). Мы предполагаем, что читатель знаком с [21]. Полезно также просмотреть [5]. Замечание об обозначен pi я х. В разделе 2 мы использовали запись: : z, (с, + с;1, с, + с;1) и F, (с, + с;\ с, + С"1) и т. д. для обозначения тензорного произведения Zl (соответственно Fz) с целочисленным кольцом Z^-j-C"1, ^-f-^1)- В настоящем разделе мы придерживаемся более стандартных обозначений: 2г(£ -f-C^1, Cff —f- С"1) обозначает любое из gt изоморфных Z-адических пополнений и F, (£ -f- ^> ^ ~Ь ^д1) — поле вычетов. Здесь gL обозначает число Z-адических простых в Z (£ -j- ^> ^"h^g1)- Группа Галуа G расширения Q^ + C^1, Cg-j-^1)/^ есть фактор-группа группы (Z/pq)x, и gz совпадает с индексом подгруппы <(/)>, порожденной Z в группе G- Кольца R = Z (Ся)' [Я (8)], 5 = £ (Си)' [Я (8)j и Г = R ®Q S наследуют антиинволюции из стандартной антиинволюции а : Ztc -+ Ztc. Для кольца i? и его пополнений мы обозначим X(R) = Ker {K1(R)-^ ->K1(S)}9 где S — S <S)qQ> а (? обозначает конечные аде ли Q. Для удобства мы будем писать Li(R) вмебто Lf(R, а, 1), где X = X(R), и аналогично для L-групп пополнений антиструктуры (R, а, 1). Обозначим через СХг (5) коядро в следующей точной последовательности: L,{1> (S) -> L<1} (S) 0 L<1} (Г) -» CL,. (5) -> 0. Основным инструментом в вычислениях будет следующая точная последовательность [20]: 3.5. .:.^CLM(S) + L'((«){pq)^ ЩЬ( (Z, <8» Л) Ф4 (Т) -» CLt (S) -» ... Кольцо S содержит центральный идемпотент 11г{^—X2), который расщепляет S на две простые компоненты. На самом деле, используя стандартную теорию полей классов [13, 3], мы получаем S = Mt(E)@M2(D), где E = Q(^p-\-t>p19 ^g + ^g1)* а D — нетривиальная алгебра с делением над £» разветвленная в бесконечных простых и в р и q. "Антиинволюция а индуцирует антиинволюцию на каждой из компонент, а потому и тип. Первая компонента имеет тип 0, вторая тип Sp. Группа CL.4 (S) аддитивна по отношению к расщеплению S и для простых компонент мы имеем [19, с. 257]: 3.6. СЬ3(М,{Е)) = 0, CL3(M2(D)) = C(E2), CL0 (Д/4 (Е)) = Z/2, CL0(M2(D)) = 2C(E). С (Е) обозначает группу классов иделей поля Е, а нижние индексы соот- 2 ветствуют точной последовательности 0 -> 2С -> С -> С -> С2 -> 0. Мы начнем вычисление оставшихся членов в лемме 3.4 с рассмотрения L. (Zj 0 R) для I )( pq. Мы обозначаем через А кольцо целых чисел в поле Е, i4 = Z(C^ + Cj1l С^ + С"1), и Лу — его [/-адическое пополнение, где г/—любое 166
конечное простое число в Е. Когда I нечетно, идемпотенты, используемые для S, имеются уже в Zl(^)R. Более того, так как D не разветвлено в конечных простых числах, не равных р и q, мы на самом деле имеем z, <g> R = П (^4 (Л,) X Л/4 (А,)) = 2g, ■ Mt (А,). Эквивалентность Мориты сохраняет типы, и мы получаем L.(Zl®R) = grLi(Al, 1, i)®g,-Lr(A„ 1, -1), где Аг обозначает любое из gl изоморфных #гадических пополнений. По [21, § 1.6] можно записать 3.7. L0(tl®R) = (gl.aA?=gl{±l}, Ifpq, L3 (Z, <g>R) = gr (AfjAp), I% pq. В обоих случаях вносит вклад в группы L слагаемое Z;(g)i? типа Sp. Для / = 2 вычисление L^ (Z2 ® Д) несколько более сложно. Из 2.18 мы знаем, что Z2 0 R есть алгебра Азумайя и на самом деле изоморфна произведению g2 матричных алгебр. Имеется эквивалентность Мориты для антиструктур (см. [21, § 4.4] или [5]): (А'2[Н8], a, l)~(i2[X2|X4=;l], 1, Z2). Отсюда получаем 3.8. Li(ti(S>R) = gi.Li(Ai[Z/2l 1, Т), где Г —образующая Z2, a g2 —индекс <2> в (Z/g)*/<—1> 0 (Z//>)x/<—1>. Имеется последовательность Ротенберга: 3.9. H*+1(A2[ZI2]x)^ Lt(A2[ZI2], 1, r)^Lf(i2[Z/2], 1, 7*) -* ^^'(i2[Z/2]x), где Я0М(5Х)={6 65Х|62=1} и Hev(BX) = Bx/B><2. Группы Lf легко вычисляются; они удовлетворяют теореме приведения типа Гензеля (см. [18]) 3.10. Lf(R, а, и) = Ь* (Я//, а, S), где J С. R есть идеал, обладающий свойством R ^UmR/J". 3.11. Лемма Для ^2=22(^+>1> 4 + ^) ил*еел* (i) я°(Л2[г/2]х) = я»(Л2х)0яо(Л><)) (ii)tf4i2[Z/2]*) = <-l>®<7> Доказательство. Рассмотрим точную последовательность 1 -> (1 + 2Л2)х -> i2 [Z/2]x -> ix -> 1, где 1 -f 2а £ 1 -f- 2Л2 переходит в 1 -f- (1 + Т) а. Соответствующая длинная точная последовательность когомологических групп расщепляется да короткие точные последовательности 0 -> Я1 ((1 + 2Л2)х) -> Я1 (Л2 [Z/2]x) -> Я1 (Ах) -> 0, 0 _> Я° ((1 + 2i2)x) -> Я° (i2 [Zf2]*) -> Я° (i2x) -> 0. Но ix/(l -f 2i2)x = ^x> где ^ есть поле вычетов mod 2, F = A2/2A2. Так как | jpx | нечетен, то имеем (i). Для доказательства (ii) мы используем ^когомологическую последовательность для последовательности 1 -► (1 + 4i2)x -* (1 + 2i2)x -> F+ -> 0 167
и' изоморфизм log : (1 -f- 4Л2)Х -► 4Л+ ^ А+, после чего получаем Я1((1 + 2Ла)х) = <-1>. 3.12. Лемма, (i) i0(i2[Z/2], 1, Т) ^ <-1> ф <7>/<-r> = Z/2; (ii) L3 (i2 [Z/2], 1, Г) ^ Л2х/42х2 ф /■. Доказательство. Используем 3.9 и 3.10 с / = (\ — Г) с i2 [z/2]- Рассмотрим диаграмму с В2 = A2[Z[2]: Ц(В2; 1, Г) —* Я°(Д2х) —+ i3(52, 1, Г) —* Lf (В2; 1, Г) — Н^В?) U I I. | Lf (i2) 1, 1) —- Я°(Лх) Lf (i2; 1, 1) -^ ^(i2x) Имеем Z,f(,42) = Z/2 и 83—изоморфизм, а о0— мономорфизм (см. [18]). Точная гомологическая последовательность для последовательности 1 -> (1 + 4i2)x -> (1 + 2i2)x ->F+^0 дает H0((l-\-2A2)x)=F+@Z/2, и §0 отображает Ц {А2) на второе слагаемое. Так как H°(Ag) = H°((l -f- 2Л2)Х), это доказывает (ii). Аналогично доказывается (i). Члены L. (Г) в последовательности (3.5) легко находятся. На самом деле> L3(T)=0, &LQ(T) изоморфно сумме нескольких экземпляров £0(R) © L0(H, с, 1), каждый из которых вкладывается сигнатурным гомоморфизмом в Z ф Z как подгруппа 4Z ф 2Z. Теперь мы готовы вычислить точную последовательность 3.5. Справа от L'3 (тс) (pq) имеем 3.13. L'a (ic) (pq) ->g2-F+X П A? I А? •%> С (Е)2, где Е и А — как выше. g2 экземпляров 2-адического поля вычетов F отображаются тривиально, а другой множитель — посредством естественного отображения Ili* -> С (Е). Пусть ЕА — адели Е. Тогда Еа/Е$2 = С (Е)2 ф EXJEX2, а так как мы имеем еще (расщепляющуюся) точную последовательность 0 -> Ах -^ 5х -> Z -> 0, то ядро уд совпадает с ядром 3.14. g2 • F+ ф £*(2)/ЁХ2 ^ Д i^X2# Здесь Е*(2) с ^?х есть подгруппа элементов, у которых все показатели^ определяемые конечными простыми, четны, а бесконечными (вещественными) — положительны. Слева от группы L!3(n)(pq) в 3.5 получаем (по 3.6, 3.7 и 3.12 (i)): 3.15. П 24Х 0 L0 (Т) -^ 2С(Е) ф Z/2 -> Ц («) {pq). У^РЯ. Каждый из (р — l)(q—1)/4 слагаемых в Т типа 0 вносит вклад 4Z С Z в LQ(T) и проектируется на Z/2. Каждое слагаемое в Т типа Sp вносит вклад 2Z^zZ, и образующая в 2Z отображается в соответствующий элемент 2С(Е) (см. [19, предложение 5.4]). Если Р (Е) обозначает множество всех простых в Е, тогда 2С(Е) — П {<±1>у | г/£Р (£)}/< +1> и коядро в (3.15) равно коядру П{<+1>,| </€*>(£)> </^/х7}-П{<+1>у|</е^(£)}/<+!>• Доказанные утверждения мы соберем в следующее 168
3.16. Предложение. Имеется точная последовательность ,-,) 0^(gp-\-gl-l)-Zl2^L'3(n)(pq)^ -> g2 ■ (А/2А) 0 Ker [E^lE^ -* ЦАЦА*2} -> О, I у\ря. J где E = Q (С, -f С;1, С, + С"1), Л = Z (С, + С;1), С, + q1) и fiTi - ™о 1-адцчески простых в Е, Теперь рассмотрим L'3 (т), где х — расширение l->Z//?g->T->Z/4->l, в-котором образующая Z = XF действует на Z//K/ умножением на —1. Напишем К = <№„ + <%) и 5 = Z(C^ + g). Имеем ff'[Z/4] = Jlfa(tf)©0, где D — нетривиальная алгебра с делением, разветвленная в бесконечных простых (и в р и q). В индуцированных антиструктурах М2(К) имеет тип О, a D имеет тип Sp. Что касается 2-адических вычислений, здесь имеется уже использованная нами эквивалентность Мориты для антиструктур (Z2(CM)'[Z/4], a, l)~(tf2[Z/2], 1, Т) и можно применить вычисления в 3.11 и 3.12. Затем можно проделать вычисления, аналогичные приведенным выше, и получить короткую точную последовательность, которая вычисляет Lr3(i)(pq) (если не учитывать нетривиальность расширения). Прежде чем сформулировать результат, мы определим соответствующие числа разложений. Расширение К\Е разветвлено в точности над р и q. Это следует, например, из мультипликативности степени классов вычетов и хорошо известного факта, чт0 Q (^d + ^d1) С Q (CJ не разветвлено при составном d. Отсюда следует, что gp(K) = gp(E)mgq(K) = gq(E). Для g2 имеем g2(K) = g2(E), если А\2А^ =^=В/2В, а в противном случае g2(K) = 2g2(E). 3.17. Предложение. Имеется точная последовательность 0-*(gp + gt-l)-Zl2-+L'a(x)(pq)^ -* g2 ■ (5/25) 0 Ker {К'™/К** -> B^Bf) -* О, где К =(№„ + %), а Б = Z (Си + CjJ). Гомоморфизм индуцирования i* ■ К, (Q (Ся)' [Я8]) -> К, (Q (Си)' [Z/4J) (где Z/i = <^XYy а Н8) соответствует при взятии приведенной нормы включению центров; аналогичное замечание верно и для адических групповых колец. Из доказательства предложений 3.16 и 3.17 вытекает, что ядро i* : L3 (ти) (pq) -> L3 (т) (/?g) совпадает с ядром отображения з.18. Ker |zr(2)/ях2 -> П ^Х/4Х21 -> кег 1к*12)1кхя -* П Щ1Щ . Мы имеем точные последовательности О _ л*Мх2 - £*(2J/fix2-^аГ (Я), 0 -> 5*/5х2 -> K'WJK**-** 2Г (ЛГ), где Г ( ) обозначает группу классов, а ср (х) = 1j2 2 ordy (х) • г/ (г/ пробегает все конечные простые). Отображение в 3.18, а потому i* : L'3 (тс) (pq) -> L'3 (т) (pq) инъективно, если 2Г (Е) -> 2Г (К) инъективно и А* (~) Вх2 = Ах2. 169
