Титульный лист
Аннотация и выходные данные
Александров П. С. От редактора
Баладзе Д. О. Параметрические канонические группы гомологии и когомологий над парами копредпучков и предпучков соответственно
Бауэр Ф.В. Современное состояние двойственности Александера—Понтрягнна
Берикашвили И. А. Об аксиоматике теории гомологии Стиндрода—Ситникова на категории компактных хаусдорфовых пространств
Вайсала Ю. Топология Липшица
Вершинин В. В. О кольце симплектических кобордизмов
де Врис Я. Линеаризация действий локально компактных групп
Гарднер Р., Пфеффер В. Некоторые неразрешимые вопросы, касающиеся радоновских мер
Дольд А., Пуппе Д. Двойственность, след и трансфер
Зарелуа А. В. Пределы локальных систем пучков и нульмерные отображения
Зачепа В. Р., Сапронов Ю. И. О локальном анализе нелинейных фредгольмовых уравнений
Зервос С. П. О кардиналах как орбитах групп автоморфизмов упорядоченных множеств
Иллман С. Эквивариантные поглощения и распознавание линейных действий на сферах
Клингенберг Б., Шиката И. О теореме существования бесконечного множества замкнутых геодезических
Лахер Р. Разрешимость обобщенных многообразий
Мадсен Иб. Сферические пространственные формы в размерности, равной периоду. 1
Мдзинаришвили Л. Д. Функтор $\Ext^n$ и гомологии Колмогорова
Нагата Дж. Обзор теории размерности. III
Проданов И. Абстрактный подход к алгебраическому понятию спектра
Пыткеев Е. Г. О максимально разложимых пространствах
Терпе Ф. О новом применении топологии в теории суммирования
Трохимчук Ю. Ю., Зелинский Ю. Б., Жарко В. В. О некоторых результатах в топологии многообразий, теории многозначных отображений и теории Морса
Тураев В. Г. Фундаментальные группы трехмерных многообразий и двойственность Пуанкаре
Филиппов В. В. О нормально расположенных подпространствах
Флаксмайер Ю. Топологические полуполя и соответствующие им булевы алгебры
Хайдук Б. О построении гладких и PL структур на многообразии
Харатоник Я. Е. Некоторые обобщения однородности пространств
Хоменко Н. П. Метод $\phi$-преобразований и некоторые его применения в теории графов
Цишанг X. О подгруппах свободного произведения циклических групп
Чобан М. М. Отображения и размерностные свойства пространств
Шарко В. В. Минимальные резольвенты и функции Морса
СОДЕРЖАНИЕ
Рефераты
Выходные данные
Text
                    АКАДЕМИЯ НАУК
СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК
ТРУДЫ
ордена Ленина
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
имени В. А. СТЕКЛОВА
CLIV
ТОПОЛОГИЯ
СБОРНИК РАБОТ
под редакцией
академика
|П. С. АЛЕКСАНДРОВА I
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1983


УДК 513.83 Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). —М.: Наука, 1983. Работы, составляющие сборник, посвящены различным актуальным вопросам алгебраической и общей топологии и их приложениям к различным областям математики. Сборник рассчитан на математиков — студентов, аспирантов, научных работников. Редколлегия сборника: академик П.С. АЛЕКСАНДРОВ доктор физико-математических наук А. А. МАЛЬЦЕВ доктор физико-математических наук Е. В. ЩЕПИН кандидат физико-математических наук М. А. ШТАНЬКО Ответственный редактор Трудов МИАН академик С. М. НИКОЛЬСКИЙ Заместитель ответственного редактора доктор физико-математических наук Е. А. ВОЛКОВ Т : 134-83-11 © Издательство «Наука», 1983 042(02)-83 w :
ОТ РЕДАКТОРА С 25 по 29 июня 1979 г. в Москве проходила Международная топологическая конференция, организованная Академией наук СССР и проводившаяся Математическим институтом им. В. А. Стеклова АН СССР и Московским государственным университетом им. М. В. Ломоносова. В конференции приняли участие около 170 математиков, в том числе около 70 зарубежных, причем были представлены все основные направления современной топологии и ее применений. Оргкомитет конференции обратился с просьбой к авторам наиболее интересных докладов с предложением написать на базе этих докладов статьи, имея в виду последующую их публикацию в одном из советских журналов. Часть этих статей уже опубликована («Успехи математических наук», 1979,- т. 34, вып. 6; 1980, т. 35, вып. 3; там же содержится подробная информация о конференции), а часть составляет содержание настоящего тома. Ниже воспроизводится (с минимальными изменениями) моя речь, произнесенная на открытии конференции 25 июня 1979 г. (опубликованная в упомянутом выше выпуске журнала «Успехи математических наук» за 1979 г.). Первая когда-либо бывшая Международная топологическая конференция состоялась в августе 1935 г. в Москве. Это было действительно блистательное собрание многих из лучших топологов мира. Основным устремлением конференции 1935 г. было: представить топологию как целое, как единую математическую дисциплину, и содействовать активному взаимопроникновению двух основных направлений этой дисциплины — комбинаторно-алгебраического и теоретико-множественного. Периоды, когда такое взаимопроникновение было особенно интенсивным, периоды синтеза алгебраической и теоретико-множественной топологии относятся, по моему убеждению, к наиболее продуктивным в развитии нашей области математики. Именно этим периодам я хочу посвятить несколько слов, только изредка и слегка касаясь некоторых других важных моментов в развитии топологии. Первый из этих периодов — это период бессмертных топологических работ Брауэра, относящихся в основном к 1909—1913 гг. Поразительная геометрическая интуиция Брауэра, объединенная с его мощным теоретико- множественным мышлением и теоретико-множественным воображением, позволила ему посредством постоянного применения симплициальных приближений и впервые определенной им степени отображения создать в топологии новый метод, знаменитый брауэровский смешанный метод (methode mixte), этот метод и привел к первому синтезу комбинаторно-алгебраической и теоретико-множественной топологии. Брауэровские работы 1909—1913 гг. как бы обрамлены двумя выдающимися математическими произведениями, положившими начало общей топологии: это работа Фреше 1907 г., в которой определены метрические про- 3
странства,: их компактность и полнота, и книга Хаусдорфа 1914 г., в которой заложены основы теории топологических пространств. Кроме того, в 1913 г. была опубликована статья Янишевского о неприводимых континуумах, положившая начало большой главе топологии, так называемой топологии континуумов, расцвет которой мы наблюдаем в Польше и далее в США. Высшими достижениями этой ветви топологии, после построения Брауэром в 1909 г. первых неразложимых континуумов, я считаю построение Кнастером наследственно неразложимого континуума и доказательство Бингом топологической единственности таких континуумов («псевдодуга»). В 1921 г. топология континуумов сомкнулась с построенной в этом же году Урысоном и Менгером теорией размерности, ставшей на много лет одной из самых замечательных и популярных областей топологии. В 1922—1924 гг. общая топология достигла существенно нового уровня. Вследствие определения Кура- товским наиболее общих топологических пространств, построения теории бикомпактных пространств и доказательства первых основных метризационных теорем, а также примыкающих к ним предложений (например, леммы Урысона) 1922 г. ознаменован также доказательством одной из замечательнейших теорем в алгебраической топологии: знаменитого закона двойственности Александера, открывшего ряд теорем двойственности. Итак, к концу первой половины 20-х годов и в теоретико-множественной, и в комбинаторной топологии произошло достаточно событий, чтобы созрел вопрос о новом, втором синтезе двух основных направлений топологии. Началом этого нового синтеза было определение нерва покрытия топологического пространства, полученное в 1925 г. Конечные канонические покрытия (компактного метрического) пространства, рассматриваемые вместе с их естественным порядком, позволяют связать нервы этих покрытий сим- плициальными отображениями и получить таким образом так называемый проекционный спектр пространства. Проекционные спектры являются частным случаем обратных спектров, и именно в этом специальном частном случае впервые возникло одно из важнейших в современной теоретико-множественной математике понятий — понятие обратного спектра. Проекционный спектр пространства дал возможность редуцировать топологию данного пространства к свойствам симплициальных комплексов и их симплициальных отображений, имеющим по своему существу комбинаторный характер. Это позволило, в частности, определить гомологические инварианты (компактного метрического) пространства, сведя их к соответствующим инвариантам комплексов, являющихся нервами измельчающихся покрытий этого пространства. Этот метод определения гомологических инвариантов был перенесен на любые пространства Чехом в 1932 г. в его знаменитой работе «Theorie generale d'homologie». Примерно одновременно с определением гомологических инвариантов компактов при помощи нервов покрытий Вие- горис построил свою метрическую теорию гомологии в компактах, основанную на понятии е-цикла и е-гомологий и являющуюся далеко идущим развитием идей Брауэра, изложенных в его гениальной заметке «Invarianz der geschlos- senen Kurve». Теорема двойственности Александера и наличие определения гомологических инвариантов компактов позволили в 1927 г. доказать первую теорему двойственности типа Александера для всех компактов в евклидовых простран- 4
ствах. Однако первый действительно принципиальный успех после теоремы Александера в теории двойственности был достигнут лишь в 1932 г. доказательством знаменитого закона двойственности Понтрягина, создавшего эпоху и в топологии, и в топологической алгебре. В это же время (1930— 1932 гг.) была построена гомологическая теория размерности компактов. Сформировавшаяся в результате упомянутых исследований гомологическая и вообще комбинаторно-алгебраическая топология компактов и наполнила конкретным геометрическим содержанием работы, относящиеся ко второму периоду синтеза алгебраической и теоретико-множественной топологии. Завершением этого второго периода явились: с одной стороны, теория гомологических свойств расположения комплексов и замкнутых множеств (в бикомпактах), относящаяся к 1943 г., с другой — теория двойственности для незамкнутых множеств евклидовых пространств, разработанная в конце 40-х годов. Вся алгебраическая топология как полиэдров так и топологических пространств была поднята на существенно новый уровень созданием в 1934 г. Александером и А. Н. Колмогоровым понятия когомологий и последовавшим за тем построением теории когомологий и когомологических операций. Огромный прогресс в общей топологии был достигнут в 1928 и 1934— 1936 гг. в работах А. Н. Тихонова и соответственно Маршалла Стоуна и Чеха. Сразу же по окончании войны начинается период бурного развития как алгебраической и дифференциальной топологий, так и чисто теоретико- множественной топологии. Но обо всем этом я говорить не буду. Имел место и новый — третий период синтеза теоретико-множественной и алгебраической топологии. Этот период продолжается и сейчас. Началом этого периода было создание Борсуком теории ретрактов, а его продолжением — создание также Борсуком теории шейпов. И теория ретрактов, и теория шейпов относятся по своему предмету к общей топологии, но обе эти теории имеют явно выраженный геометрический характер. Теория шейпов есть по существу теоретико-множественная форма гомотопической топологии, и она связана с теорией когомологий, а следовательно, и с алгебраической топологией. Чрезвычайно тесными являются, с другой стороны, связи теории шейпов с одной из важнейших частей «бесконечномерной» топологии, а именно — с теорией так называемых Q-многообразий, т. е. компактов, локально гомеоморфных гильбертову кубу. Существенным образом проникла в теорию шейпов в ее нынешнем виде и теория обратных спектров, ставшая сегодня в топологии одним из самых мощных методов исследования и построения. Своим чрезвычайно существенным развитием в эти самые последние годы теория обратных спектров обязана в первую очередь работам Е. В. Щепина и прежде всего его спектральной теореме, утверждающей, что в разумных предположениях два несчетных обратных спектра лишь тогда имеют гомеоморфные предельные пространства, когда они содержат изоморфные конфинальные подспектры. Эта теорема позволяет решить вопрос о гомеоморфизме двух пространств в ряде важных конкретных случаев. Спектральная теорема позволила Щепину построить «несчетный» вариант теории бесконечномерных многообразий, а именно — теорию так называемых тихоновских многообразий, т. е. бикомпактов локально гомеоморфных тихоновскому кубу данного несчетного веса т. Эта теория в одних своих частях аналогична теории Q-многообразий, а в других — совсем не похожа на нее* 5
Теорема Щепина имеет существенно «несчетный» характер: никакой аналогичной теоремы для счетных спектров не существует. Из сказанного вытекает, что содержание синтетического взаимопроникновения основных направлений топологии в эти новейшие десятилетия ее развития и существования менялось со временем, но всегда было одним из основных условий действительного прогресса нашей области математики. Как математическая дисциплина, топология, несмотря на всю разнородность своего содержания, всегда была единой, и позвольте мне сегодня выразить уверенность, что именно в этом ее единстве заключается успех ее развития не только в настоящем, но и в будущем. Этому успеху способствуют конференции, подобные первой топологической конференции 1935 г. и нынешней конференции, потому что именно в единстве, т. е. в объединении различных течений внутри данной области, заключается основной смысл больших международных научных собраний. Позвольте в заключение выразить пожелание и надежду, что наша сегодняшняя конференция будет одним из значительных новых этапов в развитии нашей области знаний. П. С. Александров
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Д. О. БАЛАДЗЕ (Батуми, СССР) ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ НАД ПАРАМИ КОПРЕДПУЧКОВ И ПРЕДПУЧКОВ СООТВЕТСТВЕННО Пусть R — локально компактное метризуемое пространство, С — замкнутое подпространство пространства R, о) = {(С/"а, VJ) — направленная по вписанности система канонических покрытий пары пространств (R, С) (см. [1]). Известно (см. [1]), что вместо направленной по вписанности системы ш = = {([/а, Va)} пары пространств (Л, С) можно брать направленную по вписанности систему & = {(£7а, FJ} открытых покрытий (С/а, VJ пары пространств (Л, С), в которой замкнутые множества ua£Ua и v^fc Va в покрытиях (Ua, Fa) заменены мало отличающимися от них открытыми множествами (йа, vj; ua£Ua и va£ Fa, не нарушая при этом отношения вписанности покрытий и структуры нервов этих покрытий. Через Ка обозначим нерв покрытия U^ пространства Л, а через La — нерв покрытия Va подпространства С пространства Л. Пусть, далее, К — произвольный локально конечный комплекс, (А, А') и (В, В') — сопряженные пары копредпучков и предпучков соответственно с базой R (см. [2]) и р — целое число. Рассмотрим совокупность х = {хт} цепей xz комплекса Ка над парой копредпучков (А, А') (см. [2]), определенных для каждого симплекса х£ЛГ и обладающих тем свойством, что dim #т =/? 4-dim х. Такую совокупность цепей х={хт} мы будем называть /7-мерной параметрической цепью комплекса Кп над парой копредпучков (А, А'), если почти для всех симплексов х, х £ Кг коэффициенты цепей хт лежат в соответствующих подгруппах Л'(|£|), Л'(|£|)С^4(|*|). Множество всех /7-мерных параметрических цепей комплекса Ка над парой копредпучков (А, А') относительно операции сложения (х -f- y)z = хх -f- yz является группой, которую будем обозначать через С^ (Ка; А, А') и называть группой /7-мерных параметрических цепей комплекса Ка над парой копредпучков (А, А'). Обозначим через С* (La; А, А') группу /7-мерных параметрических цепей комплекса L% над парой копредпучков (А, А'). Фактор-группу С$(Ка; A, A')jC* (La; А, А') обозначим через С*(Ка, La; А, А') и будем называть группой относительных /7-мерных параметрических цепей комплекса Ка по модулю La над парой копредпучков (А, А'). Так как д-д = 0, то получается цепной комплекс [С^(Ка, La; А, А')), гомологическая группа которого обозначается через Н^(Ка9 La; А, А') и называется /?-мерной параметрической относительной группой гомологии комплекса Ка по модулю La над парой копредпучков (А, А'). Пусть теперь С*(Ка, La; Л, В') есть группа относительных параметрических /?-мерных коцепей комплекса Ка по модулю La над парой предпучков 7
(В, В') (см. [2]), т. е. она состоит из таких /?-мерных параметрических коцепей y = {Yx), значения которых на подкомплексе La тривиальны и почти для всех симплексов х, х £ К, коэффициенты коцепей у1 лежат в соответствующих подгруппах В' (11 |), В' (11 \) С В (11 |). И здесь, так как имеем равенство 8-8=0, то получается коцепной комплекс {Срк(Ка, La; В, В'), 8}? когомологическая группа которого обозначается через Нрк(Ка, Ьа; В, В') и называется /нмерной параметрической относительной группой когомологии комплекса Ка по модулю La над парой предпучков (В, В'). Доказывается следующая Теорема 1. Если пары копредпучков и предпучков (А, А') и (В, В') сопряжены, то относительные параметрические группы гомологии и когомологии Н^(Ка, La, А, А') и Нрк(Ка, La; В, В') комплекса Ка по модулю La над парами копредпучков и предпучков (А, А') и (В, В') соответственно двойственны, т. е. Н*(Ка, L- A, A')\H»(Ka,Lj В, В'). Если а <^ (3; а, р £ х, то локально конечное симплициальное отображение pi: KQ -+ Ка определяет гомоморфизмы Р? :#*(*„, Lf А, А')^Н$(К„ L- В, В') <?--Н*р(Ка, L- В, B')^H'r(Kf, L?; В, В'): Эти группы и гомоморфизмы образуют обратный спектр {Н* (Ка, La; А, А'), р**3} и прямой спектр !НРК (Ка, La; В, В'), ти*Л. Предельные группы этих спектров мы называем, по определению, каноническими относительными /?-мер- ными группами гомологии и когомологии пространств R по модулю С над ларами копредпучков (Л, А') и предпучков (В, В') соответственно. Эти группы будем обозначать через H%(R, С; А, А') и HPK(R, С; В, В'). Здесь доказывается следующая Теорема 2. Если пары (А, А') и (В, В') сопряжены, то относительные параметрические канонические р-мерные группы гомологии и когомологии H*(R, С; А, А') и HPK(R, С; В, В') пространства R по модулю С над парами копредпучков (А, А') и предпучков (В, В') соответственно двойственны, т. е. Я*(Д, С; A, A')\HpK(R, С; В, В'). Доказательство этой теоремы опирается на теорему 1 и на сопряженности гомоморфизмов р**3 и 7С*р. В том случае, когда параметр К состоит из одной точки е, т. е. К = е, тогда каноническая относительная параметрическая р-мерная группа гомологии H*(R, С; А, А') пространства R по модулю С над парой копредпучков (А, А') совпадает с относительной канонической /нмерной группой гомологии Н (R, С', А, А') пространства R по модулю С над парой копредпучков (А, А'), определенной нами в работе [3], а относительная каноническая параметрическая группа когомологии HPK(R, С; В, В') пространства Л по модулю С над парой предпучков (В, В') совпадает с относительной канонической группой когомологии Нр (R, С; В, В') пространства R по' модулю С над парой предпучков (В, В') (см. [3]). Пусть (Ка, La) есть опять пары нервов пары покрытий (Ua, Va), (Ua, Fa)£ 2, лары пространств (Л, С), С*(Ка, La; А, А') — группа относительных параме- 8
трических /?-мерных цепей комплекса Ка по модулю La над парой дискретных копредпучков (Л, Л'). Пусть., далее, / есть отображение пары (Л, А') на дискретную пару копредпучков (5, В'), при котором fu (А (и)) = В (и) и fu (А'(и)) = ~В'(и). Обозначим через F(u) = Kerfu и через F' {и) = Кег(/М/Л' (и)). В этом случае получается пара копредпучков (F, F;) с базой R. Далее, точная последовательность 0->(F, F')->(A9 А')->(В, Я')->0 определяет точную последовательность 0^Cf(K„ L-F, F')^CK(Ka> La; А, А')-+С*(К„ L,; В, В')-0 (1) групп относительных параметрических /ьмерных цепей комплекса Ка по модулю La над парами копредпучков. Пусть Н^(Ка, La; А, А') обозначает относительную параметрическую /?-мерную группу гомологии комплекса Ка по модулю La над парой копредпучков (Л, А'). Точная последовательность (1) и связывающий гомоморфизм Э:Я|+1(Я„, L- В, В')^Н*р{Ка, L- F, F') определяет точную гомологическую последовательность •••-*Н^(Ка, L- В, В')-+Н*(Ка, Ьл; F, F')^H*(K„ L- А, Л')- -» Я*(*в, Lu; В, В') - Н^ (Ка, L- F, F) -> ■ • ■ (2) относительных параметрических групп гомологии комплекса Ка по модулю La, взятых относительно пар копредпучков. Последовательность (2) называется относительной параметрической канонической гомологической последовательностью комплекса Ка по модулю La, порожденной эпиморфизмом f: (Л, А') -> -*(В, В'). Аналогично этому строится точная параметрическая когомологическая последовательность >H"£l{Ka, La; В, В')^Нрк(Ка, La; F, F')^HpK{Ka, La; А, А')-* -> El {Ка, \; В, В')-* ЯГ1 (К, La; F, F')^---, (3) порожденная эпиморфизмом /:(Л, А') -> (5, В'). Здесь предполагается, что пары (F, F'), (Л, А') и (5, В') являются парами предпучков. Система {(Ка, La)} пары нервов (Ка, La) определяет обратный спектр точных последовательностей (2) относительных параметрических групп гомологии. Предельная последовательность этого спектра >H*+1(R, С; В, B')^H«{R, С; F, F')^Hf(R, С; А, А') + -> Н* (R, С; В, В') - Hf_, (R, С; F, *")-»•• ., (4) состоящая из относительных канонических параметрических групп гомологии пространства R по модулю С, взятых над парами копредпучков, является полуточной (см. [4]). Последовательность (4) называется относительной канонической параметрической последовательностью пространства R по модулю С, порожденной эпиморфизмом / : (Л, Л')-> (5, В'). Далее, опять система {(Ка, La)} пары нервов (Ка, La) определяет прямой спектр точных последовательностей (3) относительных параметрических когомологических групп, предельная последовательность которого >Hpf1(R9 С; В, B')^HPK(R, С; F, F')^HPK(R, С; Л, Л')-> -+Hl(R, С; В, Bf)^HpK^(R9 С; F, F')^ . . . (5) 9
является точной (ср. [4]). Последовательность (5) называется относительной параметрической канонической когомологической последовательностью пространства R по модулю С, порожденной эпиморфизмом /: (A, A') ->(J5, В'). Возьмем теперь за В систему {А (11 \)/А' (\t\)} фактор-групп А (11 \)/А' {\t\), а за В' систему {Л'(|£|)} нулевых подгрупп фактор-групп А (| t\)/A' (| t\), тогда из (4) и (5) получим последовательности: *H*H(R, С; A/A', Л')-Я* (Я, С; A', A')^H*(R, С; А, Л')- ■+H*(R, С; A/A', Л')-*Я*Х(Д, С; А', А')-*--- (6) И >Hp£r1(R, С; А\А\ А')-+ H£(R, С; A', A')^HPK(R9 С; А, Л')-> ->#ЗД С; А\А\ A')->HPK+1(R, С; А', А')^ • • . (7) Из точной последовательности (7) получается следующая Теорема 3. Если пространство R имеет тривиальные (р — 1)-мер- ную относительную каноническую параметрическую группу когомологии по модулю С конечных параметрических коциклов и (р -f- \умерную относительную каноническую параметрическую группу когомологии по модулю С бесконечных параметрических коциклов над предпучками А/А' и А' соответственно, то р-мерная относительная каноническая параметрическая группа когомологии HPK{R, С; А, А') пространства R по модулю С над парой пред пучков (А, А') является расширением р-мерной относительной канонической параметрической группы когомологии HPK(R, С; А') пространства R по модулю С бесконечных параметрических коциклов над пред пучком А' = {Л' (| t\)} при помощи р-мерной относительной канонической параметрической группы когомологии Hk(R, С, А/А') конечных параметрических коциклов пространства R по модулю С над предпучком А/А'= [A(\t\)j ^(ИИ- ЛИТЕРАТУРА 1. Скляренко Е. Г. Теория гомологии и аксиома точности. — УМН, 1969, 24, № 5, с. 87—140. 2. Баладзе. Д. О. Группы гомологии и когомологии над парами копредпучков и предпучков соответственно. — Сообщ. АН ГССР, 1967, 46, N° 3, с. 545—551. 3. Баладзе Д. О. О канонических гомологических и когомологических группах над парой копредпучков и предпучков соответственно. — Сообщ. АН ГССР, 1975, 80, № 3, с. 529-532. 4. Стинрод #., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. М.: Физматгиз, 1958.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Ф. В. БАУЭР (Франкфурт-на-Майне, ФРГ) СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА—ПОНТРЯГИНА Введение Настоящий доклад имеет целью представить материалы о двойственности Александера—Понтрягина, которые почти полностью изложены в [6L Кроме того, мы пользуемся возможностью включить некоторые новые результаты, относящиеся к применению этой теории. Изучение этого предмета было начато 50 лет назад исследованиями П. С. Александрова и его учеников по топологии подпространств евклидовых пространств. В настоящее время работа в этой области сосредоточивается на теории шейпов и стабильной теории гомотопий в подходящей шейповой категории. Теория шейпов была открыта К. Борсуком [8] в 1968 г. В разделе 1 мы вводим необходимую для наших целей сильную категорию шейпов К. (Ко)гомологии с коэффициентами в спектре рассматриваются в разделе 2. Они наиболее подходят для рассмотрения различных проблем современной топологии. В разделе 3 мы формулируем теоремы двойственности 3.1—3.4, которые включают в себя все ранее известные теоремы двойственности этого типа (для компактных многообразий Мп). Следующий раздел 4 посвящен всевозможным применениям. Наше намерение — подтвердить важность двойственности Александера—Понтрягина для современной топологии и ее приложений. Доказательства не включены. Следует заметить, что мы не освещаем историю двойственности Александера—Понтрягина в этом докладе, поэтому мы не касаемся замечательных результатов в теории размерности, имеющих прямое отношение к (1) (см. раздел 4), а также многочисленных достижений Л. С. Понтрягина, Г. С. Чогошвили, К. Даукера и многих других, внесших важный вклад в эту область. 1. Сильная теория шейпов Пусть К — категория пунктированных метризуемых пространств и Р — категория пунктированных ANE-пространств, в качестве морфизмов в обеих категориях рассматриваются непрерывные отображения, сохраняющие отмеченные точки. Напомним, что пространство Р является ANE-пространством (для метрических пространств), если для любого метрического пространства X, замкнутого множества АаХ и непрерывного отображения /: А -> Р существует 11
продолжение F: U -> P отображения / на открытую окрестность Ul)A. Например, хорошо известно, что всякий GW-комплекс является ANE-простран- ством (см. [10]). Мы собираемся описать сильную категорию шейпов К, конструкция которой изложена в [5]. Однако, прежде чем приступить к этому, необходимо сделать два замечания о гомотопиях. В любой топологической категории, подобной К, вводится понятие гомотопий F: fo—fi- X ->Y. Это — такое отображение F: Хх [0, п] -> Y, п£ N, что Fi0=f0, Р1п=^, it: X -> XX [0, п], it (х)=(х, t). Мы определяем композицию гомотопий F: /0^/i и G: Д^/2 G: XX [0, т] -^ Y следующим образом: H=GoF: Хх[0, п+т] -> У, Кроме того, мы вводим следующие соотношения: 1) GoF = F (FoG=F) для постоянной (не зависящей от t) гомотопий 1=G: 1Х[0, 11 —Г; 2) F'1oF = l, FoF~1 = l. Здесь F~x(x, t)=F(x, n — t) и 1^ = 1: X X [0, /г] -> F—постоянная ro- мотопия 1^(ж, t)=f(x), f(x) = F(x, 0) (соответственно f(x) = F(x, п)). Го- мотопия jF: X X [0, 11 -> F называется элементарной. Так же как в теории групп, имеет место Лемма 1.1. Всякая гомотопия (o:fQc^f1 единственным образом разлагается в произведение элементарных гомотопий (0 = ^ ... ek, причем e.=fci, Элементарная гомотопия между элементарными гомотопиями I: со0 ~ шх: : /0 ~ /х — такое отображение £: X X / X / -> У, / = |_0, 1], что 6(ж, *, /)г=ш.(ж, г), S(s, i, *) = /,(*), * = 0, 1. (1) Пусть а)0: X X In-^ Y, сох: X X /w -> У — гомотопий, не являющиеся элементарными (/л = [0, &]). Без ограничения общности можно считать, что т — п (достаточно добавить необходимое количество постоянных гомотопий). Тогда элементарная гомотопия £: wQ ~ о)2 между гомотопиями — отображение i : X X /я X / -> F, определенное формулами (1), в которых сделаны очевидные изменения. Замечание. Такое понятие гомотопий превращает каждое множество К(Х, Y) в категорию, при этом индуцированные отображения Д.: К(Х, Y) -+ ->К{Х9 Г), £*: #(Х, Г)-*£(Х', F), f£K(Y, Г), ге£(Х',*Х) являются функторами. Это неверно для обычной гомотопий, поскольку в этом случае не существует единицы и композиция гомотопий неассоциативна. Категорию типа К мы называем 2-категорией (эта терминология немного отличается от обычной, ср. [5]). Аналогично мы пользуемся понятием 2-функтора, т. е. обычного функтора Т: К-+К', сохраняющего дополнительную структуру множества К(Х, Y) для любых фиксированных объектов X, Y £К- Гомотопий между гомотопиями называются 3-морфизмами; /г-категория определяется индуктивно: каждое множество К(Х, Y) естественным образом обладает структурой (п — 1 )-категории# 12
Для любого объекта Y £ К определим 2-категорию Ру следующим образом: 1) объектами PY являются непрерывные отображения g: Y->P£P', 2) 1-морфизмы — пары (г, со): g1->g2, где со: rgx~g2 — гомотопия в диаграмме: 3) 2-морфизмами являются пары (v, %)\ (rlf со2) ~ (r2, со2): g1 -> g2, где v: r1~r2 — гомотопия и %: со2о vg1 ~ сох — гомотопия между гомотопиями. Легко проверить, что PY—2-категория. Теперь мы определим щейповый морфизм / £К (X, Y) как 2-функтор /: Py -> Рх, удовлетворяющий следующим условиям: a) если g£PT9 g: У->Р, то f (g): X->P; b) если (г, со): g1^-g29 то /(r, co)=(r, cox) для соответствующего cox; c) если (v, £): (rlf cox) ~ (r2, co2), то /(v, £) = (v, Ex) для соответствующего lv Поскольку тождественный функтор 1: Рг->Ру удовлетворяет а) — с) и существует композиция /' о f £К (X, Z) функторов /£К (X, У), /' £К (У, Z)> получаем категорию К. Так же как в К, с помощью отображений F £К (Xxl, Y) можно определить гомотопическую категорию Rh. В качестве первого примера рассмотрим функтор h: К -+ К, определенный следующим образом: h(f)g=gf, g£PY, f£K(X, Y). Для Y^Kf]P имеем отображения h': К(Х, Y)^K(X, Y), />'(/) = /(lr), f£R(X, Y). Согласно [5] связь между h и h' дает следующее Предложение 1.2. а) Для f£K(X, У), Y£Pf)K имеем h'h(f) = f. h) Для f £ К (X, У), Y £ К П Р существует естественная гомотопия hh'(f)~f. Из предложения вытекает: Следствие 1.3. Для f£K(X, У), Y£PC\E> существует такое отображение f £ К (X, У), что h (/) ~ /. Другими словами, на гомотопическом уровне имеем биекцию h: Kh(X, Y)^Kh(X, Y). Замечание. Процесс построения категории К может быть осуществлен для любой абстрактной 2-категории К. Так как любую категорию L можно рассматривать как 2-категорию (с тривиальной категорной структурой во всех L(X, У), то, применяя предыдущие конструкции к Kh, получаем щейповую категорию Н. Категория Н, условно называемая «слабой щейповой категорией», изоморфна категории Борсука—Марденшча. Хотя в Kh больше морфизмов, чем в Н, справедлива Теорема 1.4. Два метрических компакта X, Y тогда и только тогда эквивалентны в Н {т.е. имеют одинаковый шейп в смысле Борсука — Марде- шича), когда X и Y гомотопически эквивалентны в Kh. Различие между сильной и слабой теорией шейпов сходно различию между гомологиями Стинрода — Ситникова и гомологиями Александрова — Чеха или Виеториса. То, что это не случайно, станет ясным при рассмотрении гомологии в К. На этой стадии изложения следует улучшить категории К ж К. 13
1) Поскольку не каждое ANE-пространство метризуемо, Р не является подкатегорией категории К, поэтому целесообразно вместо К рассмотреть полную подкатегорию категории Тор0, объекты которой — конечные приведенные произведения Хг Д . . . Д Хп пространств из Р (J Е- Здесь мы предполагаем, что все пространства являются ^-пространствами (в конечном счете можно применить хорошо известный функтор к: пространства -> ^-пространства, ср. [7]). Допуская некоторую вольность, мы обозначим исправленную категорию снова через К. 2) Для двух объектов Л', Y £ К мы определим новое приведенное произведение Px7\Py как полную подкатегорию категории Px/\y, объектами которой являются такие отображения g: X /\Y -> Р £ Р, что g с^.г(а1/\ а2)> «iGPx, c2GPf, г: Р1/\Р2-^Р, а{. X-+Pv а2: X-> Р2. Аналогично определяется подкатегория PYl Д . . . Д PYn С Р^д... л V Вместо PTl Д • • • Л Py„ мы пишем FjA ... Д Гй (это уже больше не пространство!). Морфизм /G£(*iA ... ЛХЛ, Yx Д ..'• Д Y,) — это функтор /: p7l Д . .. Л Р1% -> -> Pxt Д ••• 7\ Рхк, удовлетворяющий условиям подобным а)—с) (см. выше). Таким образом, мы получаем расширенную категорию К. Имеем естественное преобразование а: X Д Y -> X Д Y, являющееся эквивалентностью в случаях: 1) X, Y — метризуемые компакты; 2) X произвольно, Y — компактное ANR-пространство и наоборот; 3) X, Y£P. В частности, всегда определены надстройки ЕХ = S1 Д X » S1 Д X. Рассматривая аналогичные конструкции для X-произведения, получаем X -произведение. В частности, X X I и X X I эквивалентны. Замечание. Вместо сильных шейповых отображений можно эквивалентным образом использовать прообъекты (т. е. прогруппы и пропространства). Последнее, по мнению автора, невыгодно, так как по сравнению с добрыми старыми группами с элементами и в частности единицами прогруппы — преднамеренно метафизические объекты. То же самое относится и к пропростран- ствам в сравнении с пространствами. Но это, конечно, дело вкуса. 2. Гомологии и когомологии Хорошо известно, что подходящие для наших целей группы гомологии — гомологии Стинрода — Ситникова [3]. Для более общих применений нам необходимо ввести шейповые гомологии с коэффициентами в заданном спектре Е ={Ек}. Пусть Gom0 = h (Gom0) с К — подкатегория, определенная всеми метрическими компактами. Положим • Ep{X) = \imKh{S'+l, Е,КХ), р£Ъ. (1) I Получаем функтор Е^: Gom0-> {градуированные абелевы группы}, являющийся композицией функтора h и функтора (обозначаемого той же буквой) Е^ Gom0 -> -> (градуированные абелевы группы}. С помощью компактных носителей можно распространить (1) на категорию всех метрических пространств: Ep(X) = ]imEp(X)9 К — компакт. (2) ксх Следует заметить, что для построения индуцированных отображений Е*{/)'- E„(X)->E*(Y), /: (X, #0)->(У, у0) необходимо определить Д-произведение отображений 1 Д /: Ег Д X -> Ег Д Y. Мы не будем вдаваться в подробности. 14
В следующем утверждении собрано несколько приятных свойств гомологии (1). Теорема 2.1. 1) Пусть i: Ad В— вложение в Сот0, ;: В d B\JCA, тогда имеет место точная последовательность Е^(А) —+ Е*{В) —->Е^{В\^СА). 2) Пусть /0 с^. /х: X -> Y — гомотопные в Сот0 отображения, тогда имеем 3) Существует естественное преобразование о = оп:Еп(Х)^Еп+Л*Х). 4) Пусть X — компактный букет пространств Xi — (Х{, xi0) (i = 1, 2, ...) из Com0 (т. е. Х = lim (Х± \J . . . \/ Xk) — букет с сильной топологией), тогда к включения индуцируют изоморфизм Я. (*)=П £.(*«)• Доказательство теоремы 2.1 в основном стандартно. Следует лишь наметить доказательство последнего утверждения 4), поскольку оно имеет типичные черты рассуждений в теории шейпов. Мы работаем не с самой категорией X Л Ег, а с отображениями gi/\g2'- X" Л ^i ~> ^ Л Щ> гДе Sv X CI U можно считать вложением X в открытую (следовательно, ANR-) окрестность некоторого гильбертова куба Q, содержащего X, и g2: Ег-> Е[^Р — любое непрерывное отображение. Можно показать, что достаточно рассматривать лишь отображения этого специального вида. Существует стягиваемая открытая окрестность V С U отмеченной точки, содержащая все Х{, кроме конечного числа, поэтому для фиксированного отображения g1 Д g2 £ Рх /\ Pei достаточно вместо всего букета рассматривать букет Хг \/ . .. V Хк конечного числа пространств. Это соображение более или менее быстро приводит к требуемому результату. Из теоремы 2.1 можно вывести несколько интересных заключений, имеющих классические аналоги. Сперва напомним следующий важный факт (см. [4, 6]). Теорема 2.2. Всякое вложение в категории Сот0 (в действительности всякое замкнутое вложение метрических пространств) является корасслоением в Сот0 (в К). Так же как в классической теории гомотопий £7], получаем Следствие 2.3. Для любого вложения i: А С В в Сот0 имеет место гомотопическая эквивалентность в Сот0 (В U С А, *) ~ (В/А, *). (3) Если А стягиваемо, то (В/А, *) ~ (В, А). (4) В частности, для неприведенной надстройки ИХ и приведенной надстройки И(Х, ж0) = (ИХ, х0) существует гомотопическая эквивалентность (ИХ, х0 Х/)^ ~ (ИХ, *). Теперь можно переформулировать свойство точности теории Е^ 1') Для любого включения, такого же, как в утверждении 1) теоремы 2.1, точна последовательность Е,{А)ХЕЛВ)^Е,(В1А), где р: В -> В/А — проекция. Из свойства 2) теоремы 2.1 в качестве простого следствия вытекает 2') Пусть /о^/х—гомотопные в Сот0 отображения, тогда для Eji{f^ — = /<• имеем fo* = fu- 15
Вместо категории Gom0 можно рассмотреть категорию компактных пар Com2 и построить неприведенную теорию гомологии. Соотношения между обеими теориями гомологии хорошо известны, поэтому нет необходимости останавливаться на этом в настоящем докладе. Аналогично определяется контравариантный функтор Е*: К -> {градуированные абелевы группы} шейповых когомологий с коэффициентами в спектре Е. Для любого пространства Х£К положим E4X) = KnKkPkX, Eq+k), q£Z. (5) Эти когомологий обладают свойствами, дуальными к 1)—3) в теореме 2. 1. Мы не будем формулировать их явно. Имеет место Теорема 2.4. Пусть Е — GW-спектр (т. е. все Ек — объекты категории Р)9 тогда: a) существует естественный изоморфизм функторов Е* « Е*9 где Е9 (X) = = UmKh(X><X, Eg+k); b) пусть IcR — любое пространство, тогда для любой пары (X, А) имеет место изоморфизм Е*(Х, А)= lim£T(U, V), где предел берется по всем парам (£/, V) открытых множеств, таким, что (X, A)CZ{U, V). То же самое справедливо для любого метрического пространства М ZD X (вместо M = RN). Первое утверждение немедленно следует из следствия 1.3. Второе — лемма Ситникова, доказанная К. Ситниковым (см. [3] для дальнейших ссылок) для когомологий Чеха с коэффициентами в абелевой группе G. Его доказательство, разумеется, не проходит в нашей ситуации, однако при этом результат К. Ситникова является частным случаем наших рассмотрений для спектра Эйленберга—Маклейна К (G). Доказательство утверждения Ь) теоремы 2.4 проводится с помощью общей теоремы продолжения Дугунджи, поэтому предположение, что Ё является CW-спектром, для нас необходимо. Исторически лемма Ситникова — основной шаг в доказательстве его теоремы двойственности (изоморфизм (1) из раздела 4) для произвольных подпространств сферы Sn (случай компактных пространств был рассмотрен Стинродом [16], гомологии Стинрода—Ситникова он определил по-другому). Название «CW-спектр» для спектра \Е={Ек), состоящего из ANE-npo- странств Ек, оправдано сложившейся терминологией, хотя, конечно, не каждое ANE-пространство является CW-комплексом. Для того чтобы сформулировать теоремы двойственности следующего раздела, нам необходимо соответствующее /-произведение /: F* (X Д Y) <g> Ер (Y) -> Еп~р (X). Здесь предполагается, что Е — модуль над кольцевым CW-спектром F, т. е. существуют произведения Ег7\ Fr-> El+r, удовлетворяющие обычным условиям совместимости. Для получения такого /-произведения необходимо определить Д-произведение шейповых отображений. Мы не будем останавливаться на этом-(так же как и на определении Д-произведения отображений). 16
Для любого компактного /"-ориентируемого многообразия Мп с ориентирующим классом и классическим методом определяется гомоморфизм Тя: Ер(Y, В) -> Еп~р (М>\В, M-\Y), где (У, 5), Y CZ Мп — компактная пара. Согласно нашему определению гомологии (2) и благодаря «лемме Ситникова» имеем гомоморфизм ?«:2?„(Г, В)^Еп-р(Мп\В, Mn\Y) для любой пары (F, В), У С Мп и CW-спектра Е. Замечание. Легко видеть, что Е (X) и Е9 (X) ковариантно зависят от спектра Е по отношению к обычному определению отображения спектров (т. е. у\Е->Е' — семейство отображений {сря : Еп -> Е'п], совместимых с отображениями оп: ZEn -> Еп+1, о'п: Ш'п -> Е'п+1). 3. Теоремы двойственности Имеем следующие четыре теоремы двойственности. Теорема 3.1. Для любого спектра Е = {Ек) и любого пунктированного компакта Х = (Х, ж0), X С Sn имеет место естественный относительно включений изоморфизм t.:Ep(X, *0)«Я'(Я"\{*о>. S"\X), p + q = n, р, q£Z. (1) Теорема 3.2. Пусть Е — CW-спектр и Х = (Х, х0), X С Sn — любое пунктированное пространство. Тогда имеет место естественный по отношению к вложениям изоморфизм 1и:Ер(Х, xJttE4S'\{x0}, S'\X), p±q = n, р, q£Z. (2) Теорема 3.3. Пусть Мп — компактное F-ориентируемое многообразие с ориентирующим классом и, и Е — модуль над спектром F. Для любой пары компактов (X, -А), X С Мп имеет место изоморфизм 1и:Ер(Х, А)^Е*(М«\А, М»\Х), p + q = n,p,q£Z, (3) естественный по отношению к вложениям пар. Теорема 3.4. В тех же предположениях, что в теореме 3.3, пусть Е—CW-спектр. Тогда для любой пары (X, А), X С Мп, существует естественный относительно включений изоморфизм ЧЫ:ЕР(Х, А)^Е9(М"\А, М*\Х), p + q = n, p,q£Z. (4) Пусть S={Sn) — сферический спектр. Он, очевидно, ^-ориентируем. Кроме того, любой спектр Е является 5-модулем. Поэтому 3.1 и 3.2 — частные случаи 3.3 и 3.4 соответственно. Однако все действительные трудности заключены в доказательстве теоремы 3.1 (а именно, в построении обратного отображения к yj, а 3.2 —3.4 получаются из него с помощью техники последовательности Майера—Виеториса и леммы Ситникова (теорема 2.4, Ь). 4. Применения 1. Теорема двойственности Стинрода—Ситникова. Согласно этой теореме [3] существует изоморфизм Hf(X;G)&fr(S-\X;G), p + q*=n-l, р, q£K, (1) 17
где X a Sn — любое пространство, Hsp — приведенные гомологии Стинрода— Ситникова и Hq — приведенные когомологии Чеха с коэффициентами в абеле- вой группе G. Хорошо известно (ср. [13J), что Й*(;0)ъ*К(ву{) (2) по крайней мере для пространств, которые мы рассматриваем. Следовательно, из теоремы 3.1 и простых рассуждений о точных последовательностях имеем изоморфизм Н*р(Х; С)^КЩр{Х) (3) для любой группы коэффициентов G. Этот результат имеет непосредственное отношение к теореме 7.1 из [4], в которой фактически установлен изоморфизм Н*р(Х; Z)^Hp(\S(X)\; Z). (4) Здесь X.— связный метризуемый компакт и S (X) — его шейповый сингулярный комплекс. Последний определяется аналогично тому, как это делается при построении обычного сингулярного комплекса S (X). Сингулярными симплексами комплекса S (X) по определению являются все шейповые (а не только непрерывные) отображения оп\ Ln -> X. Имеет место (см. [6]) следующая Теорема 4.1. Пусть X — пунктированный связный метрический компакт, Y — односвязный пунктированный GW-комплекс, все т-мерные остовы которого компактны. Тогда существует гомотопическая эквивалентность \S(XAY)\^\S(X)\A\S(Y)\: (5) Следствие 4.2. Для конечнопорожденной абелевой группы G и связного метрического компакта X с отмеченной точкой существует изоморфизм КЩр(Х)**Нр(\5(Х)\; G). Если dimX<^oo, то эта группа изоморфна HS(X\ G). Доказательство. Пространства К(G, I) спектра К(G) = {K(G, Z)} имеют компактные m-мерные остовы при любом т и односвязны, если I ^ 2. Применяя теорему 4.1, получаем K<&p(X) = limKh(Sp+k, K(G, k)7\X)^ljmKh(Sr+\ | S(K(G, k) Д X)|)« «UmtfJS'**, K(G, k)A\S(X)\) = Hp(\S(X)\; G). Второе утверждение следует из (3). Из следствия 4.2 и (2) видно, что теорема двойственности Стинрода— Ситникова является частным случаем теоремы 3.1. Кроме того, следствие 4.2 содержит дополнительную информацию о группе Hsp. Для G и X таких же% как и в следствии 4.2, справедлива теорема об универсальных коэффициентах, т. е. точна расщепляющаяся (не функториально) последовательность О -> HI (X) ® G -*HI(X; G) -> Щ_у (X)*G^ 0. Это немедленно следует из следствия 4.2 и гомологической алгебры. Впервые этот результат был получен Е. Г. Скляренко [14]. Его доказательство отличается от нашего. Мне не известно, как получить изоморфизм (3) (возможно, для произвольного метрического пространства X, а не только для XciSn) без использования какой-нибудь теоремы двойственности. 18
Хорошо известно, что из (1) следуют все другие теоремы двойственности для (ко)гомологий с коэффициентами в абелевой группе G, а также многочисленные геометрические применения, например такие, как определение размерности пространства XaSn через инварианты расположения (по отношению к конкретному вложению). Интересующийся читатель отсылается к классическим трудам на эту тему. 2. Теорема двойственности для произвольного спектра. Впервые теорема этого типа была установлена Дж. У. Уайтхедом в [17] для конечного полиэдра, Случай компактных пространств рассмотрен в [1, с. 259, теорема 10.6]. В этой теореме многообразие Мп не обязательно компактно и может иметь непустой край дМп. Пусть Е — GW-спектр, являющийся F-модулем, и Мп ориентируемо над/7. Тогда для любой компактной пары {К, L), К С Мп такой, что Kf)dMn CZ L, имеет место изоморфизм D: sEp(Mn\L, Мп\К)^Ёп-Р(К, L), p£Z. (6) Здесь по определению *ЕР(Х, Y) = EP(X', Y1), (7) где (Х\ Y') — любая пара CW-комплексов слабо гомотопически эквивалентная (X, Y). Таким образом, 8Ер определяется с точностью до изоморфизма (который можно сделать каноническим). Аналогично можно определить и 8Eq* Теперь для произвольной пары компактов (X, Y), X С Мп, положим Ё*(Х, Y) = \im8E9(U, V), (8) где предел берется по всем парам открытых в Мп множеств (С/, V) ZD (X, Г). Можно показать, что Ёя не зависит от конкретного вложения X С Мп. Для компактного многообразия Мп и компактной пары (К, L) можно показать, что имеют место изоморфизмы 8EP(M*\L, Mn\K)^Ep(Mn\L, Мп\К), (9) Eq(K, L)^Eg(K, L), (10) поэтрму (6) — частный случай теоремы 3.4 для компактных многообразий. Однако заметим, что с помощью последовательности Майера—Виеториса изоморфизм (6) можно получить из 3.1—3.4 для произвольного многообразия М'\ (Указание: любая компактная пара (К, L) всегда содержится в компактном подмногообразии (с краем).) Замечание. Требование компактности многообразия Мп в теоремах 3.3, 3.4 можно значительно ослабить, по крайней мере для компактных пар (X, А). Мы наложили это ограничение лишь для удобства. 3. Отношение к jK-теории и функциональному анализу. Эта новая область приложения двойственности Александера—Понтрягина возникла и» совместной работы Л. Брауна, Р. Дугласа и П. Филмора (см. [9] для дальнейших ссылок) по теории операторов. В последующей работе Д. Кана, Д. Каминкера и К. Скочета [11 ] установлены более тесные связи с 7£-теорией. Прежде чем пройти весь путь от теории операторов к двойственности Александера—Понтрягина через if-теорию, мы рассмотрим теорему двойственности, содержащуюся в [11]. Для любого спектра Е и компакта XaSn имеет место изоморфизм Esp(X)ttE*(Sn\X), p + q = n-l. (И) 19
Здесь Е% — (приведенные) гомологии, называемые «гомологиями Стинрода с коэффициентами в спектре Е». Они определяются с помощью GW-спектра F (X), являющегося GW-заменой для функционального спектра {F(X, Sn)} = {S«x). По определению Е*(Х)=Е-'(?(Х)), где когомологии Е* ( ) для спектра — простое обобщение когомологий для пространств. В общем случае Е,(Х)*Е8Р(Х), но для CW-спектра Е имеется изоморфизм Е8,{Х)жЕр(Х). (12) Это следует из теорем 2.4, а), 3.2 и (11). Для произвольного Е можно легко описать гомоморфизм Esp (X) -> Ер (X), который, вообще говоря, ни сюръек- тивен, ни инъективен. В случае, когда спектр Е является спектром комплексной ЛГ-теории (т. е. E = BU), получаем наиболее важные приложения. В данном случае Е8(Х) = =Ер(Х) для X С Sn, BU является, очевидно, CW-спектром. Е8 (X) допускает следующее неожиданное описание (см. [9]). Пусть С (X) — С*-алгебра комплексно- значных непрерывных функций на X, ££ — ограниченные линейные операторы комплексного гильбертова пространства и о% — компактные операторы. Положим ЭД = Х\М- Эта алгебра называется алгеброй Калкина. Всякое ^-вложение г: С (X) -> ЭД называется расширением и может быть описано точной последовательностью 0->^->е^С(Х)->0; здесь е — С*-алгебра, содержащая единичный оператор. Введя понятие эквивалентности расширений, можно получить множество классов эквивалентности Ext(X), которое оказывается абелевой группой. Более того, возникает функтор из Com в категорию абелевых групп. Функтор Ext обладает следующими замечательными свойствами: 1) (Периодичность.) Существует изоморфизм Ext (X) « Ext (£2 X). 2) Пусть X и У имеют одинаковый шейп в смысле Борсука (согласно теореме 1.4 X и У эквивалентны в ComJ, тогда существует изоморфизм Ext (Х)« Ext (У). 3) Определим гомологии ея(Х), n^Z следующим образом: [ Ext (X), п нечетно, %(%) = [ Ext(EX), п четно. Тогда существует естественный изоморфизм вя(Х)^Кл(Х)(=Ви.(Х)), где X — конечный полиэдр. Однако наиболее важным достижением явилось установление изоморфизма вя(Х)ъВия(Х), (13) где X — любой метрический компакт (по крайней мере конечной размерности). 20
Изоморфизм (13) устанавливается с помощью результатов работы [1] и (12) (т. е. используются теоремы двойственности, отсюда — требование конечной размерности пространства X). Следовало бы найти прямое доказательство этого факта, основанное на теоретико-шейповых рассуждениях (и поэтому, возможно, справедливое не только для конечномерных X). Очевидно, что свойства 1)—3), а также функторртльность Ext следуют из (13). Первоначально функтор Ext был введен для нужд функционального анализа. Назовем оператор Т £ X существенно нормальным, если ТТ* — Т*Т £ о%. Скажем, что 7\, Т2£Х эквивалентны (Тг = Т2), если существуют унитарный оператор U и Компактный оператор К такие, что TX = UT2U* + K. (14) Другими словами, Тг с точностью до преобразования координат является компактным возмущением оператора Т2. Пусть т]: X -> Х\<Й = Я& — проекция. Спектр а7](Г)=ае(Г) с С называется существенным спектром оператора Т£Х- В 1935 г. Дж. фон Нейман доказал, что Т1 = Т2 тогда и только тогда, когда <*в(Т1) = ав(Т2). В 1971 г. Бергу удалось доказать это для нормальных операторов. Случай существенно нормальных операторов был изучен Л. Брауном, Р. Дугласом и П. Филмором. Оказалось, что для эквивалентности существенно нормальных операторов недостаточно совпадения их спектров (см. [9]). 7\=Г2 тогда и только тогда, когда 1) ае(Гх) = ае(Т2) и 2)ind(7\— X/) = ind(r2— X/) для любого X из ограниченной компоненты дополнения к ое (Т1) = ав (Т2). Не останавливаясь более на проблемах функционального анализа, наметим коротко связь между предыдущим утверждением и двойственностью Алексан- дера—Понтрягина. Через ет обозначим ^-подалгебру алгебры X, порожденную оператором 7', единичным оператором и М- Пусть [Т] £ Ext (X) = ег (X) — класс расширения 0 -* <й, -> ет -> гт\$1 я^ С (X) -> 0. Имеем изоморфизм Ext (X)« BU\ (X) ~ BU0 (С \ X) « #° (С \ X), (15) где ае(Т) = XcC = R2 и а — изоморфизм Александера—Понтрягина. Последний изоморфизм имеется лишь для компактного подмножества плоскости. С другой стороны, Н°(С\Х) — множество целочисленных локально постоянных функций ср на ограниченных компонентах пространства С\Х. Кроме того, можно показать, что при изоморфизме (15) классу \Т] соответствует функция ind(T— Х/) = ср(Х), поэтому если Тг=Т2, то ind(7\ — Х/) = = ind(T2—X/) и наоборот. Конечно, для тополога было бы очень желательным найти более прямое доказательство, чем то, которое мы наметили. Глядя на первоначальную задачу из функционального анализа, трудно было ожидать, что имеется столь тесная связь между нею и двойственностью Александера—Понтрягина. Я думаю, что очень приятно знать о существовании такого конкретного приложения этого довольно абстрактного материала. 4. 8-двойственность. Двойственность Александера—Понтрягина происходит из следующего вопроса: какие топологические свойства пространства Y = Sn\X определяются пространством X (а не спецификой вложения). Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что теоремы двойственности Александера—Понтрягина (начиная с первоначальных утверждений Александера и кончая, возможно, теоремами 3.1, 3.2) показывают, что гомологические свойства X определяют гомологические свойства Y и наоборот. 21
Хорошо известно, что слово «гомологические» нельзя заменить на слово «гомотопические». Например, фундаментальная группа ъг (S*\S1) — инвариант узла, т. е. инвариант конкретного вложения S^-dS3. Однако, стабильные гомотопические инварианты X определяют стабильные гомотопические инварианты Y и обратно. Поскольку гомологические инварианты a fortiori являются стабильными гомотопическими инвариантами (но не наоборот!), ^-двойственность, очевидно, сильнее двойственности Александера—Понтрягина. Однако -^-двойственность определена (см. [15]) Э. Спеньером и Дж. Г. Уайтхедом лишь для конечных полиэдров, тогда как двойственность Александера—Понтрягина согласно фундаментальным результатам К. Ситникова, П. С. Александрова и других применима к любым подпространствам X(zSn. Проблема распространения ^-двойственности на произвольные подпространства X(zSn, возможно через использование подходящей категории шейпов, очень сложна. Следует иметь в виду обескураживающие контрпримеры, принципиально исключающие наивное распространение 5-двойствен- ности на произвольные категории (например, на категорию Бордмана). Наша категория шейпов К недостаточно хороша для общей ^-двойствен- ности, однако мы можем переформулировать теорему 3.1 таким образом, что ее можно будет считать первым шагом к общей ^-двойственности. Рассмотрим категорию <#*, объектами которой являются пары X = (X, т)у X С Sn, ra£Z, а множество морфизмов {(X, т), (F, т)} из объекта (X, т) в (У, т) совпадает с lim Кh (Em+?X, £™+?7). я. Определяя д-произведения объектов (X, т) Д (Y, m) = (X7\Y9 т~\~т) и морфизмов, мы расширим категорию <^°. Имеем надстройку И (X, т) = (X, т --J- 1), которую мы, как обычно, отождествляем с (ЕХ, 'т). Вместо (X, 0) мы пишем коротко X. Пусть X = (X, х0), X С Sn. Положим D,X = (S'\{x0))[JC(S-\X), считая, что отмеченной точкой в DnX является вершина неприведенного конуса. Для каждого (X, т)£$* положим Е-!(Х, т) = (Х, т—1). Теорему 3.1 можно переформулировать следующим образом. Теорема 4.3. Пусть X С Sn — компакт с отмеченной точкой, p-\-q — ny р, q£Z, Z = (Z, 0)£(^\ Тогда имеет место изоморфизм {SP, X A Z) « {1ГЮПХ, Z), естественный по X и Z по отношению к вложениям. Доказательство. Имеем {Sp, X Д Z) =Ер (X), {Z~*Y, Z)^Eq(Y)y где E = {%lZ) — надстроечный спектр. Следовательно, из теоремы 3.1 вытекает теорема 4.3. 5. Заключительные замечания В центре предыдущих результатов стоят гомологии Стинрода—Ситникова во всех их разнообразных аспектах. Они были придуманы Н. Стинродом [161 в 1940 г., временно забыты и снова открыты в 1951 г. К. Ситниковым в другой, более приемлемой форме [3]. В 1960 г. Дж. Милнору удалось дать изящное аксиоматическое описание гомологии этого типа. После этого прошло более пятнадцати лет, пока несколько авторов более или менее одновременно 22
обнаружили тесные связи между Щ и теорией шейпов. В частности, в работе [4] было показано, что в сильной теории шейпов гомологии с целыми коэффициентами Щ (; Z) — не что иное, как сингулярные гомологии. Более того, много естественных функторов в различных областях топологии и ее приложений, частично давно известных, частично открытых недавно, выявили себя как шейповые гомологии (или когомологии) с коэффициентами в подходящем спектре. В этом контексте функторы Ер наиболее естественно подходят для формулирования многих теорем и одновременно проявляют себя как могущественный инструмент для решения отдельных проблем. В математике, как и вообще в жизни, естественно и обычно, что* идеи и темы исследований возникают мгновенно, овладевая умами многих математиков одного поколения, и уходят в забвение некоторое время спустя. Принимая это обычное явление жизни, приятно осознавать, что по отношению к гомологиям Стинрода—Ситникова природа имеет совсем другие планы, дающие своего рода возрождение, о котором никто ранее и не мечтал. Тесными узами связаны мы с нашей историей; поэтому мы не забываем, что все то, что мы теперь пытаемся осуществить с большим или меньшим успехом, так или иначе оцениваемым обществом, берет начало из фундаментальных геометрических идей П. С. Александрова и его выдающихся учеников, которые более 50 лет назад обратились к изучению геометрических структур таких, как размерность подпространств евклидовых пространств. Тесная связь между алгеброй и геометрией никогда не проявлялась столь ясно, как в этих результатах (например, в гомологической размерности). Вспомним в этом контексте знаменитую работу [2]. Говорят, что Ф. М. Достоевский сказал о «Шинели» Гоголя: «Мы все вышли из „Шинели"». Точно так же я могу сказать о всех нас, работающих в этой области алгебраической топологии: «Все мы вышли из „Gestalt und Lage"». ЛИТЕРАТУРА 1. Adams F. Stable homotopy and generalized homology: Chicago Lect. Not. in Math.: Univ. Chicago, 1974. 2. Alexandroff P. S. Untersuchungen tiber Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen be- liebiger Dimension. — Ann. Math., 1928, 30, p. 101—187. 3. Александров П. С. Топологические теоремы двойственности. II. — Труды МИ АН СССР, 1959, 54, с. 1-136. 4. Bauer F. W. A shape theory with singular homology. — Pacif. J. Math., 1976, 62, N 1, p. 25-65. 5. Bauer F. W. Some relations between shape constructions. — Cah. topol. et geom. different., 1978, 19, N 4, p. 337-367. 6. Bauer F. W. Duality in manifolds. 7. Bauer F. W. Homotopietheorie. Manheim, 1971. Hochschultaschenbucher. 8. Borsuk K. Theory of shape. Warszawa: PWN, 1975. (Monogr. mat., vol. 59). 9. Brown L.G., Douglas R. G., Fillmore P. A. Extentions of C*-algebras and /f-homology.— Ann. Math., 1977, 105, N 2, p. 265-324. 10. Dugundji J. Note on CW polytopes. — Portug. math., 1952, 1, p. 7—10. 11. Kahn D. £., Kaminker /., Schochet С Generalized homology theory on compact metric spaces. —Mich. Math. J., 1977, 24, p. 203—224. 12. Milnor J. On the Steenrod homology theory: Mimeographed notes. Berkeley, 1960. 13. Morita K. Cech cohomology and covering dimension for topological spaces. — Fund, math., 1975, 87, p. 31-52. 14. Скляренко E. Г. Теория гомологии и аксиома точности. — УМН, 1969, 24, № 5 (149), с. 87-140. 15. Spanier Е., Whitehead J. Н. С. Duality in homotopy theory. — Matematica, 1955, 2, p. 56-80. 16. Steenrod N. Regular cycles of compact metric spaces. — Ann.Math., 1940, 41, p. 833—851. 17. Whitehead G. W. Generalised homology theories. — Trans. Amer. Math. Soc, 1962, 102, p. 227—283.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Н. А. БЕРИКАШВИЛИ (Тбилиси, СССР) ОБ АКСИОМАТИКЕ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ СТИНРОДА-СИТНИКОВА НА КАТЕГОРИИ КОМПАКТНЫХ ХАУСДОРФОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Введение Теория гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных метрических пространств была аксиоматизирована Дж. Милнором [25] и Е. Г. Скляренко [12]. Существует ряд определений точных теорий гомологии на категории компактных пространств [25, 15, 16, 3, 6—9, 13, 17, 23], которые на категории компактных метрических пространств совпадают с теорией Стинрода—Ситникова. В работах [2, 6, 7, 13] устанавливается, что многие из возникших теорий гомологии изоморфны между собой и, более того, дается описание некоторых общих способов построения теорий гомологии, приводящих к изоморфным теориям. Мы в данной работе приводим несколько вариантов аксиоматики теории гомологии на категории компактных хаусдорфовых пространств, однозначно характеризующих теорию гомологии. Один из этих вариантов в качестве гипотезы высказывался в [2]. Подход, применяемый ниже, заключается в замене компактного хаусдорфова пространства пределом обратного однозначного симплициального спектра нервов его конечных покрытий, обладающего тем преимуществом, что он имеет естественную фильтрацию по остовам комплексов спектра. Выбираемые аксиомы призваны обеспечить проведение по этой фильтрации аналога стандартного доказательства теоремы единственности теории гомологии на полиэдрах (или, что то же самое, аналога построения спектральной последовательности Атьи—Хирцебруха). По этой необходимости по основной системе аксиом далее ищутся эквивалентные системы (теоремы 4.4, 4.8 и 4.6). Мы ниже для некоторого класса экстраординарных гомологии строим спектральную последовательность, аналогичную спектральной последовательности Атьи—Хирцебруха и начинающуюся в гомологиях Стинрода— Ситникова. Такая спектральная последовательность для так называемых экстраординарных гомологии Стинрода на конечномерных метризуемых компактных пространствах была построена в [21]. В разделе 1 собраны необходимые для дальнейшего сведения, в разделе 2, следуя [10], излагается теория гомологии Чогошвили. В разделе 3 доказывается основная теорема 3.1 и эквивалентное ей предложение 3.2, а также обратная к теореме 3.1 теорема 3.4. В разделе 4 даются аксиоматики теории гомологии Стинрода—Ситникова. 24
Внимание автора на интерес нахождения аксиоматики для теории гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных пространств было обращено В. И. Кузьминовым и Л. Д. Мдзинаришвили. Основные результаты анонсированы в заметке автора [1]. Основываясь на том же подходе, X. Н. Инасаридзе и Л. Д. Мдзинаришвили [28] дали еще одну аксиоматику теории гомологии Стинрода—Ситникова. 1. Предварительные замечания Теорема Нобелинга, в частности, утверждает [26]: если F — множество, то группа конечнозначных целочисленных функций на нем {т. е. функций f:F-+Z таких, что f (F) — конечное множество) — свободная абелева группа. Этот результат далее применяется через теорему Каупа—Киина о прямых спектрах свободных модулей. Именно верна Теорема 1.1 (Кауп—Киин [23]). Пусть дан обратный спектр {Fa, пЛ конечных множеств с отмеченными точками (*)a(:Fa и с сохраняющими отмеченные точки отображениями. Пусть далее {Са, sa^} — прямой спектр А-модулей с тем же множеством индексов. Тогда lim {Са, s») — свободный А-модуль, если выполняются два условия: (а) Са — свободный модуль, базис которого — множество Fa \ (*)а; (Ь) для любой пары а <^ [3 и ж £ F~\ (*)а имеем вф (х) = 2 е.у.9 где у. £ F^, ^у< = х и е. = ± 1. Заметим, что в первоначальной формулировке коэффициент е = —1 отсутствует, но доказательство остается почти без изменения: считая, что A = Z и G(F), F — limFa, означает группу из теоремы Нобелинга, строится (неоднозначно) вложение lim {Са, sa^} С G (F) и, следовательно, lim Са — свободная группа; общий случай получается тензорным умножением на Л. Следствие 1.2. Пусть {Са, sa^} — прямой спектр теоремы Каупа— Киина, удовлетворяющий условиям (а) и (Ь) теоремы, и пусть G — некоторый А-модуль. Тогда для обратного спектра A = {Ga, iz^}, Ga = Нот a (Ca, G) имеем \\mip)A = 0 при p^>0. Доказательство. В силу теоремы Рооса [27] существует сходящаяся спектральная последовательность Ef>* = limip)Exb'(Ca9 G) => Ext1** (lim Са9 G). Так как Са — свободные модули, то Е%> я = 0 при q=j£=0, поэтому Е$»° = Е^ ° = = Extp (lim Са, G). Так как модуль ИтСа свободен, то Extp (lim Са, G) = О при р>0; поэтому 0 = #£'° = limCp)Ga при />>0. Будем рассматривать обратный спектр ($? = {Ка, tz^} конечных симпли- циальных комплексов, где п^ :Ка^>К^ — симплициальные отображения. Если для каждого индекса ав^ задан подкомплекс La так, что rcapLp С La, a <[ (3, то X = {La, 7cap} является также спектром и будем писать X С Ж и говорить, что (о%Г, X) составляет пару симплициальных спектров. Если G — Л-модуль, то для пары (о/Г,' X) определяется проекционный модуль гомологии. Это — модуль гомологии цепного комплекса -* Cp+i -^Ср-* Ср-\ -* f Ср(Ж, X; G)=\un{Cp(Ka, L- G), ^} (1.1) 25
и д определен покоординатно. Для простоты мы под цепями симплициального комплекса понимаем ориентированные цепи. Аналогично определяется проекционный модуль когомологий. Именно пусть С*(сйГ, if; G) = lim{C*(tfe, La; G), ^}, (1.1') тогда Mp (о/Г, «5?; G) определяется как модуль гомологии коцепного комплекса {Ср(Ж, Х\ G), §}. Если G = A, то, как обычно, вместо С*> (off, %\ G) будем писать С*(оГ, £) и т. д. Имеем Ср(Ка, La; G) = H6fnA(Ср(Ка, La), G) и в силу (1.1) будем иметь Ср(Ж, Х\ G) = HomA{lhnC*(#a, LJ, G} = HomA {С (оГ, if), G}. (1.2) Следствие 1.2 теоремы Каупа—Киина немедленно дает Следствие 1.3. limCt) {Ср(Ка, La; G), тса;3}=0, /^>0. Так как имеем точную последовательность обратных спектров 0^{Cp(La, G), к)^{Ср(Ка, G), *}-+{Ср(Ка, L- G), п}^0, то имеем точную последовательность О -* lim {Ср (L„ G), к) -> lim {Ср (К„ G), к) -* -> lim {Ср (Ка, ЬЛ; G), *} -> Нт"> {Ср (La, G), *} -> ... ' В силу следствия 1.3 имеем, следовательно, Следствие 1.4. Точна последовательность цепных комплексов о->с,С5?, £)^б;(оГ, G)-*c,ffl, 2; G)-o. Теорема Каупа—Киина и формула (1.2) немедленно дают два следствия. Следствие 1.5. Модуль СР((Ж, if) свободен. Следствие 1.6. Если А— кольцо главных идеалов, то имеем точную последовательность ■ 0^ЕхЦЖи+1(о/Г, #), С)-»ЖЛо#\ if; С)^НотА(Жи(^ #), G) -> 0. Если (Ж — обратный спектр абстрактных симплициальных комплексов, то его реализацией будем называть топологическое пространство | о/Г |, являющееся обратным пределом реализаций комплексов и проекций спектра, т. е. le/fl^HmfltfJ, К3|}. Это пространство допускает естественную фильтрацию: определим ¥р\<Ж\ как Нт{|*>.|, |««,|}с|оП где Кр обозначает /?-остов комплекса Ка. Таким образом, F \ (Ж | = 0 при р<^0. Эту фильтрацию мы будем называть стандартной фильтрацией. Заметим, что, вообще говоря, фильтрация не покрывает все пространство |о/Г|, если только размерности комплексов спектра не ограничены в совокупности. Тривиально проверяются следующие два предложения. Предложение 1.7. Пусть {(Ха, FJ, тса3)—обратный спектр компактных пар и пусть (X, Y) его предел. Тогда (X/Y, *) = lim {(XJY^ *), тга3}. Предложение 1.8. Пусть {(Ха; XI, XI), тса3}—обратный спектр триад и пусть Z1 = lim{Z1, тс}, X2 = lim{X«, тс}. Тогда Пт {XI w XL п) — = Хг^Х2. *~ *~ *~ 26
Из этих предложений непосредственно следует Предложение 1.9. Пусть {<Ж, X) — пара симплициалъных спектров и F | оуГ | — стандартная фильтрация пространства \ Ж |. Тогда пара (Fp\^\^\^\/Fp_1\^\^\^\, *) гомеоморфна обратному пределу спектра пар {(£f, *), ^а?), где Si = \Ki\^\La\/\K{-^\LX и, следовательно, является букетом р-мерных сфер, по сфере для каждого р-симплекса из Ка \ La, а ^ индуцировано от тсаЭ и поэтому каждую сферу или отображает в отмеченную точку (если симплекс отображается в подкомплекс Ьа или размерность симплекса понижается), или переводит гомео- морфно на одну из сфер букета Spa. Ниже под сходимостью спектральной последовательности понимается строгая сходимость в терминологии [4], т. е. Ер,д=>А, если: (1) дана возрастающая р фильтрация F А градуированного модуля А; (2) \jFpA = A и естественный гомоморфизм А -+ lim A/FA является изоморфизмом (если E2Pt q = 0 при /?<^0, то это эквивалентно условию FpA = 0 при р<С0); (3) для каждого р дан гомоморфизм и : FpAp+q -+ Е^ q и точна последовательность Под £°° понимается, как обычно, прямой предел lim Хп модулей Хп, где Хп — обратный предел бесконечной диаграммы Jy Здесь ik — тождественное отображение циклов относительно дифференциала dk и / — естественное эпиморфное отображение. Под морфизмом одной сходящейся спектральной последовательности в другую понимается пара (/, ср), где / : {Ег} -^ {'Ег) — морфизм спектральных последовательностей, а ср : А -> 'А — сохраняющий фильтрацию гомоморфизм градуированных модулей такой, что /00огг = ггоср00. Далее для двух сходящихся спектральных последовательностей Е => А и '£ => 'А будем говорить, что гомоморфизмы ф: E2Ptq -> 'E2p_1}q и ^1\А->'А совместимы между собой, если для любой пары элементов (х, a), x^Ep>q, a^FpAp+q, такой, что х доживает до £°°, х£х£/?°°, и x=iu(a), пара (фж, фха) является такой же парой. 2. Теория гомологии Чогошвили; пространство |^>Г(^Г)[ Напомним в основных чертах теорию гомологии Чогошвили [15, 16, 9,10]. Пусть (X, А) — пара компактных хаусдорфовых пространств. Пусть а = = (ei> е2> • • •» ек) — конечное разбиение множества X, т. е. е. — произвольные подмножества X такие, что е{f|e. = 0, i=^j, и []е{ = Х. Пусть ё.— замыкание множества ег Обозначим через Na(X) нерв замкнутого покрытия (ev ё2, . .., ёк). Очевидно, егС\А, e2f]A, . . ., ekf]A — разбиение множества А; нерв замкнутого покрытия (ёгС\А, . . ,,ёкС\А) обозначим через Na(A). Имеем включение /Va (А) С Na (X). Если (3 = (е[, е'2, . . ., е'п) — другое разбиение множества X, то (В > а, если для каждого е'. найдется такое eJy что е'. С е\\ тогда е. однозначно определено и это соответствие определяет симплициальное 27 г" А к (ЕП) J/ Е , ZU /7 + 1 ' к Z>7 + 1 У с"", Е . / */ Z(E n + Z \ ln+z п+г
отображение нервов к^: Np(X)-> Na(X). Очевидно, tzN^(A) С Na(A). Так получается однозначный обратный спектр конечных симплициальных комплексов и симплициальных отображений (ШХ), Na(A)), V- С2-1) Проекционный модуль гомологии этого спектра относительно модуля G называется модулем гомологии Чогошвили пары (X, А) и ниже будет обозначаться через Нр (X, А\ G). Очевидным образом определяется индуцированный гомоморфизм этой теории. В силу следствия 1.4 определен и граничный гомоморфизм теории. Хорошо известно, что проекционный модуль когомологий спектра (2.1) изоморфен обычной теории когомологий Александрова—Чеха, поэтому в силу следствия 1.6 теория Чогошвили удовлетворяет функториальной точной последовательности 0->Ext(#w+1(X, Л), G)->Hn(X, A; G)^Eom{Hn{X, A), G)->0, (2.2) где Н* означает когомологий Александрова—Чеха с коэффициентами в А. Отсюда мгновенно следует [25, 10], что Нп удовлетворяет всем аксиомам Эйленберга—Стинрода и Милнора. Следовательно, в силу теоремы единственности Милнора теория Чогошвили на категории компактных метрических пространств изоморфна с теорией гомологии Стинрода—Ситни- кова [10]. Для компактного хаусдорфова пространства X пусть N (X) означает симплициальный спектр (2.1) для пары (Х,0) и пусть \N (Х)\ — его реализация (см. раздел 1), т. е. \N(X)\ = lim{\Na(X)\, К3|}. Это компактное пространство тесно связано с исходным пространством X (имеет, очевидно, те же группы когомологий Александрова—Чеха, что и X) и обладает тем преимуществом перед X, что имеет фильтрацию. Следуя [2, 22], определим отображение a):|/V(X)|->X (2.3) следующим образом. Если у = {у J £ | N (X) |, уа £ | Na |, то пусть аа — симплекс носитель элемента уа; тогда если oa={ei-i, et-2, . . .. eis), то обозначим |оа| = ё^П ••• П £** CZ X; система {|oJ} для данного у является центрированной, поэтому пересечение П I aa | непусто; так как пространство X хаус- дорфово, это пересечение содержит одну точку и по определению а) (у) — эта точка. Легко проверяется, что <о непрерывно. Далее со индуцирует изоморфизм групп когомологий Александрова—Чеха [2]. Мы используем ниже и более точный факт: Лемма 2.1. Для х£Х пространство со-1 (х) является пределом обратного симплициалъного спектра конечных ацикличных непустых подкомплексов нервов \Na(X)\. Доказательство. Пусть х0^Х; в Na(X) определим подкомплекс Fa так: если а = (е1? . . .,ek), то aa = (eii9 . . .,eia)£ Va тогда и только тогда, когда | оа | Э хо- Очевидно, Va является конусом. Далее если a < (В, то очевидно n*(Vp)a Va, т. е. {Fa, тсар} является спектром. Легко проверяется, что 28
Пусть для пространства X дан симплициальный спектр о/Г= {Ка, иар} такой, что: (1) Ка является нервом некоторого конечного открытого покрытия X; (2) если а <[ (3, то С/"р вписано в Ua; (3) тсар — одна из проекций нервов; (4) для каждого открытого покрытия существует вписанное в нем Ua. Тогда определено со : | q/Г | -* X, индуцирующее изоморфизм когомологий [2]. (При определении со в этом случае носители | оа | нужно замыкать.) Верно утверждение леммы 2.1. Этот спектр в [2] называется спектром над X. 3. Спектральная последовательность Мы в этом и следующих разделах будем рассматривать теории гомологии над категорией пар компактных хаусдорфовых пространств. Всегда будет предполагаться, что теория гомологии удовлетворяет всем аксиомам Стинрода— Эйленберга, а экстраординарная теория гомологии — всем аксиомам Стинрода— Эйленберга, кроме, возможно, аксиомы размерности. В этом разделе для теории п^(Х, А) дополнительно используются следующие аксиомы А, В и С. Аксиома А [14, 25, 12|. Проекция (X, А) -> {Х/А, *) индуцирует изоморфизм hn(X, A)=hn(X/A, *). Аксиома В. Для натурального числа п и обратного спектра пар {(S™, *), ттЛ, где 5^ — конечный букет n-мерных сфер, а тс- — отображение, переводящее каждую сферу букета либо в отмеченную точку, либо гомео- морфно на сферу букета, имеет место равенство ht(lba {(S;, *), «вр}) = 1ш1 {h,(S;, *), *„,}. Пусть (в обозначениях предыдущего раздела) ht (X, А) = lim {ht (Fp\N(X)\^\N (А) |, | N (А) |), ip> р_1), V где Fp\N(X)\ — стандартная фильтрация реализации спектра (см. раздел 1). Тогда функтор h точный и отображение со определяет преобразование функторов ht(X, A)-+ht(X9 А), совместимое с граничным гомоморфизмом. Аксиома С. Для любого X отображение hi (X) -> h. (X) — изоморфизм. Теорема 3.1. Если экстраординарная теория гомологии hn(X, А), определенная на категории компактных хаусдорфовых пространств, удовлетворяет аксиомам А, В и С, то: (а) существует функториалъная сходящаяся спектральная последовательность Е* =Нр(Х,А; hq(*))^hp+g(X,A), Р где Н — теория Чогошвили; (Ь) граничный гомоморфизм д: hn (X, А) —> hn_x (А) уменьшает фильтрацию на I и совместим с граничным гомоморфизмом теории Н; (с) если теория h не удовлетворяет аксиоме С, то предыдущие два пункта верны с заменой h на h. Доказательство. Очевидно, достаточно доказать пункт (с) теоремы, т. е. пункты (а) и (Ь) для h. Для спектра комплексов N (X) рассмотрим стандартную фильтрацию пространства \N(X)\: Fp\N(X)\ = lim{\Na(X)\P,^}. 29
Эта фильтрация дает сходящуюся спектральную последовательность гомологии E1P,q = K+q(Fp\K{X)\^\N{A)\, Fp_1\N(X)\^\N(A)\)^. ^lim{hp+q(Fs\N(X)\^\N(A)\, \N(A)\), j,^) = hp+q(X, A). * 1* Вычислим второй член этой спектральной последовательности. Аксиома А дает, что E],,g=hp+q(Fp\N(X)\^\N(A)\IFp_1\N(X)\^\N(A)\, *). Из предложения 1.9 следует равенство (Fp\N(X)\^\N (A)IF^ \N(X)\^\N (А) |, *) = lim {(S*, *), «}, где S? — букет /^-мерных сфер, взаимно однозначно соответствующих /ьмер- ным симплексам Na(X)\Na(A). Применяя аксиому В, отсюда получаем Elq = Yun{hp+q(SP, .)«}, т. е. Е1 _lim {аЕр д, тс}, где аЕр—1-член спектральной последовательности Атья—Хирцебруха комплекса (| Na (X) |, | Na (А) |). Следовательно, aEle = Cp(Na(X), Na(A); ht(*)) и поэтому" Ep>q = lun{Cp (N„ (X), N» (А); \ (*)), *} = = Cp~(N(X), N(A); hq{*)) = Cp{X, A; hq (.)). Так как в спектральной последовательности Атьи—Хирцебруха dx совпадает с граничным гомоморфизмом в комплексе, то dx в нашей спектральной последовательности совпадает с граничным гомоморфизмом в теории Чогошвили и, следовательно, Ept д = Нр (X, A; hq (*)). Если / : (X, А) -> (F, В) — непрерывное отображение, то естественно определено отображение f :(\N(X)\, j N (А) |)-> (| N (Г)|, |7V(J5)|); оно перестановочно с отображением со и сохраняет фильтрацию, поэтому спектральная последовательность функториальна. Пункт (а) доказан. Доказательство пункта (Ь) по существу повторяет доказательство теоремы 9.1 главы III из [14|, фильтрация Fph(X, А), участвующая в теореме, возникает из диаграмм hp+q (X, А) Д hp+q (Fp\N(X)\^\N (А) |, | N (А) |) X ^hp+q(Fp\N(X)\^\N(A)\, Fp_1\N(X)\^\N(A)\) = = Ср(Х, A;hq(*)) (3.1) как образ гомоморфизма s. Из этих же диаграмм, используя t, определяется естественное преобразование и в точной последовательности О -* F,Jin (X, А) -* Fphp+q (X, А) -1 E«q -* 0. Покажем сперва, что гомоморфизм j:h(Fp\N(X)\, Fp_1\N(A)\)-+h(Fp\N(X)\, F,\N(A)\) является эпиморфизмом. Для этого достаточно доказать (это видно из точной последовательности тройки (Fp\N (Х)\, Fp\N(A)\, Fp_x \ N (А) |), что h(F,\N(A)\, Fp_1\N(A)\)-^h(Fp\N(X)\, Fp_1\N(A)\) — мономорфизм. Но это так, ибо композиция h(Fp\N(A)\, Fp_1\N(A)\)^h(Fp\N(X)\, F ^ N (А)\)-+ -*h(Fp\N(X)\, F^NWl) совпадает с вложением Ср(А, hq(*)) с Ср (X, hq(*)). 30
Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму, где все гомоморфизмы, кроме граничных, индуцированы вложениями пространств: .*^ИВД|^1^М)|/И \JIT(X)\v\/if(A)\)^A(£\m№\*(A)U\MAld t , t- h(Fp\NtX)\,Fp.,\N(X)\)*—HFp\N(X)\,Fp.,\N(A)\) *Щ\Л/(Х)\,£№)\)-?-*Л(Х,А)^^ ]' J' \г g V i<^.,\^X)\,^.2\^X)\)*-^(^_l\M(A)\,F^z\mA)\) ^-^.JWH) —*4i(A) Так как j — эпиморфизм, то правая половина диаграммы показывает, что dFph(X, A)aFp_1h(A). Пусть теперь х£Е\ q = Hp{X, A; hq(*))f у£Fphp+q(X, А) и и(у)=£, где ("): Е2 -> Е™ определено на подмодуле из Е2 элементов, на которых все дифференциалы исчезают. Нужно показать, что и дх £ Нр_г (A, hq (*)) доживает до Е00 и и(ду) = дх. Из диаграммы (3.1) видно, что существует такой элемент у, что sy = y и ty(*x. Так как в диаграмме (3.2) /—эпиморфизм, то для у выберем z£h(Fp\N (Х)\, Fp_x \ N (А) \) такой, что jz = y. Левая половина диаграммы показывает, что dz, dz(*h(Fp\N (А)\, F^ |/V (Л) |) = = Ср_1(Л, Л9(*)), лежит в классе dx£h(A, hq(*)). Следовательно, в силу коммутативности треугольника дх доживает до Е™; в силу коммутативности правой половины диаграммы видим, что и(ду)-=дх. Доказательство теоремы 3.1 закончено. Доказательство теоремы проходит очевидным образом для следующего предложения. Предложение 3.2. Пусть h — экстраординарная теория гомологийу удовлетворяющая аксиомам А и В, Пусть {<Ж, ££) — пара симплициальных спектров. Возникающая из стандартной фильтрации пространства \ $С I сходящаяся спектральная последовательность имеет вид E*tq = XpW,2; \{*))=>l\m{hM{Fk\M\v\2\, \2\)) р Т и граничные гомоморфизмы в гомологиях спектра (о/Г, X) и в lim {hn (Fk \ q/C | w к ^у\3?\)} совместимы. В следующем разделе будет доказано, что теория гомологии Чогошвили удовлетворяет аксиомам А, В и С. Используем это для доказательства теоремы 3.4, обратной теоремы теореме 3.1. Понадобится Лемма 3.3. Пусть дан прямой спектр сходящихся спектральных последовательностей {аЕг , аА), aErPtq=>aA; пусть далее nE*tq = 0 при р<^0. v Тогда если Erpq = l\m aErpq, Л=НтаЛ, то ErPtq=>A. а а Доказательство. Предполагается, что фильтрация аА и естественные гомоморфизмы и: Fp(aA)-> Е™ сохраняются при отображении из спектра. Пара (Er = lim JEr , dr = lim adr) является спектральной последователь- а а ностью. Л = ПтаЛ фильтруется подмодулями F A = limFp аЛ. Очевидно, О -> F^A -* FpA -* lim aE™q -> О точна. Легко усмотреть, что а 31
и что, так как E^q = 0 при /><0, то здесь изоморфизм. Поэтому имеем точную последовательность 0-+Fp^LA-+FpA-+EZ9-+0. Далее, так как аЕ сходятся и E^q = 0 при /><0, то Fp ЛА = 0 при /><0, поэтому FpA = 0 при р<^0. Следовательно, имеем Ег =>А. р Теорема 3.4. Если для экстраординарной теории гомологии h(X, А) на категории компактных хаусдорфовых пространств существует функто- риалъная сходящаяся спектральная последовательность Ч„=Hi> (*> А> К (*)) => Кг (х> А)> то теория h удовлетворяет аксиомам А, В а С. Доказательство. Если / : (X, А) -> (F, В) — относительный гомеоморфизм, то так как теория гомологии Н р (X, A, hq(*)) удовлетворяет аксиоме А, то / индуцирует изоморфизм вторых членов спектральных последовательностей, следовательно, /# : h (X, А)-> h(Y, В) — изоморфизм, т. е. h удовлетворяет аксиоме А. Пусть {(££, *), я} — спектр аксиомы В. Пусть (F, *) = lim{(Sj, *), тс}, тогда, так как Нп удовлетворяет аксиоме В, имеем Н. (F, *; G) = 0, если i^n. Поэтому спектральная последовательность для пары (F, *) вырождается и К (F, *) = Нп (F, *; hm_n (*)). Таким же образом hm\S;9 *) = Яи (5«, *, Лм (*)). Следовательно, Ат(Г, .) = Я,(У, *; йи_я(*)) = Ит{Яя(^, .; />_(*), *} = Ит {*„($;, *), *}, т. е. выполняется аксиома В. Проверим аксиому С. Спектральные последовательности hE* q — H(Fk\N(X) |, hq (*)) => /гр+д (7^. | TV (X) |) определяют прямой спектр спектральных последова- р тельностей. Поэтому в силу леммы 3.3 определяется предельная сходящаяся спектральная последовательность Elq = l\mkElt^limhp+s(Fk\N(X)\) = hp+g(X), k Р к так как Нп удовлетворяет аксиоме С, то E*tq = Hp(X, hg(*)). Далее, для каждого к спектральная последовательность для Fk | N (X) | отображается в спектральную последовательность для X, поэтому предельная спектральная последовательность отображается в спектральную последовательность для X и имеем изоморфизм на вторых членах; следовательно, lim hn (Fk | N (X) |) к изоморфен с hn(X), т. е. выполнена аксиома С. Теорема доказана. Из теорем 3.1 и 3.4 непосредственно следует, что класс экстраординарных теорий гомологии, удовлетворяющих системе аксиом А, В, С, совпадает с классом экстраординарных теорий гомологии, для которых верно E*,t = Bp(X,A;ha(*))=>h(XtA), Р где Н — теория .Чогошвили (=теория гомологии Стинрода—Ситникова (см. раздел 4)). 32
4. Единственность теории гомологии Доказанная в предыдущем разделе теорема 3.1 имеет следствием два следующих предложения. Предложение 4.1. Если теория гомологии на категории компактных хаусдорфовых пространств удовлетворяет аксиомам А, В и С, то сна изоморфна теории Чогошвили. Доказательство. Так как /г?(*) = 0 при #=\=0, то спектральная последовательность теоремы 3.1 вырождается и в силу п. (а) теоремы имеем Я =h9 а в силу п. (Ь) этот изоморфизм перестановочен с граничным гомоморфизмом. Предложение 4.2. Если теория гомологии h(X, А) удовлетворяет аксиомам А и В, то существует гомоморфизм теорий гомологии Hn(X,A;h0(*))^hn(X,A), тождественный на группе коэффициентов. Доказательство. Как в предыдущем случае, показывается, что Я и h изоморфны. Но h-*>h — естественное преобразование функторов. Мы будем пользоваться следующими аксиомами. Аксиома Cv Если f : X -> У индуцирует изоморфизм Нп (У, Z) -> -> Нп (X, Z) групп когомологий Александрова—Чеха при п<^р, то f¥ : h. (X) -* -> h. (У) — изоморфизм при i<^P — 1. Аксиома С2. Если f: X —> Y сюръективно и для каждого у имеем h. (Z""1 (у), *) = 0 при i < р, то /# : h. (X) -> h. (Y) — изоморфизм при i <[ p. Аксиома D [2]. Существует функториалъная точная последовательность 0-^Ext(#n+1(X, A), G)-+hn(X, Л)-^ Horn (Я* (X, Л), G)-^0, где G = А0 (*) и Я* — теория когомологий Александрова—Чеха. В [2] ставится вопрос, характеризует ли аксиома D вместе с аксиомами Эйленберга—Стинрода теорию гомологии Бореля—Мура. Ниже, в теореме 4.4, дается положительный ответ (для метризуемых компактов это известно [25J). Лемма 4.3. Для экстраординарной теории гомологии h(X9 А): (1) если выполняется аксиома Gv то выполняется аксиома С; (2) если выполняется аксиома D, то выполняется аксиома размерности и аксиомы А, В, Сг и С; {3) если выполняются аксиомы А, В, С2 и если hq (*) = 0 при q <^ 0, то выполняется аксиома С. Доказательство. (1). Пусть выполняется аксиома Сг В силу леммы 2.1 0)1 (х) V\Fp I ^V (X) | является пределом симплициального обратного спектра комплексов, ацикличных до размерности р. В силу аксиомы Сг имеем изоморфизм hi (Fp | N {X) |)->/г. (X) для *</>— 1. Следовательно, lim h{ (Fp \ N (X) |) = = 1г.(Х) для любого i. (2). Пусть выполняется аксиома D, тогда выполняется аксиома размерности и с помощью леммы о пяти гомоморфизмах стандартно, очевидным образом, доказывается, что выполняются аксиомы А и Gr Проверим аксиому В. Пусть {(S£, *), тс}— спектр аксиомы В и (У, *) — его предел. В силу тооремы Каупа—КиинаЯ1+1(У, *) — свободный модуль. Поэтому из аксиомы D следует, что h. (У, *) = Нот (Я* (У, *), h0 (*)), но Нот (Я* (У, *), G) = Нот (Нт (Я* (5£, *), тс}, G) = = Ит {Нот (Я* (S-, "*£ G), тс} = = ШМЯ,(5в", *; G), тс}=Нт{/г,(^, *), тс). 33
Следовательно, h^Y, *) = lim {hi (S*, *), тс}, т. е. выполняется аксиома В„ (3). Пусть выполняются аксиомы А, В, С2 и /г?(*) = 0 при q<^0\ Нужно показать, что верна аксиома С. Достаточно установить, что шп :F \ N (х) | -> X индуцирует изоморфизм h. (Fn | N (X) \) -> ht (X) для i < п. Пространство* со"1 (ж) является согласно лемме 2.1 пределом обратного симплициального- спектра комплексов, ацикличных до размерности п. В спектральной последовательности предложения 3.1 для этого спектра E^q=>hp+q(to~1(x)) имеем* р в силу следствия 1.6 и ацикличности комплексов спектра равенства Е2 а — 0г /?</г. Это вместе с условием /гд(*) = 0, д<0 дает, что h{ (со-1 (х)) = 0 при i<^n. В силу аксиомы С2 имеем hi (Fn \ N (X) |) = hi (X) при i < п. Лемма доказана. Как известно, все теории гомологии, построенные в [25,15—17,3, 6—10г 13, 23], в частности теория Чогошвили, удовлетворяют аксиоме D. Следовательно, в силу леммы 4.3 для них выполняются аксиомы А, В, С и в силу предложения 4.1 все они изоморфны между собой. Эту однозначно с точностью до изоморфизма аксиомами А, В и С определенную теорию гомологии мы будем называть теорией Стинрода—Ситникова и обозначать #*» В силу леммы 4.3 и предыдущего замечания существуют теории гомологии, которые удовлетворяют одновременно аксиомам А, В, С, Сх и D. Если! группа коэффициентов — конечнопорожденная абелева группа, то Я* удовлетворяет и аксиоме С2: для G=Z это показано, например, в [18]; если G конечна, то она компактна, Hi совпадает с теорией гомологии «Александрова— Чеха с компактной группой коэффициентов и классическая теорема Вие- ториса—Бегла дает С2. Лемма 4.3 и предложение 4. 1, следовательно, дают нам четыре группы аксиом, которые однозначно характеризуют теорию гомологии Стинрода— Ситникова, т. е. верна Теорема 4.4. Теория гомологии Стинрода—Ситникова с коэффициентами в модуле G на категории компактных хаусдорфовых пространств' однозначно характеризуется каждой из следующих 4 систем аксиом вместе с аксиомами Стинрода—Эйленберга: (1) аксиомы А, В, С; (2) аксиома D; (3) аксиомы А, В, Сг; (4) аксиомы А, В, С2, если G — конечнопорожденная абелева группа. Пункт (2) теоремы дает положительный ответ на вопрос из [2]. Предложение 4.5. Если <Ж — обратный симплициальный спектр конечных комплексов, то Н\(\сЖ\, 0)^ЖЛ^, G). Доказательство. Пусть n^>i; тогда спектральная последовательность предложения 3.2, написанная для Fn\Q7C\, сходится к Н\ (Fn \ <Ж |, G) и вырождена. Поэтому Ж, (о%Г, G) = Щ (Fn | сЖ |, G). Далее, вложение Fn\<2£\c\<2£\ индуцирует изоморфизм когомологай Александрова—Чеха в размерностях <^ м~ Из аксиомы C-l следует, что Н*(Рп\0Ж\, G) = #*(|o/T|, G),i<^n. Следовательно, ЖДоГ, G)^H8.(\J?\, G). Пространство X будем называть ограниченным компактным пространством,, если существует обратный спектр конечных симплициальных комплексов и сим- плициальных отображений <Ж = {Ка, .тса?} такой, что X гомеоморфно \Ж\ и размерности Ка ограничены в совокупности. Пары (X, Y) ограниченных компактных пространств и их непрерывные отображения образуют категорию» ограниченных компактных пространств. 34
Теорема 4.6. Если теория гомологии удовлетворяет аксиомам А и В, то она на подкатегории ограниченных компактных пространств совпадает с теорией гомологии Стинрода—Ситникова {ибо на этой подкатегории гомоморфизм теорий гомологии предложения 4.2 — изоморфизм). Доказательство. Так как обе теории точные, достаточно рассмотреть абсолютный случай. Пусть X гомеоморфно |о/Г|, где ^ = {Ка, -гс^}—сим- плициальный обратный спектр комплексов, dim Ка <^ N. Спектральная последовательность предложения 3.2 для \(Ж\ и теорий гомологии Н^ и й# сходятся соответственно к #я(|о/Г|) и Лп(|о/Г|)> поскольку фильтрация конечна. Гомоморфизм теории гомологии Н^ —> h^ определяет гомоморфизм первой спектральной последовательности во вторую. Из аксиомы В следует, что Ер ~ = = Cp((&,\(*))^Ep,q = Cp{Qff>hq{*)) тождественно; следовательно, #.(Х)-^ -> hi (X) — изоморфизм. Теорема 4.7. Любой гомоморфизм теории гомологии Стинрода—Ситникова в себя Т: Н8 -> Н*, тождественный на Н*0 (*), является тождественным гомоморфизмом. Доказательство. Пусть (N (X), N (А)) — пара симплициальных спектров разбиений пары (X, А). Пусть а>: (Fn\N{X)\, Fn\ N {А) \) -> (X, А) — отображение, определенное в разделе 2. Аксиома С± показывает, что ш индуцирует изоморфизм гомологии Н*., i<^n. Поэтому достаточно доказать, что Т тождествен на (Fn\ N (X) |, Fn\ N (А) |). Рассмотрим на этой паре спектральную последовательность предложения 3.2 Е^д = Жр (FnN (X), FnN (A), H8q (*)) => р => H8p+q (Fn | N (X) I» Fn\ N (A) D- Трансформация Т индуцирует отображение этой р спектральной последовательности в себя, тождественное на Eptq — Cp(FnN(X), FnN (А), #*), следовательно, тождественное на E2pq. Так как спектральная последовательность вырождена, то E2Pi0 = H*(Fn\N (Х)\, Fn\N(A)\> G) и Т тождествен на Нр (Fn \ N (X) |, Fn\N(A)\, G). Теорию гомологии h будем называть ^кесткой, если выполняется утверждение теоремы 4.7. Аксиома С3. Теория гомологии h (X, А) жестка; если Ы — любая теория гомологии, удовлетворяющая аксиомам А и В, и h' (*) = /г(*), то суще- ствует гомоморфизм теорий гомологии h -+ Ы, для которого h (*) -> h! (*) тождествен. Теорема 4.8. Аксиомы А, В, С3 вместе с аксиомами Стинрода— Эйленберга характеризуют теорию гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных хаусдорфовых пространств. Доказательство. Как показывает теорема 4.7 и предложение 4.2, теория гомологии Я* удовлетворяет аксиоме С3. Если h, h' — теории, удовлетворяющие А, В и С3, то существует Т :h-+hr и Т':hr -> h, для которых ТТ' ж Т'Т тождественны. Наконец имеет место Предложение 4.9 [6]. Пусть X — хаусдорфово компактное пространство, a Q7£ = {К-а, т:ар} — симплициалъный спектр конечных симплициальных комплексов такой, что: (1) Ка является нервом некоторого открытого покрытия Ua пространства X, и если а <^ [3, то U„ вписано в Ua; (2) тс* является одной из проекций N (U0 в N(UJ; (3) для каждого открытого покрытия U существует вписанное в нем Ua. Тогда Н8.(Х, G) изоморфно проекционному модулю гомологии спектра о/Г, Щ(Х, G) ^ Ж{ (о/Г, G). 35
Доказательство. Рассмотрим непрерывное отображение со: |о/Г| -> XI из раздела 2. Тогда в силу леммы 2.1 и аксиомы Сх имеем изоморфизм ffKW, G)^H'{(X, G). С другой стороны, в силу предложения 4.5 имеем изоморфизм жло/f, G)->#j(|(an, с). Композиция этих двух изоморфизмов дает изоморфизм теоремы. Если теория гомологии задана на категории компактных метрических пространств, то формулировки аксиом В и С нужно изменить следующим образом- (В). В формулировке аксиомы В нужно считать, что множество индексов^ спектра — множество натуральных чисел. (С). В формулировке аксиомы С спектр комплексов N (X) = {7Va (X), па^} нужно заменить его любым подспектром {N4(X)9 ^}»=1,2,з,... таким, что мелкость разбиений а. стремится к нулю и ai+1 следует за а,.. Можно также брать любую последовательность конечных открытых егпокрытий, е{ -> 0Г и в качестве спектра N (X) брать спектр {N (f/t.), pn}n_i} с какими-либо проекциями рп я-1; отображение <о: | N (х) \ -> X определено в разделе 2. Верны все утверждения из разделов 3, 4 с заменой выражения «хаусдорфово компактное пространство» на выражение «компактное метрическое пространство» и под аксиомами подразумевая аксиомы модифицированные, как только что указали. В силу теоремы типа Виеториса—Бегла для теории гомологии Стин- рода—Ситникова, доказанной в [5], пункт (4) теоремы 4.4 можно усилить, так: (4) аксиомы А, В, С2 и аксиомы Стинрода—Эйленберга на категории метрических компактных пространств однозначно характеризуют теорию* гомологии Стинрода—Ситникова с коэффициентами в счетной абелевой. группе. Аксиоматика Милнора и аксиоматики Скляренко на категории компактных метрических пространств характеризуют однозначно теорию Стинрода— Ситникова; поэтому данные здесь аксиоматики для теории гомологии (удовлетворяющих и аксиоме размерности) на компактных метрических пространствах эквивалентны с этими аксиоматиками, хотя непосредственной связи между ними не видно. Однако для экстраординарных теорий система аксиом из [25] неэквивалентна системе аксиом: А, В, С вместе с аксиомами Стинрода—Эйленберга. Действительно известно, что функтор Ext^, построенный в [19] для компактных метрических пространств, удовлетворяет всем аксиомам Милнора, но в [21] указывается пример (бесконечномерного) компактного пространства Х0, для которого неверно предложение E2pq = H8p(X0, Extg (*))=> Exip+q(XQ). Это в силу теоремы 3.4 показывает, р что ЕхЦ не удовлетворяет одной из аксиом В и С. Легко показать, что аксиома В удовлетворяется (используя короткую точную последовательность- Милнора для обратного спектра аксиомы В). Следовательно, для ЕхЦ не удовлетворяется аксиома С. В работах [3, 20, 21] экстраординарные теории гомологии, удовлетворяющие аксиомам Милнора, называются экстраординарными теориями Стинрода. В [21 ] для таких теорий на конечномерных метризуемых компактах построена сходящаяся спектральная последовательность Е2 —Hs (X, hq (*))=> р => h (X) (в построении используется, как и в [25], фундаментальный ком- р плекс и указывается, что это неверно для всех X (приведенный выше пример Х0, ExtJ). 36
Это показывает, что аксиомы А, В, С с этой точки зрения имеют преимущество перед системой аксиом из [25]. В работе [20] все экстраординарные теории гомологии, определенные на категории конечных полиэдров, распространяются на категорию метризу- емых компактных пространств и проверяется, что полученные теории удовлетворяют аксиомам Милнора. Есть основания думать, что они удовлетворяют аксиоме С. Если это так, то для них существует в силу теоремы 4.1 спектральная последовательность Е1я = Н°р(Х, A; \{*))^hp+t{X, А). Р ЛИТЕРАТУРА 1. Берикашвили Н. А. Теория гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных пространств. — ДАН СССР, 1980, 254, № 6, с. 1289—1291. 2. Ботвинник Б. if., Кузъминов В. И. Условие эквивалентности гомологических теорий на категории бикомпактов. — Сиб. мат. журн., 1979, 20, № 6, с. 1233—1240. 3. Инасаридзе X. Н. О точной гомологии. — Труды Тбил. матем. ин-та, 1973, 41, с. 128—142. 4. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 5. Кинтишев Я. Ц. О теореме Виеториса—Бегла для точных гомологии. — Докл. Болг. АН, 1977, 30, № 1, с. 7-8. 6. Кузъминов В. И., Шведов И. А. Спектры покрытий в теории когомологии и гомологии топологических пространств. — Сиб. мат. журн., 1974, 15, № 5, с. 1083—1102. 7. Кузъминов В. Я. Об эквивалентности гомологических теорий на категории бикомпактов. — В кн.: Междунар. топологическая конф. Тезисы докл. М.: МИАН СССР, 1979, с. 53. 8. Мдзинаришвили Л. Д. О связи гомологических теорий Колмогорова и Стинрода. — ДАН СССР, 1972, 203, с. 528-531. 9. Мдзинаришвили Л. Д. Топологические и гомотопические приложения произведений и спектров объектов с выделенными подобъектами. — Сообщ. АН ГССР, 1967, 48г № 2, с. 281—286. 10. Мдзинаришвили Л. Д. Бифункторное исследование гомологии и гомотопий. Функциональные гомологии: Докт. дис. Тбилиси, 1978. И. Скляренко Е. Г. Теория гомологии и аксиома точности. — УМН, 1969, 24, № 5, с. 87—140. 12. Скляренко Е. Г. Теоремы единственности в теории гомологии. —Мат. сб., 1971 г 85, с. 201—223. 13, Скляренко Е. Г. К теории гомологии, ассоциированной с когомологнями Александрова—Чеха. — УМН, 1979, 34, № 6, с. 90—118. 14 Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. М.: Физматгиз, 1958. 15. Чогошвили Г. С. Об эквивалентности функциональной и спектральной теории гомологии. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1951, 15, № 3, с. 421-438. 16. Чогошвили Г. С. On the homology of topological spaces. — Сообщ. АН ГССР, 1940, 1, № 2, с 337-340. 17. Borel A., Moore /. C. Homology theory for locally compact spaces. — Mich. Math. J.r 1960, 7, N 2, p. 137-160. 18. Bredon G. E. Sheaf theory. N. Y.: McGraw-Hill, 1967. 19. Brown L. G., Douglas R. G., Fillmore P. A. Extensions of C*-algebras, operators with compact self-commutators, and К -homology. — Bull. Amer. Math. Soc, 1973, 79, p. 973—976. 20. Kahn D., Kaminker /., Schochet C. Generalized homology theory on compact metric spaces. — Mich. Math. J., 1977, 24, N 2, p. 203—224. 21. Kaminker /., Schochet С. К -theory and Steenrod homology; applications to Brown- Douglas—Fillmore theory of operator algebras. — Trans. Amer. Math. Soc, 1977r 227, N 1, p. 63—107. 22. Kaul S. K. A characterization of the Cech homology theory. — Colloq. math., 1970, 21, N 2, p. 222—237. 23. Каир L., Keane M. S. Induktive Limiten endlich erzeugter freier Moduln. — Man user, math., 1969, 1, p. 9—21. 24. Massey W. S. How to give an exposition of the Cech-Alexander-Spanier type homology theory. — Amer. Math. Month., 1978, 85, N 2, p. 75—83. 25. Milnor /. On the Steenrod homology theory: Mimeographed notes. Berkeley, 1960. 26. Nobeling G. Verallgemeinerung eines Satzes von Herrn E. Specker. — Invent, math., 1968, 6, N 1, p. 41-55. 27. Roos /. Д. Sur les functeurs derives de lim. Applications. — С. r. Acad. sci. Paris, 1961, 252, p. 3702-3704. ^~~ 28. Инасаридзе X. H., Мдзинаришвили Л. Д. О взаимосвязи непрерывности и точности в теории гомологии. — Сообщ. АН TCQP, 1980, 99, № 2, с. 317—320.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Э. X. БРАУН (мл.), Ф. П. ПЕТЕРСОН (США) СПЕКТР БРАУНА—ДЖИТЛЕРА* ПРОСТРАНСТВО Q2S3 И ЭЛЕМЕНТЫ rij £ П2у Браун и Пётерсон установили, что при изучении стабильного гомотопического типа пространства й253 возникают пространства С2 k (S1), гомото- пически 2-эквивалентные спектрам Брауна—Джитлера. В этой статье дается значительно более простое доказательство этого результата. На этом пути из существования спектров Брауна—Джитлера можно вывести теорему Ма- ховальда о существовании элементов т^., а также дать верхнюю оценку порядков этих элементов, именно порядок элемента iq. не превосходит 2J. 1. Введение В работе [3] мы доказали, что пространство Q25r+2 стабильно гомотопи- чески эквивалентно букету надстроек над пространствами вида С2 k (S1) = = ^2 k ^sA;(^1)fc- Кроме того, там же в теореме В было доказано, что пространство С2 к (S1) гомотопически 2-эквивалентно спектру И^ В ([к/2]), где В (к) — спектр Брауна—Джитлера [1]. Доказательство теоремы В содержало два трудных места. Во-первых, оно опиралось на данную в [1] первоначальную конструкцию спектра Брауна—Джитлера ввиду необходимости описания /^-инвариантов спектра В (к). Во-вторых, там строилось некоторое многообразие TV2*, для чего использовались аргументы, связанные со спектральной последовательностью Адамса и обобщающие аргументы Ма- ховальда [6], использованные им при доказательстве существования элементов т]у £ П2у = П^у(5°). В разделе 2 мы наметим доказательство теоремы Маховальда и сформулируем несколько сопутствующих результатов о порядках элементов группы II ^ (В (к)), исправив при этом ошибку из [3]. Эти результаты будут доказаны в разделе 5. Так как теорема Маховальда достаточно легко вытекает из теоремы В, то хотелось бы дать простое доказательство теоремы В, не использующее спектральной последовательности Адамса. Ранее Р. Л. Коэн [5] показал, что некоторые пространства Тома над фильтрациями пространства Q2S3 также 2-эквивалентны спектрам Брауна— Джитлера. В этой работе мы показываем, что, модифицировав доказательство Коэна, можно дать достаточно простое доказательство теоремы В. В разделе 3 мы напоминаем необходимые теоремы из [3], а в разделе 4 указываем изменения, которые необходимо произвести в данном Коэном доказательстве. Мы благодарим Р. Л. Коэна за советы и поддержку. 38
2. Теорема Маховальда об элементах rjj В работе [7] Маховальд для линейцо связанного пунктированного [пространства X определил пространство С2 (X), аппроксимирующее пространство 22Е2Х, 00 как С2 {Х)= YL ^2, j X ZjXj\~, где С2 . есть конфигурационное пространство для / различных точек плоскости R2, XJ есть /-я декартова степень пространства X, Ну есть симметрическая группа степени /, действующая на C2j. и XJ очевидным образом, и если х{ — отмеченная точка, то (uv . .., ир xv . . ., xj) ~ (uv . . ., щ, . . ., Uj, х1У .. ., £i9 . . ., Xj). 00 Устроим фильтрацию FkC2 (Х)= JJ C2f у X zjXJl~. Положим C2 k (X) = У—о = FkC2(X)/Fk^1C2(X). В работе [8J Снэйт доказал, что С2 (X) стабильно гомо- 00 топически эквивалентно пространству V С2 к(Х). В работе [6] Маховальд доказал следующий факт. 2.1. Теорема. Если 7^>3, то в спектральной последовательности Адамсаг для Щ (5°) элементы hxh. доживают до Е^ и тем самым определяют элементы ?]у £ П^-(5°). Для доказательства этой теоремы Маховальд установил существование (и дал построение) таких (2j~x— 1)-связных пространств Х- и таких стабильных отображений S2J-jXj-fS\ что Sqf (Sq2g (s)) =^= 0, где s £ Н° {S0) — образующая 2 и Sq* — функциональная операция Стинрода. Оказывается, что в качестве X. можно взять C2,2J~1{S1), а в качестве g— композицию С2>2У-1 {S1) -4 Q*S* = Q^S1 — ™ 22£20 Л О — S0, где ^ — стабильное отображение, возникающее из разложения Снэйта, g2: S1 -> -► 0 — образующая группы ^0 = Z2, отображение gs индуцируется структурой двукратного пространства петель на О, a g± — стабильное отображение, сопряженное включению Оп С QnSn. Рассмотрим Л-модуль Mk = А/А {х {Sql) | | i > к), где А — алгебра Стинрода mod 2. Маховальд доказал, что u*{C29k(S]))&L*Mim и что SqlJ(s)^0eH^l(C2^-i(S1))^Z2. Отображение / : S2J -> Xj с Sq2 =£ 0 строится на основе аргументов, использующих спектральную последовательность Адамса и включающих рассмотрение пространств X, для всех /. В следующих двух разделах мы докажем, что Xj гомотопически 2-эквива- лентно спектру %2J~lB (2J'~2), где В (к)— спектр Брауна—Джитлера [1]. В разделе 5 мы докажем следующую теорему. 2.2. Теорема. Существует такое отображение f : S2j~l -> В (2J~2) порядка 2, что Sq2f=^=0. Теперь 2<;_1-кратная надстройка над отображением /' дает другую конструкцию отображения /, нужного для теоремы Маховальда, и эта конструкция не использует спектральную последовательность Адамса. mod 2. — Примеч. пер. В работе все когомологии рассматриваются с коэффициентами в Z2. — Примеч. пер. 39