3.19. Следствие. Предположим, что р=3, a q — любое простое. Тогда £* © i*2 0 i*: L'2 (тс) -> L'z (tx) ф L'3 (т2) ф Uz (т) инъективно, если только число классов поля Q (£q -f- С"1) нечетно. Доказательство. В (?(Сд + £~1) есть (#— 1)/2 вещественных простых и соответственно (д — 1)/2 вложений () (С2 + С"1) в вещественные числа. Пусть sgn : Z (Сд -f~ С~1)х -> П {+1} — гомоморфизм, отображающий единицу в набор ее знаков при' вещественных вложениях. По [4, утверждение 42] sgn сюръективен, если число классов нечетно. Поэтому Z (^q + С"1)* = Z (Сд -J- С~1)х2, и результат слеДует из 3.4. 4. Вычисления с последовательностью Ротенберга Промежуточные L-группы из предыдущего раздела связаны с обычными группами препятствий к перестройкам при помощи последовательности Ротенберга: 4.1. Wh' (-) <g> Z/2 Л Ц (-) -* L* (-) - о (см. [21, §5.4]). Для группы iz = Q(8p; q, 1) и ее подгруппы х (см. 3.1) 4.1 разбивается на четыре части. В этом разделе мы вычисляем одну из них, а именно 4.2. Wh' (-) (pq) <g> Z/2 -^ ^ (-) (М) - L\ (-) (да) -> 0. Группа Wh' (тс) есть свободная часть обычной группы Уайтхеда, и Wh! (тс) = = K'1(Zn)l{ + g\g£'iz}y где K[(Ztz) можно вычислить исходя из точной последовательности 0 -> К[ (Ztu) -> Кх (Щ © ^ «?«) -> if1 (Qn) (см. [22]). В частности, эта последовательность дает 4.3. 0 -> Wh' (тс) (pq) -> Кх (Ztc) (М) 0 Zx (S) -> Кх (S), где S = Q(^qY[H8] и ,$ = S®QQ. Приведенная норма Nrd дает изоморфизмы 4.4. ^ (S) ^ Ях © Е*, K1(S)^EX@EX9 и нам осталось вычислить Кх (Ztc) (pq) = ИК1 (Z,tc) (/?д). Мы пишем R = Z (С )' [Н8]. Если Z — простое, l=^=p, q, то K1(ZlK)(pq) = K1(Zl®R), а если Z также нечетно, то Zz (g) i? расщепляется совершенно так же, как. 5. На самом деле, Zz ® R ^ М4 (Zz <g> 4) X Л/4 (Z, ® Л). Поэтому приведенная норма определяет изоморфизм К, (Z, <g> Л) = II 4* X 4 (I X 2pq). Для 1 = 2 К, (Z2 ® Д) = ft • (i2 [Z/2]x) = g2 ■ ((1 + 2 J2)x X i2x), и нам осталось вычислить K1(Zl7z)(pq)J где 1 = р или д. Пусть / : тс -> тс — эндоморфизм, использованный в 3.3. Тогда (1 - (/Л) *i (М = *, • *i @р (V №1' [^8]. Пусть /^ с Z^ (С2) [Z//?]' [#8] — идеал, порожденный 1 — Тр, где 7^ — образующая Zip. Из [18, § 1] мы имеем точную последовательность 170
4.5. (1 + Jp)x + К, (Zp (g [Z/pf [H8]) -> Кг (Zp (y' [H8])-+ 6, . a ^i (Zp«) (РЯ) = Sp ' Image (/). Поэтому для вычисления Кг (Z^tc) (pq) как подгруппы Кх (S) достаточно вычислить Nrd (1 -J- /^)х с gp • {Вх X #£)• Хорошо известно из теории полей классов, что обычная норма отображает 1 -j- Ipq на 1 + 1р Цря и ^ СУТЬ максимальные идеалы для Qp (С^д) и Ерг соответственно). Отсюда вытекает, что Nrd (1 -J- Jр) = (1 -f- Ip) X (1 + Ip)- Поэтому 4.6. Js:1(V)(w)=^-((i+/,)x(i+/,)). 4.7. Предложение. Группа Wh' (тг) (/?g) разлагается как • •ww («) (W)=hw (m)0 (pq) e ww (% (w).... ,.-.,. где слагаемые даются точными последовательностями О -* Wh' (к)0(рд) —* Лх -U Д>х '.'"" ." "'' о -* ww (Я)8р (М) -*. а*; -и д *■*. ...!'".: Г'.; y\pk' v' ' Здесь Л = Z (t^-f-С"1, Сд —(— С"1), а /^ обозначает поле вычетов^ по п'росщощ у* Доказательство. Предыдущие рассмотрения дают разложения для Who и Whsp, а также точные последовательности 4.8. О ^ Wh'(n)0(pq) -* П4ХхП(1 + //хгХ-е,.. ;* yJ(2pq. ' 2/\2pQ У X О -* Wh'(K)s,(pq) - П4ХХП (1 +/У)Х,Х £* -» £ Пусть / (Е) — свободная абелева группа, порожденная конечными простыми в Е. Тогда 1~>АХ->ЕХ->цЕ)->о г ' '■- ;'• ■« -. — точная последовательность, поэтому £х ^ Лх ф /.(jE). . Так как . Ах.^== = Кет \ЕХ -> I (Е)}, последовательности в 4.8 можно заменить на последовательности из предложения 4.7. Это завершает доказательство. Мы вычислили область определения и область значений отображения к в 4.2, и нам осталось определить само это отображение. Композиция к : Wh' («) (pq) Л Ц («) (pq) -> g, ■ (AI2A) 0 Ker (Я* (2)/Дх2 ^ Д A* I A?) легко вычислима. В самом деле, используя расщепление в предложении 4.7, получаем А = А8рфА0, где 4.9. ASp!: Ker U" -> П ЛХ j - Ker {Е^/Е™ -* Д А*/А?), ' 1 y\pq > К: Кег{Ах -+ Д ^Х( - й • (А/2А) . > V ' ' суть естественные отображения: Asp индуцировано включением, 7с0 (1 -f- 2а) = — {ау\у делит 2}. Более трудно определить сужение к на Ker А. Начнем с общей леммы. Пусть Л—дедекиндова область, например A=Z или Z[i], и пусть L — ее поле частных. Обычный арифметический квадрат дает точную последовательность алгебраических ТГ-групп: 171
4.10. 0 -> К[ (Лти) -> Кг (Лти) © Кг {Liz) -* Кг (£«) -* 0, а где #х (£тс) = Кег {Кх фк) -» К0 (Лте)}. Каждый из членов последовательности 4.10 имеет инволюцию, индуцированную стандартной антиинволюдией а групповых колец, и 4.10 дает длинную точную последовательность гомологических групп. Мы также имеем точную последовательность из [20] для вычисления L?(Atc, а, и), Х = == Кег {Kt (An) -*> Кг (Ln)}. 4.11. Лемма. Имеется коммутативная диаграмма ...^Н*^Щ£*))-^ И4(К[ (А*))-^#**(#!(Лти))©#<(ЛГх^)) -> Я*' (Кгфк)) ->• • • уф Ф Ф ... -ЯЯ&и, а, a)^Lf_ ^А^аД^^А^ где вертикальные отображения — из последовательности Ротенберга. Доказательство леммы 4.11 нетрудно, надо только дать определения искомых отображений. Мы отложим это до другого раза, поскольку это потребовало бы введения слишком многих новых обозначений. Последовательность 3.5 есть одна из компонент (в смысле 3.3) нижней точной последовательности в лемме 4.11. В частности, Ц{Ъщ а, 1) (/>?) = £>) (/><?). Подгруппа {gp-{-gq — 1) • Z/2 в 3.16 есть образ H^Kx(S))^Lf{S, а, 1)Л/£(21Сэ a, 1)(и)| где S — Q (ZpqY [Н8]. Более точно, в Nrd (Кг (М2 (25))) имеется подгруппа Ц Ё% у\рч и Нг( JJ Ё*\— II ^±1Х отображается в L3 (Ztc, a, \)(pq) с ядром, равным \у1м / у\р* диагонали <±1>. Поэтому (g 4-g — 1). Z/2 = ПХ±1Ж±*>в Из 4.9 имеем КегЛ8р = Кегрх2-Д^х2}. Пусть Vp будет отображение 4.12. ^:Кег/Лх2- П Л**1 - П<±1>/<±1>. причем (v^p) (a2) = р (а), где р : Ах -> Ц ^ — произведение, у\ря. _ 4.13. Предложение, (i) Сужение к на КегЛ0 нулевое] (П) сужение к на KerAgp есть отображение v^p из 4.12. Доказательство. Антиструктура (Ztu, a, 1) проектируется на антиструктуру (Д, а, 1), где R = Z[Zlpq]<lX, У|Х2=У2 = -1, ХГ=-ГХ]. Это определяет гомоморфизм Lf(Ziu, а, 1)(рд)-+Ц(Н, «, 1)0ч), который отображает подгруппу (g^-f-gg— 1) • Z/2 мономорфно, а обра £Г° (W^A'(7с)0 (/?д)) переводит в 0. Это доказывает (i). Доказательство (ii) тоже основано на соображениях естественности, но на сей раз мы расширяем скаляры и рассматриваем естественное отображение 172
Lf(Zn, a, l)(pq)->L*(Z[i\«, a, l)(pq). Алгебра с делением, которая появляется в разложении Q [i] (С )' [Н8], есть E[1](£)eD. Это расширение не разветвлено в бесконечных простых числах. Поэтому рассуждения предложения 4.7 дают К[ (Z Щ *] № = Ker [A [i]x - П F, ЩХ\, где Fy [i] = Fy® Fr если gy (E [i]/E) = 2. Определим ^(4) = 1т{Л*->П/'х}) ^(4[J]) = ImU[i]x^IUyj]x} и из 4.11 получим коммутативные диаграммы I. Я1 (F (А)) --> Я° (Wh' («)8р (/><?)) 1 I £оХ(<?*> «, i)(W) -^ ^(Z«, «, i)(pq), II. Я» (F (А [»])) —^ Я» (HW (Z р] «)Sp (И)) 1 1 ZJ (<?[*>, а, 1)(да) -^Lf(Z[iK а, 1) (/>д). Расширения скаляров определяют отображение из I в II и подгруппа (gp-\- + Sq—l)-Z/2, лежащая в Lf (Zrc, a, l)(pq), отображается при этом моно морфно. Наконец, заметим, что образ р:Лх->Щ<'х содержится в F(A[i])* Поэтому образ 8[i] содержит образ KerASp в Н° (К[ (Z [i] те)8 (pq), а (ii) получается по определению b[i]. Доказанные предложения имеют свои аналоги для последовательности Ротенберга группы L'3(x)(pq)9 где хС^ — подгруппа в 3.1. В самом деле, пусть В == Z (См + Щ) и ЛГ = <? (См + C~J), как в разделе 3. Тогда Wh' (т) (pq) = == Wh! (т)0 (/wj) ф FF/г' (т) (pq), и имеются точные последовательности 4Л4. О-ИЪ'СсМи) ->БХ-^ П>£\ Далее если k: WW (т) (pq) ® Z/2Л LJ(х)(pq) - g2 • (Bj2B) 0 Ker (/Г <2,/Ях2 -> П ^ WJ, то Кег к = Ker А0 0 Ker &sp и мы имеем 4.15. (i) к\Кетк0 = 0; (ii) /c|Ker^sP = Vp, Vp:Ker{£x2-*n^f}^n^/<±l>- 4.16. Пример. « = Q(24; 13, 1). Тогда £3 = 2, *u = l, и Vp : Ker (Z (C13 + Щ)х2 -* F« 0 Fg« 0 F^} ^ 2 • (Z/2) имеет образ, равный Z/2. Поэтому мы имеем 4.17. О -* Z/2 -* L* («) (39) -> сок А0 (4) -> 0. С другой стороны, ^р сюръективен для Z^gg + ^g1)» поэтому £$(т)(39)^сокХ0(Д). 173
Поэтому в противоположность 3.18 гомоморфизм индуцирования /* = Г:£»(*)(39)-£*(т)(39) не инъективен: его ядро есть Z/2. Члены сокк0(А) и сокк0(В) тоже можно найти. На самом деле, сок к0 (А) = 2 . (Z/2), сок к0 (В) = 3 • (Z/2), но мне не удалось определить расширение в 4.17. Этот раздел заключает доказательство теоремы D из введения. С диаграммой 4.18. WW («) (pq) ® Z/2 Л Z; (я) (pg) -> L* (*) (pg) -» О I У I Г \ Jh \ Y \ Wh> (т) (/*/) О Z/2 -1 L; (х) (pq) -* L» (х) (М) -* 0 . ассоциируется точная последовательность 4.19. Кег /' -> Кег f —> Image (£)//' (Image к) -> сок у'. 4.20. Теорема. Если /? = 3, # = 13 (mod 24) и h+ нечетно, тогда Ь ненулевое. Доказательство. Мы уже рассматривали диаграмму 4.18. Мы будем показывать (используя 4.13 и 4.15), что 8 нетривиально отображается в част^ ное (g -\- gq — 1) • Z/2 = JJ 2FX С Ь'ъ (т) {pq). Пусть s — целое число, которое р у\п у порождает (Z/#)x/<(—1)>, и рассмотрим единицу в поле деления круга Ах .ъ=(<з-сп/(^-^х). А = Z (L -f- С"1). Из [4, теорема 9] получаем, что т\8 и его сопряженные относительно группы Галуа порождают подгруппу нечетного индекса в Ах. Пусть g = gs — число простых, лежащих над тройкой в Z^-f-C"1). Так как 3 есть квадрат modq, g должно быть четным и поле вычетов Fg^-f-t1) кольца Z^-f-ty1) имеет нечетную степень над F3. В частности, 2-примарная часть F3(Cg-j-C"1)4 есть как раз <^±1)>. Рассмотрим композицию НА): Ах +> g- F3(C, + C-i)x X Fx ^^ <+l> Fx, где p — приведение, a f(xv ..., xg) = (Пжг.)(д~1)/4. Единица i\8 отображается в (—1, g), так же как и все ее галуа-сопряженные. Поэтому (—1, —1)(£ <Е Image (р). Аналогично для B = Z (С3д + С^1) имеем p(5):5x^<±l>xFx, но в этом случае Z3q-\-^q отображается в (—1, —1). Далее, (C3g + C^l)2^G QWh' (t)s (pq) для достаточно большой нечетной степени TV и по 4.13 и 4.15 получаем 4.21. £(^ + C£)2V0 в Imaged (Imageк). Так как этот элемент отображается тривиально в сок /', 4. 19 дает требуемый результат. 5. Препятствие к перестройке Пусть (2, тс) — конечный поляризованный (тс, тг)-комплекс п ^ 6. Пусть s(2, тс)— множество структур, состоящее из гомотопических эквивалент- ностей /: ЛГ->2/тс по модулю А-кобордантности. Универсальная накры- 174
вающая М гомотопически эквивалентна 2, и поэтому по теореме об й-ко- бордизме является топологической сферой. Поэтому / можно рассматривать как тс-эквивариантную гомотопическую эквивалентность /: (S, тс) -> (2, тс). Аналогично s' (2, тс) будет обозначать множество слабых простых гомотопических эквивалентностей по модулю отношения слабой простой Л-кобордант- ности (/ слабо просто, если т (f)=0 в Wh(Qn)). Пространство орбит 2/тс зсть слабо простой комплекс Пуанкаре и имеет нормальный инвариант по [6, следствие 3.2]. Выберем и зафиксируем какой-нибудь нормальный инвариант; тогда множество всех нормальных инвариантов отождествится с [2/тс, 67Тор]. Имеются точные последовательности 5.1. Ц (тс) -* s (2, тс) -> [Е/тг, G/Top] -^> Ц (тс), Ц (тс) - «' (Е, тс) -* [Е/тс, G/Top] ^ Ц (тс). Если (Х')_1(0)=7^= 0> то на Sn~x существует свободное топологическое действие с А (5я"1, тс) = А(Е, тс). Если Х~1(О)=^0, то имеется действие с e(Sn~19 тс) = в(Е, тс), т. е. тс-гомотопического типа (Е, тс). 5.2. Замечание. Предположим, что dim 2 = 3. Тогда каждый гомотопический класс g: Е/тс -> G/Top поднимается до гомотопического класса g: Е/тс -> G/PL и дает нормальное отображение степени 1 (М, тс) —> (Е, тс)# Если X ([g]) =. О, то обычные рассуждения показывают, что / нормально ко- бордантно гомологической эквивалентности. Поэтому тс действует свободно на некоторой гомологической 3-сфере. (Это расширение на случай dim 2=3 указано мне Е. Штейном.) Группа внешних автоморфизмов Out (тс) действует на гомотопических типах (2, тс), и каждая орбита изоморфна одному и тому же фактор-пространству 2/тс. Группа Out (тс) также действует на Я* (Biz; Z). Ориентированный гомотопический тип пространства орбит 2/тс определяется образом е (2, тс) в Я* (5Tc)/0ut (тс). Для n = Q(8p; q, 1) мы имеем Out(tc) = Fx/<+1> ф F></<±1>. Поэтому 5.3. G#4(£tc; Z)/Out(Tc)^Fx/Fx2 0Fx/Fx2e(Z/8)x, где G№ (Втс; Z) обозначает множество образующих. Из этого можно извлечь следствия о гомоморфизме Суона, который в нашем случае есть отображение d:Fx0Fxe(Z/8)x^;to(Zm). Диагонально вложенная (—1) всегда лежит в Кег д, и, более того: 5.4. Лемма. Если а4(тс) = 0, то F*2 0 F*2 с Кег д. Доказательство. Пусть (2, тс) — некоторое конечное поляризованное (4, тс)-пространство с /^-инвариантом е. Для г £ Out (тс), г -е снова может быть реализовано конечным поляризованным [пространством, и по 2. 2 а4 (г-е) = д (г)+а4 (е)=д (г). Результат теперь получается из 5.3. Имеются естественные отображения Zx -> Ег (тс) (1 = 2, /?, q), соответствующие тривиальным слагаемым в Af (С), где С — главный Z-блок (С = Ъ1 [D2l] или C = Z2[#8|). Отображение TIZ^ -> ЛЕ1 (тс) пропускается через nZz/|rc| и может быть отождествлено с гомоморфизмом Суона [10]. Используя методы раздела 2, в принципе можно вычислить образ д, если поля в центре Qtz суть поля деления круга и имеют нечетное число классов. В самом деле, из [4ч, утверждение 9] следует в этом случае наличие в группе единиц подгруппы нечетного порядка, а потому и подгруппы нечетного порядка bA*(Qtz). Поэтому можно вычислить 2-примарную компоненту ИЕг (к)/A* (Qtz) С d К0 (Ztc). На практике провести вычисления оказывается нелегко. 175
Напомним, что /г+ обозначает число классов (?(С/П + С~1). Сформулируем без доказательства лемму. 5.5. Лемма. Предположим, что q простое, # = 13(24) и h+ и h\ нечетны. Тогда образ гомоморфизма Су она для (?(24; q, 1) совпадает с суммой трех экземпляров Z/2. Так как а4 (Q (24; q, 1))=0, леммы 5. 4 и 5. 5 полностью определяют гомоморфизм Суона. К несчастью, предположение 5. 5, кажется, проверено только для q=l3. Таблицы в [9] показывают, что h* нечетно для #= 13,37,, 61, но h* выписано только для #=13. Мы используем лемму 5. 5 ниже, чтобы показать, что для конечного поляризованного (тс, п) пространства (2, тс) пространство (2, i%) гомотопически эквивалентно ортогональному действию (S (PFt), ^) (см. теоремы 5. 12 и 5. 13). Здесь т. с ^ — подгруппы, использованные в разделе 3. Напомним (см. раздел 4), что слагаемое Wh (Qn)(pq) группы Wh (Qn) расщепляется в прямую сумму Wh (Qv) (pq) = Wh (Qk)0 (pq) ф Wh (Q^ (pq). Имеется аналогичное разложение для Wh (Qt)(pq), где x определено в 3. 1 и мы имеем коммутативные диаграммы: Nrd Wh(Q,)Sv(pq) -^ z^ + t-iy t t I ** I incl Nrd Wh (Qtc)Sp (pq) —- Z (C, + C;1, Cg + C-1)*; Wh(Qx)0(pq) -^Z(CM + C;J)X t * +. ** I incl Nrd Wh(Qiz)0(pq) ^Z^ + C"1, Cs + C"1)x. Компонента кручения Рейдемейстера x (2, тс) в группе Wh (Qn) (pq) = K^Qiz) (pq) обозначается через x(2, n)(pq), а ее приведенная норма — через А (2, ^)(pq)' У нее две составляющие Д(Е, «)(М)=(Д(1:, ^(pq), Д(Е, «)Sp (/*/)). Наконец, напомним (см. [12]), как считать А (2, тс), когда 2 = S (V)— сфера в свободном унитарном представлении. Так как группа JYh(Qii) индуцируется с циклических подгрупп и i (X, тс)* (А (2, тс)) = А(2, X), где i (X, тс) обозначает включение подгруппы, нам достаточно оценить A (S (V), Z/N). Пусть Т £ Z//V — образующая (фиксированная), и предположим, что V = = 0 X*» гДе X*: ^/^ -> С — точные представления. Пусть т\ £ (Z//V)x — числа такие, что хАГ*) = е***1*- Мы имеем М^СЮ» Z/N) = l/N* (см. 2.6) и 5.6. Д2 (5 (F), Z//V) = П (*"' - 1) G <? [Л/<1 + Г + • • • + Т»-1). Поэтому b(S(V), Z/^V)(iV) = n(^-l)e<?(Civ), где ^ обозначает примитивный /V-й корень из 1. Рассмотрим тс = Q(8/?; #, 1). Пусть eQ£GH4(n; Z) — образующая, выделенная следующими условиями: 176
5-7. $(e„) = -16gae», **(в„) = -16^, /*(*„) = Т. где ip, iq — включения Zjp, Z/q в тс, / — включение Н8, а е , едиу — стандартные образующие, как в 2.30. Пусть (£0, тс) — поляризованное (тс, 4)-пространство, у которого е (И0, тс) = = е0. Обозначим через S = Е8/+3 (2Z —(— 1)-ьуратыое соединение £0 с диагональным действием тс. £ имеет /с-инвариант е(£, n)=elln. Поэтому для каждой из подгрупп zv т2 и т3 = т, определенных в 3.1, (£, тг.).томотопически эквивалентно линейному действию. Более точно, мы имеем 5.8. Лемма. Для каждого 1^0 существуют свободные унитарные представления W. групп 1. вещественной степени 8&-f~4 такие, что (i)-e(S(Wt), x,.) = e(S, т,); (Ш) Д(5(^8), х8)8р(М) = (Си + Щ)4'+а; (IV) Д(5(^,), х3)0(^) = -(С,г-^Г2. Доказательство. Свободные представления z. степени 4 можно построить, используя характеры, индуцированные с циклических подгрупп индекса 2. Мы начинаем с т = т3. Подгруппа индекса 2 есть С = ((АВ)2 (XY)2y. Пусть х—характер такой, что % ((AB)2(XY)2) = е%г1ря, и рассмотрим У = = Ind^(x). Так как V/C = х © х_1> имеем Д(5(П x)0(M) = (CJg-l)(C;;-l), Д(5(7), x)Sp(p9) = (CJg+l)(C;; + l)- Более того, так как V \Z/q = ty © ф"1, где ф (A*p) = e2%ilg, мы имеем Д(5(К)> Zlq) = (l/q2; {Цр — 1) (^ — 1)). Отсюда в (5 (7), Z/q) = — 16/?V, и аналогичный результат имеет место для в (5(F), Z/g). Для тх и т2 подгруппы индекса 2 суть Cx = <(AYy и C2 = <(J5Z)>. Мы выберем характеры Xi hj2, так что Xl {А^Х2) = e%ilp, Х2 (В2рХ2) = e%ilq, и положим V\ = ind£*. (х»)- Тогда И^. = Vf (21^\ г = 1, 2, 3, удовлетворяет всем требованиям. Пусть (Lv тс) и (Е2, тс) — поляризованные (тс, и)-пространства. Выберем отмеченные точки х1 £ Х^ и х2 £ S2. Следующая лемма является легким следствием теории препятствий, использующим то, что £4./тс — двухэтажная система Постникова до размерности п (см. [6, лемма 2.1]). 5.9. Лемма, iz-эквивариантная гомотопическая эквивалентность /: (Е1? тс) -> -> (Е2, тс) с f(xx)=x2 существует тогда и только тогда, когда е (Lv тс) = = е(22, тс). Более того, к-гомотопический класс такого f определен однозначно. (Доказательство предоставляется читателю.) Пусть (£, тс) — поляризованное (81 -f- 4)-пространство с е (£, тс)=е^*-1 (см. 5.7). Следуя лемме 5.8, мы имеем т. — эквивариантные гомотопические эквивалентности: /,:(S(W\), х4)^(Е, х,) для 1 = 1, 2 и 3, а поэтому (по 5.1) элементы Л(Л)6№, G/Top]. Так как G/Top есть бесконечнократное пространство петель, функтор N (X) = = [Е/Х, G/TopJ, определенный на категории £ (тс) подгрупп в тс есть «функтор Макки» (см. [6, § 1]). В частности [6, 1.8 и 1.10], мы имеем изоморфизм 5.10. N (тс) Л N (Ъ1р){±) 0 N (Z/<7)<r> © N (Н (8)). 177