3. Спектр Брауна—Джитлера В работе [1] был построен спектр В (к), обладающий следующими свойствами. (1) Спектр В (к) имеет тривиальный р-гомотопический тип при р^>2, р — простое, и имеется Л-модульный изоморфизм Н* (В (к)) « Мк. (2) Для отображения а : В (к) -> К (Z2), представляющего 1 £ Мк, гомоморфизм о^: В (k)q (X) .-> Hq (X) эпиморфен при q < 2к -f- 2. Применяя 5-двойственность, из (2) можно получить (2') Любое п-мерное многообразие N с п^2к-\-1 является В (/^-ориентируемым, т. е. существует такое отображение h: Т (у) -> В (к), что ай есть класс Тома; здесь через Т (v) обозначен спектр Тома нормального расслоения v к многообразию N. Пусть 1к = С2 к X SfcRfc — ^-мерное векторное расслоение над С2Л/2А. Заметим, что C2k(S1) есть пространство Тома расслоения 1к. Мы дадим упрощенное доказательство следующего результата (теоремы В) работы [3]. 3.1. Теорема. Спектры Т (%2к) и В (к) 2-жвивалентны. Для этого мы используем следующий результат [3, 3.2]. 3.2. Теорема. Пусть Y — такой спектр, что H*(Y)>^Mk и что для какого-нибудь n-мерного многообразия N с n^2k-\-l найдется такое отображение h : Т (v#) -> У, что h* : Н* (Y) -> Н* (Т (vN)) — мономорфизм. Тогда спектры Y и В (к) 2-жвивалентны. Нам необходима также следующая лемма. 3.3. Лемма. Для любого к существует такое замкнутое 2к-мерное многообразие Q2k, что отображение ay-^aU, где а^А и U^H°(T(v \\ — класс Тома, индуцирует мономорфизм Mk->H*(T(vQ \\ Доказательство. Пусть Тк = {а £ А \ aUN = 0 для любого замкнутого 2/с-мерного многообразия N). В силу [2] имеем Тк = А {х{8°*) \ *'^>Щ- Пусть {v} — Z2-6a3Hc для А/Тк = Мк. Для каждого v выберем N (у) с vUx^y^O и положим Q2k = jfr N (v). v 4. Доказательство теоремы 3.1 Как уже отмечалось в разделе 2, имеется Л-модульный изоморфизм Н* (Т (%2к)) = М к. Следовательно, в силу теоремы 3.2 достаточно построить такие многообразия N2k, dim N2k ^ 2к -\-1, для которых существуют отображения hk : Т (vjv2A.) -> Т (£27с), индуцирующие мономорфизмы в когомологиях. Мы используем для этого метод Р. Л. Коэна. В силу [3, 5.1] при 1<^к = 21 диагональное отображение А -> А® А индуцирует вложение Мк+1 -> МꧧМ1л Мы построим N2k и hk посредством индукции по к. Пусть к — 21-\-1, где 7^2\ Предположим сначала, что /<^2\ Индуктивно считаем, что N2l и Ntf+i уже построены и, следовательно, что спектры Тома Т (£2/) и Г(£2*+1) 2-экви- валентны соответственно спектрам В (I) и В (2г). Положим N2k = Q2l X Q2i+i. Требуемое отображение hk определим как композицию где последнее отображение есть очевидное «спаривание» ^2, 21 (S1) Л ^2, 2*+г {S1) -> С2, 21+2^+1 (S1). Пусть теперь / = 2*. По теореме 3.2 работы [4] отображение—операция С2 2Х X z2C2,2i+l (S1) X C2y2i+i (S1) -> С2,2*+2 (S1) индуцирует эпиморфизм в когомологиях. 40
Заметим, что С2 2 эквивалентно окружности S1 и что С2>2ХбД2 есть просто iS1Xs2^2. Кроме того, для нормального расслоения v, вложенного в четно- мерное евклидово пространство многообразия N, имеем Т (v#>) = S1 IX %ZT (v) Д /\T(v), где N' = SX Xs2(/V X N) (см. теорему 3.2 работы [4]). Возвращаемся к многообразию N2k— Sl Xs2(<?2; X (?2/) при/= 2*. Требуемое отображение тогда имеет вид где последнее отображение дается описанным выше действием.. 5. Группы П* (В (к)) Напомним несколько фактов о Х-алгебре Л над полем Z2 (см. [1]). Итак; Л есть градуированная ассоциативная алгебра с единицей с образующими X., 1 = 0,1,,.., degX. = i, и соотношениями Х.Ху = ^ ( _!Г12 J Х<+'Х->-" где 2i<^j. Через /^ обозначается идеал, порожденный элементами \., 0^£<^ft. Последовательность I=:(iv . . ., гг) называется допустимой, если 2i.^i.+1. Элемент Х7 называется допустимым, если / допустима. Множество допустимых элементов образует аддитивный базис для Л, и множество допустимых элементов X/ с ii^k образует базис для AJJk. Назовем последовательность I строго допустимой, если 2ij_x ^ ^0> Ч ~М2 ~h • • • + ^_i ДДЯ всех /'. Имеется такая .4-свободная ацикличная резольвента Л-модуля М к, что член Е\>* соответствующей спектральной последовательности Адамса для П (В (ft)) порожден мономами ш (A/Jk)t_s с Z = s. Приведем основной результат этого раздела. 5.1. Теорема. Для ft>0 и 1^2к имеет место изоморфизм групп П. (В (к)) ^ (Л/1к){ при i<C2k и биещия множеств П. (В (к)) ^ (AjJk). при i = 2к. Пусть Xz £ IL (5 (к)) соответствует элементу Xz £ 2£*>*, £ — s ^ 2ft. Тогда элементы Х7, где / строго допустима, порождают группу И{(В(к)). Кроме того, элементы X2y-i £ П2^-> (5 (217-"2)) имеют порядок 2J и Sq\ . =^= 0. Сначала докажем лемму. 5.2. Лемма. Пусть /г = (1, 2, 4, . . ., 2r_1), /0 = ( ). Если I допустима, причем it^k и \ I | ^ 2ft, то Х7 = XjX| j\ Ir, где J — строго допустимая последовательность. Если \I \<^2к или J содержит нечетные члены, то Х0Х7 = 0. Если \1\ = 2к и J = 2J', то Х0Х/:= Xj,X| ,7, (Ir+i mod Jк. Следовательно, если I строго допустима и 2r_1 есть наибольшая степень двойки, делящая все члены последовательности I, то г есть наименьшее целое, для которого Х£Х7 = 0. Доказательство. Пусть / = (г1? . . ., г,), где it^k. Имеем /.— -&+...+ i^) = i±-\ (21, - у + (2i2 - у -f . . . + (2^ - ij)l при / = I получим 2Ьг — | / | = i± — [(2^ — i2) -\- . .. -f- {2il_1 — i^]. Следовательно, если | / |< 2ft или | / | = 2ft и ix > ft, то 2it — | / | > 0 и iJ — (i1+ ... -f ij_^j > 0 для всех /*. Следовательно, / строго допустима. Если же | / | = 2ft и il=ky то 21г — | / | = 0 и для некоторого t »,-<»l+-..+*,-J=|=0npiI,>t Отсюда следует, что / = (/, | / |/г) с некоторым г, где /—строго допустимая последовательность. Теперь представим / в виде / = (/1, /2), /х = = 0'i» • • " it)- Индукцией по t мы покажем, что Х0Х7 = 0, если Jx содержит
нечетные члены, и что Х0Х7 = \j/k\ Jt (Kj\\ j2\Irmod Jk, если Jx = 27'. Если 2i<J и j = 2t + e, e = 0 или e=l, то X,Xy = (1 — s) X,X/+, + 2 aA+A+;-,- *>o Следовательно, достаточно показать, что XzXL£/fc, если 21<^2к— \L\. Это легко доказывается индукцией по длине последовательности L. Доказательство теоремы 5.1. Пусть X7 £ Нот (A/Jkf Z2)— элементы базиса, двойственного к {X/}, и пусть Сг — свободный Л-модуль, порожденный элементами длины, меньшей I. Как и в [1], определим гомоморфизм d: С1->С1_1 формулой 5.3. dXJ = 2 X (SqJ+1) ^7(\;М ^'7> гДе сумма берется по / > —1 и по j,J допустимым /. Как доказано в [1], модули С1 и гомоморфизмы d формируют 4-свободную ацикличную резольвенту модуля Мк и В (к) строится как предельный член Хт обобщенной башни Постникова . . . -> Х1 -> Хг_х ->..., соответствующей этой резольвенте, т. е. Хг есть 2-спектр и Хг есть расслоение над Хг_х со слоем Ки где #*(#г) = С,. В обозначениях [1J Xl=x(Ei) и Kl=x(Ll), где х есть функтор двойственности Понтрягина (см. [1, 5.1]). Пусть hl:Xl_1->Kl есть /^-инвариант расслоения Хг (hl: Хг_^ t -> /Гг> /+1). Применяя % к Кг -> Хг -> А^_х, получим расслоение Е1_1 -> Ег -> Lu индуцированное гомоморфизмом у (hl): Ьг t-+Ex_xtM. В силу [1, 5.1(ii)J отображение Llf2k -> Et_lt 2k+1 тривиально, и, следовательно, индукцией по I получим Elf2k = JJ_LSt2k, s ^1. В [1] доказано, что П. (х (F)) « П^ (F). Следовательно, для i ^ 2& имеем И. (В (к)) = = п<(хсо)»п_<(ясо) = п^(ЕСОр2Л) « n2fc_, (П ^,2J « п, (П^)=(Л//д.. Здесь все отображения являются групповыми изоморфизмами для i <^ 2к и лишь биекциями множеств при г = 2/с, так как #оо>2£ и II^)2fc не суть эквивалентные Я-пространства и, следовательно, не индуцируют изоморфизмы на П0. Следовательно, в спектральной последовательности Адамса для П^ (#(&)) в полной размерности ^2к имеем #х= Еоэ = А/1к, и при переходе от Е^ к И2к (В (к)) в размерности 2к не возникает тривиальных расширений. Из 5.3 следует, что если X0X7 = Xj, то d\J содержит SqW, т. е. в обозначениях спектральной последовательности Адамса kQ = h0. По лемме 5.2 член Е^* при t — s ^ 2к порожден над h0 элементами X7, где I — строго допустимая последовательность. Кроме того, если 21"1 есть наибольшая степень двойки, делящая все члены из 7, то г есть наименьшее из тех целых, для которых hr0kI = 0. Хотелось бы считать, что при переходе от Ет к П. (В (к)) не возникает никаких расширений. Во всяком случае, легко проверить, что Х^Хг./-! имеет большую фильтрацию, чем остальные ненулевые элементы, и что Xg"X2y-i = 0. Следовательно, X2i/-i £ U2j-i(B (2J~2)) имеет порядок 2J'. Наконец, проверим, что для X2y-i f n2y-i(B(2;"2)) имеем Sq\ j-i=^=0. Для этого найдем такой элемент ц = Х2 '-\- 2 а^ б Ci> 217""1 ^> г ^ 2J,"25 что du = Sq2iv и что dw^H* (B(2j~2)) есть старший класс. Легко видеть, что x(Sq2J~*Sq2J~3- • • .. .Sq1) = Sq2^1'1 есть старший класс, и из соотношений Адема следует, что Sq2Sq2j-1~1 = х (Sq2j~1+l) + 2 a<X W+1), 2'"1 > i > 2У"2. Взяв и так, как раньше, и полагая w^^Sq2^1'1^^, получим желаемый результат. 42
ЛИТЕРАТУРА 1. Brown Е. Н. Jr., Gitler S. A spectrum whose cohomology is a certain cyclic module over- the Steenrod algebra. — Topology, 1973, 12, p. 283—295. 2. Brown E. #., Jr., Peterson F. P. Relations among characteristic classes. I. — Topology, 1964, 3, p. 39—52. 3. Brown E. #., Jr., Peterson F. P. On the stable decomposition of Q2Sr+2. — Trans. Amer. Math. Soc, 1978, 243, p. 287—298. 4. Cohen F. Д., Lada Г., May J. P. The homology of iterated loop spaces. — Lect. Not. Math., 1976, N 533. 5. Cohen R. L. The geometry of Q?S3 and braid orientations. — Invent, math., 1979, 54, N 1, p. 53-67. 6. Mahowald M. A new infinite family in 2Щ. — Topology, 1977, 16, p. 249—254. 7. May J. P. The geometry of iterated loop spaces. — Lect. Not. Math., 1972, N 271. 8. Snaith V. A stable decomposition of &nSnX. — J. London Math. Soc, 1974, 2, p. 577—583,
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Ю. ВАЙСАЛА (Хельсинки, Финляндия) ТОПОЛОГИЯ ЛИПШИЦА 1. Введение Всюду в этой статье символами X и У будем обозначать метрические пространства. Расстояние между точками х и у в любом метрическом пространстве обозначим через \х—у\. Отображение /: X -> У называется лип- шицевским (или, более точно, L-липшицевским), если существует константа L ^ 0 такая, что |/ (x)—f (у)\ ^ L \х—у\ для всех х, yt £ X* Если каждая точка в X имеет окрестность, в которой / является липшицевским, то / называют локальным отображением Липшица, сокращенно LIP-отображением, Для компакта X понятия липшицевского отображения и ЫР-отображения совпадают. К примеру, если G — открытое множество в евклидовом пространстве, то всякое ^-отображение / : G -> R* является LIP-отображением. Более того, для всякого полиэдра Р в Rw кусочно-линейное (PL) отображение / : Р -> Rk является ЫР-отображением. Категорию метрических пространств и LIP-отображений обозначим через LIP. Изоморфизмом в категории LIP является биективное отображение / : X -> У, при котором как /, так и /_1 являются LIP-отображениями. Сравним категорию LIP с тремя важными категориями: DIFF — гладкие многообразия и гладкие отображения, PL — конечномерные полиэдры и PL-отображения, ТОР — топологические пространства и непрерывные отображения. Будем считать, что каждый объект в DIFF и в PL вложен в некоторое евклидово пространство. Тогда каждый такой объект становится метрическим пространством и получаем следующие функторы пренебрежения: DIFF \^ LIP *■ ТОР. PL ^ Липшицевская топология изучает свойства метрических пространств, инвариантные относительно LIP-изоморфизмов. Она принадлежит к тому.же классуf что и дифференциальная и кусочно-линейная топология. Основная теория категории LIP дается в [5]. В настоящей работе предлагается обзор липшицевской топологии. В разделе 2 дано определение LIP-многообразия и это понятие иллюстрируется примерами LIP-1-многообразий (дуг). В разделе 3 приводятся наиболее интересные результаты о липшицевской топологии. Наиболее продвинутые и глубокие результаты получены Д. Сулливаном. Более простые принадлежат Д. Гоулду, Дж. Луукайнену, П. Тукиа и мне. В последнем, четвертом, разделе рассматривается еще одна категория, называемая LQS-категорией (локально квазисимметрические вложения). 44
2. LIP-многообразия 2.1. Определение. LlP-n-многообразием называется сепарабель- мое метрическое пространство М, каждая точка которого обладает окрестностью, LIF^-изоморфной Яп либо R+. LIP-многообразия можно определить иначе с помощью атласов, при этом •оба определения будут эквивалентны [5, 3.3]. 2.2. Примеры. Рассмотрим несколько примеров дуг, являющихся LIP-многообразиями, т. е. пространств, LIP-изоморфных отрезку [0, 1]. Буква С является гладкой поддугой в R2, буква М — PL-дугой. И та и другая являются LIP-дугами. Цифра 5 представляет собой LIP-дугу, но не принадлежит ни к категории DIFF, ни к категории PL. Русская буква 3 не является LIP-дугой из-за нулевого угла. Всякая LIP-дуга спрямляема. Следовательно, LIP-дуга в Rw имеет карательную почти в каждой точке. Однако поведение касательной в некоторых точках может быть достаточно сложным. Так, например, пусть/ : R2 -> R2 — гомеоморфизм, заданный в полярных координатах формулой / (г, у) = = (r, T+log(r)). Оказывается, что / — LIP-изоморфизм. Пусть / —сегмент, соединяющий точки (—1, 0) и (1, 0). Тогда / (/) является LIP-дугой, состоя-' щей из двух логарифмических спиралей и начала координат. Дуга Фокса—Артина в R3 [6, с. 65], построенная достаточно регулярным образом, является примером LIP-дуги. Следовательно, LIP-дуга в R3 не обязана быть ТОР-плоской. В этом отношении LIP существенно отличается и от DIFF, и от PL. Этот феномен не имеет места в размерности, большей чем три (теорема 3.8). П. Тукиа [10] построил ТОР-плоскую LIP-дугу в R3, не являющуюся LIP-плоской. Пространство X является LIP-p-клеткой или LIP-p-сферой, если оно LIP-изоморфно Р или Sp соответственно. 3. Обзор результатов 3.1. Перейдем к рассмотрению следующих четырех тем: вложение, спрямляемость, основные вопросы и гильбертов куб. LIP-вложение определяется каЕ< отображение /: X -> У, задающее LIP-изоморфизм X->f(X). 3.2. Теорема [5, 4.5]. Для всякого ЫР-п-многорбразия существует LIP-вложение в R*(*+l). 3.3. Замечания. В категории С = DIFF, PL и ТОР легко доказывается существование С-вложения в R2w+1 и, с некоторыми трудностями, в R2w. Возможность такого вложения в категории LIP является нерешенной проблемой. В достаточно широком классе категорий существуют вложения в R(w+1)2 (см. [14, 2.2]). 3.4. Спрямляемость. Говорят, что k-подмногообразие X LIP-n-много- образия М является локально LLP-плоским в М, если для каждой точки х£Х существует LIP-вложение f : Rn -> М такое, что / (0) = ж и /-1 (X) = R* либо Щ. 3.5. Теорема [1,3.6]. Пусть X — локально LIP-плоская LIP-k-сфера в Sn, k=^=n— 2. Тогда существует LIP-изоморфизм f : Sn-> Sn такой, что f (X) = Sk. Короче: X — LlP-плоско в S\ 3.6. Замечания. В случае к = п — 1 получаем теорему Шенфлиса ъ категории LIP [5, 7.8]. Интересно отметить, что PL-(n — 1)-сфера в R" 45
всегда ограничивает некоторую ЫР-/г-клетку [5, 7.10|. Ограничивает ли она PL-клетку — является классической нерешенной проблемой. Работа [1] содержит ряд других результатов о спрямляемости. 3.7. Теорема f 10]. Всякая LIP-1 -сфера и вся кая ЫР-дуга в Sz являются LlP-плоскими. 3.8. Теорема. Всякая LIP-p-клетка X в Rn является ТОР-плоской при п^Зр-\-1. В частности, LIP-дуга является ТОР-плоской е Rn для п^4. Доказательство. Докажем, более общо, что если / : Р ->Rn — инъек- тивное липшицевское отображение (/-1 не предполагается липшицевским), тогда f(Ip) является ТОР-плоским. Пусть Q = {(x, у)\х, у(«1р, х=£у}» Определим отображение g : Q -> S"'1 формулой g^> y)—\f{x)-f{y)\ • Так определенное g является LIP-отображением. Следовательно, хаусдорфова размерность g(Q) не превосходит 2р. Поскольку 2р<^п— 1, то существует точка Ъ £ Sn~1\g (Q). Не нарушая общности, можем предположить, что Ъ является базисным вектором еп. Пусть p1:Rn -> Rn-1, р2 : Rn -> R1 — проекции на первый и второй сомножители соответственно пространства R*=RW~1XR1- Тогда рг | X инъективно. Положим Х1 = р1Х и пусть q : Х± -> X — отображение, обратное к р1 \ X. Используя теорему Титце, продолжим отображение p2q до отображения ср : Rn-1 -> R1. Определим гомеоморфизм /гх: R11 -> Rn формулой hx (х, у) = (х, г/ — ср (ж)). Тогда hx (X) = Х1С К*"1. Заменяя / липшицевским отображением pj и повторяя изложенную выше конструкцию р раз, приходим к гомеоморфизму /&:R№->Rn такому, что A(I)cRB^. То, что X плоско, следует теперь из [6, теорема 2.5.1, с. 74]. 3.9. Нерешенная проблема. Является ли X из теоремы 3.8 LIP-плоским? 3.10. Теорема о кольце [8]. Пусть В — LlP-n-шар. Пусть A CZ С int В — локально ЫР-плоский ЫР-п-шар. Тогда множество S\int А ЫР-изоморфно стандартному кольцу 2In\intIn. 3.11. Замечания. Интересно заметить, что LIP-вариант теоремы о кольце справедлив для всех п, в то время как соответствующий результат в категории ТОР известен лишь для я=^=4. Решающий факт, благодаря которому возможно доказательство в размерности четыре, состоит в том, что всякий LIP-изоморфизм / : Rn -> Rn почти всюду дифференцируем с ненулевым якобиантом, следовательно, ТОР-стабилен. С другой стороны, трюк с тором нельзя использовать, поскольку он приводит к отображению, не являющемуся LIP-отображением. Поэтому Сулливан заменяет накрытие е : Rn -► Тп накрытием р : int Вп -> Мп, где Мп может быть названа многообразием Сулливана. Построение Мп и доказательство погружаемости ЛР\точка в Rn сложно. Другое доказательство теоремы 3.10 для п ^ 3 дано в [13]. 3.12. Основные вопросы. Это вопросы, касающиеся существования и единственности LIP-структур на ТОР-многообразиях. ЫР-струк- тура на многообразии М — это метрика d на М, совместимая с топологией на М и такая, что (М, d) — LIP-многообразие. Соответствующими вопросами в PL категории являются проблема триангулируемости и Hauptvermutung, обе из которых опровергнуты в высоких размерностях. Сулливан доказал, что при rc=j£4 оба вопроса в категории LIP решаются положительно. При 46
м ^ 3 первый результат следует из триангулируемости, а другое доказательство второго результата дано в [13] для п=2 и в [9] для п=3. 3.13. Теорема [8]. При n=^=i всякое ТОР-многообразие обладает LIF^-структурой* 3.14. Теорема [8]. Гомеоморфные ЫР-п-многообразия ЫР-изоморфны при п =т^= 4. 3.15. Гильбертов куб. Рассмотрим гильбертов куб (?=[—1, 1]^, N={1, 2, . . .}. Хорошо известно, что Q однородно, т. е. для каждой пары точек а, Ь £ Q существует гомеоморфизм f : Q-> Q такой, что / (а)=Ь. Возникает вопрос: можно ли выбрать / таким, чтобы оно стало ЫР-изомор- физмом? Если это возможно, то говорят, что Q — LIP-однородно. Оказывается, ответ на этот вопрос зависит от метрики на Q. Рассмотрим метрики вида \х— г/1 = sup р . | ж . — г/.|, где p1? p2, ... — убывающая последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. 3.16. Теорема [15]. При ру=1/у Q — LIP-однородно и не является таковым при sup у (р./р.+1) = оо, например при р. = 1//! 3.17. Дальнейшие результаты. Некоторые результаты в лишпицевской топологии, в особенности с точки зрения общей топологии и колец функций, получены Луукайненом [3, 4]. Зибенман и Сулливан [7] охарактеризовали симплициальные комплексы, являющиеся ЫР-много- образиями. К ним не относится двойная надстройка над гомологической сферой Пуанкаре. 4. Квазисимметрические вложения 4.1. Определение. Вложение /: X-> Y является квазисимметрическим (QS), если существует гомеоморфизм г\: [0, оо)->[0, оо) такой, что для любых трех точек а, Ъ, х^Х с Ь=^=х справедливо неравенство \t(a)-t(x)\< (\а-х\\ \f(b)-f(x)\^ l\\b-x\J- Если каждая точка вХ обладает окрестностью, в которой f является QS, тогда f называется локально квазисимметрическим (LQS). 4.2. Замечания. Если / и /-1 являются L-липшицевскими отображениями, то при y\(t)=L2t f принадлежит классу QS. Поэтому всякое ЫР-вло- жение принадлежит LQS. Гомеоморфизм /: Rw -> Rw, определенный формулой f (х)=\х\а х, —1<а<0, принадлежит QS, но не является ЫР-отображе- нием. Метрические пространства и LQS-вложения образуют категорию LQS. Существуют следующие функторы пренебрежения: ЫРя -> LQS -> ТОРЕ, тде индекс Е означает взятие подкатегории вложений. В случае X=Y=Rn класс QS-вложений, названных квазиконформными^ лпироко изучен (см., к примеру, монографии [2, 12]). Если G является областью в Rw, то QS-вложение / : G -> R^ является квазиконформным, но обратное неверно. Однако понятия LQS и локальной квазиконформности эквивалентны для вложений (и погружений) / : G -> Rw, где G открыто в R\ В случае X=Y='R1 наше определение эквивалентно обычному определению 1квазисимметрии [2, с, 88]. Основная теория QS-вложений дается в [11]. 47
По сравнению с LIP категория LQS имеет некоторые неприятные свойства. В частности, композиция двух LQS-вложений не обязательно снова такое же. Более того, при п ^ 4 неизвестно, можно ли продолжить LQS- вложение / : R" -> Яп до LQS-вложения F : Яп+1 -* Rw+1. 4.3. Обзор результатов. Теперь рассмотрим следующий вопрос: какие из результатов третьего раздела справедливы в категории LQS? Теорема 3.2 является нерешенной проблемой: неизвестно, можно ли вложить LQS-многообразие в какое-нибудь евклидово пространство. Теорема 3.5 о спрямляемости верна в несколько более слабой форме [1, 3.3 и 3-.4J. Теорема 3.7 следует из теории квазиконформных отображений [2, § 11.8]. Теорема 3.8 в LQS неверна: при п ^ 3 Ни содержит LQS-дугу, не являющуюся ТОР-плоской [16]. Следовательно, имеют место существенные различия между категориями LIP и LQS. Теорема 3.10 о кольце выполняется в LQS; этот факт доказан Сулливаном [8]. Поскольку всякая LIP-структура на многообразии является LQS-структурой, то ответ на первый основной вопрос 3.13 положителен для тг=^=4. Насколько мне известно, второй основной вопрос 3.14 открыт. Поскольку LIP-однородное пространство является LQS-однородным, то первая часть теоремы 3.16 верна ив LQS. То же верно и для второй части, как указано в [15, 3.6]. ЛИТЕРАТУРА 1. Gauld D. В., Vaisala /. Lipschitz and quasiconformal flattening of spheres and cells. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1979, 4, p. 371—382. 2. Lehto O., Virtanen K. I. Quasiconformal mappings in the plane. Berlin: Spring.-Verl.r 1973. 3. Luukkainen J. Extension of spaces, maps, and metrics in Lipschitz topology. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, Diss., 1978, 17, p. 1—62. 4. Luukkainen J. Rings of functions in Lipschitz topology. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1979, 4, p. 119-135. 5. Luukkainen X, Vaisala J. Elements on Lipschitz topology. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1977, 3, p. 85—122. 6. Ruching Т. B. Topological embeddings. London etc.: Acad, press, 1973. 7. Siebenmann L. C, Sullivan D. On complexes that are Lipschitz manifolds. — In: Geometric topology/ Ed. Cantrell J. C. London etc.: Acad, press, 1979, p. 503—525. 8. Sullivan D. Hyperbolic geometry and homeomorphisms. — In: Geometric topology. London: Acad, press, 1979, p. 543—555. 9. Tukia P. Lipschitz approximation of homeomorphisms. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1979, 4, p. 137-144. 10. Tukia P. The planar Schoenflies theorem for Lipschitz maps. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1980, 5, p. 49—72. 11. Tukia P., Vaisala J. Quasisymmetric embeddings of metric spaces. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1980, 5, p. 97—114. 12. Vaisala J. Lectures on ^-dimensional quasiconformal mappings. — Lect. Not. Math.r 1971, N 229. 13. Vaisala J. Piecewise linear approximation of lipeomorphisms. — Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al, 1978, 3, p. 377—383. 14. Vaisala J. An axiomatic approach to the theory of manifolds. — Rev. roum. math, pures et appl., 1979, 24, p. 489—503. 15. Vaisala /. Lipschitz homeomorphisms of the Hilbert cube. — Topology and Appl.r 1980, 11, N 1, p. 103-110. 16. Vaisala J. Quasisymmetric embeddings in Euclidean spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1981, 264, N 1, p. 191-204.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 В. В. ВЕРШИНИН (Новосибирск, СССР) О КОЛЬЦЕ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ КОБОРДИЗМОВ Для изучения кольца симплектических кобордизмов мы используем спектральную последовательность Адамса—Новикова [1]. Эта спектральная последовательность для любого спектра X, целочисленные гомологии которого конечно порождены и не имеют р-кручения для некоторого простого р, существует, сходится к тс# (X) 0 Q и имеет начальный член, изоморфный Ext*'^ (ВР* (X), ВР*), где ВР* (X) — теория когомологий Брауна—Петерсона, через ВР* для краткости обозначено ВР* (S°), А — алгебра операций в этой теории когомологий (алгебра Квиллена). Для вычисления начального члена: этой последовательности применяется алгебраическая спектральная последовательность С. П. Новикова (АСП) [1], которая для любого спектра X, чьи. целочисленные когомологий конечно порождены и не имеют /?-кручения,. существует, сходится к Ext^'* (ВР* (X), ВР*) и имеет начальный член, изоморфный ExtqJi(Q0) (Н*(Х, Z ), ВР*), где о$ — алгебра Стинрода для простого ру ВР* — объект, присоединенный к ВР* по фильтрации, порожденной максимальным идеалом m кольца ВР\ ВР* = Qp [vv . . ., V., . . .], deg v. = —2 (p* — 1), BP* = Z [h0, h^, . . ,,h., ...], h0 есть класс p, a hi9 />0, есть класс v.y deg/г. = (1, —2(p* — 1)), алгебра c$l(Q0) действует на ВР* по формуле ( h. т, i = k, ^"k- = \ 0, «**. Пусть X = MSp, где MSp, как обычно, обозначает спектр Тома, гомотопии которого изоморфны кольцу симплектических кобордизмов. Из известных фактов о строении H*(MSp, Z ) как модуля над алгеброй Стинрода следует, что при р^>2 АСП для спектра MSp тривиальна и для спектральной последовательности Адамса—Новикова Ер*=0 при s>0; поэтому интерес представляет нетривиальный случай р=2, для которого имеет место Теорема 1. Член Е\>8>* АСП как алгебра имеет следующее строение: в ней содержатся две полиномиальные подалгебры Z2[h0, съ...,ск, ...], degfc0 = (l, 0, 0), degC)fc = (0, 0, Щ при кф2* — 1, degс2<_, = (2, 0, 4(2' —1)) и ZjK.,.,1;,, ...], degy; = (0, 1, 2(2'-1)), элементы которых удовлетворяют соотношениям V, = 0 (* = 1, 2, ...)• (1) 49
Далее, в ней имеются элементы oln, N = (п^, . . ., п±), v ^ 2, nv^> n^ ^> .., - • • ^> ni ^ 1> deg a^v = (v — 1, 1, 2 (2W* --f- . . . -f- 2Wl — v)), для которых hQoLN = 0 при всех N, 2*4a*Vt. = 0 при N:v(N)^3. (2) t Умножение этих элементов задается по формуле aM(^Nz=:^uvnia'M\j{N\ni), (3) г где положено а(я) = Уя, a(Wvf...t „, Я) ...,Wl) = c2w-ia(Wv? _? ^f>, _? Wi). Все соотношения между элементами hQ, ck, v., aN являются следствиями соотношений (1)—(3). Это позволяет выбрать следующий базис Ег, как Z2[cl9 . . .,сл, . . .]-модуля: 1, AJ(ai = 1, 2, ...), v, aN, v'aN, где у есть произвольный моном от vv . . ., v{J . . ., а у' — такой моном, что в него не входит v. при г <[ nv Кроме того, в Ег выполняется следующая формула: ocjvG<^, h0, а*2>, N = N1\JN2, N1HN2 = 0. Если v (A7X) и v (/V2) нечетные, то имеем дополнительно aN = <(aNi, hQ, aNo>, N = N1\JN2, N1f]N2 = 0. Заметим далее, что во всех членах А СП для спектра MSp определено действие симплектических операций Новикова—Ландвебера [1, 2]. Этот факт, а также результаты о кольце коэффициентов двузначной формальной группы [3, 4] и об АСП для спектра MSU [1] позволяют доказать следующую теорему. Теорема 2. Следующие образующие при надлежащем выборе будут циклами всех дифференциалов: v., являясь проекциями элементов Н. Рея Ф2;-2, h0, тройные произведения Шасси от них а(м2, n^ = (vnt>, hQ, yWi)>, c2l(l=jL2J), c2fc_i. Далее, циклами всех дифференциалов будут элементы с2 и hQcm (при надлежащем выборе ст). Элементы а# суть циклы первого дифференциала. Напротив, первый дифференциал от любой суммы мономов, в которые c2fc или с2п_г (n^2J) имеют вхождение с нечетной степенью, не равен нулю. Второй дифференциал не есть нулевой эндоморфизм члена Е2. На основании этой теоремы получена таблица кольца Е^8>* АСП при £<44, т- е- таблица объекта, присоединенного к Ext*'t (ВР* (MSp), ВР*) при t <^ 44. Далее проводятся вычисления в спектральной последовательности Адамса — Новикова для спектра MSp в размерностях до 32. В размерности до 20" эти вычисления описаны в работе автора [5]. Основным методом для вычисления дифференциалов является использование алгебраических структур и действия симплектических операций Новикова—Ландвебера в этой спектральной последовательности. В результате проделанных вычислений получены таблицы колец Ext**{ВР*(MSp), ВР*) и iz^(MSp) в размерностях до 32, из которых видно также вложение кольца MSpJTors MSp^ в кольцо Нот! (ВР* (MSp), ВР*) (TorsMSp^ обозначает идеал элементов конечного порядка кольца симплектических кобордизмов). Ниже приведена таблица кольца ^^(MSp), в которой для краткости допущена некоторая вольность в обозначениях и опущены очевидные соотношения. В размерностях до 19 50
эта таблица совпадает с таблицей Н. Рея [6]. В рамках приведенной таблицы мультипликативно неразложимыми элементами конечного порядка, кроме элементов Н. Рея, будут элементы тх £ MSp17, i2£MSp2b, ts£MSp29, для которых доказано, что х1С<в1, Ф|, Фх>, т2е<в1э Ф?, Ф2>, t8G<*i, Ф|, Ф2> Для тх это было доказано ранее Дж. Александером [7]. Выполняется следующее соотношение: 6^ = Ф2тх -\- Ф^2- Из таблицы видно также, что MSp91 = Z2 и образующим MSp31 является элемент Ф3Ф?. Таким образом, Ф3Ф? является первым элементом, противоречащим гипотезе Н. Рея [8]. Используя этот факт и действие симплектических операций Новикова— Ландвебера в кольце n¥(MSp), может быть доказана Теорема 3. В кольце симплектических кобордизмов все тройные произведения элементов Н. Рея Ф^Ф^.Ф^ (£, /, к независимо пробегают числа 1, 2, ...), кроме, возможно, Ф1Ф^. и Ф2Ф^, не равны нулю. Замечание. Произведения Ф?, Ф?Ф2 и Ф^ФХ действительно равны нулю. Кольцо я» (MSp) в размерностях до 32 п 012345678 9 10 11 %n(MSp) Z Z2 Z2 0 Z Z2 Z2 0 2Z Z2 2Z2 0 Образующие 1 6t 6f 2zi Ф1 6^i zf, 2z2 0lZl2 6fzf, Ф? tt 71Я(МЗД Образующие n izn (MSp) Образующие n %n (MSp) Образующие 12 3Z 2zJ, z±z2, 2z3 17 3Z2 13 2Z2 b1z2z1 = Ф^!, Ф2 elZf, elZ| = = е1Л1Л3 = Ф12221, TX 21 4Z2 6x3332 = Ф]г| = M?^» eiZ1Z4 = = Ф1г123, Ф2^2, Фз efzf, efzf, efz2z3, 14 2Z2 efz2zb e^2 18 4Z2 , 6iTb ФХФ2 22 5Z2 2, 81*1*4. 6^3, Ф^ 15 0 19 0 23 0 16 5Z 2?/4, 2z4, z|, 2z2zf, z\ (4*/4 + 4z4 = z2J-[-z1zs) 20 1Z 2z±, z^z2y z^z24 Z4Z1, 2z5, 2</4zb 2z|z, 24 HZ 2?, Z|, ZjZg, 2224 (2l/e = 2x25 + 2224), и 24 25 rcw (MS» HZ 6Z2 ОбраЗуЮЩИе zfzf, 2z2#4, 226, 2242f, ej2f, O^f^: Ф12322, O^Ze = 6iZ2Z4 = Ф22221 = У**! + zf, 2z\, 2z2z\ = Ф12124, 6izgzf, 61 (y4zf -I- zf), x2 и 26 27 28 Tzn(MSp) 8Z2 0 15Z Образующие 6^zf, 6fz|, в|212б, 2zJ, z2zf, 2zfzf, z\zu z4zf, z2z5, z4z3, 2z1z6, 2z5zf, ei(y4zi + z2). M2, У42221 + Ф1, 2z|zb 2y4z3r y(iz1(2y1 = z2z5-\-3z^zs), efzjzf, ФаФьФ1 2y4z?, 2z7 n 29 30 31 nn(MSp) 9Z2 10Z2 Z2 Образующие 6izfz2, в^гь 0iz4zf, 6^522= 6fzfz2, 0?z§zlT 6fz4zf, 0?z5z2r Ф3Ф? = 0iZ3Z4 = Ф2г1 =s Ф^! = Ф^б^ь efyezlf b\(y&%zx + z|zi)f ЬхФхг% hy^i, 6i (У1ЧЧ + *lzi), Ф]2|, Ф4, т3 0!Ф4, Ф2ть Ф^а (Мз = Ф2^1 + Ф^г) 51
ЛИТЕРАТУРА 1. Новиков С. П. Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1967, 31, № 4, с. 855—951. 2. Landweber P. S. Cobordism operations and Hopf algebras. — Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 129, N 1, p. 94—110. 3. Бухштабер В. M., Новиков С. П. Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса. — Мат. сб., 1971, 84, № 1, с. 81—118. 4. Бухштабер В. М. Топологические приложения теории двузначных формальных групп. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1978, 42, № 1, с. 130—184. 5. Вершинин В. В. О спектральной последовательности Адамса —Новикова для спектра MSp: Препринт Ин-та математики СО АН СССР. Новосибирск, 1977. 6. Ray N. The symplectic bordism ring.— Proc. Cambridge Philos, Soc, 1972, 71, N 2, p. 271—282. 7. Alexander J. С Cobordism Massey products. — Trans. Amer. Math. Soc, 1972, 166, p. 197—214. 8. Ray N. Some results in generalized homology, /f-theory and bordism. — Proc. Cambridge Philos. Soc, 1972, 71, N 2, p. 283—300.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 ЯН ДЕ ВРИО (Амстердам, Нидерланды) ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДЕЙСТВИЙ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ГРУПП 1. Введение В настоящей статье мы обсудим проблему линеаризации действий локально компактных топологических групп. Эта проблема, грубо говоря, состоит в следующем: дана некоторая группа гомеоморфизмов топологического пространства, можно ли это пространство вложить в некоторое топологическое векторное пространство так, чтобы гомеоморфизмы данной группы становились ограничениями линейных гомеоморфизмов этого векторного пространства? Если рассматриваемое топологическое пространство тихоновское, то ответ — «да». В литературе существует несколько конструкций доказательства последнего, и большинство из них оказывается модификацией одной единой конструкции. Это иллюстрируется в разделе 3 настоящей статьи. В разделе 2 раскрывается категория структуры этих основных конструкций. 1.1. Условные обозначения. Все обозначения болез или менее стандартны. Тождественное отображение множества X на себя обозначается через 1х- Если / — отображение, то прообразы обозначаются через f~1(A) Гг(х) и т. д. Выражения А:=В и Б = :Л означают, что А полагается равным В по определению. Если к: XxY -> Z— функция, то пху: = тс (ж, г/) = :тс^(ж) для каждого (х, y)£XxY. Таким образом, izx£ZY для любого х£Х и tc^£Zx для любого у £ Y. Отображения х н> тс* : X -> ZY и у н> тс : Y -> Zx обозначаются через тс и тс соответственно, т. е. тс (ж): = тс* и тс(г/): = тс для х£Х и у £ Y. Записью Gd указывается, что топологическая группа G рассматривается в своей дискретной топологии. Единичный элемент группы G всегда обозначается через е. Категорные понятия см.: Маклейн [25]. В частности, категория всех топологических пространств и их непрерывных отображений обозначается через ТОР. 1.2. Определения. Следующие понятия в настоящей статье — основные. Топологическая группа преобразований (ТГП) — это тройка <(G, X, тс^>, где G — топологическая группа, X — топологическое пространство; к : G X ХХ-+Х — такое непрерывное отображение, что тсв = 1х и тс* о тс* = тс** для всех s, t(*G. Таким образом, тс: t ь-> тс* является гомоморфизмом группы G в группу всех автогомеоморфизмов X. 53
Группа G и пространство X называются фазовой группой и фазовым пространством ТГП, а отображение к называется действием G на X. Как синоним для «фазового пространства ТГП с фазовой группой G» употребляется термин «G-пространство», но мы иногда G-пространством будем называть также- и ТГП (G, X, тс)>. Инвариантным подмножеством G-пространства <(G, X, ку называется такое подмножество Y пространства X, что- те (G X Y) С Y; инвариантная * точка — это такая точка х £ X, что {х} — инвариантное подмножество. Если Y — инвариантное подмножество <(G, X, тс)>, то izY: =тс| т: GX Y-* Y является действием G на Y; полученная ТГП <Y?, У, к¥у называется ограничением (G, X, тс)> на Y. Линейная ТГП или линейное G-пространство — это ТГП (G, V, тс)>, где V—топологическое векторное пространство и tc'£GL(F) для любого t£G9 т. е. каждое ъ. есть обратимый линейный непрерывный оператор на F с непрерывным обратным. В этой статье все линейные G-пространства предполагаются отделимыми и локально выпуклыми. 1.3. Примеры. 1. Если X — топологическое пространство, a G — подгруппа группы всех автогомеоморфизмов X, то <(Gd9 X, §)>, где 8 — отображение вычисления, 8(ф, x):=ty(x) для ф£С и х^Х, является ТГП. Если X — равномерное пространство, a Gu — группа G, наделенная топологией равномерной сходимости на X, то в следующих случаях ^Gu, X, by является ТГП: (a) G — равностепенно непрерывно и (Ь) X — компакт2. См.: Бурбаки [8, глава X] или де Врис [37, подраздел 1.2], где рассмотрены также другие топологии на группах гомеоморфизмов. 2. Пусть / : X -> Rn — такое непрерывное векторное поле на открытом подмножестве X в Пя, что для автономного дифференциального уравнения x = f(x) задача Коши имеет единственное решение и оно может быть продолжено на R. Если тс^ : R -> X — решение с начальным значением 7^(0) = — х (< X, то тс: (г, х) н-> ъх (t): R X -X" -> X непрерывно и (R, X, тс)> является ТГП (глобальная динамическая система). Топологическое изучение проблем, возникающих в качественной теории автономных дифференциальных уравнений в рамках ТГП (топологическая динамика), читатель может найти у Бха- тии и Gere [6] или у И. У. Бронштейна [7]. 3. Пусть С00 (R2, R): = {/ : R2 -> R | / бесконечно дифференцируемо и вместе со своими частными производными первого порядка ограничено}. Для каждого / : R2 -> R определим / (хъ х2): = f (хъ х2) ехр 1/2 (хг -\- х2) и пусть Cj°: = {<J>: R2-» R |$GC°°(R2, R)}. Тогда Cj° с равномерной нормой является банаховым пространством. Определим т : R X Cf -> Cjj° формулой т (t, и) (х19 х2):=и (хг + 1, х2 +1) ехр [(хг + х2) t -f12}, где t£ R, и £ С« и (xv #2)£R2. Тогда (Я, Cj°, т> является линейной ТГП (см.: Карлсон [11]). Легко заметить, что для каждого и £ С™ отображения т*: (t, хъ х2) ь> t-+ т (t, и) (хъ х2): R3 -> R является единственным решением дифференциального уравнения в частных производных ди . . ч , да . да удовлетворяющим начальному условию т*(0, xv x2) = u(xv х2) для всех (xl9 ^2) € R2- 1 Или неподвижная. — Примеч. пер. 2 В другой терминологии — «X — бикомпакт». — Примеч. пер. 54
4. Если G — топологическая группа, a Y — топологическое пространство, то обозначим через Ce(G9 Y) пространство всех непрерывных функций из G в У, наделенное компактно-открытой топологией. Определим p:GxCc(G, Y) -> -+Ce(G,Y) формулой pff(u):=:f{u,t), для f£Ca(G,Y) и t, u£G. Тогда <(Gd, CC(G, Y), p> является ТГП, и если G локально компактная, то р непрерывно на GxCc (G, Y) и в этом случае (G, Сс (G, Y), р> тоже является ТГП. Заметим, что если Y — тихоновское пространство, то таким является и CC(G, У). Если V — локально выпуклое топологическое векторное пространство, то с поточечно определенными линейными операциями CC(G, Y) тоже является локально выпуклым топологическим векторным пространством; оно полно по отношению к своей аддитивной равномерности (которая совпадает с равномерностью равномерной сходимости на компактах) при условии, что V полно, a G локально компактно (Келли [24, с. 231]). 5. Пусть Cc(GxG) обозначает пространство всех непрерывных функций из GxG в R, наделенное компактно открытой топологией. Если r*f (и, v): = = f(ut,v) для (t, f)£GxCc(GxG) и (u,v)^GxG, и если G локально компактно, то (G, Cc(GxG)9 г> является линейным G-пространством. Заметим, что в определенном смысле это линейное G-пространство связано с линейной ТГП из примера 3 (в случае G = R), так как (G, Cc(GxG), r> изоморфно линейному G-пространству (G, Ce(GxG), а>, где о*/(и, v) :=/(ut, vt) для (t, f)£GxCc(GxG) и (u9v)^GxG. Фактически изоморфизм задается отображением f^f:Cc(GxG)->Cc(GxG)9 где /' (и, v):=f(u, vie1) для /£ ^Cc(GxG) и (и, v)£GxG (определение изоморфизма см. в разделе 2). Подобным образом для всякого локально компактного хаусдорфова пространства Z мы можем определить линейную ТГП <G, Ce(GxZ),r>. 6. Пусть G — локально компактная хаусдорфова группа с фиксированной на ней правой мерой Хаара р (нормированной соотношением р (G) — 1, если G компактна). Пусть для 1^р<^оо, Lp(G) обозначает пространство таких (классов эквивалентности р-почти всюду совпадающих) р-измеримых функций / : G -> R, что | / \р — р-интегрируемо. Относительно обычной нормы || о || : / к> *-* | \ |/1р^М :Lp(G)-> R+, Lp(G) является банаховым пространством. Если определить р: GxLp (G) -> Lp (G)9 как в примере 4 (правый сдвиг), то р будет непрерывным, a <(G, Lp (G), р^> линейным G-пространством (см.: де Врио [37, подраздел 2.3]). В частности, (G, L2(G), р)> является гильбертовым унитарным G-пространством, т. е. G-пространством, чье фазовое пространство есть гильбертово пространство, а действие осуществляется унитарными операторами. В этом примере, конечно, можно R заменить на С и даже на (действительное или комплексное) гильбертово пространство Н. Таким образом, Lp (G, Н) есть пространство таких (классов эквивалентности) слабо р-измеримых функций /: G -> Я, что \|/|]pdp. существует и конечен, и тогда G LP(G, Н) является банаховым пространством (в случае р = 2 оно является гильбертовым пространством), a (G, Lp (G, Я), р> является линейным G-npo- странством. 55
7. Пусть G — локально компактная, сигма-компактная хаусдорфова топологическая группа. Используя результаты Палман-де Миранды [30] и де Вриса [35, 41], можно показать, что существует такая функция i#:G->R, что: (i) w(t)^>0 для каждого t£G; (и) w(st)^w(s)w (t) для каждого (s, t)£GxG; (iii) w£C0(G)Cl П V(G), т. е. w непрерывно, w (t) -> 0 при t -+ со в G к все степени w [i-интегрируемы (здесь р. означает правую меру Хаара на G). Функция с этими свойствами называется (непрерывной) весовой функцией. Для фиксированной весовой функции шнаб регулярная борелевская мера v может быть определена соотношением dv : =wd[x, т. е. \f(t)dv(t): = \f(t)w(t)dp(l), /eCoo(G). G G По указанному выше условию (i) носителем v является вся группа G. Пусть L2 (G, v) обозначает гильбертово пространство всех у-интегрируемых в квадрате (действительнозначных) функций на G. Для / £ L2 (G, v) и t £ G легко показать, что р*/ £ L2 (G, v); здесь plf определяется, как в примерах 4 и 6. Действительно, pt : L2 (G, v) -> L2 (G, v) является ограниченным линейным оператором с нормой ||р*|| ^ w (t)'1. Более того, р : GxL2 (6?, v) -> -> L2 (G, v) непрерывно, a <(G, L2 (G, v), p) является линейным G-простран- ством (даже гильбертовым G-пространством, но не унитарным гильбертовым G-пространством) (см.: де Врис [37, с. 74—77]). Подобным образом для любого гильбертова пространства Н мы можем определить гильбертово G-npo- странство (G, ЬЦО, v; Н), р>. Здесь L2(G, v; Н) — гильбертово пространство всех таких слабо измеримых по Борелю функций f :G -+ Н, что | /1|2: = / \ || / (t) f dv (t) \ " существует и конечна. 1.4. Теперь мы можем сформулировать нашу проблему более точно- Будем говорить, что ТГП (G, X, ку линеаризуема всякий раз, когда она может быть получена как ограничение некоторого линейного G-пространства <(G, V, °У на некоторое свое инвариантное подмножество,т. е. когда существует такое топологическое вложение i : X -> У, что для каждого t £ G следующая диаграмма коммутативна: V > V t t ''I ( г X —>x Вопрос в следующем: какие ТГП линеаризуемы? В такой форме проблема линеаризации была рассмотрена многими авторами, упомянем лишь некоторых из них: Вебутов, Немыцкий [29]; Мостов [28], Пале [31 ],де Гроот [17], Байен и де Гроот [5], Эделыптейн [15], Янос [21], Монес [26] (см. также раздел 3). Проблема была рассмотрена также в несколько иной форме: при ка~ ких условиях фазовое пространство X ТГП (G, X, ку может быть так вло- 56
жено в линейное пространство V, что если i — вложение, то {п*; t£G} — ={Г1 о ф о г, ф£Ф) для некоторой подгруппы Ф из GL (V), если это так, то будет ли диаграмма V —*—> V Ф t t I I I Г коммутативной, где R : Ф -> G — гомоморфизм? Эта точка зрения была разработана у Байена [4] и де Вриса [37, подразделы 6.1 и 6.8], и мы ее здесь рассматривать не будзм. В следующей теореме дается необходимое и достаточное условие линеари- зуемости G-пространства. Результат подробно изложен у Хайека [19], де Вриса [37] и Смирнова [33]; он неявно фигурирует почти во всех упомянутых в ссылках работах. В разделе 2 мы раскроем категорную структуру доказательства следующей теоремы, а в разделе 3 обсудим некоторые модификации этого доказательства, ведущие к различным результатам. 1.5. Теорема. Пусть G — локально компактная хаусдорфова группа. Тогда для G-пространства <(G, X, ку следующие условия эквивалентны: (i) существуют такие линейные G-пространства (G, те, ау и топологическое вложение i : X -> V, что а* о i—i о ъ* для всех t £ G; (ii) X может быть вложено в топологическое векторное пространство; v(iii) X — тихоновское пространство. Доказательство, (i) => (ii) о (iii): очевидны или хорошо известны. ((ii) z> (i): отображение n:x*nx:X^Ce(G,X) является топологическим вложением (см.: де Врис [37, 2.1.13]). Пусть /:Х-> -> V0 — вложение X в топологическое векторное пространство V0. Тогда hh-^foh : CC(G, X) -> CC(G, V0) — топологическое вложение (см. пример 4), таким является и i:x»fo«x:X + Ce(G, V0). Но <(G, CC(G, V0), ру — линейное G-пространство (см. пример 4) и легко проверить, что р* о i = i о тс* для всех t£ G. 2. Категории G -пространств В этом разделе G всегда будет обозначать локально компактную хаусдор- фову группу. 2.1. Если (G, X, ти)> и (G, Г, а>— G-пространства, то эквивариантным отображением из X в Y называется такое отображение / : X -> F, что / о тс* = = ^ о / для всех t£G3. Непрерывные эквивариантные отображения будем называть морфизмами (^-пространств. Очевидно, что эти морфизмы вместе с классом всех G-пространств образуют категорию, которую обозначим через TOPG. Два G-пространства изоморфны, если они изоморфны в этой категории (т. е. тогда и только тогда, когда существует некоторый эквивариантный гомеоморфизм между ними). 3 Если это условие имеет место только для t из некоторой подгруппы Н из G, то / называется Я-эквивариантным отображением. 57
Существует очевидный функтор SG : TOP6 -> TOP — функтор фазового» пространства, определенный соотношением ч , X, тс)> ь-> X на объектах, /ь>/ на морфизмах (забывая условие эквивариантности). Если К — подкатегория ТОР, то KG : = (S0)*1 [К]. Ясно, что KG — подкатегория ТОР6 и KG полно в ТОР6 тогда и только- тогда, когда К полно в ТОР. Мы будем рассматривать только следующие- подкатегории ТОР (которые не рассматривались у де Вриса [37]): CR — полная подкатегория ТОР, определенная классом всех тихоновских пространств; LCV — подкатегория, для которой: объекты — все локально выпуклые- хаусдорфовы топологические векторные пространства; морфизмы — все непрерывные линейные отображения между этими пространствами; CLCV — полная подкатегория LCV, определенная классом всех полных локально выпуклых хаусдорфовых топологических векторных пространств* Тем не менее мы особенно не заинтересованы категориями LCV6 и CLCV6: мы хотим рассматривать линейные G-пространства. Поэтому пусть 1 — LCV6 и 1—CLCV6 обозначают полные подкатегории LCV6 и CLCV6 соответственно, определенные классами всех линейных G-пространств и всех полных линейных G-пространств соответственно. 2.2. Сейчас мы дадим краткий обзор подходящих частей из монографии де Вриса [37, подразделы 3.2 и 6.3]. Результаты, формулируемые там для категории ТОР6, применимы также к ее подкатегории CR6, и мы сформулируем их только для последней. Функтор SG: CR6 -> CR имеет левый сопряженный. Фактически он является даже монадическим функтором. Следовательног SG порождает и сохраняет пределы и мономорфизмы. Так как CR полно, то отсюда следует, что CR6 является полной категорией. Например, произведения в CR6 — это декартовы произведения фазовых пространств, наделенные покоординатным действием группы G. Мономорфизмы в CR6 — это непрерывные эквивариантные инъекции. (Для этих результатов условие локальной компактности группы излишне.) Так как G локально компактна, то функтор SG имеет также и правый сопряженный MG: CR -> CR6. Он задается соотношением | X»-►<(<?, CC(G, X), рУ на объектах, ( /1-> / о - на морфизмах, где для /: X -> Y (в CR) морфизм /о - в CR определяется формулой / о -: h\-+f oh:Cc (G, X) -> CG (G, Y). Единица сопряжения между SG и MG задается универсальной стрелкой: <G, X, *>-^<G, C.(G, X), p> = /¥6S6<G, X, *> для объектов (G, X, тс> из CR6, а коединица задается стрелкой SGMGY = CC(G, Y) -^ Y для объектов Y из CR (Ье обозначает вычисление в е)4. Напомним, что характеристическим для коединицы является следующее свойство: для каждого 4 По поводу определений см.: де Врис [37, с. 12—23]. — Примеч. пер. 58 SG:
объекта <(G, X, тс)> из GRC и каждой непрерывной функции /: X -> У существует единственный морфизм / : (G, X, те)> -> (G, Сс (G, У), р)> такой, что S <G.Ce(S,Y),t> CCIG,Y) ^+Y t * i ' i i <С,Х,Л> X Фактически / определяется соотношением / : =/ о тс. Отсюда следует, что если / : X -> Y — топологическое вложение, то / : X -> Сс (G, Y) — тоже топологическое (и эквивариантное) вложение (см. доказательство теоремы 1.5). 2.3. Замечания. 1. Ю. М. Смирнов [33, теорема 5] показал, что при указанных выше условиях, если / замкнуто, a G компактна, то / является замкнутым вложением5. 2. Если обозначить множество всех морфизмов G-пространства (G, X, тс)> в (G, Сс (G, Y), р)> через MorG (X, Сс (G, Y)), то описанное выше сопряжение между SG и MG показывает, что /н*/ = /о«:С(Х, Г)^Мог*(Х, CC(G, Y)) является биекцией с обратным отображением f\-+beof. Из элементарных фактов о функциональных пространствах (см.: Дугунджи [13, XII.2.1]) следует, что оба эти отображения непрерывны, если пространства С (X, Y) и MorG (X, Сс (G, Y)) рассматривать в компактно-открытой топологии. Этот факт рассмотрен многими авторами, среди/ которых Максвелл [27] и Ю. М. Смирнов [33, теорема 7]. 3. Сопряжение между SG и MG связано также с результатами об экстензорах (или на более категорном языке — о кообразующих) G-пространств (см.: де Врис [37, подраздел 6.4], а также де Врис [41]). 4. Функтор SG имеет не только правого сопряженного, но и комонадичен. Таким образом, SG сохраняет и порождает копределы и эпиморфизмы. В частности, эпиморфизмами в CRG являются только эквивариантные непрерывные отображения с всюду плотным образом. 2.4. Лемма. Функтор MG переводит LCV в 1 — LCVG, a CLCV в 1—CLCVG. Более того, суженные функторы MG : LCV -> 1 — LCVG и MG : CLCV -> 1 — CLCV* сопряжены к суженным функторам SG : 1 — LCVG -> LCV и SG : 1 — CLC\TG -> CLCV соответственно. Доказательство. Первое утверждение легко проверить (см. также замечание к примеру 4 в разделе 1). Второе утверждение является непосредственным следствием первого утверждения и того, что если (G, X, тсу — линейная ТГП, а У — линейное пространство, то универсальные стрелки тс и Ье из 2.3 линейны. 2.5. Сейчас мы обсудим некий процесс линеаризации, который совершенно отличен от конструкции, предложенной в доказательстве теоремы 1.5, хотя для доказательства его корректности нам понадобится функтор Ма. ь В настоящий момент Ю. М. Смирновым то же самое доказано для любой локально компактной группы G. — Примеч. пер. X 59
Хорошо известно следующее. Категория LCV является рефлективной подкатегорией категории CR, рефлектором является «функтор свободного топологического векторного пространства» F : CR -> LCV. Для каждого объекта X из CR FX — свободное локально выпуклое хаусдорфово топологическое- векторное пространство, порожденное пространством X. Каноническое отображение ix■: X -> FX (рефлексия X в LCV) обладает следующими свойствами: (i) для любой непрерывной функции f:X->V, где V — произвольный объект из LGV, существует единственное линейное непрерывное отображение- /: FX -> V такое, что / = / о ix; (ii) ix: х-> FX является замкнутым вложением, а линейная оболочка ix[X] совпадает со всем пространством FX. Теперь заметим, что CLCV является рефлективной подкатегорией категории LCV, рефлектором LCV в CLCV является «функтор пополнения» (фактически CLGV является рефлективной подкатегорией LGV, порожденной полной подкатегорией всех банаховых пространств). Таким образом, если FX обозначает пополнение X, то сквозной функтор F : CR -> CLGV является рефлектором, а отображение ix : X -> FX (для удобства FX мы рассматриваем только как подпространство FX) обладает следующими свойствами: (in) то же свойство универсальности, описанное выше в (i), но только для объектов V из CLCV; (iV) ix: X ~> FX является топологическим вложением, а линейная оболочка ix[X] всюду плотна в FX. Теперь мы покажем, что подобные результаты имеют место и для соответствующих категорий G-пространств. 2.6. Лемма. Функторы включения 1 — CLCV* -^ 1 — LCV* -> CRG обладают левыми сопряженными, т. е. 1 — CLCR6 является рефлективной подкатегорией 1 — LCVff, а 1 — LCVG — рефлективной подкатегорией CRG. Доказательство. Непосредственное следствие общего критерия (см.: Херрлих и Стрекер [20, 37.1 J). Для применения этого критерия полезно описание произведений, мономорфизмов и эпиморфизмов в CRG, данное в 2.2 и 2.3 (4). |Р Наша следующая лемма является орудием для исследования рефлексии объектов CR* в 1 — LCVC и 1 — CLCV*. Это относится к доказательству того, что сопряженный к композиции функторов является композицией сопряженных (довольно непосредственное доказательство см. у де Вриса [37, 4.4.10]). 2.7. Лемма. Пусть Y и С — категории, Y0 и С0 — их рефлективные подкатегории соответственно. Пусть задан такой функтор Q : С -> У, обладающий левым сопряженным Р: Y -> С с единицей a:lF -+ QP и коединицей $:PQ-> 1с, что (i) P[Y0]C1C0 и для любого объекта С из С0 универсальная стрелка Рс: PQc "> С принадлежит С0; (ii) Q[C0](ZY0 и для каждого объекта у U3Y0 стрелка а^: у -> QPy принадлежит Y0. Тогда функтор Р сохраняет рефлексию, т. е. если у — объект из Y и р : у -> Fy — его рефлексия в Г0, то Р$у : Ру ~> PFy — рефлексия Ру в С0. 60
Следующая диаграмма иллюстрирует ситуацию: С г/—> у 2.8. Теорема. Пусть <(G, X, тг)> — объект из GRG. Тогда его рефлексия в 1 — LGVG имеет форму ix:<G, X, rc>-><G, FX, <>, где ix: X -> FX — каноническое замкнутое вложение X в свободное локальна выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство над X. Доказательство. Применим лемму 2.7 к следующей ситуации LCVC ^ CR sG mg \-av°c—> cr* и заметим, что в силу леммы 2.4 и ее доказательства выполняются условия (i) и (и) из леммы 2.7. 2.9. Следствие. Пусть (G, X, к)— ТГП с тихоновским фазовым пространством X и пусть ix : X -> FX — каноническое вложение X в свободное локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство над X. Если для каждого t£G каноническое линейное непрерывное продолжение отображения -к*: X -+ X из FX обозначить через к**: FX -*► FX, то п* : (t, £) -^ -* к**%: G X FX -* FX непрерывно и <(G, FX, тг*)> является линейным G-npo- странством, в котором эквивариантно вложено <(G, X, тс^> как замкнутое инвариантное подмножество. Доказательство. Это просто переформулировка теоремы 2.8. Замечание. Прямое доказательство следствия 2.9, не использующее категорные методы, можно дать, следуя Эйзенбергу [16]. Однако и в этом доказательстве некоторую роль играет линейное G-пространство (G, Сс (G, VQ), р^>, использованное в доказательстве теоремы 1.5. Подобные методы линеаризации отображений используются у Манеса [26]. 2.10. чТеорема. Пусть (G, V, •к} — объект из 1 — LCVG. Тогда его рефлексия в 1 — CLCVG имеет форму jY:<G, V, n>^<G, V, «>, где jY : V -> V — каноническое вложение V в его пополнение. Доказательство. Применим лемму 2.7 к следующей ситуации CLCVC ^LCV «ch MG 1- CLCV^C ^|-LCV^ 2.11. Следствие. Пусть (G, V, тс)> — линейное G-пространство, a j : V-> V — каноническое вложение V в его пополнение. Для каждого t£G 61
пусть fc*: V -> V обозначает линейное непрерывное продолжение отображения те': V -> V. Тогда %:(t9 £) -> %*%: G X V -> V непрерывно, и <G, V, к/ является полным линейным G-пространством, в котором эквивариантно вложено (G, V, v:y как всюду плотное инвариантное линейное подпространство. Доказательство ясно из'2.10. 2.12. Замечание. Наше доказательство следствия 2.11 фактически является «мистификацией» следующего простого аргумента, который очень близок к доказательству теоремы 1.5. Рассмотрим эквивариантное вложение £ -> ]у о ^: (G, V, тс> -> /G, Сс (G, V), р>. Здесь Се (G, V) полно, следовательно, замыкание V образа V в Сс (G, V) полно (и, конечно, локально выпукло). Так как V — инвариантное подпространство, то суженное G-npo- странство /G, V, р?\ является полным линейным G-пространством, в котором всюду плотно и эквивариантно вложено (G, V, т:)>. Так как каждое всюду плотное линейное вложение V в полное локально выпуклое векторное пространство изоморфно пополнению У, то этим 2.11 доказано. 2.13. Мы оставляем читателю комбинировать 2.8 и 2.10 для описания рефлексии объектов GRG в 1 — GLGVT(?. * 3. Некоторые частные линеаризации В 1.15 и 2.9 мы предположили две разные конструкции, которые доказывают, что при локально компактной группе G тихоновские G-пространства обладают линеаризацией. В этом разделе мы предложим некоторую модификацию нашей первой конструкции. На этом пути мы сумеем обозреть большинство линеаризующих конструкций, известных в литературе. Всюду в этом разделе (G, X, я)> будет обозначать G-пространство с локально компактным G и тихоновским X. Наша цель — не только построить линейное G-пространство для каждого G-пространства (G, X, пу в отдельности, но и найти «универсальное» G-пространство, в которое можно эквивариантно вложить любое G-пространство данного класса. 3.1. Нашим отправным пунктом является последнее замечание из 2.2: каждое вложение / : X -> V в локально выпуклое хаусдорфово векторное пространство индуцирует эквивариантное вложение (G, X, пу в некоторое линейное G-пространство, а именно ^/oirz:<G, X, *>^<G, CC(G, V), Р>. Напомним некоторые непосредственные применения этого замечания. 3.2. Если X — сепарабельное метрическое пространство, то X можно вложить в гильбертово пространство /2> следовательно, <(G, X, izy можно эквивариантно вложить в (G, Сс (С, /2), р)>. В частном случае, когда G^R, а X — сепарабельное метризуемое локально компактное пространство, этот результат появился в Тоадера [34] как следствие обобщения теоремы Бебутова—Какутани—Хайека [19] (см. ниже 3.11). Вест [42] применил упомянутый выше результат к компактному метри- зуемому G-пространству X для доказательства того, что любое действие G на Z-подмножестве гильбертова куба может быть продолжено до некоторого 62
действия G на Q. Так как каждое компактное метрическое пространство можно вложить в Q как Z-множество, то отсюда следует, что для каждого компактного метрического ^-пространства (G, X, пу существует такое действие п' группы G на Q, что (G, X, пу можно эквивариантно вложить в <(G, Q, к'у (как Z-множество). В действительности локальная компактность G не является необходимым условием для этого результата. «Универсальный» вариант этого результата см. ниже 3.6. 3.3. Если к— кардинальное число, а X имеет вес w(X)^k, то X можно вложить в Rfe, следовательно, (G, X, тс)> можно эквивариантно вложить в (G, CC(G, Rfe), р)>. Заметим, что это вложение можно реализовать отображением xv^(gOKx)geF:X-> CC(G, Rk)ttCe(G, R)fc, где F — семейство мощности к отделяющих точки и замкнутые подмножества X непрерывных функций из X в R. Де Врис [39] показал, что F можно выбрать так, что для каждого g £F семейство {g о ад х £ X) является равностепенно непрерывным множеством функций из G в [0, 1]. Тогда образ X в CC(G, R*) фактически является равностепенно непрерывным подмножеством CC(G, [£), 1]*). Следовательно, по теореме Асколи его замыкание Y компактно в CC(G, [0, l]fc). Ясно, что Y является инвариантным подмножеством Сс (G, R*), и, взяв в качестве а огра- ничение р на G X Y, мы получим 3.4. Теорема. Каждое G-пространство <(G, X, тг> с тихоновским X и локально компактным G можно эквивариантно вложить в G-пространство' <(G, F, а> с компактным хаусдорфовым Y веса w (Y) ^max {w(G)f w(X)}. В частности, если G и X сепарабелъны, то таким является и У6. Доказательство. Заметим, что в доказательстве, намеченном ранее,, мы имеем w (Y) < w (Сс (G, R*)) = max {w (Сс (G, R)), к) для каждого k^w(X). Более того, хорошо известно, что w(Cc(G, R)) = w(G).. Замечание. Эта теорема из работы де Вриса [39J. Она обобщает результаты де Гроота и Макдауеля [18J. Совершенно другое доказательство см.: де Врис [38]. 3.5. Следствие 1. Для любого кардинального числа k^w(G) существует такое компактное хаусдорфово G-проСтранство (G, У, а>, что w(Y) = k и каждое тихоновское G-пространство (G, X, ку веса w(X)^k можно эквивариантно вложить в <(G, У, а>. Доказательство. Применим 3.4 к G-пространству (G, CC(G, Rfc), р)>* 3.6. Следствие 2. Пусть G — сепарабельная метризуемая локально компактная группа. Тогда существует такое действие а группы G на гильбертовом кубе Q, что каждое G-пространство (G, X, тс)> с сепарабельным и метризуемым X можно эквивариантно вложить в (G, Q, <^> 7. Доказательство. Применим цитированный в 3.1 результат Веста к компактному G-пространству (G, Y, а)> из 3.5. 3.7. Замечание. Следствие 2 обобщает более ранние результаты, которые были применимы только к счетным группам (см.: Байен [5, раздел 3.4]; другие интересные действия групп на гильбертовом кубе см.: Андерсон [3]). 6 В настоящий момент доказано, что при компактной группе G компакт Y можно взять веса w (Y)—-w (X). — Примеч. пер. 7 В настоящее время доказано, что действие можно взять аффинным. — Примеч. пер, 63
3.8. Следствие 3. Каждое тихоновское G-пространство <(£?, X, тс)> -можно эквивариантно вложить в G-пространство <(G, Y, сГ>, где Y — компакт- мое выпуклое подмножество некоторого локально выпуклого хаусдорфова топологического векторного пространства., а о — аффинное действие (т. е. каждое а* — аффинное отображение Y в себя) 8. Доказательство: В силу теоремы 3.4 можно предположить, что X — компактное инвариантное подмножество некоторого линейного С?-про- странства <(G, V, а>, где V — полное локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство (см. также замечание к примеру 4 из раздела 1). Отсюда следует, что замкнутая выпуклая оболочка Y множества X в V компактна 9. Так как У, как легко видеть, инвариантно, то сужение (Gt V, °у на У является желаемым компактным выпуклым аффинным G-npo- странством. 3.9. Замечание. Идея доказательства следствия 3 была использована Вестом [42]. Другое доказательство: пусть М (X) — пространство всех регулярных борелевских мер на X (X предполагается компактным в силу 3.4), и пусть Y — замкнутая выпуклая оболочка множества 8 [X] в М (X), где S : X -> М (X) — каноническое вложение X в М (X). В силу теоремы Алаоглу У компактно. Действие G на X индуцирует линейное действие Gd на М (X), и, как легко видеть, сужение этого действия на (компактном!) множестве У является действием G на У. Очевидно, что это действие аффинное. Если G компактное, а X сепарабельное метрическое, то в 3.8 можно предположить, что У — компактное выпуклое подмножество некоторого банахова пространства (например, Сс (G, l2)=Cu (G, Z2), см. 3.2). Родственный последнему результат получен Яворовским [22, предложение 4.1]. Оставшаяся часть этого раздела посвящена следующему вопросу: можно ли так видоизменить эквивариантное вложение <(£, X, пу в (G, Сс (G, R*), о у , чтобы получить вложение в «меньшее» или «тонкое» G-пространство? Проблема наилучшим образом иллюстрирована в ее решениях, некоторые из которых мы сейчас приведем. Первая из них — это хорошо известная теорема Бебутова—Какутани. Оригинальный результат Бебутова (см.: Немыцкий [29]) применим в случае, когда X — компактное метрическое R-пространство, в котором множество S всех инвариантных точек состоит самое большее из одной точки. Какутани [23] дал новое доказательство результата Бебутова, которое применимо к компактным метрическим R-npo- «странствам, в которых S гомеоморфно некоторому подмножеству R. Хайек [19] обобщил этот результат в форме, которую мы приведем ниже, хотя его результат все еще ограничивался случаем G=R. Чен [12] заметил, что R можно заменить произвольной связной группой Ли (он сделал свое замечание только к доказательству Какутани, но оно с таким же успехом применимо и к доказательству Хайека). 3.10. Теорема. Пусть <(G, X, тг)> — G-пространство, где G — нетривиальная связная группа Ли, а X — локально компактное сепарабельное В настоящий момент получен более общий результат — эквивариантный аналог классической теоремы Тихонова о вложении. Таким образом, для класса всех тихоновских ^-пространств веса ^ т существует «универсальное» аффинное ^-пространство (G, /т, а). — Примеч. пер. См., например, Бурбаки [9, гл. I, § 4, 1]. 64
метрическое пространства. Тогда <(G, X, к) можно эквивариантно вложить в линейное G-пространство <(G, CC(G, R), р)> в качестве замкнутого нигде не плотного инвариантного подмножества в том и только в том случае, когда множество S инвариантных точек в X гомеоморфно некоторому замкнутому подмножеству R. Доказательство. Вторая часть утверждения («только в том случае») очевидна, так как множество инвариантных точек в (G, Сс (G, R), р)> гомеоморфно R (оно состоит и из всех постоянных функций). Набросок доказательства первой части: («в том случае») достаточно построить такую непрерывную функцию /:X->R, что (i) для всех х, у£Х, х=^=у существует такое t£G, что f(^tx)=^=f(iziy)9 Т. е. foTZxy^foTZy', (ii) /(#)-> оо в R при х->аэ в X (т. е. для всех п £ R множество /_1[—и, п\ компактно в X). В самом деле, условие (i) влечет, что функция F : х ь->/отгх: X -> Cc(G, R) является непрерывной инъекцией, а из условия (ii) следует, что F — замкнутое вложение. Так как X локально компактно, то F[X] не может иметь внутренних точек в топологическом векторном пространстве CC(G, R), в противном случае Сс (G, R) будет локально компактным, а следовательно, согласно хорошо известному результату из функционального анализа и конечномерным. Но это противоречит связности и нетривиальности группы G. Для доказательства существования функции / : X ~> R со свойствами (i) и (ii) сначала построим непрерывное продолжение /0 : X -> R данного гомеоморфизма h множества S инвариантных точек X на некоторое замкнутое подмножество R; используя лемму Титце о продолжении, это можно сделать таким образом, чтобы /0 (х) -> оо при х -> оо (см.: Хайек [19, лемма 6]). Таким образом, множество F всех непрерывных продолжений гомеоморфизма /г, обладающих свойством (ii), является непустым замкнутым подмножеством Си (X, R) (С (X, R) наделено равномерной топологией). Тогда F — полное метрическое пространство и по теореме Бэра содержит элемент / со свойством (i). Подробности можно найти у Хайека [19] (лемма 17 Хай- €ка [19] впоследствии была дополнена Ченом [12]). 3.11. Замечания. Мы не можем применить теорему 3.4 для того, чтобы, не ограничивая общности, могли считать X компактным: у нас нет информации об инвариантных точках возможных компактификаций X. Даже при переходе от X к его одноточечной компактификаций, в случае когда X локально компактно (т. е. при добавлении одной инвариантной точки), размерность S может повыситься. Приведенное выше доказательство проходит и в случае, когда S гомеоморфно замкнутому подмножеству R^ для некоторого целого N; тогда <(G% X, тг;> можно эквивариантно вложить в (G, Сс (G, RA), р)> (см.: Хайек [19]). Для случая G=R и компактного метрического X Тоадер [34] показал, что R^ можно заменить произвольным банаховым пространством: доказательство с точностью до некоторых очевидных модификаций (т. е. с использованием теоремы Дугунджи о продолжении вместо леммы Титце) является дословным повторением доказательства Какутани [23]. Подобную модификацию, вероятно, можно проделать для теоремы 3.10 в ее общей форме, но следует признать, что результат, полученный таким образом (эквивариантное вложение в (G, Сс (G, У), р^>, если множество S инвариантных точек можно вложить в У), вряд ли можно предпочесть зна- 65
чительно более простой конструкции, указанной в начале этого ^ раздела в 3.1. Следующий представляемый нами результат получен Карлсоном [11]. Он использует линейное R-пространство <(R, CJ°, т)>, определенное некоторым уравнением в частных производных (см. раздел 1, пример 3). Он грубо говоря, утверждает, что действие R на сепарабельном метри- , ческом пространстве может быть получено как решение некоторого уравнения в частных производных. 3.12. Теорема. Каждое ^-пространство <(R, X, к) с сепарабелъным метрическим X можно эквивариантно вложить в линейное ^-пространство <Н, С?, т>. Доказательство. В силу теоремы 3.4 можно считать, что X — компактное метрическое пространство, так что мы построим только экви- вариантную непрерывную инъекцию X в С^°. Сначала, применяя 3.3, получим эквивариантное вложение X^(/,o«x),,eN:<R, X, *>-<R, C,(R, R*), P>, где отображения fn определяют вложения X в [0, 1]^. Функции fnonXl n£Nr склеим с отображением x\-+gx: X -> RRxR следующим образом: fn°Kx{2t — s), если Зп— 3^5 — t^3n — 2, g (s t): = x ' '' [ О в противном случае. Процесс усреднения, преобразующий функции gx в элементы gx £ С™+ читатель может найти у Карлсона [11]. Сквозное отображение х н> gx : X -> С^ш оказывается эквивариантной непрерывной инъекцией. Так как X предполагалось компактным, то это отображение фактически является вложением. 3.13. Замечание. До работы Карлсона [И] наша теорема 3.4 не была известна, а поэтому в его статье для того, чтобы гарантировать, что x^>gx является вложением, на действие тс группы R на X накладывается дополнительное условие. Сейчас мы приведем вариант обобщения, использованного в 3,12 метода для случая группы G, отличного от R (см. также: де Врис [36]). 3.14. Теорема. Пусть Z — бесконечное локально компактное топологическое пространство и пусть (G, X, гс)> — ТГП с тихоновским X веса w (X) ^L(Z), где L (Z) — число линделефова пространства Z. Тогда (G, X, тс)> можно эквивариантно вложить в линейное G-пространство (G, Cc(GxZ9 R), г)> (см. пример 5 из раздела 1). Доказательство. Хотя результат справедлив и для компактного Zt но мы для удобства будем предполагать, что Z некомпактно. Тогда существует такое семейство непрерывных функций (фг.: i £ /} из Z в интервал [0, 11* что / имеет мощность k = L (Z), и (i) для каждого i£I существует такое z. £ Z, что фД^) = 1; (ii) носители функций фг. для i £ / образуют дизъюнктное локально конечное семейство замкнутых подмножеств Z (см.: де Врис [36, с. 115]). Определим Г : RJ -> Rz формулой [ ф.(2)^., если zf носитель ф., Г(|)(2>:=(о если z (]« U носитель ф^.г для £={y.6ZGR' *z£Z. 66
Используя свойства (i) и (ii) семейства {фл *£/}, легко показать, что r(£)£C(Z., R) для каждого ££RJ, и что Г фактически является топологическим вложением RJ в Сс (Z, R) (довольно легкое, но отчасти затемненное другим аргументом доказательство содержится у де Вриса. [37, раздел 7.2]). Тогда Г индуцирует эквивариантное вложение <G, Ce(G, R'), Р> в -<G, Ct(G, C.(Z, R)), p>. Так как последнее G-пространство изоморфно (G, Сс (G X Z, R), ry (используем XII.5,3 из Дугунджи [13] и локальную компактность Z), то наша теорема непосредственно следует из 3.3. 3.15. Замечание. Если Z = [0, 1] и & = >J0, то доказанное выше редуцируется к хорошо известному факту о том, что гильбертов куб Q = [0, l]z можно вложить в пространство См([0, 1], R). Наряду с 3.3 этот результат влечет, что сепарабельное метрическое G-пространство <(G, X, те)> можно экви- вариантно вложить в линейное (^-пространство <G, Ce(G, Си([0, 1|, R)), P>«<G, CC(GX[0, 1], R), r>. Первоначально этот результат получен Рожко и Щербаковым [32]. Случай Z = R и к = $0 тесно связан с теоремой 2 Карлсона [11]. Для случая Z=G и k—L (G) приведенный выше результат встречается у де Вриса (см. [37, раздел 7.2]) в менее совершенной форме в [36]. Если G ^игма-компактно, то Сс (G, 12) является полным метрическим локально выпуклым топологическим векторным пространством (т. е. пространством Фреше). Значит, по теореме 3.2, если G сигма-компактна, то каждое сепарабельное метризуемое ^-пространство (G, X, пу можно эквивари- янтно вложить в линейное G-пространство Фреше. Тем не менее в этом случае можно получить эквивариантное вложение даже в гильбертово линейное (^-пространство. С этой целью нам понадобится гильбертово линейное ^-пространство (G, L2 (G, Я; v)^ pyi определенное в примере 7 из раздела 1. 3.16. Теорема. Пусть G — сигма-компактная группа, а Я— гильбертово пространство веса к. Тогда каждое G-пространство <(G, X, те)> с метри- зуемым фазовым пространством X веса w (X) ^ к можно жвивариантно вложить в гильбертово линейное G-пространство (G, L2(G, Я; v), р)>. Доказательство. Пространство X можно считать подмножеством единичного шара {££#; р||^1} гильбертова пространства Я. Это влечет эквивариантное вложение те : х «-> тех : <Х?, X, те>-><(С?, Cc(G, Я), р> (см. 3.1). Так как для каждого х^Х тех отображает G в единичный шар пространства Я, то тех££2((3^ Я; v), ибо v — ограниченная мера, а тех непрерывно. Так как носителем v является вся группа G, то ясно, что те: X -> L2 (G, Я, v) инъек- тивно. Непрерывность те показывается следующим образом. Пусть х £ X и е^> 0. В силу регулярности меры v в G существует такое компактное множество К, что v (G\K) <^ е2/81. Стандартная аргументация компактности показывает, что существует такая окрестность U точки х, что для всех tfc К и у £U. Далее, к-*,г< \ i«»w-%(<)pdv(«) + Sii«e(t)-%(*)iPA(t)< G\K К <4v(G\iK)+sSn-v(iK)<H 67
для всех y£U. Таким образом, тс является непрерывной эквивариантной инъекцией (G, X, тс)> в <(G, L2 (G, Н; v), р)>. Чтобы доказать, что тс — вложение,, рассмотрим такие х£Х и последовательность {#n}wFN в X, что пХп->пх в Z/2(G, Я; v), т. е. Нт\||тс^(£)— пх (t) f а\ (£) = 0. Тогда каждая последова- тельность (#Jw6N содержит такую подпоследовательность {#«,-}» с n> что" Нт||тс(£, xWt) — тс(£, ж)||2 = 0 для v-почти всех t£G. Так как каждое к* — »-*>со гомеоморфизм, то отсюда следует, что xni -> х. Следовательно, хп -> х при п -> оо. 3.17. Следствие. Если G компактно, то каждое метризуемое- G-пространство (G, X, пу можно эквивариантно вложить в гильбертово унитарное G-пространство. Доказательство. В данном случае можно положить v=fx=npa- вая мера Хаара. Унитарным G-пространством, в которое <(G, X, тс) можно эквивариантно вложить, является -(G, L2 (G, Н), р> (см. раздел 1, пример 6). 3.18. Замечания. Конструкции, вроде демонстрированной в доказательстве теоремы 3.16, можно найти в литературе в нескольких местах. Хитрость, конечно, в существовании меры v на G, т. е. в существовании весовой функции w на G, как это показано в примере 7 из раздела 1. Доказательство, данное выше, является модификацией работы де Вриса [35], которая в свою очередь опирается на результаты Байена и де Гроота [5]. Для G=Z подобный метод использован Вильямсом [43]. Следствие 3.17 является модификацией хорошо известного результата о том, что всякое представление компактной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представлению; оно есть также у де Гроота [17] и Пале [31]. В последней работе оно доказано довольно сложным методом, использующим так называемые ломтики (slices) (см. также ниже 3.19). Если G некомпактно, то возникает вопрос: можно ли метризуемое G-пространство <(G, X, ку эквивариантно вложить в некоторое гильбертово унитарное G-пространство? Кажутся необходимыми некоторые дополнительные условия, ибо положительный ответ влечет за собой существование на X инвариантной метрики 10. Наш последний результат является незначительным обобщением результата Пале [31], который доказан в случае, когда G — группа Ли. Нам нужны некоторые определения. Множество А в ТГП (G, X, ™у называется малым, если каждая точка х £ X имеет такую окрестность U, что множество (£/, A): = {t£G\ к*ипА^0) в G имеет компактное замыкание. ТГП (G, X, пу называется собственным, если каждая точка х £ X обладает малой окрестностью (определение отличается от данного в книге Бур- баки [8]; обсуждение различия см. в работе Абельса[1, 1.6]). Если J — подгруппа G, а <(7, X, тс>— ТГП, то действие х группы J на G X X можно определить формулой i* (s, х): = (sf1, к*х) для t^J и (s, х) ^G X X. Пространство орбит ТГП <7, G X X, т> (т. е. фактор-пространство пространства 10 Что существует не для всякой локально компактной группы G. — Примеч. пер.. 68
G X X, полученное отождествлением точек, лежащих на одинаковых орбитах) будет обозначаться через GXjX, а каноническое фактор-отображение GXX на GXjX — через (s, x)>-+[s, х]. Формулой ^[s, x]: = [ts, х], t£G n[s, x]£G XjX определяется такое действие ft-группы G на G XjX, что отображение жь>[е, х]: X ->G XjX — /-эквивариантно. Категорные свойства этой конструкции см.: де Врис [41]. 3.19. Теорема. Пусть (G, X, ку — собственная ТГП с сепарабелъ- ным метризуемым X. Тогда существует эквивариантное вложение <G, Х,к> в некоторое гильбертово унитарное G-npocmpaHcm,eo. Доказательство (набросок). Доказательство является модификацией раздела 4.3 статьи Пале [31]. Оно состоит из следующих этапов. 1. Если 7 — компактная подгруппа G, то всякое гильбертово унитарное /-пространство <7, #, оу допускает /-эквивариантное вложение в гильбертово унитарное G-пространство (G, Н', о'у. Это есть в точности лемма 1 раздела 4.3 из работы Пале [31]. Доказательство использует общую теорию представлений компактных групп и теорему Стоуна—Вейерштрасса. 2. Если / — компактная подгруппа G и Gb — подмножество G, то если /-пространство ^/, S, тс> можно /-эквивариантно вложить в унитарное G-npo- странство (G, Н\ а')>, то скрученное произведение (G, G XjS, я> можно G-эквивариантно вложить в гильбертово унитарное G-пространство L2(G) 0 //'. Это можно доказать, опираясь на идеи Пале [31, 2.1.4 и раздел 4.3]. 3. Если / — компактная подгруппа G и Gb — подмножество G, то для всякого метризуемого /-пространства <(/, S, тс)> существует эквивариантное вложение (G, G XjS, к} в гильбертово унитарное G-пространство. Это непосредственное следствие этапов 1, 2 и 3.17. 4. Для доказательства теоремы мы можем, не ограничивая общности, предположить, что G на X действует эффективно. Так как X сепарабельно и метризуемо, то отсюда следует, что G метри- зуемо и каждая ее компактная подгруппа является Gg-множеством в G. В силу результата Абельса [2] X можно покрыть инвариантными открытыми подмножествами, каждое из которых имеет форму (G, GXjS, тс>, для некоторой компактной подгруппы / группы G. Согласно этапу 3 каждое из них можно эквивариантно вложить в гильбертово унитарное G-пространство. Используя технику доказательства леммы 3 раздела 4.3 работы Пале [31], можно завершить доказательство. 3.20. Результаты о вложении некоторых систем в «системы переноса», которые фактически являются подсистемами <R, Сс (R), р)>, есть также в эргодической теории (см.: Эберлейн [14] и ссылки,|указанные там). ЛИТЕРАТУРА 1. Abels Н. Parallelizability of proper actions global Я-slices and maximal compact subgroups. — Math. Ann., 1974, 212, S. 1—19. 2. Abels H. A universal proper G-space. — Math. Ztschr., 1978, 159, S. 143—158. 3. Anderson B. D. Problems on group actions on (^-manifolds. — In: Transformation groups/ Ed. Kosniowski C: Proc. Gonf. Newcastle upon Tyne, 1976. Cambridge: Univ. press, 1977, p. 249—258. (London Math. Soc. Lect. Note Ser., vol. 26). 4. Baayen P. C. Universal morphisms. — Math. Gent. Tracts, 1964, N 9. 5. Baayen P. C, Groot J. de. Linearization of locally compact transformation groups in Hilbert space. — Math. Syst. Theory, 1968, 2, p. 363—379. 6. Bhatia N. P., Szego G. P. Stability theory of dynamical systems. Berlin etc.: Spring.- Verl., 1970. 69
7. Bronstein I. U. Extensions of minimal transformation groups. Noordhoff, 1979. 8. Bourbaki N. Topologie generale. Paris: Hermann, 1971. (Elements de mathematique. L. 3). 9. Bourbaki N. Espaces vectoriels topologiques. Paris: Hermann, 1953. (Elements de mathematique. L. 5). 10. Carlson D. H. A generalization of Vinigrad's theorem for dynamical systems. — J. Different. Equat., 1972, 11, p. 193—201. 11. Carlson D. H. Universal dynamical systems. — Math. Syst. Theory, 1972, 6, p. 90—95. 12. Chen S. S. An extension of the Kakutani—Bebutov system. — J. Different. Equat., 1975, 18, p. 275—276. 13. Dugundji J. Topology. Boston: Allyn and Bacon Inc., 1966. 14. Eberlein E. Einbettung von Stromungen in Funktionenraume durch Erzeuger vom endli- chten Тур. — Ztschr. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1973, 27, S. 277—291. 15. Edelstein M. On the representation of compact metrizable spaces as restrictions of linear mappings. — Ganad. J. Math., 1970, 22, p. 372—375. 16. Eisenberg M. Embedding a transformation groups in an automorphism group. — Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 23, p. 276—281. 17. Groot J. de. Linearization of mappings. — In: General topology and its relation to modern analysis and algebra: Proc. 1961 Prague Symp. Prague, 1962, p. 191—193. 18. Groot J. de, McDowell R. H. Extensions of mappings on metric spaces. — Fund, math., 1960, 48, p. 251—263. 19. Hajek O. Representations of dynamical systems. — Funkc. ekvacioj, 1971, 14, p. 25—34. 20. Herrlich H., Strecker G. E. Category theory. Boston: Allyn and Bacon Inc., 1973. 21. Janos L. On representations of selfmappings. — Proc. Amer. Math. Soc, 1970, 26, p. 529-533. 22. Jaworowski J. W. Extensions of G-maps and Euclidean G-retracts. — Math. Ztschr., 1976, 146, S. 143-148. 23. Kakutani S. A proof of Bebutov's theorem. — J. Different. Equat., 1968, 4, p. 194—201. 24. Kelley J. L. General topology. N. Y.: Van Nostrand, 1955. 25. Maclane S. Categories of the working mathematician. Berlin etc.: Spring.-Verl., 1971. 26. Manes E. G. С (X) as a dual space. — Canad. J. Math., 1972, 24, p. 485—491. 27. Maxwell C. N. Homomorphisms of topological transformation group into function spaces. — Duke Math. J., 1966, 33, p. 567—574. 28. Mostow G. D. Equivariant embedding in Euclidean space. — Ann. Math., 1957, 65, p. 432—446. 29. Немыцкий В. В. Топологические проблемы теории динамических систем. — УМН, 1949, 4, № 6 (34), с. 91—153; Engl, transl. in: Amer. Math. Soc, Transl. Ser. 1, 1949, 5, p. 414—497. 30. Paalman-de Miranda A. B. A note on ТУ-groups. —Math. Syst. Theory, 1971, 5, p. 168-171. 31. Palais R. S. On the existence of slices for actions of non-compact Lie groups. — Ann. Math., 1961, 73, p. 295—323. 32. Rozko V. F., Scerbakou B. A. An example of universal dynamical system. — Bull. Akad. Stiince RSS Moldoven, 1968, 1, p. 81—87. 33. Смирнов Ю. M. Об эквивариантных вложениях G-пространств. — УМН, 1976, 31, с. 137—147. Engl, transl. in: Russian Math. Surv., 1976, 31, p. 198—209. 34. loader G. H. A universal dynamical system. — Rev. anal, numer. theor. approxima- tici, 1974, 3, p. 215—223. 35 Vries J. de. A note on topological linearization of locally compact transformation groups in Hilbert space. — Math. Syst. Theory, 1972, 6, p. 49—59. 36. Vries J. de. Universal topological transformation groups. — Gen. Topol. and Appl., 1975, 5, p. 107-122. 37. Vries J. de. Topological transformation groups. I.—Math. Cent. Tracts, 1975, N65. 38. Vries J. de. Equivariant embeddings of G-spaces. — In: General topology and its relations to modern analysis and algebra/Ed. Novak J.: Proc. 4th Prague Topol. Symp., 1976. Prague, 1977, vol. 4, pt B, p. 485—493. 39. Vries J. de. On the existence of G-compactifications. — Bull. Acad, polon. sci. Ser. math., astron. et phys., 1978, 26, p. 275—280. 40. Vries J. de. A note on weight functions of locally compact groups: Preliminary note N 88'. Amsterdam: Math. Centrum, 1979. 41. Vries J. de. Topics in the theory of topological transformation groups. Amsterdam: Math. Centrum, 1979. 42. West J. E. Extending certain transformation group actions in separable, infinite dimensional Frechet spaces and the Hilbert cube. — Bull. Amer. Math. Soc, 1968, 74, p. 1015—1019. 43. Williams R. K. Linearization of expansive homeomorphisms. — Gen. Topol. and AppL, 1976, 6, p. 315—318.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Р. ГАРДНЕР, В. ПФЕФФЕР (США) НЕКОТОРЫЕ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ВОПРОСЫ, КАСАЮЩИЕСЯ РАДОНОВСКИХ МЕР Пусть X — локально бикомпактное пространство неизмеримой мощности. Мы показываем, что следующие утверждения не могут быть разрешены в рамках аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля,; включающей аксиому выбора.| 1) Если X — наследственно металинделёфово пространство, удовлетворяющее условию Суслина локально, то каждая конечная борелевская мера в X является радоновской. 2) Если пространство X металинделёфово, то каждая конечная радонов- ская мера в X регулярна. 3) Если пространство X наследственно сепарабельно, то каждая распределенная регулярная радоновская мера в X а-конечна. Введение Все пространства в этой работе хаусдорфовы. Для произвольного пространства X через § и ^ мы будем обозначать соответственно семейство всех открытых и семейство всех бикомпактных подмножеств X. Борелевская а-алгебра в X, т. е. наименьшая а-алгебра в X, содержащая $, будет обозначаться через М- Элементы $} будут называться борелевскими множествами. Борелевская мера в X — это такая мера р. на <^?, что каждая точка х £ X имеет окрестность U с р.(С/)<^-(-оо. Борелевская мера fx в X называется (1) радоновской, если pL(5) = sup{pL(C):CG«\ CczB) для каждого В£о%; (2) регулярной, если ^(5) = inf{pL(G):GG^ BczG) для каждого B£S3- Радоновское пространство — это пространство, в котором каждая конечная борелевская мера является радоновской. Настоящая работа разделяется на две части, каждая из которых имеет дело с одним из следующих вопросов. (а) Пусть X — локально бикомпактное наследственно металинделёфово пространство, удовлетворяющее условию Суслина. Будет ли X радоновским пространством? ((3) Пусть fx — а-конечная радоновская мера в металинделёфовом пространстве. Будет ли мера jx регулярна? 71
Мы покажем, что никакой из этих вопросов не может быть решен в рамках обычной аксиоматической теории множеств. Доказательства основаны на альтернативном применении аксиомы Мартина вместе с отрицанием континуум-гипотезы и аксиомы Йенсена [12]. Мы также отвечаем на вопрос Толла (см. [19], последний параграф в разделе 6). А именно, используя О, мы строим локально бикомпактное наследственно металинделёфово пространство, удовлетворяющее условию Суслина и не являющееся слабо 6-измель- чаемым. 1. Предварительные понятия и результаты Через \А\ мы обозначаем мощность множества А. Когда это удобно, мы будем отождествлять кардинальные числа с начальными порядковыми числами. Посредством о> и й мы будем обозначать первое бесконечное и первое несчетное кардинальное число соответственно. Пространство X называется метакомпактным (соответственно металин- делёфовым), если во всякое его открытое покрытие можно вписать открытое точечно конечное (соответственно точечно счетное) покрытие. Пространство X удовлетворяет условию Суслина, или, что то же самое, условию счетности цепей (сокращенно ССС), если каждое дизъюнктное семейство непустых открытых подмножеств X счетно. Континуум-гипотеза (сокращенно СН) означает, что 2M=Q. Аксиома Мартина (сокращенно МА) имеет несколько эквивалентных формулировок. Мы будем использовать следующую ее топологическую версию. МА: Пусть X — бикомпакт, удовлетворяющий условию Суслина и пусть Ж — семейство открытых плотных подмножеств пространства X. Если |Ж| <2Ю, то ПЖ^0. Аксиома Йенсена не будет применяться непосредственно. Мы будем использовать пространство Y (см. 2.2), построенное Осташевским [15] в пред^ положении предложенной им аксиомы и континуум-гипотезы. За формулировкой аксиомы Осташевского (сокращенно ОА) и доказательством совместимости ОА+СН с аксиоматической теорией множеств Цермело—Френкеля,; включая аксиому выбора, мы отсылаем к [15]. Затем Девлин доказал [3] эквивалентность ОА+СН и аксиомы Йенсена О х. Совместимость МА+ ПСН с аксиомами ZFC доказана в [18]. Кардинальное число х называется измеримым, если существует дискретное пространство X мощности х и такая борелевская мера vbX, что v(X) = 1 и v ({х}) = 1 для каждого х£Х. За свойствами измеримых кардинальных чисел мы отсылаем читателя к [20] или [4, глава 0, раздел 4]. Иногда мы будем упоминать (фактически без использования) 6-измель- чаемые и слабо 6-измельчаемые пространства. За их определениями и свойствами мы отсылаем читателя к [21] и [2]. 2. Радоновские пространства Свойство быть радоновским пространством является топологическим в том смысле, что оно инвариантно относительно гомеоморфизмов. Поэтому желательно было бы охарактеризовать это свойство без привлечения мер. В локально бикомпактных пространствах были найдены необходимые условия, 1 Пространство со свойствами пространства У независимо от Осташевского было построено также в [5, теорема 3] в предположении, эквивалентном аксиоме Йенсена. — Примеч. пер. 72
привлекающие такие свойства полноты, как а-веществённая компактность (см. [6, теорема 3.5]); значительный прогресс был достигнут также в получении достаточных условий в терминах покрытий. Достаточно легко увидеть, что если локально бикомпактное пространство X наследственно линделёфово, то оно радоновскоё (см. [10, раздел 52]). В [13, теорема 2] Катетов доказал, что если локально бикомпактное пространство X не содержит дискретных подмножеств измеримой мощности, то X радоновскоё всякий раз, когда оно наследственно паракомпактно. Паракомпактность была ослаблена до метакомпактности Хэйдоном (см. [11, предложение 3.2]) и затем до слабой О-измельчаемости Гарднером (см. [6, следствие теоремы 6.1]). С этими результатами на руках естественно исследовать наследственно металинделёфовы пространства. 2.1. Теорема. Предположим МА+ ~|СН. Пусть X — локально бикомпактное наследственно металинделёфово пространство. Если X удовлетворяет условию Суслина или если X удовлетворяет условию Суслина локально и не содержит дискретных подмножеств неизмеримой мощности, то X — радоновскоё пространство. Доказательство. Согласно [19, теорема 6.9 или 6.10] каждое открытое подмножество пространства X является соответственно линделё- фовым или паракомпактным. Тогда утверждение теоремы вытекает из [16, (18.15)] или [13, теорема 2] соответственно. Мы не знаем, останется ли эта теорема верной, если опустить локальное условие Суслина. Чтобы показать, что предположение МА+ ~}СН существенно, мы нуждаемся в примере Осташевского и в одном неопубликованном результате Кюнена, который любезно снабдил нас препринтом. 2.2. Предложение [15]. Предположим СН + ОА, тогда существует такое счетно-компактное небикомпактное пространство Y мощности Q, что оно совершенно нормально, локально счетно, локально бикомпактно и наследственно сепарабелъно. 2.3. Предложение [14]. Предположим СН. Тогда существует такое несепарабелъное бикомпактное пространство Z мощности Q, что оно наследственно линделёфово, тотально несвязно и не имеет изолированных точек. Более того, в Z существует такая радоновская мера v, что v (Z)=d и v (#)=0 тогда и только тогда, когда BaZ есть нигде не плотное борелев- ское множество. Ниже в этом разделе мы будем в предположении <0 строить пространство X0dYxZ. Пространство Y можно покрыть семейством {Ua : а <^ Щ непустых счетных открытых множеств. Поскольку Z наследственно линделёфово, оно удовлетворяет первой аксиоме счетности (см. [1, глава II, теоремы 6 и 4]). Согласно [19, теорема 3.27] существует точечно счетное несчетное семейство |Уа : а <^ Щ попарно различных непустых открытых подмножеств Z. Мы положим X0=\J{UaXVa:*<Q). Ясно, что Х0 — локально бикомпактное пространство с первой аксиомой счетности. Для А а Х0 и у £ Y положим Ay = {z£Z:{y, z)£A). 2.4. Предложение. Пространство Х0 наследственно металинделёфово и удовлетворяет условию Суслина. 73
Доказательство. Возьмем A CZ Х0. Если %-—открытое покрытие множества А, то обозначим через V" какое-нибудь открытое покрытие множества А, одновременно измельчающее % и {Ua X Va: а< 2}. Поскольку Ua счетно, a Z наследственно линделёфово, существует такое подпокрытие ffldty', что \{W£W:Wc:UaXVa}\^ для каждого а<^2. Из точечной счетности семейства {Va: а < 2} вытекает точечная счетность покрытия W*. Теперь предположим, что Ж — несчетное дизъюнктное семейство открытых подмножеств пространства Х0. Если D — счетное плотное в 7 множество, то для некоторого у £ D семейство [Н : Н £ Ж) несчетно. Однако это невозможно, так как Z наследственно линделёфово. Теперь мы определим конечную борелевскую меру в Х0, не являющуюся радоновской. Согласно [7, 1.4 и 5.9] пространство Y не вещественно компактно. Поскольку 7 совершенно нормально, существует такая двузначная борелевская мера X в Y, что Х(7)=1 и X ({#}) = О для каждого у £ 7. Для произвольных множеств А и В положим АкВ = (А\В) \J (В\А). Обозначим через оМ семейство тех М С Y X Z, для которых существуют такие борелевские множества My С Y и Mz С Z, что X (MY) = 1 и М' является борелевским подмножеством пространства Z и v (MykMz) = 0 для каждого у£ My- Для М £оМ положим р (М) = v (Mz). В нескольких леммах мы докажем, что оМ есть а-алгебра в Y X Z, содержащая замкнутые множества, и что р — мера на оМ. 2.5. Лемма. Семейство оМ является ^-алгеброй в Y X Z, ар есть .мера на е/^. Доказательство. Ясно, что FX Z^oM- Пусть Л£<2^ и пусть 5 = =Т X Z\4. Полагая By = Ay и J5z=Z\ylz, мы видим, что В£оЖ- Для Ап^пМ, п = 19 2, . . ., и Л= U Л положим AY= П (Л)у и Az= U (Л)*. Поскольку Х(Лу) = 1, то Л£е^. Более того, если Ап попарно не пересекаются, то v [{An)Y П (An)у] = 0, каковы бы ни были п=^=т. Следовательно, ft И) = v (Лу) = 2 v [(л„)г] =2 и- Ю- 2.6. Лемма. Пусть F — замкнутое подмножество произведения Y X Z. Тогда Ге = {у £ У : v (F ) ^ s} замкнуто в Y для каждого вещественного числа s. Доказательство. Пусть {г/J^ — последовательность в Ге, сходящаяся 00 00 к точке у £ Y. Возьмем точку z в множестве Н = U П ^„- Существует &—1 п=к такая подпоследовательность {г/и} последовательности {уп}9 что (^, zJ^F для всех п. Поскольку F замкнуто и (у'п, z) -> (y,z), мы имеем z^Fy. Значит, Н ClF и г/£Ге, поскольку v (Fy) J> v (Я) J> е. Но 7 с первой аксиомой счетности. Значит, Ге замкнуто. 2.7. Лемма. Пусть FczYxZ замкнуто. Тогда существуют такое r^Ow такое Г с 7, что X (Г) = 1 ц X (Fy) = г для каждого у £ Г. Доказательство. Пусть Ге — замкнутое подмножество пространства 7, определенное в лемме 2.6, и пусть r = sup{e:X(r.) = l}. 74
Имеем г J> О, так как Г0 = Y. Если 00 00 Г = П JV-1/Я \ U ^ Г+1/Я1 то Х(Г) = 1 и v(Fl/) = r для каждого г/£Г. 2.8. Лемма. Всякое замкнутое подмножество произведения Y X Z при- надлежит оМ* Доказательство. Пусть F замкнуто в Y X Z и пусть г и Г взяты из леммы 2.7. Для произвольного е>Ои для каждого у £ Г найдем такое бикомпактное множество С CZ Z\ F' , что v(Z\/g<v(C)+e/2. Для каждого z^Z\F существуют такие открытые окрестности U (z) и V (z) точек у и 2 соответственно, что U (z) X V(z)ciX\F. Поскольку множества V(z) покрывают Z\F , конечное число из них V (гг)9 . . ., V (zn) покры- v вают С. Полагая G(у) = П ^ (zj, мы имеем Fyt CZ Z\C для каждого у'' £G(у). k=i Если y'£G(y)riT, то v (Z \С) > v (^ U^) = 2v (/;) - v (^ П *» > 2 lv (Z \ С) - s/2] - v (Fy П *» и, следовательно, v (/-/*>) = v (Fy и*>) - v (^ n *V) < в. Поскольку Y наследственно сепарабельно, Г содержит счетное плотное подмножество {уп: п = 1, 2, . . .}. Множества 1;={</ег:</есо/„) или ^е^о/)} со открыты в Г и Г= (J Гя. Значит, Х(1\) = 1 для некоторого целого /V^l. Полагая Л8 = Г^ и He=F&N, мы получаем v(f ДЯб)^е для каждого #£А8, со Пусть теперь FY= П Л1/я. Тогда \(FY) = 1, и мы полагаем Fz = Fyo для некоим торого г/0 £ .Fy. Если г/ £ /"у, то v (^/^) < v (F,bHlln) + v (Я1/и^о) < 2/Л для /2 = 1, 2, ... Итак, v(FybFz) = 0 для каждого г/£^у и> значит, F ^vfl, Обозначая через X пополнение меры X в У, мы получаем следующее утверждение. 2.9. Следствие. Существует такая борелевская мера р. в Y X Z, что ц{В)=\*(Вг)&{у) Y для каждого борелевского множества В С Y X Z. Обозначим через [л0 ограничение меры [л из следствия 2.9 на борелевские подмножества пространства Х0. 2.10. Теорема. 0<[х0(Х0)^1 и [ifl(f/aX Va) = 0 для каждого ос<2. Доказательство. Ясно, что [а0(Х0) ^[л (7 X Z) = 1. Поскольку множества С/а счетны, [А0(С/аХ ^а)=0 для каждого ос<^&. Множества ^.= U{f/.:«<2, v(FJ>t/»}, 75
w = l, 2, ..., образуют открытое покрытие пространства Y. Значит, суще_ ствует целое N ^ 1 с X (AN) = 1. Полагая B=U{UaXVa:UuCA«}, ' мы имеем р,0 (Xq) ^> р0 (fi) ^ 1//V. 2.11. Следствие. Пространство Х0 не .является радоновским. 2.12. Следствие. Пространство Х0 не является слабо ^-измельчаемым. Доказательство. Поскольку | Х0 | = 2, пространство Х0 не содержит подмножеств измеримой мощности (см. [4, теорема 0.4.17]). Наше следствие вытекает теперь из [6] (см. теорему 4.1 и параграф после следствия к теореме 4.3). 2.13. Замечания, (а). Ясно, что мера р. из следствия 2.9 является продолжением произведения мер X X v. Мы утверждаем, что это продолжение собственное. В самом деле, поскольку семейство {Fa:a<^2} точечно-счетно, множество Xza = {y£Y:(y,z)eX0) счетно для каждого z£Z. Значит, \l(X*)dv(z)=0, Z в силу чего Х0 не является XX v-измеримым (см. [10, раздел 35, теорема А]). (Р) Примечательно то, что для построения меры р, мы использовали только следующие факты: (1) X — конечная двузначная борелевская мера в Y; (2) v — конечная радоновская мера в Z; (3) Y с первой аксиомой счетности и наследственно сепарабельно. Мы не знаем, существенна ли здесь двузначность меры X. (у) Применяя [8, лемма 4], мы можем построить меру р, и в случае, когда У — пространство всех счетных порядковых чисел, а X — мера Дьедонне в Y (см. [10, раздел 52, упражнение 10]). В этом случае мы нуждаемся только в континуум-гипотезе, но пространство будет удовлетворять условию Сус- лина лишь локально. 3. Регулярные меры Ясно, что каждая конечная радоновская мера регулярна, и легко построить нерегулярную радоновскую меру, которая не a-конечна (см. [9, пример 6]). Если радоновская мера в X a-конечна, то она регулярна, как только пространство X метакомпактно, и метакомпактность не может быть заменена 9-измельчаемостью (см. [9, теорема 1 и пример 7]). Итак, снова желательно было бы узнать, что будет, если пространство X металинделёфово. Мы начнем с того, что дадим значительно более простое и прозрачное доказательство теоремы 1 из [9]. Следуя [17, с. 43], мы будем называть борелевскую меру (хв! умеренной^ если существует счетное открытое покрытие пространства X множествами конечной меры. 3.1. Предложение. Радоновская ^-конечная мера р- в X регулярна тогда и только тогда, когда она умеренна. Доказательство. В силу a-конечности меры р существует счетное покрытие пространства X борелевскими множествами Хп конечной меры. Если 76
мера [i регулярна, то существуют такие открытые Gn, что XndGn и p. (Gn) <С <^-f-oo, и = 1,2, ... Следовательно, мера р. умеренна. Наоборот, если р. умеренна, мы можем считать, что Хп открыты. Возьмем произвольно борелевское множество А и е ^> 0. Мера в Хп, получающаяся ограничением р. на {В Г) Г\Хп: В (*<$}}, является конечной радоновской и, значит, регулярной. Следовательно, для п = 1, 2, ... существуют открытые подмножества GndXn с | р(С,)<^(ЛПХ,) + е.2- 00 Полагая G= U Gn, мы имеем w=l |*(С\Л)<^[и(С,\ЛПХ,)1<2^(С.\^ПХ,)<е. Lw=l J W=l Поскольку каждое Хя открыто в X, открыто и G, откуда и вытекает регулярность меры р, в X. 3.2. Лемма. Пусть (М, оМ, р.)— абстрактное пространство с мерой, причем мера р. а-конечна. Тогда, если 21 С е/^ — точечно-конечное семейство, то р. (Л) = 0 для всех А £ *21, за исключением, может быть, счетного их числа. Доказательство. Поскольку каждая а-конечная мера является счетной суммой конечных мер, достаточно доказать лемму для конечной меры р.. Если р.(Л)^>0 для несчетного числа А £21, то существует s^>0 и различав 00 ные Ап^^ такие, что р, (Ап) ^ в для /г = 1, 2, ... Полагая A=f) U Ап> k=ln=k мы имеем р.(Л)^е. В частности, Л=^=0, что противоречит точечной конечности семейства 21. 3.3. Теорема [9, теорема 1]. Всякая а-конечная радоновская мера р. в метакомпактном пространстве X регулярна. Доказательство. Для каждой точки х £ X возьмем ее открытую окрестность U (X) под условием р, [U (х)] < -f~°°- Пусть W* — открытое точечно- конечное измельчение покрытия {U(x):x£X}. По лемме 3.2 существует такое счетное семейство W0ClW, что p.(F) = 0 для каждого V£W\WJ0- Пусть W0 = {V19 V2, ...} и пусть V0=\J(W\W0). Ясно, что pi(FJ<+^, /2 = 1, 2, . . ., и, поскольку р. — радоновская мера, p.(F0) = 0. Итак, мера р. умеренна и согласно предложению 3.1 регулярна. Если р. — радоновская мера в X, то положим suppp. = Х\ |J {G£$ : p. (G)=0\ и будем называть это множество носителем меры р.. Ясно, что множество suppp. замкнуто и p-(G)^>0 для каждого открытого множества G, пересекающегося с supp р.. Поскольку мера р. радоновская, мы имеем также p. (X4\suppp.)=0. Для изучения регулярности радоновских мер в металинделёфовых простран_ ствах мы будем нуждаться в лемме, аналогичной [17, с. 46, теорема 13]. 3.4. Лемма. Если р. — радоновская мера в X, то существует такое дизъюнктное семейство &7) непустых бикомпактных множеств, что (1) Если D£@) и DC)G=£0 для G^$, то р.(/?П^)>0; (2) Если B£S3, то ц {В) = Е {jjl (В ПО): D £&}. Доказательство. По лемме Цорна существует максимальное дизъюнктное семейство <2$ непустых бикомпактных множеств, удовлетворяющее условию (1). Поскольку &/) дизъюнктно, 1ЧД)>ЕМЯПЯ):Яе^} для каждого В £ <$. Предположим, что B£(03hBC\\J&)— 0. Если р. (В) > О то существует С £$ с С (Z В и р (С) ^> 0. Пусть DQ — носитель меры р., огра' 77
ничейной на {Af]C: Л£<Й?}. Добавляя D0 к @)у мы получаем противоречие с максимальностью 0$. Если С £ ^, то мы можем покрыть С конечным числом множеств G£$ с p(G)<C+°°- По построению jg7 каждое открытое множество конечной меры пересекается лишь со счетным числом элементов семейства @). Значит, существует такое счетное семейство j^0 С <^, что (С\ Ui^o) П П U^ = 0. Поэтому [х(С) = [х(СП \J@0)=Z{p(CnD):D€@}.EcjmB£($f то для каждого С £ ^ с С а В. Поскольку мера [л радоновскаяу 1«(5)<Е^(£П5):Д6®}. Любое семейство ^, удовлетворяющее условиям леммы 3.4, будем называть кассой меры [а. 3.5. Следствие. Пусть р. — радоновская мера в X и пусть £$ — касса меры [х. Тогда если [х о-конечна, то SS счетна. 3.6. Теорема. Предположим МА -\- ) СН. Всякая ^-конечная радоновская мера в металинделёфобом пространстве X регулярна. Доказательство. Для каждой точки х£X возьмем ее открытую окрестность U (х) конечной меры. Пусть ^ — открытое точечно-счетное измельчение покрытия {U (х): х£Х}. По лемме 3.4 и следствию 3-5 существует счетная касса <$ меры р.. Пусть Если семейство (f}J1 несчетно, то существует такое D £ ^)у что также несчетно. Значит, {V f]D : V £??\}— не счетное, но точечно-счетное се мейство открытых подмножеств бикомпакта D. Поскольку D £ J5, то D удовлетворяет условию Суслина. Применяя следствие 3.7 из [19],. мы получаем противоречие. Следовательно, семейство ЧУХ счетно. Ясно, что \х (V) <^ -|~°° Для каждого V^^i и по лемме 3.4 имеем \)<(V0) = 0. Теперь утверждение нашей теоремы вытекает из предложения 3.1. 3.7. Теорема. Предположим СН. Тогда существует вполне несвязное с первой аксиомой счетности локально бикомпактное пространство X мощности | X | = 2, которое наследственно металинделёфово, наследственно Ь-измельчаемо и не имеет изолированных точек. Более того, существует з-конечная нерегулярная радоновская мера в X такаяг что supp \х = X и р, ({#}) — 0 для каждого х £ X. Доказательство. Возьмем пространство Z и меру v в Z из предложения 2.3. Для неотрицательных целых к и п положим qk п = (к2~п, 2~п). Пусть Q = {qktU:k = 09 ...,2W; п = 0, 1, ...} i Х = [0, 1]U((? X Z). Обозначим {qktK} X Z через Zktn и зададим топологию в X посредством базы окрестностей. Если х = (qk^ п, z) принадлежит У X Z, то базу окрестностей точки х образуют множества вида {qktn} X Vr ^де V—окрестность точки z в Z. Сложнее определить базу окрестностей $ точке #£[0, 1]. Как мы уже показали во втором разделе, существует ючечно-счетное семейство Ж непустых открытых подмножеств пространства Z, гмеющее мощность. Q. Поскольку Z вполне несвязно, мы можем предположить,, то Ж состоит из открыто-замкнутых множеств. В самом делег для этого до- 78