5.11. Лемма. Существует гомотопический класс отображений y:E/ir-> -> G/Top такой, что композиция Е/х$. -> Е/тс —-> G/Top представляет N (Д.), i = l, 2иЗ. Доказательство. Из леммы 5.8 (ii) и леммы 5.9 следует, что N(f.) и N (fj) дают один и тот же элемент при сужении в TV (xf. f| х^.), а так как каждая силовская /?-подгруппа в тс содержится в какой-нибудь т., мы получаем из 5.10 требуемый элемент *((*N(tz). Теперь предположим, что р = 3 и д= 13 (mod 24). Тогда а4(е0) = 0, поэтому имеется конечное поляризованное (тс, 4)-иространство (Е0, тс) с /с-ин- вариантом е0, и поэтому конечное (тс, 81 -f- 4)-пространство с /с-инвариантом eff+l. Мы сейчас докажем 5.12. Теорема Пусть h+ нечетно. Тогда не существует свободных то- пологических действий (S8l+3, тс) с e(S8l+3, iz)=ef+1 ни для какого 1^0* Доказательство. Пусть /: (М, тс)-> (Е, тс), /:v->C есть тс-экви- вариантное нормальное отображение степени 1, ассоциированное с элементом у из леммы 5.11. Сужения / на три подгруппы Xj кобордантны гомотопическим эквивалентностям / .: (S (Wj), х .) -> (Е, х .), описанным выше. Поэтому препятствие к перестройке X (/) = X (у) лежит в ядре e»-}:L»(«)-*e^(^). Из леммы 3.4 видим, что это ядро равно ядру ^:Z*(«)(3g)->Z»(T,)(3g). С другой стороны, так как й+ нечетно, инъективно (см. раздел 3) и i*(X'(/)) =Х'(/3). Имеем точную последовательность Nrd (Wh' (т,) (3g) ® Z/2) Л L; (х3) (Зд) -* L» (т3) (Зд) -> 0 и можем представить препятствие к перестройке как X'(/8) = £(*(/s)(3g)) = £(A(S(Hg, ^)(Зд)/Д(2, -д(Зд)), Д-инварианты имеют ортогональную и симплектическую компоненты. Нас интересует только симплектическая часть, и из леммы 5.8 (Ш) мы имеем *'(/.) (з?)=*(-, (сВд + ^)4,+2/4 где zzfZ^-j-C"1)*. Из теоремы 4.20 и 4.21 следует, что X (/) £L* (те) (3q) не равно нулю. Это завершает доказательство. 5.13. Теорема. Если д = 13(24) и Аь, А+ нечетны, то Q (24; q, 1) ме может свободно действовать ни на какой (81 -j- 3)-мерной сфере как группа гомеоморфизмов. Доказательство. Мы показали, что не существует такого действия с /с-инвариантом е*1ь1. Можно слегка модифицировать наше рассуждение и показать, что не существует также и действия с ^-инвариантом ±r2 - ef+1, где г£(£/|тс|)х (см. 5.3). Но все другие возможные /^-инварианты имеют по лемме 5.5 ненулевое препятствие Суона, так что они не могут быть реализованы даже как конечные поляризованные пространства. В 2.32 мы получили необходимое условие для того, чтобы а4 (Q (24; д, 1)=0. Мы заключаем раздел 5 аналогичным результатом о препятствии к перестройке. 178
5.14. Теорема. Пусть q — простое число, удовлетворяющее 2.32, и h¥ нечетно. Если отображение приведения Р : Z (С, + С"1)х -* S((F, ® Z (Сг + ^))Х 0 F*)/<± 1> (*) есть эпиморфизм, то на некоторой сфере S8l+3 имеется свободное топологическое действие группы Q (24; д, 1). Доказательство. Выберем 21-\-1 делящимся на 2ЛГ -f— 1 (из 2.33) и делящимся на | Р2(С3? + Сзд1)Х |- Пусть (S, тс) — конечное поляризованное (тс, 81 -\- 4)-пространство, которое реализует цепной комплекс из 2.33. Его к-ия- вариант равен е2/+1, а часть кручения выражается формулой Д (Е, *)0 (3?) = - щ - с-3/сг - ^) vf+\ Выберем отображение /: (М, я) -»• (Е, я), как в теореме 5.12. Тогда в обозначениях из 4.18 *;(х'(/))=£(д0(з<г), ДвР(зд)), где \(3q) = \(S(W3), x3)0(3g)/u(S, x,)0(3g) = из 5.8 (iV). Предподожение (*) дает нам, что £(Asp (3g)) £/' (Image А;), и из 4.9, А: (Д0 (Зд)) = 0. В самом деле, так как 2Z —|— 1 делится на | F2 (С3д + ^)Х |> Д0 (39) = (1 + 2а)2 eZ(C3?4-^)x. Отсюда £ (Д0 (Зд)) = 0. Это завершает доказательство. ЛИТЕРАТУРА 1. Bass Н. Algebraic ^-theory. N. Y.: Benjamin, 1968. 2. Dress A. Induction and structure theorems for orthogonal representations of finite groups. — Ann. Math., 1975, 102, p. 291—326. 3. Fontaine J.-M. Sur la decomposition des algebres de groups. — Ann. Sci. Ecole norm, super., 1971, 4, N 1, p. 121—180. 4. Hasse H. Uber die Klassenzahl Abelscher Zahlkorper. Berlin: Akad. Verl., 1952. 5. Laitinen E., Maldsen I. Topological classifications of SL2(FP) space forms: Prepr. Aarhus Univ., 1979. 6. Lee R. Semicharacteristic classes. — Topology, 1973, 12, p. 183—199. 7. Madsen I. Smooth spherical space forms. Geometric Applications of Homotopy theory I. — Spring. Lect. Not., 1977, N 657, p. 303—353. 8. Madsen I., Thomas C.B., Wall С. Т. C. The topological spherical space form problem. — Topology, 1976, 15, p. 375—382. 9. Masley J. M. Cyclotomic fields with class number less then than one million: Prepr. Univ. Illionois and Chicago Circle. 10. Milgram R. J. Evaluating the Swan finiteness obstruction for periodic groups: Prepr. Stanford Univ., 1978. 11. Milnor J. Groups which act on Sn without fixed points. — Amer. J. Math., 1957, 79, p. 623—630. 12. Milnor J. Whitehead torsion. — Bull. Amer. Math. Soc, 1966, 72, p. 358—426. 13. Reiner I. Maximal orders. London etc.: Acad, press, 1975. 14. Swan R. G. Periodic resolutions for finite groups. — Ann. Math., 1960, 72, p. 167—291. 15. Wall С. Т. C. Periodic projective resolutions. — Proc. London Math. Soc. Ser. 3, 1979, 39, p. 509—553. 16. Wall С. Т. C. Free actions of finite groups on spheres. — In: Proc. Symp. Pure Math. R. I.: Amer. Math. Soc. Providence, 1978, vol. 32, p. 115—124. 17. Wall С. Т. C. Surgery on compact manifolds. London etc.: Acad, press, 1970. 18. Wall С. Т. C. On the classification of Hermitian form. III. — Invent, math., 1973, 19, p. 59—71. 19. Wall С: Т. С On the classification of Hermitian forms. IV. — Invent, math., 1974, 23, p. 241-260. 20. Wall С. Т. С On the classification of Hermitian forms. V. — Invent, math., 1974, 23, p. 261—288. 21. Wall С. Т. C. Classification of the Hermitian forms. VI. Group rings. — Ann. Math., 1976, 103, p. 1—80. 22. Wall С. Г. С. Norm of units in group rnKs. — Proc. London Math. Soc, 1974, 29, p. 593-632.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Л. Д. МДЗИНАРИШВИЛИ (Тбилиси, СССР) ФУНКТОР Ext" И ГОМОЛОГИИ КОЛМОГОРОВА Целью работы является получение для точной теории гомологии Колмогорова на категории компактных пар модифицированной аксиомы непрерывности Милнора, а также изучение соотношений между гомологическими размерностями относительно различных областей коэффициентов. 1. Обобщенные спектры. Пусть Ка— категория Л-модулей (где Л — коммутативное кольцо с единицей), а / — направленное множество. Обозначим через Ка категорию обратных спектров Л-модулей над /, а через Ka,i — категорию прямых спектров. Объекты категории Kjk(Ka,j), являющейся категорией морфизмов категории K^(Ka,j), будем называть обобщенными обратными (прямыми) спектрами. Дадим конструктивное построение функтора Iim:£i-JTA. Пусть \ = %-^\'^К{ (где 6 = {6., tf}, \' = {К> ©€#!. а и = {иа} — морфизм между ними). Элементом обратного предела lim I будем считать нить а = {аа} £ JJ £а такую, что и^а? = иааа при а < |3 (где иа: £а -*► Q. Двойственным образом определяется функтор lim : К a, i -*• Ка- Рассмотрим частные случаи: 1) если и — тождественный морфизм, то lim^ представляет собой обычный обратный предел спектра I; 2) если и — тривиальный морфизм, т. е. S —*• 0, то lim ? = JJ £«>* 3) если £' — постоянный спектр, т. е. гомоморфизмы ф£ тождественные, то lim I — декартов квадрат мощности /. Категория Ka(Ka,i) естественным образом вкладывается, как полная подкатегория, в категорию К{ (КА, i), а функтор lim : К { -> К a (Hm : КА, i -> К а) является продолжением функтора lim : Ка -*• Ка (Hni К a, i -> ЛГл). Категория Ка, будучи категорией морфизмов категории Ка, является абелевой и также обладает достаточным запасом инъективных и проективных объектов. Это позволяет для произвольных аддитивных функторов, заданных на КА, определять правые и левые производные функтора, которые также будут естественными продолжениями соответствующих производных, заданных на Ка, в частности производные функтора lim, которые обозначим через lim(fl). Теорема 1. Если спектр 1=£ —-* V таков, что и — эпиморфизм в категории Ка, т. е. иа — эпиморфизмы для ввех а £/, то имеем при п^>0 изоморфизм 11т(я)Е=Нт(я)Г. 180