статочно взять непустое открыто-замкнутое множество в каждом из Н £ Ж. Мы можем также предположить существование такого г > О, что v (Н) ^ г для каждого Н £ Ж. Согласно континуум-гипотезе существует биекция х -> -> Н (х) между [0, 1] и Ж. Обозначим {qkf J X Н (х) через Нкп(х). Теперь база окрестностей точки ж£|0, 1] определяется множествами U (х, е) = = {.}UU{ffMW:gM^H|K-»-x|<2-1<^ где е>0. Чтобы облегчить геометрическую интерпретацию множества U (х, е), мы заметим, что проекция множества U (х, &)\{х) на Q состоит из тех точек qkfn, которые лежат внутри открытого клина в [0, 1] X [0, 1] с вершиной в точке (ж, 0), высоты е/2 и с крутизной сторон, равной +2. Легко проверить, что с этой топологией X является локально бикомпактным вполне несвязным хаусдорфо- вым пространством с первой аксиомой счетности, не имеющим изолированных точек. Покажем, что произвольное подпространство Е пространства X мета- линделёфово и б-измельчаемо. Поскольку произведение Q X Z наследственно линделёфово, оно наследственно паракомпактно. Значит, каждое открытое покрытие пространства Е имеет открытое измельчение вида lt = WU{U(x, О:^[0.1]ПЯ}. тде ?/ — точечно-счетное семейство открытых подмножеств пространства Q X Z. Предположим, что некоторое х0 £ X содержится в несчетном числе множеств U (х, гх). Тогда существуют такие целые кип, 0 ^к^2п, что х0 содержится в Нк п(х) для несчетного числа #£10, 1]. Однако это невозможно, поскольку [Нкп(х):х£[0,1]} является точечно-счетным семейством в Zk я. Следовательно, % точечно-счетно. Полагая СО ,л = 1, 2, . .., мы сразу же видим, что (J °$'п есть 6-измельчение покрытия U. п=1 Обозначим через vfe п радоновскую меру в Zk я, индуцированную мерой v посредством естественного гомеоморфизма между Zkn и Z. Если В — борелев- ское подмножество пространства X, то положим 2й к=0 ц (Я) = 2 2"* 2 Ч „(*№,.). Поскольку для каждого целого п ^ 0 множество U (х, е) пересекается не более чем с одним Zk я, мы имеем fi [U (х, е)] ^ 2. Поэтому \х — борелевская мера в X. Поскольку каждое vfe является конечной радоновской мерой в Zk я, легко видеть, что [х есть а-конечная радоновская мера в X. Далее, supp [i = X, поскольку Q X Z плотно в X и supp vfcj п = Zki п, к = 0, . ..,2W, /г = 0, 1, ... Ясно, что р. ({#}) = 0 для каждого ж£Х. Пусть G — открытое подмножество пространства X, содержащее [0,1]. Для каждого х^[0, 1] существует U (х, ex)czU. Рассмотрим естественную топологию на [0, 1]. По теореме Бэра о категориях существуют непустой открытый интервал о7 С [0, 1] и такое е^>0, что множество {х £ J : ех > 2е} плотно в 3. Итак, Нкп(х) ciG, как только qk^ п £ J X [0, е]. Возьмем целое /V ^ 1 так, что l{fc:?*.»€^X[0, «]}|>2. 79
Тогда |{*:?*.Ач„е^Х[0, в]}|>2\ « = 0, 1, ..., и поэтому ^(6)>2 2-(Л'+и)(2вг) = +оо. Поскольку р<([0, 1])—. О, мера р, нерегулярна. ЛИТЕРАТУРА 1. Alexandroff P. S., Urysohn P. S. Memoire sur les espaces topologique compacts. — Verhandel. Koninkl. Akad. wet. Amsterdam. Afd. natuurkunde, 1929, 14, biz. 1—96. Рус. пер.: Александров П. С, крысой П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука, 1971. 2. Bennett Н. R., Lutzer D. J. A note of weak 6-refinability — Gen. Topol. and Appl.,. 1972, 2, N 1, p. 49-54. 3. Devlin K. J. Variations on 0. — J. Symbol. Log., 1979, 44, 1, p. 51—58. 4. AmDickmann M. Large infinitary languages. Amsterdam: North-Holland, 1975. 5. Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств. — Мат. сб., 1976, 99, № 1, с. 3—33- Engl, transl. in: Math. USSR Sb., 1976, 28, N 1, p. 1-26. 6. Gardner R. /. The regularity of Borel measures and Borel measures-compactness. — Proc. London Math. Soc, 1975, 30, p. 95—113. 7. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N. Y.: Van Nostrand, 1960. 8. Gruenhage G., Pfeffer W. F. When inner regularity of Borel measures implies regularity.— J. London Math. Soc. Ser. 2, 1978, 17, N 1, p. 165—171. 9. Gruenhage G., Gardner R. J. Completeness and weak covering properties, and measure- compactness. — J. London Math. Soc. Ser. 2, 1978, 18, N 2, p. 316—324. 10. Halmos P. R. Measure theory. N. Y.: Van Nostrand, 1950. 11. Hay don R. On compactness in spaces of measures and measure-compact spaces. — Proc. London Math. Soc, 1974, 29, p. 1 — 16. 12. Jensen R. B. The fine structure of the constructible hierarchy. — Ann. Math. Log., 1972r 4, p. 229—308. 13. Katetov M. Measures in fully normal spaces. — Fund, math., 1951, 38, p. 73—84. 14. Kunen K. Paracompactness of box products of compact spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1978, 240, p. 307—316. 15. Ostaszewski A. J. On countably compact, perfectly normal spaces. — J. London Math. Soc Ser. 2, 1976, 14, N 3, p. 505—516. 16. Pfeffer W. F. Integrals and measures. N. Y.: Marcel Dekker, 1977. 17. Schwartz L. Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. London: Oxford Univ. press, 1973. 18. Solovay R. M., Tennenbaum S. Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. — Amu Math., 1971, 94, p. 201—245. 19. Tall F. D. The countable chain condition versus separability applications of Martin's axiom. — Gen. Topol. and Appl., 1974, 4, p. 315—339. 20. Ulam S. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre. — Fund, math., 1930, 16r p. 140—150. 21. Wicke H. H., Worrel J. M. Characterizations of developpable topological spaces. — Canad. J. Math., 1965, 17, p. 820-830.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 А. ДОЛЬД, Д. ПУППЕ (ФРГ) ДВОЙСТВЕННОСТЬ, СЛЕД И ТРАНСФЕР Введение Имея в виду топологические приложения, мы рассмотрим понятия «сильной двойственности» (разделы 1,2), «следа» (раздел 4) и «трансфера» (раздел 5) в моноидальных категориях. Прежде всего мы имеем в виду следующие моно- идалъные категории: 1. Mod/? — категория модулей над некоторым коммутативным кольцом R (см. 1.4). 2. d-Modfi — категория цепных комплексов (см. 1.5, 1.8). 3. Stab — стабильная гомотопическая категория (см. раздел 3). 4. Stab^ — стабильная гомотопическая категория над некоторым пространством параметров В (см. раздел 6). 5. StabG — стабильная G-эквивариантная гомотопическая категория, где G — некоторая группа (см. раздел 7). 6. Стабильная теория шейпов (см. раздел 8). Сильная двойственность в категории Stab есть /^-двойственность в смысле Спеньера—Уайтхеда [19]. Мы даем прямое геометрическое доказательство ^-двойственности между корсами г и их дополнениями (3.1), которое легко обобщается на случай категорий Stab5 (6.1), StabG (7.1), а также на случай стабильной теории шейпов (8.1). В доказательстве теоремы 3.1 не используется двойственность Александера, являющаяся следствием этой теоремы (см. 3.3). Другим следствием является теорема Лефшеца—Хопфа о неподвижной точке (4.6). Результаты раздела 6 о категории Stab# тесно связаны с результатами Дольда [2—4] и Беккера—Готтлиба [1]. Изучая последнюю работу, мы заметили, что в круге ее идей и методов весьма мощным орудием оказываются некоторые простые абстрактные понятия. Введение последних не только дало возможность заменить некоторые специальные вычисления концептуальными доказательствами (ср., например, с. 4.4 и 4.5), но позволило также усилить некоторые результаты: расширяя категорию Stab# до категории спектров, удается избавиться от предположения Беккера—Готлиба конечномерности базового пространства В. В частности, наша теорема 6.2 сильнее теоремы 1.1 Готтлиба—Беккера [1]. В работе отсутствуют некоторые доказательства. Полное и подробное изложение будет опубликовано. 1 Следуя Рохлину и Фуксу, мы используем термин «коре» для компактных окрестност- ных ретрактов сферы. — Примеч. пер. 81
1. Двойственность в моноидальных категориях Пусть ^ — симметричная моноидальная категория с умножением 0 и нейтральным объектом /. Это означает, что 0 есть бифунктор (А, В) <-> А 0 В из ^ в ^ и что имеются согласованные естественные эквивалентности А®(В®С)д*{А®В)®С, I®Ag^A^A(g)I, т = Т^: А® В^> В 0 А. Опыт подсказывает нам, что первые две эквивалентности можно заменить равенствами. С третьей же эквивалентностью надо действовать осторожнее, так как, вообще говоря, уАА : А®А -> А®А не есть тождественное отображение. Объект В из <$ называется {слабо) двойственным, или дуальным, объекту Л, если он является представляющим объектом для функтора X ь-> ^ (Х0Л, I), т. е. если имеется естественная по X биекция 1.1. ?(Х®4, /)^?(Х, В). Полагая Х = 5, получаем соответствующий морфизму ids £^(5, В) морфизм е = еА : В 0 А -^ /, называемый эвалюацией. Пусть ^* — такая полная подкатегория категории <$, объекты которой обладают двойственными объектами. Сопоставляя каждому объекту А какой-нибудь двойственный 2 объект DA, получаем функтор D: ^* -> ^. Для /£^*(Л, Л') двойственный (или транспонированный) морф-изм Df^W(DAf, DA) определяется требованием коммутативности диаграммы £>Л'0 Л —^£МГ0Л' 2>/(8)id I I еА, £>Л (g) А ——> / Объект /, очевидно, двойствен сам себе. Поэтому можно положить DI = I. В силу 1.1 морфизм X->DA задается морфизмом Х0Л->/. Если существуют объекты DA и DDA, то, используя это обстоятельство, зададим морфизм 8 = ЬА : А -^ DBA композицией А 0 ZM -^ />Л 0 А —> /. Если 8^ — изоморфизм, то А называется рефлексивным объектом. Аналогично для дуализируемых А и В с дуализируемым В 0 Л зададим р. = р4Д :DA(g)DB->D(B(g) А) композицией £>Л 0 £>£ 0 £ 0 Л -——U> -* £Л07 0Л = £Л0 Л —-> /. 1.2. Определение. Объект Л называется сильно дуализируемым, если он рефлексивен и \s.A DA (или, эквивалентно, композиция DA 0 Л > DA 0 0 2)£)4 —> D (DA 0 А)) есть изоморфизм. Последнее означает, что DA 0 Л (канонически) автодуален. В случае, когда А сильно дуализируем, говорят, что А и DA сильно двойственны или что DA есть объект, сильно двойственный к А (это отношение, очевидно, симметрично). Для сильно дуализируемого А определим коэвалюацию t\ = t\A : / -> А 0 ZM композиций / = /)/ —- D(DA(g)A) -^ DA&DDA -^|i~l DA 0 Л -i> 4®Ш. 2 Заметим, что двойственный объект определен однозначно с точностью до изоморфизма. — Примеч. пер. 82
1.3. Теорема. Пусть А и В — объекты симметричной моноидальпой категории ^ и пусть е:В£>§А->1 — некоторый морфизм. Следующие три утверждения эквивалентны: (a) Объекты А и В сильно двойственны, и е есть эвалюация* (b) Существует такое отображение г\: / -> А (g) В, что нижеследующие композиции суть тождественные морфизмы соответственно для А и В: icL : А = I <g) A -> A(g)B<g)A ■> -A(g)I = A, \dB:B = B®I ■> B(g)A(g)B > I(g)B = B. (c) Отображение срху:^(Х, 7 (g) B) -> ^(X (g) Л, 7), переводящее f : X -**• -> 7 (g) J5 в композицию /®idj idv®e X (g) Л 7 ® 5 (g) Л -> 7 (g) / = Y, есть биекция для любых X, 7 аз ^. Кроме того, при выполнении хотя бы одного (а значит, и всех) из этих* трех условий морфизм т\ из (Ь) заведомо является коэвалюацией, и биекция ср/4 из (с) переводит его в I (g) А=А > А. Доказательство. Утверждения (Ь) и (с) эквивалентны потому, что- оба они являются хорошо известными выражениями того факта, что функторы X i-* X (g) Л и 7 !-► 7 (g) 5 сопряжены, где морфизмы сопряжения суть id у ®£ idjf'gT] коединица У0В®4 > 7 (g) / = 7 и единица X = X (g) / —: > X (g) ® Л (g) 5 (см.: Маклейн [11, § IV. 1]). Так как (Ь), очевидно, симметрично относительно А и В, то это же верно и для (с). После этого наблюдения импликация (с) => (а) почти тривиальна. Нетрудно показать, что (а) => (Ь), если выписать соответствующую диаграмму, но эти детали мы опустим. Идеей этой теоремы мы обязаны работе Линднера [10], где мы впервые обнаружили утверждение (Ь). Сильно дуализируемые объекты в моноидалъ- ных категориях изучалц также Парегис [13] и Лигон [9], называвшие их «конечными объектами», но их цели существенно отличаются от наших целей. 1.4. Пример. Модули. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим категорию ^ = Mod/? унитарных /?-модулей. Обычное тензорное произведение превращает ^ в моноидальную категориюу где кольцо R, рассматриваемое как модуль над самим собой, есть единица /. Любой модуль А обладает (слабо) двойственным модулем £М = Нотя(Л, R), при этом е есть обычная эвалюация. Ясно, что любой конечнопорожденный проективный модуль сильно дуализируем. Верно и обратное3. Действительно, пусть т](1) = п = ^а(.® Ъ{, где r\: R -> A (g) Hom^ (A, R) — коэвалюация. Тогда отображения п А-> Rn вида а ь-> (е (6. 0 а) | i = 1, . . ., п) и Rn -> А вида х ь-> 2 xiai устанав- ливают изоморфизм между А и прямым слагаемым Л-модуля Rn. Если R — поле, то А строго дуализируем тогда и только тогда, когда он рефлексивен. В общем случае это неверно: если R = Z, то бесконечное счетное прямое про- 3 Т. е. конечнопорожденный сильно дуализируемый модуль проективен. — Примеч. пер^ 83
ятзведение и бесконечная счетная прямая сумма экземпляров кольца Z — двойственные друг другу модули. Следовательно, каждый из них рефлексивен. Но ни один из них не является сильно дуализируемым. п Если модуль А имеет конечный базис av . . ., ап, то г\ (1) = 2 ai £§) at', где а[, , . ., ап есть двойственный базис модуля Нот^Л, R). 1.5. Пример. Цепные комплексы и цепные отображения. Пусть R такое же, как и в 1.4. Рассмотрим категорию ^ = d-Mod7? цепных комплексов Л = = {Aq, д: Aq-> Aq_! | q £Z}, состоящих из /?-модулей и «граничных операторов» д. Морфизмами этой категории являются цепные отображение f = {fq:Aq-> ->J5g|g£Z), состоящие из линейных отображений /д, коммутирующих с д. Тензорное произведение цепных комплексов задает в ^ моноидальнуъэ структуру вида (А®В)Я= 0 Ар <g) В, <Э (a <g) 6) = да <g)6 + (—1)1«1а ® 96, ,где |а| = /? при а£Ар. Нейтральный объект / есть I = {Iq\q(*Z}, где /0 = # и Iq = 0 при д=т^0. Легко видеть, что 0 ассоциативно и что / — действительно нейтральный объект, в то время как коммутативность умножения 0 дается эквивалентностью y:4®5->J5®i вида а £§) Ъ н-> (—1)|а| |6|6 ® а, так что ^ — моноидальная категория. Любой цепной комплекс А обладает а (слабо) двойственным объектом DA, где (DA)q = HomR(A_q, R), где (£М)д —* —> (ZM) х имеет вид I дн>(—1)5-'&Э I R R и эвалюация определяется очевидным образом. Цепной комплекс Л называется конечнопорожденным, если А — конечно- порожденные модули для всех q и если Aq =^= 0 лишь для конечного числа q9 Мы называем А проективным, если Aq — проективные модули для всех q, хотя отсюда вовсе не следует, что А есть проективный объект в d-Mod/?. 1.6. Предложение. Цепной комплекс А сильно дуализируем е д-Мос1д тогда и только тогда, когда он конечнопорожден и проективен. Мы отложим (легкое) доказательство до 2.4, где оно в то же время будет иллюстрировать взаимосвязь двойственности и моноидальных функторов. Даже в случае, когда R — поле, рефлексивный цепной комплекс А не обязан быть сильно дуализируемым, так как А рефлексивен тогда и только тогда, когда Aq есть конечнопорожденные векторные пространства для всех q. В этом случае может оказаться бесконечно много таких q% что Aq=^=0. Если цепной комплекс А имеет конечный базис ах, . . ., ^(под последним мы понимаем объединение базисов модулей А для всех д), то, как и в случае модулей, коэвалюация т]: / -> A XDA имеет вид 1.7. 1(1)=2«<®<, где а{, . . ., а'п есть двойственный базис для DA, характеризуемый условиями lflil = —lfl»l» a,-(a») = 1> ai(aj)z=Q Для всех * и Для тех /т4*» чт0 \aj\ = = \аЛ. 84
Формулу 1.7 можно доказать либо вычислением отображения, двойственного к е, либо, более просто, проверкой того, что условие (Ь) из 1.3 выполняется, если определить т] равенством 1.7. 1.8. Пример. Цепные комплексы и гомотопические классы цепных отображений. Эта категория аналогична моноидальной категории предыдущего примера, с той лишь разницей, что морфизмами являются не сами по себе цепные отображения, а гомотопические классы последних. Эту категорию мы обозначаем через Но (d-Mod/г). 1.9. Предложение. Цепной комплекс А сильно дуализируем в Но (d-Modfi) тогда и только тогда, когда он гомотопически эквивалентен цепному комплексу, сильно дуализируемому в d-Mod.R. Доказательство. Достаточность очевидна. Мы опускаем доказательство необходимости, которая в этой статье использоваться не будет. 2. Моноидальные функторы Пусть ^ и ^' — две моноидальные категории с нейтральными объектами соответственно /и/'. В обеих категориях умножение обозначается через 0. Моноидальный функтор Т : ^ -> сё' есть функтор с заданными естественными преобразованиями % = ^Ав - ТА§§ТВ -> Т {А§§В), Г -> TI, согласованными с естественными эквивалентностями, описывающими ассоциативность и коммутативность умножения (£) и «нейтральность» объектов /и/'. Кроме того, здесь мы считаем /' -> TI эквивалентностью, так как это имеет место во всех iHanmx приложениях. Следовательно, можно даже считать, что Т1—Г. 2.1. Примеры моноидальных функторов: (a) Пусть ^ — моноидальная категория, в которой каждый объект А обладает двойственным объектом DA. Тогда D : ^ -> ^ есть (контравари- лнтный) моноидальный функтор (см. раздел 1). (b) Канонический функтор д-Мо&п -> Но (d-Mod/?) (см. 1.5, 1.8). (c) Пусть Gr-Mod/г — категория градуированных Л-модулей, т. е. полная подкатегория категории d-Mod/?, состоящая из цепных комплексов € нулевыми граничными операторами. Тогда имеем моноидальные функторы Gr-Mod/г С дМо&к -> Gr-Mod/?, где последний функтор заменяет граничные операторы нулевыми операторами. (d) Функтор гомологии Н : Но (d-Mod7?) -> Gr-Mod/?. (e) Функтор Gi— Mod7l> -> Mod/? вида А ь^ © А . qez В разделе 3 мы рассмотрим моноидальные функторы в стабильной гомотопической категории, особенно интересные для нас из-за подразумеваемых в дальнейшем приложений. Назовем моноидальный функтор Т согласованным с умножениями, или сохраняющим умножения, если естественное преобразование т есть эквивалентность. Это имеет место в примерах (Ь), (с), (е), но, вообще говоря, неверно в (a), (d). Исследование ситуаций, в которых %АВ есть изоморфизм для конкретных А и В, проводить нецелесообразно. 2.2. Теорема. Пусть Т : ^ -> ^"—моноидальный функтор и А — сильно дуализируемый объект категории ^. Тогда следующие условия эквивалентны', (а) т : ТА 0 ТХ -> Т (A (g) X) есть изоморфизм для всех X из %. 85
(b) т : ТА <g) TDA -> T {A (g) Z>4) — изоморфизм. (c) Имеется морфизм f, превращающий диаграмму TI —^ T{A®DA) II * I Г г »•-> гл ® гол в коммутативную. Доказательство. Импликации (а) =>(Ь) =>(с) очевидны. Для дока- зательства импликации (с) => (а) предположим, что имеет место (с), и рассмотрим композицию Т(А®Х) = Г($Т(А<£)Х) —Л TA®TDA®T(A®X) -^ -+TA(g)T(DA<g)A<g)X) Ы®Т{*®1Я ГЛ®Г(/®Х) = = ТА ® ЗГА". Из 1.3 (Ь) легко следует, что она обратна морфизму х : ТА (§) ГХ -* Г (А ® Z). 2.3. Определение. Пусть Т :с&-><$'—моноидальный, функтор. Объект А категории ^ называется, Т-плоским, если он строго дуализируем и удовлетворяет одному из эквивалентных условий (а)—(с) из теоремы 2.2. Если Т сохраняет тензорные произведения, то понятия «Г-плоского» и «сильно дуализируемого» объекта совпадают. 2.4. Следствие. Для любого Т-плоского модуля А модули ТА и TDA сильно двойственны, причем эвалюация есть TDA <g) ТА -^> Т (DA <g) А) -^ TI = Г, а коэвалюация Г = Т1 —+ Т(А& DA) —-> ТА ® 77)Л. Доказательство. Примените Т к условию (Ь) из 1.3 и используйте 2.2 (а). Доказательство предложения 1.6. Пусть Т : d-Mod/г -> Gr-Mod/г -> Мос1я ^^ 0 Aq qez есть композиция функторов 2.1 (с) и 2.1 (е). Тогда Т сохраняет тензорные произведения. Если А сильно дуализируем, то в силу следствия 2.4 таков же и ТА. Следовательно, ТА — конечнопорожденный проективный модуль в силу 1.4. Но это, очевидно, равносильно тому, что А — конечнопорожденный цепной комплекс в смысле 1.5. Обратно, считая А конечнопорожденным и проективным, увидим, что канонические отображения A -+DDA, DA&) §§А -> D (DA0A) переводятся функтором Т в соответствующие отображения с ТА вместо А. Если, кроме того, А проективен, то эти последние преобразования суть изоморфизмы. Но Т переводит в изоморфизмы лишь изоморфизмы. Следовательно, А сильно дуализируем в силу 1.3 (а). Мы закончим этот раздел исследованием понятия Г-плоскоети для примеров (а) и (d) из 2.1. Рассмотрим функтор (§): ^Х^ -> ^, где ^ — некоторая моноидальная категория. В очевидной моноидальной структуре на fxff этот функтор есть моноидальный функтор, сохраняющий тензорные произ- 86
ведения. Из п. 2.4 следует теперь, что тензорное произведение сильно дуализируемых объектов есть сильно дуализируемый объект. Это означает, что полная подкатегория ^ категории ^, состоящая из сильно дуализируемых объектов, есть моноидальная подкатегория категории ^ и что функтор D: ^ -> ^ сохраняет тензорные произведения. Следовательно, понятия «Г-плос- кий» и «сильно дуализируемый» равносильны. Применительно # примеру (d) мы имеем 2.5. Предложение. Пусть Н : d-ModR-> Gr-ModR — функтор гомологии и пусть А — такой цепной комплекс, что Aq — плоский R-модуль для любого q£Z. Рассмотрим следующие утверждения: (a) Для любого q £ Z Н (А) есть плоский R-модуль. (b) Для любого цепного комплекса X т : НА (§) НХ -^ Н (A (g) X) есть изоморфизм. Тогда (Ь)=>(а). Обратное (т. е. (а) => (Ь)) верно при выполнении одного из следующих условий: (1) А гомотопически эквивалентен цепному комплексу В, ограниченному снизу {т. е. для некоторого q0£Z имеем Bq — 0 при q <^q0). (2) Глобальная гомологическая размерность кольца R конечна. Доказательство. Утверждение (Ь) =>(а) очевидно. Обратное легко свести к случаю, когда X есть просто модуль М, используя короткую точную последовательность цепных комплексов 0 -> ZX -> X -> ВХ -+ 0. Теперь можно написать проективную резольвенту Р для М и сравнить 4®М с двойным комплексом А ® Р. В общем случае импликация (а) => (Ь) ложна. Например, R — Z/4Z, А = = Z/4Z для всех g£Z, оператор д есть умножение на 2 и Х = Х0 = М = = Z/2Z. 3, Стабильная гомотопическая категория Определим стабильную гомотопическую категорию Stab следующим образом: ее объекты суть пары (X, п), где X — хорошо пунктированное компактно- порожденное пространство (не обязательно хаусдорфово) и п — целое число. Множество морфизмов из (X, п) в (У, т) есть Stab ((X, п), (У, яг)) = = colim [Sn+k Д X, Sm+k Д У], где Д есть смаш-умножение (т. е. А /\В = /с->со = А X В/А\/ В), скобки [ , ] обозначают множество гомотопических классов и отображения стабилизации [SlX, SJY] -> [St+1X, SJ+1Y] задаются смаш-про- изведением с S1. Определение композиции морфизмов очевидно. Моноидальная структура в Stab задается формулой (X, n)®(Y, m) = (X/\Y, п+т). Чтобы сделать ее функториальной, мы должны быть несколько внимательнее и ввести знак. Если два морфизма (X, п)->(Х', п') и (У, т) -> (У, т') представлены соответственно отображениями / : Sn+k Д X -> Sn'+k Д Х\ g : Sm+l AY^ Sm'+l Д У, fAg- sn*k Л * Л sm+l AY^ sn'+k Л *' Л sm'v l A Y', то их тензорное произведение ((^-произведение) надо преобразовать в морфизм sn+m+k+i д х д у _^ 5п'+т>м+1 д х' Д У, поменяв средние сомножители и 87
умножив (гомотопический класс) на (—\^п+пГ)\ После этого конструкция: станет согласованной с отображениями стабилизации. Нейтральный объект есть I = (S°, 0). Эквивалентности, описывающие ассоциативность для 0 и нейтральность для /, строятся очевидным образом. Коммутативность умножения £§) дается эквивалентностью у : (А, п) 0 (У, т) -> ->(Y, т) £§) (А, /г), представляющей собой (—1)г'ш-кратный Гохмотопический класс отображения X /\Y -> Y Д X (знак необходим, так как иначе не получится естественного преобразования). Функтор £§) (5°, р) обозначается через Ия : Slab -> Stab, при этом Ир (X, п) = — (£°ДА, /г-(-/?) = (А, п-\~р). Функторы Lp определены для всех /?£Z, причем Лр о И9 = Т>р+д и И° есть тождественный функтор. Вместо (X, 0) мы иногда будем писать просто X, так что вместо (А, п) можно писать IPX. Если р ^ 0, то имеется очевидный изоморфизм (S°, p)^(Sp, 0), являющийся тождественным морфизмом сферы Sp. Отсюда следует, что Ipv эквивалентен смаш-умножению на Sp, т. е. обычной р-кратной надстройке. Иногда бывает удобным представлять пунктированное пространства парой пространств. Имея отображение i : X' -> X одного (непунктирован- ного) пространства в другое, условимся через (А, X') обозначать объект С{ = (С{, 0) категории Stab, где С{ есть конус отображения /, отмеченная точка которого есть вершина. Обычно из контекста будет ясно, о каком отображении i идет речь. Как правило, i будет включением А'сА. Заметиму что (X, 0) есть Х+, т. е. несвязное объединение X и отмеченной точки. 3.1. Теорема. Пусть К — некоторый коре, f С R". Тогда (К, £) и S~W(RW, R" — К) — сильно двойственные объекты категории Stab. Сильная двойственность в категории Stab не отличается от двойственности Спеньера—Уайтхеда (см. Спеньер и Уайтхед [19], Спеньер [18], Свитцер [20] 4). Если К — подразбиение в некотором симплициалыюм разбиении пространства Rw, то эта теорема сводится к лемме 5.1 работы Спеньера [18 L Откладывая в сторону доказательство более общей теоремы, заметим, что предложенное нами доказательство не зависит и сильно отличается от предшествующих доказательств. Оно состоит в точном описании эвалюацииико- эвалюации в категории Stab и проверки условия (Ь) из 1.3 геометрическими методами. В частности, мы не пользуемся двойственностью Александера. Напротив, двойственность Александера есть следствие теоремы 3.1, что мы и собираемся показать. Для /?-модуля М обозначим через (М, п) такой цепной комплекс, что (М9 n)q = M при q = n и (М, лг)д = 0 при q=^n. Для пунктированного пространства А' с отмеченной точкой х0 обозначим через SX сингулярный комплекс пары (А, х0) с коэффициентами в R. «Продолжим» эту конструкцию до функтора S: Stab -> Н0 (d-Mod7?) следующим образом: объект (А, п) из Stab переведем в (R, ri)®SX. Морфизм f:(X, п) -> (Y\ т) из Stab представим пунктированным отображением fk : Sn+k Д А -> Sm+k Д Y с некоторым Свитцер определил ^-двойственность, потребовав биективности некоторых отображений,, обозначенных им D„ и ^D. Как следует из нашей теоремы ЗЛ, биективность одного иа этих отображений влечет биективность другого. 88
ifc£Z. Рассмотрим диаграмму (Д, n + k)(g>SX -* (Д, m-+-k)<g)SY I I SS"+k (g) 5X ^5"*+fc <g> 5 F I I ^ ^»+л д X) _*> £ (Sw+* Л Y) Вертикальные стрелки суть цепные гомотопические эквивалентности, верхние из них индуцированы эквивалентностью SSl о^. (/?, Z), а нижние стрелки суть отображения Эйленберга—Зильбера. Верхняя горизонтальная стрелка есть морфизм категории Но (d-Mod/?), делающий диаграмму коммутативной, вдвигая градуировку на к, мы превратим его в морфизм Sf:(R, n)<g>SX-+(R, m)(g)SY. Но теореме Эйленберга—Зильбера, имеются естественные эквивалентности S(X, л)® .У (Г, m) = (R, n)($SX(${R, m)(g)SY^ ^{R, n^rm)($SX(g)SY->{R, n-\- m) <g) S {X /\Y) = = S(X/\Y, ?i + m) = S[(X, n)®(Y, m)]. ^Следовательно, имеем 3.2. IT p e д л о ж e н и е. Функтор S : Stab -> Но (d-Mod/?) есть моноидалъ- ный функтор, сохраняющий тензорные произведения. Применяя следствие 2.4 к этому функтору S, из теоремы 3.1 получаем 3.3. Следствие. Для лежащего в Rn корса К цепные комплексы SK и (R, — n)(g>S(n\ Rn—K)^(R, I —„,)($,§ (Rn—К) сильно двойственны -ff'Ho(tf-ModA>). Отсюда очевидным образом следует двойственность Александера между К и R" — К (здесь SK обозначает сингулярный комплекс корса К, a S (RM> R'— К) есть SIV/S {Пп — К). Оставшаяся часть этого раздела посвящена доказательству теоремы 3.1. Прежде сообщим дополнительную информацию о представлении пунктированных пространств парами пространств. Отображение пар (/, /') : (X, X') -> —>(У, Y'), т. е. коммутативная диаграмма Х—-> Y 'I V х' —-+ г индуцирует пунктированное отображение С. -> С . одного конуса в другой, т. е. морфизм категории Stab, обозначаемый через (/, /') или просто через /. Если как / : X -> Y, так и /' : X' -> Y' — гомотопические эквивалентности, то таково же и индуцированное отображение С. -> С ., так что / есть изоморфизм категории Stab. Следующая лемма утверждает, что вырезание есть изоморфизм категории Stab. Чтобы избежать дискуссии о понятии подпространства в категории компактнопорожденных пространств, мы будем считать все пространства метрпзуемыми, хотя лемма справедлива и в гораздо более общей ситуации, чем она формулируется. 89
3.4. Лемма. Пусть X — метризуемое пространство и пусть X' и U — такие его подпространства, внутренности которых покрывают X. Положим U'' = UОХ''. Тогда включение (С/, U')d(X, X') есть изоморфизм категории Stab. Доказательство. Пусть v : X -> [0, 1] — такая непрерывная функцияг что С1 {х | v (ж)< 1} С X', С1 {х | v (х) >0}сР (где С1 обозначает замыкание). Для конуса включения X' С X используем запись X\JCX'. Рассмотрим коммутативную диаграмму (U—U')\J{(x, t)\x£U'9 t^v(x)} -^ U\JCU' \ h \g \ \ (X-X')\J{{x, t)\x£X'f t^v{x)} —-+ ХЦСХ', где g индуцировано включением (С/, U') С (X, X'). (При этом g не обязана быть топологическим вложением.) Горизонтальные включения суть гомотопические эквивалентности, так как имеются очевидные деформационные ретракции на подпространства. Легко проверить, что h есть гомеоморфизм, поэтому g есть гомотопическая эквивалентность. Пусть теперь X' С X и У (Z Y. Как обычно, положим (X, X') X (У У) = = (X X Y, X' X Y U X X У), хотя это не есть произведение в смысле теории категорий. Снова для простоты считаем X и Y метризуемыми. 3.5. Лемма. В категории Stab имеется канонический морфизм (X, X') ® (У, Y') -> (X, Хг) X (У, У). £^сла X' и X открыты соответственно в X и Y, то он есть изоморфизм. Доказательство. Пусть Z = X' X ГХ0и*'ХУХ/11ХХУХ1 — э с двойной цилиндр отображений Z' X F ^ Г X F —> X X У. Имеем очевидное отображение Z —* X' X У U ^ X У С X X У. Нетрудно проверить, что- (X, Х')®(У y) = (zUCX')A(^UCT') канонически гомеоморфно конусу этображения Z -> X X У- Отображение /? индуцирует отображение из этого тространства в конус отображения X' X Y \J X X Y' —> X X Y, т. е. в пространство (X, X') X (У У). Это отображение есть гомотопическая эквивалентность, если таковой является р. Но если X' и У открыты, то X' X Y и X X У тоже открыты в X X У а в этом случае, как хорошо известно, р зсть гомотопическая эквивалентность. Заметим также, что в категории Stab мы имеем Sn^Rn/{x\\\x\\^l}c^(Rn, {я|||ж||>1})^(1Г, 1Г — 0). Теперь мы можем устроить в категории Stab морфизмы е и г\, которые жажутся эвалюацией и коэвалюацией для сильно двойственных пар (К, 0) i E"*(RW, Яп— К). Для построения е : Е-м(Rw, Я1 — К)® (К, 0) -> S0 можно считать К произвольным подпространством в R". Достаточно определить ото- >ражение Е^е. Оно задается диаграммой 3.6. (П\ Яп - К) ® (Z, 0) —"-^ 2И£° I U (R", R- —ЛГ)х(ЛГ, 0) ^" U U (RWX#, (Rw —#)Х#)-^ (Rw, Rw —0} (ж, &) I > x — k 90
Для определения морфизма т\: S0 -> (К, 0) 0 E~W(RW, Rn — К) мы нуждаемся в дополнительных предположениях о компактности К и существовании такой 'окрестности V компакта К в Rw, что имеется ретракция г: V -> if. Выберем в Rn такой замкнутый шар В (с центром в начале координат), что К а В* Определим Лп1\ из коммутативности диаграммы 3.7. 2"5° .-5 -> (К, 0)0 (Rw, Rw — if) (R", R" - 0) (K, 0) X (R", R" - K) ми г (Rw, Rw —£)c(Rw, Rw — #) (#xRw, #X(Rn — if)) j \KJ r x id (F, y~/iC)--(FxRw, VX(R*-#)) Морфизм i есть изоморфизм в Stab, так как он представим парой гомотопических эквивалентностей. Морфизмы / и р есть изоморфизмы в Stab по леммам 3.4 и 3.5 соответственно. Для завершения доказательства достаточно проверить два тождества теоремы 1.3 (Ь). Для проверки первого из них рассмотрим морфизм (ids: 0 е) X X(^0idir), гДе (^> 0) сокращено до К. Взяв /г-кратную надстройку, получим композицию Xwr У id idxE^e (R», R«_o)xff ——- #X(RW, Rn — K)xK——- -> #x(RM, Rw — 0) —-> (Rw, Rw —0)X#, где мы, используя лемму 3.5, заменили 0 умножением Х- (Переставляющий сомножители морфизм у получается преобразованием Hn(idK(S)e) в и/* 0 Ейе.) Расписав Ewiq и Lne в соответствии с их определениями 3.7, 3.6, получим композицию морфизмов (RB, RB — 0)XK t ixid s= (RB, R" — B)X.K(Z(Rn, Rn — K)xK jX id s (V, V-K)XK- (y, A) 1- (R", R" —0)X# Г #X(R", Rn —0) rxid —*FX(R", R" —0) —»■ (у, у — k) Как и в доказательстве леммы 6.12 работы До льда [4], можно показать, что замена отображения (v, k) *-+(v, v — к) отображением (v, к) н> (к, v — к) не меняет морфизма категории Stab. Но после этой замены морфизм композиции примет вид (R-, R»_0)Xff TxV (Rn> ЪП-В)ХК > (П\ R*_0)X# (ж, /с) I > (х — к, к) и станет гомотопным тождественному отображению посредством гомотопии {х, к, t)*->(x — tk, к). Доказательство второго тождества теоремы 1.3 (Ь) делается аналогично- 91
4. След 4.1. Определение. Пусть ^ — моноидальная категория и А — ее сильно дуализируемый объект с эвалюацией е и коэвалюацией г\. Пусть, далее, / — эндоморфизм объекта А. Определим след of эндоморфизма / как композицию* 4.2. of:I-^A(g)DA-:^DA<g)A — ^i DA ® А -^ /. 4.3. Примеры, (а) ^ = Мо(1д. Здесь/ = Л, и поэтому of : R-> R можно* отождествить с а/(1). При этом а/ есть обычный след. Если модуль А конечно порожден, то а/ есть сумма диагональных элементов матрицы эндоморфизма /. (b) ? = d-Modfl или ? = Но(д-Мос1я). Отождествим / = (Я, 0) с 7?, а/ снова отождествим с of (1). След а/ называется числом Лефшеца эндоморфизма /. Если цепной комплекс А конечнопорожден и проективен, то °/=2(-l)Vg, qez где fq: Aq-> Aq — однородная компонента. Знак возникает из-за меняющего сомножителя отображения у. (c) ^^Stab. Имеем а/ £ Stab (5°, 5°) = Z, где отождествление таково, что тождественному отображению сферы отвечает 1 ^ Z. 4.4. Предложение. Пусть Т : ^ -> ^'— моноидалъный функтор и А—Т-плоский объект из <% (см. 2.3). Тогда aTf = Tof для любого f : А-* А. Доказательство. Примените Т к строчке 4.2 и используйте следствие 2.4. 4.5. Следствие. Пусть f : А-* А — эндоморфизм. (a) Если Н : Но (d-MocU) -> Gr-Mod/? — гомология и А гомотопически эквивалентен такому конечнопорожденному проективному цепному комплексу^ что HqA — плоские R-модули для всех # £ Z, то f и Hf имеют равные числа Лефшеца. (b) Если S : Slab -> Но (d-Mod/?) — определенный после 3.1 функтор сингулярного цепного комплекса и А сильно дуализируем в категории Slab, то число Лефшеца aSf^R есть канонический образ числа a/£Z. (c) Если Н : Stab -> Gr-Mod/г — функтор приведенных гомологии (т. е. Н = Н о S, где S такое, как в (Ь), и Н такое, как в (а)), объект А сильно* дуализируем в Stab и Hq (А) суть плоские R-модули для всех q, то числа Лефшеца aHf^R есть канонический образ числа а/ ^ Z, Доказательство. Утверждение (а) следует из 4.4 и 2.5. Заметим, что НА есть конечнопорожденный проективный модуль (см. 2.4 и 1.6). Утверждение (Ь) следует из 4.4 и 3.2. Утверждение (с) следует из (а) и (Ь). (Ср. это доказательство с доказательством леммы 2.1 работы Беккера—Готтлиба [1].) Теперь мы выведем теорему Лефшеца о неподвижной точке как следствие из теоремы 3.1 и предложения 4.4. Пусть К — компактное подмножество- в Rw, V есть окрестность К в R" и г : V -+ К — ретракция. Рассмотрим непрерывное отображение f: К -+ К с множеством неподвижных точек F, и пусть /+ — соответствующее отображение К+ -> К+. Вводя определения 3.6 и 3.7 морфизмов соответственно е и у\ф в определение 4.2 следа, получим коммутативную диаграмму в категории Stab 92
%ns° -2ws° t (R«? R«_0) (Rw, Rw — 0) г; — /гу (R»9 Rw —5)C(RW, Rw — K) Двигаясь по нижней части диаграммы и применяя функтор Нп( • ; Ъу получим гомоморфизм, являющийся умножением на алгебраическое число неподвижных точек5 отображения /. Следовательно, /(/) = Яя(£ва/+; Z) = #„(<,/*; Z) = #(af; Q) = atf/. 4.6. Следствие (Лефшец—Хопф). Если f — отображение корса К в себя, то алгебраическое число неподвижных точек отображения f равно- числу Лефшеца гомоморфизма Hf : НК -> НК. Мы завершим этот раздел списком нескольких формальных свойств следа. 4.7. Предложение. Пусть *$ — некоторая моноидалъная категория- (a) Для любого f : I -*> I имеем а/ = /. (b) Если А — сильно дуализируемый объект, то для любого f : А -*> А имеем aDf = af. (c) Если объекты At, г=1, 2, сильно дуализируемы, то для любых /. : А. -> А. имеем a (fx ® /2) = аД (g) а/2 = а/х о а/2. (d) jEc/ш А и В сильно дуализируемы, то для любых f : А -+ В и g : В -+ А имеем a (fg) = a (gf) = о (Т о (/ (g) g)). Доказательство. Утверждение (а) тривиально. Утверждения (Ь) и (с) следуют из предложения 4.4 и того факта, что моноидальные функторы D :$ -+с$ и 0-^Х^^^ сохраняют тензорные произведения (ср. с рассуждениями перед предложением 2.5). Доказательство утверждения (d) оставляется читателю; с использованием (Ь) оно превращается в простой диаграммный поиск. 5. Трансфер Пусть ? — моноидальная категория. Объект А с -фиксированным «диагональным» морфизмом (/:i^i0i называется коалгеброй. Морфизм с : А -> 1 называется коединицей коалгебры (A, d), если диаграмма А ® А коммутативна. Эти понятия очевидным образом двойственны понятиям алгебры и единицы, и для последних можно построить теорию, аналогичную изложенной ниже. Мы предпочитаем случай коалгебр, так как хотим применять их в следующем разделе к категории ^=81аЬ5. В оставшейся части этого раздела (A, d) обозначает коалгебру с сильно дуализируемым 4 из? и /есть, некоторый эндоморфизм объекта А. 5 См.: Долъд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976, с. 249. 93
5Л * Определение. Определим трансфер х/ отображения / композицией 5.2. zf:l ^> A&DA -i DA®A^^-d-> DA(g)A(g)A —+ I®А. 5.3. Предложение. Морфизм х/ не изменится, если в его определении 5.2 заменить морфизм Df &) d одним из следующих трех морфизмов: (Ь)#Л® А2^ DA&A -^4- £Л®Л®Л; (с) ZL4 ® л^- /м <g> 4(g) л^^дл <8>л®л ?г/щ условии, что в случае (с) / есть морфизм коалгебр. Легкое доказательство мы опускаем. Тот факт, что / есть морфизм коал- тебр, означает коммутативность диаграммы А —-+ А® А /I I/®/ А > А® А 5.4. Предложение. Если f: А -+ А есть морфизм коалгебр, то диаграмма жоммутативна* Грубо говоря, это означает, что образ трансфера х/ лежит в «множестве неподвижных точек» отображения /. Доказательство легко вытекает из 5.5 (с). Морфизм х : А -> / называется коэлементом коалгебры А. Определим пра- *вый сдвиг коэлементом х как морфизм rx:A > Л® А —^ А($1 = А. 5.5. Предложение, хо (х/) = a (frx) = о (rj). Доказывается непосредственной проверкой. 5.6. Следствие. Если (A, d) обладает коединицей с, то со(х/)=а/. 6. Параметризованные стабильные гомотопические категории Как и в разделе 3, мы рассматриваем компактнопорожденные (не обязательно хаусдорфовы) пространства. Фиксируем пространство В и рассмотрим «пространства над В», т. е. непрерывные отображения р : Е -> J5. Их можно мыслить как семейства {Еь \ Ъ £ В) «слоев» Е^р'1 (Ь), параметризованные пространством J5. Топология в Е как раз такая, что можно говорить о том, что нечто, происходящее в семействе {Еь}, непрерывно зависит от Ъ. Следуя этим принципам, мы перенесем результаты раздела 3 на случай параметризованных категорий. В частности, мы построим моноидальную категорию Stab^ — стабиль. ную гомотопическую категорию над В. Ее объекты есть (с точностью формальных надстроек и денадстроек 2W, п £ Z) пространства над В «с хорощим сечением», т. е. диаграммы вида 94
i\ /p • В где s — корасслоение в категории пространств над В. Отображение Е' -> Е пространств над В можно трактовать как пару (Е, £"), т. е. объект категории Stabfl, если взять послойный конус отображения. Дословные переформулировки теоремы 3.1 и ее доказательства влекут: 6.1. Теорема. Пусть В — метризуемое пространство и К — такое подмножество в В X R", что проекция К -> В — собственное отображение.. Пусть, далее, К обладает в В X Rw такой окрестностью V, что имеется ретракция r:V->K, являющаяся послойной, т. е. г (Vf) (b X R")) С Ь X Rw для всех Ъ£В. Тогда (К, 0) и Е_я(ЯхК\ {В X Rw) — К) сильно двойственны в Stabjs. Применяя нашу общую теорию следа (см. раздел 4) и трансфера (см. раздел 5) к этой двойственной паре, можно получить большую часть работы Дольда [4]. Аналогичные результаты можно получить для всех сильно двойственных объектов категории Stab^. В работе Беккера—Готтлиба [1] было доказано, что пространство р : Е -> В над В с хорошим сечением сильно дуализируемо* в Stab#, если: (a) р есть расслоение в смысле Гуревича\ (b) Еь имеет стабильный гомотопический тип конечного клеточного пространства', (c) В имеет гомотопический тип конечномерного клеточного пространства. Условие конечномерности (с) можно снять. С этой целью сначала расширим категорию Stab5 до некоторой большей категории, именно категории спектров над В. Это можно сделать, перенеся конструкцию категории Sch (см.: Пуппе [14]) на случай параметризации, и получить категорию Sch5. Используя теорему представимости (см.: Шён [15]) 6, Моника Прието доказала 7, что пространство р : Е -> В над В с хорошим сечением сильно дуализируемо в Schjs при выполнении условий (а), (Ь) и условия (с') В имеет гомотопический тип клеточного пространства. Это позволило дать следующее усиление теоремы 1.1 работы Беккера— Готтлиба [1]. 6.2. Теорема. Пусть р : Е -> В — пространство над В (сечения может не быть), удовлетворяющее условиям (а), (Ь) и (с'). Пусть имеется коммутативная диаграмма В Выберем отмеченную точку Ь0£В и предположим, что слой F=p~1(b0} связан. Тогда отображение QB -> F из резольвенты расслоения р, рассма- 6 См. также: Piacenza P. J. Gohomology of fiber spaces is representable. III. — J. Math.r 1979, 23, N 2, p. 334—343. — Примеч. пер. 7 Этот результат содержится в диссертации М. Прието, подготовленной ею в Гейдель- бе pre. 95
триваемого как элемент группы Stab#(2j5, F), аннулируется умножением на число Лефшеца отображения f\F:F->F. Мы думаем, что условия (а) и (с') в теореме 6.2 и в теореме М. Прието о дуализируемости в Scb-я можно заменить условием (а') Существует такое нумеруемое покрытие (C/J пространства Б, что р послойно гомотопически тривиально над каждым Ur 7. Эквивариантная стабильная гомотопическая категория Пусть G — компактная группа. По аналогии с категорией Stab можно построить моноидальную категорию StabG, объектами которой являются пары (X", а), где X — хорошо G-пунктированное компактнопорожденное G-простран- ство и а — элемент кольца вещественных представлений группы G. Множество морфизмов из (X, а) в (У, р) есть StabG((X, а), (Y, p)) = colim [S«®w/\ X, W S ' Д F]G, где W пробегает некоторое кофинальное подмножество множества ортогональных представлений группы G, упорядоченного по включению. Если W достаточно велико, то а 0 W можно рассматривать как представление и £аф есть его одноточечная компактификация. (Ср. с работами: Г. Сегал [17], Косниовский [8], Хаушильд [6] и Уонер [21].) Как и в разделе 3, пара G-пространств определяет объект категории Stab*? и имеется семейство функторов Иа, являющихся автоморфизмами категории StabG. 7.1. Теорема. Пусть W ~ Rn — ортогональное представление компактной группы G и пусть К — компактное G-эквивариантное подмножество в W, являющееся также эквивариантным окрестностным ретрактом (т. е. К есть G-корс). Тогда {К, 0) и П~" (.РГ, W — К) сильно двойственны в Stab . Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 3. 1. Сильная двойственность в StabG совпадает с эквивариантной 5-двой- ственностью Виртмюллера [22]. Для компактных групп Ли G Яворовский [7] охарактеризовал G-корсы и, в частности, доказал, что конечное клеточное G-пространство есть G-корс. Ясно, что методы раздела 3 применимы и к случаю параметризованной эквивариантной стабильной гомотопической категории, т. е. к G-простран- ютвам над В. Поэтому имеется одновременное обобщение теорем 6. 1 и 7. 1 на G-корсы над В. В частности, в этом случае имеется трансфер, что включает в себя изученный в работе Нишиды случай эквивариантных расслоений. В развитие идей Беккера—Готтлиба [1 ] двойственность и трансфер для G-расслоений построил Уонер [21]. Это тоже укладывается в нашу общую схему. Весьма правдоподобно, что существование сильной двойственности для G-расслоений можно установить так же, как указано во второй части раздела 6 для тривиальной группы G. 8. Стабильная теория шейпов Пусть Shape — категория пунктированных шейпов компактных пространств (см.: Дидак—Сегал [5]). Обычное смаш-умножение индуцирует бифунктор из Shape в себя. (Это не совсем очевидно, если не ограничиваться компактными пространствами.) Так же как в разделе 3 мы построили категорию Stab по категории хорошо пунктированных пространств, можно по- 96
строить по категории Shape категорию Stab — Shape. Моноидальная структура индуцируется смаш-умножением. 8.1. Теорема. Пусть К — такое компактное подмножество в Rw, все чеховские когомологические группы которого (с целыми коэффициентами) конечнопорожденные. Тогда (К, 0} и E"",l(Rw, Rw — К) сильно двойственны в Stab—Shape. Сначала объясним, как здесь надо понимать пару (Rw, Rw — К). Конус С включения Rw — К С Rn не является компактным. Но С имеет гомотопический тип клеточного пространства, поэтому в силу двойственности Александера его целочисленные гомологии конечнопорожденные. Отсюда следует, что С имеет стабильный гомотопический тип конечного клеточного пространства. Следовательно, он определяет объект категории Stab—Shape однозначно с точностью до эквивалентности. Доказательство теоремы 8.1 опять-таки аналогично доказательству теоремы 3.1. Единственное отличие состоит в том, что у нас нет ретракции г : V -> К диаграммы 3.7. Однако имеется система согласованных гомотопических классов ЕИ5°->(У, 0)®(R\ Rw — К), где V пробегает все окрестности компакта К в Rw, и этого достаточно для определения морфизма шейпов E'V^°->(Z, 0)0 (Rn, RM — К). Можно применить теорему 8.1 к теории неподвижных точек, но мы уже не будем этого делать. ЛИТЕРАТУРА 1. Becker J. С, Gottlieb D. Н. Transfer maps for fibrations and duality. — Compos, math., 1976, 33, p. 107-13? 2. Dold A. The fixed point index of fibre-preserving maps. — Invent, math., 1974, 25, p. 281—297. 3. Dold A. Transfert des points fixes d'une famille continue d'applications. — C. r. Acad, sci. Paris. Ser. A, 1974, 278, p. 1291—1293. 4. Dold A. The fixed point transfer of fibre-preserving maps. — Math. Ztschr., 1976, 148, S. 215—244. 5. Dydak /., Segal J. Shape theory: An Introduction. — Lect. Not. Math., 1978, N 688. 6. Hauschild H. Zerspaltvng aquivarianter Homotopiemengen. — Math. Ann., 1977, 230, S. 279—292. 7. Jaworowski J. W. Extension of G-maps and Euclidean G-retracts. — Math. Ztschr., 1976, J46, S. 143-148. 8. Kosniowski С Equivariant cohomology and stable cohomotopy. — Math. Ann., 1974, 210, S. 83-104. 9. Ligon T. S. Galois-Theorie in monoidalen Kategorien. — Algebra-Ber., N 35. Uni- Druck, Munchen, 1978. 10. Lindner H. Adjuctions in monoidal categories. — Manuscr. math., 1978, 26, p. 123—139. 11. McLane S. Categories for the working mathematician. — Grad. Texts Math., 1971, 5. 12. Nishida G. The transfer homomorphism in equivariant generalized cohomology theories: Prepr. Kyoto Univ., 1978. 13. Pareigis B. Non-additive ring and module theory. IV. The Brauer group of a symmetric monoidal category. — In: Brauer groups: Proc. Conf. held at Evanston, Oct. 11—15, 1975/Ed. Zelinsky D.; Lect. Not. Math., 1976, N 549* p. 112—133. 14. Puppe D. Smash products in stable homotopy and the ring structure of Thorn spectra. Heidelberg, 1975. Mimeographed. 15. Schon R. Kohomologie iiber В und die Differentiate der Spektralsequenz einer Faserung: Diss. Heidelberg, 1974. 16. Schon R. Cohomology theories over В are representable. — In press. 17. Segal G. Equivariant stable homotopy theory. — In: Proc. Intern. Congr. Math. Nice, 1970. Paris: Gauthier-Villars, 1971, vol. 2, p. 59—63. 18. Spanier E. H. Function spaces and duality. — Ann. Math., 1959, 70, p. 338—378. ^19. Spanier E. #., Whitehead J. H. С Duality in homotopy theory. — Mathematika, 1955, 2, p. 56—80. 20. Switzer R. M. Algebraic Topology-Homotopy and Homology. Berlin: Spring.-Verl., 1975. 21. Waner S. Equivariant classifying spaces and fibrations. — Trans. Amer. Math. Soc, 1980, 258, N 2, p. 385—405. 22. Wirthmuller K. Equivariant ^-duality. — Arch. Math., 1975, 26, p. 427—431*
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 А. В. ЗАРЕЛУА (Москва, СССР) ПРЕДЕЛЫ ЛОКАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПУЧКОВ И НУЛЬМЕРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Статья посвящена развернутому изложению ряда результатов автора, доложенных на Московской международной топологической конференции 1979 г. Эти результаты группируются вокруг свойств пределов локальных систем пространств и локальных систем пучков, многим из которых ныне дана категорная трактовка в рамках понятия локальной системы на категории со значениями в функторе. Впервые эта трактовка была предложена в докладе автора [2] на конференции по приложениям теории пучков в Дареме. Там же в беседе с Дж. Греем было выяснено, что понятие, сходное с нашим понятием локальной системы на категории, было в замаскированной форме использовано в статье Дж. Грея [1]. Наше понятие локальной системы на категории является далеко идущим обобщением понятия локальной системы коэффициентов и хорошо приспособлено для решения ряда задач теории пучков. После основных свойств локальных систем на категории и их пределов, полученных в разделе 1, мы уделяем там же серьезное внимание разбору примеров, показывающих широкую применимость введенных нами понятий. В разделе 2 изучаются локальные системы пространств, локальные системы пучков и их пределы; упор здесь делается на результаты, показывающие, как свойства локальных систем пространств отражаются на свойствах порожденных ими локальных систем пучков. Специальный интерес, проявляемый здесь к нульмерным отображениям, диктуется определяющие значением именно нульмерной составляющей отображения, если рассматривать резольвенты и соответствующие им спектральные последовательности, связанные с непрерывными отображениями [6, 7]; этот факт замечен автором и Р. Дикхоффом [10]. Приложения относятся к доказательству ацикличности некоторых типов пучков» В разделе 3 анализ резольвент, связанных с непрерывным отображением, проводится с помощью представления пространств в виде предела локальной системы пространств и двойственного представления пучков в виде предела локальной системы пучков. Доказательства изоморфизмов [резольвент, полученные ранее, строились на основе прямых и зачастую громоздких конструкций. Развитая в разделе 3 техника позволяет делать заключения об изоморфизме пучков и резольвент; надо проверить факт изоморфизма лишь для практически тривиальных ситуаций. В разделе 3 мы обсуждаем также алгебраический аналог резольвенты, связанной с непрерывным отображением. 98
В разделе 4 техника представления пространств в виде предела локальной системы пространств и пучков в виде предела локальной системы пучков прилагается к построению суммирующего гомоморфизма пучков о: /#/* g^->g^. В качестве частных случаев приводятся суммирующие гомоморфизмы для нульмерных совершенных отображений ориентированного тг-мерного многообразия на ориентированное тг-мерное многообразие, для конечных групп преобразований, для конечнократных открыто-замкнутых отображений когомологических многообразий. 1. Локальные системы на категории со значениями в функторе и их пределы Определение 1. Пусть дан функтор F : "21 -> Cat из заданной категории *21 в категорию категорий Cat. Локальной системой L на категории *21 со значениями в F назовем указание для каждого А £ Obty объекта LA £ ObFA и для каждрго морфизма f £ "21 (А, В) — морфизма L (/): F (/) LA -> LB таких, что для любых /^"21(^4, В), g^ql\(B, С) имеет место равенство L(g)o о F (g)L (/) — L(go f). Морфизмом (или преобразованием) ср : L -> L* локальной системы L в локальную систему L' назовем набор морфизмов у А : LA -> L' А таких, что <?В о L (/) = V (/) о F (/) срА для каждого морфизма f £ ЭД (^4, В). В силу этого определения локальные системы образуют категорию, которую мы будем обозначать L(<21, F). Пример 1. Пусть F — постоянный функтор, т. е. F(A) = C3 для всех A^Ob^l и F(g)=l(£ для всех g£Mor(s2l). Тогда локальную систему L на "21 со значениями в F можно отождествить с функтором L : "21 -> 03. Мы довольно часто будем иметь дело с категорией (Top, Y) — категорией пар (X, /), состоящих из пространства X и непрерывного отображения /:Х-*У. Морфизмом пары (X, /) в пару (Z, g) называется непрерывное отображение <р : X -+ Z такое, что g-y=f. Эта категория является обобщением категории топологических пространств Тор: категория Тор совпадает с категорией (Тор, Y), если Y есть точка. Для нас важным оказывается тот факт, что категория (Top, Y) обладает прямыми произведениями и прямыми суммами. Если прямая сумма JJ_Xa пространств (Ха, /J £ (Top, Y) совпадает со свободной суммой пространств Ха, то прямое произведение JJ Ха в кате- Y гории (Top, Y) представляет собой гораздо более интересный объект: JJ_ Ха 7 есть подмножество произведения ЦДа> состоящее из наборов {ха} £ £ХХа таких, что fnxa = f^ для всех ха и жр. Конструкции следующего определения будут иметь для нас большое значение в дальнейшем. Определение 2. Пусть 2 = {£/х}хел — семейство открытых множеств пространства Y с частично упорядоченным множеством индексов Afl причем из X ^ fx следует, что £7Х С U^ Сопоставим каждому X £ Л категорию F (Х) = (Тор, С/х). Будем рассматривать частично упорядоченное множество А как категорию обычным образом. Если X ^ p., mo UXQ. U и категорию (Тор, £7Х) можно рассматривать как подкатегорию категории (Top, [7 ). Таким образом, F есть функтор из А в Cat. Л окольная система на Y с коэффициентами в F будет называться локальной системой пространств на Y с множеством индексов А и покрытием Q={Ux}\eA. 99
Определение 3. Множество индексов А из определения 2 назовем Y-направленным, если для каждой точки у £ Uxf]U существует v ^ 1, р. такое г что у £ t/v. Такого рода направленность частично упорядоченного множества индексов Л, связанного с покрытием пространства, была впервые рассмотрена в [4] без специального названия. Если множество индексов F-направленно, то прямое сравнение с определением Р. Дикхоффа приводит к следующему результату. Лемма 1. Локальная система пространств наУ с множеством индексов А и покрытием Q={Ux}\eA в случае Y-направленного множества индексов А есть частичная обратная система отображений в смысле Р. Дик- хофра [9]. Пример 2. Если каждый элемент Ux покрытия Я равен Y, то понятие локальной системы с У-направленным множеством индексов Л и таким покрытием 2 совпадает с обратным спектром в категории (Top, Y). Таким образом, обратный спектр в категории (Top, Y), в частности в категории Тор, можно рассматривать как локальную систему пространств на Y. Определение 4. Пусть 2 = {£/х}хеЛ, А — те же, что в определении 2. Рассмотрим функтор на категории A, F (X)=Ash (Ux), а если X ^ \х и / £ А (1, fx) — соответствующий морфизм, то для А £ Ash (U ) положим F (/) q$ £ Ash (Ux) равным пучку F (/) q^=q^\ Ur Здесь и далее через Ash (X) обозначается категория абелевых пучков на пространстве X. Локальную систему на двойственной категории Л° со значениями в функторе F будем называть локальной системой пучков на Y с множеством индексов А и покрытием 2 (ср. [4, 5]). Если множество индексов Y-направленно, то локальную систему пучков будем называть направленной локальной системой пучков. Уместно заметить, что основные для нас примеры локальных систем пучков были как раз направленными локальными системами пучков (см. [4, 5]). Определение 5. Локальную систему L на ^ со значениями в F будем называть ординарной, если все морфизмы L (/) являются тождественными морфизмами. Ординарная локальная система L на ЗД со значениями в F называется пределом (соответственно копределом) локальной системы L £ L (ЗД, F, если: 1) существует преобразование a: L -> L {соответственно а : L -> L) и 2) для любого преобразования Ь\ К -► L (соответственно b:L -> К) с ординарной системой К £ L (Ql, F) существует и единственно преобразование с: К -+ L (соответственно с: L -+ К) такое, что Ъ—асс (соответственно Ь = соа). Пример 3. Ее ли F — постоянный функтор на s2l, F (s2l) = 95, то локальная система L со значениями в F есть, как мы знаем, просто функтор L : *21 -> 93- Предел (копредел) этой локальной системы есть предел (копредел) функтора L в обычном смысле. Пример 4. Для любого множества индексов и покрытия 2={£/х}>бЛ пространства Y каждое пространство (X, /) категории (Top, Y) можно отождествить с вполне определенной локальной системой пространств, полагая Хх равным f~xUx и fx:Xx-> Ux равным /X=/|/_1?7X. Эта локальная система ординарна, и таким образом строится вложение категории (Top, Y) в категорию ординарных локальных систем пространств на Y с множеством индексов А и покрытием 2={£/х}Х6Д. Пример 5. С учетом конструкции примера 4 предел направленной 100
локальной системы пространств на пространстве Y есть предел частичной обратной системы отображений в смысле Р. Дикхоффа [9]. Сделаем некоторые указания на то, как можно доказать существование предела направленной локальной системы пространств (см. [9]). По определению направленности множество индексов Л ={Х} таких, что у £ Ux, образует направленное множество в обычном смысле. Пусть Ху = = lim (Хх}хелу. Топологизируя множество X = U Ху подходящим образом, мы по- *— г/eY лучаем пространство X вместе с естественным отображением / : X -> F, которое и будет пределом направленной локальной системы пространств {(Хх, /х), Ux, ^}ХбА. Эта же идея применима к доказательству существования пределов локальных систем пространств. Не останавливаясь на деталях, отметим Пример 6. Частичные топологические произведения Б. А. Пасын- кова [11] являются примерами пределов локальных систем пространств. Поскольку понятия локальной системы пучков на У и копредела такой системы являются для нас в особенности важными, мы дадим явное определение, хотя и по необходимости громоздкое. Локальная система пучков на Y состоит из частично упорядоченного множества индексов Л, соответствия 0: X -> £/х, сохраняющего порядок, где {Ux} — открытое покрытие пространства F, пучков с^х£ Ash(£/X) и гомоморфизмов Tf£ : е^х I Up -* g^, существующих для р^Х и таких, что у£ о у* = т* на U^ если v^p^X. Ординарную локальную систему пучков, соответствующую паре (Л°, 0), можно отождествить с пучком на Y, так как {Ux} есть покрытие пространства Y и, таким образом, копредел локальной системы пучков {g^x, С/х, T^Kfa есть пУчок rf на F такой, что для каждого X существует гомоморфизм <рх:е^х->с^| Ux с условием <р oif£ = cpx на U при р^Х, причем если qS3 — пучок на Y и фх: Sx -+ cW\Ux удовлетворяют равенству ф^ о у* = фх на U^ при [а^Х, то существует единственный гомоморфизм со:^-^^, для которого фх = (со | Ux) о срх для всех Х£Л. Пример 7. Каждый пучок есть копредел локальной системы постоянных пучков. Доказательство. Для данного пучка & и любой направленной системы {Ux}x определим локальную систему пучков, полагая g^x равным постоянному пучку, порожденному множеством S (U}). Копредел этой локальной системы есть пучок &. В самом деле, по определению копредела существуют гомоморфизмы срх:е^х-> ^ | Ux, т. е. срх: § (Ux) -> <М \ Ux, и, в частности, гомоморфизмы сечений над Ux срх: &(UX) -> q${Ux). Легко видеть, что эти гомоморфизмы срх согласованы с проекциями и потому определен гомоморфизм пучков & -+ ?$. Этот гомоморфизм в стеблях является изоморфизмом, и потому гомоморфизм <§ -> с# — изоморфизм. Пример 8. Если {е^х, Т^Кед — индуктивная система пучков, то ее можно рассматривать как локальную, систему, если положить С/х= Y для всех Х£Л. Предел этой локальной системы есть обычный индуктивный предел системы limind{c$x, Та)хел- Используя введенную нами терминологию, мы можем придать более совершенную и компактную форму некоторым ранее доказанным утверждениям статьи [4] в виде следующей теоремы, содержащей основные свойства копределов локальных систем пучков. 101
Теорема 1. Для каждой направленной локальной системы пучков% соответствующей Y-направленному открытому покрытию ^ = {UX}\^, существует копредел этой системы. Копредел является точным функтором на категории L (Л°, 8)=L ((Л°, 8): F), перестановочным с тензорным произведением. 2. Локальные системы пространств, пучков и ацикличнность некоторых пучков В доказательстве ацикличности некоторых конкретных типов пучков в статье [4] важную роль играло понятие регулярности рассматриваемых систем пучков. Сейчас мы имеем основания дополнить его понятием регулярности локальных систем пространств и, немного спустя, связать оба эти понятия между собой. Определение 6. Локальная система пространств {(Хх, /х), Ux, те^}хел на Y называется регулярной, если (a) система {Ux}x д—Y-направленна', (b) для каждой пары индексов X, р. с Uxf)U =£ 0 существует v^X, р. такое, что U^ = Ux f] U ; (c) все отображения тс*: Хх -> f^Ux являются отображениями «на». Локальная система пучков {о$х, Ux, ^}ХА называется регулярной, если выполнены условия (а) и (Ъ) и все гомоморфизмы у*: q$x \ U^ -> с$а являются мономорфизмами. Основным техническим утверждением, оправдывающим введение понятия регулярной локальной системы пучков является следующая теорема, доказанная в [4]. Теорема 2. Копредел регулярной локальной системы относительно мягких пучков на паракомпактном пространстве Y является мягким пучком. При этом пучок q$x, заданный на Ux, называется относительно мягким, если для каждого замкнутого в Y множества F(ZUX пучок q$x \ F является мягким. В следующем разделе мы будем обсуждать некоторые вопросы, касающиеся спектральных последовательностей, связанных с непрерывными отображениями. Существенным там является возможность указать для каждого пучка q$ на пространстве Y и каждого непрерывного отображения / : X -> Y некоторый канонический гомоморфизм -гк : ^ -> /#/* q$. Нам понадобится одно свойство естественности этого канонического гомоморфизма. Лемма 2. Если g : Z -> X и / : X -> У суть непрерывные отображения^ Доказательство. Вспомним, что сечения <р £ Г (U, fJ*o$) пучка fJ*o$ есть отображения ср*-/"1^-* U <МУ такие, что ? (я) £ gJ#/(*) и для каждой точки x^f^U существуют окрестность Wx и сечение sx над f(Wx) такие, что y(x') = (sx of)(x') для всех х' £WX. Образ r\f(s) при каноническом отображении 7]jr есть отображение, определяемое равенством -r[f(s)(x) = (sof)(x)y х £ /-1£/. Аналогично t\g (t) (z) = (tog) (z) для каждого t £ /W {f~xU) и каждого z^S~1{f~1U)=1{f о gy1 U. Беря в этих равенствах вместо t сечение t = sof, получаем i\ff(sof)(z) = sofog(z) для всех z£(fog)~1U, т. е. т];(5о/) = = y]/0^(s). Но, как замечалось, при отождествлении fJ*Q$(U) = f*Q$(f~1U) сечение т\^(s) отождествляется с отображением so/, и полученное выше 102
равенство можно переписать в виде /д,/*о yi^(s) = fif0g(s), что и доказывает лемму в силу произвольности сечения s^q^(U). Теорема 3. Каждой локальной системе пространств на Y, {(Xv /х), £/х, я* }х с л и кажоЛ°мУ пУчкУ о$ на Y соответствует локальная система пучков {(f.Jl)W\Ux), Uv <р?}хед, где tf: (/^ (erf | ff^) | ffx ^ (/*0(е* I #х) возникает из коммутативного четырехугольника как композиция ±= (О. /^ (Кг1 t?v)=/^ (/г1^)=fj& (V) для каждого открытого V С Ux С С/ . Доказательство. Достаточно проверить, что для каждой тройки индексов v ^ X ^ [J. на Ux имеет место равенство <р? = ?i о <р£г Для доказательства воспользуемся более коротким, но зато и более формальным определением гомоморфизма <рх как композиции / и \f* 1Л ш i и j | их -^^ «.</; W i ^) i их= = (/.,<») «О И I ^ I # х = /xJI ИI Ц> Если ограничить этот гомоморфизм на U4 и применить <р* не к последнему пучку в предыдущих равенствах, а к стоящему перед ним, то на U4 получим композицию гомоморфизмов /^j/Jo/^v/J» равную (/^о^^х^оти^о °f^\^l и равную /^тсх0^/*, т. е. /^v/* в силу леммы 2. Теорема доказана. Выделим формальное определение гомоморфизма <р£, использованное в доказательстве теоремы 3. Следствие 1. Гомоморфизм y^:f^№\Uv)\Ux-+fxJl(Qtf\U}) есть гомоморфизм f^x^fl: /^ -> /^«^Г^» ограниченный на *7Х, где /^тех* X Следующая теорема продолжает изучение свойств локальной системы пучков, порожденной локальной системой пространств в силу теоремы 3. Теорема 4. ; Пусть пара (X, /), где f :X->Y — совершенное нульмерное отображение, есть предел направленной локальной системы пространств {(Хх, /х), Uv ^}ХбА на F, причем каждое отображение /х также совершенное и нульмерное. Тогда пучок fJ*otf есть копредел направленной локальной системы пучков {(/х*/х) (е^ | Ux), Uv ?£}ХбЛ, где гомоморфизмы <рх определены в теореме 3 или в ее следствии. Доказательству теоремы предпошлем вспомогательное утверждение, являющееся обобщением леммы 3 из статьи [8]. Лемма 3. Пусть f : X •-» F — совершенное нульмерное отображение хаусдорфовых пространств, В — замкнутое подмножество пространства Y, A = f~1B, g = f\A. Тогда для любого пучка q$ на пространстве Y имеет место естественный изоморфизм пучков (fJ*o$) \ В ^> g¥g* (А\В). 103
Доказательство. Дословно такое же, как доказательство леммы 3 из статьи [8], так как наиболее существенный для доказательства факт точности функтора /# продолжает иметь место в силу нульмерности и замкнутости отображения / (см. [4]). Беря в лемме в качестве В точку у £ У, получаем Следствие 2. Если f : X ->Y — совершенное нульмерное отображение хаусдорфовых пространств, то для любого пучка q$ на пространстве Y имеет место естественный изоморфизм пучков fJ*o$\y = g¥g*(o$\y), где g есть ограничение g = / | /_1г/. Доказательство теоремы 4. Пусть $} есть предел направленной локальной системы пучков, существующий в силу теоремы 1. Согласно определению предела локальной системы пространств существуют отображения п^: /_1С^ -> Х^ такие, что /^отс^ = / на /_1С^, и согласованные с отображениями ттЛ на общей области определения. Используя отображения те , мы можем определить гомоморфизмы /^^ /* : /^/* (q$ \ £/J -+ fj*o$ | С/ , согласованные с ср£ в силу сказанного выше и леммы 2. Тогда из определения копредела локальной системы пучков вытекает существование естественного гомоморфизма пучков SB -* fJ*o$. Для доказательства того, что этот гомоморфизм является изоморфизмом, достаточно это проверить на стеблях, <Шу ^ (fJ*o$)y для каждого y£Y. Используя следствие леммы 3 и условия теоремы, мы редуцируем доказательство теоремы 4 к ее весьма частному случаю, когда / есть отображение в точку, X — нульмерный бикомпакт. В самом деле, $3 есть копредел системы {/ */* (о$ \ U^), U , ?£}ХбЛ и следствие 2 применимо к каждому допредельному пространству X , рассматриваемому вместе с отображением / : Х^ -> U . Итак, пусть X — нульмерный бикомпакт, являющийся пределом обратной системы нульмерных бикомпактов X=lim {Ха, со"}. Пучки /*g$, fo$ суть в нашем случае пучки ростков локально постоянных функций на соотг ветствующих бикомпактах со значениями в G=2^. В силу бикомпактности прообразы со"1 (Я) открытых множеств Н бикомпактов Ха образуют базис окрестностей бикомпакта X, если соо — канонические проекции соа:Х->Ха. Отсюда сразу вытекает эпиморфность гомоморфизма S3y ^ (fJ*o$)y- Росток ненулевого сечения может перейти в нуль при отображении ша, только если соответствующая точка ха£ХЛ не лежит в образе соо(Х). В силу непустоты обратного предела непустых бикомпактов отсюда вытекает, что существует индекс -у ^ а такой, что ха (£ о^Х . Но тогда росток обращается в нуль уже при переходе от ХЛ к X , что и доказывает мономорфность гомоморфизма <$у -* (fj*etf)p Для нашего случая. Теорема 4 доказана. Лемма 4. Если система пространств {(Xv /х), Uv иЧ А была регулярной, то и связанная с ней локальная система пучков {(/и/*) (о$ \ Ux), Ux, <?х}\е* РегУляРна- Доказательство. Нам необходимо доказать только мономорфность гомоморфизмов ср£. Но гомоморфизм 9х есть в силу следствия 1 ср£ = / тг]ях/!, а так как гомоморфизм т\^ есть мономорфизм, если отображение / было отображением «на», то в силу точности слева функтора / и точности функтора f мы можем утверждать, что ср£ е°ть мономорфизм. Чтобы применять теорему 4, необходимо иметь интересные представления нульмерных совершенных отображений в виде предела более простых отображений, например конечнократных отображений. Такие представления нульмерных совершенных отображений есть [8, 10, 11]. Мы сформулируем 104
и наметим доказательство еще одной теоремы такого рода. С одной стороныс эта теорема дает небольшое усиление теоремы Р. Дикхоффа [9], а именно добавляет условие регулярности, что важно для нас в силу теоремы 4 и леммы 4. С другой — конструкция допредельных пространств проста и наглядна, обладает хорошими функториальными свойствами и фактически использовалась при построении резольвент работ [4, 5]. Теорема 5. Для того чтобы отображение / :X —> Y было нульмерным совершенным отображением, необходимо и достаточно, чтобы пара (X, /) была пределом регулярной локальной системы пространств на Y со значениями в функторе U -> Sm (Top, U), где Sm (Top, U) — категория пар (Zt h) из пространства Z и его простого отображения h: Z -> U. При этом отображение h: Z -> U называется простым в смысле Р. Дикхоффа, если его можно представить как композицию некоторого замкнутого вложения i'.Z-> -> U X D, D — конечное дискретное пространство, и проекции U X D -> U. Доказательство. Мы рассмотрим только более интересный случай необходимости условий теоремы. Рассмотрим множество X = {(?/, о)} всевозможных пар, состоящих из открытого множества £/СУ ги разбиения о его прообраза /_1С/ на конечное число попарно не пересекающихся открытых множеств Uv . .., Uka, a = {Uv . . ., Uk<j). Множество пар частично упорядочено если считать, что (U, о) ^ (£/"', а'), если U С U' и разбиение а вписано в разбиение о'. Пусть D(U,a)— конечное дискретное пространство, состоящее из ка элементов, и пусть X(U, o)(ZUxD(U, о) есть замкнутое подмно жество, определяемое условием (у, i)^X(U, о), если y£f(U.). Отображения ir^»ff] определяются естественным образом, система {X(U, с), f(U, о), гсК»,а> } регулярна, и пределом этой системы служит, как можно показать, пространство X вместе с отображением /, «склееным» из отображений f(U, о). Доказательство закончено. Теперь мы в состоянии доказать один из центральных результатов статьи . Теорема 6. Если j : X -> Y есть нульмерное совершенное {например, замкнутое конечнократное) отображение, то для произвольного мягкого пучка q$ на паракомпакте Y пучок fJ*otf также есть мягкий пучок. В частности, если 0 -> е^ -> {Мп}^0 есть мягкая резольвента пучка о$> то 0-+ -> fJ*otf -> {fJ*Mn}^L0 есть мягкая резольвента пучка fJ*o$* Доказательство. Соединяя теорему 5, теорему 4, лемму 4 и теорему 2 вместе, мы видим, что, для того чтобы получить доказательство теоремы 6, достаточно проверить, что для каждого простого отображения h: Z-+U пучок hji* (q$ I U) относительно мягок на U. По условию Z есть замкнутое подмножество произведения U X D, где D конечно и дискретно, a h есть ограничение проекции U X D -> U на Z. Таким образом, Z состоит из конечного числа попарно не пересекающихся множеств Z4,' каждое из которых проектируется отображением h взаимно однозначно на некоторое замкнутое множество F4 пространства У. Поэтому hJi*(o$\U) есть конечная прямая сумма, hh*(o$\U) = Q) o$Fi, а, как легко видеть (см. также [4 J), каждый пучок q$f., а с ним и сумма ф q$f. =zhh*(o$ \ U) являются относительно мягкими пучками. Теорема доказана. 3. Резольвента пучка, связанная с непрерывным отображением, и ее алгебраические аналоги В наших работах [7, 8] было показано, что предшествующие спектральные последовательности автора, спектральные последовательности Картана—Гро- 105
тендика, спектральные последовательности Лере покрытий укладываются в одну общую схему, основой которой является теорема 7. Теорема 7. Для любого непрерывного отображения f\X^XY и любого пучка о$ на Y ассоциированный комплекс косимплициалъного пучка с аугментацией {(fj*)n+1 e^}£L_! образует резольвенту с гомототопически тривиальными стеблями. '~Л Косимплициальный пучок {(fj*)n+1 о$}%-1 строился в соответствии с некоторой общей процедурой построения косимплициалъного объекта с аугментацией {Т1^1^}^-! по зададной тройке (Г, т\, р.), роль которой в нашем случае играл функтор Т = fj*, T\f\<d-> fJ*otf уже описывалось; р.: fJ*fj*o$ -+ fj*<4 описывать нет необходимости, так как для описания граничных операторов дифференциала резольвенты нужны только преобразования т]. Итерируя конструкции теорем 3 и 4, мы без труда получаем следующие результаты. Теорема 8. Каждой локальной системе пространств на F, {(Хх, /х), Uv ТСм}ХбА и каждому пучку &# на Y соответствует локальная система резольвент пучков {(fxJl){Q$\Ux), Е/х, ?х)хел' г^е гомоморфизмы ср£ определяются в соответствии с теоремой 3. Теорема 9. Пусть пара (X, /), где f: X -> Y — совершенное нульмерное отображение, есть предел направленной локальной системы пространств {(Xv /х), Е/х, тс«}х на Y, причем каждое отображение /х также совершенное и нульмерное. Тогда косимплициальный пучок с аугментацией {{fj*)n+1 q$)^-i есть копредел направленной локальной системы косимплициальных пучков с аугментацией {(f\Jl)n+1{o$ \UX), Е/х, 9х)хел» г^е гомоморфизмы cpf определены в теореме 3 или в ее следствии. В частности, резольвента <$ -> -* {(/*/Т+1 ^)п=о естъ копредел резольвент cd\Ux-+ {(fj{)n+1 (<d\ Ux)}Zo-. Для составляющих резольвенты теоремы 7 в настоящее время существует около десяти различных описаний (см. [4—6, 12, 13]). Однако доказательство изоморфизма соответствующих пучков чаще всего достаточно громоздко. Теоремы 4 и 9 позволяют свести доказательство изоморфизма указанных типов пучков к разбору существенно более простых случаев, действуя в духе доказательства теоремы 6. Остановимся, например, на доказательстве изоморфизма пучков (f,L)ep+1 (§) q$ и (fJ*)p+1o$ для случая, когда пучок q$ есть пучок L-модулей. Теорема 10. Для каждого пучка q$ L-модулей на пространстве Y и непрерывного отображения f: X -> Y существует канонический гомоморфизм (f^L)®^1 ® (М -> (fJ*)P+1 о$> который является изоморфизмом, если отображение f естъ нульмерное совершенное отображение хаусдорфовых пространств. Доказательство. Теорему достаточно доказать для случая р = 0, т. е. для fJL 0 q$ -> fJ*o$; общий случай можно будет рассмотреть тогда ь по индукции. Сечение s^f^L(U) есть локально постоянная функция на /_1С/, т. е. существует разбиение прообраза f~xU = Е/х \J ... \J Uk на попарно не пересекающиеся открытые множества ЕЛ и элементы s^L такие, что значение s на ЕЛ равно s{. Для произвольного t£o$(U) положим so£(#) = s^(:r), если ж£ЕЛ; sot можно рассматривать как сечение пучка /W на /_1Е/ или как сечение 106
пучка fJ*o$ на U. Мы построили отображение предпучков, которое и порождает канонический гомоморфизм f¥L (g> cd -> fj*Q$> Используя теорему 5, перестановочность копредела локальной системы пучков с тензорным произведением (теорема 1) и теорему 4, мы можем свести доказательство теоремы 10 к случаю простого отображения h: Z -> U. Как следует из доказательства теоремы 6, пучок hJL есть 0 LFv а пучок fJ*o$ есть пучок ©c#F., где Ft — некоторые замкнутые подмножества U. Гомоморфизм [0 ЬРЛ ® od-+ 0 erfF. есть изоморфизм, что и доказывает теорему. L * Следствие 3. Если f : X -+Y — нульмерное совершенное отображение хаусдорфовых пространств, то канонический гомоморфизм косимплициалъных пучков с аугментацией {{fJL)®n+1 (g) c^^Li -> {{fj*)n+1 o$)n=-i есть изоморфизм. L Существует много связей между коммутативной алгеброй и нульмерными отображениями, в особенности бикомпактов [8]. В связи с рассмотренными в статье вопросами нам хотелось бы привлечь внимание к любопытным связям с коммутативной алгеброй также в следующем направлении. Рассмотрим произвольный морфизм схем /: (X, Ох) -> {Y, 0Y). Следуя конструкции резольвенты теоремы 7, можно попытаться выписать резольвенту о$ -^ fJ*o$ -* (/X)2 g#? -> • . • Для квазикогерентного пучка (?г-модулей <$# на Y. Однако в алгебраическом случае функтор /*, хотя и сопряжен с функтором /#, отличен от обычного функтора /*. Поэтому рассуждения [7J, приводящие к доказательству точности,последовательности пучков q$ -> fj*o$ -> {fj*)2 о$ -> • .. в топологическом случае, уже недостаточны и точность аналогичной последовательности для алгебраического случая доказать не удается. Если повторить эти построения в частном случае аффинных схем, то для гомоморфизма колец ср: А -> В с единицей соответствующая последовательность для Л-модуля М выглядит так: M^M(g)B^M(g)B(g)B->...-+M(g)B®n-+... AAA А Естественно возникают вопросы о точности этой последовательности и о гомотопической тривиальности этой последовательности. Еще более интересной задачей представляется выяснение алгебраического смысла соответствующих групп когомологий. Пока известны весьма неполные ответы на эти вопросы. Например, если А — дедекиндова область, В — целое замыкание в конечном расширении поля частных области А, то для вложения ср: А -> В соответствующая последовательность гомотопически тривиальна. 4. Суммирующий гомоморфизм Для гомотопической тривиальности резольвенты q$ -> {{fj*)n+1 g^}£10 достаточно, чтобы существовал гомоморфизм пучков а: fJ*o$ -> q$ такой, что композиция о$ —-> fJ*o$ -^> ?$ есть тождественное отображение. Постараемся выяснить, хотя бы для частных случаев, когда существует . гомоморфизм fJ*o$ -> q$, безотносительно к свойствам композиции q$ -^ Д/W -> о$- Если такой гомоморфизм можно определить для каждого пучка ^ так, чтобы а было преобразованием функторов, то, в частности, мы имели бы гомоморфизм о : f¥Z -^ Z. Интересной особенностью нульмерных совершенных отображений является то, что такого гомоморфизма а: fJZ -> Z уже достаточно для опре- дележмя функториального гомоморфизма а : /,/W -> оА: это следует из равен- 107
ства fj*Qyf = f4Z<&<&$ (см. теорему 10). Именно для широкого класса нульмерных совершенных отображений мы в состоянии дать ответ на вопрос о существовании гомоморфизма о: fJZ -> Z. Теорема 11. Для того чтобы для открытого нульмерного совершенного отображения f: X -> F, где Y локально связно, существовал гомоморфизм 0 : /* Z -> Z, необходимо и достаточно, чтобы для каждого открытого связного U (ZY и каждого открыто-замкнутого подмножества V (Zf^U пространства /-1С/ были указаны целые числа n0(V), удовлетворяющие условиям: 1) если U'QU, то nu(V) = nu,(V nf'W); 2) если V = V± U ... U Vk, где V. — открыто-замкнутые попарно не пересекающиеся подмножества прообраза f^U, то nu(V) = nu(V1)+... + nb(Vk). Задание чисел с такими свойствами назовем суммирующей функцией, а число пу (X) для связного пространства Y степенью суммирующей функции. Доказательство. Необходимость. С каждым открыто-замкнутым подмножеством V множества f'1 U свяжем сечение %Y пучка Z на/_1С/, равное 1 на V и 0 на f~1U\V. Тогда a(vY\£Z(U) = Z в силу связности U. Положим nn(V)=ahy\. Если U'£ZU, то, очевидно, Xvnf-w есть ограничение сечения Ху на /-Ч7', откуда °(ХуПГ*а') = а{Ху)> т- е- nlt(v) = nu'(Vnf'1U'). Если V=VX\J ... U Vk, где V. открыты и замкнуты в f~xU и попарно не пересекаются, то, очевидно, %Y = xYi + Xv2 + • • • + Xvk> откуда пц(У) = nu(V1)-[-. . . ... -f- nv (Vh), или a hy\ =a(x7)-{- ... -f-a (Xy )• Необходимость доказана. Достаточность. Пусть U — связное открытое подмножество пространства Y. Для каждой точки y£U прообраз f~ly пересекается лишь с конечным числом элементов любого открытого покрытия кратности 1. В частности, если для сечения s^Z(f~1U) покрытие {Vt} прообраза f~~lV таково, что s постоянно на каждом элементе V., то f~xy пересекается с конечным числом элементов Vr Но в силу открыто-замкнутости отображения / и связности U каждое V\ отображается на все U. Итак, число элементов любого покрытия прообраза f~xU открыто-замкнутыми подмножествами конечно, в частности, конечно число (FJ и мы можем положить a {s) — ^Пу (VJ sv где s. — значения сечения s на Vt. Число a(s) зависит только от сечения s и не зависит от выбора разбиения (FJ, на каждом элементе которого сечение s постоянно. Достаточно доказать это для случая, когда другое такое разбиение {Wj) вписано в {V4}. Для каждого i пусть /. есть множество индексов / таких, что Wj С Vv По выбору разбиений сечение s постоянно на каждом W • и V{\ пусть эти значения есть соответственно s'. и s.. Согласно определению о (s) = 2 пи O^j) */ = 2 2 пи (Wj) sj = (так как sj = st Для каждого 7 £ J д = 2 Г 2 ^ (wj)\ si = (в СИЛУ 2)) = 2 М^*) **> чт0 Доказывает корректность определения отображения а. Возможность, только что проверенная, измельчать разбиения без влияния на результат суммы ^nu{Vi)si, позволяет считать, что любая пара сечений s, t^Z(f~1U) связана с одним и тем же разбиением. Для этого случая очевидно, что c(s -f-1) =o(s) -f- a(t). Таким образом, a есть гомоморфизм a: Z (f^U)-+Z (U). Если U'CZU, U' связно, сечение s^Z(f~1U) ассоциировано с покрытием {V.}, то сечение sl/'W будет ассоциировано с покрытием (FJ. Тогда условие 1) обеспечивает нам равенство a (s \ f^U') = a (s) \ U'. 108
Итак, мы определили гомоморфизмы а : fJZ (U) -> Z (U) для каждого связ-\ ного открытого U С F, причем эти гомоморфизмы перестановочны с гомоморфизмами ограничения для каждой пары связных открытых подмножеств [/', U, U' С С/. Для произвольного'открытого ЯСГи сечения s^Z{f~1H) поступаем следующим образом. В силу локальной связности существует разбиение Н на открыто-замкнутые связные множества Ua, Н = (J Ua. Положим а($) равным <з(5|/_1С/а) на каждом Ua. Ясно, что таким образом мы определим гомоморфизмы a: Z^""1//) -> Z(H) уже для всех открытых Н Q.Y. Эти гомоморфизмы перестановочны с гомоморфизмами ограничений, так как связные множества образуют базис в У, а для связных множеств перестановочность с гомоморфизмами ограничений проверена. Теорема доказана. Разберем теперь несколько важных примеров суммирующих функций. 1. Конечные группы преобразований. Пусть конечная группа G действует на X и / : X -> Y=X/G — каноническое отображение на фактор-пространство X/G. Беря сдвиги {gV}ffeG открыто-замкнутого в /-1С/ множества V С С/-1 U и рассматривая всевозможные пересечения этих открыто-замкнутых в f'1!! множеств, мы получим разбиение прообраза f~1U=\JVi на открыто- замкнутые в нем подмножества, инвариантное относительно сдвига при действии группы G. Это разбиение, кроме того, будет обладать следующим свойством: каждый элемент V. или не пересекается с V, или содержится в V. Каждое инвариантное относительно сдвигов при действии группы G разбиение прообраза j"xU с последним свойством назовем инвариантным разбиением, подчиненным V. Мы заметили, что инвариантные разбиения, подчиненные открыто-замкнутому в /_1С/ множеству V всегда существуют. С каждым инвариантным разбиением Е свяжем его индекс: п (Е) = | G\/\Щ где |Е[— число элементов в разбиении Е. Положим nv(V) = к • /г(Е), где к— число элементов разбиения Е, лежащих в V. Проверим, что числа nu(V) определены корректно и удовлетворяют свойствам 1) и 2) суммирующей функций. Так как пересечение двух инвариантных разбиений есть снова инвариантное разбиение, то при проверке независимости числа nv(V) от разбиения мы можем предположить, что из двух инвариантны^ разбиений Е, Е1? подчиненных V, одно разбиение, например Ех, вписано в другое, Е. Инвариантное разбиение Е имеет вид Е = {gW}9£G-> где W открыто-замкнуто в /_1£/. Пусть Е = {g\V}g£G и Ех = {gW-^gzo', можно считать, что W± С W. Легко сообразить, что |Е|=индексу подгруппы Н группы G, состоящей из элементов /г, оставляющих W на месте, hW~W. Поэтому индекс /г(Е)=|/7| и индекс п(Е1) = |Я1|. h> силу инвариантности разбиений £ и Г1 относительно сдвигов в каждом элементе разбиения Е содержится одно и то же число, а, элементов разбиения Ег В частности, |Е1|=а-|Е| или а::=| Ех |/| Е |, а число элементов разбиения Ех, содержащихся в W, равно а • к. Поэтому мы должны сравнить два числа к • п (Е) и а • к • п (Е^. Имеем а • к • п (Ех) = к - п (Ех) . | Ех |/| Е | = = к • \G |/[ Е | = к • п (Е), что и доказывает независимость числа пц(V) от инва - риантного разбиения Е, подчиненного V. Если U' С U и Е есть инвариантное разбиение прообраза f^U, подчиненное F, то Efl/^C/' есть инвариантное разбиение прообраза jf""1?/', подчиненное Ffl/-1^7'' Каждый элемент разбиения Е, лежащий в F, пересекается с Vdf^U', так как образ каждого открыто-замкнутого в f"xU подмножества 109
равен U в силу связности U и открыто-замкнутости отображения /. Поэтому число элементов разбиения Ер)/"1^', пересекающих и, следовательно, лежащих в Vflf^U1, равно числу элементов разбиения пересекающих и, следовательно, лежащих в V. Поэтому nv (V) = nur(V П f~lUr) , что и доказывает свойство 1) суммирующей функции. Если V. — открыто-замкнутые в f^U множества, попарно не пересекающиеся, то, беря пересечение инвариантных разбиений, подчиненных Vv можно найти инвариантное разбиение, подчиненное каждому V.. Если 1{ — число элементов этого разбиения £, лежащих в Vv I — число элементов этого раз- к биения, лежащих в V = U V\, то пи (V) = I • п (£) = (1г -(- . . . -\- 1к) • п (£) = t=i = l1n(L)-\- . . . -\-lk- п (£) = nu{V\)-\- • • • + пи(Ук)> что доказывает свойство 2) суммирующей функции. Построение суммирующей функции для действия конечной группы преобразований закончено. Заметим дополнительно, что степень суммирующей функции равна пу(Х) = = ft.|G|/|E|, где к — число элементов разбиения Е, лежащих в У, т. е. & = |£| и потому степень построенной суммирующей функции равна \G\ — порядку группы G. 2. Конечнократные открыто-замкнутые отображения связных когомологических многообразий. Как доказано в нашей статье [4], в этом случае множество точек максимальной кратности всюду плотно (и открыто) в X. Для любого открыто-замкнутого F С /-1f/ положим пц(У) = кратности данного отображения / на V. Из упомянутого выше свойства плотности следует, что кратность отображения / на V равна кратности / на открытом насыщенном в V множестве V {\f~lU\ т. е. nv (V) = nur (V{\f~lU), что доказывает свойство 1) суммирующей функции. Из того же свойства плотности вытекает, что для открыто-замкнутых в f~lU множеств V. образ fMi точек максимальной кратности отображения / на Vi открыт и всюду плотен в U. Для каждой точки к У б Г) fMt будем иметь: кратность / на У. равна | /_1г/П Vt I- Поэтому кратность/ •=i H&V=V1\J...\jVk не меньше 2| ГуГ\Г(\, т.е. nc(V) >2 \Гу П Vt\. *=1 t'=l к Но кратность / на V не может быть больше 2 If'1 У П ^* I» так как иначе для к=\ к y0^U такого, что | f~lyQC\ V I ^> 2 I /_1# П Vс I нашлось по крайней мере одно i0> *=1 для которого |/_1г/0 П Уг01 > | f~xy П Vi0\> что противоречило бы определению числа | f~xy П ViQ | как максимальной кратности отображения / на Ft-o. Итак, к пи (V) = ^ | /_1г/ П Т7» I > что доказывает свойство 2) суммирующей функции. Построение суммирующей функции для конечнократного открыто-замкнутого отображения когомологического многообразия закончено. Степень построенной в этом разделе суммирующей функции равна кратности отображения /. 3. Нульмерные совершенные отображения ориентированного п-мерного многообразия на ориентированное n-мерное многообразие. Если / : X -> Y есть указанное отображение, положим для каждого открыто-замкнутого V С f~xU, nv {V) есть степень отображения / | V : V ~> С/, если V связно, и пи (V) есть сумма степеней отображений компонент связности, если V ПО
не связно. Известные свойства степени отображения показывают, что для таким образом определенных чисел пи (V) выполняются свойства 1) и 2) суммирующей функции. Степень этой суммирующей функции равна для связных X и Y степени отображения /. Если Y связно, а X — нет, то степень суммирующей функции равна сумме степеней отображения компонент связности. Теорема 12. Для заданной суммирующей функции а композиция о$ —> fj*o4 —> <М есть умножение пучка Qy$ на степень суммирующей функции а, т. В частности, если рассматриваемые пучки суть пучки L-модулей и число т обратимо в L, то существует гомоморфизм тг = (1/га)а такой, что композиция есть тождественное отображение, кого- мологии пучка о$ есть прямое слагаемое когомологий Н*(Х; f*o$), резольвента теоремы 7 гомотопически тривиальна, а соответствующая ей спектральная последовательность непрерывного отображения тривиальна. Доказательство. В силу теоремы 10 первое утверждение теоремы 12 достаточно проверить для пучка q$=:Z. Возьмем s£Z(U). Сечение r\f(s)(< £fj*Z(U) — Z(f~1U) есть отображение /_1£/ -^ Z. В силу локальной связности пространства Y открытое множество U можно считать связным. В этом случае сечение s можно отождествить с числом l£Z. Тогда -r\.(s)=^t есть постоянная функция на f~xU, принимающая на /_1С/ значение L Согласно конструкции суммирующего гомоморфизма а, изложенной при доказательстве к теоремы 11, надо взять разбиение /_1С/= (J V. прообраза /-1£/ на попарно не пересекающиеся открыто-замкнутые в f~lU множества V. такое, что функция t постоянна на каждом V.. В нашем случае постоянной функции t любое к разбиение прообраза f~lU = \J V. будет удовлетворять последнему условию. =i к Сечение of\f (s) есть ot\j (s) = 2 пи (Vt) I = к 2»Л^) I, и все свелось к доказательству того, что ^inu(Vi) = nY(X) для связного У, —факт, интересный i=i и сам по себе. Рассмотрим сечение, равное 1 на Y; обозначим его 1. Полагая U = Y в предыдущем рассуждении, мы видим, что cr\f(l) = nY(X) • 1. Но а есть гомоморфизм пучков, поэтому а (т]^(1 | U)) = nY(X) • 1 | U. С другой стороны, [к 1 Г к Hnu(Vi) Г !• Итак> nY(X) ' * = 2^(Ft) *=i J L*-=i 1, откуда nY(X) = y£inu(Vi). i=i Вторая часть теоремы 12 есть следствие, получаемое обычными рассуждениями, того, что композиция q$ —^/^/*е^-^-> о$ есть тождественное отображение. ЛИТЕРАТУРА 1. Gray /. W. Fibred and cofibred categories. — In: Proc. Gonf. Categorical Algebra. La Jolla (Cal.), 1965. Berlin: Spring.-Verl., 1966, p. 21—85. 2. Zarelua A. V. Sheaf theory and zero-dimensional mappings, in applications of Sheaves. — Lect. Not. Math., 1979, N 753, p. 768—779. 3. Зарелуа А. В. Нульмерные отображения в общей и алгебраической топологии.— В кн.: Междунар. топологическая конф., Москва, 25—29 июня 1979. Тезисы, с. 43. 4. Зарелуа А. В. Конечнократные отображения топологических пространств и когомологических многообразий. — Сиб. мат. журн., 1969, 10, № 1, с. 64—92. 111
5. Зарелуа А. В. Когомологическая структура конечнократных отображений. — Труды Тбил. Мат. ин-та, 1971, 41, с. 100—127. 6. Зарелуа А. В. О резольвенте непрерывного отображения и связанной с ней спектральной последовательности. — Труды Тбил. мат. ин-та, 1977, 56, с. 99—117. 7. Зарелуа А. В. Об одной спектральной последовательности, связанной с непрерывным отображением. — Мат. заметки, 1978, 23, № 3, с. 435—446. 8. Зарелуа А. В. Алгебраическая характеристика некоторых классов отображений и совершенность расширений Винера гармонических пространств. — Сиб. мат. журн., 1978, 19, № 6, с. 1283—1299. 9. Dyckhoff R. Perfect light maps as inverse limits. — Quart. J. Math. Oxford (2), 1974, 25, p. 441—449. 10. Dyckhoff i?. Categorical methods in dimension theory. — Lect. Not. Math., 1976, N 540, p. 220—242. 11. Пасынков Б, А. Частичные топологические произведения. — Труды Моск. мат. об-ва, 1965, 13, с. 136—245. 12. Скорбев Г. С. О резольвентах непрерывного отображения. — Мат. сб., 1970, 82, с. 532—550. 13. Скорбев Г. С. О резольвентах замкнутого отображения. — Мат. сб., 1971, 86, с. 234— 247. 14. Скорбев Г. С, Резольвенты Зарелуа. — УМН, 1980, 35, JSS 3, с. 221—224.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 В. Р. ЗАЧЕПА, Ю. И. САПРОНОВ (Воронеж, СССР) О ЛОКАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФРЕДГОЛЬМОВЫХ УРАВНЕНИЙ 1. В последние годы наблюдается устойчивый интерес топологов, специалистов по нелинейному функциональному анализу и прикладников к теории нелинейных фредгольмовых уравнений. Объясняется это тем, что нелинейные фредгольмовы уравнения представляют собой объект, который, во-первых, естественным образом возникает (см. [4, 5, 11)] в различных вопросах механики и физики, геометрии и анализа ц, во-вторых, представляет собой превосходный полигон для применения имеющихся мощных накоплений в арсенале топологии и функционального анализа (см. [4, 5, 11, 12, 14]). Одна из целей настоящей работы продиктована желанием показать (в рамках локального анализа нелинейных фредгольмовых уравнений) возможность эффективного использования некоторых идей и методов современной теории особенностей гладких отображений в ставшей уже классической проблеме ветвления малых решений нелинейных операторных уравнений. 2. Под нелинейным фредгольмовым уравнением понимается уравнение f(x) = b9 b£N$ х£М% (1) где /: М ~> N — фредгольмово положительного индекса С^-отображение банаховых Сг-многообразий М и Nx моделируемых линейными банаховыми пространствами Е и F. Пусть х0 — особое (сингулярное) решение уравнения (1), т. е. х0 £ /~1(fe) П П2(/), где 2 (/) = {# £ М | dim Ker df (х) > ind /} — множество особых точек. Основная задача локального анализа состоит в том, чтобы описать топологическую структуру ростка множества /_1 (Ь) в точке xQ. К этой же задаче примыкают вопросы асимптотической устойчивости (конечной определенности) уравнения в х0 и вопрос о нормальной локальной форме уравнения разветвления, отвечающего (1). Так как росток любого компакта, лежащего в конечномерном подмногообразии, является ростком /_1 (Ь) в х0 для соответствующим образом подобранного фредгольмова Сг-отображения (даже в случае г=оо), то для получения содержательной информации об f'1 (Ь) необходимы дополнительные ограничения на /. Например, можно потребовать одно из следующих часто встречаемых ограничений: (A) г=а (т. е. все структуры являются аналитическими); (B) х0 — изолированное сингулярное решение уравнения (1) (при этом на / или f'1 (Ь) могут быть наложены дополнительные дифференциально- топологические условия); (C) уравнение (1) задает полное пересечение с изолированной особенностью (см. [2, 17]); 113
(D) уравнение (1) конечнократно (см. [9, 12]) относительно некоторого подмногообразия L с М, codim L=ind /. Одновременное выполнение условий (А) и (D) отвечает так называемому грубому случаю в [5] или квазирегулярному случаю в [4]. Ограничения типа (В) и (D) встречаются в работах по теории особенностей гладких отображений [12, 13] и в работах по качественной теории бифуркаций [10, 16, 18]. Ограничение (С) используется в теории идеалов гладких функций [2, 17]. 3. Определение. Росток /_1 (Ь) в точке х0 называется коноидом, если существует такое отображение (параметризация) а: Кх [0, 1] -> f'1 (Ь) (К —компактное многообразие без края), что а(КХ0)=х0 и а: (Кх [0, 1])\ \ЛГхО-> (f~x (Ь)\#о)П U — гомеоморфизм, где U — некоторая окрестность точки х0. Предложение 1. Если выполнено условие (С) или одновременно условия (А) и (В), то росток /_1 (Ь) в х0 является коноидом. Доказательство следует для условия (А) Д (В) из теоремы о трансверсальности алгебраических множеств малым сферам (с центрами в изолированной особой точке) [7], а для условия (С) — из теоремы Тужрона — Мазера о конечной контактной определенности полного пересечения с изолированной особенностью [2, 17]. Замечание. Теорема неверна для условия (В) без условия (А), о чем свидетельствует следующий пример скалярного уравнения на плоскости: exp(-^)cos(^) = 0. Множество решений этого уравнения представляет собой совокупность концентрических окружностей радиусов гп = (пп)-Ч*(п=19 2, ...). Уравнение *2 + [у* — ехр(—1/z2) (1 + sin (1/z))]2 — exp (—2/z2) = 0 доставляет пример уравнения с условием (В) Д (D), в котором множество решений связно и локально связно, но не является коноидом в нуле. Определение. Фредгольмовы уравнения f1(x1)=b1 и /2 (х2) =fe2, порожденные отображениями f1\ Мх-> N1 и /2: М2-> N2- назовем эквисингуляр- ными в точках ах и а2, если ростки f~l (Ьг) и /^1(Ь2) в ах и а2 гомеоморфны. Определение. Уравнение f (х)=Ь назовем г-определенным в х0, если для любого Сг+1-отображения g: М -> 'TV, имеющего в х0 касание r-го порядка с /: &(/) = &(*), (2) уравнения / {х) = Ъ и g (х) = Ъ эквисингулярны в х0. Имеет место следующий общий критерий г-определенности. Теорема 2. Уравнение (1) r-определено в х0 тогда и только тогда, когда для каждого g £ Cr+1, удовлетворяющего соотношению (2), выполняется требование (В). Доказательство использует в начальной стадии одну конструкцию Тома [2] и в дальнейшем некоторые оценки, связанные с анализом возникающих в этой конструкции алгебраических множеств. Замечание. В случае конечной определенности уравнения (1) в точке хь росток /_1 (Ь) является коноидом (см. теорему 1). Из последней теоремы можно получить ряд удобных для приложений признаков конечной определенности. Сформулируем простейший из них, установленный ранее Бухнером, Марсденом и Шехтером [18]. 114
Теорема 3. Пусть уравнение V,f{h) = 0, (3) где blj: Кег df (х0) -> Coker df (х0) — внутренний квадратичный дифференциал Портеуса [1, 2], имеет единственное (нулевое) сингулярное решение. Тогда уравнение (1) 2-определено и эквисингулярно уравнению (3). 4. В дальнейшем будем предполагать, что г=оо, М = L X R?, q = indf. Следовательно, отображение/ можно рассматривать как семейство /х(и) — = /(и, X), u^L, Х(^ R9, которое будем называть гладкой фредгольмовой деформацией отображения /0 .* к -> / (и, 0). Потребуем условие конечной кратности /о в точке и0, #0 = (м0, 0): существует такое положительное число /с, что для любой гладкой деформации g^ отображения /0, [j.£R9, уравнение g (и)=0 имеет при малых фиксированных р. не более /с решений, сходящихся к а0 при р.->0. Если к— точная верхняя грань (по всевозможным гладким деформациям) количеств таких решений, то назовем к бифуркационной кратностью и обозначим через b (/0, и0). Теорема 4. Пусть X £ R1 и пусть уравнение /(и, Х)=Ь (4) имеет ровно к = b(/0, и0) различных (а значит, и простых) решений и.(X), гг.(0) = к0(& = 1, 2, . . ., /с). Пусть, далее, семейство операторов {^li(dufX X (&; (X), X))-1} ограничено в сильной операторной топологии. Тогда для любой фредгольмовой деформации g (и, X), X £ R1 отображения /0, удовлетворяющей по совокупности переменных соотношению (2), уравнение g(u, X) = fe эява- сингулярно (4) в (гг0, 0), вела r>max{rt.}, где т\. = 2Zt. max {5т1, 1} — 1, a s.— порядок ui (X) при X = 0 (первый ненулевой показатель ряда Пьюизо). Бифуркационную кратность можно оценивать алгебраически. G этой целью рассмотрим кольцо ёщ(Ц ростков в и0 гладких функций на L и идеал *21 этого кольца, порожденный функциями вида ф(/0(и)), где ф(г/) — гладкая функция на N. Фактор-кольцо Qu (f0) =z Su (L)I%1 называется локальным коль- цом особенности отображения /0 в нуле, а его размерность — локальной крат^ ностью, обозначаемой m(f0, и0). Справедливо следующее утверждение, установленное в работах [9, 12], Теорема 5. Имеет место неравенство Ь (/0, щ) ^.т (/0, щ). Следует отметить, что в голоморфной ситуации имеет место равенство [8]. 5. Для исследования фредгольмовых уравнений с параметром обычно применяется метод конечномерной редукции, позволяющий сводить гладкое фредгольмово уравнение к аналитически эквивалентному ему конечномерному уравнению разветвления Ляпунова—Шмидта [4, 5]. Уравнение разветвления определяется неоднозначно, но все они порождают одно и то же (с точностью до изоморфизма) локальное кольцо особенности, совпадающее с локальным кольцом особенности уравнения (1) в точке х0. По-видимому л последнее свойство можно положить в основу инвариантного определения уравнения разветвления (при условии (А) или (С) точно можно вследствие результатов Тужрона—Мазера [2, 13, 17]). В предположениях предыдущего пункта можно обратиться к следующему неинвариантному определению уравнения разветвления. Определение. Уравнение ?(t, Х) = 0, (5) 115
порожденное С°°-отображением ср : (R* X R9, 0) -^ (R*, 0), к =zdim Кетdf0(x0), называется уравнением разветвления для уравнения (4) в точке х0 = (и0, 0), если существуют гладкие ростки диффеоморфизмов а : (L X R*, К 0)) -> (Е X R* X R*, (0, 0, 0)), Р:(ЛГ, Ь)^(ЕХК\ (0, 0)), а (ж, X) = (о^ (ж, X), а2(я, X), X), и гладкий росток А:: (В X R* X R', (0, 0, 0)) -> (GL (В X R*), /) такие, что справедливо тождество A (s, *, X).iQ(/(a-1(5, *, X))) = (s, <р(*, X)), где s£Ef t£R\ XgR*. Рассмотрим cp (£, X) как одну из гладких деформаций отображения ср0 и рассмотрим также следующую деформацию: т a (t, I) = То (t) + 2 |Л («), 5, £ R*. S = &, .... U, (6) где o)x, . . ., о)ш задают базис Q0(<p0). Деформацию (6) назовем главной. Теорема 6. Уравнение (5) подчинено уравнению (6) в следующем смысле: существует (в некоторой окрестности нуля) такое С^-отображе- ние 6: R^ -* Т\т7с и такое гладкое семейство A (t, р.) обратимых матриц порядка к, что верно равенство <?(t, p) = A(t, ,i)o(i, 6 ([*)). (7) Доказательство основано главным образом на использовании подготовительной теоремы Мальгранжа — Вейерштрасса [2, 3]. Таким образом, уравнение a (£, £) = 0 представляет собой версальную деформацию (см. [10]), если ввести правило подчинения деформаций формулой (7). 6. Неоднозначность аналитической формы уравнения разветвления приводит к проблеме выбора нормальной в том или ином смысле формы. Если в качестве со1, . . ., и>т выбрать мономы, а в качестве компонент отображения ср0 выбрать такие полиномы, которые не содержат слагаемых, входящих в произведение 9)?210(<р0), где (ЗЯ — максимальный идеал в §0(Rk), то получим главную деформацию c(t, I) в нормальной форме, а з(£, б (р.)) задает нормальную форму уравнения разветвления. Проиллюстрируем сказанное на примере нормальных форм главных деформаций простейших особенностей. 1) Пусть dimKerd/0(tt0) = l, т. е. Q (f0) ^ ЩЩГ). Тогда уравнение (6) в нормальной форме состоит из одного скалярного уравнения т—1 *=0 2) Пусть dim Ker d/0(w0) = 2, m(f0, и0) = 4. Тогда Qu (/0) изоморфно [13] одному из двух колец: R['i> У/('?-*!> *&)> Rt'i> «/(*! + '!■ ht2). Нормальные формы выглядят для этих случаев следующим образом: Ч + Щ + iu+Wi+ЪА+ем С! ± 1)=о. КЧ + 6д + Wl + ^2 + ^24 И\ ± il) = 0. 116
Так как то вместо последней можно рассмотреть другой вариант нормальной формы: '? + Ец + EiA + *iA + Eu'A = О, *2 П ^21 + Wl ~f" ^23^2 + ^24^2 = ®' ЛИТЕРАТУРА 1. Арнольд В. И. Особенности гладких отображений. — УМН, 1968, 23, № 1, с. 3—44. 2. Особенности дифференцируемых отображений: Сб. статей. М.: Мир, 1968. 3. Малъгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. М.: Мир, 1968. 4. Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 5. Красносельский М. А., Вайникко' Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Сте- цепко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 6. Маьер Дж. Конечная определенность гладких отображений. — Математика, 1970, 14, № 1, с. 145—175. 7. Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.: Мир, 1971. 8. Паламодов В. П. О кратности голоморфного отображения. —*Функц. анализ, 1967, 1, № 3, с. 54—65. 9. Паламодов В. П. Замечания о конечнократных дифференцируемых отображениях. — Функц. анализ, 1972, 6, № 2, с. 52—61. 10. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. — УМН, 1972, 27, № 5, с. 119—184. 11. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения: Сб. статей. М.: Мир, 1974. 12. Химшиашвили Г. Я. О малых решениях нелинейных фредгольмовых уравнений. — Вестн. МГУ. Сер. мат., мех., 1977, № 2, с. 27—31. 13. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. 14. Борисович Ю. Г., Звягин В. Г., Сапронов Ю. И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере—Шаудера. — УМН, 1977, 32, № 4, с. 3—54. 15. Зачепа В. Р. О конечной определенности решений нелинейных фредгольмовых уравнений. — В кн.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докл. Минск, 1978, с. 53. 16. Сапронов Ю. И. О версальных деформациях фредгольмовых уравнений. — В кн.: VII Всесоюз. топологическая конф.: Тезисы докл. и сообщ. Минск, 1977, с. 169. 17. Tougeron J. С. Ideaux de Fonctions Differentiables: Ergebnisse. N. Y.: Spring.-Verl., 1972. Bd. 71. 18. Marsden J. Qualitative methods in Bifurcation theory. — Bull. Amer. Math. Soc, 1978, 84, N 6, p. 1125—1148.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 С. П. ЗЕРВОС (Афины, Греция) О КАРДИНАЛАХ КАК ОРБИТАХ ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ Пусть X — непустое множество, наделенное некоторой структурой и Г — группа автоморфизмов этой структуры. Рассмотрим множество всех орбит группы Г, орбитаж содержащая а£Х, будет обозначаться Т (а). Булеан множества X, т. е. множество всех подмножеств, обозначается через Р (X). Если L — полная решетка, то G (L) обозначает группу всех автоморфизмов L. Для пары элементов а, Ъ решетки L таких, что а ^ &, множество [a, b] = {x(<L\a ^ х ^ 6} называется замкнутым интервалом; подмножество К частично упорядоченного множества X называется выпуклым* если из а, Ъ^К следует, что [а, Ь]аК. Через | X | обозначается мощность множества X. Пусть Р = Р (Е), где Е — непустое множество, и М — множество всех элементов Р, эквиполлентных Е, как подмножества Е. Любое продолжение перестановки множества Е на Р является элементом G (Р) и обратно. Следовательно, симметрическая группа Se всех перестановок Е и группа G (Р) канонически изоморфны. Лемма 1. Разбиение Р—М на орбиты G (Р) совпадает с разбиением Р—М на классы эквиполлентных элементов, где М — множество всех элементов Р9 которые переводятся в Е инъективными полными эндоморфизмами Р, сохраняющими 0. Доказательство, а) Продолжение на Р некоторой инъекции Е -> Е является сохраняющим 0 инъективным полным эндоморфизмом; обратное [очевидно. Ь) Группа G (Р) состоит из продолжений на Р перестановок Е. Следовательно, если А и В — эквиполлентные подмножества Е, не лежащие в Мж биекция А -> J5, устанавливающая эту эквиполлентность, может быть продолжена до перестановки Е. Поскольку множества Е—А и Е—В также эквиполлентны, они, если Е бесконечно, эквиполлентны Е, а если Е конечно, имеют одно и то же число элементов. Если L — полная решетка, fc£L, то через Lb будет обозначаться замкнутый интервал [х01 Ь], где х0 — наименьший элемент в L. Следствие 1. Два элемента А, В £ Р—М лежат в одной орбите G (Р) тогда и только тогда, когда Рн и Рв изоморфны; С £М тогда и только тогда, когда Р^ изоморфно Р. Доказательство. Предположим, что РА и Рв изоморфны. Тогда* существует биекция <р между множеством атомов РА и множеством атомов Рв, следовательно, А ж В лежат в одной орбите; обратное очевидно. Последнее утверждение непосредственно следует из леммы 1. Рассмотрим Р—Р (R). Поскольку все верхние грани счетных множеств 118
атомов имеют изоморфные полные подрешетки, то из следствия 1 получается следующая формулировка континуум-гипотезы: полная решетка Р всех подмножеств R, рассматриваемая как абстрактная решетка, не содержит трех неизоморфных бесконечных полных подрешеток. Другими словами: бесконечная полная подрешетка решетки Р (R) изоморфна или Р (R), или Р (N). Проблема 1. Какие факты, касающиеся кардиналов, отражают факты, касающиеся орбит групп автоморфизмов частично упорядоченных множеств, более общих, чем булеаны? Первый шаг в изучении этой проблемы состоит в формулировке ее в терминах, касающихся кардиналов и орбит в Р—М9 и в установлении общих фактов об орбитах групп автоморфизмов частично упорядоченных множеств. 1. Различие между конечным и бесконечным (Р.1) Кардинал конечен о в соответствующей орбите любые два различные элемента несравнимы. Эквивалентная формулировка: [кардинал бесконечный о в соответствующей орбите существует по меньшей мере два различных сравнимых элемента. (Р.2а) (соответственно (Р.2Ь)) Кардинал бесконечен о соответствующая орбита не имеет минимальных (соответственно максимальных) элементов. Эквивалентная формулировка: кардинал конечен о соответствующая орбита имеет по меньшей мере один минимальный (соответственно максимальный) элемент. (Р.1), (Р.2а), (Р.2Ь) следуют из леммы 1 и следующей леммы 2. Лемма 2. Если X — частично упорядоченное множество иТ — группа автоморфизмов X, то каждая орбита Т удовлетворяет одному из следующих двух условий. 1) Любые два различные элемента Т несравнимы. 2) Т не содержит минимальных и максимальных элементов. Доказательство. Предположим, что а — минимальный элемент в орбите Т. Тогда для любого о£Г а (а) 'является минимальным элементом в а (Г); но а (Т)=Т9] поэтому все элементы в орбите Т минимальны и Т удовлетворяет условию 1). Аналогично разбирается случай, когда а — максимальный элемент в Т. Следствие 2. Если в предположениях леммы 2 орбита имеет конечное число элементов, то любые два ее элемента Несравнимы. Обратное верно не всегда; но выполнено для Р. 2. О сравнении кардиналов. Упорядочивание орбит (Р.З) Для любых двух различных орбит Т и Т' таких, что существует (а, Ь)£ТхТ\ а < 6, и для любого с£Т существует е'£Г', что с < с'. (Р.4) (Аксиома выпуклости). Все орбиты выпуклы. (Р.5) Для любых различных орбит Т и Т' все пары (а, Ь)(<ТхТ' сравнимых элементов удовлетворяют одному и тому же из неравенств а <^Ь, Ь<а. (Р.6) (Аксиома порядка). Следующее отношение <^ на множестве орбит является частичным порядком: для двух орбит Т и Т'% Т ^ Т' о существует (а, Ь)£ТхТ' такая, что а ^ Ъ. Функция с н> Т (с) неубывающая. На языке кардинальной арифметики аксиома (Р.6) может быть выражена 119
так: для любых множеств Ау В, С, |Л|^|Л|, из |Л|^|Б| и |Д|^|Л| следует, что \ А \=\ В \ (теорема Кантора—Бернштейна); из \ А | ^ | В\, | В | ^ | С | следует^ что \ А | ^ | С j. Аналогично (Р.4): для произвольных множеств А, 5, С из А ^ В ^ С и | Л |= j С | следует, что \А\=\В\. Соотношения между (P.3)t (Р.4), (Р.5) и (Р.6) могут быть описаны в очень простых и общих терминах. Сформулируем сначала некоторое обобщение понятия выпуклости. Если X — множество и В — бинарное отношение на нем, то подмножество К d X называем Л-выпуклым, если а, Ь£К, х£Х, В (а, fe), В (а, x)f В (яг, Ь) одновременно влекут х£ К. Пусть Мг с X nQ — разбиение Х—Мг. Обозначим через «t. s.» элементы Q и «(P. v)» (v=3, 4, 5) утверждения, получающиеся из (P. v), если мы заменим Р на X, М на Мг, х' ^ х" на В (х', х") (х\ х"£Х) и слово орбита на «t. s.». Предложение 1. «(Р.З)» и «(Р.4)» => «(Р.5)». Если В — порядок на X, то «(Р.З)» и «(Р.4)» => «(Р.6)»; «(Р.З)» и «(Р.5)» => «(Р.6)» и «(Р.4)». Доказательство. 1) Предположим, что «(Р.З)» и «(Р.4)» имеют место; пусть Т и Т' — различные «орбиты», такие, что для некоторой (а, Ъ)£ТхТ', В (а, Ъ) и что для некоторой другой пары (е, d)£TxT', В (с, d). Тогда, по «(Р.З)», существует с' £Т', что В (с, с'); по «(Р.4)», из В (d, с) и В (с, с') следует, что с£Т', что противоречит предположению,; что с £ Т и Tf)T' = 0. Следовательно, «(Р.З)» и «(Р.4)» => «(Р.5)». 2) Предположим, что В есть некоторый частичный порядок ^ на X. Для каждого (а, а) £ Г2, а ^ а, следовательно, по определению ^ в «(Р.6)»г Т ^ Т' (рефлексивность). Т ^ Т' и Г' ^ Г, по определению тогда существует (a, fe) £ Гх Г с а < Ъ и (с, d) £ Гх Г с d < с; если Г =^= Т', последние два неравенства имеют вид а < fe и d < с, что невозможно по «(Р.5)»г так что Т=Т' (антисимметрия). Возьмем три различные «орбиты» Г, Т' иГ, удовлетворяющие Г < Г и Г < Г'. Тогда существует (а, Ъ)£ТхТ' такая, что а < fe, и (е, d) £ Г'х Г" такая, что с < d; но из «(Р.З)» существует fc" £ Г" такой, что Ъ < fe"; a <^b и Ъ <^Ъ" дают а < fe", следовательно,, Г ^ Г" (транзитивность). По определению ^,; с ^ d влечет Т (с) ^ Т (d\ так, что а ^ х ^ fe, и Г (а)=Т (Ь) влекут, по «(Р.5)», Т (а)=Т (х . Применяем предположения предыдущего предложения 1, когда: В — порядок на X, Мг=0; Q — разбиение X, реализующее орбиты группы Г,: т. е. «орбиты»=орбиты. - Замечание. В этом случае мы снова пишем (P. v) вместо «(P. v)». В этом контексте пусть Т и Т' — две различные орбиты такие, что a£Tf feg Т' и а < Ь; если с£ Г, то Т=Т (а), существует а£Г такой, что с=о(а); следовательно, а (а) <С G (Ь) влечет fc<a (fe), пока а (b) £ Г (fe), т. е. <*(&)£ Г'; так что достаточно положить d=o (fe) для того, чтобы увидеть выполнение (Р.З), и мы имеем лемму 3. Лемма 3. Если X — частично упорядоченное множесто и Г- группа автоморфизмов X, то орбиты Г удовлетворяют (Р.З), и если все орбиты выпуклы, то также выполняются (Р.5) и (Р.6). Замечание. Интересно, что при столь сильных предположениях для частичной упорядоченности множества орбит отношением ^ достаточно лишь условия выпуклости. 120
3. Линейно упорядоченные орбиты Если X — частично упорядоченное множество и Г — группа автоморфизмов X, то два элемента а и Ъ из X будем называть Г-сравнимыми, если существует а £ Г такое, что а (а) и Ъ сравнимы. (Р.7) Любые два элемента множества Р являются G (Р)-сравнимыми. (Р.8) Порядок ^в определенный в аксиоме (Р.6), является линейным. Лемма 3'. Относительно предположений леммы 3: если все орбиты выпуклы и если любые два элемента X Т-сравнимы9 mo ^ (определенный в (Р.6)) является линейным порядком на X. Замечание. Аксиома выбора не использовалась в леммах 2, 3 и 3'. 4. О сложении двух кардиналов Ниже мы продолжаем формулировать (P. v) свойства множества Р относительно G (Р). (Р.9) Любая орбита без минимальных (соответственно максимальных) элементов является джойн-решеткой. В терминах кардинальной арифметики (Р.9) гласит: для каждого бесконечного кардинала т$ т-\-т=т. В решеточной формулировке эта важная лемма кардинальной арифметики имеет место также для орбит полной группы автоморфизмов полных решеток, т. е. в более широком классе, чем Р (X). Это видно из следующих рассуждений: a) Общее положение: пусть х принимает ординальные значения, Ят — различные копии действительной прямой R и ах — различные элементы, не лежащие в каком-нибудь Ят. Положим Нг = {%) U Rx U {а,}, Нп = {а0} (J R, (J {а,} ... U Д. U «} («>!). Нш= Ы U № U Ы) U (Д8 U {a*}) U • • • U {aJ U Яш U K+i} и для произвольного ординала х ^> 0 определим Яt по трансфинитной индукции. Для произвольного ненулевого ординала v ^ х обозначим #v типичный элемент i?v и распространим на Ят линейный порядок в каждом i?v, полагая: ао <С xi <С av av <С х^+\ <С a,+i» когда v -j-1 <[ х является не предельным ординалом, и а <^ ж,, а: <1 av для любого предельного ординала v и произвольного ординала р. <^ v. Теперь пусть Я~ есть копия Ят, снабженная противоположным порядком. Для произвольных ненулевых ординалов р. [и v пусть Н — = Н~ (J Я^ где Я~ П Н^ есть первый элемент Ят, и линейный порядок на Я продолжает линейный порядок на Я~ и Я^ Пусть Я — произвольное линейное упорядоченное множество одного из видов Нп (п конечное, >0), Ят, Я~ (х — бесконечный ординал), Я (р. и v — ненулевые ординалы).Шегко доказывается, что Я удовлетворяет (Р. 9), а также что R инвариантно относительно группы преобразований и что любое линейно упорядоченное множество является джойн-полурешеткой. В Я , Ят и Я" орбитами без минимальных элементов являются R^ в Я являются i?v и в некоторых случаях также линейно упорядоченные множества вида Я" |J Ят, без первого и последнего элементов (например, ... а"2, Rr2, а[, R[, a0, Rv av Я2, a2...). b) Берем в а) произвольное Я и заменяем каждое R^ некоторой бесконечной аддитивной группой F^ при условии, что, если у±=^=у2, F4f)F<»t===0> 121
продолжая очевидным образом так же, как в а), мы получим то, что мы назовем линейно упорядоченным множеством F. Для того, чтобы увидеть, насколько понятие F более общо, чем тпоня- тие Я, рассмотрим следующий пример: Fv являются линейно упорядоченными полями такими, что если \y^=v2> то 1^т | =тН^Ч1- с) Сеть, изображенная на рис. 1, нигде не ограничивается. Она может быть интерпретирована как решетка, которую мы будем обозначать Л. Заменим в Н из а) частично или полностью i?v различными копиями Л^ решетки Л. Если объединение бесконечного семейства элементов из Л, не определено в Av (как в случае, когда множество элементов семейства вполне упорядочено и имеется наибольший элемент в Av), то мы полагаем его равным av, когда v — не предельный ординал, и av+1, когда v — предельный ординал. Аналогично для пересечения. Обозначим так полученную соответствующую Н полную решетку через в. Так же как и в случае Н и с аналогичными обозначениями, мы видимж Рис. 1 /\ Рис. 2 что орбиты без минимальных элементов в в есть Av и иногда также в~и ©т- Следовательно, (Р.9) выполняется в в. Это также имеет место в случае,, когда Ь) и с) соединены очевидным образом. Этот случай содержит как частные случаи а), jb) и с). Будем называть этот случай случаем с) в широком смысле. d) Мы опишем простой метод «замены»,; который позволяет получать новые полные решетки из данных. Пусть А — произвольно выбранная решетка и <£?0 — произвольно выбранный класс полных решеток, среди которых имеются,, в частности, все {a}f, а^А. Пусть / — произвольная инъекция А -> i?0 такая, что: 1) если для некоторого а£А f {а) = {а'}9 а'£А? то а'=а; 2) если аг =^= «2> то / (ai) П / («2) = 0« Обозначим полную решетку / (а) через L (а) и множество UL (а)г (а£А) через В. Распространим на В частичный порядок в каждой L (а)г положив: если x(*L (аг) и y£L (а2), где ах=^= а2, то х < у о аг < аг. При этом В наделяется структурой частично упорядоченного множества и даже полной решетки. Последнее легко доказать, заметив, что для любого непустого семейства {х.) элементов x.£L (а.) наибольший [элемент L (Aat) есть нижняя грань всех х{ и, более того, их наибольшая общая нижняя грань; аналогично наименьшей элемент в L (Va^) есть sup (at). Этот метод применяется с целью получения класса полных решеток, удовлетворяющих (Р.9), более обширного, чем класс, заданный выше в с), и чем класс {Р (Е)}. Возьмем: 1) в качестве А произвольную полную решетку, не допускающую автоморфизмов, отличных от тождественного; 2) в качестве L0 класс, содержащий, помимо одноточечных множеств {а} (а £А), полную решетку, заданную условием с) (в широком смысле) над множеством всех подмножеств; 122 ь
3) в качестве / выберем инъекцию, такую что орбиты группы G (В) без минимальных элементов, являются также орбитами группы G (L (а)) без минимальных элементов принадлежащие L (а), а(*А. Достаточное условие для выполнения этого свойства состоит в том, что G (В) действует только в каждой L (а) (а £А) и, кроме того, оставляет В инвариантным (то, что это условие ни в какой мере не является необходимым, показывает очень простой пример, когда А есть пятиугольник, afi — шестиугольник; последняя решетка имеет симметрию — нетривиальный автоморфизм, хотя ее орбиты тривиальным образом обладают свойством (Р.9)). Пример, в котором описанное выше достаточное условие имеет место: А — произвольная полная решетка с тривиальной группой автоморфизмов, ее наименьший элемент заменяется произвольным булеаном$ а все другие элементы заменяются линейно упорядоченными полями таким образом, что если аг =^= а2, то \ L (аг) |=т^= \ L (а2)\ (см. также последний пример в в), выше). С другой стороны,; пример, обобщающий шестиугольную решетку и тривиально удовлетворяющий (Р.9), представляется любой конечной решеткой. (Р.10) Для произвольной орбиты Т' без минимальных элементов и произвольной орбиты Т^Т'9} если а£Т и Ь£Т', то a\Jb£T'. На языке кардинальной арифметики (Р.10) гласит: для произвольных кардиналов m и п, из которых хотя бы один бесконечен, ra+rc=max (т, п)» (Р.10) отражает наиболее общий решеточный факт, аналогичный предложению 1. Некоторое менее непосредственное обобщение делается ниже. 5. Расширенная аксиома Архимеда (Р.И) Если Ъ и а < fe — элементы из Р и а — не минимальный элемент Р, то существует семейство (а.) элементов Т (а) таких, что Ъ < Var Простой пример, для которого эта аксиома не выполняется, доставляется решеткой на рис. 2. Когда (Р.И) имеет место, выполняется также (Р.12) Все орбиты,} не содержащие минимального элемента Р, покрыты максимальным элементом Р. (Р.10), (Р.И), (Р.12), так же как и различные другие свойства орбит^ будут изучены в статьях, опубликованных в «ЕАЕГ6ЕР1А». В частности,, будут изучены возможные связи между классической «Cardinal Algebras» А. Тарского и настоящей работой. ЛИТЕРАТУРА 1. Birkhoff G. Lattice theory. R. I.: Providence, 1967. 2. Kuratowski K., Mostowski Л. Set theory. Warszawa: PWN, 1976.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 С. ИЛЛМАН (Хельсинки, Финляндия) ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ПОГЛОЩЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДЕЙСТВИЙ НА СФЕРАХ Пусть G — конечная группа, гладко действующая на сфере Sn. Зададимся вопросом: при каких условиях данное G-действие на Sn топологически эквивалентно линейному действию? Т. е. ищется G-гомеоморфизм между данным G-пространством Sn и пространством Sn(p), где Sn(p) С Rw+1(p) обозначает единичную сферу в ортогональном для G пространстве представления Rn+1 (р)» Для топологической эквивалентности данного G-действия на Sn некоторому ^линейному действию, очевидно, необходимо выполнение следующих двух требований: (i) Для каждой подгруппы И с G множество (Sn)H неподвижных относительно действия Н точек на Sn гомеоморфно сфере. (п) Если И и Н С^ Н., i=l, 2, . . ., к,—подгруппы в G, то подпро- к странство U (Sn)Hi топологически незаузлено в (Sn)H. *=i Предварительно примем некоторые обозначения. Если М — гладкое многообразие и Н — подгруппа в G, то Мя — множество неподвижных относительно действия Н точек на М. Соответственно этому положим М>н = \JMH'. Далее, обозначим М(>н>2) = (J МЙ', где объединение берется по всем тем подгруп- пам Н' группы G, для которых НС^Н' и dim МЕ' — dim Мп — 2. В случае гладкости G-действия на Sn и гомеоморфности (Sn)H и Sk мы говорим, что подпространство (Sn)(>H>2) топологически незаузлено в (Sn)H, если существует гомеоморфизм а : (Sn)H -> Sk такой, что a ((Sny>H>2>) есть объединение стандартных подсфер (размерности к — 2) в Sk. (Под стандартной подсферой в Sk d RA+1 мы понимаем пересечение сферы Sk с некоторым линейным подпространством пространства R*+1.) Мы говорим, что Мн имеет подмножества неподвижных точек в коразмерности два, если М(>н>2) =^= 0, и в этом случае скажем, что для пары (Мн, М(>н>2)) имеет место ситуация неподвижной точки в коразмерности два. Более того, мы говорим, что подгруппа Н с G наблюдается в М, если существует точка х£М, группа Gx изотропии которой совпадает с Н. В дальнейшем под «сферой» всегда будем понимать «непуотую сферу». Сформулируем наш основной результат. Теорема А. Пусть G — конечная группа, гладко действующая на Sn, причем: 1. всякое множество вида (Sn)H гомеоморфно сфере, а в случае dim (Sn)G = 4, мы, более того, предположим, что (Sn)G диффеоморфно 54; 2. для каждой подгруппы H=^G, наблюдаемой в М, dim (Sn)s ^ 5 и dim (Snf > dim (Sn)>H -f 2; 124
3. (Sny>H>2) топологически незаузлено в {Sn)R всякий раз, когда для пары {(Sn)H, (Sny>H>2)) имеет место ситуация неподвижной точки в коразмерности два. Тогда G — действие на Sn топологически эквивалентно линейному действию. Эквивариантная модификация теоремы Столлингса [7] играет в доказательстве теоремы А важную роль. Хорошо известный результат Коннэла, Монтгомери и Янга, полученный в 1964 г., гласит, что если компактная трупа Ли гладко действует на Snfi причем множество (Sn)G неподвижных точек диффеоморфно Sk, где 0 ^ k ^ ^ п—3, а все другие орбиты имеют один и тот же тип и размерность, равную г, п—г ^ 5, тогда действие G топологически эквивалентно некоторому линейному действию на Sn. Фактически этот результат Коннэла, Монтгомери и Янга является следствием из их соответствующего более сильного результата о гладкой эквивалентности действия на евклидовом пространстве некоторому линейному действию (см. [2, 3], ср. также [6]). Таким образом, в случае действий на сферах конечных групп наш результат обобщает имеющийся результат Коннэла—Монтгомери—Янга на тот случай, когда имеется более двух типов орбит и наблюдаются множества неподвижных точек в коразмерности два (ср. задачу С.2 в [1]). Критической является ситуация неподвижной точки в коразмерности два, и именно она порождает основные проблемы. Обобщение результата Коннэла—Монтгомери—Янга на случай действия компактной группы Ли без предположения о существовании ситуаций неподвижных точек в коразмерности два имеется (без доказательства) у Ротенберга [5, теорма 3.14 и следствие 3.15]. Мы говорим, что ситуация неподвижной точки в коразмерности два для пары (Мн, М(>н>2)) проста, если существует подгруппа H1dG такая, что д/(>#, 2) _ мнК jj3 нашего основного результата вытекает следующее Следствие. Пусть G — гладко действующая на Sn конечная группа такая, что выполняются условия 1 и 2 теоремы А. Предположим, что всякая ситуация неподвижной точки в коразмерности два проста и для каждой пары ((Sn)H, (Sny>ff>2)), для которой имеет место ситуация неподвижной точки в коразмерности два, подпространство (Sn)H\(Sny>H>2)) гомотопи- ески эквивалентно S1. Тогда G-действие, топологически эквивалентно некоторому линейному действию. Этот факт следует из теоремы А и из следствия 9.3 работы Столлинга [8]. Условие гомотопической эквивалентности подпространства (Sn)H\(Sny>ff>2)) сфере S1 можно переформулировать следующим образом: *i {(Snf\(Sn)(>H>2)) ^ Z, izq ({Sn)H\{Sn)(>H>2)) = о для всех q ^>2. Перейдем теперь к нашей теореме об эквивариантном поглощении. Нижеследующий результат об эквивариантном поглощении более чем достаточен для доказательства теоремы А, но ради других целей мы дадим ее формулировку в наиболее общем виде. Мы будем пользоваться следующими обозначениями. Если X — G-пространство, то положим Хн — {х £ X | Gx = Н), т. е. ХН = ХН\Х>Я. Эквивариантное ^/.-многообразие М определяется тем, что любая допустимая эквивариантная триангуляция на М превращает М в эквивариантное комбинаторное многообразие (см. [4, ч. 1]). Пусть М — экви- 125
вариантное PL-многообразие и пусть Мн — компонента Л/#. Для произвольного G-подмножества X а М положим [Х#]а = Хя Г) Л/#. Теорема В. Пусть М — некоторое эквивариантное PL-многообразие без края. Пусть U — открытое G-nodмножество М и La К — эквивариант- ные подполиэдры в М такие, что L С U, K\L компактно и dim [КвТ ^ <^dimil/#— 3, для всякой подгруппы Н Q.G и компоненты М% пространства Л/#, для которых [(K\L)ff]a =7^= 0. Предположим, что пара (Л/я, \UHf) — г(Н, а) связна и dim [(K\L)Hf ^ г (//, а) для каждой подгруппы ЯсС, наблюдаемой в М, и любой компоненты Мн пространства Мн- Тогда суще, ствует компактное G-nod множество Е с Л/ и кусочно-линейная G-изотопия ht на М, неподвижная на (M\E)\JL и такая, что /^(£7)3 К. Полное изложение упомянутых выше результатов будет опубликовано позже. ЛИТЕРАТУРА 1. Browder W., Hsiang W. С. Some problems on homotopy theory, manifolds and transformation groups. — In: Proc. Symp. Pure Math. R. I.: Amer. Math. Soc. Providence, 1978, vol. 32, pt 2 (Algebraic and Geometric Topology), p. 251—267. 2. Connell E. H., Montgomery D., Yang С. Т. Compact groups in En. — Ann. Math., 1964, 80, p. 94—103. 3. Connel E. #., Montgomery £>., Yang С. Т. — Ann. Math., 1965, 81, p. 194. (Correction to [2]). 4. Illman S. Smooth equivariant triangulations of G-manifolds for G a finite group. — Math. Ann., 1978, 233, S. 199—220. 5. Rothenberg M. Torsion invariants and finite transformation groups. — In: Proc. Symp. Pure Math. R. I.: Amer. Math. Soc. Providence, 1978, vol. 32, pt 1, p. 267—311. 6. Siebenmann L. C. On detecting open collars. — Trans. Amer. Math. Soc, 1969, 142, p. 201—227. 7. Stallings J. The piecewise-linear structure of Euclidean space. — Proc. Cambridge Phi- los. Soc, 1962, 58, p. 481—488. 8. Stallings J. On topologically unknotted spheres. — Ann. Math., 1963, 77, p. 490—503.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 В. КЛИНГЕНБЕРГ (Бонн, ФРГ), И. ШИКАТА (Нагоя, Япония) О ТЕОРЕМЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА ЗАМКНУТЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ В этой работе мы разъясним при некоторых предположениях доказательство теоремы о существовании бесконечного множества замкнутых геодезических на компактных, односвязных многообразиях, ср. [1]. Необходимые топологические предпосылки легко проверяются для случая, когда М имеет гомотопический тип нечетномерной сферы, ср. конец этой работы. Хотя мы предполагаем выполнение свойств (1.1)—(1.3) для интеграла энергии, мы можем отказаться от некоторых из них при «общих рассмотрениях». К этому мы надеемся вернуться в ближайшем будущем. 1. Пусть AM есть гильбертово многообразие замкнутых [/Р-кривых на компактном римановом многообразии М, dim М ^> 2, и пусть E:AM->R есть интеграл энергии. Кривые, вырождающиеся в точки и замкнутые геодезические,; являются критическими точками отображения Е. На AM каноническим образом действует ортогональная группа О (2). Действие О (2) определяется действием на окружности, так что E(g.x) = E(x) (g£0(2), х£АМ). В соответствии с разложением группы О (2) на группу вращений S = SO (2) и группу порядка 2, порожденную инволюцией б, определены фактор-пространства пМ9 %М, фактор-отображения тс, %t р и диаграмма f I т ЛМ/[Ь) ^Л/И =AMI0(Z) коммутативна. (1.1) Мы сначала предположим, что Е удовлетворяет условиям: (1.1.1) Для всякого к >0 все отличные от констант критические точки на Е~г ([0, к]) не вырождены, так что ^-орбита S -с критической точней с% О < Е (с) ^ к, является невырожденным критическим подмногообразием. (1.1.2) Всякие две критические орбиты О (2)-с, О (2)-с' имеют различные значения Е. Пусть с — невырожденная критическая точка. Размерность векторного пространства N_ (с), порожденного собственными векторами гессиана 127
D2E (с), соответствующими отрицательным собственным значениям , называется индексом с. Определено вложение W (c)=Wuu(c) векторного пространства N_ (с) в AM около с так, что образ полупрямой {t£ \t >0, ££iV_ (с), | £ 1 = 1} описывает градиентный поток Е. Образ W (с) обозначается также через W (с) и называется (в сильном смысле) неустойчивым многообразием точки с. Определим множества Sn, Тп как Sn = (критические точки индекса п такие что 0<#(с)<й;}, Тп = {[а, Ъ) • с, где c£S^19 [a, b]dS, (а<Ъ)}. Говорят что элементы из Sn \J Тп имеют индекс п или размерность п; элементы из Т иногда называют туннельными кусками. Неустойчивое многообразие W ([а, Ъ] -c)=Wu ([а, Ъ]-с) множества [а, Ъ]-с£Тп есть [a, b]-W (с), и геометрическая размерность этого множества согласована с размерностью, определенной выше. Мы предполагаем выполненными следующие предположения (1.2), (1.3): (1.2) Теоретико-множественная граница Bd W (х) неустойчивого многообразия S (х) точки х £ Sn разлагается единственным (с точностью до порядка) образом в объединение непересекающихся многообразий строго меньшей размерности: и—1 ( Bd (W (х)) = U W (yt (х)), yt (х) £ U (5/ U Tj). • (1.3) Для членов максимальной размерности этого разложения выполнено: (1.3.1) {j/,.Or)}n?V1=0; (1.3.2) существует конечное множество единичных векторов %. в N_(x) таких, что для всякой окрестности V(%.) вектора %. в единичной сфере пространства N_ (с) где индексы у{(х) не больше чем (п — 2): уЛ*)£ n\J(St\jTk); (1.3.3) Ориентация W (с) около точки х определяет ориентацию около у £ {yt (х)} Г) Sn_x на W (у) каноническим образом через градиентный поток Е- Из предположения (1.3) следует, что для всякого x^Sn и данной ориентации определена функция sgn(£t., у) на множестве векторов из (1.3.2) и множестве критических точек индекса (п — 1) из ориентируемой границы W (х). При предположениях (1.1), (1.3) мы можем определить комплекс Морса (Сп, Д) над Sn\jTn с действием на нем группы О(2). Для точки х £ Sn зафиксируем некоторую ориентацию около х на W (х) и обозначим через Sn множество ориентируемых критических точек. Определим Тп как f. = {[a,b]'x\x£§^, [a,b]c:S,a<b}. Пусть Sn, Тп и Сп обозначают свободные абелевы группы, порожденные над множествами Sn, Тп и Sn \J Тп соответственно. Тогда, используя функцию sgn(^> У)> определим гомоморфизм А группы Sn как продолжение отображения *(s) = 2(2sgn(6„ у)ху x£Sn. 128
Гомоморфизм Л на Sn продолжается на группы Тп, Сп следующим образом: А ([а, Ъ] • х) = Ъ • х — а • х — [а, Ъ] • Дж. Легко видеть, что Л фактически является граничным оператором Д. Д=0, так как его определение на Sn, данное выше, согласовано с определением граничного оператора в точной последовательности тройки (Хп, Хп_1У Хп__2)1 п | где Хп= (J U I S • W (х) | и | S • W (х) \ — носитель S • W (х). Так как градиентный поток эквивариантен относительно О (2)-действия, то векторы %ч = %.(х) в (1.3.2) также эквивариантны: (1.4) g-it(x) = i{(g.x)t g£0(2). Также из (1.3.3) следует (l.b)g.(bx) = &(g.x), g£0(2). Таким образом, (С, А) является комплексом с О (2)-действием. Он будет называться комплексом Морса над А (М). Очевидно, что комплекс Морса над А(М) определяет гомологии гильбертова многообразия А(М): (1.6) Н,(С, Д) = Я,(ЛМ). 2. Пусть L есть конечный симплициальный комплекс, вложенный в Л (М) кусочно-дифференцируемым образом. Мы построим цепное отображение1 К комплекса L в комплекс Морса С пространства Л(М), так что выполнено (2.1) Кд = ЬК, (2.2) КЬ = Ш, (2.3) Если 2а, = ИЧс), то К(%<*<) = с Построение ведется индукцией по размерности L. Детальное описание конструкции и обобщения будут даны в работе, которая должна вскоре появиться. Здесь мы кратко скажем о случае dimL=l. Рассмотрим деформацию комплекса L под действием градиентного потока ср*- Так как L конечен, конечно число критических точек и многообразий, которые лежат в замыкании Г (\J yt{L)\ множества \J yt(L), т. е. *{r(y?<(£))n(U(S,Urj)}<oo. Возьмем самую большую размерность &, для которой IV U yt(L)\ имеет непустое пересечение с Sk \J Tk, и, если &>1, положим {**, ..., **}=5кПГ(у ?*№))• Тогда имеются векторы tj* в отрицательном пучке N_(s*) точек s%, так что нестандартная деформация ф (следующая за ср,) вдоль т\* около каждого s* отталкивает s* от yt(L) и переводит их в Bd (W (s1?)), которое, как предполагалось, состоит из неустойчивых многообразий индекса, меньшего чем &. Можно выбрать т$ так, что 7)? = 6«т)*, если sj = 6 • sj. Поэтому мы можем предполагать, что ф коммутирует с действием G. Аналогично можно предполагать, что каждая следующая Г нестандартная деформация коммутирует с 6. Таким образом, в Г / |J Фср/ (L)\ нет точек из Sk: (£* и t.y (Sk+i и Тм)) Г) Г (п <И>, (£)) = 0. 1 По мнению второго автора, буква К должна быть поставлена в честь первого автора. 129
Если все еще к — 1 > 1, пусть № .-•.£} = 7* П г (у <M^)). суть критические точки, туннельные куски в Г / |J фср/ (L)\ и их представления. Возьмем ненулевое трансверсальное сечение С* отрицательного пучка на каждой орбите S • о*-1* так что нестандартная деформапия % вдоль С? около S • а*-1 отталкивает t\ от фср, (L) вместе с некоторыми s*.-1, лежащими на S • о*-*. Таким образом, из Т (\J y#<pt(L)\ уходит Тк и часть 5л-1 П г (U хФ?/ W) • Мы можем повторить процедуру до & = 1. В результате получим деформацию L комплекса L, причем граница L состоит только из критических точек Sly Tv Т2. Теперь рассмотрим деформацию L0 нульмерного остова комплекса L и построим ф и 5с для L0, как это было сделано для L в описанном выше процессе, допуская нулевое значение для трансверсальных сечений CJ в нескольких точках на S • 3 из-за размерностных соображений. Эта может привести к возникновению некоторых точек в 5^ вместо исчезновения их в Г2. Мы получили деформацию L комплекса L; определив для каждого fc-сим- плекса комплекса L критические точки индекса к, которые являются препятствующими для деформации его преобразованием ср, в часть более низкой размерности, мы получили преобразование К комплекса L в С, Исходя из конструкции К и Д и подходящим образом выбрав векторное поле, мы можем заключить, что К есть цепное отображение с требуемыми свойствами. Также из конструкции мы видим (взяв соответствующие неустойчивые многообразия), что существует отображение / комплекса С в клеточный комплекс из Л(М), так что (2.4) Jg = gJ, g£0 (2), / О KL ~ idi (цепная гомотопия), Kl о / ~ idc (цепная гомотопия). Пусть рп = рп(х), qn = qn(х) есть проекции х£Спв Sn, Тп соответственно. Запишем рп, qn в виде (при фиксированном базисе в С). Так как ортогональная группа 0(2) действует на Sn, определены факторгруппы и отображения тс, тс, р, при этом диаграмма К —* SJSOU^ 14 I sn№)—* sn/ou) ■s„/s • коммутативна. Далее мы будем обозначать SO (2) просто через S. Продолжим отображения тс, тс на Ся, определив их нулем на Tnf т. е. тс (х) = 130
= %(р(х)), tz(x) = iz(p(x)). Тогда из (1. 3. 1) и из определения следует, что А коммутирует с фактор-отображением. Таким образом, определены граничные операторы в фактор-пространствах, обозначаемые просто через А, удовлетворяющие свойствам (2.5) Атг = 7гД на CJO(2), Aft = 7iA на €JS. Следующее утверждение выводится из (2. 1)—(2. 5): (2. 6) Если цикл w в Л (М) имеет ненулевой тс# образ в Н^ (теМ, Z2), тогда ftp'К (w) + ftp"К (w) = 0 (mod 2). Действительно, выбрав с. £ Сп так, что (ftcj образуют базис в CJS, мы можем записать p'K(w), p"K{w) в виде р'к (w) = 2 at/ifi (z'{. б 5), /я (w) = 2 ь,7<:/С,. «:у б S). Если сравнение й//ЛГ (а;) -["-гс/ЛК^и?) = 0 (mod 2) выполнено, мы получим 2а.7+ь.7 = 2|> С ДРУгой стороны, из (2.4) w=j к (w) = 2 «,у</ (с,)+Vy6/ (с,) + /«* и. Тогда для цепей тс#и; = 2 (а*/~f~Ъ^)к#1 (с.) -j-вырожденные и граничные элементы = 22 г^#^ (ct) + вырожденные и граничные элементы, что является i противоречием. Из (2. 5) просто следует (2. 7) Если х £ С такое, что гсДх =£ 0 (mod /?), тогда й (ж) ф (mod ^), другими словами, х содержит элементы в С, отличные от туннельных кусков даже по модулю р. Замечание. Хотя отображение К, вообще говоря, не коммутирует с действием О (2) из-за нестандартных деформаций, мы видим, что если L находится в определенном общем положении, тогда по крайней мере члены К (L) самой большой размерности коммутируют с SO (2)-действием. 3. Если дана цепь х £ Ся, мы реализуем ее в виде тела с ручками Их в Л (М), которое является циклом, если х — цикл. Конструкция проводится по индукции. Сначала пусть х имеет вид х = с (c£Sn) и различные fc-точки {fj из BdDn диска Dn соответствуют векторам {SJ из 0.3.2). Построим Нх следующим образом: если критическая точка d{%x) из ?t(^i) уничтожается некоторой d(Et-) (i £ /0 = {1, . . ., &}, т. е. то соединим %г и %. (1) кривой, лежащей вне Dn, где г(1) есть наименьшее целое число в /0, для которого d(l1)-{-d$i) = 0. Положим J1 = (l, . . ,,i(l), ...,k). Если d(lx) не уничтожается, положим /х = (1, . . ., А). Мы можем повторять этот процесс, взяв /1Э /2, ... вместо /0, то тех пор, пока множество индексов / не станет пустым. После заключения кривых в трубки полученное пространство является телом с ручками Нх при # = с. Определим погружение f = fx Нх в Л (М) следующим образом: на диске Dn f задается нестабильным многообразием около с£АМ и на дуге, соединяющей I. с %j, f будет дугой, состоящей из двух потоков из <р*> один из %. к d(lt) и другой из d(lt) к Еу. 131
Используя определение Д, легко видеть, что из Дж = 0 следует: (3. 1) f(BdHx) преобразуется потоком <р* в низшие размерности я(/(ваях))е2Ч+2г<; i=0 *=о (3. 2) / (Нх) порождает неустойчивое многообразие с, для некоторого х £ Ся, удовлетворяющего условию %х = теж; в этом случае х=с, описание х будет дано несколько ниже. Пусть далее х имеет вид х = ас -\- bzc (z £ S, с £ Сп) и возьмем а копий Н{с (i = 1, . . ., а), fe копий Ha+Jc (/' = 1, . . ., Ъ) тела с ручками Не, полученного для х = с. Пусть {lk} будут точками с Не, оставшимися несвязанными в конструкции, данной выше. Обозначим через {%ы} соответствующие точки в Нгс (/ = 1, . . .,a-j-fe). Тело Нх тогда строится также, как и выше, при помощи введения лексикографического порядка на множестве {lkl}. Начав с точки £п, мы возьмем несвязанную точку \ы и свяжем ее со следующей ближайшей уничтожающей точкой или оставим ее несвязанной согласно тому, существует или нет точка \тп такая, что *&,|)+ <*(&»,.)= 0 (k,l)<(m,n), где Погружение / = f{ac+bze^ определяется так же, как продолжение f0, т. е. на Не f есть fe и на кривой, соединяющей lkl с £ш> я, / есть объединение двух кривых: если Z, п^а или a-f-l^Z, п, то поток <р/ от lkfl к d(lktl), поток <р, от d(S^z) к ЕЛрЯ; если 1^а<^п, то поток ер* от lkl к d (lki z), [0, 2] 1к^ t — дуга, полученная при 5-действии, поток <р, от z-d(lktl) к \т%п. Построенное таким образом тело с ручками Нх и отображение / удовлетворяют (3.1), (3.2) с х = (а-\-Ь)с при условии, что Д# = 0. Аналогично строится тело с ручками Нх и погружение / для х = а0с-\- axzx • с -f- ... ... -f~ anzn -с (z.£ S), для которого (3.1), (3. 2) выполнено с x = (a0-\-a1Jr ... ... -f-aj-c при условии Дж = 0. Также строится тело с ручками Нх для х £ ^я» тг^ = ^с. Мы также можем продолжить аналогичный процесс, начав с тел с ручками Нх, Ну с различными точками, построенными для х = а0с-\- ... -\-anznc, У = а'0с' + . . . + anzy (tzc =£ тсс'), чтобы получить тело с ручками Hv для v = x-\-y, объединяя подходящие пары различных точек так, чтобы выполнялось (3.1), (3.2) при 0=(2«Ос+(2«.')с. Также в общем случае мы получим тело с ручками Hv для 'к* 132
для которых (3 1), (3. 2) выполнены при Отталкиваясь от конструкции тела с ручками Нх9 мы построим ## посредством убивающего процесса. Сначала мы уничтожим Sn_29 Tn__v которые появятся на границе приклеиванием ручек обычным образом. Единственная характерная особенность заключается в уничтожении ручек Sn__2 5-действием для того, чтобы уничтожить элементы Tn_v Заметим, что оператор К коммутирует с 5-действием в этой конструкции. Продолжая этот процесс, мы построим тело с ручками Нх, которое есть цикл в Л(М), если х есть цикл в Сп (в силу (3.1)). 4. В [1] построено подмногообразие w в Л (М), представляющее класс Сулливана и подмногообразие w', ограничивающее w-\-Qw, dw'=w-\-Qw Пусть dim w = n. Для подмножества X С А (М) пусть Е (X) — max Е (х) и Ак = {к £ £Л(Д/)| Е(\) ^к}. Из конструкции п. 3 мы видим, что существует подмногообразие в AE(W'\ ограничивающее w — Нк{ю)ч поэтому справедливо (4.1) Имеется подмногообразие v' такое, что dv' = HK{W) + ШЩго), Е(и')^Е (w'). Возьмем устойчивое (в сильном смысле) многообразие V (с) = W99 (с) точки с £ Sn и предположим, что и' находится в общем положении относительно S • V (с). Тогда туннельная часть К (v')9 записанная как [а, Ь] • с, соответствуе т пересечению v' f| S • V (с). Обозначим через / (с) подмножество в S такое, что J„(c) = {zGS\v'nz.V(c)^0}. (4. 2) Туннельный кусок типа [а, Ь] • с имеется в К (v') тогда и только тогда, когда / (с) = Jvr (с) содержит интервал. С другой стороны, из (4. 1) легко следует (4. 3) Цикл Нщго) можно протянуть назад к v в Л^С«0 — (5 — / (с)) • V (с) так, что К (v) — K (HK(w)), v-\-bv ограничена в AEW — (S — / (с)) • V (с). В туннельном куске К (vf) мы соберем куски типа [а, Ъ] • с для фиксированного с б К (w). (4.4) Предположим, что S—J{c)=^=0. Тогда для конечного множества точек Q(c)d S v протягивается в и, и £ АЕ^^ — (S — Q (с)) • V (с) так, чт о и + ец— О, Действительно, из S — / (с) =^= 0 следует, что / (с) имеет гомотопический тип дискретного множества точек Q (с): поэтому из предположений о невырожденности следует, что Я, (Л*е> - (S - J (с)) • V (с)) = В, (Л*С) -(S-Q (с)) • V (с)). Согласно работе Сулливана [2] всякая цепь высокой коразмерности в многообразии может быть реализована подмногообразием с особенностями коразмерности по меньшей мере 2» Хотя мы не можем здесь вдаваться в детали, цикл и и граничная цепь и' между щ —Ьи могут быть реализованы подмного- 133
образиями в Л^Ю — (S — Q (с)) • V(c), находящимися в общем положении по отношению к S • V (с). Тогда из (4.2) мы можем заключить, что выполнено (4. 5) Если S — / (с) =т^= 0, тогда существуют и, и'£ А (М) такие, что w ~ щ К(и)=К (#*(»)), и -f Ьи = да', Е {и') < Е (м?'), К {и') не имеет туннельных кусков типа [а, Ъ] • с. Так как по предположению с появляется в К(Нщи>)) с ненулевым коэффициентом, мы видим, что для некоторых целых т, п, ^-разложение v'1 = mv' -\-n(S • w) (т=^=0) не имеет полных 5-орбит с, даже если / (с) покрывает S. Таким образом, после подходящей конструкции приклеивания ручек, если это необходимо, мы можем применить (4» 5)к v[ и получить (4. 6) Для с £ К (Hk{w)) существуют иг, и[ с Л (М) такие, что mwc^u^, К (и[) = тК (HK(w))) (т =£ 0), и± -f- 6^ = du'v Е (а[) ^ Е (wf), К (и[) не имеет туннельного куска типа [а, Ь] • с. 5. Для с £ Sn пусть / (с) обозначает группу изотропии с и пусть т(с) будет кратностью с, т (с) = ord / (с). Каждая точка х из S • с может быть записана единственным образом в виде х = 2 (х) • с, 2 £ [0, 1/га (с)]. Отображение ] = ]е S - с в комплексную плоскость С определяется формулой ; (ж) = ехр (2к1т (с) 2 (ж)) для х — z (х) • с, z(#)£[0, 1/га(с)]. Определим гомоморфизм X—Хс Ся в 5Я как линейное продолжение следующего отображения X на Sn \J Тп: Х(ж)=ж, если x£Sn\J Тп лежит в S • с, Х(ж) = 0 в противоположном случае. Композиция / = / о X дает гомоморфизм С„ в С такой, что выполнено (5.1) Для конечной группы G в S выполнено 0, если G ф / (с), ordG, если G С / (с). Так как фактор-группа G/I(c) циклична, (5.1) есть прямое следствие хорошо известного факта о корнях п-й степени из единицы. 2 (корней /г-й степени из единицы) = 0 (/г=^=0). Следовательно, мы имеем (5.2) Если для конечных групп Gk в S и целых nk, т=£0 выполнено равенство \ к \geGk J) тогда существует к = к0 такое, что GkoClI(c). Действительно, применение / к этому равенству дает ^пк(1к=^т9 где dk=0 или ordG^ в зависимости от к того, Gk<X.I (с) или Gkdl (с). Отсюда немедленно следует (5.2). Назовем множество А С Sn инвариантным относительно G С S, если Очевидно, что инвариантное множество А разлагается в непересекающееся объединение инвариантных подмножеств 5(cJ, порожденных ci£Sn:B{ct)=G-ct = {g-ci\g£G}. Возьмем с'£5я+1 и рассмотрим векторы {£z} из (1.3.2) около с'. Тогда подмножество А—А (с') из Sn, определяемое формулой 134 \део J [
А = {с£Su\c = lim ?,&)), t-+CD инвариантно относительно группы изотропии I {с') вследствие (1.4). Разложим А=А{с') в объединение непересекающихся множеств Bi:Bi = B{ci) = I{c').ci, c(eSn, и расширим границу Ас' в членах В{ дс'=2^ .gfc.c. (gk-cieBi). к, i Инвариантность (1.5) Ас' относительно I {с') дает, что nkf . постоянны на компоненте В{ для каждого I: К, t i, г г Отсюда видно, что Ас' может быть записано как (5.3) Дс' = 2*,(2 ь) в членах / (с')-инвариантных множеств В.. Сочетая (5.2) и (5.3), мы имеем (5.4) Если цепь х = ^а.сг. (а{=^=0) удовлетворяет равенству X (Дж) = тс (m=j£= 0), тогда существует i = i0 такое, что / (ct'o) действует тривиально на с и Дс»о содержит с. Очевидно, что если G С S действует тривиально на с £ Sn, где G С / (с) — подгруппа, то из (5.4) следует (5.5) При тех же предложениях, как и в (5.4), найдется i = i0 такое, что Дс»-0 содержит с и т (c'io) = ord (/ (ct'o)) делит т (с) = ord / (с), кратко т (ct'o) \т(с). 6. Рассмотрим класс Сулливана w£H¥(A(M)) такой, что n9(w)r^0 в Н^(ъМ, Z2). Тогда из (2.6) следует, что т {К (НЩю)) + ЪК (Я*м)) ^ 0 для всякого гпу£=0. Без ограничения общности рассуждений мы можем предположить: приходит из К(НщЮ)). Применяем (4.6) для с£ К (Н&(„,)) для того, чтобы получить и, bJcA(М) так, чтобы Д# («О = к к+Ч)=тК (Нкю + вя4(в)) э с, и ЛГ(ю[) не содержит туннельных кусков типа [а,Ь]-с. Пусть c,j^Sn+1 — критические точки, появившиеся в К (и[) так, что Дс;,Г)5.с^0, и пусть х = 2 njc'j £ Sn+i есть часть К(и^), порожденная только с^. Так как ./ ЛГ^) не имеет туннельных кусков типа [а, Ь] • с, Дж и ДЯ"(гг^) должны быть теми же самыми на 5-орбите с. Итак, мы видим, что Дж содержит только тс из ^-орбиты с. Поэтому из (5.5) мы можем получить следующую форму леммы о делимости [1J: 135
(6.1) Если класс Сулливана w£Hn(AM) удовлетворяет условию 0=^ ^=^zjfw^Hn('izMj Z2), тогда существует пара критических точек (с, с') (c£Sw, c'£Sn+1) таких, что т(с')\т(с), E(c)^E(c')^E(w'). ' С другой стороны, легко видеть, что справедливость (6.2) 0^nju>£H9(nMf Z2) следует из 0 =^= р (S . w) £Н„ (ЛМ/6, Z2). Наконец, в случае сферы нечетной размерности неравенство р (S • w) =^= 0 получается вычислениями, использующими описание Н^(ЛМ), данное Албером и Шварцом [3]. Итак, мы заключаем, что справедливо (6.3) При предположениях о невырожденности, сделанных в п. 1, «лемма о делимости» выполнена по крайней мере для сферы нечетной размерности. Теперь мы следуем [1] почти слово в слово и получаем бесконечное множество замкнутых геодезических из «леммы о делимости». Итак, мы получили (6.4) При предположениях п. 1 существует бесконечное множество замкнутых геодезических на сферах нечетной размерности. ЛИТЕРАТУРА 1. Klingehberg W. Lectures on closed geodesies. Berlin: Spring.-VerL, 1978. 2. Sullivan D. Singularities in spaces. — Spring. Lect. Not., 1971, N 209, p. 196—206. 3* Шварц А. С. Гомологии пространств замкнутых кривых. — Труды Моск. мат. об-ва, 1960, 9, с. 3-44.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Р. ЛАХЕР (Флорида, США) РАЗРЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ 1. Обобщенные многообразия: определения Евклидовым окрестностным ретрактом (кратко ENR) называется пространство, которое является ретрактом открытого подмножества некоторого евклидова пространства. Используя стандартные рассуждения, легко доказать, что пространство есть ENR тогда и только тогда, когда оно сепара- бельно, локально компактно и является конечномерным метрическим ANR (см. [6]). Гомологическое ^-многообразие есть пространство X такое, что для любой точки х£Х группы сингулярных гомологии Hj (X, X—-{#}; Z) являются изоморфными группам Нj (Rn, Rn— {0}; Z), где Rn обозначает евклидово га-мерное пространство с началом 0 и Z — кольцо целых чисел. Обобщенное га-многообразие есть ENR, у которого такие же группы гомологии, как и у гомологического га-многообразия. Конечно, действительное га-многообразие (т. е. сепарабельное метрическое пространство^ локально гомеоморфное Rn) является обобщенным га-многообразием, и обобщенное га-многообразие может быть евклидовым в некоторых точках и не быть — в других точках. По этой причине удобно называть точку х обобщенного га-многообразия X многообразной точкой, или несингулярной точкой,, если х имеет окрестность, гомеоморфную Rn\ в противном случае точка х называется сингулярной точкой, или сингулярностью, многообразия X. Мы обозначаем множество точек сингулярности многообразия X через S (X) и множество многообразных точек многообразия X через М (X). Эти определения даются с точки зрения геометрического тополога. Алгебраист позаботится о более слабом условия, что X будет ENR с некоторым условием локальной связности (см., например: Уайльдер [40] или Борель [5]). Также существует предположение нелокальной ориентируемости, которое часто встречалось в прошлом, однако Бредон [7] показал его зависимость от наших других предположений. 2. Обобщенные многообразия: примеры Существует четыре класса примеров обобщенных многообразий, каждый из которых возникает вполне естественно в некоторых контекстах. Первый класс возникает в теории верхних полунепрерывных разложений. Напомним, что компакт называется клеточно-подобным, если он имеет шейп точки (ср. [26, 21]). Если G есть сверху полунепрерывное разложение га-многообразия Мп на клеточно-подобные множества, тогда фактор-пространство Mn/G есть гомологическое га-многообразие, и оно есть ENR вся- 137
кий раз, когда оно конечномерно. Более общо, если X есть обобщенное тг-многообразие и / есть собственное клеточно-подобное отображение X на конечномерное метрическое пространство Y$ тогда Y есть обобщенное я-многообразие. Основные факты, достаточные для доказательства последнего утверждения, могут быть найдены в § 2—4 работы [28], приложение II которой также объясняет соотношение между сверху полунепрерывными разложениями и собственными клеточно-подобными отображениями. Первый нетривиальный пример второго класса был открыт Р. Бингом [4] с использованием пространства разложения: этот класс состоит из множителей многообразий, т. е. пространств X, для которых X X Y есть (действительное) многообразие для некоторого пространства У. Более общо, можно легко доказать, что оба пространства X и Y являются обобщенными многообразиями всякий раз, когда XxY есть обобщенное многообразие. Третий широкий класс примеров состоит из факторов по действиям групп. Предположим, что L есть йнмерная группа Лиж действующая без неподвижных точек на (действительном) (гс+/с)-мерном многообразии Мп+к. Тогда пространство орбит Mn+k/L является локальным множителем многообразия, следовательно, оно является обобщенным ^-многообразием. Существуют замечательные перекрытия среди этих трех классов примеров. Например, нетривиальный множитель многообразия Бинга X является фактором клеточно-подобного сверху полунепрерывного разложения Л3; кроме того, Бинг показал, что XxR гомеоморфно Л4, так что X является орбит-пространством действия R на Л4. В действительности может оказаться, что только различия среди этих классов примеров являются соответствующими контексту, в котором они встречаются, или точке зрения наблюдателя. Четвертый класс возникает чисто феноменологически. Например, надстройки над гомологическими сферами являются обобщенными ^-многообразиями. В действительности, если X — компактное обобщение ^-многообразие с (глобальными) гомологиями я-мерной сферы Sn, то /с-кратная надстройка 2* (X) является обобщенным (гс+/с)-многообразием. Если взять в качестве X действительное многообразие, проблема двойной надстройки обнаруживает, когда Е2 (X) является действительным многообразием (это было недавно решено Дж. Кенноном в [17]). Более общо можно спросить: когда обобщенное многообразие является многообразием или, по крайней мере, когда обобщенное многообразие принадлежит одному из первых трех классов, и поскольку дело касается того, как продолжить перекрытие первых трех классов. Имеются некоторые ответы на эти вопросы и существуют некоторые интересные следствия из этих ответов, это будет обсуждаться ниже. 3. Обобщенные многообразия: основные факты Предположим на протяжении этого раздела, что X является обобщенным тг-многообразием. Бредон [7] показал, что X является локально ориентируемым. Другими словами, для каждой точки х £ X существует окрестность U точки х такая,: что Нп (X,X\U; Z) -> Нп (X, Х\у; Z) является изоморфизмом для каждой точки y£U. Комбинируя этот факт со стандартными рассуждениями для топологических многообразий, как изложено, скажем, в работе Гринберга [24], все стандартные теоремы об ориентируемости и двойственности можно 138
доказать для обобщенных многообразий. (Результат Бредона — лемма о локальной константе Гринберга (22.4). Все другие доказательства в § 22 работы Гринберга проходят без существенных изменений для обобщенных многообразий, исключая шаг 2 в доказательстве (22.24). Этот последний пробел сможет быть заполнен, если употребить классическую технику^КО].) Все это приводит к следующим теоремам ориентируемости и двойственности, в которых X является обобщенным ^-многообразием» Теорема ориентируемости 1. Предположим, что X компактно. Тогда X является R-ориентируемым тогда и только тогда£ когда Нп(Х; R) ~ R. Теорема ориентируемости 2. Если U — открытое подмножество X и гомоморфизм, индуцируемый включением Нг{и- Х2)->Нг(Х; Z2) является нулевым, тогда U Ъ-ориентируемо. Теорема двойственности 1. Предположим, что X компактно и R-ориентируемо. Тогда #у(Х; R)^Hn-'(X; R) для]всех^целых /. Теорема двойственности 2. Предположим, что X R-ориен- тируемо и А замкнуто в X. Тогда Н^Х,\А; R)^H«-J{A; R) для всех целых j\ Приведенные выше факты вместе с основными знаниями об ANR [6] и клеточно-подобных отображениях [28, § 2—5] образуют фундамент для остающейся части этой статьи. 4. Обобщенные многообразия: исторические замечания Существуют пока три периода, интересных для обобщенных многообразий. (В этом разделе «обобщенное многообразие» имеет различное значение в зависимости от исторического периода и точки зрения, Во|всех случаях обобщенные многообразия являются гомологическими многообразиями с некоторого вида аксиомой[ локальной связности.) «Классический период» (приблизительно 1930—1945 гг£) содержит большей частью основные работы по алгебраической топологии обобщенных многообразий, работы, которые были мотивированы желанием лучшего понимания (алгебраической) топологии многообразий. (Хотя Р. Уайльдер в вопросе: когда некоторые обобщенные многообразия являются действительными многообразиями — положил начало геометрической теории.) Книга Уайльдера [40] содержит описание многих из этих ранних работ, включая работы П. Александрова, Э. Чеха, С. Лефшеца, Р. Уайльдера, П. А. Смита и Е. Бегля. Второй период главного развития, «Алгебраический период» (приблизительно 1955—1960 гг.), был стимулирован большей частью теорией действий группы Ли. Введение теории пучков сделало возможным глубокое понимание (алгебраической) топологии обобщенных многообразий. Книга А. Бореля [5] является типичной работой этого периода. Результаты Бредона [7] могут быть также включены сюда. 139
«Геометрический период», начавшийся приблизительно в 1970 г., стимулирован большей частью работами Р. Бинга и Р. Д. Эдвардса. НадеюсьЛ этот период не будет иметь конца до тех пор, пока некоторые главные геометрические гипотезы все еще имеют место. Статьи [10,; 12—14, 16—20, 35] являются теми недавними работами, которые посвящены в целом или частично точному изучению обобщенных многообразий^ и общий упор этих исследований состоит в том, чтобы определить,; когда обобщенные многообразия являются действительными многообразиями. 5. Свойство Кеннона непересекаемости диска и теорема Эдвардса о стягивании Весной 1977 г. Дж. Кеннон утвердительно решил проблему двойной надстройки [17]. Доказательство состоит из двух главных шагов. На первом шаге показывается, что двойная надстройка Х=22 (М3) над гомологической 3-сферой является фактором сферы Sb до клеточно-подобному сверху полунепрерывному разложению G. (Это было сделано ранее Кенноном и Эдвардсом независимо). Во-вторых, Кеннон показал,; что если X=S5/G удовлетворяет свойству непересекаемости диска с dim S (X) ^ 1, то G является стягиваемым (в смысле Бинга; см. [3, 23]). Не уменьшая значения окончательного решения проблемы Милнора [33], мы вводим и используем свойство непересекаемости диска, которое есть наиболее ценный вклад работы [17]: Определение (Дж. Кеннон). Пространство X имеет свойство непересекаемости диска (кратко DDP) при условии, что для любого е > 0 и любых отображений /х, /2: В2 -> X существуют отображения gx, g2 : В2 -* X такие, что Л (/,, &)< в и gl (В2) Г) ft (В2) = 0. Здесь В2 - единичный диск в Я2 и d — равномерная метрика. Короткое время спустя (июль 1977 г.) Р. Д. Эдварде [23] дал окончательную высокомерную теорему стягивания. Теорема (Р. Д. Эдварде). Предположим, что G — сверху полунепрерывное плеточно-подобное разложение {действительного) n-мерного много- образия Мп, п ^ 5. Если MnjG конечномерно и имеет свойство непересекаемости диска, то G стягиваемо. В частности, предположим, что G — сверху полунепрерывное клеточно- подобное разложение многообразия Mnf п ^ 5, и что MnjG конечномерно; тогда MnjG является действительным многообразием (гомеоморфным Мп) тогда и только тогда, когда Mn\G имеет свойство DDP. Среди многих волнующих применений этих идей есть идея характериза- ции (действительных) я-многообразий (п ^ 5), как в точности таких пространств X, которые удовлетворяют условиям: 1. X есть ENR; 2. X есть гомологическое я-мерное многообразие; 3. X удовлетворяет свойству непересекаемости диска; 4. X имеет разрешение, т. е. X—MnIG, где G — клеточно-подобное сверху полунепрерывное разложение я-многообразия Мп. Из этих четырех условий первые два дают X как обобщенное я-многооб- разие, третье — это красивое свойство DDP. Четвертое условие является таким, которое было бы хорошо удалить. Используя тот факт (доказанный Р. Даверманом), что XxR2 всегда имеет свойство DDP, мы получаем из 140
теоремы Эдвардса о стягивании, что обобщенное многообразие с разрешением является множителем многообразия. Снова было бы хорошо удалить гипотезу, что X имеет разрешение. Таким образом,; мы имеем три гипотезы: Гипотеза 1(тг^5). Обобщенное я-многообразие является многообразием тогда и только тогда, когда оно имеет свойство непересекаемости диска. Гипотеза 2. Любое обобщенное многообразие является множителем многообразия. Гипотеза 3(я^5). Любое обобщенное я-многообразие допускает разрешение. Третья гипотеза влечет каждую из двух первых. 6. Разрешения Разрешение пространства X есть пара (Мп? f)fj где Мп (действительное) я-многообразие, и / — собственное клеточно-подобное отображение Мп на X. Как было указано в разделе 2, любое конечномерное пространство, имеющее разрешение,; должно быть обобщенным многообразием. Обратно,; интересно спросить: будет ли любое обобщенное многообразие иметь разрешение? Частичный ответ на этот вопрос был дан в [16, 13], более сильный ответ заключается в следующем (доказано лет^м 1977 г. Дж. Брайентом и мной и независимо Кенноном, см. [19]): Теорема разрешения. Предположим, что X — обобщенное п-многообразие, п ^ 5, S (X)czZ, где Z — некоторое замкнутое множество ZC.X, dim Z=&. Тогда X допускает разрешение при любом одном из следующих условий: R 1. 2/Н-2<л; R 2. кфп—2 и Z — действительное к-мпогообразие; R 3. к ^ /г—-3 и Z — действительный полиэдр. Доказательство разбивается естественно на две части, которые мы теперь опишем. Применения даны в следующем разделе. Для утверждений А и В, даваемых ниже, пустьX — обобщенное тг-много- образие, п ^ 5, S (X)czZ, множество Z замкнуто в X, dim Z=k. Теорема А. Предположим, что выполнено одно из следующих двух условий: А1. к+3 О; А2. к=п—1 и Z — обобщенное многообразие. Тогда существует обобщенное п-многообъазие Yt собственное клеточно-подобное отображение f:Y-^Xu вложение a: Z -> Y таюе, что S (Y)a° (Z), множество а (Z) является 1—LGG в Y, и /o=Id,. Теорема В. Предположим^ что выполнено одно из следующих тюех условий: 81. 2к+2 <л; 82. Z — действительное к-многообразш; 83. Z — действительный к-полиэдр. Если множество Z локально гомотопически незаузлено в X, то X — действительное п-многообразие. (См. [11] для обсуждения локальной гомотопической незаузленности. Теорема В2 имеет место благодаря Т. Чапману [20] и Ф. Куайну [35], независимо.) 141
Заметим, что теорема разрешения следует немедленно из теорем А и Ву если применить В к У, построенному в А. Дальнейшие применения даются в следующем разделе. 7. Применения Следующий результат был впервые доказан М. А. Штанько [37]. Аппроксимационная теорема Штанько. Пусть Z — к-мерный компакт в топологическом п-многообразии Мп, 2k-\-2 ^ п, п^ 5. Для каждого е > О существует вложение h: Z -> Мп такое, что d (h, idz) < г и h(Z) имеет свойство 1—LCC в Мп. Доказательство. Применяем теорему А, где Х=Мп. По теореме В Y является многообразием и по теореме Эдвардса о стягивании (или ап- проксимационной теореме Зибенмана [32]) /: Y -> Мп может быть равномерно аппроксимировано гомеоморфизмом g: Y -> Мп таким, что d (/, g) < s. Пусть h=ga : Z -> Мп. Тогда h (Z) имеет свойство 1 — LCC в Мп, и d{h9 idz) = d(get, idz) — d{ga1 /a)<d(£, /)<e. Замечания. Общая техника, использованная в доказательстве теоремы А, имеет свои корни в работе Штанько, так что не является неожиданностью, что некоторые его результаты переоткрываются. По существу те же самые рассуждения влекут доказательство аппроксимационной теоремы Анцеля и Кеннона [2] и Штанько [37]. Аппроксимационная теорема [Анцеля—Кеннона—Штанько. Предположим, что Мп — п-многооб разие, содержащее k-многообразие Zk как замкнутое подмножество, k=j£= п — 2, п^Ъ. Если е : Z —> R+ — положительная непрерывная функция, то существует локально плоское вложение h: Z-*> Мп такое, что d(h, idz)<CQ- В действительности приведенные выше рассуждения приводят только к такому отображению h, для которого h (Z) обладает свойством 1—LCC в Мп. Даверман [21] (соответственно Брайент и Зибек [15]) доказал, что 1—LCG подмногообразия коразмерности один (соответственно коразмерности ^ 3) являются локально плоскими. Аналогичные рассуждения Брайента [9] и Миллера [32] доказывают аппроксимационную теорему для полиэдров в коразмерности три. Доказательства в действительности обладают более сильными (однако более техническими) утверждениями, которые имеют применение высокомерных теорем Хосей—-Линингера [25, 30]. Наконец, мы устанавливаем следующее частичное решение гипотез из раздела 5. Теорема. Пусть X — обобщенное п-многооб разие с dim S (X)=k. Если 2k-\-2 ^ п, или если S (Х)аш-многообразииаХ, т=^п—2, или если S (Х)ат-полиэдресМп, m+3 ^ nf то XxR — многообразие (п^ 4) и X — многообразие тогда и только тогда, когда X обладает свойством DDP (п > 5). Второе заключение следует немедленно из теоремы разрешения (раздел 6) и теоремы Эдвардса о стягивании (раздел 5). Первое заключение следует из второго и наблюдения Давермана, что XxR имеет свойство DDP при условии, что dim S (X) < п. 142
8. Бесконечномерные аналоги Ситуация, аналогичная описанной в первых шести разделах для (?-мно- гообразий (Q — гильбертов куб) представляется много более полной. Например, теорема Эдвардса об ANR [22], что любой локально компактный (метрический) ANR является множителем ^-многообразия (XxQ есть Q- многообразие), имеет следующее следствие. Любой локально компактный ANR является собственным клеточно-подобным образом ^-многообразия (именно отображение XxQ на X). Таким образом,; проблема «разрешения» решена, и Торунчик [38] доказал гипотезу, аналогичную первой среди тех,: которые даны в конце раздела 5, следующим образом. Локально компактный ANR X есть (^-многообразие тогда и только тогда, когда X имеет «свойство непересекаемости ^-клетки» для &=1, 2, . . . Можно спросить, почему нет условия, аналогичного тому, что X есть «гомологическое многообразие» в этих бесконечномерных результатах. Ответ состоит в том, что свойство непересекаемости ^-клетки, /с=1, 2, . . ., влечет, что единственная точка х(*Х является Z-множеством (т. е. X — xciX есть гомотопическая эквивалентность), и это — аналог условия гомологического многообразия. Для многообразий Ма, моделированных на гильбертовом пространстве веса а, Торунчик [39] показал, что собственный клеточно-подобный образ М* гомеоморфен М*. Таким образом, только многообразия являются пространствами с разрешением. Комбинируя эти результаты с результатами Торунчика о характеризации гильбертовых многообразий, используя полные ANR (используя условия, аналогичные DDP [39]), увидим, что мы обращаемся только к конечномерному случаю. 9. Маломерные случаи Разрешение /: Мп -^ X называется консервативным, если f"1 (х) является единственной точкой для каждой точки х£М (X). Для п ^ 5 любое разрешение псевдоизотопно консервативному по теореме Эдвардса о стягивании (или аппроксимационной теореме Зибенмана). В размерности 4 ситуация далека от ясности. Предположим^ например, что X — надстройка над гомологической 3-сферой Пуанкаре Н*. Тогда X допускает консервативное разрешение тогда и только тогда, когда Hs ограничивает стягиваемое (топологическое) 4-многообразие, последнее интенсивно изучалось. Таким образом, мы не знаем, будет ли X допускать (консервативное) разрешение, или каково соотношение между консервативным и неконсервативным разрешениями. Мне кажется^ что 4-мерная топология не готова извлечь пользу из введения таких абстракций, как разрешение или обобщенное 4-многообразие. Много основательной работы необходимо еще сделать здесь. Аналоги гипотез 1 и 3 (см. раздел 5) могут быть неверными в этой размерности. В размерности 3 может быть сделано больше. Например, если Xs допускает разрешение, то оно допускает консервативное разрешение, хотя не обязательно с помощью некоторого 3-многообразия. Если X3 компактно и допускает разрешение, то Xs содержит не более конечного множества фальшивых 3-клеток; с другой стороны, если Я3 — фальшивая 37сфера и X — одноточечная компактификация бесконечной связной суммы IP#HS#. . . то X — обобщенное 3-многообразие баз разрешения. 143
Предполагая тогда подходящее условие конечности, мы видим, что, вероятно, обобщенное 3-многообразие допускает разрешение. Если предположить, что dim S (Х)=0, некоторые результаты могут быть выполненными (например, верна теорема В). Детали этих и других результатов в размерности три будут напечатаны в другом месте [14]. 10. Доказательство теоремы В Теорема В2 доказана Чапманом в [20], где получается более сильное условие, что Z является локально плоским в X. Теорема ВЗ следует иг|тео- ремы В2, если использовать индукцию по размерности Z. Следовательно, мы нуждаемся только в доказательстве В1: Теорема В1. Предположим, что X — обобщенное п-многообразие, п ^ 5, с S (X) С Z с X, где Z — некоторое замкнутое множество в X, dim Z—k, 2&+2]^ п. Если Z обладает свойством 1-LCC в X, то X — (действительное) многообразие.^ Мы будем давать доказательство, предполагая, что 2/с+З^ п\ это результат несколько слабее. Этот оолее слабый результат достаточен для проблемы двойной надстройки и иллюстрирует технику доказательства. Детали для остающегося случая 2к-\-2—п можно прочитать в [19]. Таким образом, мы предполагаем в оставшейся части этого раздела выполненными условия теоремы В1 и 2&+3 <^ п. Мы будем также рассматривать множество Z компактным, предполагая это только для простоты понятий и изложения. Читатель не будет иметь затруднений для обобщения на некомпактный, случай. Вместо того чтобы говорить, что Z обладает свойством /?-LCC (или р —1сс, или LCC^, или 1сср соответственно), мы будем говорить иначе, что X обладает свойством p-LG mod Z (или p-lc mod Z, или LC^ mod Z, или lcp mod Z соответственно). См. табл. [28, с. 504] для этих определений. Следует немедленно из двойственности (примененной локально в X, см. раздел 3), что вложение Z с X обладает свойством \ссп~к~2. Применяя в этой ситуации локальную теорему Гуревича [34], мы получаем, что Z с X обладает свойством LCC""^"2 Мы будем применять этот факт к вложению некоторых ииъектов, к построению которых мы теперь переходим. Начнем с представления Z как обратного предела полиэдров Р. размерности <^к и симплициальных связывающих отображений $.: Приведенная выше диаграмма коммутативна, и отображения iz. имеют то свойство, что diam тс"1 (х) < 2~*' для каждой точки х£ Р.. Теперь пусть с,=сф()Р{+1 и сф^)Р{+1 и сф<+2) и • • •, где С ф) обозначает цилиндр симплициального отображения, и определим Т;,.:С(Юи...1)Сф,)-Л как ретракцию вдоль слоев цилиндров отображений (/^ 1). Мы хотим найти вложение <р полиэдра Сг в X, удовлетворяющее условиям: 144
(1) для каждого x£Z, d(x, ук.(х)Х2 '; (2) для каждого х^Р0 diam (срут^ (ж)) < 2~\* (3) ср(С1)П^=0; (4) cp(^i) является локально ручным. Так как Z обладает свойством LCCfc+I в X (согласно нашим предположениям, к -f-1 ^ п — к— 2), отображение <р, удовлетворяющее (1) и (2), может быть*прогомотопировано во вложении ср, удовлетворяющее условиям (1)— (4). (Используем свойство LCGfc+1 для того, чтобы сдвинуть у(Сг) с Z и тогда использовать общее положение в X\Z.) Отображение ср может быть построено следующим образом. Так как X есть ENR, существует ретракция г : U -> X, где U — открытое множество в RNу N большое. Пусть U1=U X Б (0, 1), где [i§ (0, 1) — открытый единичный шар в Л2к+3 с центром в начале координат. Пусть е. ^> О выбрано так, чтобы множество диаметра меньше чем г. и U1 отображалось в множество диаметра меньше чем 2~г при гг — г X проекция. Тогда получим отображение срх: Сг -> U19 удовлетворяющее (1) и (2) (с 2~1 замененным на е.); ®=г1®1 есть описываемое отображение. Вложение ср определяет компактификацию С\ множества С{\ c+ = ct\jz, где последовательность {х.} в Ci сходится к z £ Z тогда и только тогда, когда ср (xj) сходится к z. (Эта компактификация может быть сделана in vitro для любого компактного конечномерного пространства Z, см. [19].) Мы хотим определить некоторое клеточно-подобное разложение G{ пространства X. Пусть гд*)=11т7М*) J и пусть Г+(ж) будет замыкание Т. (х) в Ct. Множество Г}(ж) очень похоже на конус над тс"1 (ж); в действительности Г*(ж) является клеточно-подобным пространством. Мы полагаем G{ разложение пространства X состоящим из множеств <р(Г1"(ж)) и одноточечных множеств. Мы имеем коммутативную диаграмму ^ I ^\А XIG, ^- X/Gz +— • - • в которой отображения р{ являются фактор-отображениями стягивания разложения G{ и о. сжимают конусы цилиндров отображений $. в точки. Таким образом, р{ и fe. являются клеточно-подобными отображениями. Теперь р{ превращает Z в полиэдр, лежащий в XjG^X^ гомеоморфный Р., и S (X.) с р{ (Z). Кроме того, р{ (Z) обладает свойством 1 — LGG в X.. Из теоремы ВЗ следует, что X. — многообразие. Так как отображения Ъ. клеточно-подобны, они близки гомеоморфизмам по теореме Эдвардса о стягивании. Теорема М. Брауна [8] теперь показывает, что Z^lim Х{ гомео- морфен каждому Хг Замечания. Гомотопирование отображения ср к вложению может быть сделано, хотя и с некоторыми трудностями, когда 2к+2=п (см.[19]). Точно здесь и нигде больше доказательство теоремы разрешимости неверно. 145
если предположить &+3 ^ п. Трудность может быть обойдена рассуждением^ использующим индукцию по сингулярности отображения <р. И. Часть доказательства теоремы А Мы имеем данное обобщенное я-многообразие X и замкнутое ^-мерное множество* Z с X такое, что S (X) С Z; при различных обстоятельствах мы будем иметь петли, которые нуль-гомологичны в дополнении к Z и которые ограничивают малые сингулярные диски а: В2 -► X в X. Вообще говоря, да = а | дБ2 не будут стягиваться в дополнении к Z. Мы будем строить новое обобщенное многообразие Ха с S (Ха) С Z аХ вместе с клеточно-подобным отображением fa:Xa->X таким, что fa\Z = id, и, таким, что для любого е > 0 существует пет^ля у в /fav\ Z со свойствами: (1) у обходит невырожденные точки-прообразы отображения /а; (2) у ограничивает малые сингулярные диски в Xa\Z; (3) / о у е-гомотопно да в X \ Z. Интуитивно мы раздуваем X до нового обобщенного многообразия, в котором да ограничивает малые сингулярные диски в дополнении к Z. Последовательность таких раздуваний-шагов, определенных для счетного плотного множества сингулярных дисков в X, может быть сделана сходящейся к раздутию У", в котором все малые петли в X\Z ограничивают малые сингулярные диски в X\Z. Детали этого предельного процесса будут даны в следующем разделе. Мы ограничиваемся здесь конструкцией и свойствами /а. Первый шаг есть переделывание а в а[ (вне от дВ2) так, что а'^1 (Z) есть 0-мерное множество в В2. Предполагая к ^ п—2, легко употребить тот факт, что Z локально не разбивает X (см. [27]). Когда к=п—1 и Z — обобщенное многообразие, мы можем предположить а (В2) лежащим в замыкании дополнительной области к Z (работая в малом, Z разбивает X). Таким образом, нелокальность разбиения этого замыкания множеством Z снова позволяет нам употребить подходящее переделывание а. Так как \X\Z есть действительное многообразие, мы можем предположить, что a*1 (Z) есть (компактное) 0-мерное множество внутри В2 и что а[ | [В2 — a[-l(Z)] есть локально ручное вложение. Пусть Ni — малая окрестность множества a[_1 (Z) в 52, N± состоит из конечного объединения попарно не пересекающихся дисков в int В2. N± выбрано достаточно малым так, что образ каждой компоненты N± при а[ очень мал. (Напомним, что а[ (В2) является только «малым».) Теперь, когда к ^ лг—3 или Z — обобщенное (я—1)-многообразиеж каждая компонента а[ (N{) ограничивает очень малый диск с ручками в X\Z% так как X\Z обладает свойством 1-1cq. (Диск с ручками есть в точности компактное связное ориентируемое 2-многообразие со связной непустой границей.) Таким образом, мы можем удалить внутренность N± из В2 и приклеить диски с ручками (различных родов) к результату вдоль каждой компоненты dNx, получаются диск с ручками D1 и продолжение ах отображения а'2 \ В2 — int Ni на D1 такое, что ах {Dx) с X\Z. Заметим,: что ах переводит различные ручки D1 в очень малые множества в X\Z. Последнее предложение предыдущего раздела не имеет смысла вне контекста. Ясно, что оно ссылается на ручки различных дисков с ручками, которые приклеиваются в 52\int Nlt образуя D1# Для того чтобы устранить эту двусмысленность, мы отведем время для обсуждения дисков с ручками. 146
Диски с ручками. Пусть Н2 будет диск с ручками, скажем, рода g. Тогда существуют простые замкнутые кривые А19 . . ., А2 в int#2 такие, что A2i_1C\A2i есть единственная точка для г = 1, 2, . . ., g, такие, что совокупность {Wi:^A2i_x\J A2i}{ есть совокупность попарно не пересекающихся фигур восьмерок, и такие, что пространство разложения H2/{WV . .., Wj) есть диск с ручками рода g — /. Такая совокупность кривых представляет полное множество образующих гомологии Я2, и объединение W1 U • • • U Wg = = / называется полной системой кривых для ручек Я2. Возвращаясь к нашей конструкции, пусть J1 = A1 X\J ... \J А12д будет полной системой кривых для ручек D19 полученных как объединение полной системой кривых для дисков с ручками, приклеенных к B2\intNv Тогда ах превращает любую замкнутую кривую в Jx в множество, которое очень мало в X \ Z. По локальной стягиваемости каждое ах (Аг t.) ограничивает очень малый диск в X. Мы можем повторить указанный выше процесс для каждого отображения Яч\А1г{, получаются диски с ручками D2f . с dD2i=Alti и отображения аг\А1г1 расширяются до а2 ., превращающие D2 { в очень малые множества в X \ Z и превращающие кривые дисков с ручками D2 . в очень- очень малые множества. Диски с ручками D2 { попарно не пересекаются, тогда мы можем положить В2 как объединение Dx и D2 i и получить отображение а2: D2 в X\Z как объединение отображений а2 .. Этот процесс может быть продолжен бесконечно и дает следующее: (4') 2-комплекс D=B2 -\- (1-ручки) -f- (малые 1-ручки) -f- (еще меньшие 1-ручки)+ .. .; (4") локально ручное вложение |3: D в X \ Z, которое продолжается до отображения (3+ : D+ -> X," где D+ обозначает компактификацию по Фрейденталю (концевыми точками) 2-комплекса D такую, что (P+)~1(Z)=Z)+\Z). Объект D+ называется обобщенным 2-диском, понятие, введенное Кенно- ном в [17]. Статьи [17—19] содержат подробное обсуждение обобщенных 2-дисков, и читатель, который желает более детально узнать о введенных выше объектах, отсылается к этим статьям, специально [18]. Мы продолжаем кратко обсуждать эти объекты. Обобщенные 2-диски. Пусть D+ — обобщенный 2-диск. Тогда D+ — ком- пактификация Фрейденталя 2-комплекса Z), где D = D2 (J D2 (J . . . и каждое D{ есть конечное объединение дисков с ручками D^ .. Множество D1\J . . . . .. (J D. называется £-й стадией 2-комплекса D, и D называется бесконечным коммутатором. Объединение 1)[дО{ . есть полная система кривых для ручек Di_1(i'^2)j однако не существует ненужных пересечений среди Bij. Комплекс D имеет «стандартное» вложение в Я3, полученное простой конструкцией последовательных стадий полиэдрально в Rs с diam (D.j) ^ 2"*; этот процесс сходится, и получается вложение D+ в Я3. Основным наблюдением Кеннона об обобщенных 2-диск ах было то, что эта конструкция существенно та же, что и конструкция «рогатой сферы Александера» [1]: Если Ns — замкнутая регулярная окрестность комплекса D в R3\(D+\D)j то QS = NS\J (D+\D) является компактификацией Фрейденталя комплекса Ns и ()3 есть «сморщенный куб», т. е. frQs есть топологическая 2-сфера в Я* и Qs есть замыкание ограниченной дополнительной области к frQs. Заметим, что frQs является локально плоской, исключая, возможно, точки D+\D. Далее, теорема Хосей—Линингера [25, 30] утверждает, что Q3 (J 147
у Collar—Б3, следовательно, можно стянугь замкнутую нульмерную совокупность колларных слоев (дуг), чтобы получить клеточно-подобное отображение В3 на Q3. Мы хотим сделать аналогичную конструкцию в размерности п J> 5 и ключевой результат, необходимый для этого, состоит в том, что любое отображение комплекса D в BpL является нуль-гомотопным,-отсюда следует, что D имеет единственную регулярную окрестность в PL — га-многообразии (содержащем D как замкнутое подмножество) (см. [29] для соотношения между отображениями D -► BpL и «утолщениями»). Утверждение о том, что отображение D -> Врь нуль-гомотопно, следует |из теории препятствий и наблюдения, что комплекс D является ацикличным. Так как N3 X Вч~3 является утолщением комплекса D, оно должно быть типичной регулярной окрестностью комплекса D в Мп. Пусть Qn = Q3XBn-3l{xXBn-3\x£D+\D}. Тогда Qn — компакти|шкация Фрэйденталя комплекса /V3 X В1~3 к существует естественным образом 0-мерная совокупность G(n — 2)-клеток в Вп =zB3 X Вп~~3 такая, что фактор-пространство Bn/G есть Qn. Теперь снова возвращаемся к нашей конструкции. Для заданного а : В2 ~> X мы имеем обобщенный 2-диск Z)+ и отображение ft* : D*-* X такое, что (4) [3|д£>+ = а|дЯ2, ft+)-1(Z) = D+\D и [3=[3+| £>:£>-> (X\Z) является локально ручным вложением. Используя приведенные выше факты об ^обобщенных 2-дисках, п ^ 5, мы можем продолжить (3+ до отображения j?+: Qa -> X такого, что (5) §r4Z) = D+\D; (6) $*\{Qn\{D*\D)) является локально ручным вложением. Пусть Ха = [X \ (5+ (Qn)] (J Вп. Ха является обобщенным многообразием, интуитивно это следует из того, что гомологии не могут обнаружить различие между сморщенным кубом и действительным кубом. (См. [19] для строгого доказательства.) Разложзние G, упомянутое выше, определяемое отображением р+, является клеточно-подобным 0-мерным разложением Ga пространства Ха таким, что XjGa~X. Невырожденные элементы разложения Ga являются букетами (п — 2)-клеток, и в отличие от Z эти элементы являются (п — 2)-мерными. [Следовательно, мы имеем клеточно-подобное отображение }в: Ха-> X такое, что dim [Г1 (Z)\Z] = n — 2. Петля да лежит одновременно в X и в Ха, однако в Хл петля да лежит в га-клетке, в которой она может быть стянута в точку, минуя Z. Так как dim да = 1 и f'1 (Z) \ Z локально не разбивает Ха \ Z, мы можем приспособить петлю да, слегка обойдя f~1(Z)s\Z так, чтобы получить петлю у в Xa\Z, удовлетворяющую условиям (1)—(3), указанным в начале этого пункта. 12. Доказательство теоремы А Пусть olv а2, ... — последовательность отображений В2 в X, которая •образует плотное подмножество пространства отображений В2 -> X (в компактно открытой топологии), переводящих дБ2 в X\Z. Пусть е. — нуль-последовательность положительных чисел. Используя идеи, обсуждаемые в первой части раздела 11, мы можем построить обобщенные 2-диски (3+: D\ -> X со следующими свойствами: (1) pt(Z)+) лежит в егокрестности множества <*.(В2); 148
(2)|3+|<Ш! = а.|йВ2; (Z)WT1(Z) = Dj\Di; (4) р, = (3+ 1ZK есть локально ручное вложение; (5) ${(В{) попарно не пересекаются. Пусть Е.— стадия D. такая, что каждая компонента $i(Di\E.) имеет диаметр <С8*» и пусть Ог .9 . . ., Din{i) будут компоненты множества D.\E., каждое из этих множеств есть бесконечный коммутатор. Мы продолжаем конструкцию раздела И на ассоциированных обобщенных 2-дисках Dff j С Df так, чтобы сделать их сходящимися. Таким образом, существуют сморщенные га-клетки Q. v . . ., Q. п (П, ассоциированные с Dff ,., и продолжения pt ^ : Q.^ . -> -> X отображений (3+|2)+ , удовлетворяющие (7) ($itj\Qit j\(D'itjS\Dit j)) является локально ручным вложением. Мы можем также обеспечить, чтобы P*t у ((?,-, j) имело диаметр <^е. и чтобы пересечения заданного $t9j(Qi,j) с ЛК)бым его собратом $$k(Qitk)j k=^=j\ или предшественником $+к (Q^), I <С U встречалось только в Z. Напомним, что Qtj является фактором п-клетки 5?, у по 0-мерной совокупности (п — 2)-кле- ток, где мы полагаем J5?fy стандартной га-клеткой диаметра е.. Определим множество Y = (X-CTP}t/int<?<y)Uff«,y, где dBniyj отождествляется с р+ . (fr^. j) с помощью р+ j. Существует кле- точно-подобное отображение / : Y -> X такое, что dim (/_1 (Z) \Z) ^.п — 2. Утверждение. Y является обобщенным многообразием. Интуитивно, Y является обобщенным многообразием [потому, что гомологии не могут обнаружить различия между действительным и сморщенным кубами. Строгая конструкция пространства Y и доказательство этого утверждения даны в [19]. Утверждение. S (Y) С Z CZ Y и Z обладает свойством 1 — LCC е У. Первая часть этого утвержденияя очевидно,; следует из конструкции YM так что остается показать, что Z обладает свойством 1 — LCC в Y. Пусть у — малая петля в Y\Z. Тогда, так как dim (/_1 / (Z)—Z) ^ п—2fi петля у гомотопна (в малом) петле в Y\f~1 f (Z). Таким образом, мы можем предполагать,; что отображение / взаимно однозначно на образе у. Теперь / | у ограничивает сингулярный диск в X, потому что у мало, и,; делая другую очень малую гомотопию, мы можем предполагать / | у ограничивающей сингулярные диски а{. Мы имеем гомотопию j и это может быть поднято (очень малой) гомотопией в У — Z, потому что это делается на месте вне mlQ^. Следовательно, нам необходимо только заметить, что поднятия р^ j\dD.^j ограничивают малые сингулярные диски в Y\Z (которые они делают внутри intJ5?fy). Добавление 29 августа 1978 г. Эта статья была написана до того времени, когда я присутствовал на Международном конгрессе математиков в Хельсинки. Здесь Ф. Куинн анонсировал положительное решение гипотезы 3 из раздела 5. 149
ЛИТЕРАТУРА 1. Alexander J. W. An example of a simply connected surface bounding a region whicb is not simply connected. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1924, 10, p. 6—8. 2. Ancel F. D., Cannon J. W. The locally flat approximation of cell-like embedding relations. — Ann. Math., 1979, 109, p. 61—86. 3. Bing R. H. A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solid horned spheres. — Ann. Math., 1952, 56, N 2, p. 354—362. 4. Bing R. H. The cartesian product of a certain nonmanifold and a line is £4. — Ann. Math., 1959, 70, N 2, p. 399—412. 5. Borel A. Seminar on transformation groups. — Ann. Math. Studies, 1960, N 46. 6. Borsuk K. Theory of retracts. Warszawa: PWN, 1967, s. 251 (Monogr. mat., vol. 44). 7. Bredon G. E. Wilder manifolds are locally orientable. — Proc. Nat. Acad. Sci. USAr 1969, 63, p. 1079—1081. 8. Brown M. Some applications of an approximation theorem for inverse I^h.q. — Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, p. 478—483. 9. Bryant J. L. Approximating embeddings of polyhedra in codimension three. — Trans. Amer. Math. Soc, 1972, 170, p. 85—95. 10. Bryant J. L., Hollingsworth J. Manifold factors that are manifold quotients. — Topology, 1974, 13, p. 19—24. 11. Bryant J. L., Lacker R. С Embeddings with mapping cylinder neighborhoods. — Topology, 1975, 14, p. 191—201. 12. Bryant J. L. Elowing up homology manifolds. — J. London Math. Soc, 1977, 16, N 2, p. 372-376. 13. Bryant J. L. Resolving O-dimensional singularities in generalized manifolds. — Proc. Cambridge Philos. Soc, 1978, 83, p. 403—413. 14. Bryant J. L. Generalized 3-manifolds and resolutions. — In press. 15. Bryant J. L., Seebeck С L. III. Locally nice embeddings in codimension three. — Quart. J. Math. Oxford (2), 1970, 21, N 83, p. 265—272. 16. Cannon J. W. Taming codimension-one generalized submanifolds of Sn. — Topology, 1977, 16, p. 323—334. 17. Cannon J. W. Shrinking cell-like decompositions of manifolds: codimension three. — Ann. Math., 1979, 110, p. 83—112, 18. Cannon J. W. The recognition problem: What is at topological manifold? — Bull. Amer, Math. Soc, 1978, 84, N 5, p. 832—866. 19. Cannon J. W., Bryant J. L., Lacher R. С The structure of generalized manifolds having non-manifold set of trivial dimension. — In: Proc. 1977 Georgia Topology Gonf./Ed. Gantrell T. G. London etc.: Acad, press, 1979, p. 261—300. 20. Chapman T. A. Carving up manifolds into block bundles. — In press. 21. Daverman R. J. Locally nice codimension one manifolds are locally flat. — Bull. Amer» Math. Soc, 19, 73, 79, p. 410—413. 22. Edwards R. D. Locally compact metric ANR's are Q-manifolds factors:!Prepr, 23. Edwards R. D. Approximating certain cell-like maps by homeomorphisms:^Prepr. 24. Greenberg M. Lecture on algebraic topology. N. Y.: Benjamin, 1967. 25. Hosay N. The sum of a real cube a crumpled cube is S3. — Not. Amer. Math. Soc, 1963, 10, p. 666. 26. Lacher R. C. Cell-like spaces. — Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 20, p. 598—602. 27. Lacher R. C. A cellularity criterion based on codimension. — Glas. mat., 1976, 11, s. 135—140. 28. Lacher R. C. Cell-like mappings and their generalizations. — Bull. Amer. Math. Soc, 1977, 83, p. 495—552. 29. Lickorish W. B. i?., Siebemann L. C. Regular neighbourhoods and the stable range. — Trans. Amer. Math. Soc, 1969, 139, p. 207—230. 30. Lininger L. L. Some results on crumpled cubes. — Trans. Amer. Math. Soc, 1965, 118, p. 534—549. 31. Mardesic S. Decreasing sequences of cubes and compacts of trivial shape. — Gen. To- poL and Appl., 1972, 2, p. 17-23. 32. Miller R. J. Approximating codimension three embeddings. — Ann. Math., 1972, 95, p. 406-416. 33. Milnor J. Problems in differential and algebraic topology. — Ann. Math., 1965, 81, p. 565—591. 34. Newman M. H. A. Local connection in locally compact spaces. — Proc. Amer. Math. Soc, 1950, 1, p. 44—53. 35. Quinn F. Ends of maps, and applications. — Bull. Amer. Math. Soc. New Ser., 1979, 1, N 1, p. 270-272. 36. Siebenmann L. C. Approximating cellular maps with homeomorphisms. — Topology, 1972, 11, p. 271-294. 37. Штанъко M. А. Аппроксимация вложений компактов в коразмерности большей двух. — ДАН СССР, 1971, 198, № 4, с. 783—786. 38. Torunczyk Н. On CE-images of the Hilbert cube and characterizations of ^-manifolds. — Fund, math., 1980, 106, N 1, p. 31—40. 39. Torunczyk H. Characterizing Hilbert space topology. — Fund, math., 1981, 111, N 3, p. 247—262. 40. Wilder R. L. Topology of manifolds. Amer. Math. Soc. Golloq. Publ. Vol. 32. R. I.: Providence, 1963.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 ИБ МАДСЕН (Аархус, Дания) СФЕРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ В РАЗМЕРНОСТИ, РАВНОЙ ПЕРИОДУ. I 1Ф Введение Если конечная группа тс действует свободно на (п—1)-мерной сфере как группа гомеоморфизмов, то целочисленные группы когомологий тс периодичны, а всякий ее элемент порядка 2 лежит в центре. Более того, если d= =d (тс) обозначает когомологический период, то п делится на d. Таковы результаты Картана, Эйленберга и Милнора. Обратно, в [8] было доказано, что группы с периодическими когомоло- гиями и центральными инволюциями могут свободно действовать на некоторой сфере S*'1, но размерность ее не уточнялась. В настоящей работе мы сведем вопрос о свободных действиях на S**'1 (т. е. в|размерности периода без 1) к теоретико-числовым задачам.] Мы начнем с обсуждения уже известных оценок для размерности. Рассматриваемые группы разделяются на шесть типов I—VI. Наилучшая оценка имеет место для групп всех типов, кроме II. Это вытекает из следующего результата. Теорема [16]. Если все 2-гиперэлементпарные подгруппы тс действуют свободно в размерности п—1, то это же верно и для тс. Можно проверить, что условие теоремы выполняется при n = d(n) для групп всех типов, кроме II. В действительности всякая 2-гиперэлементар- ная подгруппа в группе тс типа I, III—VI действует свободно и даже ортогонально в размерности d (тс)—1. Поэтому все группы, кроме второго типа,; свободно действуют в размерности периода.] Нам осталось изучить 2-гиперэлементарные группы типа II, т. е. полупрямые произведения циклической группы нечетного порядка с кватерни- онной группой порядка 2к. Такие группы имеют период 4 и допускают свободные ортогональные действия в размерностях 81—1. Спрашивается, действуют ли они свободно в размерностях 8Z+3. Наличие свободных действий установлено в [6], кроме случая к=3; т. е. TC=Z/mX#8, для которых централизатор Z^ (Z/m) — циклическая группа порядка 2т. Эти особые группы будут называться группами типа ИМ. Они не могут действовать ортогонально в размерностях 8Z+3. |Таким образом, возникает Проблема. Пусть тс имеет тип ИМ. Допускает ли тс свободное топологическое действие на S8l+39 1^0? Для изучения этой проблемы привлекается техника перестроек. Пусть л = 8/-{-4. Имеется взаимно однозначное соответствие между образующими е£#п(тс, Z) и гомотопическими классами свободных клеточных 151
действий группы тс на [(возможно бесконечных) клеточных комплексах Е с Е ~ S"'1, при этом б = б(Е, тс) есть первый инвариант Постникова пространства Е/тс. Имеются два препятствия к получению из (Е, тс) топологического действия (а?"""1, тс) с e(Sn"19 тс)=е(Е, тс). Во-первых, препятствие к конечности [14]: о,(Е, «)6^e(Z«), лежащее в приведенной группе классов проективных модулей. Во-вторых, препятствие к перестройке [17]: М£. *)€£*-!(«). (Здесь мы злоупотребляем обозначениями: препятствие к перестройке зависит от выбора соответствующей задачи над 2/тс. В нашем случае, однако, оно определено корректно по модулю L\_x (тс(2)), где тс(2) — силовская 2- подгруппа в тс. Верно ли это в общем случае — небезынтересный нерешенный вопрос.) Оба препятствия периодичны. Поэтому решение проблемы не зависит от I при больших Z. Результаты Мильграма [10] сводят вычисление °п (2, тс) к классической теории чисел, связанной со структурой единиц в некоторых дедекиндовых кольцах. Поэтому не представляется возможным дать единообразное решение проблемы; приходится обращаться к частным случаям. Пусть тс — группа типа ИМ порядка 8pq, где р и q — различные нечетные простые числа. Теорема [10]. (i) Если р = 3 и д = 13(24), то а4(Е, тс)=0 для подходящих Е. (и) Если р = 3 и д = 5,7 или 11, то а4 (Е, тс) =^= 0 для всех Е. Пусть Z (Cw) обозначает кольцо целых чисел в поле деления круга (;да = _ e2Kiimy9 рассмотрим Z (Ст -(- С"1) = Z (£т) Г) R. Пусть А+ — порядок приведенной группы классов К0 (Z (^-f-C"1)); А+ является также числом классов поля (?(Cm + ^). Мы докажем следующий результат. Теорема А. Пусть р = 3, g = 13 (mod 24). Если h+ и h\ нечетны, то Х4 (Е, тс) =т^= 0 для всех Е. Условие на число классов сильно ограничивает применимость этого результата. Из таблиц в [9] мы знаем,-что h*2 нечетно (а /г^3 = 0). Отсюда получаем Следствие В. Группа *типа ИМ порядка 312 не может действовать свободно ни на какой сфере Ssl+3 как группа гомеоморфизмов, но действует свободно на конечном клеточном комплексе, гомотопически эквивалентном S8l+S. Настоящая работа разделяется на пять частей. Краткое содержание их таково. Пусть тс — группа типа II М порядка 24 q, где q простое. Для некоторых q (например, д=13 (24)) и для подходящей тс-«гомотопи- ческой сферы» а4 (2, тс)=0 (результат из [10]). Поэтому найдется конечная тс-гомотопическая сфера (20, тс) в тс-гомотопическом типе (2, тс). У нее имеется кручение Рейдемейстера: т(Е0, Tz)£Wh(Qiz), которое определяет (слабый) простой гомотопический тип 20 /тс. Целочисленная группа Уайтхеда Wh (Ztc) транзитивно действует на простых типах, отвечающих данному гомотопическому типу, поэтому образ т (20, тс) в Wh (Qk)'/WJi (Ztc) является инвариантом тс-гомотопического типа. Мы обозначаем его через 152
т(2, n)£Wh(Qiz)IWh(Zn). В разделе 2 мы вычисляем т(2, тс) в некоторых случаях. Кручение Рейде- мейстера определяет /с-инвариант е (2, тс), так что т (2, тс) однозначно определяет тс-гомотопический тип 2. В разделе 3 мы используем технику, развитую Уоллом в серии работ,, чтобы вычислить так называемые промежуточные L-группы для тс и трех ее подгрупп: хг = Z/3 X Я8Э т2 = Zjq 5< Я8, т3 = Z/3q >< Я8. Промежуточные ^-группы^ обозначаемые Z^, — это группы препятствий к превращению задачи перестройки в (слабую) простую гомотопическую эквивалентность. Мы доказываем следующий результат. Теорема С. Если hq нечетно, то трансферы дают включение Обычные Zr-группы и промежуточные L-группы можно сравнить, используя точную последовательность Ротенберга, в которой третий член связан с Wh' (тс) = Image (Wh (Ztc) -> Wh ((?тс)). Это рассматривается в разделе 4, где мы вычисляем диаграмму точных последовательностей: Wh' (тс) 0 Z/2 *—> 1!ъ (тс) —* Ц (тс) > О I I У I Jh eww (т..) о z/2 —■U ф l; (т.) -> ©l*^) —> о. Это приводит к теореме D. Теорема D. Если д = 13 (mod24) и h+ нечетно, то отображение Бок- штейна 8 : Кег f -> Imaged//' (Imagek) ненулевое. Результаты раздела 4 могут иметь некоторый самостоятельный интерес, поскольку они показывают, как сводить вычисление Lfdd (тс) к задачам теории чисел. В разделе 5 мы доказываем теорему А. Доказательство происходит так. Пусть 2 —конечная тс-«гомотопическая сфера», которая строится в разделе 2. Имеются свободные ортогональные представления V. для) ъ. и S (У{) I %.~ ~2/Tt., но гомотопические эквивалентности не являются простыми. На самом деле 6(*(S(V.), т,))-т(£, т,))^0 в Image «//'(Image Л). Теоремы индукции, примененные к классам кобордизмов задач перестройки, дают возможность получить задачу перестройки над 2/тс с Х4(2, тс)££д(тс), удовлетворяющим условию /'(х;(Е, n))=£(t(S(Vt), x,.)-x(s, х,.))бФ^Ы- Это дает 8(Х4(2, тс)), и, следовательно, Х4(£, тс), если А+ нечетно. Наконец условие нечетности h\ используется, чтобы доказать, что для гомотопических типов (2, тс), у которых накрывающие (2, т.) не гомотопически эквивалентны ортогональным свободным действиям, а4(£, тс)=^0. Имеются примеры групп порядка 24#, у которых и о4(£, тс) = 0, и 8(Х4(2, тс)) = 0 для подходящих (2, тс). На самом деле, это имеет место для д=89. Е. Куммер показал, что Лад нечетно, так что мы получаем 153
Теорема Е. Группа типа ИМ порядка 2136 может действовать свободно на S8l+3y 1^>0У как группа гомеоморфизмов. Замечание. Во второй части данной работы мы изучим образ ^(Е, тс} под действием естественного гомоморфизма р : L!3 (тс) = L'3 (Ztc) -> L!3 (Ztc), где Ztz обозначает пополненное групповое кольцо. Оказывается, что ^(И, тс)£Кегр. Так как 8 отображает группу Ker р мономорфно, этот результат дает возможность обойти ограничение на число классов и сделать возможным рассмотрение большего количества примеров. Я хотел бы поблагодарить Е. Педерсена, который указал мне на серьезную ошибку в предыдущих попытках рассмотрения размерностных оценок. Мне также приятно поблагодарить И. Хэмблтона, Э. Лейтинена и Р. Д. Миль- грама за полезные обсуждения. 2. Кручение Рейдемейстера для примеров Мильграма В [10] Мильграм вычислил препятствия Суона для некоторых групп. К сожалению, эти результаты не вполне достаточны для нас. Настоящий раздел содержит результаты Мильграма в измененном виде и с некоторыми уточнениями. Напомним вкратце построение суоновского препятствия. Пусть тс — группа с [периодическими когомологиями: Н{ (Btz; Z) ^ Hi+d (Вк; Z) для i^>0, где Вк = К(к, 1) — ее классифицирующее пространство. Тогда Hd (Вку Z)==Z/|tcI и w-произведение с любой образующей этой группы дает изоморфизм периодичности. Пусть п кратно d. Напомним,, что поляризованное (тс, п)- пространство (или тс-гомотопическая сфера размерности лг—1) — это (лг—1)- мерный клеточный комплекс 2 ориентированного гомотопического типа Sn~lr снабженный свободным клеточным действием тс. Простейшие примеры доставляют сферы S (V) свободных ортогональныхшредставлений V группы тс. Накрытие Е -> Е/тс классифицируется гомотопическим классом отображений Е/тс -> 5тс, и имеется расслоение Е -> Е/тс -> Btz. У нас имеется выделенная образующая в Нп~х (Е, Z); ее трансгрессия е(Е, tc)£#w(J5tc, Z)=r#n(Tc, Z) есть /^-инвариант Е/тс, е (Е, тс) — образующая группы #w(tc, Z) = Z/|tc| и, более того, ориентированные тс-гомотопические типы поляризованных (тс, ^-пространств находятся во взаимно однозначном соответствир! с образующими Яп(тс, Z). Если L = S(V), то е(Е, тс) есть эйлеров класс свободного представления V. Пусть GHn (тс, Z) — множество образующих #я(тс, Z). Суон определяет отображение 2.1. on:GHn (тс; Z)-> iT0 (Ztc), так что оп (е (Е, тс)) = 0 тогда и только тогда, когда Е содержит в своем гомотопическом типе конечное поляризованное (тс, ^-пространство. Здесь конечное пространство означает конечный клеточный комплекс с клеточным действием тс. Отображение Суона удовлетворяет соотношению 2.2. oh(rel) = d(r) + hf,(e)> где г £ (Z/| тс |х, а д : (Z/| тс |)х -> К0 (Ztc) — это гомоморфизм, переводящий г в проективный идеал <V, Ny С Ztc /где /V=2 g\ В частности, видно, что ап постоянно как отображение в К0 (ZTc)/Im д; его значение там обозначается ап(тс). Заметим, что оя(тс)г=0 эквивалентно существованию конечного поляризованного (тс, ^-пространства. 154
Теперь мы напомним определение крунения Рейдемейстера—Франца—де Рама. Пусть Е — поле характеристики, взаимно простой со|тс|, и Еп — Е@ &)1 (к, Е) — естественное ортогональное разложение. Рассмотрим периодическую резольвенту базированных Етс-модулей1 конечного ранга: 2.3. О-^Е-^С^-* ... ->С0 -^>Е->0. Тогда C*ns (£)е% Е и С^ Q)e% I (л, Е) — базированные ацикличные комплексы Е- и соответственно / (тг, Д)-модулей. Их инварианты кручения ^1^К1(Е) и х2 £ К2 (/ (тс, Е)) вместе дают кручение комплекса С# (ср. [12, 15]): 2.4. т(С„ «) = (ъ 'h)eK1(^) = K1(E)®K1(I(n9 Е)). Если Е — конечное поляризованное (тс, ^-пространство, тогда его клеточный цепной комплекс С#(Е) дает резольвенту 2.3 и кручение Рейдемейстера т(Е, ти) определяется как х(С#(Е), ти). Обратно, если есть базированная периодическая резольвента С^ Zru-модулей, то существует и единствен конечный гомотопический тип (Е, ти) с х (С^ тс) = х(С#(Е), ти). Пусть X — подгруппа тс, и С¥ — базированная периодическая резольвента над Etc. Тогда она является также базированной периодической резольвентой над Е\ и х (С^, X) = i* (т (С#, тс)), где г* : ЛГХ (2?я) -> ^ (Е\) — естественное отображение. Если Е — локальное или глобальное числовое поле, то Ш*: Кг {Etz) -> П {Кг (Е\) | X с те циклическая} х инъективно, а поэтому х(С#, те) определяется по т^(С#, X), когда X пробегает все циклические подгруппы. Группа Кг (Ztc) = Кег (Кг (Ztc) -> ЛГХ (Z)) действует на конечных поляризованных (те, /г)-пространствах, сохраняя (ориентированный) гомотопический тип. Поэтому имеем отображение » 2.5. х : Кег {GHn (те, Z) ^> К0 (Ztc)} -> Кг ((b)/j^ (Ztc). Прежде чем начать вычисление х, напомним некоторые хорошо известные результаты о Kx(Etz) и t(CJ. Первая компонента хх легко вычислима: если Х^ — базированная периодическая резольвента над Z те периода 2п и С#== = ^®^ то Поэтому, если Х^ — базированная периодическая резольвента над Ztc и С^ = = X,®Q, то 2.6. х1(С.,.«)=±П|Я»(«; Z)r <см. [15, § 8]). Вторая компонента х2 (С#, те) более замысловата; ее обычно вычисляют через приведенную норму. Пусть Е — некоторое числовое поле, локальное или глобальное, т. е. E=Qp или E — Q. Пусть {5\}—множество простых компонент тюлупростой алгебры Етс. Для центров имеем Z (Qn) =ILZ (St), a Z(S4)— конечное расширение поля Е. Если Е глобально, тогда и Z{Si) глобальны. Обозначим через Z(Si)* подгруппу элементов, положительных при всех вложениях Z (5\) С R с разветвленными St ® R (= Л/я (Н), где Н — кватернионы). 1 Базированный А -модуль (где А — кольцо) — это свободный А -модуль с фиксированным базисом; базированная А -резольвента (комплекс) — это резольвента (комплекс), «состоящая из базированных А -модулей, и т. д. — Примеч. пер. 155
Обратимые элементы в Z(S.) обозначаются Z{Si)x> Тогда мы имеем следующий фундаментальный результат (см., например, [1]). Теорема. Приведенная норма Nrd:K1(E7z)->Z(E7z)x является изоморфизмом, когда Е локально, и инъективна с образом Z(Eiz)*r когда Е глобально. Рассмотрим диэдральную группу D2p = Ъ\р X Z/2. Ее представление образующими и соотношениями имеет вид D2p = (A, Х\Ар — 1> ХАХ~1 = А~1, X2=iy. Рациональная групповая алгебра QD2p разлагается так: QD2p = Q [Z/2] ф Q (С/ [Z/2] = Q+ ф Q_ ф М2 (Q (С, + С"1)). Здесь индекс t указывает, что берется скрученное групповое кольцо: Ж X'1 — = t1. Приведенная норма отображает K1(QD2p) изоморфно на Q* ф Q* 0 е<?(^ + С-1)х (по теореме). В некоторых случаях нам будет нужен явный вид Nrd (X) для \(^Qtzx. Это легко сделать когда групповое кольцо разложено в произведение скрученных групповых колец (или нормальных алгебр): Nrd (X) есть детерминант правого умножения на X. Например, если X = ХХ -\-\2X£QD2p, то Nrd(X) = (e(X1 + X2), е(Х1-Х2), Х^-Х^), где е : Q [Z/p] -> Q — аугментация, а в третьей компоненте мы опустили обозначение естественной проекции Q [Z/p] -> Q (С^), которая отправляет образующую А в £ . Введем обозначение 2.7. Д(С„ те) = Nrd т (С,, k)£Z(Etz)x и разложим Д==(Д1, Д2). Из [7, § 2] имеем: 2.8. Лемма. Существует базированная периодическая резольвента Х^ периода 4 над ZD2p такаяу что в Z (QD2p) верно Доказательство. [В [7, § 2] мы построили базированную периодическую резольвенту периода 4 с Д(С^, те).= (1//?2, 2 — ^р— С"1). Далее,. i*: Nrd Кх {QD2p) -> Nrd Кг {Q {Zip)) отображает (х, у; 6) в (ху; 8) и, так как Дх (С^ D2p) = 1/4/?, то лемма доказана. Для кватернионной группы И (8) мы имеем Nrd (К, (Q [Н (8)])) = £>х+ ф £>_х+ Ф <?*_ ф <?*_ © <?*, где -j-и —относятся к действию образующих X, Y^H(8), a Q*—группа положительных рациональных чисел. Стандартная базированная периодическая резольвента периода 4 (по Картану и Эйленбергу) имеет кручение 2.9. Д(Х„ *) = (1/г2; 2, 2, 2, 2). Теперь обратимся к группам типа 1Ш. На самом деле мы будем рассматривать только группы типа ИМ порядка 8pq, где р, q — нечетные простые. Эти группы обозначаются в [И] Q (8р, q, 1) и являются расширениями 2.10. l^Z/pxZ/q^Q(8p; q, l)-tf(8)-l, где Я (8) —группа кватернионов, #(8) = <Х, Y\X2=Y\ YXY~1 = Xy, а характеристический гомоморфизм <р : Н (8) -> Aut (Zjp X Zjq) имеет ядро Z/2. Пусть А и J5 — образующие Z//? и Z/g; {Л*'} = Z//>, {Б*} = Z/g. В (2 (8/?; gr, 1) мы имеем соотношения ХАХ-г = А'\ XB=BXf YBY~1 = B~\ YA = AY. 156