Если / является конфинальным подмножеством множества /, то очевидно, что для произвольного обобщенного обратного спектра £ £ КА и конфиналь- ного подспектра \' £Ка равенство lim£ = lim£' не выполняется (как это имеет место в случае обычных обратных спектров). Однако имеет место следующее утверждение. Теорема 2. Значение функторов lim(n), определенных на категории К^ при п ^ 2 не меняются пршпереходе к конфиналъной части спектра, а если спектр 1 = 1—> V удовлетворяет условию теоремы 1, то и при п^1. Спектр 1£Ка будем называть lim-ацикличным, если lim(n)£ = 0 для всех п > 0. *~ *~ Следствие 1. Если I=^Z+ (натуральный ряд чисел), спектр \ удовлетворяет условию теоремы 1, а проекции ф£ в спектре \' суть эпиморфизмы, то спектр \ является lim-ацикличным. Если / = Z+ и $$М — категория абелевых групп, то, как и в случае обычных обратных спектров, можно конструктивно определить lim(1): ^^J_^ -> o$<ffl- Отметим, что это построение отличается от построения первой производной предела обычного' обратного спектра, так как в обычном случае исходят из ацикличной резольвенты, а в обобщенном случае построение не связано с ацикличной резольвентой, хотя, как будет показано ниже, приведенная конструкция совпадает с первой производной. Такой подход оправдан тем, что позволяет более эффективно вычислять lim(1). Пусть задан счетный обобщенный обратный спектр 1 = 1 —> £'. Определим lim(1) \ = Coker*?, где <?'Ц ?а-> П £« — гомоморфизм такой, что <?{af.} = = {и.а. — Yi+lu%+iai+i}- Так как в категории К{ имеется достаточно инъектив- ных объектов, то объект £ £ Й{ можно вложить в короткую точною последовательность 0->1-><?->*)->0, (1) где Q — инъективный объект вида Q =Q -\-Q' —* Q',^причем Q, Q' — инъек- тивные объекты в категории К{ такие, что 0 -> I -> Q, 0 ->£'-> Q\ ар — проекция. Используя основные свойства limu), будем иметь точную последовательность 0 -> lim I -> lim Q -> lim % -> lim(1) \ -> 0. (2) С другой стороны, из определения гомоморфизма d следует, что для любого спектра \£К± имеем lim£ = KercZ, а для любой точной последовательности 0 -> ?->?'-> Г -> 0 из категории К а — соответствующую точную последовательность 0 -> lim I -> lim \' -> lim Г -> Coker d -> Coker &' -> Coker 3' -+ 0, которая получается из коммутативной диаграммы \ а I & I й" \ \ \ о-Ш-*Шп-*Пс;-*о 181
применением леммы 3.2 из [1J, где \' = {£,} -> {В'.}, Г= {С(} -> {С.}. В частности, для точной последовательности (1) будем иметь О -> lim \ -> lim Q -> lim т) -> Coker d -> 0, (3) так как Coke*<?' = Coker 6! = lim(1) ()' = 0, где d': Ц В. -> Д ^ (<? = {#Л -* -> {5!}, (? -f ()' — {В.}, d': П 5» -* II ^<» определенный равенством &' {b.} = = {bt — Ф{+1^+1.}' Применяя теперь универсальность производных функторов и лемму о пяти гомоморфизмах к точным последовательностям (2) и (3), мы получаем требуемое нам равенство. Следствие 2. Если I = Z+, то для любого обобщенного обратного спектра \ £ К^ при п^2 имеем Нт(я) \ = 0. Пусть G — категория групп (не обязательно абелевых), a G — категория обобщенных обратных спектров групп. Если / = Z+, то можно определить для функтора lim : G -> G его первую производную lim{1): G -> Ens (где Ens — категория множеств) следующим образом. Пусть\ = {%.} —> {£t'}. Введем в группе Ц %\ эквивалентность, считая {aj ~ {fej, если существует такой элемент {ct.} £ Д I.-, что а. = ир{ о Ъ. о ^.cpj^cT^ для всех i £ I. Тогда за lim(1} £ будем принимать множество всех классов эквивалентности, т. е. lim(1J£ = =m;i~ *~ 2. Функтор Ext". Если £* = {£*} и |'*={^*} — два коцепных комплекса в категории К а, а и*: ?* -> ?'* — отображение, то коцепной комплекс в ка- тегории Кл определим как £* = £* —* £'*. Группы гомологии коцепного комплекса lim Г = {lim \° -> lim I1 -> lim \г -> ...} обозначим через #*(£*, /?) и назовем проекционными. Для каждого п ^ 0 коцепной комплекс £* индуцирует обобщенный обратный спектр ^(П = {#"(0}^{#"0 (где Я'(£) (Я*0-гРУ™ы го- мологии коцепного комплекса £*(£„*)), предельную группу которого обозначим через Hn(l*, s)=limHn(l*) и назовем спектровой. Теорема 3. Если I = Z+ и для всех п^О спектр \п является lim-ацик- личным, то имеет место точная последовательность 0 -> limcl) Й"-1 (~Г) -> Нп {\\ р) -> Нп (Г, s) -> 0. В частности, если и* — тождественный морфизм, то получаем лемму 7 из [2]. Пусть | = {Еа} —*-> {^} — прямой обобщенный спектр Л-модулей, т. е. 1(*Ka,i и В — Л-модуль. Тогда для всех п ^ 0 система <£xt"(§, В) = = {Extn(£a, В)} -> {Ext"(^> В)} образует обобщенный обратный спектр абелевых групп и определен функтор &xtn (—, В): Кк, i -> с$о$2'. Теорема 4. Если / = Z+ а все Уа — мономорфизмы, то имеем место точная последовательность 0->lim(1}^xtn-1(|, J5)->Extn(lim|, В) -> lim £xt" (|, Я)->0. В частности, если иа — тождественный гомоморфизм, то получаем формулу Рооса [3]. 182
Пусть £ —(£а) —2-* {l'j£K{ и В — Л-модуль. Тогда для всех /г!>0 система Srtn{B, l) = {Extn(B, ij} -> (Extw (В, l'a)} образует обобщенный обрат- ный спектр абелевых групп и определен функтор <gxtn (5, —): К а -> q$S§ . Теорема 5. Если I = Z+, все иа — эпиморфизмы и спектр \ является Ит-ацикличным, то имеет место точная последовательность 0->]1т(1)(§>хГ-1(5, l)->Exin(B, lim£)->lim£xtw(J5, I) -> 0. В частности, если иа — тождественные гомоморфизмы, то получаем формулу Рооса [4]. Теорема 6. Если заданы прямой спектр В = |J5J ^Ка,/ и обратный спектр А = {А{} £ Ка> где I = Z+, то имеет место точная последовательность 0->lim(14imExt"(£., A J -> lira(1) Extw(£,, At)-> j г -> lim Hm(1) Ext" (В., Aj) -> 0. Теорема 7. £слц в спектре A = {Ait ol.}^Ka гомоморфизмы а.:А{-*> —* Ai_1 — эпиморфизмы, то имеет место точная последовательность 0->]im(lJExtw-1(J5., А.) -> Ext" (lim В, lim Л)-> lim Ext"(J5., Л J -* 0. Следствие 3. J5 условиях теоремы 7 имеют место изоморфизмы lim(1)Extn(limB, 4,)«Нтс1) lim Ext"(5., Aj), J J * limQ)Extw(J5., Пт1)^Пт(1,НтЕхГ(Б., Лу) *■ * j и limQ)lim(1)Extw-1(J5,, Ay) = lim(1} HmQ) ЕхГ"1^., A,) = 0. * J J * 3. Гомологии Колмогорова. Как известно, среди всех частично точных гомологии, определенных на категории Кс компактных пар, теория гомологии Александрова—Чеха является единственной теорией, удовлетворяющей аксиоме непрерывности [5]. Мил нор [6] модифицировал аксиому непрерывности и доказал, что для всякой Н гомологической теории, удовлетворяющей аксиоматике теории гомологии Стинрода, и любой последовательности {X.} компактных метрических пространств Xi9 обратным пределом которой является X = limXt., имеет место точная последовательность 0 -> Inn'1' Я,+1 (X,.) -* Hq (X) -> lim Hq (Xt) -> 0. k В частности, если Н =Н есть теория гомологии Колмогорова, то ввиду того, что эта теория удовлетворяет аксиоматике теории гомологии Стинрода [7], и для нее будет справедливо утверждение Милнора. Однако эту модифицированную аксиому непрерывности можно получить для гомологии Колмогорова и на категории Кс компактных пар. Теорема 8. Пусть (X, А)= {(Xif А{)}—счетный обратный спектр компактных пар (Xif At) и (X, A) = lim(X, Л), a G = {G., gt}—счетный обратный спектр абелевых групп Gif где gi — эпиморфизмы и G = limG. Тогда для гомологии Колмогорова имеет место точная последовательность 0->11т'»Яв+1(Х<, Ait Gt)-*Hq(X, A, G)^limHq(X(, At, Gt)-*0. 183
Доказательство. Применяя теорему 7 для прямого спектра {Hq(Xp At)} и обратного {Gi9 gt}, можно показать, что для всех q^O lim(1)Ext(#? (Xt., А^ Gt) = 0 (где Hq (Xi9 А.) — целочисленная группа ко гомологии Александрова — Чеха). Так как для каждой компактной пары (F, В) и абелевой группы S имеет место точная последовательность к 0-+Exb(H«+1{Y, В), S)->Hq(Y,_B, S)-> Вот (ЙЦУ, В), 5)-* О, то для обратных спектров (X, А) и G получаем точную последовательность 0->lmiExt(/F+1(X,-, A.), Gt)^)imHt{Xt, А{, G{)-+ -н* lim Нот {Н" (X., Л,.)~Gt)->0 и изоморфизм lim"' Hq (ХР A,, Gt)«lira"» Нот (Я* (X,., At), Gt). (4) Так как limH*(Xiy А{)^ Й*(Х, А), то, применяя теорему 7, можно показать, что в коммутативной диаграмме 0->Ext(^+1(-y, A), G)^Hq{X, A, G)^Uom(H*(X, A), G)^0 О -* lim Ext(#*+1(X,., А{), Gt) -*► lim #г (АГ„ Л,., G4) -> lim Horn (Я» (X., Л,), G,.) -> О гомоморфизм ^ является изоморфизмом, а р# — эпиморфизмом, откуда следует, что п^ — эпиморфизм. Кроме того, Кег п¥ « Кег р^ = lim(1) Нот (Hq+1(Xiy At), G%). Поэтому, , используя изоморфизм (4), получим изоморфизм Кегтс^» к ^^Итш Hq+1(Xif Aiy G.). Теорема доказана. Следствие 4. Если Gt. = G для всех i £ /, то получаем модифицированную аксиому непрерывности 0^1ипшНд+1(Х., A,, G)^Hq(X, A, G)-*limHq(Xit А{, G)-*0. Следствие 5. Для любой компактной пары (X, А) и счетного обратного спектра G = {Gv g{) абелевых групп Giy где q{ — эпиморфизмы, имеет место точная последовательность 0^Ит11,Я?+1(Х, A, Gt)^Hq{X, A, G)-+lim.Hq(X, A, G.)->0. Гомологической размерностью h dim^ X локально компактного пространства X относительно группы коэффициентов G назовем такое наименьшее к целое число п^—1, что Нр(Х, А)=0 для всех р^>п и всех замкнутых Аах. Следствие 6. Если выполняются условия теоремы 8 и sup [h dimet. Х{) = = п, то fcdimllmglim*<n и Нп(Х, A, G)«lhnНп (X,., At, G(). В частности: 1) если G{ = G для всех if+I и sup {h dime Xt} = n, mo к к hdimG\\mX^n и Hn{X, Л, G)^\imHn(Xif А.9 G); 2) если Х{ = Х для всех i£I и sup{hdimGiX} = n1 то 184