Группы iz = Q(8p; q, 1) имеют когомологический период 4 ;и а8/(тт:)=0 для всех L В самом деле, если % — примитивный характер подгруппы С = = (АВХ2) индекса 4, то индуцированное представление V = IndJ; (%) свободна (-f-1 не является собственным значением никакого g£n—{1}). Поэтому S (V) — конечное поляризованное ^(ти, 8)-пространство и а8(тс) = 0. Из 2.2 теперь следует, что о8/(ти)=0 и что а8,+4 (Q (8р; q, 1)) = о4«?(8# 9, 1)) имеет порядок 2. Далее мы будем обозначать 7zz=zQ(8p; q, 1). Мы используем 2.8 и 2.9, чтобы построить базированные периодические резольвенты периода 4 над ади- ческим групповым кольцом Ък и над рациональным групповым кольцом Qiz. Потом мы склеим их над Qn2. Мы имеем разложения групповых колец: Ърп=ърв2р е вр, \ъ=zqD2q е вя, ъ2к=ъ2н (8) е в29 <?« = q++@i«?, d2p)е/«?, D2q)e <?„ e н «?) e50. Разложение Qiz индуцирует разложение Z(Q, тс)* = Nrd (ЛГХ (Qtc)) и, следовательно, разложение каждого из Nrd А^ ((^тс). Мы выбираем базированную периодическую резольвенту У# над фтс периода 4 с кручением 2.11. Д,(Г„ *) = (-3^; (f 2-С.-С;1), (|, 2-^-С"1), 2, 2, l). Если Z — простое и отличное от 2, р и #, то имеется резольвента X (Z)¥ над ZjTc с Д(Х(/)^, тс) = A(F^, тс) в Nrd ЛГХ (@jtc). Это имеет место потому, что Zztu расщепляется «так же», как Qn.Z^ — максимальный порядок в Qp. Если 1 = 2, р или q, мы можем использовать резольвенты из леммы 2.8 и 2.9,. снабженные подходящей тривиальной точной последовательностью базированных 5гмодулей, чтобы получить базированную резольвенту Х(1)^ над Zztc с кручением3 2.12. Д(Х(/>)., «) = (1/64рв8; (4/т», 2-^-С;1), (1, 1), 1, 1, 1), Д (*(?)., «) = (l/64«* (1, 1), (4/д, 2-С,-С"1), 1, 1, 1), Д(Х(2)„ гс) = (1/32; (2, 1), (2, 1), 2, 2, 1). Все периодические резольвенты над Qiz одинакового периода 4 гомотопически эквивалентны в том смысле, что имеется коммутативная диаграмма О ->Q Д> X3®Q — X2®Q — X^Q — X0®Q ^ Q — 0 ь 4, /1 I /0 На самом деле можно считать без ограничения общности, что каждое fi есть изоморфизм. Тогда можно образовать «комплекс пересечений» Z^ где Zi = {(x, у)£Х(Х¥;\}{(х®1) = у®1}. В общем случае так получается периодическая резольвента над Ztc из конечно- порожденных проективных ZTC-модулей. (Ср. [7, 15].) Кручение Уайтхеда ^ (/J £ i£x ($тс) есть разность абсолютных инвариантов * (/.) = t (У., я) - х (Х„ гс) б К, (<?гс) Склейка (?тс- и ZTt-резольвевт вроизводится с вомощью универсального квадрата. В результате получается Z л-резольвента Z-+Q Z-+Q. — Примеч. пер. :Мы изменили первую компоненту в дх (X {р)%) в 1/16д2 раз по причинам, которые будут ясны позднее. Замена возможна, поскольку 1/16g2 £ Z*. 157
и может быть вычислена исходя из 2.11 и 2.12. Напомним точную последовательность в алгебраической ЛГ-теории: 2.13. Кг (Ztc) -> Кг (Qn) © Кг (Zrz) —U Zx (фи) -^> i?0 (Z«) -> 0. Для комплекса пересечений Z^ имеем 2.14. Лемма, (i) Препятствие Су она задается равенством (ii) Если x(fj = j(у) — j(х) в 2.13, то мооюно выбрать базированную резольвенту Z^ такой, что t(Z^, тс) = т(У#, ти) — у. Заметим, что в лемме 2.14 пара (у, х) не единственна. Но из 2.13 видно, что (у, х) определен по модулю K1(Ziz). Таким образом, i(Z^, тс) корректно определен как элемент K1(Qtz)IK1(Ztz) (см. 2.5). Можно интерпретировать лемму 2.14, используя приведенную норму. Во-первых, из 2.11 и 2.12 следует, что т(/J £Кг (Qpn) ф Кг {Qqn) 0 Кг (&те), или, что то же самое, Каждое Z ((^тс) есть произведение Z-локальных полей Рг Имеется Z-адическое нормирование ordz: F* -> Z с ядром А* (единицы Р*) и соответственно получаем гомоморфизм: ordj: Z (Qi^)x -> ZN, где N — число полей в разложении Z{Qliz). Ядро ord/ обозначается Ax(Qliz). Из 2.11 и 2.12 вытекает, что А (/.) 6 ЛХ «?,*) 0 Лх (<?,«) фЛх (&*). Композиция ^(Z^tc) —-> K1(Q1tz) > Z((^tc)x, снова обозначаемая /, отображает K1(Zliz) в Лх((?/тс) для всех I и сюръективна, кроме Z, делящих 2/?д. Коядро / обозначается Е1 (тс). Определим, наконец, 4* (Qtz) как ядро отображения I Ясно, что A* (Qtz) есть произведение групп единиц (или вполне положительных единиц) в некоторых глобальных полях и имеется естественный гомоморфизм / : A* (Q*) -> Ер («) 0 Ef («) 0 Ег («). Тогда А (/J определяет элемент A (/J £ Е^ (тс) ф Е? (тс) 0 Е2 (тс), и мы имеем следующий вариант леммы 2.14. 2.15. Лемма, (i) a4(Z^, тс)=0 тогда и только тогда, когда A (/J £ Image (у). (ii) .Бела A (/J = /(#), то при подходящем выборе базиса A(Z^, тс) = = Д(Г„ «)/и. Оставшаяся часть раздела является чисто вычислительной. Наши вычисле- дия вполне аналогичны вычислениям в [10], поэтому мы опишем их вкратце. Мы начинаем с разложения Ъгъ на неразложимые блоки для 1 = 2, р и q, * = Q(8p; q, 1): 2.16. ZpK = ZplD2p]T=1®Zp[D2p]Y=_1®2p[Zlp]£g)t[X, F|Xa = l]© ®Z,[Zlp]'[X, Y\X*=-l]®Zp[Zlp]£gy[X, Y\X*=-l]. Здесь и везде далее мы не пишем (но подразумеваем) соотношения X2 = Y2 ш YXY-1 = X~1. Заметим, что Zp[D2p] = Zp[Zlp]* [X \ Х2 = 1]. 158
Каждое из слагаемых в 2.16 разлагается на простые алгебры над Qpr QP Wpf [X, Y I X2 = -1] = H (Qp) ф Qp (jy< [X | X2 = -1], х(й:,)х-1=-й:;1, QP \VP\ (С,)' [X, Y | X2 = 1] = Qp (y' [Г | Г2 = l]x=1 0 Qp (y' [Г | Г2 = 1]х=-1 ф e<?„(cp, g'tx, y|x2=i], <?, [Z//>] (У [X, У | X2 = -1] = Qp (jy* [Y I Y2 = -1] 0 ©<?„(!>, У'[Х, Y|X2=-1]. Простые компоненты с X2=l (У2=1) — это кольца матриц над полями (совпадающими с их центрами); но компоненты с X2 — —1 (Y2 = —1) есть матричные кольца над некоммутативными алгебрами с делением. Переходя к простому числу 2, имеем 2.17. Z2* = Z2 [Н (8)] ф Z2 (С/ [Н (8)] ф Z2 (у' [Я (8)] ф Z2 (С,, С,)' [Я (8)]. Последние три слагаемых являются кольцами матриц. В самом деле, Z2 (С )> Z2 (£ ) и Z2 (£ , у — неразветвленные расширения Z2 и соответствующие слагаемые суть алгебры Азумайя (см., например, [16]). Поэтому 2.18. 2лу'[Я(8)]=м2(г2(д[у|г*=1р>),. где <(Х)> обозначает переход к подкольцу элементов, коммутирующих с X. Используя 2.18, можно продолжить расщепление 2.17 группового кольца над Q2. Например, имеем & (у< [Н (8)] = м2 (& (с, + с;1))т_, ф м2 (<?2 (с, + с;1))^ ф м2 (Q2 (кр - гс;1)). Замечание по поводу обозначений. Мы используем символ <?/(^ + ^1) как обозначение для Q\ (g) Q (Zq -f С"1) и аналогично Z1 (£? + ^д1)== = Z, ® Z (С, + С"1) и F, <Ь + С;1) = F,® Z (cg + С"1). Поэтому & (Сд + С"1) - не поле, а произведение g; изоморфных полей, где gt = | (Z/g)x/<^—1, Z)>|—число простых чисел в Q (С? + С"1), лежащих над рациональным простым Z. То же замечание имеет силу и для Fz (С? -f- С"1). Разложение на блоки, указанное в 2.16 и 2.17, Х1п=ИС. индуцирует разложение Ах ((2^) = НА? (С{). В самом деле, каждый Z-блок разбивается на простые компоненты над Qt и каждое А? (С{) есть произведение групп единиц в соответствующих центрах. Более того, так как каждая простая компонента Qt 0 С. является пополнением простого слагаемого в Qiz, мы имеем для каждого I разложение A* (Qn) = TLA* (С.), причем (А (С.) (g) Zz)>< = Af (С.). И, наконец, разложение A*(Q1tz) совместимо с разложением K^(btTz), так что- Е,(*) = ПЕЕ{С{). 2.19. Пример. Пусть С = Z p[Z//?]'[X, Y |Х2=—1]. Мы покажем, что Е (C)"=Fp. Рассуждения ниже немедленно обобщаются; читатель легко- проделает соответствующие вычисления с другими блоками. Пусть J = (l—Ау — идеал, порожденный 1—А, где A^Z/p — образующая. Тогда С — полно в 7-адической топологии и мы имеем диаграмму точных последовательностей (см. [18, § 1]) 159
(1 + /)х - Кг{С) -^Кг{Ъ [X, Г|Х»=-1])-*0 ^i(^(^)'[X|X»=- s Nrd !-»<?, (*,-«?) -1]) - KAQP®C) Nrd| ss -»&(я:,-<:;1)х®3 ^(H(<?J) ->o ^ I Nrd Хорошо известно, что ЯДХ, Y\X2 =— 1] = M2(Zp), так что правое вертикальное отображение имеет образ Z% (ZQ%* Слева есть задача вычисления образа 2.20. 1 + (1 - у Ър (КрУ [Х\ Х2 =-1] —-» Qp (1С, - й?). Пусть X = (1 -f— Хх) -f— \2Х. Nrd (X) можно вычислить как детерминант правого умножения на X в Qp (Кр) © Qp (Лр) • X. Отсюда Nrd (X) = N (1 + Хх) + N (Х2), где /V: Qp (i^p) -> (^ (fcp — iC1) есть обычная норма. Пусть / и 1ге обозначают максимальные идеалы для Q (1^р) и Qp (Кр — гС"1). Из формулы, приведенной выше, следует, что Nrd (1 + /) С 1 + 1ге- Более того, Nrd (1 -f /) ID N (1 + Л> а так как 7V : 1 -(- / -> 1 -f- /re является сюръективным (факт из локальной теории полей классов) Nrd(l -f- /)= 1 +/re* Мы имеем А* (С) = Z * © Z^C, - К?) *Я,(С) s Z,(«, - fi^/l + /„=F*. (Расширение Qp(Kp— ^)IQP является вполне разветвленным.) Теперь вся нужная информация может быть сведена в следующие табл. 1 и 2. В первом столбце выписаны блоки прямого разложения. Второй столбец представляет соответствующее разложение A* (Qk). В третьем столбце мы выписываем АР (Ос £ А* (С) = (А (С) ® Zz)x, а четвертый столбец — это Ер (С) (см. [10, § 4]). Для того чтобы производить вычисления, нужно знать не только абстрактную структуру Ег (С), но также гомоморфизм 2.21. срг (С): Л/Х (С) -> jE'/ (С), т. е. соотношения в Л* (С), определяющие Ег(С). 2.22. Дополнение, (i). Блоки 1—4 в табл. 1: Е (С) есть «поле» вычетов каждого из слагаемых А^ (С) и ср (ж1, ж2, xs)—(xv х2)~1х3 в первых трех блоках. В блоке 4 yp(xv х2)=х^1х2. Здесь х обозначает образ ж в «поле» вычетов. (ii) Блок 5 в табл. 1: Норма N : Zp(Kq — iC"1)x -> ^(С^ + С"1)* является изоморфизмом, и F^ (Cff + С"1) — «поле» вычетов для Ър (С? + С"1) и Ър (£р -f- С"1, С^+С?1). Имеем: <pp(xv х2) = (N (х^1. х2. (Ш) Блок 1 в табл. 2: <p2(#i, х2, ж3, ж4, ж5) = П^.. (iV) Блок 4 в табл. 2: <р2(ж1» жг) = (^i)_1 ^2- (V) Блоки 2 и 3 в табл. 2: Соотношения здесь более замысловатые. Мы будем использовать только (2 - С, - С71, 2 + С, ^ С71, 2 + К, - «71) G Ker %. Доказательство. Все пункты доказываются вычислениями с приведенной нормой. Например, в 2.19 нужно проследить композицию /\ /v Nrd Кх{Ър[Х, Y\X^ = -l))-^K1(Zp[Zlp]t[X, Y\X* = -t]) > ^QZ@QPW-K;Y- 160
Таблица 1 р-блок: С 2р-["зр]у=1 Zp [^2р]у=_1 ZP [Z/pJ (С,)' IX, Y|X» = 1] Z,[Z/p]«[X, Y|X» = -i]. Z, [Z/pJ (С,)'[X, Y|X» = -1] Л* (С) С A* (Qn) z£.©z^.©z (с,+ <£»)£_! ZX_©Zl©Z(Sp + ^i)y = _i Z (С, + t ji)*:.i © Z (С, + ^)z._i © Z (С, + С,», C, + Cj J)X Z* © Z («C, - ^С"1)* Z (it, - i^)* © Z (t, + £-1, C, + ^)* A* (/.)„ (2?; 1/2, i) (2/g, 2, 1) (2-C-Cg1, 1,1) (2,1) (1.1) EP (C) Fx Fx p Fi,(C, + ^1)x Fx p *,(С, + ^)Х Таблица 2 2-блок: С Z2 [Я8] Z,(W'[ff8] Z2 (С,)' [H8] Z,K,. Сг)'[Я8]. Л* (С) с Л* (<?*) zx+ © zx+ © zx_ © zx_ © z* z (C, +1;1)^.! © z (c, +1;1)^-! © z (*t„ - «?)• Z (C, + C-i)M © Z (C, + C?1)^..! © Z (iC, - «J"1)* z(t,+c?. ?г + ^1)х©г(сР + ^1, с, + ^)* Д2 (/*)c (i/рв; 1/?, i/p. i, i) (2-Cp-Cj1. 1,1) (2-C-tj1, 1,1) (1.1) #2 (?) F* 2 •F.tC + C^eF,^ + £-i)+ j-F.ic + c.YeMc+t,-1)* F,(C, + C?. C, + C?1)x
Мы оставим читателю проверку всех случаев, кроме (V). Здесь 2-блок есть Z2£p?[H8] = M2{Z2£p)[Y\Y*==l]<x>), поэтому образ Nrd совпадает с группой единиц центра. Далее, u = (2 — Zp — С"1, 2 -f Zp -f Cj1, 2 -f Кр — &р1). есть образ 2 — С"1 У — ^pY~x при естественном отображении (К (У [Y | г*=1]<*>)х -> z2 (с,+с;1)^ е z2 (t,+с;1)* _у ® 22 де, - «?)*_,. Это доказывает (V). 2.23. Замечание. Указаный в табл. 2 изоморфизм Е2(Z2(£р/ [Я8])« « 2 • F2 (С -f- С~1)х © F2 (С^ -(- Ср1)4" легко получается из точной последовательности 1 -* 1 + 2Z2 («с, - к;1) - (Z2 (R, - i^) [Y | У4 = 1]<*>)х -^ ->22(^ + ^)[Г|Г»=1]х^1 и того, что Q2№p — K^V&C^-f-Cj1) разветвлено в 2. Значения 4*(()тс) выписаны во вторых столбцах табл. 1 и 2. Рассмотрим следующие элементы, лежащие в различных компонентах A* (Qtz): 2.24. 2 + «., - V б Z (К, - Й^Г, 2 + ^ - JC-16 Z (^ - i^f, S1 (2 + с,+с;1) е z (С, + с;1)^, е- (2 + с,+С"1) б z (с, + с-)*.,, Пусть Х£4*(@тс) есть произведение единиц из 2.24. Используя 2.22, имеем 2.25. ?8(Д(/.)Х) = 0 в Я2(*); <Р»(д(/.)*)о = 0 в е;(С)' с из строчек 1, 2 и 4 (/ = />, g); ?,(Д(/*)'^Ь = -(Ч-^Г2е]Рр(^ + ^1)х. ^ из строчки 3; ^(M/J^^ + C-VeF^ + q1)*, С из строчки 5; ?в(Д(/.)Х)<7 = -(^-^1ГбРв(С, + ^1)х, С из строчки 3; ?в(Д(/.)^=(^ + ^1)-а6Рг(С, + ^1)х, С из строчки 5. Простые элементы в Z (Ср -f- С~\ ^ + С"1), лежащие над ри q, суть 2 — 1,р — ~,~ и 2-^-С"1. «Поля» вычетов суть F^ + С^1) и Fq(С, + С;1). 2.26. Предположение. Найдутся единицы ^, г6Z(С^,-)-С"1, С?-f-s~')x и ^.j£z(^ + ^1. S? + ^T "гакие, что (i) Ъ, s = (^ - С"1)2, ty 4 = (Сг + С"1)2 mod (2 - Ср - С;1), (и) ^ ^(с^-с;1)2. ?;,д=(t,+с;1)2mod(2-с,-с-1), (ш) Р„. s = ^,sm°d2. Это предположение выполнено для р = 3 и g = 13. В самом деле, пусть 2.27. ?.Pi д = -(1 + с? + с-2) (св + с-1)78, pi;, , = (С, + с-1)-24. Эти элементы удовлетворяют (i) и (ii), и, кроме того, ^Z1 q^*p q является третьей степенью в F8(CJ + ^1)X- Но Ker {Z (^-f-A~Y -* F3(^+V)x 0 F><} отображается на F2(Cg-j-C~1)x3; поэтому можно перевыбрать, скажем, ру 5, чтобы удовлетворить и (Ш). Кажется вероятным, что предположение 2.26 выполняется для /?— 3 и всех д = 13 (mod 24). Предположим, что 2.26 выполнено. Мы хотим найти /^-инвариант e(Z^ п) получающейся базированной периодической резольвенты Z^. Во-первых, заметим, что 162
где А(У^, тс) определено в 2.11, и X есть произведение элементов из 2.24. Мы используем разложение А* (Qtz) = IL4* (С.) (см. табл. 2) и из 2.11, 2.15, 2.24 и 2.26 получаем 2.28. a(Z„ ^) = (1!S2pq; 21 р; 2/g, 2, 2, (2 - С, - С;1) в,' (2 + ^ + ^)3- 2 + ^-^V(2-^-^)V (2 + ^ + ^)e^ Когомологические инварианты достаточно определить на силовских подгруппах. В нашем случае Z-примарная часть е (Z^, тс) есть е (Z^ Z/Z), а 2-примарная часть есть e(Z^, Н (8)). Далее, йхинвариенты определяются кручением, поэтому мы должны вычислить b(Z¥, Z/Z)=i*A(Z^, ти) и Д (Z#, Я (8)) = J*A (Z^, те). Здесь /*: Z ((?ти)* -> Z (QZ/lf — отображение, которое делает следующую диаграмму коммутативной: ^ I Nrd ~ I Nrd то же для £*. Легкое вычисление дает 2.29. A(Z„ Z/Z) = (l/Z2; (2 - CJ - С"4) /V (^ ?)2 /V (^ ,)»), Z = p, 9, A(Z„ Я(8)) = (1/32; 2, 2, 2, 2), где /V — гомоморфизм нормы из Q(^p-\-^>~1, ^ + ^) в (М^ + ^71)- Замечание. В доказательстве 2.29 следует разложить Qk в ортогональную сумму нормальных алгебр и использовать результаты о приведенной норме для нормальных алгебр. Пусть N {Е/К, /) — нормальная алгебра, где Е/К — расширение Галуа с группой G и / : G X G -» Ех есть 2-коцикл (см. [13]). Пусть L с Е есть подполе. Тогда имеется коммутативная диаграмма: Nl£lK,ff | Nrd J Nrd Коммутативность легко доказать, заметив, что для X £ N (Е/К, /)х, Nrd(X) есть детерминант #-линейного отображения \L : N (Е/К, f)-+ N (Е/К, /) (kL есть левое умножение на X). В разделе, следующем за 2.10, мы ввели образующие А, В, X и Y для iz = Q(8p; q, 1). А есть образующая Z/p, В — образующая Z/q и X, Y порождают Н (8). Пусть Xi: Z/Z -> S1 — характер, который переводит образующую (А или В) в элемент e2Ki/l, и пусть Н—стандартное представление Н (8) в SC/^r^rS3. Положим ej = <i(Xf)t Г = с2(#)- 2.30. Теорема, Zfo/ш предположение 2.26 выполнено, то найдется периодическая базированная резольвента Z^ для Ztc периода 4 и в (Z„ Zip) = -(bqf е*. е (Z„ Z/g) = -(V)2 е|, в (Z., Я (8)) = т. Кручение Z^ выписано в 2.28. 163
Доказательство. Хорошо известно, что имеется Z/Z — эквивариантное клеточное разбиение сферы S {уг 0 Хг) с кручением MSibQXi), Z/Z) = (l/Z2; (C-l)2). Из [15] мы знаем, что e(Z^, Z/l) = re2p где г £ F,x — приведение Д2(2„, Z/Z)| /(Cj-lfeZHyx. Из 2.29 Д2 (Z„ Z/0/(Cf - 1 )2 = -(2 + С,2 + С72) (2 + С, + С71) iV (tv / /V (,£ /. Рассмотрим коммутативную диаграмму, связывающую различные нормен- ные гомоморфизмы Z^ + C"1, С. + С-1) > F^C. + C-1) > Z^ + C"1) Z(C, + C?) > F, > Z Из 2.26 (i) в F>< имеем N {y.p, g) =ЛГ(((^ — q1)2). Ho (Cg — С"1)2 есть простой элемент, лежащий над g в Z (Cg-|-С"1), поэтому iV"((Cg— ^)2)= +?. Аналогично Л^(р* )=+1. Это завершает доказательство. Такие же по существу рассуждения дают 2.31. Дополнение. Пусть е £ Я4 (тс, Z) — образующая, указанная в 2.30. Препятствие Суона а4(е) есть образ элемента, выписанного в 2.25 при естественном отображении Ер (ти) х Eq (ти) X Е2 (ти) -*► j?0 (Ztc). Как уже отмечалось в разделе 1, а4(()(23; q, 1)) = 0, если # = 13(24)* Мы заключим настоящий раздел усилением этого результата. 2.32. Следствие. Пусть q—нечетное простое число, такое что отображение приведения р : Z (С, + фх - F3 (^ + ^)х X F* содержит (1, —1) в своел* образе. Пусть е — образующая #4(@(24;g, 1); Z) такая, что ее нечетно-примарная компонента есть квадрат, а 2-примарная компонента равна —у. Тогда о4( + е) = 0, если ((^-j-^1)2» 1) имеет-нечетный порядок в (F.C^ + C,-1)* X Fx)/p(Z(Cs + ^T). Доказательство. Единица а = ^ — ^g3/^g — ^ в Z (Сг -(- С~1)х отобра_ жается р в ((Сд — С"1)2, 3). Пусть v £ Z (Сд + ^д1)х — элемент, приводящийся в (—1, 1) в F3(Cg4-^1)x X Fgx. Тогда по 2.25 Д(/,)Хш> обращается в нуль в ^(тг) и равно (C^ + C"1)-2 в строчке 5 для Ер(п) и в строчке 4 для #2(тс) (табл. 1 и 2). Отсюда следует, что а4(е) имеет нечетный порядок. Ноа4(е2) = = 2а4 (б) = 0, поскольку е2 есть /^-инвариант свободного представления. Поэтому а4(е) = 0. В рассмотренной общей ситуации мы не следили за инвариантом '*(*)€*! №*)/*! (Z*) (см. 2.5). Однако для дальнейшего использования мы воспроизведем здесь частичный результат, касающийся вычисления т (e2N+1) для подходящего N > 0- 2.33. Следствие. Пусть q — нечетное простое число, удовлетворяю" щее предположениям 2.32. Пусть v£ +Z (Cff -f- С~х)х2 таково, что p(v) = = (—1, 1). Для подходящего N существует периодическая базированная резольвента Z^ периода 87V-f-4 такая, что A(Z^, тс) есть (27V -f- 1)-л степень элемента, выписанного в 2.28, где V-Ptq—$>1— ^3/£g— ^V- Если, далее, (Сг —(— С"1)2 имеет нечетный порядок в F3(C?-f- С~1)х, wo можно взять а* = 1. 164
Заметим, что следствия 2.32 и 2.33 можно применять, если д = 13(24) и если д = 89, ИЗ. 3. Промежуточные i-группы Как в [21], мы обозначим через L\ (X) промежуточные ^-группы, связанные с классификацией квадратичных форм, у которых дискриминант имеет конечный порядок в Кх (ZX). В геометрии они возникают как группы препятствий к превращению нормального отображения в слабую простую гомотопическую эквивалентность перестройками. Мы будем оценивать L'3 для группы Q (8р; q, 1) и для ее подгрупп. Ради краткости мы будем писать тс вместо Q (8р; q, 1) на протяжении раздела 3. Эта группа была задана образующими и соотношениями в 2.10. У нее есть три замечательные подгруппы: 3.1. \ = <А, X, Г>, т2 = <Я, X, У>, т=<Л, В, АТ>. Гомоморфизмы переноса (или трансферы) определяют отображение 3.2. *; 0 ** © f: Ц («) - Ц (тх) © Ц (х2) ф Ц (т), и нас интересует его ядро. Разложение Q [Z/pq] на четыре поля индуцирует разложение Qn и разложение любого функтора от Qn. На самом деле такое разложение существует для любого ковариантного функтора К (к), действующего из конечных групп в абелевы. Пусть / и / : Z/pq -> Z/pq — эндоморфизмы, которые проектируют Z/pq на Z/p и Zjq соответственно. Они расширяются до эндоморфизмов / и fq всей группы тс, а именно / | Н (8) = fq \ Н{8) = id. Мы получаем идемпо- тентные эндоморфизмы Fp—(fp)¥ и Fq = (fq)Jfi группы К (к) и соответствующее разложение 3.3. К{ъ) = К («) (1) © К («) (р) ф К («) (д) © К («) (рд), где Я(*)(1)= FpFq{К(«)), К(«) (p)=Fp(l- Fq) {К («)), *(*)(g)=/yi-F,) (*(*)), ^WW = (l-ff)(l-^)(^(4 Мы будем использовать это разложение применительно к функтору Ь'ъ (тс). Опишем в терминах этого разложения отображения переноса. 3.4. Лемма. Ядро i*®^®/* в 3.2 совпадает с ядром i* : L'z (тс) (pq) -> Доказательство. Из соображений естественности имеем IinjP = = Im(*i)* и ^m^g = Im(^)*- Более того, К («) (1) = /^з (я (8)), l; («) (р) = (у. ил {zip * я (8)) до, ^(«)(?) = (У,^з(2/?^Я(8))(г), где / : Я (8) С^с — включение. Достаточно доказать, что эндоморфизмы i\ о г\* и t* о /2* суть изоморфизмы. Для этого мы используем формулу двойных смежных классов (см. [2, 6]). Разложение тс на двойные ^-классы есть тс = 0Z-O/2 = II \В\ и Для *>0 T1ni541J5-t' = Z//?xZ/4 = <yl, Х>. *=о Поэтому ^)/2 i{oi1*(x) = x+ Z (ki)*°ki(x)> где kx — включение Z/p % Z/4 в тг Так как Z/p 5< Z/4 — нормальная подгруппа в тх, второе применение формулы двойных смежных классов дает /с* о ki*(y)=y-\-cY{y), где cY индуцировано сопряжением с Г. Поэтому kl*k*lk1*k*1(y)=:2kl*(y). Так как L3 (тс) — конечная 2-группа, мы получаем, что 165
оператор (q — 1)/2 (кг)щ о к\ нильпотентен и г* о (/х)# — изоморфизм, что и доказывает лемму. Остаток раздела посвящен вычислению Ы3 (тс) (pq) и L'3 (т) (pq). Мы предполагаем, что читатель знаком с [21]. Полезно также просмотреть [5]. Замечание об обозначен pi я х. В разделе 2 мы использовали запись: : z, (с, + с;1, с, + с;1) и F, (с, + с;\ с, + С"1) и т. д. для обозначения тензорного произведения Zl (соответственно Fz) с целочисленным кольцом Z^-j-C"1, ^-f-^1)- В настоящем разделе мы придерживаемся более стандартных обозначений: 2г(£ -f-C^1, Cff —f- С"1) обозначает любое из gt изоморфных Z-адических пополнений и F, (£ -f- ^> ^ ~Ь ^д1) — поле вычетов. Здесь gL обозначает число Z-адических простых в Z (£ -j- ^> ^"h^g1)- Группа Галуа G расширения Q^ + C^1, Cg-j-^1)/^ есть фактор-группа группы (Z/pq)x, и gz совпадает с индексом подгруппы <(/)>, порожденной Z в группе G- Кольца R = Z (Ся)' [Я (8)], 5 = £ (Си)' [Я (8)j и Г = R ®Q S наследуют антиинволюции из стандартной антиинволюции а : Ztc -+ Ztc. Для кольца i? и его пополнений мы обозначим X(R) = Ker {K1(R)-^ ->K1(S)}9 где S — S <S)qQ> а (? обозначает конечные аде ли Q. Для удобства мы будем писать Li(R) вмебто Lf(R, а, 1), где X = X(R), и аналогично для L-групп пополнений антиструктуры (R, а, 1). Обозначим через СХг (5) коядро в следующей точной последовательности: L,{1> (S) -> L<1} (S) 0 L<1} (Г) -» CL,. (5) -> 0. Основным инструментом в вычислениях будет следующая точная последовательность [20]: 3.5. .:.^CLM(S) + L'((«){pq)^ ЩЬ( (Z, <8» Л) Ф4 (Т) -» CLt (S) -» ... Кольцо S содержит центральный идемпотент 11г{^—X2), который расщепляет S на две простые компоненты. На самом деле, используя стандартную теорию полей классов [13, 3], мы получаем S = Mt(E)@M2(D), где E = Q(^p-\-t>p19 ^g + ^g1)* а D — нетривиальная алгебра с делением над £» разветвленная в бесконечных простых и в р и q. "Антиинволюция а индуцирует антиинволюцию на каждой из компонент, а потому и тип. Первая компонента имеет тип 0, вторая тип Sp. Группа CL.4 (S) аддитивна по отношению к расщеплению S и для простых компонент мы имеем [19, с. 257]: 3.6. СЬ3(М,{Е)) = 0, CL3(M2(D)) = C(E2), CL0 (Д/4 (Е)) = Z/2, CL0(M2(D)) = 2C(E). С (Е) обозначает группу классов иделей поля Е, а нижние индексы соот- 2 ветствуют точной последовательности 0 -> 2С -> С -> С -> С2 -> 0. Мы начнем вычисление оставшихся членов в лемме 3.4 с рассмотрения L. (Zj 0 R) для I )( pq. Мы обозначаем через А кольцо целых чисел в поле Е, i4 = Z(C^ + Cj1l С^ + С"1), и Лу — его [/-адическое пополнение, где г/—любое 166
конечное простое число в Е. Когда I нечетно, идемпотенты, используемые для S, имеются уже в Zl(^)R. Более того, так как D не разветвлено в конечных простых числах, не равных р и q, мы на самом деле имеем z, <g> R = П (^4 (Л,) X Л/4 (А,)) = 2g, ■ Mt (А,). Эквивалентность Мориты сохраняет типы, и мы получаем L.(Zl®R) = grLi(Al, 1, i)®g,-Lr(A„ 1, -1), где Аг обозначает любое из gl изоморфных #гадических пополнений. По [21, § 1.6] можно записать 3.7. L0(tl®R) = (gl.aA?=gl{±l}, Ifpq, L3 (Z, <g>R) = gr (AfjAp), I% pq. В обоих случаях вносит вклад в группы L слагаемое Z;(g)i? типа Sp. Для / = 2 вычисление L^ (Z2 ® Д) несколько более сложно. Из 2.18 мы знаем, что Z2 0 R есть алгебра Азумайя и на самом деле изоморфна произведению g2 матричных алгебр. Имеется эквивалентность Мориты для антиструктур (см. [21, § 4.4] или [5]): (А'2[Н8], a, l)~(i2[X2|X4=;l], 1, Z2). Отсюда получаем 3.8. Li(ti(S>R) = gi.Li(Ai[Z/2l 1, Т), где Г —образующая Z2, a g2 —индекс <2> в (Z/g)*/<—1> 0 (Z//>)x/<—1>. Имеется последовательность Ротенберга: 3.9. H*+1(A2[ZI2]x)^ Lt(A2[ZI2], 1, r)^Lf(i2[Z/2], 1, 7*) -* ^^'(i2[Z/2]x), где Я0М(5Х)={6 65Х|62=1} и Hev(BX) = Bx/B><2. Группы Lf легко вычисляются; они удовлетворяют теореме приведения типа Гензеля (см. [18]) 3.10. Lf(R, а, и) = Ь* (Я//, а, S), где J С. R есть идеал, обладающий свойством R ^UmR/J". 3.11. Лемма Для ^2=22(^+>1> 4 + ^) ил*еел* (i) я°(Л2[г/2]х) = я»(Л2х)0яо(Л><)) (ii)tf4i2[Z/2]*) = <-l>®<7> Доказательство. Рассмотрим точную последовательность 1 -> (1 + 2Л2)х -> i2 [Z/2]x -> ix -> 1, где 1 -f 2а £ 1 -f- 2Л2 переходит в 1 -f- (1 + Т) а. Соответствующая длинная точная последовательность когомологических групп расщепляется да короткие точные последовательности 0 -> Я1 ((1 + 2Л2)х) -> Я1 (Л2 [Z/2]x) -> Я1 (Ах) -> 0, 0 _> Я° ((1 + 2i2)x) -> Я° (i2 [Zf2]*) -> Я° (i2x) -> 0. Но ix/(l -f 2i2)x = ^x> где ^ есть поле вычетов mod 2, F = A2/2A2. Так как | jpx | нечетен, то имеем (i). Для доказательства (ii) мы используем ^когомологическую последовательность для последовательности 1 -► (1 + 4i2)x -* (1 + 2i2)x -> F+ -> 0 167
и' изоморфизм log : (1 -f- 4Л2)Х -► 4Л+ ^ А+, после чего получаем Я1((1 + 2Ла)х) = <-1>. 3.12. Лемма, (i) i0(i2[Z/2], 1, Т) ^ <-1> ф <7>/<-r> = Z/2; (ii) L3 (i2 [Z/2], 1, Г) ^ Л2х/42х2 ф /■. Доказательство. Используем 3.9 и 3.10 с / = (\ — Г) с i2 [z/2]- Рассмотрим диаграмму с В2 = A2[Z[2]: Ц(В2; 1, Г) —* Я°(Д2х) —+ i3(52, 1, Г) —* Lf (В2; 1, Г) — Н^В?) U I I. | Lf (i2) 1, 1) —- Я°(Лх) Lf (i2; 1, 1) -^ ^(i2x) Имеем Z,f(,42) = Z/2 и 83—изоморфизм, а о0— мономорфизм (см. [18]). Точная гомологическая последовательность для последовательности 1 -> (1 + 4i2)x -> (1 + 2i2)x ->F+^0 дает H0((l-\-2A2)x)=F+@Z/2, и §0 отображает Ц {А2) на второе слагаемое. Так как H°(Ag) = H°((l -f- 2Л2)Х), это доказывает (ii). Аналогично доказывается (i). Члены L. (Г) в последовательности (3.5) легко находятся. На самом деле> L3(T)=0, &LQ(T) изоморфно сумме нескольких экземпляров £0(R) © L0(H, с, 1), каждый из которых вкладывается сигнатурным гомоморфизмом в Z ф Z как подгруппа 4Z ф 2Z. Теперь мы готовы вычислить точную последовательность 3.5. Справа от L'3 (тс) (pq) имеем 3.13. L'a (ic) (pq) ->g2-F+X П A? I А? •%> С (Е)2, где Е и А — как выше. g2 экземпляров 2-адического поля вычетов F отображаются тривиально, а другой множитель — посредством естественного отображения Ili* -> С (Е). Пусть ЕА — адели Е. Тогда Еа/Е$2 = С (Е)2 ф EXJEX2, а так как мы имеем еще (расщепляющуюся) точную последовательность 0 -> Ах -^ 5х -> Z -> 0, то ядро уд совпадает с ядром 3.14. g2 • F+ ф £*(2)/ЁХ2 ^ Д i^X2# Здесь Е*(2) с ^?х есть подгруппа элементов, у которых все показатели^ определяемые конечными простыми, четны, а бесконечными (вещественными) — положительны. Слева от группы L!3(n)(pq) в 3.5 получаем (по 3.6, 3.7 и 3.12 (i)): 3.15. П 24Х 0 L0 (Т) -^ 2С(Е) ф Z/2 -> Ц («) {pq). У^РЯ. Каждый из (р — l)(q—1)/4 слагаемых в Т типа 0 вносит вклад 4Z С Z в LQ(T) и проектируется на Z/2. Каждое слагаемое в Т типа Sp вносит вклад 2Z^zZ, и образующая в 2Z отображается в соответствующий элемент 2С(Е) (см. [19, предложение 5.4]). Если Р (Е) обозначает множество всех простых в Е, тогда 2С(Е) — П {<±1>у | г/£Р (£)}/< +1> и коядро в (3.15) равно коядру П{<+1>,| </€*>(£)> </^/х7}-П{<+1>у|</е^(£)}/<+!>• Доказанные утверждения мы соберем в следующее 168
3.16. Предложение. Имеется точная последовательность ,-,) 0^(gp-\-gl-l)-Zl2^L'3(n)(pq)^ -> g2 ■ (А/2А) 0 Ker [E^lE^ -* ЦАЦА*2} -> О, I у\ря. J где E = Q (С, -f С;1, С, + С"1), Л = Z (С, + С;1), С, + q1) и fiTi - ™о 1-адцчески простых в Е, Теперь рассмотрим L'3 (т), где х — расширение l->Z//?g->T->Z/4->l, в-котором образующая Z = XF действует на Z//K/ умножением на —1. Напишем К = <№„ + <%) и 5 = Z(C^ + g). Имеем ff'[Z/4] = Jlfa(tf)©0, где D — нетривиальная алгебра с делением, разветвленная в бесконечных простых (и в р и q). В индуцированных антиструктурах М2(К) имеет тип О, a D имеет тип Sp. Что касается 2-адических вычислений, здесь имеется уже использованная нами эквивалентность Мориты для антиструктур (Z2(CM)'[Z/4], a, l)~(tf2[Z/2], 1, Т) и можно применить вычисления в 3.11 и 3.12. Затем можно проделать вычисления, аналогичные приведенным выше, и получить короткую точную последовательность, которая вычисляет Lr3(i)(pq) (если не учитывать нетривиальность расширения). Прежде чем сформулировать результат, мы определим соответствующие числа разложений. Расширение К\Е разветвлено в точности над р и q. Это следует, например, из мультипликативности степени классов вычетов и хорошо известного факта, чт0 Q (^d + ^d1) С Q (CJ не разветвлено при составном d. Отсюда следует, что gp(K) = gp(E)mgq(K) = gq(E). Для g2 имеем g2(K) = g2(E), если А\2А^ =^=В/2В, а в противном случае g2(K) = 2g2(E). 3.17. Предложение. Имеется точная последовательность 0-*(gp + gt-l)-Zl2-+L'a(x)(pq)^ -* g2 ■ (5/25) 0 Ker {К'™/К** -> B^Bf) -* О, где К =(№„ + %), а Б = Z (Си + CjJ). Гомоморфизм индуцирования i* ■ К, (Q (Ся)' [Я8]) -> К, (Q (Си)' [Z/4J) (где Z/i = <^XYy а Н8) соответствует при взятии приведенной нормы включению центров; аналогичное замечание верно и для адических групповых колец. Из доказательства предложений 3.16 и 3.17 вытекает, что ядро i* : L3 (ти) (pq) -> L3 (т) (/?g) совпадает с ядром отображения з.18. Ker |zr(2)/ях2 -> П ^Х/4Х21 -> кег 1к*12)1кхя -* П Щ1Щ . Мы имеем точные последовательности О _ л*Мх2 - £*(2J/fix2-^аГ (Я), 0 -> 5*/5х2 -> K'WJK**-** 2Г (ЛГ), где Г ( ) обозначает группу классов, а ср (х) = 1j2 2 ordy (х) • г/ (г/ пробегает все конечные простые). Отображение в 3.18, а потому i* : L'3 (тс) (pq) -> L'3 (т) (pq) инъективно, если 2Г (Е) -> 2Г (К) инъективно и А* (~) Вх2 = Ах2. 169
3.19. Следствие. Предположим, что р=3, a q — любое простое. Тогда £* © i*2 0 i*: L'2 (тс) -> L'z (tx) ф L'3 (т2) ф Uz (т) инъективно, если только число классов поля Q (£q -f- С"1) нечетно. Доказательство. В (?(Сд + £~1) есть (#— 1)/2 вещественных простых и соответственно (д — 1)/2 вложений () (С2 + С"1) в вещественные числа. Пусть sgn : Z (Сд -f~ С~1)х -> П {+1} — гомоморфизм, отображающий единицу в набор ее знаков при' вещественных вложениях. По [4, утверждение 42] sgn сюръективен, если число классов нечетно. Поэтому Z (^q + С"1)* = Z (Сд -J- С~1)х2, и результат слеДует из 3.4. 4. Вычисления с последовательностью Ротенберга Промежуточные L-группы из предыдущего раздела связаны с обычными группами препятствий к перестройкам при помощи последовательности Ротенберга: 4.1. Wh' (-) <g> Z/2 Л Ц (-) -* L* (-) - о (см. [21, §5.4]). Для группы iz = Q(8p; q, 1) и ее подгруппы х (см. 3.1) 4.1 разбивается на четыре части. В этом разделе мы вычисляем одну из них, а именно 4.2. Wh' (-) (pq) <g> Z/2 -^ ^ (-) (М) - L\ (-) (да) -> 0. Группа Wh' (тс) есть свободная часть обычной группы Уайтхеда, и Wh! (тс) = = K'1(Zn)l{ + g\g£'iz}y где K[(Ztz) можно вычислить исходя из точной последовательности 0 -> К[ (Ztu) -> Кх (Щ © ^ «?«) -> if1 (Qn) (см. [22]). В частности, эта последовательность дает 4.3. 0 -> Wh' (тс) (pq) -> Кх (Ztc) (М) 0 Zx (S) -> Кх (S), где S = Q(^qY[H8] и ,$ = S®QQ. Приведенная норма Nrd дает изоморфизмы 4.4. ^ (S) ^ Ях © Е*, K1(S)^EX@EX9 и нам осталось вычислить Кх (Ztc) (pq) = ИК1 (Z,tc) (/?д). Мы пишем R = Z (С )' [Н8]. Если Z — простое, l=^=p, q, то K1(ZlK)(pq) = K1(Zl®R), а если Z также нечетно, то Zz (g) i? расщепляется совершенно так же, как. 5. На самом деле, Zz ® R ^ М4 (Zz <g> 4) X Л/4 (Z, ® Л). Поэтому приведенная норма определяет изоморфизм К, (Z, <g> Л) = II 4* X 4 (I X 2pq). Для 1 = 2 К, (Z2 ® Д) = ft • (i2 [Z/2]x) = g2 ■ ((1 + 2 J2)x X i2x), и нам осталось вычислить K1(Zl7z)(pq)J где 1 = р или д. Пусть / : тс -> тс — эндоморфизм, использованный в 3.3. Тогда (1 - (/Л) *i (М = *, • *i @р (V №1' [^8]. Пусть /^ с Z^ (С2) [Z//?]' [#8] — идеал, порожденный 1 — Тр, где 7^ — образующая Zip. Из [18, § 1] мы имеем точную последовательность 170
4.5. (1 + Jp)x + К, (Zp (g [Z/pf [H8]) -> Кг (Zp (y' [H8])-+ 6, . a ^i (Zp«) (РЯ) = Sp ' Image (/). Поэтому для вычисления Кг (Z^tc) (pq) как подгруппы Кх (S) достаточно вычислить Nrd (1 -J- /^)х с gp • {Вх X #£)• Хорошо известно из теории полей классов, что обычная норма отображает 1 -j- Ipq на 1 + 1р Цря и ^ СУТЬ максимальные идеалы для Qp (С^д) и Ерг соответственно). Отсюда вытекает, что Nrd (1 -J- Jр) = (1 -f- Ip) X (1 + Ip)- Поэтому 4.6. Js:1(V)(w)=^-((i+/,)x(i+/,)). 4.7. Предложение. Группа Wh' (тг) (/?g) разлагается как • •ww («) (W)=hw (m)0 (pq) e ww (% (w).... ,.-.,. где слагаемые даются точными последовательностями О -* Wh' (к)0(рд) —* Лх -U Д>х '.'"" ." "'' о -* ww (Я)8р (М) -*. а*; -и д *■*. ...!'".: Г'.; y\pk' v' ' Здесь Л = Z (t^-f-С"1, Сд —(— С"1), а /^ обозначает поле вычетов^ по п'росщощ у* Доказательство. Предыдущие рассмотрения дают разложения для Who и Whsp, а также точные последовательности 4.8. О ^ Wh'(n)0(pq) -* П4ХхП(1 + //хгХ-е,.. ;* yJ(2pq. ' 2/\2pQ У X О -* Wh'(K)s,(pq) - П4ХХП (1 +/У)Х,Х £* -» £ Пусть / (Е) — свободная абелева группа, порожденная конечными простыми в Е. Тогда 1~>АХ->ЕХ->цЕ)->о г ' '■- ;'• ■« -. — точная последовательность, поэтому £х ^ Лх ф /.(jE). . Так как . Ах.^== = Кет \ЕХ -> I (Е)}, последовательности в 4.8 можно заменить на последовательности из предложения 4.7. Это завершает доказательство. Мы вычислили область определения и область значений отображения к в 4.2, и нам осталось определить само это отображение. Композиция к : Wh' («) (pq) Л Ц («) (pq) -> g, ■ (AI2A) 0 Ker (Я* (2)/Дх2 ^ Д A* I A?) легко вычислима. В самом деле, используя расщепление в предложении 4.7, получаем А = А8рфА0, где 4.9. ASp!: Ker U" -> П ЛХ j - Ker {Е^/Е™ -* Д А*/А?), ' 1 y\pq > К: Кег{Ах -+ Д ^Х( - й • (А/2А) . > V ' ' суть естественные отображения: Asp индуцировано включением, 7с0 (1 -f- 2а) = — {ау\у делит 2}. Более трудно определить сужение к на Ker А. Начнем с общей леммы. Пусть Л—дедекиндова область, например A=Z или Z[i], и пусть L — ее поле частных. Обычный арифметический квадрат дает точную последовательность алгебраических ТГ-групп: 171
4.10. 0 -> К[ (Лти) -> Кг (Лти) © Кг {Liz) -* Кг (£«) -* 0, а где #х (£тс) = Кег {Кх фк) -» К0 (Лте)}. Каждый из членов последовательности 4.10 имеет инволюцию, индуцированную стандартной антиинволюдией а групповых колец, и 4.10 дает длинную точную последовательность гомологических групп. Мы также имеем точную последовательность из [20] для вычисления L?(Atc, а, и), Х = == Кег {Kt (An) -*> Кг (Ln)}. 4.11. Лемма. Имеется коммутативная диаграмма ...^Н*^Щ£*))-^ И4(К[ (А*))-^#**(#!(Лти))©#<(ЛГх^)) -> Я*' (Кгфк)) ->• • • уф Ф Ф ... -ЯЯ&и, а, a)^Lf_ ^А^аД^^А^ где вертикальные отображения — из последовательности Ротенберга. Доказательство леммы 4.11 нетрудно, надо только дать определения искомых отображений. Мы отложим это до другого раза, поскольку это потребовало бы введения слишком многих новых обозначений. Последовательность 3.5 есть одна из компонент (в смысле 3.3) нижней точной последовательности в лемме 4.11. В частности, Ц{Ъщ а, 1) (/>?) = £>) (/><?). Подгруппа {gp-{-gq — 1) • Z/2 в 3.16 есть образ H^Kx(S))^Lf{S, а, 1)Л/£(21Сэ a, 1)(и)| где S — Q (ZpqY [Н8]. Более точно, в Nrd (Кг (М2 (25))) имеется подгруппа Ц Ё% у\рч и Нг( JJ Ё*\— II ^±1Х отображается в L3 (Ztc, a, \)(pq) с ядром, равным \у1м / у\р* диагонали <±1>. Поэтому (g 4-g — 1). Z/2 = ПХ±1Ж±*>в Из 4.9 имеем КегЛ8р = Кегрх2-Д^х2}. Пусть Vp будет отображение 4.12. ^:Кег/Лх2- П Л**1 - П<±1>/<±1>. причем (v^p) (a2) = р (а), где р : Ах -> Ц ^ — произведение, у\ря. _ 4.13. Предложение, (i) Сужение к на КегЛ0 нулевое] (П) сужение к на KerAgp есть отображение v^p из 4.12. Доказательство. Антиструктура (Ztu, a, 1) проектируется на антиструктуру (Д, а, 1), где R = Z[Zlpq]<lX, У|Х2=У2 = -1, ХГ=-ГХ]. Это определяет гомоморфизм Lf(Ziu, а, 1)(рд)-+Ц(Н, «, 1)0ч), который отображает подгруппу (g^-f-gg— 1) • Z/2 мономорфно, а обра £Г° (W^A'(7с)0 (/?д)) переводит в 0. Это доказывает (i). Доказательство (ii) тоже основано на соображениях естественности, но на сей раз мы расширяем скаляры и рассматриваем естественное отображение 172
Lf(Zn, a, l)(pq)->L*(Z[i\«, a, l)(pq). Алгебра с делением, которая появляется в разложении Q [i] (С )' [Н8], есть E[1](£)eD. Это расширение не разветвлено в бесконечных простых числах. Поэтому рассуждения предложения 4.7 дают К[ (Z Щ *] № = Ker [A [i]x - П F, ЩХ\, где Fy [i] = Fy® Fr если gy (E [i]/E) = 2. Определим ^(4) = 1т{Л*->П/'х}) ^(4[J]) = ImU[i]x^IUyj]x} и из 4.11 получим коммутативные диаграммы I. Я1 (F (А)) --> Я° (Wh' («)8р (/><?)) 1 I £оХ(<?*> «, i)(W) -^ ^(Z«, «, i)(pq), II. Я» (F (А [»])) —^ Я» (HW (Z р] «)Sp (И)) 1 1 ZJ (<?[*>, а, 1)(да) -^Lf(Z[iK а, 1) (/>д). Расширения скаляров определяют отображение из I в II и подгруппа (gp-\- + Sq—l)-Z/2, лежащая в Lf (Zrc, a, l)(pq), отображается при этом моно морфно. Наконец, заметим, что образ р:Лх->Щ<'х содержится в F(A[i])* Поэтому образ 8[i] содержит образ KerASp в Н° (К[ (Z [i] те)8 (pq), а (ii) получается по определению b[i]. Доказанные предложения имеют свои аналоги для последовательности Ротенберга группы L'3(x)(pq)9 где хС^ — подгруппа в 3.1. В самом деле, пусть В == Z (См + Щ) и ЛГ = <? (См + C~J), как в разделе 3. Тогда Wh' (т) (pq) = == Wh! (т)0 (/wj) ф FF/г' (т) (pq), и имеются точные последовательности 4Л4. О-ИЪ'СсМи) ->БХ-^ П>£\ Далее если k: WW (т) (pq) ® Z/2Л LJ(х)(pq) - g2 • (Bj2B) 0 Ker (/Г <2,/Ях2 -> П ^ WJ, то Кег к = Ker А0 0 Ker &sp и мы имеем 4.15. (i) к\Кетк0 = 0; (ii) /c|Ker^sP = Vp, Vp:Ker{£x2-*n^f}^n^/<±l>- 4.16. Пример. « = Q(24; 13, 1). Тогда £3 = 2, *u = l, и Vp : Ker (Z (C13 + Щ)х2 -* F« 0 Fg« 0 F^} ^ 2 • (Z/2) имеет образ, равный Z/2. Поэтому мы имеем 4.17. О -* Z/2 -* L* («) (39) -> сок А0 (4) -> 0. С другой стороны, ^р сюръективен для Z^gg + ^g1)» поэтому £$(т)(39)^сокХ0(Д). 173
Поэтому в противоположность 3.18 гомоморфизм индуцирования /* = Г:£»(*)(39)-£*(т)(39) не инъективен: его ядро есть Z/2. Члены сокк0(А) и сокк0(В) тоже можно найти. На самом деле, сок к0 (А) = 2 . (Z/2), сок к0 (В) = 3 • (Z/2), но мне не удалось определить расширение в 4.17. Этот раздел заключает доказательство теоремы D из введения. С диаграммой 4.18. WW («) (pq) ® Z/2 Л Z; (я) (pg) -> L* (*) (pg) -» О I У I Г \ Jh \ Y \ Wh> (т) (/*/) О Z/2 -1 L; (х) (pq) -* L» (х) (М) -* 0 . ассоциируется точная последовательность 4.19. Кег /' -> Кег f —> Image (£)//' (Image к) -> сок у'. 4.20. Теорема. Если /? = 3, # = 13 (mod 24) и h+ нечетно, тогда Ь ненулевое. Доказательство. Мы уже рассматривали диаграмму 4.18. Мы будем показывать (используя 4.13 и 4.15), что 8 нетривиально отображается в част^ ное (g -\- gq — 1) • Z/2 = JJ 2FX С Ь'ъ (т) {pq). Пусть s — целое число, которое р у\п у порождает (Z/#)x/<(—1)>, и рассмотрим единицу в поле деления круга Ах .ъ=(<з-сп/(^-^х). А = Z (L -f- С"1). Из [4, теорема 9] получаем, что т\8 и его сопряженные относительно группы Галуа порождают подгруппу нечетного индекса в Ах. Пусть g = gs — число простых, лежащих над тройкой в Z^-f-C"1). Так как 3 есть квадрат modq, g должно быть четным и поле вычетов Fg^-f-t1) кольца Z^-f-ty1) имеет нечетную степень над F3. В частности, 2-примарная часть F3(Cg-j-C"1)4 есть как раз <^±1)>. Рассмотрим композицию НА): Ах +> g- F3(C, + C-i)x X Fx ^^ <+l> Fx, где p — приведение, a f(xv ..., xg) = (Пжг.)(д~1)/4. Единица i\8 отображается в (—1, g), так же как и все ее галуа-сопряженные. Поэтому (—1, —1)(£ <Е Image (р). Аналогично для B = Z (С3д + С^1) имеем p(5):5x^<±l>xFx, но в этом случае Z3q-\-^q отображается в (—1, —1). Далее, (C3g + C^l)2^G QWh' (t)s (pq) для достаточно большой нечетной степени TV и по 4.13 и 4.15 получаем 4.21. £(^ + C£)2V0 в Imaged (Imageк). Так как этот элемент отображается тривиально в сок /', 4. 19 дает требуемый результат. 5. Препятствие к перестройке Пусть (2, тс) — конечный поляризованный (тс, тг)-комплекс п ^ 6. Пусть s(2, тс)— множество структур, состоящее из гомотопических эквивалент- ностей /: ЛГ->2/тс по модулю А-кобордантности. Универсальная накры- 174
вающая М гомотопически эквивалентна 2, и поэтому по теореме об й-ко- бордизме является топологической сферой. Поэтому / можно рассматривать как тс-эквивариантную гомотопическую эквивалентность /: (S, тс) -> (2, тс). Аналогично s' (2, тс) будет обозначать множество слабых простых гомотопических эквивалентностей по модулю отношения слабой простой Л-кобордант- ности (/ слабо просто, если т (f)=0 в Wh(Qn)). Пространство орбит 2/тс зсть слабо простой комплекс Пуанкаре и имеет нормальный инвариант по [6, следствие 3.2]. Выберем и зафиксируем какой-нибудь нормальный инвариант; тогда множество всех нормальных инвариантов отождествится с [2/тс, 67Тор]. Имеются точные последовательности 5.1. Ц (тс) -* s (2, тс) -> [Е/тг, G/Top] -^> Ц (тс), Ц (тс) - «' (Е, тс) -* [Е/тс, G/Top] ^ Ц (тс). Если (Х')_1(0)=7^= 0> то на Sn~x существует свободное топологическое действие с А (5я"1, тс) = А(Е, тс). Если Х~1(О)=^0, то имеется действие с e(Sn~19 тс) = в(Е, тс), т. е. тс-гомотопического типа (Е, тс). 5.2. Замечание. Предположим, что dim 2 = 3. Тогда каждый гомотопический класс g: Е/тс -> G/Top поднимается до гомотопического класса g: Е/тс -> G/PL и дает нормальное отображение степени 1 (М, тс) —> (Е, тс)# Если X ([g]) =. О, то обычные рассуждения показывают, что / нормально ко- бордантно гомологической эквивалентности. Поэтому тс действует свободно на некоторой гомологической 3-сфере. (Это расширение на случай dim 2=3 указано мне Е. Штейном.) Группа внешних автоморфизмов Out (тс) действует на гомотопических типах (2, тс), и каждая орбита изоморфна одному и тому же фактор-пространству 2/тс. Группа Out (тс) также действует на Я* (Biz; Z). Ориентированный гомотопический тип пространства орбит 2/тс определяется образом е (2, тс) в Я* (5Tc)/0ut (тс). Для n = Q(8p; q, 1) мы имеем Out(tc) = Fx/<+1> ф F></<±1>. Поэтому 5.3. G#4(£tc; Z)/Out(Tc)^Fx/Fx2 0Fx/Fx2e(Z/8)x, где G№ (Втс; Z) обозначает множество образующих. Из этого можно извлечь следствия о гомоморфизме Суона, который в нашем случае есть отображение d:Fx0Fxe(Z/8)x^;to(Zm). Диагонально вложенная (—1) всегда лежит в Кег д, и, более того: 5.4. Лемма. Если а4(тс) = 0, то F*2 0 F*2 с Кег д. Доказательство. Пусть (2, тс) — некоторое конечное поляризованное (4, тс)-пространство с /^-инвариантом е. Для г £ Out (тс), г -е снова может быть реализовано конечным поляризованным [пространством, и по 2. 2 а4 (г-е) = д (г)+а4 (е)=д (г). Результат теперь получается из 5.3. Имеются естественные отображения Zx -> Ег (тс) (1 = 2, /?, q), соответствующие тривиальным слагаемым в Af (С), где С — главный Z-блок (С = Ъ1 [D2l] или C = Z2[#8|). Отображение TIZ^ -> ЛЕ1 (тс) пропускается через nZz/|rc| и может быть отождествлено с гомоморфизмом Суона [10]. Используя методы раздела 2, в принципе можно вычислить образ д, если поля в центре Qtz суть поля деления круга и имеют нечетное число классов. В самом деле, из [4ч, утверждение 9] следует в этом случае наличие в группе единиц подгруппы нечетного порядка, а потому и подгруппы нечетного порядка bA*(Qtz). Поэтому можно вычислить 2-примарную компоненту ИЕг (к)/A* (Qtz) С d К0 (Ztc). На практике провести вычисления оказывается нелегко. 175
Напомним, что /г+ обозначает число классов (?(С/П + С~1). Сформулируем без доказательства лемму. 5.5. Лемма. Предположим, что q простое, # = 13(24) и h+ и h\ нечетны. Тогда образ гомоморфизма Су она для (?(24; q, 1) совпадает с суммой трех экземпляров Z/2. Так как а4 (Q (24; q, 1))=0, леммы 5. 4 и 5. 5 полностью определяют гомоморфизм Суона. К несчастью, предположение 5. 5, кажется, проверено только для q=l3. Таблицы в [9] показывают, что h* нечетно для #= 13,37,, 61, но h* выписано только для #=13. Мы используем лемму 5. 5 ниже, чтобы показать, что для конечного поляризованного (тс, п) пространства (2, тс) пространство (2, i%) гомотопически эквивалентно ортогональному действию (S (PFt), ^) (см. теоремы 5. 12 и 5. 13). Здесь т. с ^ — подгруппы, использованные в разделе 3. Напомним (см. раздел 4), что слагаемое Wh (Qn)(pq) группы Wh (Qn) расщепляется в прямую сумму Wh (Qv) (pq) = Wh (Qk)0 (pq) ф Wh (Q^ (pq). Имеется аналогичное разложение для Wh (Qt)(pq), где x определено в 3. 1 и мы имеем коммутативные диаграммы: Nrd Wh(Q,)Sv(pq) -^ z^ + t-iy t t I ** I incl Nrd Wh (Qtc)Sp (pq) —- Z (C, + C;1, Cg + C-1)*; Wh(Qx)0(pq) -^Z(CM + C;J)X t * +. ** I incl Nrd Wh(Qiz)0(pq) ^Z^ + C"1, Cs + C"1)x. Компонента кручения Рейдемейстера x (2, тс) в группе Wh (Qn) (pq) = K^Qiz) (pq) обозначается через x(2, n)(pq), а ее приведенная норма — через А (2, ^)(pq)' У нее две составляющие Д(Е, «)(М)=(Д(1:, ^(pq), Д(Е, «)Sp (/*/)). Наконец, напомним (см. [12]), как считать А (2, тс), когда 2 = S (V)— сфера в свободном унитарном представлении. Так как группа JYh(Qii) индуцируется с циклических подгрупп и i (X, тс)* (А (2, тс)) = А(2, X), где i (X, тс) обозначает включение подгруппы, нам достаточно оценить A (S (V), Z/N). Пусть Т £ Z//V — образующая (фиксированная), и предположим, что V = = 0 X*» гДе X*: ^/^ -> С — точные представления. Пусть т\ £ (Z//V)x — числа такие, что хАГ*) = е***1*- Мы имеем М^СЮ» Z/N) = l/N* (см. 2.6) и 5.6. Д2 (5 (F), Z//V) = П (*"' - 1) G <? [Л/<1 + Г + • • • + Т»-1). Поэтому b(S(V), Z/^V)(iV) = n(^-l)e<?(Civ), где ^ обозначает примитивный /V-й корень из 1. Рассмотрим тс = Q(8/?; #, 1). Пусть eQ£GH4(n; Z) — образующая, выделенная следующими условиями: 176
5-7. $(e„) = -16gae», **(в„) = -16^, /*(*„) = Т. где ip, iq — включения Zjp, Z/q в тс, / — включение Н8, а е , едиу — стандартные образующие, как в 2.30. Пусть (£0, тс) — поляризованное (тс, 4)-пространство, у которого е (И0, тс) = = е0. Обозначим через S = Е8/+3 (2Z —(— 1)-ьуратыое соединение £0 с диагональным действием тс. £ имеет /с-инвариант е(£, n)=elln. Поэтому для каждой из подгрупп zv т2 и т3 = т, определенных в 3.1, (£, тг.).томотопически эквивалентно линейному действию. Более точно, мы имеем 5.8. Лемма. Для каждого 1^0 существуют свободные унитарные представления W. групп 1. вещественной степени 8&-f~4 такие, что (i)-e(S(Wt), x,.) = e(S, т,); (Ш) Д(5(^8), х8)8р(М) = (Си + Щ)4'+а; (IV) Д(5(^,), х3)0(^) = -(С,г-^Г2. Доказательство. Свободные представления z. степени 4 можно построить, используя характеры, индуцированные с циклических подгрупп индекса 2. Мы начинаем с т = т3. Подгруппа индекса 2 есть С = ((АВ)2 (XY)2y. Пусть х—характер такой, что % ((AB)2(XY)2) = е%г1ря, и рассмотрим У = = Ind^(x). Так как V/C = х © х_1> имеем Д(5(П x)0(M) = (CJg-l)(C;;-l), Д(5(7), x)Sp(p9) = (CJg+l)(C;; + l)- Более того, так как V \Z/q = ty © ф"1, где ф (A*p) = e2%ilg, мы имеем Д(5(К)> Zlq) = (l/q2; {Цр — 1) (^ — 1)). Отсюда в (5 (7), Z/q) = — 16/?V, и аналогичный результат имеет место для в (5(F), Z/g). Для тх и т2 подгруппы индекса 2 суть Cx = <(AYy и C2 = <(J5Z)>. Мы выберем характеры Xi hj2, так что Xl {А^Х2) = e%ilp, Х2 (В2рХ2) = e%ilq, и положим V\ = ind£*. (х»)- Тогда И^. = Vf (21^\ г = 1, 2, 3, удовлетворяет всем требованиям. Пусть (Lv тс) и (Е2, тс) — поляризованные (тс, и)-пространства. Выберем отмеченные точки х1 £ Х^ и х2 £ S2. Следующая лемма является легким следствием теории препятствий, использующим то, что £4./тс — двухэтажная система Постникова до размерности п (см. [6, лемма 2.1]). 5.9. Лемма, iz-эквивариантная гомотопическая эквивалентность /: (Е1? тс) -> -> (Е2, тс) с f(xx)=x2 существует тогда и только тогда, когда е (Lv тс) = = е(22, тс). Более того, к-гомотопический класс такого f определен однозначно. (Доказательство предоставляется читателю.) Пусть (£, тс) — поляризованное (81 -f- 4)-пространство с е (£, тс)=е^*-1 (см. 5.7). Следуя лемме 5.8, мы имеем т. — эквивариантные гомотопические эквивалентности: /,:(S(W\), х4)^(Е, х,) для 1 = 1, 2 и 3, а поэтому (по 5.1) элементы Л(Л)6№, G/Top]. Так как G/Top есть бесконечнократное пространство петель, функтор N (X) = = [Е/Х, G/TopJ, определенный на категории £ (тс) подгрупп в тс есть «функтор Макки» (см. [6, § 1]). В частности [6, 1.8 и 1.10], мы имеем изоморфизм 5.10. N (тс) Л N (Ъ1р){±) 0 N (Z/<7)<r> © N (Н (8)). 177
5.11. Лемма. Существует гомотопический класс отображений y:E/ir-> -> G/Top такой, что композиция Е/х$. -> Е/тс —-> G/Top представляет N (Д.), i = l, 2иЗ. Доказательство. Из леммы 5.8 (ii) и леммы 5.9 следует, что N(f.) и N (fj) дают один и тот же элемент при сужении в TV (xf. f| х^.), а так как каждая силовская /?-подгруппа в тс содержится в какой-нибудь т., мы получаем из 5.10 требуемый элемент *((*N(tz). Теперь предположим, что р = 3 и д= 13 (mod 24). Тогда а4(е0) = 0, поэтому имеется конечное поляризованное (тс, 4)-иространство (Е0, тс) с /с-ин- вариантом е0, и поэтому конечное (тс, 81 -f- 4)-пространство с /с-инвариантом eff+l. Мы сейчас докажем 5.12. Теорема Пусть h+ нечетно. Тогда не существует свободных то- пологических действий (S8l+3, тс) с e(S8l+3, iz)=ef+1 ни для какого 1^0* Доказательство. Пусть /: (М, тс)-> (Е, тс), /:v->C есть тс-экви- вариантное нормальное отображение степени 1, ассоциированное с элементом у из леммы 5.11. Сужения / на три подгруппы Xj кобордантны гомотопическим эквивалентностям / .: (S (Wj), х .) -> (Е, х .), описанным выше. Поэтому препятствие к перестройке X (/) = X (у) лежит в ядре e»-}:L»(«)-*e^(^). Из леммы 3.4 видим, что это ядро равно ядру ^:Z*(«)(3g)->Z»(T,)(3g). С другой стороны, так как й+ нечетно, инъективно (см. раздел 3) и i*(X'(/)) =Х'(/3). Имеем точную последовательность Nrd (Wh' (т,) (3g) ® Z/2) Л L; (х3) (Зд) -* L» (т3) (Зд) -> 0 и можем представить препятствие к перестройке как X'(/8) = £(*(/s)(3g)) = £(A(S(Hg, ^)(Зд)/Д(2, -д(Зд)), Д-инварианты имеют ортогональную и симплектическую компоненты. Нас интересует только симплектическая часть, и из леммы 5.8 (Ш) мы имеем *'(/.) (з?)=*(-, (сВд + ^)4,+2/4 где zzfZ^-j-C"1)*. Из теоремы 4.20 и 4.21 следует, что X (/) £L* (те) (3q) не равно нулю. Это завершает доказательство. 5.13. Теорема. Если д = 13(24) и Аь, А+ нечетны, то Q (24; q, 1) ме может свободно действовать ни на какой (81 -j- 3)-мерной сфере как группа гомеоморфизмов. Доказательство. Мы показали, что не существует такого действия с /с-инвариантом е*1ь1. Можно слегка модифицировать наше рассуждение и показать, что не существует также и действия с ^-инвариантом ±r2 - ef+1, где г£(£/|тс|)х (см. 5.3). Но все другие возможные /^-инварианты имеют по лемме 5.5 ненулевое препятствие Суона, так что они не могут быть реализованы даже как конечные поляризованные пространства. В 2.32 мы получили необходимое условие для того, чтобы а4 (Q (24; д, 1)=0. Мы заключаем раздел 5 аналогичным результатом о препятствии к перестройке. 178
5.14. Теорема. Пусть q — простое число, удовлетворяющее 2.32, и h¥ нечетно. Если отображение приведения Р : Z (С, + С"1)х -* S((F, ® Z (Сг + ^))Х 0 F*)/<± 1> (*) есть эпиморфизм, то на некоторой сфере S8l+3 имеется свободное топологическое действие группы Q (24; д, 1). Доказательство. Выберем 21-\-1 делящимся на 2ЛГ -f— 1 (из 2.33) и делящимся на | Р2(С3? + Сзд1)Х |- Пусть (S, тс) — конечное поляризованное (тс, 81 -\- 4)-пространство, которое реализует цепной комплекс из 2.33. Его к-ия- вариант равен е2/+1, а часть кручения выражается формулой Д (Е, *)0 (3?) = - щ - с-3/сг - ^) vf+\ Выберем отображение /: (М, я) -»• (Е, я), как в теореме 5.12. Тогда в обозначениях из 4.18 *;(х'(/))=£(д0(з<г), ДвР(зд)), где \(3q) = \(S(W3), x3)0(3g)/u(S, x,)0(3g) = из 5.8 (iV). Предподожение (*) дает нам, что £(Asp (3g)) £/' (Image А;), и из 4.9, А: (Д0 (Зд)) = 0. В самом деле, так как 2Z —|— 1 делится на | F2 (С3д + ^)Х |> Д0 (39) = (1 + 2а)2 eZ(C3?4-^)x. Отсюда £ (Д0 (Зд)) = 0. Это завершает доказательство. ЛИТЕРАТУРА 1. Bass Н. Algebraic ^-theory. N. Y.: Benjamin, 1968. 2. Dress A. Induction and structure theorems for orthogonal representations of finite groups. — Ann. Math., 1975, 102, p. 291—326. 3. Fontaine J.-M. Sur la decomposition des algebres de groups. — Ann. Sci. Ecole norm, super., 1971, 4, N 1, p. 121—180. 4. Hasse H. Uber die Klassenzahl Abelscher Zahlkorper. Berlin: Akad. Verl., 1952. 5. Laitinen E., Maldsen I. Topological classifications of SL2(FP) space forms: Prepr. Aarhus Univ., 1979. 6. Lee R. Semicharacteristic classes. — Topology, 1973, 12, p. 183—199. 7. Madsen I. Smooth spherical space forms. Geometric Applications of Homotopy theory I. — Spring. Lect. Not., 1977, N 657, p. 303—353. 8. Madsen I., Thomas C.B., Wall С. Т. C. The topological spherical space form problem. — Topology, 1976, 15, p. 375—382. 9. Masley J. M. Cyclotomic fields with class number less then than one million: Prepr. Univ. Illionois and Chicago Circle. 10. Milgram R. J. Evaluating the Swan finiteness obstruction for periodic groups: Prepr. Stanford Univ., 1978. 11. Milnor J. Groups which act on Sn without fixed points. — Amer. J. Math., 1957, 79, p. 623—630. 12. Milnor J. Whitehead torsion. — Bull. Amer. Math. Soc, 1966, 72, p. 358—426. 13. Reiner I. Maximal orders. London etc.: Acad, press, 1975. 14. Swan R. G. Periodic resolutions for finite groups. — Ann. Math., 1960, 72, p. 167—291. 15. Wall С. Т. C. Periodic projective resolutions. — Proc. London Math. Soc. Ser. 3, 1979, 39, p. 509—553. 16. Wall С. Т. C. Free actions of finite groups on spheres. — In: Proc. Symp. Pure Math. R. I.: Amer. Math. Soc. Providence, 1978, vol. 32, p. 115—124. 17. Wall С. Т. C. Surgery on compact manifolds. London etc.: Acad, press, 1970. 18. Wall С. Т. C. On the classification of Hermitian form. III. — Invent, math., 1973, 19, p. 59—71. 19. Wall С: Т. С On the classification of Hermitian forms. IV. — Invent, math., 1974, 23, p. 241-260. 20. Wall С. Т. С On the classification of Hermitian forms. V. — Invent, math., 1974, 23, p. 261—288. 21. Wall С. Т. C. Classification of the Hermitian forms. VI. Group rings. — Ann. Math., 1976, 103, p. 1—80. 22. Wall С. Г. С. Norm of units in group rnKs. — Proc. London Math. Soc, 1974, 29, p. 593-632.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Л. Д. МДЗИНАРИШВИЛИ (Тбилиси, СССР) ФУНКТОР Ext" И ГОМОЛОГИИ КОЛМОГОРОВА Целью работы является получение для точной теории гомологии Колмогорова на категории компактных пар модифицированной аксиомы непрерывности Милнора, а также изучение соотношений между гомологическими размерностями относительно различных областей коэффициентов. 1. Обобщенные спектры. Пусть Ка— категория Л-модулей (где Л — коммутативное кольцо с единицей), а / — направленное множество. Обозначим через Ка категорию обратных спектров Л-модулей над /, а через Ka,i — категорию прямых спектров. Объекты категории Kjk(Ka,j), являющейся категорией морфизмов категории K^(Ka,j), будем называть обобщенными обратными (прямыми) спектрами. Дадим конструктивное построение функтора Iim:£i-JTA. Пусть \ = %-^\'^К{ (где 6 = {6., tf}, \' = {К> ©€#!. а и = {иа} — морфизм между ними). Элементом обратного предела lim I будем считать нить а = {аа} £ JJ £а такую, что и^а? = иааа при а < |3 (где иа: £а -*► Q. Двойственным образом определяется функтор lim : К a, i -*• Ка- Рассмотрим частные случаи: 1) если и — тождественный морфизм, то lim^ представляет собой обычный обратный предел спектра I; 2) если и — тривиальный морфизм, т. е. S —*• 0, то lim ? = JJ £«>* 3) если £' — постоянный спектр, т. е. гомоморфизмы ф£ тождественные, то lim I — декартов квадрат мощности /. Категория Ka(Ka,i) естественным образом вкладывается, как полная подкатегория, в категорию К{ (КА, i), а функтор lim : К { -> К a (Hm : КА, i -> К а) является продолжением функтора lim : Ка -*• Ка (Hni К a, i -> ЛГл). Категория Ка, будучи категорией морфизмов категории Ка, является абелевой и также обладает достаточным запасом инъективных и проективных объектов. Это позволяет для произвольных аддитивных функторов, заданных на КА, определять правые и левые производные функтора, которые также будут естественными продолжениями соответствующих производных, заданных на Ка, в частности производные функтора lim, которые обозначим через lim(fl). Теорема 1. Если спектр 1=£ —-* V таков, что и — эпиморфизм в категории Ка, т. е. иа — эпиморфизмы для ввех а £/, то имеем при п^>0 изоморфизм 11т(я)Е=Нт(я)Г. 180
Если / является конфинальным подмножеством множества /, то очевидно, что для произвольного обобщенного обратного спектра £ £ КА и конфиналь- ного подспектра \' £Ка равенство lim£ = lim£' не выполняется (как это имеет место в случае обычных обратных спектров). Однако имеет место следующее утверждение. Теорема 2. Значение функторов lim(n), определенных на категории К^ при п ^ 2 не меняются пршпереходе к конфиналъной части спектра, а если спектр 1 = 1—> V удовлетворяет условию теоремы 1, то и при п^1. Спектр 1£Ка будем называть lim-ацикличным, если lim(n)£ = 0 для всех п > 0. *~ *~ Следствие 1. Если I=^Z+ (натуральный ряд чисел), спектр \ удовлетворяет условию теоремы 1, а проекции ф£ в спектре \' суть эпиморфизмы, то спектр \ является lim-ацикличным. Если / = Z+ и $$М — категория абелевых групп, то, как и в случае обычных обратных спектров, можно конструктивно определить lim(1): ^^J_^ -> o$<ffl- Отметим, что это построение отличается от построения первой производной предела обычного' обратного спектра, так как в обычном случае исходят из ацикличной резольвенты, а в обобщенном случае построение не связано с ацикличной резольвентой, хотя, как будет показано ниже, приведенная конструкция совпадает с первой производной. Такой подход оправдан тем, что позволяет более эффективно вычислять lim(1). Пусть задан счетный обобщенный обратный спектр 1 = 1 —> £'. Определим lim(1) \ = Coker*?, где <?'Ц ?а-> П £« — гомоморфизм такой, что <?{af.} = = {и.а. — Yi+lu%+iai+i}- Так как в категории К{ имеется достаточно инъектив- ных объектов, то объект £ £ Й{ можно вложить в короткую точною последовательность 0->1-><?->*)->0, (1) где Q — инъективный объект вида Q =Q -\-Q' —* Q',^причем Q, Q' — инъек- тивные объекты в категории К{ такие, что 0 -> I -> Q, 0 ->£'-> Q\ ар — проекция. Используя основные свойства limu), будем иметь точную последовательность 0 -> lim I -> lim Q -> lim % -> lim(1) \ -> 0. (2) С другой стороны, из определения гомоморфизма d следует, что для любого спектра \£К± имеем lim£ = KercZ, а для любой точной последовательности 0 -> ?->?'-> Г -> 0 из категории К а — соответствующую точную последовательность 0 -> lim I -> lim \' -> lim Г -> Coker d -> Coker &' -> Coker 3' -+ 0, которая получается из коммутативной диаграммы \ а I & I й" \ \ \ о-Ш-*Шп-*Пс;-*о 181
применением леммы 3.2 из [1J, где \' = {£,} -> {В'.}, Г= {С(} -> {С.}. В частности, для точной последовательности (1) будем иметь О -> lim \ -> lim Q -> lim т) -> Coker d -> 0, (3) так как Coke*<?' = Coker 6! = lim(1) ()' = 0, где d': Ц В. -> Д ^ (<? = {#Л -* -> {5!}, (? -f ()' — {В.}, d': П 5» -* II ^<» определенный равенством &' {b.} = = {bt — Ф{+1^+1.}' Применяя теперь универсальность производных функторов и лемму о пяти гомоморфизмах к точным последовательностям (2) и (3), мы получаем требуемое нам равенство. Следствие 2. Если I = Z+, то для любого обобщенного обратного спектра \ £ К^ при п^2 имеем Нт(я) \ = 0. Пусть G — категория групп (не обязательно абелевых), a G — категория обобщенных обратных спектров групп. Если / = Z+, то можно определить для функтора lim : G -> G его первую производную lim{1): G -> Ens (где Ens — категория множеств) следующим образом. Пусть\ = {%.} —> {£t'}. Введем в группе Ц %\ эквивалентность, считая {aj ~ {fej, если существует такой элемент {ct.} £ Д I.-, что а. = ир{ о Ъ. о ^.cpj^cT^ для всех i £ I. Тогда за lim(1} £ будем принимать множество всех классов эквивалентности, т. е. lim(1J£ = =m;i~ *~ 2. Функтор Ext". Если £* = {£*} и |'*={^*} — два коцепных комплекса в категории К а, а и*: ?* -> ?'* — отображение, то коцепной комплекс в ка- тегории Кл определим как £* = £* —* £'*. Группы гомологии коцепного комплекса lim Г = {lim \° -> lim I1 -> lim \г -> ...} обозначим через #*(£*, /?) и назовем проекционными. Для каждого п ^ 0 коцепной комплекс £* индуцирует обобщенный обратный спектр ^(П = {#"(0}^{#"0 (где Я'(£) (Я*0-гРУ™ы го- мологии коцепного комплекса £*(£„*)), предельную группу которого обозначим через Hn(l*, s)=limHn(l*) и назовем спектровой. Теорема 3. Если I = Z+ и для всех п^О спектр \п является lim-ацик- личным, то имеет место точная последовательность 0 -> limcl) Й"-1 (~Г) -> Нп {\\ р) -> Нп (Г, s) -> 0. В частности, если и* — тождественный морфизм, то получаем лемму 7 из [2]. Пусть | = {Еа} —*-> {^} — прямой обобщенный спектр Л-модулей, т. е. 1(*Ka,i и В — Л-модуль. Тогда для всех п ^ 0 система <£xt"(§, В) = = {Extn(£a, В)} -> {Ext"(^> В)} образует обобщенный обратный спектр абелевых групп и определен функтор &xtn (—, В): Кк, i -> с$о$2'. Теорема 4. Если / = Z+ а все Уа — мономорфизмы, то имеем место точная последовательность 0->lim(1}^xtn-1(|, J5)->Extn(lim|, В) -> lim £xt" (|, Я)->0. В частности, если иа — тождественный гомоморфизм, то получаем формулу Рооса [3]. 182
Пусть £ —(£а) —2-* {l'j£K{ и В — Л-модуль. Тогда для всех /г!>0 система Srtn{B, l) = {Extn(B, ij} -> (Extw (В, l'a)} образует обобщенный обрат- ный спектр абелевых групп и определен функтор <gxtn (5, —): К а -> q$S§ . Теорема 5. Если I = Z+, все иа — эпиморфизмы и спектр \ является Ит-ацикличным, то имеет место точная последовательность 0->]1т(1)(§>хГ-1(5, l)->Exin(B, lim£)->lim£xtw(J5, I) -> 0. В частности, если иа — тождественные гомоморфизмы, то получаем формулу Рооса [4]. Теорема 6. Если заданы прямой спектр В = |J5J ^Ка,/ и обратный спектр А = {А{} £ Ка> где I = Z+, то имеет место точная последовательность 0->lim(14imExt"(£., A J -> lira(1) Extw(£,, At)-> j г -> lim Hm(1) Ext" (В., Aj) -> 0. Теорема 7. £слц в спектре A = {Ait ol.}^Ka гомоморфизмы а.:А{-*> —* Ai_1 — эпиморфизмы, то имеет место точная последовательность 0->]im(lJExtw-1(J5., А.) -> Ext" (lim В, lim Л)-> lim Ext"(J5., Л J -* 0. Следствие 3. J5 условиях теоремы 7 имеют место изоморфизмы lim(1)Extn(limB, 4,)«Нтс1) lim Ext"(5., Aj), J J * limQ)Extw(J5., Пт1)^Пт(1,НтЕхГ(Б., Лу) *■ * j и limQ)lim(1)Extw-1(J5,, Ay) = lim(1} HmQ) ЕхГ"1^., A,) = 0. * J J * 3. Гомологии Колмогорова. Как известно, среди всех частично точных гомологии, определенных на категории Кс компактных пар, теория гомологии Александрова—Чеха является единственной теорией, удовлетворяющей аксиоме непрерывности [5]. Мил нор [6] модифицировал аксиому непрерывности и доказал, что для всякой Н гомологической теории, удовлетворяющей аксиоматике теории гомологии Стинрода, и любой последовательности {X.} компактных метрических пространств Xi9 обратным пределом которой является X = limXt., имеет место точная последовательность 0 -> Inn'1' Я,+1 (X,.) -* Hq (X) -> lim Hq (Xt) -> 0. k В частности, если Н =Н есть теория гомологии Колмогорова, то ввиду того, что эта теория удовлетворяет аксиоматике теории гомологии Стинрода [7], и для нее будет справедливо утверждение Милнора. Однако эту модифицированную аксиому непрерывности можно получить для гомологии Колмогорова и на категории Кс компактных пар. Теорема 8. Пусть (X, А)= {(Xif А{)}—счетный обратный спектр компактных пар (Xif At) и (X, A) = lim(X, Л), a G = {G., gt}—счетный обратный спектр абелевых групп Gif где gi — эпиморфизмы и G = limG. Тогда для гомологии Колмогорова имеет место точная последовательность 0->11т'»Яв+1(Х<, Ait Gt)-*Hq(X, A, G)^limHq(X(, At, Gt)-*0. 183
Доказательство. Применяя теорему 7 для прямого спектра {Hq(Xp At)} и обратного {Gi9 gt}, можно показать, что для всех q^O lim(1)Ext(#? (Xt., А^ Gt) = 0 (где Hq (Xi9 А.) — целочисленная группа ко гомологии Александрова — Чеха). Так как для каждой компактной пары (F, В) и абелевой группы S имеет место точная последовательность к 0-+Exb(H«+1{Y, В), S)->Hq(Y,_B, S)-> Вот (ЙЦУ, В), 5)-* О, то для обратных спектров (X, А) и G получаем точную последовательность 0->lmiExt(/F+1(X,-, A.), Gt)^)imHt{Xt, А{, G{)-+ -н* lim Нот {Н" (X., Л,.)~Gt)->0 и изоморфизм lim"' Hq (ХР A,, Gt)«lira"» Нот (Я* (X,., At), Gt). (4) Так как limH*(Xiy А{)^ Й*(Х, А), то, применяя теорему 7, можно показать, что в коммутативной диаграмме 0->Ext(^+1(-y, A), G)^Hq{X, A, G)^Uom(H*(X, A), G)^0 О -* lim Ext(#*+1(X,., А{), Gt) -*► lim #г (АГ„ Л,., G4) -> lim Horn (Я» (X., Л,), G,.) -> О гомоморфизм ^ является изоморфизмом, а р# — эпиморфизмом, откуда следует, что п^ — эпиморфизм. Кроме того, Кег п¥ « Кег р^ = lim(1) Нот (Hq+1(Xiy At), G%). Поэтому, , используя изоморфизм (4), получим изоморфизм Кегтс^» к ^^Итш Hq+1(Xif Aiy G.). Теорема доказана. Следствие 4. Если Gt. = G для всех i £ /, то получаем модифицированную аксиому непрерывности 0^1ипшНд+1(Х., A,, G)^Hq(X, A, G)-*limHq(Xit А{, G)-*0. Следствие 5. Для любой компактной пары (X, А) и счетного обратного спектра G = {Gv g{) абелевых групп Giy где q{ — эпиморфизмы, имеет место точная последовательность 0^Ит11,Я?+1(Х, A, Gt)^Hq{X, A, G)-+lim.Hq(X, A, G.)->0. Гомологической размерностью h dim^ X локально компактного пространства X относительно группы коэффициентов G назовем такое наименьшее к целое число п^—1, что Нр(Х, А)=0 для всех р^>п и всех замкнутых Аах. Следствие 6. Если выполняются условия теоремы 8 и sup [h dimet. Х{) = = п, то fcdimllmglim*<n и Нп(Х, A, G)«lhnНп (X,., At, G(). В частности: 1) если G{ = G для всех if+I и sup {h dime Xt} = n, mo к к hdimG\\mX^n и Hn{X, Л, G)^\imHn(Xif А.9 G); 2) если Х{ = Х для всех i£I и sup{hdimGiX} = n1 то 184
hdimX^n и Hn(X, A, G)^lim#„(X, A, G.). limG < Рассмотрим обобщенный обратный спектр G = {Ga} —^ {G'a} £ <MS^J (где иа — эпиморфизмы), который порождает точную последовательность обобщенных обратных спектров 0->G"->G-*G'->0, G'={Cra)-+6(G:=Kerua), G> = {G'a) *Н {G'a). Переходя к пределу, получаем точную последовательность О -> П G« -^ Hm G -> lim Gra -> О, которую для краткости будем обозначать через О —> Gqo -* Goo ""^ Goo '~> 0. Теорема 9. Для любого компактного пространства X имеют место следующие неравенства: 1) hdimG X^max(hdimG* X, hdimGr XV 2) hA\mGr X^max^dim^X, hdim^ X-f 1); 3) hdimG» X ^ max (/г dimG X, &dim^ X—1). Опираясь на теорему 5, можно доказать следующее утверждение. Теорема 10. Для любой компактной пары (X, А) и любого счетного lim-ацикличного обобщенного обратного спектра G имеет место точная последовательность 0^lun«>Hn+1(X, A, G)^Hn(X, A, G„)^lunHa(X, А, 6)^0, где Я,(Х, A, G) = {H.(X, А, С()}^{НГ(Х, A, G'^^dm1- Следствие 7. Если Gt' = 0 для всех i£/, то Нп{Х, А,Лс()ъЦНа(Х,А, Gt) и h dimn^i X = sup {h dim^ X}. Следствие 8. В условиях теоремы 10 имеет место неравенство hdimG X ^ max (sup [hdimG. Xj, sup {hdimG> X\ — 1). Следствие 9. Если sup {hdim^ Xj = /г, mo H*(X, A, G^^lunHJX, A, G). ЛИТЕРАТУРА 1. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 2. Харлап А. Э. Локальные гомологии и когомологии, гомологическая размерность и обобщенные многообразия. — Мат. сб., 1975, 96, № 3, с. 347—373. 3. Roos J. Е. Sur les foncteurs derives de lim. Applications. — G. r. Acad. sci. Paris, 1961, 252, N 24, p. 3702—3704. *~~ 4. Roos J. E. Redualite et structure des foncteurs derives de lim, Sans la categorie des modules sur un anneau regulier. — C. r. Acad. sci. Paris, 1962, 254, N 10, p. 1720—1722. 5. Стинрод Д., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 6. Milnor J. On the Steenrod homology theory. Princeton, 1960. (Mimeographed). 7. Мдзинаришвили Л. Д. О связи гомологических теорий Колмогорова и Стинрода. — ДАН СССР, 1972, 203, № 3, с. 528-531. 8. Мдзинаришвили Л. Д. О законе двойственности Колмогорова. — ДАН СССР, 1974, 216, № 3, с. 502—504.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Дж. НАГАТА (Амстердам, Нидерланды) ОБЗОР ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III Цель этой лекции — дать обзор развития теории размерности как продолжение предыдущих двух обзоров [32, 33], сделанных в 1966 и 1970 гг. (в ссылках, упоминаемых как Обзор I и Обзор II соответственно). Невозможно, естественно, сконцентрировать все достижения нынешнего плодотворного десятилетия в лекции длительностью немногим более часа, так что только некоторые интересные результаты будут рассмотрены, причем выбор их до некоторой степени случаен. В дальнейшем dim X обычно обозначает размерность в смысле Катетова— Смирнова, которая, как хорошо известно, совпадает с лебеговой размерностью, определяемой посредством покрытий, в случае, когда пространство X нормально. В некоторых случаях лебегова размерность может быть использована для не нормальных пространств, но с оговорками. Ind X и ind X обозначают, как обычно, большую индуктивную размерность и малую индуктивную размерность соответственно. (По поводу терминологии и общих теорем теории размерности см. [31], а также [72].) 1. Теорема о размерности произведения Возможно, наиболее замечательные исследования в теории размерности в нынешнем десятилетии посвящены теореме о размерности произведения. Давно известно, что теорема о размерности произведения dimXxF^ ^dim Z+dim Y выполняется для размерностиав смысле покрытий во многих случаях, когда произведение 1x7 нормально, и во всех известных контрпримерах произведение 1x7 не нормально. Таким образом, казалось бы, мы должны предположить, что теорема справедлива всякий раз, когда произведение нормально. Но примеры Воги и Пшимушинского вынуждают нас отказаться от этого предположения. Теорема (Воги [11]). В предположении гипотезы континуума dim XxY ^ dim X+dim Y не обязано выполняться, даже если XxY локально бикомпактно и совершенно нормально, dim Х = 0 и X = Y. Используя метод ван Дауэна, Пшимушинский показал, что гипотеза континуума может быть опущена. Теорема (Пшимушинский [51]). Для любого натурального п существует сепарабелъное с первой аксиомой счетности пространство X такое, что (1) Хп финально компактно и dimXn=0; (2) Xn+1 нормально и dimXn+1>0. 186
Из этого результата, естественно, вытекает, что теорема о размерности произведения может не выполняться для размерности Ind, даже когда произведение нормально. С другой стороны, В. В. Филиппов [62] показал, что теорема о размерности произведения не выполняется для Ind и ind в бикомпактном случае. Именно он построил бикомпакты X и У такие, что indX = IndX = l, ind7 = IndF = 2, indXx У>4. В противоположность приведенным отрицательным результатам весьма значительные достижения сделаны также и в позитивной направленности. Теорема (В. В. Филиппов [63], Б. А. Пасынков [42, 43]). Если произведение XxY нормально и счетно паракомпактно и если У — параком- пактное р-пространство (в смысле А. В, Архангельского), то dimXX 7<dimZ+dimF. Из этой теоремы следует как специальный случай справедливость теоремы о размерности произведения для паракомпактных р-пространств X и У, что подтверждает предположение докладчика в Обзоре I. Этот специальный случай был также доказан Катутой. Для большой индуктивной размерности В. В. Филиппов и Б. А. Пасынков получили следующий замечательный результат. Теорема (В. В. Филиппов [63], Б. А. Пасынков [43]). Если произведение XxY нормально, X —локально бикомпактное паракомпактное пространство и если теорема конечной суммы справедлива для размерности Ind как в X, так и в Y, то Ind XX 7<IndX + ]ndy. Б. А. Пасынков получил эти две теоремы как следствие общей теоремы о размерности «прямоугольного произведения». 8 Определение (Б. А. Пасынков). Конечное произведение Х = ЦХ, называется прямоугольным, если в любое конечное функционально открытое покрытие пространства X можно вписать а-локально конечное покрытие мно- 8 жествами вида Ц F*, aG^> гДе ^i — функционально открытое подмножество пространства Х{. 8 1 еоре, ма (Б. А. Пасынков [43]). 1) Если Ц>~* — прямоугольное произ- 8 8 ведение вполне регулярных пространств, то dim XI -Х^<^ 2 dim Хг 2) Если •=i *=i 8 XIX. — прямоугольное произведение и одновременно нормальное пространство •=i и если теорема о размерности конечных сумм справедлива для размерности Ind в каждом Xi9 то 8 8 Во многих интересных случаях XxY является прямоугольным произведением, например, когда: 1) X вполне регулярно, а У — локально бикомпактный паракомпакт, 2) проекция тс:.ХхУ-> X является замкнутым отображением, 3) X — паракомпактное 2-пространство (в смысле Нагами), 187
а У — паракомпактное Р-пространство (в смысле Мориты), 4) X метризуемо (или, более общо, /^-паракомпактно), а 1x7 счетно паракомпактно и нормально. Таким образом, приведенные теоремы влекут различные новые, а также известные теоремы о размерности произведения такие, как теорема Мориты и теорема Кодамы; для размерности dim в случае 4), когда X метризуемо, теорема обобщена в ином направлении следующим образом. Теорема (М. Рудин, Старбёрд [54]). Если произведение XxY метрического пространства X и счетно паракомпактного пространства Y нормально, то dim XX F<dimX + dimF. М. Рудин и Старбёрд вывели эти теоремы из теоремы Кодамы, доказав предварительно следующую замечательную теорему, которая является ответом на вопрос Мориты и Тамано. Теорема (М. Рудин, Старбёрд [54]). Предположим, что X — метрическое пространство и произведение XxY нормально. Тогда произведение XxY счетно паракомпактно тогда и только тогда, когда счетно паракомпактно пространство Y. Б. А. Пасынков поставил вопрос: является ли произведение XxY произвольных вполне регулярных пространств X и Y прямоугольным? На этот вопрос, однако, дали отрицательный ответ Морита и Хошина следующим образом. Теорема (Хошина, Морита [68]). Для вполне регулярного пространства X следующие условия эквивалентны: 1) X локально бикомпактно и паракомпактно; 2) произведение XxY является прямоугольным для любого вполне регулярного пространства Y; 3) произведение XxY является прямоугольным для любого топологического пространства Y. Они также обобщили теорему Б. А. Пасынкова следующим образом. Теорема (Хошина, Морита [68]). Если произведение XxY прямоугольно, то dim XxY ^ dim X+dim Y. Хотя понятие прямоугольного произведения важно для теоремы о размерности произведения, она все же не является непременным условием, как показывает следующий результат. Теорема (Морита [29]). Пусть Y — паракомпакт, являющийся счетной суммой своих замкнутых локально бикомпактных подпространств. Тогда для любого топологического пространства X dim X X Y ^ dim X-f-dim Y. Теорема (Морита [29]). Равенство dim XxF=dim X + dim Y справедливо, если: 1) X — топологическое пространство, a Y — СW-комплекс, а также если: 2) X — топологическое пространство с dim X = l, a Y — паракомпакт, являющийся счетной суммой своих замкнутых локально бикомпактных подпространств. Эти теоремы существенно усиливают доказанные ранее теоремы Мориты в том же направлении, так как здесь X может быть произвольным топологическим пространством. 188
2. Теорема суммы и теорема монотонности размерности В этом направлении отрицательные результаты занимают значительно более заметное место. Часто оказывается, что размерность в смысле Кате- това—Смирнова в не нормальных пространствах работает лучше, чем размерность в смысле покрытий, а также что последняя не отражает наших интуитивных представлений о размерности в таких случаях. Как показал Дийкстра [13], используя методы теории меры, видоизмененная полуплоскость Немыцкого (в которой каждая точка оси X имеет базис окрестностей Немыцкого, в то время как остальные точки изолированы) и произведение S2 линии Зоргенфрея на себя имеют бесконечную размерность в смысле покрытий, в некоторой степени противореча наивному понятию размерности. С другой стороны, оба пространства имеют нулевую размерность в смысле Катетова—Смирнова. Никош [39] доказал равенство dim 52=0, его результат усилили Мрувка и Терасава [58]. Таким образом, размерность в смысле Катетова—Смирнова кажется более приемлемой. Тем не менее следующий пример с размерностью в смысле Катетова—Смирнова убеждает в том, что в действительности выбор между двумя понятиями размерности является трудной задачей. Теорема (Э. Поль [47]). Существует вполне регулярное пространство X такое, что dim Х=£0 и Х = Хг U Х2 для функционально замкнутых подмножеств Ххи Х2с dim Х,.=0, i=l, 2 (см. также работу Терасавы [57]). Напомним, что Остранд доказал теорему суммы для любого локально конечного замкнутого покрытия произвольного топологического пространства и размерности в смысле покрытий. (Возможно, это первая поразительная теорема в теории размерности общих топологических пространств, см. Обзор II.) Малая индуктивная размерность в этом смысле ведет себя еще хуже. Используя известный пример Роя (Обзор I), ван Дауэн и Пшимушинский доказали такой результат. Теорема (ван Дауэн [10], Пшимушинский [50]). Теорема конечной суммы не имеет места в классе полных метрических пространств. Ван Дауэн доказал даже, что добавление одной-единственной точки может увеличить размерность ind от 0 до 1 в классе метрических пространств. Другой отрицательный результат получили Николас и Смит [37], которые показали, используя идеи Робертса, что теорема конечной суммы не выполняется ни для метрической размерности fx — dim, ни для других раз- мерностных функций, ранее определенных Нагами и Робертсом в терминах метрики (Обзор I). Другой большой круг вопросов в теории размерности был решен В. В. Филипповым и Э. Поль и Р. Полем. Как известно, Даукер доказал теорему монотонности для размерностей dim и Ind тотально нормальных пространств и оставил открытым вопрос о наследственно нормальных пространствах, который сейчас решен следующим образом. Теорема (В. В. Филиппов [63], Э. Поль, Р. Поль [48]). Существует наследственно нормальное пространство Хс dimX=Ind Х=0, которое содержит подпространства Хп, и=1, 2, . . ., с dim Xn=Ind Хп=п. Более точно, В. В. Филиппов доказал теорему, потребовав выполнения теоретико-множественного условия — совместимости существования сус- линского дерева с обычными аксиомами теории множеств, а Э. Поль и Р. Поль показали, что это условие может быть опущено. 189
В позитивном направлении Нишиура определил новый класс пространств, промежуточных между тотально нормальными и наследственно нормальными пространствами: пространство X называется супернормальным, если для любой пары отделенных множеств А и В пространства X существуют дизъюнктные открытые множества U и V такие, что А с U, В с V, и каждое из множеств U и V является суммой семейства функционально открытых в X множеств, которое локально конечно в U (или V), Теорема (Нишиура [41]). Если Y с X для супернормалъного пространства Хх1 то dim Y <С dim X и Ind Y ^ Ind X, Л. Г. Замбахидзе и Б. А. Пасынков [14] также распространили теорему монотонности для dim и Ind на класс более широкий, чем класс тотально нормальных пространств. Одну теорему монотонности доказал В. П. Золотарев [16]. 3. Совпадение размерностей и теоремы вложения Поразительный результат о совпадении размерностей dim и Ind получил И. М. Лейбо. Отвечая на вопрос, поставленный В. И. Пономаревым, он доказал следующую теорему. Теорема (И. М. Лейбо [20]). 1) Пусть X является замкнутым не- прерывным образом метрического пространства (т. е. пространством Лаш- нева). Тогда dim X = Ind X. 2) Пусть X является замкнутым непрерывным образом сепарабельного метрического пространства. Тогда dim X = ind Х= -Ind X. Возможно, имеет смысл и дальше изучать размерностные свойства пространств Лашнева. Мизоками [26] доказал совпадение ind и Ind для определенного класса тотально нормальных пространств, обобщив различные теоремы о совпадении размерностей, ранее доказанные Моритой, Катутой, Фитцпатриком, Фордом и Нагами (Обзор II). Френч [64] также получил равенство ind = Ind при определенных условиях. Их условия кажутся довольно сложными, и желательно было бы знать, какая зависимость имеется между ними, теоремой Лейбо 2) и менее известным результатом Мак-Оли [25]. В. В. Федорчук [61] доказал совпадение ind и Ind для бикомпактов, являющихся х-метризуемыми пространствами (в смысле Е. В. Щепина [55]; все метризуемые пространства, равно как и локально бикомпактные группы^ х-метризуемы). Б. А. Пасынков [44] обобщил свои более ранние работы по локально бикомпактным группам и почти метризуемым группам, доказав, что если бикомпактная группа К действует непрерывно на нормальном пространстве X так, что пространство орбит XIK метризуемо, то dim Х = =Ind X (см. Ю. М. Смирнов [56]). В противоположность тому факту, что для компактов все размерности ind, Ind и dim совпадают, Люксембург доказал, дав тем самым отрицательный ответ на вопрос Ю. М. Смирнова, что то же самое неверно в случае трансфинитных индуктивных размерностей. Теорема (Люксембург [24]). Существует компакт X такой, что IndZ=co0+2, indX=o)0+l. В теории универсальных пространств чрезвычайно интересным результатом мы обязаны Липскомбу. Докладчик в свое время построил универсальное пространство в классе произвольных метрических пространств с заданным весом и заданной размерностью, расположенное в счетном произведении ежей (а также в гильбертовом пространстве), — оба эти простран- 190
ства бесконечномерны, и это обстоятельство производит впечатление незавершенности рядом с тем фактом, что сепарабельное метрическое пространство размерности dim, не превосходящей п, может быть вложено в (2я+1)- мерный куб (Обзор I). Липскомб исправил этот недостаток и доказал новую теорему вложения. Определение (С. Липскомб). Пусть N (А) — пространство Бэра (т. е. нульмерное метрическое пространство, являющееся произведением счетного числа экземпляров дискретного множества А. Обозначим через ак к-ю координату точки a£iV (^4). Затем определим отношение эквивалентности R на N (А), полагая a R (3 тогда и только тогда, когда 1) а = $ или 2) а=^=(3 и существует j(<N (N — множество натуральных чисел) такое, что для всех к < / ак=$к и 1) dj = ^j+s для всех 5>1; ч 2) py=ay+s для всех 5^1. Тогда фактор-пространство / (i)=N (A)/R (\ А \=ч) является одномерным метрическим пространством, каждая точка которого есть либо одноэлементный, либо двухэлементный класс; точки первого типа называются иррациональными, а второго — рациональными. Теорема (Липскомб [21]). Метрическое пространство веса т имеет размерность dim ^ п тогда и только тогда, когда оно топоологически вкладывается в множество тех точек пространства J (t)n+1, каждая из которых имеет самое большее п рациональных координат. Кульпа [18] и А. Г. Немец [36] также получили некоторые интересные результаты о вложениях. 4. Аксиоматика В области аксиоматической характеристики размерностной функции О. В. Локуцивский и Е. В. Щепин добились замечательного успеха, решив проблему П. С. Александрова. Они рассмотрели следующую систему аксиом, которая является небольшим изменением аксиом П. С. Александрова. Определение. Пусть а — функция, ставящая в соответствие пространству из некоторого класса целое число. А1# dTn=/j, где Тп — /г-мерный симплекс (Г_1=0). А2. Если X есть счетная сумма своих замкнутых подмножеств X., £=1, 2, ..., то dX=sup{dX.|i=l," 2, ...}. А3. Пусть dX = n, тогда существует конечное открытое покрытие со пространства X такое, что d (fX) ^ п для произвольного со-отображения /: X -> Y.« А4. Если X содержит более одной точки и dX = n, то существует замкнутое в X множество В такое, что dB < п и Х\В несвязно. А*. Если X содержит более одной точки и dX = n, то существуют два различных непустых регулярных замкнутых множества (=замыкание своей внутренности) jFx и F2 такие, что для каждого открытого покрытия со можно найти замкнутое в X множество J5, которое разделяет Fx и F2 и такое, что существует со-отображение /: В -> Y в некоторый элемент класса такое, что d (fB) < п: Локуциевский и Щепин следующим образом обобщили характеристику размерности dim для компактов, данную П. С. Александровым. 191
Теорема (Е. В. Щепин [69]). В классе всех конечномерных метрических пространств dX=&im X — единственная функция, удовлетворяющая аксиомам Аг—А4, и то же самое справедливо в классе всех сепарабелъных метрических пространств. Теорема (О. В. Локуциевский [22]). В классе конечномерных бикомпактов dX=&im. X — единственная функция, удовлетворяющая условиям А1? А2, А3 и А*. В совершенно ином аспекте Рихман и др. сделали попытку построить теорию размерности с конструктивной точки зрения. Они слегка изменили определение размерности посредством покрытий, так как обычно трудно, с их точки зрения, определить, содержится ли данная точка в данном множестве. Для этой размерности Рихман, Берг, Ченг и Минее [52] доказали теорему монотонности, теорему конечной суммы и теорему произведения в классе вполне ограниченных метрических пространств. Берг, Юлиан, Минее и Рихман доказали совпадение размерности в смысле покрытий с размерностью Ind (также несколько видоизмененной) в классе вполне ограниченных метрических пространств. Если мы ограничимся исключительно конструктивной точкой зрения, теория размерности станет чрезвычайно бедной. Автор, однако, полагает, что прибавление этой ригорической точки зрения к уже существующей теории размерности делает теорию полнее. 5. Характеристика размерности Катетов определил аналитическую размерность кольца С (X) (С* (X)) всех действительных (ограниченных) непрерывных функций на пространстве X и доказал, что размерность С (X) совпадает с dim X в случае, когда X — компакт. Имелись попытки распространить эту теорию на более общие пространства. Хейцман получил интересный результат относительно равномерной размерности Ad (в смысле Исбэлла) общих метрических пространств. Определение. Пусть С — топологическое коммутативное кольцо с единицей е и непрерывным действительным скалярным произведением. Подкольцо Сг кольца С называется а-замкнутым, если 1) С1 есть подмодуль модуля С и е£Сг, 2) С1 является замкнутым подмножеством пространства С£ 3) из g (< С и | g | £ Сг следует g^Clt Подмножество В с С является а-ба- зисом, если не существует а-замкнутого подкольца Сг такого, что В с Сг=^=С. Наименьшая мощность а-базиса кольца С есть а-размерность кольца С. Теорема (Хейцман [65]). Пусть X — непустое метрическое пространство. Тогда либо AdX и а-размерность кольца U* (X) конечны и равны, либо обе они бесконечны, где U* (X) обозначает кольцо всех действительных ограниченных равномерно непрерывных функций на X, наделенное топологией равномерной сходимости. С. А. Богатый [7] также получил похожий реузльтат для размерности dim метрических пространств. Хейцман получил другую оригинальную характеристику размерности в терминах разбиения единицы. Определение. Разбиение единицы на топологическом пространстве X есть семейство {/J неотрицательных действительных непрерывных функций на X таких, что 2/а(ж)—1 Для всех Х£Х. Для данного разбиения {/J определим X{/a} = inf{sup/»}. 192
Разбиение {/а | а £ А} подчинено покрытию % пространства X, если {{*е*1/»^о}|ае4}<и. Теорема (Хейцман [66]). Пусть X — нормальное пространство, Q — семейство всех локально конечных открытых покрытий пространства X и 20 — семейство всех конечных открытых покрытий X. Для % £ 2 обозначим через с (11) и с0 (%l) точную верхнюю грань чисел X {/а} по всем и всем конечным соответственно разбиениям {/а} единицы на-* X, которые подчинены покрытию %« Тогда Л. Д. Вайнгортин [9] также охарактеризовал размерность dim X бикомпактов в терминах некоторых свойств кольца С (X). С другой стороны^ Канфелл определил размерность С (X) с новой точки зрения, которая полностью отлична от точки зрения Катетова. Определение (М. Канфелл). Пусть С — кольцо. Множество главных идеалов а С, i = 1, 2, . . ., д, однозначно порождено, если всякий раз,; когда aiC=b.C, £ = 1, . . ., п, существуют и{£С, г = 1, . . ., п, такие, что <^ = &.и., г = 1, . . ., п, и игС+. . . + игаС=С. г-dim С есть наименьшее целое неотрицательное п такое, что всякое множество из тг+1 главных идеалов однозначно порождено. Теорема (Канфелл [17]). Для произвольного непустого вполне регулярного пространства X следующие условия эквивалентны: 1) dimX = ^ 2) i-dimC(X) = n, 3) i-dim C*(X) = /i. M. Янош охарактеризовал размерность метрических пространств с помощью совершенно оригинального понятия — бисектора. Определение (Янош). Пусть <[Х, р)> — метрическое ^пространство и хх, х2 £ X. Тогда В (xv х2) = {х £ X | р (xv х) = р (х2У х)} называется бисектором. Предположим, что Z CF С X и Z = B(yv у2) Г) Y для некоторых yv y2£Y. Тогда Z называется бисектором в У, в обозначениях Y [± Z. Цепь бисекторов есть последовательность X 3 Х0 3 Хг Z) ... . • • Z) Хп подмножеств таких, что Х0 \\ Хх [\ . . . ^ Хп и п есть длина цепи бисекторов. Если Х0 = Х, dimX^^O и dimXw^0, то цепь называется приведенной цепью бисекторов в X. Далее определим г (X, р) как максимальную длину приведенной цепи бисекторов в <(Х, о}, а г (X)=min г (Х$ р) по всем метрикам пространства X. Теорема (Янош [70]). Непустое сепарабельное метрическое пространство X имеет dim Х=0 тогда и только тогда, когда существует метрика р на X такая, что р (х, у) =^= р (х\ у') для любых двух различных пар (х, у) и {х', у') точек из X. Теорема (Янош [71]). Если \Х — непустой компакт, то г (Х) = = dimZ. Мартин и Брюининг сумели распространить последнюю теорему Яноша на сепарабельные метрические пространства, рассматривая для определения г (X) только вполне ограниченные метрики. Возможно ли распространить идею Яноша на общие метрические пространства? 193
В своей классической статье Л. С. Понтрягин и Л. Шнирельман охарактеризовали размерность dim компактов посредством функции N (г, X, d)r ныне часто называемой е-энтропией. Брюинингу удалось перенести их теорию на общие топологические пространства, используя вместо метрики псевдометрику. Определение. Пусть R обозначает множество всех вполне ограниченных непрерывных псевдометрик на пространстве X. Мы введем упорядочение на R следующим образом: dx £— d2, если и только если для любого е ^> О существует 8 > О такое, что В^ (х) С Вр (х) для всех х £ X, где Bf (х) = =-{y£X\d(x, у)<Щ. Для d£R и е^>0 пусть N (е, X, d) определено как- минимальное число функционально открытых множеств, d-диаметр которых не превосходит е и которые покрывают X Далее положим к(Х, 3 = зир{ы{-10*"1%.*'') |*!<ф0>о}. Теорема (Брюининг [8]). Для каждого непустого топологического* пространства X dimX = tfup{inf{A;(X, d)\d^-d0, d£R}\d0£R). Понятие псевдометрики представляется удобным инструментом для перенесения результатов, справедливых в классе метрических пространствг на неметризуемые пространства. В качестве другого примера укажем, что характеристика Марчевского размерности сепарабельных метрических пространств в терминах гс-мерной меры может быть легко обобщена следующим образом. Определение. Пусть R — множество всех вполне ограниченных непрерывных псевдометрик на пространстве X, наделенное отношением: порядка £— и р £i?. Для в>0и неотрицательного целого п положим тЦХ, p) = inf (2 [%(А()]-\\(А()<г, Х = U а\, т,(Х, р) = sup {«;(*, P)}|s>0}, где 8 (А) обозначает р-диаметр множества А, а [8 (А)]0 определено так: 1А>(^)]0 = 0, если А — 0, [8 (А)]° = 1 в противном случае. Теорема. Пусть X — нормальное пространство. Тогда dim X ^ п, если и только если для любого p0^R существует р £ /? такое, что р £— ра и тп+1(Х, р) = 0. Брюининг и докладчик ввели новую функцию Afr (X) для характеристики размерности неметризуемых пространств в более сильной форме, чем упомянутое выше обобщение Брюининга теоремы Понтрягина—Шнирельмана. Определение (Нагата—Брюининг). Пусть X — топологическое пространство и к — натуральное число. Тогда Afr (X) = min {т £ N | для любого функционально открытого покрытия % пространства X с \%\^к существует функционально открытое покрытие ?/ пространства X такое, что | W | ^ т и 2ГА<%, где fr* = {St(x, ?У)\х£Х}}. (Так как Afc (X) имеет некоторое сходство с е-энтропией Понтрягина—Шнирельмана, эта новая функция может быть названа А-энтропией.) Топологическому пространству X мы отнесем вполне регулярное пространство X и непрерывное отображение Ф: X -> X следующим образом: пусть 194
J-={feC(X)]f:X + \0, i|}, Ф(*) = {/(«)|/6/}бП(^|/б^}. где //== —-[О, 1] для всех /£с^. Положим Х — Ф(Х). Ранее К. Морита назвал функтор X -> X тихоновским и показал, что он может быть использован в теории размерности общих пространств. Псевдометрика, тихоновский функтор и размерность в смысле Катетова—Смирнова часто оказываются ключевыми понятиями в обобщении теории. Теорема (Нагата—Брюининг [34]). Пусть X — топологическое пространство такое, что либо 1 ^ dim X < оо, либо dim X = 0 и X бесконечно. Пусть dim X = п и k£N. Тогда Ак(Х) = 2к— 1, если &<и + 1, ДЛ(Х) = (*) + (*) + ...+(п^1), веди Л>/i+l. Следствие. Если X — топологическое пространство, удовлетворяющее условию теоремы, то dimX = lim1-2£^(£)_i. &-*оо log* Коротко говоря, теорема Понтрягина—Шнирельмана и теорема Марчев- ского — это разные стороны медали. Можно использовать идею е-энтропии или я-мерной меры в зависимости от того, какой из аспектов, мелкость или порядок покрытия, рассматривается. Желательно было бы знать, возможно ли найти выражение приведенного следствия на языке теории меры. Приведем лемму, которая была использована в доказательстве предыдущей теоремы и которая, кроме того, представляет и самостоятельный интерес. Лемма (Нагата—Брюининг [35]). Пусть X —топологическое пространство такое, что dim X ^ п ^ 1. Тогда существует последовательность Хг, Х2, ... попарно непересекающихся замкнутых множеств пространства X таких, что dim X. ^ п, & = 1, 2, . . . В области характеризации размерности в терминах базы Мизоками [27] доказал, что Ind X ^ п, если и только если X имеет а-консервативную базу такую, что Ind Bdr (W) ^ п—1 для любого элемента W базы в случае, когда X есть М+пространство (в смысле Чедера), удовлетворяющее определенным условиям. Это является частичным ответом на вопрос докладчика: справедливо ли то же самое для каждого М+пространства? 6. Другие аспекты Известный пример Хендерсона (бесконечномерный компакт, который не имеет замкнутых подмножеств положительной размерности. Обзор I) был усилен А. В. Зарелуа [15], который развил совершенно новую технику, используя кольца непрерывных функций, и показал, что каждый сильно бесконечномерный (в смысле П. С. Александрова: существует последовательность (F., GJ, г=1, 2, . . ., пар непересекающихся замкнутых множеств такая, что для любых замкнутых множеств Н., г = 1, 2, . . ., разделяющих F. 00 \ nGi9 П Н.=^= 0 ) компакт содержит подкомпакт, удовлетворяющий приведен- *=1 ' ному условию. 195
Рубин, Шори и Уолш также развили новый метод построения примеров- этого типа, который привел Уолша к построению бесконечномерного компакта, не содержащего подмножеств положительной размерности (замкнутых или нет). И, М. Лейбо [19], Люксембург [23] и Пирс [46] также достигли некоторого прогресса в теории бесконечномерных пространств. Очевидно, что каждый конечномерный компакт X содержит замкнутое множество размерности т для любого натурального т ^ dim X, так как dim и Ind для компактов совпадают. С другой стороны, В. В. Федорчук [60] построил для каждого натурального числа сепарабельный, с первой аксиомой счетности бикомпакт X с dim Х = п1 каждое непустое замкнутое подмножество которого либо- я-мерно, либо нульмерно. Примечательно также, что Мрувка [30] построил iV-компактное пространство, имеющее ненулевую размерность dim. С другой стороны, Никош [38} доказал, что пространство Роя Д с ind Д=0 (и Ind Д = 1) не TV-компактно,, хотя оно функционально замкнуто. Таким образом, в классе функционально замкнутых пространств импликация dim=0 => iV-компактность => ind=0 необратима. Никош и Решель [40] также внесли вклад в изучение нульмерных пространств. С другой стороны, А. В. Архангельский, В. В. Филиппов,. Грюнхаге и Никош предприняли интенсивное изучение пространств с базой конечного* ранга или базой, определенной аналогичными условиями (см., например, [5] первых двух авторов и [12] двух других авторов). Изумительная теорема в последней статье состоит в том, что каждый бикомпакт с базой конечного ранга метризуем. Хотя понятие ранга было введено докладчиком с целью охарактеризовать размерность метрических пространств и ранние работы А. В. Архангельского показали важность этого понятия как в теории размерности, так и в теории метризации, сейчас представляется, что недавние исследования перенесли в большой мере основное использование этого^ понятия в несколько отличную от теории размерности область (см. Обзор I). Среди различных новых размерностных функций, придуманных в целях дальнейшего развития теории размерности, имеются введенные Аартсом и Ни- шиурой [3, 4] d^-ind, (#-Ind, G^-dim и введенная Аартсом [1] Hind- Первые три функции мотивированы работами де Гроота, Ю. М. Смирнова и другими работами по расширению пространств, сохраняющих определенную размерность (Обзор I). $* есть класс топологических пространств, a o^-Ind (t#4nd) определена аналогично Ind (ind) с той разницей, что определение начинается с ©^-Ind X = — l(<#4ndX =—1), если и только если X£q?°. Размерностная функция G^-dim определяется так: o^-dim X <J nr если и только если для любого конечного ^-окаймленного покрытия % существует ^-окаймленное покрытие W такое, что ?/<?/, ord ?^ ^/г-|-1, где семейство % открытых в X множеств называется ^-окаймленным покрытием, если Х\\Л1(^оУ*. Некоторые теоремы теории размерности могут быть обобщены для размерностей метрических пространств при дополнительных предположениях о классе <#\ С другой стороны, придумана Hind, чтобы установить теоремы счетной и локально конечной суммы для наследственно нормальных пространств, в то» время как справедливость теоремы конечной суммы для размерности Ind наследственно нормальных пространств остается неустановленной. 196
Пусть X — наследственно нормальное пространство; тогда Hind 0 =—1, для любого д^О HindX^ft, если и только если для любой пары (F, G) замкнутых множеств с Hm^{FC\G)^n—1'существует пара {К, L) замкнутых множеств такая, что F\G С K\L, G\F С L\K, K\JL = X и Шп&(К П L) ^ п—1. Hind и Ind эквивалентны для любых тотально нормальных пространств. К сожалению, теорема монотонности неверна для размерности Hind наследственно нормальных пространств. Обратим также внимание на развитие теории размерности пространств близости, осуществленное Херрлихом и Пустом, поставивших своей задачей перенести результаты теории размерности на равномерные пространства (Исбэлл) и пространства близости (Смирнов). В заключение заметим, что интересные результаты в теории размерности и теории отображений получены Нишиурой и Б. А. Пасынковым. ЛИТЕРАТУРА 1. A arts J. М. A new dimension function. — Proc. Amer. Math. Soc, 1975, 50, p. 419— 425. 2. A arts J. M., Nishiura T. The Eilenberg—Borsuk duality theorem. — Indag. Math., 1972, 34, p. 68—72. 3. A arts J. M., Nishiura T. Kernels in dimension theory. — Trans. Amer. Math. Soc, 1973, 178, p. 227-240. 4. A arts J. M., Nishiura T. Covering dimension modulo a class of spaces. — Fund, math., 1973, 78, p. 75-97. 5. Архангельский А. В., Филиппов В. В. Пространства с базой конечного ранга. — Мат. сб., 1972, 87, № 2, с. 147—158. 6. Berg G., Julian W., Mines 7?., Richman F. The constructive equivalence of covering and inductive dimension. — Gen. Topol. and AppL, 1977, 7, p. 99—108. 7. Богатый С. А. Характеристика топологической и равномерной размерности в терминах колец непрерывных функций. — Сиб. мат. журн., 1973, 14, № 2, с. 289—299. 8. Bruijning J. A characterization of dimension of topological spaces by totally bounded pseudometries. — Pacif. J. Math., 1979, 80, N 1, p. 1—8. 9. Вайнгортин Л. Д. Характеристика размерности бикомпактов с помощью колец непрерывных функций. — В кн.: Актуальные вопросы математической логики и теории множеств. М.: 1975, с. 285—290. (Тр. МГПИ им. Ленина). 10. Van Douwen Е. The small inductive dimension can be raised by the adjunction of a single point. — Indag. Math., 1973, 35, p. 434—442. 11. Wage M. The dimension of product spaces. — Proc. Nat. Acad. Sci., 1978, 75, p. 4671 — 4672. 12. Gruenhage G., Nyikos P. Spaces with basic of countable rank. — Gen. Topol. and AppL, 1978, 8, p. 233—257. 13. Dijkstra J'. /. A space with maximal discrepancy between its Katetov and covering dimensional. — Gen. Topol. and AppL, 1981, 12, p. 45—48. 14. Замбахидзе Л. Г, Пасынков Б. А. Поведение функций размерностного типа в специальных классах пространств. — Сообщ. АН ГССР, 1975, 79, № 3, с. 549—552. 15. Зарелуа А. В. Построение сильно бесконечномерных компактов с помощью колец непрерывных функций. — ДАН СССР, 1974, 214, № 2, с. 264—267. 16. Золотарев В. П. О размерности подпространств. — Вестн. МГУ. Сер. мат., 1975, 5, с. 10-12. 17. Canfell М. J. Uniqueness of generators of principal ideals in rings of continuous functions. — Proc. Amer. Math. Soc, 1970, 26, p. 571—573. 18. Kulpa W. On a uniform universal spaces. — Fund, math., 1970, 69, p. 243—251. 19. Лейбо И. M. О замкнутых отображениях бесконечномерных пространств. — ДАН СССР, 1971, 199, № 3, с. 553-555. 20. Лейбо И. М. О замкнутых образах метрических пространств. — ДАН СССР, 1975, 224, № 4, с. 756-759. 21. Lipscomb S. On imbedding finite-dimensional metric spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1975, 211, p. 143-160. 22. Локуциевский О. В. Об аксиоматическом определении размерности бикомпактов. — ДАН СССР, 1973, 212, № 4, с. 813—815. 23. Люксембург Л. А. О бесконечномерных пространствах, имеющих бесконечную трансфинитную размерность. — ДАН СССР, 1971, 199, № 6, с. 1243—1246. 24. Люксембург Л. А. О компактах с несовпадающими трансфинитными размерностями. — ДАН СССР, 1973, 212, № 6, с. 1297—1300. 25. McAuley L. Е. Conditions for the equality of the inductive dimensions. — Portug. Math. J., 1965, 24, p. 21—30. 26. Mizokami T. The equality of large and small inductive dimensions. — J. London Math. Soc, 1979, 20, N 3, p. 541—543.