hdimX^n и Hn(X, A, G)^lim#„(X, A, G.). limG < Рассмотрим обобщенный обратный спектр G = {Ga} —^ {G'a} £ <MS^J (где иа — эпиморфизмы), который порождает точную последовательность обобщенных обратных спектров 0->G"->G-*G'->0, G'={Cra)-+6(G:=Kerua), G> = {G'a) *Н {G'a). Переходя к пределу, получаем точную последовательность О -> П G« -^ Hm G -> lim Gra -> О, которую для краткости будем обозначать через О —> Gqo -* Goo ""^ Goo '~> 0. Теорема 9. Для любого компактного пространства X имеют место следующие неравенства: 1) hdimG X^max(hdimG* X, hdimGr XV 2) hA\mGr X^max^dim^X, hdim^ X-f 1); 3) hdimG» X ^ max (/г dimG X, &dim^ X—1). Опираясь на теорему 5, можно доказать следующее утверждение. Теорема 10. Для любой компактной пары (X, А) и любого счетного lim-ацикличного обобщенного обратного спектра G имеет место точная последовательность 0^lun«>Hn+1(X, A, G)^Hn(X, A, G„)^lunHa(X, А, 6)^0, где Я,(Х, A, G) = {H.(X, А, С()}^{НГ(Х, A, G'^^dm1- Следствие 7. Если Gt' = 0 для всех i£/, то Нп{Х, А,Лс()ъЦНа(Х,А, Gt) и h dimn^i X = sup {h dim^ X}. Следствие 8. В условиях теоремы 10 имеет место неравенство hdimG X ^ max (sup [hdimG. Xj, sup {hdimG> X\ — 1). Следствие 9. Если sup {hdim^ Xj = /г, mo H*(X, A, G^^lunHJX, A, G). ЛИТЕРАТУРА 1. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 2. Харлап А. Э. Локальные гомологии и когомологии, гомологическая размерность и обобщенные многообразия. — Мат. сб., 1975, 96, № 3, с. 347—373. 3. Roos J. Е. Sur les foncteurs derives de lim. Applications. — G. r. Acad. sci. Paris, 1961, 252, N 24, p. 3702—3704. *~~ 4. Roos J. E. Redualite et structure des foncteurs derives de lim, Sans la categorie des modules sur un anneau regulier. — C. r. Acad. sci. Paris, 1962, 254, N 10, p. 1720—1722. 5. Стинрод Д., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 6. Milnor J. On the Steenrod homology theory. Princeton, 1960. (Mimeographed). 7. Мдзинаришвили Л. Д. О связи гомологических теорий Колмогорова и Стинрода. — ДАН СССР, 1972, 203, № 3, с. 528-531. 8. Мдзинаришвили Л. Д. О законе двойственности Колмогорова. — ДАН СССР, 1974, 216, № 3, с. 502—504.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Дж. НАГАТА (Амстердам, Нидерланды) ОБЗОР ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III Цель этой лекции — дать обзор развития теории размерности как продолжение предыдущих двух обзоров [32, 33], сделанных в 1966 и 1970 гг. (в ссылках, упоминаемых как Обзор I и Обзор II соответственно). Невозможно, естественно, сконцентрировать все достижения нынешнего плодотворного десятилетия в лекции длительностью немногим более часа, так что только некоторые интересные результаты будут рассмотрены, причем выбор их до некоторой степени случаен. В дальнейшем dim X обычно обозначает размерность в смысле Катетова— Смирнова, которая, как хорошо известно, совпадает с лебеговой размерностью, определяемой посредством покрытий, в случае, когда пространство X нормально. В некоторых случаях лебегова размерность может быть использована для не нормальных пространств, но с оговорками. Ind X и ind X обозначают, как обычно, большую индуктивную размерность и малую индуктивную размерность соответственно. (По поводу терминологии и общих теорем теории размерности см. [31], а также [72].) 1. Теорема о размерности произведения Возможно, наиболее замечательные исследования в теории размерности в нынешнем десятилетии посвящены теореме о размерности произведения. Давно известно, что теорема о размерности произведения dimXxF^ ^dim Z+dim Y выполняется для размерностиав смысле покрытий во многих случаях, когда произведение 1x7 нормально, и во всех известных контрпримерах произведение 1x7 не нормально. Таким образом, казалось бы, мы должны предположить, что теорема справедлива всякий раз, когда произведение нормально. Но примеры Воги и Пшимушинского вынуждают нас отказаться от этого предположения. Теорема (Воги [11]). В предположении гипотезы континуума dim XxY ^ dim X+dim Y не обязано выполняться, даже если XxY локально бикомпактно и совершенно нормально, dim Х = 0 и X = Y. Используя метод ван Дауэна, Пшимушинский показал, что гипотеза континуума может быть опущена. Теорема (Пшимушинский [51]). Для любого натурального п существует сепарабелъное с первой аксиомой счетности пространство X такое, что (1) Хп финально компактно и dimXn=0; (2) Xn+1 нормально и dimXn+1>0. 186
Из этого результата, естественно, вытекает, что теорема о размерности произведения может не выполняться для размерности Ind, даже когда произведение нормально. С другой стороны, В. В. Филиппов [62] показал, что теорема о размерности произведения не выполняется для Ind и ind в бикомпактном случае. Именно он построил бикомпакты X и У такие, что indX = IndX = l, ind7 = IndF = 2, indXx У>4. В противоположность приведенным отрицательным результатам весьма значительные достижения сделаны также и в позитивной направленности. Теорема (В. В. Филиппов [63], Б. А. Пасынков [42, 43]). Если произведение XxY нормально и счетно паракомпактно и если У — параком- пактное р-пространство (в смысле А. В, Архангельского), то dimXX 7<dimZ+dimF. Из этой теоремы следует как специальный случай справедливость теоремы о размерности произведения для паракомпактных р-пространств X и У, что подтверждает предположение докладчика в Обзоре I. Этот специальный случай был также доказан Катутой. Для большой индуктивной размерности В. В. Филиппов и Б. А. Пасынков получили следующий замечательный результат. Теорема (В. В. Филиппов [63], Б. А. Пасынков [43]). Если произведение XxY нормально, X —локально бикомпактное паракомпактное пространство и если теорема конечной суммы справедлива для размерности Ind как в X, так и в Y, то Ind XX 7<IndX + ]ndy. Б. А. Пасынков получил эти две теоремы как следствие общей теоремы о размерности «прямоугольного произведения». 8 Определение (Б. А. Пасынков). Конечное произведение Х = ЦХ, называется прямоугольным, если в любое конечное функционально открытое покрытие пространства X можно вписать а-локально конечное покрытие мно- 8 жествами вида Ц F*, aG^> гДе ^i — функционально открытое подмножество пространства Х{. 8 1 еоре, ма (Б. А. Пасынков [43]). 1) Если Ц>~* — прямоугольное произ- 8 8 ведение вполне регулярных пространств, то dim XI -Х^<^ 2 dim Хг 2) Если •=i *=i 8 XIX. — прямоугольное произведение и одновременно нормальное пространство •=i и если теорема о размерности конечных сумм справедлива для размерности Ind в каждом Xi9 то 8 8 Во многих интересных случаях XxY является прямоугольным произведением, например, когда: 1) X вполне регулярно, а У — локально бикомпактный паракомпакт, 2) проекция тс:.ХхУ-> X является замкнутым отображением, 3) X — паракомпактное 2-пространство (в смысле Нагами), 187
а У — паракомпактное Р-пространство (в смысле Мориты), 4) X метризуемо (или, более общо, /^-паракомпактно), а 1x7 счетно паракомпактно и нормально. Таким образом, приведенные теоремы влекут различные новые, а также известные теоремы о размерности произведения такие, как теорема Мориты и теорема Кодамы; для размерности dim в случае 4), когда X метризуемо, теорема обобщена в ином направлении следующим образом. Теорема (М. Рудин, Старбёрд [54]). Если произведение XxY метрического пространства X и счетно паракомпактного пространства Y нормально, то dim XX F<dimX + dimF. М. Рудин и Старбёрд вывели эти теоремы из теоремы Кодамы, доказав предварительно следующую замечательную теорему, которая является ответом на вопрос Мориты и Тамано. Теорема (М. Рудин, Старбёрд [54]). Предположим, что X — метрическое пространство и произведение XxY нормально. Тогда произведение XxY счетно паракомпактно тогда и только тогда, когда счетно паракомпактно пространство Y. Б. А. Пасынков поставил вопрос: является ли произведение XxY произвольных вполне регулярных пространств X и Y прямоугольным? На этот вопрос, однако, дали отрицательный ответ Морита и Хошина следующим образом. Теорема (Хошина, Морита [68]). Для вполне регулярного пространства X следующие условия эквивалентны: 1) X локально бикомпактно и паракомпактно; 2) произведение XxY является прямоугольным для любого вполне регулярного пространства Y; 3) произведение XxY является прямоугольным для любого топологического пространства Y. Они также обобщили теорему Б. А. Пасынкова следующим образом. Теорема (Хошина, Морита [68]). Если произведение XxY прямоугольно, то dim XxY ^ dim X+dim Y. Хотя понятие прямоугольного произведения важно для теоремы о размерности произведения, она все же не является непременным условием, как показывает следующий результат. Теорема (Морита [29]). Пусть Y — паракомпакт, являющийся счетной суммой своих замкнутых локально бикомпактных подпространств. Тогда для любого топологического пространства X dim X X Y ^ dim X-f-dim Y. Теорема (Морита [29]). Равенство dim XxF=dim X + dim Y справедливо, если: 1) X — топологическое пространство, a Y — СW-комплекс, а также если: 2) X — топологическое пространство с dim X = l, a Y — паракомпакт, являющийся счетной суммой своих замкнутых локально бикомпактных подпространств. Эти теоремы существенно усиливают доказанные ранее теоремы Мориты в том же направлении, так как здесь X может быть произвольным топологическим пространством. 188
2. Теорема суммы и теорема монотонности размерности В этом направлении отрицательные результаты занимают значительно более заметное место. Часто оказывается, что размерность в смысле Кате- това—Смирнова в не нормальных пространствах работает лучше, чем размерность в смысле покрытий, а также что последняя не отражает наших интуитивных представлений о размерности в таких случаях. Как показал Дийкстра [13], используя методы теории меры, видоизмененная полуплоскость Немыцкого (в которой каждая точка оси X имеет базис окрестностей Немыцкого, в то время как остальные точки изолированы) и произведение S2 линии Зоргенфрея на себя имеют бесконечную размерность в смысле покрытий, в некоторой степени противореча наивному понятию размерности. С другой стороны, оба пространства имеют нулевую размерность в смысле Катетова—Смирнова. Никош [39] доказал равенство dim 52=0, его результат усилили Мрувка и Терасава [58]. Таким образом, размерность в смысле Катетова—Смирнова кажется более приемлемой. Тем не менее следующий пример с размерностью в смысле Катетова—Смирнова убеждает в том, что в действительности выбор между двумя понятиями размерности является трудной задачей. Теорема (Э. Поль [47]). Существует вполне регулярное пространство X такое, что dim Х=£0 и Х = Хг U Х2 для функционально замкнутых подмножеств Ххи Х2с dim Х,.=0, i=l, 2 (см. также работу Терасавы [57]). Напомним, что Остранд доказал теорему суммы для любого локально конечного замкнутого покрытия произвольного топологического пространства и размерности в смысле покрытий. (Возможно, это первая поразительная теорема в теории размерности общих топологических пространств, см. Обзор II.) Малая индуктивная размерность в этом смысле ведет себя еще хуже. Используя известный пример Роя (Обзор I), ван Дауэн и Пшимушинский доказали такой результат. Теорема (ван Дауэн [10], Пшимушинский [50]). Теорема конечной суммы не имеет места в классе полных метрических пространств. Ван Дауэн доказал даже, что добавление одной-единственной точки может увеличить размерность ind от 0 до 1 в классе метрических пространств. Другой отрицательный результат получили Николас и Смит [37], которые показали, используя идеи Робертса, что теорема конечной суммы не выполняется ни для метрической размерности fx — dim, ни для других раз- мерностных функций, ранее определенных Нагами и Робертсом в терминах метрики (Обзор I). Другой большой круг вопросов в теории размерности был решен В. В. Филипповым и Э. Поль и Р. Полем. Как известно, Даукер доказал теорему монотонности для размерностей dim и Ind тотально нормальных пространств и оставил открытым вопрос о наследственно нормальных пространствах, который сейчас решен следующим образом. Теорема (В. В. Филиппов [63], Э. Поль, Р. Поль [48]). Существует наследственно нормальное пространство Хс dimX=Ind Х=0, которое содержит подпространства Хп, и=1, 2, . . ., с dim Xn=Ind Хп=п. Более точно, В. В. Филиппов доказал теорему, потребовав выполнения теоретико-множественного условия — совместимости существования сус- линского дерева с обычными аксиомами теории множеств, а Э. Поль и Р. Поль показали, что это условие может быть опущено. 189
В позитивном направлении Нишиура определил новый класс пространств, промежуточных между тотально нормальными и наследственно нормальными пространствами: пространство X называется супернормальным, если для любой пары отделенных множеств А и В пространства X существуют дизъюнктные открытые множества U и V такие, что А с U, В с V, и каждое из множеств U и V является суммой семейства функционально открытых в X множеств, которое локально конечно в U (или V), Теорема (Нишиура [41]). Если Y с X для супернормалъного пространства Хх1 то dim Y <С dim X и Ind Y ^ Ind X, Л. Г. Замбахидзе и Б. А. Пасынков [14] также распространили теорему монотонности для dim и Ind на класс более широкий, чем класс тотально нормальных пространств. Одну теорему монотонности доказал В. П. Золотарев [16]. 3. Совпадение размерностей и теоремы вложения Поразительный результат о совпадении размерностей dim и Ind получил И. М. Лейбо. Отвечая на вопрос, поставленный В. И. Пономаревым, он доказал следующую теорему. Теорема (И. М. Лейбо [20]). 1) Пусть X является замкнутым не- прерывным образом метрического пространства (т. е. пространством Лаш- нева). Тогда dim X = Ind X. 2) Пусть X является замкнутым непрерывным образом сепарабельного метрического пространства. Тогда dim X = ind Х= -Ind X. Возможно, имеет смысл и дальше изучать размерностные свойства пространств Лашнева. Мизоками [26] доказал совпадение ind и Ind для определенного класса тотально нормальных пространств, обобщив различные теоремы о совпадении размерностей, ранее доказанные Моритой, Катутой, Фитцпатриком, Фордом и Нагами (Обзор II). Френч [64] также получил равенство ind = Ind при определенных условиях. Их условия кажутся довольно сложными, и желательно было бы знать, какая зависимость имеется между ними, теоремой Лейбо 2) и менее известным результатом Мак-Оли [25]. В. В. Федорчук [61] доказал совпадение ind и Ind для бикомпактов, являющихся х-метризуемыми пространствами (в смысле Е. В. Щепина [55]; все метризуемые пространства, равно как и локально бикомпактные группы^ х-метризуемы). Б. А. Пасынков [44] обобщил свои более ранние работы по локально бикомпактным группам и почти метризуемым группам, доказав, что если бикомпактная группа К действует непрерывно на нормальном пространстве X так, что пространство орбит XIK метризуемо, то dim Х = =Ind X (см. Ю. М. Смирнов [56]). В противоположность тому факту, что для компактов все размерности ind, Ind и dim совпадают, Люксембург доказал, дав тем самым отрицательный ответ на вопрос Ю. М. Смирнова, что то же самое неверно в случае трансфинитных индуктивных размерностей. Теорема (Люксембург [24]). Существует компакт X такой, что IndZ=co0+2, indX=o)0+l. В теории универсальных пространств чрезвычайно интересным результатом мы обязаны Липскомбу. Докладчик в свое время построил универсальное пространство в классе произвольных метрических пространств с заданным весом и заданной размерностью, расположенное в счетном произведении ежей (а также в гильбертовом пространстве), — оба эти простран- 190
ства бесконечномерны, и это обстоятельство производит впечатление незавершенности рядом с тем фактом, что сепарабельное метрическое пространство размерности dim, не превосходящей п, может быть вложено в (2я+1)- мерный куб (Обзор I). Липскомб исправил этот недостаток и доказал новую теорему вложения. Определение (С. Липскомб). Пусть N (А) — пространство Бэра (т. е. нульмерное метрическое пространство, являющееся произведением счетного числа экземпляров дискретного множества А. Обозначим через ак к-ю координату точки a£iV (^4). Затем определим отношение эквивалентности R на N (А), полагая a R (3 тогда и только тогда, когда 1) а = $ или 2) а=^=(3 и существует j(<N (N — множество натуральных чисел) такое, что для всех к < / ак=$к и 1) dj = ^j+s для всех 5>1; ч 2) py=ay+s для всех 5^1. Тогда фактор-пространство / (i)=N (A)/R (\ А \=ч) является одномерным метрическим пространством, каждая точка которого есть либо одноэлементный, либо двухэлементный класс; точки первого типа называются иррациональными, а второго — рациональными. Теорема (Липскомб [21]). Метрическое пространство веса т имеет размерность dim ^ п тогда и только тогда, когда оно топоологически вкладывается в множество тех точек пространства J (t)n+1, каждая из которых имеет самое большее п рациональных координат. Кульпа [18] и А. Г. Немец [36] также получили некоторые интересные результаты о вложениях. 4. Аксиоматика В области аксиоматической характеристики размерностной функции О. В. Локуцивский и Е. В. Щепин добились замечательного успеха, решив проблему П. С. Александрова. Они рассмотрели следующую систему аксиом, которая является небольшим изменением аксиом П. С. Александрова. Определение. Пусть а — функция, ставящая в соответствие пространству из некоторого класса целое число. А1# dTn=/j, где Тп — /г-мерный симплекс (Г_1=0). А2. Если X есть счетная сумма своих замкнутых подмножеств X., £=1, 2, ..., то dX=sup{dX.|i=l," 2, ...}. А3. Пусть dX = n, тогда существует конечное открытое покрытие со пространства X такое, что d (fX) ^ п для произвольного со-отображения /: X -> Y.« А4. Если X содержит более одной точки и dX = n, то существует замкнутое в X множество В такое, что dB < п и Х\В несвязно. А*. Если X содержит более одной точки и dX = n, то существуют два различных непустых регулярных замкнутых множества (=замыкание своей внутренности) jFx и F2 такие, что для каждого открытого покрытия со можно найти замкнутое в X множество J5, которое разделяет Fx и F2 и такое, что существует со-отображение /: В -> Y в некоторый элемент класса такое, что d (fB) < п: Локуциевский и Щепин следующим образом обобщили характеристику размерности dim для компактов, данную П. С. Александровым. 191