27. Mizokami Т. On Nagata's problem for paracompact a-metric spaces. — Topol. and Appl., 1980, 11, p. 211-221. 28. Morita K. Gech cohomology and covering dimension for topological spaces. — Fund. . math., 1975, 87, p. 31-51. 29. Morita K. On the dimension of the product of topological spaces. — Tsukuba J. Math., 1977, 1, p. 1-6. 30. Mrowka S. Recent results of ^-compact spaces. — In: TOPO 72: Proc. the second Pittsburgh Intern. Conf. 1972; Spring. Lect. Not., 1974, N 378, p. 298—301. 31! Nagata J. Modern dimension theory. Amsterdam: North-Holland, 1964. 32. Nagata J. A survey of dimension theory. — In: Proc. 2nd Prague Topol. Symp., 1966. Prague, 1967, p. 259—270. 33. Nagata J. A survey of dimension theory. II. — Gen. Topol. and Appl., 1971, 1, p. 65— 77. 34. Nagata /., Bruijning J. A characterization of covering dimension by use of Ak(X). — Pacif. J. Math., 1979, 80, N 1, p. 1-8. 35. Nagata J. New characterization of covering dimension. — In: Proc. Topol. Symp. held in 1978 at Vrije Univ. Amsterdam. — In press. 36. Немец А. Г. О метрической размерности. — ДАН СССР, 1975, 225, № 1, с. 44—47. 37. Nicholas J. С, Smith J. С. Examples concerning sum properties for metric-dependent dimension functions. — Pacif. J. Math., 1971, 38, N 1, p. 151—154. 38. Nyikos P. Prabir Roy's space A is not iV-compact. — Gen. Topol. and Appl., 1973, 3, p. 197-210. 39. Nyikos P. The Sorgenfrey plane in dimension theory. — Fund, math., 1978, 79, p. 131 — 139. 40. Nyikos P., Reichel H. C. On the structure of zero-dimensional spaces. — Inbag. Math., 1975, 30, p. 120-136. 41. Nichiura T. A subset theorem in dimension theory. — Fund, math., 1977, 95, p. 105— 109. 42. Пасынков Б. Л. О размерности произведений нормальных пространств. — ДАН СССР, 1973, 209, № 4, с. 792-794. 43. Пасынков Б. А. О размерности прямоугольных произведений. — ДАН СССР, 1975, 221, № 2, с. 291—294. 44. Пасынков Б. А. Размерность пространств с бикомпактной группой преобразований. — УМН, 1976, 31, № 5, с. 112—120. 45. Пасынков Б. А. О размерности и геометрии отображений. — ДАН СССР, 1975, 221, № 3, с. 543—546. 46. Pears A. R. A note on transfinite dimension. — Fund, math., 1971, 71, p. 216—221. 47. Pol E. Some examples in the dimension theory of Tychonoff spaces. — Fund, math., 1979, 102, N 1, p. 29-43. 48. Pol E., Pol R. A hereditarily normal strongly zero-dimensional space containing sub- spaces of arbitrary large dimension. — Fund, math., 1979, 102, N 2, p. 137—142. 49. Pust H. Normalitat und Dimension fur Nearness-Raume: Diss. Berlin: Freie Univ., 1977. 50. Przymusinski Т. C. A note on dimension theory of metric spaces. — Fund, math., 1974, 85, N 3, p. 277-284. 51. Przymusinski Т. C. On the dimensions of product spaces and an example of M. Wage: Prepr. N 110. Inst. Math. Pol. Acad. Sci., 1977. 52. Richman F., Berg G., Cheng #., Mines R. Constructive dimension theory. — Compos, math., 1976, 33, p. 161-179. 53. Rubin L. R., Schori R. M., Walsh J'. /. New dimension-theory techniques for constructing infinite-dimensional examples. — Gen. Topol. and Appl., 1979, 10, p. 92—102. 54. Rudin M. E., Starbird M. Product with a metric factor. — Gen. Topol. and Appl.,4 1975, 5, p. 235—240. 55. Щепин E. В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров. — УМН, 1976, 31, № 5, с. 191—226. 56. Смирнов Ю. М. Some topological aspects of theory of topological transformation group. — In: Proc. 4th Prague Topol. Symp., 1976, pt A; Spring. Lect. Not., 1977, N 609, p. 196— 204. 57. Terasawa J. Spaces N\JR need not be strongly zero-dimensional. — Bull. Acad, polon., 1977, 25, p. 279—281. 58. Terasawa J. On the zero-dimensionality of some non-normal product spaces. — Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, 1972, 11, p. 167—174. 59. Walsh J. J. An infinite-dimensional compactum containing no /г-dimensional (n > 1) subsets. — Topology, 1979, 18, N 1, p. 91—95. 60. Федорчук В. В. Бикомпакты без промежуточных размерностей. — ДАН СССР, 1973. 213, № 4, с. 795—797. 61. Федорчук В. В. О размерности %-метризуемых бикомпактов. — ДАН СССР, 1977, 234, № 1, с. 30—33. 62. Филиппов В. В. Об индуктивной размерности произведений бикомпактов. — ДАН СССР, 1972, 202, № 5, с. 1016—1019. 63. Филиппов В. В. О размерности нормальных пространств. — ДАН СССР, 1973, 209, № 4, с. 805—807. 64. French J. A. Some completely normal spaces in which small and large inductive dimensions, coinside. — Houston J. Math., 1976, N 2, p. 181—193. 198
65. Hejcman J. Uniform dimension and rings of bounded uniformly continuous functions. — Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, Budapest, 1972, p. 379—386. 66. Hejcman J. Covering dimension and partition of unity. — In: Proc. 4th Prague Topol. Symp., 1976. Prague, 1977, p. 159—163. 67. Herrlich H. Some topological theorems which fail to be true. — In: Categorical topology: Proc. Conf. Mannheim, 1975; Lect. Not. Math., 1976, N 540, p. 265—285. 68. Hoshina Т., Morita K. On rectangular products of topological spaces. — Topol. and Appl., 1980, 11, N 1, p. 47—57. 69. Щепин E. В. Аксиоматика размерности метрических пространств. — Мат. сб., 1973, 92, № 1, с. 135—141. 70. Janos L. A metric characterization of zero-dimensional spaces. — Proc. Amer. Math. Soc, 1972, 31, p. 268—270. 71. Janos L. Dimension theory via reduced bisector chains. — Canad. Math. Bull., 1978, 21, N 3, p. 305-311. 72. Александров П. С, Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 И. ПРОДАНОВ (София, НРБ) АБСТРАКТНЫЙ ПОДХОД К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ ПОНЯТИЮ СПЕКТРА Спектры, которые мы собираемся рассматривать здесь, в основном употребляются в коммутативной алгебре, но они также естественно возникают и играют определенную роль в других отделах математики. Основная цель этого обзора указать связь, основанную на спектрах, между простейшими разделами алгебры, логики, общей топологии и функционального анализа. Доказательства опущены. В разделе 1 рассматриваются определения и основные свойства спектров. Истоки этой тематики восходят к М. Стоуну [26], который построил теорию двойственности для булевых алгебр. В множестве S всех максимальных идеалов булевой алгебры X (спектр X) он ввел подходящую топологию, относительно которой S становится вполне несвязным компактным топологическим пространством (стоуновским пространством). В [27] этот же метод был применен к дистрибутивным решеткам. В этом случае спектром является множество всех простых идеалов и топология Стоуна уже не является хаусг дорфовой. Эта же топология часто применяется в коммутативной алгебре, где ее обычно называют топологией Зарисского. Спектром кольца X является множество всех простых идеалов в X, наделенное топологией Зарисского. Категория спектров коммутативных колец описана в [12]. Недавно стало ясным, что мы имеем дело с двойственностью не только в булевых алгебрах, но и в дистрибутивных решетках. Главным, что оставалось сделать здесь после Стоуна, было описание категории спектров дистрибутивных решеток. Можно доказать, что последние две категории отличаются несущественно (см. 1.3). Здесь я предлагаю еще одно описание (см. 1.1). По сравнению с [12] морфизмами этой категории являются обычные непрерывные отображения и в противовес [22] топология Стоуна—Зарисского здесь более выделена, что, конечно, естественно, если иметь в виду все три описания. Подраздел 1.2 содержит два общих примера спектров, в 1.4 рассматривается двойственность Стоуна—Пристли, в 1.5 даны два применения. Одно из них, а именно 1.5.1, используется в разделе 2. На первый взгляд появление спектров в такой общей ситуации, как в 1.2, неожиданно, поскольку психологически они обычно связаны с отделимостью. Действительно, мы не знаем, существуют ли нетривиальные простые идеалы вообще, но оказывается, что если операции ф и (g) из 1.2.1 удовлетворяют некоторым не очень ограничительным естественным условиям, то простых идеалов становится так же много, как и в случае коммутативных 200
колец или дистрибутивных решеток (см. теорему 2.3.1). Таким образом, мы приходим к понятию отделимой алгебры, рассматриваемой в разделе 2, определение дано в 2.1, а далеко не полный список примеров содержится в 2.2. Отделимыми алгебрами являются коммутативные кольца, дистрибутивные решетки, а также выпуклые пространства (отделимые алгебры, в которых две операции совпадают), которые включают в себя вещественные линейные пространства. Абстрактное изучение выпуклости было начато Преновицем [20], а различные вариантные определения выпуклого пространства появились в [2—4, 7, 8, 21]. Все они сравниваются в [28]. Выпуклость была исследована с других позиций в [5, 9, 10, 17, 19], некоторые применения рассматриваются в [30], а [1] содержит критический обзор. Я. Тагамлицки [4] получил общую теорему отделимости для выпуклых пространств. Она была улучшена (опять-таки для выпуклых пространств) и применена к аналитическим проблемам отделимости в [2, 3] (ср. [5, 8]). Однако кажется, что естественной областью для этой теоремы являются отделимые алгебры, а не выпуклые пространства: наличие двух операций делает этот аппарат более гибким без дополнительных усложнений (см. 2.3). На этом пути мы приходим, в частности, к отделимости простыми идеалами идеала и мультипликативного множества в коммутативном кольце, идеала и фильтра в дистрибутивной решетке, а также к отделимости двух выпуклых множеств выпуклым множеством с выпуклым дополнением. Теорема отделимости приводит естественным образом к теореме представления (2.5). Грубо говоря, каждая отделимая алгебра X может быть вложена в дистрибутивную решетку L таким образом, что операции в X наследуются из L. Это является новым даже для плоскости: существует дистрибутивная решетка LdR2 такая, что для каждого сегмента аЪ с Ц2 имеем ab = {x£R2: х с a |J Ъ) = {х£ R2: х Z> а П Ъ). Теорема отделимости допускает обобщение для отделимых алгебр, наделенных соответствующей топологией (2.6). Таким образом, даже если мы ограничимся выпуклыми пространствами, мы найдем несколько классических теорем отделимости и представимости, но наличие двух операций еще более расширяет эти возможности. В процессе работы я имел много полезных бесед с моими друзьями и коллегами Д. Вакареловым, Д. Скордевым и В. Чукановым. Мне доставляет удовольствие воспользоваться случаем и выразить им мою признательность. 1. Спектры 1.1. Категория спектров. Пусть (S, Г+, Г~> — непустое битопологиче- ское пространство. Тогда множество L+ всех подмножеств S, открытых относительно топологии Т+ и замкнутых в топологии Г~, очевидно, является дистрибутивной решеткой с нулем и единицей ({0, 1}-дистрибутивная решетка, 0=7^1) относительно операций \J и П- То же верно для аналогичного множества Ь~ всех подмножеств S, открытых в топологии Т~ и замкнутых в топологии Т+. Будем говорить, что непустое битопологическое пространство <(5, Г+, Т~У является спектром, если оно удовлетворяет следующим требованиям: (i) L* и Ь~ являются базисами топологии Т+ и Т~ соответственно; (ii) каждое 201
замкнутое относительно Т (относительно Т~) подмножество S есть квазикомпакт относительно Т~ (относительно Т+); (Ш) одна из топологий Т+ или Т~ удовлетворяет аксиоме отделимости Т0. Из этих аксиом следует, что пространства <(5, Г+)> и <(5, Г~)> являются квазикомпактными ^-пространствами. Далее, множество L+ (соответственно Ь~) состоит в точности из всех открытых квазикомпактных относительно топологии Т+ (соответственно Т~) подмножеств множества S. С другой стороны, множество L" состоит из дополнений элементов множества L+. Следовательно, пространство <(£, Т+у несет всю информацию для спектра. Обозначим класс спектров через 2- Определим морфизм / : St -> S2 в классе 2 как отображение такое, что / : (S^f) -> <(S2Tf)> и / : (S^'y -> -> (S2T~y являются непрерывными отображениями. Назовем так построенную категорию категорией спектров. Спектр S называется спектром Стоуна, если обе топологии на S совпадают. Топологическое пространство является спектром Стоуна тогда и только тогда, когда оно стоуновское пространство. Спектр S является спектром Стоуна, если топологии на S удовлетворяют аксиоме отделимости Тг. По теореме Александера для каждого спектра S топология T=sup (Г+, Т~) является стоуновской (это важное утверждение используется в [6] для изучения булевой алгебры, порожденной дистрибутивной решеткой; в [14] топология Т изучается в более общей ситуации; там развивается иной, нежели в [22], подход к спектральной теории дистрибутивных решеток). Таким образом, каждому спектру S соответствует спектр Стоуна RS= =<s, ту. 1.2. Примеры спектров. Здесь мы рассмотрим два общих примера спектров. 1.2.1. Пусть X — множество, наделенное двумя произвольными многозначными бинарными операциями ф и ®. Множество р с X будем называть простым, идеалом в X, если следующие два условия выполнены: (i) если а, Ъ £ /?, тогда а ф Ъ С р; (и) если a®fe П р¥=0> тогда а£р или Ь£р. Пусть 0 и 1 — различные точки из множества X. Будем говорить, что простой идеал является собственным, если 0£/?, а l£/?. Меняя местами ф и 0 в определении выше, мы приходим к понятию простого фильтра. Очевидно, р является простым идеалом в X тогда и только тогда, когда Х\р является простым фильтром. Обозначим через S множество всех простых идеалов в X (спектр множества X) или множество всех собственных простых идеалов в X, когда последнее непусто (собственный спектр X). По определению топологией Т + будет топология Стоуна—Зарисского на S, а именно топология, в которой множество всех подмножеств множества S вида U*={p£ S : /?Э аЬ гДе а пробегает все X, образует предбазу. Соответственно предбазу топологии Т~ составляют множества вида U~={p£ S : р^ а}, где а снова пробегает все X. 1.2.2. Теорема. Битопологическое пространство <(5, Г+, Т~у является спектром. Таким образом, если X является коммутативным кольцом с единицей (О =£ 1), a0fe определяется как идеал в X, порожденный а и fe, a(g)fe определяется как обычное кольцевое произведение afe, то мы приходим к классическому спектру кольца X. Аналогично если 202
a®b={x^X:xCla \Jb}, a0b{^X:Oflfl^ то получается спектр {0, 1}-дистрибутивной решетки (они суть соответствующие собственные спектры). 1.2.3. Пусть теперь операции ф и 0 будут однозначными. Под простым идеалом будем понимать множество/? С X такое, что (i) а®Ь£р тогда и только тогда, когда а^р и Ь£р; (ii) a$$b(«p тогда и только тогда, когда aQp либо bQp. Наделим опять множество S всех простых идеалов в X топологиями Т+ и Г", определенными, как в 1.2.1. Тогда (S, Г+, Г")> снова будет спектром. 1.3. Другие описания категории спектров. 1.3.1. Мы уже отмечали, что в пространстве <(£, Т+у содержится вся информация о спектре S. Это позволило Хохстеру в [12] описать 2 как категорию топологических пространств. Пусть S — топологическое пространство. Замкнутое множество М С S называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых замкнутых в X подмножеств, собственным образом лежащих в М. Пусть 2' — класс всех Т0 пространств S со следующими свойствами: (i) S квазикомпактно; (ii) пересечение двух квазикомпактных открытых множеств в S является квазикомпактным; (iii) квазикомпактные открытые множества образуют базу в S; (iV) каждое непустое неприводимое множество в S является замыканием некоторой точки из S. Определим морфизмы в 2' как непрерывные отображения / : *S1 -> 52 такие, что f~x(0) квазикомпактно для любого открытого квазикомпактного множества О С S2. Таким образом, 2' становится категорией. Каждому спектру S поставим в соответствие пространство <(5, Г+)> £ 2' и каждому морфизму f:S1-*>S2 в 2 морфизм f:(sSv T+y~->(S2, Tt) в 2'- Таким образом, получаем функтор, являющийся естественной эквивалентностью между 2 и 2'- 1.3.2. В [22—25] Пристли рассмотрел другую категорию 2", эквивалентную 2. Опишем 2". Пусть <($, <Q> — пара, состоящая из топологического пространства и отношения <^ порядка на S. Через Т+ (соответственно Т~) мы обозначим топологию, состоящую из всех открытых множеств О С S таких, что соотношение I <^ т] £0 (соответственно £ ^ т\ £ 0) влечет включение Е £ 0. Объектами в 2" являются такие пары <(5, <Q>, состоящие из стоуновского пространства S и отношения порядка ^ на S, что Т+ имеет базис замкнутых в S подмножеств из S, и если 5^т], то существует 0£Т+ такое, что т\ £ 0 и £g0. Мор- физмами /: S1-^ S2 в 2" являются такие непрерывные отображения, что неравенство $ ^ ?] влечет / (S) ^ / (?]). Пусть S — спектр. Для элементов £, т] £ S будем писать £ ^ т], если ?]£0£ Т+ влечет ££0. Другими словами, £ ^ т] тогда и только тогда, когда т]£Ш+ или, что эквивалентно, ££[т]]~. Каждому спектру S поставим в соответствие пару <7?5, ^)>, а каждому морфизму /: Sx -> S2 в 2 — морфизм /: RSX -> RS2 в 2". Таким образом, получаем функтор, являющийся естественной эквивалентностью между 2 и 2 . 203
Интересно заметить, что если элементами спектра являются простые идеалы (как это имеет место в 1.2), то условия Е^т^и Е С ^ эквивалентны. Максимальные и минимальные простые идеалы представляют особый интерес. Пусть S — спектр. Обозначим через Мит соответственно множества всех максимальных и минимальных элементов в S относительно естественного упорядочения ^на 5. Тогда <Ж, Т+у и (т, Т~у являются квазикомпактными ^-пространствами. С пространством <(М, Т+у мы сталкиваемся, например, при изучении коммутативных банаховых алгебр, а ком- пактификация Уолмэна принадлежит к типу <7?г, Т~у. В силу симметрии изучение пространства <^М9 Т+у эквивалентно изучению пространства <иг, Т~у. Пространства <7kf, Г+> и (т, Т~у являются хаусдорфовыми (не компактными в общем случае). Они были рассмотрены в [11, 13, 18]. 1.4. Двойственность Стоуна—Пристли. Пусть Л — категория всех {0, 1}- дистрибутивных решеток. Для произвольного Х^А через DX обозначим спектр решетки X (см. 1.2.1). Для каждого морфизма f:X1-+X2 в Л индуцированный морфизм /*: S2-> Si между соответствующими спектрами определяется формулой /* (р) = /_1 (р) для каждого простого идеала р в Х2. Таким образом, мы приходим к контравариантному функтору D^: Л -> 2. Обратно, для каждого спектра S определим решетку DS формулой DS = L+. Если /: S1-> S2 — морфизм в 2, определим индуцированный морфизм /*: /L%->L\ в Л формулой /*(0) = /_1(0) для любого 0£L+. Получаем контра- вариантный функтор Dzk : 2 -> Л. 1.4.1. Теорема. Функторы D^ u DA% определяют двойственность между категорией дистрибутивных решеток с нулем и единицей и категорией спектров. Эта теорема появилась в [22] с точностью до эквивалентности между 2 и 2". Так описанная двойственность является расширением классической двойственности Стоуна для булевых алгебр. В [29] Урквард обобщает ее на произвольные (0, 1 J-решетки. Его двойственными объектами являются биупорядоченные топологические пространства. Они могут быть описаны в терминах битопологических пространств, но при этом выявляются некоторые трудности, связанные с индуцированными морфизмами. 1.5. Применения двойственности Стоуна—Пристли. Применим упомянутую выше двойственность для нахождения теорем представления. 1.5.1. Пусть X — множество с. двумя операциями, как в 1.2.1. Из теоремы 1.2.2 и двойственности Стоуна—Пристли следует, что существует {О, 1}-дистрибутивная решетка L и отображение <р: X -> L со следующими свойствами. (i) ср (X) порождает L как {0, 1}-дистрибутивную решетку; (ii) спектр множества X состоит из множеств вида ср-1 (/?), где р пробегает спектр решетки L, а ф-1 является изоморфизмом в 2 между этими двумя спектрами; (iii) для произвольных а, Ъ £ X имеем а 0 Ь С {я f X: <р (ж) с <р (а) U <Р (Ь)}; (1) a®iC{^X:?(x)DT(a)flT(i)}. (2) Более того, всякое отображение, удовлетворяющее (i) и (ii), обладает следующим универсальным свойством: для всякого отображения ф: X -> L± в {0, 1}-дистрибутивную решетку L± с (1) и (2) существует единственный 204
жорфизм I : L -> Lx в Атакой, что ф=/о ф. Следовательно, ср единственно. Мы будем называть 9 каноническим представлением множества X в дистрибутивную jрешетку. 1.5.2. Пусть X — множество с двумя операциями, как в 1.2.3. Тогда существует дистрибутивная решетка L и отображение <р: X -> L со свойствами (i) и (ii) из 1.5.1 и <р(а®Ь) = <р(а) U <р(Ь), ?(«®&) = т(а) П <р(Ь). Существует также и универсальное свойство, аналогичное свойству в 1.5.1. 2. Отделимые алгебры 2.1. Определение. Пусть X — множество с двумя многозначными операциями 0 и 0. Продолжим эти операции на произвольные подмножества А .и В множества X формулами: А@В= Ua©fe, A(g)B= Ца^Ъ. а£А а^А Ь£В Ь£В Назовем множество X предотделимой алгеброй, если выполнены следующие три условия: (i) а®Ъ = Ъ@а, a(g)b = b(g)a; (ii) a©(6ffic) = (a©fe)©c, a(g)(b(g)c) = (a<g)b)<g)c; (iii) если a£bQ)x и c£d(g)x, то а®йП^Фс7^0 — для произвольных элементов a, Ь, с, d и х из X. Будем писать + вместо 0, а значок (£) опускать, где это не может вызвать недоразумений. Подмножество Y с X называется идеалом (соответственно фильтром), если Y+Y С Y (соответственно YY С Y). Наименьший идеал (соответственно фильтр), содержащий данное множество Y с X, будем называть оболочкой множества Y, образованной идеалом (соответственно фильтром), и будем обозначать его через a (Y) (соответственно fx (Y)). Будем писать а^Ь для элементов a, bJ^X, если fx (а) ПаФ) ¥= 0- В предотделимых алгебрах можно действовать более или менее так же, как и в выпуклых пространствах (см. [3, 21]). В частности, можно дать алгебраическое определение отношения ^Г. Будем^называть предотделимую алгебру отделимой% если выполняется следующая аксиома: (iV) отношение ^ транзитивно. Говорят, что предотделимая (соответственно отделимая) алгебра является ппедвыпуклым (соответственно выпуклым) пространством, если операции 0 и 0 совпадают. В этом случае идеалы и фильтры называются выпуклыми множествами. 2.2. Примеры. Вот три простейших примера. 2.2.1. Пусть X — коммутативное кольцо с единицей. Относительно операций © и ®, определенных, как в 1.2.1, множество X является отделимой алгеброй- Это же верно, если X является {0, 1}-дистрибутивной решеткой. 2 2.2. Пусть X — действительное линейное пространство. Для произвольных a, Ь£Х обозначим через a©& = a(g)& сегмент ab={ta+(l — t) 6:0^ < t < 1). Тогда X является выпуклым пространством. Кроме этих простых примеров существует и ряд других. По-видимому, ъсякий раз, когда мы имеем удовлетворительную теорию простых идеалов% 205
существует также и структура отделимой алгебры. Приведем еще несколько примеров. 2.2.3. Пусть X — упорядоченное линейное топологическое пространство. Тогда X является отделимой алгеброй относительно операций а@Ъ={х£Х: существует %£ab с #<С£}, а®6={ж^1: существует %£ab с х^%)9 где аЪ — сегмент с концами а и Ъ. Так же определяя операции © и 0, мы приходим к отделимой алгебре, если X есть коммутативная полугруппа, a ab — произведение в X. 2.2.4. Пусть G — хаусдорфова компактная топологическая группа, а X — множество всех неприводимых унитарных представлений группы G. Тогда X является предвыпуклым пространством относительно умножения X (см. [15, с. 21]). 2.3. Теорема отделимости. Следующая теорема является небольшим обобщением хорошо известных утверждений. 2.3.1. Теорема. Пусть X — отделимая алгебра, А и М — непересекающиеся идеал и фильтр соответственно. Тогда существует простой идеал р (в смысле 1.2.1) такой, что А С р и р Г) М=0. Интересно заметить, что эта теорема имеет место для предотделимой алгебры X тогда и только тогда, когда X является отделимой. Доказательство для случая выпуклых пространств имеется в [4]. Очевидно, эта теорема эквивалентна следующему утверждению, являющемуся обобщением хорошо известной леммы Уоллмэна. Пусть X — отделимая алгебра, М — фильтр в X и для каждого простого фильтра Ф ZD М зафиксирован элемент яф£Ф. Тогда существует конечная последовательность простых фильтров <DV ZD М (v=lr 2, . . ., п) таких, что *({хф^г)Г\М=£0. 2.4. Стандартизация операций. Здесь мы рассмотрим две пары естественных операций в данной отделимой алгебре. 2.4.1. Пусть X — отделимая алгебра с операциями фи®. Тогда X является отделимой алгеброй относительно операций а-\-Ъ=а ({а, Ь}) и ab=ix ({а, Ь}). Очевидно, идеалы и фильтры остаются теми же самыми. Будем называть новые операции выпуклыми. Если в множестве X операции ® и0 таковыг что выполняются аксиомы i) и ii) из 2.1, а также теорема 2.3.1, тогда X является отделимой алгеброй относительно выпуклых операций. 2.4.2. Пусть X — отделимая алгебра и У с X. Пересечение всех простых идеалов (соответственно простых фильтров), содержащих Y, будем называть оболочкой множества Y, образованной радикальным идеалом (соответственно фильтром), и обозначать a (Y) (соответственно u (Y)). Из теоремы 2.3.1 следует, например, что если А является идеалом, тогда *?(А) = {х£Х:р(х)ПА=£0}. Назовем множество У С X радикальным идеалом (соответственно фильтром) г если a (Y) = Y (соответственно u (Y)=Y). Если X — отделимая алгебра, то X является таковой и относительно операций fa-\-b=a ({а, Ь}) и аЪ=\ъ ({а, Ъ}). Однако теперь идеалы и фильтры являются радикальными по отношению к исходным операциям, 206
.хотя порядок ^ не меняется. Назовем построенные операции радикаль- HbiMUi Их можно выразить алгебраически посредством исходных операций. 2.5. Каноническое представление. Пусть X — отделимая алгебра. Тогда X имеет каноническое представление <р: X -> L со свойствами из 1.5.1 в дистрибутивную решетку. В данном случае ср обладает дополнительными свойствами. Прежде всего неравенство а ^Ь имеет место тогда и только тогда, когда Т (а) С Т {Ь). Следовательно, ср (а) = у (Ь) в том и только в том случае, если радикальные идеалы, содержащие а, содержат и fe, и наоборот. Если не отмечать такие точки (что естественно, когда рассматраваются только радикальные идеалы и фильтры), то ср становится вложением. Теперь (1) и (2) из 1.5 принимают следующей вид: а + Ь = {«6Х:?(ж)С?(а)и?(Ь)Ь аЪ= {х G X : <р(х) 3 ?(а) П ?(Ь)}, тде а+fe и afe являются радикальными операциями. В частности, если исходные операции совпадают с радикальными, как это имеет место в 2.2.3S мы можем получить отделимую структуру на X из соответствующего вложения X в дистрибутивную решетку. Пусть теперь X — кольцо с отделимой структурой из 2.2.1, <р: X -> L — каноническое представление. Тогда L можно отождествить с дистрибутивной решеткой всех конечнопорожденных радикальных идеалов в X {включая все X), и для произвольного а£Х образ ср (а) является радикальным идеалом в X, порожденным элементом а. 2.6. Топологический вариант теоремы отделимости. Будем говорить, что предотделимая алгебра X топологическая, если X наделяется такой топологией, что отображения а~\-х и ах полунепрерывны снизу. Для отображения а-\-х, например, это значит, что если а, Ь£Х и [7 — открытое множество, причем а-\-Ъ f| U=^=0, то существует окрестность V точки Ь такая, что а-\-х f] U =^ 0 для каждого x£V. Топологическая предотделимая алгебра называется отделимым пространством, если для каждого открытого фильтра U в X условия а (а) f) [7 =^= =£ 0 и fe£fj- (а) дают a (b) f) U ¥= 0- Очевидно, каждая отделимая ал- тебра X, наделенная дискретной топологией, является отделимым пространством, но существуют также и аналитические примеры. Сейчас мы лишь заметим, что если X — топологическая предотделимая алгебра, топология которой имеет базу из открытых фильтров, то X является отделимым нространством. 2.6.1. Теорема. Пусть X — отделимое пространство, А — идеал в X и U — открытый фильтр в X, причем A f| [7 = 0. Тогда существует замкнутый простой идеал р в X такой, что pZ) А и р Г) U = 0. Отметим лишь одно применение, которое использует отделимую (не выпуклую) структуру. Пример 2.2.3 и теорема 2.6.1 дают классические теоремы отделимости в упорядоченных множествах и топологических пространствах, в частности, общую теорему представления Кадисона [16]. 207
ЛИТЕРАТУРА 1. Болтянский В. Г., Солтан П. С. Комбинаторная геометрия и классы вьшукловти. — УМН, 1978, 33, с. 3-42. 2. Проданов Ив. Обобщение некоторых теорем об отделимости» — Докл. Болг. Акад* наук, 1964, 17, с. 345—348. 3. Проданов Ив. Двойно асоциативни пространства. — Год. Соф. унив. Маг. фак.,. 1964, 5f, с. 393-422. 4. ТагамлицкиЯ. Върху принципа за отделимост в абелевите изпъкнали пространства. — Изв. Мат. инст. Болг. Акад. наук, 1963, 7, с. 402—418. 5. Bair J. Separation of two convex sets in convexiti spaces and in straight line spaces. — J. Math. Anal, and Appl., 1975, 49, p. 696—704. 6. Bemau S. J. The Boolean ring generated by a distributive lattice. — Proc. Amer. Math» Soc, 1972, 32, p. 423—424. 7. Bryant V. W. Independent axioms for convexity. — J. Geometry, 1974* 5, p. 95—99. 8. Bryant V. W., Webster R. J. Convexity spaces. I. — J. Math. Anal* and Appl., 1972,. 37, p. 206—215; II. — J, Math. Anal, and Appl., 1973, 43, p. 321—327; III. — J. Math. Anal, and Appl., 1977, 57, p. 382—392. 9. Cantwell /., Kay D. C. Geometric convexity. III. — Trans. Amer. Math. Soc, 1979,. 246, p. 211-230. 10. Guay M. D., Naimpally S. A. Characterization of a convexsubspace of a linear topological space. — Math. Jap., 1975, 20, p. 37—41, 11. Henriksen M., Jerison M. The space of minimal prime ideals of a commutative ring. — Trans. Amer. Math. Soc, 1965, 115, p. 110—130. 12. Hochster M. Prime ideal structure in commutative rings. — Trans* Amer* Math. Soc, 1969, 142, p. 43—60. 13. Hochster M. The minimal prime spectrum of a commutative ring. — Canad. J. Math.,. 1971, 23, p. 749—758. 14. Hofmann К. Н.ч Lawson J. D. The spectral theory of distributive continuous lattices. — Trans. Amer. Math. Soc, 1979, 246, p. 285—310. 15. Hewitt E., Ross K. A. Abstract harmonic analysis. II. Berlin: Spring-Verl., 1970. 16. Kadison R. V. A representation theory for commutative topological algebra. — Mem* Amer. Math. Soc, 1951, 7. 17. Kay D. C, Womble E. W. Axiomatic convexity theory and relationships between Cara- theodory, Helly and Radon numbers. — Pacif. J. Math., 1971, 38, p. 471—485. 18. Kists J. Minimal prime ideals in commutative semi-groups. — Proc. London Math* Soc, 1963, 13, p. 31—50. 19. Mah P., Naimpally S. A., Whitfield J. H. M. Linearization of a convexity space. — J* London Math. Soc, 1976, 13, p. 209—214. 20. Prenowitz W. Descriptive geometries as multigroups. — Trans. Amer. Math. Soc, 1946, 59, p. 333—380. 21. Prenowitz W., Jantosciak J. Geometries and join spaces. — J. reine und angew. Math.* 1972, 257, S. 100-128. 22. Priestley H. A. Reprezentation of distributive lattices by means of ordered Stone spaces. — Bull. London Math. Soc, 1970, 2, p. 186—190. 23. Priestley H. A. Ordered topological spaces and the representation of distributive lattices. — Proc. London Math. Soc, 1972, 24, p. 507—530. 24. Priestley H. A. Stone lattices: a topological approach. — Fund, math., 1974, 84, p. 127— 143. 25. Priestley H. A. The construction of spaces dual to pseudocomplemented distributive lattices. — Quart. J. Math., 1975, 26, p. 215—228. 26. Stone M. H. The theory of representations for Boolean algebras.— Trans. Amer. Math* Soc, 1936, 40, p. 37—111. 27. Stone M. H. Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics. — Cas. pestov. mat. fys., 1937, 67, s. 1—25. 28. Teschke L., Heidekriiger G. Zweifach assoziative Raume, Verbidungsraume, Konvexi- tatsrSume und verlagemeinerte KonvexitatsrSume. — Wiss. Ztschr. Pad. Hohchule* Halle, 1976, 14, p. 21—24. 29. Urguhart A. A topological representation theory for lattices.— Algebra univers, 1978r 8, p. 45—48. 30. Zimmermann K. On the solution of some nonconvex optimization problems. — Ztsehr* Angew. Math, und Mech., 1978, 58, p. 497.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Е. Г. ПЫТКЕЕВ (Свердловск, СССР) О МАКСИМАЛЬНО РАЗЛОЖИМЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пространство (X, £Г) называется ^-разложимым (k ^ 2), если X содержит к- попарно не пересекающихся плотных в X множеств. Дисперсионным характером Д(Х)(Д(#, X)) пространства X (в точке х) называется mm {\U\:U £ £сГ\0} (min {| U\: х£ £/£оГ). Пространство X, которое А (Х)-разложимо* (2-разложимо), называется максимально (разложимым) (по поводу этих понятий см. [1—3]). Если х £ Л, А С X, то | А | — мощность А, [А] — замыкание А, [А\ = = \J{[B]:BQA и |Я|<А}, (A)k=\J{[B]:BQA9 |Я|<А}, «(ж, X) — теснота X в точке х, Vt(x, X) = m'm{k: если ж£[Л], то х£(А)к) [4]. Считаем, что t (ж, X) и Vt (х, X) бесконечны. Напомним, что тс-сетью X (в точке х) называется семейство q$ такое, что для всякого С/£ оТ'Х 0 {U£qT, x£U) найдется Л £ с^, ^4 С С/ [6]. Обозначения: а, [3, у» % ?]» £» Р — ординалы; к, X, р, v — кардиналы; &+ = min {X : X >А); 2 (ft) = min {а: | а| =й). Через,. с/(&) обозначается наименьший кардинал, конфинальный /с. В дальнейшем потребуется. Лемма Куратовского [5]. Пусть q$ — семейство подмножеств X такое, что \о$\<^к и \А\^к для всякого А^<М (к^$0). Тогда найдется семейство ^§ непересекающихся подмножеств X, \SS\^k и В f)A=^= 0 для всяких B£q%, A£q$. Из леммы Куратовского вытекает Лемма [7J. Пусть X — топологическое пространство, обладающее ъ-сетью~ о$ = {Л} такой, что | <$Ц | ^ | А \ для всякого А £• q$. Тогда X \ od {-разложимо*. Лемма 1. Пусть X — топологическое пространство, | X | — А (X) = \у FCI, [ Y] = X. Тогда X \-разложимо в каждом из следующих случаев г а) t(x, Х)<^\ для всякого x£Y; б) Vt(x, Х)^\ для всякого x£Y и X регулярно. Доказательство случая а) разбивается на два подслучая al) sup{*(z, Х):х£ F}=X, а2) sup {*(я, Х):х£Х}=11<Ь. Рассмотрим подслучай al). Представим Y в виде Y=\J {Y^: \l(+Q CZ' Q{k:k<Cl}}, где |FjJ^p, Y^CIY^, если p/ < p." и £(ж, Х)^р для всякого ж £ Г . Построим по трансфинитной индукции множества А , р. £ (),, а <[ 2 (р.) такие, что !) I^J<^ VnV = 0, если (^, а')^^", а") и [^]DF^ для. всякого a <[ 2 (р.). Пусть построены множества А^а, p-<Cv> р, v (^ (), a <С ^ (р.). Построим- множества ,4va, а <^ 2 (v). Пусть ^4 = (J {А^а: р. < v, a<^ 2 (р.)}. Занумеруем Fv = {уа: a < 2 (v)} таким образом, что L(z/) =z {a< 2 (v): г/а=г г/} имеет мощ- 209
яость v для всякого у £ Fv. Построим по трансфинитной индукции множества Ва, oi <^ 2 (v) такие, что Л) I^J^V множества (Л, J5a, а < 2 (v)} попарно не пересекаются и уа £ GE^J, a<2(v). Пусть построены множества Ва1 a<^(3<2(v). Положим В = А (j U U{^a-a<CP}« Тогда |J5|^v. Из условия A(X) = X>v следует, что у^ £ [X \ В] и так как £ (г/р, X) ^ v, то найдется В^С! Х\В, у^(< [В^] и | В$ | ^ v. Таким образом, множества J5a, a < 2 (v), удовлетворяющие условию II), построены. Занумеруем L (у) = {у : a < 2 (v)}. Положим ylva = (J /J5Y : a £ У\ a<2(v). Из |условия II) следует, что множества А^ p-^v, p. £ (), a<^2(v), удовлетворяют условию I). Таким образом, построены множества А^ p(zQi a<2(p.), удовлетворяющие условию I). Положим Xa = (J {Л^а: р. £ (), -2(р-)>аЬ а<2(Х).Так как Л^«/ Г)Л"«" = 0> (рЛ а')=тЧР-"> а")> т0-Y«> а< <С 2 (X), попарно не пересекаются. Покажем, что Ха плотно в X, а<2(Х). Действительно, [XJ 3 [4^] ID У^, если 2 (р.) > а, р. £ Q. Откуда [XJ 2 Э [ U {Уц • Р- £ (?» 2 (р,) > а} = X] = Х\ Случай а1) полностью рассмотрен. Доказательства случаев а2 и б) аналогичны той части доказательства а1), где строятся множества В» и потому опускаются. Лемма доказана. Теорема 1. Пусть X — топологическое пространство и t (#, X) < А (#, X) Дяя всякой точки х^Х, Тогда X максимально разложимо. Доказательство. По трансфинитной индукции построим семейство с5^ = {£/} непересекающихся открытых множеств такое, что Uc^ плотно в X и ^(U) = \U\ для всякого U^crf. Тогда t(ar, U) = t (х, Х)< А (ж, X) < ^ А (#, £7) для всякого U £ о^. По лемме 1 всякое (7 £ g^ | о^ |-разложимо, и так как А(Х) = min (| U |: С/ £ е^}, то X максимально разложимо. Следствие 1. Пусть X — топологическое пространство и t (X) < А (X). Тогда X максимально разложимо. Следствие 2. Подпространство секвенциального пространства максимально разложимо. Для доказательства потребуется Лемма 2. Пусть X — секвенциальное пространство, а^[А\а], 4СХ. Тогда найдется счетная ъ-сеть {Ап} в точке a, An(ZA, состоящая из счет- лых бесконечных подмножеств. Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 3 и опускается. Доказательство следствия 2. Пусть Y (Z X секвенциально. Если А (У) ^> ^0, то из того, что секвенциальное пространство имеет счетную тесноту и из следствия 1 следует, что У максимально разложимо. Пусть Д(У) = Ко- Достаточно рассмотреть случай, когда и |У| = ^0. По лемме 2 в точке у £ У найдется счетная тс-сеть 9?у. Тогда 9? = U {9?у : У б ^} — счетная -гс-сеть У, состоящая из счетных бесконечных множеств. Из леммы [7] отсюда следует Ко~Разложимость У- В дальнейшем буквы 9t, 9?, УЯ с индексами или без будут использоваться лишь для обозначения определенных ниже семейств множеств Пусть X — топологическое пространство. Через 9?^, 9^а, (9^, 9^а, • • •)> Р^Хо, будем обозначать непустое семейство (непустых) подмножеств X такое, что Ji4| = |i4'| = pL>|9?|t| Gi = |9tJ>|i4| и АГ)А' = 0) для всяких 4,4'е £9? ( £ 9}„). Если 9?„ — тс-сеть, то будем называть такую тс-сеть равномерной. Скажем, что в точке х задано т:-семейство 9Л= U {9?: р. £ Q), где Q — множество бесконечных кардиналов, если для всякого р.0 < sup Q, 9J^0 = 210
— U {9?„ • f* G Q» Iх > [J-ol — тс-сеть в точке х. Заметим, что если х G U G сГ (X)* и 9J£ = U {9^.: P-GQ} — ^-семейство (короткое), то 93Ъ/ = U (9VT - р-G <?tf = = {fJL€Q:^^=7^0}}» гДе 9V={^G9^:^E ^Ь ^-семейство и supQr = = sup(). Следуя [4], будем говорить, что два семейства ^=:{Р} ис^={М} синхронны (qPsqM), если Pf|M=^=0 Для всяких Р£$*, М£оМ- Назовем X ^^-пространством, если для всякого незамкнутого iCI найдется точкам ж61уЧ\^ и ти-сеть 9?„ в точке ж, синхронная с [А]. Справедлива следующая Теорема 2. Всякое ^^-пространство максимально разложимо. Предварительно докажем лемму. Лемма 3. Пусть X — ^^-пространство, FCX. Тогда а) если [Y\ = У, то Z = {х G X : в точке х существует к-семейство< 9ft^U{^.Ve()} такое, что sup()>v+, | Q | < v) 3 [Г]\ F, б) бс^а (Y)^ = Y9 то во всякой точке x£[Y]\Y существует п-семейство* 93? — (J (9?^ : p. G ()} такое, что inf (? J> v. Докажем а) от противного. Тогда ZX = (Z П [У]) U У v^lTL следовательно,. Zx не замкнуто в X. Так как X — тсЗ^-пространство, то найдется точка #G[Zi]\Zi С [F]\F и равномерная тс-сеть <3ik в точке ж, CHHxpoHHaHi с {ZJ. Точка zgZ, поэтому &<>. Положим М = (J {^ГК^Х Г): Л G9S*}- Тогда |M|^/c^v и ж^[М], так как 9lk — тг-сеть в точке х и [Y\ = Y- Множество М С Z, поэтому для всякой точки у £М найдется тг-семейство 9ЛУ = U {^у •'У G (?у} такое, что Ху = sup Qy > v+, |(?y|<v (будем считать,. 4T0inf(?y>v). Пусть 91^ = 11 {Жм: У £М}9 р6<?= U{<?,: »G^} и 2Й = = U {^: Г*G<?i = {»*G<?э ^<^ = mf{sup{Xy:^GMn^}:^G^G^}}}. Так как X ^ v+ и | Q | ^ v, то достаточно показать, что 9Ji—тг-семейство* в точке х. Пусть р.0 G Q, р-0 <С ^> # G ^ G с^"« По определению X найдется г/ G G Mf] F такое, что Ху>р.0, следовательно, 9)?м— тс-сеть в точке х и SD?^ Z)N Z) 93?р,оГ Противоречие с тем, что ж £ Z. Этим а) доказано. Доказательства» б) аналогично и опускается. Лемма доказана. Доказательство теоремы 2. Достаточно доказать следующий факт.. Пусть U£qT(X) и | £/| = Д(£/) = Х^^0. Тогда С/ Х-разложимо. Предположим дополнительно, что t (х, U) = X для всякой точки x£U. Пусть X регулярен. Положим Z = {х G С/: в точке х существует равномерная тг-сеть 9?х}. Пусть V=U\[Z]. Если F=0, то С/ Х-разложимо в силу- леммы [7J. Пусть 7^=0. Покажем, что Vt(х, V)^\ для всякой точки x£V. В противном случае найдется А=.(А)Х и #GI/1]\^4. По лемме 3 в точке х найдется тс-семейство 93? = U {Ж^ : р- G (?) inf Q ^ X. Тогда 9J&/ = 9?хг/—тс-сеть. в точке ж, что противоречит тому, что х £ Z. Таким образом, V£ (ж, F) ^ X и F Х-разложимо в силу леммы 1. Пусть С7Х =: £7 \ч [VJ- Если U1=0, то- все доказано. В противном случае U±f]Z плотно в f/t и Uv а тогда и £/,. Х-разложимо. Пусть X сингулярен. Занумеруем U= {х : у < Q> (X)}. Так как t(x, £/) = Х для всякой точки x(*U, то по лемме 3 найдутся тг-семейства 93? о = = U{9?R:pLG(?7pb P<^W)) в точке ху такие, что sup {QT = U (Ст3 :^ < < Q (с/ (X))}} = X, min Q^ >\Q#\ >cf (X) и U 93?тР С С/ для всякого т < 2 (X). Считаем также, что, например, Q0 ^ \ (в противном случае в каждой точке x£U найдется тг-сеть 9?Хж и U Х-разложимо в силу леммы [7]). Представим 9? в виде U{^Ta:<2W}, где 9?Н,С^, если а' < а" и | 9?Ra | < | а |- Построим по трансфинитной индукции кардиналы {[J.J и семейства Up. , р.^ <СХ,. supр.^ = Х такие, что U^nU^=0» если Е'т4^- Пусть p.0 = min(?0 211
и UH такого, что ^0s U {9^уа : р G (V I <?тр К Рч» Г<2(Р<о)> а<2Ы> Р-^Р-о)- Предположим, что построены кардиналы р^ и семейства С/ц, , ?</?. Положим р. = sup {р^: £ < /?} и пусть р<Х. Положим p^ = min {р.': р.' £ 6 U {@т: Т <С ^ (р-)> Р-'^Р-}- Из леммы Куратовского следует, что найдется семейство U„ такое, что I) *VU {9?^.>€<?*. 1<?,3|<^, г<^Ы «<а(^). р>р,} и U^^nUl^ .'^<Ср} = 0- Итак, построено множество Q = {^} и семейства Up, Р-£^@> удовлетворяющие условию I). Установим предварительно свойство множества Q. II) Пусть р, £ Q, р £ @v, у<^2(р.,). Если р^>р^о и p^>v, то найдется Р^£<?> IV ^*Ч,' такой> чт0 P-^^>v- Предположим противное. Тогда р £ (). Пусть р.* = sup (р^ £ (>, р.$<^р.}. Из предположения следует, что р. > v ^ р.*. Пусть р^ = min {p.' £Q, р.' > р*}. По определению р^ = тт{р'.£ U {(?Т: Г < 2 0О> Р-'>Р-*}}- Так как Р->Р-*>^0 и 7 < 2 (р J < 2 (p.*), [xG(?Y, то р^<р.. Но р^^р (так как \xfQ), следовательно, р*^>\)<р. Противоречие с тем, что р*<^р^. Этим II) доказано. Занумеруем семейства U^ =/Лр, 5: S<^ 2 (р,)\ и получим Х5 = (J {Л^ § * ;2(р^)>5}, о<2(Х). Покажем, что А\, о < 2 (X) плотно в U. Пусть Х7 дроизвольна. Выберем р.^ £ Q такой, что 2 (р^) > у, 2 (р^) }> 8. Найдется р < <^2(с/(Х)) такое, что sup^o^p^. Достаточно доказать, что {Х5} $90?^ Т1з — = U (91^: Р-Е 0тр> P<>P<J или что {Х8}*9^та, рб<?^> Р>Р^ а<2(р). По свойству II) найдется p.., £ Q такой, что р^р^, >|а| и р^>р^. Тогда 2(р^)>2(р.,)>5 и Х82^^8 и из условия I) следует, что {Л^,8} s9?Ra. Итак, доказано, что С/ Х-разложимо при дополнительном предположении, что t(x, £/) = Х для всякой точки х £ U. Рассмотрим общий случай. Положим T — {x£U:t(x, и)<Щ и W = U\[T]. Если W = 0, то С/ Х-разложимо по лемме 1. Пусть W=^=0. Тогда t(x, W) = t(x, t/) = X и по доказанному выше W Х-разложимо. Если U\[W] = 0, то все доказано. В противном случае Tf](U\[W]) плотно в f^XtH7] и Z7\[PF] Х-разложимо по лемме 1 а тогда Х-разложимо и U. Теорема доказана. Пусть оМ—некоторый класс топологических пространств. Тогда X—koM- пространство, если А С1 X замкнуто тогда и только тогда, когда A f| Y замкнуто в Y для всякого Y(~)X, Y' ^оМ (см., например, [8]). Заметим, что если сЖо — класс ^^-пространств, то &<2/^0 = с//0. Пусть оМх — класс характерных пространств [9], т. е. X^oJfv если 0 (х, Х)=х(х, X) для всякой точки х £ X. Всякая точка х £ X £ оЖг имеет 9?^-базу, следовательно, сЖг С <М& а тогда и к?Мх С к^Н^ = оМ0- Известно, что хаусдорфово бикомпактное пространство является характерным пространством [10]. В частности, справедлива Теорема 3. Хаусдорфово к-пространство максимально разложимо. Замечание. Н. В. Величко [ИJ доказал ^-разложимость хаусдорфовых /^-пространств. Из леммы 2 следует, что всякое подпространство секвенциального пространства (никаких аксиом отделимости не предполагается) является тс9^- пространством. Укажем еще один класс тс9^-пространств. В [13] были охарактеризованы непрерывные факторные образы упорядоченных пространств — псевдорадиальные пространства. А. В. Архангельский [12] дал им такую характеристику: пространство А^ псевдорадиально тогда и только тогда, когда для всякого 212
незамкнутого А С X найдутся множество В С А регулярной мощности и точка х£Х\А такие, что |J3\C/|<|5| и x£U £^Г (X). Пусть В = = {ха:а<£{\В\)}. Тогда 911Щ = {{ха}а>р, 8 < & (| В \)} — гс-сеть в точке х и 9?|#|5 {Л}. Следовательно, псевдорадиальное пространство является тс9?-про- ^транством. Откуда получаем теорему. Теорема 4. Непрерывные факторные образы упорядоченных пространств максимально разложимы. Из теоремы 2 также вытекает Следствие. Пусть всякая точка пространства (X, ^Г) обладает равномерной тс-сетью. Тогда X $0-разложимо. Точнее если & = inf sup (X: в точке х существует равномерная тс-сеть 9?х), то X /с-разлощимо. Доказательство. Если x£U£q7~{X) и 9?х— тс-сеть в точке х, то полагаем U (9?х) = |J [А : А £ 9?х; А С U). Определим dT' ^ £Г следующим образом: V £qT' тогда и только тогда, когда для всякой точки х £ V, для всякой тс-сети 9?х в точке х существует U ^х, U £ £Г (X) такое, что U (9?х) CI V. Корректность определения £Г' следует из того, что Ux (9?х) П U2 (9?х) Z) 2 (^iD^H^x)- Покажем, что (X, о7~')— ^^-пространство. Пусть В незамкнуто в (X, оГ')* Тогда найдется х£В и равномерная тс-сеть 9?х в точке х такие что U (9?х)ПА ¥= 0 Для всякого £/Эж» U £^Г (X). Пусть 9?* = = {Л ^ 9?х: Л П^5 =7^ 0}- Покажем, что 9?*— тс-сеть в точке х (относительно £Г). В противном случае найдется W^)x, W ££Г(X) такое, что A qLW для всякого А £91*. Но W{911)Г\В=у£=0, следовательно, найдется А' С W и А' Г\В=^0 и тогда /Г £9?* и A'(ZW — противоречие. Так как Д (#, (X, о7'))^ ^sup{X: в точке х существует равномерная тг-сеть 9^х), то А(Х, оГ')^-к и (X, оГ1) /с-разложимо. Следовательно, и (X, £Г') /с-разложимо. Замечание. По существу доказано, что для всякого пространства (X, оТ") существует тс9?-пространство (X, dT'), оГ' ^ о7~ такое, что равномерные тс-сети обеих топологий совпадут. Замечание. Скажем, что топологическое пространство X /с-разложимо (максимально разложимо, если к = А (х, X) в точке х, если найдутся попарно не пересекающиеся множества {At :t£T) такие, что х£[А^ для всякого t£ Т. Методом доказательства теоремы 2 можно доказать теорему. Теорема 5. tz^I-пространство максимально разложимо во всякой точке. ЛИТЕРАТУРА 1. Hewitt Е. A problem of set-theoretic topology. — Duke Math. J., 1943, 10, N.2, p. 309 — 333. 2. Катетов M. О пространствах, не содержащих непересекающихся плотных множеств. — Мат. сб., 1947, 21, № 1, с. 3 — 10. 3. Ceder J. G. On maximally resolvable spaces. — Fund, math., 1964, 55, p. 87—93. 4. Архангельский А. В. Об инвариантах типа характера и веса. — Труды Моск. Mai. об-ва, 1979, 38, с. 3—27. 5. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1966. Т. 1. 6. Пономарев В. И. О пространствах, соабсолютных с метрическими. — УМН, 1966, 21, № 4, с. 101 — 132. 7. Елъкин А. Г. О максимальной разложимости произведений топологических пространств. — ДАН СССР, 1969, 186, № 4, с. 765—768. 8. Попов В. В. О пространстве замкнутых множеств. — ДАН СССР, 1976, 229, № 5, с. 1145 — 1149. 9. Елъкин А. Г. О разложимости пространств. — ДАН СССР, 1969, 186, № 1, с. 9 — 12. 10. Александров П. С, Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука, 1971. 11. Величко П. В. К теории разложимых пространств. — Мат. заметки, 1976, 19, № 1, с. 109—114. 12. Архангельский А. В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты. — УМН, 1978, 33, № 6, с. 29—84. 13. Herrlich П. Quotienten georducter Raume und Folgenconvergenz. — Fund, math., , 1967, 61, p. 79-81.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Т. Н. САВИЦКАЯ (Москва, СССР) РАЗЛОЖЕНИЕ В СИСТЕМУ ПОСТНИКОВА РАССЛОЕНИЯ СО СЛОЕМ К (л, п) Пусть К (тс, п) -> Е B-UK{k, /i + l) (1> — главное расслоение со слоем К (к, п). В работе вычисляется система Постникова {Е(ш\ хш} пространства Е по системе Постникова {B^m\ кт) про- странства В и характеристическому классу I расслоения (1). Пространства Ешу были описаны в работе [1]. Для определенности все делается в категории, сим- плициальных множеств. Все обозначения взяты из [2]л Ясно, что при ггк^п Поэтому интересен только случай т^ п. Множество /г-мерных симплексов симплициального множества X мы обозначим символом Хп. По определению Bn+1 = Bj£\X,'nn+JB. Определим коцепь / : В${ -> тс, положив /(х) = г(х, 0), ^вц\. Эта коцепь единственным образом распространяется до симплициального- отображения /: Bin) -> Е (тс, п-\-1) (где, напомним, Е (тс, д + 1)т = Cw+1 (А [т\, тс)). Пусть /^ : кп+1В -> тс — гомоморфизм, индуцированный симплициальным отображением Z, и пусть I = yt, где ^ — симплициальное отображение, индуцированное естественной проекцией тс -> Coker 1^. Непосредственно проверяется, что Im I с К (Coker 1^ /г +1) С i£ (Coker 1^ /г + 1), так что I может рассматриваться как симплициальное отображение 1:В(*Гй-»К(Coker 1^ /г+1). По определению каждый симплекс т£ J5<>) имеет вид (а; й0, . . .,/гя+1), где а£В(пп+^\ h0, . . .yhn+1£*KnB и £(—1)*"й. = &я(а). Поэтому, в частности, для любого симплекса о^В^^ определен элемент I (а) г= I (а; кя(о), 0, . . ., 0) £ Coker Z^ Как множество, группа ппЕ является, очевидно, прямым произведением тся5 X Coker 1^. Пользуясь этим, мы определим коцепь хя : Ef^-V = B[l~l) -> ъпЕг положив 214
С!нова проверяется, что это дает нам некоторый коцикл, т. е. симплициалъное отображение ж. :Я<-" -*K(«JS, и + 1). Теорема 1. Симплициалъное отображение *п является п-м к-инва- риантом системы Постникова пространства Е. Пусть Ew = Ein-1] XхпК (пяЕ, п) = Bin~1] X *пК (кпЕ, п) — соответствующее расширение симплициального множества Есп-1), т. е. /г-й член системы Постникова симплициального множества Е (или, точнее, его минимального подмножества). Пусть, далее, 6Х и 62 — гомоморфизмы Бокштейна, соответствующие коротким точным последовательностям О -> Im 1^ -> к -> Goker l^ -> О, По определению = ДЙ;1)ХС"(Д[п + 2], 7гя5)ХС»(Д[« + 2], Goker ZJ = = Я£ЙХС"(Д[п + 2], Goker О- Пусть (6, Йб^ЙЬ гДе ЬСВД /6Си(Д[« + 2], CokerZJ. Лемма 1. Коцепь 0Х (g) — / (b) принадлежит ядру Кег i¥ = Im Z^ гсшо- -морфизма Cn+1 (А [/г + 2], тс) -* С"*1 (Д [п + 2], тспЕ), индуцированного естественным гомоморфизмом ти -> тспЕ. В силу этой леммы определена коцепь % (К (8) ~ I (&)) 6 С"+2 (Д [п + 2], гсй+1Я) ii непосредственно проверяется, что коцепь *в+1 (Ь, g) = Кх Ф) - К {\ (8) ~ I (&)) является коциклом, т. е. дает симплициалъное отображение хя+1 :£""-. Я (*я+1Я, п + 2). Теорема 2. Симплициалъное отображение хп+1 является (п-\-\)-м k-инвариантом системы Постникова пространства Е. Для т^> п-\-1 ^-инвариантом у.т симплициального множества Е является композиция кт о р проекции р : E(m_1) -> J5(w_1) и /^-инварианта кт : Вт~1) -> -> К(пт(В), т-\- 1) симплициального множества i?. Я приношу глубокую благодарность М. А. Штанько за помощь, оказанную мне в процессе работы. ЛИТЕРАТУРА 1. Shih Weishu. Sur la systeme de Postnikov d'un fibre principal. — C. r. Acad. sci. Paris, 1958, 246, N 22, p. 3145-3147. 2. May J. P. Simplicial objects in algebraic topology. Princeton, N. J., 1967. (Van Nostrand Math. Stud. Vol. 11).
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Ф. ТЕРПЕ (Грайфсвальд, ГДР) О НОВОМ ПРИМЕНЕНИИ топологии В ТЕОРИИ СУММИРОВАНИЯ Введение Настоящая работа отражает содержание доклада автора на конференции по топологии в Москве, правда, в расширенном виде. Она дает обзор теории суммирования, которая основана на теорий расширения топологических пространств и теории меры. Эта теория была развита Ю. Флаксмайером и автором в различных работах [2—9]. В обзорной работе [7, с. 157—159] Ю. Флакс- майер и автор, кроме других применений теории расширения топологически**, пространств и теории меры, дали небольшое расширение этой теории. Но там мы еще не различали пространство состояний и пространство параметров- Настоящую работу можно считать продолжением главы IV, § 5, работы [7]_ 1. Суммирование на пространстве состояний [2] Пусть А^ и Т — локально компактные, но не компактные хаусдорфовьь пространства. По аналогии со случайными процессами X назовем пространством состояний и Т — пространством параметров. oJ{ (X) обозначает банахово- пространство всех радоновых мер на X с ограниченной нормой. Семейства S = {p-t)t£T радоновых мер \i.t £ М (X), фильтрующееся по фильтру 5 всех дополнений к компактным -подмножествам Г, назовем суммированием на X по Т. Суммирование S = ([it)teT на X по Т называется применимым к /.£^(X), если / неопределенно интегрируемо относительно каждого р.^ t£T. f является неопределенно интегрируемым относительно \ip если существует lim \ / (х) \i.t (dx), где S& является базисом фильтра, состоящего из дополнений ко всем компактным подмножествам X. Обозначим \>.t (/) = \ / (х) ср, (dx): =. х = lim \ / (х) \i.t (dx), С (X) — пространство всех непрерывных действительных функций на X. Множество q$ (S) всех функций f £% (X), для которых S является применимым, называется полем 5-применимости. Функция / £ $$. (S) называется ^-суммируемой, если функция (Sf)(t): =[it(f) имеет предел S = lim/: =]im (Sf) (t) = l\m [it (/) в R. Другими словами, функции Sf(-) на Т может быть продолжена на александровскую одноточечную компакти- фикацию пространства Т так, что продолжение непрерывно в точке нароста со. Множество всех ^-суммируемых функций / £ q$ (S) назовем полем действия 216
S и обозначим через W (S). Ш (S) является линейным подпространством о$ (S). Суммирование S на X по Т по определению сохраняет сходимость, если <ffa (X) С Ш (S). ^а (X) — пространство всех / £ ? (X), которые в бесконечности имеют конечный предел. Суммирование S на X по Т называется перманентным у если S сохраняет сходимость и S-hmf = limf (х). S t->co сс->со порождает сходимость, если ffb{X) С Ш (S), где (ё>ь{Х) — пространство всех -ограниченных /£^(Х). Суммирование S назовем внутренне ограниченным, «если для всякого ff:ffa(X) справедливо lim inf / (х) ^ lim inf p., (/) ^lim sup p^ (/) ^ lim sup / (x). -X->CO t->CO /->CO 3T-+CQ 2. Примеры суммирований [2] 2.1. Суммирование Теплица. Пусть А — (aik}. k6N — действительная ма- / со \ со трица Теплица I т. е. ^j I агА-1 <С °° Для всех i . Тогда рг-: = 2 aik'®k 0ПРе_ \ k—l / к=\ деляет суммирование на N (р;)г.6У по N; Ьк здесь обозначает меру Дирака в точке n£N, N — дискретное пространство натуральных чисел. 2.2. Суммирование, направленное по последовательности функций. Пусть срп: [| х0, -|-оо [| -н* R—-последовательность действительных функций. со Тогда (V-= 2 ?Л0 ' К определяет суммирование (р/)/6г, х , га г. на X по м = 1 Ll' °' "^ L1 [\х0,+со[\. Классическая теория пределов в принципе исчерпывается суммированиями •2.1 и 2.2. 2.3. Суммирование, определенное ядром. Пусть X — пространство состояний и Т — пространство параметров. Под ядром суммирования на X по Т мы понимаем функцию а( • , • , • ): ХхТХ^00{Х) -> R, удовлетворяющую следующим свойствам: (i) а( • , t, g) для всех t£T, g^00(X) является ограниченной измеримой в смысле Бореля функцией. (ii) а(х, t, • ): W00(X)->R, для всех х £ X, t£T является ограниченной радоновой мерой на ^00(Х). ^00(Х) — это пространство всех /£^(Х) с компактным носителем. Для всякого ядра суммирования и всякой «базисной» меры р.£М(Х) S (а, р): —. (pt)t(1T, где рД • ): = \ а(х, t, • ) p.(d#), определяет суммирование. х 2.4. Суммирование, направленное но однородному по времени процессу Маркова. Пусть Т: = {х \ х £R &я ^ 0}, В0(Х)—борелевское поле на пространстве состояний. Пусть р: XX ТхВ0 (X) -> [| 0, 1 |] — переходная вероятность однородного по времени процесса Маркова в пространстве состояний л в пространстве параметров. а (х, t, /): = J / (У) Р (х, *> dy), f G ?оо (X), х задает ядро суммирования. Выбором базисной вероятности р £ оМ (X) определяет суммирование S (а. р) в соответствии с 2.3. 2.5. Неопределенный интеграл как суммирование. Пусть X — а-ком- яактное пространство состояний. Возьмем покрывающую возрастающую 217
последовательность Кг, К2, . . . компактных подмножеств, X = U Кп; тогда п=1 для каждой ограниченной радоновой меры р. на X ее ограничения р.я: = р. | /Г^ определяют суммирование S = (\s.n)neN на X по N. Имеет место: q^ (S) = ^(X) и / £ ^ (X) является 5-суммируемой тогда и только тогда, когда / неопределенно ^.-интегрируемо относительно последовательности (Kn)neN. Другие примеры см. [2, с. 251—258]. 3. Характеристика видов суммирований [2] Пусть X — пространство состояний. Каждая радонова мера }x£qM{X) может быть продолжена на соответствующую компактификацию сХ пространства X, где | \х\ (сХ | X): =0. Продолжение мы снова обозначим через [i. Теорема 3.1. Пусть S = (p.t)teT — равномерно ограниченное суммирование, т. е. suplp.JK-j-00- Тогда справедливо: 1) S сохраняет сходимость тогда и только тогда, когда {p-t)teT слабо сходится в топологии g(qM(olX), % (аХ)) к радоновой мере на аХ; 2) S является перманентным тогда и только тогда, когда {\±t)teT слабо* сходится в смысле 1) к мере Дирака в точке нароста аХ; 3) S порождает сходимость тогда и только тогда, когда (\^t)teT слабо сходится относительно топологии ъ(оМфХ), *% фХ)) к радоновой мере на PZ. рХ — это расширение Стоуна—Чеха. Теорема 3.2. Пусть S = {^.t)t^T — суммирование на X по Т, Т — с-ком- пактно. Тогда S сохраняет сходимость тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: 1) sup || fv|| < -|~ оо для подходящего компакта KQ.T; teT\K — 2) (\J-t)t£T поточечно сходится на ^^ (X); 3) (р-/(1))/ег сходится в Я. Для внутренне ограниченных суммирований справедлива Теорема 3.3. Пусть S — t-непрерыбное (т. е. для всякого f£^ъ(X} справедливо Sf £ ^т (Т)) равномерно ограниченное (т. е. supflnJK-j-oo). перманентное суммирование на X по Т. Тогда: 1) S порождает непрерывный линейный оператор S: ? фХ\Х) -* ff фТ\Т), S (g): = Sf \^т для всех gf+ff фХ\Х), где f — такая функция из ^ фХ), что f\^x = g* 2) S внутренне ограниченно тогда и только тогда, когда S положительно. Лемма. Последовательность (\^n)neN гипердиффузных радоновых мер> У-п^оМфЩ сходится относительно топологии <з{оА1фЩ, %'ФЩ) к некоторой радоновой мере р. £ оМ фЩ тогда и только тогда, когда || р.й — р. II -> 0. Из теорем 3.1, 3.2 и леммы вытекают классические теоремы Зильвермана— Теплица, Конима—Шура, Штейнгауса и Кука о матричном суммировании Теплица [2, с. 265—267]. Доказательства теорем и леммы см. [2]. 218
4. Суммирование и процессы Маркова Пример 2.4 показывает, что всякому однородному по времени процессу Маркова и всякой базисной вероятности естественным образом можно сопоставить суммирование. Пусть р : ХхТхВ0 (X) -> [| 0, 1 |] — переходная вероятность, о(х, t, /): = \ / (у) р (х, t, dy) определяет ядро суммирования. х Отсюда, если р. — базисная вероятность, мы получаем суммирование S (а, р>: = Ы*ет> где ц, (/): =\о(х, t, f) v- (dx) = \(\f(y)p(*> *> dy)\ p (dx). X X \x J В частности, нами доказана Теорема 4.1 [2]. Пусть ^г(Х) — пространство X вероятностных радоновых мер на X и множество X CI оМ± (X) такое, что его выпуклая оболочка conv<£? всюду плотна в о/Мп{Х). 1) Если для всякого р.£<2? суммирование S (а, р.) сохраняет сходимость, соответственно перманентно, соответственно порождает сходимость, то для всех jjl £ оМ\ (X) S (а, р.) соответственно сохраняет сходимость, перманентно, порождает сходимость. 2) Если орбиты (Pt (р))/6т: = S (а, р.), начинающиеся в р., всегда проходят через одно и то же р0 £ QM1 (X) соответственно р.0 £ оЖг (аХ), соответственно 'Н-оG g//^!(Р-Х") относительно топологии а(оЖ{Х), ^00 (X)) соответственно а(оЖ(аХ), ^(аХ)), соответственно а(с#((ЗХ), ^ фХ)), то для всеж р. £ с^ (X) орбиты (Pt (р): = 5 (а, р), начинающиеся в р., проходят через р0 в соответствующих топологиях. 3) Я/?а дополнительном предположении, что переходная вероятность р непрерывно зависит от х, справедливо: Если суммирование «Дирака» S (а, 8Жо), где ж0 £ X, слабо сходится к р.0 £ €g^i(X) относительно топологии o{nJ{{X), ^b(X)), то р.0 является инвариантной мерой заданного процесса Маркова. 5. Суммирование как линейное отображение и как.кривая Здесь мы определяем линейное отображение, соответствующее данному суммированию. Соотношение S (t, /): = \it (/), /£^6(Х) позволяет всякое суммирование S = (\i.t)teT на X по Т рассматривать как отображение S:TX X($0{X)^R. Частные отображения S (t, •) и S ( • , /) дают следующие траектории: 1. Ls:%b(X)^RT, где Le(/):=(M/)W 2. Св:Г-*Д**№, где Cs (*): = (^ (/))/№). Учитывая соответствие ^ (X) Э р-* -> (^Л/))/б^ m б R^o{X\ СЕ рассматриваем как Cs: Т -> оЖ (X), где Ся(£) = р.г Отображение Ls является линейным. Cs — это кривая в оМ{Х). Ясно, что всякое суммирование однозначно определяется своим линейным отображением. С одной стороны, все кривые с пространством параметров Т, лежащие в оМ (X), дают суммировавшие на X по Т, но, с другой стороны, не все линейные отображения ,сёь(Х) в RT соответствуют какому-нибудь суммированию. Имеет место 219
Теорема 5.1 [4]. Линейное отображение L: ^0(X) -+ R тогда и только тогда соответствует какому-нибудь суммированию с пространством состояний X и с пространством параметров Т, когда L непрерывно относительно сильной топологии в ^ь (X) и естественной топологии в RT. Под сильной топологией в сёь (X) мы понимаем локально выпуклую топологию, которая определяется следующей полунормой: [|/1| =зир|/(ж)оср(ж)/, /•€?»(*). где ср пробегает множество всех действительных непрерывных функций на Хг которые в бесконечности обращаются в нуль. 6. Структуры сходимости в пространстве суммирования Множество всех суммирований на X по Т обозначим через у (А', Г). у(Х, Т) можно рассматривать как векторное пространство со сложением «по координатам» и с умножением на скаляр. Подходящая структура сходимости для семейств суммирований из y(Ar, Т) должна обладать тем свойством, что множество всех сохраняющих сходимость, соответственно перманентных, соответственно порождающих сходимость, соответственно внутренне ограниченных суммирований было замкнуто. В [3] мы ввели четыре такие подходящие структуры сходимости. Здесь мы рассмотрим 3-ю и 4-ю из этих структур сходимости. О п р е л е н и е. А) Семейство {Sa)aeA суммирований Sa = (р.^ ет £ у (X, Т) назовем сильно конечно сходящимся к S = (рt)teT £ у (X, Г), если следующие условия ах и а2 выполнены: ai) (^«)аел поточечно сходится к S в слабой топологии о(оЖ(Х), <% (Х))у т. е. р.*(/) -^ р., (/) для всех f^^b(X) и всех t£ Т. а2) (Sa)aeA равномерно сходится в бесконечности относительно топологии, заданной нормой, т. е. для всякого s ^> 0 существует такое компактное множество Ке С! Т и такое число a (s), что || p.J—р^ || < е для всех £(£ К£ и всех а ^ а (s). Эту сходимость мы обозначИхМ через Sa—>S. В) (£Jae4, Sa = (p-J)^y ^ T (^> ^) сходится строго конечно равномерно» к £ = (р^е27 £ у (X, 71), если следующие два условия выполнены: \) совпадает с ах), Ь2) (5а)аел сходится локально равномерно в бесконечности относительна топологии, заданной нормой, т. е. существует такое компактное множества К (Z Т, что для всякого е ^> О, для всех t(fc К и всех a J> а0 = а (е) справедливо || р« — p. J < е. Мы пишем Sn-+- S. Структуры сходимости «-^» и «-^» получаем, если в «"^», соответственно «-^», заменим слабую топологию топологией, заданной нормой. Векторное пространство у (X, Т) для соответствующих структур сходимости становится ^-классом, но не является векторным пространством со сходимостью. Обозначим множество всех конечно равномерно ограниченных суммирований 5£у(Х, Т), т. е. для них существует такое компактное K(ZT, что i\\\i.tl t£T\K} ограниченно, через 4teK(Xi т)- 220
Справедлива Теорема 6.1. 1) Векторное пространство уt (X, Т) для введенных- структур сходимости является векторным пространством со сходимостью. 2) Множество Рг (X, Т) всех сходящихся суммирований является замкнутым подпространством ^ к (X, Т). 3) Множество Per (X, Т) всех перманентных суммирований ^/ек (X, Т) является замкнутым выпуклым подмножеством у (X, Т). 4) Множество Cor(X, Т) всех внутренне ограниченных суммирований ^ (X, Т) является замкнутым выпуклым подмножеством ~(t (X, Т). 5) Множество Gen (X, Т) суммирований, порождающих сходимость,, из ~(t К(Х, Т) является замкнутым линейным подпространством у^ (X, Т). Доказательство см. в [3, с. 122]. Теорема 6.2. Пусть у (Л7, N) — пространство всех матричных суммирований Теплица. Тогда эквивалентны: 1) AJ-+A, А\ Л£Т(Л\ N) (у = 1, 2, ...); 2) AJ^A, А\ A£i(N, N) (у = 1, 2, ...); 3) для каждого в ^ 0 существует такое п£ £ /V, что для всех i£N и всех ]^пе справедливо 00 Доказательство см. в [8, 9]. ЛИТЕРАТУРА 1. Flachsmeyer /. Uber lokalgleichmassige Konvergenz in Funktionenraumen. — Math. Nachr., 1965, 29, S. 201-204. 2. Flachsmeyer J., Terpe F. On summation on locally compact spaces. — Math. Nachr., 1976, 75, S. 255-270. 3. Flachsmeyer /., Terpe F. On convergence in the space of summations. — In: Proc. 4th Prague Topol. Symp., 1976. Prague, 1977, pt B, p. 119 — 124. 4. Flachsmeyer /., Terpe F. Summations as linear maps and as curves. — In: Proc. Gonf. Topol. and Measure I, Zinnowitz, 1974. Zinnowitz, 1978, pt. 1, p. 129—138. 5. Persson A. Summation methods on locally compact spaces. — Medd. Lunds univ. mat. semin., 1965, 18, s. 57. 6. Терпе Ф., Флаксмайер Ю. Об одном аспекте теории компактификации и теории меры в вопросах суммирования. — ДАН СССР, 1976, 227, с. 302—305. 7. Терпе Ф., Флаксмайер Ю. О некоторых приложениях теории расширения топологических пространств и теории меры. — УМН, 1977, 32, № 5, с. 125—162. 8. Terpe F'. On convergence in the space of matrix summations. — In: Proc. Conf. Topol. and Measure II, Warnemunde, 1977. Greifswald, 1980, pt 2, p. 137—141. 9. Terpe F. On a suitable notion of convergence in the space of matrix summations. — In: Proc. Conf. on Measure theory, Oberwolfach, 1979; Lect. Not. Math., 1979, N 794. p. 566-570.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК, Ю. Б. ЗЕЛИНСКИЙ, В. В. ШАРКО (Киев, СССР) О НЕКОТОРЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТОПОЛОГИИ МНОГООБРАЗИЙ, ТЕОРИИ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ТЕОРИИ МОРСА Исследования группы киевских математиков, занимающихся топологией, сконцентрированы в основном вокруг проблем, связанных с изучением однозначных и многозначных отображений, топологических и когомологических многообразий, а также с приложением этих исследований к теории голоморфных функций и отображений. Получены также интересные результаты и в теории Морса для многообразий всех основных категорий: топологических, кусочно-линейных и гладких. 1. Решение многих геометрических задач комплексного анализа часто зависит от того, будет ли некоторое заданное отображение изолированным или нет (т. е. будет ли прообраз каждой точки состоять лишь из изолированных точек, см., например, [1—3]). Так как этот вопрос носит локальный характер, то критерии изолированности можно приводить лишь для областей (вещественного или комплексного) евклидова пространства. Существенную роль при этом играет понятие (локальной) степени отображения. Пусть D — область в Rn и / : D ~> Вп — непрерывное и нульмерное отображение. Для каждой точки х £ D и любой открытой в /~7 (х) и компактной порции Qx С /_1/ (%), содержащей точку ж, определена (^-степень f(Qx, /, /(#))• В работе Ю. Ю. Трохимчука [4] доказано, что если для каждой точки х' £ £/-1/(ж) существует такая последовательность {Q^V}^=1 Q$) С /-1/(ж)> что HmdiamQW = 0 и у((^\ /, /(ж))>0 «0), то множество f~lf(x) состоит только из изолированных точек. Отсюда следует, что в вопросах изолированности важно знать, когда степень сохраняет знак (или хотя бы не обращается в нуль). Если существует предел у (я, /) = lim у (Qx, /, / (х)), diam Qx -* 0, то говорят, что в точке х £ D существует локальная степень у (я, /) отображения /. Если отображение / дифференцируемо, то локальная степень у (х, /) известным образом связана с якобианом отображения /. Так как якобиан нульмерного дифференцируемого отображения не может обращаться в нуль тождественно в области Z), то возникло предположение, что то же самое имеет место для у (я, /), но уже без требования дифференцируемости. Оказывается, что это действительно так. Точнее, имеет место следующая теорема (Ю. Ю. Трохимчук, А. В. Бондарь [5]): Пусть D — область в Rn и / : D -* Rn — непрерывное и нульмерное отображение. Тогда множество Е тех точек х £ D, в которых локальная степень у (я, /) существует и равна нулю, не содержит внутренних точек х. 1 Для плоского случая эта теорема была доказана Ю. Ю. Трохимчуком [6]. 222
При помощи сформулированной теоремы в работе [5] доказаны такие результаты: 1) если локальная степень у (я, /) существует в каждой точке' области Z), то / обладает открытым всюду плотным в D множеством О точек локального гомеоморфизма; 2) если нульмерное отображение / обладает всюду плотным в D множеством точек взаимной однозначности, то / — топологическое вложение; различные обобщения этого утверждения на случай) отображений, не обязательно нульмерных, содержатся в работах [7—9]; 3) произвольное непрерывное счетнократное отображение двух топологических многообразий одинаковой размерности имеет открытое всюду плотное* множество точек локального гомеоморфизма. Другими методами установлено существование открытого всюду плотного множества точек локального гомеоморфизма у произвольного нульмерного и открытого отображения / (удовлетворяющего некоторому дополни- тельному условию типа сохранения размерности (п—1)-клеток) га-многообразия на хаусдорфово пространство (А. В. Бондарь [10]). Были введены и исследованы обобщения локальной степени: спектральная степень (А. В. Бондарь [11]), локальная степень для различных классов многозначных отображений (Ю. Б. Зелинский [12]). В геометрических задачах анализа оказывается наиболее частым применением следующей важной теоремы о продолжении [4], которая также формулируется в терминах степени отображения: Пусть D с Rn — область и / : D -> Щ — непрерывное нульмерное отображение. Если множество е с D такое, что: 1) в каждой точке х £ Z)\e степень у (х) > 0 и 2) множество Rf\f (г) всюду плотно в Д", то / — внутреннее отображение области Z), т. е. изолированное и открытое. Эта теорема усиливает результаты, принадлежащие Титусу и Янгу [35]. Имеются различные модификации и обобщения самой этой теоремы [7, 11 г 13]. Ряд результатов относится к изучению различных граничных свойств внутренних отображений, и это также связано с приложениями к анализу. Известный принцип граничного соответствия на плоскости утверждаетг что если / : D -> R2 и / \п — внутреннее (т. е. изолированное и открытое) отображение жордановой области D, а / \dD — гомеоморфизм, то / \& — гомеоморфизм. А. В. Чернавский [14] перенес эту теорему на случай высших размерностей. Однако легко видеть, что отображение может быть гомеоморфизмом внутри области, но не быть гомеоморфизмом на границе, или вообще не продолжается непрерывно на границу. Поэтому представляют интерес более слабые условия, при которых можно установить, что/ |int z> — гомеоморфизм. Техника локальной степени оказалась полезной при установлении разного рода критериев гомеоморфизма, обобщающих принцип граничного соответствия [15]. В частности, пусть / : D -> Nn — непрерывное отображение (D — замкнутая область в Мп) и пусть выполнены условия: 1) /(a/))n/(intZ)) = 0; 2) 3D — (п — 1)-многообразие; 3) найдется такое компактное множество F<ZdD, что dim F==n — 2 ш f\p — гомеоморфизм; 4) f(F)f\f(D\F) = 0; 5) в каждой точке x^inlD существует локальная степень отображения т(/. *)>о- 223
Тогда / |int2) — гомеоморфизм. Эти теоремы показывают, что гомеоморфизм / ImtD следует из гомеоморфизма / на определенных (п—1)-мерных замкнутых подмножествах границы. При отображении областей специального вида показано [16], что для гомеоморфности отображения внутри области достаточна его гомеоморфность на еще более тонкой части границы, которая является аналогом границы Шилова, хорошо известной из теории функций многих комплексных переменных . Такого рода критерии полезны при изучении аналитических отображений комплексных многообразий. Для исследования отображений областей неориентируемых многообразий введена локальная степень на континууме отображения по mod 2 [9]. Применяя эту степень, получим следующее утверждение. Пусть / : D -* Вх — непрерывное отображение (D и D± — открытые области многообразий Мп и Nn соответственно) такое, что 1) f(dD)f]f(D) = 0; 2) H"c~l{dD; Z2)^0 и отображение f*:H^(fdD; Z2) -> H^~l {3D; Z2), индуцированное ограничением f\dD, —эпиморфизм. Тогда, или f\D — гомеоморфизм, или найдется точка у £ Int D19 имеющая по меньшей мере три прообраза в D. Если же известно, что отображение нульмерно, то во втором случае множество А = {у\ f~Ly состоит не меньше чем из трех точек} имеет размерность п. Как частные случаи этой теоремы получаются положительные ответы на некоторые проблемы А. Косинского [17], связанные с отображениями га-мерного листа Мёбиуса на га-шар. Интересно отметить, что на основании этих сугубо топологических результатов нетрудно доказать следующую красивую теорему [21]. Пусть функция / голоморфна в произвольной компактной области D С Ся, /г^1, и непрерывна в D. Если она удовлетворяет условию Липшица на границе 3D: то она удовлетворяет этому условию и во всей замкнутой области D (и с той же константой к). Согласно известной теореме С. Стоилова произвольное внутреннее (т. е. изолированное и открытое) отображение одного двумерного ориентируемого многообразия на другое есть суперпозиция гомеоморфизма и аналитического отображения. Кроме того, всякое отличное от константы аналитическое отображение — внутреннее. Отсюда следует, что внутренние отображения топологически эквивалентны аналитическим. Голоморфное отображение одного комплексного многообразия Мп на другое Nn, вообще говоря, не будет даже нульмерным, поэтому полного аналога теоремы Стоилова здесь ожидать нельзя. Но если такое отображение нульмерно, то, конечно, оно изолировано и открыто, т. е. является внутренним. В целом же связи внутренних отображений с нульмерными голоморфными (в свете теоремы Стоилова) ожидают своего исследования. Как первое приближение к этому вопросу в [34] введен и исследован класс так называемых квазивнутренних отображений, которые включают одновременно и внутренние голоморфные отображения, с не равным тождественно нулю якобианом. Оказывается, что топологическое поведение квази- 224
внутренних отображений очень близко к поведению внутренних отображений. 2. Интерес киевской группы к многозначным отображениям был вызван тем, что они естественно появляются при изучении множеств моногенности непрерывной функции. С. В. Горленко [18] с помощью теории многозначных отображений метрических пространств установил следующее утверждение: многозначное отображение Ф^ (z): z -> <SSlg (/) (90^ (/) — множество производных чисел непрерывной комплексной функции / (z), определенной в области D комплексной плоскости С) обладает в D множеством второй категории точек полунепрерывности сверху. Для функций многих комплексных переменных множества моногенности 93?^ (/) определены А. В. Бондарем [19]. Теорема о непрерывности многозначного отображения z —► (33lz (/) сохраняется и в этом случае. Это естественное обобщение свойства производной f'(z) непрерывной функции уже нашло приложение в исследованиях, связанных с нахождением различных критериев аналитичности [18]. Многозначные отображения естественно возникли и при изучении одного вопроса, связанного с проблемой Штейнгауза. Пусть на плоскости лежит окружность S. Каждая пара антиподальных точек из S соединена между собой дугой, лежащей в области, ограниченной S. Эти дуги зависят непрерывно от своих концов. Ясно, что две различные дуги пересекаются. Существуют ли три различные дуги, которые имеют общую точку? Эта проблема поставлена Г. Штейнгаузом в 1953 г. В 1958 г. А. Косин- ский [20] дал положительный ответ на эту проблему даже при более широких предположениях. Окружность он заменил (п—1)-мерной сферой в евклидовом пространстве Rn, дуги — ацикличными континуумами, непрерывную зависимость от концов — полунепрерывностью сверху. При этом предположении он доказал, что существуют три континуума, имеющих общую точку. Более того, он доказал, что замыкание множества точек, в которых пересекается не менее трех континуумов, в предположении, что каждая точка шара, ограниченного S11'1, принадлежит не более чем конечному количеству континуумов, имеет размерность не меньше чем п—1. Однако во всех известных примерах размерность этих точек в точности равнялась п (т. е. это множество содержит открытый га-шар). Поэтому А. Косинским был поставлен вопрос, будет ли всегда размерность множества точек, в которых пересекается не менее трех континуумов, равна п, если предполагать, что в каждой точке пересекается только конечное число соединяющих континуумов. В [8] получен положительный ответ на этот вопрос даже при более общих предположениях. Исследование этого вопроса естественным образом приводит к многозначным отображениям. Получены критерии инвариантности области при многозначных отображениях [13]. Различные вопросы о семействах компактов на многообразиях и их связь с многозначными отображениями (существенность этих отображений, оценки размерности множества кратных точек) исследовались в [22]. Здесь же построен пример, дающий решение еще одной из проблем А. Косинского. Показано, что для произвольной сферы можно устроить рассмотренное выше соединение антиподальных точек дугами так, чтобы через каждую точку проходило не более трех дуг. 225
Р. С. Линичуком изучались различные топологии на множестве всех подмножеств данного пространства X, непрерывность многозначных отображений [23, 24], а также сходимость последовательности подмножеств [25] и непрерывность разбиений топологических пространств в терминах топологий на семействах подмножеств [26]. Изучались также возможности представлений различных многозначных отображений в виде суперпозиций однозначных и многозначных отображений специальных типов [27]. При этом получено обобщение теоремы Эйленберга—Уайберна о представлении однозначных непрерывных отображений компактов в виде суперпозиции монотонного и нульмерного отображений. Исследовались вложения тихоновских произведений некоторых пространств подмножеств в универсальные пространства [28]. Из последнего результата следуют некоторые критерии связности графика многозначного отображения. 3. В работах В. П. Компанийца рассматривались монотонные клеточные и точечные отображения многообразий. Он установил, что отображения гс-сферы (гс=^=4) на себя со счетным числом невырожденных прообразов, кле- точны. Получен гомотопический критерий точечности отображения [30]: Если /: М -> Мх — собственное отображение многообразий, то для того, чтобы оно было точечным, необходимо, а при т ^ 5 и достаточно, чтобы для каждой точки у £ Мг и произвольной окрестности U (у) такой, что к. (U (j/))=0, i=0, 1, . . ., т—3, выполнялось равенство ^(Г1(^Ы) = 0, * = 0, 1 та —3. В. П. Компанийцем [31] дан отрицательный ответ на следующую проблему Р. Бинга: существует ли непрерывное точечное разбиение D евклидова пространства Rn, фактор-пространство Rnn которого было бы многообразием, не гомеоморфным Rn? 4. Исследовались эквивариантные отображения когомологических ^-многообразий. Получены формулы, связывающие степень эквивариантного отображения с индексом Смита преобразований на этих многообразиях [32]. Установлено, что индекс Смита полусвободного периодического преобразования на многообразии совпадает с индексом такого же преобразования для произвольной инвариантной области этого многообразия, имеющей непустое пересечение с множеством неподвижных точек. Установлено соотношение для локальных степеней эквивариантного отображения в тех точках, образы которых попадают в множество неподвижных точек [33]. 5. Исследования, связанные с развитием теории Морса, посвящены установлению, так сказать, точных неравенств Морса [36, 37]. Рассматриваются функции Морса, заданные на гладких компактных односвязных многообразиях размерности гс ^ 5. Правильной функцией Морса на Мп называется функция Морса такая, что / (#) = Х, если х — критическая точка индекса X. Хорошо известно, что в этом случае MS= —/-1 [0, X+V2] — подмногообразие в Мп и где cpt.: dDx X Dn~x -> /-1 [X — 1[2] — вложение. Правильная функция Морса называется точной, если число критических точек индекса X равно ^x = A + ffx + ffx-x. 226
где рх — ранг Нх (Мп, Q), qx — минимальное число образующих Tors Нх (Л/я, Z). Другими словами, точная функция Морса имеет минимально возможное число невырожденных критических точек на Мп по всем индексам сразу. Существование таких функций на каждом компактном односвязном многообразии было доказано Смейлом [39]. Определение 1. Точные функции Морса на Мп f и g называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм, изотопный тождественному, h: Мп -> Мп такой, что h «) = М?8 (0 < i, < ... < i, < п). Агостон доказал [38], что если Н. (Мп, Z) без кручения, то все точные функции Морса эквивалентные. В случае кручения в гомологиях он построил пример многообразия и две неэквивалентные точные функции Морса на нем. Укажем необходимое и достаточное условие эквивалентности точных функций Морса, а также число неэквивалентных точных функций Морса. Пусть G — конечнопорожденная абелева группа, fx (G)=k-\-l — минимальное число ее образующих. Определение 2. Пусть сре: F. ~> G — эпиморфизмы, где Fi — свободные абелевы группы ранга к-\-1 (г = 1, 2). срх эквивалентен ср2, если существует изоморфизм L:F1->F2 такой, что срх = ср2 о /. Зафиксируем минимальную систему образующих группы G: gv . . ., gk, gv . . ., glt где g. — свободные образующие, gj — образующие кручения, порядок gj делит порядок gJ+1. Обозначим через, rrij порядок gj. Имеет место следующая Лемма 1. Пусть ср: F -> <? — эпиморфизм свободной абелевой группы ранга к-\-1. Тогда в F существует базис f19 .. ., fk, fk+1, .. ., fk+l такой, что ср принимает вид V(fi) = gt (!<*<*). f(fM) = 4i, <?(h+j)=gJ+b (2</</), где а— вычет по модулю т1У (а, тг)=1. Назовем а вычетом эпиморфизма ср, а <^ тх/2. Теорема 1. Пусть cpt.: F4->G — эпиморфизмы в G свободных абелевых групп ранга k-\-l (i = l, 2). срх эквивалентен ср2 тогда и только тогда, если их вычеты совпадают. Рассмотрим односвязное гладкое многообразие размерности большей 5. Зафиксируем минимальную систему образующих Нх(Мп, Z), gv .. ., gk, gv •••» Si> гДе gj — образующие кручения, порядок g. делит порядок gJ+1. Пусть / — точная функция Морса на Мп, I — градиентно-векторное поле /. Рассмотрим вложение пар подмногообразий (М{, M(S^(M\ М{_,). Выпишем коммутативную диаграмму ос *L--*•-""> I" J* Группа a1[Hx(M(f Z)](Z НХ(М{, M{_v Z) выделяется прямым слагаемым. Построим на М1 точную функцию Морса /' и градиентно-подобное векторное 227
поле V такие, что /=/', $ = $' на [Mn\int(M{\M{_1)] и левосторонние диски критических точек индекса X функции /', построенные по £', дают образующие группы ах [Ях (Л/{, Z)]. Очевидно, что / эквивалентна /'. Из точной гомологической последовательности для пары (Мп, М{) следует, что i^:#x(M{, Z)-> Нх(Мп, Z)—эпиморфизм. Рассмотрим эпиморфизм 9=ilo^-.7.1[Hl(M{, z)]-*hx(m; Z). Из построения видно, что мы находимся в условиях леммы 1. Следовательно, мы можем выбрать /' и £' так, чтобы матрица эпиморфизма имела вид, указанный леммой 1. Таким образом, с каждой точной функцией Морса, для каждого X (2 ^ X ^ п — 3) мы можем однозначно связать некоторый вычет af. а{ назовем по определению Х-вычетом точной функции Морса /. Имеет место Теорема 2. Точные функции Морса на многообразии Мп эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают все их \-вычеты. Доказательство теоремы основано на следующей лемме. Лемма 2. Пусть f и g — точные функции Морса на Мп такие, что Г1 [О, Х-1/2]=Г1[0, Х-72] = МХ_1( *{ = *{. Тогда существует диффеоморфизм h, изотопный тождественному: h: Мп -> -> Мп такой, что h \м^=id, h (Г [о, х+vJ) = g-1 to, х + %], о < X < п - 3. Теорема 3. Для каждого набора (ах) \-вычетов в Tors Нх(Мп, Z) существует такая точная функция Морса на Мп, что ос£ = ах. На Мп имеется g([li!^±l])' {п==щ тК)Ц([1(2^М])« (n = 2ft+l) неэквивалентных точных функций Морса, <р — функция Эйлера, тх — порядок кручения g\. Исследования в неодносвязном случае имеются в статье В. В. Шарко «Минимальные резольвенты и функции Морса» (в трудах настоящей конференции). Здесь мы приведем одну теорему такого рода [36]. Теорема 4. Пусть Mn+k (n^Q) — гладкое многообразие, тгх(Мп+к) = = Z@ ... ф Z. Пусть Н4(Мп+к) — конечнопорожденные группы, где Мп+к— % универсальное покрытие Мп. Тогда на Мп+7с существует функция Морса с числом критических точек индекса X, равным Nx = рх~к (1 -{-р)к-\- -(-д*""*""1 (1 -\~q)k+1, где р%, q% после раскрытия скобок понимаются как ранги и коэффициенты кручения группы Нi (Mn+k). При этом если эти группы свободны, то на Мп существует точная функция Морса с числом Nx = Идея доказательства заключается в том, что мы последовательно строим точные функции на односвязных «кусках» многообразия, а затем их склеиваем. Находить односвязные «куски» дает возможность теорема Новикова о расщеплении универсального накрытия в прямое произведение [40]. 228
ЛИТЕРАТУРА 1. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. М.: Наука, 1964. 2. Ганинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 3. Трохимчук Ю. Ю. Непрерывные отображения и условия моногенности. М.: Физмат- гиз, 1963. 4. Трохимчук Ю. Ю. О непрерывных отображениях областей евклидова пространства. — Укр. мат. журн., 1964, 16, № 2, с. 196—211. 5. Трохимчук Ю. /О., Бондарь А. В. О локальной степени нульмерного отображения. — В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наук, думка, 1969, вып. 1, с. 221-241. 6. Трохимчук Ю. Ю. О непрерывных отображениях плоских областей. — Укр. мат. журн., 1965, 17, № 1, с. 89—94. 7. Зелинский Ю. Б. О непрерывных отображениях областей обобщенных многообразий. — В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наук, думка, 1973, вып. 4, с. 79—91. 8. Зелинский Ю. Б. Применение теории пучков к исследованию непрерывных отображений. — В кн.: Десятая математическая школа. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1974, с. 290—307. 9. Бондарь А. В., Зелинский Ю. Б. Об одном критерии монотонности. — В кн.: Математический сборник. Киев: Наук, думка, 1976, с. 198—202. 10. Бондарь А. В. О непрерывных и открытых отображениях топологических пространств. — В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наук, думка, 1971, вып. 3, с. 31—39. И. Бондарь А. В. Про спектральний стешнь нульвим1рних вщображень. — ДАН АН УРСР. Сер. А, 1971, № 8, с. 675-676. 12. Зелинский Ю. Б. О локальной степени для многозначных отображений. — ДАН УССР. Сер. А, 1975, № 10, с. 872-876. 13. Зелинский Ю. Б. Теорема о продолжении и критерии сохранения области для многозначных отображений. — Укр. мат. журн., 1977, 29, № 3, с. 383—387. 14. Чернавский А. В. Дополнение к статье о конечнократных открытых отображениях многообразий. —Мат. сб., 1965, 66 (108), с. 471—472. 15. Зелинский Ю. Б. Некоторые критерии гомеоморфизма при отображении областей евклидова пространства. — В кн.: Труды VIII летней математической школы. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1971, с. 194—211. 16. Зелинский Ю. Б. О критериях монотонности. — В кн.: Десятая математическая школа. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1974, с. 277—289. 17. Зелинский Ю. Б. О некоторых проблемах А. Косинского. — Укр. мат. журн., 1975, 27, № 4, с. 510-516. 18. Горленко СВ. Обобщение теоремы о точках непрерывности производной и его применение в теории аналитических функций. — В кн.: Десятая математическая школа. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1974, с. 260—269. 19. Бондарь А. В. Множества моногенности и критерии голоморфности для функций многих комплексных переменных. — В кн.: Десятая математическая школа. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1974, с. 367—381. 20. Kosinski А. On a problem of Steinhaus. — Fund, math., 1958, 46, N 1, p. 47—59. 21. Трохимчук Ю. Ю. О дифференциальных свойствах действительных и комплексных функций. — Укр. мат. журн., 1979, 31, № 4, с. 465—469. 22. Зелинский Ю. Б. Об ^-допустимых многозначных отображениях. — В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наук, думка, 1975, вып. 7, с. 61—83. 23. Линичук Р. С. О пространствах замкнутых множеств. — Вестн. МГУ. Сер. мат., 1970, 4, с. 54-59. 24. Линичук Р. С. Некоторые свойства пространств замкнутых подмножеств. — В кн.: Труды VIII летней математической школы. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1972, с. 212—223. 25. Линичук Р. С. О ?-отображениях топологических пространств. — Укр. мат. журн., 1975, 27, № 6, с. 761—766. 26. Линичук Р. С. Многозначные отображения и непрерывность разбиений топологических пространств. — В кн.: Десятая математическая школа. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1974, с. 308—329. 27. Линичук Р. С. О представлении отображений в виде суперпозиций. — Укр. мат. журн., 1975, 27, № 5, с. 675—679. 28. Линичук Р. С. О топологических вложениях и универсальности некоторых пространств. — ДАН УССР. Сер. А, 1975, 4, с. 316—320. 29. Компанией В. П. О монотонных отображениях я-мерной сферы на себя. — Укр. мат. журн., 1965, 17, № 6, с. 100—103. 30. Компанией В. П. Гомотопические критерии точечного отображения. — Укр. мат. журн., 1966, 18, № 4, с. 3-10. 31. Компаниец В. П. Об одной проблеме Бинга. — Укр. мат. журн., 1968, 20, № 2, с. 265-269. 229
32. Зелинский Ю. Б. О периодических преобразованиях: Препринт ИМ-75-3. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. 33. Зелинский Ю. Б. Некоторые свойства эквивариантных отображений со всюду существующей локальной степенью. — В кн.: Комплексный анализ и многообразия. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1978, с. 138—148. 34. Зелинский Ю. Б. Применение локальной степени к изучению квазивнутренних отображений. — Укр. мат. журн., 1978, 30, № 3, с. 299—308. 35. Titus S. /., Young G. S. The extension of interiority with some applications. — Trans. Amer. Math. Soc, 1962, 103, N 2, p. 329—340. 36. Шарко В. В. Точные функции Морса: Препринт ИМ-75-9. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. 37. Шарко В. В. Исследования по теории функций и топологии: Препринт ИМ-79-21. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1979, с. 13—26. 38. Agoston М. On handle decompositions and diffeomorphism. — Trans. Amer. Math. Soc, 1969, 98, N 3, p. 21—25. v 39. Smale S. On structures on manifolds. — Amer. J. Math., 1962, 84, N 3, p. 387—399. 40. Новиков С. П. О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применения (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы). — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1966, 30, № 1, с. 207—246.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 В. Г. ТУРАЕВ (Ленинград, СССР) ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПУАНКАРЕ В статье показывается, что фундаментальная группа замкнутого трехмерного многообразия обладает парой заданий с одним и тем же набором образующих и в некотором смысле двойственными наборами соотношений. В терминах заданий групп образующими и соотношениями формулируются условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная группа была изоморфна фундаментальной группе замкнутого трехмерного многообразия. В разделе 1 собраны формулировки, в разделе 2 — доказательства. Чтобы сделать чтение статьи независимым, в Добавлении сформулированы результаты работы автора [8], используемые в основном тексте. Терминология статьи кусочно-линейная. 1. Формулировки 1.1. Фундаментальная группа замкнутого трехмерного многообразия. Для многообразия или комплекса Пуанкаре А с отмеченной точкой а чертой ~~ обозначается антиавтоморфизм кольца Z [^ (А, а)], переводящий элемент а группы тих (А, а) в —а-1, если а — класс дезориентирующих петель, и в а"1 — в противном случае. Если (хг, . . ., xm: гг, . . ., гп) — задание группы ти, и если G — свободная группа со свободными образующими хг, . . ., хт, то каноническая проекция Z [G] -> Z [ти] обозначается скобками [ ]. Через d/dxv . . ., д1дхт, как обычно, обозначаются такие (единственные) отображения кольца Z [G] в себя, что для любого а £ Z [G] т a-aug(a) = 2|^-l), (1) * = 1 где aug — аугментация Z [G] -> Z. Теорема 1. Если А — замкнутое трехмерное многообразие с отмеченной точкой а, то для некоторого натурального п группа tzx (А, а) обладает такими заданиями (xv . . ., хп: rv . . ., гп) и (yv . . ., уп: sly . . ., sj, что [жJ = = Ы » [9г^дх^-=[д8^ду.\ при всех i, / = 1, . . ., п. Существование заданий (х19 . . ., хп: rv . .., rj и (yv . . ., yn:sv..., sn) группы ^(Л, а) с [drjdxj] — [dsy/dy.] при г, / = !,.... п было доказано в [9]. Такие задания называются в [9] двойственными и строятся по произволь- 23!
ному разложению многообразия А в объединение двух пересекающихся по краю тел с ручками (разложение Хегора); образующие и соотношения этих заданий определяются параллелями одного из тел с ручками и меридианами другого. Из существования двойственных заданий следует, например, что элементарные идеалы (и тем более многочлены Александера) замкнутых трехмерных многообразий симметричны. Для доказательства теоремы 1 в полном объеме (т. е. с условием [xi]=[yi] при всех г) привлекаются специальные разложения Хегора, доставляемые формулируемой в следующем пункте теоремой 3. Будем говорить, что связное многообразие (или комплекс Пуанкаре) А реализует группу тс с антиавтоморфизмом ~ : Z [тг] -> Z [тг], если существует такой изоморфизм тс-^тс^Л, а), где а£А, что индуцированный изоморфизм <р : Z [тс] -> Z [тсх (А, а)] удовлетворяет условию ср (а) = ср (а) для любого а £ Z [тс]. Теорема 2. Группа тс с антиавтоморфизмом ~ : Z [тс] -> Z [тс] реализу ется связным замкнутым трехмерным многообразием тогда и только тогда когда для некоторых /г = 1, 2, ... и е = +1 группа ти обладает таким заданием (xv . . ., хп : rv . . ., гп), что [xj = \x.\~1 при i = 1, . . ., п — 1, [хп] = = в[хп]~1 и элементы rv . . .. гп (свободной) группы (х19 . . ., хп) удовлетворяют в (хъ • • •, яя) соотношению г^х^г^ . . . г^1х-\гп_1хп_лг-1х-1г1хп=1. Эта теорема аналогична хорошо известному результату Артина о группах зацеплений в S3 (см. [1]). Из теоремы 2, в частности, следует, что группа тс изоморфна фундаментальной группе ориентируемого связного замкнутого трех" мерного многообразия тогда и только тогда, когда тс обладает заданием (х1ч . . ., хп: гг, . . ., гя) с г~ х^г^ . . . г~1х~ гпхп= 1 в (х19 . . ., хп). Заметим, что по заданию (х19 . . ., хп: г1? . . ., гп) группы тс, удовлетворяющему условиям теоремы 2, можно каноническим образом построить такое задание (х[, . . ., х'п:г[, . . ., г'п) группы т:, тоже удовлетворяющее условиям теоремы 2, что пара заданий (хг, . . ., хп : rv . . ., г J и (х[, . . ., х'п: (rj)"1, ... .. ., (r'n)~l) удовлетворяет условиям теоремы 1 (см. раздел 2). 1.2. Специальные разложения Хегора. Теорема 3. Пусть А — связное замкнутое трехмерное многообразие. Пусть Dn — диск с п дырами, если А ориентируемо, и лента Мёбиуса с п дырами, если А неориентируемо (лг=0, 1,2,...). Тогда для некоторого п многообразие А гомеоморфно результату склеивания двух экземпляров тела с ручками DnXl, где /=[0, 1], посредством гомеоморфизма д (DnXl) -> д (DnXl), тождественного на DnX0. Эта теорема является усилением теоремь1 Бирман и Пауэлла [2], которые доказали (в случае ориентируемого А), что гомеоморфизм d(DnXl)^> -^ д (DnXl) можно выбрать тождественным на п компонентах края д (DnX0). Из теоремы 3, очевидно, следует, что всякое связное замкнутое трехмерное многообразие может быть представлено как открытая книга со страницами, гомеоморфными диску с дырами или ленте Мёбиуса с дырами. Из теоремы 3 также следует, что всякое ориентируемое связное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно результату перестройки сферы S3 по оснащенному зацеплению, являющемуся замкнутой крашеной косой. (См. раздел 2. Первоначальные результаты в этом направлении были получены Хемпелем [3]; см. также [2].) 1.3. Фундаментальные группы трехмерных комплексов Пуанкаре. В этом пункте формулируются полученные в [9] алгебраические условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная группа была изоморфна 232
фундаментальной группе комплекса Пуанкаре формальной размерности 3. Сопоставление этих условий с условиями, доставляемыми теоремами 1 и 2, позволяет лучше понять эти теоремы. Для кольца с единицей К через Р (К) обозначим полугруппу классов проективно эквивалентных конечнопредставимых (левых) ЛГ-модулей (К- модуль Е называется конечнопредставимым, если он обладает конечной матрицей соотношений, т. е. такой т X га-матрицей S над К, что Е изоморфен коядру определяемого матрицей S гомоморфизма Кт -> Кп (модули Е и F над К называются проективно эквивалентными, если EQ)X=FQ)Y для некоторых конечнопорожденных проективных .йГ-модулей Хи Y). Если ": К -> К — антиавтоморфизм, то отнесение /JT-модулю с матрицей соотношений S модуля с матрицей соотношений S* (где t — транспонирование) определяет эндоморфизм полугруппы Р (К), обозначаемый через 0 (см. [9]). Если ти — группа, то через / (ти) обозначается идеал Ker (aug: Z [ти ] -> Z) кольца] ZfTul. Теорема 4 (см. [9]). Группа ъ с антиавтоморфизмом " : Z [тг] -> Z [ти реализуется связным комплексом Пуанкаре формальной размерности 3 тогда и только тогда, когда тс конечнопредставима, а=+а-1 для любого а£тс и b(ij — iv, где i%— класс в P(Z[tz]) идеала /(тс), рассматриваемого как Z [к]~модуль. Заметим, что условие 6(/J = /r выполняется, если тг обладает двойственными заданиями (см. п. 1.1). Это следует из того, что для любого задания (xv ..., xm:rv ..., гп) группы тг матрица {[drJdXj\)i=^ п,.=^ т является матрицей соотношений идеала / (тг). Заметим также, что в случае, когда тг конечна, необходимые и достаточные условия реализуемости пары (ти, ") трехмерным комплексом Пуанкаре хорошо известны и состоят в том, что тг — группа когомологического периода 4 и <х=а~г для любого а £ ти. Эти условия, разумеется, эквивалентны (в случае конечной группы) условиям, указанным в теореме 4. Теорема 4 и методы, использованные при ее доказательстве, позволяют редуцировать гомотопическую классификацию трехмерных комплексов Пуанкаре к чисто алгебраической задаче. В свою очередь эта редукция позволяет получить для трехмерных комплексов Пуанкаре теорему расщепления. Автор предполагает опубликовать эти результаты в другом месте. 1.4. Обобщение теорем 1—3. Следующие теоремы 1'—3' являются обобщениями соответственно теорем 1—3 на случай^ компактных трехмерных многообразий, край которых состоит из торов и бутылок Клейна (обобщение теоремы 2 для простоты формулируется только в ориентируемой ситуации). Теорема 1'. Если А — компактное трехмерное многообразие с отмеченной точкой а и если дА состоит из торов и бутылок Клейна, то для некоторых целых т, п с 0 ^.т^п группа ^г(А, а) обладает такими заданиями (xv . . ., хп: г19 . . ., гп) и (yv .. ., yn:sv.. ., sn), что [х.] = \у{] три i= 1, . . ., п и [drJdxJ] = [dsJldyi] при i, j= 1, . . ., т, [drJdXj^KdsjIdyJ^ — y.)] при i = m+ 1, ..., п и / = 1,..., т, [(drildxJ)(l — xJ)] = [dsJldyi] при * = 1, . .., т и j = т -f 1, . .., п, [(drjdxj) (1 - х.)] = [(dsjldyj (1 - у.)] при i, / = ™-t-l,..., п. При этом если дА = 0, то можно считать, что т = п, и если А гомео- морфно дополнительному пространству зацепления в S3, то можно считать, что т — 0. 233
Из теоремы 1', в частности, следует, что если тс— фундаментальная группа дополнительного пространства зацепления в S3, то тс обладает заданиями (xv .. ., хп: rv . . ., гп) и (yv . . ., уп: sv . . ., sn) с [a?J =[yt] и {{drjdxj) (1 - хД = [(3s,/3y,) (1 - у,)] при *, / = 1,..., д. Этот результат является усилением теоремы Торреса—Фокса [7], устанавливающей существование заданий группы тс, удовлетворяющих таким же соотношениям в Z [Я! (тс)]. Теорема 2'. Группа тс изоморфна фундаментальной группе ориентируемого связного компактного трехмерного многообразия, край которого состоит из торов, тогда и только тогда, когда для некоторых т, п с 0 ^ ^т^п и некоторой подстановки [л : (1, . . ., п) -> {1, . .., п) с [л (i) = i при i^>m группа тс обладает заданием где rv . . ., гя — такие элементы группы (xv . .., жя), что T4ci)rA ' • • Г«Ч(*)ГЛ = 1 Б (*i' * * " **)• Теорема 3'. Пусть А — связное компактное трехмерное многообразие, край которого состоит из торов и бутылок Клейна. Пусть Dп — диск с п дырами, если А ориентируемо, и лист Мёбиуса с п дырами, если А не- ориентируемо%(п=0, 1, 2., . .). Тогда для некоторого п и некоторых компонент RXl . . ., Rm края dDn многообразие А гомеоморфно результату склеивания двух экземпляров DnXl посредством тождественного на DnX0 автомор- т физма многообразия d(DnXl)\\J (R{Xlnt/). 2. Доказательства 2.1. Расположение материала. В п. 2.2—2.5 доказывается теорема 3, в п. 2.6 — теорема 1, в п. 2.7—2.9 — теорема 2. Доказательства теорем Г—3' аналогичны и потому опускаются. 2.2. Подготовительные определения. Под зацеплением, в многообразии А понимается замкнутое одномерное подмногообразие многообразия Int^. Оснащенные зацепления в А называются эквивалентными, если многообразия, получающиеся из А перестройкой по этим зацеплениям, гомеоморфны. Если D — многообразие и h £ Aut (D, dD) (т. e. h — тождественный на dD гомеоморфизм D -> D), то через OPR (D, К) обозначается многообразие, получающееся из Dxl отождествлением точек (d, 0) и (h (d), 1) при d £ D и стягиванием каждого отрезка dXl с d £ dD в точку. Очевидно, что если Т — образ многообразия licit D XI при этих отождествлениях, то проектирование Dxl -> / определяет (локально тривиальное) расслоение Т -> IIdl (^S1). Зацепление L в ОРВ (D, К) называется замкнутой косой (соответственно замкнутой крашеной косой), если L с Т и сужение расслоения Т -> I Idl на каждую компоненту зацепления L является накрытием (соответственно гомеоморфизмом). 2.3. Лемма. Пусть D — двумерное многообразие с непустым краем и пусть h £ Aut (D, dD). Тогда (i) всякое зацепление в ОРВ (D, К) объем- лемо изотопно замкнутой косе', (ii) всякое оснащенное зацепление в ОРВ (D, К) эквивалентно оснащенной замкнутой крашеной косе. Доказательство. В случае, когда D — диск, пункт (i) доказан 234
Александером (см. [1]). В общем случае доказательство аналогично. Пункт (ii) следует из (i) и того, что представленные на рис. 1 операции не меняют класса эквивалентности зацепления (при надлежащем выборе оснащений, ср. Кирби [5]). 2.4. Лемма. Пусть в условиях леммы 2.3 L — оснащенная п-компонент- ная замкнутая крашеная коса в ОРВ (Z), К) и пусть А —результат перестройки многообразия ОРВ (D, h) по L. Если Dn — многообразие, получающееся из D вырезанием п непересекающихся открытых дисков, то А = =ОРВ (Dn, ti) для некоторого h' £ Aut (Dn, dDn). Доказательство. Обозначим проекцию D XI -> ОРВ (Z), К) через ср и проектирование Dxl -► Z) через ф. Положим М=ф (ср-1 (L) П f\(DxO)). Как известно, существует такой сохраняющий уровни и тождественный на (DxO) Г\ (dDXI) гомеоморфизм g:DXl-+DXl, что g(<p-*(L))=^(M). Определим гомеоморфизм gx: D -> D по формуле (gt (d), l) = g (d, 1) при d £ D. Заменив при необходимости отображение g изотопным,, Рис. 1 Рис. 2 можем считать, что, во-первых, оснащение многообразия g (ср-1 (Z,)), индуцированное из заданного оснащения многообразия L, совпадает с оснащением, индуцированным посредством ф из некоторого оснащения многообразия М в Z), и, во-вторых, гомеоморфизм gxh: D -> D тождествен на некоторой регулярной окрестности V многообразия М в D. Очевидно, что D\V гомео- морфно Dn. Непосредственно проверяется, что Л=ОРВ(/)\У, gyfi\^^)m 2.5. Доказательство теоремы 3. Так как многообразия А и ОРВ (D0, id) или оба ориентируемы, или оба неориентируемы, А получается из ОРВ (D0, id) перестройками индекса 2. (см.: Рохлин [6]). Поэтому из лемм 2.3 и 2.4 следует, что Л=ОРВ (Dn, К) для некоторых д^Ои /г^АиЬ (Dn, dDn). Очевидно, что гомеоморфизм g: d(Dn X /) -> 9(Dn X ■/), определяемый формулой g (d, l) = (h(d), 1) и g (d, £)=(d, t) при t<^l, удовлетворяет условиям теоремы. 2.6. Доказательство теоремы 1. Пусть A=zG1\jG2 — разложение Хегора рода /г, пусть В — многообразие Gt П G2 с вырезанным открытым диском и пусть а£дВ. Обозначим гомоморфизмы включения ^(5, «)->^i(Gfc, а) и ZfTc^fi, а)] -> Z [тих (Л, а)] соответственно через срл и ср (где & = 1, 2). Обозначим через X пересечение в Z [^ (J5, а)], отвечающее какой-нибудь ориентации многообразия В в а (см. [8] или Добавление). Как непосредственно проверяется, существуют такие образующие а*, . . ., a*, Pf, . . ., pj группы ^(Б, a), что cpfc (Pf) = ... = <?k (PJ) = 1 и для любых г, / = 1, . . ., п с г ^ / и /с = 1, 2 ? (X (а*, р*)) = ср (X (р*, р*)) = 9 (X (р*э р*)) =0, ?(Х(а*, р*)) = 1- ^ 235
(см. рис. 2, где изображен случай ориентируемого В). При этих условиях ¥ft(ai)> • • •» ?к(ап) — свободные образующие группы ^(G^, а) и, значит, fa К), • • •. ? 1 К): ?i (Р!), •••.?! (РЭ) и (?2 («?)- • • • ■ 92 («2): («Р. (Р1)Г\ • • • . .., (9г (Pi)) г) — задания группы ъг{А, а). Они удовлетворяют второму условию теоремы 1: из формул (1), (2) и формул (3), (5) Добавления следуют равенства [0(?1(й))/аЫ«»)]=т(ЧЙ. Р})) = -?(ЧР*. Р5)) = Если в качестве разложения Хегора взять разложение, доставляемое теоремой 3, то можно считать, что aj = aj, ..., aj = a2. Тогда [срх (a].)] = [<р2(оф] при £ = 1, . . ., га. 2.7. Лемма. Пусть D — диск с т пленками и п — т дырами, где п^т и т=0, 1. Пусть tc = tcx(D, d), где d£dD, и пусть хг, . . ., хп— свободные образующие группы тс, представляющиеся изображенными на рис. 3 петлями. Пусть s : Aut (D, dD) -> тсп — отображение, относящее гомеоморфизму Уп-/ £j7yvaz/ т=/ Рис. 3 h: D ~> D последовательность s^, . . ., s% элементов группы тс, представляющихся соответственно петлями (ho уг) г/-1, . . ., (hoyjy-1, где уг, .. . ..., уп: I -> D—пути, изображенные на рис. 3. Пусть W — множество таких последовательностей sx, . .., s„£tc, что s^s'1 ... s^x^s-^s^sl™'1 = = «!.... жя. Гогда: (i) s(A\xt(D, dD)) = W; (ii) если h£Aut(D, dD), то фундаментальная группа многообразия OPB (D, К) изоморфна группе (хг, .. . ..., xn:sl ..., «*) (см. п. 2.2). Доказательство. Очевидно, что если ra£Aut(D, dD), то h#(xi) = =*,Ч (5?)_1 при i = 1, . . ., /г — 1, Аф (жя) = *Х (г*)"-1 и % fo ... хп_±х^) = = жх ... хп_гх^+\ Поэтому s(A\it(D, dD)) С №. Противоположное включение следует из теоремы Нильсена, по которой всякий сохраняющий периферическую структуру эндоморфизм группы тс индуцируется некоторым гомеоморфизмом D -> D. Пункт (ii) следует из теоремы ван Кампена. 2.8. Лемма. Пусть в условиях предыдущей леммы Ф — множество таких последовательностей rv . .., гя£тс, что Г71ХТ1ГЛХ, Тогда формулы I**! ' n-l^n-l' n-l^n-V п x^r-^x^ri Л. О • #i X1 /-1 Хл 1JL • -• I • -| JU • 1 ^1 ' 1*^1 • • • ' j-i-^i-i' i-l^i-V i с i = lf . . ., п определяют биективное отображение Ф -> W. Эта лемма доказывается прямым вычислением. 2.9. Доказательство теоремы 2. Теорема 2 следует из лемм 2.7. 2.8 и теоремы 3. 2.10. Замечание. Из леммы 2.7 следует, что формула s(h)i->s(/Г1) определяет инволютивное отображение ЧГ -> 47. Можно доказать, что если образы последовательностей (г19 . . ., гп), (г[, ..., г'п)£Ф при построенном в лемме 2.8 отображении Ф -> ¥ соответствуют друг другу при этой инво- 236
люции, то наборы г19 . . ., гп и г[, . . ., г'п порождают один и тот же нормальный делитель группы тс, скажем К, и задания (xv . . ., хп: г19 .. ., гя) и (xv .. ., жя: (rj)"1, . .., (О""1) группы 'KJK удовлетворяют условиям теоремы 1- Добавление. Пересечение петель в двумерных многообразиях В топологии многообразий хорошо известна конструкция, доставляющая по многообразию В размерности 2д^4 с отмеченной точкой а и с отмеченной ориентацией полуторалинейную форму тся (В, а) X кп (В, а) -> Z [тс], где тс =7^(5, а) (см.: Кервер [4]). Эта форма представляет собой результат перенесения формы индексов пересечения Нп (В; Z [тс]) х Нп (В; Z [тс]) -> Z [тс] посредством гомоморфизма Гуревича кп(В, а) -+ Нп(В; Z [тс]). В случае dim В = 2 и а £ 3J5 в [8] аналогичным образом вводится билинейная форма Ju [тс] х Z [тс] -> Z [тс], называемая переселением и обозначаемая через X. Эта Я Выделенная ' ориентация Рис. 4 форма получается перенесением формы индексов пересечения Н1 (В, a; Z [тс]) X X Н1(В, дВ\а; Z [тс])-> Z [тс] посредством гомоморфизма Н1(В, a; Z [тс])-> ^>Н1(В, дВ\а; Z[tc]), индуцированного сдвигом точки а в дВ\а и гомоморфизма Z [тс] -^ Н1 (В, a; Z[tc]), индуцированного гомоморфизмом Гуревича тс->Я1(^, a; Z[tc]). Сформулируем ряд свойств пересечения X, установленных в [8J. (i) Если х, у : (I, д!) -> (В, а) — такие трансверсальные петли, представляющие соответственно а, (3£тс, что ж (Int/), у (Int) С Int В и что пересечения множеств х(1) и у(1) с некоторой окрестностью точки а таковы, как на рис. 4, то Х(а, (3) равно сумме по всем парам tl9 t2£(09 1) с x(t^ = y(t2) классов петель (ж|Го п)([/|Го //Г1* взятых со знаком плюс, если заданная в а ориентация, перенесенная вдоль пути г/L f в y(t2), определяется парой (направление х в tv направление у в t2) и со знаком минус в противном случае. (п) Для любых а, (3, у £ Z [тс] Х(«р, Т) = аХ(р, T) + aug(p)X(a, т), (3) X (р, аТ) = X (р,т) а + aug (т) X (р, а), (4) X (а, р) + X (р, «) = («- aug (а)) (р - aug (р)). (5) Если J = Кег (aug : Z [тс] -> Z), то сужение X \JxJ : / X / -> Z [тс] является невырожденной полуторалинейной формой. (iii) Элемент а группы тс представляется простой петлей тогда и только тогда, когда или X (а, а) = (1 -|- aug а)/2 — а, или X (а, а) = (1 -f-aug а)/2 — а. Элементы а и [3 группы тс представляются такими петлями х, у: (I, д!) -> (В, а), что x(lntl)f)y(lntl) — 0 и что пересечения множеств х(1), у (I) с некоторой окрестностью точки а таковы, как на рис. 4, тогда и только тогда, когда Х(а, р) = 0. (iv) Если В компактно, то изоморфизм <р : Z [тс] -> Z [тс] с ср (тс) = тс индуцируется сохраняющим (соответственно обращающим) ориентацию в а гомео- 237
морфизмом (5, а) -> (J5, а) тогда и только тогда, когда X (ср (а), ср (8)) = =гср(Х(а, Р)) (соответственно X (ср (а), ср ((3)) = ср (X (а, (3))) для любых а, |3£Z[tc]. (V). Если В компактно, то пересечение X определяется периферической структурой многообразия В. В частности, если В компактно, дВ связен и v — класс в к петли, параметризующей окружность дВ и выходящей из точки а в указанном на рис. 4 направлении, то для любых свободных образующих xv . . .,хп группы iz матрицы (X (ж., я,))*,./=1,.... „ и (~ ^(^)). ^ ^ взаимно обратны. Класс v в свою очередь выделяется в тс условием X (a, v) = 1 — а для всех а £ п. Заметим, что с помощью конструкции, аналогичной использованной в пункте (i), можно определить тесно связанное с пересечением отображение самопересечения tc->Z[tc], а также сходные операции в случае а £ Int J5. Формы, аналогичные пересечению, можно определить и для узлов в S's (см. [8]). ЛИТЕРАТУРА 1. Birman J. S. Braids, links and mapping class groups. — Ann. Math. Studies, 1974, 82. 2. Birman J. S., Powell J. Special representations for 3-manifolds: Prepr. N. Y., 1978. 3. Hempel J'. Construction of orientable 3-manifolds. — In: Topology of 3-manifolds and related topics. N. Y.: Prentice-Hall, 1962, p. 207—212. 4. Kervaire M. A. Geometric and algebraic intersection numbers. — Comment, math. helv.t 1965, 39, p. 271—280. 5. Kirby R. A calculus for Framed Links in S3. — Invent, math., 1978, 45, N 1, p. 35—56. 6. Рохлин В. А, Трехмерное многообразие — граница четырехмерного. — ДАН СССРГ 1951, 81, Д» 3, с. 355-357. 7. Torres G., Fox R. Н. Dual presentations of the group of a knot. — Ann. Math., 1954, 59, N 2, p. 211—218. 8. Typaee В. Г. Пересечения петель в двумерных многообразиях. — Мат. сб., 1978, 106, № 4, с. 566-588. 9. Typaee В. Г. Фундаментальные группы многообразий и комплексов Пуанкаре. — Мат. сб., 1979, НО, № 2, г 278—296.
Труды Математического института АН СССР ' 1983, том 154 В. В. ФИЛИППОВ (Москва, СССР) О НОРМАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ Введение В настоящей статье будут обсуждаться вопросы, связанные с монотонностью размерности. Как известно, малая индуктивная размерность монотонна по любым подпространствам [1, с. 162, предложение 7], размерности dim и особенно Ind — при довольно сильных дополнительных ограничениях. Примеры невыполнения свойства монотонности этих размерностей имеются: [3] — в классе нормальных пространств, [13, 10] — в классе наследственно нормальных пространств. В связи с этим естественно возникает вопрос о нахождении разумных ограничений на топологические свойства пространства и подпространства, которые гарантировали бы неувеличение размерности при переходе к подпространству. В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением размерности dim. Все пространства будем предполагать вполне регулярными (и даже чаще — нормальными, но это мы будем дополнительно оговаривать). В разделе 1 мы введем и обсудим основные понятия, в разделе 2 получим основной результат. В последующих трех разделах мы дадим приложения основного результата. 1. Основные определения Как хорошо известно, размерность dim не увеличивается при переходе к замкнутому [1, с. 166, теорема 1 ] или F'а [1, с. 279, предложение 1 ] подпространству Y нормального пространства X: dim Y ^ dim X. Более слабое ограничение на геометрию расположения подпространства в объемлющем пространстве, обеспечивающее неувеличение размерности, введено Ю. М. Смирновым [12], см. также [1, с. 280]. В связи с тем что мы будем рассматривать целый спектр аналогичных понятий, нормально расположенные подпространства из [12] и [1] мы в дальнейшем будем называть нормально расположенными в смысле Смирнова. Ограничение, наложенное Ю. М. Смирновым, довольно сильное. Так, нормально расположенное в смысле Смирнова подпространство бикомпакта обязательно финально компактно. (С другой стороны, это понятие оказалось вполне рабочим и было использовано Ю. М. Смирновым при доказательстве монотонности размерности dim по финально компактным подпространствам.) Сейчас мы ослабим ограничения, наложенные Ю. М. Смирновым, с тем чтобы включить в рассмотрение некоторые другие важные случаи, среди которых — вложение пространства в его стоун-чеховское расширение. 239
При формулировке наших определений мы будем иметь дело со следующими ситуациями: (*) F± и F2 — любые замкнутые непересекающиеся множества подпространства Y топологического пространства X. (**) F± и F2 — любые замкнутые функционально отделимые [1, с. 601 множества подпространства Y топологического пространства X. Определение 1.1. Будем говорить, что подпространство Y sr (соответственно, s-) расположено в пространстве X, если при (*) (соответственно (**)) найдется /^-подмножество М пространства X, для которого YCM, [F1]xf][F2]xf]M = 0. В некоторых ситуациях введенные ограничения оказываются слишком сильными и полезно Определение 1.2. Будем говорить, что подпространство Y dx- (соответственно d-) расположено в пространстве X, если при (*) (соответственно (#*)) найдется такое семейство у = |J {f. : i = l, 2,. . .} функционально открытых подмножеств пространства X, не пересекающих множество что каждое из семейств [Uf] Y : U £ yt.}, i = 1, 2, . . ., локально конечно в подпространстве Y и Uy2^- В [4] В. П. Золотарев доказал, что для вполне паракомпактного подпространства Y нормального пространства X dim Y ^ dim X. При этом он установил, что вполне паракомпактное подпространство специальным образом расположено в объемлющем пространстве, хотя и не ввел формально соответствующего понятия. В следующем определении будут объединены случаи нормальной расположенности в смысле Золотарева и ^-расположенности. Определение 1.3. Будем говорить, что подпространство Y zx- (соответственно z-) расположено в пространстве X, если при (*) (соответственно (* *)) найдутся метрическое пространство Z, dim Z = 0, непрерывное отображение / : Y -> Z, семейство у = |J {у^ :i = 1, 2, . . .} открытых /^-множеств произведения (ЗХ X Z, не пересекающих множества ([F^^ П t^lsx) X Z> причем Ur3F(F), meF(y) = {y, f{y)), и семейство {Uf)F{Y): U£ у J, i=l, 2, ..., локально конечно в подпространстве F (F). Приведем список некоторых фактов, связанных с введенными понятиями. Так как функционально отделимые множества не пересекаются, то ^-расположенность влечет ^-расположенность, ^-расположенность влечет ^-расположенность, ^-расположенность влечет ^-расположенность. Нормальная расположенность в смысле Смирнова влечет ^-расположенность. Предложение 1.1. Пусть подпространство Y^sx- {соответственно S-) расположено в нормальном пространстве X. Тогда подпространство Y dx- (соответственно d-) расположено в X. Доказательство. Воспользуемся обозначениями определения 1. Пусть H0 = [F1]xn[f'2]xf Л*=и{#,:*=1> 2, ...}, где Нг, #2, ...— замкнутые в пространстве X множества. Для каждого £ = 1, 2, ... зафиксируем непре- 240
рывную функцию а.: X -> [О, 1], af. |д. = 1, а. | = 0. Такая существует по лемме Урысона в силу того, что Н{(~)Н0С1 Mf)H0= 0. Функция а — 00 = 2 2~*а^: X -> [О, 1] непрерывна, принимает ненулевые значения на множе- стве М и а|я=0. Множество f/ = a_1((0, 1]) является функционально открытым. Как легко видеть, все требования определения 1.2 выполнены, если положить у,- — {£/}, f г= 1, 2, ... Предложение 1.2. Пусть подпространство Y dx- (соответственно а1-) расположено в нормальном пространстве X. Тогда подпространство Y zx- (соответственно Z-) расположено в X. Доказательство. Воспользуемся обозначениями определения 1.2. Достаточно взять в качестве пространства Z определения 1.3 одноточечное пространство. Отображение / при этом определяется однозначно. Каждое функционально открытое множество U £ у пространства X можно продолжить до функционально открытого в пространстве (ЗХ множества U. Семейства [U : U £ у} и {U : U £ yt.}, i = l, 2,. . ., удовлетворяют условиям, налагаемым определением 1.3 на семейства у и у, [1, с. 111, предложение 3]. 2. Монотонность размерности dim Перейдем к формулировке и доказательству основного результата работы. Теорема 2.1. Пусть подпространство Y z-расположено во вполне регулярном пространстве X. Тогда dim [ЗУ < dim X. В силу предложений 1.1 и 1.2 из теоремы 2.1 немедленно получаем Следствие 1. Пусть подпространство Y d-расположено в нормальном пространстве X. Тогда dim [ЗУ < dim*. Следствие 2. Пусть подпространство Y s-расположено в нормальном пространстве X. Тогда dim [ЗУ < dim X. Прямое доказательство следствия 1 идейно мало чем отличается от доказательства теоремы 2.1, хотя обозначения существенно упрощаются. Прямое доказательство следствия 2 намного проще. При доказательстве теоремы 2.1 нам понадобится следующая Лемма 2.1. Пусть Y — замкнутое подпространство нормального пространства X, dim X ^ п, и>={иг,. . ., Ug) — конечное открытое покрытие пространства X, f : Y -+ К — каноническое непрерывное отображение (см. [1, с. 242]) подпространства Y в n-мерный остов полиэдра К нерва покрытия со. Тогда отображение / продолжается до непрерывного канонического отображения / : X -> К. Доказательство. Пусть для у £ У f{(y) — барицентрическая координата точки / (у), соответствующая элементу Ui покрытия со. Имеем: 2 /» = 1» поэтому открытые в У множества V\ = |у : ft (у) > —-[ С U. покрывают подпространство У. В открытое покрытие [U. \(У \ V.): г = = 1, . . ., s) пространства X впишем поэлементно замкнутое покрытие {Flt .. .,F3}. Имеем /. (F.ftY) С [1/2*, 1]. 241
Непрерывно продолжаем функцию fi (сохраняя старее название) сначала на Ft так, что /. (Ft)Q [l/2s, 1], и на X\Ut, /. |х\^. = 0, а затем на X,f{(X)Q[0, 1]. 8 Так как U Ft = X, в любой точке х £ X 8 2м*)>£>о. Пусть / ч fi(x) Пусть g (ж) — точка полиэдра К с барицентрическими координатами gx (х), ..., g8 (х). Очевидно, g: X -> К есть непрерывное каноническое отображение, продолжающее отображение /. Применяя метод спуска [1, с. 244] и учитывая, что dimX^/г, получаем каноническое отображение /, продолжающее отображение /. Доказательство теоремы 2.1. I. Пусть n = dimfiX. Пусть <о* = = {£/*,. . ., СУ*} — произвольное каноническое открытое покрытие бикомпакта (ЗУ, {F*v . . ., F*s} — замкнутое покрытие, поэлементно вписанное в покрытие о>* Такое существует по теореме Чеха [1, с. 113]. Множества F} и (ЗУ\£/}, / = 1, . . .,s, замкнуты в нормальном пространстве [ЗУ и не пересекаются. По лемме Урысона [1, с. 60] они функционально отделимы. Следовательно, множества Fj = F}f\Y и Y\Uj = (flY\U*)f)Y где Uj — Ujf)Y, функционально отделимы в пространстве Y С [ЗУ. И. По определению ^-расположенности для каждого / = 1, . . .,s найдутся метрическое пространство Z,, dim Z, = 0, непрерывное отображение g,: У -> Z,» 00 семейство у (/) = U Т* (/") открытых Fa в пространстве $Х X ^ множеств, не пересекающих множество ([^]рх П [Y \ £/Дзх) X Zy, U Т (/) 2 G, (У), где G,. (г/) = = (У> gj(y))> причем семейство {Грву (У): Г £ уу (/')}, г = 1, 2, ..., локально конечно в подпространстве G(Y). III. Пусть Z--^l[ZJ.,g(y) = (g1(y),...,gs(y))eZ, G(y) = (y,g(y))epXxZ, у^. = (t:j[ (Г): Г £ у (у)}, где тс^.: $Х X 2 -^ |ЗХ X Zy — отображение проектирования, у* = у1Д ... Д ys (см. [1, с. 69, определение 3]), У1 = 6?(У). Семейство у* состоит из открытых Fa в пространстве $Х X Z множеств. Семейство {Г f| Ух: Г £ у*} представляется в виде объединения счетного числа локально конечных в подпространстве Ух семейств вида К1 (Г)П Yx : Г б Т>. (1)} Л • • • Л К (Г)П ^1: Г 6 Ь. (*)}• 00 Пусть у* = U Т*> гДе семейство {ГПУ\:Г£у!} локально конечно в под- г=1 пространстве У1# 1У.ПустьХ1 = [У1Ьгхг,Т = {ГП^1:Гет*},Т.- = (гПХ1:Ге U Т* Имеем: семейство у состоит из открытых /^ в нормальном пространстве Х} множеств, не пересекающих множества Я = Х1п(й([/?у]ехП[Г\#,Ы><я), UT3F1; Ti£T2£Ts£---. 242
для каждой точки у £ Yx найдется окрестность Оу этой точки в пространстве Xv пересекающаяся с конечным числом элементов семейства yt., i = = 1, 2,..., или короче, семейство ^. локально конечно в точках подпространства Yv V. Для каждого Г £ у зафиксируем непрерывную функцию fr:X1-^[Ot 1], для которой Г1 ((0, 11) = Г. Пусть Vj (Г) =f? ((2"у, 1]). VI. Пусть 7г.= и{^(Г):ГетЛ- Пусть для Г£Тш т—1 VII. Пусть М.. есть множество тех точек множества [FJ^ Г) U Tt> кото" рые принадлежат не более / элементам семейства уг VIII. Пусть Л.(Г1, . .., Гг) есть множество тех точек из 1\П ... П^/П rKt^dXt^t-i])» которые не принадлежат элементам семейства yt., отличным от 1\, . .., Г,, если 1\, .. ., Г/(£ у* и 4t. (Г1? . . ., Гг) = 0 в противном случае.. Порядок 1\,. . ., 1\ несуществен, т. е. фактически мы определяем А{ ({Г1,. . ., Г,}).) IX. Имеем [А< (1\, • • ., Г()][Г<юит £ U {^(Г,,, • •., Ttk): {1\, ..., Tik) С {Г1;. . „Г,}}. В самом деле, возьмем любую точку х £ А = [А{ (1\, .. ., rz)]fFt.]nUT.. Если найдется Г £ ^ \ {1\, . . ., Г,}, Г Э #> то Г есть окрестность точки х, не пересекающаяся с множеством Лг. (1\, . . ., Г,), и поэтому любая точка х £ Л не принадлежит элементам семейства ур отличным от 1\, . . .,Г,. Пусть / = min (i: x£[FJ}. По сказанному {Г:Г£.уу, ГЭж} = {Г^, ... ..., Fik) С {1\, . . ., rj и ж^Л^. (Г41, . . ., Гг>), что и утверждалось. X. Множество A. (v . . ., Г,) открыто в подпространстве Л (в обозначе- ниях IX), ибо Л<(Г1,...,Г,) = (Л\[У^])ПГ1П ... ПГ,. XI. Будем пользоваться терминологией [1, с. 242]. Построим каноническое отображение / множества иии{^(Г1,...,Г1):Г1,...,Г16тЛ t=l 1=1 в /г-мерный остов полиэдра Л7 нерва покрытия со (отождествим временно Y с Yx по гомеоморфизму G). Считая, что Л(0) = 0 предположим отображение / первоначально заданным на этом множестве. Будем последовательно доопределять отображение /. Зафиксируем числа гит. Пусть мы задали отображение / на всех множествах вида Aj(Yv . . ., Г,) для a) j<C.i и б) j = i и 1<^т таким образом, что оно непрерывно на множествах вида [Aj(Tv . . ., 1\)]|ту1пит.. Сейчас мы продолжим это отображение на множество вида А* = At (1\,..., TJ. Как мы установили в X множество A = [^4*][yt-]nur- лежит в множестве Очевидно, множество А замкнуто в подпространстве I\ |J ... \JTm, являющемся Fa подмножеством пространства Хг. Таким образом, подпространство А нормально. По XI множество Л\Л* замкнуто в пространстве А. По X множество Л\Л* покрыто конечным числом множеств вида [Aj (1\, . .., Г*,)], где либо /<]г, либо j = i и 1<^т. По индуктивному пред- 243
положению отображение / задано и непрерывно на множествах такого вида. Таким образом, отображение / задано и непрерывно на объединении этих множеств—это следует из [1, с. 26, предложение 9]. По лемме 2.1 мы продолжаем отображение / на множество А*. Нам осталось заметить, что при фиксированных i ит различные множества вида Ai (1\, . . .,Гш) не пересекаются и, таким образом, отображение / задано корректно. XII. Покажем, что отображение / задано на всем подпространстве Yx и непрерывно на этом подпространстве. Возьмем произвольно у £ Yv По IV найдется элемент Г некоторого семейства у7,, содержащий точку у. По V при некотором / где г = тах {/, к). По IV найдется окрестность Ог/С! Fy (Г) С V\ точки г/, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов семейства уГ Пусть Оу пересекается лишь Теперь заметим, что Оу не пересекается с множеством вида А (Гг-х, . .., IY), если а) p>i (ибо OyCVt)9 б) /><* и {Г,х, ..., Г,г}\{1\, ...,rj = 0 (ибо Ap(ril9...,Tif)Q £ Vtl П • • • П 1\). Таким образом, число множеств вида Ар (1\, . . ., Г,- ), с которыми пересекается множество Оу, конечно. Замыкания этих множеств в пространстве [FJ П U Т* обозначим Av . . ., Аг. Имеем Оу П Yx С Л U . • • U Аг. Множества А. П Yv i = l, . . ., г, замкнуты в подпространстве Yx и покрывают открытое множество Оу f| Yr В силу того что отображение / определено и непрерывно на множествах А. П Yv оно определено и непрерывно на множестве О у П Y19 из чего сразу следует требуемое. XIII. Отображение f' — fG:Y->N отображает пространство Y в /г-мерный остов Nn полиэдра 7V, являющийся компактом. По [1, с. 107, теорема 12] существует непрерывное отображение /" : [ЗУ -> Nn, продолжающее отображение /'. В силу каноничности покрытия со отображение /" является каноническим. Таким образом, по произвольному каноническому покрытию со мы построим со-отображение в /г-мерный компакт. Поэтому dim fiY ^ /г. Теорема доказана. 3. Счетные спектры Рассмотрим счетный спектр (*) 3^ ^ Х2 <-^- Х8 <- ..., состоящий из вполне регулярных пространств. Пусть X — предельное пространство спектра, р.: X -> Х{ — предельное отображение. Спектр (*) порождает спектр (*•) № £- (ЗХ, £■ рх3«- ..., 244
предельное пространство ЬХ которого является бикомпактным расширением пространства X, Вложение Х<-*ЬХ порождено морфизмом спектров *, - Хг -* Хз * Ч ] 1 1 рх,*— рхг -— рл3 -*—■■• Предельное отображение ЬХ -> $Х{ обозначим q{. Теорема 3.1. Пусть пространства Xif i = l, 2, . . ., нормальны и спектр (*) удовлетворяет условию: (* * *) для любого счетного открытого покрытия со пространства X найдутся такие замкнутые подмножества Fik (Z Xi9 что семейство {jgt1 (FiJc): i? /с == 1, 2, ...} является замкнутым покрытием пространства X, вписанным в покрытие со. Тогда пространство X s^-вложено в ЬХ. Доказательство. Рассмотрим произвольные замкнутые непересекающиеся множества Н1 и Н2 пространства X. Т. Пусть / = 1 или 2. По [1, с. 143, предложение 1] для любой точки х£Х\Нj найдется индекс i = i(x) и открытое в пространстве Xi множество V (х), для которого р~1 (V (х)) С X\HJt Пусть W{j = \J {pjl(V(x)): 00 i(x) = i). По сказанному Х\Нj=\JWtj. i = \ II. Воспользуемся условием (***), взяв в качестве со покрытие {W..: i = l, 2 / = 1,2}. III. Для каждых i, /с = 1,2, ... зафиксируем число a (i, к) = 1, 2, для которого найдется |3 (£, к) = 1, 2, . . ., IV. Множества p^{Fik) и ^)Ш<)Л)СХ являются полными прообразами соответственно замкнутого и открытого в пространстве X • множеств при отображении pj для любого j ^ у (i, &) = тах (i, |3 (г, /с)}. V. Пусть Fik=p^(F}k), Vik = Pl(W^, где <х = <х(*, Л), P = p(i, ft), Y = y(&, /с). Имеем К* С Vik, [F*k]^ П [Хт \ У1к]щ = 0, [^J*xC9-»([XT\Frtbi7)- Отсюда следует ?71([^*]?x7)D[^j« = 0. Пусть ^ = gT-1([^K). Имеем fSfl [#„]«= 0- Далее, Я1ПХ = = P?(F**) = P71(Fik). Но II СО СО 00 U /«2 U (FffcnX)= U Р71 (*■«) = *. 00 Таким образом, для М= \J F**k *, &=i XQM, Mf] [HJbx П [tfj** = 0. Теорема доказана. 245
Из теоремы 3. 1, следствия 2, теоремы 2. 1 получаем Следствие. Пусть пространства Xif i = 1, 2, . . ..нормальны, dim Х.^п и спектр (*) удовлетворяет условию (***). Тогда dim Х^ га1. Отметим, что следствие охватывает все случаи, в которых спектр (*) изучался с точки зрения оценки размерности предельного пространства (см. обзор [15]). 4. Произведения Нагаты-т-Пасынкова Подмножество W произведения X = Ц {Ха: а £ А) назовем тихоновским, если W = Ц{ил:а^А} и для некоторого конечного подмножества А0 С А множество [7Л функционально открыто в пространстве ХЛ при а£ А0 и Ua = = Ха при а£Л\Л0. Определение 4.1. Произведение X = XI {Ха: а ^ Л} назовем произведением Нагаты—Пасынкова, если для любого конечного (достаточно: двухэлементного) функционально открытого покрытия ш пространства X найдется а-локально конечное покрытие у пространства X, вписанное в покрытие со и состоящее из тихоновских множеств. Для конечного числа сомножителей это понятие совпадает с понятием прямоугольного произведения Б. А. Пасынкова [8, 9], для конечного числа нормальных сомножителей — jF-произведения Ж. Нагаты [7]. Теорема 4.1. Пусть X —XI (J£a: а£ Л} — произведение Нагаты— Пасынкова вполне регулярных пространств. Тогда пространство X ^расположено в произведении Д{[ЗХа:а£Л}. Доказательство этой теоремы вполне тривиально. Оно состоит из следующих замечаний. Каждое тихоновское подмножество W произведения X = XI {Ха: а £ А} продолжается до тихоновского подмножества W произведения ЪХ = XI {Р^а • :ol£A}. Если семейство у тихоновских множеств локально конечно в X, то семейство их продолжений {W : W £ у} локально конечно в точках X С ЪХ — это следует из плотности X в ЪХ. Если F0 и Fx — функционально отделимые подмножества пространства X и /:Х->[0, 1] — функция, их разделяющая: /|^=0, f\F=l, то по определению 4.1 найдется а-локально конечное покрытие у пространства X тихоновскими множествами, вписанное в покрытие {/_1(f0, 2/3)), /"^((Vs» !])}• Теперь если W£T и WCf^[О, 2/3)), то \Vf]F1 = 0 и1?П1^]и = 0; если W^ и WQr((% lj), то WniF2]bx=0. Из отмеченных свойств следует выполнение всех требований определения 1.2. В качестве следствия теорем 2.1 и 4.1 и предложения 1.2 получаем. it Теорема Пасынкова [8, 9]. Пусть ^ = ЦДг есть произведение Нагаты—Пасынкова. Тогда dimX^2 dim Х^. В статье Б. А. Пасынкова [9] указан ряд случаев, когда произведение (конечного числа сомножителей) является произведением Нагаты—Пасынкова. 1 Отметим, что ^расположенное подпространство нормального пространства нормально. 246
Из одной теоремы Б. С. Клебанова [15, 17] следует, что произведение метрических пространств (в любом числе) является произведением Нагаты— Пасынкова. Здесь мы установим более общий факт. Теорема 4.2. Пусть Ха, а£Л,— паракомпактные р-пространства. Тогда произведение ^ = П{^а:а£Л} является произведением Нагаты— Пасынкова. Доказательство будет использовать конструкцию Гулько [2], Комбарова [6] и Клебанова [5, 17]. Пусть F0 и F1 — функционально отделимые замкнутые подмножества пространства X, g:X->[0, 1] — отделяющая их непрерывная функция gL=0, g|F=l. Возьмем произвольно е ^> 0. Будем считать, что для любого а.(*А I. Для каждого а£А зафиксируем некоторое метрическое пространство Уа, |Уа|^2 и совершенное отображение /а: Ka-^Ya. Такие существуют [14]. Пусть / = Ц {/а: а£ А). Отображение / совершенно [16, с. 348, задача 31]. II. Для каждой точки у={уа:а^А) можно указать такое конечное подмножество А(у) (Z А, что для х1 = {х1а:'*£А), х2 = {х2а : а £ А), х1 = х1^К1(Уа) ПРИ а€А(У) выполнено | g (х1) — g (х2) | <^ е. III. а) Пусть множеству И7 С У поставлено в соответствие такое конечное множество A0(W)(ZA, что W = U X Ц {Y а: а £ А\А0 (И7)}, где 17 = = U (W) т^ 0 — открытое в произведении JJ {Ya: а £ А0 (W)} множество. б) Если такие точки х1 (W) и х2 (W) найдутся, зафиксируем Ж1 (W) = {х\ (W):*£A}£ Г1 (W), х2 (W) = {х\ (W): a £ А} £ Г1 (И7), х\ (W) = х\ (W) при а G A (W), | g (х1 (W)) - g (x2 (W)) | > e. в) Если таких точек нет, возьмем произвольно x1(W)=x2(W)£f-1(W). IV. Для каждого конечного подмножества 40Ci зафиксируем а-локально конечную базу $(А0) пространства П {Уа' а (: Л0). V. Каждому множеству W, удовлетворяющему условию а) пункта III, поставим в соответствие семейство l(W) = {T(B) = B XlI{Ya:a£A\A'0(W)), BW(A'0(W)), Г(В)СЙ'), где A'0(W) = A0(W) \jA(f(x*(W))) (J A (f(x2(W))). Семейство у (W) а-локально конечно в пространстве Y и его элементы удовлетворяют условию а) пункта III, если положить А0(Т (В))=. Ar0(W). Имеем: \J^(W) = W. VI. Пусть ^ = {7}, Ло(7) = 0 и для и = 1, 2, ... уя+1 есть объединение всех семейств вида у (И7), где w=w1r\...c\wk, Wv ..., Wk£U ь, i=l A0(W) = MW1)\j...\jA0(wk). Семейства уя, /г = 1, 2, . . ., и у=и{уя:^ = 1, 2, ...} о-локально, конечны 247
Возьмем у = {уа : а £ А) £ F. Семейство у (г/) = {Г : у £ Г £ у} не более чем счетно, поэтому не более чем счетно и множество А*= (J {А0(1л): Г £у(г/)}. Зафиксируем такую счетную базу {04у*:i — l, 2, ...} точки г/*={г/а:а^4*} в метризуемом пространстве Y* = Ц {Уа: а £ Л*}, что множество 0г.гД £ = 1, 2, . . ., имеет вид где ^4* — конечное подмножество множества Л*, £/*=£Уа— открытое подмножество пространства Га. Построим последовательность {Г\ : г = 0, 1, 2, . ..} элементов семейства f(y)t Т<СО(у'хП.{¥и:а£А\А'}, Г0 = Г, и последовательность {Г*: г = 0, 1,2, ...} множеств пространства У*, Г*=У. Пусть мы построили Г0, .. ., Tt_v Г*, . .., Г*_1; построим Г,, и Г*. Пусть A* = {av ..., ак}, ау6Л(^/). /6^убтяу при /=1, ..., к. Wk+1 = Гм G Т„,+1, ^ = И^ П • • • П Wk+1, n = max {п,, . .., пк+1}. Имеем T^Cu, WQTf_ly A0(W)^>A*. Множество G = II{^:«6^xII{Ire:«6^(Wr)\^} является окрестностью точки у' = {г/а: а £ Л^ (И7)} в пространстве У = = 11 {Га: а£ Aq(W)}. В соответствии с IV и V найдется В £ (3 (Л^ (W)) такое, что y'GBQG и Г, = Г(Я)ет(ИЧСТ#+1. Имеем Г,- С JF С Г,._1; Г.. = Г (В) = Я X П {Fa: a G 4\4J (W)) С ССхП{^:«еА^(П = П№:«6^}Х Пусть Г* = Я X П (Y. ■ <* б ^*\Л; (И7)} (отметим, что 4* Э А0 (Г.) = ^ (W), поэтому наше определение корректно). Имеем Г* С 0{у*, поэтому семейство (Г*:г = 1, 2, ...} составляет базу в точке у* £ У*, отсюда в силу условия U\ =£* Yл для любого a £ Л следует, что иМо(Г,):*=1, 2, ...} = 4*. VII. Пусть у* — множество тех элементов семейства у, в которых нет пар точек, удовлетворяющих условию б) пункта III, (Г\ :/=0, 1, 2, ...} — последовательность, построенная в пункте VI, х = {ха: а£ А) £/-1 (у). Покажем, что f f| {I\: / = 0, 1, 2, .. .} =^= 0. Допустим противное. Тогда для любого £ = 1, 2, ... множество 1\ удовлетворяет условию б) пункта III. Воспользуемся обозначениями пункта III и описания множества Г\ в пункте VI. Множество W Z) 1\ также удовлетворяет условию б). Пусть х1 (i) = {х\ (i) :а£А} = х1 (W), х2 (*) = {а£ (*): a £ Л} = я2 (W). Имеем ^(о. «,(оег1(и?)£/-1(г„), /) (/ (у (*))) и л (/ (Ж2 (о» с л; (^)=а0 (г,.) с л*. 248
Пусть для i —1, 2, . . ., I = 1, 2, f x4i) при afi*, Имеем {/a (#£ (/)): a £ Л*} £ Г*_1Г поэтому последовательности {/ (xl (i)): i = 1, 2, ...}, Z = l, 2, сходятся к точке г/ £ У и в силу совершенности отображения / множества Mv М2 С f'1 (у) предельных точек последовательностей {xl (i): ь = 1, 2, . ..} непусты. Возьмем произвольно я1 = {я*: а £ А) £ Мх и окрестность G = XI {^-Ti : a б А} X II {Xa: a £ Л\ЛХ) этой точки, где Л± — конечное подмножество множества А, Ох\ — окрестность точки а££ Za. Пусть натуральное число /г0 таково, что ^ П A* CZ А0(ГПо). Так как точкам1 предельна для последовательности {жх (г): * = 1, 2, ...}, то при некотором п ^ по + 1 найдется точка ж1 (/г) £ G. Но ^ (/г) = х* (п) при a £ Л0 (Г„о) |J (Л\Л*), поэтому х2 (п) £ G. Таким образом, точка х1 оказывается предельной для последовательности {x2(i):i=l, 2, ...}. С другой стороны, ^(ж1^))— g" (ж2 (*)) | ^ е и, таким образом, функция g разрывна в точке х1, что противоречит первоначальному предположению о ее непрерывности. Полученное противоречие доказывает сформулированное в начале пункта VII утверждение. VIII. В силу VI и VII имеем \jf=Y. IX. Перейдем теперь к завершению доказательства теоремы. Положим в =1/4. Для каждого элемента W £ у* отметим yo(W)={y0AW):*eA}£W. Пусть для у = {уа: a £ Л0 (W)} 6 П {Га: а б А> (Ю) Пусть УоАЮ, *£A\A0(W), У., *£An(W). В силу III и определения у* в VII Т? = W0 X П (Ха: а б Л\Л0 (W)} с Х\^, # = И\ х П (X.: а б Л\А (ИГ)} С X W Кроме того, W=W\jffi. Нам осталось теперь заметить, что семейство {W : W £ у*} (J {1^ : ТУ £ у*} состоит из тихоновских множеств и является а-локально конечным покрытием пространства X, вписанным в (двухэлементное) покрытие {X\F0, X\F±}t В силу произвольности функционально отделимых замкнутых множеств F0 и Fx (= произвольности двухэлементного функционально открытого покрытия) это означает, что произведение JX {Ха: a Е А) является произведением Нагаты—Пасынкова. 249
5. Об одной теореме Э. Поль В [11] Э. Поль получила следующий результат. Теорема (Э. Поль). Пусть X = 21 (^: а Е ^4}> г^е все пространства Ха, а £ 4, метризуемы и все конечные подпроизведения не более чем п-мерны в смысле dim. Тогда dimpX<>. В этом разделе мы получим эту теорему как следствие теорем 2.1 и 4.2, а заодно и обобщим ее. Прежде всего отметим. Предложение 5.1. Пусть f : X ->Y -— непрерывное отображение пространства X в пространство Y, X0ClX, f \х : Х0 -> У — (топологическое) вложение, подпространство f (Х0) d-рас положено (соответственно z-располо- жено) в пространстве Y. Тогда подпространство XQ d-рас положено (соответственно z-расположено) в пространстве X. Доказательство тривиально. Достаточно рассмотреть прообразы семейств, характеризующих ^-(соответственно Z-) расположенность / (Х0) в Y в соответствии с определением 1.2 (соответственно 1.3). Непосредственным следствием предложения 5.1 является Теорема 5.1. Пусть вполне регулярное пространство X d-располо- жено (соответственно z-расположено) в своем бикомпактном расширении ЬХ. Тогда X d-расположено (соответственно z-рас положено) в любом своем большем бикомпактном расширении. Следующая теорема является обобщением теоремы Э. Поль. Теорема 5.2. Пусть X = JJ {Ха: а £ А), где все пространства Ха, а £ А, являются паракомпактными р-пространствами и все конечные подпроизведения не более чем n-мерны в смысле dim. Тогда dim(3X<rc. Доказательство. Пусть В есть множество конечных подмножеств множества А, 3^=Ц {Ха: а £&}, Z6 = JQ {|ВХа: а £&}, где 6£J5, для b(Zc, Ъу с£В, ксЬ: Yc -> Yb, pcb: Zc-> Zb — проектирования на подпроизведение. Пространство X является пределом спектра s={T6, тгс6}, пространство Хх = JI {fiX^: а£ А} — пределом спектра s1^={zb, pcb}. Предел спектра s2 = — {^b, facb) обозначим Х2. Вложения fb:Yb<-> $Yb порождают морфизм / спектра s в спектр s2, существующие по [1, с. 107, теорема 12, п. 3] отображения gb\$Yb-> Zb — морфизм g спектра s2 в спектр sv Морфизмы спектров порождают отображения Г:Х^Х2 и g:Xa^X1 предельных пространств, причем / ; X -» Х2 и gf : X -> Хх являются вложениями в бикомпактные расширения. В силу наличия отображения ^ расширение Х2 больше расширения Xv По теореме 4.2 пространство X d-вложено в расширение. Xv По теореме 5.1 отсюда следует, что пространство X d-вложено в расширение Х2. Для элементов бикомпактного спектра s2 имеем dim Zb ^ п, поэтому dim Х2 ^ п. По теореме 2.1 dim {ЗХ ^ п. 250
ЛИТЕРАТУРА 1. Александров П. С, Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973. 2. Гулъко С. П. О свойствах множеств, лежащих в 2-произведениях. — ДАН GGGP, 1977, 237, № 3, с. 505—508. 3. Dowker С. Л. Local dimension of normal spaces. — Quart. J. Math. Ser. 2, 1955, 6, N 22, p. 101—120. 4. Золотарев В. П. Размерности подпространств. — Вестн. МГУ. Сер. мат., 1975, № 5» с. 10-12. 5. Клебанов Б. С. О факторизации непрерывных отображений произведений топологических пространств. — В кн.: Тезисы IV Тираспольского симл. по общей топологии и ее приложениям. Кишинев, 1979, с. 60—62. 6. Комбаров К. П. О тесноте и нормальности 2-произведений. — ДАН СССР, 1978, 239, № 4, с. 775—778. 7. Nagata /. Product theorems in dimension theory. — Bull. Acad, polon. sci. Ser. math., 1967, 15, N 7, s. 439-448. 8. Пасынков Б. А. О размерности произведений нормальных пространств. — ДАН СССР, 1973, 209, № 4, с. 792-794. 9. Пасынков Б. А. О размерности прямоугольных произведений. — ДАН СССР, 1975, 221, № 2, с. 291—294. 10. Pol Е., Pol R. A hereditarily normal strongly zero-dimensional space containing sub- spaces of arbitrarily large dimension. — Fund, math., 1979, 102, N 2, p. 137—142. 11. Pol E. On the dimension of the product of metrizable spaces. — Bull. Acad, polon. sci. Ser. math., 1978, 26, N 6, s. 252-534. 12. Смирнов Ю. M. О нормально расположенных множествах нормальных пространств. — Мат. сб., 1951, 29, с. 157—172. 13. Филиппов В. В. О размерности нормальных пространств. — ДАН СССР, 1973, 209, № 4, с. 805—807. 14. Архангельский А. В. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства. — Мат. сб., 1965, 67, № 1, с. 55—88. 15. Пасынков Б. А., Федорчук В. В., Филиппов В. В. Теория размерности. — В кн.: Итоги науки, 1979. М.: ВИНИТИ, т. 17, с. 229—306. 16. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974. 17. Клебанов Б. С. Непрерывные образы тихоновских произведений метрических пространств: Канд. дис. М.: МГУ, 1980.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Ю. ФЛАКСМАЙЕР (Грайфсвальд, ГДР) ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОЛУПОЛЯ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Введение Первоисточником топологии является геометрия, но с самого начала она была связана с вопросами аналитического и алгебраического характера. Те математические объекты, где встречаются алгебра, топология и теория структур, представляют особый интерес. После того как Ленинградская школа функционального анализа во главе с Л. В. Канторовичем выдвинула теорию векторных структур, в Ташкенте за последние 20 лет был разработан новый тополого-алгебраический объект с заданным упорядочением. М. Я. Антоновский, В. Г. Болтянский и Т. А. Сарымсаков, опираясь на созданное ленинградцами, разработали теорию топологических полуполей. Автор на одной из Всесоюзных конференций по топологии слушал доклад по этой теории еще в ранней ее стадии развития. С тех пор его интерес к топологическим полуполям, особенно в последние 6 лет, принял более определенные формы. Сегодня эта теория разработана во многих направлениях. Сведения о развитии до 1966 г. дает обзорная статья [4]. В особенности Т. А. Сарымсаков со своей исследовательской группой занимался топологическими полу- полями в связи с теорией вероятностей. Одной из причин введения понятия топологических полуполей было желание абстрактного описания редуцируемого пространства измеримых функций на единичном интервале. Уже в 40-е годы было найдено, что всякая полная по Дедекинду векторная решетка изоморфна фундаментальному подпространству пространства функций Cqo (X) над пространством Стоуна X. В частности, топологические полуполя являются решетками, полными по Дедекинду. Спрашивается, сохраняются ли при этом алгебраические и топологические структуры топологических полуполей. Антоновский—Болтянский— Сарымсаков дали на этот вопрос положительный ответ. Какие X среди пространств Стоуна соответствуют топологическим полуполям? Полной ясности структуры X до сих пор нет. В 1974 г. нами была высказана гипотеза, что это именно гиперстоуновы пространства. В дальнейшем, используя другие работы, мы это объясним подробнее. Мы здесь не остановимся на приложениях топологических полуполей (см., например, [25, 1, 2, 19, 20]). 1. Предварительные сведения о псевдонормах на пространствах Рисса и на булевых алгебрах Функция расстояния р : ZxZ -^ Л на множестве, удовлетворяющая свойствам р(*» У)>0> Р(*. я) = 0, (1) 252
Р(я, У) = Р(У, ж), (2) Р(х, У)<р(ж, z) + p(z, г/), (3) называется предметрикой. Известно, что для топологических векторных пространств Е следующие условия равносильны: (РМ) Топология на Е инвариантно предметризуема. (Аг) Топология на Е удовлетворяет первой аксиоме счетности. PN) Существует такая псевдонорма р на Е, что е-окрестности vg = = {x : р (х) <С е} образуют базис окрестностей нуля. При этом псевдонорма на векторном пространстве является действительной функцией со следующими характерными свойствами: (PNJ />(*)> 0, р(0) = 0, (PN2) р(х) = р(-х), (PN.) р(х + у)^р(х)-\-р(у), (PN4) р(кх)->0, если X ~> 0 и если р(х)->0. Функционалы такого вида обозначаются в литературе по-разному, так, например, часто употребляется обозначение .F-норма (см., например, Кёте [21], только условие (PNX) усилено: р (х) ^ 0 и р (х)=0 о х=0, а у Иосида [34] можно найти обозначение «квазинорма»). Фрешлин [17] называет функционалы р : Е -> R на пространствах Рисса ( = векторные решетки) со свойствами (PNi)—(PN4) и (MPN) | х | ^ | у | => р (х) ^ р (у) псевдонормами Рисса. В дальнейшем мы будем такие функционалы называть монотонными псевдонормами. Замечание. У Фрешлина условие (PNJ выступает в следующей модифицированной форме: (PN^) р (Хж) --> 0, если X -> 0, но из (MPN) и (PN^) вытекает (PN4). s-шары V$ при заданной монотонной псевдонорме р на пространстве Рисса Е обладают следующими фундаментальными свойствами: (1) каждое V£ телесно, т. е. |ж|^|г/|, y(*V=>x£V£; (2) F,cF8, если 0<е<8; (3) Vs+Ve<V2e; (4) aVe(zVe для всех |а|^1; (5) каждое V£ является поглощающим. Отсюда вытекает, что индуцированная монотонной псевдонормой топология на пространстве Рисса Е локально телесна г. (Локально телесные топологии всегда согласуются со структурой векторной решетки.) Замечание. Пусть U — поглощающий телесный шар в векторной решетке. Функционал Минковского ри (:r) = inf {а | а > 0, х £ all) всегда удовлетворяет условиям (PN-J, (PN2), (PN4) (даже ри(ах)=\ а \ри (х)). Условие (PN3) может не выполняться! Рассмотрим, например, на векторной структуре R2 с лексикографическим порядком следующее, изображенное на фигуре. Условимся, что от топологии на векторном пространстве всюду требуем согласованности с линейной структурой. — Примеч. пер. 253
Для # = (1, 0), г/ = (0, 1) имеем Ра (Х+У) = Ри (xVy) = 3, Ри (х)=1, ри (у) = 1. Верхняя грань локально телесных топологий на векторной решетке опять есть локально телесная топология. По аналогии с ситуацией в теории локально выпуклых топологических векторных пространств справедлива Теорема 1. (Фрешлин [17, § 22]). Пусть Е — векторная решетка. Каждое семейство Р монотонных псевдонорм р на Е порождает локально телесную топологию О на Е 0 = вщ{0(р):РеР}. Каждое р £ Р непрерывно относительно О. Наоборот, для каждой локально телесной топологии О на Е существует семейство Р О-непрерывных монотонных псевдонорм р такое, что 0= =sup {О (р) : р £ Р). Функционал q : В -> R, где В — булева алгебра, назовем монотонной булевой псевдонормой, если выполнены следующие свойства: (MBPNJ (<?(&) >0, <?(0) = 0; (MBPN2) q (а ЕБ Ь) < q (а) + q (Ь) (ЕВ сложение в соответствующем булевом кольце) (MBPN3) а < Ъ z> q (а) < q (6). Очевидно, что следующие требования эквивалентны: (1) q : В -> R является монотонной булевой псевдонормой: (2) q : В -> R является субмерой, т. е. (SMJg^^O, q(0) = 0, (SM2) q(a\/ b)^q(a)-\-q (b) (конечная субаддитивность), (SM3)a<6=>g(a)<g(6). Если в булевой алгебре а имеет место a-субаддитивность, то q называют внешней мерой (см.: Семадени [30]). Пусть X — пространство Стоуна булевой алгебры В, !X"=spec (В), С (X) — пространство всех непрерывных действительных функций на X. Тогда В изоморфна булевой алгебре всех идемпотентов С (X). Для каждой монотонной псевдонормы р на С (X) его след, функционал q=p \в, есть монотонная булева псевдонорма на В. Обратный вопрос о продолжении субмеры на В до монотонных псевдонорм на С (X) рассматривали С. Бандт и В. Петере (см. [5]). Топологию на булевой алгебре назовем совместимой, если операции ЕВ и и в соответствующем булевом кольце (равносильно тому, что операции \/, Д, 'в булевой алгебре) непрерывны. . . По аналогии с пространствами Рисса совместимую топологию на В назовем локально телесной, если существует базис окрестностей нуля из телесных множеств U: a^b£U^a£U. (Подробнее о таких топологиях, в частности о соответствии локально телесных топологий на В к некоторым локально телесным топологиям на С (X) см.: Флаксмайер [12].) Мы отметим здесь следующее предложение: Теорема 2 [13]. Пусть В — булева алгебра и О — топология на В. 254
Тогда 1. О является локально телесной топологией. О порождается некоторым семейством Q непрерывных монотонных булевых псевдонорм 0 = Suv{0{q):q£Q). О при этом является хаусдорфовой топологией тогда и только тогда, когда Q является разделяющим семейством (т. е. для Ъ ^> О существует такое q б Q, что q (Ь) > О). 2. О является метризуемой локально телесной совместимой топологией. Существует строго положительная монотонная булева псевдонорма (= строго положительная субмера) q на В такая, что 0=0 (q). Замечания. 1. Данное в [13] доказательство использует теорию представления В через С (X), теорему о соответствии из [12] и теорему 1 Фрешлина. В. Петере в своей диссертации (университет Грайфсвальд) дал прямое доказательство этого факта. 2. Монотонные булевы псевдонормы делают умножение в булевом кольце непрерывным. Монотонные псевдонормы на С (X) не всегда делают умножение в С (X) непрерывным. Пример. Пусть X=aN — Оикомпактификация Александрова натурального ряда N, 00 \i. = "S^on, 8 г —мера Дирака в точке п. 71=1 р (/) = \ fd[i, р: С (X) -+ R является монотонной псевдонормой. X Если /, = у/25" • 1 {„>, то р (/„) = 1/2", но р (ft) = 1. 2. Понятие топологического полуполя и АБС-алгебры Грубо говоря, топологические полуполя в смысле М. Я. Антоновского, Б. Г. Болтянского и Т. А. Сарымсакова (АБС) — это структурно упорядоченное топологическое кольцо с достаточно многими обратимыми положительными элементами. Хотя оригинальные аксиомы Антоновского — Болтянского — Сарьшсакова не основываются на понятии действительного числа, каждое полуполе содержит действительные числа в качестве своей так называемой оси. Нам кажется удобнее заменить оригинальные аксиомы следующей эквивалентной системой аксиом. Топологическое полуполе — это частично упорядоченный тополого-ал- гебраический объект S = (S, +, •, ^ , О), который удовлетворяет следующим условиям: (1) (5, +, •) — это коммутативная действительная алгебра с единицей; (2) (5, +, •, ^ ) — полная по Дедекинду упорядоченная алгебра. (Значит, в частности, полная по Дедекинду векторная структура.); (3) (5, +, •, О) — топологическая алгебра с хаусдорфовой топологией О; (4) положительный конус {х £ S : х ^ 0} является замыканием множества К всех положительных обратимых элементов. (К, •), кроме того, является группой и имеет место К + с\(К)с:К; 255
(5) в булевой алгебре Idem (S) всех идемпотентов справедливо (6) топология О локально телесна; (7) для всякой окрестности нуля V в S существует окрестность нуля в S, для которой (Idem Sf]U) S С V. Это означает, что всякая окрестность нуля Fb5b определенном смысле поглощает равномерно относительно идемпотентов. Моим студентом А. Фроелихом дано тщательное доказательство эквивалентности обеих систем аксиом [18]. Мы не остановимся на этом чисто техническом и довольно длинном доказательстве. Булева алгебра Idem (S) всех идемпотентов топологического полуполя S называется подлежащей топологическому полуполю булевой алгеброй. Она полна по Дедекинду. Операции Д и \/ в Idem (S) определяются операциями в S. Дополнение определяется следующим соотношением Ь' = 1— Ь. Операции ЕВ и и в булевом кольце, соответствующие Idem (S), зависят от операций в S следующим образом: ашЬ = а -J-Ь — 2ab, аЕ\Ь = а - Ь. Топология О полуполя делает Idem (S) хаусдорфовой локально телесной топологической булевой алгеброй. Требование (5) означает, что топология упорядочения в ней слабее, чем топология О. При этом топология упорядочения — это наиболее слабая топология Т, удовлетворяющая ха -> х => ха -> х. Те множества, которые о т замкнуты относительно сходимости упорядочения — это как раз замкнутые множества относительно топологии упорядочения. Надо иметь в виду, что сходимость относительно упорядочения и сходимость относительно топологии упорядочения не совпадают. Вообще существует больше обобщенных последовательностей, сходящихся относительно топологии упорядочения, чем относительно упорядочения. По этому поводу возникают известные трудности в связи с топологией упорядочения (см., например, Флаксмайер [И] и Владимиров [31]). Под АБС-алгеброй мы понимаем топологическую булеву алгебру В, удовлетворяющую следующим условиям: (1) В полна по Дедекинду; (2) топология на В хаусдорфова, локально телесна и сильнее топологии упорядочения. Антоновский—Болтянский—Сарымсаков доказали, что АБС-алгебры — это в точности булевы алгебры, которые подлежат топологическим полу- полям. Из теоремы 2 получаем следующее утверждение. Теорема 3. Пусть В — полная по Дедекинду булева алгебра. Для того чтобы существовала топология, относительно которой В является АБС- алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы на В существовало разделяющее семейство Q монотонных булевых псевдонорм q, которые О-непрерывны, т. е. (ОС) ba-^b=>q(ba)^q(b). 256
Каждое такое семейство Q определяет соотношением 0 = sup {О (q) : q £ £ Q) некоторую АБС-топологию на В. Замечание. Условие непрерывности (ОС) равносильно непрерывности относительно топологии упорядочения. Последнее имеет место для всякого отображения упорядоченного множества в топологическое пространство. Для монотонных булевых псевдонорм q (ОС) может быть заменено на следующее равносильное условие: (DOC) ba 10 (т. е. монотонно убывает и inf ba = 0) => q (fej j 0. 3. Алгебры с субмерой Магарам, АБС-алгебры, гиперстоуновы алгебры и спектральные алгебры Под алгеброй с мерой понимается а-полная булева алгебра В, на которой определена строго положительная а-аддитивная мера v. Очевидно, что В автоматически полна по Дедекинду и v даже вполне аддитивна, т. е. для всякого семейства {bj попарно дизъюнктивных элементов В справедливо v (sub& ) = 2 v ^«)' ^ своеи работе [23] Магарам доказал, что метризуемость а топологии упорядочения полной по Дедекинду булевой алгебры В тесно связана со свойством В обладать мерой. Точнее имеет место [23]: топология упорядочения на В метризуема тогда и только тогда, когда существует на В строго положительная 0-непрерывная субмера I (=0-непрерывная монотонная булева псевдонорма в смысле [23]). Мы назовем полную по Дедекинду булеву алгебру J5, на которой определена строго положительная 0-непрерывная субмера v, алгеброй с субмерой Магарама. Знаменитая проблема Магарама состоит в следующем до сих пор не решенном вопросе: Совпадают ли следующие два класса: алгебры, на которых существует мера, и алгебры, на которых существует строго положительная 0-непрерыв- ная субмера? Для класса атомарных полных булевых алгебр, т. е. для алгебры.всех подмножеств Pow (М) непустого множества М, ответ положителен, что легко устанавливается. Алгебра, на которой существует магарам-субмера, удовлетворяет условию Суслина (= счетность дизъюнктных цепей (ССС)) [23]. Поэтому если на Pow (М) существует магарам-субмера, то card М ^ $0. На таких алгебрах конечно существует строго положительная мера! Из теоремы 2 (2) и теоремы 3 следует эквивалентность свойств (1) и (2) в следующем утверждении: Теорема 4. Пусть В — полная булева алгебра. Тогда следующие свойства эквивалентны: (1) на В существует магарам-субмера; (2) существует метризуемая АБС-топология на В; (3) В — носитель АБС-алгебры и удовлетворяет условию Суслина. Если выполнены эти условия, mojia В существует единственная АБС- топология, а именно топология упорядочения. Замечание. Эквивалентность свойств (1) и (3) была высказана в [28] Т. А. Сарымсаковым и А. Н. Исламовым и доказана Т. А. Сарымсаковым и В. И. Силиным в [29]. Теорему 4 в ее полной формулировке можно найти в [13]. Доказательство части (3) основывается на следующем предложении. 257
Лемма. Пусть В — бесконечная полная по Дедекинду булева алгебра^ Тогда равносильно: (1) существует разделяющее семейство Q О-непрерывных монотонных булевых псевдонорм q, card Q ^т. (2) В является носителем АБС-алгебры и z (В) ^т-)Ц0. Обозначим z (5)=sup (card D \ D d В, D состоит из попарно дизъюнктных элементов}; z (В) ^ ^0 означает (ССС). Все АБС-алгебры можно получить из алгебр с субмерой Магарама путем, взятия произведений. Этот факт доказан в [13]. • Теорема 5. Пусть В — полная по Дедекинду булева алгебра и О — хаусдорфова топология на В. Тогда равносильно: (1) (J5, 0) — АБС-алгебра; (2) (В, О) алгебраически и топологически изоморфно произведению^ IJ (Ва, О (vj), где (Ва, О (vj) — алгебры с субмерой Магарама. « Замечание. В обзорной работе [4] Антоновский — Болтянский — Сарымсаков поставили вопрос о том, изоморфны ли все АБС-алгебры произведениям 2mxLebw, Leb — алгебра с мерой следующего пространствам мерой ([О, 1], ВогЦО, 1]), X). В той же работе было объявлено отрицательное решение Д. А. Владимирова, но нам неизвестна публикация об этом. Исследования Диксмиера [9] открыли очень важный для функционального анализа подкласс класса компактных хаусдорфовых пространств, так называемые гиперстоуновы пространства. Булеву алгебру В, пространство Стоуна X=spec (В) которой является гиперстоуновым, назовем гипер- стоуновой алгеброй. Заметим, что существует прямая связь этих алгебр с АБС-алгебрами. В 1974 г. мы высказали гипотезу о том, что носители АБС- алгебр и гиперстоуновы алгебры — это одно и то же. Эта гипотеза и проблема Магарама эквивалентны! Мы напомним понятия гиперстоунового пространства. Положрхтельная мера Радона р £ М+ (X) на пространстве X £ сотр называется гипердиффузной (или нормальной), если для всякого нигде не плотного борелевского множества N С X справедливо р (N)=0. Знакопеременную меру Бореля р £ М (X) назовем гипердиффузной, если р+ и р~ гипердиффузны. Гипердиффузные меры Радона — это точно все рисс-представления О-непрерывных функционалов на С (X) (о последнем см.: Семадени [30], о гипердиффузных мерах вообще см. [15, 16]). X £ сотр называется гиперстоуновым (в смысле Диксмиера). если (1) X является стоуновым (^экстремально несвязно); (2) объединение всех носителей гипердиффузных мер Радона на X всюду плотно в X. С функционально аналитической точки зрения можно дать следующее эквивалентное определение: X £ сотр является гиперстоуновым тогда и только тогда, когда (1) С (X) — полная по Дедекинду решетка; (2) И (X) — пространство всех гипердиффузных мер на X, тотально над. С(Х). Для гиперстоунового пространства X банахово пространство С (X). является сопряженным пространством банахового пространства Н (X). Класс гиперстоуновых пространств очень богат. Для каждого Y £ сотр 258
существует некоторый гиперстоунов прообраз HY ->-> Y — гршерстоуново на- h крытие У. Подробности об этом и о связи с проективным накрытием pY ->-► Y (= абсолют Y) можно найти в [12]. р Гиперстоуновы алгебры могут быть охарактеризованы в классе булевых алгебр. Булева алгебра В гиперстоунова тогда и только тогда, когда (1) В полна по Дедекинду; (2) для каждого &, О <С Ъ £ В существует нетривиальная непрерывная относительно упорядочения мера v : В -> i?+, носитель которой мажорируется в 0 ^ supp v ^ Ъ. Здесь, как обычно, supp v: = Бyль — дополнение о sup {а £ В : v (а) = =0}. Носители непрерывных относительно упорядочения мер на полных по Дедекинду булевых алгебрах В образуют а-идеал в В. Тем самым В гиперстоунова, если идеал носителей плотен в В. Лемма. 1. Пусть В — полная по Дедекинду булева алгебра и М — некоторое минимальное дизъюнктное множество в В. Тогда имеет ме- >сто следующий булъ-изоморфизм: В ^ П {Вь, Ъ £ М), где Въ обозначает порожденный Ъ главный идеал в J5. 2. Для каждого плотного в В множества D С В существует максимальное дизъюнктное множество М в В, М с D. Отсюда вытекает Теорема 6. Гиперстоуновы алгебры совпадают с произведениями алгебр с мерой. Обращаем внимание еще на одно понятие. Ф. Куннингхам [8] называет полную булеву алгебру В спектральной алгеброй, если существует на В строго положительная локально конечная мера v, т. е. такая функция •v : В -> [0, оо ], которая удовлетворяет следующим условиям: (1) для всякого &, О <С Ъ £ В справедливо v (b) > 0; (2) v а-аддитивно; (3) для всякого fe, О <С Ъ £ В, существует такое О <С а ^ fe, что О <С < v (а) < оо. Из рассуждений Куннингхама (см. предложение 3.3) следует, что понятие спектральной алгебры и гиперстоуновой алгебры совпадают. То же самое легко вытекает из последней сформулированной леммы. В спектральной алгебре В фиксируем D = [а £ В : 0 <^ v (а) <^ оо}. Тогда представим В как произведение алгебр с мерой. В произведении £ = Ш?а алгебр с мерой (5а, vj, а £ I, определяем v ((Ьа)а \ = 2 \ (fej. Тогда v — строго поло- жительная локально конечная мера на В. Замечания. 1. В книге Фремлина [17, § 53] спектральные алгебры называются алгебрами Магарама, вероятно, потому, что Магарам в [22] дал классификацию алгебр с мерой как произведения не более чем счетного числа алгебр, из которых одна атомарна (^ 2m, т <^ $0), а другие — однородные алгебры с мерой индекса ип (т. е. это с точностью до умножения на скаляры алгебры с мерой, соответствующие следующим пространствам с мерой: ([0, 1]"*, Вог ([О, l]w), X")). 2. Понятие спектральной алгебры, введенное Куннингхамом, связано с тем, что эти алгебры являются абстрактной противоположностью возникающих в спектральной теории полных булевых алгебр проектирующих операторов. 259
4. Пространства функций С (X) и С^ (X) над гиперстоуновым пространством X как топологические полуполя Допустим, что проблема Магарама решается положительно. Тогда согласно теоремам 5 и 6 АБС-алгебры — это гиперстоуновы алгебры и их топология индуцируется непрерывными относительно упорядочения мерами. Заметим, что здесь используется то, что два различных разделяющих семейства непрерывных относительно упорядочения мер индуцируют одну и ту же топологию (см. [12, § 8] о рисс-топологиях). Согласна теореме о представлении топологических полуполей всякое топологическое полуполе S может быть представлено некоторым топологическим полупо- лем между кольцами функций С (X) и С00(Х) над Z^spec (Idem (5)), причем топология получается каноническим образом из топологии булевой алгебры. Учитывая еще результаты работы [12] о, взаимоотношении между топологиями на булевых алгебрах и на пространствах функций, имеем все основания для следующего замечания. В теории топологических полуполей центральное место занимают кольца функций над гиперстоуновым пространством X? т. е. кольцо С (X) всех непрерывных действительных функций и С& (X) — кольцо всех непрерывных числовых функций, принимающих значения —оо и +оо только на нигде не плотных множествах. Их топология — это топология сходимости по мере, порожденной гипердиффузными мерами И (X). Заметим,, что индуцирующим семейством монотонных псевдонорм является /V tf): . = I М (Т+ТГГ) > V- £ Н W> f£ С W> соответственно / £ Ст (X).. Сейчас понятно, что топологическое полуполе, в частности, — топологическая векторная решетка с локально телесной топологией. Последний факг был доказан Н. Антоном и В. Ю. Первиным [2] без использования каких- либо теорем о представлении. Согласно их терминологии топология векторной решетки удовлетворяет свойству монотонной сходимости, если всякая ограниченная сверху последовательность сходится в этой топологии. И. Д. М. Райт [32] называет топологию (в С (X), где X — пространство Стоуна), удовлетворяющую свойству монотонной сходимости, о-совместимой. Антон и Первин в связи со своими исследованиями вопросов теории интегрирования в топологических полуполях ставили следующую проблему: всякое ли топологическое полуполе удовлетворяет свойствам монотонной сходимости? Фремлин [17, § 83, 24] топологию на (архимедовом) пространстве Рисса называет секвенциальной лебеговой топологией, если хп j 0 => хп -> О в заданной топологии. Топология называется лебеговой, если 0 является точкой прикосновения всякого множества, инфимум которого есть CL Для локально телесных топологий векторных структур последнее требование равносильно следующему свойству: х —> 0 => ж -> 0 в топологии. а 0 а Отсюда вытекает, что локально телесная топология векторной структуры тогда и только тогда лебегова, когда она сильнее топологии упорядочения. Очевидно, что такая топология всегда является секвенциальной лебеговой топологией. Теорема 7. Пусть X — гиперстоуново пространство. Для топологических полуполей С (X) и С^ (X) справедливо: 260
1. Топология является лебеговой. 2. Топология тогда и только тогда локально выпукла, если множество изолированных точек всюду плотно в X, т. е. С (X) и С^ (X) — полуполя I рода и X=$D (расширение Стоуна — Чеха дискретного пространства £>), С (X) ^ пространству ограниченных действительных функций на X и Ссо (X) ^ RD (тихоновское полу поле). 3. Если X удовлетворяет условию Суслина, то АБС-топология в С& (X) совпадает с топологией упорядочения. Для бесконечных X АБС-топология в С (X) строго сильнее топологии упо^ рядочения. Замечания. 1. Утверждения 1 и 2 теоремы доказаны в [14], Т. А. Сарымсаков и А. Н. Исламов в [28] без доказательства отметили, что топология упорядочения слабее топологии топологического полуполя. Утверждение 3 сформулировано для полуполей счетного типа, т. е. всякое дизъюнктное множество не более чем счетно. Т. А. Сарымсаков, А. Н. Исламов [28] и Т. А. Сарымсаков, Б. А. Рубштейн, В. И. Силин [27] без доказательства отметили, что топология полуполя С'т (Idem (S)) совпадает с топологией упорядочения. Работа [6] В. Я. Бендерского и В. И. Силина показывает, что в полуполях несчетного типа топология упорядочения строго слабее топологии полуполя. Доказательство части 3 в основном следует идеям Ву- лиха [33] о классических векторных структурах ограниченных действительных последовательностей, действительных последовательностей и измеримых функций над [0, 1]. 2. Согласно части 2 на топологическом полуполе может существовать только немного непрерывных линейных функционалов, но существует достаточно много линейных функционалов, непрерывных на ограниченных множествах (см. [14]). 5. Коммутативные алгебры Неймана как топологические полуполя Уже Диксмиер [3] заметил, что гиперстоуновы пространства выступают как пространства представления коммутативных алгебр Неймана. Пусть Н — гильбертово пространство над полем действительных чисел со скалярным произведением (• | •), пусть В (Н) — алгебра всех ограниченных (=непрерывных) линейных операторов. Инволюция в В (Н) определяется как переход к (гильберт-) сопряженному оператору. Самосопряженные элементы называют эрмитовыми операторами. Множество Herm (Н) всех эрмитовых операторов образует линейное подпространство В (Н). Положительный конус Herm+ (Н) превращает Herm (Н) в частично упорядоченное векторное пространство: А £ Herm+ (Н) о (Ах \х)^0 для всех х£Н. Произведение эрмитовых операторов есть эрмитов оператор тогда и только тогда, когда они коммутируют. Под алгеброй Неймана понимаем банахову подалгебру В (Н) с инволюцией, которая содержит единичный элемент. Теория алгебр Неймана излагается в книге Диксмиера [10]. Пусть М — некоторое подмножество Herm (Н), тогда коммутант М' в В (И) есть алгебра Неймана. Если М С Herm (Н) коммутативно, то эрмитова часть второго коммутанта М относительно канонического упорядочения является полной 261
по Дедекинду решеткой. Согласно одному из важнейших результатов Дикс- миера [9] каждая коммутативная алгебра Неймана как спектр дает гипер- стоуново пространство; наоборот, каждое гиперстоуново пространство выступает как такой спектр. Пусть spec (А) — пространство характеров алгебры А. А ^ А \-+ *-+/л (х) :==<\Х> Ау определяет изоморфизм А в алгебру С (spec (А)). Положительные гипердиффузные меры на spec (А) получаем следущим образом: Р** *№ P*{fA) = (Ax> х> (см.: Р. Паллю де ла Баррьер [24]). Из [3] непосредственно получаем следующее утверждение. Теорема 8. Пусть А — коммутативная алгебра Неймана эрмитовых операторов на гильбертовом пространстве Н. Тогда существует топология на А, которая А превращает в топологическое полуполе. Подлежащая этому полуполю АБС-алгебра есть максимальная алгебра проекторов в А, ее топология определяется сильной (=слабой) топологией операторов. Замечания. 1. Топология на полуполе в отличие от слабой (сильной) топологии операторов может не быть локально выпуклой. Следовательно, остается задача найти естественную интерпретацию топологии на полуполе А как некоторую топологию операторов. 2. Существует ли естественная интерпретация С& (spec (А)) с точки зрения операторов на Н? 3. До сих пор неизвестно, когда АБС-топология совпадает с топологией упорядочения. Доказательство К. Е. Библеро [7], что это всегда имеет место, содержит ошибку. Мы думаем, что эти топологии не всегда совпадают. Рассмотрение проекторов поможет, наверное, получить некоторую ясность. ЛИТЕРАТУРА 1. Alas О. Т. Semifields and positive linear junctionals. — Math. Jap., 1973, 18, p. 133— 135. 2. Anton #., Pervin W. /. Integration on topological semifields. — Pacif. J. Math., 1971, 37, p. 567-574. 3. Антоновский М.Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А. Топологические булевы алгебры. — Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1963. 4. Антоновский М.Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А. Обзор теории топологических полуполей. — УМН, 1966, 21, с. 185—218. 5. Бандт Я., Петере В. Продолжение полумер и топологизация векторных структур. - УМН, 1980, 35, № 3, с. 140-144. 6. Бендерский О. Я., Силин В. И. (7-топология в топологических полуполях. — ДАН УзССР, 1976, 3, с. 9—10. 7. Biebler К. Е. Beitrage sur Funktionalanalysis mit allgemeinem Skalarbereich: Diss. Univ. Greifswald, 1978. 8. Cunningham F. L-structures in L-spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 95, p. 274— 299. 9. Dixmier /. Sur certains espaces consideres par M. H. Stone. — Summa Brasil. math., 1951, 2, p. 151-182. 10. Dixmier /. Les algebras d'operateur dans l'espace hilbertien. Paris: Gauthier-Villars, 1969. 11. Flachsmeyer /. Einige topologishe Fragen in der Theorie der Booleschen Algebren. — Arch. Math., 1965, 16, S. 25—33. 12. Flachsmeyer J. Topologization of Boolean algebras. General Topology and its Relations to modern Analysis and Algebra. IV. — Lect. Not. Math., 1977, N 609, p. 81—97. 13. Flachsmeyer J. Underlying Boolean algebras of topological semifields. — Math. Cent. Tracts, 1979, 115, p. 91—103. 14. Flachsmeyer J. On algebras lattice topologies induced by measures. — In: Wissenschaft- liche Beitrage Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Greifswald, 1978: Proc. Conf. Topol. and Measure. Greifswald, 1980, pt. 2, p. 23—30. 262
15. Flachsmeyer /., Lotz S. A survey on hyperdiffuse measures. I. — In: Wissenschaftliche Beitrage Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Greifswald, 1978: Proc. Gonf. Topol. and Measure. Greifswald, 1980, pt 1, p. 87—128. 16. Flaschsmeyer /., Lotz S. A survey on hyperdiffuse measures. II. — In: Wissenschaftliche Beitrage Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Greifswald, 1978: Proc. Gonf. Topol. and Measure. Greifswald, 1980, pt 2, p. 31—70. 17. Fremlin D. F. Topological Riesz spaces and measure theory. Cambridge: Univ. press, 1974. 18. Frohlich A. Einige Betrachtungen zu zwei Axiomensystemen topologischer Semifields und sur Ordungstopologie auf Boole-Algebren: Diplomarbeit Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Greifswald, 1978. 19. Kleiber M., Pervin W. J. A Hahn-Banach-Theorem fur semifields. — J. Austral. Math. Soc, 1969, 10, p. 20-22. 20. Kleiber M., Pervin W. /. Semifield metric spaces. — Bull. Austral. Math. Soc, 1969, 1, p. 127-136. 21. Kothe G. Topologische lineare Raume. Berlin: Springer, 1960. 22. Maharam D. On homogeneous measure algebras. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1942, 28, p. 108—111. 23. Maharam D. An algebraic characterization of measure algebras. — Ann. Math., 1947, 48, p. 154—167. 24. Pallu de la Bariere R. Sur les algebras d'operateures dans les espaces hilbertienn. — Bull. Soc. math. France, 1954, 82, p. 1—52. 25. Сарымсаков Т. А. Топологические полуполя и теория вероятностей. Ташкент: ФАН, 1979. 26. Сарымсаков Т. А., Хаджиев А. Топологические модули над топологическими полу- полями. — ДАН СССР, 1971, 200, с. 1041—1043. 27. Сарымсаков Т. А., Рубштейн Б. А., Силин В. И. Тензорные произведения топологических полуполей. — ДАН СССР, 1974, 216, с. 1226—1228. 28. Сарымсаков Т. А., Исламов А. Н. О существовании внешней меры на булевых алгебрах и некоторые вопросы сходимости в топологических полуполях. — ДАН УзССР, 1974, 4, с. 3—5. 29. Sarymsakov Т. A., Cilin V. I. Measures on topological Boolean algebras. — In: Wissenschaftliche Beitrage Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Greifswald, 1978: Proc. Conf. Topol. and Measure. Greifswald, 1980, pt 2, p. 315—332. 30. Semadeni Z. Banach space of continuous functions. Warszawa: PWN, 1971. 31. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. M.: Наука, 1969. 32. Wright /. D. М. Stone-algebra-valued measures and integrals. — Proc. London Math. Soc, 1969, 19, p. 107—122. 33. Вулих Б. С. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 34. Yosida К. Functional analysis. Berlin: Springer, 1965.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Б. ХАЙД УК (Вроцлав, ПНР) О ПОСТРОЕНИИ ГЛАДКИХ И PL СТРУКТУР НА МНОГООБРАЗИИ Множество гладких (соответственно PL) структур на топологическом Многообразии X с давних пор отождествлялось с множеством гомотопических классов отображений из X в пространство Тор/О (соответственно Top/PL). Однако геометрические конструкции, производящие произвольную структуру из некоторой фиксированной, известны только для очень специальных многообразий. Когда они существуют, как, например, в случае сфер, многие рассмотрения существенно упрощаются и часто становятся выполнимыми некоторые эффективные вычисления. Мы рассматриваем проблему в общем случае. Главная идея — найти подход, двойственный классическому, т. е. работать с гомологиями и представляющими циклами вместо того, чтобы работать с когомологиями и коциклами. Эта основная идея возникла во время дискуссий, которые я имел с М. А. Штанько, он также обратил мое внимание на эту проблему. В этой заметке мы построим некоторые препятствия для построения структуры посредством переклеек с конкордантностями. Пусть А означает PL или Diff, М является Л-многообразием и SA (М) есть группа классов изотопных Л-структур на М. Под А (М; X) мы подразумеваем полусимплициальный комплекс Л-изоморфизмов М на М, которые тождественны на 1с М, и под СА (М) — комплекс Л-конкордантностей (псевдоизотопий) многообразия М (т. е. A(MXl; IX{1}U^X(0}). Рассмотрим замкнутое Л-многообразие Мп и предположим, что М = W\JV, где V и W суть такие подмногообразия, что V(~)W = dV = dW. Мы будем называть такие разложения допустимыми. Пусть Z — WDV и U^ZXl является воротником Z в V. Данная топологическая изотопия ft между некоторым Л-изоморфизмом f1:Z-^Z и /0 = idz определяет Л-атлас на V\JfW вместе с гомеоморфизмом ж, если x§U, ft (у, t), если х = (у, t)£U. Это индуцирует отображение 'I: «1 (Top (Z), A (Z); id) -> SA (М). Другая процедура возникает, когда изотопия заменяется псевдоизотопией. Как и выше, для любой топологической конкордантности F на Z существует гомеоморфизм х, если x(^U, F(y, t), если х — (у, t)£U, 264 ср: V\J W ->М:х^> ty:V\JfW-+M:x*
где / = f |ZX {!}• Таким образом, мы имеем отображение r2:*0X(Z)^SA(M), где Ха есть пулбэк Xa(Z)-*Ct01>(Z) I I ограничение на Z X {1}, 4(Z)->Top(Z) т. е. полусимплициальная группа всех топологических конкордантностей между id^ и некоторым Л-изоморфизмом. В частности, композиция г2 с естественным отображением СА (Z) -> Ха (Z) производит отображение r3:nQCA(Z)->SA(M). Наконец, можно склеить два куска М посредством Л-изоморфизма f : Z -+ Z, который продолжается до гомеоморфизма F'.V-^V. Если YA (Z) обозначает пулбэк YA(V)->Toy(V) У У » Л (Z)—-> Top (Z) то мы имеем отображение r,:K0YA(V)^SA(M), определенное посредством прямого продолжения упомянутые выше определен ний. Похожие конструкции могут быть даны в случае многообразий с краем в допущении подходящего условия трансверсальности на разложение около края. Если V = DndM, то Imr1=Imr4 и является группой инерции М. Пусть SIa (М) — (J Im г., суммирование проводится по всем допустимым разложениям М. Наша цель — изучить эти множества. 3 а м е ч а н и-е. Кроме включений <Я\ с Жа с Si% U мы имеем также Sih. -f-e%i D Sl\- Последнее легко вытекает из изоморфизма KqGa {X) = тс0£тор (X). Остаток этой заметки будет касаться е%1. Предположим, что допустимое разложение М =V\JW задано и 0 обозначает фиксированную Л-структуру на М (нулевой элемент SA (М)). В случае PL-структур существует изоморфизм SPL(M) = #3(M; Z2). Когдаа£1тг2, тогда а | Int V и а | Int W суть ограничения тривиального класса когомологий (из естественности изоморфизма), так что мы имеем а2 —0. В общем случае мы имеем следующее. Теорема. Пусть М — замкнутое многообразие размерности больше чем 5. Тогда ъ^Жа(М) в том и только том случае, когда существует допустимое разложение М = V \J W такое, что а | Int V = 6 | Int V и а | Int W = = 6|1пЫУ. Доказательство. Необходимость вытекает из факта, что п0Сд (Z) = = S^Top(Z). 265
Теперь пусть /: Int V -> М, / : Int W -> М — такие включения, что i*a = i*6, fa = /*е. Пусть С/ = dW X /— внешний воротник dW, V' = M — (W\JU). Согласно нашим предположениям существует деформация icb/ к гомеоморфизму ф : М -> Д/а такому, что ф есть Л-изоморфизм вблизи ТУ U V и ф | дТУ X X {V2} = id. Так как ф есть 4-изоморфизм вблизи dW С U ^ 3W X /, суще^- ствует Л-изоморфизм F: ф (С/)а -> С/, равный ф""1 вблизи дИ7 X {0}. Пусть I является композицией £/-^>ф (U)^ U, V=V'\JU и / r= S | <9PF X {1}. Так как / является Л-изоморфизмом, мы можем образовать V U W и определить \\ V\JjW->M из соотношений: | х, если х (J С/, ^ ' 1 £ (ж), если x£U. Теперь £ о ф"1: Ма -> У U/^ будет Л-изоморфизмом, следовательно, {^U/W^> £}=с А поскольку 6 — топологическая конкордантность, доказательство окончено. Теперь мы имеем критерий, позволяющий определять принадлежность структуры к е%1. Пусть Д : Тор/Л -> Тор/Л X Тор/Л — диагональное отображение, и отождествим SA с [М, Тор/Л]. Следствие. a £ е%1 тогда а только тогда, когда Д о а гомотопно отображению М -^ Тор/Л \/Тор/Л с Тор/Л X Тор/Л. Доказательство. Мы можем заменить Тор/Л ему (1 -(- dim-/^-эквивалентным многообразием X. Тогда Тор/Л V Тор/Л может быть взято как связная сумма Хг 4i= Х2, Хг = Х2 = X. Пусть ф : М -> Arx =|ф Х2 — деформация отображения Д о а, трансверсальная общему диску Z) = ХгС\ Х2. Тогда Vx= ф_1(Аг2), У2 = ф""1(Х1) суть многообразия с общим краем, равным ф_1(0). Пусть т\.: Хг X ХХ2->1^, i = 1, 2, — проекции. Отображение a = г\. о Д о a ~ т^. о ф имеет гомотопически тривиальное ограничение на Int V.. Естественность структурного препятствия вместе с упомянутой выше теоремой влекут достаточность наших условий. Следующая деформация доказывает необходимость: H:MXI->XXX:(X, t)^ (?^а (х), tfh (х)), где ср(*) суть продолжения на М деформаций a\V и c\W к точке. В PL случае препятствия к таким деформациям лежат в Н* (М; тс^ (К X К, К\/К)), где К = Top/PL = К (Z2y 3), и первое препятствие—это а\^>о£ енчм, z2). Подобным образом мы можем строить гладкие структуры на PL-многообразиях. Мы видим, что вплоть до размерности 13 любая гладкая структура, PL-эквивалентная некоторой заданной, получается сечением многообразия по некоторому (п — 1)-мерному подмногообразию и последующим склеиванием двух получившихся кусков с помощью диффеоморфизма, псевдоизотопного тождественному.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Я. Е. ХАРАТОНИК (Вроцлав, ПНР) НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ОДНОРОДНОСТИ ПРОСТРАНСТВ Топологическое пространство X называется однородным, если для любых двух его точек существует гомеоморфизм X на себя, который переводит одну точку в другую. Обобщая это понятие, Дэвид П. Беллами заменил (в беседе с автором) гомеоморфизм на произвольное непрерывное отображение «на» и получил понятие пространства, которое однородно относительно непрерывности. В настоящей статье это понятие обобщается путем рассмотрения не только гомеоморфизмов и непрерывных отображений, но также и некоторых других классов отображений. В статье формулируются некоторые проблемы, касающиеся введенных понятий. Основная цель статьи — положить начало изучению нескольких приведенных ниже проблем. Статья содержит также и некоторые новые результаты. - Определение 1. Пространство X называется однородным относительно класса отображений ?Ж (пишется X £Н (гЧ)), если для любых двух точек р и q из X существует непрерывное отображение / пространства X на себя такое, что f^-Ж и / (p) = q. Если в определении 1 в качестве СЖ взять класс гомеоморфизмов X на себя, мы получим хорошо известное понятие однородности пространства X. Если в качестве гЖ мы возьмем класс непрерывных отображений X на Х9 то получится понятие однородности относительно непрерывности в смысле Беллами. Определение 2. Пространство X называется биоднородным, относительно класса отображений пЖ, если для любых двух точек р и q из X существует непрерывное отображение / пространства X на X такое, что/ £ <Ж9 и f(p) = q и f(q)=p. Определение 3. Пространство X называется однородным относительно класса отображений q/Ч по аргументу в точке q^X (пишется X £ // (о/Ч) Aq), если для любой точки р£Х существует непрерывное отображение / про* странства X на X такое, что f £оМ и f(p) = q. Определение 4. Пространство X называется однородным относительно класса отображений q/Ч по величине в точке р^Х (пишется X £ Н (оЖ) V ), если для любой точки q £ X существует непрерывное отображение / пространства X на X такое, что f £о/Ч и f(p)=q. Следующее предложение сразу вытекает из приведенных выше определений: Предложение 1. Пусть дано пространство X и дан класс оЖ непрерывных отображений пространства X на себя. Следующие три условия эквивалентны: 267
(а) хенШ; (б) Х^Н (qM) Aq для любой точка q £ X; (в) Х^Н (qM) Vq для любой точки р£Х. Проблема 1. Для данного пространства X, точки х£Х и класса оМ Непрерывных отображений пространства X на себя общая проблема состоит в отыскании необходимых и {или) достаточных условий для того чтобы Х£ Н уЦ) Ах или Х^Е (<rf() Vx. Определение 5. Класс пространств S° называется однородным относительно класса отображений оМ* если S° d Н (?Ж), т. е. если любой элемент S° является однородным относительно оМ. Проблема 2. Для данного класса пространств £° и класса отображений оМ общая проблема состоит в отыскании необходимых и (или) достаточных условий, при которых £° однороден относительно оМ- Рассмотрим теперь некоторые примеры и некоторые специальные классы отображений и пространств. Каждое однородное пространство однородно относительно любого класса отображений, который содержит гомеоморфизмы. Замкнутый единичный интервал [0, 1 ] действительной прямой является биоднородным относительно непрерывности (это следует из утверждения 1 ниже), но он не является однородным. Так как любое монотонное отображение дуги на себя переводит концевые точки в концевые точки (см. [26, (1.1), с. 165]), то дуга не является однородной относительно класса монотонных отображений. Более того, любое монотонное отображение неприводимого континуума переводит точку неприводимости в точку неприводимости [18, § 48, I, теорема 3, с. 192]; таким образом, если неприводимый континуум однороден относительно монотонных отображений, то каждая его точка является точкой неприводимости. Поскольку это условие характеризует неразложимые континуумы [18, § 48, VI, теорема 7', с. 213], мы имеем Предложение 2. Если неприводимый континуум однороден от- носителъно монотонных отображений, то он является неразложимым. Поскольку каждый цепной континуум является неприводимым (см., например, [18, § 48, X, 1, с. 224]), мы сразу получаем Следствие 1. Если цепной континуум однороден относительно монотонных отображений, то он является неразложимым. Рассуждения, приведенные выше, могут быть модифицированы следующим образом. Точка р континуума X называется концевой точкой, если для любых двух подконтинуумов А, ВаХ, содержащих р, либо A(zB, либо ВаА (см. [3, 5 (В), с. 660]). Непрерывное отображение /: X -> У топологического пространства X на Y называется конфлюентным [6, с. 213], если для любого подконтинуума Q из Y каждая компонента С прообраза /-1 (Q) отображается посредством / на Q, т. е. / (C)=Q. Напомним, что монотонные отображения континуумов, так же как и открытые отображения, конфлюентны [6, § 2, V и VI, с. 214]. Отметим следующий простой результат. Лемма 1. Конфлюентное отображение f континуума X переводит каждую концевую точку X в концевую точку образа f (X). В самом деле, пусть р — концевая точка X и пусть Q1 и Q2 — два подконтинуума / (X), содержащие точку / (р). Пусть Сг и С2 — компоненты f1 (Qi) и Z1 (Q2) соответственно, содержащие концевую точку р. Тогда либо CiCC2> либо C2ClC1. Поскольку / {C1)=Q1 и / {C2)=Q2 в силу конфлюент- 268
ности /, мы видим, что один из подконтинуумов Q1 и Q2 должен содержаться в другом. Для цепных континуумов приведенное выше определение концевой точки эквивалентно следующему [3, 5 (С), с. 660 и теоремы 12 и 13, с. 661 ]. Точка р цепного континуума X называется концевой точкой X, если для любого положительного числа е в X существует такая е-цепьт что только первое звено этой цепи содержит р (см. также [24, с. 259] и ср. леммы 1 со следствием 1.2 из [24, с. 260]). Существуют примеры цепных континуумов без концевых точек (см. [3, пример, 7, с. 662]). Доказательство следующей леммы фактически содержится в доказательстве теоремы из [8] и использует некоторые идеи из [24]. Лемма 2. Каждый невырожденный цепной континуум, являющийся однородным относительно открытых отображений, содержит концевую точку. Используя эту лемму и известные свойства цепных континуумов, можно найти некоторые необходимые и достаточные условия, при которых цепной континуум является псевдодугой. Эти условия формулируются в терминах однородности относительно различных классов отображений. Доказательство этих характеризаций взято из [9] и приводится здесь только для полноты. Предложение 3. Пусть X — невырожденный цепной континуум. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) X однороден относительно открытых отображений', (2) X однороден относительно конфлюентных отображений и в X существует концевая точка; (3) X однороден относительно непрерывных отображений, в X существует концевая точка и X наследственно неразложим; (4) X есть псевдодуга. Доказательство. (1) => (2). Если X однороден относительно открытых отображений, то он однороден и относительно конфлюентных отображений, поскольку каждое открытое отображение компактного пространства конфлюентно [6, § 2, VI, с. 214]. Далее, лемма 2 показывает, что X имеет концевую точку. 2) => (4). Если X однороден относительно конфлюентных отображений и имеет концевую точку, то каждая точка X должна быть концевой точкой по лемме 1. Это свойство характеризует псевдодугу [3, теорема 16, с. 662]. (4) => (1). Импликация следует из того, что псевдодуга однородна [1, теорема 13, с. 740, теорема 10, с. 737] и [2, теорема 1, с. 44] и каждый гомеоморфизм, очевидно, является открытым отображением. (4) => (3). Псевдодуга обладает свойствами, перечисленными в (3), поскольку она по определению наследственно неразложима (ср. также [1, теорема 10, с. 737]), однородна [1, теорема 13, с. 740] и, будучи невырожденной, имеет концевую точку [3, теорема 16, с. 662]. (3) => (2). Известно, что любое непрерывное отображение континуума на наследственно неразложимый континуум конфлюентно [11, теорема 4, с. 243], поэтому если X наследственно неразложим, то любое отображение X на себя конфлюентно, следовательно, импликация имеет место. Возникает вопрос, является ли существенным предположение о существовании у континуума концевой точки при доказательстве импликации (2) => (4). Другими словами, возникает Проблема 3. Существует ли невырожденный цепной континуум, который однороден относительно конфлюентных или монотонных отображений и который не является псевдодугой? 269
Так как каждый однородный (т. е. однородный относительно гомеоморфизмов) невырожденный цепной континуум является псевдодугой [4, теорема, с. 345], можно переформулировать эту проблему, поставив вопрос о существовании цепного континуума, который однороден относительно конфлю- ентных отображений, но не является однородным относительно гомеоморфизмов. Вернемся к рассмотрению дуги. Из предложения 3 следует, что дуга не является однородной относительно конфлюентных отображений. Однако можно легко увидеть, что дуга однородна относительно класса всех непрерывных отображений, и нетрудно найти некоторые меньшие классы отображений, обладающие тем свойством, что дуга однородна относительно них. Например, назовем отображение / : X -> Y континуума X на Y подмонотон- ным, если X содержит такой подконтинуум С, что частичное отображение / \с монотонно и переводит С на все Y. Если подконтинуум QciY дан, то (/ \c)~1(Q) = CC\f"1 (Q) есть континуум (в силу подмонотонности /), который, очевидно, отображается на Q при / \с (значит, и при /),* таким образом, всякое подмонотонное отображение континуума слабо конфлюентно (определение этого понятия см. в [20, с. 98]). Напомним, что степень отображения / : X -> Y определяется как максимум (конечных) мощностей прообразов точек /-1 (у) для y£Y (ср. [26, с. 199]). Можно проверить (просто перебирая различные возможные случаи) следующее Предложение 4. Дуга однородна относительно класса под монотонных отображений степени 2. Заметим, что это предложение не может быть обобщено на цепные континуумы (см. следующее ниже доказательство для кривой sin Их). Пусть теперь X — производный метрический континуум и пусть / — открытое отображение X. Известно, что порядок Менгера—Урысона точки из X не возрастает при отображении / (см., например, [26, следствие 7.31г с. 147]). Таким образом, если X содержит две точки различного порядка Менгера—Урысона, то X не может быть однородным относительно открытых отображений. Другими словами, мы имеем Предложение 5. Если метрический континуум X однороден относительно класса открытых отображений, то все точки X имеют одинаковый порядок Менгера—Урысона. Например, таким континуумом является простая замкнутая кривая. Из теоремы 8" из [18, § 51, V, с. 192], и предложения 5 мы выводим Следствие 2. Метрический континуум X является простой замкнутой кривой тогда и только тогда, когда все точки X имеют конечный порядок Менгера—Урысона и X однороден относительно открытых отображений. Условие, сформулированное в предложении 5, необходимо, но не достаточно для того, чтобы континуум был однороден относительно класса открытых отображений. Это можно видеть на примере канторова веера (т. е. конуса над канторовым множеством), который имеет во всех точках порядок Менгера—Урысона, равный континууму, но не однороден даже относительно конфлюентных отображений. Действительно, из [7, теорема 12, с. 32] следует Предложение 6. Никакой веер не однороден относительно конфлюентных отображений. 270
Теперь мы опишем построение класса метрических континуумов X, каждый из которых содержит точку/? такую, что X не лежит в И (р_М) V р, где оМ — класс слабо конфлюентных отображений [20, с. 98]. А именно мы покажем, что каждое слабо конфлюентное непрерывное отображение X на себя оставляет точку р неподвижной. Таким образом, ни один элемент построенного класса не будет однородным относительно слабо конфлюентных отображений. В частности, мы получим пример гладкого дендроида, который неоднороден относительно этого класса. Пусть ср — функция, которая ставит в соответствие континууму X ординал ср (X) таким образом, что (1) если Y С X, то ср (F) ^ср (X) и (2) ср (/ (X)) ^ ^ ср (X) для любого непрерывного отображения / (примеры таких функций известны; для наследственно уникогерентных и наследственно разложимых континуумов см. [5, с. 190; 15, теорема 1, с. 60 и теорема 3, с. 61; 22, с. 345]). Возьмем такую последовательность континуумов Хп, что для каждого натурального га выполнено (i) cp(XJ = ra; (ii) diam Хп ^ 2~п; (iii) XnC\Yn+1 есть одноточечное множество. Пусть р — точка нароста одноточечной компакти- фикации объединения всех Хп и пусть Х={р) \J \J Хп. X есть континуум. п=1 Пусть / : X -+ X — слабо конфлюентное отображение X на X. Предположим, что / (р) у^= р. Тогда /-1 (р) — замкнутое подмножество X, не содержащее р. Пусть U—произвольная окрестность р, лежащая в Х\/_1(/?). Поскольку по построению LimXn ={/?}, существует такое положительное число к, что со континуум К = {р} U U Хп лежит в £/. Отображение / слабо конфлюентно, гпоэтому существует компонента С множества /_1(Я"), для которой f(C) = K. к Но тогда СГ\Г1(р)¥=0> и поэтому Cf]Uj^0, откуда Сси^имы получаем в силу (1), что ср (С) ^ ср ( |J Хп) =/с. Далее, ср (К) = ср (/ (С)) < ср (С) в силу (2), но это невозможно, поскольку К содержит подконтинуум Хп со сколь угодно большим ЧИСЛОМ cp(XJ=tt. Возьмем теперь в рассмотренной выше общей конструкции в качестве ср степень т нелокальной связности и в качестве Хп га-гармонический веер ¥яп (определение см. в [5, (43), с. 200 ]), уменьшенный так, чтобы diam Хп=2~п. Образуем объединение всех Хп таким образом, чтобы единственная точка Xnf\Xn+1 была вершиной Хп+1 и единственной точкой производного множества .га-го порядка множества концевых точек Хп (здесь под концевой точкой понимается концевая точка всякой дуги, лежащей в^континууме). Полученный таким образом континуум X выглядит как континуум, изображенный в [14, фиг. 3—9, с. ИЗ], с тем исключением, что последовательные вееры не просто гармонические, а га-гармонические. Тогда X — гладкий дендроид (определение см. в [10, с. 298]). Есть предположение, что для этого дендроида X свойство / (р) —р имеет место не только для слабо конфлюентных отображений, но и для произвольных непрерывных отображений X на себя. Недавно П. Крупски [16, пример 1 ], используя аналогичные методы, построил веер X *с вершиной р такой, что / {р)=р для любого непрерывного отображения/ лространства X на себя. Обратим теперь наше внимание на класс всех непрерывных отображений. 271
Лемма 3. Для любого невырожденного метрического континуума X и для любых двух различных точек р и q из X существует непрерывное отображение f±: X -> [0, l]=/i (X) такое, что Д (р)=0, /х (д) = 1. Действительно, /3 может быть определено по формуле /х (x) = d (х, p)l[d (х, p)+d (х, q)] длю любого х^Х, где d — метрика на X. Лемма 4. Для любого локально связного метрического континуума X и для любых двух различных точек р и q из X существует непрерывное отображение /2: [0, 1] -> X=f2 ([О, 1]) такое, что /2 {0)=q, /2 (1)=р.[ Действительно, поскольку метрический континуум X локально связенг существует непрерывное отображение /' замкнутого интервала [V3, 2/3] на X. Поскольку континуум X линейно связен, существует дуги qf (1/3) и /' (2U)P и мы можем рассмотреть произвольные гомеоморфизмы: h± отрезка [О, 1/3] на qf (1/3) такой, что hx (0)=q, и h2 отрезка [2/3, 1 ] на f (2/3) р такой, что h2 {1)=р. В случае, когда /' {1/3)=q или /' (2/3)=р, мы определяем h% или h2 как постоянное отображение, т. е. hx ([О, 1/31) = {q} и h2 ([2/3, 1]) = = {р) соответственно. Наконец, отображение /2, определенное как hx на [О, 1/3], /' на [г/3, 2/3] и h2 на [2/3, 1], является искомым отображением. Утверждение 1. Каждый локально связный метрический континуум биоднороден относительно непрерывности. Действительно, пусть метрический континуум X локально связен. Без ограничения общности мы можем рассматривать только невырожденный случай. Если р и q — различные точки из X, то отображение /=/2/i (где fx и /2 — отображения, рассмотренные в леммах 3 и 4) непрерывно отображает X на себя и / (p)=q, f (q)=p. Проблема 4. Какие классы ^Ж отображений (в соответствии с определением 2) могут быть поставлены вместо класса непрерывных отображений в утверждении 1 ? Напомним некоторые известные примеры, которые имеют отношение к обсуждающимся здесь" вопросам. X. Кук построил континуумы, которые допускают только тождественное отображение на невырожденные подконтинуумы [11, теорема 8, с. 245; теоремы 10 и 11, с. 247; теорема 13, с. 248]; поэтому континуумы Кука очень далеки от того, чтобы быть однородными относительно непрерывности. Мы рассмотрим сейчас более простой пример континуума, который неоднороден относительно непрерывности. Кривая sin 1/х, т. е. замыкание S множества S={(x, y):y=sinl/x, где 0<ж^1}, неоднородна относительно непрерывности по аргументу ни в какой из ее точек. Действительно, пусть / : S -> S — непрерывное отображение «на». Вначале возьмем q ^S и p£S\S. Тогда равенство f (p) = q влечет f (S\S) CZ S в силу линейной связности £\ S. Так как S также линейно связно, его образ / (S) должен содержаться либо в *У\5, либо в S. Включение f (S) С С S \ S невозможно по причине связности образа / (S) = f (S) \J f (S \ S). Итак, мы имеем / (S) С S, откуда / (S) С S и / не является отображением на S. Теперь возьмем q£S\S и p£S. Тогда равенство f(p) = q влечет / {S) d S\^S в силу линейной связности S, откуда / (S) С S \ S, так как S плотно в S. Аналогичным путем можно проверить, что кривая S не является 272
однородной относительно непрерывности по величине ни в какой из ее точек_ Таким образом, в частности, S не является однородной относительно непрерывности. Этот пример показывает, что однородность относительно непрерывности неинвариантна при непрерывных отображениях: S есть непрерывный образ канторова дисконтинуума, который однороден (как топологическая группа;, другое доказательство см. в [14, упр. 2—17, с. 100]); S также является непрерывным образом псевдодуги (см. [13, теорема 4.1, с. 389] и [19, следствие 3, с. 276]; ср. [21, теорема 3, с. 184, и теорема 5 и сноска (2), с. 188]), которая однородна относительно гомеоморфизмов (см. [1, теорема 13, с. 740]; ср._ [23, с. 57]). В свете приведенных примеров следующая проблема кажется естественной. Проблема 5. Для каких классов отображений & справедливо следующее', если X — однородный относительно непрерывности континуум и f — отображение из &', определенное на X, то f (X) однороден относительно непрерывности? Для данного пространства X пусть N (X) обозначает множество всех_ точек X, в которых X не локально связно. Предложение 7. Пусть континуум X таков, что N {Х)=^=0=^=- =^=X\N (X), и пусть каждая компонента N (X) является компонентой линейной связности X. Если X однороден относительно непрерывности, то число компонент N (X) бесконечно. Действительно, пусть С — компонента N (X) и пустьр £ С и q £ X\N {Х)„ Поскольку континуум X однороден относительно непрерывности, существует непрерывное отображение /: Х^>Х континуума X на себя такое, что f(p)=q. Отсюда следует, что / {C)dX\N (X). Действительно, если это не так,, т. е. N (Х)П/(С)т40> то найдется компонента D множества N (X), для которой Df\f (С)т^0, и, так как оба множества D и / (С) линейно связны, мы получаем, что D\Jf (С) линейно связно. Но D является компонентой линейной связности X, значит, / {C)dD, откуда q=f {р) £/{C)dD(zN {X) — противоречие с выбором q. Поскольку N (/ (X))(Zf (N (X)) для любого компакта X и непрерывного отображения / (см. [12, 3, с. 28]), мы имеем N {Х)С. С/ {N {X)) для всякого непрерывного отображения / континуума X на себя. Таким образом, в нашем случае N (Х)с/ (N (X)\C)\Jf (С), откуда N (Х)С С/ (N (Х)\С). Предположим, что N {X) имеет конечное число (скажем, п) компонент. Тогда / (N (Х)\С) есть объединение не более чем п — 1 дизъюнктных линейно связных множеств и это объединение содержит множество N (X), которое состоит из п компонент линейной связности X, — противоречие. Предложение 8. Пусть континуум X содержит компоненту линейной связности А, которая является собственным и плотным подмножеством X. Если X однороден относительно непрерывности, то А есть граничное множество. Действительно, возьмем р^А и q£X\A. Существует непрерывное отображение / континуума X на себя, для которого f{p) = q. Тогда/(Л)П(^\^)=7^ =7^=0, откуда / (Л)сХ\Л, поскольку множество / (А) линейно связно и А является компонентой линейной связности X. Так как А — плотное подмножество X, мы заключаем, что / (А) также плотно и, следовательно, Х\А плотно в X, т. е. А является граничным множеством. Следствие 3. Пусть континуум X содержит компоненту линейной связности А, которая является собственным и плотным, подмножеством Хх 273
и пусть точка из А является точкой неприводимости X. Если X однороден •относительно непрерывности, то он неразложим. Действительно, применим предложение 8 и теорему Урысона (см. [18, § 48, VI, теорема 9, с. 214]; ср. [25, с. 226]). Некоторые результаты о континуумах, которые однородны относительно непрерывности, были недавно получены в [17], в частности приведенные в этой статье условия, влекущие неоднородность некоторых континуумов «относительно класса непрерывных отображений. ЛИТЕРАТУРА 1. Bing R. Н. A homogeneous indecomposable plane continuum. — Duke Math. J., 1948, 15, p. 729—742. .2. Bing R. H. Concerning hereditarily indecomposable continua. — Pacif. J. Math., 1951, I p> 43 5i# 3. BingR. H. Snake-like continua. — Duke Math. J., 1951, 18, p. 653—663. 4. Bing R. H. Each homogeneous nongenerate chainable continuum is a pseudo-arc. — Proc. Amer. Math. Soc, 1959, 10, p. 345—346. 5. Charatonik J. J. Two invariants under continuity and the incomparability of fans. — Fund, math., 1964, 53, p. 187—204. S. Charatonik J. J. Confluent mappings and unicoherence of continua. — Fund, math., 1964, 56, p. 213—220. 7. Charatonik J. J. On fans. — Diss. Math. (Rozprawy Mat.), 1967, 54, p. 1—40. 8. Charatonik J. J. A characterization of the pseudo-arc. — Bull. Acad, polon. sci. Ser. math., astron., phys., 1978, 26, p. 901—903. 9. Charatonik J. J. Generalized homogenety and some characterizations of the pseudo- arc. — Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, Budapest, 1978, p. 24. 10. Charatonik J. /., Eberhart С On smooth dendroids. — Fund, math., 1970, 67, p. 297— 322. 11. Cook H. Continua which edmit only the identity mappings onto nongenerate subconti- nua. — Fund, math., 1967, 60, p. 241—249. 12. Engelking R., Lelek A. Cartesian products and continuous images. —Colloq. math., 1961, 8, p. 27-29. 13. Feamley L. Characterizations of the continuous images of the pseudo-arc. — Trans. Amer. Math. Soc, 1964, 111, p. 380—399. 14. Hocking J.G., Yong G.S. Topology. N. Y.: Addison—Wesley, 1961. 15. Йлиадис С. Д. Классификация наследственно разложимых континуумов. — Вестн. МГУ. Сер. мат., 1974, 29, № 6, с. 60-65. 16. Krupski P. Continua which are homogeneous with respect to continuity. — Houston J. Math., 1979, 5, N 3, p. 345-356. 17. Krupski P. Continuous homogeneity of continua. — In: Proc. Conf. on Geometr. Topol. \yarszawa, 1978, p. 269—272. 18. Kuratowski K. Topology. Warszawa: PWN, 1968. Vol. 2. 19. Lelek A. On weakly chainable continua. —Fund, math., 1962, 51, p. 271—282. 20. Lelek A. A classification of mappings pertinent to curve theory. — In: Proc. Univ. of Okla. Topol. Conf. Oklahoma: Norman, 1972, p. 97—103. 21 Mioduszewski J. Functional conception of snake-like continua. — Fund, math., 1962, 51, p. 179-189. 22. Mohler L. A fixed point theorem for continua which are hereditarily divisible by points. — Fund, math., 1970, 67, p. 345—358. 23. Moise E. E. A note on the pseudo-arc. — Trans. Amer. Math. Soc, 1949, 67, p. 57—58. 24. Rosenholtz /. Open maps chainable continua. — Proc. Amer. Math. Soc, 1974, 42. p. 258-264. 25. Urysohn P. Memoire sur les multiplications Cantoriennes. — Fund, math., 1926, s. p. 235—359. 26. Whyburn G. T. Analytic topology. — Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 1942, 28.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 Н. П. ХОМЕНКО (Киев, СССР) МЕТОД ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В ТЕОРИИ ГРАФОВ Введение В последние два-три десятилетия происходит бурное развитие теории графов, вызванное в первую очередь неограниченными возможностями применения ее в различных областях знания. Количество нерешенных проблем в теории графов стремительно растет. Это объясняется главным образом отсутствием общих и достаточно сильных методов исследования. Предложенный автором настоящей работы метод ср-преобразований и основанные на нем теория вложений графов в двумерные многообразия,., приемы решения различных вопросов раскраски графов, а также способы образования новых классов графов и исследование их свойств и структуры служат единой цели — совершенствованию теории графов. 1. Метод ^-преобразований топологических пространств Метод ср-преобразований топологических пространств был создан в то время, когда поставленная в 1961 г. П. С. Александровым [1 ] общая проблема исследования непрерывных образов «хороших» пространств при «хороших» отображениях приобретала популярность среди математиков. Основы метода ср-преобразований изложены в работах [2—6]. Определение 1. ср-преобразованием пространства X на пространство JT называется непрерывное сюръективное отображение ср : X -^ jT, при котором 8 существует такое конечное покрытие {Хк}[9 Х= \J Хк9 пространства X, что к=1 все сокращения <р|Хл, к=1 (1) s, являются гомеоморфизмами. ср-Преобразование называется замкнутым (открытым), если оно является замкнутым (открытым) отображением. Приведем некоторые свойства ср-преобразований. 1. Композиция двух ср-преобразований является ср-преобразованием. 2. Сокращение ср \А : А -+ ср (А) ср-преобразования ср : X -> ®С является ср-преобразованием. 3. Произведение конечного числа ср-преобразований является ср-преобразованием. п 4. Комбинация у ук конечного числа ср-преобразований ср^ : Хк -> X к=1 является ср-преобразованием ср : X -^ jT при условии,, что {А^}^ — конечное- открытое или замкнутое покрытие пространства X, 275
5. Если композиция cp=cp2Ti ДВУХ непрерывных сюръективных отображений ср1? ср2 является ср-преобразованием, тб каждое из них является также ^-преобразованием. 6. Замкнутые ср-преобразования сохраняют свойства топологических пространств «быть 7\-пространством» для i=0 (1) 6. 7. Существуют непрерывные замкнутые сюръективные отображения кратности 2, не являющиеся ср-преобразованиями. Пусть для ср-преобразования ср: X -> $С определено следующее представление: q ■ dj dj Т = у Ту, Ту = V Тур Ту; •' Aji = с^у, U AJt = AJ9 V¥*n=>W,¥><rfj'), А,фА,., </у>2, i = l(l)dj, / = 1(1)?, U Л, = Л, U <£, = <£, %:X\A^g-\^. В этом случае ^-преобразование cprX—>JT часто будем обозначать через <р : (X, 4) -> (Г, <*?). При этом U, (X) = {XX, U, (£) = {ГЛГ% Р0 (Хг) = —/?0(j^z) = l, р{(Х) — i-e число Бетти пространства X. Взаимное расположение пространств Aj4, i=l(l)dj, j= 1 (1) q, и распределение их по связным компонентам пространства X характеризуют следующие параметры: к('г = \ {А„/{Ш' 6 Ndy) {Ajt С Ajn- С Хг)) |, Np= {1, 2, . .., />}, *r, = I {^/(Я/' 6 Я\Ш) <Ш' б Л^) И„ С Aj,{, С Хг)} |, Л (?,) = {/'/((/' ^ /) Л (*"' ^ 0)) д «УГ 6 ^\{>> л) «*"* = °) v V(WV = 0)))}. Определение 2. /-й ср-базой В- ср-преобразования ср: X -> jT называется пространство 2 ^r> g77-= {г/У ^ 1}. Комплексной ср-базой с$?г ср-пре- образования ср : X -> ®С называется пространство ср г (jT^), /t = {//Ту : А. -> Ясно, что <^,= U BJ9 <Ш1Г\<$1' = 0, l'¥=l> U Z' = l(l)m0, v, = |/;|f «о 2*1 = ?- Запись ср: (х, U U А,к) -* (&* <d) означает, что (Vk £ ЛГЛ/) (<р |ijfc : 4,^,^,). Определение 3. Графом ,£?. ср-базы /?^. ^-преобразования ср: X -> JT называется граф (^., #}), .^ = <#W/ 5?} = {(^-sgnA>)(##)}re^ + 7*, Гу — дерево, Г° = {у$гЫ., j£Nq. Графом 5? = ,5?(Х-, #) ср-баз ср-преобразования ср : X -> $? называется образ ср-преобразования I q т q \ I т \ ft: 2^. 2 2.#Ы#. 2 У,- Уплотненным графом if' = X' (X, JT) ср-баз ср-преобразования <p:X^>0t называется граф (i?'0, Л ^'° = {</ЛГ. ^'1={вгг'(^гОГ.г'-1» гДе 2 (А£ —sgnftj), r' = r. 276 arr, ='
Из этого определения видно, что граф «3? определяется однозначно тогда и только тогда, когда \U1(Bj)\^2, j^Nqf но | $?° | и | X1 | всегда определяются однозначно и выгодно характеризуют рассматриваемое ср-преобразование- Граф £' эффективно применен при исследовании хроматических свойств графов. В различных вопросах вложений графов в 2-многообразия существенную роль играет граф Л. Определение 4. Графом Л = Л (X, SC) ср-преобразования ср : X -> ®С называется граф (Л°, Л1), А° = {уЖ + ЮЪ Л1 = {(ki - krJ) {угу'№=х %, + Ку'/^/Г б А (Ь)}; Л°={г/Г}™, AQ= {^)i — множества верхних и нижних вершин графа Л соответственно. Высотой h (Л) графа Л называется длина наибольшего ориентированного пути в нем. Определение 5. Графом Ф = Ф(Х, jT) компонент ср-преобразования <?:Х-+$? называется граф (Ф°, Ф1), Фо = Wv Ф1 = {a»..f Шг))1 jf=v a»,jf = max {a; .„ a>jtj)9 a'jj' = \{ci/ci = c(y'j> Уг> y'j')\/ci = c(yj> Уj» yr))\- . Если Vji: A j. ^ etfJf ?Ji;: Ajit ^ ^J9 то g0..t = <pj},<py.: Aj{ ^ Ajif ffargiri'r — Sii'» a eii — тождественный гомеоморфизм. Выбор представления ср = у ср. ср-преобразования cp:X->jT через его ком- поненты ср. зависит от исследуемых свойств пространств X, jT- Аппарат метода ср-преобразований рассчитан на задание вместе с ср-преобразованием того или другого его представления. При исследовании, например, хроматических свойств графов выгодно пользоваться каноническим представлением ср-преобразования ср : X ~> jT, достаточно полно отражающим его существенные свойства. я. Определение 6. Представление ср = у ср. произвольного ср-преобразо- вания ср: X -> ®С называется каноническим, если • i) (vxr, xrt е их (X), г' ф г) (YMrrr g и1 (ср (хг) п т (xr,)) (v/ б лд (Я/' б Nq) q q q ii) если V ср. = V ср., 1^/*^(7> то представление ср= V ср. не удовлетворяет условию i). Роль графов if, Л и Ф, характеризующих любое ср-преобразование с достаточной наглядностью, демонстрирует следующий пример. Введем обозначения: р^ = р(ар G) — степень вершины а. в графе G, Щ{ («,) = {««W,. ^ = ММ б G1}, ЯГи1 = £ St„ (а,). г=1 Теорема 1. Произвольный конечный граф G = G(0), G0={ajj% а все шесть его производных графов G(i), / = 1(1)6, следующим образом полностью определяются ^-преобразованием V-Ulnv 2 2 («« + aj] - (G, G) 277