Теорема (Е. В. Щепин [69]). В классе всех конечномерных метрических пространств dX=&im X — единственная функция, удовлетворяющая аксиомам Аг—А4, и то же самое справедливо в классе всех сепарабелъных метрических пространств. Теорема (О. В. Локуциевский [22]). В классе конечномерных бикомпактов dX=&im. X — единственная функция, удовлетворяющая условиям А1? А2, А3 и А*. В совершенно ином аспекте Рихман и др. сделали попытку построить теорию размерности с конструктивной точки зрения. Они слегка изменили определение размерности посредством покрытий, так как обычно трудно, с их точки зрения, определить, содержится ли данная точка в данном множестве. Для этой размерности Рихман, Берг, Ченг и Минее [52] доказали теорему монотонности, теорему конечной суммы и теорему произведения в классе вполне ограниченных метрических пространств. Берг, Юлиан, Минее и Рихман доказали совпадение размерности в смысле покрытий с размерностью Ind (также несколько видоизмененной) в классе вполне ограниченных метрических пространств. Если мы ограничимся исключительно конструктивной точкой зрения, теория размерности станет чрезвычайно бедной. Автор, однако, полагает, что прибавление этой ригорической точки зрения к уже существующей теории размерности делает теорию полнее. 5. Характеристика размерности Катетов определил аналитическую размерность кольца С (X) (С* (X)) всех действительных (ограниченных) непрерывных функций на пространстве X и доказал, что размерность С (X) совпадает с dim X в случае, когда X — компакт. Имелись попытки распространить эту теорию на более общие пространства. Хейцман получил интересный результат относительно равномерной размерности Ad (в смысле Исбэлла) общих метрических пространств. Определение. Пусть С — топологическое коммутативное кольцо с единицей е и непрерывным действительным скалярным произведением. Подкольцо Сг кольца С называется а-замкнутым, если 1) С1 есть подмодуль модуля С и е£Сг, 2) С1 является замкнутым подмножеством пространства С£ 3) из g (< С и | g | £ Сг следует g^Clt Подмножество В с С является а-ба- зисом, если не существует а-замкнутого подкольца Сг такого, что В с Сг=^=С. Наименьшая мощность а-базиса кольца С есть а-размерность кольца С. Теорема (Хейцман [65]). Пусть X — непустое метрическое пространство. Тогда либо AdX и а-размерность кольца U* (X) конечны и равны, либо обе они бесконечны, где U* (X) обозначает кольцо всех действительных ограниченных равномерно непрерывных функций на X, наделенное топологией равномерной сходимости. С. А. Богатый [7] также получил похожий реузльтат для размерности dim метрических пространств. Хейцман получил другую оригинальную характеристику размерности в терминах разбиения единицы. Определение. Разбиение единицы на топологическом пространстве X есть семейство {/J неотрицательных действительных непрерывных функций на X таких, что 2/а(ж)—1 Для всех Х£Х. Для данного разбиения {/J определим X{/a} = inf{sup/»}. 192
Разбиение {/а | а £ А} подчинено покрытию % пространства X, если {{*е*1/»^о}|ае4}<и. Теорема (Хейцман [66]). Пусть X — нормальное пространство, Q — семейство всех локально конечных открытых покрытий пространства X и 20 — семейство всех конечных открытых покрытий X. Для % £ 2 обозначим через с (11) и с0 (%l) точную верхнюю грань чисел X {/а} по всем и всем конечным соответственно разбиениям {/а} единицы на-* X, которые подчинены покрытию %« Тогда Л. Д. Вайнгортин [9] также охарактеризовал размерность dim X бикомпактов в терминах некоторых свойств кольца С (X). С другой стороны^ Канфелл определил размерность С (X) с новой точки зрения, которая полностью отлична от точки зрения Катетова. Определение (М. Канфелл). Пусть С — кольцо. Множество главных идеалов а С, i = 1, 2, . . ., д, однозначно порождено, если всякий раз,; когда aiC=b.C, £ = 1, . . ., п, существуют и{£С, г = 1, . . ., п, такие, что <^ = &.и., г = 1, . . ., п, и игС+. . . + игаС=С. г-dim С есть наименьшее целое неотрицательное п такое, что всякое множество из тг+1 главных идеалов однозначно порождено. Теорема (Канфелл [17]). Для произвольного непустого вполне регулярного пространства X следующие условия эквивалентны: 1) dimX = ^ 2) i-dimC(X) = n, 3) i-dim C*(X) = /i. M. Янош охарактеризовал размерность метрических пространств с помощью совершенно оригинального понятия — бисектора. Определение (Янош). Пусть <[Х, р)> — метрическое ^пространство и хх, х2 £ X. Тогда В (xv х2) = {х £ X | р (xv х) = р (х2У х)} называется бисектором. Предположим, что Z CF С X и Z = B(yv у2) Г) Y для некоторых yv y2£Y. Тогда Z называется бисектором в У, в обозначениях Y [± Z. Цепь бисекторов есть последовательность X 3 Х0 3 Хг Z) ... . • • Z) Хп подмножеств таких, что Х0 \\ Хх [\ . . . ^ Хп и п есть длина цепи бисекторов. Если Х0 = Х, dimX^^O и dimXw^0, то цепь называется приведенной цепью бисекторов в X. Далее определим г (X, р) как максимальную длину приведенной цепи бисекторов в <(Х, о}, а г (X)=min г (Х$ р) по всем метрикам пространства X. Теорема (Янош [70]). Непустое сепарабельное метрическое пространство X имеет dim Х=0 тогда и только тогда, когда существует метрика р на X такая, что р (х, у) =^= р (х\ у') для любых двух различных пар (х, у) и {х', у') точек из X. Теорема (Янош [71]). Если \Х — непустой компакт, то г (Х) = = dimZ. Мартин и Брюининг сумели распространить последнюю теорему Яноша на сепарабельные метрические пространства, рассматривая для определения г (X) только вполне ограниченные метрики. Возможно ли распространить идею Яноша на общие метрические пространства? 193
В своей классической статье Л. С. Понтрягин и Л. Шнирельман охарактеризовали размерность dim компактов посредством функции N (г, X, d)r ныне часто называемой е-энтропией. Брюинингу удалось перенести их теорию на общие топологические пространства, используя вместо метрики псевдометрику. Определение. Пусть R обозначает множество всех вполне ограниченных непрерывных псевдометрик на пространстве X. Мы введем упорядочение на R следующим образом: dx £— d2, если и только если для любого е ^> О существует 8 > О такое, что В^ (х) С Вр (х) для всех х £ X, где Bf (х) = =-{y£X\d(x, у)<Щ. Для d£R и е^>0 пусть N (е, X, d) определено как- минимальное число функционально открытых множеств, d-диаметр которых не превосходит е и которые покрывают X Далее положим к(Х, 3 = зир{ы{-10*"1%.*'') |*!<ф0>о}. Теорема (Брюининг [8]). Для каждого непустого топологического* пространства X dimX = tfup{inf{A;(X, d)\d^-d0, d£R}\d0£R). Понятие псевдометрики представляется удобным инструментом для перенесения результатов, справедливых в классе метрических пространствг на неметризуемые пространства. В качестве другого примера укажем, что характеристика Марчевского размерности сепарабельных метрических пространств в терминах гс-мерной меры может быть легко обобщена следующим образом. Определение. Пусть R — множество всех вполне ограниченных непрерывных псевдометрик на пространстве X, наделенное отношением: порядка £— и р £i?. Для в>0и неотрицательного целого п положим тЦХ, p) = inf (2 [%(А()]-\\(А()<г, Х = U а\, т,(Х, р) = sup {«;(*, P)}|s>0}, где 8 (А) обозначает р-диаметр множества А, а [8 (А)]0 определено так: 1А>(^)]0 = 0, если А — 0, [8 (А)]° = 1 в противном случае. Теорема. Пусть X — нормальное пространство. Тогда dim X ^ п, если и только если для любого p0^R существует р £ /? такое, что р £— ра и тп+1(Х, р) = 0. Брюининг и докладчик ввели новую функцию Afr (X) для характеристики размерности неметризуемых пространств в более сильной форме, чем упомянутое выше обобщение Брюининга теоремы Понтрягина—Шнирельмана. Определение (Нагата—Брюининг). Пусть X — топологическое пространство и к — натуральное число. Тогда Afr (X) = min {т £ N | для любого функционально открытого покрытия % пространства X с \%\^к существует функционально открытое покрытие ?/ пространства X такое, что | W | ^ т и 2ГА<%, где fr* = {St(x, ?У)\х£Х}}. (Так как Afc (X) имеет некоторое сходство с е-энтропией Понтрягина—Шнирельмана, эта новая функция может быть названа А-энтропией.) Топологическому пространству X мы отнесем вполне ре