и характеризующими его графами ££, Л, Ф: Gm^%, С(1)«Ф, G(2)»A, От**2+Ф, <Рг (if + Л, £ (j/lr + y2r)) -^ (£(4), G?4)), {</lr}™ i = i?°. {^fe = A°, ?2: (* + А, Д (Уи + У»)) - (G(6„ G?4)), {^y^-x = Ф°, W5-i = АО, ъ■ [%+ф+a, 2teir + г/2,)+2 (лу + уУ -*(G<6" G?e))- Полученные графы G(i), £ = 0(1)6, имеют следующие названия: G{0) = G — заданный граф и G{1) = L (G) — линейный граф, G(4) =K(G) — квазиудвоение, G(2) =G — 1-подразделение, Gf5) = II (G) — полутотальный граф,. G(3) = £Г (G) — псевдототальный, G(6) = T (G) — тотальный граф заданного графа G. Интересно было бы исследовать множество всех производных графов высших порядков. 2. О вложении графов в 2-многообразия Решением проблемы Хивуда и проблемы четырех красок завершились усилия многих математиков, занимавшихся теорией вложений графов в 2-мно- гообразия и теорией раскрасок графов, которые так или иначе выходили на эти проблемы. Свойства аддитивности различных родов графа (абсолютного, относительного, максимального [3]) являются общими топологическими свойствами вложений графов. В 1962 г. Дж. Бэттл, Ф. Харари, Ю. Кодама и Дж. Янгс доказали, что абсолютный род графа G равен сумме родов его 2-компонент. В 1973 г. Н. П. Хоменко и Н. А. Островерхий доказали следующее более общее утверждение. т Теорема 2. Пусть на графе G=2 Gr, т = p0(G), выделено q систем {PjiY.l таких связных подполиэдров PJ{ С йу., uj{ £ G1, р0 (G\Pj{) = mv Pji^Pji', (Pj^ZjJViPji'^v) при i'=£i, i, i' = \{\)dp ./=l(l)g, что для ^-преобразования выполняется условие рг (A (G, $)) = 0. Тогда т т(^) = 2т(сг). r=l На основании этой теоремы установлено, что абсолютный род графа равен сумме родов его - 3-компонент заданного типа. Используя метод ср- преобразований, доказан ряд теорем аддитивности относительного и максимального родов, получены другие результаты о вложении графов [13, 17К К нахождению абсолютного и максимального родов графа сводится важная проблема современной топологии графов — определение множества всех компактных ориентируемых 2-многообразий ov, в которые данный граф вкладывается 2-клеточно. 278
Первым опубликованным исследованием максимального рода графа следует считать работу Н. П. Хоменко и Э. Б. Яворского [7] 1970 г., в которой на основе метода ср-преобразований решена проблема 1-компонентной 2-кле- точной вложимости графа. Определение 7. Связный граф G называется хордово натягивающимся на связный граф F' ?^F cG, F° = G°, если существует такой граф $ = z-\- + 2Х, s1 = {»,)!". <Ц С z° = {*,)!", x2m+1 = x1,r = l(l)s, что T,(^) = 0, л ср-преобразование *=i ?: [&, U(Of,U.a«cf.-)) -><G' /0. (!) где а _ инволюция на iV2w, (V/ £ tfj (VZ, £ # ta\({Zy}# U {a (Z,.)};.^1)) <a (*,) тН Л ? (xu) = ? 0*«(i<)+i))- Теорема 3. Граф G тогда и только тогда будет 2-клеточно вкладывающимся в ориентируемое 2-многообразие av рода v, когда он является хордово натягивающимся на такой свой фактор-граф F, для которого р1 (JfT) = 2v. Теорема 4. Граф G тогда и только тогда будет 1-компонентно 2- клеточно вкладывающимся в ориентируемое 2-многообразие av рода v, когда он является образом цикла z2m при ^-преобразовании вида (1) Используя свойства этого ср-преобразования, с помощью последней теоремы был доказан следующий критерий 1-компонентной 2-клеточной вложи- мости графа в ориентируемое 2-многообразие °v рода v. Теорема 5. Граф тогда и только тогда будет 1-компонентно 2-клеточно вкладывающимся в ориентируемое 2-многообразие av рода v, когда в нем существуют такие v независимых пар смежных ребер, после удаления которых остается фактор-дерево графа. Этот критерий позволил установить роды ориентируемых 2-многообразий, в которые 1- или 2-компонентно 2-клеточно вкладываются графы Кп, Qn, Кп п. Тем самым в 1970 г. впервые был определен максимальный род указанных графов. Само понятие максимального рода графа введено в 1971 г. Е. Нордхаузом, Б. Стюартом и А. Уайтом в работе [8], в которой был также определен максимальный род графа Кп. В 1971—1976 гг. этими авторами вместе с Р. Рин- гайзеном был найден максимальный род некоторых графов и исследовались свойства максимального рода. В 1973 г. опубликован ряд работ, посвященных исследованию максимального рода графов с помощью метода ср-преобразований. В частности, в работе [9] доказана следующая фундаментальная в теории максимального рода графов теорема. Теорема 6. Максимальный род произвольного графа G равен максимальному числу таких независимых пар смежных его ребер, что граф, полученный в результате удаления из G всех ребер этих пар, будет связным фактор-графом графа G. Через три года после опубликования этой теоремы и многих ее следствий вышли из печати две работы Н. Ксуонга [10, 11], в которых без ссылки на [9] приводится упомянутая теорема и' некоторые ее следствия. В 1979 г. появилась обзорная статья Р. Рингайзена [12], посвященная изложению опубли- 279
кованных в 1976 —1978 гг. работ Н. Ксуонга, М. Юнгермана и др. Основные содержащиеся в этих работах и многие другие результаты опубликованы автором настоящей работы и его учениками еще в 1973 г. в книге [13], в доказательствах которых существенную роль играет теорема 6. Применение этой теоремы позволяет установить неравенство уж (G) ^ v, но если v< [рг (G)/2], то показать, что уж (G) ^ v, значительно труднее. Для преодоления этой трудности доказано следующее важное утверждение, в некотором смысле двойственное теореме 6. Теорема 7. Для любого связного графа G ^{G) = ±.Pl(G)-±max(k°(G\U)-\U\), 4 Z U(-Gi где Хн (G±) — число листьев с нечетным цикломатическим числом в графе Gt Из теорем 6 и 7 вытекает следующее утверждение [14], эффективно характеризующее граф с данным максимальным родом. Теорема 8. Максимальный род графа G равен v тогда и только тогдаг когда одновременно выполнены следующие два условия: 1) G содержит v таких независимых пар смежных ребер, что удаление всех ребер этих пар приводит к связному фактор-графу графа G; 2) G содержит такое множество U ребер, что X'(G\tf)>Pl(G)-2v + |tf|. Из теоремы 7 вытекает еще следующий критерий. Теорема 9. Граф G тогда и только тогда будет 1-компонентна 2-клеточно вкладывающимся в некоторое ориентируемое 2-многообразие, когда (VtfcGWGXtfKltfl). Теоремы 7 и 8 позволили найти максимальный род 4-циклически нечетно реберно связных, реберно симметрически связных и других графов. 3. Раскраска графов 7?-Раскраской или ^-раскраской элементов множества А наывается такое разбиение этого множества на классы Аг, 1 = 1 (1)к, согласно заданному на нем антирефлексивному отношению Л, что (Vail9 а^А)({афа^о(а^А^ ц = 1, 2) Д {All^Al=0)). 7?-Хроматическим числом х множества А называется min к. Если за отношение R принять смежность вершин графа G, или смежность его ребер, или же инцидентность вершин и ребер, то согласно рассмотренному выше примеру существует точно семь различных раскрасок элементов графа G (и семь хроматических чисел), которые соответствуют введенным графам G{iv i=0 (1)6. Все семь раскрасок (и семь хроматических чисел) имеют такие же названия, как графы Gi9 /=0(1)6. Кроме того, все эти семь раскрасок элементов графа согласно теореме 1 сведены к раскраске вершин соответствующих им графов. Применение метода ср-преобразований к исследованию хроматических свойств графов диктуется самой сущностью этого метода. Идейно этот метод базируется на том, что при исследовании свойств пространства SC часто бывает выгодно рассматривать его как ср-°браз другого,, более простого или 280
более изученного пространства X при ср-преобразовании ср: X -*> $£• Тогда если jT есть граф, хроматические свойства которого исследуем, то за X выгодно взять набор цепей, циклов, полных графов и т. д., хроматические свойства которых известны. Для нахождения необходимых и достаточных условий гс-раскрашивае- мости графа рассмотрено ср-преобразование ?«.,: 2*£*>. U 2-ВД -*(G,G*), \п=1 j—\ i — \ ) каноническое представление которого имеет вид / dJ dJ \ ?ш=Дх?/. ?ш \в. ■ (Д ку*\ 2. *й>] -> (stdy ({а,}г. КН>)), 7 = 1(1) д. Через ^ обозначено множество всех образов ср-пРеобразования ср(п)# 8 частности, ^2 — множество всех графов, а $ъ включает графы, триангулирующие 2-многообразия. Введено понятие приводимости графа X' и доказаны следующие теоремы [14]. Теорема 10. Для того чтобы граф G£$n был п-хроматическим, .необходимо и достаточно, чтобы граф X' ^ К^\ G\ был приводимым. Найден также критерий /г-раскрашиваемости произвольного графа. Теорема 11. Для того, чтобы граф G был п-раскрашиваемым, необходимо и достаточно, чтобы он был частичным графом некоторого графа G£$n и чтобы граф X' [ 2 -^wA)» G ) ^ЫЛ приводимым. При /2 = 2 X'^L(G); если /2 = 3 и выполняется условие dy = 2, / = = 1(1)3/?г/2, то граф G триангулирует некоторое 2-многообразие av и <$?' ( 2 ^зЛ)> G]^D(G, f, v), где /:G->ov, a D — дуальный граф этого вложения. Теорема 12. Граф G 3-раскрашиваем тогда и только тогда, когда GCG и G, (Yx£G°) (р (х, G) = 0(mod2)), триангулирует ориентируемое 2-многообразие ov рода v, a D (G, f, v) хордово натягивается на некоторый приводимый фактор-граф F. Из этой теоремы следует теорема Круля [15] о 3-раскрашиваемости плоского графа. 4. Представление 2-многообразий и графов при помощи графов Вложению / : G -> av графа G в 2-многообразие av сопоставляются пары пространств N= U V F= U zJk, p<U°AG, f)\, sJk£o,(G,f), k=l,2 k=l,2 sv(G,/)— множество связных компонент пространства °v\/(G). Определение 8. Представлением 2-многообразия av на 2-многообразии av с образующим графом .F и вырезкой N называется композиция Фъ7 (F, N)^<?: (о,\(# V), Л - (°7. Ut <) 281
у—v ср-преобразований T,:(Vi\(^mV«). */„ t *у„)-* (^МЛ'М), 2*), tf*-i= U *У,ь ^-i= U «/,*, #„ = #, F0 = F, при ZjilC[zJ# = 0, i = l(l)p, 4 — p = v, F = g(<5,>y). Определение 9. Граф бсо, называется графом (у, 7)-представления графа G рода у, если существует такое представление Ф , что #(Ф„ )=Ft Fd6 и Ф, L:3->G. Найден ряд свойств таких представлений 2-многообразий и графов, а также достаточные условия для того, чтобы данный граф был графом представления, послуживших основой для построения вложений графов в 2-многообразия и для исследования свойств этих вложений. Например, если Р (F) — клеточное число графа F, то имеет место следующее утверждение. Теорема 13. Если <S¥(T|g:£->G, g(<6^) = F, F(z6, F = F1 + F2r $(F1) = $(F2)y a°(Jf71) = a°(G), вырезка для графа F2 плоская, а среди вершин графа F не имеется у-гомеоморфных между собой, то v>(T(G)-2a°(G)-5)/5. Проведено исследование характера минимального вложения полного графа Кп в ориентируемое 2-многообразие a , базирующееся на представлении Ф с помощью образующего графа F = g((b^ ) представления. Граф F должен быть фактор-графом графа Ёп С av, являющегося (у (Кп), 7)-представлением графа Кп С о. Например, в случае представления Ф0,Т(гя) за образующий граф принят граф G = FX + F2, Fx = (J z4, ij > 3, | F\ \ = n, Pl (Fx) = T (Kn), F2 = Д] 2y2. Между вершинами вложенного в a0 графа /^ добавляется на a0 |jF{| непересекающихся ребер ul=:(aiiai2), a^, a^G^F0, с таким расчетом, чтобы образ $ полученного графа Kn = F-\- 2 ui ПРИ сокращении *!,.:(*.. 2 «> + *#) - [*' 2*7') ср-преобразования Т : ( ао\ 2 (sji + *уг)э F) -> (ат№)> ^*)> dsjt = Zjt, ZjtdFt, t=l, 2, был минимально вложенным в ат(А;г) полным графом Кп. Показано, что порядок п связного плоскостного графа F1 при р1 (Fx) — = Y(irj удовлетворяет неравенствам 3^/2^28, а если существует такое вложение / :F1->oQ и такая 2-клетка s £ aQ (Fx, /), р0 (°0\/ (7^)) = у (ЛГЯ) + 1 > что граф /(^i) триангулирует 2-многообразие a0\s, то удовлетворяет неравенствам 11 ^ п ^ 28. 5. Произведения графов Одним из способов построения новых графов является задание бинарной операции в некотором множестве графов, порождающей новый класс графов. Начиная с 1957 г. различными авторами был предложен ряд бинарных опера- 282
ций, применение каждой из которых к графам Gx и G2 порождает новый граф на декартовом произведении множеств вершин заданных графов с множеством ребер, определяемым смежностью вершин графов Gl9 G2. Полученные таким образом новые графы были названы произведениями графов Gx и G2. Метод ср-преобразований позволил довольно просто описать все возможные произведения двух графов, т. е. бинарные операции, ставящие в соответствие двум данным графам некоторый новый граф, заданный на де* картовом произведении множеств вершин графов-сомножителей, множество ребер которого определяется смежностью вершин графов G1 и G2. Оказалось, что множество всех произведений двух графов Gx и G2 образует булеву алгебру с операциями пересечения и некоторого ср-преобразования. Доказано, что всего существует 256 различных произведений двух графов. Введено множество базисных графов {Gz}f булевой алгебры всех произведений двух графов, доказано ряд утверждений. Теорема 14. Произвольное произведение Gfar^i) графа Gly GJ = (ajj7*, на граф G2, (^ = {6^}?, является образом графа ^ Gv G°l = {{а.Ь^)}^=1 Sv при ^-преобразовании I т п \ Таким образом, любое произведение определяется соответствующим набором графов {Gz}z6<23> 33 G ^8> следовательно, свойства базисных графов и упомянутого ср-преобразования полностью определяют свойства данного произведения. Такой подход позволил найти ряд свойств произведений двух графов. ЛИТЕРАТУРА 1. Alexandroff P. On some results concerning topological spaces and their continuous mappings. — In: Proc. Symp. Gen. Topol. Prague, 1961, p. 41—54. 2. Хоменко H. П. ср-Преобразования, топология и алгебра графов. — В кн.: Теория графов. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1977, с. 5—45. 3. Хоменко М. П. Метод ср-перетворень та деяю його застосування. — В кн.: <р-Перетво- рення граф1в. Киев: Вид 1н-ту математики АН УРСР, 1973, с. 35—96. 4. Хоменко Н. П. Топологические аспекты теории графов. — В кн.: Топологические аспекты теории графов. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1971, с. 5—63. 5. Хоменко Н. П., Лысенко Н. В. Некоторые свойства ср-преобразований: Препринт Ин-та математики АН УССР, 77-25. Киев, 1977. 36 с. 6. Хоменко Н. П., Яворский Э. Б. Свойства ср-преобразований графов и 2-многообра- зий. — Укр. мат. журн., 1971, 2, с. 190—200. 7. Хоменко Н. Я., Яворский Э. Б. ср-Преобразование графа представления: Препринт Ин-та математики АН УССР, 70-7. Киев, 1970. 28 с. 8. Nordhaus Е. A., Stewart В. М., White А. Т. On the maximum genus of a graph. — J. Combin. Theory B, 1971, 11, N 3, p. 258—267. 9. Хоменко M. П., Островерхий M. О., Кузъменко В. О. Максима л ьний рщ граф1в. — В кн.: ср-Перетворення граф1в. Киев: Вид. 1н-ту математики АН УРСР, 1973, с. 180. 10. Xoung N. Н. Sur les immersions d'un graphe dans les surfaces orientables. — C. r. Acad, sci. Paris, 1976, A283, N 10, p. 745—747. 11. Xoung N. H. Sur quelques classes de graphs possedant des proprietes topologiques re- marquables. — C. r. Acad. sci. Paris, 1976, A283, N 11, p. 813—816. 12. Rinaeisen K. D. Survey of results on the maximum genus of a graph. — J. Graph. Theory, 1979, 3, N 1, p. 1—13. 13. ср-Перетворення граф1в / Шд ред. Хоменко Н. П. Киев: Вид. 1н-ту математики АН УССР, 1973, с. 38. 14. Хоменко Н. Я., Лисенко Н. В. Необходимые и достаточные условия ср-раскрашивае- мости графов. — В кн.: Теория графов. Киев, 1977, с. 107—114. 15. Krol М. On a sufficient and necessary condition of 3-colorableness for the planar graphs I. — Pr. nauk. Inst. mat. i fiz. teor. PWr., 1972, 6, s. 37—40. 16. Теория графов. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1977. 216 с.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 X. ЦИШАНГ (Бохум, ФРГ) О ПОДГРУППАХ СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП 1. Введение В свободном произведении конечных циклических групп мы рассматриваем подгруппы, которые порождены элементами конечного порядка, и получаем результаты, похожие на известные теоремы о подгруппах свободных групп. Заданные элементы можно переводить элементарными процессами в «сокращенную» систему X, состоящую тоже из элементов конечного порядка, и порожденная подгруппа является свободным произведением групп <(х\ xnix)y, х£Х. Более того, если две сокращенные системы образуют одинаковые подгруппы, то они совпадают (теорема 2.15). В любом смежном классе находится точно один несократимый элемент. Вместе они составляют систему представителей смежных классов относительно <(Х)> и эта система имеет свойство Шрейера. Применяя метод Рейдемейстера—Шрейера, получаем снова образующие X (теорема 4.2). Кроме того, можно решить, когда индекс подгруппы ^Х)> конечен. Отсюда легко следует, что существуют бесконечно много подгрупп конечного индекса, которые порождены элементами конечного порядка. В дальнейшем <^S\Ry обозначает группу с образующими S и определяющими соотношениями R. Если G — группа и XdG, то <(Ху обозначает подгруппу в G, порожденную X. 2. Сокращенные системы элементов конечного порядка в свободном произведении циклических групп Пусть G = * G{, где G. = <Х-1 Ц1У — Zw,., а п.^2. В G мы вводим порядок в несколько шагов. 2.1. Любой элемент gQG, \=^g, имеет однозначно определенное представление 2.2. g = g1...gk, где l=£gj£Gi{j) и i(j)=£i(j+l) для 1</<А (см. [1, § 33; 2, IV.1.2; 3, 4.1]). Тогда L(g) = k называется длиной элемента g. Кроме того, определяется Z,(1) = 0. Мы часто записываем g в виде 2.3. g = u1z{g)u~\ где Lfa) = Lfa), L(z(g))^l и L (g) = L fa) + -\- L(z (g)) -f- L fa). Здесь иг называется передней половиной, и~1 — задней половиной и z(g) — ядром элемента g. 284
Фактор g, из 2.2 является степенью образующей ti{.y Теперь фиксируем- экспоненту следующим образом: ., О<с (/)< п{w при 1 </<(ft + 1)/2, 8i - Ъ&> гДе _n<c/j < с (/) < о при (ft + 2)/2 < / < ft. 2.4. Пусть / вполне упорядочено с помощью <^. Мы определяем Ц <[ tA. (0<C.c<^n., 0<^d<^rij), если или i<ZU или i =/, и c<^d. Далее вводим; в множестве всех начальных половин № ■ ■ ■ tfrJ I *(/) €/. i (/) Ф i(/ +1). о <с(/)< «„„} лексикографический порядок, т. е. более точно Ml) Mm) <" fd{\) fd(m') если или m<^m\ или m = m' и имеется Z, l^Z^m, где г (ft) —/(ft) и c{k) = d(k) для l<ft<Z и #{}<${]. 2.5. Отсюда получается порядок в G следующим образом. Пусть g = = ихъ (g) и"1 и g' = u[z (gf) u''1. По определению g -^ g\ если верно одно^ из следующих условий: L(g)<L(g'); L(g) = L{g')9 H1<aJ; L(g) = L(g'), u1 = u'v u2<u'2; L(g) = L(g')f Hj = и[, и2 = u'29 z(g)<z (g'). 2.6. Лемма. Порядок -< является полным порядком на G. 2.7. Определение. В дальнейшем X = (ж .) .6J — система элементов конечного порядка из G. Тогда xj = иу ' *?(# * и?> где ° < а ^ < nW Сначала опишем несколько элементарных переходов от X к другой системе: X' = (x';)jej,. (а) Для ft, Z£/, к =^\, и d£Z имеется ^ ^ жу при /G J, /=^= ft, ■>" I x-jdxkxj при / = ft. (b) Пусть uk^=ul и i(k) = i(l) для ft^Z^/. Тогда можно перейти от X к X'= (ж)^, где f жу при /(]/, k=£j=£l, х)=\ акЦыиЪ1 ПРИ / = *> v 1 при 7 = 2» где a = (a(ft), a (Z)). (c) Допускаются перестановки системы X и замены некоторых элементов Жу своими обратными. (d) Можно заменить элемент х. на его степень хъ если ж. есть степень элемента хьр т. е. (а (/), ni{J)) = {ba(j), ni(J)). (e) Если жл = 1 для некоторого ft£/, то можно опустить хк, т. е. перейти от X к X' =(Xj).ej„ где // = /\{ft}. Обратный процесс также* разрешен. 285
Конечные композиции переходов (а)—(е) называются разрешенными переходами. Если можно перейти от X к X' такой последовательностью, то X и X' называются эквивалентными. Шаги (а) — (с) соответствуют свободным изменениям образующих, a (d) и •(e) не соответствуют. Из определения сразу следует 2.8. Лемма. Если X' получается из X разрешенными переходами и если все элементы из X имеют конечный порядок, то и элементы из X' имеют конечный порядок. Кроме того, (Ху = (Х'у. В дальнейшем мы упрощаем написание и больше не пишем нижних индексов /£/, а понимаем X как упорядоченную систему и пишем просто х £ X вместо х,, / £ / и i(x) вместо i (/). Теперь один и тот же элемент g£G может повторяться в X. Далее будем писать * = и*Ц\%)**> гДе L(x) = 2.L(ux) + l. 2.9. Лемма. Пусть для х, х' £ X имеет место L (х) ^L(x') и L (x'xd) <^ <^L(xr) или L(x~dx')<^L(x'). Тогда или L(x~dx'xd)<^L(x'), или х и х' являются степенями одного элемента, сопряженного к tUxV В первом случае можно заменить х' на произведение x~dx'xd переходом 2.7(a). Доказательство. Пусть в нормальной форме х = их ... upz (х) и~1 ... . . . и~1, х' = и[ ... u,z(x,)u'q-1 . . . u'f1 и пусть L(x'xd)<^L(x'). Если L (.х) < <£(#'), то /?<д и Uy = Uj при 1^/^/> и up+1 = z(x)d. Итак, x~dx'xd = иг . ,. upz (x)~d upl ... u~l • u[ . . . u'z (x') u'~l . .. u[~l • -щ ... upz (x)d u-1 ... u~\ = = ux... upu'p+2 ... u'qz (x') u~l . . . u'-^u-1 . . . u-\ значит, L{x~dx'xd) < 2 (q — 1) -f \=L{x') — 2. Если L(xr) = L(x), то иj = и^ при 1<С/<^/> и z (xr) z (x)d = l, т. e. xf = x"d. 2.10. Лемм а. (а) Пусть x, x £ X, L (x) <^ L (x) и L (xx) = L (x) или L (x~lx) = L (£)« Тогда имеется такое d^Z, что или L(x~dxxd)<^L(x), или x~dxxd ^Г х'ьххь для всех b£Z. Теперь можно заменить х на элемент x~dxxd и это есть разрешенный переход. (Ь) Пусть L(x) = L(x) и х • хс -< х или х~с-х^х. Тогда и± = их и i (х) z=zi(x) и имеется разрешенный переход, если заменить (х, х) на uJux)a*l> где а = (а(х), а{£)). Доказательство, (а) Пусть х = иг ... upz (х) и~1 . . . и~1 и х =^= й± ... . .. uqz(x)u~l . . . й-1. Тогда Uj = uj при 1<у</? и up+1£Gi(xV значит, йр+1 = Ц{х) для некоторого с £ Z. Теперь мы выберем такое d £ Z, что для минимального элемента 8 из {т1т^>0, у = а (х) • Ъ -\-с mod ni(xV где b^Z) имеет место о = а (х) • d -f- с mod ni{xy Если 8 = 0, то L(x~dxxd) <£(£) — 2. Если 8>0, то Ь(йх ... uptbi{x)) = = Ь(йг ... йрЦ{х)), а йг ... u/i(x) < щ ... йрЦ(х) для всех Т = а (х) Ъ + -f-cmod л4.(ж), Ъ^Ъ. Поэтому x~dxxd ^х~еххе для всех e£Z. Замена элемента х на x~dxxd разрешена. (Ь) Р1з «rf -< f сразу следует их = щ и j(«r) = i(f). Если теперь 1^ ^а(х) ^а(х)<^пих), то можно заменить х на элемент х' =х~гх и получить 0 ^ а (х') <^ а (х). Повторение этого рассуждения, т. е. евклидов алгорифм, переводит пару (х, х) в {ихЦ{х)и~1, 1), где а = (а(х), а(х)). Наконец, лужно применить еще переход 2.8 (е). 286
2.11. Определение. Система X элементов конечного порядка называется сокращенной или несократимой, если нельзя заменить элементы из X другими ранее стоящими по порядку -< элементами или опустить элементы. Значит, в сокращенной системе нет двух членов, которые являются степенями одного элемента. 2.12. Предложение. Любая конечная система элементов конечного порядка эквивалентна одной сокращенной системе. Доказательство. Если X конечно, то возможно только конечное число сокращений, употребленных в 2.9. После этого останется конечное число половин элементов из X и при всех переходах из 2.10 такие половины заменяются такими же ранее стоящими по порядку <. Поэтому сокращать можно только конечное число раз. Пусть gj = ujl ... ^mfy)2(^y)^w(y) . .. u-\£G в нормальной форме, т. е. L(gj) = 2m(j) + e, е£{0, 1}, и пусть g± . . . gn=y1 ... yk, где l=£yt£Gp(n и p(i)=^= p(i~{-1). Мы говорим, что некоторый символ v £ {Ujr, ujr, z(gj)} участвует в у , если после сокращений у есть произведение таких символов pi среди них находится v. Сразу видно: 1. В одном у8 может участвовать не больше одного символа iijr1 ujr, z (g.) ^при фиксированном /. 2. Если два символа vv v2 из одного gj участвуют в yq и yr, q < г, то yq+v . . ., уг_х совпадают с символами в g. среди v1 и v2. 2.13. Лемма. Пусть X — сокращенная система элементов конечного' порядка и пусть g = хсг1 ... xfy, где Xj = Ujl . .. uJm{J^]u^miJ) ...и-.\£Ху Xj =£ xJ+lf xy ^ 1. Пусть в нормальной форме g = уг ... yr. (a) Тогда Ур = и1Р пРи 1</><иг(1), Уг+i-p^u-p- при 1<р<га(д) и ядра z (x\i) и z (хспп) участвуют в ут{1)+1 и уг_тЫ) соответственно. (b) Любое у8 равно одному из следующих элементов: ujr, *#, z(x°j), urjlltmiJ)+1z(x°J) (здесь m(j— 1)>га(/)), * И'К+1, т(Я+1 (здесъ ^(/)<m(7+l)), в£ву+1>г, u?-i,mv»iz(xe/)aj+i.'nW+i (sdecb ™(i)<™(] — 1), m(/+l)). Для уг и yr последние два случая невозможны. (c) L(x°:...xy)^\(L(xi) + L(xj)-2) + n для 1<*</<д, L (х^ . . . хспп) ^ max {L (х.) | 1 < i < п). Доказательство по индукции по п. Для п = 1 все ясно. Пусть теперь утверждение верно для хс^ .. . хсп^, п— 1^1. Можно предполагать,, что х{> ... afei сокращает ип1 .. . ипт{п) целиком, ибо иначе z (хспп) а^{п) . . . и~\ осталось бы неизменным и утверждение доказано. Если L (хп) < L (х^), то tt-i./ = B„y Ддя 1</<^(/г). Если иД,м(я)+12(я?;-) = 1, то L(x^nx^xfr) < <^L(xn_1), что противоречит сокращенности X. При u~\t m(n)+lz (хспп) =^= 1 утверждение доказано. Если L(xn) = L(xn_1), то z(xn_1) и z (хп) из разных групп С. и z (а^) сохраняется неизменным. Итак, можно предполагать, что L (хп) > L (хп_^) и хс^ . . . хсп^ = у[ . . . y's с y's-p+1 = u-lltp при 1</><иг(д1—1) и ^_w(w_1) = 2feT0 ИЛИ В"±2> m{n_1)+lZ (х%?). 287
Здесь z{xcnn-i)un^m{n_lnl=£l, так как иначе L (xfc*xnx£*-i) <L (хя) и это противоречит сокращенности X. Отсюда вытекает утверждение в первом случае- Пусть теперь ц-\ m(n_l)+lz (хсп«_?) иПу w(^1)+1 = 1. Тогда снова получается противо. речие с сокращенностью X, так как z (afc1) =^1 и степени образующей 1{ ^вполне упорядочены. Утверждение (с) следует из того, что разные ядра z (xcJ) не участвуют ъ одном у^ 2.14. Следствие. Пусть X — сокращенная система элементов конечного порядка. (a) Если 1 =^=g£<Х>, то имеются такие х, х£Х и с, с^1, что gxc -< g и хёg Ч g. (b) Если I =j£= g = Ш(!иГ1 £(Ху, то или g = xb для некоторого х£Х, или существуют такие х£Х, e£Z и x~egxe -< g, что L(x)<C.L(g). Доказательство. Мы используем обозначение из 2.13: а# . . . хспп = g = уг . . . уг. Если ym[1)+1 = z(x^), то Ь(ж^)<г—1. По 2.13(b) ymam = z(xeil)u29maw Из х2 -< х\^х2хс^ следует x~c^g -< g*. Второе утверждение из (а) и (Ь) доказывается таким же путем. 2.15. Теорема. Пусть X — сокращенная система элементов конечного порядка в группе G = * Gv где G{ = (t. \ t%*y ^ Zn. при пг^2. Пусть N = = max {L (x) \ x £ X) и x — и^[%]и~1, где 1 ^ a (x) и a(x)\ ni{xV m. e. a (x) > 0 минимально для всех нетривиальных степеней элемента х. (a) Пусть g£G и L(g)^> N и пусть имеет место одно из следующих условий: (i) для некоторого с^1 имеется 1 =^= gc £(JCy\ (ii) [G:<X>]<oo. Тогда или g сопряжено элементу из одного множителя Gt, или существуют «такие xv х2£Х и d, e£,Z, что gx[-^g, х\д -< g*. (b) <Ar> д* * (x | xnix)y, где n (x) = ni{Ja (x). x£X (c) Если X и Y — две, сокращенные системы элементов конечного порядка и если /X)> = <Y)>, то X = Y. Доказательство. Если [G : <^Г>] <^ оо, то существует такое с ^ 1, что gc ^<^Ху. Если gc = l, то g — элемент конечного порядка и поэтому сопряжен элементу из одного множителя [2, IV.1.6; 3,4, 1,4; 4,(11.11)]. Иначе выполнено условие (i). Пусть gc=xfi ... х*»9 где Xj £ X, 0<d, < ni{Xj)\a (Xj) и x.^xJ+1 для 1</</г, и пусть g = u1z{g)u~\ где L(g) = 2L (иг) -\-L(z (g)), L{u1) = L(u2) .и L(z(g))^l. Кроме того, и1=ий1 и и2 = ий2, где Ь(и.) = Ь(и)-\-Ь(й4) и L (й2) -j~ L (щ) — 1 <С L {й-1й^}. Тогда gc = и (uxz (g) щ})с и'1. Если п = 1, то gc = xdL — (uXlta(*^xllYl и g имеет конечный порядок, значит, g сопряжено элементу из одного множителя. Поэтому можно предполагать п ^ 2. Тогда x~d^gc-^ gc по 2.14(a). Из L^XL^) следует х-^ий^к^ищ и отсюда .x~dig-^g. Теперь (а) доказано, (Ь) следует из 2.13(c). Чтобы доказать (с), мы упорядочим элементы из X и Y их длинами. Пусть X = U Ar., Y = U F., где L{x) = L Су) = 21 -f 1 для ж £ X. и г/ £ У, соответ- 1=0 *=0 ственно. Пусть к — первое число, для которого Хк =^= Yk, значит, Хг = = Yv...iXk_1 = Yk_1. Пусть имеется y£Yk\Xk. В силу 2.13 (с) */£<Xfc> 288
и в силу 2.14 (Ь) имеются две возможности. Если существовали бы такие х£Х и e£Z, что х~еухе -< у и L(x)<^L(y), то х £ У и Y не могло бы быть сокращенным. Поэтому имеются такие х £ X, & £ Z и г/ = ж6. Теперь L (г/) = L (ж), я^и^^и"1, yzz^ujbf/^u-1. Пусть х представлено в виде произведения элементов из Y. Снова принимается 2.14 (Ь) и 2.13. Так как все элементы из У, которые короче х, принадлежат X, то элемент х равен степени некоторого yi£Y:x = y(. Тогда у1 = ихй{х)и~\ где fd = а (х) mod ni(x). Если у^у, то можно применить 2.7 (с) и (е) и сократить Y. Поэтому уг = у, а х и у образуют ту же самую подгруппу, значит, z (х) и z (у) равны одной и той же степени tiixV значит, х = у. Это противоречит предположению у§Хк. Случай x^Yk получается таким же путем. 3. Несократимые представители смежных классов Пусть G = * G{, где G. = (t. \ £?*')> = Zw., и пусть X С G — сокращенная система элементов конечного порядка. Мы хотим определить представителей правосторонних смежных классов <(X>g. 3.1. Определение. Элемент g£G называется несократимым, если выполняются следующие условия: (a) Для каждого х^Х и d£ (1, 2, . . ., ni(x)/a(x)} имеет место L(x~dg)^ >L(g). (b) Если для x^zuj'-l^u-1 в (а) стоит равенство, то g = Ka$(*)£» L(g) = = L(ux)-{-l+L(g) и 0<c<a(x). Из определения 3.1 следует 3.2. Предложение. Для g^G существуют такие, элементы xv ... ...,xkf+X и такие показатели dv...9dk, что выполняются следующие условия: (a) g. = xfi . .. x~d*g, 0 < i <Л; (b) &-<?<_„ 1<г<&; (c) gfr несократимо. 3.3. Лемма. Пусть g, h£G — несократимые элементы и пусть ghT1 £ £ <(Х>. Тогда g = h. Кроме того, g имеет минимальную длину среди всех элементов своего правостороннего смежного класса (Xyg. Доказательство. Пусть ghT1 = xd» . . . ж^>, где х . £ X, 0 <^ d . < <niixj)la(Xj), Xj=£xJfl9 и пусть g = g'v, h = h'v, где L(g) = L(g')-f-L(i;) и L (Л) = L(h') -\-L (v). Кроме того, предполагается Z, {ghT1) = L (g"'/*'"1). Тогда g'=x**... xd/_~y и /г'"1 = ybx%X' • • • <», где y=-uXfti{Xf)Ux), xf = ya(x/\ 0<;a, 6, и a-{-b = a(xf) - df. Здесь L / /д/_,ч _ f ^ (£') -f ^ (*'), если a = a (xf) • df, [§ '~[L(g') + L(h')—l, если 0< a <a{xf) . d,. При />1 или / = 1 и a = a(xf) • df получается L{x-d^g')<^L{g') и L (а^г) = L {x-^g'v) = L (ж-V) + L(v)<L (gf) + L.(y) = L (g). Это противоречит несократимости g*. Таким же путем доказывается, что не может быть п — / ;> 1. Поэтому /г=/ = 1 и a^a (жх) • dr 289
В дальнейшем мы пишем просто х вместо х1 = х* = хп и не будем писать» нижние индексы. Пусть в нормальной форме в * G{: g'=Pi ••• Л, h' = q1 ... qp x = uxz(x)u-\ где uxr=iu1 ... umW и z(x) = %{%]. Тогда в нормальной форме g^h,'1 = f Pl'" Pkqjl ' ' ' qi1' если Pk и Ql \ Pi-- Pk-i (РЖ1) ЯТ-i • • • 9T1 B nI из разных множителей^ противном случае. Кроме того, левая часть из Ul • * * ит(х)Сг(х) um{x) • • • И]_ X g П имеет нормальную форму, следовательно, 9 / \\л Г /^ —f— 1, если рк и qx из разных множителей, с* * ТТЬ \Х) г— JL ч { к-\~1 — 1 в противном случае. Пусть L (gf) > L (/г'). Если рк и #, из разных множителей, то т (x) -f-1 < /сг т.е. ву = />у при 1</<7и(ж) и %[%]'* = рт(яИ1. Поэтому x'dg'=щ . .. • • • итшРгщх,+2 • • • Рю следовательно, L (x~dg) = L (x'dgfv) < L (g') -f L (у) = = L(g). Это противоречит несократимости элемента g. Если pknql из одного множителя, то 2 • тп (х) -{- 1 <[ 2/с—2, т. е. т(ж)+1<С^- Поэтому также Х 8 = А. * * * Рт[х)Рт{х)+2 • • • Рк и получается такое же противоречие. Рассуждение для L(g')<^L(h') аналогично. Следовательно, L(g') = L(h') и L{g) = L(h). Теперь получается Pj = qj = = Uj при 1^/^ш(ж) = /с— 1=Z— 1 и pk = tri(X), qk = t*i{xh где г — s = = а(ж) • dmod/2t.U). Так как g и h несократимы, то следует из 3.1 (Ь), что 0<С^> s<^a(x). Значит, г = s, т. е. g'=h' и g = h. Что несократимый элемент имеет минимальную длину в своем смежном; классе, следует из 3.2. t В одном смежном классе, очевидно, могут находиться разные элементы минимальной длины. Для них выполнено 3.1 (а),^ но не 3.1 (Ь). При а(х) = 1 стоит строгое неравенство для любого несократимого элемента ^ в 3.1 (а).- Отсюда следует 3.4. Предложение. Пусть G = *G., где G{ = (t. | £?*')> ^ Ъпр и пусть- X С G — несократимая система элементов конечного порядка. Пусть выполнено одно из следующих условий: (a) Любой элемент х£Х имеет eud.x — uxti{x)u-1. (b) Если g£G имеет конечный порядок и 1 =^= gc £<Х>, то g £ (X}. (c) Все порядки ni (i£I) — простые числа. Тогда в любом смежном классе имеется точно один элемент минимальной длины. Другими словами, для несократимого элемента g£G из L(xdg)=^ = L(g), где х^Хи d^Zt следует, что xd=l, т. е. в 2.1 (а) стоит всегда, строгое неравенство. 290
3.5. Обозначения. Пусть w £G = * С. и w = wx . . . wk, где 1 =^= =^=Wj^Gi{j) и i (j) =?L i (j-\- 1). Тогда частями элемента w называются выражения w1 . . . itft. (О ^ / ^ /с) и элементы, представленные в таком виде. Несократимый элемент из смежного класса <(Х> z обозначается через z. 3.6. Лемма. Пусть w — несократимый элемент, t. — образующая и х : = = wi. • wtj1 т^= 1 • Тогда х = и^Щи'1 £Х и, более того, w = и?/**'1 и ] = i(x). Доказательство. Пусть WtjWtj1 = х** ... Ж^»и, где яА,£Х, xk=^=xh+1 и 1 ^d7.</г1(ЖА.). Из wtj=^Wj следует т^\. Пусть /?г^2. Так как X — сокращенная система, то, следуя 2.13, ядро z(xf^) участвует в некотором множителе и = ЬьцХ1\ нормальной формы элемента wt.-wtj1. Здесь можно предполагать, что 0<^fe<^ ft»(*i)- Пусть v находится в w. Если v = z (х**), то L(x\dw)<^L{w), что противоречит несократимости w. Иначе в v участвует и ц2> ш(Х])+1 = #(Ж]), где х2 = и21 . . . Иг.шс^^^и^шс^) * * * ,..ит2\, т(хъ)^>'т{х\) и 0 <с < м»^,). Из 2.13 следует, что где a(x1)d1 ^ 0 mod ^(iCi). Поэтому b=^c. Если b<^c, то xdix2x~di -< #2, что противоречит несократимости X. Если с<^Ъ, то x~dw<^v и x~d4V <^w, что противоречит несократимости ш. Поэтому у не находится в и?. Если у в tjivtj1, то получается, что ядро 2 (а^«) участвует в MtfJ1, а это приводит к такому же противоречию. Поэтому /тг = 1 и 3.7. wtjWt]1 = xd = uz(x)d 1Г1 для некоторого х £ X. Пусть w = vw' и wtj = vw", где L (м?) = L (у)-f- L(h?') и L (wtj) = L (v)-\- L{w") и L(w'~lw")^ L(w')-\-L(w")—1, т. е. у выбрано как максимальная общая часть элементов w и £#£,-. По 3.3 wtj имеет минимальную длину в смежном классе <(АГ> wt., следовательно, LKXiM + l- Кроме того, и; имеет минимальную длину в <^Г> £#£/ • £j\ итак, L(h?')<L(hO+1. Отсюда следует, что |L(m7')— £(и/')|^1, и положение выглядит следующим образом: w' = w'0s' и w" = wlsn9 где L(m?') = L(m?o)-J-L(s'), LK)=LK) + L(0, £К)=£К) и L(s'), £(*")<!• Кроме того, или L(s'), или Z,(s") равно 0. Уравнение 3.7 переходит в uz {x)d a'1 = xd = (vw'0s') tj {vwyy1 = (vw'0) (s't/) (w^)-1. Из L(xrf) = lmod2 ni(s'^M)<2 следует, что L(s,t/,'1)—l и u = vw'0 = = vw'q. Поэтому s' = teJ и s" = teJ, где 0<J>', е"<а(ж). Здесь или в', или в" равно 0. В случае е" > 0 имеем L {wtj) = L (и) -f L К) + 1 = L И -Ь 1. 291
Поэтому L(wtj) = L(wtj)- Но wtJ. = utJ. не может стоять после ut^. Следовательно, е" = 0 и Ш^иГ1 = wt. • wt]1 £ (X}. Из О ^С е' < а (х) вытекает er -j- 1 =а (х). 3.8. Теорема. Пусть G=*G., где Gi=^(ti\tniiy, и пусть X(zG— несократимая система элементов конечного порядка. (a) Пусть х = uji{%]u~l £ X. Тогда любая часть v от элемента их является несократимым элементом в своем правостороннем смежном классе <х>. (Ъ)Для несократимого элемента w£G имеются две возможности: 3.9. w является частью начальной половины некоторого элемента х£Х. 3.10. Существует бесконечная последовательность несократимых элементов и){ — и)и)\, i = l, 2,..., где L(wi) = L(w)-\-L (w[) = L(w)-\- i. (с)Если [G: <^2Г>]< оо, то в (Ь) возможен только случай 3.9. Доказательство, (а) Если v сократимо в своем классе, то существуют такие у = иJf^w1 £X и fe£Z, что или L(ybv) <L(и), или L(ybv) = = Ци) и v = uytci{y)v, где £(ы) = £(ыу)+1+£(Я) и а(у) <c</i.fyr Тогда: г/6^ < иж и уьху~ь -< ж, что противоречит несократимости X. (b) Если и? несократимо и нет образующей t. со свойством де^ т^ wtp то для любого ££/ элемент wt. несократим. Здесь L (wt.) = L (w)-}-1 для всех tv кроме того, которым кончается w. Пусть w1=-wti для некоторого ti со свойством L(wti) = L(w)-\-l. По инцукции получим или последовательность со свойством 3.10, или такие wn и £., /£/, что: wn = wv, где L(wn) = = L(w)-\-L(v) = L(w)-\-п, wn — несократимо и wnt.=f^wntj. Из 3.6 следует, что wn является частью некоторого х £ X. Так как и? есть часть wn, то получается, что и w есть часть х. 4. Несократимые элементы и образующие Рейдемейстера—Шрейера Теперь мы выразим элементы w из G = *G{, где Gi = (t.\t^y краткими словами через образующие {£. |t£/}: И7 = #|. .. $£, где i^.^=iJ+l и 0<^ау<[ <Cntj- Мы называем выражение #J . . . t^fii {l^l^k, 0^а<^аг) подсловом элемента w. Система U слов удовлетворяет по определению условиям Шрейера, если любое подслово элемента из U принадлежит U. Из классической теоремы Рейдемейстера—Шрейера (см. [2, П. 4.1; 3, 2.6] или [4, предложение II. 2]) следует 4.1. Предложение. Пусть Н — подгруппа в G и пусть U — система представителей правосторонних смежных классов подгруппы Н в G. Если g £ G, то через g мы обозначаем представителя смежного класса Hg подгруппы Н в G. Если U удовлетворяет условиям Шрейера, то S = {uti.M71\u£U, i£I, ut^U) является системой образующих подгруппы Н, а из R = {ut»*vr1\u€U9 *£/} получается система определяющих соотношений, если переписать слова atWvT1 через образующие из S. При этом это можно сделать следующим образом: 292
»t-l /=o 4.2. Теорема. Пусть X — система несократимых элементов конечного порядка в G — xG^ где Gi = (ti\tniiy, и пусть начальная половина их эле- мента х = uxtf*x)ux^ (О < а (х) < ni(xV L (х) = 2L (их) -f-1) представлена кратким словом через образующие t.. Пусть U — система всех несократимых элементов из G и пусть они представлены краткими словами. Тогда: (a) Все подслова передних половин их, х(*Х, принадлежат U. (b) U является системой представителей правосторонних смежных классов группы G по (Ху и удовлетворяет условиям Шрейера. (c) Из системы образующих Рейдемейстера—Шрейера для подгруппы <(Х>, которая строится с помощью U, получается X, если пропустить все те образующие, которые (очевидно) также являются соотношениями. (Такие случаи возникают, только если w = w'tnJ'1 и L (w) = L(w')-\-l. Тогда wti = w' и w^wij1 = w't**w'~l = 1.) (d) {xmx\x£X, тх = пЦх)/а(х)} является частью системы определяющих соотношений подгруппы <^Ху, которые получены с помощью метода Рейдемейстера—Шрейера. Остальные соотношения, полученные этим методому равны формальным образующим, которые описаны в (с). (e) <Х> ^ /X | {х" | х G Х}> ^ * Ътх. Доказательство. Пусть v — подслово их, х(*Х. Если элемент v сократимый, то существуют такие х' £X, d£Z, что L{x,dv)<L(v) или L(x'dv) = = L(v)m x'dv < v. Пусть ux = t\... t%, v = t%... ft-% (0 < a < ax), x' = = u>x'fi(x')ihc1' и uxr—tj\ . . . tf^ здесь предполагается, что все элементы написаны в нормальной форме. Тогда ]1 — i1,...^ jm = im, a1 = b1, . . ., am=bm и i(x') = im+v Пусть с равно а при т -f- 1 = 1 и равно ат+1 при ra-f-l<l, тогда мы определим / следующими соотношениями: d • а (х') + с = / mod /г^,), 0 < / < /г^,). Так как х' v <^ и, то имеет место / <^ а и отсюда получается противоречие ,т' жж' -< х. Поэтому все подслова их передних половин элементов х £ X несократимы и тем самым принадлежат U, т. е. (а) доказано. Утверждение (Ь) следует сразу из (а), 3.2 и 3.3; (с) и (d) получаются из 3.6 и (а), а (е) есть следствие из (с) и (d). В случае \G: (Ху\ <^ оо можно усилить 4.2 с помощью 3.8 (с). Так как тогда случай 3.10 не возникает, мы сразу получаем 4.3. Предложение. Если в условиях 4.2 |G:OT>]<oo, то U равно множеству всех подслое передних половин их, х £ X. 4.4. Предложение. Пусть X — конечная несократимая система элементов конечного порядка и пусть N £ Z — минимальное число со свойством L (х) ^ 2/V -|- 1 для всех х£Х. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (а) В любом смежном классе <Х> g находится элемент g длины L (g) ^ N. (Ь)ГС:<Х>]<со. Доказательство. Пусть (а) имеет место. Тогда (Ь) очевидно верно, если / конечно. В противном случае имеются образующие tj=^=tk, которые 293
совсем не участвуют в элементах из X. Тогда (tjtk) несократимо и имеет длину 27V. Это противоречит (а), так как по 3.3 несократимый элемент имеет минимальную длину среди всех элементов своего смежного класса. Пусть теперь (Ь) верно. Если / содержит только один элемент, то доказывать нечего. Исключаем временно тот случай, когда X состоит из двух элементов и оба имеют порядок 2, т. е. когда G является бесконечной группой диэдра. Пусть теперь g несократимо и L(g)^> N. Мы предположим, что нормальная форма для g кончается элементом Ц (0 < а <С пд- Построим элемент v £ G со свойством g • vk • g"1 (j<(Xy для всех /с^>1. Если |/|>2, то возьмем /?, Я б^ (р¥=Яу р¥=^¥=Я) и определим v = tptq. Если / = {г, /} и ni^>^-> то v = t.i%, где а — Ъ ф 0 mod п{. Если п. = 2, то п.>2и мы выберем v = tjtjj. Если для такого v имеется элемент gvkg~1£(Xy, то, как следует из 2.14(a), существуют такие х£Х и c£Z, что хсgvkg~x -< gvkg'1. Поэтому gvkg~x сокращает заднюю половину хс и z (хс) уменьшает gvkg~1. Так как g не сокращается элементом vk, именно g и сокращает ядро z (хс). А это противоречит несократимости g. Тем самым доказано, что элементы dvk, к = 09 1, 2,..., принадлежат разным правосторонним смежным классам по <(Х)>, что противоречит (Ь). Следовательно, (а) верно. Наконец мы рассматриваем случай группы диэдра. Пусть / = {1, 2}. Из [G: <Х>] < оо следует, что X содержит больше чем один элемент. Пусть хх £ X — элемент максимальной длины 2/V -f-1. Можно предполагать, что x1=n(t1t^fiK Если в X имеется элемент вида y=z(t2t1)mt^ где т^О, то любой элемент из G можно сократить слева в элемент вида {^2)г tev где r^/V/2, е£{0, 1}, 2r-fe</V, или (^г)Ч{, где s <га/2, /£{0, 1}, 2a + /0<W. Если в X нет элемента такого вида, как у, то имеется элемент x2 = (t1t2)"ti (О ^ п <^ N). Рассмотрим элемент v.-„^-t(tt /--_( СА)*"*"1<» при *>2"< 1-212 ~ lll2) ~1 (*Л)2я-^ при /V<2rc. Первый случай исключается по предположению, а во втором L(x[) = 2(2n— — N)-{- 1 <^ 2N-\- 1, что противоречит сокращенности х. 4.5. Построение подгрупп конечного индекса. Мы хотим строить подгруппы вида (Ху, которые имеют конечный индекс. Для более удобного написания предполагаем, что / = {1, ..., т) и G = ZWl* . .. *ZWw. Пусть iV^l и С/, = {41...^|1<Г<т, ^у+1, 0<ау</г,., ^/^ где 1 ^к^т. Тогда мы определяем т Легко доказать, что X несократимо и что [G : <(АГ>] < оо. Система несократимых представителей смежных классов имеет вид {*•;... *-«|0</<ЛГ, l<ty<i», *y^iyrt, 0<ау<д.у для 1</<1). В случае т = N = 2 индекс равен 2/гхАг2 -[-1 — /гх — /г2. Этим доказана 4.6. Теорема. В группе G = ZWl* . . . * Z„m (/тг> 2, /г. >2) находится 294
бесконечное число подгрупп конечного индекса, которые порождены элементами конечного порядка. Из доказательства получаются и методы построения подгрупп конечного индекса, порожденных элементами конечного порядка. В конкретном случае легко описать все подгруппы рассматриваемого вида с «небольшим» индексом. ЛИТЕРАТУРА 1. Курош А. Г. Теория групп. 3-е изд. М.: Наука, 1967. 2. Lyndon R. С, Schupp P. Е. Combinatorial Group Theory. — Ergeb. Math., Berlin, 1977, 89. 3. Магнус В., Kappac А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. 4. Zieschang Н., Vogt Е., Coldewey H.-D. Flachen und ebene diskontiniuerliche Grup- pen. — Lect. Not. Math., 1970, N 122.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 М. М. ЧОБАН (Тирасполь, СССР) ОТОБРАЖЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ Введение. Постановка задач Рассмотрим непрерывное однозначное отображение / : X -* Y и свойство $*. Положим Q?f= {y£Y If"1 (у) удовлетворяет свойству df} и N^f=^Y\^f. Задача 1. Исследовать строение множеств $*^ и Nq^j в зависимости от свойств пространств ХиГи дополнительной информации об отображении /. Задача 2. При каких условиях множество No/**непусто? Задача 1 имеет глобальный характер. Конкретные результаты, относящиеся к решению проблем такого типа, очень разнообразные по содержанию, играют важную роль при изучении классов пространств и отображений. Подобные результаты мы можем встретить в работах А. В. Архангельского [4], Н. С. Лашнева [8], В. В. Филиппова [18]. Задача 2 представляет собой частный случай задачи 1. Конкретные результаты, относящиеся к ней, могут быть классифицированы как теоремы существования. Их значение раскрывается следующим общим редукционным принципом. Редукционный принцип. Пусть заданы классы пространств ^, ©??, <^, класс отображений X и свойство 3*. Следующие утверждения равносильны: 1. Пусть задано отображение f:X-±Y, где/£«3?, Х£о$ и Y£$8. Если Х^£3 и Г^, то N<ff^0. 2. Пусть задано отображение / : X -> F, где / £ «£?, X £ ^ П @), Y £ Si и N<Ff=0. Тогда Гб^. Результаты работ А. Н. Колмогорова [7], Е. Г. Скляренко |14, 15], Ю. М. Смирнова [16J, Б. А. Пасынкова [13] составляют конкретные примеры теорем существования. В настоящей статье исследуются задачи 1 и 2 для случая, когда класс J2 определен некоторым размерностным инвариантом топологических пространств. Все пространства предполагаются регулярными, а отображения — однозначными и непрерывными. Мы используем терминологию из монографии П. С. Александрова и Б. А. Пасынкова [3]. Для отображения / : X -^ Y обозначим: Rf = {у £ Y \ f~l (у) разрежено} и NRf = Y\ Rf; If — {y(2Y\ пространство /_1 (у) содержит изолированную точку} и NI, = Y\If; Sf = {y£ Y | \Г(у) | <**„} и NSf=Y\Sf; Р,= = {У б Y I / 1(у) содержит замкнутое счетнокомпактное множество, допускающее непрерывное отображение на отрезок}; К * = {у £ Y \ f"1 (у) содержит неразреженный бикомпакт}. Имеем включения RfQlf, KfQPff]NRf. Исследование множеств NSf и N1 f составляет содержание проблемы П. С. Александрова [1|. 296
1. Исследование множеств NSf и NIf Пространство а-паракомпактно, если в любое его открытое покрытие можно вписать а-дискретное покрытие. Теорема 1. Пусть f:X->Y — совершенное отображение а-параком- пактного пространства X с Сь-диагональю на совершенно нормальное пространство Y. Тогда: 1. Существуют подмножества {Хп|/г = 1, 2, ...} пространства X, для 00 которых U fXn = 1 f, и для любого п отображение f \ Хп есть гомеоморфизм. 2. Если X счетномерно1 и совершенно нормально, a Y несчетно мерно, то несчетномерны и подпространства Nip NS j и NRp a If счетномерно. 3. Если X сильно счетномерно и совершенно нормально, a Y сильно несчет- номерно, то сильно несчетномерны и подпространства Nip NSf и NRp а I^ сильно счетномерно. Доказательство. Первое утверждение вытекает из следствия 4 из [20]. Утверждения 2 и 3 вытекают из утверждения 1. Замечание 1. Пространство X совершенно* нормально, а-паракомпактно и с Gg-диа гона лью в каждом из следующих случаев: X метризуемо; X нормально и обладает измельчением; X нормально и сильно симметризу- емо; X нормально и обладает а-дискретной сетью. Замечание 2. Утверждения 2 и 3 теоремы 1 в классе метризуемых пространств доказаны А. В. Архангельским [4] и Нагами [11]. Замечание 3. Теорема 1 верна для случая, когда отображение / замкнуто и множество {у £Y \ f'1 (у) не бикомпакт} а-дискретно. Таковы замкнутые отображения метризуемых пространств [8] и пространств с ^дискретной сетью [12]. Замечание 4. Требование в условиях теоремы 1, чтобы X было а-паракомпактным с Gb-диагональю пространством, можно очевидным образом заменить на требование, чтобы X уплотнялся на а-паракомпактное пространство с С?5-диа гона лью. При этом необходимо заметить, что в этих условиях верна теорема 7 и ее следствие 4 из [20]. Теорема 2. Пусть f : X -> Y — замкнутое отображение нормального о-паракомпактного пространства X с Съ-диагональю на совершенно нормальное пространство Y и каждая точка из Y содержится в счетнокомпакте счетного характера. Тогда: 1. Существуют такие подмножества {Xn(Z Х\п = 1, 2, ...}, что 00 (J fXn = Rp a f\Xn есть гомеоморфизм для каждого п. 2. Если X счетномерно и совершенно нормально, a Y несчетномерно, то и NRf несчетномерно. Подпространство R* счетномерно. 3. Если X сильно счетномерно и совершенно нормально, a Y сильно несчетномерно, то и NRf сильно несчетномерно. Подпространство Rf сильно счетномерно. 4. Справедливы утверждения 1—3 теоремы 1. Доказательство. В силу теоремы Е. Майкла [10] отображение / периферически бикомпактно. Тогда существует замкнутое множество ZdX 1 Пространство счетномерно, если оно является объединением счетного числа нульмерных в смысле dim подпространств. Пространство сильно (соответственно слабо) счетномерно, если оно является объединением счетного числа конечномерных в смысле dim (соответственно и замкнутых) подпространств [3]. 297
такое, что fZ=Y, a g=f | Z есть совершенное отображение и IfCLlg. Теорема 1 завершает доказательство теоремы 2. Требование в условиях теоремы 1, чтобы X было пространством с ^-диагональю, существенно и не может быть опущено в силу следующего результата . Теорема 3. Для каждого пространства Y и множества LciY существуют пространство Z и совершенное индуктивно открытое отображение g:Z^%Y, для которых Ig^L, indZ = 0 и w{Z)^w (Y) -f \L\ + tf0. Доказательство. Достаточно рассмотреть только случай бикомпактов. Пусть Y — бикомпакт. Существует нульмерный бикомпакт X и индуктивно открытое отображение /: X^XY, где w(X) ^w (Y) —(— >?0- Можем считать, что 7^ = 0, ибо в противном случае в качестве X возьмем произведение X на канторово множество. Для фиксированного l^L склеиваем в одну точку множество /-1(Z) и полученное фактор-пространство обозначим через Zlt &уг: Zl->Y — естественное отображение. Отображение <р; индуктивно открыто. Пусть Z' есть дискретная сумма [Zx \ I £ L), а <р : Z' -> Y такое, что ср | Zx = <pz. Ясно, что Z' локально бикомпактно, нульмерно и / =L. Существуют нульмерное бикомпактное расширение Z пространства Z' и непрерывное отображение g:Z->F такие, что w{Z) = w(Z') и g\Z'=v. Теорема доказана. Теоремы 1—3 позволяют дать окончательное решение задачи П. С. Александрова о строении множеств NSf и NIf. 2. Пространства и отображения Пусть заданы пространство X, подпространство LCX, открытые покрытия {уп = {[/а| а(*Ап} | п = 1, 2, ...} пространства X и отображения {кп : Ап+1 -> -> Ап\ п = 1, 2, ...}, для которых выполняются некоторые из условий: • 1. ^.= U{^p|PG^1(a)}=U{[^p]|PG^1(«)} Для всех а£Д, и п = = 1, 2, ... 2. Если множества Fx Z) ^2 D . . . Z) /^ Z) .. . замкнуты в X, ^я П ^=7^ 0 и существует такая последовательность {ая£4я|/г = 1, 2, ...}, что FnQ.U*n и 7Cn(Vi) = a» Для всех и = 1, 2, . . ., то: 00 00 а. Г1 (Fnf]L)¥=0- б. П (F„r\L) есть бикомпакт. Эти условия позволяют ввести следующие понятия: 0л А. Если L=Ii выполняются условия 1 и 2а, то X называется слабо А -полным пространством. Если же выполняется и условие 26), то X называется А -полным пространством. Б. Если задано отображение / : X -> Y и существуют покрытия {уя} и отображения {кп} такие, что для каждого L^f'1 (у), где у £ Y, выполняются условия 1 и 2а, то / называется равномерно слабо 4-полным отображением, а если выполняется и условие 26, то / называется равномерно 4-полным отображением. Введенные выше понятия изучены в работах [19, 22, 5]. Открытый образ полного в смысле Чеха пространства является А -полным пространством. Все бикомпактные отображения и все отображения А -полных пространств являются равномерно 4-полными отображениями. Предложение 1. Если слабо А-полное пространство X не разрежено, то существует замкнутое счетнокомпактное подмножество F С X и непрерывное отображение f:FJH^[0, 1]. Если же есть А-полное неразреженное 298
пространство, то существует не разреженный бикомпакт F С X без изолированных точек. Доказательство. Пусть открытые покрытия {yw} и отображения {ъп} удовлетворяют условиям 1 и 2а относительно Z, = X. Строим непустые замкнутые подмножества {Fili2t„in\ij = 0, 1; j^n; п = 1, 2, . . .} и элементы {\**...',.£ А")> для К0Т°Рых: F*i**• • • *V> П Ftli2... v = 0; Fixi2... inin+x С Filit... in С CZUa. . . : iz (a. . ) = a. . . . Канторово совершенное множество С *1*2 ..*Я WV *1*2...*И*И + 1/ *1*2...*Я состоит из последовательностей / = (^, г2> • • •> *«>•••)> гДе ij — Q> 1- Для 00 каждой точки * = (гх, /2, . . .) положим cp""1(i)z= П ^*v2...*V Пусть ,F = = U {?_1 (01'' G С}- Так мы построили замкнутое множество F О. X и замкнутое счетнокомпактное непрерывное отображение y.F^XC. Множество F счетно- компактно. Если выполняется и условие 26, то отображение <р совершенно и F есть бикомпакт. Следствие 1. Для равномерно слабо А-полного отображения f: X -> Y имеем N1 f С Р*> Для равномерно А-полного отображения f имеем N1* С QKf = NRfQPr 3. Вспомогательные утверждения о бесконечномерных пространствах Индуктивные размерности ind X и Ind X определяются для всех порядковых чисел [3]. В работе [6] Л. Г. Замбахидзе ввел и изучал промежуточный инвариант уХ. Для пустого пространства и только для него считается у0 = = —1. Если для всех порядковых чисел Р<Са определен класс пространств Y, для которых yF = j3<a, то будем считать, что уХ^а, если для любого бикомпакта FCI и каждого открытого в X множества U Z) F существует такое открытое в X множество V, что FCFCf/ и т([Т/]\Т)<^а. Ясно, что indX<TX<Ind X. Лемма 1. Пусть X = XX(J Х2, где уХ1^уХ2 и Хх, Х2 замкнуты в X. Тогда ТХ < ТХ2 + T^i + 1 • Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 1 из работы В. В. Федорчука ["17]. Из леммы 1 вытекает Следствие 2. Если для пространства X определена размерность indX, то для X определена и размерность уХ. Лемма 2. Пусть X = М (J L наследственно нормально, для М определена размерность Ind М, а для X не определена размерность ind X. Тогда существует такое замкнутое в X подпространство Х0, что Х0 Г) М = 0 и для Х0 не определена размерность ind Х0. Доказательство. Если IndM0 =—1, то положим X0 = X = L. Пусть утверждение леммы 2 верно, если IndM<^B, и рассмотрим случай Ind М = [3. В X найдутся точка х0 и окрестность U^x0 такие, что для любого открытого в X множества V^x0, где FCf/, не определена размерность ind ([F]\ V). Фиксируем такое открытое в X множество U0, что x0£V0C2 U. В подпространстве М существует открытое множество Г, для которого [F0] f] М С С Г С U П М и Ind ([Г]ж\ Г) = а < (3. Так как X наследственно нормально, то существуют такие дизъюнктные открытые в X множества V± и Wv что V1f)M = T, \У1Г]М = М\[Г]9 х0£УгС.и. Положим Y =[V1]\V1J Мх = = F f) 7J/ и LX-=Y C\L. Тогда для Y не определена размерность ind У, 299
а 1псШ1 = а<;(3. По предположению в У найдется замкнутое подпространство Х0, для которого размерность ind Х0 не определена и XoD^i=0. Доказательство завершено. 00 Предложение 2. Пусть Х= \J Хп — слабо А-полное наследственно нормальное пространство. Если для пространств Хг, Х2, ... определены размерности Ind-X^, Ind Х2, . . ., то для пространства X определена раз- черность indX. Доказательство. Пусть открытые в X покрытия (yw = {f^a 1а б £Л„|/г = 1, 2, . . .} и отображения {пп: Ап+1 -> Ап) относительно L = X удовлетворяют условиям 1 и 2а из раздела 2. Построим замкнутые в X множества {Fn\n = l, 2,:..} и последовательность {ая£Ая\п = 1, 2,...}, для которых Fn+1 С Fn С £/^\ Х„, тгя(ая+1) = ап и для Fn размерность indFn не определена. Существование элементов Fx и ах вытекает непосредственно из леммы 2. Пусть со построены элементы Fk и ак. Тогда Ffc= U (^ = ^П^«)- Так как опреде- лена размерность IndXj£+1, то в силу леммы 2 найдется замкнутое в X множество У, для которого размерность ind Г не определена, У С Fk и rf|^+i = = УПХ*+1=0- По построению У С U^= \J{Uf+1 | р б^1 К)}- Поэтому существуют элемент а^+1 £ тс^;1 (aj и открытое в X множество W такие, что [W] С U^l, и размерность ind ([W] Г) У) не определена. Множество FM = = [РУ]Г|У и элемент afr+1 построены. Итак, последовательности {Fn} и {ая} построены и удовлетворяют требуемым выше условиям. Тогда по построению со оэ оо fl FnC П (X\Хп) = 0, а в силу условия 2а из раздела 2 имеем f| Fn =^= 0. Полученное противоречие завершает доказательство. Следствие 3. Для наследственно нормального счетномерного слабо А-полного (в частности, для полного в смысле Чеха) пространства X определена размерность ind X. Лемма 3 (Е. Г. Скляренко [15]). Пусть f:X-+Y — замкнутое отображение S-слабо бесконечномерного пространства X на А-сильно бесконечномерное пространство У. Тогда в X найдутся два дизъюнктных замкнутых множества Х0 и Х± таких, что Y± = fXx = fX0 А-сильно бесконечномерно. Е. Г. Скляренко доказал лемму 3 для случая бикомпактов (см. [15, лемму 1]), но его доказательство с небольшими изменениями проходит и в общем случае. Определение. Пространство X называется ^-пространством, если в любое открытое покрытие у пространства X можно вписать такое покрытие 00 ш = (J о)я, что система о)х замкнута и локально конечна в X, а при i > 1 »=i система ы4 замкнута и локально конечна в X \ U I £ G U <°п\ 1 "=i J ' Это понятие обобщает понятие ^-пространства из работы Б. А. Пасын- кова[13]. Все a-паракомпактные и все слабо паракомпактные пространства являются ^-пространствами. Без труда доказываются следующие свойства (^-пространств. A. Свойство быть ^-пространством инвариантно при совершенных отображениях. B. Для нормального (^-пространства X имеем dim X = loc dim X. C. Всякое нормальное ^-пространство счетнопаракомпактно. 300
00 Предложение 3. Пусть X = \J Хп — нормальное счетнопаракомпакт- п=1 п ное пространство и для любого п множество U ^» замкнуто в X, а если *=i F С Хп замкнуто в X, то F А-слабо бесконечномерно. Тогда X А-слабо бесконечномерно. Доказательство. Фиксируем систему дизъюнктных пар замкнутых в X множеств {(Ак, Вк) \ &б N = (1, 2, ...}}. Множество N представим в виде дизъюнктной суммы бесконечных подмножеств {Nk\k = l, 2, . . .}. В силу леммы 1 из [3, с. 535] по индукции можно построить такие перегородки Ci между Л. и 5., что: 1) Хг f] П {Ct | i б N±) = 0; 2) для каждого & = 2, 3, . . . множество Fte = ХкП П \С4 \ i б U W Д замкнуто в X и /^ П П {С. | i б /V*} = 0. со Тогда f| Сп=0. Доказательство завершено. Из предложения 3 и свойства С вытекает Следствие 4. Каждое нормальное локально А-слабо бесконечномерное (^-пространство А-слабо бесконечномерно. Из леммы 3 и следствия 4 вытекает Следе т-вие 5. Пусть f : X -> Y — замкнутое отображение S-слабо бесконечномерного пространства X на А-сильно бесконечномерное пространство Y. Тогда найдется такая точка y0£Y, что для каждого открытого в Y множества V 3 у0 существует дизъюнктная пара замкнутых в X множеств XI и Х\, для Yx = fXl = fX\ С V и подпространство Fx А-сильно бесконечномерно. Предложение 4. Если для пространства X определена размерность IndX, то оно S-слабо бесконечномерно. Доказательство легко проводится по индукции, используя лемму 1 из [3, с. 535]. Предложение 5. Если для сильного паракомпакта X определена размерность indX, то он А-слабо бесконечномерен. Доказательство. Если indX = 0, то это утверждение верно. Допустим, что утверждение верно, как только ind X <^ а. Пусть ind X = а. Рассмотрим систему дизъюнктных пар замкнутых в X множеств {{А0 В{)\1 = = 0, 1, 2, . . .}. Для каждой точки х фиксируем такую пару Ux, Vx открытых в X множеств, что ind([Fx]\ Vx) =ind ([£/J\ U x) = fix<d a, x^VxQ Q[VX]QUX и либо [UJf)Ao = 0, либо [Ux]f]Bo = 0. Так как X сильно паракомпактно, то существует такое дискретное покрытие {На\а£М}, что для каждого а б М найдется счетное множество таких точек {ха?11 /г = 1, 2, ...}, что ЯаС U VXa . Фиксируем а^М. Положим Wfa = Haf]UXa и W* — Haf) n(U*«k\ .и[^а.]) для& = 2,3, ... Система {Wka\ к = 1, 2, . . .} есть открытое локально конечное покрытие На. Положим Ca = [\J{W* \ W^f]A0=^= 0}]\ \\J{W*\W*riAo=f£=0}. Множество Са замкнуто в X и Са С U (([^aj\ \UX )\J([VX l\^a)V ^ силу предложения 2 и предложения 3 мно- жество Ca Л-слабо бесконечномерно. Тогда Л-слабо бесконечномерно и замкнуто в X и множество С — и{Са\<х(+Щ, являющееся перегородкой между А0 и В0. Лемма 1 из [3, с. 535] завершает доказательство. 301
4. Основные результаты Теорема 4. Пусть f : X->Y — замкнутое отображение пространства X на А-силъно бесконечномерное слабо А-полное пространство Y и множество М = {у £F \f~x(y) не бикомпакт} с-дискретно в Y. Пусть, далее, выполняется одно из условий: a) пространство X S-слабо бесконечномерно, a Y есть <Ж-пространство; b) для X определена размерность Ind X, a Y есть ^-пространство; c) для X определена размерность ind X, a Y сильно паракомпактно. Тогда KfZ}NRf^0. В частности, подпространство [NRf\ А-силъно< бесконечномерно. Доказательство. Достаточно доказать утверждение теоремы при выполнении условия а). Пусть открытые в Y покрытия {yw = {U% \ а£Ап\) = = 1, 2,...} и отображения {пп: Ап+1 -> Ап) удовлетворяют условиям 1 и со 2а из раздела 2 относительно L = X. Пусть М= \J Мп, где множества Mv М2, ... дискретны в F. Построим замкнутые в X множества {X;lt-2 _in \ ij =- = 0, 1; j^n; n = l, 2, ...}, последовательность {ап(<Ап\п = 1, 2,...} и замкнутые в Y множества {Fn\ n — i, 2, . ..} такие, что для любого п выполняются требования: 1. Fnf)Mn= 0 и Fn Л-сильно бесконечномерно, а кп (ап+1) = ай. 2. f^-ili2...in=-Fn(Z:Uln и Fn+1(ZFn. 3. Л^2> _ »яо U ^»[»г... »'й1 S ^«1«2...»й И -^*1*2... ЧгО П -^ЧЬ ... *V == 0* ^аК КаК Мг дискретно, то в силу предложения 3 существует замкнутое в Y Л-сильно- бесконечномерное подпространство ФХС F\Mr На основании следствия 5 существует точка у0 £ Ф, элемент аг £ Аг и замкнутые дизъюнктные в X множества Х0 и Хг такие, что Fx = fX0 = fXx Л-сильно бесконечномерно и Рг С С Фх П U*^ Допустим, что для натурального числа к построены множества Fkr {Xili2_. ik\ij = 0, 1; j^k) и элемент a^. Все кортежи {^ = 1г12 . . . ik\ij = = 0, 1; j^k) упорядочим по всем натуральным числам ^2к: {$m = i™i™ .. . .. . i% \т^2к}. Как и в предыдущем случае А= 1, по порядку будем строить замкнутые в Y Л-сильно бесконечномерные множества {Fk+i\m^2k}, замкнутые в X дизъюнктные пары {(Х'.т .т0, Х'.т iffi)\m^2k} и элемент afc+1£ б п? (aj такие, что Fk+l Э ^I+1 D • • • D ^T+i> П+i = /*-f... ,Го = /*;,.... ф С e(^\^i)ncf«*ir положим Fk+1=Ft+1 и *V2...^+1 = x;lV..^+1n П /'^l+r Этим построение искомых объектов завершено. В силу условия 2а со из раздела 2 i*7 = ПРпт^ 0• Фиксируем точку y0^F. Тогда г/0£У\А/ и множество Г = /_1 (у0) бикомпактно. Для каждого кортежа ixi2 . .. ik строим непрерывную на Г функцию ^.^ .^ : Г -> /.^ ^ = [0, 1], где ££..<*(°) 2 2гП^1...*ло и г?„.вд2гП^...^ Отметим, что ХМа... ,-л П г ¥^ 0 ДЛ* любого кортежа. Рассмотрим отображение g = И (g^t-2 ш, ,-й | ij = 0, 1; у ^ /г; /г = 1, 2, ...}:Г->П{/<л...<я|^ = 0, 1; /<и; » = 1, 2,...}. Отображение g непрерывно и пространство Z = gT есть несчетный метризуемый компакт. Тогда Z, а следовательно и Г, допускает непрерывное отображение на [0, 1], т. е. y0£KfCZNRf. Итак, NRf=^=0. Теперь Л-сильная бесконечномерность множества [NRf] вытекает из общего редукционного принципа. Доказательство завершено. Определение. Отображение /: X -> Y называется разреженным, если, NRf = 0. 302
Следствие 6. Пусть / : X -> Y есть замкнутое разреженное отображение пространства X на слабо А-полное пространство Y и множество {y£Y | /_1 (у) не бикомпактно} ^-дискретно в Y. Если выполняется одно из условий а), Ь) или с) теоремы 4, то пространство Y А-слабо бесконечномерно. Замечание 5. Следствие 6 для бикомпактов и для полных сепара- бельных метризуемых пространств доказано в работе Е. Г. Скляренко [16]. Теорема 4 и ее следствие 6 являются новыми, и когда или X, или Y является полным метризуемым пространством. В случае, когда X есть паракомпактное р-пространство (в частности, метризуемое пространство), требование, чтобы множество {y£Y | /_1 (у) небикомпакт} было а-дискретно, излишне [8,18,12]. Предложение 6. Пусть f :Х -> У — совершенное отображение пространства X на слабо А-полное пространство У. Если indX = 0, а для Y не определена размерность ind У, то NRfZ} Kf=^= 0. Доказательство. Пусть открытые в Y покрытия {уя = C/J | а £ Ап) и отображения {ип: Ап+1 -> AJ удовлетворяют условиям 1 и 2а из раздела 2. Как и при доказательстве теоремы 4, достаточно построить замкнутые в X множества {X,lt-2... in\ ij — 0, 1; J ^п; /г = 1, 2, ...}, замкнутые в Y множества {Fn} и последовательность {ап £ Ап) такие, что: для Fn размерность ind Fn ле определена; Fn+1 С fXilit...in — FnQ U?n; Xilit... in0 U Xilit... in\ С Xilit ...,-„ и ^■1|2...«„оП^1«2...м = 0; ^«K+i) — V Так как Для Y размерность ind У не определена, то существуют такие точка у0 £ Y \ М, открытое в Y множество V и элемент ol±(<Av что у0£У (Z[V](Z U'^ и для любой окрестности ОУо £ V точки у0 размерность ind {[Оу0] \ Оу0) не определена. Так как indX = 0, а /_1(г/0) есть бикомпакт, то найдется открыто-замкнутое в X множество W, для которого /_1 (у0) С¥ С /_1F. Положим F1 = fWf]f(X\W), X0 = f~xF f\W и X1=if~1F Ci(X\W). Так как Fx есть перегородка между у0 и У \ F, то для Fx размерность ind F1 не определена. Объекты F19 Х0, Х19 <хх построены. Таким же образом (учитывая и метод доказательства теоремы 4) •строятся и остальные объекты. Доказательство завершено. 00 Замечание 6. В случае, когда IndX = 0, М = (J Мп= {у£ У\^г(у) не бикомпакт} и Мг, М2, . . . дискретны, можно построить множества Fn с дополнительным условием FnC\Mn— 0. Поэтому утверждение предложения 6 верно при условиях, что / замкнуто, IndZ = 0, М а-дискретно и для У размерность ind У не определена. Лемма 4. Пусть Z = F\JM наследственно нормально, для F определена размерность indF, а для Z Не определена размерность ind Z. Тогда существует замкнутое в Z множество ФС Z\F, для которого размерность ind<D не определена. Доказательство. Легко проводится по индукции относительнр размерности ind,?7. Лемма 5. Пусть f : X -> У — совершенное отображение на наследственно нормальное пространство У, уХ = а, и если Ф замкнуто в X и уФ <^ а, то для /Ф определена размерность ind/Ф. Если для У не определена размерность ind У, то существуют замкнутые в X дизъюнктные множества Х0 и Хг такие, что fX0 = fX1 = F и размерность indF не определена. Доказательство. Найдутся точка у0 и окрестность V^y0 такие, что для каждой окрестности Оу0 С V размерность ind {[Оу0] \ OyQ) не определена. Так как /_1 (у0) — бикомпакт и уХ = а, то найдется открытое в X множе- 303
ство W такое, что f'1 (у0) С W С [W] С f~lV и ч {[W]\W =Ф)<а. Положим H=f[W] П /(X\FP). Ясно, что размерность ind Я не определена, а для /Ф С # определена размерность ind /Ф. В силу леммы 4 существует замкнутое в У множество F (ZH\f<&, для которого размерность ind^P7 не определена. Положим X0 = [W]\Cl f~xF и Xj = (X \ W) П f~lF. Теорема 5. Пусть f : X-> У — замкнутое отображение на слабо Л-пол- ное наследственно нормальное пространство У, множество М = {у ^Y \f~1(y) не бикомпакт) а-дискретно в У, для X определена размерность indX, а для У размерность ind У ие определена. Тогда NRf=^=0 и для [NRf] размерность ind[NRf] не определена. Доказательство. В силу леммы 2 достаточно доказать теорему 5 для случая совершенных отображений. На основании следствия 2 для X определена размерность уХ. Доказательство проведем по индукции относительно уХ. При уХ=0 утверждения теоремы вытекают из предложения 6. Пусть утверждения теоремы верны, как только уХ <С а. Допустим теперь, что уХ^а. Возможны два случая: Случай 1. Существует замкнутое в X множество X' такое, что уХ' < а и для /X' не определена размерность ind/X'. Тогда в силу предположения в этом случае утверждения теоремы верны. Случай 2. Если X' замкнуто в X и уХ' <С а, то размерность ind /X' определена. В этом случае непустота множества NRf при помощи леммы 5 устанавливается так же, как и при доказательстве теоремы 4 и предложения 6. Доказательство теоремы завершено. Из леммы 2, предложения 2 и теоремы 5 вытекает Теорема 6. Пусть f : X -> Y — замкнутое отображение наследственно нормального счетномерного пространства X на слабо А-полное пространство Y, а множество {у £ Y | /_1 (у) не бикомпакт} ^-дискретно в У. Если для Y размерность ind Y не определена, то и для [NR J размерность ind [NRf] не определена. к Замечание 7. Утверждение теоремы 5 для случая компактов доказано в работе Е. Г. Скляренко [14], а для случая полных метризуемых пространств — в работе Ю. М. Смирнова [16]. Замечание 8. В условиях теорем 4—6 требование, чтобы множество {у £Y If'1 (у) не бикомпакт} было а-дискретным, можно заменить на требования: X нормально и каждое замкнутое счетнокомпакт-множество пространства X бикомпактно. При выполнении этих условий отображение / периферически бикомпактно. Пример 1. Существует замкнутое конечнократное отображение / : X -> Y нульмерного сепарабельного метризуемого пространства X на счетномерное пространство Y, для которого размерность ind У не определена. Пример 2. Существует совершенное конечнократное отображение / : X -> Y нульмерного локально бикомпактного сепарабельного пространства X на 5-сильно бесконечномерное пространство У. Доказательство. Существование примера 1 вытекает из теоремы Нагаты [3, с. 503] и следствия 3 работы [9]. Во втором примере в качестве У можно взять дискретную сумму кубов возрастающей размерности, а X есть дискретная сумма счетного числа канторовых совершенных множеств [15г с. 1055]. Имеют место: D. Пусть / : X -> У — совершенное отображение. Если ind /=0, то ind X < ind Y. 304
Е. Пусть / : X -> Y — замкнутое га-кратное отображение на Y. Тогда ind Y <ind Х+п. Приведенные выше факты показывают, что теоремы 4—6 имеют окончательный характер. ЛИТЕРАТУРА 1 Александров П. С. О некоторых основных направлениях в общей топологии. — УМН, 1964, 19, № 6, с. 3-46. 2. Александров П. С. О счетнократных открытых отображениях. — ДАН СССР, 1936, 4, № 3, с. 283-288. 3. Александров П. С, Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973. 4 Архангельский А. В. О замкнутых отображениях бикомпактных множеств и одной задаче П. С. Александрова. — Мат. сб., 1966, 69, № 1, с. 13—33. 5. Wicke Н. Н. Open continuous images of certain kinds of M-spaces and completeness of mappings and spaces. — Gen. Topol. and Appl., 1971, 1, N 1, p. 85—100. 6. Замбахидзе Л. Г. О у-размерности топологических пространств. — Сообщ. АН ГССР, 1972, 67, № 1, с. 21—24. 7. Колмогоров А. И. Точки локальной топологичности счетнократных открытых отображений компактов. — ДАН СССР, 1941, 30, № 6, с. 477-478. 8. Лашнев Н. С. О непрерывных разбиениях и замкнутых отображениях метрических пространств. - ДАН СССР, 1965, 165, № 4, с. 756—758. 9. Левшенко Б. Т. Пространства трансфинитной размерности. — Мат. сб., 1*965, 67, № 2, с. 255-266. 10. Michael Е. A note on closed maps and compact sets. — Isr. J. Math., 1964, 2, N 3> p. 173-176. 11. Nagami K. Closed images of countable-dimensional spaces. — J. Math. Soc. Jap., 1967, 19, N 4, p. 457-459. 12. Okuyama A. A survey of the theory of a-spaces. — Gen. Topol. and Appl., 1971, 1, N 1, p. 57—64. 13. Пасынков Б. А. Об открытых отображениях. — ДАН СССР, 1967, 175, № 2, с. 292— 295. 14. Скляренко Е. Г. Несколько замечаний о бесконечномерных пространствах. — ДАН СССР, 1959, 126, № 6, с. 1203-1206. 15. Скляренко Е. Г. Две теоремы о бесконечномерных пространствах. — ДАН СССР, 1962, 143, № 5, с. 1053-1056. 16. Смирнов Ю. М. О трансфинитной размерности. — Мат. сб., 1962, 58, № 4, с. 415—422. 17. Федорчук В. В. Бесконечномерные бикомпакты. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1978, 42, № 5, с. 1162-1178. 18. Филиппов В. В. О перистых паракомпактах. — ДАН СССР, 1968, 178, № 3, с. 553— 558. 19. Чобан М. М. Открытые отображения и классы пространств. — В кн.: Топологические пространства и алгебраические системы. Кишинев: Штиинца, 1979, с. 148—173. 20. Чобан М. М. Общие теоремы о сечениях и их приложения. — Бълг. мат. списание, 1978, 4, с. 74-90. 21. Чобан М. М. Об изолированных отображениях. — В кн.: Матер. VII Всесоюз. топологической конф. Минск, 1977, с. 201. 22. Chaber /., Cohan М., Nagami К. On monotonic generalization of Moore spaces Cech complete spaces and p-spaces. — Fund, math., 1974, 84, p. 107—119.
Труды Математического института АН СССР 1983, том 154 В. В. ШАРКО (Киев, СССР) МИНИМАЛЬНЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ И ФУНКЦИИ МОРСА В работе описывается связь между строением конечнопорожденных модулей над некоторым классом колец и точными функциями Морса, заданными на неодносвязных многообразиях. 1. Минимальные резольвенты Пусть Л — нетерово кольцо такое, что каждый стабильно свободный „Л-модуль свободен. Везде в работе рассматриваются конечнопорожденные Д-модули. Обозначим через fx (М) минимальную систему образующих модуля М. Определение 1. Эпиморфизм f:F-»M ^называется минимальным, если F — свободный модуль ранга fx (М). Определение 2. Пусть О +- М £ F0 £ F± <- . . . ^— свободная резольвента М; скажем, что резольвента минимальная, если — минимальный эпиморфизм. Следующая теорема оправдывает термин «минимальный». Теорема 1(о сравнении). Пусть О <- М «& G0 «S- Gx <- ... г— произвольная свободная резольвента М, О <- М £ F0 £- F, <- ... ^— его минимальная резольвента. Тогда [л (G{) ^ [л (F{). Для доказательства теоремы потребуется несложно доказываемая лемма. Лемма 1. Пусть Г = ЛфМ. Тогда р. (Г) = 1 -f р. (М). Следствие 1. jjl (М ф Л ф . . . 0 Л) = 1 + [л (М). г Доказательство теоремы 1. Рассмотрим отрезки обеих резольвент О <- М & G0 ^ Ker gQ <- 0, 0 ^- М £ F0 ^ Кег / <- 0. 306
На основании леммы Шануэля [1] G0©Ker/0^0®Ker£0. В силу следствия 1 у. (G0 0 Кег /0) = [A (F0 ® Ker g0) = ? (G0) + |* (Кег /0) = р (F0) + ц (Кег g0). Но [х (G0) ^ [х (F0), следовательно, [i (Кег /0) <С р. (Кег g0), откуда вытекает, что*. P-(Fi) ^P-(Gi). Дальнейшие рассуждения аналогичны. Определение 3. Пусть f : N -> N — гомоморфизм модулей. Утолщением / с помощью свободного модуля F назовем гомоморфизм f[F]:N®F-+M, где f[F]\N@0 = f, f[F]\0@F = 0. Определение 4. Пусть / : N -> М — гомоморфизм модулей. Сига- билизацией f с помощью свободного модуля /^ назовем гомоморфизм f9[F\: N®F—^MQ)F. Как будет видно из дальнейшего, утолщение и стабилизация играют важную роль при доказательстве теорем. Можно сказать, что они увеличивают возможности при конструировании гомоморфизмов с необходимыми свойствами. Для последующих рассуждений нам понадобится понятие ранга матрицы и одно его свойство. Пусть 2 = (а^.) — прямоугольная матрица над Л. 2Г — квадратные обратимые подматрицы 2, размера [гхг]. Определение 5. Рангом матрицы 2 = (<xi..) называется максимальное значение г ^ 0. Имеет место Лемма 2 (о сокращении ранга). Пусть 2 = (а..) — прямоугольная матрица \т X п] над Л, Ек — единичная матрица ранга к. Рассмотрим матрицу ! I 0 2 = 0\Ек Пусть ранг Е равен I. Тогда ранг 2 равен I — к. Доказательство простое и оставляется читателю. Теорема 2 (о расщеплении). Пусть 0 <- М & G0 £- Gx «*- .. • — произвольная свободная резольвента М. Минимальная резольвента выделяется в ней прямым слагаемым. Для доказательства теоремы 2 потребуется Лемма 3. Пусть g:G-> М — эпиморфизм, G — свободный модуль, F — свободный модуль'ранга \х(Му Существует базис в G © F, в котором g [F] имеет вид f [G], где f:F->M — некоторый минимальный эпиморфизм, GttG. 307
Доказательство. Пусть g19 ...,gk — базис G, тогда g (gx), ...,g (gk) — система образующих M. Рассмотрим произвольный минимальный эпиморфизм / : F -> М. Пусть fv . . ., /, — базис F, тогда /(/х), .... /(/;) — образующие Л/. Очевидно, что gv . . ., #£., fv . . ., fi — базис вС®/. Найдем новый базис G 0 F, в котором g[F] будет иметь требуемый вид. Пусть /.=/.-]-Г», где т* G «Г1 (/(/*))£ & (1 <Ji ^/). Элементы gx, . . ., gk, fv . . ., /, образуют базис G Q) F. Последние Z элементов порождают свободное прямое слагаемое F aG Q) F, изоморфное F. Очевидно, что ограничение g [F] на 0 0 F — эпиморфизм на М. Следовательно, существуют элементы 81? . . ., Ьк в 0 0 F такие, что g[Fl(bJ) = g(g.) (1 ^/^&). Рассмотрим базис gx —81? . . ., gk — 8fc, fv . . ., ft в G 0 jF. Понятно, что первые /с элементов порождают свободное прямое слагаемое G = G и g [i*7] (G) = 0. Лемма доказана. Заметим, что в леммах 2, 3 и определении 5 предположения о кольце излишни. Они справедливы для любого ассоциативного кольца с единицей. Доказательство теоремы 2. Пусть 0 M^F„ /i ^i — некоторая минимальная резольвента М. Обозначим p. (G0) = pv jj. (F0) = jj.2, 1*!>р.2. Зафиксируем базисы g1? . ..,g^ в G0 и gv...,gp в Gr Образуем матрицу гомоморфизма g^ относительно этих базисов А = (а,- ■). Докажем, что ранг Л равен р.х — р2. В самом деле, пусть Д, . . .,/щ — базис ^0. Рассмотрим стабилизацию g± при помощи F, g8[F0]. Матрица гомоморфизма gs[F0] относительно выбранных базисов имеет вид В = E.t <7i0id *G0®F0^M-+0 (g0(0@F0) = 0) Очевидно, что является отрезком некоторой резольвенты М. Рассмотрим G0 0 F0 -*• М -> 0. Это утолщение g0 при помощи F0, g0[F0]. На основании леммы 3 g0[F0] можно представить в новом базисе в виде F0®G^M, /0(0®G0)=0, P0&F0, ■ G0. Итак, имеем Gt®F0^^F0eG0^M^0. о х о Выщепим G0 в G1 0 ^0, получим разложение ^G^^.^M-^0 0 0 0->G0^G0->0, теперь очевидно, что матрица В имеет ранг jj.r В силу леммы 2 А имеет ранг V-i — [V ^ез ограничения общности можно предположить, что подматрица «и "1Х,-{Х21 АИЧ-{х2 >Х-{Х2 Щ-JX, 308
обратима. Очевидно, что ее строки унимодулярные [1]. Понятно также, что строки аа, . . ., af>l_p,a, а^^2+1, . . ., а^ (1 < i ^ р.х — р2) также унимодуляр- ные и линейно независимые. Элементы у. = 2 а*7#/ можно дополнить неко- торыми элементами g v . . ., g до базиса в G0. Пусть Г — подмодуль в G0, порожденный у.. По построению Гс^ (Gx) С G0 — свободное прямое слагаемое в G0, следовательно, его можно выщепить, т. е. получить разложение 0-> Г -> Г ->0 © е Таким образом, мы выщепили из G0 лишний свободный модуль ранга р.х — р.2 Рассуждая аналогичным образом, можно выщепить оставшийся отрезок минимальной резольвенты. Заметим, что теоремы 1 и 2 обобщают соответствующие результаты Эйлен- берга [6]. 2. Минимальные цепные комплексы Пусть N С М — подмодуль модуля М. Следуя Бассу [1], определим /-rank (/V, М) как максимальное значение тех целых г ^> 0, для которых N содержит прямое слагаемое М, изоморфное ЛГ=Л© ... ©Л. г Лемма 4. Пусть М — подмодуль свободного модуляF, /-rank(М, F) = г. Тогда /-rank (Л/ © Л, F © Л) = г + 1. Доказательство. Пусть {j.(M) = jj., положим T=F/M. Имеем точную последовательность 0->Л/-^/р-5>Г->0. Пусть / : /<V —> М — минимальный эпиморфизм. Рассмотрим отрезок свободной резольвенты * о f Р -^—-^ F-±T-*0. На основании теоремы 2 выщепим из нее минимальную резольвенту Так как /-rank (М, F) = г, то ц (/*0) = г. Очевидно, что F © Л/М © Л = Г. Имеем точную последовательность В силу леммы 1 jjl (М © Л) = г -j- 1. Пусть / © id: F^ © Л -> М © Л — минимальный эпиморфизм. Построим резольвенту Г Выщепим минимальную резольвенту -+FX®P1 + F0®P0&T + Q [Pl(F0) = 0\. Очевидно, что \х (Р0) = г -\- 1. Лемма доказана. 309
Рассмотрим свободный цепной комплекс {С, 9}: - Сх_х £ С^ См *-, Zx = Кег дх, Вх = 1ш ах+1. Определение 6. ех(С, 9) = /-rank (Zx, Сх)— /-rank (J5X, Сх). Следствие 2 (определения и леммы 4). ех ме зависит от стабилизации граничного оператора. Теорема 3(о гомотопической инвариантности е}). Пусть (С, 9} и {С0д} — гомотопически инвариантные цепные комплексы. Тогда Н(С, д) = вх(€, S). Для доказательства теоремы нам потребуется лемма, которую оставляем без. доказательства. Лемма 5. Пусть {С, 9}— цепной комплекс ех(С, 9) = у, /-rank(Sx, Cx) = v, BXZ) Вх— свободный подмодуль ранга v, выделяющийся прямым слагаемым в Сх. Существует свободный подмодуль Zx С Zx, выделяющийся прямым слагаемым в Сх такой, что Zx Z) Вх, р (Zx) = у —[— v. Доказательство теоремы 3. Пусть fi'-Cx-> Сх— цепная эквивалентность. Предположим, что ©Х(С, 9)<^ех(С, д). Пусть /-rank (Вх, Сх) = = &x(/-rank (Z?x, СХ) = 6Х). Для каждого X представим СХ(СХ) в виде ~СХ Ф ф J§x_! (Сх Ф J§x_i), где , Д_х (Д^) — свободный модуль ранга fex-1 (6^), ^i(^x-i) 0x(^x-i)) — свободное прямое слагаемое в Сх_г (Сх_х) ранга ftx_i(6x_i)- На основании леммы 5 найдем разложение Cx = cx®zx®sx (бх=5х®гх®вх), Я>. = дх+ЛА) (вх=дш(ёх)), где Zx (Zx) — свободный модуль ранга е (С, 9) (е (С, 5)). Пусть £г . .., |с-х(^ а) — образующие Zx, ?i, . . ., ?еХ(с, э)—образующие Zx. Так как ^ (SJ представляют ненулевые элементы в гомологиях, то в каждый смежный класс 1{ должны отображаться элементы вида т* = { 2 Tt\;^|H"^x* ^° в ^i может отобраь зиться только ех(С, 9) смежных классов, следовательно, в {ех (С, 5) — £Х(С, 9)}' смежных классов должны отображаться циклы из С}, что невозможно, так как /х (Сх) С Сх. Получаем противоречие. Теорема доказана. Определение 7. Пусть f : F-*> G — гомоморфизм свободных модулей, /i» • • •» fk (Si9 • • •» g"/) — фиксированные базисы F (G). Если элементарными преобразованиями над этими базисами / можно представить в виде /: F ф f £В id -*» ф X > G ф X, где X — свободный модуль, скажем, что / можно сократить на X. Определение 8. Цепной комплекс (С, 9} просто гомотопически эквивалентен {С, 9}, если {С, 9} можно получить с помощью сокращения и ста- билизации 9Х. Определение 9. Пусть (С*, дг) — цепные комплексы просто гомотопически эквивалентные (С, 9}. Будем говорить, что комплекс [С\ 9'о} с С {С\ 9*} минимальный в размерности X, если р (Сjo) ^ р. (Сх) для всех i, (С\ д*о) минимальный, если он минимальный во всех размерностях. Минимальные комплексы существуют не всегда. Имеет место Теорема 4. Если К1(Л) = 0[1]9 тогда любой цепной комплекс свободных модулей просто гомотопически эквивалентен минимальному цепному комплексу. 310
3. Функции Морса Пусть cfx (Мп) — функции Морса на многообразии Мп, у которых минимальное число критических точек индекса X [3]. Определение 10. Функция Морса на многообразии Мп называется точной, если она принадлежит f]^x(Mn). х Точные функции Морса существуют не на каждом многообразии. По этому доводу см. [2, 5, 7]. Известно [4], что с каждым многообразием, используя функцию Морса, можно связать цепной комплекс {С (Мп), д) — конечнопорожденных свободных модулей над Z [тс], где я = тс1(Мя) — фундаментальная группа многообразия. Положим ех(Мп) = ех(С(Мп), д). Теорема 5. Если тс = тс1(Мя) такая, что Z[tc] = A, /г^>5, тогда Sx (Мп) — инвариант гомотопического типа. Теорема 6. Пусть выполняются условия предыдущей теоремы и Wh{v:) = 0. Тогда на Мп существует точная функция Морса. Пусть tc1(Mw) = Z, 0<-#х(Мм, Z[Z]) *-F**- F\+- F\<r- 0 — минимальная резольвента модуля гомологии универсального накрывающего пространства Й". Теорема 7. Минимальная функция Морса на Мп имеет по одной критической точке индексов 0, 1, п — 1, п и Nx критических точек индекса X ,(2 ^ X < п — 2): Nx = ех (Л/') + ех_г (М«) + р (^) + р (F^) - ^ (F^). ЛИТЕРАТУРА '1. Басе X. Алгебраическая /f-теория. М.: Мир, 1973. :2. Богоявленский О. И. О точной функции на многообразиях. — Мат. заметки, 1970, а, № 1, с. 77—83. Л. Милнор Д. Теория Морса. М.: Мир, 1965. 4. Милнор Д. Кручение Уайтхеда. — Математика, 1967, 11, № 1, с. 3—24. .5. Смейл С. О строении многообразий. — Математика, 1964, 8, № 4, с. 95—108. 6. Eilenberg S. Homological dimensions and syzygies. — Ann. Math., 1957, 65, N 3, p. 328— 336. 1. Hajduc B. Comparing handle decompositions of homotopy equivalent manifolds. — Fund. math., 1977, 95, N 1, p. 35-47.
СОДЕРЖАНИЕ Александров П. С. От редактора 3 Баладзе Д. О. Параметрические канонические группы гомологии и когомоло- гий над парами копредпучков и предпучков соответственно 7 Бауэр Ф.В. Современное состояние двойственности Александера—Понтрягнна 11 Берикашвили И. А. Об аксиоматике теории гомологии Стиндрода—Ситни- кова на категории компактных хаусдорфовых пространств 24 Браун Э. X. (мл.), Петерсон Ф. П. Спектр Брауна—Джитлера, пространство Q2S3 и элементы т]. £ П2У 38 Вайсала Ю. Топология Липшица 44 Вершинин В. В. О кольце симплектических кобордизмов 49 де В рис Я. Линеаризация действий локально компактных групп 53 Гарднер Р., Пфеффер В. Некоторые неразрешимые вопросы, касающиеся радоновских мер 71 Долъд А., Пуппе Д. Двойственность, след и трансфер 81 Зарелуа А. В. Пределы локальных систем пучков и нульмерные отображения 98 Зачепа В. Р., Сапронов Ю. И. О локальном анализе нелинейных фредголь- мовых уравнений 113 Зервос С. П. О кардиналах как орбитах групп автоморфизмов упорядоченных множеств 118 Иллман С. Эквивариантные поглощения и распознавание линейных действий на сферах 124 Клингенберг Б., Шиката И. О теореме существования бесконечного множества замкнутых геодезических 127 Лахер Р. Разрешимость обобщенных многообразий 137 Мадсен Мб. Сферические пространственные формы в размерности, равной периоду. 1 151 Мдзинаришвили Л. Д. Функтор Extw и гомологии Колмогорова 180 Нагата Дж. Обзор теории размерности. III 186 Проданов И. Абстрактный подход к алгебраическому понятию спектра . . . 200 Пыткеев Е. Г. О максимально разложимых пространствах 209 Савицкая Т. Н. Разложение в систему Постникова расслоения со слоем К (л, п) 214 Терпе Ф. О новом применении топологии в теории суммирования ... 216 Трохимчук Ю. Ю., Зелинский Ю. Б., Жарко В. В. О некоторых результатах в топологии многообразий, теории многозначных отображений и теории Морса 222 312
Тураев В. Г. Фундаментальные группы трехмерных многообразий и двойственность Пуанкаре 231 Филиппов В. В. О нормально расположенных подпространствах .... 239 Флаксмайер Ю. Топологические полуполя и соответствующие им булевы алгебры 252 Хайдук Б. О построении гладких и PL структур на многообразии 264 Харатоник Я. Е. Некоторые обобщения однородности пространств .... 267 Хоменко Н. П. Метод ^-преобразований и некоторые его применения в теории графов 275 Цишанг X. О подгруппах свободного произведения циклических групп . . . 284 Чобан М. М. Отображения и размерностные свойства пространств 296 Шар ко В. В. Минимальные резольвенты и функции Морса 306
УДК 513.83 Баладзе Д. О. Параметрические канонические группы гомологии и когомологий над парами копредпучков и предпучков соответственно. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). -— М.: Наука, 1983. Устанавливаются теоремы двойственности для параметрических канонических групп гомологии и когомологий локально компактного метризуемого пространства над парами копредпучков и пучков соответственно. Библиогр. 4 назв. УДК 513.83 Бауэр Ф. В. Современное состояние двойственности Александера—Понтрягина. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Статья обзорного характера. В разделе 1 вводится сильная теория шейпов. Когомологий с коэффициентами в спектре рассматриваются в разделе 2. В разделе 3 формулируются теоремы этого типа. Раздел 4 посвящен приложениям. Библиогр. 17 назв. УДК 513.83 Берикашвили Н.А. Об аксиоматике теории гомологии Стинрода—Ситникова на категории компактных хаусдорфовых пространств. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154).— М.: Наука, 1983. В работе приводится несколько вариантов аксиоматики теории гомологии на категории компактных хаусдорфовых пространств, однозначно характеризующих теорию гомологии. Применяемый подход заключается в замене пространства пределом обратного спектра нервов его конечных покрытий. Библиогр. 28 назв. УДК 513.83 Браун Э. Х.,Петерсон Ф.П. Спектр Брауна—Джитлера, пространство Q2S3 и элементы Tjyeiy. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Обсуждается спектр Брауна—Джитлера, намечается доказательство теоремы Маховальда и формулируется несколько результатов о порядках элементов группы n9j. Библиогр. 8 назв. УДК 513.83 Вайсала Ю. Топология Липшица. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В работе предлагается обзор липшицевской топологии. Приводятся результаты, полученные в этой области Д. Сулливаном, Д. Голдом, автором и другими. В заключительном разделе рассматривается категория локально квазисимметрических вложений.5 Библиогр. 16 назв. УДК 513.83 Вершинин В. В. О кольце симплектических кобордизмов. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В работе изучается кольцо симплектических кобордизмов с использованием спектральной последовательности Адамса—Новикова и операций Новикова—Ландвебера в этой спектральной последовательности. Библиогр. 8 назвЛ, УДК 513.83 де Врис Ян. Линеаризация действий локально компактных групп. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В статье обсуждается проблема линеаризации действий локально компактных групп. " Библиогр. 43 назв. УДК 513.83 Гарднер Р., П феффер В. Некоторые неразрешимые вопросы, касающиеся радоновских мер. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Пусть X — локально компактное пространство неизмеримой мощности. В статье устанавливается неразрешимость некоторых утверждений о пространстве X в рамках теории множеств Цермело—Френкеля с аксиомой выбора. Библиогр. 21 назв. УДК 513.83 Дольд А., Пуппе Д. Двойственность, след и трансфер. — В кн.: [Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Обсуждаются понятия «сильной двойственности», «следа» и «трансфера» в моноидальных категориях. Библиогр. 22 назв. УДК 513.83 Зарелуа А. В. Пределы локальных систем пучков и нульмерные отображения. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Статья посвящена развернутому изложению ряда результатов, группирующихся вокруг свойств пределов локальных систем пространств, для которых дана категорная трактовка в рамках понятия локальной системы на категории со значениями в функторе. Библиогр. 14 назв. 314
УДК 513.83 Зачепа В.Р.,Сапронов Ю.И.О локальном анализе нелинейных фредгольмовых уравнений. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В работе показывается (в рамках локального анализа нелинейных фредгольмовых уравнений) возможность эффективного использования некоторых идей и методов теории особенностей гладких отображений в проблеме ветвления малых решений нелинейных операторных уравнений. Библиогр. 18 назв. УДК 513.83 Зервос С. П. О кардиналах как орбитах групп автоморфизмов упорядоченных множеств. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Взгляд на кардиналы с точки зрения действий групп на частично упорядоченных множествах. Библиогр. 2 назв. УДК 513.83 И л л м а н С. Эквивариантные поглощения и распознавание линейных действий на сферах. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Пусть G — конечная группа, гладко действующая на сфере Sn. В статье изучается вопрос, при каких условиях данное G-действие на Sn топологически эквивалентно линейному действию. Библигр. 8 назв. УДК 513.83 Клингенберг В., Шиката И. О теореме существования бесконечного множества замкнутых геодезических. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В работе разъясняется при некоторых предположениях доказательство теоремы о существовании бесконечного множества замкнутых геодезических на сферах нечетной размерности. Библиогр. 3 назв. УДК 513.83 Л а х е р Р. Разрешения обобщенных многообразий. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Обзор деятельности по изучению обобщенных многообразий. Выделяется три периода: «классический», «алгебраический» и «геометрический». Последнему в статье уделено особое внимание. Подчеркивается важность свойства Кеннона непересекаемости дисков. Высказаны три гипотезы, последняя из которых уже доказана. Библиогр. 40 назв. УДК 513.83 Мадсен Иб. Сферические пространственные формы в размерности, равной периоду 1. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В работе изучается вопрос о существовании свободных действий конечных групп типа ИМ (классификация Вольфа). Подробно рассматриваются и вычисляются препятствия к наличию такого действия для группы Z/mxHS. Оказывается, в частности, что группа такого типа порядка 312 не может действовать ни на какой сфере размерности 8Z+3. Библиогр. 22 назв. УДК 513.83 Мдзинаришвили Л. Д. Функтор Ext" и гомологии Колмогорова. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Работа посвящена получению для точной теории гомологии Колмогорова на категории компактных пар модифицированной аксиомы непрерывности Милнора, а также изучению соотношений между гомологическими размерностями, относительно различных областей коэффициентов. Библиогр. 8 назв. УДК 513.83 Н агата Дж. Обзор теории размерности. ИГ. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Статья является продолжением обзоров развития теории размерности, сделанных в 1966 и 1970 гг. Библиогр. 72 назв. УДК 513.83 Проданов И. Абстрактный подход к алгебраическому понятию спектра. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Статья носит обзорный характер. Основная цель состоит в указании связи, основанной на спектрах, между простейшими разделами алгебры, логики, общей топологии и функционального анализа. Библиогр. 30 назв. 315
УДК 513.83 Пыткеев Е. Г. О максимально разложимых пространствах. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154).— М.: Наука, 1983. •rcR-Пространством называется топологическое пространство X такое, что для всякого незамкнутого А С X найдется точка х б [А]\А и тс-сеть Я^ в точкех, синхронная с {А}. Доказаны теоремы о максимальной разложимости тсК-пространств и некоторых их свойствах. Библиогр. 13 назв. УДК 513.83 Савицкая Т. Н. Разложение в систему Постникова расслоения со слоем К (тс, п). — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. По известным /с-инвариантам базы расслоения со слоем К (тс, п) и характеристическому классу расслоения вычисляется система Постникова пространства расслоения. Библиогр. 2 назв. УДК 513.83 Т е р п е Ф. О новом применении топологии в теории суммирования. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Дан обзор теории суммирования, основанной на теории расширения топологических пространств и теории меры. Описаны суммирования на пространстве состояний. Библиогр. 9 назв. УДК 513.83 Трохимчук Ю. Ю., Зелинский Ю. Б., Шарко В. В. О некоторых результатах в топологии многообразий, теории многозначных отображений и теории Морса. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В статье рассматриваются вопросы, связанные с изучением однозначных и многозначных отображений топологических и гомологических многообразий, а также с приложением этих исследований к теории голоморфных отображений. Получены интересные результаты в теории Морса для неодносвязных многообразий. Библиогр. 40 назв. УДК 513.83 Тураев В. Г. Фундаментальные группы трехмерных многообразий и двойственность Пуанкаре. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В статье устанавливается, что фундаментальная группа замкнутого трехмерного многообразия обладает парой заданий с одним и тем же набором образующих и в некотором смысле двойственными наборами соотношений. В терминах заданий групп образующими и соотношениями формулируются условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная группа была изоморфна фундаментальной группе замкнутого трехмерного многообразия. Библиогр. 9 назв. УДК 513.83 Филиппов В. В. О нормально расположенных подпространствах. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В статье обсуждаются вопросы, связанные с монотонностью размерности. Библиогр. 16 назв. УДК 513.83 Флаксмайер Ю. Топологические полуполя и соответствующие им булевы алгебры. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В статье обсуждаются некоторые вопросы топологической алгебры, связанные с топологическими полуполями. Библиогр. 34 назв. УДК 513.83 ХайдукБ.О построении гладких и PL-структур на многообразии. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В заметке строятся некоторые препятствия для построения структуры посредством переклеек с «конкордантностями». Л УДК 513.83 Харатоник Я. Я. Некоторые обобщения однородности пространств. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В работе понятие однородного топологического пространства обобщается путем рассмотрения не только гомеоморфизмов, но также и некоторых других классов отображений. Формулируются некоторые проблемы, касающиеся введенных понятий. Библиогр. 26 назв. 316
УДК 513.83 Хо.менко Н. П. Метод <р -преобразований и некоторые его применения в теории графов. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В статье дается обзор приложений метода ср-преобразований топологических пространств к теории графов. Библиогр. 16 назв. УДК 513.83 Цишанг Х.О подгруппах свободного произведения циклических групп. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Для подгрупп, порожденных элементами конечного порядка в свободном произведении циклических групп, автор получает результаты, похожие на известные теоремы о подгруппах свободных групп. Библиогр. 4 назв. УДК 513.83 Ч о б а н М. М. Отображения и размерностные свойства пространств. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. Для непрерывного отображения /:1->Уи свойства & полагаем Sif={y 6 Y|/_1 (у) удовлетворяет &} и N<P/=Y—<Р/. В статье исследуются следующие задачи при некоторых ограничениях размерностного характера. Задача 1. Исследовать строение &f и N<Pf. Задача 2. При каких условиях Н<Р/ непусто? Библиогр. 22 назв. УДК 513.83 Ш а р к о В. В. Минимальные резольвенты и функции Морса. — В кн.: Топология (Труды МИАН СССР, т. 154). — М.: Наука, 1983. В статье описывается связь между строением конечнопорожденных модулей над некоторым классом колец и точными функциями Морса, заданными на неодносвязных многообразиях- Библиогр. 7 назв.
топология Труды ордена Ленина Математического института им. В. А. Стеклова Том 154 Утверждено к печати ордена Ленина Математическим институтом им. В. А. Стеклова Академии наук СССР Редактор издательства Н. Н. Лезнова Художественный редактор Г. П. Поленова Технические редакторы Е. Н. Евтянова, О. М. Гуськова Корректоры Р. 3. Землянская, И. А. Талалай ИБ № 27008 Сдано в набор 11.10.82. Подписано к печати 20.06.83 Т-10454. Формат 70xl08Vie Бумага книжно-журнальная Гарнитура обыкновенная Печать высокая Усл. печ. л. 28. Усл. кр. отт. 28,175 Уч.-изд. л. 24,8. Тираж 1500 экз. Тип. зак. 1870. Цена 3 р. 80 к. Издательство «Наука» 117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90 Ордена Трудового Красного Знамени Первая типография издательства «Наука» 199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12